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data/json/2022/math.json

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+{"id": 1, "name": "1", "problem": "1. $\\left(2^{\\sqrt{3}} \\times 4\\right)^{\\sqrt{3} - 2}$ 의 값은? [2점] \\begin{itemize} \\item[1] \\frac{1}{4} \\item[2] \\frac{1}{2} \\item[3] 1 \\item[4] 2 \\item[5] 4 \\end{itemize}", "answer": 2, "score": 2, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 2, "name": "2", "problem": "2. 함수 $f(x) = x^3 + 3x^2 + x - 1$ 에 대하여 $f'(1)$의 값은? [2점] \\begin{itemize} \\item[1] 6 \\item[2] 7 \\item[3] 8 \\item[4] 9 \\item[5] 10 \\end{itemize}", "answer": 5, "score": 2, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 3, "name": "3", "problem": "3. 등차수열 $\\{a_n\\}$에 대하여 \\[ a_2 = 6, \\quad a_4 + a_6 = 36 \\] 일 때, $a_{10}$의 값은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] 30 \\item[2] 32 \\item[3] 34 \\item[4] 36 \\item[5] 38 \\end{itemize}", "answer": 5, "score": 3, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 4, "name": "4", "problem": "4. 함수 $( y = f(x) )$의 그래프가 그림과 같다.\n\n\\[ \\lim_{x \\to -1-} f(x) + \\lim_{x \\to 2} f(x) \\text{의 값은? [3점]} \\]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 1 \\item[2] 2 \\item[3] 3 \\item[4] 4 \\item[5] 5 \\end{itemize}", "answer": 4, "score": 3, "review": "Removed figure and the statement referring to the figure. The figure is needed to solve the problem.", "incomplete": true}
+{"id": 5, "name": "5", "problem": "5. 첫째항이 1인 수열 $\\{a_n\\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 \\[ a_{n+1} = \\begin{cases} 2a_n & (a_n < 7) \\\\ a_n - 7 & (a_n \\geq 7) \\end{cases} \\] 일 때, $\\sum_{k=1}^{8} a_k$의 값은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] 30 \\item[2] 32 \\item[3] 34 \\item[4] 36 \\item[5] 38 \\end{itemize}", "answer": 1, "score": 3, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 6, "name": "6", "problem": "6. 방정식 $( 2x^3 - 3x^2 - 12x + k = 0 )$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 $k$의 개수는? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] 20 \\item[2] 23 \\item[3] 26 \\item[4] 29 \\item[5] 32 \\end{itemize}", "answer": 3, "score": 3, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 7, "name": "7", "problem": "7. $( \\pi < \\theta < \\frac{3}{2}\\pi )$인 $\\theta$에 대하여 $\\tan \\theta - \\frac{6}{\\tan \\theta} = 1$일 때, $ \\sin \\theta + \\cos \\theta $의 값은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] -\\frac{2\\sqrt{10}}{5} \\item[2] -\\frac{\\sqrt{10}}{5} \\item[3] 0 \\item[4] \\frac{\\sqrt{10}}{5} \\item[5] \\frac{2\\sqrt{10}}{5} \\end{itemize}", "answer": 1, "score": 3, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 8, "name": "8", "problem": "8. 곡선 $( y = x^2 - 5x )$와 직선 $( y = x )$로 둘러싸인 부분의 넓이를 직선 $( x = k )$가 이등분할 때, 상수 $k$의 값은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] 3 \\item[2] \\frac{13}{4} \\item[3] \\frac{7}{2} \\item[4] \\frac{15}{4} \\item[5] 4 \\end{itemize}", "answer": 1, "score": 3, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 9, "name": "9", "problem": "9. 직선 $( y = 2x + k )$ 가 두 함수 \\[ y = \\left( \\frac{2}{3} \\right)^{x+3} + 1, \\quad y = \\left( \\frac{2}{3} \\right)^{x+1} + \\frac{8}{3} \\] 의 그래프와 만나는 점을 각각 $( \\mathrm{P} )$, $( \\mathrm{Q} )$라 하자. $\\overline{\\mathrm{PQ}} = \\sqrt{5}$일 때, 상수 $k$의 값은? [4점] \\begin{itemize} \\item[1] \\frac{31}{6} \\item[2] \\frac{16}{3} \\item[3] \\frac{11}{2} \\item[4] \\frac{17}{3} \\item[5] \\frac{35}{6} \\end{itemize}", "answer": 4, "score": 4, "review": "Removed figure.", "incomplete": false}
+{"id": 10, "name": "10", "problem": "10. 삼차함수 $( f(x) )$에 대하여 곡선 $( y = f(x) )$ 위의 점 $( 0, 0 )$에서의 접선과 곡선 $( y = x f(x) )$ 위의 점 $( 1, 2 )$에서의 접선이 일치할 때, $f'(2)$의 값은? [4점] \\begin{itemize} \\item[1] -18 \\item[2] -17 \\item[3] -16 \\item[4] -15 \\item[5] -14 \\end{itemize}", "answer": 5, "score": 4, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 11, "name": "11", "problem": "11. 양수 $a$에 대하여 집합 $\\left\\{ x \\ \\middle| \\ -\\frac{a}{2} < x \\leq a, \\ x \\neq \\frac{a}{2} \\right\\}$ 에서 정의된 함수 \\[ f(x) = \\tan \\frac{\\pi x}{a} \\] 가 있다. 그림과 같이 함수 $y = f(x)$의 그래프 위의 세 점 $( \\mathrm{O, A, B} )$를 지나는 직선이 있다. 점 $( \\mathrm{A} )$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 함수 $y = f(x)$의 그래프와 만나는 점 중 $( \\mathrm{A} )$가 아닌 점을 $( \\mathrm{C} )$라 하자. 삼각형 $( \\mathrm{ABC} )$가 정삼각형일 때, 삼각형 $( \\mathrm{ABC} )$의 넓이는? (단, $( \\mathrm{O} )$는 원점이다.) [4점] \\begin{itemize} \\item[1] \\frac{3\\sqrt{3}}{2} \\item[2] \\frac{17\\sqrt{3}}{12} \\item[3] \\frac{4\\sqrt{3}}{3} \\item[4] \\frac{5\\sqrt{3}}{4} \\item[5] \\frac{7\\sqrt{3}}{6} \\end{itemize}", "answer": 3, "score": 4, "review": "Removed figure and the statement referring to the figure.", "incomplete": false}
+{"id": 12, "name": "12", "problem": "12. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 \\[ \\{f(x)\\}^3 - \\{f(x)\\}^2 - x^2 f(x) + x^2 = 0 \\] 을 만족시킨다. 함수 $f(x)$의 최댓값이 1이고 최솟값이 0일 때, \\[ f\\left( -\\frac{4}{3} \\right) + f(0) + f\\left( \\frac{1}{2} \\right) \\] 의 값은? [4점] \\begin{itemize} \\item[1] \\frac{1}{2} \\item[2] 1 \\item[3] \\frac{3}{2} \\item[4] 2 \\item[5] \\frac{5}{2} \\end{itemize}", "answer": 3, "score": 4, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 13, "name": "13", "problem": "13. 두 상수 $( a, b \\ (1 < a < b) )$에 대하여 좌표평면 위의 두 점 $(a, \\log_2 a), \\ (b, \\log_2 b)$를 지나는 직선의 $y$절편과 두 점 $(a, \\log_4 a), \\ (b, \\log_4 b)$를 지나는 직선의 $y$절편이 같다. 함수 $f(x) = a^{bx} + b^{ax}$에 대하여 $f(1) = 40$일 때, $f(2)$의 값은? [4점] \\begin{itemize} \\item[1] 760 \\item[2] 800 \\item[3] 840 \\item[4] 880 \\item[5] 920 \\end{itemize}", "answer": 2, "score": 4, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 14, "name": "14", "problem": "14. 수직선 위를 움직이는 점 $\\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 위치 $x(t)$가 두 상수 $a$, $b$에 대하여 \\[ x(t) = t(t - 1)(at + b) \\quad (a \\neq 0) \\] 이다. 점 $\\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 속도 $v(t)$가 $\\int_0^1 |v(t)| \\, dt = 2$를 만족시킬 때, 아래 ㄱ, ㄴ, ㄷ 중에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]\n\n\\begin{itemize} \\item[ㄱ.] $\\int_0^1 v(t) \\, dt = 0$ \\item[ㄴ.] $|x(t_1)| > 1$인 $t_1$이 열린구간 $(0, 1)$에 존재한다. \\item[ㄷ.] $0 \\leq t \\leq 1$인 모든 $t$에 대하여 $|x(t)| < 1$이면 $x(t_2) = 0$인 $t_2$가 열린구간 $(0, 1)$에 존재한다. \\end{itemize}\n\n\\begin{itemize} \\item[1] ㄱ \\item[2] ㄱ, ㄴ \\item[3] ㄱ, ㄷ \\item[4] ㄴ, ㄷ \\item[5] ㄱ, ㄴ, ㄷ \\end{itemize}", "answer": 3, "score": 4, "review": "<보기> changed to '아래 ㄱ,ㄴ,ㄷ, 중'", "incomplete": false}
+{"id": 15, "name": "15", "problem": "15. 두 점 $( \\mathrm{O}_1, \\mathrm{O}_2 )$를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 $(\\overline{\\mathrm{O}_1\\mathrm{O}_2} )$인 두 원 $( C_1, C_2 )$가 있다. 그림과 같이 원 $( C_1 )$ 위의 서로 다른 세 점 $( \\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{C} )$와 원 $( C_2 )$ 위의 점 $( \\mathrm{D} )$가 주어져 있고, 세 점 $( \\mathrm{A}, \\mathrm{O}_1, \\mathrm{O}_2 )$와 세 점 $( \\mathrm{C}, \\mathrm{O}_2, \\mathrm{D} )$가 각각 한 직선 위에 있다.\n\n이때 $(\\angle \\mathrm{B}\\mathrm{O}_1\\mathrm{A} = \\theta_1)$, $(\\angle \\mathrm{O}_2\\mathrm{O}_1\\mathrm{C} = \\theta_2)$, $(\\angle \\mathrm{O}_1\\mathrm{O}_2\\mathrm{D} = \\theta_3)$이라 하자.\n\n다음은 $( \\overline{\\mathrm{A}\\mathrm{B}} : \\overline{\\mathrm{O}_1\\mathrm{D}} = 1 : 2\\sqrt{2} )$이고 $( \\theta_3 = \\theta_1 + \\theta_2 )$일 때, 선분 $( \\mathrm{A}\\mathrm{B} )$와 선분 $( \\mathrm{C}\\mathrm{D} )$의 길이의 비를 구하는 과정이다.\n\n\\[ \\begin{aligned} &\\angle \\mathrm{C}\\mathrm{O}_2\\mathrm{O}_1 + \\angle \\mathrm{O}_1\\mathrm{O}_2\\mathrm{D} = \\pi \\text{이므로 } \\theta_3 = \\frac{\\pi}{2} + \\frac{\\theta_2}{2} \\text{이고} \\\\ &\\theta_3 = \\theta_1 + \\theta_2 \\text{에서 } 2\\theta_1 + \\theta_2 = \\pi \\text{이므로 } \\angle \\mathrm{C}\\mathrm{O}_1\\mathrm{B} = \\theta_1 \\text{이다.} \\\\ &\\text{이때 } \\angle \\mathrm{O}_2\\mathrm{O}_1\\mathrm{B} = \\theta_1 + \\theta_2 = \\theta_3 \\text{이므로 삼각형 } \\mathrm{O}_1\\mathrm{O}_2\\mathrm{B} \\text{와 삼각형 } \\mathrm{O}_2\\mathrm{O}_1\\mathrm{D} \\text{는 합동이다.} \\\\ &\\overline{\\mathrm{A}\\mathrm{B}} = k \\text{라 할 때} \\\\ &\\overline{\\mathrm{B}\\mathrm{O}_2} = \\overline{\\mathrm{O}_1\\mathrm{D}}= 2\\sqrt{2}k \\text{이므로 } \\overline{\\mathrm{A}\\mathrm{O}_2} = \\text{(가)이고,} \\\\ &\\angle \\mathrm{B}\\mathrm{O}_2\\mathrm{A} = \\frac{\\theta_1}{2} \\text{이므로 } \\cos \\frac{\\theta_1}{2} = \\text{(나) 이다.} \\\\ &\\text{삼각형 } \\mathrm{O}_2\\mathrm{B}\\mathrm{C} \\text{에서} \\\\ &\\overline{\\mathrm{B}\\mathrm{C}} = k, \\overline{\\mathrm{B}\\mathrm{O}_2} = 2\\sqrt{2}k, \\angle \\mathrm{C}\\mathrm{O}_2\\mathrm{B} = \\frac{\\theta_1}{2} \\text{이므로} \\\\ &\\text{코사인법칙에 의하여 } \\overline{\\mathrm{O}_2\\mathrm{C}} = \\text{(다) 이다.} \\\\ &\\overline{\\mathrm{C}\\mathrm{D}} = \\overline{\\mathrm{O}_2\\mathrm{D}} + \\overline{\\mathrm{O}_2\\mathrm{C}} = \\overline{\\mathrm{O}_1\\mathrm{O}_2} + \\overline{\\mathrm{O}_2\\mathrm{C}} \\text{이므로} \\\\ &\\overline{\\mathrm{A}\\mathrm{B}} : \\overline{\\mathrm{C}\\mathrm{D}} = k : \\left(\\frac{\\text{(가)}}{2} + \\text{(다)}\\right) \\text{이다.} \\end{aligned} \\]\n\n위의 (가), (다)에 알맞은 식을 각각 $( f(k), g(k) )$라 하고, (나)에 알맞은 수를 $( p )$라 할 때, $( f(p) \\times g(p) )$의 값은? [4점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] \\frac{169}{27} \\item[2] \\frac{56}{9} \\item[3] \\frac{167}{27} \\item[4] \\frac{166}{27} \\item[5] \\frac{55}{9} \\end{itemize}", "answer": 2, "score": 4, "review": "Removed figure and the statement referring to the figure.", "incomplete": false}
+{"id": 16, "name": "16", "problem": "16. $\\log_2 120 - \\frac{1}{\\log_{15} 2}$ 의 값을 구하시오. [3점]", "answer": 3, "score": 3, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 17, "name": "17", "problem": "17. 함수 $f(x)$에 대하여 $f'(x) = 3x^2 + 2x$이고 $f(0) = 2$일 때, $f(1)$의 값을 구하시오. [3점]", "answer": 4, "score": 3, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 18, "name": "18", "problem": "18. 수열 $\\{a_n\\}$에 대하여 \\[ \\sum_{k=1}^{10} a_k - \\sum_{k=1}^{7} \\frac{a_k}{2} = 56, \\quad \\sum_{k=1}^{10} 2a_k - \\sum_{k=1}^{8} a_k = 100 \\] 일 때, $a_8$의 값을 구하시오. [3점]", "answer": 12, "score": 3, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 19, "name": "19", "problem": "19. 함수 $f(x) = x^3 + ax^2 - (a^2 - 8a)x + 3$이 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 실수 $a$의 최댓값을 구하시오. [3점]", "answer": 6, "score": 3, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 20, "name": "20", "problem": "20. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $( f(x) )$가 다음 조건을 만족시킨다.\n\n\\begin{itemize} \\item[(가)] 닫힌구간 $[0, 1]$에서 $f(x) = x$이다. \\item[(나)] 어떤 상수 $a, b$에 대하여 구간 $[0, \\infty)$에서 $f(x+1) - x f(x) = ax + b$이다. \\end{itemize}\n\n\\[ 60 \\times \\int_1^2 f(x) \\, dx \\] 의 값을 구하시오. [4점]", "answer": 110, "score": 4, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 21, "name": "21", "problem": "21. 수열 $\\{a_n\\}$이 다음 조건을 만족시킨다.\n\n\\begin{itemize} \\item[(가)] $( |a_1| = 2 )$ \\item[(나)] 모든 자연수 $( n )$에 대하여 $( |a_{n+1}| = 2|a_n| )$이다. \\item[(다)] $\\sum_{n=1}^{10} a_n = -14$ \\end{itemize}\n\n$a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9$의 값을 구하시오. [4점]", "answer": 678, "score": 4, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 22, "name": "22", "problem": "22. 최고차항의 계수가 $\\frac{1}{2}$ 인 삼차함수 $f(x)$와 실수 $t$에 대하여 방정식 $f'(x) = 0$이 닫힌구간 $[t, t+2]$에서 갖는 실근의 개수를 $g(t)$라 할 때, 함수 $g(t)$는 다음 조건을 만족시킨다.\n\n\\begin{itemize} \\item[(가)] 모든 실수 $( a )$에 대하여 $( \\lim_{t \\to a+} g(t) + \\lim_{t \\to a-} g(t) \\leq 2 )$이다. \\item[(나)] $( g(f(1)) = g(f(4)) = 2, \\ g(f(0)) = 1 )$ \\end{itemize}\n\n$f(5)$의 값을 구하시오. [4점]", "answer": 9, "score": 4, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 23, "name": "23_prob", "problem": "23. 다항식 $(x+2)^7$의 전개식에서 $x^5$의 계수는? [2점] \\begin{itemize} \\item[1] 42 \\item[2] 56 \\item[3] 70 \\item[4] 84 \\item[5] 98 \\end{itemize}", "answer": 4, "score": 2, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 24, "name": "24_prob", "problem": "24. 확률변수 $X$가 이항분포 $\\mathrm{B}\\left(n, \\frac{1}{3}\\right)$을 따르고 $\\mathrm{V}(2X) = 40$일 때, $n$의 값은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] 30 \\item[2] 35 \\item[3] 40 \\item[4] 45 \\item[5] 50 \\end{itemize}", "answer": 4, "score": 3, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 25, "name": "25_prob", "problem": "25. 다음 조건을 만족시키는 자연수 $a, \\ b, \\ c, \\ d, \\ e$의 모든 순서쌍 $(a, b, c, d, e)$의 개수는? [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[(가)] $a + b + c + d + e = 12$ \\item[(나)] $\\left| a^2 - b^2 \\right| = 5$ \\end{itemize}\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 30 \\item[2] 32 \\item[3] 34 \\item[4] 36 \\item[5] 38 \\end{itemize}", "answer": 1, "score": 3, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 26, "name": "26_prob", "problem": "26. $( 1 )$부터 $( 10 )$까지 자연수가 하나씩 적혀 있는 $( 10 )$장의 카드가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 카드 $( 3 )$장을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 카드에 적혀 있는 세 자연수 중에서 가장 작은 수가 $( 4 )$ 이하이거나 $( 7 )$ 이상일 확률은? [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] \\frac{4}{5} \\item[2] \\frac{5}{6} \\item[3] \\frac{13}{15} \\item[4] \\frac{9}{10} \\item[5] \\frac{14}{15} \\end{itemize}", "answer": 3, "score": 3, "review": "Removed figure.", "incomplete": false}
