2017~2018学年10月北京海淀区清华大学附属中学高一上学期月考理科第5题 2008年高考真题辽宁卷理科第12题5分 2010年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分

设$$f(x)$$是连续的偶函数，且当$$x\textgreater0$$时$$f(x)$$是单调函数，则满足$$f(x)=f\left( \frac{x+3}{x+4} \right)$$的所有$$x$$之和为（~ ）．

课内体系->素养->数学运算

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->抽象函数

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->奇偶性->函数奇偶性的判定->函数奇偶性的运算

由$$f(x)$$的性质知$$f(x)=f\left( \frac{x+3}{x+4} \right)\Rightarrow \left\textbar{} x \right\textbar=\left\textbar{} \frac{x+3}{x+4} \right\textbar$$，若$$x=\frac{x+3}{x+4}$$，即$${{x}^{2}}+3x-3=0$$，有解，且两根之和为$$-3$$；  若$$-x=\frac{x+3}{x+4}$$，即$${{x}^{2}}+5x+3=0$$，有解，且两根之和为$$-5$$，故总和为$$-8$$．  故选$$\text{C}$$．


2010年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

已知$$p:\sqrt{1+\sin 2\alpha }=\frac{4}{3}$$和$$q:\left\textbar{} \sin \alpha +\cos \alpha \right\textbar=\frac{4}{3}$$．则$$p$$是$$q$$的．

充分但不必要条件

必要但不充分条件

充要条件

既不充分也不必要条件

竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换 竞赛->知识点->逻辑->常用逻辑用语

因为$$\sqrt{1+\sin 2\alpha }=\sqrt{{{(\sin \alpha +\cos \alpha )}^{2}}}=\left\textbar{} \sin \alpha +\cos \alpha \right\textbar=\frac{4}{3}$$，故$$p$$是$$q$$的充要条件．故选$$\text{C}$$．


2022年江苏徐州贾汪区江苏省贾汪中学高一竞赛（下学期春季）第1题

2022年江苏徐州贾汪区江苏省贾汪中学高一竞赛（下学期春季）第1题

2022年江苏徐州贾汪区江苏省贾汪中学高一竞赛（下学期春季）第1题

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2021~2022学年四川南充顺庆区四川省南充高级中学高二上学期开学考试理科第5~5题

已知$$\text{sin}\left( \frac{\pi }{6}-\theta \right)=\text{cos}\left( \frac{\pi }{6}+\theta \right)$$，则$$\cos 2\theta =$$（~~~~~~~）

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式

\hfill\break 【分析】\\ 根据两角差的正弦公式和两角和的余弦公式，可得$$\tan \theta =-1$$，即可得到$$\theta =-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$$，再根据诱导公式即可求出$$\cos 2\theta $$.\\ 【详解】\\ 因为$$\text{sin}\left( \frac{\pi }{6}-\theta \right)=\text{cos}\left( \frac{\pi }{6}+\theta \right)$$，所以$$\frac{1}{2}\cos \theta -\frac{\sqrt{3}}{2}\text{sin}\theta =\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta -\frac{1}{2}\text{sin}\theta $$，\\ 所以$$\frac{1-\sqrt{3}}{2}\text{sin}\theta =\frac{\sqrt{3}-1}{2}\cos \theta $$，所以$$\tan \theta =-1$$，\\ 所以$$\theta =-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$$，\\ 所以$$\cos 2\theta =\cos \left[ 2\times \left( -\frac{\pi }{4}+k\pi \right) \right]=\cos \left( -\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)=\cos \left( -\frac{\pi }{2} \right)=0,k\in \mathbf{Z}$$.\\ 故选：D.


对于多少个整数$$x$$来说，点$$(x,-x)$$在以$$(5.5)$$为中心的半径为$$10$$的圆内或圆上？

课内体系->知识点->直线和圆的方程->圆与方程->圆的标准方程与一般方程->圆的标准方程问题

美国AMC10/12->Knowledge Point->Geometry->Calculation of Plane Geometry->Circle

The equation of the circle is $$(x-5)^{2}+(y-5)^{2}=100$$. Plugging in the given conditions we have $$(x-5)^{2}+(-x-5)^{2}\leqslant 100$$. Expanding gives: $$x^{2}-10x+25+x^{2}+10x+25\leqslant 100$$, which simpifies to $$x^{2}\leqslant 25$$ and therefore $$x\leqslant 5$$ and $$x\geqslant -5$$. So $$x$$ ranges from $$-5$$ to $$5$$, for a total of $$\boxed{\rm (A)\textasciitilde11}$$ values.


2022~2023学年吉林长春朝阳区长春市第五中学高一上学期期末第7题

2022~2023学年吉林长春朝阳区长春市第五中学高一上学期期末第7题

2022~2023学年吉林长春朝阳区长春市第五中学高一上学期期末第7题

2022~2023学年湖南邵阳隆回县湖南省隆回县第二中学高一上学期月考（竞赛）第8题

已知$\cos \alpha =\frac{1}{3}$，$\cos \left( \beta -\alpha \right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且$0\textless{} \beta \textless{} \alpha \textless{} \pi $，则$\cos \beta =$

\hfill\break 【分析】\\ 利用同角三角函数之间的关系求出$\sin\alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3},\sin\left( \beta -\alpha \right)=-\frac{\sqrt{6}}{3}$，再利用$\cos \beta =\cos \left[ \left( \beta -\alpha \right)+\alpha \right]$求解即可.\\ 【详解】\\ $\because $ $\text{cos}\alpha =\frac{1}{3}$，$\text{cos}\left( \beta -\alpha \right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且$0\textless{} \beta \textless{} \alpha \textless{} \pi $，\\ $\therefore -\pi \textless{} \beta -\alpha \textless{} 0$，\\ $\therefore \sin\alpha =\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3},\sin\left( \beta -\alpha \right)=-\sqrt{1-\frac{1}{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$，\\ $\therefore \cos \beta =\cos \left[ \left( \beta -\alpha \right)+\alpha \right]$\\ $=\cos \left( \beta -\alpha \right)\cos \alpha -\sin\left( \beta -\alpha \right)\sin\alpha $\\ $=\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{2\sqrt{2}}{3}\times \left( -\frac{\sqrt{6}}{3} \right)=\frac{5\sqrt{3}}{9}$，故选D.\\ 【点睛】\\ 三角函数求值有三类，(1)``给角求值''：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)``给值求值''：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于``变角''，使其角相同或具有某种关系．(3)``给值求角''：实质是转化为``给值求值''，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．


2011年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分

$${{x}^{y}}\textgreater{{y}^{x}}$$

$${{x}^{y}}={{y}^{x}}$$

$${{x}^{y}}\textless{}{{y}^{x}}$$

以上都有可能

竞赛->知识点->函数->基本初等函数


甲、乙两人参加一次选举，已知结果：甲7票，乙5票，则计票过程中，甲的票数始终领先乙的概率以及甲的票数始终不落后于乙的概率分别为（~~~~~~~）

\hfill\break 【分析】\\ 根据卡特兰数的模型可求甲的票数始终领先乙的概率以及甲的票数始终不落后于乙的概率.\\ 【详解】\\ 根据卡特兰数的模型，可得甲的票数不落后于乙的概率为$\frac{{\mathrm{C}}_{12}^{5}-{\mathrm{C}}_{12}^{4}}{{\mathrm{C}}_{12}^{5}}=\frac{297}{792}=\frac{3}{8}$．\\ 甲的票数领先乙的概率为（第一票必然为甲获得，相等于甲6票，乙5票的卡特兰模型）\\ $\frac{{\mathrm{C}}_{11}^{5}-{\mathrm{C}}_{11}^{4}}{{\mathrm{C}}_{12}^{5}}=\frac{132}{792}=\frac{1}{6}$．\\ 故选：A.


2015年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和


2008年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分

$$AB$$边中线的中点

$$AB$$边中线的三等分点（非重心）

重心

$$AB$$边的中点

知识标签->素养->数学运算

知识标签->素养->数学建模

知识标签->题型->平面向量->平面向量的运算->平面向量的线性运算->平面向量与三角形的“心”

知识标签->题型->平面向量->平面向量的运算->平面向量的线性运算->几何、代数、坐标进行的线性运算

知识标签->知识点->平面向量->平面向量的运算->平面向量的线性运算->平面向量的数乘运算及运算规则

知识标签->知识点->平面向量->平面向量的运算->平面向量的线性运算->平面向量的减法运算及运算规则


对$n$个正整数用\emph{k}种颜色染色，使得无法从中选出三个不同色的正整数构成等差数列，设\emph{k}的最大值为$f(n)$，则（~~~~~~~）

$\log _{3}n\leq f(n)\leq \log _{2}n+1$

$\log _{2}n\leq f(n)\leq \log _{2}n+1$

$\log _{3}n\leq f(n)\leq \log _{2}n$

$\log _{3}n\leq f(n)\leq \log _{3}n+1$

\hfill\break 【分析】\\ 利用特例可判断BCD的正误，利用整除性和数学归纳法可判断A的正误.\\ 【详解】\\ 取$n=4$，则$f(4)=3$，将1234染成$ABBC$即可．因此选项CD错误．\\ 下面证明$\log _{3}n\leq f(n)\leq \log _{2}n+1$．\\ 设$v(n,p)$为正整数\emph{n}中素数\emph{p}的幂次，即$p^{v(n,p)}\parallel n$．\\ 对于任意的正整数$m(1\leq m\leq n)$，将\emph{m}染成第$v(m,3)+1$种颜色，这样就用了$\left[\log _{3}n\right]+1$种颜色．\\ 此时对于任意不同色的正整数\emph{x}，\emph{y}，有$v(2x-y,3)=v(2y-x,3)=\min  {v(x,3),v(y,3) }$，\\ 因此$2x-y$和$2y-x$均与\emph{x}，\emph{y}之一同色，符合题意．这样就证明了$f(n)\geq \left[\log _{3}n\right]+1\textgreater{} \log _{3}n$．\\ 接下来设$2^{k}\leq n\textless{} 2^{k+1}\left(k\in \mathbf{N}^{\ast }\right)$，则右侧不等式即$f(n)\leq k+1$．\\ 对\emph{k}进行归纳，应用数学归纳法证明．\\ 当$k=1$时，$n=2,3$，此时$f(n)=2$，命题成立．\\ 假设命题对$k-1$成立，对已有$1,2,\cdots ,2^{k}-1$的染色，考虑1，2，\ldots，\emph{n}的染色，若其中有两种或两种以上新增的颜色，不妨设为红色和蓝色，且最小的红色数为\emph{x}，最小的蓝色数为\emph{y}，且$x\textless{} y$，则$2^{k}\leq x\textless{} y\leq n\textless{} 2^{k+1}\Rightarrow 2x-y\textgreater{} 0$，\\ 考虑正整数$2x-y$，它与异色数对$(x,y)$成等差数列，于是必然与\emph{x}，\emph{y}之一同色，但$2x-y\textless{} x\textless{} y$，这与之前假设的\emph{x}，\emph{y}的最小性矛盾．\\ 因此1，2，\ldots，\emph{n}的染色至多在之前的基础上增加1种，从而命题得证．\\ 综上所述，有$\log _{3}n\leq f(n)\leq \log _{2}n+1$．\\ 接下来考虑$n=9$的情形，此时$f(n)=3$，排除选项B．\\ 故选：A.


2017年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->均值

因为$$c+2d=1\geqslant 2\sqrt{2cd}\Rightarrow cd\leqslant \frac{1}{8}$$，所以  $$\frac{1}{a}+\frac{1}{bcd}\geqslant \frac{1}{a}+\frac{8}{b}=\left( \frac{1}{a}+\frac{8}{b} \right)\left( a+2b \right)=17+\frac{2b}{a}+\frac{8a}{b}\geqslant 17+8=25$$．


2019年江西全国高中数学联赛竞赛初赛第1题10分

将$$1,2,\cdots , 19 $$中任意两个互异的数作乘积．则所有这种乘积的和为．

以上都不对

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的综合应用 课内体系->知识点->等式与不等式->等式->代数式化简求值


2009年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第10题9分

甲、乙、丙、丁四个人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可能地传给其余三个人之一，设$${{p}_{n}}$$表示经过$$n$$次传递后球回到甲手中的概率，则$${{p}_{6}}=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．

知识标签->知识点->概率->条件概率与事件的独立性->事件的独立性->相互独立事件的概率乘法公式

知识标签->知识点->概率->事件与概率->概率的概念->概率的基本性质

知识标签->题型->概率->事件的独立性与条件概率->概率乘法公式问题

知识标签->素养->逻辑推理


1996年全国全国高中数学联赛竞赛一试第1题

线段

不等边三角形

等边三角形

四边形

竞赛->知识点->解析几何->圆与方程


2017年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

将曲线$$y={{\log }_{2}}x$$沿$$x$$轴正方向移动$$1$$个单位，再沿$$y$$轴负方向移动$$2$$个单位，得到曲线$$C$$．在下列曲线中，与$$C$$关于直线$$x+y=0$$对称的是．

竞赛->知识点->函数->基本初等函数


2019~2020学年上海浦东新区华东师范大学第二附属中学高二上学期单元测试第1题

2000年全国高中数学联赛竞赛一试第3题6分

已知点$$A$$为双曲线$${{x}^{2}}-{{y}^{2}}=1$$的左顶点，点$$B$$和点$$C$$在双曲线的右分支上，$$\triangle ABC$$是等边三角形，则$$\triangle ABC$$的面积是（~ ）．

竞赛->知识点->解析几何->双曲线


一个信封里有八张钞票：$$2$$张$$1$$元，$$2$$张$$5$$元，$$2$$张$$10$$元，$$2$$张$$20$$元$$.$$ 不放回地随机抽出两张钞票，这两张钞票的总和大于等于$20$的概率是多少？

课内体系->知识点->统计与概率->概率

美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Probability Calculation->Classical Models of Probabilities

The only way to get a total of $$$20$$ or more is if you pick a twenty and another bill, or if you pick both tens. There are a total of $$\left(\begin{array}{l} 8    2 \end{array}\right)=\frac{8 \times 7}{2 \times 1}=28$$ ways to choose $2$ bills out of $8$. There are $12$ ways to choose a twenty and some other non-twenty bill. There is $1$ way to choose both twenties, and also $1$ way to choose both tens. Adding these up, we find that there are a total of $14$ ways to attain a sum of $20$ or greater, so there is a total probability of $\frac{14}{28}=\frac{1}{2}$.


2016年湖北全国高中数学联赛高二竞赛初赛第3题9分

已知$$\triangle ABC$$是等边三角形，椭圆$$\Gamma $$的一个焦点为$$A$$，另一个焦点$$F$$在线段$$BC$$上，如果椭圆$$\Gamma $$恰好经过$$B$$，$$C$$两点，则它的离心率为~\uline{~~~~~~~~~~}~．

知识标签->素养->直观想象

知识标签->素养->数学运算

知识标签->知识点->平面解析几何->椭圆->椭圆的定义、标准方程->椭圆的标准方程

知识标签->知识点->平面解析几何->椭圆->椭圆的简单几何性质->椭圆的离心率

知识标签->题型->平面解析几何->椭圆与双曲线中确定离心率的问题->求椭圆的离心率

知识标签->题型->平面解析几何->圆锥曲线中确定基本量的问题->椭圆、双曲线、抛物线的基本量求解


2015年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分

已知向量$$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$$的夹角为$$60{}^{}\circ $$，且$$\left\textbar{} \overrightarrow{a} \right\textbar=1$$，$$\left\textbar{} \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b} \right\textbar=\sqrt{13}$$，则$$\left\textbar{} \overrightarrow{b} \right\textbar=$$．

竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算

$${{\left\textbar{} \overrightarrow{a} \right\textbar}^{2}}-4\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+4{{\left\textbar{} \overrightarrow{b} \right\textbar}^{2}}=13$$，即$$1-2\left\textbar{} \overrightarrow{b} \right\textbar+4{{\left\textbar{} \overrightarrow{b} \right\textbar}^{2}}=13$$，解得$$\left\textbar{} \overrightarrow{b} \right\textbar=2$$


2009年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算


1982年全国高中数学联赛竞赛第8题

必定是甲；

必定是乙；

必定是丙；

一般并不确定，而与$$a$$、$$b$$的取值有关

竞赛->知识点->不等式->不等式的证明


$$2006-AMC12A-11$$  Joe and JoAnn each bought $$12$$ ounces of coffee in a $$16$$-ounce cup. Joe drank $$2$$ ounces of his coffee and then added $$2$$ ounces of cream. JoAnn added $$2$$ ounces of cream, stirred the coffee well, and then drank $$2$$ ounces. What is the resulting ratio of the amount of cream in Joe\textquotesingle s coffee to that in JoAnn\textquotesingle s coffee?.  乔和乔安每人买了 12 盎司的咖啡，装在一个 16 盎司的杯子里。 乔喝了 2 盎司咖啡，然后加了 2 盎司奶油。 乔安加了 2 盎司奶油，将咖啡搅拌均匀，然后喝了 2 盎司。 乔的咖啡中的奶油量与乔安的咖啡中的奶油量的最终比是多少？

课内体系->知识点->集合->容斥原理

美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Proportion Word Problems


2011年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分

直线$$y=5$$与$$y=-1$$在区间$$\left[ 0,\left. \frac{4 \pi }{\omega } \right] \right.$$上截曲线$$y=m\sin \frac{\omega }{2}x+n (m\textgreater0,  n\textgreater0)$$所得的弦长相等且不为零，则下列描述正确的是．

$$m\leqslant \frac{3}{2},n=\frac{5}{2}$$

$$m\leqslant 3,  n=2$$

$$m\textgreater\frac{3}{2},n=\frac{5}{2}$$

$$m\textgreater3,  n=2$$

竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质

函数$${{y}_{1}}=m\sin \frac{\omega x}{2}$$，$$x\in \left[ 0,\left. \frac{4 \pi }{\omega } \right] \right.$$的图象只有被$$y=a$$及$$ y=-a,  0\leqslant a\textless{}m$$这样的两直线所截，截得的弦长才能相等，且不为零．所以截取函数  $$y=m\sin \frac{\omega x}{2}+n,\quad x\in \left[ 0,\left. \frac{4 \pi }{\omega } \right] \right.$$  的图象所得弦长相等且不为零的两直线应为$$y=n+a,  y=n-a,  0\leqslant a\textless{}m$$，即有$$n+a=5,  n-a=-1 $$解得$$n=2$$，$$a=3$$．进而$$m\textgreater3$$．


2015年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分

竞赛->知识点->多项式与方程->解方程（组）


2010年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

$$\frac{2 \pi }{3}$$

$$\frac{4 \pi }{3}$$

2$$ \pi $$

$$4 \pi $$

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的角与距离


2018年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第8题9分

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->素养->数学抽象

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->基本初等函数->对数函数->对数方程和对数不等式->解对数不等式

课内体系->知识点->基本初等函数->对数函数->对数型复合函数的性质->对数型函数的其它类型

由$$f(x)+f(-x)=0$$$$\Rightarrow(a x+\sqrt{2 x^{2}+1})(-a x+\sqrt{2 x^{2}+1})=1$$$$\Rightarrow\left(2-a^{2}\right) x^{2}=0 \Rightarrow a=\sqrt{2}$$，  由于$$\sqrt{2} x+\sqrt{2 x^{2}+1}$$在区间$$(0,+\infty)$$上为增函数，于是，$$f(x)$$在区间$$(0,+\infty)$$上为增函数．  结合$$f(x)$$为奇函数，知$$f(x)$$在$$\mathbf{R}$$上为增函数．  则方程$$f(x)=\frac{3}{2}$$$$\Leftrightarrow \sqrt{2} x+\sqrt{2 x^{2}+1}=2^{\frac{3}{2}}=2 \sqrt{2}$$$$\Leftrightarrow \sqrt{2 x^{2}+1}=\sqrt{2}(2-x)$$$$\Rightarrow x=\frac{7}{8}$$．  故$$f(x)\textgreater\frac{3}{2}$$的解集为$$\left(\frac{7}{8},+\infty\right)$$．


2019年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

函数$$f\left( x \right)=\left( \sqrt{3}\sin x+\cos x \right)\left( \sqrt{3}\cos x-\sin x \right)$$的最小正周期为．

$$\frac{\pi }{2}$$

$$\frac{2\pi }{3}$$

$$\pi $$

$$2\pi $$

竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质

由题给条件知：  $$f\left( x \right)=2\sin \left( 2x+\frac{\pi }{2} \right)$$，  故$$f\left( x \right)$$的最小正周期为$$\pi $$．


2009年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

$$f(x)$$是偶函数

$$f(x)$$是奇函数

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质


课内体系->知识点->基本初等函数->实数指数幂运算

Factoring out, we get: $$\dfrac{2^{2020}\left( 2^{2}+1\right)}{2^{2020}\left( 2^{2}-1\right)}$$.  Cancelling out the $$2^{2020}$$ from the numerator and denominator, we see that it simplifies to $$\left( \text{C}\right)\dfrac{5}{3}$$.


