PL9fwy3NUQKwYaToDpbPxaOdkUX3PS_VKf/Ajp3L7L9scU.srt

1
00:00:21,140 --> 00:00:25,860
بسم الله الرحمن الرحيم نعود الآن إلى ما ابتدأنا به

2
00:00:25,860 --> 00:00:30,980
محاضرتنا في الفترة الصباحية وهو آخر جزء نظري من 

3
00:00:30,980 --> 00:00:36,940
section 4-3 النظرية بتقول ما يتيف ترضي أن ال eigenvalues

4
00:00:36,940 --> 00:00:39,500
للمصفوفة n×n A  distinct

5
00:00:39,500 --> 00:00:45,260
eigenvalues of n by n matrix A يبقى احنا عندنا عدد

6
00:00:45,260 --> 00:00:49,860
من ال eigenvalues وعددهم يساوي R ولا واحدة فيهم زي

7
00:00:49,860 --> 00:00:54,820
التانية distinct معناته منفصلين يعني غير متساوين

8
00:00:54,820 --> 00:00:59,820
ولا واحدة فيهم متساوية يعني مافيش تكرار في هدول

9
00:00:59,820 --> 00:01:06,570
طيب المصروفة نظامها N في N طيب ال R هذه شو علاقتها

10
00:01:06,570 --> 00:01:14,050
ب M؟ أما ال R تساوي N أو ال R أقل من N دائما وأبدا

11
00:01:14,050 --> 00:01:20,570
يبقى بناء عليه بقول افترض أن K1 و K2 و KR هما ال

12
00:01:20,570 --> 00:01:26,110
eigen vectors المناظرة لمن؟ لل Eigen values then

13
00:01:26,110 --> 00:01:30,370
these vectors are linearly independent يعني ما نتش

14
00:01:30,370 --> 00:01:35,920
قصد يقول هو يقول إذا كان لديك distinct eigenvalues،

15
00:01:35,920 --> 00:01:38,820
فكل الـEigenvectors اللي بيطلعوا مناضرات اللي

16
00:01:38,820 --> 00:01:43,340
بيكونوا مالهم، linearly independent، ولا واحد له

17
00:01:43,340 --> 00:01:49,340
اعتماد على الثاني، بس لمين؟ لل eigenvalues الغير مكررات،

18
00:01:49,340 --> 00:01:55,300
دي برضو كلام لو وضعهذه هي النظرية اللي بتقولها

19
00:01:55,300 --> 00:02:04,000
أنها نظام n×n وأنها in distinct eigenvalues

20
00:02:06,880 --> 00:02:12,940
يساوي نظام تبع نص المصفوفة N يبقى العدد يساوي N

21
00:02:12,940 --> 00:02:21,120
ثم يبقى هناك complete set of eigenvectors والمصفوفة

22
00:02:21,120 --> 00:02:27,530
A مستقلة مستقلة مستقلة مستقلة مستقلة مستقلة بتقول لو أنت

23
00:02:27,530 --> 00:02:31,450
عندك جة المصفوفة نظامها مثلاً تلاتة في تلاتة أو

24
00:02:31,450 --> 00:02:35,730
اتنين في اتنين أو أربعة في أربعة إذا نظامها أربعة

25
00:02:35,730 --> 00:02:42,190
في أربعة وطلع عندي أربعة distinct eigenvalues يبقى

26
00:02:42,190 --> 00:02:46,610
على طول الخط هذه diagonalizable يبقى المصفوفة اللي

27
00:02:46,610 --> 00:02:52,770
عندي إذا ساوى عدد الـ distinct eigenvalues نظام

28
00:02:52,770 --> 00:02:57,770
المصفوفة أوتوماتيك هذه بتبقى diagonalizable يعني

29
00:02:57,770 --> 00:03:02,310
بقدر أكتبها على صيغة مصفوفة قطرية وعناصر القطر

30
00:03:02,310 --> 00:03:07,870
الرئيسي فيها هم ال eigenvalues كويس والله دي بيسهل

31
00:03:07,870 --> 00:03:11,050
الشغل كتير يعني بدل لسه ما أروح أثبت وأجيب

32
00:03:11,050 --> 00:03:14,510
ال eigenvectors وأحسب لا داعي ال eigenvectors

33
00:03:14,510 --> 00:03:17,670
يبقى بس بدي أشوف عدد

34
00:03:20,480 --> 00:03:25,720
هل يساوي نظام المصفوفة أو لا؟ أو هل يساوي رتبة

35
00:03:25,720 --> 00:03:29,620
المصفوفة أو لا؟ إذا ساوى بيقول خلاصنا يبقى المصفوفة

36
00:03:29,620 --> 00:03:34,060
هذه، دا يقننا، لا يزيبنا، دا مهم جدا في الشغل بعد

37
00:03:34,060 --> 00:03:43,260
قليلالملحوظة التالية بيقول لـ An n by n matrix

38
00:03:43,260 --> 00:03:47,980
need not have distinct eigenvalues زي ما شفنا

39
00:03:47,980 --> 00:03:53,100
قبل قليل في محاضرة الصباح اللي هو المصفوفة اللي

40
00:03:53,100 --> 00:03:58,040
عندي طالعة two eigenvalues بيساووا بعض، مظبوط؟ إذا 

