2011年甘肃全国高中数学联赛竞赛初赛第8题7分

课内体系->知识点->几何证明选讲 竞赛->知识点->组合->容斥原理与极端原理（二试） 竞赛->知识点->数论模块->取整函数->与[x]有关的方程和不等式

在平面上，由满足$${{[x]}^{2}}+{{[y]}^{2}}=50$$的点所形成的图形关于$$x$$轴,y轴对称，可先考察第一象限的情况，即当$$x\textgreater0,  y\textgreater0$$时，由$${{[x]}^{2}}+{{[y]}^{2}}=50$$得  $$\begin{cases}{{[x]}^{2}}=49    {{[y]}^{2}}=1   \end{cases}\begin{cases}{{[x]}^{2}}=25     {{[y]}^{2}}=25   \end{cases}\begin{cases}{{[x]}^{2}}=1    {{\left[ y \right]}^{2}}=49   \end{cases}$$  所以相应有  $$\begin{cases}[x]=7    [y]=1   \end{cases}\begin{cases}[x]=5    [y]=5   \end{cases}\begin{cases}[x]=1    [y]=7   \end{cases}$$  因此  $$\begin{cases}7\leqslant x\textless{}8    1\leqslant y\textless{}2   \end{cases}\begin{cases}5\leqslant x\textless{}6    5\leqslant y\textless{}6   \end{cases}\begin{cases}1\leqslant x\textless{}2    7\leqslant y\textless{}8   \end{cases}$$  所以在第一象限形成的图形的面积由容斥原理计算为$$3$$．  故在平面上，由满足$${{[x]}^{2}}+{{[y]}^{2}}=50$$的点所形成的图形的面积是$$12$$．


1995年全国高中数学联赛竞赛一试第2题

竞赛->知识点->复数与平面向量->模、辐角与单位根 竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算


1999年全国全国高中数学联赛竞赛一试第4题6分

给定下列两个关于异面直线的命题：  命题Ⅰ：若平面$$\alpha $$上的直线$$a$$与平面$$\beta $$上的直线$$b$$为异面直线，直线$$c$$是$$\alpha $$与$$\beta $$的交线，那么，$$c$$至多与$$a,b$$中的一条相交；  命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线．  那么（  ）.

命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确

命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确

两个命题都正确

两个命题都不正确

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的平行和垂直

易知命题Ⅰ不正确；  又可以取无穷多个平行平面，  在每个平面上取一条直线，  且使这些直线两两不同向，  则这些直线中的任意两条都是异面直线，  从而命题Ⅱ也不正确．


2012年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第10题8分

从公路旁的材料工地沿笔直公路向同一方向运送电线杆到$$500\text{m}$$以外的公路边埋栽，在$$500\text{m}$$处栽一根，然后每间隔$$50\text{m}$$在公路边栽一根．已知运输车辆一次最多只能运$$3$$根，要完成运栽$$20$$根电线杆的任务，并返回材料工地，则运输车总的行程最小为~ ．

以上都不对

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和 课内体系->知识点->数列


2005年全国高中数学联赛竞赛一试第6题6分

$$\frac{5}{7}+\frac{5}{{{7}^{2}}}+\frac{6}{{{7}^{3}}}+\frac{3}{{{7}^{4}}}$$

$$\frac{5}{7}+\frac{5}{{{7}^{2}}}+\frac{6}{{{7}^{3}}}+\frac{2}{{{7}^{4}}}$$

$$\frac{1}{7}+\frac{1}{{{7}^{2}}}+\frac{0}{{{7}^{3}}}+\frac{4}{{{7}^{4}}}$$

$$\frac{1}{7}+\frac{1}{{{7}^{2}}}+\frac{0}{{{7}^{3}}}+\frac{3}{{{7}^{4}}}$$

竞赛->知识点->数论模块->整除->质数（算数基本定理） 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算


2009年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第9题6分

以四面体的顶点和各棱中点为顶点的空间四边形有 ．

竞赛->知识点->排列组合与概率->两个基本计数原理 竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合

四面体有$$4$$个顶点和$$6$$条棱，每条棱有$$1$$个中点，其有$$10$$个点，从其中任取$$4$$个不共面的点有以下几种情况：  ①这$$4$$个点都是顶点的取法只有$$1$$种；  ②这$$4$$个点中有$$3$$个顶点的取法共有$$4\times 3$$=12（种）；  ③这$$4$$个点中有$$2$$顶点的取法共有$$6\times (\text{C}_{5}^{2}-2)=48$$（种）；  ④这$$4$$个点中有$$1$$个顶点的取法共有$$4\times (\text{C}_{6}^{3}-3)=68$$（种）；  ⑤这$$4$$个点中没有顶点的取法共有$$\text{C}_{6}^{4}-3=12$$（种）．  综上所述，从这$$10$$个点中取$$4$$个不共面的点的取法共有  $$1+12+48+68+12=141$$（种）．  每不共面的$$4$$个点可以构成$$3$$个不同的空间四边形，则以这$$10$$个点为顶点的空间四边形共有$$141\times 3=423$$（个）．

从这$$10$$个点中任取$$4$$个，共有$$\text{C}_{10}^{4}=210$$（种）取法，其中取出的$$4$$个点共面的情况共有以下$$3$$种：

①从每个面上的$$6$$个点中任取$$4$$个点都共面，这样的取法共有$$4\text{C}_{6}^{4}=60$$（种）；

②每个棱上的$$3$$个点与相对棱的中点共面，这样的取法共有$$6$$种；

③去掉$$1$$组相对棱后，其余四棱的中点共面，这样的取法共有$$3$$种．

综上所述，所取$$4$$点共面的取法共$$60+6+3=69$$（种）．所以，所取$$4$$点不共面的取法共有$$210-69=141$$（种），以下同方法$$1$$．故选$$\text{C}$$．


2012年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分

设椭圆与$$x$$轴交于$$A$$、$$B$$两点，已知对于椭圆上不同于$$A$$、$$B$$的任意一点$$P$$，直线$$AP$$与$$BP$$的斜率之积均为$$-\frac{1}{2}$$，则椭圆的离心率为．

竞赛->知识点->解析几何->椭圆


$$2003-AMC12B-11$$  Cassandra sets her watch to the correct time at noon. At the actual time of $$1:00$$ PM, she notices that her watch reads $$12:57$$ and $$36$$ seconds. Assuming that her watch loses time at a constant rate, what will be the actual time when her watch first reads $$10:00$$ PM?  卡桑德拉将手表调到中午的正确时间。 在 $$1:00$$ PM 的实际时间，她注意到她的手表显示 $$12:57$$ : $$36$$ 。 假设她的手表以恒定的速率走时，当她的手表第一次显示 $$10:00$$PM 时的实际时间是多少？

$$10:22$$ PM and $$24$$ seconds

$$10:24$$ PM

$$10:25$$ PM

$$10:27$$ PM

$$10:30$$ PM

课内体系->知识点->函数的应用->函数的实际应用->一次函数模型

美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Reasoning->Simple Logical Reasoning


2020~2021学年12月贵州贵阳观山湖区贵阳市第一中学高一上学期月考第12题3分

2017年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

竞赛->知识点->函数->基本初等函数 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质


2008年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质


$$2017~ AMC10B$$ P20  The number $$21!=51,090,942,171,709,440,000$$, has over $$60,000$$ positive integer divisors. One of them is chosen at random. What is the probability that it is odd?  数字21！=51,090,942,171,709,440,000，有超过$60,000$ 个的正整数因数。随机选择其中一个，它是奇数的概率是多少？

美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Probability Calculation->Classical Models of Probabilities

Solution 1  We note that the only thing that affects the parity of the factor are the powers of $$2$$. There are $$10+5+2+1=18$$ factors of $$2$$ in the number. Thus, there are $$18$$ cases in which a factor of $$21!$$ would be even (have a factor of $$2$$ in its prime factorization), and $$1$$ case in which a factor of $$21!$$ would be odd. Therefore, the answer is $$\frac 1{19}$$.  Solution 2  Consider how to construct any divisor $$D$$ of $$21!$$. First by Legendre\textquotesingle s theorem for the divisors of a factorial , we have that there are a total of $$18$$ factors of $$2$$ in the number. $$D$$ can take up either $$0$$,$$1$$,$$2$$,$$3$$,$$\cdots$$, or all $$18$$ factors of $$2$$, for a total of $$19$$ possible cases. In order for $$D$$ to be odd, however, it must have $$0$$ factors of $$2$$, meaning that there is a probability of $$1$$ case$$/19$$ cases$$=\frac 1{19}$$.


1998年全国高中数学联赛竞赛一试第13题20分

已知复数$$z=1-\sin \theta +\text{i}\cos \theta \left( \frac{ \pi }{2} ~\textless{} ~\theta ~~\textless{} ~ \pi \right)$$，求$$z$$的共轭复数$$\overline{z}$$的辐角主值．

$$\frac{ \pi }{4}-\frac{\theta }{2}$$

$$\frac{ \pi }{4}+\frac{\theta }{2}$$

$$\frac{3 \pi }{4}-\frac{\theta }{2}$$

$$\frac{3 \pi }{4}+\frac{\theta }{2}$$

课内体系->知识点->复数->复数的三角形式 竞赛->知识点->复数与平面向量->模、辐角与单位根

$$z=1+\cos \left( \frac{ \pi }{2}+\theta \right)+\text{i}\sin \left( \frac{ \pi }{2}+\theta \right)=2{{\cos }^{2}}\frac{\frac{ \pi }{2}+\theta }{2}+2\text{i}\sin \frac{\frac{ \pi }{2}+\theta }{2}\cos \frac{\frac{ \pi }{2}+\theta }{2}$$  $$=2\cos \frac{\frac{ \pi }{2}+\theta }{2}\left( \cos \frac{\frac{ \pi }{2}+\theta }{2}+\text{i}\sin \frac{\frac{ \pi }{2}+\theta }{2} \right)$$．  当$$\frac{ \pi }{2} ~\textless{} ~\theta ~~\textless{} ~ \pi $$时，$$\overline{z}=-2\cos \frac{\frac{ \pi }{2}+\theta }{2}\left( -\cos \frac{\frac{ \pi }{2}+\theta }{2}+\text{i}\sin \frac{\frac{ \pi }{2}+\theta }{2} \right)$$  $$=-2\cos \left( \frac{ \pi }{4}+\frac{\theta }{2} \right)\left( \cos \left( \frac{3 \pi }{4}-\frac{\theta }{2} \right)+\text{i}\sin \left( \frac{3 \pi }{4}-\frac{\theta }{2} \right) \right)$$．  ∴辐角主值为$$\frac{3 \pi }{4}-\frac{\theta }{2}$$．


高二上学期单元测试《代数变形（3）》自招第11题 1987年全国高中数学联赛竞赛一试第1题

对任意给定的自然数$$n$$，若$${{n}^{6}}+3a$$为正整数的立方，则（~ ）．

这样的$$a$$有无穷多个

这样的$$a$$存在，但只有有限个

这样的$$a$$不存在

以上$$\text{A}$$、$$\text{B}$$、$$\text{C}$$的结论都不正确

竞赛->知识点->数论模块->不定方程->因式分解与恒等变形


1983年全国高中数学联赛竞赛一试第6题

$$P\mathsf{\geqslant }Q$$

$$P\mathsf{\leqslant }Q$$

$$P ~\textless{} ~Q$$

$$P，Q$$间的大小关系确定，而与$$m，n$$的大小有关

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式的概念

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式与恒成立问题

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->利用基本不等式求最值

$$P=\sqrt{ab}+\sqrt{cd}$$，$$Q=\sqrt{am+nc}\cdot \sqrt{\frac{b}{m}+\frac{d}{n}}$$．  $${{P}^{2}}=ab+cd+2\sqrt{abcd}$$．  $${{Q}^{2}}=(am+nc)(\frac{b}{m}+\frac{d}{n})=ab+cd+\frac{nbc}{m}+\frac{mad}{n}$$．  $$\therefore \frac{nbc}{m}+\frac{mad}{n}\mathsf{\geqslant 2}\sqrt{\frac{nbc}{m}\cdot \frac{mad}{n}}=2\sqrt{abcd}$$．  $$\because {{Q}^{2}}\mathsf{\geqslant }{{P}^{2}}$$，  由于$$P\mathsf{，}Q$$均为正数．  $$\therefore Q\mathsf{\geqslant P}$$．


2019年全国高中数学联赛竞赛初赛第6题

课内体系->知识点->计数原理->二项式定理 竞赛->知识点->排列组合与概率->二项式定理及其应用


2012年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分

若实数$$x$$满足：对任意正数$$a$$，均有$${{x}^{2}}\textless{}1+a$$，则$$x$$的最小值是

不存在

竞赛->知识点->函数->二次函数


$$2002-AMC12B-17$$  Andy's lawn has twice as much area as Beth's lawn and three times as much area as Carlos' lawn. Carlos' lawn mower cuts half as fast as Beth's mower and one third as fast as Andy's mower. If they all start to mow their lawns at the same time, who will finish first?  安迪的草坪面积是贝丝草坪的两倍，是卡洛斯草坪的三倍。 卡洛斯的割草机的割草速度是贝丝的割草机的一半，是安迪的割草机的三分之一。 如果他们同时开始修剪草坪，谁会先完成？

Andy

Beth

Carlos

Andy and Carlos tie for first

All three tie

美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Proportion Word Problems

课内体系->知识点->函数的应用->函数的实际应用->分式函数模型

We say Andy\textquotesingle s lawn has an area of $$x$$. Beth\textquotesingle s lawn thus has an area of $$\dfrac{x}{2}$$, and Carlos\textquotesingle s lawn has an area of $$\dfrac{x}{3}$$.  We say Andy\textquotesingle s lawn mower cuts at a speed of $$y$$. Carlos\textquotesingle s cuts at a speed of $$\dfrac{y}{3}$$, and Beth\textquotesingle s cuts at a speed $$\dfrac{2y}{3}$$.  Each person\textquotesingle s lawn is cut at a speed of $$\dfrac{\rm area}{\rm rate}$$, so Andy\textquotesingle s is cut in $$\dfrac{x}{y}$$ time, as is Carlos\textquotesingle s. Beth\textquotesingle s is cut in $$\dfrac{3}{4}\times\dfrac{x}{y}$$, so the first one to finish is Beth.


1996年全国高中数学联赛竞赛一试第3题

存在整数$$n$$，使$$\sqrt{p+n}+\sqrt{n}$$是整数的质数$$p$$（~ ~ ）．

不存在

只有一个

多于一个，但为有限个

有无穷多个

竞赛->知识点->数论模块->不定方程->因式分解与恒等变形


2015年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分

已知$$f(x)=x\left\textbar{} x \right\textbar$$，若对任意的$$x\geqslant 1$$有$$f(x+m)+mf(x)\textless{}0$$恒成立，则实数$$m$$的取值范围是．

$$(-\infty ,-1)$$

$$(-\infty ,-1]$$

$$(-\infty ,-2)$$

$$(-\infty ,-2]$$

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质

显然$$m\textless{}0$$，所以$$f\left( x+m \right)\textless{}-mf\left( x \right)=f\left( \sqrt{-m}x \right)$$．  因为$$f\left( x \right)$$是单调增的奇函数，所以$$x+m\textless{}\sqrt{-m}x$$，即$$\left( \sqrt{-m}-1 \right)x\textgreater m$$．  所以必须$$\sqrt{-m}-1\geqslant 0$$，$$m\leqslant -1$$．


2011年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第7题6分

有$$6$$名同学咨询成绩．老师说：甲不是$$6$$人中成绩最好的，乙不是$$6$$人中成绩最差的，而且$$6$$人的成绩各不相同．那么他们$$6$$人的成绩不同的可能排序共有 ．

$$216$$ 种

$$384$$ 种

竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合

解法一 以$$A$$记甲成绩排名第一的所有可能的排序之集， 以$$B$$记乙成绩排名为最后的所有可能的排序之集，则$$\left\textbar{} A \right\textbar=\left\textbar{} B \right\textbar=5!$$，$$\left\textbar{} A\cap B \right\textbar=4!$$．  甲排名第一或乙排名最后的所有可能的排序数为  $$\left\textbar{} A\cup B \right\textbar=\left\textbar{} A \right\textbar+\left\textbar{} B \right\textbar-\left\textbar{} A\cap B \right\textbar=216$$．  按照老师所述，这６位同学成绩可能的排序数为$$6!-216=504$$．       解法二 以乙的成绩不在最后为前提，考虑甲的成绩不在第一的所有可能排序．  （$$1$$）甲的成绩排在最后的所有可能的排序数为$$A_{5}^{5}=120$$；  （$$2$$）甲的成绩不在最后，又不在第一的所有可能排序数为$$C_{4}^{1}\cdot C_{4}^{1}\cdot A_{4}^{4}=384$$．  所以甲不在首，乙不在尾的所有可能排序数为$$120+384=504$$．


2008年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

设有一体积为$$54$$的正四面体，若以它的四个面的中心为顶点作一个四面体，则所作四面体的体积为．

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题


2015年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第11题5分

四棱锥$$P-ABCD$$中，底面$$ABCD$$是正方形，边长为$$a,PD=a,PA=PC=\sqrt{2}a$$，在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为．

$$a$$

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题


2017年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

设$$n$$是正整数，以下各组数$$a$$，$$b$$中，使$$\frac{b}{a}$$为既约分数的是（ ~ ~）．

课内体系->素养->数学运算 课内体系->知识点->函数的应用->函数与方程


2010年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分

已知$$0\textless{}a\textless{}b$$，在$$a,b$$之间插入一个正数$$k$$，使$$a,k,b$$成等比数列；在$$a,b$$之间插入两个正数$$m,n$$，使$$a,m,n,b$$成等差数列，则$${{(k+1)}^{2}}$$与$$(m+1)(n+1)$$的大小关系为．

不确定

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列


有五颗球分别标有 {$$1,2,3,4,5$$}, 从中一次性取出两个球，并且将球上的数字相乘，乘积是偶数的概率是多少？

课内体系->知识点->统计与概率->概率

The product will be even if at least one selected number is even, and odd if none are. Using complementary counting, the chance that both numbers are odd is $$\dfrac{\left( \begin{array}{l} {3}  {2} \end{array}\right)}{\left( \begin{array}{l} {5}  {2} \end{array}\right)}=\dfrac{3}{10}$$,  so the answer is $$1-0.3$$ which is $$\left(\text{D}\right) 0.7$$.


