2011年竞赛第1题3分

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->整式乘除的综合 课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值 课内体系->方法->代入法 课内体系->能力->运算能力


2012年第23届全国希望杯初一竞赛初赛第1题4分

知识标签->知识点->数->有理数->有理数的运算->有理数的混合运算 知识标签->题型->数->有理数->有理数基础运算->题型：有理数四则综合运算


2016年第33届全国全国初中数学联赛竞赛B卷第3题7分

已知二次函数$$y=a{{x}^{2}}+bx+1$$（$$a\ne 0$$）的图象的顶点在第二象限，且过点$$(1,0)$$．当$$a-b$$为整数时，$$ab=$$（~ ）．

知识标签->知识点->函数->二次函数->二次函数的图象及性质->二次函数的图象和系数的关系

知识标签->题型->函数->二次函数->二次函数图象与性质->图象与系数的关系


2000年第11届希望杯初二竞赛第2试第2题

一个三角形的三边长分别是$$a$$，$$b$$，$$c$$（$$a$$，$$b$$，$$c$$都是质数），且$$a+b+c=16$$，则这个三角形是（ ~ ~）．

直角三角形

等腰三角形

等边三角形

直角三角形或等腰三角形

课内体系->能力->推理论证能力

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的三边关系

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->与三边关系有关的证明

因为$$a$$，$$b$$，$$c$$均为质数且$$a+b+c=16$$，所以$$a$$，$$b$$，$$c$$中有一数为$$2$$，设$$a=2$$，则$$b+c=14$$，  所以$$\textbar b-c\textbar\textless{}2$$．从而有$$\textbar b-c\textbar=0$$或$$\textbar b-c\textbar=1$$．当$$\textbar b-c\textbar=1$$时，$$b$$，$$c$$均不是整数，不合题意．因  此，只有$$\textbar b-c\textbar=0$$，即$$a=2$$，$$b=c=7$$，所以三角形是等腰三角形．


2014~2015学年北京海淀区科迪实验中学初一下学期期中第10题

2020~2021学年四川内江市中区内江市第六初级中学校初二上学期期中第12题3分

2019~2020学年天津和平区天津市益中学校初一下学期期中第16题2分

2009年竞赛第1题7分

已知非零实数$$a$$、$$b$$满足$$\left\textbar{} 2a-4 \right\textbar+\left\textbar{} b+2 \right\textbar+\sqrt{\left( a-3 \right){{b}^{2}}}+4=2a$$，则$$a+b$$等于（~ ） ．

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的基础->二次根式的性质

由条件得$$a\geqslant 3$$，原等式为$$\left\textbar{} b+2 \right\textbar+\sqrt{\left( a-3 \right){{b}^{2}}}=0$$，$$a+b=1$$．


2017年湖南长沙天心区初二竞赛长郡教育集团抵达杯第3题5分

2004年第21届全国初中数学联赛竞赛第1题

2018~2019学年湖北襄阳市樊城区襄阳市第五中学初三上学期期末（培优班）第7题

课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算

方法一：$$\frac{{{a}^{2}}}{bc}+\frac{{{b}^{2}}}{ca}+\frac{{{c}^{2}}}{ab}$$  $$=\frac{{{\left( b+c \right)}^{2}}}{bc}+\frac{{{\left( a+c \right)}^{2}}}{ac}+\frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{ab}$$  $$=\frac{b}{c}+2+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+2+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+2+\frac{b}{a}$$  $$=\frac{a+b}{c}+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}+6$$  $$=\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}-1-1-1+6$$  $$=3$$．  方法二：把$$a=-\left( b+c \right)$$，$$b=-\left( a+c \right)$$，$$c=-\left( a+b \right)$$代入，  原式$$=\frac{-\left( b+c \right)\cdot a}{ab}+\frac{-\left( a+c \right)\cdot b}{ac}+\frac{-\left( a+b \right)\cdot c}{ab}$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=-\left( \frac{ba+ca}{bc} \right)-\left( \frac{ab+cb}{ac} \right)-\left( \frac{ac+bc}{ab} \right)$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=-\left( \frac{a}{b}+\frac{a}{c} \right)-\left( \frac{b}{a}+\frac{b}{c} \right)-\left( \frac{c}{a}+\frac{c}{b} \right)$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=\frac{-\left( b+c \right)}{a}+\frac{-\left( a+c \right)}{b}+\frac{-\left( a+b \right)}{c}$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}+\frac{c}{c}$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=3$$，  方法三：$$\frac{{{a}^{2}}}{bc}+\frac{{{b}^{2}}}{ca}+\frac{{{c}^{2}}}{ab}$$  $$=\frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}}{abc}$$  $$=\frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc+3abc}{abc}$$  $$=\frac{\left( a+b+c \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca \right)+3abc}{abc}$$  $$=\frac{3abc}{abc}$$  $$=3$$．


2011年竞赛第4题4分

竞赛->知识点->三角形->三角形基础


2011年第22届全国希望杯初一竞赛复赛第1题4分

有理数$$a$$，$$b$$满足$$20a+11\left\textbar{} b \right\textbar=0$$（$$b\textgreater0$$），则$$\frac{a}{{{b}^{2}}}$$是（~ ）．

正数

负数

非正数

非负数

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->已知范围化简绝对值 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性

由$$20a+11\left\textbar{} b \right\textbar=0$$（$$b\textgreater0$$），  得$$a=-\frac{11}{20}\left\textbar{} b \right\textbar\textless{}0$$，  所以$$\frac{a}{{{b}^{2}}}\textless{}0$$，为负数．


2016年第33届全国全国初中数学联赛竞赛A卷第3题7分 2016年上海浦东新区进才中学自主招生第8题10分

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->式->因式分解->公式法->利用立方和与立方差公式因式分解

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义

课内体系->知识点->综合与实践->新定义->新定义综合其它


2013年第24届全国希望杯初一竞赛初赛第9题4分 初一单元测试《列方程解应用题-有趣的行程问题》第21题

$$A$$，$$B$$两地相距$$60$$千米，甲、乙两人驾车（匀速）从$$A$$驶向$$B$$，甲的时速为$$120$$千米，乙的时速为$$90$$千米，如果乙比甲早出发$$6$$分钟，则当甲追上乙以后，乙再经过（~ ）分钟可以到达$$B$$．

课内体系->能力->运算能力

课内体系->能力->分析和解决问题能力

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的行程问题->一元一次方程的行程问题-追及问题

由题意可知，甲每分钟行驶$$2$$千米，乙每分钟行驶$$1.5$$千米．  设甲$$t$$分钟追上乙，则$$2t=1.5(6+t)$$，  解得$$t=18$$．  这时乙离$$B$$地还有$$60-1.5\times \left( 18+6 \right)=24$$（千米），  所以，乙还要走$$24\div 1.5=16$$（分钟）．  答：当甲追上乙以后，乙再经过$$16$$分钟可以到达$$B$$．


1993年第4届全国希望杯初一竞赛初赛第4题

若$$n$$是正整数，并且有理数$$a$$，$$b$$满足$$a+\frac{1}{b}=0$$，则必有（~ ）．

$${{a}^{2n+1}}+{(\frac{1}{b})^{2n+1}}=0$$

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义 课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->整式乘除的综合 课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值


1987年全美数学竞赛（AMC）竞赛

美国AMC8->Knowledge Point->Counting, Probability and Statistics->Classical Probability

课内体系->知识点->统计与概率

瓶子里有$$10$$个标号为$$1$$到$$10$$的小球． Jack 把手伸进去，然后随机拿走了一个小球．然后 Jill 也把手伸进去随机拿走了一个不同的小球．那有多大概率小球上两个数字的和为偶数？  为了使两个数的和为偶数，它们必须具有相同的奇偶性．有五个偶数和五个奇数．  不管杰克选择什么，具有相同奇偶性的数字的数目是$$4$$．一共有九个数字，所以吉尔选择一个与杰克的相同的奇偶性的数字的概率是$$\frac{4}{9}$$．  故选$$\text{A}$$．  我们发现，只有当所加的数都是偶数或奇数时，和才可能是偶数．当我们加一个偶数和一个奇数时，我们会得到一个奇数．我们可以使用互补计数来帮助解决这个问题．因为杰克可以选择$$10$$个数字，吉尔可以选择$$9$$个，所以总共有$$90$$种可能性．  两个数字不同的情况有$$50$$种，因为杰克可以选择$$10$$个数字中的任何一个，吉尔必须从集合中的$$5$$个数字中选择与杰克选择的具有不同奇偶性的数字．所以和为奇数的概率是$$\frac{5}{9}$$，$$1$$减去这个数，得到答案$$\frac{4}{9}$$．  故选$$\text{A}$$．  For the sum of the two numbers removed to be even, they must be of the same \uline{parity}. There are five even values and five \uline{odd} values.  No matter what Jack chooses, the number of numbers with the same parity is four. There are nine numbers total, so the probability Jill chooses a number with the same parity as Jack\textquotesingle s is $$\frac{4}{9}$$.  We find that it is only possible for the sum to be even if the numbers added are both even or odd. We will get an odd number when we add an even and an odd. We can use \uline{complementary counting} to help solve the problem. There are a total of $$90$$ possibilities since Jack can chose $$10$$ numbers and Jill can pick $$9$$. There are $$50$$ possibilities for the two numbers to be different since Jack can pick any of the $$10$$ numbers and Jill has to pick from $$5$$ numbers in the set with a different \uline{parity} than the one that Jack picks. So the probability that the sum will be odd is $$\frac{50}{90}=\frac{5}{9}$$. Subtracting this by one gets the answer $$\frac{4}{9}$$.


2014年第31届全国全国初中数学联赛竞赛第2题7分

已知非负实数$$x$$，$$y$$，$$z$$满足$$x+y+z=1$$，则$$t=2xy+yz+2zx$$的最大值为（~ ）．

竞赛->知识点->数与式->因式分解->因式分解：添项、拆项


1996年第7届全国希望杯初一竞赛初赛第9题

如果$$a\textgreater b$$，且$$c\textless{}0$$，那么在下面不等式中：  ①$$a+c\textgreater b+c$$；②$$ac\textgreater bc$$；③$$-\frac{a}{c}\textgreater-\frac{b}{c}$$．成立的个数是．

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->判断不等式的变形是否正确

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质

已知$$a\textgreater b$$，$$c\textless{}0$$，由不等式的基本性质，得  $$a+c\textgreater b+c$$，成立，$$ac\textgreater bc$$不成立，$$-\frac{a}{c}\textgreater-\frac{b}{c}$$成立，$$a{{c}^{2}}\textless{}b{{c}^{2}}$$不成立．  所以只有①③成立，选$$\text{B}$$．


2009年第20届希望杯初二竞赛第2试第7题4分

知识标签->学习能力->运算能力

知识标签->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的三边关系

知识标签->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->平方差公式

知识标签->知识点->式->因式分解->因式分解：提公因式法

知识标签->题型->式->整式的乘除->乘法公式->题型：利用平方差公式计算

知识标签->题型->式->因式分解->提公因式法与公式法->题型：提公因式法

知识标签->题型->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->题型：与三边关系有关的证明

知识标签->方法->作差法


2018年第29届希望杯初一竞赛初赛第9题4分

在黑板上按下面的方案写数：在第一行写数$$1$$；在第二行写两个数$$2$$和$$3$$；在第三行写三个数$$3$$，$$4$$和$$5$$；以此类推（在第$$n$$行写由$$n$$开始的$$n$$个连续的自然数），一直写完$$2000$$行，这时在黑板上共出现$$2018$$次．

课内体系->能力->推理论证能力

课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->规律探究->数列找规律->数列找规律-其他数列规律


2002年第13届希望杯初二竞赛第2试第3题 初一上学期单元测试《几何图形初步》角第16题

上午九点钟的时候，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角的时间是（~ ）．

课内体系->能力->推理论证能力

课内体系->能力->运算能力

课内体系->能力->分析和解决问题能力

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的钟表问题


2013年山东青岛黄岛区山东省青岛第九中学自主招生 2012年竞赛第2题4分

如果正比例函数$$y=ax\left( a\ne 0 \right)$$与反比例函数$$y=\frac{b}{x}(b\ne 0)$$的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为$$(-3,-2)$$，那么另一个交点的坐标为．

$$\left( 2,3 \right)$$

$$\left( 3,-2 \right)$$

$$\left( -2,3 \right)$$

$$\left( 3,2 \right)$$

竞赛->知识点->函数->反比例函数->反比例函数与一次函数综合

由题设知，$$-2=a\cdot (-3)$$，$$(-3)\cdot (-2)=b$$，  所以$$a=\frac{2}{3}$$，$$b=6$$，  解方程组$$\begin{cases}y=\dfrac{2}{3}x    y=\dfrac{6}{x}   \end{cases}$$， 得$$\begin{cases}x=-3    y=-2   \end{cases}$$， 或$$\begin{cases}x=3    y=2   \end{cases}$$，  所以另一个交点的坐标为$$(3,2)$$．


2014年第25届全国希望杯初二竞赛初赛第3题4分

已知$$x=\sqrt{5}$$，$$y$$是不大于$$x$$的最大整数，则$$\frac{1}{x-y}$$的值是（~ ）．

课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数大小的比较 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算


2014年第25届全国希望杯初一竞赛初赛第6题4分

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->其它不等式->高次不等式

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->解一元一次不等式组

原不等式可化为$$\left { \begin{matrix}x-7\textgreater0    x+2\textless{}0   \end{matrix} \right.$$或$$\left { \begin{matrix}x-7\textless{}0    x+2\textgreater0   \end{matrix} \right.$$，  解$$\left { \begin{matrix}x-7\textgreater0    x+2\textless{}0   \end{matrix} \right.$$得$$x\textgreater7$$或$$x\textless{}-2$$，不成立，舍去；  解$$\left { \begin{matrix}x-7\textless{}0    x+2\textgreater0   \end{matrix} \right.$$得$$-2\textless{}x\textless{}7$$，  ∴$$x$$的整数值有$$-1$$，$$0$$，$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$，共$$8$$个．


2015年第26届全国希望杯初二竞赛初赛第2题

若一次函数$$y=x+5$$的图象经过点$$P(a,b)$$和点$$Q(c,d)$$，则$$ad+bc-ac-bd$$的值是（~ ）．

课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数与方程、不等式->一次函数与二元一次方程组


1992年第3届全国希望杯初一竞赛复赛第3题

若$$a\textgreater0$$，$$b\textless{}0$$且$$a\textless{}\left\textbar{} b \right\textbar$$，则下列关系式中正确的是（~ ）．

$$b\textgreater a\textgreater-b\textgreater-a$$

$$-b\textgreater a\textgreater b\textgreater-a$$

$$a\textgreater b\textgreater-a\textgreater-b$$

课内体系->知识点->数->有理数->数轴 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->已知范围化简绝对值

已知$$a\textgreater0$$，$$b\textless{}0$$且$$a\textless{}\left\textbar{} b \right\textbar$$．  在数轴上直观表示出来，$$b$$到原点的距离大于$$a$$到原点的距离，  所以$$-b\textgreater a\textgreater-a\textgreater b$$，选$$\text{A}$$．


初三上学期其它 2005年第22届全国初中数学联赛竞赛初赛第2题7分

$$3\times {{2}^{2005}}$$

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算

课内体系->能力->运算能力


1995年第12届全国初中数学联赛竞赛第3题

如果方程$$\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)=0$$的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数$$m$$的取值范围是．

$$0\leqslant m\leqslant 1$$

$$m\geqslant \frac{3}{4}$$

$$\frac{3}{4}\textless{}m\leqslant 1$$

$$\frac{3}{4}\leqslant m\leqslant 1$$

竞赛->知识点->三角形->三角形基础

竞赛->知识点->方程与不等式->二次方程->一元二次方程的根与系数的关系

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->一元二次方程根与系数的关系

显然，方程的一个根为$$1$$，另两根之和为$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\textgreater1$$，三根能作为一个三角形的三边，须且只须$$\left\textbar{} {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right\textbar\textless{}1$$，  又$$\left\textbar{} {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right\textbar=\frac{\sqrt{\Delta }}{\left\textbar{} a \right\textbar}=\sqrt{4-4m}\textless{}1$$，  有$$0\leqslant 4-4m\textless{}1$$，  解得$$\frac{3}{4}\textless{}m\leqslant 1$$，  但作为选择题，只须取$$m=\frac{3}{4}$$代入，得方程的根为$$1$$、$$\frac{3}{2}$$、$$\frac{1}{2}$$，不能组成三角形，故包括$$\frac{3}{4}$$的$$\text{A}$$、$$\text{B}$$、$$\text{D}$$均可否定，选$$\text{C}$$．


2006年第17届希望杯初一竞赛复赛第1题4分

$$a$$和$$b$$是满足$$ab\ne 0$$的有理数，现有四个命题：  ①$$\frac{a-2}{{{b}^{2}}+4}$$的相反数是$$\frac{2-a}{{{b}^{2}}+4}$$；  ②$$a-b$$的相反数是$$a$$的相反数与$$b$$的相反数的差；  ③$$ab$$的相反数是$$a$$的相反数和$$b$$的相反数的乘积；  ④$$ab$$的倒数是$$a$$的倒数和$$b$$的倒数的乘积．  其中真命题有．

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->数->有理数->相反数 课内体系->知识点->数->有理数->倒数与负倒数

因为$$-\frac{a-2}{{{b}^{2}}+4}=\frac{2-a}{{{b}^{2}}+4}$$，  所以命题①是真命题；  因为$$a-b$$的相反数为$$-(a-b)=-a-(-b)$$，  所以命题②是真命题；  因为$$ab$$的相反数为$$-ab$$，$$(-a)(-b)=ab$$，又$$ab\ne 0$$，  所以$$-ab\ne ab$$，因此，③不是真命题；  因为$$ab\ne 0$$，  所以$$ab$$的倒数为$$\frac{1}{ab}=\frac{1}{a}\cdot \frac{1}{b}$$，因此，④是真命题．  故选($$\text{C}$$)．


2001年第12届希望杯初二竞赛第2试第10题

小张上周工作$$a$$小时，每小时的工资为$$b$$元，本周他的工作时间比上周减少$$10 \%$$，而每小时的工资数额增加$$10 \%$$，则他本周的工资总额与上周的工资总额相比．

增加$$1 \%$$

减少$$1 \%$$

增加$$1.5 \%$$

减少$$1.5 \%$$

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->整式乘除的综合 课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->整式乘除与实际问题 课内体系->能力->运算能力

小张上周的工资总额为$$ab$$元，他本周的工作时间为$$a(1-10 \%)$$小时，每小时工资金额为$$b(1+10 \%)$$．  所以$$a(1-10 \%)\cdot b(1+10 \%)=0.99ab$$．  所以本周与上周工资相比，减少$$1 \%$$．  故选$$\text{B}$$．


1996年第7届全国希望杯初一竞赛复赛第2题

如果$$\frac{a}{b}=0$$，那么有理数$$a$$，$$b$$（~ ）．

都是零

互为相反数

互为倒数

不都是零

课内体系->知识点->式->分式->分式的基础->分式有意义的条件 课内体系->知识点->式->分式->分式的基础->分式值为0


1996年第7届希望杯初二竞赛第6题4分

锐角三角形

直角三角形

钝角三角形

锐角三角形或直角三角形

竞赛->知识点->三角形->特殊三角形->直角三角形


2002年第13届希望杯初二竞赛第2试第1题

都是有理数

一个是有理数，另一个是无理数

都是无理数

是有理数还是无理数不能确定

课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->两个数运算后判断是否为无理数


2016年第27届全国希望杯初一竞赛复赛第9题4分

三个内角的度数都是质数的三角形的种数（三个内角的度数对应相等的两个三角形视为一种）是（~ ~ ~ ）．

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形内角和的应用


2015年第26届全国希望杯初一竞赛初赛第6题

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算->整式加减 课内体系->方法->配方法


2009年第20届希望杯初一竞赛第1试第4题4分

知识标签->题型->式->整式加减->整式加减化简求值->题型：整式加减条件化简求值

知识标签->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算

知识标签->学习能力->运算能力


2017年湖南长沙天心区湘郡培粹实验中学初二竞赛（觉园杯）第5题4分 2019年湖南长沙天心区湘郡培粹实验中学初二竞赛初赛(觉园杯)第5题4分

$$a$$，$$b$$，$$c$$均不为$$0$$，若$$\frac{x-y}{a}=\frac{y-z}{b}=\frac{z-x}{c}=abc ~\textless{} ~0$$，则$$P\left( ab,bc \right)$$不可能在．

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->函数->平面直角坐标系->坐标系基础->象限内坐标的特征 课内体系->方法->整体法 课内体系->思想->整体思想

∵$$abc \textless{} 0$$，  ∴$$a$$，$$b$$，$$c$$中三个都是负数或两正数，一个是负数，当三个都是负数时：若``$$\frac{x-y}{a}=abc$$，则$$x-y=a^{2}bc\textgreater0$$，即$$x \textgreater y$$，同理可得：$$y \textgreater z$$，$$z \textgreater x$$这三个式子不能同时成立，即$$a$$，$$b$$，$$c$$不能同时是负数．则$$P\left( ab,bc \right)$$不可能在第一象限．  故选$$\text{A}$$．


