2006年第11届全国华杯赛竞赛初赛第3题 2019年陕西延安宝塔区北大培文学校小升初入学真卷第2题3分

奶奶告诉小明：``$$2006$$年共有$$53$$个星期日''．聪敏的小明立到告诉奶奶：$$2007$$年的元旦一定是．

星期一

星期二

星期六

星期日

拓展思维->拓展思维->应用题模块->周期问题->时间中的周期问题->日期中的周期


2014年全国迎春杯三年级竞赛初赛第12题

一

四

五

六


2007年六年级竞赛创新杯 2007年第5届创新杯六年级竞赛第7题5分

已知一个三位数的百位、十位和个位分别是$$a，b，c$$，而且$$a\times b\times c=a+b+c$$，那么满足上述条件的三位数的和为(  ).

拓展思维->拓展思维->数论模块->位值原理与进制->位值原理运用->计算中的位值原理

由$$a\times b\times c=a+b+c$$知整数a，b，c都不为零，且$$a\left( bc-1 \right)=b+c$$①，从而有$$b+c=a\left( bc-1 \right)\geqslant bc-1$$，即$$2\geqslant bc-b-c+1=\left( b-1 \right)\left( c-1 \right)$$，所以我们有$$\left( b-1 \right)\left( c-1 \right)=0，1，2$$.  ⑴当$$\left( b-1 \right)\left( c-1 \right)=0$$时，$$b=1$$或$$c=1$$.由$$b=1$$，及①得$$a\left( c-1 \right)=c+1$$，则$$a=\frac{c+1}{c-1}=1+\frac{2}{c-1}$$，从而$$c=2$$或$$3$$.因此$$\left( a，b，c \right)=\left( 3，1，2 \right)$$或$$\left( 2，1，3 \right)$$.  由$$c=1$$及①得$$a\left( b-1 \right)=b+1$$，将上述解法中的b，c互换，即得$$\left( a，b，c \right)=\left( 3，2，1 \right)$$或$$\left( 2，3，1 \right)$$  ⑵当$$\left( b-1 \right)\left( c-1 \right)=1$$时，$$b=c=2$$带入①得$$3a=4$$，$$a=\frac{4}{3}$$不为整数，不可.  ⑶当$$\left( b-1 \right)\left( c-1 \right)=2$$时，$$\begin{cases}b=2    c=3   \end{cases}$$或$$\begin{cases}b=3    c=2   \end{cases}$$，由此可得$$\left( a，b，c \right)=\left( 1，2，3 \right)$$或者$$\left( 1，3，2 \right)$$  所以和为：$$312+213+321+231+123+132=1332$$


2017年全国小学生数学学习能力测评四年级竞赛复赛第8题3分

两台同样的拖拉机$$3$$天耕地$$18$$公顷，照这样计算，$$9$$天耕地$$81$$公顷，需要台这样的拖拉机．

拓展思维->思想->对应思想

要求需要几台同样的拖拉机，就要先求出每台拖拉机每天耕地多少公顷，已知两台拖拉机$$3$$天耕地$$18$$公顷，用除法求每台拖拉机每天的工作量．然后乘以$$9$$天，求出每台拖拉机$$9$$天的工作量，最后用除法求需要的拖拉机数量．  $$81\div (18\div 2\div 3\times 9)=81\div 27=3$$（台）．  答：需要$$3$$台同样的拖拉机．  故选$$\text{B}$$．


2019年浙江杭州滨江区杭州江南实验学校五年级竞赛模拟（江南杯）第14题1分

每个空瓶可以装$$2.5$$千克色拉油．王阿姨要把$$96$$千克色拉油全部装在这样的瓶子里，至少需要个这样的瓶子．

拓展思维->能力->数据处理

$$96\div 2.5=38$$（个）$$\cdots \cdots 1$$（千克），  所以至少需要$$38+1=39$$（个）这样的瓶子．  故答案为$$\text{B}$$．


2019年浙江杭州滨江区杭州江南实验学校五年级竞赛模拟（江南杯）第6题2分

知识标签->学习能力->七大能力->逻辑分析


2017年IMAS小学中年级竞赛（第二轮）第5题4分

快车与慢车同时从南北两地沿着同一条公路以匀速相向开出．已知快车每小时行驶$$40\text{km}$$．经过$$2$$小时后，快车已驶过公路中点$$20\text{km}$$，此时快车与慢车还相距$$6\text{km}$$．请问慢车每小时行驶多少$$\text{km}$$？

拓展思维->能力->实践应用

因快车出发$$2$$小时后，快车驶过公路中点$$20\text{km}$$，这时快车与慢车相距$$6\text{km}$$，  由此可判断出$$2$$小时内快车行驶了总路程的一半还多$$20\text{km}$$，而慢车行驶了总路程的一半还少$$26\text{km}$$，  即快车$$2$$小时比快车多行驶了$$46\text{km}$$，  因此两车的速度之差为每小时$$46\div 2=23\text{km}$$，  因此慢车每小时行驶$$40-23=17\text{km}$$．

可知$$2$$小时快车总共行驶了$$40\times 2=80\text{km}$$，

由此时快车已驶过公路中点$$20\text{km}$$知两地相距$$2\times \left( 80-20 \right)=120\text{km}$$，

再由快车与慢车此时还相距$$6\text{km}$$知此时慢车仅行驶了$$120-80-6=34\text{km}$$，

所以慢车每小时行驶$$34\div 2=17\text{km}$$．


四年级其它 2013年全国学而思杯五年级竞赛A卷第11题

一个五位数，各位数字互不相同，并且满足：从左往右，第一位是$$2$$的倍数，前两位组成的两位数是$$3$$的倍数，前三位组成的三位数是$$5$$的倍数，前四位组成的四位数是$$7$$的倍数，这个五位数是$$11$$的倍数．那么，这个五位数最小是~\uline{~~~~~~~~~~}~．

拓展思维->拓展思维->数论模块->整除->整除特征->整除初识

考虑最值确定各位数字：  万位是$$2$$的倍数，故万位最小应为$$2$$；  前两位组成的数是$$3$$的倍数，故前两位最小应为$$21$$；  前三位组成的数是$$5$$的倍数，故前三位最小应为$$210$$；  前四位组成的数是$$7$$的倍数，最小为$$2100$$，但要求各位数字不同，故应为$$2107$$；  这个五位数是$$11$$的倍数，故此数应为$$21076$$．


2014年IMAS小学高年级竞赛第二轮检测试题第1题4分

拓展思维->拓展思维->计算模块->分数->分数巧算->直接提取公因数/式


2013年华杯赛四年级竞赛初赛 2013年华杯赛四年级竞赛初赛

小东、小西、小南、小北四个小朋友在一起做游戏时，捡到了一条红领巾，交给了老师。老师问是谁捡到的？小东说：不是小西；小西说：是小南；小南说：小东说的不对；小北说：小南说的也不对。他们之中只有一个人说对了，这个人是（  ）。

小东

小西

小南

小北

拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->假设型逻辑推理

解：根据题干分析可得，小南与小北说的话是相互矛盾的，所以两人中一定有一个人说的是正确的。  假设小北说的是正确的，则小南说``小东说的不对''是错，可得：小东说的对，这样与已知只有一个人说对了相矛盾，所以此假设不成立，故小南说的是正确的。  故选：C。


2017年湖北武汉中环杯五年级竞赛初赛第4题

小明在黑板上写了一个数，小红把这个数先乘$$2$$，再加上$$4$$，得到的结果为$$8$$．那么，小明在黑板上写的数为~\uline{~~~~~~~~~~}~．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->还原问题->单一变量还原问题 课内体系->思想->逆向思想


2006年全国迎春杯小学中年级竞赛复赛第1题8分

如果$$347\times 81+21\times 925+472\times 19$$的计算结果等于$$A$$，那么，$$A$$的各位数字之和等于 ( ~ ~ ~ )．

拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->四则混合运算


2014年迎春杯六年级竞赛初赛

一个半径为$$20$$厘米的蛋糕可以让$$4$$个人吃饱，如果半径增加了$$150 \%$$，同样高的蛋糕可以让（  ）个人吃饱。

拓展思维->拓展思维->应用题模块->分百应用题->认识单位1


2010年第1届广东深圳启智杯小学中年级竞赛第13题

$$A$$

$$B$$

$$C$$

$$D$$

$$E$$

$$F$$

$$G$$

$$H$$

知识标签->拓展思维->组合模块->逻辑推理->假设型逻辑推理->真假话->找矛盾

假设$$A$$说实话，则$$F$$、$$G$$、$$H$$、$$I$$也是说实话，这``与说实话的只有$$3$$人''不符，所以$$A$$说了假话，从而$$E$$不合格，$$F$$说了假话，$$D$$说了实话．  假设$$B$$说实话，则$$C$$、$$D$$、$$E$$也是说实话，这``与说实话的只有$$3$$人''不符，所以$$B$$说了假话，从而$$B$$不合格，$$C$$说了假话，$$G$$说了实话．  $$E$$与$$H$$一定是一人说假话，一人说实话，从而$$I$$说假话，继而得出$$H$$说假话，$$E$$说实话．所以$$H$$是合格的．


2011年北京五年级竞赛

气象台预报``本市明天降雨概率是$$80 \%''$$．对此信息，下列说法中~\uline{~~~~~~~~~~}~正确的．

本市明天将有$$80 \%$$的地区降水．

本市明天将有$$80 \%$$的时间降水．

明天肯定下雨．

明天降水的可能性比较大．

知识标签->拓展思维->计数模块->统计与概率->概率->基本概率->可能性

降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间．$$80 \%$$的概率也不是指肯定下雨，$$100 \%$$的概率才是肯定下雨．$$80 \%$$的概率是说明有比较大的可能性下雨．


2017年全国华杯赛小学高年级竞赛初赛模拟

六个小朋友排成一排照相，其中有四个男生和两个女生，两个女生必须站在一起而且不能站在边上，则一共有种不同的排列方式．

知识标签->数学思想->对应思想


2009年六年级竞赛创新杯 2009年第7届创新杯六年级竞赛初赛第1题4分

水果店运来橘子、苹果和梨一共$$320$$千克。橘子和苹果重量之和与梨的重量比是$$11:5$$，橘子的重量是苹果重量的$$\frac{5}{6}$$，苹果重（  ）千克。

课内体系->知识模块->综合与实践 拓展思维->拓展思维->应用题模块->比例应用题->按比分配

苹果、橘子、梨的重量比为$$6:5:5$$，所以苹果的重量为$$320\times \frac{6}{16}=120$$（千克）。


2018年湖北武汉新希望杯五年级竞赛训练题（四）第1题

最小的自然数与最小的合数的和是$$5$$

在$$20$$以内的质数中，加上$$2$$还是质数的有$$4$$个

对于两个整数$$a$$、$$b$$，若$$a=4b$$，那么$$a$$和$$b$$的最大公约数是$$4$$

拓展思维->思想->枚举思想


2011年五年级竞赛明心奥数挑战赛

有(  )个不同的自然数，它们的平方是2000的因数.

拓展思维->拓展思维->数论模块->分解质因数

2000的因数中是完全平方数的有1、4、16、25、100、400六个数，所以共有6个数.选B.


2019年第7届湖北长江杯六年级竞赛复赛B卷第8题3分 2017~2018学年山东聊城莘县六年级下学期期末第21题1分

现有$$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$、$$E$$五个同学，他们分别为来自一中、二中、三中的学生，已知：（$$1$$）每所学校至少有他们中的一名学生；（$$2$$）在二中的晚会上，$$A$$、$$B$$、$$E$$作为被邀请客人演奏了小提琴；（$$3$$）$$B$$过去曾在三中学习，后来转学了，现在同$$D$$在同一个班学习；（$$4$$）$$D$$、$$E$$是同一所学校的三好学生，根据以上叙述可以断定$$A$$所在的学校为．

一中

二中

三中

不确定

拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->条件型逻辑推理->表格法

通过分析题意可知：  $$B$$与$$D$$在同一个班学习，  $$D$$和$$E$$是同一所学校的三好学生，  证明$$B$$、$$D$$、$$E$$为同一所学校的人，  在二中的晚会上，  $$A$$、$$B$$、$$E$$作为被邀请演奏了小提琴，  证明他们都不是二中的，  $$B$$过去曾经在三中学习，后来转学了，  证明$$B$$不是三中的，所以$$B$$只能是一中，  $$D$$、$$E$$也只能是一中，  前面已经说过，$$A$$不是二中的，就只能是三中的了，  由$$B$$与$$D$$在同一个班学习，  $$D$$和$$E$$是同一所学校的三好学生可知：  $$B$$．$$D$$．$$E$$为同一所学校的人，  由二中的晚会上，  $$A$$．$$B$$．$$E$$作为被邀请演奏了小提琴可知：  $$A$$．$$B$$．$$E$$都不是二中的，  由$$B$$过去曾经在三中学习，  后来转学了可知$$B$$不是三中的，  所以$$B$$只能是一中，  $$D$$，$$E$$也只能是一中，  又$$A$$不是二中的，  所以$$A$$只能是三中的．  故选：$$\text{C}$$．


2020年广东广州海珠区广州为明学校卓越杯六年级竞赛初赛第5题2分

水结成冰体积增加$$\frac{1}{10}$$，冰化成水体积减少．

拓展思维->思想->对应思想


2015年全国迎春杯四年级竞赛初赛第3题

五个人站成一列，每人戴一顶不同的帽子，编号为$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$、$$5$$的帽子，每人只能看到前面的人的帽子．小王一顶都看不到；小孔只看到$$4$$号帽子；小田没有看到$$3$$号帽子，但看到了$$1$$号帽子；小严看到了有$$3$$顶帽子，但没有看到$$3$$号帽子；小韦看到了$$3$$号帽子和$$2$$号帽子，小田戴号帽子．

以上都不正确

拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->假设型逻辑推理->答案（数字）正误问题

由小王一顶也看不到可知王站在第一个，由小孔只看到了$$4$$号帽子，可以得出小孔站在第二个，且小王戴的是$$4$$号帽子；由小严看到了$$3$$顶帽子却没看到$$3$$号帽子，可知小严站在第四个，且$$3$$号帽子只能是第四或第五个人，由小韦看到$$3$$号帽子，可知，小韦站在第五个，且小严戴$$3$$号帽子；前面出现了$$1、$$2$$、$$3$$、4$$号帽子，所以，小韦戴$$5$$号帽子、小田戴$$2$$号帽子．


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛二年级竞赛决赛第10题5分

做一道减法题时，小明把减数的个位上的$$8$$看作$$3$$，十位上的$$6$$看作$$9$$，算出的差是$$75$$，正确的答案应是．

拓展思维->思想->对应思想

把减数$$68$$误看成$$93$$，  则误看成的数比正确的数大了：$$93-68=25$$，  根据：被减数$$-$$减数$$=$$差，  减数变大，则差就变小，所以正确的答案为：$$75+25=100$$．  故选：$$\text{C}$$．


2017年第16届湖北武汉创新杯小学高年级六年级竞赛邀请赛训练题（四）

某公司发年终将一共$$100$$万元，其中一等奖每人$$1.5$$万元，二等奖每人$$1$$万元，三等奖每人$$5000$$元，如果三等奖与一等奖人数之差不少于$$93$$人，但小于$$96$$人，则该公司的总人数为（~ ~ ~ ）人．

拓展思维->思想->方程思想

设三种奖分别有$$x$$，$$y$$，$$\text{z}$$人，列代数式得：$$\begin{cases} 15x+y+0.5z=100    z-x\geqslant 94    z-x\leqslant 96 \end{cases}$$  当$$z-x=94$$，解得：$$\begin{cases} x=1    y=51    z=95 \end{cases}$$成立，选$$\text{C}$$.


2009年全国迎春杯小学中年级四年级竞赛初赛第3题

有$$60$$名学生，男生、女生各$$30$$名，他们手拉手围成一个圆圈．如果让原本牵着手的男生和女生放开手，可以分成$$18$$个小组．那么，如果原本牵着手的男生和男生放开手时，分成了~\uline{~~~~~~~~~~}~个小组．

拓展思维->思想->方程思想

$$60$$名学生围成圈，每个人与相邻的同学牵手，那么有$$60$$对牵着的手，其中男生与女生牵手的有$$18$$对，假设男生与男生牵手的有$$x$$人，那么，参与围圈的男生一共有$$（2x+18）\div2=x+9$$人，所以$$x+9=30$$，$$x=21$$,那么原来牵手的男生和男生放手，分成了$$21$$个小组．


2020年新希望杯六年级竞赛初赛（团战）第7题

五

六

七

八

九

拓展思维->能力->公式记忆->符号化数学原理


2013年第11届全国创新杯五年级竞赛第1题5分

有一列数，开头四个是$$2$$，$$0$$，$$1$$，$$3$$；从第$$5$$个数开始，每个数是前面四个的和除以$$4$$所得的余数，那么这列数中的第$$2013$$个数是（~ ）．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->周期问题->基本排列的周期问题


2017年湖北武汉创新杯六年级竞赛邀请赛训练题（三）

将$$180$$写成若干个连续正整数之和（至少两个），共有（~ ）种写法．

拓展思维->拓展思维->计数模块->枚举法综合->整数分拆->简单拆分->加法拆数（不完全相同数）


2015年第13届全国创新杯小学高年级五年级竞赛初赛第10题

将``$$OPQRST$$''连续接下去可得到；``$$OPQRSTOPQRST\cdot \cdot \cdot $$''，从左至右第$$2021$$个字母应该是．

$$S$$

$$Q$$

$$O$$

$$T$$

拓展思维->能力->运算求解

$$2015\div 6\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot 5$$，则$$2015$$个数应为$$S$$．


2016年全国美国数学大联盟杯小学中年级三年级竞赛初赛

在小镇大学里，学生们的专业是音乐、美术，或两者．如果有$$500$$个学生是音乐专业，$$600$$个学生是美术专业，$$300$$个学生是音乐和美术专业，那么大学里有多少个学生？

拓展思维->能力->逻辑分析


2012年全国创新杯五年级竞赛第1题5分 2016年创新杯小学高年级五年级竞赛训练题（四）第4题

【闯关3】某班共有$$48$$人，其中$$27$$人会游泳，$$33$$人会骑自行车，$$40$$人会乒乓球．那么，这个班至少有个学生这三项运动都会．

拓展思维->思想->对应思想

让三项都会的人最少，即让所有人都只会两项，则一共会$$48\times 2=96$$项，二十几会$$27+33+40=100$$项，即至少有$$100-96=4$$人会三项． 构造如下：$$8$$人会游泳$$+$$自行车；$$15$$人会游泳$$+$$乒乓球；$$21$$人会自行车$$+$$乒乓球；$$4$$人全会．


2009年全国迎春杯四年级竞赛初赛第7题

有一类多位数，从左数第$$3$$位数字开始，每位上的数都等于其左边第$$2$$个数减去左边第$$1$$个数的差．如$$74312$$、$$6422$$．那么这类数中最大的数的前$$2$$位是 ．

拓展思维->思想->逐步调整思想

比较两个数的大小首先比较数位,数位相同,然后从首位开始比较相同数位上数字的大小．可构造出满足条件的数位最长的数是$$85321101$$．


2020年新希望杯五年级竞赛第14题 2020年希望杯五年级竞赛模拟第14题

猪猪侠在闯关游戏中遇到一个计算题：$$0.004186\times 8812345.321$$，下列选项中最接近计算结果的是．

拓展思维->能力->数据处理


2015年北京学而思杯五年级竞赛A卷第16题 2015年全国学而思杯五年级竞赛A卷第16题 2015年浙江杭州学而思杯五年级竞赛A卷第10题

甲、乙两人从$$A$$地，丙从$$B$$地同时出发，相向而行．当甲、丙相遇时，乙刚好走了全程的$$\frac{1}{5}$$；此时甲立即掉头向$$\text{A}$$地行走，乙、丙仍按原方向行走．当甲、乙相遇时，丙距离$$B$$地$$336$$米；三人继续行走，当乙、丙相遇时，甲恰好回到$$A$$地．那么，$$A$$、$$B$$两地之间的距离是米．

拓展思维->能力->构造模型->模型思想

此类行程题，速度比最重要，注意到甲往返路程相同，而最后乙丙正好相遇．则在甲丙相遇时．乙丙应合走了全程的一半，则在此时刻三人路程比为$$7:2:3$$，即$${{v}_{甲}}:{{v}_{乙}}:{{v}_{丙}}=7:2:3$$，所以甲乙相遇时．丙走了全程的$$\frac{3}{10}+\left( \frac{7}{10}-\frac{1}{5} \right) \times \frac{3}{7+2}=\frac{7}{15}$$，$$336\div \frac{7}{15}=720$$．


2017年第15届湖北武汉创新杯五年级竞赛决赛第7题

一辆长度为$$10$$米的车穿过一个隧道时的速度为$$v$$，用时$$14$$秒；另一辆长度为$$15$$米的车也以速度$$v$$穿过该隧道，用时$$18$$秒．则隧道长度、车的速度$$v$$分别为．

拓展思维->拓展思维->行程模块->火车问题->火车过桥->完全过桥


2011年五年级竞赛创新杯

甲、乙两车分别从$$A$$、$$B$$两地同时相向开出，$$4$$小时后两车相遇，然后各自继续行驶$$3$$小时，此时甲车距$$B$$地$$10$$千米，乙车距$$A$$地$$80$$千米，那么$$A$$、$$B$$两地相距（  ）千米。

拓展思维->拓展思维->行程模块->比例解行程问题->行程中的比例


2020年长江杯六年级竞赛复赛B卷第1题5分

一件商品降价$$110$$元后，又涨价$$110$$元，现价与原价比较：．

不变

上涨 $$\frac{1}{100}$$

拓展思维->能力->实践应用

一件商品先降价$$110$$元，又涨价$$110$$元，现价与原价比较，是不变的．  故选$$\text{A}$$．


2011年全国迎春杯三年级竞赛初赛第2题

超市中的某种汉堡每个$$10$$元，这种汉堡最近推出了``买二送一''的优惠活动，即花钱买两个汉堡，就可以免费获得一个汉堡，已知东东和朋友需要买$$9$$个汉堡，那么他们最少需要花元钱．

拓展思维->能力->实践应用


2013年IMAS小学中年级竞赛第一轮检测试题第3题3分

请问下列哪一项时间最接近于一天的时间？

半天

拓展思维->思想->对应思想


2011年全国美国数学大联盟杯小学高年级五年级竞赛初赛第7题

复仇者们都是说英语的，灭霸说：``leishen'' flies at $$800$$ km/hour and have $$4400$$ km to travel． It will take him  hours to complete his trip．

知识标签->学习能力->七大能力->实践应用

雷神每小时飞行$$800$$千米，它还有$$4400$$千米要飞，它还需要花多久？  $$4400\div 800=5.5$$（小时）．


其它小学奥数优秀生培养教程8级 2010年全国华杯赛竞赛复赛第1题 2019年北京海淀区北京一零一中学六年级下学期小升初模拟（九）第15题4分

在$$10$$个盒子中放乒乓球，每个盒子中的球的个数不能少于$$11$$，不能是$$13$$，也不能是$$5$$的倍数，且彼此不同，那么至少需要~\uline{~~~~~~~~~~}~个乒乓球．

拓展思维->能力->逻辑分析

想要乒乓球总数尽量少，则每个盒子里的乒乓球数应尽量少．  考虑极端情况，不少于$$11$$则最少为$$11$$，不能是$$13$$也不能是$$5$$的倍数，  即不能为$$13$$，$$15$$，$$20\cdot \cdot \cdot $$，故至少需要$$11+12+14+16+17+18+19+21+22+23=173$$（个）．


2019年第24届YMO二年级竞赛决赛第10题3分

小明参加$$\text{YMO}$$竞赛，共有$$20$$道赛题，答对一题给$$5$$分，答错一题或不答扣$$1$$分．小明得了$$76$$分．小明答对了题．

拓展思维->思想->转化与化归的思想

根据题意分析可知，假设$$20$$道题全部做对，  则得：$$20\times5=100$$（分），现在比满分少了$$100-76=24$$（分），  又因为答错或不答一题比答对一题少$$1+5=6$$（分），  也就是做错了：$$24\div6=4$$（题），  所以做对了：$$20-4=16$$（题），  故选答案$$\text{D}$$．


2016年新希望杯六年级竞赛训练题（四）第6题

有$$A$$、$$B$$两个损坏的时钟，每分钟$$A$$时钟秒针能走$$70$$秒，$$B$$时钟秒针能走$$50$$秒．现在两个时钟都停留在$$3$$点整，一段时间以后，$$A$$、$$B$$两个时钟对应的指针恰好指向相同的位置，这段时间最短是（~ ）分钟．~

拓展思维->思想->逐步调整思想


2016年创新杯六年级竞赛训练题（二）第4题

一块均匀生长的草地按照$$1:2:3$$的面积比分成三块．一群牛先用$$12$$天时间吃完了第一块草地的草，接着又用$$48$$天吃完了第二块草地的草．此时，这群牛需要（~ ）天能够吃完第三块草地的草．

拓展思维->能力->逻辑分析

设$$1$$份草地原有草量为$$x$$，每天生长量为$$y$$，第三块草地需要$$n$$天吃完．  根据牛每天吃的草量相等可得：  $$\frac{x+12y}{12}=\frac{2x+2\left( 12y+48y \right)}{48}$$  解得$$x=36y$$，这群牛的每天吃草量为$$4y$$．  故第三块草地的等量关系为$$\frac{3x+3\left( 12y+48y+ny \right)}{4y}=n$$，解得$$n=288$$．


奶奶告诉小明：``$$2006$$年共有$$53$$个星期日''．聪敏的小明立到告诉奶奶：$$2007$$年的元旦一定是．  Grandma said: "there are $53$ Sundays in $2006$."~So the first day of $2007$ is~\uline{~~~~~~~~~~}~.

Monday

Tuesday

Saturday

Sunday

$$2006$$年有$$365$$天，而$$365=7\times 52+1$$，又已知$$2006$$年有$$53$$个星期天，只能元旦是星期天，且$$12$$月$$31$$日也是星期日，所以，$$2007$$年月的元旦是星期一．  There are 365 days in a year, $$365=7\times 52+1$$. Because there are $$53$$ Sundays in $2006$, so the first day of $2006$ is Sunday and the last day of $2006$ is Sunday. So the first day of $2007$ is Monday.


