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DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicio 23

#julioprofe explica cómo obtener la primera #derivada de una función, de dos maneras distintas. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a derivar esta función utilizando dos caminos diferentes. El primero será considerándola tal como está, es decir, aplicando la regla de la cadena para potencias, y la otra alternativa será transformando primero toda esta expresión para luego proceder a derivarla. Entonces comenzamos con la primera opción. Hacemos aquí una expresión elevada a un exponente numérico donde vamos a utilizar la regla de la cadena para potencias. Vamos a recordar el modelo. Si tenemos manzanita a la n, la manzanita es toda esta expresión, n es el número 2, entonces la derivada de esa expresión será n por manzanita a la n menos 1, y todo esto multiplicado por la derivada de la manzanita. Esto es lo que se llama la regla de la cadena para potencias, y esto es la derivada interna, la derivada de lo que tenemos en la base. Entonces, siguiendo esta instrucción, la derivada de esa función que se denota como g' de x será igual a lo siguiente. Baja el exponente n, es decir, el 2, esto multiplicado por la manzanita sin derivar, o sea esa expresión e a la menos x más e a la x, todo esto elevado al exponente n menos 1, o sea 2 menos 1, y todo esto multiplicado a su vez por la derivada interna o la derivada de la manzanita. Vamos entonces a anotarla por acá como la derivada interna, la derivada de lo que tenemos en la base. Enseguida efectuamos esta operación y derivamos esto que tenemos acá, entonces g' de x será igual a 2 por, esto nos da como resultado 1, y ese exponente puede hacerse invisible, nos queda simplemente e a la menos x más e a la x, y todo esto multiplicado por la derivada de esta expresión, como tenemos una suma derivamos cada uno de sus componentes. Entonces, para derivar e a la menos x aplicamos esta formulita, si tenemos e a la manzanita, en ese caso la manzanita es el exponente menos x, la derivada de eso es ella misma, o sea e a la manzanita por la derivada de la manzanita, esta es la regla de la cadena para la función exponencial que tiene como base el número de Euler. Entonces, leamos, en este caso la derivada de e a la menos x siguiendo esta instrucción será e a la menos x, o sea e a la manzanita por la derivada de la manzanita, la derivada de menos x que es menos 1, más la derivada de e a la x que recordemos es ella misma, y cerramos el paréntesis. Ahora vamos a pulir toda esta expresión, ya hemos terminado el proceso de derivación, ahora lo que sigue es organizarla un poco utilizando el álgebra, todo esto permanece igual e a la menos x más e a la x, y acá tendremos lo siguiente, e a la menos x por menos 1 será menos e a la menos x, y todo esto más e a la x. A su vez podemos reescribir esto de la siguiente manera, e prima de x es igual a 2 por, vamos a cambiar el orden de estos dos términos, nos queda e a la x más e a la menos x, y lo mismo hacemos acá, nos queda primero e a la x y luego el término menos e a la menos x. Aquí observamos una situación que se llama suma por diferencia, vamos a recordar ese producto notable que es bien importante en el álgebra a más b por a menos b y que es igual a la primera cantidad al cuadrado menos la segunda cantidad al cuadrado, produce como resultado una diferencia de cuadrados perfectos, entonces eso podemos aplicarlo aquí, nos queda entonces g prima de x igual a 2 por, vamos a abrir un corchete, entonces aquí tenemos esto hace el papel de a, luego tenemos a al cuadrado que sería e a la x, todo esto al cuadrado menos esta cantidad que hace el papel de b y que nos queda aquí como b al cuadrado, o sea e a la menos x todo esto al cuadrado y cerramos el corchete. Ahora aquí podemos aplicar propiedad de la potenciación, esa que se llama potencia de una potencia, si tenemos una potencia a a la n, esto elevado al exponente m, entonces conservamos la base y multiplicamos los exponentes, es la situación que tenemos aquí, entonces la derivada que prima de x será igual a 2 por, ya podemos cambiar esos corchetes por paréntesis, ya acá tenemos e, conservamos la base y multiplicamos los exponentes, x por 2 nos da 2x, en el otro término tenemos la misma base que es e y multiplicamos los exponentes, menos x por 2 nos da menos 2x. Entonces esta expresión la escribimos por acá y constituye la derivada de la función original, ahora veamos el otro camino que podemos tomar para derivar esta función y obtener esta expresión, consiste en transformar primero todo esto que tenemos aquí, que constituye un binomio elevado al cuadrado, vamos a recordar ese producto notable, si tenemos una suma de dos cantidades a más b, todo eso al cuadrado, esto es igual a la primera cantidad al cuadrado más dos veces la primera por la segunda más la segunda cantidad al cuadrado, entonces siguiendo esta instrucción, este producto notable, vamos a desarrollar la función original, nos queda g de x igual a la primera cantidad e a la menos x al cuadrado, luego tenemos más dos veces la primera cantidad por la segunda, o sea 2 por e a la menos x por e a la x y esto más la segunda cantidad que es e a la x, esto elevado al cuadrado. Desarrollamos ahora lo que tenemos en cada término, la función g de x queda igual a lo siguiente, aquí tenemos potencia de una potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes, menos x por 2 es menos 2x, luego tenemos más 2 por aquí, tenemos el producto de dos potencias con la misma base, vamos a recordar esa propiedad de la potenciación, si tenemos a a la m por a a la m, entonces se conserva la base y se suman los exponentes, entonces aquí tendremos la misma base que es el número e y hacemos la suma de los exponentes y acá tenemos otra vez potencia de una potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes, x por 2 nos da 2x. En el segundo término tendremos que esto equivale a e elevado al exponente cero, menos x más x nos da cero y e a la cero equivale a 1, por lo tanto allí tendremos 2 por 1 que es simplemente 2, por lo tanto la función nos queda así, queda x igual a e a la menos 2x más 2 y todo esto más e a la 2x. Ahora sí podemos derivar esta expresión, aparece entonces por primera vez e' de x, como se observa aquí tenemos una suma de términos, entonces derivamos cada uno de ellos, para derivar este aplicamos la regla de e a la manzanita, la que vimos ahora, la derivada de esto será e a la manzanita, e a la menos 2x por la derivada de la manzanita, la derivada del exponente, o sea la derivada de menos 2x que es menos 2. Pasamos al siguiente término donde tenemos una constante y la derivada de una constante, la derivada de 2 nos da cero. Pasamos al otro término donde vuelve a aplicarse la derivada de e a la manzanita, es ella misma, e a la manzanita por la derivada de la manzanita, la derivada del exponente que será 2. Organizando todo esto que obtuvimos nos queda e' de x igual, aquí e a la menos 2x por menos 2 será menos 2e a la menos 2x, y acá el último término nos queda 2 por e a la 2x. Allí podemos cambiar el orden de los términos, entonces g' de x es igual a 2e a la 2x y después este, menos 2e a la menos 2x. Y a su vez allí podemos extraer como factor común el número 2, si sale el 2 nos queda factor de e a la 2x menos e a la menos 2x. Y como se observa es la misma expresión que tenemos aquí. Entonces hemos visto dos caminos distintos para obtener la expresión que constituye la derivada de esta función. Ahora lo que podemos hacer para terminar es llevar esto a su forma más simple sin que quede con exponentes negativos. Tendremos entonces g' de x igual a 2 por, abrimos paréntesis, e a la 2x menos esta expresión donde vamos a aplicar la propiedad de la potenciación para el exponente negativo. Si tenemos a a la menos n esto es igual a 1 sobre a a la n, por lo tanto e a la menos 2x nos va a quedar 1 sobre e a la 2x y cerramos el paréntesis. Ahora esta expresión e a la 2x tiene denominador 1 y podemos resolver esta resta de fracciones con distinto denominador aplicando la técnica o el truco de la carita feliz. Vamos a recordarlo. Si tenemos a sobre b más o menos c sobre d esto es igual a lo siguiente, a por d más o menos b por c y acá tenemos b por d. Es la forma rápida de efectuar una suma o resta de dos fracciones heterogéneas o fracciones con distinto denominador, a por d, b por c y en el denominador b por d, o sea lo que se conoce como la carita feliz. Entonces g' de x nos queda 2 por, abrimos el paréntesis, trazamos la línea de la fracción y efectuamos esto por esto, o sea a por d, e a la 2x por e a la 2x es un producto de potencias con la misma base, se conserva la base y se suman los exponentes, 2x más 2x nos da 4x. Luego tenemos menos, 1 por 1, allí estamos efectuando el producto b por c, eso nos da 1 y abajo 1 por e a la 2x que nos da e a la 2x, allí hemos efectuado b por d. Finalmente y para que nos quede mejor presentada la expresión de la derivada, resolvemos esta operación, ese 2 tiene denominador 1 y entonces tenemos allí una multiplicación de fracciones, recordemos que se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí, entonces nos queda g' de x igual a lo siguiente, trazamos la línea de la fracción y en el numerador tendremos 2 por esta expresión e a la 4x menos 1, mientras que en el denominador tendremos 1 por e a la 2x que es e a la 2x. Y así terminamos este ejercicio, esta expresión constituye la primera derivada de esta función que nos dieron.

