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KoreanSAT

like 1

1

1. $\left(2^{\sqrt{3}} \times 4\right)^{\sqrt{3} - 2}$ 의 값은? [2점] \begin{itemize} \item[1] \frac{1}{4} \item[2] \frac{1}{2} \item[3] 1 \item[4] 2 \item[5] 4 \end{itemize}

2

2. 함수 $f(x) = x^3 + 3x^2 + x - 1$ 에 대하여 $f'(1)$의 값은? [2점] \begin{itemize} \item[1] 6 \item[2] 7 \item[3] 8 \item[4] 9 \item[5] 10 \end{itemize}

3

3. 등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 \[ a_2 = 6, \quad a_4 + a_6 = 36 \] 일 때, $a_{10}$의 값은? [3점] \begin{itemize} \item[1] 30 \item[2] 32 \item[3] 34 \item[4] 36 \item[5] 38 \end{itemize}

4

4. 함수 $( y = f(x) )$가 다음과 같이 정의되어 있다. \[ f(x) = \begin{cases} -x+2, & x < -1, \\ 2, & x = -1, \\ (3*x+3)/2, & -1 < x < 1, \\ 1, & 1 \leq x < 2, \\ 3, & x = 2, \\ 1, & x \geq 2. \end{cases} \] \[ \lim_{x \to -1-} f(x) + \lim_{x \to 2} f(x) \text{의 값은? [3점]} \] \begin{itemize} \item[1] 1 \item[2] 2 \item[3] 3 \item[4] 4 \item[5] 5 \end{itemize}

Removed figure and the statement referring to the figure. The figure is needed to solve the problem, so we paraphrased the figure into text.

5

5. 첫째항이 1인 수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 \[ a_{n+1} = \begin{cases} 2a_n & (a_n < 7) \\ a_n - 7 & (a_n \geq 7) \end{cases} \] 일 때, $\sum_{k=1}^{8} a_k$의 값은? [3점] \begin{itemize} \item[1] 30 \item[2] 32 \item[3] 34 \item[4] 36 \item[5] 38 \end{itemize}

6

6. 방정식 $( 2x^3 - 3x^2 - 12x + k = 0 )$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 $k$의 개수는? [3점] \begin{itemize} \item[1] 20 \item[2] 23 \item[3] 26 \item[4] 29 \item[5] 32 \end{itemize}

7

7. $( \pi < \theta < \frac{3}{2}\pi )$인 $\theta$에 대하여 $\tan \theta - \frac{6}{\tan \theta} = 1$일 때, $ \sin \theta + \cos \theta $의 값은? [3점] \begin{itemize} \item[1] -\frac{2\sqrt{10}}{5} \item[2] -\frac{\sqrt{10}}{5} \item[3] 0 \item[4] \frac{\sqrt{10}}{5} \item[5] \frac{2\sqrt{10}}{5} \end{itemize}

8

8. 곡선 $( y = x^2 - 5x )$와 직선 $( y = x )$로 둘러싸인 부분의 넓이를 직선 $( x = k )$가 이등분할 때, 상수 $k$의 값은? [3점] \begin{itemize} \item[1] 3 \item[2] \frac{13}{4} \item[3] \frac{7}{2} \item[4] \frac{15}{4} \item[5] 4 \end{itemize}

9

9. 직선 $( y = 2x + k )$ 가 두 함수 \[ y = \left( \frac{2}{3} \right)^{x+3} + 1, \quad y = \left( \frac{2}{3} \right)^{x+1} + \frac{8}{3} \] 의 그래프와 만나는 점을 각각 $( \mathrm{P} )$, $( \mathrm{Q} )$라 하자. $\overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{5}$일 때, 상수 $k$의 값은? [4점] \begin{itemize} \item[1] \frac{31}{6} \item[2] \frac{16}{3} \item[3] \frac{11}{2} \item[4] \frac{17}{3} \item[5] \frac{35}{6} \end{itemize}

Removed figure.

