2003年第1届创新杯六年级竞赛复赛第5题

如果形如$$\overline{2\square \square 3}$$的四位数能被$$9$$整除，那么这样的四位数的个数有多少个？

拓展思维->思想->枚举思想

若$$9\left| \overline{2ab3} \right.$$，则$$9\left| \left( 2+a+b+3 \right) \right.$$，则$$\left( a+b \right)$$除以$$9$$余$$4$$， 所以$$\overline{ab}$$除以$$9$$余$$4$$，

所以$$\overline{ab}=4,4+9,4+9\times 2,4+9\times 3,\ldots ,4+9\times 10$$， 所以有$$11$$个．


2014年全国迎春杯四年级竞赛初赛第4题

有四个数，它们的和是$$45$$，把第一个数加$$１$$，第二个数减$$１$$，第三个数乘$$2$$，第四个数除以$$2$$，得到的结果都相同．那么，原来这四个数依次是．

拓展思维->思想->方程思想


2013年走美杯六年级竞赛初赛 2013年走美杯六年级竞赛 2013年浙江杭州走美杯六年级竞赛初赛

拓展思维->拓展思维->计算模块->整数->整数加减->整数加减巧算之凑整法->整数基准数法


2009年全国迎春杯小学中年级竞赛复赛第7题10分

过年了，妈妈买了$$7$$件不同的礼物，要送给亲朋好友的$$5$$个孩子每人一件．其中姐姐的儿子小强想从智力拼图和遥控汽车中选一个，朋友的女儿小玉想从学习机和遥控汽车中选一件．那么妈妈送出这$$5$$件礼物共有~\uline{~~~~~~~~~~}~种方法．

拓展思维->思想->对应思想
Overseas Competition->知识点->计数模块->加乘原理

假如给小强的是智力拼图，则有$$2\times 5\times 4\times 3=120$$种方法．  假如给小强的是遥控汽车，则有$$1\times 5\times 4\times 3=60$$种方法．  总共有$$120+60=180$$种方法．  若将遥控汽车给小强，则学习机要给小玉，此时另外$$3$$个孩子在剩余$$5$$件礼物中任选$$3$$件，有$$5\times 4\times 3=60$$种方法；若将遥控汽车给小玉，则智力拼图要给小强，此时也有$$60$$种方法；若遥控汽车既不给小强、也不给小玉，则智力拼图要给小强，学习机要给小玉，此时仍然有$$60$$种方法.  所以共有$$60+60+60=180$$种方法.


2014年迎春杯三年级竞赛复赛

下式中，$$\square $$和$$\triangle $$分别代表（  ）  $$\square +\square +\square +\triangle +\triangle +\triangle =27$$  $$\triangle +\triangle +\square =12$$。

拓展思维->拓展思维->应用题模块->列方程解应用题->列方程解应用题等量代换

解：$$\square +\square +\square +\triangle +\triangle +\triangle =27$$，  得$$\square +\triangle =9$$①，  $$\triangle +\triangle +\square =12$$得$$2\triangle +\square =12$$②，  ②$$-$$①得：$$\triangle =3$$，  把$$\triangle =3$$代入①得：  $$\square =6$$  故选：D。


2013年IMAS小学高年级竞赛第一轮检测试题第12题4分

有四个连续的二位数，将每个数的两个数码相乘，依序得到乘积$$24$$、$$28$$、$$32$$、$$36$$，请问这四个连续的二位数之总和是什么？

拓展思维->拓展思维->数论模块->分解质因数->分解质因数的应用

解法$$1$$：将$$24$$、$$28$$、$$32$$、$$36$$分别表示成两个数码之积的行驶，即可得  $$24=3\times 8=4\times 6$$  $$28=4\times 7$$  $$32=4\times 8$$  $$36=4\times 9=6\times 6$$  因这四个两位数为四个连续的两位数，故此时可判断出这四个连续的正整数为$$46$$、$$47$$、$$48$$、$$49$$，其和为$$190$$．故选$$\text{E}$$．  解法$$2$$：由题意可知，这些所得到的乘积不包含数码$$0$$，所以这四个两位数的十位数必须相同．设它们的十位数码为$$a$$．由于两个相邻的个位数是互质的，所以$$24$$、$$28$$、$$32$$、$$36$$的最大公因数为$$a$$．  因此，$$a=4$$，且这四个数的个位数分别为$$6$$、$$7$$、$$8$$、$$9$$．即这四个整数之和是$$46+47+48+49=190$$．故选$$\text{E}$$．


2017年第1届重庆华杯赛竞赛

拓展思维->思想->逐步调整思想


2016年创新杯六年级竞赛训练题（二）第4题

自然保护区中原有一定量的牛，并保持着一定的自然增长率。为进行原始物种的迁出工作，我们将自然保护区的草地按照$$1:2:3$$的面积比分成三块。工作人员先用$$1$$年时间逐步迁出了一号草地的种群，接着又用$$4$$年去暗处了二号种群．此时，仍需要年能够迁出第三块保护区的牛。

拓展思维->能力->逻辑分析

设$$1$$份草地原有草量为$$x$$，每天生长量为$$y$$，第三块草地需要$$n$$天吃完．  根据牛每天吃的草量相等可得：  $$\frac{x+12y}{12}=\frac{2x+2\left( 12y+48y \right)}{48}$$  解得$$x=36y$$，这群牛的每天吃草量为$$4y$$．  故第三块草地的等量关系为$$\frac{3x+3\left( 12y+48y+ny \right)}{4y}=n$$，解得$$n=288$$．


2018年第8届北京学而思综合能力诊断六年级竞赛年度教学质量监测第12题

$$6$$支球队进行足球比赛，每两支队之间都要赛一场，规定胜一场得$$3$$分，平一场各得$$1$$分，负一场不得分．全部比赛结束后，发现共有$$4$$场平局，且其中$$5$$支球队共得了$$31$$分，则第$$6$$支球队得了分．

拓展思维->能力->逻辑分析 课内体系->能力->逻辑分析

每场平局两队共得$$2$$分，如果分出胜负则两队共得$$3$$分．$$6$$支球队共要比$$6\times 5\div 2=15$$场比赛，  其中有$$4$$场平局，所以有$$15-4=11$$场分出了胜负，那么$$6$$支球队总得分为$$2\times 4+3\times 11=41$$分，  其中$$5$$支球队共得了$$31$$分，所以第$$6$$支球队得了$$41-31=10$$分．


2021年新希望杯六年级竞赛初赛第11题5分

【$$2021$$年六年级卷第$$11$$题】小糊涂遇到一个问题：比较$$\frac{99}{100}$$，$$ \frac{100}{101}$$，$$\frac{199}{201}$$的大小．他感到很迷糊，请你帮他找到正确的答案．

$$\frac{99}{100}\textgreater{} \frac{100}{101}\textgreater{} \frac{199}{201}$$

$$\frac{199}{201}\textgreater{} \frac{100}{101}\textgreater{} \frac{99}{100}$$

$$\frac{99}{100}\textgreater{} \frac{199}{201}\textgreater{} \frac{100}{101}$$

$$\frac{100}{101}\textgreater{} \frac{199}{201}\textgreater\frac{99}{100}$$

$$\frac{100}{101}\textgreater{} \frac{99}{100}\textgreater{} \frac{199}{201}$$

拓展思维->能力->数感认知->分数数字加工


2018年IMAS小学中年级竞赛（第二轮）第1题4分

拓展思维->拓展思维->计算模块->数列与数表->数列规律


1994年第5届希望杯初二竞赛第2题

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->含参二元一次方程组->根据解的等量关系解含参的二元一次方程组

课内体系->能力->运算能力


2017~2018学年5月四川成都天府新区 成都市实验外国语学校（西区）初二下学期月考第10题3分

2019~2020学年3月浙江杭州滨江区杭二中白马湖学校初一下学期周测C卷第9题

1996年第7届希望杯初二竞赛第3题4分

【SZ】已知$${{x}^{2}}+ax-12$$能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数$$a$$的个数是．

课内体系->知识点->式->因式分解->因式分解的基础->已知因式分解结果求参数


2018~2019学年浙江宁波鄞州区宁波市鄞州蓝青学校初二下学期期末第4题3分 2019年浙江温州瓯海区浙江省温州中学初三自主招生 2011年竞赛第1题4分 2019年浙江温州瓯海区浙江省温州中学初三自主招生第1题5分

设$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{2}$$，则代数式$$x\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)$$的值为．

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式化简求值


1994年第5届全国希望杯初一竞赛初赛第7题

$$n$$是整数，那么被$$3$$整除并且商恰为$$n$$的那个数是（~ ）．

课内体系->能力->分析和解决问题能力 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->代数式->列代数式


1996年第7届希望杯初二竞赛第7题4分

暑假里父亲、儿子、女儿准备外出旅行，咨询时了解到，甲旅行社规定：若大人买一张全票，则两个孩子的费用可按全票价的七折优惠；乙旅行社规定：三人旅行可按团体票计价，即按原价的$$80 \%$$收费，若两家旅行社的原价相同，则当实际收费时．

甲比乙低

乙比甲低

甲、乙相同

是甲低还是乙低，视原价而定

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的经济问题->一元一次方程的经济问题-打折

设原价为$$a$$元，则  甲旅行社收费$$=a+2\cdot70 \%a=2.4a$$，  乙旅行社收费$$=3\cdot 80 \%a=2.4a$$．  故选$$\text{C}$$．


2013年第24届全国希望杯初一竞赛复赛第7题4分

方程$$\left\textbar{} x+1 \right\textbar+\left\textbar{} 2x-1 \right\textbar=1$$的整数解的个数为（~ ）．

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->解一元一次方程->含绝对值的一元一次方程

由$$\left\textbar{} x+1 \right\textbar$$依次取$$0$$，$$1$$，  可得方程组$$\left { \begin{matrix}x+1=0    2x-1=\pm 1   \end{matrix} \right.$$或$$\left { \begin{matrix}x+1=1    2x-1=0   \end{matrix} \right.$$，  解之，可得两方程均无解．  所以，原方程整数解的个数为$$0$$


2009年第20届希望杯初二竞赛第2试第7题4分

知识标签->学习能力->运算能力

知识标签->题型->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->题型：与三边关系有关的证明

知识标签->题型->式->整式的乘除->乘法公式->题型：利用平方差公式计算

知识标签->题型->式->因式分解->提公因式法与公式法->题型：提公因式法

知识标签->方法->作差法

知识标签->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->平方差公式

知识标签->知识点->式->因式分解->因式分解：提公因式法

知识标签->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的三边关系


2017年湖南长沙天心区湘郡培粹实验中学初二竞赛（觉园杯）第1题4分 2019年湖南长沙天心区湘郡培粹实验中学初二竞赛初赛(觉园杯)第1题4分

已知$$x\ne-1$$，$$0$$，$$1$$，则$$\frac{x-1}{\textbar x-1\textbar}+\frac{\textbar x\textbar}{x}+\frac{x+1}{\textbar x+1\textbar}$$的值可能是（ ~）．

课内体系->思想->分类讨论思想 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值综合 课内体系->能力->运算能力

当$$x ~\textless{} ~-1$$时，$$\frac{x-1}{\textbar x-1\textbar}+\frac{\textbar x\textbar}{x}+\frac{x+1}{\textbar x+1\textbar}=-1-1-1=-3$$，  当$$-1 ~\textless{} ~x ~\textless{} ~0$$时，$$\frac{x-1}{\textbar x-1\textbar}+\frac{\textbar x\textbar}{x}+\frac{x+1}{\textbar x+1\textbar}=-1-1+1=-1$$，  当$$x\textgreater1$$时，$$\frac{x-1}{\textbar x-1\textbar}+\frac{\textbar x\textbar}{x}+\frac{x+1}{\textbar x+1\textbar}=1+1+1=3$$．  故选$$\text{C}$$．


2023年浙江宁波鄞州区初三竞赛联考学校：鄞实、曙光、鄞外、高桥、雅戈尔、集士港第4题6分

若关于$$x$$的不等式组$$\begin{cases} 3-2x \geq 1    x \geq m+1 \end{cases}$$共有$$2$$个整数解，则$$m$$的取值范围是

$\quad m=-1 $

$-2\lt m\leqslant-1$

$-2\leqslant m\leqslant-1$

课内体系->思想->方程思想

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->由不等式（组）的整数解情况求参数范围

课内体系->方法->代入法

课内体系->能力->运算能力

解：$解不等式3-2x\geqslant1,得:x\leqslant1.$  $\because不等式组共有2个整数解,$  $\therefore不等式组的整数解为1,0;$  则$-1\lt m\leqslant0,$  解得$-2\lt m\leqslant-1,$  故选$B.$


1999年第16届全国初中数学联赛竞赛第4题7分

课内体系->知识点->函数 竞赛->知识点->函数->二次函数->二次函数应用


1995年第6届希望杯初二竞赛第4题

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->|a|/a的化简 竞赛->知识点->数与式->绝对值->给定范围绝对值化简

当$$a\textgreater0$$时，$$\textbar a\textbar=a$$，  ∴原式$$=1+1+1=3$$；  当$$a\textless{}0$$时，$$\textbar a\textbar=-a$$，$$\textbar{{a}^{3}}\textbar=-{{a}^{3}}$$，  ∴原式$$=-1+1-1=-1$$．  故选$$\text{A}$$．


初一上学期单元测试《整式的加减》整式及相关概念第29题 2001年第12届希望杯初一竞赛第2试第10题

课内体系->能力->推理论证能力

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->单项式->单项式的定义


1992年第3届全国希望杯初一竞赛初赛第4题

两个$$10$$次多项式的和是（~ ~ ）．

不高于$$10$$次的多项式

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->多项式->多项式的定义


2003年第14届希望杯初二竞赛第1试第4题

$$a$$，$$b$$，$$c$$为三角形的三边长，化简$$\textbar a+b+c\textbar-\textbar a-b-c\textbar-\textbar a-b+c\textbar-\textbar a+b-c\textbar$$，结果是（ ~ ~）．

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->利用题设条件推理化简绝对值

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的三边关系

因为三角形的任意两边之和大于第三边，  所以$$a+b+c\textgreater0$$，$$a-b-c\textless{}0$$，$$a-b+c\textgreater0$$，$$a+b-c\textgreater0$$，  所以原式$$=a+b+c+(a-b-c)-(a-b+c)-(a+b-c)=0$$，  选$$\text{A}$$．


2000年第17届全国初中数学联赛竞赛第4题7分

正整数$$n$$小于$$100$$，并满足等式$$\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor =n$$，其中$$\left\lfloor x \right\rfloor $$表示不超过$$x$$的最大整数，这样的正整数$$n$$有(  )个.

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算

分析：利用$$\left\lfloor x \right\rfloor $$表示不超过$$x$$的最大整数的性质，求出$$\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor $$的范围．  $$\because \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \leqslant \frac{n}{2}$$，$$\left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor \leqslant \frac{n}{3}$$，$$\left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor \leqslant \frac{n}{6}$$$$\therefore \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor \leqslant \frac{n}{2}+\frac{n}{3}+\frac{n}{6}=n$$．  又$$\because \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor =n$$  $$\therefore \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor =\frac{n}{2}$$，$$\left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor =\frac{n}{3}$$，$$\left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor =\frac{n}{6}$$  $$\therefore n$$的个数有$$\left\lfloor \frac{100}{6} \right\rfloor =16$$个，选D．


1999年第10届希望杯初二竞赛第1试第15题

课内体系->能力->运算能力 课内体系->方法->待定系数法 课内体系->知识点->式->因式分解->其他方法->待定系数法


初一上学期单元测试《解读绝对值》第6题 2013年第24届全国希望杯初一竞赛初赛第8题4分

与$$0$$的大小关系不确定

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质 课内体系->能力->运算能力

方法一：  ∵$$b\textless{}0\textless{}c$$，$$\left\textbar{} b \right\textbar\textless{}c$$，  ∴$$-b\textless{}c$$，  ∴$$b+c\textgreater0$$．  ∵$$a\textless{}0\textless{}d$$，$$\left\textbar{} a \right\textbar\textless{}d$$，  ∴$$-a\textless{}d$$，  ∴$$a+d\textgreater0$$．  ∴$$a+b+c+d\textgreater0$$．  方法二：  取特殊值，依题设，可假定$$b=-2$$，$$c=3$$，$$a=-4$$，$$d=5$$，  则$$a+b+c+d=2\textgreater0$$，  所以$$a+b+c+d$$的值大于$$0$$．


1992年第3届全国希望杯初一竞赛初赛第7题

若$$a\textless{}0$$，$$b\textgreater0$$，且$$\left\textbar{} a \right\textbar\textless{}\left\textbar{} b \right\textbar$$，那么下列式子中结果是正数的是（~ ）．

$$(a-b)(ab+a)$$

$$(a+b)(a-b)$$

$$(a+b)(ab+a)$$

$$(ab-b)(a+b)$$

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘法->有理数的乘法法则

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->利用题设条件推理化简绝对值

因为$$a\textless{}0$$，$$b\textgreater0$$．所以$$\left\textbar{} a \right\textbar=-a$$，$$\left\textbar{} b \right\textbar=b$$．  由于$$\left\textbar{} a \right\textbar\textless{}\left\textbar{} b \right\textbar$$得$$-a\textless{}b$$，因此$$a+b\textgreater0$$，$$a-b\textless{}0$$．  $$ab+a\textless{}0$$，$$ab-b\textless{}0$$．  所以应有$$(a-b)(ab+a)\textgreater0$$成立，选$$\text{A}$$．


2013年第18届华杯赛初一竞赛初赛第6题 其它

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->一元一次不等式组的整数解


与$$0$$的大小关系不确定

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质


2021年福建竞赛（"大梦杯”青少年水平测试）第3~3题

\hfill\break 【分析】\\ 先确定$$3m$$和$${{2}^{n}}$$不等，考虑在从小到大排列的形如$$3m$$($$m$$为正整数)的正整数3，6，9，27，\ldots 中，从小到大添加形如$${{2}^{n}}$$($$n$$为正整数)的数．再根据$$2022=3\times 674$$即可．\\ 【详解】\\ 易知形如$$3m$$和$${{2}^{n}}$$($$m$$，$$n$$为正整数)的正整数不可能相等．\\ 考虑在从小到大排列的形如$$3m$$($$m$$为正整数)的正整数3，6，9，27，\ldots 中，从小到大添加形如$${{2}^{n}}$$($$n$$为正整数)的数．\\ 由$$2022=3\times 674$$知，将形如$$3m$$($$m$$为正整数)的正整数从小到大排列，2022是第674个数．\\ 由于$${{2}^{10}}=1024\textless{} 2022$$，$${{2}^{11}}=2048\textgreater2022$$，所以有10个形如$${{2}^{n}}$$($$n$$为正整数)的数小于2022，这10个数排在2022前面．\\ 所以$$k=674+10=684$$．\\ 【点睛】\\ 本题考查数字排列规律问题，掌握因数分解方法，有理数大小比较是解题关键．


1998年第9届希望杯初一竞赛第1题

最大的负数

最小的非负数

最小的正整数

绝对值最小的整数

课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的分类 课内体系->能力->运算能力

$${{(-1)}^{1998}}=+1$$．排除$$\text{A}$$．由于最小的非负数是$$0$$，排除$$\text{B}$$．  绝对值最小的整数也是$$0$$，排除$$\text{D}$$．显然应选$$\text{C}$$．事实上$$+1$$是最小的正整数．  故选$$\text{C}$$．


初一单元测试《分式的概念、性质及运算》第18题 2013年第24届全国希望杯初二竞赛复赛第18题4分

课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算 课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-整体代入求值


1999年第10届希望杯初一竞赛第3题

课内体系->方法->整体法 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的代数意义

因为$$\left\textbar{} a \right\textbar=1$$，所以$$a=\pm 1$$，因此$${{a}^{4}}=1$$．  故选$$\text{A}$$．


无解

知识标签->学习能力->运算能力

知识标签->知识点->方程与不等式->分式方程->解分式方程

知识标签->题型->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->题型：解可化为一元一次方程的分式方程


2016年第33届全国全国初中数学联赛竞赛第6题7分

设实数$$x$$，$$y$$，$$z$$，满足$$x+y+z=1$$，则$$M=xy+2yz+3xz$$的最大值为．

知识标签->题型->式->整式加减->整式加减化简求值->题型：整体代入化简求值

知识标签->知识点->式->整式的加减->整式的定义

知识标签->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式

知识标签->方法->配方法


1995年第12届全国初中数学联赛竞赛第2题

方程组$$\begin{cases}xy+yz=63    xz+yz=23 \end{cases}$$的正整数解的组数是（~ ）.