初三上学期其它 2007年竞赛第4题6分

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程的基础->一元二次方程的根

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->由一元二次方程根的情况确定参数


2017~2018学年北京海淀区清华大学附属中学初一上学期期中第8题3分 1996年第7届希望杯初二竞赛第2题

一个角的补角的一半比这个角的余角的$$2$$倍小$$3{}^{}\circ$$，那么这个角等于．

$$58{}^{}\circ $$

$$59{}^{}\circ $$

$$60{}^{}\circ $$

$$61{}^{}\circ $$

课内体系->知识点->几何图形初步->几何图形 课内体系->知识点->几何图形初步->角->角的定义和分类->余角和补角


初三上学期其它 2018年全国竞赛

$$a\geqslant 4$$

课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->由分式方程的解确定参数

课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->分式方程的解

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->一元二次方程根的判别式

当$$a\textless{}0$$时，无解；  当$$a=0$$时，$$x=0$$只有一解，不合题意；  当$$a\textgreater0$$时，原方程化为$$\frac{{{x}^{2}}}{x-1}=\pm a$$，整理得  $${{x}^{2}}-ax+a=0$$ ①  或$${{x}^{2}}+ax-a=0$$．②  因为方程②的判别式大于$$0$$，所以方程②有两个不同实根；  又因为原方程仅有两个不同的实根，故必有方程①的判别式小于$$0$$，从而$$0\textless{}a\textless{}4$$．


1992年第3届全国希望杯初一竞赛复赛第8题

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->幂的综合运算 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义


2006年第17届希望杯初一竞赛初赛第4题4分 北京其它

$$m\textless{n}\textless{p}$$

$$n\textless{p}\textless{m}$$

$${p}\textless{n}\textless{m}$$

$$p\textless{m}\textless{n}$$

课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式比较大小


2020年湖南长沙天心区湘郡培粹实验中学初一竞赛初赛（9月）第4题4分 2019~2020学年广东深圳福田区深圳外国语学校初二上学期期末第6题3分 2018~2019学年四川内江初一下学期期末第7题4分

已知关于$$x$$，$$y$$的方程组$$\begin{cases}mx+ny=7    2mx-3ny=4    \end{cases}$$的解为$$\begin{cases}x=1    y=2    \end{cases}$$，则$$m$$，$$n$$的值是．

$$\begin{cases}m=5    n=1    \end{cases}$$

$$\begin{cases}m=1    n=5    \end{cases}$$

$$\begin{cases}m=3    n=2    \end{cases}$$

$$\begin{cases}m=2    n=3    \end{cases}$$

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->由二元一次方程组的解求参数的值

课内体系->能力->运算能力

关于$$x$$，$$y$$的方程组$$\begin{cases}mx+ny=7    2mx-3ny=4    \end{cases}$$的解为$$\begin{cases}x=1    y=2    \end{cases}$$，  ∴$$\begin{cases}m+2n=7    2m-6n=4    \end{cases}$$，  解得$$\begin{cases}m=5    n=1    \end{cases}$$．  故选$$\text{A}$$．


1995年第6届全国希望杯初一竞赛复赛第1题

2017~2018学年10月江苏扬州高邮市高邮市南海中学初一上学期月考第6题3分

2019~2020学年10月江苏无锡梁溪区东林中学初一上学期月考第10题3分

若$$y$$是正数，且$$x+y\textless{}0$$，则在下列结论中，错误的一个是（~ ）．

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质

∵$$y\textgreater0$$，若$$x\geqslant 0$$则$$x+y\textgreater0$$，与$$x+y\textless{}0$$矛盾．  所以由$$y\textgreater0$$，$$x+y\textless{}0$$必有$$x\textless{}0$$．  因此，$${{x}^{3}}\textless{}0$$，$${{x}^{3}}y\textless{}0$$，即$$\text{A}$$是错误的．  事实上，$$y\textgreater0$$，$$x+y\textless{}0$$，即$$x+\left\textbar{} y \right\textbar\textless{}0$$，$$\text{B}$$成立．  $$\left\textbar{} x \right\textbar+y\textgreater0$$，$$\text{C}$$成立．$$x\textless{}0$$，$${{y}^{2}}\textgreater0$$，$$x-{{y}^{2}}\textless{}0$$，$$\text{D}$$成立．因此，选$$\text{A}$$．


1990年第1届全国希望杯初一竞赛初赛第4题

2018~2019学年10月吉林长春南关区东北师范大学附属中学（明珠校区）初一上学期周测C卷第7题3分

如果$$a$$，$$b$$代表有理数，并且$$a+b$$的值大于$$a-b$$的值，那么（~ ）．

$$a$$，$$b$$同号

$$a$$，$$b$$异号

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质


2017年河北石家庄裕华区石家庄外国语学校初三竞赛第1题3分

课内体系->知识点->三角形->相似三角形->比例线段->比例的综合应用 课内体系->知识点->三角形->相似三角形->比例线段->比例线段的性质


1997年第8届希望杯初二竞赛第2试第1题

$$\pm 2$$

$$\pm \frac{1}{2}$$

竞赛->知识点->数与式->整式->整式的乘除运算


2022~2023学年福建漳州龙海市初一上学期期中（阶段性评价）第6题 2022~2023学年浙江宁波初三月考（六校强基竞赛）第3题 2021~2022学年福建厦门思明区厦门外国语学校初一上学期期中第6题 2022~2023学年广东广州增城区初一上学期期中（测试）第6题

\emph{b}

$b+a$

$b-a$

\emph{ab}

课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性

解：∵$a\textless0，b\textgreater0，$  $\therefore$$ab\textless0\textless b﹣a，$  故$b+a\textless b，b﹣a\textgreater b，$  ∴$b+a\textless b\textless b﹣a．$  故选$$\text{C}$$．


2017年第1届重庆全国初中数学联赛初一竞赛初赛

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式

课内体系->能力->运算能力

$$\because {{\left( a+b \right)}^{2}}=6ab$$，$${{\left( a-b \right)}^{2}}=2ab$$,且$$a\textless{}b\textless{}0$$ $$\therefore a+b=-\sqrt{6ab}$$，$$a-b=-\sqrt{2ab}\therefore \frac{a+b}{a-b}=\sqrt{3}$$


2005年第16届希望杯初二竞赛初赛第9题4分

某人月初用$$x$$元人民币投资股票，由于行情较好，他的资金每月都增加$$\frac{1}{3}$$，即使他每月末都取出$$1000$$元用于日常开销，他的资金仍然在$$3$$个月后增长了一倍，那么$$x$$的值是．

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的经济问题->一元一次方程的经济问题-其它

课内体系->能力->运算能力

课内体系->思想->方程思想


2013年第24届全国希望杯初一竞赛复赛第6题4分

$$\triangle ABC$$的内角分别为$$\angle A$$，$$\angle B$$，$$\angle C$$，若$$\angle 1=\angle A+\angle B$$，$$\angle 2=\angle B+\angle C$$，$$\angle 3=\angle A+\angle C$$，则$$\angle 1$$，$$\angle 2$$，$$\angle 3$$中．

至少有一个锐角

三个都是钝角

至少有两个钝角

可以有两个直角

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形的外角定义及性质

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形内角和的应用

因为三角形的内角中至少有$$2$$个锐角，  而$$\angle 1$$，$$\angle 2$$，$$\angle 3$$是三角形的三个外角，  所以$$\angle 1$$，$$\angle 2$$，$$\angle 3$$中至少有两个钝角．


竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题


2019~2020学年10月北京朝阳区北京十七中初一上学期月考第9题3分 2019~2020学年9月浙江杭州下城区杭州观成中学初一上学期月考第20题4分 2000年第11届希望杯初一竞赛第2题

竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题

∵$$a$$是有理数，  ∴不论$$a$$取任何有理数$$\frac{11}{a+2000}$$的值永远不会是$$0$$．  ∴选$$\text{C}$$．  但要注意当选$$\text{D}$$时，$$\frac{11}{a+2000}$$这个式子本身无意义，  ∴不能选$$\text{D}$$．  故选$$\text{C}$$．


2012年竞赛第8题4分

2019~2020学年陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学初三上学期开学考试第17题3分

知识标签->题型->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式->题型：判断一元二次方程根的情况

知识标签->题型->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式->题型：由一元二次方程根的情况确定参数

知识标签->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程的解

知识标签->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程根的判别式

知识标签->学习能力->运算能力


1997年第8届希望杯初二竞赛第1试第10题

2018~2019学年3月江苏扬州广陵区扬州市树人中学初一下学期月考（2+4学制）第6题

甲、乙两种茶叶，以$$x:y$$ （重量比）相混合制成一种混合茶，甲种茶叶的价格每公斤$$50$$元，乙种茶叶的价格每公斤$$40$$元，现在甲种茶叶的价格上调了$$10 \%$$，乙种茶叶的价格下调了$$10 \%$$，但混合茶的价格不变，则$$x:y$$等于．

课内体系->思想->方程思想

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组应用题->二元一次方程组的经济问题

课内体系->能力->运算能力


2012年第23届全国希望杯初二竞赛复赛第4题4分

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->多重二次根式

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的四则混合运算


1987年全美数学竞赛（AMC）竞赛

吉米在前两场篮球赛中$$20$$投$$10$$进，从而让他的赛季命中率为$$50 \%$$．在他的下场比赛中，他投了$$30$$次篮，使得赛季命中率提高到了$$70 \%$$．这$$30$$次投篮中他命中了几次？

美国amc8->知识点->数与运算->比和比例->比例

在三场比赛中，他投了$$50$$次，其中他的赛季得分是$$70 \%$$，  所以他投中了$$50\times 0.7=35$$球．  前两场中投了$$10$$球，所以在最后一场中他投了$$35-10=25$$球．  故选$$\text{E}$$．


2019年湖南长沙雨花区湖南广益实验中学初一竞赛（广益杯）第10题3分

现定义一种新运算：$$a\otimes b={{b}^{2}}-ab$$，如：$$1\otimes 2={{2}^{2}}-1\times 2$$，则$$(-2\otimes 1)\otimes 3$$等于．

课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->含乘方的有理数混合运算


2005年第16届希望杯初二竞赛复赛第8题4分

已知两位数$$\overline{ab}$$能够被$$3$$整除，它的十位数字与个位数字的乘积等于它的个位数字，且它的任意次幂的个位数字等于它的个位数字，这样的两位数共有．

竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质 课内体系->能力->运算能力


1990年第1届全国希望杯初一竞赛初赛第1题

$$a$$，$$b$$互为相反数

$$a$$，$$b$$互为倒数

课内体系->知识点->数->有理数->相反数->相反数的性质


2002年竞赛第5题5分

$$-\frac{2}{7}\textless{}a\textless\frac{2}{5}$$

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->由一元二次方程根的情况确定参数

由于方程有两个不相等的实根，故$$a\ne 0$$，  原方程可变形为$${{x}^{2}}+\left( 1+\frac{2}{a} \right)x+9=0$$，  记$$y={{x}^{2}}+\left( 1+\frac{2}{a} \right)x+9$$，  则这个抛物线开口向上，  因$${{x}_{1}}\textless{}1\textless{}{{x}_{2}}$$，  故当$$x=1$$时，$$y\textless{}0$$，即$$1+\left( 1+\frac{2}{a} \right)+9\textless{}0$$，  解得$$-\frac{2}{11}\textless{}a\textless{}0$$．  故选$$\text{D}$$．


2018年全国初中数学联赛竞赛A卷

课内体系->能力->抽象概括能力

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->式->因式分解->因式分解的基础->已知因式分解结果求参数

课内体系->知识点->式->因式分解->因式分解的应用

竞赛->知识点->数论->整除->素数与合数


1992年第3届希望杯初二竞赛第1题

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质

用特殊值法，不妨设$$a=0.4$$，$$b=0.2$$，则$$a+b=0.6 ~\textless{} ~1$$，可排除（$$\text{A}$$）；  $$ab=0.08 ~\textless{} ~1$$，可排除（$$\text{B}$$）；  $$a-b=0.4-0.2=0.2 ~\textless{} ~1$$，可排除（$$\text{D}$$），所以应选（$$\text{C}$$）．  事实上，$$a\textgreater0$$，$$b\textgreater0$$，且$$a\textgreater b$$，所以$$\frac{a}{b}\textgreater1$$成立．  故选$$\text{C}$$．


2019年湖南长沙雨花区湖南广益实验中学初一竞赛（广益杯）第2题3分

在$$-\left( -8 \right)$$，$${{\left( -1 \right)}^{2000}}$$，$$-{{3}^{2}}$$，$$\left\textbar{} -1 \right\textbar$$，$$-\left\textbar{} -3 \right\textbar$$中，负数共有．

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算

课内体系->知识点->数->有理数->正数和负数->正数、负数定义


2018年山东淄博临淄区初三一模第6题4分 2018年陕西西安灞桥区西安铁一中东城滨河中学初三四模第6题3分 2017~2018学年广东东莞市万江区翰林实验学校初三上学期期中第6题3分 2018年浙江宁波余姚市余姚市实验学校初二竞赛第2题5分 2018~2019学年山东济宁曲阜市初三上学期期中第7题3分 2018~2019学年山东济宁曲阜市曲阜市实验中学初三上学期期中第7题3分 2017~2018学年山东临沂蒙阴县初三上学期期末第6题3分 2019~2020学年9月四川达州渠县四川省渠县中学初三上学期月考第8题3分

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->一元二次方程根与系数的关系


2017年第19届浙江宁波余姚市余姚市实验学校初三竞赛（实验杯）第7题4分

仔细观察一列数中的前五个数：$$0$$，$$9$$，$$26$$，$$65$$，$$124$$，则根据规律，第六个数为．

课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->规律探究->数列找规律->数列找规律-其他数列规律


2013年第24届全国希望杯初二竞赛复赛第6题4分

下列命题中，正确的是（~ ）．

如果三角形三个内角的度数比是$$3:4:5$$，那么这个三角形是直角三角形

如果直角三角形的两条直角边的长分别是$$a$$和$$b$$，那么斜边的长是$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$$

如果三角形三条边长的比是$$1:2:3$$，那么这个三角形是直角三角形

如果直角三角形的两条直角边的长分别是$$a$$和$$b$$，斜边长是$$c$$，那么斜边上的高的长是$$\frac{ab}{c}$$

课内体系->知识点->三角形->勾股定理及应用->勾股定理基础->勾股定理的逆定理

如果三角形三个内角的度数比是$$3:4:5$$，可得这个三角形三个内角的度数分别是$$45{}^{}\circ $$，$$60{}^{}\circ $$，$$75{}^{}\circ $$，因此这个三角形不是直角三角形，$$\text{A}$$选项错误；  如果直角三角形的两条直角边的长分别是$$a$$和$$b$$，那么斜边的长是$$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$$，$$\text{B}$$选项错误；  长度比是$$1:2:3$$的三条线段不能构成三角形，$$\text{C}$$选项错误；  如果直角三角形的两条直角边的长分别是$$a$$和$$b$$，斜边长是$$c$$，  设斜边上的高的长是$$h$$，  由三角形的面积公式知$$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$$，得$$h=\frac{ab}{c}$$，$$\text{D}$$选项正确．


1997年第8届希望杯初二竞赛第2试第4题

锐角

直角

钝角

锐角、直角、钝角都有可能

竞赛->知识点->三角形->三角形基础

若$$a\geqslant c$$，则$$\frac{1}{a}\leqslant \frac{1}{c}$$，  所以$$\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{2}{a}$$，  所以$$b\leqslant a$$，  所以$$\angle B\leqslant \angle A$$，$$\angle B$$为锐角，  同理，若$$a\leqslant c$$，可知$$b\leqslant c$$，  所以$$\angle B\leqslant \angle C$$，$$\angle B$$为锐角，  所以选$$\text{A}$$．


2018年第29届希望杯初一竞赛初赛第5题4分

当$$\textbar a\textbar\textless{}1$$，$$\textbar b\textbar\textless{}1$$，$$\textbar c\textbar\textless{}1$$时，给出下列判断：  ①$$\textbar abc\textbar\textless{}1$$；②$$\textbar a+b+c\textbar\textless{}3$$；③$$ab+bc+ca\textless{}1$$；④$$ab+bc+ca\textgreater-1$$．  其中，正确判断的个数是．

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质 课内体系->能力->分析和解决问题能力

①因为$$\textbar a\textbar\textless{}1$$，$$\textbar b\textbar\textless{}1$$，$$\textbar c\textbar\textless{}1$$，  所以$$\textbar abc\textbar=\textbar a\textbar\cdot\textbar b\textbar\cdot\textbar c\textbar\textless1$$，正确．  ②$$\textbar a+b+c\textbar\leqslant \textbar a\textbar+\textbar b\textbar+\textbar c\textbar\textless{}3$$，正确．  ③令$$a=b=c=\frac{2}{3}$$，  可得$$ab+bc+ca=\frac{4}{3}$$，说法错误．  ④将$$ab+bc+ac+1$$看成$$a$$的函数，  则$$f(a)=ab+bc+ac+1=(b+c)a+bc+1$$是一次函数或常值函数，  在$$-1\textless a\textless1$$上的图象是一条线段．  因为$$f(1)=b+c+bc+1=(b+1)(c+1)$$，且$$\textbar b\textbar\textless1$$，$$\textbar c\textbar\textless1$$，  所以$$f(1)\textgreater0$$．  因为$$f(-1)=-b-c+bc+1=(b-1)(c-1)$$，且$$\textbar b\textbar\textless1$$，$$\textbar c\textbar\textless1$$，  所以$$f(-1)\textgreater0$$．  所以对任何$$-1\textless a\textless1$$，都有$$f(a)\textgreater0$$，  即$$ab+bc+ac+1\textgreater0$$，  即$$ab+bc+ca\textgreater-1$$，正确．  故正确的有$$3$$个．


2014年第31届全国全国初中数学联赛竞赛第2题7分

已知非负实数$$x$$，$$y$$，$$z$$满足$$x+y+z=1$$，则$$t=2xy+yz+2zx$$的最大值为．

竞赛->知识点->数与式->因式分解->因式分解：添项、拆项 课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->配方求最值


2001年第12届希望杯初一竞赛第7题

下面四个命题中，正确的命题是．

两个不同的整数之间必定有一个正数

两个不同的整数之间必定有一个整数

两个不同的整数之间必定有一个有理数

两个不同的整数之间必定有一个负数

竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题


2012年浙江宁波余姚中学自主招生第5题7分 2011年竞赛第5题3分 初一下学期单元测试《放缩法》第2题

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->规律探究->算式找规律

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算


2018年第29届希望杯初一竞赛初赛第10题4分

竞赛->知识点->组合->计数问题-枚举法 课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->不定方程


2012年第23届全国希望杯初一竞赛复赛第10题4分

知识标签->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式 知识标签->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->立方和与立方差公式 知识标签->题型->式->整式的乘除->乘法公式->题型：和与差的立方公式


1999年第16届全国初中数学联赛竞赛第1题7分

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算


1991年第2届全国希望杯初一竞赛初赛第3题

$$a$$为有理数，则一定成立的关系式是（~ ）．

$$\left\textbar{} a \right\textbar\geqslant 7$$

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质

若$$a=0$$，$$7\times 0=0$$，排除$$\text{A}$$；  $$7+0=7$$，排除$$\text{C}$$；  $$\left\textbar{} 0 \right\textbar\textless7$$，排除$$\text{D}$$；  事实上因为$$7\textgreater0$$，必有$$7+a\textgreater0+a=a$$．选$$\text{B}$$．


2006年竞赛第1题6分 2018~2019学年浙江绍兴绍兴县绍兴市元培中学初一下学期期末第10题3分

在高速公路上，从$$3$$千米处开始，每隔$$4$$千米经过一个限速标志牌；并且从$$10$$千米处开始，每隔$$9$$千米经过一个速度监控仪．刚好在$$19$$千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是．

课内体系->能力->分析和解决问题能力

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->数->有理数->有理数与实际问题->有理数加减法与实际问题

竞赛->知识点->数论->整除->因数与倍数


2009年第20届希望杯初一竞赛第1试第9题4分

竞赛->知识点->数论->整除->因数与倍数

竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数除法运算


2002年第19届全国初中数学联赛竞赛第2题7分

竞赛->知识点->数与式->整式->整式的乘除运算


2018年湖南长沙初二竞赛长郡教育集团（觉园杯）第3题4分

课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-条件化简求值


集合$$S$$ 只有一个子集，则集合$$S$$中有几个元素?.

none of these

美国AMC8->Knowledge Point->Combinatorics->Inclusion-Exclusion Principle->Inclusion-Exclusion Principle for Two Sets

美国AMC8->Knowledge Point->Combinatorics->Inclusion-Exclusion Principle->Counting Number of Figures using Multi-Set Inclusion-Exclusion Principle

课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的分类

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式->一元一次不等式的解集

The only set with exactly one sunset is the empty set.  集合 $$S$$只有一个子集 ， 集合 $$S$$中有多少个元素 ?  $$\text{A.}$$$$0$$~ ~ ~ ~ ~ $$\text{B.}$$$$1$$~ ~ ~ ~ ~ $$\text{C.}$$$$2$$~ ~ ~ ~ ~ $$\text{D.}$$没有选项  只有一个子集的集合是空集．故选$$\text{A}$$．