10

10. 삼차함수 $( f(x) )$에 대하여 곡선 $( y = f(x) )$ 위의 점 $( 0, 0 )$에서의 접선과 곡선 $( y = x f(x) )$ 위의 점 $( 1, 2 )$에서의 접선이 일치할 때, $f'(2)$의 값은? [4점] \begin{itemize} \item[1] -18 \item[2] -17 \item[3] -16 \item[4] -15 \item[5] -14 \end{itemize}

11

11. 양수 $a$에 대하여 집합 $\left\{ x \ \middle| \ -\frac{a}{2} < x \leq a, \ x \neq \frac{a}{2} \right\}$ 에서 정의된 함수 \[ f(x) = \tan \frac{\pi x}{a} \] 가 있다. 그림과 같이 함수 $y = f(x)$의 그래프 위의 세 점 $( \mathrm{O, A, B} )$를 지나는 직선이 있다. 점 $( \mathrm{A} )$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 함수 $y = f(x)$의 그래프와 만나는 점 중 $( \mathrm{A} )$가 아닌 점을 $( \mathrm{C} )$라 하자. 삼각형 $( \mathrm{ABC} )$가 정삼각형일 때, 삼각형 $( \mathrm{ABC} )$의 넓이는? (단, $( \mathrm{O} )$는 원점이다.) [4점] \begin{itemize} \item[1] \frac{3\sqrt{3}}{2} \item[2] \frac{17\sqrt{3}}{12} \item[3] \frac{4\sqrt{3}}{3} \item[4] \frac{5\sqrt{3}}{4} \item[5] \frac{7\sqrt{3}}{6} \end{itemize}

Removed figure and the statement referring to the figure.

12

12. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 \[ \{f(x)\}^3 - \{f(x)\}^2 - x^2 f(x) + x^2 = 0 \] 을 만족시킨다. 함수 $f(x)$의 최댓값이 1이고 최솟값이 0일 때, \[ f\left( -\frac{4}{3} \right) + f(0) + f\left( \frac{1}{2} \right) \] 의 값은? [4점] \begin{itemize} \item[1] \frac{1}{2} \item[2] 1 \item[3] \frac{3}{2} \item[4] 2 \item[5] \frac{5}{2} \end{itemize}

13

13. 두 상수 $( a, b \ (1 < a < b) )$에 대하여 좌표평면 위의 두 점 $(a, \log_2 a), \ (b, \log_2 b)$를 지나는 직선의 $y$절편과 두 점 $(a, \log_4 a), \ (b, \log_4 b)$를 지나는 직선의 $y$절편이 같다. 함수 $f(x) = a^{bx} + b^{ax}$에 대하여 $f(1) = 40$일 때, $f(2)$의 값은? [4점] \begin{itemize} \item[1] 760 \item[2] 800 \item[3] 840 \item[4] 880 \item[5] 920 \end{itemize}

14

14. 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 위치 $x(t)$가 두 상수 $a$, $b$에 대하여 \[ x(t) = t(t - 1)(at + b) \quad (a \neq 0) \] 이다. 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 속도 $v(t)$가 $\int_0^1 |v(t)| \, dt = 2$를 만족시킬 때, 아래 ㄱ, ㄴ, ㄷ 중에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] \begin{itemize} \item[ㄱ.] $\int_0^1 v(t) \, dt = 0$ \item[ㄴ.] $|x(t_1)| > 1$인 $t_1$이 열린구간 $(0, 1)$에 존재한다. \item[ㄷ.] $0 \leq t \leq 1$인 모든 $t$에 대하여 $|x(t)| < 1$이면 $x(t_2) = 0$인 $t_2$가 열린구간 $(0, 1)$에 존재한다. \end{itemize} \begin{itemize} \item[1] ㄱ \item[2] ㄱ, ㄴ \item[3] ㄱ, ㄷ \item[4] ㄴ, ㄷ \item[5] ㄱ, ㄴ, ㄷ \end{itemize}

<보기> changed to '아래 ㄱ,ㄴ,ㄷ, 중'.