41
00:03:58,040 --> 00:04:03,610
ليس بالضرورة أن يكونوا كلهم منفصلات عن بعض المهم هو

42
00:04:03,610 --> 00:04:07,490
لا يكون هناك eigenvalue ممكن أن يكون هناك eigenvalue

43
00:04:07,490 --> 00:04:08,370
eigenvalue ممكن أن يكون هناك eigenvalue ممكن أن

44
00:04:08,370 --> 00:04:11,710
يكون هناك eigenvalue ممكن أن يكون هناك eigenvalue ممكن

45
00:04:11,710 --> 00:04:13,190
أن يكون هناك eigenvalue ممكن أن يكون هناك eigenvalue

46
00:04:13,190 --> 00:04:15,290
eigenvalue ممكن أن يكون هناك eigenvalue ممكن أن

47
00:04:15,290 --> 00:04:17,970
يكون هناك eigenvalue ممكن أن يكون هناك eigenvalue ممكن

48
00:04:17,970 --> 00:04:18,890
أن يكون هناك eigenvalue ممكن أن يكون هناك eigenvalue

49
00:04:18,890 --> 00:04:21,270
eigenvalue ممكن أن يكون هناك eigenvalue ممكن أن

50
00:04:21,270 --> 00:04:25,130
يكون هناك eigenvalue ممكن أن يكون هناك eigenvalue ممكن

51
00:04:25,130 --> 00:04:28,650
أن

52
00:04:28,650 --> 00:04:31,000
يكون هناك eigenvalue النقطة الثانية بيقول لو كان 

53
00:04:31,000 --> 00:04:33,080
λ1 و λ2 و λR are the

54
00:04:33,080 --> 00:04:39,360
distinct eigenvalues للمين؟ لـ ال n by n matrix A

55
00:04:39,360 --> 00:04:46,600
لحظة R أقل من أو تساوي N زي ما قلنا قبل قليل يبقى

56
00:04:46,600 --> 00:04:51,180
هذول ال distinct لمين؟ للمصفوفة the characteristic

57
00:04:51,180 --> 00:04:55,820
polynomial بقدر أكتبها على ميم على الشكل التالي

58
00:04:55,820 --> 00:05:01,380
يعني مش أقوى أسسهم n لأن أقوى أسسهم n معناته

59
00:05:01,380 --> 00:05:06,340
أن عندي n من اللاندات بعضهم هيكون مكرر يعني هيطلع

60
00:05:06,340 --> 00:05:10,640
λ - λ1 مثلاً تربيع هذه تكعيب دلوقتي

61
00:05:10,640 --> 00:05:14,680
ما وصل لل λR ممكن لوس واحد ممكن كله لوس اتنين

62
00:05:14,680 --> 00:05:18,360
ممكن تلاتة إذا كان مجموعي الأسس هذه كلها مدوسة

63
00:05:18,360 --> 00:05:24,730
بدوساوي n إيش سبب الأسس دي؟ سببه التكرار ال

64
00:05:24,730 --> 00:05:30,470
multiplicity جالكة the integer mi يعني أي واحد من

65
00:05:30,470 --> 00:05:34,210
هدول is called the multiplicity of the eigenvalue

66
00:05:34,210 --> 00:05:38,970
λi يعني هذا الرقم يدل على أن ال λi

67
00:05:38,970 --> 00:05:44,290
مكررة مرتين تلاتة أربعة جد ما يكون يبقى يا بنات،

68
00:05:44,290 --> 00:05:50,730
هذا الـM اللي عندنا يدل على عدد مرات تكرار قيمة 

69
00:05:50,730 --> 00:05:56,350
λ، اللي هي ال eigenvalue، هنا وضع الحد هنا،

70
00:05:56,350 --> 00:06:01,700
جاب المفروض، حد يلاقي استفسار هنا؟ لما بتسأل تسأل

71
00:06:01,700 --> 00:06:06,380
مش عيب تسأليه وخذ السؤال اللي بدك إياه فيه أي نقطة

72
00:06:06,380 --> 00:06:10,080
بدك إياه لإنه بعد قليل بدنا نطبق هذا على أرض الواقع

73
00:06:10,080 --> 00:06:15,760
نطبق الـ characteristic polynomial لإيش؟ مش .. مش 

74
00:06:15,760 --> 00:06:20,720
أخدنا في أول مبادئنا هذا الـ section قلنا فيه حاجة

75
00:06:20,720 --> 00:06:24,340
اسمها الـ characteristics polynomial المحدد تبع ال

76
00:06:24,340 --> 00:06:27,380
λI - A مش سميناها الـ characteristics

77
00:06:27,380 --> 00:06:31,120
polynomial هذه اللي هي ال λ تربيع ال λ تكعيب

78
00:06:31,120 --> 00:06:34,220
زائد مش عارفين اللي هي المعادلة الطويلة هذه هذه

79
00:06:34,220 --> 00:06:37,640
اللي هي الحلول اللي هي ال λI المعادلة هذه راحت

80
00:06:37,640 --> 00:06:42,130
حطيتها على الشكل اللي قدامنا هذا من λ لغاية λ

81
00:06:42,130 --> 00:06:45,830
واحد لغاية λ آخر طب ليش ممكن تشيل λn لو

82
00:06:45,830 --> 00:06:50,090
قلت لـ λn معناته ولا واحدة مكررة صح ولا لا؟ كل

83
00:06:50,090 --> 00:06:53,890
واحدة بس مرة واحدة وكله distinct لكن ما دام

84
00:06:53,890 --> 00:06:58,310
تساوي إذا هيصير فيه تكرار يبقى عدد الأقواس لا يمكن