2009年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列


2010年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第10题5分

将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为$$m$$和$$n$$，则函数$$y=\frac{2}{3}m{{x}^{3}}-nx+1$$在$$\left[ 1,\left. +\infty \right) \right.$$上为增函数的概率是．

竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步 竞赛->知识点->导数模块->导数


2015~2016学年2月湖南长沙开福区长沙市第一中学高三下学期月考理科第8题5分

2017~2018学年12月北京海淀区北京市育英中学高二上学期月考理科第5题

2014年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

2009年高考真题山东卷理科第9题5分

课内体系->知识点->圆锥曲线->双曲线->双曲线的几何性质->双曲线的渐近线

课内体系->知识点->圆锥曲线->双曲线->双曲线的几何性质->双曲线的离心率->求双曲线的离心率

课内体系->知识点->圆锥曲线->双曲线->双曲线的定义、标准方程->双曲线的标准方程

课内体系->知识点->圆锥曲线->抛物线->直线和抛物线的位置关系

课内体系->素养->数学运算

课内体系->素养->逻辑推理


2016~2017学年广东深圳福田区深圳市红岭中学高二下学期期中理科第7题5分

2019~2020学年12月福建厦门思明区福建省厦门第二中学高三上学期月考理科第4题5分

2006年全国高中数学联赛竞赛一试第5题6分

充分必要条件

充分而不必要条件

必要而不充分条件

既不充分也不必要条件

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性 课内体系->知识点->常用逻辑用语->充分条件与必要条件->充要条件与函数结合 课内体系->素养->逻辑推理


2015年福建全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分

竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->柯西 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式


2018~2019学年浙江杭州拱墅区杭州第十四中学康桥校区高一上学期期中第13题3分

2012年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第10题5分

设$$f\left( x \right)={{x}^{2}}+bx+c$$，若方程$$f\left( x \right)=x$$无实根，则方程$$f\left( f\left( x \right) \right)=x$$．

有四个相异实根

有两个相异实根

有一个实根

无实数根

竞赛->知识点->函数->二次函数

$$f\left( x \right)=x$$无实根，则二次函数图象$$f\left( x \right)={{x}^{2}}+bx+c$$在直线$$y=x$$上方，即$$f\left( x \right)\textgreater x$$，所以$$f\left( f\left( x \right) \right)\textgreater f\left( x \right)\textgreater x$$．


2016年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

$$\frac{1}{16} \pi $$

$$\frac{1}{8} \pi $$

$$\frac{13}{16}{{ \pi }^{2}}$$

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦型函数的图象与性质

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦函数的图象和性质

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->两角和与差的正弦

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->两角和与差的余弦

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->和差角公式化简求值综合运用

课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的概念与通项公式->等差数列求通项问题

课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的性质及应用

课内体系->素养->数学运算


2020~2021学年河北石家庄新华区石家庄市第二中学高二上学期期中（竞赛班）第10题3分

课内体系->素养->数学运算 课内体系->素养->逻辑推理 课内体系->知识点->计数原理->二项式定理->二项式系数的性质 课内体系->知识点->计数原理->二项式定理->二项式定理的展开式


2008年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->（模）周期数列


2020~2021学年北京高二单元测试 竞赛 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第7题5分 2020~2021学年北京高三单元测试

前三个答案都不对

竞赛->知识点->多项式与方程->解方程（组）

当$$x$$、$$y$$中有一个为$$0$$时，$$\left( x,y \right)$$只能为$$\left( 0,0 \right)$$．  当$$x$$、$$y$$均不为$$0$$时，由原式可以得到$$\begin{cases}19\frac{x}{y}+93=4x    19+93\frac{y}{x}=4y   \end{cases}$$，两式左右两端均为整数，设$$k=\frac{x}{y}$$，则$$19k\in \mathbf{Z}$$，$$\frac{93}{k}\in \mathbf{Z}\Rightarrow k=\pm \frac{1}{19}$$，$$\pm \frac{3}{19}$$，$$\pm 1$$，$$\pm \frac{31}{19}$$，$$\pm 3$$，$$\pm \frac{93}{19}$$，$$\pm 31$$，$$\pm 93$$，共$$8$$组．  由于$$19\times 93\equiv 3\left( \bmod 4 \right)$$，$$93\equiv 1\left( \bmod 4 \right)$$，$$19\equiv 3\left( \bmod 4 \right)$$，故$$19\frac{x}{y}\equiv 3\left( \bmod 4 \right)$$，$$93\frac{y}{x}\equiv 1\left( \bmod 4 \right)$$，在$$k$$的$$8$$组取值中，每一组恰有一个取值能同时满足上述两同余方程，  但由于$$x$$、$$y$$均不为$$0$$，须舍去$$k=-\frac{93}{19}$$，故此时$$\left( x,y \right)$$共有$$7$$组．  综上所述，原方程整数解的组数为$$8$$，故选$$\text{B}$$．


2009年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第8题6分

在复平面上，复数$${{z}_{1}}$$对应的点在连结$$1$$和$$\text{i}$$两点的线段上运动，复数$${{z}_{2}}$$对应的点在以原点为圆心．半径等于$$1$$的圆上运动．则复数$${{z}_{1}}+{{z}_{2}}$$对应的点所在区域的面积为 ．

$$4+ \pi $$

$$2\sqrt{2}+\pi $$

$$\pi $$

$$\frac{3\pi }{2}+1$$

竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的应用


2021年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

关于$$x$$的方程$${{2}^{\left\textbar{} 2x-2 \right\textbar}}-a\cos \left( 1-x \right)=-1$$只有一个实数解，则．

$$a$$的值不唯一

课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->函数零点的概念 竞赛->知识点->函数->函数方程

函数$$f\left( x \right)={{2}^{\left\textbar{} 2x-2 \right\textbar}}-a\cos \left( 1-x \right)+1$$的图象关于直线$$x=1$$对称，  又方程只有一个实数解，  ∴$$f\left( 1 \right)=0$$，得$$a=2$$，  当$$a=1$$时，$$f\left( x \right)={{2}^{\left\textbar{} 2x-2 \right\textbar}}-2\cos \left( 1-x \right)+1\geqslant 1-2+1=0$$，  当且仅当$$x=1$$时取等号，  即方程$${{2}^{\left\textbar{} 2x-2 \right\textbar}}-a\cos \left( 1-x \right)=-1$$只有一个实数解，符合题设．  故选$$\text{C}$$．


2015年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第12题5分

$$(\frac{7 \pi }{6},\frac{4 \pi }{3})$$

$$(\frac{4 \pi }{3},\frac{3 \pi }{2})$$

$$[\frac{7 \pi }{6},\frac{4 \pi }{3}]$$

$$[\frac{4 \pi }{3},\frac{3 \pi }{2}]$$

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的概念 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的综合应用 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换


第二十届全国希望杯高一竞赛复赛邀请赛第7题4分

设$$x$$是某个三角形的最小内角，则$$y=\frac{\cos x}{\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}$$的值域是．

$$\left( -\sqrt{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2} \right]$$

$$\left( 1,\frac{\sqrt{3}+1}{2} \right]$$

竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换 竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质


2008年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分

已知二次函数$$f\left( x \right)={{x}^{2}}-3x+2$$，则方程$$f\left( f\left( x \right) \right)=0$$不同实数根的数目为．

课内体系->方法->图象法

课内体系->方法->换元法

课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->函数零点的概念

课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->零点的个数问题->零点、交点、根的等价转化

课内体系->知识点->函数的应用->函数的实际应用->二次函数模型

课内体系->素养->数学抽象

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->思想->数形结合思想

因为$$f\left( f\left( x \right) \right)={{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)}^{2}}-3\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)+2={{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+10{{x}^{2}}-3x$$，  所以有$$x\left( x-3 \right)\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)=0,{{x}_{1}}=0,{{x}_{2}}=3,{{x}_{34}}=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$$，  因此原方程有$$4$$个不同实根．故选$$\text{D}$$．  注 也可以讨论$$f\left( x \right)=0$$根的分布情况． 因为当$$x\leqslant \frac{3}{2}$$时，函数$$f\left( x \right)$$单调递减，当$$x\textgreater\frac{3}{2}$$时，函数$$f\left( x \right)$$单调递增，且$$f\left( x \right)=0$$的两个根为$$1,2$$，所以当$$x\leqslant \frac{3}{2}$$时，函数$$f\left( x \right)\in \left[ -\frac{1}{4},+\infty \right)\supset \left[ 1,2 \right]$$，因此$$f\left( f\left( x \right) \right)=0$$有两个不同实根；当$$x\textgreater\frac{3}{2}$$时，函数$$f\left( x \right)\in \left( -\frac{1}{4},+\infty \right)\supset \left[ 1,2 \right]$$，因此$$f\left( f\left( x \right) \right)=0$$也有两个不同实根．综上所述，原方程有$$4$$个不同实根．


2012年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

设$${{A}_{1}},  {{A}_{2}},\cdots ,  {{A}_{n}}$$为集合$$S=\left { 1,  2,\cdots ,  n \right }$$的$$n$$个不同子集$$\left( n\geqslant 4 \right)$$，为了表示这些子集，作$$n$$行$$n$$列的数阵，规定第$$i$$行与第$$j$$列的数为$${{a}_{ij}}=\begin{cases}0,  i\notin {{A}_{j}}, ,1,  i\in {{A}_{j}},\end{cases}$$则下列说法错误的是

数阵中第一列的数全是$$0$$当且仅当$${{A}_{1}}=\varnothing $$

数阵中第$$j$$行的数字和表明集合$${{A}_{j}}$$含有几个元素

数阵中所有的$${{n}^{2}}$$个数字之和不超过$${{n}^{2}}-n+1$$

竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算

当$${{A}_{1}},  {{A}_{2}},\cdots ,  {{A}_{n}}$$中一个为$$S$$本身，其余$$n-1$$个子集为$$S$$的互不相同的$$n-1$$元子集时，数阵中所有的$${{n}^{2}}$$个数字之和最大，为$${{n}^{2}}-n+1$$，因此，$$D$$是正确的．数阵中第$$j$$行的数字和表明元素$$j$$属于几个子集，因此，$$C$$是错误的．


2022~2023学年湖南永州宁远县高一上学期月考（明德湘南中学基础知识竞赛）第8题

2022~2023学年10月广东佛山禅城区佛山市第一中学高一上学期月考第7题5分

$$ {m\textbar m\textless{} -4$$或$$m\textgreater2 }$$

$$\left { m\left\textbar{} -2 \right.\textless{} m\textless{} 4 \right }$$

$$ {m\textbar m\textless{} -2$$或$$m\textgreater4 }$$

$$\left { m\left\textbar{} -4 \right.\textless{} m\textless{} 2 \right }$$

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->解不等式

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式成立的条件

由题意，$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}=\left(\frac{1}{x}+\dfrac{2}{y}\right)(2x+y)$$  $$=4+\dfrac{4x}{y}+\dfrac{y}{x}\geqslant 4+2\sqrt{\dfrac{4x}{y}\times \dfrac{y}{x}}=8$$，  当且仅当$$\dfrac{4x}{y}=\dfrac{y}{x}$$，即$$y=\dfrac{1}{2},x=\dfrac{1}{4}$$时等号成立．  故若存在这样的$$x$$，$$y$$使不等式$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}\textless{} {{m}^{2}}+2m$$有解．  即$${{m}^{2}}+2m\textgreater8\Leftrightarrow (m-2)(m+4)\textgreater0\Leftrightarrow m\textgreater2$$或$$m\textless{} -4$$．  故选：$$\text{A}$$．


第二十届全国希望杯高二竞赛初赛邀请赛第8题4分

竞赛->知识点->解析几何->直线与圆锥曲线


2019年全国高中数学联赛竞赛初赛第3题

课内体系->知识点->平面向量->平面向量基本定理及其坐标表示 竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算

设$$\overrightarrow{e}=\left( 1,0 \right)$$，$$\overrightarrow{a}=\left( 2,x \right)$$，则  $$\forall t\in \mathbf{R}$$，$$4+{{x}^{2}}\leqslant 5\sqrt{{{\left( 2+t \right)}^{2}}+{{x}^{2}}}$$，  即$$4+{{x}^{2}}\leqslant 5\textbar x\textbar\Leftrightarrow 1\textless{}\textbar x\textbar\textless{}4$$，  于是$$\textbar\overrightarrow{a}\textbar=\sqrt{4+{{x}^{2}}}$$的取值范围是$$\left[ \sqrt{5},2\sqrt{5} \right]$$．  故答案为：$$\left[ \sqrt{5},2\sqrt{5} \right]$$．


2014年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

竞赛->知识点->函数->基本初等函数


2014年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列


1998年全国高中数学联赛竞赛一试第2题6分 2009年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

若非空集合$$A=\left { x\textbar2a+1\leqslant x\leqslant 3a-5 \right }$$，$$B=\left { x\textbar3\leqslant x\leqslant 22 \right }$$，则能使$$A\subseteq A\cap B$$成立的所有$$a$$的集合是（~ ~ ）．

$$\left { a\textbar{} 1\leqslant a\leqslant 9 \right }$$

$$\left { a\textbar{} 6\leqslant a\leqslant 9 \right }$$

$$\left { a\textbar a\leqslant 9 \right }$$

$$\varnothing $$

竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算

$$A\subseteq B$$，$$A\ne \varnothing $$．$$\Rightarrow $$$$3\leqslant 2a+1\leqslant 3a-5\leqslant 22$$，$$\Rightarrow $$$$6\leqslant a\leqslant 9$$．  故选$$B$$．


2014年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

已知$$\angle A$$、$$\angle B$$、$$C$$为$$\triangle ABC$$的三个内角，命题$$P:\angle A=\angle B$$；命题$$Q:\sin \angle A=\sin \angle B$$，则$$\neg P$$是$$\neg Q$$的．

充分非必要条件

必要非充分条件

充分必要条件

既非充分又非必要条件

竞赛->知识点->逻辑->常用逻辑用语

在$$\triangle ABC$$中$$\angle A\ne \angle B\Leftrightarrow \sin \angle A\ne \sin \angle B$$．


美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Reasoning->Recurrence and Recursion

A patten starts to emerge as the function is continued. The repeating patten is $$0$$, $$1$$, $$1$$, $$2$$, $$0$$, $$2$$, $$2$$, $$1$$ $$\ldots$$. The problem asks for the sum of eight consecutive terms in the sequence.  Because there are eight numbers in the repeating sequence, we just need to find the sum of the numbers in the sequence, which is $$(\rm D) 9$$.


2012年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分

2016~2017学年6月陕西西安莲湖区西安市第一中学高二下学期月考理科第9题3分

将$$10$$个相同的小球装入$$3$$个编号为$$1$$，$$2$$，$$3$$的盒子（每次要把$$10$$个球装完），要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数是（~ ）．

课内体系->素养->逻辑推理 课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->组合->隔板法

根据题意，  先在编号为$$2$$、$$3$$的三个盒子中分别放入$$1$$、$$2$$个小球，编号为$$1$$的盒子里不放，  再将剩下的$$7$$个小球放入$$3$$个盒子里，每个盒子里至少一个，  分析可得，$$7$$个小球排好，有$$6$$个空位，在$$6$$个空位中任选$$2$$个，  插入挡板，共$$\text{C}_{6}^{2}=15$$种装法，  即可得符合题目要求的装法共有$$15$$种，  故选：$$\text{C}$$．


2018年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分

已知四面体$$ABCD$$内接于球$$O$$，且$$AD$$是球$$O$$的直径．若$$\triangle ABC$$和$$\triangle BCD$$都是边长为$$1$$的等边三角形，则四面体$$ABCD$$的体积是(  )

竞赛->知识点->立体几何与空间向量


2015年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分

设变量$$x,y$$满足约束条件$$\begin{cases}2x-y+2\geqslant 0    8x-y-4\leqslant 0    x\geqslant 0,y\geqslant 0 \end{cases}$$，目标函数$$z=abx+y(a\textgreater0,b\textgreater0)$$的最大值是$$8$$，则$$a+b$$的最小值是．

竞赛->知识点->不等式->线性规划 竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->均值


2011年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

已知$$\theta \in [\frac{5 \pi }{4},\frac{3 \pi }{2}]$$，则$$\sqrt{1-\sin 2\theta }-\sqrt{1+\sin 2\theta }$$可化简为．

$$2\sin \theta $$

$$-2\sin \theta $$

$$-2\cos \theta $$

$$2\cos \theta $$

竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换

因为$$\theta \in [\frac{5 \pi }{4},\frac{3 \pi }{2}]$$，所以$$\sqrt{1-\sin 2\theta }-\sqrt{1+\sin 2\theta }$$  $$=\left\textbar{} \cos \theta -\sin \theta \right\textbar-\left\textbar{} \cos \theta +\sin \theta \right\textbar=2\cos \theta $$．


2018年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质


2012年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分

设双曲线$$\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a\textgreater0,  b\textgreater0 \right)$$的右焦点为$$F$$，过点$$F$$作与$$x$$轴垂直的直线$$l$$交两条渐近线于$$A,  B$$两点，$$P$$是$$l$$与双曲线的一个交点．设$$O$$为坐标原点，若有实数$$m,  n$$使得$$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$$，且$$mn=\frac{2}{9}$$，则该双曲线的离心率为．

竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算 竞赛->知识点->解析几何->双曲线


1991年全国高中数学联赛竞赛一试第4题

设函数$$y=f\left( x \right)$$对一切实数$$x$$都满足$$f\left( 3+x \right)=f\left( 3-x \right)$$，且方程$$f\left( x \right)=0$$恰有$$6$$个不同的实根，则这$$6$$个实根的和为（~ ）．

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质

若$$3+\alpha $$是$$f(x)=0$$的一个根，则由已知  $$f\left( 3-\alpha \right)=f\left( 3+\alpha \right)=0$$  即$$3-\alpha $$也是一个根．因此可设方程$$f\left( x \right)=0$$的六个根为  $$3\mathsf{\pm }{{\alpha }_{1}}$$，$$3\mathsf{\pm }{{\alpha }_{2}}$$，$$3\mathsf{\pm }{{\alpha }_{3}}$$．  于是它们的行等于$$18$$．


2013年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

当平面上的点$$\left( x,y \right)$$的坐标$$x,y$$都为有理数时，该点称为有理点，设$$r$$是给定的正实数，则圆$${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-\sqrt{2} \right)}^{2}}={{r}^{2}}$$上的有理点．

最多有一个

最多有两个

最多有四个

可以有无穷多个

竞赛->知识点->解析几何->圆与方程 竞赛->知识点->逻辑->逻辑推理

设$$\left( a,b \right),\left( c,d \right)$$为这个圆上的两个有理点，则  $${{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-\sqrt{2} \right)}^{2}}={{\left( c-1 \right)}^{2}}+{{\left( d-\sqrt{2} \right)}^{2}}$$，  整理得$$2\sqrt{2}\left( b-d \right)={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}-{{d}^{2}}+2\left( c-a \right)$$.  显然等式右边是有理数，因此当且仅当$$b=d$$时，等式的左边是有理数，此时$$a\ne c,a+c=2$$.由此得这两个有理点关于直线$$x=1$$对称，而圆上与$$\left( a,b \right)$$关于$$x=1$$对称的点最多只有一个.