15

15. 두 점 $( \mathrm{O}_1, \mathrm{O}_2 )$를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 $(\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2} )$인 두 원 $( C_1, C_2 )$가 있다. 그림과 같이 원 $( C_1 )$ 위의 서로 다른 세 점 $( \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} )$와 원 $( C_2 )$ 위의 점 $( \mathrm{D} )$가 주어져 있고, 세 점 $( \mathrm{A}, \mathrm{O}_1, \mathrm{O}_2 )$와 세 점 $( \mathrm{C}, \mathrm{O}_2, \mathrm{D} )$가 각각 한 직선 위에 있다. 이때 $(\angle \mathrm{B}\mathrm{O}_1\mathrm{A} = \theta_1)$, $(\angle \mathrm{O}_2\mathrm{O}_1\mathrm{C} = \theta_2)$, $(\angle \mathrm{O}_1\mathrm{O}_2\mathrm{D} = \theta_3)$이라 하자. 다음은 $( \overline{\mathrm{A}\mathrm{B}} : \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{D}} = 1 : 2\sqrt{2} )$이고 $( \theta_3 = \theta_1 + \theta_2 )$일 때, 선분 $( \mathrm{A}\mathrm{B} )$와 선분 $( \mathrm{C}\mathrm{D} )$의 길이의 비를 구하는 과정이다. \[ \begin{aligned} &\angle \mathrm{C}\mathrm{O}_2\mathrm{O}_1 + \angle \mathrm{O}_1\mathrm{O}_2\mathrm{D} = \pi \text{이므로 } \theta_3 = \frac{\pi}{2} + \frac{\theta_2}{2} \text{이고} \\ &\theta_3 = \theta_1 + \theta_2 \text{에서 } 2\theta_1 + \theta_2 = \pi \text{이므로 } \angle \mathrm{C}\mathrm{O}_1\mathrm{B} = \theta_1 \text{이다.} \\ &\text{이때 } \angle \mathrm{O}_2\mathrm{O}_1\mathrm{B} = \theta_1 + \theta_2 = \theta_3 \text{이므로 삼각형 } \mathrm{O}_1\mathrm{O}_2\mathrm{B} \text{와 삼각형 } \mathrm{O}_2\mathrm{O}_1\mathrm{D} \text{는 합동이다.} \\ &\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}} = k \text{라 할 때} \\ &\overline{\mathrm{B}\mathrm{O}_2} = \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{D}}= 2\sqrt{2}k \text{이므로 } \overline{\mathrm{A}\mathrm{O}_2} = \text{(가)이고,} \\ &\angle \mathrm{B}\mathrm{O}_2\mathrm{A} = \frac{\theta_1}{2} \text{이므로 } \cos \frac{\theta_1}{2} = \text{(나) 이다.} \\ &\text{삼각형 } \mathrm{O}_2\mathrm{B}\mathrm{C} \text{에서} \\ &\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}} = k, \overline{\mathrm{B}\mathrm{O}_2} = 2\sqrt{2}k, \angle \mathrm{C}\mathrm{O}_2\mathrm{B} = \frac{\theta_1}{2} \text{이므로} \\ &\text{코사인법칙에 의하여 } \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{C}} = \text{(다) 이다.} \\ &\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}} = \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{D}} + \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{C}} = \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2} + \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{C}} \text{이므로} \\ &\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}} : \overline{\mathrm{C}\mathrm{D}} = k : \left(\frac{\text{(가)}}{2} + \text{(다)}\right) \text{이다.} \end{aligned} \] 위의 (가), (다)에 알맞은 식을 각각 $( f(k), g(k) )$라 하고, (나)에 알맞은 수를 $( p )$라 할 때, $( f(p) \times g(p) )$의 값은? [4점] \begin{itemize} \item[1] \frac{169}{27} \item[2] \frac{56}{9} \item[3] \frac{167}{27} \item[4] \frac{166}{27} \item[5] \frac{55}{9} \end{itemize}

Removed figure and the statement referring to the figure.