+{"id": 27, "name": "27_prob", "problem": "27. 어느 자동차 회사에서 생산하는 전기 자동차의 1회 충전 주행 거리는 평균이 $m$이고 표준편차가 $\\sigma$인 정규분포를 따른다고 한다.\n\n이 자동차 회사에서 생산한 전기 자동차 100대를 임의추출하여 얻은 1회 충전 주행 거리의 표본평균이 $\\overline{x_1}$일 때, 모평균 $m$에 대한 신뢰도 95\\%의 신뢰구간이 $a \\le m \\le b$이다.\n\n이 자동차 회사에서 생산한 전기 자동차 400대를 임의추출하여 얻은 1회 충전 주행 거리의 표본평균이 $\\overline{x_2}$일 때, 모평균 $m$에 대한 신뢰도 99\\%의 신뢰구간이 $c \\le m \\le d$이다.\n\n$\\overline{x_1} - \\overline{x_2} = 1.34$이고 $a = c$일 때, $b - a$의 값은? (단, 주행 거리의 단위는 km이고, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때 $\\mathrm{P}(|Z| \\le 1.96) = 0.95$, $\\mathrm{P}(|Z| \\le 2.58) = 0.99$로 계산한다.) [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 5.88 \\item[2] 7.84 \\item[3] 9.80 \\item[4] 11.76 \\item[5] 13.72 \\end{itemize}", "answer": 2, "score": 3, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 28, "name": "28_prob", "problem": "28. 두 집합 $X = \\{1, 2, 3, 4, 5\\}$, $Y = \\{1, 2, 3, 4\\}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 $X$에서 $Y$로의 함수 $f$의 개수는? [4점]\n\n\\begin{itemize} \\item[(가)] 집합 $X$의 모든 원소 $x$에 대하여 $f(x) \\geq \\sqrt{x}$이다. \\item[(나)] 함수 $f$의 치역의 원소의 개수는 3이다. \\end{itemize}\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 128 \\item[2] 138 \\item[3] 148 \\item[4] 158 \\item[5] 168 \\end{itemize}", "answer": 1, "score": 4, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 29, "name": "29_prob", "problem": "29. 두 연속확률변수 $( X )$와 $( Y )$가 갖는 값의 범위는 $( 0 \\leq X \\leq 6 )$, $( 0 \\leq Y \\leq 6 )$이고, $( X )$와 $( Y )$의 확률밀도함수는 각각 $( f(x), g(x) )$이다. 확률변수 $( X )$의 확률밀도함수 $( f(x) )$의 그래프는 그림과 같다.\n\n\\[ 0 \\leq x \\leq 6\\ \\text{인 모든 } x \\text{에 대하여} \\]\n\\[ f(x) + g(x) = k \\quad (k \\text{는 상수}) \\]\n를 만족시킬 때, $( \\mathrm{P}(6k \\leq Y \\leq 15k) = \\frac{q}{p} )$이다. $( p + q )$의 값을 구하시오. (단, $( p )$와 $( q )$는 서로소인 자연수이다.) [4점]", "answer": 31, "score": 4, "review": "Removed figure and the statement referring to the figure. The figure is needed to solve the problem.", "incomplete": true}
+{"id": 30, "name": "30_prob", "problem": "30. 흰 공과 검은 공이 각각 10개 이상 들어 있는 바구니와 비어 있는 주머니가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.\n\n\\[ \\begin{array}{|c|} \\hline \\text{주사위를 한 번 던져} \\\\ \\text{나온 눈의 수가 5 이상이면} \\\\ \\text{바구니에 있는 흰 공 2개를 주머니에 넣고,} \\\\ \\text{나온 눈의 수가 4 이하이면} \\\\ \\text{바구니에 있는 검은 공 1개를 주머니에 넣는다.} \\\\ \\hline \\end{array} \\]\n\n위의 시행을 5번 반복할 때, $( n(1 \\leq n \\leq 5) )$번째 시행 후 주머니에 들어 있는 흰 공과 검은 공의 개수를 각각 $( a_n )$, $( b_n )$이라 하자. $( a_5 + b_5 \\geq 7 )$일 때, $( a_k = b_k )$인 자연수 $( k(1 \\leq k \\leq 5) )$가 존재할 확률을 $( \\frac{q}{p} )$이다. $( p + q )$의 값을 구하시오. (단, $(p)$와 $(q)$는 서로소인 자연수이다.) [4점]", "answer": 191, "score": 4, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 31, "name": "23_calc", "problem": "23. \\[ \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{\\frac{5}{n} + \\frac{3}{n^2}}{\\frac{1}{n} - \\frac{2}{n^3}} \\text{의 값은? [2점]} \\] \\begin{itemize} \\item[1] 1 \\item[2] 2 \\item[3] 3 \\item[4] 4 \\item[5] 5 \\end{itemize}", "answer": 5, "score": 2, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 32, "name": "24_calc", "problem": "24. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 \\[ f(x^3 + x) = e^x \\] 을 만족시킬 때, $f'(2)$의 값은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] e \\item[2] \\frac{e}{2} \\item[3] \\frac{e}{3} \\item[4] \\frac{e}{4} \\item[5] \\frac{e}{5} \\end{itemize}", "answer": 4, "score": 3, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 33, "name": "25_calc", "problem": "25. 등비수열 $\\{a_n\\}$에 대하여 \\[ \\sum_{n=1}^{\\infty} (a_{2n-1} - a_{2n}) = 3, \\quad \\sum_{n=1}^{\\infty} a_n^2 = 6 \\] 일 때, $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_n$ 의 값은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] 1 \\item[2] 2 \\item[3] 3 \\item[4] 4 \\item[5] 5 \\end{itemize}", "answer": 2, "score": 3, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 34, "name": "26_calc", "problem": "26. \\[ \\lim_{n \\to \\infty} \\sum_{k=1}^{n} \\frac{k^2 + 2kn}{k^3 + 3k^2 n + n^3} \\text{의 값은?} \\quad [3 \\text{점}] \\] \\begin{itemize} \\item[1] \\ln 5 \\item[2] \\frac{\\ln 5}{2} \\item[3] \\frac{\\ln 5}{3} \\item[4] \\frac{\\ln 5}{4} \\item[5] \\frac{\\ln 5}{5} \\end{itemize}", "answer": 3, "score": 3, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 35, "name": "27_calc", "problem": "27. 좌표평면 위를 움직이는 점 $\\mathrm{P}$의 시각 $t \\ (t>0)$에서의 위치가 곡선 $y = x^2$과 직선 $y = t^2 x - \\frac{\\ln t}{8}$가 만나는 서로 다른 두 점의 중점일 때, 시각 $t=1$에서 $t=e$까지 점 $\\mathrm{P}$가 움직인 거리는? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] \\frac{e^4}{2} - \\frac{3}{8} \\item[2] \\frac{e^4}{2} - \\frac{5}{16} \\item[3] \\frac{e^4}{2} - \\frac{1}{4} \\item[4] \\frac{e^4}{2} - \\frac{3}{16} \\item[5] \\frac{e^4}{2} - \\frac{1}{8} \\end{itemize}", "answer": 1, "score": 3, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 36, "name": "28_calc", "problem": "28. 함수 $( f(x) = 6\\pi (x - 1)^2 )$에 대하여 함수 $( g(x) )$를 \\[ g(x) = 3f(x) + 4\\cos f(x) \\] 라 하자. $( 0 < x < 2 )$에서 함수 $( g(x) )$가 극소가 되는 $( x )$의 개수는? [4점] \\begin{itemize} \\item[1] 6 \\item[2] 7 \\item[3] 8 \\item[4] 9 \\item[5] 10 \\end{itemize}", "answer": 2, "score": 4, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 37, "name": "29_calc", "problem": "29. 그림과 같이 길이가 2인 선분 $(\\mathrm{AB})$를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 $(\\mathrm{AB})$ 위에 두 점 $(\\mathrm{P})$, $(\\mathrm{Q})$를 $(\\angle \\mathrm{PAB} = \\theta)$, $(\\angle \\mathrm{QBA} = 2\\theta)$가 되도록 잡고, 두 선분 $(\\mathrm{AP})$, $(\\mathrm{BQ})$의 교점을 $(\\mathrm{R})$라 하자. 선분 $(\\mathrm{AB})$ 위의 점 $(\\mathrm{S})$, 선분 $(\\mathrm{BR})$ 위의 점 $(\\mathrm{T})$, 선분 $(\\mathrm{AR})$ 위의 점 $(\\mathrm{U})$를 선분 $(\\mathrm{UT})$가 선분 $(\\mathrm{AB})$에 평행하고 삼각형 $(\\mathrm{STU})$가 정삼각형이 되도록 잡는다. 두 선분 $(\\mathrm{AR})$, $(\\mathrm{QR})$와 호 $(\\mathrm{AQ})$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $(f(\\theta))$, 삼각형 $(\\mathrm{STU})$의 넓이를 $(g(\\theta))$라 할 때,\n\\[ \\lim_{\\theta \\to 0+} \\frac{g(\\theta)}{\\theta \\times f(\\theta)} = \\frac{q}{p} \\sqrt{3} \\]\n이다. $(p + q)$의 값을 구하시오.\n\n(단, $(0 < \\theta < \\frac{\\pi}{6})$이고, $(p)$와 $(q)$는 서로소인 자연수이다.) [4점]", "answer": 11, "score": 4, "review": "Removed figure and the statement referring to the figure.", "incomplete": false}
+{"id": 38, "name": "30_calc", "problem": "30. 실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.\n\n\\begin{itemize} \\item[(가)] $f(1) = 1$, \\quad $\\int_{1}^{2} f(x) \\, dx = \\frac{5}{4}$ \\item[(나)] 함수 $f(x)$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $x \\geq 1$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g(2x) = 2f(x)$이다. \\end{itemize}\n\n\\[ \\int_{1}^{8} x f'(x) \\, dx = \\frac{q}{p} \\text{일 때, } p+q \\text{의 값을 구하시오.} \\]\n(단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]", "answer": 143, "score": 4, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 39, "name": "23_geom", "problem": "23. 좌표공간의 점 $\\mathrm{A}(2, 1, 3)$을 $xy$ 평면에 대하여 대칭이동한 점을 $\\mathrm{P}$라 하고, 점 $\\mathrm{A}$를 $yz$ 평면에 대하여 대칭이동한 점을 $\\mathrm{Q}$라 할 때, 선분 $\\mathrm{PQ}$의 길이는? [2점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 5 \\sqrt{2} \\item[2] 2 \\sqrt{13} \\item[3] 3 \\sqrt{6} \\item[4] 2 \\sqrt{14} \\item[5] 2 \\sqrt{15} \\end{itemize}", "answer": 2, "score": 2, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 40, "name": "24_geom", "problem": "24. 한 초점의 좌표가 $\\left( 3\\sqrt{2}, 0 \\right)$ 인 쌍곡선 $\\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{6} = 1$ 의 주축의 길이는? (단, $a$ 는 양수이다.) [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 3\\sqrt{3} \\item[2] \\frac{7\\sqrt{3}}{2} \\item[3] 4\\sqrt{3} \\item[4] \\frac{9\\sqrt{3}}{2} \\item[5] 5\\sqrt{3} \\end{itemize}", "answer": 3, "score": 3, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 41, "name": "25_geom", "problem": "25. 좌표평면에서 두 직선 \\[ \\frac{x+1}{2} = y - 3, \\quad x - 2 = \\frac{y - 5}{3} \\] 가 이루는 예각의 크기를 $\\theta$라 할 때, $\\cos \\theta$의 값은? [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] \\frac{1}{2} \\item[2] \\frac{\\sqrt{5}}{4} \\item[3] \\frac{\\sqrt{6}}{4} \\item[4] \\frac{\\sqrt{7}}{4} \\item[5] \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\end{itemize}", "answer": 5, "score": 3, "review": null, "incomplete": false}
+{"id": 42, "name": "26_geom", "problem": "26. 두 초점이 $( \\mathrm{F}, \\mathrm{F'} )$인 타원 $\\frac{x^2}{64} + \\frac{y^2}{16} = 1$ 위의 점 중 제1사분면에 있는 점 $( \\mathrm{A} )$가 있다. 두 직선 $( \\mathrm{AF}, \\mathrm{AF'} )$에 동시에 접하고 중심이 $y$축 위에 있는 원 중 중심의 $y$좌표가 음수인 것을 $( C )$라 하자. 원 $( C )$의 중심을 $( \\mathrm{B} )$라 할 때 사각형 $( \\mathrm{AFBF'} )$의 넓이가 72이다. 원 $( C )$의 반지름의 길이는? [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] \\frac{17}{2} \\item[2] 9 \\item[3] \\frac{19}{2} \\item[4] 10 \\item[5] \\frac{21}{2} \\end{itemize}", "answer": 2, "score": 3, "review": "Removed figure.", "incomplete": false}
+{"id": 43, "name": "27_geom", "problem": "27. 그림과 같이 한 모서리의 길이가 4인 정육면체 $\\mathrm{ABCD - EFGH}$ 가 있다. 선분 $\\mathrm{AD}$ 의 중점을 $\\mathrm{M}$이라 할 때, 삼각형 $\\mathrm{MEG}$ 의 넓이는? [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] \\frac{21}{2} \\item[2] 11 \\item[3] \\frac{23}{2} \\item[4] 12 \\item[5] \\frac{25}{2} \\end{itemize}", "answer": 4, "score": 3, "review": "Removed figure and the statement referring to the figure.", "incomplete": false}
+{"id": 44, "name": "28_geom", "problem": "28. 두 양수 $( a )$, $( p )$에 대하여 포물선 $( (y - a)^2 = 4px )$의 초점을 $( \\mathrm{F}_1 )$이라 하고, 포물선 $( y^2 = -4x )$의 초점을 $( \\mathrm{F}_2 )$라 하자. 선분 $( \\mathrm{F}_1 \\mathrm{F}_2 )$가 두 포물선과 만나는 점을 각각 $( \\mathrm{P} )$, $( \\mathrm{Q} )$라 할 때, $( \\overline{\\mathrm{F}_1 \\mathrm{F}_2} = 3 )$, $( \\overline{\\mathrm{P}\\mathrm{Q}} = 1 )$이다. $( a^2 + p^2 )$의 값은? [4점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 6 \\item[2] \\frac{25}{4} \\item[3] \\frac{13}{2} \\item[4] \\frac{27}{4} \\item[5] 7 \\end{itemize}", "answer": 5, "score": 4, "review": "Removed figure.", "incomplete": false}
+{"id": 45, "name": "29_geom", "problem": "29. 좌표평면에서 $\\overline{\\mathrm{OA}} = \\sqrt{2}$, $\\overline{\\mathrm{OB}} = 2\\sqrt{2}$이고\n\\[ \\cos(\\angle \\mathrm{AOB}) = \\frac{1}{4} \\]\n인 평행사변형 $\\mathrm{OACB}$에 대하여 점 $\\mathrm{P}$가 다음 조건을 만족시킨다.\n\n\\begin{itemize} \\item[(가)] $\\overrightarrow{\\mathrm{OP}} = s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} + t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} \\quad (0 \\leq s \\leq 1, \\ 0 \\leq t \\leq 1)$ \\item[(나)] $\\overrightarrow{\\mathrm{OP}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} + \\overrightarrow{\\mathrm{BP}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{BC}} = 2$ \\end{itemize}\n\n점 $\\mathrm{O}$를 중심으로 하고 점 $\\mathrm{A}$를 지나는 원 위를 움직이는 점 $\\mathrm{X}$에 대하여 $|3\\overrightarrow{\\mathrm{OP}} - \\overrightarrow{\\mathrm{OX}}|$의 최댓값과 최솟값을 각각 $M$, $m$이라 하자. $M \\times m = a\\sqrt{6} + b$일 때, $a^2 + b^2$의 값을 구하시오. (단, $a$와 $b$는 유리수이다.) [4점]", "answer": 100, "score": 4, "review": "Removed figure.", "incomplete": false}
+{"id": 46, "name": "30_geom", "problem": "30. 좌표공간에 중심이 $\\mathrm{C}(2, \\sqrt{5}, 5)$이고 점 $\\mathrm{P}(0, 0, 1)$을 지나는 구 \\[ S: (x - 2)^2 + (y - \\sqrt{5})^2 + (z - 5)^2 = 25 \\] 가 있다. 구 $S$가 평면 $\\mathrm{OPC}$와 만나서 생기는 원 위를 움직이는 점 $\\mathrm{Q}$, 구 $S$ 위를 움직이는 점 $\\mathrm{R}$에 대하여 두 점 $\\mathrm{Q}, \\mathrm{R}$의 $xy$평면 위로의 정사영을 각각 $\\mathrm{Q}_1, \\mathrm{R}_1$이라 하자.\n\n삼각형 $\\mathrm{O}\\mathrm{Q}_1\\mathrm{R}_1$의 넓이가 최대가 되도록 하는 두 점 $\\mathrm{Q}, \\mathrm{R}$에 대하여 삼각형 $\\mathrm{O}\\mathrm{Q}_1\\mathrm{R}_1$의 평면 $\\mathrm{PQR}$ 위로의 정사영의 넓이는 $\\frac{q}{p} \\sqrt{6}$이다. $p+q$의 값을 구하시오.\n\n(단, $\\mathrm{O}$는 원점이고 세 점 $\\mathrm{O}, \\mathrm{Q}_1, \\mathrm{R}_1$은 한 직선 위에 있지 않으며, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]", "answer": 23, "score": 4, "review": "Removed figure.", "incomplete": false}

