| 1 | |
| 00:00:20,920 --> 00:00:26,360 | |
| بسم الله الرحمن الرحيم اليوم هناخد أخر لقاء في ال | |
| 2 | |
| 00:00:26,360 --> 00:00:31,460 | |
| course وهو تكملة section خمسة أربعة في الكتاب | |
| 3 | |
| 00:00:31,460 --> 00:00:38,850 | |
| المقرر اللي بتكلم عن ال uniform continuityفي | |
| 4 | |
| 00:00:38,850 --> 00:00:45,330 | |
| المحاضرة السابقة عرفنا الاتصال المنتظم وشوفنا | |
| 5 | |
| 00:00:45,330 --> 00:00:49,930 | |
| أثبتنا نظريات | |
| 6 | |
| 00:00:49,930 --> 00:00:54,170 | |
| مهمة عن الاتصال المنتظم أو عدم الاتصال المنتظم | |
| 7 | |
| 00:00:54,170 --> 00:00:58,850 | |
| فأخدنا ال non uniform continuity criterion اللي | |
| 8 | |
| 00:00:58,850 --> 00:01:04,770 | |
| حسبها أو ممكن نستخدمها في اثبات أن دالة محددة ليست | |
| 9 | |
| 00:01:04,770 --> 00:01:09,750 | |
| uniform ل continuous على مجموعةمحددة جزئية من | |
| 10 | |
| 00:01:09,750 --> 00:01:13,330 | |
| الأعداد الحقيقية فكان في عندي non uniform | |
| 11 | |
| 00:01:13,330 --> 00:01:18,270 | |
| continuity criterion و آخر نظرية أثبتنا نظرية مهمة | |
| 12 | |
| 00:01:18,270 --> 00:01:22,490 | |
| هو هي ال uniform continuity criterion اللي بتقول | |
| 13 | |
| 00:01:22,490 --> 00:01:27,650 | |
| أنه لو كانت ال function تبعتي متصلة | |
| 14 | |
| 00:01:28,780 --> 00:01:31,940 | |
| على المجال تبعها والمجال تبعها closed bounded | |
| 15 | |
| 00:01:31,940 --> 00:01:38,760 | |
| interval فالاتصال يتحول الى اتصال منتظم طبعا احنا | |
| 16 | |
| 00:01:38,760 --> 00:01:43,120 | |
| شفنا في المحاضرة السابقة انه دايما الاتصال المنتظم | |
| 17 | |
| 00:01:43,120 --> 00:01:47,200 | |
| اقوى من الاتصال العادى لو كانت الدالة uniform ل | |
| 18 | |
| 00:01:47,200 --> 00:01:50,960 | |
| continuous فبتكون continuous لكن العكس ليس صحيح | |
| 19 | |
| 00:01:52,640 --> 00:02:00,080 | |
| فخدنا مثال على دالة function دالة واحد على X شفنا | |
| 20 | |
| 00:02:00,080 --> 00:02:04,920 | |
| أنها متصلة continuous على الفترة المفتوحة من سفر | |
| 21 | |
| 00:02:04,920 --> 00:02:09,620 | |
| إلى ملا نهاية but it was not uniformly continuous | |
| 22 | |
| 00:02:09,620 --> 00:02:15,780 | |
| على نفس الفترة وبالتالي الاتصال العادي لا يؤدي | |
| 23 | |
| 00:02:15,780 --> 00:02:22,820 | |
| للاتصال المنطماليوم هنتعرف على نوع جديد من ال | |
| 24 | |
| 00:02:22,820 --> 00:02:27,040 | |
| functions وهو لبسش functions و ال functions هدول | |
| 25 | |
| 00:02:27,040 --> 00:02:32,200 | |
| هتكونوا دائما كلهم uniformly continuous فنعرف لبسش | |
| 26 | |
| 00:02:32,200 --> 00:02:38,640 | |
| function definition a | |
| 27 | |
| 00:02:38,640 --> 00:02:42,680 | |
| function f | |
| 28 | |
| 00:02:42,680 --> 00:02:44,740 | |
| from a to r | |
| 29 | |
| 00:02:47,770 --> 00:02:58,050 | |
| إذ لبسش .. بنسميها | |
| 30 | |
| 00:02:58,050 --> 00:03:03,010 | |
| لبسش on | |
| 31 | |
| 00:03:03,010 --> 00:03:10,310 | |
| a إذا وجد if there exists k positive number such | |
| 32 | |
| 00:03:10,310 --> 00:03:13,510 | |
| that absolute f of x | |
| 33 | |
| 00:03:36,970 --> 00:03:40,090 | |
| وطبعا ممكن اثبات بكل سهولة | |
| 34 | |
| 00:03:49,120 --> 00:03:55,860 | |
| الأن هنثبت و هنشوف أنه كل لبسش function أو كل | |
| 35 | |
| 00:03:55,860 --> 00:04:00,320 | |
| function بتحقق لبسش condition اللي هو الشرط هذا | |
| 36 | |
| 00:04:07,690 --> 00:04:12,250 | |
| كل function بتحقق لبسش condition أو .. أو سمنها | |
| 37 | |
| 00:04:12,250 --> 00:04:17,910 | |
| لبسش function بتكون uniformly continuous فنشوف | |
| 38 | |
| 00:04:17,910 --> 00:04:23,390 | |
| المرحلة دالك إذا هنا every أو | |
| 39 | |
| 00:04:23,390 --> 00:04:33,270 | |
| if .. if from a to r is لبسش is | |
| 40 | |
| 00:04:33,270 --> 00:04:47,300 | |
| لبشسon a then it is uniformly continuous | |
| 41 | |
| 00:04:47,300 --> 00:04:56,080 | |
| on a proof | |
| 42 | |
| 00:04:56,080 --> 00:05:00,840 | |
| assume | |
| 43 | |