85
00:06:58,310 --> 00:07:03,290
أن يساوي n بساوي R جد ما يكون بشرط R قد تكون

86
00:07:03,290 --> 00:07:07,470
تساوي n أو أقل منها إن ساوى n يبقى كل واحد من

87
00:07:07,470 --> 00:07:11,350
الأسس هدول بقد إيش؟ يبقى حصتها غير هيك بدي أزيد عنها

88
00:07:11,350 --> 00:07:14,970
يعني بعضهم قد يكون واحد بعضهم اتنين بعضهم تلاتة

89
00:07:14,970 --> 00:07:20,630
إلى آخره طيب بنجي لـ remark بقولي the number of mi

90
00:07:20,630 --> 00:07:25,230
of multiplicity of the eigenvalue of λi

91
00:07:25,230 --> 00:07:28,230
equal the number of linearly independent eigen

92
00:07:28,230 --> 00:07:36,170
vectors كويس الآن أنا جيت على ال mi افترض ال mi

93
00:07:36,170 --> 00:07:41,350
كانت بقد إيش؟ يعني الأس باتنين يعني λ ده مكرر رقم

94
00:07:41,350 --> 00:07:46,510
مرة مرتين يبقى بيقول the number of multiplicity of

95
00:07:46,510 --> 00:07:52,230
the eigenvalue λ is equal العدد اللينياري

96
00:07:52,230 --> 00:07:55,910
الـ independent اللي هو eigenvalue يبقى في هذه الحالة

97
00:07:55,910 --> 00:08:00,790
بطل عندي كام eigenvector؟ اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين

98
00:08:00,790 --> 00:08:02,650
اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين

99
00:08:02,650 --> 00:08:04,110
اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين

100
00:08:04,110 --> 00:08:07,330
اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين

101
00:08:07,330 --> 00:08:15,170
اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتن

102
00:08:15,190 --> 00:08:18,770
الكلام اللي بنقوله هذا بنروح نحطه على أرض الواقع

103
00:08:18,770 --> 00:08:25,750
بأمثلة كثيرة توضح الكلام هذا كله عملياً جالي هل ال

104
00:08:25,750 --> 00:08:33,470
matrix دي diagonalizable أم لا؟ نعرفش هذه بتقولي

105
00:08:33,470 --> 00:08:42,430
بيكون diagonalizable إذا كان نظام المصفوفة أو رتبة

106
00:08:42,430 --> 00:08:47,870
المصفوفة بده يساوي عدد ال characteristic values

107
00:08:49,860 --> 00:08:56,060
characteristic values يبقى بتجي تقول بده أخد

108
00:08:56,060 --> 00:09:03,480
ال λI اللي هو مين؟ λI - A بده يساوي هذه

109
00:09:03,480 --> 00:09:07,960
تلاتة في تلاتة يبقى λ 0 0 λ 0

110
00:09:07,960 --> 00:09:14,680
0 λ - A 3 0 0 2 1

111
00:09:14,680 --> 00:09:19,970
0 -1 -2 -1 بالشكل اللي

112
00:09:19,970 --> 00:09:27,030
عندنا يبقى هذا بدي يعطينا λ - 3 وهنا 

113
00:09:27,030 --> 00:09:31,970
0 0 زي ما هي هذا بدي يعطينا -2 هذا 

114
00:09:31,970 --> 00:09:38,870
λ - 1 هذا 0 زي ما هو هذا 1 2

115
00:09:38,870 --> 00:09:47,930
λ + 1 فبقى كويس أنا سميت حلم مش عارف ولا

116
00:09:47,930 --> 00:09:51,710
حاجة وقاعد بشتغل زي ما كنت بشتغل الصبح وزي ما 

117
00:09:51,710 --> 00:09:55,750
كنت بشتغل المرة اللي فاتت كويس لكن لو واحدة صحى

118
00:09:55,750 --> 00:10:04,000
شوية يكون فاتحة بتقولي هذه مصفوفة مثلثة سفلى صح ولا 

119
00:10:04,000 --> 00:10:09,800
لا؟ إذا المحدد تبعها بدي يساوي حاصل ضرب عناصر القطر

120
00:10:09,800 --> 00:10:14,840
الرئيسي، مافيش دا تروح تفكي، خلاص حاصل ضرب وجاهزة

121
00:10:14,840 --> 00:10:19,580
وخلاص، ماشي بقولها، بقول والله كويس، إذا ال

122
00:10:19,580 --> 00:10:26,000
determinant ل λI - A بدي يساوي ال

123
00:10:26,000 --> 00:10:35,660
λ λ - 3 في λ - 1 في λ

124
00:10:35,660 --> 00:10:42,160
+ 1 وده يساوي 0 صحيح ولا لا؟ يبقى يساوي the

125
00:10:42,160 --> 00:10:49,940
characteristic values أو ال eigenvalues are λ

126
00:10:49,940 --> 00:10:55,860
تساوي -1 و λ تساوي 1 و λ تساوي

127
00:10:55,860 --> 00:10:56,980
3

128
00:10:59,830 --> 00:11:05,150
هؤلاء distinct ولا لا؟ ونظام المصفوفة إذا ده يكون