data/json/2022/math/answer_score_comment.json

@@ -0,0 +1,278 @@
+{
+    "1":{
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+    "2":{
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+    "4":{
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+    },
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+    },
+    "29":{
+        "name":"29_prob",
+        "answer":"31",
+        "score":"4",
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+    },
+    "30":{
+        "name":"30_prob",
+        "answer":"191",
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+        "comment":""
+    },
+    "31":{
+        "name":"23_calc",
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+    },
+    "32":{
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+    },
+    "33":{
+        "name":"25_calc",
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+    },
+    "34":{
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+    },
+    "35":{
+        "name":"27_calc",
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+    },
+    "36":{
+        "name":"28_calc",
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+    },
+    "37":{
+        "name":"29_calc",
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+        "comment":"Removed figure and the statement referring to the figure"
+    },
+    "38":{
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+        "answer":"143",
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+    },
+    "39":{
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+        "answer":"2",
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+    },
+    "40":{
+        "name":"24_geom",
+        "answer":"3",
+        "score":"3",
+        "comment":""
+    },
+    "41":{
+        "name":"25_geom",
+        "answer":"5",
+        "score":"3",
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+    },
+    "42":{
+        "name":"26_geom",
+        "answer":"2",
+        "score":"3",
+        "comment":"Removed figure"
+    },
+    "43":{
+        "name":"27_geom",
+        "answer":"4",
+        "score":"3",
+        "comment":"Removed figure and the statement referring to the figure"
+    },
+    "44":{
+        "name":"28_geom",
+        "answer":"5",
+        "score":"4",
+        "comment":"Removed figure"
+    },
+    "45":{
+        "name":"29_geom",
+        "answer":"100",
+        "score":"4",
+        "comment":"Removed figure"
+    },
+    "46":{
+        "name":"30_geom",
+        "answer":"23",
+        "score":"4",
+        "comment":"Removed figure"
+    }
+}

data/json/2022/math/math_1.txt

@@ -0,0 +1,9 @@
+1. $\left(2^{\sqrt{3}} \times 4\right)^{\sqrt{3} - 2}$ 의 값은? [2점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] $\frac{1}{4}$
+    \item[2] $\frac{1}{2}$
+    \item[3] $1$
+    \item[4] $2$
+    \item[5] $4$
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_10.txt

@@ -0,0 +1,9 @@
+10. 삼차함수 \( f(x) \)에 대하여 곡선 \( y = f(x) \) 위의 점 \( (0, 0) \)에서의 접선과 곡선 \( y = x f(x) \) 위의 점 \( (1, 2) \)에서의 접선이 일치할 때, \( f'(2) \)의 값은? [4점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] $-18$
+    \item[2] $-17$
+    \item[3] $-16$
+    \item[4] $-15$
+    \item[5] $-14$
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_11.txt

@@ -0,0 +1,13 @@
+11. 양수 \( a \)에 대하여 집합 \( \left\{ x \ \middle| \ -\frac{a}{2} < x \leq a, \ x \neq \frac{a}{2} \right\} \) 에서 정의된 함수
+\[
+f(x) = \tan \frac{\pi x}{a}
+\]
+가 있다. 그림과 같이 함수 \( y = f(x) \)의 그래프 위의 세 점 \( \mathrm{O, A, B} \)를 지나는 직선이 있다. 점 \( \mathrm{A} \)를 지나고 \( x \)축에 평행한 직선이 함수 \( y = f(x) \)의 그래프와 만나는 점 중 \( \mathrm{A} \)가 아닌 점을 \( \mathrm{C} \)라 하자. 삼각형 \( \mathrm{ABC} \)가 정삼각형일 때, 삼각형 \( \mathrm{ABC} \)의 넓이는? (단, \( \mathrm{O} \)는 원점이다.) [4점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] \( \frac{3\sqrt{3}}{2} \)
+    \item[2] \( \frac{17\sqrt{3}}{12} \)
+    \item[3] \( \frac{4\sqrt{3}}{3} \)
+    \item[4] \( \frac{5\sqrt{3}}{4} \)
+    \item[5] \( \frac{7\sqrt{3}}{6} \)
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_12.txt

@@ -0,0 +1,21 @@
+12. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여
+
+\[
+\{f(x)\}^3 - \{f(x)\}^2 - x^2 f(x) + x^2 = 0
+\]
+
+을 만족시킨다. 함수 $f(x)$의 최댓값이 1이고 최솟값이 0일 때,
+
+\[
+f\left( -\frac{4}{3} \right) + f(0) + f\left( \frac{1}{2} \right)
+\]
+
+의 값은? [4점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] $\frac{1}{2}$
+    \item[2] $1$
+    \item[3] $\frac{3}{2}$
+    \item[4] $2$
+    \item[5] $\frac{5}{2}$
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_13.txt