| 00:05:03,530 --> 00:05:10,310 | |
| إذا كان لبسش على | |
| 44 | |
| 00:05:10,310 --> 00:05:20,250 | |
| a ثم حسب التعريف هناك كمية positive كمية كمية كامة | |
| 45 | |
| 00:05:20,250 --> 00:05:20,470 | |
| كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية | |
| 46 | |
| 00:05:20,470 --> 00:05:20,690 | |
| كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية | |
| 47 | |
| 00:05:20,690 --> 00:05:21,490 | |
| كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية | |
| 48 | |
| 00:05:21,490 --> 00:05:21,530 | |
| كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية | |
| 49 | |
| 00:05:21,530 --> 00:05:21,690 | |
| كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية | |
| 50 | |
| 00:05:21,690 --> 00:05:28,390 | |
| كمية كمية كمية | |
| 51 | |
| 00:05:28,390 --> 00:05:38,840 | |
| كمk times absolute x minus u for all x where u and | |
| 52 | |
| 00:05:38,840 --> 00:05:52,180 | |
| a طيب | |
| 53 | |
| 00:05:52,180 --> 00:05:55,760 | |
| لتسمي ال condition هذا star | |
| 54 | |
| 00:05:58,650 --> 00:06:02,570 | |
| let epsilon أكبر من السفر بيجبن let epsilon أكبر | |
| 55 | |
| 00:06:02,570 --> 00:06:05,490 | |
| من السفر بيجبن let epsilon أكبر من السفر بيجبن let | |
| 56 | |
| 00:06:05,490 --> 00:06:06,290 | |
| epsilon أكبر من السفر بيجبن let epsilon أكبر من | |
| 57 | |
| 00:06:06,290 --> 00:06:06,550 | |
| السفر بيجبن let epsilon أكبر من السفر بيجبن let | |
| 58 | |
| 00:06:06,550 --> 00:06:06,570 | |
| epsilon أكبر من السفر بيجبن let epsilon أكبر من | |
| 59 | |
| 00:06:06,570 --> 00:06:07,810 | |
| السفر بيجبن let epsilon أكبر من السفر بيجبن let | |
| 60 | |
| 00:06:07,810 --> 00:06:09,990 | |
| epsilon أكبر من السفر بيجبن | |
| 61 | |
| 00:06:23,960 --> 00:06:29,040 | |
| عدد موجة إبسلون على K بيطلع عدد موجة وبالتالي إذن | |
| 62 | |
| 00:06:29,040 --> 00:06:35,920 | |
| هنا أثبتت إن user Delta تعتمد على إبسلون فقط فلهذه | |
| 63 | |
| 00:06:35,920 --> 00:06:42,280 | |
| الإبسلون then لو كانت X و U موجودين في A و | |
| 64 | |
| 00:06:42,280 --> 00:06:47,840 | |
| Absolute X minus U أصغر من Delta فهذا هيقدّي إن | |
| 65 | |
| 00:06:47,840 --> 00:07:01,000 | |
| Absolute F of X-f of u باي ستار حسب المتباينة star | |
| 66 | |
| 00:07:01,000 --> 00:07:06,600 | |
| هذا بيطلع أصغر منه ساوي absolute x minus u | |
| 67 | |
| 00:07:13,020 --> 00:07:18,320 | |
| وانا عندي absolute x minus u أصغر من دلتا اذا هذا | |
| 68 | |
| 00:07:18,320 --> 00:07:25,240 | |
| أصغر عفوا by star في عندي هنا k ضرب absolute x | |
| 69 | |
| 00:07:25,240 --> 00:07:31,780 | |
| minus u الان انا عندي absolute x minus u أصغر من | |
| 70 | |
| 00:07:31,780 --> 00:07:36,840 | |
| دلتا لأن هذا أصغر من k في دلتا وانا عندي ماخد دلتا | |
| 71 | |
| 00:07:36,840 --> 00:07:45,940 | |
| بالساوي y على kأصبح هذا أصغر من إبسلون لأي | |
| 72 | |
| 00:07:45,940 --> 00:07:52,500 | |
| إبسلون أكبر من 0 يوجد delta تعتمد على إبسلون فقط | |
| 73 | |
| 00:07:52,500 --> 00:07:59,340 | |
| بحيث أنه لكل x و u في a المسافة بينهم أصغر من | |
| 74 | |
| 00:07:59,340 --> 00:08:02,820 | |
| delta طلع المسافة بين ال images أصغر من إبسلون | |
| 75 | |
| 00:08:06,120 --> 00:08:11,800 | |
| epsilon أكبر من السفر was arbitrary، إذن هذا صحيح | |
| 76 | |
| 00:08:11,800 --> 00:08:15,580 | |
| لكل epsilon وبالتالي by definition، إذن ال | |
| 77 | |
| 00:08:15,580 --> 00:08:20,780 | |
| function f is uniformly continuous | |
| 78 | |
| 00:08:20,780 --> 00:08:30,340 | |
| on E، وهو المطلوب إذن هناك أثبتنا إن كل لبسش | |
| 79 | |
| 00:08:30,340 --> 00:08:34,120 | |
| function is uniformly continuous | |
| 80 | |
| 00:08:36,360 --> 00:08:45,020 | |
| لكن العكس ليس صحيحا .. العكس ليس صحيحا remark .. | |
| 81 | |
| 00:08:45,020 --> 00:08:55,400 | |
| remark the | |
| 82 | |
| 00:08:55,400 --> 00:09:00,740 | |
| canvas .. the canvas of above theorem | |