高一上学期单元测试《二次与对勾函数》竞赛第7题

若全集为$$X$$，$$A$$是$$X$$的一个真子集，定义$$A$$的特征函数：$${{f}_{A}}(x)=\begin{cases}1，x\in A;    0，x\in {{C}_{X}}A.   \end{cases}$$  则对$$X$$的两个真子集$$A，B$$，下列命题中不准确的是．

$$A\subseteq B\Leftrightarrow {{f}_{A}}(x)\leqslant {{f}_{B}}(x)，x\in X$$

$${{f}_{{{C}_{X}}A}}(x)=1-{{f}_{A}}(x)，x\in X$$

$${{f}_{A\cap B}}(x)={{f}_{A}}(x){{f}_{B}}(x)，x\in X$$

$${{f}_{A\cup B}}(x)={{f}_{A}}(x)+{{f}_{B}}(x)，x\in X$$

竞赛->知识点->函数->二次函数 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质


2012年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为``同族函数''，那么函数解析式为$$y=-{{x}^{2}}$$，值域为$$\left { 0,  -1,  -9 \right }$$的``同族函数''共有

竞赛->知识点->函数->函数的概念


2009年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

知识标签->素养->数学运算

知识标签->题型->数列->等差数列->等差数列的性质问题->求等差数列前n项和的最值

知识标签->知识点->数列->等差数列->等差数列的前n项和

知识标签->知识点->数列->等差数列->等差数列的概念通项公式

知识标签->知识点->数列->等差数列->等差数列的性质及应用


2014AMC12A, 21  For every real number $$x$$, let $$\left\lfloor {x} \right\rfloor$$ denote the greatest integer not exceeding $$x$$, and let $$f(x)= \left\lfloor {x} \right\rfloor(2014^{x-\left\lfloor {x} \right\rfloor}- 1)$$. The set of all numbers $$x$$ such that $$1\leqslant x\textless{} 2014$$ and $$f(x)\leqslant1$$ is a union of disjoint intervals. What is the sum of the lengths of those intervals?  对于任意实数$$x$$，令$$\left\lfloor {x} \right\rfloor$$ 表示不超过$$x$$ 的最大整数，令$$f(x)= \left\lfloor {x} \right\rfloor(2014^{x-\left\lfloor {x} \right\rfloor}- 1)$$. 满足 $$1\leqslant x\textless{} 2014$$ 和 $$f(x)\leqslant1$$ 的所有 $$x$$ 的集合是一些不相交区间的并集。 这些区间的长度之和是多少？

$$\frac{ \log 2015}{ \log 2014}$$

$$\frac{ \log 2014}{ \log 2013}$$

美国AMC10/12->Knowledge Point->Number Theory->Gaussian Function

课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算->对数的运算

记$\left { x\right }=x-\left\lfloor x\right\rfloor\textgreater0$.  则$f(x)\leq 1\Leftrightarrow 2014^{\left {x\right }}-1\leq \frac{1}{\left\lfloor x\right\rfloor}$  $\Leftrightarrow \left {x\right }\leq\log_{2014}{\frac{\left\lfloor x\right\rfloor+1}{\left\lfloor x\right\rfloor}}$  于是单个满足$f(x)\leq 1$的区间长度为$\log_{2014}{\frac{\left\lfloor x\right\rfloor+1}{\left\lfloor x\right\rfloor}}$  区间总长度$=\sum_{x=1}^{2013}\log_{2014}{\frac{\left\lfloor x\right\rfloor+1}{\left\lfloor x\right\rfloor}}=\log_{2014}{\frac{2}{1}\times\frac{3}{2}\times\cdots\times\frac{2014}{2013}}=\log_{2014}{2014}=1$, 选$$\text{A}$$.


2012年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列


2019年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

若复数$$z$$满足$$\left\textbar{} z \right\textbar{} ~\textless{} ~1$$且$$\left\textbar{} \overline{z}+\frac{1}{z} \right\textbar=\frac{5}{2}$$，则$$\left\textbar{} z \right\textbar=$$．

竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算

注意到，  $$\left\textbar{} \overline{z}+\frac{1}{z} \right\textbar=\left\textbar{} \frac{\overline{z}z+1}{z} \right\textbar=\frac{{{\left\textbar{} z \right\textbar}^{2}}+1}{\left\textbar{} z \right\textbar}=\frac{5}{2}$$，  解得$$\left\textbar{} z \right\textbar=2$$ （舍去）或$$\left\textbar{} z \right\textbar=\frac{1}{2}$$．  故选$$\text{C}$$．


2022年江苏徐州贾汪区江苏省贾汪中学高一竞赛（下学期春季）第8题

已知$\omega \textgreater0$，函数$f\left( x \right)=\text{sin}\left( \omega x+\frac{\text{ }\pi\text{ }}{\text{6}} \right)$在$\left( \frac{\text{ }\pi\text{ }}{\text{2}},\text{ }\pi\text{ } \right)$上单调递减，则$\omega $的取值范围是（~~~~~~~）

$\left[ \frac{2}{3},\frac{4}{3} \right]$

$\left[ \frac{2}{3},\frac{3}{4} \right]$

$\left( 0,\frac{2}{3} \right]$

$\left( 0,\frac{3}{2} \right]$

\hfill\break 【分析】\\ 由题意可得$t=\omega x+\frac{\text{ }\pi\text{ }}{\text{6}}\in (\frac{\text{ }\pi\text{ }\omega }{2}+\frac{\text{ }\pi\text{ }}{\text{6}},\text{ }\pi\text{ }\omega +\frac{\text{ }\pi\text{ }}{\text{6}})$，再根据$y=\sin t$的单调区间，列出不等式组求解即可.\\ 【详解】\\ 解：因为$\omega \textgreater0$，$x\in \left( \frac{\text{ }\pi\text{ }}{\text{2}}\text{, }\pi\text{ } \right)$，\\ 所以$t=\omega x+\frac{\text{ }\pi\text{ }}{\text{6}}\in (\frac{\text{ }\pi\text{ }\omega }{2}+\frac{\text{ }\pi\text{ }}{\text{6}},\text{ }\pi\text{ }\omega +\frac{\text{ }\pi\text{ }}{\text{6}})$，\\ 又因为$y=\sin t$在$(\frac{\text{ }\pi\text{ }}{2}+2k\text{ }\pi\text{ },\frac{3\text{ }\pi\text{ }}{2}+2k\text{ }\pi\text{ }),k\in \text{Z}$上单调递减，\\ 所以$\text{ } {\text{ }\begin{array}{*{35}{l}} \frac{\text{ }\pi\text{ }\omega }{2}+\frac{\text{ }\pi\text{ }}{\text{6}}\ge \frac{\text{ }\pi\text{ }}{2}+2k\text{ }\pi\text{ }    \text{ }\pi\text{ }\omega +\frac{\text{ }\pi\text{ }}{\text{6}}\le \frac{3\text{ }\pi\text{ }}{2}+2k\text{ }\pi\text{ }    \end{array}\text{ }$，$k\in \text{Z}$,\\ 解得：$\frac{2}{3}+2k\text{ }\pi\text{ }\le \omega \le \frac{4}{3}+2k\text{ }\pi\text{ },k\in \text{Z}$.\\ 当$k=0$时，$\frac{2}{3}\le \omega \le \frac{4}{3}$.\\ 故选：A


2017 AMC10B P14  An integer $$N$$ is selected at random in the range $$1\leqslant N\leqslant2020$$. What is the probability that the remainder when $$N^{16}$$ is divided by $$5$$ is $$1$$?  在$1\leqslant N\leqslant2020$的范围内随机选择一个整数$N$。当$N^{16}$除以$5$时，余数是$1$的概率是多少？

$$\frac 15$$

$$\frac 25$$

$$\frac 35$$

$$\frac 45$$

美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Probability Calculation->Geometric Models of Probabilities

By Fermat\textquotesingle s Little Theorem, $$N^{16}=\left( N^{4}\right)^{4}\equiv1$$(mod $$5$$), when $$N$$ is relatively prime to $$5$$. Hence, this happens with probability $$\frac 45$$.  Note that the patterns for the units digits repeat, so in a sense we only need to find the patterns for the digits $$0-9$$. The pattern for $$0$$ is $$0$$, no matter what power, so $$0$$ doesn\textquotesingle t work. Likewise, the pattern for $$5$$ is always $$5$$. Doing the same for the rest of the digits, we find that the units digits of $$1^{16}$$,$$2^{16}$$,$$3^{16}$$,$$4^{16}$$,$$6^{16}$$,$$7^{16}$$,$$8^{16}$$ and $$9^{16}$$ all have the remainder of $$1$$ when divided by $$5$$, so $$\frac 45$$.  We can use modular arithmetic for each residue of $$n$$ (mod $$5$$).  If $$n\equiv0$$ (mod $$5$$), then $$n^{16}\equiv0^{16}\equiv0$$(mod $$5$$),  If $$n\equiv1$$ (mod $$5$$), then $$n^{16}\equiv1^{16}\equiv0$$(mod $$5$$),  If $$n\equiv2$$ (mod $$5$$), then $$n^{16}\equiv\left( n^{2}\right)^{8}\equiv\left( 2^{2}\right)^{8}\equiv4^{8}\equiv\left( -1\right)^{8}\equiv1$$ (mod $$5$$).  If $$n\equiv3$$ (mod $$5$$), then $$n^{16}\equiv\left( n^{2}\right)^{8}\equiv\left( 3^{2}\right)^{8}\equiv9^{8}\equiv\left( -1\right)^{8}\equiv1$$ (mod $$5$$).  If $$n\equiv4$$ (mod $$5$$), then $$n^{16}\equiv4^{16}\equiv\left( -1\right)^{16}=1$$ (mod $$5$$).  In $$4$$ out of the $$5$$ cases, the result was $$1$$(mod $$5$$), and since each case occurs equally as $$2020\equiv0$$ (mod $$5$$), the answer is $$\frac 45$$.


2008年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第12题5分

竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->均值


2009年第二十届全国希望杯高二竞赛复赛第4题5分

椭圆$$\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a\textgreater b\textgreater0)$$中长度为整数的焦点弦（过焦点的弦）称为``好弦''．则当$$a=6,b=3$$时，该椭圆中所有好弦的长度之和是．

竞赛->知识点->解析几何->椭圆 竞赛->知识点->解析几何->直线与圆锥曲线

过两个焦点的弦为长轴，长度是$$12$$．仅过左焦点的好弦中，长度最长为$$11$$，最短为$$3$$（垂直于长轴的焦点弦），且长度为$$45\cdots 11$$的弦均有$$2$$条，故只过左焦点的好弦长度之和为$$3+2\times (4+5+\cdots +11)=123$$，因此所有好弦的长度之和是$$123\times 2+12=258$$．


2008年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分

竞赛->知识点->函数->基本初等函数


2010年河南全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

将$$5$$名同学分配到$$A$$，$$B$$，$$C$$三个宿舍中，每个宿舍至少安排$$1$$名，其中甲同学不能分配到$$A$$宿舍，则不同的分配方案种数是(~ ~ )

课内体系->素养->逻辑推理 课内体系->素养->数学运算 课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->组合->分组分配法 课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->排列组合综合


2009年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

2017~2018学年6月河北石家庄辛集市河北辛集中学高一下学期月考第14题5分

课内体系->素养->数学运算

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的前n项和->求等差数列前n项和的最值


2023年江苏连云港灌南县灌南县中学高三竞赛（下学期3月解题能力竞赛）第7题


2017~2018学年山东青岛崂山区青岛第二中学高一上学期期末第7题5分

2008年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分

2017~2018学年12月山西太原迎泽区太原市第五中学高一上学期月考第9题3分

为了得到函数$$y=\sin \left( 2x-\frac{\pi }{6} \right)$$的图象，可以将函数$$y=\cos 2x$$的图象（~ ）

向右平移$$\frac{\pi }{6}$$个单位

向右平移$$\frac{\pi }{3}$$个单位

向左平移$$\frac{\pi }{6}$$个单位

向左平移$$\frac{\pi }{3}$$个单位

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->诱导公式

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正余弦型、正切型函数图象变换

课内体系->素养->逻辑推理

$$y=\sin \left( 2x-\frac{\pi }{6} \right)=\cos \left( \frac{2\pi }{3}-2x \right)=\cos \left( 2x-\frac{2\pi }{3} \right)=\cos \left( 2\left( x-\frac{\pi }{3} \right) \right)$$．  故选择$$B$$选项．


2011年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分 2018年广东深圳龙岗区深圳科学高中高三四模文科第2题5分

如果复数$$\left( a+2\text{i} \right)\left( 1+\text{i}\right)$$的模为$$4$$，则实数$$a$$的值为．

$$\pm 2$$

$$\pm 2\sqrt{2}$$

竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算

由题意得$$\sqrt{2}\cdot \sqrt{{{a}^{2}}+4}=4\Rightarrow a=\pm 2$$．


全国全国高中数学联赛竞赛一试

$$\textbar k\textbar\textgreater1$$

$$\textbar k\textbar\ne 1$$

课内体系->知识点->圆锥曲线->椭圆->椭圆的定义、标准方程->椭圆的定义 课内体系->素养->数学抽象

椭圆外部的点可以离原点很远，  它的坐标$$x$$、$$y$$的绝对值可以很大，  使得方程左边大于$$0$$，  所以内部点的坐标使方程左边小于$$0$$，  用原点的坐标代入方程左边得$${{k}^{2}}-1\textless{}0$$  又$$k\ne 0$$，（否则方程不表示椭圆），  所以$$0\textless{}\textbar k\textbar\textless{}1$$．  故选$$\text{D}$$．


2020~2021学年河南郑州中原区郑州市第十九中学高二上学期期中理科第11题5分

2020~2021学年河南郑州郑东新区郑州市第四十七中学高二上学期期中理科第11题5分

2020~2021学年河南郑州高新区郑州中学高二上学期期中理科第11题5分

2020~2021学年河南郑州二七区郑州市第二中学高二上学期期中理科第11题5分

2009年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

已知$$\triangle ABC$$的三边$$a,b,c$$成等比数列，$$a,b,c$$所对的角依次为$$A,B,C$$．则$$\sin B+\cos B$$的取值范围是．

$$\left( 1,1+\frac{\sqrt{3}}{2} \right]$$

$$\left[ \frac{1}{2},1+\frac{\sqrt{3}}{2} \right]$$

$$\left[ \frac{1}{2},\sqrt{2} \right]$$

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列 竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形 竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换

$$ac={{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{c}^{2}}-2ac\cos B\geqslant 2ac-2ac\cos B\Rightarrow \cos B\geqslant \frac{1}{2}\Rightarrow 0\textless{}B\leqslant \frac{ \pi }{3}$$，  于是$$\sin B+\cos B=\sqrt{2}\sin \left( B+\frac{ \pi }{4} \right)\in (1,\sqrt{2}]$$．


2012年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第11题5分

$$\pm \frac{2}{3}$$

$$\pm \frac{3}{2}$$

$$\pm \frac{3}{4}$$

$$\pm \frac{4}{3}$$

竞赛->知识点->解析几何->直线与圆锥曲线


2011年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分

是奇数

是偶数

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的综合应用


1986年全国高中数学联赛竞赛一试第5题

竞赛->知识点->组合->图论（二试）


2018年上海杨浦区高三二模第16题5分 2017年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

已知长方体的表面积为$$\frac{45}{2}$$，棱长的总和为$$24$$，则长方体的体对角线与棱所成角的最大值为（~ ）．

$$\arccos \frac{1}{3}$$

$$\arccos \frac{\sqrt{2}}{3}$$

$$\arccos \frac{\sqrt{3}}{9}$$

$$\arccos \frac{\sqrt{6}}{9}$$

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的概念->棱柱、棱锥、棱台的结构特征

课内体系->知识点->立体几何初步->基本图形位置关系->空间中的基本事实与定理->点、直线、平面之间的位置关系

课内体系->知识点->立体几何初步->基本图形位置关系->探索性问题->几何法求空间角


2014年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

设$$M=\left { a\left\textbar{} a={{x}^{2}}-{{y}^{2}},  x,  y\in Z \right. \right }$$，则．

$$9\in M$$，$$10\in M$$

$$9\notin M$$，$$10\in M$$

$$9\in M$$，$$10\notin M$$

$$9\notin M$$，$$10\notin M$$

竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算

因为$$9={{3}^{2}}-{{0}^{2}}$$，所以$$9\in M$$；假设$$10\in M$$，则存在整数$$m$$、$$n$$使得  $$10={{m}^{2}}-{{n}^{2}}=\left( m+n \right)\left( m-n \right)$$，  则因为将$$10$$分解为两个整数因子之积，必定一个因子为奇数，另一个因子为偶数，而$$\left( m+n \right)$$与$$\left( m-n \right)$$同奇同偶，矛盾，所以$$10\notin M$$．


1990年全国高中数学联赛竞赛一试第2题 2006年上海复旦大学自主招生千分考第24题

设$$f\left( x \right)$$是定义在实数集上的周期为$$2$$的周期函数，且是偶函数．已知当$$x\in \left[ 2,3 \right]$$时，$$f\left( x \right)=x$$，则当$$x\in \left[ -2,0 \right]$$时，$$f\left( x \right)$$的解析式为（~ ）．

$$3-\left\textbar{} x+1 \right\textbar$$

$$2+\left\textbar{} x+1 \right\textbar$$

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质

当$$x\in \left[ -2,-1 \right]$$时，$$f\left( x \right)=f\left( x+4 \right)=x+4$$，  当$$x\in \left[ -1,0 \right]$$时，$$f\left( x \right)=f\left( -x \right)=f\left( 2-x \right)=2-x$$．


2019~2020学年10月广东深圳南山区深圳市南山区育才中学高三上学期月考理科第10题5分

2017~2018学年广东深圳龙岗区深圳科学高中高二上学期期中第10题5分

2013年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第12题5分

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->数列->等比数列->等比数列的概念与通项公式

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式的实际应用

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->利用基本不等式求最值

课内体系->知识点->基本初等函数->实数指数幂运算

课内体系->知识点->基本初等函数->指数函数->指数函数的图象及性质


2022~2023学年湖南永州宁远县高一上学期月考（明德湘南中学基础知识竞赛）第4题

下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（~~~~~~~）

$y=x\left\textbar{} x \right\textbar$

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->奇偶性->函数奇偶性的应用

\hfill\break 【分析】\\ 根据基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可.\\ 【详解】\\ 对于A：$y=-\frac{1}{x}$为反比例函数，为奇函数，在区间$\left( -\infty ,0 \right)$以及$\left( 0,+\infty \right)$上都是增函数，但在定义域内不是增函数，故A错误；\\ 对于B：$y=-{{x}^{3}}$为幂函数，既是奇函数又是减函数，不符合题意，故B错误；\\ 对于C：$y=x+1$为一次函数，不是奇函数，不符合题意，故C错误；\\ 对于D： $y=x\left\textbar{} x \right\textbar=\left { \begin{array}{*{35}{l}} {{x}^{2}}, \& x\ge 0     -{{x}^{2}}, \& x\textless{} 0     \end{array} \right.$为奇函数；$x\ge 0$时， $y={{x}^{2}}$为增函数，$x\textless{} 0$时，$y=-{{x}^{2}}$ 为增函数，且${{x}^{2}}\ge -{{x}^{2}}$该函数在\emph{R}上为增函数，故D正确；\\ 故选： D


2009年高二竞赛广州市第1题6分

已知复数$$z$$满足$$\frac{\text{i}}{z-1}=3$$，则复数$$z$$的实部与虚部之和为．

课内体系->知识点->复数->复数的概念及几何意义->复数的基本概念 课内体系->知识点->复数->复数的运算->复数的四则运算综合 课内体系->知识点->复数->复数的运算->复数的乘法和除法 课内体系->素养->数学运算


2017~2018学年广东广州白云区艺术中学高二下学期期中文科第6题5分 2010年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

课内体系->知识点->复数->复数的运算->复数的乘法和除法

课内体系->知识点->复数->复数的概念及几何意义->复数的基本概念->实部与虚部

课内体系->素养->数学运算


2012年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分

设集合$$S=\left { x\textbar{{x}^{2}}-5x-6\textless{}0 \right },  T=\left { x\textbar\left\textbar{} x+2 \right\textbar\leqslant 3 \right }$$，则$$S\cap T=$$．

$$\left { x\textbar-5\leqslant x\textless{}-1 \right }$$

$$\left { x\textbar-5\leqslant x\textless{}5 \right }$$

$$\left { x\textbar-1\textless{}x\leqslant 1 \right }$$

$$\left { x\textbar1\leqslant x\textless{}5 \right }$$

竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算

$$S=\left { x\textbar-1\textless{}x\textless{}6 \right },  T=\left { x\textbar-5\leqslant x\leqslant 1 \right }$$，故$$S\cap T=\left { x\textbar-1\textless{}x\leqslant 1 \right }$$．


