data/json/2023/math_30_calc.txt

30. 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$와 함수 $g(x) = e^{\sin{\pi x}} - 1$에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 합성함수 $h(x) = g(f(x))$가 다음 조건을 만족시킨다.

\begin{itemize}
    \item[(가)] 함수 \( h(x) \)는 \( x = 0 \)에서 극댓값 \(0\)을 갖는다.
    \item[(나)] 열린구간 \( (0,3) \)에서 방정식 \( h(x) = 1 \)의 서로 다른 실근의 개수는 7이다. 
\end{itemize}

$f(3) = \frac{1}{2}, \ f'(3) = 0$일 때, $f(2) = \frac{q}{p}$이다. $p + q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]