2018年重庆中考真题A卷第12题4分

2018年四川绵阳涪城区绵阳东辰国际学校初三自主招生第3题4分

2019~2020学年重庆合川区西南大学银翔实验中学初一下学期期末模拟（一）第12题4分

2018~2019学年广东深圳南山区桃苑学校初二下学期期末第11题3分

2019年浙江杭州拱墅区杭州市文澜中学初二竞赛第7题3分

2019~2020学年江苏苏州姑苏区苏州市振华中学校初三下学期单元测试《方程与不等式》第10题3分

若数$$a$$使关于$$x$$的不等式组$$\begin{cases}\dfrac{x-1}{2}\textless{}\dfrac{1+x}{3}    5x-2\geqslant x+a \end{cases}$$有且只有四个整数解，且使关于$$y$$的方程$$\frac{y+a}{y-1}+\frac{2a}{1-y}=2$$的解为非负数，则符合条件的所有整数$$a$$的和为．

课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->分式方程与不等式综合

课内体系->能力->运算能力

$$\begin{cases}\dfrac{x-1}{2}\textless{}\dfrac{1+x}{3}    5x-2\geqslant x+a \end{cases}$$，  不等式组整理得：$$\begin{cases}x\textless{}5    x\geqslant \dfrac{a+2}{4} \end{cases}$$，  由不等式组有且只有四个整数解，得到$$0\textless{}\frac{a+2}{4}\leqslant 1$$，  解得：$$-2\textless{}a\leqslant 2$$，即整数$$a=-1$$，$$0$$，$$1$$，$$2$$，  $$\frac{y+a}{y-1}+\frac{2a}{1-y}=2$$，  分式方程去分母得：$$y+a-2a=2(y-1)$$，  解得：$$y=2-a$$，  由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到$$a$$为$$-1$$，$$0$$，$$2$$，之和为$$1$$．


2017~2018学年浙江宁波鄞州区宁波市鄞州蓝青学校初二下学期期末第7题3分 1991年第8届全国初中数学联赛竞赛（第一试）第1题

设等式$$\sqrt{a\left( x-a \right)}+\sqrt{a\left( y-a \right)}=\sqrt{x-a}-\sqrt{a-y}$$在实数范围内成立，其中$$a$$，$$x$$，$$y$$是两两不同的实数，则$$\frac{3{{x}^{2}}+xy-{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}}$$的值是（~ ）．

课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-条件化简求值 课内体系->知识点->数->实数->平方根->算术平方根的双重非负性 课内体系->能力->运算能力

据算术根性质，由右端知$$y\leqslant a\leqslant x$$，  又由左端知$$a\geqslant 0$$且$$a\leqslant 0$$，故$$a=0$$．  由此得$$x=-y$$，代入所求式算值为$$\frac{1}{3}$$．  故选$$\text{B}$$．


1996年第7届全国希望杯初一竞赛复赛第1题

$$-{{\left( -a \right)}^{2}}$$

$$-\left\textbar{} -a \right\textbar$$

$$-\left( -{{a}^{2}} \right)$$

课内体系->知识点->数->有理数->正数和负数->正数、负数定义

当$$a\textless{}0$$时，$${{\left( -a \right)}^{2}}\textgreater0$$，$$\left\textbar{} -a \right\textbar\textgreater0$$，$${{a}^{2}}\textgreater0$$，  所以$$-{{\left( -a \right)}^{2}}\textless{}0$$，$$-\left\textbar{} -a \right\textbar\textless{}0$$，$$-{{a}^{2}}\textless{}0$$，因此排除$$\text{A}$$、$$\text{B}$$、$$\text{C}$$，选$$\text{D}$$．  事实上，$$a\textless{}0$$时，$${{a}^{2}}\textgreater0$$，$$-\left( -{{a}^{2}} \right)\textgreater0$$．当然$$a=-0.01$$时更是如此．


2017~2018学年浙江金华金东区初二上学期期末第10题3分

2017~2018学年9月安徽安庆潜山市潜山第四中学初二上学期月考第6题4分

2017~2018学年浙江宁波镇海区宁波市镇海蛟川书院初二上学期期中第9题4分

2017~2018学年12月陕西西安碑林区西北工业大学附属中学初二上学期月考第7题3分

2018~2019学年辽宁大连甘井子区初一下学期期末第10题3分

2018年湖南长沙初二竞赛长郡教育集团（觉园杯）第1题4分

2018~2019学年浙江宁波镇海区宁波市镇海蛟川书院初二上学期期中第4题4分

2017年广西贵港中考真题第6题3分

2020~2021学年4月浙江杭州上城区杭州市建兰中学初三下学期周测A卷第1题4分

2018~2019学年湖北武汉武昌区初一下学期期中（十五校联考）第8题3分

在平面直角坐标系中，点$$P(m-3,4-2m)$$不可能在．

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->函数->平面直角坐标系->坐标系基础->象限内坐标的特征 课内体系->思想->分类讨论思想

①$$m-3\textgreater0$$，即$$m\textgreater3$$时，  $$-2m\textless{}-6$$，$$4-2m\textless{}-2$$，  所以，点$$P(m-3,4-2m)$$在第四象限，不可能在第一象限．  ②$$m-3\textless{}0$$，即$$m\textless{}3$$时，  $$-2m\textgreater-6$$，$$4-2m\textgreater-2$$，  点$$P(m-3,4-2m)$$可能在第二或三象限，  综上所述，点$$P$$不可能在第一象限．


1991年第8届全国初中数学联赛竞赛（第一试）第4题

$${{\left( -1 \right)}^{n}}1991$$

$${{\left( -1 \right)}^{n}}{{1991}^{-1}}$$

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式化简求值

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式


1999年第10届希望杯初二竞赛第2试第1题

①，②，③

②，③，④

③，④，⑤

①，②，④

课内体系->知识点->式->因式分解->公式法->提公因式+平方差 课内体系->知识点->式->因式分解->提公因式法


2008年第19届希望杯初二竞赛第2试第6题

有面值为$$10$$元、$$20$$元，$$50$$元的人民币（每种至少一张）共$$24$$张，合计$$1000$$元，那么其中面值为$$20$$元的人民币的张数为．

竞赛->知识点->方程与不等式->一次方程->方程组


初一上学期单元测试《走进美妙的数学世界》第7题 2013年第24届全国希望杯初一竞赛初赛第3题4分

$$a\textless{}b\textless{}c$$

$$\textasciitilde b\textless{}c\textless{}a$$

$$c\textless{}b\textless{}a$$

$$a\textless{}c\textless{}b$$

课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性


1996年第7届希望杯初二竞赛第8题4分

课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减混合运算 课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式通分


1993年第4届全国希望杯初一竞赛复赛第7题

$$n$$为正整数，$$302$$被$$n\left( n+1 \right)$$除所得商数$$q$$及余数$$r$$都是正值，则$$r$$的最大值与最小值的和是（~ ）．

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->含乘方的有理数混合运算

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算


2010年第21届全国希望杯初一竞赛初赛第1题4分

设$$a\textless{}0$$，在$$\left\textbar{} a \right\textbar$$，$$-a$$，$${{a}^{2009}}$$，$${{a}^{2010}}$$，$$\left\textbar{} -a \right\textbar$$，$$\left( \frac{{{a}^{2}}}{a}+a \right)$$，$$\left( \frac{{{a}^{2}}}{a}-a \right)$$中负数的个数是．

知识标签->知识点->数->有理数->正数和负数->正数和负数的定义 知识标签->题型->数->有理数->数轴与有理数有关的概念->题型：区分正负数

因为$$a\textless{}0$$，  所以$$\left\textbar{} a \right\textbar$$，$$-a$$，$${{a}^{2010}}$$，$$\left\textbar{} -a \right\textbar$$均为正数，  而$$\left( \frac{{{a}^{2}}}{a}-a \right)=a-a=0$$，$$\left( \frac{{{a}^{2}}}{a}+a \right)=a+a=2a$$，  所以只有$${{a}^{2009}}$$，$$\left( \frac{{{a}^{2}}}{a}+a \right)$$为负数．  故负数的个数是$$2$$．


2014年第25届全国希望杯初一竞赛初赛第2题4分

在下列图形中，恰有三条对称轴的是（~ ）．

平行四边形

圆

等边三角形

正方形

课内体系->知识点->几何变换->轴对称->轴对称基础->对称轴条数问题

平行四边形不一定是轴对称图形；  圆有无数条对称轴；  等边三角形恰好有三条对称轴；  正方形有四条对称轴．  故选$$\text{C}$$．


1993年第4届全国希望杯初一竞赛初赛第13题

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->解一元一次方程->常规一元一次方程解法

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程的相关概念->一元一次方程的解

课内体系->能力->运算能力


2014年第25届全国希望杯初二竞赛复赛第2题4分 2015~2016学年湖南长沙雨花区湖南广益实验中学初一上学期期中

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算->整式加减 课内体系->能力->运算能力


1991年第2届全国希望杯初一竞赛初赛第12题

课内体系->知识点->式->分式->分式的基础->分式为特殊值

课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-直接代入数值求值


2013年竞赛第5题4分

课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算 课内体系->能力->运算能力


2019年浙江杭州拱墅区杭州市文澜中学初二竞赛第10题3分

$$x ~\textless{} ~-1$$

$$x ~\textless{} ~1$$

课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数与方程、不等式->一次函数与一元一次不等式


2019~2020学年3月浙江杭州滨江区杭州二中白马湖学校初一下学期周测C卷第9题

第7届希望杯初二竞赛第3题

2017~2018学年5月四川成都天府新区 成都市实验外国语学校（西区）初二下学期月考第10题3分

上海自主招生近5年（2015-2019）真题题型分类汇编第15题

已知$${{x}^{2}}+ax-12$$能分解成两个整数系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数$$a$$的个数是．

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->式->因式分解->因式分解的基础->已知因式分解结果求参数

设$$x^{2}+ax-12$$能分解成两个整数系数的一次因式的乘积，  即$$x^{2}+ax-12=(x+m)(x+n)$$，$$m$$，$$n$$是整数，  $$\therefore x^{2}+ax-12=x^{2}+(m+n)x+mn$$，  $$\therefore \begin{cases}mn=-12 \m+n=a\end{cases}$$，  $$\because m$$，$$n$$是整数，且$$mn=-12$$，  有$$\begin{cases}m=12 \n=-1\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=-1 \n=12\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=6 \n=-2\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=-2 \n=6\end{cases}$$，  $$\begin{cases}m=4 \n=-3\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=-3 \n=4\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=3 \n=-4\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=-3 \n=4\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=2 \n=-6\end{cases}$$，  $$\begin{cases}m=-6 \n=2\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=1 \n=-12\end{cases}$$，$$\begin{cases}m=-12 \n=1\end{cases}$$，共$$12$$种情况．  而$$a=m+n$$，只有$$6$$种结果，  故选$$\text{C}$$．


1995年第6届希望杯初二竞赛第1题

设$${{x}_{0}}$$是方程$$\left\textbar{} \frac{1+x}{2} \right\textbar-\left\textbar{} -x \right\textbar=0$$的一个不为$$1$$的根，则．

$${{x}_{0}}\textgreater2{{x}_{0}}\textgreater x_{0}^{2}$$

$$x_{0}^{2}\textgreater{{x}_{0}}\textgreater2{{x}_{0}}$$

$$x_{0}^{2}\textgreater2{{x}_{0}}\textgreater{{x}_{0}}$$

$$2{{x}_{0}}\textgreater x_{0}^{2}\textgreater{{x}_{0}}$$

竞赛->知识点->方程与不等式->一次方程->一元一次方程


2007年第18届希望杯初一竞赛复赛第9题4分

将棱长为$$1$$厘米的$$42$$个立方体积木拼在一起，构成一个实心的长方体．如果长方体底面的周长为$$18$$厘米，那么这个长方体的高是．

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->几何图形初步->几何图形->立体图形与平面图形->认识图形

由构成的长方体的底面矩形周长为$$18$$，得长$$+$$宽$$=9$$厘米，  因为长方体的体积为$$42$$立方厘米，  所以长和宽都应是$$42$$的约数，且底面面积也是$$42$$的约数，  又$$42=1\times 42=2\times 3\times 7$$，  所以长$$=7$$厘米，宽$$=2$$厘米，  此时高$$=42\div (2\times 7)=3$$（厘米）.  故选($$\text{B}$$)．


1992年第3届全国希望杯初一竞赛复赛第8题

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义 课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->幂的综合运算


2010年第21届希望杯初二竞赛第1试第10题

某人沿正在向下运动的自动扶梯从楼上走到楼下，用了$$24$$秒；若他站在自动扶梯上不动，从楼上到楼下要用$$56$$秒．若扶梯停止运动，他从楼上走到楼下要用．

竞赛->知识点->方程与不等式->一次方程->一元一次方程

设从楼上到楼下的路程为$$s$$，则自动扶梯每秒向下运动$$\frac{s}{56}$$的路程．  人沿向下运动的扶梯向下走，经过$$24$$秒，扶梯向下运动了$$24\times \frac{s}{56}=\frac{3s}{7}$$的路程，  人向下走了$$s-\frac{3}{7}s=\frac{4}{7}s$$的路程，  所以，人每秒向下走$$\frac{4}{7}s\div 24=\frac{s}{42}$$的路程，  那么，人走$$s$$的路程要用$$42$$秒，  即人沿不动的扶梯从楼上走到楼下要用$$42$$秒．  故选$$\text{C}$$．


2019年湖南长沙雨花区湖南广益实验中学初一竞赛（广益杯）第9题3分

据统计，$$2017$$``十一''国庆长假期间，长沙市共接待国内外游客约$$319$$万人次，与$$2016$$年相比同比增长$$16.43 \%$$，数据$$319$$万用科学记数法表示为．

$$3.19\times {{10}^{6}}$$

$$3.19\times {{10}^{8}}$$

$$0.319\times {{10}^{7}}$$

$$319\times {{10}^{6}}$$

课内体系->知识点->数->有理数->科学记数法->科学记数法：表示较大的数

$$319$$万$$=3190000$$，  $$3190000=3.19\times {{10}^{6}}$$，  其中科学记数法的表示方法为$$\left\textbar{} a \right\textbar\times {{10}^{n}}\left( 1\leqslant a\textless{}10 \right)$$．  故选$$\text{A}$$．


2009年第20届希望杯初一竞赛第1试第8题4分

用一根长为$$a$$米的细绳围成一个等边三角形，测得它的面积是$$b$$平方米．在这个等边三角形内任取一点$$P$$，则点$$P$$到等边三角形三边的距离的和等于．

竞赛->知识点->三角形->三角形基础

由面积法知：点$$P$$到等边三角形三边的距离之和等于这个等边三角形的高，而$$b=\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{3}\cdot h$$，所以$$h=\frac{6b}{a}$$．  故选$$\text{C}$$．


1998年第9届希望杯初二竞赛第2试第7题

课内体系->思想->方程思想

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->加减消元法解二元一次方程组

课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->解可化为一元一次方程的分式方程


2019~2020学年10月山西太原杏花岭区太原志达中学初三上学期月考第2题3分

2019~2020学年10月广东佛山禅城区佛山市惠景中学初三上学期月考第6题3分

2019~2020学年9月甘肃兰州城关区兰州外国语学校初三上学期月考第8题4分

2020~2021学年9月四川成都天府新区天府七中初三上学期周测B卷第8题3分

2020~2021学年10月广东深圳南山区深圳南山外国语学校高新中学初三上学期周测B卷第4题

2020年湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学初二竞赛（湖南师范大学附属中学教育集团）（6月攀登杯）第2题4分

2018~2019学年辽宁沈阳浑南区育才实验学校初二下学期期末第3题

2020~2021学年9月四川成都天府新区天府七中初三上学期周测C卷第8题3分

若关于$$x$$ 的一元二次方程$$k{{x}^{2}}-x+1=0$$有实数根，则$$k$$的取值范围是．

$$k\textgreater\frac{1}{4}$$且$$k\ne 0$$

$$k\textless{}\frac{1}{4}$$且$$k\ne 0$$

$$k\leqslant \frac{1}{4}$$且$$k\ne 0$$

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->由一元二次方程根的情况确定参数

∵关于$$x$$的一元二次方程$$k{{x}^{2}}-x+1=0$$有实数根，  ∴$$k\ne 0$$且$$\Delta ={{b}^{2}}-4ac\geqslant 0$$，  ∴$$1-4k\geqslant 0$$，  ∴解得：$$k\leqslant \frac{1}{4}$$．  综上，$$k\leqslant \frac{1}{4}$$且$$k\ne 0$$．  故选$$\text{C}$$．


2018年浙江宁波余姚市余姚市实验学校初二竞赛第5题5分

课内体系->知识点->统计与概率->数据的分析->方差 课内体系->知识点->统计与概率->数据的分析->平均数/加权平均数


2015年第26届全国希望杯初一竞赛复赛第9题

小尼、小浩、小莲、小雪四人中的一人书包里有苹果，老师问：谁的书包里有苹果？四人回答如下：  小尼：苹果不在我这里；  小浩：苹果在小雪那里；  小莲：苹果在小浩那里；  小雪：苹果不在我这里．  若其中只有一人说了假话，则书包里有苹果的是．

小尼

小浩

小莲

小雪

知识标签->知识点->命题与证明

用假设法：  （$$1$$）假设小尼说了假话，那么苹果在小尼那里，小浩和小莲就说的是假话，与题设冲突；  （$$2$$）假设小浩说的是假话，其他人说的都是真话，那么苹果在小浩那里；  （$$3$$）假设小莲说了假话，则小浩说``苹果在小雪那里''与小雪说``苹果不在我这里''都是真话，互相矛盾；  （$$4$$）假设小雪说的是假话，那么小莲说的就是假话，这样小雪、小莲都说假话，与``其中只有一人说的是假话''的题设不符．  因此苹果在小浩那里．


2015年全美数学竞赛（AMC）竞赛

$$1000$$到$$9999$$之间有多少个整数四个数位上各不相同？．

课内体系->知识点->数->有理数->数轴->数轴上整点覆盖问题

美国AMC8->Knowledge Point->Combinatorics->Permutation and Combination->Permutation Problems

$$1000$$到$$9999$$之间有多少个整数四个数位上各不相同？  这个问题可以改为``\,''有多少四位正整数有四个不同的数，因为数字是$$1000$$到$$9999$$之间的四位整数，对于第一个数有$$9$$中选择，因为它不能是$$0$$，第二个数只有$$9$$种选择，因为它不同于第一个数，第三个数有$$8$$种选择，因为它不同于前两个数，第四个数有$$7$$种选择，因为它不同于前三个数，则$$9\times 9\times 8\times 7=4536$$．  故选$$\text{B}$$．  The question can be rephrased to \textquotesingle How many four-digit positive integers have four distinct digits?\textquotesingle, since numbers between $$1000$$ and $$9999$$ are four-digit integers. There are $$9$$ choices for the first number, since it cannot be $$0$$, there are only $$9$$ choices left for the second number since it must differ from the first, $$8$$ choices for the third number, since it must differ from the first two, and $$7$$ choices for the fourth number, since it must differ from all three. This means there are $$9\times9\times8\times7=\boxed{(\text{B})4536}$$ integers between $$1000$$ and $$9999$$ with four distinct digits.


2010年第21届希望杯初二竞赛第1试第3题

$$x\leqslant 2010$$

$$x\leqslant 2010$$，且$$x\ne \pm 2009$$

$$x\leqslant 2010$$，且$$x\ne 2009$$

$$x\leqslant 2010$$，且$$x\ne -2009$$

竞赛->知识点->数与式->分式->分式的基本运算

由题意，得$$\begin{cases}2010-x\geqslant 0    \textbar x\textbar-2009\ne 0    \end{cases}$$，  解得$$x\leqslant 2010$$，且$$x\ne \pm 2009$$．  故选$$\text{B}$$．


1999年第10届希望杯初一竞赛第5题

课内体系->思想->方程思想 课内体系->知识点->数->有理数->相反数->相反数的性质 课内体系->知识点->数->有理数->倒数与负倒数


2004年第15届希望杯初二竞赛第1试第4题

竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题


2011年全美数学竞赛（AMC）竞赛

如下是 Tyler 去年夏天外出捕鱼九次的数量：$$2$$，$$0$$，$$1$$，$$3$$，$$0$$，$$3$$，$$3$$，$$1$$，$$2$$．下列关于平均值，中位数，众数的描述，哪个是正确的？

中位数$$\textless$$平均值$$\textless$$众数

平均值$$\textless$$众数$$\textless$$中位数

平均值$$\textless$$中位数$$\textless$$众数

中位数$$\textless$$众数$$\textless$$平均值

众数$$\textless$$中位数$$\textless$$平均值

美国AMC8->Knowledge Point->Counting, Probability and Statistics->Average Problems->Complex Average Problems

课内体系->知识点->统计与概率->数据的分析->平均数/加权平均数

如下是 Tyler 去年夏天外出捕鱼九次的数量：$$2$$，$$0$$，$$1$$，$$3$$，$$0$$，$$3$$，$$3$$，$$1$$，$$2$$．下列关于均值，中位数，众数的描述哪个正确？  A~ 中位数$$\textless$$均值$$\textless$$众数  B~ 均值$$\textless$$众数$$\textless$$中位数  C~ 均值数$$\textless$$中位数$$\textless$$众数  D~ 中位数$$\textless$$众数$$\textless$$均值  E~ 众数$$\textless$$中位数$$\textless$$均值  首先，把数字按增加的排列．  $$0$$，$$0$$，$$1$$，$$1$$，$$2$$，$$2$$，$$3$$，$$3$$，$$3$$  故$$\frac{0+0+1+1+2+2+3+3+3}{9}=\frac{15}{9}$$，中位数是$$2$$，众数是$$3$$．因为，$$\frac{15}{9} ~\textless{} ~2 ~\textless{} ~3$$，所以答案是mean$$ ~\textless{} ~$$median$$ ~\textless{} ~$$mode，即平均数$$ ~\textless{} ~$$中位数$$ ~\textless{} ~$$众数．  故选$$\text{C}$$．  First, put the numbers in increasing order.  $$0$$, $$0$$, $$1$$, $$1$$, $$2$$, $$2$$, $$3$$, $$3$$, $$3$$  The mean is $$\frac{0+0+1+1+2+2+3+3+3}{9}= \frac{15}{9}$$, the median is $$2$$, and the mode is $$3$$. Because, $$\frac{15}{9}\textless2\textless3$$, the answer is mean $$\textless{}$$ median $$\textless{}$$ mode.