129
00:11:05,150 --> 00:11:09,470
لازم يبل طب خلّال ال crawler اللي خلّصنا بدون أن 

130
00:11:09,470 --> 00:11:12,870
تروح تدور ولا تجيب ال eigenvectors ولا تغلب شحالك

131
00:11:12,870 --> 00:11:21,490
يبقى باجي بقول هنا since the eigenvalues

132
00:11:21,490 --> 00:11:27,730
are distinct 

133
00:11:31,680 --> 00:11:48,960
and equal 3 عددهم تلاتة and the system of the

134
00:11:48,960 --> 00:12:08,110
matrix A is 3×3 by the above crawlery we

135
00:12:08,110 --> 00:12:18,270
have that the A is diagonalizable

136
00:12:18,270 --> 00:12:23,530
زيبل diagonalizable

137
00:12:23,530 --> 00:12:30,390
والله كويس هذه وسيلة طريقة مبسطة بتسهل هالشغل هذه

138
00:12:40,990 --> 00:12:47,810
بناخد كمان مثال حد ما نقت معلمة شيكبال اسمها

139
00:12:47,810 --> 00:12:56,010
example

140
00:12:56,010 --> 00:13:04,950
2 بيقول 

141
00:13:04,950 --> 00:13:15,490
إن المصفوفة A تساوي 2 2 3 1 2 

142
00:13:15,490 --> 00:13:23,050
1 2 -2 1 2 -2 1

143
00:13:23,050 --> 00:13:34,290
بيقول is the matrix A diagonalizable

144
00:13:56,840 --> 00:13:58,240
السلام عليكم

145
00:14:07,940 --> 00:14:12,040
هذه السؤال مختلفة عن السؤال السابق لأن السؤال

146
00:14:12,040 --> 00:14:17,040
السابق كان سهل لأنه كان lower triangular matrix تمام

147
00:14:17,040 --> 00:14:21,280
هذه الأبناء لا lower ولا upper هذه مصفوفة عادية

148
00:14:21,280 --> 00:14:28,040
وبالتالي نحسب الحسابات هذه بالتفصيل ناخد ال λ

149
00:14:28,040 --> 00:14:37,590
I - A يبدو يساوي λ 0 0 λ 0 0

150
00:14:37,590 --> 00:14:44,330
λ - اللي هو 2 2 3 1 2

151
00:14:44,330 --> 00:14:52,010
1 2 -2 1 ويساوي λ - 2

152
00:14:52,010 --> 00:14:59,030
وهنا -2 -3 وهنا -1 وهنا

153
00:14:59,030 --> 00:15:05,250
λ - 2 وهنا -1 -2 2

154
00:15:05,480 --> 00:15:11,960
وهنا λ - 1 شكل اللي عندنا هنا بعد هيك

155
00:15:11,960 --> 00:15:17,780
مشان نجيب قيم λ بدنا نروح ناخد المحدد تبع هذه

156
00:15:17,780 --> 00:15:24,780
المصفوفة يبقى بدي آخد ال determinant تبع λI

157
00:15:24,780 --> 00:15:32,290
- A يبقى المحدد λ - 2 -2

158
00:15:32,290 --> 00:15:40,050
-3 -1 λ - 2 -1

159
00:15:40,050 --> 00:15:47,600
-2 2 λ - 1 يبقى هاي روحنا 

160
00:15:47,600 --> 00:15:52,200
أخدنا المحدد اللي عندنا هذا وبدنا نيجي نفك المحدد

161
00:15:52,200 --> 00:15:58,800
باستخدام عناصر أي صف أو أي عمود فيه فمثلاً لو جيت

162
00:15:58,800 --> 00:16:04,100
قلت بدي أفكه باستخدام عناصر الصف الأول يبقى λ

163
00:16:04,100 --> 00:16:11,080
- 2 فيه الرئيسي -2 ويبقى λ -

164
00:16:11,080 --> 00:16:19,720
2 في λ - 1 + 2 هذا من هذا لسه

165
00:16:19,720 --> 00:16:24,160
الحد الأول اللي بعده حسب قاعدة الإشارات إشارته

166
00:16:24,160 --> 00:16:30,900
سالبة وسالب بيصير موجب 2 فيه أشطر بصفه و

167
00:16:30,900 --> 00:16:37,140
عموده يبقى هذا المقدار اللي هو بيصير 1 -

168
00:16:37,140 --> 00:16:42,820
λ لإنه بيشار السالب -2 الشكل اللي 

169
00:16:42,820 --> 00:16:49,550
عندنا هذا اللي بعده -3 فيه أشطر بصفه عموده

170
00:16:49,550 --> 00:16:57,970
يبقى -2 + 2λ - 4 كل هذا

171
00:16:57,970 --> 00:17:03,890
الكلام بده يساوي 0 مرة ثانية قليكي معايا ثانية

172
00:17:04,670 --> 00:17:09,150
بقول هذا ال term الأول المحدد الأصغر ماضي راح حصل