课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->多元二次方程（组） 课内体系->能力->运算能力


初一下学期其它第2题 2003年竞赛第1题6分

课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-条件化简求值 课内体系->能力->运算能力


2012年第23届全国希望杯初二竞赛初赛第18题4分

课内体系->方法->配方法

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式


2019年四川南充初三自主招生 竞赛2021年宁波小强基第3题

设$$a$$，$$b$$是方程$${{x}^{2}}+20x+1=0$$的两个根，$$c$$，$$d$$是方程$${{x}^{2}}-17x+1=0$$的两个根，则代数式$$\left( a+c \right)\left( b+c \right)\left( a-d \right)\left( b-d \right)$$的值为．

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程的基础->一元二次方程的根


初二上学期单元测试《分解方法的延拓（1）》第21题 2002年第13届希望杯初二竞赛第2试第2题 初二其它

$$M\textless{}N$$

$$M\textgreater N$$

$$M=N$$

不能确定

课内体系->知识点->式->因式分解->因式分解的应用 课内体系->能力->运算能力


2018年全美数学竞赛（AMC）竞赛

美国amc8->知识点->数与运算->数列与数表->等差数列


2011年竞赛第1题3分

课内体系->方法->代入法 课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->整式乘除的综合 课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值 课内体系->能力->运算能力


2007年第12届华杯赛初一竞赛初赛第3题

竞赛->知识点->数与式->整式->整式的乘除运算


2006年第17届希望杯初二竞赛第2试第5题 初二其它

是完全平方数，还是奇数

是完全平方数，还是偶数

不是完全平方数，但是奇数

不是完全平方数，但是偶数

课内体系->知识点->式->因式分解->十字相乘法->二次项系数为±1的十字相乘

课内体系->能力->运算能力


2007年第12届华杯赛初一竞赛初赛第1题

竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题


2004年第15届希望杯初二竞赛第1试第6题

某出版社计划出版一套百科全书，固定成本为$$8$$万元，每印刷一套需增加成本$$20$$元．如果每套书定价$$100$$元，卖出后有$$3$$成收入给承销商，出版社要盈利$$10 \%$$，那么该书至少应发行．（精确到千位）

竞赛->知识点->方程与不等式->一次方程->一元一次方程

设出版社发行$$x$$套书，  则$$100\left( 1-0.3 \right)x\geqslant \left( 80000+20x \right)\left( 1+10 \% \right)$$，  $$70x\geqslant 88000+22x$$，  $$x\geqslant 1833\frac{1}{3}$$，  至少应发行$$2$$千套．  故选$$\text{A}$$．


2012年竞赛第1题3分

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的四则混合运算


2002年第13届希望杯初二竞赛第1试第2题

下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是．

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->因式分解->公式法->提公因式+平方差 课内体系->知识点->式->因式分解->提公因式法


2012年第29届全国全国初中数学联赛竞赛第1题7分

$$a\textless b\textless c$$

$$a\textless c\textless b$$

$$b\textless a\textless c$$

$$b\textless c\textless a$$

知识标签->学习能力->运算能力 知识标签->题型->数->实数->无理数有关的计算->题型：无理数大小的比较 知识标签->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的混合运算


2011年第28届全国全国初中数学联赛竞赛第1题7分 初一单元测试《有条件的分式化解与求值》第22题

课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->二元二次方程（组） 课内体系->能力->运算能力


2018~2019学年3月河南洛阳西工区洛阳外国语学校初二下学期月考第6题3分

2018~2019学年3月天津南开区天津市南开翔宇学校初二下学期月考第8题3分

2019~2020学年山东枣庄峄城区初二上学期期末第2题3分

2020~2021学年10月四川成都彭州市成都七中嘉祥外国语学校北城分校初二上学期月考第6题3分

2018~2019学年山东青岛市南区青岛大学附属中学初二上学期期末第3题3分

2020~2021学年9月四川成都青羊区四川师范大学实验外国语学校初二上学期周测C卷第3题3分

2020~2021学年3月天津南开区天津美达菲国际学校初二下学期月考第8题3分

2018~2019学年3月天津河西区天津市新华中学初二下学期月考第3题3分

2019~2020学年3月江西南昌东湖区南昌市百树学校初二下学期月考第6题3分

2018~2019学年5月广东深圳罗湖区深圳市罗湖区翠园中学（初中部）初一下学期周测B卷（竞赛班）第2题2分

下列结论中，错误的有．  ①在$$\text{Rt}\triangle ABC$$中，已知两边长分别为$$3$$和$$4$$，则第三边的长为$$5$$；  ②$$\triangle ABC$$的三边长分别为$$AB$$，$$BC$$，$$AC$$，若$$B{{C}^{2}}+A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}$$，则$$\angle A=90{}^{}\circ $$；  ③ 在$$\triangle ABC$$中，若$$\angle A:\angle B:\angle C=1:5:6$$，则$$\triangle ABC$$是直角三角形；  ④若三角形的三边长之比为$$3:4:5$$，则该三角形是直角三角形．

课内体系->知识点->三角形->勾股定理及应用->勾股定理基础->勾股逆定理的应用

课内体系->能力->推理论证能力

①在$$\text{Rt}\triangle ABC$$中，已知两边长分别为$$3$$和$$4$$，则第三边的长为$$5$$或$$\sqrt{7}$$，错误；  ②$$\triangle ABC$$的三边长分别为$$AB$$，$$BC$$，$$AC$$，若$$B{{C}^{2}}+A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}$$，则$$\angle A=90{}^{}\circ $$，错误；  ③在$$\triangle ABC$$中，若若$$\angle A:\angle B:\angle C=1:5:6$$，则$$\triangle ABC$$是直角三角形，正确；  ④若三角形的三边长之比为$$3:4:5$$，则该三角形是直角三角形，正确．  故选$$\text{C}$$．


2013年第18届华杯赛初一竞赛初赛第4题

如果$$a$$，$$b$$，$$c$$都是大于$$-\frac{1}{2}$$的负数，那么下列式子成立的是．

$$a+c-b ~\textless{} ~0$$

$${{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}\textgreater0$$

$$\left\textbar{} abc \right\textbar\textgreater\frac{1}{8}$$

竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题

$$\text{A}$$．取$$a=c=-\frac{1}{12}$$，$$b=-\frac{1}{3}$$，则有：$$a+c+b=-\frac{1}{12}-\frac{1}{12}+\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\textgreater0$$，故$$\text{A}$$错误；  $$\text{BD}$$．取$$a=b=c=-\frac{1}{3}$$，则有：$${{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}=-\frac{1}{9} ~\textless{} ~0$$，$$\left\textbar{} abc \right\textbar=\frac{1}{27} ~\textless{} ~\frac{1}{8}$$，故$$\text{BD}$$错误；  因为$$a$$，$$b$$为负数，所以$$ab\textgreater0$$．因为$$c\textgreater-\frac{1}{2}$$，所以$$abc\textgreater-\frac{1}{2}ab$$．  又因为$$b\textgreater-\frac{1}{2}$$，所以$$-\frac{1}{2}ab ~\textless{} ~\frac{1}{4}$$，所以$$-\frac{1}{2}ab\textgreater\frac{1}{4}a\textgreater-\frac{1}{8}$$．  故选$$\text{C}$$．


2003年第20届全国初中数学联赛竞赛第10题7分

已知正整数$$a$$，$$b$$之差为$$120$$，它们的最小公倍数是其最大公约数的$$105$$倍，那么$$a$$，$$b$$中较大的数是．

课内体系->知识点->数->有理数->数的特征->整除的条件 竞赛->知识点->数论->整除->因数与倍数


2002年第13届希望杯初二竞赛第2试第5题

$$a\textgreater b\textgreater c$$

$$c\textgreater a\textgreater b$$

$$a\textgreater c\textgreater b$$

$$b\textgreater c\textgreater a$$

竞赛->知识点->数与式->二次根式->二次根式的性质与运算

因为$$\sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{9}$$，$$\sqrt{2}=\sqrt[6]{8}$$．  因而$$\sqrt[3]{3}\textgreater\sqrt{2}$$，$$a=\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt{2}}\textgreater1$$，$$c=\frac{\sqrt[3]{3}+m}{\sqrt{2}+m}\textgreater1$$．  于是$$a-c=\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt[3]{3}+m}{\sqrt{2}+m}$$  $$=\frac{\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt{2}+m\sqrt[3]{3}-\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{3}-m\sqrt{2}}{\sqrt{2}\left( \sqrt{2}+m \right)}\textgreater0$$，  所以$$a\textgreater c\textgreater1$$，  又$$b=\frac{\sqrt[3]{2}+m}{\sqrt{3}+m} ~\textless{} ~1$$，  故$$a\textgreater c\textgreater b$$．  故选$$\text{C}$$．


2002年第13届希望杯初一竞赛第2试第4题

竞赛->知识点->数论->整除->素数与合数


2014年第25届全国希望杯初二竞赛初赛第10题4分

课内体系->能力->分析和解决问题能力 竞赛->知识点->组合->排列与组合

因为去掉$$8$$以后，余下$$7$$个数的和是$$1+2+3+4+5+6+7=28$$，  所以$$8$$的两边各数的和分别是$$14$$．  因为$$7+6=13$$，  所以$$14$$至少是由$$3$$个数相加而成的，  所以$$8$$的两边分别有$$3$$个数和$$4$$个数．  因为$$(7,6,1)$$，$$(7,5,2)$$，$$(7,4,3)$$，$$(6,5,3)$$这四组数的和都是$$14$$，  每组中的数的排列方法有$$3\times 2\times 1=6$$种，  与其对应的另外$$4$$个数（$$8$$除外）有$$4\times 3\times 2\times 1=24$$种排列方法，  当排成横行时，这$$4$$组数有排在$$8$$的左边和右边两种排列方法，  因此，每组数的排列方法有$$2\times 6\times 24=288$$（种）．  所以，满足题意的排列方法有$$4\times 288=1152$$（种）．


2011年第16届华杯赛初一竞赛初赛第3题

2018~2019学年甘肃兰州城关区兰州市第三十五中学初二下学期期中第12题4分

初一下学期单元测试《不等式与不等式组》一元一次不等式及其应用第28题

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式->解一元一次不等式

原不等式变形得：$$\frac{x}{a}\textgreater-\frac{1}{b}$$，  ∵$$x\textless{}\frac{1}{5}$$，  ∴$$a\textless{}0$$．  解不等式得：$$x\textless{}-\frac{a}{b}$$，$$-\frac{a}{b}=\frac{1}{5}$$，即$$b=-5a$$．  ∴$$-5ax-a\textgreater0$$，  ∴$$x\textgreater-\frac{1}{5}$$．  因为不等式等$$\frac{x}{a}+\frac{1}{b}\textgreater0$$的解集为$$x ~\textless{} ~\frac{1}{5}$$，故必有$$a ~\textless{} ~0$$，所以$$\frac{-a}{b}=\frac{1}{5}$$，并且$$b\textgreater0$$，所以由$$bx-a\textgreater0$$得到$$x\textgreater-\frac{1}{5}$$．  故选$$\text{C}$$．


2006年第17届希望杯初一竞赛初赛第6题4分

课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->解一元一次不等式组

课内体系->能力->推理论证能力

根据题意可得不等式$$4\leqslant \frac{3x+7}{7} \textless{} 5$$，得$$7\leqslant x \textless{} \frac{28}{3}$$因为$$x$$取整数值，解得$$x=7$$，$$8$$，$$9$$，故选$$\text{D}$$．


2012年第23届全国希望杯初一竞赛初赛第6题4分

若两位数$$\overline{ab}$$是质数，交换数字后得到的两位数$$\overline{ba}$$也是质数，则称$$\overline{ab}$$为绝对质数，在大于$$11$$的两位数中绝对质数有（~ ~ ）个．

课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的分类


2018~2019学年浙江绍兴初一上学期期末第8题3分 2020年湖南长沙天心区湘郡培粹实验中学初一竞赛初赛（9月）第2题4分

①③

①②

②④

③④

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的调配问题

课内体系->能力->运算能力

根据人数不变，列出方程：$$40m+25=45m+5$$；  根据客车数不变，列出方程：$$\frac{n-25}{40}=\frac{n-5}{45}$$．  故选$$\text{B}$$．


2016年第27届全国希望杯初一竞赛初赛第15题4分

课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->不定方程


2007年第18届希望杯初一竞赛复赛第6题4分

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质 课内体系->能力->运算能力


2017年第19届浙江宁波余姚市余姚市实验学校初三竞赛（实验杯）第1题4分

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

课内体系->知识点->函数->平面直角坐标系->坐标系基础->象限内坐标的特征

因为$$x+y=3$$，  所以$$x$$和$$y$$中至少有一点大于$$0$$，  所以点$$(x,y)$$一定不在第三象限．  故选$$\text{C}$$．


2009年第20届希望杯初一竞赛第1试第1题4分

竞赛->知识点->数论->整除->素数与合数


2015年第26届全国希望杯初二竞赛复赛第5题

$$y=(k-\frac{1}{k})x+\frac{1}{k}(0\textless{}k\textless{}1)$$是关于$$x$$的一次函数，当$$1\leqslant x\leqslant 2$$时，$$y$$的最大值是（~ ）．

$$k$$

课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数基础->一次函数的增减性


1992年第3届全国希望杯初一竞赛复赛第6题

四个互不相等的正数$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$d$$中，$$a$$最大，$$d$$最小，且$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$，则$$a+d$$与$$b+c$$的大小关系是（~ ）．

$$a+d\textless{}b+c$$

$$a+d\textgreater b+c$$

$$a+d=b+c$$

不确定的

课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性

在四个互不相等的正数$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$d$$中，$$a$$最大，$$d$$最小，  因此有$$a\textgreater b$$，$$a\textgreater c$$，$$a\textgreater d$$，$$b\textgreater d$$，$$c\textgreater d$$．  由$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow \frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1\Leftrightarrow \frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}\Leftrightarrow \frac{a-b}{c-d}=\frac{b}{d}$$．  因为$$b\textgreater d\textgreater0$$，所以$$\frac{a-b}{c-d}=\frac{b}{d}\textgreater1$$，  所以$$a-b\textgreater c-d$$，  所以$$a+b\textgreater b+c$$成立，选$$\text{B}$$．


2002年第13届希望杯初二竞赛第1试第21题

竞赛->知识点->方程与不等式->二次方程->二元二次方程组 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->代数式

由$${{x}^{2}}-xy-5x+5y-1=0$$可得$$x\left( x-y \right)-5\left( x-y \right)-1=0$$，  即有$$\left( x-y \right)\left( x-5 \right)=1$$．  因为$$x$$，$$y$$都是整数，  所以$$\begin{cases}x-y=1    x-5=1   \end{cases}$$或$$\begin{cases}x-y=-1    x-5=-1   \end{cases}$$．  即$$\begin{cases}x=6    y=5   \end{cases}$$或$$\begin{cases}x=4    y=5   \end{cases}$$．


2006年第17届希望杯初二竞赛第1试第9题

对实数$$a$$，$$b$$，定义运算``$$*$$''如下：  $$a*b=\begin{cases}{{a}^{2}}b\quad a\geqslant b    a{{b}^{2}}\quad a\textless{}b    \end{cases}$$．  现已知$$3*m=36$$，则实数$$m$$等于．

$$\pm 2\sqrt{3}$$

$$4$$或$$\pm 2\sqrt{3}$$

课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算 课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->单项式乘单项式 课内体系->思想->分类讨论思想 课内体系->能力->运算能力


2008年第19届希望杯初一竞赛第1试第4题4分

正方形内有一点$$A$$，到各边的距离从小到大依次是$$1$$，$$2$$，$$5$$，$$6$$，则正方形的面积是．

竞赛->知识点->四边形->特殊平行四边形

由于$$A$$在正方形内，  所以$$A$$到两组对边的距离之和相等，  由于只有$$1+6=2+5$$，  于是，正方形的边长只能为$$7$$，  故面积是$${{7}^{2}}=49$$，  故选：$$\text{D}$$．


2013年竞赛第4题4分 初三上学期其它

设函数$$y=\left( \sqrt{4+x}+\sqrt{4-x}+1 \right)\left( \sqrt{16-{{x}^{2}}}+2 \right)$$，则$$y$$的取值范围是（  ）．

$$2\leqslant y\leqslant 20$$

$$2\leqslant y\leqslant 30$$

$$4\sqrt{2}+2\leqslant y\leqslant 20$$

$$4\sqrt{2}+2\leqslant y\leqslant 30$$

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的基础->二次根式有意义的条件


2018年全国初中数学联赛竞赛B卷

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程 课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算 课内体系->能力->运算能力 课内体系->能力->抽象概括能力


1991年第2届希望杯初二竞赛第3题

$$-x\sqrt{xy}$$

$$x\sqrt{xy}$$

$$-x\sqrt{-xy}$$

$$x\sqrt{-xy}$$

竞赛->知识点->数与式->二次根式->二次根式的性质与运算


2019年广东惠州惠城区光正实验学校初二竞赛第3题3分

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的加减以及混合运算


1995年第12届全国初中数学联赛竞赛第3题

如果方程$$\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)=0$$的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数$$m$$的取值范围是．

$$0\leqslant m\leqslant 1$$

$$m\geqslant \frac{3}{4}$$

$$\frac{3}{4}\textless{}m\leqslant 1$$

$$\frac{3}{4}\leqslant m\leqslant 1$$

竞赛->知识点->方程与不等式->二次方程->一元二次方程的根与系数的关系 竞赛->知识点->三角形->三角形基础

显然，方程的一个根为$$1$$，另两根之和为$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\textgreater1$$，三根能作为一个三角形的三边，须且只须$$\left\textbar{} {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right\textbar\textless{}1$$，  又$$\left\textbar{} {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right\textbar=\frac{\sqrt{\Delta }}{\left\textbar{} a \right\textbar}=\sqrt{4-4m}\textless{}1$$，  有$$0\leqslant 4-4m\textless{}1$$，  解得$$\frac{3}{4}\textless{}m\leqslant 1$$，  但作为选择题，只须取$$m=\frac{3}{4}$$代入，得方程的根为$$1$$、$$\frac{3}{2}$$、$$\frac{1}{2}$$，不能组成三角形，故包括$$\frac{3}{4}$$的$$\text{A}$$、$$\text{B}$$、$$\text{D}$$均可否定，选$$\text{C}$$．


2021年福建竞赛（"大梦杯”青少年水平测试）第2~2题


2019年安徽蚌埠初三中考一模（局属学校）第9题4分

2018年湖北黄冈中考真题第6题3分

2018~2019学年10月河南洛阳洛龙区洛阳地矿双语学校初三上学期月考第8题3分

2019~2020学年12月河北石家庄新华区石门实验学校初三上学期月考第13题

2019~2020学年10月安徽合肥包河区合肥市第四十八中学初三上学期月考第10题4分

2019~2020学年江苏苏州姑苏区苏州市草桥中学校初三下学期单元测试《二次函数》第4题

2018~2019学年4月广东深圳宝安区深圳市石岩公学初三下学期周测（第12周）第11题3分

2018~2019学年9月湖北武汉蔡甸区初三上学期月考第9题3分

2018~2019学年天津滨海新区初三上学期期末第12题3分

2018年第20届浙江宁波余姚市余姚市实验学校初三竞赛决赛（实验杯）第6题4分

2018~2019学年福建厦门思明区厦门松柏中学初三上学期期中第9题4分

2019~2020学年10月江苏苏州姑苏区金阊实验中学初三上学期月考第9题3分

课内体系->能力->运算能力


2001年第12届希望杯初一竞赛第5题

绝对值

倒数

相反数

倒数的相反数

课内体系->知识点->数->有理数->相反数 课内体系->能力->运算能力


2007年第18届希望杯初一竞赛初赛第10题4分

对任意四个有理数$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$d$$，定义新运算：  $$\left\textbar{} \begin{matrix}a    b    c    d    \end{matrix} \right\textbar=ad-bc$$  已知$$\left\textbar{} \begin{matrix}2x      -4    x              1    \end{matrix} \right\textbar=18$$，则$$x=$$．

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算

由已知新运算的定义，知  $$\left\textbar{} \begin{matrix}2x      -4    x              1    \end{matrix} \right\textbar=2x-\left( -4 \right)x=18$$，  解得$$x=3$$．  故选$$\text{C}$$．


2001年第12届希望杯初二竞赛第1试第9题

某工厂生产的灯泡中有$$\frac{1}{5}$$是次品，实际在检查时，只发现其中的$$\frac{4}{5}$$被剔除，另有$$\frac{1}{20}$$的正品也被误以为是次品而剔除，其余的灯泡全部上市出售，那么该工厂出售的灯泡中次品所占的百分率是．

$$4 \%$$

$$5 \%$$

$$6.25 \%$$

$$7.25 \%$$

竞赛->知识点->方程与不等式->一次方程->一元一次方程

设工厂的总产量为$$M$$，则次品为$$\frac{1}{5}M$$；正品为$$\frac{4}{5}M$$；  检查时，被剔除的次品数为$$\frac{1}{5}M\times \frac{4}{5}=\frac{4}{25}M$$，  被剔除的正品数为$$\frac{4}{5}M\times \frac{1}{20}=\frac{1}{25}M$$．  所以出售的产品中次品数为$$\frac{1}{5}M-\frac{4}{25}M=\frac{1}{25}M$$．  而出售产品的总量为$$\dfrac{1}{25}M+\left( \dfrac{4}{5}M-\frac{1}{25}M \right)=\frac{4}{5}M$$．  所以该工厂出售的灯泡中次品所占的百分率为$$\frac{\dfrac{1}{25}M}{\dfrac{4}{5}M}\times 100 \%=5 \%$$．  故选$$\text{B}$$．


初三上学期单元测试《概率初步》第22题 2009年竞赛第3题7分

将一枚六个面编号分别为$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为$$a$$，第二次掷出的点数为$$b$$，则使关于$$x$$，$$y$$的方程组$$\begin{cases}ax+by=3    x+2y=2 \end{cases}$$只有正数解的概率为．

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->统计与概率->概率->概率的计算方法

当$$2a-b=0$$时，方程组无解．  当$$2a-b\ne 0$$时，方程组的解为$$\begin{cases}x=\dfrac{6-2b}{2a-b}    y=\dfrac{2a-3}{2a-b}    \end{cases}$$，  由已知，得$$\begin{cases}\dfrac{6-2b}{2a-b}\textgreater0    \dfrac{2a-3}{2a-b}\textgreater0    \end{cases}$$  即$$\begin{cases}2a-b\textgreater0    a\textgreater-\dfrac{3}{2}    b\textless{}3    \end{cases}$$，  或$$\begin{cases}2a-b\textless{}0    a\textless{}\dfrac{3}{2}    b\textgreater3    \end{cases}$$，  由$$a$$，$$b$$的实际意义为$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$，可得$$a=2$$或$$3$$或$$4$$或$$5$$或$$6$$，$$b=1$$或$$2$$，  共有$$5\times 2=10$$种情况；或$$a=1$$，$$b=4$$或$$5$$或$$6$$，共$$3$$种情况．  又掷两次骰子出现的基本事件共$$6\times 6=36$$种情况，故所求的概率为$$\frac{13}{36}$$．


