2021年第8届鹏程杯五年级竞赛初赛第20题4分

仅用$$1$$和$$2$$两个数码组成的，能被$$9$$整除的八位数有个．

拓展思维->拓展思维->数论模块->整除->整除特征->和系整除特征应用

能被$$9$$整除的八位数，则这个八位数的数字和必须是$$9$$的倍数，  又因为只能由数字$$1$$和$$2$$构成，  所以数字和只能$$9$$，则能是七个$$1$$和一个$$2$$，  所以只用给$$2$$选一个位置就可以，一共是八位数，所以有八个．  故选$$\text{A}$$．


2014年第26届广东广州五羊杯六年级竞赛第1题4分

有糖水若干克，第一次加水若干，浓度变为$$4 \%$$；然后又加入同样多的水，浓度变为$$3 \%$$；第三次再加入同样多的水，这时浓度变为．【本题欣赏题】答案：C

$$1 \%$$

$$2 \%$$

$$2.4 \%$$

$$2.8 \%$$

拓展思维->拓展思维->应用题模块->浓度问题->抓不变量


2018年第22届广东世界少年奥林匹克数学竞赛二年级竞赛决赛第4题5分

$$10$$个小朋友排一队，从前面数小红排在第$$2$$个，小军排在小红后面第$$4$$个，那么小军从后往前数排第个．

拓展思维->能力->构造模型->模型思想

从前往后数，小军排第$$2+4=6$$个，则从后往前数，小军排：$$10-6+1=5$$个．  故选择$$\text{B}$$．


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛决赛第7题5分

一个两位奇数除$$1477$$，余数是$$49$$，那么这个两位奇数是．

拓展思维->思想->对应思想

本题是利用了除法算式中各部分的关系求解．  根据被除数$$=$$除数$$\times $$商$$+$$余数，  除数应是被除数$$-$$余数的因数，除数大于余数，由此解决问题．  $$1477-49=1428$$，  $$1428=7\times 2\times 2\times 3\times 17$$，  所以$$1428$$大于$$49$$的两位数因数有：  $$17\times 3=51$$，  $$2\times 2\times 17=68$$，  $$2\times 2\times 3\times 7=84$$，  所以这个两位奇数是$$51$$、$$68$$、$$84$$．  故答案为：$$\text{C}$$．


2018年第22届广东世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛初赛第1题6分

已知一个长方体的长宽高分别为$$3$$个连续自然数，并且这三个自然数均为合数，那么，这个长方体的体积最小是．

拓展思维->能力->逻辑分析


2006年第4届创新杯六年级竞赛初赛B卷第9题

在一家三口人中，每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄得到$$47$$，$$61$$，$$60$$，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是．

拓展思维->思想->方程思想


2016年创新杯五年级竞赛训练题（四）第13题 2014年全国世奥赛五年级竞赛第11题5分

某班军训时进行射击比赛，几名教官在讨论该班的成绩  ~ ~ ~ ~王教官说：``这次军训时间太短，这个班没有人射击成绩会是优秀．''  ~ ~ ~ ~孙教官说：``不会吧，有几个人以前训练过，他们的射击成绩会是优秀．''  ~ ~ ~ ~周教官说：``我看班长或是体育委员能打出优秀成绩．''  结果发现三位教官中只有一人说对了．  由此可以推出以下~\uline{~~~~~~~~~~}~选项肯定为真．

全班所有人的射击成绩都不是优秀

班里所有人的射击成绩都是优秀

班长的射击成绩是优秀

体育委员的射击成绩不是优秀

拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->假设型逻辑推理->真假话->找矛盾

王教官和孙教官的说法矛盾，二人必有一对一错，因为只有一个人对，故周教官是错的，因此班长和体育委员都不优秀，选$$\rm D$$．


2020年广东深圳龙岗区亚迪学校迎春杯五年级竞赛模拟第23题2分

五年级举行安全知识竞赛，共有$$20$$道试题．做对一道得$$5$$分，做错或没做一道都要扣$$3$$分．笑笑得了$$60$$分，那么她做对了道题．

拓展思维->思想->方程思想


2017年全国美国数学大联盟杯小学中年级四年级竞赛初赛

拓展思维->思想->对应思想


2019年第24届YMO六年级竞赛决赛第7题3分

有一个$$12$$级的楼梯．某人每次能登上$$1$$级或$$2$$级或$$3$$级，现在他要从地面登上第$$12$$级，有种不同的方式．

拓展思维->能力->逻辑分析


2017年世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛初赛A卷第8题5分

选择``$$+$$、$$-$$、$$\times $$、$$\div $$''填入圆圈中，使得等式$$21\bigcirc 10\bigcirc 2\bigcirc 8=24$$成立．

$$\times $$；$$\div $$；$$+$$．

$$\times $$；$$\div $$；$$-$$．

$$-$$；$$\div $$；$$-$$．

$$-$$；$$\div $$；$$+$$．

知识标签->课内知识点->数与运算->混合运算->整数四则混合运算


2006年第4届创新杯四年级竞赛复赛第9题

从山下到山上的路程是$$1200$$米，小华上山时平均速度为每分钟走$$60$$米，下山时平均每分钟走$$120$$米，则小华往返行程中的平均速度是每分钟走米．

拓展思维->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->路程速度时间->平均速度->公式法

路程$$=$$速度$$\times $$时间，而平均速度$$=$$总路程$$\div $$总时间，因此上山的时间为：$$1200\div 60=20$$（分），下山时间为$$1200\div 120=10$$（分），总时间为$$20+10=30$$（分），总路程为$$1200\times 2=2400$$（米） ，平均速度:$$2400\div 30=80$$（米/分），故选：$\text{B}$．


2020年世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛复赛第1题12分

奶茶店用$$2$$份红茶、$$3$$份水和$$5$$份牛奶调配制作成奶茶，如果这三种材料都是$$5$$千克，当红茶全部用完时，水需要增加多少千克？


2014年北京学而思杯六年级竞赛B卷第6题 2014年全国学而思杯六年级竞赛B卷第6题

甲、乙两所小学，甲校的人数是乙校人数的$$\frac{2}{5}$$，甲校的女生人数占全校人数的$$40 \%$$，乙校男生人数占全校人数的$$60 \%$$．如果将甲、乙两校合并，女生人数占总人数的$$ \%$$．

拓展思维->能力->构造模型->模型思想


2019年第7届湖北长江杯五年级竞赛复赛B卷第10题3分

拓展思维->思想->枚举思想


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛二年级竞赛决赛第1题5分

小明今年$$7$$岁，小刚今年$$4$$岁，$$2$$年后，小明比小刚大岁．

拓展思维->能力->数据处理

根据题意分析可知，今年小明比小刚大：$$7-4=3$$（岁），年龄差是一直不变的，所以$$2$$年后小明也比小刚大$$3$$岁，故选答案：$$\text{C}$$．


2012年第10届全国创新杯小学高年级六年级竞赛第8题4分

某校师生到郊外植树，已知老师人数是学生人数的$$\frac{1}{3}$$，若每位男生种$$13$$棵树，女生每人种$$10$$棵树，每个老师种$$15$$棵树，他们一共种了$$201$$棵树，那么老师有（~ ）人．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->列方程解应用题->不定方程解应用题


2014年全国迎春杯四年级竞赛初赛第8题

有一种特殊的计算器，当输入一个$$10$ $49$$的数$$A$$后，计算器会先算$$A+A$$，然后将所得结果的十位和个位顺序颠倒，再加$$2$$后显示出最后的结果．那么，下列四个选项中，可能是最后显示的结果．

拓展思维->能力->运算求解

倒推．$$44$$ 对应的是$$44-2=42$$，颠倒后是$$24$$，平均分后为$$12$$．符合条件．其他的均不符合条件．


2017年四川成都六年级竞赛“全能明星”选拔赛第1题2分 2017年四川成都锦江区四川师范大学附属第一实验中学小升初模拟（五）第1题2分

拓展思维->能力->运算求解


2019年第22届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛（中国区）第15题2分

上午$$8$$点整，甲从$$A$$地出发匀速去$$B$$地，$$8$$点$$20$$分甲与从$$B$$地出发匀速去$$A$$地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的$$3$$倍，乙速度不变；$$8$$点$$30$$分，甲，乙两人同时到达各自的目的地．那么，乙从$$B$$地出发时是$$8$$点分．

拓展思维->思想->对应思想

本题考查比的应用和路程问题；首先，根据题意可知甲在相遇前的路程即为乙在相遇后的路程，甲在相遇后的路程即为乙在相遇前的路程；  相遇后，甲从$$A$$地出发到与乙相遇的$$20$$分钟路程乙用了$$10$$分钟，可知乙的速度是甲原速度的$$2$$倍；遇后甲将速度提高到原来的$$3$$倍，可知乙的速度：甲相遇后的速度$$=2:3$$，因此，甲在相遇后花了十分钟，因此乙相遇前所花时间$$:$$甲相遇后所花时间$$=3:2$$，乙在相遇前花了$$(30-20)\div \frac{2}{3}=15$$分钟，  $$8$$时$$20$$分$$-8$$时$$15$$分$$=8$$时$$5$$分，  所以乙从$$B$$地出发时是$$8$$点$$5$$分．  故选Ａ．


2013年华杯赛四年级竞赛初赛 2013年华杯赛四年级竞赛初赛

小东、小西、小南、小北四个小朋友在一起做游戏时，捡到了一条红领巾，交给了老师．  老师问：是谁捡到的？  小东说：不是小西．  小西说：是小南．  小南说：小东说的不对．  小北说：小南说的也不对．他们之中只有一个人说对了，这个人是．

小东

小西

小南

小北

拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->假设型逻辑推理

小东与小南说的话对立，所以两人中一定一对一错．已知只有一个人说对了，则小西和小北说的是错的．"小北说：小南说的也不对．"这句话是错的，可知小南说的是对的．  故选：$$\text{C}$$．


2016年第20届四川成都华杯赛小学中年级竞赛B卷第1~6题60分 2015年北京华杯赛小学高年级竞赛初赛A卷第5题

一只旧钟的分针和时针每重合一次，需要经过标准时间$$66$$分．那么，这只旧钟的$$24$$小时比标准时间的$$24$$小时（~ ~ ~ ）．

拓展思维->能力->实践应用

时针速度为每分钟$$0.5$$度，分针速度为每分钟$$6$$度．分钟每比时针多跑一圈，即多跑$$360$$度，时针分针重合一次．经过$$\frac{360}{6-0.5}=\frac{720}{11}$$（分），旧钟时针分针重合一次，需要经过标准时间$$66$$分钟；则旧钟的$$24$$小时，相当于标准时间的$$\frac{24\times 60}{\frac{720}{11}}\times 66=1452$$（分），所以比标准时间$$24$$小时对应的$$24\times 60=1440$$分钟多了$$1452-1440=12$$（分），即慢了$$12$$分钟．

正常时钟分针和时针重合一次需要$$\frac{360}{360-30}\times 60=\frac{720}{11}$$（分），而旧钟需要$$66$$分，因此旧钟比正常时钟慢，且正常时钟和旧钟的时间比为$$\frac{720}{11}:66=\frac{720}{726}=\frac{120}{121}$$，所以正常时钟走$$24$$小时，旧钟需要走$$24$$小时多$$12$$分钟，因此这只旧钟比标准时间慢$$12$$分钟．


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛一年级竞赛初赛第6题5分

蛋君举办了一年一度的汽车大赛，本次有$$4$$辆汽车进行了$$4$$场比赛，每场比赛结果如下：  （$$1$$）$$1$$号汽车比$$2$$号汽车跑得快；  （$$2$$）$$2$$号汽车比$$3$$号汽车跑得快；  （$$3$$）$$3$$号汽车比$$4$$号汽车跑得慢；  （$$4$$）$$4$$号汽车比$$1$$号汽车跑得快．  汽车跑得最快．

拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->比较型逻辑推理


2015年第14届春蕾杯一年级竞赛初赛第5题1分

小王说：小南比我高；小南说：我比园园矮；小朱说：我还没有小王高  呢；问四个小朋友哪个最高？答．

小王

小南

小朱

园园

拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->比较型逻辑推理

根据题意分析可知，小胖比小王高，所以小胖的身高高于小王，小胖说比园园矮，所以园园的身高高于小胖，小朱没有小王高，所以小王的身高高于小朱，由此可知，四个人的身高从高到低位：园园$$\textgreater$$小胖$$\textgreater$$小王$$\textgreater$$小朱．  故选$$\text{D}$$．


2013年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第20题4分

$$P$$、$$Q$$、$$R$$、$$S$$四位小朋友在计算$$\frac{4}{5}+\frac{5}{6}+\frac{7}{9}+\frac{9}{11}$$时，$$P$$不小心把$$\frac{4}{5}$$的分子、分母颠倒了，$$Q$$不小心把$$\frac{5}{6}$$的分子、分母颠倒了，$$R$$不小心把$$\frac{7}{9}$$的分子、分母颠倒了，$$S$$不小心把$$\frac{9}{11}$$的分子、分母颠倒了．请问哪一位小朋友计算出来的结果与正确答案的值相差最小？

$$P$$

$$Q$$

$$R$$

$$S$$

无法确定

拓展思维->拓展思维->计算模块->分数->分数运算->分数加减


2013年第9届全国新希望杯小学高年级六年级竞赛复赛第1题4分

拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题->公式类->加权平均数

$$\left( 9\times 11+11\times 2+13\times 3 \right)\div 16=10$$．


2014年迎春杯三年级竞赛复赛

过年了，小明家买了很多瓶果汁。年三十喝了总量的一半少$$1$$瓶；初一又喝了剩下的一半；初二又喝了剩下的一半多$$1$$瓶，这时还剩$$2$$瓶没有喝，那么小明家一共买了（  ）瓶果汁。

拓展思维->拓展思维->应用题模块->还原问题->两量还原问题

解：初二没喝之前有：$$(2+1)\times 2=6$$（瓶），  初一没喝之前有$$6\times 2=12$$瓶，  一共有：$$\left( 12-1 \right)\times 2$$  $$=11\times 2$$  $$=22$$（瓶）  答：小明家一共买了$$22$$瓶果汁。  故选：B。


2021年新希望杯五年级竞赛模拟（考前培训100题）第2题

拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->多位数计算->多位数的加减运算


2018年IMAS小学中年级竞赛（第一轮）第7题3分

将数码和为$$3$$且不含数码$$2$$的所有正整数从小到大排列，请问最小三个数的和是多少？

拓展思维->拓展思维->应用题模块->和差倍问题->和差问题->二量和差问题->明和明差


2014年迎春杯四年级竞赛复赛

小元和小芳合作进行一项$$10000$$字的打字作业，但他们都非常马虎，小元每打$$10$$个字，就会打错$$1$$个；小芳每打$$10$$个字，就会打错$$2$$个。最后，当两人完成工作时，小元打正确的字数恰好是小芳打正确的字数的$$2$$倍。那么，两人打正确的字共有（  ）个。

拓展思维->拓展思维->应用题模块->工程问题->合作工程问题->已知工时反推->多人合作

解：依题意可知小元每打$$10$$份的字数就会打错$$1$$份，小芳每打$$10$$份的字数就会打错$$2$$份，即小芳打$$5$$份的字数只能正确$$4$$份，打错$$1$$份。  小元和小芳每错一份正确的字数比为$$9:4$$。因为总的正确数量比为$$2:1$$。那么小元和小芳的答错题的份数比为$$\frac{2}{9}:\frac{1}{4}=8:9$$，  小元和小芳答正确的份数为$$(8\times 9):(4\times 9)=72:36$$。  小元答题总数为：$$72\div 9\times 10=80$$（份）  小芳答题总数为：$$36\div 4\times 5=45$$（份）  总字数份数为：$$80+45=125$$（份）  每份字数为：$$10000\div 125=80$$（字）  小元和小芳共正确的字数为：$$(72+36)\times 80=8640$$（字）  故选：D。


2021年第8届鹏程杯五年级竞赛初赛第1题4分

把奇数按以下规律进行分组：$$\left( 1 \right)$$，$$\left( 3,5 \right)$$，$$\left( 7,9,11 \right)$$，$$\cdots $$其中第$$1$$组有$$1$$个数，第$$2$$组有$$2$$个数，第$$3$$组有$$3$$个数，第$$4$$组有$$4$$个数\ldots\ldots 那么第$$100$$组中的$$100$$个数的和为．

以上都不对

拓展思维->拓展思维->计算模块->公式类运算->连续自然数立方和公式


2017年第13届湖北武汉新希望杯小学高年级六年级竞赛决赛第4题

将$$1$$千克甲种盐水与$$2$$千克浓度为$$20 \%$$的乙种盐水混合后，浓度变为$$25 \%$$，甲种盐水的浓度为（~ ~ ~ ）．

$$30 \%$$~~~~~~~

$$35 \%$$~~~~~~~

$$40 \%$$~~~~~~~

$$45 \%$$

拓展思维->拓展思维->应用题模块->浓度问题->抓不变量


2020年四川绵阳涪城区绵阳东辰国际学校超越杯四年级竞赛第8题2分

小林家住九楼，放学回家时，从$$1$$楼走到$$4$$楼共用了$$48$$秒；照这样，小林回到家还要秒．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->间隔问题->直线型两端都有->爬楼梯问题

从题干可以知道，小林家住九楼，放学回家时，从$$1$$楼走到$$4$$楼共用了$$48$$秒，  也就是爬了三层楼用了$$48$$秒，爬一层楼需要：$$48\div3=16$$（秒），  小林还需要爬$$5$$层楼，$$16\times5=80$$（秒），也就是还需要$$80$$秒．  故选$$\text{B}$$；


2017年全国小学低年级二年级其它思维创新大通关第8讲周期问题第15题 2017年第11届北京学而思综合能力诊断二年级竞赛第14题 2017年第11届北京学而思杯小学低年级二年级竞赛第14题12分

艾迪同学在$$2017$$年$$4$$月$$1$$日养了一盆仙人掌，但是粗心的艾迪总是会忘了给仙人掌浇水，每周日和周一才记得给仙人掌浇水．如果一个月内浇仙人掌的天数少于$$9$$天，仙人掌就会退化变成仙人球．已知$$2017$$年$$4$$月$$1$$日是周六，那么在~\uline{~~~~~~~~~~}~月，仙人掌会因为浇水天数不够而退化成仙人球．

Overseas Competition->知识点->应用题模块->周期问题
拓展思维->思想->逐步调整思想

$$4$$月份有$$30$$天，$$30=7\times 4+2$$，$$4$$月$$1$$日是周六，则$$4$$月$$30$$日是周日，所以$$4$$月份有$$5$$个周日，$$4$$个周一，浇水的天数等于$$9$$天，不会退化成仙人球；$$5$$月份有$$31$$天，$$31=7\times 4+3$$，$$5$$月$$1$$日是周一，则$$5$$月$$31$$日是周三，所以$$5$$月份有$$4$$个周日，$$5$$个周一，浇水的天数等于$$9$$天，不会退化成仙人球；$$6$$月份有$$30$$天，$$30=7\times 4+2$$，$$6$$月$$1$$日是周四，则$$6$$月$$30$$日是周五，所以$$6$$月份有$$4$$个周日，$$4$$个周一，浇水的天数小于$$9$$天，所以会退化成仙人球．  $$4$$月份有$$30$$天，每个星期有$$7$$天，  又因为$$4$$月$$1$$日是周六，  所以$$4$$月的每一个星期周期都是以周六开始，周五结束，  这样的周期共有$$30\div7=4$$（个）$$\cdots\cdots2$$（天），  则$$4$$月$$30$$日是周五往后数两天，则为周日，  所以$$4$$月份有$$5$$个周日，$$4$$个周一，浇水的天数等于$$9$$天，不会退化成仙人球．  $$5$$月份有$$31$$天，$$5$$月$$1$$日是周一，每个周期从周一开始，周日结束，  这样的周期有$$31\div7=4$$（个）$$\cdots\cdots3$$（天），  则$$5$$月$$31$$日是周日往后数$$3$$天，为周三，  所以$$5$$月份有$$4$$个周日，$$5$$个周一，浇水的天数等于$$9$$天，不会退化成仙人球．  $$6$$月份有$$30$$天，$$6$$月$$1$$日是周四，每个周期从周四开始周三结束，  这样的周期有$$30\div7=4$$（个）$$\cdots\cdots2$$（天），  则$$6$$月$$30$$日是周三往后数$$2$$天，是周五，  所以$$6$$月份有$$4$$个周日，$$4$$个周一，浇水的天数小于$$9$$天，所以会退化成仙人球．


2016年全国华杯赛小学中年级竞赛初赛第4题

甲、乙、丙、丁四支足球队进行比赛．懒羊羊说：甲第一，丁第四；喜羊羊说：丁第二，丙第三；沸羊羊说：丙第二，乙第一，每个的预测都只对了一半，那么，实际的第一名至第四名的球队依次是（~ ~ ~ ）．

甲乙丁丙

甲丁乙丙

乙甲丙丁

丙甲乙丁

拓展思维->思想->分类讨论思想

假设懒羊羊所说的``甲第一''正确，则``丁第四''错误；沸羊羊所说的``乙第一''错误，则``丙第二''正确；此时喜羊羊的两句话都错误，与题意不符，故假设不成立．  假设懒羊羊所说的``甲第一''错误，则``丁第四''正确；喜羊羊所说的``丁第二''错误，则``丙第三''正确；沸羊羊所说的``丙第二''错误，则``乙第一''正确．故实际的第一名至第四为：乙甲丙丁．  故选$$\text{C}$$．


2011年六年级竞赛创新杯

连接武汉与广州的高铁，中途只停六个车站，那么应该印制（  ）种车票。

拓展思维->拓展思维->计数模块->排列组合->组合->组合的基本运算

加上首尾两站共$$8$$个站，共有$$\text{C}_{8}^{2}=28$$（种）组合，考虑车票的次序共有$$28\times 2=56$$（种）。


2020年新希望杯五年级竞赛初赛（个人战）第17题 2020年新希望杯五年级竞赛决赛（8月）第17题

$$2019$$年国庆节是星期二，则$$2020$$年国庆节是．

星期一

星期二

星期三

星期四

星期五

拓展思维->思想->对应思想

因为$$2020$$年是闰年．  从$$2019$$年国庆节经过$$366$$天是$$2020$$年国庆节．  闰年往后推两天，故$$2020$$年的国庆节是星期四．  故选$$\text{D}$$．


2014年全国迎春杯三年级竞赛初赛第14题

$$2$$个樱桃的价钱与$$3$$个苹果价钱一样，但是一个苹果的大小却是一个樱桃的$$12$$倍，如果妈妈用买$$1$$箱樱桃的钱买同样大小箱子的苹果，能买（~~~~~~~ ）箱．

拓展思维->拓展思维->计算模块->方程基础->等量代换->物品代换

$$12$$ 个樱桃的钱可以买$$18$$个苹果，大小是$$1$$个苹果的大小，所以$$1$$个苹果大小的樱桃可以买到$$18$$个苹果，所以$$1$$箱樱桃的钱可以买$$18$$箱苹果．


2004年第2届创新杯六年级竞赛初赛第3题 2004年六年级竞赛创新杯

在甲、乙、丙三个数中，如果甲数是乙数的$$\frac{3}{5}$$，乙数是丙数的$$\frac{2}{3}$$，那么甲数与丙数的关系(  ).

