2015年第11届全国新希望杯小学高年级六年级竞赛复赛第3题

星星、希希、望望三人过年期间一共收了$$1800$$元压岁钱，如果星星把自己的钱数的$$\frac{1}{3}$$给希希，然后希希把自己现有钱数的$$\frac{1}{4}$$给望望，望望再把自己现有钱数的$$\frac{1}{5}$$给星星，此时二个人手中的钱就一样多了，那么希希原来的钱数比望望原来的钱数多（~ ）．

拓展思维->能力->实践应用


2014年第3届广东广州羊排赛六年级竞赛第9题1分

琦琦身陷神秘房间中．房间大门紧锁，上面刻着一段话：``钥匙上的话只有一句是真的．''往门旁一看，挂着三把钥匙，上面各贴着一句话．金钥匙：``这把钥匙不可以打开大门．''银钥匙：``金钥匙可以打开大门．''铜钥匙：``这把钥匙不可以打开大门．''那么，（ ~ ~）．

琦琦应该拿金钥匙打开大门

琦琦应该拿银钥匙打开大门

琦琦应该拿铜钥匙打开大门

三把钥匙都不能打开大门，琦琦应该另想办法

拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->假设型逻辑推理->真假话->找矛盾

本题的思路其实很简单，就是``找矛盾''；  1、三句话只有一句是真的；------题目条件；  2、只要存在一对矛盾则必然一真一假；------矛盾的定义；  3、金钥匙和银钥匙上写的话相互矛盾，根据以上两条，真的那句话一定是其中一句（具体到底是金还是银不重要）；  4、根据$$3$$，则铜钥匙那句一定是假的，但它上面说的本身是否定，否定为假则肯定为真，所以铜钥匙就可以打开大门．  答案选$$\text{C}$$．


2006年华杯赛六年级竞赛初赛 2006年华杯赛五年级竞赛初赛

拓展思维->拓展思维->数论模块->质数与合数


2017年第16届湖北武汉创新杯小学高年级六年级竞赛邀请赛训练题（一）

拓展思维->拓展思维->计算模块->公式类运算->完全平方公式

根据完全平方公式有$${{\left( a+1 \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2a+1$$，那么可以得到$${{\left( a+1 \right)}^{2}}{{a}^{2}}=2a+1$$，$$2a+1$$是一个奇数，那么所在奇数共有$$9$$个，都可以表示为两个自然数平方之形；若一个偶数能表示为两个平方数之差，都为$${{a}^{2}}{{b}^{2}}=\left( a+b \right)\left( ab \right)$$，此时$$\left( a+b \right)$$与$$\left( a-b \right)$$同奇偶性，必同为偶数，那么此时$${{a}^{2}}{{b}^{2}}=\left( a+b \right)\left( ab \right)$$必为$$4$$的偶数，也就是说$$4$$的偶数才能表示为两个平方数之和，那么$$2000$$，$$2004$$，$$2006$$，$$2012$$，$$2016$$也是可以表示成两个平方数之差的，所以一共有$$9+5=14$$个．


2014年全国迎春杯三年级竞赛复赛第1题

拓展思维->能力->运算求解


2011年六年级竞赛创新杯

$$1\times 2\times 3\times 4\times 5\times \cdots \times 21\div 343$$，则商的千位上的数字是（  ）

拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->整数加减->整数加减巧算之位值原理

易知最后的几位为$$0$$，$$0$$的个数由$$5$$和$$2$$的个数决定，在这里显然$$2$$的个数多于$$5$$；我们只需要考虑$$5$$的个数即可。$$1\times 2\times 3\times 4\times 5\times \cdots \times 21$$中含有$$4$$个$$5$$，而$$343={{7}^{3}}$$，所以商千位上的数字为$$0$$。


2019年亚洲国际数学奥林匹克公开赛（AIMO）三年级竞赛决赛第2题3分

拓展思维->拓展思维->计算模块->数列与数表->等差数列->等差数列求和


2015年湖北武汉世奥赛六年级竞赛模拟训练题（四）第6题

一袋准备要爆花的玉米，其中$$\frac{2}{3}$$是白粒的，$$\frac{1}{3}$$是黄粒的．白粒的$$\frac{1}{2}$$会爆开，黄粒的$$\frac{2}{3}$$会爆开．今从该袋中任选一粒放入锅中发生爆花，则是白粒玉米的概率是．

拓展思维->拓展思维->计数模块->统计与概率->概率->加乘原理求概率

会爆开的白粒$$\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{3}$$，会爆开的黄粒$$\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{2}{9}$$，会爆开的白粒是会爆开的玉米总数的$$\frac{1}{3}\div \left( \frac{1}{3}+\frac{2}{9} \right)=\frac{3}{5}$$．


2015年华杯赛五年级竞赛初赛 2015年华杯赛六年级竞赛初赛

六位同学考试的平均成绩是$$92.5$$分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的$$99$$分，最低的$$76$$分。那么，按分数从高到低居第三位的同学的分数至少是（  ）分。

拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题->综合题

六位同学的平均成绩为$$92.5$$分，因此这六人的总分为$$92.5\times 6=555$$（分）。又最高分为$$99$$，最低分为$$76$$，因此剩下四人的分数和为$$380$$分。要使第三名的同学分数尽可能小，那么得使另外三人的分数尽可能大。而第二名最高为$$98$$分，而第四名第五名分数小于第三名，所以第三名至少为：$$(380-98)\div3+1=95$$（分），选$$B$$。


2015年第27届广东广州五羊杯小学高年级竞赛第10题4分

有$$15$$位同学，每位同学都有编号，他们是从$$1$$号到$$15$$号．$$1$$号同学写了一个自然数，$$2$$号同学说：``这个数能被$$2$$整除．''$$3$$号同学说：``这个数能被$$3$$整除．''$$4$$号同学说：``这个数能被$$4$$整除．''$$\cdots \cdots $$，依次下去，每位同学都说，这个数能被他（或她）的编号整除．$$1$$号同学一一验证，发现只有编号相邻的两个同学说得不对．那么，说得不对的同学，他们的编号是两个连续的自然数．

拓展思维->思想->对应思想

首先可以判断编号为$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$，$$7$$的同学说的一定都对，  否则的话，其中说的不对的同学的编号乘以$$2$$后所得的编号也将说得不对，  这样就与``只有编号相邻的两个同学说得不对''矛盾．  因而这个数能被$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$，$$7$$整除，  从而也能被$$10$$，$$12$$，$$14$$整除，  即编号为$$10$$，$$12$$，$$14$$的同学说得也对．  于是可以判定编号为$$11$$，$$13$$，$$15$$的同学也对．  现在只剩下$$8$$号和$$9$$号了，所以错的是$$8$$，$$9$$两号，  答案为$$\text{D}$$．


2017年全国华杯赛竞赛初赛模拟3第6题

养鸡场购进一批种蛋，若能全部孵化成小鸡则有$$2.5$$倍的收益，但是实际上获得的收益仅仅为$$1.25$$倍，这批种蛋的孵化率是~\uline{~~~~~~~~~~}~$$ \%$$（百分子保留一位小数）．

拓展思维->思想->赋值思想


2018年第22届广东世界少年奥林匹克数学竞赛二年级竞赛初赛第3题6分

芳芳煮熟$$2$$个生鸡蛋用$$6$$分钟，煮熟$$10$$个生鸡蛋用分钟．

拓展思维->拓展思维->组合模块->操作与策略->统筹规划->简单时间统筹问题->时间总和问题

鸡蛋可以一起煮，所以所花的时间是一样的．  故选择$$\text{B}$$．


2014年第10届全国新希望杯小学高年级六年级竞赛复赛第2题4分

对自然数$$n$$进行如下操作：如果$$n$$是偶数，就把它除以$$2$$，如果$$n$$是奇数，就把它加上$$105$$．现在对$$123$$进行有限次操作，得到的结果不可能是（~ ）．

拓展思维->能力->运算求解

由于$$123$$是$$3$$的倍数，操作过程中得到数一定为$$3$$的倍数，故不可能得到$$100$$选$$C$$．


2019年第24届YMO一年级竞赛决赛第7题3分

在一个口袋里有$$8$$个黑球、$$3$$个白球、$$9$$个红球，至少取出个球，才能保证其中有黑球．

拓展思维->拓展思维->组合模块->抽屉原理->最不利原则

根据题意分析可知，考虑最坏的情况，先摸到的都是其他颜色的球，即白球和红球，把$$3+9=12$$（个）球全摸完然后再接下来摸到的球一定是黑球也就是：$$12+1=13$$（个），故选答案$$\text C$$．


2004年五年级竞赛创新杯

有两个两位数，它们的最大公因数是$$8$$，最小公倍数是$$96$$，这两个数的和是．

拓展思维->拓展思维->数论模块->因数与倍数->公因数与公倍数->公因数与最大公因数->两数的最大公因数

因为两个两位数的最大公因数为8，可设这两个数分别为$$8a\text{，}8b$$($$a\text{，}b$$互质)，那么$$8\times a\times b=96$$，即$$a\times b=12$$，则$$a\text{，}b$$为$$\left( 3\text{，}4 \right)\text{，}\left( 1\text{，}12 \right)$$，又因为这两个数皆为两位数，所以这两个数只能为24和32，$$24+32=56$$，选 A.


2015年湖北武汉世奥赛五年级竞赛模拟训练题（二）第2题

某货运公司运送一批货物，原计划安排$$18$$辆小卡车和$$12$$辆大卡车刚好运$$4$$次，已知$$2$$辆大卡车与$$5$$辆小卡车装的重量相同，现在只能派出$$8$$辆小卡车，需运次才能把货物运完．

拓展思维->能力->逻辑分析

$$12$$辆大卡车装的重量等于$$12\div 2\times 5=30$$辆小卡车，则原计划运$$1$$次的货物现在要运$$\left( 18+30 \right)\div 8=6$$（次），所以一共需运$$6\times 4=24$$次．


2014年迎春杯三年级竞赛初赛

一次考试有三道题，四个好朋友考完后互相交流了成绩，发现四人各对了$$3$$、$$2$$、$$1$$、$$0$$ 道题。这时一个路人问：``你们考得怎么样啊？''  甲：``我对了两道题，而且比乙对的多，丙考得不如丁。''  乙：``我全对了，丙全错了，甲考得不如丁。''  丙：``我对了一道，丁对了两道，乙考得不如甲。''  丁：``我全对了，丙考得不如我，甲考得不如乙。''  已知大家都是对了几道题就说几句真话，那么对了$$2$$题的人是~\uline{~~~~~~~~}~。

甲

乙

丙

丁

拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->假设型逻辑推理

全对的人不会说自己对的题少于$$3$$，故只有乙、丁可能全对。若乙全对，则排名是乙、丁、甲、丙，与丙所说的``丁对了$$2$$道''是假话相矛盾；若丁全对，则丙的后两句是假话，不可能是第二名，又由丁的``甲考得不如乙''能知道第二名是乙，故丙全错，甲只有``丙考得不如丁''是真话，排名是丁、乙、甲、丙且$$4$$人的话没有矛盾。综上，答案是B。


2014年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第7题3分

若甲数除以$$5$$余$$2$$、乙数除以$$5$$余$$4$$，请问甲、乙两数之和除以$$5$$的余数是多少？

拓展思维->思想->整体思想

将甲、乙两数余数之和$$2+4=6$$继续除以$$5$$，可得其余数为$$1$$．故选$$\text{B}$$．


2020年新希望杯六年级竞赛初赛（个人战）第4题 2020年希望杯六年级竞赛（个人赛）第4题

【2020希望杯六年级竞赛初赛】  如果$$x:y=4:7$$，$$z:x=3:5$$，那么$$\left( x+y \right):(z+x)=$$．

拓展思维->能力->运算求解


2015年湖北武汉世奥赛小学高年级六年级竞赛模拟训练题（四）第4题

四位同学到商店买毛笔或铅笔，每人只买了$$1$$支笔，而且至少有$$1$$人买了铅笔，则可能的买法有（~ ~ ~ ~）种．

拓展思维->拓展思维->计数模块->加乘原理->乘法原理->物品搭配（有特殊要求）

每位同学有两种买法，排除全部是毛笔，则共有$$2\times 2\times 2\times 2-1=15$$（种）．


其它 2010年北京学而思综合能力诊断三年级竞赛第8题

某次数学竞赛，试题共有$$10$$道，每做对一题得$$6$$分，每做错一题倒扣$$2$$分，小红最终得$$44$$分，做对的题比做错的题多~\uline{~~~~~~~~~~}~道．

知识标签->学习能力->七大能力->运算求解


2017年第15届全国希望杯小学高年级六年级竞赛

$$9$$个正方形放在一行，第$$1$$个正方形的面积为$$1$$，从第$$2$$个正方形开始，每个正方形的面积都是前一个正方形面积的一半，试比较第$$2$$个到第$$9$$个正方形的面积之和与第$$1$$个正方形面积的大小．

第$$2$$个到第$$9$$个正方形的面积之和大

第$$1$$个正方形面积大

一样大

不能判断

拓展思维->能力->运算求解


2014年迎春杯五年级竞赛初赛

已知$$a$$、$$b$$、$$c$$、$$d$$四个数的平均数是$$12.345$$，$$a\textgreater b\textgreater c\textgreater d$$，那么$$b$$（  ）。

无法确定

拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题->公式类

解：因为$$a$$、$$b$$、$$c$$、$$d$$四个数的平均数是$$12.345$$，$$a\textgreater b\textgreater c\textgreater d$$，  所以$$a$$一定大于$$12.345$$，$$d$$一定小于$$12.345$$，  但是$$b$$的取值无法确定，$$b$$可能大于$$12.345$$，也有可能小于$$12.345$$或等于$$12.345$$。  故选：D。


以上答案都不对

拓展思维->拓展思维->计算模块->小数->小数提取公因数->小数乘法巧算之提取公因数（普通型）


2017年新希望杯小学高年级六年级竞赛训练题（二）第5题 2018年湖北武汉新希望杯六年级竞赛训练题（二）第5题

在$$1\tilde{  }200$$的自然数中，如果一个数能被$$2$$或$$7$$整除，就称这个数是``双七数''，那么``双七数''共有（~~ ）个．

拓展思维->能力->运算求解


2017年第15届湖北武汉创新杯小学高年级六年级竞赛初赛第9题

若两个三位数的和为$$\overline{ \square \square\square } +\overline{\square \square \square } =1949$$，那么$$6$$个$$\square $$中的数字之和是．

拓展思维->拓展思维->组合模块->数字谜->横式数字谜->与数论的结合

和有千位，则百位一定向前进一位，和的百位为$$9$$且向前进位，则十位一定向百位进一位，和的个位为$$9$$，则个位一定不向前进位，所以总共进两位，数字之和减少$$9\times 2=18$$，则$$\overline{\square } $$中的数字之和是$$1+9+4+9+18=41$$．


2019年第24届YMO六年级竞赛决赛第7题3分

有一个$$12$$级的楼梯．某人每次能登上$$1$$级或$$2$$级或$$3$$级，现在他要从地面登上第$$12$$级，有种不同的方式．

拓展思维->能力->运算求解


2016年第21届全国华杯赛小学高年级竞赛初赛B卷第2题

有一种数，是以法国数学家梅森的名字命名的，它们就是形如$$2^{n}-1$$($$n$$为质数）的梅森数，当梅森数是质数时就叫梅森质数，是合数时就叫梅森合数，例如：$$2^{2}-1=3$$就是第一个梅森质数．第一个梅森合数是．

拓展思维->能力->逻辑分析


2014年全国迎春杯三年级竞赛初赛第8题

祖玛游戏中，龙嘴里不断吐出很多颜色的龙珠，先$$4$$颗红珠，接着$$3$$颗黄珠，再$$2$$颗绿珠，最后$$1$$颗白珠，按此方式不断重复，从龙嘴里吐出的第$$2000$$颗龙珠是．  （2014年二年级竞赛初赛第$$8$$题）

红珠

黄珠

绿珠

白珠

知识标签->拓展思维->应用题模块->周期问题->基本排列的周期问题


2017年第22届全国华杯赛小学高年级竞赛初赛第6题10分

从$$0$$至$$9$$中选择四个不同的数字分别填入下方的四个括号中，共有~\uline{~~~~~~~~~~}~种填法使得下面这句话是正确的．  这个话里有个数大于$$1$$，有个数大于$$2$$，有个数大于$$3$$，有个数大于$$4$$．

拓展思维->思想->枚举思想

设四个空依次为$$a，b，c，d$$，即，``这句话里有$$a$$个数大于$$1$$，有$$b$$个数大于$$2$$，有$$c$$个数大于$$3$$，有$$d$$个数大于$$4$$．''根据包含关系，必有$$a\textgreater b\textgreater c\textgreater d\geqslant 0$$，所以$$a\textgreater b\geqslant 2$$，所以至少有$$5$$个数大于$$1$$($$a，b$$以及给出的$$2，3，4$$)，所以$$a\geqslant 5$$，说明至少有一个数大于$$4$$(这个数是$$a$$)，所以$$d\geqslant 1$$．从$$d$$开始考虑:  若$$d=1$$，说明只有$$1$$个数大于$$4$$(只能为$$a$$)，且$$a，b，c$$均大于$$1$$，于是有$$a\textgreater4\geqslant b\textgreater c\geqslant 2$$，则有$$6$$个数大于$$1$$($$a，b，c$$以及给出的$$2，3，4$$)，所以$$a=6$$．由$$a\textgreater4\geqslant b\textgreater c\geqslant 2$$可知$$b\geqslant 3$$说明至少有$$4$$个数大于$$2$$($$a，b$$以及给出的$$3，4$$)，所以$$b\geqslant 4$$，又因为$$b\geqslant 4$$，所以有$$b=4$$．此时有$$3$$个数大于$$3$$($$a，b$$以及给出的$$4$$），但此时发现$$8$$个数中有$$5$$个大于$$2$$，和$$b=4$$矛盾；  若$$d=2$$，说明有$$2$$个数大于$$4$$(只能为$$a，b$$)，且$$a，b，c$$均大于$$2$$，于是有$$a\textgreater b\textgreater4\geqslant c\geqslant 3$$，则有$$7$$个数大于$$1$$($$a，b，c$$以及给出的$$2，3，4$$)，$$5$$个数大于$$2$$($$a，b，c$$以及给出的$$3，4$$)，所以$$a=6$$，$$b=5$$．此时无论$$c=3$$或$$c=4$$均满足条件，这时的两组解为$$a=7$$，$$b=5$$，$$c=3$$，$$d=2$$和$$a=7$$，$$b=5$$，$$c=4$$，$$d=2$$．  若$$d=3$$，说明有$$3$$个数大于$$4$$(为$$a，b，c$$)，那么大于$$3$$的数有$$4$$个($$a，b，c$$以及给出的$$4$$)，所以$$c=4$$，但$$c\textgreater4$$，矛盾，所以$$d=3$$不存在．  若$$d=4$$，说明有$$4$$个数大于$$4$$(为$$a，b，c，d$$)，但$$d=4$$，与$$d\textgreater4$$矛盾．  显然$$d=5$$不存在，所以共有$$2$$组解．


2020年希望杯二年级竞赛模拟第19题

把$$3$$、$$3$$、$$5$$、$$9$$分别放入方格中，不能重复使用，那么和最小是．  $$\square \square +\square \square $$

拓展思维->能力->运算求解

要使得和最小，那么两个因数应该尽可能的小；  如果要求两个因数尽可能的小，那么两个因数十位应该填入较小数，  即这两个因数应该是：$$35+39=74$$，  所以和最小是$$\text{B}$$．


2015年第27届广东广州五羊杯小学高年级竞赛第8题4分

有一类两位数，只有$$4$$个因数，并且个位和十位上的数字是相邻的自然数，那么这样的两位数共有个．

拓展思维->能力->逻辑分析

解析分类讨论，有序列举．  有$$4$$个因数的整数只有两种情况：立方数和两个质因数的乘积．  不难验证，立方数中没有任何一个满足条件，  所以只能是第二种情况．  1．自然数由大到小：$$10=2\times5$$；$$21=3\times7$$；$$65=13\times5$$；$$87=3\times29$$；  2．自然数由小到大：$$34=2\times17$$，所以共有$$5$$个．  故选$$\text{A}$$．


2021年迎春杯小学高年级六年级竞赛决赛C卷第7题10分

甲、乙、丙、丁各戴了一顶帽子，帽子上写了一个$$1\sim9$$中的自然数，且互不相同．每人能看到别人帽子上的数，但看不到自己的．他们有如下对话：  甲说：``我看到的三个数两两互质．''  乙、丙同时说：``那我知道我帽子上的数了．''  如果他们都聪明且诚实，那么丁帽子上的数是．

拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->条件型逻辑推理->神推理


2017年四川六年级竞赛排位赛第17题2分

2020~2021学年福建福州鼓楼区福州教育学院附属第二小学六年级上学期期中第5题1分

若$$a$$、$$b$$、$$c$$是不同的自然数，而且$$a\times \frac{c}{b} ~\textless{} ~a$$，那么正确的一个结论是．

$$a ~\textless{} ~b$$

$$b ~\textless{} ~c$$

$$a ~\textless{} ~c$$

$$c ~\textless{} ~b$$

拓展思维->能力->抽象概括

因为$$a$$、$$b$$、$$c$$是不同的自然数，$$a\times \frac{c}{b} ~\textless{} ~a$$，则$$ac ~\textless{} ~ab$$，即$$c ~\textless{} ~b$$．


2020年第1届广东深圳超常思维竞赛四年级竞赛初赛第2题4分

以上都不正确

拓展思维->思想->转化与化归的思想

中项定理：等差数列的和等于中项的平方．  中项：$$\left( 1+2021 \right)\div 2=1011$$，  所以答案为$$1011\times 1011$$，即选择$$\text{A}$$．


2014年IMAS小学高年级竞赛第二轮检测试题第3题4分

一个两位数是完全平方数，它的两个数字之和也恰好是完全平方数，请问所有这样的完全平方数之和为多少？

拓展思维->拓展思维->数论模块->完全平方数->平方数的尾数特征


2017年全国亚太杯四年级竞赛初赛第10题

拓展思维->思想->转化与化归的思想


2018年第6届湖北长江杯五年级竞赛初赛A卷第3题3分

拓展思维->拓展思维->计算模块->小数->小数乘除->小数乘法运算


2014年全国迎春杯五年级竞赛复赛第8题

将一个数加上或减去或乘或除以一个一位数（$$0$$不是一位数）视为一次操作，比如$$53$$可以通过加$$3$$，除以$$7$$，除以$$8$$三次操作变成$$1$$．那么$$2014$$至少经过（~~~~~~~ ）次操作可变成$$1$$．

拓展思维->能力->数据处理

$$2014$$要变成$$1$$就需要除以一个数，而除数只能是一位数，那么这个除数显然是越大越好．第一次操作$$2014+2=2016$$；第二次操作$$2016\div9=224$$；第三次操作$$224\div 8=28$$；第四次操作$$28\div 7=4$$；第五次操作$$4\div 4=1$$．


2017年四川六年级竞赛排位赛第16题2分

把$$\frac{3}{8}$$的分子加上$$3$$，要使分数的大小不变，分母应该加上．

拓展思维->能力->数据处理


2020年长江杯五年级竞赛复赛B卷第3题5分

一个盒子里共有$$96$$颗雨花石，明明从这个盒子里把雨花石全部拿出来，每次拿的颗数要相等．如果不能一次全部拿出，也不能一颗一颗地拿出，那么，明明共有种不同的拿法．

拓展思维->思想->枚举思想


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛第4题5分

毛毛用围棋子摆成一个三层空心方阵，最内一层每边有围棋子$$8$$个．毛毛摆这个方阵共用围棋子个．

拓展思维->能力->运算求解

$$1$$、这是一道关于方阵的问题，考查的是方阵的知识；  $$2$$、由题意知，用围棋子摆成一个三层空心方阵，最内一层每边有围棋子$$8$$个，由于相邻两层每边相差$$2$$个，相邻两层相差$$8$$个，求出最内一层后依次加$$8$$即可。  根据题意分析可知：最内一层棋子个数为：$$\left( 8-1 \right)\times 4=7\times 4=28$$（个），  第二层棋子有：$$28+8=36$$（个），  第三层棋子有：$$36+8=44$$（个），  所以三层一共有$$28+36+44=108$$（个）．  故选：$$\text{B}$$．


2015年第11届全国新希望杯小学高年级六年级竞赛复赛第2题

小明的手表每小时慢$$3$$分钟，如果他在早晨$$6$$:$$30$$将手表与准确时间对准，那么当天小明手表显示$$12$$:$$50$$的时候，准确时间是（~ ）．

拓展思维->拓展思维->行程模块->时钟问题->坏钟问题


2021年新希望杯三年级竞赛初赛第13题5分

【2021三年级卷第$$13$$题】五盘水果排成一排．苹果和橘子相邻，橘子和草莓相邻，苹果和香蕉不相邻，香蕉和芒果不相邻．那么一定和芒果相邻的是．

只有苹果

只有橘子

只有草莓

香蕉和草莓

橘子和香蕉

拓展思维->思想->对应思想

根据题意分析可知，苹果和草莓都与橘子相邻，  所以可以确定橘子在苹果和草莓的中间，  假设苹果、橘子、草莓这样排列，  则香蕉在草莓的右边，芒果在苹果的左边，  即苹果与芒果一定相邻，  故选：$$\text{A}$$．


2017年第8届广东广州羊排赛六年级竞赛第4题1分

省略下列各数的最后一位数得到的近似数与$$9.24$$大小不同的是．

拓展思维->拓展思维->计算模块->小数->小数基础->取近似值


2016年创新杯五年级竞赛训练题（二）第2题

拓展思维->能力->运算求解


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛初赛第5题5分

不确定

拓展思维->能力->归纳总结->归纳推理


2003年第1届创新杯六年级竞赛复赛第9题

四个同学进行计算比赛，比赛内容是：在$$9$$、$$10$$、$$11$$、$$\cdots \cdots $$、$$67$$、$$68$$这$$60$$个自然数的相邻两数之间任意添加符号``$$+$$''或``$$-$$''，然后进行计算．四个同学得到的结果分别是$$2274$$、$$2003$$、$$2300$$、$$2320$$，老师看后指出．这四个结果中只有一个是正确的．这个正确的结果是．

拓展思维->能力->逻辑分析


2014年迎春杯三年级竞赛初赛

一只大熊猫从$$A$$地往$$B$$地运送竹子，它每次可以运送$$50$$根，但是它从$$A$$地走到$$B$$地和从$$B$$地返回$$A$$地都要吃$$5$$根，$$A$$地现在有$$200$$根竹子，那么大熊猫最多可以运到$$B$$地（  ）根。

