全国高中数学联赛竞赛复赛一试

设$$f(x)={{x}^{2}}- \pi x$$，$$\alpha =\arcsin \frac{1}{3}$$，$$\beta =\text{arctg}\frac{5}{4}$$，$$\gamma =\arccos \left( -\frac{1}{3} \right)$$，$$\delta =\text{arcctg}\left( -\frac{5}{4} \right)$$，则（~ ~ ）．

$$f(\alpha )\textgreater f(\beta )\textgreater f(\delta )\textgreater f(\gamma )$$

$$f(\delta )\textgreater f(\alpha )\textgreater f(\beta )\textgreater f(\gamma )$$

$$f(\delta )\textgreater f(\alpha )\textgreater f(\gamma )\textgreater f(\beta )$$

课内体系->知识点->三角函数->反三角函数

课内体系->知识点->函数的概念与性质->二次函数->二次函数的图象及性质->含参二次函数的图象及性质

课内体系->素养->逻辑推理

由题意，$$f(x)$$的图像关于直线$$x=\frac{\mathsf{\pi }}{2}$$对称，且在$$\left( -\infty ,\frac{ \pi }{2} \right)$$单调减少，在$$\left( \frac{ \pi }{2},+\infty \right)$$单调增加．所以$$\left\textbar{} {{x}_{1}}-\frac{\mathsf{\pi }}{2} \right\textbar\textgreater\left\textbar{} {{x}_{2}}-\frac{\mathsf{\pi }}{2} \right\textbar$$时，有$$f({{x}_{1}})\textgreater f({{x}_{2}})$$．又易知$$0\textless{}\alpha \textless{}\frac{\mathsf{\pi }}{6}$$，$$\frac{\mathsf{\pi }}{4}\textless{}\beta \textless{}\frac{\mathsf{\pi }}{3}$$，$$\frac{\mathsf{\pi }}{2}\textless{}\gamma \textless{}\frac{2\mathsf{\pi }}{3}$$，$$\frac{3\mathsf{\pi }}{4}\textless{}\delta \textless{}\frac{5\mathsf{\pi }}{6}$$，  所以，$$0\textless{}\left\textbar{} \gamma -\frac{\mathsf{\pi }}{2} \right\textbar\textless{}\frac{\mathsf{\pi }}{6}\textless{}\left\textbar{} \beta -\frac{\mathsf{\pi }}{2} \right\textbar\textless{}\frac{\mathsf{\pi }}{4}\textless{}\left\textbar{} \delta -\frac{\mathsf{\pi }}{2} \right\textbar\textless{}\frac{\mathsf{\pi }}{3}\textless{}\left\textbar{} \alpha -\frac{\mathsf{\pi }}{2} \right\textbar\textless{}\frac{\mathsf{\pi }}{2}$$．故有： $$f(\alpha )\textgreater f(\delta )\textgreater f(\beta )\textgreater f(\gamma )$$．  故选$$\text{B}$$．


2015年广东全国高中数学联赛竞赛初赛第3题8分

$1\lt a\leqslant2$

竞赛->知识点->函数->基本初等函数


2013年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分

若三位数$$\overrightarrow{abc}$$被$$7$$整除，且$$a,b,c$$成公差非零的等差数列，则这样的整数共有个．

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列


2007年全国全国高中数学联赛竞赛一试第3题6分

将号码分别为$$1$$、$$2$$、\ldots、$$9$$的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为$$a$$，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为$$b$$．则使不等式$$a-2b+10\textgreater0$$成立的事件发生的概率等于（~ ）．

竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步


2009年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分

竞赛->知识点->函数->函数综合


2010年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

在$$5$$件产品中有$$4$$件正品、$$1$$件次品．从中任取$$2$$件，记其中含正品的个数为随机变量$$\xi $$，则$$\xi $$的数学期望$$E\xi $$是．

竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合


2016~2017学年4月湖南高三下学期月考理科第11题5分 2018年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第11题5分

$$\left( -\frac{\sqrt{3}}{3}p,0 \right)$$

$$\left( -\frac{2\sqrt{3}}{3}p,0 \right)$$

竞赛->知识点->解析几何->直线与圆锥曲线


2016年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分 2016年高考真题天津卷

掷两次骰子，用$$X$$记两次掷得点数的最大值，则下列各数中，与期望$$E\left( X \right)$$最接近的数是（~ ）．

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->统计与概率->概率->随机变量及其分布->离散型随机变量的数字特征->离散型随机变量的数学期望

课内体系->知识点->统计与概率->概率->随机变量及其分布->离散型随机变量的分布列


2011年江苏全国高中数学联赛竞赛复赛第2题8分

$$\left[ \frac{2\sqrt{3}}{3},+\infty~ \right)$$

$$\left[ -\frac{2\sqrt{3}}{3},  1 \right)$$

$$\left( 0,\frac{2\sqrt{3}}{3} \right]$$

$$\left( 0,\frac{2\sqrt{3}}{3} \right)$$

知识标签->思想->分类讨论 知识标签->方法->定义法 知识标签->素养->数学运算 知识标签->知识点->函数->函数及其表示->函数的值域 知识标签->题型->函数->函数及其表示->函数的值域->求复合函数的值域


1988年全国高中数学联赛竞赛一试第3题

平面上有三个点集$$M$$，$$N$$，$$P$$：（~ ）．$$M=\left { \left( x,y \right)\textbar\textbar x\textbar+\textbar y\textbar\textless{}1 \right }$$，$$N=\left { \left( x,y \right)\textbar\sqrt{\left( x-\frac{1}{2} \right)+{{\left( y+\frac{1}{2} \right)}^{2}}},+\sqrt{{{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{1}{2} \right)}^{2}}}\textless{}2\sqrt{2}, \right }$$，$$P=\left { \left( x,y \right)\textbar\textbar x+y\textbar\textless{}1,\textbar x\textbar\textless{}1,\textbar y\textbar\textless{}1 \right }$$则．

$$M\subset P\subset N$$；

$$M\subset N\subset P$$；

$$P\subset N\subset M$$；

$$\text{A,B,C}$$都不成立

竞赛->知识点->解析几何->椭圆 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算

$$M$$是正方形$$BCEF$$内部，$$P$$是六边形$$ABCDEF$$内部，$$N$$是从$$AD$$为长轴的椭圆内部，易知正方形顶点在椭圆内．故答Ａ．


2010年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第8题6分

多项式$${{(a+b+c+d)}^{8}}$$的展开式中，每一字母的指数均不为零的项共有．

竞赛->知识点->排列组合与概率->二项式定理及其应用


2008年山西全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分

在$$\triangle ABC$$中，$$D$$是$$BC$$边的中点，若$$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}=0$$，则$$\tan A+2\tan C$$的值为．

竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换


2010年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分

四面体$$S-ABC$$中，三组对棱分别相等，依次为$$5,4,x$$，则$$x$$的取值范围为．

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题


1984年全国高中数学联赛竞赛一试第3题 2015年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分 2006年上海复旦大学自主招生千分考第22题

对所有满足$$1\leqslant n\leqslant m\leqslant 5$$的$$m$$，$$n$$，极坐标方程$$\rho =\frac{1}{1-\text{C}_{m}^{n}\cos \theta }$$表示的不同双曲线条数为（~ ）．

竞赛->知识点->极坐标系与直角坐标系


2016年天津河北区高三二模文科第14题5分 2015年甘肃全国高中数学联赛竞赛初赛第9题7分 2016年天津河北区高三二模理科第14题5分 2017~2018学年浙江杭州西湖区杭州学军中学高二上学期期中理科第14题4分 2016年天津河北区高三一模理科第13题5分

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式的概念

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式成立的条件

课内体系->素养->数学运算


2009年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分

已知不等式$${{m}^{2}}+({{\cos }^{2}}\theta -5)m+4{{\sin }^{2}}\theta \geqslant 0$$恒成立，则实数$$m$$的取值范围是．

$$0\leqslant m\leqslant 4$$

$$1\leqslant m\leqslant 4$$

$$m\geqslant 4$$或$$x\leqslant 0$$

$$m\geqslant 1$$或$$m\leqslant 0$$

竞赛->知识点->不等式->不等式的解法

$${{m}^{2}}+({{\cos }^{2}}\theta -5)m+4{{\sin }^{2}}\theta ={{m}^{2}}+\left( -4-{{\sin }^{2}}\theta \right)m+4{{\sin }^{2}}\theta =\left( m-4 \right)\left( m-{{\sin }^{2}}\theta \right)\geqslant 0$$，  所以$$m\geqslant 4$$或$$m\leqslant {{\sin }^{2}}\theta $$恒成立，则$$m\geqslant 4$$或$$m\leqslant 0$$．


高二上学期单元测试《代数变形1》自招第2题 2009年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分

$$\left( 0,\frac{4}{3} \right]$$

$$\left( 1,\frac{4}{3} \right]$$

$$\left( 1,\frac{4}{3} \right)$$

$$\left( \frac{4}{3},2 \right)$$

竞赛->知识点->不等式->换元技巧->代数换元


2009年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

竞赛->知识点->导数模块->导数


$$2014-AMC10A-11$$  For the consumer, a single discount of $$n \%$$ is more advantageous than any of the following discounts:  ($$1$$) two successive $$15 \%$$ discounts  ($$2$$) three successive $$10 \%$$ discounts  ($$3$$)a $$25 \%$$ discount followed by a $$5 \%$$ discount  What is the smallest possible posiive integer value of $$n$$?  对于消费者来说，单次折扣$n \%$$比以下任何一种折扣都更具优势：  ($$1$$) 连续两次 $$15 \%$$ 折扣  ($$2$$) 连续三次 $$10 \%$$ 折扣  (3) 25\%折扣，然后是 5\%折扣  $$n$$ 的最小可能正整数值是多少？

美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Equation Word Problems

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->分段函数

Let the orginal price be $$x$$. Then, for option $$1$$, the discounted price is $$(1-0.15)(1-0.15)x=0.7225x$$. For option $$2$$, the discounted price is $$(1- 0.1)(1-0.1)(1-0.1)x=0.729 x$$. Finally, for option $$3$$, the discounted price is $$(1-0.25)(1-0.05)=0.7125x$$. Therefore, $$n$$ must be greater than max $$(x-0.7225x,x-0.729x,x-0.7125x)$$. It follows $$n$$ must be greater than $$0.2875$$. We multiply this by $$100$$ to get the percent value, and then round up because $$n$$ is the smallest integer that provides a greater discount than $$28.75$$, leaving us with the answer of $$\boxed{(\text{C})29}$$.


