2021年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分

已知函数$$f(x)=\begin{cases}{{x}^{2}},x\textless{}0    -{{x}^{2}},x\geqslant 0    \end{cases}$$，若对$$\forall x\in ({{t}^{2}}-4,{{t}^{2}})$$，不等式$$f(x+t)\textless{}4f(x)$$恒成立，则实数$$t$$的取值范围是．

$$\left( \frac{1-\sqrt{17}}{2},\frac{1+\sqrt{17}}{2} \right)$$

$$\left[ \frac{1-\sqrt{17}}{2},\frac{1+\sqrt{17}}{2} \right]$$

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性->函数单调性的应用->利用函数单调性解不等式

课内体系->方法->单调性法

函数$$f(x)$$在$$\mathbf{R}$$上递减，且$$4f(x)=f(2x)$$，  所以$$f(x+t)\textless{}4f(x)\Leftrightarrow f(x+t)\textless{}f(2x)\Leftrightarrow x+t\textgreater2x\Leftrightarrow t\textgreater x$$，  所以$$t\geqslant {{t}^{2}}$$，解得$$0\leqslant t\leqslant 1$$．  故选$$\text{D}$$．


2019~2020学年3月湖北武汉洪山区武汉市洪山高级中学（武汉外国语学校光谷分校）高二下学期月考第10题

2008年全国高中数学联赛竞赛一试第3题6分

甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得$$1$$分，负者得$$0$$分，比赛进行到有一人比对方多$$2$$分或打满$$6$$局时停止．设甲在每局中获胜的概率为$$\frac{2}{3}$$，乙在每局中获胜的概率为$$\frac{1}{3}$$，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已$$4$$局的概率为．

竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步

课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->事件的独立性->相互独立事件的概率乘法公式

课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->互斥事件->互斥事件的概率加法公式


2018~2019学年四川成都青羊区成都市树德中学（光华校区）高一下学期期中理科第6题5分

2008年全国高中数学联赛竞赛一试第1题6分

竞赛->知识点->函数->函数的概念 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质 竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->均值


随机投掷三颗骰子，下列说法中正确的是（~~~~~~~）

\hfill\break 【分析】\\ 利用古典概率的概率公式可得各选项中的概率.\\ 【详解】\\ 有两颗骰子之和为7的可能为$1+6,2+5,3+4$，对应的基本事件数为$(4\times 3!+2\times 3)\times 3=90$，\\ 因此所求概率为$\frac{90}{6^{3}}=\frac{5}{12}$．\\ 有两颗骰子之和为8的可能为$2+6,3+5,4+4$，对应的基本事件数为$(4\times 3!+2\times 3)\times 2+(5\times 3+1)=76$，\\ 因此所求概率为$\frac{76}{6^{3}}=\frac{19}{54}$．\\ 所有骰子中最小值为2，则按2出现次数分类，对应的基本事件数为$(6\times 3!+4\times 3)+4\times 3+1=61$，\\ 因此所求概率为$\frac{61}{6^{3}}=\frac{61}{216}$．\\ 所有骰子中最小值为3，则按3出现次数分类，对应的基本事件数为$(3\times 3!+3\times 3)+3\times 3+1=37$，\\ 因此所求概率为$\frac{37}{6^{3}}=\frac{37}{216}$．\\ 故选：B


$$2002-AMC12A-10$$  Sarah places four ounces of coffee into an eight-ounce cup and four ounces of cream into a second cup of the same size. She then pours half the coffee from the first cup to the second and, after stirring thoroughly, pours half the liquid in the second cup back to the first. What fraction of the liquid in the first cup is now cream?  莎拉将 4 盎司咖啡放入一个 8 盎司的杯子中，将 4 盎司奶油放入第二个相同大小的杯子中。 然后，她将第一杯咖啡的一半倒入第二杯，充分搅拌后，将第二杯中的一半液体倒回第一杯。 第一杯里的液体有多少是奶油？

