Question: Che cosa è un' altra funzione che primes hanno che il numero 1 non lo fa?

Answer: funzione totient di Eulero

Un grande corpus di lavoro matematico sarebbe ancora valido quando si chiama 1 un primo, ma il teorema fondamentale di Euclide di aritmetica (menzionato sopra) non avrebbe tenuto come detto. Ad esempio, il numero 15 può essere considerato come 3 - 5 e 1 - 3 - 5; se 1 fosse ammesso come primo, queste due presentazioni sarebbero considerate diverse fattorizzazioni di 15 in numeri primi, quindi l' affermazione di quel teorema dovrebbe essere modificata. Allo stesso modo, il setaccio di Eratostene non funzionerebbe correttamente se 1 fosse considerato come un primo: una versione modificata del setaccio che consideri 1 come primo eliminerebbe tutti i multipli di 1 (cioè tutti gli altri numeri) e produrrebbe come output solo il singolo numero 1. Inoltre, i numeri principali hanno diverse proprietà che il numero 1 manca, come la relazione del numero al suo valore corrispondente <hl> della funzione totient di Eulero o la somma della funzione divisori. <hl>

Un grande corpus di lavoro matematico sarebbe ancora valido quando si chiama 1 un primo, ma il teorema fondamentale di Euclide di aritmetica (menzionato sopra) non avrebbe tenuto come detto. Ad esempio, il numero 15 può essere considerato come 3 - 5 e 1 - 3 - 5; se 1 fosse ammesso come primo, queste due presentazioni sarebbero considerate diverse fattorizzazioni di 15 in numeri primi, quindi l' affermazione di quel teorema dovrebbe essere modificata. Allo stesso modo, il setaccio di Eratostene non funzionerebbe correttamente se 1 fosse considerato come un primo: una versione modificata del setaccio che consideri 1 come primo eliminerebbe tutti i multipli di 1 (cioè tutti gli altri numeri) e produrrebbe come output solo il singolo numero 1. Inoltre, i numeri principali hanno diverse proprietà che il numero 1 manca, come la relazione del numero al suo valore corrispondente della <hl> funzione totient di Eulero <hl> o la somma della funzione divisori.


Question: Che cosa è una funzione che i numeri prime hanno che 1 non ha?

Un grande corpus di lavoro matematico sarebbe ancora valido quando si chiama 1 un primo, ma il teorema fondamentale di Euclide di aritmetica (menzionato sopra) non avrebbe tenuto come detto. Ad esempio, il numero 15 può essere considerato come 3 - 5 e 1 - 3 - 5; se 1 fosse ammesso come primo, queste due presentazioni sarebbero considerate diverse fattorizzazioni di 15 in numeri primi, quindi l' affermazione di quel teorema dovrebbe essere modificata. Allo stesso modo, il setaccio di Eratostene non funzionerebbe correttamente se 1 fosse considerato come un primo: una versione modificata del setaccio che consideri 1 come primo eliminerebbe tutti i multipli di 1 (cioè tutti gli altri numeri) e produrrebbe come output solo il singolo numero 1. Inoltre, i numeri principali hanno diverse proprietà che il numero 1 manca, come la relazione del numero al suo valore corrispondente della funzione totient di Eulero o la somma della funzione divisori.

Answer: la somma della funzione divisori

o la somma della funzione divisori .

Un grande corpus di lavoro matematico sarebbe ancora valido quando si chiama 1 un primo, ma il teorema fondamentale di Euclide di aritmetica (menzionato sopra) non avrebbe tenuto come detto. Ad esempio, il numero 15 può essere considerato come 3 - 5 e 1 - 3 - 5; se 1 fosse ammesso come primo, queste due presentazioni sarebbero considerate diverse fattorizzazioni di 15 in numeri primi, quindi l' affermazione di quel teorema dovrebbe essere modificata. Allo stesso modo, il setaccio di Eratostene non funzionerebbe correttamente se 1 fosse considerato come un primo: una versione modificata del setaccio che consideri 1 come primo eliminerebbe tutti i multipli di 1 (cioè tutti gli altri numeri) e produrrebbe come output solo il singolo numero 1. Inoltre, i numeri principali hanno diverse proprietà che il numero 1 manca, come la relazione del numero al suo valore corrispondente della funzione totient di Eulero <hl> o la somma della funzione divisori . <hl>

Un grande corpus di lavoro matematico sarebbe ancora valido quando si chiama 1 un primo, ma il teorema fondamentale di Euclide di aritmetica (menzionato sopra) non avrebbe tenuto come detto. Ad esempio, il numero 15 può essere considerato come 3 - 5 e 1 - 3 - 5; se 1 fosse ammesso come primo, queste due presentazioni sarebbero considerate diverse fattorizzazioni di 15 in numeri primi, quindi l' affermazione di quel teorema dovrebbe essere modificata. Allo stesso modo, il setaccio di Eratostene non funzionerebbe correttamente se 1 fosse considerato come un primo: una versione modificata del setaccio che consideri 1 come primo eliminerebbe tutti i multipli di 1 (cioè tutti gli altri numeri) e produrrebbe come output solo il singolo numero 1. Inoltre, i numeri principali hanno diverse proprietà che il numero 1 manca, come la relazione del numero al suo valore corrispondente della funzione totient di Eulero o <hl> la somma della funzione divisori <hl>.

o <hl> la somma della funzione divisori <hl> .


Question: Se 1 doveva essere considerato come un prodotto primario, cosa produrrebbe il setaccio di Eratostene per tutti gli altri numeri?

Answer: 1

<hl> Un grande corpus di lavoro matematico sarebbe ancora valido quando si chiama 1 un primo, ma il teorema fondamentale di Euclide di aritmetica (menzionato sopra) non avrebbe tenuto come detto. <hl> Ad esempio, il numero 15 può essere considerato come 3 - 5 e 1 - 3 - 5; se 1 fosse ammesso come primo, queste due presentazioni sarebbero considerate diverse fattorizzazioni di 15 in numeri primi, quindi l' affermazione di quel teorema dovrebbe essere modificata. Allo stesso modo, il setaccio di Eratostene non funzionerebbe correttamente se 1 fosse considerato come un primo: una versione modificata del setaccio che consideri 1 come primo eliminerebbe tutti i multipli di 1 (cioè tutti gli altri numeri) e produrrebbe come output solo il singolo numero 1. Inoltre, i numeri principali hanno diverse proprietà che il numero 1 manca, come la relazione del numero al suo valore corrispondente della funzione totient di Eulero o la somma della funzione divisori.

Un grande corpus di lavoro matematico sarebbe ancora valido quando si chiama <hl> 1 <hl> un primo, ma il teorema fondamentale di Euclide di aritmetica (menzionato sopra) non avrebbe tenuto come detto. Ad esempio, il numero 15 può essere considerato come 3 - 5 e 1 - 3 - 5; se 1 fosse ammesso come primo, queste due presentazioni sarebbero considerate diverse fattorizzazioni di 15 in numeri primi, quindi l' affermazione di quel teorema dovrebbe essere modificata. Allo stesso modo, il setaccio di Eratostene non funzionerebbe correttamente se 1 fosse considerato come un primo: una versione modificata del setaccio che consideri 1 come primo eliminerebbe tutti i multipli di 1 (cioè tutti gli altri numeri) e produrrebbe come output solo il singolo numero 1. Inoltre, i numeri principali hanno diverse proprietà che il numero 1 manca, come la relazione del numero al suo valore corrispondente della funzione totient di Eulero o la somma della funzione divisori.


Question: Qual è il nome del papiro egiziano che suggerisce di aver avuto conoscenza dei numeri primi?

Nei documenti sopravvissuti degli antichi Egiziani ci sono accenni che avevano una certa conoscenza dei numeri primari: le espansioni della frazione egiziana nel papiro del Reno, ad esempio, hanno forme molto diverse per i primes e per i compositi. Tuttavia, i primi documenti sopravvissuti allo studio esplicito dei numeri primi provengono dagli antichi greci. Gli Elementi di Euclide (circa 300 aC) contengono importanti teoremi sui primi, tra cui l' infinità dei primi e il teorema fondamentale dell' aritmetica. Euclide ha anche mostrato come costruire un numero perfetto da un Mersenne prime. Il setaccio di Eratostene, attribuito a Eratostene, è un metodo semplice per calcolare i primi, anche se i grandi primi trovati oggi con i computer non vengono generati in questo modo.

Answer: frazione egiziana

Nei documenti sopravvissuti degli antichi Egiziani ci sono accenni che avevano una certa conoscenza dei numeri primari: le espansioni <hl> della frazione egiziana nel papiro del Reno, ad esempio, hanno forme molto diverse per i primes e per i compositi. <hl> Tuttavia, i primi documenti sopravvissuti allo studio esplicito dei numeri primi provengono dagli antichi greci. Gli Elementi di Euclide (circa 300 aC) contengono importanti teoremi sui primi, tra cui l' infinità dei primi e il teorema fondamentale dell' aritmetica. Euclide ha anche mostrato come costruire un numero perfetto da un Mersenne prime. Il setaccio di Eratostene, attribuito a Eratostene, è un metodo semplice per calcolare i primi, anche se i grandi primi trovati oggi con i computer non vengono generati in questo modo.

Nei documenti sopravvissuti degli antichi Egiziani ci sono accenni che avevano una certa conoscenza dei numeri primari: le espansioni della <hl> frazione egiziana <hl> nel papiro del Reno, ad esempio, hanno forme molto diverse per i primes e per i compositi. Tuttavia, i primi documenti sopravvissuti allo studio esplicito dei numeri primi provengono dagli antichi greci. Gli Elementi di Euclide (circa 300 aC) contengono importanti teoremi sui primi, tra cui l' infinità dei primi e il teorema fondamentale dell' aritmetica. Euclide ha anche mostrato come costruire un numero perfetto da un Mersenne prime. Il setaccio di Eratostene, attribuito a Eratostene, è un metodo semplice per calcolare i primi, anche se i grandi primi trovati oggi con i computer non vengono generati in questo modo.


Question: Quale civiltà è stata la prima conosciuta a studiare chiaramente i numeri primi?

Answer: gli antichi greci

Nei documenti sopravvissuti degli antichi Egiziani ci sono accenni che avevano una certa conoscenza dei numeri primari: le espansioni della frazione egiziana nel papiro del Reno, ad esempio, hanno forme molto diverse per i primes e per i compositi. <hl> Tuttavia, i primi documenti sopravvissuti allo studio esplicito dei numeri primi provengono da gli antichi greci . <hl> Gli Elementi di Euclide (circa 300 aC) contengono importanti teoremi sui primi, tra cui l' infinità dei primi e il teorema fondamentale dell' aritmetica. Euclide ha anche mostrato come costruire un numero perfetto da un Mersenne prime. Il setaccio di Eratostene, attribuito a Eratostene, è un metodo semplice per calcolare i primi, anche se i grandi primi trovati oggi con i computer non vengono generati in questo modo.

Nei documenti sopravvissuti degli antichi Egiziani ci sono accenni che avevano una certa conoscenza dei numeri primari: le espansioni della frazione egiziana nel papiro del Reno, ad esempio, hanno forme molto diverse per i primes e per i compositi. Tuttavia, i primi documenti sopravvissuti allo studio esplicito dei numeri primi provengono da<hl> gli antichi greci <hl>. Gli Elementi di Euclide (circa 300 aC) contengono importanti teoremi sui primi, tra cui l' infinità dei primi e il teorema fondamentale dell' aritmetica. Euclide ha anche mostrato come costruire un numero perfetto da un Mersenne prime. Il setaccio di Eratostene, attribuito a Eratostene, è un metodo semplice per calcolare i primi, anche se i grandi primi trovati oggi con i computer non vengono generati in questo modo.

Tuttavia, i primi documenti sopravvissuti allo studio esplicito dei numeri primi provengono da <hl> gli antichi greci <hl> .


Question: Che lavoro da circa 300 aC ha teoremi significativi sui numeri primi?

Answer: Elementi di Euclide

Nei documenti sopravvissuti degli antichi Egiziani ci sono accenni che avevano una certa conoscenza dei numeri primari: le espansioni della frazione egiziana nel papiro del Reno, ad esempio, hanno forme molto diverse per i primes e per i compositi. Tuttavia, i primi documenti sopravvissuti allo studio esplicito dei numeri primi provengono dagli antichi greci. <hl> Gli Elementi di Euclide (circa 300 aC) contengono importanti teoremi sui primi, tra cui l' infinità dei primi e il teorema fondamentale dell' aritmetica. <hl> Euclide ha anche mostrato come costruire un numero perfetto da un Mersenne prime. Il setaccio di Eratostene, attribuito a Eratostene, è un metodo semplice per calcolare i primi, anche se i grandi primi trovati oggi con i computer non vengono generati in questo modo.