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Ahora s\u00ed podemos derivar"}, {"start": 508.26, "end": 515.76, "text": " esta expresi\u00f3n, aparece entonces por primera vez e' de x, como se observa aqu\u00ed tenemos"}, {"start": 515.76, "end": 522.36, "text": " una suma de t\u00e9rminos, entonces derivamos cada uno de ellos, para derivar este aplicamos"}, {"start": 522.36, "end": 529.04, "text": " la regla de e a la manzanita, la que vimos ahora, la derivada de esto ser\u00e1 e a la manzanita,"}, {"start": 529.04, "end": 535.6, "text": " e a la menos 2x por la derivada de la manzanita, la derivada del exponente, o sea la derivada"}, {"start": 535.6, "end": 543.28, "text": " de menos 2x que es menos 2. Pasamos al siguiente t\u00e9rmino donde tenemos una constante y la derivada"}, {"start": 543.28, "end": 549.48, "text": " de una constante, la derivada de 2 nos da cero. Pasamos al otro t\u00e9rmino donde vuelve"}, {"start": 549.48, "end": 557.16, "text": " a aplicarse la derivada de e a la manzanita, es ella misma, e a la manzanita por la derivada"}, {"start": 557.16, "end": 564.64, "text": " de la manzanita, la derivada del exponente que ser\u00e1 2. Organizando todo esto que obtuvimos"}, {"start": 564.64, "end": 574.8, "text": " nos queda e' de x igual, aqu\u00ed e a la menos 2x por menos 2 ser\u00e1 menos 2e a la menos 2x,"}, {"start": 574.8, "end": 583.36, "text": " y ac\u00e1 el \u00faltimo t\u00e9rmino nos queda 2 por e a la 2x. All\u00ed podemos cambiar el orden"}, {"start": 583.36, "end": 593.48, "text": " de los t\u00e9rminos, entonces g' de x es igual a 2e a la 2x y despu\u00e9s este, menos 2e a la"}, {"start": 593.48, "end": 601.4, "text": " menos 2x. Y a su vez all\u00ed podemos extraer como factor com\u00fan el n\u00famero 2, si sale el"}, {"start": 601.4, "end": 611.6800000000001, "text": " 2 nos queda factor de e a la 2x menos e a la menos 2x. Y como se observa es la misma"}, {"start": 611.6800000000001, "end": 617.9200000000001, "text": " expresi\u00f3n que tenemos aqu\u00ed. Entonces hemos visto dos caminos distintos para obtener la"}, {"start": 617.92, "end": 623.36, "text": " expresi\u00f3n que constituye la derivada de esta funci\u00f3n. Ahora lo que podemos hacer para"}, {"start": 623.36, "end": 630.36, "text": " terminar es llevar esto a su forma m\u00e1s simple sin que quede con exponentes negativos. Tendremos"}, {"start": 630.36, "end": 640.56, "text": " entonces g' de x igual a 2 por, abrimos par\u00e9ntesis, e a la 2x menos esta expresi\u00f3n donde vamos"}, {"start": 640.56, "end": 646.4399999999999, "text": " a aplicar la propiedad de la potenciaci\u00f3n para el exponente negativo. Si tenemos a a"}, {"start": 646.44, "end": 654.6400000000001, "text": " la menos n esto es igual a 1 sobre a a la n, por lo tanto e a la menos 2x nos va a quedar"}, {"start": 654.6400000000001, "end": 665.24, "text": " 1 sobre e a la 2x y cerramos el par\u00e9ntesis. Ahora esta expresi\u00f3n e a la 2x tiene denominador"}, {"start": 665.24, "end": 672.6, "text": " 1 y podemos resolver esta resta de fracciones con distinto denominador aplicando la t\u00e9cnica"}, {"start": 672.6, "end": 679.72, "text": " o el truco de la carita feliz. Vamos a recordarlo. Si tenemos a sobre b m\u00e1s o menos c sobre"}, {"start": 679.72, "end": 689.88, "text": " d esto es igual a lo siguiente, a por d m\u00e1s o menos b por c y ac\u00e1 tenemos b por d. Es"}, {"start": 689.88, "end": 695.9200000000001, "text": " la forma r\u00e1pida de efectuar una suma o resta de dos fracciones heterog\u00e9neas o fracciones"}, {"start": 695.92, "end": 703.36, "text": " con distinto denominador, a por d, b por c y en el denominador b por d, o sea lo que"}, {"start": 703.36, "end": 711.4799999999999, "text": " se conoce como la carita feliz. Entonces g' de x nos queda 2 por, abrimos el par\u00e9ntesis,"}, {"start": 711.4799999999999, "end": 718.5999999999999, "text": " trazamos la l\u00ednea de la fracci\u00f3n y efectuamos esto por esto, o sea a por d, e a la 2x por"}, {"start": 718.5999999999999, "end": 725.1999999999999, "text": " e a la 2x es un producto de potencias con la misma base, se conserva la base y se suman"}, {"start": 725.2, "end": 733.48, "text": " los exponentes, 2x m\u00e1s 2x nos da 4x. Luego tenemos menos, 1 por 1, all\u00ed estamos efectuando"}, {"start": 733.48, "end": 741.48, "text": " el producto b por c, eso nos da 1 y abajo 1 por e a la 2x que nos da e a la 2x, all\u00ed"}, {"start": 741.48, "end": 747.2, "text": " hemos efectuado b por d. Finalmente y para que nos quede mejor presentada la expresi\u00f3n"}, {"start": 747.2, "end": 754.96, "text": " de la derivada, resolvemos esta operaci\u00f3n, ese 2 tiene denominador 1 y entonces tenemos"}, {"start": 754.96, "end": 760.96, "text": " all\u00ed una multiplicaci\u00f3n de fracciones, recordemos que se multiplican numeradores entre s\u00ed y"}, {"start": 760.96, "end": 769.44, "text": " denominadores entre s\u00ed, entonces nos queda g' de x igual a lo siguiente, trazamos la"}, {"start": 769.44, "end": 779.52, "text": " l\u00ednea de la fracci\u00f3n y en el numerador tendremos 2 por esta expresi\u00f3n e a la 4x menos 1, mientras"}, {"start": 779.52, "end": 787.84, "text": " que en el denominador tendremos 1 por e a la 2x que es e a la 2x. Y as\u00ed terminamos este"}, {"start": 787.84, "end": 810.32, "text": " ejercicio, esta expresi\u00f3n constituye la primera derivada de esta funci\u00f3n que nos dieron."}]

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ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FÓRMULA GENERAL - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación cuadrática o de segundo grado utilizando la Fórmula Cuadrática o General. Al final, hace la comprobación en calculadora. Tema: #EcuacionesCuadráticas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEpWydxanXYPVtKm67Wn9HN REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente esta ecuación, es decir, vamos a encontrar el valor o los valores de X que hacen cierta esta igualdad. Haremos el proceso manualmente y al final haremos la comprobación en calculadora. Comenzamos rompiendo este paréntesis y para ello aplicamos la propiedad distributiva. Entonces tenemos 9X por 4 que nos da 36X y 9X por menos X que nos da menos 9X al cuadrado y todo esto es igual a 31. Allí observamos X al cuadrado, lo cual nos indica que esta será una ecuación cuadrática o de segundo grado. Vamos entonces a organizar esa ecuación. Recordemos que el modelo de una ecuación cuadrática es AX al cuadrado más BX más C igual a 0. Entonces vamos a llevarla a esta forma. Comenzamos pasando este número al lado izquierdo para que nos quede igual a 0. Entonces nos queda 36X menos 9X al cuadrado y todo esto menos 31 igual a 0. 31 está positivo en el lado derecho llega negativo al lado izquierdo. Es lo mismo que restar 31 a ambos lados de esta igualdad. Ahora acomodamos estos términos para que el trinomio nos quede organizado de esta manera, es decir, en forma descendente o decreciente. Comenzamos con el término menos 9X al cuadrado, después el término más 36X y por último el término independiente que es menos 31 y todo esto igual a 0. Allí podemos multiplicar ambos lados de esa igualdad por menos 1 con el objetivo de que el primer término nos quede con signo positivo. Entonces multiplicamos ambos lados de la igualdad por menos 1 y simplemente vamos a tener un cambio de signos. Este término queda positivo, este nos queda negativo, este nos queda positivo y al otro lado 0 por menos 1 sigue siendo 0. Entonces la ecuación original se ha transformado en esto que obtuvimos. Vamos a escribir esa expresión por acá, 9X al cuadrado menos 36X más 31 igual a 0. Una ecuación cuadrática o de segundo grado que ya encaja con este modelo. Vamos a resolver esa ecuación utilizando el método de la fórmula cuadrática o fórmula general. En este caso debemos identificar cuáles son los valores de A, B y C. Entonces tenemos que A es el coeficiente de X al cuadrado, en este caso A vale 9, B es el coeficiente de X, en este caso es menos 36 y C es el término independiente que en este caso es 31 positivo. Entonces escribimos la fórmula cuadrática o fórmula general, X es igual a menos B más o menos la raíz cuadrada de B al cuadrado menos 4AC y todo eso sobre 2A. Vamos a reemplazar entonces cada uno de esos valores. Tenemos el valor de B que es menos 36, es conveniente utilizar paréntesis para reemplazar cada valor, más o menos la raíz cuadrada de B al cuadrado, es decir menos 36 al cuadrado, todo esto menos 4 por el valor de A que es 9 por el valor de C que es 31 y todo eso sobre 2A, 2 por el valor de A que es 9. Ahora resolvemos cada una de esas operaciones, nos queda X igual a menos menos 36 nos da 36 positivo, todo esto más o menos la raíz cuadrada de menos 36 al cuadrado, lo podemos escribir como 36 por 36 y luego tenemos menos 4 por 9 por 31, aquí podemos hacer lo siguiente, 4 por 9 es 36 y esto queda multiplicando por 31 y todo eso sobre 2 por 9 que es 18, aquí hemos hecho lo siguiente, menos 36 al cuadrado es lo mismo que tener 36 al cuadrado porque recordemos que toda cantidad negativa elevada al cuadrado nos da positiva y 36 al cuadrado es lo mismo que 36 por 36. Continuamos con el desarrollo de las operaciones, tendremos X igual a 36 más o menos la raíz cuadrada de lo siguiente, aquí dentro de la raíz tenemos una resta de dos términos y en ellos hay factores, vemos que el número 36 se repite entonces podemos extraerlo como factor común, nos queda 36 que multiplica a 36 menos 31, hemos aplicado aquí la factorización, el caso llamado factor común y todo eso nos queda sobre 18. Continuamos con el desarrollo, tendremos X igual a 36 más o menos la raíz cuadrada de 36 que multiplica con 36 menos 31, es decir con 5 y todo eso continúa sobre 18. Aquí vamos a aplicar una propiedad de la radicación, recordemos que la raíz enésima de un producto A por B esto es igual a la raíz enésima de A por la raíz enésima de B, es decir cuando la raíz tiene un producto en su interior aquí en el radicando es lícito repartir la raíz, entonces si tenemos la raíz cuadrada de 36 por 5 eso será igual a la raíz cuadrada de 36 por la raíz cuadrada de 5, pero la raíz cuadrada de 36 es exacta, nos da 6 y eso queda multiplicando por la raíz cuadrada de 5, esta raíz es inexacta, por lo tanto la dejamos indicada. Entonces esto nos va a quedar así, 36 más o menos el resultado de esa raíz que nos dio 6 por raíz cuadrada de 5 y todo eso sobre 18. Ahora en el numerador de esta expresión también podemos aplicar la factorización, vamos a extraer factor común, allí observamos los números 36 y 6, aquí está contenido el 6, por lo tanto sale como factor común el 6, si sale el 6 en el primer termino nos queda 6 y en el segundo termino nos queda raíz cuadrada de 5 y todo eso nos queda sobre 18, allí podemos simplificar 6 y 18, podemos dividir ambos números por 6, decimos sexta de 6, 1, sexta de 18 nos da 3, por lo tanto x nos queda igual a 6 más o menos la raíz cuadrada de 5 y todo eso sobre 3. De esta manera obtenemos las dos soluciones para esta ecuación cuadrática o de segundo grado, vamos a escribirlas por acá, una primera solución que la llamamos x1 será 6 menos raíz cuadrada de 5 y todo esto sobre 3, la segunda solución que la llamamos x2 será entonces 6 más raíz cuadrada de 5 y todo esto sobre 3. De esta manera hemos resuelto manualmente la ecuación utilizando la fórmula cuadrática o fórmula general, allí hemos encontrado los dos valores de x que satisfacen esa ecuación, vemos que son valores reales, en seguida vamos a realizar la comprobación utilizando esta calculadora científica, comenzamos oprimiendo el botón menú, allí vemos en pantalla unas opciones, nos movemos con los botones del navegador hasta la opción A que es la que corresponde a las ecuaciones, oprimimos entonces el botón igual para ingresar a ese modo, allí tenemos dos opciones, la opción 1 corresponde a sistemas de ecuaciones lineales, la opción 2 corresponde a ecuaciones polinómicas, como en este caso tenemos un polinomio de segundo grado igualado a cero, entonces vamos a escoger la opción 2, oprimimos la tecla del 2 e ingresamos a una opción donde la calculadora nos pregunta el grado del polinomio, como decíamos es de grado 2, entonces oprimimos la tecla del 2 y allí entramos a lo que es el modelo ax cuadrado más bx más c, la calculadora nos pide los valores de esas letras, comenzamos con el valor A que es el que acompaña a x al cuadrado, en este caso recordemos que es 9, oprimimos el botón del 9 luego el igual y de esa manera ingresamos ese valor, allí vemos el 9 acompañando a x al cuadrado, luego vamos a ingresar al coeficiente de x que es menos 36, entonces oprimimos el botón del signo negativo, luego el 36 le damos igual y allí entra ese valor como acompañante de x, luego vamos con el término independiente que en este caso es más 31 o 31 positivo, entonces oprimimos esas teclas para ingresar ese número, le damos igual y allí ya lo tenemos en pantalla, posteriormente le damos otra vez el botón igual y allí nos aparece la primera solución 6 más raíz de 5 todo eso sobre 3, le damos igual nuevamente y vemos la otra solución 6 menos raíz de 5 y todo eso sobre 3. Bien, después de haber comprobado en calculadora que estas son las soluciones para esta ecuación cuadrática o para esa que teníamos originalmente, entonces vamos a escribir la respuesta de ese ejercicio, el conjunto solución para esa ecuación son los siguientes valores de x, comenzamos con el menor de ellos que es 6 menos la raíz cuadrada de 5 todo esto sobre 3 y después el mayor que sería 6 más raíz cuadrada de 5 y todo esto sobre 3, cerramos la llave, ese es el conjunto solución para esa ecuación que es cuadrática o de segundo grado.