@@ -0,0 +1,9 @@
+13. 두 상수 \( a, b \ (1 < a < b) \)에 대하여 좌표평면 위의 두 점 \((a, \log_2 a), \ (b, \log_2 b)\)를 지나는 직선의 \(y\)절편과 두 점 \((a, \log_4 a), \ (b, \log_4 b)\)를 지나는 직선의 \(y\)절편이 같다. 함수 \( f(x) = a^{bx} + b^{ax} \)에 대하여 \( f(1) = 40 \)일 때, \( f(2) \)의 값은? [4점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] 760
+    \item[2] 800
+    \item[3] 840
+    \item[4] 880
+    \item[5] 920
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_14.txt

@@ -0,0 +1,19 @@
+14. 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 위치 $x(t)$가 두 상수 $a$, $b$에 대하여
+\[
+x(t) = t(t - 1)(at + b) \quad (a \neq 0)
+\]
+이다. 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 속도 $v(t)$가 $\int_0^1 |v(t)| \, dt = 2$를 만족시킬 때, 아래 ㄱ, ㄴ, ㄷ 중에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[ㄱ.] $\int_0^1 v(t) \, dt = 0$
+    \item[ㄴ.] $|x(t_1)| > 1$인 $t_1$이 열린구간 $(0, 1)$에 존재한다.
+    \item[ㄷ.] $0 \leq t \leq 1$인 모든 $t$에 대하여 $|x(t)| < 1$이면 $x(t_2) = 0$인 $t_2$가 열린구간 $(0, 1)$에 존재한다.
+\end{itemize}
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] ㄱ
+    \item[2] ㄱ, ㄴ
+    \item[3] ㄱ, ㄷ
+    \item[4] ㄴ, ㄷ
+    \item[5] ㄱ, ㄴ, ㄷ
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_15.txt

@@ -0,0 +1,31 @@
+15. 두 점 \( \mathrm{O}_1, \mathrm{O}_2 \)를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2} \)인 두 원 \( C_1, C_2 \)가 있다. 그림과 같이 원 \( C_1 \) 위의 서로 다른 세 점 \( \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} \)와 원 \( C_2 \) 위의 점 \( \mathrm{D} \)가 주어져 있고, 세 점 \( \mathrm{A}, \mathrm{O}_1, \mathrm{O}_2 \)와 세 점 \( \mathrm{C}, \mathrm{O}_2, \mathrm{D} \)가 각각 한 직선 위에 있다.
+
+이때 \(\angle \mathrm{B}\mathrm{O}_1\mathrm{A} = \theta_1\), \(\angle \mathrm{O}_2\mathrm{O}_1\mathrm{C} = \theta_2\), \(\angle \mathrm{O}_1\mathrm{O}_2\mathrm{D} = \theta_3\)이라 하자.
+
+다음은 \( \overline{\mathrm{A}\mathrm{B}} : \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{D}} = 1 : 2\sqrt{2} \)이고 \( \theta_3 = \theta_1 + \theta_2 \)일 때, 선분 \( \mathrm{A}\mathrm{B} \)와 선분 \( \mathrm{C}\mathrm{D} \)의 길이의 비를 구하는 과정이다.
+
+\[
+\begin{aligned}
+&\angle \mathrm{C}\mathrm{O}_2\mathrm{O}_1 + \angle \mathrm{O}_1\mathrm{O}_2\mathrm{D} = \pi \text{이므로 } \theta_3 = \frac{\pi}{2} + \frac{\theta_2}{2} \text{이고} \\
+&\theta_3 = \theta_1 + \theta_2 \text{에서 } 2\theta_1 + \theta_2 = \pi \text{이므로 } \angle \mathrm{C}\mathrm{O}_1\mathrm{B} = \theta_1 \text{이다.} \\
+&\text{이때 } \angle \mathrm{O}_2\mathrm{O}_1\mathrm{B} = \theta_1 + \theta_2 = \theta_3 \text{이므로 삼각형 } \mathrm{O}_1\mathrm{O}_2\mathrm{B} \text{와 삼각형 } \mathrm{O}_2\mathrm{O}_1\mathrm{D} \text{는 합동이다.} \\
+&\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}} = k \text{라 할 때} \\
+&\overline{\mathrm{B}\mathrm{O}_2} = \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{D}}= 2\sqrt{2}k \text{이므로 } \overline{\mathrm{A}\mathrm{O}_2} = \text{(가)이고,} \\
+&\angle \mathrm{B}\mathrm{O}_2\mathrm{A} = \frac{\theta_1}{2} \text{이므로 } \cos \frac{\theta_1}{2} = \text{(나) 이다.} \\
+&\text{삼각형 } \mathrm{O}_2\mathrm{B}\mathrm{C} \text{에서} \\
+&\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}} = k, \overline{\mathrm{B}\mathrm{O}_2} = 2\sqrt{2}k, \angle \mathrm{C}\mathrm{O}_2\mathrm{B} = \frac{\theta_1}{2} \text{이므로} \\
+&\text{코사인법칙에 의하여 } \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{C}} = \text{(다) 이다.} \\
+&\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}} = \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{D}} + \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{C}} = \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2} + \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{C}} \text{이므로} \\
+&\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}} : \overline{\mathrm{C}\mathrm{D}} = k : \left(\frac{\text{(가)}}{2} + \text{(다)}\right) \text{이다.}
+\end{aligned}
+\]
+
+위의 (가), (다)에 알맞은 식을 각각 \( f(k), g(k) \)라 하고, (나)에 알맞은 수를 \( p \)라 할 때, \( f(p) \times g(p) \)의 값은? [4점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] \(\frac{169}{27}\)
+    \item[2] \(\frac{56}{9}\)
+    \item[3] \(\frac{167}{27}\)
+    \item[4] \(\frac{166}{27}\)
+    \item[5] \(\frac{55}{9}\)
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_16.txt

@@ -0,0 +1 @@
+16. $\log_2 120 - \frac{1}{\log_{15} 2}$ 의 값을 구하시오. [3점]

data/json/2022/math/math_17.txt

@@ -0,0 +1 @@
+17. 함수 $f(x)$에 대하여 $f'(x) = 3x^2 + 2x$이고 $f(0) = 2$일 때, $f(1)$의 값을 구하시오. [3점]

data/json/2022/math/math_18.txt

@@ -0,0 +1,7 @@
+18. 수열 $\{a_n\}$에 대하여
+
+\[
+\sum_{k=1}^{10} a_k - \sum_{k=1}^{7} \frac{a_k}{2} = 56, \quad \sum_{k=1}^{10} 2a_k - \sum_{k=1}^{8} a_k = 100
+\]
+
+일 때, $a_8$의 값을 구하시오. [3점]

data/json/2022/math/math_19.txt

@@ -0,0 +1 @@
+19. 함수 $f(x) = x^3 + ax^2 - (a^2 - 8a)x + 3$이 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 실수 $a$의 최댓값을 구하시오. [3점]

data/json/2022/math/math_2.txt

@@ -0,0 +1,9 @@
+2. 함수 \( f(x) = x^3 + 3x^2 + x - 1 \) 에 대하여 \( f'(1) \)의 값은? [2점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] 6
+    \item[2] 7
+    \item[3] 8
+    \item[4] 9
+    \item[5] 10
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_20.txt

@@ -0,0 +1,8 @@
+20. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \( f(x) \)가 다음 조건을 만족시킨다.
+
+\begin{itemize}
+    \item[(가)] 닫힌구간 \([0, 1]\)에서 \( f(x) = x \)이다.
+    \item[(나)] 어떤 상수 \( a, b \)에 대하여 구간 \([0, \infty)\)에서 \( f(x+1) - x f(x) = ax + b \)이다.
+\end{itemize}
+
+\[ 60 \times \int_1^2 f(x) \, dx \] 의 값을 구하시오. [4점]

data/json/2022/math/math_21.txt

@@ -0,0 +1,9 @@
+21. 수열 $\{a_n\}$이 다음 조건을 만족시킨다.
+
+\begin{itemize}
+    \item[(가)] \( |a_1| = 2 \)
+    \item[(나)] 모든 자연수 \( n \)에 대하여 \( |a_{n+1}| = 2|a_n| \)이다.
+    \item[(다)] \(\sum_{n=1}^{10} a_n = -14\)
+\end{itemize}
+
+$a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9$의 값을 구하시오. [4점]

data/json/2022/math/math_22.txt

@@ -0,0 +1,8 @@
+22. 최고차항의 계수가 $\frac{1}{2}$ 인 삼차함수 $f(x)$와 실수 $t$에 대하여 방정식 $f'(x) = 0$이 닫힌구간 $[t, t+2]$에서 갖는 실근의 개수를 $g(t)$라 할 때, 함수 $g(t)$는 다음 조건을 만족시킨다.
+
+\begin{itemize}
+    \item[(가)] 모든 실수 \( a \)에 대하여 \(\lim_{t \to a+} g(t) + \lim_{t \to a-} g(t) \leq 2\)이다.
+    \item[(나)] \( g(f(1)) = g(f(4)) = 2, \ g(f(0)) = 1 \)
+\end{itemize}
+
+$f(5)$의 값을 구하시오. [4점]

data/json/2022/math/math_23_calc.txt

@@ -0,0 +1,12 @@
+23.
+\[
+\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{5}{n} + \frac{3}{n^2}}{\frac{1}{n} - \frac{2}{n^3}} \text{의 값은? [2점]}
+\]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] 1
+    \item[2] 2
+    \item[3] 3
+    \item[4] 4
+    \item[5] 5
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_23_geom.txt

@@ -0,0 +1,9 @@
+23. 좌표공간의 점 $\mathrm{A}(2, 1, 3)$을 $xy$ 평면에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{P}$라 하고, 점 $\mathrm{A}$를 $yz$ 평면에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{Q}$라 할 때, 선분 $\mathrm{PQ}$의 길이는? [2점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] $5 \sqrt{2}$
+    \item[2] $2 \sqrt{13}$
+    \item[3] $3 \sqrt{6}$
+    \item[4] $2 \sqrt{14}$
+    \item[5] $2 \sqrt{15}$
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_23_prob.txt

@@ -0,0 +1,9 @@
+23. 다항식 $(x+2)^7$의 전개식에서 $x^5$의 계수는? [2점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] 42
+    \item[2] 56
+    \item[3] 70
+    \item[4] 84
+    \item[5] 98
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_24_calc.txt

@@ -0,0 +1,13 @@
+24. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여
+\[
+f(x^3 + x) = e^x
+\]
+을 만족시킬 때, $f'(2)$의 값은? [3점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] $e$
+    \item[2] $\frac{e}{2}$
+    \item[3] $\frac{e}{3}$
+    \item[4] $\frac{e}{4}$
+    \item[5] $\frac{e}{5}$
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_24_geom.txt

@@ -0,0 +1,9 @@
+24. 한 초점의 좌표가 $\left( 3\sqrt{2}, 0 \right)$ 인 쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{6} = 1$ 의 주축의 길이는? (단, $a$ 는 양수이다.) [3점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] $3\sqrt{3}$
+    \item[2] $\frac{7\sqrt{3}}{2}$
+    \item[3] $4\sqrt{3}$
+    \item[4] $\frac{9\sqrt{3}}{2}$
+    \item[5] $5\sqrt{3}$
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_24_prob.txt

@@ -0,0 +1,9 @@
+24. 확률변수 \( X \)가 이항분포 \( \mathrm{B}\left(n, \frac{1}{3}\right) \)을 따르고 \( \mathrm{V}(2X) = 40 \)일 때, \( n \)의 값은? [3점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] 30
+    \item[2] 35
+    \item[3] 40
+    \item[4] 45
+    \item[5] 50
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_25_calc.txt

@@ -0,0 +1,13 @@
+25. 등비수열 $\{a_n\}$에 대하여
+\[
+\sum_{n=1}^{\infty} (a_{2n-1} - a_{2n}) = 3, \quad \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 = 6
+\]
+일 때, $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 의 값은? [3점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] 1
+    \item[2] 2
+    \item[3] 3
+    \item[4] 4
+    \item[5] 5
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_25_geom.txt

@@ -0,0 +1,15 @@
+25. 좌표평면에서 두 직선
+
+\[
+\frac{x+1}{2} = y - 3, \quad x - 2 = \frac{y - 5}{3}
+\]
+
+가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 할 때, $\cos \theta$의 값은? [3점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] $\frac{1}{2}$
+    \item[2] $\frac{\sqrt{5}}{4}$
+    \item[3] $\frac{\sqrt{6}}{4}$
+    \item[4] $\frac{\sqrt{7}}{4}$
+    \item[5] $\frac{\sqrt{2}}{2}$
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_25_prob.txt

@@ -0,0 +1,14 @@
+25. 다음 조건을 만족시키는 자연수 $a, \ b, \ c, \ d, \ e$의 모든 순서쌍 $(a, b, c, d, e)$의 개수는? [3점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[(가)] $a + b + c + d + e = 12$
+    \item[(나)] $\left| a^2 - b^2 \right| = 5$
+\end{itemize}
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] 30
+    \item[2] 32
+    \item[3] 34
+    \item[4] 36
+    \item[5] 38
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_26_calc.txt

@@ -0,0 +1,12 @@
+26.
+\[
+\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2 + 2kn}{k^3 + 3k^2 n + n^3} \text{의 값은?} \quad [3 \text{점}]
+\]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] $\ln 5$
+    \item[2] $\frac{\ln 5}{2}$
+    \item[3] $\frac{\ln 5}{3}$
+    \item[4] $\frac{\ln 5}{4}$
+    \item[5] $\frac{\ln 5}{5}$
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_26_geom.txt

