$$2014-AMC10A-15$$  David drives from his home to the airport to catch a flight. He drives $$35$$ miles in the first hour, but realizes that he will be $$1$$ hour late if he continues at this speed. He increases his speed by $$15$$ miles per hour for the rest of the way to the airport and arrives $$30$$ minutes early. How many miles is the airport from his home?  大卫从他家开车去机场赶飞机。 他在第一个小时内行驶了 35 英里，但他意识到如果他继续保持这个速度，他将迟到 1小时。 在前往机场的剩余路程中，他将速度提高了每小时 15英里，并提前了 30分钟。 机场离他家多少英里？

课内体系->知识点->等式与不等式->等式->方程组的解集

美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Equation Word Problems

Note that he drives at $$50$$ miles per hour after the first hour and continues doing so until he arrives. Let $$d$$ be the distance still needed to travel after the frst $$1$$ hour.~ We have that $$\dfrac{d}{50}+1.5= \dfrac{d}{35}$$, ~where the $$1.5$$ comes from $$1$$ hour late decreased to $$0.5$$ hours early. Simplifying gives $$7d+525=10 d$$, or $$d=175$$. Now, we must add an extra $$35$$ miles traveled in the frst hour, giving a total or $$(\rm C) 210$$ miles.  Instead of spending time thinking about how one can set up an equation to solve the problem, one can simply start checking the answer choices. Quickly checking, we know that neither choice $$(\rm A)$$ or choice $$(\rm B)$$ work, but $$(\rm C)$$ does. We can verify as follows. After l hour at $$35 \rm mph$$, David has $$175$$ miles left. This then takes him $$3.5$$ hours at $$50 \rm mph$$. But $$210/35=6$$ hours. Since $$1+3.5=4.5$$ hours is $$1.5$$ hours less than $$6$$ our anwer is $$(\rm C)210$$.  Let us call the total number of miles after David changes speed $$x$$. We realize that if David is driving $$50$$ miles an hour, and he arrives $$30$$ minutes early, $$x≡25 (\rm mod 50)$$ The only solution that fits the descripion is $$210$$.


2017年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分

在空间直角坐标系中，$$\triangle ABC$$的三个顶点坐标分别为$$A\left( 3,4,1 \right)$$，$$B\left( 0,4,5 \right)$$，$$C\left( 5,2,0 \right)$$，则$$\tan \frac{A}{2}$$的值是．

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间向量 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换

$$\cos A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar\left\textbar{} \overrightarrow{AC} \right\textbar}=\frac{\left( -3,0,4 \right)\cdot \left( 2,-2,-1 \right)}{\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{4}^{2}}}\cdot \sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=-\frac{2}{3}$$，  又$$\cos A=\frac{1-{{\tan }^{2}}\frac{A}{2}}{1+{{\tan }^{2}}\frac{A}{2}}$$，解得$$\tan \frac{A}{2}=\sqrt{5}$$．


1999年全国全国高中数学联赛竞赛一试第5题6分

在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有$$3$$名选手各比赛了$$2$$场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了$$50$$场．那么，在上述$$3$$名选手之间比赛的场数是（  ）．

竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合

解法一：  设这三名选手之间的比赛场数是$$r$$，共$$n$$名选手参赛．  由题意，可得$$\text{C}_{n-3}^{2}+6-r=50$$，  即$$\frac{\left( n-3 \right)\left( n-4 \right)}{2}=44+r$$．  由于$$0\leqslant r\leqslant 3$$，  经检验可知，仅当$$r=1$$时，$$n=13$$为正整数．  解法二：  $$3$$名选手之间比赛的可能场数为$$0$$、$$1$$、$$2$$、$$3$$，设总人数为$$N$$人．  那么除这$$3$$人外的$$N-3$$人中比赛场数为$$C_{N-3}^{2}=\frac{(N-3)(N-4)}{2}$$．  ①当这$$3$$人之间比赛$$0$$场时，他们每人与另外$$N-3$$人（以下称为``局外人''）要比赛两场，这些比赛没有重合，共计$$6$$场，则有方程：$$\frac{(N-3)(N-4)}{2}+6=50$$，$$N$$无整数解，故舍去．  ②当这$$3$$人之间比赛$$1$$场时，他们有两人与``局内人''分别比赛一场，另一人两场都是和局内人比赛的，所以共计$$5$$场，则有方程：$$\frac{(N-3)(N-4)}{2}+5=50$$，$$N=13$$，是整数解，满足条件．  ③当这$$3$$人之间比赛$$2$$场时，他们有$$1$$人与另两人分别比赛一场，另两人都有一场与局内人的比赛，所以共计$$4$$场，则有方程：$$\frac{(N-3)(N-4)}{2}+4=50$$，$$N$$无整数解，故舍去．  故选$$\text{B}$$．


2019~2020学年上海浦东新区华东师范大学第二附属中学高一上学期单元测试第5题

2003年全国全国高中数学联赛竞赛一试第13题20分

竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->柯西 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式


2008年福建全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分

$$(2,+\infty )$$

$$(3,+\infty )$$

$$[4,+\infty )$$

$$[8,+\infty )$$

课内体系->知识点->直线和圆的方程->直线与方程->倾斜角和斜率的概念->斜率计算

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正切函数的图象和性质

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->二倍角的正切

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->半角公式

课内体系->素养->数学运算

由于$$0\textless{}\angle QOA$$，$$\angle POA\textless{}\frac{ \pi }{2}$$，  因此$$\angle QOA=2\angle POA$$的充要条件是$$\tan \angle QOA=\tan 2\angle POA$$．  由$$\tan \angle QOA=\tan 2\angle POA=\frac{2\tan \angle POA}{1-{{\tan }^{2}}\angle POA}$$，  结合$$\tan \angle POA=a$$，$$\tan \angle QOA=ak$$，  得$$ak=\frac{2a}{1-{{a}^{2}}}$$，即$$a=\sqrt{1-\frac{2}{k}}$$，因此$$k\textgreater2$$．故选$$\text{A}$$．


2008年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

$$\frac{ \pi }{4}$$

$$\frac{ \pi }{2}$$

$$ \pi $$

$$2 \pi $$

竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换


1988年全国高中数学联赛竞赛一试第2题

$$\textbar k\textbar\textgreater1$$；

$$\textbar k\textbar\ne 1$$；

$$0\textbar k\textbar1$$

竞赛->知识点->解析几何->椭圆

椭圆外部的点可以离原点很远，它的坐标$$x\mathsf{}y$$的绝对值可以很大，使得方程左边大于$$0$$，所以内部点的坐标使方程左边小于$$0$$，用原点的坐标代入方程左边得  $${{K}^{2}}-1\textless{}0$$  又$$k\ne 0$$，（否则方程不表示椭圆），所以答$$\text{D}$$．


美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Reasoning->Information Migration (new definition)

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->取整函数（高斯函数）

The first three values in the sum are equal to $$1$$, the next five equal to $$2$$, the next seven equal to $$3$$, and the last one equal to $$4$$, For example, since $$2^{2}=4$$ any square root of a number less than $$4$$ must be less than $$2$$. Sum them all together to get $$3\times 1+5\times 2+7\times 3+1\times 4=3+10+21+4=38$$.


2008年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

直角三角形

等边三角形

等腰三角形

等腰直角三角形

竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算

因为$$\begin{cases}\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{AB}    \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PA}-2\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA} \end{cases}$$，  所以已知条件可改写为$$\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA})=0$$．  容易得到此三角形为等腰三角形．故选$$\text{C}$$．


以上答案都不对


1986年全国高中数学联赛竞赛一试第4题

如果四面体的每一个面都不是等腰三角形，那么其长度不等的棱的条数最少为（~ ）．

竞赛->知识点->逻辑->逻辑推理

因四面体每个面都不是等腰三角形，故至少有三条棱的长度互不相等．  另一方面，每两条对棱都相等的四面体可以是仅长度互不相等且每个面都不是等腰三角形的四面体．  故选$$\text{A}$$．


$$2003-AMC10B-8$$  Moe uses a mower to cut his rectangular $$90$$-foot by $$150$$-foot lawn. The swath he cuts is $$28$$ inches wide, but he overlaps each cut by $$4$$ inches to make sure that no grass is missed. he walks at the rate of $$5000$$ feet per hour while pushing the mower. Which of the following is closest to the number of hours it will take Moe to mow his lawn?  Moe 使用割草机修剪 90 英尺 x 150 英尺的长方形草坪。 他切割的条带宽度为 28 英寸，但他将每个切割条重叠 4 英寸以确保不会遗漏任何草。 他一边推着割草机，一边以每小时 5000 英尺的速度行走。 以下哪一项最接近 Moe 修剪草坪所需的小时数？

课内体系->知识点->函数的应用->函数的实际应用->一次函数模型

美国AMC10/12->Knowledge Point->Geometry->Calculation of Plane Geometry->Quadrilateral

Since the swath Moe actually mows is $$24$$ inches, or $$2$$ feet wide, he mows $$10000$$ square feet in one hour. His lawn has an area of $$13500$$, so it will take Moe $$1.35$$ hours to finish mowing the lawn. Thus the answer is $$\boxed{(\text{C})1.35}$$．


2010年全国全国高中数学联赛竞赛复赛一试第2题8分 高二上学期单元测试《导数及其应用》自招第8题

$$-\frac{3}{2}\leqslant a\leqslant 12$$

$$\frac{3}{2}\leqslant a\leqslant 12$$

$$-12\leqslant a\leqslant \frac{3}{2}$$

$$-12\leqslant a\leqslant- \frac{3}{2}$$

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的值域->求函数的值域->用换元法求值域

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->解不等式->一元二次不等式

课内体系->素养->数学运算


2011年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分

体育课下课后，老师要求体育委员把$$5$$个相同的篮球、$$3$$个相同的排球、$$2$$个相同的橄榄球排成一排放好，则不同的放法有．

竞赛->知识点->排列组合与概率->两个基本计数原理 竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合

总共$$10$$个球，先考虑选$$5$$个位置放篮球，共有$$\text{C}_{10}^{5}=252$$种，再从剩下的$$5$$个位置种选$$3$$个位置放排球，总共有$$10$$种方法，剩下的$$2$$个位置放橄榄球，故有$$252\times 10=2520$$种.


1984年全国高中数学联赛竞赛一试第6题

若$$F\left( \frac{1-x}{1+x} \right)=x$$，则下列等式中正确的是（~ ）．

$$F\left( -2-x \right)=-2-F\left( x \right)$$

$$F\left( -x \right)=F\left( \frac{1+x}{1-x} \right)$$

$$F\left( {{x}^{-1}} \right)=F\left( x \right)$$

$$F\left( F\left( x \right) \right)=-x$$

竞赛->知识点->函数->函数的概念 竞赛->知识点->不等式->换元技巧->代数换元

令 $$u=\frac{1-x}{1+x}$$，解得 $$x=\frac{1-u}{1+u}$$．  所以 $$F\left( u \right)=\frac{1-u}{1+u}$$，即 $$F\left( x \right)=\frac{1-x}{1+x}$$  然后逐一验证  $$F\left( -2-x \right)=\frac{1-\left( -2-x \right)}{1+\left( -2-x \right)}=-\frac{3+x}{1+x}$$  $$=-2-\frac{1-x}{1+x}=-2-F\left( x \right)$$  选择$$A$$．  又本题也可用特殊值验证排除法．  由 $$F\left( \frac{1-x}{1+x} \right)=x$$中．  令 $$x=1$$，得 $$F\left( 0 \right)=1$$  令 $$x=0$$，得 $$F\left( 1 \right)=0$$．  而在$$\text{B}$$的等式中，令$$x=0$$，有$$F\left( 0 \right)=F\left( 1 \right)$$，所以应排除$$\text{B}$$，在$$\text{C}$$中的等式中，$$x=0$$无意义，排除$$\text{C}$$．在等式$$\text{D}$$中，左边$$F\left( F\left( 1 \right) \right)=F\left( 0 \right)=1\ne -1$$，所以也排除$$\text{D}$$．


2012年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第9题5分

竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步 竞赛->知识点->函数->基本初等函数 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质

$$M=\left { x\textbar-1\textless{}x\textless{}5 \right },  {{\log }_{2}}\left( x+1 \right)\textless{}1$$的解集为$$\left { x\textbar-1\textless{}x\textless{}1 \right }$$，所以概率为$$\frac{1}{3}$$．


2021年新疆全国高中数学联赛竞赛初赛第3题8分

将正整数中所有数码不超过$$5$$的数从小到大排成一列，则第$$2021$$个数是~\uline{~~~~~~~~~~}~．

课内体系->知识点->计数原理->排列与组合 竞赛->知识点->排列组合与概率->两个基本计数原理


第二十届全国希望杯高一竞赛复赛邀请赛第3题4分

不确定的

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质

注意到$$x\to -\infty $$时，$$f(x)\textgreater0$$；$$f(0)=-1\textless{}0$$；$$f(5)=3\textgreater0$$；$$x\to +\infty $$时，$$f(x)\textless{}0$$，于是$$f(x)=0$$有$$3$$个实根．


2005AMC12A, 21  How many ordered triples of integers $$(a, b, c)$$, with $$a\geqslant2$$, $$b\geqslant1$$, and $$c\geqslant0$$, satisfy both $$\log_ab=c^{2005}$$ and $$a+b+c= 2005$$?  有多少个整数 $$(a, b, c)$$ 的有序三元组，其中 $$a\geqslant2$$、$$b\geqslant1$$ 和 $$c\geqslant0$$ 满足 $$\log_ab =c^{2005}$$ 和 $$a+b+c= 2005$$?

美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Calculation->Solve Quadratic Equations

课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算->指对化简求值


2015年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第15题5分

课内体系->素养->逻辑推理 课内体系->素养->数学运算 课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->奇偶性


2009年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分

课内体系->知识点->计数原理->二项式定理->求二项式展开式的特定项 课内体系->知识点->计数原理->二项式定理->二项式定理的展开式 课内体系->知识点->计数原理->二项式定理->求项的系数或二项式系数 课内体系->素养->数学运算


2014年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分

直线$$l$$在平面$$ \pi $$上，直线$$m$$平行于平面$$ \pi $$，并与直线$$l$$异面．动点$$P$$在平面$$ \pi $$上，且到$$l$$和$$m$$的距离相等．则$$P$$点的轨迹是．

直线

椭圆

抛物线

双曲线

竞赛->知识点->解析几何->轨迹方程（二试）


1999年全国全国高中数学联赛竞赛一试第3题6分

$$x-y\geqslant 0$$

$$x+y\geqslant 0$$

$$x-y\leqslant 0$$

$$x+y\leqslant 0$$

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性->函数单调性的应用->利用函数单调性解不等式

课内体系->素养->数学运算

记$$f\left( t \right)={{\left( {{\log }_{2}}3 \right)}^{t}}-{{\left( {{\log }_{5}}3 \right)}^{t}}$$，  则$$f\left( t \right)$$在$$\mathbf{R}$$上是严格增函数．  原不等式即$$f\left( x \right)\geqslant f\left( -y \right)$$．  故$$x\geqslant -y$$，  即$$x+y\geqslant 0$$．


2011年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

在$$\triangle ABC$$中，已知$$6\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}$$，则$$\angle A=$$．

$$30{}^{}\circ $$

$$45{}^{}\circ $$

$$60{}^{}\circ $$

$$135{}^{}\circ $$

竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算 竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形


1993年全国高中数学联赛竞赛一试第4题

若直线$$x=\frac{ \pi }{4}$$被曲线$$C$$：$$\left( x-\arcsin \alpha \right)\left( x-\arccos \alpha \right)+\left( y-\arcsin \alpha \right)\left( y+\arccos \alpha \right)=0$$所截得的弦长为$$d$$，当$$a$$变化时$$d$$的最小值是（~ ）．

$$\frac{ \pi }{4}$$

$$\frac{ \pi }{3}$$

$$\frac{ \pi }{2}$$

$$ \pi $$

竞赛->知识点->解析几何->圆与方程 竞赛->知识点->解析几何->直线与方程

由题设知，曲线$$C$$是以$${{P}_{1}}\arcsin a,\arcsin a$$，$${{P}_{2}}\arccos a-\arccos a$$两点为直径端点的圆．其圆心的横坐标为  $${{x}_{0}}=\frac{\arcsin a+\arccos a}{2}=\frac{\mathsf{\pi }}{4}$$，  故直线$$x=\frac{\pi }{4}$$过圆心，$$d$$就是该圆的直径．而  $${{d}^{2}}=\left[ {{(\arcsin a)}^{2}}+(\arccos a) \right]\mathsf{\geqslant }{{(\arcsin a+\arccos a)}^{2}}={{\frac{ \pi }{4}}^{2}}$$．  ∴$$d\mathsf{\geqslant }\frac{ \pi }{2}$$，又当$$\arcsin a=\arccos a$$时相应的$$d\mathsf{\geqslant }\frac{ \pi }{2}$$，  故选$$\text{C}$$．


2018年河北唐山高三二模理科第13题5分

2017~2018学年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高二上学期期中理科第14题3分

2018~2019学年山东济南高三上学期期末理科第13题5分

2020年山东日照高三一模第14题5分

2020~2021学年11月广东广州海珠区广州市第五中学高三上学期月考第14题5分

2008年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第13题4分

2017年湖北武汉高三三模理科第13题5分

$${{\left( {{x}^{2}}-\frac{1}{x} \right)}^{6}}$$的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）

课内体系->知识点->计数原理->二项式定理->二项式定理的展开式 课内体系->知识点->计数原理->二项式定理->求项的系数或二项式系数 课内体系->素养->数学运算


$$2014-AMC10A-11$$  A customer who intends to purchase an appliance has three coupons, only one of which may be used:  Coupon $$1$$: $$10$$\% off the listed price if the listed price is at least ＄$$50$$.  Coupon $$2$$: ＄$$20$$ off the listed priceif the listed price is at least＄$$100$$.  Coupon $$3$$: $$18$$\% off the amount by which the listed price exceeds ＄$$100$$.  For which of the following listed prices will coupon $$1$$ offer a greater price reduction than either coupon $$2$$ or coupon $$3$$?  打算购买电器的客户有三张优惠券，只能使用其中一张：  优惠券 $$1$$：如果标价至少为 ＄$$50$$，则比标价低 10\%。  优惠券$$2$$：如果标价至少为$$100$$，则标价可减$20。  优惠券 $$3$$：标价超过$$100$$的部分可享受 $$18$$\% 的折扣。  对于以下哪个列出的价格，优惠券 $$1$$ 比优惠券 $$2$$ 或优惠券 $$3$$ 的降价幅度更大？

课内体系->知识点->函数的应用->函数的实际应用->一次函数模型

美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Equation Word Problems

Let the listed price be $$x$$. Since all the answer choices are above ＄$$100$$, we can assume $$x\textgreater{} 100$$. Thus the discounts after the coupons are used will be as follows:  Coupon $$1$$: $$x\times10$$\%$$=$$$$0.1 x$$.  Coupon $$2$$: $$20$$.  Coupon $$3$$: $$18$$\%$$\times (x-100)=0.18 x-18$$.  For coupon $$1$$ to give a greater price reduction than the other coupons, we must have $$0.1 x\textgreater20 \Rightarrow x\textgreater200$$ and $$0.1x\textgreater0.18 x-18 \Rightarrow0 .08 x\textless18 \Rightarrow x\textless225$$.  From the first inequality, the listed price must be greater than ＄$$200$$, so answer choices $$(\rm A)$$ and $$(\rm B)$$ are eliminated.  From the second inequality, the listed price must be less than ＄$$225$$, so answer choices $$(\rm D)$$ and $$(\rm E)$$ are eliminated.  The only answer choice that remains is $$(\rm C)$$＄$$219.95$$.  For coupon $$1$$ to be the most effective, we want $$10$$\% of the price to be greater than $$20$$. This clearly ~occurs if the value is over $$200$$. For coupon $$1$$ to be more effective than coupon $$3$$, we want to minimize the value over $$200$$, so $$(\rm C)$$＄$$219.95$$ is the smallest number over $$200$$.