美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Proportion Word Problems

课内体系->知识点->集合->容斥原理

她将第一杯咖啡的一半倒入第二杯，充分搅拌后，第二杯中有$$2$$盎司咖啡，$$4$$盎司奶油。将第二杯中的一半液体倒回第一杯，第一杯中的奶油有$$2$$盎司。 第一杯里的液体有$$5$$盎司，有2/5是奶油


1989年全国高中数学联赛竞赛一试第10题

一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为~\uline{~~~~~~~~~~}~．

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列


全国全国高中数学联赛竞赛一试

已知三个平面$$\alpha $$、$$\beta $$、$$\lambda $$，每两个平面之间的夹角都是$$\theta $$，且$$\alpha \cap \beta =a$$，$$\beta \cap \gamma =b$$，$$\gamma \cap \alpha =c$$．若有：  命题甲：$$\theta \textgreater\frac{ \pi }{3}$$．  命题乙：$$a$$，$$b$$，$$c$$相交于一点．  则．

甲是乙的充分非必要条件

甲是乙的必要非充分条件

甲是乙的充分必要条件

甲是乙的非充分非必要条件

课内体系->知识点->立体几何初步->基本图形位置关系->空间中的基本事实与定理

课内体系->知识点->常用逻辑用语->充分条件与必要条件->充要条件与立体几何结合

课内体系->素养->逻辑推理

设$$a$$，$$b$$，$$c$$交于一点，  由所成三面角内部一点引三条射线分别垂直于$$\alpha $$、$$\beta $$、$$\lambda $$，  其中每两条射线所成的角都是$$ \pi -\varphi $$，  $$\varphi $$为三面角中两两相等的二面角的平面角，  总和$$3( \pi -\varphi )\textless{}2 \pi $$，  ∴$$\varphi \textgreater\frac{1}{3} \pi $$．  当$$\varphi \textgreater\frac{2}{3} \pi $$时，$$\varphi \textgreater\frac{1}{3} \pi $$．  若$$a$$，$$b$$，$$c$$不交于一点，则互相平行，  这时$$\varphi \textgreater\frac{1}{3} \pi $$．  故选$$\text{A}$$．  （注：认定两平面间夹角范围是$$0\textless{}\theta {\leqslant }\frac{1}{2} \pi $$）


2019年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

设集合$$A=\left { 2,0,1,3 \right }$$，$$B=\left { x\left\textbar{} -x\in A,2-{{x}^{2}}\notin A \right. \right }$$，则集合$$B$$中所有元素的积为．

竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算

课内体系->知识点->集合->集合的概念与表示方法->集合的含义、元素与集合->集合的概念

易知，$$B=\left { -2,-3 \right }$$，  则集合$$B$$中所有元素的积为$$6$$．  故选$$\text{C}$$．


1999年全国全国高中数学联赛竞赛一试第6题6分

已知点$$A\left( 1,2 \right)$$，过点$$\left( 5,-2 \right)$$的直线与抛物线$${{y}^{2}}=4x$$交于另外两点$$B,C$$，那么，$$\triangle ABC$$是（~ ）．

锐角三角形

钝角三角形

直角三角形

不确定

竞赛->知识点->解析几何->抛物线 竞赛->知识点->解析几何->直线与圆锥曲线


2008年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分 2019~2020学年辽宁高一上学期期中（辽南协作体）第11题5分

设$$f(x)$$在$$[0,1]$$上有定义，要使函数$$f(x-a)+f(x+a)$$有定义，则$$a$$的取值范围为．

$$\left( -\infty ,-\frac{1}{2} \right)$$

$$\left[ -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right]$$

$$\left( \frac{1}{2},+\infty \right)$$

$$\left( -\infty ,-\frac{1}{2} \right]\cup \left[ \frac{1}{2},+\infty \right)$$

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->不等式的性质 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质 竞赛->知识点->函数->函数的概念

