| 1 | |
| 00:00:21,140 --> 00:00:25,840 | |
| احنا المرة اللي فاتت أخذنا موضوع الـ sub sequences و | |
| 2 | |
| 00:00:25,840 --> 00:00:30,840 | |
| آخر نظرية أخذناها في الموضوع هذا كان في نظرية 2.16 | |
| 3 | |
| 00:00:30,840 --> 00:00:36,380 | |
| النظرية هذه بتنص على إنه لو كان في عندي sequence | |
| 4 | |
| 00:00:36,380 --> 00:00:41,340 | |
| of real numbers وكانت convergent فأي subsequence | |
| 5 | |
| 00:00:41,340 --> 00:00:47,680 | |
| منها بتكون convergent و ليها نفس الـ limit تمام؟ | |
| 6 | |
| 00:00:53,530 --> 00:00:59,850 | |
| الآن بدنا نطبق النظرية هذه من خلال الأمثلة التالية | |
| 7 | |
| 00:00:59,850 --> 00:01:06,250 | |
| فالمثال | |
| 8 | |
| 00:01:06,250 --> 00:01:13,510 | |
| الأول لو كان 1 أصغر من أو لو كان صفر أصغر من B | |
| 9 | |
| 00:01:13,510 --> 00:01:19,410 | |
| أصغر من 1 فبدنا نثبت أن هذا بيؤدي أن limit الـ | |
| 10 | |
| 00:01:19,410 --> 00:01:30,240 | |
| sequence bn بساوي صفر برهان ذلك بنعرف | |
| 11 | |
| 00:01:30,240 --> 00:01:34,680 | |
| الـ sequence Xn اللي الحد العام تبعها بساوي B أس | |
| 12 | |
| 00:01:34,680 --> 00:01:42,220 | |
| N تمام؟ الآن من الفرض أنا عندي صفر أصغر من B أصغر | |
| 13 | |
| 00:01:42,220 --> 00:01:50,360 | |
| من 1 هذا بيؤدي أن Xn اللي هي بساوي B أس N الـ B | |
| 14 | |
| 00:01:50,360 --> 00:01:54,360 | |
| هذا عدد موجب أصغر من 1 فكل ما كبرت القوة تبعته كل | |
| 15 | |
| 00:01:54,360 --> 00:01:59,670 | |
| ما بتصغر يعني هذا أكبر من B أس n زائد 1 اللي هو | |
| 16 | |
| 00:01:59,670 --> 00:02:04,410 | |
| Xn زائد 1 الكلام هذا صحيح لكل الأعداد الطبيعية | |
| 17 | |
| 00:02:04,410 --> 00:02:11,350 | |
| n فهذا بيؤدي ان الـ sequence xn is decreasing | |
| 18 | |
| 00:02:11,350 --> 00:02:25,510 | |
| متناقصة كذلك احنا في عندنا since بما أنه الـ Xn | |
| 19 | |
| 00:02:25,510 --> 00:02:31,790 | |
| تبعتي اللي احنا عرفناها على عينها B أس N إذا كان B | |
| 20 | |
| 00:02:31,790 --> 00:02:36,410 | |
| أكبر من 0 أصغر من 1 فـ B أس N بيطلع أكبر من أو يساوي | |
| 21 | |
| 00:02:36,410 --> 00:02:44,210 | |
| 0 أصغر من أو يساوي 1 وهذا صحيح لكل N هذا معناه أن | |
| 22 | |
| 00:02:44,210 --> 00:02:48,690 | |
| الصفر حد أدنى للـ sequence BN والواحد حد أعلى | |
| 23 | |
| 00:02:49,370 --> 00:02:53,530 | |
| وبالتالي sequence bn is bounded من أسفل ومن أعلى | |
| 24 | |
| 00:02:53,530 --> 00:02:59,450 | |
| وبالتالي bounded إذا الـ sequence xn is bounded | |
| 25 | |
| 00:02:59,450 --> 00:03:03,170 | |
| الآن | |
| 26 | |
| 00:03:03,170 --> 00:03:06,370 | |
| أنا في عندي sequence xn decreasing وبالتالي | |
| 27 | |
| 00:03:06,370 --> 00:03:11,670 | |
| monotone و bounded إذا by monotone convergence تطلع | |
| 28 | |
| 00:03:11,670 --> 00:03:12,170 | |
| convergent | |
| 29 | |
| 00:03:15,900 --> 00:03:28,260 | |
| by monotone convergence theorem xn converges say | |
| 30 | |
| 00:03:28,260 --> 00:03:39,320 | |
| دعنا خلّينا نسمي الـ limit تبعتها x say limit xn | |
| 31 | |
| 00:03:39,320 --> 00:03:40,880 | |
| بساوي x | |
| 32 | |
| 00:03:43,880 --> 00:03:50,460 | |
| الآن بدنا نثبت انها هيثبت لنا أن الـ sequence xn اللي | |
| 33 | |
| 00:03:50,460 --> 00:03:55,320 | |
| الحد العام تبعها B أس N تطلع convergent إلى عدد x | |
| 34 | |
| 00:03:55,320 --> 00:04:03,660 | |
| الآن بدنا نثبت ان الـ x هذا هو صفر أكلم الـ | |
| 35 | |
| 00:04:03,660 --> 00:04:17,420 | |
| x بساوي صفر طيب by الـ theorem اثنين ستة عشر الـ | |
| 36 | |
| 00:04:17,420 --> 00:04:25,240 | |
| subsequence لو أخدت الـ subsequence اللي حدودها | |
| 37 | |
| 00:04:25,240 --> 00:04:31,280 | |
| زوجية لو أخدت الحدود الزوجية من الـ sequence xn هذه | |
| 38 | |
| 00:04:31,280 --> 00:04:38,620 | |
| فهذه subsequence من xn فهذه أيضا converges لـ x | |
| 39 | |
| 00:04:41,360 --> 00:04:47,460 | |
| حسب نظرية 2.16 الـ sequence xn converge لـ x x2 | |
| 40 | |
| 00:04:47,460 --> 00:04:50,960 | |
| in subsequence من xn وبالتالي convergent by | |
| 41 | |
| 00:04:50,960 --> 00:05:02,480 | |
| theorem 16 إلى x طيب، الآن so as بما أنه | |
| 42 | |
| 00:05:06,320 --> 00:05:13,660 | |
| x2n بيساوي B أس اتنين n x2n بدها باتنين n | |
| 43 | |
| 00:05:13,660 --> 00:05:18,700 | |
| بيساوي B أس اتنين n وهذه ممكن كتبتها على صورة B | |
| 44 | |
| 00:05:18,700 --> 00:05:28,700 | |