2018年安徽全国高中数学联赛竞赛初赛第3题8分

函数$$f\left( x \right)=\left\textbar{} \sin 2x+\sin 3x+\sin 4x \right\textbar$$的最小正周期为~\uline{~~~~~~~~~~}~．

$$\pi$$

竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换

由和差化积公式得：  $$\sin 2x+\sin 4x=2\cos x\sin 3x$$，  ∴原式$$=\left\textbar{} 2\cos x\sin 3x+\sin 3x \right\textbar$$$$=\left\textbar{} 2\cos +1 \right\textbar\cdot \left\textbar{} \sin 3x \right\textbar$$，  又$$\left\textbar{} 2\cos x+1 \right\textbar$$最小正周期为$$2\pi $$，  $$\left\textbar{} \sin 3x \right\textbar$$最小正周期为$$\frac{\pi }{3}$$，  故$$f\left( x \right)$$最小正周期为$$2\pi $$．


1997年全国高中数学联赛竞赛一试第5题6分

设$$f(x)={{x}^{2}}- \pi x$$，$$\alpha =\arcsin \frac{1}{3}$$，$$\beta =\arctan \frac{5}{4}$$，$$\gamma =\arccos \left( -\frac{1}{3} \right)$$，$$\delta =\text{arc}\cot \left( -\frac{5}{4} \right)$$，则（~ ~ ）．

$$f\left( \alpha \right)\textgreater f\left( \beta \right)\textgreater f\left( \delta \right)\textgreater f\left( \gamma \right)$$

$$f\left( \alpha \right)\textgreater f\left( \delta \right)\textgreater f\left( \beta \right)\textgreater f\left( \gamma \right)$$

$$f\left( \delta \right)\textgreater f\left( \alpha \right)\textgreater f\left( \beta \right)\textgreater f\left( \gamma \right)$$

$$f\left( \delta \right)\textgreater f\left( \alpha \right)\textgreater f\left( \gamma \right)\textgreater f\left( \beta \right)$$

课内体系->知识点->三角函数->反三角函数

课内体系->知识点->函数的概念与性质->二次函数->二次函数的图象及性质->二次函数相关的恒成立问题

课内体系->知识点->函数的概念与性质->二次函数->二次函数的图象及性质->含参二次函数的图象及性质

课内体系->素养->直观想象

$$f(x)$$的对称轴为$$x=\frac{ \pi }{2}$$，  易得$$0\textless{}\alpha \textless{}\frac{ \pi }{6}\textless{}\frac{ \pi }{4}\textless{}\beta \textless{}\frac{ \pi }{3}\textless{}\frac{ \pi }{2}\textless{}\gamma \textless{}\frac{2 \pi }{3}\textless{}\frac{3 \pi }{4}\textless{}\delta \textless{}\frac{5 \pi }{6}$$．  故选$$\text{B}$$．


2012年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

若$$x\textgreater1$$，则$${{x}^{\ln \ln x}}-{{\left( \ln x \right)}^{\ln x}}$$的值是．

正数

零

负数

以上皆有可能

竞赛->知识点->函数->基本初等函数


第二十届全国希望杯高一竞赛复赛邀请赛第5题4分

竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算


2019年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

设集合$$A=\left { 2,0,1,3 \right }$$，$$B=\left { x\left\textbar{} -x\in A,2-{{x}^{2}}\notin A \right. \right }$$，则集合$$B$$中所有元素的和为．

竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算

易知，$$B=\left { -2,-3 \right }$$，  则集合$$B$$中所有元素的和为$$-5$$．  故选$$\text{B}$$．


2011年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分

已知三个不同的平面$$\alpha ,\beta ,\gamma $$和两条不重合的直线$$m,  n$$，有下列$$4$$个命题：  ①$$m//\alpha $$，$$\alpha \cap \beta =n$$，则$$m//n$$ ②$$m\bot \alpha ,  m//n,  n\subset \beta $$，则$$\alpha \bot \beta $$ ③$$\alpha \bot \beta ,\gamma \bot \beta $$，则$$\alpha //\gamma $$ ④$$\alpha \cap \beta =m,  m\bot \gamma $$，则$$\alpha \bot \gamma $$  其中正确命题的个数是．

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的平行和垂直

①~~ 错误，$$\beta $$不一定是经过直线$$m$$的平面；  ②~~ 正确；  ③错误，例如教室的墙角，不妨设$$\alpha $$为东墙面，$$\gamma $$为北墙面，$$\beta $$为底面，满足$$\alpha \bot \beta ,\gamma \bot \beta $$，但$$\alpha $$与$$\gamma $$相交；  ④正确，故选$$\text{A}$$.


2015年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分

已知$$f(x)=\begin{cases}{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}, , x\in ( ,-\infty   ,  1  )   {{\log }_{\frac{1}{2}}}x,  x\in \left[  ,1  ,  +\infty \right) \end{cases}$$，则$$f\left[ f( ,-1) \right]=$$．

竞赛->知识点->函数->函数的概念 竞赛->知识点->函数->函数方程 竞赛->知识点->函数->基本初等函数


2015年广东全国高中数学联赛竞赛初赛第3题8分

以上选项都不对

竞赛->知识点->函数->基本初等函数 课内体系->知识点->函数的概念与性质->二次函数


$$2004-AMC10A-18$$  Brenda and Sally run in opposite directions on a circular track, starting at diametrically opposite points. They first meet after Brenda has run $$100$$ meters. They next meet after Sally has run $$150$$ meters past their first meeting point. Each girl runs at a constant speed. What is the length of the track in meters?  Brenda 和 Sally 在圆形轨道上以相反的方向奔跑，分别从一条直径的两个端点开始。 他们在 Brenda 跑了 100 米后第一次见面。 在 Sally 跑过他们的第一个会面点 150 米后，他们下一次见面。 每个女孩都以恒定的速度奔跑。 轨道的长度是多少米？

课内体系->知识点->等式与不等式->等式->方程组的解集

Call the length of the race track $$x$$. When they meet at the first meeting point, Brenda has run $$100$$ meters, while Sally has run $$\dfrac{x}{2}-100$$ meters. By the second meeting point, Sally has run $$150$$ meters, while Brenda has run $$x-150$$ meters. Since they run at a constant speed, we can set up a proportion: $$\dfrac{100}{x-150}=\dfrac{\dfrac{x}{2}-100}{150}$$. Cross-multiplying, we get that $$x=350\Rightarrow\boxed {(\text{C})350}$$.  Sidenote by carlos $$8$$:  Since they run at constant speeds, Brenda must\textquotesingle ve ran $$200$$ meters to get to the second meeting point, therefore we can make an equation $$200=x-150$$, solving for $$x$$, gives us our answer $$350$$.  The total distance the girls run between the start and the first meeting is one half of the track length. The total distance they run between the two meetings is the track length. As the girls run at constant speeds, the interval between the meetings is twice as long as the interval between the start and the first meeting. Thus between the meetings Brenda will run $$2\times100=200$$ meters. Therefore the length of the track is $$150+200=350$$ meters $$\Rightarrow \boxed {(\text{C})350}$$.


2018年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分

课内体系->知识点->平面向量->平面向量的运算->平面向量的线性运算->平面向量线性运算综合（非坐标）

竞赛->知识点->复数与平面向量

由题设知  $${{S}_{\triangle BCP}}:{{S}_{\triangle CAP}}:{{S}_{\triangle ABP}}=1:2:3$$，  $${{S}_{\triangle BCQ}}:{{S}_{\triangle CAQ}}:{{S}_{\triangle ABQ}}=2:3:5$$，  则$${{S}_{\triangle ABP}}={{S}_{\triangle ABQ}}=\frac{1}{2}{{S}_{\triangle ABC}}$$，于是，$$PQ\text{//}AB$$，  且$${{S}_{\triangle BCP}}=\frac{1}{6}{{S}_{\triangle ABC}}$$，$${{S}_{\triangle BCQ}}=\frac{1}{5}{{S}_{\triangle ABC}}$$，  故$$\frac{\textbar\overrightarrow{PQ}\textbar}{\textbar\overrightarrow{AB}\textbar}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{1}{30}$$．  故选$$\text{A}$$．


2022~2023学年湖南永州宁远县高一上学期月考（明德湘南中学基础知识竞赛）第3题

$[\frac{1}{2},+\infty )$

$\text{ } ! !\textasciitilde ! !\text{ (-1,}\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{)}\cup \text{(1,+}\infty \text{) } ! !\textasciitilde ! !\text{ }$

$[\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{,1)U(1,+}\infty \text{)}$

\hfill\break 根据偶次方根下非负，且分母不为零，列式即可得解.\\ 【详解】\\ 由$f(x)=\frac{\sqrt{2x-1}}{{{x}^{2}}-1}$，\\ 可得：$\left { \begin{align} \& 2x-1\ge 0    \& {{x}^{2}}-1\ne 0    \end{align} \right.$，解得：$x\ge \frac{1}{2}$且$x\ne 1$，\\ 故选：D.


2008年安徽全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分

若函数$$y=f(x)$$的图象绕原点顺时针旋转$$90{}^{}\circ $$后，与函数$$y=g(x)$$的图象重合，则有．

竞赛->知识点->平面几何->几何变换（二试）->平移和旋转（二试）

若原函数为$$f\left( a,b \right)$$，则其反函数为$$f\left( b,a \right)$$，  所以原函数顺时针旋转$$90{}^{}\circ $$后为$$f\left( b,-a \right)$$，  所以$$g\left( x \right)$$为$$-{{f}^{-1}}(x)$$，故选$$\text{D}$$.


2008年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分

将正方形的每条边$$8$$等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为．

竞赛->知识点->组合->图论（二试） 竞赛->知识点->排列组合与概率->两个基本计数原理

首先注意到三角形的三个顶点不在正方形的同一边上，任选正方形的三边，使三个顶点分别在其上，有$$4$$种方法；再在选出的三条边上各选一点，有$${{7}^{3}}$$种方法．这类三角形共有$$4\times {{7}^{3}}=1372$$（个）．另外，若三角形有两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶点在另一条边上，则先取一边使其上有三角形的两个顶点，有$$4$$种方法，再在这条边上任取两点有$$21$$种方法，然后在其余的$$21$$个分点中任取一点作为第三个顶点，这类三角形共有$$4\times 21\times 21=1764$$（个）．综上可知，不同三角形的个数为$$1 372+1 764=3 136$$．故选$$\text{C}$$．


2011年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分

2018~2019学年浙江宁波北仑区浙江省北仑中学高一下学期期中A卷第10题4分

在平面区域$$\left { (x,y)\textbar\left\textbar{} x \right\textbar\leqslant 1,\left\textbar y \right\textbar\leqslant 1 \right }$$上恒有$$ax-2by\leqslant 2$$，则动点$$P(a,b)$$所形成平面区域的面积为（~ ）．

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->线性规划->二元一次不等式组的概念

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->线性规划->含参线性规划相关问题->参数与可行域面积

课内体系->素养->直观想象

平面区域$$\left { (x,y)\textbar\left\textbar{} x \right\textbar\leqslant 1,\left\textbar{} y \right\textbar\leqslant1 \right }$$的四个边界点$$(-1,-1)$$，$$(-1,1)$$，$$(1,-1)$$，$$(1,1)$$满足$$ax-2by\leqslant 2$$，即有$$a+2b\leqslant 2,a-2b\leqslant 2,-a-2b\leqslant 2,-a+2b\leqslant 2$$，由此计算动点$$P(a,b)$$所形成平面区域的面积为$$4$$．故选$$\text{A}$$．


2013年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列 竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和


高一上学期单元测试《等差、等比数列、递推数列1》竞赛第2题

2018~2019学年内蒙古呼和浩特回民区呼和浩特市回民中学高二上学期期中（体、艺班）第16题5分

2017~2018学年浙江杭州上城区杭州第四中学高一下学期期中第14题4分

2007年高考真题江西卷文科第13题4分

知识标签->知识点->数列->等差数列->等差数列的概念通项公式

知识标签->知识点->数列->等差数列->等差数列的性质及应用

知识标签->知识点->数列->等差数列->等差数列的前n项和

知识标签->素养->数学运算

知识标签->题型->数列->等差数列->等差数列的性质问题->等差数列前n项和的性质

知识标签->题型->数列->等差数列->等差数列的性质问题->求等差数列的通项公式

知识标签->题型->数列->等差数列->等差数列的性质问题->等差数列的前n项和计算


2016年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第8题6分

记$$[x]$$为不超过$$x$$的最大整数，若集合$$S=\left { (x，y)\left\textbar{} \textbar[x+y]\textbar+\textbar[x-y]\textbar\leqslant 1 \right. \right }$$，则集合$$S$$所表示的平面区域的面积为（~ ~ ）．

课内体系->素养->数学运算

课内体系->素养->直观想象

课内体系->特色题型->新定义

课内体系->思想->分类讨论思想

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->线性规划->简单线性规划->画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->解不等式->含绝对值的不等式

当$$\begin{cases}\textbar[x+y]\textbar=1    \textbar[x-y]\textbar=0   \end{cases}$$时，$$\begin{cases}1\leqslant x+y ~\textless{} ~2    0\leqslant x-y ~\textless{} ~1   \end{cases}$$或$$\begin{cases}-1\leqslant x+y ~\textless{} ~0    0\leqslant x-y ~\textless{} ~1   \end{cases}$$  同理$$\begin{cases}\textbar[x+y]\textbar=0    \textbar[x-y]\textbar=1   \end{cases}$$或$$\begin{cases}\textbar[x+y]\textbar=0    \textbar[x-y]\textbar=0   \end{cases}$$都可以类似表示，画图即可求出面积.  故选$$\text{A}$$．


2008年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

抛物线

双曲线

圆或椭圆

直线

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->圆锥曲线->双曲线->双曲线的定义、标准方程->双曲线的标准方程

课内体系->思想->方程思想

课内体系->方法->换元法


2016年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分 2010年上海复旦大学自主招生千分考第9题

给定平面向量$$\left( 1,1 \right)$$，那么，平面向量$$\left( \frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{1+\sqrt{3}}{2} \right)$$是将向量$$\left( 1,1 \right)$$经过（~ ）．

顺时针旋转$$60{}^{}\circ $$所得

顺时针旋转$$120{}^{}\circ $$所得

逆时针旋转$$60{}^{}\circ $$所得

逆时针旋转$$120{}^{}\circ $$所得

竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的应用


1989年全国高中数学联赛竞赛一试第1题

若$$A$$，$$B$$是锐角$$\triangle ABC$$的两内角，则复数$$z=\left( \cos B-\sin A \right)+\text{i}\left( \sin B-\cos A \right)$$在复平面上所对应的点位于（~ ）

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算

因为$$A+B\textgreater\frac{ \pi }{2}$$，进而$$0\textless{}\frac{ \pi }{2}-A\textless{}B\textless{}\frac{ \pi }{2}$$，  所以$$\cos B\textless{}\cos \left( \frac{ \pi }{2}-A \right)=\sin A$$，  $$\sin B\textgreater\sin \left( \frac{ \pi }{2}-A \right)=\cos A$$，  $$\cos B-\sin A\textless{}0$$，$$\sin B-\cos A\textgreater0$$．  说明$$z$$位于第二象限．  故选$$\text{B}$$．


2021年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

关于$$x$$的方程$${{2}^{\left\textbar{} 2x-2 \right\textbar}}-a\cos \left( 1-x \right)=0$$只有一个实数解，则．

$$a$$的值不唯一

竞赛->知识点->函数->函数方程

函数$$f\left( x \right)={{2}^{\left\textbar{} 2x-2 \right\textbar}}-a\cos \left( 1-x \right)$$的图象关于直线$$x=1$$对称，  又方程只有一个实数解，  ∴$$f\left( 1 \right)=0$$，得$$a=1$$，  当$$a=1$$时，$$f\left( x \right)={{2}^{\left\textbar{} 2x-2 \right\textbar}}-\cos \left( 1-x \right)\geqslant 1-1=0$$，  当且仅当$$x=1$$时取等号，  即方程$${{2}^{\left\textbar{} 2x-2 \right\textbar}}-a\cos \left( 1-x \right)=0$$只有一个实数解，符合题设．  故选$$\text{B}$$．


1990年全国高中数学联赛竞赛一试第1题

设$$\alpha \in \left( \frac{ \pi }{4}，\frac{ \pi }{2} \right)$$，则$${{\left( \cos \alpha \right)}^{\cos \alpha }}$$，$${{\left( \sin \alpha \right)}^{\cos \alpha }}$$，$${{\left( \cos \alpha \right)}^{\sin \alpha }}$$的大小顺序是（~ ~ ）．

$${{\left( \cos \alpha \right)}^{\cos \alpha }} ~\textless{} ~{{\left( \sin \alpha \right)}^{\cos \alpha }} ~\textless{} ~{{\left( \cos \alpha \right)}^{\sin \alpha }}$$；

$${{\left( \cos \alpha \right)}^{\cos \alpha }} ~\textless{} ~{{\left( \cos \alpha \right)}^{\sin \alpha }} ~\textless{} ~{{\left( \sin \alpha \right)}^{\cos \alpha }}$$；

$${{\left( \sin \alpha \right)}^{\cos \alpha }} ~\textless{} ~{{\left( \cos \alpha \right)}^{\cos \alpha }} ~\textless{} ~{{\left( \cos \alpha \right)}^{\sin \alpha }}$$；

$${{\left( \cos \alpha \right)}^{\sin \alpha }} ~\textless{} ~{{\left( \cos \alpha \right)}^{\cos \alpha }} ~\textless{} ~{{\left( \sin \alpha \right)}^{\cos \alpha }}$$．

竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质

∵$$\alpha \in \left( \frac{ \pi }{4}，\frac{ \pi }{2} \right)$$，  ∴ $$0 ~\textless{} ~\cos \alpha ~~\textless{} ~\frac{\sqrt{2}}{2} ~\textless{} ~\sin \alpha ~~\textless{} ~1$$．  故 $$\cos \alpha {{}^{\sin \alpha }} ~\textless{} ~\cos \alpha {{}^{\cos \alpha }}$$．  ∴ $$\cos \alpha {{}^{\cos \alpha }} ~\textless{} ~{{(\sin \alpha )}^{\cos \alpha }}$$．


1989年第7届美国数学邀请赛（AIME）竞赛第10题

知识标签->题型->解三角形->正余弦定理的简单应用->利用正、余弦定理求解边角

知识标签->知识点->解三角形->正弦定理

知识标签->知识点->解三角形->余弦定理

知识标签->素养->数学运算

由余弦定理$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\cos \gamma ={{c}^{2}}$$，代入条件式得  $$2ab\cos \gamma =1988{{c}^{2}}$$，或$$\left( \frac{a}{b} \right)\left( \frac{b}{c} \right)\cos \gamma =994$$．  由下正弦定理$$\frac{a}{c}=\frac{\sin \alpha }{\sin \gamma }$$，$$\frac{b}{c}=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma }$$，  于是$$\frac{\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma }{{{\sin }^{2}}\gamma }=994$$．  因为$$\alpha +\beta +\gamma = \pi $$，所以$$\alpha +\beta = \pi -\gamma $$．从而$$\sin \left( \alpha +\beta \right)=\sin \gamma $$．  $$\frac{\cot \gamma }{\cot \alpha +\cot \beta }=\frac{\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma }{\sin \left( \alpha +\beta \right)\sin \gamma }=994$$．


2011年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分

体育课下课后，老师要求体育委员把$$3$$个相同的篮球、$$2$$个相同的排球、$$1$$个相同的橄榄球排成一排放好，则不同的放法有．

竞赛->知识点->排列组合与概率->两个基本计数原理 竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合 课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->分步乘法计数原理

总共$$10$$个球，先考虑选$$5$$个位置放篮球，共有$$\text{C}_{10}^{5}=252$$种，再从剩下的$$5$$个位置种选$$3$$个位置放排球，总共有$$10$$种方法，剩下的$$2$$个位置放橄榄球，故有$$252\times 10=2520$$种.