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Tenemos el valor de B que es menos 36, es conveniente"}, {"start": 202.36, "end": 207.88, "text": " utilizar par\u00e9ntesis para reemplazar cada valor, m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de B"}, {"start": 207.88, "end": 215.16, "text": " al cuadrado, es decir menos 36 al cuadrado, todo esto menos 4 por el valor de A que es"}, {"start": 215.16, "end": 226.0, "text": " 9 por el valor de C que es 31 y todo eso sobre 2A, 2 por el valor de A que es 9. Ahora resolvemos"}, {"start": 226.0, "end": 234.4, "text": " cada una de esas operaciones, nos queda X igual a menos menos 36 nos da 36 positivo,"}, {"start": 234.4, "end": 239.88, "text": " todo esto m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de menos 36 al cuadrado, lo podemos escribir"}, {"start": 239.88, "end": 248.64000000000001, "text": " como 36 por 36 y luego tenemos menos 4 por 9 por 31, aqu\u00ed podemos hacer lo siguiente,"}, {"start": 248.64000000000001, "end": 258.6, "text": " 4 por 9 es 36 y esto queda multiplicando por 31 y todo eso sobre 2 por 9 que es 18, aqu\u00ed"}, {"start": 258.6, "end": 266.68, "text": " hemos hecho lo siguiente, menos 36 al cuadrado es lo mismo que tener 36 al cuadrado porque"}, {"start": 266.68, "end": 273.32000000000005, "text": " recordemos que toda cantidad negativa elevada al cuadrado nos da positiva y 36 al cuadrado"}, {"start": 273.32000000000005, "end": 280.40000000000003, "text": " es lo mismo que 36 por 36. Continuamos con el desarrollo de las operaciones, tendremos"}, {"start": 280.4, "end": 288.52, "text": " X igual a 36 m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de lo siguiente, aqu\u00ed dentro de la ra\u00edz"}, {"start": 288.52, "end": 295.03999999999996, "text": " tenemos una resta de dos t\u00e9rminos y en ellos hay factores, vemos que el n\u00famero 36 se repite"}, {"start": 295.03999999999996, "end": 304.0, "text": " entonces podemos extraerlo como factor com\u00fan, nos queda 36 que multiplica a 36 menos 31,"}, {"start": 304.0, "end": 309.2, "text": " hemos aplicado aqu\u00ed la factorizaci\u00f3n, el caso llamado factor com\u00fan y todo eso nos"}, {"start": 309.2, "end": 317.47999999999996, "text": " queda sobre 18. Continuamos con el desarrollo, tendremos X igual a 36 m\u00e1s o menos la ra\u00edz"}, {"start": 317.47999999999996, "end": 326.88, "text": " cuadrada de 36 que multiplica con 36 menos 31, es decir con 5 y todo eso contin\u00faa sobre"}, {"start": 326.88, "end": 334.12, "text": " 18. Aqu\u00ed vamos a aplicar una propiedad de la radicaci\u00f3n, recordemos que la ra\u00edz en\u00e9sima"}, {"start": 334.12, "end": 343.28000000000003, "text": " de un producto A por B esto es igual a la ra\u00edz en\u00e9sima de A por la ra\u00edz en\u00e9sima de"}, {"start": 343.28000000000003, "end": 350.5, "text": " B, es decir cuando la ra\u00edz tiene un producto en su interior aqu\u00ed en el radicando es l\u00edcito"}, {"start": 350.5, "end": 358.6, "text": " repartir la ra\u00edz, entonces si tenemos la ra\u00edz cuadrada de 36 por 5 eso ser\u00e1 igual"}, {"start": 358.6, "end": 367.96000000000004, "text": " a la ra\u00edz cuadrada de 36 por la ra\u00edz cuadrada de 5, pero la ra\u00edz cuadrada de 36 es exacta,"}, {"start": 367.96000000000004, "end": 374.24, "text": " nos da 6 y eso queda multiplicando por la ra\u00edz cuadrada de 5, esta ra\u00edz es inexacta,"}, {"start": 374.24, "end": 381.44, "text": " por lo tanto la dejamos indicada. Entonces esto nos va a quedar as\u00ed, 36 m\u00e1s o menos"}, {"start": 381.44, "end": 389.68, "text": " el resultado de esa ra\u00edz que nos dio 6 por ra\u00edz cuadrada de 5 y todo eso sobre 18."}, {"start": 389.68, "end": 395.04, "text": " Ahora en el numerador de esta expresi\u00f3n tambi\u00e9n podemos aplicar la factorizaci\u00f3n, vamos a"}, {"start": 395.04, "end": 402.0, "text": " extraer factor com\u00fan, all\u00ed observamos los n\u00fameros 36 y 6, aqu\u00ed est\u00e1 contenido el 6,"}, {"start": 402.0, "end": 407.64, "text": " por lo tanto sale como factor com\u00fan el 6, si sale el 6 en el primer termino nos queda"}, {"start": 407.64, "end": 416.56, "text": " 6 y en el segundo termino nos queda ra\u00edz cuadrada de 5 y todo eso nos queda sobre 18,"}, {"start": 416.56, "end": 423.12, "text": " all\u00ed podemos simplificar 6 y 18, podemos dividir ambos n\u00fameros por 6, decimos sexta"}, {"start": 423.12, "end": 432.28, "text": " de 6, 1, sexta de 18 nos da 3, por lo tanto x nos queda igual a 6 m\u00e1s o menos la ra\u00edz"}, {"start": 432.28, "end": 439.03999999999996, "text": " cuadrada de 5 y todo eso sobre 3. De esta manera obtenemos las dos soluciones"}, {"start": 439.03999999999996, "end": 445.15999999999997, "text": " para esta ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado, vamos a escribirlas por ac\u00e1, una primera"}, {"start": 445.15999999999997, "end": 453.71999999999997, "text": " soluci\u00f3n que la llamamos x1 ser\u00e1 6 menos ra\u00edz cuadrada de 5 y todo esto sobre 3, la"}, {"start": 453.71999999999997, "end": 461.15999999999997, "text": " segunda soluci\u00f3n que la llamamos x2 ser\u00e1 entonces 6 m\u00e1s ra\u00edz cuadrada de 5 y todo"}, {"start": 461.16, "end": 466.40000000000003, "text": " esto sobre 3. De esta manera hemos resuelto manualmente"}, {"start": 466.40000000000003, "end": 471.8, "text": " la ecuaci\u00f3n utilizando la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula general, all\u00ed hemos encontrado"}, {"start": 471.8, "end": 478.40000000000003, "text": " los dos valores de x que satisfacen esa ecuaci\u00f3n, vemos que son valores reales, en seguida"}, {"start": 478.40000000000003, "end": 484.20000000000005, "text": " vamos a realizar la comprobaci\u00f3n utilizando esta calculadora cient\u00edfica, comenzamos oprimiendo"}, {"start": 484.20000000000005, "end": 489.42, "text": " el bot\u00f3n men\u00fa, all\u00ed vemos en pantalla unas opciones, nos movemos con los botones del"}, {"start": 489.42, "end": 495.40000000000003, "text": " navegador hasta la opci\u00f3n A que es la que corresponde a las ecuaciones, oprimimos entonces"}, {"start": 495.40000000000003, "end": 501.66, "text": " el bot\u00f3n igual para ingresar a ese modo, all\u00ed tenemos dos opciones, la opci\u00f3n 1 corresponde"}, {"start": 501.66, "end": 507.28000000000003, "text": " a sistemas de ecuaciones lineales, la opci\u00f3n 2 corresponde a ecuaciones polin\u00f3micas, como"}, {"start": 507.28000000000003, "end": 512.36, "text": " en este caso tenemos un polinomio de segundo grado igualado a cero, entonces vamos a escoger"}, {"start": 512.36, "end": 518.84, "text": " la opci\u00f3n 2, oprimimos la tecla del 2 e ingresamos a una opci\u00f3n donde la calculadora"}, {"start": 518.84, "end": 525.12, "text": " nos pregunta el grado del polinomio, como dec\u00edamos es de grado 2, entonces oprimimos"}, {"start": 525.12, "end": 532.2800000000001, "text": " la tecla del 2 y all\u00ed entramos a lo que es el modelo ax cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c, la calculadora"}, {"start": 532.2800000000001, "end": 537.96, "text": " nos pide los valores de esas letras, comenzamos con el valor A que es el que acompa\u00f1a a x"}, {"start": 537.96, "end": 544.12, "text": " al cuadrado, en este caso recordemos que es 9, oprimimos el bot\u00f3n del 9 luego el igual"}, {"start": 544.12, "end": 550.28, "text": " y de esa manera ingresamos ese valor, all\u00ed vemos el 9 acompa\u00f1ando a x al cuadrado, luego"}, {"start": 550.28, "end": 555.76, "text": " vamos a ingresar al coeficiente de x que es menos 36, entonces oprimimos el bot\u00f3n"}, {"start": 555.76, "end": 561.88, "text": " del signo negativo, luego el 36 le damos igual y all\u00ed entra ese valor como acompa\u00f1ante"}, {"start": 561.88, "end": 568.76, "text": " de x, luego vamos con el t\u00e9rmino independiente que en este caso es m\u00e1s 31 o 31 positivo,"}, {"start": 568.76, "end": 574.3199999999999, "text": " entonces oprimimos esas teclas para ingresar ese n\u00famero, le damos igual y all\u00ed ya lo"}, {"start": 574.3199999999999, "end": 581.06, "text": " tenemos en pantalla, posteriormente le damos otra vez el bot\u00f3n igual y all\u00ed nos aparece"}, {"start": 581.06, "end": 588.4, "text": " la primera soluci\u00f3n 6 m\u00e1s ra\u00edz de 5 todo eso sobre 3, le damos igual nuevamente y vemos"}, {"start": 588.4, "end": 593.76, "text": " la otra soluci\u00f3n 6 menos ra\u00edz de 5 y todo eso sobre 3."}, {"start": 593.76, "end": 598.72, "text": " Bien, despu\u00e9s de haber comprobado en calculadora que estas son las soluciones para esta ecuaci\u00f3n"}, {"start": 598.72, "end": 605.28, "text": " cuadr\u00e1tica o para esa que ten\u00edamos originalmente, entonces vamos a escribir la respuesta de"}, {"start": 605.28, "end": 611.72, "text": " ese ejercicio, el conjunto soluci\u00f3n para esa ecuaci\u00f3n son los siguientes valores de x,"}, {"start": 611.72, "end": 618.24, "text": " comenzamos con el menor de ellos que es 6 menos la ra\u00edz cuadrada de 5 todo esto sobre"}, {"start": 618.24, "end": 628.64, "text": " 3 y despu\u00e9s el mayor que ser\u00eda 6 m\u00e1s ra\u00edz cuadrada de 5 y todo esto sobre 3, cerramos"}, {"start": 628.64, "end": 634.76, "text": " la llave, ese es el conjunto soluci\u00f3n para esa ecuaci\u00f3n que es cuadr\u00e1tica o de segundo"}, {"start": 634.76, "end": 660.04, "text": " grado."}]

julioprofe

https://www.youtube.com/watch?v=pW1plXToY_k

64. Mensaje de QUIMIAYUDAS a Julioprofe

Agradecimiento a Jhonattan Báez (canal en YouTube: Quimiayudas https://www.youtube.com/user/Quimiayudas) por su mensaje desde Bogotá (Colombia). Graba un corto video y envíamelo al correo julioprofecolombia@gmail.com para publicarlo en este canal. Incluye tu nombre, ciudad, país e institución educativa a la que perteneces y cuéntame cuál ha sido tu experiencia con el material educativo que he producido. De antemano, ¡Muchas Gracias! #julioprofe