拓展思维->拓展思维->应用题模块->分百应用题->认识单位1


2011年第9届全国创新杯小学高年级六年级竞赛第9题

符号$$\left[ x \right]$$表示不大于$$x$$的最大整数，例如$$\left[ 5 \right]=5$$、$$\left[ 6.31 \right]=6$$，如果$$\left[ \frac{3x+7}{7} \right]=3$$，这样的正整数$$x$$有．

拓展思维->能力->运算求解

$$\frac{14}{3}\leqslant x ~\textless{} ~7$$，对应的整数共$$2$$个数．  故选$$\text{D}$$．


2019年广东广州学而思综合能力诊断五年级竞赛第15题12分

老师将$$21$$个两位质数写在卡片上，发给四个同学，每人五张，老师手里留下一张，进行五轮游戏，每轮规则如下：  ①每轮每人打出$$1$$张卡片，如果个位与别人重复则出局；  ②在留下的人中，数最大的人获胜．  （例如，四个同学分别打出$$17$$、$$41$$、$$73$$、$$83$$．那么，打出$$73$$与$$83$$的两个人出局，打出$$41$$的人获得胜利）  已知，小明前三轮游戏打出的是$$11$$、$$13$$、$$17$$均获得了胜利；第$$4$$轮小明打出的是$$83$$，出局了，打出$$41$$的人获得了胜利：第$$5$$轮小明打出的是$$97$$，也出局了，打出$$59$$的人获得了胜利．如果$$59$$是第五轮第二大的卡片，那么，老师手里留下的卡片写的质数是．

拓展思维->拓展思维->组合模块->操作与策略->游戏策略->数字游戏

先分析每种个位题目中未出现过的数：个位$$1$$的有$$41$$、$$61$$、$$71$$；个位$$3$$的有$$23$$、$$43$$、$$53$$、$$73$$；个位$$7$$的有$$37$$、$$47$$、$$67$$；个位$$9$$的有$$19$$、$$29$$、$$79$$、$$89$$，  第一轮$$11$$能赢，$$11$$身为最小的两位质数，说明其他三个人的个位应该是一样的，且不为$$1$$；第二轮$$13$$能赢，比$$13$$小的$$11$$出现过了，所以也是其他三人个位都一样，且不为$$3$$；第三轮$$17$$也能赢，考虑到$$11$$和$$13$$都出现过了，那么其他三人个位也一样，且不为$$7$$；第四轮打出$$83$$出局了，并且赢的人是$$41$$，说明第四轮应该出现了另一个个位是$$3$$的质数；第五轮$$97$$也出局，那应该是出现了另一个个位是$$7$$的质数；  考虑到这为止，前三轮个位$$1$$、$$3$$、$$7$$、$$9$$能用到的质数个数应该分别为$$3$$个、$$3$$个、$$2$$个、$$4$$个，因此第一轮到第三轮其他三个数的个位应该是$$1$$、$$3$$、$$9$$（顺序暂时未确定），此时后两轮能出现的数只剩一个个位$$3$$的质数、三个个位是$$7$$的质数，以及一个个位是$$9$$的质数，其中个位$$3$$的质数必定出现在第四轮，和$$83$$同归于尽，第五轮会出现至少一个个位是$$7$$的质数；  考虑到最后一轮打出$$59$$能赢，那么最后一轮不能出现个位是$$9$$的，那么除了$$97$$和$$59$$外，另外两个质数个位只能是$$7$$，而题目说$$59$$第二大，鉴于$$97$$比$$59$$大，那么这两个个位是$$7$$的数只可能是$$37$$和$$47$$；  第四轮除了$$83$$、$$41$$和一个个位$$3$$的质数外，还有$$67$$和个位是$$9$$的质数能选择，由于没有直接出局，所以必须得比$$41$$小，因此只可能是后者，所以唯一没有出现过的质数是$$67$$．


2019年第22届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛复赛（中国区）第7题3分

同学们做早操，$$37$$名同学排成一排，每$$2$$名女生中间是$$2$$名男生．如果第一名是女生，这列队伍共有名男生．

拓展思维->能力->归纳总结->归纳推理

根据题意发现排队规律是``女男男女男男女男男$$\cdots \cdots $$''  $$37\div 3=12$$（组）$$\cdots \cdots 1$$（名），$$2\times 12=24$$（名）．  故选$$\text{D}$$．


2014年迎春杯六年级竞赛初赛

$$A$$在$$B$$地西边$$60$$千米处。甲乙从$$A$$地，丙丁从$$B$$地同时出发。甲、乙、丁都向东行驶，丙向西行驶。已知甲乙丙丁的速度依次成为一个等差数列，甲的速度最快。出发后经过$$n$$小时乙丙相遇，再过$$n$$小时甲在$$C$$地追上丁。则$$B$$、$$C$$两地相距多少千米？

拓展思维->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->多人相遇与追及问题->多人相遇追及问题


2015年湖北武汉世奥赛小学高年级五年级竞赛模拟训练题（一）第4题

李老师买$$4$$个足球和$$3$$个篮球共用去$$388$$元，王老师买$$8$$个排球和$$2$$个篮球共用去$$444$$元，那么，买同样的$$1$$个篮球、$$1$$个足球和$$1$$个排球需要元．

拓展思维->思想->整体思想


2017年IMAS小学中年级竞赛（第一轮）第15题4分

将$$2$$颗相同的黑球与$$2$$颗相同的白球放入$$A$$、$$B$$、$$C$$三个不同的盒子中，要求每个盒子至少放$$1$$颗球，请问共有多少种不同的放置方法？

拓展思维->能力->运算求解

由题意可判断出$$A$$、$$B$$、$$C$$三个不同的盒子中有可能为  （$$1$$）黑黑、白、白；（$$2$$）白白、黑、黑；（$$3$$）黑白、黑、白；  （$$1$$）中同一盒内放置两颗黑球的情况有$$3$$种、  （$$2$$）中同一盒内放置两颗白球的情况有$$3$$种、  （$$3$$）中同一盒内放置一颗黑球与一颗白球的情况有$$3$$种且另二颗球放到另二个盒子的情况有$$2$$种，因此总共有$$3+3+3\times2=12$$种不同情况．  故选$$\text{C}$$．


2018年第8届北京学而思综合能力诊断四年级竞赛年度教学质量监测第9题

今年小王子$$8$$岁，大王子$$14$$岁，当两人的年龄之和是$$40$$岁时，应该是~\uline{~~~~~~~~~~}~年之后的事了．

拓展思维->能力->逻辑分析

方法一：利用年龄和的变化特点来解决：  今年两人年龄和：$$8+14=22$$（岁），  几年之后两人共长：$$40-22=18$$（岁），  几年之后小王子长几岁，大王子就长几岁，所以分别长了$$18\div 2=9$$（岁），  所以当两人年龄和是$$40$$岁时，应该是$$9$$年之后的事了．  方法二：根据年龄差不变，可以用和差问题的方法来解决：  大王子小王子两人年龄差：$$14-8=6$$（岁），  当两人年龄和是$$40$$岁时小王子的年龄：$$(40-6)\div 2=17$$（岁），  小王子长大了：$$17-8=9$$（岁），  所以当两人年龄和是$$40$$岁时，应该是$$9$$年之后的事了．


2017年新希望杯六年级竞赛训练题（一）第4题 2018年湖北武汉新希望杯六年级竞赛训练题（一）第4题

$$\frac{5}{14}\textless{}\frac{10}{27}\textless{}\frac{12}{31}\textless{}\frac{20}{53}$$

$$\frac{5}{14}\textless{}\frac{10}{27}\textless{}\frac{20}{53}\textless{}\frac{12}{31}$$

$$\frac{10}{27}\textless{}\frac{5}{14}\textless{}\frac{12}{31}\textless{}\frac{20}{53}$$

$$\frac{10}{27}\textless{}\frac{5}{14}\textless{}\frac{20}{53}\textless{}\frac{12}{31}$$

拓展思维->能力->运算求解


2020年新希望杯二年级竞赛初赛（团战）第24题

有甲、乙、丙、丁四盘苹果，乙不是最多，但比甲、丁多．甲没有丁多．按苹果由少到多的顺序排列为．

甲、丁、乙、丙

丙、甲、乙、丁

丙、乙、丁、甲

乙、丙、丁、甲

丙、甲、丁、乙

拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->比较型逻辑推理


2021年第8届鹏程杯五年级竞赛初赛第19题4分

地图上有$$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$、$$E$$五个国家，有五种不同的颜色去染色，要求相邻国家染不同的颜色，则共有种不同的染色方法．

以上都不对

拓展思维->拓展思维->计数模块->加乘原理->染色计数问题

从中间入手，$$E$$有$$5$$种涂法，再考虑$$AC$$同色，则有$$4\times 1$$种，$$BD$$各有$$3$$种，  所以是$$4\times 1\times 3\times 3=36$$种，若$$AC$$不同色，有$$4\times 3$$，$$BD$$各有$$2$$种，  所以是$$4\times 3\times 2\times 2=48$$种，一共是$$5\times \left( 36+48 \right)=420$$种．  答案：$$\text{C}$$．


2017年第1届重庆华杯赛竞赛

拓展思维->拓展思维->计算模块->分数->分数运算->分小四则混合运算


2013年第9届全国新希望杯五年级竞赛复赛第6题

在有$$10$$个不同因数的自然数中，最小的两个数的和是（~~~ ）．

拓展思维->拓展思维->数论模块->因数与倍数->因数个数定理->因数和


2008年五年级竞赛创新杯 2008年第6届创新杯五年级竞赛初赛B卷第7题5分

小红、小军和小明三人参加一次数学竞赛，一共有$$100$$道题，每个人各解出其中的$$60$$道题，有些题目三人全都解出来了，我们称之为``容易题''，有些题目只有两人解出来我们称之为``中等题''，有些题目只有一人解出来，我们称之为``难题''，每个题都至少被他们中的一人解出，则难题比容易题多道题．

拓展思维->拓展思维->计算模块->方程基础->不定方程->不定方程组

设容易题、中等题和难题分别有$$x$$，$$y$$，$$z$$道题，则 $$\begin{cases} x+y+z=100    3x+2y+z=180   \end{cases}$$ 解这个方程组可以得到$$z-x=20$$，所以难题比容易题多$$20$$道题．


2013年第9届全国新希望杯小学高年级六年级竞赛复赛第6题4分

对于两个整数$$a$$、$$b$$，若它们除以整数$$m$$所得的余数相等，则称$$a$$、$$b$$对于模$$m$$同余，记作$$a\equiv b\left( modm \right)$$，如：$$11\equiv 3\left( mod4 \right)$$，$$14\equiv 19\left( mod5 \right)$$．已知$$p$$是小于$$2013$$的自然数，且$$p\equiv 2013\left( mod9 \right)$$，则$$p$$的取值共有（~ ）．

拓展思维->思想->枚举思想


2012年全国华杯赛小学高年级竞赛初赛网络版第4题

将$$39$$，$$41$$，$$44$$，$$45$$，$$47$$，$$52$$，$$55$$这$$7$$个数重新排成一列，使得其中任意相邻的三个数的和都为$$3$$的倍数．在所有这样的排列中，第四个数的最大值是（~ ~ ~ ~）．

拓展思维->能力->运算求解


五年级其它 2017年第13届湖北武汉新希望杯五年级竞赛决赛第5题

图书馆阅览室有$$100$$本读物，星星借阅过$$80$$本，希希借阅过$$78$$本，望望借阅过$$76$$本，则三人共同借阅过的读物最少有（~ ）本．

拓展思维->能力->逻辑分析


2016年新希望杯六年级竞赛训练题（二）第4题

★★★一艘轮船先顺水航行$$40$$千米，再逆水航行$$24$$千米，共用$$8$$小时．若该船先逆水航行$$20$$千米，再顺水航行$$60$$千米，也要用$$8$$小时，则在静水种这艘船每小时航行千米．

知识标签->拓展思维->行程模块->流水行船问题->基本流水行船问题->四个速度->基本行程


2014年第15届上海中环杯小学高年级五年级竞赛初赛第18题

拓展思维->能力->逻辑分析


2017年第16届湖北武汉创新杯五年级竞赛邀请赛训练题（一）

将分数$$\frac{1}{7}$$写成循环小数，那么小数点后的第$$2017$$位数字是．

拓展思维->拓展思维->计算模块->小数->循环小数->循环小数的周期问题


2020年长江杯五年级竞赛复赛A卷第2题5分 2020年长江杯五年级竞赛复赛A卷

两个数相除，如果除数不变，被除数增加$$10.8$$，商就增加$$0.4$$；如果被除数减少$$4.8$$，除数减少$$0.3$$，商不变．原来的被除数是．

拓展思维->思想->对应思想

两个数相除，如果除数不变，被除数增加$$10.8$$，则商增加了$$0.4$$．  因此我们可以得到除数是：$$10.8\div 0.4=27$$．  如果被除数减少$$4.8$$，除数减少$$0.3$$．商不变，  因此商是$$4.8\div 0.3=16$$．  则原来的被除数是$$27\times 16=432$$．  故选：$$\text{B}$$．


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛一年级竞赛初赛第9题5分

天气炎热，维维去帮爸爸妈妈排队买饮料，他发现他的前面有$$3$$人，后面有$$4$$人，聪明的你赶快开动大脑想想这里一共有多少个小朋友在排队买饮料呢？

拓展思维->拓展思维->应用题模块->应用题模块排队问题->单主角求总数

除了涛涛前面的人和涛涛本身，剩下的就是排在涛涛后面的人，  所以共有：$$26-10-1=15$$（人）．  故选：$$\text{B}$$．


2010年第8届创新杯四年级竞赛初赛第1题6分 2010年四年级竞赛创新杯

2010个连续自然数的和的最小值是(  ).

拓展思维->拓展思维->组合模块->组合模块最值问题->和一定型最值问题->构造和一定最值原理

最小的自然数是0，要使和最小，则这2010个连续自然数是0\textasciitilde2009，$$\left( 1+2009 \right)\times 2009\div 2=1005\times 2009=2019045$$


2007年四年级竞赛创新杯 2007年第5届创新杯四年级竞赛第9题5分

有10个表面涂满红色的立方体，它们的棱长分别为1，2，3...10厘米，如果把这些立方体全部分割成棱长为1厘米的小立方体，在这些小立方体中至少有一面是红色的块数是(  )块.

拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->整数加减->整数加减巧算之分组法


2015年第20届全国华杯赛小学中年级四年级竞赛初赛A卷 2016年第20届四川成都华杯赛小学中年级竞赛B卷第1~6题60分

森林里举行比赛，要派出狮子、老虎、豹子和大象中的两个动物去参加．如果派狮子去，那么也要派老虎去；如果不派豹子去，那么也不能派老虎去；要是豹子参加的话，大象可不愿意去．那么，最后能去参加比赛的是．

狮子、老虎

老虎、豹子

狮子、豹子

老虎、大象

知识标签->拓展思维->组合模块->逻辑推理->条件型逻辑推理->连线法

题目要求有两个动物去，可以使用假设法，若狮子去，则老虎去，老虎去则豹子也去，三个动物去，矛盾，所以狮子不去，若豹子不去则老虎不去，那么只有大象去，矛盾，所以豹子去，豹子去则大象不去，由两骄气去得到结论，老虎要去，所以答案是$$B$$，豹子和老虎去.


2019年亚洲国际数学奥林匹克公开赛（AIMO）六年级竞赛决赛第27题8分

有一个圆形报时机器【钟$$K$$】，特性如下:  与一般时钟相同﹐分针每$$60$$分钟走一圈．不过，时针每$$1440$$分钟走一圈．钟面顺时针方向等距分布【$$1$$】至【$$24$$】(正上方是【$$24$$】)．在【$$5$$时$$x$$分】时，钟面上的【$$10$$】位于钟$$K$$的时针和分针的正中间，求$$x$$的值．  Below is the descriptions of a circular time-reporting machines, namely clock $$K$$.  Similar to normal clock, it takes only $$60$$ minutes for the minute-hand to complete one cycle, but it takes $$1440$$ minutes for the hour-hand to complete one cycle. Numbers to $$24$$ are placed equidistantly on its edge clockwise. ("$$24$$"is at the top of the clock.) At "$$x$$ minutes past $$5$$", the number "$$10$$"lies at the right middle of the two hands of CLOCK $$K$$, find the value of $$x$$.


2012年第8届全国新希望杯五年级竞赛复赛第6题

知识标签->课内知识点->数学广角->数与形->数与形数形结合思想


2017年全国小学生数学学习能力测评五年级竞赛初赛第7题3分

给一个正方体的表面涂上红、黄、蓝三种颜色，每个面只涂一种颜色，任意抛一次，红色朝上的可能性最大．黄色和蓝色朝上的可能性相同，这个正方体可能有个面涂红色．

拓展思维->拓展思维->计数模块->统计与概率->概率->基本概率->可能性

在正方体的六个面，分别涂上红、黄、蓝三种颜色，要使哪种颜色朝上的可能性大，必须使这种颜色涂的面数多；要使两种颜色面朝上的可能性相同，就必须使这两种颜色的数量相同；正方体有$$6$$个面，要使黄色和蓝色朝上的可能性相同，可以把一个面涂成红色，一个面涂成蓝色，剩下的面都涂成红色，据此分析解答．  $$6-1-1=4$$．  故答案选：$$\text{D}$$．


其它改编题 2016年创新杯六年级竞赛训练题（二）第1题

~某俱乐部男、女会员的人数之比是$$3：2$$，分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙三组人数比是$$10：8：7$$，甲组中男、女会员的人数之比是$$3：1$$，乙组中男、女会同的人数之比是$$5：3$$．求丙组中男、女会员人数之比．

拓展思维->思想->对应思想


2014年迎春杯三年级竞赛

长方形的周长是$$48$$厘米，已知长是宽的$$2$$倍，那么长方形的长是。

拓展思维->拓展思维->应用题模块->和差倍问题->和倍问题->二量和倍问题->两量和倍


2006年迎春杯四年级竞赛复赛 2006年迎春杯三年级竞赛复赛

动物园里猩猩比狒狒多，猴子比猩猩多.一天，饲养员拿了10箱香蕉分给它们.每只猩猩比每只狒狒多分1根，每只猴子比每只猩猩多分1根.分完后，只剩下2根香蕉.如果每箱香蕉数量相同，都是40多个，而且猴子比狒狒多6只，猩猩有16只.那么，动物园里有（ ）只猴子.

拓展思维->拓展思维->计数模块->枚举法综合->枚举法->有序枚举


2017年全国华杯赛竞赛初赛模拟试卷2第3题

两个盒子$$A$$和 $$B$$分别装着不同数量的两个小球，两盒中小球的重量是一样的，同时从$$A，B$$盒子中拿出一个小球放入$$C$$盒子,记为一次操作，$$C$$盒子开始为空盒子，经过四十次操作后，$$C$$盒子的总重量与$$B$$盒子一样，又经过十次操作，$$C$$盒子总重量与$$A$$盒子一样，那么$$A，B$$盒子中单个小球的重量比为（ ）．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->列方程解应用题->一元一次方程解应用题

设$$A$$盒子中单个小球重量为$$1$$，$$B$$盒子中单个小球重量为$$k$$．根据题目，可以判断$$k\geqslant1$$($$A$$盒子小球比$$B$$盒子小球轻)，则有 $$40k-50=10k+10$$， 解方程得$$k=2$$．


2018年第6届湖北长江杯五年级竞赛初赛B卷第8题3分

如果$$10$$个互不相同的两位奇数之和为$$898$$，那么这是个奇数中最大和最小的奇数之和是．

拓展思维->能力->运算求解


2016年第14届全国创新杯五年级竞赛初赛第4题 2016年全国创新杯竞赛A卷第4题4分

将某数的$$3$$倍减$$5$$，计算出答案：将这个答案的$$3$$倍减$$5$$，计算出答案，$$\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot $$，这样反复$$4$$次，最后得出的结果是$$1177$$，那么原数是（~ ）．

拓展思维->能力->逻辑分析->代数逻辑推理


2015年湖北武汉世奥赛六年级竞赛模拟训练题（三）第3题

一个最简分数，如果分子加$$a$$，等于$$\frac{1}{2}$$，分母加$$a$$，则等于$$\frac{1}{4}$$．原来的分数是，$$a$$是．

知识标签->拓展思维->应用题模块->还原问题->逆运算


2017年四川成都六年级竞赛“全能明星”选拔赛第6题2分

$$20 \%$$

$$22 \%$$

$$25 \%$$

$$28 \%$$

拓展思维->能力->实践应用


2017年第16届湖北武汉创新杯五年级竞赛邀请赛训练题（一）

超市中出售的糖果有每包$$11$$粒装和每包$$15$$粒装两种．斌斌一共购买了$$89$$粒糖果．那么，斌斌一共购买了（~ ）包糖果．

拓展思维->思想->方程思想


2015年全国美国数学大联盟杯五年级竞赛初赛第37题

飞人以每小时$$360$$千米的速度飞行，这相当于每秒多少米?

拓展思维->拓展思维->计算模块->单位换算->复合单位的认识换算


2010年第9届小机灵杯四年级竞赛复赛第12题9分 2021年新希望杯五年级竞赛模拟（考前培训100题）第88题

拓展思维->拓展思维->组合模块->组合模块最值问题->枚举型最值问题

$$1+2+3+4+5+6+7+8=36$$，最大的和是最小的和的$$2$$倍，所以三个和之和应该大于最小的和的$$4$$倍，得到最小的和小于$$36\div 4=9$$；然后三个和之和应该小于最小的和的$$5$$倍，得到最小的和大于$$36\div 5=7.2$$，所以最小的和是$$8$$．


2017年河南郑州K6联赛竞赛模拟第八套第10题4分

小明的家和学校相隔$$8$$条街，学校早上$$8$$时开始上课．他$$7$$时$$42$$分离开家，$$7$$时$$54$$分到达学校．他从家到学校花了多长时间？解答这个问题需要用到的信息是（ ~ ~）．

$$8$$条，$$8$$时，$$7$$时$$42$$分，$$7$$时$$54$$分

拓展思维->拓展思维->组合模块->时间问题->时间计算


2020年新希望杯三年级竞赛决赛（8月）第12题 2020年新希望杯三年级竞赛初赛（个人战）第12题

$$4$$ years ago, Fang Fang and Jia Jia\textquotesingle s ages were $$20$$. This year Fang Fang is $$15$$ years old. How many years later will Jia Jia be $$15$$ years old too?  $$4$$年前，方方和佳佳的年龄和是$$20$$岁．今年方方$$15$$岁，再过~\uline{~~~~~~~~~~}~年佳佳也是$$15$$岁．

拓展思维->能力->公式记忆->符号化数学原理
Overseas Competition->知识点->应用题模块->年龄问题


2011年六年级竞赛创新杯

两个一位小数相乘，如果先把它们四舍五入到个位再相乘，其积是51，那么不四舍五入直接用原数相乘，则积最大值与最小值依次为（ ）.

59.16， 25.25

59.16， 41.25

71.96， 25.05

71.96， 25.25

拓展思维->拓展思维->计算模块->小数->小数四则运算


2009年六年级竞赛创新杯

美是一种感觉，本应没有客观的标准，但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美感的参照，这个比例称为黄金分割.在人体下躯体(由脚底至肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，也就是说，若此比例越接近0.618，就越给人一种美的感觉.如果某女士身高为1.60m，下躯干与身高的比为0.6，为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为(  ).

拓展思维->拓展思维->计算模块->方程基础->比例方程


2014年全国华杯赛小学中年级竞赛初赛第3题

拓展思维->思想->转化与化归的思想


2018年广东广州学而思综合能力诊断五年级竞赛第13题

小伦打算步行去小招家，一路上小伦注意到，每隔$$8$$分钟就有一辆公交车从后方超越他．小伦走到半路，体力不支走不动了，只好打出租车去小招家，这时小伦又发现出租车每隔$$6$$分钟超越一辆公交车．已知出租车的速度是小伦步行速度的$$8$$倍，如果公交车的发车时间间隔固定，且公交车、小伦步行和出租车的速度固定的话，公交车的发车时间间隔为分钟．

拓展思维->思想->方程思想

本题考的是发车问题，解题的关键是公交车与人的追及路程等于出租车与公交车的追及路程等于两辆公交车之间的距离，根据追及问题中的关系式列方程即可解决．  设出租车的速度为$$8$$，则人的速度为$$1$$，  解：设公交车的速度为$$x$$，  $$\begin{eqnarray} 8\times \left( x-1 \right)\&=\&6\left( 8-x \right)   8x-8\&=\&48-6x   14x\&=\&56   x\&=\&4\end{eqnarray}$$  $$8\times \left( 4-1 \right)=24$$，  $$24\div 4=6$$（分）．


2016年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第8题3分

小亮看一本故事书的正文，他从第二天开始每天比前一天多看一页，他已经连续看了$$9$$天，这本书的正文还剩$$48$$页没看．已知他第四天看了$$39$$页，请问这本数的正文总共有多少页？~\uline{~~~~~~~~~~}~

拓展思维->拓展思维->计算模块->数列与数表->等差数列->等差数列求和


2017年华杯赛四年级竞赛初赛

两个小三角形不重叠放置可以拼成一个大三角形，那么这个大三角形不可能由（  ）拼成。

两个锐角三角形

两个直角三角形

两个钝角三角形

一个锐角三角形和一个钝角三角形

拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理

此题可以采用目标倒推法，从三角形的一个顶点出发对三角形进行分割，看看可以得到的情况，  下面是BCD三种情况举例  （$$1$$）一个钝角三角形、一个锐角三角形（$$2$$）两个直角三角形（$$3$$）两个钝角三角形。


小学高年级六年级其它小高著名杯赛拉分题第11题 2008年全国华杯赛小学高年级五年级竞赛复赛

黑板上写着$$1$$至$$2008$$共$$2008$$个自然数，小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数，最后黑板上只剩下一个自然数，这个数可能的最大值和最小值的差是~\uline{~~~~~~~~~~}~．

知识标签->数学思想->逐步调整思想


2018年第22届广东世界少年奥林匹克数学竞赛五年级竞赛决赛第2题5分

学校一共购买了$$300$$本书，其中有五分之二是数学书，三分之一是语文书，其余是英语书．那么，英语书共有本．

拓展思维->能力->数据处理


2020年广东广州羊排赛五年级竞赛第7题3分

一个四位数的千位是最小的质数，百位是最小的合数，十位是最小的自然数．这个四位数是$$3$$的倍数，则它的个位数字可能是．

拓展思维->能力->数据处理

最小质数是$$2$$，所以千位是$$2$$； 最小合数是$$4$$，所以百位是$$4$$；最小的自然数是$$0$$，所以十位是$$0$$，这个四位数是$$3$$的倍数，那么这个四位数各个位数之和是$$3$$的倍数，$$2+4+0=6$$．  $$\text{A}$$选项：$$6+5=11$$，不是$$3$$的整数倍，故$$\text{A}$$错误；  $$\text{B}$$选项：$$6+6=12$$，是$$3$$的整数倍，故$$\text{B}$$正确；  $$\text{C}$$选项：$$6+7=13$$，不是$$3$$的整数倍，故$$\text{C}$$错误；  $$\text{D}$$选项：$$6+8=14$$，不是$$3$$的整数倍，故$$\text{D}$$错误．  故选$$\text{B}$$．


2016年新希望杯六年级竞赛训练题（四）第1题

《庄子·天下篇》中有一句话：``一尺之锤，日取其半，万世不竭．''意思是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．那么第$$10$$天取的长度是第$$7$$天的（~ ）．~

拓展思维->思想->整体思想


2019年广东深圳华杯赛小学高年级竞赛初赛第5题10分 2019年华杯赛小学高年级竞赛第5题10分

一艘小船逆水而上，突然，船上一只小鸭落入水中顺流往下漂，船行$$5$$分钟后船夫才发现，立马一边呼唤鸭子，一边掉头行驶．小鸭听到呼唤后，也往船的方向游过来．已知鸭子的游速是船速的$$\frac{1}{4}$$，船掉头后~\uline{~~~~~~~~~~}~分钟追上鸭子．

拓展思维->思想->对应思想


其它改编自2014年全国希望杯六年级竞赛初赛第3题

拓展思维->能力->运算求解


2011年全国希望杯五年级竞赛初赛第13题

数学家维纳是控制论的创始人．在他获得哈佛大学博士学位的授予仪式上，有人看他一脸稚气的样子，好奇地询问他的年龄．维纳的回答很有趣，他说：``我的年龄的立方是一个四位数，年龄的四次方是一个六位数，这两个数刚好把$$0-9$$这$$10$$个数字全都用上了，不重也不漏．''那么，维纳这一年~\uline{~~~~~~~~~~}~岁．

拓展思维->思想->对应思想

此题的关键是他的年龄的立方是一个四位数，年龄的四次方是一个六位数．由于立方是四位数，四次方是六位数，所以年龄的范围大致应在$$17$$到$$22$$之间，所以，符合题意的只有$$18$$．


2013年四川成都小升初 2009年全国迎春杯三年级竞赛初赛第5题 2019年四川成都小升初集训题第2题

$$\triangle$$ represents a number.$$\triangle$$代表一个数.  $$\triangle +\triangle =a, \triangle -\triangle =b, \triangle \times \triangle =c, \triangle \div \triangle =d,$$ and $$a+b+c+d=121$$. $$\triangle =$$~\uline{~~~~~~~~~~}~.

