2014年第25届全国希望杯初一竞赛复赛第2题4分 2018年贵州铜仁地区中考真题第7题4分

如果一个凸多边形的内角和等于外角和的$$3$$倍，那么，这个多边形的边数是（~ ）．

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->多边形->多边形的内角和定理 课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->多边形->求多边形的内角和 课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->多边形->多边形的外角和定理


2003年竞赛第5题6分

某校初三两个毕业班的学生和教师共$$100$$人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数$$≥3$$），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案种数为．

竞赛->知识点->组合->排列与组合

设最后一排有$$k$$个人，共有$$n$$排，那么从后往前各排的人数分别为$$k$$，$$k+1$$，$$k+2$$，\ldots，$$k+\left( n-1 \right)$$，由题意可知：  $$kn+\frac{n\left( n-1 \right)}{2}=100$$，  即$$n\left[ 2k+\left( n-1 \right) \right]=200$$．因为$$k$$，$$n$$都是正整数，且$$n\geqslant 3$$，所以$$n\leqslant 2k+\left( n-1 \right)$$，且$$n$$与$$2k+\left( n-1 \right)$$的奇偶性不同．将$$200$$分解质因数，可知$$n=5$$或$$8$$．当$$n=5$$时，$$k=18$$；当$$n=8$$时，$$k=9$$．共有两种不同方案．  故选$$\text{B}$$．


2013年第24届全国希望杯初一竞赛初赛第4题4分

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值->整式乘除化简求值-整体代入化简求值

课内体系->能力->运算能力


2008年第19届希望杯初一竞赛第1试第7题4分

竞赛->知识点->方程与不等式->一次方程->特殊方程

$$(2x-5)(2y-5)=25$$，$$x$$及$$y$$都是正整数．  所以$$\begin{cases}2x-5=1    2y-5=25   \end{cases}$$，或$$\begin{cases}2x-5=5    2y-5=5   \end{cases}$$，或$$\begin{cases}2x-5=25    2y-5=1   \end{cases}$$．  所以$$\begin{cases}x=3    y=15   \end{cases}$$，或$$\begin{cases}x=5    y=5   \end{cases}$$，或$$\begin{cases}x=15    y=3   \end{cases}$$．  所以$$x+y=18$$或$$x+y=10$$．


2017年全国初中数学联赛竞赛

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->三元一次方程组->解三元一次方程组


2009年第20届希望杯初二竞赛第2试第7题4分

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的三边关系

课内体系->知识点->式->因式分解->因式分解的应用


1999年第10届希望杯初二竞赛第1试第2题

相等

互为相反数

互为倒数

互为负倒数

课内体系->知识点->数->有理数->相反数->相反数的性质


2013年第24届全国希望杯初一竞赛复赛第2题4分

某天，黑河凌晨的温度比上午$$9$$点的温度低$$12$$℃，中午$$12$$点的温度比凌晨的温度高$$20$$℃，晚上$$9$$点的温度比中午$$12$$点的温度低$$19$$℃，若当天上午$$9$$点的温度记为$$a$$℃，则当天晚上$$9$$点的温度应记为（~ ）．

$$\left( a-32 \right)$$℃

$$\left( a-11 \right)$$℃

$$\left( 32-a \right)$$℃

$$\left( 11-a \right)$$℃

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->代数式->列代数式 课内体系->能力->分析和解决问题能力


1992年第3届全国希望杯初一竞赛初赛第5题

若$$a+1\textless{}0$$，则在下列每组四个数中，按从小到大的顺序排列的一组是（~ ）．

课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性


1990年第1届全国希望杯初一竞赛复赛第1题

某工厂去年的生产总值比前年增长$$a \%$$，则前年比去年少的百分数是（~ ）．

$$a \%$$

$$(1+a) \%$$

课内体系->能力->分析和解决问题能力 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->代数式->列代数式


初一上学期单元测试《一元一次方程》第8题

2017~2018学年湖南长沙雨花区湖南广益实验中学初二上学期开学考试第11题3分

1998年第9届希望杯初一竞赛第4题

2019~2020学年浙江温州鹿城区温州市实验中学初一下学期期中模拟第2题

2019~2020学年9月浙江杭州下城区杭州观成中学初一上学期月考第22题4分

2018~2019学年湖北武汉江夏区武汉外国语学校初一上学期期末第8题3分

正数

非正数

负数

非负数 ~

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->含参一元一次方程->解的情况

课内体系->能力->运算能力

整理原方程得：$$(3a+8b)x=-7$$，  ∵原方程无解，  ∴$$3a+8b=0$$，  ∴$$a=-\frac{8}{3}b$$，故$$a$$、$$b$$异号或都为$$0$$，  ∴$$ab\leqslant 0$$，  ∴$$ab$$是非正数 .


1997年第8届希望杯初二竞赛第1试第3题

直角三角形的两个锐角的外角平分线所夹的锐角的大小是．

$$30{}^{}\circ $$

$$45{}^{}\circ $$

$$60{}^{}\circ $$

$$15{}^{}\circ $$或$$75{}^{}\circ $$

竞赛->知识点->三角形->三角形基础

两个外角分别等于其不相邻的锐角与直角之和，因此两个外角之和等于$$270{}^{}\circ $$．  两个外角的角平分线的夹角$$=180{}^{}\circ -\frac{270{}^{}\circ }{2}=45{}^{}\circ $$，所以选$$\text{B}$$．


2009年第20届希望杯初二竞赛第1试第9题

$$38 \sqrt{7}$$

$$24 \sqrt{7}$$

$$32 \sqrt{7}$$

竞赛->知识点->数与式->二次根式->二次根式的性质与运算


1994年第5届全国希望杯初一竞赛复赛第5题

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程


2014年第25届全国希望杯初二竞赛初赛第10题4分

课内体系->能力->分析和解决问题能力 竞赛->知识点->组合->排列与组合

因为去掉$$8$$以后，余下$$7$$个数的和是$$1+2+3+4+5+6+7=28$$，  所以$$8$$的两边各数的和分别是$$14$$．  因为$$7+6=13$$，  所以$$14$$至少是由$$3$$个数相加而成的，  所以$$8$$的两边分别有$$3$$个数和$$4$$个数．  因为$$(7,6,1)$$，$$(7,5,2)$$，$$(7,4,3)$$，$$(6,5,3)$$这四组数的和都是$$14$$，  每组中的数的排列方法有$$3\times 2\times 1=6$$种，  与其对应的另外$$4$$个数（$$8$$除外）有$$4\times 3\times 2\times 1=24$$种排列方法，  当排成横行时，这$$4$$组数有排在$$8$$的左边和右边两种排列方法，  因此，每组数的排列方法有$$2\times 6\times 24=288$$（种）．  所以，满足题意的排列方法有$$4\times 288=1152$$（种）．


2004年第21届全国初中数学联赛竞赛第2题

锐角三角形

直角三角形

钝角三角形

等腰三角形

课内体系->能力->推理论证能力

课内体系->知识点->三角形->勾股定理及应用->勾股定理基础->勾股定理

课内体系->知识点->三角形->勾股定理及应用->勾股定理基础->勾股定理的逆定理

课内体系->知识点->三角形->勾股定理及应用->勾股定理基础->勾股逆定理的应用


1994年第11届全国初中数学联赛竞赛第2题6分 初一上学期其它

至少有一个小于$$0$$

至少有一个大于$$0$$

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->数->有理数->有理数运算巧解->完全平方非负性 课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->配方思想的运用


初一上学期其它 1994年第11届全国初中数学联赛竞赛第2题6分

至少有一个小于$$0$$

至少有一个大于$$0$$

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->配方思想的运用 课内体系->知识点->数->有理数->有理数运算巧解->完全平方非负性 课内体系->能力->运算能力


2022~2023学年浙江宁波初三月考（六校强基竞赛）第1题 2022~2023学年浙江宁波初三月考（六校强基竞赛）第1题 2021~2022学年黑龙江哈尔滨南岗区哈尔滨市松雷中学校初二上学期期中第4题

下列计算正确的是（~~~~~~~）

$$3{{x}^{3}}\cdot 2{{x}^{2}}y=6{{x}^{5}}$$

$$(-2x)\cdot \left( -5{{x}^{2}}y \right)=-10{{x}^{3}}y$$

$$(-2xy)\cdot \left( -3{{x}^{2}}y \right)=6{{x}^{3}}y$$

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算 课内体系->能力->运算能力

\hfill\break 【分析】\\ 根据单项式乘单项式、同底数幂的运算法则逐一计算即可得出答案．\\ 【详解】\\ 解：A.$$3{{x}^{3}}\cdot 2{{x}^{2}}y=6{{x}^{5}}y$$，计算错误，不符合题意；\\ B.$$2{{a}^{2}}\cdot 3{{a}^{3}}=6{{a}^{5}}$$，计算正确，符合题意；\\ C.$$(-2x)\cdot \left( -5{{x}^{2}}y \right)=10{{x}^{3}}y$$，计算错误，不符合题意；\\ D.$$(-2xy)\cdot \left( -3{{x}^{2}}y \right)=6{{x}^{3}}{{y}^{2}}$$ ，计算错误，不符合题意；\\ 故选B．\\ 【点睛】\\ 本题考查了单项式乘单项式、同底数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．


2019~2020学年4月四川绵阳游仙区绵阳中学英才学校初一下学期月考A卷第12题3分

1999年第10届希望杯初二竞赛第1试第6题

$$a\textless{}b\textless{}c$$

$$b\textless{}a\textless{}c$$

$$b\textless{}c\textless{}a$$

$$a=b\textgreater c$$

课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算 课内体系->知识点->数->实数->实数运算->含二次根式的实数的运算 课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数大小的比较

$$a=\frac{\sqrt{{{\left( -x \right)}^{2}}}}{\left\textbar{} -x \right\textbar}=\left\textbar{} \frac{-x}{-x} \right\textbar=1$$，  $$b=\frac{y}{{{\left( \sqrt{-y} \right)}^{2}}}=\frac{y}{-y}=-1$$，  $$c=\dfrac{3+\dfrac{1}{4}}{4-\dfrac{1}{2}}=\frac{13}{14}$$．  所以$$b\textless{}c\textless{}a$$，选$$\text{C}$$．


2010年第21届全国希望杯初一竞赛复赛第4题4分

奇数，且是完全平方数

偶数，且是完全平方数

奇数，但不是完全平方数

偶数，但不是完全平方数

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->含乘方的有理数混合运算


1998年第9届希望杯初二竞赛第1试第2题

$$\begin{cases}m=2,    n=2,    \end{cases}$$或$$\begin{cases}m=-2,    n=-2.    \end{cases}$$

$$\begin{cases}m=2,    n=2,    \end{cases}$$或$$\begin{cases}m=2,    n=-2.    \end{cases}$$

$$\begin{cases}m=2,    n=-2,    \end{cases}$$或$$\begin{cases}m=-2,    n=2.    \end{cases}$$

$$\begin{cases}m=-2,    n=-2,    \end{cases}$$或$$\begin{cases}m=-2,    n=2.    \end{cases}$$

课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->二元二次方程（组） 课内体系->能力->运算能力


2005年第16届希望杯初一竞赛初赛第3题4分

$$105$$的负约数的和等于．

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数除法运算

竞赛->知识点->数论->整除->因数与倍数


2007年第18届希望杯初一竞赛复赛第8题4分

对于彼此互质的三个正整数$$a$$，$$b$$，$$c$$，有以下判断：①$$a$$，$$b$$，$$c$$均为奇数；②$$a$$，$$b$$，$$c$$中必有一个偶数；③$$a$$，$$b$$，$$c$$没有公因数；④$$a$$，$$b$$，$$c$$必有公因数．  其中，不正确的判断的个数为．

课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的分类 课内体系->知识点->几何图形初步->命题与证明 课内体系->思想->分类讨论思想 课内体系->能力->抽象概括能力 竞赛->知识点->数论->整除->因数与倍数

令$$a=2$$，$$b=3$$，$$c=5$$，知①不正确；  令$$a=7$$，$$b=3$$，$$c=5$$，知②不正确；  因为$$1$$显然是$$a$$，$$b$$，$$c$$的公因数，所以③不正确，④正确．  故选$$\text{C}$$．


1995年第12届全国初中数学联赛竞赛第6题

设实数$$a$$，$$b$$满足不等式$$\textbar\textbar a\textbar-(a+b)\textbar{} ~\textless{} ~\textbar a-\textbar a+b\textbar\textbar$$，则（~ ）．

$$a ~\textless{} ~0$$且$$b\textgreater0$$

$$a\textgreater0$$且$$b ~\textless{} ~0$$

$$a ~\textless{} ~0$$且$$b ~\textless{} ~0$$

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->解含绝对值的一元一次不等式（组）

课内体系->能力->运算能力

取$$a=-1$$，$$b=2$$可否定$$\text{A}$$，$$\text{C}$$，$$\text{D}$$，选$$\text{B}$$．  一般地，对已知不等式平方，有$$\textbar a\textbar(a+b)\textgreater a\textbar a+b\textbar$$．  显然$$\textbar a\textbar\textbar(a+b)\textbar\textgreater0$$（若等于$$0$$，则与上式矛盾），有$$\frac{a+b}{\textbar a+b\textbar}\textgreater\frac{a}{\textbar a\textbar}$$．  两边都只能取$$1$$或$$-1$$，故只有$$1\textgreater-1$$，即有$$a ~\textless{} ~0$$且$$a+b\textgreater0$$，从而$$b\textgreater-a\textgreater0$$．  故选$$\text{B}$$．


1991年第2届希望杯初二竞赛第9题

竞赛->知识点->数论->整除->素数与合数


2017年湖南长沙天心区初二竞赛长郡教育集团抵达杯第5题5分

2020~2021学年浙江宁波鄞州区宁波市鄞州蓝青学校初三上学期期中（加试）第2题5分

一副扑克牌有$$4$$种花色，每种花色有$$13$$张，从中任意抽牌，最小要抽张才能保证有$$4$$张牌是同一花色的．

课内体系->能力->运算能力

课内体系->能力->分析和解决问题能力

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式组应用

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的其他实际问题

$$4$$种花色相当于$$4$$个抽屉，  设最少要抽$$x$$张扑克，  问题相当于把$$x$$张扑克放进$$4$$个抽屉，至少有$$4$$张牌在同一个抽屉，有  $$x=3\times 3+4=13$$，  故选$$\text{B}$$．


2009年第20届希望杯初二竞赛第2试第7题4分

知识标签->题型->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->题型：与三边关系有关的证明

知识标签->题型->式->因式分解->提公因式法与公式法->题型：提公因式法

知识标签->题型->式->整式的乘除->乘法公式->题型：利用平方差公式计算

知识标签->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的三边关系

知识标签->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->平方差公式

知识标签->知识点->式->因式分解->因式分解：提公因式法

知识标签->学习能力->运算能力

知识标签->方法->作差法


2015年初一上学期其它 1999年第10届希望杯初一竞赛第6题

$$68{}^{}\circ $$

$$78{}^{}\circ $$

$$88{}^{}\circ $$

$$98{}^{}\circ $$

课内体系->知识点->几何图形初步->角->角度的运算->角的和差的计算与证明->角的和差的计算与证明-不需要分类讨论

课内体系->知识点->几何图形初步->角->角的定义和分类->余角和补角


1992年第3届全国希望杯初一竞赛复赛第1题

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算


2007年第18届希望杯初一竞赛初赛第9题4分 初一上学期单元测试《一元一次方程》第17题

以$$x$$为未知数的方程$$2007x+2007a+2008b=0$$（$$a$$，$$b$$为有理数，且$$b\textgreater0$$）有正整数解，则$$ab$$是．

负数

非负数

正数

零

课内体系->能力->推理论证能力

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程的相关概念->由一元一次方程的解求参数的值

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程的相关概念->一元一次方程的解


1997年第14届全国初中数学联赛竞赛第3题 2020~2021学年浙江宁波奉化区奉化实验中学初二上学期期中第29题5分 2019年湖南长沙天心区湘郡培粹实验中学初二竞赛初赛(觉园杯)第3题4分

竞赛->知识点->方程与不等式->不等式->柯西不等式


2012年第23届全国希望杯初一竞赛初赛第7题4分

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程


1997年第8届希望杯初二竞赛第2试第6题 初一下学期其它

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值->整式乘除化简求值-整体代入化简求值

课内体系->能力->运算能力


2012年第23届全国希望杯初一竞赛复赛第2题4分

若两位自然数$$\overline{ab}$$是质数，且交换数字后的两位数$$\overline{ba}$$也是质数，则称$$\overline{ab}$$为绝对质数．于是两位数中的所有绝对质数的乘积的个位数字是（~ ）．

竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘法->有理数乘法运算

课内体系->能力->运算能力

两位数中的绝对质数有$$11$$，$$13$$，$$17$$，$$31$$，$$37$$，$$71$$，$$73$$，$$79$$，$$97$$．  其乘积是$$11\times 13\times 17\times 31\times 37\times 71\times 73\times 79\times 97$$，  要求其个位数字，就是求$$1\times 3\times 7\times 1\times 7\times 1\times 3\times 9\times 7$$的个位数字，  易得，个位数字是$$3$$．


2009年第20届希望杯初一竞赛第1试第4题4分

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式加减化简求值->整式加减化简求值-降次化简求值


2014年第25届全国希望杯初二竞赛复赛第5题4分

无论$$m$$为何实数，直线$$y=x-m$$与直线$$y=-2x+3$$的交点都不可能在（~ ）．

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

课内体系->能力->推理论证能力

课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数基础->一次函数的图象特征与性质

直线$$y=x-m$$与直线$$y=-2x+3$$的交点必在直线$$y=-2x+3$$上，  而直线$$y=-2x+3$$不经过第三象限，  所以直线$$y=x-m$$与直线$$y=-2x+3$$的交点不可能在第三象限．


2015年第26届全国希望杯初三竞赛初赛（特）第5题

两个标准的骰子各被投掷一次，以骰子向上一面的数字和作为圆的直径．则圆的面积数值小于圆的周长数值的概率是（~ ）．

课内体系->知识点->统计与概率->概率->概率的计算方法

圆的面积数值小于圆的周长数值，  即$$\pi{{r}^{2}}\textless{}2\pi r$$，  即$$0\textless{}r\textless{}2$$．  ∴直径$$0\textless{}d\textless{}4$$．  骰子向上一面的数字和作为圆的直径，  ∴直径$$d\textless{}4$$的情况有$$1$$，$$2$$或$$1$$，$$1$$或$$2$$，$$1$$三种，  故概率$$=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$$．


2016年第33届全国全国初中数学联赛竞赛第6题7分

设实数$$x$$，$$y$$，$$z$$，满足$$x+y+z=1$$，则$$M=xy+2yz+3xz$$的最大值为（~ ）．

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义

课内体系->方法->配方法


2018~2019学年山东济南市中区初二上学期期末第28题5分 2001年第12届希望杯初二竞赛第2试第7题

平面内有$$n$$条直线$$(n\geqslant 2)$$，这$$n$$条直线两两相交，最多可以得到$$a$$个交点，最少可以得到$$b$$个交点，则$$a+b$$的值是．

课内体系->知识点->几何图形初步->相交线与平行线->相交线->相交线的交点问题找规律


1991年第8届全国初中数学联赛竞赛（第一试）第4题

$${{\left( -1 \right)}^{n}}1991$$

$${{\left( -1 \right)}^{n}}{{1991}^{-1}}$$

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式化简求值

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式


2001年第6届华杯赛初一竞赛决赛第19题

将$$100$$以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下五项工作叫做一次操作：  （$$1$$）将左边第一个数码移到数字串的最右边；  （$$2$$）从左到右两位一节组成若干个两位数；  （$$3$$）从这些两位数中划去合数；  （$$4$$）所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去；  （$$5$$）所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串．  问：经过$$1997$$次操作，所得到数字串是什么？  Arrange prime numbers within $$100$$ in a string of numbers from smallest to largest, and finishing the following five tasks in order is called one operation:  ($$1$$) move the first digit on the left to the rightmost of the number string;  ($$2$$) form several two-digit numbers from the left to the right with two digits in one section;  ($$3$$) cross out the composite numbers from these two-digit numbers;  ($$4$$) if there are identical two-digit prime numbers left, keep the one on the left and cross out the rest;  ($$5$$) the remaining two-digit prime numbers are kept in the numerical order and formed into a new number string.  Q: After $$1997$$ operations, what is the final string of numbers?