2011年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第10题5分

竞赛->知识点->不等式->不等式的解法

不等式的左端看成$$a$$的一次函数，$$f(a)=(x-2)a+({{x}^{2}}-4x+4)$$  由$$f(-1)={{x}^{2}}-5x+6\textgreater0,  f(1)={{x}^{2}}-3x+2\textgreater0\Rightarrow x\textless{}1$$或$$x\textgreater3$$．


2012年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第10题9分

函数$$y=\left\textbar{} x-1 \right\textbar+\left\textbar{} x-2 \right\textbar+\cdots +\left\textbar{} x-10 \right\textbar$$的最小值是~\uline{~~~~~~~~~~}~.

竞赛->知识点->函数基础->函数的概念 竞赛->知识点->函数基础->函数综合

当$$x\in \left[ 5,6 \right]$$时取得最小值$$25$$．


2008年甘肃全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分

六个家庭依次编号为$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$、$$5$$、$$6$$．每家三人，大家一起聚会做游戏，游戏按每组三人依次进行，那么同一组的成员来自不同家庭的概率为．

竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步 竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合

从$$18$$个人中选出$$3$$人，不同的选法共有$$\text{C}_{18}^{3}=\frac{18\times 17\times 16}{3\times 2\times 1}=816$$．  因为一个家庭的三个人编号是相同的，为使所选的组员编号不同，  应先从$$6$$个编号中选取$$3$$个号，有$$\text{C}_{6}^{3}$$种选法，对每一个编号再选人，  又有$$3$$种选法．从而，选出的小组成员来自不同家庭的选法为  $$\text{C}_{6}^{3}\cdot {{3}^{3}}=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}\times {{3}^{3}}=5\times 4\times {{3}^{3}}=540$$．  故一个小组的三个成员来自不同家庭的概率为  $$\frac{540}{816}=\frac{5\times 4\times {{3}^{3}}}{3\times 17\times 16}\times \frac{5\times {{3}^{2}}}{17\times 4}=\frac{45}{68}$$．  故选$$\text{C}$$．


2008年高考真题福建卷理科第15题4分 2008年高考真题福建卷文科第15题4分 2009年河南全国高中数学联赛高一竞赛初赛第2题5分

若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为$$\sqrt{3}$$，则其外接球的表面积是~\uline{~~~~~~~~~~}~．

$$3 \pi $$

$$6 \pi $$

$$9 \pi $$

以上都不对

课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的体积、表面积->空间几何体的体积

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题

三棱锥的三个侧面两两垂直，说明三棱锥的三条侧棱两两垂直，  设其外接球的半径为$$R$$，则有$${{(2R)}^{2}}={{(\sqrt{3})}^{2}}+{{(\sqrt{3})}^{2}}+{{(\sqrt{3})}^{2}}=9$$，  所以外接球的表面积为$$S=4\pi {{R}^{2}}=9\pi $$．  在棱长为$$\sqrt{3}$$的正方体$$ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$$中，以截面$$BD{{A}_{1}}$$为底面，$$A$$为顶点的三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为$$\sqrt{3}$$的三棱锥，而正方体一定有一个外接球，该外接球也是所述三棱锥的外接球，正方体的体对角线是其外接球的直径，于是，所求三棱锥外接球的表面积是$$4 \pi \times {{\left( \frac{1}{2}\times \sqrt{3}\times \sqrt{3} \right)}^{2}}=9 \pi $$．  故答案为：$$9 \pi $$．


2008年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为$$a$$，现用一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应就为．

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题

将四棱锥的侧面向外展开到底面，则$$4$$个侧面三角形的顶点所构成的正方形即为最小正方形，边长为$$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}a$$，故选$$\text{A}$$．


2004年高考真题北京卷理科第12题5分 2008年江苏全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分 2004年高考真题安徽卷理科第12题5分

$$\frac{ \pi }{4}$$

$$\frac{ \pi }{2}$$

$$ \pi $$

$$2 \pi $$

竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换


2011年全国高中数学联赛竞赛复赛一试第7题8分

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->数量积的坐标表达式

课内体系->知识点->平面向量->平面向量基本定理及其坐标表示->坐标表示平面向量的垂直

课内体系->知识点->直线和圆的方程->直线与方程->直线方程的五种形式->直线的一般式方程

课内体系->知识点->圆锥曲线->椭圆->直线和椭圆的位置关系

课内体系->知识点->圆锥曲线->直线与圆锥曲线问题->定点问题

课内体系->知识点->圆锥曲线->抛物线->直线和抛物线的位置关系

课内体系->知识点->圆锥曲线->抛物线->抛物线的定义、标准方程->抛物线的标准方程

课内体系->素养->数学运算

课内体系->素养->数学抽象


2017年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分 2016年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

对任意正整数$$n$$与$$k$$（$$k\leqslant n$$），$$f(n,k)$$表示不超过$$\left[ \frac{n}{k} \right]$$，且与$$n$$互质的正整数的个数，则$$f\left( 100,3 \right)=$$（~ ）．

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->函数的定义

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->判定是否为函数

课内体系->特色题型->新定义


2006年全国高中数学联赛竞赛一试第6题6分

$$\frac{1}{2}({{10}^{2006}}+{{8}^{2006}})$$

$$\frac{1}{2}({{10}^{2006}}-{{8}^{2006}})$$

竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合


2015年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第7题6分

若过点$$P\left( 1,0 \right)$$，$$Q\left( 2,0 \right)$$，$$R\left( 4,0 \right)$$，$$S\left( 8,0 \right)$$作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能等于．

竞赛->知识点->解析几何->直线与方程

不妨设四条直线交成的正方形在第一象限，且边长为$$a$$，面积为$$S$$，过$$P$$的直线的倾斜角为$$\theta (0\textless{}\theta \textless{}\frac{ \pi }{2})$$．  当过点$$P,Q$$的直线为正方形的对边所在的直线时，  $$\left\textbar{} PQ \right\textbar\sin \theta =a=\left\textbar{} RS \right\textbar\cos \theta \Leftrightarrow \sin \theta =4\cos \theta \Leftrightarrow \sin \theta =\frac{4}{\sqrt{17}}$$，  此时正方形的面积$$S={{(\left\textbar{} PQ \right\textbar\sin \theta )}^{2}}=\frac{16}{17}$$．  同理，当过点$$P,R$$的直线为正方形的对边所在的直线时，$$S=\frac{36}{5}$$；  当过点$$P,S$$的直线为正方形的对边所在的直线时，$$S=\frac{196}{53}$$．


2011年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分

体育课下课后，老师要求体育委员把$$3$$个相同的篮球、$$2$$个相同的排球、$$2$$个相同的橄榄球排成一排放好，则不同的放法有．

课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->分步乘法计数原理 竞赛->知识点->排列组合与概率->两个基本计数原理 竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合

总共$$10$$个球，先考虑选$$5$$个位置放篮球，共有$$\text{C}_{10}^{5}=252$$种，再从剩下的$$5$$个位置种选$$3$$个位置放排球，总共有$$10$$种方法，剩下的$$2$$个位置放橄榄球，故有$$252\times 10=2520$$种.


2001年全国高中数学联赛竞赛一试第2题6分

命题$$1$$：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点．  命题$$2$$：长方体中，必存在到各条棱距离相等的点．  命题$$3$$：长方体中，必存在到各个面距离相等的点．  以上三个命题中正确的有（~ ）．

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的角与距离

由于长方体的中心到各顶点的距离相等，所以命题$$1$$正确．对于命题$$2$$和命题$$3$$，一般的长方体（除正方体外）中不存在到各条棱距离相等的点，也不存在到各个面距离相等的点．因此，本题只有命题$$1$$正确．  故选$$\text{B}$$．


2013年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分

内直径为$$\frac{4\sqrt{3}}{3}+2$$，高为$$20$$的圆柱形容器中最多可以放入直径为$$2$$的小球的个数是．

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题

圆柱的底部可以放$$3$$个两两相切的小球，上一层也放$$3$$个两两相切的小球，使每个小球与下层$$2$$个小球相切，按此方法依次向上放置小球，设共放$$k$$层，则总高度  $$H=2+\left( k-1 \right)\frac{2\sqrt{6}}{3}$$  当$$k=12$$时，$$H=\left( 2+\frac{22\sqrt{6}}{3} \right)\approx 19{}96\textless{}20$$；  当$$k=13$$时，$$H=\left( 2+\frac{24\sqrt{6}}{3} \right)\approx 21{}60\textgreater20$$．  故最多可放人$$12$$层共$$36$$个，


2019年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

在正方形$$ABCD$$中，$$M$$为边$$BC$$的中点．若$$\overrightarrow{AC}=\lambda \overrightarrow{AM}+\mu \overrightarrow{BD}$$，则$$\lambda +\mu =$$．

竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算

注意到，  $$\overrightarrow{AC}=\lambda \overrightarrow{AM}+\mu \overrightarrow{BD}$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=\lambda \left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM} \right)+\mu \left( \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD} \right)$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=\lambda \left( \overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} \right)+\mu \left( -\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} \right)$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=\left( \lambda -\mu \right)\overrightarrow{AB}+\left( \dfrac{1}{2}\lambda +\mu \right)\overrightarrow{AD}$$．  又$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$$，  则$$\begin{cases}\lambda -\mu =1   \dfrac{1}{2}\lambda +\mu =1    \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}\lambda =\dfrac{4}{3}    \mu =\dfrac{1}{3}    \end{cases}$$，  故$$\lambda +\mu =\dfrac{5}{3}$$．


2009年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分

已知两个一元二次方程：$$a{{x}^{2}}+bx+c=0,u{{x}^{2}}+vx+w=0$$都有实根，这里$$a\ne u$$．若交换这两个方程的二次项系数，则$$wc\textgreater0$$是系数交换之后所得两个二次方程中至少有一个有实根的 ．

充分但不必要条件

必要但不充分条件

充分且必要条件

既不充分又不必要条件

竞赛->知识点->函数->函数方程


2011年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质 课内体系->知识点->函数的概念与性质


2010年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分

若正方体的棱长为$$a$$，则与正方体对角线垂直的最大截面的面积为．

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题

最大截面过正方体的中心，是边长为$$\frac{\sqrt{2}}{2}a$$的正六边形，面积为  $$\frac{\sqrt{3}}{4}\times \frac{1}{2}{{a}^{2}}\times 6=\frac{3\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}}$$．


全国全国高中数学联赛竞赛一试

已知三个平面$$\alpha $$、$$\beta $$、$$\lambda $$，每两个平面之间的夹角都是$$\theta $$，且$$\alpha \cap \beta =a$$，$$\beta \cap \gamma =b$$，$$\gamma \cap \alpha =c$$．若有：  命题甲：$$\theta \textgreater\frac{ \pi }{3}$$．命题乙：$$a$$，$$b$$，$$c$$相交于一点．  则．