| أس n الكل تربيع وهذا عبارة عن xn تربيع الكلام هذا | |
| 45 | |
| 00:05:28,700 --> 00:05:33,280 | |
| صحيح لكل n خدوا الـ limit للطرفين لما n تؤول لـ | |
| 46 | |
| 00:05:33,280 --> 00:05:43,650 | |
| infinity إذا الـ limit لـ x2n لما n تؤول infinity | |
| 47 | |
| 00:05:43,650 --> 00:05:52,630 | |
| بساوي limit xn تربيع لما n تؤول infinity وهذا | |
| 48 | |
| 00:05:52,630 --> 00:06:00,730 | |
| بساوي limit xn الكل تربيع طيب limit .. أنا عندي | |
| 49 | |
| 00:06:00,730 --> 00:06:04,270 | |
| limit xn بساوي x إذا هذا x تربيع | |
| 50 | |
| 00:06:07,550 --> 00:06:13,890 | |
| و limit x2n بساوي x إن أنا أصبح في عندي معادلة x | |
| 51 | |
| 00:06:13,890 --> 00:06:19,730 | |
| بساوي x تربيع حل المعادلة هذه في x فبطلع x بساوي | |
| 52 | |
| 00:06:19,730 --> 00:06:29,830 | |
| صفر أو x بساوي 1 تمام؟ | |
| 53 | |
| 00:06:36,360 --> 00:06:41,500 | |
| طيب مين أخذ الصفر ولا الواحد؟ | |
| 54 | |
| 00:06:41,500 --> 00:06:46,620 | |
| أنا عندي الـ sequence تبعتي decreasing متناقصة أنا | |
| 55 | |
| 00:06:46,620 --> 00:06:53,480 | |
| عندي .. أنا عندي الـ X since | |
| 56 | |
| 00:06:53,480 --> 00:07:00,200 | |
| Xn is decreasing متناقصة | |
| 57 | |
| 00:07:04,980 --> 00:07:11,740 | |
| و الـ limit تبعتها و x اللي هي بساوي limit xn | |
| 58 | |
| 00:07:11,740 --> 00:07:19,660 | |
| من هنا limit xn هتطلع أكبر من أو يساوي صفر أصغر | |
| 59 | |
| 00:07:19,660 --> 00:07:24,900 | |
| من أو يساوي الواحد و الـ x إما بساوي صفر أو 1 و | |
| 60 | |
| 00:07:24,900 --> 00:07:32,020 | |
| متناقصة فلازم الـ x الـ limit تبعتها x يساوي صفر | |
| 61 | |
| 00:07:35,220 --> 00:07:40,360 | |
| لأنها بتتناقص مش بتزايد okay إذا الـ X بساوي صفر | |
| 62 | |
| 00:07:40,360 --> 00:07:44,120 | |
| برضه | |
| 63 | |
| 00:07:44,120 --> 00:07:50,740 | |
| ممكن نحن نقول إن الـ sequence الـ X بساوي الـ infimum | |
| 64 | |
| 00:07:50,740 --> 00:07:58,780 | |
| لـ XN حيث N ينتمي لـ N حسب الـ monotone convergence | |
| 65 | |
| 00:07:58,780 --> 00:08:03,420 | |
| theorem وهي الـ XN bounded below by صفر والصفر هو | |
| 66 | |
| 00:08:03,420 --> 00:08:12,190 | |
| الـ infimum لها إذاً هذا بيساوي الصفر لأن | |
| 67 | |
| 00:08:12,190 --> 00:08:18,290 | |
| الصفر عبارة عن lower bound هو أكبر ممكن إثبات إنه | |
| 68 | |
| 00:08:18,290 --> 00:08:25,090 | |
| أكبر lower bound طيب واضح المثال هذا؟ كيف طبقنا | |
| 69 | |
| 00:08:25,090 --> 00:08:31,170 | |
| نظرية 2.16 لإيجاد limit للـ convergent sequence لأن | |
| 70 | |
| 00:08:31,170 --> 00:08:35,250 | |
| احنا أثبتنا إن الـ sequence convergent أخذنا sequence | |
| 71 | |
| 00:08:35,250 --> 00:08:38,530 | |
| الحد اللي عام تبعها B أس n أثبتنا إنها | |
| 72 | |
| 00:08:38,530 --> 00:08:42,990 | |
| convergent by monotone convergence theorem وجبنا | |
| 73 | |
| 00:08:42,990 --> 00:08:48,650 | |
| قيمة الـ limit باستخدام نظرية 2.16 أو ممكن باستخدام | |
| 74 | |
| 00:08:48,650 --> 00:08:52,790 | |
| الـ monotone convergence theorem تمام؟ ناخد مثال | |
| 75 | |
| 00:08:52,790 --> 00:08:53,250 | |
| تاني | |
| 76 | |
| 00:09:04,470 --> 00:09:09,990 | |
| لو كان عندي c عدد حقيقي أكبر من 1 فهذا بيؤدي ان | |
| 77 | |
| 00:09:09,990 --> 00:09:15,550 | |
| الـ limit لـ c أس 1 على n لما n تؤول infinity | |
| 78 | |
| 00:09:15,550 --> 00:09:21,030 | |
| بيساوي 1 البرهان | |
| 79 | |
| 00:09:21,030 --> 00:09:27,430 | |
| بنفس الطريقة اللي برهننا فيها المثال الأول let | |
| 80 | |
| 00:09:27,430 --> 00:09:33,610 | |
| المرة هذه yn نعرّف sequence yn الـ nth term | |
| 81 | |
| 00:09:33,610 --> 00:09:42,570 | |
| تبقى yn بساوي c أس 1 على n لكل n عدد طبيعي then | |
| 82 | |
| 00:09:42,570 --> 00:09:49,230 | |
| واضح أن yn زائد 1 بساوي c أس 1 على n زائد | |
| 83 | |
| 00:09:49,230 --> 00:09:58,530 | |
| 1 و الـ c عدد أكبر من 1 وهذا الجذر رقم n زائد | |
| 84 | |
| 00:09:58,530 --> 00:10:11,230 | |
| 1 له هذا بيطلع أكبر من أو أصغر من الجذر رقم n أو | |
| 85 | |
| 00:10:11,230 --> 00:10:17,690 | |
| الجذر النوني لـ c كل ما كبر الجذر كل ما العدد | |
| 86 | |
| 00:10:17,690 --> 00:10:23,720 | |
| بيصغر إذا كان العدد أكبر من 1 وهذا بساوي yn وهذا | |
| 87 | |
| 00:10:23,720 --> 00:10:29,280 | |
| صحيح لكل n هذا معناه yn زائد 1 أصغر من yn | |
| 88 | |
| 00:10:29,280 --> 00:10:39,160 | |