Nei documenti sopravvissuti degli antichi Egiziani ci sono accenni che avevano una certa conoscenza dei numeri primari: le espansioni della frazione egiziana nel papiro del Reno, ad esempio, hanno forme molto diverse per i primes e per i compositi. Tuttavia, i primi documenti sopravvissuti allo studio esplicito dei numeri primi provengono dagli antichi greci. Gli <hl> Elementi di Euclide <hl> (circa 300 aC) contengono importanti teoremi sui primi, tra cui l' infinità dei primi e il teorema fondamentale dell' aritmetica. Euclide ha anche mostrato come costruire un numero perfetto da un Mersenne prime. Il setaccio di Eratostene, attribuito a Eratostene, è un metodo semplice per calcolare i primi, anche se i grandi primi trovati oggi con i computer non vengono generati in questo modo.


Question: Chi ha dimostrato come creare un numero perfetto da un Mersenne prime?

Answer: Euclide

Nei documenti sopravvissuti degli antichi Egiziani ci sono accenni che avevano una certa conoscenza dei numeri primari: le espansioni della frazione egiziana nel papiro del Reno, ad esempio, hanno forme molto diverse per i primes e per i compositi. Tuttavia, i primi documenti sopravvissuti allo studio esplicito dei numeri primi provengono dagli antichi greci. <hl> Gli Elementi di Euclide (circa 300 aC) contengono importanti teoremi sui primi, tra cui l' infinità dei primi e il teorema fondamentale dell' aritmetica. <hl> Euclide ha anche mostrato come costruire un numero perfetto da un Mersenne prime. Il setaccio di Eratostene, attribuito a Eratostene, è un metodo semplice per calcolare i primi, anche se i grandi primi trovati oggi con i computer non vengono generati in questo modo.

Nei documenti sopravvissuti degli antichi Egiziani ci sono accenni che avevano una certa conoscenza dei numeri primari: le espansioni della frazione egiziana nel papiro del Reno, ad esempio, hanno forme molto diverse per i primes e per i compositi. Tuttavia, i primi documenti sopravvissuti allo studio esplicito dei numeri primi provengono dagli antichi greci. Gli Elementi di <hl> Euclide <hl> (circa 300 aC) contengono importanti teoremi sui primi, tra cui l' infinità dei primi e il teorema fondamentale dell' aritmetica. Euclide ha anche mostrato come costruire un numero perfetto da un Mersenne prime. Il setaccio di Eratostene, attribuito a Eratostene, è un metodo semplice per calcolare i primi, anche se i grandi primi trovati oggi con i computer non vengono generati in questo modo.


Question: In quale anno Pierre de Fermat ha dichiarato il piccolo teorema di Fermat?

Dopo i Greci, poco è successo con lo studio dei numeri primi fino al 17 ° secolo. Nel 1640 Pierre de Fermat dichiarò (senza prove) il piccolo teorema di Fermat (poi provato da Leibniz ed Euler). Fermat ha anche ipotizzato che tutti i numeri del modulo 22n + 1 sono primi (si chiamano numeri Fermat) e lo ha verificato fino a n = 4 (o 216 + 1). Tuttavia, il successivo numero Fermat 232 + 1 è composito (uno dei suoi fattori principali è 641), come Eulero scoprì più tardi, e in effetti non sono noti altri numeri Fermat. Il monaco francese Marin Mersenne guardò i primes della forma 2p - 1, con p a prime. Essi sono chiamati Mersenne primes in suo onore.

Answer: Nel 1640

Nel 1640

Dopo i Greci, poco è successo con lo studio dei numeri primi fino al 17 ° secolo. <hl> Nel 1640 <hl> Pierre de Fermat dichiarò (senza prove) il piccolo teorema di Fermat (poi provato da Leibniz ed Euler). Fermat ha anche ipotizzato che tutti i numeri del modulo 22n + 1 sono primi (si chiamano numeri Fermat) e lo ha verificato fino a n = 4 (o 216 + 1). Tuttavia, il successivo numero Fermat 232 + 1 è composito (uno dei suoi fattori principali è 641), come Eulero scoprì più tardi, e in effetti non sono noti altri numeri Fermat. Il monaco francese Marin Mersenne guardò i primes della forma 2p - 1, con p a prime. Essi sono chiamati Mersenne primes in suo onore.


Question: Oltre a Leibniz, quale altro matematico ha dimostrato la validità del piccolo teorema di Fermat?

Answer: Eulero

Dopo i Greci, poco è successo con lo studio dei numeri primi fino al 17 ° secolo. Nel 1640 Pierre de Fermat dichiarò (senza prove) il piccolo teorema di Fermat (poi provato da Leibniz ed Euler). Fermat ha anche ipotizzato che tutti i numeri del modulo 22n + 1 sono primi (si chiamano numeri Fermat) e lo ha verificato fino a n = 4 (o 216 + 1). Tuttavia, il successivo numero Fermat 232 + 1 è composito (uno dei suoi fattori principali è 641), <hl> come Eulero scoprì più tardi, e in effetti non sono noti altri numeri Fermat. <hl> Il monaco francese Marin Mersenne guardò i primes della forma 2p - 1, con p a prime. Essi sono chiamati Mersenne primes in suo onore.

Dopo i Greci, poco è successo con lo studio dei numeri primi fino al 17 ° secolo. Nel 1640 Pierre de Fermat dichiarò (senza prove) il piccolo teorema di Fermat (poi provato da Leibniz ed Euler). Fermat ha anche ipotizzato che tutti i numeri del modulo 22n + 1 sono primi (si chiamano numeri Fermat) e lo ha verificato fino a n = 4 (o 216 + 1). Tuttavia, il successivo numero Fermat 232 + 1 è composito (uno dei suoi fattori principali è 641), come <hl> Eulero <hl> scoprì più tardi, e in effetti non sono noti altri numeri Fermat. Il monaco francese Marin Mersenne guardò i primes della forma 2p - 1, con p a prime. Essi sono chiamati Mersenne primes in suo onore.


Question: Quale forma assumono i numeri Fermat?

Answer: 22n + 1

Dopo i Greci, poco è successo con lo studio dei numeri primi fino al 17 ° secolo. Nel 1640 Pierre de Fermat dichiarò (senza prove) il piccolo teorema di Fermat (poi provato da Leibniz ed Euler). Fermat ha anche ipotizzato <hl> che tutti i numeri del modulo 22n + 1 sono primi (si chiamano numeri Fermat) e lo ha verificato fino a n = 4 (o 216 + 1). <hl> Tuttavia, il successivo numero Fermat 232 + 1 è composito (uno dei suoi fattori principali è 641), come Eulero scoprì più tardi, e in effetti non sono noti altri numeri Fermat. Il monaco francese Marin Mersenne guardò i primes della forma 2p - 1, con p a prime. Essi sono chiamati Mersenne primes in suo onore.

Dopo i Greci, poco è successo con lo studio dei numeri primi fino al 17 ° secolo. Nel 1640 Pierre de Fermat dichiarò (senza prove) il piccolo teorema di Fermat (poi provato da Leibniz ed Euler). Fermat ha anche ipotizzato che tutti i numeri del modulo <hl> 22n + 1 <hl> sono primi (si chiamano numeri Fermat) e lo ha verificato fino a n = 4 (o 216 + 1). Tuttavia, il successivo numero Fermat 232 + 1 è composito (uno dei suoi fattori principali è 641), come Eulero scoprì più tardi, e in effetti non sono noti altri numeri Fermat. Il monaco francese Marin Mersenne guardò i primes della forma 2p - 1, con p a prime. Essi sono chiamati Mersenne primes in suo onore.


Question: Quale forma assumono i primes Mersenne?

Answer: 2p - 1, con p a prime

Dopo i Greci, poco è successo con lo studio dei numeri primi fino al 17 ° secolo. Nel 1640 Pierre de Fermat dichiarò (senza prove) il piccolo teorema di Fermat (poi provato da Leibniz ed Euler). Fermat ha anche ipotizzato che tutti i numeri del modulo 22n + 1 sono primi (si chiamano numeri Fermat) e lo ha verificato fino a n = 4 (o 216 + 1). Tuttavia, il successivo numero Fermat 232 + 1 è composito (uno dei suoi fattori principali è 641), come Eulero scoprì più tardi, e in effetti non sono noti altri numeri Fermat. <hl> Il monaco francese Marin Mersenne guardò i primes della forma 2p - 1, con p a prime . <hl> Essi sono chiamati Mersenne primes in suo onore.

Dopo i Greci, poco è successo con lo studio dei numeri primi fino al 17 ° secolo. Nel 1640 Pierre de Fermat dichiarò (senza prove) il piccolo teorema di Fermat (poi provato da Leibniz ed Euler). Fermat ha anche ipotizzato che tutti i numeri del modulo 22n + 1 sono primi (si chiamano numeri Fermat) e lo ha verificato fino a n = 4 (o 216 + 1). Tuttavia, il successivo numero Fermat 232 + 1 è composito (uno dei suoi fattori principali è 641), come Eulero scoprì più tardi, e in effetti non sono noti altri numeri Fermat. Il monaco francese Marin Mersenne guardò i primes della forma <hl> 2p - 1, con p a prime <hl>. Essi sono chiamati Mersenne primes in suo onore.

Il monaco francese Marin Mersenne guardò i primes della forma <hl> 2p - 1, con p a prime <hl> .


Question: In che misura Fermat ha confermato la validità dei numeri Fermat?

Answer: fino a n = 4 (o 216 + 1)

Dopo i Greci, poco è successo con lo studio dei numeri primi fino al 17 ° secolo. Nel 1640 Pierre de Fermat dichiarò (senza prove) il piccolo teorema di Fermat (poi provato da Leibniz ed Euler). <hl> Fermat ha anche ipotizzato che tutti i numeri del modulo 22n + 1 sono primi (si chiamano numeri Fermat) e lo ha verificato fino a n = 4 (o 216 + 1) . <hl> Tuttavia, il successivo numero Fermat 232 + 1 è composito (uno dei suoi fattori principali è 641), come Eulero scoprì più tardi, e in effetti non sono noti altri numeri Fermat. Il monaco francese Marin Mersenne guardò i primes della forma 2p - 1, con p a prime. Essi sono chiamati Mersenne primes in suo onore.

Dopo i Greci, poco è successo con lo studio dei numeri primi fino al 17 ° secolo. Nel 1640 Pierre de Fermat dichiarò (senza prove) il piccolo teorema di Fermat (poi provato da Leibniz ed Euler). Fermat ha anche ipotizzato che tutti i numeri del modulo 22n + 1 sono primi (si chiamano numeri Fermat) e lo ha verificato <hl> fino a n = 4 (o 216 + 1) <hl>. Tuttavia, il successivo numero Fermat 232 + 1 è composito (uno dei suoi fattori principali è 641), come Eulero scoprì più tardi, e in effetti non sono noti altri numeri Fermat. Il monaco francese Marin Mersenne guardò i primes della forma 2p - 1, con p a prime. Essi sono chiamati Mersenne primes in suo onore.

Fermat ha anche ipotizzato che tutti i numeri del modulo 22n + 1 sono primi (si chiamano numeri Fermat) e lo ha verificato <hl> fino a n = 4 (o 216 + 1) <hl> .


Question: Qual è il modo più elementare per testare la primarietà di un numero intero n?

Il metodo più semplice per verificare la primarietà di un dato numero intero n è chiamato divisione di prova. Questa routine consiste nel dividere n per ogni numero intero m superiore a 1 e inferiore o uguale alla radice quadrata di n. Se il risultato di una di queste divisioni è un numero intero, allora n non è un primo, altrimenti è un primo. Infatti, se  è composto (con a e b. 1) allora uno dei fattori a o b è necessariamente al massimo. Ad esempio, le divisioni di prova sono ad esempio: m = 2,3,4,5 e 6. Nessuno di questi numeri divide 37, quindi 37 è la prima. Questa routine può essere implementata in modo più efficiente se si conosce un elenco completo di primes fino a : quando le divisioni di prova devono essere controllate solo per quelle che sono prime. Ad esempio, per verificare la primarietà di 37, sono necessarie solo tre divisioni (m = 2,3 e 5), dato che 4 e 6 sono composte.