函数$$f(x-a)+f(x+a)$$的定义域为$$[a,1+a]\cap [-a,1-a]$$．  当$$a\geqslant 0$$时，应有$$a\leqslant 1-a$$，即$$a\leqslant \frac{1}{2}$$；  当$$a\leqslant 0$$时，应有$$-a\leqslant 1+a$$，即$$a\geqslant -\frac{1}{2}$$．故选$$\text{B}$$．


$$2009-AMC10A-20$$  Andrea and Lauren are $$20$$ kilometers apart. They bike toward one another with Andrea traveling three times as fast as Lauren, and the distance between them decreasing at a rate of~ $$1$$ kilometer per minute. After $$5$$ minutes, Andrea stops biking because of a flat tire and waits for Lauren. After how many minutes from the time they started to bike does Lauren reach Andrea?  安德里亚和劳伦相距 20 公里。 他们骑自行车相向而行，$$Andrea$$ 的速度是 Lauren 的三倍，而且他们之间的距离以每分钟 1 公里的速度减少。 5 分钟后，安德里亚因为轮胎漏气而停止骑自行车并等待劳伦。 在他们开始骑自行车几分钟后，劳伦与安德里亚相遇？

课内体系->知识点->等式与不等式->等式->方程组的解集

美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Equation Word Problems

Let their speeds in kilometers per hour be $$v_A$$ and $$v_L$$. We know that $$vA=3vL$$ and that $$v_A+v_L=60$$. (The second equation follows from the fact that $$1\rm km/min=60\rm km/h)$$. This solves to $$v_A=45$$ and $$v_L=15$$.  As the distance decreases at a rate of $$1$$ kilometer per minute, after $$5$$ minutes the distance between them will be $$20-5=15$$ kilometers.  From this point on, only~ Lauren will be riding her bike. As there are $$15$$ kilometers remaining and $$vL=15$$, she will need exactly an hour to get to Andrea. Therefore the total time in minutes is $$5+60= 65$$.  Because the speed of Andrea is $$3$$ times as fast as Lauren and the distance between them is decreasing at a rate of $$1$$ kilometer per minute, Andrea\textquotesingle s speed is $$\dfrac{3}{4}\rm km/min$$,and Lauen\textquotesingle s $$\dfrac{1}{4}\rm km/min$$. Therefore, after $$5$$ minutes, Andrea will have biked $$\dfrac{3}{4}\cdot 5= \dfrac{15}{4}\rm km$$. In all, Lauren will have to bike $$20- \dfrac{15}{4}= \dfrac{80}{4}- \dfrac{15}{4}= \dfrac{65}{4}\rm km$$. Because her speed is$$\dfrac{1}{4}\rm km/\min$$, the time elapsed will be$$\dfrac{65}{\dfrac{4}{\dfrac{1}{4}}}=\left( \rm D\right)65$$.


2008年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

竞赛->知识点->解析几何->椭圆


2014年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分

下列函数既是奇函数，又在区间$$\left[ -1,  1 \right]$$上单调递减的是．

$$f\left( x \right)=\sin x$$

$$f\left( x \right)=-\left\textbar{} x+1 \right\textbar$$

$$f\left( x \right)=\frac{1}{2}\left( {{a}^{x}}+{{a}^{-x}} \right)$$

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质

设$$f\left( x \right)=\ln \frac{2-x}{2+x}$$，  则$$f\left( -x \right)=\ln \frac{2+x}{2-x}=-\ln \frac{2-x}{2+x}=-f\left( x \right)$$，  因此，$$f\left( x \right)=\ln \frac{2-x}{2+x}$$是奇函数．  又$$t=\frac{2-x}{2+x}=-1+\frac{4}{2+x}$$为区间$$\left[ -1,  1 \right]$$上的单调递减函数，$$y=\ln t$$为区间$$\left( 0,  +\infty \right)$$上的单调递增函数，而$$f\left( x \right)=\ln \frac{2-x}{2+x}$$为$$y=\ln t$$与$$t=\frac{2-x}{2+x}$$的复合函数，因此函数$$f\left( x \right)=\ln \frac{2-x}{2+x}$$在区间$$\left[ -1,  1 \right]$$上单调递减．