2018年全国初中数学联赛竞赛B卷

知识标签->题型->方程与不等式->一元二次方程 知识标签->题型->式->整式的乘除->幂的运算 知识标签->学习能力->运算能力 知识标签->学习能力->抽象概括能力 知识标签->知识点->式->整式的乘除->幂的运算 知识标签->知识点->方程与不等式->一元二次方程


1994年第5届全国希望杯初一竞赛复赛第2题

若$$a\textless{}0$$，$$b\textgreater0$$，且$$\left\textbar{} a \right\textbar\textless{}\left\textbar{} b \right\textbar$$，则$$a+b=$$（~ ）．

$$\left\textbar{} b \right\textbar-\left\textbar{} a \right\textbar$$

$$-\left\textbar{} a \right\textbar-\left\textbar{} b \right\textbar$$

$$\left\textbar{} a \right\textbar-\left\textbar{} b \right\textbar$$

$$\left\textbar{} a \right\textbar+\left\textbar{} b \right\textbar$$

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性

因为$$a\textless{}0$$，所以$$\left\textbar{} a \right\textbar=-a$$．  因为$$b\textgreater0$$，所以$$\left\textbar{} b \right\textbar=b$$．  所以$$a+b=-\left\textbar{} a \right\textbar+\left\textbar{} b \right\textbar$$．选$$\text{A}$$．


2019~2020学年11月浙江杭州拱墅区杭州树兰中学初一上学期周测C卷第4题3分

2019~2020学年4月浙江温州乐清市乐清市乐成公立寄宿学校初一下学期月考（竞赛班）第7题4分

2016~2017学年12月江苏镇江句容市句容市华阳学校初一上学期月考第17题3分

2017~2018学年陕西西安雁塔区西安高新第一中学初中校区东区初级中学初一上学期期末第3题5分

某种商品的进价为$$1200$$元，标价为$$1575$$元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润不低于$$5 \%$$，则至多可打．

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式组应用->不等式组的经济问题

课内体系->能力->运算能力

要保持利润率不低于$$5 \%$$，设可打$$x$$折．  则$$1575\times \frac{x}{10}-1200\geqslant 1200\times 5 \%$$，  解得$$x\geqslant 8$$，  即要保持利润率不低于$$5 \%$$，最多可打$$8$$折．  故选：$$\text{C}$$．


2014年第25届全国希望杯初二竞赛复赛第4题4分

不等式组$$\begin{cases}x-4\leqslant 8-2x    x\textgreater-\dfrac{2}{3} \end{cases}$$的最小整数解是（~ ）．

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->一元一次不等式组的整数解

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->解一元一次不等式组

课内体系->能力->运算能力

解$$x-4\leqslant 8-2x$$，得$$x\leqslant 4$$，  故原不等式的解为$$-\frac{2}{3}\textless{}x\leqslant 4$$，  所以，原不等式组的最小整数解是$$x=0$$．


2010年第15届华杯赛初一竞赛初赛第1题

竞赛->知识点->方程与不等式->一次方程->方程组


1991年第2届希望杯初二竞赛第6题

已知$$x$$，$$y$$都是正整数，那么三条边长是$$x$$，$$y$$和$$10$$的三角形有．

无数多个

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->判断能否构成三角形

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的三边关系

因为$$x=y\textgreater5$$的任何正整数，都可以和$$10$$作为三角形的三条边．  故选$$\text{D}$$．


1998年第9届希望杯初二竞赛第2试第4题

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的四则混合运算


初一下学期其它 1997年第8届希望杯初二竞赛第2试第6题

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值->整式乘除化简求值-整体代入化简求值

课内体系->能力->运算能力


2017年全国全国初中数学联赛竞赛

不确定

课内体系->知识点->函数->二次函数->二次函数与方程、不等式->二次函数与坐标轴交点

课内体系->能力->运算能力


1990年第1届希望杯初二竞赛第1题

一个角等于它的余角的$$5$$倍，那么这个角是．

$$45{}^{}\circ $$

$$75{}^{}\circ $$

$$55{}^{}\circ $$

$$65{}^{}\circ $$

竞赛->知识点->几何图形初步->角->角的基础问题


2013年竞赛第2题3分 2016年安徽芜湖镜湖区芜湖市第一中学初三自主招生第5题6分

已知关于$$x$$的不等式组$$\begin{cases}\dfrac{2x+5}{3}-x\textgreater-5    \dfrac{x+3}{2}-t ~\textless{} ~x   \end{cases}$$，恰有$$5$$个整数解，则$$t$$的取值范围是．

$$-6 ~\textless{} ~t ~\textless{} ~-\frac{11}{2}$$

$$-6\leqslant t ~\textless{} ~-\frac{11}{2}$$

$$-6 ~\textless{} ~t\leqslant -\frac{11}{2}$$

$$-6\leqslant t\leqslant -\frac{11}{2}$$

竞赛->知识点->方程与不等式->不等式->一次不等式组

根据题设知不等式组有解，解得，$$3-2t ~\textless{} ~x ~\textless{} ~20$$.  由于不等式组恰有$$5$$个整数解，这$$5$$个整数解只能为$$15$$，$$16$$，$$17$$，$$18$$，$$19$$，因此$$14\leqslant 3-2t ~\textless{} ~15$$，解得$$-6\textless t\leqslant -\frac{11}{2}$$．  故选$$\text{C}$$．


2018年第29届希望杯初一竞赛初赛第16题4分

将一个棱长是整数厘米的长方体的各表面都刷成红色，然后将这个长方体分割成若干个棱长为$$1$$厘米的小正方体，若任何一面都没有涂色的小正方体有$$11$$个，则原来的长方体的体积是~\uline{~~~~~~~~~~}~立方厘米．

课内体系->知识点->几何图形初步->几何图形->立体图形与平面图形->正方体堆积图形的问题

课内体系->能力->分析和解决问题能力

课内体系->能力->运算能力


1991年第2届希望杯初二竞赛第9题

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->一元二次方程根的判别式

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->一元二次方程根与系数的关系

因为不论$$x$$为何实数，$${{x}^{2}}+\textbar x\textbar+1$$总是大于零的．  故选$$\text{D}$$．


1994年第11届全国初中数学联赛竞赛第1题6分

2016~2017学年广东广州天河区华南师范大学附属中学初二上学期期中第3题2分

课内体系->能力->运算能力

∵$$0\textless{}a\textless{}1$$，∴$$a-\frac{1}{a}\textless{}0$$，  ∴原式$$=\sqrt{{{\left( a-\frac{1}{a} \right)}^{2}}}\div \left( \frac{a+1}{a} \right)\times \frac{1}{1+a}$$  $$=\left( \frac{1}{a}-a \right)\times \frac{a}{a+1}\times \frac{1}{1+a}$$  $$=\frac{\left( 1+a \right)\left( 1-a \right)}{a}\times \frac{a}{a+1}\times \frac{1}{1+a}$$  $$=\frac{1-a}{1+a}$$，  故答案为$$\text{A}$$．


2013年第24届全国希望杯初二竞赛初赛第20题4分

将不大于$$20$$的正偶数分成两组，使得第一组中数的乘积能被第二组中数的乘积整除，则商的最小值是~\uline{~~~~~~~~~~}~．

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘法->有理数乘法运算

课内体系->能力->运算能力

竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质

竞赛->知识点->数论->整除->算术基本定理

不大于$$20$$的正偶数的乘积是  $$2\times 4\times 6\times 8\times 10\times 12\times 14\times 16\times 18\times 20$$  $$={{2}^{10}}\times (1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times 9\times 10)$$  $$={{2}^{10}}\times (1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times 9\times 10)$$  $$={{2}^{18}}\times (3\times 5\times 3\times 7\times 9\times 5)$$  $$={{2}^{18}}\times {{3}^{4}}\times {{5}^{2}}\times 7$$．  设第一、二组中数的乘积分别是$$M$$，$$N$$，  则$$MN={{2}^{18}}\times {{3}^{4}}\times {{5}^{2}}\times 7$$．  题意是要求最小的商，其实就是求最大的$$N$$，  易知$${{N}_{\max }}={{2}^{9}}\times {{3}^{2}}\times 5$$，  故商为$$7$$．


初三上学期其它 2003年第20届全国初中数学联赛竞赛第4题7分

满足等式$$x\sqrt{y}+\sqrt{x}y-\sqrt{2003x}-\sqrt{2003y}+\sqrt{2003xy}=2003$$的正整数对$$\left( x,y \right)$$的个数是（  ）．

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->无理方程

已知等式可化为  $$\sqrt{y}{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}+\left[ {{\left( \sqrt{y} \right)}^{2}}+\sqrt{2003}\sqrt{y}-\sqrt{2003} \right]\sqrt{x}$$$$-\sqrt{2003}\left( \sqrt{y}+\sqrt{2003} \right)=0$$，  故$$\left( \sqrt{y}\sqrt{x}-\sqrt{2003} \right)\left( \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{2003} \right)=0$$．  又由题意，  $$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{2003}\textgreater0$$，  则$$\sqrt{y}\sqrt{x}-\sqrt{2003}=0\Rightarrow xy=2003$$．  而$$2003$$为质数，且$$x$$、$$y$$为正整数，故$$\left( x,y \right)=\left( 2003,1 \right)$$，$$\left( 1,2003 \right)$$．  故选$$\text{B}$$．


2010年第21届全国希望杯初一竞赛复赛第10题4分

如果在一个正方体的每个面内写一个正整数，然后，在每个顶点处再写一个数，该数等于过这个顶点的三个面内的数的乘积，那么当该正方体各个顶点处的数之和是$$290$$时，各个面内的数之和等于（~ ~ ~ ）．

竞赛->知识点->数论->整除->算术基本定理

课内体系->知识点->几何图形初步->几何图形->立体图形与平面图形->点线面体


1992年第3届全国希望杯初一竞赛复赛第2题

若一个数的立方小于这个数的相反数，那么这个数是（~ ）．

正数

负数

奇数

偶数

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算

课内体系->知识点->数->有理数->相反数->相反数的性质


1991年第2届希望杯初二竞赛第13题

课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->高次方程 课内体系->方法->降次法


1992年第3届希望杯初二竞赛第5题

在$$\triangle ABC$$中，$$\angle A=\theta -\alpha $$，$$\angle B=\theta $$，$$\angle C=\theta +\alpha $$，（$$0{}^{}\circ \textless{}\alpha \textless{}\theta \textless{}90{}^{}\circ $$） ．若$$\angle BAC$$与$$\angle BCA$$的平分线相交于$$P$$点，则$$\angle APC$$等于．

$$90{}^{}\circ $$

$$105{}^{}\circ $$

$$120{}^{}\circ $$

$$150{}^{}\circ $$

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的角->三角形内角和的应用

课内体系->能力->运算能力

由$$\angle A+\angle B+\angle C=180{}^{}\circ $$，即$$\left( \theta -\alpha \right)+\theta +\left( \theta +\alpha \right)=3\theta =180{}^{}\circ $$，  所以$$\theta =\angle ABC=60{}^{}\circ $$，  因此$$\frac{1}{2}\left( \angle BAC+\angle BCA \right)=\frac{1}{2}\left( 180{}^{}\circ -60{}^{}\circ \right)=60{}^{}\circ $$，  所以$$\angle APC=180{}^{}\circ -\frac{1}{2}\left( \angle BAC+\angle BCA \right)=180{}^{}\circ -60{}^{}\circ =120{}^{}\circ $$．  故应选$$\text{C}$$．


2003年第14届希望杯初二竞赛第2试第1题

2020~2021学年江苏苏州高新区苏州市高新区实验初级中学初二下学期期末模拟（一）第7题

2020~2021学年6月江苏苏州工业园区星港学校初一下学期周测B卷第8题2分

课内体系->知识点->式->因式分解->其他方法->待定系数法 课内体系->能力->运算能力


2015年第26届全国希望杯初一竞赛复赛第4题

红光中学初一年级有$$3$$个班，已知一班、二班的平均人数与三班人数之和为$$45$$，二班、三班的平均人数与一班人数之和为$$48$$，一班、三班的平均人数与二班人数之和为$$47$$．则三个班的总人数为（~ ~ ~）．

课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->三元一次方程组->解三元一次方程组

课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->三元一次方程组->三元一次方程组的实际应用

设一班、二班、三班的人数分别为$$x$$、$$y$$、$$z$$．  由题意，得$$\left { \begin{array} ~\&\dfrac{x+y}{2}+z=45    \dfrac{y+z}{2}+x=48    \dfrac{x+z}{2}+y=47   \end{array} \right.$$，  三式相加，得$$2(x+y+z)=140$$，  ∴$$x+y+z=70$$．  答：三个班的总人数为$$70$$人．


2015年第26届全国希望杯初一竞赛初赛第2题

下面有$$4$$个判断：  ①互为相反数的两个数的绝对值相等；  ②如果$$n$$的绝对值等于$$n$$，则$$n$$一定为正数；  ③点$$M$$在数轴上距原点$$2$$个单位长度，且位于原点右侧．若将向左移动$$5$$个单位长度，则此点对应的值为$$-3$$；  ④两个数相加，它们的和一定大于其中一个加数．  其中，正确判断的个数为（~ ）．

课内体系->知识点->几何图形初步->命题与证明->猜想与证明->命题与证明的应用->区分真假命题

①正确；  ②$$n$$为$$0$$时也满足要求，故错误；  ③正确；  ④如$$(-1)+(-2)=-3$$，$$-3\textless{}-2$$且$$-3\textless{}-1$$，故错误．  综上，正确的个数为两个．


美国AMC8->Knowledge Point->Number and Operations->Integers->Mixed Basic Operations


2012年第17届华杯赛初一竞赛初赛第4题

在$$10\square 10\square 10\square 10\square 10$$的四个``$$\square $$''中分别填入``$$+$$''、``$$-$$''、``$$\times $$''、``$$\div $$''运算符号各一次，所成的算式的值的最小值为．

竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题

要使算式的值尽可能小，应当减去一个较大的数，此时应使商尽可能小．如下式所示，所成的算式的值最小：$$10\div 10\times 10+10=-89$$．  故选$$\text{B}$$．


2006年第17届希望杯初一竞赛初赛第8题4分

竞赛->知识点->方程与不等式->一次方程->特殊方程


2009年第20届希望杯初二竞赛第1试第4题

复印纸的型号有$$A0$$，$$A1$$，$$A2$$，$$A3$$，$$A4$$等，它们有如下的关系：将上一个型号（例如$$A3$$）的复印纸在长的方向对折后就得到两张下一个型号（得到$$A4$$）的复印纸，且各种型号的复印纸的长与宽的比相等，那么这些型号的复印纸的长与宽的比约为．

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->四边形->特殊平行四边形->矩形->矩形的性质


2010年第21届全国希望杯初一竞赛复赛第5题4分

有两个两位数的质数，它们的差等于$$6$$，且它们平方的个位数字相同，这样的两位质数的组数是（~ ）．

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算

课内体系->能力->运算能力

课内体系->能力->推理论证能力

竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质


2000年第17届全国初中数学联赛竞赛第3题7分

至少有一个大于$$2$$

至少有一个小于$$2$$

竞赛->知识点->数与式->分式->分式的基本运算

课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-直接代入数值求值


初一上学期单元测试《计算》第12题 2006年第17届希望杯初二竞赛第1试第2题

$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$d$$是互不相等的正整数，且$$abcd=441$$，那么$$a+b+c+d$$的值是（~ ）

$$36$$ ~

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算->整式加减的综合 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义 课内体系->能力->运算能力


1997年第8届全国希望杯初一竞赛复赛第4题

①与②

①与③

①与④

②与④

课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->分式方程的解

方程①的解$$x=1$$，将$$x=1$$代入方程②，方程②成立，  ∴$$x=1$$也是方程②的解．  方程①和②是同解方程，而①与③显然不同解；  ①的解代入④，④无意义．  ∴$$\text{B}$$、$$\text{C}$$、$$\text{D}$$都不正确，只有$$\text{A}$$正确．  故选$$\text{A}$$．


2010年第21届全国希望杯初一竞赛初赛第1题4分

设$$a\textless{}0$$，在代数式$$\left\textbar{} a \right\textbar$$，$$-a$$，$${{a}^{2009}}$$，$${{a}^{2010}}$$，$$\left\textbar{} -a \right\textbar$$，$$\left( \frac{{{a}^{2}}}{a}+a \right)$$，$$\left( \frac{{{a}^{2}}}{a}-a \right)$$中负数的个数是．

课内体系->知识点->数->有理数->正数和负数->正数、负数定义

因为$$a\textless{}0$$，  所以$$\left\textbar{} a \right\textbar$$，$$-a$$，$${{a}^{2010}}$$，$$\left\textbar{} -a \right\textbar$$均为正数，  而$$\left( \frac{{{a}^{2}}}{a}-a \right)=a-a=0$$，$$\left( \frac{{{a}^{2}}}{a}+a \right)=a+a=2a$$，  所以只有$${{a}^{2009}}$$，$$\left( \frac{{{a}^{2}}}{a}+a \right)$$为负数．  故负数的个数是$$2$$．


1997年第8届全国希望杯初一竞赛复赛第4题

①与②

①与③

①与④

②与④


2008年第19届希望杯初二竞赛第1试第5题

$$x$$的最大值比$$y$$的最大值小

$$x$$的最小值比$$y$$的最小值小

$$x$$的最大值比$$y$$的最小值小

$$x$$的最小值比$$y$$的最大值大

课内体系->知识点->数->有理数->有理数与实际问题 课内体系->能力->运算能力 课内体系->思想->整体思想 课内体系->方法->整体法


2013年第30届全国全国初中数学联赛竞赛第1题7分 2013年全国全国初中数学联赛初一竞赛

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的四则混合运算


2014年第25届全国希望杯初一竞赛复赛第6题4分

将$$2013$$表示成两个三位数的正整数的平方的差，这两个三位数中较大的一个是（~ ）．

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组应用题->二元一次方程组的数字问题

设$$x$$为较大的数，$$y$$为较小的数，  则$$2013={{x}^{2}}-{{y}^{2}}=(x+y)(x-y)$$．  ∵$$2013=1\times 3\times 11\times 61$$，  ∴满足题意的$$x+y$$是三位数或者四位数，  只能是$$\left { \begin{matrix}x+y=671    x-y=3   \end{matrix} \right.$$①  或$$\left { \begin{matrix}x+y=2013    x-y=1   \end{matrix} \right.$$②  或$$\left { \begin{matrix}x+y=183    x-y=11   \end{matrix} \right.$$③，  解①得$$\left { \begin{matrix}x=337    y=334   \end{matrix} \right.$$，  解②得$$\left { \begin{matrix}x=1007    y=1006   \end{matrix} \right.$$，（因为$$x$$，$$y$$都是四位数，故舍去）  解③得$$\left { \begin{matrix}x=97    y=86   \end{matrix} \right.$$，（因为$$x$$，$$y$$都是两位数，故舍去）．  综上，$$\left { \begin{matrix}x=337    y=334   \end{matrix} \right.$$，  ∴这两个三位数中较大的一个是$$337$$．


2003年第14届希望杯初二竞赛第1试第2题

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值->整式乘除化简求值-整体代入化简求值

课内体系->能力->运算能力


2015年第26届全国希望杯初一竞赛初赛第3题

小明带$$a$$元钱去超市买文具，买铅笔用去了所带钱数的$$\frac13$$，买橡皮用去余下钱数的$$\frac14$$，然后他又用剩下的钱数的$$\frac12$$买了把尺子．这时小明还剩（~ ）．

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->代数式->列代数式 课内体系->能力->分析和解决问题能力


1996年第13届全国初中数学联赛竞赛第2题

不存在

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->多重二次根式


2019~2020学年江苏苏州工业园区苏州星海实验中学初二下学期单元测试《分式》第40题2分

2005年第16届希望杯初二竞赛初赛第8题4分

$$\frac{a}{b+c}\textless{}\frac{b}{c+a}\textless{}\frac{c}{a+b}$$

$$\frac{a}{b+c}\textless{}\frac{c}{a+b}\textless{}\frac{b}{c+a}$$

$$\frac{b}{c+a}\textless{}\frac{a}{b+c}\textless{}\frac{c}{a+b}$$

竞赛->知识点->方程与不等式->不等式->一次不等式组

因为$$a\textless{}b\textless{}c\textless{}0$$，  所以$$0\textless-c\textless-b\textless-a$$，  所以$$0\textless-b-c\textless-c-a\textless-a-b$$，  于是$$\frac{-c}{-a-b}\textless\frac{-b}{-c-a}\textless\frac{-a}{-b-c}$$，  所以$$\frac{c}{a+b}\textless{}\frac{b}{c+a}\textless{}\frac{a}{b+c}$$．  故选$$\text{D}$$．


