15. 첫째항이 자연수인 수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여

\[
a_{n+1} = 
\begin{cases} 
2^{a_n} & (a_n \text{이 홀수인 경우}) \\
\frac{1}{2} a_n & (a_n \text{이 짝수인 경우})
\end{cases}
\]

를 만족시킬 때, $a_6 + a_7 = 3$이 되도록 하는 모든 $a_1$의 값의 합은? [4점]

\begin{itemize}
    \item[1] 139
    \item[2] 146
    \item[3] 153
    \item[4] 160
    \item[5] 167
\end{itemize}