拓展思维->拓展思维->应用题模块->归一归总问题->乘除法应用->乘法应用（顺口溜）

解：由题意，运四次，去四次回三次，吃掉了$$5\times (4+3)=35$$根，则最多可以运到$$B$$地$$200-35=165$$根。  故选:D。


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛一年级竞赛决赛第9题5分

有一个数，它的一半的一半是$$4$$，这个数是．

拓展思维->能力->逻辑分析->代数逻辑推理

一个数的一半的一半是$$4$$，则这个数的一半为$$4\times 2=8$$，则这个数为$$8\times 2=16$$，故选$$\text{D}$$．


2018年湖北武汉新希望杯六年级竞赛训练题（四）第6题

从$$0$$、$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$、$$5$$、$$6$$、$$7$$、$$8$$、$$9$$这十个数字中选出九个数字，组成一个两位数、一个三位数和一个四位数，使这三个数的和等于$$2017$$，那么未被选中的数字是．

拓展思维->思想->整体思想


2015年第13届全国创新杯五年级竞赛复赛第1题

拓展思维->拓展思维->计算模块->公式类运算->平方差公式->平方差公式逆向应用


2017年第16届湖北武汉创新杯五年级竞赛邀请赛训练题（三）

一列火车通过一座长$$320$$米的桥用了$$105$$秒，当它通过$$860$$米的隧道时，速度是过桥速度的$$2$$倍，结果用了$$120$$秒，火车通过大桥时的速度是每秒米；火车的车身长度为米．

课内体系->知识点->应用题->行程应用题->火车过桥完全过桥 拓展思维->思想->对应思想

若通过$$860$$米隧道时速度不变则需要$$120\times 2=240$$（秒），火车过桥速度：$$\left( 860-320 \right)\div \left( 240-105 \right)=4$$（米/秒）：火车车身长：$$105\times 4-320=100$$（米）．


2014年第2届广东广州羊排赛六年级竞赛第4题1分

袋子中有$$4$$个红球，$$6$$个黄球，$$8$$个蓝球和$$3$$个绿球．从中随机拿出一个，是黄球的概率是．

拓展思维->能力->运算求解


2017年第17届全国中环杯三年级竞赛初赛第5题

若$$100$$个数的平均数为$$1$$，增加一个数$$102$$之后，这$$101$$个数的平均数为．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题->公式类->加权平均数


2017年全国华杯赛小学高年级竞赛初赛模拟

六个小朋友排成一排照相，其中有四个男生和两个女生，两个女生必须站在一起而且不能站在边上，则一共有种不同的排列方式．

知识标签->数学思想->对应思想


2016年第14届全国创新杯五年级竞赛复赛第8题 2011年全国创新杯五年级竞赛第8题5分

甲、乙两车分别从$$A$$、$$B$$两地同时相向开出，$$4$$小时后两车相遇，然后各自继续行驶$$3$$小时，此时甲车距$$B$$地$$10$$千米，乙车距$$A$$地$$80$$千米，那么$$AB$$两地相距（~ ）千米．

拓展思维->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->两人相遇与追及问题->相遇问题->同时出发相向而行


2018年第21届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛（中国区）第6题3分

一副扑克牌去掉大小王共有$$52$$张，共有$$13$$种点数，最少要抽取张牌，方能保证其中至少有$$2$$张牌有相同的点数．

拓展思维->能力->公式记忆->符号化数学原理

扑克牌的点数有$$1$ $13$$点，所以要保证$$2$$张牌有相同的点数．最坏的情况就是抽到$$1$ $13$$，这$$13$$张牌，再来一张，就一定和之前的$$13$$张相同，所以是$$13+1=14$$（张）．  故选$$\text{B}$$．


2019年福建泉州鲤城区泉州师范附属小学三年级竞赛模拟第2题2分

2019年广西防城港小升初模拟第13题

2015~2016学年内蒙古乌兰察布丰镇市丰镇实验小学四年级上学期期中第25题5分

2019年广西防城港小升初模拟第12题

课内体系->能力->运算求解 拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->整数加减->整数加减巧算之凑整法


2014年迎春杯三年级竞赛初赛

$$2$$个樱桃的价钱与$$3$$个苹果的价钱一样，但是一个苹果的大小却是一个樱桃的$$12$$倍，如果妈妈用买$$1$$箱樱桃的钱买同样大小箱子的苹果，能买(  )箱。

拓展思维->拓展思维->计算模块->方程基础->等量代换

$$12$$个樱桃的钱可以买$$18$$个苹果，大小是$$1$$个苹果的大小，所以$$1$$个苹果大小的樱桃可以买到$$18$$个苹果，所以$$1$$箱樱桃的钱可以买$$18$$箱苹果。


2020年长江杯六年级竞赛复赛A卷第4题5分

``双$$11$$''前夕，某天猫店购进一批商品，按期望获得$$60 \%$$的利润定价，在卖出$$70 \%$$的商品后，进行``双$$11$$''促销，该天猫店决定按定价折扣销售，货销完后，所获得的全部利润只是原来期望利润的$$80 \%$$，该店``双$$11$$''销售剩余部分商品时打的折扣是．

六折

七折

七五折

八折

拓展思维->能力->实践应用


2016年新希望杯六年级竞赛训练题（六）第1题

李家村李家兄弟合作在门口挖一口井，李凡单独挖需要$$10$$天才能挖成，李超单独挖需要$$15$$天才能挖完．兄弟两人同时挖需要天．

知识标签->课内知识点->数与运算->加法->分数加法->异分母分数加法


2018年第22届广东世界少年奥林匹克数学竞赛一年级竞赛决赛第3题5分

妈妈在家开着灯做饭，突然停电了．爸爸回家按了$$4$$下开关，小林回家又按了$$3$$下开关．当来电的时候，灯泡．

亮

不亮

不能确定

拓展思维->思想->对应思想

开单数次数，改变原来灯的状态，开双数次，不改变原来的状态．总共开的次数为：$$4+3=7$$（次），  所以改变了原来的状态，原来是开着的，  所以现在不亮．  故选择$$\text{B}$$．


2012年全国美国数学大联盟杯小学高年级竞赛初赛第30题 2013年美国数学大联盟杯小学高年级竞赛初赛第30题5分

花园里栽种着雏菊和玫瑰两种花共计$$66$$朵，其中每出现$$5$$朵雏菊便另有$$6$$朵玫瑰．问：花园里有玫瑰（~~ ）朵？

拓展思维->拓展思维->应用题模块->比例应用题->按比分配


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛五年级竞赛决赛第4题5分

在$$\square $$里填上适当的数字，使得七位数$$\overline{2019\square \square \square }$$能同时被$$9$$、$$25$$、$$8$$整除，符合条件的七位数的数字和是．

拓展思维->思想->对应思想


2019年第7届湖北长江杯五年级竞赛复赛A卷第6题3分

每次考试试卷总分是$$120$$分，小红四次考试的平均成绩是$$105$$分．为了使平均成绩尽快达到$$110$$分，她至少需要再考次．

拓展思维->思想->转化与化归的思想

根据题意分析可知，总分数$$\div $$考的次数$$=$$平均分数，；可设他至少要考$$x$$次才能尽快达到$$110$$分以上，那么 小红的总分数为：$$120x+105\times 4$$，小红考试的次数为：$$x+4$$，小红平均分应为$$\geqslant $$$$100$$，根据公式列方程解答即可．  设小红至少要考$$x$$次才能尽快达到$$110$$分以上，  $$\left( 120x+105\times 4 \right)$$$$\div \left( x+4 \right)\geqslant 110$$，  $$120x+420\geqslant 110x+440$$，  $$120x-110x\geqslant 440-420$$，  $$10x\geqslant 20$$，  $$x\geqslant 2$$．  即再考$$2$$次满分平均分可达到$$110$$分以上．  故选答案$$B$$．


2017年全国美国数学大联盟杯小学高年级六年级竞赛第17题5分

（这是一道挑战题！）There are only white cars and black cars．$$If$$ the ratio of white cars to black cars is $$3$$ to $$8$$ and there are a total of $$242$$ cars， how many black cars and white cars are there？

知识标签->拓展思维->应用题模块->比例应用题->按比分配

停车场只有黑白两种车，白车与黑车的比率是$$3:8$$，黑白车的总数是$$242$$辆．请问黑车比白车多多少辆？  ratio比率； a total of 总数； more．．than 比．．多．  白车数量：$$\frac{3}{11}\times 242=66$$辆，黑车数量：$$\frac{8}{11}\times 242=176$$辆．黑车比白车多$$176-66=110$$辆．


2019年第7届湖北长江杯五年级竞赛复赛B卷第2题3分

已知一个自然数有$$12$$个不同的因数，那么这个数最小是．

拓展思维->思想->逆向思想


2008年四年级竞赛创新杯

在下面的数字之间添上四个加号``+''，不同的填法所算出的结果中最小值是(  ).  1(  )2(  )3(  )4(  )5(  )6(  )7(  )8

拓展思维->拓展思维->组合模块->数字谜->竖式数字谜->竖式数字谜的最值

在数串(列)1，2，3，4，5，6，7，8之间任意添上四个``+''号，可将它分成5段，因而可分成5个整数求和，所以有以下三种情况:  ⑴1个四位数和4个一位数的和，此时和的最小值为$$1234+5+6+7+8=1260$$;  ⑵1个三位数，1个两位数与3个一位数的和，此时最小值为$$123+45+6+7+8=189$$;  ⑶3个两位数与2个一位数的和，此时最小值为$$12+34+56+7+8=117$$. 因此和的最小值是117


2016年第28届广东广州五羊杯小学高年级竞赛初赛第3题3分

在$$1:9000000$$地图上，$$A$$、$$B$$两地相距$$2$$厘米，早上八点，一辆车从$$A$$地以$$50\text{km}/\text{h}$$的速度开往$$B$$，那么在时汽车到达$$B$$地．

拓展思维->拓展思维->计算模块->比和比例->比例->比例尺


2021年新希望杯五年级竞赛初赛第14题5分

在比武大会上，熊猫阿宝和金猴两人进行比试，最多七局，谁先获得四局胜利，谁就是胜者，那么一共有~\uline{~~~~~~~~~~}~种可能的比试情况．

拓展思维->思想->枚举思想


2017年全国小升初八中入学备考课程 2008年全国华杯赛竞赛复赛第6题

对于大于零的分数，有如下$$4$$个结论：  ①两个真分数的和是真分数；  ②两个真分数的积是真分数；  ③一个真分数与一个假分数的和是一个假分数；  ④一个真分数与一个假分数的积是一个假分数．  其中正确的有（~~~ ）个．

拓展思维->拓展思维->计算模块->分数->分数运算->分数加减

对于这种类型的题目，我们可以采取``反驳''的方法来做，找出每个不成立的案例来，若找不到则正确．①反例：$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$$，$$\frac{4}{5}+\frac{3}{5}=\frac{7}{5}$$；④反例：$$\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}=\frac{3}{4}$$，$$\frac{1}{5}\times \frac{8}{5}=\frac{8}{25}$$．


2018年第8届北京学而思综合能力诊断二年级竞赛年度教学质量第10题

五一到了，花花想要出去旅游，她有$$2$$顶帽子、$$3$$条项链、$$5$$种头花、$$2$$双鞋、$$3$$条白色裙子、$$4$$条粉色裙子、$$1$$条蓝色裙子，每类物品中各选一样进行搭配．那么，一共有种不同的搭配方法．

课内体系->思想->对应思想 拓展思维->能力->运算求解


2017年全国小升初八中入学备考课程 2014年全国华杯赛小学高年级竞赛初赛B卷第5题

甲乙丙丁四个人今年的年龄之和是$$72$$岁．几年前（至少一年）甲是$$22$$岁时，乙是$$16$$岁．又知道，当甲是$$19$$岁的时候，丙的年龄是丁的$$3$$倍（此时丁至少$$1$$岁）．如果甲乙丙丁四个人的年龄互不相同，那么今年甲的年龄可以有种情况．

知识标签->拓展思维->应用题模块->年龄问题->年龄问题之差倍型


2014年IMAS小学中年级竞赛第二轮检测试题第3题4分

拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->四则混合运算


2017年第16届湖北武汉创新杯小学高年级六年级竞赛邀请赛训练题（四）

~春节中甲、乙两人出售同一种产品，甲按$$20  \% $$的利润定价，一共售出$$15$$个，乙按$$15  \% $$的利润定价，一共售出$$24$$个甲、乙获利润比较结论为（~ ）．

甲获利润较多

乙获利润较多

两人利润相同

无法比较谁多

拓展思维->拓展思维->应用题模块->经济问题->基本经济概念->已知成本售价求利润


1989年华杯赛六年级竞赛初赛

一副扑克牌有四种花色，每种花色有$$13$$张，此外还有两张王牌，从中任意抽牌。那么，最少要抽（  ）张牌，才能保证有$$4$$张牌是同一花色。

拓展思维->拓展思维->组合模块->抽屉原理->最不利原则

如果在最不利的情况下能完成目标，则保证在任何情况下都能完成。最不利的情况是：抽的前$$12$$张是$$4$$种花色各$$3$$张，再抽两张王牌，这时抽第$$15$$张，无论是哪种花色，都能保证凑成$$4$$张牌同一花色。所以至少要抽$$15$$张牌，才能保证有四张牌是同一花色的。


2011年世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛初赛第9题5分

小宇参加奥数竞赛抢答赛，抢答试题共有$$10$$道，每答对一题得$$8$$分，答错一题倒扣$$5$$分．小宇最终得$$41$$分，他做对~\uline{~~~~~~~~~~}~题．

知识标签->数学思想->对应思想

本题是鸡兔同笼问题的变式应用．  解决此类问题一般都用假设法，做对一题得$$8$$分，相当于``兔''，做错一题倒扣$$5$$分，相当于``鸡''，通过适当的替换进行解答．  假设$$10$$道题全部做对，则得分为$$10\times 8=80$$（分），而答错一题比答对一题少得$$8+5=13$$（分），从题目中可以求出小宇一共少得$$80-41=39$$（分），由此可以求出他做错了$$39\div 13=3$$（道）．  $$(10\times 8-41)\div (48+5)$$  $$=39\div 13$$  $$=3$$（道），  $$10-3=7$$（道）．  故答案为：$$7$$．


2009年五年级竞赛创新杯

拓展思维->拓展思维->计算模块->数列与数表->等差数列->等差数列求项数


2018年第12届北京学而思综合能力诊断小学高年级五年级竞赛第6题

取经路上，师徒四人被妖精重重包围．孙悟空一个人，预计$$30$$分钟可以消灭所有妖精，如果猪八戒帮助他，可以比预计提前$$6$$分钟消灭所有妖精；如果猪八戒和沙和尚一起帮助他，可以比预计提前$$10$$分钟消灭所有妖精．现在猪八戒要保护师傅，只有沙和尚帮助孙悟空，那么需要分钟才能消灭所有妖精．

拓展思维->能力->构造模型->模型思想

孙悟空打妖精的工作效率是$$\frac{1}{30}$$；  猪八戒与孙悟空合作打妖精的工作效率是$$\frac{1}{24}$$，  则有猪八戒打妖精的工作效率是$$\frac{1}{24}-\frac{1}{30}=\frac{1}{120}$$；  沙和尚、猪八戒与孙悟空合作打妖精的工作效率是$$\frac{1}{20}$$，  所以沙和尚和孙悟空合作打妖精的工作效率为$$\frac{1}{20}-\frac{1}{120}=\frac{1}{24}$$，  需$$1\div \frac{1}{24}=24$$分钟．


2017年河南郑州联合杯竞赛第7题4分

小明买了一本$$513$$页的小说，数字$$1$$在页码中出现了次．

知识标签->拓展思维->应用题模块->页码问题->数码综合问题


2012年美国数学大联盟杯六年级竞赛初赛第32题5分(每题5分)

我两年前的年龄加上两年后的年龄是$$24$$岁，则我现在几岁？

拓展思维->拓展思维->应用题模块->年龄问题->年龄问题基本关系->年龄和


2016年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第2题3分

课后测  请问下列哪一项表达式是正确的？

$$1.2\times 3.4=12\times 3.4$$

$$0.98\times 0.99\textgreater0.99$$

$$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\textless{}\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$$

$$10.4\times 0.1\textless{}1.04$$

$$1.1\times 1.1\textgreater1.1$$

知识标签->拓展思维->数论模块->位值原理与进制->数与数字->比较大小


2013年北京迎春杯六年级竞赛 2013年全国迎春杯六年级竞赛初赛第9题

甲、乙二车分别从$$A$$、$$B$$两地同时出发，相向匀速而行，当甲行驶过$$AB$$中点$$12$$千米时，两车相遇．若甲比乙晚出发$$10$$分钟，则两车恰好相遇在$$AB$$中点，且甲到$$B$$地时，乙距离$$A$$地还有$$20$$千米．那么$$AB$$两地间的距离是~\uline{~~~~~~~~~~}~千米．

拓展思维->拓展思维->行程模块->比例解行程问题->行程中的比例
Overseas Competition->知识点->行程模块

方法一：由第一个条件知甲乙速度比为$$（\frac { S }{ 2 } +12）：（\frac { S }{ 2 } -12）$$；再由第二条件知甲乙速度比为$$\frac { S }{ 2 } ：（\frac { S }{ 2 } -20）$$，两者相等得$$S=120$$千米．  方法二：设全长为$$2S$$千米，则第一次相遇时，甲走了$$S+12$$千米，乙走了$$S-12$$千米；第二次相遇点走到各自目的地时，甲走了$$S$$千米，乙走了$$S-20$$千米．由于两人速度不变，故以速度比作等量关系列方程可得：$$\frac{S+12}{S-12}=\frac{S}{S-20}$$，解得$$S=60$$，故全长为$$2S=120$$千米．


2014年走美杯六年级竞赛

拓展思维->拓展思维->数论模块->位值原理与进制->进制的性质与应用->进制间的互化


2018年四川成都小升初公立名校初一开学考（一）第5题5分 2008年全国华杯赛竞赛初赛第6题 2008年第13届全国迎春杯竞赛初赛第6题10分

$$a\textgreater b\textgreater c$$

$$a\textgreater c\textgreater b$$

$$a\textless{}c\textless{}b$$

$$a\textless{}b\textless{}c$$

知识标签->学习能力->七大能力->运算求解


2017年河南郑州豫才杯六年级竞赛第7题3分

帅帅家购买了一套现价$$12$$万的新房，采用分期付款的形式，购房时，第一年付款$$3$$万元，从第二年起，每年应付房款$$5000$$元加上上一年欠款的利息，若剩余欠款的年利率为$$0.4  \% $$，第~\uline{~~~~~~~~~~}~年帅帅家需要交房款$$5200$$元．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->经济问题->利息问题


2014年第12届全国小机灵杯小学高年级五年级竞赛决赛第14题

幼儿园老师把$$270$$个苹果、$$180$$个梨和$$235$$个橘子平均分给大班小朋友，余下的苹果、梨和橘子的数量之比是$$3:2:1$$．大班有~\uline{~~~~~~~~~~}~名小朋友．

请在答题卡上作答

课内体系->思想->逐步调整思想 拓展思维->七大能力->实践应用


2017年北京学而思杯四年级竞赛年度教学质量测评第19题3分

有黑白卡片各$$6$$张，它们的正面分别写着数字$$1$$到$$6$$．把它们充分打乱顺序后，从中拿走$$2$$张（黑白各$$1$$张），把剩下的$$10$$张按照下列规则进行排列：  规则$$1$$：从左到右，按照数字从小到大的顺序排列；  规则$$2$$：当黑白卡片的数字相同时，黑卡片排在白卡片的左边．  把这$$10$$张卡片按照上述规则排列，保持顺序不变，翻到背面朝上，从左到右卡片颜色为：黑白黑白黑白白黑黑白．  请问：拿走的$$2$$张卡片上的数字分别为（~ ）．

拓展思维->思想->逐步调整思想


2014年全国华杯赛小学高年级竞赛复赛C卷第12题

某自然数减去$$39$$是一个完全平方数，减去$$144$$也是一个完全平方数，此自然数是~\uline{~~~~~~~~~~}~．

知识标签->学习能力->七大能力->逻辑分析


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛三年级竞赛初赛第4题5分

毛毛用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子$$12$$个．摆这个方阵共用围棋子个．

拓展思维->思想->整体思想

由题意知，用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子$$12$$个，由于相邻两层每边相差$$2$$个，则由外向里的两层每边分别是$$(12-2)$$个、$$(12-2\times 2)$$个，根据``四周的个数$$=$$（每边的个数$$-1$$）$$\times 4$$''可分别求得这三层棋子的个数，再相加就是所用的总个数，据此解答．  本题关键是求出每层的个数；方阵问题相关的知识点是：四周的个数$$=$$（每边的个数$$-1$$）$$\times 4$$，每边的个数$$=$$四周的个数$$\div 4+1$$，中实方阵的总个数$$=$$每边的个数$$\times $$每边的个数，空心方阵的总个数$$=$$（最外层每边的个数$$-$$空心方阵的层数）$$\times $$空心方阵的层数$$\times 4$$，外层边长数$$^{2}-$$中空边长数$$^{2}=$$实面积数．  最外边一层棋子个数：$$(12-1)\times 4=44$$（个），  第二层棋子个数：$$(12-2-1)\times 4=36$$（个），  第三层棋子个数：$$(12-2\times 2-1)\times 4=28$$（个），  摆这个方阵共用棋子：$$44+36+28=108$$（个）．  故选$$\text{B}$$．


2013年第25届广东广州五羊杯六年级竞赛第4题5分

今天是星期四，从第二天算起，则第$$2013$$天是．

星期一

星期二

星期三

星期四

拓展思维->拓展思维->应用题模块->周期问题->时间中的周期问题->求再过几日是周几问题

$$2013\div 7=287$$（组）$$\cdots \cdots 4$$（个），星期四后的第四天是星期一．


2018年华杯赛六年级竞赛模拟卷

甲、乙两队都可以胜任一项工程，甲单独做需要$$20$$天，乙单独做需要$$35$$天。甲队做了几天之后，由于突发状况而退出，停工了$$1$$天，剩下的由乙队完成，竣工时一共用了$$30$$天。那么，乙队做了（ ）天。

拓展思维->拓展思维->应用题模块->工程问题->合作工程问题->接力施工问题


2016年全国华杯赛小学中年级竞赛初赛第6题

在除法算式中，被除数为$$2016$$，余数为$$7$$，则满足算式的除数共有（~~ ~ ）个．

拓展思维->能力->运算求解


2020年新希望杯四年级竞赛决赛（8月）第7题 2020年新希望杯四年级竞赛初赛（个人战）第7题

光头强去赶集，去时步行，速度是$$15$$千米$$/$$时；回来时骑车，速度是$$30$$千米$$/$$时．光头强往返的平均速度是~\uline{~~~~~~~~~~}~千米$$/$$时．

拓展思维->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->路程速度时间->平均速度->设数法

路程$$=$$时间$$\times$$速度，  设路程为$$30$$千米，那么去时的时间是$$30\div15=2$$（时），  回来的时间为$$30\div30=1$$（时），  因此往返的平均速度是$$(30+30)\div(2+1)=60\div3=20$$（千米$$/$$时）．  故答案为$$20$$．


2017年河南郑州联合杯竞赛决赛第6题2分 2021年河南郑州二七区京广实验学校小升初第6题2分

小红买售价$$4.4$$元的钢笔一支，根据你的生活经验，结合人民币币值的特点，下列付钱方式不合理的是（~ ）．

拓展思维->能力->逻辑分析


2019年江苏南京栖霞区南外仙林分校小学部六年级下学期单元测试《正比例和反比例》第29题2分

2015年全国迎春杯小学高年级竞赛复赛第9题

如果一个自然数的各位数字能够分成两组，使得每组中的数字之和相等，则称这个数为``均衡数''．例如$$25254$$是``均衡数''，因为$$5+2+2=4+5$$．如果相邻的两个自然数都是``均衡数''，则称这对``均衡数''为``孪生均衡数''．那么最小的一对``孪生均衡数''的和是 ．

课内体系->七大能力->逻辑分析 拓展思维->拓展思维->数论模块->奇数与偶数

两位数没有符合要求的数，$$99$$、$$100$$亦不符合，故知至少为三位数．两个相邻数数字和都是偶数，说明必有进位，且三位数必然只进$$1$$次位（数字和加$$1$$再减$$9$$），即这两个数是$$\overline{ab9}$$和$$\overline{a\left( b+1 \right)0}$$，必有$$a+b=9$$和$$a=b+1$$，故这两个数为$$549$$和$$550$$．$$549+550=1099$$．


2006年第4届创新杯四年级竞赛初赛A卷第10题

$$1\times 1+2\times 2+3\times 3+\cdots +2005\times 2005+2006\times 2006$$的个位数字是．

拓展思维->能力->数据处理


2016年新希望杯六年级竞赛训练题（四）第3题

市政府要修建一条新地铁线路，其中一段交给甲、乙两个工程队完成．甲工程队每天能完成整个工程任务的$$\frac{1}{16}$$，乙工程队每天能完成整个工程任务的$$\frac{1}{24}$$．现在两队合作$$4$$天后，甲工程队被抽调离开，由乙队独自完成剩下的部分需要（~ ）天．~

拓展思维->能力->逻辑分析

甲、乙两队第一阶段完成了$$\left( \frac{1}{16}+\frac{1}{24} \right)\times 4=\frac{5}{12}$$，乙队第二阶段需要$$\left( 1-\frac{5}{12} \right)\div \frac{1}{24}=14$$天．


2008年五年级竞赛创新杯

从$$1$$到$$50$$这五十个自然数中，取两个不同的数相加，要使它们的和大于$$50$$，共有(  )种不同的取法。

拓展思维->拓展思维->计数模块->枚举法综合->字典排序法


2015年湖北武汉世奥赛五年级竞赛模拟训练题（三）第5题

将$$15$$个相同的悠悠球分装到四个相同的纸盒中，要求每个盒子里至少装一个，且每个盒子装的数量都不相同，一共有种不同的装法．

拓展思维->能力->逻辑分析


2014年全国迎春杯四年级竞赛初赛第1题

下面计算结果等于$$9$$的是（  ）．

$$3\times 3\div 3+3$$

$$3\div 3+3\times 3$$

$$3\times 3-3+3$$

$$3\div 3+3\div 3$$

拓展思维->能力->运算求解


2014年全国学而思杯一年级竞赛第10题

$$5$$名分别来自美国、俄国、中国、日本和韩国的运动员参加冬奥会滑雪决赛，比赛结束后：  美国运动员说：俄国运动员紧跟在我后面；  俄国运动员说：我才不是最后一名；  中国运动员说：我比日本国人和美国人都快；  韩国运动员说：有三个人比我先到达终点．  那么，~\uline{~~~~~~~~~~}~国运动员是第一名．

美国

俄国

中国

日本

韩国

知识标签->拓展思维->组合模块->逻辑推理->比较型逻辑推理

中国比日本、美国快，美国比俄国快，所以日本、美国、俄国都不是第一，而韩国也不是第一个到的，所以中国是第一．


记$$A=8\times 8\times 8\times \cdots\times 8$$（共$$25$$个$$8$$相乘），$$A\div 9$$的余数为．

拓展思维->拓展思维->数论模块->余数问题->余数的性质->余数找规律


2012年第10届创新杯四年级竞赛初赛第5题6分

显示在电子钟上的时间是$$5:55$$，下一次电子钟上显示的时间又是全部相同的数字，还要过分钟．

拓展思维->能力->实践应用


2016年全国美国数学大联盟杯小学中年级三年级竞赛初赛

一个程序员给编号为$$1-40$$的$$40$$个机器人写好程序，让它们来判断某句话的对错．程序员为了提高准确率，在它们都进行过一次判断后，让从编号为$$1$$的机器人开始，修改自己的答案．如果其余$$39$$个机器人回答``对''多，则自己的回答也为``对''，否则回答``错''．如果最开始有$$20$$个机器人回答``对''，$$20$$个机器人回答``错''，并且一号机器人回答``对''．那么这$$40$$个机器人按序修改自己的答案后，有多少人回答``对''？

拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->假设型逻辑推理->答案（数字）正误问题

由于第一个机器人回答对，所以说明除了第一个外的机器人，开始时$$19$$个回答对，$$20$$个回答错，第一个机器人根据判定需要改答案，其他机器根据第一个机器人改了答案判断，应该都回答错．


2006年五年级竞赛创新杯 2006年第4届创新杯五年级竞赛初赛A卷第9题

一本书中间有一张被撕掉了，余下各页码数之和正好等于1000，这本书原有(  )页.