16

16. $\log_2 120 - \frac{1}{\log_{15} 2}$ 의 값을 구하시오. [3점]

17

17. 함수 $f(x)$에 대하여 $f'(x) = 3x^2 + 2x$이고 $f(0) = 2$일 때, $f(1)$의 값을 구하시오. [3점]

18

18. 수열 $\{a_n\}$에 대하여 \[ \sum_{k=1}^{10} a_k - \sum_{k=1}^{7} \frac{a_k}{2} = 56, \quad \sum_{k=1}^{10} 2a_k - \sum_{k=1}^{8} a_k = 100 \] 일 때, $a_8$의 값을 구하시오. [3점]

19

19. 함수 $f(x) = x^3 + ax^2 - (a^2 - 8a)x + 3$이 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 실수 $a$의 최댓값을 구하시오. [3점]

20

20. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $( f(x) )$가 다음 조건을 만족시킨다. \begin{itemize} \item[(가)] 닫힌구간 $[0, 1]$에서 $f(x) = x$이다. \item[(나)] 어떤 상수 $a, b$에 대하여 구간 $[0, \infty)$에서 $f(x+1) - x f(x) = ax + b$이다. \end{itemize} \[ 60 \times \int_1^2 f(x) \, dx \] 의 값을 구하시오. [4점]

21

21. 수열 $\{a_n\}$이 다음 조건을 만족시킨다. \begin{itemize} \item[(가)] $( |a_1| = 2 )$ \item[(나)] 모든 자연수 $( n )$에 대하여 $( |a_{n+1}| = 2|a_n| )$이다. \item[(다)] $\sum_{n=1}^{10} a_n = -14$ \end{itemize} $a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9$의 값을 구하시오. [4점]

22

22. 최고차항의 계수가 $\frac{1}{2}$ 인 삼차함수 $f(x)$와 실수 $t$에 대하여 방정식 $f'(x) = 0$이 닫힌구간 $[t, t+2]$에서 갖는 실근의 개수를 $g(t)$라 할 때, 함수 $g(t)$는 다음 조건을 만족시킨다. \begin{itemize} \item[(가)] 모든 실수 $( a )$에 대하여 $( \lim_{t \to a+} g(t) + \lim_{t \to a-} g(t) \leq 2 )$이다. \item[(나)] $( g(f(1)) = g(f(4)) = 2, \ g(f(0)) = 1 )$ \end{itemize} $f(5)$의 값을 구하시오. [4점]

23_prob

23. 다항식 $(x+2)^7$의 전개식에서 $x^5$의 계수는? [2점] \begin{itemize} \item[1] 42 \item[2] 56 \item[3] 70 \item[4] 84 \item[5] 98 \end{itemize}

24_prob

24. 확률변수 $X$가 이항분포 $\mathrm{B}\left(n, \frac{1}{3}\right)$을 따르고 $\mathrm{V}(2X) = 40$일 때, $n$의 값은? [3점] \begin{itemize} \item[1] 30 \item[2] 35 \item[3] 40 \item[4] 45 \item[5] 50 \end{itemize}

25_prob

25. 다음 조건을 만족시키는 자연수 $a, \ b, \ c, \ d, \ e$의 모든 순서쌍 $(a, b, c, d, e)$의 개수는? [3점] \begin{itemize} \item[(가)] $a + b + c + d + e = 12$ \item[(나)] $\left| a^2 - b^2 \right| = 5$ \end{itemize} \begin{itemize} \item[1] 30 \item[2] 32 \item[3] 34 \item[4] 36 \item[5] 38 \end{itemize}

26_prob

26. $( 1 )$부터 $( 10 )$까지 자연수가 하나씩 적혀 있는 $( 10 )$장의 카드가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 카드 $( 3 )$장을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 카드에 적혀 있는 세 자연수 중에서 가장 작은 수가 $( 4 )$ 이하이거나 $( 7 )$ 이상일 확률은? [3점] \begin{itemize} \item[1] \frac{4}{5} \item[2] \frac{5}{6} \item[3] \frac{13}{15} \item[4] \frac{9}{10} \item[5] \frac{14}{15} \end{itemize}

Removed figure.

