30. 실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

\begin{itemize}
    \item[(가)] $f(1) = 1$, \quad $\int_{1}^{2} f(x) \, dx = \frac{5}{4}$
    \item[(나)] 함수 $f(x)$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $x \geq 1$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g(2x) = 2f(x)$이다.
\end{itemize}

\[
\int_{1}^{8} x f'(x) \, dx = \frac{q}{p} \text{일 때, } p+q \text{의 값을 구하시오.}
\]
(단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]