PL9fwy3NUQKwavFmspRNWAhbDWNXQPDNlH/2__gojdcGsw_raw.srt

1
00:00:04,940 --> 00:00:07,660
بسم الله الرحمن الرحيم الحمد لله رب العالمين

2
00:00:07,660 --> 00:00:10,500
والصلاة والسلام على سيدنا محمد وعلى آله وصحبه

3
00:00:10,500 --> 00:00:17,340
أجمعين هذه هي المحاضرة رقم 23 في مساق تحليل حقيقة

4
00:00:17,340 --> 00:00:22,200
نيل طلاب وطالبات الجامعة الإسلامية قسم الرياضيات

5
00:00:22,200 --> 00:00:27,900
كلية العلومالمحاضرة اللي هي اليوم هي عبارة عن

6
00:00:27,900 --> 00:00:33,180
تكملة ل section تمانية تلاتة الجزء الثاني من .. من

7
00:00:33,180 --> 00:00:36,580
.. من هذا .. اللي هو ال chapter الجزء الأول من هذا

8
00:00:36,580 --> 00:00:39,320
ال section الجزء الأول اتحدثنا عن ال exponential

9
00:00:39,320 --> 00:00:44,670
function وكيف أثبتنا وجودهاواخدنا خواصها الآن بدنا

10
00:00:44,670 --> 00:00:47,910
نحكي عن الجزء التاني من اللي هو ال section اللي هو

11
00:00:47,910 --> 00:00:51,050
ال logarithmic function ال logarithmic function

12
00:00:51,050 --> 00:00:55,290
اللي هو نشوف كيف بدنا نثبت وجودها وكيف اللي هو

13
00:00:55,290 --> 00:01:00,410
ناخد خواصها بنفس البناء اللي أو نبنع البناء اللي

14
00:01:00,410 --> 00:01:05,820
بنناه المحاضرة الماضيةالان لما حكينا عن ال

15
00:01:05,820 --> 00:01:10,020
exponential function E لجينا ان ال exponential E

16
00:01:10,020 --> 00:01:12,780
is strictly increasing differentiable function

17
00:01:12,780 --> 00:01:18,160
with domain R and range اللي هو Y أكبر من 0 يعني

18
00:01:18,160 --> 00:01:22,480
لما حكينا عن ال E حكينا عن ال E من R اللي هي ال

19
00:01:22,480 --> 00:01:26,600
exponential لعند الفترة 0 و مالا نهاية هذه ال

20
00:01:26,600 --> 00:01:31,560
function هي rangeها و هي domainها و كانت strictly

21
00:01:31,560 --> 00:01:35,700
increasingStrictly increasing معناته اللي هو عبارة

22
00:01:35,700 --> 00:01:40,020
عن 120 يعني بمعنى أخر في إلها ال function هذه on

23
00:01:40,020 --> 00:01:43,940
two وكانت differentiable الآن ال function اللي هي

24
00:01:43,940 --> 00:01:46,840
ال exponential طبعا ما أنتوا عارفين كيف رسمتها لو

25
00:01:46,840 --> 00:01:50,460
جينا جربنا نرسمها هنلاقي الرسمة اللي هو هذه اللي

26
00:01:50,460 --> 00:01:56,180
هي عبارة عن رسمة ال exponentialالان انا بدى اجى

27
00:01:56,180 --> 00:02:00,300
اللى هو من خلال اللى هو ال function ال exponential

28
00:02:00,300 --> 00:02:05,980
اعرف ال inverse لها واسميه اللى هو logarithmic

29
00:02:05,980 --> 00:02:10,860
function او بدى اسميه ال logarithm الطبيعى اللى هى

30
00:02:10,860 --> 00:02:16,020
ال len functionمشروع الكلام اه لإن ايه عبارة عن

31
00:02:16,020 --> 00:02:19,240
function one to one و one to Hana إذا صار ال

32
00:02:19,240 --> 00:02:23,580
inverse لها موجود لإنها strictly increasing إذا

33
00:02:23,580 --> 00:02:29,560
صار ال L من عند zero و مالة نهاية لعند ال R هادي

34
00:02:29,560 --> 00:02:34,100
اللي هيالـ function الجديدة هي اللي بدي أسميها الـ

35
00:02:34,100 --> 00:02:38,320
logarithmic function وهي رسمتها اللي أمامنا اللي

36
00:02:38,320 --> 00:02:42,460
هي ال inverse لهذه الدالة اللي بدي أعرفها الآن

37
00:02:42,460 --> 00:02:47,000
وتعريف الآن صار شرعي بناء على وجود ال exponential

38
00:02:47,000 --> 00:02:50,930
اللي بدي أعرفه اللي هو ال inverse سبعتهاالعمل

39
00:02:50,930 --> 00:02:57,030
المعرفي للـ E هو

40
00:02:57,030 --> 00:03:02,850
الـ Logarithm أو الـ Nature Logarithm اللي هي It

41
00:03:02,850 --> 00:03:07,870
will be denoted by L or by Lin الأكتر شيوعا طبعا

42
00:03:07,870 --> 00:03:11,810
اللي هو مين الـ Lin لأن بما أن الـ E و L انفرس

43
00:03:11,810 --> 00:03:17,110
لبعض إذا أكيد الـ E composite L composite E of X

44
00:03:17,110 --> 00:03:22,920
هيساوي الـ Xلكل الـ x و اللي موجودة في الـ R لأن

45
00:03:22,920 --> 00:03:26,540
الـ E بتشتغل على كل الإكسات اللي في الـ R لأن

46
00:03:26,540 --> 00:03:30,740
بينما E composite L of Y E composite L of Y الـ L

47
00:03:30,740 --> 00:03:34,660
بتشتغل .. بتشتغل مين على مين بس على الـ positive E

48
00:03:34,660 --> 00:03:38,240
composite L of Y بيساوي لكل Y element in R و Y

49
00:03:38,240 --> 00:03:44,900
أشملها أكبر من 0الان connotations .. connotations