拓展思维->拓展思维->应用题模块->页码问题

设撕掉这张的两个页码的和为x，原书有n页，则所有页码和为$$\left( 1+2+3+\cdots +n \right)-x=\frac{n\left( n+1 \right)}{2}-x=1000$$，只有当$$n=45$$时，其所有页码和为$$45\times 46\div 2=1035$$，恰好大于1000且最接近1000，故撕掉这张纸的两个页码的和为$$1035-1000=35$$，撕掉的这张的两个页码为17，18.所以这本书原有45页，故选B.


2018年第17届春蕾杯一年级竞赛初赛第14题6分

四耳穴学校也举办了一场足球比赛，皮皮、蛋君和大强所在的三个队伍分别获得了金、银、铜牌．根据下面三句话，猜一猜他们分别获得什么奖牌？  皮皮：``我分到的不是金牌．''  大强：``他们俩的队伍一支获得金牌，一支获得银牌．''  请问，蛋君所在的队伍获得什么奖牌？

金

银

铜

拓展思维->能力->推理推导->言语逻辑推理


2021年鹏程杯六年级竞赛初赛第12题

如果某国物价下降$$50 \%$$，那么原来买$$1$$件东西的钱现在就能买$$2$$件．$$1$$件变为$$2$$件增加了$$100 \%$$，这就相当于该国居民手中的钱增值了$$100 \%$$，如果物价上涨了$$25 \%$$，那么相当于手中的钱贬值了$$ \%$$．

以上都不对

拓展思维->拓展思维->应用题模块->经济问题->基本经济概念->折扣问题


2017年第15届全国希望杯六年级竞赛

存在

不存在

不能确定

拓展思维->思想->枚举思想


2014年全国创新杯小学高年级五年级竞赛第4题5分 2016年创新杯小学高年级五年级竞赛训练题（四）第5题

从$$1$$，$$2$$，$$\cdot \cdot \cdot $$，$$79$$这$$79$$个数中，选出若干个数来，使得选出的这些数中，任何两个数之差（大减小）都不等于$$1$$，$$2$$，$$4$$．那么至多可以选出（~ ~ ~ ）个数．

拓展思维->能力->运算求解


2008年四年级竞赛创新杯

101个数之和为2008;把第一个数减1，第2个数加2，第3个数减3，\ldots，第100个数加100，第101个数减101，所得的101个新数之和为(  ).

拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->整数加减->整数加减巧算之分组法


2014年全国创新杯小学高年级五年级竞赛第5题5分

某出租车的收费标准是：起步价$$7$$元（$$3$$千米以内包括$$3$$千米），$$3$$千米后每增加$$1$$千米加收$$2.4$$元（不足$$1$$千米按$$1$$千米计），某人乘坐出租车从甲地到乙地付车费$$19$$元，那么下列句子中正确的是（~ ）．

甲地到乙地的路程为$$8$$千米

甲乙两地路程为$$7$$千米

甲乙两地路程大于$$7$$千米但不超过$$8$$千米

甲乙两地路程最多为$$8$$千米

拓展思维->能力->运算求解


2018年第21届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛（中国区）第10题3分

有大、中、小三筐菠萝，小筐装的是中筐的一半，中筐比大筐少装$$24$$千克，大筐装的是小筐的$$5$$倍．大、中、小三筐一共装菠萝千克．

拓展思维->能力->构造模型->模型思想

根据题意分析可知，因为小框装的是中筐的一半且大框装的是小筐的$$5$$倍可知，  大筐装的是中筐的$$5\div 2=2.5$$倍，  又因为中框比大框少装$$24$$千克，  用差倍问题求出小筐的能装：$$24\div \left( 5-2 \right)=8$$（千克），  中筐装：$$8\times 2=16$$（千克），  大筐装：$$16\times 2=32$$（千克），  所以三个筐一共能装：$$8+16+32=56$$（千克）．  故选$$\text{B}$$．


2018年IMAS小学中年级竞赛（第一轮）第10题3分

西元$$1202$$年，意大利数学家斐波那契（Fibonacci，$$1170\sim 1250$$），在所著的《算术书（Liber Abaci）》中，提出了以下有趣的问题：一对兔子在它们出生整整两个月以后可以生一对小兔子（雌、雄兔各一只），其后每隔一个月又可再生一对小兔子．现有一对刚生下来的小兔子﹐如果兔子都不死亡，请问经过$$12$$个月后（即在第$$13$$个月初）总共有多少对兔子？

拓展思维->拓展思维->计算模块->数列与数表->数列规律->斐波那契数列（兔子数列）


2017年环亚太杯一年级竞赛初赛第4题

知识标签->拓展思维->计算模块->数列与数表->数列规律->数列找规律填数


2010年全国华杯赛竞赛初赛第3题

两个水池内有金鱼若干条，数目相同．亮亮和红红进行捞鱼比赛，一共比两次，每次捞一池，第一个水池内的金鱼被捞完时，亮亮和红红所捞到的金鱼数目比是$$3:4$$；捞完第二个水池内的金鱼时，亮亮比第一次多捞$$33$$条，与红红捞到的金鱼数目比是$$5:3$$，每个水池内有金鱼条．

课内体系->七大能力->实践应用 拓展思维->知识点->应用题模块->比例应用题->按比分配

本题原意为两人捞第一个水池内的金鱼，亮亮与红红捞到得金鱼数之比为$$3:4$$，共捞了$$7$$份；这样，第二个水池内涝完后，亮亮和红红所捞到的金鱼数目比是$$5:3$$，共捞了$$8$$份；由于两个水池内的鱼的量是相等的，则找$$\left[ 7,8 \right]=56$$．  两个水池内的总份数，均统一为$$56$$份，则在捞第一个水池时，亮亮和红红所捞到的金鱼数目之比为：$$3:4=24:32$$；  捞第二个水池时，亮亮和红红所捞到的金鱼数目之比为：$$5:3=35:21$$．  亮亮第一次捞了$$24$$份，第二次捞了$$35$$份，差了$$11$$份，为$$33$$条，则$$1$$份为$$3$$条．  所以原来每隔水池内的金鱼为：$$3\times56=168$$．


2008年六年级竞赛创新杯

$$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$四个数，每次去掉一个数，将其余三个数求平均数.这样计算了四次，得到下面四个数:23，26，30，33，$$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$四个数的平均数是(  ).

拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题->综合题->综合题普通型

不妨设$$A\geqslant B\geqslant C\geqslant D$$，则 $$B\text{+}C\text{+}D=23\times 3=69$$ $$A\text{+}C\text{+}D=26\times 3=78$$ $$A\text{+}B\text{+}D=30\times 3=90$$ $$A\text{+}B\text{+}C=33\times 3=99$$ 四个等式相加得$$3\times \left( A\text{+}B\text{+}C\text{+}D \right)=336$$，从而$$A\text{+}B\text{+}C\text{+}D\text{=}112$$，所以$$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$的平均数为$$112\div 4\text{=}28$$


2009年第9届全国新希望杯三年级竞赛初赛

红

蓝

黄

白

拓展思维->能力->运算求解

将``$$1$$红$$2$$蓝$$4$$黄''看作一组，共有$$7$$颗，$$32 \div 7 = 4 \cdots ~\cdots 4$$，说明这一组共出现了$$4$$次，余数是$$4$$说明还依次出现了$$1$$颗红珠、$$2$$颗蓝珠、$$1$$颗黄珠，所以第$$32$$颗彩珠是黄色．


2020年希望杯一年级竞赛模拟第2题

每两人之间都握一次手（不能重复计数），$$5$$个小朋友一共要握次．

拓展思维->思想->对应思想

因为由题干可知，一共有$$4$$个人，每两人之间需要握一次手，我们可以将这$$4$$个人分别用$$A$$、$$B$$、$$C$$和$$D$$来指代，则所有的握手情况为：$$AB$$，$$AC$$，$$AD$$，$$BC$$，$$BD$$和$$CD$$，所以一共要握$$6$$次，故本题答案为$$\text{C}$$．


2018年四川成都锦江区四川师范大学附属第一实验中学小升初模拟8第3题3分 2018年全国小学生数学学习能力测评六年级竞赛初赛第8题3分 2018年湖南长沙小升初数学入学试卷第4题4分

王师傅加工一批零件，$$\frac{1}{2}$$小时加工了这批零件的$$\frac{3}{8}$$，全部加工完还需要(  )小时．

拓展思维->思想->对应思想

首先根据王师傅加工一批零件，$$\frac{1}{2}$$小时加工了这批零件的$$\frac{3}{8}$$，工作效率$$=$$工作量$$\div $$工作时间，求出每小时加工这批零件的几分之几；求出剩下的工作量，然后根据工作时间$$=$$工作量$$\div $$工作效率，求出全部加工完还需要多少小时即可．  解；$$\frac{3}{8}\div \frac{1}{2}=\frac{3}{4}$$  $$(1-\frac{3}{8})\div \frac{3}{4}$$  $$=\frac{5}{8}\div \frac{3}{4}$$  $$=\frac{5}{6}$$(小时)  答:全部加工完还需要$$\frac{5}{6}$$小时．  故选$$\rm D$$．


2018年第8届北京学而思综合能力诊断二年级竞赛年度教学质量第1题

拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->四则混合运算


2018年第6届湖北长江杯六年级竞赛初赛A卷第1题3分

$$15-18$$这些数的平方的倒数乘，可约分的数最多．

拓展思维->拓展思维->计算模块->分数->分数基础->分数的约分


2017年全国小学生数学学习能力测评四年级竞赛初赛第8题3分

用$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$这四个数字可以组成许多四位数，将它们从小到大依次排列，那么$$4123$$这个四位数排在第个位置上．

拓展思维->能力->运算求解


2011年第7届全国新希望杯小学高年级六年级竞赛第6题4分

盒子里装有分别写着$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，\ldots，$$100$$的黄色卡片各一张，我们称如下操作为一次操作；从盒子里取出$$m(7\leqslant m\leqslant 10)$$张卡片，算出这$$m$$张卡片上各数之和减去$$27$$的差，将写在一张红色卡片上（不放回）．若干次操作之后，盒子里的卡片全部被取出，若所有红色卡片上的数字之和为$$n$$，那么$$n$$的最大可能值减去最小可能值等于（~ ~ ~ ）．

拓展思维->拓展思维->组合模块->操作与策略->操作问题->数字操作


2015年全国迎春杯四年级竞赛初赛第5题

王伯伯养了一些鸡、兔和鹤．其中鹤白天双足站立，夜间则单足站立；鸡晚上睡觉时则把头藏起来．细心的悦悦发现：不论白天还是晚上，足数和头数的差都一样，那么，如果白天悦悦可以数出$$56$$条腿，晚上会数出~\uline{~~~~~~~~~~}~个头．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->鸡兔同笼问题->分组法解鸡兔同笼->腿倍型

白天比晚上多了一个鸡头，还多了一只鹤脚；无论晚上还是白天，足数和头数的差都一样，所以鹤的数量和鸡的数量是一样的．将鸡和鹤打一个包，则在白天这个包和兔子腿数一样为$$4$$，在晚上这个包和兔子头数一样为$$1$$；则可以得出晚上的头数为$$56\div 4=14$$（个）．


2016年全国小学生数学学习能力测评四年级竞赛初赛第6题3分

把$$100$$个球放到$$36$$个盒子里．已知任何连续的$$5$$个盒子中共有$$14$$个球，问最后一个盒子里有多少个球？  Put a total of $100$ balls into $36$ boxes. Given that any consecutive $5$ boxes have a sum of $14$ balls, the last box has~\uline{~~~~~~~~~~}~balls.

拓展思维->能力->运算求解

$36\div5=7R1$.  Thus, for the first $35$ boxes, there is a total of $$14\times7=98$$ balls.  Therefore, there are $100-98=2$ balls.


六年级其它导引 2015年世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛复赛A卷第10题10分 2018年陕西西安碑林区西安市铁一中学小升初（二十六）第20题5分

拓展思维->思想->转化与化归的思想


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛初赛第8题5分

整数$$146$$和$$234$$的三个数位上数字的乘积都是$$24$$（注：$$1\times 4\times6 =24$$，$$2\times 3\times 4=24$$）．那么共有个三位数其各位数字的乘积是$$72$$．

拓展思维->能力->构造模型->模型思想


2020年广东广州羊排赛五年级竞赛第8题3分

$$2020$$年元旦是周三，以这天为第$$1$$天，从这天起的第天是周三．

拓展思维->能力->实践应用

根据周期问题的公式：总数$$\div $$周期$$=$$周期数$$\cdots \cdots $$余数，余数是几，就是周期中的第几个．本题最后这一天是周三，刚好是周期中的第一天，说明余数就是$$1$$，又因为一周有$$7$$天，依次判断选项中的数除以$$7$$的余数．  $$\text{A}$$.$$15\div 7=2$$（周）$$\cdots \cdots 1$$（天）；$$\text{B}$$.$$105\div 7=15$$（周）；  $$\text{C}$$.$$205\div 7=29$$（周）$$\cdots \cdots 2$$（天）；$$\text{D}$$.$$366\div 7=52$$（周）$$\cdots \cdots 2$$（天）．  故选$$\text{A}$$．


2006年第4届创新杯六年级竞赛复赛第6题

若数$$n=20\times 30\times 40\times 50\times 60\times 70\times 80\times 90\times 100\times 110\times 120\times 130$$，则不是$$n$$的约数的最小质数是(  )．

非上述答案

拓展思维->能力->运算求解


2014年全国迎春杯六年级竞赛复赛第8题

在纸上任意写一个自然数，把这张纸旋转$$180$$度，数值不变，如$$0$$、$$11$$、$$96$$、$$888$$等，我们把这样的数称为``神马数''．在所有五位数中共有（~~~~~~~ ）个不同的``神马数''．

拓展思维->拓展思维->计数模块->加乘原理->组数问题->有特殊要求的组数问题


2017年四川六年级竞赛排位赛第20题2分

有甲、乙、丙三个数，甲$$:$$丙$$=4:3$$，丙$$:$$乙$$=5:3$$，如果甲、乙两数的和是$$87$$，则乙、丙两数相差．

拓展思维->能力->数据处理


2017年第15届全国希望杯五年级竞赛第1试试题第18题 其它改编题

【例4】$$A$$，$$B$$，$$C$$，$$D$$，$$E$$五人一同参加飞镖大赛，其中只有一人射中飞镖盘的中心，但不知是谁所射．  $$A$$说：``不是我射中的，就是$$C$$射中的．''  $$B$$说：``不是$$E$$射中的．''  $$C$$说：``如果不是$$D$$射中的，那么一定是$$B$$射中的．''  $$D$$说：``既不是我射中的，也不是$$B$$射中的．''  $$E$$说：``既不是$$C$$射中的，也不是$$A$$射中的．''  其中五人中只有两个人说的是对的，由此可以判断射中飞镖盘中心的人是~\uline{~~~~~~~~~~}~．

$$A$$

$$B$$

$$C$$

$$D$$

$$E$$

拓展思维->能力->逻辑分析

$$A$$和$$E$$说的话对立，$$C$$和$$D$$说的话对立，必有两对两错，故$$B$$说的是错的，则是$$E$$射中的．


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛一年级竞赛初赛第8题5分

鸡兔同笼，共有$$4$$个头，$$12$$条腿，有只兔．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->鸡兔同笼问题->假设法解鸡兔同笼->基本型->原型题

枚举法：  当有$$1$$只兔，$$3$$只鸡时，共$$1\times4+3\times2=10$$（条）腿．  当有$$2$$只兔，$$2$$只鸡时，共$$2\times4+2\times2=12$$（条）腿．  所以有$$2$$只兔．


2016年全国美国数学大联盟杯小学中年级三年级竞赛初赛

如果你花$$30$$分钟做了$$35$$道题目，那么用同样的速度，你做$$315$$道题目至少需要多少小时？

知识标签->拓展思维->计算模块->整数->四则混合运算


2016年新希望杯六年级竞赛训练题（五）第6题

甲、乙两人一起参加$$3000$$米长跑比赛，甲以匀速$$8$$米/秒跑完了全程，乙先以$$10$$米/秒跑了一段时间，后减速为$$5$$米/秒跑完了全程．当甲跑到终点的时候，乙距离终点还有$$125$$米．乙跑完全程用$$5$$米/秒的速度跑了（~ ~ ）秒．

拓展思维->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->路程速度时间->单人变速问题


2018年第22届广东世界少年奥林匹克数学竞赛二年级竞赛初赛第5题6分

$$20$$个同学排成一队做操，从左边数小文排在第$$12$$个，从右边数小文排在第个．

拓展思维->思想->整体思想

小文的左边有人：$$12-1=11$$（人），  所以从右边数小文排在：$$20-11=9$$（个）．  故选择$$\text{C}$$．


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛一年级竞赛初赛第4题5分

如果把一根木棍锯成$$5$$段需要$$4$$分钟．如果锯成$$10$$段需要分钟．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->间隔问题->直线型两端都没有->锯木头类型问题

锯成$$5$$段，需要锯$$4$$次，所以每次$$1$$分钟．锯成$$10$$段，需要锯$$9$$次，所以需要$$9$$分钟，故选择$$\text{D}$$．


2014年全国迎春杯三年级竞赛初赛第8题

祖玛游戏中，龙嘴里不断吐出很多颜色的龙珠，先$$4$$颗红珠，接着$$3$$颗黄珠，再$$2$$颗绿珠，最后$$1$$颗白珠，若按此方式不断重复，则从龙嘴里吐出的第$$2000$$颗龙珠是．

红珠

黄珠

绿珠

白珠

知识标签->拓展思维->应用题模块->周期问题->基本排列的周期问题


2019年第22届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛复赛（中国区）第4题3分

一把钥匙只能开一把锁，现有$$4$$把钥匙和$$4$$把锁搞乱了，最多试开次就能确定哪把钥匙开哪把锁．

拓展思维->思想->对应思想

第一把钥匙最坏的情况要试$$3$$次，把这把钥匙和这把锁拿出；剩下的$$3$$把锁和$$3$$把钥匙，最坏的情况要试$$2$$次，把这把钥匙和这把锁拿出；剩下的$$2$$把锁和$$2$$把钥匙，最坏的情况要试$$1$$次，把这把钥匙和这把锁拿出；剩下的$$1$$把锁和$$1$$把钥匙就不用试了；$$3+2+1=6$$（次）．  故选$$\text{B}$$．


2016年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第13题4分

已知袋子中装有$$n$$颗小球，依次编号为$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$\cdots$$、$$n$$，每次都从袋子中取出两颗球，把它们的编号相加并记下结果，然后把它们放回袋子内．重复抽取直到袋子中每一对小球都被取到为止，记录中恰好有$$215$$种不同的数值，请问$$n$$的值是多少？

拓展思维->能力->运算求解

最大值和最小值之间有多少数字就是多少种可能性．$$2n -1-3=215$$．


2017年第15届湖北武汉创新杯小学高年级五年级竞赛决赛第5题

天安门广场是世界上最大的广场，面积约为$$44$$万平方米．已知$$1$$亩$$=\frac{2000}{3}$$平方米，则天安门广场的面积约为．

拓展思维->能力->运算求解


2018年第6届湖北长江杯五年级竞赛初赛A卷第6题3分 2018年上海小学高年级五年级竞赛A卷

$$5$$路和$$9$$路公共汽车早上$$6$$时$$40$$分同时发车，$$5$$路公共汽车每隔$$10$$分钟发一辆车，$$9$$路公共汽车每隔$$8$$分钟发一辆车，这两路车第$$20$$次同时发车是．

拓展思维->拓展思维->数论模块->因数与倍数->公因数与公倍数->公倍数与最小公倍数->两数的最小公倍数


2013年第11届全国创新杯五年级竞赛第4题5分

在垒球比赛中，若赢$$1$$场得$$3$$分，平$$1$$场得$$1$$分，输$$1$$场不得分．每个队都与其他队交锋$$4$$场，这时四个参赛队的总积分为：$$A$$队$$22$$分，$$B$$队$$19$$分，$$C$$队$$14$$分，$$D$$队$$12$$分．那么有（~ ）场比赛为平局．

知识标签->数学思想->分类讨论思想

对于赛况分析试题，尤其对于与分数相关的试题，最重要的是思维方式，本题如果从整体上来考虑比赛所产生的总分值，问题将迎刃而解，依题意可知比赛总场次为$$24$$场比赛之中，若平局则将会让所有队伍的总分增加$$2$$分（比赛双方均得$$1$$分），若出现了胜败，则所有队伍的总分增加$$3$$分，而现在所有队伍获得的总分值为：$$22+19+14+12=67$$（分），$$24$$场比赛，总分最多$$24\times 3=72$$分，平$$1$$场总分少$$1$$分，$$72-67=5$$分，所以平局$$5$$场.


2017年第22届全国华杯赛小学中年级竞赛初赛第4题10分

猎豹跑一步长为$$2$$米，狐狸跑一步长为$$1$$米，猎豹跑$$2$$步的时间狐狸跑$$3$$步．猎豹距离狐狸$$30$$米，则猎豹跑动~\uline{~~~~~~~~~~}~米可追上狐狸．

拓展思维->能力->逻辑分析


2017年第16届湖北武汉创新杯六年级竞赛邀请赛训练题（三）

已知$$a$$和$$b$$均是正整数，并且$$\frac{a}{7}+\frac{b}{11}$$的值四舍五入的百分位等于$$1.03$$，那么$$a+b=$$（~ ）．

拓展思维->思想->对应思想


2014年全国华杯赛小学高年级竞赛初赛A卷第2题

【数学人教版】某次考试有$$50$$道试题，答对一道题得$$3$$分，答错一道题或不答题会扣$$1$$分，小龙得分$$118$$分，则小龙答对了道试题．

知识标签->数学思想->方程思想

假设小龙所有的题目都做对了，则小龙的得分为：$$50\times 3=150$$（分）；实际上小龙的得分为$$118$$分，假设与实际相差：$$150-118=32$$（分）；小龙一道题由对变错会损失：$$3+1=4$$（分），所以小龙错了：$$32\div 4=8$$（道）题，则小龙答对了：$$50-8=42$$（道）题．


2017年第15届湖北武汉创新杯六年级竞赛初赛第5题

小刚、小强、小明一起买文具，小刚买$$3$$支铅笔和$$5$$支圆珠笔共用$$5.4$$元，小强买$$5$$支铅笔和$$7$$支圆珠笔共用$$7.8$$元，小明买$$4$$支铅笔和$$4$$支圆珠笔共用元．

拓展思维->思想->方程思想


2013年第12届全国小机灵杯小学中年级三年级竞赛初赛第6题8分

对于两个数$$a$$和$$b$$，规定一种新运算，$$a\Delta b=3\times a+2\times b$$，$$a\nabla b=2\times a+3\times b$$，那么$$2\Delta \left( 3\nabla 4 \right)=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．

拓展思维->拓展思维->计算模块->定义新运算->直接运算型->普通型

$$3\nabla 4=2\times 3+3\times 4=18$$，$$2\Delta \left( 3\nabla 4 \right)=2\Delta 18=3\times 2+2\times 18=42$$．


2017年第16届湖北武汉创新杯六年级竞赛邀请赛训练题（一）

已知$$N=1\frac{1}{6}+2\frac{1}{12}+\ldots \ldots +9\frac{1}{110}$$，那么比$$N$$大的自然数最小值为（~ ）．

拓展思维->能力->归纳总结->归纳推理


2018年湖北武汉新希望杯五年级竞赛训练题（五）第1题

$$9$$行$$9$$列的方阵树林，如果去掉最外层$$2$$行$$2$$列，要减少棵树．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->方阵问题->实心方阵->实心方阵的增减 课内体系->思想->数形结合思想


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛一年级竞赛决赛第4题5分

一本书，小明从第$$10$$页看到第$$25$$页，他看了页．

拓展思维->能力->构造模型->模型思想


2012年IMAS小学中年级竞赛第一轮检测试题第2题3分

在算式$$+5=13-2$$中，括号中应填入什么数才能使算式成立？

拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->整数加减->整数减法运算->减法横式


2012年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第18题4分

老王在机场工作，他每上$$8$$天班后，就连续休息两天，如果这个星期六和星期天连休二天他都休息，请问至少再过几个星期后，他才能又在星期天休息？

拓展思维->能力->逻辑分析

老王接下来的休息时间为：周二和周三；周五和周六；周一和周二；周四和周五；周日和周一；$$\cdots\cdots$$．  所以他再次在星期天休息时已经过了$$10\times 4+9=49$$天，刚好$$7$$个星期．


2016年第14届全国创新杯五年级竞赛初赛第8题

根据``三角形任意两边之和大于第三边''的知识，解答本题：  有不同长度的七条线段，其长度均为整数厘米，最短的是$$1$$厘米，最长的是$$21$$厘米，其中以任何三条线段作``边''都不能组成一个三角形，那么这七条线段中第二长的线段长厘米．

拓展思维->能力->逻辑分析


2020年希望杯二年级竞赛模拟第17题

小皮、小舒和小贝是同班同学，他们中一个是班长，一个是学习委员，一个是体育委员．现在知道：  ①小皮的年龄比体育委员的年龄大；  ②小舒比学习委员的年龄大；  ③小贝和学习委员年龄不同．  那么小皮、小舒和小贝分别担任．

班长，学习委员，体育委员

学习委员，体育委员，班长

学习委员，班长，体育委员

班长，体育委员，学习委员

拓展思维->能力->逻辑分析

由②小舒比学习委员的年龄大；和③小贝和学习委员年龄不同．可知小舒和小贝都不是学习委员，所以学习委员是小皮；  已知小舒比小皮大，并且小皮的年龄比体育委员的年龄大，所以小舒不是体育委员，所以小舒是班长；那么小贝就是体育委员．  故选$$\text{C}$$．


2011年第9届全国创新杯小学高年级六年级竞赛第7题

定义两种运算：$$a\oplus b=a+b-1$$，$$a\otimes b=ab-1$$．如果$$4\otimes \left[ \left( 6\oplus x \right)\oplus \left( 3\otimes 5 \right) \right]=79$$，则$$x$$等于(  )．