甲是乙的充分非必要条件

甲是乙的必要非充分条件

甲是乙的充分必要条件

甲是乙的非充分非必要条件

课内体系->知识点->常用逻辑用语->充分条件与必要条件->充要条件与立体几何结合

课内体系->知识点->立体几何初步->基本图形位置关系->空间中的基本事实与定理

课内体系->素养->逻辑推理

设$$a$$，$$b$$，$$c$$交于一点，  由所成三面角内部一点引三条射线分别垂直于$$\alpha $$、$$\beta $$、$$\lambda $$，  其中每两条射线所成的角都是$$ \pi -\varphi $$，  $$\varphi $$为三面角中两两相等的二面角的平面角，  总和$$3( \pi -\varphi )\textless{}2 \pi $$，  ∴$$\varphi \textgreater\frac{1}{3} \pi $$．  当$$\varphi \textgreater\frac{2}{3} \pi $$时，$$\varphi \textgreater\frac{1}{3} \pi $$．  若$$a$$，$$b$$，$$c$$不交于一点，则互相平行，  这时$$\varphi \textgreater\frac{1}{3} \pi $$．  故选$$\text{A}$$．  （注：认定两平面间夹角范围是$$0\textless{}\theta {\leqslant }\frac{1}{2} \pi $$）


2011年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

下列四个函数中，最小正周期为$$ \pi $$，且图象关于直线$$x=\frac{5}{12} \pi $$对称的函数是．

$$y=\sin \left( \frac{x}{2}+\frac{ \pi }{3} \right)$$

$$y=\sin \left( \frac{x}{2}-\frac{ \pi }{3} \right)$$

$$y=\sin \left( 2x+\frac{ \pi }{3} \right)$$

竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质

对于函数$$y=\sin (\omega x+\varphi )$$，由最小正周期为：$$T=\frac{2 \pi }{w}= \pi $$，求得$$w=2$$，  ∴$$y=\sin (2x+\varphi )$$，  又∵函数的图象关于直线$$x=\frac{ 5\pi }{12}$$对称，  ∴$$2\times \frac{ 5\pi }{12}+\varphi =\frac{ \pi }{2}+k \pi $$，$$k\in \mathbf{Z}$$，  ∴$$\varphi =-\frac{ \pi }{3}+k \pi $$，$$k\in \mathbf{Z}$$，  结合选项，$$\varphi $$可取$$-\frac{ \pi }{3}$$，此时$$y=\sin \left( 2x-\frac{ \pi }{3} \right)$$．


2009年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

设$$M$$是正方体各条棱的中点的集合，则过且仅过$$M$$中$$3$$个点的平面的个数是．

竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合


2016年全国高中数学联赛竞赛第8题

课内体系->知识点->计数原理->二项式定理->整除问题 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式 竞赛->知识点->数论模块->取整函数->取整函数的定义与性质 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列 竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->柯西


2017年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

已知$$\triangle ABC$$中，$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}$$，则$$\frac{\left\textbar{} \overrightarrow{AC} \right\textbar+\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar}{\left\textbar{} \overrightarrow{BC} \right\textbar}$$的最大值是．

竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算

因为$$\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{BC}+3\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}$$，  所以$${{\left\textbar{} \overrightarrow{BC} \right\textbar}^{2}}={{\left\textbar{} \overrightarrow{AC} \right\textbar}^{2}}+2\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}$$．  因为$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=4\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}$$，  所以$${{\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar}^{2}}=4\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$$，则$${{\left\textbar{} \overrightarrow{BC} \right\textbar}^{2}}={{\left\textbar{} \overrightarrow{AC} \right\textbar}^{2}}+\frac{1}{2}{{\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar}^{2}}$$．  于是$$\frac{{{\left( \left\textbar{} \overrightarrow{AC} \right\textbar+\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar{} \right)}^{2}}}{{{\left\textbar{} \overrightarrow{BC} \right\textbar}^{2}}}=\frac{{{\left( \left\textbar{} \overrightarrow{AC} \right\textbar+\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar{} \right)}^{2}}}{{{\left\textbar{} \overrightarrow{AC} \right\textbar}^{2}}+\frac{1}{2}{{\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar}^{2}}}\leqslant 3$$，当$$2\left\textbar{} \overrightarrow{AC} \right\textbar=\frac{1}{2}\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar$$时取等号．


2009年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

已知集合$$M= {1, 2 }, N= {2a-1\textbar a\in M }$$，则$$M\cap N=$$．

$$ {1 }$$

$$ {1,2 }$$

$$ {1,2,3 }$$

空集

竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算


2018~2019学年11月广东深圳福田区深圳市实验学校高二上学期周测B卷第10题5分

2015年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

竞赛->知识点->函数->函数的概念

$$f\left( x \right)=\sqrt{2-x}+\sqrt{3}\sqrt{x+4}$$，则$${{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}\leqslant \left( 1+3 \right)\left( 2-x+x+4 \right)=24$$，$$f\left( x \right)\leqslant 2\sqrt{6}$$，所以$$M=2\sqrt{6}$$．  又$$-4\leqslant x\leqslant 2$$，所以$$f\left( x \right)\geqslant \sqrt{2-x}\geqslant \sqrt{2-\left( -4 \right)}=\sqrt{6}$$，$$m=\sqrt{6}$$．  因此$$\frac{M}{m}=2$$．


2021年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

设实数$$x$$，$$y$$满足不等式组$$\begin{cases} x-y\leqslant 0    4x-y\geqslant 0    x+y\leqslant 3 \end{cases}$$，则$$z=x+2y-\frac{1}{x}$$的最大值为．

竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->均值

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->不等式的性质->利用不等式性质求代数式范围或最值

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->利用基本不等式求最值

$$z=x+2y-\frac{1}{x}=2(x+y)-\left( x+\frac{1}{x} \right)\leqslant 2\times 3-\left( x+\frac{1}{x} \right)\leqslant 2\times 3-2=4$$当且仅当$$\begin{cases} x=1    y=2 \end{cases}$$时，等号成立．  选$$\text{D}$$．


2013年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分

已知函数$$f\left( x \right)=ax+b\left( x\in \left[ 0,1 \right] \right)$$，则``$$a+2b\textgreater0$$''是``$$f\left( x \right)\textgreater0$$恒成立''的．

充分非必要条件

必要非充分条件

充要条件

既不是充分条件，也不是必要条件

竞赛->知识点->逻辑->常用逻辑用语


2022~2023学年湖南邵阳隆回县湖南省隆回县第二中学高一上学期月考（竞赛）第1题

$\exists x\in\mathrm R,x^{3}-x^{2}+1\textless{} 0$

$\forall x\in\mathrm R,x^{3}-x^{2}+1\leq0$

$\exists x\in\mathrm R,x^{3}-x^{2}+1\leq0$

不存在$x\in\mathrm R$，${{x}^{3}}-{{x}^{2}}+1\textgreater0$

课内体系->知识点->常用逻辑用语->命题->全称量词命题与存在量词命题的否定

根据存在性命题的否定知，命题$\exists x\in R,{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+1\textgreater0$的否定是$\forall x\in R,{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+1\leqslant 0$.故选：$$\text{B}$$


2015年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第11题8分

课内体系->知识点->立体几何初步 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算


2013年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第12题5分

已知函数$$f\left( x \right)=\frac{a}{x}-x$$，对任意$$x\in \left( 0,1 \right)$$，有$$f\left( x \right)\cdot f\left( 1-x \right){\geqslant }1$$恒成立，则实数$$a$$的取值范围是~\uline{~~~~~~~~~~}~.

$$\left(-\infty,-\frac{1}{4}\right]\cup\left[1,+\infty\right)$$

$$\left(-\infty,-1\right]\cup\left[\frac{1}{4},+\infty\right)$$

竞赛->知识点->不等式->不等式的解法 竞赛->知识点->不等式->换元技巧->代数换元

记$$y=1-x\in \left( 0,1 \right)$$，则$$f\left( x \right)\cdot f\left( 1-x \right)=f\left( x \right)f\left( y \right)=\left( \frac{a}{x}-x \right)\left( \frac{a}{y}-y \right)$$  $$=\frac{{{x}^{2}}{{y}^{2}}-a\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+{{a}^{2}}}{xy}$$  $$=\frac{{{\left( xy \right)}^{2}}-a\left[ {{\left( x+y \right)}^{2}}-2xy \right]+{{a}^{2}}}{xy}$$.  令$$xy=t$$，则$$t\in \left( 0{}\frac{1}{4} \right]$$，令  $$g\left( t \right)=f\left( x \right)\cdot f\left( 1-x \right)=\frac{{{t}^{2}}-a\left( 1-2t \right)+{{a}^{2}}}{t}{\geqslant }1$$，即$${{t}^{2}}+\left( 2a-1 \right)t+{{a}^{2}}-a{\geqslant }0$$.  ①若$$\frac{1}{2}-a{\leqslant }0$$，即$$\frac{1}{2}{\leqslant }a$$，只需$$g\left( 0 \right){\geqslant }0$$，即$${{a}^{2}}-a{\geqslant }0$$，解得：$$a{\geqslant }1$$；  ②若$$0\textless{}\frac{1}{2}-a{\leqslant }\frac{1}{4}$$，即$$\frac{1}{4}{\leqslant }a\textless{}\frac{1}{2}$$，只须$$g\left( \frac{1}{2}-a \right){\geqslant }0$$，无解；  ③若$$\frac{1}{2}-a\textgreater\frac{1}{4}$$，即$$a\textless{}\frac{1}{4}$$，只需$$g\left( \frac{1}{4} \right){\geqslant }0$$，即$${{\left( a-\frac{1}{4} \right)}^{2}}{\geqslant }\frac{1}{4}$$，解得，$$a{\leqslant }-\frac{1}{4}$$.  所以，实数$$a$$的取值范围为$$ {a\textbar a{\geqslant }1$$或$$a{\leqslant }-\frac{1}{4} }$$.