2020年江苏全国高中数学联赛竞赛初赛第9题7分

已知正整数$$m+n$$均为质数，且$$7m+n$$和$$mn+11$$也都是质数，则$$m^{n}+n^{m}$$的值为．

以上都不对

课内体系->知识点->函数的概念与性质 竞赛->知识点->数论模块->整除->质数（算数基本定理）


2011年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

有且仅有一个

有时有两个，有时有一个

恰有两个

有时不存在

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的平行和垂直


2004年全国高中数学联赛竞赛一试第3题6分

竞赛->知识点->不等式->不等式的解法

原不等式等价于$$\begin{cases}\sqrt{{{\log }_{2}}x-1}-\dfrac{3}{2}{{\log }_{2}}x+\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}\textgreater0    {{\log }_{2}}x-1\geqslant 0    \end{cases}$$，  设$$\sqrt{{{\log }_{2}}x-1}=t$$，则有$$\begin{cases}t-\dfrac{3}{2}{{t}^{2}}+\dfrac{1}{2}\textgreater0    t\geqslant 0    \end{cases}$$，解得$$0\leqslant t\textless{}1$$，  即$$0\leqslant {{\log }_{2}}x-1\textless{}1$$，$$2\leqslant x\textless{}4$$．  故选$$\text{C}$$．


1998年全国高中数学联赛竞赛一试第1题6分

若$$a\textgreater1$$，$$b\textgreater{} 1$$，且$$\text{lg}\left( a+b \right)=\text{lg}a+\text{lg}b$$，则$$\lg \left( a-1 \right)+\lg \left( b-1 \right)$$的值（~ ）

不是与$$a$$，$$b$$无关的常数

竞赛->知识点->函数->基本初等函数

$$a+b=ab$$，$$\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)=1$$，由$$a-1\textgreater0$$，$$b-1\textgreater0$$，故$$\text{lg}\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)=0$$．  故选$$\text{C}$$．


2014年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第10题5分

已知函数$$f\left( x \right)=\cos \left( a\sin x \right)-\sin \left( b\cos x \right)$$无零点，则$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$$的取值范围为．

$$\left[ 0,\frac{ \pi }{4} \right)$$

$$\left[ 0,\frac{{{ \pi }^{2}}}{2} \right)$$

$$\left[ 0,\frac{{{ \pi }^{2}}}{4} \right)$$

$$\left[ 0,\frac{ \pi }{2} \right)$$

竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质

由已知得$2k \pi +b\cos x=\frac{ \pi }{2}-a\sin x$，$\left( 2k+1 \right) \pi -b\cos x=\frac{ \pi }{2}-a\sin x\left( k\in \mathbf{Z} \right)$，  无解，所以方程$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\sin \left( x+\varphi~ \right)=\frac{ \pi }{2}+2k \pi $，或  $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\sin \left( x-\varphi~ \right)=\frac{ \pi }{2}-\left( 2k+1 \right) \pi $  其中$\sin \varphi =\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$，$\cos \varphi =\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$，无解．  所以$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\textless\left\textbar{} \frac{ \pi }{2}+2k \pi \right\textbar$或$\left( \left\textbar{} \frac{ \pi }{2}-\left( 2k+1 \right) \pi \right\textbar{} \right)\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}$取值范围为$\left[ 0      \frac{{{ \pi }^{2}}}{4} \right)$．  $$.$$


2022~2023学年12月安徽滁州定远县安徽省定远县民族中学高一上学期月考第5题

2022~2023学年湖南邵阳隆回县湖南省隆回县第二中学高一上学期月考（竞赛）第3题

2021~2022学年江苏南京鼓楼区金陵中学高一上学期期中第4题

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式

\hfill\break 应用对数运算得到$ab=10$，由目标式结合基本不等式有$\frac{2}{a}+\frac{5}{b}\ge 2\sqrt{\frac{2}{a}\cdot \frac{5}{b}}$即可求其最小值.\\ 【详解】\\ ∵$\lg a+\lg b=1$，即$\lg ab=1$，\\ ∴$ab=10$，而$a\textgreater0,b\textgreater0$，\\ ∴$\frac{2}{a}+\frac{5}{b}\ge 2\sqrt{\frac{2}{a}\cdot \frac{5}{b}}=2$当且仅当$a=2,b=5$时等号成立.\\ ∴$\frac{2}{a}+\frac{5}{b}$的最小值为2.\\ 故选：D\\ 【点睛】\\ 易错点睛：利用基本不等式求最值时，须满足的三个条件：\\ （1）``一正二定三相等''\,``一正''就是各项必须为正数；\\ （2）``二定''就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；\\ （3）``三相等''是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方


2008年安徽全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分

将$$\frac{1}{2008}$$写成十进制循环小数的形式  $$\frac{1}{2008}=0.000\underbrace{498\ldots 625}_{{}}\underbrace{498\ldots 625}_{{}}\ldots $$其循环节的长度为．

竞赛->知识点->数论模块->同余->几个重要的定理（欧拉定理、费尔马小定理、威尔逊定理）


2021~2022学年安徽阜阳太和县安徽省太和中学高一下学期月考（竞赛考试）第3~3题

－5

－3

课内体系->知识点->平面向量->平面向量基本定理及其坐标表示

\hfill\break 【分析】\\ 根据向量的线性坐标运算求得向量$$\vec{a}-\vec{b}$$，再由向量垂直的坐标表示建立方程，求解即可.\\ 【详解】\\ 解：由题意得$$\vec{a}-\vec{b}=(-2，m\text{+}2)$$.\\ 又$$(\vec{a}-\vec{b})\bot \vec{b}$$，∴$$(\vec{a}-\vec{b})\cdot \vec{b}=-6-2(m\text{+}2)=0$$ ，解得\emph{m}＝－5.\\ 故选：A.


2015年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

已知函数$$f\left( x \right)={{x}^{2}}-53x+196+\left\textbar{} {{x}^{2}}-53x+196 \right\textbar$$，则$$f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)+\cdots +f\left( 50 \right)=$$．

竞赛->知识点->函数->二次函数 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质


2008年安徽全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

在平面中，到两条相交直线的距离之和为$$1$$的点的轨迹为．

椭圆

双曲线的一部分

抛物线的一部分

矩形

竞赛->知识点->解析几何->曲线与方程

以两条定直线所成的角的两条角平分线所在的直线分别为$$x,y$$轴建立平面直角坐标系，设两条直线方程为$$y=kx$$和$$y=-kx$$，$$k\textgreater0$$．  点$$\left( x,y \right)$$到$$y=\pm kx$$的距离和为$$1$$，则$$\frac{\left\textbar{} y-kx \right\textbar+\left\textbar{} y+kx \right\textbar}{\sqrt{{{k}^{2}}+1}}=1$$．  轨迹由$$4$$条线段组成，构成一个矩形．


2015年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

一个圆

两个半圆

一个椭圆

以上结论都不对

竞赛->知识点->解析几何->曲线与方程

$$y\textgreater0$$时，$${{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( x-1 \right)}^{2}}=1$$，$$y\geqslant 1$$，表示一个半圆；  $$y\textless{}0$$时，$${{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( x-1 \right)}^{2}}=1$$，$$y\leqslant -1$$，表示一个半圆．


2019~2020学年江西新余高二上学期期末理科第6题5分

2009年高考真题湖北卷理科第5题5分

2018~2019学年云南昆明高二下学期期中理科昆明三中、滇池中学第9题5分

2013年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

2016~2017学年12月广东广州天河区天河中学高三上学期月考理科第6题5分

2017~2018学年8月四川成都龙泉驿区成都龙泉一中高三上学期月考文科第3题5分

将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为（~ ）．

课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->排列 课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->组合->分组分配法 课内体系->素养->逻辑推理

如丙、丁分到同一个班级，则方法数就是三个元素的一个全排列，即$$\text{A}_{3}^{3}$$；若丙分到甲或乙所在的班级，则丁只能独自一个班级，方法数是$$2\text{A}_{3}^{3}$$；同理，若丁分到甲或乙所在的班级，则丙独自一个班级，方法数是$$2\text{A}_{3}^{3}$$．根据分类加法计数原理，得总的方法数是$$5\text{A}_{3}^{3}=30$$．

总的方法数是$$\text{C}_{4}^{2}\text{A}_{3}^{3}=36$$，甲、乙被分到同一个班级的方法数是$$\text{A}_{3}^{3}=6$$，故甲、乙不分到同一个班级的方法数是$$36-6=30$$．


1993年全国全国高中数学联赛竞赛一试第3题

竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合


2022~2023学年广东深圳南山区深圳实验学校高二上学期段考（三）第8题 2010年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分

$$\left( 0,\frac{1}{2} \right)$$

$$\left( 0,\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$

$$\left( \frac{1}{2},  1 \right)$$

$$\left( \frac{\sqrt{2}}{2},  1 \right)$$

课内体系->知识点->圆锥曲线->椭圆->椭圆的简单几何性质


2012年河北全国高中数学联赛高二竞赛初赛第7题8分 2015~2016学年天津和平区天津市耀华中学高二上学期期中文科第18题4分 2017~2018学年天津和平区天津市耀华中学高二上学期期中理科第14题4分 2017~2018学年天津和平区天津市耀华中学高二上学期期中文科第14题4分 2017~2018学年天津和平区天津市耀华中学高一下学期期中第14题4分

$\sqrt{2}\pi $

$\sqrt{3}\pi $

$\sqrt{6}\pi $

$3\pi $

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题

在三棱锥$$A-BCD$$中，侧棱$$AB$$、$$AC$$、$$AD$$两两垂直，  补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的体对角线即为球的直径，  设长方体的三度分别为$$a$$、$$b$$、$$c$$，  则有$$\frac{1}{2}ab=\frac{\sqrt{6}}{2}$$，$$\frac{1}{2}bc=\frac{\sqrt{3}}{2}$$，$$\frac{1}{2}bc=\frac{\sqrt{2}}{2}$$，  解得：$$a=\sqrt{3}$$，$$b=\sqrt{2}$$，$$c=1$$，  所以球的直径$$d=\sqrt{3+2+1}=\sqrt{6}$$，  球的半径$$r=\frac{d}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$$，  ∴三棱锥$$A-BCD$$的外接球的体积为：  $$V=\frac{4}{3} \pi \cdot {{\left( \frac{\sqrt{6}}{2} \right)}^{3}}=\sqrt{6} \pi $$．


2016~2017学年9月天津静海区天津市静海区第一中学高三上学期月考理科第7题5分

2010年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分

设$$f(x)=-\textbar x\textbar$$，$$a=f\left( {{\log }_{e}}\frac{1}{ \pi } \right)$$，$$b=f\left( {{\log }_{ \pi }}\frac{1}{e} \right)$$，$$c=f\left( {{\log }_{\frac{1}{e}}}\frac{1}{{{ \pi }^{2}}} \right)$$，则下述关系式正确的是（~ ）．

$$a\textgreater b\textgreater c$$

$$b\textgreater c\textgreater a$$

$$c\textgreater a\textgreater b$$

$$b\textgreater a\textgreater c$$

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->基本初等函数->指对幂比较大小

课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算->对数的运算

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性->函数单调性的应用->用单调性比较大小


2018年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分

设三位数$$n=\overline{abc}$$，若以$$a$$、$$b$$、$$c$$为三条边的长可构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数有个．

竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合


2017~2018学年江西南昌西湖区南昌市第八中学高一上学期期末第10题5分

2018~2019学年广东深圳高一上学期期末高中联考联盟第8题5分

2018~2019学年浙江杭州江干区杭州第四中学下沙校区高二下学期期中第12题4分

2018~2019学年江苏盐城高一上学期期末第5题5分

2017~2018学年北京海淀区中央民族大学附属中学高一下学期期中第7题5分

2008年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

2015年北京海淀区高三三模第4题

若$$\sin \left( \frac{ \pi }{4}-x \right)=\frac{3}{5}$$，则$$\sin 2x$$的值为（~ ）．

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->同角三角函数的基本关系式->正余弦和差积相互转化求值

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->二倍角的正弦

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->两角和与差的正弦->利用正弦和差角公式凑角求值


1995年全国高中数学联赛竞赛一试第5题

$${{\log }_{\sin 1}}\cos 1\textless{}{{\log }_{\cos 1}}\sin 1\textless{}{{\log }_{\sin 1}}\text{tg1lo}{{\text{g}}_{\cos 1}}\text{tg1}$$

$${{\log }_{\cos 1}}\sin 1\textless{}{{\log }_{\cos 1}}\text{tg1lo}{{\text{g}}_{\sin 1}}\cos 1\textless{}{{\log }_{\sin 1}}\text{tg1}$$

$${{\log }_{\sin 1}}\text{tg}1\textless{}{{\log }_{\cos 1}}\text{tg1lo}{{\text{g}}_{\cos 1}}\sin 1\textless{}{{\log }_{\sin 1}}\cos 1$$

$${{\log }_{\cos 1}}\text{tg}1\textless{}{{\log }_{\sin 1}}\text{tg1lo}{{\text{g}}_{\sin 1}}\cos 1\textless{}{{\log }_{\cos 1}}\sin 1$$

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->三角函数线

课内体系->知识点->基本初等函数->指对幂比较大小

课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算

课内体系->知识点->基本初等函数->实数指数幂运算

由$$\frac{ \pi }{4}\textless{}1$$知$$\cos 1\textless{}\sin 1\textless{}1\textless{}\text{tg}1$$，从而$${{\log }_{\sin 1}}\text{tg1}\textless{}0$$且$${{\log }_{\cos 1}}\text{tg1}\textless{}0$$，而$${{\log }_{\sin 1}}\text{cos 1}\textgreater0$$且$${{\log }_{\cos 1}}\text{sin 1}\textgreater0$$，于是可排除$$\text{A}$$和$$\text{B}$$，只剩$$\text{C}$$和$$\text{D}$$又由$${{\log }_{\cos 1}}\text{sin 1}\textless{}{{\log }_{\cos 1}}\text{cos 1=}{{\log }_{\sin 1}}\text{sin 1}{{\log }_{\sin 1}}\text{cos 1}$$即知应．  故选$$\text{C}$$．


若某个特殊的正整数$$N$$使得$$(a+b+c+d+1)^{}N$$ 的展开式中，合并同类项后发现同时含有 $$a$$, $$b$$, $$c$$, and $$d$$四个变量正整数乘幂的项恰好有$$1001$$项，求$$N$$的值？  For some particular value of $$N$$, when $$(a+b+c+d+1)^{}N$$ is expanded and like terms are combined, the resulting expression contains exactly $$1001$$ terms that include all four variables $$a$$, $$b$$, $$c$$, and $$d$$, each to some positive power. What is $$N$$?

All the desired terms are in the form $$a^{}xb^{}yc^{}zd^{}w1^{}t$$, where $$x+y+z+w+t=N$$ (the $$1^{}t$$ part is necessary to make stars and bars work better.) Since $$x$$, $$y$$, $$z$$, and~ $$w$$ must be at least $$1$$ ($$t$$ can be $$0$$), let $$x^{}\prime =x-1$$, $$y^{}\prime =y-1$$, $$z^{}\prime =z-1$$, and $$w^{}\prime =w-1$$, so $$x^{}\prime +y^{}\prime+z^{}\prime+w^{}\prime+t=N-4$$.  Now, we use stars and bars to see that there are $$\left(\frac {(N-4)+4}4\right)$$ or $$\left(\frac N4\right)$$ solutions to this equation. We notice that $$1001=7\cdot 11\cdot 13$$, which leads us to guess that $$N$$ is around these numbers. This suspicion proves to be correct, as we see that $$\left(\frac {14}4\right)=1001$$, giving us our answer of $$N=14$$.  An alternative is to instead make the transformation $$6^{}\prime =t+1$$,  so $$x+y+z+w+t^{}\prime =N+1$$, and all variables are positive integers. The solution to this, by Stars and Bars is $$\left(\frac {(N+1)-1}4\right)=\left(\frac N4\right)$$ and we can proceed as above.

By Hockey Stick Identity, the number of terms that have all $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$ raised to a positive power is $$\left(\frac {N-1}3\right)+\left(\frac {N-2}3\right)+\cdots +\left(\frac 43\right)+\left(\frac 33\right)=\left(\frac N4\right)$$. We now want to find some $$N$$ such that $$\left(\frac N4\right)=1001$$. As mentioned above, after noticing that $$1001=7\cdot 11\cdot 13$$, and some trial and error, we find that $$\left(\frac {14}4\right)=1001$$, giving us our answer of $$N=14$$.


2010年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分

集合$$A=\left { 1,3,5,7 \right },B=\left { 2,4,6,8,20 \right }$$，若$$C= {s\left\textbar{} s=a+b,  a\in A,  b\in B \right. }$$，则集合$$C$$的元素个数为．

竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算 竞赛->知识点->集合->集合的划分与覆盖


2018年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分

设复数$$z$$满足$$\left\textbar{} z \right\textbar=1$$，则$$\left\textbar{} \left( z+1 \right)+\text{i}\left( 7-z \right) \right\textbar$$的值不可能为．

竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的应用

$$\left( z+1 \right)+\text{i}\left( 7-z \right)=\left( 1-\text{i} \right)z+\left( 1+7\text{i} \right)=\left( 1-\text{i} \right)\left( z-3+4\text{i} \right)$$，  即$$\left\textbar{} \left( z+1 \right)+\text{i}\left( 7-z \right) \right\textbar=\left\textbar{} 1-\text{i} \right\textbar\cdot \left\textbar{} z-3+4\text{i} \right\textbar=\sqrt{2}\cdot \left\textbar{} z-\left( 3-4\text{i} \right) \right\textbar$$，  即可以表示点$$z$$到$$3-4\text{i}$$的距离的$$\sqrt{2}$$倍，  ∵$$z$$在单位圆上，  ∴$$\left\textbar{} \left( z+1 \right)+\text{i}\left( 7-z \right) \right\textbar$$的取值范围是$$\left[ 4\sqrt{2},6\sqrt{2} \right]$$．  故选：$$\text{D}$$．


2008年全国高中数学联赛竞赛一试第6题6分 2016年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

若$$\triangle ABC$$的内角$$A$$，$$B$$，$$C$$所对的边$$a$$，$$b$$，$$c$$成等比数列，则$$\frac{\sin A\cot C+\cos A}{\sin B\cot C+\cos B}$$的取值范围是（~ ~ ）．

$$\left( 0,+\infty \right)$$

$$\left( 0,\frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)$$

$$\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2},\frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)$$

$$\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2},+\infty \right)$$

课内体系->知识点->数列->等比数列->等比数列的性质及应用 课内体系->知识点->解三角形->解三角形的实际应用 课内体系->素养->数据分析 课内体系->素养->数学运算

$$\frac{\sin A\cot C+\cos A}{\sin B\cot C+\cos B}=\frac{\sin A\cos C+\sin C\cos A}{\sin B\cos C+\sin C\cos B}=\frac{\sin \left( A+C \right)}{\sin \left( B+C \right)}=\frac{\sin B}{\sin A}=\frac{b}{a}$$，  由题设有$${{b}^{2}}=ac$$，则$$a\left\textbar{} a-b \right\textbar\textless{}{{b}^{2}}\textless{}a\left( a+b \right)$$，解得$$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\textless{}\frac{b}{a}\textless{}\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$．  故选$$\text{C}$$．