初二下学期其它 2000年第11届希望杯初一竞赛第8题

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->含参一元一次方程->一元一次方程的含参整数解

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->解一元一次方程->分离法解一元一次方程


2002年第13届希望杯初二竞赛第2试第9题

课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->最简分式 课内体系->知识点->式->分式->分式的基础->最简公分母


1997年第8届希望杯初二竞赛第2试第3题

下列图形中，不是轴对称图形的是．

直角三角形$$ABC$$

角$$DOE$$

等边三角形$$FGH$$

线段$$MN$$

竞赛->知识点->几何变换->对称

角$$DOE$$的对称轴是它的角平分线所在的直线；  等边三角形$$FGH$$的对称轴有三条，它们是三边的垂直平分线；  线段$$MN$$的对称轴是$$MN$$的垂直平分线，  只有直角三角形$$ABC$$不是轴对称图形．  故选$$\text{A}$$．


1995年第6届全国希望杯初一竞赛复赛第9题

$$P\textgreater Q\textgreater R$$

$$Q\textgreater P\textgreater R$$

$$P\textgreater R\textgreater Q$$

$$R\textgreater Q\textgreater P$$


1991年第2届全国希望杯初一竞赛初赛第1题

最小整数

最小正数

最小正整数

最小有理数

课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的分类

整数无最小数，排除$$\text{A}$$；  正数无最小数，排除$$\text{B}$$；  $$0$$是最小正整数，选择C；  有理数无最小数，排除$$\text{D}$$．  考试的时候，当时规定$$0$$不是自然数，后来$$0$$也规定为自然数了．


初一下学期其它第18题 2016~2017学年陕西西安高新区西安高新第一中学初二上学期期末第24题7分 2008年第19届希望杯初二竞赛第2试第2题

关于$$x$$，$$y$$的方程组$$\begin{cases}x+ay+1=0    bx-2y+1=0 \end{cases}$$有无数组解，则$$a$$，$$b$$的值为（~ ）．

$$a=2$$，$$b=1$$ ~

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->二元一次方程组的解

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->含参二元一次方程组->二元一次方程组解的情况

课内体系->能力->运算能力


1999年第10届希望杯初一竞赛第6题

2018~2019学年安徽宿州灵璧县尹集中学初一上学期期中第16题3分

2016~2017学年9月吉林长春农安县农安县第一中学初一上学期月考第6题3分

2019~2020学年9月江苏连云港海州区连云港市新海实验中学（苍梧校区）初一上学期周测B卷第5题3分

2017~2018学年广东深圳福田区深圳外国语学校初一上学期期中第3题3分

2015~2016学年浙江杭州上城区初一上学期期中第7题3分

设$$a$$是最小的自然数，$$b$$是最大的负整数，$$c$$是绝对值最小的有理数，则$$a-b+c$$的值为．

课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的分类

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数减法->有理数加减混合运算

课内体系->能力->运算能力

因为$$a$$是最小的自然数，所以$$a=0$$，  因为$$b$$是最大的负整数，所以$$b=-1$$，  因为$$c$$是绝对值最小的有理数，所以$$c=0$$，  所以$$a-b+c=0-\left(-1\right)+0=1$$．  故选$$\text{C}$$．


1997年第8届全国希望杯初一竞赛复赛第4题

①与②

①与③

①与④

②与④

课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->分式方程的解

方程①的解$$x=1$$，将$$x=1$$代入方程②，方程②成立，  ∴$$x=1$$也是方程②的解．  方程①和②是同解方程，而①与③显然不同解；  ①的解代入④，④无意义．  ∴$$\text{B}$$、$$\text{C}$$、$$\text{D}$$都不正确，只有$$\text{A}$$正确．  所以选$$\text{A}$$．


2007年竞赛第5题6分

无穷多

竞赛->知识点->方程与不等式->二次方程->特殊方程的解法

原方程可化为$$x\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)+3\left( {{x}^{2}}+x \right)=y\left( y-1 \right)\left( y+1 \right)+2$$，因为三个连续整数的乘积是$$3$$的倍数，所以上式左边是$$3$$的倍数，而右边除以$$3$$余$$2$$，这是不可能的，所以，原方程无整数解．  故选$$\text{A}$$．


1994年第11届全国初中数学联赛竞赛第6题6分

若方程$$\sqrt{x-p}=x$$有两个不相等的实根，则实数$$p$$的取值范围是（ ~ ~）．

$$p\leqslant 0$$

$$0\leqslant p\textless{}\frac{1}{4}$$

$$p\geqslant \frac{1}{4}$$

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->一元二次方程根的判别式

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的基础->二次根式有意义的条件

本题可以用特殊值法，排除不合理的选项：  取$$p=-1$$，代入原方程得$$\sqrt{x+1}=x$$，即$${{x}^{2}}-x-1=0$$，此时，方程有一个负根，于是可排除$$\text{A}$$，$$\text{B}$$，  取$$p=1$$，代入原方程得$${{x}^{2}}-x+1=0$$，无解，故排除$$\text{D}$$，  因此，应选$$\text{C}$$．


\textbf{2011 Think Cup G5}  艾尔、比和卡尔以恒定的速度刷墙，他们正在一起刷一所房子．艾尔和比一起可以在$$12$$小时内完成这项工作；艾尔和卡尔可以在$$15$$分钟内完成，比和卡尔可以在$$20$$分钟内完成．三个人一起粉刷房子要花多少小时？．

课内体系->知识点->式->因式分解->十字相乘法->二次项系数为±1的十字相乘

美国AMC8->Knowledge Point->Word Problem->Work Word Problems->Cooperative Work Word Problems


2014年第25届全国希望杯初一竞赛复赛第1题4分

课内体系->知识点->数->有理数->正数和负数->正数、负数定义

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数减法->确定几个数和或差的符号

课内体系->能力->运算能力

方法一：  不妨设$$a\textgreater b\textgreater c$$，  则$$\frac{a-b}{b-c}\textgreater0$$，$$\frac{b-c}{c-a}\textless{}0$$，$$\frac{c-a}{a-b}\textless{}0$$，  所以有$$2$$个负数．  方法二：  取$$a=0$$，$$b=1$$，$$c=-2$$，  则$$\frac{a-b}{b-c}=\frac{-1}{3}=-\frac{1}{3}$$，$$\frac{b-c}{c-a}=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}$$，$$\frac{c-a}{a-b}=\frac{-2}{-1}=2$$，  所以有$$2$$个负数．


2019~2020学年3月广东深圳福田区深圳明德实验学校初三下学期月考第3题

2018~2019学年5月广东深圳罗湖区深圳中学初中部初一上学期周测A卷竞赛班初一第23次第1题3分

2019~2020学年4月四川成都金牛区成都七中万达学校初三下学期周测B卷第3题3分

2020年广东中山市南朗镇中山纪念中学初三中考一模第3题3分

2019年四川成都邛崃市初三中考二模第4题3分

2019年四川成都青羊区初三中考二模第4题3分

港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海洪湾，全长$$55$$千米，设计时速$$100$$千米/小时，工程项目总投资额$$1269$$亿元，用科学记数法表示$$1269$$亿元为．

$$1269\times {{10}^{8}}$$

$$1.269\times {{10}^{8}}$$

$$1.269\times {{10}^{10}}$$

$$1.269\times {{10}^{11}}$$

课内体系->知识点->数->有理数->科学记数法->科学记数法：表示较大的数


2015年第32届全国全国初中数学联赛竞赛A卷第5题7分

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->解一元二次方程->换元法求一元二次方程的根

课内体系->方法->配方法


2000年第11届希望杯初二竞赛第2试第7题 初一其它

三元方程$$x+y+z=1999$$的非负整数解的个数有（~ ~ ）．

课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->三元一次方程组->三元一次方程组的定义

课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->三元一次方程组->解三元一次方程组


1993年第4届全国希望杯初一竞赛初赛第6题

课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数除法运算


2013年四川成都成华区成都石室中学初中学校初三自主招生第4题5分 2011年竞赛第3题4分

课内体系->知识点->三角形->锐角三角函数及解直角三角形->解直角三角形

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程的基础->一元二次方程的根

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->解一元二次方程->因式分解法求一元二次方程的根

课内体系->能力->推理论证能力

课内体系->思想->方程思想


2009年第14届华杯赛初一竞赛初赛第9题

竞赛->知识点->方程与不等式->一次方程->方程组


2009年第20届希望杯初二竞赛第2试第6题4分

竞赛->知识点->数与式->整式->整式的乘除运算


2019~2020学年9月江苏无锡梁溪区东林中学初一上学期月考第8题3分 1996年第7届全国希望杯初一竞赛初赛第6题

如果$$x\textless-2$$，那么化简$$\left\textbar{} 1-\left\textbar{} 1+x \right\textbar{} \right\textbar$$的结果为．  If $$x\textless-2$$, the result of simplifying $$\left\textbar{} 1-\left\textbar{} 1+x \right\textbar{} \right\textbar$$ is ．

$$x$$

$$-x$$

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->已知范围化简绝对值 课内体系->能力->运算能力

∵$$x\textless{}-2$$，  ∴$$1+x\textless{}0$$，  ∴$$\textbar1+x\textbar=-x-1$$，  ∴$$\textbar1-\textbar1+x\textbar\textbar=\textbar1-(-x-1)\textbar$$  $$=\textbar2+x\textbar$$  $$=-2-x$$．  故选$$\text{A}$$．


2002年第13届希望杯初二竞赛第2试第10题

一个长方体的棱长都是正整数，体积是$$2002$$，若对应棱长相等的长方体算作同一种长方体，那么这样的长方体．

课内体系->知识点->几何图形初步->几何图形->立体图形与平面图形->点线面体

课内体系->能力->运算能力

竞赛->知识点->数论->整除->因数与倍数

不失一般性，可设长方体在同一顶点处的三条棱长分别为$$a\leqslant b\leqslant c$$，  又$$2002=1\times 2\times 7\times 11\times 13$$．  ①$$a=b=1$$时，$$c=2002$$，这样的长方体只有$$1$$种；  ②当$$a=1$$，$$b$$是质数$$2$$，$$7$$，$$11$$，$$13$$中的一个时，这样的长方体共有$$4$$种；  ③当$$a=1$$，$$b$$是$$2$$，$$7$$，$$11$$，$$13$$中的两个数的乘积时，则有$$b=2\times 7$$，$$b=2\times 11$$，$$b=2\times 13$$共$$3$$种可能（b不能是$$7\times 11$$或$$7\times 13$$或$$11\times 13$$）；  ④当$$a=2$$时，$$b$$是$$7$$，$$11$$，$$13$$中的一个时，这样的长方体有$$3$$种；  ⑤当$$a=7$$时，$$b$$是$$11$$或$$13$$中的一个时，这样的长方体有$$2$$种；  ⑥当$$a=11$$时，$$b$$只能取$$13$$，这样的长方体只有$$1$$种．  综上所述，符合条件的长方体有$$14$$种．  故选$$\text{C}$$．


2017年安徽芜湖镜湖区芜湖市第一中学初三自主招生第6题6分 2004年竞赛第1题6分

已知实数$$a\ne b$$，且满足$${{\left( a+1 \right)}^{2}}=3-3\left( a+1 \right)$$，$$3\left( b+1 \right)=3-{{\left( b+1 \right)}^{2}}$$，则$$b\sqrt{\frac{b}{a}}+a\sqrt{\frac{a}{b}}$$的值为（~ ）．

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->一元二次方程根与系数的关系


2007年竞赛第1题6分 2017~2018学年江苏无锡滨湖区无锡外国语学校初一下学期期中第10题3分

\textbf{【七年级新思维$$-93$$页$$-18$$题】}  方程组$$\begin{cases}\left\textbar{} x \right\textbar+y=12    x+\left\textbar{} y \right\textbar=6   \end{cases}$$的解的个数为．

知识标签->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组->二元一次方程组的解

知识标签->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组->加减消元法解二元一次方程组

知识标签->题型->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->题型：解含绝对值的方程组

知识标签->数学思想->分类讨论思想

知识标签->学习能力->运算能力

①当$$x\textgreater0$$，$$y\textgreater0$$时，原方程组为$$\begin{cases}x+y=12    x+y=6   \end{cases}$$显然无解；  ②当$$x ~\textless{} ~0$$，$$y\textgreater0$$时，原方程组为$$\begin{cases}-x+y=12    x+y=6   \end{cases}$$，解得$$\begin{cases}x=-3    y=9   \end{cases}$$；  ③当$$x\textgreater0$$，$$y ~\textless{} ~0$$时，原方程组为$$\begin{cases}x+y=12    x-y=6   \end{cases}$$，解得$$\begin{cases}x=9    y=3   \end{cases}$$，舍去；  ④当$$x ~\textless{} ~0$$，$$y ~\textless{} ~0$$时，原方程组为$$\begin{cases}-x+y=12    x-y=6   \end{cases}$$显然无解；  综上，只有$$1$$组解．故选$$\text{A}$$．  若$$x\geqslant 0$$，则$$\begin{cases}x+y=12    x+\left\textbar{} y \right\textbar=6   \end{cases}$$，于是$$\left\textbar{} y \right\textbar-y=-6$$，显然不可能．  若$$x ~\textless{} ~0$$，则$$\begin{cases}-x+y=12    x+\left\textbar{} y \right\textbar=6   \end{cases}$$，  于是$$\left\textbar{} y \right\textbar+y=18$$，解得$$y=9$$，进而求得$$x=-3$$．  所以，原方程组的解为$$\begin{cases}x=-3    y=9   \end{cases}$$，只有$$1$$个解．  故选$$\text{A}$$．


2014年第31届全国全国初中数学联赛竞赛第5题7分

课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算 课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->和与差的立方公式 课内体系->能力->运算能力


2015年第32届全国全国初中数学联赛竞赛A卷第1题7分

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->平方差公式的计算 课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算


2012年第23届全国希望杯初一竞赛复赛第9题4分

身高两两不同的$$30$$个学生向老师站成一排．其中恰有$$11$$个学生高于自己左侧相邻的同学．那么高于自己右侧相邻学生的学生有（~ ）人．

竞赛->知识点->组合->容斥原理 课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小


2015年第26届全国希望杯初三竞赛初赛（特）第9题

已知函数$$y=\frac{3x+m}{1-2x}$$，当$$x\textless{}\frac{1}{2}$$时，$$y$$随$$x$$的增大而减小，则实数$$m$$的取值范围是（~ ）．

$$-\frac{3}{2}\textless{}m\textless{}0$$

$$m\textless{}-\frac{3}{2}$$或$$m\textgreater0$$

课内体系->知识点->函数->函数概念和图象->函数的相关概念->探究函数性质


1990年第1届希望杯初二竞赛第3题

竞赛->知识点->数与式->整式->整式的乘除运算


2008年第19届希望杯初二竞赛第2试第3题

在平面直角坐标系内，有等腰三角形$$AOB$$，$$O$$是坐标原点，点$$A$$的坐标是$$(a,b)$$，底边$$AB$$的中线在第一、三象限的角平分线上，则点$$B$$的坐标是．

$$(b,a)$$

$$(-a,-b)$$

$$(a,-b)$$

$$(-a,b)$$

竞赛->知识点->几何变换->对称

因为$$\triangle OAB$$是等腰三角形，$$O$$为顶点，  所以$$OA=OB$$，又$$AB$$为底边，  所以$$AB$$垂直于中线，即垂直于直线$$y=x$$，  不防设$$a=2$$，$$b=1$$，画图可知$$A(2,1)$$关于$$y=x$$的对称点为$$(1,2)$$．  点$$A(a,b)$$关于$$y=x$$的对称点为$$(b,a)$$，  故选$$\text{A}$$．


1999年第10届希望杯初二竞赛第1试第5题

两个数$$a$$，$$b$$，且$$a\textless b$$，把$$a$$到$$b$$的所有数记做$$[a, b]$$，例如$$1$$到$$4$$的所有数记做$$[1,4]$$，如果$$5 \leqslant m \leqslant 15$$，$$20 \leqslant n \leqslant 30$$，那么$$\frac{m}{n}$$的一切值包含在内．

$$\left[\frac{1}{4}, \frac{3}{4}\right]$$

$$\left[\frac{1}{6}, \frac{2}{3}\right]$$

课内体系->能力->数据处理能力

因为$$5 \leqslant m \leqslant 15$$，$$20 \leqslant n \leqslant 30$$，  所以当$$m=5$$，$$n=30$$时，$$\frac{m}{n}=\frac{1}{6}$$是$$\frac{m}{n}$$中的最小值，  当$$m=15$$，$$n=20$$时，$$\frac{m}{n}=\frac{3}{4}\left(\textless\frac{7}{8}\right)$$是$$\frac{m}{n}$$中的最大值，  所以$$\frac{m}{n}$$中的所有值都在$$\left[\frac{1}{6}, \frac{7}{8}\right]$$内．  故选$$\text{D}$$．


2018~2019学年5月广东深圳罗湖区深圳中学初中部初一上学期周测A卷竞赛班初一第23次第6题3分

$$\begin{cases}x=6    y=8   \end{cases}$$

$$\begin{cases}x=8    y=6   \end{cases}$$

$$\begin{cases}x=8    y=10   \end{cases}$$

$$\begin{cases}x=10    y=10   \end{cases}$$

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->二元一次方程组的解

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程->由二元一次方程的解求参数的值

课内体系->能力->运算能力


上海自主招生近5年（2015-2019）真题题型分类汇编第15题

2017~2018学年5月四川成都天府新区 成都市实验外国语学校（西区）初二下学期月考第10题3分

2019~2020学年3月浙江杭州滨江区杭州二中白马湖学校初一下学期周测C卷第9题

1996年第7届希望杯初二竞赛第3题4分

已知$${{x}^{2}}+ax-12$$能分解成两个整数系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数$$a$$的个数是．

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->式->因式分解->因式分解的基础->已知因式分解结果求参数

设$$x^{2}+ax-12$$能分解成两个整数系数的一次因式的乘积，  即$$x^{2}+ax-12=(x+m)(x+n)$$，$$m$$，$$n$$是整数，  $$\therefore x^{2}+ax-12=x^{2}+(m+n)x+mn$$，  $$\therefore \begin{cases}mn=-12 \m+n=a\end{cases}$$，  $$\because m$$，$$n$$是整数，且$$mn=-12$$，  有$$\begin{cases}m=12 \n=-1\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=-1 \n=12\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=6 \n=-2\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=-2 \n=6\end{cases}$$，  $$\begin{cases}m=4 \n=-3\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=-3 \n=4\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=3 \n=-4\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=-3 \n=4\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=2 \n=-6\end{cases}$$，  $$\begin{cases}m=-6 \n=2\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=1 \n=-12\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=-12 \n=1\end{cases}$$，共$$12$$种情况．  而$$a=m+n$$，只有$$6$$种结果，  故选$$\text{C}$$．


2007年第18届希望杯初一竞赛初赛第6题4分

已知$$p$$，$$q$$，$$r$$，$$s$$是互不相同的正整数，且满足$$\frac{p}{q}=\frac{r}{s}$$，则(  )．

$$\frac{p}{s}=\frac{r}{q}$$

$$\frac{p}{r}=\frac{s}{q}$$

$$\frac{p}{q}=\frac{p+r}{q+s}$$

$$\frac{r}{s}\ne\frac{r-p}{s-q}$$

课内体系->思想->方程思想 课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->三角形->相似三角形->比例线段->比例的综合应用 课内体系->知识点->三角形->相似三角形->比例线段->比例线段的性质


2018~2019学年浙江嘉兴初一上学期期末第7题3分

2018~2019学年5月广东深圳罗湖区深圳中学初中部初一上学期周测A卷竞赛班初一第23次第2题3分

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->由同类项求参数的值

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->同类项的定义

课内体系->能力->运算能力


2017~2018学年广东深圳南山区南山实验教育集团麒麟中学初一下学期开学考试第9题

2000年第11届希望杯初一竞赛第10题

2017~2018学年江苏无锡江阴市江阴市敔山湾实验学校初三下学期期中第1题3分

小明编制了一个计算程序．当输入任一有理数，显示屏的结果总等于所输入有理数的平方与$$1$$之和．若输入$$-1$$，并将所显示的结果再次输入，这时显示的结果应当是（~ ）．

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->数->实数->实数运算->其他实数的运算

∵当输入任一有理数，显示屏的结果总等于所输入有理数的平方与$$1$$之和，  ∴若输入$$-1$$，则显示屏的结果为$${{(-1)}^{2}}+1=2$$，再将$$2$$输入，则显示屏的结果为$${{2}^{2}}+1=5$$．


2002年竞赛第1题5分

2016~2017学年江西景德镇初二下学期期中景德镇一中1班第1题4分

2020~2021学年重庆北碚区重庆市西南大学附属中学初二上学期开学考试第10题4分

课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-条件化简求值 课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算 课内体系->能力->运算能力


2015年第26届全国希望杯初一竞赛复赛第7题

甲、乙两人沿同一路线骑车（匀速）从$$A$$站到$$B$$站，甲要用$$30$$分钟，乙要用$$40$$分钟．如果乙比甲早出发$$5$$分钟去$$B$$站，则甲追上乙时，是甲出发后的第（~ ）．