竞赛->知识点->组合->操作与游戏

课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->规律探究->数列找规律->数列找规律-具有周期规律的数列

第$$1$$次操作得数字串$$711131737$$；第$$2$$次操作得数字串$$11133173$$；第$$3$$次操作得数字串$$111731$$；第$$4$$次操作得数字串$$1173$$；第$$5$$次操作得数字串$$1731$$；第$$6$$次操作得数字串$$7311$$；第$$7$$次操作得数字串$$3117$$；第$$8$$次操作得数字串$$1173$$，以下以$$4$$为周期循环，即$$4k$$次操作所得数字串均为$$1173$$．$$1996=4\times 499$$，所以第$$1996$$次操作得数字串$$1173$$，因此，第$$1997$$次操作得数字串$$1731$$．  The $$1$$st operation yields the number string $$711131737$$; the $$2$$nd operation yields the number string $$11133173$$; the $$3$$th operation yields the number string $$111731$$; the $$4$$th operation yields the number string $$1173$$; the $$5$$th operation yields the number string $$1731$$; the $$6$$th operation yields the number string $$7311$$; the $$7$$th operation yields the number string $$3117$$; the $$8$$ operation yields the number string $$1173$$. The following is a cycle of $$4$$, that is, the string of numbers obtained in $$4k$$ operations is $$1173$$. $$1996=4\times 499$$, so the $$1996$$th operation yields the number string $$1173$$, so the $$1997$$th operation yields the number string $$1731$$.


1991年第2届希望杯初二竞赛第11题

若$$11$$个连续奇数的和是$$1991$$，把这些数按大小顺序排列来，第六个数是．

竞赛->知识点->数论->同余->奇数与偶数


2000年$$AMC8$$竞赛第$$24$$题  If $$a$$ and $$b$$ are integers, what is the least integer $$x$$ for which the inequality $$a ~\textless{} ~b ~\textless{} ~a+x$$ could be true．

美国AMC8->Knowledge Point->Algebra and Sequences->Equations->Inequality

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式组应用->不等式组的其他实际问题

Since $$a$$ and $$b$$ are integers, the least possible $$b=a$$$$+1$$.~ Since $$x$$ is also an integer, the least possible $$a+x=$$$$b+1$$ $$=a$$$$+2$$.  如果$$a$$，$$b$$是整数 ， 那么满足不等式$$\textasciitilde a ~\textless{} ~b ~\textless{} ~a+x$$的最小的整数$$x$$是多少．  $$\text{A}$$．$$-1$$~ ~ $$\text{B}$$． $$0$$~ ~ $$\text{C}$$．$$1$$~ ~$$\text{D}$$．$$2$$  因为$$a$$，$$b$$是整数 ， 那么最小的可能就是$$b=a+1$$．因为$$x$$是一个整数 ， 那么最小值就是$$\textasciitilde a+x=b+1=a+2$$， 也就是 $$x=0$$．  故选$$\text{D}$$．


1994年第11届全国初中数学联赛竞赛第4题6分 初一下学期其它

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式化简求值->二次根式的化简求值——利用完全平方


2019~2020学年广东广州越秀区广州市第二中学初一下学期单元测试《相交线与平行线》第7题4分

2012年第23届全国希望杯初一竞赛初赛第4题4分

某人在练车场上练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则这两次拐弯的角度可能是（~ ）．

第一次向左拐$$40{}^{}\circ $$，第二次向右拐$$40{}^{}\circ $$

第一次向右拐$$50{}^{}\circ $$，第二次向左拐$$130{}^{}\circ $$

第一次向右拐$$70{}^{}\circ $$，第二次向左拐$$110{}^{}\circ $$

第一次向左拐$$70{}^{}\circ $$，第二次向左拐$$110{}^{}\circ $$

课内体系->知识点->数->有理数->正数和负数->相反意义的量


2009年第20届希望杯初二竞赛第2试第3题

将$$x$$的整数部分记为$$\left[ x \right]$$,$$x$$的小数部分记为$$\left { x \right }$$，易知$$x=\left[ x \right]+\left { x \right }\left( 0 ~\textless{} ~\left { x \right } ~\textless{} ~1 \right)$$.若$$x=\sqrt{3-\sqrt{5}}-\sqrt{3+\sqrt{5}}$$，那么$$\left[ x \right]$$等于．

课内体系->思想->整体思想

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的四则混合运算

课内体系->方法->代入法

课内体系->能力->运算能力


2011年竞赛第3题4分 2013年四川成都成华区成都石室中学初中学校初三自主招生第4题5分

知识标签->学习能力->推理论证能力

知识标签->题型->三角形->锐角三角函数及解直角三角形->锐角三角函数->题型：正弦定理与余弦定理

知识标签->知识点->三角形->锐角三角函数及解直角三角形->解直角三角形

知识标签->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程的解

知识标签->知识点->方程与不等式->一元二次方程->解一元二次方程->因式分解法解一元二次方程

知识标签->数学思想->方程思想


2002年第13届希望杯初二竞赛第1试第6题

已知$$m=\frac{4-x}{3}$$，$$n=\frac{x+3}{4}$$，$$p=\frac{2-3x}{5}$$，且$$m\textgreater n\textgreater p$$，那么$$x$$的取值范围是（ ）．

$$x ~\textless{} ~1$$

$$-\frac{14}{5} ~\textless{} ~x ~\textless{} ~1$$

$$-\frac{14}{5} ~\textless{} ~x ~\textless{} ~-\frac{7}{17}$$

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->解一元一次不等式组

$$m\textgreater n\textgreater p$$，即$$\frac{4-x}{3}\textgreater\frac{x+3}{4}\textgreater\frac{2-3x}{5}$$．  所以$$\begin{cases}\frac{4-x}{3}\textgreater\frac{x+3}{4}    \frac{x+3}{4}\textgreater\frac{2-3x}{5}   \end{cases}$$，  即$$\begin{cases}16-4x\textgreater3x+9    5x+15\textgreater8-12x   \end{cases}$$，  解得$$\begin{cases}x ~\textless{} ~1    x\textgreater-\frac{7}{17}   \end{cases}$$，即$$-\frac{7}{17} ~\textless{} ~x ~\textless{} ~1$$，  故选$$\text{C}$$．


1991年第2届全国希望杯初一竞赛复赛第17题 2019~2020学年北京西城区北京四中初一上学期开学考试第9题3分

【补10】  计算：$98^{2}+2^{2}$~=~\uline{~~~~~~~~~~}~  马马虎的做法如下：  原式=$\left( 98+2\right)^{2}+2\times98\times2$  马马虎的解法正确吗？请你帮他挑挑错吧！

符号错了，应为减法：  原式=$\left( 98+2\right)^{2}-2\times98\times2$


2001年竞赛（全国初中数学竞赛）第2题5分

都不是整数

至少有两个整数

至少有一个整数

都是整数

竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题 课内体系->知识点->数->有理数

因为$$a$$，$$b$$，$$c$$是任意整数，所以$$a$$，$$b$$，$$c$$中至少有两个同为奇数或同为偶数，而两个奇数或两个偶数的和是偶数，所以$$\frac{a+b}{2}$$，$$\frac{a+c}{2}$$，$$\frac{b+c}{2}$$中至少有一个是整数，如当$$a=1$$，$$b=2$$ ，$$c=3$$时，$$\frac{a+c}{2}=2$$，$$\frac{a+b}{2}=\frac{3}{2}$$，$$\frac{b+c}{2}=\frac{5}{2}$$．此时，恰有一个整数．  所以选$$\text{C}$$．


1997年第8届全国希望杯初一竞赛复赛第5题

已知$$a\textless{}-b$$，且$$\frac{a}{b}\textgreater0$$，则$$\left\textbar{} a \right\textbar-\left\textbar{} b \right\textbar+\left\textbar{} a+b \right\textbar+\left\textbar{} ab \right\textbar$$等于（~ ）．

$$-ab$$

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质

∵$$\frac{a}{b}\textgreater0$$，  ∴$$a$$和$$b$$同号，  又∵$$a\textless{}-b$$，  ∴$$a$$和$$b$$均为负数．  ∴$$\left\textbar{} a \right\textbar-\left\textbar{} b \right\textbar+\left\textbar{} a+b \right\textbar+\left\textbar{} ab \right\textbar$$  $$=-a-\left( -b \right)+\left[ -\left( a+b \right) \right]+ab$$  $$=-a+b-a-b+ab$$  $$=-2a+ab$$．


2012年第23届全国希望杯初二竞赛初赛第5题4分

方程组$$\left { \begin{matrix}x+y+z=10    3x+y-z=50    2x+y=40   \end{matrix} \right.$$（~ ）．

无解

有无穷多组解

课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->三元一次方程组->解三元一次方程组

课内体系->能力->推理论证能力


1991年第2届希望杯初二竞赛第6题

$$D$$是等腰锐角三角形$$ABC$$的底边$$BC$$上的一点，则$$AD$$，$$BD$$，$$CD$$ 满足关系式．

$$A{{D}^{2}}\textgreater B{{D}^{2}}+C{{D}^{2}}$$

$$2A{{D}^{2}}\textgreater B{{D}^{2}}+C{{D}^{2}}$$

课内体系->知识点->三角形->等腰三角形->等腰三角形的性质->等腰三角形的性质-等边对等角


2015~2016学年山东济南商河县胡集中学初二上学期期中第7题3分 1992年第3届希望杯初二竞赛第3题

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值->整式乘除化简求值-整体代入化简求值


2008年第19届希望杯初一竞赛第2试第1题4分

竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题


2007年第18届希望杯初一竞赛复赛第18题4分

$$a$$，$$b$$，$$c$$都是质数，且$$a+b+c+abc=99$$，则$$\left\textbar{} \frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right\textbar+\left\textbar{} \frac{1}{b}-\frac{1}{c} \right\textbar+\left\textbar{} \frac{1}{c}-\frac{1}{a} \right\textbar=$$ ．

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值综合

若$$a$$，$$b$$，$$c$$都是奇数，那么$$abc$$也为奇数，则$$a+b+c+abc$$为偶数，与$$a+b+c+abc=99$$矛盾．  ∴$$a$$，$$b$$，$$c$$中必有一个偶数，  又∵$$a$$，$$b$$，$$c$$都是质数，  ∴$$a$$，$$b$$，$$c$$中必有一个偶数是$$2$$，  令$$a=2$$，则$$b+c+2bc=97$$，  同理，若$$b$$，$$c$$都是奇数，则$$bc$$为奇数，则$$b+c+2bc$$为偶数，与$$b+c+2bc=97$$矛盾，  ∴$$b$$，$$c$$中也必有一个偶数，则偶数必是$$2$$，  令$$b=2$$，可得$$c=19$$，  ∴$$\left\textbar{} \frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right\textbar+\left\textbar{} \frac{1}{b}-\frac{1}{c} \right\textbar+\left\textbar{} \frac{1}{c}-\frac{1}{a} \right\textbar=\frac{17}{19}$$．  故答案为：$$\frac{17}{19}$$．


2004年第15届希望杯初二竞赛第1试第7题

$$\triangle ABC$$的三个内角$$\angle A$$、$$\angle B$$、$$\angle C$$，满足$$3\angle A\textgreater5\angle B$$，$$3\angle C\leqslant 2\angle B$$，则这个三角形是．

锐角三角形

直角三角形

钝角三角形

等边三角形

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形内角和的应用

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->三角形的基础->三角形的分类

由已知得$$\angle B ~\textless{} ~\frac{3}{5}\angle A$$，$$\angle C\leqslant \frac{2}{3}\angle B ~\textless{} ~\frac{2}{5}\angle A$$，所以$$\angle B+\angle C ~\textless{} ~\angle A$$，$$\triangle ABC$$是钝角三角形，选$$\text{C}$$．


1999年第10届希望杯初一竞赛第9题

2017~2018学年四川凉山西昌市西昌一中俊波外国语学校初一上学期期中第14题2分

初一下学期单元测试《二元一次方程组》二元一次方程（组）的相关概念第24题

若$$\left\textbar{} a+b+1 \right\textbar$$与$${{(a-b+1)}^{2}}$$互为相反数，则$$a$$与$$b$$的大小关系是（~ ）．

$$a\textgreater b$$

$$a=b$$

$$a\textless{}b$$

$$a\geqslant b$$

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性

$$\left\textbar{} a+b+1 \right\textbar$$与$${{(a-b+1)}^{2}}$$互为相反数，  由绝对值和偶次方的非负性知，  $$a+b+1=0$$，$$a-b+1=0$$，  解得$$a=-1$$，$$b=0$$，  ∴$$a\textless{}b$$．


2017年第1届重庆全国初中数学联赛初一竞赛初赛

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式

课内体系->能力->运算能力

$$\because {{\left( a+b \right)}^{2}}=6ab$$，$${{\left( a-b \right)}^{2}}=2ab$$，且$$a\textless{}b\textless{}0$$，  $$\therefore a+b=-\sqrt{6ab}$$，$$a-b=-\sqrt{2ab}$$，  $$\therefore \frac{a+b}{a-b}=\sqrt{3}$$．


1997年第8届希望杯初二竞赛第2试第6题 初一下学期其它

课内体系->能力->运算能力


2015年第26届全国希望杯初一竞赛初赛第8题

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->解一元一次方程->常规一元一次方程解法

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算


初三上学期其它 初一单元测试《分解方法的延拓（2）》第21题 2005年竞赛第2题6分

正数

负数

零

非负数

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->配方求最值 课内体系->能力->运算能力


2013年第24届全国希望杯初二竞赛复赛第17题4分 初一下学期单元测试《坐标平面上的直线》第24题

直线$$y=x-1$$与$$x$$轴、$$y$$轴分别交于$$A$$，$$B$$两点，点$$C$$在坐标轴上，$$\triangle ABC$$是等腰三角形，则满足条件的点$$C$$有个．

课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数与几何综合->一次函数与等腰三角形结合

课内体系->思想->分类讨论思想


2004年第15届希望杯初二竞赛第1试第2题

竞赛->知识点->数与式->分式->分式的基本运算


2018~2019学年5月广东深圳罗湖区深圳中学初中部初一上学期周测A卷竞赛班初一第23次第2题3分

2018~2019学年浙江嘉兴初一上学期期末第7题3分

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->同类项的定义

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->由同类项求参数的值


1996年第13届全国初中数学联赛竞赛第5题

如果一个三角形的面积和周长都被一直线平分，那么该直线必通过这个三角形的（~ ~ ）．

内心

外心

重心

垂心

课内体系->知识点->圆->圆与多边形->三角形五心 课内体系->知识点->圆->与圆有关的位置关系->直线与圆->三角形内切圆

设直线$$DE$$平分$${\triangle }ABC$$的周长和面积，$$D$$，$$E$$分别在边$$AB$$和$$AC$$上，作$$\angle A$$的平分线交$$DE$$于$$P$$，记$$P$$到$$AB$$，$$AC$$的距离为$$r$$，$$P$$到$$BC$$的距离为$${{r}_{1}}$$，于是依题意有：  $$\begin{cases}AD+AE=DB+BC+CE    \dfrac{r}{2}(AD+AE)=\dfrac{r}{2}(DB+CE)+\dfrac{{{r}_{1}}}{2}BC \end{cases}$$，  解得$$r={{r}_{1}}$$，即$$P$$为$${\triangle }ABC$$的内心，  故选$$\text{A}$$．


2011年竞赛第2题3分 2019年浙江温州瓯海区浙江省温州中学初三自主招生第2题5分

对于任意实数$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$d$$，定义有序实数对$$\left( a,b \right)$$与$$\left( c,d \right)$$之间的运算``$$\Delta $$''为：$$\left( a,b \right)\Delta \left( c,d \right)=\left( ac+bd,ad+bc \right)$$，如果对于任意实数$$u$$，$$v$$，都有$$\left( u,v \right)\Delta \left( x,y \right)=\left( u,v \right)$$，那么$$\left( x,y \right)$$为．

$$\left( 0,1 \right)$$

$$\left( 1,0 \right)$$

$$\left( -1,0 \right)$$

$$\left( 0,-1 \right)$$

课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算 课内体系->能力->运算能力

依照定义的运算法则，有$$\begin{cases}ux+vy=u    vx+uy=v    \end{cases}$$，即$$\begin{cases}u(x-1)+vy=0    v(x-1)+uy=0    \end{cases}$$，对任何实数$$u$$，$$v$$都成立．由于实数$$u$$，$$v$$的任意性，得$$(x,y)=(1,0)$$．  故选$$\text{B}$$．


2018~2019学年湖南株洲荷塘区初一下学期期末第10题4分

初一单元测试《一次方程组的应用》第22题

2019~2020学年浙江杭州杭州第十三中学初一下学期单元测试《二元一次方程组》（杭州市十三中教育集团）第17题3分

2005年第16届希望杯初二竞赛复赛第4题4分

购买铅笔$$7$$支，作业本$$3$$个，圆珠笔$$1$$支共需$$3$$元；购买铅笔$$10$$支，作业本$$4$$个，圆珠笔$$1$$支共需$$4$$元，则购买铅笔$$11$$支，作业本$$5$$个，圆珠笔$$2$$支共需（  ）．

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算->整式加减的综合 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->代数式->列代数式 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义


1993年第4届全国希望杯初一竞赛初赛第5题

如果有理数$$a$$，$$b$$满足$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=0$$，则下列说法中不正确的一个是（~ ）．

$$a$$与$$b$$的差是正数

$$a$$与$$b$$的积是负数

课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的分类


2008年第19届希望杯初一竞赛第1试第3题4分

有以下两个结论：  ①任何一个有理数和它的相反数之间至少有一个有理数；  ②如果一个有理数有倒数，则这个有理数与它的倒数之间至少有一个有理数．  则．

①、②都不对

①对，②不对

①、②都对

①不对，②对

竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题

因为$$0$$的相反数是$$0$$，所以①是假命题；因为$$1$$的倒数是$$1$$，故命题②也是假命题．  故选：$$\text{A}$$．


2009年第14届华杯赛初一竞赛初赛第3题

设$$a$$、$$b$$为两个负数，且$$a ~\textless{} ~b$$，则下面四个数中一定为大于$$a$$且小于$$b$$的数是．

课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性

课内体系->知识点->数->有理数->正数和负数->正数、负数定义


2010年第21届希望杯初二竞赛第2试第4题

已知三角形三个内角的度数之比为$$x:y:z$$，且$$x+y ~\textless{} ~z$$，则这个三角形是．

锐角三角形

直角三角形

钝角三角形

等腰三角形

竞赛->知识点->三角形->三角形基础

这个三角形的最大内角为：$$\frac{180{}^{}\circ }{x+y+z}\cdot z\textgreater\frac{180{}^{}\circ }{2z}\cdot z=90{}^{}\circ $$．则它是钝角三角形．  故选$$\text{C}$$．


1991年第8届全国初中数学联赛竞赛（第一试）第4题

$${{\left( -1 \right)}^{n}}1991$$

知识标签->学习能力->运算能力

知识标签->题型->式->整式的乘除->乘法公式->题型：利用完全平方公式计算

知识标签->题型->式->二次根式->二次根式化简求值->题型：二次根式的化简求值

知识标签->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式


2002年第19届全国初中数学联赛竞赛第2题7分

课内体系->知识点->式->因式分解->公式法->利用立方和与立方差公式因式分解

竞赛->知识点->数与式->整式->整式的乘除运算


1992年第3届希望杯初二竞赛第7题

竞赛->知识点->数与式->二次根式->二次根式的性质与运算


2012年第23届全国希望杯初二竞赛初赛第18题4分

课内体系->方法->配方法


1991年第2届希望杯初二竞赛第4题

若$$\left( x+a \right)\left( x+b \right)+\left( x+b \right)\left( x+c \right)-\left( x+c \right)\left( x+a \right)$$是完全平方式．则$$a$$，$$b$$，$$c$$的大小关系可以写成．

$$a\textless{}b\textless{}c$$

$${{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}=0$$

$$c\textless{}a\textless{}b$$

$$a=b\ne c$$

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->利用完全平方式求参数的值

容易看到$$a=b=c$$时，原式成为$$3{{\left( x+a \right)}^{2}}$$，是完全平方式．  故选$$\text{B}$$．


2015年第26届全国希望杯初三竞赛初赛（特）第1题

$$\pm \frac{2\sqrt{3}}{9}$$

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的四则混合运算


2011年第22届全国希望杯初一竞赛初赛第5题4分

$$6$$个人用$$35$$天完成了某项工程的$$\frac{1}{3}$$，如果再增加工作效率相同的$$8$$个人，那么完成这项工程，前后共用的天数是（~ ~ ~ ）．