2011年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分

若直线$$y=x-3$$与曲线$$y={{\text{e}}^{x+a}}$$相切，则实数$$a$$的值是．

竞赛->知识点->导数模块->导数 竞赛->知识点->函数->基本初等函数


2008年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分

已知$$P$$为三角形$$ABC$$内部任一点（不包括边界），且满足$$(-)(+-2)=0$$，则$$\triangle ABC$$一定为 ．

直角三角形

等边三角形

等腰直角三角形

等腰三角形

竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形


课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算->对数的运算

美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Sequence->Sum of the First n Terms for Geometric Sequences


2010年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

竞赛->知识点->集合->集合的划分与覆盖


2008年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分

已知$$\vec{a}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$$，$$\vec{b}=(\cos \beta ,\sin \beta )$$，$$\textbar\vec{a}-\vec{b}\textbar=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$，若$$0\textless{}\alpha \textless{}\frac{ \pi }{2}$$，$$-\frac{ \pi }{2}\textless{}\beta \textless{}0$$，且$$\sin \beta =-\frac{5}{13}$$，则$$\sin \alpha =$$．

竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换

由题意知$$\textbar\vec{a}-\vec{b}{{\textbar}^{2}}={{(\cos \alpha -\cos \beta )}^{2}}+{{(\sin \alpha -\sin \beta )}^{2}}$$  $$=2-2(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta )=2-2\cos (\alpha -\beta )$$，  则$$2-2\cos (\alpha -\beta )=\frac{4}{5}$$，$$\cos (\alpha -\beta )=\frac{3}{5}$$．  由$$\alpha =(\alpha -\beta )+\beta $$，且$$0\textless{}\alpha \textless{}\frac{ \pi }{2}$$，$$-\frac{ \pi }{2}\textless{}\beta \textless{}0$$及$$\sin \beta =-\frac{5}{13}$$，$$\cos (\alpha -\beta )=\frac{3}{5}$$，  知$$\cos \beta =\frac{12}{13}$$，$$\sin (\alpha -\beta )=\frac{4}{5}$$，  从而得$$\sin \alpha =\sin [\beta +(\alpha -\beta )]=\sin \beta \cos (\alpha -\beta )+\cos \beta \sin (\alpha -\beta )$$  $$=-\frac{5}{13}\times \frac{3}{5}+\frac{12}{13}\times \frac{4}{5}=\frac{33}{65}$$，  故选$$\text{C}$$．


2009年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分

焦点在$$x$$轴上的双曲线

双曲线，其焦点所在的轴与$$n$$有关

焦点在$$y$$轴上的椭圆

椭圆，其焦点所在的轴与$$n$$有关

竞赛->知识点->解析几何->椭圆


2011年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第9题5分

已知函数$$f\left( x \right)=\sin \left( 2x-\frac{\pi }{6} \right)-m$$在$$\left[ 0,\frac{\pi }{2} \right]$$上有有两个零点，则$$m$$的取值范围是（  ）

$$\left( \frac{1}{2},1 \right)$$

$$\left[ \frac{1}{2},1 \right]$$

$$\left[ \frac{1}{2},1 \right)$$

$$\left( \frac{1}{2},1 \right]$$

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦型函数的图象与性质

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦函数的图象和性质

课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->零点的个数问题->已知零点情况求参数的取值范围

课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->函数零点的概念

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的值域

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的定义域

课内体系->素养->直观想象

课内体系->素养->数学运算

课内体系->思想->数形结合思想

$$\because x\in \left[ 0,\frac{\pi }{2} \right]$$，$$\therefore 2x-\frac{\pi }{6}\in \left[ -\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6} \right]$$，$$\therefore \sin \left( 2x-\frac{\pi }{6} \right)\in \left[ -\frac{1}{2},1 \right]$$，令$$t=2x-\frac{\pi }{6}$$，$$y=m$$， 在同一直角坐标系中作出$$y=\sin t$$（$$t\in \left[ -\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6} \right]$$）与$$y=m$$的图象，由图象可知， 当$$\frac{1}{2}\leqslant m \textless{} 1$$时，$$y=\sin t$$（$$t\in \left[ -\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6} \right]$$）的图象与直线$$y=m$$有两个交点， 即函数$$f(x)=\sin \left( 2x-\frac{\pi }{6}-m \right)$$在$$\left[ 0,\frac{\pi }{2} \right]$$上有两个零点．


2009年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第11题7分

以双曲线$$\frac{{{x}^{2}}}{4}-\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(b\textgreater0)$$的离心率为半径，右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为~\uline{~~~~~~~~~~}~．

竞赛->知识点->解析几何->双曲线


2016年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

设$$x\in \left( -\frac{3}{4} \pi ，\frac{ \pi }{4} \right)$$，且$$\cos \left( \frac{ \pi }{4}-x \right)=-\frac{3}{5}$$，则$$\cos 2x$$的值是（~ ）

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->同角三角函数的基本关系式的化简和求值

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->半角公式

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->二倍角的正弦

课内体系->素养->数学运算

$$\cos 2x=\cos \left( 2x-\frac{\mathrm{ }\pi }{2}+\frac{\mathrm{ }\pi }{2} \right)$$  $$=-\sin \left( 2x-\frac{\mathrm{ }\pi }{2} \right)$$  $$=-2\sin \left( x-\frac{\mathrm{ }\pi }{4} \right)\cos \left( x-\frac{\mathrm{ }\pi }{4} \right)$$．  故选$$\text{B}$$．


2017~2018学年3月天津河西区天津市新华中学高一下学期月考第8题

2009年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分

2018~2019学年陕西西安碑林区西安建筑科技大学附属中学高一下学期期中（必修4）第10题5分

2016~2017学年湖北黄冈黄州区湖北省黄冈中学高一上学期期末第7题5分

2018~2019学年山东济南历城区济南外国语学校高二上学期开学考试第9题5分

2019~2020学年山东济南历城区济南历城一中高二上学期开学考试第9题5分

三边均不相等的三角形

直角三角形

等腰非等边三角形

等边三角形

竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算 竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的应用

设$$\frac{\overrightarrow{AB}}{\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar}=\overrightarrow{AE}$$，$$\frac{\overrightarrow{AC}}{\left\textbar{} \overrightarrow{AC} \right\textbar}=\overrightarrow{AF}$$，  则原式$$=\left( \overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF} \right)\cdot \overrightarrow{BC}=0$$，  即$$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}=0$$，  ∴$$AD\bot BC$$，  ∴四边形$$AEDF$$为菱形．  ∵$$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}=\left\textbar{} \overrightarrow{AE} \right\textbar\cdot \left\textbar{} \overrightarrow{AF} \right\textbar\cos \angle BAC=\frac{1}{2}$$，  ∴$$\cos \angle BAC=\frac{1}{2}$$，  ∴$$\angle BAC=60{}^{}\circ $$，  ∴$$\angle BAD=\angle DAC=30{}^{}\circ $$，  ∴$$\triangle ABH$$ ≌ $$\triangle AHC$$，  ∴$$AB=AC$$，  ∴$$\triangle ABC$$为等边三角形．  故选$$\text{D}$$．  设$$\frac{\overrightarrow{AB}}{\textbar\overrightarrow{AB\textbar}}$$为$$\overrightarrow{AB}$$上的单位向量，$$\frac{\overrightarrow{AC}}{\left\textbar{} AC \right\textbar}$$为$$\overrightarrow{AC}$$上的单位向量．  则$$\frac{\overrightarrow{AB}}{\textbar\overrightarrow{AB}\textbar}+\frac{\overrightarrow{AC}}{\textbar\overrightarrow{AC}\textbar}$$的方向为$$\angle BAC$$的角平分线$$\overrightarrow{AO}$$的方向．  而$$\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{BC}=0$$，∴$$\overrightarrow{AO}\bot \overrightarrow{BC}$$．  ∴$$\triangle ABC$$为等腰三角形，$$AB=AC$$．  $$\frac{\overrightarrow{AB}}{\textbar\overrightarrow{AB}\textbar}\cdot \frac{\overrightarrow{AC}}{\textbar\overrightarrow{AC}\textbar}=\left\textbar{} \frac{\overrightarrow{AB}}{\textbar\overrightarrow{AB}\textbar} \right\textbar\left\textbar{} \frac{\overrightarrow{AC}}{\textbar\overrightarrow{AC}\textbar} \right\textbar\cos \angle BAC=\frac{1}{2}$$．  ∵$$\left\textbar{} \frac{\overrightarrow{AB}}{\textbar\overrightarrow{AB}\textbar} \right\textbar=\left\textbar{} \frac{\overrightarrow{AC}}{\textbar\overrightarrow{AC}\textbar} \right\textbar=1$$，∴$$\angle BAC=60{}^{}\circ $$．  综上所述，$$\triangle ABC$$为等边三角形．

由$$\left( \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|} \right)\cdot \overrightarrow{BC}=0$$，得$$\angle BAC$$的平分线垂直于$$BC$$，

∴$$AB=AC$$，

∵$$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}\cdot \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}=\cos \left\langle \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right\rangle =\frac{1}{2}$$，$$\left\langle \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right\rangle =\in (0{}^\circ ,180{}^\circ )$$，

∴$$\angle BAC=60{}^\circ $$，$$\triangle ABC$$为等边三角形．

故选$$\text{D}$$．


2015年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间向量


2010年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列


2010年高考真题江苏卷理科第10题5分

2018~2019学年3月河南郑州金水区郑州市第七中学高一下学期月考第16题5分

2018~2019学年11月河北石家庄辛集市河北辛集中学高一上学期月考第22题5分

2010年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第7题7分

竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质 课内体系->知识点->三角函数


2015年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分

设$$A$$、$$B$$和$$C$$是三个集合，则$$B$$和$$C$$都是$$A$$的子集是$$\left( A\cap B \right)\cup \left( A\cap C \right)=B\cup C$$成立的．

充分条件但不是必要条件

必要条件但不是充分条件

充分必要条件

既非充分也非必要条件

竞赛->知识点->逻辑->常用逻辑用语 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算

如果$$B$$和$$C$$都是$$A$$的子集，则$$A\cap B=B$$，$$A\cap C=C$$，从而$$\left( A\cap B \right)\cup \left( A\cap C \right)=B\cup C$$成立；反过来，如果$$\left( A\cap B \right)\cup \left( A\cap C \right)=B\cup C$$成立，则由$$A\cap B$$和$$A\cap C$$都是$$A$$的子集知$$B\cup C$$是$$A$$的子集，即$$B$$和$$C$$都是$$A$$的子集．故选$$\text{C}$$．


1985年全国高中数学联赛竞赛一试第2题

$$PQ$$为经过抛物线$${{y}^{2}}=2px$$焦点的任意一条弦，$$MN$$为$$PQ$$大准线$$l$$上的射影，$$PQ$$绕$$l$$转一周所得的旋转面面积为$${{S}_{1}}$$，以$$MN$$为直径的球面面积为$${{S}_{2}}$$，则下面的结论中，正确的是（~ ）．

有时$${{S}_{1}}\textgreater{{S}_{2}}$$，有时$${{S}_{1}}={{S}_{2}}$$，有时$${{S}_{1}}\textless{}{{S}_{2}}$$．

竞赛->知识点->解析几何->抛物线

在$$\text{A}$$、$$\text{B}$$、$$\text{C}$$、$$\text{D}$$四个答案中，$$\text{C}$$包含着$$\text{A}$$，即若$$\text{A}$$正确，则$$\text{C}$$必定正确，因此不必考虑$$\text{A}$$．  当过焦点的弦$$PQ$$的倾角（与$$x$$轴的夹角）很小时，$$PQ$$绕$$l$$旋转一周所得旋转体（圆台）的母线很长，而相应的高却很短，亦即球的直径很小，因此$$\text{B}$$不成立．  我们知道，圆台的侧面积由母线$$PQ$$和两底半径$$PMQN$$的长确定．根据抛物线的定义，  $$\left\textbar{} PM \right\textbar=\left\textbar{} PF \right\textbar\mathsf{}\left\textbar{} QN \right\textbar=\left\textbar{} QF \right\textbar$$ （其中$$F$$为焦点）  若取$$PQ$$的倾角$$\alpha $$为参数，设  $$\left\textbar{} PF \right\textbar={{\rho }_{1}}\mathsf{}   \left\textbar{} QF \right\textbar={{\rho }_{2}}$$  则$$\left\textbar{} PM \right\textbar={{\rho }_{1}}\mathsf{}   \left\textbar{} QN \right\textbar={{\rho }_{2}}\mathsf{}   \left\textbar{} PQ \right\textbar={{\rho }_{1}}+{{\rho }_{2}}$$  于是 $${{S}_{1}}= \pi ({{\rho }_{1}}+{{\rho }_{2}}{{)}^{2}}$$，  $${{S}_{2}}= \pi    \centerdot    {{\left\textbar{} MN \right\textbar}^{2}}= \pi {{\sin }^{2}}\alpha {{({{\rho }_{1}}+{{\rho }_{2}})}^{2}}$$  显然$${{S}_{1}}\mathsf{\geqslant }{{S}_{2}}$$，且当$$a=\frac{ \pi }{2}$$时取到等号．


2009年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

方程$${{x}^{3}}-12x+a=0$$有三个不同的实数根，则实数$$a$$的取值范围为．

$$\left[ -16, 16 \right]$$

$$(-\infty ,-8)$$

$$(8,+\infty )$$

竞赛->知识点->导数模块->导数


2018年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和


2007年全国全国高中数学联赛竞赛一试第4题6分

设函数$$f(x)=3\sin x+2\cos x+1$$．若实数$$a$$、$$b$$、$$c$$使得$$af(x)+bf(x-c)=1$$对任意实数$$x$$恒成立，则$$\frac{b\cos c}{a}$$的值等于（~ ~ ）．

−1

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->辅助角公式 课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->倍角、和差角公式综合 课内体系->素养->数学运算

令$$c= \pi $$，则对任意的$$x\in \mathbf{R}$$，都有$$f(x)+f(x-c)=2$$，于是取$$a=b=\frac{1}{2}$$，$$c= \pi $$，则对任意的$$x\in \mathbf{R}$$，$$af(x)+bf(x-c)=1$$，由此得$$\frac{b\cos c}{a}=-1$$．  一般地，由题设可得$$f(x)=\sqrt{13}\sin (x+\phi )+1$$，$$f(x-c)=\sqrt{13}\sin (x+\phi -c)+1$$，其中$$0 ~\textless{} ~\phi ~~\textless{} ~\frac{\pi }{2}$$且$$\tan \phi =\frac{2}{3}$$，于是$$af(x)+bf(x-c)=1$$可化为  $$\sqrt{13}a\sin (x+\phi )+\sqrt{13}b\sin (x+\phi -c)+a+b=1$$，即  $$\sqrt{13}a\sin (x+\phi )+\sqrt{13}b\sin (x+\phi )\cos c-\sqrt{13}b\sin c\cos (x+\phi )+(a+b-1)=0$$，所以  $$\sqrt{13}(a+b\cos c)\sin (x+\phi )-\sqrt{13}b\sin c\cos (x+\phi )+(a+b-1)=0$$．  由已知条件，上式对任意$$x$$∈$$R$$恒成立，故必有$$\begin{cases} a+b\cos c=0 （1）    b\sin c=0 （2）    a+b-1=0 （3）   \end{cases}$$，  若$$b$$=0，则由（$$1$$）知$$a$$=0，显然不满足（$$3$$）式，故$$b\ne 0$$．所以，由（$$2$$）知$$\sin c$$=0，故$$c=2k \pi + \pi $$或$$c=2k \pi $$（$$k\in \mathbf{Z}$$）．当$$c=2k \pi $$时，$$\cos c=1$$，则（$$1$$）、（$$3$$）两式矛盾．故$$c=2k \pi + \pi $$（$$k\in \mathbf{Z}$$），$$\cos c$$ =−1．由（$$1$$）、（$$3$$）知$$a=b=\frac{1}{2}$$，所以$$\frac{b\cos c}{a}=-1$$．  故选$$\text{C}$$．


2005年全国高中数学联赛竞赛一试第2题6分

只有一个

有二个

有四个

有无穷多个

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间向量


2017年福建全国高中数学联赛竞赛初赛第9题6分

函数$$f\left( x \right)=\sqrt{2x-7}+\sqrt{12-x}+\sqrt{44-x}$$的最大值为 ．

竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->柯西 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式

由柯西不等式，$${{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}\leqslant \left( 3+2+6 \right)\left( \frac{2x-7}{3}+\frac{12-x}{2}+\frac{44-x}{6} \right)={{11}^{2}}$$，所以$$f\left( x \right)\leqslant 11$$，当且仅当$$x=8$$时等号成立．


圆$$A$$的半径为$$100$$.圆$$B$$的半径为整数$$r\textless100$$，当它绕着圆$$A$$的圆周滚动一次时，仍然与圆$$A$$保持内切．这两个圆在$$B$$的行程的起点和终点有相同的切点.$$r$$可能有多少个值？

课内体系->知识点->圆锥曲线

美国AMC10/12->Knowledge Point->Geometry->Calculation of Plane Geometry->Circle

The circumference of circle $$A$$ is $$200\pi$$ , and the circumference of circle $$B$$ with radius r is $$2r\pi$$. Since circle $$B$$ makes a complete revolution and ends up on the same point, the circumference of $$A$$ must be a multiple of the circumference of $$B$$, therefore the quotient must be an integer. Thus, $$\dfrac{200 \pi}{2 \pi \cdot r}= \dfrac{100}{r}$$. Therefore $$r$$ must then be a factor of $$100$$, excluding $$100$$ (because then circle $$B$$ would be the same size as circle $$A$$). $$100 =2^{2}\cdot5^{2}$$. Therefore $$100$$ has $$(2+1)\cdot (2+1)$$ factors*. But you need to subtract $$1$$ from $$9$$, in order to exclude $$100$$. Therefore the answer is $$8$$.