2022~2023学年湖南邵阳隆回县湖南省隆回县第二中学高一上学期月考（竞赛）第6题

若函数$y={{a}^{\left\textbar{} x \right\textbar}}+m-1\left( 0\textless{} a\textless{} 1 \right)$的图象和$x$轴有交点，则实数$m$的取值范围是（~~~~~~~）

$\left[ 1,+\infty \right)$

$\left( 0,1 \right)$

$\left( -\infty ,1 \right)$

$\left[ 0,1 \right)$

课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->零点的个数问题 课内体系->知识点->基本初等函数->指数函数

\hfill\break 【分析】\\ 将题意等价转化为函数$y={{a}^{\left\textbar{} x \right\textbar}}$的图象与$y=1-m$的图象有交点，根据指数函数的性质可得$0\textless{} {{a}^{\textbar x\textbar}}\le 1$，列出关于$m$的不等式，解出即可.\\ 【详解】\\ 函数$y={{a}^{\left\textbar{} x \right\textbar}}+m-1\left( 0\textless{} a\textless{} 1 \right)$的图象和$x$轴有交点，即方程${{a}^{\left\textbar{} x \right\textbar}}=1-m\left( 0\textless{} a\textless{} 1 \right)$，\\ 等价于函数$y={{a}^{\left\textbar{} x \right\textbar}}$的图象与$y=1-m$的图象有交点，\\ $0\textless{} a\textless{} 1$时，$0\textless{} {{a}^{\textbar x\textbar}}\le 1$，\\ 即$0\textless{} 1-m\le 1$，解得$0\le m\textless{} 1$，\\ 即实数$m$的取值范围是$\left[ 0,1 \right)$，\\ 故选：\emph{D}.\\ 【点睛】\\ 本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用问题，将问题转化为函数$y={{a}^{\left\textbar{} x \right\textbar}}$的图象与$y=1-m$的图象有交点是解题的关键，属于基础题.


2021年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

在$$\triangle ABC$$中，$$\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar=2$$ ，$$\left\textbar{} \overrightarrow{AC} \right\textbar=3$$，$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}\textgreater0$$ ，且$$\triangle ABC$$的面积为$$\frac{3}{2}$$，则$$\angle BAC$$等于．

$${{150}^{\circ }}$$

$${{30}^{\circ }}$$

$${{120}^{\circ }}$$

$${{60}^{\circ }}$$

课内体系->方法->定义法

课内体系->特色题型->选择压轴

课内体系->知识点->解三角形->三角形面积公式

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->利用向量数量积求夹角

课内体系->思想->数形结合思想

课内体系->素养->数学运算

$$\triangle ABC$$的面积$${{S}_{\triangle ABC}}$$$$=\frac{1}{2}\times AB\times AC\times \sin \angle BAC$$  $$=\frac{1}{2}\times 2\times 3\times \sin \angle BAC$$$$=\frac{3}{2}$$，  所以$$\sin \angle BAC=\frac{1}{2}$$，  又由已知$$\angle BAC$$为纯角，  从而$$\angle BAC={{150}^{\circ }}$$．  故选$$\text{A}$$．


已知实数\emph{a}，\emph{b}，\emph{c}，\emph{d}，\emph{e}满足$\begin{cases} a+b+c+d+e=8,   a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}=16, \end{cases}$则\emph{e}的取值范围是（~~~~~~~）

以上答案都不对

\hfill\break 【分析】\\ 根据柯西不等式可求\emph{e}的取值范围.\\ 【详解】\\ 根据柯西不等式，有$-\sqrt{4}\cdot \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}\leq a+b+c+d\leq \sqrt{4}\cdot \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}$，\\ 从而$\textbar{} 8-e\textbar{} \leq 2\sqrt{16-e^{2}}\Rightarrow 0\leq e\leq \frac{16}{5}$，\\ 因此\emph{e}的取值范围是$\left[0,\frac{16}{5}\right]$．\\ 故选：D.


2023年陕西榆林绥德县实验中学高三上学期高考模拟（第四次模拟）第12题

2022~2023学年9月辽宁高三上学期月考（名校联盟）第8题

2022年湖南湘西吉首市竞赛（第一届中小学生教师解题大赛）第8题

2022年四川成都青羊区四川省成都市石室中学高三上学期高考模拟理科（一诊模拟）第12题

$c\textgreater a\textgreater b$

$a\textgreater c\textgreater b$

$b\textgreater a\textgreater c$

$a\textgreater b\textgreater c$

课内体系->知识点->基本初等函数 课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质

\hfill\break 【分析】\\ 观察$a={{\text{e}}^{0.2}}-1,b=\ln 1.2,c=\tan 0.2$，发现都含有$0.2$，把$0.2$换成$x$，自变量在$(0,1)$或其子集范围内构造函数，利用导数证明其单调性，比较$a,b,c$的大小.\\ 【详解】\\ 令$f(x)={{\text{e}}^{x}}-1-\tan x=\frac{\cos x{{\text{e}}^{x}}-\cos x-\sin x}{\cos x}$，$0\textless{} x\textless{} \frac{\pi }{4}$，\\ 令$g(x)=\cos x{{\text{e}}^{x}}-\cos x-\sin x$，${g}\textquotesingle(x)=(-\sin x+\cos x){{\text{e}}^{x}}+\sin x-\cos x=({{\text{e}}^{x}}-1)\cdot (\cos x-\sin x)$，\\ 当$0\textless{} x\textless{} \frac{\pi }{4}$时，${g}\textquotesingle(x)\textgreater0$，$g(x)$单调递增，\\ 又$g(0)=1-1=0$，所以$g(x)\textgreater0$，又$\cos x\textgreater0$，\\ 所以$f(x)\textgreater0$，在$(0,\frac{\pi }{4})$成立，所以$f(0.2)\textgreater0$即$a\textgreater c$，\\ 令$h(x)=\ln (x+1)-x$，${h}\textquotesingle(x)=\frac{1}{x+1}-1=\frac{-x}{x+1}$，$h(x)$在$x\in (0,\frac{\pi }{2})$为减函数，所以$h(x)\textless{} h(0)=0$，即$\ln (x+1)\textless{} x$，\\ 令$m(x)=x-\tan x$，${m}\textquotesingle(x)=1-\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}$，$m(x)$在$x\in (0,\frac{\pi }{2})$为减函数，所以$m(x)\textless{} m(0)=0$，即$x\textless{} \tan x$，\\ 所以$\ln (x+1)\textless{} x\textless{} \tan x$，$x\in (0,\frac{\pi }{2})$成立，\\ 令$x=0.2$，则上式变为$\ln (0.2+1)\textless{} 0.2\textless{} \tan 0.2$，所以$b\textless{} 0.2\textless{} c$\\ 所以$b\textless{} c$，\\ 所以$b\textless{} c\textless{} a$.\\ 故答案为：B.\\ 【点睛】\\ 比较大小题目，是高考的热点，也是难点，通过观察和构造函数是基本的解题要求，难点在于构造后的证明，需要平时多积累常见的结论，达到深入理解，举一反三，融会贯通.


2012年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分

设抛物线$${{y}^{2}}=4x$$的焦点为$$F$$，顶点为$$O,  M$$是抛物线上的动点，则$$\frac{\left\textbar{} MO \right\textbar}{\left\textbar{} MF \right\textbar}$$的最大值为．

竞赛->知识点->解析几何->直线与圆锥曲线

由条件知$$F\left( 1,  0 \right)$$，$$O\left( 0,  0 \right)$$，点$$M$$坐标为$$\left( x,  y \right)$$，显然$$x\geqslant 0$$，则  $${{\left( \frac{\left\textbar{} MO \right\textbar}{\left\textbar{} MF \right\textbar} \right)}^{2}}=\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+4x}{{{x}^{2}}+2x+1}$$ $$=\frac{4}{3}-3{{\left( \frac{1}{x+1}-\frac{1}{3} \right)}^{2}}\leqslant \frac{4}{3}$$．  当$$x=2$$时等号成立，故$$\frac{\left\textbar{} MO \right\textbar}{\left\textbar{} MF \right\textbar}$$的最大值为$$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$．


2014年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分

竞赛->知识点->导数模块->导数 竞赛->知识点->函数->二次函数


2011年江苏全国高中数学联赛竞赛复赛第2题8分

$$\left[ -\sqrt{3},  1 \right)$$

$$\left[ -\frac{2\sqrt{3}}{3},  1 \right)$$

$$\left[ -\frac{\sqrt{3}}{2},  1 \right)$$

$$\left[ 0,  1 \right)$$

课内体系->方法->定义法

课内体系->思想->分类讨论思想

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的值域->求复合函数的值域

课内体系->素养->数学运算


2013年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分

在$${\triangle }ABC$$中，$$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CA}$$，则$${\triangle }ABC$$是．

等腰三角形

直角三角形

等腰直角三角形

以上均不对

竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的应用 竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算


2015~2016学年3月陕西西安雁塔区唐南中学高一下学期月考理科第10题4分 2013~2014学年10月辽宁沈阳沈阳铁路实验中学高二上学期月考第6题5分 2012年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的前n项和->求等差数列前n项和的最值

课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的性质及应用

课内体系->素养->数学运算


若一無窮等比級數之和是一正數$$S$$，且級數的第$$2$$项是$$1$$，則$$S$$的最小可能値爲何？  The sum of an infinite geometric series is a positive number S, and the second tern in the series is $$1$$. What is  the smallest possible value of $$S$$?

$$ \frac{1+ \sqrt{5}}{2} $$

$$ \sqrt{5} $$

The sum of an infinite geometric series is of the form: $$S=\dfrac{a_{1}}{1-r}$$ where $$a_{1}$$ is the first term and $$r$$ is the ratio whose absolute value is less than $$1$$.  We know that the second term is the first term multiplied by the ratio. In other words: $$\begin{array}{l} {a_{1}\cdot r=1}  {a_{1}=\dfrac{1}{r}} \end{array}$$ Thus, the sum is the following: $$\begin{array}{l} {S=\dfrac{\dfrac{1}{r}}{1-r}}  {S=\dfrac{1}{r-r^{2}}} \end{array}$$.  Since we want the minimum value of this expression, we want the maximum value for the denominator, $$-r^{2}+r$$. The maximum x$$-$$value of a quadratic with negative $$a$$ is $$\dfrac{-b}{2a}$$. $$\begin{array}{l} {r=\dfrac{-\left( 1\right)}{2\left( -1\right)}}  {r=\dfrac{1}{2}} \end{array}$$ Plugging $${r=\dfrac{1}{2}}$$ into the quadratic yields: $$\begin{array}{l} {S=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}-\left( \dfrac{1}{2}\right)^{2}}}  {S=\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}}} \end{array}$$.  Therefore, the minimum sum of our infinite geometric sequence is $$\left( \text{E}\right)4$$. $$\left({}\right.$$Solution by akaashp$$11\left.{}\right)$$ As an extension to find the maximum value for the denominator we can find the derivative of $$-r^{2}+r$$ to get $$1-2r$$. we know that this changes sign when $$r =\dfrac{1}{2}$$ so plugging it in into the original equation we find the answer is $$\left( \text{E}\right)4$$.  After observation we realize that in order to minimize our sum $$\dfrac{a}{1-r}$$ with $$a$$ being the reciprocal of $$r$$.  The common ratio $$r$$ has to be in the form of $$\dfrac{1}{x}$$ with $$x$$ being an integer as anything more than $$1$$ divided by $$x$$ would give a larger sum than a ratio in the form of $$\dfrac{1}{x}$$.  The first term has to be $$x$$, so then in order to minimize the sum, we have minimize $$x$$.  The smallest possible value for $$x$$ such that it is an integer that\textquotesingle s greater than $$1$$ is $$2$$. So our first term is $$2$$ and our common ratio is $$\dfrac{1}{2}$$. Thus the sum is $$\dfrac{2}{\dfrac{1}{2}}$$ or $$\left( \text{E}\right)4$$. Solution $$2$$ by No_One.  We can see that if $$a$$ is the first term, and $$r$$ is the common ratio between each of the terms, then we can get~ $$S=\dfrac{a}{1-r}\Rightarrow S-Sr=a$$ Also, we know that the second term can be expressed as $$a\cdot r$$ notice if we multiply $$S-Sr=a$$ by $$r$$, we would get $$r\left( S-Sr\right)=ar\Rightarrow Sr-Sr^{2}=1\Rightarrow Sr^{2}-Sr+1=0$$ This quadratic has real solutions if the discriminant is greater than or equal to zero, or $$S^{2}-4\cdot S\cdot1\geqslant0$$ This yields that $$S\leqslant0$$ or $$S\geqslant4$$. However, since we know that $$S$$ has to be positive, we can safely conclude that the minimum possible value of $$S$$ is $$\left( \text{E}\right)4$$.


2006年第24届美国数学邀请赛（AIME）竞赛第4题

竞赛->知识点->数论模块->整除->质数（算数基本定理） 课内体系->知识点->计数原理


2000年全国高中数学联赛竞赛一试第2题6分

设$$\text{sin }\alpha \textgreater0$$，$$\cos \alpha \textless{}0$$，且$$\sin \frac{\alpha }{3}\textgreater\cos \frac{\alpha }{3}$$，则$$\frac{\alpha }{3}$$的取值范围是（~ ~ ）．

$$\left( 2k \pi +\frac{ \pi }{6},2k \pi +\frac{ \pi }{3} \right)$$，$$k\in \mathbf{Z}$$

$$\left( \frac{2k \pi }{3}+\frac{ \pi }{6},\frac{2k \pi }{3}+\frac{ \pi }{3} \right)$$，$$k\in \mathbf{Z}$$

$$\left( 2k \pi +\frac{5 \pi }{6},2k \pi + \pi ~\right)$$，$$k\in \mathbf{Z}$$

$$\left( 2k \pi +\frac{ \pi }{4},2k \pi +\frac{ \pi }{3} \right)\cup \left( 2k \pi +\frac{5 \pi }{6},2k \pi + \pi ~\right)$$，$$k\in \mathbf{Z}$$

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->素养->数学运算

课内体系->素养->直观想象

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->同角三角函数的基本关系式

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦函数的图象和性质

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->余弦型三角函数的图象与性质

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦型函数的图象与性质

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->余弦函数的图象和性质

由$$\sin \alpha \textgreater0$$，$$\cos \alpha \textless{}0$$，得$$\alpha \in \left( 2k \pi +\frac{ \pi }{2},2k \pi + \pi ~\right),k\in \mathbf{Z}$$  从而有$$\frac{\alpha }{3}\in \left( \frac{2k \pi }{3}+\frac{ \pi }{6},\frac{2k \pi }{3}+\frac{ \pi }{3} \right),k\in \mathbf{Z}$$  又因为$$\sin \frac{\alpha }{3}\textgreater\cos \frac{\alpha }{3}$$，所以又有$$\frac{\alpha }{3}\in \left( 2k \pi +\frac{ \pi }{4},2k \pi +\frac{5 \pi }{4} \right),k\in \mathbf{Z}$$  于是$$\frac{\alpha }{3}$$的范围为$$\left( 2k \pi +\frac{ \pi }{4},2k \pi +\frac{ \pi }{3} \right)\cup \left( 2k \pi +\frac{5 \pi }{6},2k \pi + \pi ~\right),k\in \mathbf{Z}$$．  故选$$\text{D}$$．

$$\sin \alpha >0$$，$$\cos \alpha   <  0$$，$$\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}  <  \frac{\alpha }{3}  <  \frac{\pi }{3}+\frac{2k\pi }{3}$$，

$$k=3n$$，$$\frac{\pi }{6}+2n\pi   <  \frac{\alpha }{3}  <  \frac{\pi }{3}+2n\pi $$，$$\sin \frac{\alpha }{3}>\cos \frac{\alpha }{3}$$，

$$\frac{\pi }{4}+2n\pi   <  \frac{\alpha }{3}  <  \frac{5\pi }{4}+2n\pi $$，从而$$\frac{\pi }{4}+2n\pi   <  \frac{\alpha }{3}  <  \frac{\pi }{3}+2n\pi $$，

同理$$k=3n+1$$，$$k=3n+2$$，可得答案．

故选：$$\text{D}$$．


2000年全国高中数学联赛竞赛一试第5题6分

平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线$$y=\frac{5}{3}x+\frac{4}{5}$$的距离中的最小值是（~ ~ ）．

竞赛->知识点->解析几何->直线与方程


2011年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

竞赛->知识点->解析几何->双曲线


2008年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

课内体系->知识点->圆锥曲线->抛物线->直线和抛物线的位置关系 竞赛->知识点->解析几何->直线与圆锥曲线


2016年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

函数$$f\left( x \right)=4{{\sin }^{3}}x-\sin x+2{{\left( \sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2} \right)}^{2}}$$的最小正周期为（~ ~ ）．

$$2\mathrm{ }\pi $$

$$\frac{\mathrm{ }\pi }{2}$$

$$\frac{2}{3}\mathrm{ }\pi $$

$$\mathrm{ }\pi $$

课内体系->素养->数学运算

课内体系->素养->直观想象

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦函数的图象和性质

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->半角公式

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->二倍角的余弦

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->二倍角的正弦

$$f\left( x \right)=4{{\sin }^{3}}x-\sin x+2\left( 1-\sin x \right)=-\sin 3x+2$$.  故选$$\text{C}$$．


2008年福建全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分

竞赛->知识点->多项式与方程->解方程（组）


2016年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分 2007年6月高考真题陕西卷理科第12题5分