2008年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分

圆锥的轴截面$$SAB$$是边长为$$2$$的正三角形，$$O$$为底面的中心，$$M$$为$$SO$$的中点，动点$$P$$在圆锥的底面内（包括圆周），若$$AM\bot MP$$，则点$$P$$形成的轨迹长度为．

课内体系->知识点->立体几何初步->基本图形位置关系->探索性问题->截面的探索问题

课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的概念->圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征

课内体系->素养->数学运算

课内体系->素养->直观想象


2008年福建全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

已知一个正三棱柱的底面边长为$$1$$，且两个侧面的异面对角线互相垂直．则它的侧棱长为．

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题

设$$ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$$是正三棱柱，侧棱的长为$$a$$，  侧面对角线$$A{{B}_{1}}$$与$$B{{C}_{1}}$$互相垂直．则$$\overrightarrow{{{B}_{1}}A}\cdot \overrightarrow{B{{C}_{1}}}=0$$，  即$$(\overrightarrow{{{B}_{1}}B}+\overrightarrow{BA})\cdot (\overrightarrow{B{{B}_{1}}}+\overrightarrow{{{B}_{1}}{{C}_{1}}})=0$$，  所以$$\overrightarrow{{{B}_{1}}B}\cdot \overrightarrow{B{{B}_{1}}}+\overrightarrow{{{B}_{1}}B}\cdot \overrightarrow{{{B}_{1}}{{C}_{1}}}+\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{B{{B}_{1}}}+\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{{{B}_{1}}{{C}_{1}}}=0$$，  即$$-{{a}^{2}}+0+0+\cos 60{}^{}\circ =0$$．  可得$$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$$．故选$$\text{B}$$．


2008年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第9题6分

向量$$\overrightarrow{a}=(1,-1)$$，$$\overrightarrow{b}=(-1,2)$$，则$$\left( 2a+b \right)\cdot a=$$(  )

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->平面向量的线性运算->平面向量的加法运算及运算规则

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->平面向量数量积运算（非坐标）

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->数量积的坐标表达式

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->线性运算和数量积综合问题

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->向量的数量积的定义

$$a=\left( 1,-1 \right)$$，$$b=\left( -1,2 \right)$$，$$\therefore \left( 2a+b \right)\cdot a=\left( 1,0 \right)\cdot \left( 1,-1 \right)=1$$．


2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第2题5分 2020~2021学年北京高三单元测试 2020~2021学年北京高二单元测试 竞赛

在$${{\left( 2019\times 2020 \right)}^{2021}}$$的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数，则最多可选因数个数为．

前三个答案都不对

竞赛->知识点->数论模块->整除->带余除法（辗转相除法）


2023年江苏连云港灌南县灌南县中学高三竞赛（下学期3月解题能力竞赛）第8题

\hfill\break 【分析】\\ 先求出椭圆左焦点$F_{1}$坐标为$(-2,0)$，由题得$\textbar{} \left\textbar{} PA\right\textbar{} -\left\textbar{} PF_{1}\right\textbar{} \textbar{} =\textbar{} 8-2a\textbar{} \leq \textbar{} AF_{1}\textbar{} =2$，解不等式得到$3\leq a\leq 5$，再解不等式$\frac{4}{a^{2}}+\frac{4}{4-a^{2}}\textless{} 1$即得解.\\ 【详解】\\ 点$Q\left(a,b\right)$在双曲线$E$：$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}=1$上，所以$a^{2}-b^{2}=4$.\\ 所以椭圆左焦点$F_{1}$坐标为$(-2,0)$.\\ 因为$\left\textbar{} PA\right\textbar{} +\left\textbar{} PF_{2}\right\textbar{} =8$，所以$\left\textbar{} PA\right\textbar{} +2a-\left\textbar{} PF_{1}\right\textbar{} =8,\therefore \textbar{} \left\textbar{} PA\right\textbar{} -\left\textbar{} PF_{1}\right\textbar{} \textbar{} =\textbar{} 8-2a\textbar{} \leq \textbar{} AF_{1}\textbar{} =2$,\\ 所以$3\leq a\leq 5$.\\ 因为$a^{2}-b^{2}=4$，所以$b^{2}=a^{2}-4$.\\ 点$A\left(-2,2\right)$为椭圆$C$内一点，所以$\frac{4}{a^{2}}+\frac{4}{b^{2}}\textless{} 1,\therefore \frac{4}{a^{2}}+\frac{4}{a^{2}-4}\textless{} 1$，\\ 所以$a^{4}-12a^{2}+16\textgreater{} 0,\therefore a\textgreater{} \sqrt{5}+1$或$a\textless{} \sqrt{5}-1$.\\ 综上：$\sqrt{5}+1\textless{} a\leq 5$.\\ 故选：A