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->含乘方的有理数混合运算


1996年第13届全国初中数学联赛竞赛第2题

有一组

有二组

多于二组

不存在

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->多重二次根式


1994年第5届希望杯初二竞赛第5题

若三角形的三边长度均为整数，其中两边长的差是$$7$$，且三角形的周长是奇数，则第三边长可能是．

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的三边关系

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->求三角形第三边的取值范围

不妨设三角形三边长的度为$$a$$，$$b$$，$$c$$．  且$$a-b=7$$，则$$a$$与$$b$$为一奇一偶，又题设知$$a+b+c$$为奇数，  所以$$c$$一定是偶数，又三角形两边之差小于第三边，即$$c\textgreater a-b=7$$，  所以第三边的长度可能是$$8$$．  故选$$\text{B}$$．


2019~2020学年5月四川成都金牛区成都外国语学校初一下学期周测A卷第4题3分

2014~2015学年广东深圳罗湖区初一下学期期中第12题3分

2002年竞赛第2题5分

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->配方思想的运用 课内体系->能力->运算能力 课内体系->方法->配方法


2011年第16届华杯赛初一竞赛初赛第3题

2018~2019学年甘肃兰州城关区兰州市第三十五中学初二下学期期中第12题4分

初一下学期单元测试《不等式与不等式组》一元一次不等式及其应用第28题

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式->解一元一次不等式

原不等式变形得：$$\frac{x}{a}\textgreater-\frac{1}{b}$$，  ∵$$x\textless{}\frac{1}{5}$$，  ∴$$a\textless{}0$$．  解不等式得：$$x\textless{}-\frac{a}{b}$$，$$-\frac{a}{b}=\frac{1}{5}$$，即$$b=-5a$$．  ∴$$-5ax-a\textgreater0$$，  ∴$$x\textgreater-\frac{1}{5}$$．  因为不等式等$$\frac{x}{a}+\frac{1}{b}\textgreater0$$的解集为$$x ~\textless{} ~\frac{1}{5}$$，故必有$$a ~\textless{} ~0$$，所以$$\frac{-a}{b}=\frac{1}{5}$$，并且$$b\textgreater0$$，所以由$$bx-a\textgreater0$$得到$$x\textgreater-\frac{1}{5}$$．  故选$$\text{C}$$．


2017年第1届重庆全国初中数学联赛初一竞赛初赛

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式

$$\because {{\left( a+b \right)}^{2}}=6ab$$，$${{\left( a-b \right)}^{2}}=2ab$$,且$$a\textless{}b\textless{}0$$ $$\therefore a+b=-\sqrt{6ab}$$，$$a-b=-\sqrt{2ab}\therefore \frac{a+b}{a-b}=\sqrt{3}$$


2002年第13届希望杯初一竞赛第2试第3题

爸爸给女儿园园买了一个（圆柱形的）生日蛋糕，园园想把蛋糕切成大小不定相等的若干块（不少于$$10$$块），分给$$10$$个小朋友，若沿竖直方向切分这块蛋糕，至少需要切刀．

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式组应用

易知，$$2$$条直线至多可以分圆面为$$4$$块；$$3$$条直线至多分圆面为$$7$$块；$$4$$条直线至多分圆面为$$11$$块，因此要把蛋糕分成不少于$$10$$块，至少需要切$$4$$刀．  故选$$\text{B}$$．


2012年第29届全国全国初中数学联赛竞赛第2题7分 2019年浙江温州瓯海区浙江省温州中学初三自主招生第5题5分

课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->二元二次方程（组）


2014年第25届全国希望杯初一竞赛复赛第4题4分

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->单项式乘单项式 课内体系->能力->运算能力


1991年第2届全国希望杯初一竞赛复赛第8题

①若$$a=0$$，$$b\ne 0$$，则方程$$ax=b$$无解；  ②若$$a=0$$，$$b\ne 0$$，则不等式$$ax\textgreater b$$无解；  ③若$$a\ne 0$$，则方程$$ax=b$$有唯一解$$x=\frac{b}{a}$$；  ④若$$a\ne 0$$，则不等式$$ax\textgreater b$$的解为$$x\textgreater\frac{b}{a}$$，则．

①、②、③、④都正确

①、③正确，②、④不正确

①、③不正确，②、④正确

①、②、③、④都不正确

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->含参一元一次方程->解的情况

若$$a=0$$，$$b=-1$$，则$$0x\textgreater-1$$，可见②无解不正确．  若$$a\ne 0$$，比如$$a=-1$$，$$-x\textgreater b\Rightarrow x\textless{}-b$$，④不正确．  只有①③正确．


2011年第22届全国希望杯初二竞赛初赛第1题4分

将$$a$$千克含盐$$10 \%$$的盐水配制成含盐$$15 \%$$的盐水，需加盐$$x$$千克，则由此可列出方程为（~ ）．

$$a(1-10 \%)=(a+x)(1-15 \%)$$

$$a\times 10 \%=(a+x)\times 15 \%$$

$$a\times 10 \%+x=a\times 15 \%$$

$$a(1-10 \%)=x(1-15 \%)$$

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程的相关概念->按要求写出一元一次方程

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的浓度问题


2017年第1届重庆全国初中数学联赛竞赛

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式通分 课内体系->知识点->式->分式->分式的基础->分式为特殊值


2012年第29届全国全国初中数学联赛竞赛第6题7分

由$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$这四个数字组成四位数$$\overline{abcd}$$（数字可重复使用），要求满足$$a+c=b+d$$．这样的四位数共有（~ ）．

竞赛->知识点->组合->排列与组合


2015年第26届全国希望杯初一竞赛初赛第1题

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->解一元一次方程->常规一元一次方程解法


2005年第16届希望杯初二竞赛初赛第5题4分 初一其它

无法确定

课内体系->能力->运算能力


2015年四川成都金牛区成都外国语学校初三自主招生第14题3分 2000年竞赛（全国初中数学竞赛）第6题5分

已知$$\triangle ABC$$三边长分别为$$a$$，$$b$$，$$c$$，面积为$$s$$．$$\triangle {{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }}$$的三边长分别为$${{a}^{\prime }}$$、$${{b}^{\prime }}$$、$${{c}^{\prime }}$$，面积为$${{s}^{\prime }}$$，且$$a\textgreater{{a}^{\prime }}$$，$$b\textgreater{{b}^{\prime }}$$，$$c\textgreater{{c}^{\prime }}$$，则$$s$$与$${{s}^{\prime }}$$的大小关系一定是（~ ）．

$$s\textgreater{{s}^{\prime }}$$

$$s\textless{}{{s}^{\prime }}$$

$$s={{s}^{\prime }}$$

不确定

课内体系->知识点->三角形->相似三角形->相似三角形基础->相似三角形的性质

课内体系->知识点->三角形->相似三角形->相似三角形的判定->相似三角形的性质与判定综合

课内体系->思想->分类讨论思想


2001年竞赛（全国初中数学竞赛）第1题5分

2019~2020学年5月浙江杭州萧山区杭州萧山金山初中初一下学期周测C卷第5题

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算


2005年竞赛第2题6分 初一单元测试《分解方法的延拓（2）》第21题 初三上学期其它

正数

负数

零

整数

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->配方求最值


初一其它 2010年第21届希望杯初二竞赛第2试第7题

某次足球比赛的计分规则是:胜一场得$$3$$分，平一场得$$1$$分，负一场得$$0$$分．某球队参赛$$15$$场，积$$33$$分，若不考虑比赛顺序，则该队胜、平、负的情况可能有（~ ~ ~）．

课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->三元一次方程组->三元一次方程组的实际应用

课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->三元一次方程组->解三元一次方程组

设该队胜$$x$$场，平$$y$$场，负$$z$$场，$$x$$，$$y$$，$$z$$都为整数，且$$0\leqslant x,y,z\leqslant 15$$，  则$$\left { \begin{matrix}x+y+z=15    3x+y=33   \end{matrix} \right.$$，  解得$$x=11-\frac{y}{3}$$，则$$y=0$$，$$3$$，$$6$$．


2012年竞赛第2题3分

在平面直角坐标系$$xOy$$中，满足不等式$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\leqslant 2x+2y$$的整数$$\left( x,y \right)$$的对数为．

课内体系->知识点->函数->平面直角坐标系->坐标系综合->坐标与距离

由题设$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\leqslant 2x+2y$$，得$$0\leqslant {{\left( x-1 \right)}^{2}}{{\left( y-1 \right)}^{2}}\leqslant 2$$，  因为$$x$$，$$y$$均为整数，所以有  $$\begin{cases}{{(x-1)}^{2}}=0    {{\left( y-1 \right)}^{2}}=0   \end{cases}$$或$$\begin{cases}{{\left( x-1 \right)}^{2}}=0    {{\left( y-1 \right)}^{2}}=1   \end{cases}$$或 $$\begin{cases}{{\left( x-1 \right)}^{2}}=1    {{\left( y-1 \right)}^{2}}=0   \end{cases}$$或$$\begin{cases}{{\left( x-1 \right)}^{2}}=1    {{\left( y-1 \right)}^{2}}=1   \end{cases}$$，  解得：$$\begin{cases}x=1    y=1   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=1    y=2   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=1    y=0   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=0    y=1   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=0    y=0   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=0    y=2   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=2    y=1   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=2    y=0   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=2    y=2   \end{cases}$$，  以上共计$$9$$对$$(x,y)$$．  故选：$$\text{B}$$．


2012年四川成都青羊区成都树德实验中学初三自主招生第8题5分 2017~2018学年福建泉州鲤城区泉州市第六中学初二下学期期中第10题4分 1998年竞赛（全国初中数学竞赛）第4题6分

一、二

二、三

三、四

一、四

知识标签->题型->式->分式->分式化简求值->题型：分式条件化简求值

知识标签->题型->函数->一次函数->一次函数基础->题型：一次函数图象与性质

知识标签->学习能力->运算能力

知识标签->知识点->式->分式->分式的运算->分式的混合运算

知识标签->知识点->函数->一次函数->一次函数的图象与性质->一次函数的图象与系数的关系

知识标签->数学思想->数形结合思想

由条件得：①$$a+b=pc$$，②$$b+c=pa$$，③$$a+c=pb$$，  三式相加得: $$2\left( a+b+c \right)=p\left( a+b+c \right)$$．  ∴$$p=2$$或$$a+b+c=0$$．  当$$p=2$$时，$$y=2x-2$$．则直线通过第一、三、四象限．  当$$a+b+c=0$$时，不妨取$$a+b=-c$$，于是$$p=\frac{a+b}{c}=-1$$，  ∴$$y=-x+1$$，则直线通过第一、二、四象限．  综合上述两种情况，直线一定通过第一、四象限．  故选$$\text{D}$$．


2006年第17届希望杯初二竞赛第2试第2题

$$1 \textless{} x\leqslant 5$$

$$x \textless{} 1$$或$$x\geqslant 5$$

$$x\leqslant 1$$或$$x\geqslant 5$$

$$x \textless{} 1$$或$$x\textgreater5$$

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的基础->二次根式有意义的条件 课内体系->能力->运算能力

由题意，必须使分式和二次根式同时有意义，得$$\begin{cases}{{x}^{2}}-4x+3\ne 0    \textbar x-3\textbar-2\geqslant 0   \end{cases}$$  $${{x}^{2}}-4x+3\ne 0$$得$$x\ne 1$$且$$x\ne 3$$，由$$\textbar x-3\textbar-2\geqslant 0,$$得$$x\leqslant 1$$或$$x\geqslant 5$$  从而$$x$$的取值范围是$$x \textless{} 1$$或$$x\geqslant 5$$，故选$$\text{B}$$．


2007年第18届希望杯初一竞赛初赛第1题4分

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算

课内体系->能力->运算能力


1991年第8届全国初中数学联赛竞赛（第一试）第5题

若$$1\times 2\times 3\times \ldots \times 99\times 100={{12}^{n}}M$$，其中$$M$$为自然数，$$n$$为使得等式成立的最大的自然数，则$$M$$（~ ）．

能被$$2$$整除，但不能被$$3$$整除

能被$$3$$整除，但不能被$$2$$整除

能被$$4$$整除，但不能被$$3$$整除

不能被$$3$$整除，也不能被$$2$$整除

竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质 课内体系->知识点->数->有理数->数的特征->整除的条件


1992年第3届全国希望杯初一竞赛初赛第9题

互为相反数

互为倒数

互为负倒数

相等

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义 课内体系->知识点->数->有理数->相反数->相反数的性质


北京初二上学期单元测试《三角形的边与角》第24题 2011年第28届全国全国初中数学联赛竞赛第2题7分

已知$$\triangle ABC$$的两条高线的长分别为$$5$$和$$20$$，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（~ ）．

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->整数边问题

设$$\triangle ABC$$的面积为$$S$$，  所求的第三条高线的长为$$h$$，  则三边长分别为$$\frac{2S}{5}$$，$$\frac{2S}{20}$$，$$\frac{2S}{h}$$．  显然$$\frac{2S}{5}\textgreater\frac{2S}{20}$$，  于是由三边关系，得$$\left { \begin{matrix} \dfrac{2S}{20}+\dfrac{2S}{h}\textgreater\dfrac{2S}{5}    \dfrac{2S}{20}+\dfrac{2S}{5}\textgreater\dfrac{2S}{h}   \end{matrix} \right.$$，  解得$$4\textless{}h\textless{}\frac{20}{3}$$．  所以$$h$$的最大整数值为$$6$$，即第三条高线的长的最大值为$$6$$．


1996年第7届希望杯初二竞赛第9题

在一家三口人中，每两人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到$$47$$、$$61$$、$$60$$，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是(  )．

课内体系->能力->运算能力

课内体系->能力->分析和解决问题能力


1993年第4届全国希望杯初一竞赛复赛第8题

绝对值小于$$100$$的所有被$$3$$除余$$1$$的整数之和等于（~ ）．

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算

课内体系->能力->运算能力


1995年第6届全国希望杯初一竞赛初赛第8题

在绝对值小于$$1000$$的整数中，完全平方数的个数是（~ ）．

课内体系->知识点->数->实数->平方根->算术平方根的定义

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘法->有理数乘法运算


美国AMC8->Knowledge Point->Algebra and Sequences->Algebraic expression

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->多项式乘多项式


2006年第17届希望杯初一竞赛复赛第7题4分

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->求三角形第三边的取值范围

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的三边关系


2012年第23届全国希望杯初一竞赛复赛第10题4分

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->高次方公式 课内体系->能力->运算能力


2018~2019学年10月重庆北碚区重庆市西南大学附属中学初一上学期月考第3题3分

1991年第2届全国希望杯初一竞赛复赛第3题

课内体系->知识点->式->分式->分式的基础->分式值为0

课内体系->知识点->式->分式->分式的基础->分式为特殊值


2007年第18届希望杯初二竞赛第1试第5题

让$$k$$依次取$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\cdots $$等自然数，当取到某一个数之后，以下四个代数式：①$$k+2$$，②$${{k}^{2}}$$，③$$2k$$，④$${{2}^{k}}$$就排成一个不变的大小顺序，这个顺序是．

①$$ ~\textless{} ~$$②$$ ~\textless{} ~$$③$$ ~\textless{} ~$$④

②$$ ~\textless{} ~$$①$$ ~\textless{} ~$$③$$ ~\textless{} ~$$④

①$$ ~\textless{} ~$$③$$ ~\textless{} ~$$②$$ ~\textless{} ~$$④

③$$ ~\textless{} ~$$②$$ ~\textless{} ~$$①$$ ~\textless{} ~$$④

竞赛->知识点->数与式->整式->整式的乘除运算


2016年第33届全国全国初中数学联赛竞赛第2题7分 2016年上海浦东新区进才中学自主招生第6题10分

三种图书的单价分别为$$10$$元、$$15$$元和$$20$$元，某学校计划恰好用$$500$$元购买上述图书$$30$$本，那么不同的购书方案有．

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组应用题->二元一次方程组的配套问题

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->二元一次方程组的解

设购买三种图书的数量分别为$$x$$，$$y$$，$$z$$，  则$$\left { \begin{array}{*{35}{l}} x+y+z=30    10x+15y+20z=500   \end{array} \right.$$，  即$$\begin{cases}y+z=30-x    3y+4z=100-2x \end{cases}$$，  解得$$\begin{cases}y=20-2x    z=10+x \end{cases}$$，  依题意得，$$x$$，$$y$$，$$z$$，为自然数（非负整数），  故$$0\leqslant x\leqslant 10$$，$$x$$有$$11$$种可能的取值（分别为$$0$$，$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\cdots $$，$$10$$），  对于每一个$$x$$值，$$y$$和$$z$$都有唯一的值（自然数）相对应，  即不同的购书方案共有$$11$$种．


2018年浙江宁波余姚市余姚市实验学校初二竞赛第3题5分

设$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{2}$$，则代数式$$x(x+1)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)$$的值是．

竞赛->知识点->数与式->二次根式->二次根式的性质与运算


2002年第13届希望杯初二竞赛第1试第4题

竞赛->知识点->三角形->三角形基础

取特殊点法．  当$$P$$点为$$\triangle ABC$$三条垂直平分线交点时，因为$$\triangle ABC$$为等边三角形．  故$$P$$点既是$$\triangle ABC$$内心又是重心．  $$PD=\frac{1}{3}AD=\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}AB=\frac{\sqrt{3}}{6}AB$$．  又$$PD=PE=PF$$，$$AB=AC=BC$$．  ∴$$\frac{PD+PE+PF}{AB+BC+CA}=\frac{\sqrt{3}}{6}$$，  选$$\text{B}$$．


2016年上海浦东新区进才中学自主招生第8题10分 2016年第33届全国全国初中数学联赛竞赛A卷第3题7分

课内体系->知识点->综合与实践->新定义->新定义综合其它

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义

课内体系->知识点->式->因式分解->公式法->利用立方和与立方差公式因式分解

课内体系->能力->运算能力


1994年第5届希望杯初二竞赛第2题

对于三角形的三个外角，下面结论中正确的是．

可能有两个直角

最少有一个锐角

不可能有三个钝角

最多有一个锐角

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形内角和的应用

由于三角形的三个内角最多只能有一个钝角或者直角，  所以它的三个外角中，不可能有两个直角，  可能有三个钝角（此时三角形的三个内角均为锐角）．  否定了$$\text{A}$$，$$\text{B}$$，$$\text{C}$$．  故选$$\text{D}$$．


2017年湖南长沙天心区初二竞赛长郡教育集团抵达杯第1题5分

2020~2021学年9月湖北宜昌伍家岗区宜昌英杰学校初一上学期月考（英杰教育集团）第11题3分

初一上学期单元测试《解读绝对值》第3题

2019~2020学年河南郑州金水区郑州市第八中学初一上学期期中第8题3分

如果$$a$$，$$b$$，$$c$$是非零有理数，且$$a+b+c=0$$，那么$$\frac{a}{\textbar a\textbar}+\frac{b}{\textbar b\textbar}+\frac{c}{\textbar c\textbar}+\frac{abc}{\textbar abc\textbar}$$的所有可能的值为（~ ）．

$$0$$或$$-2$$ ~

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值综合 课内体系->能力->推理论证能力

∵$$a+b+c=0$$且$$a$$、$$b$$、$$c$$均$$\ne 0$$，  ∴$$a$$、$$b$$、$$c$$三数符号为两正一负或两负一正，  不妨设，  ①$$a$$，$$b$$为正，$$c$$为负，此时$$abc$$为负：  $$\frac{a}{\left\textbar{} a \right\textbar}+\frac{b}{\left\textbar{} b \right\textbar}+\frac{c}{\left\textbar{} c \right\textbar}+\frac{abc}{\left\textbar{} abc \right\textbar}$$  $$=1+1+(-1)+(-1)$$  $$=0$$．  ②$$a$$，$$b$$为负，$$c$$为正，此时$$abc$$为正，  $$\frac{a}{\left\textbar{} a \right\textbar}+\frac{b}{\left\textbar{} b \right\textbar}+\frac{c}{\left\textbar{} c \right\textbar}+\frac{abc}{\left\textbar{} abc \right\textbar}$$  $$=-1+(-1)+1+1$$  $$=0$$．  综上原式$$=0$$，故选$$\text{A}$$．


