data/json/2022/math_30_geom.txt

30. 좌표공간에 중심이 $\mathrm{C}(2, \sqrt{5}, 5)$이고 점 $\mathrm{P}(0, 0, 1)$을 지나는 구

\[
S: (x - 2)^2 + (y - \sqrt{5})^2 + (z - 5)^2 = 25
\]

가 있다. 구 $S$가 평면 $\mathrm{OPC}$와 만나서 생기는 원 위를 움직이는 점 $\mathrm{Q}$, 구 $S$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{R}$에 대하여 두 점 $\mathrm{Q}, \mathrm{R}$의 $xy$평면 위로의 정사영을 각각 $\mathrm{Q}_1, \mathrm{R}_1$이라 하자.

삼각형 $\mathrm{O}\mathrm{Q}_1\mathrm{R}_1$의 넓이가 최대가 되도록 하는 두 점 $\mathrm{Q}, \mathrm{R}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{O}\mathrm{Q}_1\mathrm{R}_1$의 평면 $\mathrm{PQR}$ 위로의 정사영의 넓이는 $\frac{q}{p} \sqrt{6}$이다. $p+q$의 값을 구하시오.

(단, $\mathrm{O}$는 원점이고 세 점 $\mathrm{O}, \mathrm{Q}_1, \mathrm{R}_1$은 한 직선 위에 있지 않으며, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]