data/json/2024/math_20.txt

20. $a > \sqrt{2}$ 인 실수 $a$에 대하여 함수 $f(x)$를

\[ f(x) = -x^3 + ax^2 + 2x \]

라 하자. 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $\mathrm{O}(0, 0)$에서의 접선이 곡선 $y = f(x)$와 만나는 점 중 $\mathrm{O}$가 아닌 점을 $\mathrm{A}$라 하고, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $\mathrm{A}$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{B}$라 하자. 점 $\mathrm{A}$가 선분 $\mathrm{OB}$를 지름으로 하는 원 위의 점일 때, $\overline{\mathrm{OA}} \times \overline{\mathrm{AB}}$의 값을 구하시오. [4점]