2006年竞赛第4题6分

一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分．又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分\ldots\ldots 如此下去，最后得到了$$34$$个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（  ）．

课内体系->能力->推理论证能力 课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->多边形->多边形的内角和定理 课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->多边形->求多边形的内角和

根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加$$360{}^{}\circ $$．于是，剪过$$k$$次后，可得$$\left( k+1 \right)$$个多边形，这些多边形的内角和为$$\left( k+1 \right)\times 360{}^{}\circ $$．  ∵这$$\left( k+1 \right)$$个多边形中有$$34$$个六十二边形，它们的内角和为$$34\times \left( 62-2 \right)\times 180{}^{}\circ =34\times 60\times 180{}^{}\circ $$，其余多边形有$$\left( k+1 \right)-34=k-33$$（个），而这些多边形的内角和不少于$$\left( k-33 \right)\times 180{}^{}\circ $$，  ∴$$\left( k+1 \right)\times 360{}^{}\circ \geqslant 34\times 60\times 180{}^{}\circ +\left( k-33 \right)\times 180{}^{}\circ $$，  解得$$k\geqslant 2005$$．  当我们按如下的方式剪$$2005$$刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下$$1$$个三角形，得到$$1$$个三角形和$$1$$个五边形；再在五边形上剪下$$1$$个三角形，得到$$2$$个三角形和$$1$$个六边形\ldots\ldots 如此下去，剪了$$58$$刀后，得到$$58$$个三角形和$$1$$个六十二边形．再取出$$33$$个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到$$33$$个三角形和$$33$$个四边形，对这$$33$$个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪$$58$$刀，便得到$$33$$个六十二边形和$$33\times 58$$个三角形．于是共剪了$$55+33+33\times 58=2005$$（刀）．


2019~2020学年12月浙江杭州上城区北京师范大学附属杭州中学初三上学期周测A卷第8题3分

2008年竞赛第2题6分

2016~2017学年9月浙江杭州拱墅区杭州锦绣·育才中学附属学校初三上学期月考第6题3分

初三上学期单元测试《概率初步》第23题

2015~2016学年浙江温州乐清市育英寄宿学校初二上学期期中实验a班第4题4分

2020~2021学年10月浙江杭州下城区杭州市景成实验学校中学部初三上学期月考第8题3分

把一枚六个面编号分别为$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$的质地均匀的正方体骰子先后投掷$$2$$次，若两个正面朝上的编号分别为$$m$$，$$n$$，则二次函数$$y={{x}^{2}}+mx+n$$的图象与$$x$$轴有两个不同交点的概率是  ．

课内体系->知识点->统计与概率->概率->概率的计算方法->列举法求概率


1998年第15届全国初中数学联赛竞赛第6题

竞赛->知识点->数论->同余->完全平方数 课内体系->知识点->数->有理数->有理数运算巧解->完全平方非负性

整理得$$n^{2}-m^{2}=3995=5\times17\times47$$，$$(n-m)(n+m)=5\times17\times47$$，  ∵对$$3995$$的任意整数分拆均可得到$$(m,n)$$，$$0\textless m\textless n\textless1998$$，  ∴$$\begin{cases} n-m=5   n+m=17\times47    \end{cases}$$或$$\begin{cases} n-m=17    n+m=5\times47    \end{cases}$$或$$ \begin{cases} n-m=47    n+m=17\times5    \end{cases} $$或$$\left { \begin{array}{l} {m+n=5\times17\times47}  {m-n=1} \end{array}\right. $$，  ∴满足条件的整数对$$(m,n)$$共$$4$$个．  故答案为$$4$$．


2018~2019学年福建泉州南安市初二下学期期中第7题4分 2018~2019学年山东潍坊高密市初二下学期期末第1题3分 2019年广东惠州惠城区光正实验学校初二竞赛第7题3分

$$\pm 3$$

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->函数->一次函数->正比例函数->根据正比例函数定义求参数


初一下学期其它 2006年第17届希望杯初二竞赛第2试第3题

以线段$$a=13$$，$$b=13$$，$$c=10$$，$$d=6$$为边作梯形，其中$$a$$，$$c$$为梯形的两底，这样的梯形（~ ）．

能作一个

能作两个

能作无数个

一个也不能作

课内体系->知识点->四边形->梯形->梯形的性质

由于梯形的两底之差$$a-c=3$$，以及梯形的两腰$$b=13$$，$$d=6$$不能构成三角形；故选$$\text{D}$$．


2010年第21届希望杯初二竞赛第1试第6题 北京初二上学期单元测试《二次根式的运算》第22题

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->和与差的立方公式

课内体系->知识点->式->因式分解->公式法->利用立方和与立方差公式因式分解

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质

课内体系->能力->推理论证能力

课内体系->能力->运算能力


2007年第18届希望杯初二竞赛第1试第9题

若三角形三边的长均能使代数式$${{x}^{2}}-9x+18$$的值为$$0$$，则此三角形的周长是．

竞赛->知识点->三角形->三角形基础


1996年第7届全国希望杯初一竞赛初赛第8题

$$\alpha $$，$$\beta $$都是钝角，甲，乙，丙，丁计算$$\frac{1}{6}(\alpha +\beta )$$的结果依次为$$50{}^{}\circ $$，$$26{}^{}\circ $$，$$72{}^{}\circ $$，$$90{}^{}\circ $$，其中确有正确的结果，那么算得结果正确者是（~ ）．

甲

乙

丙

丁

课内体系->知识点->几何图形初步->角->角的定义和分类->角的分类

∵$$90{}^{}\circ \textless{}\alpha \textless{}180{}^{}\circ $$，$$90{}^{}\circ \textless{}\beta \textless{}180{}^{}\circ $$，∴$$180{}^{}\circ \textless{}\alpha +\beta \textless{}360{}^{}\circ $$，  ∴$$30{}^{}\circ \textless{}\frac{1}{6}(\alpha +\beta )\textless{}60{}^{}\circ $$，可见$$\frac{1}{6}(\alpha +\beta )$$应是$$50{}^{}\circ $$．  故甲计算正确．


1978年 Math League竞赛(8年级[.org])  Of the numbers $$2$$， $$3$$， $$4$$， and $$5$$， which is (are) the only one(s) which satisfy the inequality $$3x-1\textless{}11$$．

没有选项

美国AMC8->Knowledge Point->Algebra and Sequences->Equations->Inequality

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式->一元一次不等式的整数解

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式组应用->不等式组的其他实际问题

The inequality $$3x -1\textless{} 11$$ is satisfied by only $$2$$ \& $$3$$， Choice $$\text{A}$$ is incomplete， choice $$\text{B}$$ includes $$4$$， \& choice $$\text{C}$$ is incorrect．  在数$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$中，哪一个是（唯一）满足不等式$$3x-1\textless11$$的．  $$\text{A}$$．$$2$$ ~ ~ ~  $$\text{B}$$．$$2$$，$$3$$和$$4$$ ~ ~ ~  $$\text{C}$$．$$5$$ ~ ~ ~  $$\text{D}$$．没有选项  满足不等式$$3x-1\textless{}11$$只有$$2$$和$$3$$．选项$$\text{A}$$不完整，选项$$\text{B}$$包含$$4$$，选项$$\text{C}$$不正确．  故选$$\text{D}$$．


1992年第3届希望杯初二竞赛第3题

答案请写在答题纸上

竞赛->知识点->数与式->因式分解->因式分解：添项、拆项


2002年第13届希望杯初一竞赛第1试第6题

某品牌的$$\text{VCD}$$机成本价是每台$$500$$元，$$3$$月份的销售价为每台$$625$$元．经市场预测，该商品销售价在$$4$$月份将降低$$20  \%$$．而后在$$5$$月份再提高$$8  \%$$．那么在$$5$$月份销售该品牌的$$\text{VCD}$$机可获利．

$$25  \%$$

$$20  \%$$

$$8  \%$$

$$12  \%$$

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->数->有理数->有理数与实际问题


初一下学期单元测试《质数与合数》第2题 2005年第16届希望杯初二竞赛初赛第3题4分

一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大$$9$$，这样的两位数中，质数有（~ ）．

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数减法->有理数加减混合运算


1996年第7届希望杯初二竞赛第7题

竞赛->知识点->数与式->分式->倒数通分


2009年第20届希望杯初二竞赛第1试第6题

$$x\textgreater\frac{2}{3}$$或$$x\textless{}-2$$

$$-2\textless{}x\textless{}2$$且$$x\ne \frac{2}{3}$$

竞赛->知识点->数与式->分式->分式的基本运算

因为分式$$\frac{\textbar x\textbar-2}{3x-2}$$的值为负，所以$$\textbar x\textbar-2$$和$$3x-2$$异号．  当$$3x-2\textgreater0$$，即$$x\textgreater\frac{2}{3}$$时，应当有  $$\left\textbar{} x \right\textbar-2\textless{}0$$，$$\left\textbar{} x \right\textbar\textless{}2$$，解得$$-2\textless{}x\textless{} 2$$，  所以$$\frac{2}{3}\textless{}x\textless{}2$$ ．  当$$3x-2\textless{}0$$，即$$x\textless{}\frac{2}{3}$$时，应当有  $$\left\textbar{} x \right\textbar-2\textgreater0$$，$$\left\textbar{} x \right\textbar\textgreater2$$，解得$$x\textgreater2$$或$$x\textless{}-2$$，  所以$$x\textless{}-2$$．  综上可知，$$x$$的取值范围是$$\frac{2}{3}\textless{}x\textless{}2$$或$$x\textless{}-2$$．  故选$$\text{D}$$．


1991年第2届全国希望杯初一竞赛初赛第5题

以下的运算的结果中，最大的一个数是（~ ）．

$$(-13579)\times \frac{1}{2468}$$

$$(-13579)\div \frac{1}{2468}$$

课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->含乘方的有理数混合运算

运算结果对负数来说绝对值越小其值越大．  易见$$(-13579)\times \frac{1}{2468}$$的绝对值最小，所以其值最大．  选$$\text{C}$$．


1997年第8届希望杯初二竞赛第2试第6题 初一下学期其它

课内体系->能力->运算能力


1990年第1届全国希望杯初一竞赛初赛第9题

杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了$$10 \%$$，第三天又较第二天增加了$$10 \%$$，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是（~ ）．

一样多

多了

少了

多少都可能

设杯中原有水量为$$a$$，依题意可得，  第二天杯中水量为$$a\times (1-10 \%)=0.9a$$；  第三天杯中水量为$$(0.9a)\times (1+10 \%)=0.9\times 1.1\times a$$；  第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为$$\frac{0.9\times 1.1\times a}{a}=0.99\textless1$$．  所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选$$\text{C}$$．


2015年第32届全国全国初中数学联赛竞赛B卷第4题7分

课内体系->方法->换元法

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->由一元二次方程根的情况确定参数

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根的判别式的应用->一元二次方程根的判别式


2016~2017学年3月湖北武汉武昌区武汉初级中学初二下学期月考第10题3分

2001年第18届全国初中数学联赛竞赛第1题

2016~2017学年9月湖北武汉武昌区武汉初级中学初二上学期月考第10题3分

2019~2020学年12月四川资阳雁江区资阳市雁江区第二中学初三上学期周测D卷第10题3分

不能确定

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->等式与方程->等式->等式的性质->等式性质1

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的四则混合运算

\textbf{（知识点：根式恒等变形）}  本题需要比较等式两边的各项，利用有理数部分等于理数部分，无理数部分等于无理数部分来求$$a$$、$$b$$、$$c$$的值，由于：  $$5+2\sqrt{6}={{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}^{2}}$$．  所以：$$a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$$．  则$$a=0$$，$$b=1$$，$$c=1$$，∴$$2a+999b+1001c=2000$$．  所以选$$\text{B}$$．


2014年第31届全国全国初中数学联赛竞赛第4题7分

$$6$$张不同的卡片上分别写有数字$$2$$，$$2$$，$$4$$，$$4$$，$$6$$，$$6$$，从中取出$$3$$张，则这$$3$$张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（~ ）．

课内体系->知识点->统计与概率->概率->概率的计算方法->列举法求概率

若取出的$$3$$张卡片上的数字互不相同，有$$2\times 2\times 2=8$$种取法；  若取出的$$3$$张卡片上的数字有相同的，有$$3\times 4=12$$种取法．  所以，从$$6$$张不同的卡片中取出$$3$$张，共有$$812=20$$种取法．  要使得三个数字可以构成三角形的三边长，  只可能是：$$(2,4,4)$$，$$(4,4,6)$$，$$(2,6,6)$$，$$(4,6,6)$$，  由于不同的卡片上所写数字有重复，  所以，取出的$$3$$张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有$$4\times 2=8$$种．  因此，所求概率为$$\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$$．


1990年第1届全国希望杯初一竞赛初赛第3题

有最小的自然数

没有最小的正有理数

没有最大的负整数

没有最大的非负数

课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的分类

$$0$$是最小的自然数，$$\text{A}$$正确．  可以找到正有理数的无限序列$$1$$，$$\frac{1}{2}$$，$$\frac{1}{3}$$，$$\cdots $$，$$\frac{1}{n}$$，$$\cdots $$，没有最小的正有理数，$$\text{B}$$正确．  ``没有最大的负整数''的说法不正确，最大的负整数为$$-1$$．  写出自然数列，$$0$$，$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\ldots $$，$$n$$，$$\ldots $$，易知无最大非负数，$$\text{D}$$正确．  所以不正确的说法应选$$\text{C}$$．


2013年第24届全国希望杯初二竞赛复赛第3题4分

课内体系->能力->运算能力

课内体系->思想->整体思想

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式


1994年第5届希望杯初二竞赛第5题

有如下命题：  ①负数没有立方根  ②一个实数的立方根不是正数就是负数  ③一个正数或负数的立方根和这个数同号，$$0$$的立方根是0  ④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是$$1$$或0  其中错误的是．

①②③

①②④

②③④

①③④

课内体系->能力->抽象概括能力 课内体系->知识点->数->实数->立方根->开立方

负数有立方根，$$0$$的立方根是$$0$$，又$$-1$$的立方根也是$$-1$$，所以错误命题是①②④．  应选$$\text{B}$$．


2006年第17届希望杯初二竞赛第1试第5题

某校初一，初二年级的学生人数相同，初三年级的学生人数是初二年级学生人数的$$\frac{4}{5}$$．已知初一年级的男生人数与初二年级的女生人数相同，初三年级男生人数占三个年级男生人数的$$\frac{1}{4}$$，那么三个年级女生人数占三个年级学生人数的．

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的和差倍分

竞赛->知识点->方程与不等式->方程应用

设初一年级男生有$$m$$人，女生有$$n$$人，则初二年级男生有$$n$$人，女生有$$m$$人；初三年级的学生共有$$\frac{4}{5}(m+n)$$人；三个年级共有学生$$\frac{14}{5}(m+n)$$人．  设初三年级男生有$$x$$人，则$$x=\frac{1}{4}(m+n+x)$$，  解得$$x=\frac{1}{3}(m+n)$$，  所以，初三年级的女生人数为$$\frac{4}{5}(m+n)-\frac{1}{3}(m+n)=\frac{7}{15}(m+n)$$，  故全校女生人数为$$\frac{22}{15}(m+n)$$人，占三个年级学生人数的$$\frac{11}{21}$$．  故选$$\text{C}$$．


2013年山东青岛黄岛区山东省青岛第九中学自主招生 2012年竞赛第2题4分

如果正比例函数$$y=ax\left( a\ne 0 \right)$$与反比例函数$$y=\frac{b}{x}(b\ne 0)$$的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为$$(-3,-2)$$，那么另一个交点的坐标为．

$$\left( 2,3 \right)$$

$$\left( 3,-2 \right)$$

$$\left( -2,3 \right)$$

$$\left( 3,2 \right)$$

竞赛->知识点->函数->反比例函数->反比例函数与一次函数综合

由题设知，$$-2=a\cdot (-3)$$，$$(-3)\cdot (-2)=b$$，  所以$$a=\frac{2}{3}$$，$$b=6$$，  解方程组$$\begin{cases}y=\dfrac{2}{3}x    y=\dfrac{6}{x}   \end{cases}$$， 得$$\begin{cases}x=-3    y=-2   \end{cases}$$， 或$$\begin{cases}x=3    y=2   \end{cases}$$，  所以另一个交点的坐标为$$(3,2)$$．


2020年第22届浙江宁波余姚市余姚市实验学校初三竞赛（实验杯）第11题4分

有最大值，又有最小值

有最大值，没有最小值

有最小值，没有最大值

没有最大值，也没有最小值

课内体系->能力->分析和解决问题能力

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式加减化简求值->整式加减化简求值-条件化简求值

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->配方求最值


2014年第31届全国全国初中数学联赛竞赛第2题7分

已知非负实数$$x$$，$$y$$，$$z$$满足$$x+y+z=2$$，则$$t=2xy+yz+2zx$$的最大值为．

竞赛->知识点->数与式->因式分解->因式分解：添项、拆项 课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->其它不等式->均值不等式


2010年全美数学竞赛（AMC）竞赛

某三角形三边长为连续正整数．最短边占周长$$30 \%$$．则最长边长度是？．

美国AMC8->Knowledge Point->Geometry->Shapes with Straight Sides->Geometric Theorem

课内体系->知识点->三角形

某三角形三边长为连续正整数．最短边占周长$$30 \%$$．则最长边长度是？  设$$n$$，$$n+1$$，和$$n+2$$是三角形三边的长度．那么三角形的周长是$$n+(n+1)+(n+2)=3n+3$$利用最小边的长度是周长的$$30 \%$$这个事实，可以得出这样的结论：  $$n=0.3(3n+3)\Rightarrow 0.9n+0.9\Rightarrow 0.1n=0.9\Rightarrow n=9$$．最长边是$$n+2=11$$．  故选$$\text{E}$$．  由于最短边的长度是整数，等于周界的$$\frac{3}{10}$$，因此周界必须是$$10$$的倍数．将前面的两个整数添加到每个答案选择中，我们可以看到$$11+10+9=30$$．  故选$$\text{E}$$．  Let $$n$$, $$n+1$$, and $$n+2$$ be the lengths of the sides of the triangle. Then the perimeter of the triangle is $$n+\left( n+1 \right)+\left( n+2 \right)=3n+3$$. Usin g the fact that the length of the smallest side is $$30 \%$$ of the perimeter, it follows that:  $$n=0.3\left( 3n +3 \right)\Rightarrow n=0.9n+0.9\Rightarrow 0.1n=0.9\Rightarrow n=9$$. The longest side is then $$n+2-11$$. Thus, answer choice $$\left( \text{E} \right)11$$ is correct.  Since the length of the shortest side is a whole number and is equal to $$\frac{3}{10}$$ of the perimeter, it follows that the perimeter must be a multiple of $$10$$. Adding the two previous integers to each answer choice, we see that $$11+10+9=30$$. Thus, answer choice $$\left( \text{E} \right)11$$ is correct.