| معناته الـ sequence yn is decreasing متناقصة also | |
| 89 | |
| 00:10:39,160 --> 00:10:48,180 | |
| أيضا أنا عندي في الـ sequence هذه y1 أكبر من أو | |
| 90 | |
| 00:10:48,180 --> 00:10:56,200 | |
| يساوي yn لأن الـ sequence متناقصة صح؟ | |
| 91 | |
| 00:10:56,200 --> 00:11:03,900 | |
| و Yn من هنا Yn بساوي C أس N الـ C أكبر من 1 إذا | |
| 92 | |
| 00:11:03,900 --> 00:11:07,580 | |
| الجذر النوني لـ C عدد أكبر من 1 بيبقى أكبر من | |
| 93 | |
| 00:11:07,580 --> 00:11:16,040 | |
| 1 إذا هذا أكبر من أو يساوي 1 تمام؟ وهذا | |
| 94 | |
| 00:11:16,040 --> 00:11:22,810 | |
| الكلام صحيح لكل N؟ إذن هي الـ sequence تبعتي yn | |
| 95 | |
| 00:11:22,810 --> 00:11:28,230 | |
| bounded below by one and bounded above by y1 y | |
| 96 | |
| 00:11:28,230 --> 00:11:36,370 | |
| one عدد حقيقي موجب أكبر من 1 إذن | |
| 97 | |
| 00:11:36,370 --> 00:11:43,550 | |
| هذا معناه أن الـ sequence yn is bounded صح is | |
| 98 | |
| 00:11:43,550 --> 00:11:52,170 | |
| bounded so by monotone convergence theorem a | |
| 99 | |
| 00:11:52,170 --> 00:12:04,010 | |
| sequence yn converges converge say الـ limit تبعتها | |
| 100 | |
| 00:12:04,010 --> 00:12:11,970 | |
| بساوي عدد y افترضوا ان الـ limit تبعتها بساوي | |
| 101 | |
| 00:12:11,970 --> 00:12:21,450 | |
| واحد الآن بنثبت ان الـ limit | |
| 102 | |
| 00:12:21,450 --> 00:12:30,950 | |
| y بساوي واحد الـ claim ان الـ limit y بساوي | |
| 103 | |
| 00:12:30,950 --> 00:12:34,550 | |
| واحد كمان مرة نفس السلسلة اللي بستخدمها برنامج | |
| 104 | |
| 00:12:34,550 --> 00:12:41,680 | |
| اتنين ستة عشر الـ subsequence اللي هي متتالية الحدود | |
| 105 | |
| 00:12:41,680 --> 00:12:51,880 | |
| الزوجية y2n هذي | |
| 106 | |
| 00:12:51,880 --> 00:12:56,260 | |
| المفروض تكون convergent لنفس الـ limit تبعت الـ | |
| 107 | |
| 00:12:56,260 --> 00:13:02,280 | |
| sequence yn اللي هي y تمام طيب | |
| 108 | |
| 00:13:02,280 --> 00:13:02,400 | |
| but | |
| 109 | |
| 00:13:08,660 --> 00:13:17,520 | |
| Y2N شو بيساوي؟ C أس 1 على اتنين N وهذا بيساوي C | |
| 110 | |
| 00:13:17,520 --> 00:13:24,680 | |
| أس 1 على N الكل أس 1 على اتنين وهذا بيساوي C | |
| 111 | |
| 00:13:24,680 --> 00:13:32,250 | |
| أس 1 على N عبارة عن Yn الكل أس نصف الكلام هذا | |
| 112 | |
| 00:13:32,250 --> 00:13:37,270 | |
| صحيح لكل n إذا لو أخدت الـ limit للطرفين لما n تؤول | |
| 113 | |
| 00:13:37,270 --> 00:13:43,950 | |
| infinity فبطلع عندي limit y2n as n times infinity | |
| 114 | |
| 00:13:43,950 --> 00:13:48,330 | |
| بساوي limit yn | |
| 115 | |
| 00:13:48,330 --> 00:13:56,210 | |
| لما n تؤول infinity الكل أس نصف وهذا بساوي limit الكل أس نصف | |
| 116 | |
| 00:14:00,780 --> 00:14:08,440 | |
| طيب limit yn قلنا بتساوي y إذن هذا y أس نصف و | |
| 117 | |
| 00:14:08,440 --> 00:14:14,920 | |
| limit y2n قلنا بتساوي y إذن أنا أصبح في | |
| 118 | |
| 00:14:14,920 --> 00:14:20,700 | |
| عندي معادلة y بساوي y أس نصف لو حلينا المعادلة هذه | |
| 119 | |
| 00:14:20,700 --> 00:14:28,660 | |
| في y فـ y تلبية بساوي 1 ومنها بطلع y بساوي صفر or y | |
| 120 | |
| 00:14:28,660 --> 00:14:29,940 | |
| بساوي 1 | |
| 121 | |
| 00:14:32,490 --> 00:14:38,990 | |
| احنا عايزين الـ y تساوي المثال التاني 1 عايزين | |
| 122 | |
| 00:14:38,990 --> 00:14:49,090 | |
| الـ y تساوي 1 تمام فأنا عندي since limit أنا | |
| 123 | |
| 00:14:49,090 --> 00:14:49,930 | |
| عندي من هنا | |
| 124 | |
| 00:14:53,290 --> 00:15:01,650 | |
| أنا عندي yn أكبر من أو يساوي 1 لكل n بيؤدي انه | |
| 125 | |
| 00:15:01,650 --> 00:15:10,350 | |
| limit yn اللي هي y هي قاعدة نظرية بتقول لو y الـ | |
| 126 | |
| 00:15:10,350 --> 00:15:15,350 | |
| sequence bounded below by a فـ limit yn تطلع أكبر | |
| 127 | |
| 00:15:15,350 --> 00:15:19,350 | |
| من أو يساوي الواحد | |
| 128 | |
| 00:15:24,190 --> 00:15:29,090 | |
| طيب y أكبر من أو يساوي الواحد واحنا قلنا انه | |
| 129 | |
| 00:15:29,090 --> 00:15:33,430 | |
| لازم تطلع إما صفر أو 1 فمين الـ .. الـ .. الإجابة | |
| 130 | |
| 00:15:33,430 --> 00:15:40,090 | |
| المنطقية إذا الـ y لازم يساوي 1 وبالتالي هيك | |
| 131 | |
| 00:15:40,090 --> 00:15:44,130 | |
| ممكن اثبتنا ان الـ sequence اللي الـ instance تبعها | |
| 132 | |
| 00:15:44,130 --> 00:15:48,850 | |