2011年五年级竞赛创新杯

为了节约用水，市政府规定：家庭月用水不超过$$60$$立方米（含$$60$$立方米）按照每立方米$$1.5$$元计算，超过$$60$$立方米但不超过$$80$$立方米（含$$80$$立方米）的部分按照每立方米$$2.5$$元计算，超过$$80$$立方米的部分按照每立方米$$5.5$$元计算．小丽家$$5$$月份用水量为$$87$$立方米，那么小丽家本月要缴水费元．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->经济问题->分段计价问题


2019年广东深圳全国小学生数学学习能力测评五年级竞赛初赛第7题3分

小红有$$3$$种不同颜色的上衣，$$4$$种不同颜色的半身裙，问她共有种不同的穿法．

拓展思维->能力->运算求解


2020年广东广州海珠区广州为明学校卓越杯六年级竞赛初赛第2题2分 2019年四川成都锦江区嘉祥外国语学校小升初第4题2分

甲、乙两人在$$100$$米长的跑道上赛跑．如果他们同时从起点出发，都以均匀的速度跑向终点．当甲跑完$$80$$米时，乙在甲身后$$10$$米；当甲到达终点时，乙距离终点还有米．

拓展思维->思想->整体思想


2020年希望杯六年级竞赛模拟第25题

$$\textgreater$$

$$\textless{}$$

拓展思维->能力->运算求解


2017年全国华杯赛竞赛初赛模拟题1第4题

用红色和黄色给正方体的$$6$$个面染色，黄色的面有$$2$$个，染色后经过旋转和翻转后相同的算同一种，共有种不同染色方式．

课内体系->七大能力->逻辑分析 拓展思维->思想->分类讨论思想

两个黄色面有相邻和相对两种位置关系


2016年全国世奥赛竞赛A卷第11题 2016年第16届世奥赛六年级竞赛决赛第11题

请从一个$$1 \sim 9$$（缺$$8$$）这八个自然数中不重复地用这些数字构造出四个两位质数，并求出它们的和是．

无法构造

拓展思维->能力->逻辑分析


2017年全国亚太杯四年级竞赛初赛第28题

将 $$1，$$2$$，$$3$$，$$ \ldots\ldots 依次写下去组成一个数$$12345678910111213$$ ···．如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被 $$225$$ 整除，那么这个组成的数的各位数字之和是~\uline{~~~~~~~~~~}~．


2016年全国小学生数学学习能力测评六年级竞赛初赛第10题3分

有甲、乙两个仓库，甲仓库存粮$$30$$吨，如果从甲仓库中取出$$\frac{1}{10}$$放入乙仓库，则两仓存粮相等，两仓一共存粮吨．

拓展思维->能力->运算求解

甲仓存粮$$30$$吨，如果从甲仓中取出$$\frac{1}{10}$$后，则甲仓还剩下全部的$$1-\frac{1}{10}$$，  即还剩$$30\times \left( 1-\frac{1}{10} \right)$$吨，此时两仓存粮数相等，  所以两个仓库一共存粮$$30\times \left( 1-\frac{1}{10} \right)\times 2=54$$吨．  故选：$$\text{D}$$．


2017年河南郑州小升初豫才杯第二场第11题 2017年河南郑州豫才杯竞赛第11题

$$100$$以内，能同时被$$9$$和$$5$$整除的最大偶数是．

知识标签->拓展思维->数论模块->整除->整除特征->整除初识


2008年二年级竞赛学而思杯

一些麋鹿的骨盆骨与所有猪的骨盆骨具有许多相同的特征.虽然不是所有的麋鹿都有这些特征，但是一些动物学家声称，所有具有这些特征的动物都是麋鹿. 如果以上陈述和动物学家的声明都是真的，则以下（ ）也一定为真.

麋鹿与猪的相似之处要多于它与其他动物的相似之处.

一些麋鹿与猪在其他方面的不同之处要少得多.

所有动物，如果它们的骨盆骨具有相同的特征，那么它们的其他骨骼部位一般也会具有相同或相似的特征.

所有的猪都是麋鹿.

所有的麋鹿都是猪.

拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->假设型逻辑推理

所有猪的骨盆骨都具有那些特征，而所有具有这些特征的动物都是麋鹿，故所有的猪都是麋鹿，选D.


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛一年级竞赛初赛第8题5分

【举一反三1】一只兔子$$4$$条腿，一只鸡有$$2$$条腿，已知鸡兔共有$$4$$个头，$$12$$条腿，请你枚举一下，有只兔．

拓展思维->能力->逻辑分析

枚举法：  当有$$1$$只兔，$$3$$只鸡时，共$$1\times4+3\times2=10$$（条）腿．  当有$$2$$只兔，$$2$$只鸡时，共$$2\times4+2\times2=12$$（条）腿．  所以有$$2$$只兔．


其它改编题 2018年第8届北京学而思综合能力诊断五年级竞赛年度教学质量监测第10题

一辆汽车从甲地出发到$$300$$千米外的乙地去，前$$120$$千米的平均速度为$$40$$千米/时，要想使这辆汽车从甲地到乙地的平均速度为$$50$$千米/时，剩下的路程应以~\uline{~~~~~~~~~~}~千米/时行驶．

知识标签->数学思想->转化与化归的思想


2013年第11届全国小机灵杯三年级竞赛决赛第6题

某年的三月份正好有$$4$$个星期三和$$4$$个星期六，那么这年$$3$$月$$1$$日是星期．

日

六

五

四

知识标签->课内知识点->数学广角->简单的周期->简单的周期计算

$$3$$月有$$31$$天，从中任取连续$$28$$天，正好是四周，恰好有$$4$$个周三和$$4$$个周六，  因此，剩下的$$3$$天中不能有周三和周六  不妨取$$3$$月$$4$$日到$$3$$月$$31$$日，这$$28$$天中恰有$$4$$个周三和$$4$$个周六  剩下的$$1$$日到$$3$$日是连续的三天，其中有不能有周三和周六，发现这三天只能是周日、周一、周二  因此，$$3$$月$$1$$日是周日．


2017年第15届全国希望杯六年级竞赛

等腰三角形中大角是小角的$$2$$倍，则这个三角形是什么三角形（按角分类）？

等腰锐角三角形

等腰直角三角形

等腰钝角三角形

等腰直角三角形或者等腰锐角三角形

知识标签->数学思想->数形结合思想

这个等腰三角形的三个内角之比为$$225$$或者$$255$$，前一种情况下，三角形最大的内角为$$180\div \left( 2+2+5 \right)\times 5=100$$°；后一种情况下，三角形最大的内角为$$180\div \left( 2+5+5 \right)\times 5=75$$．所以这个等腰三角形是钝角三角形或者锐角三角形．


2018年第8届北京学而思综合能力诊断二年级竞赛年度教学质量第10题

【S】五一到了，花花想要出去旅游，她有$$2$$顶帽子、$$3$$条项链、$$5$$种头花、$$2$$双鞋、$$3$$条白色裙子、$$4$$条粉色裙子、$$1$$条蓝色裙子，每类物品中各选一样进行搭配．那么，一共有种不同的搭配方法．

拓展思维->拓展思维->计数模块->加乘原理->乘法原理->物品搭配 课内体系->思想->对应思想


2013年第14届上海中环杯小学中年级三年级竞赛初赛第3题

知识标签->拓展思维->计算模块->定义新运算->直接运算型->普通型

$$3*2=5\times 3-4\times 2=7$$，$$7*1=5\times 7-4\times 1=31$$．  知识点：直接计算型的定义新运算


2019年浙江杭州滨江区杭州江南实验学校五年级竞赛模拟（江南杯）第13题1分

$$0.\underbrace{00\cdots 0}_{10个0}3\times 0.\underbrace{00\cdots 0}_{10个0}25$$的积为．

$$0.\underbrace{00\cdots 0}_{10个0}75$$

$$0.\underbrace{00\cdots 0}_{20个0}75$$

$$0.\underbrace{00\cdots 0}_{21个0}75$$

拓展思维->思想->对应思想


2018年第22届广东世界少年奥林匹克数学竞赛五年级竞赛初赛第2题6分

买$$2$$瓶汽水和$$1$$瓶矿泉水一共要花$$7$$元，买$$4$$瓶汽水和$$3$$瓶矿泉水一共要花$$16$$元，那么买$$10$$瓶汽水和$$10$$瓶矿泉水一共要花元．

拓展思维->思想->方程思想


2018年湖北武汉新希望杯小学高年级五年级竞赛训练题（三）第2题

$$42$$的因数共有个．

知识标签->拓展思维->数论模块->因数与倍数->因数个数定理->因数个数定理正应用->总个数


小学高年级六年级其它新题型大集结第48题 2015~2016学年浙江台州椒江区三甲中心校六年级上学期统测第16题2分 2014~2015学年浙江台州椒江区三甲中心校六年级上学期统测第16题1分 2007年第12届全国华杯赛竞赛初赛第2题10分

折叠一批纸鹤，甲同学单独折叠需要半小时，乙同学单独折叠需要$$45$$分钟，则甲、乙两同学共同折叠需要．

课内体系->思想->对应思想 拓展思维->拓展思维->应用题模块->工程问题


2013年第11届创新杯四年级竞赛初赛第1题6分

$$2000$$年后为三个连续自然数乘积的第一个年份是．

拓展思维->能力->数据处理

根据题意，只要把给出的这四个选项中的数分解质因数，进而把质因数重新组合，即可找出符合题意的数．  $$\text{A}$$选项：$$2013=3\times 671$$，故$$\text{A}$$错误；  $$\text{B}$$选项：$$2048=2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2$$，故$$\text{B}$$错误；  $$\text{C}$$选项：$$2146=2\times 1073$$，故$$\text{C}$$错误；  $$\text{D}$$选项：$$2184=2\times 2\times 2\times 3\times 7\times 13=(2\times 2\times 3)\times 13\times (2\times 7)=12\times 13\times 14$$，故$$\text{D}$$正确；  故选$$\text{D}$$．


2014年全国迎春杯五年级竞赛初赛第13题

甲、乙两人比赛折返跑，同时从$$A$$出发，到达$$B$$点后，立即返回，先回到$$A$$点的人获胜．甲先到达$$B$$点，在距离$$B$$点$$24$$米的地方遇到乙．相遇后，甲的速度减为原来的一半，乙的速度保持不变．在距离终点$$48$$米的地方，乙追上甲．那么，当乙到达终点时，甲距离终点还有（~~~~ ）米．

拓展思维->思想->转化与化归的思想

注意到第一次遇到时乙走了一个全程少$$24$$米，而两次加起来，乙一共走了两个全程少$$48$$米，则第二次遇到时乙也是走了一个全程少$$24$$米，而乙的速度不变，所以两人这两次相遇追及时间是相同的，而甲两次的路程分别为全程多$$24$$米和全程少$$72$$米，两次甲的路程差了$$96$$米，速度比$$2:1$$，则路程比$$2:1$$，说明甲第二次走了$$96$$米，乙走了$$96+24\times 2=144$$米，甲乙速度比$$2:3$$，所以乙走完剩下的$$48$$米时甲应该只走了$$48\div3\times 2=32$$米，剩$$16$$米．


2020年广东广州羊排赛三年级竞赛第2题5分

动物园每天早上$$8:30$$开放，中午$$12$$点关闭，下午$$14:30$$开放，下午$$16:30$$关闭，那么动物园每天开放的时长是．

拓展思维->思想->对应思想


2021年鹏程杯六年级竞赛初赛第1题

以上都不对

拓展思维->能力->运算求解->程序性计算

原式$$=\frac{\dfrac{7}{18}\times \dfrac{9}{2}+\dfrac{1}{6}}{13\dfrac{1}{2}-\dfrac{15}{4}\times \dfrac{16}{5}}\times 18$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=\frac{\dfrac{7}{4}+\dfrac{1}{6}}{13\dfrac{1}{2}-12}\times 18$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=\dfrac{\dfrac{7}{4}+\dfrac{1}{6}}{1\dfrac{1}{2}}\times 18$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=\dfrac{\left( \dfrac{7}{4}+\dfrac{1}{6} \right)\times 2}{3}\times 18$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=21+2$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=23$$．  故选$$\text{C}$$．


2010年第8届创新杯六年级竞赛初赛第9题4分 2010年六年级竞赛创新杯

某人所在单位每天早上有车$$7$$点准时到他家接他上班．有一天，他提前一个小时步行出门，朝单位方向走去，途中遇到接他上班的车，他坐上车到达单位比平时早$$10$$分钟，此人早上步行了分钟.

拓展思维->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->两人相遇与追及问题->相遇问题->同时出发相向而行

本题关键是某人走了多少时间的路．某人走的路汽车走$$5$$分钟（提前$$10$$分钟，但汽车少走了某人所走路程的一个来回），汽车走$$5$$分钟说明某人与汽车提前$$5$$分钟相遇，也就是某人只走了$$60-5=55$$分钟即与汽车相遇．即某人走$$55$$分钟的路程汽车走$$5$$分钟．据此解答．  故选$$\text{D}$$．


2016年全国华杯赛小学高年级竞赛初赛第2题

已知$$A$$、$$B$$两地相距$$300$$米．甲、乙两人同时分别从$$A$$、$$B$$两地出发，相向而行，在距$$A$$地$$140$$米处相遇，如果乙每秒多行$$1$$米，则两人相遇处距$$B$$地$$180$$米．那么乙原来的速度是每秒（~~~~~~~~~~ ）米．

拓展思维->拓展思维->行程模块->比例解行程问题->行程中的比例


2008年第6届创新杯六年级竞赛初赛B卷第4题5分

张扬已经进行了$$20$$场比赛，并且赢了$$95 \%$$的比赛，如果他以后每一场都获胜，要赢得$$96 \%$$的比赛，他至少还要赢．

拓展思维->能力->运算求解

已经进行$$20$$场比赛，赢了$$95 \%$$，  赢了$$20\times 95 \%=19$$（场）．  想要达到$$96 \%$$的胜率，  并且以后每场都获胜，设再赢$$x$$场，  $$\left( x+19 \right)\div \left( 20+x \right)=96 \%$$．  解得$$x=5$$．  故选$$\text{D}$$．


2017年第16届湖北武汉创新杯六年级竞赛邀请赛训练题（三）

甲、乙、丙、丁四名同学进行象棋比赛，每两人都比赛$$1$$场，规定胜者得$$2$$分，平局各得$$1$$分，输者得$$0$$分．如果最后结果甲得第一，乙，丙并列第二，丁是最后一名，那么乙得（~ ）分．

拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->体育比赛->2-1-0 积分制

无论每场比赛的结果如何，每场比赛两队的总得分都是$$2$$分，一共有$$4$$个队，会有$$6$$场比赛，共$$2\times 6=12$$分．每个人打$$3$$场比赛，第一名甲最多全胜得$$6$$分，乙$$+$$丙$$+$$丁$$=6$$分，所以乙和丙大于$$6\div 3=2$$分．如果乙$$=$$丙$$=4$$分，那么甲$$4$$分，此时总分数大于$$12$$分，不可能，所以乙丙只能得$$3$$分．


2014年迎春杯三年级竞赛

长方形的周长是$$18$$厘米，已知长是宽的$$2$$倍，那么长方形的长是（  ）。

拓展思维->拓展思维->应用题模块->和差倍问题->和倍问题->二量和倍问题->两量和倍

解：$$18\div 2\div (1+2)\times 2$$  $$=9\div 3\times 2$$  $$=6$$ （厘米）  答：长方形的长是$$6$$厘米。  故选：C。


2017年河南郑州豫才杯六年级竞赛第3题3分

张华、赵敏和钱勇三人隔不同的天数去图书馆一次：张华$$4$$天去一次；赵敏$$5$$天去一次；钱勇$$6$$天去一次．上次他们三人是星期天相遇的，再过（~ ）天他们才能再次相遇．

拓展思维->拓展思维->数论模块->因数与倍数->公因数与公倍数->公倍数与最小公倍数->多数的最小公倍数


2020年希望杯二年级竞赛模拟第17题

小皮、小舒和小贝是同班同学，他们中一个是班长，一个是学习委员，一个是体育委员．  现在知道：①小皮的年龄比体育委员的年龄大；  ②小舒比学习委员的年龄大；  ③小贝和学习委员年龄不同．  那么小皮、小舒和小贝分别担任．

班长，学习委员，体育委员

学习委员，体育委员，班长

学习委员，班长，体育委员

班长，体育委员，学习委员

体育委员，班长，学习委员

拓展思维->思想->逐步调整思想

由②小舒比学习委员的年龄大；和③小贝和学习委员年龄不同．可知小舒和小贝都不是学习委员，所以学习委员是小皮；  已知小舒比小皮大，并且小皮的年龄比体育委员的年龄大，所以小舒不是体育委员，所以小舒是班长；那么小贝就是体育委员．  故选$$\text{C}$$．


2011年北京五年级竞赛

气象台预报``本市明天降雨概率是$$80 \%''$$．对此信息，下列说法中正确的是（ ~ ~ ~)．

本市明天将有$$80 \%$$的地区降水．

本市明天将有$$80 \%$$的时间降水．

明天肯定下雨．

明天降水的可能性比较大．

拓展思维->拓展思维->计数模块->统计与概率->概率->基本概率->可能性

降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间．$$80 \%$$的概率也不是指肯定下雨，$$100 \%$$的概率才是肯定下雨．$$80 \%$$的概率是说明有比较大的可能性下雨．


2016年新希望杯小学高年级六年级竞赛训练题（六）第5题

小明在路边捡到一台怪钟，这个钟比正常的钟慢$$\frac{1}{6}$$，现在的时间是中午$$12$$点整，怪钟也恰好是$$12$$点整，再过（~ ）分钟这台钟的时针和分针再次重合．

拓展思维->能力->实践应用


2017年全国美国数学大联盟杯五年级竞赛初赛第37题

苏珊花了一天中的$$\frac{1}{2}$$的时间做英语作业，$$\frac{1}{3}$$的时间做数学作业，请问她这一天还剩余多少个小时？

拓展思维->能力->实践应用


2006年四年级竞赛创新杯 2006年第4届创新杯四年级竞赛初赛B卷第3题

某年某月有30天，4个星期六，5个星期五，那么这年这个月10号是星期(  ).

四

五

六

日

在同一个月的日历牌中，左右相邻的日期号码相差1，而上下相邻的日期号相差7.或者说，在日历牌中，一列的日期是公差为7的等差数列.(如下为某月日历) 这样1号、8号、15号、22号、29号为一列，共5天，3奇2偶; 2号、9号、16号、23号、30号为一列，共5天，3偶2奇; 3号、10号、17号、24号、31号为一列，共5天，3奇2偶. 对于本题，2号、9号、16号、23号、30号应为星期五，3号、10号、17号、24号，就为4个星期六，即10号为星期六，选C

该月有$$30$$天，一个星期有$$7$$天，$$30\div7=4$$（个）$$\cdots\cdots2$$（天），有$$4$$个星期六，$$5$$个星期五，所以该月$$1$$号，不能是星期五，不然就是$$5$$个星期六，产生矛盾．那么该月$$2$$号就是星期五，$$3$$号是星期六，所以$$10$$号也是星期六，选$$\text{C}$$．


2017年北京小升初 2008年四年级竞赛创新杯 2008年第6届创新杯四年级竞赛初赛A卷第7题5分

$$3$$台同样的车床$$6$$小时可加工零件$$1440$$个。如果增加$$2$$台同样的车床，且每台车床每小时多加工$$12$$个零件，加工$$3680$$个零件需要（  ）小时。

拓展思维->拓展思维->应用题模块->归一归总问题->归总问题


2017年第16届湖北武汉创新杯五年级竞赛邀请赛训练题（一）

整数$$N=1357911131517\ldots \ldots 201320152017$$是由$$1 \tilde{  } 2017$$中所有的奇数由小到大的顺序依次写出得到，那么这个整数中出现了（~ ）次``$$17$$''（相邻两位组成的两位数是$$17$$）．

拓展思维->能力->构造模型->模型思想


2020年新希望杯二年级竞赛初赛（个人战）第4题 2020年新希望杯二年级竞赛决赛（8月）第4题

如果$$1$$斤菠萝可以做$$2$$个菠萝蛋糕，那么要做$$10$$个菠萝蛋糕，需要斤菠萝．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->归一归总问题->乘除法应用->除法应用

根据$$1$$斤菠萝可以做$$2$$个菠萝蛋糕，那么要做$$10$$个菠萝蛋糕，需要$$10\div2=5$$（斤）菠萝．故选择$$\text{B}$$．


2017年华杯赛六年级竞赛初赛 2017年华杯赛四年级竞赛初赛

小明把$$6$$个数分别写在三张卡片的正面和反面，每个面上写一个数，每张卡片上的$$2$$个数的和相等，然后他将卡片放在桌子上，发现正面上写着$$28\text{、}40\text{、}49$$ ，反面上的数都只能被$$1$$和它自己整除。那么，反面上的三个数的平均数是（  ）。

拓展思维->拓展思维->数论模块->整除

解：因为$$28$$、$$40$$、$$49$$奇偶性不一样，根据卡片正反面上两个数字和相等，  若数字和为偶数，则$$28$$的反面为偶数且至少为$$22$$，与反面上的数都只能被$$1$$和它自己整除相矛盾，  所以数字和为奇数，所以$$49$$的背面是$$2$$，和为$$49+2=51$$，  从而反面上的平均数是$$\left( 51\times 3-28-40-49 \right)\div 3=36\div 3=12$$。  故选：B。


2017年河南郑州东风杯竞赛初赛

蛋君在桌上摆了一些不同形状的积木，如下所示：■◇◇●●●■◇◇●●●■◇◇●●●$$\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot $$，照这样的规律摆，蛋君摆第$$40$$个时，需要选择的图形是．

无法确定

拓展思维->能力->图形认知

观察可知，■◇◇●●●，$$6$$个图形一个循环周期，$$40\div 6=6\cdots \cdots4$$，所以第$$40$$个图形是一个周期中的第$$4$$个，是●．


2020年第23届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛（中国区）第5题3分

一些糖果，如果每天吃$$3$$个，十多天吃完，最后一天只吃了$$1$$个．如果每天吃$$4$$个，不到$$11$$天就吃完了，最后一天也是只吃了$$1$$个．那么，这些糖果原来有个

拓展思维->拓展思维->应用题模块->盈亏问题->盈亏基本类型->盈盈问题


2017年第15届湖北武汉创新杯五年级竞赛初赛第1题

拓展思维->能力->运算求解->程序性计算


2016年全国华杯赛小学中年级四年级竞赛初赛B卷

凑$$24$$点游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下$$52$$张，任意抽取$$4$$张牌，称牌组，用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成$$24$$．每张牌必须用一次且只能用一次，并不能用几张牌组成一个多位数，如抽出的牌是$$3$$，$$8$$，$$8$$，$$9$$，那么算式为（$$9$$-$$8$$）$$\times $$$$8$$$$\times $$$$3$$或（$$9$$-$$8$$÷$$8$$）$$\times $$$$3$$等．在下面四个选项中，唯一无法凑出$$24$$点的是．

$$1$$，$$2$$， $$3$$，$$3$$

拓展思维->思想->对应思想

选项$$A$$：$$\left( {1+3} \right)\times2\times3=24$$  选项$$B$$：$$5\times\left[ {5-\left( {1÷5} \right) } \right] =24$$  选项$$D$$：$$3\times3\times3-3=24$$．  也可使用排除法，没有$$1$$时，$$2\times2\times2\times2=16$$，乘法达不到$$24$$，加减除更达不到$$24$$．


其它改编自2015年全国希望杯六年级竞赛初赛第13题

拓展思维->能力->运算求解->程序性计算

$$\left { \begin{matrix}\frac{b}{a-1}=\frac{1}{3}    \frac{b+4}{a}=\frac{1}{2}   \end{matrix} \right.$$  得：$$\left { \begin{matrix}a=22    b=7   \end{matrix} \right.$$  这个分数是$$\frac{7}{22}$$．


2016年创新杯六年级竞赛训练题（三）第4题

小明从$$A$$地到$$B$$地去，去时走路每小时行$$4$$千米，返回时骑电动车每小时行$$20$$千米，求小明往返一趟平均速度为每小时（~ ）千米．

知识标签->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->路程速度时间->平均速度->公式法

假设距离为$$20$$千米，则去用$$5$$小时，回来$$1$$小时，共六小时，共$$40$$千米，所以平均速度是：$$40\div 6=\frac{20}{3}$$时．


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛三年级竞赛初赛第1题5分

兄弟俩今年的年龄和是$$35$$岁，当哥哥像弟弟现在这样大时，弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半，弟弟今年岁．

拓展思维->思想->对应思想

根据题意分析可知，从当哥哥像弟弟现在这么大时，弟弟的年龄恰好是哥哥的年龄的一半这句话可知，可以设哥哥今年$$x$$岁，则弟弟今年$$\left( 35-x \right)$$岁，根据题意得：  $$\begin{eqnarray} x-\left( 35-x \right)\&=\&35-x-\frac{1}{2}\left( 35-x \right)   x-35+x\&=\&35-x-17.5+\frac{1}{2}x   x+x+x-\frac{1}{2}x\&=\&35-17.5+35   2.5x\&=\&52.5   x\&=\&21\end{eqnarray}$$  哥哥为$$21$$岁，则弟弟今年$$35-21=14$$（岁）．  故选答案：$$\text{C}$$．


2008年陈省身杯小学高年级六年级竞赛

中心小学六年级学生参加：``信息学奥林匹克竞赛''，获奖的学生占六年级学生总数的$$\frac{1}{40}$$，其中获一等奖的占获奖学生人数的$$\frac{11}{17}$$．已知六年级学生总人数是$$680$$人，求获一等奖的学生人数．下面列式中正确的有（~~ ）个？  （$$1$$）$$680\times \frac{1}{40}\times \frac{11}{17}$$（$$2$$）$$680\times \left( \frac{1}{40}\times \frac{11}{17} \right)$$（$$3$$）$$680\times \frac{1}{40}$$（$$4$$）$$680\times \frac{11}{17}$$

拓展思维->拓展思维->应用题模块->分百应用题->量率对应已知单位1

根据题意得，获奖的学生占六年级学生总数的$$\frac{1}{40}$$，其中获一等奖的占获奖学生人数的$$\frac{11}{17}$$．已知六年级学生总人数是$$680$$人，求获一等奖的学生人数．可列式 $$680\times \frac{1}{40}\times \frac{11}{17}$$即$$680\times \left( \frac{1}{40}\times \frac{11}{17} \right)$$，故答案为$$\text{B}$$．


2005年第3届创新杯五年级竞赛初赛第3题

拓展思维->思想->对应思想


2017年全国华杯赛小学高年级竞赛

有如下四个结论：  ①~~ 两个方程是同解方程，则有相同的解；  ②~~ 有相同解的两个方程组是同解方程组；  ③~~ 一个一元一次方程，如果有解，就一定有整数解；  ④~~ 一个方程，如果有整数解，则必定有无穷多个非整数解．  错误结论是（~ ）．

①，②和③

①，②和④

①，③和④

②，③和④

拓展思维->思想->对应思想

①正确；②不正确，因为两个方程虽然有相同的解，也可能还有不同的解，不一定是同解方程；③不正确，例如$$4x=3+2x$$有解，但没有整数解；④不正确，如$$2x=4x-4$$仅有$$1$$个解．


2013年第11届全国创新杯五年级竞赛第8题5分 2016年创新杯五年级竞赛训练题（四）第8题

四位歌手轮唱一首含有四个相等乐段的歌曲，每人把这首歌曲唱三遍就结束，第一位歌手开始唱第二乐段时第二位歌手开始唱，第一位歌手开始长第三乐段时第三位歌手开始唱，第一位歌手开始唱第四个乐段时第四人同时开始唱．则第四个人同时唱的时间占总的歌唱时间的（~ ）．

拓展思维->能力->逻辑分析

所有歌手都将整个歌曲唱了三遍，故易知总时间段有$$15$$段，其中$$9$$段是重合（同时在唱）．


2017年河南郑州豫才杯五年级竞赛初赛第5题

《红楼梦》第二十回中，写贾环和丫鬟莺儿掷骰子的情节．骰子，古代汉族民间娱乐用来投掷的博具．骰子是很容易制作和取得的乱数产生器．如若当两枚骰子的点数之和大于$$7$$时，莺儿得$$1$$分，否则贾环得$$1$$分，这个游戏公平吗？（~ ）

公平~~~~~~

贾环获胜可能性大

莺儿获胜的可能性大

无法判断

拓展思维->思想->对应思想

点数之和大于$$7$$的可能情况有$$15$$种，而点数之和不大于$$7$$的可能情况有$$21$$种，所以贾环获胜的可能性大．


2012年全国希望杯六年级竞赛初赛第17题

拓展思维->思想->整体思想

有$$3$$倍关系的数放入一组：（$$1$$，$$3$$，$$9$$）、（$$2$$，$$6$$）、（$$4$$，$$12$$）、（$$5$$，$$15$$），  其余$$7$$个数每个数放入一组，第一组最多取$$2$$个（$$1$$和$$9$$），其余每组最多只能取$$1$$个，  因此最多取$$12$$个保证没有$$3$$倍关系，再多取一个就可以保证有一个数是另一个数的$$3$$倍．


2016年全国AMC六年级竞赛8第19题

\textbf{2016年 AMC 8 第$$19$$题}  The sum of $$25$$ consecutive even integers is $$10000$$. What is the largest of these $$25$$ consecutive integers?