课内体系->知识点->集合->集合的基本关系->子集个数的计算

课内体系->知识点->集合->集合的概念与表示方法->集合的含义、元素与集合->集合中元素的性质

课内体系->知识点->集合->集合的概念与表示方法->集合的含义、元素与集合->元素与集合之间的关系

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->素养->数学运算

课内体系->特色题型->新定义


2000年第18届美国数学邀请赛（AIME）竞赛第12题

已知函数$$f\left( x \right)=f\left( 398-x \right)=f\left( 2158-x \right)=f\left( 3214-x \right)$$对于所有实数$$x$$均成立，则$$f\left( 0 \right)$$，$$f\left( 1 \right)$$，$$f\left( 2 \right)$$，．．．，$$f\left( 999 \right)$$中最多有个不同的值？

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质 课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->对称性

由$$f\left( 398-x \right)=f\left( 2158-x \right)$$得$$f\left( x \right)=f\left( x+1760 \right)$$．  由$$f\left( 2158-x \right)=f\left( 3214-x \right)$$得，$$f\left( x \right)=f\left( x+1056 \right)$$．  故有$$f\left( x \right)=f\left( x+1056 \right)=f\left( x+2112 \right)=f\left( x+352 \right)$$．  从而$$f\left( x \right)$$为周期函数，且它的一个周期为$$352$$．  又由于$$f\left( x \right)=f\left( 398-x \right)$$，故$$f\left( x \right)$$关于$$x=199$$对称．  于是当$$f$$在$$x\in \left[ 23,199 \right]$$定义后，  由$$f\left( x \right)$$的对称性知$$x\in \left[ 199,375 \right]$$时，  $$f$$亦可定义；再由$$f\left( x \right)$$的周期性知对任意$$x\in \mathbf{R}$$，  $$f$$可定义．故在一个周期内，  每一个函数值至少对应两个不同的$$x$$，其中$$x\ne 199+352k\left( k\in \mathbf{Z} \right)$$．  因此，$$f\left( 0 \right)$$，$$f\left( 1 \right)$$，．．．，$$f\left( 999 \right)$$至多有$$\frac{1}{2}\cdot 352+1=177$$个不同的值，  且当$$f\left( 23 \right)$$，$$f\left( 24 \right)$$，．．．，$$f\left( 199 \right)$$两两不等时，$$177$$可以取到．  因此，所求的最大值为$$177$$．  【点评】由已知恒等式组$$f\left( x \right)=f\left( 398-x \right)$$，$$f\left( x \right)=f\left( 2158-x \right)$$及$$f\left( x \right)=f\left( 3214-x \right)$$可得出以下恒等式组：  $$f\left( x \right)=f\left( 2158-x \right)=f\left( 3214-\left( 2158-x \right) \right)=f\left( 1056+x \right)$$，  $$f\left( x \right)=f\left( 1056+x \right)=f\left( 2158-\left( 1056+x \right) \right)=f\left( 1192-x \right)$$，  $$f\left( x \right)=f\left( 1056+x \right)=f\left( 1102-\left( 1056+x \right) \right)=f\left( 46-x \right)$$及  $$f\left( x \right)=f\left( 46-x \right)=f\left( 398-\left( 46-x \right) \right)=f\left( 352+x \right)$$．  由最后一个恒等式知$$f$$是一个周期函数，且$$f$$的一个周期为$$352$$．  故$$f\left( 0 \right)$$，$$f\left( 1 \right)$$，．．．，$$f\left( 999 \right)$$中每个值都可在$$f\left( 0 \right)$$，$$f\left( 1 \right)$$，．．．，$$\left( 351 \right)$$中找到．  恒等式$$f\left( x \right)=f\left( 398-x \right)$$表明$$f\left( 200 \right)$$，$$f\left( 201 \right)$$，．．．，$$f\left( 351 \right)$$可在$$f\left( 0 \right)$$，$$f\left( 1 \right)$$，．．．，$$f\left( 199 \right)$$中找到．  恒等式$$f\left( x \right)=f\left( 46-x \right)$$表明$$f\left( 0 \right)$$，$$f\left( 1 \right)$$，．．．，$$f\left( 22 \right)$$可在$$f\left( 23 \right)$$，$$f\left( 24 \right)$$，．．．，$$f\left( 199 \right)$$中找到．  故题中所给一列函数中最多有$$177$$个不同的值．  要说明$$f\left( 23 \right)$$，$$f\left( 24 \right)$$，．．．，$$f\left( 199 \right)$$可以是不同的值，  考虑函数$$f\left( x \right)=\cos \left( \frac{360}{352}\left( x-23 \right) \right)$$，$$x$$的单位为度．  用常规方法可证明恒等式$$f\left( x \right)=f\left( 398-x \right)$$，$$f\left( x \right)=f\left( 2158-x \right)$$及$$f\left( x \right)=f\left( 3214-x \right)$$，  且可看出  $$1=f\left( 23 \right)\textgreater f\left( 24 \right)\textgreater f\left( 25 \right)\textgreater\cdots \textgreater f\left( 199 \right)=-1$$．


2010年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分

圆周上有$$10$$个等分点，则以这$$10$$个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中，梯形所占的比为．

竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合 竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步

任选$$4$$点，共有$$C_{10}^{4}=210$$个凸四边形，其中梯形的两条平行边可以从$$5$$组平行于直径的$$5$$条平行弦中选取，也可以$$5$$组不平行于直径的$$4$$条平行弦中选取，去除矩形，梯形共有$$60$$个，所以，梯形所占的比为$$\frac{2}{7}$$．


$$Zeoy$$閲讀$$15$$本書，一次閱讀$$1$$本．她花了$$1$$天讀完第一本書，又花了$$2$$天讀完第二本，再花了$$3$$天讀完第三本，其餘依此類推，即每讀完一本書要比讀完前一本書多花$$1$$天．$$Zoey$$讀完第一本書是在星期一，讀完第二本書是在星期三，若她每天都閲讀，則當她讀完第$$15$$本書時尼在星期幾？  Zoey read $$15$$ books, one at a time. The first book took her $$1$$ day to read, the second book took $$2$$ her days to read, the third book took $$3$$ her days to read, and so on, with each book taking her $$1$$ more day to read than the previous book. Zoey finished the first book on a Monday, and the second on a Wednesday. On what day of the week did she finish her $$15\text{th}$$ book?

星期日｜$ $Sunday

星期一｜Monday

星期三｜Wednesday

星期五｜Friday

星期六｜Saturday

The process took $$1+2+3+\cdot\cdot\cdot+13+14+15=120$$ days, so the last day was $$119$$ days after the first day. Since $$119$$ is divisible by $$7$$, both must have been the same day of the week, so the answer is $$\left(\text{B}\right)$$ Monday.


2015年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

已知一个角大于$$120{}^{}\circ $$的三角形的三边长分别为$$m,m+1,m+2$$，则实数$$m$$的取值范围为．

竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形

由题意可知：  $$\begin{cases}m+(m+1)\textgreater m+2    {{(m+2)}^{2}}\textgreater{{m}^{2}}+{{(m+1)}^{2}}+m(m+1) \end{cases}$$  解得$$1\textless{}m\textless{}\frac{3}{2}$$．


2012年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

竞赛->知识点->排列组合与概率->二项式定理及其应用


2009年河南全国高中数学联赛高一竞赛初赛第1题5分

课内体系->特色题型->新定义 课内体系->素养->逻辑推理 课内体系->知识点->集合->集合的新定义问题 课内体系->知识点->集合->集合的基本关系->子集

题意为：互为倒数的两个数必须同时在一个集合或者同时不在一个集合中，所以需要将集合中的元素分组，$$\left { 1 \right }$$，$$\left { -1 \right }$$，$$\left { 2,\frac{1}{2} \right }$$，$$\left { 3,\frac{1}{3} \right }$$，所以和谐集有$${{2}^{4}}-1=15$$个．  故答案为：$$15$$．


高二下学期单元测试《轨迹问题》自招第3题 2011年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分

椭圆

抛物线

双曲线

以上都有可能

竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算 竞赛->知识点->解析几何->曲线与方程 竞赛->知识点->解析几何->直线与方程


2019AMC12A, 23  Define binary operations $$\diamondsuit $$ and $$\heartsuit$$ by $$a\diamondsuit b=a^{\log _7(b)}$$ and $$a\heartsuit b=a^{\frac{1}{\log _7(b)}}$$ for all real numbers $$a$$ and $$b$$ for which these expressions are defined. The sequence $$(a_n)$$ is defined recursively by $$a_3=3\heartsuit 2$$ and $$a_n=(n\heartsuit (n-1))\diamondsuit a_{n-1}$$ for all integers $$n\geqslant 4$$. To the nearest integer, what is $$\log _7(a_{2019})$$?   对所有实数$$a$$, $$b$$, 定义二元运算$$\diamondsuit $$ 和 $$\heartsuit$$如下: $$a\diamondsuit b=a^{\log _7(b)}$$ , $$a\heartsuit b=a^{\frac{1}{\log _7(b)}}$$. 数列 $$(a_n)$$ 满足 $$a_3=3\heartsuit 2$$以及$$a_n=(n\heartsuit (n-1))\diamondsuit a_{n-1}$$ ($$n\geq 4$$). 距离 $$\log _7(a_{2019})$$ 最近的整数是多少? ．

课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算->对数的运算

美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Reasoning->Information Migration (new definition)

美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Reasoning->Recurrence and Recursion


2005年全国高中数学联赛竞赛一试第2题6分

只有一个

有二个

有四个

有无穷多个

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间向量


設$$N$$爲$$5$$的倍數．一個紅球與$$N$$個綠球隨意地排在一直線上．令P(N) 表示至少有$$ \frac{3}{5} $$的綠球排在紅球同一側的概率．顯然$$P（5） =1$$，且當$$N$$非常大时P(N) 趨近於$$ \frac{4}{5} $$．試問使得$$ P(N)\textless{} \frac{321}{400} $$最小的$$N$$，其各位數的數字和爲多少？  Let N be a positive multiple of 5. One red ball and N green balls are arranged in a line in randon order. Let  P(N)be the probability that at least$$ \frac{3}{5} $$ of the green balls are on the same side of the red ball. Observe that  $$P(5)=1$$ and that P(N) approaches$$ \frac{4}{5} $$ as N grows large. What is the sum of the digits of the least value of  $$P(N)\textless{} \frac{321}{400} $$

Let $$n=\frac N5$$. Then, consider $$5$$ blocks of $$n$$ green balls in a line, along with the red ball. Shuffling the line is equivalent to choosing one of the $$N+1$$ positions between the green balls to insert the red ball.  Less than $$\frac 35$$ of the green balls will be on the same side of the red ball if the red ball is inserted in the middle block of $$n$$ balls, and there are $$n-1$$ positions where this happens.  Thus, $$P(N)=1-\frac {n-1}{N+1}=\frac {4n+2}{5n+1}$$, so $$P(N)=\frac {4n+2}{5n+1}\textless\frac {321}{400}$$.  Multiplying both sides of the inequality by $$400(5n+1)$$, we have $$400(4n+2)\textless321(5n+1)$$,  and by the distributive property,  $$1600n+800\textless1605n+321$$.  Subtracting $$1600n+321$$ on both sides of the inequality gives us $$479\textless5n$$,  Therefore, $$N=5n\textgreater479$$, so the least possible value of $$N$$ is $$480$$. The sum of the digits of $$480$$ is $$12$$.  Let $$N=5$$, $$P(N)=1$$(Given)  Let $$N=10$$, $$P(N)=\frac {10}{11}$$  Let $$N=15$$, $$P(N)=\frac {14}{16}$$  Notice that the fraction can be written as $$1-\frac{\frac{N}{5}-1}{N+1}$$  Now it\textquotesingle s quite simple to write the inequality as $$1-\frac {\frac N5-1}{N+1}\textless\frac {321}{400}$$  We can subtract $$1$$ on both sides to obtain $$-\frac {\frac N5-1}{N+1}\textless-\frac {79}{400}$$  Dividing both sides by $$-1$$, we derivee $$\frac {\frac N5-1}{N+1}\textgreater\frac {79}{400}$$. (Switch the inequality sign when dividing by $$-1$$)  We then cross multiply to get $$80N-400\textgreater79N+79$$  Finally we get $$N\textgreater479$$  To achieve $$N=480$$  So the sum of the digits of $$N=12$$.  We are trying to find the number of places to put the red ball, such that $$\frac 35$$ of the green balls or more are on one side of it. Notice that we can put the ball in a number of spaces describable with $$N$$: Trying a few values, we see that the ball "works" in places $$1$$ to $$\frac 25N+1$$ and spaces $$\frac 35N+1$$ to $$N+2$$. This is a total of $$\frac 45N+2$$ spaces, over a total possible $$N+1$$ places to put the ball. So: $$\frac {\frac 45N+2}{N+1}=\frac {321}{400}\rightarrow N=479$$. And we know that the next value is what we are looking for, so $$N+1=480$$, and the sum of it\textquotesingle s digits is $$12$$.


2008年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

$$\left( 2,\frac{1}{2} \right)$$

$$\left( -\frac{1}{2},  -2 \right)$$

$$\left( -\frac{1}{2},-1 \right)$$

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列


1983年全国高中数学联赛竞赛一试第1题

甲是乙充分而非必要条件

甲是乙的必要而非充分条件

甲是乙的充要条件

甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

竞赛->知识点->逻辑->常用逻辑用语


2010年安徽全国高中数学联赛竞赛初赛第5题8分

2019~2020学年上海浦东新区华东师范大学第二附属中学高二下学期单元测试第17题

设$$z$$是复数，则$$\left\textbar{} z-1 \right\textbar+\left\textbar{} z-\text{i} \right\textbar+\left\textbar{} z+1 \right\textbar$$的最小值等于．

竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的应用

法一：$$\left\textbar{} z-1 \right\textbar+\left\textbar{} z-\text{i} \right\textbar+\left\textbar{} z+1 \right\textbar$$表示动点$$Z$$到三个定点$$A\left( 1,0 \right)$$，$$B\left( 1,0 \right)$$，$$C\left( -1,0 \right)$$的距离之和，而且$$\triangle ABC$$是一个锐角三角形．所以$$Z$$是对各边张角为$$120{}^{}\circ $$的点，即点$$Z$$落在$$y$$轴的正半轴上，且$$\angle AZB=120{}^{}\circ $$，从而  $${{\left( \left\textbar{} z-1 \right\textbar+\left\textbar{} z-\text{i} \right\textbar+\left\textbar{} z+1 \right\textbar{} \right)}_{\min }}=2\frac{1}{\sin 60{}^{}\circ }+\left( 1-\frac{1}{\tan 60{}^{}\circ } \right)=1+\sqrt{3}$$．  法二：$$\left\textbar{} z-1 \right\textbar+\left\textbar{} z-\text{i} \right\textbar+\left\textbar{} z+1 \right\textbar$$表示动点$$Z$$三个定点$$A\left( 1,0 \right)$$，$$B\left( 0,1 \right)$$，$$C\left( -1,0 \right)$$的距离之和，能确定的是当取得最小值时点$$Z$$落在$$y$$轴的正半轴上，故设$$\angle ZAC=\theta $$，且$$\theta $$为锐角，从而$$\left\textbar{} z-1 \right\textbar+\left\textbar{} z-\text{i} \right\textbar+\left\textbar{} z+1 \right\textbar=\frac{2}{\cos \theta }+1-\tan \theta =1-\frac{\sin \theta -2}{\cos \theta }{\geqslant }1+\sqrt{3}$$．  故答案为：$$1+\sqrt{3}$$．


2011年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分

将$${{(a+b+c+d)}^{9}}$$展开之后再合并同类项，所得的多项式的项数是．

竞赛->知识点->排列组合与概率->二项式定理及其应用


2008年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

已知$$f(x)=\begin{cases}(3-a)x-a,x\textless{}1    {{\log }_{a}}x,x\geqslant 1 \end{cases}$$在$$(-\infty ,+\infty )$$上单调增加，那么$$a$$的取值范围是．

$$\left( 1,\frac{3}{2} \right]$$

$$\left[ \frac{3}{2},3 \right)$$

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质

由题知$$\begin{cases}a\textgreater1    3-a\textgreater0    {{\log }_{a}}1\geqslant \left( 3-a \right)\cdot 1-a \end{cases}$$，解得$$\frac{3}{2}\leqslant a\textless{}3$$．故选$$\text{C}$$．


\uline{The tower function of twos} is defined recursively as follows: $$T\left(1\right)=2$$ and $$T\left(n+1\right)=2^{T\left(n\right)}$$ for $$n\geqslant 1$$. Let $$A=\left(T\left(2009\right)\right)^{T\left(2009\right)}$$ and $$B=\left(T\left(2009\right)\right)^{A}$$. What is the largest integer $$k$$ such that $$\underbrace{\log_{2}\log_{2}\log_{2}\ldots\log_{2}B}_{{k\textasciitilde{} \text{times}}}$$ is defined?  2的\uline{塔函数}定义如下: $$T\left(1\right)=2$$ , $$T\left(n+1\right)=2^{T\left(n\right)}$$ ($$n\geqslant 1$$). 令 $$A=\left(T\left(2009\right)\right)^{T\left(2009\right)}$$ , $$B=\left(T\left(2009\right)\right)^{A}$$. 使得 $$\underbrace{\log_{2}\log_{2}\log_{2}\ldots\log_{2}B}_{{k\textasciitilde{} \text{times}}}$$有意义的最大整数 $$k$$是多少?

美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Reasoning->Mapping and Correspondence

课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算->对数的运算


2008年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分 2016~2017学年10月上海徐汇区上海市上海中学高一上学期周测第11题

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式的概念

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式成立的条件

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->多元均值不等式的应用

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->利用基本不等式求最值


2020~2021学年北京高三单元测试 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第6题5分 2020~2021学年北京高二单元测试 竞赛

设$$x$$，$$y$$，$$z$$均不为$$\left( k+\frac{1}{2} \right)\pi $$，其中$$k$$为整数，已知$$\sin \left( y+z-x \right)$$，$$\sin \left( x+z-y \right)$$，$$\sin \left( x+y-z \right)$$成等差数列，则依然成等差数列的是．

$$\sin x$$，$$\sin y$$，$$\sin z$$

$$\cos x$$，$$\cos y$$，$$\cos z$$

$$\tan x$$，$$\tan y$$，$$\tan z$$

前三个答案都不对

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换

$$\because \cos x$$，$$\cos y$$，$$\cos z$$均不为$$0$$，  $$2\sin \left( x+z-y \right)=\sin \left( x+y-z \right)+\sin \left( y+z-x \right)$$  $$=2\sin y\cdot \cos \left( z-y \right)$$，  $$\therefore \sin y\cos \left( z-x \right)=\sin \left[ \left( x+z \right)-y \right]$$  $$\Leftrightarrow \sin y\cos \left( z-x \right)=\sin \left( x+z \right)\cos y-\cos \left( x+z \right)\sin y$$  $$\Leftrightarrow 2\sin y\cos x\cos z=\cos y\sin x\cos z+\cos y\cos x\sin z$$  $$\Leftrightarrow 2\tan y=\tan x+\tan z$$，  故选$$\text{C}$$．


2014年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

竞赛->知识点->排列组合与概率->二项式定理及其应用


A patten starts to emerge as the function is continued. The repeating patten is $$0$$, $$1$$, $$1$$, $$2$$, $$0$$, $$2$$, $$2$$, $$1$$ $$\ldots$$. The problem asks for the sum of eight consecutive terms in the sequence.  Because there are eight numbers in the repeating sequence, we just need to find the sum of the numbers in the sequence, which is $$(\rm D) 9$$.