1999年第10届希望杯初一竞赛第4题

$$a$$的偶次方的偶次方是负数

$$a$$的奇次方的偶次方是负数

$$a$$的奇次方的奇次方是负数

$$a$$的偶次方的奇次方是负数

竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题

有理数的偶次方得非负数．即可排除$$\text{A}$$、$$\text{B}$$．  $$a ~\textless{} ~0$$而$$a$$的偶次方是正数，正数的奇次方是正数，所以排除$$\text{D}$$，因此应选$$\text{C}$$．  事实上$$a ~\textless{} ~0$$，$$a$$的奇次方是负数，负数的奇次方仍是负数，所以选$$\text{C}$$．


2001年竞赛（全国初中数学竞赛）第2题5分

都不是整数

至少有两个整数

至少有一个整数

都是整数

竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题

因为$$a$$，$$b$$，$$c$$是任意整数，所以$$a$$，$$b$$，$$c$$中至少有两个同为奇数或同为偶数，而两个奇数或两个偶数的和是偶数，故$$\frac{a+b}{2}$$，$$\frac{b+c}{2}$$，$$\frac{c+a}{2}$$中至少有一个是整数，如当$$a=1$$，$$b=2$$ ，$$c=3$$时，$$\frac{a+c}{2}=2$$，$$\frac{a+b}{2}=\frac{3}{2}$$，$$\frac{b+c}{2}=\frac{5}{2}$$．此时，恰有一个整数．  故选$$\text{C}$$．


2008年竞赛第7题6分

2016~2017学年福建泉州南安市南安市实验中学初一下学期期中第16题4分

2018~2019学年浙江杭州西湖区杭州市之江实验中学初一下学期期末第18题4分

2016~2017学年10月河南郑州二七区郑州实验外国语中学初一上学期月考第11题3分

小王沿街匀速行走，发现每隔$$6$$分钟从背后驶过一辆$$18$$路公交车，每隔$$3$$分钟从迎面驶来一辆$$18$$路公交车．假设每辆$$18$$路公交车行驶速度相同，而且$$18$$路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组应用题->二元一次方程组的行程问题

设$$18$$路公交车的速度是$$x$$米/分，小王行走的速度是$$y$$米/分，同向行驶的相邻两车的间距为$$s$$米．  每隔$$6$$分钟从背后开过一辆$$18$$路公交车，则  $$6x-6y=s$$．①  每隔$$3$$分钟从迎面驶来一辆$$18$$路公交车，则  $$3x+3y=s$$．②  由①②得，$$s=4x$$，所以$$\frac{s}{x}=4$$.  即$$18$$路公交车总站发车间隔的时间是$$4$$分钟．


2009年第20届希望杯初二竞赛第1试第1题

在一次视力检查中，初二$$(1)$$班的$$50$$人中只有$$8$$人的视力达标．用扇形图表示视力检查结果，则表示视力达标的扇形的圆心角是．

$$64.8{}^{}\circ $$

$$57.6{}^{}\circ $$

$$48{}^{}\circ $$

$$16{}^{}\circ $$

竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题

周角为$$360{}^{}\circ $$，对应全体学生，则表示视力达标的扇形的圆心角为  $$\frac{8}{50}\times 360{}^{}\circ =57.6{}^{}\circ $$，故选$$\text{B}$$．


1994年全美数学竞赛（AMC）竞赛

1994年全美数学竞赛（AMC）竞赛  The number halfway between $$\frac{1}{6}$$ and $$\frac{1}{4}$$ is．

美国AMC8->Knowledge Point->Number and Operations->Fractions->Fraction Basics

课内体系->知识点->统计与概率->数据的分析->平均数/加权平均数


2004年第21届全国初中数学联赛竞赛第1题 2004年第21届全国初中数学联赛竞赛（第二试A）第1题

以上都不对

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->由一元二次方程根的情况确定参数

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->一元二次方程根与系数的关系


2005年第16届希望杯初二竞赛复赛第2题4分

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-条件化简求值 课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算


2003年第14届希望杯初二竞赛第2试第3题 2017年第1届重庆全国初中数学联赛初一竞赛初赛

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质

由题意，有$${{x}^{2}}-2x+1+{{y}^{2}}-2y+1\leqslant 1$$，即$${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}\leqslant 1$$.  $$\because {{\left( x-1 \right)}^{2}}\geqslant 0$$，$${{\left( y-1 \right)}^{2}}\geqslant 0$$，$$x$$、$$y$$为整数，  $$\therefore \begin{cases}x-1=0    y-1=0 \end{cases}$$或$$\begin{cases}x-1=\pm 1    y-1=0 \end{cases}$$或$$\begin{cases}x-1=0    y-1=\pm 1 \end{cases}$$，  解得$$\left( x,y \right)=\left( 1,1 \right)\left( 2,1 \right)\left( 0,1 \right)\left( 1,2 \right)\left( 1,0 \right)$$，故$$x+y$$的不同值是$$1$$、$$2$$、$$3$$.


2019~2020学年9月四川成都青羊区成都市树德中学初一上学期周测A卷第4题3分

1999年第10届希望杯初一竞赛第2题

$$1$$是最小的正有理数

$$-1$$是最大的负有理数

$$0$$是最小的正整数

$$0$$是最大的非正整数

课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的分类

$$\text{A}$$、$$\text{B}$$．没有最小的正有理数，也没有最大的负有理数，故$$\text{A}$$、$$\text{B}$$错误；  $$\text{C}$$．$$0$$既不是正数也不是负数，故$$\text{C}$$错误；  $$\text{D}$$．$$0$$是最大的非正整数，故$$\text{D}$$正确．  故选$$\text{D}$$．


2017年第1届重庆全国初中数学联赛竞赛

知识标签->知识点->式->分式->分式的基础->分式的值 知识标签->题型->式->分式->分式的运算->题型：分式约分


1995年第6届希望杯初二竞赛第4题

竞赛->知识点->数与式->绝对值->给定范围绝对值化简

当$$a\textgreater0$$时，$$\textbar a\textbar=a$$，  ∴原式$$=1+1+1=3$$；  当$$a\textless{}0$$时，$$\textbar a\textbar=-a$$，$$\textbar{{a}^{3}}\textbar=-{{a}^{3}}$$，  ∴原式$$=-1+1-1=-1$$．  故选$$\text{A}$$．


2007年第12届华杯赛初一竞赛初赛第5题

设$$\frac{a}{b}\textgreater0$$，$$\frac{c}{d}\textgreater0$$．有如下四个结论：  ①如果$$ad\textgreater bc$$，则必定有$$\frac{a}{b}\textgreater\frac{c}{d}$$  ②如果$$ad\textgreater bc$$，则必定有$$\frac{a}{b} ~\textless{} ~\frac{c}{d}$$  ③如果$$ad ~\textless{} ~bc$$，则必定有$$\frac{a}{b} ~\textless{} ~\frac{c}{d}$$  ④如果$$ad ~\textless{} ~bc$$，则必定有$$\frac{a}{b}\textgreater\frac{c}{d}$$  其中正确结论的个数是．

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘法->有理数的乘法法则

取$$a=-2$$，$$b=-3$$，$$c=4$$，$$d=5$$，$$\frac{a}{b}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}$$，$$\frac{c}{d}=\frac{4}{5}$$即$$\frac{a}{b}$$和$$\frac{c}{d}$$是正数，且$$ad\textgreater bc$$，此时结论①不成立；  取$$a=4$$，$$b=5$$，$$c=2$$，$$d=3$$，即$$\frac{a}{b}$$和$$\frac{c}{d}$$是正数，并且$$ad\textgreater bc$$，此时结论②不成立；  若③正确，则①正确；  若④正确，则②正确．所以，$$4$$个结论无一正确．  故选$$\text{A}$$．


1992年第3届希望杯初二竞赛第2题

已知三角形的三个内角度数之比为$$1:2:3$$，若这个三角形的最短边长为$$\sqrt{2}$$，那么它的最长边等于．

课内体系->知识点->三角形->直角三角形->直角三角形的性质->30°特殊角的性质应用

课内体系->知识点->三角形->锐角三角函数及解直角三角形->解直角三角形->解直角三角形的综合应用

课内体系->能力->运算能力

根据三角形内角和为180°及三个内角度数之比为$$1:2:3$$，容易得出三个内角为$$30{}^{}\circ $$，$$60{}^{}\circ $$，$$90{}^{}\circ $$，$$30{}^{}\circ $$角对边为最短边，由题设知，它的边长为$$\sqrt{2}\cdot 90{}^{}\circ $$角所对边为最长边，即直角三角形的斜边，其长应为$$30{}^{}\circ $$角对边的$$2$$倍，即为$$2\sqrt{2}$$．  故选$$\text{B}$$．


1999年第16届全国初中数学联赛竞赛第6题7分 初三上学期其它

有下列三个命题：  （甲）若$$\alpha $$、$$\beta $$是不相等的无理数，则$$\alpha \beta +\alpha -\beta $$是无理数；  （乙）若$$\alpha $$、$$\beta $$是不相等的无理数，则$$\frac{\alpha -\beta }{\alpha +\beta }$$是无理数；  （丙）若$$\alpha $$、$$\beta $$是不相等的无理数，则$$\sqrt{\alpha }+\sqrt[3]{\beta }$$是无理数．  其中正确命题的个数是．

课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数的定义

因为$$\alpha \beta +\alpha -\beta =\alpha \beta +\alpha -\beta -1+1=\left( \alpha -1 \right)\left( \beta +1 \right)+1$$，  只要令$$\alpha =1+\sqrt{2}$$，$$\beta =-1+\sqrt{2}$$，则$$\alpha \beta +\alpha -\beta =3$$为有理数，所以（甲）不对；  又若令$$\alpha =2\sqrt{2}$$，$$\beta =\sqrt{2}$$，则$$\frac{\alpha -\beta }{\alpha +\beta }=\frac{1}{3}$$为有理数，所以（乙）不对；  又若令$$\alpha =\sqrt[3]{2}$$，$$\beta =-\sqrt{2}$$，则$$\sqrt{\alpha }+\sqrt[3]{\beta }=0$$为有理数，所以（丙）不对．  因此正确命题个数是$$0$$．  所以选$$\text{A}$$．


2010年第21届希望杯初二竞赛第1试第2题

$$\sqrt{a}\geqslant \sqrt[3]{a}$$

$$\sqrt{a}\leqslant \sqrt[3]{a}$$

$$a\geqslant 1$$

竞赛->知识点->方程与不等式->不等式->二次不等式

由$${{a}^{3}}\geqslant 0$$，得$$a\geqslant 0$$，  由$${{a}^{2}}\geqslant {{a}^{3}}$$得，$${{a}^{2}}(1-a)\geqslant 0$$，  又$${{a}^{2}}\geqslant 0$$得，$$1-a\geqslant 0$$，$$a\leqslant 1$$，  即$$0\leqslant a\leqslant 1$$，  所以$$\sqrt{a}\leqslant \sqrt[3]{a}$$．  故选$$\text{B}$$．


2010年第21届全国希望杯初一竞赛初赛第6题4分

若$$\angle AOB$$和$$\angle BOC$$互为邻补角，且$$\angle AOB$$比$$\angle BOC$$大$$18{}^{}\circ $$，则$$\angle AOB$$的度数是（~ ）．

$$54{}^{}\circ $$

$$81{}^{}\circ $$

$$99{}^{}\circ $$

$$162{}^{}\circ $$

课内体系->知识点->几何图形初步->角->角度的运算->角的和差的计算与证明->角的和差的计算与证明-不需要分类讨论

∵$$\angle AOB$$和$$\angle BOC$$互为邻补角，  ∴$$\angle AOB+\angle BOC=180{}^{}\circ $$．  ∵$$\angle AOB$$比$$\angle BOC$$大$$18{}^{}\circ $$，  ∴$$\angle AOB-\angle BOC=18{}^{}\circ $$．  两式相加，化简得$$\angle AOB=99{}^{}\circ $$．


2010年第21届全国希望杯初一竞赛初赛第8题4分

$$a_{1}^{3}\textbar({{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}+{{a}_{2}})$$

$$a_{2}^{3}\textbar({{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}+{{a}_{2}})$$

$$a_{3}^{3}\textbar({{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}+{{a}_{2}})$$

$${{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}\textbar({{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}+{{a}_{2}})$$

课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算 竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质


2020~2021学年广东广州天河区广州中学高二上学期期中第7题5分 2016年北京西城区高三二模理科第5题5分 2017~2018学年山东泰安高三上学期期中理科第2题5分 2015年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分 2016~2017学年北京西城区高二下学期期末文科第5题5分 2016~2017学年北京丰台区北京市第十二中学高二上学期期末理科第2题5分 2017~2018学年山东泰安高三上学期期中文科第2题5分

充分而不必要条件

必要而不充分条件

充分必要条件

既不充分也不必要条件

课内体系->知识点->常用逻辑用语->充分条件与必要条件->充要条件与数列结合 课内体系->素养->逻辑推理

由等差数列的性质可知命题的充分性，取$$a=1$$，$$b=2$$，$$c=4$$，$$d=5$$可知不满足必要性，即为充分不必要条件．


1986年全国高中数学联赛竞赛一试第1题

设$$-1\textless{}a\textless{}0$$，$$\theta =\arcsin a$$，那么不等式$$\sin x\textless{}a$$的解集为（~ ）．

$$\left { x\textbar2n \pi +\theta \textless{}x\textless{}\left( 2n+1 \right) \pi -\theta ,n\in \mathbf{Z} \right }$$

$$\left { x\textbar2n \pi -\theta \textless{}x\textless{}\left( 2n+1 \right) \pi +\theta ,n\in \mathbf{Z} \right }$$

$$\left { x\textbar\left( 2n-1 \right) \pi +\theta \textless{}x\textless{}2n \pi -\theta ,n\in \mathbf{Z} \right }$$

$$\left { x\textbar\left( 2n-1 \right) \pi- \theta \textless{}x\textless{}2n \pi +\theta ,n\in \mathbf{Z} \right }$$

竞赛->知识点->三角函数->反三角函数 竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质

∵ $$-1\textless{}a\textless{}0$$，  ∴$$\theta =\arcsin a\in \left( -\frac{ \pi }{2},0 \right)$$．  在区间$$(- \pi , \pi )$$中，  满足方程$$\sin x=a$$的解为：  $$x=- \pi -\arcsin a$$或$$x=\arcsin a$$．  因此，不等式$$\sin x\textless{}a$$的解集为：  $$\left { x\textbar\left( 2n-1 \right) \pi -\theta \textless{}x\textless{}2n \pi +\theta ,n\in \mathbf{Z} \right }$$．  故选$$\text{D}$$．


2009年竞赛珠海市第2题5分

某种放射性元素，$$100$$年后只剩原来质量的一半，现有这种元素$$1$$克，$$3$$年后剩下．

$$\frac{3\times 0.5}{100}$$克

$${{(1-0.5 \%)}^{3}}$$克

竞赛->知识点->多项式与方程->解方程（组）


2006年全国高中数学联赛竞赛一试第11题9分

竞赛->知识点->多项式与方程->解方程（组）

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->多元均值不等式的应用


2014年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分

若关于$$x$$的不等式$$\frac{4x}{a}+\frac{1}{x}\geqslant 4$$在区间$$\left[ 1,  2 \right]$$上恒成立，则实数$$a$$的取值范围是．

$$\left( 0,\frac{4}{3} \right]$$

$$\left( 1,\frac{4}{3} \right]$$

$$\left[ 1,\frac{4}{3} \right]$$

$$\left[ \frac{16}{7},\frac{4}{3} \right]$$

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质 竞赛->知识点->函数->函数的概念

取$$x=1$$，得$$\frac{4}{a}\geqslant 3$$，可知$$0\textless{}a\leqslant \frac{4}{3}$$，$$a$$是正数．这样原不等式变为  $$a\leqslant \frac{4x}{4-\frac{1}{x}}$$，$$\forall x\in \left[ 1,  2 \right]$$．  从而只需求函数$$f\left( x \right)=\frac{4x}{4-\frac{1}{x}}$$在区间$$\left[ 1,  2 \right]$$的最小值．易知$${f}'\left( x \right)=\frac{8x\left( 2x-1 \right)}{{{\left( 4x-1 \right)}^{2}}}$$在$$\left[ 1,  2 \right]$$上恒为正数，即$$f\left( x \right)$$在$$\left[ 1,  2 \right]$$上单调增，故$$f\left( x \right)$$的最小值为$$f\left( 1 \right)=\frac{4}{3}$$．


2011年江西全国高中数学联赛竞赛初赛第7题10分

竞赛->知识点->数论模块->不定方程->同余分析


2020~2021学年河北石家庄新华区石家庄市第二中学高二上学期期中（竞赛班）第8题3分

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->直线和圆的方程->直线与方程->倾斜角和斜率的概念->斜率计算

课内体系->知识点->圆锥曲线->直线与圆锥曲线问题->中点弦问题


$$2012-AMC10A-7$$  In a bag of marbles, $$\frac{3}{5}$$ of the marbles are blue and the rest are red. If the number of red marbles is doubled and the number of blue marbles stays the same, what fraction of the marbles will be red?  在一袋弹珠中，$$\frac{3}{5}$$ 的弹珠是蓝色的，其余的是红色的。 如果红色弹珠的数量翻倍而蓝色弹珠的数量保持不变，那么红色弹珠的比例是多少？（

课内体系->知识点->等式与不等式->等式->方程组的解集

美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Equation Word Problems

Assume that there are $$5$$ total marbles in the bag. The actual number does not matter, since all we care about is the ratios, and the only operation performed on the marbles in the bag is doubling.  There are $$3$$ blue marbles in the bag and $$2$$ red marbles. If you double the amount of red marbles, there will still be $$3$$ blue marbles but now there will be $$4$$ red marbles. Thus, the answer is $$\boxed{\rm(C)\textasciitilde\frac{4}{7}}$$.  Let us say that there are $$x$$ marbles in the bag. Therefore, $$\frac{3x}{5x}$$ are blue, and $$\frac{2x}{5x}$$ are red.~ When the red marbles are doubled, we now have $$\frac{2\times 2x}{5x+2x}= \frac{4x}{7x}= \frac{4}{7}\Rightarrow \boxed{\rm(C)}$$.