| c to one over n is convergent و الـ limit تبعتها | |
| 133 | |
| 00:15:48,850 --> 00:15:51,430 | |
| بساوي 1 تمام واضح؟ | |
| 134 | |
| 00:15:54,740 --> 00:15:59,300 | |
| في أي سؤال؟ طيب | |
| 135 | |
| 00:15:59,300 --> 00:16:01,360 | |
| النظرية اللي بعد النظرية هذه | |
| 136 | |
| 00:16:23,610 --> 00:16:28,650 | |
| نظرية السبعة عشر divergence | |
| 137 | |
| 00:16:28,650 --> 00:16:35,370 | |
| criterion | |
| 138 | |
| 00:16:51,000 --> 00:16:58,100 | |
| let xn be sequence in R لو | |
| 139 | |
| 00:16:58,100 --> 00:17:02,200 | |
| كانت xn sequence of real numbers then the | |
| 140 | |
| 00:17:02,200 --> 00:17:07,700 | |
| following statements are equivalent العبارات | |
| 141 | |
| 00:17:07,700 --> 00:17:13,960 | |
| التالية متكافئة xn does not converge to x ينتمي إلى | |
| 142 | |
| 00:17:13,960 --> 00:17:14,400 | |
| R | |
| 143 | |
| 00:17:18,590 --> 00:17:25,790 | |
| ثنين يوجد ε₀ أكبر من صفر بحيث أنه such | |
| 144 | |
| 00:17:25,790 --> 00:17:36,290 | |
| that for any k عدد طبيعي يوجد | |
| 145 | |
| 00:17:36,290 --> 00:17:44,790 | |
| عدد طبيعي rk ينتمي إلى N with | |
| 146 | |
| 00:17:46,090 --> 00:17:54,350 | |
| rk أكبر من أو يساوي k and | |
| 147 | |
| 00:17:54,350 --> 00:18:00,930 | |
| |x<sub>rk</sub> - x| | |
| 148 | |
| 00:18:00,930 --> 00:18:07,550 | |
| أكبر من أو يساوي ε₀ | |
| 149 | |
| 00:18:07,550 --> 00:18:10,870 | |
| العبارة الثالثة | |
| 150 | |
| 00:18:14,170 --> 00:18:21,010 | |
| يوجد ε₀ أكبر من الصفر and a subsequence | |
| 151 | |
| 00:18:21,010 --> 00:18:34,660 | |
| ... a subsequence x<sub>rk</sub> or x<sub>rn</sub> of the sequence x in | |
| 152 | |
| 00:18:34,660 --> 00:18:42,080 | |
| such that |x<sub>rn</sub>| | |
| 153 | |
| 00:18:42,080 --> 00:18:54,540 | |
| - x| أكبر من أو يساوي ε₀ لكل n تمام؟ | |
| 154 | |
| 00:18:56,650 --> 00:19:05,210 | |
| لإثبات النظرية هذه عشان أثبت ثلاث عبارات متكافئة | |
| 155 | |
| 00:19:05,210 --> 00:19:11,790 | |
| حسب الlogic حسب المنطق أو مبادئ الرياضيات لازم | |
| 156 | |
| 00:19:11,790 --> 00:19:17,490 | |
| نثبت أن واحد بكافئ اثنين واثنين بكافئ ثلاثة وهذا | |
| 157 | |
| 00:19:17,490 --> 00:19:22,330 | |
| ممكن إثباته بأن احنا نثبت واحد بيؤدي لاثنين واثنين | |
| 158 | |
| 00:19:22,330 --> 00:19:26,530 | |
| بيؤدي لثلاثة وثلاثة بيؤدي لواحد هيك بنغلق الدائرة | |
| 159 | |
| 00:19:26,530 --> 00:19:32,490 | |
| فهذا اللي هنعمله فنبدأ بالبرهان نثبت الأول أن | |
| 160 | |
| 00:19:32,490 --> 00:19:41,710 | |
| العبارة الأولى implies الثانية بتؤدي للثانية ف | |
| 161 | |
| 00:19:41,710 --> 00:19:42,390 | |
| assume | |
| 162 | |
| 00:19:45,130 --> 00:19:51,890 | |
| العبارة الأولى صحيحة وهو x<sub>m</sub> does not converge to x | |
| 163 | |
| 00:19:54,980 --> 00:20:00,680 | |
| طيب ارجعوا لتعريف ε N definition of | |
| 164 | |
| 00:20:00,680 --> 00:20:04,200 | |
| convergence ما معناه أن ال sequence x<sub>n</sub> converge ل | |
| 165 | |
| 00:20:04,200 --> 00:20:08,560 | |
| x معناه لكل ε أكبر من الصفر يوجد N | |
| 166 | |
| 00:20:08,560 --> 00:20:12,280 | |
| يعتمد على ε بحيث لكل n أكبر من أو يساوي | |
| 167 | |
| 00:20:12,280 --> 00:20:17,040 | |
| N المسافة بين x<sub>n</sub> و x أصغر من ε طب | |
| 168 | |
| 00:20:17,040 --> 00:20:20,480 | |
| مايعني x<sub>n</sub> لا تتقارب ل x معناه نفي كل الكلام هذا | |
| 169 | |
| 00:20:20,480 --> 00:20:24,000 | |
| اللي حكيناه بيحصل بدل لكل ε أكبر من الصفر | |
| 170 | |
| 00:20:24,000 --> 00:20:29,780 | |
| يوجد N بصير يوجد ε واحدة ε | |
| 171 | |
| 00:20:29,780 --> 00:20:41,960 | |
| ₀ عدد موجب بحيث such that بحيث أنه لكل | |
| 172 | |
| 00:20:43,760 --> 00:20:50,280 | |
| k أو n عدد طبيعي the implication | |
| 173 | |
| 00:20:57,890 --> 00:21:00,870 | |
| ال implication تبع التعريف ε N ال | |
| 174 | |
| 00:21:00,870 --> 00:21:06,070 | |
| implication اللي هي لكل n أكبر من أو يساوي N | |
| 175 | |
| 00:21:06,070 --> 00:21:13,970 | |
| لازم يطلع المسافة بين x<sub>n</sub> و x أصغر من ε | |
| 176 | |
| 00:21:13,970 --> 00:21:22,830 | |
| ₀ ال implication هذه is false ليست | |
| 177 | |
| 00:21:22,830 --> 00:21:27,430 | |
| صحيحة طب ما هذا معناه هذا معناه | |
| 178 | |
| 00:21:31,850 --> 00:21:41,490 | |
| this means هذا يعني this means أنه لكل K | |