2004年全国高中数学联赛竞赛一试第2题6分

已知$$M= {(x,y)\textbar{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}=3 }$$，$$N= {(x,y)\textbar y=mx+b }$$．若对于所有的$$m\in R$$，均有$$M\cap N\ne \varnothing $$，则$$b$$的取值范围是（~ ~ ）．

$$\left[ -\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{6}}{2} \right]$$

$$\left( -\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{6}}{2} \right)$$

$$\left( -\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3} \right]$$

$$\left[ -\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3} \right]$$

竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算 竞赛->知识点->解析几何->椭圆

点$$(0,b)$$在椭圆内或椭圆上$$\Rightarrow 2{{b}^{2}}\leqslant 3\Rightarrow b\in \left[ -\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{6}}{2} \right]$$．  故选$$\text{A}$$．


2016年广西全国高中数学联赛竞赛初赛第1题8分

课内体系->知识点->基本初等函数->对数函数->对数方程和对数不等式->解对数不等式

课内体系->知识点->基本初等函数->对数函数->对数函数的图象及性质

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->解不等式->一元二次不等式

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的值域->求函数的值域->用换元法求值域

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的定义域->求具体函数（包括复合函数）的定义域

课内体系->素养->数学运算

课内体系->素养->逻辑推理


2013年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

函数$$f\left( x \right)$$对于任意实数$$x$$满足：$$f\left( x+3 \right)=-\frac{1}{f(x)}$$，若$$f\left( 0 \right)=2$$，则$$f\left( 2013 \right)=$$．

课内体系->素养->数学运算

课内体系->素养->数学抽象

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->函数的定义

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->抽象函数

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->周期性->函数周期性判断

$$f\left( x+6 \right)=-\frac{1}{f(x+3)}=f\left( x \right)$$，所以，$$f\left( x \right)$$是以$$6$$为周期的函数.  所以，$$f\left( 2013 \right)=f\left( 3 \right)=-\frac{1}{f(0)}=-\frac{1}{2}$$.


2008年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质


$$\left {2,3,4,5,6,7,8,9\right }$$的多少个子集至少包含一个素数？  How many subsets of $$\left {2,3,4,5,6,7,8,9\right }$$ contain at least one prime number?

Consider finding the number of subsets that do not contain any primes.There are four primes in the set：$$2$$, $$3$$, $$5$$, and $$7$$.This means that the number of subsets without any primes is the number of subsets of $$\left {4, 6, 8,9\right }$$,~ which is just $$2^{4}=16$$. The number of subsets with at least one prime is the number of subsets minus the number of subsets without any primes.The number of subsets is $$2^{8}=256$$. Thus, the answer is $$256-16=(\rm D)\textasciitilde240$$.

Well, there are $$4$$ composite numbers, and you can list them in a $$1$$ number format, a $$2$$ number, $$3$$ number, and a $$4$$ number format. Now,  we can use combinations.  $$\left( \begin{array}{l} {4}\\{1} \end{array}\right)+\left( \begin{array}{l} {4}\\{2} \end{array}\right)+\left( \begin{array}{l} {4}\\{3} \end{array}\right)+\left( \begin{array}{l} {4}\\{4} \end{array}\right)=15$$. Using the answer choices, the only multiple of $$15$$ is $$(\rm D)~240$$.

Subsets of $$\left\{2,3,4,5,6,7,8,9\right\}$$ indude a singe digit up to all eight numbers.Therefore,we must add the combinations of all possible subsets and subtract from each of the subsets fomed by the composite numbers.

Hence：

$$\left( \begin{array}{l} {8}\\{1} \end{array}\right)-\left( \begin{array}{l} {4}\\{1} \end{array}\right)+\left( \begin{array}{l} {8}\\{2} \end{array}\right)-\left( \begin{array}{l} {4}\\{2} \end{array}\right)+\left( \begin{array}{l} {8}\\{3} \end{array}\right)-\left( \begin{array}{l} {4}\\{3} \end{array}\right)+\left( \begin{array}{l} {8}\\{4} \end{array}\right)-1+\left( \begin{array}{l} {8}\\{5} \end{array}\right)+\left( \begin{array}{l} {8}\\{6} \end{array}\right)+\left( \begin{array}{l} {8}\\{7} \end{array}\right)+1=(\rm D)~240$$.


2019~2020学年山东济南历下区山东省济南第七中学高二上学期期中第21题3分

2019年高考真题全国卷II理科第13题5分

2018~2019学年安徽合肥包河区合肥市第一中学高一下学期期末第16题4分

2019~2020学年12月北京西城区北京市铁路第二中学高三上学期月考第14题5分

2019~2020学年江苏苏州姑苏区苏州第十中学高一下学期开学考试第14题4分

2019~2020学年8月广东广州荔湾区广东实验中学高三上学期月考理科第13题5分

2019年高考真题全国卷II文科第14题5分

2019~2020学年天津南开区高二上学期期末第13题5分

2020~2021学年河北石家庄新华区石家庄市第二中学高二上学期期中（竞赛班）第15题3分

2019~2020学年四川成都高新区成都市第七中学（高新校区）高三上学期开学考试理科第13题5分

我国高铁发展迅速，技术先进，经统计，在经停某站的高铁列车中，有$$10$$个车次的正点率为$$0.97$$，有$$20$$个车次的正点率为$$0.98$$，有$$10$$个车次的正点率为$$0.99$$，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为．

以上皆不是

课内体系->素养->数学运算

课内体系->素养->数据分析

课内体系->知识点->统计与概率->统计->用样本估计总体->众数、中位数、平均数

课内体系->知识点->统计与概率->统计->用样本估计总体->用样本的数字特征估计总体的数字特征问题

∵经统计，在经停某站的高铁列车中，有$$10$$个车次的正点率为$$0.97$$，  有$$20$$个车次的正点率为$$0.98$$，有$$10$$个车次的正点率为$$0.99$$，  ∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：  $$\frac{(10\times 0.97+20\times 0.98+10\times 0.99)}{10+20+10}=0.98$$．  故答案为：$$0.98$$．


定义${{f}_{M}}(x)=\text{ } ! ! { ! !\text{ }\begin{array}{*{35}{l}} 1,x\in M,     -1,x\not\in M,     \end{array}M\o\times N=\left { x\text{ } ! !\textbar ! !\text{ }{{f}_{M}}(x)\cdot {{f}_{N}}(x)=-1\text{ } \right }\text{ }$，已知集合$A=\left { x\text{ } ! !\textbar ! !\text{ }x\textless{} \sqrt{2-x}\text{ } \right }$，集合$B=\left { x\text{ } ! !\textbar ! !\text{ }x(x+3)(x-3)\textgreater0\text{ } \right }$，则不包含于$A\o\times B$的取值集合为（~~~~~~~）

$(-\infty ,-3]$

$(3,+\infty )$

\hfill\break 【分析】\\ 根据新运算的定义可得$A\o\times B=\left(A\cap \left(\complement _{\mathrm{R}}B\right)\right)\cup \left(B\cap \left(\complement _{\mathrm{R}}A\right)\right)$，故可求$A\o\times B$.\\ 【详解】\\ 根据题意，有$A=(-\mathrm{\infty },1),B=(-3,0)\cup (3,+\mathrm{\infty })$，\\ 于是$A\o\times B=(-\mathrm{\infty },-3]\cup [0,1)\cup (3,+\mathrm{\infty })$，\\ 因此$[1,3)$是不包含于$A\o\times B$的取值集合，\\ 故选：C.


2020~2021学年河北石家庄新华区石家庄市第二中学高二上学期期中（竞赛班）第1题3分

对于简单随机抽样，每个个体每次被抽到的机会．

相等

不相等

无法确定

与抽取的次数有关

课内体系->素养->逻辑推理 课内体系->知识点->统计与概率->统计->随机抽样->简单随机抽样

根据简单随机抽样的定义可得，每个个体被抽到的机会都是相等的．  故选$$\text{A}$$．


2010年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和


第二十届全国希望杯高二竞赛初赛邀请赛第7题4分

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质


2011年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第10题6分

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和


2000年全国高中数学联赛竞赛一试第4题6分

无实根

有两个相等实根

有两个同号相异实根

有两个异号实根

竞赛->知识点->函数->函数方程 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列


2002年全国全国高中数学联赛竞赛一试第5题6分

已知两个实数集合$$A=\left { {{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{100}} \right }$$与$$B=\left { {{b}_{1}},{{b}_{2}},\cdots ,{{b}_{50}} \right }$$，若从$$A$$到$$B$$的映射$$f$$使得$$B$$中的每一个元素都有原象，且$$f\left( {{a}_{1}} \right)\leqslant f\left( {{a}_{2}} \right)\leqslant \cdots \leqslant f\left( {{a}_{100}} \right)$$，则这样的映射共有．

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->映射

课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->组合

本题直接考虑集合$$A$$中每一个元素在$$B$$中的象的情况非常困难．  注意到集合$$B$$中每个元素都有原象，即$$A$$中有$$50$$``组''元素分别与$$B$$中的$$50$$个元素对应；现将集合$$A$$中的$$100$$个元素按原有的顺序分成$$50$$组，每组至少一个元素；将集合$$B$$中的元素按从小到大的顺序排列为$$B=\left { {{{{b}'}}_{1}},{{{{b}'}}_{2}},\cdots ,{{{{b}'}}_{50}} \right }$$；  ∵$$f\left( {{a}_{1}} \right)\leqslant f\left( {{a}_{2}} \right)\leqslant \cdots \leqslant f\left( {{a}_{100}} \right)$$，  ∴$$A$$中的``第$$1$$组''元素的象为$${{{b}'}_{1}}$$，``第$$2$$组''元素的象为$${{{b}'}_{2}}$$，``第$$50$$组''元素的象为$${{{b}'}_{50}}$$，此处没有排列的问题，即只要$$A$$中元素的分组确定了，映射也就随之确定了；而$$A$$中元素的分组可视为在由这$$100$$个元素所形成的$$99$$个``空''中插上$$49$$块``挡板''，所以有$$\text{C}_{99}^{49}$$种分法，即映射共有$$\text{C}_{99}^{49}$$个．  故选$$\text{D}$$．


2008年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

已知集合$$M=\left { x\textbar{{x}^{2}}-2x-3\leqslant 0\text{ },\text{ }x\in \text{R} \right }$$，$$N=\left { x\textbar\left\textbar{} x \right\textbar{} \textless{} 2\text{ },\text{ }x\in \text{R} \right }$$，则$$M\cap N$$等于（  ）

$$\varnothing $$

$$\left { x\textbar-1\leqslant x \textless{} 2 \right }$$

$$\left { x\textbar-2\leqslant x \textless{} -1 \right }$$

$$\left { x\textbar2\leqslant x \textless{} 3 \right }$$

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->解不等式->含绝对值的不等式 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->解不等式->一元二次不等式 课内体系->知识点->集合->集合的基本运算->交集 课内体系->知识点->集合->集合的基本运算->交、并、补集混合运算 课内体系->素养->数学运算

【命题立意】本题考查不等式的解法、集合的运算，难度较小. 【解题思路】化简集合后利用交集的定义求解.因为$$M=\left { x\textbar{{x}^{2}}-2x-3\leqslant 0 \right }=\left { x\textbar-1\leqslant x\leqslant 3 \right }$$，$$N=\left { x\textbar\left\textbar{} x \right\textbar{} \textless{} 2 \right }=\left { x\textbar-2 \textless{} x \textless{} 2 \right }$$，所以$$M\cap N=\left { x\textbar-1\leqslant x \textless{} 2 \right }$$，故选B.


2012年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

若集合：$${{S}_{1}}=\left { \left( x,  y \right)\textbar\lg \left( 1+{{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\leqslant 1+\lg \left( x+y \right) \right }$$，$${{S}_{2}}=\left { \left( x,  y \right)\textbar\lg \left( 2+{{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\leqslant 2+\lg \left( x+y \right) \right }$$，则$${{S}_{2}}$$的面积与$${{S}_{1}}$$的面积比为

课内体系->知识点->直线和圆的方程->圆与方程->圆的标准方程与一般方程->圆的标准方程问题

课内体系->知识点->基本初等函数->对数函数->对数方程和对数不等式

课内体系->思想->数形结合思想

课内体系->素养->数学运算

课内体系->素养->直观想象


1987年全国高中数学联赛竞赛一试第3题

在平面直角坐标系中，纵横坐标均为有理数的点称为有理点．若$$a$$为无理数，则过点$$(a,0)$$的所有直线中（~ ）．

有无穷多条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点

恰有$$n\left( 2\mathsf{\leqslant }n\textless{}+\infty \right)$$条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点

有且仅有一条直线至少通过两个有理点

每条直线至多通过一个有理点

竞赛->知识点->解析几何->直线与方程


2003年全国全国高中数学联赛竞赛一试第5题6分

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式成立的条件


设$S= {1,2,3,\cdots ,2020 }$，集合\emph{T}是\emph{S}的\emph{n}元子集，且其中任意两个元素互质，对任意符合要求的集合\emph{T}，均至少包含一个质数，则\emph{n}的最小值为（~~~~~~~）

\hfill\break 【分析】\\ 先根据特例可得$n\geq 16$，再证明对任意$A\subseteq S,n=\textbar{} A\textbar{} =16$，\emph{A}中任意两数互质，则\emph{A}中必存在一个质数，从而可得正确的选项.\\ 【详解】\\ 首先，我们有$n\geq 16$．\\ 事实上，取集合$A_{0}=\left {1,2^{2},3^{2},5^{2},\cdots ,41^{2},43^{2}\right }$，\\ 其元素，除1以外，均为不超过43的素数的平方，则$A_{0}\subseteq S,\left\textbar{} A_{0}\right\textbar{} =15,A_{0}$中任意两数互质，但其中无质数，这表明$n\geq 16$．\\ 其次，我们证明：对任意$A\subseteq S,n=\textbar{} A\textbar{} =16$，\emph{A}中任意两数互质，则\emph{A}中必存在一个质数.利用反证法，假设\emph{A}中无质数，记$A=\left {a_{1},a_{2},\cdots ,a_{16}\right }$，分两种情况讨论：\\ \textbf{情形一}~~~若$1\not\in A$，则$a_{1},a_{2},\cdots ,a_{16}$均为合数，\\ 又因为$\left(a_{i},a_{j}\right)=1(1\leq i\textless{} j\leq 16)$，所以$a_{i}$与$a_{j}$的质因数均不相同，\\ 设$a_{i}$的最小质因数为$p_{i}$，不妨设$p_{1}\textless{} p_{2}\textless{} \cdots \textless{} p_{16}$，则\\ $a_{1}\geq {p}_{1}^{2}\geq 2^{2}$，\\ $a_{2}\geq {p}_{2}^{2}\geq 3^{2}$，\\ \ldots，\\ $a_{15}\geq {p}_{15}^{2}\geq 47^{2}\textgreater{} 2020$，\\ 矛盾．\\ \textbf{情形二}~~~若$1\in A$，则不妨设$a_{16}=1,a_{1},\cdots ,a_{15}$均为合数，同情形一所设，同理有\\ $a_{1}\geq {p}_{1}^{2}\geq 2^{2}$，\\ $a_{2}\geq {p}_{2}^{2}\geq 3^{2}$，\\ \ldots，\\ $a_{15}\geq {p}_{15}^{2}\geq 47^{2}\textgreater{} 2020$，\\ 矛盾．\\ 综上所述，反设不成立，从而\emph{A}中必有质数，即$n=\textbar{} A\textbar{} =16$时结论成立，\\ 因此所求\emph{n}的最小值为16．\\ 故选：B.


2003年全国全国高中数学联赛竞赛一试第3题6分

过抛物线$${{y}^{2}}=8\left( x+2 \right)$$的焦点$$F$$作倾斜角为$$60{}^{}\circ $$的直线，若此直线与抛物线交于$$A$$、$$B$$两点，弦$$AB$$的中垂线与$$x$$轴交于$$P$$点，则线段$$PF$$的长等于（~ ~ ）．

课内体系->素养->数学运算

课内体系->素养->数学抽象

课内体系->知识点->直线和圆的方程->直线与方程->直线方程的五种形式->直线的点斜式方程

课内体系->知识点->圆锥曲线->直线与圆锥曲线问题->弦长求解问题

课内体系->知识点->圆锥曲线->抛物线->直线和抛物线的位置关系

课内体系->知识点->圆锥曲线->抛物线->抛物线的定义、标准方程->抛物线的标准方程


2009年$$AMC10$$竞赛$$A$$第$$19$$题  Circle $$A$$ has radius $$100$$. Circle $$B$$ has an integer radius $$r\textless{} 100$$ and remains internally tangent to circle $$A$$ as it rolls once around the circumference of circle $$A$$. The two circles have the same points of tangency at the beginning and end of circle $$B\textquotesingle\rm s$$ trip. How many possible values can $$r$$ have?  圆 $$A$$ 的半径为 $$100$$。 圆 $$B$$ 有一个整数半径 $$r\textless{} 100$$ 并且在它绕圆 $$A$$ 的圆周滚动一次时保持与圆 $$A$$ 内切。 这两个圆在圆 $$B$$ 轨迹的起点和终点具有相同的切点。 $$r$$ 可以有多少个可能的值？

美国AMC10/12->Knowledge Point->Geometry->Calculation of Plane Geometry->Circle

课内体系->知识点->直线和圆的方程->圆与方程

The circumference of circle $$A$$ is $$200\pi$$ , and the circumference of circle $$B$$ with radius r is $$2r\pi$$. Since circle $$B$$ makes a complete revolution and ends up on the same point, the circumference of $$A$$ must be a multiple of the circumference of $$B$$, therefore the quotient must be an integer. Thus, $$\dfrac{200 \pi}{2 \pi \cdot r}= \dfrac{100}{r}$$. Therefore $$r$$ must then be a factor of $$100$$, excluding $$100$$ (because then circle $$B$$ would be the same size as circle $$A$$). $$100 =2^{2}\cdot5^{2}$$. Therefore $$100$$ has $$(2+1)\cdot (2+1)$$ factors*. But you need to subtract $$1$$ from $$9$$, in order to exclude $$100$$. Therefore the answer is $$8$$.