2005年第16届希望杯初一竞赛复赛第1题4分

2018~2019学年3月江苏苏州苏州工业园区东沙湖学校初一下学期月考第8题2分

2019年河北保定莲池区初三中考一模第8题3分

$$a$$是$$b$$的相反数

$$a$$是$$-b$$的相反数

$$a$$是$$b$$的倒数

$$a$$是$$-b$$的倒数

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式


2013年第24届全国希望杯初二竞赛复赛第4题4分

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->多项式乘多项式


课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的和差倍分

美国AMC8->Knowledge Point->Algebra and Sequences->Equations->Linear Equations


1994年第5届全国希望杯初一竞赛复赛第8题

据报道目前用超级计算机找到的最大质数是$${{2}^{859433}}-1$$，这个质数的末尾数字是（~ ）．

课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->规律探究->数列找规律->数列找规律-具有周期规律的数列

课内体系->能力->推理论证能力


2017年第1届重庆全国初中数学联赛初一竞赛初赛


初一上学期单元测试《解读绝对值》第3题 2017年湖南长沙天心区初二竞赛长郡教育集团抵达杯第1题5分 2019~2020学年河南郑州金水区郑州八中初一上学期期中第8~8题3分

知识标签->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的性质 知识标签->题型->式->分式->分式化简求值->题型：含绝对的分式化简 知识标签->学习能力->推理论证能力

∵$$a+b+c=0$$且$$a$$、$$b$$、$$c$$均$$\ne 0$$，  ∴$$a$$、$$b$$、$$c$$三数符号为两正一负或两负一正，  不妨设$$a\leqslant b\leqslant c$$，  ①$$a$$，$$b$$为正，$$c$$为负，此时$$abc$$为负：  $$\frac{a}{\left\textbar{} a \right\textbar}+\frac{b}{\left\textbar{} b \right\textbar}+\frac{c}{\left\textbar{} c \right\textbar}+\frac{abc}{\left\textbar{} abc \right\textbar}$$  $$=1+1+(-1)+(-1)$$  $$=0$$．  ②$$a$$，$$b$$为负，$$c$$为正，此时$$abc$$为正，  $$\frac{a}{\left\textbar{} a \right\textbar}+\frac{b}{\left\textbar{} b \right\textbar}+\frac{c}{\left\textbar{} c \right\textbar}+\frac{abc}{\left\textbar{} abc \right\textbar}$$  $$=-1+(-1)+1+1$$  $$=0$$．  综上原式$$=0$$，故选$$\text{A}$$．


1992年第3届全国希望杯初一竞赛复赛第4题

奇数

偶数

负整数

非负整数

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数减法->有理数加减混合运算


1998年第9届希望杯初二竞赛第1试第8题

$$a$$

$$b$$

$$c$$

$$d$$

课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->幂的乘方 课内体系->能力->运算能力


2019年浙江杭州拱墅区杭州市文澜中学初二竞赛第3题3分

在平面直角坐标系中，若点$$P(m-2,m+1)$$在第二象限，则$$m$$的取值范围是．

$$m ~\textless~ -1$$

$$-1 ~\textless{} ~m ~\textless{} ~2$$

$$1 ~\textless{} ~m ~\textless{} ~2$$

课内体系->知识点->函数->平面直角坐标系->坐标系基础->象限内坐标的特征

∵$$P(m-2,m+1)$$在第二象限，  ∴$$\begin{cases}m-2 ~\textless{} ~0    m+1\textgreater0   \end{cases}$$．  ∴$$-1 ~\textless{} ~m ~\textless{} ~2$$．  故选$$\text{C}$$．


2014年第31届全国全国初中数学联赛竞赛第1题7分

竞赛->知识点->方程与不等式->分式方程->解复杂分式方程


1991年第2届全国希望杯初一竞赛复赛第2题

一个分数的分子与分母都是正整数，且分子比分母小$$1$$，若分子和分母都减去$$1$$，则所得分数为小于$$\frac{6}{7}$$的正数，则满足上述条件的分数共有（~ ）．

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数加法->有理数加法运算

课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性

课内体系->能力->运算能力


2016年第27届全国希望杯初二竞赛初赛第2题4分

在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．若一次函数$$y=x-3$$与$$y=kx-k$$（$$k$$为整数）的图象的交点是整点，则$$k$$的不同取值的个数是．

课内体系->能力->推理论证能力

课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数与方程、不等式->一次函数与二元一次方程组


2000年第11届希望杯初二竞赛第1试第3题

2019~2020学年12月广东深圳福田区红岭中学园岭校区初一上学期月考第12题3分

竞赛->知识点->数与式->绝对值->绝对值的几何意义


1993年第4届希望杯初二竞赛第10题

$$a\geqslant 3$$

$$a \textless{} 3$$

$$a\leqslant -3$$

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->不等式（组）解的情况确定参数的范围

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程的相关概念->一元一次方程的解

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->解一元一次方程

原方程即$$\left\textbar3x\right\textbar=ax+1$$．  $$\left(1\right)$$若$$a=3$$时，则$$\left\textbar3x\right\textbar=3x+1$$．  当$$x \textless{} 0$$时，得$$-3x=3x+1$$．所以$$x=-\frac{1}{6}$$；  当$$x\geqslant 0$$时，得$$3x=3x+1$$，不成立．  所以当$$a=3$$时，原方程的根为$$x=-\frac{1}{6}$$．  $$\left(2\right)$$若$$a\textgreater3$$．  当$$x \textless{} 0$$时，得$$-3x=ax+1$$，所以$$x=-\frac{1}{a+3} \textless{} 0$$；  当$$x\geqslant 0$$时，得$$3x=ax+1$$，所以$$x=\frac{1}{3-a} \textless{} 0$$，矛盾．  所以当$$a\textgreater3$$时，原方程的解为$$x=-\frac{1}{a+3} \textless{} 0$$．  $$\left(3\right)$$若$$a \textless{} 3$$  当$$x\geqslant 0$$时，得$$3x=ax+1$$，所以$$x=\frac{1}{3-a}\textgreater0$$，原方程有正根，与题设矛盾．  综上所述，$$a\geqslant 3$$时，原方程的根是负数．  所以应选$$\text{B}$$．


1997年第8届全国希望杯初一竞赛复赛第8题

平面上三条直线相互间的交点个数是（~ ）．

竞赛->知识点->几何图形初步->线

当平面上三条直线互相平行时，没有交点．故选$$\text{D}$$．


2011年竞赛第2题4分

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算 课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->配方求最值 课内体系->能力->运算能力 课内体系->方法->配方法


2004年第15届希望杯初二竞赛第1试第3题

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的基础->二次根式的性质

提示：$$3-x\geqslant 0$$，$$\therefore x\leqslant 3$$．  又$$\because {{x}^{2}}-9x+20=\left( x-4 \right)\left( x-5 \right)$$，  当$$x\leqslant 3$$时，$$\left( x-4 \right)\left( x-5 \right)\ne 0$$，  $$\therefore \sqrt{3-x}=0$$，$$\therefore x=3$$．  故$${{x}^{2}}+x+1={{3}^{2}}+3+1=13$$．


初一上学期单元测试《走进美妙的数学世界》第15题

2018~2019学年湖南长沙岳麓区长郡双语实验中学初一上学期分班考试第1题5分

2010年第21届全国希望杯初一竞赛复赛第9题4分

若一个两位数恰等于它的各位数字之和的$$4$$倍，则这个两位数称为``巧数''，则不是``巧数''的两位数的个数是（~ ）．

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算->整式加减的综合 课内体系->能力->运算能力

设两位数为$$10a+b$$，其中$$a$$，$$b$$是自然数，且$$1\leqslant a\leqslant 9$$，$$0\leqslant b\leqslant 9$$．  由题意，得$$10a+b=4(a+b)$$，  即$$b=2a$$．  因为满足$$b=2a$$的两位数只有$$12$$，$$24$$，$$36$$，$$48$$这$$4$$个，  所以``巧数''只有$$4$$个，  因此不是``巧数''的两位数共有$$90-4=86$$（个）．


初一下学期其它第17题 2005年第16届希望杯初二竞赛复赛第10题4分

已知整数$$x$$，$$y$$，$$z$$满足$$x\leqslant y\textless{} z$$，且$$\begin{cases}\left\textbar{} x+y \right\textbar+\left\textbar{} y+z \right\textbar+\left\textbar{} z+x \right\textbar=4 ①   \left\textbar{} x-y \right\textbar+\left\textbar{} y-z \right\textbar+\left\textbar{} z-x \right\textbar=2 ②\end{cases}$$，那么$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}$$的值等于．

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->解含绝对值的方程组

课内体系->能力->运算能力

由②可知$$\left\textbar{} x-y \right\textbar$$、$$\left\textbar{} y-z \right\textbar$$、$$\left\textbar{} z-x \right\textbar$$中必须有一个为$$0$$，只有$$x-y=0$$，$$x=y$$，代入②中得$$\left\textbar{} z-x \right\textbar=1$$，$$z=x+1$$．  将$$x=y$$，$$z=x+1$$代入①中，得$$\left\textbar{} x \right\textbar+\left\textbar{} 2x+1 \right\textbar=2$$，$$\left\textbar{} x \right\textbar=0$$，$$1$$，$$2$$．经检验$$\left\textbar{} x \right\textbar=1$$，依据题意得$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=2$$．


2015年第26届全国希望杯初二竞赛初赛第1题

课内体系->能力->运算能力


2007年第12届华杯赛初一竞赛初赛第4题

2019~2020学年北京海淀区北京一零一中学初一上学期单元测试《有理数》第20题

$$x=0$$，$$y\geqslant 0$$或$$y=0$$，$$x\leqslant 0$$

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的代数意义 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性

∵$$\textbar x+y\textbar=y-x$$，  ∴①当$$x+y\geqslant 0$$时，  $$x+y=y-x$$，即$$x=0$$；  ②当$$x+y\leqslant 0$$时，  $$-x-y=y-x$$，即$$y=0$$，  综上所述，$$x=0$$，$$y\geqslant 0$$或$$y=0$$，$$x\geqslant 0$$．  故$$\text{D}$$选项正确．


2012年第17届华杯赛初一竞赛初赛第5题

已知甲瓶盐水浓度为$$8 \%$$，乙瓶盐水浓度为$$5 \%$$，混合后浓度为$$6.2 \%$$．那么四分之一的甲瓶盐水与六分之一的乙瓶盐水混合后的浓度为．

$$5.5 \%$$

$$6 \%$$

$$6.5 \%$$

$$7.5 \%$$

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程与实际问题->分式方程的其他实际问题


2017~2018学年4月安徽滁州明光市鲁山中学初一下学期月考第2题4分 2017年湖南长沙天心区湘郡培粹实验中学初二竞赛（觉园杯）第3题4分

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->其它不等式->均值不等式 课内体系->能力->运算能力


2008年第19届希望杯初二竞赛第1试第11题

竞赛->知识点->数论->整除->分解素因数


初一上学期单元测试《有理数》绝对值的应用第24题 2019~2020学年浙江宁波鄞州区宁波市鄞州蓝青学校初一上学期期末第4题 1992年第9届全国初中数学联赛竞赛第1题

满足$$\left\textbar{} a-b \right\textbar+ab=1$$的非负整数（$$a$$，$$b$$）的个数是（~ ）．

课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->二元二次方程（组） 课内体系->能力->运算能力

由条件得$$\left { \begin{matrix}\left\textbar{} a-b \right\textbar=1    ab=0   \end{matrix} \right.$$或$$\left { \begin{matrix}\left\textbar{} a-b \right\textbar=0    ab=1   \end{matrix} \right.$$，则满足条件的数对有$$(0  ,  1)$$，$$(1  ,  0)$$，$$(1  ,  1)$$．


2002年第19届全国初中数学联赛竞赛第4题7分

直角三角形$$ABC$$的面积为$$240$$，且$$\angle BAC=90{}^{}\circ $$，$$AD$$是斜边上的中线，过$$D$$作$$DE\bot AB$$于$$E$$，连$$CE$$交$$AD$$于$$F$$，则$$\triangle AFE$$的面积为．

课内体系->能力->推理论证能力

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->与中线或等分线有关的等积变换

课内体系->知识点->三角形->直角三角形->直角三角形的性质->直角三角形斜边中线性质以及应用


1996年第7届全国希望杯初一竞赛初赛第9题

如果$$a\textgreater b$$，且$$c\textless{}0$$，那么在下面不等式中：  ①$$a+c\textgreater b+c$$；②$$ac\textgreater bc$$；③$$-\frac{a}{c}\textgreater-\frac{b}{c}$$；④$$a{{c}^{2}}\textless{}b{{c}^{2}}$$．成立的个数是（~ ）．

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->判断不等式的变形是否正确

已知$$a\textgreater b$$，$$c\textless{}0$$，由不等式的基本性质，得  $$a+c\textgreater b+c$$，成立，$$ac\textgreater bc$$不成立，$$-\frac{a}{c}\textgreater-\frac{b}{c}$$成立，$$a{{c}^{2}}\textless{}b{{c}^{2}}$$不成立．  所以只有①③成立，选$$\text{B}$$．


1995年第6届全国希望杯初一竞赛复赛第6题

$$\left( 61,48723 \right)$$

$$\left( 62,48725 \right)$$

$$\left( 63,48726 \right)$$

$$\left( 64,48720 \right)$$

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->二元一次方程组的解

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程->二元一次方程的整数解


2015年第26届全国希望杯初三竞赛初赛第6题

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->配方思想的运用 课内体系->能力->运算能力


2003年第14届希望杯初二竞赛第2试第3题 2017年第1届重庆全国初中数学联赛初一竞赛初赛

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质

由题意，有$${{x}^{2}}-2x+1+{{y}^{2}}-2y+1\leqslant 1$$，即$${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}\leqslant 1$$.  $$\because {{\left( x-1 \right)}^{2}}\geqslant 0$$，$${{\left( y-1 \right)}^{2}}\geqslant 0$$，$$x$$、$$y$$为整数，  $$\therefore \begin{cases}x-1=0    y-1=0 \end{cases}$$或$$\begin{cases}x-1=\pm 1    y-1=0 \end{cases}$$或$$\begin{cases}x-1=0    y-1=\pm 1 \end{cases}$$，  解得$$\left( x,y \right)=\left( 1,1 \right)\left( 2,1 \right)\left( 0,1 \right)\left( 1,2 \right)\left( 1,0 \right)$$，故$$x+y$$的不同值是$$1$$、$$2$$、$$3$$.


2016年第27届全国希望杯初一竞赛初赛第3题4分

关于多项式$$\frac{1}{2}{{x}^{3}}y+5{{y}^{4}}{{x}^{2}}-2{{y}^{7}}+4$$，有以下叙述：  ①该多项式是六次三项式；  ②该多项式是七次四项式；  ③该多项式是七次三项式；  ④该多项式最高次项的系数是$$-2$$；  ⑤该多项式常数项是$$-4$$．  其中，正确的是．

①④

③⑤

②④

②⑤

知识标签->题型->式->整式加减->整式有关的概念->求多项式的项和次数 知识标签->知识点->式->整式的加减->多项式->多项式的项和次数

该多项式为七次四项式，最高次项的系数为$$-2$$，常数项为$$4$$．故正确的是②④．


1995年全美数学竞赛（AMC）竞赛

一支队伍在前$50$场比赛中赢了$40$场比赛，这支队伍在剩下的$$40$$场比赛中至少赢多少场才能保证自己整个赛季的胜率能超过$$70 \%$$？

课内体系->知识点->统计与概率

美国AMC8->Knowledge Point->Counting, Probability and Statistics->Classical Probability

一个队伍赢了开始$$50$$场比赛中的$$40$$场．这只队在剩下来的$$40$$场比赛中必须最少赢多少场才能让它恰好整个赛季胜率为$$70 \%$$？  注意到$$70 \%$$与$$\frac{70}{100}=\frac{7}{10}$$相等，当$$x$$是$$40$$场比赛中获胜的数量时，获胜的分数是$$\frac{40+x}{50+40}=\frac{40+x}{90}$$，我们所要做的就是把它们相等：$$\frac{40+x}{90}=\frac{7}{10}$$，$$40+x=63$$，$$x=(\text{B})23$$．  另外，我们可以注意到他们总共会打$$40+50=90$$场比赛，必须赢得$$0.7(90)=63$$场比赛．因为他们赢了$$40$$场比赛，他们还需要$$63-40=(\text{B})23$$场比赛．  Noting that $$70 \%$$ is the same as $$\frac{70}{100}= \frac{7}{10}$$, and that, when x is the amount of wins in the last $$40$$ games, the fraction of games won is $$\frac{40+x}{50+40}= \frac{40+x}{90}$$, all we have to do is set them equal:  $$\frac{40+x}{90}= \frac{7}{10}$$, $$40+x=63$$, $$x=23$$.  Alternatively we can note that they will play a total of $$40+50 =90$$ games and must win $$0.7(90) = 63$$ games. Since they won $$40$$ games already they need $$63-40=23$$ more games.


2006年第11届华杯赛初一竞赛初赛第2题

有如下四个命题：①最大的负数是$$-1$$；②最大的负整数是$$-1$$；③最小的整数是$$1$$；④最小的正整数是$$1$$；其中真命题有个．

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的分类

$$-0.1$$大于$$-1$$，所以①不正确；整数包括负整数，显然整数没有下界，所以③不正确．正整数自$$1$$开始，$$1$$，$$2$$，$$3$$，\ldots，所以④正确；同样，②正确．


2015年第26届全国希望杯初一竞赛初赛第2题

下面有$$4$$个判断：  ①互为相反数的两个数的绝对值相等；  ②如果$$n$$的绝对值等于$$n$$，则$$n$$一定为正数；  ③点$$M$$在数轴上距原点$$2$$个单位长度，且位于原点右侧．若将$$M$$向左移动$$5$$个单位长度，则此点对应的值为$$-3$$；  ④两个数相加，它们的和一定大于其中一个加数．  其中，正确判断的个数为．

知识标签->题型->数->有理数->有理数基础运算->题型：有理数乘法的计算题 知识标签->知识点->数->有理数->数轴 知识标签->知识点->数->有理数->有理数的运算->有理数加法的运算 知识标签->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的性质

①正确；  ②$$n$$为$$0$$时也满足要求，故错误；  ③正确；  ④如$$(-1)+(-2)=-3$$，$$-3\textless{}-2$$且$$-3\textless{}-1$$，故错误．  综上，正确的个数为两个．


1998年全美数学竞赛（AMC）竞赛

对于$$x=7$$，以下哪一项是最小的？．

$$\frac 6x$$

$$\frac 6{x+1}$$

$$\frac 6{x-1}$$

$$\frac x6$$

$$\frac {x+1}6$$

课内体系->知识点->数->有理数->分数

美国AMC8->Knowledge Point->Number and Operations->Fractions->Fraction Operations

设$$x=7$$，下面哪个最小？  最小的分数形式是$$b$$，其中$$b$$大于$$a$$．  在这个问题中，我们需要所有给定值中的最大可能值以分母表示．这个值是$$x+1$$或8  分子越小，就是$$6$$．  带有$$\frac {6}{x+1}$$的答案选项是$$\rm B$$．  为每个答案选项代入$$x$$会给出  ($$\rm A$$)$$\frac 67$$ ($$\rm B$$)$$\frac 68$$ ($$\rm C$$)$$\frac 66$$ ($$\rm D$$)$$\frac 76$$ ($$\rm E$$)$$\frac 86$$  从这里，我们可以看到最小的是答案选项$$\rm B$$．  The smallest fraction would be in the form $$\frac{a}{b}$$ where $$b$$ is larger than $$a$$.  In this problem, we would need the largest possible value out of all the given values to be in the denominator. This value is $$x+1$$ or $$8$$.  The smaller would go on the numerator, which is $$6$$.  The answer choice with $$\frac{6}{x+1}$$ is $$\text{B}$$.  Plugging $$x$$ in for every answer choice would give  ($$\rm A$$)$$\frac 67$$ ($$\rm B$$)$$\frac 68$$ ($$\rm C$$)$$\frac 66$$ ($$\rm D$$)$$\frac 76$$ ($$\rm E$$)$$\frac 86$$  From here, we can see that the smallest is answer choice $$\text{B}$$.


2000年第11届希望杯初二竞赛第2试第6题

若一个等腰三角形的三条边长均为整数，且周长为$$10$$，则底边的长为．

一切偶数

竞赛->知识点->三角形->特殊三角形->等腰三角形

设等腰三角形的腰长为$$a$$，底边为$$b$$，  所以$$2a+b=10$$，$$b=10-2a$$．  所以$$b$$是偶数．  又$$b ~\textless{} ~2a$$，  所以$$2b ~\textless{} ~10$$，  解得$$b ~\textless{} ~5$$，  所以$$b$$为小于$$5$$的偶数．  所以$$b=2$$或$$b=4$$．  故选$$\text{D}$$．


1990年第1届全国希望杯初一竞赛初赛第8题

在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边．

乘同一个数

乘同一个整式

加上同一个代数式

课内体系->知识点->方程与不等式->等式与方程->等式->等式的定义

课内体系->知识点->方程与不等式->等式与方程->等式->等式的性质->等式性质1

对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于$$0$$的数，所以排除$$\text{A}$$．  我们考察方程$$x-2=0$$，易知其根为$$x=2$$．若该方程两边同乘一个整式$$x-1$$，得$$(x-1)(x-2)=0$$，其根为$$x=1$$及$$x=2$$，不与原方程同解，排除$$\text{B}$$．  若在方程$$x-2=0$$两边加上同一个代数式$$\frac{1}{x-2}$$得$$\frac{1}{x-2}+(x-2)=\frac{1}{x-2}$$，此方程误解，失去了原方程$$x=2$$的根，所以应排除$$\text{C}$$．  事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，对$$\text{D}$$，这里所加常数为$$1$$，因此选$$\text{D}$$．


1997年全美数学竞赛（AMC）竞赛

有一组五个正整数，它们的平均值是$$5$$，中位数是$$5$$，唯一的众数是$$8$$．这组数中的最大整数和最小整数之间的差是什么?