拓展思维->能力->运算求解


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛五年级竞赛初赛第20题5分

自动扶梯由下向上行驶，男孩沿着扶梯从顶向下走到底，他走了$$150$$级．女孩沿着扶梯从下向上走到顶，走了$$75$$级．如果男孩行走的速度是女孩的$$3$$倍．那么，可以看到的自动扶梯的级数是~\uline{~~~~~~~~~~}~级．

拓展思维->能力->运算求解

假设女孩速度是$$1$$级$$/$$秒，则男孩速度为$$3$$级$$/$$秒．  则男孩逆扶梯行走时间：$$150\div3=50$$秒，  女孩顺扶梯行走时间为：$$75$$秒．  则扶梯长度$$=50\times $$（$$3-$$扶梯速度）①，  扶梯长度$$=75\times$$（$$1+$$扶梯速度）②，  ①$$\times2+$$②$$\times3$$得：$$5$$扶梯长度$$=600$$，可得扶梯长度$$=120$$级．


2015年第4届广东广州羊排赛六年级竞赛第7题1分

小青从家里走去学校，速度为$$30$$米/分；放学回家走同一段路，速度为$$60$$米/分．那么小青走这段路时的平均速度是米/分．

拓展思维->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->路程速度时间->平均速度->设数法

设这段路长度为$$60$$，则平均速度为$$(60\times 2)\div (60\div 30+60\div 60)=40$$（米/分）．  故选$$\text{A}$$．


2016年创新杯五年级竞赛训练题（一）第3题

拓展思维->拓展思维->计数模块->加乘原理->组数问题->一般组数问题


2017年第15届湖北武汉创新杯五年级竞赛初赛第9题

暗箱中有五张分别写$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$、$$5$$数字的卡片，从中随机摸出三张，由这三张上的数字组成三位数中，能被$$3$$整除的可能性是．

拓展思维->思想->枚举思想


2021年第8届鹏程杯五年级竞赛初赛第3题4分

设$$a$$，$$b$$都表示数，规定：若$$a\textgreater b$$，则$$\left\textbar{} a-b \right\textbar=a-b$$；若$$a=b$$，则$$\left\textbar{} a-b \right\textbar=0$$；若$$a\textless{}b$$，则$$\left\textbar{} a-b \right\textbar=b-a$$．  现在请你从$$1\backsim 100$$这$$100$$个自然数中任选$$50$$个数，从小到大记为$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{2}}$$，$$\cdots $$，$${{a}_{50}}$$；再将剩下的$$50$$个数从大到小记为$${{b}_{1}}$$，$${{b}_{2}}$$，$$\cdots $$，$${{b}_{50}}$$，计算：$$\left\textbar{} {{a}_{1}}-{{b}_{1}} \right\textbar+\left\textbar{} {{a}_{2}}-{{b}_{2}} \right\textbar+\cdots +\left\textbar{} {{a}_{50}}-{{b}_{50}} \right\textbar=$$．

以上都不对

拓展思维->拓展思维->计算模块->定义新运算->直接运算型->分类讨论型定义新运算


2016年第28届广东广州五羊杯小学高年级竞赛初赛第4题3分

本学期前五次测验的平均分为$$92$$，第六次的测验成绩比六次测验成绩的平均分高$$5$$分，请问第六次的测验成绩是分．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题->综合题->综合题普通型

因为由题干可知，本学期前五次测验的平均分为$$92$$，  则前五次测验的总分为：$$92\times 5=460$$（分），  第六次的测验成绩比六次测验成绩的平均分高$$5$$分，  设第六次的测验成绩为$$x$$分，  则可列方程为：$$x-\left( 460+x \right)\div 6=5$$，  解得$$x=98$$，  所以第六次的测验成绩是$$98$$分．  故选$$\text{C}$$．

移多补少：现在的平均数是$92+5\div5=93$，

所以第六次测验成绩是$93+5=98$．

故选$$\text{C}$$．


2016年创新杯小学高年级五年级竞赛训练题（二）第7题

拓展思维->能力->运算求解


2016年第14届全国创新杯五年级竞赛复赛第4题

若一个整数中某个数字等于其他所有数字之和，则称这样的整数为``$$S$$数''（如$$871$$，$$8=7+1$$）．那么最大的四位``$$S$$数''与最小的四位``$$S$$数''的差是（~ ）．

拓展思维->思想->对应思想


2008年六年级竞赛创新杯 2008年第6届创新杯六年级竞赛复赛第7题4分

一块肥皂使用一次，它的体积减少10\%，当肥皂使用n次后，它的体积小于原来的一半，那么n的最小值是(  ).

拓展思维->拓展思维->应用题模块->分百应用题->转化单位1


2013年第12届上海小机灵杯小学中年级四年级竞赛初赛第18题8分

有$$2012$$名学生排成一行，从左向右依次编成$$1$$，$$2$$，\ldots，$$2012$$号．第一次从左向右``$$1$$，$$2$$''报数，凡报到$$2$$的学生留下；从第二次起，每次都是让留下的学生从左向右``$$1$$，$$2$$，$$3$$''报数，凡报到$$3$$的学生留下，直到只留下$$1$$名学生．请问这名最后留下的学生编号是？

知识标签->课内知识点->数学广角->推理->解决简单逻辑推理问题


2006年五年级竞赛创新杯

某班在一次数学考试中，平均成绩为78分，男生的平均成绩为75.5分，女生的平均成绩为81分，则班上男、女生人数之比为(  ).

拓展思维->拓展思维->应用题模块->列方程解应用题->设而不求


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛三年级竞赛初赛第3题5分

大李和小李比赛吃包子，大李比小李多吃$$20$$个，大李比小李的$$4$$倍多$$2$$个，大李和小李一共吃了个．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->和差倍问题->差倍->两量差倍->非整数倍差倍剩余

根据题意大李比小李的$$4$$倍多$$2$$个，  则大李比小李多$$3$$倍加$$2$$个，  即小李吃的包子数$$\times3+2=20$$（个）．  小李吃了$$(20-2)\div3=6$$（个），大李吃了$$6+20=26$$（个），  两个人一共吃了$$26+6=32$$（个）．


2016年全国小学生数学学习能力测评六年级竞赛初赛第9题3分

古希腊著名的毕达哥拉斯学派把$$1$$、$$3$$、$$6$$、$$10$$．这样的数称为``三角形数''，而把$$1$$、$$4$$、$$9$$、$$16$$$$\cdots \cdots $$这样的数称为``正方形数''，从上图中可以发现，任何一个大于$$1$$的``正方形数''都可以看作两个相邻的``三角形数''之和．下列等式中，符合这一个规律的是．

拓展思维->拓展思维->计算模块->数列与数表->数列规律->数形结合找规律

任何一个大于$$1$$的``正方形数''都可以看作两个相邻``三角形数''之和，由于``正方形数''为两个``三角形数''之和，正方形数可以用代数式表示为：$${{\left( n+1 \right)}^{2}}$$，两个三角形数分别表示为$$\frac{1}{2}n(n+1)$$和$$\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$$，所以由正方形数可以推得$$n$$的值，然后求得三角形数的值，  $$\text{A}$$项，$$13$$不是``正方形数''，故$$\text{A}$$项错误；  $$\text{B}$$项，$$9$$与$$16$$不是``三角形数''，故$$\text{B}$$项错误；  $$\text{C}$$项，$$36$$为``正方形数''，$$15$$、$$21$$为两个相邻``三角形数''，故$$\text{C}$$项正确；  $$\text{D}$$项，$$24$$与$$25$$不是``三角形数''，故$$\text{D}$$项错误．  故答案为：$$\text{C}$$．


2016年新希望杯六年级竞赛训练题（一）第3题

车间里，甲和乙每小时都能装配$$1$$辆汽车．甲装配$$3$$辆汽车要用$$1$$小时维护，乙装配$$4$$辆汽车要用$$1.5$$小时维护．甲、乙同时工作，装配$$200$$辆汽车最少要用小时．

拓展思维->拓展思维->数论模块->因数与倍数->公因数与公倍数->公倍数与最小公倍数->两数的最小公倍数


2006年四年级竞赛创新杯 2006年第4届创新杯四年级竞赛复赛第8题

甲，乙，丙，丁四个人比赛乒乓球，每两个人都要赛一场，结果甲胜丁，并且甲，乙，.丙胜的场数相同，那么丁胜的场数是(  )场.

拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->条件型逻辑推理->神推理

依题意可知甲、乙、丙、丁四人的比赛一共要赛6场.因为，甲胜丁，所以甲至少胜一场.①当甲胜一场时，由于乙、丙与甲胜的场数相同，所以乙、丙也各胜一场，则甲、乙、丙三人共胜3场，则还剩下三场.又因为乒乓球比赛不存在着平局的可能，所以丁胜3场，与``甲胜丁''矛盾.② 当甲胜2场时，则乙、丙也各胜2场，此时，甲、乙、丙三人已胜了6场，故丁只能胜0场.因此，由以上可知丁胜的场数是0场，故选A.


2014年全国华杯赛小学高年级竞赛初赛A卷第5题

某学校组织一次远足活动，计划$$10$$点$$10$$分从甲地出发，$$13$$点$$10$$分到达乙地但出发晚了$$5$$分钟，却早到达了$$4$$分钟．甲乙两地之间的丙地恰好是按照计划时间到达的，那么到达丙地的时间是（~ ）．

拓展思维->拓展思维->行程模块->比例解行程问题->行程中的比例

相当于两辆车$$A$$，$$B$$在同一条路上，一辆按原速行驶，一辆按新的速度行驶．那么，晚出发五分钟相当于$$B$$追已经行驶了$$5$$分钟的$$A$$在丙地追上，当$$B$$到达乙地的时候$$A$$还有$$4$$分钟的路程，这样就是两次追击问题，速度差不变追击路程的比是$$5:4$$所以，（甲地到丙地的距离）:（丙地到乙地的距离）$$=5:4$$，所以时间比为$$5:4$$，所以选择$$B$$．


2018年湖北武汉新希望杯六年级竞赛训练题（一）第5题 2017年新希望杯六年级竞赛训练题（一）第5题

一个等腰三角形的周长是$$80$$厘米，其中两条边长度的比是$$1:2$$，则底长厘米．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->比例应用题->按比分配


五年级其它五升六讲义 2019年陕西西安长安区交通大学附属中学航天学校小升初入学真卷6第13题7分 2016年第3届广东深圳鹏程杯六年级竞赛集训材料第十章从算术到代数第9题

有一个两位数，如果把数码$$1$$加写在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把$$1$$写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差$$414$$，求原来的两位数．

拓展思维->拓展思维->数论模块->位值原理与进制->位值原理运用->位值原理的整体换元


2012年全国迎春杯四年级竞赛初赛第3题

在下图的每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．那么，这个算式的乘积是 .

拓展思维->能力->逻辑分析->代数逻辑推理


2004年六年级竞赛创新杯 2004年第2届创新杯六年级竞赛初赛第5题 2021年广东广州番禺区执信中学附属小学小升初（分班考）第17题1分

甲、乙两根同样长的绳子，甲绳先剪去$$\frac{1}{3}$$，再剪去$$\frac{1}{3}$$米；乙绳先剪去$$\frac{1}{3}$$米，再剪去剩下部分的$$\frac{1}{3}$$．两根绳子剩下部分的长度相比较，是．

甲绳剩下的部分长

乙绳剩下的部分长

同样长

不能确定

拓展思维->拓展思维->应用题模块->分百应用题->量率对应已知单位1

设甲、乙两根绳子的长度都为$$9$$米，则：  甲剩下：  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde9\times \left( 1-\frac{1}{3} \right)-\frac{1}{3}$$  $$=6-\frac{1}{3}$$  $$=5\frac{2}{3}$$（米），  乙剩下：  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\left( 9-\frac{1}{3} \right)\times \left( 1-\frac{1}{3} \right)$$  $$=\frac{26}{3}\times \frac{2}{3}$$  $$=5\frac{7}{9}$$（米），  $$5\frac{2}{3}$$米$$ ~\textless{} ~5\frac{7}{9}$$米．  答：乙绳剩下部分长．  故选$$\text{B}$$．


2013年第11届全国创新杯小学高年级五年级竞赛第2题5分

有一列数，第$$1$$个数是$$22$$，第$$2$$个数是$$12$$，从第$$3$$个开始，每个数是它前面两个数的平均数，这列数的第$$10$$个数的整数部分为．

拓展思维->拓展思维->组合模块->操作与策略->归纳递推->斐波那契数列递推


2014年第13届上海小机灵杯小学高年级五年级竞赛初赛第12题8分

从甲地到乙地的路只有上坡与下坡，全程$$21$$千米．如果上坡的速度是$$4$$千米/时，下坡的速度是$$6$$千米/时，从甲地到乙地需$$4.25$$小时，那么从乙地到甲地需要~\uline{~~~~~~~~~~}~小时．

课内体系->思想->转化与化归的思想 拓展思维->七大能力->实践应用


2017年第15届全国希望杯六年级竞赛

盈利；5

亏损；5

盈利；12

亏损；12

拓展思维->能力->逻辑分析


2018年IMAS小学高年级竞赛（第一轮）第5题3分

餐厅有面粉$$240\text{kg}$$，原计划使用$$8$$天．改变食谱后，每天比原计划少用$$6\text{kg}$$．请问这批面粉实际使用了多少天？

拓展思维->思想->对应思想

按照原计划，每天使用$$240\div 8=30\text{kg}$$．  改变食谱后，每天使用$$30-6=24\text{kg}$$．  得知这批面粉实际使用了$$240\div 24=10$$天．  故选$$\text{A}$$．


2017年河南郑州豫才杯六年级竞赛

我们定义一种新运算``$$\oplus $$''如下：当$$a\textgreater b$$时，$$a\oplus b=2\times b-1$$；当$$a\leqslant b$$时，$$a\oplus b=a+1$$．则$$\left( 2\oplus 3 \right)\oplus \left( 5\oplus 4 \right)=$$．

知识标签->拓展思维->计算模块->定义新运算->直接运算型

$$\left( 2\oplus 3 \right)=2+1=3$$，$$\left( 5\oplus 4 \right)=2\times 4-1=7$$，$$\left( 2\oplus 3 \right)\oplus \left( 5\oplus 4 \right)=3\oplus 7=3+1=4$$．


2020年广东广州海珠区广州为明学校卓越杯六年级竞赛初赛第25题4分

用$$300$$粒种子做发芽试验，结果有$$5 \%$$的种子没有发芽，发芽的种子有多少粒？

拓展思维->拓展思维->应用题模块->分百应用题->量率对应已知单位1

因为有$$5 \%$$的种子没有发芽，那么有$$1-5 \%=95 \%$$的种子发芽了，  所以发芽的种子有$$300\times95 \%=285$$（粒）．  故答案为：$$285$$．


2021年新希望杯六年级竞赛初赛第22题5分

拓展思维->拓展思维->数论模块->分解质因数->分解质因数的应用->已知乘积求因数


2011年五年级竞赛创新杯

已知十位数$$\overline{1a2a3a4a5a}$$能被$$11$$整除，则$$a=$$（  ）。

拓展思维->拓展思维->数论模块->整除->整除特征->基础复合数字的整除特征

根据能被$$11$$整除的数的特征可得．奇数位上的数字之和：$$a+a+a+a+a=5a$$，偶数位上的数字之和：$$5+4+3+2+1=15$$，因为$$\textbar5a-15\textbar=11n$$，$$n$$为整数；当$$n=0$$时，$$a=3$$，当$$n\text{\textgreater}0$$时，$$a$$没有小于$$10$$的整数解，所以$$a=3$$．


2016年全国美国数学大联盟杯小学中年级三年级竞赛初赛

一个物体的$$2016$$度逆时针旋转，与它的多少度顺时针旋转是一样的？

拓展思维->思想->枚举思想

逆时针旋转的度数$$+$$顺时针旋转的度数和是$$360$$的倍数，因此选$$\text {C}$$．


2018年湖北武汉创新杯小学高年级六年级竞赛初赛数学思维能力等级测试第1题4分

【能1-2】甲、乙两人出售成本相同的同一种商品，甲按$$20  \% $$的利润率定价，售出了$$15$$个；乙按照$$15  \% $$的利润率定价，售出了$$24$$个，比较甲乙所获利润的多少，你的结论为．

甲获利润多

乙获利润多

两人利润相同

无法比较谁多

拓展思维->思想->赋值思想


2017年河南郑州联合杯竞赛第2题4分

青蛙从井底向井口跳，井深$$15$$米，青蛙每次向上跳$$6$$米，又会滑下来$$3$$米，这样青蛙需要跳次才可以出井．

拓展思维->思想->对应思想

第一次跳时，向上跳$$6$$米，又下滑$$3$$米，此时距离井底$$3$$米，第二次跳完距离井底$$6$$米，第三次跳完距离井底$$9$$米，第四次先向上跳$$6$$米，此时青蛙跳出了井．


2011年全国创新杯五年级竞赛第1题

将各位数字的和为$$4$$的自然数由小到大排成一列，$$2011$$是第（~ ）个．

拓展思维->能力->逻辑分析->代数逻辑推理


2011年四年级竞赛创新杯 2011年第9届创新杯四年级竞赛初赛第5题6分

一辆小汽车每秒行驶$$20$$米，刚驶入隧道时，发现一辆客车正在前面$$180$$米处向前行驶。如果两车速度保持不变，$$1.5$$分钟后两车同时驶出隧道，那么客车每秒行驶（  ）米。


2015年走美杯六年级竞赛初赛

用$$2015$$减去它的$$\frac{1}{2}$$，再减去余下的$$\frac{1}{3}$$，再减去余下的$$\frac{1}{4}$$，$$\cdots $$，以此类推，一直减去余下的$$\frac{1}{31}$$，那么最后的得数为（  ）。

拓展思维->拓展思维->计算模块->分数->分数巧算->连锁约分

解：$$2015\times \left( 1-\frac{1}{2} \right)\times \left( 1-\frac{1}{3} \right)\times \left( 1-\frac{1}{4} \right)\times \cdots \times \left( 1-\frac{1}{31} \right)$$  $$=2015\times \frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{3}{4}\times \cdots \times \frac{30}{31}$$  $$=2015\times \frac{1}{31}$$  $$=65$$  故答案为：$$65$$。


2013年走美杯三年级竞赛初赛

两数之和为$$17$$，两数之差为$$7$$，较小的数为．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->和差倍问题->和差问题->二量和差问题->明和明差

$$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde(17-7)\div 2$$  $$=10\div 2$$  $$=5$$  因此较大数是$$12$$，较小数是$$5$$．选$$\text{B}$$．  $$\text{A}$$、$$\text{C}$$为干扰项，排除．


2013年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第8题3分

将分数$$\frac{22}{7}$$化成小数后，请问应取到小数点后第几位才能使得结果与$$3.14159$$的差最小（不需要做四舍五入且用大数减小数）？

拓展思维->拓展思维->计算模块->分数->分数基础->分、百、小相互转化


2020年新希望杯一年级竞赛初赛（巅峰对决）第8题

甲乙丙站成一排，甲比乙矮，丙比乙高．他们三人分别穿红黄蓝的衣服．最高的人不穿红色，丙比穿蓝色衣服的人高，最矮的人和穿红色衣服的人相邻．甲乙丙的衣服颜色分别是．

蓝红黄

蓝黄红

红黄蓝

黄蓝红

红蓝黄

拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->比较型逻辑推理

根据甲比乙矮，丙比乙高，可以推理得：丙最高，然后是乙，甲最矮．  最高的人不穿红色，即丙不穿红色，丙比穿蓝色衣服的人高，说明丙和穿蓝色衣服的人不是同一个人，即丙不穿蓝色，所以丙穿黄色．最矮的人和穿红色衣服的人相邻，即甲和穿红色衣服的人相邻，说明甲和穿红色衣服的人不是同一个人，即甲不穿红色，那么甲只能穿蓝色（丙已经穿黄色了），所以剩下的乙穿红色．  故选$$\text{A}$$．


2013年第25届广东广州五羊杯六年级竞赛第9题5分

张迪的书架分为上、下两层，共有书$$90$$本，若把上层的书取$$7$$本放至下层，则下层的书的数量比上层的两倍还多$$9$$本．则原书架下层的书有本．

拓展思维->能力->实践应用


2017年第15届湖北武汉创新杯六年级竞赛决赛第1题

在$$A$$地植树$$1000$$棵，$$B$$地植树$$1250$$棵，甲、乙、丙每天分别能植树$$28$$、$$32$$、$$30$$棵，甲在$$A$$地、乙在$$B$$地、丙跨$$A$$与$$B$$两地，同时开始、同时结束，丙在$$A$$地植树棵．

拓展思维->能力->构造模型->模型思想


2017年河南郑州K6联赛竞赛模拟第六套第5题4分

一根电线截去$$\frac{3}{4}$$后，还剩下$$\frac{3}{4}$$米，截去的和剩下的相比（~ ~ ~ ）．

截去的长

剩下的长

一样长

无法比较

拓展思维->能力->实践应用


2004年希望杯二年级竞赛复赛 2004年希望杯三年级竞赛复赛 2004年希望杯一年级竞赛复赛 2004年希望杯四年级竞赛复赛 2004年希望杯五年级竞赛复赛 2004年第2届希望杯五年级竞赛复赛第3题 2004年希望杯六年级竞赛复赛

在一列数$$8$$、$$6$$、$$4$$、$$2$$、$$6$$、\ldots 中，从第$$3$$个数开始，每个数都是它前面两个数的和的个位数字．在这串数中，哪几个数在重复循环呢？

拓展思维->能力->归纳总结->归纳推理


2011年全国美国数学大联盟杯小学高年级五年级竞赛初赛第28题

一个奇质数和一个偶质数的和是$$9$$．这个奇质数是？

拓展思维->拓展思维->数论模块->质数与合数->质数与合数判定->质数与合数的认识


2018年湖北武汉新希望杯六年级竞赛训练题（五）第4题

十进制数$$25$$转换成二进制数是．

$${{\left( 11101 \right)}_{2}}$$

$${{\left( 10011 \right)}_{2}}$$

$${{\left( 10101 \right)}_{2}}$$

$${{\left( 11001 \right)}_{2}}$$

拓展思维->拓展思维->数论模块->位值原理与进制->进制的性质与应用->进制间的互化


2018年第21届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛复赛（中国区）第10题5分

\textbf{(2019 World Mathematical Olympiad,~Primary 4, \#10)}  某啤酒厂做促销活动，$$3$$个空瓶可以换$$1$$瓶啤酒．爸爸共买了$$13$$瓶啤酒，他一共可以喝到（$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde$）瓶啤酒．

拓展思维->拓展思维->组合模块->智巧趣题->数学趣题->空瓶换水问题->不可借空瓶


2012年全国希望杯五年级竞赛复赛第7题

在平面上有$$7$$个点，其中任意三个点都不在同一条直线上，如果连接这$$7$$个点中的每两个点，最多可以得到~\uline{~~~~~~~~~~}~条线段；以这些线段为边，最多能构成~\uline{~~~~~~~~~~}~个三角形．

拓展思维->能力->抽象概括

每两个点确定一条线段，共有$$\text{C}_{7}^{2}=7\times 6\div 2=21$$条线段 ；  每三个点确定一个三角形，共有$$\text{C}_{7}^{3}=7\times 6\times 5\div (3\times 2\times 1)=35$$个三角形．


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛二年级竞赛初赛第7题5分

有大、小两桶油共重$$44$$千克，两个桶都倒出同样多的油后，分别还剩$$14$$千克和$$10$$千克油，小桶原来装油千克．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->列方程解应用题->一元一次方程解应用题->方程法解其他问题


2016年全国华杯赛小学高年级竞赛在线模拟第6题

在一个七位数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被$$11$$或$$13$$整除的三位数，那么这个七位数最大是（~~~~~ ~~）．

拓展思维->拓展思维->数论模块->整除->整除特征->整除特征综合

任何三个连续排列的数字都构成一个三位数，说明没有数字$$0$$，$$\left. 11 \right\textbar990$$，$$\left. 13 \right\textbar988$$则首三位为$$988$$，选择题这是已经得到答案了！接着往下分析$$88$$，$$13\left\textbar{} 884 \right.$$，$$11\left\textbar{} 880 \right.$$，所以第四位最大为4，依次类推，得到答案，$$9884737$$．


2014年迎春杯三年级竞赛初赛 2014年迎春杯四年级竞赛初赛 2014年迎春杯三年级竞赛初赛

有一种特殊的计算器，当输入一个$$10\sim 49$$的自然数后，计算器会先将这个数乘以$$2$$，然后将所得结果的十位和个位顺序颠倒，再加$$2$$后显示出最后的结果。那么，下列四个选项中，（  ）可能是最后显示的结果。