2014年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

知识标签->素养->数学抽象

知识标签->素养->数学运算

知识标签->题型->概率->事件与概率->几何概型问题->与体积有关的几何概率的计算

知识标签->知识点->概率->事件与概率->几何概型

当$$P$$在三棱锥的中截面与下底面构成的三棱台内时符合要求，由几何概型知，$$P=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$$．


2015年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第12题9分

竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->柯西 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式


2007 AMC12A 第$$11$$题  A finite sequence of three-digit integers has the property that the tens and units digits of each term are, respectively, the hundreds and tens digits of the next term, and the tens and units digits of the last term are, respectively, the hundreds and tens digits of the first term. For example, such a sequence might begin with the terms $$247$$, $$475$$, and $$756$$ and end with the term $$824$$. Let $$S$$ be the sum of all the terms in the sequence. What is the largest prime factor that always divides $$S$$?  三位数的有限序列具有以下性质：每项的十位和个位分别为下一项的百位和十位，最后一项的十位和个位分别为百位 和第一项的十位数字。 例如，这样的序列可能以 247、$$475$$ 和$$756$$开头，并以$$824$$结尾。 令 S 是序列中所有项的总和。 能被$$S$$整除的最大质因数是什么？

课内体系->知识点->数列->数列的实际应用

美国AMC10/12->Knowledge Point->Number Theory->Aliquot Theory->Prime Factorization and Factors

A given digit appears as the hundreds digit, the tens digit, and the units digit of a term the same number of times. Let $$k$$ be the sum of the units digits in all the terms. Then $$S=111k=3\times37k$$, so $$S$$ must be divisible by $$37\rm(D)$$. To see that it need not be divisible by any larger prime, the sequence $$123$$, $$231$$, $$312$$ gives $$S=666=2\cdot3^{2}\cdot37\Rightarrow\boxed{\rm(D)}$$.


1984年全国高中数学联赛竞赛一试第7题

若动点$$P\left( x,y \right)$$以等角速度$$\omega $$在单位圆上逆时针运动，则点$$Q\left( -2xy,{{y}^{2}}-{{x}^{2}} \right)$$的运动方程是（~ ）．

以角速度$$\omega $$在单位圆上顺时针运动

以角速度$$\omega $$在单位圆上逆时针运动

以角速度$$2\omega $$在单位圆上顺时针运动

以角速度$$2\omega $$在单位圆上逆时针运动

竞赛->知识点->解析几何->极坐标与参数方程（二试）

将动点$$P\left( x,y \right)$$的坐标表为参数形式．  $$\begin{cases}x=\cos \omega t    y=\sin \omega t \end{cases}$$ $$(\omega \textgreater0)$$  则 $$-2xy=-\sin 2\omega t=\cos \left( -2\omega t+\frac{3}{2} \pi ~\right)$$  $${{y}^{2}}-{{x}^{2}}=-\cos 2\omega t=\sin \left( -2\omega t+\frac{2 \pi }{3} \right)$$．  则点$$Q\left( -2xy,{{y}^{2}}-{{x}^{2}} \right)$$运动轨迹的参数方程为  $$\begin{cases}{x}'=\cos \left( -2\omega t+\frac{3}{2} \pi ~\right)    {y}'=\sin \left( -2\omega t+\frac{2 \pi }{3} \right) \end{cases}$$  很显然$$\omega t$$与$$-2\omega t$$的旋转方向是相反的，$$P\left( x,y \right)$$在单位圆上逆时针运动，所以$$Q\left( -2xy,{{y}^{2}}-{{x}^{2}} \right)$$以角速度$$2\omega $$在单位圆上顺时针运动．


2011年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列


2020年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

$$a\textgreater c\textgreater b$$

$$a\textgreater b\textgreater c$$

$$b\textgreater c\textgreater a$$

$$c\textgreater a\textgreater b$$

竞赛->知识点->函数->基本初等函数

课内体系->知识点->基本初等函数->对数函数->对数比大小

课内体系->知识点->基本初等函数->对数函数->对数函数的图象及性质

课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算->换底公式及其变形运用->利用换底公式求值

课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算->对数的运算

课内体系->素养->数学运算

因为$$c={{\log }_{3}}2=\frac{\ln 2}{\ln 3}\textless{}\ln 2=a$$，$$2b=\lg 9\textless{}1$$，$$2c={{\log }_{3}}4\textgreater1\Rightarrow c\textgreater b$$，所以$$a\textgreater c\textgreater b$$；  故选$$\text{A}$$．


2012年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

在四个函数$$y=\sin \left\textbar{} x \right\textbar,  y=\cos \left\textbar{} x \right\textbar,  y=\left\textbar{} \tan x \right\textbar,  y=-\ln \left\textbar{} \sin x \right\textbar$$中，以$$ \pi $$为周期、在$$\left( 0,\frac{ \pi }{2} \right)$$上单调递减且为偶函数的是

竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质

由于$$y=\sin \left\textbar{} x \right\textbar$$不是周期函数，故$$A$$错；由于$$y=\cos \left\textbar{} x \right\textbar$$是最小正周期为$$2 \pi $$的周期函数，故$$B$$错；由于$$y=\left\textbar{} \tan x \right\textbar$$在$$\left( 0,\frac{ \pi }{2} \right)$$单调递增，故$$C$$错；函数$$y=-\ln \left\textbar{} \sin x \right\textbar$$符合题设要求．


在一次竞赛中有\emph{A}，\emph{B}，\emph{C}三道题．\\ ①在所有参赛学生中共有30人至少解出一道题；\\ ②仅解出一题的学生中，解出\emph{C}题的人数占一半；\\ ③解出\emph{A}题的学生人数等于仅解出\emph{B}题的学生人数；\\ ④仅解出\emph{A}，\emph{B}题的人数等于仅解出\emph{B}，\emph{C}题的人数；\\ ⑤仅解出\emph{A}题的人数等于4；\\ ⑥仅解出\emph{A}，\emph{C}题的人数是仅解出\emph{A}，\emph{B}题的人数的一半．\\ 则同时解出\emph{A}，\emph{B}，\emph{C}三题的学生人数为（~~~~~~~）

\hfill\break 【分析】\\ 设只解出\emph{A}，\emph{B}，\emph{C}的人数分别为\emph{a}，\emph{b}，\emph{c}，仅解出$AB,BC,CA$的人数分别为\emph{z}，\emph{x}，\emph{y}，同时解出\emph{A}，\emph{B}，\emph{C}三题的人数为\emph{w}，则可得关于诸参数的方程组，用$x$表示其他的量后可得其值，从而可求同时解出\emph{A}，\emph{B}，\emph{C}三题的学生人数.\\ 【详解】\\ 设只解出\emph{A}，\emph{B}，\emph{C}的人数分别为\emph{a}，\emph{b}，\emph{c}，仅解出$AB,BC,CA$的人数分别为\emph{z}，\emph{x}，\emph{y}，同时解出\emph{A}，\emph{B}，\emph{C}三题的人数为\emph{w}，则\\ $\left {\begin{array}{l} a+b+c+x+y+z+w=30,   c=a+b,   a+z+y+w=b,   z=x,   a=4,   2y=z, \end{array}\right.\Rightarrow \left {\begin{array}{l} a=4,   b=\frac{26-x}{3},   c=\frac{38-x}{3},   y=\frac{1}{2}x,   z=x,   w=\frac{28-11x}{6}, \end{array}\right.$\\ 于是$x=2$，且$w=1$，因此同时解出\emph{A}，\emph{B}，\emph{C}三题的学生人数为1．\\ 故选：B


2013年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列


2008年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分

设$$\alpha \in \left( 0,\frac{ \pi }{2} \right)$$，则$$\frac{{{\sin }^{3}}\alpha }{\cos \alpha }+\frac{{{\cos }^{3}}\alpha }{\sin \alpha }$$的最小值为．

竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换

$$\frac{{{\sin }^{3}}\alpha }{\cos \alpha }+\frac{{{\cos }^{3}}\alpha }{\sin \alpha }=\frac{{{\sin }^{4}}\alpha +{{\cos }^{4}}\alpha }{\sin \alpha \cos \alpha }$$  $$=\frac{1-2{{(\sin \alpha \cos \alpha )}^{2}}}{\sin \alpha \cos \alpha }$$，  令$$t=\sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{2}\sin 2\alpha \in \left( 0,\frac{1}{2} \right]$$，  则$$f(t)=\frac{1-2{{t}^{2}}}{t}=\frac{1}{t}-2t$$，  在$$t\in \left( 0,\frac{1}{2} \right]$$是单调递减的．  所以$$f{{(t)}_{\min }}=f\left( \frac{1}{2} \right)=1$$，  即$$\frac{{{\sin }^{3}}\alpha }{\cos \alpha }+\frac{{{\cos }^{3}}\alpha }{\sin \alpha }$$有最小值$$1$$．故选$$\text{C}$$．


Since $$x$$ is the mean,  $$x=\frac {60+100+x+40+50+200+90}7$$$$=\frac {540+x}7$$.  Therefore, $$7x=540+x$$, so $$x=90$$.  Order the list: $$ {40, 50, 60, 90, 100, 200  }$$. $$x$$ must be either $$60$$ or $$90$$ because it is both the median and the mode of the set. Thus $$90$$ is correct.


2010年河南全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列


2009年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

充要条件

充分不必要条件

必要不充分条件

既不充分也不必要条件

竞赛->知识点->逻辑->逻辑推理 竞赛->知识点->逻辑->常用逻辑用语 竞赛->知识点->不等式->不等式的证明 竞赛->知识点->不等式->不等式的解法


2012年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

设$$A,  B,  C,  D$$是以点$$O$$为球心的球面上四点，$$AB,  AC,  AD$$两两互相垂直，且$$AB=3\text{cm}$$，$$AC=4\text{cm}$$，$$AD=\sqrt{11}\text{cm}$$，则球的半径为．

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题


$$2013-AMC10A-17$$  Daphne is visited periodically by her three best friends: Alice, Beatrix, and Claire. Alice visits every third day, Beatrix visits every fourth day, and Claire visits every fifth day. All three friends visited Daphne yesterday. How many days of the next $$365-$$day period will exactly two friends visit her?  她的三个最好的朋友爱丽丝、碧翠丝和克莱尔定期拜访达芙妮。 爱丽丝每三天来一次，碧翠丝每四天来一次，克莱尔每五天来一次。 昨天三位朋友都拜访了达芙妮。 在接下来的 365天期间，正好有两个朋友来拜访她有多少天？

课内体系->知识点->集合->容斥原理

课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->分类加法计数原理

美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Reasoning->Simple Logical Reasoning

The $$365-$$day time period can be split up into $$660-$$day time periods, because after $$60$$ days, all three of them visit again $$\left({}\right.$$ Least common multiple of $$3$$, $$4$$, and $$5$$ $$\left.{}\right)$$. You can find how many times each pair of visitors can meet by finding the LCM of their visiting days and dividing that number by $$60$$. Remember to subtract $$1$$, because you do not wish to count the $$60\text{th}$$ day, when all three visit.  A and B visit $$\dfrac{60}{3\cdot4}-1=4$$ times. B and C visit $$\dfrac{60}{4\cdot5}-1=2$$ times. C and A visit $$\dfrac{60}{3\cdot5}-1=3$$ times.  This is a total of $$9$$ visits per $$60$$ day period. Therefore, the total number of $$2-$$person visits is $$9\cdot6=\left( \text{B}\right)54$$.  From the information above, we get that $$A=3x$$, $$B=4x$$, $$C=5x$$.  Now, we want the days in which exactly two of these people meet up The three pairs are $$\left( A,B\right)$$, $$\left( B,C\right)$$, $$\left( A,C\right)$$.  Notice that we are trying to find the LCM of each pair.  Hence, $$LCM\left( A,B\right)=12x$$, $$LCM\left( B,C\right)=20x$$, $$LCM\left( A,C\right)=15x$$.  Notice that we want to eliminate when all these friends meet up. By doing this, we will find the LCM of the three letters.  Hence, $$LCM\left(A,B,C\right)=60x$$.  Now, we add all of the days up $$\left({}\right.$$ including overcount $$\left.{}\right)$$.  We get $$30+18+24=72$$. Now, because $$60\left(6\right)=360$$, we have to subtract $$6$$ days from every pair.  Hence, our answer is $$72-18=\boxed ~{\textasciitilde54\textasciitilde}\Rightarrow\boxed ~{\textasciitilde B\textasciitilde}$$.


2021年第31届浙江绍兴上虞区希望杯高一竞赛复赛第3题

$$6\times {{5}^{7}}$$

$$7\times {{5}^{5}}$$

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->数列->等比数列->等比数列的概念与通项公式->等比数列求通项问题


2012年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第9题5分

某科室安排国庆节放假期间（共放假$$8$$天）甲、乙、丙、丁四人的值班表．已知甲、乙各值班四天，甲不能在第一天值班且甲、乙不在同一天值班；丙需要值班$$3$$天，且不能连续值班；丁需要值班$$5$$天；规定每天必须两人值班．问符合条件的不同的值班方案共有．

竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合


2009年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第7题6分

$$30{}^{}\circ $$

$$60{}^{}\circ $$

$$120{}^{}\circ $$

$$150{}^{}\circ $$

竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算

令$$\textbar\overrightarrow{a}\textbar+\textbar\overrightarrow{b}\textbar=m$$，则  $$\textbar m(m+2\textbar\overrightarrow{b}\textbar)=105$$，  由$$\textbar\overrightarrow{b}\textbar\textless{}m\leqslant 10$$，得  $$\textbar\overrightarrow{b}\textbar=\frac{105}{2m}-\frac{m}{2}\textless{}m$$，  解得$$m\textgreater6$$．又$$105=3\times 5\times 7$$，所以$$m=7$$，从而有$$\textbar\overrightarrow{b}\textbar=\frac{105-49}{14}=4$$，$$\textbar\overrightarrow{a}\textbar=7-4=3$$．  $$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})=\textbar\overrightarrow{a}{{\textbar}^{2}}+3\textbar\overrightarrow{b}{{\textbar}^{2}}+4\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$$  $$=\textbar\overrightarrow{a}{{\textbar}^{2}}+3\textbar\overrightarrow{b}{{\textbar}^{2}}+4\textbar\overrightarrow{a}\textbar\textbar\overrightarrow{b}\textbar\cos \alpha $$  $$=33$$  这里$$\alpha $$为$$\overrightarrow{a}$$与$$\overrightarrow{b}$$的夹角，从而有  $$\cos \alpha =\frac{1}{4\textbar\overrightarrow{a}\textbar\textbar\overrightarrow{b}\textbar}(33-\textbar\overrightarrow{a}{{\textbar}^{2}}-3\textbar\overrightarrow{b}{{\textbar}^{2}})=-\frac{1}{2}$$．  又$$0{}^{}\circ \leqslant \alpha \textless{}180{}^{}\circ $$，所以$$\alpha =120{}^{}\circ $$．

令$$|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|=m,|\overrightarrow{a}|+3|\overrightarrow{b}|=n$$，则$$m<{}n<{}3m$$．

$$105=1\times 105=3\times 35=5\times 21=7\times 15$$，

只有$$7<{}15<{}3\times 7$$．所以$$\begin{cases}|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|=7 \\ |\overrightarrow{a}|+3|\overrightarrow{b}|=15 \end{cases}$$，解得$$\begin{cases}|\overrightarrow{a}|=3 \\ |\overrightarrow{b}|=4 \end{cases}$$．

下同方法$$1$$．故选$$\text{C}$$．


2010年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

$$\left( -\infty ,  -2 \right)$$

$$\left( -\infty ,  -\sqrt{2} \right)$$

$$\left( -\sqrt{2},\sqrt{2} \right)$$

$$\left( -\infty ,\sqrt{2} \right)$$

竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换

令$$a=\cos \theta ,b=\sin \theta ,\theta \in \mathbf{R}$$，  则$$a+b=\cos \theta +\sin \theta =\sqrt{2}\sin \left( \theta +\frac{ \pi }{4} \right)\geqslant -\sqrt{2}$$，  所以$$c\textless{}-\sqrt{2}$$，故选$$\text{B}$$.


2018年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

竞赛->知识点->解析几何->椭圆


2017年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第7题8分

函数$$f\left( x \right)=\frac{\sin x-1}{\sqrt{3-2\cos x-2\sin x}}\left( 0\leqslant x\leqslant 2 \pi ~\right)$$的值域为~\uline{~~~~~~~~~~}~．

竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换 竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质 课内体系->知识点->三角函数->三角函数综合

显然$$\sqrt{3-2\cos x-2\sin x}=\sqrt{3-2\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{ \pi }{4} \right)}\textgreater0$$，而$$\sin x-1\leqslant 0$$，  所以，$$f\left( x \right)\leqslant 0$$．  又$${{\left( \sin x-1 \right)}^{2}}=1+{{\sin }^{2}}x-2\sin x=2-{{\cos }^{2}}x-2\sin x\leqslant 3-2\cos x-2\sin x$$，  所以，$$f\left( x \right)\geqslant -1$$．  因此，$$f\left( x \right)$$的值域为$$\left[ -1,0 \right]$$．


2022年江苏徐州贾汪区江苏省贾汪中学高一竞赛（下学期春季）第5题

\hfill\break 【分析】\\ 根据对数的运算法则可得$x+3y=2$，再利用乘``1''法及基本不等式计算可得．\\ 【详解】\\ 解：$\because x$、$y$为正实数，且$\lg {{2}^{x}}+\lg {{8}^{y}}=\lg 4$，\\ $\therefore \lg ({{2}^{x}}\times {{8}^{y}})=\lg 4$，\\ $\therefore {{2}^{x+3y}}={{2}^{2}}$，\\ $\therefore x+3y=2$．\\ $\therefore $$\frac{1}{x}+\frac{3}{y}=\frac{1}{2}\left( x+3y \right)\left( \frac{1}{x}+\frac{3}{y} \right)=\frac{1}{2}\left( 10+\frac{3y}{x}+\frac{3x}{y} \right)\ge \frac{1}{2}\left( 10+2\sqrt{\frac{3y}{x}\cdot \frac{3x}{y}} \right)=8$，\\ 当且仅当$\frac{3y}{x}=\frac{3x}{y}$，即$x=y=\frac{1}{2}$时取等号．\\ $\therefore $$\frac{1}{x}+\frac{3}{y}$的最小值是$8$．\\ 故选：B．


全国高中数学联赛竞赛模拟一试（十四）第7题

课内体系->知识点->计数原理 竞赛->知识点->组合->计数问题（二试） 竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合 竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步 竞赛->知识点->排列组合与概率->两个基本计数原理

首先确定奇数的位置．第一行两个奇数有$$\text{C}_{4}^{2}$$种选法再考虑这两个奇数所在的列，每列还需要再填一个奇数，设为$$a$$，$$b$$．  （$$1$$）若$$a$$，$$b$$位于同行．它们的位置有$$3$$种选择，此时，剩下的四个奇数所填的位置唯一确定；  （$$2$$）若$$a$$，$$b$$位于不同的行．它们的位置有$$6$$种选择，此时，剩下的四个奇数所填的位置有$$2$$种选择．从而，奇数的不同位置数为$$\text{C}_{4}^{2}(3+6\times 2)=90$$．  最后从八个奇数位置中选四个填$$1$$（其余四个填$$3$$)，从其余八个位置中选四个填$$2$$（其余四个填$$4$$)，故总填法数为$$90\text{C}_{8}^{4}\text{C}_{8}^{4}$$，  因此，使得每行、每列均恰有两个奇数的填法的概率为 $$\frac{90\text{C}_{8}^{4}\text{C}_{8}^{4}}{\text{C}_{16}^{2}\text{C}_{12}^{4}\text{C}_{8}^{4}\text{C}_{4}^{4}}=\frac{1}{143}$$．


2018~2019学年北京西城区北京市第十五中学高三下学期开学考试文科第13题5分

2017~2018学年1月重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三上学期周测C卷理科第7题5分

2013年高考真题新课标卷II理科第16题

2013年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第5题8分

2016~2017学年北京高一下学期单元测试《数列求和》第33题

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->数列->数列的概念->数列的函数特性->数列中最大项与最小项的求解问题


2011年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

已知向量$$\overrightarrow{m},  \overrightarrow{n}$$的夹角为$$\frac{ \pi }{6}$$，且$$\left\textbar{} \overrightarrow{m} \right\textbar=\sqrt{3},\left\textbar{} \overrightarrow{n} \right\textbar=2$$．在$$\triangle ABC$$中$$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{m}+2\overrightarrow{n},\overrightarrow{AC}=$$  $$2\overrightarrow{m}-6\overrightarrow{n}$$，$$D$$为$$BC$$边的中点，则$$\left\textbar{} \overrightarrow{AD} \right\textbar=$$．

竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算

$$\left\textbar{} \overrightarrow{AD} \right\textbar=\left\textbar{} \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right) \right\textbar=\left\textbar{} 2\overrightarrow{m}-2\overrightarrow{n} \right\textbar$$  $$=\sqrt{4{{\overrightarrow{m}}^{2}}+4{{\overrightarrow{n}}^{2}}-8\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{n}}=\sqrt{4}=2$$.