2009年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

若函数$$f(x)=\begin{cases}{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}},x\geqslant 4    f(x+1),x\textless{}4 \end{cases}$$，则$$f({{\log }_{2}}3)=$$．

竞赛->知识点->函数->基本初等函数


1982年全国高中数学联赛竞赛第6题

不存在

竞赛->知识点->函数->二次函数


2016年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分

已知正三棱锥$$S-ABC$$，底面是边长为$$1$$的正三角形，侧棱长为$$2$$，若过直线$$AB$$的截面，将正三棱锥的体积分成两个相等的部分，则截面与底面所成二面角的平面角的余弦值为（~ ~ ）．

课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的体积、表面积->组合体求体积、表面积问题

课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的概念->棱柱、棱锥、棱台的结构特征

课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->平面图形、空间几何体的直观图认识

课内体系->知识点->立体几何初步->基本图形位置关系->空间中的基本事实与定理->点、直线、平面之间的位置关系

课内体系->知识点->立体几何初步->基本图形位置关系->空间中的基本事实与定理->已知线面位置关系判定结论的问题

课内体系->知识点->立体几何初步->基本图形位置关系->探索性问题->几何法求空间角

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->素养->直观想象

设截面与棱$$SC$$交于$$D$$点，由已知条件可知，点$$D$$为棱$$SC$$的中点．  取$$AB$$的中点$$E$$，连结$$EC$$、$$DE$$、$$SE$$，  则$$\angle DEC$$为截面与底面所成二面角的平面角，设为$$\theta $$．  在$$\triangle SEC$$中，$$SE=\frac{\sqrt{15}}{2}$$，$$EC=\frac{\sqrt{3}}{2}$$，$$SC=2$$，所以中线$$DE=\frac{\sqrt{5}}{2}$$．  在$$\triangle DEC$$应用余弦定理得$$\cos \theta =\frac{2\sqrt{15}}{15}$$．正确答案为$$D$$．


2022~2023学年湖南永州宁远县高一上学期月考（明德湘南中学基础知识竞赛）第5题

\emph{f}(3)\textless{}\emph{f}(-2)\textless{}\emph{f}(1)

\emph{f}(1)\textless{}\emph{f}(-2)\textless{}\emph{f}(3)

\emph{f}(3)\textless{}\emph{f}(1)\textless{}\emph{f}(-2)

\emph{f}(-2)\textless{}\emph{f}(1)\textless{}\emph{f}(3)

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性


高考真题 2009年第二十届全国希望杯高二竞赛复赛第2题5分

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的前n项和->等差数列前n项和的性质


2018年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

三棱锥$$P-ABC$$的底面$$\triangle ABC$$是边长为$$3$$的正三角形，$$PA=3$$，$$PB=4$$，$$PC=5$$，则三棱锥$$P-ABC$$的体积为(  )

竞赛->知识点->立体几何与空间向量


1992年全国高中数学联赛竞赛一试第3题

$$2\textless{}\lambda \mathsf{\leqslant }4$$

$$3\textless{}\lambda \textless{}4$$

$$2.5\textless{}\lambda \mathsf{\leqslant }4.5$$

$$3.5\textless{}\lambda \textless{}5.5$$

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题


2014年江西全国高中数学联赛竞赛初赛第6题8分

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的性质及应用


2016~2017学年北京东城区北京市第一七一中学高一下学期期中第8题 1997年全国高中数学联赛竞赛一试第1题6分

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和


2011 AMC10A 10  A majority of the $$30$$ students in Ms. Demeanor\textquotesingle s class bought pencils at the school bookstore. Each of these students bought the same number of pencils, and this number was greater than $$1$$. The cost of a pencil in cents was greater than the number of pencils each student bought, and the total cost of all the pencils was $$$17.71$$. What was the cost of a pencil in cents?  德米诺尔女士班级的 30 个学生中的大多数在学校书店购买铅笔。 这些学生中的每个人都购买了相同数量的铅笔，而且这个数量大于 1。 一支铅笔的成本（以美分计）大于每个学生购买的铅笔数量，所有铅笔的总成本为 $17.71。 一支铅笔的成本是多少？

课内体系->知识点->等式与不等式->等式->方程组的解集

美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Equation Word Problems

Let $$x\textgreater15$$ be the number of students at the bookstore， $$p\textgreater1$$ be the number of pencils each student bought, and $$c\textgreater p$$ be the price of one pencil. We see that $$xcp=1771=7\cdot 11\cdot 23$$. Then we must have $$x=23$$，$$c=11$$，$$p=7$$ by the original conditions and the answer is $$c=11$$．


$$2008-AMC12B-10$$  Bricklayer Brenda would take $$9$$ hours to build a chimney alone, and bricklayer Brandon would take $$10$$ hours to build it alone. When they work together they talk a lot, and their combined output is decreased by $$10$$ bricks per hour. Working together, they build the chimney in $$5$$ hours. How many bricks are in the chimney?  瓦工布伦达单独建造一个烟囱需要花费 $9$$ 小时，而瓦工布兰登单独建造它需要花费 $10$$ 小时。 当他们一起工作时，他们会说很多话，他们的总产量每小时减少 10 美元。 他们一起工作，在 $5$$ 小时内建造了烟囱。 烟囱里有多少块砖？

课内体系->知识点->等式与不等式->等式->方程组的解集

Let $$x$$ be the number of bricks in the chimney, Using $$d=vt$$, we get $$x=\left( \frac{x}{9}+\frac{x}{10}-10 \right)\cdot \left( 5 \right)$$. Solving for $$x$$, we get $$900\Rightarrow \text{B}$$.


2015年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

在$$\triangle ABC$$中，内角$$ABC$$的对边长分别为$$abc$$，若$$\frac{a}{\cos A}=\frac{b}{2\cos B}=\frac{c}{3\cos C}$$，则$$\angle A$$的大小为．

$$\frac{ \pi }{6}$$

$$\frac{ \pi }{4}$$

$$\frac{ \pi }{3}$$

$$\frac{5 \pi }{12}$$

竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换 竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形

结合正弦定理，有$$\tan A=\frac{1}{2}\tan B=\frac{1}{3}\tan C$$，  熟知$$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$$，代入解得$$\tan A=1$$．


2018年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛

已知 $$f(x)=\frac{sinx}{2+cosx}$$ ，则对任意 $$x\in R$$ ，下列说法错误的是．

$$\textbar f(x)\textbar\leqslant\textbar x\textbar$$

$$\textbar f(x)\textbar\leqslant \frac{\sqrt3}3$$

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质


2018年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分

竞赛->知识点->复数与平面向量


2015年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的角与距离

由题意，$$O$$应该在$$P-ABC$$的底面$$ABC$$上，设底面边长为$$2$$，则外接球半径等于$$\frac{2}{3}\sqrt{3}$$，于是侧棱长$$\frac{2}{3}\sqrt{6}$$．作$$CH\bot PB$$于$$H$$，由对称性知$$AH\bot PB$$，所以$$\angle AHC$$就是二面角$$A-PB-C$$的平面角，不难算出$$CH=\frac{\sqrt{10}}{2}$$．  于是由余弦定理，可得$$\cos \angle AHC=\frac{1}{5}$$．


2021年第31届浙江绍兴上虞区希望杯高一竞赛复赛第1题

$$\left { 1,3 \right }$$

$$\varnothing $$

$$\left { 0,1,2,3 \right }$$

课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算->对数的运算 课内体系->知识点->集合->集合的基本运算->交集 课内体系->素养->数学运算


$$2002-AMC10A-17$$  Sarah pours $$4$$ ounces of coffee into a cup that can hold $$8$$ ounces. Then she pours $$4$$ ounces of cream into a second cup that can also hold $$8$$ ounces. She then pours half of the contents of the first cup into the second cup, completely mixes the contents of the second cup, then pours half of the contents of the second cup back into the first cup. What fraction of the contents in the first cup is cream?  莎拉将 4盎司的咖啡倒入一个可容纳 8盎司的杯子中。 然后她将 4盎司的奶油倒入第二个杯子中，该杯子也可以装 8 盎司。 然后她将第一个杯子的一半内容倒入第二个杯子，将第二个杯子的内容完全混合，然后将第二个杯子的一半内容倒回第一个杯子。 第一杯中的混合物有多少是奶油？

$$\frac 14$$

$$\frac 13$$

$$\frac 38$$

$$\frac 25$$

$$\frac 12$$

课内体系->知识点->集合->容斥原理

We will simulate the process in steps.  In the beginning, we have:  ▪ $$4$$ ounces of coffee in cup $$1$$  ▪ $$4$$ ounces of cream in cup $$2$$  In the first step we pour $$\frac 42=2$$ ounces of coffee from cup $$1$$ to cup $$2$$; getting:  ▪ $$2$$ ounces of coffee in cup $$1$$  ▪ $$2$$ ounces of coffee and $$4$$ ounces of cream in cup $$2$$;  In the second step we pour $$\frac 22=1$$ ounce of coffee and $$\frac 42=2$$ ounces of cream from cup $$2$$ to cup $$1$$, getting:  ▪ $$2+1=3$$ ounces of coffee and $$0+2=2$$ ounces of cream in cup $$1$$  ▪ the rest in cup $$2$$  Hence at the end we have $$3+2=5$$ ounces of liquid in cup $$1$$, and out of these $$2$$ ounces is cream. Thus the answer is $$\frac 25$$.


2010年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质


2022~2023学年湖南邵阳隆回县湖南省隆回县第二中学高一上学期月考（竞赛）第5题

2022~2023学年四川泸州泸县泸县第一中学高一上学期期末第5题

2022~2023学年甘肃兰州高一上学期期末（兰州市第六十三中学 兰化三中 线上 考试）第10题

酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：$100\text{ml}$血液中酒精含量低于$20\text{mg}$的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到$20\text{mg}$一一$79\text{mg}$的驾驶员即为酒后驾车，$80\text{mg}$及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液上升到了$1\text{mg}/\text{ml}$.如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时$30  ! \% ! $的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（参考数据：$\lg 0.2\approx -0.7$，$\lg 0.3\approx -0.5,\lg 0.7\approx -0.15,\lg 0.8\approx -0.1$）

课内体系->知识点->函数的应用->函数的实际应用

由题意得：$100\text{ml}$血液中酒精含量低于$20\text{mg}$的驾驶员可以驾驶汽车故${{\left( 1-30  ! \% ! \right)}^{x}}\textless{} 0.2$，即${{0.7}^{x}}\textless{} 0.2$两边取对数即可得$\lg {{0.7}^{x}}\textless{} \lg 0.2$，即$x\textgreater\frac{\lg 0.2}{\lg 0.7}\approx 4.67$那么他至少经过$$5$$个小时才能驾驶汽车故选：$$\text{C}$$


2016年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分

在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有$$3$$名选手各比赛了两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了$$50$$场，那么上述$$3$$名选手之间比赛的场数是（~ ~ ）．

课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->组合 课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->分类加法计数原理 课内体系->素养->数学运算 课内体系->素养->逻辑推理


2019年全国高中数学联赛竞赛初赛第10题

设$$a$$，$$b$$，$$c$$均大于$$1$$，满足$$\begin{cases}\textasciitilde\lg a+\log _{b}c=3    \lg b+\log _{a}c=4    \end{cases}$$，  则$$\lg a\cdot \lg c$$的最大值为．

竞赛->知识点->函数->基本初等函数

记分别记$$\lg a$$，$$\lg b$$，$$\lg c$$为$$x$$，$$y$$，$$z$$，则$$x$$，$$y$$，$$z\textgreater0$$且$$\begin{cases}x+\frac{z}{y}=3    y+\frac{z}{x}=4    \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}xy+z=3y    xy+z=4x    \end{cases}$$，设$$x=3t$$，$$y=4t$$，则$$z=12t-12{{t}^{2}}$$，  其中$$t\in (0,1)$$，  因此$$\lg a\cdot \lg c=xz=3t(12t-12{{t}^{2}})=18\cdot (t\cdot t\cdot (2-2t))\leqslant 18\cdot {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}=\frac{16}{3}$$，  等号当$$t=\frac{2}{3}$$时取得，因此所求最大值为$$\frac{16}{3}$$．


高二上学期单元测试《不等式专题》自招

高二上学期单元测试《不等式专题》自招第3题

高二上学期单元测试《不等式专题（1）》自招第1题

2009年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第10题5分

2020~2021学年浙江杭州西湖区杭州学军中学高一上学期单元测试《基本不等式》第43题

课内体系->素养->数学运算

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->思想->转化化归思想

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->利用基本不等式求最值

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式的实际应用

由$$a\textgreater b\textgreater0$$知$$a-b\textgreater0$$，故有$$b(a-b)\leqslant \dfrac{{{a}^{2}}}{4}$$．  ∴$${{a}^{2}}+\dfrac{1}{b(a-b)}\geqslant {{a}^{2}}+\dfrac{4}{{{a}^{2}}}\geqslant 4$$．  当且仅当$$\begin{cases}b=a-b    {{a}^{2}}=\dfrac{4}{{{a}^{2}}}   \end{cases}$$，即$$\begin{cases}a=\sqrt{2}    b=\dfrac{\sqrt{2}}{2}   \end{cases}$$时等号成立．  ∴$${{a}^{2}}+\dfrac{1}{b(a-b)}$$的最小值为$$4$$，故选$$\text{C}$$．


2010年河南全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分 2018~2019学年上海静安区上海市市北中学高三上学期期中第16题5分

设$$\triangle ABC$$的内角$$A,  B,  C$$所对的边$$a,  b,  c$$成等比数列，则$$\frac{\sin A+\cos A\tan C}{\sin B+\cos B\tan C}$$的取值范围是．

$$\left(0,  +\infty \right)$$

$$\left( 0,\frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)$$

$$\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2},  +\infty \right)$$

竞赛->知识点->不等式->不等式的解法 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换 竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形

设$$a,  b,  c$$的公比为$$q$$，则$$b=aq,  c=a{{q}^{2}}$$，而  $$\frac{\sin A+\cos A\tan C}{\sin B+\cos B\tan C}$$  $$=\frac{\sin A\cos C+\cos A\sin C}{\sin B\cos C+\cos B\sin C}$$  $$=\frac{\sin (A+C)}{\sin (B+C)}=\frac{\sin ( \pi -B)}{\sin ( \pi -A)}$$  $$=\frac{\sin B}{\sin A}=\frac{b}{a}=q.$$  因此，只需求$$q$$的取值范围．  因$$a,  b,  c$$成等比数列，最大边只能是$$a$$或$$c$$，因此$$a,  b,  c$$要构成三角形的三边，必须且只需$$a+bc$$且$$b+ca$$．即有不等式组$$\begin{cases}a+aq\textgreater a{{q}^{2}}    aq+a{{q}^{2}}\textgreater a \end{cases}$$，即$$\begin{cases}{{q}^{2}}-q-1\textless{}0    {{q}^{2}}+q-1\textgreater0 \end{cases}$$  解得$$\begin{cases}\frac{1-\sqrt{5}}{2}\textless{}q\textless{}\frac{\sqrt{5}+1}{2}    q\textgreater\frac{\sqrt{5}-1}{2} \end{cases}$$或$$\begin{cases}\frac{1-\sqrt{5}}{2}\textless{}q\textless{}\frac{\sqrt{5}+1}{2}    q\textless{}-\frac{\sqrt{5}+1}{2} \end{cases}$$  从而$$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\textless{}q\textless{}\frac{\sqrt{5}+1}{2},$$  因此所求的取值范围是$$\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2},\frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)$$．故选$$\text{C}$$．


2008年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分

2019~2020学年重庆沙坪坝区重庆市第七中学高一上学期单元测试《集合与函数》第29题

$$0 \textless{} a \textless{} 1$$

$$0 \textless{} a \textless{} 2,a\ne 1$$

$$1 \textless{} a \textless{} 2$$

$$a\geqslant 2$$

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->复合函数

课内体系->知识点->基本初等函数->对数函数->对数函数的图象及性质

课内体系->知识点->基本初等函数->指数函数->利用指数函数性质求最值

课内体系->素养->数学运算

当$$a\textgreater1$$时，$$y$$有最小值，则说明$${{x}^{2}}-ax+1$$有最小值，故$${{x}^{2}}-ax+1=0$$中$$\Delta ~~\textless{} ~0$$，  即$${{a}^{2}}-4 ~\textless{} ~0$$，所以$$2\textgreater a\textgreater1$$．  当$$0 ~\textless{} ~a ~\textless{} ~1$$时，$$y$$有最小值，  则说明$${{x}^{2}}-ax+1$$有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．  故选$$\text{C}$$．


知识标签->知识点->函数->函数的性质


课内体系->知识点->数列->数列的概念->数列的定义

美国AMC10/12->Knowledge Point->Geometry->Basic Analytic Geometry->Curves and Equations

首先, 若$a_1$是偶数, 则$a_2=\frac{a_1}{2}\textless a_1$, 不满足条件.  若$a_1$是奇数, 则$a_2=3a_1+1$, $a_3=\frac{3}{2}a_1+\frac{1}{2}$必然都大于$a_1$, 问题出在$a_4$上$$.$$ 我们不知道$a_3$的奇偶, 也就无法计算$a_4$, 更无法讨论它和$a_1$的大小关系$$.$$ 因此, 接下来, 我们先对$a_3$的奇偶性进行讨论.  若$a_3$为偶数, 这等价于$3a_1+1$是$$4$$的倍数, 也就是说$a_1\equiv 1\pmod 4$. 此时$a_4=\frac{a_3}{2}=\frac{3}{4}a_1+\frac{1}{4}\leq a_1$, 不满足条件.  若$a_3$为奇数, 也就是说$a_1\equiv 3\pmod 4$时, $a_4=3a_3+1\textgreater a_1$, 满足条件.  综上可知有且只有模$$4$$余$$3$$的$a_1$满足条件, 这些数在总共$$2008$$个数中占了$\frac{1}{4}$, 有$\frac{1}{4}\times 2008=502$个, 选$$\text{D}$$.  拓展: 数学上有一个著名的问题, 叫$3n+1$猜想, 讲的是: 在本题中所给的数列中, 无论$a_1$取什么正整数, $1$最终都会出现在数列的某一项$$.$$ 这一猜想至今未得到证明.