50
00:03:44,900 --> 00:03:49,860
بناء عليه الـ N الـ E of X لأن الـ N هي الـ L والـ

51
00:03:49,860 --> 00:03:53,880
E هي الـ E وعندي الـ E to the N اللي هو بسوء الـ Y

52
00:03:53,880 --> 00:03:57,780
وهو بسوء الـ X بناء على أن الواحدة inverse للتانية

53
00:04:01,010 --> 00:04:04,750
أو كل واحدة inverse للاخرى الـ logarithm is a

54
00:04:04,750 --> 00:04:08,630
strictly increasing function L with domain اللي هو

55
00:04:08,630 --> 00:04:12,150
مين اللي هو ال domain اللي عندي اللي هو تعرفنا هيك

56
00:04:12,150 --> 00:04:16,210
أصلا الان ال derivative of L is given by L prime

57
00:04:16,210 --> 00:04:19,750
of X ايش بتساوي واحدة ل X for X أكبر من سفر الان

58
00:04:19,750 --> 00:04:23,430
ال logarithm satisfy the functional equation تحقق

59
00:04:23,430 --> 00:04:27,010
المعادلة الدالية التالية اللي هي L of X في Y بساوي

60
00:04:27,010 --> 00:04:31,000
L of X زائد LL of Y for X أكبر من سفر Y أكبر من

61
00:04:31,000 --> 00:04:34,560
سفر Y أكبر

62
00:04:34,560 --> 00:04:38,260
من سفر

63
00:04:38,260 --> 00:04:40,560
Y أكبر من سفر Y أكبر من سفر Y أكبر من سفر Y أكبر

64
00:04:40,560 --> 00:04:40,580
من سفر Y أكبر من سفر Y أكبر من سفر Y أكبر من سفر Y

65
00:04:40,580 --> 00:04:40,640
أكبر من سفر Y أكبر من سفر Y أكبر من سفر Y أكبر من

66
00:04:40,640 --> 00:04:40,700
سفر Y أكبر من سفر Y أكبر من سفر Y أكبر من سفر Y

67
00:04:40,700 --> 00:04:40,700
أكبر من سفر Y أكبر من سفر Y أكبر من سفر Y أكبر من

68
00:04:40,700 --> 00:04:41,020
سفر Y أكبر من سفر Y أكبر من سفر Y أكبر من سفر Y

69
00:04:41,020 --> 00:04:47,140
أكبر من سفر Y أكبر من سفر Y أكبر من سفر Y أكبرL of

70
00:04:47,140 --> 00:04:51,420
XR بيساوي R لL of X لإن X أكبر من 0 وR المتر كيوه

71
00:04:51,420 --> 00:04:54,840
كلهن اللي هي خواص انتوا بتعرفوهم قبل هيك بس الآن

72
00:04:54,840 --> 00:04:58,440
بدنا نبرهنهم و نثبت صحتهم limit L of X لما X تروح

73
00:04:58,440 --> 00:05:01,740
لـ0 من اليمين بساوي سالب infinity and limit L of X

74
00:05:01,740 --> 00:05:07,340
لما X تروح لمال النهاية بتساوي مال النهاية خلينا

75
00:05:07,340 --> 00:05:14,840
احنا نشوف نبرهن اللي هي اللي مطلوبالأن الـ L is

76
00:05:14,840 --> 00:05:17,560
strictly increasing with domain X element alone

77
00:05:17,560 --> 00:05:20,880
and range R follows from the fact that E is

78
00:05:20,880 --> 00:05:24,840
strictly increasing with domain R and range اللي

79
00:05:24,840 --> 00:05:33,320
هو اللي عندي الان عندي ال L is strictly increasing

80
00:05:33,320 --> 00:05:37,560
بناء على مين على ال E نفسها strictly increasing

81
00:05:37,560 --> 00:05:48,560
الان EComposite L E Composite L of Y ايش بتساوي؟ Y

82
00:05:48,560 --> 00:05:55,320
لكل Y وY الموجودة لكل Y element in سفر وملا نهاية،

83
00:05:55,320 --> 00:06:00,780
مظبوط؟ الان فاضلول الجهتين الان طبعا احنا بنعرف

84
00:06:00,780 --> 00:06:06,360
انه من الاصل مدامة ال E isاللي هو differentiable

85
00:06:06,360 --> 00:06:10,480
أكيد اللي هي ال inverse إلها is differentiable by

86
00:06:10,480 --> 00:06:14,680
theorem 6 9 كده مش عارف إيش في اللي هو chapter 6

87
00:06:14,680 --> 00:06:18,200
قدامة ال function اللي هي is differentiable ال

88
00:06:18,200 --> 00:06:20,880
inverse إلها برضه is differentiable في حالة وجودها

89
00:06:20,880 --> 00:06:27,480
الآن E فاضل الجهتين بيصير عندي E prime of L of Y

90
00:06:27,480 --> 00:06:36,600
فL prime of Y بساوي إيش واحد ماشي الحال الآنواضح

91
00:06:36,600 --> 00:06:41,900
أن هذا حاصل الضرب صار أكبر من مين strictly من 0

92
00:06:41,900 --> 00:06:47,920
وبما أن الـ E is strictly increasing أثبتنا E' of

93
00:06:47,920 --> 00:06:53,420
L of Y is strictly أكبر من 0 إذا بيظلها L' of Y is

94
00:06:53,420 --> 00:06:57,180
strictly أكبر من 0 لكل Y هنا إذا صارت الـ L is

95
00:06:57,180 --> 00:07:02,740
strictly increasingالان طبعا ال domain مدام ان هذه

96
00:07:02,740 --> 00:07:07,000
ال inverse ل ال E ال domain اللي هو ال inverse هو

97
00:07:07,000 --> 00:07:11,380
range ال function الأصلية و بيصير sub wave في

98
00:07:11,380 --> 00:07:18,460
الفئر اذا الان احنا اثبتنا ان ال is strictly

99
00:07:18,460 --> 00:07:23,530
increasingالان و rangeها اللي هو صار domain اللي

