12. 함수 \( f(x) = \frac{1}{9} x (x - 6)(x - 9) \)와 실수 \( t \ (0 < t < 6) \)에 대하여 함수 \( g(x) \)는

\[
g(x) = 
\begin{cases} 
f(x) & (x < t) \\
-(x - t) + f(t) & (x \geq t)
\end{cases}
\]

이다. 함수 \( y = g(x) \)의 그래프와 \( x \)축으로 둘러싸인 영역의 넓이의 최댓값은? [4점]

\begin{itemize}
    \item[1] \(\frac{125}{4}\)
    \item[2] \(\frac{127}{4}\)
    \item[3] \(\frac{129}{4}\)
    \item[4] \(\frac{131}{4}\)
    \item[5] \(\frac{133}{4}\)
\end{itemize}