2008年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第9题6分

知识标签->题型->平面向量->平面向量的运算->平面向量的数量积->线性运算和数量积综合问题

知识标签->题型->平面向量->平面向量的运算->平面向量的数量积->几何、代数、坐标进行的数量积运算

知识标签->素养->数学运算

知识标签->知识点->平面向量->平面向量的运算->平面向量的线性运算->平面向量的加法运算及运算规则

知识标签->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->向量的数量积的定义

知识标签->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->数量积的坐标表达式

$$\overrightarrow{a}=\left( 1,-1 \right)$$，$$\overrightarrow{b}=\left( -1,2 \right)$$，$$\therefore ( 2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{a}=\left( 1,0 \right)\cdot \left( 1,-1 \right)=1$$．


半径为$$2$$的圆的直径$$AB$$被延伸到圆外的一点$$D$$，使$$BD=3$$.选择$$E$$点，使$$ED=5$$，直线$$ED$$与直线$$AD$$垂直．线段$$AE$$与圆相交于$$A$$和$$E$$之间的点$$C$$.请问三角形$$ABC$$的面积是多少？

课内体系->知识点->直线和圆的方程

美国AMC10/12->Knowledge Point->Geometry->Calculation of Plane Geometry->Circle

Solution 1  Notice that $$ADE$$ and $$ABC$$ are right triangles.  Then $$AE=\sqrt{7^{2}+5^{2}}=\sqrt{74}$$,$$\sin DAE=\sin ABC=\dfrac{5}{\sqrt{74}}=\sin BAE=\dfrac{BC}{4}$$,so $$BC=\dfrac{20}{\sqrt{74}}$$. We also find that $$AC=\dfrac{28}{\sqrt{74}}$$, and thus the area of $$ABC$$ is $$\dfrac{\dfrac{20}{\sqrt{74}}\cdot\dfrac{28}{\sqrt{74}}}{2}=\dfrac{\dfrac{560}{74}}{2}=\dfrac{140}{37}$$.  Solution 2  We note that $$\triangle ACB\sim\triangle ADE$$ by $$AA$$ similarity. Also, since the area of $$\triangle ADE=\dfrac{7\cdot5}{2}=\dfrac{35}{2}$$ and $$AE=\sqrt {74}$$,$$\dfrac{\left[ ABC\right]}{\left[ ADE\right]}=\dfrac{\left[ ABC\right]}{\dfrac{35}{2}}=\left( \dfrac{4}{\sqrt{74}}\right)^{2}$$ , so the area of $$\triangle ABC=\frac {140}{37}$$.  Solution 3  As stated before, note that $$\triangle ACB$$,$$\triangle ADE$$. By similarity, we note that $$\dfrac{\overline{AC}}{\overline{BC}}$$ is equivalent to $$\frac 75$$. We set $$\overline{AC}$$ to $$7x$$~ and $$\overline{BC}$$ to $$5x$$. By the Pythagorean Theorem, $$\left( 7x\right)^{2}+\left( 5x\right)^{2}=4^{2}$$. Combining, $$49x^{2}+25x^{2}=16$$. We can add and divide to get $$x^{2}=\frac 8{37}$$. We square root and rearrange to get $$x=\dfrac{2\sqrt{74}}{37}$$. We know that the legs of the triangle are $$7x$$ and $$5x$$. Mulitplying $$x$$ by $$7$$ and $$5$$ eventually gives us $$\dfrac{14\sqrt{74}}{37}\dfrac{10\sqrt{74}}{37}$$. We divide this by $$2$$, since $$\frac 12bh$$ is the formula for a triangle. This gives us $$\frac {140}{37}$$.  Solution 4  Let\textquotesingle s call the center of the circle that segment $$AB$$ is the diameter of,$$O$$. Note that $$\triangle ODE$$ is an isosceles right triangle. Solving for side $$OE$$, using the Pythagorean theorem, we find it to be $$5\sqrt 2$$. Calling the point where segment $$OE$$ intersects circle $$O$$, the point $$I$$, segment $$IE$$ would be $$5\sqrt 2-2$$. Also, noting that $$\triangle ADE$$ is a right triangle, we solve for side $$AE$$, using the Pythagorean Theorem, and get $$\sqrt {74}$$. Using Power of Point on point $$E$$, we can solve for $$CE$$. We can subtract $$CE$$ from $$AE$$ to find $$AC$$ and then solve for $$CB$$ using Pythagorean theorem once more $$(AE)(CE)$$. $$=$$ (Diameter of circle $$O+IE$$ ),$$ \left( IE\right)\rightarrow\sqrt{74}\left( CE\right)=\left( 5\sqrt{2}+2\right)\left( 5\sqrt{2}-2\right)\Rightarrow CE=\dfrac{23\sqrt{74}}{37}$$,$$AC=AE-CE\rightarrow AC=\sqrt{74}-\dfrac{23\sqrt{74}}{37}\Rightarrow AC=\dfrac{14\sqrt{74}}{37}$$,Now to solve for $$CB$$:$$AB^{2}-AC^{2}=CB^{2}\rightarrow4^{2}+\dfrac{14\sqrt{74}^{2}}{37}=CB^{2}\Rightarrow CB=\dfrac{10\sqrt{74}}{37}$$ ,  Note that $$\triangle ABC$$ is a right triangle because the hypotenuse is the diameter of the circle. Solving for area using the bases $$AC$$ and $$BC$$, we get the area of triangle $$ABC$$ to be $$\frac {140}{37}$$.


2009年竞赛珠海市第5题5分

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和


2008年河南全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

$$(0,+\infty )$$

$$(-\infty ,0)$$

$$(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$$

$$(-\infty ,+\infty )$$

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质 竞赛->知识点->函数->基本初等函数


2018年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

三棱锥$$P-ABC$$的底面$$\triangle ABC$$是边长为$$4$$的正三角形，$$PA=3$$，$$PB=4$$，$$PC=5$$，则三棱锥$$P-ABC$$的体积为．

课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的体积、表面积->三棱锥体积问题->等体积法

竞赛->知识点->立体几何与空间向量


2008年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

某学校的数学课外小组有$$8$$个女生和$$6$$个男生，要从他们中挑选$$4$$人组成代表队去参加比赛，则代表队包含男女生各$$2$$人的概率为．

课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->组合

课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->分步乘法计数原理

课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->古典概型

课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->概率的概念->概率的基本性质

课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->概率的概念->频率与概率问题

课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->事件与基本事件空间->基本事件与基本事件空间

课内体系->素养->数学运算

课内体系->素养->数据分析


2017年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

实数$$a,b$$满足$$\left\textbar{} a \right\textbar\leqslant 1$$，$$\left\textbar{} a+b \right\textbar\leqslant 1$$，则$$\left( a+1 \right)\left( b+1 \right)$$的取值范围是．

$$\left[ 0,\frac{9}{4} \right]$$

$$\left[ -2,\frac{9}{4} \right]$$

$$\left[ 0,2 \right]$$

$$\left[ -2,2 \right]$$

竞赛->知识点->不等式->不等式的解法

$$\left( a+1 \right)\left( b+1 \right)\leqslant \frac{{{\left[ \left( a+1 \right)+\left( b+1 \right) \right]}^{2}}}{4}\leqslant \frac{{{3}^{2}}}{4}=\frac{9}{4}$$，当$$a=b=\frac{1}{2}$$时取等号．  $$\left( a+1 \right)\left( b+1 \right)=ab+\left( a+b \right)+1\geqslant ab\geqslant -\left\textbar{} b \right\textbar\geqslant -2$$，当$$a=1b=-2$$时取到等号．


2000年全国高中数学联赛竞赛一试第1题6分

设全集是实数，若$$A=\left { x\textbar\sqrt{x-2}\leqslant 0 \right }$$，$$B=\left { x\textbar{{10}^{{{x}^{2}}-2}}={{10}^{x}} \right }$$，则$$A\cap \overline{B}$$是（~ ~ ）．

$$ {2 }$$

$$ {-1 }$$

$$\left { x\textbar x\leqslant 2 \right }$$

$$\varnothing $$

竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算


2018年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->周期性->函数周期性判断

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->余弦函数的图象和性质

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->余弦型三角函数的图象与性质

课内体系->素养->数学运算

课内体系->素养->逻辑推理

由最小正周期为$$6\Rightarrow 6 \omega=2 \pi \Rightarrow \omega=\frac{\pi}{3}$$，  于是，当$$k$$为整数时，  $$\sum_{i=1}^{6} f(6 k+i)=0$$，  即每个完整周期内的六个函数值之和为零，  注意到，$$2018=6 \times 336+2$$，  故原式$$=f(1)+f(2)=\cos \frac{\pi}{3}+\cos \frac{2 \pi}{3}=0$$．


2011年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第9题6分

竞赛->知识点->函数->基本初等函数


2019年北京高一竞赛初赛（中学生数学竞赛）第3题6分

对于无理数$$\text{e}=2.71828182845\cdots $$，定义函数$$f(n)=k$$，定义域为正整数，其中，$$k$$为$$\text{e}$$的小数点后第$$n$$位的数字，规定$$f(0)=2$$，则$$f(f(f(n)))$$的值域为．

$$ {3,4,6,9 }$$

$$ {2,0,1,9 }$$

$$ {0,3,5,9 }$$

$$ {1,2,7,8 }$$

竞赛->知识点->函数->函数的概念


2007AMC12B, 21  The first $$2007$$ positive integers are each written in base $$3$$. How many of these base- $$3$$ representations are palindromes? (A palindrome is a number that reads the same forward and backward.)．  把前$$2007$$个正整数用$$3$$进制来表示。这些$3$进制表示中有多少是回文数？（回文数，指正着或倒着读都一样的数。）．

课内体系->知识点->算法与框图->算法案例->进位制

美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Reasoning->Information Migration (new definition)

首先把$2007_{10}$转化成$$3$$进制, 得到$2202100_3$.  于是我们就要数出有多少不超过$2202100_3$的$$3$$进制正回文数$$.$$ 按位数分类计数, 然后求和, 是一个可行的思路.  1位的$$3$$进制回文数有$$2$$个, 1和$$2$$（注意题目要求正整数）.  2位的有$$2$$个, $11$和$22$.  3位的有$2\times 3=6$个, $1(\cdot)1$和$2(\cdot)2$.  4位的有$2\times 3=6$个, $1(\cdot)(\cdot)1$和$2(\cdot)(\cdot)2$.  算到这里, 我们发现$2k-1$位的回文数和$2k$位的回文数的个数理应是相同的, 且都等于$2k-2$位的回文数的个数$\times 3$.  于是$$5$$位和$$6$$位的回文数各有$6\times 3=18$个.  7位的回文数有$18\times 3=54$个.  注意我们要求的是不超过$2202100_3$的回文数, 因此再之后的就就不用求了, 而且我们还需要剔除几个太大的数.  7位且大于$2202100_3$的回文数只能是$22(x)(y)(x)22$的形式, 且$x\neq0$.因此需要剔除的数共有$2\times3=6$个.  于是我们的结果是$2\times(2+6+18)+54-6=100$个, 选$$\text{A}$$.  拓展: 如果把这前$$2007$$个正整数用$$10$$进制表示, 其中的回文数又有多少个? 用其它进制表示呢? 回文数的数量与进制存在关系吗?