100
00:07:23,530 --> 00:07:28,310
هو او range اللي هو ال .. هذي اللي صار domainها

101
00:07:28,310 --> 00:07:32,990
domain ال L و هذي صارت اللي هو range ال L زي ما

102
00:07:32,990 --> 00:07:37,330
قلنا قبل بشوية او عندي الان بدنا نثبت اللي هو

103
00:07:37,330 --> 00:07:42,070
الجزء الثاني من النظرية خليني نكتب هنا عشان نتذكر

104
00:07:42,070 --> 00:07:48,430
ايش اللي بدنا نثبته الان بدنا نثبت اين أثبتنا

105
00:07:48,430 --> 00:07:54,230
الأولىاللي فى النص بتقلّى prime of X اللى نكتبهن

106
00:07:54,230 --> 00:07:59,330
اللى بدنا نثبتهن عشان نتذكرهن

107
00:07:59,330 --> 00:08:12,240
قلّى prime I او VIII قلّى primeof X بسوة واحدة ل X

108
00:08:12,240 --> 00:08:19,680
اتنين اللي هو L of XY بسوة L X زائد L Y طبعا ال Y

109
00:08:19,680 --> 00:08:25,780
هناك ال L of واحد بسوة سفر L of E بسوة واحد كلهم

110
00:08:25,780 --> 00:08:34,440
بسيطاتL prime L of X to the R سوى R L of X و Limit

111
00:08:34,440 --> 00:08:39,720
L of X لما X تروح إلى Zero من اليمين سوى سالب لما

112
00:08:39,720 --> 00:08:45,140
لنهاية و Limit لL of X لما X تروح إلى ما لنهاية

113
00:08:45,140 --> 00:08:48,520
سوى ما لنهاية خلّيني أشوف أن دول على السريع فانوا

114
00:08:48,520 --> 00:08:53,640
كلها شغلات يعني بأعتقد أنه سهل أنك نثبتها

115
00:08:55,730 --> 00:09:02,210
عندي لأن زي ما عملت قبل بشوية اللي هو لما فضلت هذه

116
00:09:02,210 --> 00:09:07,290
تفاضله E composite L of X لما عملتها قبل بشوية

117
00:09:07,290 --> 00:09:14,250
اللي هي كانت عندي هين أعمل E composite L of X الكل

118
00:09:14,250 --> 00:09:19,370
اللي هي بساوي ال X فاضل هذا يصير E prime

119
00:09:26,060 --> 00:09:29,100
بنسبة لـ x أقل الـ prime of x

120
00:09:34,780 --> 00:09:40,160
اللي هو واحد على الـ E prime of L of X إذا الـ E

121
00:09:40,160 --> 00:09:44,300
القلي برايم of X بيساوي واحد على E prime composite

122
00:09:44,300 --> 00:09:48,340
L of X والـ E prime هي نفس الـ E زي ما قلنا إذا

123
00:09:48,340 --> 00:09:51,140
بيصير واحد على E composite L of X إلى ال E

124
00:09:51,140 --> 00:09:54,640
composite L of X زي ما قلنا إيش بتساوي بساوي X

125
00:09:54,640 --> 00:09:57,660
فبساوي واحد على X فالقلي برايم بيساوي واحد على X

126
00:09:57,660 --> 00:10:02,910
لكل X في الموجودة في الفترة Zeroو 1 نيجي الآن نشوف

127
00:10:02,910 --> 00:10:06,710
اللي هي اللي بعدها الخاصية اللي بعدها خلّينا نثبت

128
00:10:06,710 --> 00:10:12,690
اللي هو L of X في Y بسوا L of X زائد مين زائد L of

129
00:10:12,690 --> 00:10:17,270
Y برضه الإثبات سهل وانتبهوا معايا وسهلس عندى الآن

130
00:10:24,240 --> 00:10:27,240
F X أكبر من صفر Y أكبر من صفر F X أكبر من صفر Y

131
00:10:27,240 --> 00:10:27,740
أكبر من صفر F X أكبر من صفر Y أكبر من صفر F X أكبر

132
00:10:27,740 --> 00:10:27,900
من صفر F X أكبر من صفر F X أكبر من صفر F X أكبر من

133
00:10:27,900 --> 00:10:28,100
صفر F X أكبر من صفر F X أكبر من صفر F X أكبر من

134
00:10:28,100 --> 00:10:28,700
صفر F X أكبر من صفر F X أكبر من صفر F X أكبر من

135
00:10:28,700 --> 00:10:28,920
صفر F X أكبر من صفر F X أكبر من صفر F X أكبر من

136
00:10:28,920 --> 00:10:32,100
صفر F X أكبر من صفر F X أكبر من صفر F X أكبر من

137
00:10:32,100 --> 00:10:43,400
صفر F X أكبر من صفر F X أكبر من صفر F X

138
00:10:43,400 --> 00:10:51,850
أكبر من صفر F Xلأن الـ E والـ L انفرسة بعض الان من

139
00:10:51,850 --> 00:10:55,130
الخاصية تبع الـ exponential بدنا نصل لمن؟ لل

140
00:10:55,130 --> 00:11:00,970
logarithmic إذا أضرب ل X في Y بيطلع عند X في Y

141
00:11:00,970 --> 00:11:05,190
بتساوي E of U في E of V E of U في E of V إيش

142
00:11:05,190 --> 00:11:10,010
بتساوي؟ E of U زائد V أثبتناها إذا من هذا الكلام

143
00:11:10,970 --> 00:11:15,270
خُد الـ L للجهتين لإنه اللي هي ال inverse لبعض

144
00:11:15,270 --> 00:11:20,450
بيصير عندي L of X في Y بساوي L of E of U زائد V

145
00:11:20,450 --> 00:11:24,410
اللي هي إيش بتساوي U زائد V U اللي هي عبارة عن L

146
00:11:24,410 --> 00:11:30,750
of X و V عبارة عن L of Y إذا أثبتت L of X زائد X