173
00:17:09,150 --> 00:17:14,910
ضرب هدول - مع - بصير + 2 حسب قاله شرط

174
00:17:14,910 --> 00:17:20,790
الشرط السلبية بصير موجبة تمشيط بصفه عموده بصير -

175
00:17:20,790 --> 00:17:27,670
λ + 1 يبقى -λ + 1 - مع

176
00:17:27,670 --> 00:17:33,150
ضابل - بيبقى - قد إيش؟ -2 - 3 وشت

177
00:17:33,150 --> 00:17:38,810
بيصفوا عموده بيصير -2 وهنا - مع -

178
00:17:38,810 --> 00:17:43,510
بيصير + 2λ - 4 كل هذا الكلام

179
00:17:43,510 --> 00:17:49,530
بده يساوي قد إيش؟ 0 هذا الكلام بده يساوي λ -

180
00:17:49,530 --> 00:17:57,530

201
00:20:17,250 --> 00:20:24,950
بالموجة يبقى هاي سالب ثمانية بيظل سالب اثنين بيظل

202
00:20:24,950 --> 00:20:32,150
زائد اثنين لإن مظبوط إيه يا بنات؟ أربعة و ستة عشر

203
00:20:32,150 --> 00:20:36,070
موجب و اثنين و ستة ثمانية بيظل اثنين بالموجب بيظل

204
00:20:36,070 --> 00:20:40,590
لنا من هنا سالب ثمانية و سالب اثنين سالب عشرة و

205
00:20:40,590 --> 00:20:47,110
زائد ع ثمان عشرة بيظل زائد ثمانية يساوي Zero

206
00:21:06,420 --> 00:21:13,380
في حد الاعتراض؟ كيف؟

207
00:21:13,380 --> 00:21:18,000
المعادلة سليمة مائة بالمائة طب بدنا نحل هذه لا في

208
00:21:18,000 --> 00:21:23,280
عوامل مشتركة ولا في غيره يبقى أنا المعادلة منها

209
00:21:23,280 --> 00:21:27,600
الدرجة الثالثة لما بدي أحل هيك و تبقى صعبة بروح

210
00:21:27,600 --> 00:21:35,580
بدور على قواسم الثمانية مين؟ 1 و سالب 1 

211
00:21:35,580 --> 00:21:44,940
2 سالب 2 4 سالب 4 8 سالب 8 يعني عندي 8 قواسم تمام

212
00:21:44,940 --> 00:21:50,630
خليني نبدأ بالأول لو حطيت لإن ده بواحد بيصير هنا

213
00:21:50,630 --> 00:21:57,350
واحد و اثنين ثلاثة ثلاثة و ثمانية أحد عشر أحد عشر

214
00:21:57,350 --> 00:22:01,730
هنا بواحد بيصير ناقص خمسة يبعتك الله يبقى لإن ده

215
00:22:01,730 --> 00:22:07,030
بواحد لأ بدي احط لإن ده بقداش سالب واحد لو حطيت 

216
00:22:07,030 --> 00:22:12,650
سالب واحد بيصير هنا سالب واحد و سالب خمسة سالب ستة

217
00:22:12,650 --> 00:22:17,650
سالب ستة و اثنين سالب ثمانية و ثمانية زيرو تمام

218
00:22:17,650 --> 00:22:22,390
تمام يبقى ال lambda تساوي سالب واحد هي عبارة عن مين

219
00:22:22,390 --> 00:22:27,910
عن حل هذه المعادلة يعني ال lambda زائد واحد هي أحد

220
00:22:27,910 --> 00:22:34,990
عوامل المعادلة هذه يبقى باجي بقوله since بما أن

221
00:22:36,230 --> 00:22:47,810
Lambda تساوي سالب واحد is a solution of 

222
00:22:47,810 --> 00:22:58,330
the equation A star يبقى 

223
00:22:58,330 --> 00:23:11,910
Lambda زائد واحد is a factor of equation star يعني

224
00:23:11,910 --> 00:23:16,410
المعادلة تقسم على هذا المقدار بدون باقي

225
00:23:23,490 --> 00:23:29,970
وهنا عندك ناقص خمسة lambda تربيع ناقص خمسة زائد

226
00:23:29,970 --> 00:23:35,570
اثنين lambda زائد ثمانية بدي أقسمها قسمة طويلة 

227
00:23:35,570 --> 00:23:41,350
عادية على lambda زائد واحد فيها قداش lambda تربيع في

228
00:23:41,350 --> 00:23:48,610
lambda lambda تكعيب زائد lambda تربيع تمام؟ بأجي بغير

229
00:23:48,610 --> 00:23:54,810
الإشارات وبجمع مع السلامة فالناقص ستة lambda تربيع

230
00:23:54,810 --> 00:24:00,330
زائد اثنين lambda زائد ثمانية الباقي من الدرجة 

231
00:24:00,330 --> 00:24:04,850
الثانية والمقسوم عليه من الدرجة الأولى بواصل عملية

232
00:24:04,850 --> 00:24:10,230
القسمة يبقى ناقص ستة lambda تربيع على lambda بطلع

233
00:24:10,230 --> 00:24:20,080
قداش ناقص ستة lambda تربيع

234
00:24:20,080 --> 00:24:24,120
ناقص ستة lambda تربيع ناقص ستة lambda تربيع ناقص ستة 