Answer: divisione di prova

<hl> Il metodo più semplice per verificare la primarietà di un dato numero intero n è chiamato divisione di prova . <hl> Questa routine consiste nel dividere n per ogni numero intero m superiore a 1 e inferiore o uguale alla radice quadrata di n. Se il risultato di una di queste divisioni è un numero intero, allora n non è un primo, altrimenti è un primo. Infatti, se è composto (con a e b. 1) allora uno dei fattori a o b è necessariamente al massimo. Ad esempio, le divisioni di prova sono ad esempio: m = 2,3,4,5 e 6. Nessuno di questi numeri divide 37, quindi 37 è la prima. Questa routine può essere implementata in modo più efficiente se si conosce un elenco completo di primes fino a : quando le divisioni di prova devono essere controllate solo per quelle che sono prime. Ad esempio, per verificare la primarietà di 37, sono necessarie solo tre divisioni (m = 2,3 e 5), dato che 4 e 6 sono composte.

Il metodo più semplice per verificare la primarietà di un dato numero intero n è chiamato <hl> divisione di prova <hl>. Questa routine consiste nel dividere n per ogni numero intero m superiore a 1 e inferiore o uguale alla radice quadrata di n. Se il risultato di una di queste divisioni è un numero intero, allora n non è un primo, altrimenti è un primo. Infatti, se è composto (con a e b. 1) allora uno dei fattori a o b è necessariamente al massimo. Ad esempio, le divisioni di prova sono ad esempio: m = 2,3,4,5 e 6. Nessuno di questi numeri divide 37, quindi 37 è la prima. Questa routine può essere implementata in modo più efficiente se si conosce un elenco completo di primes fino a : quando le divisioni di prova devono essere controllate solo per quelle che sono prime. Ad esempio, per verificare la primarietà di 37, sono necessarie solo tre divisioni (m = 2,3 e 5), dato che 4 e 6 sono composte.

Il metodo più semplice per verificare la primarietà di un dato numero intero n è chiamato <hl> divisione di prova <hl> .


Question: La divisione di prova consiste nel dividere n per ogni numero intero superiore a quello di cosa?

Answer: superiore a 1

m superiore a 1 e inferiore o uguale

Il metodo più semplice per verificare la primarietà di un dato numero intero n è chiamato divisione di prova. Questa routine consiste nel dividere n per ogni numero intero <hl> m superiore a 1 e inferiore o uguale <hl> alla radice quadrata di n. Se il risultato di una di queste divisioni è un numero intero, allora n non è un primo, altrimenti è un primo. Infatti, se è composto (con a e b. 1) allora uno dei fattori a o b è necessariamente al massimo. Ad esempio, le divisioni di prova sono ad esempio: m = 2,3,4,5 e 6. Nessuno di questi numeri divide 37, quindi 37 è la prima. Questa routine può essere implementata in modo più efficiente se si conosce un elenco completo di primes fino a : quando le divisioni di prova devono essere controllate solo per quelle che sono prime. Ad esempio, per verificare la primarietà di 37, sono necessarie solo tre divisioni (m = 2,3 e 5), dato che 4 e 6 sono composte.

Il metodo più semplice per verificare la primarietà di un dato numero intero n è chiamato divisione di prova. Questa routine consiste nel dividere n per ogni numero intero m <hl> superiore a 1 <hl> e inferiore o uguale alla radice quadrata di n. Se il risultato di una di queste divisioni è un numero intero, allora n non è un primo, altrimenti è un primo. Infatti, se è composto (con a e b. 1) allora uno dei fattori a o b è necessariamente al massimo. Ad esempio, le divisioni di prova sono ad esempio: m = 2,3,4,5 e 6. Nessuno di questi numeri divide 37, quindi 37 è la prima. Questa routine può essere implementata in modo più efficiente se si conosce un elenco completo di primes fino a : quando le divisioni di prova devono essere controllate solo per quelle che sono prime. Ad esempio, per verificare la primarietà di 37, sono necessarie solo tre divisioni (m = 2,3 e 5), dato che 4 e 6 sono composte.


Question: Quanti tipi moderni di test di primalità per i numeri generici n sono disponibili?

I moderni test di primarietà per i numeri generali n possono essere suddivisi in due classi principali, probabilistiche (o "Monte Carlo") e algoritmi deterministici. Gli algoritmi deterministici forniscono un modo per sapere con certezza se un dato numero è o meno di prim' ordine. Per esempio, la divisione di prova è un algoritmo deterministico perchè, se eseguita correttamente, identificherà sempre un numero primo come primo e un numero composito come composito. Gli algoritmi probabilistici sono normalmente più veloci, ma non dimostrano completamente che un numero è al primo posto. Questi test si basano sulla prova di un dato numero in modo parzialmente casuale. Ad esempio, una data prova potrebbe passare per tutto il tempo se applicata ad un primo numero, ma passare solo con probabilità p se applicata ad un numero composito. Se ripetiamo il test n volte e passiamo ogni volta, allora la probabilità che il nostro numero è composito è 1/ (1-p)n, che diminuisce esponenzialmente con il numero di test, quindi possiamo essere sicuri come ci piace (anche se mai perfettamente sicuro) che il numero è primo. D' altra parte, se il test dovesse mai fallire, allora sappiamo che il numero è composito.

Answer: due classi principali

I moderni test di primarietà per i numeri generali n possono essere suddivisi <hl> in due classi principali , probabilistiche <hl> (o "Monte Carlo") e algoritmi deterministici. Gli algoritmi deterministici forniscono un modo per sapere con certezza se un dato numero è o meno di prim' ordine. Per esempio, la divisione di prova è un algoritmo deterministico perchè, se eseguita correttamente, identificherà sempre un numero primo come primo e un numero composito come composito. Gli algoritmi probabilistici sono normalmente più veloci, ma non dimostrano completamente che un numero è al primo posto. Questi test si basano sulla prova di un dato numero in modo parzialmente casuale. Ad esempio, una data prova potrebbe passare per tutto il tempo se applicata ad un primo numero, ma passare solo con probabilità p se applicata ad un numero composito. Se ripetiamo il test n volte e passiamo ogni volta, allora la probabilità che il nostro numero è composito è 1/ (1-p)n, che diminuisce esponenzialmente con il numero di test, quindi possiamo essere sicuri come ci piace (anche se mai perfettamente sicuro) che il numero è primo. D' altra parte, se il test dovesse mai fallire, allora sappiamo che il numero è composito.

I moderni test di primarietà per i numeri generali n possono essere suddivisi in <hl> due classi principali <hl>, probabilistiche (o "Monte Carlo") e algoritmi deterministici. Gli algoritmi deterministici forniscono un modo per sapere con certezza se un dato numero è o meno di prim' ordine. Per esempio, la divisione di prova è un algoritmo deterministico perchè, se eseguita correttamente, identificherà sempre un numero primo come primo e un numero composito come composito. Gli algoritmi probabilistici sono normalmente più veloci, ma non dimostrano completamente che un numero è al primo posto. Questi test si basano sulla prova di un dato numero in modo parzialmente casuale. Ad esempio, una data prova potrebbe passare per tutto il tempo se applicata ad un primo numero, ma passare solo con probabilità p se applicata ad un numero composito. Se ripetiamo il test n volte e passiamo ogni volta, allora la probabilità che il nostro numero è composito è 1/ (1-p)n, che diminuisce esponenzialmente con il numero di test, quindi possiamo essere sicuri come ci piace (anche se mai perfettamente sicuro) che il numero è primo. D' altra parte, se il test dovesse mai fallire, allora sappiamo che il numero è composito.

in <hl> due classi principali <hl> , probabilistiche


Question: Qual è il nome di un tipo di test di primarietà moderno?

Answer: probabilistic

<hl> I moderni test di primarietà per i numeri generali n possono essere suddivisi in due classi principali, probabilistic he (o "Monte Carlo") e algoritmi deterministici. <hl> Gli algoritmi deterministici forniscono un modo per sapere con certezza se un dato numero è o meno di prim' ordine. Per esempio, la divisione di prova è un algoritmo deterministico perchè, se eseguita correttamente, identificherà sempre un numero primo come primo e un numero composito come composito. Gli algoritmi probabilistici sono normalmente più veloci, ma non dimostrano completamente che un numero è al primo posto. Questi test si basano sulla prova di un dato numero in modo parzialmente casuale. Ad esempio, una data prova potrebbe passare per tutto il tempo se applicata ad un primo numero, ma passare solo con probabilità p se applicata ad un numero composito. Se ripetiamo il test n volte e passiamo ogni volta, allora la probabilità che il nostro numero è composito è 1/ (1-p)n, che diminuisce esponenzialmente con il numero di test, quindi possiamo essere sicuri come ci piace (anche se mai perfettamente sicuro) che il numero è primo. D' altra parte, se il test dovesse mai fallire, allora sappiamo che il numero è composito.

I moderni test di primarietà per i numeri generali n possono essere suddivisi in due classi principali, <hl> probabilistic <hl>he (o "Monte Carlo") e algoritmi deterministici. Gli algoritmi deterministici forniscono un modo per sapere con certezza se un dato numero è o meno di prim' ordine. Per esempio, la divisione di prova è un algoritmo deterministico perchè, se eseguita correttamente, identificherà sempre un numero primo come primo e un numero composito come composito. Gli algoritmi probabilistici sono normalmente più veloci, ma non dimostrano completamente che un numero è al primo posto. Questi test si basano sulla prova di un dato numero in modo parzialmente casuale. Ad esempio, una data prova potrebbe passare per tutto il tempo se applicata ad un primo numero, ma passare solo con probabilità p se applicata ad un numero composito. Se ripetiamo il test n volte e passiamo ogni volta, allora la probabilità che il nostro numero è composito è 1/ (1-p)n, che diminuisce esponenzialmente con il numero di test, quindi possiamo essere sicuri come ci piace (anche se mai perfettamente sicuro) che il numero è primo. D' altra parte, se il test dovesse mai fallire, allora sappiamo che il numero è composito.

I moderni test di primarietà per i numeri generali n possono essere suddivisi in due classi principali, <hl> probabilistic <hl> he (o "Monte Carlo") e algoritmi deterministici.


Question: Qual è il nome di un altro tipo di test di primarietà moderno?

Answer: deterministic

<hl> I moderni test di primarietà per i numeri generali n possono essere suddivisi in due classi principali, probabilistiche (o "Monte Carlo") e algoritmi deterministic i. Gli algoritmi deterministici forniscono un modo per sapere con certezza se un dato numero è o meno di prim' ordine. <hl> Per esempio, la divisione di prova è un algoritmo deterministico perchè, se eseguita correttamente, identificherà sempre un numero primo come primo e un numero composito come composito. Gli algoritmi probabilistici sono normalmente più veloci, ma non dimostrano completamente che un numero è al primo posto. Questi test si basano sulla prova di un dato numero in modo parzialmente casuale. Ad esempio, una data prova potrebbe passare per tutto il tempo se applicata ad un primo numero, ma passare solo con probabilità p se applicata ad un numero composito. Se ripetiamo il test n volte e passiamo ogni volta, allora la probabilità che il nostro numero è composito è 1/ (1-p)n, che diminuisce esponenzialmente con il numero di test, quindi possiamo essere sicuri come ci piace (anche se mai perfettamente sicuro) che il numero è primo. D' altra parte, se il test dovesse mai fallire, allora sappiamo che il numero è composito.

I moderni test di primarietà per i numeri generali n possono essere suddivisi in due classi principali, probabilistiche (o "Monte Carlo") e algoritmi <hl> deterministic <hl>i. Gli algoritmi deterministici forniscono un modo per sapere con certezza se un dato numero è o meno di prim' ordine. Per esempio, la divisione di prova è un algoritmo deterministico perchè, se eseguita correttamente, identificherà sempre un numero primo come primo e un numero composito come composito. Gli algoritmi probabilistici sono normalmente più veloci, ma non dimostrano completamente che un numero è al primo posto. Questi test si basano sulla prova di un dato numero in modo parzialmente casuale. Ad esempio, una data prova potrebbe passare per tutto il tempo se applicata ad un primo numero, ma passare solo con probabilità p se applicata ad un numero composito. Se ripetiamo il test n volte e passiamo ogni volta, allora la probabilità che il nostro numero è composito è 1/ (1-p)n, che diminuisce esponenzialmente con il numero di test, quindi possiamo essere sicuri come ci piace (anche se mai perfettamente sicuro) che il numero è primo. D' altra parte, se il test dovesse mai fallire, allora sappiamo che il numero è composito.