147
00:11:30,750 --> 00:11:39,370
في Y بساوي L of X زائد L of Yالان عندى اللى هى E

148
00:11:39,370 --> 00:11:47,050
of Zero بيساوي واحد خدلى ال L الجهتين بيصير ZL of

149
00:11:47,050 --> 00:11:53,010
E of Zero بيساوي L of واحد ال L of E of Zero هدك

150
00:11:53,010 --> 00:11:59,450
inverse التانية بيساوي Zero نفس الاشيالـ L of E of

151
00:11:59,450 --> 00:12:07,270
1 بيساوي L of E، مظبوط؟ الـ L of E of 1 بيساوي 1،

152
00:12:07,270 --> 00:12:12,230
بيصير L of E بيساوي 1 بيصير أثبتنا L of E بيساوي 1

153
00:12:12,230 --> 00:12:19,730
و L of 1 بيساوي 0 وهذا الكلام كلام سهل، طيب بيصير

154
00:12:19,730 --> 00:12:23,710
علاقة أنه سهل اللي بنحكيه، الآن

155
00:12:27,210 --> 00:12:32,730
نأتي نثبت اللي هو اللي هي L of X to the R بساوة

156
00:12:32,730 --> 00:12:37,010
Zero بساوة R في L of X هذه برضه بقاش By

157
00:12:37,010 --> 00:12:41,910
Mathematical Induction عملناها قبل هيكة باللي هو

158
00:12:41,910 --> 00:12:47,330
ال section اللي جابله أو اللي هو ال exponential

159
00:12:47,330 --> 00:12:52,830
على السريع نشوف التفاصيل لإنه التفاصيل معادة

160
00:13:07,050 --> 00:13:11,430
التفاصيل هتلاجوها معادة فخليني بسرعة نمر عليها

161
00:13:11,430 --> 00:13:17,730
عندي we show by induction L of X بسوا L L of X زي

162
00:13:17,730 --> 00:13:21,850
ما قلنا عشان لثبتها هذه أثبتنا اللي قبل بشوية L of

163
00:13:21,850 --> 00:13:27,190
X عارفش الرزوم أصلا أفصل ولا لأ لكن بدي أفصل لو

164
00:13:27,190 --> 00:13:32,790
أنتوا عندى لو اتفجنا أن نفصل ولا لأ L of X في Y

165
00:13:32,790 --> 00:13:39,580
بسوا L of X في L of Yof x was n بساوي n في L of x

166
00:13:39,580 --> 00:13:44,060
طبعا for n بتساوي واحد اللي هي a trivial نفترض

167
00:13:44,060 --> 00:13:48,180
أنها صحيحة ل L ل n بتساوي k بيصير L of x was k

168
00:13:48,180 --> 00:13:53,080
بساوي k L of x الآن بدنا نحسب ل L of x was k زائد

169
00:13:53,080 --> 00:13:59,480
واحد اللي هي بساوي L of x was k في xهذه الـ L لها

170
00:13:59,480 --> 00:14:04,760
حسب اللي هي الخاصية هذه بسوء L الأولى X plus K في

171
00:14:04,760 --> 00:14:09,860
L التاني L of X اللي هو مفترض إنها صحيحة على K ده

172
00:14:09,860 --> 00:14:19,600
بسوء K في L of X آسف زائد هذه بسوء K L of Xلأنها

173
00:14:19,600 --> 00:14:26,400
صحيحة لـ K زائد L of X ويساوي K زائد واحد في L of

174
00:14:26,400 --> 00:14:31,520
X إذا صارت هذه صحيحة اللي هي L ل K زائد واحد إذا

175
00:14:31,520 --> 00:14:36,760
صارت صحيحة لكل من لكل N element in N حسب اللي هو

176
00:14:36,760 --> 00:14:43,080
ال induction اللي بنحكي فيه إذا الأن أثبتنا أن L

177
00:14:43,080 --> 00:14:49,710
of X هو N لL of X لكل اللي هي عنديالان by VI اللي

178
00:14:49,710 --> 00:14:53,530
هو زي .. مشابه للي حكيناها قبل بشوية بالظبط في حد

179
00:14:53,530 --> 00:14:58,890
ال exponential بس خليني مش وشكلة بتعيده الان شوف L

180
00:14:58,890 --> 00:15:03,680
of XM minus M أيش بتساوي؟ L of واحداللي هي لأن هذا

181
00:15:03,680 --> 00:15:05,860
X هو السفر اللي هي L of واحد L of واحد مش قولنا

182
00:15:05,860 --> 00:15:11,040
عنها سفر هو يسوى L of XM في XM minus واحد ال

183
00:15:11,040 --> 00:15:16,300
logarithmic بطلح انجمع L of XM زائد L of X minus M

184
00:15:16,300 --> 00:15:21,920
لأن هذه أثبتناها عبارة عن M L of X زائدL of X

185
00:15:21,920 --> 00:15:27,500
minus M صار عندي الان M في L of X زائد L of X

186
00:15:27,500 --> 00:15:32,040
minus M بسوا سفر انجلي هذا على الجهة الثانية بطلع

187
00:15:32,040 --> 00:15:35,760
L of X minus M اللي قعدت لحالها بسوا ناقص M في L

188
00:15:35,760 --> 00:15:41,720
of X اذا صار عندي الان لكل M سواء موجبة او سالبة

189
00:15:41,720 --> 00:15:48,940
بطلع عندي اللي هي L of X قص Mبساوة M في L of X

190
00:15:48,940 --> 00:15:53,860
سواء كانت وجبة أو سالبة نيجي الآن منها بدنا ناخد

191
00:15:53,860 --> 00:15:57,360
لمين لأ اللي هي ال R لان therefore for any M

192
00:15:57,360 --> 00:16:02,800
element in Z و N element in Nعندي احسبلي الان L of

193
00:16:02,800 --> 00:16:07,020
X أس M على N بس ضربليها في N بعد إذنك Y ساوي اللي

194
00:16:07,020 --> 00:16:12,460
هي L of X أس M على N لكل ما له أس N لإنه صحيحة هذه