美国AMC8->Knowledge Point->Combinatorics->Fun Problems in Math->Fun Math Problems

课内体系->知识点->统计与概率->数据的分析->中位数

有一组五个正整数，它们的平均值是$$5$$，中位数是$$5$$，唯一的众数是$$8$$．集合中最大整数和最小整数之间的差是什么?  当这些数字按升序排列时，中间值$$5$$就在中间，这是左边的第三个整数．由于$$8$$是唯一的已知数，$$5$$右边的两个整数都必须是$$8$$．由于平均值是$$5$$，整数的和是$$25$$，这意味着$$2$$个最左边的整数必须和是$$4$$．$$2$$和$$2$$无效，因为这将导致两种模式．但是，$$1$$和$$3$$可以，所以我们的答案是$$8-1=7$$．  When these numbers are ordered in ascending order, $$5$$, the median, falls right in the middle, which is the third integer from the left. Since there is a unique mode of $$8$$, both integers to the right of $$5$$ must be $$8\rm s$$. Since the mean is $$5$$, the sum of the integers is $$25$$, which means the $$2$$ leftmost integers have to sum to $$4$$. $$2$$ and $$2$$ does not work because that would result in two modes. However, $$1$$ and $$3$$ does, and so our answer is $$8-1=7$$.


2016年第27届全国希望杯初二竞赛复赛第4题4分

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算


2008年第19届希望杯初二竞赛第1试第1题

2018~2019学年10月四川成都锦江区四川师范大学附属第一实验中学初二上学期周测A卷第6题3分

下列说法中正确的是（~ ~ ~ ）．

$$1$$的平方根和$$1$$的立方根相同

$$0$$的平方根和$$0$$的立方根相同

$$\sqrt{4}$$的平方根是$$\pm 2$$

$$8$$的立方根是$$\pm 2$$

课内体系->知识点->数->实数->平方根->开平方 课内体系->知识点->数->实数->立方根->开立方

$$\text{A}$$、$$1$$的平方根为$$\pm 1$$，$$1$$的立方根为$$1$$，二者不相等，故$$\text{A}$$选项错误；  $$\text{B}$$、$$0$$的平方根和立方根均为$$0$$，正确；  $$\text{C}$$、可知$$\sqrt{4}=2$$，所以$$2$$的平方根为$$\pm \sqrt{2}$$，故$$\text{C}$$选项错误；  $$\text{D}$$、$$8$$的立方根为$$2$$，故$$\text{D}$$选项错误；  故答案选$$\text{B}$$．


2018年四川成都武侯区成都七中初三自主招生第7题5分 初二上学期单元测试《等腰三角形的判定》第24题 2008年第19届希望杯初二竞赛第1试第7题

已知$$\triangle ABC$$的三边的长分别为$$a$$、$$b$$、$$c$$，且$$\frac{a}{b}+\frac{a}{c}=\frac{b+c}{b+c-a}$$，则$$\triangle ABC$$一定是（ ~）．

等边三角形

腰长为$$a$$的等腰三角形

底边长为$$a$$的等腰三角形

等腰直角三角形

课内体系->知识点->三角形->等腰三角形->等腰三角形的判定->等腰三角形的判定-两边相等

∵$$\frac{a}{b}+\frac{a}{c}=\frac{b+c}{b+c-a}$$．  ∴$$a\left( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)=\frac{b+c}{b+c-a}$$．  $$\frac{a(b+c)}{bc}=\frac{b+c}{b+c-a}$$．  ∵$$b+c\textgreater0$$．  ∴$$\frac{a}{bc}=\frac{1}{b+c-a}$$．  ∴$$ab+ac-{{a}^{2}}-bc=0$$．  ∴$$(b-a)(c-a)=0$$．  ∴$$a=b$$或$$c=a$$．  ∴$$\triangle ABC$$为以$$a$$为腰长的等腰三角形．


2010年第21届希望杯初二竞赛第2试第8题

成正比

成反比

既不成正也不成反比

的关系不确定

课内体系->知识点->函数->反比例函数->反比例函数基础->反比例函数的定义

课内体系->知识点->函数->反比例函数->反比例函数基础->根据反比例函数定义解题


1991年第2届希望杯初二竞赛第14题

两负根

一正根、一负根且负根的绝对值大

一正根、一负根且负根的绝对值小

没有实数根

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->一元二次方程根与系数的关系


2013年竞赛第1题4分 初一下学期其它第16题

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值->整式乘除化简求值-整体代入化简求值

课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义


2014年第31届全国全国初中数学联赛竞赛第8题7分

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质

由条件得$$\frac{7}{8}\textless{}\frac{k}{n}\textless{}\frac{8}{9}$$，  由$$k$$的唯一性，得$$\frac{k-1}{n}\leqslant \frac{7}{8}$$且$$\frac{k+1}{n}\geqslant \frac{8}{9}$$，  所以$$\frac{2}{n}=\frac{k+1}{n}-\frac{k-1}{n}\geqslant \frac{8}{9}-\frac{7}{8}=\frac{1}{72}$$，  所以$$n\leqslant 144$$．  当$$n=144$$时，由$$\frac{7}{8}\textless{}\frac{k}{n}\textless{}\frac{8}{9}$$可得$$126\textless{}k\textless{}128$$，$$k$$可取唯一整数值$$127$$．  故满足条件的正整数$$n$$的最大值为$$144$$．


2008年第19届希望杯初一竞赛第1试第10题4分

$$\triangle ABC$$的三个内角$$A$$，$$B$$，$$C$$的外角依次记为$$\alpha $$，$$\beta $$，$$\gamma $$，若$$\beta =2B$$，$$\alpha -\gamma =40{}^{}\circ $$，则三个内角$$A$$，$$B$$，$$C$$的度数依次是．

$$60{}^{}\circ $$，$$60{}^{}\circ $$，$$60{}^{}\circ $$

$$30{}^{}\circ $$，$$60{}^{}\circ $$，$$90{}^{}\circ $$

$$40{}^{}\circ $$，$$60{}^{}\circ $$，$$80{}^{}\circ $$

$$50{}^{}\circ $$，$$60{}^{}\circ $$，$$70{}^{}\circ $$

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形的外角定义及性质

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形内角和的应用

课内体系->思想->方程思想


初一下学期其它 2000年第11届希望杯初二竞赛第2试第1题

$$-\frac{1999}{2000}\textless{}-\frac{1998}{1999}\textless{}-\frac{999}{1000}\textless{}-\frac{998}{999}$$

$$-\frac{998}{999}\textless{}-\frac{999}{1000}\textless{}-\frac{1998}{1999}\textless{}-\frac{1999}{2000}$$

$$-\frac{1998}{1999}\textless{}-\frac{1999}{2000}\textless{}-\frac{999}{1000}\textless{}-\frac{998}{999}$$

$$-\frac{999}{1000}\textless{}-\frac{998}{999}\textless{}-\frac{1999}{2000}\textless{}-\frac{1998}{1999}$$

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性


2007年第12届华杯赛初一竞赛第3题

全班$$43$$名同学参加校庆，每人不是持彩旗，就是举鲜花．现有$$10$$位男同学持彩旗，$$30$$人举鲜花．如果全班有$$15$$名女同学，问：她们中有多少人举鲜花?

课内体系->知识点->四边形->平面向量->向量的分解与线性组合 竞赛->知识点->组合->容斥原理

全班持彩旗的人数为$$43-30=13$$（人），其中持彩旗的女同学有$$13-10=3$$（人）．由于全班女同学共$$15$$人，所以女同学中举鲜花的人数为$$15-3=12$$（人）．


2019年第2届浙江宁波余姚市余姚市实验学校初二竞赛第1题5分

课内体系->知识点->统计与概率->数据的分析->统计综合 课内体系->知识点->统计与概率->数据的分析->平均数/加权平均数 课内体系->知识点->统计与概率->数据的分析->方差


2019~2020学年9月湖北武汉武昌区武汉市武珞路实验初级中学初三上学期周测A卷第8题3分

2004年第21届全国初中数学联赛竞赛第5题

已知$${{b}^{2}}-4ac$$是一元二次方程$$a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a\ne 0 \right)$$的一个实数根，则$$ab$$的取值范围为．

$$ab\geqslant \frac{1}{8}$$

$$ab\leqslant \frac{1}{8}$$

$$ab\geqslant \frac{1}{4}$$

$$ab\leqslant \frac{1}{4}$$

课内体系->能力->运算能力

课内体系->能力->推理论证能力

课内体系->思想->方程思想

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->由一元二次方程根的情况确定参数

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->一元二次方程根的判别式

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程的基础->一元二次方程的根


2014年全美数学竞赛（AMC）竞赛

昨天，四个孩子在城市医院出生。假设每个孩子都有可能是男孩或女孩。以下哪种结果最有可能？  Four children were born at City Hospital yesterday. Assume each child is equally likely to be a boy or a girl. Which of the following outcomes is most likely?．

all $$4$$ are boys  4个都是男孩

all $$4$$ are girls  四个都是女孩

$$2$$ are girls and $$2$$ are boys  2个女孩和$$2$$个男孩

$$3$$ are of one gender and $$1$$ is of the other gender  3个是同一种性别，$$1$$个是另一种性别

all of these outcomes are equally likely  所有这些结果都有同样的可能性

课内体系->知识点->统计与概率->概率->可能性的大小

美国AMC8->Knowledge Point->Counting, Probability and Statistics->Statistical Distribution

城市医院昨日诞下四名婴儿．假设每个婴儿各可能有一半几率为男孩或女孩．则下列哪个事件最有可能？  A．$$4$$个男婴  B．$$4$$个女婴  C．$$2$$男婴$$2$$女婴  D．$$3$$个为一种性别，另一个为异性  E．以上事件皆等可能  我们先把例子分析一下．$$A$$发生的概率为$${{\left( \frac{1}{2} \right)}^{4}}=\frac{1}{16}$$，$$B$$发生的概率为$${{\left( \frac{1}{2} \right)}^{4}}=\frac{1}{16}$$．$$C$$发生的概率为$$\left( \begin{matrix}4    2   \end{matrix} \right)\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{4}}=\frac{3}{8}$$．因为我们需要从$$4$$个孩子中选择$$2$$个成为女孩．  $$D$$方面，有两种可能的情况，即$$3$$个女孩和$$1$$个男孩或$$3$$个男孩和$$1$$个女孩．第一种情况的概率就$$\left( \begin{matrix}4    1   \end{matrix} \right)\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{4}}=\frac{1}{4}$$．因为我们需要从四个孩子中选择一个成为男孩．但是，第二种情况也有同样的可能性，因为我们在$$4$$个孩子中选择了$$1$$个是女孩，所以总的可能性是$$\frac{1}{4}\cdot 2=\frac{1}{2}$$．  所以在四个分数中，$$D$$就最大的．所以我们的答案是$$3$$ are of one gender and $$1$$ is of the other gender．  故选$$\text{D}$$．  可能性列在帕斯卡三角形的第四行，最左边的$$1$$是所有男孩的可能性，最右边的$$1$$是所有女孩的可能性．由于 pascal 的三角形第四行为$$1$$，$$4$$，$$6$$，$$4$$，$$1$$，$$6$$，均为每个性别的两个孩子的可能性，因此共有$$8$$个可能性，其中一个性别的三个孩子和另一个性别的一个孩子．由于总共有$$2^{4}=16$$个儿童性别的可能性．  故选$$\text{D}$$．  We\textquotesingle ll just start by breaking cases down. The probability of $$A$$ occurring is $${{\left( \frac{1}{2} \right)}^{4}}=\frac{1}{16}$$. The probability of $$B$$ occurring is $${{\left( \frac{1}{2} \right)}^{4}}=\frac{1}{16}$$.  The probability of $$C$$ occurring is $$\left( \begin{matrix}4    2   \end{matrix} \right)\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{4}}=\frac{3}{8}$$, because we need to choose $$2$$ of the $$4$$ children to be girls.  For $$D$$, there are two possible cases, $$3$$ girls and $$1$$ boy or $$3$$ boys and $$1$$ girl. The probability of the first case is $$\left( \frac{4}{1} \right)\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{4}}=\frac{1}{4}$$ because we need to choose $$1$$ of the $$4$$ children to be a boy. However, the second case has the same probability because we are choosing $$1$$ of the $$4$$ children to be a girl, so the total probability is $$\frac{1}{4}\cdot 2=\frac{1}{2}$$.  So out of the four fractions, $$D$$ is the largest. So our answer is $$\left( \text{D} \right)$$ $$3$$ of one gender and $$1$$ of the other.  The possibilities are listed out in the fourth row of Pascal\textquotesingle s triangle, with the leftmost $$1$$ being the possibility of all boys and the rightmost $$1$$ being the possibility of all girls. Since the fourth row of Pascal\textquotesingle s Triangle goes $$1$$, $$4$$, $$6$$, $$4$$, $$1$$ and $$6$$ are all the possibilities of two children from each gender, there are a total of $$8$$ possibilities of three children from one gender and one from the other. Since there are a total of $${{2}^{4}}=16$$ total possibilities for the gender of the children, $$\text{D}$$ has the highest probability.


1997年第8届全国希望杯初一竞赛复赛第3题

文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边$$20$$米处，玩具店位于书店东边$$100$$米处，小明从书店沿街向东走了$$40$$米，接着又向东走了$$-60$$米，此时小明的位置在（~ ）．

文具店

玩具店

文具店西边$$40$$米

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数加法->有理数加法运算

课内体系->能力->运算能力

向东走了$$-60$$米就是向西走了$$60$$米．  所以，小明从书店向东走了$$40$$米，再向西走$$60$$米，  结果是小明的位置在书店西边$$20$$米，也就是文具店的位置．


2019~2020学年5月四川绵阳涪城区绵阳南山中学双语学校初一下学期月考第12题3分

2017~2018学年湖南长沙开福区青竹湖湘一外国语学校初一下学期期中第12题3分

2019~2020学年天津和平区天津市益中学校初一下学期单元测试《不等式》第8题

2007年第18届希望杯初二竞赛第2试第7题

已知关于$$x$$的不等式组$$\begin{cases}2a+3x\textgreater0    3a-2x\geqslant 0   \end{cases}$$恰有$$3$$个整数解，则$$a$$的取值范围是（~ ~）．

$$\frac{2}{3}\leqslant a\leqslant \frac{3}{2}$$

$$\frac{4}{3} ~\textless{} ~a\leqslant \frac{3}{2}$$

$$\frac{4}{3}\leqslant a ~\textless{} ~\frac{3}{2}$$

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->由不等式（组）的整数解情况求参数范围

课内体系->能力->运算能力

由于不等式组有解，则$$-\frac{2a}{3} ~\textless{} ~x\leqslant \frac{3a}{2}$$，必定有整数解$$0$$，  ∵$$\left\textbar{} \frac{3a}{2} \right\textbar\textgreater\left\textbar{} -\frac{2a}{3} \right\textbar$$，  ∴三个整数解不可能是$$-2$$，$$-1$$，$$0$$．  若三个整数解为$$-1$$，$$0$$，$$1$$，则不等式组$$\begin{cases}1\leqslant \frac{3a}{2} ~\textless~ 2   -3\leqslant -\frac{2a}{3} ~\textless~ -2   \end{cases}$$无解；  若三个整数解为$$0$$，$$1$$，$$2$$，则$$\begin{cases}2\leqslant \frac{3a}{2} ~\textless{} ~3    -1\leqslant -\frac{2a}{3} ~\textless{} ~0   \end{cases}$$，  解得$$\frac{4}{3}\leqslant a\leqslant \frac{3}{2}$$．  故选$$\text{B}$$．


2013年第24届全国希望杯初二竞赛初赛第10题4分

小王与小李约定下午$$3$$点在学校门口见面，为此，他们在早上$$8$$点将自己的手表对准，小王于下午$$3$$点到达学校门口，可是小李还没到，原来小李的手表比正确时间每小时慢$$4$$分钟．如果小李按他自己的手表在$$3$$点到达，则小王还需要等（~ ）．（正确时间）

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的和差倍分

课内体系->能力->分析和解决问题能力

课内体系->能力->运算能力

小李的表在$$7$$小时内比正确时间慢$$7\times 4=28$$分．  下午$$3$$时的时候，小李的表才$$2$$时$$32$$分，  小李的表走$$28$$分，正确的时间是$$28\times \frac{60}{56}=30$$（分）．


2015年第26届全国希望杯初三竞赛初赛第3题

掷$$2$$次骰子，第一次掷出的点数（骰子落地后，朝上一面的点数）记为$$a$$，第二次掷出的点数记为$$b$$，则点$$(a  ,  b)$$在直线$$y=2x$$上的概率为（~ ）．

课内体系->知识点->统计与概率->概率->概率的定义 课内体系->思想->数形结合思想


1996年第7届希望杯初二竞赛第10题4分

有一架不准确的天平（左臂长为$$a$$厘米，右臂长为$$b$$厘米，$$a\ne b$$）某人用它来计量某件重物．先将重物放在左盘，砝码放在右盘，需用$${{m}_{1}}$$千克使天平平衡；然后再将重物放在右盘，砝码放在左盘，需用$${{m}_{2}}$$千克使天平平衡，于是用$$Q=\frac{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}{2}$$千克估算重物的实际重量，若重物的实际重量为$$P$$千克，那么．

$$Q\textgreater P$$

$$Q=P$$

$$Q\leqslant P$$

$$Q ~\textless{} ~P$$

竞赛->知识点->数与式->整式->乘法公式


2012年第29届全国全国初中数学联赛竞赛A卷第11题20分 2012年全国全国初中数学联赛初一竞赛

已知直角三角形的边长均为整数，周长为$$30$$，则它的外接圆的面积为．

$$\frac{121}{4} \pi $$

$$\frac{169}{4} \pi $$

$$\frac{225}{4} \pi $$

以上答案都不对

课内体系->知识点->三角形->勾股定理及应用->勾股定理基础->勾股定理的证明

课内体系->知识点->三角形->勾股定理及应用->勾股定理应用->勾股定理的综合应用

课内体系->知识点->圆->圆与多边形->正多边形与圆

设直角三角形的三边长分别为$$a$$，$$b$$，$$c$$（$$a\leqslant b\textless{}c$$），则$$a+b+c=30$$．  显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长$$c$$，下面先求$$c$$的值．  由$$a\leqslant b\textless{}c$$及$$a+b+c=30$$得$$30=a+b+c\textless{}3c$$，  所以$$c\textgreater10$$．  由$$a+b\textgreater c$$及$$a+b+c=30$$得$$30=a+b+c\textgreater2c$$，  所以$$c\textless{}15$$．  又因为$$c$$为整数，  所以$$11\leqslant c\leqslant 14$$．  根据勾股定理可得$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}$$，  把$$c=30-a-b$$代入，化简得$$ab-30(a+b)+450=0$$，  所以$$(30-a)(30-b)=450=2\times {{3}^{2}}\times {{5}^{2}}$$，  因为$$a$$，$$b$$均为整数且$$a\leqslant b$$，  所以只可能是$$\begin{cases}30-a={{5}^{2}}    30-b=2\times {{3}^{2}} \end{cases}$$，解得$$\begin{cases}a=5    b=12 \end{cases}$$，  所以，直角三角形的斜边长$$c=13$$，三角形的外接圆的面积为$$\frac{169}{4} \pi $$．


1994年第11届全国初中数学联赛竞赛第8题6分

课内体系->能力->运算能力 课内体系->能力->推理论证能力 课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->幂的综合运算 课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->幂的乘方 课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->同底数幂的乘法 课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->积的乘方


1992年第3届希望杯初二竞赛第10题

课内体系->能力->运算能力


2018~2019学年10月天津河西区天津市海河中学初三上学期月考第12题3分

2017~2018学年1月陕西西安雁塔区西安市第八十五中学初三上学期月考第10题3分

2019~2020学年12月河北石家庄裕华区石家庄外国语学校初三上学期周测B卷第24题

2018年第20届浙江宁波余姚市余姚市实验学校初三竞赛决赛第8题4分

2017年天津中考真题第12题3分

2017~2018学年山东济宁汶上县初三上学期期末第9题3分

2018年陕西西安新城区西光中学初三中考二模第10题3分

2018年山东德州夏津县初三中考二模第11题4分

2017~2018学年3月陕西咸阳秦都区陕西科技大学附属中学初三下学期月考第1次（四模）第10题3分

2019~2020学年陕西西安雁塔区西安高新逸翠园学校初三上学期期末（西安高新第三中学联考）第8题3分

2017~2018学年浙江杭州拱墅区杭州市文澜中学初三上学期期中第8题3分

2019~2020学年山东威海文登区初三上学期期末（五四制）第8题3分

2017~2018学年2月天津天津市第二南开中学初三下学期月考第11题3分

2017~2018学年陕西西安高新区西安高新第一中学初三上学期期末第8题3分

2019~2020学年天津河北区天津外国语大学附属外国语学校初三上学期期末第10题3分

2017~2018学年9月浙江金华义乌市义乌市绣湖中学初一上学期月考第6题

2019年广东广州荔湾区广雅实验学校初三中考二模第8题3分

已知抛物线$$y={{x}^{2}}-4x+3$$与$$x$$轴相交于点$$A$$，$$B$$（点$$A$$在点$$B$$左侧），顶点为$$M$$．平移该抛物线，使点$$M$$平移后的对应点$${M}'$$落在$$x$$轴上，点$$B$$平移后的对应点$${B}'$$落在$$y$$轴上．则平移后的抛物线解析式为（~ ）．

课内体系->知识点->函数->二次函数->二次函数的几何变换->二次函数平移变换


2009年第14届华杯赛初一竞赛初赛第5题

数学课上，全班同学每人各报一个数．如果男生所报的数之和与女生所报的数之和相等，且男生所报数的平均值是$$-\frac{3}{8}$$，女生所报数的平均值是$$-\frac{1}{4}$$，那么全班同学所报数的平均值是．

竞赛->知识点->方程与不等式->方程应用

设男生人数为$$x$$，女生人数为$$y$$，所有男生所报数的和为$$S$$．根据题意，$$S=-\frac{3}{8}x=-\frac{1}{4}y$$，该班男生与女生的人数之比，与它们的平均数之比成反比，则女生人数是男生人数的$$\frac{y}{x}=\left( -\frac{3}{8} \right)\div \left( -\frac{1}{4} \right)=\frac{3}{2}$$．则女生人数为$$y=\frac{3}{2}x$$．于是，全班所报数的平均数是：$$\frac{-\dfrac{3}{8}\times x+\left( -\dfrac{1}{4} \right)\times \dfrac{3}{2}x}{x+\dfrac{3}{2}x}=\left( -\frac{3}{4} \right)\div \left( 1+\frac{3}{2} \right)=-\frac{3}{10}$$．  故选$$\text{C}$$．


1998年第9届希望杯初二竞赛第2试第1题

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值->整式乘除化简求值-整体代入化简求值

课内体系->能力->运算能力


2018年全美数学竞赛（AMC）竞赛

贝拉开始从她的房子走向她的朋友艾拉的房子．与此同时，艾拉开始骑自行车向贝拉的家走去．他们每个人都保持恒定的速度，$$Ella$$骑的速度是$$Bella$$走路速度的$5$倍．他们家之间的距离是$2$英里，也就是$10560$英尺，贝拉每走一步就走$2.5$英尺．当$$Bella$$遇到$$Ella$$的时候她会走多少步?