拓展思维->能力->逻辑分析->代数逻辑推理

Overseas Competition->知识点->计算模块->方程基础->等量代换->字母表示数

$$b=\triangle - \triangle =0$$  $$d=\triangle \div \triangle =1$$  $$a+b+c+d$$  $$=\triangle +\triangle +0+\triangle \times \triangle +1=121$$  $$\triangle +\triangle +\triangle \times \triangle =120$$  $$\triangle \times \left( \triangle +2 \right)=120=10\times12$$  $$\triangle =10$$


2016年第3届广东深圳鹏程杯四年级竞赛第6题8分

拓展思维->拓展思维->计数模块->枚举法综合->枚举法->有序枚举


2018年第22届广东世界少年奥林匹克数学竞赛三年级竞赛决赛第5题5分

一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，$$30$$天能长到$$20$$厘米．问长到$$5$$厘米时要用天．

拓展思维->七大能力->运算求解

已知一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，$$30$$天能长到$$20$$厘米，可根据最后结果出发，逐步向前一步一步推理；  按从后往前推理可知最后一天长的是前一天的$$2$$倍，最后一天是$$20$$厘米，长到$$10$$厘米的时候是$$30$$天$$-1$$天；  根据以上分析可得$$29$$天时是$$10$$厘米，由此可推出长到$$5$$厘米时是几天，进而得出答案．  $$30-1-1=28$$（天），  答：长到$$5$$厘米时要用$$28$$天．


2020年新希望杯一年级竞赛初赛（团战）第31题

欣欣一家$$5$$月$$30$$日白天到达海边（五月有$$31$$天)，并入住附近宾馆，一直住到$$6$$月$$4$$日白天才离开．欣欣一家在海边住了个晚上．

拓展思维->思想->对应思想


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛一年级竞赛决赛第5题5分

有$$30$$个小朋友排队做操，排在涛涛前面的有$$10$$人，排在涛涛后面的有人．

拓展思维->能力->实践应用

涛涛前面有十个人，涛涛前面的人加上涛涛后面的人加上涛涛共有$$30$$个，  所以$$30-10-1=19$$．  故选$$\text{B}$$．


2021年第24届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛第9题3分 2020年第24届YMO四年级竞赛决赛第9题3分 2019年第24届YMO四年级竞赛决赛第9题3分

拓展思维->思想->转化与化归的思想

$$5$$，$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$4035$$是等差数列，  则$$5$$，$$b$$，$$4035$$也是等差数列，  则$$b=\left( 4035+5 \right)\div 2$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=4040\div 2$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=2020$$．  选$$\text{D}$$．


2017年第16届湖北武汉创新杯五年级竞赛邀请赛训练题（三）

羊村储备了一些草，其中青草是黄草的$$3$$倍多$$2$$千克．每天吃$$15$$千克青草，$$6$$千克黄草；吃了若干天后，青草还剩下$$74$$千克，黄草剩下$$4$$千克．羊村的青草和黄草共（~ ）千克．

拓展思维->能力->运算求解

设吃了$$x$$天，则原有青草$$\left( 15x+74 \right)$$千克，原有黄草$$\left( 6x+4 \right)$$千克，依题意可得方程：$$15x+74=3\left( 6x+4 \right)+2$$，解之得$$x=20$$，羊村原有青草和黄草共$$15\times 20+74+6\times 20+4=498$$（千克）．


2015年第5届全国学而思综合能力诊断学前班竞赛第2题

现在是早上$$8$$时，喜羊羊准备$$1$$小时后到草原上割青草，请问喜羊羊几点去割青草？

知识标签->课内知识点->常见的量->钟表->认识钟表：结构、时针、分针


2020年第1届广东深圳超常思维竞赛六年级竞赛初赛第9题4分

某竞赛考试有$$30$$个选择题，计分规则是：基础分$$30$$分，答对一题得$$4$$分，答错一题扣$$1$$分，不答不给分．用公式表示就是$$S=30+4c-w$$，其中$$S$$为分数，$$c$$是答对的题数，$$w$$是答错的题数，允许不答．小马在这次考试中得分在$$80$$以上，他把分数告诉了小姜，小姜据此能推算出小马做出了几道题．如果小马的得分少一些，但仍在$$80$$分以上，小姜就无法推算了．那么小马得了分．

无法确定

拓展思维->能力->运算求解

假设小明全对，得分为$$30+30\times4=150$$分，  每错一道，损失$$5$$分，没答一道损失$$4$$分，  设错$$x$$道，没答$$y$$道，  得分$$\begin{cases}100    110    119    120   \end{cases}\to 失分\begin{cases}50    40    31    30   \end{cases}$$，  ①$$5x+4y=50$$，  $$\begin{matrix}\begin{cases}x=10    y=0  \end{cases}, \begin{cases}x=6    y=5   \end{cases}, \begin{cases}x=2    y=10   \end{cases}\times      \end{matrix}$$，  ②$$5x+4y=40$$，  $$\begin{cases}x=8    y=0   \end{cases}, \begin{cases}x=4    y=5   \end{cases}, \begin{cases}x=0    y=10   \end{cases}\times $$，  ③$$5x+4y=31$$，  $$\begin{cases}x=3    y=4   \end{cases}\surd $$，  ④$$5x+4y=30$$  $$\begin{cases}x=6    y=0   \end{cases}, \begin{cases}x=2    y=5   \end{cases}\times $$，  根据不定方程组的答案，  ①②④这三个不定方程均有多个解，  不符合小姜推算出了小马答题的情况，  根据③号的答案扣分$$31$$分，则得分$$119$$分．  故选择$$\text{C}$$．


2015年全国美国数学大联盟杯小学高年级五年级竞赛初赛

如果将一周的时间表示为分钟，这个分钟数的最大质因数是多少？

拓展思维->思想->转化与化归的思想

如果将一周的时间表示为分钟，这个分钟数的最大质因数是$$7$$．


2017年湖南长沙雨花区湖南广益实验中学小升初（五）第7题6分 2017年全国小升初师达入学备考 2019年湖南长沙开福区青竹湖湘一外国语学校小升初（一）第5题3分 2015年湖北武汉世奥赛六年级竞赛模拟训练题（一）第6题

有写着数字$$2、$$5$$、8$$的卡片各$$10$$张，现在从中任意抽出$$7$$张，这$$7$$张卡片的和可能等于．

拓展思维->能力->逻辑分析

各数被$$3$$除余$$2$$，故$$7$$张卡片的和$$\equiv 2\times 7\equiv 2  (\bmod   3)$$，只有$$C$$满足要求．


2011年北京五年级竞赛

气象台预报``本市明天降雨概率是$$80 \%''$$．对此信息，下列说法中正确的是：

本市明天将有$$80 \%$$的地区降水．

本市明天将有$$80 \%$$的时间降水．

明天肯定下雨．

明天降水的可能性比较大．

课内体系->知识点->随机现象->随机现象的可能性 拓展思维->拓展思维->计数模块->统计与概率->概率->基本概率->可能性

降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间．$$80 \%$$的概率也不是指肯定下雨，$$100 \%$$的概率才是肯定下雨．$$80 \%$$的概率是说明有比较大的可能性下雨．


2006年华杯赛六年级竞赛初赛 2006年华杯赛五年级竞赛初赛

五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。如果贝贝和妮妮不相邻，共有（  ）种不同的排法。

拓展思维->拓展思维->计数模块->排列组合->排列->捆绑法

贝贝在左、妮妮在右，相邻的排法有$$4\times 3\times 2\times 1=24$$（种）；贝贝在右、妮妮在左，相邻的排法也有$$4\times 3\times 2\times 1=24$$（种）；总的排法有$$5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$$（种）。  所以贝贝和妮妮不相邻的排法有$$120-2\times 24=72$$（种）。


2013年美国数学大联盟杯小学高年级竞赛初赛第35题5分 2012年全国美国数学大联盟杯小学高年级竞赛初赛第35题

小威的中药需要分三步进行熬制，现有蝾螈、苍蝇、甲壳虫、蛇和蜗牛五种中药原料，要求熬制过程中每步只能选择一种原料，且每次选择的原料必是不相同的．问：小威制成的中药有（~ ~ ~）种．（注：对于相同的中药原料，若熬制的顺序不同，则最终制成的中药也必然不同．）

拓展思维->拓展思维->计数模块->加乘原理->乘法原理->物品搭配


2004年第2届创新杯五年级竞赛初赛第8题 2004年五年级竞赛创新杯

刘老师给钱让小明去买每本1.4元的练习本，正好可以找回1元，但是小明在途中不小心弄丢了5元，又来不及回家取钱，小明就买回了同样本数每本1.2元的练习本，并找回3元，刘老师当时给小明的钱数是（ ）.

拓展思维->拓展思维->应用题模块->列方程解应用题

小明买每本1.4元的练习本可以找回1元，买每本1.2元的练习本不但丢了5元还可以找回3元，那么买每本1.2元的练习本一共少花$$5+3-1=7$$(元)，则练习本共有$$7\div \left( 1.4-1.2 \right)=35$$(本)，刘老师当时给了小明$$35\times 1.4+1=50$$(元)，选A


2013年第12届全国小机灵杯小学中年级三年级竞赛初赛第13题8分

甲、乙、丙三人同时说了三句话．甲说：``乙正在说谎．''乙说：``丙正在说谎．''丙说：``他俩正在说谎．''那么，说谎的人是 ．

甲

乙

甲和丙

乙和丙

知识标签->学习能力->七大能力->逻辑分析


2013年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第14题4分

一个箱子里面装有十颗白球和十颗黑球，小明按照以下规则玩游戏：每一次他可选择两种方式之一进行操作：（$$a$$）从箱子里拿出一个白球和一个黑球放置在箱子外；（$$b$$）如果箱子外有黑球，从箱子里拿出一个白球放置在箱子外并从箱子外已取出的球中拿出一个黑球放回箱子里．游戏刚开始时，箱子外面没有球，请问经过$$6$$次操作后，小明算了以下箱子外面的球数之总数．请问小明所算的球数共有多少种可能的值？

拓展思维->思想->整体思想

因为白球每次都拿出一个，所以箱子外面不同球数的情况由黑球决定．  由游戏的规则可知，如果进行六次（$$a$$）操作则箱子外面有$$6$$个黑球；  如果进行五次（$$a$$）操作一次（$$b$$）操作则箱子外面有$$4$$个黑球；  如果进行四次（$$a$$）操作二次（$$b$$）操作则箱子外面有$$2$$个黑球；  如果进行三次（$$a$$）操作三次（$$b$$）操作则箱子外面有$$0$$个黑球．  不可能进行三次以上（$$b$$）操作，否则箱子外没有足够的黑球，所以箱子外面的球数有$$6$$、$$8$$、$$10$$、$$12$$四种可能，故选$$C$$．


2006年四年级竞赛创新杯

某次数学比赛，分两种方法给分，一种是答对了一题给5分，不答给2分，答错不给分;另一种是先给40分，答对一题给3分，不答不给分，答错扣1分.某考生两种判分方法均得81分，这次比赛共有(  )题.

拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->条件型逻辑推理->神推理

选项A:12题，按第一种给分方法，最多得$$12\times 5=60$$分，排除A; 选项B:15题，按第一种给分方法，最多得$$15\times 5=75$$分，排除B; 选项D:17题，按第一种给分方法，得81分只有一种方法，$$81=5\times 15+2\times 3$$，因此比赛试题最少应该有$$15+3=18$$题，排除D.故选C


2016年新希望杯六年级竞赛训练题（二）第1题

甲从$$A$$地，乙从$$B$$地同时以匀速相向而行，第一次相遇离$$A$$地$$8$$千米，到达对方起点后立即返回，在离$$B$$地$$4$$千米处第二次相遇，则$$A$$、$$B$$两地相距千米．~

拓展思维->拓展思维->行程模块->比例解行程问题->行程中的比例

速度和$$\times $$相遇时间$$=$$相遇路程，第一次相遇和第二次相遇速度和相等，相遇时间和相遇路程成正比例关系，两次相遇时间之比为$$1:3$$，则甲第二次相遇共走$$8\times 3=24$$千米，则$$A$$、$$B$$两地相距$$24-4=20$$千米．


2017年第13届湖北武汉新希望杯六年级竞赛决赛第5题

《学而思小学计算秘籍》的正文共$$193$$页，页码是从$$1$$到$$3$$位的连续自然数，这本书正文的页码共有（~ ）个数码``$$1$$''．

拓展思维->能力->构造模型->模型思想


2018年第8届北京学而思综合能力诊断二年级竞赛年度教学质量第1题

知识标签->学习能力->七大能力->运算求解


2004年五年级竞赛创新杯

$$A$$，$$B$$，$$C$$三家超市在同一条南北大街上。$$A$$超市在$$B$$超市的南边$$40$$米处，$$C$$超市在$$B$$超市的北边$$100$$米处。小明从$$B$$超市出发沿街向北走了$$50$$米，接着又向南走了$$60$$米，此时他的位置在(  )。

$$B$$超市

拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->条件型逻辑推理->神推理

$$A$$，$$B$$，$$C$$三家超市的位置依次由南向北，$$AB=40$$米，$$BC=100$$米，小明从$$B$$超市出发沿街向北走$$50$$米然后再向南走$$60$$米，实际上的位置是$$B$$超市南边$$10$$米，即$$A$$超市北边$$30$$米，故选C。


2016年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第2题3分

请问下列哪一项表达式是正确的？

$$1.01\times 0.99\textless0.99$$

$$1.1\times 1.1\textgreater1.1$$

$$10.4\times 0.1\textless{}1.04$$

$$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\textless{}\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$$

知识标签->拓展思维->计算模块->比较与估算->比较大小综合->两数相减法


2017年河南郑州K6联赛竞赛第三轮第9题

定义新运算：已知$$A\bigcirc B=A+B-1$$，$$A△B=A\times B-1$$，$$x\bigcirc \left( x△4 \right)=30$$，则$$x=$$．

知识标签->数学思想->赋值思想


2014年全国迎春杯五年级竞赛复赛第4题

整数除法算式：$$a\div b=c\cdots \cdots r$$，若$$a$$和$$b$$同时扩大$$3$$倍，则（~~~~~~~ ）．

$$r$$不变

拓展思维->能力->逻辑分析

被除数和除数同时乘或除以相同的数（$$0$$除外），商不变，但是余数相应的扩大或缩小相同的倍数．


2014年全国迎春杯三年级竞赛初赛第13题 2018年四川成都锦江区四川师范大学附属第一实验中学小升初（四）第5题3分

同学们一起去划船，但公园船不够多，如果每船坐$$4$$人，会多出$$10$$人；如果每船坐$$5$$人，还会多出$$1$$人．共有人去划船．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->盈亏问题->盈亏基本类型->盈亏基本类型盈亏问题


2014年全国创新杯五年级竞赛第3题5分

用$$\min \left( a,b \right)$$表示$$a$$、$$b$$两数中的较小者，用$$\max \left( a,b \right)$$表示$$a$$、$$b$$两数中的较大者，例如$$\min \left( 3,5 \right)=3$$，$$\max \left( 3,5 \right)=5$$，$$\min \left( 3,3 \right)=3$$，$$\max \left( 5,5 \right)=5$$．设$$a$$、$$b$$、$$c$$、$$d$$是互不相等的自然数，$$\min \left( a,b \right)=p$$，$$\min \left( c,d \right)=q$$，$$\max \left( p,q \right)=x$$，$$\max \left( a,b \right)=m$$，$$\max \left( c,d \right)=n$$，$$\min \left( m,n \right)=y$$，则（~ ）．

$$x\textgreater y$$

$$x\textless{}y$$

$$x=y$$

$$x\textgreater y$$和$$x\textless{}y$$都有可能

拓展思维->思想->分类讨论思想

若$$\begin{cases}a=1 \\ b=2 \\ c=3 \\ d=4 \\ \end{cases}$$，那么$$\begin{cases}x=\max \left[ \min \left( 1,2 \right),\min \left( 3,4 \right) \right]=\max \left( 1,3 \right)=3 \\ y=\min \left[ \max \left( 1,2 \right),\max \left( 3,4 \right) \right]=\min \left( 2,4 \right)=2 \\ \end{cases}$$，那么$$x>y$$；

若$$\begin{cases}a=1 \\ b=4 \\ c=3 \\ d=2 \\ \end{cases}$$，那么$$\begin{cases}x=\max \left[ \min \left( 1,4 \right),\min \left( 3,2 \right) \right]=\max \left( 1,2 \right)=2 \\ y=\min \left[ \max \left( 1,4 \right),\max \left( 3,2 \right) \right]=\min \left( 4,3 \right)=3 \\ \end{cases}$$，那么$$x<{}y$$；

即$$x>y$$和$$x<{}y$$都有可能，故选$$\text{D}$$．


2003年第1届创新杯六年级竞赛复赛第9题

三个同学进行计算比赛，比赛内容是：在$$9$$、$$10$$、$$11$$、$$\cdots \cdots $$、$$67$$、$$68$$这$$60$$个自然数的相邻两数之间任意添加符号``$$+$$''或``$$-$$''，然后进行计算．三个同学得到的结果分别是$$2274$$、$$2003$$、$$2320$$，老师看后指出．这三个结果中只有一个是正确的．这个正确的结果是．

拓展思维->思想->逐步调整思想


2016年新希望杯六年级竞赛训练题（五）第2题

现有$$2000$$克浓度为$$15  \% $$的盐水，要配制浓度为$$20  \% $$的盐水，需要加入（~ ）克浓度为$$24  \% $$的盐水．

拓展思维->思想->方程思想


2012年第8届全国新希望杯小学高年级六年级竞赛复赛第4题4分

$$a$$、$$b$$、$$c$$三个数字共可组成六个无重复数字的三位数，这六个三位数的和为$$3774$$，那么这六个三位数中最大数与最小数的差最小是（~ ）．

拓展思维->拓展思维->数论模块->位值原理与进制->位值原理运用->位值原理的综合应用

这六个三位数之和为$$222\times \left( a+b+c \right)=3774$$，即$$a+b+c=17$$．要使最大和最小的差最小，即  让三个数尽可能接近，即为$$4$$、$$6$$、$$7$$，此时最大减最小为$$764-467=297$$．


2017年第17届世奥赛六年级竞赛决赛第4题

过年包饺子时，在饺子里放一枚硬币，吃到硬币的人在新的一年会运气好，事事顺意，是一种好运的象征．妈妈包了$$50$$个饺子，其中有$$1$$个饺子包了硬币，煮好后平均分成$$5$$碗，你从这$$5$$碗中随便选$$1$$碗，能吃到包有硬币的饺子的概率是（~ ）．

$$2 \%$$

$$10 \%$$

$$20 \%$$

$$50 \%$$

拓展思维->能力->运算求解

五碗中一定有$$1$$碗是的，那么概率即为$$\frac{1}{5}=20 \%$$．


2016年华杯赛六年级竞赛初赛

有一种数，是以法国数学家梅森的名字命名的，形如$${{2}^{n}}-1$$（$$n$$为质数）的数为梅森数，当梅森数是质数时就叫梅森质数，是合数时就叫梅森合数。例如：$${{2}^{2}}-1=3$$就是第一个梅森质数。那么第一个梅森合数是（  ）

拓展思维->拓展思维->数论模块->质数与合数


2014年全国迎春杯三年级竞赛初赛第8题

祖玛游戏中，龙嘴里不断吐出不同颜色的龙珠，按$$4$$颗红珠，$$3$$颗黄珠，再$$2$$颗绿珠，最后$$1$$颗白珠，按此方式不断重复，从龙嘴里吐出的第$$2000$$颗龙珠是．

红珠

黄珠

绿珠

白珠

拓展思维->拓展思维->应用题模块->周期问题->基本排列的周期问题


2015年湖北武汉世奥赛五年级竞赛模拟训练题（四）第1题

有一圆形花坛，绕它走一圈是$$120$$米，如果在花坛周围每隔$$6$$米栽一株丁香花，再在每相邻的两株丁香之间栽$$2$$株月季花，共栽月季花朵．

拓展思维->七大能力->实践应用

这是一个环形植树问题，棵树$$=$$段数，故丁香花的数量为$$120\div 6=20$$（株），月季花的数量为$$20\times 2=40$$（株）．


2007年华杯赛六年级竞赛初赛 2007年华杯赛五年级竞赛初赛 2007年华杯赛四年级竞赛初赛

拓展思维->拓展思维->计算模块->定义新运算->反解未知数型


2014年全国迎春杯三年级竞赛初赛第8题

祖玛游戏中，龙嘴里不断吐出很多颜色的龙珠，先$$4$$颗红珠，接着$$3$$颗黄珠，再$$2$$颗绿珠，最后$$1$$颗白珠，按此方式不断重复，从龙嘴里吐出的第$$2000$$颗龙珠是．（2014年全国迎春杯三年级竞赛初赛第$$8$$题）

红珠

黄珠

绿珠

白珠

拓展思维->拓展思维->应用题模块->周期问题->基本排列的周期问题


2012年第10届全国创新杯小学高年级六年级竞赛第10题4分

~某工程，可由若干台机器在规定时间内完成，如果增加两台机器，则节省了八分之一的时间，如果减少两台机器，就要推迟$$\frac{2}{3}$$小时做完，那么一台机器完成这个工程需要（~ ）小时．

拓展思维->思想->对应思想

增加两台机器后，时间比为$$8:7$$，可以得到机器数比为$$7:8$$，那么原来应该有$$14$$台机器；若减少两台机器，推迟$$\frac{2}{3}$$小时，可以得到时间比为$$6:7$$，原来时间为$$4$$小时，因共有$$14$$台机器，所以每台机器完成需$$14\times 4=56$$小时．


2016年新希望杯小学高年级六年级竞赛训练题（二）第2题

甲商品打$$8$$折后的价格是乙商品原价的$$4$$倍，小华分别以$$8$$折和$$7$$折的价格买下甲、乙两种商品，支出总额比甲商品原价少$$6$$元，乙商品实际售价是（~ ）元．

拓展思维->思想->方程思想


2013年华杯赛六年级竞赛初赛 2020年第24届YMO五年级竞赛决赛第8题3分 2013年华杯赛五年级竞赛初赛

盒子里有黑棋子和白棋子若干，若取出一枚黑子，则余下的黑子数与白子数之比为$$9:7$$，若取出一粒白子，则余下的黑子数与白子数之比为$$7:5$$，那么盒子里原有的黑子比白子多个