| 179 | |
| 00:21:41,490 --> 00:21:48,590 | |
| عدد طبيعي يوجد لكل | |
| 180 | |
| 00:21:48,590 --> 00:21:54,630 | |
| K عدد طبيعي مايعني أن هذا غلط معناه يوجد لكل K عدد | |
| 181 | |
| 00:21:54,630 --> 00:21:59,250 | |
| طبيعي K يوجد عدد واحد مش لكل ال N الأكبر | |
| 182 | |
| 00:21:59,250 --> 00:22:06,030 | |
| منه يوجد عدد طبيعي واحد أكبر من أو يساوي يوجد عدد | |
| 183 | |
| 00:22:06,030 --> 00:22:13,690 | |
| طبيعي سمه n أو r<sub>k</sub> يعتمد على K عدد | |
| 184 | |
| 00:22:13,690 --> 00:22:17,750 | |
| طبيعي بحيث أنه | |
| 185 | |
| 00:22:21,710 --> 00:22:27,850 | |
| بحيث أنه طبعا | |
| 186 | |
| 00:22:27,850 --> 00:22:33,390 | |
| ال r<sub>k</sub> هذا هيكون | |
| 187 | |
| 00:22:33,390 --> 00:22:41,190 | |
| أكبر من أو يساوي k and r<sub>k</sub> | |
| 188 | |
| 00:22:41,190 --> 00:22:50,050 | |
| أكبر من أو يساوي k and |x<sub>rk</sub>| or x<sub>r<sub>k</sub></sub> | |
| 189 | |
| 00:22:50,050 --> 00:22:55,590 | |
| - x| أكبر من أو يساوي بدل أصغر من ε₀ | |
| 190 | |
| 00:22:55,590 --> 00:23:05,410 | |
| النفي تبعها أكبر من أو يساوي ε₀ now | |
| 191 | |
| 00:23:05,410 --> 00:23:09,610 | |
| replace | |
| 192 | |
| 00:23:09,610 --> 00:23:18,450 | |
| badly replace K by k | |
| 193 | |
| 00:23:22,130 --> 00:23:25,970 | |
| to get العبارة | |
| 194 | |
| 00:23:25,970 --> 00:23:32,250 | |
| اثنين صح؟ | |
| 195 | |
| 00:23:32,250 --> 00:23:38,950 | |
| هاي بدلنا K بـ k فهنا أثبتنا أن يوجد يوجد | |
| 196 | |
| 00:23:38,950 --> 00:23:46,350 | |
| ε₀ أكبر من صفر بحيث لكل k يوجد | |
| 197 | |
| 00:23:46,350 --> 00:23:53,150 | |
| r<sub>k</sub> أكبر من أو يساوي k والمسافة بين x<sub>r<sub>k</sub></sub> | |
| 198 | |
| 00:23:53,150 --> 00:23:56,750 | |
| - x| أكبر من أو يساوي ε₀ | |
| 199 | |
| 00:24:04,730 --> 00:24:14,690 | |
| الآن نثبت اثنين بيؤدي لثلاثة إذا two implies | |
| 200 | |
| 00:24:14,690 --> 00:24:18,530 | |
| three assume | |
| 201 | |
| 00:24:18,530 --> 00:24:27,110 | |
| two holds افترض أن العبارة الثانية صحيحة بني | |
| 202 | |
| 00:24:27,110 --> 00:24:30,690 | |
| نثبت أن العبارة الثالثة صحيحة طيب؟ | |
| 203 | |
| 00:24:37,940 --> 00:24:48,160 | |
| then for k يساوي واحد يعني ينتمي إلى N الآن احنا | |
| 204 | |
| 00:24:48,160 --> 00:24:53,320 | |
| فترضين اثنين العبارة اثنين صحيحة إذا احنا فترضين أن | |
| 205 | |
| 00:24:53,320 --> 00:24:58,840 | |
| يوجد ε₀ بحيث الكلام هذا بتحقق الآن لو | |
| 206 | |
| 00:24:58,840 --> 00:25:04,420 | |
| أخذت k هذه يساوي واحد فيوجد | |
| 207 | |
| 00:25:06,750 --> 00:25:15,070 | |
| r₁ عدد طبيعي وطبعا r₁ بالتأكيد أكبر من أو يساوي | |
| 208 | |
| 00:25:15,070 --> 00:25:24,510 | |
| واحد such that |x<sub>r₁</sub> - x| أكبر من أو | |
| 209 | |
| 00:25:24,510 --> 00:25:33,250 | |
| يساوي ε₀ صح؟ next for | |
| 210 | |
| 00:25:34,680 --> 00:25:45,900 | |
| k يساوي r₁ زائد واحد مش | |
| 211 | |
| 00:25:45,900 --> 00:25:51,380 | |
| هذا عدد طبيعي لو أخذت k يساوي r₁ زائد واحد r | |
| 212 | |
| 00:25:51,380 --> 00:25:58,020 | |
| واحد عدد طبيعي زائد واحد عدد طبيعي يوجد r₂ عدد | |
| 213 | |
| 00:25:58,020 --> 00:26:08,800 | |
| طبيعي و r₂ أكبر من أو يساوي r | |
| 214 | |
| 00:26:08,800 --> 00:26:16,480 | |
| واحد زائد واحد such that |x<sub>r₂</sub> - x| | |
| 215 | |
| 00:26:16,480 --> 00:26:24,960 | |
| أكبر من أو يساوي ε₀ صح طيب | |
| 216 | |
| 00:26:24,960 --> 00:26:30,060 | |
| كمان برضه لو استمرينا في العملية هذه now | |
| 217 | |
| 00:26:32,620 --> 00:26:40,620 | |
| for r₂ زائد واحد مش هذا عدد طبيعي لو أخذت k | |
| 218 | |
| 00:26:40,620 --> 00:26:46,440 | |
| يساوي اه لو أخذت k يساوي r₂ زائد واحد هذا | |
| 219 | |
| 00:26:46,440 --> 00:26:51,680 | |
| عدد طبيعي هنا اثنين اثنين لو أخذت k يساوي r₂ | |
| 220 | |
| 00:26:51,680 --> 00:27:01,160 | |
| زائد واحد إذا حسب اثنين يوجد r₃ عدد طبيعي و r | |
| 221 | |
| 00:27:01,160 --> 00:27:06,280 | |
| ₃ أكبر من أو يساوي ال k اللي هو r₂ زائد | |
| 222 | |
| 00:27:06,280 --> 00:27:13,360 | |
| واحد بحيث أن المسافة بين x<sub>r₃</sub> - x| أكبر | |
| 223 | |
| 00:27:13,360 --> 00:27:18,400 | |
| من أو يساوي ε₀ طب لو استمرينا في العملية | |
| 224 | |
| 00:27:18,400 --> 00:27:27,040 | |
| هذه شو هنحصل؟ ايه اللي هيحصل؟ continuing this | |
| 225 | |
| 00:27:27,040 --> 00:27:27,860 | |