195
00:16:12,460 --> 00:16:18,080
لل N اللي هي في N واتفجنا عليها الان هذه بتساوي

196
00:16:18,080 --> 00:16:21,520
هذه واضحة لإن هذه هي ال X تبعتنا وهذه ال N بتطلع

197
00:16:21,520 --> 00:16:27,410
براالان هذه الان مع الان بيصير L of X plus M L of

198
00:16:27,410 --> 00:16:30,870
X plus M قبل بشوية بقى قولنا عنها بيساوي M L of X

199
00:16:30,870 --> 00:16:34,270
سواء كانت M positive أو اللي هو negative صار هذه

200
00:16:34,270 --> 00:16:40,930
بتساوي هذه إذا انجلي الآنالان هذه ان بيصير عندي L

201
00:16:40,930 --> 00:16:44,910
of X of M على N بيسوي M على N في L of X إذا صار

202
00:16:44,910 --> 00:16:49,490
عندي لأي rational number صار عندي L of X R بيسوي R

203
00:16:49,490 --> 00:16:55,670
L of X لكل R اللي بنتميين NQ نيجي الآن لأ اللي هي

204
00:16:55,670 --> 00:16:57,230
الجزء الأخير من النظرية

205
00:17:08,180 --> 00:17:11,120
الكلام مشابه للي حكيناها قبل بشوية في الإثبات اللي

206
00:17:11,120 --> 00:17:15,260
هو ال limit تبع ال exponential عند 2 أصغر من E

207
00:17:15,260 --> 00:17:19,380
وقلنا ليش الان ال E n هنا بيصير 2 أصغر من E أصغر

208
00:17:19,380 --> 00:17:19,920
من E أصغر من E أصغر من E أصغر من E أصغر من E أصغر

209
00:17:19,920 --> 00:17:21,140
من E أصغر من E أصغر من E أصغر من E أصغر من E أصغر

210
00:17:21,140 --> 00:17:22,840
من E أصغر من E أصغر من E أصغر من E أصغر من E أصغر

211
00:17:22,840 --> 00:17:23,240
من E أصغر من E أصغر من E أصغر من E أصغر من E أصغر

212
00:17:23,240 --> 00:17:26,700
من E أصغر من E أصغر من E أصغر من E أصغر من E أصغر

213
00:17:26,700 --> 00:17:30,620
من E أصغ

214
00:17:33,960 --> 00:17:39,580
لكن اللي هو L of E N بسوء N and اللي هي L of E

215
00:17:39,580 --> 00:17:44,020
minus N بسوء نقص N خليني في الذاكر هذول اذا for

216
00:17:44,020 --> 00:17:47,480
every N element in R there exists X element in R

217
00:17:47,480 --> 00:17:52,670
بحيث ان X أكبر من مين من Nلكل N element in N في X

218
00:17:52,670 --> 00:17:56,350
element in R أكيد X أكبر من مين من E N لأنه أخسرت

219
00:17:56,350 --> 00:18:00,590
N بين إيديا حسبت ال E N طلع عند رقم أخدت ال X أكبر

220
00:18:00,590 --> 00:18:03,310
منها كيد بالله طيب لأنه unbounded real numbers

221
00:18:03,310 --> 00:18:06,710
then L في هذه أكبر أو من L في هذه لأنه ال L

222
00:18:06,710 --> 00:18:10,810
strictly increasing إذا صار L في X أكبر من مين من

223
00:18:10,810 --> 00:18:16,130
ال NA ألوف E أن يعني أكبر من الان لأن limit هذه as

224
00:18:16,130 --> 00:18:21,210
x goes to infinity اللي هو بيكون أكبر أساوي اللي

225
00:18:21,210 --> 00:18:23,950
هي limit هذه as n goes to infinity ويساوى infinity

226
00:18:23,950 --> 00:18:27,550
لأن لكل لما الان تروح لما لنهاية أكيد ال X بتروح

227
00:18:27,550 --> 00:18:31,270
لمين إلى ما لنهاية فصار عندي هذه بتروح إلى ما

228
00:18:31,270 --> 00:18:34,970
لنهاية الآن صار عندي limit L of X لما X تروح لما

229
00:18:34,970 --> 00:18:41,040
لنهاية بيساوي ما لنهاية similarlyالان لكل نقص any

230
00:18:41,040 --> 00:18:43,100
element in z positive بلاقي x element in r

231
00:18:43,100 --> 00:18:45,740
positive بحيث ان x أكبر من صفر و أصغر من صفر و

232
00:18:45,740 --> 00:18:46,340
أصغر من صفر و أصغر من صفر و أصغر من صفر و أصغر من

233
00:18:46,340 --> 00:18:47,840
صفر و أصغر من صفر و أصغر من صفر و أصغر من صفر و

234
00:18:47,840 --> 00:18:51,500
أصغر من صفر و أصغر من صفر و أصغر من صفر و أصغر من

235
00:18:51,500 --> 00:18:57,960
صفر و أصغر من صفر و أصغر من صفر و أصغر من صفر و

236
00:18:57,960 --> 00:19:02,520
أصغر من صفر و أصغر من صفر و أصغر من صفر و أصغر من

237
00:19:02,520 --> 00:19:09,620
صفر و أصغر من صفر و أصغر من صفر و أطيب then L of X

238
00:19:09,620 --> 00:19:13,660
هيكون أصغر يساوي ال E to the minus N يعني L of X

239
00:19:13,660 --> 00:19:17,800
اللي هي أصغر يساوي ناقص N إذا as N goes to

240
00:19:17,800 --> 00:19:22,700
infinity as N goes to infinity اللي هو ال E to the

241
00:19:22,700 --> 00:19:26,540
minus N بيروح لل0 من اليمين إذا ال X بتروح لل0 من

242
00:19:26,540 --> 00:19:30,820
اليمين إذا عندي ال X بتروح لل 0 من اليميناللي هو

243
00:19:30,820 --> 00:19:34,580
أصغر لما الـ limit L of X أصغر من limit E to the