I moderni test di primarietà per i numeri generali n possono essere suddivisi in due classi principali, probabilistiche (o "Monte Carlo") e algoritmi <hl> deterministic <hl> i. Gli algoritmi deterministici forniscono un modo per sapere con certezza se un dato numero è o meno di prim' ordine.


Question: Che tipo di algoritmo è divisione di prova?

Answer: deterministic

<hl> I moderni test di primarietà per i numeri generali n possono essere suddivisi in due classi principali, probabilistiche (o "Monte Carlo") e algoritmi deterministic i. Gli algoritmi deterministici forniscono un modo per sapere con certezza se un dato numero è o meno di prim' ordine. <hl> Per esempio, la divisione di prova è un algoritmo deterministico perchè, se eseguita correttamente, identificherà sempre un numero primo come primo e un numero composito come composito. Gli algoritmi probabilistici sono normalmente più veloci, ma non dimostrano completamente che un numero è al primo posto. Questi test si basano sulla prova di un dato numero in modo parzialmente casuale. Ad esempio, una data prova potrebbe passare per tutto il tempo se applicata ad un primo numero, ma passare solo con probabilità p se applicata ad un numero composito. Se ripetiamo il test n volte e passiamo ogni volta, allora la probabilità che il nostro numero è composito è 1/ (1-p)n, che diminuisce esponenzialmente con il numero di test, quindi possiamo essere sicuri come ci piace (anche se mai perfettamente sicuro) che il numero è primo. D' altra parte, se il test dovesse mai fallire, allora sappiamo che il numero è composito.

I moderni test di primarietà per i numeri generali n possono essere suddivisi in due classi principali, probabilistiche (o "Monte Carlo") e algoritmi <hl> deterministic <hl>i. Gli algoritmi deterministici forniscono un modo per sapere con certezza se un dato numero è o meno di prim' ordine. Per esempio, la divisione di prova è un algoritmo deterministico perchè, se eseguita correttamente, identificherà sempre un numero primo come primo e un numero composito come composito. Gli algoritmi probabilistici sono normalmente più veloci, ma non dimostrano completamente che un numero è al primo posto. Questi test si basano sulla prova di un dato numero in modo parzialmente casuale. Ad esempio, una data prova potrebbe passare per tutto il tempo se applicata ad un primo numero, ma passare solo con probabilità p se applicata ad un numero composito. Se ripetiamo il test n volte e passiamo ogni volta, allora la probabilità che il nostro numero è composito è 1/ (1-p)n, che diminuisce esponenzialmente con il numero di test, quindi possiamo essere sicuri come ci piace (anche se mai perfettamente sicuro) che il numero è primo. D' altra parte, se il test dovesse mai fallire, allora sappiamo che il numero è composito.

I moderni test di primarietà per i numeri generali n possono essere suddivisi in due classi principali, probabilistiche (o "Monte Carlo") e algoritmi <hl> deterministic <hl> i. Gli algoritmi deterministici forniscono un modo per sapere con certezza se un dato numero è o meno di prim' ordine.


Question: Quando si utilizza un algoritmo probabilistico, come è la probabilità che il numero sia composito espresso matematicamente?

Answer: 1/ (1-p)n

I moderni test di primarietà per i numeri generali n possono essere suddivisi in due classi principali, probabilistiche (o "Monte Carlo") e algoritmi deterministici. Gli algoritmi deterministici forniscono un modo per sapere con certezza se un dato numero è o meno di prim' ordine. Per esempio, la divisione di prova è un algoritmo deterministico perchè, se eseguita correttamente, identificherà sempre un numero primo come primo e un numero composito come composito. Gli algoritmi probabilistici sono normalmente più veloci, ma non dimostrano completamente che un numero è al primo posto. Questi test si basano sulla prova di un dato numero in modo parzialmente casuale. Ad esempio, una data prova potrebbe passare per tutto il tempo se applicata ad un primo numero, ma passare solo con probabilità p se applicata ad un numero composito. <hl> Se ripetiamo il test n volte e passiamo ogni volta, allora la probabilità che il nostro numero è composito è 1/ (1-p)n , che diminuisce esponenzialmente con il numero di test, quindi possiamo essere sicuri come ci piace (anche se mai perfettamente sicuro) che il numero è primo. <hl> D' altra parte, se il test dovesse mai fallire, allora sappiamo che il numero è composito.

I moderni test di primarietà per i numeri generali n possono essere suddivisi in due classi principali, probabilistiche (o "Monte Carlo") e algoritmi deterministici. Gli algoritmi deterministici forniscono un modo per sapere con certezza se un dato numero è o meno di prim' ordine. Per esempio, la divisione di prova è un algoritmo deterministico perchè, se eseguita correttamente, identificherà sempre un numero primo come primo e un numero composito come composito. Gli algoritmi probabilistici sono normalmente più veloci, ma non dimostrano completamente che un numero è al primo posto. Questi test si basano sulla prova di un dato numero in modo parzialmente casuale. Ad esempio, una data prova potrebbe passare per tutto il tempo se applicata ad un primo numero, ma passare solo con probabilità p se applicata ad un numero composito. Se ripetiamo il test n volte e passiamo ogni volta, allora la probabilità che il nostro numero è composito è <hl> 1/ (1-p)n <hl>, che diminuisce esponenzialmente con il numero di test, quindi possiamo essere sicuri come ci piace (anche se mai perfettamente sicuro) che il numero è primo. D' altra parte, se il test dovesse mai fallire, allora sappiamo che il numero è composito.

Se ripetiamo il test n volte e passiamo ogni volta, allora la probabilità che il nostro numero è composito è <hl> 1/ (1-p)n <hl> , che diminuisce esponenzialmente con il numero di test, quindi possiamo essere sicuri come ci piace (anche se mai perfettamente sicuro) che il numero è primo.


Question: Che cos' è un caso semplice di test probabilistico?

Un esempio particolarmente semplice di test probabilistico è il test di primalità Fermat, che si basa sul fatto che np? n (mod p) per qualsiasi n se p è un numero primo. Se abbiamo un numero b che vogliamo testare per la primalità, allora lavoriamo nb (mod b) per un valore casuale di n come nostro test. Un difetto di questo test è che ci sono alcuni numeri compositi (i numeri Carmichael) che soddisfano l' identità Fermat anche se non sono primi, quindi il test non ha modo di distinguere tra numeri primi e numeri Carmichael. I numeri di Carmichael sono sostanzialmente più rari dei numeri primi, tuttavia, quindi questo test può essere utile per scopi pratici. Estensioni più potenti del test di primalità Fermat, come i test Baillie-PSW, Miller-Rabin e Solovay-Strassen, sono garantiti per fallire almeno un po' di tempo quando applicato a un numero composito.

Answer: il test di primalità Fermat,

Un esempio particolarmente semplice di test probabilistico <hl> è il test di primalità Fermat, che si basa sul fatto che np? <hl> n (mod p) per qualsiasi n se p è un numero primo. Se abbiamo un numero b che vogliamo testare per la primalità, allora lavoriamo nb (mod b) per un valore casuale di n come nostro test. Un difetto di questo test è che ci sono alcuni numeri compositi (i numeri Carmichael) che soddisfano l' identità Fermat anche se non sono primi, quindi il test non ha modo di distinguere tra numeri primi e numeri Carmichael. I numeri di Carmichael sono sostanzialmente più rari dei numeri primi, tuttavia, quindi questo test può essere utile per scopi pratici. Estensioni più potenti del test di primalità Fermat, come i test Baillie-PSW, Miller-Rabin e Solovay-Strassen, sono garantiti per fallire almeno un po' di tempo quando applicato a un numero composito.

Un esempio particolarmente semplice di test probabilistico è <hl> il test di primalità Fermat, <hl> che si basa sul fatto che np? n (mod p) per qualsiasi n se p è un numero primo. Se abbiamo un numero b che vogliamo testare per la primalità, allora lavoriamo nb (mod b) per un valore casuale di n come nostro test. Un difetto di questo test è che ci sono alcuni numeri compositi (i numeri Carmichael) che soddisfano l' identità Fermat anche se non sono primi, quindi il test non ha modo di distinguere tra numeri primi e numeri Carmichael. I numeri di Carmichael sono sostanzialmente più rari dei numeri primi, tuttavia, quindi questo test può essere utile per scopi pratici. Estensioni più potenti del test di primalità Fermat, come i test Baillie-PSW, Miller-Rabin e Solovay-Strassen, sono garantiti per fallire almeno un po' di tempo quando applicato a un numero composito.


Question: Da cosa dipende il test di primalità Fermat?

Answer: np? n (mod p)

<hl> Un esempio particolarmente semplice di test probabilistico è il test di primalità Fermat, che si basa sul fatto che np? n (mod p) per qualsiasi n se p è un numero primo. <hl> Se abbiamo un numero b che vogliamo testare per la primalità, allora lavoriamo nb (mod b) per un valore casuale di n come nostro test. Un difetto di questo test è che ci sono alcuni numeri compositi (i numeri Carmichael) che soddisfano l' identità Fermat anche se non sono primi, quindi il test non ha modo di distinguere tra numeri primi e numeri Carmichael. I numeri di Carmichael sono sostanzialmente più rari dei numeri primi, tuttavia, quindi questo test può essere utile per scopi pratici. Estensioni più potenti del test di primalità Fermat, come i test Baillie-PSW, Miller-Rabin e Solovay-Strassen, sono garantiti per fallire almeno un po' di tempo quando applicato a un numero composito.

Un esempio particolarmente semplice di test probabilistico è il test di primalità Fermat, che si basa sul fatto che <hl> np? n (mod p) <hl> per qualsiasi n se p è un numero primo. Se abbiamo un numero b che vogliamo testare per la primalità, allora lavoriamo nb (mod b) per un valore casuale di n come nostro test. Un difetto di questo test è che ci sono alcuni numeri compositi (i numeri Carmichael) che soddisfano l' identità Fermat anche se non sono primi, quindi il test non ha modo di distinguere tra numeri primi e numeri Carmichael. I numeri di Carmichael sono sostanzialmente più rari dei numeri primi, tuttavia, quindi questo test può essere utile per scopi pratici. Estensioni più potenti del test di primalità Fermat, come i test Baillie-PSW, Miller-Rabin e Solovay-Strassen, sono garantiti per fallire almeno un po' di tempo quando applicato a un numero composito.


Question: Che tipo di numeri dimostrano un difetto con il test di primalità Fermat?

Answer: numeri compositi (i numeri Carmichael)

Un esempio particolarmente semplice di test probabilistico è il test di primalità Fermat, che si basa sul fatto che np? n (mod p) per qualsiasi n se p è un numero primo. Se abbiamo un numero b che vogliamo testare per la primalità, allora lavoriamo nb (mod b) per un valore casuale di n come nostro test. Un difetto di questo test è che ci sono <hl> alcuni numeri compositi (i numeri Carmichael) che soddisfano l' identità Fermat anche se non sono primi, quindi il test non ha modo di distinguere tra numeri primi e numeri Carmichael. <hl> I numeri di Carmichael sono sostanzialmente più rari dei numeri primi, tuttavia, quindi questo test può essere utile per scopi pratici. Estensioni più potenti del test di primalità Fermat, come i test Baillie-PSW, Miller-Rabin e Solovay-Strassen, sono garantiti per fallire almeno un po' di tempo quando applicato a un numero composito.

Un esempio particolarmente semplice di test probabilistico è il test di primalità Fermat, che si basa sul fatto che np? n (mod p) per qualsiasi n se p è un numero primo. Se abbiamo un numero b che vogliamo testare per la primalità, allora lavoriamo nb (mod b) per un valore casuale di n come nostro test. Un difetto di questo test è che ci sono alcuni <hl> numeri compositi (i numeri Carmichael) <hl> che soddisfano l' identità Fermat anche se non sono primi, quindi il test non ha modo di distinguere tra numeri primi e numeri Carmichael. I numeri di Carmichael sono sostanzialmente più rari dei numeri primi, tuttavia, quindi questo test può essere utile per scopi pratici. Estensioni più potenti del test di primalità Fermat, come i test Baillie-PSW, Miller-Rabin e Solovay-Strassen, sono garantiti per fallire almeno un po' di tempo quando applicato a un numero composito.


Question: Qual è il nome di un' impressionante continuazione del test di primarietà Fermat?