27_prob

27. 어느 자동차 회사에서 생산하는 전기 자동차의 1회 충전 주행 거리는 평균이 $m$이고 표준편차가 $\sigma$인 정규분포를 따른다고 한다. 이 자동차 회사에서 생산한 전기 자동차 100대를 임의추출하여 얻은 1회 충전 주행 거리의 표본평균이 $\overline{x_1}$일 때, 모평균 $m$에 대한 신뢰도 95\%의 신뢰구간이 $a \le m \le b$이다. 이 자동차 회사에서 생산한 전기 자동차 400대를 임의추출하여 얻은 1회 충전 주행 거리의 표본평균이 $\overline{x_2}$일 때, 모평균 $m$에 대한 신뢰도 99\%의 신뢰구간이 $c \le m \le d$이다. $\overline{x_1} - \overline{x_2} = 1.34$이고 $a = c$일 때, $b - a$의 값은? (단, 주행 거리의 단위는 km이고, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때 $\mathrm{P}(|Z| \le 1.96) = 0.95$, $\mathrm{P}(|Z| \le 2.58) = 0.99$로 계산한다.) [3점] \begin{itemize} \item[1] 5.88 \item[2] 7.84 \item[3] 9.80 \item[4] 11.76 \item[5] 13.72 \end{itemize}

28_prob

28. 두 집합 $X = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $Y = \{1, 2, 3, 4\}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 $X$에서 $Y$로의 함수 $f$의 개수는? [4점] \begin{itemize} \item[(가)] 집합 $X$의 모든 원소 $x$에 대하여 $f(x) \geq \sqrt{x}$이다. \item[(나)] 함수 $f$의 치역의 원소의 개수는 3이다. \end{itemize} \begin{itemize} \item[1] 128 \item[2] 138 \item[3] 148 \item[4] 158 \item[5] 168 \end{itemize}

29_prob

29. 두 연속확률변수 $( X )$와 $( Y )$가 갖는 값의 범위는 $( 0 \leq X \leq 6 )$, $( 0 \leq Y \leq 6 )$이고, $( X )$와 $( Y )$의 확률밀도함수는 각각 $( f(x), g(x) )$이다. 확률변수 $( X )$의 확률밀도함수 $( f(x) )$가 다음과 같이 정의되어 있다. \[ f(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ \frac{1}{12}x, & 0 \leq x < 3, \\ \frac{1}{4}, & 3 \leq x \leq 5, \\ \frac{1}{4}(6-x), & 5 < x \leq 6, \\ 0, & x > 6. \end{cases} \] \[ 0 \leq x \leq 6\ \text{인 모든 } x \text{에 대하여} \] \[ f(x) + g(x) = k \quad (k \text{는 상수}) \] 를 만족시킬 때, $( \mathrm{P}(6k \leq Y \leq 15k) = \frac{q}{p} )$이다. $( p + q )$의 값을 구하시오. (단, $( p )$와 $( q )$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

Removed figure and the statement referring to the figure. The figure is needed to solve the problem, so we paraphrased the figure into text.