235
00:24:24,120 --> 00:24:24,160
lambda تربيع ناقص ستة lambda تربيع ناقص ستة lambda

236
00:24:24,160 --> 00:24:24,740
ستة lambda تربيع ناقص ستة lambda تربيع ناقص ستة lambda

237
00:24:24,740 --> 00:24:24,820
تربيع ناقص ستة lambda تربيع ناقص ستة lambda تربيع ناقص

238
00:24:24,820 --> 00:24:27,680
ستة lambda تربيع ناقص ستة lambda تربيع ناقص ستة lambda

239
00:24:27,680 --> 00:24:33,620
تربيع ناقص ستة lambda تربيع ناقص الباقي من الدرجة

240
00:24:33,620 --> 00:24:37,500
الأولى والمقسوم عليه من الدرجة الأولى بواصل عملية

241
00:24:37,500 --> 00:24:42,580
القسمة يبقى ثمانية lambda على lambda فيها قداش هي

242
00:24:42,580 --> 00:24:50,240
ثمانية ثمانية lambda وهنا زائد ثمانية غير الإشارات

243
00:24:50,240 --> 00:24:57,060
وجمعي بيصير هنا قداش بيصير هذه بالذات بيصير ناقص يبقى

244
00:24:57,060 --> 00:25:03,300
zero و zero يبقى بناء عليه المعادلة star يبقى 

245
00:25:03,300 --> 00:25:10,480
equation star take the four يبقى بتاخد الشكل الجديد

246
00:25:10,480 --> 00:25:15,240
اللي عندي خارج القسمة اللي هو مضروب في المقسوم

247
00:25:15,240 --> 00:25:21,760
عليه lambda تربيع ناقص ستة lambda زائد ثمانية يساوي 

248
00:25:21,760 --> 00:25:27,820
زيرو الآن هذه بقدر أقول lambda زائد واحد هذه بقدر

249
00:25:27,820 --> 00:25:35,340
أحللها كحاصل ضرب قوسين هنا lambda هنا lambda وهنا

250
00:25:35,340 --> 00:25:41,400
اثنين وهنا أربعة وهنا ناقص وهنا ناقص يبقى بناء

251
00:25:41,400 --> 00:25:46,560
عليه lambda تساوي سالب واحد و lambda تساوي اثنين

252
00:25:46,560 --> 00:25:56,060
و lambda تساوي قداش أربعة هدول مالهم are distinct

253
00:25:56,060 --> 00:25:59,380
eigen

254
00:25:59,380 --> 00:26:02,100
values

255
00:26:03,990 --> 00:26:08,370
يبقى هدول الـ distinct eigenvalues إذا بناء على

256
00:26:08,370 --> 00:26:13,030
المصفوفة عند الأصلية قداش نظامها ثلاثة في ثلاثة

257
00:26:13,030 --> 00:26:18,130
يبقى هذه مالها؟ Diagonalizable يبقى هنا الـ sense

258
00:26:18,130 --> 00:26:24,230
اللي دي Matrix A

259
00:26:24,230 --> 00:26:41,130
is of the system ثلاثة في ثلاثة and we have three 

260
00:26:41,130 --> 00:26:49,950
distinct eigenvalues

261
00:26:49,950 --> 00:26:57,170
we have the a is

262
00:27:06,400 --> 00:27:10,280
Diagonalizable يبقى الوقت لو جابلتك معادلة من

263
00:27:10,280 --> 00:27:14,800
الدرجة الثالثة كيف بدك تحليها بتشوفي قواسم ال

264
00:27:14,800 --> 00:27:20,460
constant بالدور على رقم يصفر المعادلة وبعد هيك

265
00:27:20,460 --> 00:27:24,460
بنجيب الرقم هذا على الشجرة الثانية وبالتالي يكون

266
00:27:24,460 --> 00:27:28,500
هذا أحد عوامل المعادلة وبالتالي بننزل رتبها من 

267
00:27:28,500 --> 00:27:31,260
الدرجة الثالثة إلى الدرجة الثانية وبالتالي بقدر

268
00:27:31,260 --> 00:27:36,480
أحلها يا إما تحليها بالقوسين أو بالقانون وبطلع قداش 

269
00:27:36,480 --> 00:27:40,460
اللي هو قيم lambda المختلفة

270
00:28:01,410 --> 00:28:11,690
مثال ثلاثة بيقول

271
00:28:11,690 --> 00:28:22,350
is the matrix is the matrix قليلة مصفوفة إيه تساوي؟

272
00:28:22,350 --> 00:28:29,410
Zero و Zero و واحد و Zero واحد و اثنين و Zero و

273
00:28:29,410 --> 00:28:49,510
Zero و واحد دقيقة diagonalizable كيف؟

274
00:28:54,850 --> 00:28:59,810
المحدد صحيح يساوي زيرو لكن إحنا ما قلناش حاجة 

275
00:28:59,810 --> 00:29:03,990
إحنا قلنا ابحثوا ودوروا خلاص لكن هل حطينا شرطنا لو 

276
00:29:03,990 --> 00:29:09,010
كان المحدد يساوي زيرو ممنوع؟ لا المصفوفة الأخرى

277
00:29:09,010 --> 00:29:12,450
اللي بدي أضربها فيها بدي أياها المحدد تبعها هيكون