拓展思维->思想->对应思想


2018年湖北武汉创新杯小学高年级五年级竞赛初赛数学思维能力等级测试第9题4分

小明、小强各买了单价为$$10$$元、$$15$$元两种价格的书，每人买的书两种价格的都有，各自的书款总额都是$$90$$元，但所买的数的本书不同，那么两人买的书共有（~ ）本．

拓展思维->能力->实践应用


2011年北京五年级竞赛 2011年北京六年级期中

$$4$$个人聚会，每人各带$$2$$件礼品，分赠给其余$$3$$个人中的$$2$$人．则：至少有$$2$$对人，每对人是互赠过礼品的．~\uline{~~~~~~~~~~}~

对

不对

知识标签->数学思想->枚举思想

将这四个人用$$4$$个点表示，如果两个人之间送过礼，就在两点之间连一条线．  由于每人送出$$2$$件礼物，图中共有$$4\times 2=8$$条线，由于每人礼品都分赠给$$2$$个人，所以每两点之间至多有$$1+1=2$$条线．四点间，每两点连一条线，一共$$6$$条线，现在有$$8$$条线，说明必有两点之间连了$$2$$条线，还有另外两点（有一点可以与前面的点相同）之间也连了$$2$$条线．  即为所证结论．


2014年全国迎春杯三年级竞赛初赛第12题

一

四

五

六

拓展思维->拓展思维->应用题模块->周期问题->时间中的周期问题->日期中的周期


2017年第15届湖北武汉创新杯五年级竞赛初赛第11题

无法计算

知识标签->学习能力->七大能力->运算求解


2019年第24届YMO六年级竞赛决赛第7题3分

有一个$$12$$级的楼梯．某人每次能登上$$1$$级或$$2$$级或$$3$$级，现在他要从地面登上第$$12$$级，有种不同的方式．

拓展思维->能力->运算求解


2019年第7届湖北长江杯五年级竞赛复赛B卷第8题3分

商店有$$A$$、$$B$$两件衣服，都卖$$200$$元，$$A$$赚了十分之一，$$B$$亏了十分之一，总体上是．

赚了

亏了

不亏不赚

不确定

拓展思维->拓展思维->应用题模块->经济问题->基本经济概念->已知售价利润求成本


2016年全国华杯赛小学高年级竞赛初赛第1题

算式$$\underbrace{999\cdots 9}_{2016}\times \underbrace{999\cdots 9}_{2016}$$的结果中含有（ ~ ~ ~ ~）个数字$$0$$．

拓展思维->能力->运算求解


2012年全国华杯赛小学高年级竞赛初赛网络版第3题

两个数的最大公因数是$$20$$，最小公倍数是$$100$$，下面说法正确的有个．  （1）两个数的乘积是$$2000$$．  （2）两个数都扩大$$10$$倍，最大公因数扩大$$100$$倍．  （3）两个数都扩大$$10$$倍，最小公倍数扩大$$10$$倍．  （4）两个数都扩大$$10$$倍，两个数乘积扩大$$100$$倍．

拓展思维->能力->逻辑分析


2013年小机灵杯五年级竞赛初赛

古时候的原始人捕猎，捕到一只野兽对应一根手指。等到$$10$$根手指都用完，就在绳子上打一个结，这就是运用现在的数学中的（  ）

出入相补原理

等差数列求和

十进制计数法

拓展思维->拓展思维->组合模块->智巧趣题

解：古时候的原始人捕猎，捕到一只野兽对应一根手指。等到$$10$$根手指都用完，就在绳子上打一个结，这就是运用现在的数学中的十进制计数法；  故选：$$C$$。


2012年IMAS小学中年级竞赛第一轮检测试题第2题3分

在算式$$\square +5=13-2$$中，请问$$\square $$中应填入什么数才能使算式正确？


2017年IMAS小学高年级竞赛（第一轮）第11题4分

有$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$、$$5$$、$$6$$的数码卡片各一张，小李每次取出$$2$$张，记录下它们的差（大的数减小的数），然后把这两张卡片扔掉．取完这六张卡片后，请问小李记录下的三个差之和最大可能值为多少？

拓展思维->能力->逻辑分析

小李记录下的三个差之和等于六个数码的其中三个数码减去另外三个数码，  所以最大可能值为$$6+5+4-3-2-1=9$$．  故选$$\text{E}$$．


2018年湖北武汉新希望杯五年级竞赛训练题（四）第4题

水果店规定：如果购买芒果不超过$$10$$千克，那么每千克售价$$4$$元；如果超过$$10$$千克，那么超过的部分每千克$$3.5$$元．某人买了$$24$$千克芒果，他应付元．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->经济问题->分段计价问题


2006年华杯赛五年级竞赛初赛 2006年华杯赛六年级竞赛初赛

拓展思维->拓展思维->数论模块->分解质因数


2012年全国希望杯五年级竞赛初赛第2题

知识标签->学习能力->七大能力->运算求解


2016年第14届全国创新杯五年级竞赛初赛第9题

不妨称各位数字之和为$$7$$的整数为``魔力数''，如$$115$$，$$1312$$等就是魔力数．那么随手写出一个三位数，恰好是``魔力数''的可能性是（~ ）．

拓展思维->思想->枚举思想


2007年四年级竞赛创新杯

一条绳子，折成相等的$$3$$段后，再对折成相等的两段，然后从中间剪开，一共可以剪成~\uline{~~~~~~~~}~段。

拓展思维->拓展思维->应用题模块->间隔问题->直线型两端都没有->剪绳子

将绳折成$$3$$段再对折，相当于折成$$6$$段，一刀与这$$6$$段共有$$6$$个交点，所以将绳剪成$$7$$段。


2018年全国小学生数学学习能力测评四年级竞赛复赛第9题3分

学校有象棋，跳棋共$$26$$副，$$2$$人下一副象棋，$$6$$人下一副跳棋，恰好可供$$120$$名同学进行活动，象棋有副．

拓展思维->能力->构造模型->模型思想

利用假设的方法来解答，  假设$$26$$副都是跳棋，那么$$26$$副跳棋可供$$6\times 26=156$$（人）进行活动，  与$$120$$人相差$$156-120=36$$（人），  每副象棋和跳棋的人数相差$$6-2=4$$（人），  用一共相差的人数$$36$$除以$$4$$就求出象棋有多少副，$$36\div 4=9$$（副）．  故选$$\text{A}$$．


2014年迎春杯三年级竞赛初赛 2014年迎春杯四年级竞赛初赛 2014年迎春杯四年级竞赛初赛 2014年迎春杯三年级竞赛初赛

下面计算结果等于$$9$$的是（  ）。

$$3\times 3\div 3+3$$

$$3\div 3+3\times 3$$

$$3\times 3-3+3$$

$$3\div 3+3\div 3$$

拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->四则混合运算


2021年新希望杯一年级竞赛初赛第14题5分

$$5$$只动物排成一排，狗和猫都与鸡相邻，猫和鼠都与兔相邻，那么都与猫相邻．

鼠和鸡

鸡和兔

兔和狗

兔和鼠

鼠和狗

拓展思维->能力->实践应用

根据题意分析可知，狗和猫都与鸡相邻，即鸡的左右两边是猫和狗，又因为猫与老鼠都与兔相邻，所以猫的旁边是兔子和老鼠，兔子和老鼠在猫的同一侧，由此可知，与猫相邻的是鸡和兔．  故选$$\text{B}$$．


2017年第16届湖北武汉创新杯五年级竞赛邀请赛训练题（三）

拓展思维->拓展思维->数论模块->整除->整除特征->整除初识


2019年第24届YMO二年级竞赛决赛第6题3分

小$$\text{Y}$$和小$$\text{M}$$共同组装$$15$$个机器人玩具．小$$\text{Y}$$每$$2$$小时组装$$1$$个机器人玩具，小$$\text{M}$$每$$3$$小时组装一个机器人玩具，两人同时开始组装，小时能完成任务．

拓展思维->能力->运算求解

根据题意分析可知，用工作总量除以工作效率就能得到工作时间，小$$\text{Y}$$的工作效率为：$$1\div 2=\frac{1}{2}$$，小$$\text{M}$$的工作效率为：$$1\div 3=\frac{1}{3}$$，所以两人同时组装，完成的时间为：   $$15 \div \left( \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}\right)$$  $$=15 \div \frac{5}{6}$$  $$=18$$（小时）  故答案为：$$\text{C}$$．


2011年北京五年级竞赛 2011年其它 2019年陕西西安新城区爱知中学小升初入学真卷2第24题7分

甲、乙两车分别从 $$A$$、$$B$$两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是 $$5 ： 4$$，相遇后甲的速度减少$$20 \%$$，乙的速度增加 $$20 \%$$．这样当甲到达$$B$$地时，乙离$$A$$地还有$$10$$千米．那么$$A$$、$$B$$两地相距多少千米？

海外竞赛体系->知识点->数论模块->质数与合数->特殊质数运用->特殊质数2 拓展思维->思想->整体思想


2013年第11届全国创新杯五年级竞赛第3题5分

将$$42$$个边长为$$1$$厘米的小方块粘在一起形成一个长方体，若长方体地面的周长为$$18$$厘米，则长方体的高是（~ ）．

拓展思维->能力->图形认知

根据题意我们必须将$$42$$拆分成$$3$$个自然数的乘积，且恰好其中长与高之和应为$$18\div 2=9cm$$，易得：$$42=7\times 2\times 3$$，故长为$$7$$厘米，宽为$$2$$厘米，高为$$3$$厘米．


2019年美国数学大联盟杯五年级竞赛初赛第5题5分

下面哪个数不是三个不同质数的乘积（正好三个）？ Which of the following is not the product of exactly three different prime factors?

拓展思维->拓展思维->数论模块->分解质因数->分解质因数（式）
Overseas Competition->知识点->数论模块->分解质因数

题目翻译：下面哪一项不是三个完全不同的质数的乘积？  把每个选项的数进行分解质因数．  $$30=2\times3\times5$$，是三个不同的质数的乘积．  $$70=2\times5\times7$$，是三个不同的质数的乘积．  $$105=3\times5\times7$$，是三个不同的质数的乘积．  $$175=5\times5\times7$$，不是三个不同的质数的乘积．


2014年全国华杯赛小学高年级竞赛初赛B卷第6题 2016年吉林长春二道区吉大附中力旺实验小学小升初第9题2分

有七张卡片，每张卡片上写有一个数字，这七张卡片摆成一排，就组成了七位数$$2014315$$．将这七张卡片全部分给甲、乙、丙、丁四人，每人至多分$$2$$张．他们各说了一句话：  甲：``如果交换我卡片上的$$2$$个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是$$8$$的倍数''  乙：``如果交换我卡片上的$$2$$个数字在七位数中的位置，那么新的七位数仍不是$$9$$的倍数''  丙：``如果交换我卡片上的$$2$$个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是$$10$$的倍数''  丁：``如果交换我卡片上的$$2$$个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是$$11$$的倍数''  已知四人中恰有一个人说了谎，那么说谎的人是（~ ~ ~ ~）．

甲

乙

丙

丁

拓展思维->思想->对应思想

可以直接判断乙必定说的是真话，可以直接判断乙必定是说真话的，乙中的数字不管怎么变换都不可能是$$9$$的倍数．  因为七位数的数字之和为$$2+0+1+4+3+1+5=16$$，不是$$9$$的倍数；  如果丙说真话，那么他手中的数字是$$0$$和$$5$$，可以实现对调位置后被$$10$$整除；  如果甲说真话，那么他手中的数字只能是$$5$$和$$2$$，可以实现对调位置后被$$8$$整除；  如果丁说真话，那么他手中的数字只能是$$0$$和$$3$$，这样才能使得奇数位数字之和减去偶数位数字之和的差是$$11$$的倍数$$(2314015$$，$$(5+0+1+2)-(1+4+3)=0$$)．  综上，如果丙说真话，那甲和丁都是说谎话的人，两个人说谎话，不符合题意，所以说谎话的人是丙，选$$\text{C}$$．


2017年IMAS小学高年级竞赛（第二轮）第5题4分

一个正数去掉小数部分后得到一个整数，将这个整数加上原来的正数所得之和，再与$$5$$相乘，最后得到$$22.1$$．请问原来这个正数是多少？

拓展思维->思想->逆向思想

可知原来的正数与其整数部分相加所得之和为$$22.1\div 5=4.42$$，  因此原来的正数之小数部分为$$0.42$$，且整数部分为$$4\div 2=2$$，  所以原来这个正数是$$2.42$$．  故选$$\text{E}$$．


2018年第6届湖北长江杯六年级竞赛初赛A卷第7题3分

一条公路，甲队单独修需要$$24$$天完成，乙队单独修需要$$30$$天完成．甲乙两队合修几天后，乙队停工休息，甲队继续修了$$6$$天公路修好．乙队修了天．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->工程问题->合作工程问题->休息工程问题

把这条公路的工程量看成单位``$$1$$''，  那么甲的工作效率就是$$\frac{1}{24}$$，乙的工作效率就是$$\frac{1}{30}$$，  合作的工作效率就是二者的和，  用总工作量减去甲独干的工作量就是合干的工作量，  用合干的工作量除以合作的工作效率就是合干的时间，也就是乙队干的时间．  $$\left( 1-\frac{1}{24}\times 6 \right)\div \left( \frac{1}{24}+\frac{1}{30} \right)$$  $$=\left( 1-\frac{1}{4} \right)\div \frac{3}{40}$$  $$=\frac{3}{4}\div \frac{3}{40}$$  $$=10$$（天）．  答：乙队修了$$10$$天．  故选$$\text{C}$$．


2016年全国美国数学大联盟杯小学高年级六年级竞赛初赛

做家务是郝美女老师的兴趣．迪每$$8$$天进行一次大扫除，每$$11$$天洗一次衣服．如果星期天她做了两件家务，那么下一次她做两件家务会是哪一天？

星期三

星期四

星期五

星期六

知识标签->课内知识点->数的认识->数的特征->倍数->两个数的公倍数


2017年第15届湖北武汉创新杯五年级竞赛决赛第6题

十八世纪，某国、某人在浓雾中步行，另一乘马车之人从他身后来到他身边，他问马车的速度是多少，对方答道：每分钟$$176$$米．二人各自继续相同而行，$$5$$分钟后，乘马车之人在他前方$$660$$米处隐于浓雾中看不见了，问步行人每分钟步行．

拓展思维->能力->逻辑分析


2019年第24届YMO二年级竞赛决赛第3题3分

一根细绳对折两次后，从正中间剪开，最短的一段长$$1$$米，这根细绳原来长米．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->间隔问题->直线型两端都没有->剪绳子

根据题意分析可知，一根细绳对折两次后被分成了$$4$$段，从中间剪开后，分为两个一样长的短段和一个长段，长段的距离是短段的$$2$$倍，  所以细绳原来长：$$2+1+1=4$$（米）．  故选$$\text{A}$$．


2021年第24届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛复赛（中国区）第15题3分

用$$26$$根长度$$1$$厘米的小棒拼长方形，长方形的面积最大是平方厘米．

拓展思维->拓展思维->组合模块->组合模块最值问题->最值原理在几何中的应用

$$26\div2=13$$（厘米），要使长方形的面积最大，它的长和宽最接近，$$7+6=13$$（厘米），$$7\times6=42$$（平方厘米），所以长方形的面积最大是$$42$$平方厘米．  故答案为：$$\text{D}$$．


2017年河南郑州联合杯竞赛第10题4分

$$a\textgreater b$$~

$$a\textless{}b$$~~~~~~~

$$a=b$$~

无法判断

拓展思维->拓展思维->计算模块->比较与估算->比较大小综合->糖水原理法->加糖


2003年六年级竞赛创新杯

用方砖铺地，当铺地面积一定时，方砖的边长和所需方砖块数的关系是(  )

正比例关系

反比例关系

不成比例关系

不能确定

拓展思维->拓展思维->计算模块->比和比例->比例->正比例与反比例

$$s=a{{l}^{2}}$$，其中a为块数，$${l}$$为边长，故不成比例


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛五年级竞赛初赛第3题5分

拓展思维->能力->运算求解


2017年第15届湖北武汉创新杯五年级竞赛决赛第8题

五个数，两两相加，再把所得的和相加，总和为$$2064$$，原来五个数的和为．

拓展思维->拓展思维->数论模块->位值原理与进制->位值原理运用->位值原理的综合应用

五个数两两相加再求和，每个数计算$$4$$次，则五个数的和为：$$2064\div 4=516$$．


2020年广东广州羊排赛三年级竞赛第8题5分

一个工人$$3$$小时磨了$$60$$千克面粉，照这样计算，这个工人磨完$$200$$千克面粉，一共要 小时．

拓展思维->能力->运算求解

一个工人$$3$$小时磨了$$60$$千克面粉，  所以$$1$$小时磨面粉$$60\div3=20$$（千克），  这个工人磨完$$200$$千克面粉，一共要$$200\div20=10$$（时），  所以答案为$$10$$小时．


2017年全国美国数学大联盟杯小学高年级五年级竞赛初赛第34题

从前一百个正整数中，最多能选出多少个不同整数，使任意其中三个都不能作为同一个三角形的三边长？

Overseas Competition->知识点->几何模块->直线型->图形认知->三角形->三角形三边关系

拓展思维->能力->逻辑分析

To be the lengths of a triangle, the sum of two sides must be longer than the third side. Therefore, we just need to make the third number exactly the sum of the two former numbers, which is also the Fibonacci sequence. $$1$$，$$2$$，$$3$$，$$5$$，$$8$$，$$13$$，$$21$$，$$34$$，$$55$$，$$89$$. The last number to be chosen is $$89$$. A total of $$10$$ numbers. Choose $$C$$．


2013年华杯赛六年级竞赛初赛

甲、乙两仓的稻谷数量一样，爸爸，妈妈和阳阳单独运完一仓稻谷分别需要$$10$$天，$$12$$天和$$15$$天。爸爸妈妈同时开始分别运甲、乙两仓的稻谷，阳阳先帮妈妈，后帮爸爸，结果同时运完两仓稻谷，那么阳阳帮妈妈运了（  ）天。

拓展思维->拓展思维->应用题模块->工程问题->合作工程问题


2020年新希望杯五年级竞赛第33题 2020年希望杯五年级竞赛模拟第33题

斯普林特老师在$$3$$个小箱中各放一个有颜色的球，让四只忍者神龟猜箱子中球的颜色．  李奥纳多说：``$$1$$号箱中放红球，$$2$$号箱中放黑球，$$3$$号箱中放黄球．''  拉斐尔说：``$$1$$号箱中放橙球，$$2$$号箱中放黑球，$$3$$号箱中放绿球．''  米开朗琪罗说：``$$1$$号箱中放蓝球，$$2$$号箱中放橙球，$$3$$号箱中放紫球．''  多纳泰罗说：``$$1$$号箱中放橙球，$$2$$号箱中放绿球，$$3$$号箱中放蓝球．''  斯普林特老师说：``你们中有一个人恰好猜对了两个，其余三人都只猜对一个．''  那么$$3$$号箱中放的是球．

黄

黑

红

橙

蓝

紫

绿

拓展思维->思想->对应思想

共猜对$$5$$次，由题意知：$$1$$号箱被猜$$2$$次橙，$$2$$号箱被猜$$2$$次黑，则$$1$$号箱为橙或$$2$$号箱为黑．  假设$$1$$号为橙色，则拉斐尔和多纳泰罗一个猜中$$1$$次，一人猜中两次．  假设拉斐尔猜中$$1$$次，则$$2$$号不为黑，$$3$$号不为绿，则李奥纳多猜中$$3$$号为黄，米开朗琪罗全猜错．  假设有问题，则拉斐尔猜中$$2$$次，$$1$$号为橙，$$2$$号不为黑，$$3$$号为绿，则李奥纳多全猜错，则$$1$$号为橙，$$2$$号为黑，$$3$$号不为绿，拉斐尔猜中$$2$$次，李奥纳多猜中$$2$$号为黑，多纳泰罗猜中$$1$$号为橙，米开朗琪罗猜中$$3$$号为紫．


2017年全国华杯赛小学中年级竞赛初赛模拟第1题 小学中年级三年级上学期其它

甲、乙两人在春节一共得$$210$$元压岁钱，甲给乙$$40$$元，还比乙多$$10$$元，那么，原来甲得了元压岁钱．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->和差倍问题->和差问题->二量和差问题->明和暗差


2021年新希望杯二年级竞赛初赛第30题5分

谎言岛有一半的人只在星期三、星期五、星期六说谎，另一半的人只在星期二、星期四、星期日说谎．某一天，岛上的所有人都说：``我明天说真话．''那么，这一天是．  （2021年新希望杯二年级竞赛初赛数学试卷）

星期二

星期三

星期五

星期六

星期日

拓展思维->能力->逻辑分析

前一半$$7$$天的情况：真、真、假、真、假、假、真，  后一半$$7$$天的情况：真、假、真、假、真、真、假，  $$\text{A}$$选项：若这一天是星期二，则前一半人在今天说的是真话，那么明天应该说真话才合理，但星期三他们说的是假话，相互矛盾．后一半人在今天说的是假话，那么明天应该说假话才合理，但是星期三他们说的是真话，也相互矛盾，故$$\text{A}$$错误；  $$\text{B}$$选项：若这一天是星期三，则前一半人在今天说的是假话，那么明天应该说假话才合理，但星期四他们说的是真话，相互矛盾．后一半人在今天说的是真话，那么明天应该说真话才合理，但是星期四他们说的是假话，也相互矛盾，故$$\text{B}$$错误；  $$\text{C}$$选项：若这一天是星期五，则前一半人在今天说的是假话，那么明天应该说假话才合理，星期六他们说的正好是假话，符合．后一半人在今天说的是真话，那么明天应该说真话才合理，星期六他们说的正好是真话，符合，故$$\text{C}$$正确；  $$\text{D}$$选项：若这一天是星期六，则前一半人在今天说的是假话，那么明天应该说假话才合理，但星期日他们说的是真话，相互矛盾．后一半人在今天说的是真话，那么明天应该说真话才合理，但是星期日他们说的是假话，也相互矛盾，故$$\text{D}$$错误；  E选项：若这一天是星期日，则前一半人在今天说的是真话，那么明天应该说真话才合理，星期一他们说的是真话，符合．后一半人在今天说的是假话，那么明天应该说假话才合理，但是星期一他们说的是真话，相互矛盾，故$$\text{E}$$错误．  故选$$\text{C}$$．


2006年第4届创新杯五年级竞赛复赛第10题

某加油站有二位员工，从今年$$1$$月$$1$$日起规定：员工甲每工作$$3$$天后休息$$1$$天，员工乙每工作$$5$$天后休息$$2$$天，当遇到二人都休息时，必须另聘一位临时工，则今年共有~\uline{~~~~~~~~~~}~天要聘$$1$$个时工．

拓展思维->能力->构造模型->模型思想

甲每到$$4$$的倍数就休息，而乙每到$$7$$的倍数和比$$7$$的倍数少一天都休息．  因为$$4$$和$$7$$的最小公倍数是$$28$$，  因为今年是平年，  所以在$$28$$的倍数体息的日子时：$$365\div28\approx 15$$（天），  而在比$$7$$的倍数少一天休息时，甲乙第一次重逢的日子是第二十天，以后每隔$$28$$天就共同休息一天，$$365-20=345$$（天），$$345\div28\approx 12$$（天），  所以甲乙两人共同休息的天数是$$15+12+1=28$$（天）．


2016年新希望杯六年级竞赛训练题（二）第4题

一艘轮船先顺水航行$$40$$千米，再逆水航行$$24$$千米，共用$$8$$小时．若该船先逆水航行$$20$$千米，再顺水航行$$60$$千米，也要用$$8$$小时，则在静水种这艘船每小时航行（~ ）千米．~

拓展思维->拓展思维->行程模块->流水行船问题->基本流水行船问题->四个速度->基本行程


2017年全国小学生数学学习能力测评五年级竞赛复赛第10题3分

下面$$4$$个数中，恰有一个数是两个相邻整数的乘积，这个数是．

拓展思维->拓展思维->数论模块->尾数特征->末一位数

因为两个相邻整数相乘，积的个位数字只可能是$$0$$，$$2$$，$$6$$之中的一个，可以直接排除$$\text{A}$$、$$\text{B}$$、$$\text{C}$$，只留下$$\text{D}$$．

分解质因数后重新搭配：$$5096306=\left( 2\times 1129 \right)\times \left( 37\times 61 \right)=2258\times 2257$$．注意：遇到像这种数比较大的时候，一般都会想到尾数规律，进而排除不成立的选项，而不是第二种直接求出具体的两个数．


2006年四年级竞赛创新杯

$$3\times 3\times \cdots \times 3$$(2006个3)减去$$7\times 7\times \cdots \times 7$$(100个7)，得数的个位数字是(  ).

拓展思维->拓展思维->应用题模块->周期问题->基本排列的周期问题

每4个3相乘，尾数是1.因$$2006=4\times 501+2$$，所以2006个3相乘的尾数为$$3\times 3=9$$;每4个7相乘，尾数为1，因$$100=4\times 25$$，所以100个7相乘的尾数为1;故两个积的个位数字相减，结果为$$9-1=8$$，选D


2015年上海走美杯五年级竞赛初赛

有一筐苹果，第一次取出全部的一半多$$2$$个，第二次取出余下的一半少$$1$$个，筐中还剩$$4$$个，筐中原有苹果（  ）个。

拓展思维->拓展思维->应用题模块->还原问题->两量还原问题

第一次取后还剩下$$\left( 4-1 \right)\times 2=6$$（个），原来有$$\left( 6+2 \right)\times 2=16$$（个）。


2010年六年级竞赛创新杯 2010年第8届创新杯六年级竞赛初赛第8题4分

某工程进行招标，甲、乙两工程队承包$$2\frac{2}{5}$$天完成，需人民币$$1800$$元；乙、丙两工程队承包$$3\frac{3}{4}$$天完成，需人民币$$1500$$元；甲、丙两工程队承包$$2\frac{6}{7}$$天完成，需人民币$$1600$$元．现要求某队单独承包一星期内完成，所需费用最省，则被招标的是工程队.

甲

乙

丙

甲或乙

拓展思维->拓展思维->应用题模块->列方程解应用题->列方程解应用题等量代换->等量代换加减型

甲和乙一天可以完成$$\frac{5}{12}$$，乙和丙一天可以完成$$\frac{4}{15}$$，甲和丙一天可以完成$$\frac{7}{20}$$，则三个工程队一天一共可以完成$$\frac{1}{2}\times \left( \frac{5}{12}+\frac{4}{15}+\frac{7}{20} \right)=\frac{31}{60}$$，则甲工程队的效率为：$$\frac{31}{60}-\frac{4}{15}=\frac{1}{4}$$，乙工程队的效率为：$$\frac{5}{12}-\frac{1}{4}=\frac{1}{6}$$，丙工程队的效率为：$$\frac{4}{15}-\frac{1}{6}=\frac{1}{10}$$．按要求，只有甲、乙工程队能在一星期内完成．甲、乙、丙$$3$$队一天的工程款是：$$\left( 1800\div 2\frac{2}{5}+1500\div 3\frac{3}{4}+1600\div 2\frac{6}{7} \right)\div 2=855$$（元）. 甲工程队一天的工程款是:$$855-1500\div 3\frac{3}{4}=455$$（元），甲工程队总的工程款是:$$455\times 4=1820$$（元）； 乙工程队一天的工程款是：$$855-1600\div 2\frac{6}{7}=295$$（元），乙工程队总的工程款是:$$295\times 6=1770$$（元）．所以乙工程队所需费用最省，乙工程队被招标.