| process | |
| 226 | |
| 00:27:32,720 --> 00:27:35,460 | |
| this process اللي هو استمرينا في العملية دي اللي | |
| 227 | |
| 00:27:35,460 --> 00:27:49,200 | |
| عملية تطبيق العبارة الثانية we obtain هنحصل على we | |
| 228 | |
| 00:27:49,200 --> 00:27:54,960 | |
| obtain strictly increasing | |
| 229 | |
| 00:27:54,960 --> 00:28:01,700 | |
| increasing sequence | |
| 230 | |
| 00:28:06,220 --> 00:28:13,140 | |
| r<sub>k</sub> من k يساوي واحد إلى ∞ هذه عبارة عن sequence | |
| 231 | |
| 00:28:13,140 --> 00:28:20,620 | |
| of natural numbers in N such | |
| 232 | |
| 00:28:20,620 --> 00:28:28,940 | |
| that and hence وبالتالي وبالتالي نحصل على a | |
| 233 | |
| 00:28:28,940 --> 00:28:33,600 | |
| subsequence x<sub>rk</sub> | |
| 234 | |
| 00:28:34,700 --> 00:28:39,240 | |
| من k يساوي واحد إلى ∞ هذه عبارة عن | |
| 235 | |
| 00:28:39,240 --> 00:28:45,980 | |
| subsequence من ال sequence x<sub>n</sub> بحيث such that | |
| 236 | |
| 00:28:45,980 --> 00:28:55,680 | |
| |x<sub>rk</sub> - x| أكبر من أو يساوي ε₀ | |
| 237 | |
| 00:28:55,680 --> 00:29:01,160 | |
| والكلام هذا صحيح لكل k ينتمي إلى N | |
| 238 | |
| 00:29:03,880 --> 00:29:10,500 | |
| هي في الخطوة الأولى حصلنا على r₁ وبالتالي على x<sub>r₁</sub> | |
| 239 | |
| 00:29:10,500 --> 00:29:16,440 | |
| بحيث |x<sub>r₁</sub> - x| أكبر من أو يساوي x نزيلة | |
| 240 | |
| 00:29:16,440 --> 00:29:23,010 | |
| في الخطوة الثانية حصلنا على r₂ وبالتالي x<sub>r₂</sub> لاحظوا | |
| 241 | |
| 00:29:23,010 --> 00:29:30,030 | |
| r₂ أكبر من r₁ و r₃ أكبر من r₂، إذن هذه sequence of | |
| 242 | |
| 00:29:30,030 --> 00:29:33,830 | |
| natural numbers strictly increasing، إذن ال | |
| 243 | |
| 00:29:33,830 --> 00:29:39,030 | |
| sequence، المؤشرات تبعها هي الأعداد الطبيعية، هذه | |
| 244 | |
| 00:29:39,030 --> 00:29:44,110 | |
| subsequence حسب التعريف من sequence x و بتحقق في | |
| 245 | |
| 00:29:44,110 --> 00:29:49,510 | |
| الخطوة الثانية |x<sub>r₂</sub> - x| أكبر من أو يساوي ε₀ | |
| 246 | |
| 00:29:49,510 --> 00:29:55,590 | |
| الخطوة الثالثة لما k يساوي ثلاثة هي |x<sub>r₃</sub> - x| | |
| 247 | |
| 00:29:55,590 --> 00:29:59,510 | |
| أكبر من أو يساوي ε₀ وهكذا إذن هنا عملنا | |
| 248 | |
| 00:29:59,510 --> 00:30:04,470 | |
| construction عملنا بناء بنينا subsequence اللي هي | |
| 249 | |
| 00:30:04,470 --> 00:30:09,650 | |
| subsequence هذه من ال sequence x<sub>n</sub> بطريقة استقرائية | |
| 250 | |
| 00:30:10,920 --> 00:30:15,420 | |
| وهذه الـ subsequence بتحقق المتباينة هذه وهذه | |
| 251 | |
| 00:30:15,420 --> 00:30:21,800 | |
| بالضبط العبارة ثلاثة إذا three العبارة الثالثة whole | |
| 252 | |
| 00:30:21,800 --> 00:30:24,960 | |
| تمام؟ | |
| 253 | |
| 00:30:24,960 --> 00:30:30,460 | |
| إذا هيك أثبتنا أن اثنين تؤدي لثلاثة باقي إثبات | |
| 254 | |
| 00:30:30,460 --> 00:30:36,400 | |
| أن العبارة الثالثة تعني واحدة | |
| 255 | |
| 00:30:39,780 --> 00:30:48,460 | |
| ف assume .. assume العبارة الثالثة صحيحة يعني يوجد | |
| 256 | |
| 00:30:48,460 --> 00:30:57,260 | |
| ε₀ أكبر من صفر and a subsequence x<sub>rk</sub> | |
| 257 | |
| 00:30:57,260 --> 00:31:10,090 | |
| of the sequence x in such that |x<sub>rk</sub> - x| | |
| 258 | |
| 00:31:10,090 --> 00:31:18,510 | |
| أكبر من أو يساوي ε₀ لكل k طيب | |
| 259 | |
| 00:31:18,510 --> 00:31:29,170 | |
| هذا معناه أو هذا بيؤدي أن x<sub>rk</sub> | |
| 260 | |
| 00:31:29,170 --> 00:31:43,760 | |
| أو x<sub>rn</sub> أو x<sub>rk</sub> لا تنتمي لـ (x - ε₀ , x + ε₀) x زائد ε₀ لا تنتمي | |
| 261 | |
| 00:31:43,760 --> 00:31:45,220 | |
| للفترة المفتوحة هذه | |
| 262 | |
| 00:31:49,030 --> 00:31:53,890 | |
| اللي هو هذه الفترة المفتوحة سميناها قبل هيك ε | |
| 263 | |
| 00:31:53,890 --> 00:31:59,670 | |
| ₀ neighborhood لـ x صح؟ هذه فترة مفتوحة مركزها x | |
| 264 | |
| 00:31:59,670 --> 00:32:04,330 | |
| ونصف قطرها ε₀ المتباينة هذه بتقول إن هذا | |
| 265 | |
| 00:32:04,330 --> 00:32:10,470 | |
| الكلام لكل k لكل k لو حلت .. لو حلت المتباينة هذه | |
| 266 | |
| 00:32:10,470 --> 00:32:14,990 | |
| في x بيطلع في x لو حلت المتباينة هذه في x<sub>rk</sub> بيطلع | |
| 267 | |
| 00:32:14,990 --> 00:32:23,320 | |
| x<sub>rk</sub> لا ينتمي للفترة المفتوحة وبالتالي | |
| 268 | |