30_prob

30. 흰 공과 검은 공이 각각 10개 이상 들어 있는 바구니와 비어 있는 주머니가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다. \[ \begin{array}{|c|} \hline \text{주사위를 한 번 던져} \\ \text{나온 눈의 수가 5 이상이면} \\ \text{바구니에 있는 흰 공 2개를 주머니에 넣고,} \\ \text{나온 눈의 수가 4 이하이면} \\ \text{바구니에 있는 검은 공 1개를 주머니에 넣는다.} \\ \hline \end{array} \] 위의 시행을 5번 반복할 때, $( n(1 \leq n \leq 5) )$번째 시행 후 주머니에 들어 있는 흰 공과 검은 공의 개수를 각각 $( a_n )$, $( b_n )$이라 하자. $( a_5 + b_5 \geq 7 )$일 때, $( a_k = b_k )$인 자연수 $( k(1 \leq k \leq 5) )$가 존재할 확률을 $( \frac{q}{p} )$이다. $( p + q )$의 값을 구하시오. (단, $(p)$와 $(q)$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

23_calc

23. \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{5}{n} + \frac{3}{n^2}}{\frac{1}{n} - \frac{2}{n^3}} \text{의 값은? [2점]} \] \begin{itemize} \item[1] 1 \item[2] 2 \item[3] 3 \item[4] 4 \item[5] 5 \end{itemize}

24_calc

24. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 \[ f(x^3 + x) = e^x \] 을 만족시킬 때, $f'(2)$의 값은? [3점] \begin{itemize} \item[1] e \item[2] \frac{e}{2} \item[3] \frac{e}{3} \item[4] \frac{e}{4} \item[5] \frac{e}{5} \end{itemize}

25_calc

25. 등비수열 $\{a_n\}$에 대하여 \[ \sum_{n=1}^{\infty} (a_{2n-1} - a_{2n}) = 3, \quad \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 = 6 \] 일 때, $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 의 값은? [3점] \begin{itemize} \item[1] 1 \item[2] 2 \item[3] 3 \item[4] 4 \item[5] 5 \end{itemize}

26_calc

26. \[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2 + 2kn}{k^3 + 3k^2 n + n^3} \text{의 값은?} \quad [3 \text{점}] \] \begin{itemize} \item[1] \ln 5 \item[2] \frac{\ln 5}{2} \item[3] \frac{\ln 5}{3} \item[4] \frac{\ln 5}{4} \item[5] \frac{\ln 5}{5} \end{itemize}

27_calc

27. 좌표평면 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t \ (t>0)$에서의 위치가 곡선 $y = x^2$과 직선 $y = t^2 x - \frac{\ln t}{8}$가 만나는 서로 다른 두 점의 중점일 때, 시각 $t=1$에서 $t=e$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리는? [3점] \begin{itemize} \item[1] \frac{e^4}{2} - \frac{3}{8} \item[2] \frac{e^4}{2} - \frac{5}{16} \item[3] \frac{e^4}{2} - \frac{1}{4} \item[4] \frac{e^4}{2} - \frac{3}{16} \item[5] \frac{e^4}{2} - \frac{1}{8} \end{itemize}

28_calc

28. 함수 $( f(x) = 6\pi (x - 1)^2 )$에 대하여 함수 $( g(x) )$를 \[ g(x) = 3f(x) + 4\cos f(x) \] 라 하자. $( 0 < x < 2 )$에서 함수 $( g(x) )$가 극소가 되는 $( x )$의 개수는? [4점] \begin{itemize} \item[1] 6 \item[2] 7 \item[3] 8 \item[4] 9 \item[5] 10 \end{itemize}