| 83 | |
| 00:09:05,350 --> 00:09:11,730 | |
| is false for | |
| 84 | |
| 00:09:11,730 --> 00:09:16,970 | |
| example على سبيل المثال يعني معنى آخر لو كانت ال | |
| 85 | |
| 00:09:16,970 --> 00:09:24,750 | |
| function uniform ل continuous مش شرط تكون لبسش على | |
| 86 | |
| 00:09:24,750 --> 00:09:31,370 | |
| نفس ال function على نفس ال .. for example consider | |
| 87 | |
| 00:09:35,170 --> 00:09:48,950 | |
| Consider الـ function f of x بساوي جدر الـ x هو | |
| 88 | |
| 00:09:48,950 --> 00:09:54,790 | |
| x ينتمي ل I بساوي closed interval من صفر لاثنين | |
| 89 | |
| 00:10:07,930 --> 00:10:14,030 | |
| by exercise فى exercise أخدناه اللى هو جبنالكم | |
| 90 | |
| 00:10:14,030 --> 00:10:23,090 | |
| إياه سؤال فى الامتحان ال exercise هذا كان .. خلينا | |
| 91 | |
| 00:10:23,090 --> 00:10:23,730 | |
| نشوف | |
| 92 | |
| 00:10:39,170 --> 00:10:45,750 | |
| أو ممكن اثبات أن الدالة هذه is continuous طيب | |
| 93 | |
| 00:10:45,750 --> 00:10:52,030 | |
| اه | |
| 94 | |
| 00:10:52,030 --> 00:10:55,910 | |
| by exercise | |
| 95 | |
| 00:10:55,910 --> 00:11:04,250 | |
| في chapter اربعة اربعة واحد question تمام اه اربعة | |
| 96 | |
| 00:11:04,250 --> 00:11:11,540 | |
| واحد مظبوط صحيحby exercise تمامية section اربعة | |
| 97 | |
| 00:11:11,540 --> 00:11:16,540 | |
| واحد ال | |
| 98 | |
| 00:11:16,540 --> 00:11:24,940 | |
| function if is continuous على الفترة لأن في هداك | |
| 99 | |
| 00:11:24,940 --> 00:11:32,480 | |
| ال exercise هتتبتو انه limit جدر ال X لما X تقول ل | |
| 100 | |
| 00:11:32,480 --> 00:11:42,910 | |
| C بساوي جدر ال Cلكل C أكبر من أو ساوي السفر طبعا | |
| 101 | |
| 00:11:42,910 --> 00:11:48,030 | |
| في ال exercise ماخد C أكبر من السفر لكن لما C | |
| 102 | |
| 00:11:48,030 --> 00:11:52,950 | |
| بساوي السفر فهذا trivial وبالتالي هذا معناه أن | |
| 103 | |
| 00:11:52,950 --> 00:11:59,890 | |
| دالة F هذا | |
| 104 | |
| 00:11:59,890 --> 00:12:05,330 | |
| معناه شرط الاتصال عن C متحقق فهذا معناه أن F is | |
| 105 | |
| 00:12:05,330 --> 00:12:12,720 | |
| continuousAt C وده صحيح لكل C أكبر من أوسعها سفر | |
| 106 | |
| 00:12:12,720 --> 00:12:20,520 | |
| وبالتالي اذا F is continuous على الفترة من سفر إلى | |
| 107 | |
| 00:12:20,520 --> 00:12:25,140 | |
| ملا نهاية وبالتالي متصلة على الفترة من سفر إلى | |
| 108 | |
| 00:12:25,140 --> 00:12:33,460 | |
| اتنين اللي هي جزوة منها okay تمام طيب اذا | |
| 109 | |
| 00:12:40,220 --> 00:12:48,440 | |
| إذا by طيب since I بساو الفترة من الزفر لإتنين | |
| 110 | |
| 00:12:48,440 --> 00:12:58,140 | |
| الفترة هذه is closed and bounded و | |
| 111 | |
| 00:12:58,140 --> 00:13:05,080 | |
| if continuous عليها then by | |
| 112 | |
| 00:13:05,080 --> 00:13:09,520 | |
| uniform continuity theorem | |
| 113 | |
| 00:13:11,440 --> 00:13:14,900 | |
| نظرية الاتصال المنتظم بتقول إذا كان في عندي | |
| 114 | |
| 00:13:14,900 --> 00:13:20,060 | |
| function f متصلة على فترة مغلقة أو محدودة فالاتصال | |
| 115 | |
| 00:13:20,060 --> 00:13:25,320 | |
| هذا بيكون اتصال منتظم uniform continuity ففي عندي | |
| 116 | |
| 00:13:25,320 --> 00:13:32,800 | |
| by uniform continuity theorem تطلع f is uniformly | |
| 117 | |
| 00:13:32,800 --> 00:13:39,840 | |
| continuous | |
| 118 | |
| 00:13:41,540 --> 00:13:48,120 | |
| على الفترة I إذاً هي مثال على function uniform ل | |
| 119 | |
| 00:13:48,120 --> 00:13:52,880 | |
| continuous على المجال تبعها هنشوف الآن إن هذه ال | |
| 120 | |
| 00:13:52,880 --> 00:14:07,060 | |
| function ما هياش لبسش على نفس الفترة إذا | |
| 121 | |
| 00:14:07,060 --> 00:14:07,640 | |
| ال claim | |
| 122 | |
| 00:14:13,370 --> 00:14:23,650 | |
| if is not .. if is not لبسش على | |
| 123 | |
| 00:14:23,650 --> 00:14:28,590 | |
| الفترة I فلبرحان | |
| 124 | |
| 00:14:28,590 --> 00:14:33,990 | |
| ذلك assume | |
| 125 | |
| 00:14:33,990 --> 00:14:37,950 | |