课内体系->能力->运算能力

课内体系->能力->分析和解决问题能力

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的行程问题->一元一次方程的行程问题-追及问题

甲每分钟行驶路程的$$\frac{1}{30}$$，乙每分钟行驶路程的$$\frac{1}{40}$$．  设$$x$$分钟后，甲追上乙，  由题意，得$$\frac{x}{30}=\frac{x+5}{40}$$，  解得$$x=15$$．  答：甲出发后的第$$15$$分钟，追上乙．


1998年第9届希望杯初二竞赛第2试第9题

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->高次方程


2013年第24届全国希望杯初二竞赛初赛第23题8分

不确定

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->分式方程的增根问题


2015年第26届全国希望杯初一竞赛复赛第2题

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数减法->有理数减法运算

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数减法->有理数加减混合运算


2013年竞赛第9题3分

1组

2组

3组

无数组

竞赛->知识点->方程与不等式->二次方程->一元二次方程的根与系数的关系

由一元二次方程根与系数的关系得  $$\begin{cases}a+b=-c    ab=d    c+d=-a    cd=b   \end{cases}$$，  由上式，可知$$b=-a-c=d$$．  若$$b=d\ne 0$$，则$$a=\frac{d}{b}=1$$，$$c=\frac{b}{d}=1$$，进而$$b=d=-a-c=-2$$．  若$$b=d=0$$，则$$c=-a$$，有$$\left( a , b , c , d \right)=\left( t , 0 , -t , 0 \right)$$（$$t$$为任意实数）．  经检验，数组$$\left( 1 , -2 , 1 , -2 \right)$$与$$\left( t , 0 , -t , 0 \right)$$（$$t$$为任意实数）满足条件．


1990年第1届全国希望杯初一竞赛初赛第2题

下面的说法中正确的是（~ ~ ~）．

单项式与单项式的和是单项式

单项式与单项式的和是多项式

多项式与多项式的和是多项式

整式与整式的和是整式

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->单项式->单项式的定义

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->多项式->多项式的定义


2023年浙江宁波初三竞赛鄞州区联考学校：鄞实、曙光、鄞外、高桥、雅戈尔、集士港

$$3{{x}^{3}}\cdot 2{{x}^{2}} y=6{{x}^{5}}$$

$$2{{a}^{2}}\cdot 3{{a}^{3}}=6{{a}^{5}}$$

$$\left( -2x \right)\cdot \left( -5{{x}^{2}} y \right)= -10 {{x}^{3}}y$$

$$\left( -2xy \right)\cdot \left( -3{{x}^{2}}y \right)=6{{x}^{3}}y$$

课内体系->方法->整体法 课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->单项式乘单项式 课内体系->思想->整体思想 课内体系->能力->运算能力


2020年第22届浙江宁波余姚市余姚市实验学校初三竞赛（实验杯）第6题4分

课内体系->知识点->函数->二次函数->二次函数y=ax^2+bx+c 的图象和性质->二次函数y=ax^2+bx+c 的最值问题->给定范围求二次函数最值


全国全国初中数学联赛竞赛C卷

$$\pm 1$$

$$\pm \sqrt{3}$$

$$\pm 3$$

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->配方思想的运用


2003年第20届全国初中数学联赛竞赛第4题7分 初三上学期其它

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->无理方程

\textbf{（知识点：无理方程）}  已知等式可化为  $$\sqrt{y}{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}+\left[ {{\left( \sqrt{y} \right)}^{2}}+\sqrt{2003}\sqrt{y}-\sqrt{2003} \right]\sqrt{x}$$$$-\sqrt{2003}\left( \sqrt{y}+\sqrt{2003} \right)=0$$，  所以$$\left( \sqrt{y}\sqrt{x}-\sqrt{2003} \right)\left( \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{2003} \right)=0$$．  又由题意，$$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{2003}\textgreater0$$，  则$$\sqrt{y}\sqrt{x}-\sqrt{2003}=0\Rightarrow xy=2003$$．  而$$2003$$为质数，且$$x$$、$$y$$为正整数，所以$$\left( x,y \right)=\left( 2003,1 \right)$$，$$\left( 1,2003 \right)$$．所以选$$\text{B}$$．


2009年全美数学竞赛（AMC）竞赛

有多少个三位数，其各个数位之积等于$$24$$？．

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘法->有理数乘法运算

美国AMC8->Knowledge Point->Number Theory->Factors and Multiples->Factors and Multiples Basics

美国AMC8->Knowledge Point->Number Theory->Place Value and Number Bases->Numbers and Digits

有多少个三位数，其各个数位之积等于$$24$$？  从最小到最大列出的数字，三位整数位$$138$$，$$146$$，$$226$$，$$234$$，$$226$$可按$$\frac{3！}{2！}=3$$方式排列，其他三种可按$$3！=6$$方式排列，有$$3+6(3)=\text{D}21$$个三位数的正整数．  With the digits listed from least to greatest, the $$3$$-digit integers are $$138$$, $$146$$, $$226$$, $$234$$, $$226$$ can be arranged in $$\frac{3!}{2!}=3$$ ways, and the other three can be arranged in $$3!= 6 $$ways. There are $$3+6(3)=21$$,$$3$$-digit positive integers.


初三上学期其它 2010年竞赛第2题7分

$$a\leqslant -2$$

$$a\geqslant 4$$

$$a\leqslant -2$$或$$a\geqslant 4$$

$$-2\leqslant a\leqslant 4$$

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->由一元二次方程根的情况确定参数

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->一元二次方程根的判别式


2009年第20届希望杯初二竞赛第2试第5题

面积是$$48$$的矩形的边长和对角线的长都是整数，则它的周长等于(  )．

竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质


2016年全国华杯赛初一竞赛

知识标签->知识点->式->分式->分式的运算->分式的加减 知识标签->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式 知识标签->学习能力->运算能力 知识标签->题型->式->整式的乘除->乘法公式->题型：利用完全平方公式计算


2011年第22届全国希望杯初二竞赛复赛第1题4分

$$B\textgreater C$$

$$B=C$$

$$B\textless{}C$$

不确定

课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数的估算 课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数大小的比较

因为$$\sqrt[3]{2}\textless{}\sqrt{2}$$，  则由题设得$$B=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt[3]{2}}A\textgreater\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}A=\sqrt{3}$$，  而$$C=\sqrt{2.9}\textless{}\sqrt{3}$$，  所以$$B\textgreater C$$．


2001年第12届希望杯初一竞赛第10题 初一上学期单元测试《一元一次方程》第20题

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->含参一元一次方程->一元一次方程的含参整数解


2000年第17届全国初中数学联赛竞赛第2题7分

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->多项式除以多项式 课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算 课内体系->能力->运算能力


1998年第9届希望杯初一竞赛第5题

正数

非正数

负数

非负数

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值->整式乘除化简求值-条件化简求值

课内体系->能力->运算能力


1996年第7届希望杯初二竞赛第3题

上海自主招生近5年（2015-2019）真题题型分类汇编第15题

课内体系->知识点->式->因式分解->因式分解的基础->已知因式分解结果求参数

课内体系->能力->运算能力


2014年第25届全国希望杯初一竞赛初赛第9题4分

课内体系->知识点->数->实数->平方根->非负性的应用

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算

课内体系->能力->运算能力


2002年第13届希望杯初一竞赛第1试第4题

下面四个命题中，正确的是．

一切有理数的倒数还是有理数

一切正有理数的相反数必是负有理数

一切有理数的绝对值必是正有理数

一切有理数的平方是正有理数

竞赛->知识点->数与式->绝对值->绝对值的代数意义

因为有理数$$0$$无倒数；$$0$$的绝对值是零，不是正有理数；$$0$$的平方是$$0$$，$$0$$不是正有理数．  故选$$\text{B}$$．


2020~2021学年6月重庆渝中区重庆市巴蜀中学校初一下学期周测C卷第10题4分

2018~2019学年5月广东深圳罗湖区深圳市罗湖区翠园中学（初中部）初一下学期周测B卷（竞赛班）第10题2分

2018~2019学年河北石家庄新华区石家庄第四十二中学初一下学期期中第16题3分

已知关于$$x$$的方程$$9x-3=kx+14$$有整数解，且关于$$x$$的不等式组$$\begin{cases}\dfrac{x+15}{2}\textgreater x+5    \dfrac{3x}{2}\geqslant \dfrac{k-2}{8}-2x    \end{cases}$$有且只有$$4$$个整数解，则满足条件的整数$$k$$有个．

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->解一元一次不等式组

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->由不等式（组）的整数解情况求参数范围

课内体系->能力->运算能力

解关于$$x$$的方程$$9x-3=kx+14$$得：$$x=\frac{17}{9-k}$$，  ∵方程有整数解，  ∴$$9-k=\pm 1$$或$$9-k=\pm 17$$，  解得：$$k=8$$或$$10$$或$$-8$$或$$26$$，  解不等式组$$\begin{cases}\dfrac{x+15}{2}\textgreater x+5    \dfrac{3x}{2}\geqslant \dfrac{k-2}{8}-2x    \end{cases}$$，得不等式组的解集为$$\frac{k-2}{28}\leqslant x\textless{}5$$，  ∵不等式组有且只有四个整数解，  ∴$$0\textless{}\frac{k-2}{28}\leqslant 1$$，解得：$$2\textless{}k\leqslant 30$$，  所以满足条件的整数$$k$$的值为$$8$$或$$10$$或$$26$$．  故答案选：$$\text{C}$$．


2013年第24届全国希望杯初二竞赛复赛第1题4分

课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数大小的比较


2001年第12届希望杯初二竞赛第2试第9题

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->含乘方的有理数混合运算

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算


2015年第26届全国希望杯初一竞赛复赛第9题

小明、小红、小华、小彬四人中的一人书包里有苹果，老师问：谁的书包里有苹果？四人回答如下：  小明：苹果不在我这里；  小红：苹果在小彬那里；  小华：苹果在小红那里；  小彬：苹果不在我这里．  若其中只有一人说了假话，则书包里有苹果的是（ ~ ~）．

小明

小红

小华

小彬

小升初->小升初知识点->组合模块->逻辑推理

用假设法：  （$$1$$）假设小明说了假话，那么苹果在小明那里，小红和小华就说的是假话，与题设冲突；  （$$2$$）假设小红说的是假话，其他人说的都是真话，那么苹果在小红那里；  （$$3$$）假设小华说了假话，则小红说``苹果在小彬那里''与小彬说``苹果不在我这里''都是真话，互相矛盾；  （$$4$$）假设小彬说的是假话，那么小华说的就是假话，这样小彬、小华都说假话，与``其中只有一人说的是假话''的题设不符．  因此苹果在小红那里．


2019年第1届广东深圳罗湖区深圳中学初中部初一竞赛（凤凰木杯）第3题3分

竞赛->知识点->数与式->二次根式->二次根式的性质与运算


1995年第6届全国希望杯初一竞赛初赛第10题

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算->整式加减 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义


2007年第18届希望杯初二竞赛第1试第2题

任意实数

竞赛->知识点->方程与不等式->含参方程


2011年第22届全国希望杯初二竞赛初赛第17题4分

设完全平方数$$A$$是$$11$$个连续整数的平方和，则$$A$$的最小值是~\uline{~~~~~~~~~~}~．

课内体系->能力->抽象概括能力

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式

竞赛->知识点->数论->同余->完全平方数


2016年初二上学期其它 2010年第21届希望杯初二竞赛第2试第2题

课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算 课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-整体代入求值 课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-条件化简求值 课内体系->能力->运算能力


2009年第20届希望杯初二竞赛第1试第7题

在$$100\sim 1000$$的整数中（含$$100$$和$$1000$$），既不是完全平方数，也不是完全立方数的数有．

竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题


2007年第18届希望杯初二竞赛第2试第4题

古人用天干和地支记次序，其中天干有$$10$$个：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸．地支有$$12$$个：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的$$10$$个汉字和地支的$$12$$个汉字对应排列成如下两行：  甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁$$\cdots \cdots $$  子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥$$\cdots \cdots $$  从左向右数，第$$1$$列是甲子，第$$2$$列是乙丑，第$$3$$列是丙寅$$\cdots \cdots $$，我国的农历纪年就是按这个顺序得来的，如公历$$2007$$年是农历丁亥年．那么从该年往后，农历纪年为甲亥年的那一年在．

没有对应的年号

竞赛->知识点->组合->排列与组合

天干有$$10$$个，地支有$$12$$个，它们对应排列，天干中排在奇数位的甲、丙$$\cdots \cdots $$，只能与文中排在奇数位的子、寅$$\cdots \cdots $$组合成农历纪年，而亥排在地支中的第$$12$$位，所以不可能甲亥年．  故选$$\text{D}$$．


2016年第27届全国希望杯初二竞赛复赛第2题4分

已知关于$$x$$的不等式组$$\left { \begin{matrix}x-3m\textless{}0    n-2x\textless{}0   \end{matrix} \right.$$的解集是$$-1\textless{}x\textless{}3$$，则$${{(m+n)}^{2016}}=$$（~ ）．

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->由不等式（组）的解集求参数的范围


1995年第6届全国希望杯初一竞赛复赛第2题

已知$$\left\textbar{} a \right\textbar=-a$$，则化简$$\left\textbar{} a-1 \right\textbar-\left\textbar{} a-2 \right\textbar$$所得的结果是（~ ）．

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->利用题设条件推理化简绝对值

∵$$\left\textbar{} a \right\textbar=-a$$，∴$$a\leqslant 0$$．  $$\left\textbar{} a-1 \right\textbar-\left\textbar{} a-2 \right\textbar=-\left( a-1 \right)+\left( a-2 \right)=-1$$，选$$\text{A}$$．


1995年第6届全国希望杯初一竞赛复赛第7题

某同学到集贸市场买苹果，买每公斤$$3$$元的苹果用去所带钱数的一半，而其余的钱都买了每公斤$$2$$元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每公斤（~ ）元．

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组应用题->二元一次方程组的和差倍分

设该同学买了$$3$$元一公斤的苹果$$x$$公斤，$$2$$元一公斤的苹果$$y$$公斤，  所用的钱数都是所带钱数的一半，所以$$3x=2y$$，即$$y=\frac{3}{2}x$$．  因此该同学共买了$$x+y$$公斤苹果，花去了$$3x+2y=6x$$元．  所以所买的苹果平均价格是每公斤$$\frac{3x+2y}{x+y}=\frac{6x}{\frac{5}{2}x}=\frac{12}{5}=2.4$$元．选$$\text{C}$$．


2000年第11届希望杯初二竞赛第2试第15题

竞赛->知识点->数与式->整式->乘法公式 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式


2001年第18届全国初中数学联赛竞赛第1题

2019~2020学年12月四川资阳雁江区资阳市雁江区第二中学初三上学期周测D卷第10题3分

2016~2017学年9月湖北武汉武昌区武汉初级中学初二上学期月考第10题3分

2016~2017学年3月湖北武汉武昌区武汉初级中学初二下学期月考第10题3分

不能确定

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的四则混合运算

课内体系->知识点->方程与不等式->等式与方程->等式->等式的性质->等式性质1

本题需要比较等式两边的各项，利用有理数部分等于理数部分，无理数部分等于无理数部分来求$$a$$、$$b$$、$$c$$的值，由于：  $$5+2\sqrt{6}={{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}^{2}}$$．  所以：$$a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$$．  则$$a=0$$，$$b=1$$，$$c=1$$，∴$$2a+999b+1001c=2000$$．  故选$$\text{B}$$．


2002年第13届希望杯初一竞赛第1试第9题

当$$x$$取$$1$$到$$10$$的整数时，整式$$x^{2}+x+11$$所对应的数值中质数的个数是．

课内体系->能力->运算能力 竞赛->知识点->数论->整除->素数与合数


2019年浙江杭州拱墅区杭州市文澜中学初二竞赛第6题3分

2019~2020学年浙江杭州拱墅区杭州市文澜中学初二上学期单元测试《一次函数》第10题

直线$$y=kx+b$$经过点$$(m ,1)$$和点$$(-1,m)$$ ，其中$$0 \textless{} m \textless{} 1$$ ， 则$$k$$ ，$$b$$ 应满足的条件是．

课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数基础->一次函数的增减性

∵$$m\textgreater1\textgreater-1$$，$$1 ~\textless{} ~m$$，即自变量的值越大函数值越小，即函数值随着自变量的增大而减小，∴$$k ~\textless{} ~0$$．  过第一象限内的点$$(1,m)$$和第四象限内的点$$(m,-1)$$画直线，知此直线与$$y$$轴正半轴相交，所以，$$b\textgreater0$$．  故选$$\text{B}$$．


2001年第18届全国初中数学联赛竞赛第2题

竞赛->知识点->方程与不等式->二次方程->一元二次方程的根与系数的关系


2012年第23届全国希望杯初二竞赛初赛第8题4分

课内体系->能力->推理论证能力

课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数的几何变换->一次函数图象关于坐标轴对称


2011年第22届全国希望杯初二竞赛初赛第2题4分

一辆汽车从$$A$$地匀速驶往$$B$$地，如果汽车行驶的速度增加$$a \%$$，则所用时间减少$$b \%$$，则$$a$$，$$b$$的关系是．

$$b=\frac{100a}{1+a \%}$$

$$b=\frac{100}{1+a \%}$$

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的行程问题->一元一次方程的行程问题-变速问题


课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->多元二次方程（组）


1991年第2届希望杯初二竞赛第15题

甲乙二人，从$$M$$地同时出发去$$N$$地．甲用一半时间以每小时$$a$$公里的速度行走，另一半时间以每小时$$b$$公里的速度行走；乙以每小时$$a$$公里的速度行走一半路程，另一半路程以每小时$$b$$公里的速度行走．若$$a\ne b$$时，则到达$$N$$地．

二人同时

甲先

乙先

若$$a\textgreater b$$时，甲先到达，若$$a ~\textless{} ~b$$时，乙先到达

竞赛->知识点->数与式->整式->整式的乘除运算


2019~2020学年四川眉山东坡区眉山东辰国际学校初三上学期期中第33题5分 2001年第12届希望杯初二竞赛第2试第1题

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->多重二次根式


2015年第32届全国全国初中数学联赛竞赛B卷第6题7分

竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质

课内体系->能力->运算能力


2016年第33届全国全国初中数学联赛竞赛第1题7分

课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算

课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数大小的比较

课内体系->能力->运算能力

课内体系->能力->推理论证能力


初一上学期单元测试《一元一次方程》第19题 2013年第24届全国希望杯初一竞赛复赛第3题4分

若$$\left( {{y}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}+\left( y+1 \right)x+9=0$$是关于$$x$$的一元一次方程，则代数式$$\left( 4x+y \right)\left( 2x-y \right)+y$$的值是（~ ）．

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程的相关概念->一元一次方程的定义

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程的相关概念->一元一次方程的解

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算

课内体系->能力->运算能力


1991年第2届全国希望杯初一竞赛初赛第2题

$$-a\textless-b$$

$$\left\textbar{} a \right\textbar\textgreater\left\textbar{} b \right\textbar$$

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质

因为$$3\textgreater-2$$，有$$\frac{1}{3}\textgreater-\frac{1}{2}$$，排除$$\text{A}$$；  因为$$2\textgreater-3$$，有$$\left\textbar{} 2 \right\textbar\textless\left\textbar{} -3 \right\textbar$$，排除$$\text{C}$$；  因为$$2\textgreater-3$$，有$${{2}^{2}}\textless{{(-3)}^{2}}$$，排除$$\text{D}$$；  事实上，$$a\textgreater b$$必有$$-a\textless-b$$．选$$\text{B}$$．


2017~2018学年上海浦东新区上海中学东校初一上学期期中第16题2分 2006年第17届希望杯初一竞赛初赛第10题4分

有如下四个叙述：  ①当$$0\textless{}x\textless{}1$$时，$$\frac{1}{1+x}\textless{}1-x+{{x}^{2}}$$；  ②当$$0\textless{}x\textless{}1$$时，$$\frac{1}{1+x}\textgreater1-x+{{x}^{2}}$$；  ③当$$-1\textless{}x\textless{}0$$时，$$\frac{1}{1+x}\textless{}1-x+{{x}^{2}}$$；  ④当$$-1\textless{}x\textless{}0$$时，$$\frac{1}{1+x}\textgreater1-x+{{x}^{2}}$$，  其中正确的叙述是．

①③

②④

①④

②③

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->整式乘除的综合

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->和与差的立方公式

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值

课内体系->知识点->式->因式分解->公式法->利用立方和与立方差公式因式分解

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质

课内体系->能力->运算能力

课内体系->能力->推理论证能力

课内体系->思想->转化与化归思想


2020~2021学年四川内江市中区内江市第六初级中学校初二上学期期中第12题3分

2014~2015学年北京海淀区科迪实验中学初一下学期期中第10题

2019~2020学年天津和平区天津市益中学校初一下学期期中第16题2分

2009年竞赛第1题7分

已知非零实数$$a$$、$$b$$满足$$\left\textbar{} 2a-4 \right\textbar+\left\textbar{} b+2 \right\textbar+\sqrt{\left( a-3 \right){{b}^{2}}}+4=2a$$，则$$a+b$$等于 ．

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的基础->二次根式的性质 课内体系->能力->运算能力


2002年第13届希望杯初二竞赛第1试第8题

已知$$b \textless{} 0$$，$$0 \textless{} \textbar a\textbar{} \textless{} \textbar b\textbar{} \textless{} \textbar c\textbar$$，且$$\sqrt{\frac{a{{b}^{2}}}{c}}=\frac{b}{c}\sqrt{ac}$$，则$$abc$$的大小顺序是(  )

$$a \textless{} b \textless{} c$$

$$c \textless{} b \textless{} a$$

$$b \textless{} a \textless{} c$$

$$b \textless{} c \textless{} a$$

课内体系->知识点->数->实数->实数运算->实数基础运算 课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数大小的比较