拓展思维->拓展思维->应用题模块->比例应用题->按比分配

取出一粒黑子后，盒子内棋子的总数与取出一粒白子后，盒子内棋子的总数相等，$$\left[ 9+7,7+5 \right]=\left[ 16,12 \right]=48$$，因此，取出一粒黑子后，黑白子之比为$$9:7=27:21$$,取出一粒白子后，黑白子之比为$$7:5=28:20$$，黑子增加了$$1$$粒，从$$27$$份增加到$$28$$份，因此$$1$$份就是$$1$$粒，于是，盒子里原有$$28$$粒黑子、$$21$$粒白子，一开始黑子比白子多$$7$$个。


2017年河南郑州联合杯六年级竞赛初赛

一根$$5$$米长的绳子，平均分成$$3$$段，每段是这根绳子的$$\frac{\left( {          } \right)}{\left( {          } \right)}$$，每段长$$\frac{\left( {          } \right)}{\left( {          } \right)}$$米．

课内体系->知识点->数的认识->认、读、写数->分数->分数的意义 拓展思维->拓展思维->计算模块->分数->分数基础->分数的意义

绳子总共分为$$3$$段，每段是全长的$$\frac{1}{3}$$；每段长：$$5\div 3=\frac{5}{3}$$（米）．


2019年第22届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛（中国区）第7题2分

现有大、小油瓶共$$50$$个，每个大瓶可装油$$4$$千克，每个小瓶可装油$$2$$千克，大瓶比小瓶共多装$$20$$千克，问：大瓶有个．

拓展思维->思想->对应思想

（头和脚差型；分组法）分组时，$$1$$个大瓶配$$2$$个小瓶，这样每组大瓶小瓶装油重量相等；  由于大瓶比小瓶共多装$$20$$千克，所以共有$$20\div 4=5$$ （个）多余的大瓶．  组数：$$(50-5)\div 3=15$$ （组）；  大瓶有：$$15+5=20$$（个）；  小瓶有：$$15\times 2=30$$（个）．  故选$$\text{C}$$．


2014年全国迎春杯六年级竞赛初赛第5题

式子$$\frac{2014}{x+1}$$为整数，则正整数$$x$$有（~ ~ ~ ~）种取值．

拓展思维->能力->运算求解


2017年第15届全国希望杯小学高年级六年级竞赛

$$9$$个正方形放在一行，第$$1$$个正方形的面积为$$1$$，从第$$2$$个正方形开始，每个正方形的面积都是前一个正方形面积的一半，试比较第$$2$$个到第$$9$$个正方形的面积之和与第$$1$$个正方形面积的大小．

第$$2$$个到第$$9$$个正方形的面积之和大

第$$1$$个正方形面积大

一样大

不能判断

拓展思维->思想->数形结合思想


2022年第九届鹏程杯四年级竞赛初赛第27题5分

拓展思维->拓展思维->计数模块->排列组合


2009年六年级竞赛创新杯

五个互不相等的奇数之和等于$$85$$，其中最大的一个为$$M$$，则$$M$$的取值范围是(  )

$$23\leqslant M\leqslant 69$$

$$19\leqslant M\leqslant 67$$

$$21\leqslant M\leqslant 69$$

$$17\leqslant M\leqslant 69$$

拓展思维->拓展思维->组合模块->组合模块最值问题->和一定型最值问题->多数之积的最值->拆分数的数目确定

当其余四个数为$$1$$、$$3$$、$$5$$、$$7$$时，$$M$$有最大值$$69$$。设最大的一个等于$$x$$，其余四个数为$$x-2$$， $$x-4$$，$$x-6$$，$$x-8$$时，$$M$$有最小值，由$$x+\left( x-2 \right)+\left( x-4 \right)+\left( x-6 \right)+\left( x-8 \right)=85$$，解得$$x=21$$，所以$$21\leqslant M\leqslant 69$$。


2017年全国美国数学大联盟杯小学中年级四年级竞赛初赛

一群$$5$$至$$12$$岁的孩子去看电影．这些孩子的年龄的乘积是$$3080$$．请问这些孩子的年龄的和是多少？

知识标签->学习能力->七大能力->逻辑分析


2014年全国学而思杯一年级竞赛第1题

海外竞赛体系->知识点->应用题模块->分百应用题->认识单位1

拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->整数加减->整数加减巧算之凑整法->整数同尾相减


2014年全港小学数学挑战赛四年级竞赛初赛A卷第11题3分

拓展思维->思想->转化与化归的思想


2016年全国华夏杯小学低年级一年级竞赛初赛香港賽區第9题5分

$$\blacksquare$$

$$\blacktriangle$$

$$\bigstar$$

无法确定

知识标签->课内知识点->数学广角->简单的周期->简单的周期规律


2020年希望杯二年级竞赛模拟第17题

小皮、小舒和小贝是同班同学，他们中一个是班长，一个是学习委员，一个是体育委员．已知：  ①小皮的年龄比体育委员的年龄大；  ②小舒比学习委员的年龄大；  ③小贝和学习委员年龄不同．  那么小皮、小舒和小贝分别担任．

班长，学习委员，体育委员

学习委员，体育委员，班长

学习委员，班长，体育委员

班长，体育委员，学习委员

拓展思维->思想->逐步调整思想

由②小舒比学习委员的年龄大；和③小贝和学习委员年龄不同．可知小舒和小贝都不是学习委员，所以学习委员是小皮；  已知小舒比小皮大，并且小皮的年龄比体育委员的年龄大，所以小舒不是体育委员，所以小舒是班长；那么小贝就是体育委员．  故选$$\text{C}$$．


2017年河南郑州豫才杯六年级竞赛初赛第5题

12. 同学甲、同学乙两人在游乐场的直行道上进行$$200$$米赛跑，当同学甲跑到终点时．同学乙还差$$40$$米，现在两人重新跑，而且速度和原来一样，要使两人同时到达终点，那么同学甲的起跑线应往后退米．

拓展思维->能力->实践应用

比例解行程；相等的时间内，甲跑了$$200$$米时，乙跑了$$160$$米，甲乙的速度比是$$200:160=5:4$$，要使两人同时到达终点，乙跑了$$200$$米的时间内甲要跑$$200\div 4\times 5=250$$米，所以同学甲的起跑线应后退$$250-200=50$$米．


2018年第8届北京学而思综合能力诊断六年级竞赛年度教学质量监测第12题

$$6$$支球队进行足球比赛，每两支队之间都要赛一场，规定胜一场得$$3$$分，平一场各得$$1$$分，负一场不得分．全部比赛结束后，发现共有$$4$$场平局，且其中$$5$$支球队共得了$$31$$分，则第$$6$$支球队得了~\uline{~~~~~~~~~~}~分．

知识标签->学习能力->七大能力->逻辑分析

每场平局两队共得$$2$$分，如果分出胜负则两队共得$$3$$分．$$6$$支球队共要比$$6\times 5\div 2=15$$场比赛，  其中有$$4$$场平局，所以有$$15-4=11$$场分出了胜负，那么$$6$$支球队总得分为$$2\times 4+3\times 11=41$$分，  其中$$5$$支球队共得了$$31$$分，所以第$$6$$支球队得了$$41-31=10$$分．


2019年广东深圳华杯赛小学高年级竞赛第6题10分

$$1\times 2\times 3\times \cdots \times 99\times 100={{12}^{n}}M$$，其中$$M$$为自然数，$$n$$为使得等式成立的最大的自然数．下面有$$4$$个答案：其中正确．

拓展思维->思想->逐步调整思想


2021年春蕾杯六年级竞赛第2题2分 2020年春蕾杯六年级竞赛第7题2分

父亲的年龄是女儿现在的年龄时，女儿刚$$4$$岁；当父亲$$79$$岁时，女儿的年龄恰好是父亲现在的年龄，则父亲现在的年龄是岁．

拓展思维->能力->逻辑分析


2018年第8届北京学而思综合能力诊断一年级竞赛年度教学质量第14题

薇儿今天要去公园玩，妈妈给薇儿准备了$$3$$件上衣、$$2$$条裙子，还有$$2$$顶帽子，薇儿出门必须挑选一件上衣和一条裙子，帽子可以戴也可以不戴．请问，薇儿一共有种不同的搭配方法．

拓展思维->能力->公式记忆->符号化数学原理

帽子可以戴也可以不带，那么在帽子上面就有$$3$$种选择，所以共有$$3\times 2\times 3=18$$（种）．


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛初赛第5题5分

以上都不对

拓展思维->思想->转化与化归的思想


2013年全国华杯赛小学中年级竞赛初赛B卷第2题

拓展思维->思想->逐步调整思想


2017年华杯赛六年级竞赛初赛

从$$1\sim 20$$这$$20$$个整数中任意取$$11$$个数，其中必有两个数的和等于（  ）。

拓展思维->拓展思维->组合模块->抽屉原理->构造型抽屉原理

解：构造抽屉，把这$$20$$个数分组，看成$$10$$个抽屉：$$\left { 1,20 \right }$$，$$\left { 2,19 \right }$$，$$\cdots $$，$$\left { 10,11 \right }$$。  从这$$10$$个数组的$$20$$个数中任取$$11$$个数，根据抽屉原理可得，其中必有两个数的和等于$$21$$，  故选：C。


2021年第8届鹏程杯五年级竞赛初赛第25题4分

下列说法中，不能实现的个数为．  ①桌子上有$$7$$只杯子，$$3$$只杯口向上，$$4$$只杯口向下．每次任意翻转其中$$2$$只，经过若干次翻转后，可将$$7$$只杯子全变成杯口向下；  ②有两堆石子，一堆有$$1234$$颗，另一堆有$$4321$$颗．现有两种操作，一种操作是从两堆石子中拿走相同数量的石子（每次拿的数量可以不同），另一种操作是从其中一堆中拿出若干石子放入另一堆，则若干次操作后可以将两堆的石子同时取光；  ③有$$777$$个孩子，依次编为$$1\sim 777$$号，能够将这些孩子分成若干组，使每组中都有一个孩子的号码数等于本组其余孩子的号码数的和；  ④走廊上六盏全部都关着的灯，依次编号为$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$，经过$$9988$$次循环往复的拉动（从$$1$$号到$$6$$号拉动，再从$$1$$号到$$6$$号拉动），最后可以将$$4$$号灯拉亮．

以上都不对

拓展思维->拓展思维->组合模块->操作与策略->操作问题->翻杯子问题

①每个杯子翻动奇数次才能改变杯子的状态，开始时有$$3$$个杯口向上，$$4$$个杯口向下，要使所有的杯子都杯口向下，则开始时向上的杯子每个需要翻动奇数次，$$4$$个杯口向下的需要翻动偶数次，总共需要翻动奇$$+$$奇$$+$$奇$$+$$偶$$+$$偶$$+$$偶$$+$$偶$$=$$奇数次，但是每次任意翻动$$2$$只，只翻动了偶数次，不论翻动多少次，总翻动的次数都是偶数，偶数不等于奇数，所以不能实现；  ②每次操作要么从两堆中拿走相同数量的石子，即石子的总数减少偶数个，要么从其中一堆中拿出若干个石子放入另一堆，则石子的总数不变，所以每次操作时，两堆石子的总数奇偶性不变，原来总共有$$1234+4321=5555$$颗石子，为奇数，那每次操作后石子的数量还是奇数，所以不可能若干次操作后可以将两堆石子同时取光，所以②不能实现；  ③若每组中都有一个孩子的号码数等于本组其余孩子的号码数的和，则每组的号码和都是偶数，那么总共的号码和也是偶数，但是$$1+2+3+\cdots \cdots +777=$$奇数，所以③不能实现；  ④要改变灯的状态必须拉动奇数次，$$9988\div 6=1664\cdots \cdots 4$$，说明$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$都拉动了$$1664+1=1665$$次，为奇数，则$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$的状态都改变了，原来是关，最后就是亮，$$5$$、$$6$$拉动了$$1664$$次，为偶数，状态没变，还是关，所以④可以实现．  所以不能实现的是①②③，共$$3$$个．  故选$$\text{C}$$．


2014年走美杯五年级竞赛初赛

$$5$$个人围坐在一张圆桌旁就餐，有（  ）种不同的坐法。（如果某种排法可以通过旋转得到另一种排法，那么这两种排法算作同一种）

拓展思维->拓展思维->计数模块->排列组合->排列->排列的基本应用


2013年华杯赛六年级竞赛 2013年华杯赛六年级竞赛初赛

一只青蛙$$8$$点从深为$$12$$米的井底向上爬，它每向上爬$$3$$米，因为井壁打滑，就会下滑$$1$$米，下滑$$1$$米的时间是向上爬$$3$$米所用时间的三分之一。$$8$$点$$17$$分时，青蛙第二次爬至离井口$$3$$米处，那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为(  )分钟。

拓展思维->拓展思维->应用题模块->周期问题->蜗牛爬井问题

解：以爬$$3$$米，滑一米为一个周期；$$\left( 3-1 \right)\times 3+3=9\text{（m）}$$，青蛙第一次爬至离井口$$3$$米之处，$$\left( 3-1 \right)\times 4+1=9\text{（m）}$$，青蛙第二次爬至离井口$$3$$米之处，此时，青蛙爬了$$4$$个周期加$$1$$米，用时$$17$$分钟，所以青蛙每爬$$1\text{m}$$或滑$$1\text{m}$$所用时间为$$1$$分钟； $$\left( 12-3 \right)\div \left( 3-1 \right)=4\cdots \cdots 1$$，青蛙从井底爬到井口经过$$5$$个周期，再爬$$2\text{m}$$，用时$$5\times \left( 3+1 \right)+2=22$$（分钟）；  故选：A。


2020年希望杯二年级竞赛模拟第17题

小皮、小舒和小贝是同班同学，他们中一个是班长，一个是学习委员，一个是体育委员．现在知道：  ①小皮的年龄比体育委员的年龄大；  ②小舒比学习委员的年龄大；  ③小贝和学习委员年龄不同．  那么小皮、小舒和小贝分别担任．

班长，学习委员，体育委员

学习委员，体育委员，班长

学习委员，班长，体育委员

班长，体育委员，学习委员

拓展思维->能力->逻辑分析


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛初赛第4题5分

有盐水若干克，第一次加水若干，浓度变为$$4 \%$$；然后又加入同样多的水，浓度变为$$3 \%$$；第三次再加入同样多的水，这时浓度变为．

$$1 \%$$

$$2 \%$$

$$2.4 \%$$

$$2.8 \%$$

拓展思维->拓展思维->应用题模块->浓度问题->抓不变量

根据题意分析可知，设第一次加入一定量的水后，盐水为$$100$$克，  则第二次加水后盐水有$$100\times 4 \%\div 3 \%\approx 133$$（克），  $$133-100=33$$（克），说明每次加的水为$$33$$克；  只含盐$$100\times 3 \%=3$$（克），第三次又加入水$$33$$克，  所以第三次加入同样的水后盐水浓度为：  $$3\div (133+33)=3\div 166\approx 2 \%$$．  故选$$\text{B}$$．


2017年第16届湖北武汉创新杯小学高年级六年级竞赛邀请赛训练题（四）

~判定自然数$$2017$$是质数还是合数，答案为（~ ~ ~）．

是合数

是质数

都不是

无法确定

拓展思维->能力->运算求解

用筛法去判定，因为$$2017\textless4{{7}^{2}}$$，用$$47$$以内的质数去试除都无法整除，所以$$2017$$为质数，选$$\text{B}$$．


2005年第3届创新杯六年级竞赛初赛第6题

某班学生的达标人数是没有达标人数的$$\frac{1}{4}$$，如果又有$$2$$人达标，这时达标人数是没有达标人数的$$\frac{1}{3}$$，那么全班人数是(  )人．

拓展思维->思想->对应思想

由达标人数是没有达标人数的$$\frac{1}{4}$$知：  达标人数占总人数的$$\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$$．又有$$2$$人达标后，  达标人数是没有达标人数的$$\frac{1}{3}$$，  那么这时达标人数占总人数的$$\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$$．  所以这个班的总人数为$$2\div \left( \frac{1}{4}-\frac{1}{5} \right)=40$$(人)，  故而选$\text{B}$．


2016年全国世奥赛竞赛A卷第5题 2016年第16届世奥赛六年级竞赛决赛第5题

阿基米德是古希腊伟大的数学家，在物理学、工程学上也有卓越贡献，传授阿基米德为判金王冠中是否掺银而冥思苦想，最后在洗澡时悟出了浮力定律，并利用它解决王冠的难题．由于水对物体的浮力作用，纯金和纯银完全浸入水中称重时，分别减轻约$$\frac{1}{20}$$和$$\frac{1}{10}$$．假定一顶王冠重$$0.9$$千克，浸入水中称重，减轻了$$\frac{1}{18}$$，则可断定其中掺入了白银，那么这顶王冠中含银（~ ）千克．

拓展思维->思想->方程思想

方法一：方程法  设王冠中含有银千克，则金的质量为千克  则可列方程为，解得  故含有银的量为千克  方法二：十字交叉（两种物体混合的问题都可以转化成类浓度问题，用十字交叉解决，如行程、浓度、工程、降级问题都可以）  根据题目可知，剩余金的和银的是整个王冠的，即  金：银的质量比，则银的质量为千克．


2013年全国学而思杯五年级竞赛A卷第20题

思思编了一个计算机程序，在屏幕上显示所有由$$0$$、$$1$$、$$2$$、$$3$$组成的四位编码（数字可以重复使用），每个四位编码都是红、黄、蓝、绿四种颜色中的一种．并且，如果两个编码的每一位数字均不相同，那么这两个编码的颜色也不相同．如果，$$0000$$是红色的、$$1000$$是黄色的、$$2000$$是蓝色的，那么：  (1) 下列编码中，一定不是红色的是．

拓展思维->思想->逐步调整思想 课内体系->思想->逐步调整思想


2019年第22届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛（中国区）第10题2分

$$6$$年前，母亲的年龄是儿子的$$5$$倍。$$6$$年后母子年龄总和是$$78$$岁。问：母亲今年岁。

拓展思维->能力->构造模型->模型思想
Overseas Competition->知识点->应用题模块->年龄问题


2016年第28届广东广州五羊杯小学高年级竞赛初赛第10题3分

有四位小朋友，其中每三位小朋友的岁数之和分别为$$22$$、$$20$$、$$17$$、$$25$$，请问这四位小朋友中年龄最大的比年龄最小的大岁．

拓展思维->能力->构造模型->模型思想

设这$$4$$个小朋友的年龄分别为$$a$$岁，$$b$$岁，$$c$$岁，$$d$$岁，  根据题意，可列出$$\begin{cases}a+b+c=22 ①    a+b+d=20 ②    b+c+d=17  ③   a+c+d=25 ④   \end{cases}$$，  ①$$+$$②$$+$$③$$+$$④，  $$3a+3b+3c+3d=22+20+17+25$$，  $$3(a+b+c+d)=84$$，  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde a+b+c+d$$  $$=84\div 3$$  $$=28$$，  所以$$4$$个人年龄和为$$28$$岁，  又因为$$17 ~\textless{} ~20 ~\textless{} ~22 ~\textless{} ~25$$，  所以年龄最大的比年龄最小的大：  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde(28-17)-(28-25)$$  $$=11-3$$  $$=8$$（岁）．  故选$$\text{D}$$．


2021年鹏程杯六年级竞赛初赛第23题

---项铺路工程，如果甲队单独做$$100$$天可以完成，乙队单独做$$150$$天可以完成．现在两队同时施工，工作效率比单独做提高$$20 \%$$，当工程完成$$\frac{2}{5}$$时，正好赶上新冠疫情，影响施工进度，使得每天少铺$$70$$米，结果前后一起共用了$$90$$天完成这项工程．则整个工程铺路米．

以上都不对

拓展思维->思想->对应思想


2016年全国世奥赛五年级竞赛A卷第7题5分

在$$1829$$年法国盲人路易布莱尔发明了点字，他是由一个框内的$$6$$个凸或者不凸的点组成，以凸点数的多少和位置的不同，代表不同的符号，因此可以变化组成（~ ）个不同的符号（没有任何凸点就不计数），这已成为现代国际上普遍采用的盲文形式．

拓展思维->拓展思维->计数模块->加乘原理->乘法原理->物品搭配

由于没有任何凸点就不计数，则不同的符号有$${{2}^{6}}-1=63$$个．


2006年第11届全国华杯赛竞赛复赛第5题 2017年湖北武汉创新杯六年级竞赛邀请赛训练题（二）

拓展思维->拓展思维->计算模块->数列与数表->数列规律->数形结合找规律

此题要首先找出数字出现的规律：$$6281011235813471123581347$$\ldots，从第六个开始，每十个数字一个循环，然后按周期问题解答即可．  $$\left( 123-5 \right)\div 10=11\cdots 8$$；个位数字是周期中的第$$8$$个，即为$$3$$．


2012年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第12题4分

已知$$5$$个苹果与$$6$$根香蕉的重量相同，$$3$$根香蕉与$$4$$个橘子的重量相同，请问$$16$$个橘子与几个苹果的重量相同？

拓展思维->拓展思维->应用题模块->列方程解应用题->列方程解应用题等量代换->等量代换替换型

由题意可知$$6$$根香蕉与$$8$$个橘子的重量相同，从而$$5$$个苹果与$$8$$个橘子的重量相同．所以$$16$$个橘子与$$10$$个苹果的重量相同．


2006年第4届创新杯五年级竞赛初赛A卷第5题 2006年五年级竞赛创新杯

有4名棋手进行循环比赛，每两人赛一局，胜一局得2分，平一局得1分，负一局得0分，如果每人得分互不相同，第一名不是全胜，那么至少有(  )局是平局.

拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->体育比赛->单循环赛

因为比赛共进行$$4\times \left( 4-1 \right)\div 2=6$$局，所以4名选手得分之和为$$2\times 6=12$$分.如果没有平局，那么4个选手得分是4个互不相同的偶数，所以4个选手得分依次为6分，4分，2分和0分，从而得知第一名三局得6分，即第一名三局全胜与题设条件矛盾，当第一名有一局为平局时，4个选手得分可以依次为5分，4分，2分和1分，符合题意，因此，至少有一局是平局.