拓展思维->拓展思维->应用题模块->还原问题->两量还原问题


2014年全国迎春杯三年级竞赛复赛第14题

把$$1\sim 5$$这$$5$$个自然数从左到右排成一排，要求从第三个数起，每个数都是前两个数的和或差，那么一共有（~~~~~~~ ）种放法．

拓展思维->拓展思维->计数模块->枚举法综合->枚举法->有序枚举


2015年湖北武汉世奥赛五年级竞赛模拟训练题（四）第1题

有一圆形花坛，绕它走一圈是$$120$$米，如果在花坛周围每隔$$6$$米栽一株丁香花，再在每  相邻的两株丁香之间栽$$2$$株月季花，共栽月季花朵．

拓展思维->能力->运算求解

这是一个环形植树问题，棵树$$=$$段数，故丁香花的数量为$$120\div 6=20$$（株），月季花的数量为$$20\times 2=40$$（株）．


2016年全国小学生数学学习能力测评五年级竞赛初赛第8题3分

$$1$$角硬币分正面与反面．拿$$2$$个$$1$$角硬币一起投掷一次，得到$$1$$个正面和一个反面的可能性为．

拓展思维->拓展思维->计数模块->统计与概率->概率->典型问题->抛硬币

全部情况有：$$2\times 2=4$$（种），  最终得到一个正面一个反面可有以下$$2$$种情况：  正反、反正，  故所求概率为$$\frac{2}{4}$$．  故答案为：$$\text{B}$$．


2017年河南郑州K6联赛竞赛模拟第八套第8题4分 2017年河南郑州K6联赛竞赛模拟第九套第8题4分

小亚和小巧玩猜数游戏，每人每次出$$1$$至$$4$$中的一个数字．如果两人出的数字相加，和是奇数就算小亚赢，和是偶数就算小巧赢．那么，小亚赢的可能性（ ~ ~）．

比小巧大

比小巧小

和小巧一样大

无法确定

拓展思维->拓展思维->数论模块->奇数与偶数->奇数与偶数的加减规律

$$1$$至$$5$$的$$5$$个数中相加是偶数的是偶$$+$$偶$$=$$偶，奇$$+$$奇$$=$$偶，是奇数的可能性是奇$$+$$偶$$=$$奇，偶数的可能性比奇数的可能性大．


2018年第23届华杯赛小学中年级竞赛初赛第2题 2018年华杯赛小学中年级竞赛初赛第2题10分

小明把$$6$$个数分别写在三张卡片的正面和反面，每一面写一个数，每张卡片上的$$2$$个数的和相等，然后他将卡片放在桌子上，发现正面上写着$$28$$，$$40$$，$$49$$，反面上的数都只能被$$1$$和它自己整除，那么，反面上的三个数的平均数是（~ ）．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题


2017年新希望杯六年级竞赛训练题（二）第6题 2018年湖北武汉新希望杯六年级竞赛训练题（二）第6题

一副扑克牌共有$$54$$张（包括大王、小王），至少从中取张牌，才能保证其中必有$$2$$种花色．

拓展思维->拓展思维->组合模块->抽屉原理->简单抽屉原理

取完一种花色加大王和小王，再取一张一定满足，$$13+2+1=16$$（张）．


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛初赛第3题5分

分母是$$2016$$的所有最简真分数的和是．

拓展思维->能力->数据处理


2017年全国华杯赛小学高年级竞赛

海南省$$2015$$年最高寿的一个老人年龄是$$116$$岁，如果用字母$$S$$代表海南人的年龄，则（~ ）正确．

$$S$$可以取任何的整数

$$S$$仅代表一个特定的数

拓展思维->拓展思维->计算模块->方程基础->等量代换->字母表示数

按题意，$$S$$代表人的年龄，不是特定的数，不能任意取值；$$S$$代表海南人的年龄，不可以取任何整数，也不是仅代表特定的数，故（$$B$$），（$$C$$）和（$$D$$）都不正确．


2019年全国小学生数学学习能力测评五年级竞赛复赛第10题3分

科学家研究表明，$$10000{{\text{m}}^{2}}$$的森林在生长季节每周可吸收$$6.3$$吨二氧化碳．城北森林的面积是$$50000{{\text{m}}^{2}}$$，请计算一下，预计$$2020$$年$$2$$月这片森林一共可以吸收二氧化碳．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->归一归总问题->先归一再归总


2008年第6届创新杯五年级竞赛初赛B卷第2题5分 2008年五年级竞赛创新杯

小鲸鱼说:``妈妈，我长到您现在这么大年龄时，您就31岁啦!''大鲸鱼说:``我像你这么大年龄时，你只有1岁''，则大鲸鱼现在(  )岁.

拓展思维->拓展思维->计算模块->方程基础->多元一次方程组->整数系数方程组

设大鲸鱼现在$$x$$岁，小鲸鱼现在$$y$$岁，则 $$\begin{cases} x+\left( x-y \right)=31    y-\left( x-y \right)=1   \end{cases}$$ 即$$\begin{cases} 2x-y=31    2y-x=1   \end{cases}$$ 由两式化简可以解得$$x=21$$，所以大鲸鱼现在$$21$$岁.


2018年第22届广东世界少年奥林匹克数学竞赛五年级竞赛初赛第3题6分

拓展思维->思想->整体思想


2012年IMAS小学中年级竞赛第一轮检测试题第14题4分

把$$3$$根吸管连在一块，好像一根魔术棒，每根吸管长$$20\operatorname{cm}$$，两根之间的接头重叠部分是$$2\operatorname{cm}$$，请问这根``魔术棒''的长度为多少$$\operatorname{cm}$$？

拓展思维->思想->整体思想

若没有接头，$$3$$根吸管共长$$20\times 3=60(\text{cm})$$，一个接头重叠部分需$$2\text{cm}$$，两个接头重叠部分需$$4\text{cm}$$，则``魔术棒''长$$60-4=56(\text{cm})$$．


2014年全国华杯赛小学中年级竞赛初赛第5题

新生开学后去远郊步行拉练，到达$$A$$地时比原计划时间$$10$$点$$10$$分晚了$$6$$分钟，到达$$C$$地时比原计划时间$$13$$点$$10$$分早了$$6$$分钟，$$A$$，$$C$$之间恰有一点$$B$$是按照原计划时间到达的，那么到达$$B$$点的时间是（~ ~ ~ ~）．

拓展思维->能力->运算求解

到达$$\text{A}$$地实际是$$10$$点$$16$$分，到达$$\text{C}$$地是$$13$$点$$04$$分，从$$\text{A}$$地到$$\text{B}$$地共耗时$$168$$分钟；即实际比原计划少用时间$$12$$分钟．那么在远足过程中本来是应该要走$$180$$分钟，现在节约了$$12$$分钟，则每走一分钟就节约时间$$12\div 180=\frac{1}{15}$$分钟；如果按照正常情况，晚出发$$6$$分钟，应该晚$$6$$分钟到达$$\text{B}$$点，现在准时到达$$\text{B}$$点，那么从$$\text{A}$$到$$\text{B}$$的过程中节约了$$6$$分钟，则所用的时间应该为$$6$$除以$$\frac{1}{15}$$，则$$\text{A}$$到$$\text{B}$$耗时$$90$$分钟，则是$$11$$点$$40$$分钟到达$$\text{B}$$点．


2021年鹏程杯六年级竞赛初赛第20题

拓展思维->能力->符号代换->代数运算


2017年第15届湖北武汉创新杯五年级竞赛决赛第16题

拓展思维->能力->逻辑分析


2015年IMAS小学中年级竞赛第二轮检测试题第2题4分

知识标签->数学思想->逐步调整思想

由题意，发现规律$$a\otimes b=a+aa+aaa+\cdots +\underbrace{aa\cdots a}_{b}$$，则$$5\otimes 3=5+55+555=615$$，故选$$\text{C}$$．


2018年全国小学生数学学习能力测评四年级竞赛复赛第8题3分

一根粗细均匀的木头长$$48$$分米，要锯成$$4$$分米长的木棍，每锯一次要$$3$$分钟，锯完一次要休息$$2$$分钟，全部锯完要用分钟．

拓展思维->能力->运算求解

先用总长度除以每段的长度，求出一共有多少段，然后减去$$1$$，就是需要锯的次数；  用每锯一次需要的时间乘上锯的次数就是锯木头需要的时间，每锯一次需要休息$$2$$分钟，那么锯$$11$$次需要休息个$$2$$分钟，再由此求出休息的时间，然后加上锯木头的时间即可．  $$48$$米需要据$$48\div 4=12$$（段），而$$12$$段需要据：$$12-1=11$$（次），  锯木头需要的时间为：$$3\times 11=33$$（分钟），  休息的时间：$$2\times (11-1)=20$$（分钟），  总共需要：$$33+20=53$$（分钟）．


2018年第22届广东世界少年奥林匹克数学竞赛一年级竞赛初赛第2题6分

$$2$$个人同时吃$$2$$个馒头用$$2$$分钟，$$10$$个人同时吃$$10$$个馒头用分钟．  It takes $$2$$ people $$2$$ minutes to eat $$2$$ buns at the same time.  $$10$$ people will take  minutes to eat $$10$$ buns at the same time.

拓展思维->思想->对应思想

两人同时吃两个馒头的时间与一个人吃一个馒头时间相同，与$$10$$个人同时吃$$10$$个馒头时间相同，都是两分钟．  The time taken for two people to eat two buns at the same time is $$2$$ minutes.  The time taken is the same for one person to eat one bun.  As such, the time taken for $$10$$ people to eat $$10$$ buns is still $$2$$ minutes.


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛一年级竞赛初赛第7题5分

\textbf{(2019 World Mathematical Olympiad, Primary 1, Question \#7)}  A square has $$4$$ angles, cut $$1$$ angle, and there are still （$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde$）angles left.  一个正方形有$$4$$个角，剪去$$1$$个角，还剩（$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde$）个角．

以上都对

拓展思维->能力->图形认知

Overseas Competition->知识点->计数模块->几何计数->分类枚举法数图形->常规图形枚举计数->角计数

一个正方形剪去一个角有$$3$$种情况，沿对角线剪开，则剩下$$3$$个角．从对角开始剪到一边，剩$$4$$个角．从一边剪到另一边，剩$$5$$个角．  故选择$$\text{D}$$．


2019~2020学年陕西宝鸡渭滨区五年级上学期期末第22题1分 2019~2020学年山东济南高新区五年级下学期期末第10题1分 2020年广东深圳龙岗区亚迪学校迎春杯五年级竞赛模拟第20题2分

在下面四组数中，组中的数都是质数．

拓展思维->能力->逻辑分析


2018年四川成都锦江区四川师范大学附属第一实验中学小升初（四）第5题3分 2014年全国迎春杯三年级竞赛初赛第13题

五年级$$2$$班的同学们一起去划船，但公园船不够多，如果每船坐$$4$$人，会多出$$10$$人；如果每船坐$$5$$人，还会多出$$1$$人，共有人去划船．

拓展思维->知识点->应用题模块->盈亏问题->盈亏基本类型->盈亏基本类型盈亏问题


其它改编自2012年全国希望杯六年级竞赛初赛第3题

在小数$$2.857142$$的两个数字上方加$$2$$个循环点，得到以下循环小数，其中最小的是~\uline{~~~~~~~~~~}~．

拓展思维->思想->逐步调整思想

要使小数最小，则循环节开始的几位尽量小，因此从$$1$$开始循环，下一位为$$4$$，依次往下，最小的为$$2.857\dot{1}4\dot{2}$$.


2011年全国美国数学大联盟杯小学高年级五年级竞赛初赛第25题

拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题->公式类->直接求平均数


2020年长江杯五年级竞赛复赛A卷第5题5分

现有$$1$$克、$$2$$克、$$4$$克、$$8$$克、$$16$$克的砝码各一个和一个天平，如果只允许在天平的一边放砝码，最多能称出种不同的质量．

拓展思维->思想->枚举思想


2011年北京五年级竞赛

甲、乙、丙三人每分钟分别行$$60$$米、$$50$$米和$$40$$米，甲从$$B$$地、乙和丙从$$A$$地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后$$15$$分又遇到丙．$$A$$，$$B$$两地的距离为米．

知识标签->数学思想->对应思想


2014年中环杯五年级竞赛决赛

拓展思维->拓展思维->数论模块->余数问题->同余->同余定理

解：$$420\times 814\times 1616\equiv 4\times 8\times 4\equiv 128\equiv 11$$（$$\text{mod }13$$）  故答案为：A。


如果$$1$$斤菠萝可以做$$2$$个菠萝蛋糕，那么要做$$10$$个菠萝蛋糕，需要斤菠萝．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->归一归总问题->乘除法应用->除法应用

根据$$1$$斤菠萝可以做$$2$$个菠萝蛋糕，那么要做$$10$$个菠萝蛋糕，需要$$10\div2=5$$（斤）菠萝．故选择$$\text{B}$$．


2017年全国亚太杯四年级竞赛初赛第23题

$$A$$ and $$B$$ are $$40$$ kilometers apart. Two people, Alice and Bob, start from $$A$$ and $$B$$ at the same time and travel in opposite directions, meeting after $$8$$ hours. If two people leave $${A}$$ at the same time and go to $${B}$$, Alice is $$5$$ kilometers ahead of Bob after $$5$$ hours. A travels  kilometers per hour.  $$A$$，$$B$$两地相距$$40$$千米．甲、乙两人，同时分别由$$A$$，$$B$$两地出发，相向而行，$$8$$小时后相遇．如果两人同时由$${A}$$地出发前往$${B}$$地，$$5$$小时后甲在乙前方$$5$$千米处．则甲每小时行千米．

拓展思维->能力->构造模型->模型思想

设甲的速度为$${a}$$千米/时，乙的速度为$${b}$$千米/时，  所以$$\left( {a}+{b} \right)\times 8=40$$ 从而推出$${a}+{b=}5$$．  $$\left( {a}-{b} \right)\times 5=5$$从而推出$${a}-{b=}1$$．  根据和差公式$${a=}\left( 5+1 \right)\div 2=3$$．  甲每小时行$$3$$千米．  速度和为$$40\div 8=5$$（千米$$/$$小时），  速度差为$$5\div 5=1$$（千米$$/$$小时），  甲速度为$$\left( 5+1 \right)\div 2=3$$（千米$$/$$小时）．


2012年第10届创新杯四年级竞赛初赛第4题6分

杰克和吉莉每人各有一只水壶，其中都装有$$1$$升水．第一天，杰克把他壶中的$$1$$毫升水倒入吉莉的壶中，第二天吉莉把她的壶中的$$3$$毫升水倒入杰克的壶中，第三天杰克把他壶中的$$5$$毫升水倒入吉莉的壶中，这样继续做下去，其中每个人倒出的水比前一天从对方得到的水多$$2$$毫升．那么第$$101$$天结束后，杰克壶中有毫升水？（$$1$$升$$=1000$$毫升）

拓展思维->能力->逻辑分析


2017年河南郑州豫才杯六年级竞赛初赛第1题

当天，游乐场的游客有很多，过山车项目排起了长队，小明数了数共有$$60$$人，其中男生人数有$$x$$人，且男生人数是女生人数的$$\frac{1}{3}$$，则下列关系式正确的是（~ ）．

$$x+\frac{1}{3}x=60$$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~

$$x:60=1:\left( 1+\frac{1}{3} \right)$$~~~~~~~~~

拓展思维->拓展思维->应用题模块->列方程解应用题->一元一次方程解应用题

用字母表示数；男生人数有$$x$$人，女生人数是$$3x$$人，则关系式为$$x+3x=60$$．


2016年华杯赛六年级竞赛初赛

从自然数$$1$$，$$2$$，$$3$$，\ldots，$$2015$$，$$2016$$中，任意取$$n$$个不同的数，要求总能在这$$n$$个不同的数中找到$$5$$个数，它们的数字和相等。那么$$n$$的最小值等于(  )

课内体系->知识点->数学广角->鸽巢问题->利用抽屉原理解决实际问题

拓展思维->拓展思维->组合模块->组合模块最值问题->和一定型最值问题->多数之积的最值->拆分数的数目确定


2018年湖北武汉创新杯小学高年级五年级竞赛初赛数学思维能力等级测试第5题4分

有一个两位数，如果在两个数字中间加一个$$0$$，所得的三位数比原数大$$6$$倍．那么，这个两位数是（~ ）．

拓展思维->能力->逻辑分析


2012年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第15题4分

假期里小丁在一家餐馆里做兼职洗碗．每洗好一个碗可得到$$3$$元，每打破一个碗不仅不能得到洗这个碗的工资，还要另赔$$9$$元．一星期之内，他总共洗了$$500$$个碗，共领到了$$1368$$元．请问他一共打破了多少个碗？

拓展思维->拓展思维->应用题模块->归一归总问题->乘除法应用->乘法应用（顺口溜）

洗$$500$$个碗，应该领到$$3\times 500=1500$$（元），但是小丁只领到了$$1368$$元，少领了$$1500-1368=132$$（元），那么原因是小丁打破了一些碗，洗一个碗，应得$$3$$元，但打破一个，需要赔偿$$9$$元，也就是说打破一个碗实际减少$$12$$元工资，故小丁共打破$$132\div 12=11$$个碗．


2016年第21届全国华杯赛小学高年级竞赛初赛B卷第1题

``凑$$24$$点''游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下$$52$$张（如果初练也可以只用$$1-10$$这$$40$$张牌），任意抽去$$4$$张牌（称牌组），用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成$$24$$．每张牌必须用一次且只能用一次，并不能用几张牌组成一个多位数，如果抽出的牌是$$3$$，$$8$$，$$8$$，$$9$$，那么算式为$$(9-8)\times 8\times 3$$或$$(9-8\div 8)\times 3$$等．在下面$$4$$个选项中，唯一无法凑出$$24$$点的是（  ）．

拓展思维->能力->逻辑分析


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛三年级竞赛初赛第7题5分

三年级分成$$8$$个小队去种树，一共种了$$129$$棵，各小队种的棵数都不相同，其中种树最多的小队种了$$20$$棵，种树最少的小队最少种了棵．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->加减法应用->加减法应用顺口溜


2008年第6届创新杯六年级竞赛复赛第9题4分

一房间中有红、黄，蓝三种灯，当房间所有灯都关闭时，拉一次开关，红灯亮；第二次拉开关，红、黄灯都亮；第三次拉开关，红、黄、蓝灯都亮；第四次拉开关，三灯全关闭．现在从$$1\sim 100$$编号的同学走过该房间，并将开关各拉若干次，他们拉开关的方式为：编号为奇数者，他拉的次数都是他的编号数；编号为偶数者，其编号可以写成$${{2}^{r}}\cdot p$$（其中$$p$$为正奇数，$$r$$为正整数），就拉$$p$$次．$$100$$人都走过房间后，房间灯的情况为．

只有红灯亮

只有红、黄灯亮

三灯都亮

三灯都不亮

拓展思维->思想->分类讨论思想


2016年IMAS小学高年级竞赛第二轮检测试题第2题4分

$$b\textless{}d\textless{}a\textless{}c$$

$$d\textless{}b\textless{}a\textless{}c$$

$$d\textless{}a\textless{}b\textless{}c$$

$$d\textless{}b\textless{}c\textless{}a$$

$$b\textless{}d\textless{}c\textless{}a$$

拓展思维->能力->逻辑分析


2006年第4届创新杯五年级竞赛初赛A卷第8题 2006年五年级竞赛创新杯 2006年五年级竞赛创新杯

练1：甲乙两人对同一数作除法，甲将其除以$$8$$，乙将其除以$$9$$，甲所得的商与乙所得的余数之和为$$13$$，则甲所得的余数为．

拓展思维->拓展思维->计算模块->方程基础->不定方程->不定方程组


2016年全国小学生数学学习能力测评四年级竞赛初赛第7题3分

下面的数中一个``零''也不读出来的是．

拓展思维->能力->运算求解

$$235001$$读作二十三万五千零一，故$$\text{A}$$错误；  $$60015$$读作六万零一十五，故$$\text{B}$$错误；  $$107000$$读作十万七千，故$$\text{C}$$正确．  所以一个``零''也读不出来的是$$\text{C}$$．  故选$$\text{C}$$．


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛初赛第3题5分

\textbf{(2019 Youth Mathematics Olympics, Primary 4, Question \#3)~}  There are $$4$$ distinct natural numbers whose average is $$10$$. The largest of them is at least（$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde$）．  有$$4$$个互不相同的自然数，它们的平均数是$$10$$．其中最大的数至少是（$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde$）．

拓展思维->思想->对应思想

欲求最大的数至少为多少，则这$$4$$个不同的自然数越接近越好．则为$$8$$，$$9$$，$$11$$，$$12$$．故最大的数至少为$$12$$，所以选择$$\text{C}$$．


2018年IMAS小学中年级竞赛（第一轮）第15题4分

某一年的二月份，星期六的天数都比其余星期中的日子之天数还多，请问这个月最后一天是星期几？

星期三

星期四

星期五

星期六

星期日

拓展思维->拓展思维->应用题模块->周期问题->时间中的周期问题->日期中的周期

若为平年，则二月份有$$28$$天．  因$$28$$为$$7$$的倍数，故在二月份无论是星期几，都各有$$4$$天，  即不会有一个日子比其余星期中的日子之天数还多，  所以该年为闰年，且由$$29=4\times7+1$$知共有$$5$$个星期六，  故最后一天是星期六，故$$\text{D}$$正确．  故选$$\text{D}$$．


2018年第23届华杯赛小学中年级竞赛初赛第5题 2018年华杯赛小学中年级竞赛初赛第5题10分

数字和等于$$218$$的最小自然数是个$$n$$位数，则$$n=$$（~ ）．

拓展思维->拓展思维->计数模块->枚举法综合->整数分拆->简单拆分->加法拆数（无要求）

数字和一定，且数最小，则要保证数位最少，因此要尽可能多的$$9$$  $$218\div 9=24\cdots \cdots 2$$,故该数为$$2\underbrace{999999\cdots \cdots 999}_{24}$$  则$$n=25$$．


2006年第4届创新杯六年级竞赛初赛B卷第6题

甲、乙两人进行$$100$$米赛跑，甲冲过终点线时，乙正好在甲后面$$20$$米处，第二次比赛时甲的起跑线比原起跑线推后$$20$$米，且两次比赛中各自速度不变，问第二次比赛结果是．

两人同时到达

甲到终点线时，乙正好在甲后面$$2$$米

甲到终点线时，乙正好在甲后面$$4$$米

乙到终点线时，甲正好在乙后面$$2$$米

拓展思维->能力->构造模型->模型思想


2017年第16届湖北武汉创新杯五年级竞赛邀请赛训练题（三）

在一个两位数的两个数字中间加一个$$0$$，所得三位数比原数大$$6$$倍．这个两位数是（~ ）．

拓展思维->能力->逻辑分析

设这个两位数为$$\overline{ab}$$，根据题意有$$\overline{aob}=\left( 6+1 \right)\times \overline{ab}$$，位值原理拆开化简得：$$5a=b$$，又因为$$a$$，$$b$$均为$$0 \tilde{  } 9$$的数字，所以得$$a=1$$，$$b=5$$，则这个两位数是$$15$$．


2018年第21届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛（中国区）第7题3分

一艘客船在长为$$176$$千米的河流中顺流而下再逆流而上共用时$$19$$小时，逆流用时比顺流用时多$$3$$小时．有一只船速为每小时$$12$$千米的小船在这条河中顺流而下$$10$$小时走了千米．

拓展思维->拓展思维->行程模块->流水行船问题->基本流水行船问题->四个速度->基本行程


2015年北京华杯赛小学高年级竞赛初赛C卷第3题 2015年全国华杯赛小学高年级竞赛初赛第3题

春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、 丙、丁$$4$$位同学有如下的对话：  甲：``丙、丁之中至少有$$1$$人捐了款''  乙：``丁、甲之中至多有$$1$$人捐了款''  丙：``你们$$3$$人中至少有$$2$$人捐了款''  丁：``你们$$3$$人中至多有$$2$$人捐了款''  已知这$$4$$位同学说的都是真话且其中恰有$$2$$位同学捐了款，那么这$$2$$位同学是．

甲、乙

丙、丁

甲、丙

乙、丁

拓展思维->能力->推理推导->言语逻辑推理

因为恰有$$2$$位同学捐了款，据丙所说知甲、乙、丁就至少$$2$$人捐款，所以丙没捐款；  再据甲所说知丙、丁之中至少有$$1$$人捐了款，现在丙没捐款，所以丁一定捐款了；  再据乙所说知丁、甲之中至多有$$1$$人捐了款，现在丁捐款了，所以甲一定没捐款；  恰有$$2$$位同学捐了款，即恰有$$2$$位同学没捐款，现在甲、丙都没捐款，所以乙、丁都捐款了．


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛初赛第10题5分

将非$$0$$自然数依照下列形式不断写下去：$$123456\cdots \cdots $$，第$$2019$$个数是．

拓展思维->思想->对应思想


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛二年级竞赛初赛第10题5分

二（$$1$$）班有$$50$$名同学参加语文、数学期末测试，每个学生至少有一门是优．语文得优的有$$38$$人，数学得优的有$$42$$人，语文、数学都得优的有人．

拓展思维->思想->转化与化归的思想

把语文得优秀的人数与数学得优秀的人数相加，即：$$38+42=80$$（人），$$80$$人比参加语文、数学期末测试的$$50$$人多$$80-50=30$$（人），多出的$$30$$人就是语文、数学都得优秀的人数．  $$38+42-50=30$$（人）．  答：语文、数学都得优秀的有$$30$$人．


2018年华杯赛六年级竞赛模拟卷

是否存在两个数，使得它们的和为$$222$$，差为111.