| 00:32:23,320 --> 00:32:27,460 | |
| hence by | |
| 269 | |
| 00:32:27,460 --> 00:32:37,860 | |
| definition by ال neighborhood definition of | |
| 270 | |
| 00:32:37,860 --> 00:32:41,740 | |
| limit | |
| 271 | |
| 00:32:44,750 --> 00:32:49,850 | |
| فاكرين احنا اخذنا تعريف ال limit لل sequence اول | |
| 272 | |
| 00:32:49,850 --> 00:32:53,190 | |
| تعريف كان neighborhood definition وبعدين اثبتنا | |
| 273 | |
| 00:32:53,190 --> 00:32:58,470 | |
| انه بكافئ في نظرية 2.2 اثبتنا انه بكافئ ال ε | |
| 274 | |
| 00:32:58,470 --> 00:33:01,010 | |
| N definition لل limit | |
| 275 | |
| 00:33:10,150 --> 00:33:15,910 | |
| x<sub>n</sub> converge to x معناه لأي | |
| 276 | |
| 00:33:15,910 --> 00:33:21,390 | |
| neighborhood لـ x زي هذا لازم | |
| 277 | |
| 00:33:21,390 --> 00:33:29,210 | |
| عشان | |
| 278 | |
| 00:33:29,210 --> 00:33:32,550 | |
| ال subsequence هذه converge لـ x لازم أي | |
| 279 | |
| 00:33:32,550 --> 00:33:37,180 | |
| neighborhood لـ x يحتوي كل حدود ال sequence من | |
| 280 | |
| 00:33:37,180 --> 00:33:41,660 | |
| N وانت طالع أو من K وانت طالع لكل | |
| 281 | |
| 00:33:41,660 --> 00:33:46,920 | |
| small k أكبر من أو يساوي capital K هذا لازم يكون صحيح | |
| 282 | |
| 00:33:46,920 --> 00:33:50,260 | |
| لكل neighborhood طب أنا في .. لأن في عندي there | |
| 283 | |
| 00:33:50,260 --> 00:33:55,740 | |
| exists epsilon zero neighborhood لـ X وكل حدود الـ | |
| 284 | |
| 00:33:55,740 --> 00:34:02,770 | |
| subsequence مش موجودة فيه، هذا بالظبط نفي تعريف الـ | |
| 285 | |
| 00:34:02,770 --> 00:34:05,230 | |
| neighborhood definition للـ convergence وبالتالي | |
| 286 | |
| 00:34:05,230 --> 00:34:09,350 | |
| هذا معناه حسب تعريف الـ neighborhood definition أن | |
| 287 | |
| 00:34:09,350 --> 00:34:15,550 | |
| الـ subsequence هذه does not converge لـ X، طب احنا | |
| 288 | |
| 00:34:15,550 --> 00:34:19,970 | |
| عايزين نثبت، عشان نثبت أن العبارة واحد صحيحة، عايزين | |
| 289 | |
| 00:34:19,970 --> 00:34:23,810 | |
| نثبت أن الـ sequence نفسها، مش الـ subsequence، الـ | |
| 290 | |
| 00:34:23,810 --> 00:34:27,650 | |
| sequence نفسها does not converge لـ X، إذا أنا بدي | |
| 291 | |
| 00:34:27,650 --> 00:34:38,290 | |
| أكتب هنا claim لبرهان | |
| 292 | |
| 00:34:38,290 --> 00:34:46,830 | |
| العبارة الأولى، باقي اثبات الـ claim، وهو أن الـ | |
| 293 | |
| 00:34:46,830 --> 00:34:55,150 | |
| sequence x n نفسها does not converge لـ x، فنشوف | |
| 294 | |
| 00:34:55,150 --> 00:35:01,370 | |
| مع بعض، assume ببرهان بالتناقض، assume on the contrary | |
| 295 | |
| 00:35:01,370 --> 00:35:05,230 | |
| أن | |
| 296 | |
| 00:35:05,230 --> 00:35:10,990 | |
| الـ sequence x n converge لـ x، okay، برهان بالتناقض | |
| 297 | |
| 00:35:10,990 --> 00:35:22,050 | |
| افرض أن الـ sequence converge لـ x، by a theorem اثنين | |
| 298 | |
| 00:35:22,050 --> 00:35:32,850 | |
| بيقول the subsequence، the subsequence اللي هي X n k | |
| 299 | |
| 00:35:32,850 --> 00:35:37,490 | |
| الـ subsequence مش هاد الـ subsequence، هاد المفروض | |
| 300 | |
| 00:35:37,490 --> 00:35:44,020 | |
| تطلع convergent لـ X، وهدا ده ديني contradiction، لأن | |
| 301 | |
| 00:35:44,020 --> 00:35:47,260 | |
| أنا عندي sub sequence هنا استنتجنا أنها does not | |
| 302 | |
| 00:35:47,260 --> 00:35:53,060 | |
| converge لـ X، إذا في عندي تناقض، التناقض هذا سببه أن | |
| 303 | |
| 00:35:53,060 --> 00:35:58,680 | |
| احنا فرضنا أن X n converge لـ X، إذا بطلع عندي X n | |
| 304 | |
| 00:35:58,680 --> 00:36:04,200 | |
| does not converge لـ X، وبالتالي إذا one holds، إذا | |
| 305 | |
| 00:36:04,200 --> 00:36:10,120 | |
| one holds، وبالتالي هيك بنكون كملنا برهان النظرية | |
| 306 | |
| 00:36:10,120 --> 00:36:15,580 | |
| okay، تمام، إذا هيك اثبتنا أن التلاتة بيعد لواحد | |
| 307 | |
| 00:36:15,580 --> 00:36:20,560 | |
| وبالتالي العبارات التلاتة هذه متكافئة، احنا بهمنا | |
| 308 | |
| 00:36:20,560 --> 00:36:26,140 | |
| في التطبيق اللي هو الجزء الأخير، يعني عشان أنا اثبت | |
| 309 | |
| 00:36:27,620 --> 00:36:32,400 | |
| إنه sequence معينة does not converge to any real | |
| 310 | |
| 00:36:32,400 --> 00:36:36,360 | |
| number X، يكفي | |
| 311 | |
| 00:36:36,360 --> 00:36:42,920 | |