| on | |
| 126 | |
| 00:14:37,950 --> 00:14:38,670 | |
| contrary | |
| 127 | |
| 00:14:43,190 --> 00:14:48,550 | |
| assume on contrary that | |
| 128 | |
| 00:14:48,550 --> 00:15:01,650 | |
| if is لبسش on | |
| 129 | |
| 00:15:01,650 --> 00:15:04,090 | |
| I then | |
| 130 | |
| 00:15:06,570 --> 00:15:14,610 | |
| there exists k أكبر من السفر بحيث أنه absolute f | |
| 131 | |
| 00:15:14,610 --> 00:15:28,610 | |
| of x minus f of u أصغر منها ساوي k في absolute x | |
| 132 | |
| 00:15:28,610 --> 00:15:36,950 | |
| minus u لكل xهو you تنتمي للفترة I اللى هى الفترة | |
| 133 | |
| 00:15:36,950 --> 00:15:39,970 | |
| المغلطة من سفر لاتنين | |
| 134 | |
| 00:15:59,060 --> 00:16:04,840 | |
| إذا ان هنا فرضنا ال contrary و يطلع ان بيطلع عندى | |
| 135 | |
| 00:16:04,840 --> 00:16:09,160 | |
| فيه huge العدد موجة بحيث كان أنا ادم اتحقق وهذا | |
| 136 | |
| 00:16:09,160 --> 00:16:15,340 | |
| بيقدر ان absolute f of x لو خدنا u بساوة سفر minus | |
| 137 | |
| 00:16:15,340 --> 00:16:24,910 | |
| f of 0 أصغر لو ساوة k فabsolute xوهذا صحيح لكل x | |
| 138 | |
| 00:16:24,910 --> 00:16:32,150 | |
| تنتمي للفترة I إذا أنا هنا أخدت U بساوي سفر و | |
| 139 | |
| 00:16:32,150 --> 00:16:39,070 | |
| السفر ينتمي للفترة I طيب أنا عندي F صفر بساوي سفر | |
| 140 | |
| 00:16:39,070 --> 00:16:44,030 | |
| إذا | |
| 141 | |
| 00:16:44,030 --> 00:16:47,130 | |
| بطلع عندي absolute | |
| 142 | |
| 00:16:48,770 --> 00:16:58,510 | |
| f of x أصغر من أو يساوي k في absolute ال X وهذا | |
| 143 | |
| 00:16:58,510 --> 00:17:04,470 | |
| صحيح لكل X تم تمي لفترة I هي الفترة المغلقة من | |
| 144 | |
| 00:17:04,470 --> 00:17:09,690 | |
| السفر لفترة بس | |
| 145 | |
| 00:17:09,690 --> 00:17:14,810 | |
| هذا هيدي لتناقل طيب | |
| 146 | |
| 00:17:15,530 --> 00:17:28,330 | |
| تاك لو أخدت x بساوي واحد على n تربيها فهذا | |
| 147 | |
| 00:17:28,330 --> 00:17:33,990 | |
| عبارة عن .. هذا ينتمي للفترة .. للفترة المغلفة من | |
| 148 | |
| 00:17:33,990 --> 00:17:40,410 | |
| سفر لإتنين اللي هي I لأن هذا عدد موجب لكل n ينتمي | |
| 149 | |
| 00:17:40,410 --> 00:17:46,820 | |
| ل N لكل عدد طبيعي هذا بطلعينتمي للفترة هذه | |
| 150 | |
| 00:17:46,820 --> 00:17:54,300 | |
| وبالتالي إذا المفروض يطلع absolute if لواحد على N | |
| 151 | |
| 00:17:54,300 --> 00:18:02,060 | |
| تربية أصغر من أو يساوي K في absolute واحد على N | |
| 152 | |
| 00:18:02,060 --> 00:18:10,840 | |
| تربية هذا صحيح لكل N في Nطيب if واحد على ان تربية | |
| 153 | |
| 00:18:10,840 --> 00:18:16,760 | |
| بيطلع بساوي الجدر التربية إلى واحد على ان تربية | |
| 154 | |
| 00:18:16,760 --> 00:18:20,200 | |
| اللي | |
| 155 | |
| 00:18:20,200 --> 00:18:26,600 | |
| هو عبارة عن واحد على ان ف absolute واحد على ان | |
| 156 | |
| 00:18:26,600 --> 00:18:34,100 | |
| بيطلع واحد على ان أصغر من أو ساوي كفي واحد على ان | |
| 157 | |
| 00:18:34,100 --> 00:18:43,520 | |
| تربية هذا صحيحلكل N في N اضرب | |
| 158 | |
| 00:18:43,520 --> 00:18:50,880 | |
| المتدينة هذه في N تربية فبطلع عندي N أصغر من أو | |
| 159 | |
| 00:18:50,880 --> 00:18:59,320 | |
| ساوي K for all N في N وهذا بتناقض مع ال | |
| 160 | |
| 00:18:59,320 --> 00:19:06,040 | |
| Archimedean property which contradicts | |
| 161 | |
| 00:19:07,330 --> 00:19:11,130 | |
| التي تتناقض | |
| 162 | |
| 00:19:11,130 --> 00:19:19,250 | |
| مع مين؟ التي تتناقض مع الـ Archimedean property | |
| 163 | |
| 00:19:23,770 --> 00:19:28,110 | |
| خاصية Archimedes لأن خاصية Archimedes بتقوللي لأي | |
| 164 | |
| 00:19:28,110 --> 00:19:35,690 | |
| عدد K عدد موجب أو أي عدد حقيقي K يوجد N0 عدد طبيعي | |
| 165 | |
| 00:19:35,690 --> 00:19:45,660 | |
| لحيث أن N0 أكبر من K صح؟و من هنا كل الأعداد | |
| 166 | |
| 00:19:45,660 --> 00:19:53,360 | |
| الطبيعية من ضمنها N0 أشملها أصغر من أو يساوي ال K | |
| 167 | |
| 00:19:53,360 --> 00:20:00,740 | |