有

没有

拓展思维->拓展思维->数论模块->奇数与偶数->奇数与偶数的应用

偶数$$+$$偶数$$=$$偶数，偶数$$-$$偶数$$=$$偶数  奇数$$+$$奇数$$=$$偶数，奇数$$-$$奇数$$=$$奇数  观察可得，如果两个数的和为偶数，则差不可能为奇数。


2013年第11届创新杯三年级竞赛初赛第2题6分

四位数$$2013$$的各位数字和为$$6$$，且各位数字均不相同．在具有这些性质的四位整数中，按由小到大顺序排列，$$2013$$是第个．

拓展思维->思想->对应思想


2018年第23届华杯赛小学中年级竞赛初赛第1题 2020年重庆渝中区重庆市巴蜀中学校小升初（十一）第2题2分 2018年华杯赛小学中年级竞赛初赛第1题10分

$$A$$、$$B$$均为小于$$1$$的小数，算式$$A\times B+0.1$$的结果．

无法确定和$$1$$的大小

拓展思维->思想->赋值思想


2015年第27届广东广州五羊杯小学高年级竞赛第7题4分

有$$10$$种不同的小球各$$100$$个放入同一个袋子里．从袋子中取出若干个小球，要想在取出的小球中必须有$$3$$种同样的球并有$$10$$个以上（含$$10$$个）的话，那么最少要从袋子中取出个小球．

拓展思维->能力->实践应用

考察抽屉原理中的最不利原则，  $$2\times100+8\times9+1=273$$（个），  故选$$\text{B}$$．


2021年新希望杯四年级竞赛初赛第15题

以上都不对

拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->整数提取公因数->整数除法巧算之提取公除数（普通型）


2017年湖北武汉中环杯五年级竞赛初赛第17题

如果一个数的所有因数中恰好有$$3$$个因数为合数．这样的数就称为``思维数''．比如$$16$$就是一个``思维数''，因为它的所有因数中，正好有$$4$$，$$6$$，$$8$$为合数．在所有小于$$100$$的正整数中，``思维数''一共有~\uline{~~~~~~~~~~}~个．

知识标签->拓展思维->数论模块->因数与倍数->因数个数定理->因数个数定理逆应用


2019年第24届YMO一年级竞赛决赛第9题3分

在一个减法算式中，如果被减数减少$$10$$，差减少$$20$$，要使等式成立，减数应该．

拓展思维->思想->对应思想


2014年迎春杯三年级竞赛复赛

把$$1$$到$$5$$这$$5$$个自然数从左到右排成一排，要求从第三个数起，每个数都是前两个数的和或差，那么一共有（  ）种排法。

拓展思维->拓展思维->计数模块->枚举法综合->枚举法->有序枚举


2017年第15届湖北武汉创新杯小学高年级五年级竞赛决赛第2题

拓展思维->思想->分类讨论思想


2009年第14届全国华杯赛竞赛复赛第6题 2021年新希望杯五年级竞赛模拟（考前培训100题）第17题

已知三个合数$$A$$，$$B$$，$$C$$两两互质，且$$A\times B\times C=11011\times 28$$，那么$$A+B+C$$的最大值为~\uline{~~~~~~~~~~}~．

我不会

拓展思维->思想->逐步调整思想


2017年河南郑州联合杯竞赛第4题4分

拓展思维->拓展思维->计算模块->数列与数表->数列规律->数列找规律填数

找规律；将中间三个$$1$$化成分数是$$\frac{3}{3}$$，$$\frac{5}{5}$$，$$\frac{7}{7}$$，分子是连续的奇数，分母是从$$2$$开始不断递增的质数，则第一个数是$$\frac{1}{2}$$．


2017年第15届全国希望杯六年级竞赛

等腰三角形的两个角之比为$$2:5$$，则这个三角形是什么三角形（按角分类）？

锐角三角形

直角三角形

钝角三角形

钝角三角形或者锐角三角形

拓展思维->能力->逻辑分析

这个等腰三角形的三个内角之比为$$2:2:5$$或者$$2:5:5$$，前一种情况下，三角形最大的内角为$$180\div \left( 2+2+5 \right)\times 5={100}^{}\circ$$；后一种情况下，三角形最大的内角为$$180\div \left( 2+5+5 \right)\times 5={75}^{}\circ$$．所以这个等腰三角形是钝角三角形或者锐角三角形．


2017年全国华杯赛小学中年级竞赛初赛模拟第5题 其它改编题

从$$1$$至$$11$$这$$11$$个自然数中至少选出几个不同的数，才能保证其中一定有两个数的和为$$12$$?

拓展思维->拓展思维->组合模块->抽屉原理->构造型抽屉原理 课内体系->思想->整体思想

把和为$$12$$的两个数分成一组，这样就把这$$11$$个数分成$$6$$组：$$(1,11)$$，$$\left( 2,10 \right)$$，$$\left( 3,9 \right)$$，$$(4,8)$$，$$(5,7)$$，$$(6)$$．要保证一定有两个数的和为$$12$$，就要保证至少有两个数属于同一组．  由抽屉原理可知，从这$$12$$个数中选出$$7$$个数，就一定有两个数属于同一组．此时这两个数的和就是$$12$$．  如果我们从$$6$$组中各取一个数，则取出的这$$6$$个数中，没有两个数的和是$$12$$，因此本题的答案就是至少选出$$7$$个不同的数．


2018~2019学年四川成都双流县四川师范大学附属圣菲小学六年级上学期开学考试第1题3分

2017年四川成都锦江区四川师范大学附属第一实验中学小升初模拟（五）第5题2分

2017年四川成都六年级竞赛“全能明星”选拔赛第5题2分

2019年四川成都锦江区四川师范大学附属第一实验中学小升初第1题3分

母亲今年$$37$$岁，女儿今年$$7$$岁，年后母亲的年龄是女儿的$$4$$倍．

知识标签->数学思想->对应思想

年龄问题，$$(37-7)\div (4-1)=10$$（岁）．  年龄问题的特点是两人的年龄差始终不变，即几年后两人增加的年龄是相同的，根据这个特点解决题目中的问题即可．设$$x$$年后母亲的年龄是女儿的$$4$$倍，可得方程$$(7+x)\times 4=37-x$$，解得$$x=3$$．即$$3$$年后母亲的年龄是女儿的$$4$$倍．


2017年第16届湖北武汉创新杯五年级竞赛邀请赛训练题（四）

拓展思维->拓展思维->数论模块->因数与倍数->因数个数定理->因数个数定理正应用->总个数


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛初赛第7题5分

某人骑自行车过一座桥，上桥速度为每小时$$12$$千米，下桥速度为每小时$$24$$千米．而且上桥与下桥所经过的路程相等，中间也没有停顿．问这个人骑车过这座桥，往返的平均速度是每小时千米．

拓展思维->能力->实践应用

设上桥的路程为$$24$$千米，则下桥的路程也为$$24$$千米．  所以上桥的时间为：$$24\div12=2$$（小时），  下桥的时间为：$$24\div24=1$$（小时），  所以全程的平均速度为：$$(24+24)\div (1+2)=16$$（千米/小时）．  故选$$\text{B}$$．


2006年四年级竞赛创新杯 2006年第4届创新杯四年级竞赛复赛第2题

小王老师外出开会，$$7$$天没有回家，回来后一次撕下这$$7$$张日历，发现这$$7$$张日期数相加得$$119$$，那么，王老师回家这天是（  ）号。

拓展思维->拓展思维->应用题模块->等差数列实际应用

因为$$119\div 7=17$$，所以第四天也就是中间一天是$$17$$号，故这$$7$$天的日期为：$$14\text{、}15\text{、}16\text{、}17\text{、}18\text{、}19\text{、}20$$，因此，回家是$$20+1=21$$（号）。故选D。


2020年新希望杯五年级竞赛第29题 2020年希望杯五年级竞赛模拟第29题

拓展思维->能力->逻辑分析


2007年第5届创新杯五年级竞赛第3题5分 2007年五年级竞赛创新杯 2007年第5届创新杯五年级竞赛第3题5分

有$$3$$名医生、$$3$$名护士被分配到$$3$$所小学为学生体检，每所学校$$1$$名医生、$$1$$名护士。 共有~\uline{~~~~~~~~}~种不同的分配方法。

拓展思维->拓展思维->计数模块->加乘原理->乘法原理->物品搭配

设三所学校为$$A$$校，$$B$$校和$$C$$校，先考虑$$3$$名医生分配方法：第一名医生有$$3$$种分配方法；第二名有$$2$$种分配方法，第三名有$$1$$种分配方法，所以有$$3\times 2\times 1=6$$（种）分配方法。同理，$$3$$名护士也有$$6$$种分配方法。因此，共有$$6\times6=36$$（种）不同的分配方法。


2015年美国数学大联盟杯六年级竞赛初赛（中国赛区）第38题5分 2016年全国美国数学大联盟杯小学高年级六年级竞赛初赛

进步先生在不断提高他的考试成绩．他前两次考试的平均分是$$86$$，前三次考试的平均分是$$87$$，前四次考试的平均分是$$88$$，他第四次考了分？

拓展思维->七大能力->逻辑分析


2016年河南郑州K6联赛六年级竞赛第18题2分

一种录音机，现在售机$$90$$元，比原来降低$$10  \% $$，降低了（~ ）元．

拓展思维->能力->运算求解


2018~2019学年浙江杭州西湖区杭州市行知小学五年级上学期期中期中竞赛第19题1分

如果甲数$$\times 1.2=$$乙数$$\div 1.2$$（甲数、乙数$$\ne 0$$），那么．

甲数$$=$$乙数

甲数$$\textgreater$$乙数

甲数$$\textless{}$$乙数

知识标签->数学思想->整体思想

$$1.2=\frac{6}{5}$$，即甲数$$\times \frac{6}{5}=$$乙数$$\times \frac{5}{6}$$（且甲、乙$$\ne 0$$），根据积的特性，当积一定时，一个因数越大，则另一个因数越小；  那么$$\frac{6}{5}\textgreater\frac{5}{6}$$，则甲$$\textless{}$$乙．


2017年全国华杯赛小学高年级竞赛

设$$a\ne 2$$，在下列结论中，（~ ）是错误结论．

$$2x+3=ax-3$$和$$\left( 2x+3 \right)\left( {{m}^{2}}+1 \right)=\left( ax-3 \right)\left( {{m}^{2}}+1 \right)$$是同解方程

$$2x+3=ax-3$$和$$2\left( 2x+3 \right)+{{m}^{2}}-1=2\left( ax-3 \right)+{{m}^{2}}+1$$是同解方程

$$2x+3=ax-3$$和$$2\left( 2x+3 \right)\left( {{m}^{2}}-1 \right)=2\left( ax-3 \right)\left( {{m}^{2}}-1 \right)$$是同解方程

$$2x+3=ax-3$$和$$\left( a-2 \right)x=6$$是同解方程

拓展思维->能力->运算求解

对于任何$$m$$的值，$${{m}^{2}}+1$$都不等于$$0$$，由原理二，（$$\text{A}$$）正确；由原理一和二，$$\text{B}$$）正确；由原理一，（$$\text{D}$$）正确；当$$m=1$$时，$${{m}^{2}}-1=0$$，所以（$$\text{C}$$）是错误结论．


2017年IMAS小学高年级竞赛（第二轮）第2题4分

某班级的数学期末考试的结果为满分$$100$$分有$$4$$位学生﹑得$$90$$分至$$99$$分有$$6$$位学生、得$$80$$分至$$89$$分有$$18$$位学生、得$$70$$分至$$79$$分有$$12$$位学生、得$$69$$分以下有$$10$$位学生．已知全班平均分数为$$81.4$$分．请问该班学业生数学期末考试的总得分为多少分？

不能确定

拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题->综合题->综合题普通型

由题意可知这个班级总共有$$4+6+18+12+10=50$$位学生，所以该班学生数学期末考试的总得分为$$81.4\times 50=4070$$分，故$$\text{C}$$正确；  故选$$\text{C}$$．


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛初赛第7题5分

有一个自然数，用它分别去除$$62$$、$$90$$、$$130$$都有余数，这三个余数的和是$$24$$．这三个余数中最大的是．

拓展思维->拓展思维->数论模块->余数问题->同余->同余定理


2013年全国华杯赛小学高年级竞赛初赛C卷第9题

黑板上有$$11$$个$$1$$，$$22$$个$$2$$，$$33$$个$$3$$，$$44$$个$$4$$．做以下操作：每次擦掉$$3$$个不同的数字，并且把没擦掉的第四种数字多写$$2$$个．例如：某次操作擦掉$$1$$个$$1$$，$$1$$个$$2$$，$$1$$个$$3$$，那就再写上$$2$$个$$4$$．经过若干次操作后，黑板上只剩下$$3$$个数字，而且无法继续进行操作，那么最后剩下的三个数字的乘积是．

拓展思维->思想->逐步调整思想

这类题需要抓住操作的本质：无论如何操作，任意两种数的个数的差只有不变，加$$3$$和减$$3$$三种情况，  （比如说$$1$$和$$2$$的个数，要么同时减少一个；要么$$1$$的个数加$$2$$个，$$2$$的个数少一个；要么$$1$$的个数少$$1$$个，$$2$$的个数加$$2$$个，分别对应：个数差不变，加$$3$$，减$$3$$）  而事实上，更进一步刻画这个特征：任意两个数的个数差，同余$$3$$（即：除以$$3$$的余数保持不变）  那么继续，看$$1$$的个数和$$2$$的个数，用$$2$$的个数减去$$1$$的个数，他们的差是$$22-11=11$$，$$11$$除以$$3$$的余数是$$2$$，那就是说当数字$$2$$的个数比$$1$$的个数多时，他们的差一定是除以$$3$$余$$2$$的；但如果数字$$1$$的个数比$$2$$多的话，那么这个差除以$$3$$的余数一定是$$1$$，（可以试着操作几次，让$$1$$的个数多于$$2$$的个数）．这样都算下来比较麻烦，观察一些特殊的，不用分类讨论的，可以发现$$1$$的个数和$$4$$的个数，它们的差是$$33$$，正好是$$3$$的倍数，也就是说，操作到最后，剩下的$$1$$的个数和$$4$$的个数要么一样多，要么个数差$$3$$．再根据题意，最后只剩下$$3$$个数，如果$$1$$的个数为$$3$$，那么$$2$$的个数必然为$$2$$，不合题意．如果$$3$$的个数为$$3$$，而$$1$$和$$2$$不可能都为$$0$$个，所以操作到最后时$$1$$的个数和$$4$$的个数都只能为$$0$$，而$$2$$的个数一定是$$2$$，那么$$3$$的个数就是$$1$$，所以剩下的三个数是$$2$$个$$2$$和$$1$$个$$3$$，他们乘积是$$12$$．


2020年希望杯二年级竞赛模拟第19题

把$$3$$、$$3$$、$$5$$、$$9$$分别放入方格中，和最小是．  $$\square \square +\square \square $$

拓展思维->能力->运算求解

要使得和最小，那么两个因数应该尽可能的小；  如果要求两个因数尽可能的小，那么两个因数十位应该填入较小数，  即这两个因数应该是：$$35+39=74$$，  所以和最小是$$\text{B}$$．


2009年五年级竞赛创新杯

恰好有两位数字相同的三位数共有（ ）个。

拓展思维->拓展思维->计数模块->排列组合->组合->组合的基本运算

若三位数中恰有两位数字相同，那么相同的两个数位有以下三种情况：  ①百位数与十位数相同：因为百位数不能为$$0$$，所以百位数与十位数有$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$\cdots$$、$$9$$，有$$9$$种可能；个位数可在$$0\sim 9$$中去掉一个已经作为百位数外的$$9$$个数中选取，也有$$9$$种可能，因此这样的三位数有$$9\times 9=81$$（个）。  ②百位数与个位数相同：同理有$$81$$个三位数。  ③十位数与个位数相同：分两种情况。  （I）个位与百位都为$$0$$，百位有$$9$$种；  （II）当个位与百位不为$$0$$时，个位与百位有$$9$$种，百位有$$8$$种，共$$9\times 8=72$$（种）；  所以共$$72+9=81$$（种）。  因此，恰有两位数字相同的三位数共有$$81\times 3=243$$（个）。


2016年北京学而思杯小学高年级五年级竞赛第11题7分 2018年四川成都锦江区四川师范大学附属第一实验中学小升初（四）第14题4分

一项工作，甲单独完成需要$$24$$天，乙单独完成需要$$36$$天，丙单独完成需要$$48$$天．现在甲乙丙三人轮流单独工作，甲、乙工作的天数比为$$1:2$$，乙、丙工作的天数比为$$3:5$$，那么，完成这项工作一共用了多少天？

知识标签->拓展思维->应用题模块->列方程解应用题->一元一次方程解应用题->方程法解其他问题

甲乙丙的工作天数之比是$$3:6:10$$，  设甲工作$$3x$$天，乙工作$$6x$$天，丙工作$$10x$$天，  那么$$\frac{1}{24}\times 3x+\frac{1}{36}\times 6x+\frac{1}{48}\times 10x=1$$，  解得：$$x=2$$，  故完成这项工作一共用了$$\left( 3+6+10 \right)\times 2=38$$（天）．


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛决赛第6题5分

$$6$$个互不相同的正整数的和是$$2002$$，则这$$6$$个数的最大公因数最大是．

拓展思维->思想->枚举思想


2019年第7届湖北长江杯六年级竞赛复赛A卷第9题3分

淘气家的挂钟时针长$$7\text{cm}$$，一昼夜这根时针扫过的面积为平方厘米．

拓展思维->思想->数形结合思想

首先要明确的是：经过一昼夜，时针围钟面转了两周，而转一周所走过的面积是以时针长度$$7$$厘米为半径的圆的面积．利用圆的面积$$S=\pi {{r}^{2}}$$即可求解．  $$3.14\times {{7}^{2}}\times 2=3.14\times 49\times 2=307.72$$（平方厘米）．  故选$$\text{C}$$．


2011年全国创新杯五年级竞赛第6题5分

兰佛德数字是这样一种数字，它的数字中每一个数码都出现两次，并且数码$$1$$被一个其他数码分开，数码$$2$$被两个其他数码分开，以此类推．下面四个数是兰佛德数字的一个是（~~ ）．

拓展思维->拓展思维->计算模块->定义新运算->直接运算型->普通型

$$1\times 1$$  $$2\times \times 2$$  $$3\times \times \times 3$$  $$4\times \times \times \times 4$$．


2018年迎春杯四年级竞赛决赛一试第3题10分

下列$$5$$道判断题，这$$5$$道题的题干与它们的答案相关，请判断正误：  （$$1$$）第$$2$$题的答案是√．  （$$2$$）第$$4$$题的答案是$$\times $$．  （$$3$$）有$$2$$道题的答案是√．  （$$4$$）本题和上一题中至少有$$1$$个√．  （$$5$$）第$$2$$、$$3$$题答案一致．  如果这$$5$$道题的答案可以使得题干正确，互不矛盾，那么，请在上面的$$5$$个括号内写出这$$5$$道题的答案．请问：正确的题干序号为：~\uline{~~~~~~~~~~}~

（1）（2）

（3）（4）

（2）（3）（5）

（1）（2）（5）

（5）

知识标签->数学思想->逐步调整思想

假设第一句描述是正确的，则根据第一句内容``第$$2$$题的答案是对''可知，第二句的描述也是正确的；同理根据第二句的描述``第$$4$$题的答案是错''可以得到，第四句的描述是错误的；再根据第四句的内容``本题和上一题中至少有$$1$$个对''可知，第三句应该选择错；再结合第二句的结果对和第三句的结果错可知，第五句的描述是错的，所以目前我们的结果是``对对错错错''，那么根据这个结果，第三句的描述``有$$2$$道题的答案是对''这句话就应该是对的，出现了矛盾，则我们一开始的假设是错误的，所以第一句的结果应该是错．  第一句的结果是错，则第一句描述的内容``第$$2$$题的答案是对''是不对的，进而可知第二句描述的内容``第$$4$$题的答案是错''也是错的，也就是说第四句话是对的，然后结合第三句和第五句，如果第三句是对的，那么第五句的描述``第$$2$$题、$$3$$题答案一致''就是错的，所以此时的答案就是``错错对对错''，满足题意；如果第三句是错的，则第五句描述``第$$2$$题、$$3$$题答案一致''就是对的，此时的答案就是``错错错对对''，有两个对的，那就和第三句的描述``有$$2$$道题的答案是对''一致，所以出现了矛盾．  所以最后的答案就是错错对对错．


2015年第5届全国学而思综合能力诊断学前班竞赛第2题

熊大和熊二打算在$$1$$小时后去市场买菜，现在是下午$$5$$时，所以熊大和熊二在几点钟去市场买菜？

我不知道

知识标签->数学思想->整体思想

现在是下午$$5$$时，一小时后是下午$$6$$时．


2018年第6届湖北长江杯五年级竞赛初赛A卷第3题3分

拓展思维->思想->整体思想


2015年第27届广东广州五羊杯小学高年级竞赛第4题4分

下面几个分数中不能化成有限小数的是．

拓展思维->拓展思维->计算模块->小数->循环小数->循环小数的概念

观察约分后分数的分母中，是否含有除了$$2$$、$$5$$以外的因数即可．  故选$$\text{D}$$．


2017年全国华杯赛竞赛初赛模拟试卷2第1题

欧洲杯欧洲杯小组赛中，$$a，b，c，d$$四支足球队分别在一个小组，已知最终比赛结果中，$$a$$的排名高于$$b$$，$$c$$的排名高于$$d$$，无排名相同的结果，则符合这种情况的小组赛的排名有（ ）种．

拓展思维->能力->逻辑分析

用$$A\textgreater B$$表示$$A$$的排名高于$$B$$．那么根据题目条件，$$C$$相对于A和B的位置有$$3$$种可能：  （$$1$$）$$C\textgreater A\textgreater B$$，此时，$$D$$的位置有$$3$$种可能：$$D\textgreater A，A\textgreater D\textgreater B，B\textgreater D$$；  （$$2$$）$$A\textgreater C\textgreater B$$，此时，$$D$$的位置有$$2$$种可能：$$D\textgreater B，B\textgreater D$$； （$$3$$）$$A\textgreater B\textgreater C$$，此时，$$D$$的位置有$$1$$种可能．  总的可能情况有$$3+2+1=6$$（种）．


2009年第7届创新杯六年级竞赛初赛第4题4分

已知下面四个算式中，得数最大的是．

$$2008\div \frac{2008}{2009}$$

$$2008\times \frac{2008}{2009}$$

拓展思维->能力->运算求解


2014年IMAS小学中年级竞赛第二轮检测试题第2题4分

拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->多位数计算->多位数的加减运算


2014年全国迎春杯四年级竞赛初赛第4题

有四个数，它们的和是$$45$$，把第一个数加$$2$$，第二个数减$$2$$，第三个数乘$$2$$，第四个数除以$$2$$，得到的结果都相同．那么，原来这四个数依次是（~~~~~~~ ）．

拓展思维->能力->运算求解

神蒙法：将答案一一代入检验，最后答案为C．  设相同的结果为$$2x$$，根据题意有：$$2x-2+2x+2+x+4x=45$$，$$\Rightarrow x=5$$  易知原来的$$4$$ 个数依次是$$8$$，$$12$$，$$5$$，$$20$$．


2013年第11届全国创新杯五年级竞赛第4题5分

在垒球比赛中，若赢$$1$$场得$$3$$分，平$$1$$场得$$1$$分，输$$1$$场不得分．每个队都与其他队交锋$$4$$场，这时四个参赛队的总积分为：$$A$$队$$22$$分，$$B$$队$$19$$分，$$C$$队$$14$$分，$$D$$队$$12$$分．那么有（~ ）场比赛为平局．

拓展思维->能力->逻辑分析

对于赛况分析试题，尤其对于与分数相关的试题，最重要的是思维方式，本题如果从整体上来考虑比赛所产生的总分值，问题将迎刃而解，依题意可知比赛总场次为$$24$$场比赛之中，若平局则将会让所有队伍的总分增加$$2$$分（比赛双方均得$$1$$分），若出现了胜败，则所有队伍的总分增加$$3$$分，而现在所有队伍获得的总分值为：$$22+19+14+12=67$$（分），$$24$$场比赛，有$$3$$分，有$$2$$分，总分为$$67$$分，可当做鸡兔同笼问题解答，易得平局有$$5$$场．


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛三年级竞赛初赛第3题5分

大李和小李比赛吃包子，大李比小李多吃$$20$$个，大李比小李的$$4$$倍多$$2$$个，大李吃了个．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->和差倍问题->差倍->两量差倍->非整数倍差倍剩余

根据题意大李比小李的$$4$$倍多$$2$$个，  则大李比小李多$$3$$倍加$$2$$个，  即小李吃的包子数$$\times3+2=20$$（个）．  小李吃了$$(20-2)\div3=6$$（个），大李吃了$$6+20=26$$（个），  两个人一共吃了$$26+6=32$$（个）．


2014年全国走美杯六年级竞赛初赛A卷第12题

用$$6$$颗颜色不同的彩色珠子串成一个手链，有~\uline{~~~~~~~~~~}~种不同的串法（旋转、翻转后相同算一种）．

知识标签->数学思想->对应思想

先选定一颗珠子，其他珠子在其后边开始全排列有5！种．手链可以翻转，再除以$$2$$为$$5！\div 2=60$$，故选$$\text{B}$$．


2009年第7届创新杯四年级竞赛初赛第5题4分 2009年四年级竞赛创新杯

已知$$2009\square \square \square 02009\approx 2010$$亿（四舍五入）。那么其中的三位数$$\square \square \square $$有(  )种填写方法。

拓展思维->拓展思维->计数模块->枚举法综合->枚举法->有序枚举

三位数$$\square \square \square $$中可填入$$500\text{，}501\text{，}502\text{，}\cdots \text{，}999$$，共有$$999-500+1=500$$（种）填写方法。


2014年第10届全国新希望杯小学高年级六年级竞赛复赛第2题4分

对自然数$$n$$进行如下操作：如果$$n$$是偶数，就把它除以$$2$$，如果$$n$$是奇数，就把它加上$$105$$．现在对$$123$$进行有限次操作，得到的结果不可能是．

知识标签->学习能力->七大能力->逻辑分析

由于$$123$$是$$3$$的倍数，操作过程中得到数一定为$$3$$的倍数，故不可能得到$$100$$选$$\text{C}$$．


2016年全国AMC六年级竞赛8第15题

\textbf{(2016 American Mathematics Competition 8, Question \#15)}  What is the largest power of $$2$$ that is a divisor of $${{13}^{4}}-{{11}^{4}}$$?  $${{13}^{4}}-{{11}^{4}}$$的因数中，只含有质因数$$2$$的最大的因数是（$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde$）．

拓展思维->拓展思维->数论模块->分解质因数->分解质因数的应用->已知乘积求因数


2015年第13届全国创新杯五年级竞赛初赛第9题

甲、乙、丙、丁做竞猜游戏，在一个箱子中装有大小一样的二十个球，编号分别为$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$\cdot \cdot \cdot $$、$$20$$，从中任意取出一个球，猜测球的号码的情况．甲猜：奇数；乙猜：偶数；丙猜：$$3$$的倍数；丁猜：含有数字$$1$$．赢的可能性最大的是．

甲

乙

丙

丁

知识标签->拓展思维->计数模块->统计与概率->概率->基本概率->可能性


2017年第15届全国希望杯六年级竞赛

等腰三角形的两个角之比为$$2:5$$，则这个三角形是什么三角形（按角分类）？

锐角三角形

直角三角形

钝角三角形

不确定

知识标签->数学思想->数形结合思想

这个等腰三角形的三个内角之比为$$225$$或者$$255$$，前一种情况下，三角形最大的内角为$$180\div \left( 2+2+5 \right)\times 5=100$$°；后一种情况下，三角形最大的内角为$$180\div \left( 2+5+5 \right)\times 5=75$$．所以这个等腰三角形是钝角三角形或者锐角三角形．