美国AMC8->Knowledge Point->Word Problem->Travel Word Problems->Travel Word Problems on Straight Road

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的行程问题->一元一次方程的行程问题-相遇问题

Since Ella rides $$5$$ times as fast as Bella, Ella rides at a rate of $$2.5\times5=12.5$$. Together,they move $$15$$ feet towards each other every "step". Dividing $$10560$$ by $$15$$ to find the number of steps Ella takes results in the answer or $$\boxed{ (\rm A)704}$$.


1998年第9届希望杯初一竞赛第3题

下面的四个判断中，不正确的是．

$$34{{x}^{3}}{{y}^{6}}$$与$$34{{a}^{3}}{{b}^{6}}$$不是同类项

$$4(x-7)=6(5-27x)$$和$$6(5-27y)=4(y-7)$$不是同解方程

竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题


2001年第12届希望杯初二竞赛第1试第3题

大于零

等于零

小于零

正负号不确定

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的四则混合运算

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式化简求值


1999年第10届希望杯初一竞赛第7题 初一上学期其它

$$-\frac{1997}{1998}\textless{}-\frac{97}{98}\textless{}-\frac{1998}{1999}\textless{}-\frac{98}{99}$$

$$-\frac{1998}{1999}\textless{}-\frac{1997}{1998}\textless{}-\frac{98}{99}\textless{}-\frac{97}{98}$$

$$-\frac{97}{98}\textless{}-\frac{98}{99}\textless{}-\frac{1997}{1998}\textless{}-\frac{1998}{1999}$$

$$-\frac{98}{99}\textless{}-\frac{1998}{1999}\textless{}-\frac{97}{98}\textless{}-\frac{1997}{1998}$$

课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性

课内体系->能力->运算能力


2009年第20届希望杯初二竞赛第1试第3题

$$a$$是整数

$$a$$是有理数

$$a$$是无理数

$$a$$可能是有理数，也可能是无理数

课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数运算与参数问题


2014年第25届全国希望杯初二竞赛复赛第10题4分

从$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\cdots $$，$$2014$$中选出不能表示成两个整数的平方差的数，这些数的和是（~ ~ ~）．

课内体系->能力->推理论证能力 竞赛->知识点->数论->同余->完全平方数


1992年第3届希望杯初二竞赛第4题

等腰三角形的周长为$$a\text{cm}$$．一腰的中线将周长分成$$5:3$$，则三角形的底边长为．

竞赛->知识点->三角形->特殊三角形->等腰三角形

设等腰三角形的腰长为$$b\text{cm}$$，底边长为$$c\text{cm}$$，$$c=a-2b$$，分两种情形讨论：  （$$1$$）若$$\dfrac{b+\dfrac{b}{2}}{c+\dfrac{b}{2}}=\frac{5}{3}$$，即$$\frac{\dfrac{3}{2}b}{a-\dfrac{3}{2}b}=\frac{5}{3}$$，  解得$$b=\frac{5}{12}a$$，所以$$c=a-2\times \frac{5}{12}a=\frac{a}{6}$$．  （$$2$$）若$$\frac{c+\dfrac{b}{2}}{b+\dfrac{b}{2}}=\frac{5}{3}$$，即$$\frac{a-\dfrac{3}{2}b}{\dfrac{3}{2}b}=\frac{5}{3}$$，  解得$$b=\frac{a}{4}$$，所以$$c=a-2\times \frac{a}{4}=\frac{a}{2}$$．  这是不可能的，因此选$$\text{A}$$．  事实上，$$\frac{3}{5}a$$已超过$$a$$的一半，即三角形有一边大于其他两边之和，这是不可能的，所以排除$$B$$，$$C$$，$$D$$，．  故选$$\text{A}$$．


1997年第8届全国希望杯初一竞赛初赛第9题

有理数$$a$$、$$b$$满足$$\left\textbar{} a+b \right\textbar\textless{}\left\textbar{} a-b \right\textbar$$，则（~ ）．

$$a+b\geqslant 0$$

$$ab\geqslant 0$$

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值

由$$\left\textbar{} a+b \right\textbar\textless{}\left\textbar{} a-b \right\textbar$$有$${{\left( a+b \right)}^{2}}\textless{}{{\left( a-b \right)}^{2}}$$，  即$${{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\textless{}{{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}$$．  不等式两边都减去$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$$，然后除以$$2$$，则有$$ab\textless{}-ab$$，  只有$$ab\textless{}0$$时才能成立，选$$\text{C}$$．


2018年湖南长沙初二竞赛长郡教育集团（觉园杯）第4题4分 2012年竞赛第4题4分

小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币，小倩对小玲说：``你若给我$$2$$元，我的钱数将是你的$$n$$倍''，小玲对小倩说：``你若给我$$n$$元，我的钱数将是你的$$2$$倍''，其中$$n$$为正整数，则$$n$$的可能值的个数是．

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组应用题

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程->二元一次方程的整数解

课内体系->能力->推理论证能力


2016年第33届全国全国初中数学联赛竞赛第2题7分 2016年上海浦东新区进才中学自主招生第6题10分

三种图书的单价分别为$$10$$元、$$15$$元和$$20$$元，某学校计划恰好用$$500$$元购买上述图书$$30$$本，那么不同的购书方案有（~ ）．

课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->三元一次方程组->三元一次方程组的实际应用

设购买三种图书的数量分别为$$x$$，$$y$$，$$z$$，  则$$\left { \begin{array}{*{35}{l}} x+y+z=30    10x+15y+20z=500   \end{array} \right.$$，  即$$\left { \begin{matrix}y+z=30-x    3y+4z=100-2x   \end{matrix} \right.$$，  解得$$\left { \begin{matrix}y=20-2x    z=10+x   \end{matrix} \right.$$，  依题意得，$$x$$，$$y$$，$$z$$，为自然数（非负整数），  故$$0\leqslant x\leqslant 10$$，$$x$$有$$11$$种可能的取值（分别为$$0$$，$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\cdots $$，$$10$$），  对于每一个$$x$$值，$$y$$和$$z$$都有唯一的值（自然数）相对应，  即不同的购书方案共有$$11$$种．


1993年第4届希望杯初二竞赛第10题

$$a\geqslant 3$$

$$a \textless{} 3$$

$$a\leqslant -3$$

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->解一元一次方程

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程的相关概念->一元一次方程的解

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->不等式（组）解的情况确定参数的范围

原方程即$$\left\textbar3x\right\textbar=ax+1$$．  $$\left(1\right)$$若$$a=3$$时，则$$\left\textbar3x\right\textbar=3x+1$$．  当$$x \textless{} 0$$时，得$$-3x=3x+1$$．所以$$x=-\frac{1}{6}$$；  当$$x\geqslant 0$$时，得$$3x=3x+1$$，不成立．  所以当$$a=3$$时，原方程的根为$$x=-\frac{1}{6}$$．  $$\left(2\right)$$若$$a\textgreater3$$．  当$$x \textless{} 0$$时，得$$-3x=ax+1$$，所以$$x=-\frac{1}{a+3} \textless{} 0$$；  当$$x\geqslant 0$$时，得$$3x=ax+1$$，所以$$x=\frac{1}{3-a} \textless{} 0$$，矛盾．  所以当$$a\textgreater3$$时，原方程的解为$$x=-\frac{1}{a+3} \textless{} 0$$．  $$\left(3\right)$$若$$a \textless{} 3$$  当$$x\geqslant 0$$时，得$$3x=ax+1$$，所以$$x=\frac{1}{3-a}\textgreater0$$，原方程有正根，与题设矛盾．  综上所述，$$a\geqslant 3$$时，原方程的根是负数．  所以应选$$\text{B}$$．


1996年第7届希望杯初二竞赛第1题4分

化简分式$$\left( x-y+\frac{4xy}{x-y} \right)\left( x+y-\frac{4xy}{x-y} \right)$$的结果是．

竞赛->知识点->数与式->分式->分式的基本运算


2006年第17届希望杯初二竞赛第1试第7题

2018~2019学年浙江杭州下城区杭州观成中学初二下学期单元测试《平行四边形》第8题3分

一个凸多边形剪去一个角后形成的多边形的内角和是$$2520{}^{}\circ $$，则原多边形的边数是．

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->多边形->求多边形的内角和 课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->多边形->多边形的内角和定理


2009年第20届希望杯初二竞赛第2试第2题4分

每只玩具熊的售价为$$250$$元．熊的四条腿上各有两个饰物，标号依次为$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\cdots $$， $$8$$．卖家说：``第$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$\cdots $$，$$8$$号饰物依次要收$$1$$，$$2$$，$$4$$，$$8$$，$$\cdots $$，$$128$$元．如果购买全部饰物，那么玩具熊就免费赠送．''若按这样的付费办法，这只熊比原售价便宜了．

课内体系->知识点->数->有理数->有理数与实际问题->有理数加减法与实际问题


2013年全美数学竞赛（AMC）竞赛

美国AMC8->Knowledge Point->Number and Operations->Integers->Addition and subtraction of integers

课内体系->知识点->数->有理数->有理数运算巧解->分组求和


2016年全国全国初中数学联赛初一竞赛

已知$$a$$为实数，关于$$x$$，$$y$$的方程组$$\left { \begin{array}{*{35}{l}} ax+2y=22    2x+2y=a   \end{array} \right.$$有整数解，则$$a$$的个数为．

知识标签->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组->加减消元法解二元一次方程组

知识标签->题型->方程与不等式->二元一次方程（组）->含参二元一次方程组->题型：含参整数解问题

知识标签->题型->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->题型：加减消元法

知识标签->学习能力->运算能力


2012年第29届全国全国初中数学联赛竞赛第5题7分

课内体系->能力->推理论证能力

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->一元二次方程根与系数的关系

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->一元二次方程根的判别式


1993年第4届全国希望杯初一竞赛复赛第9题

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算


2009年第20届希望杯初二竞赛第2试第7题4分

知识标签->方法->作差法

知识标签->学习能力->运算能力

知识标签->知识点->式->因式分解->因式分解：提公因式法

知识标签->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->平方差公式

知识标签->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的三边关系

知识标签->题型->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->题型：与三边关系有关的证明

知识标签->题型->式->因式分解->提公因式法与公式法->题型：提公因式法

知识标签->题型->式->整式的乘除->乘法公式->题型：利用平方差公式计算


2011年第16届华杯赛初一竞赛初赛第5题

对四堆石子进行如下``操作''：每次允许从每堆中各拿掉相同个数的石子，或从任一堆中取出一些石子放入另一堆中．若四堆石子的个数分别为$$2011$$，$$2010$$，$$2009$$，$$2008$$，则按上述方式进行若干次``操作''后，四堆石子的个数可能是．

竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质


1993年第4届希望杯初二竞赛第15题

竞赛->知识点->方程与不等式->二次方程->方程的构造


把$$2009$$表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有．

课内体系->知识点->式->因式分解->公式法->利用平方差公式因式分解 课内体系->能力->分析和解决问题能力 课内体系->能力->运算能力


2008年第19届希望杯初二竞赛第1试第8题

初二（$$1$$）班有$$48$$名同学，其中有男同学$$n$$名，将他们编成$$1$$号，$$2$$号，$$\cdots $$，$$n$$号，在寒假期间，$$1$$号给$$3$$名同学打过电话，$$2$$号给$$4$$名同学打过电话，$$3$$号给$$5$$名同学打过电话，$$\cdots \cdots $$，$$n$$号给全班一半同学打过电话，由此可知该班女同学的人数是．

课内体系->知识点->数->有理数->有理数与实际问题


2001年第12届希望杯初二竞赛第1试第10题

在正常情况下，一个司机每天驾车行驶$$t$$小时，且平均速度为$$v$$千米/小时，若他一天内多行驶$$1$$小时，平均速度比平时快$$5$$千米/小时，则比平时多行驶$$70$$千米，若他一天内少行驶$$1$$小时，平均速度比平时慢$$5$$千米/小时，他将比平时少行驶．

竞赛->知识点->方程与不等式->二次方程->二元二次方程组


2020~2021学年广东深圳龙岗区深圳市百合外国语学校初一下学期单元测试《整式的乘除》第9题3分

2019~2020学年四川成都金牛区成都外国语学校初二下学期单元测试《因式分解》第8题2分

$$x\leqslant y$$

$$x\geqslant y$$

$$x\textless{}y$$

$$x\textgreater{}y$$

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->配方思想的运用 课内体系->能力->运算能力


2014年第25届全国希望杯初二竞赛初赛第6题4分

若关于$$x$$的不等式组$$\left { \begin{matrix} 2-3x\geqslant 0    2x+m\textgreater0   \end{matrix} \right.$$没有实数解，则实数$$m$$的取值范围是（~ ）．

$$m\leqslant -\frac{4}{3}$$

$$m\geqslant -\frac{4}{3}$$

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->一元一次不等式组的解集

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->解一元一次不等式组

解不等式组$$\left { \begin{matrix} 2-3x\geqslant 0    2x+m\textgreater0   \end{matrix} \right.$$可得$$\left { \begin{matrix}x\leqslant \dfrac{2}{3}    x\textgreater-\dfrac{m}{2}   \end{matrix} \right.$$．  因为原不等式组没有实数解，  所以$$-\frac{m}{2}\geqslant \frac{2}{3}$$，  解得$$m\leqslant -\frac{4}{3}$$．


初一上学期单元测试《有理数》数轴的概念及应用第10题 1995年第6届全国希望杯初一竞赛复赛第5题

数轴上坐标是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是$$1$$厘米，若在这数轴上随意画出一条长为$$1995$$厘米的线段$$AB$$，则线段$$AB$$盖住的整点有个．

知识标签->题型->数->有理数->数轴与有理数有关的概念->题型：数轴上的规律探究

知识标签->知识点->数->有理数->数轴

知识标签->学习能力->空间想象能力

知识标签->学习能力->运算能力

若所画的长为$$1995$$厘米的线段的两个端点$$A$$与$$B$$均为整点时，  此时线段$$AB$$盖住的整点个数是$$1995+1=1996$$个．  若$$A$$点不是整点，则$$B$$点也不是整点，此时线段$$AB$$盖住的整点个数为$$1995$$个，  所以长为$$1995$$厘米的线段盖住的整点是$$1995$$个，  所以长为$$1995$$厘米的线段盖住的整点是$$1995$$或$$1996$$个．选$$\text{C}$$．


1991年第2届全国希望杯初一竞赛复赛第6题

$$a$$，$$b$$，$$c$$均为有理数．在下列两个结论中，（~ ）．  甲：若$$a\textgreater b$$，则$$a{{c}^{2}}\textgreater b{{c}^{2}}$$．  乙：若$$a{{c}^{2}}\textgreater b{{c}^{2}}$$，则$$a\textgreater b$$．

甲、乙都真

甲真，乙不真

甲不真，乙真

甲、乙都不真

课内体系->知识点->几何图形初步->命题与证明 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质

若$$c=0$$，甲不正确．  对于乙，若$$a{{c}^{2}}\textgreater b{{c}^{2}}$$，可推出$$c\ne 0$$，∴$${{c}^{2}}\textgreater0$$，进而推出$$a\textgreater b$$，乙正确．选$$\text{C}$$．


2016年第27届全国希望杯初二竞赛初赛第2题4分

在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．若一次函数$$y=x-3$$与$$y=kx-k$$（$$k$$为整数）的图象的交点是整点，则$$k$$的不同取值的个数是．

课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数与方程、不等式->一次函数与二元一次方程组

课内体系->能力->推理论证能力


2020~2021学年北京海淀区清华大学附属初级中学初一上学期期中第9题2分

1997年第8届希望杯初二竞赛第2试第2题

2019~2020学年3月浙江杭州滨江区杭州二中白马湖学校初一下学期周测C卷第8题

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->因式分解->其他方法->拆添项法


2015年第32届全国全国初中数学联赛竞赛A卷第6题7分

竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质

竞赛->知识点->数论->同余->剩余系及其应用

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算


2001年第12届希望杯初二竞赛第1试第6题

已知$$\triangle ABC$$中，$$\angle B=60{}^{}\circ $$，$$\angle C\textgreater\angle A$$，且$${{(\angle C)}^{2}}={{(\angle A)}^{2}}+{{(\angle B)}^{2}}$$，则$$\triangle ABC$$的形状是．

锐角三角形

直角三角形

钝角三角形

直角或钝角三角形

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形内角和的应用


2012年第23届全国希望杯初二竞赛初赛第2题4分

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算

课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->利用幂的乘方比较大小

课内体系->能力->运算能力


2012年竞赛第2题3分

在平面直角坐标系$$xOy$$中，满足不等式$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\leqslant 2x+2y$$的整数点坐标$$\left( x,y \right)$$的个数为．

课内体系->知识点->函数->平面直角坐标系->坐标系综合->坐标与距离

由题设$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\leqslant 2x+2y$$，得$$0\leqslant {{\left( x-1 \right)}^{2}}{{\left( y-1 \right)}^{2}}\leqslant 2$$，  因为$$x$$，$$y$$均为整数，所以有  $$\begin{cases}{{(x-1)}^{2}}=0    {{\left( y-1 \right)}^{2}}=0   \end{cases}$$或$$\begin{cases}{{\left( x-1 \right)}^{2}}=0    {{\left( y-1 \right)}^{2}}=1   \end{cases}$$或 $$\begin{cases}{{\left( x-1 \right)}^{2}}=1    {{\left( y-1 \right)}^{2}}=0   \end{cases}$$或$$\begin{cases}{{\left( x-1 \right)}^{2}}=1    {{\left( y-1 \right)}^{2}}=1   \end{cases}$$，  解得：$$\begin{cases}x=1    y=1   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=1    y=2   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=1    y=0   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=0    y=1   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=0    y=0   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=0    y=2   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=2    y=1   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=2    y=0   \end{cases}$$；$$\begin{cases}x=2    y=2   \end{cases}$$，  以上共计$$9$$对$$(x,y)$$．  故选：$$\text{B}$$．


2009年全美数学竞赛（AMC）竞赛

一个长方形长变为原来的$$1.5$$倍，宽减少20\%，则原面积占新面积的几分之几？ ．

美国amc8->知识点->几何->直线型->几何模型

在维度为$$10\times 10$$的矩形中，新的矩形将具有维度为$$15\times 8$$，新区域与旧区域比例为$$\frac{100}{120}=\frac{5}{6}$$．


1992年第9届全国初中数学联赛竞赛第2题 初三上学期其它

$$\Delta \textgreater M$$

$$\Delta =M$$

$$\Delta \textless{}M$$

不能确定


2006年第17届希望杯初一竞赛复赛第3题4分 2018~2019学年湖南常德澧县初一上学期期中第8题3分 2015~2016学年上海长宁区上海市复旦初级中学初一上学期期中第18题2分 2012~2013学年广东广州海珠区中山大学附属中学初一上学期期中第7题3分

在代数式$$x{{y}^{2}}$$中，$$x$$和$$y$$的值各减少$$25 \%$$，则该代数式的值减少了（~ ）．

$$50 \%$$

$$75 \%$$

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->整式乘除与实际问题 课内体系->能力->运算能力


2016年第27届全国希望杯初二竞赛复赛第9题4分

$$a$$和$$b$$都是个位数字和十位数字相同的两位数，$$c$$是各位数字都相同的四位数，且$${{a}^{2}}+b=c$$，则$$a+b+c$$的最大值和最小值的差是（~ ）．