2019年第2届浙江宁波余姚市余姚市实验学校初二竞赛第8题5分

已知$$n$$为正整数，关于$$x$$的不等式组$$\begin{cases}\dfrac{5x+5}{6}-x\geqslant -\dfrac{5}{2}    \dfrac{2x+5}{3}\textless{}nx    \end{cases}$$的整数解的个数不可能为．

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->一元一次不等式组的整数解

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式组->解一元一次不等式组

解不等式组$$\begin{cases}\dfrac{5x+5}{6}-x\geqslant -\dfrac{5}{2}①    \dfrac{2x+5}{3}\textless{}nx②    \end{cases}$$，  由①得，$$5x+5-6x\geqslant -15$$，  $$5x-6x\geqslant -15-5$$，  $$-x\geqslant -20$$，  $$x\leqslant 20$$，  由②得$$2x+5\textless{}3nx$$，  $$2x-3nx\textless{}-5$$，  $$\left( 2-3n \right)x\textless{}-5$$，  ∵$$n$$为正整数，  ∴$$n\geqslant 1$$，  ∴$$2-3n\leqslant -1$$，  ∴解②，得$$x\textgreater\frac{5}{3n-2}$$，  ∴原不等式组的解集为$$\frac{5}{3n-2}\textless{}x\leqslant 20$$，  ∴当$$n=1$$时，$$5\textless{}x\leqslant 20$$，有$$15$$个整数解，  当$$n=2$$时，$$\frac{5}{4}\textless{}x\leqslant 20$$，有$$19$$个整数解，  当$$n=3$$时，$$\frac{5}{7}\textless{}x\leqslant 20$$，有$$20$$个整数解，  ∴原不等式组不可能有$$17$$个整数解．  故选$$\text{B}$$．


2011年第28届全国全国初中数学联赛竞赛第6题7分

课内体系->知识点->式->分式->分式化简求值->分式化简求值-倒数法化简求值


初一下学期单元测试《不等式与不等式组》一元一次不等式及其应用第28题

2018~2019学年甘肃兰州城关区兰州市第三十五中学初二下学期期中第12题4分

2011年第16届华杯赛初一竞赛初赛第3题

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->由一个已知不等式的解集求另一个不等式的解集

不等式$$ \frac{x}{a}+ \frac{1}{b}\textgreater0 $$的解集为$$\frac{x}{a}\textgreater- \frac{1}{b}$$，  $$x\textless{}- \frac{a}{b}$$，  $$x\textless{} \frac{1}{5}$$，  所以$$ \frac{a}{b}=- \frac{1}{5} $$且$$a\textless{}0$$，$$b\textgreater0$$，  所以不等式$$bx-a\textgreater0$$的解集为$$bx\textgreater a$$，  $$x\textgreater{} \frac{a}{b}$$，  $$x\textgreater- \frac{1}{5}$$，  故选：$$\text{C}$$．


1991年第2届希望杯初二竞赛第7题

两条相交直线所成的各角中（~ ~ ）．

必有一个钝角

必有一个锐角

必有一个不是钝角

必有两个锐角

课内体系->知识点->几何图形初步->角->角的定义和分类->角的分类

相交时两条直线可能互相垂直（垂直是一种特殊的相交），  ∴$$\text{A}$$、$$\text{B}$$、$$\text{D}$$均在垂直的情况下不成立．

$$\text{A}$$．两个$$90{}^\circ $$，故$$\text{A}$$错误；

$$\text{B}$$．两个$$90{}^\circ $$，故$$\text{B}$$错误；

$$\text{C}$$．一钝角、一锐角或两个直角，故$$\text{C}$$正确；

$$\text{D}$$．和小于$$180{}^\circ $$，故$$\text{D}$$错误．

故选$$\text{C}$$．


2017年第1届重庆全国初中数学联赛初一竞赛初赛

$$\because {{\left( a+b \right)}^{2}}=6ab$$，$${{\left( a-b \right)}^{2}}=2ab$$,且$$a\textless{}b\textless{}0$$ $$\therefore a+b=-\sqrt{6ab}$$，$$a-b=-\sqrt{2ab}\therefore \frac{a+b}{a-b}=\sqrt{3}$$


初一上学期其它 1992年第9届全国初中数学联赛竞赛第3题

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-含分式

课内体系->能力->运算能力


2012年第23届全国希望杯初一竞赛复赛第6题4分

$$77$$可以表示成$$n$$（$$n\geqslant 2$$）个连续自然数的和，则$$n$$的值的个数是（~ ）．

竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题


2020~2021学年6月江苏苏州工业园区星港学校初一下学期周测B卷第8题2分

2003年第14届希望杯初二竞赛第2试第1题

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->因式分解->其他方法->待定系数法


2017~2018学年江苏无锡滨湖区无锡外国语学校初一下学期期中第10题3分 2007年竞赛第1题6分

方程组$$\begin{cases}\left\textbar{} x \right\textbar+y=12    x+\left\textbar{} y \right\textbar=6   \end{cases}$$的解的个数为．

知识标签->学习能力->运算能力

知识标签->数学思想->分类讨论思想

知识标签->题型->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->题型：解含绝对值的方程组

知识标签->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组->二元一次方程组的解

知识标签->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组->加减消元法解二元一次方程组

①当$$x\textgreater0$$，$$y\textgreater0$$时，原方程组为$$\begin{cases}x+y=12    x+y=6   \end{cases}$$显然无解；  ②当$$x ~\textless{} ~0$$，$$y\textgreater0$$时，原方程组为$$\begin{cases}-x+y=12    x+y=6   \end{cases}$$，解得$$\begin{cases}x=-3    y=9   \end{cases}$$；  ③当$$x\textgreater0$$，$$y ~\textless{} ~0$$时，原方程组为$$\begin{cases}x+y=12    x-y=6   \end{cases}$$，解得$$\begin{cases}x=9    y=3   \end{cases}$$，舍去；  ④当$$x ~\textless{} ~0$$，$$y ~\textless{} ~0$$时，原方程组为$$\begin{cases}-x+y=12    x-y=6   \end{cases}$$显然无解；  综上，只有$$1$$组解．故选$$\text{A}$$．  若$$x\geqslant 0$$，则$$\begin{cases}x+y=12    x+\left\textbar{} y \right\textbar=6   \end{cases}$$，于是$$\left\textbar{} y \right\textbar-y=-6$$，显然不可能．  若$$x ~\textless{} ~0$$，则$$\begin{cases}-x+y=12    x+\left\textbar{} y \right\textbar=6   \end{cases}$$，  于是$$\left\textbar{} y \right\textbar+y=18$$，解得$$y=9$$，进而求得$$x=-3$$．  所以，原方程组的解为$$\begin{cases}x=-3    y=9   \end{cases}$$，只有$$1$$个解．  故选$$\text{A}$$．


1990年第1届全国希望杯初一竞赛初赛第7题

$$a$$代表有理数，那么，$$a$$和$$-a$$的大小关系是（~ ）．

$$a$$大于$$-a$$

$$a$$小于$$-a$$

$$a$$大于$$-a$$或$$a$$小于$$-a$$

$$a$$不一定大于$$-a$$

课内体系->知识点->数->有理数->相反数->相反数的性质


2019年全美数学竞赛（AMC）竞赛第15题

美国AMC8->Knowledge Point->Counting, Probability and Statistics->Classical Probability

课内体系->知识点->统计与概率

海滩上有$$50$$人戴墨镜，有$$35$$人戴帽子．而有些人既戴墨镜又戴帽子．如果从戴帽子的人里随机选一个，选中戴墨镜的概率是$$\frac{2}{5}$$．相反地，如果从戴墨镜的人里随机选一个，这个人戴帽子的概率是多大？  This is a problem of conditional probability, a good application of Bayes formula.  $$P(G\textbar C)=\frac{2}{5}$$，  $$\textbar G\cap C\textbar=\textbar C\textbar\cdot P(G\textbar C)=14$$，  $$P(C\textbar G)=\frac{\textbar G\cap C\textbar}{\textbar G\textbar}=\frac{7}{25}$$．


1993年第4届希望杯初二竞赛第5题

竞赛->知识点->数与式->因式分解->因式分解：公式法


2010年第21届全国希望杯初一竞赛初赛第7题4分

若以$$x$$为未知数的方程$$x-2a+4=0$$的根是负数，则（~ ~ ~ ）．

$$\left( a-1 \right)\left( a-2 \right)\textless{}0$$

$$\left( a-1 \right)\left( a-2 \right)\textgreater0$$

$$\left( a-3 \right)\left( a-4 \right)\textless{}0$$

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程的相关概念->一元一次方程的解

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程的相关概念->由一元一次方程的解求参数的值

由$$x-2a+4=0$$，得$$x=2a-4=2(a-2)$$，  因为方程$$x-2a+4=0$$的根是负数，  所以$$a\textless{}2$$，  所以$$a-3\textless{}0$$，$$a-4\textless{}0$$，  所以$$\left( a-3 \right)\left( a-4 \right)\textgreater0$$．


1999年竞赛（全国初中数学竞赛）第6题5分

课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->多元二次方程（组） 课内体系->能力->运算能力


2012年第29届全国全国初中数学联赛竞赛第7题7分

$$\pm 2$$

$$\pm 1$$

知识标签->题型->方程与不等式->其它方程->一次不定方程 知识标签->知识点->方程与不等式->不定方程


2018年全国初中数学联赛初一竞赛

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->多项式 竞赛->知识点->数与式->整式->对称多项式


1997年第8届希望杯初二竞赛第1试第4题

$$P$$是线段$$AB$$上的一点，$$AB=1$$，以$$AP$$和$$BP$$为边分别作两个正方形，当这两个正方形的面积的差的绝对值为$$\frac{1}{2}$$时，$$AP$$的长是．

竞赛->知识点->四边形->特殊平行四边形

两正方形的面积差$$=A{{P}^{2}}-{{\left( 1-AP \right)}^{2}}=2AP-1$$，  由题意$$\left\textbar{} 2AP-1 \right\textbar=\frac{1}{2}$$，则有  $$\begin{cases}2AP-1=\frac{1}{2},\Rightarrow AP=\frac{3}{4}    2AP-1=-\frac{1}{2},\Rightarrow AP=\frac{1}{4}    \end{cases}$$．  故选$$\text{A}$$．


2018年第29届希望杯初一竞赛初赛第1题4分

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->含乘方的有理数混合运算

课内体系->能力->运算能力


2015年第32届全国全国初中数学联赛竞赛A卷第1题7分

知识标签->学习能力->运算能力 知识标签->题型->式->整式的乘除->乘法公式->题型：利用平方差公式计算 知识标签->题型->式->分式->分式的运算->题型：分式加减、乘除混合运算 知识标签->知识点->式->分式->分式的运算->分式的混合运算 知识标签->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->平方差公式


2002年第13届希望杯初二竞赛第1试第3题

$$2001$$年$$7$$月$$13$$日，北京市获得了第$$29$$届奥运会的主办权，这一天是星期五，那么第$$29$$届奥运会在北京市举办的那一年的$$7$$月$$13$$日是．

星期四

星期五

星期六

星期日

竞赛->知识点->数与式->整式->综合除法和余数定理


1996年第7届全国希望杯初一竞赛复赛第6题

设关于$$x$$的方程$$a\left( x-a \right)+b\left( x+b \right)=0$$有无穷多个解，则（~ ）．

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->含参一元一次方程->解的情况


2019年广东惠州惠城区光正实验学校初二竞赛第1题3分 2018~2019学年山东日照莒县初二上学期期末第6题3分

$$m\geqslant -1$$

$$m\textgreater-1$$且$$m\ne 3$$

$$m\geqslant -1$$且$$m\ne 3$$

课内体系->知识点->式->分式->分式的基础->分式有意义的条件 课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的基础->二次根式有意义的条件 课内体系->能力->运算能力

要使式子$$\frac{\sqrt{m+1}}{\textbar m-3\textbar}$$有意义，  ∴$$m+1\geqslant 0$$且$$m-3\ne 0$$，  ∴$$m\geqslant -1$$且$$m\ne 3$$．  选$$\text{D}$$．


2010年竞赛第4题7分

竞赛->知识点->方程与不等式->含参方程


2016年第27届全国希望杯初一竞赛复赛第4题4分

马小虎计算一个数乘$$8$$，再减$$63$$，由于粗心，把乘号看成除号，减号看成了加号，但得数是正确的，这道题的正确得数是．

课内体系->能力->运算能力

课内体系->能力->分析和解决问题能力

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的数字问题


2003年第14届希望杯初二竞赛第2试第2题

不等式$$0\leqslant ax+5\leqslant 4$$的整数解是$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，则$$a$$的取值范围是．

$$a\leqslant -\frac{5}{4}$$

$$-\frac{5}{4}\leqslant a ~\textless{} ~-1$$

$$a\geqslant -\frac{5}{4}$$

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->由不等式（组）的整数解情况求参数范围

由$$0\leqslant ax+5\leqslant 4$$得$$-5\leqslant ax\leqslant -1$$．  若$$a\textgreater0$$，则$$-\frac{5}{a}\leqslant x\leqslant -\frac{1}{a}$$，$$x$$不可能取到正整数解；  若$$a=0$$，不等式无解．  所以必有$$a\textless{}0$$，此时$$-\frac{1}{a}\leqslant x\leqslant -\frac{5}{a}$$．  又因原不等式的整数解是$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$，  所以$$0\textless{}-\frac{1}{a}\leqslant 1$$，且$$4\leqslant -\frac{5}{a}\textless{}5$$，解得$$-\frac{5}{4}\leqslant a\textless{}-1$$．


2013年第24届全国希望杯初二竞赛初赛第3题4分

下列命题中，正确的是（~ ）．

若$$a\textgreater0$$，则$$a\textgreater\frac{1}{a}$$

若$$a\textgreater{{a}^{2}}$$，则$$a\textgreater1$$．

若$$0\textless{}a\textless{}1$$，则$$a\textgreater{{a}^{2}}$$

若$$\left\textbar{} a \right\textbar=a$$，则$$a\textgreater0$$

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->不等式->不等式的性质

取特殊值．  当$$a=\frac{1}{2}$$时，$$a\textless{}\frac{1}{a}$$，可知$$\text{A}$$错误；  当$$a=\frac{1}{2}\textless{}1$$时，$$\frac{1}{2}\textgreater{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{4}$$，可知$$\text{B}$$错误；  当$$a=0$$时，$$\left\textbar{} 0 \right\textbar=0$$，可知$$\text{D}$$错误．  故选$$\text{C}$$．


2016年第33届全国全国初中数学联赛竞赛第6题7分

设实数$$x$$，$$y$$，$$z$$，满足$$x+y+z=1$$，则$$M=xy+2yz+3xz$$的最大值为．

课内体系->方法->配方法

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值->整式乘除化简求值-整体代入化简求值

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义

课内体系->能力->运算能力


2016年第27届全国希望杯初一竞赛复赛第1题4分

若$$3m+5$$与$$m-1$$互为相反数，则$$\frac{\left\textbar{} m \right\textbar}{2016}$$的倒数是（~ ）．

课内体系->知识点->数->有理数->相反数->相反数的性质


1992年第3届全国希望杯初一竞赛初赛第1题

正整数

负整数

负分数

课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的分类


1993年第4届全国希望杯初一竞赛初赛第15题

课内体系->知识点->数->有理数->倒数与负倒数


2009年第20届希望杯初二竞赛第2试第3题

将$$x$$的整数部分记为$$\left[ x \right]$$,$$x$$的小数部分记为$$\left { x \right }$$，易知$$x=\left[ x \right]+\left { x \right }\left( 0 ~\textless{} ~\left { x \right } ~\textless{} ~1 \right)$$.若$$x=\sqrt{3-\sqrt{5}}-\sqrt{3+\sqrt{5}}$$，那么$$\left[ x \right]$$等于．

课内体系->能力->运算能力

课内体系->方法->代入法

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式的运算->二次根式的四则混合运算

课内体系->思想->整体思想


1994年第5届全国希望杯初一竞赛复赛第10题

$$\frac{1}{a}\textgreater a$$

$$\left\textbar{} {{a}^{3}} \right\textbar\textgreater{{a}^{3}}$$

课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性


1992年第3届全国希望杯初一竞赛初赛第10题

张梅写出了五个有理数，前三个有理数的平均值为$$15$$，后两个有理数的平均值是$$10$$，那么张梅写出的五个有理数的平均值是（~ ~ ~）．

课内体系->知识点->统计与概率->数据的分析->平均数/加权平均数

前三个数之和$$=15\times 3$$，后两个数之和$$=10\times 2$$．  所以五个有理数的平均数为$$\frac{15\times 3+10\times 2}{5}=13$$．选$$\text{D}$$．


2017年第1届重庆全国初中数学联赛初一竞赛初赛

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式


2019~2020学年重庆合川区西南大学银翔实验中学初一下学期期末模拟（一）第12题4分

2018~2019学年广东深圳南山区桃苑学校初二下学期期末第11题3分

2019年浙江杭州拱墅区杭州市文澜中学初二竞赛第7题3分

2018年重庆中考真题A卷第12题4分

2019~2020学年江苏苏州姑苏区苏州市振华中学校初三下学期单元测试《方程与不等式》第10题3分

2018年四川绵阳涪城区绵阳东辰国际学校初三自主招生第3题4分

若数$$a$$使关于$$x$$的不等式组$$\begin{cases}\dfrac{x-1}{2}\textless{}\dfrac{1+x}{3}    5x-2\geqslant x+a \end{cases}$$有且只有四个整数解，且使关于$$y$$的方程$$\frac{y+a}{4}+\frac{2a}{3}=2$$的解为非负数，则符合条件的所有整数$$a$$的和为．

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->由分式方程的解确定参数

$$\begin{cases}\dfrac{x-1}{2}\textless{}\dfrac{1+x}{3}    5x-2\geqslant x+a \end{cases}$$，  不等式组整理得：$$\begin{cases}x\textless{}5    x\geqslant \dfrac{a+2}{4} \end{cases}$$，  由不等式组有且只有四个整数解，得到$$0\textless{}\frac{a+2}{4}\leqslant 1$$，  解得：$$-2\textless{}a\leqslant 2$$，即整数$$a=-1$$，$$0$$，$$1$$，$$2$$，  $$\frac{y+a}{y-1}+\frac{2a}{1-y}=2$$，  分式方程去分母得：$$y+a-2a=2(y-1)$$，  解得：$$y=2-a$$，  由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到$$a$$为$$-1$$，$$0$$，$$2$$，之和为$$1$$．


1997年第8届希望杯初二竞赛第2试第10题

有男女两个运动队，男队有队员$$m$$人，女队有队员$$n$$人（$$m\textgreater10$$，$$n\textgreater10$$），先从男队中调$$10$$人到女队帮助训练，训练后又从女队中调$$10$$人（这$$10$$人中可以有原来男队中的队员）去男队参加总结．这时，男队中有$$a$$个女队员，女队中有$$b$$个男队员，那么$$a$$，$$b$$的大小关系是．

$$a\textgreater b$$

$$a\textless{}b$$

$$a=b$$

当$$m\geqslant n$$时，$$a\geqslant b$$，当$$m\textless{}n$$时，$$a\textless{}b$$

竞赛->知识点->组合->操作与游戏

设训练后回男队的$$10$$人中有$$c$$个女队员，则男队中女队员的人数$$a=c$$．此时，女队中应有男队员的人数为$$b=10-(10-c)=c$$（人）．  所以$$a=b$$．  故选$$\text{C}$$．


2017~2018学年北京朝阳区朝阳外国语学校初二上学期单元测试《数学基础知识竞赛》第17题3分

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->整式乘除的综合 课内体系->能力->运算能力


2016~2017学年10月河南郑州二七区郑州实验外国语中学初一上学期月考第11题3分

2008年竞赛第7题6分

2016~2017学年福建泉州南安市南安市实验中学初一下学期期中第16题4分

2018~2019学年浙江杭州西湖区杭州市之江实验中学初一下学期期末第18题4分

小王沿街匀速行走，发现每隔$$6$$分钟从背后驶过一辆$$18$$路公交车，每隔$$3$$分钟从迎面驶来一辆$$18$$路公交车．假设每辆$$18$$路公交车行驶速度相同，而且$$18$$路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是~\uline{~~~~~~~~~~}~分钟．

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->二元一次方程组应用题->二元一次方程组的行程问题

设$$18$$路公交车的速度是$$x$$米/分，小王行走的速度是$$y$$米/分，同向行驶的相邻两车的间距为$$s$$米．  每隔$$6$$分钟从背后开过一辆$$18$$路公交车，则  $$6x-6y=s$$．①  每隔$$3$$分钟从迎面驶来一辆$$18$$路公交车，则  $$3x+3y=s$$．②  由①②得，$$s=4x$$，所以$$\frac{s}{x}=4$$.  即$$18$$路公交车总站发车间隔的时间是$$4$$分钟．


2019~2020学年重庆九龙坡区重庆市育才中学初三上学期期中第11题4分

2020~2021学年广东深圳福田区深圳市实验学校初二下学期期中第10题3分

2019~2020学年5月河南郑州中牟县郑州枫杨外国语学校(东校区)初二下学期月考第7题3分

2020年湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学初二竞赛（湖南师范大学附属中学教育集团）（6月攀登杯）第6题4分

如果关于$$x$$的不等式组$$\begin{cases}m-5x\geqslant 2    x-\dfrac{11}{2} ~\textless{} ~3\left( x+\dfrac{1}{2} \right)   \end{cases}$$有且仅有四个整数解，且关于$$y$$的分式方程$$\frac{2-my}{2-y}-\frac{8}{y-2}=1$$有非负数解，则符合条件的所有整数$$m$$的和是．

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->分式方程的特殊解问题

课内体系->知识点->方程与不等式->分式方程->分式方程的解与解分式方程->分式方程与不等式综合

解不等式组$$\begin{cases}m-5x\geqslant 2①    x-\dfrac{11}{2} ~\textless{} ~3\left( x+\dfrac{1}{2} \right)②   \end{cases}$$，  解不等式①得：$$-5x\geqslant 2-m$$  $$                                                     x\leqslant \frac{m-2}{5}$$，  解不等式②得：$$2x-11 ~\textless{} ~6x+3$$  $$                                               2x-6x ~\textless{} ~14$$  $$                                               -4x ~\textless{} ~14$$  $$                                               x\textgreater-\frac{7}{2}$$，  ∴原不等式组的解集为$$-\frac{7}{2} ~\textless{} ~x\leqslant \frac{m-2}{5}$$，  ∵原不等式组有且仅有四个整数解，它们分别为$$-3$$、$$-2$$、$$-1$$，$$0$$，  ∴$$0\leqslant \frac{m-2}{5} ~\textless{} ~1$$，  ∴$$0\leqslant m-2 ~\textless{} ~5$$，  ∴$$2\leqslant m ~\textless{} ~7$$，  解分式方程$$\frac{2-my}{2-y}-\frac{8}{y-2}=1$$，  去分母得$$my-2-8=y-2$$，  $$\left( m-1 \right)y=8$$  $$y=\frac{8}{m-1}$$，  ∵分式方程有非负数解，  ∴$$\frac{8}{m-1}\geqslant 0$$且$$\frac{8}{m-1}\ne 2$$，  ∴$$m\textgreater1$$且$$m\ne 5$$，  ∵$$m$$为整数，  ∴$$m$$可以取$$2$$、$$3$$、$$4$$、$$6$$，  它们的和为$$2+3+4+6=15$$，  ∴符合条件的所有整数$$m$$的和为$$15$$，  故选$$\text{B}$$．