2013年第12届上海小机灵杯小学中年级四年级竞赛初赛第2题1分

从前有一位老人，临终时，他把$$17$$匹马留给$$3$$个儿子，他说：``老大出力最多，得总数的$$\dfrac{1}{2}$$；老二得总数的$$\dfrac{1}{3}$$；老三最小，就拿总数的$$\dfrac{1}{9}$$．''那么老大、老二、老三分别分到匹马．

拓展思维->能力->实践应用

老大、老二、老三分得马的匹数之比为$$\dfrac{1}{2}:\dfrac{1}{3}:\dfrac{1}{9}=9:6:2$$，  故老大、老二、老三分别分到$$9$$、$$6$$、$$2$$匹马；故选$$\text{B}$$．  此题，还有一个趣解：先向一个人借$$1$$匹马，这样总共有$$17+1=18$$匹马．  老大分得$$18\times \dfrac{1}{2}=9$$匹马，老二分得$$18\times \dfrac{1}{3}=6$$匹马，老三分得$$18\times \dfrac{1}{9}=2$$匹马；  这样，$$18$$匹马，还恰好多$$18-9-6-2=1$$匹马，正好还掉．


2019年第7届湖北长江杯五年级竞赛复赛A卷第3题3分

某校五年级同学分组展开课外活动，每组$$5$$人多$$4$$人；每组$$6$$人多$$5$$人；每组$$7$$人多$$6$$人．全年级至少有人．

拓展思维->拓展思维->数论模块->因数与倍数->公因数与公倍数->公倍数与最小公倍数->多数的最小公倍数


2012年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第17题4分

姐姐今年$$12$$岁，妹妹今年$$8$$岁，弟弟今年$$3$$岁，他们的生日恰好是同一天．当三人的年龄和为$$50$$岁时，妹妹为多少岁？

知识标签->学习能力->七大能力->逻辑分析

今年他们三人的年龄之和为$$23$$岁，当他们的年龄之和为$$50$$岁时，已过了$$(50-23)\div 3=9$$年，所以这时妹妹为$$8+9=17$$岁．


2015年第13届全国创新杯小学高年级五年级竞赛初赛第6题

拓展思维->能力->逻辑分析


2011年北京学而思综合能力诊断六年级竞赛第3题 2011年全国学而思杯四年级竞赛第5题 2011年全国学而思杯五年级竞赛第5题

$$2005$$年$$7$$月$$25$$日，黑龙江发生$$5$$级地震．$$2008$$年$$5$$月$$12$$日，汶川发生$$8$$级大地震．已知地震级数每升$$1$$级，地震释放能量大约扩大到原来的$$30$$倍，那么汶川大地震释放能量是黑龙江地震的~\uline{~~~~~~~~~~}~倍．

拓展思维->拓展思维->数论模块->因数与倍数->公因数与公倍数->因倍应用题->倍数应用题


2014年全国迎春杯三年级竞赛复赛第15题

甲、乙两人玩拿火柴棍游戏，桌上共有$$10$$根火柴棍，谁取走最后一根谁胜．甲每次可以取走$$1$$根、$$3$$根或$$4$$根（只能取恰好的数量，如果最后剩$$2$$根火柴棍，甲只能取$$1$$根），乙每次可以取$$1$$根或$$2$$根．如果甲先取，那么甲为了取胜，第一次应（ ~ ~ ~）．

无论怎么取都无法获胜

拓展思维->思想->整体思想

无论甲怎么走，乙只要让最后火柴棒剩两根，甲这时只能取$$1$$根，乙胜．在这之前只要保证火柴剩下$$5$$根，甲取$$1$$根，则乙取$$2$$根，剩$$2$$根，乙胜；或者甲取$$3$$根，乙取$$2$$根，乙胜；或者甲取$$4$$根，乙取$$1$$根，乙胜．所以甲无论怎么取都无法获胜．


六年级其它导引 2015年世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛复赛A卷第10题10分 2018年陕西西安雁塔区西安铁一中小升初（二十六）第20题5分

知识标签->拓展思维->计算模块->裂项与通项归纳->分数裂项->分数裂差->两分数间接裂差


2018年第8届北京学而思综合能力诊断二年级竞赛年度教学质量第1题

知识标签->学习能力->七大能力->运算求解


2014年第2届广东广州羊排赛六年级竞赛第6题1分

一群小猫按照黑猫、白猫、花猫、花猫、灰猫、黑猫、白猫、花猫、花猫、灰猫、黑猫、白猫$$\cdots \cdots $$的规律列队站好，那么第$$2014$$只猫是~\uline{~~~~~~~~~~}~．

黑猫

白猫

花猫

灰猫

拓展思维->拓展思维->应用题模块->周期问题->基本排列的周期问题

周期为$$5$$，$$2014\div 5=402\cdots \cdots 4$$，对应的是花猫．


2011年北京五年级竞赛

实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有$$10$$人，能表演跳舞的有$$18$$人，两种都能表演的有$$7$$人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？

拓展思维->能力->逻辑分析

根据包含排除法，这个表演队能登台表演歌舞的人数为：$$10+18-7=21$$（人）．


2018年IMAS小学中年级竞赛（第一轮）第2题3分

若$$\left( \Delta \times 2-1 \right)\times 2=2018$$，请问$$\Delta $$代表的数是．

拓展思维->思想->方程思想


2019年第22届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛（中国区）第12题2分

小熊、小马、小牛、和小鹿各拿一只水桶同时到一个水龙头前接水，它们只能一个接一个地接水．小熊接一桶水要$$5$$分钟，小马要$$3$$分钟，小牛要$$7$$分钟，小鹿要$$2$$分钟．它们等候时间的总和最少是分钟．

拓展思维->思想->整体思想

要使它们等候时间（等候时间包括接水时间）的总和最少，应该让接水用时少的先接水，即接水顺序是：小鹿、小马、小熊、小牛．  等候时间总和最少是：  $$2\times 4+3\times 3+5\times 2+7=8+9+10+7=34$$（分钟），  故选：$$\text{C}$$．


2020年广东广州羊排赛四年级竞赛第9题4分

【热身2】六支队伍进行单循环赛，每两队都要赛一场．如果赛平，每队各得$$1$$分，否则胜队得$$2$$分，负队得$$0$$分．那么，打完所有比赛后，六支队伍的总得分是分．

拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->体育比赛->2-1-0 积分制

在一场比赛中，如果一胜一负，  则胜得$$2$$分，负得$$0$$分，  总分为$$2+0=2$$分，  如果赛平，则总分为$$1+1=2$$分，  即在一场比赛中，无论结果如何，比赛总分是不变的，都是$$2$$分，  $$6$$支队伍进行单循环赛，共有比赛：$$5+4+3+2+1=15$$场，  所以六支队伍的总得分是：$$15\times 2=30$$分，  故选：$$\text{D}$$．


2015年第11届全国新希望杯小学高年级六年级竞赛复赛第2题

小宇的手表每小时慢$$3$$分钟，如果他在早晨$$6$$:$$30$$将手表与准确时间对准，那么当天小明手表显示$$12$$:$$50$$的时候，准确时间是．

拓展思维->拓展思维->行程模块->时钟问题->坏钟问题


2006年四年级竞赛创新杯 2006年第4届创新杯四年级竞赛初赛A卷第1题

下面的$$\triangle$$，$$\bigcirc$$，$$\square$$各代表一个数，如果$$\triangle +\triangle +\triangle =36$$，$$\square \times \triangle =240$$，$$\bigcirc \div \square =6$$，那么，$$\bigcirc$$的值是（ ）

拓展思维->拓展思维->计算模块->定义新运算->反解未知数型

由$$\triangle +\triangle +\triangle =36$$可得$$\triangle =12$$，$$\square \times \triangle =240$$可得$$\square =20$$，$$\bigcirc \div \square =6$$，$$\bigcirc =120$$


2017年第15届全国希望杯六年级竞赛

增加了$$60  \% $$

不是增加$$60  \% $$

不确定

拓展思维->能力->实践应用


2018年全国小学生数学学习能力测评五年级竞赛复赛第9题3分

甲船逆水航行$$360$$千米需$$18$$小时，返回原地需$$10$$小时，乙船逆水航行同样一段距离需$$15$$小时，返回原地需．

拓展思维->能力->运算求解


2011年六年级竞赛创新杯

定义两种运算：$$a\oplus b=a+b-1$$，$$a\otimes b=ab-1$$。如果$$4\otimes \left[ \left( 6\oplus x \right)\oplus \left( 3\otimes 5 \right) \right]=79$$，则$$x$$等于（  ）。

拓展思维->拓展思维->计算模块->定义新运算->反解未知数型


2016年创新杯小学高年级六年级竞赛训练题（一）第5题

在不等式$$\frac{5}{22}\textless{}\frac{23}{\square }\textless{}\frac{4}{17}$$的方框中填入一个自然数，使得不等号成立，这样的自然数一共有（~ ~ ~）个．

拓展思维->能力->逻辑分析

$$\frac{23\times 17}{4}\textless{}\square \textless{}\frac{22\times 23}{5}$$，有$$97.75\textless{}\square \textless{}101.2$$，那么一共有$$4$$．


2017年河南郑州豫才杯六年级竞赛第7题3分

某楼盘按照分期付款的形式售房，张明家购买了一套现价位$$12$$万的新房，购房时需首付（第一年）款$$3$$万元，从第二年起，以后每年应付房款$$5000$$元，与上一年剩余欠款的利息之和，已知剩余欠款的年利率为$$0.4  \% $$，第年张明家需要交房款$$5200$$元．

拓展思维->能力->抽象概括


2014年全国创新杯小学高年级五年级竞赛5分

国际数学奥林匹克每天考$$3$$道题，每题的评分是$$0$$，$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$或$$7$$．有一群学生每人得分的乘积都是$$36$$，而且任意两天各题得分不完全相同，那么这群学生最多有（~ ~ ~）人．

拓展思维->能力->数据处理


2016年创新杯小学高年级五年级竞赛训练题（三）第1题

$$198$$块水果糖和$$132$$块巧克力都可以分别平均分给四年级（$$1$$）班的每位同学而无剩余，四年级（$$1$$）班最多有（~ ）名学生．

拓展思维->能力->运算求解

$$198+132=330$$（块），∵$$198$$块水果糖和$$132$$块巧克力都可以分别平均分给四年级（$$1$$）班的每位同学而无剩余，∴ 学生人数可以被$$330$$整除，经验算最多有$$66$$人．


2018年湖北武汉创新杯小学高年级六年级竞赛初赛数学思维能力等级测试第2题4分

若$$A$$、$$B$$两个仓库有同样多的货物，甲单独搬完一个仓库需要$$10$$小时，乙单独搬完一个仓库需要$$12$$小时，丙单独搬完一个仓库需要$$15$$小时，现在甲搬$$A$$仓库，乙搬$$B$$仓库，丙一会帮甲，一会帮乙，最后两个仓库同时搬完，三个人同时开始，协同搬完两个仓库，总共用时间（~ ）小时．

拓展思维->能力->实践应用

假设两个仓库的工作总量为单位``$$1$$''，则三人合作完成总做总量为单位``$$2$$''，则所需要的时间为$$2\div \left( \frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15} \right)= 8$$小时．


2016年第21届全国华杯赛小学高年级竞赛初赛B卷第6题

在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被$$11$$或$$13$$整除的三位数，那么这个七位数最大是（ ~ ~）．

拓展思维->思想->逐步调整思想


2018年第22届广东世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛第4题5分

小丽在计算除法时，把除数$$530$$末尾的$$0$$漏写了，得到的商是$$60$$．正确的商应该是．

拓展思维->思想->逆向思想

除数的末尾的$$0$$漏掉，则正确的结果应该为$$6$$．  故选：$$\text{A}$$．


2017年第20届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛（中国区）第9题3分

如果四个人的平均年龄是$$23$$岁，四个人中没有小于$$18$$岁的，那么四个人中年龄最大的可能是．

拓展思维->思想->整体思想

四个人的平均年龄是$$23$$岁，他们的年龄和是$$23\times4=92$$岁，要求最大的年龄是多少岁，必须使另外三人年龄最小，又没有小于$$18$$岁的，那么其他三人的年龄最小都是$$18$$岁，然后再用四人的年龄和减去最小$$3$$人的年龄和即可．  $$23\times 4=92$$（岁），  $$92-18\times 3=92-54=38$$（岁），  答：四个人中年龄最大的可能是$$38$$岁．  故选$$\text{C}$$．


2019年浙江杭州滨江区杭州江南实验学校五年级竞赛模拟（江南杯）第6题2分

拓展思维->思想->对应思想 课内体系->能力->数据处理


2015年IMAS小学中年级竞赛第二轮检测试题第1题4分

拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->四则混合运算


2019年陕西西安雁塔区西安交通大学附属中学 小升初入学真卷10第4题3分
2016年世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛初赛A卷第7题5分

四袋水果共$$46$$个，如果第一袋增加$$1$$个，第二袋减少$$2$$个，第三袋增加$$1$$倍，第四袋减少一半，那么四袋水果的个数就相等了，设谁为未知数x

原先每袋的水果数量

现在每袋的水果数量

拓展思维->能力->实践应用

设后来每袋水果有$$x$$个，那么第一袋原先的数量为$$(x-1)$$个，  第二袋原先的数量为$$(x+2)$$个，第三袋原先的数量为$$0.5x$$个，第四袋原先的数量为$$2x$$个，  根据题意得：$$x-1+x+2+0.5x+2x=46$$，  解得：$$x=10$$，  则第四袋水果原有$$2\times 10=20$$（个）．  故答案为：$$20$$．


2011年全国美国数学大联盟杯小学高年级五年级竞赛初赛第31题

拉里可能在说谎．别人问他年龄时，他把自己的真实年龄加$$10$$，除以$$2$$，减$$10$$，再乘$$2$$，得到$$30$$，由此他告诉别人他今年$$30$$岁．请问拉里的真实年龄是？

拓展思维->思想->逐步调整思想


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛初赛第1题5分

拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->整数提取公因数->整数构造提取->整数倍数关系

$$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\left( 2021+2020+2019+2018+2017 \right)\div 5$$  $$=2019\times 5\div 5$$  $$=2019$$，  故选：$$\text{C}$$．


2019年福建泉州鲤城区泉州师范附属小学三年级竞赛模拟第5题4分

甲、乙两筐苹果共重$$46$$千克，从甲筐中取出$$8$$千克苹果放入乙筐，这样乙筐比甲筐重$$2$$千克，甲筐苹果原来重千克．

拓展思维->思想->方程思想

因为由题干可知，甲、乙两筐苹果共重$$46$$千克，从甲筐中取出$$8$$千克苹果放入乙筐，这样乙筐比甲筐重$$2$$千克，设甲筐中原来有苹果$$x$$千克，则可列方程为：  $$46-x+8=x-8+2$$，解得$$x=30$$，所以甲筐苹果原来重$$30$$千克．  故选：$$\text{B}$$．


2017年第16届湖北武汉创新杯五年级竞赛邀请赛训练题（三）

有一天，彭老师和陈老师约好去打乒乓球，结果彭老师以$$4:0$$完虐陈老师．乒乓球比赛为$$11$$分制，即每局$$11$$分，$$7$$局$$4$$胜制，打成$$10:10$$后必须净胜而且只能净胜$$2$$分．经计算，彭老师四局的总得分为$$48$$分，陈老师总得分为$$39$$分，且每一局比赛分差不超过$$3$$分，则一共有种情况．（不考虑这四局比分之间的顺序）

拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->体育比赛->单循环赛 课内体系->能力->逻辑分析


2006年走美杯四年级竞赛 2006年走美杯六年级竞赛 2006年走美杯五年级竞赛

$$a\vee b$$表示$$a$$、$$b$$两个数中取较大的一个，$$a\wedge b$$表示$$a$$、$$b$$两个数中取较小的一个，则$$\left( 666\vee 888 \right)\wedge \left( 777\vee 555 \right)$$等于（  ）。

拓展思维->拓展思维->计算模块->定义新运算->直接运算型->普通型


2019年美国数学大联盟杯三年级竞赛

拓展思维->能力->运算求解


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛三年级竞赛初赛第6题5分

知识标签->学习能力->七大能力->运算求解

∵首先百位数不能选$$0$$有$$4$$种选择，  当百位数确定后十位数有$$4$$种选择，  当十位数确定后个位数有$$3$$种选择，  ∴根据分步计数原理所组成的三位数为$$4\times4\times3=68$$种．  故选：$$\text{A}$$．


2016年全国美国数学大联盟杯小学中年级三年级竞赛初赛

把$$123456789$$除以$$10000$$的商转化为小数以后，十位和千分位的积是多少？

拓展思维->能力->运算求解


2008年华杯赛六年级竞赛初赛 2008年华杯赛五年级竞赛初赛

$$a\textgreater b\textgreater c$$

$$a\textgreater c\textgreater b$$

$$a \textless{} c \textless{} b$$

$$a \textless{} b \textless{} c$$

拓展思维->拓展思维->计算模块->比较与估算->比较大小综合->糖水原理法


全国二年级下学期其它尖子生题库北师大版第四单元尖子生竞赛第3题

小桶一次能装$$5$$千克的油，大桶一次能装$$7$$千克的油．你能用这$$2$$个桶往空桶里倒入$$9$$千克的油吗？

可以

不可以

知识标签->拓展思维->组合模块->操作与策略->操作问题->倒水问题

先准备好$$1$$个空桶，把大桶装满油，倒入小桶，这时大桶里还剩$$2$$千克的油，倒进空桶里，再把大桶里装满油，倒进桶里，这样空桶里就有$$9$$千克油．


2009年第14届全国华杯赛竞赛初赛第4题10分

拓展思维->思想->逐步调整思想

$$19$$是常见的质数，$$197$$容易检验知也是质数，本题主要是考查$$2009$$这个数是否是质数$$.$$实际上，$$2009=7\times 7\times 41$$ ，是个合数，所以在$$19$$，$$197$$，$$2009$$这三个数中有$$2$$个质数．正确答案为$$\rm C$$．


2012年全国迎春杯四年级竞赛初赛第7题

红、黄、蓝$$3$$种颜色的球分别有$$11$$、$$12$$、$$17$$个，每次操作可以将$$2$$个不同颜色的球换成$$2$$个第三种颜色的球，则在操作过程中，红色球至多有~\uline{~~~~~~~~~~}~个．

拓展思维->拓展思维->组合模块->抽屉原理->构造型抽屉原理

（1）红球最多，那么就要黄、蓝球最少，而黄、蓝球最少则取决于这两种球数之差最小．  （2）一开始，黄蓝球数差$$5$$，每次操作，黄球和蓝球的差要么不变，要么改变$$3$$，所以变化后，这两种球数之差最小为$$1$$．  （3）当黄、蓝球数差$$1$$时，我们就一直把它们换成红色，最后只剩下一个黄球，剩下的$$39$$个全是红球，此时红球会最多．  （4）下面构造说明红球最多可以有$$39$$个．（括号内三个数依次表示红、黄、蓝$$3$$种颜色的球的个数）  （$$11$$，$$12$$，$$17）→（10$$，$$14$$，$$16）→（9$$，$$16$$，$$15）→（11$$，$$15$$，$$14）→（13$$，$$14$$，$$13）→（15$$，$$13$$，$$12）→（17$$，$$12$$，$$11）→（19$$，$$11$$，$$10$$）→$$\cdots$$ →（$$39$$，$$1$$，$$0$$）．


2016年第20届四川成都华杯赛小学中年级竞赛B卷第1~6题60分 2015年第20届全国华杯赛小学中年级四年级竞赛初赛A卷

森林里举行比赛，要派出狮子、老虎、豹子和大象中的两只动物去参加．  （1）如果派狮子去，那么也要派老虎去.  （2）如果不派豹子去，那么也不能派老虎去.  （3）要是豹子参加的话，大象可不愿意去．  那么，最后能去参加比赛的是．

狮子、老虎

老虎、豹子

狮子、豹子

老虎、大象

拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->条件型逻辑推理->连线法

假设狮子去，则老虎去，老虎去则豹子也去．三个动物去，矛盾，所以狮子不去；  假设包子不去，则狮子不去，那么只有大象去，矛盾，所以豹子一定去；  豹子去，则大象不去，狮子也不去，所以豹子和老虎去，故选$$\text{C}$$


2015年全国美国数学大联盟杯小学高年级五年级竞赛初赛

罗伯开车 $$4$$ 小时走了 $$120$$ 千米．请问他开车的平均速度是多少米/分钟？

拓展思维->能力->逻辑分析


2019年第24届YMO二年级竞赛决赛第2题3分

$\bigcirc$，$$★$$，$\triangle$代表三个数，  $\bigcirc+\bigcirc=12$，  $$★+★+★=15$$，  $$△+△+△+△=24$$  $\bigcirc+\bigstar+\triangle=$．

拓展思维->能力->逻辑分析->代数逻辑推理

根据题意分析可知，  $\bigcirc+\bigcirc=12$，即$2\bigcirc=12$，$\bigcirc=12\div2=6$，  $$★+★+★=15$$，$$3★=15$$，$\bigstar=15\div3=5$，  $$△+△+△+△=24$$，$$4△=24$$，$\triangle=24\div4=6$，  由此可知，$\bigcirc+\bigstar+\triangle=6+5+6=17$．  故选$$\text{C}$$．


2016年创新杯五年级竞赛训练题（二）第8题

有$$39$$个偶数的平均数，如果保留一位小数是$$23.4$$，如果保留两位小数，得数最小的是（~ ）．

拓展思维->思想->整体思想


2007年华杯赛五年级竞赛初赛 2007年华杯赛六年级竞赛初赛

一个长方体的长、宽、高恰好是3个连续的自然数，并且它的体积的数值等于它的所有棱长之和的数值的2倍，那么这个长方体的表面积是(  )

拓展思维->拓展思维->应用题模块->列方程解应用题

设长方体的三条棱长分别为a-1，a，a+1，则它的体积为$${{a}^{3}}-a$$， 它的所有棱长之和为$$\left[ \left( a-1 \right)+a+\left( a+1 \right) \right]\times 4=12a$$ 于是有$${{a}^{3}}-a=12a\times 2$$，即$${{a}^{3}}=25a$$，$${{a}^{2}}=25$$，$$a=5$$， 即这个长方体的棱长分别为4，5，6 所以，它的表面积为$$\left(4\times 5+4\times 6+5\times 6\right)\times 2=148$$


有两根同样长的绳子，从第一根中先用去$$\frac{1}{3}$$，再用去$$\frac{1}{3}$$米；从第二根中先用去$$\frac{1}{3}$$米，再用去余下长度的$$\frac{1}{3}$$，仍都有剩余，第一根所剩部分与第二根所剩部分相比较(  ).

第一根长

第二根长

两根一样长

无法确定

拓展思维->拓展思维->应用题模块->分百应用题->认识单位1

设两根绳都长$$a$$米，第一根绳剩下$$a\times \left( 1-\frac{1}{3} \right)-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}a-\frac{1}{3}$$（米），  第二根绳剩下$$\left( a-\frac{1}{3} \right)\times (1-\frac{1}{3})=\frac{2}{3}a-\frac{2}{9}$$（米），比较知第二根绳剩下的比第一根绳剩下的长.


2005年第3届创新杯五年级竞赛初赛第4题 2005年五年级竞赛创新杯

都不是整数

至少有两个整数

至少有一个整数

都是整数

拓展思维->拓展思维->数论模块->奇数与偶数->奇数与偶数的加减规律

当a，b，c这三个数中没有奇数时，显然$$\frac{a+b}{2}$$，$$\frac{b+c}{2}$$，$$\frac{c+a}{2}$$这三个数均为整数; 当a，b，c这三个数中只有一个奇数时，不妨设a为奇数，那么b，c为偶数，则$$\frac{a+b}{2}$$，$$\frac{b+c}{2}$$，$$\frac{c+a}{2}$$三个数中只有$$\frac{b+c}{2}$$为整数; 当a，b，c这三个数中只有两个奇数时，不妨设a，b为奇数，那么c为偶数，则$$\frac{a+b}{2}$$，$$\frac{b+c}{2}$$，$$\frac{c+a}{2}$$三个数中只有$$\frac{a+b}{2}$$为整数; 当a，b，c这三个数均为奇数时，显然$$\frac{a+b}{2}$$，$$\frac{b+c}{2}$$，$$\frac{c+a}{2}$$均为整数; 故无论a，b，c为任何整数时，$$\frac{a+b}{2}$$，$$\frac{b+c}{2}$$，$$\frac{c+a}{2}$$三个数中至少有一个为整数，选C.