278
00:29:12,450 --> 00:29:15,910
مانع لو ساوى إن ماتكلمناش عليها دي ولا حاجة إحنا 

279
00:29:15,910 --> 00:29:22,290
بقول قد تكون وقد لا تكون تمام؟ إذا بدي أروح نفس

280
00:29:22,290 --> 00:29:27,150
القصة بدي أمشي زي ما كنت بمشي قبل قليل طب باجي

281
00:29:27,150 --> 00:29:32,410
بسأل نفسي هذه upper ولا lower triangle؟ upper

282
00:29:32,410 --> 00:29:36,850
يبقى معناتها و ال Zero و ال واحد و الواحد هم من

283
00:29:36,850 --> 00:29:42,950
ال lambdas وبالتالي ال lambdas تكررت كده؟ مرتين يبقى بناء

284
00:29:42,950 --> 00:29:43,750
عليه

285
00:29:46,400 --> 00:29:53,620
الـ Determinant لـ Lambda I ناقص الـ A هو المحدد

286
00:29:53,620 --> 00:30:03,240
تبع Lambda و Zero و ناقص واحد و Zero و هنا Lambda

287
00:30:03,240 --> 00:30:09,860
ناقص واحد و ناقص اثنين و Zero Zero Lambda ناقص

288
00:30:09,860 --> 00:30:10,540
واحد

289
00:30:13,120 --> 00:30:20,760
وهذا يقوم بإضافة لـLambda ناقص واحد لـLambda ناقص

290
00:30:20,760 --> 00:30:22,260
واحد لـLambda ناقص واحد لـLambda ناقص واحد

291
00:30:22,260 --> 00:30:31,000
لـLambda ناقص واحد لـLambda ناقص 

292
00:30:31,000 --> 00:30:37,450
واحد يبقى إيه جبت له مان جبت له اللي هو الـ ال

293
00:30:37,450 --> 00:30:43,230
eigenvalues لكن فيه اثنتين are repeated يعني يا

294
00:30:43,230 --> 00:30:47,410
بنات لو فكيت الجملة دي إيه بيصير lambda في lambda ناقص

295
00:30:47,410 --> 00:30:53,330
واحد لكل تربيع يساوي zero لإن lambda بواحد والقوس بأسي

296
00:30:53,330 --> 00:30:58,550
اثنين يبقى مجموع درجات يساوي الـ N الدرجة

297
00:30:58,550 --> 00:31:02,730
تبع المصفوفة هذه تمام وبالتالي هذا اللي كنا

298
00:31:02,730 --> 00:31:06,730
كاتبينه قبل قليل M واحد زي M اثنين زي M ثلاثة زي M

299
00:31:06,730 --> 00:31:13,390
N بده يساوي N مظبوط يبقى هي تنطبق عليها تمام طيب

300
00:31:13,390 --> 00:31:17,670
هايجيبنا ال lambdas اللي عندنا بس هدول مش distinct

301
00:31:17,670 --> 00:31:25,330
طلعوا فيهم الاثنتين هدول مالهم مكررات تمام باجي

302
00:31:25,330 --> 00:31:31,190
بقول والله ما أنا عارف الحين اختلفت عن الرقم ثلاثة

303
00:31:31,190 --> 00:31:34,650
اللي عندنا هل تطلع دي يقول اللي يزبل والله ميزبل 

304
00:31:34,650 --> 00:31:41,570
يقول الله أعلم يبقى باجي بقوله هنا F lambda تساوي 

305
00:31:41,570 --> 00:31:46,890
زيرو lambda

306
00:31:46,890 --> 00:31:54,270
I ناقص الـ A في الـ X بده يساوي زيرو M Plus lambda I

307
00:31:54,270 --> 00:32:01,150
ناقص الـ A هي يبقى هي عند مين؟ هي lambda وزيرو وسالب

308
00:32:01,150 --> 00:32:07,010
واحد وزيرو و lambda ناقص واحد وناقص اثنين وزيرو زيرو

309
00:32:07,010 --> 00:32:17,390
lambda ناقص واحد في X1, X2, X3 بدي يساوي 000 بدي

310
00:32:17,390 --> 00:32:21,870
أشيل كل lambda وأحط مكانها Zero يبقى بلاش هاد

311
00:32:21,870 --> 00:32:28,270
نكتبها هنا مش هيكون أرتب بس F lambda تساوي Zero

312
00:32:28,270 --> 00:32:34,310
then بدي أجعل هذه وأشيل كل lambda وأحط مكانها 

313
00:32:34,310 --> 00:32:42,620
Zero يبقى Zero وهنا zero وهنا سالب واحد وهنا zero

314
00:32:42,620 --> 00:32:49,980
سالب واحد سالب اثنين zero zero سالب واحد X واحد X

315
00:32:49,980 --> 00:32:55,440
اثنين X ثلاثة بده يساوي zero zero zero هذا بده

316
00:32:55,440 --> 00:33:00,810
يعطينا نبدأ أكتب المعادلات اللي عندي يبقى المعادلات

317
00:33:00,810 --> 00:33:06,950
اللي عندي سالب X واحد بده يساوي قداش zero و سالب X

318
00:33:06,950 --> 00:33:13,550
اثنين سالب اثنين X ثلاثة بده يساوي zero و الـ X