| فبطلع N0 أكبر من N0 contradiction إذا السبب ال | |
| 168 | |
| 00:20:00,740 --> 00:20:04,640 | |
| contradiction هذا أنه إيه ال assumption الفرض | |
| 169 | |
| 00:20:04,640 --> 00:20:12,440 | |
| تبعنا ال assumption تبعنا أن F is لبسش on I okay | |
| 170 | |
| 00:20:14,100 --> 00:20:19,120 | |
| إذاً هذا بتثبت هذا ال contradiction بتثبت أن ال is | |
| 171 | |
| 00:20:19,120 --> 00:20:29,820 | |
| عفوًا if is not لبسش on | |
| 172 | |
| 00:20:29,820 --> 00:20:37,120 | |
| a أو i وهو المطلوب إذاً هذا مثال على function | |
| 173 | |
| 00:20:37,120 --> 00:20:44,810 | |
| uniformly continuous على set معينةلكنها ليست لبسش | |
| 174 | |
| 00:20:44,810 --> 00:20:50,450 | |
| لكن أثبتنا قبل ايه ان كل لبسش function is always | |
| 175 | |
| 00:20:50,450 --> 00:20:57,750 | |
| uniformly continuous ناخد | |
| 176 | |
| 00:20:57,750 --> 00:20:58,770 | |
| بعض الأمثلة | |
| 177 | |
| 00:21:26,120 --> 00:21:35,220 | |
| example led f of x بساوي x تربية و x ينتمي | |
| 178 | |
| 00:21:35,220 --> 00:21:41,800 | |
| للمجموعة a اللي هي الفترة المغلقة من سفر إلى بي | |
| 179 | |
| 00:21:41,800 --> 00:21:50,410 | |
| حيث بي أي عدد موجب بي أي عدد موجببنأثبت أن الـ | |
| 180 | |
| 00:21:50,410 --> 00:21:59,950 | |
| function هذه تطلع uniformly continuous show | |
| 181 | |
| 00:21:59,950 --> 00:22:05,950 | |
| that show | |
| 182 | |
| 00:22:05,950 --> 00:22:11,670 | |
| أن f is uniformly continuous | |
| 183 | |
| 00:22:11,670 --> 00:22:23,720 | |
| on a ففيه برهنيناو حالين proof one حال الأول since | |
| 184 | |
| 00:22:23,720 --> 00:22:28,400 | |
| if | |
| 185 | |
| 00:22:28,400 --> 00:22:37,400 | |
| is continuous on a being | |
| 186 | |
| 00:22:37,400 --> 00:22:39,440 | |
| a polynomial | |
| 187 | |
| 00:22:44,780 --> 00:22:47,300 | |
| لأنها polynomial و احنا قلنا كل polynomial | |
| 188 | |
| 00:22:47,300 --> 00:22:51,800 | |
| function متصل على R وبالتالي على أي مجموعة جزئية | |
| 189 | |
| 00:22:51,800 --> 00:22:59,760 | |
| من R زي المجموعة A اللي هي الفترة المغلقة من سفر | |
| 190 | |
| 00:22:59,760 --> 00:23:05,620 | |
| إلى الـ B ف | |
| 191 | |
| 00:23:05,620 --> 00:23:10,920 | |
| if is continuous على A كونها polynomial and بما | |
| 192 | |
| 00:23:10,920 --> 00:23:19,480 | |
| انه and sinceالـ set A هذه اللي هي عبارة عن الفترة | |
| 193 | |
| 00:23:19,480 --> 00:23:29,320 | |
| المغلقة من سفر لـ B is closed and bounded and | |
| 194 | |
| 00:23:29,320 --> 00:23:34,500 | |
| bounded interval | |
| 195 | |
| 00:23:34,500 --> 00:23:44,980 | |
| then by uniform continuity theorem | |
| 196 | |
| 00:23:47,180 --> 00:23:53,380 | |
| حسب نظرية الاتصال المنتظم اللى بتقول لو كان فيها | |
| 197 | |
| 00:23:53,380 --> 00:23:57,140 | |
| function مجالها closed bounded interval و ال | |
| 198 | |
| 00:23:57,140 --> 00:24:03,120 | |
| function متصل عليها فالاتصال بتحول الى اتصال منتظم | |
| 199 | |
| 00:24:03,120 --> 00:24:08,040 | |
| اذا ال function f is uniformly | |
| 200 | |
| 00:24:10,270 --> 00:24:16,870 | |
| continuous on a وهذا برهان لأنه ممكن نستخدم ال | |
| 201 | |
| 00:24:16,870 --> 00:24:20,550 | |
| uniform continuity theorem لإثبات أنه function | |
| 202 | |
| 00:24:20,550 --> 00:24:24,970 | |
| اللي زي هذه الدالة التربية uniform continuous على | |
| 203 | |
| 00:24:24,970 --> 00:24:32,550 | |
| أي فترة مغلقة زي الفترة هذه الحل | |
| 204 | |
| 00:24:32,550 --> 00:24:37,830 | |
| التاني ممكن نثبت أن الدالة هذه لمساش برضه و أستخدم | |
| 205 | |
| 00:24:37,830 --> 00:24:38,710 | |
| نظرية هذه | |
| 206 | |
| 00:24:41,510 --> 00:24:48,950 | |
| انشوف مع بعض، هنا البرهان تاني أو برهان رقم اتنين، | |
| 207 | |
| 00:24:48,950 --> 00:24:58,810 | |
| proof اتنين claim | |
| 208 | |
| 00:24:58,810 --> 00:25:03,950 | |
| انه F is لبسش | |
| 209 | |
| 00:25:08,200 --> 00:25:18,740 | |
| on a التي هي الفترة المغلفة من سفر إلى بى | |