Hola, ¿cómo están? Mi nombre es Jonathan, soy el creador del canal Quimia Ayudas y hoy quiero contarles cómo fue mi experiencia con los videos del profe Julio. Yo estaba por ahí en el 2012, a finales del 2012, estudiando mi carrera de química en la Universidad Nacional de Colombia y no entendía nada sobre álgebra lineal. Así que alguien me dijo, vaya y vea los videos del profe Julio que son increíbles y yo me quedé como ¿quién? Fui, los busqué y cuando los encontré esto fue revelador. No sólo porque resolví lo que necesitaba en ese momento, sino porque me mostró algo absolutamente increíble, el potencial de lo que este hombre estaba haciendo. Imagínense, simplemente si no entendían algo, lo ponían en el buscador y aparecía alguien dando clases sobre ese tema. Puede parecer tonto en este momento, puede parecer algo fácil de hacer, pero para ese momento yo pensé, si yo hubiese tenido esto en el colegio o cuando estudié para ser profesor, esto me habría salvado de un millón de cosas. Así que en ese momento la primera pregunta que se me vino a la cabeza y en lo único que puede pensar fue, si él lo está haciendo, porque yo no puedo hacerlo. Así que en ese momento tomé la decisión, compré un tablero, compré cámara, luces y me puse a hacer videos y de ahí nació mi canal que se llama Kimi Ayudas, es algo en lo que intento hacer algo como lo que el profesor Julio hace, pero desde la química los invito a que lo vean. Desde ese momento han pasado ya unos cinco años, el canal ha pasado por muchísimas cosas, estoy seguro que muchos de ustedes los ha ayudado, a otros espero que los pueda ayudar después y por eso este video lo hago básicamente para darle las gracias, profesor. Muchas gracias profesor porque gracias a usted hice mi canal y estoy seguro que gracias a usted muchísima gente ha podido seguir adelante con un millón de cosas, sus carreras, sus estudios y muchas otras cosas más. Gracias por todo lo que nos has dado, profesor Julio, los invito a que sigan viéndolo, los invito por supuesto a que pasen por mi canal. Voy a iniciar una nueva etapa con el canal, es una nueva etapa en la que quiero ingresar en este mundo de la divulgación científica, pero un poquito más desde la química porque en este momento hay muchos físicos haciendo divulgación pero ningún químico, así que quiero empezar, los invito a que vayan y vean ese video, estoy seguro que les va a gustar un montón, el link lo pueden encontrar aquí en la descripción. Bueno, gracias por vernos y hasta la próxima. Graba un corto video y envíamelo al correo julio profe colombia arroba gmail.com para publicarlo en este canal. Incluye tu nombre, ciudad, país e institución educativa a la que perteneces y cuéntame cuál ha sido tu experiencia con el material educativo que he producido. De antemano muchas gracias Julio Profe.

[{"start": 0.0, "end": 7.6000000000000005, "text": " Hola, \u00bfc\u00f3mo est\u00e1n? Mi nombre es Jonathan, soy el creador del canal Quimia Ayudas y hoy"}, {"start": 7.6000000000000005, "end": 12.5, "text": " quiero contarles c\u00f3mo fue mi experiencia con los videos del profe Julio. Yo estaba por ah\u00ed en el"}, {"start": 12.5, "end": 17.38, "text": " 2012, a finales del 2012, estudiando mi carrera de qu\u00edmica en la Universidad Nacional de Colombia y"}, {"start": 17.38, "end": 21.88, "text": " no entend\u00eda nada sobre \u00e1lgebra lineal. As\u00ed que alguien me dijo, vaya y vea los videos del profe"}, {"start": 21.88, "end": 28.580000000000002, "text": " Julio que son incre\u00edbles y yo me qued\u00e9 como \u00bfqui\u00e9n? Fui, los busqu\u00e9 y cuando los encontr\u00e9 esto fue"}, {"start": 28.58, "end": 34.58, "text": " revelador. No s\u00f3lo porque resolv\u00ed lo que necesitaba en ese momento, sino porque me mostr\u00f3 algo"}, {"start": 34.58, "end": 42.08, "text": " absolutamente incre\u00edble, el potencial de lo que este hombre estaba haciendo. Imag\u00ednense, simplemente"}, {"start": 42.08, "end": 48.8, "text": " si no entend\u00edan algo, lo pon\u00edan en el buscador y aparec\u00eda alguien dando clases sobre ese tema. Puede"}, {"start": 48.8, "end": 54.16, "text": " parecer tonto en este momento, puede parecer algo f\u00e1cil de hacer, pero para ese momento yo pens\u00e9,"}, {"start": 54.16, "end": 59.839999999999996, "text": " si yo hubiese tenido esto en el colegio o cuando estudi\u00e9 para ser profesor, esto me habr\u00eda salvado"}, {"start": 59.839999999999996, "end": 65.75999999999999, "text": " de un mill\u00f3n de cosas. As\u00ed que en ese momento la primera pregunta que se me vino a la cabeza y en"}, {"start": 65.75999999999999, "end": 71.19999999999999, "text": " lo \u00fanico que puede pensar fue, si \u00e9l lo est\u00e1 haciendo, porque yo no puedo hacerlo. As\u00ed que en"}, {"start": 71.19999999999999, "end": 77.84, "text": " ese momento tom\u00e9 la decisi\u00f3n, compr\u00e9 un tablero, compr\u00e9 c\u00e1mara, luces y me puse a hacer videos y de"}, {"start": 77.84, "end": 84.8, "text": " ah\u00ed naci\u00f3 mi canal que se llama Kimi Ayudas, es algo en lo que intento hacer algo como lo que el"}, {"start": 84.8, "end": 90.12, "text": " profesor Julio hace, pero desde la qu\u00edmica los invito a que lo vean. Desde ese momento han pasado"}, {"start": 90.12, "end": 94.60000000000001, "text": " ya unos cinco a\u00f1os, el canal ha pasado por much\u00edsimas cosas, estoy seguro que muchos de"}, {"start": 94.60000000000001, "end": 99.24000000000001, "text": " ustedes los ha ayudado, a otros espero que los pueda ayudar despu\u00e9s y por eso este video lo"}, {"start": 99.24000000000001, "end": 105.48, "text": " hago b\u00e1sicamente para darle las gracias, profesor. Muchas gracias profesor porque gracias a usted"}, {"start": 105.48, "end": 112.48, "text": " hice mi canal y estoy seguro que gracias a usted much\u00edsima gente ha podido seguir adelante con un"}, {"start": 112.48, "end": 119.84, "text": " mill\u00f3n de cosas, sus carreras, sus estudios y muchas otras cosas m\u00e1s. Gracias por todo lo que"}, {"start": 119.84, "end": 124.24000000000001, "text": " nos has dado, profesor Julio, los invito a que sigan vi\u00e9ndolo, los invito por supuesto a que"}, {"start": 124.24000000000001, "end": 128.76, "text": " pasen por mi canal. Voy a iniciar una nueva etapa con el canal, es una nueva etapa en la que quiero"}, {"start": 128.76, "end": 134.96, "text": " ingresar en este mundo de la divulgaci\u00f3n cient\u00edfica, pero un poquito m\u00e1s desde la qu\u00edmica porque en"}, {"start": 134.96, "end": 140.0, "text": " este momento hay muchos f\u00edsicos haciendo divulgaci\u00f3n pero ning\u00fan qu\u00edmico, as\u00ed que quiero empezar, los"}, {"start": 140.0, "end": 144.48000000000002, "text": " invito a que vayan y vean ese video, estoy seguro que les va a gustar un mont\u00f3n, el link lo pueden"}, {"start": 144.48000000000002, "end": 151.84, "text": " encontrar aqu\u00ed en la descripci\u00f3n. Bueno, gracias por vernos y hasta la pr\u00f3xima. Graba un corto video"}, {"start": 151.84, "end": 160.04000000000002, "text": " y env\u00edamelo al correo julio profe colombia arroba gmail.com para publicarlo en este canal. Incluye"}, {"start": 160.04, "end": 166.28, "text": " tu nombre, ciudad, pa\u00eds e instituci\u00f3n educativa a la que perteneces y cu\u00e9ntame cu\u00e1l ha sido"}, {"start": 166.28, "end": 193.52, "text": " tu experiencia con el material educativo que he producido. De antemano muchas gracias Julio Profe."}]

julioprofe

https://www.youtube.com/watch?v=8hWT2X279CQ

DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicio 12

#julioprofe explica cómo hallar la #derivada de una función donde hay un cociente dentro de una raíz cuadrada. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Tenemos en este caso una función donde la variable dependiente es y y la variable independiente es x, y depende de x. Esta letra a que aparece en la expresión es una constante, es decir, se comporta como si fuera un número real. Vamos entonces a determinar la derivada de esa función y con respecto de la variable x. Comenzamos por reescribir esta expresión, allí nos aparece en forma de raíz, vamos a llevarla a forma de potencia con exponente fraccionario aplicando esta propiedad. Si tenemos la raíz de índice n de una cantidad q elevada a la m, esto será igual a q elevada al exponente m sobre n. En este caso todo esto tiene exponente interno a 1, es como si le colocáramos paréntesis e hiciéramos visible su exponente que es 1, y acá tenemos índice 2. Entonces de acuerdo con esta propiedad nos queda a al cuadrado más x al cuadrado, todo esto sobre a al cuadrado menos x al cuadrado y entre paréntesis elevada al exponente 1 medio, el exponente que tenemos acá que es 1 sobre el índice de la raíz que es 2. Ahora si podemos iniciar el proceso de derivación, se puede ver que la derivada de la función y es la derivada de la variable x. Recordemos que a representa una constante, vamos a utilizar en este caso lo que se conoce como la regla de la cadena para potencias, cuyo modelo dice así, manzanita es todo esto que depende de la derivada de la cadena. Entonces la derivada de la cadena será la siguiente, n va a multiplicar por la manzanita que queda intacta elevada al exponente n menos 1 y eso multiplicado por la derivada de la manzanita, es decir lo que se conoce como la derivada interna. Entonces siguiendo esta instrucción tendremos n que es 1 medio por la manzanita que es toda esta expresión protegida con paréntesis a al cuadrado más x al cuadrado sobre a al cuadrado menos x al cuadrado y eso elevado al exponente n menos 1, es decir 1 medio menos 1, el resultado de esa operación es menos 1 medio. Recordemos que aquí se puede utilizar un troco rápido para obtener este resultado, entonces acá restamos estos dos números, el numerador menos el denominador, 1 menos 2 nos da menos 1 y ese será el número que ocupa el numerador de la fracción y conservamos el mismo denominador. Ahora eso va multiplicado por la derivada interna, es decir por la derivada de la manzanita que vamos a dejar indicada, más adelante la resolvemos, entonces todo esto le ponemos esta comita para indicar que debemos derivarlo. Vamos a continuar por acá, tenemos t de x igual a 1 medio por, vamos a transformar esta potencia que tiene exponente negativo, si tenemos p sobre q todo esto elevado al exponente menos n será igual a q sobre p y todo esto elevado al exponente n, propiedad de la potenciación, se invierte la fracción y el exponente cambia de signo, entonces acá nos queda en el numerador a al cuadrado menos x al cuadrado en el denominador a al cuadrado más x al cuadrado y acá en el exponente nos queda un medio positivo. Ahora eso tenemos que multiplicarlo por la derivada de esta expresión que será la derivada de un cociente, vamos a recordar ese modelo, si tenemos el cociente p sobre q entonces su derivada es igual a lo siguiente, en el numerador p' por q es decir derivada del numerador por el denominador sin derivar menos p por q' es decir el numerador sin derivar por la derivada del denominador y acá tendremos el denominador elevado al cuadrado. Entonces siguiendo esta instrucción vamos a derivar esto que tenemos allí, comenzamos con la derivada del numerador donde recordemos que a es una constante por lo tanto a al cuadrado también será constante, tenemos allí la derivada de una suma, derivamos entonces cada uno de sus términos, derivada de a al cuadrado será cero por ser constante y derivada de x al cuadrado nos da 2x, entonces cero más 2x es 2x y allí tenemos la derivada del numerador, ahora eso va multiplicado por el denominador sin derivar es decir a al cuadrado menos x al cuadrado, seguimos acá menos el numerador sin derivar es decir a al cuadrado más x al cuadrado y eso multiplicado por la derivada del denominador, tenemos allí una resta derivamos cada uno de los términos, derivada de a al cuadrado es cero por ser constante, derivada de x al cuadrado es 2x, cero menos 2x nos da menos 2x y acá tenemos el denominador al cuadrado es decir a al cuadrado menos x al cuadrado y todo esto elevado al cuadrado y cerramos el paréntesis que protege toda esa derivada, continuamos por acá nos queda de y de x igual a un medio y esta expresión podemos llevarla otra vez a la forma de raíz, nos queda entonces raíz cuadrada de esto que tenemos en su interior es decir a al cuadrado menos x al cuadrado sobre a al cuadrado más x al cuadrado y vamos a trabajar algebraicamente esa expresión, en el numerador vamos a aplicar la propiedad distributiva para romper aquí este paréntesis entonces tendremos 2x por a al cuadrado es 2a al cuadrado x, 2x por menos x al cuadrado será menos 2x al cubo acá tenemos lo siguiente este signo menos con este menos nos queda más entonces vamos a distribuir 2x a cada uno de estos términos pero teniendo en cuenta que es un término positivo es una cantidad que se vuelve positiva por este producto de signos negativos entonces 2x por a al cuadrado será más 2a al cuadrado x y 2x por más x al cuadrado será más 2x al cubo esto permanece igual al cuadrado menos x al cuadrado todo esto al cuadrado y protegemos todo esto por seguridad utilizando un gran paréntesis seguimos por acá de y de x es igual a un medio que multiplica con esto que permanece igual y eso es multiplicado por esto que vamos a organizar de la siguiente manera acá en el numerador vemos términos que son opuestos es el caso de estos dos acá está negativo acá está positivo la suma de ellos nos da cero entonces los podemos eliminar y también podemos hacer la suma de esos dos términos que son semejantes entonces eso nos da 4 al cuadrado x y en el denominador permanece lo mismo al cuadrado menos x al cuadrado y todo esto elevado al cuadrado allí ya no es necesario el paréntesis generalmente podemos simplificar esa expresión es el caso de estos dos números 4 y 2 a los que podemos sacar mitad decimos mitad de 4 2 mitad de 2 es 1 es como dividir arriba y abajo por 2 entonces la derivada de y con respecto a x nos queda así vamos a acomodar primero la fracción que tenemos a este lado en el numerador queda 2 a al cuadrado x sobre al cuadrado menos x al cuadrado todo esto elevado al cuadrado y eso queda multiplicando por la raíz cuadrada de todo eso en el numerador al cuadrado menos x al cuadrado y en el denominador al cuadrado más x al cuadrado de esta manera terminamos toda esta expresión constituye la derivada de esta función que nos dieron originalmente donde y depende de x y la letra a se comporta como constante..