2017年新希望杯六年级竞赛训练题（一）第1题

下列说法正确的是（~ ）．

女生人数与全班人数的比是$$4:9$$，男生人数与女生人数的比是$$4:5$$．

比的前项和后项同时乘一个相同的数，比值不变．

最简单的整数比，就是比的前项和后项都是质数的比．

如果$$A:B=C$$，那么是比的前项，$$A$$是比的后项．

拓展思维->拓展思维->计算模块->比和比例->比->求比值

$$\text{A}$$项，男生人数与女生人数的比是$$5:4$$．$$\text{B}$$项，同时乘的数不能是$$0$$．$$\text{C}$$项，最简比的前后项是互质数，不一定都是质数．


2008年第6届创新杯六年级竞赛初赛A卷第1题5分

下列各分数中，分数值最小的是(  )．

拓展思维->拓展思维->计算模块->比较与估算->比较大小综合->分数通分法->通分子


2019年广东广州羊排赛六年级竞赛第10题3分

拓展思维->拓展思维->数论模块->余数问题->余数的性质->余数找规律


2017年河南郑州豫才杯四年级竞赛初赛第3题

聪聪在课余时间最爱阅读科普类读物，还养成了随手摘抄的好习惯．以下是他在《少儿百科全书》丛书中摘录的几个数据，其中有两个他故意写错了．根据你的常识，你能看出来是哪些么？（~ ）  （$$1$$）我国东北三省总面积是$$800$$万平方千米；  （$$2$$）$$100$$万次心跳是一个正常人$$9.9$$天心跳的次数；  （$$3$$）$$1$$亿张$$A4$$纸摞起来的厚度可以相当于$$3$$层楼的高度；  （$$4$$）光的速度大约是每秒$$299800$$米；

拓展思维->拓展思维->计算模块->单位换算->面积单位换算

（$$1$$）我国东北三省总面积是$$78$$万平方千米，所以错了；（$$2$$）$$100$$万次$$1$$心跳是  一个正常人$$9.9$$天心跳的次数；（$$3$$）$$1$$层楼大概有$$3$$米，$$3$$层楼的高度大约有$$9$$米，$$1$$亿张$$A4$$纸摞起来的高度相当于$$9$$米；（$$4$$）光的速度大约是每秒$$3$$亿米每秒，所以错了；综上所述，（$$1$$）和（$$4$$）错了．~~~~


2011年全国希望杯四年级竞赛初赛第20题

甲、乙、丙、丁、戊五人猜测全班个人学科总成绩的前五名：  甲：``第一名是$$D$$，第$$5$$名是$$E$$．''  乙：``第二名是$$A$$，第四名是$$C$$．''  丙：``第三名是$$D$$，第四名是$$A$$．''  丁：``第一名是$$C$$，第三名是$$B$$．''  戊：``第二名是$$C$$，第四名是$$B$$．''  若每个人都是只猜对一个人的名次，且每个名次只有一个人猜对，则第一、二、三、四、五名分别是~\uline{~~~~~~~~~~}~．

$$DEBAC$$

$$CABDE$$

$$DCBAE$$

$$CADBE$$

拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->假设型逻辑推理->真假话->半真半假

课内体系->知识点->数学广角->推理->假设法判断真假

假设法．  第一步：假设甲说的前半句是真的，那么$$D$$是第$$1$$名，  那么此时丙说的前半句错，后半句对．则$$A$$是第$$4$$名．  同理乙的后半句对，$$C$$是第$$4$$名．矛盾．  由此至甲的后半句对．  第二步：已知$$E$$是第$$5$$名，$$D$$不是第$$1$$名．  和第一名有关的话只剩下丁说的，设$$C$$是第$$1$$名．  则戊：``第$$2$$名是$$C$$，第$$4$$名是$$B$$''．可知前错后对，$$B$$是第$$4$$名．  且有乙：``第二名是$$A$$，第四名是$$C$$''．可知，$$A$$是第$$2$$名．  $$D$$是第$$3$$名．


2006年第4届创新杯五年级竞赛复赛第8题 2006年五年级竞赛创新杯

有7个相同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子中至少放一个球，则共有(  )种不同的放法.

拓展思维->拓展思维->计数模块->枚举法综合->字典排序法->非数字排列


2015年第14届春蕾杯一年级竞赛初赛第5题1分

小王说：小胖比我高；小胖说：我比园园矮；小朱说：我还没有小王高呢；  那么四个小朋友~\uline{~~~~~~~~~~}~最高．

小王

小胖

小朱

园园

拓展思维->思想->对应思想

根据题意分析可知，小胖比小王高，所以小胖的身高高于小王，小胖说比园园矮，所以园园的身高高于小胖，小朱没有小王高，所以小王的身高高于小朱，由此可知，四个人的身高从高到低位：园园$$\textgreater$$小胖$$\textgreater$$小王$$\textgreater$$小朱．  故选$$\text{D}$$．


2017年全国华杯赛竞赛初赛模拟题1第4题

用红色和黄色给正方体的$$6$$个面染色，每个面必须染色，染色后经过旋转和翻转后相同的算同一种，共有种不同染色方式．

拓展思维->能力->逻辑分析

分类计数  用$$1$$种颜色染色，则有$$2$$种不同的染色方式； 用$$2$$种颜色染色，再分类如下计数：  （$$1$$）仅$$1$$个面是红色，有$$1$$种不同的染色方式；  （$$2$$）仅$$2$$个面是红色，相对和相邻，有$$2$$种不同的染色方式；  （$$3$$）仅$$3$$个面是红色，其中有$$2$$个相对，经适当转动，固定为红色上底面和红色下底面，仅有$$1$$种不同的染色方式：$$3$$个红色面两两相邻，仅有$$1$$种不同的染色方式；  （$$4$$）有$$4$$个红色面，即有$$2$$个黄色面，不同染色方式的个数同（$$2$$）；  （$$5$$）有$$5$$个红色面，即有$$1$$个黄色面，不同染色方式的个数同（$$1$$）．  共有$$10$$种不同的染色方式．


2018年湖北武汉创新杯小学高年级六年级竞赛初赛数学思维能力等级测试第1题4分

甲、乙两人出售成本相同的同一种商品，甲按$$20  \% $$的利润率定价，售出了$$15$$个；乙按照$$15  \% $$的利润率定价，售出了$$24$$个，比较甲乙所获利润的多少，你的结论为．

甲获利润多

乙获利润多

两人利润相同

无法比较谁多

拓展思维->思想->赋值思想


2012年IMAS小学中年级竞赛第一轮检测试题第10题3分

有一对姐妹的生日在同一天，但姐姐比妹妹的年龄大$$4$$岁，当两人的年龄和为$$50$$岁时，请问妹妹为多少岁？

拓展思维->拓展思维->应用题模块->年龄问题->年龄问题基本关系->年龄和

姐姐与妹妹的年龄差是$$4$$岁，当两人年龄和为$$50$$岁时，妹妹的年龄等于$$(50-4)\div 2=23$$（岁）．


2014年迎春杯四年级竞赛复赛

在下面的每个方框中填入``$$+$$''或``$$-$$''，得到所有不同计算结果的总和是（  ）  $$25\square 9\square 7\square 5\square 3\square 1$$。

拓展思维->拓展思维->组合模块->数字谜->巧填算符


2011年第9届全国创新杯小学高年级六年级竞赛第18题

一次英语竞赛原定一等奖$$10$$人，二等奖$$20$$人，现将一等奖中最后$$4$$人调整为二等奖，这样得一等奖的平均分提高了$$3$$分，得二等奖的平均分提高了$$2$$分，则原一等奖平均分比二等奖平均分高~\uline{~~~~~~~~~~}~分．

拓展思维->七大能力->逻辑分析

可用方程解决，假设原来一等奖的平均分为$$a$$，二等奖的平均分为$$b$$，根据题意可以得到：$$10a+20b=6\left( a+3 \right)+24\left( b+2 \right)$$，得$$a-b=16.5$$．


2016年新希望杯小学高年级六年级竞赛训练题（六）第6题

政府机关每年花费$$20000$$元采购本子、笔、打印纸这三种办公用品，其中打印纸的费用是其他两种办公用品费用和的$$3$$倍．前半年政府每个月采购的打印纸数量都是一样多，$$7$$月份开始比$$6$$月份多$$10  \% $$，之后$$8$$月份比$$6$$月份多$$20  \% $$，$$9$$月份比$$6$$月份多$$30  \% $$，$$\cdots\cdots$$，$$12$$月比$$6$$月多$$60  \% $$．$$8$$月份政府机关花费（~ ~ ~ ）元采购打印纸．（精确到小数点后一位）~

拓展思维->拓展思维->应用题模块->分百应用题->认识单位1


小学高年级六年级其它2014年数学思维能力等级测试第4题 2014年第12届全国创新杯六年级竞赛第4题

~小明收集了$$10$$册数学题，每册的题目数相同，并且连续编号（例如，第$$2$$册中的第一个题目比第$$1$$册中最后一个题的编号大$$1$$），一天他发现编号为$$351$$的数学题在第$$5$$册上，编号为$$689$$的数学题在第$$8$$册上，那么每册各有（~ ~ ~ ）个数学题．

拓展思维->思想->方程思想

设每册$$n$$道题，则有  $$\left { \begin{matrix}351\textgreater4n    689\textless{}8n   \end{matrix} \right.\Rightarrow \left { \begin{matrix}n\textless{}87\frac{3}{4}    n\textgreater86\frac{1}{8}   \end{matrix} \right.$$  故$$n$$只能为$$87$$．


2016年全国中环杯四年级竞赛初赛第11题

神庙里有一把古老的秤，对于重量小于$$1000$$克的物体，这把秤会显示其正确的重量；对于重量大于等于$$1000$$克的物体，这把秤会显示出一个大于等于$$1000$$的随机数．艾迪有五个物品，各自的重量都小于$$1000$$克，我们分别用$$P$$、$$Q$$、$$R$$、$$S$$、$$T$$表示它们的重量．将这五个物品两两配对放到秤上进行称重，得到下面的结果：$$Q+S=1200$$（克）、$$R+T=2100$$（克）、$$Q+T=800$$（克）、$$Q+R=900$$（克）、$$P+T=700$$（克）．那么这五个物品的重量从重到轻的顺序为~\uline{~~~~~~~~~~}~．

$$S\textgreater R\textgreater T\textgreater P\textgreater Q$$

$$S\textgreater T\textgreater R\textgreater Q\textgreater P$$

$$S\textgreater T\textgreater R\textgreater P\textgreater Q$$

知识标签->拓展思维->计算模块->方程基础->不等式->不等式组求解

$$Q+T=800$$①； $$Q+R=900$$②；$$P+T=700$$③；$$Q+S\geqslant 1000$$④；$$R+T\geqslant 1000$$⑤；由①②得：$$R\textgreater T$$；由①③得：$$Q\textgreater P$$；由②④得：$$S\textgreater R$$；由②⑤得：$$T\textgreater Q$$；所以：$$S\textgreater R\textgreater T\textgreater Q\textgreater P$$．


2008年第6届创新杯六年级竞赛复赛第10题4分 2008年六年级竞赛创新杯

在黑板上任意写一个正整数，在不是它的因数的正整数中，找出最小的正整数，擦去原数，写上找到的这个数.这样继续下去，最多只要擦(  )次，黑板上就会出现2.

拓展思维->拓展思维->组合模块->操作与策略->操作问题

用符号$$a\to b$$表示``擦去原数$$a$$，改写为$$b$$''的一次操作. 如:$$5\to 2$$(擦1次就可得到2); $${{2}^{3}}=8\to 3\to 2$$(擦2次就可得到2); $${2\times 2\times 3\times 5\times 7}=420\to 8={{2}^{3}}\to 3\to 2$$(擦3次就可得到2). 再试几次，没有出现需要擦4次或更多次才出现2的情况，因此初步断定选B.  严格证明如下: （1）如果黑板上最初写的是奇数，只要擦1次就可出现2.  （2）如果黑板上最初写的是偶数，擦过1次，改写的数如果是奇数，显然再擦1次就可出现2(共擦2次即可).  （3）如果黑板上最初写的是偶数，擦过1次，改写的数如果还是偶数，那么可以证明这个偶数不可能有奇质数因子，即这个改写的数为$${{2}^{k}}$$($$k\geqslant 1$$)，从而第2次改写得3，第3次改写得2.  事实上，设最初写的偶数为$$a$$，改写的偶数为$$b$$，则1，2，3，\ldots，$$b-1$$都是$$a$$的因数，而$$b$$不能整除$$a$$，假设$$b$$有奇质数因子，则$$b={{2}^{k}}{{p}_{1}}^{{{a}_{1}}}\cdots {{p}_{s}}^{{{a}_{s}}}$$为质因数分解式，其中$${{p}_{1}} \textless{} {{p}_{2}}\cdots \textless{} {{p}_{s}}$$，均为奇质数，$$s\geqslant 1$$，$$k\geqslant 1$$.显然，$$1 \textless{} {{2}^{k}} \textless{} b$$，$$1 \textless{} {{p}_{i}}^{{{a}_{i}}} \textless{} b$$($$i=1$$，2\ldots，$$s$$)，所以$${{2}^{k}}\textbar a$$，$${{p}_{i}}^{{{a}_{i}}}\textbar a$$($$i=1$$，2，\ldots，$$s$$)，从而$${{2}^{k}}p_{1}^{{{a}_{1}}}\cdots {{p}_{s}}^{{{a}_{s}}}\textbar a$$，即$$b\textbar a$$，与$$b$$不能整除$$a$$矛盾，故$$b$$没有奇质数因子.


2009年五年级竞赛创新杯 2009年四年级竞赛创新杯 2009年三年级竞赛创新杯 2009年六年级竞赛创新杯

从5名奥运志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中只有甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案有(  ).

拓展思维->拓展思维->计数模块->排列组合->排列组合综合

因为翻译可以从除甲外的4人中选1个担当，有4种方法:又导游、保洁可从余下的4人中选2个担当，有$$4\times 3=12$$种选法，所以有$$4\times 12=48$$种选派方案.


2017年河南郑州东风杯竞赛初赛

■◇◇●●●■◇◇●●●■◇◇●●●$$\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot $$，照这样的规律摆，第$$40$$个图形是（~ ）．

无法确定

拓展思维->能力->图形认知

观察可知，■◇◇●●●，$$6$$个图形一个循环周期，$$40\div 6=6\cdots \cdots4$$，所以第$$40$$个图形是一个周期中的第$$4$$个，是●．


2017年第15届全国希望杯六年级竞赛

拓展思维->拓展思维->计算模块->小数->循环小数->循环小数混合运算


2017年第20届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛（中国区）第2题3分

两数相减，减数增加$$7$$，要使差增加$$7$$，被减数应该．

拓展思维->思想->转化与化归的思想

两数相减，当减数增加$$7$$，被减数不变则差减少了$$7$$．  又因为要使得差增加$$7$$，  所以被减数应增加：$$7+7=14$$，  故选$$\text{D}$$．


2020年亚洲国际数学奥林匹克公开赛（AIMO）二年级竞赛决赛第23题8分

拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->整数提取公因数->整数乘法巧算之提取公因数（普通型）

原式$$\begin{eqnarray}\&=\&199\times \left( 11-2-8-1 \right)\end{eqnarray}$$  $$\begin{eqnarray}    \&=\&199\times 0   \&=\&0\end{eqnarray}$$


其它改编自2015年全国希望杯六年级竞赛初赛第1题

拓展思维->能力->数据处理


2004年六年级竞赛创新杯 2004年第2届创新杯六年级竞赛复赛第9题

Ⅰ号混合液由柠檬汁、油、和醋以$$1:2:3$$的比例配成，Ⅱ号混合液由同样这三种液体以$$3:4:5$$的比例配成，将两种混合液倒在一起后，可以调成下面哪一种比例的混合液（   ）

拓展思维->拓展思维->应用题模块->浓度问题->浓度基本题型

设取Ⅰ号溶液$$6x$$升，那么一号溶液中有柠檬汁$$x$$升，油$$2x$$升，醋$$3x$$升.同样设取Ⅱ号溶液$$12y$$升，那么Ⅱ号溶液中有柠檬汁$$3y$$升，油$$4y$$升，醋$$5y$$升。现在可以用排除法对四个选项进行分析，为了便于描述，现设混合后三种液体的比为$$a:b:c$$.。  我们先观察选项$$A$$，由$$2(x+3y)=2x+6y\textgreater2x+4y$$得$$2a\textgreater b$$，而选项$$A$$中的$$2\times 2 \textless{} 5$$，所以选项$$A$$不能被调出；  再来观察选项$$B$$，$$(2x+4y)-(x+3y)=x+y$$，由$$4(x+y)=4x+4y\textgreater2x+4y$$得$$4(b-a)\textgreater b$$即$$3b\textgreater4a$$，而选项$$B$$中的$$3\times 5 \textless{} 4\times 4$$，所以选项$$B$$不能被调出；同理选项$$D$$中的$$3\times 6 \textless{} 4\times 5$$，选项$$D$$也不能被调出；  那么能被调出的只有选项$$C$$。实际上，当$$x=3$$，$$y=1$$时，混合后三种液体的比正好为$$3:5:7$$，选$$C$$.。


2018年河南郑州K6联赛竞赛初赛第23题3分

给一个正方体的六个面分别涂上红黄蓝三种颜色，任意抛$$50$$次，要想红色朝上次数最多，蓝色朝上次数最少，~\uline{~~~~~~~~~~}~面涂红色，~\uline{~~~~~~~~~~}~涂蓝色．

知识标签->拓展思维->计数模块->统计与概率->概率->基本概率->可能的情况

可能性；要想红色朝上次数最少，则$$1$$面涂红色，$$2$$面染黄色．


2014年迎春杯三年级竞赛复赛

春节时，妈妈买了$$3$$个完全一样的福袋，小悦想把$$10$$枚相同的一元硬币放到这三个福袋里，如果每个福袋里至少放$$1$$枚，不考虑福袋的先后顺序的话，共有（  ）种放法。

拓展思维->拓展思维->计数模块->枚举法综合->枚举法->有序枚举


2017年第20届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛初赛（中国区）第5题5分

丽丽有$$1$$角、$$2$$角、$$5$$角的硬币各$$5$$枚，若她想购买$$1$$元钱的商品，可以有种付钱的方法（不找零）．

拓展思维->能力->逻辑分析->代数逻辑推理


2005年第3届创新杯五年级竞赛初赛第2题

小华期末考试，数学、语文、英语三科的平均分是$$92$$分；语文、英语两科的平均分是$$90$$分；又英语比语文高$$3$$分，那么数学比语文高．

拓展思维->能力->逻辑分析

数学、语文、英语三科的总成绩是$$92\times 3=276$$分，  语文、英语两科的总成绩是$$90\times 2=180$$分，  那么数学的得分为$$276-180=96$$分，  又英语比语文高$$3$$分，  那么语文的成绩为$$\left( 180-3 \right)\div 2=88.5$$分，  所以数学比语文高$$96-88.5=7.5$$分．  故选$$\text{B}$$．


2020年新希望杯二年级竞赛初赛（团战）第12题

$$10$$名同学参加$$50$$米赛跑．跑到一半的时候，小明后面有$$5$$人，前面有$$4$$人，之后，没有人超过他，而小明又超过了$$3$$人到达终点．这次比赛没有并列名次，那么小明是．

第一名

第二名

第三名

第四名

拓展思维->能力->构造模型->模型思想

小明后面有$$5$$人，前面有$$4$$人，则他此时排在第$$5$$，之后，没有人超过他，小明又超过了$$3$$人后，他此时就是第二名．


2018年湖北武汉新希望杯六年级竞赛训练题（五）第4题

十进制数$$25$$转换成二进制数是．

拓展思维->拓展思维->数论模块->位值原理与进制->进制的性质与应用->进制间的互化


2019年第22届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛复赛（中国区）第6题3分

小明早晨起床，要完成这几件事：起床穿衣$$3$$分钟，刷牙洗脸$$5$$分钟，在火炉上烧水煮面要$$10$$分钟，吃面要$$8$$分钟，整理房间$$5$$分钟，为了尽快做完这些事，最少用分钟．

拓展思维->拓展思维->组合模块->操作与策略->统筹规划->简单时间统筹问题->同时进行问题

从题干可以知道，小明早晨起床，要完成这几件事：起床穿衣$$3$$分钟，刷牙洗脸$$5$$分钟，在火炉上烧水煮面要$$10$$分钟，吃面要$$8$$分钟，整理房间$$5$$分钟．  为了最优化时间，先起床穿衣，再在火炉上烧水煮面，煮面的过程中刷牙洗脸、整理房间；最后吃面；  $$3+10+8=21$$（分钟）；  即为了尽快做完这些事，最少用$$21$$分钟．  故选：$$\text{D}$$．


2013年第11届全国创新杯五年级竞赛第6题5分

下列各组数中，平均数较大的是．

知识标签->学习能力->七大能力->逻辑分析

一个等差数串的平均数，是这个数串首项与末项的平均数，简化计算后易知$$1$$与$$101$$之间$$4$$的倍数的平均数最大，其值为$$(4+100)\div 2=52$$．


2018年第22届广东世界少年奥林匹克数学竞赛三年级竞赛决赛第5题5分

一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，$$30$$天能长到$$20$$厘米．问长到$$5$$厘米时要用天．

拓展思维->能力->运算求解

已知一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，$$30$$天能长到$$20$$厘米，可根据最后结果出发，逐步向前一步一步推理；  按从后往前推理可知最后一天长的是前一天的$$2$$倍，最后一天是$$20$$厘米，长到$$10$$厘米的时候是$$30$$天$$-1$$天；  根据以上分析可得$$29$$天时是$$10$$厘米，由此可推出长到$$5$$厘米时是几天，进而得出答案．  $$30-1-1=28$$（天），  答：长到$$5$$厘米时要用$$28$$天．


2019年广东深圳全国小学生数学学习能力测评四年级竞赛初赛第9题3分

有一种水草每天长一倍，到第$$3$$天时长到$$32$$平方米，那么到第天时长到$$64$$平方米．

拓展思维->能力->运算求解

每天长一倍，第$$3$$天是$$32$$平方米，那么第$$4$$天，就应该是$$32\times 2=64$$平方米．  故选$$\text{A}$$．


2016年IMAS小学高年级竞赛第二轮检测试题第2题4分

$$b\textless{}d\textless{}a\textless{}c$$

$$d\textless{}b\textless{}a\textless{}c$$

$$d\textless{}a\textless{}b\textless{}c$$

$$d\textless{}b\textless{}c\textless{}a$$

$$b\textless{}d\textless{}c\textless{}a$$

知识标签->学习能力->七大能力->逻辑分析


2018年湖北武汉新希望杯五年级竞赛训练题（一）第6题

甲、乙、丙、丁四名白领同在一栋$$55$$层高的写字楼里办公，他们分别来自广西、湖南、四川和江苏．已知：①甲在的层数比丙在的层数高，但比丁在的层数低；②乙在的层数比四川人在的层数低；③广西人与四川人、江苏人相隔的层数一样；④广西人在的层数是湖南人和四川人在的层数的和．根据以上条件可知，甲是（~~~ ）．

广西人

湖南人

四川人

江苏人

拓展思维->能力->逻辑分析

从层数看，丁\textgreater 甲\textgreater 丙\textgreater 乙，江苏\textgreater 广西\textgreater 四川\textgreater 湖南，所以甲是广西人．


2012年第8届全国新希望杯小学高年级六年级竞赛复赛第3题4分

现有$$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$四个钢珠，用天平两个两个称，共称了六次，其中最重的是$$B$$和$$C$$，最轻的是$$A$$和$$D$$，第二重的是$$A$$和$$B$$．这四个钢珠按重量从重到轻排列依次是（~ ）．

$$B\textgreater A\textgreater C\textgreater D$$

$$C\textgreater B\textgreater A\textgreater D$$

$$A\textgreater B\textgreater D\textgreater C$$

拓展思维->能力->逻辑分析

根据题意有$$B$$和$$C$$最重，第二重的是$$A$$和$$B$$，因此$$B\textgreater C\textgreater A\textgreater D$$．


2017年全国亚太杯五年级竞赛初赛第24题

甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动．当乙走了$$250$$米以后，他们第一次相遇．在甲走完一周前$$80$$米处又第二次相遇．此圆形场地的周长为~\uline{~~~~~~~~~~}~米．

知识标签->数学思想->转化与化归的思想

第一次相遇甲和乙共走了半圈，此时乙走了$$250$$ 米．  而第二次相遇，甲和乙一共走了$$3$$个半圈，所以此时乙走了$$250\times 3=750$$米．  因为第二次相遇在甲走完一周前$$80$$米处，所以半圈的路线长为$$750-80=670$$米．  所以此圆形场地的周长为$$670\times 2=1340$$米．


2017年河南郑州豫才杯六年级竞赛初赛第5题

2. 同学甲、同学乙两人在游乐场的直行道上进行$$200$$米赛跑，当同学甲跑到终点时．同学乙还差$$40$$米，现在两人重新跑，而且速度和原来一样，要使两人同时到达终点，那么同学甲的起跑线应往后退米．

拓展思维->思想->逐步调整思想

比例解行程；相等的时间内，甲跑了$$200$$米时，乙跑了$$160$$米，甲乙的速度比是$$200:160=5:4$$，要使两人同时到达终点，乙跑了$$200$$米的时间内甲要跑$$200\div 4\times 5=250$$米，所以同学甲的起跑线应后退$$250-200=50$$米．


2015年IMAS小学中年级竞赛第二轮检测试题第2题4分

知识标签->学习能力->七大能力->运算求解

由题意，发现规律$$a\otimes b=a+aa+aaa+\cdots +\underbrace{aa\cdots a}_{b}$$，则$$5\otimes 3=5+55+555=615$$，故选$$\text{C}$$．


2018年美国数学大联盟杯五年级竞赛初赛第13题5分

下列哪个选项是$$2$$个连续整数的和？

拓展思维->思想->对应思想

在两个连续整数中，其中一个是双数，一个是单数．一个双数和一个单数的和一定是一个单数，所以两个连续整数的和也定是单数．  在$$\text{A}$$、$$\text{B}$$、$$\text{C}$$、$$\text{D}$$，$$4$$个选项中，只有$$\text{A}$$是单数，其余$$3$$个都是双数．  故答案选：$$\text{A}$$


2017年第4届广东深圳鹏程杯小学高年级竞赛第3题6分

知识标签->课内知识点->数与运算->除法->整数除法->带余除法


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛一年级竞赛初赛第8题5分

【破1】鸡兔同笼，共有$$4$$个头，$$12$$条腿，有只兔．

拓展思维->思想->对应思想

枚举法：  当有$$1$$只兔，$$3$$只鸡时，共$$1\times4+3\times2=10$$（条）腿．  当有$$2$$只兔，$$2$$只鸡时，共$$2\times4+2\times2=12$$（条）腿．  所以有$$2$$只兔．


2016年全国美国数学大联盟杯小学高年级六年级竞赛初赛

做家务是郝美女老师的兴趣．她每$$8$$天进行一次大扫除，每$$11$$天洗一次衣服．如果星期天她做了两件家务，那么下一次她做两件家务会是哪一天？

星期三

星期四

星期五

星期六

知识标签->拓展思维->数论模块->因数与倍数->公因数与公倍数->公倍数与最小公倍数->两数的最小公倍数


2009年第7届创新杯六年级竞赛初赛第3题4分

$$P$$和$$Q$$共做一事$$2$$天可完成，$$Q$$和$$R$$共做此事$$4$$天可完成，$$P$$和$$R$$共做此事$$2.4$$天可完成，$$P$$一人做完此事完成的天数是(  )天.