| 210 | |
| 00:25:18,740 --> 00:25:26,260 | |
| فالإثبات هذا الكلام تعالى نشوف هي absolute f of x | |
| 211 | |
| 00:25:26,260 --> 00:25:35,000 | |
| minus f of u ايش بيساوي absolute x | |
| 212 | |
| 00:25:35,820 --> 00:25:43,960 | |
| تربية minus U تربية بساوي absolute X زائد U في | |
| 213 | |
| 00:25:43,960 --> 00:25:51,860 | |
| absolute X minus U وهذا بساوي absolute X زائد U في | |
| 214 | |
| 00:25:51,860 --> 00:25:58,640 | |
| absolute X negative U و by triangle inequality | |
| 215 | |
| 00:25:58,640 --> 00:26:04,330 | |
| absolute X زائد U أصغر من أو ساوي absolute Xزاد | |
| 216 | |
| 00:26:04,330 --> 00:26:13,910 | |
| absolute u كل هذا مضروف absolute x minus u الان | |
| 217 | |
| 00:26:13,910 --> 00:26:19,970 | |
| ال u و ال x ينتموا للمجال تبع الدولة وبالتالي | |
| 218 | |
| 00:26:19,970 --> 00:26:29,990 | |
| كلاهما عداد غير سالفة و كلاهما أصغر من أو يساوي ال | |
| 219 | |
| 00:26:29,990 --> 00:26:37,320 | |
| b صح؟إن هذا أصغر من أوي ساوي بي زائد بي في | |
| 220 | |
| 00:26:37,320 --> 00:26:45,420 | |
| absolute x minus u for all x و u ينتموا للمجموع | |
| 221 | |
| 00:26:45,420 --> 00:26:52,520 | |
| اللي هي الفترة المغلفة من سفر إلى بي طبعا هذا | |
| 222 | |
| 00:26:52,520 --> 00:27:01,660 | |
| بساوياتنين بي في absolute x minus u for all x و u | |
| 223 | |
| 00:27:01,660 --> 00:27:08,820 | |
| تنتمي الى a اذا هاي شرط لبسيش اتحقق with k بيساو | |
| 224 | |
| 00:27:08,820 --> 00:27:17,340 | |
| اتنين بيعدد موجب اذا هنا take k | |
| 225 | |
| 00:27:17,340 --> 00:27:21,800 | |
| بيساو اتنين بيعدد موجب | |
| 226 | |
| 00:27:36,690 --> 00:27:38,510 | |
| Okay طبعا | |
| 227 | |
| 00:27:54,180 --> 00:28:09,940 | |
| واضح البران في اي سؤال او استفسار في | |
| 228 | |
| 00:28:09,940 --> 00:28:17,160 | |
| عندي نظرية تتعلق بال uniform الها علاقة بال | |
| 229 | |
| 00:28:17,160 --> 00:28:22,180 | |
| uniform continuity وهي النظرية التالية | |
| 230 | |
| 00:28:38,260 --> 00:28:49,440 | |
| فيرم if if from a to r is uniformly is uniformly | |
| 231 | |
| 00:28:49,440 --> 00:28:52,540 | |
| continuous | |
| 232 | |
| 00:28:52,540 --> 00:29:00,780 | |
| on a then | |
| 233 | |
| 00:29:03,000 --> 00:29:09,640 | |
| For any Cauchy Sequence | |
| 234 | |
| 00:29:09,640 --> 00:29:18,780 | |
| xn contained in A The | |
| 235 | |
| 00:29:18,780 --> 00:29:22,700 | |
| sequence f | |
| 236 | |
| 00:29:22,700 --> 00:29:31,580 | |
| of xn اللي هي ال image لسيقونس xn is Cauchy | |
| 237 | |
| 00:29:33,110 --> 00:29:40,090 | |
| in R that | |
| 238 | |
| 00:29:40,090 --> 00:29:45,950 | |
| is that | |
| 239 | |
| 00:29:45,950 --> 00:29:56,030 | |
| is هذا يعني هذا يعني هذا يعني انه uniformly | |
| 240 | |
| 00:29:56,030 --> 00:30:01,090 | |
| uniformly continuous | |
| 241 | |
| 00:30:04,960 --> 00:30:18,040 | |
| functions preserve كوشي | |
| 242 | |
| 00:30:18,040 --> 00:30:22,460 | |
| sequences | |
| 243 | |
| 00:30:27,960 --> 00:30:34,420 | |
| يعني الدوال اللي بتكون متصل اتصال منتظم بتحافظ على | |
| 244 | |
| 00:30:34,420 --> 00:30:39,960 | |
| cushy sequences بمعنى انه لو كانت xn cushy | |
| 245 | |
| 00:30:39,960 --> 00:30:46,260 | |
| sequence في المجال تبع الدالة A فصورتها هتطلع | |
| 246 | |
| 00:30:46,260 --> 00:30:52,080 | |
| cushy sequence في المجال المقابل R والبرهان سهل | |
| 247 | |
| 00:30:53,210 --> 00:30:57,390 | |
| طبعا هذا بس صحيح لل uniform ل continuous functions | |
| 248 | |
| 00:30:57,390 --> 00:31:02,350 | |
| أما لو كانت ال function بس continuous فمش شرط | |
| 249 | |
| 00:31:02,350 --> 00:31:07,510 | |
| اتحافظ على كوشي sequences والبرهان | |
| 250 | |
| 00:31:07,510 --> 00:31:18,670 | |
| سهل بسيط prove let | |
| 251 | |
| 00:31:18,670 --> 00:31:29,880 | |
| if from A to Rب uniformly continuous on | |
| 252 | |
| 00:31:29,880 --> 00:31:44,240 | |