2005年第16届希望杯初二竞赛复赛第10题4分 初一下学期其它第17题

已知整数$$x$$，$$y$$，$$z$$满足$$x\leqslant y\textless{} z$$，且$$\begin{cases}\left\textbar{} x+y \right\textbar+\left\textbar{} y+z \right\textbar+\left\textbar{} z+x \right\textbar=4 ①   \left\textbar{} x-y \right\textbar+\left\textbar{} y-z \right\textbar+\left\textbar{} z-x \right\textbar=2 ②\end{cases}$$，那么$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}$$的值等于．

课内体系->知识点->方程与不等式->二元一次方程（组）->解二元一次方程组->解含绝对值的方程组

课内体系->能力->运算能力

由②可知$$\left\textbar{} x-y \right\textbar$$、$$\left\textbar{} y-z \right\textbar$$、$$\left\textbar{} z-x \right\textbar$$中必须有一个为$$0$$，只有$$x-y=0$$，$$x=y$$，代入②中得$$\left\textbar{} z-x \right\textbar=1$$  $$z=x+1$$将$$x=y$$，$$z=x+1$$代入①中，得$$\left\textbar{} x \right\textbar+\left\textbar{} 2x+1 \right\textbar=2$$，$$\left\textbar{} x \right\textbar=0$$，$$1$$，$$2$$．经检验$$\left\textbar{} x \right\textbar=1$$，依据题意得．


2001年第18届全国初中数学联赛竞赛第9题

知识标签->题型->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->题型：韦达定理应用

知识标签->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程根的判别式

知识标签->知识点->方程与不等式->一元二次方程->一元二次方程的根与系数的关系


2017~2018学年广东汕头金平区初二上学期期末第7题3分

2014~2015学年重庆开县初二上学期期末第7题3分

2017~2018学年北京朝阳区朝阳外国语学校初二上学期单元测试《数学基础知识竞赛》第18题3分

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->多项式乘多项式 课内体系->能力->运算能力


2013年第30届全国全国初中数学联赛竞赛第2题7分

课内体系->思想->分类讨论思想 课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->零指数幂 课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->幂的综合运算


2001年第12届希望杯初一竞赛第2试第5题

两个正整数的和是$$60$$，它们的最小公倍数是$$273$$，则它们的乘积是．

竞赛->知识点->数论->整除->因数与倍数


2018~2019学年9月湖南长沙雨花区湖南广益实验中学初一上学期月考第3题3分

2019年湖南长沙雨花区湖南广益实验中学初一竞赛（广益杯）第3题3分


2000年希望杯初二竞赛二试

一三角形的三边长分别是$$a$$，$$b$$，$$c$$（$$a$$，$$b$$，$$c$$都是质数）且$$a+b+c=16$$，则此三角形是．

直角三角形

等腰三角形

等边三角形

直角三角形或等腰三角形

课内体系->能力->推理论证能力

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的三边关系

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->与三边关系有关的证明

因为$$a$$，$$b$$，$$c$$均为质数且$$a+b+c=16$$，所以$$a$$，$$b$$，$$c$$中有一数为$$2$$，设$$a=2$$，则$$b+c=14$$，  所以$$\textbar b-c\textbar\textless{}2$$．从而有$$\textbar b-c\textbar=0$$或$$\textbar b-c\textbar=1$$．当$$\textbar b-c\textbar=1$$时，$$b$$，$$c$$均不是整数，不合题意．因  此，只有$$\textbar b-c\textbar=0$$，即$$a=2$$，$$b=c=7$$，所以三角形是等腰三角形．


1995年第6届全国希望杯初一竞赛复赛第5题 初一上学期单元测试《有理数》数轴的概念及应用第10题

数轴上坐标是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是$$1$$厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为$$1995$$厘米的线段$$AB$$，则线段$$AB$$盖住的整点有个．

课内体系->能力->空间想象能力 课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->数->有理数->数轴->数轴上的规律探究

若所画的长为$$1995$$厘米的线段的两个端点$$A$$与$$B$$均为整点时，  此时线段$$AB$$盖住的整点个数是$$1995+1=1996$$个．  若$$A$$点不是整点，则$$B$$点也不是整点，此时线段$$AB$$盖住的整点个数为$$1995$$个，  所以长为$$1995$$厘米的线段盖住的整点是$$1995$$个，  所以长为$$1995$$厘米的线段盖住的整点是$$1995$$或$$1996$$个．选$$\text{C}$$．


2014年第25届全国希望杯初一竞赛初赛第10题4分

已知长方体的长、宽、高都是整数厘米，将长、宽、高都增加$$1$$厘米后，长方体的表面积可能增加（~ ）．

课内体系->思想->方程思想

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值->整式乘除化简求值-整体代入化简求值

课内体系->能力->运算能力

课内体系->能力->推理论证能力

设长方体的长、宽、高分别为$$a$$厘米，$$b$$厘米，$$c$$厘米，  则长方体的表面积为$$2(ab+bc+ac)$$平方厘米，  将长方体的长、宽、高都增加$$1$$厘米后，  长方体的表面积增加的值如下：  $$2[(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(a+1)(c+1)]-2(ab+bc+ac)$$  $$=2(a+b+1+b+c+1+a+c+1)$$  $$=4(a+b+c)+6$$．  ∵$$a$$，$$b$$，$$c$$都是正整数，  ∴$$4(a+b+c)+6\geqslant 4(1+1+1)+6=18$$，且能写成$$4m+6$$的形式，其中$$m$$为正整数，  选项中所给数字，只有$$214$$可以表示为$$4\times 52+6$$的形式，故选$$\text{C}$$．


初一下学期单元测试《不等式与不等式组》一元一次不等式及其应用第28题

2011年第16届华杯赛初一竞赛初赛第3题

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->一元一次不等式->解一元一次不等式

方法一：原不等式变形得：$$\frac{x}{a}\textgreater-\frac{1}{b}$$，  ∵$$x\textless{}\frac{1}{5}$$，  ∴$$a\textless{}0$$．  解不等式得：$$x\textless{}-\frac{a}{b}$$，$$-\frac{a}{b}=\frac{1}{5}$$，即$$b=-5a$$．  ∴$$-5ax-a\textgreater0$$，  ∴$$x\textgreater-\frac{1}{5}$$．  方法二：因为不等式等$$\frac{x}{a}+\frac{1}{b}\textgreater0$$的解集为$$x ~\textless{} ~\frac{1}{5}$$，因此必有$$a ~\textless{} ~0$$，所以$$\frac{-a}{b}=\frac{1}{5}$$，并且$$b\textgreater0$$，所以由$$bx-a\textgreater0$$得到$$x\textgreater-\frac{1}{5}$$．


2017年湖南长沙天心区湘郡培粹实验中学初二竞赛（觉园杯）第5题4分 2019年湖南长沙天心区湘郡培粹实验中学初二竞赛初赛(觉园杯)第5题4分

$$a$$，$$b$$，$$c$$均不为$$0$$，若$$\frac{x-y}{a}=\frac{y-z}{b}=\frac{z-x}{c}=abc ~\textless{} ~0$$，则$$P\left( ab,bc \right)$$不可能在．

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

课内体系->思想->整体思想 课内体系->知识点->函数->平面直角坐标系->坐标系基础->象限内坐标的特征 课内体系->能力->运算能力 课内体系->方法->整体法

∵$$abc \textless{} 0$$，  ∴$$a$$，$$b$$，$$c$$中三个都是负数或两正数，一个是负数，当三个都是负数时：若``$$\frac{x-y}{a}=abc$$，则$$x-y=a^{2}bc\textgreater0$$，即$$x \textgreater y$$，同理可得：$$y \textgreater z$$，$$z \textgreater x$$这三个式子不能同时成立，即$$a$$，$$b$$，$$c$$不能同时是负数．则$$P\left( ab,bc \right)$$不可能在第一象限．  所以选$$\text{A}$$．


1985年全美数学竞赛（AMC）竞赛第10题

$$\frac{1}{7}$$的小数展开后 ， 小数点右边第$$1985$$位是多少．

课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的定义

美国AMC8->Knowledge Point->Number and Operations->Decimals->Recurring Decimal


1992年第9届全国初中数学联赛竞赛第6题

在一个由$$8\times 8$$个方格组成的边长为$$8$$的正方形棋盘内放一个半径为$$4$$的圆，若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为$${{S}_{1}}$$，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为$${{S}_{2}}$$，则$$\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}$$的整数部分是（~ ）.

课内体系->知识点->四边形->特殊平行四边形->正方形->正方形的性质


1999年第10届希望杯初二竞赛第2试第4题

$$x\textgreater y$$

$$x \textless{} y$$

$$x-y$$

随$$a$$，$$b$$，$$c$$的取值而变化

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式加减、乘除、乘方混合运算


2013年第24届全国希望杯初二竞赛复赛第7题4分

甲、乙、丙、丁$$4$$名跑步运动员的速度依次是$${{v}_{1}}$$，$${{v}_{2}}$$，$${{v}_{3}}$$，$${{v}_{4}}$$，且$${{v}_{1}}\textgreater{{v}_{2}}\textgreater{{v}_{3}}\textgreater{{v}_{4}}\textgreater0$$，他们沿直跑道进行追逐赛的规则如下：  ①$$4$$人在同一起跑线上，同时同向出发；  ②经过一段时间后，甲、乙、丙同时反向，谁先遇到丁，谁就是冠军．则（~ ）．

冠军是甲

冠军是乙

冠军是丙

甲、乙、丙同时遇到丁

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的行程问题->一元一次方程的行程问题-变速问题


2015~2016学年浙江温州乐清市乐清市育英寄宿学校初二上学期期中实验a班第4题4分

2019~2020学年12月浙江杭州上城区北京师范大学附属杭州中学初三上学期周测A卷第8题3分

初三上学期单元测试《概率初步》第23题

2008年竞赛第2题6分

2020~2021学年10月浙江杭州下城区杭州市景成实验学校中学部初三上学期月考第8题3分

2016~2017学年9月浙江杭州拱墅区杭州锦绣·育才中学附属学校初三上学期月考第6题3分

把一枚六个面编号分别为$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，$$6$$的质地均匀的正方体骰子先后投掷$$2$$次，若两个正面朝上的编号分别为$$m$$，$$n$$，则二次函数$$y={{x}^{2}}+mx+n$$的图象与$$x$$轴有两个不同交点的概率是．

课内体系->知识点->统计与概率->概率->概率的计算方法->列举法求概率


2005年第16届希望杯初二竞赛复赛第10题4分 初一下学期其它第17题

已知整数$$x$$，$$y$$，$$z$$满足$$x\leqslant y\leqslant z$$，且$$\begin{cases}\left\textbar{} x+y \right\textbar+\left\textbar{} y+z \right\textbar+\left\textbar{} z+x \right\textbar=4 ①   \left\textbar{} x-y \right\textbar+\left\textbar{} y-z \right\textbar+\left\textbar{} z-x \right\textbar=2 ②\end{cases}$$，那么$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}$$的值等于（~ ）．

课内体系->能力->运算能力


2018~2019学年甘肃兰州城关区兰州市第三十五中学初二下学期期中第12题4分

2011年第16届华杯赛初一竞赛初赛第3题

初一下学期单元测试《不等式与不等式组》一元一次不等式及其应用第28题

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->方程与不等式->不等式（组）->含参不等式->由一个已知不等式的解集求另一个不等式的解集

不等式$$ \frac{x}{a}+ \frac{1}{b}\textgreater0 $$的解集为$$\frac{x}{a}\textgreater- \frac{1}{b}$$，  $$x\textless{}- \frac{a}{b}$$，  $$x\textless{} \frac{1}{5}$$，  所以$$ \frac{a}{b}=- \frac{1}{5} $$且$$a\textless{}0$$，$$b\textgreater0$$，  所以不等式$$bx-a\textgreater0$$的解集为$$bx\textgreater a$$，  $$x\textgreater{} \frac{a}{b}$$，  $$x\textgreater- \frac{1}{5}$$，  故选：$$\text{C}$$．


2013年第24届全国希望杯初二竞赛初赛第2题4分

$$m\textgreater n$$

$$m\textless{}n$$

$$m=n$$

不能确定的

课内体系->知识点->函数->一次函数->一次函数基础 课内体系->能力->运算能力

因为直线$$y=-2x-6$$的斜率$$k=-2\textless{}0$$，  所以$$y$$随$$x$$的增大而减小．  由于$$-7\textgreater-8$$，  所以$$m\textless{}n$$．


2008年第19届希望杯初二竞赛第1试第3题

$$\sqrt{a}$$，$$\sqrt{b}$$都是有理数

$$\sqrt{a}$$，$$\sqrt{b}$$都是无理数

$$\sqrt{a}$$，$$\sqrt{b}$$都是有理数或都是无理数

$$\sqrt{a}$$，$$\sqrt{b}$$中有理数和无理数各有一个

课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数的定义

$$a$$，$$b$$都是有理数，  ∴$$a-b$$是有理数．  又$$\sqrt{a}+\sqrt{b}$$是有理数，  ∴$$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$是有理数．  于是$$\sqrt{a}=\frac{1}{2}\left[ (\sqrt{a}+\sqrt{b})+(\sqrt{a}-\sqrt{6}) \right]$$是有理数 ，$$\sqrt{b}=\frac{1}{2}\left[ (\sqrt{a}+\sqrt{b})-(\sqrt{a}-\sqrt{b}) \right]$$是有理数．  故选$$\text{A}$$．


2008年第19届希望杯初二竞赛第1试第11题

已知$$a$$，$$b$$，$$c$$都是正整数，并且$$abc=2008$$，则$$a+b+c$$的最小值是~\uline{~~~~~~~~~~}~．  Given that $$a$$, $$b$$, $$c$$ are all positive intergers and $$abc=2008$$, then the minimum value of $$a+b+c$$ is~\uline{~~~~~~~~~~}~.

课内体系->知识点->数->有理数->数的特征->因数和倍数 竞赛->知识点->数论->整除->分解素因数


2012年第23届全国希望杯初一竞赛初赛第2题4分

北京景山公园中的景山的相对高度（即从北京的地平面到山顶的垂直距离）是$$45.7$$米，海拔高度是$$94.2$$米，而北京香山公园中的香炉峰（俗称``鬼见愁''）的海拔高度是$$557$$米，则香炉峰的相对高度是（~ ）米．

课内体系->能力->分析和解决问题能力

课内体系->能力->运算能力

课内体系->能力->推理论证能力

课内体系->知识点->数->有理数->有理数与实际问题->有理数加减法与实际问题

由景山的资料知道，北京地平面的海拔高度是$$94.2-45.7=48.5$$（米），  而$$557-48.5=508.5$$（米），这就是香炉峰的相对高度．


2019年湖南长沙雨花区湖南广益实验中学初一竞赛（广益杯）第5题3分

在数轴上$$-1$$与$$1$$之间的有理数有．

无数个

课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用数轴


2012年第23届全国希望杯初二竞赛初赛第10题4分

课内体系->能力->运算能力

课内体系->能力->推理论证能力

课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->规律探究->算式找规律


2011年第22届全国希望杯初一竞赛初赛第10题4分

甲乙两人沿同一路线骑车（匀速）从$$A$$到$$B$$，甲需要$$30$$分钟，乙需要$$40$$分钟，如果乙比甲早出发$$6$$分钟，则甲追上乙以后，乙再经过（~ ）分钟到达$$B$$．

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->一元一次方程与实际问题->一元一次方程的和差倍分


1996年第13届全国初中数学联赛竞赛第6题

如果$$20$$个点将某圆周$$20$$等分，那么顶点只能在这$$20$$个点中选取的正多边形的个数有（ ~ ~）．

课内体系->知识点->圆->圆与多边形->正多边形与圆->圆内接正多边形相关计算


1996年第7届全国希望杯初一竞赛复赛第8题

从$$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+\frac{1}{12}$$中删去两个加数后使余下的四个加数之和恰等于$$1$$，那么删去的两个加数是（~ ）．

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数加法->有理数加法运算

课内体系->能力->运算能力


1992年第3届全国希望杯初一竞赛复赛第4题

奇数

偶数

负整数

非负整数

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数减法->有理数加减混合运算


1999年第10届希望杯初一竞赛第1题

$$\left\textbar{} -\frac{1}{1999} \right\textbar$$

课内体系->知识点->数->有理数->相反数->相反数的性质


1998年全美数学竞赛（AMC）竞赛

对于$$x=7$$，以下哪一项是最小的？．

$$\frac 6x$$

$$\frac 6{x+1}$$

$$\frac 6{x-1}$$

$$\frac x6$$

$$\frac {x+1}6$$

美国AMC8->Knowledge Point->Number and Operations->Fractions->Fraction Operations

课内体系->知识点->数->有理数->分数

设$$x=7$$，下面哪个最小？  最小的分数形式是$$b$$，其中$$b$$大于$$a$$．  在这个问题中，我们需要所有给定值中的最大可能值以分母表示．这个值是$$x+1$$或8  分子越小，就是$$6$$．  带有$$\frac {6}{x+1}$$的答案选项是$$\rm B$$．  为每个答案选项代入$$x$$会给出  ($$\rm A$$)$$\frac 67$$ ($$\rm B$$)$$\frac 68$$ ($$\rm C$$)$$\frac 66$$ ($$\rm D$$)$$\frac 76$$ ($$\rm E$$)$$\frac 86$$  从这里，我们可以看到最小的是答案选项$$\rm B$$．  The smallest fraction would be in the form $$\frac{a}{b}$$ where $$b$$ is larger than $$a$$.  In this problem, we would need the largest possible value out of all the given values to be in the denominator. This value is $$x+1$$ or $$8$$.  The smaller would go on the numerator, which is $$6$$.  The answer choice with $$\frac{6}{x+1}$$ is $$\text{B}$$.  Plugging $$x$$ in for every answer choice would give  ($$\rm A$$)$$\frac 67$$ ($$\rm B$$)$$\frac 68$$ ($$\rm C$$)$$\frac 66$$ ($$\rm D$$)$$\frac 76$$ ($$\rm E$$)$$\frac 86$$  From here, we can see that the smallest is answer choice $$\text{B}$$.


1996年第7届希望杯初二竞赛第1题4分

化简分式$$\left( x-y+\frac{4xy}{x-y} \right)\left( x+y-\frac{4xy}{x+y} \right)$$的结果是．

竞赛->知识点->数与式->分式->分式的基本运算 课内体系->知识点->式->分式->分式的基础->分式的性质 课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->分式约分


初一下学期其它 1994年第11届全国初中数学联赛竞赛第4题6分

课内体系->知识点->式->二次根式->二次根式化简求值->二次根式的化简求值——利用完全平方


2002年第13届希望杯初一竞赛第1试第2题

$$a$$

$$-a$$

竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题

由相反数定义可知，$$\frac{1}{a}$$的相反数是$$-\frac{1}{a}$$，  故选$$\text{C}$$．


2016年全国华杯赛初一竞赛

知识标签->学习能力->运算能力 知识标签->题型->式->整式的乘除->乘法公式->题型：利用完全平方公式计算 知识标签->知识点->式->分式->分式的运算->分式的加减 知识标签->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式


2014年第25届全国希望杯初一竞赛初赛第8题4分

$$A-B$$一定是多项式

$$A+B$$一定是单项式

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->整式->整式的定义

课内体系->知识点->式->整式的加减->整式有关的概念->多项式->多项式的项


2018~2019学年5月天津南开区天津市南开中学初一下学期月考第12题3分 2000年竞赛（全国初中数学竞赛）第1题5分

$$M=P$$

$$M\textgreater P$$

$$M \textless{} P$$

不确定

课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-作差法 课内体系->能力->运算能力

由题意得：$$a+b+c=3M$$，  $$a+b=2N$$，$$N+c=2P$$，  ∴$$M=\frac{a+b+c}{3}$$，  $$P=\frac{N+c}{2}$$，  $$N=\frac{a+b}{2}$$，  ∴将$$N$$代入$$P$$可得：  $$P=\frac{a+b+2c}{4}$$，  $$M-P=\frac{a+b-2c}{12}$$，  又∵$$a\textgreater b\textgreater c$$，  ∴$$a++c\textgreater3c$$，  ∴$$M-P\textgreater0$$，  ∴$$M\textgreater P$$．  故选$$\text{B}$$．


2010年第21届全国希望杯初一竞赛初赛第6题4分

若$$\angle AOB$$和$$\angle BOC$$互补，且$$\angle AOB$$比$$\angle BOC$$大$$18{}^{}\circ $$，则$$\angle AOB$$的度数是（~ ）．

$$54{}^{}\circ $$

$$81{}^{}\circ $$

$$99{}^{}\circ $$

$$162{}^{}\circ $$

知识标签->题型->几何图形初步->相交线与平行线->相交线->题型：计算对顶角、邻补角度数

知识标签->知识点->几何图形初步->相交线与平行线->相交线->邻补角

知识标签->知识点->几何图形初步->角->角的和差

∵$$\angle AOB$$和$$\angle BOC$$互为邻补角，  ∴$$\angle AOB+\angle BOC=180{}^{}\circ $$．  ∵$$\angle AOB$$比$$\angle BOC$$大$$18{}^{}\circ $$，  ∴$$\angle AOB-\angle BOC=18{}^{}\circ $$．  两式相加，化简得$$\angle AOB=99{}^{}\circ $$．


1993年第4届全国希望杯初一竞赛初赛第7题

$$a$$是有理数，则在下列说法中正确的一个是（~ ）．

$$-a$$是负数

$$-\left\textbar{} {{a}^{2}} \right\textbar$$是负数

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘方->有理数乘方运算


2013年第24届全国希望杯初一竞赛复赛第7题4分

方程$$\left\textbar{} x+1 \right\textbar+\left\textbar{} 2x-1 \right\textbar=1$$的整数解的个数为（~ ）．