@@ -0,0 +1,9 @@
+26. 두 초점이 \( \mathrm{F}, \mathrm{F'} \)인 타원 \( \frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{16} = 1 \) 위의 점 중 제1사분면에 있는 점 \( \mathrm{A} \)가 있다. 두 직선 \( \mathrm{AF}, \mathrm{AF'} \)에 동시에 접하고 중심이 \( y \)축 위에 있는 원 중 중심의 \( y \)좌표가 음수인 것을 \( C \)라 하자. 원 \( C \)의 중심을 \( \mathrm{B} \)라 할 때 사각형 \( \mathrm{AFBF'} \)의 넓이가 72이다. 원 \( C \)의 반지름의 길이는? [3점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] \( \frac{17}{2} \)
+    \item[2] 9
+    \item[3] \( \frac{19}{2} \)
+    \item[4] 10
+    \item[5] \( \frac{21}{2} \)
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_26_prob.txt

@@ -0,0 +1,9 @@
+26. \( 1 \)부터 \( 10 \)까지 자연수가 하나씩 적혀 있는 \( 10 \)장의 카드가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 카드 \( 3 \)장을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 카드에 적혀 있는 세 자연수 중에서 가장 작은 수가 \( 4 \) 이하이거나 \( 7 \) 이상일 확률은? [3점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] \( \frac{4}{5} \)
+    \item[2] \( \frac{5}{6} \)
+    \item[3] \( \frac{13}{15} \)
+    \item[4] \( \frac{9}{10} \)
+    \item[5] \( \frac{14}{15} \)
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_27_calc.txt

@@ -0,0 +1,9 @@
+27. 좌표평면 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t \ (t>0)$에서의 위치가 곡선 $y = x^2$과 직선 $y = t^2 x - \frac{\ln t}{8}$가 만나는 서로 다른 두 점의 중점일 때, 시각 $t=1$에서 $t=e$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리는? [3점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] $\frac{e^4}{2} - \frac{3}{8}$
+    \item[2] $\frac{e^4}{2} - \frac{5}{16}$
+    \item[3] $\frac{e^4}{2} - \frac{1}{4}$
+    \item[4] $\frac{e^4}{2} - \frac{3}{16}$
+    \item[5] $\frac{e^4}{2} - \frac{1}{8}$
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_27_geom.txt

@@ -0,0 +1,9 @@
+27. 그림과 같이 한 모서리의 길이가 4인 정육면체 $\mathrm{ABCD - EFGH}$ 가 있다. 선분 $\mathrm{AD}$ 의 중점을 $\mathrm{M}$이라 할 때, 삼각형 $\mathrm{MEG}$ 의 넓이는? [3점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] $\frac{21}{2}$
+    \item[2] 11
+    \item[3] $\frac{23}{2}$
+    \item[4] 12
+    \item[5] $\frac{25}{2}$
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_27_prob.txt

@@ -0,0 +1,15 @@
+27. 어느 자동차 회사에서 생산하는 전기 자동차의 1회 충전 주행 거리는 평균이 $m$이고 표준편차가 $\sigma$인 정규분포를 따른다고 한다.
+
+이 자동차 회사에서 생산한 전기 자동차 100대를 임의추출하여 얻은 1회 충전 주행 거리의 표본평균이 $\overline{x_1}$일 때, 모평균 $m$에 대한 신뢰도 95\%의 신뢰구간이 $a \le m \le b$이다.
+
+이 자동차 회사에서 생산한 전기 자동차 400대를 임의추출하여 얻은 1회 충전 주행 거리의 표본평균이 $\overline{x_2}$일 때, 모평균 $m$에 대한 신뢰도 99\%의 신뢰구간이 $c \le m \le d$이다.
+
+$\overline{x_1} - \overline{x_2} = 1.34$이고 $a = c$일 때, $b - a$의 값은? (단, 주행 거리의 단위는 km이고, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때 $\mathrm{P}(|Z| \le 1.96) = 0.95$, $\mathrm{P}(|Z| \le 2.58) = 0.99$로 계산한다.) [3점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] 5.88
+    \item[2] 7.84
+    \item[3] 9.80
+    \item[4] 11.76
+    \item[5] 13.72
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_28_calc.txt

@@ -0,0 +1,15 @@
+28. 함수 \( f(x) = 6\pi (x - 1)^2 \)에 대하여 함수 \( g(x) \)를
+
+\[
+g(x) = 3f(x) + 4\cos f(x)
+\]
+
+라 하자. \( 0 < x < 2 \)에서 함수 \( g(x) \)가 극소가 되는 \( x \)의 개수는? [4점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] 6
+    \item[2] 7
+    \item[3] 8
+    \item[4] 9
+    \item[5] 10
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_28_geom.txt

@@ -0,0 +1,9 @@
+28. 두 양수 \( a \), \( p \)에 대하여 포물선 \( (y - a)^2 = 4px \)의 초점을 \( \mathrm{F}_1 \)이라 하고, 포물선 \( y^2 = -4x \)의 초점을 \( \mathrm{F}_2 \)라 하자. 선분 \( \mathrm{F}_1 \mathrm{F}_2 \)가 두 포물선과 만나는 점을 각각 \( \mathrm{P} \), \( \mathrm{Q} \)라 할 때, \( \overline{\mathrm{F}_1 \mathrm{F}_2} = 3 \), \( \overline{\mathrm{P}\mathrm{Q}} = 1 \)이다. \( a^2 + p^2 \)의 값은? [4점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] 6
+    \item[2] \(\frac{25}{4}\)
+    \item[3] \(\frac{13}{2}\)
+    \item[4] \(\frac{27}{4}\)
+    \item[5] 7
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_28_prob.txt

@@ -0,0 +1,14 @@
+28. 두 집합 $X = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $Y = \{1, 2, 3, 4\}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 $X$에서 $Y$로의 함수 $f$의 개수는? [4점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[(가)] 집합 $X$의 모든 원소 $x$에 대하여 $f(x) \geq \sqrt{x}$이다.
+    \item[(나)] 함수 $f$의 치역의 원소의 개수는 3이다.
+\end{itemize}
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] 128
+    \item[2] 138
+    \item[3] 148
+    \item[4] 158
+    \item[5] 168
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_29_calc.txt

@@ -0,0 +1,7 @@
+29. 그림과 같이 길이가 2인 선분 \(\mathrm{AB}\)를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 \(\mathrm{AB}\) 위에 두 점 \(\mathrm{P}\), \(\mathrm{Q}\)를 \(\angle \mathrm{PAB} = \theta\), \(\angle \mathrm{QBA} = 2\theta\)가 되도록 잡고, 두 선분 \(\mathrm{AP}\), \(\mathrm{BQ}\)의 교점을 \(\mathrm{R}\)라 하자. 선분 \(\mathrm{AB}\) 위의 점 \(\mathrm{S}\), 선분 \(\mathrm{BR}\) 위의 점 \(\mathrm{T}\), 선분 \(\mathrm{AR}\) 위의 점 \(\mathrm{U}\)를 선분 \(\mathrm{UT}\)가 선분 \(\mathrm{AB}\)에 평행하고 삼각형 \(\mathrm{STU}\)가 정삼각형이 되도록 잡는다. 두 선분 \(\mathrm{AR}\), \(\mathrm{QR}\)와 호 \(\mathrm{AQ}\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(f(\theta)\), 삼각형 \(\mathrm{STU}\)의 넓이를 \(g(\theta)\)라 할 때,
+\[
+\lim_{\theta \to 0+} \frac{g(\theta)}{\theta \times f(\theta)} = \frac{q}{p} \sqrt{3}
+\]
+이다. \(p + q\)의 값을 구하시오.
+
+(단, \(0 < \theta < \frac{\pi}{6}\)이고, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.) [4점]

data/json/2022/math/math_29_geom.txt

@@ -0,0 +1,14 @@
+29. 좌표평면에서 $\overline{\mathrm{OA}} = \sqrt{2}$, $\overline{\mathrm{OB}} = 2\sqrt{2}$이고
+
+\[
+\cos(\angle \mathrm{AOB}) = \frac{1}{4}
+\]
+
+인 평행사변형 $\mathrm{OACB}$에 대하여 점 $\mathrm{P}$가 다음 조건을 만족시킨다.
+
+\begin{itemize}
+    \item[(가)] $\overrightarrow{\mathrm{OP}} = s \overrightarrow{\mathrm{OA}} + t \overrightarrow{\mathrm{OB}} \quad (0 \leq s \leq 1, \ 0 \leq t \leq 1)$
+    \item[(나)] $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} + \overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} = 2$
+\end{itemize}
+
+점 $\mathrm{O}$를 중심으로 하고 점 $\mathrm{A}$를 지나는 원 위를 움직이는 점 $\mathrm{X}$에 대하여 $|3\overrightarrow{\mathrm{OP}} - \overrightarrow{\mathrm{OX}}|$의 최댓값과 최솟값을 각각 $M$, $m$이라 하자. $M \times m = a\sqrt{6} + b$일 때, $a^2 + b^2$의 값을 구하시오. (단, $a$와 $b$는 유리수이다.) [4점]

data/json/2022/math/math_29_prob.txt

@@ -0,0 +1,12 @@
+29. 두 연속확률변수 \( X \)와 \( Y \)가 갖는 값의 범위는 \( 0 \leq X \leq 6 \),
+\( 0 \leq Y \leq 6 \)이고, \( X \)와 \( Y \)의 확률밀도함수는 각각 \( f(x), g(x) \)이다.
+확률변수 \( X \)의 확률밀도함수 \( f(x) \)의 그래프는 그림과 같다.
+
+\[
+0 \leq x \leq 6\ \text{인 모든 } x \text{에 대하여}
+\]
+\[
+f(x) + g(x) = k \quad (k \text{는 상수})
+\]
+를 만족시킬 때, \( \mathrm{P}(6k \leq Y \leq 15k) = \frac{q}{p} \) 이다. \( p + q \)의 값을 구하시오.
+(단, \( p \)와 \( q \)는 서로소인 자연수이다.) [4점]

data/json/2022/math/math_3.txt

@@ -0,0 +1,13 @@
+3. 등차수열 $\{a_n\}$에 대하여
+\[
+a_2 = 6, \quad a_4 + a_6 = 36
+\]
+일 때, $a_{10}$의 값은? [3점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] 30
+    \item[2] 32
+    \item[3] 34
+    \item[4] 36
+    \item[5] 38
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_30_calc.txt

@@ -0,0 +1,11 @@
+30. 실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
+
+\begin{itemize}
+    \item[(가)] $f(1) = 1$, \quad $\int_{1}^{2} f(x) \, dx = \frac{5}{4}$
+    \item[(나)] 함수 $f(x)$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $x \geq 1$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g(2x) = 2f(x)$이다.
+\end{itemize}
+
+\[
+\int_{1}^{8} x f'(x) \, dx = \frac{q}{p} \text{일 때, } p+q \text{의 값을 구하시오.}
+\]
+(단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

data/json/2022/math/math_30_geom.txt

@@ -0,0 +1,11 @@
+30. 좌표공간에 중심이 $\mathrm{C}(2, \sqrt{5}, 5)$이고 점 $\mathrm{P}(0, 0, 1)$을 지나는 구
+
+\[
+S: (x - 2)^2 + (y - \sqrt{5})^2 + (z - 5)^2 = 25
+\]
+
+가 있다. 구 $S$가 평면 $\mathrm{OPC}$와 만나서 생기는 원 위를 움직이는 점 $\mathrm{Q}$, 구 $S$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{R}$에 대하여 두 점 $\mathrm{Q}, \mathrm{R}$의 $xy$평면 위로의 정사영을 각각 $\mathrm{Q}_1, \mathrm{R}_1$이라 하자.
+
+삼각형 $\mathrm{O}\mathrm{Q}_1\mathrm{R}_1$의 넓이가 최대가 되도록 하는 두 점 $\mathrm{Q}, \mathrm{R}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{O}\mathrm{Q}_1\mathrm{R}_1$의 평면 $\mathrm{PQR}$ 위로의 정사영의 넓이는 $\frac{q}{p} \sqrt{6}$이다. $p+q$의 값을 구하시오.
+
+(단, $\mathrm{O}$는 원점이고 세 점 $\mathrm{O}, \mathrm{Q}_1, \mathrm{R}_1$은 한 직선 위에 있지 않으며, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

data/json/2022/math/math_30_prob.txt

@@ -0,0 +1,15 @@
+30. 흰 공과 검은 공이 각각 10개 이상 들어 있는 바구니와 비어 있는 주머니가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.
+
+\[
+\begin{array}{|c|}
+\hline
+\text{주사위를 한 번 던져} \\
+\text{나온 눈의 수가 5 이상이면} \\
+\text{바구니에 있는 흰 공 2개를 주머니에 넣고,} \\
+\text{나온 눈의 수가 4 이하이면} \\
+\text{바구니에 있는 검은 공 1개를 주머니에 넣는다.} \\
+\hline
+\end{array}
+\]
+
+위의 시행을 5번 반복할 때, \( n(1 \leq n \leq 5) \)번째 시행 후 주머니에 들어 있는 흰 공과 검은 공의 개수를 각각 \( a_n \), \( b_n \)이라 하자. \( a_5 + b_5 \geq 7 \)일 때, \( a_k = b_k \)인 자연수 \( k(1 \leq k \leq 5) \)가 존재할 확률을 \( \frac{q}{p} \)이다. \( p + q \)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.) [4점]

data/json/2022/math/math_4.txt

@@ -0,0 +1,13 @@
+4. 함수 \( y = f(x) \)의 그래프가 그림과 같다.
+
+\[
+\lim_{x \to -1-} f(x) + \lim_{x \to 2} f(x) \text{의 값은? [3점]}
+\]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] 1
+    \item[2] 2
+    \item[3] 3
+    \item[4] 4
+    \item[5] 5
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_5.txt