2019年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

设$$a=\pi -3$$，$$b=\ln \pi -\ln 3$$，$$c=\text{e}^{\pi}-\text{e}^{3}$$，其中，$$\pi $$是圆周率，$$\text{e}$$是自然对数的底数．则$$a$$、$$b$$、$$c$$的关系为 ．

$$a\textless b\textless c$$

$$b\textless c\textless a$$

$$c\textless b\textless a$$

$$b\textless a\textless c$$

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质

设$$f(x)=x-\ln x$$．  则$$f^{\prime}(x)= \frac{x-1}{x}$$ ．  于是，$$f(x)$$在区间$$(1,+\infty)$$上单调递增．  故$$f(\pi )\textgreater f(3)$$，  $$\Rightarrow \pi -\ln \pi \textgreater3-\ln 3$$，  $$\Leftrightarrow \pi -3\textgreater\ln \pi -\ln 3$$，  $$\Rightarrow a\textgreater b$$．  设$$g(x)=\text{e}^{}x-x$$．  则$$g^{}\prime (x)=\text{e}^{}x-1$$．  于是，$$g(x)$$在区间$$(0,+\infty )$$上单调递增．  故$$g(\pi )\textgreater g(3)$$，  $$\Rightarrow \text{e}^{x}--\pi \textgreater\text{e}^{3}-3$$  $$\Leftrightarrow \text{e}\pi -\text{e}^{3}\textgreater\pi -3$$  $$\Rightarrow c\textgreater a$$．


2005AMC12A, 21  How many ordered triples of integers $$(a, b, c)$$, with $$a\geqslant2$$, $$b\geqslant1$$, and $$c\geqslant0$$, satisfy both $$\log_ab=c^{2005}$$ and $$a+b+c= 2005$$?  有多少个整数 $$(a, b, c)$$ 的有序三元组，其中 $$a\geqslant2$$、$$b\geqslant1$$ 和 $$c\geqslant0$$ 满足 $$\log_ab =c^{2005}$$ 和 $$a+b+c= 2005$$?

课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算->指对化简求值

美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Calculation->Solve Quadratic Equations


$a\textgreater{} b\textgreater{} c$

$a=b=c$

$a\textless{} b\textless{} c$

不能比较大小


2015年广西全国高中数学联赛竞赛初赛第7题8分

$$\triangle ABC$$内有$$2015$$个点，加上三个顶点，共有$$2018$$个点，把这些点连线，形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数是~\uline{~~~~~~~~~~}~

竞赛->知识点->逻辑->逻辑推理 课内体系->知识点->计数原理

所有小三角形的内角和为$$2015\cdot 2 \pi + \pi =4031 \pi $$，所以小三角形的个数有$$4031$$个．


2018年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

$$a\textgreater b\textgreater c$$

$$b\textgreater c\textgreater a$$

$$b\textgreater a\textgreater c$$

$$c\textgreater b\textgreater a$$

竞赛->知识点->不等式

解：$$a={{\log }_{2}}\sqrt[3]{5}\textgreater0$$，$$b={{\log }_{2}}\sqrt{3}\textgreater1$$，$$c=\frac{2}{3} \textless{} 1$$，  $$\because {{5}^{2}} \textless{} {{3}^{3}}$$，$$\therefore \sqrt[3]{5} \textless{} \sqrt{3}$$，$$\therefore c \textless{} a \textless{} b$$．


2018年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分

设$$A=\left[ -2,4 \right)$$，$$B=\left { x\left\textbar{} {{x}^{2}}-ax-4\leqslant 0 \right. \right }$$，若$$B\subseteq A$$，则实数$$a$$取值范围为(  )

$$\left[ -3,0 \right)$$

$$\left[ -2,0 \right)$$

$$\left[ 0,2 \right)$$

$$\left[ 0,3 \right)$$

由$$f\left( x \right)={{x}^{2}}-ax-4$$开口向上，  且$$\left\textbar{} x \right\textbar{{x}^{2}}-ax-4\leqslant 0\left\textbar{} \subseteq \left[ -2,4 \right) \right.$$，  知$$f\left( -2 \right)\geqslant 0$$，$$f\left( 4 \right)\textgreater0\Rightarrow a\in \left[ 0,3 \right)$$．


2008年江西全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分

若对所有实数$$x$$，均有$${{\sin }^{k}}x\cdot \sin kx+{{\cos }^{k}}x\cdot \cos kx={{\cos }^{k}}2x$$，则$$k$$为．

竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换

记$$f\left( x \right)={{\sin }^{k}}x\cdot \sin kx+{{\cos }^{k}}x\cdot \cos kx-{{\cos }^{k}}2x$$ ，  则由题意知对于任意的$$x$$，$$f\left( x \right)$$恒为$$0$$．  若取$$x=\frac{ \pi }{2}$$，可得$$\sin \frac{k \pi }{2}={{\left( -1 \right)}^{k}}$$，  故选项中只有$$k=3$$满足题意．故选$$\text{D}$$．


2019年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

一个不透明箱子内装有$$20$$个大小，形状均相同的小球，分别标有号码$$1$$，$$2$$，$$\cdots $$，$$20$$，从中任意取出两个球．则这两个球的号码之和能被$$3$$整除的概率为．

竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合 竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步


2012年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

设$${{A}_{k}}=\left { x\textbar x=kt+\frac{1}{kt},\frac{1}{{{k}^{2}}}\leqslant t\leqslant 1 \right }\left( k=2,  3,\cdots ,  2012 \right)$$，则所有$${{A}_{k}}$$的交集为．

$$\varnothing $$

$$\left { 2 \right }$$

$$\left[ 2,\frac{5}{2} \right]$$

$$\left[ 2,\frac{{{2012}^{2}}+1}{2012} \right]$$

竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算


1982年全国高中数学联赛竞赛第5题

对任何$$\varphi \in (0，\frac{\pi }{2})$$，都有(~ ~ )．~

$$\sin \sin \varphi ~~\textless{} ~\cos \varphi ~~\textless{} ~\cos \cos \varphi $$

$$\sin \sin \varphi \textgreater\cos \varphi \textgreater\cos \cos \varphi $$

$$\sin \cos \varphi \textgreater\cos \varphi \textgreater\cos \sin \varphi $$

竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质

由于$$(0\mathsf{，}\frac{ \pi }{2})$$$$$$中，$$\sin x ~\textless{} ~x$$  易知$$0 ~\textless{} ~\cos x ~\textless{} ~1 ~\textless{} ~\frac{ \pi }{2}$$  所以$$\sin \mathsf{(}\cos \varphi \mathsf{)} ~\textless{} ~\cos \varphi $$  由在$$(0\mathsf{，}\frac{ \pi }{2})$$中，$$\varphi \textgreater\sin \varphi \mathsf{，}\cos x$$单调递减得  $$\cos \varphi ~~\textless{} ~\cos \mathsf{(}\sin \varphi \mathsf{)}$$．  $$\therefore $$ $$\sin \cos \varphi ~~\textless{} ~\cos \varphi ~~\textless{} ~\cos \sin \varphi $$成立．


2008年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分

考虑集合$$S=\left { 1  ,2  ,\cdots ,  10 \right }$$的所有非空子集，若一个非空子集中的偶数的数目不少于奇数的数目，称这个子集是``好子集''，则``好子集''的数目有个．

竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算


2013年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分

竞赛->知识点->解析几何->圆与方程 竞赛->知识点->不等式->换元技巧->三角换元

$$17\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right){-}30xy-16=0$$，  得$${{\left( x+y \right)}^{2}}+16{{\left( x-y \right)}^{2}}=16$$，$${{\left( \frac{x+y}{4} \right)}^{2}}+{{\left( x-y \right)}^{2}}=1$$．  令$$\begin{cases}x+y=4\cos \theta    x-y=\sin \theta \end{cases}{}\theta \in \mathbf{R}{}$$，得  $$f\left( x,y \right)=\sqrt{16{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-16xy-12x+6y+9}$$  $$=\sqrt{{{\left( 4x-2y \right)}^{2}}-3\left( 4x-2y \right)+9}$$  $$=\sqrt{[3\left( x-y \right)+\left( x+y \right)\left] ^{2}-3 \right[3\left( x-y \right)+\left( x+y \right)]+9}$$  $$=\sqrt{{{\left( 3\sin \theta +4\cos \theta \right)}^{2}}-3\left( 3\sin \theta +4\cos \theta \right)+9}$$  $$=\sqrt{[5\sin \left( \theta +\alpha \right)\left] ^{2}-3 \right[5\sin \left( \theta +\alpha \right)]+9}$$，  其中$$\alpha =\text{arc}\sin \frac{4}{5}$$;当$$\theta =\frac{3 \pi }{2}-\alpha $$时，$$\sin \left( \theta +\alpha \right)=-1,f{(}x,y{)}$$取得最大值$$7$$．


2014年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分

如果$$\triangle ABC$$中，$$\tan A$$、$$\tan B$$、$$\tan C$$都是整数，且$$A\textgreater B\textgreater C$$，则以下说法中错误的是．

$$A\textless{}80{}^{}\circ $$

$$B\textless{}60{}^{}\circ $$

$$C\textless{}50{}^{}\circ $$

$$A\textgreater65{}^{}\circ $$

竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换

由于$$A\textgreater B\textgreater C$$，所以$$B$$、$$C$$都是锐角，$$\tan B$$、$$\tan C$$都是正整数，这样  $$\tan A=-\tan \left( B+C \right)=\frac{\tan B+\tan C}{\tan B\tan C-1}\textgreater0$$，  可见$$A$$也是锐角．这时，$$\tan C\geqslant 1$$，$$\tan B\geqslant 2$$，$$\tan A\geqslant 3$$．我们有  $$\frac{\tan A+\tan B}{\tan A\tan B-1}=\tan C\geqslant 1$$，  即$$\left( \tan A-1 \right)\left( \tan B-1 \right)\leqslant 2$$．但是$$\tan A-1\geqslant 2$$，$$\tan B-1\geqslant 1$$，比较可知只可能$$\tan A=3$$，$$\tan B=2$$，$$\tan C=1$$．因此，$$C=45{}^{}\circ $$，选项$$\text{C}$$正确．由$$\tan B\textgreater\sqrt{3}$$可知$$B\textgreater60{}^{}\circ $$，选项$$B$$是错误的．至于选项$$A$$和$$D$$，由$$\tan 75{}^{}\circ =2+\sqrt{3}\textgreater\tan A$$可知$$A\textgreater75{}^{}\circ $$，选项$$\text{A}$$正确；由$$A+B=135{}^{}\circ $$和$$A\textgreater B$$可知$$A\textgreater65{}^{}\circ $$，选项$$\text{D}$$正确．


2009年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

$$f(x)$$是偶函数

$$f(x)$$是奇函数

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->奇偶性->函数奇偶性的判定->利用定义判断函数奇偶性