2011年北京五年级竞赛 小学高年级六年级其它小高著名杯赛拉分题第9题 2009年第14届全国华杯赛竞赛初赛第6题10分

$$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$、$$E$$五个小朋友做游戏，每轮游戏都按照下面的箭头方向把原来手里的玩具传给另外一个小朋友：$$A\to C$$，$$B\to E$$，$$C\to A$$，$$D\to B$$，$$E\to D$$．开始$$A$$、$$B$$拿着福娃，$$C$$、$$D$$、$$E$$拿着福牛，传递完$$5$$轮时，拿着福娃的小朋友是（ ~ ~ ~~）．

$$C$$与$$D$$

$$A$$与$$D$$

$$C$$与$$E$$

$$A$$与$$B$$

拓展思维->思想->对应思想

根据题意，$$A$$与$$C$$互相传，$$B$$、$$D$$、$$E$$之间则按$$B$$→$$E$$→$$D$$→$$B$$→\ldots 的顺序轮流传．开始时，两个福娃分别在$$A$$、$$B$$手上，其中$$A$$手上的福娃经过$$5$$轮的传递将到$$C$$的手里，$$B$$手上的福娃经过$$5$$轮的传递将到$$D$$的手里．所以传递完$$5$$轮时，拿着福娃的小朋友是$$C$$和$$D$$．正确答案为$$\text{A}$$．


2014年迎春杯三年级竞赛初赛

一

四

五

六

拓展思维->拓展思维->应用题模块->周期问题->时间中的周期问题->日期中的周期


2015年第13届全国创新杯五年级竞赛复赛第7题

拓展思维->拓展思维->数论模块->余数问题->余数的性质->余数性质综合


2016年第21届全国华杯赛小学高年级竞赛初赛B卷第2题

有一种数，是以法国数学家梅森的名字命名的，它们就是形如$$2^{n}-1$$($$n$$为质数）的梅森数，当梅森数是质数时就叫梅森质数，是合数时就叫梅森合数，例如：$$2^{2}-1=3$$就是第一个梅森质数．第一个梅森合数是．

拓展思维->能力->逻辑分析


2013年第11届创新杯三年级竞赛初赛第4题6分

一个儿童用棱长为$$1$$厘米的$$42$$个正方体黏合成一个各面为长方形的立体砖．如果其底面的周长是$$18$$厘米，则这块砖的高是厘米．

拓展思维->思想->对应思想

因为棱长为$$1\text{cm}$$的$$42$$个正方体黏合成一个各面为长方形的立体砖，  其底面的周长是$$18\text{cm}$$，  所以底面立方体个数一定小于$$18$$大于$$8$$，  因为$$42$$个正方体黏合成一个各面为长方形的立体砖，  即可得出组合图形整除底面个数，  所以底面个数一定是整除$$42$$，  所以符合要求的只有：$$14$$，  所以底面立方体个数为$$14$$，  所以这个立体砖的高为：$$42\div14=3$$（厘米）．  故选$$\text{A}$$．


2017年新希望杯六年级竞赛训练题（一）第4题 2018年湖北武汉新希望杯六年级竞赛训练题（一）第4题

将四个分数按从小到大的顺序排列，正确的是．

拓展思维->拓展思维->计算模块->比较与估算->比较大小综合->分数通分法->通分母


2020年希望杯一年级竞赛模拟第2题

$$4$$人握手，每两人之间都握一次手，一共要握次．（不能重复计数）

拓展思维->七大能力->实践应用

因为由题干可知，一共有$$4$$个人，每两人之间需要握一次手，我们可以将这$$4$$个人分别用$$A$$、$$B$$、$$C$$和$$D$$来指代，则所有的握手情况为：$$AB$$，$$AC$$，$$AD$$，$$BC$$，$$BD$$和$$CD$$，所以一共要握$$6$$次，故本题答案为$$\text{C}$$．


2016年全国美国数学大联盟杯小学中年级三年级竞赛初赛

某次小明坐缆车上山，从他坐上车开始，一路上他一直在数对面交错而过的缆车数量，一共是$$60$$辆，则在这一整条索道上（双向）共有多少辆缆车？

拓展思维->思想->整体思想

缆车是循环的，它遇到的第一辆就是紧随其后的，那么他遇到的最后一辆就是它前面的，所以除了它自己这辆，还有$$60$$辆，一共是$$60+1=61$$辆．


2016年创新杯五年级竞赛训练题（一）第8题

一条船往返于甲乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶．已知船在静水中的速度为$$8$$千米/小时，平时逆水航行所用时间是顺水航行所用的时间的$$2$$倍．某天恰逢暴雨，水流速度是原来的两倍，这条船往返共用了$$9$$小时．问：甲、乙两地相距千米．

知识标签->数学思想->转化与化归的思想

平时逆水航行所用时间是顺水航行所用时间的$$2$$倍，所以顺水航行速度是逆水航行的$$2$$倍，即$${{V}_{水}}+8=2\times \left( 8-{{V}_{水}} \right)$$，解得：$${{V}_{}}=\frac{8}{3}$$，所以水速为$$\frac{8}{3}$$千米/小时，变为原来的$$2$$倍后变为$$\frac{16}{3}$$千米/小时．设甲、乙两地相距$$S$$千米，则：$$\frac{S}{\frac{16}{3}+8}+\frac{S}{8-\frac{16}{3}}=9$$ 解得：$$S=20$$，所以甲、乙两地相距$$20$$千米．


2013年全国华杯赛小学高年级竞赛初赛C卷第6题

从$$1$$～$$11$$这$$11$$个整数中任意取出$$6$$个数，则下列结论正确的有（~ ~ ~ ~）个．  ①其中必有两个数互质；  ②其中必有一个数是其中另一个数的倍数；  ③其中必有一个数的$$2$$倍是其中另一个数的倍数．

拓展思维->能力->抽象概括

对于``任意$$\cdots$$必有''这样的语句，应该考虑到``抽屉原理''．如果需要证明结论正确的话，那就要构造抽屉，而抽屉的个数，应该是小于$$6$$的  第一句说必有两个数互质，如果这是正确的话，那么就要构造出小于$$6$$的抽屉，且每一组抽屉中的数一定是两两互质的，而很容易想到，每相邻的两个数都是互质的，所以可以这样构造（$$1$$，$$2$$，$$3$$）（$$4$$，$$5$$）（$$6$$，$$7$$）（$$8$$，$$9$$）（$$10$$，$$11$$）其实构造的方法不是唯一的，还有很多构造方法如：【（$$1$$，$$3$$，$$4$$）（$$2$$，$$9$$）（$$8$$，$$11$$）（$$5$$，$$6$$）（$$7$$，$$10$$）】；  第二句很容易举出反例，（$$6$$、$$7$$、$$8$$、$$9$$、$$10$$、$$11$$）最大的六个数就没有倍数关系，同样的还有：（$$4$$、$$5$$、$$6$$、$$7$$、$$9$$、$$11$$）；  第三句，根据第二句话的反例，可以看出，第三句话是成立的，那么就要严谨的证明一下，还是要构造抽屉，按照什么构造呢，可以按照$$1$$到$$11$$中的$$5$$个质因数来构造$$5$$个抽屉，$$1$$放在哪个抽屉里都可以，（$$1$$，$$2$$，$$4$$，$$8$$）（$$3$$，$$6$$，$$9$$）（$$5$$，$$10$$）（$$7$$）（$$11$$）这五个抽屉中，要任意取$$6$$个数，必有两个数在同一个抽屉中，就必满足其中一个数的$$2$$倍是另一个数的倍数．


2015年湖北武汉世奥赛五年级竞赛模拟训练题（一）第1题

某个游戏满分为$$100$$分，每人可以做$$4$$次，以平均分为游戏的成绩．小乐的分数是$$85$$分，则他任何一次游戏的得分都不低于分．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题->公式类->直接求平均数

小乐$$4$$次游戏的部分是$$85\times 4=340$$（分），当他有$$3$$次游戏的分数最高时，剩余$$1$$次的分数最低．  因为游戏满分为$$100$$分，故最低分为$$3403\times 100=40$$（分）．


2014年全国迎春杯六年级竞赛复赛第15题

老师把某个两位数的六个不同因数分别告诉了$$A\sim F$$六个聪明诚实的同学．  $$A$$和$$B$$同时说：``我知道这个数是多少了．''  $$C$$和$$D$$同时说：``听了他们两人的话，我也知道这个两位数是多少了．''  $$E$$：``听了他们的话，我知道我的数一定比$$F$$的大．''  $$F$$：``我拿的数的大小在$$C$$和$$D$$之间．''  那么六个人拿的数之和是．

拓展思维->思想->枚举思想


2016年创新杯小学高年级六年级竞赛训练题（一）第1题

有$$32$$块石头，重量各不相同，无法从外观及手感区分它们的重量，现有一架无砝码的天平用来比较它们的重量．最少需要称（~ ~ ~ ）次，一定能称出最重的和第二重的石块．

拓展思维->拓展思维->组合模块->操作与策略->操作问题->称重找假物->不知轻重

秤出最重的需要$$16+8+4+2+1=31$$（次），第二重的只用把和最重比较过的$$5$$块石头取出继续比较，还需要$$2+1+1=4$$（次），一共是$$35$$次．


2015年第13届全国创新杯五年级竞赛初赛第9题

甲、乙、丙、丁做竞猜游戏，在一个箱子中装有大小一样的二十个球，编号分别为$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$\cdot \cdot \cdot $$、$$20$$，从中任意取出一个球，猜测球的号码的情况．甲猜：奇数；乙猜：偶数；丙猜：$$3$$的倍数；丁猜：含有数字$$1$$．赢得可能性最大的是（~ ）．

甲

乙

丙

丁

拓展思维->拓展思维->计数模块->统计与概率->概率->基本概率->可能性


2014年全国迎春杯三年级竞赛复赛第10题

三年级二班的同学在上游泳课，男生戴蓝泳帽，女生戴红泳帽．  男体育委员说：``我看见的蓝泳帽比红泳帽的$$4$$倍多$$1$$个．''  女体育委员说：``我看见的蓝泳帽比红泳帽多$$24$$个．''  根据两位体育委员的话，算出三年级二班共有（~~~~~ ）位同学．

拓展思维->思想->转化与化归的思想

男体育委员少看到一个蓝色帽子，所以实际蓝泳帽比红泳帽的$$4$$倍多$$2$$个，女体育委员少看到一个红色帽子，所以实际蓝泳帽比红泳帽多$$23$$个，红泳帽有$$(23-2)\div (4-1)=7$$（个），蓝泳帽有$$7+23=30$$（个），共有$$30+7=37$$（位）同学．


2021年第8届鹏程杯五年级竞赛初赛第5题4分 2021年第8届鹏程杯四年级竞赛初赛第5题4分

以上都不对

拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->整数加减->整数加减巧算之分组法


2011年全国世奥赛三年级竞赛初赛

知识标签->拓展思维->计算模块->整数->整数加减->整数加减巧算之分组法


2008年三年级竞赛学而思杯

美国前总统林肯说过：``最高明的骗子，可能在某个时刻欺骗所有人，也可能在所有时刻欺骗某些人，但不可能在所有时刻欺骗所有人。''如果林肯上述判定为真，则以下（  ）为假。

林肯可能在某个时刻受骗

林肯可能在所有时刻不受骗

骗子可能在某个时刻受骗

不存在某一时刻有人可能不受骗

存在某一时刻，有人可能不受骗

拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->条件型逻辑推理->神推理

A项，林肯可能遇到骗子并欺骗了他；B项，林肯可能一直遇不到骗子，从而不受骗；C项，骗子可能遇到骗子；D项，如果某一时刻有人未遇到骗子，则他可能不受骗，从而D为假；E项，骗子不可能在所有时刻欺骗所有人，故存在某一时刻，有人可能不受骗，选D。


2015年湖北武汉世奥赛六年级竞赛模拟训练题（三）第3题

一个最简分数，如果分子加$$a$$，则等于$$\frac{1}{2}$$．原来的分数是，$$a$$是．

拓展思维->思想->逆向思想


2014年全国迎春杯六年级竞赛初赛第15题

老师把一个三位完全平方数的百位告诉了甲，十位告诉了乙，个位告诉了丙，并且告诉三人他们的数字互不相同．三人都不知道其他两人的数是多少，他们展开了如下对话：  甲：我不知道这个完全平方数是多少．  乙：不用你说，我也知道你一定不知道．  丙：我已经知道这个数是多少了．  甲：听了丙的话，我也知道这个数是多少了．  乙：听了甲的话，我也知道这个数是多少了．  请问这个数是的平方．

拓展思维->思想->对应思想


2017年第16届湖北武汉创新杯六年级竞赛邀请赛训练题（二）

如果规定$$a*b=13\times a-b\div 8$$，那么$$17*24$$的最后结果是．

课内体系->能力->运算求解 拓展思维->思想->方程思想


2014年IMAS小学中年级竞赛第一轮检测试题第18题4分

小朋友玩游戏，老师让小朋友们站成一排，并从第一位开始依照$$1$$、$$2$$、$$3$$循环报数，最后一位小朋友报的数是$$2$$，请问这一排可能共有多少位小朋友？

拓展思维->能力->运算求解

由题意可知这一派同学的人数除以$$3$$后所得的余数是$$2$$，在各个选项中只有选项$$\text{C}$$符合要求．  故选$$\text{C}$$．


2018年第8届北京学而思综合能力诊断二年级竞赛年度教学质量第10题

五一到了，花花想要出去旅游，她有$$2$$顶帽子、$$3$$条项链、$$5$$种头花、$$2$$双鞋、$$3$$条白色裙子、$$4$$条粉色裙子、$$1$$条蓝色裙子，每类物品中各选一样进行搭配．那么，一共有种不同的搭配方法．

拓展思维->思想->对应思想 课内体系->能力->运算求解


2016年全国华杯赛小学中年级竞赛初赛第1题

拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->整数加减->整数加减巧算之凑整法->整数“好朋友数”的应用


2004年第2届创新杯五年级竞赛初赛第5题 2004年五年级竞赛创新杯

甲乙两地相距$$120$$千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行$$40$$千米，返回时每小时行$$60$$千米，这辆汽车往返两地的平均速度是（  ）。

拓展思维->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->路程速度时间->平均速度->公式法

求平均速度的公式为：平均速度$$=$$总路程$$\div $$总时间  这辆汽车去时用了$$120\div 40=3$$(小时)，返回时用了$$120\div 60=2$$(小时)，那么这辆汽车的平均速度为：$$120\times 2\div \left( 3+2 \right)=48$$(千米/时)，选C 。


2018年华杯赛六年级竞赛模拟卷

甲乙两人从相距$$600$$米的地方同向而行，甲走了$$1000$$米追上乙，如果甲每秒多走一米，那么走了$$900$$米就可以追上乙。如果一开始甲每秒少走一米，甲乙两人相向而行~\uline{~~~~~~~~}~秒相遇。

拓展思维->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->两人相遇与追及问题->相遇问题->同时出发相向而行

甲速度不变时，他走$$1000$$米所用时间和追上乙的时间相同；速度提升时，甲走$$900$$的时间和追上乙所用时间相同。我们可以列出关系：$$\begin{cases}\frac{600}{{{V}_{\text{甲}}}-{{V}_{\text{乙}}}}\text{=}\frac{1000}{{{V}_{\text{甲}}}}    \frac{600}{\left( {{V}_{\text{甲}}}\text{+1} \right)-{{V}_{\text{乙}}}}\text{=}\frac{900}{{{V}_{\text{甲}}}\text{+}1}   \end{cases}$$，解得$$\begin{cases}{{V}_{\text{甲}}}\text{=}5    {{V}_{\text{乙}}}\text{=}2   \end{cases}$$。甲的速度减慢，两人相遇的时间为$$600\div \left( 4+2 \right)=100$$秒。


2017年第8届广东广州羊排赛六年级竞赛第5题1分

苗苗有一杯$$20 \%$$的盐水$$100$$克．向杯中再加入$$100$$克纯净水，此时盐水的浓度．

等于$$10 \%$$

大于$$10 \%$$

小于$$10 \%$$

不能确定

拓展思维->能力->数据处理


2013年华杯赛四年级竞赛初赛 2013年华杯赛四年级竞赛初赛

小东、小西、小南、小北四个小朋友在一起做游戏时，捡到了一条红领巾，交给了老师．  老师问：是谁捡到的？  小东说：不是小西．  小西说：是小南．  小南说：小东说的不对．  小北说：小南说的也不对．  他们之中只有一个人说对了，这个人是．

小东

小西

小南

小北

拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->假设型逻辑推理

小东与小南说的话对立，所以两人中一定一对一错．已知只有一个人说对了，则小西和小北说的是错的．"小北说：小南说的也不对．"这句话是错的，可知小南说的是对的．  故选：$$\text{C}$$．


2011年北京小学高年级五年级竞赛

甲、乙两人原有的钱数之比为$$6:5$$，后来甲又得到$$180$$元，乙又得到$$30$$元，这时甲、乙钱数之比为$$18:11$$．那么原来两人的钱数之和为~\uline{~~~~~~~~~~}~元．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->比例应用题->复杂的比例问题 课内体系->思想->逐步调整思想

两人原有钱数之比为$$6$$:$$5$$，如果甲得到$$180$$元，乙得到$$150$$元，那么两人的钱数之比仍为$$6$$:$$5$$，现在甲得到$$180$$元，乙只得到$$30$$元，相当于少得到了$$120$$元，现在两人钱数之比为$$18$$:$$11$$，可以理解为：两人的钱数分别增加$$180$$元和$$150$$元之后，钱数之比为$$18$$：$$15$$，然后乙的钱数减少$$120$$元，两人的钱数之比变为$$18$$:$$11$$，所以$$120$$元相当于$$4$$份，$$1$$份为$$30$$元，后来两人的钱数之和为$$30 \times (18 + 15) = 990$$元，所以原来两人的总钱数之和为$$990 - 180 - 150 = 660$$元．  设甲、乙原来各有$$6x$$、$$5x$$元，那么有$$(6x+180):(5x+30)=18:11$$，解比例方程得$$x=60$$，原来共有$$60\times (6+5)=660$$（元）．  由于甲、乙得到的钱数不同，所以差并非不变．为了让得到的钱数相同，可以考虑将乙原有的钱数和得到的钱数都翻$$6$$倍，那么甲、乙原有钱数之比变为$$1:5$$，现有钱数之比变为$$3:11$$，统一差，变为$$2:10$$以及$$3:11$$，一份就是$$180$$元，所以原有钱数之和为$$(2+10\div 6)\times 180=660$$．  故答案为：$$660$$元．


2020年希望杯二年级竞赛模拟第17题

小皮、小舒和小贝是同班同学，他们中一个是班长，一个是学习委员，一个是体育委员．现在知道：  ①小皮的年龄比体育委员的年龄大；  ②小舒比学习委员的年龄大；  ③小贝和学习委员年龄不同．  那么小皮、小舒和小贝分别担任．

班长，学习委员，体育委员

学习委员，体育委员，班长

学习委员，班长，体育委员

班长，体育委员，学习委员

体育委员，班长，学习委员

拓展思维->思想->逐步调整思想

由②小舒比学习委员的年龄大；和③小贝和学习委员年龄不同．可知小舒和小贝都不是学习委员，所以学习委员是小皮；  已知小舒比小皮大，并且小皮的年龄比体育委员的年龄大，所以小舒不是体育委员，所以小舒是班长；那么小贝就是体育委员．  故选$$\text{C}$$．


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛三年级竞赛初赛第1题5分

兄弟俩今年的年龄和是$$35$$岁，当哥哥像弟弟现在这样大时，弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半，弟弟今年岁．

拓展思维->思想->对应思想


2008年陈省身杯小学高年级六年级竞赛

一根绳子分成甲乙两段，甲占全长的$$\frac{3}{5}$$，乙长$$\frac{3}{5}$$米，两段绳子相比较（~~~~~~~~ ）．

甲长

乙长

一样长

无法确定

拓展思维->拓展思维->应用题模块->分百应用题->认识单位1

根据题意得，一根绳子分成甲乙两段，甲占全长的$$\frac{3}{5}$$，乙长$$\frac{3}{5}$$米，两段绳子相比较甲长，故答案为$$\text{A}$$．


2018年湖北武汉创新杯小学高年级五年级竞赛初赛数学思维能力等级测试第2题4分

一个数，减去$$15$$之后除以$$13$$，其结果加上$$3$$之后乘$$2$$，得到的结果是$$314$$，那么原来的这个数是．

拓展思维->思想->逆向思想


2016年华杯赛四年级竞赛初赛

``凑$$24$$点''游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下$$52$$张（如果初练也可只用$$1\sim10$$这$$40$$张牌），任意抽取$$4$$张牌（称牌组），用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成$$24$$，每张牌必须用一次且只能用一次，并不能用几张牌组成一个多位数，如抽出的牌是$$3$$、$$8$$、$$8$$、$$9$$，那么算式为$$\left( 9-8 \right)\times 8\times 3$$或$$(9-8\div 8)\times 3$$等。在下面$$4$$个选项中，唯一无法凑出$$24$$点的是（  ）

拓展思维->拓展思维->组合模块->数字谜->巧填算符

可以通过计算它们能达到的最大值，找到不能凑出$$24$$点的选项。  解：A、$$(1+2)\times 3\times 3=27\textgreater24$$，有可能凑出$$24$$点；  B、$$(1+5)\times 5\times 5=150\textgreater24,$$有可能凑出$$24$$点；  C、$$2\times 2\times 2\times 2=16 \textless{} 24$$，不可能凑出$$24$$点；  D、$$3\times 3\times 3\times 3=81\textgreater24$$，有可能凑出$$24$$点；  故选：C。


2012年IMAS小学中年级竞赛第一轮检测试题第16题4分

奥运会足球小组赛分为上、下两个半长，每半长$$45$$分钟，中间休息$$15$$分钟．伦敦奥运会期间，某场足球小组赛于$$13:00$$开始，并且此赛事没有伤停与延长赛时间，请问这场足球小组赛在什么时刻结束？（~ ~ ）

拓展思维->思想->对应思想


2018年第22届广东世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛初赛第2题6分

甲要完成一批零件，原计划$$10$$天完成．实际上甲每天比原计划多做$$16$$个，结果$$8$$天完成．这批零件共个．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->工程问题->简单工程问题->具体量工程问题

实际每天比原来多做$$16$$个，  则$$8$$天比原来多做：$$8\times 16=128$$（个），  多做的部分相当于原来$$10-8=2$$天的量．  所以原来每天做：$$128\div 2=64$$（个），  则这批零件共$$64\times 10=640$$（个）．  故选择：$$\text{C}$$．


2014年全国创新杯五年级竞赛第2题5分

把足够大的一张厚度为$$0.1mm$$纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过$$12mm$$，至少要对折扣（~ ）．

拓展思维->能力->运算求解


2005年第3届创新杯五年级竞赛复赛第8题

拓展思维->思想->分类讨论思想


2017年第16届湖北武汉创新杯小学高年级五年级竞赛邀请赛训练题（一）

由$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$、$$5$$五个数字组成没有重复数字的三位数，各个数字之和为偶数的共有（~ ~ ~ ）个．

拓展思维->思想->枚举思想


2018年全国全国初中数学联赛初一竞赛A卷

设二次函数$$y={{x}^{2}}+2ax+\frac{{{a}^{2}}}{2}$$的图象的顶点为$$A$$，与$$x$$轴的交点为$$B$$，$$C$$．当$$\triangle ABC$$为等边三角形时，其边长为 (~ ~ ) .

课内体系->知识点->函数->二次函数->二次函数与几何综合->二次函数与等边三角形结合


2000年第11届希望杯初一竞赛第4题

$$a{{x}^{3}}{{y}^{2}}$$和$$b{{m}^{3}}{{n}^{2}}$$是同类项

$$3{{x}^{a}}{{y}^{3}}$$和$$b{{x}^{3}}{{y}^{3}}$$是同类项

$$b{{x}^{2a+1}}{{y}^{4}}$$和$$a{{x}^{5}}{{y}^{b+1}}$$是同类项

$$5{{m}^{2b}}{{n}^{5a}}$$和$$6{{n}^{2b}}{{m}^{5a}}$$是同类项

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->同类项的定义


1991年第8届全国初中数学联赛竞赛（第一试）第6题 初一下学期单元测试《二元一次方程组》三元一次方程组第8题 2022年浙江温州瓯海区浙江省温州中学初三自主招生第3题

若$$a$$、$$c$$、$$d$$是整数，$$b$$是正整数，且满足$$a+b=c$$，$$b+c=d$$，$$c+d=a$$，那么$$a+b+c+d$$的最大值是（~ ）．

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算->整式加减的综合


2009年第20届希望杯初一竞赛第1试第4题4分

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式加减化简求值->整式加减化简求值-降次化简求值


2009年第20届希望杯初一竞赛第1试第4题4分

课内体系->能力->运算能力


2010年第15届华杯赛初一竞赛决赛第1题

互不相等的有理数$$a$$，$$b$$，$$c$$在数轴上的对应点分别为$$A$$，$$B$$，$$C$$．如果$$\left\textbar{} a-b \right\textbar+\left\textbar{} b-c \right\textbar=\left\textbar{} c-a \right\textbar$$，那么在点$$A$$，$$B$$，$$C$$中，居中的是点~\uline{~~~~~~~~~~}~．

$$A$$

$$B$$

$$C$$

竞赛->知识点->数与式->绝对值->绝对值的几何意义 课内体系->知识点->数->有理数->数轴

当$$a\textless{}b\textless{}c$$时，$$\left\textbar{} a-b \right\textbar+\left\textbar{} b-c \right\textbar=b-a+c-b=c-a=\left\textbar{} c-a \right\textbar$$；  当$$a\textgreater b\textgreater c$$时，$$\left\textbar{} a-b \right\textbar+\left\textbar{} b-c \right\textbar=a-b+b-c=a-c=\left\textbar{} c-a \right\textbar$$；  所以点$$B$$在点$$A$$与点$$C$$之间．  当点$$B$$不在$$A$$，$$C$$两个点之间时，$$\left\textbar{} a-b \right\textbar+\left\textbar{} b-c \right\textbar=\left\textbar{} c-a \right\textbar$$不成立．  事实上，当$$b\textless{}a\textless{}c$$时，$$\left\textbar{} a-b \right\textbar+\left\textbar{} b-c \right\textbar=a-b+c-b=a+c-2b$$，$$\left\textbar{} c-a \right\textbar=c-a$$．  这时不可能有$$\left\textbar{} a-b \right\textbar+\left\textbar{} b-c \right\textbar=\left\textbar{} c-a \right\textbar$$，  否则，$$a+c-2b=c-a$$，即$$2a=2b$$，  得出$$a$$和$$b$$相等，与题设条件矛盾．类似地可以讨论其他情形．


2005年第22届全国初中数学联赛竞赛初赛第5题7分

在直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设$$k$$ 为整数，当直线$$y=x-3$$ 与$$y=kx+k$$ 的交点为整数时，$$k$$ 的值可以取．

$$2$$ 个

$$4$$ 个

$$6$$ 个

$$8$$ 个

课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数与方程、不等式->一次函数与二元一次方程组

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->含参二元一次方程组->二元一次方程组的含参整数解问题

课内体系->能力->运算能力

由题意得：$$\begin{cases}y=kx+k    y=x-3   \end{cases}$$ ，  解得：$$\begin{cases}x=\dfrac{k+3}{1-k}    y=\dfrac{4k}{1-k}   \end{cases}$$ ，  ∴$$\begin{cases}x=-1+\dfrac{4}{1-k}    y=-4+\dfrac{4}{1-k}   \end{cases}$$ ，  ∵交点为整数，  ∴$$k$$ 可取的整数解有$$0$$ ，$$2$$ ，$$3$$ ，$$5$$ ，$$-1$$ ，$$-3$$ 共$$6$$ 个．  故选$$\text{C}$$ ．


其它 2007年第18届希望杯初二竞赛第1试第4题

已知$$a$$是正整数，方程组$$\begin{cases}ax+4y=8    3x+2y=6 \end{cases}$$的解满足$$x\textgreater0$$，$$y\textless{}0$$，则$$a$$的值是．

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->由不等式（组）的解集求参数的范围

课内体系->能力->推理论证能力

$$\begin{cases}ax+4y=8 ①   3x+2y=6 ②\end{cases}\begin{matrix}     \end{matrix}$$，  ①$$-$$②$$\times 2$$：$$ax-bx=8-12$$  ∴$$(a-b)x=-4$$  ∵$$x\textgreater0$$，  ∴$$a-b\textless{}0$$，$$a\textless{}b$$．  ①$$\times 3-$$②$$\times a$$：$$12y-2ay=24-6a$$，  ∴$$(6-a)y=12-3a$$．  ∵$$y\textless{}0$$且$$a\textless{}6$$，  ∴$$12-3a\textless{}0$$，  ∴$$a\textgreater4$$，  ∴$$4\textless{}a\textless{}6$$，  又∵$$a$$为正整数，  ∴$$a=5$$．


2014年第25届全国希望杯初二竞赛复赛第9题4分

方程组$$\left { \begin{matrix}\left\textbar{} x \right\textbar+y=10    x+\left\textbar{} y \right\textbar=4   \end{matrix} \right.$$的解有（~ ）．

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->解含绝对值的方程组

课内体系->能力->运算能力

当$$x\geqslant 0$$，$$y\geqslant 0$$时，方程组是$$\left { \begin{matrix}x+y=10    x+y=4   \end{matrix} \right.$$，两个方程互相矛盾，无解；  当$$x\textless{}0$$，$$y\textless{}0$$时，方程组是$$\left { \begin{matrix}-x+y=10    x-y=4   \end{matrix} \right.$$，两个方程互相矛盾，无解；  当$$x\geqslant 0$$，$$y\textless{}0$$时，方程组是$$\left { \begin{matrix}x+y=10    x-y=4   \end{matrix} \right.$$，解得$$\left { \begin{matrix}x=7    y=3   \end{matrix} \right.$$，与条件矛盾，舍去；  当$$x\textless{}0$$，$$y\geqslant 0$$时，方程组是$$\left { \begin{matrix}-x+y=10    x+y=4   \end{matrix} \right.$$，解得$$\left { \begin{matrix}x=-3    y=7   \end{matrix} \right.$$，符合条件．  综上所述，原方程组只有一组解．


2012年第23届全国希望杯初一竞赛初赛第8题4分 初一单元测试《列方程解应用题—设元的技巧》第8题

某研究所全体员工的月平均工资为$$5500$$元，男员工月平均工资为$$6500$$元，女员工月平均工资为$$5000$$元，则该研究所男、女员工人数之比是（~ ）．

课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程与实际问题->分式方程的其他实际问题

课内体系->能力->分析和解决问题能力

设该研究所有$$x$$名男员工，$$y$$名女员工，  由题意，得$$\frac{6500x+5000y}{x+y}=5500$$，  整理，得$$y=2x$$，  所以$$x:y=1:2$$．  即该研究所男、女员工人数之比是$$1:2$$．


1999年第4届华杯赛初一竞赛复赛第12题

有一批长度分别为$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$，$$7$$，$$8$$，$$9$$，$$10$$和$$11$$厘米的细木条，它们的数量都足够多，从中适当选取$$3$$根木条作为$$3$$条边，可围成一个三角形．如果规定底边是$$11$$厘米长，你能围成个不同的三角形?