2017~2018学年福建漳州东山县福建省东山第二中学高二上学期期中文科第1题5分

2020~2021学年河北石家庄新华区石家庄市第二中学高二上学期期中（竞赛班）第9题3分

2017~2018学年5月江西南昌东湖区南昌市第十中学高一下学期月考文科第3题5分

有下列调查方式：  ①学校为了解高一学生的数学学习情况，从每班抽$$2$$人进行座谈；  ②一次数学竞赛中，某班有$$15$$人在$$100$$分以上，$$35$$人在$$90\sim 100$$分，$$10$$人低于$$90$$分．现在从中抽取$$12$$人座谈了解情况；  ③运动会中工作人员为参加$$400\text{m}$$比赛的$$6$$名同学公平安排跑道．  就这三个调查方式，最合适的抽样方法依次为．

分层抽样，系统抽样，简单随机抽样

系统抽样，系统抽样，简单随机抽样

分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样

系统抽样，分层抽样，简单随机抽样

课内体系->素养->数据分析 课内体系->知识点->统计与概率->统计->随机抽样->系统抽样 课内体系->知识点->统计与概率->统计->随机抽样->分层随机抽样 课内体系->知识点->统计与概率->统计->随机抽样->简单随机抽样

在①中，因为总体已经按班级进行分组，故适合于系统抽样；  在②中，因为总体形成差异明显的三个层次，故适合于分层抽样；  在③中，因为总体单元数较少，故适合于简单随机抽样．  故选：$$\text{D}$$．


2021年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第1题

函数$$y=\sin x$$与$$y={{\log }_{2021}}\textbar x\textbar$$的图象的交点个数是．

竞赛->知识点->函数->函数方程

$$643\pi \textless{}2021\textless{}643.5\pi $$，故绘制两个函数图象可知两侧交点个数均为$$\frac{643-1}{2}\times 2+1=643$$个，  故共有$$1286$$个．  故选$$\text{C}$$．


课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->几何概型->与面积有关的几何概率的计算

美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Probability Calculation->Classical Models of Probabilities

The rectangle has a width of $$4$$ and a height of $$1$$.  The area of this rectangle is $$4\cdot1=4$$.  The line $$x=y$$ intersects the rectangle at $$(0,0)$$ and $$(1,1)$$.  The area which $$x\lt y$$ is the right isosceles triangle with side length $$1$$ that has vertices at $$(0,0)$$, $$(1,1)$$, and $$(0,1)$$.  The area of this triangle is $$\dfrac{1}{2}\cdot1^{2}=\dfrac{1}{2}$$  Therefore, the probability that $$x\lt y$$ is $$\dfrac{\dfrac{1}{2}}{4}=\dfrac{1}{8}$$.


2021~2022学年福建莆田城厢区莆田第一中学高一下学期开学考试（学科素养能力竞赛）第2~2题

已知点$$P(\sin \alpha ,\tan \alpha )$$在第二象限，则角$$\alpha $$的终边在（~~~~~~~）

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数

\hfill\break 【分析】\\ 利用任意角的三角函数的定义，三角函数在各个象限中的负号，求得角α所在的象限．\\ 【详解】\\ 解：∵点\emph{P}（sinα，tanα）在第二象限，\\ ∴sinα＜0，tanα＞0，\\ 若角α顶点为坐标原点，始边为\emph{x}轴的非负半轴，则α的终边落在第三象限，\\ 故选：C．


当$a\textgreater1$时，若不等式$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}\textgreater\frac{7}{12}\left( {{\log }_{a+1}}x-{{\log }_{a}}x+1 \right)$对于不小于2的正整数n恒成立.则x的范围是.

$2\textless{} x\textless{} \frac{29}{17}$

$0\textless{} x\textless{} 1$

$0\textless{} x\textless{} 4$

\hfill\break 【详解】\\ 设$f\left( n \right)=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+n}$.\\ 则$f\left( n+1 \right)=f\left( n \right)+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}=f\left( n \right)+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}\textgreater f\left( n \right)$.\\ 所以，$f\left( n \right)$为增函数，故$f\left( n \right)\ge f\left( 2 \right)$.\\ 又已知不等式恒成立，所以，$\text{ } ! !\textasciitilde ! !\text{ }\left( \text{lo}{{\text{g}}_{a+1}}x-\text{lo}{{\text{g}}_{a}}x+1 \right)\textless{} \frac{7}{12}$，即$\text{lo}{{\text{g}}_{a+1}}x\textless{} \text{lo}{{\text{g}}_{a}}x$.\\ 由于$a\textgreater1$，则$x\textgreater1$，选D.


2008年甘肃全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分

竞赛->知识点->多项式与方程->多项式与复数综合


2012年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第12题9分

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式与恒成立问题

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式的实际应用

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->利用基本不等式求最值

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->同角三角函数的基本关系式的化简和求值

课内体系->素养->数学抽象

课内体系->素养->数学建模

课内体系->思想->转化化归思想

原式$$\Rightarrow \dfrac{y}{4}+\dfrac{9}{y}\geqslant {{\cos }^{2}}x+a\sin x\Rightarrow {{\left( \dfrac{y}{4}+\dfrac{9}{y} \right)}_{\min }}\geqslant {{({{\cos }^{2}}x+a\sin x)}_{\max }}$$  ∵$$\dfrac{y}{4}+\dfrac{9}{y}\geqslant 2\sqrt{\dfrac{y}{4}\cdot \dfrac{9}{y}}=3$$，  ∴$${{\left( \dfrac{y}{4}+\dfrac{9}{y} \right)}_{\min }}=3$$  ∵$${{\cos }^{2}}x+a\sin x=-{{\sin }^{2}}x+a\sin x+1$$，设$$t=\sin x$$，$$t\in [-1,1]$$  ∴$${{y}_{\max }}=\begin{cases}-a,\dfrac{a}{2}\leqslant -1    \dfrac{{{a}^{2}}}{4}+1,-1\textless{}\dfrac{a}{2}\textless{}1    a,\dfrac{a}{2}\geqslant 1    \end{cases}$$  ∴问题转化为$$\begin{cases}\dfrac{a}{2}\leqslant -1    -a\leqslant 3    \end{cases}$$或$$\begin{cases}-1\textless{}\dfrac{a}{2}\textless{}1    \dfrac{{{a}^{2}}}{4}+1\leqslant 3    \end{cases}$$或$$\begin{cases}\dfrac{a}{2}\geqslant 1    a\leqslant 3    \end{cases}\Rightarrow -3\leqslant a\leqslant 3$$．


2015~2016学年湖北武汉武昌区华中师大一附中高二下学期期中理科第7题5分 高一上学期单元测试《导数的应用》竞赛第15题

$$f\left( x \right)$$是定义在$$\left( 0,+\infty \right)$$上的非负可导函数，且满足$$x{f}'\left( x \right)-f\left( x \right)\leqslant 0$$，对任意正数$$a$$、$$b$$，若$$a\textless b$$，则必有（~ ）．

$$af(b)\leqslant bf(a)$$

$$bf(a)\leqslant af(b)$$

$$af(a)\leqslant f(b)$$

$$bf(b)\leqslant f(a)$$

课内体系->方法->构造法

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性->函数单调性的应用->用单调性比较大小

课内体系->知识点->导数->导数的应用->导数与单调性->利用导数求函数的单调性、单调区间

课内体系->素养->数学运算

设$$g(x)=\frac{f(x)}{x}$$，  ∴ $${{g}^{\prime }}(x)=\frac{{{f}^{\prime }}(x)x-f(x)}{{{x}^{2}}}\leqslant 0$$  ∴$$g(x)$$在$$(0,+\infty )$$上单调递减或为常函数，  ∵$$0\textless{}a\textless{}b$$，∴$$g(a)\geqslant g(b)$$，  ∴$$\frac{f(a)}{a}\geqslant \frac{f(b)}{b}\Rightarrow bf(a)\geqslant af(b)$$，  故选$$\text{A}$$．


2011年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第16题5分

已知$$p:\left\textbar{} 1-\frac{x-2}{3} \right\textbar\leqslant 2,  q:{{x}^{2}}-2x+1-{{m}^{2}}\leqslant 0(m\textgreater0)$$，而$$\neg p$$是$$\neg q$$的必要不充分条件，则实数$$m$$的取值范围为~\uline{~~~~~~~~~~}~．

课内体系->知识点->常用逻辑用语->充分条件与必要条件->充要条件与不等式结合

课内体系->知识点->常用逻辑用语->命题->四种命题

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->解不等式->一元二次不等式

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->解不等式->含绝对值的不等式

课内体系->方法->定义法

课内体系->素养->数学运算

$$-2\leqslant 1-\frac{x-2}{3}\leqslant 2$$，解得$$1\leqslant x\leqslant 13$$，所以$$\neg p$$是$$x\textless{}1$$或$$x\textgreater11$$．  $${{\left( x-1 \right)}^{2}}\leqslant {{m}^{2}}$$，解得$$1-m\leqslant x\leqslant 1+m$$，所以$$\neg q$$是$$x\textless{}1-m$$或$$x\textgreater1+m$$．  因为$$\neg p$$是$$\neg q$$的必要不充分条件，且$$x\textless{}1-m\textless{}1$$成立，所以$$1+m\geqslant 11\Rightarrow m\geqslant 10$$．


2008年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

课内体系->知识点->圆锥曲线->抛物线->直线和抛物线的位置关系 竞赛->知识点->解析几何->直线与圆锥曲线


2008年安徽全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分

竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换


在正立方體的各頂點標上數字$$1$$至$$8$$，每個數字只用一次，且使得各個面上四個頂點的數字和都相等．各頂點安排的數字能由旋轉正立方體而得到相同狀況都視爲一樣的安排．試間有多少種不同安排頂點數字的方法？  Each vertex of a cube is to be labeled with an integer $$1$$ through $$8$$, with each integer being used once, in such a way that the sum of the four numbers on the vertices of a face is the same for each face. Arrangenents that can be obtained from each other through rotations of the cube are considered to be the sane. How nany different arrangements are possible?

Note that the sum of the numbers on each face must be $$18$$, because $$\frac {1+2+\cdots +8}2=18$$. So now consider the opposite edges (two edges which are parallel but not on same face of the cube); they must have the same sum value too. Now think about the points $$1$$ and $$8$$. If they are not on the same edge, they must be endpoints of opposite edges}, we should have $$1+x=8+Y$$, but no solution for $$[2,7]$$, contradiction.  The points $$1$$ and $$8$$ are therefore on the same side and all edges parallel must also sum to $$9$$. Now we have $$4$$ parallel sides $$1-8$$, $$2-7$$, $$3-6$$, $$4-5$$. thinking about $$4$$ endpoints number need to have a sum of $$8$$. It is easy to notice only $$1-7-6-4$$ and $$8-2-3-5$$ would work.  So if we fix one direction $$1-8$$ or $$(8-1)$$ all other $$3$$ parallel sides must lay in one particular direction. $$(1-8,7-2,6-3, 4-5)$$ or$$(8-1,2-7,3-6,5-4)$$  Now, the problem is same as the problem to arrange $$4$$ points in a two-dimensional square. which is $$\frac {4!}4=6$$.  Again, all faces sum to $$18$$. If $$x$$, $$y$$, $$z$$ are the vertices next to $$1$$, then the remaining vertices are $$17-x-y$$, $$17-y-x$$, $$17-x-z$$, $$x+y+z-16$$. Now it remains to test possibilities. Note that we must have $$x+y+z\textgreater17$$. Without loss of generality, let $$x\textless y\textless z$$. $$3$$, $$7$$, $$8$$: Does not work. $$4$$, $$6$$, $$8$$： Works $$4$$, $$7$$, $$8$$: Works. $$5$$, $$6$$, $$7$$: Does not work. $$5$$, $$6$$, $$8$$: Does not work. $$5$$, $$7$$, $$8$$: Does not work. $$6$$, $$7$$, $$8$$: Works.  Keeping in mind that a) solutions that can be obtained by rotating each other count as one solution and b) a cyclic sequence is always asymmetrical, we can see that there are two solutions (one with $$[x,y,z]$$ and one with $$[z,y,x]$$) for each combination of $$x$$, $$y$$, and $$z$$ from above. So, our answer is $$3\cdot 2=6$$.  We know the sum of each face is $$18$$. If we look at an edge of the cube whose numbers sum to $$x$$, it must be possible to achieve the sum $$18-x$$ in two distinct ways, looking at the two faces which contain the edge. If $$8$$ and $$6$$ were on the same edge, it is possible to achieve the desired sum only with the numbers $$1$$ and $$3$$ since the values must be distinct. Similarly, if $$8$$ and $$7$$ were on the same edge, the only way to get the sum is with $$1$$ and $$2$$. This means that $$6$$ and $$7$$ are not on the same edge as $$8$$, or in other words they are diagonally across from it on the same face, or on the other end of the cube. Now we look at three cases, each yielding two solutions which are reflections of each other: $$1$$) $$6$$ and $$7$$ are diagonally opposite $$8$$ on the same face. $$2$$) $$6$$ is diagonally across the cube from $$8$$, while $$7$$ is diagonally across from $$8$$ on the same face. $$3$$) $$7$$ is diagonally across the cube from $$8$$, while $$6$$ is diagonally across from $$8$$ on the same face.  This means the answer is $$3\cdot 2=6$$.


2014年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

在$$\triangle ABC$$中，角$$A$$、$$B$$、$$C$$所对的边分别为$$a$$、$$b$$、$$c$$，且$$1+\frac{\tan A}{\tan B}=\frac{2c}{b}$$，则角$$A$$的大小为．

$$\frac{ \pi }{6}$$

$$\frac{ \pi }{4}$$

$$\frac{ \pi }{3}$$

$$\frac{2 \pi }{3}$$

竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形

$$1+\frac{\tan A}{\tan B}=\frac{2c}{b}\Leftrightarrow 1+\frac{\tan A}{\tan B}=\frac{2\sin C}{\sin B}\Leftrightarrow \frac{\sin B\cos A+\sin A\cos B}{\sin B\cos A}=\frac{2\sin C}{\sin B}$$  $$\Leftrightarrow \frac{\sin C}{\sin B\cos A}=\frac{2\sin C}{\sin B}\Leftrightarrow \cos A=\frac{1}{2}$$，故角$$A$$为$$\frac{ \pi }{3}$$.


1985年全国高中数学联赛竞赛一试第3题

已知方程$$\arccos \frac{4}{5}-\arccos \left( -\frac{4}{5} \right)=\arcsin x$$，则（~ ）．

这样的$$x$$不存在

竞赛->知识点->三角函数->反三角函数

∵$$\text{arc}\cos \left( -\frac{4}{5} \right)= \pi -\arccos \frac{4}{5}$$  ∴ 原方程为$$2\arccos \frac{4}{5}-\arcsin x= \pi $$  又∵$$\arccos x$$是减函数，  ∴$$\arccos \frac{4}{5}\textless{}\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{ \pi }{4}$$  又 $$-\arcsin x\mathsf{\leqslant }\frac{ \pi }{2}$$，  ∴$$2\arccos \frac{4}{5}-\arcsin x\textless{} \pi $$  此式表明没有能满足方程的$$x$$．


2014年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分

已知函数$$f\left( x \right)=\left { \begin{matrix}0,  x\textless{}0,   \pi ,  x=0, \x+1,  x\textgreater0\end{matrix} \right }$$则$$f\left { f\left[ f\left( -1 \right) \right] \right }$$的值为．

$$ \pi +1$$

$$ \pi $$

竞赛->知识点->函数->函数的概念

$$f\left { f\left[ f\left( -1 \right) \right] \right }=f\left( f\left( 0 \right) \right)=f\left( ~\pi ~\right)= \pi +1$$．


2013年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

设$$B$$，$$C$$是定点且都不在平面$$\pi $$上，动点$$A$$在平面$$ \pi $$上且$$\sin \angle ABC{=}\frac{1}{2}$$．那么，$$A$$点的轨迹是．

椭圆

抛物线

双曲线

以上皆有可能

竞赛->知识点->解析几何->椭圆 竞赛->知识点->解析几何->轨迹方程（二试） 竞赛->知识点->解析几何->双曲线 竞赛->知识点->解析几何->抛物线

满足$$\sin \angle ABC=\frac{1}{2}$$的$$A$$点轨迹是以$$B$$为锥顶，以$$BC$$为轴线的一个圆锥面（母线与轴线的夹角为$$30{}^{}\circ $$）．现在，$$A$$点还需落在平面$$ \pi $$上，从而其轨迹是圆锥面与平面$$ \pi $$的交线，可能是三种圆锥曲线中的任何一种．


2017~2018学年江西南昌西湖区南昌市第八中学高一上学期期末第10题5分

2018~2019学年江苏盐城高一上学期期末第5题5分

2008年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

2015年北京海淀区高三三模第4题

2017~2018学年北京海淀区中央民族大学附属中学高一下学期期中第7题5分

2018~2019学年广东深圳高一上学期期末高中联考联盟第8题5分

2018~2019学年浙江杭州江干区杭州第四中学下沙校区高二下学期期中第12题4分

若$$\sin \left( \frac{ \pi }{4}-x \right)=\frac{3}{5}$$，则$$\sin 2x$$的值为．

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->两角和与差的正弦->利用正弦和差角公式凑角求值

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->二倍角的正弦

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->同角三角函数的基本关系式->正余弦和差积相互转化求值


2015~2016学年湖北武汉武昌区高二下学期期末理科第10题5分 2014年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

已知圆柱的底面半径为$$r$$，高为$$h$$，体积为$$2$$，表面积为$$24$$，则$$\frac{1}{r}+\frac{1}{h}=$$（~ ）．

课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的体积、表面积->空间几何体的体积

课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的体积、表面积->组合体求体积、表面积问题

课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的体积、表面积->空间几何体的表面积

课内体系->素养->数学运算


2017年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列


我们随机选择了一个介于$1000$和$10,000$之间的回文数，它能被$7$整除的概率是多少？

课内体系->知识点->等式与不等式->等式->方程组的解集

The palindromes can be expressed as: $$1000 x+100 y+10 y+x$$ (since it is a four digit palindrome, it must be of the form $$xyyx$$, where $$x$$ and $$y$$ are integers from $$ [1, 9] $$ and $$[0, 9]$$, respectively.) We simplify this to: $$1001 x+110 y$$. Because the question asks for it to be divisible by $$7$$, We express it as $$1001 x+110 y≡0 (\bmod 7)$$. Because $$1001≡0 (\bmod 7)$$, We can substitute $$1001$$ for $$0$$, We are left with $$110y≡0(\bmod 7)$$. Since $$110≡5(\bmod 7)$$ we can simplfy the $$110$$ in the expression to $$5y≡0(\bmod 7)$$. In order for this to be true, $$y≡0(\bmod 7)$$ must also be true.~ Thus we solve:~ $$y≡0(\bmod 7)$$. Which has two soutions: $$0$$ and $$7$$. There are thus two options for $$y$$ out of the $$10$$, so the answer is $$2/10= (\rm E)\frac{1}{5}$$.


2002年全国全国高中数学联赛竞赛一试第1题8分

$$(-\infty ,-1)$$

$$(-\infty ,1)$$

$$(1,+\infty )$$

$$(3,+\infty )$$

课内体系->素养->数学抽象

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->复合函数

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性->函数单调性的判定->判断复合函数单调性

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性->函数单调性的判定->求单调区间

课内体系->知识点->基本初等函数->对数函数->对数函数的图象及性质

由$${{x}^{2}}-2x-3\textgreater0\Rightarrow x\textless{}-1$$或$$x\textgreater3$$，令$$f\left( x \right)={{\log }_{\frac{1}{2}}}u$$，$$u= {{x}^{2}}-2x-3$$，$$u$$在$$\left( -\infty ,1 \right)$$上单调减，结合$$f\left( x \right)$$的定义域．  故选$$\text{A}$$．


2000年全国高中数学联赛竞赛一试第1题6分

设全集$$U$$是实数，若$$A=\left { x\textbar\sqrt{x-2}\leqslant 0 \right }$$，$$B=\left { x\textbar{{10}^{{{x}^{2}}-2}}={{10}^{x}} \right }$$，则$$A\bigcap\left( \complement_{U}B\right)$$是．

$$ {2 }$$

$$ {-1 }$$

$$\left { x\textbar x\leqslant 2 \right }$$

$$\varnothing $$

课内体系->知识点->集合->集合的概念与表示方法->集合的含义、元素与集合->集合的概念

竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算


2005年全国高中数学联赛竞赛一试第2题6分

只有一个

有二个

有四个

有无穷多个

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间向量


某乡间小路的一侧共有12盏路灯，因行人较少，为节约用电，每晚仅开4盏灯，要求道路两头的路灯都不开，任何两盏开的路灯都不相邻，则不同的开灯方法共有（~~~~~~~）种．

\hfill\break 【分析】\\ 利用组合可求不同的开灯方法.\\ 【详解】\\ 根据题意，不同的开灯方法数共有${\mathrm{C}}_{7}^{4}=35$种．\\ 故选：B.