课内体系->方法->枚举法 课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->不定方程 课内体系->思想->分类讨论思想


1993年第4届希望杯初二竞赛第10题

$$a\geqslant 3$$

$$a \textless{} 3$$

$$a\leqslant -3$$

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->不等式（组）解的情况确定参数的范围

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程的相关概念->一元一次方程的解

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->解一元一次方程

原方程即$$\left\textbar3x\right\textbar=ax+1$$．  $$\left(1\right)$$若$$a=3$$，则$$\left\textbar3x\right\textbar=3x+1$$．  当$$x \textless{} 0$$时，得$$-3x=3x+1$$．所以$$x=-\frac{1}{6}$$；  当$$x\geqslant 0$$时，得$$3x=3x+1$$，不成立．  所以当$$a=3$$时，原方程的根为$$x=-\frac{1}{6}$$．  $$\left(2\right)$$若$$a\textgreater3$$．  当$$x \textless{} 0$$时，得$$-3x=ax+1$$，所以$$x=-\frac{1}{a+3} \textless{} 0$$；  当$$x\geqslant 0$$时，得$$3x=ax+1$$，所以$$x=\frac{1}{3-a} \textless{} 0$$，矛盾．  所以当$$a\textgreater3$$时，原方程的解为$$x=-\frac{1}{a+3} \textless{} 0$$．  $$\left(3\right)$$若$$a \textless{} 3$$．  当$$x\geqslant 0$$时，得$$3x=ax+1$$，所以$$x=\frac{1}{3-a}\textgreater0$$，原方程有正根，与题设矛盾．  综上所述，$$a\geqslant 3$$时，原方程的根是负数．  所以应选$$\text{B}$$．


1996年全美数学竞赛（AMC）竞赛

在一个圆形区域内随机选择一个点．此点距离圆心比距离圆周更近的概率是多少?

$$\frac 14$$

$$\frac 13$$

$$\frac 12$$

$$\frac 23$$

$$\frac 34$$

美国AMC8->Knowledge Point->Counting, Probability and Statistics->Geometric Probability

课内体系->知识点->统计与概率

在一个圆形区域内随机选择一个点．此点圆心比离圆周更近的概率是多少?  画一个半径为$$2$$的圆．画一个半径为$$1$$的同心圆．这个内圆的边缘是所有点的集合，到中心和外圆分别为$$1$$和$$1$$．换句话说，它是到圆心与大圆等距的所有点的集合．半径为$$1$$的圆的内侧是所有点的集合，这些点比外圆的边界更靠近区域的中心．``垫圈''区域在半径$$1$$的圆外，但在半径$$2$$的圆内，是所有靠近边界而不是圆心的点的集合．  如果在区域$$B$$中选择一个随机点，则该点位于较小子区域$$A$$中的概率为$$\frac{A}{B}$$的比率．在这种情况下，$$B= \pi \cdot {{2}^{2}}=4 \pi $$，$$A= \pi \cdot {{1}^{2}}= \pi $$，面积比是$$\frac{ \pi }{4 \pi }=\frac{1}{4}$$．  故选$$\text{A}$$．  Draw a circle with a radius of $$2$$ . Draw a concentric circle with radius $$1$$ . The edge of this nner circle is the set of all points that are $$1$$ from the center, and $$1$$ from the outer circle. In other words, it is the set of all points that are equidistan t from the center of the circles to the outside of the big circle.  The inside of this circle of radius $$1$$ is the set of all points that are closer to the center of the region than to the boundary of the outer circle. The "washer" region that is outside the circle of radius $$1$$, but inside the circle of radius $$2$$, is the set of all points that are closer to the boundary than to the center of the circle.  If you select a random point in a region of area $$B$$, the probability that the point is in a smaller subregion $$A$$ is the ratio$$\frac{A}{B}$$. In this case, $$B=\pi \cdot {{2}^{2}}=4\pi $$,~ and $$A=\pi \cdot {{1}^{2}}=\pi $$, and the ratio of areas is $$\frac{\pi }{4\pi }=\frac{1}{4}$$, and the answer is $$\text{A}$$．


1991年第2届全国希望杯初一竞赛初赛第15题

浓度为$$p \%$$的盐水$$m$$公斤与浓度为$$q \%$$的盐水$$n$$公斤混合后的溶液浓度是（~ ）．

$$\frac{p+q}{2} \%$$

$$(mp+nq) \%$$

$$\frac{(mp+nq)}{p+q} \%$$

$$\frac{(mp+nq)}{m+n} \%$$

课内体系->能力->分析和解决问题能力 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->代数式->列代数式

设混合溶液浓度为$$x$$，则$$m\times p \%+n\times q \%=(m+n)x$$．  $$x=\frac{mp+nq}{m+n} \%$$．选$$\text{D}$$．


2001年第12届希望杯初二竞赛第2试第4题

若$$\left\textbar{} a \right\textbar{} ~\textless{} ~\left\textbar{} c \right\textbar$$，$$b=\frac{a+c}{2}$$，$$\left\textbar{} b \right\textbar{} ~\textless{} ~2\left\textbar{} a \right\textbar$$，$${{S}_{1}}=\left\textbar{} \frac{a-b}{c} \right\textbar$$，$${{S}_{2}}=\left\textbar{} \frac{b-c}{a} \right\textbar$$，$${{S}_{3}}=\left\textbar{} \frac{a-c}{b} \right\textbar$$，则$${{S}_{1}}$$，$${{S}_{2}}$$，$${{S}_{3}}$$的大小关系是．

$${{S}_{1}}\textless{{S}_{2}}\textless{{S}_{3}}$$

$${{S}_{1}}\textgreater{{S}_{2}}\textgreater{{S}_{3}}$$

$${{S}_{1}}\textless{{S}_{3}}\textless{{S}_{2}}$$

$${{S}_{1}}\textgreater{{S}_{3}}\textgreater{{S}_{2}}$$

竞赛->知识点->数与式->绝对值->绝对值的代数意义

因为$$b=\frac{a+c}{2}$$，  所以$${{S}_{1}}=\left\textbar{} \frac{a-b}{c} \right\textbar=\left\textbar{} \frac{a-\dfrac{a+c}{2}}{c} \right\textbar=\left\textbar{} \frac{a-c}{2c} \right\textbar$$.  $${{S}_{2}}=\left\textbar{} \frac{b-c}{a} \right\textbar=\left\textbar{} \frac{\dfrac{a+c}{2}-c}{a} \right\textbar=\left\textbar{} \frac{a-c}{2a} \right\textbar$$，  因为$$\left\textbar{} a \right\textbar{} ~\textless{} ~\left\textbar{} c \right\textbar$$，  所以$${{S}_{1}} ~\textless{} ~{{S}_{2}}$$，  又$$\left\textbar{} b \right\textbar{} ~\textless{} ~2\left\textbar{} a \right\textbar$$，  所以$${{S}_{3}}=\textbar\frac{a-c}{b}\textbar\textgreater\textbar\frac{a-c}{2a}\textbar={{S}_{2}}$$  所以$${{S}_{1}} ~\textless{} ~{{S}_{2}} ~\textless{} ~{{S}_{3}}$$．选$$\text{A}$$．


2019年第1届广东深圳罗湖区深圳中学初一竞赛（凤凰木杯）第9题3分

已知$$a{{x}^{\left\textbar{} a+2 \right\textbar}}+3x+1$$为一次多项式，则$$a$$的所有取值之和为 ．

竞赛->知识点->数与式->整式->对称多项式

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->多项式->由多项式的项和次数求参数的值


2016年第27届全国希望杯初二竞赛初赛第1题4分

$$\angle C=\angle {{C}_{1}}$$，$$AC={{A}_{1}}{{C}_{1}}$$，$$AD={{A}_{1}}{{D}_{1}}$$

$$\angle B=\angle {{B}_{1}}$$，$$AB={{A}_{1}}{{B}_{1}}$$，$$AC={{A}_{1}}{{C}_{1}}$$

$$AD={{A}_{1}}{{D}_{1}}$$，$$BD={{B}_{1}}{{D}_{1}}$$，$$CD={{C}_{1}}{{D}_{1}}$$

$$\angle BAD=\angle {{B}_{1}}{{A}_{1}}{{D}_{1}}$$，$$AB={{A}_{1}}{{B}_{1}}$$，$$AD={{A}_{1}}{{D}_{1}}$$

课内体系->知识点->三角形->全等三角形->全等三角形的判定->SAS


2011年第22届全国希望杯初二竞赛复赛第1题4分

$$B\textgreater C$$

$$B=C$$

$$B\textless{}C$$

$$uncertain$$

课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数的估算 课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数大小的比较

因为$$\sqrt[3]{2}\textless{}\sqrt{2}$$，  则由题设得$$B=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt[3]{2}}A\textgreater\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}A=\sqrt{3}$$，  而$$C=\sqrt{2.9}\textless{}\sqrt{3}$$，  所以$$B\textgreater C$$．


1993年第4届全国希望杯初一竞赛初赛第3题

若$$a\textless{}b$$，则$$(a-b)\left\textbar{} a-b \right\textbar$$等于（~ ）．

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->已知范围化简绝对值 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性

因为$$a\textless{}b$$，所以$$a-b\textless{}0$$，此时$$\left\textbar{} a-b \right\textbar=b-a$$．  所以$$(a-b)\left\textbar{} a-b \right\textbar=(a-b)(b-a)=-(a-b)(a-b)=-{{(a-b)}^{2}}$$，选$$\text{D}$$．


2017年第19届浙江宁波余姚市余姚市实验学校初三竞赛（实验杯）第3题4分

定义一种运算：$${\text{C}_{m}}^{n}=\frac{m\times \left( m-1 \right)\times \left( m-2 \right)\times \cdots~ \times \left( m-n+1 \right)}{n\times \left( n-1 \right)\times \left( n-2 \right)\times \cdots~ \times 1}$$，则$${\text{C}_{5}}^{3}=$$．

竞赛->知识点->组合->排列与组合

∵$$\text{C}_{m}^{n}=\frac{m\times \left( m-1 \right)\times \left( m-2 \right)\times \cdots~ \times \left( m-n+1 \right)}{n\times \left( n-1 \right)\times \left( n-2 \right)\times \cdots \times 1}$$，  ∴$$\text{C}_{5}^{3}=\frac{5\times 4\times \left( 5-3+1 \right)}{3\times 2\times 1}=\frac{5\times 4\times 3}{6}=10$$．  故选$$\text{A}$$．


1996年第13届全国初中数学联赛竞赛第1题

$$M\textgreater N$$

$$M=N$$

$$M\textless{}N$$

不确定

课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加法运算


2018年山东淄博临淄区初三中考一模第6题4分

2019~2020学年9月四川达州渠县四川省渠县中学初三上学期月考第8题3分

2018年浙江宁波余姚市余姚市实验学校初二竞赛第2题5分

2018~2019学年山东济宁曲阜市初三上学期期中第7题3分

2017~2018学年山东临沂蒙阴县初三上学期期末第6题3分

2018~2019学年山东济宁曲阜市曲阜市实验中学初三上学期期中第7题3分

2017~2018学年广东东莞市万江区东莞市北师大翰林实验学校初三上学期期中第6题3分

2018年陕西西安灞桥区西安铁一中滨河学校初三中考四模第6题3分

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->一元二次方程根与系数的关系

课内体系->能力->运算能力


2006年第17届希望杯初二竞赛第1试第4题

$$\pm \frac{\sqrt{2}}{6}$$

$$\pm \frac{1}{6}$$

竞赛->知识点->数与式->整式->乘法公式 课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->配方思想的运用


1992年第3届全国希望杯初一竞赛复赛第4题

奇数

偶数

负整数

非负整数

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数减法->有理数加减混合运算


1998年第9届希望杯初一竞赛第8题

竞赛->知识点->数论->同余->同余的概念与进制性质

竞赛->知识点->数论->同余->剩余系及其应用

课内体系->能力->运算能力

课内体系->能力->推理论证能力


2010年第21届全国希望杯初一竞赛复赛第1题4分

课内体系->知识点->数->有理数->相反数->相反数的定义 课内体系->知识点->数->有理数->相反数->相反数的性质


2018年全美数学竞赛（AMC）竞赛

$$\rm Bella$$從自己家向$$\rm Ella$$的房子前進．與此同時 $$\rm Ella$$ 騎車朝 $$Bella$$ 的家行進．她們各自保持恒定速度，且$$\rm Ella$$的速度是$$\rm Bella$$的$$5$$倍．她們的房子相距$$2$$英裏，即$$10560$$英尺，又知$$\rm Bella$$每步前进 $$2.5$$英尺．在她們相遇時$$B$$走了多少步？  Bella begins to walk from her house toward her friend Ella\textquotesingle s house. At the same time, Ella begins to ride her bicycle toward Bella\textquotesingle s house. They each maintain a constant speed, and Ella rides $$5$$ times as fast as Bella walks. The distance between their houses is $$2$$ miles, which is $$10,560$$ feet, and Bella covers $$2\frac 12$$ feet with each step. How many steps will Bella take by the time she meets Ella?．

Since Ella rides $$5$$ times as fast as Bella, Ella rides at a rate of $$\frac{25}{2}$$ or $${12 \frac{1}{2}}$$. Together,they move $$15$$ feet towards each other every unit. Dividing $$10560$$ by $$15$$ to find the number of steps Ella takes results in the answer or $$\boxed{ (\rm A)704}$$.

Since Ella rides $$5$$ times faster than Bella, the ratio of their speeds is $$5:1$$. This means that Bella travels $$\frac{1}{6}$$ of the way, and $$\frac{1}{6}$$ of $$10560$$ feet is $$1760$$ feet. Bella also walks $$2.5$$ feet in a step, and $$1760$$ divided by $$2.5$$ is $$704$$.


2011年第22届全国希望杯初二竞赛初赛第2题4分

一辆汽车从$$A$$地匀速驶往$$B$$地，如果汽车行驶的速度增加$$a \%$$，则所用的时间减少$$b \%$$，则$$a$$，$$b$$的关系是（~ ）．

$$b=\frac{100a}{1+a \%}$$

$$b=\frac{100}{1+a \%}$$

课内体系->能力->分析和解决问题能力

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的行程问题->一元一次方程的行程问题-变速问题


1991年第2届全国希望杯初一竞赛复赛第5题

如果$$1\textless{}x\textless{}2$$，则代数式$$\frac{\left\textbar{} x-2 \right\textbar}{x-2}-\frac{\left\textbar{} x-1 \right\textbar}{x-1}+\frac{\left\textbar{} x \right\textbar}{x}$$的值是（~ ）．

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->|a|/a的化简 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性

当$$1\textless{}x\textless{}2$$时，$$x\textgreater0$$，$$x-1\textgreater0$$，$$x-2\textless{}0$$．  ∴$$\left\textbar{} x \right\textbar=x$$，$$\left\textbar{} x-1 \right\textbar=x-1$$，$$\left\textbar{} x-2 \right\textbar=2-x$$．  ∴$$\frac{\left\textbar{} x-2 \right\textbar}{x-2}-\frac{\left\textbar{} x-1 \right\textbar}{x-1}+\frac{\left\textbar{} x \right\textbar}{x}=\frac{2-x}{x-2}-\frac{x-1}{x-1}+\frac{x}{x}=-1-(-1)+1=1$$．


初三上学期其它 2018年全国竞赛

~关于$$x$$的方程$$\left\textbar{} \frac{{{x}^{2}}}{x-1} \right\textbar=a$$仅有两个不同的实根．则实数$$a$$的取值范围是（ ~ ~）．

$$a\geqslant 4$$

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->一元二次方程根的判别式

课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->由分式方程的解确定参数

课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->分式方程的解

当$$a\textless{}0$$时，无解；  当$$a=0$$时，$$x=0$$只有一解，不合题意；  当$$a\textgreater0$$时，原方程化为$$\frac{{{x}^{2}}}{x-1}=\pm a$$，整理得  $${{x}^{2}}-ax+a=0$$ ①  或$${{x}^{2}}+ax-a=0$$．②  因为方程②的判别式大于$$0$$，所以方程②有两个不同实根；  又因为原方程仅有两个不同的实根，故必有方程①的判别式小于0，从而$$0\textless{}a\textless{}4$$．


2016年第33届全国全国初中数学联赛竞赛A卷第3题7分 2016年上海浦东新区进才中学自主招生第8题10分

课内体系->知识点->综合与实践->新定义->新定义综合其它

课内体系->知识点->式->因式分解->公式法->利用立方和与立方差公式因式分解

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义

课内体系->能力->运算能力


2010年第21届全国希望杯初一竞赛初赛第2题4分

在$$2009$$年$$8$$月，台风``莫拉克''给台湾海峡两岸人民带来了严重灾难，台湾当局领导人马英九在追悼``八八水灾''罹难民众和救灾殉职人员的大会的致辞中说到，大陆同胞购款金额约$$50$$亿新台币，是台湾接到的最大一笔捐款，展现了两岸人民血浓于水的情感．$$50$$亿新台币折合人民币约$$11$$亿多元．若设$$1.1=m$$，则$$11$$亿这个数可表示成（~ ）．

$$m\times {{10}^{9}}$$

$$m\times {{10}^{10}}$$

课内体系->知识点->数->有理数->科学记数法->科学记数法：表示较大的数


1998年第9届希望杯初二竞赛第2试第5题

$$\triangle ABC$$的一个内角的大小是$$40{}^{}\circ $$，且$$\angle A=\angle B$$，那么$$\angle C$$的外角的大小是．

$$140{}^{}\circ $$

$$80{}^{}\circ $$或$$100{}^{}\circ $$

$$100{}^{}\circ $$或$$140{}^{}\circ $$

$$80{}^{}\circ $$或$$140{}^{}\circ $$

课内体系->能力->推理论证能力

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形内角和的应用

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形的外角定义及性质


2011年第22届全国希望杯初二竞赛初赛第9题4分

若关于$$x$$，$$y$$的方程组$$\begin{cases}x+ay+1=0    bx-2y+a=0 \end{cases}$$没有实数解，则．

$$ab=-2$$且$$a\ne 1$$

$$ab\ne -2$$

$$ab=-2$$且$$a\ne 2$$

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->含参二元一次方程组->二元一次方程组解的情况

课内体系->能力->运算能力

整理方程得$$\begin{cases}bx+aby+b=0    bx-2y+a=0    \end{cases}$$，  则$$\left( ab+2 \right)y=a-b$$，  要使方程组没有实数解，则$$\begin{cases}ab=-2    a-b\ne 0    \end{cases}$$，  ∵$$ab=-2\textless{}0$$，  ∴$$a$$不可能等于$$b$$，  ∴满足$$ab=-2$$即可．


1998年第9届希望杯初一竞赛第8题

$$a$$，$$b$$都是有理数，现有$$4$$个判断：  ①如果$$a+b ~\textless{} ~a$$，则$$b ~\textless{} ~0$$．②如果$$ab ~\textless{} ~a$$，那么$$b ~\textless{} ~0$$．  ③如果$$a-b ~\textless{} ~a$$，则$$b\textgreater0$$．④如果$$a\textgreater b$$，那么$$\frac{a}{b}\textgreater1$$．  其中正确的判断是．

①②

②③

①④

①③

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质

由$$a+b ~\textless{} ~a\Rightarrow b ~\textless{} ~0$$，所以①判断正确．  当$$a=2$$，$$b=\frac{1}{2}$$时，$$ab=1 ~\textless{} ~2=a$$．而$$b=\frac{1}{2}\textgreater0$$，所以判断②不正确．  由$$a-b ~\textless{} ~a\Rightarrow -b ~\textless{} ~0\Rightarrow b\textgreater0$$．③判断正确．  当$$a=2$$，$$b=-1$$时，显然$$a\textgreater b$$，但$$\frac{a}{b}=-2 ~\textless{} ~1$$．所以④判断不正确．  综上分析可知，选$$\text{D}$$．


2011年第22届全国希望杯初一竞赛复赛第7题4分

甲用$$1000$$元购买了一些股票，随即他将这些股票转卖给乙，获利$$10 \%$$，而后乙又将这些股票反卖给甲，但乙损失了$$10 \%$$．最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这些股票卖给了乙，若上述股票交易中的其它费用忽略不计，则甲（~ ）．

盈亏平衡

课内体系->知识点->数->有理数->有理数与实际问题


2019~2020学年河北邯郸复兴区邯郸市锦玉中学初一上学期期末第15题2分 2006年第17届希望杯初一竞赛复赛第9题4分

$$[a]+[-a]\ne 0$$

竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题


2015年第32届全国全国初中数学联赛竞赛B卷第1题7分

竞赛->知识点->数与式->分式->分式的基本运算


2000年第11届希望杯初二竞赛第1试第9题

在一个凸八边形中，每三个顶点形成三个角（如由$$A$$、$$B$$、$$C$$三个顶点形成$$\angle ABC$$，$$\angle BAC$$，$$\angle ACB$$），一共可以作出$$168$$个角，那么这些角中最小的一个一定．