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的三边关系

竞赛->知识点->三角形->三角形基础

规定底边长是$$11$$厘米，其余两边长分别是$$a$$及$$b$$时，不妨设$$a\leqslant b$$．任意一个三角形，它的任意两条边的长度之和，总比余下的一条边要长，即必有$$11\textless{}a+b$$．于是$$\left( a,b \right)$$的可能的值便有：$$\left( 11,11 \right)$$；$$\left( 10,10 \right)$$，$$\left( 10,11 \right)$$；$$\left( 9,9 \right)$$，$$\left( 9,10 \right)$$，$$\left( 9,11 \right)$$；$$\left( 8,8 \right)$$，$$\left( 8,9 \right)$$，$$\left( 8,10 \right)$$，$$\left( 8,11 \right)$$；$$\left( 7,7 \right)$$，$$\left( 7,8 \right)$$，$$\left( 7,9 \right)$$，$$\left( 7,10 \right)$$，$$\left( 7,11 \right)$$；$$\left( 6,6 \right)$$，$$\left( 6,7 \right)$$，$$\left( 6,8 \right)$$，$$\left( 6,9 \right)$$，$$\left( 6,10 \right)$$，$$\left( 6,11 \right)$$；$$\left( 5,7 \right)$$，$$\left( 5,8 \right)$$，$$\left( 5,9 \right)$$，$$\left( 5,10 \right)$$，$$\left( 5,11 \right)$$；$$\left( 4,8 \right)$$，$$\left( 4,9 \right)$$，$$\left( 4,10 \right)$$，$$\left( 4,11 \right)$$；$$\left( 3,9 \right)$$，$$\left( 3,10 \right)$$，$$\left( 3,11 \right)$$；$$\left( 2,10 \right)$$，$$\left( 2,11 \right)$$；$$\left( 1,11 \right)$$．  可见，总数等于$$2\times \left( 1+2+3+4+5 \right)+6=36$$ （个）．  答：能围成$$36$$个不同的三角形．


2015年第26届全国希望杯初二竞赛复赛第1题

课内体系->能力->运算能力

课内体系->方法->配方法

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->配方思想的运用

由题意$$\left { \begin{matrix}2a=6    b={{a}^{2}}-1   \end{matrix} \right.$$，解得$$\left { \begin{matrix}a=3    b=8   \end{matrix} \right.$$，于是$$b-a=5$$．


2012年四川成都青羊区成都树德实验中学初三自主招生第8题5分 2017~2018学年福建泉州鲤城区泉州市第六中学初二下学期期中第10题4分 1998年竞赛（全国初中数学竞赛）第4题6分

已知$$abc\ne 0$$，并且$$\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=p$$，  那么直线$$y=px+p$$一定通过第象限．

一、二

二、三

三、四

一、四

知识标签->知识点->函数->一次函数->一次函数的图象与性质->一次函数的图象与系数的关系

知识标签->知识点->式->分式->分式的运算->分式的混合运算

知识标签->学习能力->运算能力

知识标签->题型->函数->一次函数->一次函数基础->题型：一次函数图象与性质

知识标签->题型->式->分式->分式化简求值->题型：分式条件化简求值

知识标签->数学思想->数形结合思想

由条件得：①$$a+b=pc$$，②$$b+c=pa$$，③$$a+c=pb$$，  三式相加得: $$2\left( a+b+c \right)=p\left( a+b+c \right)$$．  ∴$$p=2$$或$$a+b+c=0$$．  当$$p=2$$时，$$y=2x+2$$．则直线通过第一、二、三象限．  当$$a+b+c=0$$时，不妨取$$a+b=-c$$，于是$$p=\frac{a+b}{c}=-1$$，  ∴$$y=-x-1$$，则直线通过第二、三、四象限．  综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．  故选$$\text{B}$$．


2008年第19届希望杯初一竞赛第2试第10题4分 初一其它

将$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，\ldots，$$12$$，$$13$$这$$13$$个整数分为两组，使得一组中所有数的和比另一组中所有数的和大$$10$$，这样的分组方法（~ ）．

只有一种

恰有两种

多于三种

不存在

课内体系->能力->运算能力

课内体系->能力->分析和解决问题能力

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组应用题

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的和差倍分

设一组数的和为$$x$$，另一组数的和为$$y$$，由$$\left { \begin{matrix}x+y=91    x-y=10   \end{matrix} \right.$$，得$$2y=81$$．


2001年第12届希望杯初一竞赛第2试第9题

满足$${{(a-b)}^{2}}+(b-a)\left\textbar{} a-b \right\textbar=ab\left( ab\ne 0 \right)$$的有理数$$a$$、$$b$$，一定不满足的关系是．

$$ab \textless{} 0$$

$$a+b \textless{} 0$$

课内体系->能力->运算能力

若$$a\geqslant b$$，$${{(a-b)}^{2}}+(b-a)\left\textbar{} a-b \right\textbar={{(a-b)}^{2}}-{{(a-b)}^{2}}=0\ne ab$$，  若$$a \textless{} b$$，$${{(a-b)}^{2}}+(b-a)\left\textbar{} a-b \right\textbar={{(a-b)}^{2}}+{{(b-a)}^{2}}=2{{(a-b)}^{2}}=ab$$，  从平方的非负性我们知道$$ab\geqslant 0$$，且$$ab\ne 0$$，所以$$ab\textgreater0$$，则选项$$\text A$$一定不满足．


2014年第25届全国希望杯初二竞赛初赛第5题4分

有以下$$5$$个命题：  ①两组邻角互补的四边形是平行四边形  ②有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形  ③一边上的两个角相等的梯形是等腰梯形  ④对角线相等的四边形是矩形  ⑤菱形的面积等于两条对角线的乘积  其中，正确的命题有（~ ~ ~）．

课内体系->知识点->四边形->特殊平行四边形->矩形->矩形的判定及应用->矩形的判定-从平行四边形

课内体系->知识点->四边形->特殊平行四边形->菱形->菱形的周长与面积

两组邻角互补的四边形可能是梯形，命题①不正确；  有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，命题②正确；  一边上的两个角相等的梯形可能是直角梯形，命题③不正确；  对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等的平行四边形才是矩形，命题④不正确；  菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半，命题⑤不正确．  故正确的命题的个数是$$1$$个．


2012年第23届全国希望杯初二竞赛复赛第1题4分

$$b\textless{}c\textless{}d\textless{}a$$

$$c\textless{}d\textless{}a\textless{}b$$

$$c\textless{}d\textless{}b\textless{}a$$

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质

由①，知$$a-d=c-b$$，④  ②$$+$$④，得$$2a\textless{}2c$$，即$$a\textless{}c$$，⑤  因为$$c\textless{}d$$，  所以$$a\textless{}c\textless{}d$$，  又由①，知$$b-d=c-a\textgreater0$$，  所以$$b\textgreater d$$，  所以$$a\textless{}c\textless{}d\textless{}b$$．

①$$+$$②得：$$2a+b+d  <  2c+b+d$$，故$$a  <  c$$，

①$$-$$②得：$$b-d>d-b$$，故$$b>d$$，

又∵$$c  <  d$$，∴$$a  <  c  <  d  <  b$$．


1993年第10届全国初中数学联赛竞赛第3题

设$$x$$是实数，$$y=\left\textbar{} x-1 \right\textbar+\left\textbar{} x+1 \right\textbar$$．下列四个结论：  Ⅰ．$$y$$没有最小值~  Ⅱ．只有一个$$x$$使$$y$$取到最小值~  Ⅲ．有限多个$$x$$(不止一个)使$$y$$取到最大值~  Ⅳ．有无穷多个$$x$$使$$y$$取到最小值~  其中正确的是（~ ）.

I

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->利用绝对值求最值 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的几何意义 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性 课内体系->思想->分类讨论思想

因为$$\left\textbar{} x-1 \right\textbar$$，$$\left\textbar{} x+1 \right\textbar$$分别表示数轴上点$$x$$到点$$1$$和点$$-1$$的距离，  因此，当$$-1\leqslant x\leqslant 1$$时，$$y=\left\textbar{} x-1 \right\textbar+\left\textbar{} x+1 \right\textbar=2$$，  当$$x ~\textless{} ~-1$$时，$$y=\left\textbar{} x-1 \right\textbar+\left\textbar{} x+1 \right\textbar=2+2\left\textbar{} x+1 \right\textbar\textgreater2$$，  当$$x\textgreater1$$时，$$y=\left\textbar{} x-1 \right\textbar+\left\textbar{} x+1 \right\textbar=2+2\left\textbar{} x+1 \right\textbar\textgreater2$$，  而在$$-1$$与$$1$$之间有无穷个实数$$x$$，故有无穷多个$$x$$使$$y$$取到最小值.


2013年第24届全国希望杯初一竞赛复赛第6题4分

$$\triangle ABC$$的内角分别为$$\angle A$$，$$\angle B$$，$$\angle C$$，若$$\angle 1=\angle A+\angle B$$，$$\angle 2=\angle B+\angle C$$，$$\angle 3=\angle A+\angle C$$，则$$\angle 1$$，$$\angle 2$$，$$\angle 3$$中（~ ~ ~ ）．

至少有一个锐角

三个都是钝角

至少有两个钝角

可以有两个直角

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形内角和的应用

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形的外角定义及性质

因为三角形的内角中至少有$$2$$个锐角，  而$$\angle 1$$，$$\angle 2$$，$$\angle 3$$是三角形的三个外角，  所以$$\angle 1$$，$$\angle 2$$，$$\angle 3$$中至少有两个钝角．


1994年第11届全国初中数学联赛竞赛第10题8分

当$$\left\textbar{} x+1 \right\textbar\leqslant 6$$时，函数$$y=x\left\textbar{} x \right\textbar-2x+1$$的最大值是 ．

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式->解一元一次不等式

课内体系->能力->运算能力


2016年山东青岛竞赛二中杯 初二其它

黑板上写有$$1$$，$$\frac{1}{2}$$，$$\cdots$$，$$\frac{1}{100}$$共$$100$$个数字，每次操作先从黑板上的数中选取两个数$$a$$，$$b$$，然后删去$$a$$，$$b$$，并在黑板上写上数$$a+b+ab$$，则经过$$99$$次操作后黑板上剩下的数是．

知识标签->题型->式->因式分解->因式分解综合应用 知识标签->知识点->式->因式分解->因式分解：其他方法


1995年第6届希望杯初二竞赛第3题

竞赛->知识点->数与式->因式分解->因式分解：公式法 竞赛->知识点->数与式->因式分解->因式分解：提公因式法 竞赛->知识点->数与式->绝对值->给定范围绝对值化简

显然①式不成立；在②当中，当$$x=-2$$时，分母为$$0$$，故②式不成立；当$$x=0$$时，③式不成立；只有④式成立．  故选$$\text{A}$$．


1990年第1届全国希望杯初一竞赛初赛第10题 2019年浙江杭州拱墅区杭州市文澜中学中考模拟（一）第10题3分

轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将（~ ）．

增多

减少

不变

增多、减少都有可能

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减混合运算


2014年第25届全国希望杯初二竞赛复赛第8题4分

中国古代``五行''学说认为：``物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．''从五种属性互不相同的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是．

知识标签->知识点->统计与概率->概率->概率公式 知识标签->题型->统计与概率->概率->题型：概率计算公式

基本事件为：金、木；金、水；金、火；金、土；木、水；木、火；木、土；水、火；水、土；火、土．  共计$$10$$种，  其中不相克的事件数为$$m=10-5=5$$（种），  所以抽取的两种物质不相克的概率是$$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$$．


2017年湖南长沙天心区初二竞赛长郡教育集团抵达杯第3题5分

2004年第21届全国初中数学联赛竞赛第1题

2018~2019学年湖北襄阳市樊城区襄阳市第五中学初三上学期期末（培优班）第7题

课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-整体代入求值 课内体系->能力->运算能力

把$$a=-\left( b+c \right)$$，$$b=-\left( a+c \right)$$，$$c=-\left( a+b \right)$$代入，

原式$$=\frac{-\left( b+c \right)\cdot a}{ab}+\frac{-\left( a+c \right)\cdot b}{ac}+\frac{-\left( a+b \right)\cdot c}{ab}$$

$$~~~~~=-\left( \frac{ba+ca}{bc} \right)-\left( \frac{ab+cb}{ac} \right)-\left( \frac{ac+bc}{ab} \right)$$

$$~~~~~=-\left( \frac{a}{b}+\frac{a}{c} \right)-\left( \frac{b}{a}+\frac{b}{c} \right)-\left( \frac{c}{a}+\frac{c}{b} \right)$$

$$~~~~~=\frac{-\left( b+c \right)}{a}+\frac{-\left( a+c \right)}{b}+\frac{-\left( a+b \right)}{c}$$

$$~~~~~=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}+\frac{c}{c}$$

$$~~~~~=3$$，


2015年第32届全国全国初中数学联赛竞赛A卷第1题7分

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->平方差公式的计算 课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算


2008年竞赛第5题6分

将$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有．

竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质


2004年竞赛第5题6分

如果$$x$$和$$y$$是非零实数，使得$$\left\textbar{} x \right\textbar+y=3$$和$$\left\textbar{} x \right\textbar y+{{x}^{3}}=0$$，那么$$x+y$$等于．

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值综合


1998年第9届希望杯初一竞赛第6题

方程组$$\begin{cases}3x+y=7    5x-8y=31   \end{cases}$$的解$$(x,y)$$是．

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->二元一次方程组的解

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->加减消元法解二元一次方程组


2008年第13届华杯赛初一竞赛初赛第2题

关于数$$a$$有下面四个命题：  ①若$${{a}^{2}}=\left\textbar{} a \right\textbar$$，则$$a$$必为$$0$$．  ②若$${{a}^{2}}=\left\textbar{} a \right\textbar$$，则$$a$$，$$a+1$$，$$a-1$$中至少有一个为$$0$$．  ③若$${{a}^{2}}=\left\textbar{} a \right\textbar$$，则$$a=0$$，或$$a=1$$．  ④若$${{a}^{2}}=\left\textbar{} a \right\textbar$$，则$${{a}^{3}}-a$$的值必为$$0$$．  四个命题中正确的个数为．

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值综合 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的代数意义

因为$${{a}^{2}}=\left\textbar{} a \right\textbar$$，所以$$a=0$$，或$$a=1$$，或$$a=1$$．即命题``$$a$$必为$$0$$''是错误的．因为$$a=0$$，或$$a=1$$，或$$a=1$$，所以$$a$$，$$a+1$$，$$a-1$$中至少有一个为零．即命题②是正确的．由此可知命题③是错误的．因为$${{a}^{3}}-a=a\left( a+1 \right)\left( a-1 \right)$$，所以$${{a}^{3}}-a=0$$，即命题④正确．所以正确的命题个数为$$2$$．  故选$$\text{B}$$．


1996年第7届全国希望杯初一竞赛复赛第9题

课内体系->能力->分析和解决问题能力

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->不等式（组）解的情况确定参数的范围


1993年第4届希望杯初二竞赛第4题

一个三角形的三边长分别为$$2$$，$$4$$，$$a$$，如果$$a$$的数恰是方程$$4\textbar x-2{{\textbar}^{2}}-4\textbar x-2\textbar+1=0$$的根，那么三角形的周长为．

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的三边关系

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->与三角形三边关系结合


2012年第29届全国全国初中数学联赛竞赛第5题7分

竞赛->知识点->方程与不等式->二次方程->一元二次方程的根与系数的关系


2017~2018学年北京海淀区中国人民大学附属中学初一上学期单元测试《数形结合谈数轴》第1题

1998年第9届希望杯初一竞赛第1题

已知有理数$$a$$在数轴上原点的右方，有理数$$b$$在原点的左方，那么（~ ）．

$$ab\textless{}b$$

$$ab\textgreater b$$

课内体系->知识点->数->有理数->数轴->数轴上的规律探究 课内体系->能力->运算能力 课内体系->思想->数形结合思想

∵$$a$$在数轴上原点右方，$$b$$在原点左方，  ∴$$a\textgreater0$$，$$b\textless{}0$$，  当$$a=1$$，$$ab=b$$，显然应排除$$\text{A}$$、$$\text{B}$$选项．  当$$a=1$$，$$b=-2$$时，$$a+b=-1\textless{}0$$，排除$$\text{C}$$选项．  当$$a\textgreater0$$，$$b\textless{}0$$时，$$a-b\textgreater0$$总成立，故$$\text{D}$$选项正确．


2012年全国全国初中数学联赛初一竞赛 2012年第29届全国全国初中数学联赛竞赛A卷第11题20分

已知直角三角形的边长均为整数，周长为$$30$$，则它的外接圆的面积为．

$$\frac{121}{4} \pi $$

$$\frac{169}{4} \pi $$

$$\frac{225}{4} \pi $$

以上答案都不对

课内体系->知识点->圆->圆与多边形->正多边形与圆

课内体系->知识点->三角形->勾股定理及应用->勾股定理基础->勾股定理的证明

课内体系->知识点->三角形->勾股定理及应用->勾股定理应用->勾股定理的综合应用

设直角三角形的三边长分别为$$a$$，$$b$$，$$c$$（$$a\leqslant b\textless{}c$$），则$$a+b+c=30$$．  显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长$$c$$，下面先求$$c$$的值．  由$$a\leqslant b\textless{}c$$及$$a+b+c=30$$得$$30=a+b+c\textless{}3c$$，  所以$$c\textgreater10$$．  由$$a+b\textgreater c$$及$$a+b+c=30$$得$$30=a+b+c\textgreater2c$$，  所以$$c\textless{}15$$．  又因为$$c$$为整数，  所以$$11\leqslant c\leqslant 14$$．  根据勾股定理可得$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}$$，  把$$c=30-a-b$$代入，化简得$$ab-30(a+b)+450=0$$，  所以$$(30-a)(30-b)=450=2\times {{3}^{2}}\times {{5}^{2}}$$，  因为$$a$$，$$b$$均为整数且$$a\leqslant b$$，  所以只可能是$$\begin{cases}30-a={{5}^{2}}    30-b=2\times {{3}^{2}} \end{cases}$$，解得$$\begin{cases}a=5    b=12 \end{cases}$$，  所以，直角三角形的斜边长$$c=13$$，三角形的外接圆的面积为$$\frac{169}{4} \pi $$．


2012年第23届全国希望杯初二竞赛复赛第10题4分

循环节长度是$$4$$的纯循环小数化成最简分数后，分母是三位数，这样的循环小数有（~ ）

竞赛->知识点->数论->整除->算术基本定理


其它 2011年第28届全国全国初中数学联赛竞赛第4题7分

今有长度分别为$$1$$，$$2$$，$$\cdots $$，$$9$$的线段各一条，现从中选出若干条线段组成``线段组''，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的``线段组''的组数有（~ ~ ~）．

竞赛->知识点->组合->计数问题-枚举法

显然用这些线段去拼接成正方形，至少要$$7$$条．  当用$$7$$条线段去拼接成正方形时，有$$3$$条边每边都用$$2$$条线段连接，而另一条边只用$$1$$条线段，其长度恰好等于其它$$3$$条边中每两条线段的长度之和．  当用$$8$$条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等．  又因为$$1+2+\cdots +9=45$$，  所以正方形的边长不大于$$\left[ \frac{45}{4} \right]=11$$．  由于$$7=1+6=2+5=3+4$$；  $$8=1+7=2+6=3+5$$；  $$9=1+8=2+7=3+6=4+5$$；  $$1+9=2+8=3+7=4+6$$；  $$2+9=3+8=4+7=5+6$$．  所以，组成边长为$$7$$、$$8$$、$$10$$、$$11$$的正方形，各有一种方法；  组成边长为$$9$$的正方形，有$$5$$种方法．  故满足条件的``线段组''的组数为$$1\times 45=9$$．


2018年全国初中数学联赛竞赛A卷

竞赛->知识点->数论->整除->素数与合数 课内体系->能力->抽象概括能力 课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->因式分解->分组分解法 课内体系->知识点->式->因式分解->因式分解的应用


2016年第27届全国希望杯初一竞赛复赛第6题4分

将一张$$1\text{m}\times 1\text{m}$$的正方形白纸对折$$8$$次（每一次都沿平行于正方形边的方向对折），那么所有折痕的长度的和的最小是（~ ）．

课内体系->知识点->几何图形初步->相交线与平行线->平行线的判定与性质->平行线的性质

课内体系->知识点->几何图形初步->相交线与平行线->平行线的判定与性质->平行线相关折叠问题

第一次折叠，折痕长度为$$1\text{m}$$，  第二次折叠，折痕最小为$$\frac{1}{2}\times 2=1\text{m}$$，  第三次折叠，折痕最小为$$\frac{1}{2}\times 4=2\text{m}$$，  第四次折叠，折痕最小为$$\frac{1}{4}\times 8=2\text{m}$$，  第五次折叠，折痕最小为$$\frac{1}{4}\times 16=4\text{m}$$，  第六次折叠，折痕最小为$$\frac{1}{8}\times 32=4\text{m}$$，  第七次折叠，折痕最小为$$\frac{1}{8}\times 64=8\text{m}$$，  第八次折叠，折痕最小为$$\frac{1}{16}\times 128=8\text{m}$$，  ∴所有折痕的长度的和的最小是$$1+1+2+2+4+4+8+8=30\text{m}$$．


2001年第12届希望杯初二竞赛第2试第1题 2019~2020学年四川眉山东坡区眉山东辰国际学校初三上学期期中第33题5分

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->多重二次根式


2018~2019学年9月湖南长沙雨花区湖南广益实验中学初一上学期月考第12题3分

2019年湖南长沙雨花区湖南广益实验中学初一竞赛（广益杯）第12题3分

已知：$$243=3\times 3\times 3\times 3\times 3$$，表示成$$g\left( 243 \right)=5$$，那么$$g\left( 81 \right)$$的值为．

课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算

课内体系->能力->运算能力


2016年第27届全国希望杯初一竞赛初赛第9题4分

若定义$$a*b=ab+a+b$$，从左到右依次计算$$x=1*2*3*\cdots *(n-1)*n$$，则满足$$x\textgreater2016$$的最小正整数$$n$$是（~ ~ ~）．