拓展思维->思想->对应思想


2005年六年级竞赛创新杯 2005年第3届创新杯六年级竞赛初赛第1题

任意两个质数之和（  ）。

一定是偶数

一定是质数

一定是合数

可能是偶数，也可能是质数，也可能是合数

课内体系->知识模块->数与代数 拓展思维->拓展思维->数论模块->质数与合数


2010年五年级竞赛明心奥数挑战赛 2010年六年级竞赛明心奥数挑战赛

下列各选项中的值最接近$$9$$的是（  ）。

拓展思维->拓展思维->计算模块->比较与估算->比较大小综合->小数比较大小


2017年第16届湖北武汉创新杯五年级竞赛邀请赛训练题（三）

一列火车通过一座长$$320$$米的桥用了$$105$$秒，当它通过$$860$$米的隧道时，速度是过桥速度的$$2$$倍，结果用了$$120$$秒，火车通过大桥时的速度是每秒米；火车的车身长度为米．

拓展思维->思想->对应思想

若通过$$860$$米隧道时速度不变则需要$$120\times 2=240$$（秒），火车过桥速度：$$\left( 860-320 \right)\div \left( 240-105 \right)=4$$（米/秒）；火车车身长：$$105\times 4-320=100$$（米）．


2019年全国小学生数学学习能力测评四年级竞赛复赛第10题3分

一位疯狂的艺术家为了寻找灵感，把一张厚为$$0.1$$毫米的很大的纸对半撕开，重叠起来，然后再撕成两半叠起来．假设他如此重复这一过程$$25$$次，那么这叠纸会．

像山一样高

像一栋房子高

像一个人一样高

拓展思维->能力->运算求解


2018年IMAS小学高年级竞赛（第一轮）第4题3分

把$$\frac{2}{3}$$的分母加上$$6$$，且要使得原分数大小不变﹐请问分子应该加上多少？

拓展思维->能力->数据处理

可知原分数的分母为分子的$$1.5$$倍．

当分母增加$$6$$之后，为了使这个比例不变，分子应该加上$$6\div 1.5=4$$．

故选$$\text{B}$$．


2014年全国迎春杯四年级竞赛初赛第7题

一些糖果，如果每天吃$$3$$个，十多天吃完，最后一天只吃了$$2$$个，如果每天吃$$4$$个，不到$$10$$天就吃完了，最后一天吃了$$3$$个．那么，这些糖果原来有个．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->盈亏问题->盈亏基本类型->盈亏基本类型盈亏问题

如果每天吃$$3$$个，十多天吃完，最后一天只吃了$$2$$个，说明糖果至少有$$3\times 10+2=32$$（个），且糖果数应除以$$3$$ 余$$2$$；如果每天吃$$4$$个，不到$$10$$天就吃完了，最后一天吃了$$3$$个，说明糖果至多有$$4\times 8+3=35$$（个），且除以$$4$$余$$3$$． 综上，糖果有$$35$$个．


2015年第13届全国创新杯五年级竞赛复赛第4题

拓展思维->能力->运算求解->程序性计算


其它改编自2012年全国希望杯六年级竞赛初赛第2题

拓展思维->拓展思维->计算模块->裂项与通项归纳->分数裂项->分数裂差->两分数间接裂差


2014年全国迎春杯四年级竞赛初赛第8题

有一种特殊的计算器，当输入一个$$10$ $49$$的自然数后，计算器会先将这个数乘$$2$$，然后将所得结果的十位和个位顺序颠倒，再加$$2$$后显示出最后的结果．那么，下列四个选项中，可能是最后显示的结果．

拓展思维->七大能力->运算求解


2014年全国迎春杯三年级竞赛初赛第8题

祖玛游戏中，龙嘴里不断吐出很多颜色的龙珠，先$$4$$颗红珠，接着$$3$$颗黄珠，再$$2$$颗绿珠，最后$$1$$颗白珠，按此方式不断重复，从龙嘴里吐出的第$$2000$$颗龙珠是．  （2017年迎春杯二年级竞赛初赛第$$8$$题）

红珠

黄珠

绿珠

白珠

知识标签->拓展思维->应用题模块->周期问题->基本排列的周期问题


2018年全国小学生数学学习能力测评四年级竞赛复赛第7题3分

拓展思维->思想->转化与化归的思想


2013年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第18题4分

小明在做一道将三个正整数连乘的习题时，错当把这三个正整数相加．令人惊奇的是，他所得的结果竟然与这三个正整数连乘的正确答案相同．请问这三个正整数的总和是什么？

拓展思维->能力->运算求解

设这三个数从小到大分别为$$a$$、$$b$$、$$c$$．显然可知$$a$$、$$b$$、$$c$$不可以都等于$$1$$，否则$$abc=1\ne 1+1+1=3$$，所以$$c\geqslant 2$$．由题意可知，$$a$$只能是$$1$$，否则三个数的乘积将大于它们之和（因为$$abc\geqslant 2bc=bc+bc\textgreater2b+c\geqslant a+b+c$$），所以$$1+b+c=bc$$．  同样，如果$$b$$大于或等于$$3$$，则$$bc$$大于或等于$$c$$的$$3$$倍，而$$1+b+c$$小于$$c$$的$$3$$倍，所以$$b$$只能是$$2$$．  因此，$$1+2+c=2c$$，得$$c=3$$．  故这个三个正整数之总和为$$1+2+3=6$$，故选$$\text{D}$$．


2018年第6届湖北长江杯六年级竞赛初赛B卷第6题3分

一个分数的分母是分子的$$5$$倍，分子和分母同时扩大$$3$$倍，相当于分子增加$$8$$，分母增加．

拓展思维->能力->数据处理

分数的分子和分母同时乘或者除以一个相同的数（$$0$$除外），分数的大小不变．这叫做分数的基本性质．一个分数的分母是分子的$$5$$倍，比如分子是$$A$$，分母是$$5A$$；扩大$$3$$倍这个分数变为：$$\frac{A}{5A}=\frac{3A}{15A}$$；根据题意我们道，相当于分子增加$$8$$，也就是$$3A-A=8$$，所以$$A=4$$；  $$15A-5A=15\times 4-5\times 4=40$$，  故选$$\text{C}$$．


2017年第15届湖北武汉创新杯六年级竞赛初赛第2题

十个数的平均数是$$57$$，从小到大排列，前四个数的平均数是$$37$$，后七个数的平均数是$$67$$，则第四个数是．

拓展思维->能力->运算求解


有一个长方体，长、宽、高都是整数厘米，它的相邻三个面的面积分别是96平方厘米、40平方厘米和60平方厘米，这个长方体的体积是(  )立方厘米.

拓展思维->拓展思维->几何模块->立体图形->长方体与正方体->长方体与正方体基本概念运用->长方体表面积

相乘分解，因为$$96\times 40\times 60={{\left( {{2}^{5}}\times 3\times 5 \right)}^{2}}$$，所以长方体体积为$${{2}^{5}}\times 3\times 5=480$$（立方厘米）


2011年全国华杯赛竞赛初赛第4题

老师问学生：``昨天你们有几个人复习数学了？''  张：``没有人．''  李：``一个人．''  王：``二个人．''  赵：``三个人．''  刘：``四个人．''  老师知道，他们昨天下午有人复习，也有人不复习，复习了的人说的都是真话，没复习的人说的都是假话．那么，昨天这$$5$$个人中复习数学的有个人．

知识标签->课内题型->综合与实践->智巧趣题->逻辑推理->排除矛盾法

$$5$$名学生说的话相互矛盾，只能有$$1$$人说的是真话，则只有李复习了，说的是真话．  故选：$$\text{B}$$．


2019年第24届YMO六年级竞赛决赛第7题3分

有一个$$12$$级的楼梯．某人每次能登上$$1$$级或$$2$$级或$$3$$级，现在他要从地面登上第$$10$$级，有种不同的方式．

拓展思维->拓展思维->组合模块->操作与策略->归纳递推->斐波那契数列递推


2016年创新杯六年级竞赛训练题（四）第5题

三娃的书架只有$$1$$本书，后来又新买$$3$$本不同的书．他想把书放到书架上，那么这$$4$$本书一共有种不同的放法．

知识标签->课内知识点->数学广角->排列组合->排列数


2013年第25届广东广州五羊杯六年级竞赛第2题5分

张涛周日去爬山，他上山的速度为$$0.5\text{m/s}$$，登顶后立刻下山，下山的速度为$$2\text{m/s}$$，假设上山下山的路程一样，问小张上下山的平均速度为．

拓展思维->拓展思维->行程模块->直线型行程问题->路程速度时间->平均速度->设数法


2013年全国希望杯六年级竞赛初赛第18题

某次数学大比拼，甲、乙、丙$$3$$人中只有一人获奖.  甲说：``我获奖了.''  乙说：``我没获奖.''  丙说：``甲没有获奖.''  他们的话中只有一句是真话，则获奖的是~\uline{~~~~~~~~~~}~．

甲

乙

丙

知识标签->数学思想->转化与化归的思想

甲和丙的话相互矛盾，一定是一真一假，所以乙说的是假话，那么乙获奖了．


2014年全国迎春杯竞赛

$$2014$$年$$2$$月$$6$$日是星期四，小胖决定从这天起（含$$2$$月$$6$$日）练习计算，一直练习到$$2$$月$$17$$日，（含$$2$$月$$17$$日）开学为止．但是中间如果遇到周六和周日，小胖还是决定休息一下，不做练习．已知他第一天做$$1$$道题，第二天做$$3$$道题，第三天做$$5$$道题，依此变化做下去，那么小胖这段时间一共做了道计算练习题．

拓展思维->思想->转化与化归的思想


2021年第4届山东青岛市南区京山杯六年级竞赛决赛A卷第1题4分

一件上衣按成本价提高$$50 \%$$后，以$$105$$元售出，则这件上衣的利润为．

拓展思维->思想->方程思想

设成本为$$x$$元，由题意可得等量关系：$$\left( 1+50 \% \right)\times $$成本价$$=$$售价，进而得到方程，可算出成本价，再利用售价$$-$$成本价$$=$$利润．此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．  设成本为$$x$$元，由题意得：  $$\left( 1+50 \% \right)x=105$$，  解得：$$x=70$$，  $$105-70=35$$（元），  故选$$\text{D}$$．


2003年第1届创新杯六年级竞赛初赛第8题 2003年六年级竞赛创新杯

据日本一个联合小组最近在东京宣布，他们使用1秒钟能进行2万亿计算的超级计算机，将圆周率π计算到小数后12411亿位，计算过程耗时601小时56分，假如一个人1秒钟读2个阿拉伯数字，那么他日夜不停地读完这个π的数值要用的时间是（ ）.

1万年

2万年

3万年

4万年

拓展思维->拓展思维->应用题模块->归一归总问题->乘除法应用->除法应用

这个人1秒钟读2个数字，那么1天可以读$$2\times 60\times 60\times 24=172800$$(个)数字，一年（平年）可以读$$172800\times 365=6307200$$个数字，那么1万年大约可以读6307亿个数字，现要读12411亿个数字，大约要读$$12411\div 6307\approx 2$$(万年).


2017年第20届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛初赛（中国区）第4题5分

鸭子和兔子共有$$30$$只，共有脚$$86$$只．问鸭子和兔子分别有只．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->鸡兔同笼问题->假设法解鸡兔同笼->基本型->原型题


2015年上海走美杯五年级竞赛初赛

有一筐苹果，第一次取出全部的一半多$$2$$个，第二次取出余下的一半少$$3$$个，筐中还剩$$24$$个，筐中原有苹果（  ）个。

拓展思维->拓展思维->应用题模块->还原问题->两量还原问题

方法一：第一次取后还剩下$$\left( 24-3 \right)\times 2=42$$（个），原来有$$\left( 42+2 \right)\times 2=88$$（个）；  方法二：设原有苹果$$x$$个，$$(\frac{x}{2}-2)\times \frac{1}{2}+3=24$$，解得$$x=88$$。


2014年全国迎春杯六年级竞赛复赛第2题

对于任何自然数，定义$$n!=1\times 2\times 3\times \cdots \times n$$．那么算式$$2014!-3!$$的计算结果的个位数字是（~~~~~ ）．

拓展思维->思想->转化与化归的思想


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛三年级竞赛决赛第1题5分

$$2017$$年元旦是星期二，$$2019$$的元旦节是星期．

一

二

三

四

拓展思维->思想->对应思想


2015年第13届全国创新杯五年级竞赛复赛第1题

拓展思维->能力->运算求解


2020年第24届YMO三年级竞赛决赛第4题3分 2019年第24届YMO三年级竞赛决赛第4题3分

拓展思维->拓展思维->计算模块->数列与数表->数列规律->数列找规律填数


2015年世界少年奥林匹克数学竞赛三年级竞赛复赛A卷第7题8分

一只蜗牛沿着柱子往上爬，白天往上爬$$5$$米，晚上又下滑$$3$$米，已知这只蜗牛是第$$6$$天爬上柱子顶端的，那么这根柱子最长有~\uline{~~~~~~~~~~}~米．

拓展思维->能力->运算求解 课内体系->能力->实践应用

因为蜗牛白天爬$$5$$米，晚上下滑$$3$$米，所以相当于蜗牛一天往上爬$$5-3=2$$米，这只蜗牛前五天一共爬了$$5\times 2=10$$米．因为这只蜗牛是第六天爬上柱子顶端的，所以这根柱子最长有$$10+5=15$$米．  故答案为：$$15$$．


2019年第24届YMO四年级竞赛决赛第9题3分 2020年第24届YMO四年级竞赛决赛第9题3分 2021年第24届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛第9题3分

拓展思维->思想->转化与化归的思想

$$5$$，$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$4035$$是等差数列，  则$$5$$，$$b$$，$$4035$$也是等差数列，  则$$b=\left( 4035+5 \right)\div 2$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=4040\div 2$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=2020$$．  选$$\text{D}$$．


2018年全国小学生数学学习能力测评五年级竞赛初赛第9题3分

甲、乙两船在静水中的速度分别为每小时$$36$$千米和每小时$$28$$千米，今从相隔$$192$$千米的两港同时相对行驶，甲船逆水而上，乙船顺水而下，那么小时后两船相遇．

相遇问题中，路程和$$=$$速度和$$\times $$相遇时间，  所以：相遇时间$$=$$路程和$$\div $$速度和．  甲船逆水而上速度是甲船静水速度减去水速，即：$$36-$$水速；  乙船顺水而下速度是乙船静水速度加上水速，即：$$28+$$水速；  甲乙速度和为：$$36-$$水速$$+28+$$水速$$=64$$（千米/小时）．  甲乙相遇时间为：$$192\div64=3$$（小时）．  故选：$$\text{B}$$．


2018年四川成都锦江区四川师范大学附属第一实验中学小升初模拟11第9题3分 2015年湖北武汉世奥赛五年级竞赛模拟训练题（四）第4题

一把钥匙只能开一把锁．现有$$12$$把钥匙和$$11$$把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，最少要试次才能保证配好全部的锁的钥匙．

拓展思维->拓展思维->组合模块->抽屉原理->最不利原则

从最不利的情况考虑，第$$1$$把锁需要试$$11$$次；第$$2$$把锁需要试$$10$$次$$\ldots \ldots $$；一共需要试$$2+3+\cdots \cdots +11=65$$（次）．


2019年第24届YMO三年级竞赛决赛第3题3分 2020年第24届YMO三年级竞赛决赛第3题3分

$$10$$本相同的笔记本分给$$3$$个人，每人至少一本，共有~\uline{~~~~~~~~~~}~种不同的分配方案．

拓展思维->能力->运算求解


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛第5题5分

拓展思维->能力->数据处理

由于首位不能为$$0$$，故有$$4$$种选择，其它三位，任意选$$3$$个数即可，根据分步计数原理可得一共有$$4\times 4\times 3\times 2=96$$个．


2016年全国中环杯五年级竞赛中小学生思维能力训练活动决赛

拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->条件型逻辑推理->神推理


2019年广东深圳全国小学生数学学习能力测评五年级竞赛初赛第9题3分

五年级数学测评试卷共有$$15$$小题，做对一题得$$10$$分，做错一题扣$$4$$分，不答得$$0$$分，陈莉得了$$88$$分，她有道题未答．

拓展思维->能力->运算求解

假设她全做对，可得：$$15\times 10=150$$（分），  现在得了$$88$$分，少了：$$150-88=62$$（分），  做错一题，不但得不到$$10$$分，还扣$$4$$分，  说明错一题，少得$$10+4=14$$（分），  不答得$$0$$分，说明不答少得$$10$$分，  ∵$$62\div 14=4$$（题）$$\cdots 6$$（分），$$6$$不是$$10$$的倍数，  不合题意；  $$62\div 14=3$$（题）$$\cdots 20$$（分），$$20$$是$$10$$的倍数，  符合题意；  ∴未答的题有$$20\div 10=2$$（题）．  选$$\text{A}$$．


2019年第7届湖北长江杯五年级竞赛复赛A卷第9题3分

学校买了$$4$$张桌子，$$9$$把椅子，共用了$$252$$元，$$1$$张桌子和$$3$$把椅子的价钱正好相等，一张桌子元．

拓展思维->能力->运算求解

设椅子的单价是$$x$$元，则桌子的价格是$$3x$$元，  $$3x\times4+x\times9=252$$  $$21x=252$$  $$x=12$$（元），  桌子的单价：$$3\times12=36$$（元）．  答：桌子、椅子的单价分别是$$12$$元、$$36$$元．  故答案选：$$\text{C}$$．


其它改编题 2017年全国华杯赛小学中年级竞赛初赛模拟第5题

拓展思维->思想->转化与化归的思想

把和为$$12$$的两个数分成一组，这样就把这$$11$$个数分成$$6$$组：$$(1,11)$$，$$\left( 2,10 \right)$$，$$\left( 3,9 \right)$$，$$(4,8)$$，$$(5,7)$$，$$(6)$$．要保证一定有两个数的和为$$12$$，就要保证至少有两个数属于同一组．  由抽屉原理可知，从这$$12$$个数中选出$$7$$个数，就一定有两个数属于同一组．此时这两个数的和就是$$12$$．  如果我们从$$6$$组中各取一个数，则取出的这$$6$$个数中，没有两个数的和是$$12$$，因此本题的答案就是至少选出$$7$$个不同的数．


2015年第4届广东广州羊排赛六年级竞赛第8题1分

一个三角形的三个内角角度之比为$$2:3:5$$，这是一个 ．

锐角三角形

直角三角形

钝角三角形

等腰三角形

拓展思维->思想->对应思想

最大的角为$$180\div (2+3+5)\times 5=90$$（度），是直角三角形．  故选$$\text{B}$$．


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛一年级竞赛初赛第6题5分

$$4$$辆汽车进行了$$4$$场比赛，每场比赛结果如下：  （$$1$$）$$1$$号汽车比$$2$$号汽车跑得快；  （$$2$$）$$2$$号汽车比$$3$$号汽车跑得快；  （$$3$$）$$3$$号汽车比$$4$$号汽车跑得慢；  （$$4$$）$$4$$号汽车比$$1$$号汽车跑得快．  汽车跑得最快．

拓展思维->能力->推理推导->言语逻辑推理
Overseas Competition->知识点->组合模块->逻辑推理


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛初赛第7题5分

有一个自然数，用它分别去除$$62$$、$$90$$、$$130$$都有余数，这三个余数的和是$$24$$．这三个余数中最大的是．

拓展思维->思想->对应思想


2017年第16届湖北武汉创新杯六年级竞赛邀请赛训练题（一）

在一个流穿梭的早晨，$$XRS$$张老师要去赶飞机，早上$$9$$点整出发，到达机场时惊奇的发现已知下午$$2$$点多了，他拿出了自己的量角器发现此时时针和分针刚好关于表盘上$$3$$点时刻上下对称，那么此时是下午$$2$$点（~ ）分．

拓展思维->能力->逻辑分析

根据题意我们可以得到如果以$$2$$点整为初始时刻，那么从初始时刻开始，时针和分针共走了$$120 {}^{}\circ $$，已知时针、分针速度分别为$$6 {}^{}\circ $$每分，$$0.5 {}^{}\circ $$每分，那么此时为下午$$2$$点过$$120\left( 6 {}^{}\circ +0.5 {}^{}\circ ~\right)=18\frac{6}{13}$$分．


2016年全国美国数学大联盟杯小学中年级三年级竞赛初赛

一个奇数乘$$3$$以后将会是 （~ ~ ）.

质数

合数

奇数

偶数

拓展思维->拓展思维->数论模块->奇数与偶数->奇数与偶数的乘法规律

奇数$$\times 3$$只能是奇数．最容易做错的是选合数，反例：$$1\times 3=3$$，$$3$$不是合数．


2012年美国数学大联盟杯六年级竞赛初赛第33题5分(每题5分)

$264$ and  have a greatest common factor of $132$.  $$264$$和的最大公因数是$$132$$．

Overseas Competition->知识点->数论模块->因数与倍数->公因数与公倍数

拓展思维->能力->运算求解

公约数，亦称``公因数''．它是指能同时整除几个整数的数．如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的``公约数''；公因数中最大的称为最大公因数．  $$264$$和$$528$$的最大公因数为$$264$$；  $$264$$和$$660$$的最大公因数为$$132$$．  故选$$\text{D}$$．


2017年全国华杯赛小学高年级竞赛

小宏$$2015$$年$$10$$月长跑了$$17$$次，每次跑运的路程相同；小海$$10$$月长跑了$$11$$次，每次跑动的路程相同，小宏跑$$5$$次的路程等于小海跑$$3$$次的路程，则在$$10$$月（~ ）．

小宏长跑的总路程多于小海长跑的总路程

小宏长跑的总路程少于小海长跑的总路程

小宏长跑的总路程等于小海长跑的总路程

小宏长跑的次数少于小海长跑的次数

拓展思维->能力->数据处理


2021年鹏程杯六年级竞赛初赛第23题

---项铺路工程，如果甲队单独做$$100$$天可以完成，乙队单独做$$150$$天可以完成．现在两队同时施工，工作效率比单独做提高$$20 \%$$，当工程完成$$\frac{2}{5}$$时，正好赶上疫情，影响施工进度，使得每天少铺$$70$$米，结果前后一起共用了$$90$$天完成这项工程．则整个工程铺路米．

以上都不对

拓展思维->拓展思维->应用题模块->工程问题->合作工程问题->变速工程问题


2020年新希望杯二年级竞赛初赛（团战）第52题

个位数字与十位数字不同的两位数共有个．

拓展思维->拓展思维->计数模块->枚举法综合->字典排序法->组数->数字组数（规定数位大小）

根据题意分析可知，个数数字与十位数字相同的两位数有$$10$$个，两位数一共有$$91$$个，  由此可知，个位数字与十位数字不同的两位数有$$91-10=81$$（个）．  故选$$\text{C}$$．


2011年北京五年级竞赛

石灰水是用石灰和水按照$$1∶100$$配制而成，要配制$$4545$$千克的石灰水，需要石灰多少千克？

知识标签->课内知识点->数与运算->数的运算的实际应用（应用题）->分数的简单实际问题


2018年湖北武汉新希望杯小学高年级六年级竞赛训练题（二）第2题 2017年新希望杯小学高年级六年级竞赛训练题（二）第2题

将$$9$$个数从左到右排成一行，从第$$3$$个数开始，每个数恰好等于它前面两个数之和．如果第$$8$$个数和第$$9$$个数分别是$$76$$和$$123$$，那么第$$1$$个数是（ ~）．

拓展思维->拓展思维->计算模块->数列与数表->数列规律


2020年四川绵阳涪城区绵阳东辰国际学校超越杯四年级竞赛第2题2分

爸爸带了$$269$$元钱，要买$$8$$元一个的笔记本，最多能买个．

拓展思维->能力->实践应用

Overseas Competition->知识点->计算模块->整数->整数乘除->整数除法运算

根据题意分析可知，利用关系式：数量$$=$$总价$$\div $$单价，用爸爸带的钱除以每个笔记本的单价即可得到最多能买多少个笔记本，列式为：$$269\div 8=33$$（个）$$\cdots \cdots 5$$（元），剩下的$$5$$元不足以再买一个笔记本，  所以最多能买$$33$$个，  故选$$\text{B}$$．


2014年北京六年级竞赛 2016年陕西西安小升初交大附中入学真卷9第11题 2014年全国迎春杯六年级竞赛初赛第6题 2014年全国迎春杯五年级竞赛初赛第6题

甲、乙、丙、丁四人拿出同样多的钱，一起订购同样规格的若干件新年礼物，礼物买来后，甲、乙、丙分别比丁多拿了$$3$$，$$7$$，$$14$$件礼物，最后结算时，乙付给了丁$$14$$元钱，并且乙没有付给甲钱．那么丙应该再付给丁元钱．

拓展思维->思想->方程思想

设丁拿了$$a$$件礼物，则四人花同样的钱，每人可以拿到$$a+\frac{3+7+14}{4}=a+6$$件礼物， 实际情况：丁少拿了$$6$$件，乙多拿了$$1$$件，给丁$$14$$元，则货物单价$$14$$元， 丙多拿了$$14-6=8$$件，$$3$$件给甲，$$5$$件给丁，$$5\times14=70$$元．


2018年全国小学生数学学习能力测评六年级竞赛初赛第9题3分

把一批书按$$2:3:4$$或$$2:4:5$$两种方案分给甲、乙、丙三个班，都可以将这批书正好分完，这批书可能有本．

拓展思维->拓展思维->数论模块->因数与倍数->公因数与公倍数->因倍应用题->倍数应用题


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛五年级竞赛决赛第7题5分

\textbf{(2019 Youth Mathematics Olympics, Primary 5, Question \#7)}  $990$ has many factors, and the average of these factors is（$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde$）.  $$990$$有很多因数，这些因数的平均数是（$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde$）．

拓展思维->思想->对应思想


2013年第11届创新杯三年级竞赛初赛第5题6分

某班有$$50$$多人上体育课，他们站成一排，老师让他们按$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$，$$7$$循环报数，最后一人报的数是$$4$$，这个班有人上体育课．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->周期问题->时间中的周期问题->日期中的周期