由题意$$\frac{b}{c}\textgreater0$$，$$b \textless{} 0$$，所以得到$$c \textless{} 0$$，又$$ac\textgreater0$$，$$c \textless{} 0$$，可以得到$$a \textless{} 0$$  所以$$a$$，$$b$$，$$c \textless{} 0$$而$$0 \textless{} \textbar a\textbar{} \textless{} \textbar b\textbar{} \textless{} \textbar c\textbar$$，故$$c \textless{} b \textless{} a$$选B


2014年第25届全国希望杯初一竞赛复赛第8题4分

$$p$$

$$q$$

$$r$$

$$s$$

课内体系->知识点->数->实数->实数运算->其他实数的运算

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算

课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性


2008年第19届希望杯初二竞赛第2试第10题

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数基础

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->由一元二次方程根的情况确定参数

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->一元二次方程根与系数的关系

课内体系->能力->抽象概括能力

当$$x\leqslant 0$$时，$${{x}^{2}}+3x-1 ~\textless{} ~0$$，此时$$x\leqslant 0$$时，原方程无解，  当$$x\geqslant \frac{1}{3}$$时，$${{x}^{3}}+3x-1\textgreater0$$时，此时原方程的实数根只能在$$\left( 0,\frac{1}{3} \right)$$之间，因为$$a$$是方程$${{x}^{3}}+3x-1=0$$的一个实数根，所以$$0 ~\textless{} ~a ~\textless{} ~\frac{1}{3}$$，对于相线$$y=ax+1-a$$，由于$$a\textgreater0$$，$$1-a\textgreater0$$，所以，直线不经过第四象限．  故选$$\text{D}$$．


2020~2021学年北京北京汇文中学初一上学期期末第10题2分 2007年竞赛第1题6分 2017~2018学年江苏无锡滨湖区无锡外国语学校初一下学期期中第10题3分

方程组$$\begin{cases}\left\textbar{} x \right\textbar+y=12    x+\left\textbar{} y \right\textbar=6   \end{cases}$$的解的个数为．

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->解含绝对值的方程组

①当$$x\textgreater0$$，$$y\textgreater0$$时，原方程组为$$\begin{cases}x+y=12    x+y=6   \end{cases}$$显然无解；  ②当$$x ~\textless{} ~0$$，$$y\textgreater0$$时，原方程组为$$\begin{cases}-x+y=12    x+y=6   \end{cases}$$，解得$$\begin{cases}x=-3    y=9   \end{cases}$$；  ③当$$x\textgreater0$$，$$y ~\textless{} ~0$$时，原方程组为$$\begin{cases}x+y=12    x-y=6   \end{cases}$$，解得$$\begin{cases}x=9    y=3   \end{cases}$$，舍去；  ④当$$x ~\textless{} ~0$$，$$y ~\textless{} ~0$$时，原方程组为$$\begin{cases}-x+y=12    x-y=6   \end{cases}$$显然无解；  综上，只有$$1$$组解．故选$$\text{A}$$．

若$$x\geqslant 0$$，则$$\begin{cases}x+y=12 \\ x+\left| y \right|=6 \\\end{cases}$$，于是$$\left| y \right|-y=-6$$，显然不可能．

若$$x  <  0$$，则$$\begin{cases}-x+y=12 \\ x+\left| y \right|=6 \\\end{cases}$$，

于是$$\left| y \right|+y=18$$，解得$$y=9$$，进而求得$$x=-3$$．

所以，原方程组的解为$$\begin{cases}x=-3 \\ y=9 \\\end{cases}$$，只有$$1$$个解．

故选$$\text{A}$$．


2019~2020学年10月安徽合肥包河区合肥市第四十八中学初三上学期月考第10题4分

2019年安徽蚌埠初三中考一模（局属学校）第9题4分

2018~2019学年9月湖北武汉蔡甸区初三上学期月考第9题3分

2018年湖北黄冈中考真题第6题3分

2018~2019学年天津滨海新区初三上学期期末第12题3分

2019~2020学年12月河北石家庄新华区石门实验学校初三上学期月考第13题

2018年第20届浙江宁波余姚市余姚市实验学校初三竞赛决赛（实验杯）第6题4分

2018~2019学年福建厦门思明区厦门松柏中学初三上学期期中第9题4分

2019~2020学年10月江苏苏州姑苏区金阊实验中学初三上学期月考第9题3分

2018~2019学年4月广东深圳宝安区深圳市石岩公学初三下学期周测（第12周）第11题3分

2018~2019学年10月河南洛阳洛龙区洛阳地矿双语学校初三上学期月考第8题3分

2019~2020学年江苏苏州姑苏区苏州市草桥中学校初三下学期单元测试《二次函数》第4题

课内体系->能力->运算能力


2007年第18届希望杯初二竞赛第1试第4题 其它

已知$$a$$是正整数，方程组$$\begin{cases}ax+4y=8    3x+2y=6 \end{cases}$$的解满足$$x\textgreater0$$，$$y\textless{}0$$，则$$a$$的值是．

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->由不等式（组）的解集求参数的范围

课内体系->能力->推理论证能力

$$\begin{cases}ax+4y=8 ①   3x+2y=6 ②\end{cases}\begin{matrix}     \end{matrix}$$，  ①$$-$$②$$\times 2$$：$$ax-bx=8-12$$  ∴$$(a-b)x=-4$$  ∵$$x\textgreater0$$，  ∴$$a-b\textless{}0$$，$$a\textless{}b$$．  ①$$\times 3-$$②$$\times a$$：$$12y-2ay=24-6a$$，  ∴$$(6-a)y=12-3a$$．  ∵$$y\textless{}0$$且$$a\textless{}6$$，  ∴$$12-3a\textless{}0$$，  ∴$$a\textgreater4$$，  ∴$$4\textless{}a\textless{}6$$，  又∵$$a$$为正整数，  ∴$$a=5$$．


2012年第17届华杯赛初一竞赛初赛第1题

竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题

因为$$ab\textless{}0$$，  所以$$a\textgreater0$$，$$b\textgreater0$$，或$$a\textless{}0$$，$$b\textgreater0$$．  又因为$$a-b\textgreater0$$，  所以$$a\textgreater0$$，$$-b\textgreater0$$，  即$$a\textgreater0$$，$$b\textless{}0$$．  故选$$\text{A}$$．


2017~2018学年浙江金华金东区初二上学期期末第10题3分

2018~2019学年辽宁大连甘井子区初一下学期期末第10题3分

2018~2019学年湖北武汉武昌区初一下学期期中（十五校联考）第8题3分

2017~2018学年9月安徽安庆潜山县潜山第四中学初二上学期月考第6题4分

2018年湖南长沙初二竞赛长郡教育集团（觉园杯）第1题4分

2018~2019学年浙江宁波镇海区宁波市镇海蛟川书院初二上学期期中第4题4分

2017~2018学年浙江宁波镇海区宁波市镇海蛟川书院初二上学期期中第9题4分

2020~2021学年4月浙江杭州上城区杭州市建兰中学初三下学期周测A卷第1题4分

2017~2018学年12月陕西西安碑林区工大附中初二上学期月考第7题3分

2017年广西贵港中考真题第6题3分

在平面直角坐标系中，点$$P(m-3,4-2m)$$不可能在．

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

课内体系->知识点->函数->平面直角坐标系->坐标系基础->象限内坐标的特征

①$$m-3\textgreater0$$，即$$m\textgreater3$$时，  $$-2m\textless{}-6$$，$$4-2m\textless{}-2$$，  所以，点$$P(m-3,4-2m)$$在第四象限，不可能在第一象限．  ②$$m-3\textless{}0$$，即$$m\textless{}3$$时，  $$-2m\textgreater-6$$，$$4-2m\textgreater-2$$，  点$$P(m-3,4-2m)$$可以在第二或三象限，  综上所述，点$$P$$不可能在第一象限．


2019年浙江杭州拱墅区杭州市文澜中学初二竞赛第1题3分

若代数式$$\sqrt{\frac{x+2}{{{x}^{2}}}}$$在实数范围内有意义，则$$x$$的取值范围是．

$$x\textgreater-2$$且$$x\ne 0$$

$$x\geqslant -2$$且$$x\ne 0$$

课内体系->知识点->式->分式->分式的基础->分式有意义的条件 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的基础->二次根式有意义的条件

∵$$\sqrt{\frac{x+2}{{{x}^{2}}}}$$在实数范围内有意义，  ∴$$\begin{cases}\dfrac{x+2}{{{x}^{2}}}\geqslant 0    {{x}^{2}}\ne 0   \end{cases}$$，  ∴$$x\geqslant -2$$且$$x\ne 0$$．  故选$$\text{D}$$．


2008年全国初中数学联赛竞赛 初三上学期其它


2015年第26届全国希望杯初三竞赛初赛第6题

知识标签->知识点->式->因式分解->因式分解：其他方法 知识标签->题型->式->整式的乘除->乘法公式->题型：配方思想的运用


2001年第12届希望杯初一竞赛第6题

珠穆朗玛峰峰顶比吐鲁番盆地底部高$$9003$$米，已知，珠穆朗玛峰海拔高度是$$8848$$米，则吐鲁番盆地的海拔高度是．

课内体系->方法->整体法 课内体系->知识点->数->有理数->正数和负数->相反意义的量


2000年第11届希望杯初一竞赛第2题

有如下四个命题：  ①有理数的相反数是正数．  ②两个同类项的数字系数是相同的．  ③两个有理数的和的绝对值大于这两个有理数绝对值的和．  ④两个负有理数的比值是正数．  其中真命题有．

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的分类 课内体系->知识点->几何图形初步->命题与证明

由于有理数$$0$$的相反数是$$0$$，所以``①有理数的相反数是正数''是假命题．  由于同类项只是说字母相同且相同字母的乘方次数也相同的项，所以``②两个同类项的数字系数是相同的''是个假命题．$$\left\textbar{} (-2)+(-1) \right\textbar=3=\left\textbar{} -2 \right\textbar+\left\textbar{} -1 \right\textbar$$，所以``③两个有理数的和的绝对值大于这两个有理数绝对值的和''是假命题．而两个负有理数的比值是正数显然是真命题．所以，$$4$$个命题中只有$$1$$个是真命题．  故选$$\text{D}$$．


1992年第9届全国初中数学联赛竞赛第8题

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数加法->有理数加法运算

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数加法->有理数的加法法则

课内体系->能力->运算能力


2001年第18届全国初中数学联赛竞赛第9题

知识标签->题型->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->题型：韦达定理应用

知识标签->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程根的判别式

知识标签->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程的根与系数的关系


2019~2020学年河南郑州金水区郑州八中初一上学期期中第8题3分

初一上学期单元测试《解读绝对值》第3题

2020~2021学年9月湖北宜昌伍家岗区宜昌英杰学校初一上学期月考（英杰教育集团）第11题3分

2017年湖南长沙天心区初二竞赛长郡教育集团抵达杯第1题5分

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->|a|/a的化简

∵$$a+b+c=0$$且$$a$$、$$b$$、$$c$$均$$\ne 0$$，  ∴$$a$$、$$b$$、$$c$$三数符号为两正一负或两负一正，  不妨设，  ①$$a$$，$$b$$为正，$$c$$为负，此时$$abc$$为负：  $$\frac{a}{\left\textbar{} a \right\textbar}+\frac{b}{\left\textbar{} b \right\textbar}+\frac{c}{\left\textbar{} c \right\textbar}+\frac{abc}{\left\textbar{} abc \right\textbar}$$  $$=1+1+(-1)+(-1)$$  $$=0$$．  ②$$a$$，$$b$$为负，$$c$$为正，此时$$abc$$为正，  $$\frac{a}{\left\textbar{} a \right\textbar}+\frac{b}{\left\textbar{} b \right\textbar}+\frac{c}{\left\textbar{} c \right\textbar}+\frac{abc}{\left\textbar{} abc \right\textbar}$$  $$=-1+(-1)+1+1$$  $$=0$$．  综上原式$$=0$$，故选$$\text{A}$$．


2011年第22届全国希望杯初一竞赛复赛第9题4分

已知$$\left\textbar{} x \right\textbar\leqslant 3$$，$$\left\textbar{} y \right\textbar\leqslant 1$$，$$\left\textbar{} z \right\textbar\leqslant 4$$且$$\left\textbar{} x-2y+z \right\textbar=9$$，则$${{x}^{2}}{{y}^{2011}}{{z}^{3}}$$的值是．

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->幂的综合运算 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质

只要$$\left\textbar{} x \right\textbar\textless{}3$$，$$\left\textbar{} y \right\textbar\textless{}1$$，$$\left\textbar{} z \right\textbar\textless{}4$$中至少有一个成立，  则$$\left\textbar{} x-2y+z \right\textbar\leqslant \left\textbar{} x \right\textbar+2\left\textbar{} y \right\textbar+\left\textbar{} z \right\textbar\textless{}9$$，  这与$$\left\textbar{} x-2y+z \right\textbar=9$$矛盾，  所以当且仅当$$\left\textbar{} x \right\textbar=3$$，$$\left\textbar{} y \right\textbar=1$$，$$\left\textbar{} z \right\textbar=4$$同时成立时，才能满足$$\left\textbar{} x-2y+z \right\textbar=9$$，  此时$$x=3$$，$$y=-1$$，$$z=4$$或$$x=-3$$，$$y=1$$，$$z=-4$$，  所以$${{x}^{2}}{{y}^{2011}}{{z}^{3}}={{3}^{2}}\times {{(-1)}^{2011}}\times {{4}^{3}}=-576$$或$${{x}^{2}}{{y}^{2011}}{{z}^{3}}={{(-3)}^{2}}\times {{1}^{2011}}\times {{(-4)}^{3}}=-576$$，  综上，$${{x}^{2}}{{y}^{2011}}{{z}^{3}}$$的值是$$-576$$．


2002年竞赛第4题5分

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->含乘方的有理数混合运算

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算

课内体系->能力->运算能力


2012年第17届华杯赛初一竞赛初赛第6题

如果正整数$$x$$与$$y$$使得$$\frac{x{{y}^{2}}}{x+y}$$的值为质数，那么$$x+y$$共有种可能的值．

竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题


1996年第7届全国希望杯初一竞赛复赛第10题

在某浓度的盐水中加入一杯水后，得到新盐水，它的浓度为$$20 \%$$，又在新盐水中加入与前述一杯水的重量相等的纯盐合，盐水浓度变为$$33\frac{1}{3} \%$$，那么原来盐水的浓度是．

$$23 \%$$

$$25 \%$$

$$30 \%$$

$$32 \%$$

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组应用题->二元一次方程组的数字问题

设原盐水溶液为$$a$$克，其中含纯盐$$m$$克，后加入``一杯水''为$$x$$克，  依题意得$$\begin{cases}(a+x)\times 20 \%=m    (a+x+x)\times 33\dfrac{1}{3} \%=m+x \end{cases}$$，  整理得$$\begin{cases}a+x=5m    a-x=3m \end{cases}$$，  解得$$2a=8m$$，∴$$a=4m$$．  于是原盐水的浓度为$$\frac{m}{a}=\frac{m}{4m}=25 \%$$，选$$\text{B}$$．


2019年浙江杭州拱墅区杭州市文澜中学初二竞赛第3题3分

在平面直角坐标系中，若点$$P(m-2,m+1)$$在第二象限，则$$m$$的取值范围是．

$$m ~\textless~ -1$$

$$-1 ~\textless{} ~m ~\textless{} ~2$$

课内体系->知识点->函数->平面直角坐标系->坐标系基础->象限内坐标的特征

∵$$P(m-2,m+1)$$在第二象限，  ∴$$\begin{cases}m-2 ~\textless{} ~0    m+1\textgreater0   \end{cases}$$．  ∴$$-1 ~\textless{} ~m ~\textless{} ~2$$．  故选$$\text{C}$$．


2009年第20届希望杯初二竞赛第2试第8题

若不等式组$$\begin{cases}-x+4m\textless{}x+10    x+1\textgreater m    \end{cases}$$的解集是$$x\textgreater4$$，则．

$$m\leqslant \frac{9}{2}$$

$$m\leqslant 5$$

竞赛->知识点->方程与不等式->不等式->一次含参不等式

$$-x+4m\textless{}x+10$$，得$$x\textgreater2m-5$$，  $$x+1\textgreater m$$，得$$x\textgreater m-1$$，  因为不等式组的解集是$$x\textgreater4$$，所以必须是$$\begin{cases}2m-5\leqslant 4    m-1\leqslant 4    \end{cases}$$成立，且其中至少有一个等式成立，  若$$2m-5=4$$，则$$m=\frac{9}{2}$$，且$$m=\frac{9}{2}$$，使得$$m-1\leqslant 4$$成立；  若$$m-1=4$$，则$$m=5$$，当$$m=5$$时，$$2m-5\leqslant 4$$不成立，所以$$m=5$$不符合原不等式组．  综上得，当$$m=\frac{9}{2}$$时，原不等式组的解集是$$x\textgreater4$$．  故选$$\text{C}$$．


2008年第19届希望杯初二竞赛第1试第2题

$$\pm 1$$

$$\pm 1$$以外的数

竞赛->知识点->数与式->整式->整式的乘除运算

由题意，知$$\textbar x\textbar+\textbar5x\textbar=2+(3-x)$$，  当$$x\geqslant 0$$时，则$$6x=5-x$$，  解得$$x=\frac{5}{7}$$，不合题意，舍去．  当$$x\textless{}0$$时，则$$-6x=5-x$$，  解得$$x=-1$$，符合题意．  故选$$\text{B}$$．


2006年第17届希望杯初一竞赛初赛第2题4分

有如下四个命题：  ①两个符号相反的分数之间至少有一个正整数；  ②两个符号相反的分数之间至少有一个负整数；  ③两个符号相反的分数之间至少有一个整数；  ④两个符号相反的分数之间至少有一个有理数．  其中真命题的个数为．

课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的分类 课内体系->知识点->几何图形初步->命题与证明 课内体系->能力->推理论证能力

如$$-\frac{1}{2}$$和$$\frac{1}{2}$$之间既没有正整数，也没有负整数，  所以命题①、②不正确．$$0$$介于两个符号相反的分数之间，所以命题③、④正确．  故选($$\text{B}$$)．


2006年第17届希望杯初二竞赛第2试第7题

竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题 竞赛->知识点->数论->整除->因数与倍数


2009年第20届希望杯初二竞赛第2试第10题

任何一个正整数$$n$$都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解$$n=p\times q$$（$$p\leqslant q$$)可称为正整数$$n$$的最佳分解，并规定$$F(n)=\frac{p}{q}$$．如：$$12=1\times 12=2\times 6=3\times 4$$，则$$F(12)=\frac{3}{4}$$．  则在以下结论  ①$$F(2)=\frac{1}{2}$$．  ②$$F(24)=\frac{3}{8}$$．  ③若$$n$$是一个完全平方数，则$$F(n)=1$$．  ④若$$n$$是一个完全立方数，即$$n={{a}^{3}}$$（$$a$$是正整数)，则$$F(n)=\frac{1}{a}$$中，正确的结论有．

竞赛->知识点->数论->同余->完全平方数


2014年第25届全国希望杯初一竞赛初赛第3题4分

若$$a+b+c=0$$，则$$\frac{\left\textbar{} a \right\textbar}{a}+\frac{\left\textbar{} b \right\textbar}{b}+\frac{\left\textbar{} c \right\textbar}{c}+\frac{\left\textbar{} ab \right\textbar}{ab}+\frac{\left\textbar{} ac \right\textbar}{ac}+\frac{\left\textbar{} bc \right\textbar}{bc}+\frac{\left\textbar{} abc \right\textbar}{abc}$$的值为（~ ）．

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->|a|/a的化简

方法一：  依题意，$$a$$，$$b$$，$$c$$都不为$$0$$，  ∵$$a+b+c=0$$，  ∴$$a$$，$$b$$，$$c$$中既有正数，又有负数．  若$$a$$，$$b$$，$$c$$中只有一个正数，不妨设$$a\textgreater0$$，则$$b\textless{}0$$，$$c\textless{}0$$，  则$$\frac{\left\textbar{} a \right\textbar}{a}+\frac{\left\textbar{} b \right\textbar}{b}+\frac{\left\textbar{} c \right\textbar}{c}+\frac{\left\textbar{} ab \right\textbar}{ab}+\frac{\left\textbar{} ac \right\textbar}{ac}+\frac{\left\textbar{} bc \right\textbar}{bc}+\frac{\left\textbar{} abc \right\textbar}{abc}$$  $$=1-1-1-1-1+1+1$$  $$=-1$$．  若$$a$$，$$b$$，$$c$$中只有一个负数，不妨设$$a\textless{}0$$，则$$b\textgreater0$$，$$c\textgreater0$$，  则$$\frac{\left\textbar{} a \right\textbar}{a}+\frac{\left\textbar{} b \right\textbar}{b}+\frac{\left\textbar{} c \right\textbar}{c}+\frac{\left\textbar{} ab \right\textbar}{ab}+\frac{\left\textbar{} ac \right\textbar}{ac}+\frac{\left\textbar{} bc \right\textbar}{bc}+\frac{\left\textbar{} abc \right\textbar}{abc}$$  $$=-1+1+1-1-1+1-1$$  $$=-1$$．  方法二：  取特殊值．  ∵$$a+b+c=0$$，不妨设$$a=2$$，$$b=c=-1$$，  则$$\frac{\left\textbar{} a \right\textbar}{a}+\frac{\left\textbar{} b \right\textbar}{b}+\frac{\left\textbar{} c \right\textbar}{c}+\frac{\left\textbar{} ab \right\textbar}{ab}+\frac{\left\textbar{} ac \right\textbar}{ac}+\frac{\left\textbar{} bc \right\textbar}{bc}+\frac{\left\textbar{} abc \right\textbar}{abc}$$  $$=1-1-1-1-1+1+1$$  $$=-1$$．