Answer: Baillie-PSW

Un esempio particolarmente semplice di test probabilistico è il test di primalità Fermat, che si basa sul fatto che np? n (mod p) per qualsiasi n se p è un numero primo. Se abbiamo un numero b che vogliamo testare per la primalità, allora lavoriamo nb (mod b) per un valore casuale di n come nostro test. Un difetto di questo test è che ci sono alcuni numeri compositi (i numeri Carmichael) che soddisfano l' identità Fermat anche se non sono primi, quindi il test non ha modo di distinguere tra numeri primi e numeri Carmichael. I numeri di Carmichael sono sostanzialmente più rari dei numeri primi, tuttavia, quindi questo test può essere utile per scopi pratici. <hl> Estensioni più potenti del test di primalità Fermat, come i test Baillie-PSW , Miller-Rabin e Solovay-Strassen, sono garantiti per fallire almeno un po' di tempo quando applicato a un numero composito. <hl>

Un esempio particolarmente semplice di test probabilistico è il test di primalità Fermat, che si basa sul fatto che np? n (mod p) per qualsiasi n se p è un numero primo. Se abbiamo un numero b che vogliamo testare per la primalità, allora lavoriamo nb (mod b) per un valore casuale di n come nostro test. Un difetto di questo test è che ci sono alcuni numeri compositi (i numeri Carmichael) che soddisfano l' identità Fermat anche se non sono primi, quindi il test non ha modo di distinguere tra numeri primi e numeri Carmichael. I numeri di Carmichael sono sostanzialmente più rari dei numeri primi, tuttavia, quindi questo test può essere utile per scopi pratici. Estensioni più potenti del test di primalità Fermat, come i test <hl> Baillie-PSW <hl>, Miller-Rabin e Solovay-Strassen, sono garantiti per fallire almeno un po' di tempo quando applicato a un numero composito.

Estensioni più potenti del test di primalità Fermat, come i test <hl> Baillie-PSW <hl> , Miller-Rabin e Solovay-Strassen, sono garantiti per fallire almeno un po' di tempo quando applicato a un numero composito.


Question: Qual è il nome di un' altra irresistibile continuazione del test di primarietà Fermat?

Answer: Miller-Rabin

Un esempio particolarmente semplice di test probabilistico è il test di primalità Fermat, che si basa sul fatto che np? n (mod p) per qualsiasi n se p è un numero primo. Se abbiamo un numero b che vogliamo testare per la primalità, allora lavoriamo nb (mod b) per un valore casuale di n come nostro test. Un difetto di questo test è che ci sono alcuni numeri compositi (i numeri Carmichael) che soddisfano l' identità Fermat anche se non sono primi, quindi il test non ha modo di distinguere tra numeri primi e numeri Carmichael. I numeri di Carmichael sono sostanzialmente più rari dei numeri primi, tuttavia, quindi questo test può essere utile per scopi pratici. <hl> Estensioni più potenti del test di primalità Fermat, come i test Baillie-PSW, Miller-Rabin e Solovay-Strassen, sono garantiti per fallire almeno un po' di tempo quando applicato a un numero composito. <hl>

Un esempio particolarmente semplice di test probabilistico è il test di primalità Fermat, che si basa sul fatto che np? n (mod p) per qualsiasi n se p è un numero primo. Se abbiamo un numero b che vogliamo testare per la primalità, allora lavoriamo nb (mod b) per un valore casuale di n come nostro test. Un difetto di questo test è che ci sono alcuni numeri compositi (i numeri Carmichael) che soddisfano l' identità Fermat anche se non sono primi, quindi il test non ha modo di distinguere tra numeri primi e numeri Carmichael. I numeri di Carmichael sono sostanzialmente più rari dei numeri primi, tuttavia, quindi questo test può essere utile per scopi pratici. Estensioni più potenti del test di primalità Fermat, come i test Baillie-PSW, <hl> Miller-Rabin <hl> e Solovay-Strassen, sono garantiti per fallire almeno un po' di tempo quando applicato a un numero composito.


Question: Di che forma sono i primes di Sophie Germain?

sono primi. I numeri primi di questo modulo sono noti come primes fattoriali. Altri primes in cui p + 1 o p - 1 hanno una forma particolare sono i primes Sophie Germain (prime della forma 2p + 1 con p prime), primes primorial, Primes Fermat e Primes Mersenne, cioè i primi numeri che sono della forma 2p - 1, dove p è un primo arbitrario. Il test Lucas-Lehmer è particolarmente veloce per numeri di questo tipo. Per questo motivo il più grande primo conosciuto è stato quasi sempre un primo Mersenne fin dall' alba dei computer elettronici.

Answer: 2p + 1

sono primi. I numeri primi di questo modulo sono noti come primes fattoriali. <hl> Altri primes in cui p + 1 o p - 1 hanno una forma particolare sono i primes Sophie Germain (prime della forma 2p + 1 con p prime), primes primorial, Primes Fermat e Primes Mersenne, cioè i primi numeri che sono della forma 2p - 1, dove p è un primo arbitrario. <hl> Il test Lucas-Lehmer è particolarmente veloce per numeri di questo tipo. Per questo motivo il più grande primo conosciuto è stato quasi sempre un primo Mersenne fin dall' alba dei computer elettronici.

sono primi. I numeri primi di questo modulo sono noti come primes fattoriali. Altri primes in cui p + 1 o p - 1 hanno una forma particolare sono i primes Sophie Germain (prime della forma <hl> 2p + 1 <hl> con p prime), primes primorial, Primes Fermat e Primes Mersenne, cioè i primi numeri che sono della forma 2p - 1, dove p è un primo arbitrario. Il test Lucas-Lehmer è particolarmente veloce per numeri di questo tipo. Per questo motivo il più grande primo conosciuto è stato quasi sempre un primo Mersenne fin dall' alba dei computer elettronici.


Question: Di che forma sono i Mersenne primes?

Answer: 2p - 1, dove p è un primo arbitrario

sono primi. I numeri primi di questo modulo sono noti come primes fattoriali. <hl> Altri primes in cui p + 1 o p - 1 hanno una forma particolare sono i primes Sophie Germain (prime della forma 2p + 1 con p prime), primes primorial, Primes Fermat e Primes Mersenne, cioè i primi numeri che sono della forma 2p - 1, dove p è un primo arbitrario . <hl> Il test Lucas-Lehmer è particolarmente veloce per numeri di questo tipo. Per questo motivo il più grande primo conosciuto è stato quasi sempre un primo Mersenne fin dall' alba dei computer elettronici.

sono primi. I numeri primi di questo modulo sono noti come primes fattoriali. Altri primes in cui p + 1 o p - 1 hanno una forma particolare sono i primes Sophie Germain (prime della forma 2p + 1 con p prime), primes primorial, Primes Fermat e Primes Mersenne, cioè i primi numeri che sono della forma <hl> 2p - 1, dove p è un primo arbitrario <hl>. Il test Lucas-Lehmer è particolarmente veloce per numeri di questo tipo. Per questo motivo il più grande primo conosciuto è stato quasi sempre un primo Mersenne fin dall' alba dei computer elettronici.

Altri primes in cui p + 1 o p - 1 hanno una forma particolare sono i primes Sophie Germain (prime della forma 2p + 1 con p prime), primes primorial, Primes Fermat e Primes Mersenne, cioè i primi numeri che sono della forma <hl> 2p - 1, dove p è un primo arbitrario <hl> .


Question: Quale test è particolarmente utile per i numeri del modulo 2p - 1?

Answer: Il test Lucas-Lehmer

sono primi. I numeri primi di questo modulo sono noti come primes fattoriali. Altri primes in cui p + 1 o p - 1 hanno una forma particolare sono i primes Sophie Germain (prime della forma 2p + 1 con p prime), primes primorial, Primes Fermat e Primes Mersenne, cioè i primi numeri che sono della forma 2p - 1, dove p è un primo arbitrario. <hl> Il test Lucas-Lehmer è particolarmente veloce per numeri di questo tipo. <hl> Per questo motivo il più grande primo conosciuto è stato quasi sempre un primo Mersenne fin dall' alba dei computer elettronici.

sono primi. I numeri primi di questo modulo sono noti come primes fattoriali. Altri primes in cui p + 1 o p - 1 hanno una forma particolare sono i primes Sophie Germain (prime della forma 2p + 1 con p prime), primes primorial, Primes Fermat e Primes Mersenne, cioè i primi numeri che sono della forma 2p - 1, dove p è un primo arbitrario. <hl> Il test Lucas-Lehmer <hl> è particolarmente veloce per numeri di questo tipo. Per questo motivo il più grande primo conosciuto è stato quasi sempre un primo Mersenne fin dall' alba dei computer elettronici.


Question: Qual è il nome di un tipo di prime dove p+1 o p-1 assume una certa forma?

Answer: Fermat

sono primi. I numeri primi di questo modulo sono noti come primes fattoriali. Altri primes in cui p + 1 o p - 1 hanno una forma particolare sono i primes Sophie Germain (prime della forma 2p + 1 con p prime), primes primorial, <hl> Primes Fermat e Primes Mersenne, cioè i primi numeri che sono della forma 2p - 1, dove p è un primo arbitrario. <hl> Il test Lucas-Lehmer è particolarmente veloce per numeri di questo tipo. Per questo motivo il più grande primo conosciuto è stato quasi sempre un primo Mersenne fin dall' alba dei computer elettronici.

sono primi. I numeri primi di questo modulo sono noti come primes fattoriali. Altri primes in cui p + 1 o p - 1 hanno una forma particolare sono i primes Sophie Germain (prime della forma 2p + 1 con p prime), primes primorial, Primes <hl> Fermat <hl> e Primes Mersenne, cioè i primi numeri che sono della forma 2p - 1, dove p è un primo arbitrario. Il test Lucas-Lehmer è particolarmente veloce per numeri di questo tipo. Per questo motivo il più grande primo conosciuto è stato quasi sempre un primo Mersenne fin dall' alba dei computer elettronici.


Question: Qual è il nome di un altro tipo di prime qui p+1 o p-1 prende una certa forma?

Answer: Mersenne

sono primi. I numeri primi di questo modulo sono noti come primes fattoriali. <hl> Altri primes in cui p + 1 o p - 1 hanno una forma particolare sono i primes Sophie Germain (prime della forma 2p + 1 con p prime), primes primorial, Primes Fermat e Primes Mersenne , cioè i primi numeri che sono della forma 2p - 1, dove p è un primo arbitrario. <hl> Il test Lucas-Lehmer è particolarmente veloce per numeri di questo tipo. Per questo motivo il più grande primo conosciuto è stato quasi sempre un primo Mersenne fin dall' alba dei computer elettronici.

sono primi. I numeri primi di questo modulo sono noti come primes fattoriali. Altri primes in cui p + 1 o p - 1 hanno una forma particolare sono i primes Sophie Germain (prime della forma 2p + 1 con p prime), primes primorial, Primes Fermat e Primes <hl> Mersenne <hl>, cioè i primi numeri che sono della forma 2p - 1, dove p è un primo arbitrario. Il test Lucas-Lehmer è particolarmente veloce per numeri di questo tipo. Per questo motivo il più grande primo conosciuto è stato quasi sempre un primo Mersenne fin dall' alba dei computer elettronici.

Altri primes in cui p + 1 o p - 1 hanno una forma particolare sono i primes Sophie Germain (prime della forma 2p + 1 con p prime), primes primorial, Primes Fermat e Primes <hl> Mersenne <hl> , cioè i primi numeri che sono della forma 2p - 1, dove p è un primo arbitrario.


Question: Qual è il nome di un metodo di calcolo utilizzato per trovare i numeri prime?

La tabella che segue riporta i primi più grandi noti dei tipi summenzionati. Alcuni di questi primes sono stati trovati usando il calcolo distribuito. Nel 2009, al progetto Great Internet Mersenne Prime Search è stato assegnato un premio di 100.000 USD per la prima scoperta di un prodotto di qualità superiore con almeno 10 milioni di cifre. La Fondazione Electronic Frontier offre anche $150.000 e $250.000 per primes con almeno 100 milioni di cifre e 1 miliardo di cifre, rispettivamente. Alcuni dei primes più grandi che non hanno una forma particolare (cioè, nessuna formula semplice come quella dei primes di Mersenne) sono stati trovati prendendo un pezzo di dati binari semi-random, convertendoli in un numero n, moltiplicandoli per 256k per alcuni interi positivi k, e cercando possibili primes nell' intervallo[256kn + 1.256k (n + 1) - 1].