知识标签->知识点->方程与不等式->一元一次方程->解一元一次方程

知识标签->学习能力->运算能力

知识标签->题型->方程与不等式->一元一次方程->解一元一次方程->题型：含绝对值的一元一次方程

由$$\left\textbar{} x+1 \right\textbar$$依次取$$0$$，$$\pm1$$，  可得方程组$$\begin{cases}x+1=0    2x-1=\pm 1 \end{cases}$$或$$\begin{cases}x+1=\pm1    2x-1=0 \end{cases}$$，  解之，可得两方程均无解．  所以，原方程整数解的个数为$$0$$


2018~2019学年9月福建福州鼓楼区福州励志中学初三上学期月考第10题4分

2017年浙江宁波鄞州区鄞州中学自主招生三位一体第8题5分

2019~2020学年11月浙江杭州江干区杭州市采荷中学初三上学期月考（杭州采荷中学教育集团）第10题3分

2006年竞赛第3题6分

$$\text{Rt}\triangle ABC$$在三个顶点$$A$$、$$B$$、$$C$$均在抛物线$$y={{x}^{2}}$$上，并且斜边$$AB$$平行于$$x$$轴．若斜边上的高为$$h$$，则(  )．

$$h \textless{} 1$$

$$1 \textless{} h \textless{} 2$$

课内体系->知识点->函数->二次函数->二次函数与几何综合->二次函数与直角三角形结合

课内体系->能力->运算能力

课内体系->能力->推理论证能力


2015年第26届全国希望杯初二竞赛复赛第10题

将$$n$$个球放在$$100$$个箱子中（箱子里可以不放球）．若无论怎样放都有$$4$$个箱子里的球的个数相同，则$$n$$的最大值是（~ ）．

课内体系->能力->推理论证能力 课内体系->知识点->几何图形初步->命题与证明

假设可以使得每$$4$$个箱子里的球个数完全相同，那么此时最少有$$3\times (0+1+2+\cdots +32)+33=1617$$个球，于是所求的$$n$$的最大值为$$1616$$．


1992年第3届希望杯初二竞赛第8题

竞赛->知识点->数与式->整式->综合除法和余数定理


2010年第15届华杯赛初一竞赛初赛第4题

满足$$\left\textbar{} \left\textbar{} x-1 \right\textbar-\left\textbar{} x \right\textbar-\left\textbar{} x-1 \right\textbar+\left\textbar{} x \right\textbar=1$$的$$x$$的值是．

$$\pm \frac{1}{4}$$

$$\pm \frac{3}{4}$$

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->解一元一次方程->含绝对值的一元一次方程

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值综合

课内体系->知识点->数->有理数->绝对值->绝对值的非负性

竞赛->知识点->数与式->绝对值->给定范围绝对值化简

当$$x\leqslant 0$$，原方程为：$$\left\textbar{} (-x+1)-(-x) \right\textbar-(-x+1)+(-x)=1$$，  即$$1+x-1-x=1$$，无解；  当$$0 ~\textless{} ~x\leqslant 1$$，原方程为：$$\left\textbar{} (1-x)-x \right\textbar-(1-x)+x=1$$，  即$$\left\textbar{} 1-2x \right\textbar-1+2x=1$$，这种情况下当$$0 ~\textless{} ~x\leqslant \frac{1}{2}$$ 时，$$1-2x-1+2x=1$$无解；  当$$\frac{1}{2} ~\textless{} ~x\leqslant 1$$，$$2x-1-1+2x=1$$，$$x=\frac{3}{4}$$；  当$$x ~\textless{} ~1$$，原方程为：$$\left\textbar{} (x-1)-x \right\textbar-(x-1)+x=1$$，  即$$1-(x-1)+x=1$$，无解．  故选$$\text{C}$$．


2008年第19届希望杯初一竞赛第2试第6题4分

方程$$\left\textbar{} xy \right\textbar-2\left\textbar{} x \right\textbar+\left\textbar{} y \right\textbar=4$$的整数解有．

竞赛->知识点->方程与不等式->二次方程->二元二次方程组

原方程变形为$$\left( \left\textbar{} x \right\textbar+1 \right)\left( \left\textbar{} y \right\textbar-2 \right)=2$$，  因为$$\left\textbar{} x \right\textbar+1\geqslant 1$$，  所以$$\begin{cases}\left\textbar{} x \right\textbar+1=1    \left\textbar{} y \right\textbar-2=2   \end{cases}$$①，或$$\begin{cases}\left\textbar{} x \right\textbar+1=2    \left\textbar{} y \right\textbar-2=1   \end{cases}$$②，  解①得$$\begin{cases}x=0    y=4   \end{cases}$$，或$$\begin{cases}x=0    y=-4   \end{cases}$$，  解②得$$\begin{cases}x=1    y=3   \end{cases}$$，或$$\begin{cases}x=1    y=-3   \end{cases}$$，或$$\begin{cases}x=-1    y=-3   \end{cases}$$，或$$\begin{cases}x=-1    y=3   \end{cases}$$．  综上所述，原方程组的整数解有$$6$$组．  故选$$\text{C}$$．


2018年第29届希望杯初一竞赛初赛第8题4分

$$a$$，$$b$$，$$c$$是三个大于$$3$$的质数，则下列判断中一定正确的是．

$$a+b+c$$是偶数

$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$$是$$3$$的倍数

$$a+b+c$$是质数

竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质

竞赛->知识点->数论->整除->素数与合数

课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的分类

课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数除法运算

课内体系->能力->运算能力

课内体系->思想->整体思想


1997年第14届全国初中数学联赛竞赛

给定平面上$$n$$个点，已知$$1$$，$$2$$，$$4$$，$$8$$，$$16$$，$$32$$都是其中两点之间的距离，那么点数$$n$$的最小可能值是（~ ）．

竞赛->知识点->几何杂题->几何最值

观察出这些距离都是$$2$$的$$n$$次幂，而$$1+2\textless{}4$$，$$1+2+4\textless{}8$$，$$\cdots $$，$$1+2+4+\cdots +16\textless{}32$$，即这些线段中的任几条都不能构成一个多边形，这六条线段也不能构成六边形，所以至少要$$7$$个点才能满足条件．  选择$$\text{D}$$．


初一单元测试《因式分解的应用》第24题 2005年竞赛第4题6分 初三上学期其它

课内体系->知识点->数->有理数->有理数运算巧解->裂项 课内体系->能力->运算能力


1991年第2届希望杯初二竞赛第10题

课内体系->能力->运算能力

课内体系->思想->方程思想

课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->根与系数的关系->一元二次方程根与系数的关系


2018年全美数学竞赛（AMC）竞赛

\textbf{2018年全美数学竞赛（AMC）竞赛}  Tyler is tiling the floor of his $$12$$ foot by $$16$$ foot living room. He plans to place one-foot by one-foot square tiles to form a border along the edges of the room and to fill in the rest of the floor with two-foot by two-foot square tiles. How many tiles will he use?．

课内体系->知识点->四边形->特殊平行四边形->矩形->矩形的周长与面积

美国AMC8->Knowledge Point->Word Problem->Word Problems Combining with Geometry->Tiles Word Problems

Tyler要给自己$$12$$英尺$$\times 16$$英尺的房间铺地板．为此他打算用边长一英尺的方砖沿墙边铺，并用边长两英尺的地砖铺剩下的地面．他需要多少块地砖？  他将在边上周围放置$$(12\cdot 2)+(14\cdot 2)=52$$块瓷砖．在房间的内部，我们有$$10\cdot 14=140$$平方英尺．每个瓷砖占$$4$$个平方英尺，所以他会在房间的内部使用$$\frac {140}{4}=35$$块瓷砖．因此，答案是$$52+35=87$$．  故选$$\text{B}$$．  He will place $$(12\cdot 2)+(14\cdot 2)=52$$ tiles around the border. For the inner part of the room, we have $$10\cdot 14=140$$ square feet. Each tile takes up $$4$$ square feet, so he will use $$\frac{140}{4}=35$$ tiles for the inner part of the room. Thus, the answer is $$52+35=87$$.


2013年$$AMC8$$竞赛第$$28$$题  On a number line， is the same distance from $$1.75$$ as it is from $$7.25$$．

美国AMC8->Knowledge Point->Counting, Probability and Statistics->Average Problems->Average Formulas

课内体系->知识点->数->有理数->有理数与实际问题->有理数乘除法与实际问题


2013年第24届全国希望杯初一竞赛复赛第4题4分

已知$$a$$是整数，则下列代数式中，值不可能是整数的为（~ ~ ~）．

课内体系->知识点->数->有理数->有理数的概念及分类->有理数的分类 竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质


2015年第26届全国希望杯初三竞赛初赛第10题

课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->式->整式的加减->整式的加减运算->整式加减的综合 课内体系->知识点->式->整式的乘除->幂的运算->幂的综合运算 课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式乘除化简求值


1991年第2届希望杯初二竞赛第4题

$$a=\frac{\left\textbar{} -5 \right\textbar}{\sqrt{{{\left( -5 \right)}^{2}}}}$$，$$b=\frac{\sqrt{{{\left( 1-3 \right)}^{2}}}}{1-3}$$，$$c=\frac{\left\textbar{} 4-\dfrac{3}{4} \right\textbar}{3+\dfrac{1}{4}}$$，则$$a$$，$$b$$，$$c$$的大小关系是．

$$a\textgreater b\textgreater c$$

$$a=b=c$$

$$a=c\textgreater b$$

$$a=b\textgreater c$$

竞赛->知识点->数与式->数的运算->实数与根式运算问题


1998年第9届希望杯初二竞赛第1试第5题

要使分式$$\frac{1}{\frac{1-\left\textbar{} x \right\textbar}{\left\textbar{} x \right\textbar}}$$有意义，则$$x$$的取值范围是．

$$x\ne 0$$

$$x\ne 1$$且$$x\ne 0$$

$$x\ne 0$$或$$x\ne \pm 1$$

$$x\ne 0$$且$$x\ne \pm 1$$

竞赛->知识点->数与式->分式->分式的基本运算

要使分式$$\frac{1}{\frac{1-\left\textbar{} x \right\textbar}{\left\textbar{} x \right\textbar}}$$有意义，  必须使$$\left\textbar{} x \right\textbar\ne 0$$， 且$$\frac{1-\left\textbar{} x \right\textbar}{\left\textbar{} x \right\textbar}\ne 0$$，  即$$x\ne 0$$且$$1-\left\textbar{} x \right\textbar\ne 0$$，  所以$$x$$的取值范围是$$x\ne 0$$且$$x\ne \pm 1$$．  故选$$\text{D}$$．


1991年第2届希望杯初二竞赛第7题

当$$\textbar x\textbar\textgreater1$$时，有方程$${{x}^{2}}-1=\frac{1}{10}\left( x+\frac{9}{10} \right)$$，由根与系数关系可知，方程有一正根一负根，且正根符合要求；当$$\textbar x\textbar\textless{}1$$时，有方程$$1-{{x}^{2}}=\frac{1}{10}\left( x+\frac{9}{10} \right)$$，同理可知也是一正根一负根，正根符合要求，所以共有$$2$$个根．  故选$$\text{C}$$．


初二上学期单元测试《分式》分式的运算第14题 1996年第7届希望杯初二竞赛第10题

$$\frac{ab}{a+b}$$

$$\frac{ab}{b+c}$$

$$\frac{ac}{a+b}$$

$$\frac{bc}{a+b}$$

课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小 课内体系->知识点->数->实数->无理数有关的计算->无理数大小的比较

∵$$x$$、$$y$$、$$a$$、$$b$$都是正数，且$$a\textless{}b$$，  由$$\frac{x}{y}=\frac{a}{b}\textless{}1$$，得$$x\textless{}y$$．  ∴$$x$$，$$y$$中较大的数是$$y$$．  又$$x+y=c$$，$$x=\frac{a}{b}y$$，  ∴$$\frac{a}{b}y+y=c$$，  得$$\frac{a+b}{c}y=c$$，  ∴$$y=\frac{bc}{a+b}$$．


1998年第9届希望杯初一竞赛第2题

$$a=\left( -\frac{1}{6} \right)+\left( -\frac{1}{5} \right)-\left( -\frac{1}{4} \right)$$．则$$a$$的相反数是．

竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题


2001年第18届全国初中数学联赛竞赛第6题 2001年第18届全国全国初中数学联赛初一竞赛

某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过$$200$$元，则不予折扣；②如一次购物超过$$200$$元但不超过$$500$$元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过$$500$$元的，其中$$500$$元按第②条给予优惠，超过$$500$$元的部分则给予八折优惠．某人两次去购物，分别付款$$168$$元和$$423$$元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（~ ）．

课内体系->知识点->数->有理数->有理数与实际问题 课内体系->能力->分析和解决问题能力 课内体系->能力->运算能力


2014年第31届全国全国初中数学联赛竞赛第2题7分

已知非负实数$$x$$，$$y$$，$$z$$满足$$x+y+z=1$$，则$$t=2xy+yz+2zx$$的最大值为．

答案请写在答题纸上

竞赛->知识点->数与式->因式分解->因式分解：添项、拆项


1988年全美数学竞赛（AMC）竞赛

在集合 $ {3,6,9,10 }$ 中加入第五个数字$n$，使得这五个数字的平均值等于中位数$$.$$ 则 $n$ 有种可能的取值．

more than $$4$$

美国AMC8->Knowledge Point->Counting, Probability and Statistics->Average Problems->Complex Average Problems

课内体系->知识点->统计与概率->数据的分析->平均数/加权平均数

数列$$ {3,6,9,10 }$$中增加第五个数$$n$$，使得五个数的平均数等于其中位数．$$n$$可能值的个数是？  添加$$n$$后可能的中间值为$$6$$、$$n$$或$$9$$．现在我们举例分析．  例$$1$$：中位数是$$6$$，  在本例中，$$n\textless{}6$$，$$\frac{3+n+6+9+10}{5}=6\Rightarrow n=2$$，因此本例贡献了$$1$$．  例$$2$$：中位数是$$n$$，  我们有$$6\textless{}n\textless{}9$$，$$\frac{3+6+n+9+10}{5}=n\Rightarrow n=7$$，所以本例也贡献了$$1$$．  例$$3$$：中位数是$$9$$，  我们有$$9\textless{}n$$，$$\frac{3+6+9+n+10}{5}=9\Rightarrow 17$$，所以本例也贡献$$1$$．  总共有$$3$$个可能的$$n$$值．  故选$$\text{C}$$．  The possible medians after $$n$$ is added are $$6$$, $$n$$, or $$9$$. Now we use casework  Case$$1$$: The median is $$6$$,  In this case, $$n\textless{}6$$ and $$\frac{3+n+6+9+10}{5}=6\Rightarrow n=2$$, so this case contributes $$1$$.  Case$$2$$: The median is $$n$$,  We have $$6\textless{}n\textless{}9$$ and $$\frac{3+6+n+9+10}{5}=n\Rightarrow n=7$$, so this case also contributes$$1$$.  Case$$3$$: The median is $$9$$,  We have $$9\textless{}n$$ and $$\frac{3+6+9+n+10}{5}=9\Rightarrow 17$$, so this case adds $$1$$.


1997年第8届希望杯初二竞赛第2试第5题 2020~2021学年安徽合肥包河区初一下学期期末第10题3分 2016~2017学年河南洛阳新安县初一下学期期末第8题4分

$$M\textgreater N\textgreater P$$

$$N\textgreater P\textgreater M$$

$$P\textgreater M\textgreater N$$

$$M\textgreater P\textgreater N$$

课内体系->知识点->数->有理数->有理数比较大小->有理数比较大小-利用有理数正负性

$$M+1=\frac{b+c}{a}+1=\frac{b+c+a}{a}=\frac{1}{a}$$，  同理$$N+1=\frac{1}{b}$$，$$P+1=\frac{1}{c}$$，  因为$$a\textgreater0\textgreater b\textgreater c$$，  所以$$\frac{1}{a}\textgreater\frac{1}{c}\textgreater\frac{1}{b}$$．  所以$$M+1\textgreater P+1\textgreater N+1$$．  所以$$M\textgreater P\textgreater N$$．  故选$$\text{D}$$．


2001年第12届希望杯初一竞赛第10题 初一上学期单元测试《一元一次方程》第20题

课内体系->知识点->方程与不等式->一元一次方程->含参一元一次方程->一元一次方程的含参整数解


初一上学期其它 1992年第9届全国初中数学联赛竞赛第3题

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->完全平方公式的计算-不含分式


2001年第12届希望杯初二竞赛第2试第2题

课内体系->能力->运算能力

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->综合除法和余数定理

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->多项式除以多项式

课内体系->知识点->式->整式的乘除->整式的乘除运算->整式乘除的综合

设$$y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$$，除以$$\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)$$时所得的余式为$$mx+n$$，商式为$$q\left( x \right)$$，  当$$y=1$$时，$$\left( x-1 \right)\cdot q\left( x \right)+m+n=1$$，  当$$y=2$$时，$$\left( x-2 \right)\cdot q\left( x \right)+2m+n=3$$，  所以$$m=2,n=-1$$  所以多项式$$a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$$除以$$\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)$$时所得的余式为$$2x-1$$．  故选$$\text{A}$$．


2017年浙江宁波鄞州区宁波兴宁中学自主招生第4题5分 2020年湖南长沙天心区湘郡培粹实验中学初一竞赛初赛（9月）第5题

有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品．若购铅笔$$3$$支，练习本$$7$$本，圆珠笔$$1$$支共需$$3.15$$元；若购铅笔$$4$$支，练习本$$10$$本，圆珠笔$$1$$支共需$$4.2$$元．现购铅笔，练习本，圆珠笔各$$1$$个，共需．

课内体系->知识点->方程与不等式->其他方程->三元一次方程组->三元一次方程组的实际应用

设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为$$x$$、$$y$$和$$z$$元，  根据题意得：$$\begin{cases}3x+7y+z=3.15①    4x+10y+z=4.2 ②\end{cases}$$，  $$3\times$$①$$-$$$$2\times$$②可得：$$x+y+z=1.05$$．  故选：$$\text{B}$$．


2001年第12届希望杯初一竞赛第2试第6题

用一根长为$$a$$米的线围成一个等边三角形，测知这个等边三角形的面积为$$b$$平方米．现在这个等边三角形内任取一点$$P$$，则点$$P$$到等边三角形三边距离之和为（  ）米．

课内体系->知识点->三角形->等腰三角形->等边三角形->等边三角形的性质

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->与三角形有关的线段->三角形的周长与面积问题

课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->多边形->求多边形周长与面积

课内体系->能力->推理论证能力

等边三角形周长为$$a$$，则边长为$$\frac{a}{3}$$，  设$$P$$到等边三角形的三边分别为$$x$$、$$y$$、$$z$$，  则等边三角形的面积为$$b=\frac{1}{2}\times \frac{a}{3}\times \left( x+y+z \right)$$  解得$$x+y+z=\frac{6b}{a}$$，  故选C


2015年第32届全国全国初中数学联赛竞赛B卷第1题7分

竞赛->知识点->数与式->分式->分式的基本运算


2009年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第9题5分

某电影院第一排共有$$9$$个座位，现有$$3$$名观众就座，若他们每两人都不能相邻且要求每人左右至多只有两个空位，那么不同的坐法种数共有．

竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合

将座位从左至右编为$$1,2,\cdots ,9$$，考虑从左至右第一个有人坐的座位号：  ①如果是$$1$$，则另两个人的座位号只能是$$4$$和$$7$$，只有$$1$$种方法；  ②如果是$$2$$，则下一个人可以坐$$4$$或$$5$$．若是$$4$$，则第三个人只能坐$$7$$号；若是$$5$$，则第三个人可以坐$$7$$或$$8$$．共有$$3$$种方法；  ③如果是$$3$$，则下一个人可以坐$$5$$或$$6$$．若是$$5$$，则第三个人可以坐$$7$$或$$8$$；若是$$6$$，则第三个人可以坐$$8$$或$$9$$．共有$$2+2=4$$种方法．  所以，不同的坐法种数为$$\left( 1+3+4 \right)\text{A}_{3}^{3}=48$$．


2021~2022学年安徽阜阳太和县安徽省太和中学高一下学期月考（竞赛考试）第8~8题

$$\left[ \frac{\sqrt{3}}{2}，2\sqrt{3} \right)$$

$$\left( \frac{\sqrt{3}}{2}，2\sqrt{2} \right]$$

$$\left( \frac{\sqrt{3}}{2}，2\sqrt{3} \right)$$

$$\left( \frac{\sqrt{3}}{2}，2\sqrt{2} \right)$$

课内体系->知识点->解三角形

\hfill\break 【分析】\\ 根据条件求出$$A=\frac{\text{ } ! !\pi ! !\text{ }}{3}$$，利用三角形面积公式得到$${{S}_{\vartriangle ABC}}=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}c$$，采用极端值方法求出$$c$$的最值，进而得到$$c$$的范围，求出面积的取值范围.\\ 【详解】\\ $$\cos A=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}=\frac{1}{2}$$，因为$$\vartriangle ABC$$为锐角三角形，故$$A=\frac{\text{ } ! !\pi ! !\text{ }}{3}$$，\\ $${{S}_{\vartriangle ABC}}=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}c$$，当\emph{BC}⊥\emph{AB}时，$$c=b\cos A=1$$，当\emph{CB}⊥\emph{AC}时，$$c=\frac b{\cos A}=4$$，故$$c\in \left( 1,4 \right)$$，所以$${{S}_{\vartriangle ABC}}=\frac{\sqrt{3}}{2}c\in \left( \frac{\sqrt{3}}{2},2\sqrt{3} \right)$$.\\ 故选：C