244
00:19:34,580 --> 00:19:37,900
minus N لما هذا يروح لـ 0 من اليمين أو بمعنى أخر

245
00:19:37,900 --> 00:19:41,680
لما الـ N تروح لمهة لنهاية و هذا بيروح لمين؟ لـ

246
00:19:41,680 --> 00:19:44,760
Infinity إذا limit L of X لما X تروح لمهة لنهاية

247
00:19:44,760 --> 00:19:50,920
بساوي سالب Infinity و هو المطلوب hence limit L of

248
00:19:50,920 --> 00:19:54,460
X لما X تروح لـ 0 من اليمين بساوي سالب Infinity

249
00:19:54,460 --> 00:19:58,500
طيب

250
00:20:12,260 --> 00:20:16,320
الان سارعنا الان نقدر ان اللي هو نحكي عن ال bar

251
00:20:16,320 --> 00:20:20,080
functions بدنا نعرف ال bar functions اللي هي بناء

252
00:20:20,080 --> 00:20:25,060
على اللي حكيناه و اللي هي موضوع ال bar functions

253
00:20:25,060 --> 00:20:28,880
كل ما فيه تقريبا يعني بنعتبره exercises احنا لكن

254
00:20:28,880 --> 00:20:32,520
خلينا نعرف التعريفات و النظريات بتكون اللي هي

255
00:20:32,520 --> 00:20:35,900
معاكم exercises بسيطة بناء على التعريف اللي

256
00:20:35,900 --> 00:20:40,720
بنعرفها اللي هناخد α يليمنتان R و X أكبر من 0The

257
00:20:40,720 --> 00:20:43,320
number X to the Alpha is defined to be .. الآن بدي

258
00:20:43,320 --> 00:20:46,940
أعرف حاجة اسمها X to the Alpha X to the Alpha بدي

259
00:20:46,940 --> 00:20:49,900
أعرفها .. إيش بدي أعرفها؟ بإيشي أنا معرف عندي من

260
00:20:49,900 --> 00:20:54,440
الأصل ال exponential معرفة .. خلصنا منها و ال len

261
00:20:54,440 --> 00:20:59,000
معرفة .. إذا E to the Alpha في لن ال X هذه المقدار

262
00:20:59,000 --> 00:21:03,820
لهذا معرف و هذا معرف بدي أسمي X to the Min to the

263
00:21:03,820 --> 00:21:07,400
Alpha اللي هو في الواقع عبارة عن Min E to the

264
00:21:07,400 --> 00:21:12,040
AlphaL of X L of X معرفة والـ E معرفة إذا كل هذه

265
00:21:12,040 --> 00:21:16,000
معرفة بتسميها X to the main to the alpha الآن صارت

266
00:21:16,000 --> 00:21:19,540
عندي يعني قيمة الـ X under this function اللي

267
00:21:19,540 --> 00:21:23,120
عرفتها لجديدة يعني إذا بتسميها دي ال function الـ

268
00:21:23,120 --> 00:21:28,240
R of X إيش عرفتها أنا بتساوي X to the alpha؟يعني

269
00:21:28,240 --> 00:21:31,680
كل ال X بتصير يشمل X to the Alpha و X أكبر من 0

270
00:21:31,680 --> 00:21:36,780
هذه ال X to the Alpha هي اللي بدي أسميها ال power

271
00:21:36,780 --> 00:21:42,000
function بدي أسميها power function with exponent

272
00:21:42,000 --> 00:21:47,540
mean Alpha و ال X هي أشمالها المتغيرة اللي أكبر من

273
00:21:47,540 --> 00:21:54,340
0 شوف الآن نشوف بعض الخواص اللي هو هذه اللي هي

274
00:21:54,340 --> 00:21:56,460
الدالة طيب

275
00:22:04,730 --> 00:22:08,690
الان if x أكبر من 0 and alpha بساوة m على n where

276
00:22:08,690 --> 00:22:12,770
m element in z و n element in n then we define x

277
00:22:12,770 --> 00:22:17,790
to the alpha بساوة x to the m أسواحد على n in

278
00:22:17,790 --> 00:22:23,110
section mean خمسة ستة هتعرفناها زمان انه في حالة

279
00:22:23,110 --> 00:22:26,570
بس اللي هي ال rational number عرفنا x to the m على

280
00:22:26,570 --> 00:22:30,630
n بساوة x to the m لكل أسواحد على nماشي الحال

281
00:22:30,630 --> 00:22:34,510
..الان بدنا نشوف هذا التعريف مطابق لتعريفنا اليوم

282
00:22:34,510 --> 00:22:41,670
ولا لأ hence we have لن ال X to the Alpha لن ال X

283
00:22:41,670 --> 00:22:45,370
to the Alpha لن ال X to the Alpha بساوي Alpha لن

284
00:22:45,370 --> 00:22:51,540
ال Xعرفناها هذه طيب where X to the Alpha بيسوا E

285
00:22:51,540 --> 00:22:56,260
to the Lin X to the Min to the Alpha اللي هو بيسوا

286
00:22:56,260 --> 00:23:01,020
E to the Alpha في Min في Lin ال X كلام كله سهل ال

287
00:23:01,020 --> 00:23:05,740
X to the Alpha هو اللي عرفناها اللي عبارة عن E

288
00:23:05,740 --> 00:23:10,570
بتصير to the Lin X to the Alphaلأنه استبدلت الـ x

289
00:23:10,570 --> 00:23:15,090
to the alpha بقيمتها اللي هي عبارة عن اللي هي

290
00:23:15,090 --> 00:23:18,630
alpha ln x اللي هي بالساوية e to the ln x to the

291
00:23:18,630 --> 00:23:24,510
mean to the alpha إذا سواء احنا بالتعريف اللي هو

292
00:23:24,510 --> 00:23:28,190
احنا هذا بال exponent أو بال ال function اللي

293
00:23:28,190 --> 00:23:33,110
عرفناها بالشكل هذا هيطلع عندي اللي هو القيمتين نفس