2007年第18届希望杯初一竞赛复赛第1题4分

假定未拧紧的水龙头每秒钟渗出$$2$$滴水，每滴水约$$0.05$$毫升．现有一个水龙头未拧紧，$$4$$小时后，才被发现并拧紧，在这段时间内，水龙头共滴水约（  ）（用科学记数法表示，结果保留两位有效数字）．

$$1.4\times {{10}^{3}}$$毫升

$$0.14\times {{10}^{4}}$$毫升

$$14\times {{10}^{2}}$$毫升

课内体系->知识点->数->有理数->科学记数法->科学记数法：表示较大的数


2013年山东青岛黄岛区山东省青岛第九中学自主招生 2018年浙江宁波余姚市余姚市实验学校初二竞赛第3题5分

设$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{2}$$，则代数式$$x(x+1)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)$$的值是．

竞赛->知识点->数与式->二次根式->二次根式的性质与运算


1993年第10届全国初中数学联赛竞赛第8题

$$\sqrt[3]{3}\left( \sqrt[3]{2}+1 \right)$$

$$\sqrt[3]{3}\left( \sqrt[3]{2}-1 \right)$$

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式化简求值

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的四则混合运算

课内体系->能力->运算能力


2016年上海浦东新区进才中学自主招生第6题10分 2016年第33届全国全国初中数学联赛竞赛第2题7分

三种图书的单价分别为$$10$$元、$$15$$元和$$20$$元，某学校计划恰好用$$500$$元购买上述图书$$30$$本，那么不同的购书方案有种．

课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->三元一次方程组->三元一次方程组的实际应用

设购买三种图书的数量分别为$$x$$，$$y$$，$$z$$，  则$$\left { \begin{array}{*{35}{l}} x+y+z=30    10x+15y+20z=500   \end{array} \right.$$，  即$$\begin{cases}y+z=30-x    3y+4z=100-2x \end{cases}$$，  解得$$\begin{cases}y=20-2x    z=10+x \end{cases}$$，  依题意得，$$x$$，$$y$$，$$z$$，为自然数（非负整数），  故$$0\leqslant x\leqslant 10$$，$$x$$有$$11$$种可能的取值（分别为$$0$$，$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\cdots $$，$$10$$），  对于每一个$$x$$值，$$y$$和$$z$$都有唯一的值（自然数）相对应，  即不同的购书方案共有$$11$$种．


初一下学期其它 1994年第11届全国初中数学联赛竞赛第4题6分

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式化简求值->二次根式的化简求值——利用完全平方


1993年第4届全国希望杯初一竞赛初赛第10题

$$a\textgreater b\textgreater c$$

$$a\textgreater c\textgreater b$$

$$b\textgreater c\textgreater a$$

$$c\textgreater b\textgreater a$$

课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性

课内体系->能力->运算能力

容易看出$$a$$，$$b$$，$$c$$均为负数，我们看$$\left\textbar{} a \right\textbar$$，$$\left\textbar{} b \right\textbar$$，$$\left\textbar{} c \right\textbar$$．  ∵$$\frac{3.14}{3.13}=1+\frac{1}{313}$$，$$\frac{2.14}{2.13}=1+\frac{1}{213}$$，$$\frac{1.14}{1.13}=1+\frac{1}{113}$$，  又$$313\textgreater213\textgreater113$$，知$$\frac{3.14}{3.13}\textless{}\frac{2.14}{2.13}\textless{}\frac{1.14}{1.13}$$，  又$$3.13\textgreater2.13\textgreater1.13$$，  ∴$$\frac{3.14}{3.13}\div 3.13\textless{}\frac{2.14}{2.13}\div 2.13\textless{}\frac{1.14}{1.13}\div 1.13$$，  ∴$$\left\textbar{} a \right\textbar\textless{}\left\textbar{} b \right\textbar\textless{}\left\textbar{} c \right\textbar$$，  ∴$$a\textgreater b\textgreater c$$．


1993年第10届全国初中数学联赛竞赛第4题 初一上学期其它

$${{x}_{1}}\textgreater{{x}_{2}}\textgreater{{x}_{3}}\textgreater{{x}_{4}}\textgreater{{x}_{5}}$$

$${{x}_{4}}\textgreater{{x}_{2}}\textgreater{{x}_{1}}\textgreater{{x}_{3}}\textgreater{{x}_{5}}$$

$${{x}_{3}}\textgreater{{x}_{1}}\textgreater{{x}_{4}}\textgreater{{x}_{2}}\textgreater{{x}_{5}}$$

$${{x}_{5}}\textgreater{{x}_{3}}\textgreater{{x}_{1}}\textgreater{{x}_{4}}\textgreater{{x}_{2}}$$

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->三元一次方程组->解多元一次方程组

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->加减消元法解二元一次方程组


2002年第13届希望杯初二竞赛第2试第3题 初一上学期单元测试《几何图形初步》角第16题

上午九点钟的时候，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角的时间是．  At 9:00 a.m., the hour hand is at right angles to the minute hand, so the next time the hour hand is at right angles to the minute hand is ．

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的钟表问题

课内体系->能力->运算能力

课内体系->能力->推理论证能力

课内体系->能力->分析和解决问题能力


其它 2009年第20届希望杯初二竞赛第2试第9题4分

课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->三元一次方程组->解三元一次方程组


2002年第13届希望杯初二竞赛第2试第4题

是正数

是零

是负数

不能确定是正数、负数或$$0$$．

课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算 课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式恒等变形 课内体系->能力->运算能力


2006年全美数学竞赛（AMC）竞赛

羽毛球单打比赛一共有$$6$$名选手参赛．每名选手只和其他选手比赛一次，没有平局．如果$$A$$选手赢了$$4$$场，$$B$$选手赢了$$3$$场，$$C$$选手赢了$$3$$场，$$D$$选手赢了$$2$$场，$$E$$选手赢了$$2$$场，那么第六位选手赢了场．

美国amc8->知识点->组合->逻辑推理->体育比赛

由于有$$6$$名选手，总共有$$\frac{6(6-1)}{2}=15$$场比赛．到目前为止，已经有$$4+3+3+2+2=14$$场比赛结束了（每场比赛一个人赢），所以第六位选手需要赢$$15-14=1$$场．  故选$$\text{B}$$．


2011年第22届全国希望杯初二竞赛复赛第2题4分

课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式乘除混合运算 课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算 课内体系->能力->运算能力


2016年第27届全国希望杯初二竞赛初赛第4题4分

已知不等式$$\left\textbar{} x+1 \right\textbar\textgreater2$$与不等式$$\left\textbar{} x \right\textbar\leqslant a$$（$$a\geqslant 0$$）的解集没有公共部分，那么$$a$$的取值范围是（~ ）．

$$0\leqslant a\leqslant 1$$

$$1\leqslant a\leqslant 2$$

$$0\leqslant a\leqslant 2$$

$$a\geqslant 1$$

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->解含绝对值的一元一次不等式（组）

不等式$$\left\textbar{} x+1 \right\textbar\textgreater2$$的解集为$$x\textless{}-3$$或$$x\textgreater1$$．  $$\left\textbar{} x \right\textbar\leqslant a$$（$$a\geqslant 0$$）的解集为$$-a\leqslant x\leqslant a$$．  ∵两不等式的解集没有公共部分，  ∴$$a\leqslant 1$$，  ∴$$0\leqslant a\leqslant 1$$．


2001年第12届希望杯初一竞赛第2试第3题

$$3.1415 \textless{} \pi \textless{} \frac{333}{106}$$

$$\frac{355}{113} \textless{} \pi \textless{} \frac{22}{7}$$

$$\frac{333}{106} \textless{} \pi \textless{} \frac{355}{113}$$

$$\frac{22}{7} \textless{} \pi \textless{} 1.429$$

课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数的估算


2000年第11届希望杯初一竞赛第10题

在某班的新年晚会上，每个同学都写若干字条祝福他人．已知在任意四个人中，每一位都祝福其他三人中的至少一位．那么该班中没有得到其他同学祝福字条的同学最多有位．

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算

假设有$$A$$、$$B$$两同学没有得到祝福字条，现在任选另外两位同学记为$$C$$和$$D$$，则$$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$组成一个四人组，由于$$C$$至少祝福了$$A$$、$$B$$、$$D$$中一位，而$$A$$、$$B$$没有得到任何同学的祝福，所以$$D$$得到$$C$$的祝福，同理$$C$$也得到$$D$$的祝福，由$$C$$、$$D$$的任意性可以得出，除$$A$$、$$B$$之外，班上其他同学都得到了祝福字条．以上分析说明，未得到祝福字条的同学不能超过$$2$$人．  在$$A$$、$$B$$给除他俩之外的同学都写了祝福字条，其余同学也都给除$$A$$、$$B$$之外的所有同学写了祝福字条的情况下，题目条件满足，即存在恰有两位同学未得到祝福字条的情况，所以最多有两位同学未得到祝福字条．选$$\text{B}$$．


初一上学期单元测试《解读绝对值》第3题

2017年湖南长沙天心区初二竞赛长郡教育集团抵达杯第1题5分

2019~2020学年河南郑州金水区郑州市第八中学初一上学期期中第8题3分

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值综合 课内体系->能力->推理论证能力


2002年第19届全国初中数学联赛竞赛第6题7分

如果对于不小于$$8$$的自然数$$n$$，当$$3n+1$$是一个完全平方数时，$$n+1$$都能表示成$$k$$个完全平方数的和，那么$$k$$的最小值为（~ ）．

竞赛->知识点->数论->同余->完全平方数


初一上学期单元测试《解读绝对值》第3题

2017年湖南长沙天心区初二竞赛长郡教育集团抵达杯第1题5分

2019~2020学年河南郑州金水区郑州市第八中学初一上学期期中第8题3分

课内体系->能力->推理论证能力 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值综合


1999年第10届希望杯初二竞赛第2试第3题

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的加减以及混合运算


初二下学期单元测试《二次根式》二次根式的运算第43题 2002年第19届全国初中数学联赛竞赛第1题7分

$$a\textless{}b\textless{}c$$

$$a\textless{}c\textless{}b$$

$$b\textless{}a\textless{}c$$

$$b\textless{}c\textless{}a$$

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式比较大小


2000年第11届希望杯初二竞赛第2试第4题

设$$a+b+c=0$$，$$abc\textgreater0$$，则$$\frac{b+c}{\left\textbar{} a \right\textbar}+\frac{c+a}{\left\textbar{} b \right\textbar}+\frac{a+b}{\left\textbar{} c \right\textbar}$$的值是．

竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题

因为 $$a+b+c=0$$，$$abc\textgreater0$$，  所以$$a$$，$$b$$，$$c$$中有两个负数．  由$$a+b+c=0$$，可得$$b+c=-a$$，$$c+a=-b$$，$$a+b=-c$$，  所以原式变形为$$\frac{-a}{\left\textbar{} a \right\textbar}+\frac{-b}{\left\textbar{} b \right\textbar}+\frac{-c}{\left\textbar{} c \right\textbar}$$ ．  而$$\frac{-a}{\left\textbar{} a \right\textbar}$$ ， $$\frac{-b}{\left\textbar{} b \right\textbar}$$ ，$$\frac{-c}{\left\textbar{} c \right\textbar}$$ ，  必有两个式子的值为$$1$$，另一个式子的值为$$-1$$，  所以原式的值为$$1$$．


1998年竞赛（全国初中数学竞赛）第1题6分

2015~2016学年浙江温州乐清市乐清市育英寄宿学校初三上学期期中实验A班第2题5分

$$ab\textgreater bc$$

$$a+b\textgreater b+c$$

$$a-b\textgreater b-c$$

$$\frac{a}{c}\textgreater\frac{b}{c}$$

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质

根据不等式性质：  ∵$$a\textgreater b\textgreater c$$，  ∴$$a+b\textgreater b+c$$，故$$\text{B}$$正确，  ∵$$a$$、$$b$$、$$c$$的符号不确定，∴$$\text{A}$$、$$\text{C}$$、$$\text{D}$$不成立，  故选$$\text{B}$$．


2005年第16届希望杯初二竞赛复赛第10题4分 初一下学期其它第17题

已知整数$$x$$，$$y$$，$$z$$满足$$x\leqslant y\leqslant z$$，且$$\begin{cases}\left\textbar{} x+y \right\textbar+\left\textbar{} y+z \right\textbar+\left\textbar{} z+x \right\textbar=4 ①   \left\textbar{} x-y \right\textbar+\left\textbar{} y-z \right\textbar+\left\textbar{} z-x \right\textbar=2 ②\end{cases}$$，那么$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}$$的值等于．

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->解含绝对值的方程组

由②可知$$\left\textbar{} x-y \right\textbar$$、$$\left\textbar{} y-z \right\textbar$$、$$\left\textbar{} z-x \right\textbar$$中必须有一个为$$0$$，只有$$x-y=0$$，$$x=y$$，代入②中得$$\left\textbar{} z-x \right\textbar=1$$  $$z=x+1$$将$$x=y$$，$$z=x+1$$代入①中，得$$\left\textbar{} x \right\textbar+\left\textbar{} 2x+1 \right\textbar=2$$，$$\left\textbar{} x \right\textbar=0$$，$$1$$，$$2$$．经检验$$\left\textbar{} x \right\textbar=1$$，依据题意得．


2005年第16届希望杯初二竞赛初赛第2题4分

已知$$x=3$$是不等式$$mx+2\textless{}1-4m$$的一个解，如果$$m$$是整数，那么$$m$$的最大值是．

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式->一元一次不等式的解集

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式->解一元一次不等式

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->由不等式（组）的解集求参数的范围

因为$$x=3$$满足不等式$$mx+2\textless{}1-4m$$，所以$$3m+2\textless{}1-4m$$，  解得$$m\textless{}-\frac{1}{7}$$，  又$$m$$为整数，所以$$m$$的最大值是$$-1$$．  故选$$\text{A}$$．


1997年第14届全国初中数学联赛竞赛第1题

下述四个命题中，假命题的个数是（~ ）．  ①)一个数的倒数等于自身，那么这个数是$$1$$；  ②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；  ③$${{a}^{2}}$$的平方根是$$\pm \left\textbar{} a \right\textbar$$；  ④大于直角的角一定是钝角．

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->四边形->特殊平行四边形->正方形->正方形的判定

($$1$$)$$-1$$的倒数也是他本身，所以这个命题不对．  ($$2$$)对角线互要垂直且相等的平行四边形才是正方形，所以这个命题也不对．  ($$3$$)$${{a}^{2}}$$的平方根是$$\pm \left\textbar{} a \right\textbar$$，这是对的．  ($$4$$)大于直角的角一定是钝角，钝角是$$90-180$$度之间的角．  故选$$\text{C}$$．


2011年第22届全国希望杯初二竞赛复赛第3题4分

一个凸四边形的四个内角可以（~ ）．

都是锐角

都是直角

都是钝角

有三个是直角，另一个是锐角或钝角

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->多边形->多边形的内角和定理

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->多边形->正多边形->求正多边形的内角

凸四边形的四个内角的和是$$360{}^{}\circ $$．  若四个内角都是锐角，则内角和小于$$360{}^{}\circ $$；  若四个内角都是钝角，则内角和大于$$360{}^{}\circ $$；  若有三个是直角，另一个是锐角或钝角，则内角和不为$$360{}^{}\circ $$；  若四个内角都是直角，则内角和等于$$360{}^{}\circ $$，这时可以构成凸四边形，符合题意．


2020~2021学年四川德阳初一上学期期末第11题7分 2000年第11届希望杯初一竞赛第8题

$$a\textgreater c\textgreater b\textgreater d$$

$$b\textgreater d\textgreater a\textgreater c$$

$$d\textgreater b\textgreater a\textgreater c$$

课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性

由$$\frac{1}{a-1997}=\frac{1}{b+1998}=\frac{1}{c-1999}=\frac{1}{d+2000}$$，  可知$$a-1997=b+1998=c-1999=d+2000$$，  由这个连等式可得：$$a\textgreater b$$，$$a\textless{}c$$，$$a\textgreater d$$；$$b\textless{}c$$，$$b\textgreater d$$，$$c\textless{}d$$，  由此可得$$c\textgreater a\textgreater b\textgreater d$$，  故选$$\text{C}$$．


2018年第29届希望杯初一竞赛初赛第16题4分

将一个棱长是整数厘米的长方体的各表面都刷成红色，然后将这个长方体分割成若干个棱长为$$1$$厘米的小正方体，若任何一面都没有涂色的小正方体有$$11$$个，则原来的长方体的体积是~\uline{~~~~~~~~~~}~立方厘米．  Brush each surface of a box with integral centimeter of edge length into red, and then divide the box into several small cubes with an edge length of $$1$$ cm. If there are $$11$$ cubes without color on any face, the volume of the original box is~\uline{~~~~~~~~~~}~cubic centimeter.

课内体系->能力->运算能力

课内体系->能力->分析和解决问题能力

课内体系->知识点->几何图形初步->几何图形->立体图形与平面图形->正方体堆积图形的问题


1994年第5届全国希望杯初一竞赛初赛第3题

$$\frac{\left\textbar{} 1-9 \right\textbar-\left\textbar{} 9-4 \right\textbar}{1-9-9+4}$$的值的负倒数是（~ ）．

课内体系->知识点->数->有理数->倒数与负倒数->负倒数的定义


1991年第2届全国希望杯初一竞赛复赛第1题

设$$a$$，$$b$$为正整数$$(a\textgreater b)$$．$$p$$是$$a$$，$$b$$的最大公约数，$$q$$是$$a$$，$$b$$的最小公倍数．则$$p$$，$$q$$，$$a$$，$$b$$的大小关系是（~ ~ ~）．

$$p\geqslant q\geqslant a\textgreater b$$

$$q\geqslant p\geqslant a\textgreater b$$

$$p\geqslant a\textgreater b\geqslant q$$

课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小 竞赛->知识点->数论->整除->因数与倍数

两个自然数的最小公倍数一定不小于两数中较大者．  两个自然数的最大公约数一定不大于两数中较小者．  所以$$q\geqslant a\textgreater b\geqslant p$$．  选$$\text{B}$$．


2013年第24届全国希望杯初二竞赛初赛第7题4分

若$$-12≤{}x≤{}300$$，且$$m=\left\textbar{} \left\textbar{} x \right\textbar-100 \right\textbar$$的值为整数，则$$m$$的值有．

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->已知范围化简绝对值 课内体系->能力->运算能力


2007年全美数学竞赛（AMC）竞赛

$$\frac 27$$

$$\frac 38$$

$$\frac 12$$

$$\frac 47$$

$$\frac 58$$

美国AMC8->Knowledge Point->Counting, Probability and Statistics->Classical Probability

课内体系->知识点->统计与概率

从写有$$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$的四张红牌和$$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$的四张绿牌中抽取两张．获胜对子为两张相同花色或相同数字的．则抽到获胜对子的概率是？  有四种方法可以选择同一个字母的一对，并且$$2\left( \left( \begin{matrix}4    2   \end{matrix} \right) \right)=12$$方法去选择一对相同颜色．一共有$$\left( \begin{matrix}8    2   \end{matrix} \right)=28$$方法去选择一对，所以概率是$$\frac{4+12}{28}=\frac{4}{7}$$．  故选$$\text{D}$$．  There are $$4$$ ways of choosing a winning pair of the same letter, and $$2\left( \left( \begin{matrix}4    2   \end{matrix} \right) \right)=12$$ ways to choose a pair of the same color.  There\textquotesingle s a total of $$\left( \begin{matrix}8    2   \end{matrix} \right)=28$$ ways to choose a pair, so the probability is $$\frac{4+12}{28}=\frac{4}{7}$$.


