9. 직선 \( y = 2x + k \) 가 두 함수

\[
y = \left( \frac{2}{3} \right)^{x+3} + 1, \quad y = \left( \frac{2}{3} \right)^{x+1} + \frac{8}{3}
\]

의 그래프와 만나는 점을 각각 \( \mathrm{P} \), \( \mathrm{Q} \)라 하자. \( \overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{5} \)일 때, 상수 \( k \)의 값은? [4점]

\begin{itemize}
    \item[1] \( \frac{31}{6} \)
    \item[2] \( \frac{16}{3} \)
    \item[3] \( \frac{11}{2} \)
    \item[4] \( \frac{17}{3} \)
    \item[5] \( \frac{35}{6} \)
\end{itemize}