2015~2016学年2月湖南长沙开福区长沙市第一中学高三下学期月考文科第11题5分

2009年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

已知关于$$x$$、$$y$$的方程组$$\begin{cases}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2{{k}^{2}}   kx-y=2k \end{cases}$$仅有一组实数解，则符合条件的实数$$k$$的个数是．

竞赛->知识点->多项式与方程->解方程（组）


2016年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

在$$\triangle ABC$$中，设内角$$A$$、$$B$$、$$C$$的对边长分别为$$a$$，$$b$$，$$c$$．命题$$p$$：$$B+C=2A$$，且$$b+c=2a$$；命题$$q$$：$$\triangle ABC$$是正三角形，则命题$$p$$是命题$$q$$的（~ ~ ）．

充要条件

充分不必要条件

必要不充分条件

既不是充分条件也不是必要条件

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->常用逻辑用语->充分条件与必要条件

课内体系->知识点->解三角形->正余弦定理的综合应用->正余弦定理综合判断三角形形状

课内体系->知识点->解三角形->正弦定理

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->半角公式

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->二倍角的正弦

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->两角和与差的正弦

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->和差角公式化简求值综合运用


2008年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分

2019~2020学年3月天津南开区天津市南开中学高一下学期周测B卷第12题2分

$$AB$$边中线的中点

$$AB$$边中线的三等分点（非重心）

重心

$$AB$$边的中点

课内体系->素养->数学运算

课内体系->素养->数学建模

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->平面向量的线性运算->平面向量线性运算综合（非坐标）

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->平面向量的线性运算->平面向量的减法运算及运算规则

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->平面向量的线性运算->平面向量与三角形的“心”

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->平面向量的线性运算->平面向量的数乘运算及运算规则


2011年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

竞赛->知识点->函数->函数综合 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质


2013年$$AMC10$$竞赛$$B$$第$$15$$题  A wire is cut into two pieces, one of length $$a$$ and the other of length $$b$$. The piece of length $$a$$ is bent to form an equilateral triangle, and the piece of length $$b$$ is bent to form a regular hexagon. The triangle and the hexagon have equal area. What is $$\frac ab$$?  一根电线被切成两块，一块长度为 $$a$$，另一块长度为 $$b$$。 长度$$a$$ 弯曲形成等边三角形，长度$$b$$ 弯曲形成正六边形。 三角形和六边形的面积相等。 求 $$\frac ab$$？

课内体系->知识点->解三角形->三角形面积公式

美国AMC10/12->Knowledge Point->Geometry->Calculation of Plane Geometry->Regular Polygon

Using the area formulas for an equilateral triangle $$\left(\frac{s^{2}\sqrt{3}}{4}\right)$$ and regular hexagon $$\left(\frac{3s^{2}\sqrt{3}}{2}\right)$$ , with side length $$s$$ and plugging $$\frac a3$$ and $$\frac b6$$ into each equation, we find that $$\frac{a^{2}\sqrt{3}}{36}= \frac{b^{2}\sqrt{3}}{24}$$. Simplifying this, we get $$\frac ab=\boxed{\rm(B)\textasciitilde\frac{\sqrt{6}}{2}}$$.  The regular hexagon can be broken into $$6$$ small equilateral triangles, each of which is similar to the big equilateral triangle. The big triangle\textquotesingle s area is $$6$$ times the area of one of the little triangles. Therefore each side of the big triangle is $$\sqrt{6}$$ times the side of the small triangle. The desired ratio is $$\frac{3 \sqrt{6}}{6}= \frac{\sqrt{6}}{2}\Rightarrow (B)$$.


2005AMC12A, 19  A faulty car odometer proceeds from digit $$3$$ to digit $$5$$, always skipping the digit $$4$$, regardless of position. If the odometer now reads $$002005$$, how many miles has the car actually traveled?  一个有故障的汽车里程表，它会从数字$$3$$ ，越过数字$$4$$，直接跳到数字$$5$$，在每一位上都是如此。 如果里程表现在显示$$002005$$，汽车实际行驶了多少英里？

课内体系->知识点->算法与框图->算法案例->进位制

美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Reasoning->Simple Logical Reasoning


2002年$$AMC10$$竞赛$$A$$第$$19$$题  Spot\textquotesingle s doghouse has a regular hexagonal base that measures one yard on each side. He is tethered to a vertex with a two-yard rope. What is the area, in square yards, of the region outside of the doghouse that Spot can reach?  Spot 的狗窝有一个规则的六边形底座，每边长一码。 他被一根两码长的绳子拴在一个顶点上。 Spot 可以到达的狗窝外区域的面积是多少平方码？

$$\frac {2\pi }3$$

$$2\pi $$

$$\frac {5\pi }2$$

$$\frac {8\pi} 3$$

$$3\pi $$

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角与弧度制->弧长公式与扇形面积

Part of what Spot can reach is $$\frac {240}{360}=\frac 23$$ of a circle with radius $$2$$, which gives him $$\frac {8\pi }3$$. He can also reach two $$\frac {60}{360}$$ parts of a unit circle, which combines to give $$\frac {\pi }3$$. The total area is then $$3\pi $$, which gives $$\rm E$$.  Note   We can clearly see that the area must be more than $$\frac {8\pi }3$$, and the only such answer is $$\rm E$$.


2012年甘肃全国高中数学联赛竞赛初赛第8题10分

竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->均值 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式


2018年湖北全国高中数学联赛竞赛初赛第2题10分

知识标签->思想->转化化归思想

知识标签->思想->函数思想

知识标签->题型->数列->数列的概念->数列的函数特性问题->数列的周期性问题

知识标签->题型->数列->数列的概念-> 数列求通项问题->常见数列的通项公式

知识标签->素养->数学运算

知识标签->素养->逻辑推理

知识标签->知识点->数列->数列的概念->数列的函数特性

知识标签->知识点->数列->数列的概念->递推数列与递推方法

知识标签->知识点->数列->数列的概念->数列的表示方法->通项公式


2014年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分 2010年上海复旦大学自主招生千分考第26题

已知$$C$$是以$$O$$为圆心、$$r$$为半径的圆周，两点$$P$$、$${P}'$$在以$$O$$为起点的射线上，并且满足$$\left\textbar{} OP \right\textbar\cdot \left\textbar{} O{P}' \right\textbar={{r}^{2}}$$，则称$$P$$、$${P}'$$关于圆周$$C$$对称．那么，双曲线$${{x}^{2}}-{{y}^{2}}=1$$上的点$$P\left( x,y \right)$$关于单位圆周$$C$$：$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$$的对称点$${P}'$$所满足的方程为（~ ）．

$${{x}^{2}}-{{y}^{2}}={{x}^{4}}+{{y}^{4}}$$

$${{x}^{2}}-{{y}^{2}}={{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}$$

$${{x}^{2}}-{{y}^{2}}=2\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)$$

$${{x}^{2}}-{{y}^{2}}=2{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}$$

竞赛->知识点->极坐标系与直角坐标系


2012年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分 2011年高考真题湖北卷理科第1题

$$-\text{i}$$

$$\text{i}$$

知识标签->素养->数学运算 知识标签->题型->复数->复数的运算->复数中的周期问题 知识标签->知识点->复数->复数的运算->复数的乘法和除法


2017年山西全国高中数学联赛竞赛初赛第7题8分

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->（模）周期数列


2015年山西全国高中数学联赛竞赛初赛第7题8分

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式 竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->柯西

由柯西不等式，$${{\left( \frac{a}{3} \right)}^{2}}\leqslant \frac{\left( 3x+1 \right)+\left( 3y+1 \right)+\left( 3z+1 \right)}{3}=2$$，所以$$a\leqslant 3\sqrt{2}$$；  另外，当$$0\leqslant x\leqslant 1$$时，$$\sqrt{3x+1}\geqslant \sqrt{{{x}^{2}}+2x+1}=x+1$$，  于是$$a\geqslant \left( x+1 \right)+\left( y+1 \right)+\left( z+1 \right)=4$$．  因此$$\left[ a \right]=4$$．


2017 AMC10B P23  Let $$N=123456789101112\ldots 4344$$ be the $$79$$-digit number that is formed by writing the integers from $$1$$ to $$44$$ in order, one after the other. What is the remainder when $$N$$ is divided by $$45$$?  设$N=123456789101112\ldots 4344$$是$79$位数，由$$1$$至$$44$$的整数依次写成。当$N$除以$$45$$时，余数是多少？

美国AMC10/12->Knowledge Point->Number Theory->Aliquot Theory->Divisibility Rules of Certain Numbers (2/3/5/9/11)

We only need to find the remainders of N when divided by $$5$$and $$9$$ to determine the answer. By inspection，$$N=4$$ (mod$$5$$)，$$The$$ remainder when Nis divided  by $$9$$is$$1+2+3+4+\ldots +1+0+1+1+1+2+\ldots +4+3+4+4$$，but  $$sin c{{e}^{10=1(mod9)}}$$，$$we$$ can also write this  $$a{{s}^{1+2+3+\cdots +10+11+12+\cdots 43+44=\frac{44\cdot 45}{2}=22\cdot 45}}$$，$$which$$ has a remairder of 0 rod$$9$$. Therefoer，$$by$$ inspection，$$the$$ answer is ($$\text{C}$$)$$9$$  Note：$$the$$ sum of the digits or N is$$270$$.  Noting the solution above，$$we$$ try to find the sum of the digits to figure out its remainder when divided by$$9$$. From1thru$$9$$，$$the$$ sum is$$45$$，$$10$$ thru$$19$$，$$the$$ sum is$$55$$，$$20$$ thru$$29$$is$$65$$，and$$30$$thru$$39$$is$$75$$．$$Thus$$ the sum of the digits is$$45+55+65+75+4+5+6+7+8=240+30=270$$，$$and$$ thus N is divisible by$$9$$. Now.refer to the above solution $$^{N=4\left( mod5 \right)}an{{d}^{ N=0\left( mod9 \right)}}$$From this information，$$we$$ can conclude this information, we can conclude that $$^{N\equiv 54 \left( mod 5 \right)}and{{ }^{N\equiv 54\left( mod 9 \right)}}$$.  Therefore $$^{N=54\left( md 45 \right)}an{{d}^{N=9\left( md 45 \right)}}$$ so the remainder is ($$\text{C}$$)$$9$$.  Because a number is equivalent to the sum of its digits modulo$$9$$，$$we$$ have that $$^{N\equiv 1+2+3+4+5+\cdots +44\equiv \frac{44\times 45}{2}\equiv 0(mod9)}$$Furthemore，$$we$$ see that $$N-9$$ends in the digt$$5$$and thus is divisible by$$5$$，$$so$$ $$N-9$$is divisible by$$45$$，$$meaning$$ the remainder is($$\text{C}$$)$$9$$.


2008年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分

$$30{}^{}\circ $$

$$45{}^{}\circ $$

$$60{}^{}\circ $$

$$90{}^{}\circ $$

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的角与距离

可取$$AC$$的中点$$N$$，连接$${{A}_{1}}N$$、$$QN$$，  可得$$\left. \begin{matrix}AB\bot AM    AB//NQ   \end{matrix} \right }\Rightarrow \left. \begin{matrix}AM\bot NQ    AM\bot {{A}_{1}}N   \end{matrix} \right }$$，  所以有$$AM\bot $$面$${{A}_{1}}{{B}_{1}}QN$$，  又$$PQ\subset $$面$${{A}_{1}}{{B}_{1}}QN$$，  可得$$AM\bot PQ$$，故选$$\text{D}$$.


2008年全国高中数学联赛竞赛一试第5题6分

方程组$$\begin{cases}x+y+z=0    xyz+z=0    xy+yz+xz+y=0    \end{cases}$$的有理数解$$(x,y,z)$$的个数为（~ ）．

竞赛->知识点->多项式与方程->解方程（组）


2013年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第10题5分

已知$$f\left( x \right),g\left( x \right)$$，$$h\left( x \right)$$为一次函数，若对实数$$x$$满足  $$\left\textbar{} f\left( x \right) \right\textbar-\left\textbar{} g\left( x \right) \right\textbar+h\left( x \right)=\begin{cases}-1,x\textless{}-1    3x+2,-1{\leqslant }x\textless{}0    -2x+2,x{\geqslant }0 \end{cases}$$．  则$$h\left( x \right)$$的表达式为．

$$h\left( x \right)=x-\frac{1}{2}$$

$$h\left( x \right)=-x-\frac{1}{2}$$

$$h\left( x \right)=-x+\frac{1}{2}$$

$$h\left( x \right)=x+\frac{1}{2}$$

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质


2010年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分

$$\left( 0,\frac{1}{2} \right)$$

$$\left( 0,\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$

$$\left( \frac{1}{2},  1 \right)$$

$$\left( \frac{\sqrt{2}}{2},  1 \right)$$

竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算 竞赛->知识点->解析几何->椭圆


2020~2021学年河北石家庄新华区石家庄市第二中学高二上学期期中（竞赛班）第6题3分

已知命题$$p:x\textgreater1$$，命题$$q:{{x}^{2}}\textgreater x$$，则$$\neg q$$是$$\neg p$$的．

充分不必要条件

必要不充分条件

充要条件

既不充分也不必要条件

课内体系->知识点->常用逻辑用语->充分条件与必要条件->充要条件与不等式结合

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->解不等式->一元二次不等式

课内体系->素养->数学运算

课内体系->素养->逻辑推理

∵$$p:x\textgreater1$$，  命题$$q:{{x}^{2}}\textgreater x$$，得$$x\textless{}0$$或$$x\textgreater1$$，  ∴$$\neg p:x\leqslant 1$$，$$\neg q:0\leqslant x\leqslant 1$$，  根据充分必要条件的定义可判断：  $$\neg q$$是$$\neg p$$的充分不必要条件．  故选：$$\text{A}$$．


阿米莉亞有一枚硬幣有$$ \frac{1}{3} $$概率落在正面，布萊恩有一枚硬幣有$$ \frac{2}{5} $$ 概率落在正面．阿米莉亞和布萊恩交替投擲硬幣，直到有人是正面；第一個是正面的人獲勝．所有拋硬幣的事件都是獨立的．阿米莉亞先拋，她獲勝的概率為$$ \frac{p}{q} $$，其中$$p$$和$$q$$是互質的正整數．$$q−p$$是多少？  Amelia has a coin that lands heads with probability$$ \frac{1}{3} $$ , and Blaine has a coin that lands on heads with probability$$ \frac{2}{5} $$ melia and Blaine alternately toss their coins untill someone gets a head; the first one to get a head wins. All coin tosses are independent. Amelia goes first. The probability that Amelia wins is$$ \frac{p}{q} $$ , where p and q are relatively prime positive integers. What is $$q---p$$?

Let $$P$$ be the probability Amelia wins. Note that $$P=$$ chance she wins on her first turn $$+$$ chance she gets to her turn again$$·P$$, as if she gets to her turn again, she is back where she started with probability of winning $$P$$. The chance she wins on her first turn is $$\dfrac{1}{3}$$. The chance she makes it to her turn again is a combination of her failing to win the first turn$$-\dfrac{2}{3}$$ and Blaine failing to win $$-\dfrac{3}{5}$$. Multiplying gives us $$\dfrac{2}{5}$$. Thus,~ $$P= \dfrac{1}{3}+ \dfrac{2}{5}P$$. Therefore, $$p=\dfrac{9}{5}$$, so the answer is $$9-5=(\rm D)4$$.  Let $$P$$ be the probability Amelia wins. Note that $$P=$$ chance she wins on her frst turn $$+$$ chance she gets to her second turn $$\cdot\dfrac{1}{3}+$$ chance she gets to her third turn $$\cdot\dfrac{1}{3}\ldots$$. This can be represented by an infinite geometric series. $$p=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{6}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{2}{5}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{5}{3}=\dfrac{5}{9}$$. Therefre $$P= \dfrac{5}{9}$$, so the answer is $$9-5=(\rm D)4$$.


2009年高二竞赛广州市第4题6分

竞赛->知识点->数论模块->取整函数->取整函数的定义与性质


2014年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算


2009年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分

充分但不必要条件

必要但不充分条件

充要条件

既不充分也不必要条件

竞赛->知识点->不等式->不等式的证明

一方面，若$$P$$成立，则$$b+c\textgreater a$$，故$$a(b+c)\textgreater{{a}^{2}}$$，即$$ab+ac\textgreater{{a}^{2}}$$．  同理$$ba+bc\textgreater{{b}^{2}},ca+cb\textgreater{{c}^{2}}$$．所以，  $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\textless{}2(ab+bc+ca)$$，  即$$Q$$成立．  另一方面，若$$Q$$成立，取$$b=c=1,a=2$$，这时以$$a$$、$$b$$、$$c$$为长度的线段不能构成三角形的三边，即$$P$$不成立．  综上所述，$$P$$是$$Q$$的充分但不必要条件．


2016年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第7题9分 2016年高考真题天津卷

课内体系->素养->直观想象 课内体系->素养->逻辑推理 课内体系->素养->数学运算 课内体系->知识点->圆锥曲线->圆锥曲线的第二定义->椭圆的第二定义 课内体系->知识点->圆锥曲线->圆锥曲线的第二定义->双曲线的第二定义


2012年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第9题5分

$$\left( 2,  0 \right)$$

$$\left( -2,  0 \right)$$

$$\left( 4,  0 \right)$$

$$\left( -4,  0 \right)$$

竞赛->知识点->解析几何->双曲线

$${{F}_{1}}\left( -6,  0 \right),  {{F}_{2}}\left( 6,  0 \right)\Rightarrow \frac{\left\textbar{} A{{F}_{1}} \right\textbar}{\left\textbar{} A{{F}_{2}} \right\textbar}=2\Rightarrow \frac{\left\textbar{} M{{F}_{1}} \right\textbar}{\left\textbar{} M{{F}_{2}} \right\textbar}=2\Rightarrow M\left( 2,  0 \right)$$．


2014年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

课内体系->素养->数学抽象

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->几何概型->与体积有关的几何概率的计算

当$$P$$在三棱锥的中截面与下底面构成的三棱台内时符合要求，由几何概型知，$$P=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$$．


2012年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

已知平面内三点$$A,  B,  C$$满足$$\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar=3$$，$$\left\textbar{} \overrightarrow{BC} \right\textbar=5$$，$$\left\textbar{} \overrightarrow{CA} \right\textbar=6$$，则$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}$$的值为．

竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形 竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的应用

由余弦定理，知$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=-\frac{{{\left\textbar{} \overrightarrow{BA} \right\textbar}^{2}}+{{\left\textbar{} \overrightarrow{BC} \right\textbar}^{2}}-{{\left\textbar{} \overrightarrow{AC} \right\textbar}^{2}}}{2}$$  同理  $$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}=\frac{{{\left\textbar{} \overrightarrow{CA} \right\textbar}^{2}}+{{\left\textbar{} \overrightarrow{CB} \right\textbar}^{2}}-{{\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar}^{2}}}{2}$$  $$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}=\frac{{{\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar}^{2}}+{{\left\textbar{} \overrightarrow{AC} \right\textbar}^{2}}-{{\left\textbar{} \overrightarrow{BC} \right\textbar}^{2}}}{2}$$  从而得  $$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}$$  $$=-\frac{{{\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar}^{2}}+{{\left\textbar{} \overrightarrow{AC} \right\textbar}^{2}}+{{\left\textbar{} \overrightarrow{BC} \right\textbar}^{2}}}{2}=-35$$．


羅拉把兩個三位正整數相加．若這兩個正整款的六個位數的數字都不相同，且羅拉計算出來之和是一個三位數$$S$$，則$$S$$的所有各位救字之和的最小可能値為何？  Laura added two three---digit positive integers. All six digits in these nunbers are different. Laura\textquotesingle s sun is a three---digit number $$S$$. What is the smallest possible value for the sun of the digits of $$S$$?