2019年第1届广东深圳罗湖区深圳中学初中部初一竞赛（凤凰木杯）第6题3分

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->平方差公式的计算 课内体系->能力->运算能力


2011年第22届全国希望杯初一竞赛初赛第3题4分

对有理数$$a$$，$$b$$，有以下四个判断：  ①若$$\left\textbar{} a \right\textbar=b$$，则$$a=b$$；  ②若$$\left\textbar{} a \right\textbar\textgreater b$$，则$$\left\textbar{} a \right\textbar\textgreater\left\textbar{} b \right\textbar$$；  ③若$$a=-b$$，则$${{\left( -a \right)}^{2}}={{b}^{2}}$$；  ④若$$\left\textbar{} a \right\textbar\textless{}\left\textbar{} b \right\textbar$$，则$$a\textless{}b$$．  其中正确的判断的个数是（~ ）．

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值综合 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的几何意义 课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性


2020~2021学年四川成都金牛区成都外国语学校初二上学期期中模拟第8题3分

2018~2019学年广东深圳罗湖区深圳中学初中部初一下学期期中（竞赛班）第5题2分

$$x\textgreater y$$

$$x\geqslant y$$

$$x\textless{}y$$

$$x=y$$

课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数大小的比较


2007年竞赛第2题6分

口袋中有$$20$$个球，其中白球$$9$$个，红球$$5$$个，黑球$$6$$个，现从中任取$$10$$个球，使得白球不少于$$2$$个但不多于$$8$$个，红球不少于$$2$$个，黑球不多于$$3$$个，那么上述取法的种数是（~ ）．

竞赛->知识点->组合->计数问题-枚举法


1995年第6届全国希望杯初一竞赛初赛第1题

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->代数式->代数式的定义

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->代数式->列代数式


1993年第4届希望杯初二竞赛第14题

$$\pm 2\sqrt{3}$$

$$\pm 2\sqrt{2}$$

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->一元二次方程根与系数的关系

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->一元二次方程根的判别式


2019~2020学年12月四川资阳雁江区资阳市雁江区第二中学初三上学期周测D卷第10题3分

2016~2017学年3月湖北武汉武昌区武汉初级中学初二下学期月考第10题3分

2016~2017学年9月湖北武汉武昌区武汉初级中学初二上学期月考第10题3分

2001年第18届全国初中数学联赛竞赛第1题

不能确定

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的四则混合运算

课内体系->知识点->方程与不等式->等式与方程->等式->等式的性质->等式性质1

课内体系->能力->运算能力

本题需要比较等式两边的各项，利用有理数部分等于理数部分，无理数部分等于无理数部分来求$$a$$、$$b$$、$$c$$的值，由于：  $$5+2\sqrt{6}={{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}^{2}}$$．  所以：$$a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$$．  则$$a=0$$，$$b=1$$，$$c=1$$，∴$$2a+999b+1001c=2000$$．  所以选$$\text{B}$$．


1992年第9届全国初中数学联赛竞赛第3题 初一上学期其它

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式

课内体系->能力->运算能力


1991年第2届希望杯初二竞赛第10题

一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的$$3$$倍减去$$-2$$，仍得原数，这个两位数是．

竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题

设这个两位数为$$\overline{ab}$$，则$$3(a+b)+2=10a+b$$，  即$$7a=2b+2$$，  可见$$a$$只能为偶数，$$b+1$$是$$7$$的倍数．  ∴这个两位数是$$28$$，  故选$$\text{A}$$．


2010年第21届希望杯初二竞赛第1试第6题 北京初二上学期单元测试《二次根式的运算》第22题

课内体系->能力->推理论证能力

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质

课内体系->知识点->式->因式分解->公式法->利用立方和与立方差公式因式分解

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->和与差的立方公式


1994年第11届全国初中数学联赛竞赛第4题6分 初一下学期其它

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式化简求值->二次根式的化简求值——利用完全平方


2003年第14届希望杯初二竞赛第2试第7题

凸$$n$$边形（$$n\geqslant 4$$）中，不算两个最大的内角，其余内角的和为$$1100{}^{}\circ $$，则$$n$$等于．

课内体系->能力->推理论证能力 课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->多边形->多边形的内角和定理 课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->多边形->求多边形的内角和

因为，在四边形中，两个最大的内角的和大于等于$$180{}^{}\circ $$，  所以，凸$$n$$边形（$$n\geqslant 4$$）中，两个最大的内角和也大于等于$$180{}^{}\circ $$，同时小于$$360{}^{}\circ $$，  设两个最大的内角的和为$$k{}^{}\circ $$，则$$1100+180\leqslant 1100+k=(n-2)\times 180 ~\textless{} ~1100+360$$，  所以$$7\frac{1}{9}\leqslant n-2 ~\textless{} ~8\frac{1}{9}$$，$$9\frac{1}{9}\leqslant n ~\textless{} ~10\frac{1}{9}$$，$$n=10$$．  故选$$\text{D}$$．


2006年第17届希望杯初二竞赛第2试第5题 初二其它

是完全平方数，还是奇数

是完全平方数，还是偶数

不是完全平方数，但是奇数

不是完全平方数，但是偶数

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->式->因式分解->十字相乘法->二次项系数为±1的十字相乘


1990年第1届希望杯初二竞赛第7题

把二次根式$$a\sqrt{-\frac{1}{a}}$$化为最简二次根式，结果是．

$$\sqrt{-a}$$

$$-\sqrt{a}$$

$$-\sqrt{-a}$$

$$\sqrt{a}$$

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的基础->最简二次根式


2016年第27届全国希望杯初一竞赛复赛第3题4分

在一家水果店，小明买了$$1$$斤苹果，$$4$$斤西瓜，$$2$$斤橙子，$$1$$斤葡萄，共付$$27.6$$元；小惠买了$$2$$斤苹果，$$6$$斤西瓜，$$2$$斤橙子，$$2$$斤葡萄，共付$$32.2$$元，则买$$1$$斤西瓜和$$1$$斤橙子需付（~ ）．

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组应用题->二元一次方程组的经济问题

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->加减消元法解二元一次方程组


1993年第4届希望杯初二竞赛第2题

已知四个命题：①$$-1$$是$$1$$的平方根．②负数没有立方根．③无限小数不一定是无理数．④$$\sqrt{3a}$$一定没有意义．其中正确的命题的个数是．

课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数的定义 课内体系->知识点->数->实数->立方根->平方根和立方根综合 课内体系->知识点->数->实数->平方根 课内体系->知识点->几何图形初步->命题与证明

命题①，③是正确的，②，④不正确．  故选$$\text{B}$$．


2001年竞赛（全国初中数学竞赛）第3题5分

课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-条件化简求值 课内体系->思想->分类讨论思想


2020~2021学年10月湖南长沙天心区长郡外国语实验中学初一上学期周测A卷 1996年第7届希望杯初二竞赛第2题4分

已知：$$-1 ~\textless{} ~b ~\textless{} ~a ~\textless{} ~0$$，那么$$a+b$$，$$a-b$$，$$a+1$$，$$a-1$$的大小关系是．

$$a+b ~\textless{} ~a-b ~\textless{} ~a-1 ~\textless{} ~a+1$$

$$a+1\textgreater a+b\textgreater a-b\textgreater a-1$$

$$a+b\textgreater a-b\textgreater a+1\textgreater a-1$$

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质

因为$$-1 ~\textless{} ~b ~\textless{} ~a ~\textless{} ~0$$，所以$$a+b ~\textless{} ~a-b$$．  因为$$b\textgreater-1$$，所以$$a-1 ~\textless{} ~a+b$$．  又因为$$-b ~\textless{} ~1$$，所以$$a-b ~\textless{} ~a+1$$．  综上得$$a-1 ~\textless{} ~a+b ~\textless{} ~a-b ~\textless{} ~a+1$$．  故选$$\text{C}$$．


1994年第5届全国希望杯初一竞赛初赛第8题

课内体系->知识点->方程与不等式->等式与方程->等式->等式的定义

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程->二元一次方程的解


2007年第12届华杯赛初一竞赛初赛第6题

已知$$a$$是整数，则以下四个代数式中，不可能得整数值的是．

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数减法->有理数加减混合运算

课内体系->能力->运算能力


2022~2023学年浙江宁波初三月考（六校强基竞赛）第6题

当$n\textgreater{} 0$时，$m\textless{} x_{1}$

当$n\textgreater{} 0$时，$m\textgreater{} x_{2}$

当$n\textless{} 0$时，$m\textless{} 0$

当$n\textless{} 0$时，$x_{1}\textless{} m\textless{} x_{2}$

课内体系->知识点->函数->二次函数

\hfill\break 【分析】\\ 根据二次函数的图象与性质可进行排除选项．\\ 【详解】\\ 解：由二次函数$y=x^{2}+2x+c$可知开口向上，对称轴为直线$x=-1$，\\ 当$x\textless{} -1$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x\textgreater{} -1$时，\emph{y}随\emph{x}的增大而增大；\\ ∵$A\left(x_{1},0\right)$，$B\left(x_{2},0\right)$是二次函数与\emph{x}轴的交点，点$P\left(m,n\right)$是图象上的一点，\\ ∴当$n\textgreater{} 0$时，则$m\textless{} x_{1}$或$m\textgreater{} x_{2}$；故$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$选项错误；\\ 当$n\textless{} 0$时，则$x_{1}\textless{} m\textless{} x_{2}$，故$\mathrm{D}$正确；当$x_{2}\textgreater{} 0$且$n\textless{} 0$时，此时有可能$m\textgreater{} 0$，故$\mathrm{C}$错误；\\ 故选$\mathrm{D}$．\\ 【点睛】\\ 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．


2016年全美数学竞赛（AMC）竞赛

美国AMC8->Knowledge Point->Number Theory->Remainder Problems->Remainder Characteristics

数字$$N$$是个两位数．  $$N$$除以$$9$$，余数为$$1$$．  $$N$$除以$$10$$，余数为$$3$$．  则$$N$$除以$$11$$时，余数为几？  从第二个子弹开始，我们知道第二个数字必须是$$3$$，因为除以$$9$$还有一个余数$$1$$，$$9$$的倍数必须以$$2$$结束，我们找到：  $$9\left( 1 \right)=9$$  $$9\left( 2 \right)=18$$  $$9\left( 3 \right)=27$$  $$9\left( 4 \right)=36$$  $$9\left( 5 \right)=45$$  $$9\left( 6 \right)=54$$  $$9\left( 7 \right)=63$$  $$9\left( 8 \right)=72$$  这个上数字$$71+1=73$$都满足条件，我们减去$$11$$的小于$$73$$的最大倍数得到剩余的，也就是$$73-11\left( 6 \right)=73-66=7$$．  故选$$\text{E}$$．  From the second bullet point, we know that the second digit must be $$3$$. Because there is a remainder of $$1$$ when it is divided by $$9$$ the multiple of $$9$$ must end in a $$2$$. We now look for this one:  $$9(1) = 9$$  $$9(2) =18$$  $$9(3) = 27$$  $$9(4) = 36$$  $$9(5) = 45$$  $$9(6) =54$$  $$9(8) = 72$$  The number $$72 +1= 73$$ satisfies both conditions. We subtract the biggest multiple of $$11$$ less than $$73$$ to get the remainder. Thus, $$73- 11(6) = 73 - 66 =\boxed{(\rm E) 7 }$$.


1992年第3届全国希望杯初一竞赛初赛第8题 2019~2020学年辽宁沈阳皇姑区沈阳市33中学初一上学期期中第5题2分

$$b-a$$

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算->整式加减 课内体系->能力->运算能力


2005年第16届希望杯初二竞赛复赛第1题4分 其它

$$m$$一定是奇数

$$m$$一定是偶数

只有$$a$$,$$b$$当均为偶数时，$$m$$是偶数

只有$$a$$,$$b$$当一个为偶数、另一个为奇数时，$$m$$是偶数 ~

竞赛->知识点->数论->同余->奇数与偶数

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算

$$m=ab(a+b)$$ 若$$a$$，$$b$$中有一个为偶数，$$m$$必为偶数． 若$$a$$，$$b$$均为奇数，$$a+b$$为偶数，$$m$$必为偶数．


2016年第27届全国希望杯初一竞赛初赛第5题4分

课内体系->能力->推理论证能力

课内体系->能力->运算能力

竞赛->知识点->数论->整除->因数与倍数


2009年第20届希望杯初二竞赛第1试第10题

无穷多个

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算->整式加减


2014年第25届全国希望杯初一竞赛复赛第10题4分

水池$$A$$和$$B$$都是深$$1.2$$米，底部是$$3$$米$$\times 2$$米的长方体．$$1$$号阀门$$18$$分钟可将无水的$$A$$池注满，$$2$$号阀门$$24$$分钟可将$$A$$池中满池的水注入$$B$$池．最初$$A$$、$$B$$均为空池，若同时打开$$1$$号，$$2$$号阀门，当$$A$$池水深$$0.4$$米时，同时关闭两个阀门，这时$$B$$池中有水（~ ）立方米．

课内体系->能力->运算能力 课内体系->能力->分析和解决问题能力 课内体系->知识点->数->有理数->有理数与实际问题

由已知条件可得，$$1$$号阀门每分钟注入$$\frac{1}{18}$$池水，而$$2$$号阀门每分钟放出$$\frac{1}{24}$$池水．  到$$A$$池深$$0.4$$米时，$$A$$池中正好留存了$$\frac{1}{3}$$池水，  则注水时间为$$\frac{1}{3}\div \left( \frac{1}{18}-\frac{1}{24} \right)=24$$（分钟），  故同时关闭阀门时，恰好放了$$24$$分钟水，正好把$$B$$池放满，  故$$B$$水池中有水$$3\times 2\times 1.2=7.2$$（立方米）．


1999年第10届希望杯初一竞赛第10题

定义：一个工厂一年的生产增长率就是：  $$\frac{当年产值 - 前一年产值}{前一年产值}\times 100 \%$$  如果该工厂$$2000$$年的产值要达到$$1998$$年产值的$$1.44$$倍，而且每年的生产增长率都是$$x$$，则$$x$$等于．

$$5 \%$$

$$10 \%$$

$$15 \%$$

$$20 \%$$

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程与实际问题->一元二次方程的增长率问题


2001年第6届华杯赛初一竞赛决赛第19题

将$$100$$以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下五项工作叫做一次操作：  （$$1$$）将左边第一个数码移到数字串的最右边；  （$$2$$）从左到右两位一节组成若干个两位数；  （$$3$$）从这些两位数中划去合数；  （$$4$$）所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去；  （$$5$$）所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串．  问：经过$$1997$$次操作，所得到数字串是什么？

竞赛->知识点->组合->操作与游戏

课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->规律探究->数列找规律->数列找规律-具有周期规律的数列


1998年第9届希望杯初一竞赛第4题

有下面$$4$$个命题：  ①两个数的差一定是正数．  ②两个整式的和一定是整式．  ③两个同类项的数字系数相同．  ④若两个角的和等于$$180{}^{}\circ $$，则这两个角互为邻补角．  其中真命题的个数是．

竞赛->知识点->几何图形初步->角->角的基础问题

由$$3-4=-1$$，知命题①不真；  $$3a{{b}^{2}}$$与$$5a{{b}^{2}}$$是同类项，但数字系数不同，③不真；  由于两条平行线被第三条直线所截，同旁内角之和为$$180{}^{}\circ $$，但它们并不互为邻补角．命题④不真．  易知，两个整式的和仍是整式是真命题．  所以只有$$1$$个真命题，选$$\text{A}$$．


2006年第17届希望杯初二竞赛第2试第1题

下列四组根式中，是同类二次根式的一组是．

$$\sqrt{{{a}^{2}}b}$$和$$\sqrt{a{{b}^{2}}}$$

$$\sqrt{a{{b}^{7}}{{c}^{3}}}$$和$$\sqrt{\frac{{{c}^{3}}}{ab}}$$

竞赛->知识点->数与式->二次根式->二次根式的性质与运算


2009年第20届希望杯初一竞赛第1试第5题4分

在$$\triangle ABC$$中，$$2\angle A=3\angle B$$，且$$\angle C-30{}^{}\circ =\angle A+\angle B$$，则$$\triangle ABC$$是．

锐角三角形

钝角三角形

有一个角是$$30{}^{}\circ $$的直角三角形

等腰直角三角形

课内体系->能力->分析和解决问题能力

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->三角形的基础->三角形的分类

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形内角和的应用

由题意得：$$\begin{cases}\angle A=\dfrac{3}{2}\angle B    \angle C=\angle A+\angle B+30{}^{}\circ    \angle A+\angle B+\angle C=180{}^{}\circ   \end{cases}$$，  解得$$\angle A=45{}^{}\circ $$，$$\angle B=30{}^{}\circ $$，$$\angle C=105{}^{}\circ $$．  故选$$\text{B}$$．


2001年第12届希望杯初二竞赛第1试第4题

一切实数

一切正实数

一切大于或等于$$5$$的实数

一切大于或等于$$2$$的实数

竞赛->知识点->函数->二次函数->二次函数的最大值与最小值


1996年第7届全国希望杯初一竞赛初赛第4题

如果一个方程的解都能满足另一个方程，那么，这两个方程（~ ）．

是同解方程

不是同解方程

是同一个方程

可能不是同解方程

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->解一元一次方程->方程解的关系

当另一个方程的解也都满足第一个方程时，这两个方程才是同解方程，因此排除$$\text{B}$$．  但另一个方程的解不都满足第一个方程时，它们不是同解方程，所以排除$$\text{A}$$、$$\text{C}$$，  因此选$$\text{D}$$．


2011年第16届华杯赛初一竞赛初赛第1题

船在江中顺水航行与逆水航行的速度之比为$$7:2$$，那么它在两港间往返一次的平均速度与顺水速度之比为．

竞赛->知识点->方程与不等式->方程应用

由已知条件可设船顺水航行的速度是$$7v$$，逆水航行的速度是$$2v$$，设两港之间的距离为$$s$$，则船往返一次的平均速度为$$\frac{2s}{\frac{s}{7v}+\frac{s}{2v}}=\frac{28}{9}v$$，从而平均速度与顺水速度之比为$$\frac{28}{9}v:7v=\frac{4}{9}$$．  故选$$\text{D}$$．


2008年第19届希望杯初一竞赛第2试第4题4分

①、②

①、③

②、③

③、④

竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质


1995年第6届全国希望杯初一竞赛初赛第5题

如果由四舍五入得到的近似数是$$35$$，那么在下列各数中不可能是真值的数是（~ ）．

课内体系->知识点->数->有理数->近似数与有效数字->精确数位


2012年竞赛第5题3分 初二其它

黑板上写有$$1$$，$$\frac{1}{2}$$，$$\cdots$$，$$\frac{1}{100}$$共$$100$$个数字，每次操作先从黑板上的数中选取两个数$$a$$，$$b$$，然后删去$$a$$，$$b$$，并在黑板上写上数$$a+b+ab$$，则经过$$99$$次操作后黑板上剩下的数是．

课内体系->知识点->式->因式分解->因式分解的应用 课内体系->能力->运算能力


2016年全国华杯赛初一竞赛

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式

课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减混合运算


2006年第17届希望杯初二竞赛第1试第9题

对实数$$a$$，$$b$$，定义运算``$$*$$''如下：  $$a*b=\begin{cases}{{a}^{2}}b\quad a\geqslant b    a{{b}^{2}}\quad a\textless{}b    \end{cases}$$．  现已知$$3*m=36$$，则实数$$m$$等于．

$$\pm 2\sqrt{3}$$

$$4$$或$$\pm 2\sqrt{3}$$

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->单项式乘单项式 课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算 课内体系->能力->运算能力 课内体系->思想->分类讨论思想


2019~2020学年10月江苏无锡梁溪区东林中学初一上学期月考第10题3分

1995年第6届全国希望杯初一竞赛复赛第1题

2017~2018学年10月江苏扬州高邮市高邮市南海中学初一上学期月考第6题3分

若$$y$$是正数，且$$x+y\textless{}0$$，则在下列结论中，错误的一个是．  If $$y$$ is a positive number and $$x+y\textless{}0$$, then which of the following conclusions is wrong ？．

Both A and C

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质

∵$$y\textgreater0$$，若$$x\geqslant 0$$则$$x+y\textgreater0$$，与$$x+y\textless{}0$$矛盾．  所以由$$y\textgreater0$$，$$x+y\textless{}0$$必有$$x\textless{}0$$．  因此，$${{x}^{3}}\textless{}0$$，$${{x}^{3}}y\textless{}0$$，即$$\text{A}$$是错误的．  事实上，$$y\textgreater0$$，$$x+y\textless{}0$$，即$$x+\left\textbar{} y \right\textbar\textless{}0$$，$$\text{B}$$成立．  $$\left\textbar{} x \right\textbar+y\textgreater0$$，$$\text{C}$$成立．$$x\textless{}0$$，$${{y}^{2}}\textgreater0$$，$$x-{{y}^{2}}\textless{}0$$，$$\text{D}$$成立．因此，选$$\text{A}$$．


2000年第17届全国初中数学联赛竞赛第1题7分

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的四则混合运算

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->多重二次根式


2001年第12届希望杯初二竞赛第1试第2题

不存在的

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的基础->二次根式有意义的条件

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的加减以及混合运算

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式化简求值

要使代数式$$\sqrt{x}+\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}$$有意义，需满足条件：  当$$\begin{cases}x\geqslant 0    x-1\geqslant 0    x-2\geqslant 0    \end{cases}$$，所以$$x\geqslant 2$$，  当$$x\geqslant 2$$时，  即$$\sqrt{x}+\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}\geqslant \sqrt{2}+\sqrt{2-1}+\sqrt{2-2}=\sqrt{2}+1$$，  即$$x=2$$时，原代数式取得最小值$$\sqrt{2}+1$$．  故选$$\text{B}$$．


2014年第25届全国希望杯初二竞赛初赛第10题4分

课内体系->能力->分析和解决问题能力 竞赛->知识点->组合->排列与组合

因为去掉$$8$$以后，余下$$7$$个数的和是$$1+2+3+4+5+6+7=28$$，  所以$$8$$的两边各数的和分别是$$14$$．  因为$$7+6=13$$，  所以$$14$$至少是由$$3$$个数相加而成的，  所以$$8$$的两边分别有$$3$$个数和$$4$$个数．  因为$$(7,6,1)$$，$$(7,5,2)$$，$$(7,4,3)$$，$$(6,5,3)$$这四组数的和都是$$14$$，  每组中的数的排列方法有$$3\times 2\times 1=6$$种，  与其对应的另外$$4$$个数（$$8$$除外）有$$4\times 3\times 2\times 1=24$$种排列方法，  当排成横行时，这$$4$$组数有排在$$8$$的左边和右边两种排列方法，  因此，每组数的排列方法有$$2\times 6\times 24=288$$（种）．  所以，满足题意的排列方法有$$4\times 288=1152$$（种）．


初二上学期其它 2002年竞赛第1题5分 2015年山东青岛黄岛区山东省青岛第九中学自主招生 2016~2017学年江西景德镇初二下学期期中景德镇一中1班第1题4分

知识标签->题型->式->分式->分式化简求值->题型：分式条件化简求值 知识标签->学习能力->运算能力 知识标签->知识点->式->分式->分式的运算->分式的混合运算


2016年山东青岛竞赛二中杯 初二其它

✩✩✩✩✩黑板上写有$$1$$，$$\frac{1}{2}$$，$$\cdots$$，$$\frac{1}{100}$$共$$100$$个数字，每次操作先从黑板上的数中选取两个数$$a$$，$$b$$，然后删去$$a$$，$$b$$，并在黑板上写上数$$a+b+ab$$，则经过$$99$$次操作后黑板上剩下的数是．