2010年河南全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

竞赛->知识点->解析几何->曲线与方程 竞赛->知识点->解析几何->双曲线


1986年全国高中数学联赛竞赛一试第2题

设$$Z$$为复数，$$M= {Z\textbar{{\left( Z-1 \right)}^{2}}=\textbar Z-1{{\textbar}^{2}} }$$，那么（~ ）．

$$M=$${纯虚数}

$$M=$${实数}

{实数}$$\subset M\subset $${复数}

$$M=$${复数}

竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算


2012年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分 2011年高考真题湖北卷理科第1题

$$-\text{i}$$

$$\text{i}$$

知识标签->知识点->复数->复数的运算->复数的乘法和除法 知识标签->素养->数学运算 知识标签->题型->复数->复数的运算->复数中的周期问题


2008年福建全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分

方程$$\left\textbar{} {{x}^{2}}-3x+2 \right\textbar+\left\textbar{} {{x}^{2}}+2x-3 \right\textbar=11$$实数解的个数是．

竞赛->知识点->多项式与方程->解方程（组）

原方程可以转化为$$\left\textbar{} x-1 \right\textbar(\left\textbar{} x-2 \right\textbar+\left\textbar{} x+3 \right\textbar)=11$$．  当$$x\leqslant -3$$时，方程转化为$$2{{x}^{2}}-x-12=0$$，  它的两个根都大于$$-3$$，此时无解；  当$$-3\textless{}x\leqslant 1$$时，方程转化为$$-5x+5=11$$，  所以$$x=-\frac{6}{5}$$，满足题意；  当$$1x\leqslant 2$$时，方程转化为$$5x-5=11$$，  所以$$x=\frac{16}{5}\textgreater2$$，此时无解；  当$$x\textgreater2$$时，方程转化为$$2{{x}^{2}}-x-12=0$$，  其中一个根$$x=\frac{1+\sqrt{97}}{4}$$满足题意．  综上所述，满足方程的实数解有$$2$$个．故选$$\text{C}$$．