319
00:33:13,550 --> 00:33:23,110
ثلاثة بده يساوي قداش بده يساوي zero تمام هذا معناه و

320
00:33:23,110 --> 00:33:31,390
الـ X ثلاثة أو سالب X ثلاثة سالب X ثلاثة بده يساوي 

321
00:33:31,390 --> 00:33:32,250
زيرو

322
00:33:40,120 --> 00:33:45,880
سالب X ثلاثة مظبوط هذا سالب X ثلاثة وهذا سالب 

323
00:33:45,880 --> 00:33:51,100
X اثنين سالب اثنين X ثلاثة بده يساوي Zero وهذا

324
00:33:51,100 --> 00:33:55,220
سالب X ثلاثة بده يساوي مظبوط يبقى هذا معناه إن

325
00:33:55,220 --> 00:34:00,670
X ثلاثة بده يساوي جبناها بديوا يساوي Zero لما 

326
00:34:00,670 --> 00:34:05,810
الـ X ثلاثة بديوا يساوي Zero X اثنين كمان بديوا

327
00:34:05,810 --> 00:34:10,290
يساوي مين؟ Zero لمشان يكون Eigen vector X واحد

328
00:34:10,290 --> 00:34:19,070
ممكن تبقى الرقم غير Zero يبقى باجي بقوله هنا F X

329
00:34:19,070 --> 00:34:26,810
واحد بديوا يساوي الـ A then the Eigen vectors

330
00:34:34,960 --> 00:34:48,020
Lambda تساوي زيرو are in the form بالشكل التالي X

331
00:34:48,020 --> 00:34:55,140
واحد بـ a واللي بعده بـ zero zero يبقى a في واحد

332
00:34:55,140 --> 00:35:02,960
zero zero بالشكل اللي عندنا يبقى جبت هذا الـ eigen 

333
00:35:02,960 --> 00:35:07,880
vector اللي عندنا إيه هنا zero zero

334
00:35:22,560 --> 00:35:28,320
طيب بدنا نروح نجي ناخد اللي هو الحالة الثانية لو 

335
00:35:28,320 --> 00:35:33,260
كان Lambda تساوي اثنين أو تساوي القيمة الثانية

336
00:35:43,490 --> 00:35:55,310
بادئ بقول هنا F lambda تساوي lambda اثنين أو تساوي 

337
00:35:55,310 --> 00:36:00,090
lambda ثلاثة تساوي واحد then هذه المصموفة اللي 

338
00:36:00,090 --> 00:36:03,430
عندنا بدي أشيل lambda واحطه مكانها واحد يا بنات

339
00:36:03,430 --> 00:36:12,270
يبقاش بيصير اي واحد zero سالب واحد zero zero هنا

340
00:36:12,270 --> 00:36:20,610
ناقص اثنين وهنا زيرو زيرو وهنا كمان زيرو بالشكل 

341
00:36:20,610 --> 00:36:25,650
اللي عندنا هذا يبقى X واحد X اثنين X ثلاثة

342
00:36:25,650 --> 00:36:33,930
يساوي زيرو وزيرو وزيرو يبقى المعادلات X واحد ناقص

343
00:36:33,930 --> 00:36:41,750
X ثلاثة بده يساوي زيرو وناقص اثنين X 

344
00:36:41,750 --> 00:36:50,760
ثلاثة بده يساوي Zero يبقى بناء عليه هذا معناه إيه

345
00:36:50,760 --> 00:36:57,780
معناه إن X ثلاثة بده يساوي زيرو لما X ثلاثة بده يساوي زيرو

346
00:36:57,780 --> 00:37:07,220
يكبر X واحد بده يساوي زيرو معناته إن X اثنين بده يساوي b مثلاً 

347
00:37:07,220 --> 00:37:13,100
يبقى أصبح Eigen 

348
00:37:13,100 --> 00:37:15,060
vectors

349
00:37:20,700 --> 00:37:31,840
corresponding the eigen vector eigen value الـ lambda

350
00:37:31,840 --> 00:37:42,920
تساوي واحد are in the form بالشكل التالي اللي هو من

351
00:37:42,920 --> 00:37:54,240
X1 X2 X3 بده يساوي X1 بـ 0 و X3 بـ 0 و هذه بي بي

352
00:37:54,240 --> 00:38:01,860
اللي هي بدها تساوي بي في Zero واحد Zero كده عدد

353
00:38:01,860 --> 00:38:03,820
مرات تكرار الـ lambda ده؟

354
00:38:21,090 --> 00:38:27,910
إن حدث ذلك بيقول Diagonalizable ما حدث يبقى الـ 

355
00:38:27,910 --> 00:38:33,910
not diagonalizable يبقى since

356
00:38:35,540 --> 00:38:42,840
lambda تساوي واحد has multiplicity

357
00:38:42,840 --> 00:38:59,640
two and we have one اللي هو one eigen vector only

358
00:38:59,640 --> 00:39:11,770
for lambda تساوي واحد The matrix A is not

359
00:39:11,770 --> 00:39:15,350
diagonalizable

360
00:39:25,990 --> 00:39:30,550
طب يعطيكم العفو ونكمل المرة القادمة لسه لا يزال 

361
00:39:30,550 --> 00:39:34,370
عندنا مزيد من الأمثلة