29_calc

29. 그림과 같이 길이가 2인 선분 $(\mathrm{AB})$를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 $(\mathrm{AB})$ 위에 두 점 $(\mathrm{P})$, $(\mathrm{Q})$를 $(\angle \mathrm{PAB} = \theta)$, $(\angle \mathrm{QBA} = 2\theta)$가 되도록 잡고, 두 선분 $(\mathrm{AP})$, $(\mathrm{BQ})$의 교점을 $(\mathrm{R})$라 하자. 선분 $(\mathrm{AB})$ 위의 점 $(\mathrm{S})$, 선분 $(\mathrm{BR})$ 위의 점 $(\mathrm{T})$, 선분 $(\mathrm{AR})$ 위의 점 $(\mathrm{U})$를 선분 $(\mathrm{UT})$가 선분 $(\mathrm{AB})$에 평행하고 삼각형 $(\mathrm{STU})$가 정삼각형이 되도록 잡는다. 두 선분 $(\mathrm{AR})$, $(\mathrm{QR})$와 호 $(\mathrm{AQ})$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $(f(\theta))$, 삼각형 $(\mathrm{STU})$의 넓이를 $(g(\theta))$라 할 때, \[ \lim_{\theta \to 0+} \frac{g(\theta)}{\theta \times f(\theta)} = \frac{q}{p} \sqrt{3} \] 이다. $(p + q)$의 값을 구하시오. (단, $(0 < \theta < \frac{\pi}{6})$이고, $(p)$와 $(q)$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

Removed figure and the statement referring to the figure.

30_calc

30. 실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다. \begin{itemize} \item[(가)] $f(1) = 1$, \quad $\int_{1}^{2} f(x) \, dx = \frac{5}{4}$ \item[(나)] 함수 $f(x)$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $x \geq 1$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g(2x) = 2f(x)$이다. \end{itemize} \[ \int_{1}^{8} x f'(x) \, dx = \frac{q}{p} \text{일 때, } p+q \text{의 값을 구하시오.} \] (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

23_geom

23. 좌표공간의 점 $\mathrm{A}(2, 1, 3)$을 $xy$ 평면에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{P}$라 하고, 점 $\mathrm{A}$를 $yz$ 평면에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{Q}$라 할 때, 선분 $\mathrm{PQ}$의 길이는? [2점] \begin{itemize} \item[1] 5 \sqrt{2} \item[2] 2 \sqrt{13} \item[3] 3 \sqrt{6} \item[4] 2 \sqrt{14} \item[5] 2 \sqrt{15} \end{itemize}

24_geom

24. 한 초점의 좌표가 $\left( 3\sqrt{2}, 0 \right)$ 인 쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{6} = 1$ 의 주축의 길이는? (단, $a$ 는 양수이다.) [3점] \begin{itemize} \item[1] 3\sqrt{3} \item[2] \frac{7\sqrt{3}}{2} \item[3] 4\sqrt{3} \item[4] \frac{9\sqrt{3}}{2} \item[5] 5\sqrt{3} \end{itemize}

25_geom

25. 좌표평면에서 두 직선 \[ \frac{x+1}{2} = y - 3, \quad x - 2 = \frac{y - 5}{3} \] 가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 할 때, $\cos \theta$의 값은? [3점] \begin{itemize} \item[1] \frac{1}{2} \item[2] \frac{\sqrt{5}}{4} \item[3] \frac{\sqrt{6}}{4} \item[4] \frac{\sqrt{7}}{4} \item[5] \frac{\sqrt{2}}{2} \end{itemize}

26_geom

26. 두 초점이 $( \mathrm{F}, \mathrm{F'} )$인 타원 $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{16} = 1$ 위의 점 중 제1사분면에 있는 점 $( \mathrm{A} )$가 있다. 두 직선 $( \mathrm{AF}, \mathrm{AF'} )$에 동시에 접하고 중심이 $y$축 위에 있는 원 중 중심의 $y$좌표가 음수인 것을 $( C )$라 하자. 원 $( C )$의 중심을 $( \mathrm{B} )$라 할 때 사각형 $( \mathrm{AFBF'} )$의 넓이가 72이다. 원 $( C )$의 반지름의 길이는? [3점] \begin{itemize} \item[1] \frac{17}{2} \item[2] 9 \item[3] \frac{19}{2} \item[4] 10 \item[5] \frac{21}{2} \end{itemize}

Removed figure.