[{"start": 0.0, "end": 9.84, "text": " Tenemos en este caso una funci\u00f3n donde la variable dependiente es y y la variable independiente"}, {"start": 9.84, "end": 18.68, "text": " es x, y depende de x. Esta letra a que aparece en la expresi\u00f3n es una constante, es decir,"}, {"start": 18.68, "end": 24.740000000000002, "text": " se comporta como si fuera un n\u00famero real. Vamos entonces a determinar la derivada de"}, {"start": 24.74, "end": 32.8, "text": " esa funci\u00f3n y con respecto de la variable x. Comenzamos por reescribir esta expresi\u00f3n,"}, {"start": 32.8, "end": 39.0, "text": " all\u00ed nos aparece en forma de ra\u00edz, vamos a llevarla a forma de potencia con exponente"}, {"start": 39.0, "end": 45.84, "text": " fraccionario aplicando esta propiedad. Si tenemos la ra\u00edz de \u00edndice n de una cantidad"}, {"start": 45.84, "end": 54.68000000000001, "text": " q elevada a la m, esto ser\u00e1 igual a q elevada al exponente m sobre n. En este caso todo"}, {"start": 54.68000000000001, "end": 60.480000000000004, "text": " esto tiene exponente interno a 1, es como si le coloc\u00e1ramos par\u00e9ntesis e hici\u00e9ramos"}, {"start": 60.480000000000004, "end": 67.64, "text": " visible su exponente que es 1, y ac\u00e1 tenemos \u00edndice 2. Entonces de acuerdo con esta propiedad"}, {"start": 67.64, "end": 77.16, "text": " nos queda a al cuadrado m\u00e1s x al cuadrado, todo esto sobre a al cuadrado menos x al cuadrado"}, {"start": 77.16, "end": 83.52, "text": " y entre par\u00e9ntesis elevada al exponente 1 medio, el exponente que tenemos ac\u00e1 que es"}, {"start": 83.52, "end": 91.96000000000001, "text": " 1 sobre el \u00edndice de la ra\u00edz que es 2. Ahora si podemos iniciar el proceso de derivaci\u00f3n,"}, {"start": 91.96, "end": 100.91999999999999, "text": " se puede ver que la derivada de la funci\u00f3n y es la derivada de la variable x. Recordemos"}, {"start": 100.91999999999999, "end": 107.88, "text": " que a representa una constante, vamos a utilizar en este caso lo que se conoce como la regla"}, {"start": 107.88, "end": 114.47999999999999, "text": " de la cadena para potencias, cuyo modelo dice as\u00ed, manzanita es todo esto que depende de"}, {"start": 114.48, "end": 123.4, "text": " la derivada de la cadena. Entonces la derivada de la cadena ser\u00e1 la siguiente, n va a multiplicar"}, {"start": 123.4, "end": 130.16, "text": " por la manzanita que queda intacta elevada al exponente n menos 1 y eso multiplicado"}, {"start": 130.16, "end": 137.52, "text": " por la derivada de la manzanita, es decir lo que se conoce como la derivada interna."}, {"start": 137.52, "end": 145.04000000000002, "text": " Entonces siguiendo esta instrucci\u00f3n tendremos n que es 1 medio por la manzanita que es toda"}, {"start": 145.04000000000002, "end": 152.96, "text": " esta expresi\u00f3n protegida con par\u00e9ntesis a al cuadrado m\u00e1s x al cuadrado sobre a al"}, {"start": 152.96, "end": 159.96, "text": " cuadrado menos x al cuadrado y eso elevado al exponente n menos 1, es decir 1 medio menos"}, {"start": 159.96, "end": 166.08, "text": " 1, el resultado de esa operaci\u00f3n es menos 1 medio. Recordemos que aqu\u00ed se puede utilizar"}, {"start": 166.08, "end": 172.16000000000003, "text": " un troco r\u00e1pido para obtener este resultado, entonces ac\u00e1 restamos estos dos n\u00fameros,"}, {"start": 172.16000000000003, "end": 178.5, "text": " el numerador menos el denominador, 1 menos 2 nos da menos 1 y ese ser\u00e1 el n\u00famero que"}, {"start": 178.5, "end": 185.96, "text": " ocupa el numerador de la fracci\u00f3n y conservamos el mismo denominador. Ahora eso va multiplicado"}, {"start": 185.96, "end": 192.96, "text": " por la derivada interna, es decir por la derivada de la manzanita que vamos a dejar indicada,"}, {"start": 192.96, "end": 200.28, "text": " m\u00e1s adelante la resolvemos, entonces todo esto le ponemos esta comita para indicar que"}, {"start": 200.28, "end": 210.28, "text": " debemos derivarlo. Vamos a continuar por ac\u00e1, tenemos t de x igual a 1 medio por, vamos"}, {"start": 210.28, "end": 217.88, "text": " a transformar esta potencia que tiene exponente negativo, si tenemos p sobre q todo esto elevado"}, {"start": 217.88, "end": 226.24, "text": " al exponente menos n ser\u00e1 igual a q sobre p y todo esto elevado al exponente n, propiedad"}, {"start": 226.24, "end": 232.32, "text": " de la potenciaci\u00f3n, se invierte la fracci\u00f3n y el exponente cambia de signo, entonces"}, {"start": 232.32, "end": 241.0, "text": " ac\u00e1 nos queda en el numerador a al cuadrado menos x al cuadrado en el denominador a al"}, {"start": 241.0, "end": 249.44, "text": " cuadrado m\u00e1s x al cuadrado y ac\u00e1 en el exponente nos queda un medio positivo. Ahora eso tenemos"}, {"start": 249.44, "end": 256.92, "text": " que multiplicarlo por la derivada de esta expresi\u00f3n que ser\u00e1 la derivada de un cociente, vamos"}, {"start": 256.92, "end": 264.28, "text": " a recordar ese modelo, si tenemos el cociente p sobre q entonces su derivada es igual a"}, {"start": 264.28, "end": 272.88, "text": " lo siguiente, en el numerador p' por q es decir derivada del numerador por el denominador"}, {"start": 272.88, "end": 281.76, "text": " sin derivar menos p por q' es decir el numerador sin derivar por la derivada del denominador"}, {"start": 281.76, "end": 287.28, "text": " y ac\u00e1 tendremos el denominador elevado al cuadrado. Entonces siguiendo esta instrucci\u00f3n"}, {"start": 287.28, "end": 293.34, "text": " vamos a derivar esto que tenemos all\u00ed, comenzamos con la derivada del numerador donde recordemos"}, {"start": 293.34, "end": 299.4, "text": " que a es una constante por lo tanto a al cuadrado tambi\u00e9n ser\u00e1 constante, tenemos all\u00ed la"}, {"start": 299.4, "end": 305.35999999999996, "text": " derivada de una suma, derivamos entonces cada uno de sus t\u00e9rminos, derivada de a al cuadrado"}, {"start": 305.35999999999996, "end": 312.12, "text": " ser\u00e1 cero por ser constante y derivada de x al cuadrado nos da 2x, entonces cero m\u00e1s"}, {"start": 312.12, "end": 319.4, "text": " 2x es 2x y all\u00ed tenemos la derivada del numerador, ahora eso va multiplicado por el denominador"}, {"start": 319.4, "end": 327.59999999999997, "text": " sin derivar es decir a al cuadrado menos x al cuadrado, seguimos ac\u00e1 menos el numerador"}, {"start": 327.59999999999997, "end": 335.32, "text": " sin derivar es decir a al cuadrado m\u00e1s x al cuadrado y eso multiplicado por la derivada"}, {"start": 335.32, "end": 341.56, "text": " del denominador, tenemos all\u00ed una resta derivamos cada uno de los t\u00e9rminos, derivada de a al"}, {"start": 341.56, "end": 348.71999999999997, "text": " cuadrado es cero por ser constante, derivada de x al cuadrado es 2x, cero menos 2x nos"}, {"start": 348.72, "end": 356.72, "text": " da menos 2x y ac\u00e1 tenemos el denominador al cuadrado es decir a al cuadrado menos x"}, {"start": 356.72, "end": 363.96000000000004, "text": " al cuadrado y todo esto elevado al cuadrado y cerramos el par\u00e9ntesis que protege toda"}, {"start": 363.96000000000004, "end": 374.12, "text": " esa derivada, continuamos por ac\u00e1 nos queda de y de x igual a un medio y esta expresi\u00f3n"}, {"start": 374.12, "end": 382.36, "text": " podemos llevarla otra vez a la forma de ra\u00edz, nos queda entonces ra\u00edz cuadrada de esto"}, {"start": 382.36, "end": 389.82, "text": " que tenemos en su interior es decir a al cuadrado menos x al cuadrado sobre a al cuadrado m\u00e1s"}, {"start": 389.82, "end": 398.64, "text": " x al cuadrado y vamos a trabajar algebraicamente esa expresi\u00f3n, en el numerador vamos a aplicar"}, {"start": 398.64, "end": 406.0, "text": " la propiedad distributiva para romper aqu\u00ed este par\u00e9ntesis entonces tendremos 2x por"}, {"start": 406.0, "end": 415.0, "text": " a al cuadrado es 2a al cuadrado x, 2x por menos x al cuadrado ser\u00e1 menos 2x al cubo"}, {"start": 415.0, "end": 420.4, "text": " ac\u00e1 tenemos lo siguiente este signo menos con este menos nos queda m\u00e1s entonces vamos"}, {"start": 420.4, "end": 426.88, "text": " a distribuir 2x a cada uno de estos t\u00e9rminos pero teniendo en cuenta que es un t\u00e9rmino"}, {"start": 426.88, "end": 433.71999999999997, "text": " positivo es una cantidad que se vuelve positiva por este producto de signos negativos entonces"}, {"start": 433.71999999999997, "end": 443.4, "text": " 2x por a al cuadrado ser\u00e1 m\u00e1s 2a al cuadrado x y 2x por m\u00e1s x al cuadrado ser\u00e1 m\u00e1s 2x"}, {"start": 443.4, "end": 451.82, "text": " al cubo esto permanece igual al cuadrado menos x al cuadrado todo esto al cuadrado y protegemos"}, {"start": 451.82, "end": 459.71999999999997, "text": " todo esto por seguridad utilizando un gran par\u00e9ntesis seguimos por ac\u00e1 de y de x es"}, {"start": 459.71999999999997, "end": 468.48, "text": " igual a un medio que multiplica con esto que permanece igual y eso es multiplicado por"}, {"start": 468.48, "end": 475.48, "text": " esto que vamos a organizar de la siguiente manera ac\u00e1 en el numerador vemos t\u00e9rminos"}, {"start": 475.48, "end": 480.92, "text": " que son opuestos es el caso de estos dos ac\u00e1 est\u00e1 negativo ac\u00e1 est\u00e1 positivo la suma"}, {"start": 480.92, "end": 487.6, "text": " de ellos nos da cero entonces los podemos eliminar y tambi\u00e9n podemos hacer la suma"}, {"start": 487.6, "end": 495.68, "text": " de esos dos t\u00e9rminos que son semejantes entonces eso nos da 4 al cuadrado x y en el denominador"}, {"start": 495.68, "end": 501.92, "text": " permanece lo mismo al cuadrado menos x al cuadrado y todo esto elevado al cuadrado all\u00ed"}, {"start": 501.92, "end": 508.12, "text": " ya no es necesario el par\u00e9ntesis generalmente podemos simplificar esa expresi\u00f3n es el caso"}, {"start": 508.12, "end": 515.52, "text": " de estos dos n\u00fameros 4 y 2 a los que podemos sacar mitad decimos mitad de 4 2 mitad de"}, {"start": 515.52, "end": 524.28, "text": " 2 es 1 es como dividir arriba y abajo por 2 entonces la derivada de y con respecto a"}, {"start": 524.28, "end": 531.88, "text": " x nos queda as\u00ed vamos a acomodar primero la fracci\u00f3n que tenemos a este lado en el"}, {"start": 531.88, "end": 542.56, "text": " numerador queda 2 a al cuadrado x sobre al cuadrado menos x al cuadrado todo esto elevado"}, {"start": 542.56, "end": 550.76, "text": " al cuadrado y eso queda multiplicando por la ra\u00edz cuadrada de todo eso en el numerador"}, {"start": 550.76, "end": 558.84, "text": " al cuadrado menos x al cuadrado y en el denominador al cuadrado m\u00e1s x al cuadrado de esta manera"}, {"start": 558.84, "end": 566.1600000000001, "text": " terminamos toda esta expresi\u00f3n constituye la derivada de esta funci\u00f3n que nos dieron"}, {"start": 566.16, "end": 590.0, "text": " originalmente donde y depende de x y la letra a se comporta como constante."}, {"start": 590.0, "end": 597.0, "text": "."}]