294
00:23:33,110 --> 00:23:34,790
القيمة طيب

295
00:23:37,160 --> 00:23:42,300
نجي الآن لبعض الخواص اللي هي تبعت ال exponential

296
00:23:42,300 --> 00:23:47,180
ال power function و الخواص هنتركه لكم إياه لأنها

297
00:23:47,180 --> 00:23:54,600
مباشرة على التعريف تبعنا مباشرة

298
00:23:54,600 --> 00:24:01,100
على اللي هي التعريف اللي عندنا و هيكون في عندي

299
00:24:01,100 --> 00:24:05,760
الآن النظرية الأولىاللي هي 8 3 11 لو كانت Alpha

300
00:24:05,760 --> 00:24:11,340
element in R و X و Y اللي هو تنتمي للفترة Zero و

301
00:24:11,340 --> 00:24:16,500
تمانية Zero و ما لنهاية آسف then معلش عشان ده طلعت

302
00:24:16,500 --> 00:24:20,450
الكهربا قعد نقلف الكهربا أناIf α element in R و X

303
00:24:20,450 --> 00:24:26,350
Y belongs to 0 α then 1 to the α بسوء 1 و X to the

304
00:24:26,350 --> 00:24:30,270
α أكبر من 0 و X Y to the α بسوء X to the α و Y to

305
00:24:30,270 --> 00:24:35,590
the α و X على Y to the α بسوء X to the α على Y to

306
00:24:35,590 --> 00:24:39,370
the α هذه اللي هي النظرية طبعا اللي هي مباشرة على

307
00:24:39,370 --> 00:24:45,100
تعريفنا اللي هو X to the α بسوء Eof α لن X يعني

308
00:24:45,100 --> 00:24:49,800
بدك تيجي تستخدم تعريفك اللي هو اللي عرفناه وعليه

309
00:24:49,800 --> 00:24:53,480
اللي هو بتبدأ تشتغل و تبني اللي هو اللي هي

310
00:24:53,480 --> 00:24:57,680
القوانين اللي بنحكي عنها اللي هو تعريفنا اللي هو X

311
00:24:58,570 --> 00:25:05,210
to the alpha بتساوي E of alpha len اللي هي L of X

312
00:25:05,210 --> 00:25:10,650
أو حسب ال notation تبعتنا E to the alpha len ال X

313
00:25:10,650 --> 00:25:15,710
هذا الآن التعريف اللي عليه بدك اللي هو تبدأ اللي

314
00:25:15,710 --> 00:25:23,290
هو تشتغل على اللي هي النظريةوتبرهنها اللي عندنا

315
00:25:23,290 --> 00:25:27,630
نظرية الأولى اللي ذكرناها قبل بشوية اللي هي هذه

316
00:25:27,630 --> 00:25:32,090
النظرية على التعريف مباشرة ونظرية تانية أيضا برضه

317
00:25:32,090 --> 00:25:35,670
من الخواص إذا كانت Alpha و Beta element ر و X في

318
00:25:35,670 --> 00:25:40,640
الفترة Zero ولا نهاية إذا Xتو دا ألفة زيادة بيتا

319
00:25:40,640 --> 00:25:44,040
برضه نفس الاشياء طبعا هتلاقي اللي هو انت لما تيجي

320
00:25:44,040 --> 00:25:48,320
تفرد هذه هتصير تستخدم خواص المعرفة اللي هي

321
00:25:48,320 --> 00:25:52,360
بواسطتها معرفة هتستخدم خواص ال X exponential والن

322
00:25:52,360 --> 00:25:55,420
اللي قبله بشوية هتلاقي حالك بتصل X تو دا ألفة

323
00:25:55,420 --> 00:25:58,310
زيادة بيتا بسوء X تو دا ألفة في X تو دا بيتاو نفس

324
00:25:58,310 --> 00:26:05,170
الشيء x²α²β بيساوي x α beta و يساوي x²β²α و هتيجي

325
00:26:05,170 --> 00:26:08,830
.. اللي هي كلها قوانين احنا بنعرفها x²-α بيساوي 1

326
00:26:08,830 --> 00:26:12,270
على x²α و نفس الشيء إذا كانت alpha أصغر من beta

327
00:26:12,270 --> 00:26:17,770
هيكون x²α أصغر من x²β لما ان x تكون أكبر من 1 و

328
00:26:17,770 --> 00:26:22,130
هذه كلها بتكون x resources معاكم اللي هي مباشرة

329
00:26:22,130 --> 00:26:31,830
على هذه التعريفالنظرية اللي عندنا على السريع let

330
00:26:31,830 --> 00:26:35,010
alpha element in R then the function x بالتروح للـ

331
00:26:35,010 --> 00:26:37,670
x alpha من 0 و 1 to R is continuous and

332
00:26:37,670 --> 00:26:41,210
differentiable and اللي هو ال derivative لل x to

333
00:26:41,210 --> 00:26:43,630
the alpha بسوء alpha to the x to the alpha minus 1

334
00:26:43,630 --> 00:26:47,650
for x element in 0 و 1 طبيعي أصلا هي composition

335
00:26:47,650 --> 00:26:54,490
of two هي عندى function هذه اللي هي continuousهذا

336
00:26:54,490 --> 00:26:57,650
كلها على بعض الـ E كمان continuous ده اللي هتطلع

337
00:26:57,650 --> 00:26:59,850
هذا continuous و هذا continuous و نفس الاشي ال

338
00:26:59,850 --> 00:27:02,870
differentiability إذا أكيد اللي هي ال function

339
00:27:02,870 --> 00:27:05,890
اللي عندنا X to the X to the Alpha حسب تعريفنا is

340
00:27:05,890 --> 00:27:09,410
continuous and differentiable و لو بدك تسمي اللي

341
00:27:09,410 --> 00:27:13,710
هو هذه ال derivative و بدك تبدأ تفاضل دي اتفاضل DX