2015年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分

设$$\triangle ABC$$的周长为$$12$$，内切圆的半径为$$1$$，则．

$$\triangle ABC$$必为直角三角形

$$\triangle ABC$$必为锐角三角形

$$\triangle ABC$$必为直角三角形或锐角三角形

以上结论都不对

竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形

设三边为$$abc$$，则$$\tan \frac{A}{2}=\frac{1}{p-a}=\frac{1}{6-a}$$（$$p$$是半周长）．  当$$a\leqslant 5$$时，$$0\textless{}\tan \frac{A}{2}\leqslant 1$$，则$$A\leqslant 90{}^{}\circ $$；  当$$a\textgreater5$$时，$$\tan \frac{A}{2}\textgreater1$$，则$$A\textgreater90{}^{}\circ $$．  所以若有一条边的长度大于$$5$$，则$$\triangle ABC$$是钝角三角形，否则$$\triangle ABC$$是直角或锐角三角形．  设$$a=5+x$$，$$b=c=\frac{7-x}{2}$$，内切圆半径为$$r$$，由面积法，得  $$\frac{1}{2}\cdot \left( 5+x \right)\cdot \sqrt{{{\left( \frac{7-x}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{5+x}{2} \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}\cdot r\cdot 12$$  化简可得$$r=\frac{\left( 5+x \right)\sqrt{1-x}}{2\sqrt{6}}$$  当$$r=1$$时，化简得方程$${{x}^{3}}+9{{x}^{2}}+15x-1=0$$，此方程在$$\left( 0,1 \right)$$之间有解$${{x}_{0}}$$，即存在三边长为$$5+{{x}_{0}}\frac{7-{{x}_{0}}}{2}\frac{7-{{x}_{0}}}{2}$$，内切圆半径为$$1$$的$$\triangle ABC$$，是一个钝角三角形．


2009年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

$$110\times \left( {{2}^{9}}-1 \right)$$

$$110\times \left( {{2}^{10}}-1 \right)$$~

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和


2008年江苏全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分

$$-1$$，$$ 9 $$，$$2-\sqrt{13}$$

$$1 $$，$$9$$， $$2+\sqrt{13}$$

$$1$$，$$ 9$$，$$ 2-\sqrt{13}$$

竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算


2019年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

竞赛->知识点->数论模块->同余->平方剩余 竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步


2021 AMC 10A Problem 25  How many ways are there to place $$3$$ indistinguishable red chips, $$3$$ indistinguishable blue chips, and $$3$$indistinguishablegreenchipsin thesquaresofa $$3\times3$$ grid so thatnotwochips of the same color are directly adjacent to each other, either vertically or horizontally?  将 $$3$$ 枚不可区分的红色筹码, $$3$$ 枚不可区分的蓝色筹码和 $$3$$ 枚不可区分的绿色筹码分别放在 $$3\times3$$ 方格表的各个小方格中，使得无论是垂直方向还是水平方向，都没有两个相同颜色的筹码相邻，共问有多少种放法?


2021~2022学年福建莆田城厢区莆田第一中学高一下学期开学考试（学科素养能力竞赛）第7~7题

某地新能源汽车工厂2017年生产新能源汽车的年产量为260万辆，根据前期市场调研，为满足市场需求，以后每一年的产量都比上一年产量提高25\%，那么该工厂到哪一年的产量才能首次超过800万辆（参考数据：$$\lg 1.25\approx 0.097,\lg 1.3\approx 0.11,\lg 4\approx 0.60$$）（~~~~~~~）

\hfill\break 【分析】\\ 由题意确定函数模型，再根据指数与对数运算解不等式.\\ 【详解】\\ 设产量首次超过800万辆的年份为$$x$$，则$$260\times {{\left( 1+25\% \right)}^{x-2017}}\textgreater800$$，\\ 即$$\lg 260+\left( x-2017 \right)\lg 1.25\textgreater\lg 800$$，\\ $$x-2017\textgreater\frac{\lg \frac{800}{260}}{\lg 1.25}=\frac{\lg 4-\lg 1.3}{\lg 1.25}\approx 5.05$$，\\ 即$$x\textgreater2017+5.05=2022.05$$，\\ 所以$$x=2023$$，\\ 故选：C.


2008年江西全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

$$\left[ -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right]$$

$$\left[ -1,1 \right]$$

$$\left( -\infty ,-1 \right]\cup \left[ 1,+\infty \right)$$

$$\left[ -2,2 \right]$$

竞赛->知识点->解析几何->直线与圆锥曲线


2015年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第9题5分 2017~2018学年北京东城区北京市第五中学高二下学期期中理科第6题6分 2015年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第9题5分

甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为$$a$$，再由乙猜甲刚才想到的数字，把乙猜的数字记为$$b$$，且$$a$$、$$b\in  {1,2,\ldots ,6 }$$． 若$$\left\textbar{} a-b \right\textbar\leqslant 1$$，则称甲、乙``心有灵犀''． 现任意找两个人玩这个游戏，得出他们``心有灵犀''的概率为（~ ）．

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->古典概型->古典概型的概率计算（不涉及计数原理）


2012年江西全国高中数学联赛竞赛初赛第4题10分

以上都不对

竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->柯西 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式


全国全国高中数学联赛竞赛一试

已知三个平面$$\alpha $$、$$\beta $$、$$\lambda $$，每两个平面之间的夹角都是$$\theta $$，且$$\alpha \cap \beta =a$$，$$\beta \cap \gamma =b$$，$$\gamma \cap \alpha =c$$．若有：  命题甲：$$\theta \textgreater\frac{ \pi }{3}$$．  命题乙：$$a$$，$$b$$，$$c$$相交于一点．  则（~ ）．

甲是乙的充分条件但不必要

甲是乙的必要条件但不充分

甲是乙的充分必要条件

$$\text{A}$$、$$\text{B}$$、$$\text{C}$$都不对

课内体系->知识点->立体几何初步->基本图形位置关系->空间中的基本事实与定理

课内体系->知识点->常用逻辑用语->充分条件与必要条件->充要条件与立体几何结合

课内体系->素养->逻辑推理

设$$a$$，$$b$$，$$c$$交于一点，  由所成三面角内部一点引三条射线分别垂直于$$\alpha $$、$$\beta $$、$$\lambda $$，  其中每两条射线所成的角都是$$ \pi -\varphi $$，  $$\varphi $$为三面角中两两相等的二面角的平面角，  总和$$3( \pi -\varphi )\textless{}2 \pi $$，  ∴$$\varphi \textgreater\frac{1}{3} \pi $$．  当$$\varphi \textgreater\frac{2}{3} \pi $$时，$$\varphi \textgreater\frac{1}{3} \pi $$．  若$$a$$，$$b$$，$$c$$不交于一点，则互相平行，  这时$$\varphi \textgreater\frac{1}{3} \pi $$．  故选$$\text{A}$$．  （注：认定两平面间夹角范围是$$0\textless{}\theta \mathsf{\leqslant }\frac{1}{2} \pi $$）


2016年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分 2016年高考真题天津卷

设$$0\textless{}a\textless{}b$$，已知，$$s$$，$$t$$，$$b$$依次成等差数列，$$a$$，$$u$$，$$v$$，$$b$$依次成等比数列，记$$x=st\left( s+t \right)$$，$$y=uv\left( u+v \right)$$，则（~ ）．

$$x\textgreater y$$

$$x=y$$

$$x\textless{}y$$

既有$$x\textgreater y$$的情形，也有$$x\textless{}y$$的情形

竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->均值 竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->排序 竞赛->知识点->不等式->不等式的综合应用（数列与不等式）


2001年全国高中数学联赛竞赛一试第3题6分

在四个函数$$y=\sin \left\textbar{} x \right\textbar$$、$$y=\cos \left\textbar{} x \right\textbar$$、$$y=\left\textbar{} \cot x \right\textbar$$、$$y=\lg \left\textbar{} \sin x \right\textbar$$中，以$$ \pi $$为周期、在$$\left( 0,\frac{ \pi }{2} \right)$$上单调递增的偶函数是．

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质 竞赛->知识点->函数->基本初等函数

可考虑用排除法．$$y=\sin \left\textbar{} x \right\textbar$$不是周期函数（可通过作图判断），故$$\text{A}$$错误；  $$y=\cos \left\textbar{} x \right\textbar$$的最小正周期为$$2 \pi $$，且在$$\left( 0,\frac{ \pi }{2} \right)$$上是减函数，故$$\text{B}$$错误；  $$y=\left\textbar{} \text{cot}x \right\textbar$$在$$\left( 0,\frac{ \pi }{2} \right)$$上是减函数，故$$\text{C}$$错误．  故选$$\text{D}$$．


2016年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分

从$$1，$$2$$，\cdots ，20$$这$$20$$个数中，任取$$3$$个不同的数，则这$$3$$个数构成等差数列的概率为（~ ~ ）．

课内体系->素养->数学运算

课内体系->素养->数据分析

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的概念与通项公式->等差数列求通项问题

课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的性质及应用

课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->古典概型

课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->组合


2008年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分

以双曲线$$\frac{{{x}^{2}}}{4}-\frac{{{y}^{2}}}{m}=1$$的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则$$m=$$．

课内体系->知识点->直线和圆的方程->圆与方程->直线与圆的位置关系->圆的切线的相关问题

课内体系->知识点->直线和圆的方程->直线与方程->平面中的距离->点到直线的距离公式

课内体系->知识点->圆锥曲线->双曲线->双曲线的几何性质->双曲线的渐近线

课内体系->知识点->圆锥曲线->双曲线->双曲线的几何性质->双曲线的离心率->求双曲线的离心率

课内体系->素养->数学运算


2020年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分

点$$A$$，$$B$$，$$C$$均位于单位圆上，且 $$\textbar{} \overrightarrow{AB}\textbar= \sqrt{3}$$，则 $$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$$ 的最大值为．

$$\sqrt{3}+ \frac{3}{2}$$

$$2 \sqrt{3}$$

$$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$$

竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算

由已知，可设$$A\left( -1,0 \right)$$，$$B\left( \frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$，$$C\left( \cos \theta , \sin \theta \right)\left( 0\leqslant \theta \leqslant 2\pi \right)$$，则$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\left( \frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\cdot \left( \cos \theta +1,\sin \theta \right)=\frac{3}{2}\cos \theta +\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta +\frac{3}{2}$$  $$=\sqrt{3}\sin \left( \theta +\frac{\pi }{3} \right)+\frac{3}{2}\leqslant \sqrt{3}+\frac{3}{2}$$，  所以，$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$$的最大值为$$\sqrt{3}+\frac{3}{2}$$．  故选$$\text{A}$$．


2021~2022学年广东肇庆德庆县广东省德庆县香山中学高一下学期期中第4题

2021~2022学年安徽阜阳太和县安徽省太和中学高一下学期月考（竞赛考试）第1~1题

2021~2022学年广东肇庆德庆县广东省德庆县香山中学高一下学期期中第4题


2012年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分 2012~2013学年北京东城区高二下学期期末理科第4题3分

用数字$$0$$，$$1$$，$$2$$，$$3$$组成无重复数字的四位数，这样的四位数的个数为（~ ）．

课内体系->素养->数学运算 课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->排列->特殊元素优先法

最高位只能填$$1$$、$$2$$、$$3$$，有$$3$$种方法，其余的位置没有限制，  任意排有$$A_{3}^{3}=6$$种方法，  这样的四位数的个数为$$3\times 6=18$$种．  故选B．


2021年第31届浙江绍兴上虞区希望杯高一竞赛复赛第6题

在边长为$$a$$的立方体的表面及内部可以找到$$9$$个点，使得其中任意两个点的距离至少为$$1$$，则$$a$$的最小值是．

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的概念->棱柱、棱锥、棱台的结构特征

由于是$$9$$个点，故$$4$$个为上平面的顶点，下平面$$4$$个顶点，正方体中心为$$1$$个点，  故只需要$$\begin{cases} a\geqslant 1   \sqrt{3}a\geqslant 2   \end{cases}$$，解得$$a\geqslant \frac{2\sqrt{3}}{3}$$，故当$$a=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$时，  一定存在$$9$$个点使得两两距离至少为$$1$$．


2009年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分

设$$A$$、$$B$$是球的一条直径的两个端点，$$ \pi $$是过点$$A$$且垂直于$$AB$$的一个平面．$$C$$、$$D$$是球面上不同于$$A$$、$$B$$的两个点，延长$$BC$$、$$BD$$，分别交平面$$ \pi $$于$$E$$、$$F$$两点．若$$A$$、$$E$$、$$F$$三点构成等腰三角形，则$$AB$$与$$CD$$的位置关系是．

$$AB$$与$$CD$$垂直

$$AB$$与$$CD$$平行

$$AB$$与$$CD$$垂直且异面

不能确定

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的平行和垂直

若$$AE=EF\ne AF$$，则$$AB$$与$$CD$$不垂直，排除选项$$\text{A}$$和$$\text{C}$$；  若$$AB$$与$$CD$$平行，则$$A$$、$$E$$、$$F$$共线，构不成三角形，排除$$\text{B}$$．  故选$$\text{D}$$．


$$2004-AMC10A-6$$  Bertha has $$6$$ daughters and no sons. Some of her daughters have $$6$$ daughters, and the rest have none. Bertha has a total of $$30$$ daughters and granddaughters, and no great-granddaughters. How many of Bertha\textquotesingle s daughters and grand-daughters have no children?  伯莎有 $6$$ 个女儿，没有儿子。 她的一些女儿有 $6$$ 个女儿，其余的没有。 伯莎总共有 30个女儿和孙女，没有曾孙女。 伯莎的女儿和孙女有多少没有孩子？

课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->排除法

美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Reasoning->Simple Logical Reasoning

Since Bertha has $$6$$ daughters, she has $$30-6=24$$ granddaughters, of which none have daughters. Of Bertha\textquotesingle s daughters, $$\dfrac{24}{6}=4$$ have daughters, so $$6-4=2$$ do not have daughters. Therefore, of Bertha\textquotesingle s daughters and granddaughters, $$24+2=26$$ do not have daughters. $$\boxed{ (\text{E}) 26}$$.  ▪  ▪ Alcumus**  Bertha has $$30-6=24$$ granddaughters, none of whom have any daughters. The granddaughters are the children of $$\dfrac{24}{6}=4$$ of Bertha\textquotesingle s daughters, so the number of women having no daughters is $$30-4=\boxed {26}$$.  Draw a tree diagram and see that the answer can be found in the sum of $$6+6$$ granddaughters, $$5+5$$ daughters, and $$4$$ more daughters. Adding them together gives the answer of $$\boxed{ (\text{E}) 26}$$.


2008年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分

若存在钝角$$\alpha $$，使得$$\sin \alpha -\sqrt{3}\cos \alpha ={{\log }_{2}}({{x}^{2}}-x+2)$$成立，则实数$$x$$的取值范围是．

$$ {x\textbar-1\leqslant x\textless{}0$$或$$1\textless{}x\leqslant 2 }$$

$$ {x\textbar-1\textless{}x\textless{}0$$或$$1\textless{}x\textless{}2 }$$

$$ {x\textbar0\leqslant x\leqslant 1 }$$

$$ {x\textbar-1\textless{}x\textless{}2 }$$

竞赛->知识点->函数->函数综合

设$$\frac{ \pi }{2}\textless{}\alpha \textless{} \pi $$，则$$\sin \alpha -\sqrt{3}\cos \alpha =2\sin \left( \alpha -\frac{ \pi }{3} \right)\in \left( 1,2 \right]$$，  可知$$1\textless{}{{\log }_{2}}({{x}^{2}}-x+2)\leqslant 2$$，  即$$2\textless{}{{x}^{2}}-x+2\leqslant 4$$，  解得$$-1\leqslant x\textless{}0$$或$$1\textless{}x\leqslant 2$$．故选$$\text{A}$$．


2012年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

已知集合$$P=\left { x\textbar1\leqslant x\leqslant 2 \right }$$，$$M=\left { x\textbar2-a\leqslant x\leqslant 1+a \right }$$，若$$P\cap M=P$$，则实数$$a$$的取值范围是．

$$\left( -\infty ,  1 \right]$$

$$\left[ 1,  +\infty \right)$$

$$\left[ -1,  1 \right]$$

$$\left[ -1,  +\infty \right)$$

竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算

由$$P\cap M=P\Rightarrow P\subseteq M\Rightarrow 2-a\leqslant 1$$，$$1+a\geqslant 2\Rightarrow a\geqslant 1$$．


第二十届全国希望杯高一竞赛复赛邀请赛第2题4分


2018年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列


1994年全国高中数学联赛竞赛一试第6题

在平面直角坐标系中，方程$$\frac{\left\textbar{} x+y \right\textbar}{2a}+\frac{\left\textbar{} x-y \right\textbar}{2b}=1$$（$$a$$、$$b$$为不相等的两个正数）所代表的曲线是（~ ）．

三角形

正方形

非正方形的长方形

非正方形的菱形

竞赛->知识点->解析几何->直线与方程

将直角坐标系$$XOY$$绕原点逆时针旋转$$45{}^{}\circ $$，得到新坐标系$${{X}^{\prime }}O{{Y}^{\prime }}$$，点$$P$$在坐标系$${{X}^{\prime }}O{{Y}^{\prime }}$$中的坐标为（$${{x}^{\prime }}$$，$${{y}^{\prime }}$$）在坐标系$$XOY$$中的坐标为（$$x$$，$$y$$），则  $$\begin{cases}{{x}^{\prime }}=\frac{1}{\sqrt{2}}(x+y)    {{y}^{\prime }}=\frac{1}{\sqrt{2}}(-x+y)    \end{cases}$$  题中方程$$\frac{\left\textbar{} x+y \right\textbar}{2a}+\frac{\left\textbar{} x-y \right\textbar}{2b}=1$$①  化成$$\frac{\left\textbar{} {{x}^{\prime }} \right\textbar}{a}+\frac{\left\textbar{} {{y}^{\prime }} \right\textbar}{b}=\sqrt{2}$$②  显然，②代表的曲线关于$${{X}^{\prime }}$$轴、$${{Y}^{\prime }}$$轴对称，在$${{X}^{\prime }}O{{Y}^{\prime }}$$的第Ⅰ象限内，②成为$$\frac{{{x}^{\prime }}}{a}+\frac{{{y}^{\prime }}}{b}=\sqrt{2}$$，即为线段$$AB$$，其中$$A$$（$$\sqrt{2}a$$，$$0$$），$$B$$（$$0$$，$$\sqrt{2}b$$）．  据对称性，在第Ⅱ象限内方程②是线段$$BC$$，其中$$C$$（$$-\sqrt{2}a$$，$$0$$）；  在第Ⅲ象限内方程②是线段$$CD$$，其中$$D$$（$$0$$，$$\sqrt{2}b$$）；  在第Ⅳ象限内方程②是线段$$AD$$．  由对称性知，$$AB=BC=CD=AD$$，又由于$$a\ne b$$，故$$AC\ne BD$$，所以$$ABCD$$是非正方形的菱形．  故选$$\text{D}$$．


2002年全国全国高中数学联赛竞赛一试第8题9分

将二项式$${{\left( \sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt[4]{x}} \right)}^{n}}$$的展开式按$$x$$的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中$$x$$的指数是整数的项共有个．

以上答案均不对

课内体系->知识点->计数原理->二项式定理 竞赛->知识点->排列组合与概率->二项式定理及其应用


2014年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第11题5分 2013~2014学年北京朝阳区高三上学期期末理科第8题

已知数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$满足$${{a}_{n}}=n\cdot {{k}^{n}}(n\in {{N}^{*}},0\textless{}k\textless{}1)$$下面说法正确的是（~ ）．  ①$$k=\frac{1}{2}$$时，数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$为递减数列；  ②$$\frac{1}{2}\textless{}k\textless{}1$$时，数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$不一定有最大项；  ③$$0\textless{}k\textless{}\frac{1}{2}$$时，数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$为递减数列；  ④当$$\frac{k}{1-k}$$为正整数时，数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$必有两项相等的最大项.