@@ -0,0 +1,16 @@
+5. 첫째항이 1인 수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여
+\[
+a_{n+1} = \begin{cases} 
+2a_n & (a_n < 7) \\ 
+a_n - 7 & (a_n \geq 7) 
+\end{cases}
+\]
+일 때, $\sum_{k=1}^{8} a_k$의 값은? [3점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] 30
+    \item[2] 32
+    \item[3] 34
+    \item[4] 36
+    \item[5] 38
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_6.txt

@@ -0,0 +1,9 @@
+6. 방정식 \( 2x^3 - 3x^2 - 12x + k = 0 \)이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 \( k \)의 개수는? [3점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] 20
+    \item[2] 23
+    \item[3] 26
+    \item[4] 29
+    \item[5] 32
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_7.txt

@@ -0,0 +1,9 @@
+7. \(\pi < \theta < \frac{3}{2}\pi\)인 \(\theta\)에 대하여 \(\tan \theta - \frac{6}{\tan \theta} = 1\)일 때, \( \sin \theta + \cos \theta \)의 값은? [3점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] \(-\frac{2\sqrt{10}}{5}\)
+    \item[2] \(-\frac{\sqrt{10}}{5}\)
+    \item[3] \(0\)
+    \item[4] \(\frac{\sqrt{10}}{5}\)
+    \item[5] \(\frac{2\sqrt{10}}{5}\)
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_8.txt

@@ -0,0 +1,9 @@
+8. 곡선 \( y = x^2 - 5x \)와 직선 \( y = x \)로 둘러싸인 부분의 넓이를 직선 \( x = k \)가 이등분할 때, 상수 \( k \)의 값은? [3점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] \( 3 \)
+    \item[2] \( \frac{13}{4} \)
+    \item[3] \( \frac{7}{2} \)
+    \item[4] \( \frac{15}{4} \)
+    \item[5] \( 4 \)
+\end{itemize}

data/json/2022/math/math_9.txt

@@ -0,0 +1,15 @@
+9. 직선 \( y = 2x + k \) 가 두 함수
+
+\[
+y = \left( \frac{2}{3} \right)^{x+3} + 1, \quad y = \left( \frac{2}{3} \right)^{x+1} + \frac{8}{3}
+\]
+
+의 그래프와 만나는 점을 각각 \( \mathrm{P} \), \( \mathrm{Q} \)라 하자. \( \overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{5} \)일 때, 상수 \( k \)의 값은? [4점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] \( \frac{31}{6} \)
+    \item[2] \( \frac{16}{3} \)
+    \item[3] \( \frac{11}{2} \)
+    \item[4] \( \frac{17}{3} \)
+    \item[5] \( \frac{35}{6} \)
+\end{itemize}

data/json/2022/math/prompt.txt

@@ -0,0 +1,52 @@
+1. $\left( \frac{4}{2^{\sqrt{2}}} \right)^{2 + \sqrt{2}}$ 의 값은? [2점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] $\frac{1}{4}$
+    \item[2] $\frac{1}{2}$
+    \item[3] $1$
+    \item[4] $2$
+    \item[5] $4$
+\end{itemize}
+
+#############
+2. $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 - 2 + 3x}}{x + 5}$ 의 값은? [2점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] 1
+    \item[2] 2
+    \item[3] 3
+    \item[4] 4
+    \item[5] 5
+\end{itemize}
+
+#############
+3. 공비가 양수인 등비수열$\{a_n\}$이
+
+\[ a_2 + a_4 = 30, \quad a_4 + a_6 = \frac{15}{2} \]
+를 만족시킬 때, $a_1$ 의 값은? [3점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] 48
+    \item[2] 56
+    \item[3] 64
+    \item[4] 72
+    \item[5] 80
+\end{itemize}
+
+#############
+4. 다항함수  $f(x)$에 대하여 함수  $g(x)$ 를
+
+\[ g(x) = x^2 f(x) \]
+라 하자.  $f(2) = 1, \ f'(2) = 3$ 일 때,  $g'(2)$ 의 값은? [3점]
+
+\begin{itemize}
+    \item[1] 12
+    \item[2] 14
+    \item[3] 16
+    \item[4] 18
+    \item[5] 20
+\end{itemize}
+
+#############
+
+Give the latex code like the examples for the problem in the image 