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->多边形->多边形的内角和定理

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->多边形->求多边形的内角和

凸八边形的$$8$$个内角的和为$$6\times180^{\circ}=1080^{\circ}$$，其中至少有一个内角小于等于$$1080^{\circ}\div8=135^{\circ}$$．  不妨设$$\angle A \leqslant 135^{\circ}$$，在八边形中除$$A$$点及它的两个相邻顶点外，还有$$5$$个顶点，它们与$$A$$连$$5$$条对角线，把$$\angle A$$分成$$6$$个角，在这$$6$$个角中必有一个角小于等于$$135^{\circ}\div6=22.5^{\circ}$$．  故选$$\text{B}$$．


2001年第12届希望杯初一竞赛第2试第8题

古人用天干和地支记次序，其中天干有$$10$$个：甲乙丙丁度己庚辛壬癸．地支有$$12$$个：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的$$10$$个汉字和地支的$$12$$个汉字分别循环排列成如下两行：  甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸$$\cdots \cdots $$  子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥$$\cdots \cdots $$  从左向右数，第$$1$$列是甲子，第$$2$$列是乙丑，第$$3$$列是丙寅$$\cdots \cdots $$，  则当第$$2$$次甲和子在同一列时，该列的序号是．

竞赛->知识点->组合->排列与组合


2001年第12届希望杯初一竞赛第2试第1题

数$$a$$的任意正奇数次幂都等于$$a$$的相反数，则．

不存在这样的$$a$$值

竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题


1993年第4届全国希望杯初一竞赛复赛第5题

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算


2013年第24届全国希望杯初二竞赛复赛第10题4分

总是奇数

总是偶数

有时是奇数，有时是偶数

有时是有理数，有时是无理数

课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数的定义


2019~2020学年河南郑州金水区郑州市第八中学初一上学期期中第8题3分

2017年湖南长沙天心区初二竞赛长郡教育集团抵达杯第1题5分

2020~2021学年9月湖北宜昌伍家岗区宜昌英杰学校初一上学期月考（英杰教育集团）第11题3分

初一上学期单元测试《解读绝对值》第3题

课内体系->能力->推理论证能力 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值综合

∵$$a+b+c=0$$且$$a$$、$$b$$、$$c$$均$$\ne 0$$，  ∴$$a$$、$$b$$、$$c$$三数符号为两正一负或两负一正，  不妨设，  ①$$a$$，$$b$$为正，$$c$$为负，此时$$abc$$为负：  $$\frac{a}{\left\textbar{} a \right\textbar}+\frac{b}{\left\textbar{} b \right\textbar}+\frac{c}{\left\textbar{} c \right\textbar}+\frac{abc}{\left\textbar{} abc \right\textbar}$$  $$=1+1+(-1)+(-1)$$  $$=0$$．  ②$$a$$，$$b$$为负，$$c$$为正，此时$$abc$$为正，  $$\frac{a}{\left\textbar{} a \right\textbar}+\frac{b}{\left\textbar{} b \right\textbar}+\frac{c}{\left\textbar{} c \right\textbar}+\frac{abc}{\left\textbar{} abc \right\textbar}$$  $$=-1+(-1)+1+1$$  $$=0$$．  综上原式$$=0$$，故选$$\text{A}$$．


2019~2020学年9月湖北武汉武昌区武汉市武珞路实验初级中学初三上学期周测A卷第8题3分

2004年第21届全国初中数学联赛竞赛第5题

已知$${{b}^{2}}-4ac$$是一元二次方程$$a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a\ne 0 \right)$$的一个实数根，则$$ab$$的取值范围为．

$$ab\geqslant \frac{1}{8}$$

$$ab\leqslant \frac{1}{8}$$

$$ab\geqslant \frac{1}{4}$$

$$ab\leqslant \frac{1}{4}$$

课内体系->思想->方程思想

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程的基础->一元二次方程的根

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->由一元二次方程根的情况确定参数

课内体系->能力->推理论证能力

课内体系->能力->运算能力


2013年第24届全国希望杯初二竞赛复赛第7题4分

甲、乙、丙、丁$$4$$名跑步运动员的速度依次是$${{v}_{1}}$$，$${{v}_{2}}$$，$${{v}_{3}}$$，$${{v}_{4}}$$，且$${{v}_{1}}\textgreater{{v}_{2}}\textgreater{{v}_{3}}\textgreater{{v}_{4}}\textgreater0$$，他们沿直跑道进行追逐赛的规则如下：①$$4$$人在同一起跑线上，同时同向出发；②经过一段时间后，甲、乙、丙同时反向，谁先遇到丁，谁就是冠军．则．

冠军是甲

冠军是乙

冠军是丙

甲、乙、丙同时遇到丁

课内体系->能力->运算能力

课内体系->能力->分析和解决问题能力


1997年第8届全国希望杯初一竞赛初赛第8题

$$a\geqslant b$$

$$\left\textbar{} a \right\textbar\leqslant b$$

$$a\geqslant \left\textbar{} b \right\textbar$$

课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性

∵$$1997\textgreater0$$，可以确定有理数$$a$$、$$b$$同是正数，或同是负数，或同是$$0$$．  又∵$$1997\textgreater1$$，所以必须$$\left\textbar{} a \right\textbar\geqslant \left\textbar{} b \right\textbar$$，选$$\text{D}$$．


2019年湖南长沙雨花区湖南广益实验中学初一竞赛（广益杯）第11题3分

2018~2019学年9月湖南长沙雨花区湖南广益实验中学初一上学期月考第11题3分

2020~2021学年10月湖南长沙岳麓区长郡集团郡维学校初一上学期月考第10题3分

课内体系->能力->抽象概括能力

课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->含乘方的有理数混合运算


2011年第22届全国希望杯初二竞赛初赛第8题4分 初一单元测试《分解方法的延拓（1）》第22题

课内体系->知识点->式->因式分解->公式法->公式法综合应用 课内体系->能力->运算能力

首先利用平方差公式分解因式，即可求得：

$$216-1=\left( 28+1 \right)\left( 24+1 \right)\left( 22+1 \right)\left( 2+1 \right)\left( 2-1 \right)$$，

则问题得解．

∵$$216-1=\left( 28+1 \right)\left( 28-1 \right)=\left( 28+1 \right)\left( 24+1 \right)\left( 24-1 \right)$$

$$=\left( 28+1 \right)\left( 24+1 \right)\left( 22+1 \right)\left( 22-1 \right)$$

$$=\left( 28+1 \right)\left( 24+1 \right)\left( 22+1 \right)\left( 2+1 \right)\left( 2-1 \right)=257\times 17\times 5\times 3$$．

∴$$n=4$$．

故选$$\text{C}$$．


2010年全国全国初中数学联赛初一竞赛

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数乘除混合运算


2003年第20届全国初中数学联赛竞赛第2题7分

在凸$$10$$边形的所有内角中，锐角的个数最多是．

竞赛->知识点->三角形->三角形基础

由于任何凸多边形的外角之和都是$$360{}^{}\circ $$，故外角中钝角的个数不超过$$3$$个，即内角中锐角最多不超过$$3$$个．  故选$$\text{C}$$．


2018年第29届希望杯初一竞赛初赛第1题4分

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算


1996年第7届全国希望杯初一竞赛复赛第5题

$$A$$、$$B$$两地相距$$s$$千米．甲、乙的速度分别是$$a$$千米/小时，$$b$$千米/小时$$\left( a\textgreater b \right)$$．甲、乙都从$$A$$到$$B$$去开会，如果甲比乙先出发$$1$$小时，那么乙比甲晚到$$B$$地的小时数是（~ ）．

$$\frac{s}{a}-\left( \frac{s}{b}+1 \right)$$

$$\frac{s}{b}-\left( \frac{s}{a}+1 \right)$$

$$\frac{s}{a}-\left( \frac{s}{b}-1 \right)$$

课内体系->能力->分析和解决问题能力 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->代数式->列代数式

走完全程乙用$$\frac{s}{b}$$小时，甲用$$\frac{s}{a}$$小时，  所以乙比甲晚到$$\frac{s}{b}-\left( \frac{s}{a}-1 \right)$$小时，选$$\text{D}$$．


初三上学期其它 1999年第16届全国初中数学联赛竞赛第6题7分

有下列三个命题：  （甲）若$$\alpha $$、$$\beta $$是不相等的无理数，则$$\alpha \beta +\alpha -\beta $$是无理数；  （乙）若$$\alpha $$、$$\beta $$是不相等的无理数，则$$\frac{\alpha -\beta }{\alpha +\beta }$$是无理数；  （丙）若$$\alpha $$、$$\beta $$是不相等的无理数，则$$\sqrt{\alpha }+\sqrt[3]{\beta }$$是无理数．  其中正确命题的个数是（~ ~ ）

课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数的定义

因为$$\alpha \beta +\alpha -\beta =\alpha \beta +\alpha -\beta -1+1=\left( \alpha -1 \right)\left( \beta +1 \right)+1$$，  只要令$$\alpha =1+\sqrt{2}$$，$$\beta =-1+\sqrt{2}$$，则$$\alpha \beta +\alpha -\beta =3$$为有理数，故（甲）不对；  又若令$$\alpha =2\sqrt{2}$$，$$\beta =\sqrt{2}$$，则$$\frac{\alpha -\beta }{\alpha +\beta }=\frac{1}{3}$$为有理数，故（乙）不对；  又若令$$\alpha =\sqrt[3]{2}$$，$$\beta =-\sqrt{2}$$，则$$\sqrt{\alpha }+\sqrt[3]{\beta }=0$$为有理数，故（丙）不对．  因此正确命题个数是$$0$$．  故选$$\text{A}$$．


1999年竞赛（全国初中数学竞赛）第5题5分

如果抛物线$$y={{x}^{2}}-\left( k-1 \right)x-k-1$$与$$x$$轴的交点分别为$$A$$，$$B$$，顶点为$$C$$，那么$$\triangle ABC$$面积的最小值是．

课内体系->能力->推理论证能力

课内体系->知识点->函数->二次函数->二次函数与方程、不等式->二次函数与坐标轴交点

课内体系->知识点->函数->二次函数->二次函数与几何综合->二次函数与面积


2018年第29届希望杯初一竞赛初赛第10题4分

竞赛->知识点->组合->计数问题-枚举法


2011年竞赛第5题4分

课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->规律探究->算式找规律

课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算

课内体系->能力->运算能力


2019~2020学年4月山东潍坊奎文区潍坊德润国际双语学校初一下学期月考第6题3分

2017年湖南长沙天心区湘郡培粹实验中学初二竞赛（觉园杯）第2题4分

2019年湖南长沙天心区湘郡培粹实验中学初二竞赛初赛(觉园杯)第2题4分

不能求出

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算->整式加减 课内体系->方法->代入法 课内体系->方法->整体法

根据题意得：$$\begin{cases}2x+5y+4z=0①    3x+y-7z=0②   \end{cases}$$，  把②变形为：$$y=7z-3x$$③，  代入①得：$$x=3z$$，  代入③得：$$y=-2z$$，  则$$x+y-z=3z-2z-z=0$$．


2010年第21届希望杯初二竞赛第1试第10题

题5：某人沿正在向下运动的自动扶梯从楼上走到楼下，用了$$24$$秒；若他站在自动扶梯上不动，从楼上到楼下要用$$56$$秒．若扶梯停止运动，他从楼上走到楼下要用．

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的行程问题->一元一次方程的行程问题-顺风、顺水问题

竞赛->知识点->方程与不等式->一次方程->一元一次方程

设从楼上到楼下的路程为$$s$$，则自动扶梯每秒向下运动$$\frac{s}{56}$$的路程．  人沿向下运动的扶梯向下走，经过$$24$$秒，扶梯向下运动了$$24\times \frac{s}{56}=\frac{3s}{7}$$的路程，  人向下走了$$s-\frac{3}{7}s=\frac{4}{7}s$$的路程，  所以，人每秒向下走$$\frac{4}{7}s\div 24=\frac{s}{42}$$的路程，  那么，人走$$s$$的路程要用$$42$$秒，  即人沿不动的扶梯从楼上走到楼下要用$$42$$秒．  故选$$\text{C}$$．


2013年第24届全国希望杯初一竞赛初赛第8题4分 初一上学期单元测试《解读绝对值》第6题

与$$0$$的大小关系不确定

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质 课内体系->能力->运算能力

解法一：  ∵$$b\textless{}0\textless{}c$$，$$\left\textbar{} b \right\textbar\textless{}c$$，  ∴$$-b\textless{}c$$，  ∴$$b+c\textgreater0$$．  ∵$$a\textless{}0\textless{}d$$，$$\left\textbar{} a \right\textbar\textless{}d$$，  ∴$$-a\textless{}d$$，  ∴$$a+d\textgreater0$$．  ∴$$a+b+c+d\textgreater0$$．  解法二：  取特殊值，依题设，可假定$$b=-2$$，$$c=3$$，$$a=-4$$，$$d=5$$，  则$$a+b+c+d=2\textgreater0$$，  故$$a+b+c+d$$的值大于$$0$$．


2018年重庆江津区四川省江津市第二中学初三中考一模（八校联考）第12题4分 2017年湖南长沙天心区初二竞赛长郡教育集团抵达杯第6题5分 2017年四川达州渠县初三中考二模九校联合中考第9题3分 2016年重庆中考真题B卷第12题4分

如果关于$$x$$的分式方程$$\dfrac{a}{x+1}-3=\dfrac{1-x}{x+1}$$有负分数解，且关于$$x$$的不等式组$$\left { \begin{matrix}2(a-x)\geqslant -x-4    \dfrac{3x+4}{2}\textless{}x+1   \end{matrix} \right.$$的解集为$$x\textless{}-2$$，那么符合条件的所有整数$$a$$的积是．

课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->由分式方程的解确定参数

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->解一元一次不等式组

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->由不等式（组）的解集求参数的范围

课内体系->能力->分析和解决问题能力

$$\left { \begin{matrix}2(a-x)\geqslant -x-4\&①    \dfrac{3x+4}{2}\textless{}x+1\&②   \end{matrix} \right.$$，  由①得：$$x\leqslant 2a+4$$，  由②得：$$x\textless{}-2$$，  由不等式组的解集为$$x\textless{}-2$$，得到$$2a+4\geqslant -2$$，即$$a\geqslant -3$$，  分式方程去分母得：$$a-3x-3=1-x$$，  把$$a=-3$$代入整式方程得：$$-3x-6=1-x$$，即$$x=-\dfrac{7}{2}$$，符合题意；  把$$a=-2$$代入整式方程得：$$-3x-5=1-x$$，即$$x=-3$$，不合题意；  把$$a=-1$$代入整式方程得：$$-3x-4=1-x$$，即$$x=-\dfrac{5}{2}$$，符合题意；  把$$a=0$$代入整式方程得：$$-3x-3=1-x$$，即$$x=-2$$，不合题意；  把$$a=1$$代入整式方程得：$$-3x-2=1-x$$，即$$x=-\dfrac{3}{2}$$，符合题意；  把$$a=2$$代入整式方程得：$$-3x-1=1-x$$，即$$x=1$$，不合题意；  把$$a=3$$代入整式方程得：$$-3x=1-x$$，即$$x=-\dfrac{1}{2}$$，符合题意；  把$$a=4$$代入整式方程得：$$-3x+1=1-x$$，即$$x=0$$，不合题意，  ∴符合条件的整数$$a$$取值为$$-3$$；$$-1$$；$$1$$；$$3$$，之积为$$9$$．


1997年第8届全国希望杯初一竞赛初赛第2题

下面说法中，不正确的是（~ ）．

小于$$-1$$的有理数比它的倒数小

非负数的相反数不一定比它本身小

小于$$0$$的有理数的二次幂大于原数

小于$$0$$的有理数的立方小于原数

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->数->有理数->倒数与负倒数->倒数的定义

课内体系->知识点->数->有理数->相反数->相反数的定义

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算


2016年第27届全国希望杯初二竞赛复赛第1题4分 2020~2021学年江西南昌东湖区南昌市第三中学初一下学期期末第6题3分

在平面直角坐标系中，点$$A(a-2,a-1)$$不可能在（~ ）．

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

课内体系->知识点->函数->平面直角坐标系->坐标系基础->象限内坐标的特征

∵$$a-2\textless{}a-1$$，  ∴当$$a-2\textgreater0$$时，不可能有$$a-1\textless{}0$$，  ∴点$$A(a-2,a-1)$$不可能在第四象限．


2005年第16届希望杯初一竞赛初赛第5题4分

公园里准备修五条直的甬道，并在甬道交叉口处设一个报亭，这样的报亭最多可设．

课内体系->能力->抽象概括能力 课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->几何图形初步->相交线与平行线->相交线->相交的定义

因为五条直线相交最多有$$10$$个交点，所以最多可设$$10$$个报亭．  故选$$\text{B}$$．


2005年第16届希望杯初一竞赛复赛第2题4分

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值->整式乘除化简求值-直接代入化简求值


2001年第12届希望杯初一竞赛第5题

绝对值

倒数

相反数

倒数的相反数

课内体系->知识点->数->有理数->相反数 课内体系->能力->运算能力


2018年全国初中数学联赛初一竞赛B卷

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式


2018年亚洲国际数学奥林匹克公开赛（AIMO）初二竞赛决赛第23题8分

已知一个正整数有$$48$$个正因数，它最多可以有多少个质因数？  It is known that a positive integer has $$48$$ positive factors, at most how many prime factors does it have?

课内体系->知识点->数 竞赛->知识点->数论->整除->因数与倍数

$$48=2\times 2\times 2\times 2\times 3$$．


1993年第4届全国希望杯初一竞赛初赛第12题

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算->整式加减 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义


1992年第9届全国初中数学联赛竞赛第4题

在半径为$$1$$的圆中有一内接多边形，若它的边长皆大于$$1$$且小于$$\sqrt{2}$$，则这个多边形的边数必为（~ ）

课内体系->知识点->圆->圆与多边形->正多边形与圆 课内体系->能力->运算能力

若满足条件的多边形的边数大于或等于$$6$$，则至少有一边所对的圆心角不大于$$60{}^{}\circ $$，由余弦定理知该边长必不大于$$1$$；同理，若存在满足条件的四边形，则它至少有一边长不小于$$\sqrt{2}$$．  故选$$\text C$$．


1993年第10届全国初中数学联赛竞赛第5题

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->其它不等式->高次不等式 课内体系->能力->运算能力

注意到$$x-1\textless{}{{(x-1)}^{2}}\textless{}3x+7\Rightarrow \begin{cases}(x-2)(x-1)\textgreater0    (x+1)(x-6)\textless{}0    \end{cases}$$，  $$(x+1)(x-6)\textless{}0\Leftrightarrow -1\textless{}x\textless{}6$$．  于是原不等式的整数解是介于$$-1$$与$$6$$之间且不等于$$1$$，$$2$$的整数，即$$0$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$四个整数．


2016~2017学年广东广州天河区华南师范大学附属中学初二上学期期中第7题2分

2000年第11届希望杯初二竞赛第1试第10题

2016年初一下学期其它

$$c\textless{}a\textless{}b$$

$$b\textless{}c\textless{}a$$

$$a\textless{}b\textless{}c$$

$$c\textless{}b\textless{}a$$

课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式比较大小

因为$$\frac{c}{a+b}\textless\frac{a}{b+c}\textless\frac{b}{c+a}$$，  所以$$\frac{a+b}{c}\textgreater\frac{b+c}{a}\textgreater\frac{c+a}{b}$$，  所以$$\frac{a+b}{c}+1\textgreater\frac{b+c}{a}+1\textgreater\frac{c+a}{b}+1$$，  所以$$\frac{a+b+c}{c}\textgreater\frac{a+b+c}{a}\textgreater\frac{a+b+c}{b}$$，  所以$$c\textless a\textless b$$．  故选$$\text{A}$$．


2013年第30届全国全国初中数学联赛竞赛第4题7分

课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->不定方程 课内体系->能力->运算能力


2018年第29届希望杯初一竞赛初赛第16题4分

将一个棱长是整数厘米的长方体的各表面都刷成红色，然后将这个长方体分割成若干个棱长为$$1$$厘米的小正方体，若任何一面都没有涂色的小正方体有$$11$$个，则原来的长方体的体积是~\uline{~~~~~~~~~~}~立方厘米．  Brush each surface of a box with integral centimeter of edge length into red, and then divide the box into several small cubes with an edge length of $$1$$ cm. If there are $$11$$ cubes without color on any side, the volume of the original box is~\uline{~~~~~~~~~~}~cubic centimeter.