①②

②④

③④

②③

课内体系->知识点->数列->数列的概念->数列的函数特性->数列中最大项与最小项的求解问题

课内体系->知识点->数列->数列的概念->数列的函数特性->数列单调性问题

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性

课内体系->思想->函数思想

课内体系->素养->数学运算

课内体系->特色题型->解答压轴


從$$1$$到$$2016$$的整數中隨意地選出三個不同的整數，若這三個數的乘積爲奇數的機率爲$$p$$，則下列何者正確？  Three distinct integers are selected at random between $$1$$ and $$2016$$, inclusive. Which of the following is a correct statement about the probability $$p$$ that the product of the three integers is odd?

$$ p\textless{} \frac{1}{8} $$

$$ p= \frac{1}{8} $$

$$ \frac{1}{8} \frac{1}{3} $$

$$p=\frac 13$$

$$p\textgreater\frac 13$$

For the product to be odd, all three factors have to be odd. The probability of this is $$\frac {1008}{2016}\cdot \frac {1007}{2015}\cdot \frac {1006}{2014}$$.  $$\frac {1008}{2016}=\frac 12$$, but $$\frac {1007}{2015}$$ and $$\frac {1006}{2014}$$ are slightly less than $$\frac 12$$. Thus, the whole product is slightly less than $$\frac 12\cdot \frac 12\cdot \frac 12=\frac 18$$, so $$p\textless\frac 18$$.  For the product to be odd, all three factors have to be odd. There are a total of $$\left(\frac {2016}3\right)$$ ways to choose $$3$$ numbers at random, and there are $$\left(\frac {1008}3\right)$$ to choose $$3$$ odd numbers. Therefore, the probability of choosing $$3$$ odd numbers is $$\frac {(\frac {1008}3)}{(\frac {2016}3)}$$. Simplifying this, we obtain $$\frac {1008\cdot 1007\cdot 1006}{2016\cdot 2015\cdot 2014}$$, which is slightly less than $$\frac 18$$, so our answer is $$p\textless\frac 18$$.


2003年全国全国高中数学联赛竞赛一试第1题6分

删去正整数数列$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\cdots $$中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第$$2003$$项是（~ ~ ）．

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和


2013年$$AMC10$$竞赛$$B$$第$$15$$题  A wire is cut into two pieces, one of length $$a$$ and the other of length $$b$$. The piece of length $$a$$ is bent to form an equilateral triangle, and the piece of length $$b$$ is bent to form a regular hexagon. The triangle and the hexagon have equal area. What is $$\frac ab$$?  一根电线被切成两块，一块长度为 $$a$$，另一块长度为 $$b$$。 长度$$a$$ 弯曲形成等边三角形，长度$$b$$ 弯曲形成正六边形。 三角形和六边形的面积相等。 求 $$\frac ab$$？

课内体系->知识点->解三角形->三角形面积公式

美国AMC10/12->Knowledge Point->Geometry->Calculation of Plane Geometry->Regular Polygon

Using the area formulas for an equilateral triangle $$\left(\frac{s^{2}\sqrt{3}}{4}\right)$$ and regular hexagon $$\left(\frac{3s^{2}\sqrt{3}}{2}\right)$$ , with side length $$s$$ and plugging $$\frac a3$$ and $$\frac b6$$ into each equation, we find that $$\frac{a^{2}\sqrt{3}}{36}= \frac{b^{2}\sqrt{3}}{24}$$. Simplifying this, we get $$\frac ab=\boxed{\rm(B)\textasciitilde\frac{\sqrt{6}}{2}}$$.  The regular hexagon can be broken into $$6$$ small equilateral triangles, each of which is similar to the big equilateral triangle. The big triangle\textquotesingle s area is $$6$$ times the area of one of the little triangles. Therefore each side of the big triangle is $$\sqrt{6}$$ times the side of the small triangle. The desired ratio is $$\frac{3 \sqrt{6}}{6}= \frac{\sqrt{6}}{2}\Rightarrow (B)$$.


2008年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

已知抛物线$${{x}^{2}}=2py(p\textgreater0)$$，过点$$M\left( 0,-\frac{p}{2} \right)$$向抛物线引两条切线，$$A$$、$$B$$为切点，则线段$$AB$$的长度是（ ．

竞赛->知识点->解析几何->直线与圆锥曲线


2012年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第12题5分

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列


2008AMC12B, 23  The sum of the base-$$10$$ logarithms of the divisors of $$10^{n}$$ is $$792$$. What is $$n$$?  $$10^{n}$$的所有因数的以$$10$$为底的对数之和是$$792$$. 则$$n$$的值为? ．

课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算->对数的运算


2010年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

已知函数$$f(x)={{x}^{3}}+(a+1){{x}^{2}}+(a+1)x+a$$在其定义域内既有极大值又有极小值，则实数$$a$$的取值范围是．

竞赛->知识点->导数模块->导数


1991年全国高中数学联赛竞赛一试第3题

竞赛->知识点->数论模块->同余->同余的概念与性质


2009年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

下面的命题中，正确的个数为．  （1） 将函数$$y=4\sin 2x$$图象向左平移$$\frac{\pi }{3}$$个单位得到函数$$y=4\sin \left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)$$的图象；  （2） 函数$$y=4\cos (2x+\varphi )$$图象关于点$$\left( \frac{\pi }{6},0 \right)$$对称的充要条件是$$\varphi =k\pi +\frac{\pi }{6}(k\in Z)$$；  （3） 函数$$y=\frac{4\tan x}{1-{{\tan }^{2}}x}$$的周期为$$\frac{\pi }{2}$$；  （4） 化简$$\sqrt{1+\sin 2}-\sqrt{1-\sin 2}$$等于$$2\sin 1$$．

竞赛->知识点->三角函数->三角不等式 竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换

$$y=4\sin 2x$$向左平移$$\frac{\text{ }\pi }{3}$$个单位，得到$$y=4\sin 2\left( x+\frac{\text{ }\pi }{3} \right)=4\sin \left( 2x+\frac{2}{3}\text{ }\pi ~\right)$$，⑴错；  由$$4\cos \left( 2\cdot \frac{\text{ }\pi }{6}+\varphi \right)=0$$，得$$\frac{\text{ }\pi }{3}+\varphi =k\text{ }\pi +\frac{\text{ }\pi }{2}$$，即$$\varphi =k\text{ }\pi +\frac{\text{ }\pi }{6}$$，$$k\in \mathbf{Z}$$，⑵对；  $$y=\frac{4\tan x}{1-{{\tan }^{2}}x}=2\tan 2x$$，但$$x\ne k\text{ }\pi \pm \frac{\text{ }\pi }{4},k\text{ }\pi +\frac{\text{ }\pi }{2}$$，$$y$$不是周期函数，⑶错；  $$\sqrt{1+\sin 2}-\sqrt{1-\sin 2}=\sqrt{{{\left( \sin 1+\cos 1 \right)}^{2}}}-\sqrt{{{\left( \sin 1-\cos 1 \right)}^{2}}}=2\cos 1$$，⑷错．  正确的命题个数只有$$1$$个．


2018年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分

对任意正整数$$n$$，定义$$Z(n)$$为使得$$1+2+\cdots +m$$是$$n$$的倍数的最小正整数$$m$$．关于下列三个命题：  ①若$$p$$为奇素数，则$$Z(p)=p-1$$；  ②对任意正整数$$a$$，均有$$Z(2^{}a)\textgreater2^{}a$$；  ③对任意正整数$$a$$，均有$$Z(3^{}a)=3^{}a-1$$，  其中，真命题的序号为．

①②

①③

②③

①②③

竞赛->知识点->数论模块->整除->质数（算数基本定理）

注意到，$$1+2+ \cdots +m= \frac{m(m+1)}{2}$$，  在命题①中，由$$p\left\textbar{} \frac{m(m+1)}{2} \right.$$，知$$2p\textbar m(m+1)$$，  又$$p$$为奇素数，则$$p\textbar m$$或$$p\textbar(m+1)$$，  故$$m$$的最小值为$$p-1$$，  因此，命题①正确．  在命题②中，由$$2^{a}\left\textbar{} \frac{m(m+1)}{2} \right.$$，知$$2^{a+1}\textbar m(m+1)$$，  注意到，$$(m,m+1)=1$$，  则$$2^{a+1}\textbar m$$或$$2^{a+1}\textbar(m+1)$$，  故$$Z(2^{}a)=2^{a+1}-1\textgreater2^{}a$$，  因此，命题②正确．  在命题③中，由$$3^{a}\left\textbar\frac{m(m+1)}{2} \right.$$，知$$2\times 3^{a}\textbar m(m+1)$$，  注意到，$$2\textbar m(m+1)$$，$$(2,3)=1$$，  则$$2\times3^{}a\textbar m(m+1)\Leftrightarrow 3^{}a\textbar m(m+1)$$，  又$$(m,m+1)=1$$，  于是，$$3^{}a\textbar m$$或$$3^{}a\textbar(m+1)$$，  故$$Z(3^{}a)=3^{}a-1$$，  因此，命题③正确．


2017~2018学年4月北京西城区北京市第八中学高三下学期月考理科第8题5分 2009年竞赛珠海市第12题5分

对于直角坐标平面内的任意两点$$A({{x}_{1}} ,{{y}_{1}})$$、$$B({{x}_{2}},{{y}_{2}})$$，定义，它们之间的一种``距离''：$$\textbar\textbar AB\textbar\textbar=\textbar{{x}_{1}}-{{x}_{2}}\textbar+\textbar{{y}_{1}}-{{y}_{2}}\textbar$$．给出下列三个命题：  ①若点$$C$$在线段$$AB$$上，则$$\textbar\textbar AC\textbar\textbar+\textbar\textbar CB\textbar\textbar=\textbar\textbar AB\textbar\textbar$$；  ②在$$\triangle ABC$$中，若$$\angle C=90{}^{}\circ $$，则$$\textbar\textbar AC\textbar{{\textbar}^{2}}+\textbar\textbar CB\textbar{{\textbar}^{2}}=\textbar\textbar AB\textbar{{\textbar}^{2}}$$；  ③在$$\triangle ABC$$中，$$\textbar\textbar AC\textbar\textbar+\textbar\textbar CB\textbar\textbar\textgreater\textbar\textbar AB\textbar\textbar$$．  其中真命题的个数为．

竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形

注意到$$C$$点坐标的大小介于$$A,B$$点之间，易知①正确；  取点$$C$$为原点，$$A,B$$点分别在$$x,y$$轴上，  则$$\textbar\textbar AB\textbar{{\textbar}^{2}}=\textbar AB{{\textbar}^{2}}+2\textbar AC\textbar\textbar BC\textbar\textgreater\textbar AC{{\textbar}^{2}}+\textbar BC{{\textbar}^{2}}=\textbar\textbar AC\textbar{{\textbar}^{2}}+\textbar\textbar CB\textbar{{\textbar}^{2}}$$，②不正确；  当$$AC$$、$$CB$$分别与$$x$$、$$y$$轴平行时，$$\textbar\textbar AC\textbar\textbar+\textbar\textbar CB\textbar\textbar=\textbar\textbar AB\textbar\textbar$$．


2012年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

函数$$y=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \left( x+\frac{ \pi }{2} \right)+\cos \left( \frac{ \pi }{6}-x \right)$$的最大值为．

竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换 竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质

$$y=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \left( x+\frac{ \pi }{2} \right)+\cos \left( \frac{ \pi }{6}-x \right)=\sqrt{3}\cos x+\frac{1}{2}\sin x=\frac{\sqrt{13}}{2}\sin \left( x+\varphi \right)$$，其中$$\sin \varphi =\frac{2\sqrt{39}}{13}$$，$$\cos \varphi =\frac{\sqrt{13}}{13}$$．


2009年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

称横坐标为整数的点为``次整点''，过曲线$$y=\sqrt{9-{{x}^{2}}}$$上任意两个次整点作直线，则倾斜角大于$$30{}^{}\circ $$的直线条数为．

竞赛->知识点->解析几何->直线与圆综合

次整点有$$\left( \pm 3,0 \right)$$，$$\left( \pm 2,\sqrt{5} \right)$$，$$\left( \pm 1,2\sqrt{2} \right)$$，$$\left( 0,3 \right)$$，斜率为负的直线都满足要求，共有$$5+3+1=9$$条，斜率为正的只有$$5$$条满足要求，总共$$9+5=14$$条．


2008年江苏全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

已知平面上点的集合$$M= {(x,y)\textbar y=\sqrt{2x-{{x}^{2}}} }$$，$$N= {(x,y)\textbar y=k(x+1) }$$．当$$M\cap N\ne \varnothing $$时，$$k$$的取值范围是．

$$\left[ -\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3} \right]$$

$$\left[ 0,\frac{\sqrt{3}}{3} \right]$$

$$\left[ -\frac{\sqrt{3}}{3},0 \right]$$

$$\left[ \frac{\sqrt{3}}{3},+\infty \right)$$

竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算

集合$$M$$的图形为以$$\left( 1,0 \right)$$为圆心、$$1$$为半径的圆的上半圆，  集合$$N$$的图形为过$$\left( -1,0 \right)$$的直线．  若直线与圆有公共点，则易得其倾斜角在$$\left[ 0,\frac{ \pi }{6} \right]$$内，  即$$k\in \left[ 0,\frac{\sqrt{3}}{3} \right]$$．故选$$\text{B}$$．


2021~2022学年福建莆田城厢区莆田第一中学高一下学期开学考试（学科素养能力竞赛）第1~1题

已知集合$$M=\left { -1,0,1 \right }$$，$$N=\left { y\left\textbar{} y={{x}^{2}} \right. \right }$$，则$$M\bigcap N=$$（~~~~~~~）

$$\left { 0 \right }$$

$$\left { -1,1 \right }$$

$$\left { 0,1 \right }$$

$$\left { -1,0,1 \right }$$

\hfill\break 【分析】\\ 求出集合$$N$$，利用交集的定义可得结果.\\ 【详解】\\ $$N=\left { y\left\textbar{} y={{x}^{2}} \right. \right }=\left { y\left\textbar{} y\ge 0 \right. \right }$$，故$$M\bigcap N=\left { 0,1 \right }$$.\\ 故选：C.


2018~2019学年浙江宁波北仑区浙江省北仑中学高一下学期期中A卷第1题4分 2014年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

竞赛->知识点->解析几何->直线与圆综合

直线$$l$$即为两圆心$$\left( -2,  1 \right)$$、$$\left( 0,  -1 \right)$$的垂直平分线，即为  $$x-y+1=0$$．


2016年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分

一个有限项的数列满足：任何$$3$$个连续项之和都是负数，且任何$$4$$个连续项之和都是正数，则此数列项数的最大值为（~ ）．

课内体系->素养->数学运算

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->思想->转化化归思想

课内体系->思想->函数思想

课内体系->知识点->数列->数列的概念->数列的表示方法->通项公式

课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的性质及应用


2016~2017学年广东深圳福田区深圳市红岭中学高二下学期期中理科第8题5分 2014年天津和平区高三二模文科第6题5分 2008年全国高中数学联赛竞赛一试第2题6分 2014年天津和平区高三二模理科第6题5分

设$$A=[-2,4)$$，$$B= {x\textbar{{x}^{2}}-ax-4\leqslant 0 }$$，若$$B\subseteq A$$，则实数$$a$$的取值范围为（~ ）．

$$\left[ -1,2 \right)$$

课内体系->素养->数学运算 课内体系->素养->数学抽象 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->解不等式->一元二次不等式 课内体系->知识点->集合->集合的基本关系->子集 课内体系->知识点->集合->集合的基本关系->集合关系中的含参问题

∵$$B\subseteq A$$，  ∴①$$B=\varnothing $$，$$\Delta \textless{}0$$，无解，  ②$$B\ne \varnothing $$，$${{x}^{2}}-ax-4=0$$有两根$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}\in [-2,4)$$，  设$$f(x)=x^{2}-ax-4$$，  ∴$$\begin{cases}f(-2)\geqslant 0    f(4)\textgreater0    -2\textless\dfrac{a}{2}\textless{}4 \end{cases}\Rightarrow 0\leqslant a\textless{}3$$．  故选$$\text{D}$$．


2005年全国高中数学联赛竞赛一试第2题6分

只有一个

有二个

有四个

有无穷多个

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间向量


2016~2017学年12月北京顺义区顺义区第一中学高一上学期月考第7题5分 1984年全国高中数学联赛竞赛一试第4题

竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质 竞赛->知识点->函数->基本初等函数

方程$$\sin x=\lg x$$的实根个数即函数$$y=\sin x$$与函数$$y=\lg x$$的交点的个数，  由函数$$y=\sin x$$与函数$$y=\lg x$$的图像可得图像交点为$$3$$个，  即方程$$\sin x=\lg x$$的实根的个数是$$3$$．~~~~~~~


2010年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分

已知整数集合$$M= {m\textbar{{x}^{2}}+mx-36=0$$有整数解$$ }$$，集合$$A$$满足条件：①$$\varnothing \subset A\subseteq M$$；②若$$a\in A$$，则$$-a\in A$$．那么所有这样的集合$$A$$的个数为．

竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算

设$$\alpha ,\beta $$为方程$${{x}^{2}}+mx-36=0$$的两根，则$$\alpha \cdot \beta =-36$$．因此，  $$\left\textbar{} \alpha \right\textbar=1,\left\textbar{} \beta \right\textbar=36$$，有$$m=\pm 35$$；  $$\left\textbar{} \alpha \right\textbar=2,\left\textbar{} \beta \right\textbar=18$$，有$$m=\pm 16$$；  $$\left\textbar{} \alpha \right\textbar=3,\left\textbar{} \beta \right\textbar=12$$，有$$m=\pm 9$$；  $$\left\textbar{} \alpha \right\textbar=4,\left\textbar{} \beta \right\textbar=9$$，有$$m=\pm 5$$；  $$\left\textbar{} \alpha \right\textbar=6,\left\textbar{} \beta \right\textbar=6$$，有$$m=0$$．  $$M=\left { 0 \right }\cup \left { -5,  5 \right }\cup \left { -9,  9 \right }\cup \left { -16,  16 \right }\cup \left { -35,  35 \right }$$．  由条件①知$$A\ne \varnothing $$．由条件②知$$A$$是由一些成对的相反数所成之集，所以$$M$$的$$5$$对相反数共能组成$${{2}^{5}}-1$$个不同的非空集合$$A$$．


2011年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分

$$(-\infty ,-2)$$

$$(-\infty ,1)$$

$$(1, +\infty )$$

竞赛->知识点->函数->基本初等函数 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质


2022~2023学年湖南永州宁远县高一上学期月考（明德湘南中学基础知识竞赛）第6题

$ {x\textbar0\textless{} x\textless{} \frac{5}{2} , }$

$ {x\textbar-\frac{3}{2}\textless{} x\le 0 , }$

$ {x\textbar-\frac{3}{2}\textless{} x\textless{} 0或0\le x\textless{} \frac{5}{2} , }$

$ {x\textbar x\textless{} -\frac{3}{2}或0\le x\textless{} \frac{5}{2} , }$

\hfill\break 【分析】\\ 根据$y=f(x)$是定义在上$\text{R}$的奇函数，求得函数解析式，然后再由分段函数的定义域，分$x\textless{} 0$，$x\textgreater0,x=0$三种情况讨论求解不等式即可.\\ 【详解】\\ 因为$y=f(x)$是定义在$\text{R}$上的奇函数，所以$f(0)=0$，\\ 当$x\textless{} 0$时，则$-x\textgreater0$，所以$f(-x)=-x-2=-f\left( x \right)$，所以$f(x)=x+2$，\\ 综上所述，$f(x)=\text{ } ! ! { ! !\text{ }\begin{array}{*{35}{l}} x+2,x\textless{} 0     0,x=0     x-2,x\textgreater0     \end{array}\text{ }$，\\ 不等式$f(x)\textless{} \frac{1}{2}$等价于$\text{ } ! ! { ! !\text{ }\begin{array}{*{35}{l}} x\textless{} 0     x+2\textless{} \frac{1}{2}     \end{array}\text{ }$或$\text{ } ! ! { ! !\text{ }\begin{array}{*{35}{l}} x=0     0\textless{} \frac{1}{2}     \end{array}\text{ }$或$\text{ } ! ! { ! !\text{ }\begin{array}{*{35}{l}} x\textgreater0     x-2\textless{} \frac{1}{2}     \end{array}\text{ }$，\\ 解得$x\textless{} -\frac{3}{2}$或$x=0$或$0\textless{} x\textless{} \frac{5}{2}$，\\ 综上：不等式$f(x)\textless{} \frac{1}{2}$的解集是$\text{ } ! ! { ! !\text{ }x\textbar\text{ } ! !\textbar ! !\text{ }x\textless{} -\frac{3}{2}\text{ }$或$\text{ }0\le x\textless{} \frac{5}{2}\text{ } ! ! } ! !\text{ }$.\\ 故选：D.