1990年全国高中数学联赛竞赛一试第5题

以上答案都不对

竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算 竞赛->知识点->复数与平面向量->模、辐角与单位根


2009年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

设$$z$$是复数，$$a(z)$$表示满足$${{z}^{n}}=1$$的最小正整数$$n$$，则对虚数单位$$\text{i},\alpha (\text{i})=$$．

竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的应用


2015年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分

在正方体的$$12$$条面对角线和$$4$$条体对角线中随机的选取两条对角线，则这两条对角线所在的直线为异面直线的概率等于．

以上结果都不对

与任一条面对角线异面的对角线有$$7$$条，与任一条体对角线异面的对角线有$$6$$条，所以异面直线对的数目为$$\frac{1}{2}\left( 7\times 12+6\times 4 \right)=54$$，所求概率$$\frac{54}{\text{C}_{16}^{2}}=\frac{9}{20}$$．


高二上学期单元测试《代数变形（3）》自招第10题 2008年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

把$$2008$$表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示方法有种．

竞赛->知识点->数论模块->不定方程->因式分解与恒等变形


课内体系->知识点->等式与不等式->等式->方程组的解集

Let $$a$$ and $$b$$ be the digits of $$x$$.  ♣$$($$♣$$(x))=a+b=3$$.  Clearly ♣$$(x)$$ can only be $$3$$, $$12$$, $$21$$, or $$30$$ and only $$3$ and $$12$$ are possible to have two digits sum to.  If ♣$$(x)$$ sums to $$3$$, there are $$3$$ different solutions: $$12$$, $$21$$, or $$30$$.  If ♣$$(x)$$ sums to $$12$$, there are $$7$$ different solutions: $$39$$, $$48$$, $$57$$, $$66$$, $$75$$, $$84$$, or $$93$$.  The total number of solutions is $$3+7=10\Rightarrow \rm E$$.


2018年四川南充高三零模理科第11题5分 2016年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第7题6分

课内体系->素养->数学运算

课内体系->方法->构造法

课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->零点的个数问题->已知零点情况求参数的取值范围

课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->函数零点的概念

课内体系->知识点->基本初等函数->实数指数幂运算

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->解不等式->一元二次不等式


2013年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分

如果不等式$${{x}^{2}}\textless{}\left\textbar{} x-1 \right\textbar+a$$的解集是区间$$\left( -3,3 \right)$$的子集，则实数$$a$$的取值范围是．

$$\left( -\infty ,7 \right)$$

$$\left( -\infty ,7 \right]$$

$$\left( -\infty ,5 \right)$$

$$\left( -\infty ,5 \right]$$

竞赛->知识点->集合->集合的划分与覆盖

当$$x{\geqslant }1$$时，原不等式成为$${{x}^{2}}-x+1-a\textless{}{0}$$，其解  集中不含任何$$\geqslant 3$$的数，故当$$x{\geqslant }3$$时总有$${{x}^{2}}-x+1{-}a{\geqslant 0}$$成立，由此得到$$a{\leqslant }7$$．  当$$x\textless{}1$$时，原不等式成为$${{x}^{2}}+x-1-a\textless{}0$$，其解集中不含任何小于等于$$-3$$的数，故当$$x{\leqslant -}3$$时总有$${{x}^{2}}+x-1-a{\geqslant }0$$成立，由此得到$$a{\leqslant }5$$．  综上，$$a\in \left( -\infty ,5 \right]$$．


We can replace $$2$$ and $$4$$ with a and b respectively. Then substituting with n and m we can get $$\dfrac{a^{3}b^{2}}{b^{3}a^{2}}=\dfrac{a}{b}$$ and substitute to get $$\dfrac{2}{4}=\boxed  {~~\dfrac{1}{2}~~}$$ which is $$\left(\text{B}\right)$$.


2022年江苏徐州贾汪区江苏省贾汪中学高一竞赛（下学期春季）第7题

设$f\left( x \right)=\frac{{{3}^{x}}}{{{3}^{x}}+1}-\frac{1}{3}$，若$\left[ x \right]$表示不超过$x$的最大整数，则函数$y=\left[ f\left( x \right) \right]$的值域是（~~~~~~~）

$\left { 0,-1 \right }$

$\left { 0,1 \right }$

$\left { -1,1 \right }$

$\left { -1,0,1 \right }$


2010年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分

已知关于$$x$$的不等式$$\sqrt{x}+\sqrt{2-x}\geqslant k$$有实数解，则实数$$k$$的取值范围是．

$$(-\infty ,0]$$

$$(-\infty ,0)$$

$$(-\infty ,2]$$

竞赛->知识点->函数->二次函数

令$$y=\sqrt{x}+\sqrt{2-x}$$，$$0\leqslant x\leqslant 2$$  则$${{y}^{2}}=x+(2-x)+2\sqrt{x(2-x)}\leqslant 4$$．  故$$0\textless{}y\leqslant 2$$，且$$x=2-x$$，即$$x=1$$时等号成立，  所以实数$$k$$的取值范围是$$(-\infty ,2]$$．


波力士醫院在一年中多胞胎嬰兒出生數的統計如下：雙胞胎、三胞胎及四胞胎共出生$$1000$$個婴儿，其中三胞胎之组數是四胞胎組數的$$4$$倍，雙胞胎組数是三胞胎组数的$$3$$倍，則在此$$1000$$個嬰兒中四胞胎的婴儿人數總共多少？  At Megapolis Hospital one year, multiple$$-$$birth statistics were as follows: Sets of twins, triplets, and quadruplets accounted for $$1000$$ of the babies born. There were four times as many sets of triplets as sets of quadruplets, and there was three times as many sets of twins as sets of triplets. How many of these $$1000$$ babies were in sets of quadruplets?

We can set up a system of equations where $$a$$ is the sets of twins, $$b$$ is the sets of triplets, and $$c$$ is the sets of quadruplets. $$\begin{array}{l} {2a+3b+4c=1000}  {b=4c}  {a=3b} \end{array}$$.  Solving for $$c$$ and $$a$$ in the second and third equations and substituting into the first equation yields $$\begin{array}{l} {2\left( 3b\right)+3b+4\left( 0.25b\right)=1000}  {6b+3b+b=1000}  {b=100} \end{array}$$.  Since we are trying to find the number of babies and NOT the number of sets of quadruplets, the solution is not $$c$$, but rather $$4c$$. Therefore, we strategically use the second initial equation to realize that $$b=4c$$, leaving us with the number of babies born as quadruplets equal to$$\left(\text{D}\right) 100$$.

Say there are $$12x$$ sets of twins, $$4x$$ sets of triplets, and $$x$$ sets of quadruplets.

That's $$12x\cdot2=24x$$ twins, $$4x\cdot3=12x$$ triplets, and $$x\cdot4=4x$$ quadruplets. A tenth of the babies are quadruplets and that's $$\dfrac{1}{10}\left( 1000\right)=\left( \text{D}\right)100$$.


1981年全国高中数学联赛竞赛一试第3题

设$$\alpha \ne \frac{k \pi }{2}(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$$，$$T=\frac{\sin \alpha +\tan\alpha }{\cos \alpha +\cot\alpha }$$，则．

$$T$$取负值

$$T$$取非负值

$$T$$取正值

$$T$$取值可正可负

竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换

作恒等变形，易得  $$T=\frac{\sin \alpha+\tan\alpha}{\cos \alpha+\cot\alpha}=\frac{\tan\alpha(\cos \alpha+1)}{\cot\alpha(\sin \alpha+1)}=\frac{{\cot^{2}}\alpha(\cos \alpha+1)}{\sin \alpha+1}\textgreater0$$  （其中$$\alpha\ne \frac{k \pi }{2}$$，$$k=0$$，$$\pm 1$$，$$\pm 2$$，\ldots）．


2012年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

已知集合$$A=\left { 1,  b,  a+b \right },  B=\left { a-b,  ab \right }$$，且$$A\cap B=\left { -1,  0 \right }$$，则$$a,  b$$的值分别为．

$$0,  -1$$

$$-1,  1$$

$$1,  -1$$

竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算

提示：因为$$1\notin A\cap B$$，所以$$b$$和$$a+b$$中必有一个为$$0$$，一个为$$-1$$，但是$$a\ne 0$$，否则集合$$A$$中有两个元素相同，因此必有$$a=-1,  b=0$$．


2016年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分

在棱长为$$1$$的正四面体$$ABCD$$中，$$G$$为$$\triangle BCD$$的重心，$$M$$是线段$$AG$$的中点，则三棱锥$$M-BCD$$的外接球的表面积为（~ ~ ）．

$$ \pi $$

$$\frac{3}{2} \pi $$

$$\frac{\sqrt{6}}{4} \pi $$

$$\frac{\sqrt{6}}{8} \pi $$

课内体系->素养->直观想象

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->立体几何初步->基本图形位置关系->空间中的基本事实与定理->点、直线、平面之间的位置关系

课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的概念->空间几何体的内切球、外接球问题

课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的概念->棱柱、棱锥、棱台的结构特征

易算出$$AG=\frac{\sqrt{6}}{3}$$，所以$$MG=\frac{\sqrt{6}}{6}$$．因为$$GD=\frac{\sqrt{3}}{3}\textgreater MG$$，所以外心$$O$$在$$MG$$的延长线上．  设$$MG$$的延长线交外接球于另一点$$N$$，由射影定理，$$D{{M}^{2}}=MG\cdot MN$$，  即$$D{{G}^{2}}+M{{G}^{2}}=MG\cdot 2R$$（$$R$$是外接球半径），解得$$R=\frac{\sqrt{6}}{4}$$．  所以外接球表面积$$S=4 \pi {{R}^{2}}=\frac{3}{2} \pi $$．  故选$$\text{B}$$．


2008年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

$$5$$名志愿者随进入$$3$$个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为（~ ）

竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步 竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合

$$5$$名志愿者随进入$$3$$个不同的奥运场馆的方法数为$${{3}^{5}}=243$$种．每个场馆至少有一名志愿者的情形可分两类考虑：第$$1$$类 ，一个场馆去$$3$$人，剩下两场馆各去$$1$$人，此类的方法数为$$\text{C}_{3}^{1}\cdot \text{C}_{5}^{3}\cdot \text{A}_{2}^{2}=60$$种；第$$2$$类，一场馆去$$1$$人，剩下两场馆各$$2$$人，此类的方法数为$$\text{C}_{3}^{1}\cdot \text{C}_{5}^{1}\cdot \text{C}_{4}^{2}=90$$种．故每个场馆至少有一名志愿者的概率为$$P=\frac{60+90}{243}=\frac{50}{81}$$．  故选$$\text{D}$$．