| إثبات أن يوجد Y0، يوجد subsequence بحيث أن المسافة | |
| 312 | |
| 00:36:42,920 --> 00:36:47,780 | |
| دي أكبر من أو يساوي Y0 لكل M، هنشوف الكلام هذا في | |
| 313 | |
| 00:36:47,780 --> 00:36:58,230 | |
| أمثلة لاحقة، لكن خلينا بس ناخد مثالا على النظرية هذه | |
| 314 | |
| 00:36:58,230 --> 00:37:15,210 | |
| إذا | |
| 315 | |
| 00:37:15,210 --> 00:37:23,470 | |
| ناخد examples هاي | |
| 316 | |
| 00:37:23,470 --> 00:37:24,410 | |
| مثال واحد | |
| 317 | |
| 00:37:28,440 --> 00:37:32,300 | |
| الـ sequence اللي الحد العام تبعها سالب واحد plus | |
| 318 | |
| 00:37:32,300 --> 00:37:40,560 | |
| n is divergent، طبعا | |
| 319 | |
| 00:37:40,560 --> 00:37:43,620 | |
| احنا اثبتنا قبل هيك أن الـ sequence هي divergent | |
| 320 | |
| 00:37:43,620 --> 00:37:47,640 | |
| عملنا proof by contradiction، فرضنا أن أنا | |
| 321 | |
| 00:37:47,640 --> 00:37:55,040 | |
| convergent ووصلنا إلى تناقض، صح؟ اليوم هناخد برهان | |
| 322 | |
| 00:37:55,040 --> 00:38:04,780 | |
| ثاني، باستخدام نظرية 16 أو نظرية التانية، يعني نشوف | |
| 323 | |
| 00:38:04,780 --> 00:38:12,820 | |
| مع بعض، prove if | |
| 324 | |
| 00:38:12,820 --> 00:38:25,060 | |
| it were convergent، say | |
| 325 | |
| 00:38:30,030 --> 00:38:38,350 | |
| -1-N converges to X ينتمي إلى R، لو فرضنا إن | |
| 326 | |
| 00:38:38,350 --> 00:38:44,970 | |
| سيكوانس هذه convergent هنثبت إنها divergent ببرهان | |
| 327 | |
| 00:38:44,970 --> 00:38:51,350 | |
| بالتناقض، لو فرضنا إنها convergent to some X، إذا | |
| 328 | |
| 00:38:51,350 --> 00:38:56,570 | |
| كانت convergent، إن اسمها لمات، then | |
| 329 | |
| 00:39:00,730 --> 00:39:07,130 | |
| الـ sub sequences اللي | |
| 330 | |
| 00:39:07,130 --> 00:39:18,390 | |
| هم سالب واحد أس اثنين n and سالب واحد أس اثنين n plus واحد | |
| 331 | |
| 00:39:18,390 --> 00:39:25,470 | |
| سالب واحد، هذه الـ subsequence هي الحدود الزوجية من | |
| 332 | |
| 00:39:25,470 --> 00:39:31,150 | |
| هنا، وهذه الحدود الفردية، إذا كانت الـ sequence | |
| 333 | |
| 00:39:31,150 --> 00:39:36,430 | |
| نفسها converged لـ X، فالتنتين هذول both converged لـ | |
| 334 | |
| 00:39:36,430 --> 00:39:45,110 | |
| X، و | |
| 335 | |
| 00:39:45,110 --> 00:39:48,670 | |
| بالتالي، so X | |
| 336 | |
| 00:39:51,100 --> 00:40:00,080 | |
| بتساوي limit سالب واحد قو اثنين n، صح؟ وهذه بتساوي | |
| 337 | |
| 00:40:00,080 --> 00:40:06,400 | |
| limit سالب واحد قو اثنين n زائد واحد، الـ sequence هذه | |
| 338 | |
| 00:40:06,400 --> 00:40:15,620 | |
| ثابت واحد بتساوي واحد، صح؟ and برضه احنا قلنا أن الـ | |
| 339 | |
| 00:40:15,620 --> 00:40:23,400 | |
| X بتساوي limit الـ subsequence للحدود الفردية اللي | |
| 340 | |
| 00:40:23,400 --> 00:40:28,580 | |
| هي هذه، طيب | |
| 341 | |
| 00:40:28,580 --> 00:40:36,140 | |
| سالب واحد قو عدد فردي بطلع سالب واحد، إذن هذه الـ | |
| 342 | |
| 00:40:36,140 --> 00:40:41,760 | |
| sequence حدودها فردية، إذن هي عبارة عن sequence | |
| 343 | |
| 00:40:41,760 --> 00:40:50,260 | |
| ثابت سالب واحد، وبالتالي limit لثابت بطلع ثابت، إذا | |
| 344 | |
| 00:40:50,260 --> 00:40:56,180 | |
| أنا أطلع عندي واحد بتساوي x من المعادلة الأولى | |
| 345 | |
| 00:40:56,180 --> 00:41:01,120 | |
| وكذلك الـ x بتساوي سالب واحد، يعني معناه واحد بتساوي | |
| 346 | |
| 00:41:01,120 --> 00:41:10,130 | |
| سالب واحد، وهذا contradiction، تمام؟ إذا مستحيل أن الـ | |
| 347 | |
| 00:41:10,130 --> 00:41:13,510 | |
| sequence هذه تكون convergent لأنها لازم تكون | |
| 348 | |
| 00:41:13,510 --> 00:41:21,050 | |
| divergent، okay، تمام؟ إذا هنا كلمة were الدلالة | |
| 349 | |
| 00:41:21,050 --> 00:41:26,470 | |
| على الاستحالة، كان ممكن اسمها الـ sequence هذه مفرد | |
| 350 | |
| 00:41:26,470 --> 00:41:32,400 | |
| واحدة، مفروض أقول if it was convergent لكن أنا عارف | |
| 351 | |
| 00:41:32,400 --> 00:41:35,400 | |
| أنه مستحيل أنها تكون convergent فلدلالة على | |
| 352 | |
| 00:41:35,400 --> 00:41:41,880 | |
| استحالة بستخدم it were زي if I were a king مش if I | |
| 353 | |
| 00:41:41,880 --> 00:41:47,140 | |
| was a king، لكن أنا مش king، okay، تمام؟ إذا بنوقف | |
| 354 | |
| 00:41:47,140 --> 00:41:50,880 | |
| عند هذا المثال، المحاضرة هي انتهت، وبنكمل إن شاء | |
| 355 | |
| 00:41:50,880 --> 00:41:51,720 | |
| الله، سبوع جديد | |