Let the two three$$-$$digit numbers she added be $$a$$ and $$b$$ with $$a+b=S$$ and $$a\textless b$$. The hundreds digits of these numbers must be at least $$1$$ and $$2$$, so $$a\geqslant 100$$ and $$b\geqslant 200$$.  Say $$a=100+p$$ and $$b=200+q$$; then we just need $$p+q=100$$ with $$p$$ and $$q$$ having different digits which aren\textquotesingle t $$1$$ or $$2$$. There are many solutions,  but $$p=3$$ and $$q=97$$ give $$103+297=400$$ which proves that $$\left(\text{B}\right) 4$$ is attainable.  For this problem, to find the $$3-$$digit integer with the smallest sum of digits, one should make the units and tens digit add to $$0$$ . To do that, we need to make sure the digits are all distinct. For the units digit, we can have a variety of digits that work. $$7$$ works best for the top number which makes the bottom digit $$3$$. The tens digits need to add to $$9$$ because of the $$1$$ that needs to be carried from the addition of the units digits. We see that $$5$$ and~ $$4$$ work the best as we can\textquotesingle t use $$6$$ and $$3$$. Finally, we use $$2$$ and $$1$$ for our hundreds place digits.  Adding the numbers $$257$$ and $$143$$, we get $$400$$ which means our answer is $$\left(\text{B}\right) 4$$.


2018年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

竞赛->知识点->多项式与方程->多项式与复数综合


羅傑每週從零用錢中支付一張電影票和一杯汽水． 上周，羅傑的零用錢是$$A$$美元． 他的電影票的價格是$$A$$和他的汽水價格差的$$20 \%$$，而他的汽水價格是$$A$$和他的電影票價格差的$$5 \%$$． 按最接近整數的百分比计算，羅傑為他的電影票和汽水支付$$A$$的百分之多少？  Every week Roger pays for a novie ticket and a soda out of his allowance. Last week, Roger\textquotesingle s allowance was $$A$$ dollars. The cost of his movie ticket was $$20$$\% of the difference between $$A$$ and the cost of his soda, while the cost of his soda was $$5$$\% of the difference betreen $$A$$ and the cost of his movie ticket. To the nearest whole percent, what fraction of $$A$$ did Roger pay for his movie ticket and soda?

A patten starts to emerge as the function is continued. The repeating patten is $$0$$, $$1$$, $$1$$, $$2$$, $$0$$, $$2$$, $$2$$, $$1$$ $$\ldots$$. The problem asks for the sum of eight consecutive terms in the sequence.  Because there are eight numbers in the repeating sequence, we just need to find the sum of the numbers in the sequence, which is $$(\rm D) 9$$.


2013年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

已知函数$$f\left( x \right)=2\sin \left( \omega x+\frac{ \pi }{3} \right)+\cos \left( \omega x-\frac{ \pi }{6} \right)\left( \omega \textgreater0 \right)$$的最小正周期为$$ \pi $$，则$$\omega $$的值为．

竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换

$$f\left( x \right)=2\sin \left( \omega x+\frac{ \pi }{3} \right)+\cos \left( \omega x-\frac{ \pi }{6} \right)$$  $$=2\sin \left( \omega x+\frac{ \pi }{3} \right)+\cos \left( \omega x+\frac{ \pi }{3}-\frac{ \pi }{2} \right)$$  $$=2\sin \left( \omega x+\frac{ \pi }{3} \right)+\sin \left( \omega x+\frac{ \pi }{3} \right)=3\sin \left( \omega x+\frac{ \pi }{3} \right).$$  因为$$T=\frac{2 \pi }{\omega }$$，所以$$\frac{2 \pi }{\omega }= \pi $$，即$$\omega =2$$．


2017~2018学年广东湛江高三上学期期中文科第9题5分 2018年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分

函数$$y={{\cos }^{2}}x+\sqrt{3}\sin x\cos x$$在区间$$\left[ -\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4} \right]$$上的值域是．

$$\left[ -\frac{1}{2},1 \right]$$

$$\left[ -\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2} \right]$$

$$\left[ 0,\frac{3}{2} \right]$$

$$\left[ 0,\frac{\sqrt{3}+1}{2} \right]$$

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->倍角、和差角公式综合

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->二倍角的余弦

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->半角公式

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->二倍角的正弦

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->辅助角公式

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦函数的图象和性质

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦型函数的图象与性质


2013年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分

如果曲线$$y=2\sin \frac{x}{2}$$两条互相垂直的切线交于$$P$$点，则$$P$$点的坐标不可能是．

$$\left( ~\pi , \pi ~\right)$$

$$\left( 3 \pi ,- \pi ~\right)$$

$$\left( 5 \pi ,- \pi ~\right)$$

$$\left( 7 \pi ,- \pi ~\right)$$

竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质


2011年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

设$$A$$ ，$$B$$为两个互不相同的集合，命题P：$$x\in A\cap B$$， 命题q：$$x\in A$$或$$x\in B$$，则$$p$$是$$q$$的．

充分且必要条件

充分非必要条件

必要非充分条件

非充分且非必要条件

竞赛->知识点->逻辑->常用逻辑用语 竞赛->知识点->逻辑->逻辑推理

$$p$$是$$q$$的充分非必要条件．


2018年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分

竞赛->知识点->不等式 竞赛->知识点->三角函数


1981年全国高中数学联赛竞赛一试第4题

下面四个图形中，哪一个面积最大？

$$\mathsf{\triangle }ABC:\angle A=60{}^{}\circ ，\angle B=45{}^{}\circ ，AC=\sqrt{2}$$

梯形：两对角线长度分别为$$\sqrt{2}$$和$$\sqrt{3}$$，夹角为$$75°$$

圆：半径为$$1$$

正方形：对角线的长度为$$2.5$$

竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->面积问题

先计算出△$$ABC$$的外接圆半径$$R$$，有  $$R=\frac{AC}{2\sin B}=\frac{\sqrt{2}}{2\sin 45{}^{}\circ }=1$$  现在把$$A$$与$$C$$比较，当然$$C$$的面积大，再由凸四边形面积等于对角线乘积再乘以它们夹角的正弦的一半，可得  B的面积与$$D$$的面积相比较  $$\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{2}\sin 75{}^{}\circ ~~\textless{} ~\frac{1}{2}\cdot 2.5\cdot 2.5\sin 90{}^{}\circ $$．  所以$$C$$大于$$B$$，再比较$$C$$与$$D$$．  C的面积为$$\pi $$．$$D$$的面积为$$\frac{6.25}{2}=3.125$$，$$C$$的面积最大．


2008年江苏全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分

$${{a}_{9}}{{S}_{8}}\textgreater{{a}_{8}}{{S}_{9}}$$

$${{a}_{9}}{{S}_{8}}\textless{}{{a}_{8}}{{S}_{9}}$$

$${{a}_{9}}{{S}_{8}}={{a}_{8}}{{S}_{9}}$$

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列


2008年安徽全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分

四面体的$$6$$个二面角中钝角个数最多为．

竞赛->知识点->平面几何->完全四边形（二试）

假设四边形的四个内角都是钝角，那么这四个内角的和$$\textgreater360{}^{}\circ $$，  与四边形的内角和定理矛盾，  所以四边形的四个内角不能都是钝角，  即钝角个数最多有$$3$$个，故选$$\text{A}$$.


2010年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

$$k=r=\frac{-1\pm \sqrt{3}}{2}$$

$$k=\frac{1\pm \sqrt{3}}{2},  r=\frac{1\pm \sqrt{3}}{2}$$

$$k=r=\frac{1\pm \sqrt{3}}{2}$$

$$k=\frac{-1\pm \sqrt{3}}{2},  r=\frac{-1\pm \sqrt{3}}{2}$$

竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算

$$\left\textbar{} PQ \right\textbar=\left\textbar{} QR \right\textbar=\left\textbar{} PR \right\textbar$$，  即$$\sqrt{{{r}^{2}}+{{(k-1)}^{2}}}=\sqrt{{{(r-1)}^{2}}+{{k}^{2}}}=\sqrt{2}$$,  解得$$r=k=\frac{1\pm \sqrt{3}}{2}$$．


2009年第二十届全国希望杯高二竞赛复赛第5题5分

已知$$a,b,m,n,x,y$$都是正数，且$$a\textless{}b$$，又知$$a,m,b,x$$成等差数列，$$a,n,b,y$$成等比数列，则有．

$$m\textgreater n,x\textgreater y$$

$$m\textgreater n,x\textless{}y$$

$$m\textless{}n,x\textgreater y$$

$$m\textless{}n,x\textless{}y$$

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列


2022年江苏徐州贾汪区江苏省贾汪中学高一竞赛（下学期春季）第3题

当$0\textless{} x\textless{} \frac{\pi }{4}$时,函数$f(x)=\frac{{{\cos }^{2}}x}{\cos x\sin x-{{\sin }^{2}}x}$的最小值是

\hfill\break 【分析】\\ 分子与分母同除以${{\cos }^{2}}x$，得$f(x)=\frac{1}{\tan x-{{\tan }^{2}}x}$利用二次函数求最值即可解答\\ 【详解】\\ 分子与分母同除以${{\cos }^{2}}x$，得$f(x)=\frac{1}{\tan x-{{\tan }^{2}}x}$，$\begin{array}{*{35}{l}}\textless{} br/\textgreater{} \because 0\textless{} x\textless{} \frac{\pi }{4},\therefore 0\textless{} \tan x\textless{} 1,\therefore \tan x-{{\tan }^{2}}x=-{{\left( \tan x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{1}{4}   \textless{} br/\textgreater{} {}   \textless{} br/\textgreater\end{array}$\\ $\therefore \tan x=\frac{1}{2}$时，$\tan x-{{\tan }^{2}}x$的最大值为$\frac{1}{4}$\\ 综上，$f(x)=\frac{{{\cos }^{2}}x}{\cos x\sin x-{{\sin }^{2}}x}$的最小值为4\\ 故选D\\ 【点睛】\\ 本题考查同角三角函数基本关系，考查二次函数求最值，注意公式的合理运用，是基础题


2018~2019学年浙江宁波北仑区浙江省北仑中学高一下学期期中A卷第5题4分 2015年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分

若实数$$a,b$$满足$$\begin{cases}a+b-2\geqslant 0    b-a-1\leqslant 0    a\leqslant 1 \end{cases}$$，则$$\frac{a+2b}{2a+b}$$的最大值为．

竞赛->知识点->不等式->线性规划


2009年第二十届全国希望杯高二竞赛复赛第9题5分

若$$0\textless{}\theta \textless{}2 \pi $$，并且$${{\sin }^{5}}\theta +3\sin \theta \textgreater{{\cos }^{5}}\theta +3\cos \theta $$，则$$\theta $$的取值范围是．

$$\left( \frac{ \pi }{4},\frac{5}{4} \pi ~\right)$$

$$\left( \frac{ \pi }{4},\frac{3}{4} \pi ~\right)$$

$$\left( \frac{ \pi }{2},\frac{5}{4} \pi ~\right)$$

$$\left( \frac{3}{4} \pi, \frac{5}{4} \pi ~\right)$$

竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换

$${{\sin }^{5}}\theta +3\sin \theta -({{\cos }^{5}}\theta +3\cos \theta )$$  $$=(\sin \theta -\cos \theta )({{\sin }^{4}}\theta +{{\sin }^{3}}\theta \cos \theta +{{\sin }^{2}}\theta {{\cos }^{2}}\theta +\sin \theta {{\cos }^{3}}\theta +{{\cos }^{4}}\theta +3)$$  而$${{\sin }^{4}}\theta +{{\sin }^{3}}\theta \cos \theta +{{\sin }^{2}}\theta {{\cos }^{2}}\theta +\sin \theta {{\cos }^{3}}\theta +{{\cos }^{4}}\theta +3$$  $$={{({{\sin }^{2}}\theta +{{\cos }^{2}}\theta )}^{2}}+{{\sin }^{3}}\theta \cos \theta +\sin \theta {{\cos }^{3}}\theta -{{\sin }^{2}}\theta {{\cos }^{2}}\theta +3$$  $$={{\sin }^{3}}\theta \cos \theta +\sin \theta {{\cos }^{3}}\theta -{{\sin }^{2}}\theta {{\cos }^{2}}\theta +4\textgreater0$$，  所以原不等式等价于$$\sin \theta -\cos \theta \textgreater0$$，因此$$\frac{ \pi }{4}\textless{}\theta \textless{}\frac{5}{4} \pi $$．


2021年北京海淀区清华大学竞赛（科学领军人才培养计划）第1题

课内体系->知识点->函数的概念与性质 竞赛->知识点->多项式与方程->因式定理


2017年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题


2010年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

$$\sin x+\cos x$$

$$\sin x\cos x$$

1+$$\sin x\cos x$$

竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换


2019~2020学年辽宁高一上学期期中（辽南协作体）第11题5分 2008年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分

设$$f(x)$$在$$[0,1]$$上有定义，要使函数$$f(x-a)+f(x+a)$$有定义，则$$a$$的取值范围为．

$$\left( -\infty ,-\frac{1}{2} \right)$$

$$\left[ -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right]$$

$$\left( \frac{1}{2},+\infty \right)$$

$$\left( -\infty ,-\frac{1}{2} \right]\cup \left[ \frac{1}{2},+\infty \right)$$

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质 竞赛->知识点->函数->函数的概念

函数$$f(x-a)+f(x+a)$$的定义域为$$[a,1+a]\cap [-a,1-a]$$．  当$$a\geqslant 0$$时，应有$$a\leqslant 1-a$$，即$$a\leqslant \frac{1}{2}$$；  当$$a\leqslant 0$$时，应有$$-a\leqslant 1+a$$，即$$a\geqslant -\frac{1}{2}$$．故选$$\text{B}$$．


2009年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

下列函数中，以$$\frac{\pi }{2}$$为最小正周期的偶函数是．

$$y=\sin 2x+\cos 2x$$

$$y=\sin 2x\cos 2x$$

$$y={{\sin }^{2}}x+\cos 2x$$

$$y={{\sin }^{2}}2x-{{\cos }^{2}}2x$$

在$$\text{A}$$选项中，取$$x=\frac{\pi }{4}$$，则$$y=1$$；取$$x=-\frac{\pi }{4}$$，则$$y=-1$$，从而$$y$$不是偶函数；在$$\text{B}$$选项中，$$y=\frac{1}{2}\sin 4x$$，它不是偶函数；在$$\text{C}$$选项中，$$y=\frac{1+\cos 2x}{2}$$，它的最小正周期为$$\pi $$；在$$\text{D}$$选项中，$$y=-\cos 4x$$，符合条件．


2011年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

甲、乙、丙三人一起玩``剪刀、石头、布''的游戏．每一局甲、乙、丙同时出``剪刀、石头、布''中的一种手势，且是相互独立的．设在一局中甲赢的人数为$$\xi $$，则随机变量$$\xi $$的数学期望$$E\xi $$的值为．

竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步


2013年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

已知直线$$AB$$与抛物线$${{y}^{2}}=4x$$交于$$A$$，$$B$$两点，$$M$$为$$AB$$的中点，$$C$$为抛物线上一个动点，若$${{C}_{0}}$$满足$$\overrightarrow{{{C}_{0}}A}\cdot \overrightarrow{{{C}_{0}}B}=\min \left { \overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB} \right }$$，则下列一定成立的是．

$${{C}_{0}}M\bot AB$$

$${{C}_{0}}M\bot l$$，其中$$l$$是抛物线过$${{C}_{0}}$$的切线

$${{C}_{0}}A\bot {{C}_{0}}B$$

课内体系->知识点->平面向量->平面向量基本定理及其坐标表示->坐标表示平面向量的垂直

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->平面向量数量积的运算律

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->向量的数量积的定义

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->平面向量数量积运算（非坐标）

课内体系->知识点->圆锥曲线->直线与圆锥曲线问题->直线与圆锥曲线的位置关系判断

课内体系->知识点->圆锥曲线->抛物线->直线和抛物线的位置关系

课内体系->素养->直观想象

$$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=(\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{AM})\cdot (\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{BM})$$  $$={{\left\textbar{} \overrightarrow{CM} \right\textbar}^{2}}-\overrightarrow{CM}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM})+\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BM}$$  $$={{\left\textbar{} \overrightarrow{CM} \right\textbar}^{2}}-{{\left\textbar{} \overrightarrow{AM} \right\textbar}^{2}}$$  $$\Rightarrow \min \left { \overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB} \right }$$  $$={{\left\textbar{} \overrightarrow{CM} \right\textbar}^{2}}_{\min }$$  $$\Leftrightarrow CM\text{//}l$$．  故选$$\text{B}$$．


2005年全国高中数学联赛竞赛一试第2题6分

只有一个

有二个

有四个

有无穷多个

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间向量


第二十届全国希望杯高一竞赛复赛邀请赛第8题4分

$$\frac{1}{\sqrt{\text{e}}}\textless{}\sin \sqrt{\text{e}}\textless{}\sqrt{\text{e}}\textless{}\tan \sqrt{\text{e}}$$

$$\sin \sqrt{\text{e}}\textless{}\frac{1}{\sqrt{\text{e}}}\textless{}\sqrt{\text{e}}\textless{}\tan \sqrt{\text{e}}$$

$$\tan \sqrt{\text{e}}\textless{}\frac{1}{\sqrt{\text{e}}}\textless{}\sin \sqrt{\text{e}}\textless{}\sqrt{\text{e}}$$

$$\tan \sqrt{\text{e}}\textless{}\sin \sqrt{\text{e}}\textless{}\frac{1}{\sqrt{\text{e}}}\textless{}\sqrt{\text{e}}$$

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质

首先$$ \pi \textgreater\sqrt{\text{e}}\textgreater\frac{ \pi }{2}\textgreater1$$，$$\tan \sqrt{\text{e}}\textless{}0$$，$$\sin \sqrt{\text{e}}\textgreater\sin \frac{ \pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\textgreater\frac{1}{\sqrt{\text{e}}}$$．


2011年江西全国高中数学联赛竞赛初赛第7题10分

课内体系->知识点->三角函数 竞赛->知识点->数论模块->不定方程->同余分析


$$-\text{i}$$

$$\text{i}$$

课内体系->素养->数学运算 课内体系->知识点->复数->复数的运算->复数的乘法和除法 课内体系->知识点->复数->复数的运算->复数中的周期问题


2010年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第7题6分

已知$$z$$为复数，$$\text{i}$$为虚数单位．若$$\left\textbar{} z \right\textbar=1,\left\textbar{} \overline{z}+\text{i} \right\textbar=1$$，则当$${{(z+\text{i})}^{n}}$$（$$n$$为正整数）为实数时，$${{\left\textbar{} z+\text{i} \right\textbar}^{n}}$$的最小值为．

竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算

设$$z=x+y\text{i}(x,y\in \mathbf{R})$$，  由$$\left\textbar{} z \right\textbar=1,\left\textbar{} \overline{z}+\text{i} \right\textbar=1$$，得$$\begin{cases}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1    {{x}^{2}}+{{(1-y)}^{2}}=1 \end{cases}$$  解得$$\begin{cases}x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}    y=\frac{1}{2} \end{cases}$$所以$$z=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\text{i}$$，  $$z+\text{i}=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}+\frac{3}{2}\text{i}=\sqrt{3}\left( \pm \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i} \right)$$．  $${{\left\textbar{} z+\text{i} \right\textbar}^{n}}={{\left\textbar{} \sqrt{3}\left( \pm \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i} \right) \right\textbar}^{n}}$$  $$={{(\sqrt{3})}^{n}}{{\left\textbar{} \pm \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i} \right\textbar}^{n}}={{(\sqrt{3})}^{n}}.$$  由此可见，当$$n$$取最小值$${{n}_{0}}$$时，$${{\left\textbar{} z+\text{i} \right\textbar}^{n}}$$取最小值$${{(\sqrt{3})}^{{{n}_{0}}}}$$．  当$$z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\text{i}$$时，  $$z+\text{i}=\sqrt{3}\left( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i} \right)=\sqrt{3}\left( \cos \frac{ \pi }{3}+\text{i}\sin \frac{ \pi }{3} \right)$$．  当$$z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\text{i}$$时，  $$z+\text{i=}\sqrt{3}\left( -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i} \right)=\sqrt{3}\left( \cos \frac{2 \pi }{3}+\text{i}\sin \frac{2 \pi }{3} \right)$$．  可见使$${{(z+\text{i})}^{n}}$$为实数时$$n$$的最小值为$$3$$，  此时$${{\left\textbar{} z+\text{i} \right\textbar}^{n}}$$的最小值为$${{(\sqrt{3})}^{3}}=3\sqrt{3}$$．


對於所有的實數定義餘數$$\text{rem}\left(x,y\right)=x-y\left\lfloor {\frac{x}{y}} \right\rfloor$$：，這裡$$\left\lfloor {\frac{x}{y}} \right\rfloor$$ 定義為小於等於$$\frac{x}{y}$$的最大整数．试求$$\text{rem}\left(\frac{3}{8},-\frac{2}{5}\right)$$之値爲何？  The remainder can be defined for all real numbers $$x$$ and $$y$$ with $$y\ne 0$$ by $$\text{rem}\left(x,y\right)=x-y\left\lfloor {\frac{x}{y}} \right\rfloor$$ where $$\left\lfloor {\frac{x}{y}} \right\rfloor$$ denotes the greatest integer less than or equal to $$\frac{x}{y}$$. What is the value of $$\text{rem}\left(\frac{3}{8},-\frac{2}{5}\right)$$?