Answer: calcolo distribuito

il calcolo distribuito .

La tabella che segue riporta i primi più grandi noti dei tipi summenzionati. Alcuni di questi primes sono stati trovati usando <hl> il calcolo distribuito . <hl> Nel 2009, al progetto Great Internet Mersenne Prime Search è stato assegnato un premio di 100.000 USD per la prima scoperta di un prodotto di qualità superiore con almeno 10 milioni di cifre. La Fondazione Electronic Frontier offre anche $150.000 e $250.000 per primes con almeno 100 milioni di cifre e 1 miliardo di cifre, rispettivamente. Alcuni dei primes più grandi che non hanno una forma particolare (cioè, nessuna formula semplice come quella dei primes di Mersenne) sono stati trovati prendendo un pezzo di dati binari semi-random, convertendoli in un numero n, moltiplicandoli per 256k per alcuni interi positivi k, e cercando possibili primes nell' intervallo[256kn + 1.256k (n + 1) - 1].

La tabella che segue riporta i primi più grandi noti dei tipi summenzionati. Alcuni di questi primes sono stati trovati usando il <hl> calcolo distribuito <hl>. Nel 2009, al progetto Great Internet Mersenne Prime Search è stato assegnato un premio di 100.000 USD per la prima scoperta di un prodotto di qualità superiore con almeno 10 milioni di cifre. La Fondazione Electronic Frontier offre anche $150.000 e $250.000 per primes con almeno 100 milioni di cifre e 1 miliardo di cifre, rispettivamente. Alcuni dei primes più grandi che non hanno una forma particolare (cioè, nessuna formula semplice come quella dei primes di Mersenne) sono stati trovati prendendo un pezzo di dati binari semi-random, convertendoli in un numero n, moltiplicandoli per 256k per alcuni interi positivi k, e cercando possibili primes nell' intervallo[256kn + 1.256k (n + 1) - 1].


Question: In quale anno è stato condotto il progetto Great Internet Mersenne Prime Search?

Answer: Nel 2009

La tabella che segue riporta i primi più grandi noti dei tipi summenzionati. Alcuni di questi primes sono stati trovati usando il calcolo distribuito. <hl> Nel 2009 , al progetto Great Internet Mersenne Prime Search è stato assegnato un premio di 100.000 USD per la prima scoperta di un prodotto di qualità superiore con almeno 10 milioni di cifre. <hl> La Fondazione Electronic Frontier offre anche $150.000 e $250.000 per primes con almeno 100 milioni di cifre e 1 miliardo di cifre, rispettivamente. Alcuni dei primes più grandi che non hanno una forma particolare (cioè, nessuna formula semplice come quella dei primes di Mersenne) sono stati trovati prendendo un pezzo di dati binari semi-random, convertendoli in un numero n, moltiplicandoli per 256k per alcuni interi positivi k, e cercando possibili primes nell' intervallo[256kn + 1.256k (n + 1) - 1].

La tabella che segue riporta i primi più grandi noti dei tipi summenzionati. Alcuni di questi primes sono stati trovati usando il calcolo distribuito. <hl> Nel 2009 <hl>, al progetto Great Internet Mersenne Prime Search è stato assegnato un premio di 100.000 USD per la prima scoperta di un prodotto di qualità superiore con almeno 10 milioni di cifre. La Fondazione Electronic Frontier offre anche $150.000 e $250.000 per primes con almeno 100 milioni di cifre e 1 miliardo di cifre, rispettivamente. Alcuni dei primes più grandi che non hanno una forma particolare (cioè, nessuna formula semplice come quella dei primes di Mersenne) sono stati trovati prendendo un pezzo di dati binari semi-random, convertendoli in un numero n, moltiplicandoli per 256k per alcuni interi positivi k, e cercando possibili primes nell' intervallo[256kn + 1.256k (n + 1) - 1].

<hl> Nel 2009 <hl> , al progetto Great Internet Mersenne Prime Search è stato assegnato un premio di 100.000 USD per la prima scoperta di un prodotto di qualità superiore con almeno 10 milioni di cifre.


Question: In quale intervallo sono scoperti alcuni dei primes più grandi senza una forma distinta?

Answer: 256kn + 1.256k (n + 1) - 1]

La tabella che segue riporta i primi più grandi noti dei tipi summenzionati. Alcuni di questi primes sono stati trovati usando il calcolo distribuito. Nel 2009, al progetto Great Internet Mersenne Prime Search è stato assegnato un premio di 100.000 USD per la prima scoperta di un prodotto di qualità superiore con almeno 10 milioni di cifre. La Fondazione Electronic Frontier offre anche $150.000 e $250.000 per primes con almeno 100 milioni di cifre e 1 miliardo di cifre, rispettivamente. <hl> Alcuni dei primes più grandi che non hanno una forma particolare (cioè, nessuna formula semplice come quella dei primes di Mersenne) sono stati trovati prendendo un pezzo di dati binari semi-random, convertendoli in un numero n, moltiplicandoli per 256k per alcuni interi positivi k, e cercando possibili primes nell' intervallo[ 256kn + 1.256k (n + 1) - 1] . <hl>

La tabella che segue riporta i primi più grandi noti dei tipi summenzionati. Alcuni di questi primes sono stati trovati usando il calcolo distribuito. Nel 2009, al progetto Great Internet Mersenne Prime Search è stato assegnato un premio di 100.000 USD per la prima scoperta di un prodotto di qualità superiore con almeno 10 milioni di cifre. La Fondazione Electronic Frontier offre anche $150.000 e $250.000 per primes con almeno 100 milioni di cifre e 1 miliardo di cifre, rispettivamente. Alcuni dei primes più grandi che non hanno una forma particolare (cioè, nessuna formula semplice come quella dei primes di Mersenne) sono stati trovati prendendo un pezzo di dati binari semi-random, convertendoli in un numero n, moltiplicandoli per 256k per alcuni interi positivi k, e cercando possibili primes nell' intervallo[<hl> 256kn + 1.256k (n + 1) - 1] <hl>.

Alcuni dei primes più grandi che non hanno una forma particolare (cioè, nessuna formula semplice come quella dei primes di Mersenne) sono stati trovati prendendo un pezzo di dati binari semi-random, convertendoli in un numero n, moltiplicandoli per 256k per alcuni interi positivi k, e cercando possibili primes nell' intervallo[ <hl> 256kn + 1.256k (n + 1) - 1] <hl> .


Question: Per quale dimensione il postulato di Bertrand contiene il numero naturale?

qui  rappresenta la funzione di base, cioè il numero intero più grande non maggiore del numero in questione. Quest' ultima formula può essere mostrata utilizzando il postulato di Bertrand (provato in primo luogo da Chebyshev), che afferma che esiste sempre almeno un primo numero p con n < p < 2n - 2, per qualsiasi numero naturale n > 3. Tuttavia, l' elaborazione A o? richiede la conoscenza di innumerevoli primes per cominciare. Un' altra formula è basata sul teorema di Wilson e genera il numero 2 molte volte e tutti gli altri primes esattamente una volta. la funzione pavimento.

Answer: qualsiasi numero naturale n > 3

per qualsiasi numero naturale n > 3 .

qui rappresenta la funzione di base, cioè il numero intero più grande non maggiore del numero in questione. Quest' ultima formula può essere mostrata utilizzando il postulato di Bertrand (provato in primo luogo da Chebyshev), che afferma che esiste sempre almeno un primo numero p con n < p < 2n - 2, <hl> per qualsiasi numero naturale n > 3 . <hl> Tuttavia, l' elaborazione A o? richiede la conoscenza di innumerevoli primes per cominciare. Un' altra formula è basata sul teorema di Wilson e genera il numero 2 molte volte e tutti gli altri primes esattamente una volta. la funzione pavimento.

qui rappresenta la funzione di base, cioè il numero intero più grande non maggiore del numero in questione. Quest' ultima formula può essere mostrata utilizzando il postulato di Bertrand (provato in primo luogo da Chebyshev), che afferma che esiste sempre almeno un primo numero p con n < p < 2n - 2, per <hl> qualsiasi numero naturale n > 3 <hl>. Tuttavia, l' elaborazione A o? richiede la conoscenza di innumerevoli primes per cominciare. Un' altra formula è basata sul teorema di Wilson e genera il numero 2 molte volte e tutti gli altri primes esattamente una volta. la funzione pavimento.

per <hl> qualsiasi numero naturale n > 3 <hl> .


Question: Come viene espresso matematicamente il numero p del postulato di Bertrand?

Answer: n < p < 2n - 2

qui rappresenta la funzione di base, cioè il numero intero più grande non maggiore del numero in questione. <hl> Quest' ultima formula può essere mostrata utilizzando il postulato di Bertrand (provato in primo luogo da Chebyshev), che afferma che esiste sempre almeno un primo numero p con n < p < 2n - 2 , per qualsiasi numero naturale n > 3. <hl> Tuttavia, l' elaborazione A o? richiede la conoscenza di innumerevoli primes per cominciare. Un' altra formula è basata sul teorema di Wilson e genera il numero 2 molte volte e tutti gli altri primes esattamente una volta. la funzione pavimento.

qui rappresenta la funzione di base, cioè il numero intero più grande non maggiore del numero in questione. Quest' ultima formula può essere mostrata utilizzando il postulato di Bertrand (provato in primo luogo da Chebyshev), che afferma che esiste sempre almeno un primo numero p con <hl> n < p < 2n - 2 <hl>, per qualsiasi numero naturale n > 3. Tuttavia, l' elaborazione A o? richiede la conoscenza di innumerevoli primes per cominciare. Un' altra formula è basata sul teorema di Wilson e genera il numero 2 molte volte e tutti gli altri primes esattamente una volta. la funzione pavimento.

Quest' ultima formula può essere mostrata utilizzando il postulato di Bertrand (provato in primo luogo da Chebyshev), che afferma che esiste sempre almeno un primo numero p con <hl> n < p < 2n - 2 <hl> , per qualsiasi numero naturale n > 3.


Question: Su quale teorema si basa la formula che genera frequentemente il numero 2 e tutti gli altri primes esattamente una volta basata?

Answer: teorema di Wilson

qui rappresenta la funzione di base, cioè il numero intero più grande non maggiore del numero in questione. Quest' ultima formula può essere mostrata utilizzando il postulato di Bertrand (provato in primo luogo da Chebyshev), che afferma che esiste sempre almeno un primo numero p con n < p < 2n - 2, per qualsiasi numero naturale n > 3. Tuttavia, l' elaborazione A o? richiede la conoscenza di innumerevoli primes per cominciare. Un' altra formula è basata <hl> sul teorema di Wilson e genera il numero 2 molte volte e tutti gli altri primes esattamente una volta. <hl> la funzione pavimento.

qui rappresenta la funzione di base, cioè il numero intero più grande non maggiore del numero in questione. Quest' ultima formula può essere mostrata utilizzando il postulato di Bertrand (provato in primo luogo da Chebyshev), che afferma che esiste sempre almeno un primo numero p con n < p < 2n - 2, per qualsiasi numero naturale n > 3. Tuttavia, l' elaborazione A o? richiede la conoscenza di innumerevoli primes per cominciare. Un' altra formula è basata sul <hl> teorema di Wilson <hl> e genera il numero 2 molte volte e tutti gli altri primes esattamente una volta. la funzione pavimento.


Question: Qual è un altro modo per affermare la condizione che all' infinito molti primes possono esistere solo se a e q sono coprime?

possono avere infinitamente molti primes solo quando a e q sono coprime, cioè il loro più grande divisore comune è uno. Se questa condizione necessaria è soddisfatta, il teorema di Dirichlet sulle progressioni aritmetiche afferma che la progressione contiene infinitamente molti primes. L' immagine sottostante lo illustra con q = 9: i numeri sono "avvolti" non appena viene superato un multiplo di 9. I primi sono evidenziati in rosso. Le righe (=progressioni) che iniziano con a = 3,6 o 9 contengono al massimo un primo numero. In tutte le altre righe (a = 1,2,4,5,7 e 8) ci sono infinitamente molti numeri primi. Inoltre, i primes sono equamente distribuiti tra quelle file nel lungo periodo: la densità di tutti i primes congruenti un modulo 9 è 1/6.