课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算 课内体系->能力->运算能力


1993年第4届全国希望杯初一竞赛初赛第11题

有理数$$a$$、$$b$$小于零，并且使$${{(a-b)}^{3}}\textless{}0$$，则（~ ）．

$$-a\textless{}-b$$

$$\left\textbar{} a \right\textbar\textgreater\left\textbar{} b \right\textbar$$

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质

由$${{(a-b)}^{3}}\textless{}0$$，得出$$a-b\textless{}0$$．即$$a\textless{}b$$．  ∵$$a$$，$$b\textless{}0$$，∴$$\left\textbar{} a \right\textbar\textless{}\left\textbar{} b \right\textbar$$，选$$\text{C}$$．


1990年第1届希望杯初二竞赛第10题

$$x$$

课内体系->能力->运算能力

课内体系->能力->抽象概括能力

课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->规律探究->算式找规律


2016年第27届全国希望杯初二竞赛初赛第3题4分

$$A$$、$$B$$两班共有$$112$$名学生，且各班男生、女生的人数比分别是$$5:6$$，$$12:11$$，那么两班混合后男生、女生的人数比是．

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组应用题->二元一次方程组的数字问题


2015年第26届全国希望杯初三竞赛初赛（特）第2题

已知$$\alpha $$为锐角，且$$\cos \alpha +2\sin \alpha =2$$，则$$\tan \alpha $$的值是（~ ）．

知识标签->题型->三角形->锐角三角函数及解直角三角形->锐角三角函数->正弦定理与余弦定理

知识标签->知识点->三角形->锐角三角函数及解直角三角形->锐角三角函数->锐角三角函数的定义

∵$$\cos \alpha +2\sin \alpha =2$$，  ∴$$\cos \alpha =2-2\sin \alpha $$．  又$${{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1$$，  ∴$${{\sin }^{2}}\alpha +{{(2-2\sin \alpha )}^{2}}=1$$，  整理得：$$5{{\sin }^{2}}\alpha -8\sin \alpha +3=0$$，  解得$$\sin \alpha =\frac{3}{5}$$或$$\sin \alpha =1$$，  ∵$$\alpha $$为锐角，  ∴$$\sin \alpha =\frac{3}{5}$$．  ∴$$\cos \alpha =2-2\sin \alpha =\frac{4}{5}$$，  ∴$$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{3}{4}$$．


2003年第14届希望杯初二竞赛第2试第8题

将长为$$12$$的线段截成长度为整数的三段，使它们成为一个三角形的三边，则构成的三角形．

不可能是等腰三角形

不可能是直角三角形

不可能是等边三角形

不可能是钝角三角形

竞赛->知识点->三角形->特殊三角形->等腰三角形

可以构成的三角形的三条边长分别为$$3$$，$$4$$，$$5$$（直角三角形）；$$4$$，$$4$$，$$4$$（等边三角形）；$$5$$，$$5$$，$$2$$（等腰三角形）．  故选$$\text{D}$$．


2008年第19届希望杯初二竞赛第1试第9题

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程->二元一次方程的整数解

竞赛->知识点->数论->不定方程


1998年第9届希望杯初一竞赛第7题

一条直线上距离相等地立有$$10$$根标杆，一名学生匀速地从第$$1$$杆向第$$10$$杆行走，当他走到第$$6$$杆时用了$$6.6$$秒，则当他走到第$$10$$杆时所用时间是．

课内体系->知识点->数->有理数->有理数与实际问题->有理数乘除法与实际问题

从第$$1$$根标杆到第$$6$$根标杆有$$5$$个间隔．  因而，每个间隔行进$$6.6\div 5=1.32$$（秒）．  而从第$$1$$根标杆到第$$10$$根标杆共有$$9$$个间隔．  所以行进$$9$$个间隔共用$$1.32\times 9=11.88$$（秒），  故选$$\text{C}$$．


2014年第25届全国希望杯初二竞赛初赛第9题4分

在平面直角坐标系$$xOy$$中，函数$$\sqrt{xy}+\left\textbar{} x-y+1 \right\textbar=0$$的图象是（~ ~ ~）．

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的基础->二次根式的性质 课内体系->知识点->函数->函数概念和图象->函数图象->函数的图象 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性

因为$$\sqrt{xy}\geqslant 0$$，$$\left\textbar{} x-y+1 \right\textbar\geqslant 0$$，  由题设$$\sqrt{xy}+\left\textbar{} x-y+1 \right\textbar=0$$，  所以$$\left { \begin{matrix}xy=0    x-y+1=0   \end{matrix} \right.$$，  即$$\left { \begin{matrix}x=0    x-y+1=0   \end{matrix} \right.$$或$$\left { \begin{matrix}y=0    x-y+1=0   \end{matrix} \right.$$，  解得$$\left { \begin{matrix}x=0    y=1   \end{matrix} \right.$$或$$\left { \begin{matrix}x=-1    y=0   \end{matrix} \right.$$．


2011年第22届全国希望杯初二竞赛复赛第5题4分

课内体系->方法->配方法

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式


2020年第22届浙江宁波余姚市余姚市实验学校初三竞赛（实验杯）第7题4分

一个三角形木架三边长分别是$$75\text{cm}$$，$$100\text{cm}$$，$$125\text{cm}$$，现要做一个与其相似的三角形木架，而只有长为$$40\text{cm}$$和$$120\text{cm}$$的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有．

一种

两种

三种

四种

课内体系->知识点->三角形->相似三角形->相似三角形的判定->相似三角形的判定-三边对应成比例

由题知新形成的三角形钢架与原三角形钢架相似，则它们的对应边成比例．  （$$1$$）若以$$40\text{cm}$$的钢筋为三角形一边，去截$$120\text{cm}$$长的钢筋，且截成两段分别为$$x\text{cm}$$，$$y\text{cm}$$，  则有三种情况：  ①以$$40\text{cm}$$为最长边，则可列得$$\frac{40}{125}=\frac{x}{100}=\frac{y}{75}$$，  解得：$$x=32$$，$$y=24$$，且$$32+24=56\textless{}120$$，  所以此法可行；  ②以$$40\text{cm}$$为较长边时，则$$\frac{x}{125}=\frac{40}{100}=\frac{y}{75}$$，  解得：$$x=50$$，$$y=30$$，且$$50+30=80\textless{}120$$，  所以此法可行；  ③以$$40\text{cm}$$为最短边，则$$\frac{x}{125}=\frac{y}{100}=\frac{40}{75}$$，  解得：$$x=\frac{200}{3}$$，$$y=\frac{160}{3}$$，且$$\frac{200}{3}+\frac{160}{3}=120$$，  所以此法可行；  （$$2$$）若以$$120\text{cm}$$的钢筋为三角形一边，去截$$40\text{cm}$$长的钢筋，且截成的两段分别为$$x\text{cm}$$，$$y\text{cm}$$，  很容易的值$$120$$只能作为最长边，  则$$\frac{120}{125}=\frac{x}{100}=\frac{y}{75}$$，  解得：$$x=96$$，$$y=72$$，  但$$96\textgreater40$$，$$72\textgreater40$$，  所以此法不可行．  综上可知只有$$3$$种截法．  故选$$\text{C}$$．


2017年第19届浙江宁波余姚市余姚市实验学校初三竞赛（实验杯）第10题4分

已知：反比例函数$$y=\frac{2}{x}$$与正比例函数$$y=x$$的图象交于$$A$$，$$B$$两点（$$A$$在第一象限），点$${{F}_{1}}\left( -2,-2 \right)$$，$${{F}_{2}}\left( 2,2 \right)$$在直线$$y=x$$上．设点$$P\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$$是反比例函数$$y=\frac{2}{x}$$图象上的任意一点，记点$$P$$与$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$两点之间的距离之差$$d=\left\textbar{} P{{F}_{1}}-P{{F}_{2}} \right\textbar$$，由反比例函数的定义可知$$d=\left\textbar{} P{{F}_{1}}-P{{F}_{2}} \right\textbar$$为常数，值为线段$$AB$$的长．现请你在反比例函数$$y=\frac{2}{x}$$第一象限内的分支上找一点$$P$$，使点$$P$$到$${{F}_{2}}\left( 2,2 \right)$$和点$$C\left( 6,4 \right)$$的距离之和最小，则点$$P$$的坐标为．

$$\left( 2,1 \right)$$

$$\left( 1,1 \right)$$

$$\left( 3,2 \right)$$

$$\left( 2,3 \right)$$

课内体系->知识点->函数->反比例函数->反比例函数与代数综合->反比例函数与一次函数综合

课内体系->知识点->综合与实践->新定义->与函数有关的新定义

课内体系->特色题型->新定义

课内体系->能力->抽象概括能力


2019年第1届广东深圳罗湖区深圳中学初中部初一竞赛（凤凰木杯）第4题3分

课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->规律探究->数列找规律


2015年第26届全国希望杯初一竞赛初赛第4题

已知$$a$$，$$b$$是整数，且$$\left\textbar{} a-1 \right\textbar+\left\textbar{} b+2 \right\textbar=1$$，则$${{(a-1)}^{2}}\times {{(b+2)}^{4}}=$$（~ ）．

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性

∵$$a$$，$$b$$是整数，且$$\left\textbar{} a-1 \right\textbar+\left\textbar{} b+2 \right\textbar=1$$，  ∴$$\left { \begin{matrix}\left\textbar{} a-1 \right\textbar=1    \left\textbar{} b+2 \right\textbar=0   \end{matrix} \right.$$或$$\left { \begin{matrix}\left\textbar{} a-1 \right\textbar=0    \left\textbar{} b+2 \right\textbar=1   \end{matrix} \right.$$，  ∴$${{(a-1)}^{2}}\times {{(b+2)}^{4}}=0$$．


2020年第22届浙江宁波余姚市余姚市实验学校初三竞赛（实验杯）第4题4分

把抛物线$$y=-(x-1)^{2}+1$$向右平移$$1$$个单位，再向下平移$$1$$个单位，得到新函数的解析式为．

课内体系->知识点->函数->二次函数->二次函数的几何变换->二次函数平移变换


2010年第15届华杯赛初一竞赛初赛第6题

乘积为$$-240$$的不同的五个整数的平均值最大是．

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->含乘方的有理数混合运算

假设$$-240=-1\times b\times c\times d\times e$$，$$-1 ~\textless{} ~b ~\textless{} ~c ~\textless{} ~d ~\textless{} ~e$$，$$-240=A\times B\times C\times D\times E$$，$$A ~\textless{} ~B ~\textless{} ~C ~\textless{} ~D ~\textless{} ~E$$，必有$$-1\geqslant A$$，且可以取$$b=B$$，$$c=C$$，$$d=D$$，$$e=\left\textbar{} A \right\textbar\times E$$，总有$$-1+b+c+d+e\geqslant A+B+C+D+E$$，故只需求出$$\left( b+c+d+e \right)$$的最大值即可，其中$$b\times c\times d\times e=240$$，取$$b=1$$，朋$$1\times {{c}^{\prime }}\times {{d}^{\prime }}\times {{e}^{\prime }}=240$$，且可以取$${{c}^{\prime }}=c$$，$${{d}^{\prime }}=d$$，$${{e}^{\prime }}=b\times e$$，则得到：$$1+{{c}^{\prime }}+{{d}^{\prime }}+{{e}^{\prime }}-b-c-d-e=1+be-b-e=\left( b-1 \right)\times \left( e-1 \right)\textgreater0$$，故只需求出$$1+{{c}^{\prime }}+{{d}^{\prime }}+{{e}^{\prime }}$$的最大值即可．依次类推可得：$$-240=-1\times 1\times 2\times 3\times 40$$，因此乘积为$$-240$$的不同的五个整数的平均值最大是$$9$$．  故选$$\text{D}$$．


2006年第17届希望杯初二竞赛第1试第4题

$$\pm \frac{\sqrt{2}}{6}$$

$$\pm \frac{1}{6}$$

竞赛->知识点->数与式->整式->乘法公式


2013年第18届华杯赛初一竞赛初赛第3题

竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题


2011年第22届全国希望杯初一竞赛复赛第9题4分

例题3：  1、已知$$\left\textbar{} x \right\textbar\leqslant 3$$，$$\left\textbar{} y \right\textbar\leqslant 1$$，$$\left\textbar{} z \right\textbar\leqslant 4$$且$$\left\textbar{} x-2y+z \right\textbar=9$$，则$${{x}^{2}}{{y}^{2011}}{{z}^{3}}$$的值是．

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->幂的综合运算 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质

只要$$\left\textbar{} x \right\textbar\textless{}3$$，$$\left\textbar{} y \right\textbar\textless{}1$$，$$\left\textbar{} z \right\textbar\textless{}4$$中至少有一个成立，  则$$\left\textbar{} x-2y+z \right\textbar\leqslant \left\textbar{} x \right\textbar+2\left\textbar{} y \right\textbar+\left\textbar{} z \right\textbar\textless{}9$$，  这与$$\left\textbar{} x-2y+z \right\textbar=9$$矛盾，  所以当且仅当$$\left\textbar{} x \right\textbar=3$$，$$\left\textbar{} y \right\textbar=1$$，$$\left\textbar{} z \right\textbar=4$$同时成立时，才能满足$$\left\textbar{} x-2y+z \right\textbar=9$$，  此时$$x=3$$，$$y=-1$$，$$z=4$$或$$x=-3$$，$$y=1$$，$$z=-4$$，  所以$${{x}^{2}}{{y}^{2011}}{{z}^{3}}={{3}^{2}}\times {{(-1)}^{2011}}\times {{4}^{3}}=-576$$或$${{x}^{2}}{{y}^{2011}}{{z}^{3}}={{(-3)}^{2}}\times {{1}^{2011}}\times {{(-4)}^{3}}=-576$$，  综上，$${{x}^{2}}{{y}^{2011}}{{z}^{3}}$$的值是$$-576$$．


1994年第5届全国希望杯初一竞赛复赛第7题

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->解一元一次方程->常规一元一次方程解法


2017年安徽芜湖镜湖区芜湖市第一中学初三自主招生第6题6分 2004年竞赛第1题6分

知识标签->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程的根与系数的关系

知识标签->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程的解

知识标签->题型->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->题型：韦达定理应用


2016年第27届全国希望杯初一竞赛初赛第1题4分

下列计算中，正确的是（ ~ ~）．

$${{x}^{2}}\cdot {{x}^{3}}={{x}^{6}}$$

$${{x}^{3}}\div {{x}^{2}}=x$$

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->单项式乘单项式 课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->单项式除以单项式 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算->整式加减 课内体系->能力->运算能力


2018~2019学年10月天津南开区天津市第二十五中学初一上学期月考第2题3分

2019~2020学年10月天津河北区天津外国语大学附属外国语学校初一上学期月考第7题3分

2011年第22届全国希望杯初一竞赛初赛第1题4分

若$$a$$的负倒数的相反数是$$8$$，$$b$$的相反数的负倒数也是$$8$$，则（~ ）．

$$a=b$$

$$a\textless{}b$$

$$a\textgreater b$$

课内体系->知识点->数->有理数->倒数与负倒数->负倒数的定义 课内体系->知识点->数->有理数->相反数->相反数的定义


2012年第23届全国希望杯初一竞赛复赛第10题4分

课内体系->知识点->式->因式分解->公式法->利用立方和与立方差公式因式分解

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->和与差的立方公式


2018~2019学年湖北宜昌初三下学期期中（东部）第7题 2019年广东惠州惠城区光正实验学校初二竞赛第10题3分

甲

乙

丙

丁

课内体系->能力->数据处理能力 课内体系->知识点->统计与概率->数据的分析->方差

由题意得：  $$S_{乙}^{2}\textless{}S_{丙}^{2}\textless{}S_{甲}^{2}\textless{}S_{丁}^{2}$$，  ∴最稳定的是乙．  选$$\text{B}$$．


2016年第27届全国希望杯初一竞赛初赛第8题4分

竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质


2010年第21届希望杯初二竞赛第1试第5题

顺次连结一个凸四边形各边的中点，得到一个菱形，则这个四边形一定是．

任意的四边形

两条对角线等长的四边形

矩形

平行四边形

课内体系->知识点->四边形->特殊平行四边形->菱形->菱形的性质

顺次连结任意四边形的中点，得到的四边形的两组对边分别平行于原四边形的两条对角线，并且分别等于原四边形的两条对角线长的一半，所以得到的四边形是平行四边形，当原四边形的两条对角线长度相等时，顺次连结该四边形各边中点所得到的平行四边形的两组对边等长，即为菱形．  故选$$\text{B}$$．


1992年第3届希望杯初二竞赛第7题

在式子$$\left\textbar{} x+1 \right\textbar+\left\textbar{} x+2 \right\textbar+\left\textbar{} x+3 \right\textbar+\left\textbar{} x+4 \right\textbar$$中，用不同的$$x$$值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是（~ ）．

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的几何意义 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->利用绝对值求最值 课内体系->思想->分类讨论思想

令$$a=\left\textbar{} x+1 \right\textbar+\left\textbar{} x+4 \right\textbar$$，$$b=\left\textbar{} x+2 \right\textbar+\left\textbar{} x+3 \right\textbar$$，  $$t=\left\textbar{} x+1 \right\textbar+\left\textbar{} x+2 \right\textbar+\left\textbar{} x+3 \right\textbar+\left\textbar{} x+4 \right\textbar=a+b$$，  根据绝对值的几何意义，$$a$$表示点$$x$$到$$-1$$与$$-4$$两点的距离之和，  分析可得当$$-4\leqslant x\leqslant -1$$时，$$a$$最小，其值为$$3$$，  $$b$$表示点$$x$$到$$-2$$与$$-3$$两点的距离之和，  分析可得当$$-3\leqslant x\leqslant -2$$时，$$b$$最小，其值为$$1$$，  综合可得，当$$-3\leqslant x\leqslant -2$$，$$a$$、$$b$$均取得最小值，  故此时$$t$$取得最小值，且$$t$$的最小值为$$3+1=4$$，  故答案为$$4$$．  故选$$\text{D}$$．


2015年第32届全国全国初中数学联赛竞赛第2题7分 2017~2018学年12月天津天津市益中学校初三上学期月考第11题3分

课内体系->知识点->函数->二次函数->二次函数与方程、不等式->二次函数与一元二次方程的关系

课内体系->知识点->函数->二次函数->二次函数y=ax^2+bx+c 的图象和性质->二次函数y=ax^2+bx+c 的对称轴->已知抛物线上对称的两点求对称轴


1990年第1届希望杯初二竞赛第1题

等腰三角形周长是$$\text{24cm}$$，一腰的中线将周长分成$$5:3$$的两部分，那么这个三角形的底边长是．

竞赛->知识点->三角形->三角形基础

若底边长为$$12$$．则其他二边之和也是$$12$$，矛盾．故不可能是$$\text{B}$$或$$\text{D}$$．  又底为$$4$$时，腰长是$$10$$．符合题意．  故选$$\text{C}$$．


1993年第4届希望杯初二竞赛第12题

若一元二次方程$$2x(kx-4)-{{x}^{2}}+6=0$$有实数根，则$$k$$的最大整数值是．

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->由一元二次方程根的情况确定参数

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->一元二次方程根的判别式

原方程整理为$$(2k-1){{x}^{2}}-8x+6=0$$，  当$$\Delta \geqslant 0$$时，方程有实数根，则$${{(-8)}^{2}}-4\cdot (2k-1)\cdot 6\geqslant 0$$，  即$$48k\leqslant 88$$，  所以$$k\leqslant \frac{11}{6}$$，  故$$k$$的最大整数值是$$1$$．  故选$$\text{C}$$．


2015年第26届全国希望杯初一竞赛复赛第9题

小伟、小胜、小臣、小琳四人中的一人书包里有苹果，老师问：谁的书包里有苹果？四人回答如下：  小伟：苹果不在我这里；  小胜：苹果在小琳那里；  小臣：苹果在小胜那里；  小琳：苹果不在我这里．  若其中只有一人说了假话，则书包里有苹果的是．

小伟

小胜

小臣

小琳

课内体系->知识点->几何图形初步->命题与证明

用假设法：  （$$1$$）假设小伟说了假话，那么苹果在小伟那里，小胜和小臣就说的是假话，与题设冲突；  （$$2$$）假设小胜说的是假话，其他人说的都是真话，那么苹果在小胜那里；  （$$3$$）假设小臣说了假话，则小胜说``苹果在小琳那里''与小琳说``苹果不在我这里''都是真话，互相矛盾；  （$$4$$）假设小琳说的是假话，那么小臣说的就是假话，这样小琳、小臣都说假话，与``其中只有一人说的是假话''的题设不符．  因此苹果在小胜那里．


1990年第1届全国希望杯初一竞赛初赛第6题

有四种说法：  甲：正数的平方不一定大于它本身；  乙：正数的立方不一定大于它本身；  丙：负数的平方不一定大于它本身；  丁：负数的立方不一定大于它本身．  这四种说法中，不正确的说法的个数是（~ ）．

课内体系->知识点->数->有理数->正数和负数->正数、负数定义

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘法->有理数乘法运算

课内体系->能力->运算能力

由$${{1}^{2}}=1$$，$${{1}^{3}}=1$$可知甲、乙两种说法是正确的．  由$${{(-1)}^{3}}=-1$$，可知丁也是正确的说法．  而负数的平方均为正数，即负数的平方一定大于它本身，  所以``负数平方不一定大于它本身''的说法不正确．即丙不正确．  在甲、乙、丙、丁四个说法中，只有丙$$1$$个说法不正确．所以选$$\text{B}$$．


1997年第8届全国希望杯初一竞赛复赛第6题

$$1997$$个不全相等的有理数之和为零，则这$$1997$$个有理数中（~ ）．

至少有一个是零

至少有一个是负数

竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题

由题意，这$$1997$$个有理数可以有零，也可以没有零，则排除$$\text{A}$$．  这$$1997$$个有理数中，必须有正数和负数．  例如，$$1996$$个$$-1$$和一个$$1996$$相加为零，则否定了$$\text{B}$$和$$\text{D}$$．故选$$\text{C}$$．


2014年第25届全国希望杯初二竞赛初赛第2题4分 2017~2018学年河南洛阳涧西区洛阳市东升第二中学初二上学期期中第5题3分 2017~2018学年湖南益阳桃江县源嘉桥镇中学初二上学期期中第9题5分

$$\pm 1$$

课内体系->知识点->式->分式->分式的基础->分式值为0 课内体系->知识点->式->分式->分式的基础->分式有意义的条件


2010年第21届希望杯初二竞赛第2试第1题

竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题


2011年第22届全国希望杯初一竞赛初赛第19题4分

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的定义

课内体系->知识点->数->有理数->相反数->相反数的性质

课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-直接代入数值求值

课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算


2005年第16届希望杯初二竞赛复赛第6题4分

已知$$\triangle ABC$$的三个内角的比是$$m:\left( m+1 \right):\left( m+2 \right)$$，其中$$m$$是大于$$1$$的正整数，那么$$\triangle ABC$$是（  ）．

锐角三角形

直角三角形

钝角三角形

等腰三角形

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形内角和的应用


2012年第23届全国希望杯初一竞赛初赛第10题4分

从$$3$$枚面值$$3$$元的硬币和$$5$$枚面值$$5$$元的硬币中任意取出$$1$$枚或多于$$1$$枚，可以得到$$n$$种不同的面值，则$$n$$的值是（~ ）．

竞赛->知识点->组合->计数问题-分步处理与乘法原理

分两步取硬币：  第一步，取面值为$$3$$元的硬币，可以是$$0$$枚，$$1$$枚，$$2$$枚．  第二步，取面值为$$5$$元的硬币，可以是$$0$$枚，$$1$$枚，$$2$$枚，$$3$$枚，$$4$$枚，$$5$$枚．  于是，共有取法$$4\times 6=24$$（种）．  因为要求意取出$$1$$枚或多于$$1$$枚，  所以共有取法$$24-1=23$$（种）．


2016~2017学年陕西西安高新区西安高新第一中学初二上学期期末第24题7分 2008年第19届希望杯初二竞赛第2试第2题 初一下学期其它第18题

关于$$x$$，$$y$$的方程组$$\begin{cases}x+ay+1=0    bx-2y+1=0 \end{cases}$$有无数组解，则$$a$$，$$b$$的值为．