2008年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第17题12分

前三个答案都不对

竞赛->知识点->不等式->换元技巧->代数换元 竞赛->知识点->不等式->不等式的证明 课内体系->方法->换元法

任取$$a\textgreater0$$，令$$b=ax，c=by$$，由$$xyz=1$$ 得$$x=\frac{b}{a}，y=\frac{c}{b}，z=\frac{a}{c}$$，  从而有$$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}$$ $$\textgreater\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1$$，  又 $$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c} ~\textless{} ~\frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}=2$$，  所以 $$1 ~\textless{} ~\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z} ~\textless{} ~2$$．


2011年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分

如果$$x\in \left( 0,\frac{ \pi }{2} \right)$$时总有$$\sin x\textgreater kx$$成立，则实数$$k$$的取值范围是．

$$\left( -\infty ,\frac{\pi }{2} \right)$$

$$\left( -\infty ,\left. \frac{ \pi }{2} \right] \right.$$

$$\left( -\infty ,\frac{2}{\pi } \right)$$

$$\left( -\infty ,\left. \frac{2}{ \pi } \right] \right.$$

竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质


2007年全国全国高中数学联赛竞赛一试第6题6分 2019~2020学年上海浦东新区上海市建平中学高一上学期期中第16题3分

已知$$A$$与$$B$$是集合{$$1$$，$$2$$，$$3$$，\ldots，$$100$$}的两个子集，满足：$$A$$与$$B$$的元素个数相同，且$$A\cap B$$为空集．若$$n\in A$$时总有$$2n+2\in B$$，则集合$$A\cup B$$的元素个数最多为（~ ）．

竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算


2011年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分

一个盒子里有$$3$$个黑球和$$4$$个白球，现从盒子里随机每次取出一个球，取出后不再放回，每个球被取出的可能性相等．直到某种颜色的球全部被取出．最后取出的是黑球的概率是．

竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步


2011年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

竞赛->知识点->解析几何->直线与圆综合

直线$$mx+ny=4$$和圆$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$$相离，则$$\frac{\left\textbar{} 4 \right\textbar}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}}}\textgreater2$$，得$${{m}^{2}}+{{n}^{2}}\textless{}4$$．  方程$${{x}^{2}}+2mx+{{n}^{2}}=0$$有实根时，判别式$$\Delta =4{{m}^{2}}-4{{n}^{2}}\geqslant 0\Rightarrow \left\textbar{} m \right\textbar\geqslant \left\textbar{} n \right\textbar$$．  所以有实根的概率为$$\frac{1}{2}$$．


2016~2017学年10月北京西城区北京市第十四中学高三上学期月考理科第1题5分

2014年北京海淀区高三一模理科第1题

2016年山西太原高三三模文科第1题5分

2014年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

已知集合$$A=\left { 1,2,\frac{1}{2} \right }$$，集合$$B=\left { y\left\textbar{} y={{x}^{2}},x\in A \right. \right }$$，则$$A\cap B=$$（~ ~）．

$$\left { \frac{1}{2}\right }$$

$$\left { 2 \right }$$

$$\left { 1 \right }$$

$$\varnothing $$

课内体系->素养->数学运算 课内体系->知识点->集合->集合的基本运算->交集 课内体系->知识点->集合->集合的基本运算->交、并、补集混合运算

由题可知：$$B=\left { 1,4,\frac{1}{4} \right }$$，所以 $$A\cap B=\left {1 \right }$$．


2016年北京海淀区中国人民大学附属中学高三零模理科第6题5分

2014年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分

2016~2017学年2月湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学高三上学期月考理科第6题5分

某地举行一次民歌大奖赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出$$4$$名优胜者，则选出的$$4$$名选手中有且只有两个人是同一省份的歌手的概率为．

课内体系->素养->数学运算

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->古典概型->古典概型的概率计算（涉及计数原理）

由题意知本题是一个古典概型，  试验发生的总事件是从$$12$$名选手中选出$$4$$个优胜者，共有$$\text{C}_{12}^{4}$$种结果，  而满足条件的是选出的$$4$$名选手中恰有且只有两个人  是同一省份的歌手表示从$$6$$个省中选一个省，  它的两名选手都获奖，同时从余下的$$10$$名选手中选一个，  再从剩下的$$4$$个省中选一个，共有$$\text{C}_{6}^{1}\text{C}_{10}^{1}\text{C}_{4}^{1}$$种选法，  ∴$$P=\frac{\text{C}_{6}^{1}\text{C}_{10}^{1}\text{C}_{4}^{1}}{\text{C}_{12}^{4}}=\frac{16}{33}$$．  故选$$\text{A}$$．


2015年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分

(★★)已知$$f(x)=x\left\textbar{} x \right\textbar$$，若对任意的$$x\geqslant 1$$有$$f(x+m)+mf(x)\textless{}0$$恒成立，则实数$$m$$的取值范围是．

$$(-\infty ,-1)$$

$$(-\infty ,-1]$$

$$(-\infty ,-2)$$

$$(-\infty ,-2]$$

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性->函数单调性的应用->利用函数单调性解不等式

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质

显然$$m\textless{}0$$，所以$$f\left( x+m \right)\textless{}-mf\left( x \right)=f\left( \sqrt{-m}x \right)$$．  因为$$f\left( x \right)$$是单调增的奇函数，所以$$x+m\textless{}\sqrt{-m}x$$，即$$\left( \sqrt{-m}-1 \right)x\textgreater m$$．  所以必须$$\sqrt{-m}-1\geqslant 0$$，$$m\leqslant -1$$．


在半径为$r$的圆周上独立随机地选择两点．从每一个点沿顺时针方向画出一条长为$r$的弦．这两条弦相交的概率是多少？

课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->几何概型->与角度有关的几何概率的计算

课内体系->知识点->直线和圆的方程->圆与方程->直线与圆的位置关系->圆的弦长的相关问题

美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Probability Calculation->Geometric Models of Probabilities

Fix a point $$A$$ from which we draw a clockwise chord. In order for the clockwise chord from another point $$B$$ to intersect that of point $$A$$, $$A$$ and $$B$$ must be no more than $$r$$ units apart.By drawing the circle, we quickly see that $$B$$ can be on $$\dfrac{120}{360}=\dfrac{1}{3}(\rm D)$$ of the perimeter of the crcle. (lmagine a regular hexagon inscribed in the circle).


2022年浙江宁波竞赛第2题

已知$a,b\in R$，则``$a\textgreater b$''是``$\left\textbar{} a \right\textbar\textgreater b$''的（~~~~~~~）

充分不必要条件

必要不充分条件

充要条件

既不充分也不必要条件

\hfill\break 【分析】\\ 判断条件间的推出关系，根据充分必要性的定义判断即可.\\ 【详解】\\ 当$a\textgreater b$：\\ 若$a,b$异号，即$a\textgreater0\textgreater b$，显然$\left\textbar{} a \right\textbar\textgreater b$成立；\\ 若$a\textgreater b\ge 0$或$0\ge a\textgreater b$，均有$\left\textbar{} a \right\textbar\textgreater b$成立；\\ 所以充分性成立；\\ 当$\left\textbar{} a \right\textbar\textgreater b$：若$a=-2$，$b=1$，显然$a\textgreater b$不成立，故必要性不成立.\\ 所以``$a\textgreater b$''是``$\left\textbar{} a \right\textbar\textgreater b$''的充分不必要条件.\\ 故选：A


2015年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分

竞赛->知识点->导数模块->导数

$${f}'\left( x \right)=12{{x}^{2}}-3=3\left( 2x+1 \right)\left( 2x-1 \right)$$，$$f\left( x \right)$$在$$\left( -\infty ,-\frac{1}{2} \right)$$单调增，在$$\left( -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right)$$单调减，在$$\left( \frac{1}{2},+\infty \right)$$单调增，所以$$f\left( x \right)$$在$$\left( a,a+2 \right)$$上的最大值只能是$$f\left( -\frac{1}{2} \right)=1$$．  因此，$$a\textless{}-\frac{1}{2}\textless{}a+2$$，另外$$f\left( 1 \right)=1$$，所以$$a+2\leqslant 1$$，综合有$$-\frac{5}{2}\textless{}a\leqslant -1$$．


某運算◇對所有的非零實數$$a$$、$$b$$、$$c$$滿足：$$a$$◇$$(b$$ ◇$$c)=(a$$◇$$b)\cdot c$$(此處 $$\cdot$$ 是一般的乘號)，且 $$a$$◇$$a=1$$ ．若方程式$$2016$$◇$$(6$$◇$$x)=100$$ 的解爲$$\frac pq$$,其中$$p$$、$$q$$爲互質的正整數，則 $$p+q$$之値爲何？  A binary operation ◇ has the properties that $$a$$◇$$(b$$ ◇$$c)=(a$$◇$$b)\cdot c$$ and that $$a$$◇$$a=1$$ for all nonzero real numbers $$a$$, $$b$$, and $$c$$. (Here represents multiplication). The solution to the equation $$2016$$◇$$(6$$◇$$x)=100$$ can be written as $$\frac pq$$, where $$p$$ and $$q$$ are relatively prime positive integers. What is $$p+q$$?+q?

We see that $$a$$◇$$a=1$$, and think of division. Testing, we see that the first condition $$a$$◇$$(b$$◇$$c)=(a$$◇$$b)\cdot c$$ is satisfied, because $$\frac {a}{\dfrac bc}=\frac ab\cdot c$$. Therefore, division can be the operation ◇. Solving the equation, $$\frac {2016}{\dfrac 6x}=\frac {2016}6\cdot x=336x=100\Rightarrow x=\frac {100}{336}=\frac {25}{84}$$, so the answer is $$25+84=109$$.  We can manipulate the given identities to arrive at a conclusion about the binary operator ◇. Substituting $$b=c$$ into the first identity yields $$(a$$◇$$b)\cdot b=a$$◇$$(b$$◇$$b)=a$$◇$$1=a$$◇$$(a$$◇$$a)=(a$$◇$$a)\cdot a=a$$. Hence, $$(a$$◇$$b)\cdot b=a$$, or, dividing both sides of the equation by $$b$$$, $$(a$$◇$$b)=\frac ab$$.  Hence, the given equation becomes $$\frac {2016}{\dfrac 6x}=100$$. Solving yields $$x=\frac {100}{336}=\frac {25}{84}$$, so the answer is $$25+84=109$$.  One way to eliminate the ◇ in this equation is to make $$a=b$$ so that $$a$$◇$$(b$$◇$$c)=c$$. In this case, we can make $$b=2016$$.  $$2016$$◇$$(6$$◇$$x)=100\Rightarrow (2016$$◇$$6)\cdot x=100$$  By multiplying both sides by $$x$$, we get:  $$(2016$$◇$$6)\cdot 6=\frac {600}x\Rightarrow 2016$$◇$$(6$$◇$$6)=\frac {600}x$$  Because $$6$$◇$$6=2016$$◇$$2016=1$$:  $$2016$$◇$$(2016$$◇$$2016)=\frac {600}x\Rightarrow (2016$$◇$$2016)\cdot 2016=\frac {600}x\Rightarrow 2016=\frac {600}x$$  Therefore, $$x=\frac {600}{2016}=\frac {25}{84}$$, so the answer is $$25+84=109$$.


2014年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列


2009年新疆全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质 竞赛->知识点->函数->函数综合


2021年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

课内体系->思想->函数思想

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->素养->数学抽象

课内体系->方法->分离常数法

课内体系->知识点->数列->数列的概念->数列的函数特性->数列中最大项与最小项的求解问题

课内体系->知识点->数列->数列的概念->数列的函数特性->数列单调性问题


2010AMC12B, 16  Positive integers $$a$$, $$b$$, and $$c$$ are randomly and independently selected with replacement from the set $$ {1,2,3,\cdots ,2010  }$$. What is the probability that $$abc+ab+a$$ is divisible by $$3$$?   从集合$$ {1,2,3,\cdots ,2010  }$$中独立随机有放回地选取正整数$$a$$, $$b$$, 和$$c$$。$$abc+ab+a$$被$$3$$整除的概率是多少？

课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->事件的独立性->相互独立事件的概率乘法公式

美国AMC10/12->Knowledge Point->Number Theory->Aliquot Theory->Divisibility Rules of Certain Numbers (2/3/5/9/11)

美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Probability Calculation->Classical Models of Probabilities

首先, 注意到$abc+ab+a=a(bc+b+1)$, 因此当$3\textbar a$时，有$3\textbar abc+ab+a$.  然后, 当$3\nmid a$时, $3\textbar abc+ab+a\Leftrightarrow 3\textbar bc+b+1\Leftrightarrow b(c+1)\equiv 2\pmod 3$.  在模$$3$$的意义下, $(b,c)$共有$$3\times 3=9$$种可能的取值, 其中只有$(2, 0)$和$(1, 1)$满足$b(c+1)\equiv 2\pmod 3$.  因此, 总的概率为$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times\frac{2}{9}=\frac{13}{27}$.


全国高中数学联赛竞赛模拟一试（十五）第1题

$$\left[ 0,+\infty \right)$$

$$\left[ 1,+\infty \right)$$

$$\left[ 2,+\infty \right)$$

以上都不对

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的值域 竞赛->知识点->函数->基本初等函数 竞赛->知识点->函数->二次函数


全国高中数学联赛竞赛模拟一试（十五）第1题

$$\left[ 2,+\infty \right)$$

$$\left[ 0,+\infty \right)$$

$$\left[ -2,+\infty \right)$$

$$\left[ 1,+\infty \right)$$

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的值域 竞赛->知识点->函数->二次函数 竞赛->知识点->函数->基本初等函数


2017~2018学年浙江温州瓯海区浙江省瓯海中学高三上学期期中理科第9题4分 2007年全国全国高中数学联赛竞赛一试第2题6分

$$\left[ -\frac{1}{3}，\frac{1}{3} \right]$$

$$\left[ -\frac{1}{2}，\frac{1}{2} \right]$$

$$\left[ -\frac{1}{4}，\frac{1}{3} \right]$$

课内体系->素养->数学运算 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->解不等式->含绝对值的不等式 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->解不等式->一元二次不等式

令$$x=\frac{2}{3}a$$，则有$$\textbar a\textbar\leqslant \frac{1}{3}$$，排除$$\text{B}$$、$$\text{D}$$，由对称性排除$$\text{C}$$，从而只有$$\text{A}$$正确．  一般地，对$$k\in \mathbf{R}$$，令$$x=\frac{1}{2}ka$$，则原不等式为$$\textbar a\textbar\cdot \textbar k-1\textbar+\frac{3}{2}\textbar a\textbar\cdot \left\textbar{} k-\frac{4}{3} \right\textbar\geqslant \textbar a{{\textbar}^{2}}$$，由此易知原不等式等价于$$\textbar a\textbar\leqslant \textbar k-1\textbar+\frac{3}{2}\left\textbar{} k-\frac{4}{3} \right\textbar$$，对任意的$$k\in \mathbf{R}$$成立．由于  $$\textbar k-1\textbar+\frac{3}{2}\left\textbar{} k-\frac{4}{3} \right\textbar=\begin{cases} \frac{5}{2}k-3， k\geqslant \frac{4}{3}    1-\frac{1}{2}k， 1\leqslant k ~\textless{} ~\frac{4}{3}    3-\frac{5}{2}k， k ~\textless{} ~1   \end{cases}$$，  所以$$_{k\in \mathbf{R}}^{\min }\left { \textbar k-1\textbar+\frac{3}{2}\left\textbar{} k-\frac{4}{3} \right\textbar{} \right }=\frac{1}{3}$$，从而上述不等式等价于$$\textbar a\textbar\leqslant \frac{1}{3}$$．  故选$$\text{A}$$．


2009年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

竞赛->知识点->解析几何->椭圆


1992年全国高中数学联赛竞赛一试第6题

设$$f\left( x \right)$$是定义在实数集$$R$$上的函数，且满足下列关系：$$f\left( 10+x \right)=f\left( 10-x \right)$$．$$f\left( 20-x \right)=-f\left( 20+x \right)$$．则$$f\left( x \right)$$是（~ ）．

偶函数，又是周期函数

偶函数，但不是周期函数

奇函数，又是周期函数

奇函数，但不是周期函数

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质


2010年河南全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

$$x$$

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质


一个钟在半点时响一次，在整点时，几点钟就响几次．例如，在下午$$1$$点有一次报时，在正午$$12$$点和午夜$$12$$点各有$$12$$次报时．从$$2003$$年$$2$$月$$26$$日上午$$11$$点$$15$$分开始，第$$2003$$次报时将在哪一天发生？

March $$8$$

March $$9$$

March $$10$$

March $$20$$

March $$21$$

课内体系->知识点->等式与不等式->等式->方程组的解集

美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Reasoning->Recurrence and Recursion

First, find how many chimes will have already happened before midnight (the beginning of the day) of February $$27$$, $$2003$$. $$13$$ half-hours have passed, and the number of chimes according to the hour is $$1+2+3+\cdots +12$$. The total number of chimes is $$13+78=91$$.  Every day, there will be $$24$$ half-hours and $$2(1+2+3+\cdots 12)$$ chimes according to the arrow, resulting in $$24+156=180$$ total chimes.  On February $$26$$, the number of chimes that still need to occur is $$2003-91=1912$$. $$1912\div 180=10\rm R112$$. Rounding up, it is $$11$$ days past February $$26$$, which is March $$9$$.


1997年全国高中数学联赛竞赛一试第4题6分

在平面直角坐标系中，若方程$$m\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2y+1 \right)={{\left( x-2y+3 \right)}^{2}}$$表示的曲线为椭圆，则$$m$$的取值范围为（~ ~ ）．

$$(1,+\infty )$$

$$(5,+\infty )$$

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->圆锥曲线->椭圆->椭圆的定义、标准方程->椭圆的标准方程

课内体系->知识点->直线和圆的方程->直线与方程->平面中的距离->点到直线的距离公式

看成是轨迹上点到$$(0,-1)$$的距离与到直线$$x-2y+3=0$$的距离的比：  $$\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}}{\frac{\left\textbar{} x-2y+3 \right\textbar}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}}}=\sqrt{\frac{5}{m}}\textless{}1\Rightarrow m\textgreater5$$．  故选$$\text{D}$$．


$$2008-AMC10B-18$$  Bricklayer Brenda would take $$9$$ hours to build a chimney alone, and bricklayer Brandon would take $$10$$ hours to build it alone. When they work together they talk a lot, and their combined output is decreased by $$10$$ bricks per hour. Working together, they build the chimney in $$5$$ hours. How many bricks are in the chimney?  瓦工布伦达单独建造一个烟囱需要花费 9小时，而瓦工布兰登单独建造它需要花费 10小时。 当他们一起工作时，他们会说很多话，他们的总效率每小时减少 10 块砖。 他们一起工作，在 小时内建造了烟囱。 烟囱里有多少块砖？

课内体系->知识点->等式与不等式->等式->方程组的解集

美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Equation Word Problems

Let $$x$$ be the number of bricks in the chimney, Using $$d=vt$$, we get $$x=\left( \frac{x}{9}+\frac{x}{10}-10 \right)\cdot \left( 5 \right)$$. Solving for $$x$$, we get $$900\Rightarrow \text{B}$$.