课内体系->知识点->几何图形初步->几何图形->立体图形与平面图形->正方体堆积图形的问题

课内体系->能力->运算能力

课内体系->能力->分析和解决问题能力


2013年第24届全国希望杯初二竞赛初赛第3题4分

若$$a\textgreater0$$，则$$a\textgreater\frac{1}{a}$$

若$$a\textgreater{{a}^{2}}$$，则$$a\textgreater1$$．

若$$0\textless{}a\textless{}1$$，则$$a\textgreater{{a}^{2}}$$

若$$\left\textbar{} a \right\textbar=a$$，则$$a\textgreater0$$

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质

取特殊值．  当$$a=\frac{1}{2}$$时，$$a\textless{}\frac{1}{a}$$，可知$$\text{A}$$错误；  当$$a=\frac{1}{2}\textless{}1$$时，$$\frac{1}{2}\textgreater{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{4}$$，可知$$\text{B}$$错误；  当$$a=0$$时，$$\left\textbar{} 0 \right\textbar=0$$，可知$$\text{D}$$错误．  故选$$\text{C}$$．


课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->因式分解->公式法->公式法综合应用


2018~2019学年广东深圳福田区深圳实验学校中学部初二下学期单元测试《图形的平移与旋转》第4题3分

2018~2019学年广东深圳罗湖区深圳中学初中部初一下学期期中（竞赛班）第2题2分

2019~2020学年10月安徽马鞍山金家庄区马鞍山市二中初二上学期月考第2题3分

在直角坐标系中，点$$M(-3,-4)$$)先右移$$3$$个单位，再下移$$2$$个单位，则点$$M$$的坐标变为．

课内体系->知识点->函数->平面直角坐标系->坐标系综合->坐标系中的平移->坐标系中的平移-点的平移

课内体系->能力->运算能力


1996年第7届全国希望杯初一竞赛复赛第9题

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式->解一元一次不等式

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->不等式（组）解的情况确定参数的范围

课内体系->能力->运算能力

课内体系->能力->分析和解决问题能力


2009年第20届希望杯初一竞赛第1试第4题4分

知识标签->题型->式->整式加减->整式加减化简求值->题型：整式加减条件化简求值

知识标签->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算

知识标签->学习能力->运算能力


1991年第2届全国希望杯初一竞赛复赛第9题

2018~2019学年10月重庆北碚区重庆市西南大学附属中学初一上学期月考第7题3分

课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-条件化简求值 课内体系->能力->运算能力


2017年第19届浙江宁波余姚市余姚市实验学校初三竞赛（实验杯）第5题4分

已知函数$$y=\begin{cases}-x,x\leqslant 0    {{x}^{2}},x\textgreater0    \end{cases}$$，若$$y=4$$，则数$$x$$值为．

课内体系->知识点->函数->函数概念和图象->函数的相关概念->函数值

∵$$y=\begin{cases}-x,x\leqslant 0    {{x}^{2}},x\textgreater0    \end{cases}$$，  ∴当$$x\leqslant 0$$时，$$y=4$$，即$$-x=4$$，  解得$$x=-4$$，  当$$x\textgreater0$$时，$$y=4$$，即$${{x}^{2}}=4$$，  解得$$x=2$$或$$x=-2$$（舍去）．  综上所述，$$x$$的值为$$-4$$或$$2$$．  故选$$\text{B}$$．


2011年第22届全国希望杯初一竞赛初赛第7题4分

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->由分式方程的解确定参数


2001年第12届希望杯初二竞赛第2试第6题

钝角三角形

直角三角形

等腰直角三角形

等边三角形

竞赛->知识点->三角形->三角形基础


2006年第17届希望杯初一竞赛复赛第4题4分

2019~2020学年10月河南郑州中原区朗悦慧外国语中学初一上学期月考第8题3分

2019~2020学年10月河南郑州高新区郑州市枫杨外国语（西分）初一上学期月考第8题3分

2019~2020学年9月江苏无锡梁溪区东林中学初一上学期月考第7题3分

若$$a＜b＜0＜c＜d$$，则以下四个结论中，正确的是（ ~）．

$$a+b+c+d$$一定是正数

$$d+c-a-b$$可能是负数

$$d-c-b-a$$一定是正数

$$c-d-b-a$$一定是正数

课内体系->能力->推理论证能力 课内体系->知识点->数->有理数->正数和负数->正数、负数定义

$$a+b+c+d$$不能确定正负；$$d+c-a-b$$一定为正；$$d-c-b-a$$一定是正数；$$c-d$$为负，$$-b-a$$为正，$$c-d-b-a$$不能确定正负．


1998年第9届希望杯初一竞赛第3题

``$$a$$与$$b$$的和的立方''的代数式表示是．

课内体系->知识点->数->实数->立方根->开立方


2013年第30届全国全国初中数学联赛竞赛第2题7分

课内体系->能力->运算能力 课内体系->思想->分类讨论思想 课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->幂的综合运算 课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->零指数幂


2018~2019学年湖北武汉汉阳区初一上学期期中第7题3分

2016~2017学年湖北武汉武昌区武汉市武珞路中学初一上学期期中第10题3分

2005年第16届希望杯初一竞赛初赛第6题4分

2018~2019学年10月广东东莞市虎门镇东莞市虎门外国语学校初一上学期月考第10题2分

2020~2021学年广东广州花都区黄冈中学广州学校初一上学期期中第10题3分

2018~2019学年湖北武汉汉阳区初一上学期期中

如果$$a+b+c=0$$，且$$\left\textbar{} a \right\textbar\textgreater\left\textbar{} b \right\textbar\textgreater\left\textbar{} c \right\textbar$$，则下列说法中可能成立的是（~ ）．

$$a$$、$$b$$为正数，$$c$$为负数

$$a$$、$$c$$为正数，$$b$$为负数

$$b$$、$$c$$为正数，$$a$$为负数

$$a$$、$$c$$为负数，$$b$$为正数

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值综合

∵$$a+b+c=0$$，且$$\left\textbar{} a \right\textbar\textgreater\left\textbar{} b \right\textbar\textgreater\left\textbar{} c \right\textbar$$，  ∴$$a$$、$$b$$、$$c$$三个数中只有两负一正或者两正一负两种情况．  如果两负一正情况成立，则$$b\textless{}0$$、$$c\textless{}0$$、$$a\textgreater0$$．  于是应该在两正一负的答案中寻找正确答案．  若$$a$$、$$b$$为正数，$$c$$为负数时， 则：$$\left\textbar{} a \right\textbar+\left\textbar{} b \right\textbar\textgreater\left\textbar{} c \right\textbar$$，  ∴$$a+b+c\ne 0$$， $$\text{A}$$不成立．  若$$a$$、$$c$$为正数，$$b$$为负数时， 则：$$\left\textbar{} a \right\textbar+\left\textbar{} c \right\textbar\textgreater\left\textbar{} b \right\textbar$$，  ∴$$a+b+c\ne 0$$， $$\text{B}$$不成立．  只有$$\text{C}$$符合题意．


2008年第19届希望杯初二竞赛第2试第4题

竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题


2000年第11届希望杯初一竞赛第9题

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值->整式乘除化简求值-整体代入化简求值

课内体系->能力->运算能力


1990年第1届全国希望杯初一竞赛复赛第2题

甲杯中盛有$$2m$$毫升红墨水，乙杯中盛有$$m$$毫升蓝墨水，从甲杯倒出$$a$$毫升到乙杯里，$$0\textless{a}\textless{m}$$，搅匀后，又从乙杯倒出$$a$$毫升到甲杯里，则这时（~ ）．

甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少

甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多

甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同

甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定

课内体系->能力->分析和解决问题能力 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->代数式->列代数式

从甲杯倒出$$a$$毫升红墨水到乙杯中以后：  乙杯中含红墨水的比例是$$\frac{a}{m+a}$$，  乙杯中含蓝墨水的比例是$$\frac{m}{m+a}$$．  再从乙杯倒出$$a$$毫升混合墨水到甲杯中以后：  乙杯中含有的红墨水的数量是$$a-a\cdot \frac{a}{m+a}=\frac{ma}{m+a}$$毫升，  乙杯中减少的蓝墨水的数量是$$a\cdot \frac{m}{m+a}=\frac{ma}{m+a}$$毫升．  两者相等．


2014年第25届全国希望杯初二竞赛初赛第1题4分

课内体系->能力->运算能力 课内体系->能力->推理论证能力 课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->幂的乘方


2004年第15届希望杯初二竞赛第1试第10题

课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算 课内体系->知识点->数->实数->平方根->算术平方根的定义 课内体系->能力->抽象概括能力


2002年第13届希望杯初一竞赛第1试第5题

$$m\textgreater n$$

$$m=n$$

$$m\textless{}n$$

不确定的

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程的基础->由一元二次方程的解求参数的值

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程的基础->一元二次方程的根


2002年第13届希望杯初一竞赛第1试第3题

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算

课内体系->能力->运算能力


2016年第27届全国希望杯初二竞赛初赛第9题4分

从长度分别是$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\cdots $$，$$14$$的$$14$$条线段中任取出$$n$$条，其中必有$$3$$条线段能构成一个三角形，则$$n$$的最小值是（~ ）．

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->判断能否构成三角形

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的三边关系

课内体系->能力->推理论证能力

取极端情况，若取出$$6$$条，$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$5$$，$$8$$，$$13$$，其中任意$$3$$条都不能构成一个三角形，再多取出一条，则有$$3$$条线段能构成一个三角形，故$$n$$的最小值为$$7$$．


2019~2020学年广东深圳南山区深圳市南山第二外国语学校集团海德学校初二上学期期中（南山二外教育集团）第11题3分

2020年湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学初二竞赛（湖南师范大学附属中学教育集团）（6月攀登杯）第4题4分

2017~2018学年4月陕西西安高新区西安高新第一中学初三下学期月考（六模）第7题3分

课内体系->思想->数形结合思想

课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数与方程、不等式->一次函数与一元一次不等式

课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数与方程、不等式->一次函数与二元一次方程组


2013年第24届全国希望杯初二竞赛复赛第2题4分

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式


2002年第19届全国初中数学联赛竞赛第1题7分 初二下学期单元测试《二次根式》二次根式的运算第43题

$$a\textless{}b\textless{}c$$

$$b\textless{}a\textless{}c$$

$$c\textless{}b\textless{}a$$

$$c\textless{}a\textless{}b$$

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式比较大小

\textbf{（知识点：二次根式比较大小）}  ∵$$a-b$$$$=\sqrt{2}-1-\left( 2\sqrt{2}-\sqrt{6} \right)$$$$=\sqrt{6}-\left( 1+\sqrt{2} \right)$$$$\approx 2.449-2.414\textgreater0$$，  ∴$$a\textgreater b$$；  ∵$$a-c$$$$=\sqrt{2}-1-\left( \sqrt{6}-2 \right)$$$$=\sqrt{2}+1-\sqrt{6}$$$$\approx 2.414-2.449\textless{}0$$，  ∴$$a\textless{}c$$；于是$$b\textless{}a\textless{}c$$．所以选$$\text{B}$$．


2014年第25届全国希望杯初二竞赛复赛第8题4分

中国古代``五行''学说认为：``物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．''从五种属性互不相同的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是（~ ）．  （注：概率等于时间所包含的各种可能的结果数在全部可能的结果数中所占的比）

课内体系->知识点->统计与概率->概率->概率的计算方法

基本事件为：金、木；金、水；金、火；金、土；木、水；木、火；木、土；水、火；水、土；火、土．  共计$$10$$种，  其中不相克的事件数为$$m=10-5=5$$（种），  所以抽取的两种物质不相克的概率是$$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$$．


1990年第1届全国希望杯初一竞赛初赛第5题

大于$$-\pi$$并且不是自然数的整数有（~ ~ ）．

无数个

课内体系->知识点->数->实数->实数基础概念->实数与数轴


2017~2018学年4月广东深圳福田区深圳实验学校中学部初三下学期月考第3题3分

2010年竞赛第1题7分

课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算 课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-条件化简求值


2017年河北石家庄裕华区石家庄外国语学校初三竞赛第1题3分

知识标签->题型->三角形->相似三角形->比例线段->题型：比例的综合应用 知识标签->知识点->三角形->相似->比例线段->比例线段的性质


1997年第8届全国希望杯初一竞赛初赛第7题

$$a\textless{}b\textless{}c$$

$$b\textless{}c\textless{}a$$

$$c\textless{}b\textless{}a$$

$$a\textless{}c\textless{}b$$

课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-作商法 课内体系->能力->运算能力


2006年第17届希望杯初二竞赛第2试第10题

$$P$$一定是奇数

$$P$$一定是偶数

当$$n$$是奇数时，$$P$$是偶数

当$$n$$是偶数时，$$P$$是奇数

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算

课内体系->能力->运算能力

竞赛->知识点->数论->同余->奇数与偶数

无论$$n$$是奇数偶数，可以假设$$a_n=b_n$$，$$P=0$$为偶数，$$\rm A$$、$$\rm D$$不能选，  现在在$$\rm B$$和$$\rm C$$中选择，要让$$P$$为奇数，那么必须它的$$n$$个因式都是奇数，  也就是每个因式都是一个奇数与一个偶数的差，  因为$$b_1$$，$$b_2$$，$$\cdots$$，$$b_n$$都是$$a_n$$变来的，  所以原来如果是$$x$$个奇数与$$n-x$$个偶数的话，奇数与偶数的数目必须也是一样的，即$$x=n-x$$，$$n=2x$$为偶数，  也就是说，$$P$$若为奇数，$$n$$必须是偶数，可以推出，$$n$$为奇数，$$P$$必须为偶数．  所以$$\rm B$$错，$$\rm C$$正确．  故选$$\rm C$$．


2022~2023学年浙江宁波初三月考（六校强基竞赛）第4题

若关于\emph{x}的不等式组$\left {\begin{array}{c} 3-2x\geq 1   x\geq m+1 \end{array}\right.$共有2个整数解，则\emph{m}的取值范围是（~~~~~~~）

$-2\textless{} m\leq -1$

$-2\leq m\leq -1$

$m\textless{} -1$

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式

\hfill\break 【分析】\\ 先解不等式$3-2x\geq 1$，得$x\leq 1$，结合不等式组的整数解的情况，得出关于\emph{m}的不等式组，求解即可．\\ 【详解】\\ 解不等式$3-2x\geq 1$，得$x\leq 1$，\\ ∵关于\emph{x}的不等式组$\left {\begin{array}{c} 3-2x\geq 1   x\geq m+1 \end{array}\right.$共有2个整数解，\\ ∴这两个整数解为$0,1$，\\ ∴$-1\textless{} m+1\leq 0$，\\ 解得$-2\textless{} m\leq -1$，\\ 故选：B．\\ 【点睛】\\ 本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，得出关于\emph{m}的不等式组．


2009年第20届希望杯初二竞赛第2试第17题

$$12$$人参加象棋单循环赛，规定胜$$1$$局得$$2$$分，平$$1$$局得$$1$$分，败者不得分，比赛结果是第二名的得分与最后$$5$$名的得分之和相同，那么第二名得分为．

课内体系->知识点->统计与概率->概率->游戏公平性 竞赛->知识点->组合->极端原理

因为是循环赛，所以最后$$5$$名棋手相互之间要赛$$10$$场，  不论胜负情况如何，每场比赛两人得分的和都是$$2$$分，  即最后$$5$$名棋手得分的和至少是$$20$$分，  所以第二名至少得$$20$$分，  又因为第二名要进行$$1$$场比赛，他不能全胜得$$22$$分，否则他是第一名，  同样他也不能得$$21$$分，否则他的成绩是$$10$$胜$$1$$平，  其中平局一定是与第一名对阵的结果，这样他们两人将并列第一名，不是第二名，  综上可得第二名只能得$$20$$分．（检验构造该种情况）


2015年第32届全国全国初中数学联赛竞赛A卷第1题7分

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->平方差公式的计算 课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算


2006年第17届希望杯初二竞赛第1试第1题

竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质 课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->平方差公式的计算


1999年第10届希望杯初一竞赛第8题

$$a$$，$$b$$，$$c$$三个整数满足$$a \textless{} b \textless{} c$$，则．

$$a+c \textless{} b+c$$

$$\left\textbar{} a \right\textbar+\left\textbar{} c \right\textbar{} \textless{} \left\textbar{} b \right\textbar+\left\textbar{} c \right\textbar$$

$$ab \textless{} ac$$

$$\left\textbar{} a \right\textbar\left\textbar{} b \right\textbar{} \textless{} \left\textbar{} a \right\textbar\left\textbar{} c \right\textbar$$

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值综合 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质


1992年第9届全国初中数学联赛竞赛第3题 初一上学期其它

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-含分式


2013年第24届全国希望杯初二竞赛初赛第4题4分

课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算


2012年第23届全国希望杯初一竞赛复赛第8题4分

已知$$x$$、$$y$$是非负整数，且使$$\frac{x-1}{2}=\frac{4-y}{3}$$是整数，那么这样的数对$$(x,y)$$有（~ ）个．

课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->分式方程的解


2018~2019学年5月天津南开区天津市南开翔宇学校初二下学期月考第5题

2018~2019学年5月天津和平区天津市益中学校初二下学期月考翔宇益中初二联考第5题

2000年第11届希望杯初二竞赛第1试第7题

$$\frac{b}{a}$$

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的乘法


2004年竞赛第2题6分

若直角三角形的两条直角边长为$$a$$，$$b$$，斜边长为$$c$$，斜边上的高为$$h$$，则有(  ).

$$\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}=\frac{1}{{{h}^{2}}}$$

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的周长与面积问题

课内体系->知识点->三角形->勾股定理及应用->勾股定理基础->勾股定理


2000年第11届希望杯初二竞赛第1试第2题

已知$$x\ne 0$$，则$$\frac{x-\left\textbar{} x \right\textbar}{\sqrt{{{x}^{2}}}}$$的值是．

竞赛->知识点->数与式->数的运算->实数与根式运算问题

当$$x\textgreater0$$时，$$\frac{x-\left\textbar{} x \right\textbar}{\sqrt{{{x}^{2}}}}=0$$，  当$$x\textless{}0$$时，$$\frac{x-\left\textbar{} x \right\textbar}{\sqrt{{{x}^{2}}}}=\frac{2x}{-x}=-2$$．  故选$$\text{C}$$．


2000年第11届希望杯初一竞赛第7题

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->多项式除以单项式 竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质


2020年湖南长沙天心区湘郡培粹实验中学初一竞赛初赛（9月）第6题4分

已知$$x$$、$$y$$、$$z$$是三个非负实数，满足$$3x+2y+z=5$$，$$x+y-z=2$$，若$$S=2x+y-z$$，则$$S$$的最大值与最小值的和为．

课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数基础->一次函数的增减性


2008年第19届希望杯初一竞赛第2试第2题4分

一片牧场上的草长得一样快，已知$$60$$头牛$$24$$天可将草吃完，而$$30$$头牛$$60$$天也可将草吃完．那么，若在$$120$$天里将草吃完，则需要牛．

课内体系->能力->运算能力

课内体系->能力->分析和解决问题能力

课内体系->方法->整体法

课内体系->思想->转化与化归思想

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的和差倍分

课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数与实际问题


1996年第7届希望杯初二竞赛第6题

已知一个三角形中两条边的长分别为$$a$$，$$b$$，且$$a\textgreater b$$，那么这个三角形的周长$$l$$的取值范围是．

$$3a\textgreater l\textgreater3b$$

$$2\left( a+b \right)\textgreater l\textgreater2a$$

$$2a+b\textgreater l\textgreater2b+a$$

$$3a-b\textgreater l\textgreater a+2b$$

竞赛->知识点->三角形->三角形基础

三角形中两边长为$$a$$，$$b$$，且$$a\textgreater b$$，则第三边为$$c$$，满足条件$$a-b ~\textless{} ~c ~\textless{} ~a+b$$，  所以$$a+b+\left( a-b \right) ~\textless{} ~a+b+c ~\textless{} ~a+b+\left( a+b \right)$$，  即$$2a ~\textless{} ~a+b+c ~\textless{} ~2\left( a+b \right)$$．  故选$$\text{B}$$．


1992年第3届全国希望杯初一竞赛初赛第6题

$$c\textgreater b\textgreater a$$

$$c\textgreater a\textgreater b$$

$$a\textgreater b\textgreater c$$

$$b\textgreater c\textgreater a$$

课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性


1998年第9届希望杯初一竞赛第2题

课内体系->知识点->数->有理数->倒数与负倒数

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算

课内体系->知识点->数->有理数->相反数->相反数的性质

课内体系->能力->运算能力


1991年第2届全国希望杯初一竞赛初赛第13题

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的定义

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘法->有理数乘法运算


2003年竞赛第2题6分

在本埠投寄平信，每封信质量不超过$$20\text{g}$$时付邮费$$0.80$$元，超过$$20\text{g}$$而不超过$$40\text{g}$$时付邮费$$1.60$$元，依次类推，每增加$$20\text{g}$$需增加邮费$$0.80$$元（信的质量在$$100\text{g}$$以内)．如果某人所寄一封信的质量为$$72.5\text{g}$$，那么他应付邮费．

竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题

因为$$20\times 3\textless{}72.5\textless{}20\times 4$$，所以根据题意，可知需付邮费$$0.8\times 4=3.2$$（元）．  故选$$\text{D}$$．


2019年第1届广东深圳罗湖区深圳中学初中部初一竞赛（凤凰木杯）第2题3分 初一上学期单元测试《物以类聚》第19题 2019~2020学年浙江宁波鄞州区宁波市鄞州蓝青学校初一上学期期末第6题

如果对于某一特定范围内$$x$$的任意允许值, $$p=\left\textbar{} 1-2x \right\textbar+\left\textbar{} 1-3x \right\textbar+\cdots +\left\textbar{} 1-9x \right\textbar+\left\textbar{} 1-10x \right\textbar$$ 的值恒为一常数，则此值为．

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->零点分段法 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的几何意义 课内体系->能力->运算能力


2017年第1届重庆全国初中数学联赛初一竞赛初赛

知识标签->题型->式->整式的乘除->乘法公式->题型：利用完全平方公式计算 知识标签->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式

$$\because {{\left( a+b \right)}^{2}}=6ab$$，$${{\left( a-b \right)}^{2}}=2ab$$,且$$a\textless{}b\textless{}0$$ $$\therefore a+b=-\sqrt{6ab}$$，$$a-b=-\sqrt{2ab}\therefore \frac{a+b}{a-b}=\sqrt{3}$$


2013年第24届全国希望杯初二竞赛初赛第8题4分

课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的四则混合运算