也就是说，有这样一个两位数，首先他是一个十位是$$5$$的两位数，并且除以$$7$$的余数是$$4$$，那么最终只可能是$$53$$．


2017~2018学年浙江杭州五年级期中 2017年第22届湖北武汉华杯赛三年级竞赛复赛（华罗庚金杯）第2题10分

在下面加法竖式中，八个不同的字母分别代表$$2\sim 9$$这八个数字，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么$$\overline{NINE}=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．  $$\frac{\begin{matrix} \begin{matrix}      +   \end{matrix} \begin{matrix}O    T    S   \end{matrix} \begin{matrix}N    W    I   \end{matrix} \begin{matrix}E    O    X   \end{matrix}   \end{matrix}}{\begin{matrix} N\textasciitilde I\textasciitilde\textasciitilde N\textasciitilde E   \end{matrix}}$$

拓展思维->拓展思维->组合模块->数字谜

因为字母代表$$2\sim 9$$八个数字，故$$N$$只能为$$2$$．  $$\frac{\begin{matrix} \begin{matrix}      +   \end{matrix} \begin{matrix}O    T    S   \end{matrix} \begin{matrix}N    W    I   \end{matrix} \begin{matrix}E    O    X   \end{matrix}   \end{matrix}}{\begin{matrix} N I N E   \end{matrix}}$$，  $$O+E+X=E$$，故$$O+X=10$$，可为$$3+7$$，$$4+6$$；$$W+I=9$$，当$$O=3$$，$$I=4$$或$$5$$，  当$$I=4$$，$$W=5$$，或$$I=5$$，$$W=4$$， $$T+S$$需要为$$20$$或$$21$$，不可能；  当$$O=7$$，$$I=4$$或$$5$$，$$T+S=16$$或$$17$$，此时$$E=6$$．  $$\frac{\begin{matrix} \begin{matrix}      +   \end{matrix} \begin{matrix}7    8    9   \end{matrix} \begin{matrix}2    4    5   \end{matrix} \begin{matrix}6    7    3   \end{matrix}   \end{matrix}}{\begin{matrix} 2 5 2 6   \end{matrix}}$$或$$\frac{\begin{matrix} \begin{matrix}      +   \end{matrix} \begin{matrix}7    9    8   \end{matrix} \begin{matrix}2    4    5   \end{matrix} \begin{matrix}6    7    3   \end{matrix}   \end{matrix}}{\begin{matrix} 2 5 2 6   \end{matrix}}$$


2020年广东广州羊排赛六年级竞赛第6题3分

在一张地图上用$$1$$厘米的长度表示实际$$300$$千米的距离，则这张地图的比例尺是．

拓展思维->能力->运算求解


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛初赛第2题5分

一件商品先涨价$$15 \%$$，再降价$$15 \%$$，该商品的价格．

比原价低

比原价高

与原价相同

无法判断

拓展思维->拓展思维->应用题模块->经济问题->基本经济概念->折扣问题

先把原价看作单位``$$1$$''；  涨价后的价钱是原价的$$\left( 1+15 \% \right)$$；  后又降价$$15 \%$$，是降低涨价后的价格的$$15 \%$$，  据此可知现在的价格是原价的百分之几，进而得出结论．  $$\left( 1+15 \% \right)\times \left( 1-15 \% \right)$$  $$=1.15\times 0.85$$  $$=97.8 \%$$；  $$97.8 \% ~\textless{} ~1$$，即现价比原价低．  故选$$\text{A}$$．


2020年新希望杯三年级竞赛初赛（团战）第35题

下面哪个算式的计算结果是偶数？

$$\left( 784-455 \right)\times 39+44\times 11$$

$$11\times 1+22\times 2+33\times 3+44\times 4+55\times 5+66\times 6+77\times 7+88\times 8+99\times 9$$

$$123\times 456+789$$

$$2\times 4\times 6\times \cdots \times 2018\times 2020-1\times 3\times 5\times \cdots \times 2017\times 2019$$

拓展思维->拓展思维->数论模块->奇数与偶数->奇数与偶数的混合计算


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛二年级竞赛决赛第4题5分

一张课桌$$60$$元，比一把椅子多$$20$$元．一套课桌椅元．

拓展思维->思想->对应思想

根据题意分析可知，  一张桌子比一把椅子多$$20$$元，  那么一把椅子就比一张桌子少$$20$$元，  所以一把椅子的价钱是：$$60-20=40$$（元），  那么一套桌椅的价钱是：$$60+40=100$$（元）．  故选：$$\text{C}$$．


2018年第22届广东世界少年奥林匹克数学竞赛一年级竞赛初赛第4题6分

小红家住五楼，他每上一层楼要走$$20$$级台阶．小红每天回家要走级台阶．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->间隔问题->直线型两端都有->爬楼梯问题

小红每天回家要走：$$20\times \left(5-1\right)=80$$（级）．  故选：$$\text{B}$$．


2019年广东深圳全国小学生数学学习能力测评四年级竞赛初赛第7题3分

在$$9$$点至$$10$$点之间的某个时刻，$$5$$分钟前分针的位置和$$5$$分钟后时针的位置相同，此时刻是．

拓展思维->能力->逻辑分析

根据选项$$\text{C}$$，现在是$$9:55$$，那么$$5$$分钟前分针的位置是指向$$10$$，$$5$$分钟后时针也是指向$$10$$．所以$$\text{C}$$选项答案是满足题目要求的．


2014年第10届全国新希望杯小学高年级六年级竞赛复赛第2题4分

对自然数$$n$$进行如下操作：如果$$n$$是偶数，就把它除以$$2$$，如果$$n$$是奇数，就把它加上$$7$$．现在对$$154$$进行有限次操作，得到的结果不可能是．

知识标签->课内知识点->数的认识->数的特征->倍数->倍的认识


2014年迎春杯四年级竞赛复赛

一个$$12$$项的等差数列，公差是$$2$$，且前$$8$$项的和等于后$$4$$项的和，那么，这个数列的第二项是~\uline{~~~~~~~~}~。

拓展思维->拓展思维->计算模块->数列与数表->等差数列->等差数列求通项


2006年四年级竞赛创新杯

一个数的小数点向右移动一位，比原数大$$36$$，这个数是．

拓展思维->拓展思维->计算模块->小数->小数基础->小数点的移动规律

小数点向右移动$$1$$位，则新数比原数扩大$$10$$倍，即增加$$9$$倍，所以原数为$$59.94\div \left( 10-1 \right)=6.66$$，选$$\text{A}$$.


2022年第9届广东深圳鹏程杯四年级竞赛初赛第13题5分

一根圆柱形木料长$$200$$厘米，每$$40$$厘米锯成一段，每锯一段要$$2$$分钟，且每锯完一段要休息$$3$$分钟，那么这根木料锯完至少需要分钟

拓展思维->拓展思维->应用题模块->间隔问题->直线型两端都没有->锯木头类型问题


2011年全国华杯赛竞赛初赛第4题

老师问学生：``昨天你们有几个人复习数学了？''  张：``没有人．''李：``一个人．''王：``二个人．''赵：``三个人．''刘：``四个人．''  老师知道，他们昨天下午有人复习，也有人不复习，复习了的人说的都是真话，没复习的人说的都是假话．那么，昨天这$$5$$个人中复习数学的有个人．

知识标签->数学思想->转化与化归的思想

$$5$$名学生说的话相互矛盾，只能有$$1$$人说的是真话，则只有李复习了，说的是真话．  故选：$$\text{B}$$．


2008年第6届创新杯四年级竞赛初赛B卷第9题5分 2008年四年级竞赛创新杯

一串数排成一列，它们的规律是:前两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是它前面两个数的和.如下所示: 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，$$\cdots$$ 这串数的前100个数(包括第100个数)中，偶数的个数是(  ).

拓展思维->拓展思维->应用题模块->周期问题->基本排列的周期问题

这串数的规律是``奇奇偶''循环的，在前99个数中，有33个偶数，第100个数是奇数，所以，这串数中前100个数有33个偶数.


2008年四年级竞赛创新杯

一个车队以$$5$$米/秒的速度完全经过一座长$$200$$米的大桥，共用时$$145$$秒。已知每辆车长$$5$$米，相邻两辆车相隔$$8$$米，那么这个车队共有车（  ）辆。

拓展思维->拓展思维->应用题模块->间隔问题


2017年河南郑州联合杯竞赛附加赛第一场第3题2分

在一个减法算式里，被减数与减数以及差的和是$$160$$，且减数是差的$$3$$倍，差是（~ ）．

拓展思维->能力->逻辑分析


2018年第6届湖北长江杯六年级竞赛初赛B卷第8题3分

把一杯$$200$$克甜度是$$30 \%$$的糖水倒入另外一杯$$300$$克甜度是$$15 \%$$的糖水里，结果得到甜度是．

拓展思维->思想->对应思想


2021年鹏程杯六年级竞赛初赛第3题

由$$3$$个不同的自然数组成一等式：$$\square +\triangle +\bigcirc =\square \times \triangle -\bigcirc $$这三个数中最多有个奇数．

无法确定

拓展思维->思想->对应思想

如果这三个数中有$$2$$个奇数和$$1$$个偶数，那么等式左边必为偶数，等式右边必为奇数，不可能．如果这三个数均为奇数，那么等式左边必为奇数，而等式右边必为偶数，不可能．因此，这三个数中最多有$$1$$个奇数，例如$$2+4+1=2\times 4-1$$．  故选$$\text{A}$$．


2017年河南郑州豫才杯六年级竞赛

袋子里装着只有颜色不同的若干黑、白、红三种颜色的小球．其中红色小球的颗数是白色的$$\frac{1}{6}$$．黑色小球的颗数是红色小球的一半．如果从盒子中任意摸出一颗小球，摸出黑色小球的可能性是（~ ）．

拓展思维->拓展思维->计数模块->统计与概率->概率->典型问题->摸小球


2006年第4届创新杯五年级竞赛复赛第5题 2006年五年级竞赛创新杯

在一根长100厘米的木棍上，自左向右每隔6厘米染一个红点，同时自右向左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么，长度是1厘米的短木棍有(  )条.

不妨将100厘米长的木棍视为有刻度的米尺，那么从左到右每隔6厘米染一个红点，这些红点在米尺上的量数为(单位:厘米): $$6$$，$$12$$，$$18$$，$$24$$，$$30$$，$$36$$，$$\cdots$$，$$60$$;$$66$$，$$\cdots$$，$$90$$;$$96$$① 从右到左每隔5厘米染一个红点，这些红点在米尺上的量数为(单位:厘米):$$5$$，$$10$$，$$15$$，$$20$$，$$25$$，$$30$$;$$35$$，$$\cdots$$ ，$$60$$;$$65$$，$$\cdots$$ ，$$90$$;$$95$$② 比较上述两个数列①和②，知 在$$0\sim30$$内的红点，有两组$$\left( 5,6 \right)\left( 24,25 \right)$$，两个相邻红点相距1厘米; 在$$30\sim60$$内的红点，有两组$$\left( 35,36 \right)\left( 54,55 \right)$$，两个相邻红点相距1厘米; 在$$60\sim90$$内的红点，有两组$$\left( 65,66 \right)\left( 84,85 \right)$$，两个相邻红点相距1厘米; 在$$90\sim100$$内的红点，有一组$$\left( 95,96 \right)$$，两个相邻红点相距$$1$$厘米; 因此，沿红点锯开，长1厘米得短木棍有7条


2006年四年级竞赛创新杯

某小数的小数点向右移动一位，则数值比原来大25.65，原小数是(  ).

拓展思维->拓展思维->计算模块->小数->小数基础->小数点的移动规律

小数点向右移动一位，则扩大10倍，增加9倍.因此原数为$$25.65\div \left( 10-1 \right)=2.85$$，故选D.


2014年全国华杯赛小学中年级竞赛初赛第1题

两个正整数的和小于$100$，其中一个是另一个的两倍，则这两个正整数的和的最大值是（~~ ）．

拓展思维->思想->对应思想


2014年迎春杯三年级竞赛复赛

一个三位数各个数位上的数字都不相同。把$$2$$写在这个三位数的左端得到一个四位数；把$$2$$写在这个三位数的右端得到一个四位数；这两个四位数相差$$945$$，那么这个三位数是（  ）

拓展思维->拓展思维->数论模块->位值原理与进制->位值原理运用->位值原理的综合应用

解：设这个三位数是$$\overline{abc}$$，依题意可知$$\overline{2abc}-\overline{abc2}=945$$或者$$\overline{abc2}-\overline{2abc}=945$$，  按照不完全拆分把$$abc$$看成一组，  当：$$\overline{2abc}-\overline{abc2}=945$$，  $$2000+\overline{abc}-10\overline{abc}-2=945$$，  $$1998-9\overline{abc}=945$$，  $$\overline{abc}=117$$（与题中说互不相同矛盾），  当：$$\overline{abc2}-\overline{2abc}=945$$，  $$10\overline{abc}+2-2000-\overline{abc}=945$$，  $$9\overline{abc}-1998=945$$，  $$\overline{abc}=327$$（满足条件）。  故选:B。


2017年IMAS小学中年级竞赛（第一轮）第10题3分

有$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$、$$5$$、$$6$$六张卡片，从中任意取出两张卡片可以组成一个两位数．把组成的所有两位数按从小到大的顺序排列﹐请问第$$21$$个二位数是？

拓展思维->思想->枚举思想


2018年第6届湖北长江杯六年级竞赛初赛A卷第9题3分 六年级其它

$$2018$$年春节有个小程序可以发红包，但是每发一次要收$$2 \%$$的服务费．张紫亦的爸爸、妈妈和他分别发了$$3$$个红包，被收取$$4.5$$元的服务费，爸爸发的最多．请问下面那个数可能是爸爸发的钱数．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题->综合题->综合题普通型

已知服务费占总钱数的$$2 \%$$，  服务费是$$4.5$$元，总钱数$$=4.5\div 2 \%=225$$（元）．  $$225$$元是爸爸、妈妈和张紫亦发的总钱数，  平均每个人发$$225\div 3=75$$（元），  爸爸发的最多一定大于$$75$$元，选项$$\text{D}$$正确．


2008年第6届创新杯六年级竞赛初赛B卷第3题5分 2008年六年级竞赛创新杯

在$$1\text{、}2\text{、}3\text{、}\cdots\text{、}100$$这$$100$$个整数中，能被$$2$$或$$3$$整除的数一共有（  ）。

拓展思维->拓展思维->计数模块->容斥原理->二量容斥


2008年第6届创新杯五年级竞赛初赛B卷第3题5分

在植树节时，某班每人应平均植树$$6$$株，如果只由女生完成，每人应植$$15$$株，如果只由男生完成，则每人应植树株．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->列方程解应用题->多元一次方程解应用题->整数系数二元一次方程组解应用题


2011年北京学而思杯五年级竞赛

有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数．求这两个整数分别是多少？

知识标签->拓展思维->计数模块->枚举法综合->枚举法->有序枚举


2018年第6届湖北长江杯六年级竞赛初赛B卷第10题3分

两桶食用油，从第一桶倒入第二桶$$18$$千克，两桶重量相等，现在第一桶用$$9$$分之$$7$$，第二桶用$$5$$分之$$3$$，两桶油剩下的重量相等，问两桶油原来各重多少千克？

拓展思维->能力->运算求解

因为从第一桶倒入第二桶$$18$$千克，两桶重量相等，  所以第一桶重量$$-$$第二桶重量$$=36$$千克，选项$$\text{ABCD}$$都满足，  且知第一桶重量$$\times \frac{2}{9}=$$第二桶重量$$\times \frac{2}{5}$$，只有$$\text{C}$$项满足，  故答案选$$\text{C}$$．


2015年第13届全国创新杯五年级竞赛复赛第8题

一副扑克牌去掉大、小王共有$$52$$张，最上面的一张是红桃$$K$$，如果每次把最上面的$$18$$张牌移到最下面而不改变他们的顺序，至少经过（~ ）次移动，红桃$$K$$才会有出现在最上面．

拓展思维->能力->逻辑分析

每次移动$$18$$张，那么移动牌的总数是$$18$$的倍数，要使红桃$$K$$又出现在最上面，那么$$18\times $$次数的乘积应该是$$52$$的倍数，那么至少是$$26$$．


2017年第15届湖北武汉创新杯六年级竞赛决赛第1题

在$$A$$地植树$$400$$棵，$$B$$地植树$$600$$棵，甲、乙、丙每天分别能植树$$25$$、$$52$$、$$48$$棵，甲在$$A$$地、乙在$$B$$地、丙跨$$A$$与$$B$$两地，同时开始、同时结束，整个过程所用的时间是天．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->工程问题->合作工程问题->双工程问题


2014年全国迎春杯五年级竞赛复赛第5题

知识标签->学习能力->七大能力->运算求解

根据$$11$$乘法的特征``两边一拉，中间相加''可得到结果D  本题考察乘$$11$$的速算诀窍.


2016年全国华杯赛小学中年级竞赛在线模拟第3题 2013年全国华杯赛小学中年级竞赛初赛A卷第3题

小东、小西、小南、小北四个小朋友在一起做游戏时，捡到了一条红领巾，交给了老师．老师问是谁捡到的？小东说不是小西；小西说是小南；小南说小东说的不对；小北说小南说的不对．他们之中只有一个人说对了，这个人是．

小东

小西

小南

小北

拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->假设型逻辑推理->真假话->找矛盾

由于只有一个人说对了，而小北支持小东，那么他们俩都错了，所以反对小东的小南说对了．

根据题干分析可得，小南与小北说的话是相互矛盾的，所以两人中一定有一个人说的是正确的，假设小北说的是正确的，则小南说“小东说的不对”是错，可得，小东说的对，这样与已知只有一个人说对了相矛盾，所以此假设不成立，故小南说的是正确的．

故选：$$\text{C}$$．


2007年第5届创新杯五年级竞赛第1题5分

从$$1000$$到$$2007$$的自然数中有奇数个因数的数有个．

拓展思维->能力->逻辑分析->代数逻辑推理


2014年北京五年级竞赛

等腰三角形底边上的高为$$8$$，周长为$$32$$，则三角形的面积为（~~~~~~~ ）．

拓展思维->思想->对应思想

底边上的高为$$8$$，高将等腰三角形分成了两个相等的直角三角形，周长为$$32\div 2+8=24$$，其中一条直角边（高）为$$8$$另一条（底边的一半）记作$$a$$、则斜边（等腰三角形的腰）应为$$16-a$$，根据勾股定理$${{(16-a)}^{2}}={{8}^{2}}+{{a}^{2}}$$，求得$$a=6$$所以三角形的面积为$$48$$．


2011年第7届全国新希望杯小学高年级六年级竞赛第6题4分

盒子里装有分别写着$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，\ldots，$$100$$的黄色卡片各一张，我们称如下操作为一次操作；从盒子里取出$$m(7\leqslant m\leqslant 10)$$张卡片，算出这$$m$$张卡片上各数之和减去$$27$$的差，将写在一张红色卡片上（不放回）．若干次操作之后，盒子里的卡片全部被取出，若所有红色卡片上的数字之和为$$n$$，那么$$n$$的最大可能值减去最小可能值等于．

拓展思维->思想->整体思想


2020年第23届世界少年奥林匹克数学竞赛四年级竞赛决赛（中国区）第3题3分

把一堆桃子分给若干只猴子，如果每只猴子分$$6$$个，剩$$57$$个桃子；如果每只猴子分$$9$$个，就有$$5$$只猴子一个也分不到，还有一只猴子只分到$$3$$个．那么，一共有个桃子．

拓展思维->思想->对应思想

如果每只猴子分$$6$$个，剩$$57$$个桃子；如果每只猴子分$$9$$个，就有$$5$$只猴子一个也分不到，还有一只猴子只分到$$3$$个，证明少了$$5\times9+6=51$$（个），猴子共有：$$(57+51)\div (9-6)=36$$（只）；桃子共有：$$36\times6+57=273$$（个）  故选：$$\text{C}$$．


2017年IMAS小学高年级竞赛（第一轮）第14题4分

某公共汽车总站有两条路线，第一条每$$8$$分钟发一辆车、第二条每$$10$$分钟发一辆车，且在早上$$6:00$$两条路线同时发出第一辆车．请问下面哪一项是两条路线同时发车的时刻？

拓展思维->思想->对应思想


2017年第17届世奥赛六年级竞赛决赛第2题

$$100n\left( n+1 \right)+25$$

$$100\left( n+1 \right)+25$$

拓展思维->拓展思维->数论模块->完全平方数->平方数的简单应用


2017年北京迎春杯小学高年级五年级竞赛模拟

小悦与阿奇比赛下象棋，两人水平相当，约定赛$$7$$局，先赢$$4$$局者胜，现在已经比赛了$$3$$局，小悦胜了$$2$$局，阿奇胜了$$1$$局，请问：小悦最后胜利的概率有多少？

拓展思维->能力->逻辑分析


2017年第16届湖北武汉创新杯五年级竞赛邀请赛训练题（三）

有一天，彭老师和陈老师约好去打乒乓球，结果彭老师以$$4:0$$完虐陈老师．乒乓球比赛为$$11$$分制，即每局$$11$$分，$$7$$局$$4$$胜制，打成$$10:10$$后必须净胜而且只能净胜$$2$$分．经计算，彭老师四局的总得分为$$48$$分，陈老师总得分为$$39$$分，且每一局比赛分差不超过$$3$$分，则一共有（~ ）种情况．（不考虑这四局比分之间的顺序）

拓展思维->拓展思维->组合模块->逻辑推理->体育比赛->单循环赛


其它改编自2015年全国希望杯六年级竞赛初赛第3题

拓展思维->思想->整体思想


2017年河南郑州联合杯竞赛附加赛第一场第1题2分

王小天有若干张$$10$$元、$$5$$元的纸币，这两种纸币的张数相同，那么王小天可能有（~ ）元钱．

拓展思维->能力->逻辑分析

因为张数相同，所以先求出$$1$$张$$10$$元和$$5$$元共有$$15$$元，再看一下选项中哪个是$$15$$的倍数即可．容易看出$$C$$正确．


2020年新希望杯二年级竞赛初赛（团战）第24题

有甲、乙、丙、丁四盘苹果，乙不是最多的，但比甲、丁多，甲没有丁多．按照苹果从少到多的顺序，四盘苹果分别是．

甲、丁、乙、丙

丙、甲、乙、丁

丙、乙、丁、甲

乙、丙、丁、甲

丙、甲、丁、乙

拓展思维->能力->推理推导->言语逻辑推理


2017年河南郑州联合杯竞赛第7题4分

小明买了一本$$513$$页的小说，数字$$1$$在页码中出现了（~ ）次．

拓展思维->能力->构造模型->模型思想


2014年第2届广东广州羊排赛六年级竞赛第3题1分

一班共有$$48$$名同学，那么男女生人数之比可能是．

拓展思维->能力->实践应用

人数为$$48$$，则比的总份数必须是$$48$$的因数，只有$$7+5=12$$符合．


2018年湖北武汉新希望杯五年级竞赛训练题（五）第1题

一队学生排成$$9$$行$$9$$列的方阵，如果去掉最外层$$2$$行$$2$$列，要减少人．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->方阵问题->实心方阵->实心方阵的增减


2018年环亚太杯三年级竞赛初赛第12题

\textbf{(2009 Math kangaroo Problems, Level 1-2, Question \#7)}  After Snow White, the Prince and the 7 Dwarfs ate one apple each, there were 4 apples left in the basket. How many apples were there in the basket before they ate any？  翻译：在白雪公主之后，王子和七个小矮人也每人吃了$$1$$个苹果，篮子里还剩下$$4$$个苹果．那么他们吃苹果之前篮子里有多少苹果？

拓展思维->能力->逻辑分析

吃掉的苹果加上篮子里剩下的苹果就是原来一共的苹果数量．白雪公主吃了一个苹果，王子吃了一个苹果，再加上七个小矮人各吃了一个苹果，所以一共吃了$$1+1+7=9$$个苹果，再加上篮子里还剩下的$$4$$个苹果，那么原来没吃苹果之前就有$$9+4=13$$个苹果．


2015年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第1题4分

拓展思维->思想->转化与化归的思想


2020年广东深圳龙岗区亚迪学校迎春杯五年级竞赛模拟第20题2分 2019~2020学年陕西宝鸡渭滨区五年级上学期期末第22题1分 2019~2020学年山东济南高新区五年级下学期期末第10题1分

在下面四组数中，组中的数都是质数．

拓展思维->思想->对应思想

$$\text{A}$$中$$91$$不是质数，故$$\text{A}$$错误；  $$\text{B}$$中$$$21$$不是质数，故$$\text{B}$$错误．  $$\text{C}$$中$$85$$不是质数，故$$\text{C}$$错误．  故选$$\text{D}$$．


2016年河南郑州K6联赛六年级竞赛第14题2分

把$$20$$克盐放入$$100$$克水中，盐与水的比、盐与盐水的比分别是（~ ）和（~ ）．

拓展思维->思想->对应思想


2004年第2届创新杯五年级竞赛复赛第6题

在$$50$$束鲜花中，$$16$$束有月季花，$$15$$束有马蹄莲，$$21$$束有白兰花，有$$7$$束中既有月季花又有马蹄莲，有$$8$$束中既有马蹄莲又有白兰花，有$$10$$束中既有月季花又有白兰花，还有$$5$$束鲜花中，月季花、马蹄莲、白兰花都有．则$$50$$束鲜花中，上述三种花都没有的花束共有．

拓展思维->思想->对应思想

先求出有月季花、马蹄莲、白兰花的一共有多少束，然后减去有其中$$2$$种花的束数，再加上三种花都有束数，就是三种花至少有一种的有多少束，再用总数$$50$$束，减去至少有一种的束数，就是三种都没有的束数．  $$3$$种花至少有一种的有：  $$16+15+21-7-8-10+5$$  $$=52-\left( 7+8+10 \right)+5$$  $$=52-25+5$$  $$=32$$ （束）  $$50-32=18$$ （束）  答：月季花、马蹄莲、白兰花三种花都没有的花束共有$$18$$束．  故选$$\text{B}$$．


2017年第16届湖北武汉创新杯六年级竞赛邀请赛训练题（二）

有一两位数$$N$$，在它的两头各添上一个$$1$$以后就变成一个四位的数$$M$$．若$$M$$是$$N$$的$$23$$倍，那么当$$M$$最小时，$$N$$的值是（~ ）．

拓展思维->能力->运算求解


2013年华杯赛六年级竞赛初赛

从$$1\sim 11$$这$$11$$个整数中任意取出$$6$$个数，则下列结论正确的有（  ）个。  ①其中必有两个数互质；  ②其中必有一个数是其中另一个数的倍数；  ③其中必有一个数的$$2$$倍是其中另一个数的倍数。

拓展思维->拓展思维->数论模块->因数与倍数->公因数与公倍数->公倍数与最小公倍数->两数的最小公倍数


2014年全国创新杯五年级竞赛第1题5分

拓展思维->拓展思维->数论模块->完全平方数->平方数的简单应用


2010年第8届创新杯六年级竞赛初赛第1题4分 2010年六年级竞赛创新杯

因武汉白沙洲大桥维修造成堵车，某人上班车速降低了$$\frac{1}{7}$$，那么他在路上的时间增加了（  ）。

拓展思维->拓展思维->行程模块->比例解行程问题->行程中的比例


2014年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第8题3分

把数$$38$$、$$79$$、$$17$$、$$43$$、$$74$$、$$96$$、$$87$$重新排成一排，使得从第二个数开始，每个数的十位数码都等于前一个数的个位数码，请问排列后第四个数是什么？

拓展思维->拓展思维->计算模块->数列与数表->数列规律->数列找规律填数

重新排列后，除了最前面与最后面的数码外，每个数码都要出现偶数次，现只有数码$$1$$与$$6$$各出现一次，故$$17$$必须是第一个数，接下来的排列方式为：$$17$$、$$74$$、$$43$$、$$38$$、$$87$$、$$79$$、$$96$$，故第四个数是$$38$$．故选$$\text{A}$$．


2014年全国迎春杯六年级竞赛初赛第8题

拓展思维->拓展思维->计算模块->分数->分数运算->分数四则混合运算


2013年华杯赛四年级竞赛初赛

拓展思维->拓展思维->应用题模块->平均数问题->综合题->综合题普通型


2009年六年级竞赛创新杯

$$4$$吨葡萄在新疆测得含水量为$$55 \%$$，运抵武昌后测得含水量为$$40 \%$$，运抵武昌后葡萄剩下（  ）吨。

拓展思维->拓展思维->计算模块->方程基础->一元一次方程->分数、小数系数方程

不妨称不含水的葡萄为``干葡萄''。设运抵武昌后葡萄还剩$$x$$吨，由于运输途中``干葡萄''的重量不变，所以$$x\times \left( 1-40 \% \right)=4\times \left( 1-55 \% \right)$$，解得$$x=3$$，所以运抵武昌后葡萄剩下$$3$$吨。


2019年第7届湖北长江杯六年级竞赛复赛A卷第2题3分

在含盐为$$5 \%$$的$$100$$克盐水中，再分别加入$$10$$克盐和$$40$$克水后，盐与水的比是．

拓展思维->能力->实践应用


2017年全国美国数学大联盟杯小学中年级四年级竞赛初赛

一群$$5$$至$$12$$岁的孩子去看电影．这些孩子的年龄的乘积是$$3080$$．请问这些孩子的年龄的和是多少？

拓展思维->思想->转化与化归的思想


2022年陕西西安六年级下学期小升初模拟《推理问题》第9题 2016年陕西西安小升初工大附中入学真题4第10题 2021年陕西西安碑林区西安铁一中龙岗中学小升初（三）第10题3分 2016年陕西西安小升初工大附中 2010年天津陈省身杯三年级竞赛第13题

甲、乙、丙三个同学中有一个人在同学们都不在时把教室打扫干净，事后老师问他们是谁做的好事，甲说：``是乙干的''，乙说：``不是我干的''，丙说：``不是我干的''，如果他们中有两人说了谎话，一个人说的是真话，由此断定是~\uline{~~~~~~~~~~}~干的．

甲

乙

丙

拓展思维->能力->逻辑分析

这是逻辑推理题，理清思路即可．假设甲说的是真话，那么是乙干的，这时丙说的话是真话，与只有一人说真话产生矛盾，因此甲说的是假话，即不是乙干的，所以乙说的是真话，从而丙说的是假话，故是丙干的．


2016年环亚太杯三年级竞赛初赛第9题

现有甲、乙两个水桶，甲桶容量$7$公升，乙桶容量$$3$$公升，甲桶装满了水，甲桶给乙桶~\uline{~~~~~~~~~~}~公升的水后，两桶的水一样多．

拓展思维->能力->逻辑分析 课内体系->知识点->数学广角->优化->解决问题策略

$$\frac{7}{2}=3.5$$公升$$\textgreater3$$公升，所以只能将$$3$$公升的水桶装满，且$$7$$公升水桶中仍有$$3$$公升，则$$7-3=4$$公升，即给$$4$$公升水给$$3$$公升水桶，则$$1$$公升溢出，两个容器水一样多．  故答案为：$$4$$．选$$\text{D}$$.