The value, by definition, is  $$\text {rem}\left(\frac 38,-\frac 25\right)=\frac 38-\left(-\frac 25\right)\left[\frac {\frac 38}{-\frac 25}\right]$$  $$=\frac 38-\left(-\frac 25\right)\left[\frac 38\times \frac {-5}2\right]$$  $$=\frac 38-\left(-\frac 25\right)\left[\frac {-15}{16}\right]$$  $$=\frac 38-\left(-\frac 25\right)(-1)$$  $$=\frac 38-\frac 25$$  $$=-\frac 1{40}$$.  Do note that the denominator of the answer will be a multiple of $$5$$ and $$8(40)$$ and that the answer will also be negative. The only answer choice that satisfies this is $$\rm B$$.


2008年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第10题5分

无数个

竞赛->知识点->解析几何->直线与圆综合


2013年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

$$\text{i}$$

$$-\text{i}$$

竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算


2010年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

竞赛->知识点->解析几何->直线与圆综合 竞赛->知识点->解析几何->圆与方程 竞赛->知识点->解析几何->直线与方程

由数形结合可知，与圆相切且在两坐标轴上截距相等的直线分成两类：一类是过原点满足条件的直线有$$2$$条，另一类是斜率为$$-1$$满足条件的直线也有$$2$$条，所以共$$4$$条．


2013年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分 高二上学期单元测试《代数变形1》自招第9题 1991年全国高中数学联赛竞赛一试第2题

$$\pm \omega $$

$$1,\omega ,{{\omega }^{2}}$$

$$1,\omega ,{{\omega }^{2}}$$

竞赛->知识点->不等式->换元技巧->代数换元


2018年湖北全国高中数学联赛竞赛初赛第3题10分

竞赛->知识点->函数->基本初等函数

由题设，知存在正常数$$c$$，使得$$f(c)=4$$，且对任意的$$x\in (0,+\infty )$$，  均有$$f(x)-2{{\log }_{x}}x=c$$．  当$$x=c$$时，有$$f(c)=2{{\log }_{2}}c+c=4$$，  由单调性，知此方程只有唯一解$$c=2$$．  于是，$$f(x)=2{{\log }_{x}}x+2$$．  由$$f(x)\textless{}6\Rightarrow 2{{\log }_{2}}x+2\textless{}6\Rightarrow 0\textless{}x\textless{}4$$．


2019~2020学年4月山西太原迎泽区太原市第五中学校高二下学期周测C卷理科第6题6分

2012年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

设集合$$A=\left { 1,  2,  3,  4,  5,  6 \right }$$，$$B=\left { 4,  5,  6,  7 ,8\right }$$，则满足$$S\subseteq A$$且$$S\cap B\ne \varnothing $$的集合$$S$$的个数为．

课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->分步乘法计数原理 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算


2016年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分 2016年高考真题天津卷

设函数$$f\left( x \right)$$的定义域是$$\left( -\infty ,+\infty \right)$$，对于下列（$$1$$）$$\sim $$（$$4$$）的四个命题：  （$$1$$）若$$f\left( x \right)$$是奇函数，则$$f\left( f\left( x \right) \right)$$也是奇函数；  （$$2$$）若$$f\left( x \right)$$是周期函数，则$$f\left( f\left( x \right) \right)$$也是周期函数；  （$$3$$）若$$f\left( x \right)$$是单调递减函数，则$$f\left( f\left( x \right) \right)$$是单调递增函数；  （$$4$$）若方程$$f\left( f\left( x \right) \right)=x$$有实根，则方程$$f\left( x \right)=x$$也有实根．  正确的命题共有（~ ）．

课内体系->素养->数据分析

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->函数的应用->函数与方程

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->周期性->函数周期性判断

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->奇偶性->函数奇偶性的判定->利用定义判断函数奇偶性

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性->函数单调性的判定->用定义法证明函数的单调性

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->复合函数

若$$f\left( x \right)$$是奇函数，则$$f\left( f\left( -x \right) \right)=f\left( -f\left( x \right) \right)=-f\left( f\left( x \right) \right)$$，（$$1$$）对；  若$$f\left( x+T \right)=f\left( x \right)$$，则$$f\left( f\left( x+T \right) \right)=f\left( f\left( x \right) \right)$$，（$$2$$）对；  对任意$${{x}_{1}}\textless{}{{x}_{2}}$$，有$$f\left( {{x}_{1}} \right)\textgreater f\left( {{x}_{2}} \right)$$，则$$f\left( f\left( {{x}_{1}} \right) \right)\textless{}f\left( f\left( {{x}_{2}} \right) \right)$$，（$$3$$）对；  取$$f\left( x \right)=\begin{cases}1,x=0    0,x=1    \left\textbar{} x \right\textbar+1,其它    \end{cases}$$，则$$f\left( f\left( x \right) \right)=\begin{cases}0,x=0    1,x=1    \left\textbar{} x \right\textbar+2,其它    \end{cases}$$，（$$4$$）错．  故选$$\text{C}$$．


2018~2019学年北京东城区北京市第二中学高一上学期期中第6题5分

2013年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

2017~2018学年10月北京朝阳区北京陈经纶中学高一上学期月考理科第1题5分

已知集合$$A=\left { x\left\textbar{} {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}\leqslant 1 \right. \right }$$，$$B=\left { x\textbar{{x}^{2}}-6x+8\leqslant 0 \right }$$，则$A\cap\overline{B}$．

$$\left { x\textbar x\leqslant 0 \right }$$

$$\left { x\textbar2\leqslant x\leqslant 4 \right }$$

$$\left { x\textbar0\leqslant x\textless{}2 \right.$$或$$x\textgreater4 }$$

$$ {x\textbar0\textless{}x\leqslant 2$$或$$x\geqslant 4 }$$

课内体系->素养->数学运算 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->解不等式->一元二次不等式 课内体系->知识点->基本初等函数->指数函数->指数方程和指数不等式 课内体系->知识点->集合->集合的基本运算->交集 课内体系->知识点->集合->集合的基本运算->交、并、补集混合运算 课内体系->知识点->集合->集合的基本运算->补集

∵$${{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}\leqslant 1$$，  解出$$x\geqslant 0$$，即$$A=\left { x\textbar x\geqslant 0 \right }$$．  ∵$${{x}^{2}}-6x+8=(x-2)(x-4)\leqslant 0$$，  解出$$2\leqslant x\leqslant 4$$，即$$B=\left { x\textbar2\leqslant x\leqslant 4 \right }$$，  ∴$${{\complement }_{\mathbf{R}}}B= {x\textbar x\textless{}2$$或$$x\textgreater4 }$$，  ∴$$A\cap ({{\complement }_{\mathbf{R}}}B)=\left { x\textbar0\leqslant x\textless{}2 \right.$$或$$x\textgreater4 }$$．  故选$$\text{C}$$．


Factorizing the numerator, $$\dfrac{\dfrac{1}{a}\cdot\left( 2+\dfrac{1}{2}\right)}{a}$$ then becomes $$\dfrac{\dfrac{5}{2}}{a^{2}}$$ which is equal to $$\dfrac{5}{2}\cdot2^{2}$$ which is $$\left(\text{D}\right)10$$.


2008年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

若函数$$f(x)={{\log }_{a}}x(a\textless0$$且$$a\ne 1)$$，满足$$f\left( \frac{2}{a} \right)\textgreater f\left( \frac{3}{a} \right)$$，则$$f\left( 1-\frac{1}{x} \right)\textgreater1$$的解集是．

$$0\textless{}x\textless{}\frac{1}{1-a}$$

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质 竞赛->知识点->函数->基本初等函数

由$$f\left( \frac{2}{a} \right)={{\log }_{a}}\frac{2}{a}\textgreater f\left( \frac{3}{a} \right)={{\log }_{a}}\frac{3}{a}$$，  得$$0\textless{}a\textless{}1$$．  所以，原不等式等价于不等式$$0\textless{}1-\frac{1}{x}\textless{}a$$．  解此不等式得$$1\textless{}x\textless{}\frac{1}{1-a}$$．故选$$\text{D}$$．


2017年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换 竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形


2019年北京高一竞赛初赛（中学生数学竞赛）第1题6分

已知集合$$M= {2,0,1,9 }$$，$$A$$为$$M$$的子集，且$$A$$中各元素之和为$$3$$的倍数．则满足条件的子集$$A$$的个数为．

竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算


1986年全国高中数学联赛竞赛一试第3题

$$(-\infty ,+\infty )$$

$$(-\infty ,1)\cup [9,+\infty ]$$

竞赛->知识点->不等式->不等式的综合应用（数列与不等式） 竞赛->知识点->不等式->不等式的解法


2017年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

竞赛->知识点->数论模块->整除->最大公约数和最小公倍数

由题设，$$100a+10b+c=37\left( a+b+c \right)$$，即$$63a=27b+36c$$，则$$7a=3b+4c$$．  $$3\left( a-b \right)=4\left( c-a \right)$$，则$$3\left\textbar{} c-a4\left\textbar{} a-b \right. \right.$$．  ①$$a-b=4$$，$$c-a=3$$，则$$\left( abc \right)=\left( 407 \right)\left( 518 \right)\left( 629 \right)$$；  ②$$a-b=8c-a=6$$，无解；  ③$$a-b=-4c-a=-3$$，则$$\left( abc \right)=\left( 370 \right)\left( 481 \right)\left( 592 \right)$$；  ④$$a-b=0=c-a$$，则$$\left( abc \right)$$有$$9$$种可能．  综上，三位数的个数共有$$3+3+9=15$$个．


2017年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和


2011年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分 2005年高考真题山东卷文科第7题5分 2005年高考真题山东卷理科第6题5分 2015~2016学年广东广州越秀区广州市执信中学高三上学期期末理科第5题5分

函数$$f(x)=\begin{cases}\sin (\pi{{x}^{2}}),-1\textless{}x\textless{}0    {{\text{e}}^{x-1}},x\geqslant 0 \end{cases}$$若$$f(1)+f(a)=2$$，则$$a$$的所有可能值为（ ）．

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->函数求值问题

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->分段函数


2010年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第10题6分

某人从一层上到二层需跨$$10$$个台阶．他一步可能跨$$1$$个台阶，称为一阶步，也可能跨$$2$$个台阶，称为二阶步，最多能跨$$3$$个台阶，称为三阶步．从一层上到二层他总共跨了$$6$$步，而且任何相邻两步均不同阶，那么他从一层到二层可能的不同过程共有．

竞赛->知识点->逻辑->逻辑推理

按题意要求，不难验证这$$6$$步中不可能没有三阶步，也不可能有多于$$1$$个的三阶步，所以只能是$$1$$个三阶步，$$2$$个二阶步，$$3$$个一阶步．  为形象起见，我们以白、黑、红三种颜色的球来记录从一层到二层跨越$$10$$个台阶的过程：白球表示一阶步，黑球表示二阶步，红球表示三阶步．每一过程可表示为$$3$$个白球，$$2$$个黑球，$$1$$个红球的一个同色球不相邻的排列．  情况1：第$$1$$、第$$6$$球均为白球，则两黑球分别位于中间白球的两侧．此时共有$$4$$个黑白球之间的空位放置红球．所以此种情况共有$$4$$种可能的不同排列．  情况2：第$$1$$球不是白球．  （$$1$$）第$$1$$球为红球，则余下$$5$$球只有一种可能的排列；  （$$2$$）第$$1$$球为黑球，则余下$$5$$球因红、黑球的位置不同有两种不同的排列．  因此此种情况共有$$3$$种不同排列．  情况3：第$$6$$球不是白球，显然这种情况与情况$$2$$对称共有$$3$$种不同排列．  总之，按题意要求从一层到二层共有4+3+3=10（种）可能的不同过程．


2008年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分

连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为$$4$$的球的两条弦$$AB$$、$$CD$$的长度分别等于$$2\sqrt{7}$$和$$4\sqrt{3}$$，$$M$$、$$N$$分别为$$AB$$、$$CD$$的中点，两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：  ①弦$$AB$$、$$CD$$可能相交于点$$M$$；②弦$$AB$$、$$CD$$可能相交于点$$N$$；  ③$$MN$$的最大值为$$5$$；④$$MN$$的最小值为$$1$$．  其中真命题为．

①③④

①②③

①②④

②③④

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的角与距离 竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题

假设$$AB$$、$$CD$$相交于点$$N$$，则$$AB$$、$$CD$$共面，  所以$$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$四点共圆，  而过圆的弦$$CD$$的中点$$N$$的弦$$AB$$的长度显然有$$AB\geqslant CD$$，  所以②是错的．  容易证明，当以$$AB$$为直径的圆面与以$$CD$$为直径的圆面平行且在球心两侧时，  $$MN$$最大为５，故③对．  当以$$AB$$为直径的圆面与以$$CD$$为直径的圆面平行且在球心同侧时，  $$MN$$最小为$$1$$，故④对．  故选$$\text{A}$$．


1998年全国高中数学联赛竞赛一试第6题6分

在正方体的$$8$$个顶点，$$12$$条棱的中点，$$6$$个面的中心及正方体的中心共$$27$$个点中，共线的三点组的个数是（~ ~ ）．

竞赛->知识点->排列组合与概率->两个基本计数原理

$$8$$个顶点中无$$3$$点共线，故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心．  （$$1$$）体中心为中点：$$4$$对顶点，$$6$$对棱中点，$$3$$对面中心；共$$13$$组；  （$$2$$）面中心为中点：$$4\times 6=24$$组；  （$$3$$）棱中点为中点：$$12$$个．  共$$13+24+12=49$$个．  故选$$\text{B}$$．


2015年甘肃全国高中数学联赛竞赛初赛第4题7分

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->（模）周期数列 课内体系->知识点->数列->数列的概念->递推数列与递推方法


2020~2021学年河北石家庄新华区石家庄市第二中学高二上学期期中（竞赛班）第12题3分

已知$$A$$，$$B$$是抛物线$${{y}^{2}}=8x$$上的两个动点且$$\textbar AB\textbar=16$$，则线段$$AB$$中点$$M$$到直线$$x=-3$$距离的最小值是．

课内体系->知识点->圆锥曲线->抛物线->抛物线的定义、标准方程->抛物线的标准方程

课内体系->知识点->圆锥曲线->抛物线->抛物线的定义、标准方程->抛物线中其他最值问题

课内体系->素养->数学运算


2022年浙江宁波竞赛第1题

\hfill\break 【分析】\\ 利用向量的线性运算和垂直向量的数量积为0可求题设中向量的模.\\ 【详解】\\ $\left\textbar{} \overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\left\textbar{} = \right\textbar2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC} \right\textbar=\sqrt{4{{\overrightarrow{AB}}^{2}}+9{{\overrightarrow{BC}}^{2}}}=\sqrt{13}$，\\ 故选：D．


2020~2021学年河北石家庄新华区石家庄市第二中学高二上学期期中（竞赛班）第5题3分

从一箱产品中随机地抽取一件，设事件$$A=$$``抽到一等品''，事件$$B=$$``抽到二等品''，事件$$C=$$``抽到三等品''，且已知$$P\left( A \right)=0.65$$，$$P\left( B \right)=0.2$$， $$P\left( C \right)=0.1$$，则事件``抽到的不是一等品''的概率为 ．

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->互斥事件->对立事件的概率和为1

课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->互斥事件->互斥事件与对立事件

课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->概率的概念->概率的基本性质

由题意知本题是求一个对立事件的概率，因为抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，$$P\left( A \right)=0.65$$，所以抽到的不是一等品的概率是$$1-0.65=0.35$$．  故答案为：$$\text{B}$$．


1988年全国高中数学联赛竞赛一试第1题

设有三个函数，第一个是$$y=\varphi \left( x \right)$$，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于直线$$x+y=0$$对称．那么第三个函数是．

$$y=-\varphi \left( x \right)$$

$$y=-\varphi \left( -x \right)$$

$$y=-{{\varphi }^{-1}}\left( x \right)$$

$$y=-{{\varphi }^{-1}}\left( -x \right)$$

竞赛->知识点->函数->函数的概念 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质

第一个函数的图象与第二个函数的图象关于$$x-y=0$$对称，第二个函数的图象与第三个函数的图象关于$$x+y=0$$对称，所以第一个函数的图象与第三个函数的图象关于原点对称．


2016年湖南郴州高三三模理科第2题5分 2013年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分 2016年湖南郴州高三三模文科第3题5分

命题``所有实数的平方都是正数''的否定为（~ ）．

所有实数的平方都不是正数

有的实数的平方是正数

至少有一个实数的平方是正数

至少有一个实数的平方不是正数

课内体系->素养->逻辑推理 课内体系->知识点->常用逻辑用语->命题->逻辑联结词 课内体系->知识点->常用逻辑用语->命题->全称量词命题与存在量词命题的否定

∵``全称命题''的否定一定是``存在性命题''，  ∴命题``所有实数的平方都是正数''的否定是：``至少有一个实数的平方不是正数''．  故选：$$\text{D}$$．


1996年全国高中数学联赛竞赛一试第5题

$$4+\frac{11}{2}\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$$

$$4-\frac{5}{2}\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$$

$$1-\frac{1}{2}\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$$

以上答案都对

竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->均值 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质 竞赛->知识点->函数->函数的概念


2012年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

函数$$y={{\text{e}}^{x}}$$的图象与直线$$x=0$$、直线$$y=\text{e}$$所围成的区域面积是．

$$\text{e}$$

竞赛->知识点->导数模块->积分


2012年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分 2009年上海复旦大学自主招生千分考第23题 高三上学期单元测试《复数》自招第3题

设实数$$r\textgreater1$$，如果复平面上的动点$$z$$满足$$\textbar z\textbar=r$$，则动点$$\omega =z+\frac{1}{z}$$的轨迹是（~ ）．

焦距为$$4$$的椭圆

焦距为$$2$$的椭圆

竞赛->知识点->解析几何->曲线与方程 竞赛->知识点->复数与平面向量->模、辐角与单位根 竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的应用

令$$z=r\left( \cos \theta +\text{i}\sin \theta \right)$$，则  $$\omega =r\left( \cos \theta +\text{i}\sin \theta \right)+\frac{1}{r}\left( \cos \theta -\text{i}\sin \theta \right)=\left( r+\frac{1}{r} \right)\cos \theta +\text{i}\cdot \left( r-\frac{1}{r} \right)\sin \theta $$，  设$$\omega =x+y\text{i}$$，则$$\frac{{{x}^{2}}}{{{\left( r+\frac{1}{r} \right)}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{\left( r-\frac{1}{r} \right)}^{2}}}=1$$，  这是一个椭圆．$${{c}^{2}}={{\left( r+\frac{1}{r} \right)}^{2}}-{{\left( r-\frac{1}{r} \right)}^{2}}=4$$，焦距为$$4$$．


2008年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第9题5分

顶点在同一球面上的正四棱柱$$ABCD-{A}'{B}'{C}'{D}'$$中，$$AB=1$$，$$A{A}'=\sqrt{2}$$，则$$A$$，$$C$$两点间的球面距离为．

$$\frac{\pi }{4}$$

$$\frac{\pi }{2}$$

$$\frac{\sqrt{2}}{4}\pi $$

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\pi $$

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题

设球心为$$O$$，则$$O$$为正四棱柱对角线的交点，  因为$$AC=\sqrt{2}$$，$$A{C}'=2$$，  故$$OA=OC=1$$，$$\triangle OAC$$为直角三角形，  $$\angle AOC=\frac{ \pi }{2}$$，故选$$\text{B}$$.