julioprofe

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DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO: DEMOSTRACIÓN Y EJEMPLO

#julioprofe hace la demostración de la fórmula para determinar la distancia entre dos puntos del plano cartesiano. Luego expone un ejemplo de aplicación de dicha fórmula. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En esta ocasión veremos la demostración de la fórmula para determinar la distancia entre dos puntos del plano cartesiano. Después veremos un ejemplo de aplicación de esa fórmula. Comenzamos considerando dos puntos cualesquiera en el plano cartesiano. Por ejemplo, tomamos este que vamos a llamar el punto P1 y podemos tomar este de acá que vamos a llamar el punto P2. Cada uno de esos puntos tiene su abscisa y su ordenada. Entonces, para el caso del punto P1 vamos a llamar su abscisa x1 y su ordenada la llamamos y1. Ahora para el punto P2 su abscisa, o sea su valor en x, es x2 y su ordenada, o sea su valor en el eje y, lo llamamos y2. Ahora entre los puntos P1 y P2 tenemos un segmento de recta cuya longitud es la que vamos a determinar. Siendo P1 el punto cuyas coordenadas son x1, y1 y el punto P2 aquel cuyas coordenadas son x2, y2. Entonces vamos a llamar esa distancia de y es la que vamos a determinar. En eso consiste nuestra demostración. Para ello vamos a considerar este triángulo rectángulo. Vamos a llamar este punto con la letra Q es allí donde tenemos el ángulo recto o el ángulo de 90 grados. Vamos entonces a determinar la longitud de cada uno de los catetos de ese triángulo. La longitud de este cateto, el segmento que va desde P1 hasta Q será la diferencia entre estas dos abscisas, la mayor menos la menor. Entonces vamos a escribirla por acá. x2 menos x1 será esta distancia que corresponde a la longitud de ese cateto. Ahora la longitud del otro cateto, es decir el segmento que va desde P2 hasta Q será esta distancia que corresponde a la diferencia entre esas dos coordenadas. Vamos a escribir eso por acá. Será la mayor que es y2 menos la menor que se ha representado como y1. Entonces lo que hacemos ahora es dibujar por acá ese triángulo rectángulo. El que tiene como vértices los puntos P1, P2 y Q. Entonces escribimos acá sus dimensiones. La hipotenusa es la letra D. Este cateto dijimos que su longitud se representa o se expresa como x2 menos x1 y el otro cateto tiene una longitud representada por y2 menos y1. Ahora por ser este un triángulo rectángulo entonces es perfectamente lícito aplicar el teorema de Pitágoras. Recordemos que ese teorema nos dice lo siguiente. La longitud de la hipotenusa al cuadrado, o sea el segmento P1, P2, todo esto elevado al cuadrado debe ser igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos, es decir el cateto P1, Q, ese segmento su longitud elevada al cuadrado más el otro cateto que será el segmento P2, Q, su longitud también elevada al cuadrado. Ahora para cada uno de esos segmentos vamos a reemplazar las medidas que tenemos acá. El segmento P1, P2, o sea la hipotenusa tiene una longitud que hemos llamado D, entonces nos queda D al cuadrado. Este segmento P1, Q, su longitud dijimos que es x2 menos x1 y esto va al cuadrado más el otro segmento P2, Q cuya longitud es y2 menos y1 y todo esto elevado al cuadrado. Lo que hacemos ahora es tomar raíz cuadrada a ambos lados de esta igualdad. Bien allí tenemos eso y en el lado izquierdo esta raíz cuadrada con este exponente 2 se cancelan mutuamente, nos libera la letra D. Vamos a escribirle entonces pero no podemos olvidar que esto nos produce dos resultados, D será igual a más o menos esta raíz cuadrada. Sin embargo debemos recordar que D es la longitud de este segmento, es la distancia entre los puntos P1 y P2 y las distancias siempre deben ser cantidades positivas, por lo tanto quitamos esto y pulimos nuestra expresión. Allí tenemos entonces la fórmula para determinar la distancia entre dos puntos P1 y P2 en el plano cartesiano. Veamos este ejemplo, hallar la distancia entre los puntos A de coordenadas menos 3,1 y B de coordenadas 1,2. Este hace el papel del punto P1, entonces lo llamamos x1 y1 y este otro hace el papel del punto P2, entonces lo nombramos como x2 y2, aunque podríamos llamar este punto como P2 con x2 y2 y este como P1 con x1 y1, eso no importa en el desarrollo del ejercicio. Usamos entonces la fórmula que demostramos, veamos entonces como nos queda distancia de entre los puntos A y B será igual a la raíz cuadrada de x2 que vale 1, esto menos x1 que vale menos 3, entonces ese número lo protegemos con paréntesis por ser negativo y toda esta diferencia la protegemos con corchetes para que esté elevada al cuadrado. Vamos con el otro componente, tenemos y2 que es menos 2, esto menos y1 que vale 1, esto lo protegemos con paréntesis y va elevado al cuadrado. Resolviendo esas operaciones nos queda así, raíz cuadrada de 1 menos menos 3, esto es como tener 1 más 3 que nos da 4 y 4 elevado al cuadrado es 16, más menos 2 menos 1 esto nos da menos 3 y menos 3 al cuadrado nos da 9. Ahora esta suma que tenemos dentro de la raíz nos da 25, por lo tanto el valor de D será la raíz cuadrada de 25 que es igual a 5, entonces la distancia D entre los puntos A y B que pertenecen al plano cartesiano es de 5 unidades. Lo anterior que hemos determinado analíticamente utilizando la fórmula que demostramos podemos verificarlo ahora gráficamente. Venimos al plano cartesiano, localizamos el punto A con coordenadas menos 3,1 ese punto nos queda aquí en el segundo cuadrante y ahora localizamos el punto B coordenadas 1,2 queda localizado acá en el cuarto cuadrante. Ahora analíticamente la longitud del segmento AB nos dio 5 unidades, vamos a comprobarlo. Con esta escuadra podemos hacer dos marcas que correspondan a los puntos A y B, aquí tenemos el punto A y acá el punto B y ahora venimos acá al eje X para verificar si efectivamente esa distancia corresponde a 5 unidades, vamos a bajarla un poco, allí la tenemos, tenemos entonces que corresponde a la distancia que hay entre 0 y 5 en el eje X, eso nos confirma que la longitud de ese segmento es de 5 unidades.