2008年六年级竞赛创新杯

李平的妈妈买了几瓶饮料。第一天，他们全家喝了全部饮料的一半零半瓶；第二天，李平招待同学，又喝了第一天剩下的饮料的一半零半瓶；第三天，李平又喝了第二天剩下的饮料的一半零半瓶。这三天，正好把妈妈买的全部饮料喝光，则妈妈买的饮料一共有(  )。

拓展思维->能力->逻辑分析->代数逻辑推理

对每个选项进行检验，如（$$C$$）：$$7$$瓶，第一天喝了$$3.5+0.5=4$$（瓶），剩下$$3$$瓶；第二天喝了$$1.5+0.5=2$$（瓶），剩下$$1$$瓶；第三天喝了$$0.5+0.5=1$$（瓶），正好把妈妈买的$$7$$瓶饮料喝光。


2019年美国数学大联盟杯五年级竞赛初赛第1题5分

拓展思维->能力->运算求解


2006年第4届创新杯六年级竞赛初赛B卷第1题

完成一件工作，甲要$$\frac{1}{5}$$小时，乙要$$\frac{1}{3}$$小时，甲与乙的工作效率比是．

拓展思维->能力->实践应用

把工作总量看作``$$1$$''，根据工作总量$$\div $$工作时间$$=$$工作效率，分别求出甲、乙的工作效率，再写出对应的比，根据比的基本性质化成最简整数比．  $$\left( 1\div \frac{1}{5} \right):\left( 1\div \frac{1}{3} \right)=5:3$$．  答：甲与乙的工作效率比是$$5:3$$．  故选$$\text{B}$$．


2017年第13届湖北武汉新希望杯六年级竞赛决赛第5题

《学而思外思班终极秘籍》的正文共$$193$$页，页码是从$$1$$到$$3$$位的连续自然数，这本书正文的页码共有个数码``$$1$$''．

拓展思维->知识点->应用题模块->页码问题->数码综合问题 课内体系->七大能力->逻辑分析


2014年迎春杯三年级竞赛初赛

下列算式结果为$$500$$的是(  )

$$5\times 99+1$$

$$100+25\times 4$$

$$88\times 4\text{ }+37\times 4$$

$$100\times 0\times 5$$

拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->整数提取公因数->整数乘法巧算之提取公因数（普通型）


2017年第22届湖北武汉华杯赛三年级竞赛复赛（华罗庚金杯）第1题10分

拓展思维->思想->转化与化归的思想


2008年第6届创新杯四年级竞赛初赛A卷第4题5分 2008年四年级竞赛创新杯

如果两个四位数的差等于2008，我们就称这两个四位数组成了一个``创新数对''，那么``创新数对''共有(  )个.

拓展思维->拓展思维->计数模块->枚举法综合->枚举法->有序枚举

在这些``创新数对''中，被减数最大的是9999，此时减数是7991，而减数最小的为1000，所以``创新数对''共有$$7991-1000+1=6992$$个


2018年第22届广东世界少年奥林匹克数学竞赛一年级竞赛决赛第1题5分

小东看叔叔锯木头，锯一次需要用时$$3$$分，最后叔叔把木头锯成$$4$$段，叔叔请小东算算，他一共用了分．

锯成$$4$$段，则需要锯$$3$$次，则所花时间为：$$3+3+3=9$$（分）．  故选$$\text{C}$$．


2017年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学小升初（二）第3题3分 2017年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学小升初(十)第3题3分 2016年创新杯六年级竞赛训练题（四）第4题 2017年陕西西安小升初某工大附中 2018年湖南长沙雨花区中雅培粹中学小升初第3题3分 2018年陕西西安小升初分类卷15第5题

（$$2018$$.ZY）盒子中原来有$$7$$个小球，魔术师从中任取几个小球，把每一个小球都变成$$7$$个小球放回盒中；他又从中任取一些小球，把每一个小球又都变成$$7$$个小球放回盒中；如此进行，到某一时刻魔术师停止取球变魔术，此时盒中球的总数可能是．

拓展思维->能力->抽象概括


2014年全国华杯赛小学高年级竞赛初赛B卷第4题

小华下午$$2$$点要到少年宫参加活动，但他的手表每个小时快了$$4$$分钟，他特意在上午$$10$$点时对好了表．当小华按照自己的表于下午$$2$$点到少年宫时，实际早到了分钟．

知识标签->数学思想->转化与化归的思想

小华所带的``快表''每小时快了$$4$$分钟，说明准确时间走$$60$$分钟的时候，``快表''已经走了$$64$$分钟了，这样我们就可以得到$$\frac{快表}{准表}=\frac{64}{60}=\frac{16}{15}$$；现在快表走了$$4\times60=240$$，那么标准表走了$$240\times 15\div 16=225$$；所以实际上早到了$$240-225=15$$，选$$B$$．


2020年希望杯一年级竞赛模拟第29题

下面的算式中，相同的图形代表相同的数，不同的图形代表不同的数．  $$\square +\square +\square =\triangle +\triangle $$  $$\triangle =\bigcirc +\bigcirc +\bigcirc $$  $$\square =?$$．

$$\bigcirc +\bigcirc $$

$$\bigcirc +\bigcirc+\bigcirc $$

$$\bigcirc +\bigcirc+\bigcirc +\bigcirc $$

$$\bigcirc +\bigcirc+\bigcirc +\bigcirc +\bigcirc $$

$$\bigcirc +\bigcirc+\bigcirc +\bigcirc +\bigcirc +\bigcirc $$

拓展思维->拓展思维->计算模块->方程基础->等量代换->可直接计算的算式代换

看图可知$$3$$个正方形相加$$=2$$个三角形相加，$$1$$个三角形$$=3$$个圆形相加，所以$$2$$个三角形$$=3+3=6$$（个）圆形相加，所以$$3$$个正方形相加$$=6$$个圆形相加，可以得到$$1$$个正方形$$=2$$个圆形相加，故选项$$\text{A}$$正确．


2012年全国创新杯五年级竞赛第6题5分

拓展思维->能力->实践应用


2018年湖北武汉新希望杯六年级竞赛训练题（一）第4题 2017年新希望杯六年级竞赛训练题（一）第4题

将四个分数按从小到大的顺序排列，正确的是．

$$\frac{5}{14}\textless{}\frac{10}{27}\textless{}\frac{12}{31}\textless{}\frac{20}{53}$$

$$\frac{5}{14}\textless{}\frac{10}{27}\textless{}\frac{20}{53}\textless{}\frac{12}{31}$$

$$\frac{10}{27}\textless{}\frac{5}{14}\textless{}\frac{12}{31}\textless{}\frac{20}{53}$$

$$\frac{10}{27}\textless{}\frac{5}{14}\textless{}\frac{20}{53}\textless{}\frac{12}{31}$$

拓展思维->能力->数感认知->分数数字加工


2013年河南郑州中原网杯小学高年级六年级竞赛初赛

有$$10$$个表面涂红色的正方体，它们的棱长分别是$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\cdot \cdot \cdot $$，$$10$$厘米，如果把这些正方体全部割成棱长为$$1\text{cm}$$的小正方体，在这些小正方体中至少有一面是红色的块数是（~ ）．

拓展思维->能力->图形认知


2019年第24届YMO五年级竞赛决赛第6题3分 2020年第24届YMO五年级竞赛决赛第6题3分

2020第$$24$$届$$YMO$$五年级决赛  小$$Y$$、小$$M$$、小$$O$$、小$$T$$四人中只有$$1$$人会开车．小$$Y$$说：``我会开''．小$$M$$说：``我不会开''．小$$O$$说：``小$$Y$$不会开''．小$$T$$什么也没说．已知小$$Y$$、小$$M$$、小$$O$$三人只有一人说了真话．会开车的是．

小$$Y$$

小$$M$$

小$$O$$

小$$T$$

Overseas Competition->知识点->组合模块->逻辑推理
拓展思维->能力->创新思维

对比发现，小$$O$$与小$$Y$$说的矛盾，相互对立，  则小$$O$$与小$$Y$$必一对一错，  则小$$M$$说假话，则小$$M$$会开车，选$$\text{B}$$．


2016年第3届广东深圳鹏程杯小学高年级六年级竞赛集训材料第十章从算术到代数第6题

知识标签->课内知识点->式与方程->简易方程（一元一次）->解简易方程->整数简易方程


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛六年级竞赛决赛第10题5分

有两个同样的仓库，搬运完其中一个仓库的货物，甲需要$$6$$小时，乙需要$$7$$小时，丙需要$$14$$小时．甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物，开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完．丙从一个仓库到另一个仓库的时间忽略不计．则丙帮甲搬了小时．

拓展思维->思想->对应思想

本题主要考查分数的应用，  首先计算出三个人搬仓库用时，再分别计算甲、乙完成了多少，  然后可知丙完成的为$$1$$减去甲的完成量加上$$1$$减去乙的完成量，  再计算丙帮甲、乙分别用时即可，  三个人都搬了同样长的时间，  甲每小时搬$$\frac{1}{6}$$，乙每小时搬$$\frac{1}{7}$$，丙每小时搬$$\frac{1}{14}$$，  三人每小时共可般$$\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{14}=\frac{8}{21}$$，  则搬完两个仓库共要$$2\div \frac{8}{21}=\frac{21}{4}$$时，  即三人都同样工作了$$\frac{21}{4}$$小时，  而$$\frac{21}{4}$$小时内甲完成$$\frac{21}{4}\times \frac{1}{6}=\frac{7}{8}$$，  乙完成$$\frac{21}{4}\times \frac{1}{7}=\frac{3}{4}$$，  即甲有$$\frac{1}{8}$$是丙完成的，乙有$$\frac{1}{4}$$是丙帮忙完成的，  丙帮甲、乙分别用时$$\frac{1}{8}\div \frac{1}{14}=\frac{7}{4}$$时，$$\frac{1}{4}\div \frac{1}{14}=\frac{7}{2}$$小时．  答：丙帮甲、乙分别用时$$\frac{7}{4}$$时、$$\frac{7}{2}小时$$，  $$\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}$$．  故选$$\text{B}$$．


2016年新希望杯六年级竞赛训练题（二）第3题

办公室有甲、乙、丙、丁$$4$$位同事，甲比乙大$$5$$岁，丙比丁大$$2$$岁．丁$$3$$年前参加工作，当时$$22$$岁．他们四人现在的年龄之和为$$127$$岁．那么乙现在的年龄是（~ ）岁．~

拓展思维->能力->逻辑分析


2011年全国美国数学大联盟杯小学高年级五年级竞赛初赛第32题

我班上男生和女生的比例是$$3:4$$．请问我班上可能有多少名学生？

拓展思维->思想->逐步调整思想


2021年第8届鹏程杯四年级竞赛初赛第2题4分

以上都不对

拓展思维->能力->运算求解->程序性计算


2020年希望杯六年级竞赛模拟第25题

$$\textgreater$$

$$\textless{}$$

拓展思维->能力->运算求解


2006年五年级竞赛创新杯 2006年第4届创新杯五年级竞赛初赛A卷第3题

五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相同，并且其中得分最高为90分，那么得分最低的选手至少得(  )分.

拓展思维->拓展思维->组合模块->抽屉原理->最不利原则

要使某选手得分最低，其他选手得分必须尽可能的高，又知每人得分互不相同，所以前四名选手得分依次为90，89，88，87，因此，得出得分最低的选手至少得$$404-\left( 90+89+88+87 \right)=50$$分


2019年第7届湖北长江杯六年级竞赛复赛B卷第2题3分

有$$16$$个外形完全相同的小零件，其中$$15$$个是正品，$$1$$个是次品，正品重量都相等，次品比正品稍重一些，一架无砝码的天平至少称次可把次品找出来．

拓展思维->思想->逐步调整思想

天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小．  将$$16$$个零件分成$$6$$、$$6$$、$$4$$三组，先称量$$6$$，$$6$$的一组如果重量相等，则将$$4$$的那一组分为$$2$$，$$2$$的两组，接着称量，找出较重的一组，分为$$1$$，$$1$$的两组，进行第三次称量，找出次品；如果$$6$$，$$6$$的重量不相等，找出较重的一组分为$$3$$，$$3$$的两组，进行第二次称量，找出较重的一组，分为$$1$$，$$1$$，$$1$$的三组，任意挑选其中的两个，如果重量一样，那么另一个就是次品，再或者可以直接称量出来．这样只需$$3$$次即可找出次品．  故选$$\text{B}$$．


丽丽有 4 只狗，每只狗的体重都是整数 kg，且重量各不相同．已知它们的总重量为 60kg，第二重的狗有 28kg．请问第三重的狗体重是？

拓展思维->拓展思维->计数模块->枚举法综合->整数分拆

According to the given information, the 2nd heaviest dog is 28kg, so the sum of the remaining 3 dogs is: 60 - 28 = 32kg. So the heaviest one has at least 29kg, and the sum of the weight of the 2 remaining dogs is 3kg. Since none of them weigh the same, the weight of the 2 remaining dogs is 2kg and 1kg respectively. Choose A.  本题中，第二重的狗体重为$$28$$千克，剩余$$3$$只狗的体重和为：$$60-28=32$$（千克）．此时最重的狗体重至少为$$29$$千克，那么剩下的两只狗体重之和至多只有$$3$$千克，则它们的体重只能是$$1$$千克和$$2$$千克．因此第三重的狗体重为$$2$$千克．选$$\text{A}$$．


2010年北京学而思综合能力诊断三年级竞赛第3题

拓展思维->拓展思维->计算模块->数列与数表->数列规律->数列找规律填数


2008年五年级竞赛创新杯

植树节时，某班每人应平均植树6株，如果只有女生来完成，每人应植树15株，如果只有男生来完成，则每人应植树(  )株.

拓展思维->拓展思维->应用题模块->列方程解应用题->设而不求

设共有[6,15]=90棵数，所以共有90÷6=15位同学，其中女生有90÷15=6，那么男生有15-6=9位，平均植树90÷9=10棵，故选B


2017年全国华杯赛竞赛初赛模拟试卷3第1题

甲，乙两个小朋友，在一条环形路上面跑步，同时从同地反向跑，已知甲小朋友的速度是每秒$$5$$米，乙小朋友的速度是每秒$$7$$米，在$$14$$分钟内，他们相遇了 $$21$$次，则环形路长为（~ ~ ~）米．

拓展思维->拓展思维->行程模块->环形跑道->环形跑道中的相遇->环形相遇同时同地出发

设环形路长为$$M$$米，则甲、乙相遇$$1$$次所需时间是：  $$\frac{M}{5+7}=\frac{M}{12}$$（秒），所以$$14\times60\div\frac{M}{12}=21$$，因此，$$M=480$$．


2019年浙江杭州滨江区杭州江南实验学校五年级竞赛模拟（江南杯）第11题1分

两个因数的积保留两位小数后约是$$9.28$$，准确数可能是．

拓展思维->能力->数据处理


2015年第13届全国创新杯小学高年级五年级竞赛复赛第5题 2016年创新杯小学高年级五年级竞赛训练题（三）第5题

三个相邻奇数的积是一个六位数$$\overline{3abcd3}$$，那么这三个奇数的和为（~ ~ ~ ）．

拓展思维->能力->运算求解

末尾是$$3$$，三个奇数的末尾只能是$$7$$、$$9$$、$$1$$，考虑$$6$$位数，三个奇数是两位数，且首位在$$6 \tilde{  } 7$$之间，那么有$$67\times 69\times 71=328233$$满足，和是$$207$$．


2017年第13届湖北武汉新希望杯六年级竞赛决赛第2题

泸昆高铁最后一段贵阳至昆明于$$2016$$年$$12$$月$$28$$日开通运营，这对我国``一带一路''战略的实施和区域经济发展都有着重大意义．$$G1375$$次高铁$$11:06$$从上海虹桥站出发，当天$$22:56$$到达昆明南站，全程共$$1518$$千米，途中站点共计停车$$50$$分钟，扣除停车时间，$$G1375$$次高铁的平均速度为千米/时．

知识标签->学习能力->七大能力->逻辑分析


小学中年级三年级上学期其它 2017年全国华杯赛小学中年级竞赛初赛模拟第1题

甲乙两人在春节一共得$$210$$元压岁钱，甲给乙$$40$$元，还比乙多$$10$$元，那么，原来甲得了元压岁钱．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->和差倍问题->和差问题->二量和差问题->明和暗差


2009年第7届创新杯六年级竞赛初赛第10题4分 2009年六年级竞赛创新杯

拓展思维->拓展思维->数论模块->余数问题->余数的性质->余数的可乘性


2018年第6届湖北长江杯五年级竞赛初赛A卷第2题3分

$$a\textless{}b$$

$$a\textgreater b$$

$$a=b$$

无法确定

拓展思维->拓展思维->计算模块->比较与估算->比较大小综合->算式比较大小

因为$$0.988\times a$$的积和$$0.999\times b$$的积相等，  而$$0.988\textless{}0.999$$，  即一个因数变大，要使积不变，另一个因数需要变小，  所以$$a\textgreater b$$．  故选$$\text{B}$$．


2011年北京五年级竞赛

甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条$$a$$元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条$$b$$元，后来他又以每条$$\frac{a+b}{2}$$元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（~ ~ ~ ~）．

$$a\textgreater b$$

$$a\textless{b}$$

$$a=b$$

与$$a$$和$$b$$的大小无关

拓展思维->能力->运算求解

可根据题意算出买进和卖出鱼所花钱的总数，买进一共花了$$(3a+2b)$$元，一共卖了$$\frac{a+b}{2}$$$$\times5$$元，前者大于后者，即可推导出$$a\textgreater b$$．


2013年第9届全国新希望杯小学高年级六年级竞赛复赛第1题4分

知识标签->拓展思维->应用题模块->平均数问题->公式类->加权平均数

$$\left( 9\times 11+11\times 2+13\times 3 \right)\div 16=10$$．


2006年五年级竞赛创新杯 2006年第4届创新杯五年级竞赛初赛A卷第8题 2006年五年级竞赛创新杯

甲乙两人对同一数作除法，甲将其除以8，乙将其除以9，甲所得的商与乙所得的余数之和为13，则甲所得的余数为(  )．

拓展思维->拓展思维->数论模块->余数问题->余数问题带余除法


2019年第24届YMO二年级竞赛决赛第1题3分

$$42$$ children are lined up to go on an autumn trip,~ $$Y$$ is the $$22$$th from the front and $$M$$ is the~~$$22$$th from the back of the line. How many children are between $$Y$$ and $$X$$?  $$42$$个小朋友排成一队去秋游，从排头往后数，小$$Y$$是第$$22$$个，从排尾往前数，小$$M$$是第$$22$$个，小$$Y$$和小$$M$$中间有个人．

拓展思维->能力->运算求解

根据题意分析可知，小$$Y$$后面有$$42-22=20$$（人），$$22-20-1=1$$（人）．那么小$$M$$应该在小$$Y$$的正前方，所以小$$Y$$和小$$M$$之间有$$0$$个人．  故选：$$\text{A}$$．


2018年全国小学生数学学习能力测评六年级竞赛复赛第8题3分

球从高处自由落下，每次弹起的高度是前次下落高度的$$\frac{2}{5}$$，如果球从$$75$$米处落下，第二次弹起的高度是米．

拓展思维->思想->对应思想

第一次弹起：$$75\times \frac{2}{5}=30$$（米），  第二次弹起：$$30\times \frac{2}{5}=12$$（米）．  故选$$\text{D}$$．


2008年第6届创新杯四年级竞赛初赛B卷第4题5分 2008年四年级竞赛创新杯

由$$1$$，$$3$$，$$5$$，$$7$$，$$9$$五个数组成甲组数，$$2$$，$$4$$，$$6$$，$$8$$，四个数组成乙组数，从甲，乙两组数中各取一个数相加，可以得到不同的和的个数是(  )。

拓展思维->拓展思维->计数模块->枚举法综合->枚举法->有序枚举


2021年新希望杯四年级竞赛初赛第15题

以上都不对

拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->整数提取公因数->整数除法巧算之提取公除数（普通型）


2007年四年级竞赛创新杯 2007年第5届创新杯四年级竞赛第6题5分

设m和n是选自自然数$$1\sim 1004$$中的两个不同的数，那么$$\left( m+n \right)\div \left( m-n \right)$$的最大值 是(  )。

拓展思维->拓展思维->组合模块->抽屉原理->最不利原则

为使$$\left( m+n \right)\div \left( m-n \right)$$最大，应使$$m+n$$尽可能大，而$$m-n$$尽可能小，所以$$m=1004$$，$$n=1003$$，$$\left( m+n \right)\div \left( m-n \right)=2007$$为最大值。


2019年第23届广东世界少年奥林匹克数学竞赛二年级竞赛初赛第7题5分

有大、小两桶油共重$$44$$千克，两个桶都倒出同样多的油后，分别还剩$$14$$千克和$$10$$千克，小桶原来装油千克．

拓展思维->拓展思维->应用题模块->加减法应用->同增同减应用题->连筐（桶、瓶等）带物（考虑筐桶瓶等重量）


2017年河南郑州豫才杯六年级竞赛初赛第5题

12. 同学甲、同学乙两人在游乐场的直行道上进行$$200$$米赛跑，当同学甲跑到终点时．同学乙还差$$40$$米，现在两人重新跑，而且速度和原来一样，要使两人同时到达终点，那么同学甲的起跑线应往后退米．

拓展思维->拓展思维->行程模块->比例解行程问题->行程中的比例

比例解行程；相等的时间内，甲跑了$$200$$米时，乙跑了$$160$$米，甲乙的速度比是$$200:160=5:4$$，要使两人同时到达终点，乙跑了$$200$$米的时间内甲要跑$$200\div 4\times 5=250$$米，所以同学甲的起跑线应后退$$250-200=50$$米．


2020年希望杯二年级竞赛模拟第4题

请你根据数串的规律再横线上填上正确的答案：3,6,9,~\uline{~~~~~~~~~~}~，15.

拓展思维->拓展思维->计算模块->数列与数表->数列规律->数列找规律填数


2020年新希望杯二年级竞赛初赛（团战）第12题

$$10$$名同学参加$$50$$米赛跑．跑到一半的时候，小明后面有$$5$$人，前面有$$4$$人，之后，没有人超过他，而小明又超过了$$3$$人到达终点．这次比赛没有并列名次，那么小明是．

第一名

第二名

第三名

第四名

拓展思维->思想->对应思想

小明后面有$$5$$人，前面有$$4$$人，则他此时排在第$$5$$，之后，没有人超过他，小明又超过了$$3$$人后，他此时就是第二名．


2016年创新杯小学高年级六年级竞赛训练题（四）第7题

在$$\left[ \frac{{{1}^{2}}}{2017} \right]$$，$$\left[ \frac{{{3}^{2}}}{2017} \right]$$，$$\left[ \frac{{{5}^{2}}}{2017} \right]$$，\ldots，$$\left[ \frac{{{2017}^{2}}}{2017} \right]$$这$$1009$$个数中共有个互不相同的数（$$\left[ {}\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde{} \right]$$表示取整数，如$$\left[ \frac{13}{5} \right]=2$$）．

拓展思维->能力->数据处理