2011年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

已知$$z={{(\sqrt{3}-3\text i)}^{n}}$$, 若$$z$$为实数，则最小的正整数$$n$$的值为．

竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算


2015年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分

已知$$f(x)=x\left\textbar{} x \right\textbar$$，若对任意的$$x\geqslant 1$$有$$f(x+m)+mf(x)\textless{}0$$恒成立，则实数$$m$$的取值范围是．

$$(-\infty ,-1)$$

$$(-\infty ,-1]$$

$$(-\infty ,-2)$$

$$(-\infty ,-2]$$

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质

显然$$m\textless{}0$$，所以$$f\left( x+m \right)\textless{}-mf\left( x \right)=f\left( \sqrt{-m}x \right)$$．  因为$$f\left( x \right)$$是单调增的奇函数，所以$$x+m\textless{}\sqrt{-m}x$$，即$$\left( \sqrt{-m}-1 \right)x\textgreater m$$．  所以必须$$\sqrt{-m}-1\geqslant 0$$，$$m\leqslant -1$$．


2015年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分

$$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\geqslant \sqrt{ab}$$

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant \frac{4}{a+b}$$

$$\sqrt{\textbar a-b\textbar}\geqslant \sqrt{a}-\sqrt{b}$$

$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1\textgreater a+b$$

课内体系->素养->逻辑推理

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->不等式的性质->针对不等式变形判断正误

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式成立的条件

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->利用基本不等式证明其它不等式

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式的实际应用


2021年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第7题

课内体系->知识点->平面向量 竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算

因为$$O$$是$$\triangle ABC$$的外心，故$$O$$在$$AB$$边上的投影为$$AB$$的中点，  故$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AO}=\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar\left\textbar{} \overrightarrow{AO} \right\textbar\cdot \cos \angle BAO=\frac{1}{2}{{\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar}^{2}}$$，  同理可得，$$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}{{\left\textbar{} \overrightarrow{AC} \right\textbar}^{2}}$$，  所以$$\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{AO}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot \overrightarrow{AO}=\frac{1}{6}\left( {{\left\textbar{} \overrightarrow{AB} \right\textbar}^{2}}+{{\left\textbar{} \overrightarrow{AC} \right\textbar}^{2}} \right)=\frac{1}{6}(3+9)=2$$．


2012年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

(★★)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为``同族函数''，那么函数解析式为$$y=-{{x}^{2}}$$，值域为$$\left { 0,  -1,  -9 \right }$$的``同族函数''共有．

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->函数的定义

竞赛->知识点->函数->函数的概念


2013年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

原点的直线$$l$$交双曲线$$xy=-2\sqrt{2}$$于$$P,Q$$两点，其中$$P$$点在第二象限，将下半平面沿$$x$$轴折起使之与上半平面成直二面角，线段$$PQ$$的最短长度是．

竞赛->知识点->解析几何->双曲线


正六棱柱的12个顶点的任意2个项点所在直线中，异面直线的对数为（~~~~~~~）

\hfill\break 【分析】\\ 先考虑任取4个点，求出不共面的情形的个数，从而可求异面直线的对数.\\ 【详解】\\ 12个顶点构成的4点组有${\mathrm{C}}_{12}^{4}=495$个，其中共面的4点组可以按在上下底面的个数分类讨论．\\ \textbf{情形一}~~~全部在上底面或全部在下底面．共面4点组数为$2{\mathrm{C}}_{6}^{4}=30$．\\ \textbf{情形二}~~~两个底面各2个，共面4点组数按在上底面的2个点间的位置关系分类（此时上下底面的点分别连线，则连线平行），为$6\times 3+6\times 2+3\times 3=39$．\\ 因此共面的4点组共有69个，进而不共面的4点组有426个，每个不共面的4点组贡献3对异面直线，且不同的4点组贡献的异面直线不同，\\ 因此所求异面直线的对数为$426\times 3=1278$．\\ 故选：B.


2008年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分

$$a\textless{}b\textless{}c\textless{}d$$

$$b\textless{}a\textless{}d\textless{}c$$

$$c\textless{}d\textless{}b\textless{}a$$

$$d\textless{}c\textless{}a\textless{}b$$

竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质


2008年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分

$$1\leqslant k\leqslant 2008$$

$$k$$是无穷大

竞赛->知识点->函数->韦达定理


2018年湖北全国高中数学联赛竞赛初赛第1题10分

若对任意的$$\theta \in \left[ 0,\frac{\pi }{2} \right]$$，不等式$$4+2\sin \theta \cos \theta -a\sin \theta a\cos \theta \leqslant 0$$恒成立，则实数$$a$$的最小值为~\uline{~~~~~~~~~~}~．

知识标签->知识点->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦型函数->正弦型函数的图象与性质

知识标签->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->二倍角的正弦

知识标签->题型->三角函数->三角函数的图象与性质->正弦型函数->正弦型三角函数图像与性质问题

知识标签->题型->三角函数->三角恒等变换->倍角、半角公式问题

知识标签->素养->数学运算

设$$x=\sin \theta +\cos \theta =\sqrt{2}\sin \left( \theta +\frac{\pi }{4} \right)$$，则$$2\sin \theta \cdot \cos \theta ={{x}^{2}}-1$$，  当$$\theta \in \left[ 0,\frac{\pi }{2} \right]$$时，得$$1\leqslant x\leqslant \sqrt{2}$$，  故原不等式变为：$${{x}^{2}}-ax+3\leqslant 0\Rightarrow a\geqslant x+\frac{3}{x}$$，  此时，函数$$f\left( x \right)=x+\frac{3}{x}$$单调递减，  从而，实数$$a$$的最小值为$$f\left( 1 \right)=4$$．


已知一圆锥曲面顶点\emph{S}，其母线与轴所成的角为$30{^{\circ}}$，在轴线上取一点\emph{C}，使得$SC=5$，过点\emph{C}作一个与轴线夹角为$45{^{\circ}}$的截面，则截得的曲线方程可表示为（~~~~~~~）

\hfill\break 【分析】\\ 根据平面截圆锥所得曲线形状的判断法则可得截得的曲线为椭圆且离心率为$e=\frac{\cos 45{^{\circ}}}{\cos 30{^{\circ}}}$，求出其长轴后可得曲线方程.\\ 【详解】\\ 根据平面截圆锥所得曲线形状的判断法则，截得的曲线为椭圆，离心率$e=\frac{\cos 45{^{\circ}}}{\cos 30{^{\circ}}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，\\ 且根据正弦定理，可得椭圆的长轴长$2a=SC\cdot \sin 30{^{\circ}}\left(\frac{1}{\sin 75{^{\circ}}}+\frac{1}{\sin 15{^{\circ}}}\right)=5\sqrt{6}$，\\ 因此椭圆的半焦距$c=5$，进而所求曲线方程为$\frac{x^{2}}{\frac{75}{2}}+\frac{y^{2}}{\frac{25}{2}}=1\Rightarrow 2x^{2}+6y^{2}=75$．\\ 故选：D.


2008年山西全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和


2010年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分

某天下午要排物理、化学、生物和两节自习共$$5$$节课，如果第一节不排生物，最后一节不排物理，那么不同的排法共有．

竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合

不加限制的排法共有$$\frac{\text{A}_{5}^{5}}{2}=60$$种；生物排在第一节，物理排在最后一节各有$$\frac{\text{A}_{4}^{4}}{2}=12$$种，其中生物排在第一节且物理排在最后一节有$$\frac{\text{A}_{3}^{3}}{2}=3$$种．因此符合要求的排法共有$$60-12\times 2+3=39$$种．


2008年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第10题6分

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和


2008年江西全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分

设$$n$$为正整数，且$$3n+1$$与$$5n-1$$皆为完全平方数，对于以下两个命题：（甲）$$7n+13$$必为合数；（乙）$$8\left( 17{{n}^{2}}+3n \right)$$必为两个平方数的和．  你的判断是．

甲对乙错

甲错乙对

甲、乙都对

甲、乙都不一定对

竞赛->知识点->数论模块->整除->质数（算数基本定理）


2008年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

设集合$$P= {(x,y)\textbar y=k }$$，$$Q= {(x,y)\textbar y={{a}^{x}}+1$$，$$a\textgreater0$$且$$a\ne 1 }$$，已知$$P\cap Q$$只有一个子集，那么$$k$$的取值范围．

$$(-\infty ,1)$$

$$\left( -\infty ,+1 \right]$$

$$(1,+\infty )$$

$$(+\infty ,+\infty )$$

竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算 竞赛->知识点->函数->基本初等函数

$$P\cap Q$$只有一个子集即$$P\cap Q$$为空集，  数形结合可知$$k\leqslant 1$$时，直线$$y=k$$与曲线$$y={{a}^{x}}+1$$无交点．故选$$\text{B}$$．


第二十届全国希望杯高一竞赛复赛邀请赛第1题4分

设函数$$f(x)$$，$$g(x)$$的定义域为$$D$$，又$$h(x)=f(x)+g(x)$$．若$$f(x),g(x)$$的最大值分别是$$M$$，$$N$$，最小值分别是$$m$$，$$n$$，则下面的结论中正确的是．

$$h(x)$$的最大值是$$M+N$$

$$h(x)$$的最小值是$$m+n$$

$$h(x)$$的值域为$$ {x\textbar m+n\leqslant x\leqslant M+N }$$的一个子集

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质

取$$f(x)=\sin x,g(x)=\cos x$$，$$D=\mathbf{R}$$，即可知$$\text A\text B\text C$$都不正确．


1999年全国全国高中数学联赛竞赛一试第1题6分

是等差数列

是公比为$$q$$的等比数列

既非等差数列也非等比数列

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列


2008年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分

恒大于零

恒等于零

恒小于零

符号不确定

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质


2019~2020学年3月湖北武汉洪山区武汉市洪山高级中学（武汉外国语学校光谷分校）高二下学期月考第10题

2008年全国高中数学联赛竞赛一试第3题6分

甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得$$1$$分，负者得$$0$$分，比赛进行到有一人比对方多$$2$$分或打满$$6$$局时停止．设甲在每局中获胜的概率为$$\frac{2}{3}$$，乙在每局中获胜的概率为$$\frac{1}{3}$$，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数$$\xi $$的期望$$E\xi $$为（~ ~ ）．

竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步


2013年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第9题5分 高二上学期单元测试《三角恒等变形》自招第17题

化简$$\frac{\sin 4\alpha }{4{{\sin }^{2}}\left( \frac{ \pi }{4}+\alpha \right)\tan \left( \frac{ \pi }{4}-\alpha \right)}$$=．

$$\cos 2\alpha $$

$$\sin 2\alpha $$

$$\cos \alpha $$

$$\sin \alpha $$

竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换

$$\frac{\sin 4\alpha }{4{{\sin }^{2}}\left( \frac{ \pi }{4}+\alpha \right)\tan \left( \frac{ \pi }{4}-\alpha \right)}=\frac{\sin 4\alpha }{4\sin \left( \frac{ \pi }{4}+\alpha \right)\sin \left( \frac{ \pi }{4}-\alpha \right)}=\frac{\sin 4\alpha }{2\sin \left( \frac{ \pi }{2}+2\alpha \right)}=\sin 2\alpha $$


2017年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第12题5分

竞赛->知识点->数论模块->同余->同余的概念与性质


2022年江苏徐州贾汪区江苏省贾汪中学高一竞赛（下学期春季）第6题

定义在$R$上的函数$f\left( x \right)$满足：$f\left( x+3 \right)+f\left( x \right)=0$，且函数$f\left( x-\frac{3}{2} \right)$为奇函数$.$给出以下3个命题：\\ $①$函数$f\left( x \right)$的周期是6；~~~~~~$②$函数$f\left( x \right)$的图象关于点$\left( -\frac{3}{2},0 \right)$对称；\\ $③$函数$f\left( x \right)$的图象关于$y$轴对称$.$其中，真命题的个数是$($  $)$

\hfill\break 【详解】\\ 由$f\left( x+3 \right)=-f\left( x \right)$，知$f\left( x+6 \right)=f\left( x \right)$.所以，①正确；\\ 将$f\left( x-\frac{3}{2} \right)$的图像向左平移$\frac{3}{2}$ 个单位，即为$f\left( x \right)$的图像，而$f\left( x-\frac{3}{2} \right)$的图像关于原点对称，所以，②正确；\\ 由②知，$f\left( -x \right)=-f\left( -3+x \right)=f\left( x \right)$ ，则$f\left( x \right)$为偶函数，所以，③正确.


2010年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分

若集合$$M=\left { x\left\textbar{} \frac{\left\textbar{} 3-x \right\textbar}{\left\textbar{} 5-x \right\textbar}\leqslant \frac{1}{2} \right. \right }$$和集合$$N= {x\textbar{{x}^{2}}-2x+c\leqslant 0 }$$满足$$M\cap N=M$$，则实数$$c$$的取值范围是．

$$c\leqslant -\frac{44}{9}$$

$$c\leqslant -\frac{55}{9}$$

$$c\leqslant -\frac{66}{9}$$

$$c\leqslant -\frac{77}{9}$$

竞赛->知识点->不等式->不等式的解法

因$$x\ne 5$$，有$$\frac{\left\textbar{} 3-x \right\textbar}{\left\textbar{} 5-x \right\textbar}\leqslant \frac{1}{2}\Leftrightarrow 2\left\textbar{} 3-x \right\textbar\leqslant \left\textbar{} 5-x \right\textbar$$．  当$$x\leqslant 3$$时，$$2(3-x)\leqslant (5-x)$$，解得$$x\geqslant 1$$；  当$$3\textless{}x\textless{}5$$时，$$2(x-3)\leqslant (5-x)$$，解得$$x\leqslant \frac{11}{3}$$；  当$$x\textgreater5$$时，$$2(x-3)\leqslant x-5$$，无解．  所以$$M=\left { x\textbar1\leqslant x\leqslant \frac{11}{3} \right }$$．  又因$${{x}^{2}}-2x+c=0,x=1\pm \sqrt{1-c}$$，  所以$$N=\left { x\textbar1-\sqrt{1-c}\leqslant x\leqslant 1+\sqrt{1-c} \right }$$．  显然，$$1-\sqrt{1-c}\leqslant 1$$，  所以只要$$1+\sqrt{1-c}\geqslant \frac{11}{3}$$，即$$c\leqslant -\frac{55}{9}$$，即有$$M\cap N=M$$．


2022~2023学年陕西西安高一上学期期末（高新唐南中学）第7题

2021~2022学年重庆高一上学期期末第6题

2022~2023学年山东滨州高一上学期期末（北镇中学）第6题

2022~2023学年甘肃兰州高一上学期期末（第六十中学）第6题

2021~2022学年福建莆田城厢区莆田第一中学高一下学期开学考试（学科素养能力竞赛）第5~5题

2022~2023学年甘肃兰州高一上学期期末（第六十中学）第6题

2022~2023学年山东滨州高一上学期期末（北镇中学）第6题

2022~2023学年甘肃兰州高一上学期期末（第六十中学）第6题

2022~2023学年陕西西安高一上学期期末（高新唐南中学）第7题

2022~2023学年陕西西安高一上学期期末（高新唐南中学）第7题

2022~2023学年陕西西安高一上学期期末（高新唐南中学）第7题

2022~2023学年广东广州荔湾区广州市协和中学高二上学期期末第4题

$$a\textgreater b\textgreater c$$

$$b\textgreater c\textgreater a$$

$$c\textgreater b\textgreater a$$

$$b\textgreater a\textgreater c$$

课内体系->知识点->基本初等函数

\hfill\break 【分析】\\ 比较大小，可先与常见的常数$$0,1$$进行比较，然后根据函数的单调性进行比较大小\\ 【详解】\\ $$c={{\log }_{0.2}}0.3\textless{} {{\log }_{0.2}}0.2=1$$\\ $$a={{2}^{0.3}}\textgreater1$$\\ $$b={{3}^{0.4}}\textgreater1$$\\ 则有：$$a\textgreater c,b\textgreater c$$\\ $$a={{2}^{0.3}}\textless{} {{3}^{0.3}}\textless{} {{3}^{0.4}}$$\\ 故有：$$b\textgreater a\textgreater c$$\\ 故选：D


2008年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分

2017~2018学年江西赣州寻乌县寻乌县第二中学高三上学期期中理科第11题5分

2005年高考真题福建卷理科第10题5分

2021年陕西宝鸡渭滨区高三二模理科第6题5分

2013~2014学年12月辽宁沈阳沈河区沈阳市第二中学高二上学期月考理科第10题5分

2016~2017学年12月北京海淀区中央民族大学附属中学高二上学期月考理科第6题5分

课内体系->素养->数学抽象

课内体系->素养->数学运算

课内体系->知识点->圆锥曲线->双曲线->双曲线的几何性质->双曲线的离心率->求双曲线的离心率

$$\triangle M{{F}_{1}}{{F}_{2}}$$是正三角形，且边$$M{{F}_{1}}$$的中点在双曲线上，  设边$$M{{F}_{1}}$$的中点为$$P$$，则有$$\angle {{F}_{1}}P{{F}_{2}}=90{}^{}\circ $$，  从而$$\left\textbar{} P{{F}_{2}} \right\textbar=\sqrt{3}c$$，$$\left\textbar{} P{{F}_{1}} \right\textbar=c$$．  根据双曲线的定义可知$$2a=\left\textbar{} P{{F}_{2}} \right\textbar-\left\textbar{} P{{F}_{1}} \right\textbar=\left( \sqrt{3}-1 \right)c$$，  解得$$e=\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\sqrt{3}+1$$．


1985年全国高中数学联赛竞赛一试第5题

设$$Z,W,\lambda $$为复数$$\lambda \ne 1$$，关于$$Z$$的方程$$\overline{Z}-\lambda Z=W$$有下面四个结论：  （1）．$$Z=\frac{\overline{ \lambda }W=\overline{W}}{1-\textbar\lambda{{\textbar}^{2}}}$$是这个方程的解；  （2）这个方程只有一个解；  （3）这个方程有两个解；  （4）这个方程有无穷多解．则．

只有（1）和（2）是正确的

只有（1）和（3）是正确的

只有（1）和（4）是正确的

以上$$A$$、$$B$$、$$C$$都不正确

竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算

由题中给出的四个结论，可知本题需根据解方程的情况作出选择，于是考虑在方程  $$\overline{Z}-\lambda Z=W$$  的两端同取共轭，得  $$Z-\overline{\lambda Z}=\overline{W}$$，  以$$\lambda $$乘两端，得  $$\lambda Z-{{\left\textbar{} \lambda \right\textbar}^{2}}\overline{Z}=\lambda \overline{W}$$  与原方程两端分别相加，得  $$\overline{Z}(1-{{\left\textbar{} \lambda \right\textbar}^{2}})=\lambda \overline{W}+W$$  两端在取共轭，得  $$\overline{Z}(1-{{\left\textbar{} \lambda \right\textbar}^{2}})=\overline{\lambda }W+\overline{W}$$  ∵$$  {{\left\textbar{} \lambda \right\textbar}^{2}}\ne 1$$，∴$$Z=\frac{\overline{\lambda }W+\overline{W}}{1-{{\left\textbar{} \lambda \right\textbar}^{2}}}$$．


2012年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分

称分子和分母的最大公约数为$$1$$的分数为既约分数，所有分母为$$100$$的正的既约真分数之和为．

竞赛->知识点->数论模块->整除->最大公约数和最小公倍数

由$$100={{2}^{2}}{{5}^{2}}$$，令  $$A=\left { n\left\textbar{} 2 \right\textbar n,  n\leqslant 100,  n\in {{\mathbf{N}}^{*}} \right }$$，  $$B=\left { n\left\textbar{} 5 \right\textbar n,  n\leqslant 100,  n\in {{\mathbf{N}}^{*}} \right }$$，  则$$\left\textbar{} A\cup B \right\textbar=\left\textbar{} A \right\textbar+\left\textbar{} B \right\textbar-\left\textbar{} A\cap B \right\textbar=50+20-10=60$$．  因此符合条件的真分数共有$$40$$个．  又若正数$$i$$和$$100$$互质，则$$100-i$$和$$100$$也互质，因此若$$\frac{i}{100}$$是一个正的既约真分数，则$$\frac{100-i}{100}$$也为一正的既约真分数，则$$\frac{100-i}{100}+\frac{i}{100}=1$$．因此所有真分数之和为$$20$$．


2017年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第1题5分

已知函数$$f\left( x \right)=a\ln x+{{x}^{2}}$$在$$x=1$$处有极值，则实数$$a$$的值是．

竞赛->知识点->导数模块->导数


1986年全国高中数学联赛竞赛一试第6题

$$s\textgreater t$$

$$s=t$$

$$s\textless{}t$$

不确定

竞赛->知识点->三角函数->三角形中的问题->解三角形 竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->均值

∵$$c=2R\sin C=2\sin C$$，又$$\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{4}$$，  ∴$$abc=1$$，于是  $$t=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$  $$=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)+\frac{1}{2}\left( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)+\frac{1}{2}\left( \frac{1}{c}+\frac{1}{a} \right)$$  $$\mathsf{\geqslant }\sqrt{\frac{\mathsf{1}}{ab}}+\sqrt{\frac{1}{bc}}+\sqrt{\frac{1}{ca}}$$  $$=\frac{\sqrt{c}+\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{abc}}$$  $$=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$$  $$=s$$．  且其中等号不可能取到，否则$$a=b=c=R=1$$，这显然是不可能的．  故选$$\text{C}$$．