[{"start": 0.0, "end": 8.34, "text": " En esta ocasi\u00f3n veremos la demostraci\u00f3n de la f\u00f3rmula para determinar la distancia"}, {"start": 8.34, "end": 15.0, "text": " entre dos puntos del plano cartesiano. Despu\u00e9s veremos un ejemplo de aplicaci\u00f3n de esa f\u00f3rmula."}, {"start": 15.0, "end": 20.54, "text": " Comenzamos considerando dos puntos cualesquiera en el plano cartesiano. Por ejemplo, tomamos"}, {"start": 20.54, "end": 28.36, "text": " este que vamos a llamar el punto P1 y podemos tomar este de ac\u00e1 que vamos a llamar el punto"}, {"start": 28.36, "end": 35.8, "text": " P2. Cada uno de esos puntos tiene su abscisa y su ordenada. Entonces, para el caso del"}, {"start": 35.8, "end": 45.120000000000005, "text": " punto P1 vamos a llamar su abscisa x1 y su ordenada la llamamos y1. Ahora para el punto"}, {"start": 45.120000000000005, "end": 54.519999999999996, "text": " P2 su abscisa, o sea su valor en x, es x2 y su ordenada, o sea su valor en el eje y,"}, {"start": 54.52, "end": 62.96, "text": " lo llamamos y2. Ahora entre los puntos P1 y P2 tenemos un segmento de recta cuya longitud"}, {"start": 62.96, "end": 73.36, "text": " es la que vamos a determinar. Siendo P1 el punto cuyas coordenadas son x1, y1 y el punto"}, {"start": 73.36, "end": 84.44, "text": " P2 aquel cuyas coordenadas son x2, y2. Entonces vamos a llamar esa distancia de y es la que"}, {"start": 84.44, "end": 91.46, "text": " vamos a determinar. En eso consiste nuestra demostraci\u00f3n. Para ello vamos a considerar"}, {"start": 91.46, "end": 99.72, "text": " este tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo. Vamos a llamar este punto con la letra Q es all\u00ed donde tenemos"}, {"start": 99.72, "end": 106.68, "text": " el \u00e1ngulo recto o el \u00e1ngulo de 90 grados. Vamos entonces a determinar la longitud de"}, {"start": 106.68, "end": 112.72, "text": " cada uno de los catetos de ese tri\u00e1ngulo. La longitud de este cateto, el segmento que"}, {"start": 112.72, "end": 121.48, "text": " va desde P1 hasta Q ser\u00e1 la diferencia entre estas dos abscisas, la mayor menos la menor."}, {"start": 121.48, "end": 128.8, "text": " Entonces vamos a escribirla por ac\u00e1. x2 menos x1 ser\u00e1 esta distancia que corresponde a la"}, {"start": 128.8, "end": 135.04, "text": " longitud de ese cateto. Ahora la longitud del otro cateto, es decir el segmento que"}, {"start": 135.04, "end": 142.66, "text": " va desde P2 hasta Q ser\u00e1 esta distancia que corresponde a la diferencia entre esas dos"}, {"start": 142.66, "end": 150.44, "text": " coordenadas. Vamos a escribir eso por ac\u00e1. Ser\u00e1 la mayor que es y2 menos la menor que"}, {"start": 150.44, "end": 157.32, "text": " se ha representado como y1. Entonces lo que hacemos ahora es dibujar por ac\u00e1 ese tri\u00e1ngulo"}, {"start": 157.32, "end": 166.23999999999998, "text": " rect\u00e1ngulo. El que tiene como v\u00e9rtices los puntos P1, P2 y Q. Entonces escribimos ac\u00e1"}, {"start": 166.23999999999998, "end": 175.28, "text": " sus dimensiones. La hipotenusa es la letra D. Este cateto dijimos que su longitud se"}, {"start": 175.28, "end": 183.95999999999998, "text": " representa o se expresa como x2 menos x1 y el otro cateto tiene una longitud representada"}, {"start": 183.96, "end": 192.8, "text": " por y2 menos y1. Ahora por ser este un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo entonces es perfectamente l\u00edcito"}, {"start": 192.8, "end": 198.56, "text": " aplicar el teorema de Pit\u00e1goras. Recordemos que ese teorema nos dice lo siguiente. La"}, {"start": 198.56, "end": 207.12, "text": " longitud de la hipotenusa al cuadrado, o sea el segmento P1, P2, todo esto elevado al cuadrado"}, {"start": 207.12, "end": 213.72, "text": " debe ser igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos, es decir el"}, {"start": 213.72, "end": 223.48, "text": " cateto P1, Q, ese segmento su longitud elevada al cuadrado m\u00e1s el otro cateto que ser\u00e1"}, {"start": 223.48, "end": 233.24, "text": " el segmento P2, Q, su longitud tambi\u00e9n elevada al cuadrado. Ahora para cada uno de esos segmentos"}, {"start": 233.24, "end": 240.16, "text": " vamos a reemplazar las medidas que tenemos ac\u00e1. El segmento P1, P2, o sea la hipotenusa"}, {"start": 240.16, "end": 246.8, "text": " tiene una longitud que hemos llamado D, entonces nos queda D al cuadrado. Este segmento P1,"}, {"start": 246.8, "end": 256.48, "text": " Q, su longitud dijimos que es x2 menos x1 y esto va al cuadrado m\u00e1s el otro segmento"}, {"start": 256.48, "end": 266.72, "text": " P2, Q cuya longitud es y2 menos y1 y todo esto elevado al cuadrado. Lo que hacemos ahora"}, {"start": 266.72, "end": 273.88000000000005, "text": " es tomar ra\u00edz cuadrada a ambos lados de esta igualdad. Bien all\u00ed tenemos eso y en el lado"}, {"start": 273.88000000000005, "end": 280.88000000000005, "text": " izquierdo esta ra\u00edz cuadrada con este exponente 2 se cancelan mutuamente, nos libera la letra"}, {"start": 280.88000000000005, "end": 288.88000000000005, "text": " D. Vamos a escribirle entonces pero no podemos olvidar que esto nos produce dos resultados,"}, {"start": 288.88000000000005, "end": 296.68, "text": " D ser\u00e1 igual a m\u00e1s o menos esta ra\u00edz cuadrada. Sin embargo debemos recordar que D es la longitud"}, {"start": 296.68, "end": 303.8, "text": " de este segmento, es la distancia entre los puntos P1 y P2 y las distancias siempre deben"}, {"start": 303.8, "end": 312.40000000000003, "text": " ser cantidades positivas, por lo tanto quitamos esto y pulimos nuestra expresi\u00f3n. All\u00ed tenemos"}, {"start": 312.40000000000003, "end": 322.4, "text": " entonces la f\u00f3rmula para determinar la distancia entre dos puntos P1 y P2 en el plano cartesiano."}, {"start": 322.4, "end": 329.59999999999997, "text": " Veamos este ejemplo, hallar la distancia entre los puntos A de coordenadas menos 3,1 y B"}, {"start": 329.59999999999997, "end": 338.76, "text": " de coordenadas 1,2. Este hace el papel del punto P1, entonces lo llamamos x1 y1 y este"}, {"start": 338.76, "end": 346.47999999999996, "text": " otro hace el papel del punto P2, entonces lo nombramos como x2 y2, aunque podr\u00edamos"}, {"start": 346.48, "end": 354.68, "text": " llamar este punto como P2 con x2 y2 y este como P1 con x1 y1, eso no importa en el desarrollo"}, {"start": 354.68, "end": 360.64000000000004, "text": " del ejercicio. Usamos entonces la f\u00f3rmula que demostramos, veamos entonces como nos"}, {"start": 360.64000000000004, "end": 367.8, "text": " queda distancia de entre los puntos A y B ser\u00e1 igual a la ra\u00edz cuadrada de x2 que"}, {"start": 367.8, "end": 377.64, "text": " vale 1, esto menos x1 que vale menos 3, entonces ese n\u00famero lo protegemos con par\u00e9ntesis por ser negativo"}, {"start": 377.64, "end": 384.8, "text": " y toda esta diferencia la protegemos con corchetes para que est\u00e9 elevada al cuadrado. Vamos"}, {"start": 384.8, "end": 394.0, "text": " con el otro componente, tenemos y2 que es menos 2, esto menos y1 que vale 1, esto lo"}, {"start": 394.0, "end": 400.88, "text": " protegemos con par\u00e9ntesis y va elevado al cuadrado. Resolviendo esas operaciones nos"}, {"start": 400.88, "end": 408.16, "text": " queda as\u00ed, ra\u00edz cuadrada de 1 menos menos 3, esto es como tener 1 m\u00e1s 3 que nos da"}, {"start": 408.16, "end": 417.88, "text": " 4 y 4 elevado al cuadrado es 16, m\u00e1s menos 2 menos 1 esto nos da menos 3 y menos 3 al"}, {"start": 417.88, "end": 427.0, "text": " cuadrado nos da 9. Ahora esta suma que tenemos dentro de la ra\u00edz nos da 25, por lo tanto"}, {"start": 427.0, "end": 435.86, "text": " el valor de D ser\u00e1 la ra\u00edz cuadrada de 25 que es igual a 5, entonces la distancia D"}, {"start": 435.86, "end": 443.76, "text": " entre los puntos A y B que pertenecen al plano cartesiano es de 5 unidades. Lo anterior que"}, {"start": 443.76, "end": 450.64, "text": " hemos determinado anal\u00edticamente utilizando la f\u00f3rmula que demostramos podemos verificarlo"}, {"start": 450.64, "end": 457.36, "text": " ahora gr\u00e1ficamente. Venimos al plano cartesiano, localizamos el punto A con coordenadas menos"}, {"start": 457.36, "end": 465.44, "text": " 3,1 ese punto nos queda aqu\u00ed en el segundo cuadrante y ahora localizamos el punto B"}, {"start": 465.44, "end": 473.4, "text": " coordenadas 1,2 queda localizado ac\u00e1 en el cuarto cuadrante. Ahora anal\u00edticamente la"}, {"start": 473.4, "end": 482.15999999999997, "text": " longitud del segmento AB nos dio 5 unidades, vamos a comprobarlo. Con esta escuadra podemos"}, {"start": 482.15999999999997, "end": 489.84, "text": " hacer dos marcas que correspondan a los puntos A y B, aqu\u00ed tenemos el punto A y ac\u00e1 el"}, {"start": 489.84, "end": 497.84, "text": " punto B y ahora venimos ac\u00e1 al eje X para verificar si efectivamente esa distancia corresponde"}, {"start": 497.84, "end": 503.59999999999997, "text": " a 5 unidades, vamos a bajarla un poco, all\u00ed la tenemos, tenemos entonces que corresponde"}, {"start": 503.59999999999997, "end": 510.65999999999997, "text": " a la distancia que hay entre 0 y 5 en el eje X, eso nos confirma que la longitud de ese"}, {"start": 510.66, "end": 538.32, "text": " segmento es de 5 unidades."}]

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VALOR EXACTO DE LA COSECANTE DE UN ÁNGULO

#julioprofe explica cómo hallar el valor exacto (sin usar calculadora) de la cosecante de un ángulo que corresponde a una expresión trigonométrica. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver este ejercicio sin utilizar calculadora. Debemos encontrar el valor de cosecante de theta, si ese ángulo theta viene dado por esta expresión. Comenzamos resolviendo esto que tenemos aquí, y para ello vamos a utilizar una de las identidades trigonométricas de suma producto, que dice lo siguiente. Seno de alfa más seno de beta es igual a 2 por el seno de la semisuma de los ángulos, y esto multiplicado por el coseno de la semidiferencia de esos mismos ángulos. En este caso, 5 pi doceavos hace el papel de alfa y pi doceavos hace el papel de beta. Entonces vamos a construir esta expresión, reemplazando alfa por este ángulo y beta por este otro. Bien, allí tenemos entonces toda esa expresión. Ahora vamos a resolver esto que tenemos dentro de los paréntesis. Nos queda de la siguiente manera, 2 por el seno de, veamos, 5 pi doceavos más pi doceavos, eso nos da 6 pi doceavos, recordemos que se suman los numeradores y se conserva el denominador. 6 pi doceavos equivale a pi medios, si hacemos la simplificación, y pi medios dividido entre 2 nos da pi cuartos. Ahora, esto multiplicado por el coseno de lo siguiente, 5 pi doceavos menos pi doceavos nos da 4 pi doceavos, que simplificando nos da pi tercios, si hacemos la división por 2 pi tercios sobre 2 nos da como resultado pi sextos. Ahora esto nos queda así, 2 por el seno de pi cuartos, estos son radianes y pi cuartos radianes equivalen a 45 grados, entonces el seno de 45 grados nos da raíz cuadrada de 2 sobre 2, ese es su valor exacto. Y acá tenemos coseno de pi sextos radianes, esto equivale a 30 grados y el coseno de 30 grados es raíz cuadrada de 3 sobre 2. Como todo esto está multiplicando, podemos simplificar este número 2 y resolvemos lo que nos queda, entonces arriba tendremos raíz cuadrada de 2 por raíz cuadrada de 3, eso nos da raíz cuadrada de 6, recordemos que se conserva la raíz cuadrada y se multiplican las cantidades internas y todo esto queda sobre 2. Ahora nos hace falta elevar todo este resultado al cuadrado, aquí lo tenemos, entonces vamos a elevar ambos lados de la igualdad al cuadrado y vamos a resolver esto que tenemos acá. En ese caso el exponente 2 afecta tanto al numerador como al denominador, raíz cuadrada de 6 elevado al cuadrado eso nos da 6 y en el denominador 2 al cuadrado nos da 4, 6 cuartos se puede simplificar, sacamos mitad arriba y abajo y eso nos da 3 medios. Entonces podemos reescribir la expresión original como theta igual a secante a la menos 1 de este valor, es decir de 3 medios. Ahora esto también podemos escribirlo como arco secante de 3 medios, es lo mismo, se trata de funciones trigonométricas inversas y esto significa que la secante de theta es igual a 3 medios. Recordemos que la secante de theta multiplicada por el coseno de theta es igual a 1, la secante y el coseno son funciones trigonométricas recíprocas, o sea que su producto es igual a 1 y aquí podemos despejar coseno de theta, es igual a 1 sobre secante de theta, secante está multiplicando pasa al otro lado a dividir y esto es lo mismo que tener secante de theta, todo esto elevado a la menos 1. Aquí es importante diferenciar esta notación de esta, por acá tenemos la función secante de theta y todo ese resultado elevado a la menos 1, mientras que acá este menos 1 nos está denotando la función inversa de la secante, por eso se puede escribir también como arco secante. Bien continuemos acá, tenemos el valor de la secante que es 3 medios, por lo tanto decimos que coseno de theta será igual a 3 medios, lo que nos dio secante de theta y todo esto elevado a la menos 1, recordemos que este menos 1 nos invierte esta fracción, nos queda entonces dos tercios que será el valor de coseno de theta. Escribimos por acá el valor obtenido para coseno de theta y vamos a mirar lo siguiente, tenemos en color rojo la gráfica de la función y igual a coseno de x, la función coseno y en color azul tenemos la gráfica de la función y igual a secante de x, la función secante. Podemos notar que aquellos puntos donde el coseno vale 0, o sea los puntos de corte con el eje x, es por donde pasan las asíntotas verticales de la secante, porque es en esos sitios donde esta función secante no está definida o no existe, recordemos que el coseno y la secante son recíprocas. Ahora cuando consideramos funciones trigonométricas inversas, en el caso del coseno, la zona de trabajo es esta, la que está comprendida entre 0 y pi radianes, para poder abarcar todos los valores comprendidos entre menos 1 y 1, entonces esta será la zona que consideramos para el coseno. De igual forma la zona que le corresponde a la secante va a ser esta parte, esta rama positiva y esta de acá, es decir de nuevo la zona comprendida entre 0 y pi radianes. Por lo tanto como el coseno nos dio una cantidad positiva y la secante también fue positiva, recordemos que la secante de theta nos dio 3 medios, estamos considerando un ángulo theta comprendido entre 0 y pi medios, o sea un ángulo perteneciente al primer cuadrante, repetimos para los ángulos que están aquí, el coseno toma valores entre 0 y 1 y la secante toma valores mayores que 1, valores positivos, entonces hacemos la precisión del ángulo theta, se encuentra entre 0 y pi medios radianes, repetimos pertenece al primer cuadrante. Habiendo hecho esa precisión ya podemos averiguar el valor de seno de theta, para ello vamos a utilizar la identidad fundamental de la trigonometría, esa que nos dice seno al cuadrado de theta más coseno al cuadrado de theta igual a 1, aquí ya conocemos el valor del coseno, entonces vamos a sustituirlo, nos queda entonces 2 tercios, todo esto al cuadrado igual a 1, continuamos resolviendo, nos queda seno al cuadrado de theta más, aquí el cuadrado afecta al numerador y al denominador, nos queda 4 novenos y esto igual a 1, despejamos entonces seno al cuadrado de theta, nos queda 1 menos 4 novenos, continuando con el desarrollo de esto tenemos seno al cuadrado de theta igual a lo siguiente, este 1 podemos cambiarlo por la fracción 9 novenos, para que tengamos resta de fracciones homogéneas, efectuamos la operación de los numeradores, 9 menos 4 nos da 5 y conservamos el mismo denominador, y allí podemos hacer el despeje de seno de theta, será igual a más o menos la raíz cuadrada de 5 novenos, pero con este análisis que hicimos del ángulo theta ya podemos elegir el signo, como se trata de un ángulo del primer cuadrante comprendido entre 0 y pi medios radianes, en esa zona el seno es positivo, entonces ya sabemos con certeza cuál es el signo que debemos escoger, nos queda entonces seno de theta igual a la raíz cuadrada de 5 sobre la raíz cuadrada de 9 que nos da 3, recordemos que aquí la raíz se reparte para el numerador y para el denominador, así ya tenemos entonces el valor de seno de theta, nos dio raíz cuadrada de 5 sobre 3, ahora así como el coseno y la secante son funciones recíprocas, lo mismo sucede con la cosecante y el seno, también son recíprocas, luego su producto nos da 1 y de allí podemos despejar cosecante de theta, seno de theta que está multiplicando pasa al otro lado a dividir, nos queda 1 sobre seno de theta que es lo mismo que tener seno de theta y todo esto elevado al exponente menos 1, entonces como ya tenemos el valor de seno de theta podemos hallar cosecante de theta, aquí sustituimos lo que nos dio que fue raíz cuadrada de 5 sobre 3, todo esto elevado a la menos 1 y así como hicimos ahora este exponente menos 1 nos invierte la fracción, nos queda 3 sobre raíz cuadrada de 5, aquí podemos decir que ya encontramos lo que nos pide el ejercicio, el valor exacto de cosecante de theta, sin embargo queda mejor si racionalizamos el denominador de esa fracción y para ello debemos multiplicar arriba y abajo por la raíz cuadrada de 5, entonces nos queda así, cosecante de theta igual, multiplicamos numeradores entre sí, nos queda entonces 3 por raíz de 5, lo dejamos indicado y abajo raíz de 5 por raíz de 5, nos daría raíz de 5 al cuadrado que nos da como resultado 5 y así hemos llegado al final del ejercicio, esta es la respuesta, el valor exacto de cosecante de theta sin utilizar calculadora a partir de esta información que nos dieron para el ángulo theta.