Answer: il loro più grande divisore comune è uno

possono avere infinitamente molti primes solo quando a e q sono coprime, <hl> cioè il loro più grande divisore comune è uno . <hl> Se questa condizione necessaria è soddisfatta, il teorema di Dirichlet sulle progressioni aritmetiche afferma che la progressione contiene infinitamente molti primes. L' immagine sottostante lo illustra con q = 9: i numeri sono "avvolti" non appena viene superato un multiplo di 9. I primi sono evidenziati in rosso. Le righe (=progressioni) che iniziano con a = 3,6 o 9 contengono al massimo un primo numero. In tutte le altre righe (a = 1,2,4,5,7 e 8) ci sono infinitamente molti numeri primi. Inoltre, i primes sono equamente distribuiti tra quelle file nel lungo periodo: la densità di tutti i primes congruenti un modulo 9 è 1/6.

possono avere infinitamente molti primes solo quando a e q sono coprime, cioè <hl> il loro più grande divisore comune è uno <hl>. Se questa condizione necessaria è soddisfatta, il teorema di Dirichlet sulle progressioni aritmetiche afferma che la progressione contiene infinitamente molti primes. L' immagine sottostante lo illustra con q = 9: i numeri sono "avvolti" non appena viene superato un multiplo di 9. I primi sono evidenziati in rosso. Le righe (=progressioni) che iniziano con a = 3,6 o 9 contengono al massimo un primo numero. In tutte le altre righe (a = 1,2,4,5,7 e 8) ci sono infinitamente molti numeri primi. Inoltre, i primes sono equamente distribuiti tra quelle file nel lungo periodo: la densità di tutti i primes congruenti un modulo 9 è 1/6.

cioè <hl> il loro più grande divisore comune è uno <hl> .


Question: Se a e q sono coprime, quale teorema ritiene che una progressione aritmetica abbia un numero infinito di prime?

Answer: teorema di Dirichlet

possono avere infinitamente molti primes solo quando a e q sono coprime, cioè il loro più grande divisore comune è uno. Se questa condizione necessaria è soddisfatta, <hl> il teorema di Dirichlet sulle progressioni aritmetiche <hl> afferma che la progressione contiene infinitamente molti primes. L' immagine sottostante lo illustra con q = 9: i numeri sono "avvolti" non appena viene superato un multiplo di 9. I primi sono evidenziati in rosso. Le righe (=progressioni) che iniziano con a = 3,6 o 9 contengono al massimo un primo numero. In tutte le altre righe (a = 1,2,4,5,7 e 8) ci sono infinitamente molti numeri primi. Inoltre, i primes sono equamente distribuiti tra quelle file nel lungo periodo: la densità di tutti i primes congruenti un modulo 9 è 1/6.

possono avere infinitamente molti primes solo quando a e q sono coprime, cioè il loro più grande divisore comune è uno. Se questa condizione necessaria è soddisfatta, il <hl> teorema di Dirichlet <hl> sulle progressioni aritmetiche afferma che la progressione contiene infinitamente molti primes. L' immagine sottostante lo illustra con q = 9: i numeri sono "avvolti" non appena viene superato un multiplo di 9. I primi sono evidenziati in rosso. Le righe (=progressioni) che iniziano con a = 3,6 o 9 contengono al massimo un primo numero. In tutte le altre righe (a = 1,2,4,5,7 e 8) ci sono infinitamente molti numeri primi. Inoltre, i primes sono equamente distribuiti tra quelle file nel lungo periodo: la densità di tutti i primes congruenti un modulo 9 è 1/6.


Question: Qual è la densità di tutti i primes compatibili con un modulo 9?

Answer: 1/6

è 1/6 .

possono avere infinitamente molti primes solo quando a e q sono coprime, cioè il loro più grande divisore comune è uno. Se questa condizione necessaria è soddisfatta, il teorema di Dirichlet sulle progressioni aritmetiche afferma che la progressione contiene infinitamente molti primes. L' immagine sottostante lo illustra con q = 9: i numeri sono "avvolti" non appena viene superato un multiplo di 9. I primi sono evidenziati in rosso. Le righe (=progressioni) che iniziano con a = 3,6 o 9 contengono al massimo un primo numero. In tutte le altre righe (a = 1,2,4,5,7 e 8) ci sono infinitamente molti numeri primi. Inoltre, i primes sono equamente distribuiti tra quelle file nel lungo periodo: la densità di tutti i primes congruenti un modulo 9 <hl> è 1/6 . <hl>

possono avere infinitamente molti primes solo quando a e q sono coprime, cioè il loro più grande divisore comune è uno. Se questa condizione necessaria è soddisfatta, il teorema di Dirichlet sulle progressioni aritmetiche afferma che la progressione contiene infinitamente molti primes. L' immagine sottostante lo illustra con q = 9: i numeri sono "avvolti" non appena viene superato un multiplo di 9. I primi sono evidenziati in rosso. Le righe (=progressioni) che iniziano con a = 3,6 o 9 contengono al massimo un primo numero. In tutte le altre righe (a = 1,2,4,5,7 e 8) ci sono infinitamente molti numeri primi. Inoltre, i primes sono equamente distribuiti tra quelle file nel lungo periodo: la densità di tutti i primes congruenti un modulo 9 è <hl> 1/6 <hl>.


Question: Se q=9 e a=3,6 o 9, quanti primes sarebbero in progressione?

Answer: al massimo un primo numero

possono avere infinitamente molti primes solo quando a e q sono coprime, cioè il loro più grande divisore comune è uno. Se questa condizione necessaria è soddisfatta, il teorema di Dirichlet sulle progressioni aritmetiche afferma che la progressione contiene infinitamente molti primes. L' immagine sottostante lo illustra con q = 9: i numeri sono "avvolti" non appena viene superato un multiplo di 9. I primi sono evidenziati in rosso. <hl> Le righe (=progressioni) che iniziano con a = 3,6 o 9 contengono al massimo un primo numero . <hl> In tutte le altre righe (a = 1,2,4,5,7 e 8) ci sono infinitamente molti numeri primi. Inoltre, i primes sono equamente distribuiti tra quelle file nel lungo periodo: la densità di tutti i primes congruenti un modulo 9 è 1/6.

possono avere infinitamente molti primes solo quando a e q sono coprime, cioè il loro più grande divisore comune è uno. Se questa condizione necessaria è soddisfatta, il teorema di Dirichlet sulle progressioni aritmetiche afferma che la progressione contiene infinitamente molti primes. L' immagine sottostante lo illustra con q = 9: i numeri sono "avvolti" non appena viene superato un multiplo di 9. I primi sono evidenziati in rosso. Le righe (=progressioni) che iniziano con a = 3,6 o 9 contengono <hl> al massimo un primo numero <hl>. In tutte le altre righe (a = 1,2,4,5,7 e 8) ci sono infinitamente molti numeri primi. Inoltre, i primes sono equamente distribuiti tra quelle file nel lungo periodo: la densità di tutti i primes congruenti un modulo 9 è 1/6.

Le righe (=progressioni) che iniziano con a = 3,6 o 9 contengono <hl> al massimo un primo numero <hl> .


Question: Se q=9 e a=1,2,4,5,7 o 8, quanti primes sarebbero in progressione?

Answer: infinitamente molti numeri primi

possono avere infinitamente molti primes solo quando a e q sono coprime, cioè il loro più grande divisore comune è uno. Se questa condizione necessaria è soddisfatta, il teorema di Dirichlet sulle progressioni aritmetiche afferma che la progressione contiene infinitamente molti primes. L' immagine sottostante lo illustra con q = 9: i numeri sono "avvolti" non appena viene superato un multiplo di 9. I primi sono evidenziati in rosso. Le righe (=progressioni) che iniziano con a = 3,6 o 9 contengono al massimo un primo numero. <hl> In tutte le altre righe (a = 1,2,4,5,7 e 8) ci sono infinitamente molti numeri primi . <hl> Inoltre, i primes sono equamente distribuiti tra quelle file nel lungo periodo: la densità di tutti i primes congruenti un modulo 9 è 1/6.

possono avere infinitamente molti primes solo quando a e q sono coprime, cioè il loro più grande divisore comune è uno. Se questa condizione necessaria è soddisfatta, il teorema di Dirichlet sulle progressioni aritmetiche afferma che la progressione contiene infinitamente molti primes. L' immagine sottostante lo illustra con q = 9: i numeri sono "avvolti" non appena viene superato un multiplo di 9. I primi sono evidenziati in rosso. Le righe (=progressioni) che iniziano con a = 3,6 o 9 contengono al massimo un primo numero. In tutte le altre righe (a = 1,2,4,5,7 e 8) ci sono <hl> infinitamente molti numeri primi <hl>. Inoltre, i primes sono equamente distribuiti tra quelle file nel lungo periodo: la densità di tutti i primes congruenti un modulo 9 è 1/6.

In tutte le altre righe (a = 1,2,4,5,7 e 8) ci sono <hl> infinitamente molti numeri primi <hl> .


Question: Quale funzione è correlata ai numeri primi?

La funzione zeta è strettamente correlata ai numeri primi. Per esempio, il già citato fatto che ci sono infinitamente molti primes può essere visto anche con la funzione zeta: se ci fossero solo finemente molti primes allora (1) avrebbero un valore finito. Tuttavia, la serie armonica 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +. diverge (cioè supera un dato numero), quindi ci devono essere infinitamente molti primes. Un altro esempio della ricchezza della funzione zeta e uno sguardo alla moderna teoria dei numeri algebrici è la seguente identità (problema di Basilea), dovuta a Eulero, La funzione zeta.

Answer: zeta

La funzione zeta

<hl> La funzione zeta <hl> è strettamente correlata ai numeri primi. Per esempio, il già citato fatto che ci sono infinitamente molti primes può essere visto anche con la funzione zeta: se ci fossero solo finemente molti primes allora (1) avrebbero un valore finito. Tuttavia, la serie armonica 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +. diverge (cioè supera un dato numero), quindi ci devono essere infinitamente molti primes. Un altro esempio della ricchezza della funzione zeta e uno sguardo alla moderna teoria dei numeri algebrici è la seguente identità (problema di Basilea), dovuta a Eulero, La funzione zeta.

La funzione <hl> zeta <hl> è strettamente correlata ai numeri primi. Per esempio, il già citato fatto che ci sono infinitamente molti primes può essere visto anche con la funzione zeta: se ci fossero solo finemente molti primes allora (1) avrebbero un valore finito. Tuttavia, la serie armonica 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +. diverge (cioè supera un dato numero), quindi ci devono essere infinitamente molti primes. Un altro esempio della ricchezza della funzione zeta e uno sguardo alla moderna teoria dei numeri algebrici è la seguente identità (problema di Basilea), dovuta a Eulero, La funzione zeta.


Question: Quale proprietà della serie armonica 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/4 +. mostra che c' è un numero infinito di primes?

Answer: diverge

La funzione zeta è strettamente correlata ai numeri primi. Per esempio, il già citato fatto che ci sono infinitamente molti primes può essere visto anche con la funzione zeta: se ci fossero solo finemente molti primes allora (1) avrebbero un valore finito. Tuttavia, la serie armonica 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +. <hl> diverge (cioè supera un dato numero), quindi ci devono essere infinitamente molti primes. <hl> Un altro esempio della ricchezza della funzione zeta e uno sguardo alla moderna teoria dei numeri algebrici è la seguente identità (problema di Basilea), dovuta a Eulero, La funzione zeta.

La funzione zeta è strettamente correlata ai numeri primi. Per esempio, il già citato fatto che ci sono infinitamente molti primes può essere visto anche con la funzione zeta: se ci fossero solo finemente molti primes allora (1) avrebbero un valore finito. Tuttavia, la serie armonica 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +. <hl> diverge <hl> (cioè supera un dato numero), quindi ci devono essere infinitamente molti primes. Un altro esempio della ricchezza della funzione zeta e uno sguardo alla moderna teoria dei numeri algebrici è la seguente identità (problema di Basilea), dovuta a Eulero, La funzione zeta.


Question: Qual è la natura matematica del problema di Basilea?