2008年山西全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

垂直

平行

重合

其他情况

竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换 竞赛->知识点->解析几何->直线与方程


2005年全国高中数学联赛竞赛一试第5题6分

2019~2020学年上海浦东新区华东师范大学第二附属中学高一下学期单元测试《任意角的三角比》（实验班）第7题

2019~2020学年上海浦东新区华东师范大学第二附属中学高二上学期单元测试第3题

焦点在$$x$$轴上的椭圆

焦点在$$x$$轴上的双曲线

焦点在$$y$$轴上的椭圆

焦点在$$y$$轴上的双曲线

竞赛->知识点->解析几何->轨迹方程（二试）

∵$$\sqrt{2}+\sqrt{3}\textgreater{} \pi $$，$$\therefore 0\textless{}\frac{ \pi }{2}-\sqrt{2}\textless{}\sqrt{3}-\frac{ \pi }{2}\textless{}\frac{ \pi }{2}$$，$$\therefore \cos \left( \frac{ \pi }{2}-\sqrt{2} \right)\textgreater\cos \left( \sqrt{3}-\frac{ \pi }{2} \right)$$  即$$\sin \sqrt{2}\textgreater\sin \sqrt{3}$$．  又$$0\textless{}\sqrt{2}\textless{}\frac{ \pi }{2}$$，$$\frac{ \pi }{2}\textless{}\sqrt{3}\textless{} \pi $$，  $$\therefore \cos \sqrt{2}\textgreater0$$，$$\cos \sqrt{3}\textless{}0$$，$$\therefore \cos \sqrt{2}-\cos \sqrt{3}\textgreater0$$，  方程表示的曲线是椭圆．  ∵$$(\sin \sqrt{2}-\sin \sqrt{3})-(\cos \sqrt{2}-\cos \sqrt{3})$$  $$=2\sqrt{2}\sin \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}\sin \left( \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}+\frac{ \pi }{4} \right)$$\ldots\ldots$$(*)$$  $$-\frac{ \pi }{2}\textless{}\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}\textless{}0$$，$$\therefore \sin \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}\textless{}0$$，$$\frac{ \pi }{2}\textless{}\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}\textless{}\frac{3 \pi }{4}$$，$$\therefore \frac{3 \pi }{4}\textless{}\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}+\frac{ \pi }{4}\textless{} \pi $$．  $$\therefore \sin \left( \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}+\frac{ \pi }{4} \right)\textgreater0$$，$$\therefore (*)$$式$$\textless{}0$$．  即$$\sin \sqrt{2}-\sin \sqrt{3}\textless{}\cos \sqrt{2}-\cos \sqrt{3}$$．  ∴曲线表示焦点在$$y$$轴上的椭圆，  故选$$\text{C}$$．


2011年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分

已知$$pa,  b,  c,  d$$成等比数列，$$q:ad=bc$$， 则$$p$$是$$q$$的．

充分不必要条件

必要不充分条件

充分且必要条件

既不充分也不必要条件

竞赛->知识点->逻辑->常用逻辑用语 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列

充分性显然成立，必要性不成立．例：$$a=1,  b=2,  c=5,  d=10$$.


2008年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

$$2008$$年中国北京奥运会吉祥物由$$5$$个``中国福娃''组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有两套不同大小的福娃（共$$10$$个福娃），从两套福娃中任意选出$$5$$个福娃，恰好缺一个组成完整``奥运会吉祥物''的选法有．

竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合


2014~2015学年浙江杭州高一下学期期末理科第24题3分 2011年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

函数$$f\left( x \right)=\sqrt{x-3}+\sqrt{12-3x}$$的值域为(  )．

$$\left[ 1,\frac{3}{2} \right]$$

课内体系->方法->换元法

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的值域->求函数的值域->用换元法求值域

对于$$f(x)$$，有$$3\leqslant x\leqslant 4$$，则$$0\leqslant x-3\leqslant 1$$，  令$$x-3={{\sin }^{2}}\theta $$，$$0\leqslant \theta \leqslant \frac{ \pi }{2}$$，  则$$f\left( x \right)=\sqrt{x-3}+\sqrt{3\left( 4-x \right)}=\sin \theta +\sqrt{3\left( 1-{{\sin }^{2}}\theta \right)}=\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta =2\sin \left( \theta +\frac{ \pi }{3} \right)$$，  ∵$$\frac{ \pi }{3}\leqslant \theta +\frac{ \pi }{3}\leqslant \frac{5 \pi }{6}$$，  ∴$$\frac{1}{2}\leqslant \sin \left( \theta +\frac{ \pi }{3} \right)\leqslant 1$$，$$1\leqslant 2\sin \left( \theta +\frac{ \pi }{3} \right)\leqslant 2$$．  函数$$f\left( x \right)=\sqrt{x-3}+\sqrt{12-3x}$$的值域为$$[1,2]$$．  故选$$\text{D}$$．


2019年福建全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分

课内体系->知识点->复数->复数的概念及几何意义 竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算


2015年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分 2005年全国高中数学联赛竞赛一试第1题6分