data/json/2022/math_v1.json

@@ -0,0 +1,46 @@
+{"id":1,"name":"1","problem":"1. $\\left(2^{\\sqrt{3}} \\times 4\\right)^{\\sqrt{3} - 2}$ 의 값은? [2점] \\begin{itemize} \\item[1] \\frac{1}{4} \\item[2] \\frac{1}{2} \\item[3] 1 \\item[4] 2 \\item[5] 4 \\end{itemize}","answer":2,"score":2,"review":null}
+{"id":2,"name":"2","problem":"2. 함수 $f(x) = x^3 + 3x^2 + x - 1$ 에 대하여 $f'(1)$의 값은? [2점] \\begin{itemize} \\item[1] 6 \\item[2] 7 \\item[3] 8 \\item[4] 9 \\item[5] 10 \\end{itemize}","answer":5,"score":2,"review":null}
+{"id":3,"name":"3","problem":"3. 등차수열 $\\{a_n\\}$에 대하여 \\[ a_2 = 6, \\quad a_4 + a_6 = 36 \\] 일 때, $a_{10}$의 값은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] 30 \\item[2] 32 \\item[3] 34 \\item[4] 36 \\item[5] 38 \\end{itemize}","answer":5,"score":3,"review":null}
+{"id":4,"name":"4","problem":"4. 함수 $( y = f(x) )$의 그래프가 그림과 같다.\n\n\\[ \\lim_{x \\to -1-} f(x) + \\lim_{x \\to 2} f(x) \\text{의 값은? [3점]} \\]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 1 \\item[2] 2 \\item[3] 3 \\item[4] 4 \\item[5] 5 \\end{itemize}","answer":4,"score":3,"review":"Removed figure and the statement referring to the figure. The figure is needed to solve the problem.","incomplete":true}
+{"id":5,"name":"5","problem":"5. 첫째항이 1인 수열 $\\{a_n\\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 \\[ a_{n+1} = \\begin{cases} 2a_n & (a_n < 7) \\\\ a_n - 7 & (a_n \\geq 7) \\end{cases} \\] 일 때, $\\sum_{k=1}^{8} a_k$의 값은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] 30 \\item[2] 32 \\item[3] 34 \\item[4] 36 \\item[5] 38 \\end{itemize}","answer":1,"score":3,"review":null}
+{"id":6,"name":"6","problem":"6. 방정식 $( 2x^3 - 3x^2 - 12x + k = 0 )$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 $k$의 개수는? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] 20 \\item[2] 23 \\item[3] 26 \\item[4] 29 \\item[5] 32 \\end{itemize}","answer":3,"score":3,"review":null}
+{"id":7,"name":"7","problem":"7. $( \\pi < \\theta < \\frac{3}{2}\\pi )$인 $\\theta$에 대하여 $\\tan \\theta - \\frac{6}{\\tan \\theta} = 1$일 때, $ \\sin \\theta + \\cos \\theta $의 값은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] -\\frac{2\\sqrt{10}}{5} \\item[2] -\\frac{\\sqrt{10}}{5} \\item[3] 0 \\item[4] \\frac{\\sqrt{10}}{5} \\item[5] \\frac{2\\sqrt{10}}{5} \\end{itemize}","answer":1,"score":3,"review":null}
+{"id":8,"name":"8","problem":"8. 곡선 $( y = x^2 - 5x )$와 직선 $( y = x )$로 둘러싸인 부분의 넓이를 직선 $( x = k )$가 이등분할 때, 상수 $k$의 값은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] 3 \\item[2] \\frac{13}{4} \\item[3] \\frac{7}{2} \\item[4] \\frac{15}{4} \\item[5] 4 \\end{itemize}","answer":1,"score":3,"review":null}
+{"id":9,"name":"9","problem":"9. 직선 $( y = 2x + k )$ 가 두 함수 \\[ y = \\left( \\frac{2}{3} \\right)^{x+3} + 1, \\quad y = \\left( \\frac{2}{3} \\right)^{x+1} + \\frac{8}{3} \\] 의 그래프와 만나는 점을 각각 $( \\mathrm{P} )$, $( \\mathrm{Q} )$라 하자. $\\overline{\\mathrm{PQ}} = \\sqrt{5}$일 때, 상수 $k$의 값은? [4점] \\begin{itemize} \\item[1] \\frac{31}{6} \\item[2] \\frac{16}{3} \\item[3] \\frac{11}{2} \\item[4] \\frac{17}{3} \\item[5] \\frac{35}{6} \\end{itemize}","answer":4,"score":4,"review":"Removed figure."}
+{"id":10,"name":"10","problem":"10. 삼차함수 $( f(x) )$에 대하여 곡선 $( y = f(x) )$ 위의 점 $( 0, 0 )$에서의 접선과 곡선 $( y = x f(x) )$ 위의 점 $( 1, 2 )$에서의 접선이 일치할 때, $f'(2)$의 값은? [4점] \\begin{itemize} \\item[1] -18 \\item[2] -17 \\item[3] -16 \\item[4] -15 \\item[5] -14 \\end{itemize}","answer":5,"score":4,"review":null}
+{"id":11,"name":"11","problem":"11. 양수 $a$에 대하여 집합 $\\left\\{ x \\ \\middle| \\ -\\frac{a}{2} < x \\leq a, \\ x \\neq \\frac{a}{2} \\right\\}$ 에서 정의된 함수 \\[ f(x) = \\tan \\frac{\\pi x}{a} \\] 가 있다. 그림과 같이 함수 $y = f(x)$의 그래프 위의 세 점 $( \\mathrm{O, A, B} )$를 지나는 직선이 있다. 점 $( \\mathrm{A} )$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 함수 $y = f(x)$의 그래프와 만나는 점 중 $( \\mathrm{A} )$가 아닌 점을 $( \\mathrm{C} )$라 하자. 삼각형 $( \\mathrm{ABC} )$가 정삼각형일 때, 삼각형 $( \\mathrm{ABC} )$의 넓이는? (단, $( \\mathrm{O} )$는 원점이다.) [4점] \\begin{itemize} \\item[1] \\frac{3\\sqrt{3}}{2} \\item[2] \\frac{17\\sqrt{3}}{12} \\item[3] \\frac{4\\sqrt{3}}{3} \\item[4] \\frac{5\\sqrt{3}}{4} \\item[5] \\frac{7\\sqrt{3}}{6} \\end{itemize}","answer":3,"score":4,"review":"Removed figure and the statement referring to the figure."}
+{"id":12,"name":"12","problem":"12. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 \\[ \\{f(x)\\}^3 - \\{f(x)\\}^2 - x^2 f(x) + x^2 = 0 \\] 을 만족시킨다. 함수 $f(x)$의 최댓값이 1이고 최솟값이 0일 때, \\[ f\\left( -\\frac{4}{3} \\right) + f(0) + f\\left( \\frac{1}{2} \\right) \\] 의 값은? [4점] \\begin{itemize} \\item[1] \\frac{1}{2} \\item[2] 1 \\item[3] \\frac{3}{2} \\item[4] 2 \\item[5] \\frac{5}{2} \\end{itemize}","answer":3,"score":4,"review":null}
+{"id":13,"name":"13","problem":"13. 두 상수 $( a, b \\ (1 < a < b) )$에 대하여 좌표평면 위의 두 점 $(a, \\log_2 a), \\ (b, \\log_2 b)$를 지나는 직선의 $y$절편과 두 점 $(a, \\log_4 a), \\ (b, \\log_4 b)$를 지나는 직선의 $y$절편이 같다. 함수 $f(x) = a^{bx} + b^{ax}$에 대하여 $f(1) = 40$일 때, $f(2)$의 값은? [4점] \\begin{itemize} \\item[1] 760 \\item[2] 800 \\item[3] 840 \\item[4] 880 \\item[5] 920 \\end{itemize}","answer":2,"score":4,"review":null}
+{"id":14,"name":"14","problem":"14. 수직선 위를 움직이는 점 $\\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 위치 $x(t)$가 두 상수 $a$, $b$에 대하여 \\[ x(t) = t(t - 1)(at + b) \\quad (a \\neq 0) \\] 이다. 점 $\\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 속도 $v(t)$가 $\\int_0^1 |v(t)| \\, dt = 2$를 만족시킬 때, 아래 ㄱ, ㄴ, ㄷ 중에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]\n\n\\begin{itemize} \\item[ㄱ.] $\\int_0^1 v(t) \\, dt = 0$ \\item[ㄴ.] $|x(t_1)| > 1$인 $t_1$이 열린구간 $(0, 1)$에 존재한다. \\item[ㄷ.] $0 \\leq t \\leq 1$인 모든 $t$에 대하여 $|x(t)| < 1$이면 $x(t_2) = 0$인 $t_2$가 열린구간 $(0, 1)$에 존재한다. \\end{itemize}\n\n\\begin{itemize} \\item[1] ㄱ \\item[2] ㄱ, ㄴ \\item[3] ㄱ, ㄷ \\item[4] ㄴ, ㄷ \\item[5] ㄱ, ㄴ, ㄷ \\end{itemize}","answer":3,"score":4,"review":"<보기> changed to '아래 ㄱ,ㄴ,ㄷ, 중'"}
+{"id":15,"name":"15","problem":"15. 두 점 $( \\mathrm{O}_1, \\mathrm{O}_2 )$를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 $(\\overline{\\mathrm{O}_1\\mathrm{O}_2} )$인 두 원 $( C_1, C_2 )$가 있다. 그림과 같이 원 $( C_1 )$ 위의 서로 다른 세 점 $( \\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{C} )$와 원 $( C_2 )$ 위의 점 $( \\mathrm{D} )$가 주어져 있고, 세 점 $( \\mathrm{A}, \\mathrm{O}_1, \\mathrm{O}_2 )$와 세 점 $( \\mathrm{C}, \\mathrm{O}_2, \\mathrm{D} )$가 각각 한 직선 위에 있다.\n\n이때 $(\\angle \\mathrm{B}\\mathrm{O}_1\\mathrm{A} = \\theta_1)$, $(\\angle \\mathrm{O}_2\\mathrm{O}_1\\mathrm{C} = \\theta_2)$, $(\\angle \\mathrm{O}_1\\mathrm{O}_2\\mathrm{D} = \\theta_3)$이라 하자.\n\n다음은 $( \\overline{\\mathrm{A}\\mathrm{B}} : \\overline{\\mathrm{O}_1\\mathrm{D}} = 1 : 2\\sqrt{2} )$이고 $( \\theta_3 = \\theta_1 + \\theta_2 )$일 때, 선분 $( \\mathrm{A}\\mathrm{B} )$와 선분 $( \\mathrm{C}\\mathrm{D} )$의 길이의 비를 구하는 과정이다.\n\n\\[ \\begin{aligned} &\\angle \\mathrm{C}\\mathrm{O}_2\\mathrm{O}_1 + \\angle \\mathrm{O}_1\\mathrm{O}_2\\mathrm{D} = \\pi \\text{이므로 } \\theta_3 = \\frac{\\pi}{2} + \\frac{\\theta_2}{2} \\text{이고} \\\\ &\\theta_3 = \\theta_1 + \\theta_2 \\text{에서 } 2\\theta_1 + \\theta_2 = \\pi \\text{이므로 } \\angle \\mathrm{C}\\mathrm{O}_1\\mathrm{B} = \\theta_1 \\text{이다.} \\\\ &\\text{이때 } \\angle \\mathrm{O}_2\\mathrm{O}_1\\mathrm{B} = \\theta_1 + \\theta_2 = \\theta_3 \\text{이므로 삼각형 } \\mathrm{O}_1\\mathrm{O}_2\\mathrm{B} \\text{와 삼각형 } \\mathrm{O}_2\\mathrm{O}_1\\mathrm{D} \\text{는 합동이다.} \\\\ &\\overline{\\mathrm{A}\\mathrm{B}} = k \\text{라 할 때} \\\\ &\\overline{\\mathrm{B}\\mathrm{O}_2} = \\overline{\\mathrm{O}_1\\mathrm{D}}= 2\\sqrt{2}k \\text{이므로 } \\overline{\\mathrm{A}\\mathrm{O}_2} = \\text{(가)이고,} \\\\ &\\angle \\mathrm{B}\\mathrm{O}_2\\mathrm{A} = \\frac{\\theta_1}{2} \\text{이므로 } \\cos \\frac{\\theta_1}{2} = \\text{(나) 이다.} \\\\ &\\text{삼각형 } \\mathrm{O}_2\\mathrm{B}\\mathrm{C} \\text{에서} \\\\ &\\overline{\\mathrm{B}\\mathrm{C}} = k, \\overline{\\mathrm{B}\\mathrm{O}_2} = 2\\sqrt{2}k, \\angle \\mathrm{C}\\mathrm{O}_2\\mathrm{B} = \\frac{\\theta_1}{2} \\text{이므로} \\\\ &\\text{코사인법칙에 의하여 } \\overline{\\mathrm{O}_2\\mathrm{C}} = \\text{(다) 이다.} \\\\ &\\overline{\\mathrm{C}\\mathrm{D}} = \\overline{\\mathrm{O}_2\\mathrm{D}} + \\overline{\\mathrm{O}_2\\mathrm{C}} = \\overline{\\mathrm{O}_1\\mathrm{O}_2} + \\overline{\\mathrm{O}_2\\mathrm{C}} \\text{이므로} \\\\ &\\overline{\\mathrm{A}\\mathrm{B}} : \\overline{\\mathrm{C}\\mathrm{D}} = k : \\left(\\frac{\\text{(가)}}{2} + \\text{(다)}\\right) \\text{이다.} \\end{aligned} \\]\n\n위의 (가), (다)에 알맞은 식을 각각 $( f(k), g(k) )$라 하고, (나)에 알맞은 수를 $( p )$라 할 때, $( f(p) \\times g(p) )$의 값은? [4점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] \\frac{169}{27} \\item[2] \\frac{56}{9} \\item[3] \\frac{167}{27} \\item[4] \\frac{166}{27} \\item[5] \\frac{55}{9} \\end{itemize}","answer":2,"score":4,"review":"Removed figure and the statement referring to the figure."}
+{"id":16,"name":"16","problem":"16. $\\log_2 120 - \\frac{1}{\\log_{15} 2}$ 의 값을 구하시오. [3점]","answer":3,"score":3,"review":null}
+{"id":17,"name":"17","problem":"17. 함수 $f(x)$에 대하여 $f'(x) = 3x^2 + 2x$이고 $f(0) = 2$일 때, $f(1)$의 값을 구하시오. [3점]","answer":4,"score":3,"review":null}
+{"id":18,"name":"18","problem":"18. 수열 $\\{a_n\\}$에 대하여 \\[ \\sum_{k=1}^{10} a_k - \\sum_{k=1}^{7} \\frac{a_k}{2} = 56, \\quad \\sum_{k=1}^{10} 2a_k - \\sum_{k=1}^{8} a_k = 100 \\] 일 때, $a_8$의 값을 구하시오. [3점]","answer":12,"score":3,"review":null}
+{"id":19,"name":"19","problem":"19. 함수 $f(x) = x^3 + ax^2 - (a^2 - 8a)x + 3$이 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 실수 $a$의 최댓값을 구하시오. [3점]","answer":6,"score":3,"review":null}
+{"id":20,"name":"20","problem":"20. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $( f(x) )$가 다음 조건을 만족시킨다.\n\n\\begin{itemize} \\item[(가)] 닫힌구간 $[0, 1]$에서 $f(x) = x$이다. \\item[(나)] 어떤 상수 $a, b$에 대하여 구간 $[0, \\infty)$에서 $f(x+1) - x f(x) = ax + b$이다. \\end{itemize}\n\n\\[ 60 \\times \\int_1^2 f(x) \\, dx \\] 의 값을 구하시오. [4점]","answer":110,"score":4,"review":null}
+{"id":21,"name":"21","problem":"21. 수열 $\\{a_n\\}$이 다음 조건을 만족시킨다.\n\n\\begin{itemize} \\item[(가)] $( |a_1| = 2 )$ \\item[(나)] 모든 자연수 $( n )$에 대하여 $( |a_{n+1}| = 2|a_n| )$이다. \\item[(다)] $\\sum_{n=1}^{10} a_n = -14$ \\end{itemize}\n\n$a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9$의 값을 구하시오. [4점]","answer":678,"score":4,"review":null}
+{"id":22,"name":"22","problem":"22. 최고차항의 계수가 $\\frac{1}{2}$ 인 삼차함수 $f(x)$와 실수 $t$에 대하여 방정식 $f'(x) = 0$이 닫힌구간 $[t, t+2]$에서 갖는 실근의 개수를 $g(t)$라 할 때, 함수 $g(t)$는 다음 조건을 만족시킨다.\n\n\\begin{itemize} \\item[(가)] 모든 실수 $( a )$에 대하여 $( \\lim_{t \\to a+} g(t) + \\lim_{t \\to a-} g(t) \\leq 2 )$이다. \\item[(나)] $( g(f(1)) = g(f(4)) = 2, \\ g(f(0)) = 1 )$ \\end{itemize}\n\n$f(5)$의 값을 구하시오. [4점]","answer":9,"score":4,"review":null}
+{"id":23,"name":"23_prob","problem":"23. 다항식 $(x+2)^7$의 전개식에서 $x^5$의 계수는? [2점] \\begin{itemize} \\item[1] 42 \\item[2] 56 \\item[3] 70 \\item[4] 84 \\item[5] 98 \\end{itemize}","answer":4,"score":2,"review":null}
+{"id":24,"name":"24_prob","problem":"24. 확률변수 $X$가 이항분포 $\\mathrm{B}\\left(n, \\frac{1}{3}\\right)$을 따르고 $\\mathrm{V}(2X) = 40$일 때, $n$의 값은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] 30 \\item[2] 35 \\item[3] 40 \\item[4] 45 \\item[5] 50 \\end{itemize}","answer":4,"score":3,"review":null}
+{"id":25,"name":"25_prob","problem":"25. 다음 조건을 만족시키는 자연수 $a, \\ b, \\ c, \\ d, \\ e$의 모든 순서쌍 $(a, b, c, d, e)$의 개수는? [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[(가)] $a + b + c + d + e = 12$ \\item[(나)] $\\left| a^2 - b^2 \\right| = 5$ \\end{itemize}\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 30 \\item[2] 32 \\item[3] 34 \\item[4] 36 \\item[5] 38 \\end{itemize}","answer":1,"score":3,"review":null}