2015年河南全国高中数学联赛高二竞赛初赛第5题8分 2016~2017学年江苏无锡高三上学期期中第13题5分

课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式 竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->柯西

由柯西不等式，$$\left[ 1+a+3\left( 2+b \right) \right]\left( \frac{1}{1+a}+\frac{4}{2+b} \right)\geqslant {{\left( 1+2\sqrt{3} \right)}^{2}}$$，  所以$$\frac{1}{1+a}+\frac{4}{2+b}\geqslant \frac{13+4\sqrt{3}}{14}$$．  $$\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\textasciitilde\frac{1}{1+a}+\frac{4}{2+b}$$  $$=\frac{1}{14}\left[ \left( a+1 \right)+3\left( 2+b \right) \right]\cdot \left( \frac{1}{1+a}+\frac{4}{2+b} \right)$$  $$=\frac{1}{14}\left[ 13+\frac{3\left( 2+b \right)}{a+1}+\frac{4\left( a+1 \right)}{2+b} \right]$$  $$\geqslant \frac{1}{14}\left[ 13+2\sqrt{\frac{3\left( 2+b \right)}{a+1}\cdot \frac{4\left( a+1 \right)}{2+b}} \right]$$  $$=\frac{13+4\sqrt{3}}{14}$$，  当且仅当$$\frac{3\left( 2+b \right)}{a+1}=\frac{4\left( a+1 \right)}{2+b}$$，  即$$a=\frac{\sqrt{3}}{2}b+\sqrt{3-1}$$时等号成立，  故应填$$\frac{13+4\sqrt{3}}{14}$$．


2011年全国高中数学联赛竞赛复赛一试第8题8分

竞赛->知识点->排列组合与概率->二项式定理及其应用


2021年福建全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分

已知$$f\left( x \right)$$和$$g\left( x \right)$$)是两个二次项系数均为$$1$$的二次函数．若$$g\left( 6 \right)=35$$﹐$$\frac{f\left( -1 \right)}{g\left( -1 \right)}=\frac{f\left( 1 \right)}{g\left( 1 \right)}=\frac{21}{20}$$，则$$f\left( 6 \right)=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．

课内体系->知识点->函数的概念与性质 竞赛->知识点->函数->二次函数


全国高中数学联赛竞赛模拟一试（十三）第6题

竞赛->知识点->不等式->多元函数极值（一试） 竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->柯西 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式 课内体系->方法->均值不等式法

由均值不等式及题设条件知  $$2cd\leqslant {{\left( \frac{c+2d}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{4}\Rightarrow cd\leqslant \frac{1}{8}$$①．  当且仅当$$c=\frac{1}{2}$$，$$d=\frac{1}{4}$$时，以上两式的等号成立．  此时，由式①得$$\frac{1}{a}+\frac{1}{bcd}\geqslant \frac{1}{a}+\frac{8}{b}$$．  又由条件及柯西不等式得  $$\frac{1}{a}+\frac{8}{b}=\left( \frac{1}{a}+\frac{8}{b} \right)\left( a+2b \right)\geqslant {{\left( 1+4 \right)}^{2}}=25$$，  当且仅当$$b=2a$$时，上式等号成立．  结合条件，知此时$$a=\frac{1}{5}$$，$$b=\frac{2}{5}$$．  于是，$$\frac{1}{a}+\frac{1}{bcd}\geqslant 25$$．  当 $$a=\frac{1}{5}$$，$$b=\frac{2}{5}$$，$$c=\frac{1}{2}$$，$$d=\frac{1}{4}$$时，  $$\frac{1}{a}+\frac{1}{bcd}$$取得最小值$$25$$．


2008年全国高中数学联赛竞赛一试第10题9分 2010年河南全国高中数学联赛竞赛初赛第12题5分

$$\frac{1}{{{2}^{n}}}+\frac{1}{n(n+1)}$$

$$\frac{1}{{{2}^{n}}}-\frac{1}{n(n+1)}$$

$$\frac{1}{{{2}^{n}}}+\frac{1}{n(n-1)}$$

$$\frac{1}{{{2}^{n}}}-\frac{1}{n(n-1)}$$

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和 课内体系->知识点->数列


2019年上海全国高中数学联赛高三竞赛初赛第4题7分 2019年上海全国高中数学联赛竞赛初赛第4题7分

竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列

课内体系->知识点->数列->等差数列->等差数列的概念与通项公式->等差数列求通项问题


$$2010-AMC10B-11$$  A shopper plans to purchase an item that has a listed price greater than ＄$$100$$ and can use any one of the three coupons. Coupon $$A$$ gives $$15$$\% off the listed price, Coupon $$B$$ gives ＄$$30$$ off the listed price, and Coupon $$C$$ gives $$25$$\% off the amount by which the listed price exceeds ＄$$100$$. Let $$x$$ and $$y$$ be the smallest and largest prices, respectively, for which Coupon $$A$$ saves at least as many dollars as Coupon $$B$$ or Coupon $$C$$. What is $$y- x$$?  购物者计划购买标价大于 ＄100 的商品，并且可以使用三种优惠券中的任何一种。 优惠券$$A$$ 优惠$$15$$ 元，优惠券$$B$$ 优惠$$30$$ 元，优惠券$$C$$ 优惠25\%，超过$$100$$ 元的优惠券。 设 X 和 Y 分别是最小和最大的价格，对于该价格，优惠券 A 至少节省与优惠券 B 或优惠券 C 一样多的美元。y-x 是多少？

课内体系->知识点->函数的应用->函数的实际应用->一次函数模型

美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Application->Equation Word Problems

Let the listed price be $$(100+p)$$, where $$p\textgreater0$$.  Coupon $$A$$ saves us: $$0.15(100+p)=(0.15 p+15)$$.  Coupon $$B$$ saves us: $$30$$.  Coupon $$C$$ saves us: $$0.25p$$.  Now, the condition is that $$A$$ has to be greater than or equal to either $$B$$ or $$C$$ which give us the following inequalities: $$A≥B⇒0.15 p+15≥30⇒p≥100$$, $$A≥C⇒0.15 p+15≥0.25p⇒p≤150$$. We see here that the greatest possible value for $$p$$ is $$150$$,~ thus $$y= 100+150=250$$ and the smallest value for $$p$$ is $$100$$ so $$x= 100+100=200$$. The difference between $$y$$ and $$x$$ is $$y-x=250-200=(\rm A) 50$$.


2017年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分

设复数$$z$$满足$$\left\textbar{} z-\left\textbar{} z+1 \right\textbar{} \right\textbar=\left\textbar{} z+\left\textbar{} z-1 \right\textbar{} \right\textbar$$，则下列判断错误的是．

$$z$$可能为纯虚数

$$z$$可能为实数

$$z$$的辐角可能为$$\frac{ \pi }{4}$$

竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的应用 竞赛->知识点->复数与平面向量->复数的概念与运算


2008年甘肃全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分

竞赛->知识点->不等式->换元技巧->三角换元

设$$\begin{cases}x=3+2\cos \theta    y=1+\sin \theta \end{cases}$$，  则$$t=\frac{x+y-3}{x-y+1}=\frac{2\cos \theta +\sin \theta +1}{2\cos \theta -\sin \theta +3}$$，  化为$$(2t-2)\cos \theta -(t+1)\sin \theta +3t-1=0$$，  由万能公式得$$(t+1){{\tan }^{2}}\frac{\theta }{2}-2(t+1)\tan \frac{\theta }{2}+5t-3=0$$．  当$$t\ne 1$$时，$$\frac{1}{4}\Delta ={{(t+1)}^{2}}-(t+1)(5t-3)\geqslant 0$$，  所以$$-1\textless{}t\leqslant 1$$；  当$$t=-1$$时，解得$$\cos \theta =-1$$有意义．故选$$\text{C}$$．


$$2012-AMC10A-16$$  Three runners start running simultaneously from the same point on a $$500-$$meter circular track. They each run clockwise around the course maintaining constant speeds of $$4.4$$, $$4.8$$, and $$5.0$$ meters per second. The runners stop once they are all together again somewhere on the circular course. How many seconds do the runners run?  三名跑者在一条 500 米的环形跑道上从同一点同时开始跑步。 他们每个人都绕着赛道顺时针运行，保持每秒 4.4、$$4.8$$ 和 5.0 米的恒定速度。 一旦他们再次聚集在圆形路线上的某个地方，跑步者就会停下来。 跑者跑多少秒？

课内体系->知识点->等式与不等式->等式->方程组的解集

First consider the first two runners. The faster runner will lap the slower runner exactly once, or run $$500$$ meters farther. Let $$x$$ be the time these runners run in seconds.  Because $$4.8x-4.4x=500\Rightarrow x=1250$$ is a multiple of $$500$$, it turns out they just meet back at the start line.  Now we must find a time that is a multiple of $$1250$$ and results in the $$5.0\rm m/s$$ runner to end up on the start line. Every $$1250$$ seconds, that fastest runner goes $$5.0(1250)=6250$$ meters.  In $$2(1250)=2500$$ seconds, he goes $$5.0(2500)=12500$$ meters. Therefore the runners run $$\boxed{\rm(C)\textasciitilde2500} $$seconds.  Working backwards from the answers starting with the smallest answer, if they had run $$1000$$ seconds, they would have run $$4400$$, $$4800$$, $$5000$$ meters, respectively. The first two runners have a difference of $$400$$ meters, which is not a multiple of $$500$$ (one lap), so they are not in the same place.  If they had run $$1250$$ seconds, the runners would have run $$5500$$, $$6000$$, $$6250$$ meters, respectively.  The last two runners have a difference of $$250$$ meters, which is not a multiple of $$500$$.  If they had run $$2500$$ seconds, the runners would have run $$11000$$, $$12000$$, $$12500$$ meters, respectively.  The distance separating each pair of runners is a multiple of $$500$$, so the answer is $$\boxed{\rm(C)\textasciitilde2500}$$ seconds.  Let $$t$$ be the time run in seconds, then the difference in meters run between the three runners is $$0.2t$$, $$0.4t$$, $$0.6t$$. For them to be at the same location all of them need to be multiples of $$500$$. It is now easy to see that $$0.2t=500$$, $$0.4t=1000$$, $$0.6t=1500$$, so $$t=\boxed{\rm(C)\textasciitilde2500}$$.  After $$t$$ seconds, respectively the runners would\textquotesingle ve ran $$4.4t$$, $$4.8t$$ and $$5t$$ meters. Their current positions on the track are these values $$(\rm mod\textasciitilde500)$$. We\textquotesingle re trying to find the value of $$t$$ such that $$4.4t\equiv 4.8t\equiv 5t\textasciitilde{} \rm (mod \textasciitilde500)$$ Subtracting $$4.4t$$ on all sides, we get $$0\equiv 0.4t\equiv 0.6t\textasciitilde{} \rm (mod \textasciitilde500)$$  Now, we must find a value for $$t$$ such that both $$0.6t$$ and $$0.4t$$ are simultaneously multiples of $$500$$. Plugging in $$500$$ for $$0.4t$$ we get $$t=1250$$, but this does not work for $$0.6t$$ ( $$750$$ isn\textquotesingle t a multiple of $$500$$). Plugging in $$0.4t=1000$$, we get $$t=2500$$, and this does work for $$0.6t$$.  Therefore, $$t=2500$$ and the answer is $$\rm(C)\textasciitilde2500$$.  $$\cdot$$ Note: Modular Arithmetic works only for integral values, so my usage of decimals is technically incorrect but the intuition leads to the right answer.  Similar to the solution above, but is much quicker and does not involve trial and error. This uses decimal mod arithmetic, which can be justified by intuition $$\cdots$$~~After $$t$$ seconds, respectively the runners would\textquotesingle ve ran $$4.4t$$, $$4.8t$$, and $$5t$$ meters. These three values are congruent $$\rm(mod\textasciitilde500)$$, so $$4.4t\equiv 4.8t\equiv 5t\textasciitilde{} \rm (mod \textasciitilde500)$$. Subtract $$4.4t$$ from all three sides to get $$0$$, $$0.4t$$, and $$0.6t$$ are congruent. Now all we need to find is a value of t for which $$0.4t$$ and $$0.6t$$ are congruent mod $$500$$.  Subtract $$0.4t$$ from both sides to get $$0.2t$$ and $$0$$ are congruent mod $$500$$, or that $$0.2t=\frac t5$$ is a multiple of $$500$$. Let $$t=500k$$, so we want $$100k$$ to be a multiple of $$500$$, or $$k$$ to be a multiple of $$5$$. Therefore, thes mallest value of $$t$$ is when $$k=5$$, and when $$t=500k=500(5)=2500\rm(C)$$.


2009年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分

竞赛->知识点->复数与平面向量->平面向量的概念与运算 竞赛->知识点->平面几何->内心相关问题（二试）

在$$\triangle ABC$$中，$$I$$为内心，连$$AI$$并延长交$$BC$$于$$D$$点，  则$$D$$分$$BC$$的比$$\lambda =\frac{AB}{AC}=\frac{4}{2}=2$$．  故$$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$$．又$$BC=3$$，故$$BD=2,  DC=1$$．  又在$$\triangle ABD$$中，$$I$$分$$AD$$的比$${\lambda }'=\frac{AB}{BD}=\frac{4}{2}=2$$，  即$$\overrightarrow{AI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{2}{9}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{9}\overrightarrow{AC}$$，所以$$x+y=\frac{2}{3}$$．


2002年全国全国高中数学联赛竞赛一试第5题6分

已知两个实数集合$$A=\left { {{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{100}} \right }$$与$$B=\left { {{b}_{1}},{{b}_{2}},\cdots ,{{b}_{50}} \right }$$，若从$$A$$到$$B$$的映射$$f$$使得$$B$$中的每一个元素都有原象，且$$f\left( {{a}_{1}} \right)\leqslant f\left( {{a}_{2}} \right)\leqslant \cdots \leqslant f\left( {{a}_{100}} \right)$$，则这样的映射共有．

课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的概念->映射

课内体系->知识点->计数原理->排列与组合->组合->隔板法

课内体系->素养->逻辑推理

不妨设$${{b}_{1}}\textless{}{{b}_{2}}\textless{}\cdots \textless{}{{b}_{50}}$$，将$$A$$中元素$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{2}}$$，\ldots，$${{a}_{100}}$$按顺序分为非空的$$50$$组，定义映射$$f:A\to B$$，使得第$$i$$组的元素在$$f$$之下的象都是$${{b}_{i}}\left( i=1,2,  \cdots ,50 \right)$$，易知这样的$$f$$满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射$$f$$的个数与$$A$$按足码顺序分为$$50$$组的分法数相等，而$$A$$的分法数为$$\text{C}_{99}^{49}$$，则这样的映射共有$$\text{C}_{99}^{49}$$．  故选$$\text{D}$$．


2023年江苏连云港灌南县灌南县中学高三竞赛（下学期3月解题能力竞赛）第1题

已知集合$A=\left {x\left\textbar{} x\textless{} 2\right.\right }$，$B=\left {x\left\textbar{} x^{2}-2x-3\leq 0\right.\right }$，则$A\cup B=$（~~~~~~~）

$\left(-\mathrm{\infty },3\right]$

\hfill\break 【分析】\\ 先求出集合$B$，再依据并集的定义求并集.\\ 【详解】\\ $B=\left {x\left\textbar{} x^{2}-2x-3\leq 0\right.\right }=\left {x\left\textbar{} -1\leq x\leq 3\right.\right }$，又$A=\left {x\left\textbar{} x\textless{} 2\right.\right }$，\\ 所以$A\cup B=\left(-\mathrm{\infty }\mathrm{，}3\right]$\\ 故选：D


2009年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分

$$\left( 0,\frac{2}{3} \right]$$

$$\left[ \frac{\sqrt{3}}{3},1 \right)$$

$$\left[ \frac{3}{2},+\infty \right)$$

竞赛->知识点->函数->函数的图像与性质


已知集合$A=\left {a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right }$，任取$1\leq i\textless{} j\textless{} k\leq n,a_{i}+a_{j}\in A,a_{j}+a_{k}\in A,a_{i}+a_{k}\in A$中至少有一个成立，则\emph{n}的最大值为（~~~~~~~）

\hfill\break 【分析】\\ 可证明集合\emph{A}的正数至多有3个，负数至多有3个，故可判断\emph{n}的最大值.\\ 【详解】\\ 不妨设$a_{1}\textgreater{} a_{2}\textgreater{} \cdots \textgreater{} a_{n}$，若集合\emph{A}中的正数个数不小于4，取$(i,j,k)=(1,2,3)$，\\ 可得$a_{2}+a_{3}=a_{1}$，取$(i,j,k)=(1,2,4)$，可得$a_{2}+a_{4}=a_{1}$，因此$a_{3}=a_{4}$，矛盾．\\ 因此集合\emph{A}的正数至多有3个，同理，集合\emph{A}中的负数至多有3个．\\ 又考虑$A= {3,2,1,0,-1,-2,-3 }$，\\ 符合题意，因此\emph{n}的最大值为7．\\ 故选：C.


2005年全国高中数学联赛竞赛一试第2题6分

只有一个

有二个

有四个

有无穷多个

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间向量


2016年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分 2016年高考真题天津卷

设函数$$f\left( x \right)$$的定义域是$$\left( -\infty ,+\infty \right)$$，对于下列（$$1$$）$$\sim $$（$$4$$）的四个命题：  （$$1$$）若$$f\left( x \right)$$是奇函数，则$$f\left( f\left( x \right) \right)$$也是奇函数；  （$$2$$）若$$f\left( x \right)$$是周期函数，则$$f\left( f\left( x \right) \right)$$也是周期函数；  （$$3$$）若$$f\left( x \right)$$是单调递减函数，则$$f\left( f\left( x \right) \right)$$是单调递增函数；  正确的命题共有．

知识标签->知识点->函数->函数的应用->简单的函数方程 知识标签->知识点->函数->函数及其表示->函数的概念->复合函数 知识标签->知识点->函数->函数的性质->单调性 知识标签->知识点->函数->函数的性质->奇偶性 知识标签->知识点->函数->函数的性质->周期性 知识标签->素养->数学运算 知识标签->素养->数据分析 知识标签->素养->逻辑推理 知识标签->题型->函数->函数的性质->周期性->函数周期性判断 知识标签->题型->函数->函数的性质->单调性->用定义法证明函数的单调性 知识标签->题型->函数->函数的性质->奇偶性->利用定义判断函数奇偶性

若$$f\left( x \right)$$是奇函数，则$$f\left( f\left( -x \right) \right)=f\left( -f\left( x \right) \right)=-f\left( f\left( x \right) \right)$$，（$$1$$）对；  若$$f\left( x+T \right)=f\left( x \right)$$，则$$f\left( f\left( x+T \right) \right)=f\left( f\left( x \right) \right)$$，（$$2$$）对；  对任意$${{x}_{1}}\textless{}{{x}_{2}}$$，有$$f\left( {{x}_{1}} \right)\textgreater f\left( {{x}_{2}} \right)$$，则$$f\left( f\left( {{x}_{1}} \right) \right)\textless{}f\left( f\left( {{x}_{2}} \right) \right)$$，（$$3$$）对；  取$$f\left( x \right)=\begin{cases}1,x=0    0,x=1    \left\textbar{} x \right\textbar+1,其它    \end{cases}$$，则$$f\left( f\left( x \right) \right)=\begin{cases}0,x=0    1,x=1    \left\textbar{} x \right\textbar+2,其它    \end{cases}$$，（$$4$$）错．  故选$$\text{C}$$．


2018年山西全国高中数学联赛竞赛初赛第6题8分

课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->二倍角的正弦 课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->二倍角公式->半角公式 课内体系->素养->数学运算


2004年高考真题天津卷文科第9题5分 2008年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分

$$y=1+{{\log }_{3}}x(x\textgreater0)$$

$$y=-1+{{\log }_{3}}x(x\textgreater0)$$

$$y=1+{{\log }_{3}}x(1\leqslant x\textless{}3)$$

$$y=-1+{{\log }_{3}}x(1\leqslant x\textless{}3)$$

竞赛->知识点->函数->基本初等函数


2008年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分

把函数$$y=\sin \left( 2x+\frac{ \pi }{6} \right)-1$$的图象按向量$$\overrightarrow{a}=\left( \frac{ \pi }{6},1 \right)$$平移，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的$$\frac{1}{2}$$，则所得图象的函数解析式是．

$$y=\sin \left( 4x+\frac{2 \pi }{3} \right)-2$$

$$y=\sin \left( 2x+\frac{ \pi }{6} \right)$$

$$y=\cos \left( 4x+\frac{2 \pi }{3} \right)$$

竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质

由题意，把函数$$y=\sin \left( 2x+\frac{ \pi }{6} \right)-1$$的图象按向量$$\overrightarrow{a}=\left( \frac{ \pi }{6},1 \right)$$平移，  可得$$y=\sin \left[ 2\left( x-\frac{ \pi }{6} \right)+\frac{ \pi }{6} \right]=\sin \left( 2x-\frac{ \pi }{6} \right)$$，  再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的$$\frac{1}{2}$$，  可得$$y=\sin \left( 4x-\frac{ \pi }{6} \right)$$，故选$$\text{B}$$.


2008年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分

从正方体的$$8$$个顶点的任意两个所确定的所有直线中取出两条，则这两条直线是异面直线的概率是．

竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的角与距离 竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步