2014年中环杯三年级竞赛初赛

对于两个数字$$a$$、$$b$$，定义新运算：$$a*b=a\times b+a+b$$，则$$9*11=$$（  ）。

拓展思维->拓展思维->计算模块->定义新运算->直接运算型->普通型


2018年IMAS小学高年级竞赛（第一轮）第17题4分

一个三位数除以$$37$$后所得到的商是$$a$$、余数是$$b$$，其中$$a$$、$$b$$都是非负整数．请问$$a+b$$的最大值是多少？．

拓展思维->能力->运算求解


2018年第6届湖北长江杯五年级竞赛初赛A卷第4题3分

小红去买醋，她带的钱如果买每瓶$$7$$元的醋，还剩$$3$$元，如果买每瓶$$6$$元的醋，也还剩$$3$$元，小红带了．

拓展思维->能力->实践应用


2010年中环杯四年级竞赛决赛 2011年中环杯四年级竞赛决赛 2011年中环杯四年级竞赛初赛

康康到麦当劳买套餐，一份套餐包含了一个汉堡、一份小吃和一杯饮料。服务员告诉他店里有$$8$$种汉堡、$$4$$种小吃、$$5$$种饮料可供选择，那么康康一共可以搭配出（  ）种套餐。

拓展思维->拓展思维->计数模块->加乘原理->乘法原理

康康先选择汉堡，有$$8$$种选择，然后选小吃，有$$4$$种选择，最后选饮料，有$$5$$种选择，根据乘法原理，共有：$$8\times 4\times 5=160$$（种）搭配方法。


2018年IMAS小学高年级竞赛（第一轮）第2题3分

请问满足下面这个不等式的$$\square $$中能填入的最大整数是多少？  $$9\times \square \lt 2018$$

拓展思维->能力->数据处理


2017年第16届湖北武汉创新杯五年级竞赛邀请赛训练题（二）

一个数，它减去$$2$$，然后除以$$2$$，再加上$$2$$，最后乘$$2$$，得到的结果是$$2014$$．这个数原来是  ．

拓展思维->思想->逆向思想


2018年四川成都锦江区四川师范大学附属第一实验中学小升初（五）第9题3分 2019年四川成都锦江区四川师范大学附属第一实验中学小升初第7题3分 2014年全国迎春杯三年级竞赛复赛第11题

在``神庙大逃亡''游戏中，吃一个黄色钱币可以得$$1$$元钱；吃一个红色钱币可以得$$3$$元钱；吃一个蓝色钱币可以得$$5$$元钱．已知阿奇在一次游戏中一共吃了$$2800$$个钱币，共获得$$7800$$元，并且吃到蓝色钱币比红色钱币多$$200$$个，那么阿奇吃到了（~~~~~ ）个红色钱币．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->鸡兔同笼问题->假设法解鸡兔同笼->基本型->变型题

把蓝色钱币比红色钱币多的$$200$$个在总数上减去，  可以得到他一共吃了$$2800-200=2600$$个钱币，共获得$$7800-5\times 200=6800$$元，  由于红色蓝色一样多后可以看做有两种钱币，一种$$1$$元的黄色钱币，一种是$$(3+5)\div 2=4$$（元）的红蓝钱币，  假设$$2600$$个钱币全部是是一元的，  那么可得红蓝钱币一共有$$(6800-2600\times 1)\div (4-1)=1400$$（个），  则红色钱币有$$1400\div2=700$$（个）．


2020年少年袋鼠竞赛（Junior  Kangaroo）小学中年级竞赛第22题5分

（KMC-2020-Question 22）  Several teams came to the summer Kangaroo camp. Each team has $$5$$ or $$6$$ members. There are $$43$$ people in total. How many teams are at this camp？  有几支队伍来到了袋鼠夏令营．每支队伍会有$$5$$或$$6$$名队员．如果他们一共有$$43$$人．请问袋鼠夏令营里将会有多少支队伍？


2016年新希望杯六年级竞赛训练题（二）第6题

小张打算购买围巾和手套送给朋友们，预算不超过$$500$$元，已知围巾单价是$$70$$元，手套的单价是$$60$$元，如果小张至少要买$$2$$条围巾和$$3$$双手套，那么有（~ ）种不同的选购方式．~

拓展思维->拓展思维->计算模块->方程基础->不定方程->不定方程组

设围巾$$x$$条，手套$$y$$条．  $$\begin{cases}70x+60y\leqslant 500    x\geqslant 2y\geqslant 3 \end{cases}$$  $$\begin{cases}x=2    y=3 \end{cases}$$，$$\begin{cases}x=2    y=4 \end{cases}$$，$$\begin{cases}x=2    y=5 \end{cases}$$，$$\begin{cases}x=2    y=6 \end{cases}$$，$$\begin{cases}x=3    y=3 \end{cases}$$，$$\begin{cases}x=3    y=4 \end{cases}$$，$$\begin{cases}x=4    y=3 \end{cases}$$，$$7$$种．


其它 2015年湖北武汉世奥赛六年级竞赛模拟训练题（三）第10题

一个骰子六个面上的数字分别为$$0$$，$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，现在来掷这个骰子，把每次掷出的点数依次求和，当总点数超过$$12$$时就停止不再掷了，这种掷法最有可能出现的总点数是~\uline{~~~~~~~~~~}~．

知识标签->拓展思维->计数模块->统计与概率->概率->典型问题->掷骰子

掷的总点数在$$8$$至$$12$$之间时，再掷一次，总点数才有可能超过$$12$$（至多是$$17$$）．当总点数是$$8$$时，再掷一次，总点数是$$13$$的可能性比总点数超过$$13$$的可能性大．当总点数在$$9$$至$$12$$之间时，再掷一次，总点数是$$13$$的可能性不比总点数是$$14$$，$$15$$，$$16$$，$$17$$的可能性小．  例如，总点数是$$11$$时，再掷一次，出现$$0\sim 5$$的可能性相同，所以总点数是$$11\sim 16$$的可能性相同，即总数是$$13$$的可能性不比总数点数分别是$$14$$，$$15$$，$$16$$的可能性小，综上所述，总点数是$$13$$的可能性最大．


2016年全国小学生数学学习能力测评四年级竞赛初赛第9题3分

有一条大鱼，鱼尾的质量是$$1$$千克，鱼头的质量等于鱼尾的质量与鱼身的质量的一半的和，而鱼身的质量又等于鱼头和鱼尾质量的和．那么这条鱼重千克．

拓展思维->能力->实践应用

由题意可以设鱼身的质量为$$x$$千克，鱼头的质量为$$y$$千克，  那么可以列方程$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}x=y$$，$$x=1+y$$，  解得$$x=3$$，$$y=2$$，所以这条鱼重$$1+2+3=6$$（千克）．  故选：$$\text{A}$$．


2012年第8届全国新希望杯小学高年级六年级竞赛复赛第6题4分

$$\overline{**45}$$，$$\overline{19*8}$$，$$\overline{23*1}$$，$$\overline{3*49}$$，$$\overline{5*63}$$ are five four-digit numbers, where $$*$$ represents unrecognizable numbers, if one of them is a perfect square number, then this number may be ．  $$\overline{**45}$$，$$\overline{19*8}$$，$$\overline{23*1}$$，$$\overline{3*49}$$，$$\overline{5*63}$$是五个四位数，其中$$*$$代表不能辨认的数字，若其中有一个数是完全平方数，那么这个数可能是．

拓展思维->拓展思维->数论模块->完全平方数->平方数的尾数特征 海外竞赛体系->知识点->数论模块->完全平方数


2015年第14届春蕾杯一年级竞赛初赛第5题1分

已知学而思有女老师：简简，柚子，嘉嘉；男老师有：小南，橙子，小易。  (1) 喜欢点珍珠奶茶外卖的是所有女老师和小南老师；  (2) 学而思喜欢点外卖的老师不喜欢臭豆腐；  (3) 小易老师最不喜欢的就是臭豆腐了；  那么，聪明的你知道今天中午的臭豆腐外卖最有可能是谁点的吗？

小南

橙子

简简

柚子

嘉嘉

小易

拓展思维->思想->对应思想

根据题意分析可知，小胖比小王高，所以小胖的身高高于小王，小胖说比园园矮，所以园园的身高高于小胖，小朱没有小王高，所以小王的身高高于小朱，由此可知，四个人的身高从高到低位：园园$$\textgreater$$小胖$$\textgreater$$小王$$\textgreater$$小朱．  故选$$\text{D}$$．


2021年广东广州番禺区执信中学附属小学小升初（分班考）第17题1分 2004年第2届创新杯六年级竞赛初赛第5题 2004年六年级竞赛创新杯

甲、乙两根同样长的绳子，甲绳先剪去$$\frac{1}{3}$$，再剪去$$\frac{1}{3}$$米；乙绳先剪去$$\frac{1}{3}$$米，再剪去剩下部分的$$\frac{1}{3}$$．两根绳子剩下部分的长度相比较是．

甲绳剩下的部分长

乙绳剩下的部分长

甲绳与乙绳剩下的部分同样长

不能确定

拓展思维->拓展思维->应用题模块->分百应用题->量率对应已知单位1

设甲、乙两根绳子的长度都为$$9$$米，则：  甲剩下：  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde9\times \left( 1-\frac{1}{3} \right)-\frac{1}{3}$$  $$=6-\frac{1}{3}$$  $$=5\frac{2}{3}$$（米），  乙剩下：  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\left( 9-\frac{1}{3} \right)\times \left( 1-\frac{1}{3} \right)$$  $$=\frac{26}{3}\times \frac{2}{3}$$  $$=5\frac{7}{9}$$（米），  $$5\frac{2}{3}$$米$$ ~\textless{} ~5\frac{7}{9}$$米．  答：乙绳剩下部分长．  故选$$\text{B}$$．


2019年第22届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛（中国区）第5题2分

阳光小学派一些学生去搬树苗，如果每人搬$$6$$棵，则差$$4$$棵，如果每人搬$$8$$棵，则差$$18$$棵，这批树苗有棵．

拓展思维->能力->构造模型->模型思想

$$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde(18-4)\div (8-6)$$，  $$=14\div 2$$，  $$=7$$（人），  $$6\times 7-4=38$$（棵），  答：这批树苗有$$38$$棵．  故选$$\text{B}$$．


2019年第24届YMO二年级竞赛决赛第9题3分

二年级从$$5$$个学生中选择$$2$$人合作主持节目，共有种不同的选择方法．

拓展思维->能力->实践应用

由于每个主持人都有可能和另外$$1$$个主持人去主持节目，  一共有$$5\times (5-1)=20$$（种），  去掉重复情况共有$$20\div 2=10$$（种），  选择$$\text{C}$$．


2014年全国迎春杯竞赛 2014年全国迎春杯四年级竞赛初赛第8题

有一种特殊的计算器，当输入一个$$10$ $49$$的自然数$$A$$后，计算器会先算$$A+A$$，然后将所得结果的十位和个位顺序颠倒，再加$$2$$后显示出最后的结果．那么，下列四个选项中，~\uline{~~~~~~~~~~}~可能是最后显示的结果．

拓展思维->能力->运算求解


2018年第6届湖北长江杯六年级竞赛初赛B卷第2题3分

分子、分母是相邻的自然数，这个分数一定是．

真分数

假分数

带分数

最简分数

拓展思维->能力->数据处理

做这种题之前一定要先明确这几个概念：  真分数是指分子小于分母的分数．真分数的分数值小于一．  分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于$$1$$或等于$$1$$．  分数值大于$$1$$或等于$$1$$的分数，带分数是假分数的一种形式．  非零自然数与真分数相加（负整数时与真分数相减）所成的分数（或真分数与假分数相加减化简后的数），一般读作几又几分之几，假分数的倒数一定不大于一．  分子、分母是相邻的自然数，  这个分数有可能是真分数比如$$\frac{1}{2}$$，  也可能是假分数$$\frac{3}{2}$$；  又可能是带分数$$1\frac{1}{2}$$；  但是无论是什么分数，都是最简分数．  故选$$\text{D}$$．


2008年第6届创新杯六年级竞赛初赛B卷第7题5分

李平的妈妈买了几瓶饮料．第一天，他们全家喝了全部饮料的一半零半瓶；第二天，李平招待同学，又喝了第一天剩下的饮料的一半零半瓶；第三天，李平又喝了第二天所剩的饮料的一半零半瓶．这三天，正好把妈妈买的全部饮料喝光，则妈妈买的饮料一共有．

拓展思维->能力->运算求解


2016年第16届世奥赛六年级竞赛决赛第4题 2016年全国世奥赛竞赛A卷第4题

中央一台的《焦点访谈》是一档时事性、政治性较强的电视节目，约在晚间$$7$$点$$38$$分，时针与分针重合时播出．用时针与分针的重合来比喻时事、政治的焦点．则《焦点访谈》播出的准确时间是$$19$$时（~ ）．

拓展思维->思想->对应思想

我们知道分针每分钟走$$6{}^{}\circ $$，时针每分钟走$$0.5{}^{}\circ $$．$$7$$点整时，分针和时针之间的夹角是$$210{}^{}\circ $$，时针与分针重合也就是分针追上时针，需要分钟$$210{}^{}\circ \div \left( 6{}^{}\circ -0.5{}^{}\circ \right)=38\frac{2}{11}$$．


2011年全国世奥赛三年级竞赛初赛

知识标签->学习能力->七大能力->运算求解


2017年北京学而思杯四年级竞赛年度教学质量测评第20题3分

有一条长度绳子，将它对折$$3$$次，用剪刀从正中间剪开，得到一些短绳子．那么绳子有段．

拓展思维->拓展思维->组合模块->操作与策略->归纳递推


2015年第11届全国新希望杯五年级竞赛初赛第1题

知识标签->拓展思维->计算模块->方程基础->一元一次方程->整数系数方程


2013年全国华杯赛小学中年级竞赛初赛A卷第3题 2016年全国华杯赛小学中年级竞赛在线模拟第3题

小东、小西、小南、小北四个小朋友在一起做游戏时，捡到了一条红领巾，交给了老师．老师问是谁捡到的？  小东说不是小西；小西说是小南；小南说小东说的不对；小北说小南说的不对．  他们之中只有一个人说对了，这个人是．

小东

小西

小南

小北

拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->假设型逻辑推理->真假话->找矛盾

由于只有一个人说对了，而小北支持小东，那么他们俩都错了，所以反对小东的小南说对了．  根据题干分析可得，小南与小北说的话是相互矛盾的，所以两人中一定有一个人说的是正确的，假设小北说的是正确的，则小南说``小东说的不对''是错，可得，小东说的对，这样与已知只有一个人说对了相矛盾，所以此假设不成立，故小南说的是正确的．  故选：$$\text{C}$$．


2013年第12届全国小机灵杯小学中年级三年级竞赛初赛第1题1分

小明妈妈花$$8$$元买了一条鱼，以$$9$$元价格卖掉，然后觉得不合算，又花$$10$$元买回来，以$$11$$元卖给另一个人，那么小明妈妈赚了元．

拓展思维->能力->运算求解->程序性计算


2016年新希望杯六年级竞赛训练题（五）第1题

一根绳子剪去全长的$$25  \% $$后，又接上$$20$$米，接上后的长度是接上前的$$125  \% $$，那么原来的绳子长米．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->分百应用题->认识单位1


2020年长江杯六年级竞赛复赛B卷第5题5分

新星小学开展广播操比赛，三年级学生站成一个实心方阵（正方形队列）时，还多$$10$$人，如果站成一个每边多$$1$$人的实心方阵，则还缺少$$15$$人．该校三年级有人．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->方阵问题->实心方阵->实心方阵的增减

此题解答的关键是扩大的方阵共有多少人，要求扩大的方阵共有多少人，就要求出扩大的方阵每边上的人数．  扩大的方阵每边上有：  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\left( 10+15+1 \right)\div 2$$  $$=16\div 2$$  $$=13$$（人），  原来人数：  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde13\times 13-15$$  $$=169-15$$  $$=154$$（人）．  答：原来有$$154$$人．  故选$$\text{A}$$．


2020年新希望杯二年级竞赛初赛（团战）第12题

$$10$$名同学参加$$50$$米赛跑．跑到一半的时候，小明后面有$$5$$人，前面有$$4$$人，之后，没有人超过他，而小明又超过了$$3$$人到达终点．这次比赛没有并列名次，那么小明是．

第一名

第二名

第三名

第四名

第五名

拓展思维->能力->构造模型->模型思想

小明后面有$$5$$人，前面有$$4$$人，则他此时排在第$$5$$，之后，没有人超过他，小明又超过了$$3$$人后，他此时就是第二名．


2017年全国希望杯小学高年级六年级竞赛

$$a\textgreater b\textgreater c$$

$$c\textgreater b\textgreater a$$

$$b\textgreater a\textgreater c$$

$$c\textgreater a\textgreater b$$

拓展思维->思想->转化与化归的思想


2015年全国学而思杯小学低年级竞赛学前组第2题 2015年第5届全国学而思综合能力诊断学前班竞赛第2题

现在是星期六上午$$6$$时，小丽同学准备在$$3$$小时后去奶奶家打扫卫生，请问小丽几点钟去奶奶家打扫卫生？

知识标签->数学思想->对应思想

3小时后是上午$$9$$时．


2011年全国华杯赛竞赛初赛第1题

若连续的四个自然数都为合数，那么这四个数之和的最小值为（ ~ ~~）．

拓展思维->思想->对应思想

任何四个连续自然数之和一定被$$4$$除余$$2$$，所以只有$$102$$满足条件．``都为合数''这个条件可以被无视了．


2014年迎春杯三年级竞赛初赛 2014年迎春杯五年级竞赛初赛 2014年迎春杯四年级竞赛初赛

为了减少城市交通拥堵的情况，某城市拟定从$${2014}$$年$${1}$$月$${1}$$日起开始试行新的限行规则，规定尾号为$$1$$、$$6$$的车辆周一、周二限行，尾号$$2$$、$$7$$的车辆周二、周三限行，尾号$$3$$、$$8$$的车辆周三、周四限行，尾号$$4$$、$$9$$的车辆周四、周五限行，尾号$$5$$、$$0$$的车辆周五、周一限行，周六、周日不限行。由于$$1$$月$$31$$日是春节，因此，$$1$$月$$30$$日和$$1$$月$$31$$日两天不限行。已知$$2014$$年$$1$$月$$1$$日是周三并且限行，那么$$2014$$年$$1$$月份~\uline{~~~~}~组尾号可出行的天数最少。

拓展思维->拓展思维->应用题模块->周期问题->时间中的周期问题->日期中的周期

$$1$$月份共$$31$$天，$$31\div 7=4$$(周)$$\cdots \cdots 3$$(天)。由于$$1$$月$$1$$日是周三，所以$$1$$月份周三、周四、周五各$$5$$天，周一、周二各$$4$$天。其中$$1$$月$$30$$日周四、$$1$$月$$31$$日周五。所以只看周三即可。周三$$2$$、$$7$$以及$$3$$、$$8$$限行。所以此题B组尾号可出行的天数最少。


2015年全国AMC小学高年级六年级竞赛8第10题

\textbf{2015年 AMC8 第 10 题}  How many integers between $$1000$$ and $$9999$$ have four distinct digits?

拓展思维->思想->逐步调整思想
Overseas Competition->知识点->计数模块->加乘原理

翻译：$$1000$$至$$9999$$中有多少个位数字互不相同的四位数？  组数问题：千位数字有$$1\sim 9$$共$$9$$种选法，百、十、个位分别有$$9$$、$$8$$、$$7$$种选法，一共有$$9\times 9\times 8\times 7=4536$$（个）数字互不相同的四位数．


2017年河南郑州豫才杯六年级竞赛 六年级其它

我们定义一种新运算``$$\oplus $$''如下：当$$a\textgreater b$$时，$$a\oplus b=2b-1$$；当$$a\leqslant b$$时，$$a\oplus b=a+1$$。则$$\left( 2\oplus 3 \right)\oplus \left( 5\oplus 4 \right)=$$。

Overseas Competition->知识点->计算模块->定义新运算
拓展思维->思想->对应思想

$$\left( 2\oplus 3 \right)=2+1=3$$，$$\left( 5\oplus 4 \right)=2\times 4-1=7$$，$$\left( 2\oplus 3 \right)\oplus \left( 5\oplus 4 \right)=3\oplus 7=3+1=4$$。


康康到麦当劳买套餐，一份套餐包含了一个汉堡、一份小吃和一杯饮料。服务员告诉他店里有$$8$$种汉堡、$$4$$种小吃、$$5$$种饮料可供选择，那么康康一共可以搭配出（  ）种套餐。

拓展思维->拓展思维->计数模块->加乘原理->乘法原理

康康先选择汉堡，共有$$8$$种选择，然后选小吃，有$$4$$种选择，最后选饮料，有$$5$$种选择，根据乘法原理，共有：$$8\times 4\times 5=160$$（种）搭配方法。


2019年第24届YMO二年级竞赛决赛第9题3分

二年级从$$5$$个学生中选择$$2$$人合作主持节目，共有种不同的选择方法．

拓展思维->思想->对应思想


2013年第12届上海小机灵杯小学高年级五年级竞赛初赛第5题1分

古时候的原始人捕猎，捕到一只野兽对应一根手指．等到$$10$$根手指用完，就在绳子上打一个结，这就是运用现在的数学中的（ ~~）．

出入相补原理

等差数列求和

十进制计数法

拓展思维->能力->实践应用

古时候的原始人捕猎运用现在的数学中的十进制计数法．


2012年全国华杯赛小学高年级竞赛复赛A卷第12题

知识标签->拓展思维->数论模块->余数问题->余数的性质->余数的可乘性


2018年四川成都五年级上学期单元测试《第六单元综合能力擂台及竞赛加分》尖子生题库第9题

知识标签->课内知识点->数学广角->鸡兔同笼->假设法解鸡兔同笼


2011年北京五年级竞赛

在环形跑道上，两人在一处背靠背站好，然后开始跑，每隔$$4$$分钟相遇一次；如果两人从同处同向同时跑，每隔$$20$$分钟相遇一次，已知环形跑道的长度是$$1600$$米，那么两人的速度分别是~\uline{~~~~~~~~~~}~米/分、~\uline{~~~~~~~~~~}~米/分．

知识标签->拓展思维->行程模块->环形跑道->相遇与追及结合

两人反向沿环形跑道跑步时，每隔$$4$$分钟相遇一次，即两人$$4$$分钟共跑完一圈；当两人同向跑步时，每$$20$$分钟相遇一次，即其中的一人比另一人多跑一圈需要$$20$$分钟．两人速度和为：$$1600 \div 4 = 400$$(米/分)，两人速度差为：$$1600 \div 20 = 80$$(米/分)，所以两人速度分别为：$$400 + 80 \div 2 = 240$$(米/分)，$$400 - 240 = 160$$(米/分)


2006年四年级竞赛创新杯 2006年第4届创新杯四年级竞赛初赛A卷第1题

$$\triangle$$, $$\bigcirc$$, and $$\square$$ each represents a number. If $$\triangle +\triangle +\triangle =60$$, $$\square \times \triangle =260$$, and $$\bigcirc \div \square =6$$, what is the value of $\bigcirc$?  $$\triangle$$, $$\bigcirc$$, 和 $$\square$$ 各代表一个数$$.$$ 若 $$\triangle +\triangle +\triangle =60$$, $$\square \times \triangle =260$$, 且 $$\bigcirc \div \square =6$$,~ $\bigcirc$的值为?

拓展思维->拓展思维->计算模块->定义新运算->反解未知数型

$$\triangle +\triangle +\triangle =60$$, $$\triangle =20$$.  $$\square \times \triangle =260$$, $$\square =13$$, $$\bigcirc \div \square =6$$, $$\bigcirc =78$$


2018年第22届广东世界少年奥林匹克数学竞赛一年级竞赛决赛第2题5分

同学们排队做操，小军的前面有$$5$$人，后面有$$6$$人，这一排一共有人．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->应用题模块排队问题->单主角求总数

小军前面$$5$$人，后面有$$6$$人，小军自己$$1$$人，  一共有：$$5+6+1=12$$（人）．  故选择$$\text{A}$$．


2016年全国美国数学大联盟杯五年级竞赛初赛第13题

【复习7】  $$2\times 4\times 8 \times 16 \times32 \times64=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．

拓展思维->拓展思维->计算模块->乘方->乘方的运算->乘方的幂运算


2010年第8届创新杯六年级竞赛初赛第10题4分

$$1$$号混合液中水、油、醋的比例为$$1:2:3$$，$$2$$号混合液中水、油、醋的比例为$$3:4:5$$，将两种混合液倒在一起后，得到的混合液中水、油、醋的比例可能为(  )．

拓展思维->能力->运算求解


2005年第3届创新杯六年级竞赛复赛第1题 2005年六年级竞赛创新杯

四个不同的质数之和为$$31$$，其中最小的质数是（  ）。

拓展思维->拓展思维->数论模块->质数与合数->特殊质数运用->特殊质数2

这四个数的和为$$31$$是奇数，那么这四个数不可能都为奇数。即这四个数中含有偶数，又偶数中质数只有$$2$$，且$$2$$为最小的质数，故这四个数中最小的质数为$$2$$，故选A。


2013年IMAS小学中年级竞赛第一轮检测试题第10题3分

有$$36$$位客人用餐，一张圆桌可坐$$5$$人，一张方桌可坐$$4$$人．请问下列哪一项安排桌子的方式可以使每位客人都有座位，且没有多余的座位？

拓展思维->能力->逻辑分析

若有$$1$$张圆桌、$$2$$张方桌，共可坐$$1\times 5+2\times 4=13$$人，少于客人人数，故不合；  若有$$2$$张圆桌、$$4$$张方桌，共可坐$$2\times 5+4\times 4=26$$人，少于客人人数，故不合；  若有$$3$$张圆桌、$$5$$张方桌，共可坐$$3\times 5+6\times 4=39$$人，多余客人人数，故不合；  若有$$4$$张圆桌、$$4$$张方桌，共可坐$$4\times 5+4\times 4=36$$人，恰等于客人人数，故满足；  若有$$5$$张圆桌、$$3$$张方桌，共可坐$$6\times 5+2\times 4=38$$人，多余客人人数，故不合；  故选$$\text{D}$$．


2019年第36届迎春杯小学中年级竞赛决赛A卷第8题10分

老师每天给学生的作业评星．小明本周周一至周五各交了一次作业，共得到了$$15$$颗星，他最多一次作业得过$$5$$颗星，最少一次作业得过$$2$$颗星、那么，他这$$5$$次作业得到的星数顺次排成的五位数有~\uline{~~~~~~~~~~}~种不同可能．

课内体系->知识点->数学广角->排列组合->组合数 拓展思维->拓展思维->计数模块->排列组合


2017年上海中环杯三年级竞赛初赛

某老师被学生问到自己的年龄时不愿意公开，但更不愿意说谎．于是她就对学生说：``我$$6$$年后年龄的$$9$$倍，减去我$$6$$年前年龄的$$9$$倍，等于我现在年龄的$$4$$倍少$$8$$岁．''想一想，如果设该老师今年$$x$$岁，那么$$6$$年后年龄的$$9$$倍应该表示为．

$$9\left( x+6\right)$$

拓展思维->拓展思维->应用题模块->年龄问题->年龄问题之差倍型


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛初赛第6题5分

如果从$$4$$本不同的语文书、$$5$$本不同的数学书、$$6$$本不同的外语书中选取$$2$$本不同学科的书阅读，那么共有种不同的选择．

拓展思维->能力->运算求解

在语文和数学中选择$$2$$本，则有：$$4\times5=20$$（种），  在语文和外语中选择，则有：$$4\times6=24$$（种），  在数学和外语中选择，则有：$$5\times6=30$$（种）．  共计：$$20+24+30=74$$（种），故选择$$\text{C}$$．


2005年第4届小机灵杯四年级竞赛初赛第10题

在所有三位数中，各数位上的和是$$9$$的数有~\uline{~~~~~~~~~~}~个．（每个数字上没有数字$$0$$）

拓展思维->思想->枚举思想

Overseas Competition->知识点->计数模块->枚举法综合->整数分拆->简单拆分->加法拆数（指定数）


2016年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第8题3分

小亮看一本故事书的正文，他从第二天开始每天比前一天多看一页，他已经连续看了$$9$$天，这本书的正文还剩$$48$$页没看．已知他第四天看了$$39$$页，请问这本数的正文总共有多少页？