+{"id":26,"name":"26_prob","problem":"26. $( 1 )$부터 $( 10 )$까지 자연수가 하나씩 적혀 있는 $( 10 )$장의 카드가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 카드 $( 3 )$장을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 카드에 적혀 있는 세 자연수 중에서 가장 작은 수가 $( 4 )$ 이하이거나 $( 7 )$ 이상일 확률은? [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] \\frac{4}{5} \\item[2] \\frac{5}{6} \\item[3] \\frac{13}{15} \\item[4] \\frac{9}{10} \\item[5] \\frac{14}{15} \\end{itemize}","answer":3,"score":3,"review":"Removed figure."}
+{"id":27,"name":"27_prob","problem":"27. 어느 자동차 회사에서 생산하는 전기 자동차의 1회 충전 주행 거리는 평균이 $m$이고 표준편차가 $\\sigma$인 정규분포를 따른다고 한다.\n\n이 자동차 회사에서 생산한 전기 자동차 100대를 임의추출하여 얻은 1회 충전 주행 거리의 표본평균이 $\\overline{x_1}$일 때, 모평균 $m$에 대한 신뢰도 95\\%의 신뢰구간이 $a \\le m \\le b$이다.\n\n이 자동차 회사에서 생산한 전기 자동차 400대를 임의추출하여 얻은 1회 충전 주행 거리의 표본평균이 $\\overline{x_2}$일 때, 모평균 $m$에 대한 신뢰도 99\\%의 신뢰구간이 $c \\le m \\le d$이다.\n\n$\\overline{x_1} - \\overline{x_2} = 1.34$이고 $a = c$일 때, $b - a$의 값은? (단, 주행 거리의 단위는 km이고, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때 $\\mathrm{P}(|Z| \\le 1.96) = 0.95$, $\\mathrm{P}(|Z| \\le 2.58) = 0.99$로 계산한다.) [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 5.88 \\item[2] 7.84 \\item[3] 9.80 \\item[4] 11.76 \\item[5] 13.72 \\end{itemize}","answer":2,"score":3,"review":null}
+{"id":28,"name":"28_prob","problem":"28. 두 집합 $X = \\{1, 2, 3, 4, 5\\}$, $Y = \\{1, 2, 3, 4\\}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 $X$에서 $Y$로의 함수 $f$의 개수는? [4점]\n\n\\begin{itemize} \\item[(가)] 집합 $X$의 모든 원소 $x$에 대하여 $f(x) \\geq \\sqrt{x}$이다. \\item[(나)] 함수 $f$의 치역의 원소의 개수는 3이다. \\end{itemize}\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 128 \\item[2] 138 \\item[3] 148 \\item[4] 158 \\item[5] 168 \\end{itemize}","answer":1,"score":4,"review":null}
+{"id":29,"name":"29_prob","problem":"29. 두 연속확률변수 $( X )$와 $( Y )$가 갖는 값의 범위는 $( 0 \\leq X \\leq 6 )$, $( 0 \\leq Y \\leq 6 )$이고, $( X )$와 $( Y )$의 확률밀도함수는 각각 $( f(x), g(x) )$이다. 확률변수 $( X )$의 확률밀도함수 $( f(x) )$의 그래프는 그림과 같다.\n\n\\[ 0 \\leq x \\leq 6\\ \\text{인 모든 } x \\text{에 대하여} \\]\n\\[ f(x) + g(x) = k \\quad (k \\text{는 상수}) \\]\n를 만족시킬 때, $( \\mathrm{P}(6k \\leq Y \\leq 15k) = \\frac{q}{p} )$이다. $( p + q )$의 값을 구하시오. (단, $( p )$와 $( q )$는 서로소인 자연수이다.) [4점]","answer":31,"score":4,"review":"Removed figure and the statement referring to the figure. The figure is needed to solve the problem.","incomplete":true}
+{"id":30,"name":"30_prob","problem":"30. 흰 공과 검은 공이 각각 10개 이상 들어 있는 바구니와 비어 있는 주머니가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.\n\n\\[ \\begin{array}{|c|} \\hline \\text{주사위를 한 번 던져} \\\\ \\text{나온 눈의 수가 5 이상이면} \\\\ \\text{바구니에 있는 흰 공 2개를 주머니에 넣고,} \\\\ \\text{나온 눈의 수가 4 이하이면} \\\\ \\text{바구니에 있는 검은 공 1개를 주머니에 넣는다.} \\\\ \\hline \\end{array} \\]\n\n위의 시행을 5번 반복할 때, $( n(1 \\leq n \\leq 5) )$번째 시행 후 주머니에 들어 있는 흰 공과 검은 공의 개수를 각각 $( a_n )$, $( b_n )$이라 하자. $( a_5 + b_5 \\geq 7 )$일 때, $( a_k = b_k )$인 자연수 $( k(1 \\leq k \\leq 5) )$가 존재할 확률을 $( \\frac{q}{p} )$이다. $( p + q )$의 값을 구하시오. (단, $(p)$와 $(q)$는 서로소인 자연수이다.) [4점]","answer":191,"score":4,"review":null}
+{"id":31,"name":"23_calc","problem":"23. \\[ \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{\\frac{5}{n} + \\frac{3}{n^2}}{\\frac{1}{n} - \\frac{2}{n^3}} \\text{의 값은? [2점]} \\] \\begin{itemize} \\item[1] 1 \\item[2] 2 \\item[3] 3 \\item[4] 4 \\item[5] 5 \\end{itemize}","answer":5,"score":2,"review":null}
+{"id":32,"name":"24_calc","problem":"24. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 \\[ f(x^3 + x) = e^x \\] 을 만족시킬 때, $f'(2)$의 값은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] e \\item[2] \\frac{e}{2} \\item[3] \\frac{e}{3} \\item[4] \\frac{e}{4} \\item[5] \\frac{e}{5} \\end{itemize}","answer":4,"score":3,"review":null}
+{"id":33,"name":"25_calc","problem":"25. 등비수열 $\\{a_n\\}$에 대하여 \\[ \\sum_{n=1}^{\\infty} (a_{2n-1} - a_{2n}) = 3, \\quad \\sum_{n=1}^{\\infty} a_n^2 = 6 \\] 일 때, $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_n$ 의 값은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] 1 \\item[2] 2 \\item[3] 3 \\item[4] 4 \\item[5] 5 \\end{itemize}","answer":2,"score":3,"review":null}
+{"id":34,"name":"26_calc","problem":"26. \\[ \\lim_{n \\to \\infty} \\sum_{k=1}^{n} \\frac{k^2 + 2kn}{k^3 + 3k^2 n + n^3} \\text{의 값은?} \\quad [3 \\text{점}] \\] \\begin{itemize} \\item[1] \\ln 5 \\item[2] \\frac{\\ln 5}{2} \\item[3] \\frac{\\ln 5}{3} \\item[4] \\frac{\\ln 5}{4} \\item[5] \\frac{\\ln 5}{5} \\end{itemize}","answer":3,"score":3,"review":null}
+{"id":35,"name":"27_calc","problem":"27. 좌표평면 위를 움직이는 점 $\\mathrm{P}$의 시각 $t \\ (t>0)$에서의 위치가 곡선 $y = x^2$과 직선 $y = t^2 x - \\frac{\\ln t}{8}$가 만나는 서로 다른 두 점의 중점일 때, 시각 $t=1$에서 $t=e$까지 점 $\\mathrm{P}$가 움직인 거리는? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] \\frac{e^4}{2} - \\frac{3}{8} \\item[2] \\frac{e^4}{2} - \\frac{5}{16} \\item[3] \\frac{e^4}{2} - \\frac{1}{4} \\item[4] \\frac{e^4}{2} - \\frac{3}{16} \\item[5] \\frac{e^4}{2} - \\frac{1}{8} \\end{itemize}","answer":1,"score":3,"review":null}
+{"id":36,"name":"28_calc","problem":"28. 함수 $( f(x) = 6\\pi (x - 1)^2 )$에 대하여 함수 $( g(x) )$를 \\[ g(x) = 3f(x) + 4\\cos f(x) \\] 라 하자. $( 0 < x < 2 )$에서 함수 $( g(x) )$가 극소가 되는 $( x )$의 개수는? [4점] \\begin{itemize} \\item[1] 6 \\item[2] 7 \\item[3] 8 \\item[4] 9 \\item[5] 10 \\end{itemize}","answer":2,"score":4,"review":null}
+{"id":37,"name":"29_calc","problem":"29. 그림과 같이 길이가 2인 선분 $(\\mathrm{AB})$를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 $(\\mathrm{AB})$ 위에 두 점 $(\\mathrm{P})$, $(\\mathrm{Q})$를 $(\\angle \\mathrm{PAB} = \\theta)$, $(\\angle \\mathrm{QBA} = 2\\theta)$가 되도록 잡고, 두 선분 $(\\mathrm{AP})$, $(\\mathrm{BQ})$의 교점을 $(\\mathrm{R})$라 하자. 선분 $(\\mathrm{AB})$ 위의 점 $(\\mathrm{S})$, 선분 $(\\mathrm{BR})$ 위의 점 $(\\mathrm{T})$, 선분 $(\\mathrm{AR})$ 위의 점 $(\\mathrm{U})$를 선분 $(\\mathrm{UT})$가 선분 $(\\mathrm{AB})$에 평행하고 삼각형 $(\\mathrm{STU})$가 정삼각형이 되도록 잡는다. 두 선분 $(\\mathrm{AR})$, $(\\mathrm{QR})$와 호 $(\\mathrm{AQ})$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $(f(\\theta))$, 삼각형 $(\\mathrm{STU})$의 넓이를 $(g(\\theta))$라 할 때,\n\\[ \\lim_{\\theta \\to 0+} \\frac{g(\\theta)}{\\theta \\times f(\\theta)} = \\frac{q}{p} \\sqrt{3} \\]\n이다. $(p + q)$의 값을 구하시오.\n\n(단, $(0 < \\theta < \\frac{\\pi}{6})$이고, $(p)$와 $(q)$는 서로소인 자연수이다.) [4점]","answer":11,"score":4,"review":"Removed figure and the statement referring to the figure."}
+{"id":38,"name":"30_calc","problem":"30. 실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.\n\n\\begin{itemize} \\item[(가)] $f(1) = 1$, \\quad $\\int_{1}^{2} f(x) \\, dx = \\frac{5}{4}$ \\item[(나)] 함수 $f(x)$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $x \\geq 1$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g(2x) = 2f(x)$이다. \\end{itemize}\n\n\\[ \\int_{1}^{8} x f'(x) \\, dx = \\frac{q}{p} \\text{일 때, } p+q \\text{의 값을 구하시오.} \\]\n(단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]","answer":143,"score":4,"review":null}
+{"id":39,"name":"23_geom","problem":"23. 좌표공간의 점 $\\mathrm{A}(2, 1, 3)$을 $xy$ 평면에 대하여 대칭이동한 점을 $\\mathrm{P}$라 하고, 점 $\\mathrm{A}$를 $yz$ 평면에 대하여 대칭이동한 점을 $\\mathrm{Q}$라 할 때, 선분 $\\mathrm{PQ}$의 길이는? [2점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 5 \\sqrt{2} \\item[2] 2 \\sqrt{13} \\item[3] 3 \\sqrt{6} \\item[4] 2 \\sqrt{14} \\item[5] 2 \\sqrt{15} \\end{itemize}","answer":2,"score":2,"review":null}
+{"id":40,"name":"24_geom","problem":"24. 한 초점의 좌표가 $\\left( 3\\sqrt{2}, 0 \\right)$ 인 쌍곡선 $\\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{6} = 1$ 의 주축의 길이는? (단, $a$ 는 양수이다.) [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 3\\sqrt{3} \\item[2] \\frac{7\\sqrt{3}}{2} \\item[3] 4\\sqrt{3} \\item[4] \\frac{9\\sqrt{3}}{2} \\item[5] 5\\sqrt{3} \\end{itemize}","answer":3,"score":3,"review":null}
+{"id":41,"name":"25_geom","problem":"25. 좌표평면에서 두 직선 \\[ \\frac{x+1}{2} = y - 3, \\quad x - 2 = \\frac{y - 5}{3} \\] 가 이루는 예각의 크기를 $\\theta$라 할 때, $\\cos \\theta$의 값은? [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] \\frac{1}{2} \\item[2] \\frac{\\sqrt{5}}{4} \\item[3] \\frac{\\sqrt{6}}{4} \\item[4] \\frac{\\sqrt{7}}{4} \\item[5] \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\end{itemize}","answer":5,"score":3,"review":null}
+{"id":42,"name":"26_geom","problem":"26. 두 초점이 $( \\mathrm{F}, \\mathrm{F'} )$인 타원 $\\frac{x^2}{64} + \\frac{y^2}{16} = 1$ 위의 점 중 제1사분면에 있는 점 $( \\mathrm{A} )$가 있다. 두 직선 $( \\mathrm{AF}, \\mathrm{AF'} )$에 동시에 접하고 중심이 $y$축 위에 있는 원 중 중심의 $y$좌표가 음수인 것을 $( C )$라 하자. 원 $( C )$의 중심을 $( \\mathrm{B} )$라 할 때 사각형 $( \\mathrm{AFBF'} )$의 넓이가 72이다. 원 $( C )$의 반지름의 길이는? [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] \\frac{17}{2} \\item[2] 9 \\item[3] \\frac{19}{2} \\item[4] 10 \\item[5] \\frac{21}{2} \\end{itemize}","answer":2,"score":3,"review":"Removed figure."}
+{"id":43,"name":"27_geom","problem":"27. 그림과 같이 한 모서리의 길이가 4인 정육면체 $\\mathrm{ABCD - EFGH}$ 가 있다. 선분 $\\mathrm{AD}$ 의 중점을 $\\mathrm{M}$이라 할 때, 삼각형 $\\mathrm{MEG}$ 의 넓이는? [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] \\frac{21}{2} \\item[2] 11 \\item[3] \\frac{23}{2} \\item[4] 12 \\item[5] \\frac{25}{2} \\end{itemize}","answer":4,"score":3,"review":"Removed figure and the statement referring to the figure."}
+{"id":44,"name":"28_geom","problem":"28. 두 양수 $( a )$, $( p )$에 대하여 포물선 $( (y - a)^2 = 4px )$의 초점을 $( \\mathrm{F}_1 )$이라 하고, 포물선 $( y^2 = -4x )$의 초점을 $( \\mathrm{F}_2 )$라 하자. 선분 $( \\mathrm{F}_1 \\mathrm{F}_2 )$가 두 포물선과 만나는 점을 각각 $( \\mathrm{P} )$, $( \\mathrm{Q} )$라 할 때, $( \\overline{\\mathrm{F}_1 \\mathrm{F}_2} = 3 )$, $( \\overline{\\mathrm{P}\\mathrm{Q}} = 1 )$이다. $( a^2 + p^2 )$의 값은? [4점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 6 \\item[2] \\frac{25}{4} \\item[3] \\frac{13}{2} \\item[4] \\frac{27}{4} \\item[5] 7 \\end{itemize}","answer":5,"score":4,"review":"Removed figure."}
+{"id":45,"name":"29_geom","problem":"29. 좌표평면에서 $\\overline{\\mathrm{OA}} = \\sqrt{2}$, $\\overline{\\mathrm{OB}} = 2\\sqrt{2}$이고\n\\[ \\cos(\\angle \\mathrm{AOB}) = \\frac{1}{4} \\]\n인 평행사변형 $\\mathrm{OACB}$에 대하여 점 $\\mathrm{P}$가 다음 조건을 만족시킨다.\n\n\\begin{itemize} \\item[(가)] $\\overrightarrow{\\mathrm{OP}} = s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} + t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} \\quad (0 \\leq s \\leq 1, \\ 0 \\leq t \\leq 1)$ \\item[(나)] $\\overrightarrow{\\mathrm{OP}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} + \\overrightarrow{\\mathrm{BP}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{BC}} = 2$ \\end{itemize}\n\n점 $\\mathrm{O}$를 중심으로 하고 점 $\\mathrm{A}$를 지나는 원 위를 움직이는 점 $\\mathrm{X}$에 대하여 $|3\\overrightarrow{\\mathrm{OP}} - \\overrightarrow{\\mathrm{OX}}|$의 최댓값과 최솟값을 각각 $M$, $m$이라 하자. $M \\times m = a\\sqrt{6} + b$일 때, $a^2 + b^2$의 값을 구하시오. (단, $a$와 $b$는 유리수이다.) [4점]","answer":100,"score":4,"review":"Removed figure."}
+{"id":46,"name":"30_geom","problem":"30. 좌표공간에 중심이 $\\mathrm{C}(2, \\sqrt{5}, 5)$이고 점 $\\mathrm{P}(0, 0, 1)$을 지나는 구 \\[ S: (x - 2)^2 + (y - \\sqrt{5})^2 + (z - 5)^2 = 25 \\] 가 있다. 구 $S$가 평면 $\\mathrm{OPC}$와 만나서 생기는 원 위를 움직이는 점 $\\mathrm{Q}$, 구 $S$ 위를 움직이는 점 $\\mathrm{R}$에 대하여 두 점 $\\mathrm{Q}, \\mathrm{R}$의 $xy$평면 위로의 정사영을 각각 $\\mathrm{Q}_1, \\mathrm{R}_1$이라 하자.\n\n삼각형 $\\mathrm{O}\\mathrm{Q}_1\\mathrm{R}_1$의 넓이가 최대가 되도록 하는 두 점 $\\mathrm{Q}, \\mathrm{R}$에 대하여 삼각형 $\\mathrm{O}\\mathrm{Q}_1\\mathrm{R}_1$의 평면 $\\mathrm{PQR}$ 위로의 정사영의 넓이는 $\\frac{q}{p} \\sqrt{6}$이다. $p+q$의 값을 구하시오.\n\n(단, $\\mathrm{O}$는 원점이고 세 점 $\\mathrm{O}, \\mathrm{Q}_1, \\mathrm{R}_1$은 한 직선 위에 있지 않으며, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]","answer":23,"score":4,"review":"Removed figure."}