| a and let x in contained in a,b كوشي كوشي sequence | |
| 253 | |
| 00:31:44,240 --> 00:31:50,420 | |
| و بدنا نثبت ان ال image لل sequence x in بتطلع | |
| 254 | |
| 00:31:50,420 --> 00:31:57,060 | |
| كوشي طيبto show ان | |
| 255 | |
| 00:31:57,060 --> 00:32:09,340 | |
| ال image لسيكوينس XN is Cauchy لبرهان | |
| 256 | |
| 00:32:09,340 --> 00:32:15,180 | |
| ان ال sequence هذه ال image لسيكوينس XN is Cauchy | |
| 257 | |
| 00:32:15,180 --> 00:32:24,130 | |
| نحاول نطبق تعريف Cauchysequence او نحاول نحقق شرط | |
| 258 | |
| 00:32:24,130 --> 00:32:31,290 | |
| كوشي فكيف نحقق قولت epsilon أكبر من السفر بيه جبن | |
| 259 | |
| 00:32:31,290 --> 00:32:39,210 | |
| وبينا نرد عليها بcapital N تحققلي شرط كوشي طيب | |
| 260 | |
| 00:32:39,210 --> 00:32:44,110 | |
| since if | |
| 261 | |
| 00:32:44,110 --> 00:32:45,390 | |
| is uniformly | |
| 262 | |
| 00:32:47,670 --> 00:32:55,510 | |
| continuous on a إذا لأي إبسلون موجبة زي هذه يوجد | |
| 263 | |
| 00:32:55,510 --> 00:33:02,650 | |
| إذا | |
| 264 | |
| 00:33:02,650 --> 00:33:09,410 | |
| لأي إبسلون زي هذهمع ان if uniform continuous اذا | |
| 265 | |
| 00:33:09,410 --> 00:33:13,670 | |
| لأي epsilon حسب تعريف ال uniform continuity يوجد | |
| 266 | |
| 00:33:13,670 --> 00:33:21,510 | |
| delta تعتمد على epsilon عدد موجة بحيث انه لو كان x | |
| 267 | |
| 00:33:24,390 --> 00:33:30,090 | |
| و U موجودين في A و Absolute X minus U أصغر من | |
| 268 | |
| 00:33:30,090 --> 00:33:37,570 | |
| Delta فهذا بعدي أن Absolute F of X minus F of U | |
| 269 | |
| 00:33:37,570 --> 00:33:47,250 | |
| أصغر من Y نسمي ال implication head star الان | |
| 270 | |
| 00:33:47,250 --> 00:33:53,610 | |
| since ال sequence X in is Cauchy | |
| 271 | |
| 00:33:58,410 --> 00:34:02,810 | |
| then و delta and | |
| 272 | |
| 00:34:02,810 --> 00:34:11,090 | |
| delta أكبر من السفر طبعا هذه given is given ال | |
| 273 | |
| 00:34:11,090 --> 00:34:13,850 | |
| delta هذه قلنا يوجد delta عدد موجة بما أن هذه | |
| 274 | |
| 00:34:13,850 --> 00:34:20,650 | |
| تعتبر given delta فلل delta هذه اللي هنا عدد موجة | |
| 275 | |
| 00:34:20,650 --> 00:34:27,960 | |
| بما أن xn is Cauchyإذا there exist يوجد capital N | |
| 276 | |
| 00:34:27,960 --> 00:34:37,220 | |
| يعتمد على delta عدد طبيعي بحيث انه شرط كوشي يتحقق | |
| 277 | |
| 00:34:37,220 --> 00:34:43,140 | |
| وهو لكل N و M أكبر من أو ساوي capital N بطل عندي | |
| 278 | |
| 00:34:43,140 --> 00:34:49,040 | |
| absolute xn minus xm أصغر من delta | |
| 279 | |
| 00:34:52,280 --> 00:35:01,060 | |
| بنسمي هذه double star now star and double star | |
| 280 | |
| 00:35:01,060 --> 00:35:14,240 | |
| بيقدّوا أنه يوجد capital N يعتمد على epsilon لأن | |
| 281 | |
| 00:35:14,240 --> 00:35:18,800 | |
| ال delta بتعتمد على epsilonالـ delta بتعتمد على | |
| 282 | |
| 00:35:18,800 --> 00:35:26,260 | |
| إبسلون، ملاحظة الحال ف N هذه نفسها N of delta | |
| 283 | |
| 00:35:26,260 --> 00:35:33,360 | |
| بيساوي N of إبسلون بتتمي ل N بحيث أنه لو كان N و M | |
| 284 | |
| 00:35:33,360 --> 00:35:40,480 | |
| أكبر من أوي ساوي capital N فهذا بيقدّي أنه by | |
| 285 | |
| 00:35:40,480 --> 00:35:48,270 | |
| double starهذا بيقدم absolute xn minus xm أصغر من | |
| 286 | |
| 00:35:48,270 --> 00:35:55,450 | |
| دلتا وحسب ال star by star ال star بتقول لو كان | |
| 287 | |
| 00:35:55,450 --> 00:36:01,030 | |
| عندي x و u المسافة بينهم أصغر من دلتا فالمسافة بين | |
| 288 | |
| 00:36:01,030 --> 00:36:08,790 | |
| صورهم اللي هي xn هنا وصورة ال xm تطلع أصغر من إبسم | |
| 289 | |
| 00:36:10,550 --> 00:36:16,550 | |
| تمام؟ إذا هنا أثبتت لأي إبسلون أكبر من السفر يوجد | |
| 290 | |
| 00:36:16,550 --> 00:36:20,830 | |
| capital N يعتمد على إبسلون عدد طبيعي بحيث لكل M M | |
| 291 | |
| 00:36:20,830 --> 00:36:25,510 | |
| أكبر من أو ساوي capital N طلع المسافة بين F of X M | |
| 292 | |
| 00:36:25,510 --> 00:36:31,650 | |