1998年全国高中数学联赛竞赛一试第4题6分

是命题$$P$$的充分必要条件

是命题$$P$$的充分条件但不是必要条件

是命题$$P$$的必要条件但不是充分条件

既不是是命题$$P$$的充分条件也不是命题$$P$$的必要条件

竞赛->知识点->不等式->不等式的解法


2006年上海复旦大学自主招生千分考第16题 1981年全国高中数学联赛竞赛一试第2题

条件甲：$$\sqrt{1+\sin \theta }=a$$．条件乙：$$\sin \frac{\theta }{2}+\cos \frac{\theta }{2}=a$$．则下列（~ ）是正确的．

甲是乙的充分必要条件

甲是乙的必要条件

甲是乙的充分条件

甲不是乙的必要条件，也不是充分条件

竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换

因为$$\sqrt{1+\sin \theta }=\sqrt{{{\sin }^{2}}\frac{\theta }{2}+2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}+{{\cos }^{2}}\frac{\theta }{2}}=\sqrt{{{\left( \sin \frac{\theta }{2}+\cos \frac{\theta }{2} \right)}^{2}}}=\left\textbar{} \sin \frac{\theta }{2}+\cos \frac{\theta }{2} \right\textbar$$  所以条件甲等价于：$$\left\textbar{} \sin \frac{\theta }{2}+\cos \frac{\theta }{2} \right\textbar=a$$．  在条件甲中，易知$$a\geqslant 0$$，而在条件乙中，$$a$$可能取负值．  所以由条件甲推不出乙，由乙也推不出甲，  即甲不是乙的必要条件，也不是充分条件．


2014年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

$$\triangle ABC$$的三个内角为$$A$$、$$B$$、$$C$$，若$$\frac{\sin A+\sqrt{3}\cos A}{\cos A-\sqrt{3}\sin A}=\tan \frac{7 \pi }{12}$$，则$$\sin 2B+2\cos C$$的最大值为．

竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换 竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质


全国高中数学联赛竞赛模拟一试（五）第3题

从$$0$$，$$1$$，$$\cdots $$，$$9$$这十个号码中任意抽取三个，其中至少有两个号码是连续整数的概率为~\uline{~~~~~~~~~~}~．

$$ \frac{7}{15}$$

$$ \frac{8}{15}$$

$$ \frac{2}{5}$$

$$ \frac{3}{5}$$

$$ \frac{1}{2}$$

竞赛->知识点->排列组合与概率->两个基本计数原理 竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步 竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合 课内体系->知识点->计数原理

设抽出的号码$$i$$，$$j$$，$$k$$（$$0\leqslant i\textless{}j\textless{}k\leqslant 9$$）中任何两个均不相邻，  则$$i$$，$$j-1$$，$$k-2$$互不相邻，且只能从$$ {0,1,\cdots ,7 }$$中取值，  故所求的概率$$ p=1- \frac{\text{C}_{8}^{3}}{\text{C}_{15}^{3}}= \frac{8}{15}$$．


2008年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分

已知函数$$y=\frac{x-a}{x-a-1}$$的反函数的图象关于点$$\left( -1,3 \right)$$成中心对称图形，则实数$$a$$等于．

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质

方法一：在原函数图象上取点$$\left( 1,\frac{1}{a}-1 \right)$$，  则点$$\left( \frac{1}{a}-1,1 \right)$$在其反函数图象上，  它关于点$$(-13)$$的对称点为$$\left( -1-\frac{1}{a},5 \right)$$，从而点$$\left( 5,-1-\frac{1}{a} \right)$$在原函数图象上，  所以有$$-1-\frac{1}{a}=\frac{5-a}{5-a-1}$$，  解得$$a=2$$．故选$$\text{A}$$．  方法二：因函数$$y=-\frac{x-a}{x-a-1}$$与其反函数的图象关于直线$$y=x$$对称，  故它们的对称中心必也关于$$y=x$$对称．  可知点$$\left( -1,3 \right)$$关于直线$$y=x$$的对称点为$$(3-1)$$．  又因为函数$$y=-\frac{x-a}{x-a-1}$$，即$$y=-1+\frac{1}{x-(a+1)}$$，  图象关于点$$(a+1,-1)$$成中心对称图形，故$$a+1=3$$，得$$a=2$$．故选$$\text{A}$$．


2010年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第9题5分

若把函数$$y=\sqrt{3}\cos x-\sin x$$的图象向右平移$$m$$（$$m\textgreater0$$）个单位长度后，所得到的图象关于$$y$$轴对称，则$$m$$的最小值是．

$$\frac{ \pi }{3}$$

$$\frac{2}{3} \pi $$

$$\frac{ \pi }{6}$$

$$\frac{5}{6} \pi $$

竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质

$$y=\sqrt{3}\cos x-\sin x=2\cos \left( x+\frac{ \pi }{6} \right),$$对称轴方程$$x=k \pi -\frac{ \pi }{6},  k\in Z$$．


2002年全国高中数学联赛竞赛一试第2题10分

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->利用基本不等式求最值

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式的概念

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式成立的条件

课内体系->素养->数学运算


2017年山西全国高中数学联赛竞赛初赛第8题8分

设$$M=\left { 1,2,\cdots ,2017 \right }$$是前$$2017$$个正整数构成的集合，若从$$M$$中去掉一个元素后，$$M$$中剩下的元素之和恰为一个平方数，则去掉的元素是 ．

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和 竞赛->知识点->集合->集合的划分与覆盖


某個三角形的頂點座標爲 $$A(0,2)$$、 $$B(-3,2)$$、$$C(-3,0)$$ ，將此三角形以$$x$$軸爲對稱軸作對稱得到三角形$$\triangle A^{}\prime B^{}\prime C^{}\prime $$ ．再將她以原點爲中心，逆時針方向旋轉90°．得到$$\triangle A^{\prime \prime }B^{\prime \prime }C^{\prime \prime }$$．試問下列哪一個敘述能將變換回原來的？  $$\text{A}$$选项．繞原點逆時針旋轉$$90^{}\circ $$  $$\text{B}$$选项．繞原點順時針旋轉$$90^{}\circ $$  $$\text{C}$$选项．關於$$x$$軸的對稱  $$\text{D}$$选项．關於直線$$y=x$$對稱  $$\rm E$$选项．關於$$y$$軸的對稱  A triangle with vertices $$A(0,2)$$, $$B(-3,2)$$, and $$C(-3,0)$$ is reflected about the $$x$$-axis, then the image $$\triangle A^{}\prime B^{}\prime C^{}\prime $$ is rotated counterclockwise about the origin by $$90^{}\circ $$ to produce $$\triangle A^{\prime \prime }B^{\prime \prime }C^{\prime \prime }$$. Which of the following transformations will return $$\triangle A^{\prime \prime }B^{\prime \prime }C^{\prime \prime }$$ to $$\triangle ABC$$?

counterclockwise retation about the origin by $$90^{}\circ $$

clockwise rotation about the origin by $$90^{}\circ $$

reflection about the x---axis

reflection about the liney=x

reflection about the y---axis.

Consider a point $$(x,y)$$. Reflecting it about the $$x$$-axis will map it to $$(x,-y)$$, and rotating it counterclockwise about the origin by $$90^{}\circ $$will map it to $$(y,x)$$. The operation that undoes this is a reflection about the $$y=x$$, so the answer is $$\rm D$$.


2010年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第12题5分

2020~2021学年广东深圳福田区深圳市高级中学高中部高二下学期期中第8题5分

已知集合$$M= {1,2,3 }$$，$$N= {1,2,3,4 }$$，定义函数$$f:M\to N$$．若点 $$A(1,f(1))$$，$$B(2,f(2))$$，$$C(3,f(3))$$，$$\Delta ABC$$的外接圆圆心为$$D$$，且$$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\lambda \overrightarrow{DB}(\lambda\in R)$$ ，则满足条件的函数$$f(x)$$有（~ ）

课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->分类加法计数原理

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->函数的定义

课内体系->素养->数学运算


1988年全国高中数学联赛竞赛一试第5题

在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点．我们用Ⅰ表示所有直线的集合，$$M$$表示恰好通过一个整点的直线的集合，$$N$$表示不通过任何整点的直线的集合，$$P$$表示通过无穷多个整点的直线的集合，那么表达式：．  （1）$$M{\cup }N{\cup }P=$$Ⅰ；（3）$$N\ne \varnothing $$；  （2）$$M\ne \varnothing $$；~~~~~~~~~~ （4）$$P\ne \varnothing $$  中正确的个数是

竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算 竞赛->知识点->解析几何->直线与方程


1989年全国高中数学联赛竞赛一试第2题

函数$$f\left( x \right)=\text{arctan}x+\frac{1}{2}\arcsin x$$的值域是．

$$(- \pi , \pi )$$

$$\left[ -\frac{3 \pi }{4},\frac{3 \pi }{4} \right]$$

$$\left( -\frac{3 \pi }{4},\frac{3 \pi }{4} \right)$$

$$\left[ -\frac{ \pi }{2},\frac{ \pi }{2} \right]$$

知识标签->题型->函数->函数及其表示->函数的值域->用单调性观察法求值域 知识标签->素养->数学运算 知识标签->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->反三角函数

$$f(x)$$的定义域是$$[-1,1]$$，此时  $$-\frac{ \pi }{4}{\leqslant }\text{arctg}x{\leqslant }\frac{ \pi }{4}$$，$$-\frac{ \pi }{4}{\leqslant }\frac{1}{2}\arcsin x{\leqslant }\frac{ \pi }{4}$$．  而且$$\text{arctg}x$$和$$\arcsin x$$是单调增加的，从而$$f(x)$$的值域是$$\left[ -\frac{ \pi }{2},-\frac{ \pi }{2} \right]$$．  故选$$\text{D}$$．


课内体系->知识点->集合->集合的基本关系->子集个数的计算


2018年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分

$$\left( 0,\frac{4}{3} \right]$$

$$\left( 1,\frac{4}{3} \right]$$

竞赛->知识点->不等式->换元技巧->代数换元


$$2000-AMC10-17$$  Boris has an incredible coin changing machine. When he puts in a quarter, it returns five nickels; when he puts in a nickel, it returns five pennies; and when he puts in a penny, it returns five quarters. Boris starts with just one penny. Which of the following amounts could Boris have after using the machine repeatedly?  鲍里斯有一台令人难以置信的硬币更换机。 当他投入$$25$$美分时，它返回五个$$5$$分币； 当他投入$$1$$个五分硬币时，它返回$$5$$个人$$1$$分硬币； 当他投入一分钱时，它会返回五个$$25$$美分硬币。 鲍里斯从一分钱开始。 鲍里斯在反复使用机器后可能会获得以下哪些金额？

课内体系->知识点->函数的应用->函数与方程

Consider what happens each time he puts a coin in. If he puts in a quarter, he gets five nickels back, so the amount of money he has doesn\textquotesingle t change. Similarly, if he puts a nickel in the machine, he gets five pennies back and the money value doesn\textquotesingle t change. However, if he puts a penny in, he gets five quarters back, increasing the amount of money he has by~~cents.  This implies that the only possible values, in cents, he can have are the ones one more than a multiple of . Of the choices given, the only one is D


2019年江西全国高中数学联赛竞赛初赛改编第8题

前三个答案都不对

知识标签->知识点->数列->数列的概念->数列的表示方法->通项公式


2017年天津南开区高三二模文科第1题5分 2015年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分 2014年重庆高三零模文科第4题5分 2017年天津南开区高三二模理科第1题5分 2014年重庆高三零模理科第2题5分

$$ {1 }$$

$$ {-2 }$$

$$ {-1,-2 }$$

$$ {-1,0 }$$

课内体系->素养->数学运算

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->思想->分类讨论思想

课内体系->知识点->集合->集合的概念与表示方法->集合的含义、元素与集合->元素与集合之间的关系->元素与集合的关系判断


2017~2018学年江西南昌西湖区南昌市第八中学高一上学期期末第10题5分

2017~2018学年北京海淀区中央民族大学附属中学高一下学期期中第7题5分

2015年北京海淀区高三三模第4题

2018~2019学年广东深圳高一上学期期末高中联考联盟第8题5分

2008年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

2018~2019学年江苏盐城高一上学期期末第5题5分

若$$\sin \left( \frac{ \pi }{4}-x \right)=\frac{3}{5}$$，则$$\sin 2x$$的值为．

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->二倍角的正弦

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->两角和与差的正弦->利用正弦和差角公式凑角求值

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->同角三角函数的基本关系式->正余弦和差积相互转化求值


2015年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

已知二面角$$\alpha -l-\beta $$的大小为$$30{}^{}\circ $$，则由平面$$\alpha $$上的圆在平面$$\beta $$上的正射影得到的椭圆的离心率为．

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的角与距离 竞赛->知识点->解析几何->椭圆


2016年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->平面向量数量积的运算律

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->向量的数量积的定义

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->利用向量数量积求模长

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->平面向量数量积运算（非坐标）

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->利用向量数量积求夹角

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的基本概念->向量的概念->向量的夹角的判断

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的基本概念->向量的模

课内体系->素养->数学运算

$$(\vec{c}-\vec{a})\cdot (\vec{c}-\vec{b})=1-\overrightarrow{c}\left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)=1-\left\textbar{} \overrightarrow{c} \right\textbar\left\textbar{} \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right\textbar\text{cos }\theta \leqslant 1+\sqrt{2}$$，当$$\overrightarrow{c}$$与$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$的夹角为$$180{}^{}\circ $$时取等号．  故选$$\text{A}$$．


2019~2020学年4月湖南长沙天心区长郡中学高一下学期月考第12题3分

1998年全国高中数学联赛竞赛一试第3题6分

2014~2015学年10月辽宁沈阳和平区东北育才中学高二上学期月考理科第7题5分

2018~2019学年10月山东济宁市中区济宁市第一中学高二上学期月考第6题5分

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列


2006年上海复旦大学自主招生千分考第6题 2010年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

$$60{}^{}\circ $$

$$75{}^{}\circ $$

$$90{}^{}\circ $$

$$105{}^{}\circ $$

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的角与距离


2010年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

设正三棱锥$$S-ABC$$的底面边长为$$3$$，侧棱长为$$2$$，则侧棱$$SA$$与底面$$ABC$$所成的角的大小是．

$$30{}^{}\circ $$

$$45{}^{}\circ $$

$$60{}^{}\circ $$

$$\arctan \sqrt{2}$$

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的角与距离

设顶点$$S$$在底面$$\triangle ABC$$的射影是$$H$$，则$$H$$为$$\triangle ABC$$的外心．从而$$AH=\frac{2}{3}\times 3\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$，于是可得$$\angle SAH={{30}^{\circ }}$$．故选$$\text{A}$$．


1994年全国高中数学联赛竞赛一试第4题

$$x\textless{}z\textless{}y$$

$$y\textless{}z\textless{}x$$

$$z\textless{}x\textless{}y$$

$$x\textless{}y\textless{}z$$

课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算

课内体系->知识点->基本初等函数->指对幂比较大小

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->三角函数线

课内体系->素养->数学运算

∵$$0\textless{}b\textless{}1$$， ∴$$f(x)={{\log }_{b}}x$$是减函数，又  ∵$$0\textless{}a\textless{}\frac{ \pi }{4}$$， ∴$$0\textless{}\sin a\textless{}\cos a\textless{}1$$，  ∴$${{\log }_{b}}\sin a\textgreater{{\log }_{b}}\cos a\textgreater0$$，  ∴$${{(\sin a)}^{{{\log }_{b}}\sin a}}\textless{}{{(\sin a)}^{{{\log }_{b}}\cos a}}$$，即$$x\textgreater z$$；  又$${{(\sin a)}^{{{\log }_{b}}\sin a}}\textless{}{{(\cos a)}^{{{\log }_{b}}\cos a}}$$，即$$z\textless{}y$$，故有$$x\textless{}z\textless{}y$$．  故选$$\text{A}$$．


2008年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

课内体系->素养->数学运算

课内体系->思想->方程思想

课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的概念与通项公式->等差数列求通项问题

课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的前n项和->等差数列求和问题

课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的性质及应用

课内体系->知识点->数列->数列的概念->数列的前n项和

课内体系->知识点->数列->数列的概念->数列的定义

课内体系->知识点->数列->数列的概念->数列的表示方法->通项公式->常见数列的通项公式

课内体系->方法->方程组法


2012年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

$$0\textless{}{{x}_{1}}{{x}_{2}}\textless{}1$$

$$1\textless{}{{x}_{1}}{{x}_{2}}\textless{}2$$

$${{x}_{1}}{{x}_{2}}\geqslant 2$$

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质


2017年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

设集合$$X=\left { 1,2,3,\cdots ,2017 \right }$$，集合  $$S=\left { \left( x,y,z \right)\left\textbar{} x,y,z\in X,且三条件x\textless{}y\textless{}z,y\textless{}z\textless{}x,z\textless{}x\textless{}y 恰有一个成立\right. \right }$$  若$$\left( x,y,z \right)\in S$$且$$\left( z,w,x \right)\in S$$，则下列选项正确的是．

$$\left( y,z,w \right)\in S$$且$$\left( x,y,w \right)\notin S$$

$$\left( y,z,w \right)\in S$$且$$\left( x,y,w \right)\in S$$

$$\left( y,z,w \right)\notin S$$且$$\left( x,y,w \right)\in S$$

$$\left( y,z,w \right)\notin S$$且$$\left( x,y,w \right)\notin S$$

竞赛->知识点->集合->集合的划分与覆盖 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算


考虑三维空间中任意给定的空间四边形$ABCD$，\emph{A}，\emph{B}，\emph{C}，\emph{D}是四个顶点，四条线段$AB,BC,CD,DA$依次首尾相接，将点\emph{A}的内角定义为射线$AD$和射线$AB$的夹角，其补角为角\emph{A}的外角，其他顶点定义类似，考虑这种空间四边形的外角和\emph{x}，则有（~~~~~~~）

$x\geq 2\pi$

$x\leq 2\pi$

不能确定

\hfill\break 【分析】\\ 首先外角和与内角和之和为$4\pi$，再根据各角的不等关系可证内角和不大于$2\pi$，外角和不小于$2\pi$．\\ 【详解】\\ 对于空间四边形，外角和与内角和之和为$4\pi$，因此考虑内角和与$2\pi$的大小关系．\\ 取\emph{A}，\emph{B}，\emph{C}，\emph{D}为正四面体的四个顶点，则内角和为$\frac{\pi }{3}\times 4=\frac{4\pi }{3}\textless{} 2\pi$，\\ 因此选项AC都错误，\\ 接下来证明内角和不大于$2\pi$．\\ 事实上，有$\left {\begin{array}{l} \angle ABD+\angle CBD\geq \angle ABC,   \angle ADB+\angle CDB\geq \angle CDA, \end{array}\right.$\\ 从而$2x=(\angle ABD+\angle BDA+\angle DAB)+(\angle DBC+\angle BDC+\angle BCD)$\\ $\geq \angle DAB+\angle ABC+\angle BCD+\angle CDA$，\\ 因此内角和不大于$2\pi$，外角和不小于$2\pi$．\\ 故选：B.


2009年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

已知平面区域$$\Omega = {(x,y)\textbar x+y\leqslant 6,x\geqslant 0,y\geqslant 0 }$$，$$A= {(x,y)\textbar x\leqslant 4,y\geqslant 0,x-2y\geqslant 0 }$$，若向区域$$\Omega $$上随机投一点$$P$$，则点$$P$$落入区域$$A$$的概率为．

竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步 竞赛->知识点->集合->集合的划分与覆盖 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算

不难算出平面区域$$\Omega $$的面积为$$\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6=18$$，$$A$$的面积为$$\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2=4$$，  所以所求概率为$$\frac{4}{18}=\frac{2}{9}$$．


2016年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分

函数$$f\left( x \right)=\left\textbar{} \sin 2x+\cos 2x \right\textbar$$的最小正周期是（~ ）．

$$2 \pi $$

$$ \pi $$

$$\frac{ \pi }{2}$$

$$\frac{ \pi }{4}$$

课内体系->素养->直观想象

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦型函数的图象与性质->求正弦型函数的周期

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦函数的图象和性质

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->辅助角公式

课内体系->知识点->函数的应用->函数与方程->函数的图象变换问题->翻折变换问题

课内体系->思想->函数思想

$$f\left( x \right)=\left\textbar{} \sin 2x+\cos 2x \right\textbar$$可以改写为  $$f\left( x \right)=\left\textbar{} \sqrt{2}\sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right) \right\textbar$$，  由函数图象之间的关系可见$$f\left( x \right)$$与$$g\left( x \right)=\left\textbar{} \sin 2x \right\textbar$$有相同的最小正周期．  因为$$\left\textbar{} \sin x \right\textbar$$的最小正周期为$$\pi $$，所以$$g\left( x \right)$$的最小正周期为$$\frac{\pi }{2}$$．  故选$$\text{C}$$．


2022~2023学年3月江苏常州武进区江苏省前黄高级中学高一下学期月考第2题

2022~2023学年3月江苏常州武进区江苏省前黄高级中学高一下学期月考第2题

2022~2023学年湖南邵阳隆回县湖南省隆回县第二中学高一上学期月考（竞赛）第4题

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数

\hfill\break 【分析】\\ 根据题意，结合$\alpha $所在象限，得到$\sin \alpha $和$\cos \alpha $的值，再根据公式，求得答案.\\ 【详解】\\ 由角$\alpha $终边上一点\emph{M}的坐标为$\left( 1,\sqrt{3} \right)$，\\ 得$\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos \alpha =\frac{1}{2}$，\\ 故$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$，\\ 故选D.\\ 【点睛】\\ 本题考查已知角的终边求对应的三角函数值，二倍角公式，属于简单题.