1989年全国高中数学联赛竞赛一试第3题

对任意的函数$$y=f\left( x \right)$$，在同一个直角坐标系中，函数$$y=f\left( x-1 \right)$$与函数$$y=f\left( -x+1 \right)$$的图象恒．

关于$$x$$轴对称；

关于$$y$$轴对称

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质


若兩個鋭角的度數比是$$5$$ ：$$4$$，其中一個角的餘角是另一個角的餘角之$$2$$倍，則此兩角的度數和為何？  The ratio of the neasures of two acute angles is $$5:4$$, and the complement of one of these two angles is twice as  large as the complement of the other. What is the sun of the degree measures of the two angles?

We can set up a system of equations where $$x$$ and $$y$$ are the two acute angles. WLOG, assume that $$x\textless y$$ in order for the complement of $$x$$ to be greater than the complement of $$y$$.  Therefore, $$5x=4y$$ and $$\begin{array}{l} {90-x=2\left( 90-y\right)}  {90-x=2\left( 90-1.25x\right)}  {1.5x=90}  {x=60} \end{array}$$ Solving for $$y$$ in the first equation and substituting into the second equation yields Substituting this $$x$$ value back into the first equation yields $$y=75$$, leaving $$x+y$$ equal to $$\left(\text{C}\right) 135$$.


1984年全国高中数学联赛竞赛一试第5题

若$$a\textgreater0,a\ne 1,F\left( x \right)$$是一奇数，则$$G\left( x \right)=F\left( x \right)\cdot \left( \frac{1}{{{a}^{x}}-1}+\frac{1}{2} \right)$$是（~ ）．

奇函数

偶函数

不是奇函数也不是偶函数

奇偶性与$$a$$的具体数值有关

竞赛->知识点->函数->函数综合

∵$$F\left( x \right)$$是奇函数，$$F\left( -x \right)=-F\left( x \right)$$  令 $$g\left( x \right)=\frac{1}{{{a}^{x}}-1}+\frac{1}{2}=\frac{{{a}^{x}}+1}{2\left( {{a}^{x}}-1 \right)}$$，  则 $$g\left( -x \right)=\frac{{{a}^{-x}}+1}{2\left( {{a}^{-x}}-1 \right)}=\frac{\frac{1}{{{a}^{x}}}+1}{2\left( \frac{1}{{{a}^{x}}}+1 \right)}$$，  $$=\frac{{{a}^{x}}+1}{2(1-{{a}^{x}})}=-g\left( x \right)$$，  即$$g\left( x \right)$$也是奇函数．  当$$a\textgreater0$$，$$a\ne 1$$时，$$G\left( x \right)=F\left( x \right)g\left( x \right)$$在$$R$$上有意义．  而 $$G\left( -x \right)=F\left( -x \right)g\left( -x \right)=\left[ -F\left( -x \right) \right]\left[ -g\left( -x \right) \right]$$  $$=F\left( x \right)g\left( x \right)$$，  ∴$$G\left( x \right)$$是偶函数．


2008年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分

已知$$\cos x+\cos y=1$$，则$$\sin x-\sin y$$的取值范围是．

竞赛->知识点->不等式->换元技巧->代数换元 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换

设$$\sin x-\sin y=t$$，易得  $$\cos x\cos y-\sin x\sin y=\frac{{{t}^{2}}-1}{2}$$，  即$$\cos (x+y)=\frac{{{t}^{2}}-1}{2}$$．  由于$$-1\leqslant \cos (x+y)\leqslant 1$$，  所以$$-1\leqslant \frac{{{t}^{2}}-1}{2}\leqslant 1$$，  解得$$-\sqrt{3}\leqslant t\leqslant \sqrt{3}$$．故选$$\text{D}$$．


2019年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛

若$$x$$、$$y$$满足$$\textbar y\textbar{} \leqslant2-x$$ ~，且 $$x\geqslant -1$$ ，则 $$2x+y$$~ 的最小值为．

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->线性规划


2011年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第12题5分

已知$$f(x)=2{{x}^{2}}+3px+2q$$和$$\varphi (x)=x+\frac{4}{x}$$是定义在集合$$M=\left { x\left\textbar{} 1\leqslant x\leqslant \frac{9}{4} \right. \right }$$上的函数，对任意的$$x\in M$$，存在常数$${{x}_{0}}\in M$$，使得$$f(x)\geqslant f({{x}_{0}}),\varphi (x)\geqslant \varphi ({{x}_{0}})$$，且$$f({{x}_{0}})=\varphi ({{x}_{0}})$$，则函数$$f(x)$$在$$M$$上的最大值为．

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的值域

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式成立的条件

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->解不等式->不等式中的恒成立与能成立问题

课内体系->方法->定义法


1992年全国高中数学联赛竞赛一试第4题

在$${\triangle }ABC$$中，角$$A$$，$$B$$，$$C$$的对边分别记为$$a$$，$$b$$，$$c\left( b\ne 1 \right)$$，且$$\frac{C}{A}$$，$$\frac{\sin B}{\sin A}$$都是$${{\log }_{\sqrt{b}}}x={{\log }_{{b}}}\left( 4x-4 \right)$$的根，则$${\triangle }ABC$$．

是等腰三角形，但不是直角三角形

是直角三角形，但不是等腰三角形

是等腰直角三角形

不是等腰三角表，也不是直角三角形

竞赛->知识点->函数->基本初等函数 竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形


第二十届全国希望杯高二竞赛初赛邀请赛第2题4分

$$x$$表示三角形一个内角的大小，并且$$\sin x+\cos x={{\sin }^{3}}x+{{\cos }^{3}}x$$，则该三角形是（~ ）

直角三角形或钝角三角形

直角三角形或锐角三角形

钝角三角形

直角三角形

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->利用三角恒等变换判断三角形形状

$$\sin x+\cos x={{\sin }^{3}}x+{{\cos }^{3}}x\Leftrightarrow \sin x(1-{{\sin }^{2}}x)=\cos x({{\cos }^{2}}x-1)$$$$\Leftrightarrow \sin x{{\cos }^{2}}x=-\cos x{{\sin }^{2}}x\Leftrightarrow \sin x\cos x(\cos x+\sin x)=0$$．  ∵$$x$$表示三角形一个内角，则$$x\in (0, \pi )$$．  ∴$$x$$为直角或$$\cos x+\sin x=0$$．  当$$\cos x+\sin x=0$$时，则$$\cos x=-\sin x ~\textless{} ~0$$，（$$x\in (0, \pi )$$） ，  ∴$$x$$为钝角，此时$$x=\frac{3}{4} \pi $$．  故三角形为直角三角形或钝角三角形．  故选$$\rm A$$．


1983年全国高中数学联赛竞赛一试第2题

竞赛->知识点->函数->基本初等函数


2019~2020学年4月山西太原迎泽区太原市第五中学校高二下学期周测C卷理科第6题6分

2012年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

设集合$$A=\left { 1,  2,  3,  4,  5,  6 \right }$$，$$B=\left { 4,  5,  6,  7, 8$$ \right }$$，则满足$$S\subseteq A$$且$$S\cap B\ne \varnothing $$的集合$$S$$的个数为．

课内体系->知识点->计数原理->两个基本计数原理->分步乘法计数原理 竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算


2017年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

$$\left( 0,\frac{1}{2} \right)$$

$$\left( 0,\frac{1}{3} \right)$$

$$\left( \frac{1}{2},1 \right)$$

$$\left( \frac{1}{3},1 \right)$$

竞赛->知识点->解析几何->椭圆

因为$$\left\textbar{} \overrightarrow{{{F}_{1}}A} \right\textbar=a+e{{x}_{A}}\leqslant a+e\cdot a=a+c$$，$$\left\textbar{} \overrightarrow{{{F}_{2}}B} \right\textbar=a-e{{x}_{B}}\geqslant a-e\cdot a=a-c$$，  所以$$a+c\geqslant 3\left( a-c \right)$$，取等号时$$AB$$重合，不成立，因此$$a+c\textgreater3\left( a-c \right)$$，  化简得$$\frac{c}{a}\textgreater\frac{1}{2}$$


2003年全国全国高中数学联赛竞赛一试第4题6分

若$$x\in \left[ -\frac{5 \pi }{12},-\frac{ \pi }{3} \right]$$，则$$y=\tan \left( x+\frac{2 \pi }{3} \right)-\tan \left( x+\frac{ \pi }{6} \right)+\cos \left( x+\frac{ \pi }{6} \right)$$的最大值是（~ ~ ）．

$$y=\tan \left( x+\frac{2 \pi }{3} \right)+\cot \left( x+\frac{2 \pi }{3} \right)+\cos \left( x+\frac{ \pi }{6} \right)=\frac{1}{\cos \left( x+\frac{2 \pi }{3} \right)\sin \left( x+\frac{2 \pi }{3} \right)}+\cos \left( x+\frac{ \pi }{6} \right)$$  $$=\frac{2}{\sin \left( 2x+\frac{4 \pi }{3} \right)}+\cos \left( x+\frac{ \pi }{6} \right)$$  因为$$x\in \left[ -\frac{5 \pi }{12},-\frac{ \pi }{3} \right]$$，∴$$2x+\frac{4 \pi }{3}\in \left[ \frac{ \pi }{2},\frac{2 \pi }{3} \right]$$，$$x+\frac{ \pi }{6}\in \left[ -\frac{ \pi }{4},-\frac{ \pi }{6} \right]$$，  因此$$\frac{2}{\sin \left( 2x+\frac{4 \pi }{3} \right)}$$与$$\cos \left( x+\frac{ \pi }{6} \right)$$在$$\left[ -\frac{5 \pi }{12},-\frac{ \pi }{3} \right]$$上同为增函数，  故当$$x=-\frac{ \pi }{3}$$时，$$y$$取最大值$$\frac{11\sqrt{3}}{6}$$．  故选$$\text{C}$$．


2014年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

已知$${\triangle }ABC$$的三边$$a$$，$$b$$，$$c$$成等比数列，$$a$$，$$b$$，$$c$$的对角依次为$$\angle A$$，$$\angle B$$，$$\angle C$$．则$$\sin B+\cos B$$的范围是(  )．

$$\left[ \frac{1}{2} , 1+\frac{\sqrt{3}}{2} \right]$$

$$\left( 1 , \sqrt{2} \right]$$

$$\left( 1 , 1+\frac{\sqrt{3}}{2} \right]$$

$$\left[ \frac{1}{2} , \sqrt{2} \right]$$

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->倍角、和差角公式综合

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->辅助角公式

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦函数的图象和性质

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦型函数的图象与性质

课内体系->知识点->数列->等比数列->等比数列的性质及应用

课内体系->知识点->解三角形->正弦定理

课内体系->素养->数学运算

因为$$a$$，$$b$$，$$c$$成等比数列，所以$${{b}^{2}}=ac$$．  则$${{b}^{2}}=ac={{a}^{2}}+{{c}^{2}}-2ac\cos B{\geqslant }2ac-2ac\cos B$$，  $$\cos B{\geqslant }\frac{1}{2}$$．  于是，$$0 \textless{} B{\leqslant }60{}^{}\circ $$．  由$$\frac{1}{2}{\leqslant }\cos B \textless{} 1$$及$$0 \textless{} \sin B{\leqslant }\frac{\sqrt{3}}{2}$$，得  $$\frac{1}{2} \textless{} \cos B+\sin B \textless{} \frac{\sqrt{3}}{2}+1$$． ①  另一方面$$\sin B+\cos B=\sqrt{2}\sin (B+45{}^{}\circ )$$．  而$$45{}^{}\circ \textless{} \angle B+45{}^{}\circ {\leqslant }105{}^{}\circ $$．  故$$1 \textless{} \sin B+\cos B{\leqslant }\sqrt{2}$$． ②  综合①、②，有$$1 \textless{} \sin B+\cos B{\leqslant }\sqrt{2}$$．  故选$$\text{B}$$.


2021年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

方程组$$\begin{cases}\left( x+y-1 \right)\sqrt{x-1}=0    {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4=0   \end{cases}$$的解的个数为．

竞赛->知识点->多项式与方程->解方程（组）


2012年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

$$\text{i}$$

$$-\text{i}$$

课内体系->素养->数学运算 课内体系->知识点->复数->复数的运算->复数的四则运算综合 课内体系->知识点->复数->复数的运算->复数的乘法和除法 课内体系->知识点->复数->复数的概念及几何意义->复数的基本概念 课内体系->知识点->复数->复数的概念及几何意义->复数的代数表示法

$$\frac{1+2\text{i}}{\text{i}-2}=\frac{\left( 1+2\text{i} \right)\left( \text{i}+2 \right)}{\left( \text{i}-2 \right)\left( \text{i}+2 \right)}=-\text{i}$$．


2016年天津河北区高三一模理科第13题5分 2017~2018学年浙江杭州西湖区杭州学军中学高二上学期期中理科第14题4分 2016年天津河北区高三二模文科第14题5分 2015年甘肃全国高中数学联赛竞赛初赛第9题7分 2016年天津河北区高三二模理科第14题5分

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式的概念


2020~2021学年河北石家庄新华区石家庄市第二中学高二上学期期中（竞赛班）第11题3分

课内体系->知识点->圆锥曲线->椭圆->椭圆的定义、标准方程->椭圆的定义

课内体系->知识点->解三角形->正弦定理->利用正弦定理求解边角->边角互化（利用正弦定理）

课内体系->素养->数学抽象

课内体系->素养->数学运算

课内体系->素养->逻辑推理

由题设知：椭圆的长半轴长$$a=4$$，半焦距$$c=3$$，  $$B$$、$$C$$为椭圆的左右焦点，  ∵顶点$$A$$在椭圆上，  ∴$$\left\textbar{} AB \right\textbar+\left\textbar{} AC \right\textbar=2a=8$$，  $$\textbar BC\textbar=2c=6$$，  由正弦定理可得： $$\frac{\sin B+\sin C}{\sin A}=\frac{\left\textbar{} AC \right\textbar+\left\textbar{} AB \right\textbar}{\left\textbar{} BC \right\textbar}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$$．  故选$$\text{D}$$．


2015年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分

竞赛->知识点->数论模块->取整函数->与[x]有关的方程和不等式


2014年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

已知集合$$P=\left { 1,\left\textbar{} a \right\textbar{} \right }$$，$$Q=\left { 2,  {{b}^{2}} \right }$$为全集$$U=\left { 1,  2,  3,  {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+a+b \right }$$的子集，且$${{\complement }_{U}}\left { P\cup Q \right }=\left { 6 \right }$$，则下面结论正确的是．

竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算

由$${{\complement }_{U}}\left { P\cup Q \right }=\left { 6 \right }\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+a+b=6$$，显然只有答案$$D$$符合．


2015年福建全国高中数学联赛竞赛初赛第8题6分

$$\left( 0,\frac{1}{2} \right)\cup\left( \frac{1}{2},1 \right)$$

$$\left( 0,1\right)$$

$$\left( \frac{1}{2},1 \right)$$

$$\left( 0,\frac{1}{2} \right)$$

知识标签->素养->数学运算

知识标签->知识点->函数->函数的应用->函数的零点->函数零点的概念

知识标签->知识点->导数->导数的应用->导数与极值

知识标签->知识点->导数->导数的应用->导数与单调性

知识标签->题型->导数->导数的应用->利用导数研究函数的极值问题->已知极值情况求参数的取值范围


2013年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

已知等比数列$${a}_{n}{:}{{a}_{1}}=3$$，且第一项至第八项的几何平均数为$$9$$，则第三项是．

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列


马文在闰年$$2008$$年的$$5$$月$$27$$日星期二过生日．他下一个星期六的生日是在哪一年？

美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Reasoning->Recurrence and Recursion

课内体系->知识点->推理与证明->逻辑推理题

$$\boxed{\rm(E)}2017$$.  There are $$365$$ days in a non-leap year. There are $$7$$ days in a week. Since $$365=52\cdot7+1$$(or $$365$$ is congruent to $$1\textasciitilde\rm mod\textasciitilde7$$), the same date (after February) moves "forward" one day in the subsequent year, if that year is not a leap year.  For example:  $$5/27/08$$ Tue  $$5/27/09$$ Wed  However, a leap year has $$366$$ days, and $$366=52\cdot7+2$$. So the same date (after February) moves "forward" two days in the subsequent year, if that year is a leap year.  For example: $$5/27/11$$ Fri  $$5/27/12$$ Sun  You can keep count forward to find that the first time this date falls on a Saturday is in $$2017$$:  $$5/27/13$$ Mon  $$5/27/14$$ Tue  $$5/27/15$$ Wed  $$5/27/16$$ Fri  $$5/27/17$$ Sat


2021~2022学年福建莆田城厢区莆田第一中学高一下学期开学考试（学科素养能力竞赛）第3~3题

$$\left( 2,3 \right)$$

$$\left( 3,4 \right)$$

$$\left( 5,6 \right)$$

$$\left( 6,7 \right)$$

课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->求零点所在区间的问题


2015年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

若$$\triangle ABC$$的三边$$abc$$成等比数列，边$$abc$$所对的角依次为$$ABC$$，且$$\sin A\sin B+\sin B\sin C+\cos 2B=1$$，则角$$B$$为．

$$\frac{ \pi }{4}$$

$$\frac{ \pi }{3}$$

$$\frac{ \pi }{2}$$

$$\frac{2 \pi }{3}$$

竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换


2008年福建全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分

已知实数$$a$$使得只有一个实数$$x$$满足不等式$$\left\textbar{} {{x}^{2}}+2ax+3a \right\textbar\leqslant 2$$，则满足条件的所有的实数$$a$$的个数是．

无穷多

竞赛->知识点->不等式->不等式的解法


2011年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第10题5分

在平面直角坐标系中，已知$$\triangle ABC$$三个顶点的坐标分别为$$A(2,  1),  B(-1,  -1),  C(1,  3)$$，点$$P$$在直线$$BC$$上运动，动点$$Q$$满足，则点$$Q$$的轨迹方程为．

竞赛->知识点->解析几何->直线与方程

$${{k}_{BC}}=\frac{3+1}{1+1}=2$$，可得$$BC:y+1=2\left( x+1 \right)$$，即$$2x-y+1=0$$，  设$$P\left( m,2m+1 \right)$$为直线$$BC$$上一点，$$Q\left( x,y \right)$$，  由$$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$$，可得$$\left( x-m,y-2m-1 \right)$$  $$=\left( 2-m,1-2m-2 \right)+\left( -1-m,-1-2m-1 \right)+\left( 1-m,3-2m-2 \right)$$  $$=\left( 2-3m,-6m \right)$$，  所以有$$\left( x-m,y-2m-1 \right)=\left( 2-3m,-6m \right)$$，  即$$\begin{cases}x-m=2-3m    y-2m-1=-6m \end{cases}$$，即$$\begin{cases}2m=2-x    4m=1-y \end{cases}$$，  所以$$1-y=2\left( 2-x \right)$$，即$$2x-y-3=0$$，故选$$\text{A}$$.