2022~2023学年湖南永州宁远县高一上学期月考（明德湘南中学基础知识竞赛）第1题

$\left { -1,1,3 , \right }$

$\left { 1,2,5 , \right }$

$\left { 1,3,5 , \right }$

$\phi $

\hfill\break 【分析】\\ 根据交集的定义，直接运算求解即可.\\ 【详解】\\ $\because $$M= {-1,1,3,5\text{ } },N= {-2,1,2,3,5\text{ } }$，\\ $\therefore $$M\cap N=$$\left { 1,3,5 , \right }$\\ 故选：C


2009年竞赛珠海市第3题5分

由甲城市到乙城市$$t$$分钟的电话费由函数$$g(t)=1.06\times (0.75[t]+1)$$给出，其中$$t\textgreater0$$，$$[t]$$表示大于或等于$$t$$的最小整数，则从甲城市到乙城市$$5.5$$分钟的电话费为．

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质 竞赛->知识点->数论模块->取整函数->取整函数的定义与性质


1989年全国高中数学联赛竞赛一试第2题

函数$$f\left( x \right)=\text{arctg}x+\frac{1}{2}\arcsin x$$的值域是（~ ）．

$$(- \pi , \pi )$$

$$\left[ -\frac{3 \pi }{4},\frac{3 \pi }{4} \right]$$

$$\left( -\frac{3 \pi }{4},\frac{3 \pi }{4} \right)$$

$$\left[ -\frac{ \pi }{2},\frac{ \pi }{2} \right]$$

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的值域->求函数的值域->用单调性观察法求值域

课内体系->知识点->三角函数->反三角函数

$$f(x)$$的定义域是$$[-1,1]$$，此时  $$-\frac{ \pi }{4}\mathsf{\leqslant }\text{arctg}x\mathsf{\leqslant }\frac{ \pi }{4}$$，$$-\frac{ \pi }{4}\mathsf{\leqslant }\frac{1}{2}\arcsin x\mathsf{\leqslant }\frac{ \pi }{4}$$．  而且$$\text{arctg}x$$和$$\arcsin x$$是单调增加的，从而$$f(x)$$的值域是$$\left[ -\frac{ \pi }{2},-\frac{ \pi }{2} \right]$$．  故选$$\text{D}$$．


隨意從$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$、$$5$$五數中選出$$2$$個不同的數相乘，試問乘積爲偶數的機率是多少？  Two different numbers are selected at random from ($$1$$,$$ 2$$, $$3$$,$$4$$,$$5$$) and multiplied together. What is the probability  that the product is even?

The product will be even if at least one selected number is even, and odd if none are. Using complementary counting, the chance that both numbers are odd is $$\dfrac{\left( \begin{array}{l} {3}  {2} \end{array}\right)}{\left( \begin{array}{l} {5}  {2} \end{array}\right)}=\dfrac{3}{10}$$,  so the answer is $$1-0.3$$ which is $$\left(\text{D}\right) 0.7$$.


2018年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分

小方，小明，小马，小红四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，回答如下：小方：``我得第一名''；小明：``小红没得第一名''；小马：``小明没得第一名''；小红：``我得第一名''．已知他们四个人中只有一人说真话，且只有一人得第一．根据以上信息可以判断出得第一名的人是．

小明

小马

小红

小方

课内体系->素养->逻辑推理 课内体系->知识点->推理与证明->合情推理与演绎推理->演绎推理

由小明与小红所说，知两人一真一假．  若小明所说为真，则其余三人所说均为假，由此推出小明得第一名，满足条件．  故选$$\text{A}$$．


2016~2017学年北京海淀区中国人民大学附属中学高一下学期期中第20题6分

2016年广东全国高中数学联赛高三竞赛初赛第2题8分

2015~2016学年上海闵行区上海市七宝中学高一上学期期中第10题4分

2016~2017学年江苏连云港赣榆县赣榆县海头中学高二上学期期中联考第7题5分

2018~2019学年天津南开区天津中学高二上学期期中第15题

2016~2017学年江苏连云港海州区江苏省海州高级中学高二上学期期中联考第7题5分

2018~2019学年天津和平区天津市第一中学高二上学期期中第14题

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式的概念

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->利用基本不等式求最值

课内体系->素养->数学运算


2003AMC12A, 24  If $$a\geqslant b\textgreater1$$, what is the largest possible value of $$\log_a\left(\frac{a}{b}\right)+\log_b\left(\frac{b}{a}\right)$$?  若$$a\geqslant b\textgreater1$$, $$\log_a\left(\frac{a}{b}\right)+\log_b\left(\frac{b}{a}\right)$$的最大值为? ．

美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Reasoning->Simple Logical Reasoning

课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算->对数的运算


1982年全国高中数学联赛竞赛第2题

极坐标方程$$\rho =\frac{1}{1-\cos \theta +\sin \theta }$$所确定的曲线是（~ ）．

圆

椭圆

双曲线

抛物线

竞赛->知识点->极坐标系与直角坐标系

原方程化简为 $$\rho =\frac{1}{1-\sqrt{2}\cos \left( \theta +\frac{ \pi }{4} \right)}$$．  由离心率$$e=\sqrt{2}\textgreater1$$，知所确定的曲线是双曲线．  另解 原方程变形为．$$\rho -\rho \cos \theta +\rho \sin \theta =1$$，化为直角坐标方程为  $$\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=x-y+1$$．  化简得 $$2xy-2x+2y=1$$  即 $$\left( x+1 \right)\left( y-1 \right)=\frac{1}{2}$$可知，它所确定的曲线是双曲线．


2015年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

竞赛->知识点->导数模块->积分 竞赛->知识点->排列组合与概率->二项式定理及其应用


2009年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

一个等比数列的前三项的积为$$2$$，最后三项的积为$$4$$，且所有项的积为$$64$$，则该数列有．

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列


第二十届全国希望杯高二竞赛初赛邀请赛第3题4分

已知点$$P\left( \cos \alpha ,\sin \alpha \right)$$在直线$$l$$：$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$$上，且$$l\bot OP$$（$$O$$为坐标原点），则．

$$\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}=1$$

竞赛->知识点->解析几何->直线与方程


2011年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质


2016年高考真题天津卷 2016年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第7题9分

知识标签->素养->数学运算

知识标签->知识点->平面解析几何->双曲线->双曲线的定义、标准方程->双曲线的标准方程

知识标签->知识点->平面解析几何->双曲线->双曲线的定义、标准方程->双曲线的定义

知识标签->知识点->平面解析几何->椭圆->椭圆的定义、标准方程->椭圆的标准方程

知识标签->知识点->平面解析几何->椭圆->椭圆的定义、标准方程->椭圆的定义

知识标签->题型->平面解析几何->圆锥曲线中确定基本量的问题->椭圆、双曲线、抛物线的基本量求解

知识标签->题型->平面解析几何->圆锥曲线的第二定义问题


2014年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

在$$\triangle ABC$$中，$$\angle A={{120}^{\circ }}$$，$$AB=5$$，$$BC=7$$，则$$\frac{\sin B}{\sin C}$$的值为（~ ）．

课内体系->知识点->解三角形->余弦定理 课内体系->知识点->解三角形->正弦定理 课内体系->素养->数学运算


2019~2020学年辽宁高一上学期期中（辽南协作体）第11题5分 2008年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分

【2019辽南期中11】  设$$f(x)$$在$$[0,1]$$上有定义，要使函数$$f(x-a)+f(x+a)$$有定义，则$$a$$的取值范围为．

$$\left( -\infty ,-\frac{1}{2} \right)$$

$$\left[ -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right]$$

$$\left( \frac{1}{2},+\infty \right)$$

$$\left( -\infty ,-\frac{1}{2} \right]\cup \left[ \frac{1}{2},+\infty \right)$$

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质 竞赛->知识点->函数->函数的概念 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->不等式的性质

函数$$f(x-a)+f(x+a)$$的定义域为$$[a,1+a]\cap [-a,1-a]$$．  当$$a\geqslant 0$$时，应有$$a\leqslant 1-a$$，即$$a\leqslant \frac{1}{2}$$；  当$$a\leqslant 0$$时，应有$$-a\leqslant 1+a$$，即$$a\geqslant -\frac{1}{2}$$．故选$$\text{B}$$．


2008年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分

对于集合$$M$$、$$N$$，定义$$M-N= {x\textbar x\in M$$，且$$x\notin N }$$，$$M\oplus N=(M-N)\cup (N-M)$$，设$$A= {y\textbar y={{x}^{2}}-3x,x\in R }$$，$$B= {y\textbar y=-{{2}^{x}},x\in R }$$，则$$A\oplus B=$$．

$$\left( -\frac{9}{4},0 \right]$$

$$\left[ -\frac{9}{4},0 \right)$$

$$\left( -\infty ,-\frac{9}{4} \right)\cup \left[ 0,+\infty \right)$$

$$\left( -\infty ,-\frac{9}{4} \right)\cup \left( 0,+\infty \right)$$

竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算

由题意可得$$A=\left[ -\frac{9}{4},+\infty \right)$$，$$B=\left( -\infty ,0 \right)$$，  所以$$A\oplus B=\left( -\infty ,-\frac{9}{4} \right)\cup \left[ 0,+\infty \right)$$．  故选$$\text{C}$$．


2016年湖北全国高中数学联赛高二竞赛初赛第6题9分

以正十三边形的顶点为顶点的形状不同的三角形共有~\uline{~~~~~~~~~~}~个．（全等的三角形视为形状相同）

课内体系->知识点->计数原理 竞赛->知识点->组合->图论（二试）


2012年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

下列函数中，既是奇函数，又是区间$$\left( -\infty ,  +\infty \right)$$上单调递增的函数为．

$$y=x+2\sin x$$

$$y=\tan x$$

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质


2010年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为$$a$$的正三角形，这样的两个  多面体的内切球的半径之比是一个最简分数$$\frac{m}{n}$$,那么积$$m\cdot n$$等于．

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题

利用等体积法，可以求出$$\frac{m}{n}=\frac{2}{3}$$，所以$$m\cdot n$$等于$$6$$．


2008年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和


2016年重庆沙坪坝区重庆市第一中学高三零模理科第5题5分

2001年全国高中数学联赛竞赛一试第4题6分

2017~2018学年10月甘肃兰州城关区甘肃省兰州第一中学高二上学期月考第9题5分

2019~2020学年四川成都郫都区郫都区成都外国语学校高一下学期期末理科第10题5分

2019~2020学年四川成都郫都区郫都区成都外国语学校高一下学期期末文科第10题5分

2019~2020学年3月四川成都锦江区四川师范大学附属中学高一下学期月考第8题5分

如果满足$$\angle ABC=60{}^{}\circ $$，$$AC=12$$，$$BC=k$$的$$\triangle ABC$$恰有一个，那么$$k$$的取值范围是（~ ）．

$$0\textless{}k\leqslant 12$$

$$k\geqslant 12$$

$$0\textless{}k\leqslant 12$$或$$k=8\sqrt{3}$$

竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形

这是``已知三角形的两边及其一边的对角，解三角形''这类问题的一个逆向问题，由课本结论知，应选结论$$\text{D}$$．  故选$$\text{D}$$．

（$$1$$）当$$AC<{}BC\sin \angle ABC$$，即$$12<{}k\sin 60{}^\circ $$，即$$k>8\sqrt{3}$$，三角形无解；