某電影院中有五個朋友坐在五個位置一起的座位上 ,這五個座位由左至右編號從$$1$$到5（此處的左和右是他們坐好時，從觀察者面對他們的觀點而言）．在電影播放时，甲去大厅买爆米花，當她回來時發現「乙」向右挪了兩個位子，「丙」向左移了一个位置;且「丁」與「戊」交換了座位，而將最旁邊的位子留给了甲，試問「甲」在去買爆米花前原來坐在幾號的位子上?  Five friends sat in a movie theater in a row containing o seats, nunbered I to 5 from left to right. (The directions "left" and "right" are from the point of view of the people as they sit in the seats.) During the movie Ada went to the lobby to get some popcorn. When she returned, she found that Bea had noved two seats to the right, Ceci had moved one seat to the left, and Dee and fdie had switched seats, leaving an end seat for Ada. In which seat had Ada been sitting before she got up?

Bash: we see that the following configuration works.  Bea-Ada-Ceci-Dee-Edie   After moving, it becomes  Ada-Ceci-Bea-Edie-Dee.   Thus, Ada was in seat $$2$$.  Process of elimination of possible configurations.  Let\textquotesingle s say that Ada$$=A$$, Bea$$=B$$, Ceci$$=C$$, Dee$$=D$$, and Edie$$=D$$. Since $$B$$ moved more to the right than $$C$$ did left, this implies that $$B$$ was in a LEFT end seat originally: $$B$$, $$-$$, $$C\rightarrow -$$, $$C$$, $$B$$.  This is affirmed because $$DE\rightarrow ED$$, which there is no new seats uncovered. So $$A$$, $$B$$, $$C$$ are restricted to the same $$1$$, $$2$$, $$3$$ seats. Thus, it must be $$B$$, $$A$$, $$C\rightarrow A$$, $$C$$, $$B$$, and more specifically: $$B,A,C,D,E\rightarrow A,C,B,E,D$$~ So , $$A$$, Ada, was originally in seat $$2$$.  The seats are numbered $$1$$ through $$5$$, so let each letter $$(A,B,C,D,E)$$ correspond to a number. Let a move to the left be subtraction and a move to the right be addition.  We know that $$1+2+3+4+5=A+B+C+D+E=15$$. After everyone moves around, however, our equation looks like $$(A+x)+B+2+C-1+D+E=15$$ because $$D$$ and $$E$$ switched seats, $$B$$ moved two to the right, and $$C$$ moved $$1$$ to the left.  For this equation to be true, $$x$$ has to be$$-1$$, meaning $$A$$ moves $$1$$ left from her original seat. Since $$A$$ is now sitting in a corner seat, the only possible option for the original placement of $$A$$ is in seat number $$2$$.


2017年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

$$\triangle {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$$是锐角三角形，$$\triangle {{A}_{2}}{{B}_{2}}{{C}_{2}}$$也是锐角三角形

$$\triangle {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$$是钝角三角形，$$\triangle {{A}_{2}}{{B}_{2}}{{C}_{2}}$$也是钝角三角形

$$\triangle {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$$是锐角三角形，$$\triangle {{A}_{2}}{{B}_{2}}{{C}_{2}}$$也是钝角三角形

$$\triangle {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$$是钝角三角形，$$\triangle {{A}_{2}}{{B}_{2}}{{C}_{2}}$$也是锐角三角形

竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形


2008年甘肃全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分

$$f(x)=a{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+da,d\in \bf R$$，当$$\textbar x\textbar\leqslant 1$$时，$$\textbar f(x)\textbar\leqslant 1$$，则$$a$$、$$d$$一定属于．

竞赛->知识点->不等式->不等式的解法

将$$x=1$$，$$-1$$分别代入$$f(x)$$可得  $$\textbar a+1+1+d\textbar\leqslant 1$$和$$\textbar-a+d\textbar\leqslant 1$$，  即$$-1\leqslant a+1+1+d\leqslant 1$$和$$-1\leqslant -a+d\leqslant 1$$．  则$$-3\leqslant a+d\leqslant -1$$①，  $$-1\leqslant -a+d\leqslant 1$$②，  把①和②两个不等式相加得$$-4\leqslant 2d\leqslant 0$$，  即$$-2\leqslant d\leqslant 0$$．类似可得$$-2\leqslant a\leqslant 0$$．故选$$\text{A}$$．


2008年河南全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

三棱锥$$A-BCD$$的顶点$$A$$在底面$$BCD$$内的射影为点$$O$$，且点$$O$$到三个侧面的距离均相等，则点$$O$$一定是$$\triangle BCD$$．

重心

垂心

内心

外心

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的平行和垂直

设$$OE\bot $$面$$ABC$$于点$$E$$，$$OF\bot $$面$$ACD$$于点$$F$$．  延长$$AE$$、$$AF$$分别交$$BC$$、$$CD$$于点$$G$$、$$H$$，  连接$$OG$$、$$OH$$．在$$\text{Rt}\triangle OEA$$和$$\text{Rt}\triangle OFA$$中，  $$OE=OF$$，$$OA=OA$$，故$$\text{Rt}\triangle OEA\simeq \text{Rt}\triangle OFA$$，  可知$$\angle OAE=\angle OAF$$，于是$$\text{Rt}\triangle OAG\simeq \text{Rt}\triangle OAH$$，$$OG=OH$$．  又因为$$OE\bot BC$$，$$OF\bot CD$$及$$AO\bot $$面$$BCD$$，  因此$$BC\bot $$面$$AOG$$，$$CD\bot $$面$$AOH$$，  则$$BC\bot OG$$，$$CD\bot OH$$．  从而知$$O$$是$$\triangle BCD$$的内心．故选$$\text{C}$$．


2008年河南全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的综合应用 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和


$$2008-AMC10A-8$$  Heather compares the price of a new computer at two different stores. Store $$A$$ offers $$15 \%$$ off the sticker price followed by a ＄$$90$$ rebate, and store $$B$$ offers $$25 \%$$ off the same sticker price with no rebate. Heather saves ＄$$15$$ by buying the computer at store $$A$$ instead of store $$B$$. What is the sticker price of the computer, in dollars?  希瑟比较了两家不同商店的新电脑的价格。 商店 $$A$$ 提供15\%的标价折扣，然后是$$90$$美元返券，$$B$$商店提供相同标价 25\%的折扣，没有返券。 Heather 通过在商店 $$A$$ 而不是商店 $$B$$ 购买计算机，会节省$$15$$美元。 这台电脑的标价是多少，以美元计？（

课内体系->知识点->等式与不等式->等式->等式的性质与方程的解集

美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Equation Word Problems

Let the sticker price be $$x$$. The price of the computer is $$0.85x-90$$ at store $$A$$, and $$0.75x$$ at store $$B$$.  Heather saves ＄$$15$$ at store $$A$$, so $$0.85x-90+15=0.75x$$.  Solving, we find $$x=750$$, and the thus answer is $$(\text{A})$$.  The ＄$$90$$ in store $$A$$ is ＄$$15$$ better than the additional $$10 \%$$ off at store $$B$$.  Thus the $$10 \%$$ off is equal to ＄$$90-$$＄$$15=$$＄$$75$$, and therefore the sticker price is ＄$$750$$.


$$2008-AMC10A-12$$  In a collection of red, blue, and green marbles, there are $$25 \%$$ more red marbles than blue marbles, and there are $$60 \%$$ more green marbles than red marbles. Suppose that there are $$r$$ red marbles. What is the total number of marbles in the collection?  在红色、蓝色和绿色弹珠的集合中，红色弹珠比蓝色弹珠多 $$25 \%$$，绿色弹珠比红色弹珠多 $$60 \%$$。 假设有 $$r$$ 个红色弹珠，则弹珠总数是多少？

$$2.85 r$$

$$3 r$$

$$3.4 r$$

美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Proportion Word Problems

课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->排列->特殊元素优先法

The number of blue marbles is $$\dfrac{4}{5}r$$, the number of green marbles is $$\dfrac{8}{5}r$$, and the number of red marbles is $$r$$. Thus, the total number of marbles is $$\dfrac{4}{5}r+\dfrac{8}{5}r+r=3.4r$$, and the answer is $$(\text{C})$$.


2014年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

给定平面向量$$\overrightarrow{a}=\left( 1,  1 \right)$$，那么，平面向量$$\overrightarrow{b}=\left( \frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{1+\sqrt{3}}{2} \right)$$是向量$$\overrightarrow{a}$$经过．

顺时针旋转$$60{}^{}\circ $$所得

顺时针旋转$$120{}^{}\circ $$所得

逆时针旋转$$60{}^{}\circ $$所得

逆时针旋转$$120{}^{}\circ $$所得

竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算

设两向量所成的角为$$\theta $$，则  $$\cos \theta =\frac{\left( \frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{1+\sqrt{3}}{2} \right)\cdot \left( 1,  1 \right)}{2}=\frac{1}{2}$$，  又$$\theta \in \left[ 0{}^{}\circ ,  180{}^{}\circ \right]$$，所以$$\theta =60{}^{}\circ $$．又  $$\frac{1-\sqrt{3}}{2}\textless{}0$$，$$\frac{1+\sqrt{3}}{2}\textgreater0$$，  所以$$\text{C}$$正确．


2008年甘肃全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分

设$$A= {x\textbar1\leqslant x\leqslant 9,x\in Z }$$，$$B= {(a,b)\textbar a,b\in A }$$，定义$$B$$到$$Z$$的映射$$f$$：$$(a,b)\to ab-a-b$$，则满足$$(ab)\xrightarrow{f}11$$的有序数对共有．

竞赛->知识点->函数->函数的概念

因为$$f(a,b)=ab-a-b=11$$，  即$$(a-1)(b-1)=2\times 6=3\times 4=1\times 12$$．  则$$\begin{matrix}\begin{cases}a-1=2    b-1=6 \end{cases}\begin{cases}a-1=6    b-1=2 \end{cases}\begin{cases}a-1=3    b-1=4 \end{cases}    \begin{cases}a-1=4    b-1=3 \end{cases}\begin{cases}a-1=1    b-1=12 \end{cases}\begin{cases}a-1=12    b-1=1. \end{cases}   \end{matrix}$$  解得符合题设条件的有序数对为$$\left( 3,7 \right)$$，$$\left( 7,3 \right)$$，$$\left( 4,5 \right)$$，$$\left( 5,4 \right)$$．  故选$$\text{A}$$．


2012年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分

如果$$\triangle ABC$$中，$$A$$、$$B$$为锐角，且$${{\sin }^{2}}A+{{\sin }^{2}}B=\sin C$$，则对$$\triangle ABC$$的形状描述最准确的是．

直角三角形

等腰三角形

等腰直角三角形

以上均不对

竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形

$${{\sin }^{2}}A+{{\sin }^{2}}B=\sin C$$  $$\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}A+{{\sin }^{2}}B-\sin A\cos B-\cos A\sin B=0$$  $$\Leftrightarrow \sin A\left( \sin A-\cos B \right)+\sin B\left( \sin B-\cos A \right)=0$$  于是当$$A\textgreater\frac{ \pi }{2}-B$$或$$A\textless{}\frac{ \pi }{2}-B$$时，上式均不成立．  因此$$A+B=\frac{ \pi }{2}$$．


$$2004-AMC10A-12$$  Henry\textquotesingle s Hamburger Heaven offers its hamburgers with the following condiments: ketchup, mustard, mayonnaise, tomato, lettuce, pickles, cheese, and onions. A customer can choose one, two, or three meat patties, and any collection of condiments. How many different kinds of hamburgers can be ordered?  Henry\textquotesingle s Hamburger Heaven 提供带有以下调味品的汉堡包：番茄酱、芥末、蛋黄酱、番茄、生菜、泡菜、奶酪和洋葱。 顾客可以选择一个、两个或三个肉饼，以及任何调味品系列。 可以订购多少种不同的汉堡包？

美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Counting->Classification Counting and Step Counting

课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->分步乘法计数原理

For each condiment, a customer may either choose to order it or not. There are $$8$$ total condiments to choose from. Therefore, there are $$2^{8}=256$$ ways to order the condiments. There are also $$3$$ choices for the meat, making a total of $$256\times3=768$$ possible hamburgers.$$\boxed {(\text{C}) 768}$$.


2013年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式 竞赛->知识点->解析几何->圆与方程 竞赛->知识点->不等式->换元技巧->三角换元


2013年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第9题5分

设函数$$f\left( x \right)=x{{\left( x-1 \right)}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{3}}{{\left( x-3 \right)}^{4}}$$，则函数$$y=f\left( x \right)$$的极大值点为．

竞赛->知识点->导数模块->导数

由图象可知$$x=1$$为函数极大值点，$$x=3$$是极小值点，$$x=0{,}2$$不是极值点．


1991年全国高中数学联赛竞赛一试第1题

由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为（~ ）．

竞赛->知识点->排列组合与概率->两个基本计数原理

在公有一个项点的三个两两互相垂直的面上，各有一对角线共同组成唯一的正三角形，这样在正三角形和顶点之间建立了一一对应，而正方体共有$$8$$个顶点，所以恰好有$$8$$个正三角形．


使得$$5x+12\sqrt{xy}\leqslant a\left( x+y \right)$$对所有正实数$$x$$，$$y$$都成立的实数$$a$$的最小值为．

前三个答案都不对

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->利用基本不等式求最值

竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->均值


1985年全国高中数学联赛竞赛一试第6题

是递增的

是递减的

奇数项是非递减，偶数项是递减的

偶数项是递增的，奇数项是递减的．

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的综合应用 课内体系->知识点->数列->数列的概念->数列的函数特性->数列单调性问题


2010年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和


2016年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->加法原理与乘法原理的综合运用

课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->分类加法计数原理

课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->分步乘法计数原理

课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->组合

课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->排列->特殊元素优先法


2009年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

平面上满足约束条件$$\begin{cases}x\geqslant 2    x+y\leqslant 0    x-y-10\leqslant 0 \end{cases}$$的点$$(x,y)$$形成的区域为$$D$$，区域$$D$$关于直线$$y=2x$$对称的区域为$$E$$，则区域$$D$$和区域$$E$$中距离最近的两点的距离为．

竞赛->知识点->解析几何->直线与方程 竞赛->知识点->不等式->线性规划


2017年上海全国高中数学联赛竞赛初赛第6题8分

竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算


2010年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

关于非零向量$$a$$和$$b$$有两个命题．命题甲：$$a\bot b$$；命题乙：函数$$f(x)=(xa+b)\cdot (xb-a)$$为一次函数．则有．

甲是乙的充分不必要条件

甲是乙的必要不充分条件

甲是乙的充分必要条件

甲是乙的既不充分也不必要条件

课内体系->知识点->常用逻辑用语->充分条件与必要条件->充要条件与向量结合

课内体系->知识点->常用逻辑用语->命题->命题的概念

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的表示方法->解析法

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的表示方法->求函数的解析式->用待定系数法求解析式

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->函数的定义

课内体系->知识点->平面向量->平面向量基本定理及其坐标表示->平面向量的正交分解及坐标表示

课内体系->知识点->平面向量->平面向量基本定理及其坐标表示->平面向量基本定理及其意义

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的基本概念->向量的概念->向量的夹角的判断

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->向量的数量积的定义

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->利用数量积解决向量垂直问题（非坐标运算）

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->平面向量数量积的运算律

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->平面向量数量积运算（非坐标）

课内体系->素养->数学运算

课内体系->素养->逻辑推理

$$f(x)=a\cdot b{{x}^{2}}+$$（$$b^{2}-a^{2}$$）$$x-a\cdot b$$，$$a\bot b\Leftrightarrow a\cdot b=0$$.$$f(x)$$为一次函数$$\Rightarrow a\cdot b=0$$，而$$a·b=0$$时$$f(x)$$有可能是常数函数，不一定为一次函数，故选$$\text{B}$$．


2016年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分 2016年高考真题天津卷

设$$a$$是实数，要使得对任何$$x\in \left( -\infty ,1 \right)\cup \left( 5,+\infty \right)$$，都有$${{x}^{2}}-2\left( a-2 \right)x+a\textgreater0$$，所有满足上述要求的$$a$$组成的集合是（~ ）

$$\left( -\infty ,5 \right]$$

$$\left( 1,4 \right)$$

$$\left( 1,7 \right]$$

$$\left( 1,5 \right]$$

课内体系->知识点->集合->集合的概念与表示方法->集合的表示方法->区间表示法

课内体系->知识点->函数的概念与性质->二次函数->二次函数的图象及性质

课内体系->素养->数学运算

课内体系->思想->分类讨论思想

设$$f\left( x \right)={{x}^{2}}-2\left( a-2 \right)x+a$$，则$$\Delta =4{{\left( a-2 \right)}^{2}}-4a=4\left( {{a}^{2}}-5a+4 \right)$$，  ①$$\Delta \textless{}0$$，解得$$1\textless{}a\textless{}4$$，满足要求；  ②$$\Delta \geqslant 0$$，则$$f\left( 1 \right)\geqslant 0$$，$$f\left( 5 \right)\geqslant 0$$，对称轴$$1\textless{}a-2\textless{}5$$，解得$$4\leqslant a\leqslant 5$$．  所以，$$a$$的取值范围是$$1\textless{}a\leqslant 5$$．  故选$$\text{D}$$．


2016年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分

已知集合$$M=\left { 1,2,3,\cdots ,10 \right }$$，$$A$$是$$M$$的子集，且$$A$$中各元素的和为$$8$$，则满足条件的子集$$A$$共有（~ ）．

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->集合->集合的概念与表示方法->集合的含义、元素与集合->元素与集合之间的关系

课内体系->知识点->集合->集合的基本关系->子集个数的计算

课内体系->知识点->集合->集合的基本关系->子集


高一上学期单元测试《二次与对勾函数》竞赛第22题

已知当$$1\leqslant x\leqslant 5$$时，关于$$x$$的不等式$$\textbar x{}^{2}+px+q\textbar\leqslant 2$$恒成立，则$$p+q=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．