1995年全国高中数学联赛竞赛一试第3题

如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙．在$$100$$个小伙子中，如果某人不亚于其他$$99$$人，就称他为棒小伙子．那么，$$100$$个小伙子中的棒小伙子最多可能有（~~~ ）．

竞赛->知识点->逻辑->逻辑推理

取$$100$$个小伙子为这样一种特殊情况，他们的身高与体重互不相等，并且最高者同时也就是最轻者，次高者同时也就是次轻者，$$\ldots $$，第$$k$$高者同时也就是第$$k$$轻者（$$k=1$$，$$2$$，$$\ldots $$，$$100$$），显然这$$100$$个小伙子都是棒小伙子．  故选$$\text{D}$$．


2008年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第11题5分

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质


2016年广东全国高中数学联赛高三竞赛初赛第7题8分

$$\frac{ \pi }{4}$$

$$\frac{ \pi }{2}$$

$$\frac{ 2\pi }{3}$$

$${ \pi }$$

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式的实际应用

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->不等式的性质

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->同角三角函数的基本关系式的化简和求值

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->和差角公式化简求值综合运用

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->两角和与差的余弦

课内体系->素养->数学运算

课内体系->素养->逻辑推理


2012年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分 2011年北京清华大学自主招生夏令营第8题

竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合


2011年高考真题湖北卷理科第1题 2012年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

$$-\text{i}$$

$$\text{i}$$

知识标签->题型->复数->复数的运算->复数中的周期问题 知识标签->素养->数学运算 知识标签->知识点->复数->复数的运算->复数的乘法和除法


全国高中数学联赛竞赛模拟一试（十八）第3题

前三个答案都不对

课内体系->方法->换元法 竞赛->知识点->不等式->换元技巧->代数换元


2008年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分

竞赛->知识点->函数->二次函数 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换


2008年河南全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

抛物线$${{y}^{2}}=4x$$的焦点为$$F$$，点$$A$$、$$B$$在抛物线上，且$$\angle AFB=\frac{2}{3} \pi $$，弦$$AB$$中点$$M$$在准线$$l$$上的射影为$${M}'$$，则$$\frac{\textbar M{M}'\textbar}{AB}$$的最大值为．

竞赛->知识点->解析几何->直线与圆锥曲线

设$$AB$$在准线$$l$$上的射影分别为$${A}'$$、$${B}'$$，  则$$\textbar M{M}'\textbar=\frac{\textbar A{A}'\textbar+\textbar B{B}'\textbar}{2}$$．  又因为$$\textbar A{A}'\textbar=\textbar AF\textbar$$，$$\textbar B{B}'\textbar=\textbar BF\textbar$$，  所以$$\textbar M{M}'\textbar=\frac{\textbar AF\textbar+\textbar BF\textbar}{2}$$．  因为$$\angle AFB=\frac{2}{3} \pi $$，  所以$$\textbar AB\textbar=\textbar FA{{\textbar}^{2}}+\textbar FB{{\textbar}^{2}}-2\textbar FA\textbar\cdot \textbar FB\textbar\cos \angle AFB$$  $$=\textbar FA{{\textbar}^{2}}+\textbar FB{{\textbar}^{2}}+\textbar FA\textbar\cdot \textbar FB\textbar$$  因此$$\textbar AB{{\textbar}^{2}}+\textbar M{M}'{{\textbar}^{2}}=\textbar AB{{\textbar}^{2}}+{{\left( \frac{\textbar AF\textbar+\textbar BF\textbar}{2} \right)}^{2}}$$  $$\geqslant \textbar AB{{\textbar}^{2}}+\textbar FA\textbar\cdot \textbar FB\textbar$$  $$={{(\textbar FA\textbar+\textbar FB\textbar)}^{2}}=4\textbar M{M}'{{\textbar}^{2}}$$，  则$$\textbar AB{{\textbar}^{2}}\geqslant 3\textbar M{M}'{{\textbar}^{2}}$$，即$$\frac{\textbar M{M}'\textbar}{\textbar AB\textbar}\leqslant \frac{\sqrt{3}}{3}$$．故选$$\text{B}$$．


1985年全国高中数学联赛竞赛一试第1题

假如有两个命题；甲：$$a$$是大于零的实数；乙：$$a\textgreater b$$且$${{a}^{-1}}\textgreater{{b}^{-1}}$$，那么（~ ）．

甲是乙的充分而不必要条件

甲是乙的必要而不充分条件

甲是乙的充分必要条件

甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件．

竞赛->知识点->逻辑->常用逻辑用语

由于``甲''成立时，``乙''不一定成立，（例如$$a=3$$，$$b=2$$时甲成立，但乙不成立），因此可知``甲''不是``乙''的充分条件，  接着看``乙''在什么情况下成立，很明显，当且仅当$$a\textgreater0$$且$$b\textless{}0$$时``乙''才能成立，由此可知，``甲''是``乙''成立的必要条件，综上所述，``甲''是``乙''的必要而不充分条件．


2008年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分

函数$$y=\tan x-\frac{2}{\left\textbar{} \cos x \right\textbar}$$的最大值是．

竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质

要使$$y$$最大，应有$$\tan x\textgreater0$$．  不妨设$$0\textless{}x\textless{}\frac{ \pi }{2}$$，则$$y=\tan x-\frac{2}{\cos x}=\frac{\sin x-2}{\cos x}$$，  即$$\sin x-y\cos x=2$$．所以$$\sin (x-\theta )=\frac{2}{\sqrt{1+{{y}^{2}}}}$$，其中$$\tan \theta =y$$．  由$$\sin (x-\theta )\leqslant 1$$，得$$\frac{2}{\sqrt{1+{{y}^{2}}}}\leqslant 1$$，  解得$$y\leqslant -\sqrt{3}$$或$$y\geqslant 3$$．  易知$$y\textless{}0$$，所以$$y\leqslant -\sqrt{3}$$．  将$$y=-\sqrt{3}$$代入$$\sin x-y\cos x=2$$，得$$x=\frac{ \pi }{6}$$．  故$${{y}_{\max }}=-\sqrt{3}$$．故选$$\text{C}$$．


2016年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

课内体系->素养->直观想象

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->分段函数

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->函数求值问题

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的值域

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性->函数单调性的应用->利用单调性求函数最值

课内体系->知识点->函数的概念与性质->二次函数->二次函数的图象及性质

课内体系->知识点->函数的概念与性质->二次函数->二次函数的概念


2008年全国高中数学联赛竞赛一试第4题6分

若三个棱长均为整数（单位：$$\text{cm}$$）的正方体的表面积之和为$$564\text{c}{{\text{m}}^{2}}$$，则这三个正方体的体积之和为（~ ~ ）．

$$764\text{c}{{\text{m}}^{3}}$$或$$586\text{c}{{\text{m}}^{3}}$$

$$586\text{c}{{\text{m}}^{3}}$$或$$564\text{c}{{\text{m}}^{3}}$$

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题


2016年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分

曲线$$\left( x+2y+a \right)\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)=0$$为平面上交于一点的三条直线的充要条件是（~ ~ ）．

$$a\in \mathbf{R}$$~

课内体系->知识点->常用逻辑用语->充分条件与必要条件->充要条件与函数结合

课内体系->知识点->函数的应用->函数与方程

课内体系->知识点->直线和圆的方程->直线与方程->直线方程的五种形式->直线过定点问题

课内体系->知识点->直线和圆的方程->直线与方程->直线方程的五种形式->直线的一般式方程

课内体系->素养->数学运算

课内体系->素养->逻辑推理


2011年福建全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分

已知$y=$$$f(x)$$满足：  （$$1$$）$$f(1)=1$$（表示$x=1$时对应的$y$的值，下同）；（$$2$$）当$$0\textless{}x\textless{}1$$时，$$f(x)\textgreater0$$；（$$3$$）对任意的实数$$x,  y$$均有$$f(x+y)-f(x-y)=2f(1-x)f(y),$$则$$f\left( \frac{1}{3} \right)=$$ ．

课内体系->知识点->函数的概念与性质 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质


高考真题 2008年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的性质及应用

课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的概念与通项公式->等差数列求通项问题


2015年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

已知函数$$f(x)={{\sin }^{5}}x+1$$，根据函数的性质，积分的性质和积分的几何意义，探求$$\int_{-\frac{ \pi }{2}}^{\frac{ \pi }{2}}{f(x)\text{d}x}$$的值，结果是

$$\frac{1}{6}+\frac{ \pi }{2}$$

$$ \pi $$

竞赛->知识点->导数模块->积分 竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质 竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质

因为$$\sin 5x$$是奇函数，关于原点对称，且积分限关于原点对称，积分就是面积，  所以$$x\textless{}0$$和$$x\textgreater0$$时积分的值一正一负，且面积相等，  所以正负抵消，即$$\int_{-\frac{ \pi }{2}}^{\frac{ \pi }{2}}{\sin^{5}x\text{d}x}=0$$，  所以$$\int_{-\frac{ \pi }{2}}^{\frac{ \pi }{2}}{f(x)\text{d}x}=\int_{-\frac{ \pi }{2}}^{\frac{ \pi }{2}}{\sin^{5}x\text{d}x}+\int_{-\frac{ \pi }{2}}^{\frac{ \pi }{2}}{\text{1d}x}=x\textbar_{-\frac{ \pi }{2}}^{\frac{ \pi }{2}}=\frac{ \pi }{2}-\left( -\frac{ \pi }{2} \right)= \pi $$.


2014年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

设条件$$p$$：实数$$m$$，$$n$$满足$$\begin{cases}2\textless{}m+n\textless{}4     0\textless{}mn\textless{}3   \end{cases}$$条件$$q$$：实数$$m$$、$$n$$满足$$\begin{cases}0\textless{}m\textless{}1     2\textless{}n\textless{}3. \end{cases}$$则．

$$p$$是$$q$$的充分不必要条件

$$p$$是$$q$$的充要不充分条件

$$p$$是$$q$$的充要条件

$$p$$既不是$$q$$的充分条件又不是$$q$$的必要条件

竞赛->知识点->逻辑->常用逻辑用语

由$$q:\begin{cases}0\textless{}m\textless{}1     2\textless{}n\textless{}3   \end{cases}\Rightarrow p:\begin{cases}2\textless{}m+n\textless{}4     0\textless{}mn\textless{}3   \end{cases}$$  则$$p$$是$$q$$的必要条件；注意到当$$\begin{cases}m=1     n=2   \end{cases}$$时，满足$$p:\begin{cases}2\textless{}m+n\textless{}4     0\textless{}mn\textless{}3   \end{cases}$$而不满足$$q:\begin{cases}0\textless{}m\textless{}1     2\textless{}n\textless{}3   \end{cases}$$则$$p$$不是$$q$$的充分条件．所以$$p$$是$$q$$的必要不充分条件．


2015年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分 2017年北京西城区高三三模理科第2题

课内体系->素养->数学运算 课内体系->知识点->计数原理->二项式定理->二项式定理的展开式 课内体系->知识点->计数原理->二项式定理->求项的系数或二项式系数


对于一对特殊的骰子，在每个骰子上掷出$1$、$2$、$3$、$4$、$5$和$6$的概率的比例是$1:2:3:4:5:6$.两颗骰子共掷出$7$的概率是多少？

课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->互斥事件->互斥事件的概率加法公式

美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Probability Calculation->Classical Models of Probabilities

Let $$x$$ be the \uline{probability} of rolling a $$1$$. The probabilities of rolling a $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$5$$, and $$6$$ are $$2x$$, $$3x$$, $$4x$$, $$5x$$, and $$6x$$, respectively.  The sum of the probabilties of rolling each number must equal $$1$$, so  $$x+2x+3x+4x+5x+6x=1$$,  $$21x=1$$,  $$x= \dfrac{1}{21}$$,  So the probabilities of rolling a $$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$5$$, and $$6$$ are respectively $$\dfrac{1}{21}$$,~ $$\dfrac{2}{21}$$, $$\dfrac{3}{21}$$, $$\dfrac{4}{21}$$, $$\dfrac{5}{21}$$, and, $$\dfrac{6}{21}$$. The possible combinations of two rolls that total $$7$$ are: $$(1,6)$$; $$(2,5)$$; $$(3,4)$$; $$(4,3)$$; $$(5,2)$$; $$(6,1)$$. The probability of rolling a total of $$7$$ on the two dice is equal to the sum of the probabilities of rolling each combination. $$P= \dfrac{1}{21}\cdot \dfrac{6}{21}+ \dfrac{2}{21}\cdot \dfrac{5}{21}+ \dfrac{3}{21}\cdot \dfrac{4}{21}+ \dfrac{4}{21}\cdot \dfrac{3}{21}+ \dfrac{5}{21}\cdot \dfrac{2}{21}+ \dfrac{6}{21}\cdot \dfrac{1}{21}= \dfrac{8}{63}\Rightarrow C$$


2018年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分

若集合$$A=\left { 1,2,\cdots ,10 \right }$$，$$B=\left { 1,2,3,4 \right }$$，$$C$$为$$A$$的子集，且$$C\cap B\ne \varnothing $$，  则这样的子集$$C$$有个．

竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算


2016年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第8题6分

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->不等式的性质

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式的概念

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->利用基本不等式求最值

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式成立的条件

不妨设$$a\geqslant b\geqslant c$$  $$\left( a+b+c \right)\left( \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \right)=\left( a+b \right)\sqrt{ab}+\left( b+c \right)\sqrt{bc}+\left( c+a \right)\sqrt{ca}+\left( c\sqrt{ab}+a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca} \right)$$  $$\geqslant \left( a+b \right)\sqrt{ab}+\left( b+c \right)\sqrt{bc}+\left( c+a \right)\sqrt{ca}$$  $$\geqslant 2\sqrt{ab}\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}\sqrt{ca}$$  $$=2\left( ab+bc+ca \right)$$  所以，$$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\geqslant 2$$，当且仅当$$c=0$$，$$a=b$$时等号成立．  由$$c=0$$，$$a=b$$，解得$$a=b=2$$，$$c=0$$．  所以，$$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$$的最小值为$$2$$．  故选$$\text{A}$$．


2008年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分 高二上学期单元测试《代数变形1》自招第7题 2019~2020学年天津滨海新区塘沽第一中学高一上学期期中第7题5分

竞赛->知识点->不等式->换元技巧->代数换元


2009年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质


2011年$$AMC10$$竞赛$$A$$第$$18$$题  Circles $$A$$, $$B$$, and $$C$$ each have radius $$1$$. Circles $$A$$ and $$B$$ share one point of tangency. Circle $$C$$ has a point of tangency with the midpoint of $$\overline{AB}$$. What is the area inside Circle $$C$$ but outside circle $$A$$ and circle $$B$$?  圆 $$A$$、$$B$$ 和 $$C$$ 的半径都是 $$1$$。 圆 $$A$$ 和 $$B$$ 有一个公共点。 圆 $$C$$ 与 $$\overline{AB}$$ 的中点有一个切点。 $$C$$ 圆内并且在$$A$$ 圆外和$$B$$ 圆外的面积是多少？

$$3- \dfrac{\pi}{2}$$

$$\dfrac{3 \pi}{4}$$

$$1+ \dfrac{\pi}{2}$$

美国AMC10/12->Knowledge Point->Geometry->Calculation of Plane Geometry->Circle

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角与弧度制->弧长公式与扇形面积

Not specific: Draw a rectangle with vertices at the centers of $$A$$ and $$B$$ and the intersection of $$A$$, $$C$$ and $$B$$, $$C$$. Then, we can compute the shaded area as the area of half of $$C$$ plus the area of the rectangle minus the area of the two sectors created by $$A$$ and $$B$$. This is $$\dfrac{\pi(1)^{2}}{2}+(2)(1)-2 \cdot \dfrac{\pi(1)^{2}}{4}= (\rm C)2$$.


2018~2019学年北京东城区北京市第一六六中学高二上学期期中第12题5分 2006年全国高中数学联赛竞赛一试第4题6分

在直三棱柱中，$$\angle BAC=\frac{ \pi }{2}$$，$$AB=AC=A{{A}_{1}}=1$$．已知$$G$$与$$E$$分别为$${{A}_{1}}{{B}_{1}}$$和$$C{{C}_{1}}$$的中点，$$D$$与$$F$$分别为线段$$AC$$和$$AB$$上的动点（不包括端点）．若$$GD\bot EF$$，则线段$$DF$$的长度的取值范围为（~ ）．

$$\left[ \frac{1}{\sqrt{5}}, 1 \right)$$

$$\left[ \frac{1}{5}, 2 \right)$$

$$\left[ 1, \sqrt{2} \right)$$

$$\left[ \frac{1}{\sqrt{5}}, \sqrt{2} \right)$$

课内体系->素养->直观想象 课内体系->素养->数学运算 课内体系->知识点->空间向量与立体几何->空间向量的应用->向量法求空间距离 课内体系->思想->数形结合思想


1997年全国高中数学联赛竞赛一试第3题6分

设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于$$3$$，且各项的和为$$9{{7}^{2}}$$，则这样的数列共有（~ ~ ）．

竞赛->知识点->数论模块->不定方程->因式分解与恒等变形


第二十届全国希望杯高二竞赛初赛邀请赛第6题4分

如果实数$$xy$$满足关系$$\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)\left( \sqrt{{{y}^{2}}+1}-y \right)\leqslant 1$$，那么．

$$x+y\geqslant 0$$

$$x+y\leqslant 0$$

$$x-y\geqslant 0$$

$$x-y\leqslant 0$$

竞赛->知识点->不等式->不等式的解法 竞赛->知识点->不等式->换元技巧->三角换元

由$$xy$$的对称性，显然大小不能确定，即$$C$$、$$\text{D}$$错误；  设$$x=\tan \alpha ,y=\tan \beta ,\alpha ,\beta \in \left( -\frac{ \pi }{2},\frac{ \pi }{2} \right)$$，于是原不等式可化简为$$\frac{1-\sin \alpha }{\cos \alpha }\cdot \frac{1-\sin \beta }{\cos \beta }\leqslant 1$$，整理可得$$\sin \alpha +\sin \beta \geqslant 1-\cos (\alpha +\beta )\geqslant 0$$，即$$2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\geqslant 0$$，又$$\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\textgreater0$$，故$$\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\geqslant 0$$．另外，易知$$\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\textgreater0$$，从而$$\sin (\alpha +\beta )=2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\geqslant 0$$，于是$$x+y=\tan \alpha +\tan \beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }\geqslant 0$$．


2015年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第12题9分

以上都不对

竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->柯西 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式


2018年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分

已知集合$$A=\left { \left( x,y \right)\left\textbar{} x+{{a}^{2}}y+6=0 \right. \right }$$，集合$$B=\left { \left( x,y \right)\left\textbar{} \left( a-2 \right)x+3ay+2a \right.=0 \right }$$，若$$A\cap B=\varnothing $$，则$$a$$的值是．