课内体系->知识点->式->因式分解->其他方法 课内体系->知识点->式->因式分解->因式分解的应用


2002年第13届希望杯初一竞赛第2试第2题

~下列四个命题：  ①如果两个角是对顶角，则这两个角相等．  ②如果两个角相等，则这两个角是对顶角．  ③如果两个角不是对顶角，则这两个角不相等．  ④如果两个角不相等，则这两个角不是对顶角．  其中正确的命题有（ ~）．

1个

2个

3个

4个

课内体系->知识点->几何图形初步->相交线与平行线->相交线->对顶角的定义与性质

课内体系->知识点->几何图形初步->相交线与平行线->相交线->计算对顶角、邻补角度数

②两个角相等，不一定为对顶角；  ③两个角不是对项角，也可以相等．


1996年第7届全国希望杯初一竞赛初赛第7题

课内体系->知识点->几何图形初步->直线、射线、线段->直线、射线、线段的运算->线段和差的计算问题->线段和差-需要分类讨论


2013年第18届华杯赛初一竞赛初赛第2题

从$$-6$$、$$-4$$、$$-3$$、$$-2$$、$$-1$$、$$3$$、$$6$$中选择任意两个数字，然后将它们相乘，得到的乘积的最大值为$$a$$，最小值为$$b$$，则$$\frac{a}{b}$$的值为。  Pick any two numbers from $$-6$$, $$-4$$, $$-3$$, $$-2$$, $$-1$$, $$3$$, $$6$$ and multiply them, the maximum value of the resulting product is $$a$$, and the minimum value is $$b$$, then the value of $$\frac{a}{b}$$ is ．

竞赛->知识点->数与式->整式->整式的乘除运算 课内体系->知识点->数->有理数->分数


1998年第9届希望杯初二竞赛第1试第10题

$${{a}_{1}}+{{a}_{2}}\leqslant {{b}_{1}}+{{b}_{2}}$$

$${{a}_{1}}+{{a}_{2}}\geqslant {{b}_{1}}+{{b}_{2}}$$

$${{a}_{1}}+{{a}_{2}}={{b}_{1}}+{{b}_{2}}$$

无法确定的

课内体系->能力->分析和解决问题能力 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质


1999年竞赛（全国初中数学竞赛）第2题5分

某城市按以下规定收取煤气费：（$$1$$）每月所用煤气按整立方米数计算．（$$2$$）若每月用煤气不超过$$60$$立方米，按每立方米$$0.8$$元收费；若超过$$60$$立方米，超过部分按每立方米$$1.2$$元收费．已知某户人家某月的煤气费平均每立方米$$0.88$$元，则这户人家需要交煤气费．

课内体系->能力->运算能力

课内体系->能力->推理论证能力

课内体系->能力->分析和解决问题能力

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的梯度计价问题

由于$$0.88\textgreater0.8$$，所以这户人家用的煤气超过$$60$$立方米．设用了$$x$$立方米，则  $$60\cdot 0.8+1.2\left( x-60 \right)=0.88x$$，  解得$$x=75$$，  $$75\times 0.88=66$$（元）．  故选：$$\text{B}$$．


$$a\textless{}b\textless{}c$$

$$a\textless{}c\textless{}b$$

$$b\textless{}a\textless{}c$$

$$b\textless{}c\textless{}a$$

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式比较大小


2010年第21届全国希望杯初一竞赛初赛第10题4分 2019~2020学年浙江宁波镇海区宁波市镇海蛟川书院初一上学期期中第8题3分

存在负整数

存在正整数

存在负分数

不存在正分数

课内体系->知识点->数->有理数->相反数->相反数的性质

由可知$$a\ne 0$$且$$b\ne 0$$．  再由$$a+b=0$$，可知$$a=-b$$．  不妨设$$a\textgreater b$$，则$$a\textgreater0\textgreater b$$，  则在$$a$$和$$b$$之间一定存在负分数．


1992年第3届全国希望杯初一竞赛复赛第7题

已知$$p$$为偶数，$$q$$为奇数，方程组$$\left { \begin{matrix}x-1992y=p    1993x+3y=q   \end{matrix} \right.$$的解是整数，那么（~ ）．

$$x$$是奇数，$$y$$是偶数

$$x$$是偶数，$$y$$是奇数

$$x$$是偶数，$$y$$是偶数

$$x$$是奇数，$$y$$是奇数

课内体系->思想->方程思想

课内体系->思想->整体思想

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->二元一次方程组的定义


2000年第11届希望杯初一竞赛第6题

某件商品，若按标价的八折出售，可获利$$20 \%$$，若按原价出售，则可获利（ ~）

$$25 \%$$

$$40 \%$$

$$50 \%$$

$$66.7 \%$$

课内体系->能力->分析和解决问题能力

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的经济问题->一元一次方程的经济问题-打折


1997年第8届全国希望杯初一竞赛初赛第10题

有理数$$b$$满足$$\left\textbar{} b \right\textbar\textless{}3$$，并且有理数$$a$$使得$$a\textless{}b$$恒能成立，则$$a$$的取值范围是（~ ）．

小于或等于$$3$$的有理数

小于$$3$$的有理数

小于或等于$$-3$$的有理数

小于$$-3$$的有理数

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的代数意义

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式->解一元一次不等式


2018年第29届希望杯初一竞赛初赛第7题4分

$$A$$、 $$B$$ 两家商店的笔记本定价都是$$10$$元一本．已知在$$A$$商店每购$$5$$本赠一本，在$$B$$商店，超过$$5$$本（含$$5$$本），每本八五折．小明需要购买$$32$$本笔记本，则他至少花元．

课内体系->能力->运算能力

课内体系->能力->分析和解决问题能力

课内体系->知识点->数->有理数->有理数与实际问题->有理数乘除法与实际问题

在$$\text{A}$$商店每购$$5$$本赠一本，$$5\div6 \approx0.83$$，低于八五折，  所以可以在$$\text{A}$$商店购买$$24$$本，在$$\text{B}$$商店购买$$8$$本；  或者在$$\text{A}$$商店购买直接购买$$32$$本．  在$$\text{A}$$商店购买$$24$$本，在$$\text{B}$$商店购买$$8$$本，  花费$$20\times10+8\times10\times0.85=268$$（元）；  在$$\text{A}$$商店购买直接购买$$32$$本，花费$$25\times10+2\times10=270$$（元）．  综上，小明需要购买$$32$$本笔记本，则他至少花$$268$$元．  故选$$\text{B}$$．


2000年第11届希望杯初二竞赛第1试第8题

互不相等的三个正数$$a$$、$$b$$、$$c$$恰为一个三角形的三条边长，则以下列三数为长度的线段一定能做成三角形的是．

$$\frac{1}{a}$$，$$\frac{1}{b}$$，$$\frac{1}{c}$$

$$a^{2}$$，$$ b^{2}$$，$$c^{2}$$

$$\sqrt{a}$$，$$\sqrt{b}$$，$$ \sqrt{c}$$

$$\textbar a-b\textbar$$，$$\textbar b-c\textbar$$，$$\textbar c-a\textbar$$

竞赛->知识点->三角形->三角形基础

如$$2$$，$$4$$，$$5$$为边可以组成三角形，而$$\frac{1}{2}$$，$$ \frac{1}{4}$$，$$ \frac{1}{5}$$不能构成三角形，排除$$\text{A}$$．  如$$3$$，$$4$$，$$5$$为边可以组成三角形，而$$3^{2}$$，$$ 4^{2}$$，$$ 5^{2}$$不能构成三角形，排除$$\text{B}$$．  如$$2$$，$$3$$，$$4$$为边可以组成三角形，而$$\textbar2-3\textbar$$，$$\textbar3-4\textbar$$，$$\textbar4-2\textbar$$不能构成三角形，排除$$\text{D}$$．  不妨设$$a\textgreater b\textgreater c\textgreater0$$，满足$$a\textless b+c$$，  所以$$(\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}=b+2 \sqrt{b c}+c\textgreater a$$，  所以$$\sqrt{b}+\sqrt{c}\textgreater\sqrt{a}$$，  所以$$\sqrt{a}$$，$$ \sqrt{b}$$，$$ \sqrt{c}$$可以构成三角形．  故选$$\text{C}$$．


2016年第27届全国希望杯初二竞赛初赛第5题4分

若关于$$x$$的不等式$$\left { \begin{matrix}2x-1\textgreater3(x-2)    2x+m-1\textgreater0   \end{matrix} \right.$$，只有四个整数解，则$$m$$的取值范围是（~ ）．

$$-1\leqslant m\textless{}1$$

$$-1\textless{}m\leqslant 1$$

$$-1\leqslant m\leqslant 1$$

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->由不等式（组）的整数解情况求参数范围

解$$2x-1\textgreater3(x-2)$$，得$$x\textless{}5$$；  解$$2x+m-1\textgreater0$$，得$$x\textgreater\frac{1-m}{2}$$．  ∵不等式组只有四个整数解，  ∴$$0\leqslant \frac{1-m}{2}\textless{}1$$，  解得$$-1\textless{}m\leqslant 1$$．


初二下学期其它 1996年第7届希望杯初二竞赛第4题

$$a\textgreater b\textgreater c\textgreater d$$

$$c\textgreater a\textgreater d\textgreater b$$

$$a\textgreater d\textgreater c\textgreater b$$

$$a\textgreater c\textgreater d\textgreater b$$

课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数除法运算

课内体系->能力->运算能力


1994年第5届希望杯初二竞赛第7题

直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条直角的长度是$$13$$，那么它的周长为．

竞赛->知识点->三角形->特殊三角形->直角三角形

设另一条直角边的长度为$$x$$，斜边的长度为$$z$$，则$${{z}^{2}}-{{x}^{2}}={{13}^{2}}$$，  由于$$x$$，$$z$$均为正整数，且$$z\textgreater x$$，  于是由$$\left( z+x \right)\left( z-x \right)=169\times 1$$．  可得$$\begin{cases}z+x=169    z-x=1    \end{cases}$$．  所以三角形的周长为$$169+13=182$$．  故选$$\text{A}$$．


1998年第9届希望杯初二竞赛第1试第1题

竞赛->知识点->数与式->因式分解->因式分解：公式法


1991年第2届希望杯初二竞赛第2题

两个正数$$m$$，$$n$$的比是$$t\left( t~ \textgreater~ 1 \right)$$．若$$m+n=s$$，则$$m$$，$$n$$中较小的数可以表示为．

$$ts$$

$$s-ts$$

竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题


2014年全美数学竞赛（AMC）竞赛

昨天，四个孩子在城市医院出生。假设每个孩子是男孩或女孩的可能性是相等的。以下哪种结果最有可能？  Four children were born at City Hospital yesterday. Assume each child is equally likely to be a boy or a girl. Which of the following outcomes is most likely?．

all $$4$$ are boys  4个都是男孩

all $$4$$ are girls  四个都是女孩

$$2$$ are girls and $$2$$ are boys  2个女孩和$$2$$个男孩

$$3$$ are of one gender and $$1$$ is of the other gender  3个是同一种性别，$$1$$个是另一种性别

all of these outcomes are equally likely  所有这些结果都有同样的可能性

美国AMC8->Knowledge Point->Counting, Probability and Statistics->Statistical Distribution

课内体系->知识点->统计与概率->概率->可能性的大小

城市医院昨日诞下四名婴儿．假设每个婴儿各可能有一半几率为男孩或女孩．则下列哪个事件最有可能？  A．$$4$$个男婴  B．$$4$$个女婴  C．$$2$$男婴$$2$$女婴  D．$$3$$个为一种性别，另一个为异性  E．以上事件皆等可能  我们先把例子分析一下．$$A$$发生的概率为$${{\left( \frac{1}{2} \right)}^{4}}=\frac{1}{16}$$，$$B$$发生的概率为$${{\left( \frac{1}{2} \right)}^{4}}=\frac{1}{16}$$．$$C$$发生的概率为$$\left( \begin{matrix}4    2   \end{matrix} \right)\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{4}}=\frac{3}{8}$$．因为我们需要从$$4$$个孩子中选择$$2$$个成为女孩．  $$D$$方面，有两种可能的情况，即$$3$$个女孩和$$1$$个男孩或$$3$$个男孩和$$1$$个女孩．第一种情况的概率就$$\left( \begin{matrix}4    1   \end{matrix} \right)\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{4}}=\frac{1}{4}$$．因为我们需要从四个孩子中选择一个成为男孩．但是，第二种情况也有同样的可能性，因为我们在$$4$$个孩子中选择了$$1$$个是女孩，所以总的可能性是$$\frac{1}{4}\cdot 2=\frac{1}{2}$$．  所以在四个分数中，$$D$$就最大的．所以我们的答案是$$3$$ are of one gender and $$1$$ is of the other gender．  故选$$\text{D}$$．  可能性列在帕斯卡三角形的第四行，最左边的$$1$$是所有男孩的可能性，最右边的$$1$$是所有女孩的可能性．由于 pascal 的三角形第四行为$$1$$，$$4$$，$$6$$，$$4$$，$$1$$，$$6$$，均为每个性别的两个孩子的可能性，因此共有$$8$$个可能性，其中一个性别的三个孩子和另一个性别的一个孩子．由于总共有$$2^{4}=16$$个儿童性别的可能性．  故选$$\text{D}$$．  We\textquotesingle ll just start by breaking cases down. The probability of $$A$$ occurring is $${{\left( \frac{1}{2} \right)}^{4}}=\frac{1}{16}$$. The probability of $$B$$ occurring is $${{\left( \frac{1}{2} \right)}^{4}}=\frac{1}{16}$$.  The probability of $$C$$ occurring is $$\left( \begin{matrix}4    2   \end{matrix} \right)\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{4}}=\frac{3}{8}$$, because we need to choose $$2$$ of the $$4$$ children to be girls.  For $$D$$, there are two possible cases, $$3$$ girls and $$1$$ boy or $$3$$ boys and $$1$$ girl. The probability of the first case is $$\left( \frac{4}{1} \right)\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{4}}=\frac{1}{4}$$ because we need to choose $$1$$ of the $$4$$ children to be a boy. However, the second case has the same probability because we are choosing $$1$$ of the $$4$$ children to be a girl, so the total probability is $$\frac{1}{4}\cdot 2=\frac{1}{2}$$.  So out of the four fractions, $$D$$ is the largest. So our answer is $$\left( \text{D} \right)$$ $$3$$ of one gender and $$1$$ of the other.  The possibilities are listed out in the fourth row of Pascal\textquotesingle s triangle, with the leftmost $$1$$ being the possibility of all boys and the rightmost $$1$$ being the possibility of all girls. Since the fourth row of Pascal\textquotesingle s Triangle goes $$1$$, $$4$$, $$6$$, $$4$$, $$1$$ and $$6$$ are all the possibilities of two children from each gender, there are a total of $$8$$ possibilities of three children from one gender and one from the other. Since there are a total of $${{2}^{4}}=16$$ total possibilities for the gender of the children, $$\text{D}$$ has the highest probability.


2018~2019学年9月湖南长沙雨花区中雅培粹学校初一上学期月考第12题3分 1999年第10届希望杯初一竞赛第10题

$$({{a}_{1}}+1)({{a}_{2}}+2)\cdots ({{a}_{n}}+n)$$是正整数

$$({{a}_{1}}-1)({{a}_{2}}-2)\cdots ({{a}_{n}}-n)$$是正整数

$$\left( \frac{1}{{{a}_{1}}}+1 \right)\left( \frac{1}{{{a}_{2}}}+2 \right)\cdots \left( \frac{1}{{{a}_{n}}}+n \right)$$是正数

$$\left( 1-\frac{1}{{{a}_{1}}} \right)\left( 2-\frac{1}{{{a}_{2}}} \right)\cdots \left( n-\frac{1}{{{a}_{n}}} \right)$$是正数

课内体系->能力->运算能力

课内体系->能力->抽象概括能力

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->含乘方的有理数混合运算

课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->规律探究->算式找规律


2017~2018学年福建泉州丰泽区泉州实验中学（圣湖校区）初一下学期期中第8题4分

1995年第6届全国希望杯初一竞赛复赛第10题

2015~2016学年北京海淀区清华大学附属中学初一下学期期中第10题3分

某项球类规则达标测验，规定满分$$100$$分，$$60$$分及格，模拟考试与正式考试形式相同，都是$$25$$道选择题，每题答对记$$4$$分，答错或不答记$$0$$分，并规定正式考试中要有$$80$$分的试题就是模拟考试中的原题．假设某人在模拟考试中答对的试题，在正式考试中仍能答对，某人欲在正式考试中确保及格，则他在模拟考试中，至少要得．

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式组应用->不等式组的其他实际问题

设在模拟考试中至少要得$$x$$分，则在模拟考试中至少做对$$\frac{x}{4}$$道题，  做错或不会做的题至多是$$25-\frac{x}{4}$$道题．  在正式考试中要出现模拟考试中$$80$$分的试题，即$$\frac{80}{4}=20$$道题．  如果最坏的可能，即其余$$20$$分题（$$5$$道新题）某人全不会做，  而且模拟考试中$$25-\frac{x}{4}$$道失分的题又全出现在正式考试试题之中，  并且该生在模拟考试后也没能复习纠错，仍按错误答案在正规考试中失分，  这时该生只能从$$\frac{80}{4}-(25-\frac{x}{4})$$道题中取得及格分，  即$$\left[ \frac{80}{4}-(25-\frac{x}{4}) \right]\times 4\geqslant 60$$，解得$$x\geqslant 80$$．  即某人欲在正式考试中确保及格，则他在模拟考试中至少要得$$80$$分．选$$\text{A}$$．


2011年第22届全国希望杯初二竞赛初赛第4题4分

在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知$$k$$为整数，若函数$$y=2x-1$$与$$y=kx+k$$的图象的交点是整点，则$$k$$的值有（~ ）．

课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数基础


2001年第12届希望杯初一竞赛第10题 初一上学期单元测试《一元一次方程》第20题

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->含参一元一次方程->一元一次方程的含参整数解


2012年第23届全国希望杯初一竞赛初赛第9题4分

如图，$$\triangle ABC$$的面积是$$60$$，$$AD:DC=1:3$$，$$BE:ED=4:1$$，$$EF:FC=4:5$$，则$$\triangle BEF$$的面积是（~ ）．

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->判断三角形的高，中线和角平分线

课内体系->知识点->几何图形初步->直线、射线、线段->直线、射线、线段的运算->线段中点与等分点


2010年第21届全国希望杯初一竞赛初赛第5题4分

$$8$$个人用$$35$$天完成了某项工程的$$\frac{1}{3}$$．此时，又增加$$6$$个人，那么要完成剩余的工程，还需要的天数是（~ ）．


2009年第20届希望杯初一竞赛第1试第3题4分

在数轴上，坐标是整数的点称为``整点''．设数轴的单位长度是$$1$$厘米，在这个数轴上随意画出一条长为$$2008$$厘米的线段$$AB$$，则线段$$AB$$盖住的整点至少有．

课内体系->知识点->数->有理数->数轴->数轴上整点覆盖问题 课内体系->能力->运算能力

当画的线段的两个端点都在整点上时，线段$$AB$$盖住$$2009$$个整点；当画的线段的两个端点都不在整点上时，线段$$AB$$盖住$$2008$$个整点；所以长为$$2008$$厘米的线段$$AB$$，至少可盖住数轴上$$2008$$个整点．  故选$$\text{C}$$．


2015年第32届全国全国初中数学联赛竞赛A卷第6题7分

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算

课内体系->能力->运算能力

竞赛->知识点->数论->同余->剩余系及其应用

竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质


2016年第27届全国希望杯初一竞赛初赛第2题4分

若$$n$$个人完成一项工程需要$$m$$天，则$$(m+n)$$个人完成这项工程需要（~ ）天．

$$\frac{mn}{m+n}$$

$$\frac{m-n}{m+n}$$

$$\frac{m+n}{mn}$$

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->代数式->列代数式 课内体系->能力->分析和解决问题能力

$$n$$个人完成一项工程需要$$m$$天，  则$$1$$个人完成这项工程需要$$mn$$天，  ∴$$(m+n)$$个人完成这项工程需要$$\frac{mn}{m+n}$$天．


1995年第6届全国希望杯初一竞赛初赛第3题

$${{a}^{2}}=\left\textbar{} {{a}^{2}} \right\textbar$$

$${{a}^{3}}=-\left\textbar{} {{a}^{3}} \right\textbar$$

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的定义

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘法->有理数乘法运算

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算


1993年第10届全国初中数学联赛竞赛第1题

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->综合除法和余数定理

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->大除法


2014年第25届全国希望杯初二竞赛初赛第4题4分

2016~2017学年安徽安庆潜山市潜山第四中学初三上学期期末模拟第2题4分

2018~2019学年广东深圳福田区深圳实验学校中学部初三上学期开学考试第4题3分

2015~2016学年江苏苏州相城区初二下学期期中第7题3分

2018年陕西西安碑林区西安市第六中学初三中考一模第6题3分

2016~2017学年12月北京海淀区北方交通大学附属中学分校初三上学期月考第6题3分

2017~2018学年10月山东济南历下区济南燕山学校初三上学期月考第10题3分

2016~2017学年安徽合肥肥西县肥西县烧脉中学初三上学期期中第4题4分

$${{y}_{1}}\textless{}{{y}_{2}}\textless{}{{y}_{3}}$$

$${{y}_{2}}\textless{}{{y}_{1}}\textless{}{{y}_{3}}$$

$${{y}_{3}}\textless{}{{y}_{1}}\textless{}{{y}_{2}}$$

$${{y}_{3}}\textless{}{{y}_{2}}\textless{}{{y}_{1}}$$

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->函数->反比例函数->反比例函数图象与性质->反比例函数增减性