拓展思维->拓展思维->计算模块->数列与数表->等差数列->等差数列求和


2011年全国华杯赛竞赛初赛第4题

老师问$$5$$名学生：``昨天你们有几个人复习数学了？''  张：``没有人．''李：``一个人．''王：``二个人．''赵：``三个人．''刘：``四个人．''  老师知道，他们昨天下午有人复习，也有人没复习，复习了的人说的都是真话，没复习的人说的都是假话．那么，昨天这$$5$$个人中复习数学的有个人．

$$5$$名学生说的话相互矛盾，只能有$$1$$人说的是真话，则只有李复习了，说的是真话．  故选：$$\text{A}$$．


2018年IMAS小学中年级竞赛（第一轮）第3题3分

$$A$$

$$B$$

$$C$$

$$D$$

$$E$$

拓展思维->思想->对应思想


2020年福建河仁杯六年级竞赛初赛A卷第1题

拓展思维->思想->转化与化归的思想


2019年第22届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛（中国区）第12题2分

小熊、小马、小牛、和小鹿各拿一只水桶同时到一个水龙头前接水，它们只能一个接一个地接水．~ 小熊接一桶水要$$5$$分钟，小马要$$3$$分钟，小牛要$$7$$分钟，小鹿要$$2$$分钟．它们所有等候时间的总和最少是 分钟．

拓展思维->能力->构造模型->模型思想

要使它们等候时间（等候时间包括接水时间）的总和最少，应该让接水用时少的先接水，即接水顺序是：小鹿、小马、小熊、小牛．  等候时间总和最少是：  $$2\times 4+3\times 3+5\times 2+7=8+9+10+7=34$$（分钟），  故选：$$\text{C}$$．


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛三年级竞赛初赛第10题5分

已知$$\triangle +\triangle =\bigcirc +\bigcirc +\bigcirc $$，$$\bigcirc +\bigcirc +\bigcirc =\square +\square +\square $$，$$\bigcirc +\square +\triangle +\triangle =100$$，则$$\square =$$．

拓展思维->拓展思维->计算模块->方程基础->等量代换->不可直接计算的算式代换

因为$$\triangle +\triangle =\bigcirc +\bigcirc +\bigcirc $$即$$2\triangle =3\bigcirc $$；  $$\bigcirc +\bigcirc +\bigcirc =\square +\square +\square $$即$$3\bigcirc =3\square $$，则$$\bigcirc =\square $$；  $$\bigcirc +\square +\triangle +\triangle =\bigcirc +\bigcirc +3\bigcirc =5\bigcirc =100$$，  所以$$\bigcirc =20$$，则$$\square =20$$，$$\triangle =30$$．  故选：$$\text{C}$$．


2008年第6届创新杯四年级竞赛复赛第5题4分 2008年四年级竞赛创新杯

四年级（$$1$$）班有$$46$$人，喜欢打乒乓球的有$$32$$人，喜欢打羽毛球的有$$26$$人，既喜欢打乒乓球又喜欢打羽毛球的至少有（  ）人。

拓展思维->拓展思维->计数模块->容斥原理->二量容斥

把喜欢打乒乓球的$$32$$人和喜欢打羽毛球的$$26$$人加起来，$$32+26=58$$（人），比全班$$46$$人多$$12$$人，所以既喜欢打乒乓球又喜欢打羽毛球的至少有$$12$$人。


2018年第21届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛复赛（中国区）第5题5分

一些学生做广播操，正好排成相等的四列，小芳所在的那一列，无论是从前面数还是从后面数小芳都是在第$$6$$个，这个班共有学生个．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->应用题模块排队问题->矩形队伍求总数

从题干可以知道，一些学生做广播操，正好排成相等的四列，也就是每一列人数相等；  小芳所在的那一列，无论是从前面数还是从后面数小芳都是在第$$6$$个，  $$5+5+1=11$$（个），那么每一列$$11$$人；  $$11\times 4=44$$（人）．  答：这个班共有学生$$44$$人．  故选$$\text{B}$$．


2010年第11届上海中环杯小学中年级三年级竞赛初赛第3题7分

又搞事！

知识标签->学习能力->七大能力->运算求解


2017年第16届湖北武汉创新杯五年级竞赛邀请赛训练题（一）

放学后，小明从学校步行回家．当小明走了全程的一半时下雨了:当雨停了时，剩下路程是他雨中步行路程的$$\frac{5}{7}$$．小明在雨中步行的路程是全程的（~ ）．

拓展思维->能力->逻辑分析

设雨中步行路程为$$7$$份，剩下路程为$$5$$份，即路程的一半是$$12$$份，所以全程$$24$$份，雨中步行路程是全程的$$\frac{7}{24}$$．


2020年长江杯五年级竞赛复赛A卷第6题5分

四

三

二

一

拓展思维->思想->对应思想


2017年IMAS小学高年级竞赛（第一轮）第2题3分

拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->整数乘除->整数除法运算->带余除法

一个正整数除以$$9$$的余数等于这个正整数的各个数码之和除以$$9$$的余数，即$$2017$$除以$$8$$的余数等于$$2+0+1+7=10$$除以$$9$$的余数，因此所求之余数为$$1$$．

故选$$\text{B}$$．


2016年第12届全国新希望杯五年级竞赛决赛第4题

平面上有$$2015$$个红色和蓝色的点，用线段连接所有的这些染色的点，则两个端点颜色不同的线段总数是（~~~ ）．

奇数

偶数

无法确定

不填

拓展思维->思想->转化与化归的思想

由于$$2015$$是奇数，所以蓝红点的奇偶性也不相同，不同的点为一红一篮，由于其中一种为偶数个，则最后线段也为偶数个． ~


2006年第4届创新杯六年级竞赛复赛第4题 1993年六年级竞赛创新杯

把足够大的一张厚度为$$0.1$$毫米的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过$$1$$厘米，至少要对折(  )

7次

8次

9次

拓展思维->拓展思维->计算模块->数列与数表->等比数列->分数等比数列


2010年全国华杯赛竞赛初赛第2题 2016年全国华杯赛小学高年级竞赛在线模拟第2题 2017年全国小升初八中入学备考课程

两条纸带，较长的一条为$$23\text{cm}$$，较短的一条为$$15\text{cm}$$．把两条纸带剪下同样长的一段后，剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍，那么剪下的长度至少是 （ ~ ~ ）$$\text{cm}$$．

拓展思维->能力->运算求解

设剪下的长度为$$x$$厘米则可以列出不等式：$$23-x \geqslant 2（15-x）$$，整理得$$x \geqslant 7$$，所以剪下的长度至少是$$7$$厘米．


2015年湖北武汉世奥赛六年级竞赛模拟训练题（二）第1题

有一列数：$$1234$$、$$5678$$、$$9101112$$、$$13141516\cdots \cdots $$每个数都是由四个连续的自然数组成．其中只有一个十三位数，它的各数位上的数字之和是．

拓展思维->能力->运算求解


2011年全国学而思杯五年级竞赛第5题 2011年全国学而思杯四年级竞赛第5题 2011年北京学而思综合能力诊断六年级竞赛第3题

2018年$$9$$月$$8$$日，云南墨江发生大约$$6$$级地震．$$2008$$年$$5$$月$$12$$日，汶川发生$$8$$级大地震．已知地震级数每升$$1$$级，地震释放能量大约扩大到原来的$$30$$倍，那么汶川大地震释放能量是黑龙江地震的~\uline{~~~~~~~~~~}~倍．


2015年全国美国数学大联盟杯五年级竞赛初赛第40题

$$A$$，$$B$$两个袋子里分别有若干个球，$$A$$袋球和$$B$$袋球的数量比是$$4:1$$．从$$A$$袋中取出若干个球放入$$B$$袋后，$$A$$袋球和$$B$$袋球的数量之比变为$$8:3$$；再从$$B$$袋中取出若干个球放入$$A$$袋后，$$A$$袋球和$$B$$袋球的数量之比变为$$9:2$$．两个袋子里最少一共有几只球?

拓展思维->能力->逻辑分析

统一份数，最终发现，$$5$$份和$$11$$份的最小公倍数是55．


2018年湖北武汉新希望杯六年级竞赛训练题（五）第4题

十进制数$$25$$转换成二进制数是．

$${{\left( 11101 \right)}_{2}}$$

$${{\left( 1011 \right)}_{2}}$$

$${{\left( 10101 \right)}_{2}}$$

$${{\left( 11001 \right)}_{2}}$$

拓展思维->思想->转化与化归的思想


2021年第8届鹏程杯四年级竞赛初赛第12题4分

拓展思维->能力->归纳总结->归纳推理


2016年新希望杯六年级竞赛训练题（一）第4题

由数字$$0-9$$组成一个三位数，三位数有数字重复的组合有种．

拓展思维->思想->对应思想


2017年北京学而思杯小学中年级四年级竞赛年度教学质量测评第18题3分

一群小朋友手拉手围成一圈做游戏．现在从其中的一个小朋友开始，按顺时针的顺序报数$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5\cdots \cdots $$报$$8$$的小朋友和报$$17$$的小朋友是同一个人．已知小朋友的人数不少于$$5$$人，不多于$$20$$人．请问：共有（~ ~ ~ ）个小朋友在手拉手做游戏．

拓展思维->能力->运算求解


2017年第13届湖北武汉新希望杯六年级竞赛决赛第5题

一本书的正文共$$193$$页，页码是从$$1$$到$$3$$位的连续自然数，这本书正文的页码共有个数码``$$1$$''．

知识标签->学习能力->七大能力->逻辑分析


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛三年级竞赛决赛第8题5分

拓展思维->思想->整体思想


2017年新希望杯六年级竞赛训练题（三）第4题 2018年湖北武汉新希望杯六年级竞赛训练题（三）第4题

贝贝看一本$$320$$页的故事书，第一天看了全书的$$\frac{1}{4}$$，第二天看了余下的$$\frac{1}{5}$$，两天一共看了页．

拓展思维->能力->逻辑分析


2016年全国迎春杯五年级竞赛初赛A卷第1题

知识标签->学习能力->七大能力->运算求解


2011年六年级竞赛创新杯

某人年初买了一支股票，该股票当年下跌了$$20 \%$$，第二年应上涨(  )\%才能回到初始值。

拓展思维->拓展思维->应用题模块->分百应用题->认识单位1


2017年湖北武汉创新杯小学高年级六年级竞赛邀请赛训练题（三）

五年级三班有$$50$$名学生，参加语文竞赛的有$$28$$人，参加数学竞赛的有$$22$$人，参加英语竞赛的有$$20$$人．如果每人最多参加两科竞赛，那么该班未参加竞赛人数最多可能有（~ ）人．

拓展思维->思想->对应思想

总人数一定，要使未参加竞赛的人数最多，那么参加两科的人数就要最多，只参加一科的人数最少，假设全是参加两科的人，一共$$\left( 28+22+20 \right)\div 2=35$$（人），此时未参加竞赛的人最多$$5035=15$$人．


2017年第16届湖北武汉创新杯六年级竞赛邀请赛训练题（二）

如果规定$$a*b=13\times a-b\div 8$$，那么$$17*24$$的最后结果是．

知识标签->拓展思维->计算模块->定义新运算->直接运算型->普通型


2018年华杯赛四年级竞赛模拟卷

课内体系->知识点->数的认识->数的特征->因数与倍数->3、5的倍数特征 拓展思维->拓展思维->组合模块->数字谜->竖式数字谜


2013年IMAS小学中年级竞赛第二轮检测试题第2题4分

有$$14$$名选手参加赛跑，选手的编号从$$1$$号开始连续编排．除了小明外，其它$$13$$名选手的号码之总和恰好是$$100$$．请问小明的号码是什么？

拓展思维->拓展思维->计算模块->数列与数表->等差数列->等差数列的概念


2018年湖北武汉创新杯小学高年级六年级竞赛初赛数学思维能力等级测试第4题4分

在$$2000$$、$$2001$$、$$2002\cdots \cdots 2017$$这$$18$$个连续自然数中，能表示为两个自然数平方之差的数有（~ ）个．

拓展思维->拓展思维->数论模块->完全平方数->平方数的简单应用


2011年五年级竞赛创新杯

设a是一个满足下列条件的最大的正整数:使得a除64的余数是4，用a除155的余数是5，用a除187的余数是7.则$$a=$$(  ).

拓展思维->拓展思维->数论模块->余数问题->余数的性质->余数的可加性

$$a\left\textbar{} 60 \right.$$，$$a\left\textbar{} 150 \right.$$，$$a\left\textbar{} 180 \right.$$，$$\left( 60，150，180 \right)=30$$


2016年全国希望杯六年级竞赛复赛第12题5分

两根粗细相同，材料相同的蜡烛，长度比是$$21:16$$，它们同时开始燃烧，$$18$$分钟后，长蜡烛与短蜡烛的长度比是$$15:11$$，则较长的那根蜡烛还能燃烧~\uline{~~~~~~~~~~}~分钟．

拓展思维->能力->构造模型->模型思想


2018年湖北武汉新希望杯小学高年级五年级竞赛训练题（三）第2题

$$42$$的因数共有个．

拓展思维->拓展思维->数论模块->因数与倍数->因数个数定理->因数个数定理正应用->总个数


2013年华杯赛六年级竞赛初赛

水池$$A$$和$$B$$同为长$$3$$米，宽$$2$$米，深$$1.2$$米的长方体。$$1$$号阀门用来向$$A$$池注水，$$18$$分钟可将无水的$$A$$池注满；$$2$$号阀门用来从$$A$$池向$$B$$池放水，$$24$$分钟可将$$A$$池中满池水放入$$B$$池。若同时打开$$1$$号和$$2$$号阀门，那么当$$A$$池水深$$0.4$$米时，$$B$$池有(  )立方米的水。

拓展思维->拓展思维->应用题模块->工程问题->进水与排水问题


2021年第4届山东青岛市南区京山杯六年级竞赛决赛A卷第2题4分

相传有个人不讲究说话艺术常引起误会．一天他摆宴席请客，他看到还有几个人没来，就自言自语：``怎么该来的还不来呢?''客人听了，心想难道我们是不该来的，于是有一半客人走了，他一看十分着急，又说：``不该走的倒走了！''剩下的人一听，是我们该走啊！又有剩下的三分之二的人离开了，他着急地一拍大腿，连说：``我说的不是他们．''于是最后剩下的四个人也都告辞走了，聪明的你能知道刚开始来了位客人吗？

拓展思维->能力->符号代换->代数运算

可以设原来有$$x$$人，第一批走了$$\frac{1}{2}x$$，第二批走了$$\frac{2}{3}\left( x-\frac{1}{2}x \right)$$，剩下四人，以人数为等量关系可列方程求解．  解：设原来有$$x$$人，  $$\begin{eqnarray}\frac{1}{2}x+\frac{2}{3}\left( x-\frac{1}{2}x \right)+4\&=\&x   x\&=\&24\end{eqnarray}$$  ∴开始来了$$24$$个客人．  故选$$\text{A}$$．


2013年IMAS小学高年级竞赛第二轮检测试题第2题4分

请问下面哪一项叙述一定是正确的？

几个奇数之和一定是奇数

一个偶数加上一个奇数结果为偶数

两个质数之和一定是偶数

两个奇数之和一定是合数

连续三个正整数中一定有一个数能被$$3$$整除

拓展思维->拓展思维->数论模块->奇数与偶数->奇数与偶数的认识


其它改编自2014年全国希望杯六年级竞赛初赛第20题

拓展思维->能力->运算求解


2020年第25届YMO五年级竞赛决赛第9题

在一次数学考试中，已知每个同学的分数都是整数，最高分为$$90$$分，老师随便挑选出$$4$$人，他们的得分各不相同，且平均分为$$87$$分，那么这$$4$$位同学中分数最低的那一位至少得~\uline{~~~~~~~~~~}~分．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题->综合题->平均数最值


2017年河南郑州K6联赛竞赛模拟第六套第3题4分

下列哪一个算式最适合估计$$4.9\div \frac{1}{4}-6\frac{11}{12}$$的值？（ ~ ~）．

$$5\div 4-6$$

$$5\times 4-7$$

$$5\div 4-7$$

$$5\times 4-6$$

拓展思维->思想->对应思想


2017年第16届湖北武汉创新杯六年级竞赛邀请赛训练题（二）

甲乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半，甲完成任务的$$1/3$$时，乙加工了$$50$$个零件，甲完成$$3/5$$时乙完成了一半．这批零件共有（~ ）个．

拓展思维->思想->对应思想

甲完成$$2/3$$时乙完成了一半，则有甲完成任务的$$1/3$$时，乙应该完成任务的$$\left( 1/2 \right)/2=1/4$$，即是$$45$$个．所以，零件共有：$$45/\left( 1/4 \right)*2=360$$个．


2018年四川成都锦江区四川师范大学附属第一实验中学小升初模拟12第3题3分

2017年四川成都六年级竞赛“全能明星”选拔赛第9题2分

2017年四川成都锦江区四川师范大学附属第一实验中学小升初模拟（五）第9题2分

2018~2019学年四川成都双流区四川师范大学附属圣菲小学六年级上学期开学考试第3题3分

往浓度为$$10 \%$$，质量为$$400$$克的糖水中加入克水，就可以得到浓度为$$8 \%$$的糖水．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->浓度问题->浓度基本题型->已知溶液溶剂求溶质


2020年广东深圳龙岗区亚迪学校迎春杯五年级竞赛模拟第21题2分 小学高年级五年级下学期其它

拓展思维->思想->对应思想

$$a$$、$$b$$、$$c$$、$$d$$都是非零自然数，$$a\textgreater b\textgreater c\textgreater d$$，  利用：分子相同，分母越大，分数越小，  可知：$$\frac{1}{a}\textless\frac{1}{b}\textless\frac{1}{c}\textless\frac{1}{d}$$，  所以$$\frac{1}{a}$$最小．  故选$$\text{A}$$．


2017年陕西西安小升初某工大附中 2017年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学小升初（二）第3题3分 2017年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学小升初(十)第3题3分 2016年创新杯六年级竞赛训练题（四）第4题 2018年陕西西安小升初分类卷15第5题

盒子中原来有$$4$$个小球，魔术师从中任取几个小球，把每一个小球都变成$$9$$个小球放回盒中；他又从中任取一些小球，把每一个小球又都变成$$9$$个小球放回盒中；如此进行，到某一时刻魔术师停止取球变魔术，此时盒中球的总数可能是．

知识标签->课内知识点->随机现象->随机现象的可能性


2020年新希望杯二年级竞赛初赛（团战）第52题

拓展思维->能力->数感认知->整数数字加工

根据题意分析可知，个数数字与十位数字相同的两位数有$$10$$个，两位数一共有$$91$$个，  由此可知，个位数字与十位数字不同的两位数有$$91-10=81$$（个）．  故选$$\text{C}$$．


2016年新希望杯六年级竞赛训练题（三）第1题

市政府大楼和某大学之间是一条$$204$$米长的道路，现要在这条路的两侧种树，且每一侧每两棵树的间隔为$$12$$米．若每棵树需要$$50$$元人工费，则至少需要元预算．

拓展思维->能力->逻辑分析

间隔刚好为$$12$$米时，预算最少．  $$2\times \left( \frac{204}{12}-1 \right)\times 50=1600$$（元）．


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛二年级竞赛决赛第7题5分

今年哥哥$$15$$岁，弟弟$$7$$岁，问年前，哥哥的年龄是弟弟的$$3$$倍．

拓展思维->能力->实践应用

根据题意分析可知，哥哥$$15$$岁，弟弟$$7$$岁，哥哥比弟弟大$$15-7=8$$（岁），  当哥哥的年龄是弟弟的$$3$$倍时，弟弟的年龄为：$$8\div 2=4$$（岁），  故：$$7-4=3$$（年）前哥哥的年龄是弟弟的$$3$$倍，故选答案$$\text{B}$$ ．


2017年河南郑州K6联赛竞赛模拟第7题 2017年河南郑州模拟考试k6考试第7题

有$$5$$个轻重、大小完全相同的小球，编号分别为$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$m$$和$$n$$，把它们放入不透明的盒子中，任意摸出两个球，如果是$$m$$和$$n$$，则有奖．那么，摸一次，获奖的可能性是（~ ）．

知识标签->拓展思维->计数模块->统计与概率->概率->典型问题->摸小球

一共有$$5$$个球，每次摸两个，则这些球中任意球都可能和其它的球组合，每一个球和其它球的组合方式有$$4$$种，所以$$4\times 5=20$$种，排除重复的，还剩$$20\div 2=10$$个球，而同时摸到$$m$$和$$n$$的只有一种，所以可能性是$$\frac{1}{10}$$．


2005年五年级竞赛创新杯

拓展思维->拓展思维->组合模块->数字谜->竖式数字谜->竖式数字谜的最值

这5个奇数的和不变，那么当其中最大的奇数越大越好时，其余4个奇数越小越好，即当$${{a}_{1}}，{{a}_{2}}，{{a}_{3}}，{{a}_{4}}$$取最小值时，$${{a}_{5}}$$有最大值，那么$${{a}_{5}}$$有最大值为$$85-\left( 1+3+5+7 \right)=69$$.同样当其中最大奇数越小越好时，这5个奇数越接近越好，当这5个奇数最接近时每两个数之间的差为2，这时这5个数的和为5的倍数，又85刚好能被5整除，且$$85\div 5=17$$为奇数正好成立，那么$${{a}_{5}}$$的最小值为$$17+2+2=21$$，故$$M=69，m=21$$选C.


2020年长江杯六年级竞赛复赛A卷第2题5分

甲、乙、丙三个人进行$$100$$米赛跑，假设他们三人都是匀速前进，当甲到终点时，乙离终点还有$$10$$米，丙离终点还有$$19$$米．当乙到达终点时，丙离终点还有米．

拓展思维->思想->对应思想

甲、乙、丙三个人进行$$100$$米赛跑，注意到他们三人都是匀速前进，当甲到 终点时，乙距离终点还有$$10$$米，丙距离终点还有$$19$$米，这样可以知道甲、乙、丙三人的路程，他们在相同时间内，甲跑了$$100$$米，乙跑了$$90$$米，丙跑了$$81$$米，因此他们的路程比为$$100:90:81$$，当乙到达终点时，乙的路程为$$10$$米，由于乙和丙的路程比为，乙$$:$$丙$$=90:81=10:9$$，所以乙的路程为$$10$$米时，丙的路程为$$9$$米，由于丙离终点还有$$19$$米，所以当乙到达终点时，最后的丙离终点：$19-9=10$（米）．  故选$$\text{A}$$．


2008年第6届创新杯六年级竞赛初赛A卷第6题5分

$$A$$、$$B$$、$$C$$，$$D$$四个数，每次去掉一个数，将其余$$3$$个数求平均数．这样计算了四次，得到下面四个数：$$23$$，$$26$$，$$30$$，$$33$$，$$A$$，$$B$$，$$C$$，$$D$$四个数的平均数是．

拓展思维->能力->运算求解

不妨设$$A\geqslant B\geqslant C\geqslant D$$，  则$$B+C+D=23\times 3=69$$，  $$A+C+D=26\times 3=78$$，  $$A+B+D=30\times 3=90$$，  $$A+B+C=33\times 3=99$$四个等式相加得$$3\times \left( A+B+C+D \right)=336$$，  从而$$A+B+C+D=112$$，  所以$$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$的平均数为$$112\div 4=28$$．  故选$$\text{C}$$．


2014年迎春杯五年级竞赛初赛 2014年迎春杯三年级竞赛初赛

甲乙两人比赛折返跑，同时从$$A$$点出发，到达$$B$$点后，立即返回，先回到$$A$$点的人获胜。甲先到达$$B$$点，在距离$$B$$点$$24$$米的地方遇到乙。相遇后，甲的速度减为原来的一半，乙的速度保持不变。在距离终点$$48$$米的地方，乙追上甲。那么，当乙到达终点时，甲距离终点还有（  ）米。

拓展思维->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->两人相遇与追及问题->相遇问题->同时出发相向而行

解：设$$A$$、$$B$$之间的距离是$$x$$米，则第一次相遇时，甲跑的路程是$$x+24$$米，乙跑的路程是$$x-24$$米，  所以第一次相遇时甲乙的速度之比是：$$(x+24):\left( x-24 \right)$$，  第二次相遇时甲乙的速度之比是：$$\left( x-24-48 \right):(x+24-48)=\left( x-72 \right):\left( x-24 \right)$$；  所以$$(x+24):\left( x-24 \right)=2\left( x-72 \right):\left( x-24 \right)$$，  因此$$x+24=2\left( x-72 \right)$$，  解得$$x=168$$，  即两地之间的距离是$$168$$米，  所以第二次相遇时甲乙的速度之比是：  $$\left( 168-72 \right):\left( 168-24 \right)$$  $$=96:144$$  $$=2:3$$  所以乙到达终点时，甲跑的路程是：  $$(168+24)\times \frac{2}{3}$$  $$=192\times \frac{2}{3}$$  $$=128$$（米），  因此当乙到达终点时，甲距离终点：  $$168-24-128=16$$（米）  答：当乙到达终点时，甲距离终点$$16$$米。  故选：D。


2008年五年级竞赛创新杯 2008年第6届创新杯五年级竞赛初赛A卷第10题5分

某游乐场在开门前有$$400$$人排队等待，开门后每分钟来的人数是固定的，$$1$$个入口每分钟可以进入$$10$$个游客。如果开放了$$4$$个入口，$$20$$分钟后就没有人排队。现在开放$$6$$个入口，那么开门（  ）分钟后没有人排队。

拓展思维->拓展思维->应用题模块->牛吃草问题->牛吃草转化型->生活中的牛吃草->其他问题

$$4$$个入口$$20$$分钟可以进游客$$4\times 10\times 20=800$$（人），即$$20$$分钟来了游客$$800-400=400$$（人），所以每分钟来游客$$20$$人。 设开放$$6$$个入口，开门$$x$$分钟后没有游客排队，则$$400+20x=6\times 10\times x$$ 解得$$x=10$$，故开放$$6$$个入口，开门$$10$$分钟后就没有游客排队。


2011年全国华杯赛竞赛初赛第4题

老师问学生：``昨天你们有几人复习数学了？''  张：``没有人．''  李：``一个人．''  王：``二个人．''  赵：``三个人．''  刘：``四个人．''  老师知道，他们昨天下午有人复习，也有人不复习．复习的人说的都是真话，没复习的人说的都是假话．那么，昨天这$$5$$个人中复习数学的有人．

$$5$$名学生说的话相互矛盾，只能有$$1$$人说的是真话，则只有李复习了，说的是真话．  故选：$$\text{B}$$．


2020年希望杯二年级竞赛模拟第19题

把$$3$$、$$3$$、$$5$$、$$9$$分别放入方格中，和最小是．  $$\square \square +\square \square $$

拓展思维->能力->逻辑分析

要使得和最小，那么两个因数应该尽可能的小；  如果要求两个因数尽可能的小，那么两个因数十位应该填入较小数，  即这两个因数应该是：$$35+39=74$$，  所以和最小是$$\text{B}$$．


2014年第12届全国创新杯小学高年级六年级竞赛第1题 小学高年级六年级其它2014年数学思维能力等级测试第1题

拓展思维->思想->逐步调整思想


2003年第1届创新杯六年级竞赛复赛第1题

$$1+2-3\times 4\div 5+6-7\times 8\div 9$$的计算结果是．

拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->四则混合运算