15. 두 점 \( \mathrm{O}_1, \mathrm{O}_2 \)를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2} \)인 두 원 \( C_1, C_2 \)가 있다. 그림과 같이 원 \( C_1 \) 위의 서로 다른 세 점 \( \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} \)와 원 \( C_2 \) 위의 점 \( \mathrm{D} \)가 주어져 있고, 세 점 \( \mathrm{A}, \mathrm{O}_1, \mathrm{O}_2 \)와 세 점 \( \mathrm{C}, \mathrm{O}_2, \mathrm{D} \)가 각각 한 직선 위에 있다.

이때 \(\angle \mathrm{B}\mathrm{O}_1\mathrm{A} = \theta_1\), \(\angle \mathrm{O}_2\mathrm{O}_1\mathrm{C} = \theta_2\), \(\angle \mathrm{O}_1\mathrm{O}_2\mathrm{D} = \theta_3\)이라 하자.

다음은 \( \overline{\mathrm{A}\mathrm{B}} : \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{D}} = 1 : 2\sqrt{2} \)이고 \( \theta_3 = \theta_1 + \theta_2 \)일 때, 선분 \( \mathrm{A}\mathrm{B} \)와 선분 \( \mathrm{C}\mathrm{D} \)의 길이의 비를 구하는 과정이다.

\[
\begin{aligned}
&\angle \mathrm{C}\mathrm{O}_2\mathrm{O}_1 + \angle \mathrm{O}_1\mathrm{O}_2\mathrm{D} = \pi \text{이므로 } \theta_3 = \frac{\pi}{2} + \frac{\theta_2}{2} \text{이고} \\
&\theta_3 = \theta_1 + \theta_2 \text{에서 } 2\theta_1 + \theta_2 = \pi \text{이므로 } \angle \mathrm{C}\mathrm{O}_1\mathrm{B} = \theta_1 \text{이다.} \\
&\text{이때 } \angle \mathrm{O}_2\mathrm{O}_1\mathrm{B} = \theta_1 + \theta_2 = \theta_3 \text{이므로 삼각형 } \mathrm{O}_1\mathrm{O}_2\mathrm{B} \text{와 삼각형 } \mathrm{O}_2\mathrm{O}_1\mathrm{D} \text{는 합동이다.} \\
&\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}} = k \text{라 할 때} \\
&\overline{\mathrm{B}\mathrm{O}_2} = \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{D}}= 2\sqrt{2}k \text{이므로 } \overline{\mathrm{A}\mathrm{O}_2} = \text{(가)이고,} \\
&\angle \mathrm{B}\mathrm{O}_2\mathrm{A} = \frac{\theta_1}{2} \text{이므로 } \cos \frac{\theta_1}{2} = \text{(나) 이다.} \\
&\text{삼각형 } \mathrm{O}_2\mathrm{B}\mathrm{C} \text{에서} \\
&\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}} = k, \overline{\mathrm{B}\mathrm{O}_2} = 2\sqrt{2}k, \angle \mathrm{C}\mathrm{O}_2\mathrm{B} = \frac{\theta_1}{2} \text{이므로} \\
&\text{코사인법칙에 의하여 } \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{C}} = \text{(다) 이다.} \\
&\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}} = \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{D}} + \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{C}} = \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2} + \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{C}} \text{이므로} \\
&\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}} : \overline{\mathrm{C}\mathrm{D}} = k : \left(\frac{\text{(가)}}{2} + \text{(다)}\right) \text{이다.}
\end{aligned}
\]

위의 (가), (다)에 알맞은 식을 각각 \( f(k), g(k) \)라 하고, (나)에 알맞은 수를 \( p \)라 할 때, \( f(p) \times g(p) \)의 값은? [4점]

\begin{itemize}
    \item[1] \(\frac{169}{27}\)
    \item[2] \(\frac{56}{9}\)
    \item[3] \(\frac{167}{27}\)
    \item[4] \(\frac{166}{27}\)
    \item[5] \(\frac{55}{9}\)
\end{itemize}