| و F of X M أصغر من إبسلون إذا بما أنه since إبسلون | |
| 293 | |
| 00:36:31,650 --> 00:36:39,100 | |
| أكبر من السفر was arbitraryإذا الـ sequence f of x | |
| 294 | |
| 00:36:39,100 --> 00:36:45,120 | |
| in is Cauchy تطلع الـ sequence هذه Cauchy وهو | |
| 295 | |
| 00:36:45,120 --> 00:36:54,080 | |
| المطلوب okay تمام ممكن نستخدم النظرية هذه ممكن | |
| 296 | |
| 00:36:54,080 --> 00:37:01,400 | |
| نستخدم النظرية هذه في ال .. | |
| 297 | |
| 00:37:01,400 --> 00:37:06,320 | |
| ان نثبت ان function معينة ليستuniform and | |
| 298 | |
| 00:37:06,320 --> 00:37:16,200 | |
| continuous هاي example use | |
| 299 | |
| 00:37:16,200 --> 00:37:20,100 | |
| above theorem | |
| 300 | |
| 00:37:20,100 --> 00:37:31,860 | |
| to show ال function f of x بالسعر واحد على x is | |
| 301 | |
| 00:37:31,860 --> 00:37:32,280 | |
| not | |
| 302 | |
| 00:37:35,480 --> 00:37:43,220 | |
| uniformly continuous on a بساوي الفترة المفتوحة من | |
| 303 | |
| 00:37:43,220 --> 00:37:44,680 | |
| صفر إلى ملا نهار | |
| 304 | |
| 00:37:57,800 --> 00:38:01,060 | |
| لحظة ان النظرية دي ايش بتقول لو كانت ال function | |
| 305 | |
| 00:38:01,060 --> 00:38:05,140 | |
| uniform ل continuous فلازم تحافظ على كوشي sequence | |
| 306 | |
| 00:38:05,140 --> 00:38:09,440 | |
| طب لو محافظتش على كوشي sequence مش ممكن تكون | |
| 307 | |
| 00:38:09,440 --> 00:38:17,260 | |
| uniform ل continuous صح؟ مظبوط؟ اذا هنا proof | |
| 308 | |
| 00:38:17,260 --> 00:38:25,680 | |
| by above theorem حسب النظرية على it suffices | |
| 309 | |
| 00:38:28,360 --> 00:38:36,220 | |
| to show يكفي اثبات ان f is .. if does not .. if | |
| 310 | |
| 00:38:36,220 --> 00:38:46,960 | |
| does .. does not preserve .. preserve Cauchy | |
| 311 | |
| 00:38:46,960 --> 00:38:52,860 | |
| sequences ف | |
| 312 | |
| 00:38:52,860 --> 00:38:53,500 | |
| consider | |
| 313 | |
| 00:38:56,930 --> 00:39:03,270 | |
| consider ال sequence xn اللي هي بساوي واحد على ن | |
| 314 | |
| 00:39:03,270 --> 00:39:11,470 | |
| ال sequence هذه converge لصفر وبالتالي | |
| 315 | |
| 00:39:11,470 --> 00:39:25,130 | |
| اذا xn is Cauchy تمام but صورة ال xn | |
| 316 | |
| 00:39:28,660 --> 00:39:37,460 | |
| أيش بتطلع؟ صورة الواحد على ان تطلع ال sequence in | |
| 317 | |
| 00:39:37,460 --> 00:39:43,620 | |
| صح؟ و ال sequence هذه properly divergent to | |
| 318 | |
| 00:39:43,620 --> 00:39:49,760 | |
| infinity، اذا I'm divergent، اذا I'm not Cauchy | |
| 319 | |
| 00:39:49,760 --> 00:39:54,220 | |
| تمام؟ | |
| 320 | |
| 00:39:57,130 --> 00:40:01,450 | |
| Okay؟ وبالتالي إذا هاي في عندي .. هاي في عندي .. | |
| 321 | |
| 00:40:01,450 --> 00:40:08,790 | |
| إذا if لا تحافظ على ال koshi sequences إذا if does | |
| 322 | |
| 00:40:08,790 --> 00:40:13,210 | |
| not preserve | |
| 323 | |
| 00:40:13,210 --> 00:40:19,050 | |
| .. preserve koshi | |
| 324 | |
| 00:40:26,330 --> 00:40:31,610 | |
| sequences وبالتالي حسب النظرية الأخيرة مابتكونش | |
| 325 | |
| 00:40:31,610 --> 00:40:34,630 | |
| uniformly continuous لأن لو كانت uniformly | |
| 326 | |
| 00:40:34,630 --> 00:40:38,370 | |
| continuous فالمفروض تاخد كوشي sequence زي هذه | |
| 327 | |
| 00:40:38,370 --> 00:40:42,730 | |
| تعطينا صورتها كوشي sequence وهذا مستحيل okay تمام | |
| 328 | |
| 00:40:42,730 --> 00:40:47,970 | |
| واضح في أي سؤال اي استفسار اذا هيك نكتفي بهذا | |
| 329 | |
| 00:40:47,970 --> 00:40:52,540 | |
| القدر من section خمسة اربعة وزي ما حكينا سابقاهذا | |
| 330 | |
| 00:40:52,540 --> 00:40:57,260 | |
| كان آخر section هناخده في المقرر و بالتالي هيكون | |
| 331 | |
| 00:40:57,260 --> 00:41:03,400 | |
| يعني .. يعني ان شاء الله أنهينا ال course كما هو | |
| 332 | |
| 00:41:03,400 --> 00:41:10,600 | |
| موضح على ال syllabus فشكرا لكم و شكرا لحسن إصداركم | |
| 333 | |
| 00:41:10,600 --> 00:41:13,580 | |
| و يعطيكم ألف عافية | |