2008年河南全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

$$\triangle ABC$$的三个内角$$A$$、$$B$$、$$C$$依次成等差数列，$$\sin A$$、$$\sin B$$、$$\sin C$$依次成等比数列，则$$\triangle ABC$$．

是直角三角形，但不是等腰三角形

不是等腰三角形，也不是直角三角形

是等腰直角三角形

是等边三角形

竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列


2020年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分

已知$$\text{i}$$是虚数单位，则$$\sum\limits_{k=1}^{2020}{\left( k\cdot {{\text{i}}^{k+1}} \right)}=$$．

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和 课内体系->知识点->复数->复数的运算->复数的四则运算综合


1994年全国高中数学联赛竞赛一试第2题

命题（$$1$$）正确，命题（$$2$$）也正确

命题（$$1$$）正确，命题（$$2$$）错误

命题（$$1$$）错误，命题（$$2$$）也错误

命题（$$1$$）错误，命题（$$2$$）正确

竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算


2021年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第2题

已知集合$$M=\left { \left( x,y \right)\textbar\textbar x\textbar+\textbar y\textbar\leqslant 1 \right }$$，集合$$N=\left { \left( x,y \right)\textbar{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\leqslant \textbar x\textbar+\textbar y\textbar{} \right }$$，则．

$$M=N$$

$$M\subseteq N$$

$$N\subseteq M$$

前三个都不正确

竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算

对于任意$$\left( x,y \right)\in M$$，均有$$\textbar x\textbar+\textbar y\textbar\leqslant 1$$，故$$\begin{cases}\textbar x\textbar\leqslant 1    \textbar y\textbar\leqslant 1    \end{cases}$$，故有$$\begin{cases}{{x}^{2}}\leqslant \textbar x\textbar{}    {{y}^{2}}\leqslant \textbar y\textbar{}    \end{cases}\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\leqslant \textbar x\textbar+\textbar y\textbar$$，  故$$\left( x,y \right)\in N$$，所以$$M\subseteq N$$；  又因为$$\left( 1,1 \right)\in N$$，$$\left( 1,1 \right)\notin M$$，  故$$M\subsetneqq N$$，选$$\text{B}$$．


2011年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第9题5分

竞赛->知识点->解析几何->直线与圆锥曲线


2010年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分

竞赛->知识点->解析几何->双曲线


2010年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

充分而不必要条件

必要而不充分条件

充要条件

既不充分也不必要条件

竞赛->知识点->不等式->不等式的解法

$$p$$成立$$\Leftrightarrow x\geqslant -3$$，所以$$p $$成立，推不出$$q$$一定成立．


2009年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

已知平面上单位向量$$\overrightarrow{a}=\left( \frac{5}{13},\frac{12}{13} \right),\overrightarrow{b}=\left( \frac{4}{5},\frac{3}{5} \right)$$，则下列关系式正确的是．

$$\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}$$

$$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\bot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$$

$$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})//(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$$

$$\overrightarrow{a}\bot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$$

课内体系->方法->图象法

课内体系->知识点->平面向量->向量应用->平面几何中的向量方法

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->数量积的坐标表达式

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->利用数量积解决向量垂直问题（非坐标运算）

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->平面向量数量积的运算律

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->线性运算和数量积综合问题

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->平面向量的线性运算->平面向量的加法运算及运算规则

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->平面向量的线性运算->平面向量的减法运算及运算规则

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->平面向量的线性运算->平面向量线性运算综合（非坐标）

课内体系->知识点->平面向量->平面向量基本定理及其坐标表示->平面向量基本定理及其意义

课内体系->知识点->平面向量->平面向量基本定理及其坐标表示->平面向量的正交分解及坐标表示

课内体系->知识点->平面向量->平面向量基本定理及其坐标表示->平面向量加、减、数乘的坐标运算

课内体系->知识点->平面向量->平面向量基本定理及其坐标表示->坐标表示平面向量的垂直

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的基本概念->单位向量

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的基本概念->向量的概念

课内体系->素养->直观想象

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->素养->数学运算

课内体系->思想->数形结合思想


2009年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->（模）周期数列


2010~2011学年北京海淀区高三上学期期末理科第7题

2018~2019学年北京西城区北京市第十三中学高二上学期期中第10题3分

2019~2020学年11月重庆沙坪坝区重庆市南开中学高二上学期周测A卷第6题5分

2019~2020学年10月北京海淀区北京市第五十七中学高二上学期月考第10题

2016年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

已知椭圆$$E:\frac{{{x}^{2}}}{m}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1$$，对于任意实数$$k$$，下列直线被椭圆$$E$$截得的弦长与$$l:y=kx+1$$被椭圆$$E$$截得的弦长不可能相等的是（~ ）．

课内体系->知识点->圆锥曲线->直线与圆锥曲线问题->弦长求解问题 课内体系->知识点->圆锥曲线->椭圆->直线和椭圆的位置关系 课内体系->素养->数学运算

由数形结合可知，当$$l$$过点$$(-1,0)$$时，直线$$l$$和选项A中的直线关于$$x$$对称，被椭圆$$E$$所截得的弦长相同，故不能选A．  当$$l$$过点$$(1,0)$$时，直$$l$$和选项C中的直线关于$$x$$轴对称，被椭圆$$E$$所截得的弦长相同，故不能选C．  当$$k=0$$时，直线$$l$$和选项B中的直线关于$$x$$轴对称，被椭圆$$E$$所截得的弦长相同，故不能选B．  直线$$l$$斜率为$$k$$，在$$y$$轴上的截距为$$1$$；选项D中的直线$$kx+y-2=0$$ 斜率为$$-k$$，在$$y$$轴上的截距为$$2$$，这两直线不关于$$x$$轴、$$y$$轴、原点对称，故被椭圆$$E$$所截得的弦长不可能相等．故选D．


2005年高考真题福建卷理科第12题5分 2009年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分

$$f(x)$$是定义在$$\text{R}$$上的以$$3$$为周期的奇函数，且$$f(2)=0$$，则方程$$f(x)=0$$在区间$$\left( 0,6 \right)$$内解的个数的最小值是（~ ）

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->周期性->函数周期性与奇偶性综合问题

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->抽象函数

课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->零点的个数问题->求零点个数问题（不含参）

课内体系->素养->数学抽象

课内体系->素养->数学运算


2011年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分

6个人围成一圈，若$$2$$种站法经过旋转可以重合则算同$$1$$种，则不同的站法有．

竞赛->知识点->排列组合与概率->两个基本计数原理 竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合 课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->分步乘法计数原理

总共$$10$$个球，先考虑选$$5$$个位置放篮球，共有$$\text{C}_{10}^{5}=252$$种，再从剩下的$$5$$个位置种选$$3$$个位置放排球，总共有$$10$$种方法，剩下的$$2$$个位置放橄榄球，故有$$252\times 10=2520$$种.


2008年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第10题5分

竞赛->知识点->解析几何->双曲线


2009年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的综合应用 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和


2008年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分

函数$$y=f(x+2)$$的图象过点$$(-1,3)$$，则函数$$f(x)$$的图象关于$$y$$轴对称的图形一定过点．

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质 竞赛->知识点->函数->函数综合


瑞秋和罗伯特在一个圆形跑道上跑步．瑞秋逆时针跑，每隔$90$秒完成一圈，罗伯特顺时针跑，每隔$80$秒完成一圈．两人在同一时间从同一条线上出发．在他们开始跑步后的$10$分钟和$11$分钟之间的某个随机时间，一个站在赛道内的摄影师拍了一张照片，照片显示了以起跑线为中心的四分之一的赛道．瑞秋和罗伯特都在照片上的概率是多少？

课内体系->学科符号->数与式->新定义符号->取最值函数->max{f(x),g(x)}

美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Probability Calculation->Geometric Models of Probabilities

After $$10$$ minutes ($$600$$ seconds), Rachel will have completed $$6$$ laps and be $$30$$ seconds from completing her seventh lap. Because Rachel runs one-fourth of a lap in $$22.5$$ seconds, she will be in the picture between $$18.75$$ seconds and $$41.25$$ seconds of the tenth minute. After $$10$$ minutes Robert will have completed $$7$$ laps and will be $$40$$ seconds past the starting line. Because Robert runs one-fourth of a lap in $$20$$ seconds, he will be in the picture between $$30$$ and $$50$$ seconds of the tenth minute. Hence both Rachel and Robert will be in the picture if it is taken between $$30$$ and $$41.25$$ seconds of the tenth minute. So the probability that both runners are in the picture is $$\frac{41 .25-30}{60}= \boxed{\frac{3}{16}}$$. The answer is $$\rm(C)$$.


2018~2019学年10月四川成都金牛区成都市实验外国语学校高二上学期周测C卷第9题5分

2017年河南洛阳高三二模文科第9题5分

2016年广东揭阳高三一模理科第12题5分

2014年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第10题5分

2016年山东日照高三二模理科第9题5分

已知直线$$x+y-k=0\left( k\textgreater0 \right)$$与圆$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$$交于不同的两点$$A$$，$$B$$，$$O$$是坐标原点，且有$$\left\textbar{} \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\left\textbar{} \geqslant \frac{\sqrt{3}}{3} \right\textbar\overrightarrow{AB} \right\textbar$$，那么$$k$$的取值范围是（~ ）．

$$\left( \sqrt{3},+\infty \right)$$

$$\left[ \sqrt{2},+\infty \right)$$

$$\left[ \sqrt{2},2\sqrt{2} \right)$$

$$\left[ \sqrt{3},2\sqrt{2} \right)$$

课内体系->知识点->直线和圆的方程->圆与方程->直线与圆的位置关系->圆的切线的相关问题

课内体系->素养->数学运算

设$$AB$$中点为$$D$$，则$$OD\bot AB$$，  ∵$$\left\textbar{} \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\left\textbar{} \geqslant \frac{\sqrt{3}}{3} \right\textbar\overrightarrow{AB} \right\textbar$$，  ∴$$\left\textbar{} 2\overrightarrow{OD}\left\textbar{} \geqslant \frac{\sqrt{3}}{3} \right\textbar\overrightarrow{AB} \right\textbar$$，  ∴$$\left\textbar{} \overrightarrow{AB}\left\textbar{} \leqslant 2\sqrt{3} \right\textbar\overrightarrow{OD} \right\textbar$$，  ∵$$\left\textbar{} \overrightarrow{OD}{{\textbar}^{2}}+\frac{1}{4} \right\textbar\overrightarrow{AB}{{\textbar}^{2}}=4$$，  ∴$$\textbar\overrightarrow{OD}{{\textbar}^{2}}\geqslant 1$$，  ∵直线$$x+y-k=0\left( k\textgreater0 \right)$$与圆$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$$交于不同的两点$$A,B$$，  ∴$$\textbar\overrightarrow{OD}{{\textbar}^{2}}\textless{}4$$  ∴$$4\textgreater\textbar\overrightarrow{OD}{{\textbar}^{2}}\geqslant 1$$  ∴$$4\textgreater{{\left( \frac{\left\textbar{} -k \right\textbar}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}\geqslant 1$$  ∵$$k\textgreater0$$，  ∴$$\sqrt{2}\leqslant k\textless{}2\sqrt{2}$$.  故选：$$\text{C}$$．


2018年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

课内体系->素养->数学运算 课内体系->知识点->计数原理->二项式定理->求项的系数或二项式系数 课内体系->知识点->计数原理->二项式定理->求二项式展开式的特定项


1989年全国高中数学联赛竞赛一试第3题

(★★)对任意的函数$$y=f\left( x \right)$$，在同一个直角坐标系中，函数$$y=f\left( x-1 \right)$$与函数$$y=f\left( -x+1 \right)$$的图象恒．

关于$$x$$轴对称；

关于$$y$$轴对称

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->对称性->两个函数的互对称问题

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质


2018年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分

以下四个数中，最大的为．

$$\ln \sqrt{2}$$

$$\frac{\ln \pi }{\pi }$$

$$\frac{\sqrt{10}\ln 10}{20}$$

竞赛->知识点->导数模块->导数

考虑函数$$f\left( x \right)=\frac{\ln x}{x}$$．  则四个选项分别为$$f\left( 2 \right)$$、$$f\left( \text{e} \right)$$、$$f\left( \pi \right)$$、$$f\left( \sqrt{10} \right)$$，  又$${f}'\left( x \right)=\frac{1-\ln x}{{{x}^{2}}}$$，则$$f\left( x \right)$$在区间$$\left( 0,\text{e} \right)$$上单调递增，在区间$$\left( \text{e},+\infty \right)$$上单调递减．  从而，$$f\left( x \right)$$在区间$$\left( 0,+\infty \right)$$上的最大值为$$f\left( \text{e} \right)$$．


2022年湖南湘西吉首市竞赛（第一届中小学生教师解题大赛）第2题

已知复数$z$满足$2\le \left\textbar{} z-\left( 1-\text{i} \right) \right\textbar\le 3$，则复数$z$在复平面内对应的点$Z$所在区域的面积为（~~~~~~~）

$\text{ } ! !\pi ! !\text{ }$

$3\text{ } ! !\pi ! !\text{ }$

$5\text{ } ! !\pi ! !\text{ }$

$6\text{ } ! !\pi ! !\text{ }$


2016年高考真题天津卷 2016年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分

设$$0\textless{}a\textless{}b$$，已知$$a$$，$$s$$，$$t$$，$$b$$依次成等差数列，$$a$$，$$u$$，$$v$$，$$b$$依次成等比数列，记$$x=st\left( s+t \right)$$，$$y=uv\left( u+v \right)$$，则．

$$x\textgreater y$$

$$x=y$$

$$x\textless{}y$$

既有$$x\textgreater y$$的情形，也有$$x\textless{}y$$的情形

竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->排序

竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->均值

竞赛->知识点->不等式->不等式的综合应用（数列与不等式）

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式成立的条件


2014年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

半径为$$6$$的球，则该球内接正三棱锥的体积的最大值是．

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换

设棱锥的高与一条侧棱的夹角为$$\theta $$，侧棱长$$l=12\cos \theta $$，高$$h=12{{\cos }^{2}}\theta $$，底面正三角形的外接圆半径$$R=12\sin \theta \cos \theta $$，底面边长为$$a=12\sqrt{2}\sin \theta \cos \theta $$，从而  $$V=432\sqrt{3}{{\cos }^{4}}\theta {{\sin }^{2}}\theta $$  $$=216\sqrt{3}\cdot {{\cos }^{2}}\theta \cdot {{\cos }^{2}}\theta \cdot 2{{\sin }^{2}}\theta $$  $$\leqslant 216\sqrt{3}\cdot {{\left( \frac{{{\cos }^{2}}\theta +{{\cos }^{2}}\theta +2{{\sin }^{2}}\theta }{3} \right)}^{3}}$$  $$=64\sqrt{3}$$，  当$${{\tan }^{2}}\theta =\frac{1}{2}$$时等号成立．


2009年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分

设函数$$f(x)=\ln x$$，$$g(x)=ax+\frac{b}{x}$$，它们的图象在$$x$$轴上的公共点处有公切线，则当$$x\textgreater1$$时，$$f(x)$$与$$g(x)$$的大小关系是．

$$f(x)\textgreater g(x)$$

$$f(x)\textless{}g(x)$$

$$f(x)=g(x)$$

不确定

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质 竞赛->知识点->导数模块->导数


2002年全国高中数学联赛竞赛一试第3题6分

是偶函数但不是奇函数

是奇函数但不是偶函数

既是奇函数又是偶函数

既不是奇函数又不是偶函数

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质


2019年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

在正方形$$ABCD$$中，$$M$$为边$$BC$$的中点．若$$\overrightarrow{AC}=\lambda \overrightarrow{AM}+\mu \overrightarrow{BD}$$，则$$\lambda +2\mu =$$．

竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->平面向量的线性运算->平面向量的加法运算及运算规则

注意到，  $$\overrightarrow{AC}=\lambda \overrightarrow{AM}+\mu \overrightarrow{BD}$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=\lambda \left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM} \right)+\mu \left( \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD} \right)$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=\lambda \left( \overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} \right)+\mu \left( -\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} \right)$$  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde=\left( \lambda -\mu \right)\overrightarrow{AB}+\left( \dfrac{1}{2}\lambda +\mu \right)\overrightarrow{AD}$$．  又$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$$，  则$$\begin{cases}\lambda -\mu =1   \dfrac{1}{2}\lambda +\mu =1    \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}\lambda =\dfrac{4}{3}    \mu =\dfrac{1}{3}    \end{cases}$$，  故$$\lambda +2\mu =2$$．


高二下学期单元测试《整除与同余》自招 第二十届全国希望杯高一竞赛复赛邀请赛第6题4分

关于$$x$$的整系数一元二次方程$$a{{x}^{2}}+bx+c=0(a\ne 0)$$中，若$$a+b$$是偶数，$$c$$是奇数，则．

方程没有整数根

方程有两个相等的整数根

方程有两个不相等的整数根

不能判定方程整数根的情况

竞赛->知识点->多项式与方程->解方程（组）

若方程有整数根，则根据题意  $$a{{x}^{2}}+bx+c=\begin{cases}c(\text{mod}2)\left. 2 \right\textbar x    a+b+c(\text{mod}2)\left. 2 \right\textbar x   \end{cases}\equiv 1(\text{mod}2)$$  矛盾，因此题中方程没有整数根．


2019~2020学年4月山西太原迎泽区太原市第五中学高二下学期周测C卷理科第6题6分

2012年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

设集合$$A=\left { 1,  2,  3,  4,  5,  6 \right }$$，$$B=\left { 4,  5,  6,  7 \right }$$，则满足$$S\subseteq A$$且$$S\cap B\ne \varnothing $$的集合$$S$$的个数为．

竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算


2020~2021学年浙江杭州萧山区杭州第二中学钱江学校高一下学期期中第5题5分

2012年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

2016年上海闸北区高三二模理科第11题5分

已知$$\overrightarrow{a}$$与$$\overrightarrow{b}$$均为单位向量，其夹角为$$\theta $$，则命题$$P:\textbar\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\textbar\textgreater1$$是命题$$Q:\theta \in \left[ \frac{ \pi }{2},\frac{5 \pi }{6} \right)$$的（~ ）．

充分非必要条件

必要非充分条件

充分且必要条件

非充分且非必要条件

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->数量积->平面向量数量积的运算律

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的基本概念->向量的概念->向量的夹角的判断

课内体系->知识点->常用逻辑用语->充分条件与必要条件->充要条件与向量结合

若$$\left\textbar{} \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right\textbar\textgreater1$$，则$${{\overrightarrow{a}}^{2}}-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+{{\overrightarrow{b}}^{2}}=2-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\textgreater1$$，即$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\textless{}\frac{1}{2}$$，  则$$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left\textbar{} \overrightarrow{a} \right\textbar\cdot \left\textbar{} \overrightarrow{b} \right\textbar}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\textless{}\frac{1}{2}$$，∴$$\theta \in \left( \frac{ \pi }{3}, \pi ~\right]$$，即$$P:\theta \in \left( \frac{ \pi }{3}, \pi ~\right]$$，  ∵$$Q:\theta \in \left[ \frac{ \pi }{2},\frac{5 \pi }{6} \right)$$，∴$$P$$是$$Q$$的必要不充分条件，  故选$$\text{B}$$．