竞赛->知识点->函数->二次函数 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质

$f\left( x\right)=x^{2}+px+q$，则①$$-2\leqslant f\left( 1 \right)=p+q+1\leqslant 2$$，②$$-2\leqslant f\left( 5 \right)=5p+q+25\leqslant 2$$，进而由①+②得$$-2\leqslant 3p+q+13\leqslant 2$$，另一方面，有③$$-2\leqslant f\left( 3 \right)=3p+q+9\leqslant 2$$，因而必有$$3p+q+9=-2$$，且$$p+q+1=2$$，及$$5p+q+25=2$$，解出$$p=-6，q=7$$，故$$p+q=1$$．


2009年第二十届全国希望杯高二竞赛复赛第3题5分

若函数$$f(x)=\sqrt{3}\sin (x-\theta )-\cos (x-\theta )$$的图像关于直线$$x=\frac{ \pi }{3}$$对称，则$$\theta $$的值不能是．

$$-\frac{4}{3} \pi $$

$$-\frac{ \pi }{3}$$

$$\frac{2}{3} \pi $$

$$\frac{4}{3} \pi $$

竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质

$$f(x)=2\sin \left( x-\theta -\frac{ \pi }{6} \right)$$


2008年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分 高考真题

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的性质及应用

课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的概念与通项公式->等差数列求通项问题


2015年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第12题9分

竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->柯西 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式


2009年竞赛珠海市第10题5分

等边$$\triangle ABC$$的边长为$$2\sqrt{2}$$，$$AD$$是$$BC$$边上的高，将$$\triangle ABD$$沿$$AD$$折起，使之与$$\triangle ACD$$所在平面成$$120{}^{}\circ $$的二面角，这时$$A$$点到$$BC$$的距离是．

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题


2016~2017学年天津高二上学期期中理科六校联考第7题 2012年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分

$$\left( -\infty ,\frac{1}{4} \right]$$

$$\left( -\infty ,\frac{1}{8} \right]$$

$$\left( 0,\frac{1}{4} \right]$$

$$\left( 0,\frac{1}{8} \right]$$

课内体系->知识点->直线和圆的方程->圆与方程->圆的标准方程与一般方程

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式成立的条件

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->利用基本不等式求最值

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式的实际应用

课内体系->素养->数学运算

课内体系->方法->均值不等式法

因为直线$$ax-by+1=0$$过圆$$C:{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4$$的圆心$$\left( -1,2 \right)$$，所以$$-a-2b+1=0$$，即$$a+2b=1$$；当$$a\textgreater0$$，$$b\textgreater0$$时，$$1=a+2b\geqslant 2\sqrt{2ab}$$，解得$$0\textless{}ab\leqslant \frac{1}{8}$$ (当且仅当$$a=2b$$时等号成立)；当$$a=1$$，$$b=0$$时，$$ab=0$$；当$$a=-1,b=1$$时，$$ab\textless{}0$$；所以$$ab$$的取值范围是$$\left( -\infty ,\frac{1}{8} \right]$$．  选$$\text{B}$$．


2014年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分

在平面直角坐标系中，方程$${{x}^{2}}+2x\sin \left( xy \right)+1=0$$所表示的图形是．

直线

抛物线

一个点

以上都不对

竞赛->知识点->解析几何->曲线与方程

易知$$x=-1$$，$$\sin \left( xy \right)=1$$，或$$x=1$$，$$\sin \left( xy \right)=-1$$．从而该方程所表示的图形由点列$$\left( -1,  2k \pi -\frac{ \pi }{2} \right)$$，$$k\in \mathbf{Z}$$和点列$$\left( 1,  2k \pi -\frac{ \pi }{2} \right)$$，$$k\in \mathbf{Z}$$构成．


2014年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算 竞赛->知识点->函数->基本初等函数 竞赛->知识点->解析几何->圆与方程


2014年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分 2016~2017学年北京海淀区北京石油学院附属中学高一下学期期中第10题 2004年高考真题重庆卷理科第9题5分

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的性质及应用->等差数列角标和性质的应用

课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的前n项和->等差数列前n项和的性质


阿曼達$$4$$個表兄弟的平均年齡是$$8$$，年齡的中位數是$$5$$，則阿曼達的表兄弟中最年長者與最年輕者的年齡和爲何？  The mean age of Amanda\textquotesingle s $$4$$ cousins is $$8$$, and their median age is $$5$$. What is the sum of the ages of Amanda\textquotesingle s youngest and oldest cousins?

The sum of the ages of the cousins is $$4$$ times the mean, or $$32$$. There are an even number of cousins, so there is no single median, so $$5$$ must be the median of the two in the middle. Therefore the sum of the ages of the two in the middle is $$10$$. Subtracting $$10$$ from $$32$$ produces $$\left(\text{D}\right) 22$$.


2010年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分

已知$$-\frac{ \pi }{2} ~\textless{} ~\alpha ~~\textless{} ~\frac{ \pi }{2}$$，$$2\tan \beta =\tan 2\alpha $$．$$\tan \left( \beta -\alpha \right)=-2\sqrt{2}$$，则$$\cos \alpha =$$（~ ）．

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->同角三角函数的基本关系式

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->二倍角的正切

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->半角公式

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->两角和与差的正切


$$2003-AMC12A-10$$  Al, Bert, and Carl are the winners of a school drawing for a pile of Halloween candy, which they are to divide in a ratio of $$3:2:1$$, respectively. Due to some confusion they come at different times to claim their prizes, and each assumes he is the first to arrive. If each takes what he believes to be the correct share of candy, what fraction of the candy goes unclaimed?  Al、$$Bert$$ 和 Carl 是学校为一堆万圣节糖果绘制的获胜者，他们将分别以 3:2:1 的比例分配这些糖果。 由于一些混乱，他们在不同的时间来领奖，每个人都假设他是第一个到达的人。 如果每个人都拿走他认为正确的糖果份额，那么有多少糖果无人认领？

美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Proportion Word Problems

课内体系->知识点->推理与证明->合情推理与演绎推理->合情推理->归纳推理

假设有$$6$$个糖果，$$A$$来拿走一半，剩下三个，$$B$$来拿走三分之一，剩下$$2$$个，$$C$$来拿走六分之一，剩下$\dfrac{5}{3}$个，占比$\dfrac{5}{18}$


2008年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第7题6分

有$$6$$个座位连成一横排，三人就座，恰有两个空位相邻的不同排法共有．

竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合


2009年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分

必要非充分条件

充分非必要条件

充分且必要条件

既非充分也非必要条件

竞赛->知识点->逻辑->逻辑推理 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质

$$f\left( x \right)$$在$$\left[ 0,1 \right]$$上单调，则$$f\left( x \right)$$在$$\left[ 0,1 \right]$$上有最大值，充分性成立；  反之，若$$f\left( x \right)$$在$$\left[ 0,1 \right]$$上有最大值，则$$f\left( x \right)$$在$$\left[ 0,1 \right]$$上不一定单调，比如$$f\left( x \right)={{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}$$．  所以选$$\text{B}$$．


2008年河南全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分

已知定义域是全体实数的函数$$y=f(x)$$满足$$f(x+2 \pi )=f(x)$$且函数  $$g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$$,$$h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}.$$  如果定义函数$$p(x)$$、$$q(x)$$为$$p(x)=\begin{cases}\frac{g(x)-g(x+ \pi )}{2\cos x},\left( x\ne k \pi +\frac{ \pi }{2} \right)    0,\left( x=k \pi +\frac{ \pi }{2} \right) \end{cases}$$，$$q(x)=\begin{cases}\frac{h(x)+h(x+ \pi )}{2\sin 2x},\left( x\ne \frac{k \pi }{2} \right)    0,\left( x=\frac{k \pi }{2} \right) \end{cases}$$，其中$$k\in Z$$，那么下列关于$$p(x),q(x)$$叙述正确的是．

都是奇函数且周期为$$ \pi $$

都是偶函数且周期为$$ \pi $$

均无奇偶性但都有周期性

均无周期性但都有奇偶性

竞赛->知识点->函数->函数综合


小美列出$$1$$到$$30$$所有的整數，小龍複製小美列出的所有整數，並將原出現數字是$$2$$的都改爲$$1$$．小美將她所列的數加起來，小龍也將他更改過的數加起來．試問小美所得的和比小龍所得的和大多少？  Ximena lists the whole numbers $$1$$ through $$30$$ once. Emilio copies Ximena\textquotesingle s numbers, replacing each occurrence of the digit $$2$$ by the digit $$1$$. Ximena adds her numbers and Emilio adds his numbers. How much larger is Ximena\textquotesingle s sum than Emilio\textquotesingle s?

For every tens digit $$2$$, we subtract $$10$$, and for every units digit $$2$$, we subtract $$1$$. Because $$2$$ appears $$10$$ times as a tens digit and $$2$$ appears $$3$$ times as a units digit, the answer is $$10\cdot 10+1\cdot 3=103$$.


2009年第二十届全国希望杯高二竞赛复赛第10题5分

若正数$$xyz$$使等式$$\frac{6}{xyz}\left( \frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z} \right)=1$$成立，则$$\left( \frac{1}{x}+\frac{3}{z} \right)\left( \frac{2}{y}+\frac{3}{z} \right)$$的最小值是．

竞赛->知识点->不等式->不等式的解法 竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->均值


2009年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

$$[-1, 1)$$

课内体系->素养->数学抽象

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->复合函数

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的定义域->求具体函数（包括复合函数）的定义域

课内体系->知识点->函数的概念与性质->二次函数->二次函数的图象及性质

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性->函数单调性的判定->求单调区间

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性->函数单调性的判定->判断复合函数单调性

课内体系->知识点->导数->导数的应用->导数与单调性->利用导数求函数的单调性、单调区间

课内体系->知识点->导数->导数的运算->复合函数的求导法则

课内体系->知识点->导数->导数的运算->利用公式和四则运算法则求导

课内体系->知识点->基本初等函数->对数函数->对数函数的图象及性质


2017年福建全国高中数学联赛竞赛初赛第9题6分

以上都不对

由柯西不等式，$${{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}\leqslant \left( 3+2+6 \right)\left( \frac{2x-7}{3}+\frac{12-x}{2}+\frac{44-x}{6} \right)={{11}^{2}}$$，所以$$f\left( x \right)\leqslant 11$$，当且仅当$$x=8$$时等号成立．


2014年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分

设$$\left[ x \right]$$表示不超过$$x$$的最大整数，则方程$$3{{x}^{2}}-10\left[ x \right]+3=0$$的所有实数根的个数为．

竞赛->知识点->数论模块->取整函数->与[x]有关的方程和不等式 竞赛->知识点->函数->二次函数

由  $$3{{x}^{2}}-10\left[ x \right]+3=0$$  $$\Rightarrow 10\left( x-1 \right)\textless{}10\left[ x \right]=3{{x}^{2}}+3\leqslant 10x$$  $$\Rightarrow \frac{1}{3}\leqslant x\leqslant 3$$．  当$$\frac{1}{3}\leqslant x\textless{}1$$时，方程$$3{{x}^{2}}-10\left[ x \right]+3=0$$无解．  当$$1\leqslant x\textless{}2$$时，方程$$3{{x}^{2}}-10\left[ x \right]+3=0$$的解为$$x=\sqrt{\frac{7}{3}}$$．  当$$2\leqslant x\textless{}3$$时，方程$$3{{x}^{2}}-10\left[ x \right]+3=0$$的解为$$x=\sqrt{\frac{17}{3}}$$．  当$$x=3$$时，符合满足方程$$3{{x}^{2}}-10\left[ x \right]+3=0$$．


1993年全国高中数学联赛竞赛一试第2题 2007年上海复旦大学自主招生千分考第17题

已知$$f\left( x \right)=a\sin x+b\sqrt[3]{x}+4$$（$$a$$，$$b$$为实数），且$$f\left( \lg {{\log }_{3}}10 \right)=5$$，则$$f\left( \lg \lg 3 \right)=$$（~ ）．

随$$a$$，$$b$$取不同值而取不同值

竞赛->知识点->函数->基本初等函数 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质


2020年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分

已知$$\text{i}$$是虚数单位，则$$\sum\limits_{k=1}^{2020}{\left( k\cdot {{\text{i}}^{k}} \right)}=$$．

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和


1999年全国全国高中数学联赛竞赛一试第2题6分

平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式 $${{(\left\textbar{} x \right\textbar-1)}^{2}}+{{(\left\textbar{} y \right\textbar-1)}^{2}}\textless{}2$$的整点$$(x,y)$$的个数是（  ）．

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->不等式的性质->针对不等式变形判断正误

由$${{\left( \textbar x\textbar-1 \right)}^{2}}+{{\left( \textbar y\textbar-1 \right)}^{2}}\textless{}2$$，  可得$$\left( \left\textbar{} x \right\textbar-1,\left\textbar{} y \right\textbar-1 \right)$$为$$\left( 0,0 \right)$$，$$\left( 0,1 \right)$$，$$\left( 0,-1 \right)$$，$$\left( 1,0 \right)$$或$$\left( -1,0 \right)$$．  从而，不难得到$$\left( x,y \right)$$共有$$16$$个．


2011年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

竞赛->知识点->解析几何->椭圆


2008年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

$${{f}^{2}}(x)\textless{}f({{x}^{2}})\textless{}f(x)$$

$$f({{x}^{2}})\textless{}{{f}^{2}}(x)\textless{}f(x)$$

$$f(x)\textless{}f({{x}^{2}})\textless{}{{f}^{2}}(x)$$

$$f({{x}^{2}})\textless{}f(x)\textless{}{{f}^{2}}(x)$$

竞赛->知识点->函数->基本初等函数 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质 竞赛->知识点->函数->函数综合


2021年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第15题

竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->柯西 竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->均值 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式


1994年全国高中数学联赛竞赛一试第1题 1994年全国高中数学联赛竞赛

设$$a$$、$$b$$、$$c$$是实数，那么对任何实数$$x$$，不等式$$a\sin x+b\cos x+c\textgreater0$$都成立的充分必要条件是（~ ）．

$$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\textgreater c$$

竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换

当$$a$$，$$b$$不同时为零时，  $$a\sin x+b\cos x+c\textgreater0$$①  $$\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\sin (x+\varphi )+c\textgreater0$$  $$\Leftrightarrow \sin (x+\varphi )\textgreater-\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$$②  而②式成立的充分必要条件是$$-\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\textless{}-1$$，即$$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\textless{}c$$，当$$a$$，$$b$$同时为零时，此时不等式成立的充要条件是$$c\textgreater\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$$，这一结论含于$$\text{C}$$中．  故选$$\text{C}$$．


若\emph{x}，\emph{y}，\emph{z}均为正整数，则下列不等式中不一定成立的是（~~~~~~~）

$\left(x+y+z\right)\ln \frac{x+y+z}{3}\geq x\ln x+y\ln y+z\ln z$

$\left(xyz\right)^{\frac{x+y+z}{3}}\leq x^{x}y^{y}z^{z}$

$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\geq x+\frac{1}{x}$

$\textbar{} x-y\textbar{} \leq \textbar{} x-z\textbar{} +\textbar{} y-z\textbar$

\hfill\break 【分析】\\ 根据特例可判断A的正误，根据指数函数的性质可判断B的正误，根据因式分解可判断C的正误，根据绝对值不等式可判断D的正误.\\ 【详解】\\ 对于选项A，取$(x,y,z)=(4,1,1)$，\\ 则$\left(x+y+z\right)\ln \frac{x+y+z}{3}=6\ln 2,x\ln x+y\ln y+z\ln z=4\ln 4=8\ln 2$，\\ 因此选项A不一定成立．\\ 对于选项B，该不等式即$(xyz)^{x+y+z}\leq x^{3x}y^{3y}z^{3z}\Rightarrow x^{y+z}y^{z+x}z^{x+y}\leq x^{2x}y^{2y}z^{2z}$，\\ 而$\left(\frac{x}{y}\right)^{x-y}\geq 1\Rightarrow x^{x}y^{y}\geq x^{y}y^{x}$，\\ 两边作轮换积即得该不等式，因此选项B一定成立.\\ 对于选项C，该不等式即$\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-\left(x+\frac{1}{x}\right)-2\geq 0\Rightarrow \left(x+\frac{1}{x}+1\right)\left(x+\frac{1}{x}-2\right)\geq 0$，\\ 命题成立，因此选项C一定成立，\\ 对于选项D，根据绝对值不等式，有$\textbar{} x-z\textbar{} +\textbar{} y-z\textbar{} \geq \textbar{} (x-z)-(y-z)\textbar{} =\textbar{} x-y\textbar$，\\ 命题成立，因此选项D一定成立．\\ 故选：A.


2009年第27届美国数学邀请赛（AIME）竞赛第6题

有多少个小于$$1000$$的正整数$$N$$使得方程$${{x}^{\left[ x \right]}}=N$$有解（$$\left[ x \right]$$表示小于或等于$$x$$的最大整数）？

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->取整函数（高斯函数）

竞赛->知识点->数论模块->取整函数->与[x]有关的方程和不等式


2018年湖北全国高中数学联赛竞赛初赛第5题10分

竞赛->知识点->平面几何->欧拉线上的心（二试）->重心（二试）


一个边长为$n$的木质立方体的六个面都被涂成红色，然后被切割成$n^{3}$的单位立方体．单位立方体总面数中正好有四分之一是红色.$n$是多少？

美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Reasoning->Dyeing and Covering

课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的概念->棱柱、棱锥、棱台的结构特征

Since there are $$n^{2}$$ little faces on each face of the big wooden cube, there are $$6n^{2}$$ little faces painted red.  Since each unit cube has $$6$$ faces, there are $$6n^{3}$$ little faces total.  Since one-fourth of the little faces are painted red,  $$\dfrac{6n^{2}}{6n^{3}}=\dfrac{1}{4}$$  \hspace{0pt}$$\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{4}$$  $$n=4\Rightarrow\left( \rm B\right)$$.