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->二元一次方程组的解

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->含参二元一次方程组->二元一次方程组解的情况

课内体系->能力->运算能力


2021年福建竞赛（"大梦杯”青少年水平测试）第1~1题


2013年竞赛第2题4分

$${{c}^{2}}{{x}^{2}}+\left( {{b}^{2}}-2ac \right)x+{{a}^{2}}=0$$

$${{c}^{2}}{{x}^{2}}-\left( {{b}^{2}}-2ac \right)x+{{a}^{2}}=0$$

$${{c}^{2}}{{x}^{2}}+\left( {{b}^{2}}-2ac \right)x-{{a}^{2}}=0$$

$${{c}^{2}}{{x}^{2}}-\left( {{b}^{2}}-2ac \right)x-{{a}^{2}}=0$$

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->一元二次方程根与系数的关系


2016年上海浦东新区进才中学自主招生第8题10分 2016年第33届全国全国初中数学联赛竞赛A卷第3题7分

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义

课内体系->知识点->综合与实践->新定义->新定义综合其它

课内体系->能力->运算能力


1994年第5届希望杯初二竞赛第10题

设$$n$$为大于$$1$$的自然数，则下列四个式子的值一定不是完全平方数的是．

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式

课内体系->能力->运算能力


2002年第13届希望杯初一竞赛第2试第7题

下面四个命题中一定不正确的命题是．

$$3{{a}^{2}}{{b}^{7}}$$和$$7{{b}^{7}}{{a}^{2}}$$是同类项

竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题

$$\text{A}$$．显然正确；$$\text{B}$$．中两个方程的解 $$x=\frac{1}{3}$$，是同解方程；  当$$b=0$$时，$$\text{D}$$正确；若存在$$a$$，使得$$\left( a-3 \right)$$与$$\left( 3-a \right)$$互为倒数，则  $${{\left( a-3 \right)}^{2}}=-1\textless{}0$$，矛盾．  所以对任何数$$a$$，$$a-3$$与$$3-a$$都不能互为倒数．  故选$$\text{C}$$．


初一单元测试《分解方法的延拓（1）》第14题

2016~2017学年广东深圳福田区深圳实验学校中学部初一下学期单元测试《整式乘除》第27题5分

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值->整式乘除化简求值-整体代入化简求值

课内体系->能力->运算能力


2016年第27届全国希望杯初二竞赛复赛第8题4分

三条边长都是质数的三角形可能是（~ ）．  ①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形；⑤等边三角形．

①②③④

②③④⑤

①③④⑤

①②③④⑤

课内体系->知识点->三角形->直角三角形->直角三角形的定义

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->与三边关系有关的证明

课内体系->知识点->三角形->等腰三角形->等腰三角形基础->等腰三角形的定义

课内体系->知识点->三角形->等腰三角形->等边三角形->等边三角形的定义

例如边长为$$2$$，$$2$$，$$2$$的三角形，满足题意，  该三角形为锐角三角形，等腰三角形，等边三角形．  例如边长为$$3$$，$$3$$，$$5$$的三角形，满足题意，  该三角形为钝角三角形．  若该三角形为直角三角形，设三边长为$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$a\textgreater b\geqslant c$$且均为质数．  ∴$${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}$$．  由于偶质数只有$$2$$，且奇数的平方仍然数奇数，  ∴一定有$$c=2$$，  ∴$${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=4$$．  ∵最小的两个奇质数的平方差为$${{5}^{2}}-{{3}^{2}}=16\ne 4$$，  ∴不存在三边长都是质数的直角三角形．  综上，满足条件的三角形可能是锐角三角形，钝角三角形，等腰三角形和等边三角形．


1985年全美数学竞赛（AMC）竞赛

如果一个七位数的最高位不是$$0$$和$$1$$，那么这个七位数以$$4$$开头，以$$0$$结束的概率是多少？

$$\frac 1{63}$$

$$\frac 1{80}$$

$$\frac 1{81}$$

$$\frac 1{90}$$

$$\frac 1{100}$$

美国amc8->知识点->组合->排列组合->排列问题

对于第一个数字总共有$$10-2=8$$可能性，所以数字以$$4$$开头的概率是$$\frac{1}{8}$$对于最后一个数字总共有$$10$$种肯能性，所以数字$$0$$开头的概率是$$\frac{1}{10}$$，因为这是独立事件，所以两种情况都发生的概率是$$\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{10}=\frac{1}{80}$$，故选$$\text{B}$$．


1993年第4届希望杯初二竞赛第6题

竞赛->知识点->数与式->二次根式->二次根式的性质与运算


2002年第13届希望杯初二竞赛第1试第1题

竞赛->知识点->数与式->绝对值->绝对值的代数意义

符合题意的$$x$$满足下列条件  $$\begin{cases}-x-\textbar x\textbar=0    {{x}^{2}}+x\ne 0    \end{cases}$$，即$$\begin{cases}x=-\textbar x\textbar{}    x(x+1)\ne 0    \end{cases}$$．  所以$$\begin{cases}x\leqslant 0    x\ne 0且x\ne -1    \end{cases}$$，即$$x\textless{}0$$且$$x\ne -1$$．  故选$$\text{D}$$．


2011年第22届全国希望杯初一竞赛复赛第9题4分

已知$$\left\textbar{} x \right\textbar\leqslant 3$$，$$\left\textbar{} y \right\textbar\leqslant 1$$，$$\left\textbar{} z \right\textbar\leqslant 4$$且$$\left\textbar{} x-2y+z \right\textbar=9$$，则$${{x}^{2}}{{y}^{2011}}{{z}^{3}}$$的值是（~ ）．

课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->幂的综合运算 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质


1993年第4届希望杯初二竞赛第7题

等腰三角形的某个内角的外角是$$130{}^{}\circ $$，那么这个三角形的三个内角的大小是．

$$50{}^{}\circ $$，$$50{}^{}\circ $$，$$80{}^{}\circ $$或$$130{}^{}\circ $$，$$25{}^{}\circ $$，$$25{}^{}\circ $$

$$50{}^{}\circ $$，$$50{}^{}\circ $$，$$80{}^{}\circ $$或$$50{}^{}\circ $$，$$65{}^{}\circ $$，$$65{}^{}\circ $$

课内体系->知识点->三角形->等腰三角形->等腰三角形的性质->等腰三角形的性质-等边对等角

课内体系->知识点->三角形->等腰三角形->等腰三角形的性质->已知一角求其余两角


2015年山东青岛黄岛区山东省青岛第九中学自主招生 2013年第30届全国全国初中数学联赛竞赛第2题7分

知识标签->知识点->方程与不等式->不定方程 知识标签->题型->式->整式的乘除->幂的运算->题型：幂的综合运算 知识标签->数学思想->分类讨论思想


2011年第28届全国全国初中数学联赛竞赛第6题7分

课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-倒数法化简求值

由通分然后取倒数得，

$$\frac{xy+xz}{x+y+z}=2$$，$$\frac{xy+yz}{x+y+z}=3$$，$$\frac{zx+yz}{x+y+z}=4$$，

$$\therefore \frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{4}{z}=\frac{xy+zx}{x+y+z}\cdot \frac{1}{x}+\frac{xy+yz}{x+y+z}\cdot \frac{1}{y}+\frac{zx+zy}{x+y+z}\cdot \frac{1}{z}$$

$$=\frac{x+y+x+z+y+z}{x+y+z}=2$$．


2016~2017学年湖北天门市岳口初级中学初一上学期期中第17题3分 1994年第5届全国希望杯初一竞赛复赛第9题

在$$-0.1428$$中用数字$$3$$替换其中一个非$$0$$数码后，使所得的数最大，则替换的数字是（~ ）．

课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性


2019~2020学年5月四川成都天府新区师大一中（麓山校区）初二下学期周测C卷第5题3分

1993年第4届希望杯初二竞赛第1题

2019~2020学年吉林白山长白朝鲜族自治县初一上学期期中第2题3分

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质

由$$a\textless{}b\textless{}0$$，知$$\frac{a}{b}\textgreater0$$，  又由$$a\textless{}b$$，知$$\textbar a\textbar\textgreater\textbar b\textbar$$，  所以得$$\frac{a}{b}\textgreater1$$，  故选$$\text{D}$$．


课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义

课内体系->知识点->式->因式分解->公式法->利用立方和与立方差公式因式分解

课内体系->知识点->综合与实践->新定义->新定义综合其它

课内体系->能力->运算能力


2018~2019学年11月浙江杭州滨江区杭州滨兰实验学校初中部初二上学期月考第8题3分

2008年第19届希望杯初二竞赛第1试第10题

2016~2017学年浙江杭州拱墅区杭州市文澜中学初二上学期期末第6题3分

2016~2017学年浙江杭州拱墅区杭州市文澜中学初二上学期期末第6题

一次函数$$y=kx+b$$的图象经过点$$\left( 0,5 \right)$$和$$B\left( 4,0 \right)$$，则在该图象和坐标轴围成的三角形内，横坐标和纵坐标都是正整数的点有．

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数与几何综合->一次函数与整点问题

把点$$\left( 0, 5 \right)$$和$$B\left( 4,0 \right)$$代入$$y=kx+b$$得$$y=-\dfrac{5}{4}x+5$$．  当$$x=1$$时，$$y=\dfrac{15}{4}$$，所以横坐标和纵坐标都是正整数的点有$$\left( 1,1 \right)$$，$$\left( 1,2 \right)$$，$$\left( 1,3 \right)$$；  当$$x=2$$时，$$y=\dfrac{5}{2}$$，所以横坐标和纵坐标都是正整数的点有$$\left( 2,1 \right)$$，$$\left( 2,2 \right)$$；  当$$x=3$$时，$$y=\dfrac{5}{4}$$，所以横坐标和纵坐标都是正整数的点有$$\left( 3, 1 \right)$$．  综上，共有$$6$$个．


2015年第26届全国希望杯初二竞赛复赛第15题

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式化简求值->二次根式直接化简求值


2002年第13届希望杯初一竞赛第1试第8题

如果$$2a+b=0$$，则$$\left\textbar{} \frac{a}{\left\textbar{} b \right\textbar}-1 \right\textbar+\left\textbar{} \frac{\left\textbar{} a \right\textbar}{b}-2 \right\textbar$$等于（  ）

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算

由$$2a+b=0$$得$$b=-2a$$，进而有$$\frac{a}{\left\textbar{} b \right\textbar}=\frac{a}{\left\textbar{} -2a \right\textbar}=\frac{a}{\left\textbar{} -2 \right\textbar\cdot \left\textbar{} a \right\textbar}=\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{\left\textbar{} a \right\textbar}$$，$$\frac{\left\textbar{} a \right\textbar}{b}=\frac{\left\textbar{} a \right\textbar}{-2a}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{\left\textbar{} a \right\textbar}{a}$$  若$$a\textgreater0$$，则$$\left\textbar{} \frac{a}{\left\textbar{} b \right\textbar}-1 \right\textbar+\left\textbar{} \frac{\left\textbar{} a \right\textbar}{b}-2 \right\textbar=\left\textbar{} \frac{1}{2}-1 \right\textbar+\left\textbar{} -\frac{1}{2}-2 \right\textbar=3$$，  若$$a \textless{} 0$$，则$$\left\textbar{} \frac{a}{\left\textbar{} b \right\textbar}-1 \right\textbar+\left\textbar{} \frac{\left\textbar{} a \right\textbar}{b}-2 \right\textbar=\left\textbar{} -\frac{1}{2}-1 \right\textbar+\left\textbar{} \frac{1}{2}-2 \right\textbar=3$$ ．


2013年第24届全国希望杯初一竞赛初赛第6题4分

在$$\triangle ABC$$中，$$\angle A+\angle C=2\angle B$$，$$2\angle A+\angle B=2\angle C$$，则$$\triangle ABC$$是．

锐角且不等边三角形

直角三角形

钝角三角形

等边三角形

知识标签->题型->三角形->三角形及多边形->三角形的基础->题型：三角形的分类

知识标签->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形的内角、内角和

知识标签->知识点->三角形->三角形及多边形->三角形的概念及分类

∵$$\angle A+\angle C=2\angle B$$，  ∴$$\angle A+\angle B+\angle C=3\angle B$$．  ∵$$\angle A+\angle B+\angle C=180{}^{}\circ $$，  ∴$$\angle B=60{}^{}\circ $$．  ∵$$2\angle A+\angle B=2\angle C$$，  ∴$$2\angle A+60{}^{}\circ =2\angle C$$，  ∴$$2\angle A+60{}^{}\circ =2(120{}^{}\circ -\angle A)$$，  解得$$\angle A=45{}^{}\circ $$，  ∴$$\angle C=180{}^{}\circ -45{}^{}\circ -60{}^{}\circ =75{}^{}\circ $$，  ∴$$\triangle ABC$$是锐角且不等边三角形．


2016年全国全国初中数学联赛初一竞赛

已知$$a$$为实数，关于$$x$$，$$y$$的方程组$$\left { \begin{array}{*{35}{l}} ax+2y=24    2x+2y=a   \end{array} \right.$$有整数解，则$$a$$的个数为（~ ）

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->含参二元一次方程组->二元一次方程组的含参整数解问题

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->加减消元法解二元一次方程组


2001年第12届希望杯初二竞赛第1试第5题

已知点$$D$$在线段$$EF$$上，下列四个等式：①$$DE=2DF$$，②$$DE=\frac{1}{3}EF$$，③$$EF=2DF$$，④$$DF=\frac{1}{2}DE$$，其中能表示：点$$D$$是线段$$EF$$的一个三等分点的表达式是．

①②③

②③④

①②④

①③④

竞赛->知识点->几何图形初步->线

点$$D$$在线段$$EF$$上．  ①若$$DE=2DF$$，则$$D$$是线段$$EF$$的一个三等分点．  所以①正确．  ②若$$DE=\frac{1}{3}EF$$，同样点$$D$$是线段$$EF$$的一个三等分点．  所以②正确．  ④若$$DF=\frac{1}{2}DE$$，点$$D$$也是线段$$EF$$的一个三等分点．  所以④正确．  综上可知①②④正确．  故选$$\text{C}$$．


2012年第23届全国希望杯初一竞赛初赛第1题4分

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->含乘方的有理数混合运算

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算

课内体系->能力->运算能力


2008年第19届希望杯初一竞赛第2试第3题4分

``嫦娥一号''卫星在未打开太阳翼时，外形是长$$222$$厘米、宽$$172$$厘米、高$$220$$厘米的长方体．若在表面包裹$$1$$厘米厚的防震材料层，在这外面还有$$1$$厘米厚的木板包装箱．则木板包装箱所需木材的体积至少是．

$$224\times 174\times 222-222\times 172\times 220$$立方厘米

$$223\times 173\times 221-221\times 171\times 219$$立方厘米

$$225\times 175\times 223-224\times 174\times 222$$立方厘米

$$226\times 176\times 224-224\times 174\times 222$$立方厘米

课内体系->知识点->数->有理数->有理数与实际问题

因包装箱最外边的尺寸每个方向向外增加$$1$$厘米，长，宽，高就各增加$$2$$厘米，整个体积减去包裹了防震材料层的体积即是最少的木材用料．  故选$$\text{D}$$．


2010年第21届全国希望杯初一竞赛初赛第1题4分

知识标签->题型->数->有理数->数轴与有理数有关的概念->题型：区分正负数 知识标签->知识点->数->有理数->正数和负数->正数和负数的定义

因为$$a\textless{}0$$，  所以$$\left\textbar{} a \right\textbar$$，$$-a$$，$${{a}^{2010}}$$，$$\left\textbar{} -a \right\textbar$$均为正数，  而$$\left( \frac{{{a}^{2}}}{a}-a \right)=a-a=0$$，$$\left( \frac{{{a}^{2}}}{a}+a \right)=a+a=2a$$，  所以只有$${{a}^{2009}}$$，$$\left( \frac{{{a}^{2}}}{a}+a \right)$$为负数．  故负数的个数是$$2$$．


2017~2018学年江苏南通崇川区南通市启秀中学初一下学期期中第8题3分 1997年第8届希望杯初二竞赛第1试第9题

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->解一元一次不等式组

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->一元一次不等式组的整数解

课内体系->能力->运算能力

由题意得：$$\begin{cases}3m+2\textgreater30    3m+2\textless{}40    \end{cases}$$，  解得：$$\frac{28}{3}\textless{}m\textless{}\frac{38}{3}$$，  ∵$$m$$是整数，  ∴$$m=10$$或$$11$$或$$12$$，  由$$\begin{cases}5n+3\textgreater30    5n+3\textless{}40    \end{cases}$$，解得：$$\frac{27}{5}\textless{}n\textless{}\frac{37}{5}$$，  ∵$$n$$是整数，  ∴$$n=6$$或$$7$$，  根据$$3m+2=5n+3$$成立时，$$m=12$$，$$n=7$$，  则$$mn=12\times 7=84$$．  故选$$\text{D}$$．


2016年浙江宁波鄞州区初三中考一模第6题4分 2018年第20届浙江宁波余姚市余姚市实验学校初三竞赛决赛（实验杯）第1题4分 2017~2018学年陕西宝鸡凤翔县初三上学期期末第4题3分 2018~2019学年浙江宁波鄞州区宁波兴宁中学初三上学期期中第8题3分 2019年陕西西安鄠邑区初三中考一模第4题3分

从长度分别为$$2,4,6,7$$的四条线段中随机取三条，能构成三角形的概率是(  )

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->判断能否构成三角形

课内体系->知识点->统计与概率->概率->概率的计算方法->列举法求概率


1999年第10届希望杯初二竞赛第1试第4题

某工厂到车站的路程为$$m$$公里，现有一辆汽车从工厂到车站拉货，去时的速度为$$3a$$公里$$/$$小时，返回时的速度为$$2a$$公里$$/$$小时，那么这辆车往返一次的平均速度为．

竞赛->知识点->数与式->分式->分式的基本运算

该车从工厂到车站所用时间$${{t}_{1}}=\frac{m}{3a}$$（小时），  从车站返回工厂所用时间为$${{t}_{2}}=\frac{m}{2a}$$（小时）．  所以往返一次的平均速度为$$v=\frac{2m}{{{t}_{1}}+{{t}_{2}}}=\frac{2m}{\dfrac{m}{3a}+\dfrac{m}{2a}}=\frac{12}{5}a$$（公里$$/$$小时）．  故选$$\text{D}$$．


2010年第15届华杯赛初一竞赛初赛第4题

满足$$\left\textbar{} \left\textbar{} x-1 \right\textbar-\left\textbar{} x \right\textbar{} \right\textbar-\left\textbar{} x-1 \right\textbar+\left\textbar{} x \right\textbar=1$$的$$x$$的值是．

$$\pm \frac{1}{4}$$

$$\pm \frac{3}{4}$$

竞赛->知识点->数与式->绝对值->给定范围绝对值化简

当$$x\leqslant 0$$，原方程为：$$\left\textbar{} (-x+1)-(-x) \right\textbar-(-x+1)+(-x)=1$$，  即$$1+x-1-x=1$$，无解；  当$$0 ~\textless{} ~x\leqslant 1$$，原方程为：$$\left\textbar{} (1-x)-x \right\textbar-(1-x)+x=1$$，  即$$\left\textbar{} 1-2x \right\textbar-1+2x=1$$，这种情况下当$$0 ~\textless{} ~x\leqslant \frac{1}{2}$$ 时，$$1-2x-1+2x=1$$无解；  当$$\frac{1}{2} ~\textless{} ~x\leqslant 1$$，$$2x-1-1+2x=1$$，$$x=\frac{3}{4}$$；  当$$x ~\textless{} ~1$$，原方程为：$$\left\textbar{} (x-1)-x \right\textbar-(x-1)+x=1$$，  即$$1-(x-1)+x=1$$，无解．  故选$$\text{C}$$．


1993年第4届希望杯初二竞赛第5题

下列各组数可以成为三角形的三边长度的是．

$$a+1$$，$$a+2$$，$$a+3$$，并且$$a\textgreater0$$

$$a$$，$$b$$，$$c$$，并且$$a+b\textgreater c$$．

$$1$$，$$m$$，$$n$$，并且$$1-m\textless{}n$$．

竞赛->知识点->三角形->三角形基础


1996年第13届全国初中数学联赛竞赛第1题

$$M\textgreater N$$

$$M=N$$

$$M\textless{}N$$

不确定

课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加法运算


2012年第23届全国希望杯初二竞赛复赛第9题4分 初一单元测试《有条件的分式化解与求值》第23题

无法确定的

课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算 课内体系->思想->整体思想


2019年湖南长沙雨花区湖南广益实验中学初一竞赛（广益杯）第12题3分

2019~2020学年四川宜宾叙州区初一上学期期中

2018~2019学年9月湖南长沙雨花区湖南广益实验中学初一上学期月考第12题3分

2019~2020学年4月辽宁沈阳铁西区沈阳雨田实验中学初一下学期月考第5题3分

2019~2020学年四川宜宾叙州区四川省宜宾县第二中学校初二上学期期末模拟（一）第10题4分

课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算

课内体系->能力->抽象概括能力


1994年第5届希望杯初二竞赛第7题

竞赛->知识点->方程与不等式->二次方程->一元二次方程的根与系数的关系 竞赛->知识点->方程与不等式->二次方程->一元二次方程根的判别式


2018年浙江宁波余姚市余姚市实验学校初二竞赛第7题5分

竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质


2015年第26届全国希望杯初二竞赛复赛第4题

课内体系->知识点->数->实数->平方根->利用平方根解方程 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的基础->二次根式的定义


2017年第1届重庆全国初中数学联赛竞赛

化简$$\frac{b-c}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{c-a}{\left( b-c \right)\left( b-a \right)}+\frac{a-b}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)}+\frac{2}{b-a}-\frac{2}{c-a}$$

课内体系->知识点->式->分式->分式的基础->分式为特殊值 课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-降次化简求值


初一上学期单元测试《一元一次方程》第20题 2001年第12届希望杯初一竞赛第10题

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->含参一元一次方程->一元一次方程的含参整数解


2017年第1届重庆全国初中数学联赛竞赛

化简$$\frac{b-c}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{c-a}{\left( b-c \right)\left( b-a \right)}+\frac{a-b}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)}+\frac{2}{b-a}-\frac{2}{c-a}=$$．


2019~2020学年浙江宁波鄞州区宁波市鄞州蓝青学校初一上学期期末第6题 初一上学期单元测试《物以类聚》第19题 2019年第1届广东深圳罗湖区深圳中学初中部初一竞赛（凤凰木杯）第2题3分

如果对于某一特定范围内的$$x$$的任一允许值，$$p=\left\textbar{} 1-2x \right\textbar+\left\textbar{} 1-3x \right\textbar+\cdots +\left\textbar{} 1-9x \right\textbar+\left\textbar{} 1-10x \right\textbar$$为定值，则此定值为．

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->零点分段法 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的几何意义 课内体系->能力->运算能力


2012年竞赛第3题4分

如果$$a$$，$$b$$为给定的实数，且$$1 ~\textless{} ~a ~\textless{} ~b$$，那么$$1$$，$$a+1$$，$$2a+b$$，$$a+b+1$$这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是．

课内体系->知识点->统计与概率->数据的分析->中位数 课内体系->知识点->统计与概率->数据的分析->平均数/加权平均数 课内体系->能力->数据处理能力

由绝对值的知识点可知$$1$$，$$a+1$$，$$2a+b$$，$$a+b+1$$这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是$$\text{D}$$．


2002年第13届希望杯初二竞赛第1试第5题

若三角形的三个内角$$A$$，$$B$$、$$C$$的关系满足$$A\textgreater3B$$，$$C\textless2B$$，那么这个三角形是．

钝角三角形

直角三角形

等边三角形

不等边的锐角三角形

竞赛->知识点->三角形->三角形基础

∵$$A\textgreater3B$$，$$C\textless2B$$ ，$$2B\textless3B$$ ．  ∴$$A\textgreater B$$，$$A\textgreater C$$，即$$A$$为最大的内角．  若:$$A≤90°$$，则$$B \textless{} 30°$$，$$C \textless{} 60°$$．  $$A+B+C ~\textless{} ~90{}^{}\circ +30{}^{}\circ +60{}^{}\circ =180{}^{}\circ $$与$$A+B+C=180{}^{}\circ $$矛盾．  故：可排除$$\text{B}$$，$$\text{C}$$，$$\text{D}$$，选$$\text{A}$$．


1999年第10届希望杯初二竞赛第1试第3题

代数式$$\frac{\textbar\pi-3 \cdot 1416\textbar}{3 \cdot 1415-\pi}$$的值．

是零

竞赛->知识点->数与式->绝对值->绝对值的代数意义


2011年第22届全国希望杯初二竞赛初赛第9题4分

若关于$$x$$，$$y$$的方程组$$\begin{cases}x+ay+1=0    bx-2y+a=0 \end{cases}$$无实数解，则．

$$ab=-2$$且$$a\ne 1$$

$$ab\ne -2$$

$$ab=-2$$且$$a\ne 2$$

知识标签->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组

知识标签->题型->方程与不等式->二元一次方程（组）->含参二元一次方程组->题型：二元一次方程组解的情况

知识标签->学习能力->运算能力

题设方程组没有实数解得条件是$$\frac{1}{b}=\frac{a}{-2}\ne \frac{1}{a}$$，  即$$\begin{cases}ab=-2    {{a}^{2}}\ne-2    a\ne b \end{cases}$$．  当$$ab=-2$$时，$$ab\ne 0$$，$$a$$，$$b$$异号，则$$a\ne b$$，  又$${{a}^{2}}\ne -2$$在实数范围内成立，  所以$$ab=-2$$．


2013年第24届全国希望杯初二竞赛复赛第8题4分

已知直线$$y=kx+b$$（$$k\ne 0$$）与$$x$$轴的交点在$$x$$轴的正半轴上，则（~ ）．

课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数基础