Answer: identità

La funzione zeta è strettamente correlata ai numeri primi. Per esempio, il già citato fatto che ci sono infinitamente molti primes può essere visto anche con la funzione zeta: se ci fossero solo finemente molti primes allora (1) avrebbero un valore finito. Tuttavia, la serie armonica 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +. diverge (cioè supera un dato numero), quindi ci devono essere infinitamente molti primes. <hl> Un altro esempio della ricchezza della funzione zeta e uno sguardo alla moderna teoria dei numeri algebrici è la seguente identità (problema di Basilea), dovuta a Eulero, La funzione zeta. <hl>

La funzione zeta è strettamente correlata ai numeri primi. Per esempio, il già citato fatto che ci sono infinitamente molti primes può essere visto anche con la funzione zeta: se ci fossero solo finemente molti primes allora (1) avrebbero un valore finito. Tuttavia, la serie armonica 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +. diverge (cioè supera un dato numero), quindi ci devono essere infinitamente molti primes. Un altro esempio della ricchezza della funzione zeta e uno sguardo alla moderna teoria dei numeri algebrici è la seguente <hl> identità <hl> (problema di Basilea), dovuta a Eulero, La funzione zeta.


Question: Quando è stata proposta l' ipotesi di Riemann?

L' ipotesi non provata di Riemann, risalente al 1859, afferma che ad eccezione di s = -2, -4,, tutti gli zero della funzione? hanno una parte reale pari a 1/2. La connessione ai numeri primi è che si dice essenzialmente che i primi sono distribuiti il più regolarmente possibile. Chiarimento necessario] Da un punto di vista fisico, indica approssimativamente che l' irregolarità nella distribuzione dei primes deriva solo dal rumore casuale. Da un punto di vista matematico, indica approssimativamente che la distribuzione asintotica dei primes (circa x/log x di numeri inferiori a x sono primes, il teorema del numero primo) contiene anche per intervalli di lunghezza molto più brevi circa la radice quadrata di x (per intervalli vicini a x). Questa ipotesi è generalmente ritenuta corretta. In particolare, l' ipotesi più semplice è che i primes non dovrebbero presentare irregolarità significative senza un valido motivo.

Answer: 1859

al 1859 ,

L' ipotesi non provata di Riemann, risalente <hl> al 1859 , <hl> afferma che ad eccezione di s = -2, -4,, tutti gli zero della funzione? hanno una parte reale pari a 1/2. La connessione ai numeri primi è che si dice essenzialmente che i primi sono distribuiti il più regolarmente possibile. Chiarimento necessario] Da un punto di vista fisico, indica approssimativamente che l' irregolarità nella distribuzione dei primes deriva solo dal rumore casuale. Da un punto di vista matematico, indica approssimativamente che la distribuzione asintotica dei primes (circa x/log x di numeri inferiori a x sono primes, il teorema del numero primo) contiene anche per intervalli di lunghezza molto più brevi circa la radice quadrata di x (per intervalli vicini a x). Questa ipotesi è generalmente ritenuta corretta. In particolare, l' ipotesi più semplice è che i primes non dovrebbero presentare irregolarità significative senza un valido motivo.

L' ipotesi non provata di Riemann, risalente al <hl> 1859 <hl>, afferma che ad eccezione di s = -2, -4,, tutti gli zero della funzione? hanno una parte reale pari a 1/2. La connessione ai numeri primi è che si dice essenzialmente che i primi sono distribuiti il più regolarmente possibile. Chiarimento necessario] Da un punto di vista fisico, indica approssimativamente che l' irregolarità nella distribuzione dei primes deriva solo dal rumore casuale. Da un punto di vista matematico, indica approssimativamente che la distribuzione asintotica dei primes (circa x/log x di numeri inferiori a x sono primes, il teorema del numero primo) contiene anche per intervalli di lunghezza molto più brevi circa la radice quadrata di x (per intervalli vicini a x). Questa ipotesi è generalmente ritenuta corretta. In particolare, l' ipotesi più semplice è che i primes non dovrebbero presentare irregolarità significative senza un valido motivo.


Question: Da quale ipotesi Riemann indica la fonte di irregolarità nella distribuzione dei punti?

Answer: rumore casuale

dal rumore casuale .

L' ipotesi non provata di Riemann, risalente al 1859, afferma che ad eccezione di s = -2, -4,, tutti gli zero della funzione? hanno una parte reale pari a 1/2. La connessione ai numeri primi è che si dice essenzialmente che i primi sono distribuiti il più regolarmente possibile. Chiarimento necessario] Da un punto di vista fisico, indica approssimativamente che l' irregolarità nella distribuzione dei primes deriva solo <hl> dal rumore casuale . <hl> Da un punto di vista matematico, indica approssimativamente che la distribuzione asintotica dei primes (circa x/log x di numeri inferiori a x sono primes, il teorema del numero primo) contiene anche per intervalli di lunghezza molto più brevi circa la radice quadrata di x (per intervalli vicini a x). Questa ipotesi è generalmente ritenuta corretta. In particolare, l' ipotesi più semplice è che i primes non dovrebbero presentare irregolarità significative senza un valido motivo.

L' ipotesi non provata di Riemann, risalente al 1859, afferma che ad eccezione di s = -2, -4,, tutti gli zero della funzione? hanno una parte reale pari a 1/2. La connessione ai numeri primi è che si dice essenzialmente che i primi sono distribuiti il più regolarmente possibile. Chiarimento necessario] Da un punto di vista fisico, indica approssimativamente che l' irregolarità nella distribuzione dei primes deriva solo dal <hl> rumore casuale <hl>. Da un punto di vista matematico, indica approssimativamente che la distribuzione asintotica dei primes (circa x/log x di numeri inferiori a x sono primes, il teorema del numero primo) contiene anche per intervalli di lunghezza molto più brevi circa la radice quadrata di x (per intervalli vicini a x). Questa ipotesi è generalmente ritenuta corretta. In particolare, l' ipotesi più semplice è che i primes non dovrebbero presentare irregolarità significative senza un valido motivo.


Question: Che tipo di distribuzione primaria propone l' ipotesi Riemann anche per brevi intervalli in prossimità di X?

Answer: distribuzione asintotica

L' ipotesi non provata di Riemann, risalente al 1859, afferma che ad eccezione di s = -2, -4,, tutti gli zero della funzione? hanno una parte reale pari a 1/2. La connessione ai numeri primi è che si dice essenzialmente che i primi sono distribuiti il più regolarmente possibile. Chiarimento necessario] Da un punto di vista fisico, indica approssimativamente che l' irregolarità nella distribuzione dei primes deriva solo dal rumore casuale. Da un punto di vista matematico, indica approssimativamente che <hl> la distribuzione asintotica dei primes (circa x/log x di numeri inferiori a x sono primes, il teorema del numero primo) <hl> contiene anche per intervalli di lunghezza molto più brevi circa la radice quadrata di x (per intervalli vicini a x). Questa ipotesi è generalmente ritenuta corretta. In particolare, l' ipotesi più semplice è che i primes non dovrebbero presentare irregolarità significative senza un valido motivo.

L' ipotesi non provata di Riemann, risalente al 1859, afferma che ad eccezione di s = -2, -4,, tutti gli zero della funzione? hanno una parte reale pari a 1/2. La connessione ai numeri primi è che si dice essenzialmente che i primi sono distribuiti il più regolarmente possibile. Chiarimento necessario] Da un punto di vista fisico, indica approssimativamente che l' irregolarità nella distribuzione dei primes deriva solo dal rumore casuale. Da un punto di vista matematico, indica approssimativamente che la <hl> distribuzione asintotica <hl> dei primes (circa x/log x di numeri inferiori a x sono primes, il teorema del numero primo) contiene anche per intervalli di lunghezza molto più brevi circa la radice quadrata di x (per intervalli vicini a x). Questa ipotesi è generalmente ritenuta corretta. In particolare, l' ipotesi più semplice è che i primes non dovrebbero presentare irregolarità significative senza un valido motivo.


Question: Che tipo di distribuzione primaria si caratterizza per x/log x di numeri inferiori a x?

Answer: distribuzione asintotica

L' ipotesi non provata di Riemann, risalente al 1859, afferma che ad eccezione di s = -2, -4,, tutti gli zero della funzione? hanno una parte reale pari a 1/2. La connessione ai numeri primi è che si dice essenzialmente che i primi sono distribuiti il più regolarmente possibile. Chiarimento necessario] Da un punto di vista fisico, indica approssimativamente che l' irregolarità nella distribuzione dei primes deriva solo dal rumore casuale. Da un punto di vista matematico, indica approssimativamente che <hl> la distribuzione asintotica dei primes (circa x/log x di numeri inferiori a x sono primes, il teorema del numero primo) <hl> contiene anche per intervalli di lunghezza molto più brevi circa la radice quadrata di x (per intervalli vicini a x). Questa ipotesi è generalmente ritenuta corretta. In particolare, l' ipotesi più semplice è che i primes non dovrebbero presentare irregolarità significative senza un valido motivo.

L' ipotesi non provata di Riemann, risalente al 1859, afferma che ad eccezione di s = -2, -4,, tutti gli zero della funzione? hanno una parte reale pari a 1/2. La connessione ai numeri primi è che si dice essenzialmente che i primi sono distribuiti il più regolarmente possibile. Chiarimento necessario] Da un punto di vista fisico, indica approssimativamente che l' irregolarità nella distribuzione dei primes deriva solo dal rumore casuale. Da un punto di vista matematico, indica approssimativamente che la <hl> distribuzione asintotica <hl> dei primes (circa x/log x di numeri inferiori a x sono primes, il teorema del numero primo) contiene anche per intervalli di lunghezza molto più brevi circa la radice quadrata di x (per intervalli vicini a x). Questa ipotesi è generalmente ritenuta corretta. In particolare, l' ipotesi più semplice è che i primes non dovrebbero presentare irregolarità significative senza un valido motivo.


Question: Quale congettura ritiene che ogni intero pari n superiore a 2 possa essere espresso come somma di due primes?

Oltre all' ipotesi di Riemann, sono state poste molte più congetture sui primes. Spesso avendo una formulazione elementare, molte di queste congetture hanno resistito a una prova per decenni: tutti e quattro i problemi di Landau dal 1912 sono ancora irrisolti. Una di queste è la congettura di Goldbach, che afferma che ogni numero pari o superiore a 2 può essere scritto come somma di due primes. A febbraio 2011[aggiornamento], questa congettura è stata verificata per tutti i numeri fino a n = 2 - 1017. Dichiarazioni più deboli di questo sono state provate, per esempio il teorema di Vinogradov dice che ogni numero dispari sufficientemente grande può essere scritto come una somma di tre primes. Il teorema di Chen dice che ogni numero sufficientemente grande e pari può essere espresso come la somma di un primo e di un semiprime, il prodotto di due primi. Inoltre, qualsiasi numero intero può essere scritto come la somma di sei primes. La branca della teoria del numero che studia tali domande è chiamata teoria del numero additivo.

Answer: congettura di Goldbach

la congettura di Goldbach ,

Oltre all' ipotesi di Riemann, sono state poste molte più congetture sui primes. Spesso avendo una formulazione elementare, molte di queste congetture hanno resistito a una prova per decenni: tutti e quattro i problemi di Landau dal 1912 sono ancora irrisolti. Una di queste è <hl> la congettura di Goldbach , <hl> che afferma che ogni numero pari o superiore a 2 può essere scritto come somma di due primes. A febbraio 2011[aggiornamento], questa congettura è stata verificata per tutti i numeri fino a n = 2 - 1017. Dichiarazioni più deboli di questo sono state provate, per esempio il teorema di Vinogradov dice che ogni numero dispari sufficientemente grande può essere scritto come una somma di tre primes. Il teorema di Chen dice che ogni numero sufficientemente grande e pari può essere espresso come la somma di un primo e di un semiprime, il prodotto di due primi. Inoltre, qualsiasi numero intero può essere scritto come la somma di sei primes. La branca della teoria del numero che studia tali domande è chiamata teoria del numero additivo.

Oltre all' ipotesi di Riemann, sono state poste molte più congetture sui primes. Spesso avendo una formulazione elementare, molte di queste congetture hanno resistito a una prova per decenni: tutti e quattro i problemi di Landau dal 1912 sono ancora irrisolti. Una di queste è la <hl> congettura di Goldbach <hl>, che afferma che ogni numero pari o superiore a 2 può essere scritto come somma di due primes. A febbraio 2011[aggiornamento], questa congettura è stata verificata per tutti i numeri fino a n = 2 - 1017. Dichiarazioni più deboli di questo sono state provate, per esempio il teorema di Vinogradov dice che ogni numero dispari sufficientemente grande può essere scritto come una somma di tre primes. Il teorema di Chen dice che ogni numero sufficientemente grande e pari può essere espresso come la somma di un primo e di un semiprime, il prodotto di due primi. Inoltre, qualsiasi numero intero può essere scritto come la somma di sei primes. La branca della teoria del numero che studia tali domande è chiamata teoria del numero additivo.