（$$2$$）当$$AC=BC\sin \angle ABC$$，即$$12=k\sin 60{}^\circ $$，即$$k=8\sqrt{3}$$时，三角形有一解；

（$$3$$）当$$AC<{}BC\sin \angle ABC<{}BC$$，即$$k\sin 60{}^\circ <{}12<{}k$$，

即$$12<{}k<{}8\sqrt{3}$$，三角形有二个解；

（$$4$$）当$$0<{}BC\leqslant AC$$，即$$0<{}k\leqslant 12$$时，三角形有一个解．

综上所述：当$$0<{}k\leqslant 12$$或$$k=8\sqrt{3}$$时，三角形恰有一个解．

故选$$\text{D}$$．


2014年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分 2016年北京海淀区中国人民大学附属中学高三零模理科第6题5分

某地举行一次民歌大奖赛，六个省中每个省各有两名歌手参加决赛，现要选出$$4$$名优胜者，则选出的$$4$$名选手中有且只有两个人是同一省份的歌手的概率为．

知识标签->题型->概率->事件与概率->古典概型问题->古典概型的概率计算公式

知识标签->知识点->计数原理->排列与组合->组合

知识标签->知识点->概率->事件与概率->概率的概念->概率的基本性质

知识标签->知识点->概率->事件与概率->古典概型

知识标签->素养->数学运算

由题意知本题是一个古典概型，  试验发生的总事件是从$$12$$名选手中选出$$4$$个优胜者，共有$$\text{C}_{12}^{4}$$种结果，  而满足条件的是选出的$$4$$名选手中恰有且只有两个人  是同一省份的歌手表示从$$6$$个省中选一个省，  它的两名选手都获奖，同时从余下的$$10$$名选手中选一个，  再从剩下的$$4$$个省中选一个，共有$$\text{C}_{6}^{1}\text{C}_{10}^{1}\text{C}_{4}^{1}$$种选法，  ∴$$P=\frac{\text{C}_{6}^{1}\text{C}_{10}^{1}\text{C}_{4}^{1}}{\text{C}_{12}^{4}}=\frac{16}{33}$$．  故选$$\text{A}$$．


2018年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

复数$$z={{\left( 1+\text{i} \right)}^{2}}\left( 2+\text{i} \right)$$的虚部为．

课内体系->知识点->复数->复数的概念及几何意义->复数的基本概念 课内体系->知识点->复数->复数的运算->复数的乘法和除法 课内体系->知识点->复数->复数的运算->复数的加法和减法 课内体系->知识点->复数->复数的运算->复数的四则运算综合 课内体系->素养->数学运算


2009年竞赛珠海市第6题5分

都不对

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列


2015年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第9题8分

在$$\triangle ABC$$中，角$$A,B,C$$满足$$A\textless{}B\textless{}C$$，且$$\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{\cos A+\cos B+\cos C}=\sqrt{3}$$，则$$\angle B=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~

竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换


2011年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分

竞赛->知识点->导数模块->导数 竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->均值


2010年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

竞赛->知识点->不等式->不等式的解法


2001年全国高中数学联赛竞赛一试第5题6分

竞赛->知识点->排列组合与概率->二项式定理及其应用


2018年浙江竞赛第5题8分

$$z$$

$$-z$$

竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算 课内体系->知识点->复数->复数的运算


2008年山西全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分

竞赛->知识点->多项式与方程->解方程（组）


2009年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分

在$$\triangle ABC$$中，$$(\sqrt{3}\sin B-\cos B)(\sqrt{3}\sin C-\cos C)=4\cos B\cos C$$，且$$AB+AC=4$$，则$$BC$$的取值范围为．

竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换

由已知

$$(\sqrt{3}\tan B-1)(\sqrt{3}\tan C-1)=4$$，

$$3\tan B\tan C-\sqrt{3}\tan B-\sqrt{3}\tan C+1=4$$，

$$\sqrt{3}(\tan B+\tan C)=3(\tan B\tan C-1)$$，

$$\tan (B+C)=\frac{\tan B+\tan C}{1-\tan B\tan C}=-\sqrt{3}$$．

以下同方法$$1$$．


2016年高考真题山东卷文科 2016年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第3题8分

若实数$$x$$满足$$\arcsin x\textgreater\arccos x$$，则关系式$$f\left( x \right)=\sqrt{2{{x}^{2}}-x+3}+{{2}^{\sqrt{{{x}^{2}}-x}}}$$的取值范围是~\uline{~~~~~~~~~~}~．

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->三角函数->反三角函数

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的定义域->求具体函数（包括复合函数）的定义域

若$$-1\leqslant x\leqslant 0$$，则$$\arcsin x\in \left[ -\frac{\pi }{2},0 \right]$$，$$\arccos x\in \left[ \frac{\pi }{2},\pi \right]$$，  此时$$\arcsin x \textless{} \arccos x$$，不合条件，故$$0 \textless{} x\leqslant 1$$．  此时$$\arcsin x\in \left( 0,\frac{\pi }{2} \right]$$，$$\arccos x\in \left[ 0,\frac{\pi }{2} \right)$$．  而$$y=\sin x$$在区间$$\left[ 0,\frac{\pi }{2} \right]$$上为增函数，所以由条件得$$\sin \left( \arcsin x \right)\textgreater\sin \left( \arccos x \right)$$，  即$$x\textgreater\sqrt{1-{{x}^{2}}}$$，解得$$\left\textbar{} x \right\textbar\textgreater\frac{\sqrt{2}}{2}$$，又$$0 \textless{} x\leqslant 1$$，所以$$\frac{\sqrt{2}}{2} \textless{} x\leqslant 1$$．  而由$$\begin{cases}2{{x}^{2}}-x+3\geqslant 0    {{x}^{2}}-x\geqslant 0   \end{cases}$$，知$$x\in \left( -\infty ,0 \right]\cup \left[ 1,+\infty \right)$$．  因此$$x\in \left { 1 \right }$$，故关系式$$f\left( x \right)$$的取值为$$\left { 3 \right }$$．


2008年安徽全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分

竞赛->知识点->排列组合与概率->二项式定理及其应用


2010年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分

$$(0,  3)$$

$$(0,  -3)$$

$$\left( \frac{3}{2},  0 \right)$$

$$\left( -\frac{3}{2},  0 \right)$$

竞赛->知识点->导数模块->导数


1985年全国高中数学联赛竞赛一试第6题

是递增的

是递减的

奇数项是递丧失，偶数项是递减的

偶数项是递增的，奇数项是递减的．

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的综合应用


2008年福建全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分

已知$$0\textless{}x\textless{}\frac{ \pi }{2}$$，$$\sin x-\cos x=\frac{ \pi }{4}$$，若$$\tan x+\frac{1}{\tan x}$$可以表示成$$\frac{a}{b-{{ \pi }^{c}}}$$的形式，其中$$a$$、$$b$$、$$c$$是正整数，则$$a+b+c$$= ．

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->同角三角函数的基本关系式的化简和求值

课内体系->素养->数学运算


1991年全国高中数学联赛竞赛一试第4题

设函数$$y=f\left( x \right)$$对一切实数$$x$$都满足$$f\left( 3+x \right)=f\left( 3-x \right)$$，且方程$$f\left( x \right)=0$$恰有$$6$$个不同的实根，则这$$6$$个实根的和为（~ ）．

竞赛->知识点->函数基础->函数的图像与性质

若$$3+\alpha $$是$$f(x)=0$$的一个根，则由已知  $$f\left( 3-\alpha \right)=f\left( 3+\alpha \right)=0$$  即$$3-\alpha $$也是一个根．因此可设方程$$f\left( x \right)=0$$的六个根为  $$3{\pm }{{\alpha }_{1}}$$，$$3{\pm }{{\alpha }_{2}}$$，$$3{\pm }{{\alpha }_{3}}$$．  于是它们的和等于$$18$$．


2011年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第11题5分

已知球的半径为$$2$$，球面上的三个大圆所在的平面两两垂直，则以三个大圆的交点为顶点的八面体的体积为．

课内体系->思想->数形结合思想

课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的体积、表面积->组合体求体积、表面积问题

课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的体积、表面积->空间几何体的体积

课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的概念->圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征

课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的概念->空间几何体的内切球、外接球问题

课内体系->素养->直观想象

课内体系->素养->数学运算

$$\frac{1}{3}\cdot \left( 4\cdot 4\cdot \frac{1}{2} \right)\cdot 2\times 2=\frac{32}{3}$$．


2009年竞赛珠海市第1题5分

如果$$a$$，$$b$$，$$c$$都是实数，那么$$p$$：$$ac\textless{}0$$，是$$q$$：关于$$x$$的方程$$a{{x}^{2}}+bx+c=0$$有一个正根和一个负根的．

必要而不充分条件

充要条件

充分而不必要条件

既不充分也不必要条件

竞赛->知识点->多项式与方程->解方程（组）


一個用$$2016$$個銅板所排成的三角形陣列， 第一列排放$$1$$個銅板，第二列排放$$2$$個銅板，第三列排放$$3$$個銅板， 依此繼續排放，直到第$$N$$列排放$$N$$個銅板恰好排完．試問$$N$$各個位數的數字和爲多少？  A triangular array of $$2016$$ coins has $$1$$ coin in the first row, $$2$$ coins in the second row, $$3$$ coins in the third row, and so on up to $$N$$ coins in the Nth row. What is the sum of the digits of $$N$$?

We are trying to find the value of $$N$$ such that $$1+2+3\cdots +(N-1)+N=\frac {N(N+1)}2=2016$$.  Noticing that $$\frac {63\cdot 64}2=2016$$, we have $$N=63$$, so our answer is $$9$$.  Notice that we were attempting to solve $$\frac {N(N+1)}2=2016\Rightarrow N(N+1)=2016\cdot 2=4032$$. Approximating $$N(N+1)\approx N^{2}$$, we were looking for a square that is close to, but less than $$4032$$. Since $$64^{2}=4096$$, we see that $$N=63$$ is a likely candidate. Multiplying $$63\cdot 64$$ confirms that our assumption is correct.