27_geom

27. 그림과 같이 한 모서리의 길이가 4인 정육면체 $\mathrm{ABCD - EFGH}$ 가 있다. 선분 $\mathrm{AD}$ 의 중점을 $\mathrm{M}$이라 할 때, 삼각형 $\mathrm{MEG}$ 의 넓이는? [3점] \begin{itemize} \item[1] \frac{21}{2} \item[2] 11 \item[3] \frac{23}{2} \item[4] 12 \item[5] \frac{25}{2} \end{itemize}

Removed figure and the statement referring to the figure.

28_geom

28. 두 양수 $( a )$, $( p )$에 대하여 포물선 $( (y - a)^2 = 4px )$의 초점을 $( \mathrm{F}_1 )$이라 하고, 포물선 $( y^2 = -4x )$의 초점을 $( \mathrm{F}_2 )$라 하자. 선분 $( \mathrm{F}_1 \mathrm{F}_2 )$가 두 포물선과 만나는 점을 각각 $( \mathrm{P} )$, $( \mathrm{Q} )$라 할 때, $( \overline{\mathrm{F}_1 \mathrm{F}_2} = 3 )$, $( \overline{\mathrm{P}\mathrm{Q}} = 1 )$이다. $( a^2 + p^2 )$의 값은? [4점] \begin{itemize} \item[1] 6 \item[2] \frac{25}{4} \item[3] \frac{13}{2} \item[4] \frac{27}{4} \item[5] 7 \end{itemize}

Removed figure.

29_geom

29. 좌표평면에서 $\overline{\mathrm{OA}} = \sqrt{2}$, $\overline{\mathrm{OB}} = 2\sqrt{2}$이고 \[ \cos(\angle \mathrm{AOB}) = \frac{1}{4} \] 인 평행사변형 $\mathrm{OACB}$에 대하여 점 $\mathrm{P}$가 다음 조건을 만족시킨다. \begin{itemize} \item[(가)] $\overrightarrow{\mathrm{OP}} = s \overrightarrow{\mathrm{OA}} + t \overrightarrow{\mathrm{OB}} \quad (0 \leq s \leq 1, \ 0 \leq t \leq 1)$ \item[(나)] $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} + \overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} = 2$ \end{itemize} 점 $\mathrm{O}$를 중심으로 하고 점 $\mathrm{A}$를 지나는 원 위를 움직이는 점 $\mathrm{X}$에 대하여 $|3\overrightarrow{\mathrm{OP}} - \overrightarrow{\mathrm{OX}}|$의 최댓값과 최솟값을 각각 $M$, $m$이라 하자. $M \times m = a\sqrt{6} + b$일 때, $a^2 + b^2$의 값을 구하시오. (단, $a$와 $b$는 유리수이다.) [4점]

Removed figure.

30_geom

30. 좌표공간에 중심이 $\mathrm{C}(2, \sqrt{5}, 5)$이고 점 $\mathrm{P}(0, 0, 1)$을 지나는 구 \[ S: (x - 2)^2 + (y - \sqrt{5})^2 + (z - 5)^2 = 25 \] 가 있다. 구 $S$가 평면 $\mathrm{OPC}$와 만나서 생기는 원 위를 움직이는 점 $\mathrm{Q}$, 구 $S$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{R}$에 대하여 두 점 $\mathrm{Q}, \mathrm{R}$의 $xy$평면 위로의 정사영을 각각 $\mathrm{Q}_1, \mathrm{R}_1$이라 하자. 삼각형 $\mathrm{O}\mathrm{Q}_1\mathrm{R}_1$의 넓이가 최대가 되도록 하는 두 점 $\mathrm{Q}, \mathrm{R}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{O}\mathrm{Q}_1\mathrm{R}_1$의 평면 $\mathrm{PQR}$ 위로의 정사영의 넓이는 $\frac{q}{p} \sqrt{6}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $\mathrm{O}$는 원점이고 세 점 $\mathrm{O}, \mathrm{Q}_1, \mathrm{R}_1$은 한 직선 위에 있지 않으며, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

Removed figure.