2011年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

函数$$f(x)=\begin{cases} 1-{{5}^{-x}} x\geqslant 0    {{5}^{x}}-1 x\textless{}0 \end{cases}$$，则该函数为．

单调增加函数、奇函数

单调递减函数、偶函数

单调增加函数、偶函数

单调递减函数、奇函数

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质

由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数．


2008年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

定义集合运算： $$A\otimes B=\left { z\textbar z=xy,x\in A,y\in B \right }$$．设$$A=\left { 2,0 \right }$$，$$B=\left { 0,8 \right }$$，则集合$$A\otimes B$$的所有元素之和为．

竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算


2010年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

当$$x,  y$$满足条件$$\left\textbar{} x \right\textbar+\left\textbar{} y \right\textbar\leqslant 1$$时，变量$$z=x-y+2$$的取值范围是．

$$\left[ \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2} \right]$$

$$\left( 1,  3 \right)$$

$$\left[ 1,  3 \right]$$

$$\left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2} \right)$$

竞赛->知识点->不等式->不等式的解法

当$$\left\textbar{} x \right\textbar+\left\textbar{} y \right\textbar\leqslant 1$$时， $$-1\leqslant x-y\leqslant 1$$， 所以$$z=x-y+2$$的取值范围是$$\left[ 1,  3 \right],$$


\hfill\break 【分析】\\ 求出抛物线的极坐标方程，利用极坐标系下曲线关于圆周的对称的曲线方程公式可求对应曲线的极坐标方程，从而可得所求的直角方程.\\ 【详解】\\ 以直角坐标系的原点为极点，$x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系.\\ 于是$y=x^{2}$的极坐标方程为$\sin \theta =\rho \cos ^{2}\theta$.\\ 因为$\Gamma \colon f(\rho ,\theta )=0$关于圆周\emph{C}对称的曲线$\textquotesingle\colon f\left(\frac{r^{2}}{\rho },\theta \right)=0$．\\ 于是方程$\sin \theta =\rho \cos ^{2}\theta$关于单位圆对称的曲线为$\sin \theta =\frac{1}{\rho }\cos ^{2}\theta$，\\ 其对应的直角方程为$\left(x^{2}+y^{2}\right)y=x^{2}$．\\ 故选：D


2017年江苏全国高中数学联赛高二竞赛复赛 2017年江苏全国高中数学联赛竞赛复赛第8题8分

从正$$1680$$边形的顶点中任取若干个，顺次相连成多边形，其中正多边形的个数为．

以上都不对

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->加法原理与乘法原理的综合运用

课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->分步乘法计数原理

课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->组合


2008年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

命题$$p$$：若$$a$$，$$b\in R$$，则$$\textbar a+b\textbar\textless{}1$$是$$\textbar a\textbar+\textbar b\textbar\textless{}1$$的充分而不必要条件；命题$$q$$：函数$$y=\sqrt{\textbar x+1\textbar-2}$$的定义域是$$\left( -\infty ,-3 \right]\cup \left[ 1,+\infty \right)$$，则．

``$$p$$或$$q$$''为假命题

``$$p$$且$$q$$''为真命题

$$p$$为真命题，$$q$$为假命题

$$p$$为假命题，$$q$$为真命题

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质 竞赛->知识点->逻辑->常用逻辑用语

由于$$\textbar a+b\textbar\leqslant \textbar a\textbar+\textbar b\textbar$$，  因此$$\textbar a+b\textbar\textless{}1$$是$$\textbar a\textbar+\textbar b\textbar\textless{}1$$的必要而不充分条件，  命题$$p$$为假命题；  由$$\textbar x+1\textbar-2\geqslant 0$$，得$$x\leqslant -3$$或$$\geqslant 1$$，命题$$q$$为真命题．  故选$$\text{D}$$．


2009年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

$$\frac{2}{\pi }$$

竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步


2018年福建全国高中数学联赛竞赛初赛第9题6分

课内体系->知识点->等式与不等式->等式->代数式化简求值 竞赛->知识点->函数->函数的概念


2019年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

若$$x$$、$$y$$满足$$\left\textbar{} y \right\textbar\leqslant 2x$$，且$$x\geqslant 1$$，则$$2x+y$$的最小值为．

竞赛->知识点->不等式->线性规划


We can rewrite this expression as $$\log (10^x\cdot 100^{2x})=\log (1000^5)$$, which can be simplified to $$\log (10^x\cdot 10^{4x})=5\log (1000)$$, and that can be further simplified to $$\log (10^{5x})=5\log (10^3)$$.This leads to $$5x=15$$. Solving this linear equation yields $$x=3$$.


2009年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

甲、乙两人之间进行一场打完$$7$$局的比赛（每局无平局），则比赛结果出现甲比乙为$$4$$ : $$3$$的概率是．

竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合 竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步


2011年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分

体育课下课后，老师要求体育委员把$$3$$个相同的篮球、$$2$$个相同的排球、$$2$$个相同的橄榄球排成一排放好，则不同的放法有．

竞赛->知识点->排列组合与概率->两个基本计数原理 竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合 课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->分步乘法计数原理

总共$$10$$个球，先考虑选$$5$$个位置放篮球，共有$$\text{C}_{10}^{5}=252$$种，再从剩下的$$5$$个位置种选$$3$$个位置放排球，总共有$$10$$种方法，剩下的$$2$$个位置放橄榄球，故有$$252\times 10=2520$$种.


2023年江苏连云港灌南县灌南县中学高三竞赛（下学期3月解题能力竞赛）第6题

2021~2022学年重庆渝中区重庆市巴蜀中学高三上学期月考（适应性月考六）第6题

2023年江苏连云港灌南县灌南县中学高三竞赛（下学期3月解题能力竞赛）第6题

充分不必要条件

必要不充分条件

充要条件

既不充分也不必要条件

课内体系->知识点->常用逻辑用语->充分条件与必要条件


2010年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第8题8分 2018~2019学年上海静安区上海市市北中学高三上学期期中第12题5分

$$\frac{ \pi }{2}$$

$$\frac{ \pi }{3}$$

$$\frac{ \pi }{4}$$

$$\frac{ \pi }{6}$$

竞赛->知识点->导数模块->积分 课内体系->知识点->导数->定积分

设$$f(x)=\sqrt{1-{{x}^{2}}}$$，  把区间$$[0,1]$$平均分成$$n$$份，那么不等式的是$$n$$个矩形的面积（底为$$\frac{1}{n}$$，高取每个区间右侧的函数值），  右边是$$n$$个矩形的面积（底为$$\frac{1}{n}$$高取每个区间左侧的函数值）．  当$$n\to \infty $$时，左边$$=$$右边$$=f\left( x \right)$$在$$[0,1]$$的定积分$$=\frac{ \pi }{4}$$（四分之一圆）．  故中间的常数只能取$$\frac{ \pi }{4}$$．


2013年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分

设函数$$f{}(x){}=\sqrt{1-{{x}^{2}}}\centerdot \left( \left\textbar{} x-2 \right\textbar+\frac{4}{{{2}^{x}}-1} \right)$$．考虑命题$$p:f{(}x{)}$$是奇函数；命题$$q{:}f{(}x{)}$$是偶函数．那么，正确的命题是．

$$p{,}q$$

$$p{,}\neg q$$

$$\neg p{,}q$$

$$\neg p{,}\neg q$$

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质 竞赛->知识点->函数->函数的概念 竞赛->知识点->逻辑->常用逻辑用语

注意$$f\left( x \right)$$的定义域是$$\left[ -1,0 \right)\cup \left( 0,1 \right]$$，所以  $$f\left( x \right)=\sqrt{1-{{x}^{2}}}\cdot \left( 2-x+\frac{4}{{{2}^{x}}-1} \right)$$  $$=\sqrt{1-{{x}^{2}}}\cdot \left( -x+2\centerdot \frac{{{2}^{x}}+1}{{{2}^{x}}-1} \right)$$，  容易看出$$f\left( x \right)$$是奇函数，不是偶函数．


2008年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第11题8分

课内体系->知识点->计数原理 竞赛->知识点->排列组合与概率->二项式定理及其应用


2012年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分

$$c\cdot a={{b}^{2}}$$

竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换

$${{\sin }^{2}}\frac{A}{2}+{{\sin }^{2}}\frac{B}{2}+{{\sin }^{2}}\frac{C}{2}={{\cos }^{2}}\frac{B}{2}$$  $$\Leftrightarrow \frac{1-\cos A}{2}+\frac{1-\cos B}{2}+\frac{1-\cos C}{2}=\frac{1+\cos B}{2}$$  $$\Leftrightarrow \cos A+\cos C=2-2\cos B$$  $$\Leftrightarrow 2\cos \frac{A+C}{2}\cos \frac{A-C}{2}=4{{\sin }^{2}}\frac{B}{2}$$  $$\Leftrightarrow 2\cos \frac{A-C}{2}=4\sin \frac{B}{2}$$  $$\Leftrightarrow 2\cos \frac{A-C}{2}\sin \frac{A+C}{2}=4\sin \frac{B}{2}\sin \frac{A+C}{2}$$  $$\Leftrightarrow \sin A+\sin C=2\sin B$$  $$\Leftrightarrow a+c=2b$$


2009年竞赛珠海市第11题5分

抛两个各面上分别标有$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$的均匀的正方体玩具，``向上的两个数之和为$$3$$''的概率是．

课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->事件与基本事件空间->基本事件与基本事件空间

课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->古典概型

课内体系->素养->数学运算

总的基本事件的个数为$$6\times 6=36$$种，``向上的两个数之和为$$3$$''的基本事件有$$\left( 1,2 \right)$$和$$\left( 2,1 \right)$$两种，  由古典概型知概率为$$P=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$$  故选：$$\text{D}$$．


2022年湖南湘西吉首市竞赛（第一届中小学生教师解题大赛）第1题

已知集合$A=\left { x\mid {{2}^{x}}\le 18 \right }$，则$A\cap \text{N}$的子集个数为（~~~~~~~）


1989年全国高中数学联赛竞赛一试第2题

函数$$f\left( x \right)=\text{arctan}x+\frac{1}{2}\arcsin x$$的值域是．

$$(- \pi , \pi )$$

$$\left[ -\frac{3 \pi }{4},\frac{3 \pi }{4} \right]$$

$$\left( -\frac{3 \pi }{4},\frac{3 \pi }{4} \right)$$

$$\left[ -\frac{ \pi }{2},\frac{ \pi }{2} \right]$$

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的值域->求函数的值域->用单调性观察法求值域

课内体系->知识点->三角函数->反三角函数

课内体系->素养->数学运算

$$f(x)$$的定义域是$$[-1,1]$$，此时  $$-\frac{ \pi }{4}{\leqslant }\text{arctg}x{\leqslant }\frac{ \pi }{4}$$，$$-\frac{ \pi }{4}{\leqslant }\frac{1}{2}\arcsin x{\leqslant }\frac{ \pi }{4}$$．  而且$$\text{arctg}x$$和$$\arcsin x$$是单调增加的，从而$$f(x)$$的值域是$$\left[ -\frac{ \pi }{2},-\frac{ \pi }{2} \right]$$．  故选$$\text{D}$$．


2020~2021学年10月上海浦东新区华东师范大学第二附属中学高一上学期月考第16题

2020~2021学年11月浙江杭州滨江区浙江省杭州第二中学高一上学期周测A卷第9题

2020~2021学年北京高二单元测试

2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第9题5分

2020~2021学年北京高三单元测试

使得$$5x+12\sqrt{xy}\leqslant a\left( x+y \right)$$对所有正实数$$x$$，$$y$$都成立的实数$$a$$的最小值为．

前三个答案都不对

竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->均值


2011~2012学年北京东城区高一上学期期末南片第5题3分 2016年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

函数$$f\left( x \right)={{\text{e}}^{x}}+2x-3$$的零点所在的一个区间是（~ ）．

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->求零点所在区间的问题->判定函数零点所在区间（存在性定理）

课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->函数零点存在定理

函数单调递增，  ∵$$f\left( \frac{1}{2} \right)=\sqrt{e}+\frac{1}{2}-3\textless{}0$$，  $$f\left( 1 \right)=e+1-3=e-2\textgreater0$$，  ∴函数在$$(\frac{1}{2},1)$$内存在唯一零点．


2014年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

$$P\geqslant Q\geqslant R$$

$$Q\geqslant P\geqslant R$$

$$Q\geqslant R\geqslant R$$

$$P$$、$$Q$$、$$R$$的大小关系不能确定

课内体系->素养->逻辑推理 课内体系->素养->数学运算 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->证明不等式的基本方法->综合法


2009年竞赛第20届全国希望杯数学邀请赛高二复赛第2题5分

课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的前n项和->等差数列前n项和的性质

课内体系->素养->数学运算


2010年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分 2017~2018学年10月北京海淀区清华大学附属中学高一上学期月考理科第5题 2008年高考真题辽宁卷理科第12题5分

知识标签->素养->逻辑推理

知识标签->素养->数学运算

知识标签->题型->函数->函数的性质->抽象函数的问题->抽象函数与函数性质综合

知识标签->知识点->函数->函数的性质->单调性

知识标签->知识点->函数->函数的性质->奇偶性

由$$f(x)$$的性质知$$f(x)=f\left( \frac{x+3}{x+4} \right)\Rightarrow \left\textbar{} x \right\textbar=\left\textbar{} \frac{x+3}{x+4} \right\textbar$$，若$$x=\frac{x+3}{x+4}$$，即$${{x}^{2}}+3x-3=0$$，有解，且两根之和为$$-3$$；  若$$-x=\frac{x+3}{x+4}$$，即$${{x}^{2}}+5x+3=0$$，有解，且两根之和为$$-5$$，故总和为$$-8$$．  故选$$\text{C}$$．


1990年全国高中数学联赛竞赛一试第4题

点集$$\left { \left( x,y \right)\textbar\lg \left( {{x}^{3}}+\frac{1}{3}{{y}^{3}}+\frac{1}{9} \right)=\lg x+\lg y \right }$$中元素的个数为．

课内体系->知识点->函数的应用->函数与方程

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式成立的条件

课内体系->知识点->基本初等函数->对数函数->对数函数的概念

课内体系->知识点->集合->集合的概念与表示方法->集合的含义、元素与集合->元素与集合之间的关系

课内体系->素养->数学运算


2008年江西全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的角与距离

四面体中除$$CD$$外，其余的棱皆与$$AB$$相邻接，  若长为$$13$$的棱与$$AB$$相邻，不妨设$$BC=13$$，  根据构成三角形条件，可知$$AC\notin \left { 7,18,27 \right }$$，  因此$$AC=36$$，$$BD=7$$，可得$$ {AD,CD }= {18,27 }$$，  于是$$\triangle ABD$$中，两边之和小于第三边，矛盾．因此只有$$CD=13$$．  另一方面，使$$AB=41$$，$$CD=13$$的四面体$$ABCD$$可作出，  例如取$$BC=7$$，$$AC=36$$，$$BD=18$$，$$AD=27$$．故选$$\text{B}$$．


2013年湖北全国高中数学联赛竞赛初赛第11题20分 2013年湖北全国高中数学联赛高一竞赛初赛第11题20分 2013年湖北全国高中数学联赛高二竞赛初赛第11题20分

$$\left[ \frac{1}{2},+\infty \right)$$

$$\left[ 1,+\infty \right)$$

$$\left( \frac{1}{2},1 \right]$$

$$\left( \frac{1}{2},+\infty \right)$$

课内体系->素养->数学运算

课内体系->方法->构造法

课内体系->思想->转化化归思想

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的表示方法->解析法

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的值域->求复合函数的值域

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->函数的定义

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->复合函数

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的定义域->求具体函数（包括复合函数）的定义域

课内体系->知识点->函数的概念与性质->二次函数->二次函数的图象及性质

课内体系->知识点->函数的概念与性质->二次函数->二次函数的概念


2010年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第11题5分

空间中一点$$P$$到三条两两垂直的射线$$OA,  OB,  OC$$的距离分别为$$\sqrt{3},  2,\sqrt{5}$$，且垂足分别为$${A}',  {B}',  {C}'$$，则三棱锥$$P-{A}'{B}'{C}'$$的体积为．

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题


2017年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

已知$$\alpha ,\beta \in \left( 0 ,\pi ~\right)$$，$$\tan \alpha ,\tan \beta $$是方程$${{x}^{2}}+3x+1=0$$的两个根，则$$\cos \left( \alpha -\beta \right)$$的值是．

竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换

由韦达定理，$$\tan \alpha +\tan \beta =-3$$，$$\tan \alpha \tan \beta =1$$，  $$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\cdot \frac{\sin \beta }{\cos \beta }=1$$，得$$\cos \left( \alpha +\beta \right)=0$$，结合$$\tan \alpha +\tan \beta =-3$$，可知$$\alpha +\beta =\frac{3}{2} \pi $$．  $$\tan \alpha +\tan \beta =\frac{\sin \left( \alpha +\beta \right)}{\cos \alpha \cos \beta }=-\frac{1}{\cos \alpha \cos \beta }=-3$$，所以$$\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{3}$$．  因此，$$\cos \left( \alpha -\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta =2\cos \alpha \cos \beta =\frac{2}{3}$$．


2021~2022学年安徽阜阳太和县安徽省太和中学高一下学期月考（竞赛考试）第6~6题

$$\frac{2\pi }{3}$$

$$\frac{\pi }{3}$$

$$\frac{\pi }{4}$$

$$\frac{9\pi }{4}$$

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积

\hfill\break 【分析】\\ 根据向量的数量积计算运算律即可计算.\\ 【详解】\\ $$\vec{a}\cdot \left( \vec{a}-\vec{b} \right)=1\Rightarrow \textbar\vec{a}{{\textbar}^{2}}-\vec{a}\cdot \vec{b}=1\Rightarrow \vec{a}\cdot \vec{b}=1$$，\\ $$\text{cos}\left\langle \vec{a},\vec{b} \right\rangle =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left\textbar{} {\vec{a}} \right\textbar\left\textbar{} {\vec{b}} \right\textbar}=\frac{1}{\sqrt{2}\times 1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$，\\ $$\because \left\langle \vec{a},\vec{b} \right\rangle \in \left[ 0,\pi \right]$$，\\ $$\therefore \left\langle \vec{a},\vec{b} \right\rangle =\frac{\pi }{4}$$.\\ 故选：C.


2019~2020学年广东广州高二上学期期末

2019~2020学年宁夏银川兴庆区宁夏回族自治区银川一中高二下学期期中理科第12题5分

2019~2020学年广东广州天河区华南师范大学附属中学高二上学期期末第11题3分

2020~2021学年河北石家庄新华区石家庄市第二中学高二上学期期中（竞赛班）第3题3分

从$$0$$，$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为．

课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->排除法

课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->加法原理与乘法原理的综合运用

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->素养->数学运算

由题意知，本题是一个分类计数原理，  第一类：从$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$中任取两个奇数和两个偶数，  组成没有重复数字的四位数的个数为$$\text{C}_{3}^{2}\text{A}_{4}^{4}=72$$，  第二类：取$$0$$，此时$$2$$和$$4$$只能取一个，$$0$$不能排在首位，  组成没有重复数字的四位数的个数为$$\text{C}_{3}^{2}\text{C}_{2}^{1}\left( \text{A}_{4}^{4}-\text{A}_{3}^{3} \right)=108$$，  $$\therefore $$组成没有重复数字的四位数的个数为$$108+72=180$$，  故选$$\text{C}$$．


2009AMC12A, 24  \uline{The tower function of twos} is defined recursively as follows: $$T\left(1\right)=2$$ and $$T\left(n+1\right)=2^{T\left(n\right)}$$ for $$n\geqslant 1$$. Let $$A=\left(T\left(2009\right)\right)^{T\left(2009\right)}$$ and $$B=\left(T\left(2009\right)\right)^{A}$$. What is the largest integer $$k$$ such that $$\underbrace{\log_{2}\log_{2}\log_{2}\ldots\log_{2}B}_{{k\textasciitilde{} \text{times}}}$$ is defined?  2的\uline{塔函数}定义如下: $$T\left(1\right)=2$$ , $$T\left(n+1\right)=2^{T\left(n\right)}$$ ($$n\geqslant 1$$). 令 $$A=\left(T\left(2009\right)\right)^{T\left(2009\right)}$$ , $$B=\left(T\left(2009\right)\right)^{A}$$. 使得 $$\underbrace{\log_{2}\log_{2}\log_{2}\ldots\log_{2}B}_{{k\textasciitilde{} \text{times}}}$$有意义的最大整数 $$k$$是多少?

美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Reasoning->Mapping and Correspondence

课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算->对数的运算