使关于$$x$$的不等式$$\sqrt{x-3}+\sqrt{6-x}\geqslant k$$有解的实数$$k$$的最大值是（~ ~ ）．

竞赛->知识点->不等式->不等式的解法


2010年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分

充分必要条件

充分而不必要条件

必要而不充分条件

既不充分也不必要条件

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列 竞赛->知识点->逻辑->常用逻辑用语


2012年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

充分不必要条件

必要不充分条件

充要条件

既不充分也不必要条件

课内体系->素养->数学运算 课内体系->素养->逻辑推理 课内体系->知识点->常用逻辑用语->充分条件与必要条件->充要条件与数列结合 课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算->对数的运算


2010年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

``函数$$f(x)$$在$$\left[ a,b \right]$$上单调''是``函数$$f(x)$$在$$\left[ a,b \right]$$上有最大值和最小值''的．

充分条件而非必要条件

必要条件而非充分条件

充分必要条件

即非充分条件亦非必要条件

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质

若$$f(x)$$在$$\left[ a,b \right]$$上单调，则$$f(a)$$和$$f(b)$$一个是最大值，另一个是最小值，故是充分条件；如，$$\sin x$$在$$\left[ 0, \pi ~\right]$$上有最大值$$1$$和最小值$$0$$，但不单调，故不是必要条件．


2016年河北全国高中数学联赛高三竞赛初赛第5题8分

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式 竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->柯西


2010年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分

$$a\textgreater b\textgreater1$$

$$b\textgreater a\textgreater1$$

$$a\textgreater1$$，$$0 \textless{} b \textless{} 1$$

$$0 \textless{} a \textless{} 1$$，$$b\textgreater1$$

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->证明不等式的基本方法->比较法 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->不等式的性质 课内体系->知识点->基本初等函数->指数函数->指数函数的图象及性质 课内体系->素养->逻辑推理 课内体系->素养->数学运算

首先，$$a\textgreater1$$，$$b\textgreater1$$．否则，  若$$0 \textless{} a \textless{} 1$$，则$${{a}^{n}}=a+1\textgreater1$$，从而$$a\textgreater1$$，矛盾；  若$$0 \textless{} b \textless{} 1$$，$${{b}^{2n}}=b+3a\textgreater3a\textgreater3$$，从而$$b\textgreater1$$，矛盾．  故$$a$$、$$b$$均大于1．  一方面，$${{a}^{2n}}-{{b}^{2n}}={{\left( a+1 \right)}^{2}}-\left( b+3a \right)={{a}^{2}}-a-b+1$$．  另一方面，$${{a}^{2n}}-{{b}^{2n}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2n-1}}+{{a}^{2n-2}}b+\cdots +{{b}^{2n-1}} \right)$$．  故$${{a}^{2}}-a-b+1$$  $$=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2n-1}}+{{a}^{2n-2}}b+\cdots +{{b}^{2n-1}} \right)$$，  即$$\frac{{{a}^{2}}-a-b+1}{a-b}$$  $$={{a}^{2n-1}}+{{a}^{2n-2}}b+\cdots +{{b}^{2n-1}}\textgreater1$$．  $$\therefore \frac{{{a}^{2}}-2a+1}{a-b}\textgreater0$$，即$$\frac{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}{a-b}\textgreater0$$．故$$a\textgreater b$$．  综上所述，有$$a\textgreater b\textgreater1$$．


2021~2022学年安徽阜阳太和县安徽省太和中学高一下学期月考（竞赛考试）第2~2题

$$(-\infty ,2)\cup (2,+\infty )$$

$$(-\infty ,-2)\cup (-2,2)$$

$$(-\infty ,-2)$$

$$(-\infty ,2)$$

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的定义域

\hfill\break 根据函数解析式，只需解析式有意义，即$$\left { \begin{array}{*{35}{l}} 2-x\textgreater0    x+2\ne 0    \end{array} \right.$$，解不等式即可求解.\\ 【详解】\\ 由$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2-x}}+{{(x+2)}^{0}}$$，\\ 则$$\left { \begin{array}{*{35}{l}} 2-x\textgreater0    x+2\ne 0    \end{array} \right.$$，解得$$x\textless{} 2$$且$$x\ne -2$$，\\ 所以函数的定义域为$$\left( -\infty ,-2 \right)\cup \left( -2,2 \right)$$.\\ 故选：B