课内体系->思想->转化化归思想

课内体系->素养->数学运算

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->知识点->直线和圆的方程->直线与方程->直线的位置关系->判定两条直线的位置关系

由题意知$$x+{{a}^{2}}y+6=0$$与$$\left( a-2 \right)x+3ay+2a=0$$均为直线方程．  若$$A\cap B=\varnothing $$，则这两条直线斜率相同且两条直线不重合．  由斜率相同得$${{a}^{2}}=\frac{3a}{a-2}$$．  从而，$${{a}^{3}}-2{{a}^{2}}-3a=0$$．①  （1）当$$a=0$$时，经验证成立．  （2）当$$a\ne 0$$时，由式①得，  $${{a}^{2}}-2a-3=0\Rightarrow a=-1$$，$$3$$．  红验证$$a=-1$$满足条件；  当$$a=3$$时，两直线重合，舍去．  综上，$$a=0$$或$$-1$$．


2016年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分

已知$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$是椭圆和双曲线的公共焦点，$$P$$是它们的一个公共点，且$$\angle {{F}_{1}}P{{F}_{2}}=60{}^{}\circ $$，则该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值是（~ ~ ）．

课内体系->知识点->圆锥曲线->椭圆->椭圆的简单几何性质->椭圆的离心率->求椭圆的离心率

课内体系->知识点->圆锥曲线->双曲线->双曲线的几何性质->双曲线的离心率->求双曲线的离心率

课内体系->知识点->解三角形->余弦定理

课内体系->知识点->解三角形->正余弦定理的综合应用->正余弦定理综合求解边角

课内体系->素养->直观想象

课内体系->素养->数学运算


$$2009-AMC10B-14$$  On Monday, Millie puts a quart of seeds, $$25 \%$$ of which are millet, into a bird feeder. On each successive day she adds another quart of the same mix of seeds without removing any seeds that are left. Each day the birds eat only $$25 \%$$ of the millet in the feeder, but they eat all of the other seeds. On which day, just after Millie has placed the seeds, will the birds find that more than half the seeds in the feeder are millet?  星期一，米莉将一夸脱种子（其中 25\% 是小米）放入喂鸟器中。 在连续的每一天，她添加另一夸脱相同的种子混合物，但没有去除任何剩余的种子。 这些鸟每天只吃喂食器中 25\% 的小米，但它们吃掉所有其他种子。 哪一天，米莉刚放完种子，鸟儿会发现喂食器里一半以上的种子是小米？

Tuesday

Wednesday

Thursday

Friday

Saturday

美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Sequence->Sum of the First n Terms for Geometric Sequences

课内体系->知识点->数列->数列的实际应用

On Monday, day $$1$$, the birds find $$\frac14$$ quart of millet in the feeder. On Tuesday they find $$\frac{1}{4}+ \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}$$ quarts of millet. On Wednesday, day $$3$$, they find $$\frac{1}{4}+ \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}\cdot \frac{1}{4}$$ quarts of millet. The number of quarts of millet they find on day $$n$$ is $$\frac{1}{4}+ \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}\cdot \frac{1}{4}+ \cdots +\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}\cdot \frac{1}{4}= \dfrac{\left(\dfrac{1}{4}\right)\left(1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}\right)}{1- \dfrac{3}{4}}=1-\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$$. The birds always find $$\frac34$$ quart of other seeds, so more than half the seeds are millet if $$1-\left(\frac{3}{4}\right)^{n}\textgreater\frac34$$ , that is, when $$\left(\frac{3}{4}\right)^{n}\textless{} \frac{1}{4}$$. Because $$\left(\frac{3}{4}\right)^{4}= \frac{81}{256}\textgreater{} \frac{1}{4}$$ and $$\left(\frac{3}{4}\right)^{5}= \frac{243}{1024}\textless{} \frac{1}{4}$$, this will first occur on day $$5$$ which is $$\boxed{\rm Friday}$$. The answer is $$\rm(D)$$.


2013年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分

已知集合$$A= {x{}\textbar{{x}^{2}}-3x-10{\leqslant }0 }{,}B= {x\textbar m+1{\leqslant }x{\leqslant }2m-1 }$$．当$$A{\cap }B=\varnothing $$时，实数$$m$$的取值范围是．

$$m\textless{}-\frac{1}{2}$$或$$m\textgreater4$$

竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算

$$A=\left { x\textbar-2{\leqslant }x{\leqslant }5 \right }$$，$$A{\cap }B=\varnothing $$，当$$B=\varnothing $$时，$$2m-1\textless{}m+1$$，即$$m\textless{}2$$;当$$B\ne \varnothing $$时，$$m{\geqslant }2$$，$$m+1\textgreater5$$，即$$m\textgreater4$$．


2008年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算

因为$$\overrightarrow{a}=\left( 1,2 \right)$$，$$\overrightarrow{b}=\left( x,1 \right)$$，  所以有$$(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})=\left( 1+2x,4 \right)$$，  $$(2\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})=\left( 2-2x,2 \right)$$，  因为$$(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})//(2\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})$$，  所以$$\left( 1+2x \right)\times 2=4\times \left( 2-2x \right)$$，  解得$$x=\frac{1}{2}$$，故选$$\text{C}$$.


2009年第二十届全国希望杯高二竞赛复赛第1题5分

已知函数$$f(x)$$对一切实数$$a,b$$都满足$$f(a+b)=f(a)+f(b)$$，则不恒为零的函数$$f(x)$$是．

奇函数

偶函数

奇函数也是偶函数

非奇非偶函数

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质


2022~2023学年湖南邵阳隆回县湖南省隆回县第二中学高一上学期月考（竞赛）第7题

已知函数$f\left( x \right)=\sqrt{x-2}$，若$f\left( 2{{a}^{2}}-5a+4 \right)\textless{} f\left( {{a}^{2}}+a+4 \right)$，则实数$a$的取值范围是（~~~~~~~）

$\left( -\infty ,\frac{1}{2} \right)\cup \left( 2,+\infty \right)$

$\left[ 2,6 \right)$

$\left( 0,6 \right]$

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的性质->单调性

\hfill\break 【分析】\\ 根据$f\left( x \right)$的单调性，以及定义域，结合一元二次不等式的求解，直接计算即可.\\ 【详解】\\ 对$f\left( x \right)=\sqrt{x-2}$，且定义域为$\left[ 2,+\infty \right)$，由复合函数单调性可知其在定义域单调递增，\\ 故$f\left( 2{{a}^{2}}-5a+4 \right)\textless{} f\left( {{a}^{2}}+a+4 \right)$，等价于$2\le 2{{a}^{2}}-5a+4\textless{} {{a}^{2}}+a+4$，\\ 由$2\le 2{{a}^{2}}-5a+4$，即$2{{a}^{2}}-5a+2\ge 0$，$\left( 2a-1 \right)\left( a-2 \right)\ge 0$，解得$a\in \left( -\infty ,\frac{1}{2} \right]\cup \left[ 2,+\infty \right)$；\\ 由$2{{a}^{2}}-5a+4\textless{} {{a}^{2}}+a+4$，即${{a}^{2}}-6a\textless{} 0$，解得$a\in \left( 0,6 \right)$；\\ 故实数$a$的取值范围为$\left( 0,\frac{1}{2} \right]\cup \left[ 2,6 \right)$.\\ 故选：C.


2005AMC12B, 23  Let $$S$$ be the set of ordered triples $$(x, y,z)$$ of real numbers for which $$\log_{10}(x+y)=z$$ and $$\log_{10}(x^{2}+y^{2})=z+1$$. There are real numbers $$a$$ and $$b$$ such that for all ordered triples $$(x, y,z)$$ in $$S$$ we have $$x^{3}+y^{3}=a\cdot10^{3z}+b\cdot10^{2z}$$. What is the value of $$a+b$$?  令 $$S$$ 为有序实数三元组 $$(x, y,z)$$ 的集合，其中 $$\log_{10}(x+y)=z$$ 且 $$\log_{ 10}(x^{2}+y^{2})=z+1$$。 存在实数 $$a$$ 和 $$b$$ ，使得对于 $$S$$ 中的所有有序三元组 $$(x, y,z)$$ ， 有$$x^{3}+y^{} {3}=a\cdot10^{3z}+b\cdot10^{2z}$$。 $$a+b$$ 的值是多少？

课内体系->知识点->基本初等函数->实数指数幂运算


$$2000-AMC12-13$$  One morning each member of Angela's family drank an $$8$$-ounce mixture of coffee with milk. The amounts of coffee and milk varied from cup to cup, but were never zero. Angela drank a quarter of the total amount of milk and a sixth of the total amount of coffee. How many people are in the family?   一天早上，$$Angela$$ 的每个家庭成员都喝了 8 美元一盎司的咖啡加牛奶混合物。 咖啡和牛奶的量因杯子而异，但从未为零。 安吉拉喝了牛奶总量的四分之一，咖啡总量的六分之一。 家里有多少人？

课内体系->知识点->等式与不等式->等式->方程组的解集

美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Linear Function Word Problems

Let $$c$$ be the total amount of coffee, $$m$$ of milk, and $$p$$ the number of people in the family. Then each person drinks the same total amount of coffee and milk ($$8$$ ounces), so $$\left(\frac{c}{6}+\frac{m}{4} \right)p=c+m$$. Regrouping, we get $$2c(6-p)=3m(p-4)$$. Since both $$c$$, $$m$$ are positive, it follows that $$6-p$$ and $$p-4$$ are also positive, which is only possible when $$p=5$$ ($$\text{C}$$).  One could notice that (since there are only two components to the mixture) Angela must have more than her "fair share" of milk and less then her "fair share" of coffee in order to ensure that everyone has $$8$$ ounces. The "fair share" is $$\frac{1}{p}$$. So,  $$\frac{1}{6}\textless\frac{1}{p}\textless\frac{1}{4}$$  Which requires that $$p$$ be $$p=5$$ ($$\text{C}$$), since $$p$$ is a whole number.  Again, let $$c$$, $$m$$, sand $$p$$ be the total amount of coffee, total amount of milk, and number of people in the family, respectively. Then the total amount that is drunk is $$8p$$, and also $$c+m$$. Thus, $$c+m=8p$$, so $$m=8p-c$$ and $$c=8p-m$$.  We also know that the amount Angela drank, which is is $$\frac{c}{6}+\frac{m}{4}$$, equal to $$8$$ ounces,  thus $$\frac{c}{6}+\frac{m}{4}=8$$. Rearranging gives $$24p-c=96$$. Now notice that $$c\textgreater0$$ (by the problem statement).  In addition, $$m\textgreater0$$ so $$c=8p-m\textless8p$$. Therefore, $$0\textless c\textless8p$$ ,and so We know that so $$24p\textgreater24p-c\textgreater16p$$. We know that $$24p-c=96$$, so $$24p\textgreater96\textgreater16p$$. From the leftmost inequality, we get $$p\textgreater4$$, and from the rightmost inequality, we get $$p\textless6$$. The only possible value of $$p$$ is $$p=5$$ ($$\text{C}$$).  Let $$c$$, $$m$$, and $$p$$ be the total amount of coffee, total amount of milk, and number of people in the family, respectively. $$c$$ and $$m$$ obviously can\textquotesingle t be $$0$$. We know $$\frac{c}{6}+\frac{m}{4}=8$$ or $$3c+2m=96$$ and $$c+m=8p$$ or $$2c+2m=16p$$. Then, $$(2c+2m)+c=16p+c=96$$. Because $$16p$$ and $$96$$ are both divisible by $$16$$, $$c$$ must also be divisible by $$16$$. Let $$c=16k$$. Now, $$3(16k)+2m=2m=48k+2m=96k$$ can\textquotesingle t be $$0$$, otherwise $$c$$ is $$0$$, and $$k$$ can\textquotesingle t be $$2$$, otherwise $$m$$ is $$0$$. Therefore $$k$$ must be $$1$$, $$c=16$$ and $$m=24$$. $$c+m=16+24=40=8p$$. Therefore, $$p=5$$ ($$\text{C}$$).  Let $$m$$,$$c$$ be the total amounts of milk and coffee, respectively. In order to know the number of people, we first need to find the total amount of mixture $$t=m+c$$. We are given that $$\frac{m}{4}+\frac{c}{6}=8$$. Multiplying the equation by $$4$$ to get $$m+\frac{2}{3}x=(m+c)-\frac{1}{3}c=t-\frac{1}{3}c=32$$. Since $$\frac{1}{3}m\textgreater0$$, we have $$t\textgreater32$$.~ Now multiplying the equation by $$6$$ to get $$\frac{3}{2}m+c=(m+c)+\frac{1}{3}m=t+\frac{1}{3}m=48$$. Since, $$\frac{1}{3}m\textgreater0$$, we have $$t\textless48$$. Thus, $$32\textless t\textless48$$.  Since $$t$$ is a multiple of $$8$$, the only possible value for in that range is $$40$$. Therefore, there are $$\frac{40}{8}=5$$ people in Angela\textquotesingle s family. ($$\text{C}$$).


2012年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分

设$$\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$$分别表示平面直角坐标系$$x,  y$$轴上的单位向量，且$$\left\textbar{} \overrightarrow{a}-\overrightarrow{i} \right\textbar+\left\textbar{} \overrightarrow{a}-\overrightarrow{2j} \right\textbar=\sqrt{5}$$，则$$\left\textbar{} \overrightarrow{a}+\overrightarrow{2i} \right\textbar$$取值范围为．

$$\left[ 2\sqrt{3},  3 \right]$$

$$\left[ \frac{6\sqrt{5}}{5},  2\sqrt{2} \right]$$

$$\left[ \sqrt{5},  4 \right]$$

$$\left[ \frac{6\sqrt{5}}{5},  3 \right]$$

竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算

满足$$\left\textbar{} \overrightarrow{a}-\overrightarrow{i} \right\textbar+\left\textbar{} \overrightarrow{a}-\overrightarrow{2j} \right\textbar=\sqrt{5}$$的向量$$\overrightarrow{a}$$的终点在线段$$2x+y-2=0\left( 0\leqslant x\leqslant 1 \right)$$上，所以$$\left\textbar{} \overrightarrow{a}+\overrightarrow{2i} \right\textbar$$的最大值就是点$$\left( -2,  0 \right)$$与$$\left( 1,  0 \right)$$距离$$3$$，最小值就是点$$\left( -2,  0 \right)$$到线段的距离$$\frac{6\sqrt{5}}{5}$$．


1989年全国高中数学联赛竞赛一试第4题

以长方体$$8$$个顶点中的任意$$3$$个为顶点的所有三角形中，锐角三角形的个数为（~ ）．

竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合

以长方体的$$8$$个顶点中的任意$$3$$个为顶点的三角形共有$$\text{C}_{8}^{3}$$个，且这些三角形只能是直角三角形或锐角三角形．而以长方体的每个顶点为直角顶点的三角形都是$$6$$个，所以在$$\text{C}_{8}^{3}$$个三角形中共有$$6\times 8=48$$（个）直角三角形．从而所求锐角三角形的个数为$$\text{C}_{8}^{3}-48=8$$．  故选$$\text{C}$$．


2009年高二竞赛广州市第2题6分

已知$$\frac{\sin \left( \alpha +2\beta \right)}{\sin \alpha }=3$$，且$$\beta \ne \frac{1}{2}k \pi, \alpha +\beta \ne n \pi +\frac{ \pi }{2}\left( n,k\in Z \right)$$，则$$\frac{\tan \left( \alpha +\beta \right)}{\tan \beta }$$的值为．

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->同角三角函数的基本关系式的化简和求值

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->三角函数的定义->计算任意角的三角函数值

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角与弧度制->弧度制

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角与弧度制->角的定义和分类->任意角的表示

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->和差角公式化简求值综合运用

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->两角和与差的正弦

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->两角和与差的余弦

课内体系->方法->构造法

课内体系->素养->数学运算

课内体系->思想->转化化归思想

$$3=\frac{\sin (\alpha +\beta +\beta )}{\sin (\alpha +\beta -\beta )}=\frac{\sin (\alpha +\beta )\cos \beta +\cos (\alpha +\beta )\sin \beta }{\sin (\alpha +\beta )\cos \beta -\cos (\alpha +\beta )\sin \beta }$$，  分子分母同时除以$$\cos \beta \cos (\alpha +\beta )$$，  有$$\frac{\tan (\alpha +\beta )+\tan \beta }{\tan (\alpha +\beta )-\tan \beta }=3$$，解得$$\tan (\alpha +\beta )=2\tan \beta $$．


2004年全国高中数学联赛竞赛一试第1题6分

设锐角$$\theta $$使关于$$x$$的方程$${{x}^{2}}+4x\cos \theta +\cot \theta =0$$有重根，则$$\theta $$的弧度数为（~ ~ ）．

$$\frac{ \pi }{6}$$

$$\frac{ \pi }{12}$$或$$\frac{5 \pi }{12}$$

$$\frac{ \pi }{6}$$或$$\frac{5 \pi }{12}$$

$$\frac{ \pi }{12}$$

竞赛->知识点->多项式与方程->解方程（组）

由方程有重根，故$$\frac{1}{4}\Delta =\text{4co}{{\text{s}}^{2}}\theta -\cot \theta =0$$，  ∵$$0\textless{}\theta \textless{}\frac{ \pi }{2}\Rightarrow 2\sin 2\theta =1$$，$$\Rightarrow \theta =\frac{ \pi }{12}$$或$$\frac{5 \pi }{12}$$．  故选$$\text{B}$$．


2017年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

正四棱锥的底面边长为$$2017$$，侧棱长为$$2000$$，则侧棱与底面所成的角与下面哪个角的差的绝对值最小．

$$30{}^{}\circ $$

$$40{}^{}\circ $$

$$50{}^{}\circ $$

$$60{}^{}\circ $$

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题


2009年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分

$$ {x\textbar1\textless{}x\textless{}3 }$$

$$ {x\textbar1\textless{}x\textless{}2 }$$

$$ {x\textbar0\textless{}x\textless{}3 }$$

$$ {x\textbar0\textless{}x\textless{}2 }$$

竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算

$$x\in M\Leftrightarrow {{\log }_{\frac{1}{2}}}(x-1)\textgreater-1\Leftrightarrow \begin{cases}x-1\textgreater0    x-1\textless{}{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{-1}}=2 \end{cases}\Leftrightarrow 1\textless{}x\textless{}3$$；$$x\in N\Leftrightarrow 1\textless{}{{2}^{x}}\textless{}4\Leftrightarrow 0\textless{}x\textless{}2$$，所以$$M\cap N= {x\textbar1\textless{}x\textless{}2 }$$．故选$$\text{B}$$．


2008年甘肃全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

方程$$10\sin \left( x+\frac{ \pi }{6} \right)=x$$根的个数为．

课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->函数零点的概念

课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->零点的个数问题->利用函数图象研究方程根的分布问题（图象与零点综合）

课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->零点的个数问题->零点、交点、根的等价转化

课内体系->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦函数的图象和性质

课内体系->素养->数学抽象

课内体系->素养->直观想象

由正弦函数的性质同时绘出$$y=10\sin \left( x+\frac{ \pi }{6} \right)$$和$$y=x$$的图象，  注意到$$3 \pi -\frac{ \pi }{6}\textless{}10\textless{}3 \pi +\frac{ \pi }{2}$$，  及$$\left\textbar{} -\frac{ \pi }{6}-3 \pi ~\right\textbar\textless{}10\textless{}\left\textbar{} -\frac{ \pi }{6}-3 \pi -\frac{ \pi }{2} \right\textbar$$，  可知两条曲线有$$7$$个交点．故选$$\text{B}$$．