342
00:27:13,710 --> 00:27:17,050
Alpha يعني بدك تتفاضل هذه كيف تتفاضل هذه ال

343
00:27:17,050 --> 00:27:20,860
exponential اللي هي E to the Alpha لإن ال Xفى

344
00:27:20,860 --> 00:27:25,580
التفاضل اللى هو اللى جوا اللى هو Alpha فى واحد على

345
00:27:25,580 --> 00:27:30,120
X ماشي الحال اللى هى بمعنى آخر بصير عندى اللى هو

346
00:27:30,120 --> 00:27:35,260
عبارة عن E to the Alpha لن ال X اللى هى عبارة عن

347
00:27:35,260 --> 00:27:38,480
ال X to the Alpha نفسها فى التفاضل هذه اللى هى

348
00:27:38,480 --> 00:27:43,080
Alpha على X بيساوى Alpha أس X اللى هى هذه بتطلع

349
00:27:43,080 --> 00:27:46,680
ناقص واحد Alpha مانس واحد for X element in zero

350
00:27:46,680 --> 00:27:53,250
وملا نهايةالان بعض الملاحظات الأخرى اللي بيقولك

351
00:27:53,250 --> 00:28:01,010
إياها على هذه الدالة بيقولبقول لك اللي هو عندي إذا

352
00:28:01,010 --> 00:28:07,610
كانت Alpha أكبر من 0 فبصير

353
00:28:07,610 --> 00:28:11,970
عندي اللي هي ال function من X and X alpha is

354
00:28:11,970 --> 00:28:15,930
strictly increasing على فترة 0 و ملا نهاية طبيعي

355
00:28:15,930 --> 00:28:19,890
لما Alpha أكبر من 0 هيصير عندي الان المقدر هذا

356
00:28:19,890 --> 00:28:24,120
بظله موجبو هذه ألف أكبر من سفر بيكون بيبدو أكبر من

357
00:28:24,120 --> 00:28:27,180
سفر إذا صارت عندي اللي هي ال derivative أكبر من

358
00:28:27,180 --> 00:28:31,160
سفر إذا صارت عند الدلة strictly increasing لو كانت

359
00:28:31,160 --> 00:28:34,520
ألف أصغر من سفر هتصير اللي هي العكس strictly

360
00:28:34,520 --> 00:28:38,420
decreasing لإنه هتكون هذه سالبة وهذه مدلة موجبة

361
00:28:38,420 --> 00:28:42,180
بتظل هذه كلها موجبة إذا صارت strictly decreasing

362
00:28:42,180 --> 00:28:45,360
عند ألف بتساوي سفر بيكون احنا ال derivative للواحد

363
00:28:45,360 --> 00:28:48,880
اللي هو بيكون عبارة عن constant function اللي هو

364
00:28:48,880 --> 00:28:51,300
في حالة الألف بتساوي سفر

365
00:28:53,910 --> 00:29:02,970
الان نيجي الى اللي هي هيك بنكون اللي هو وصلنا

366
00:29:02,970 --> 00:29:09,190
لآخر تعريف بده يعرف اللي هو ال log function للأساس

367
00:29:09,190 --> 00:29:13,090
a احنا اللي عرفناه ال len اللي هو للأساس e بمعنى

368
00:29:13,090 --> 00:29:16,530
آخر كيف بده اعرفه الآن احنا لسه ماعرفش الأساسات

369
00:29:16,530 --> 00:29:19,930
هدا كصمنا ال len و ال exponential الان بدنا نعرف

370
00:29:19,930 --> 00:29:25,920
اللي هو نسمي ال logاللغاريثم للأساس A نفترض أن A

371
00:29:25,920 --> 00:29:28,860
أكبر من 0 و A لات سوى 1 it is sometimes useful to

372
00:29:28,860 --> 00:29:34,820
define the function log للأساس A كمالي الان log A

373
00:29:34,820 --> 00:29:39,560
of X كده اللي بيساوي لن ال X على لن ال A حيث ال A

374
00:29:39,560 --> 00:29:43,940
عدد ثابت ماشي الحال هذه الآن صارت اللي هي ال log

375
00:29:43,940 --> 00:29:49,540
العامة هي نفس ال exponential بس مضروبة في ثابتالأن

376
00:29:49,540 --> 00:29:52,920
إذا الـ exponential الأصلية عليها هو معرف الان

377
00:29:52,920 --> 00:29:59,140
بقولك إنه اللي هي هذه بنسميها log أو ال logarithm

378
00:29:59,140 --> 00:30:04,620
للأساس A لو كان الأساس E هذا بصير لن ال E واحد

379
00:30:04,620 --> 00:30:09,320
بنصير نرجع لن ال X اللي هي الدالة الأصلية إذا لو

380
00:30:09,320 --> 00:30:14,000
كانت ال A هي ال E بنرجع للدالة الأصلية اللي هي زي

381
00:30:14,000 --> 00:30:17,060
ما قلنا is called the logarithm of X to the base A

382
00:30:19,560 --> 00:30:23,400
Yields دا الـ logarithm العادي الان اللي مشهور

383
00:30:23,400 --> 00:30:28,020
عندنا للحسابات اللي هو للأساس عشرة اللي هو بنسمي

384
00:30:28,020 --> 00:30:32,220
اللي هو log to the base عشرة أو اللي بنسمي common

385
00:30:32,220 --> 00:30:36,720
logarithm اللي هو اللي بنستخدمه عادة في الحسابات و

386
00:30:36,720 --> 00:30:41,620
هيك بكون عندنا احنا انهينا اللي هو ال section اللي

387
00:30:41,620 --> 00:30:46,180
هو تمانية تلاتة و بكون خلصنا اللي هيالجزء الثاني

388
00:30:46,180 --> 00:30:52,240
من المحاضرة اللي هو ما يتعلق بال .. اللي هو ال

389
00:30:52,240 --> 00:30:54,660
logarithmic function وال power function وال

390
00:30:54,660 --> 00:31:00,040
logarithmic للأساس اللي هو زي ما قلنا ايه و إلى

391
00:31:00,040 --> 00:31:00,640
لقاء