29. 좌표평면에서 $\overline{\mathrm{OA}} = \sqrt{2}$, $\overline{\mathrm{OB}} = 2\sqrt{2}$이고

\[
\cos(\angle \mathrm{AOB}) = \frac{1}{4}
\]

인 평행사변형 $\mathrm{OACB}$에 대하여 점 $\mathrm{P}$가 다음 조건을 만족시킨다.

\begin{itemize}
    \item[(가)] $\overrightarrow{\mathrm{OP}} = s \overrightarrow{\mathrm{OA}} + t \overrightarrow{\mathrm{OB}} \quad (0 \leq s \leq 1, \ 0 \leq t \leq 1)$
    \item[(나)] $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} + \overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} = 2$
\end{itemize}

점 $\mathrm{O}$를 중심으로 하고 점 $\mathrm{A}$를 지나는 원 위를 움직이는 점 $\mathrm{X}$에 대하여 $|3\overrightarrow{\mathrm{OP}} - \overrightarrow{\mathrm{OX}}|$의 최댓값과 최솟값을 각각 $M$, $m$이라 하자. $M \times m = a\sqrt{6} + b$일 때, $a^2 + b^2$의 값을 구하시오. (단, $a$와 $b$는 유리수이다.) [4점]