[{"start": 0.0, "end": 7.0, "text": " Vamos a resolver este ejercicio sin utilizar calculadora."}, {"start": 7.0, "end": 13.540000000000001, "text": " Debemos encontrar el valor de cosecante de theta, si ese \u00e1ngulo theta viene dado por"}, {"start": 13.540000000000001, "end": 15.38, "text": " esta expresi\u00f3n."}, {"start": 15.38, "end": 21.580000000000002, "text": " Comenzamos resolviendo esto que tenemos aqu\u00ed, y para ello vamos a utilizar una de las identidades"}, {"start": 21.580000000000002, "end": 26.36, "text": " trigonom\u00e9tricas de suma producto, que dice lo siguiente."}, {"start": 26.36, "end": 33.36, "text": " Seno de alfa m\u00e1s seno de beta es igual a 2 por el seno de la semisuma de los \u00e1ngulos,"}, {"start": 33.36, "end": 39.519999999999996, "text": " y esto multiplicado por el coseno de la semidiferencia de esos mismos \u00e1ngulos."}, {"start": 39.519999999999996, "end": 47.760000000000005, "text": " En este caso, 5 pi doceavos hace el papel de alfa y 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se puede simplificar, sacamos mitad arriba y abajo y eso nos da 3 medios."}, {"start": 197.08, "end": 203.96, "text": " Entonces podemos reescribir la expresi\u00f3n original como theta igual a secante a la menos"}, {"start": 203.96, "end": 209.72, "text": " 1 de este valor, es decir de 3 medios."}, {"start": 209.72, "end": 219.2, "text": " Ahora esto tambi\u00e9n podemos escribirlo como arco secante de 3 medios, es lo mismo, se"}, {"start": 219.2, "end": 227.11999999999998, "text": " trata de funciones trigonom\u00e9tricas inversas y esto significa que la secante de theta es"}, {"start": 227.11999999999998, "end": 230.95999999999998, "text": " igual a 3 medios."}, {"start": 230.95999999999998, "end": 240.92, "text": " Recordemos que la secante de theta multiplicada por el coseno de theta es igual a 1, la secante"}, {"start": 240.92, "end": 246.85999999999999, "text": " y el coseno son funciones trigonom\u00e9tricas rec\u00edprocas, o sea que su producto es igual"}, {"start": 246.86, "end": 256.52000000000004, "text": " a 1 y aqu\u00ed podemos despejar coseno de theta, es igual a 1 sobre secante de theta, secante"}, {"start": 256.52000000000004, "end": 264.6, "text": " est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir y esto es lo mismo que tener secante de theta,"}, {"start": 264.6, "end": 267.2, "text": " todo esto elevado a la menos 1."}, {"start": 267.2, "end": 273.12, "text": " Aqu\u00ed es importante diferenciar esta notaci\u00f3n de esta, por ac\u00e1 tenemos la funci\u00f3n secante"}, {"start": 273.12, "end": 279.6, "text": " de theta y todo ese resultado elevado a la menos 1, mientras que ac\u00e1 este menos 1 nos"}, {"start": 279.6, "end": 285.48, "text": " est\u00e1 denotando la funci\u00f3n inversa de la secante, por eso se puede escribir tambi\u00e9n"}, {"start": 285.48, "end": 287.52, "text": " como arco secante."}, {"start": 287.52, "end": 293.12, "text": " Bien continuemos ac\u00e1, tenemos el valor de la secante que es 3 medios, por lo tanto decimos"}, {"start": 293.12, "end": 301.04, "text": " que coseno de theta ser\u00e1 igual a 3 medios, lo que nos dio secante de theta y todo esto"}, {"start": 301.04, "end": 307.04, "text": " elevado a la menos 1, recordemos que este menos 1 nos invierte esta fracci\u00f3n, nos queda"}, {"start": 307.04, "end": 312.24, "text": " entonces dos tercios que ser\u00e1 el valor de coseno de theta."}, {"start": 312.24, "end": 318.04, "text": " Escribimos por ac\u00e1 el valor obtenido para coseno de theta y vamos a mirar lo siguiente,"}, {"start": 318.04, "end": 326.20000000000005, "text": " tenemos en color rojo la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n y igual a coseno de x, la funci\u00f3n coseno"}, {"start": 326.2, "end": 335.71999999999997, "text": " y en color azul tenemos la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n y igual a secante de x, la funci\u00f3n secante."}, {"start": 335.71999999999997, "end": 341.4, "text": " Podemos notar que aquellos puntos donde el coseno vale 0, o sea los puntos de corte con"}, {"start": 341.4, "end": 348.4, "text": " el eje x, es por donde pasan las as\u00edntotas verticales de la secante, porque es en esos"}, {"start": 348.4, "end": 355.59999999999997, "text": " sitios donde esta funci\u00f3n secante no est\u00e1 definida o no existe, recordemos que el coseno"}, {"start": 355.6, "end": 358.0, "text": " y la secante son rec\u00edprocas."}, {"start": 358.0, "end": 364.20000000000005, "text": " Ahora cuando consideramos funciones trigonom\u00e9tricas inversas, en el caso del coseno, la zona de"}, {"start": 364.20000000000005, "end": 373.04, "text": " trabajo es esta, la que est\u00e1 comprendida entre 0 y pi radianes, para poder abarcar"}, {"start": 373.04, "end": 380.6, "text": " todos los valores comprendidos entre menos 1 y 1, entonces esta ser\u00e1 la zona que consideramos"}, {"start": 380.6, "end": 382.52000000000004, "text": " para el coseno."}, {"start": 382.52, "end": 390.24, "text": " De igual forma la zona que le corresponde a la secante va a ser esta parte, esta rama"}, {"start": 390.24, "end": 399.96, "text": " positiva y esta de ac\u00e1, es decir de nuevo la zona comprendida entre 0 y pi radianes."}, {"start": 399.96, "end": 406.68, "text": " Por lo tanto como el coseno nos dio una cantidad positiva y la secante tambi\u00e9n fue positiva,"}, {"start": 406.68, "end": 411.4, "text": " recordemos que la secante de theta nos dio 3 medios, estamos considerando un \u00e1ngulo"}, {"start": 411.4, "end": 418.91999999999996, "text": " theta comprendido entre 0 y pi medios, o sea un \u00e1ngulo perteneciente al primer cuadrante,"}, {"start": 418.91999999999996, "end": 425.76, "text": " repetimos para los \u00e1ngulos que est\u00e1n aqu\u00ed, el coseno toma valores entre 0 y 1 y la secante"}, {"start": 425.76, "end": 432.52, "text": " toma valores mayores que 1, valores positivos, entonces hacemos la precisi\u00f3n del \u00e1ngulo"}, {"start": 432.52, "end": 440.32, "text": " theta, se encuentra entre 0 y pi medios radianes, repetimos pertenece al primer cuadrante."}, {"start": 440.32, "end": 447.64, "text": " Habiendo hecho esa precisi\u00f3n ya podemos averiguar el valor de seno de theta, para ello vamos"}, {"start": 447.64, "end": 455.24, "text": " a utilizar la identidad fundamental de la trigonometr\u00eda, esa que nos dice seno al cuadrado"}, {"start": 455.24, "end": 461.96, "text": " de theta m\u00e1s coseno al cuadrado de theta igual a 1, aqu\u00ed ya conocemos el valor del coseno,"}, {"start": 461.96, "end": 470.96, "text": " entonces vamos a sustituirlo, nos queda entonces 2 tercios, todo esto al cuadrado igual a 1,"}, {"start": 470.96, "end": 477.88, "text": " continuamos resolviendo, nos queda seno al cuadrado de theta m\u00e1s, aqu\u00ed el cuadrado afecta"}, {"start": 477.88, "end": 485.71999999999997, "text": " al numerador y al denominador, nos queda 4 novenos y esto igual a 1, despejamos entonces"}, {"start": 485.72, "end": 492.84000000000003, "text": " seno al cuadrado de theta, nos queda 1 menos 4 novenos, continuando con el desarrollo de"}, {"start": 492.84000000000003, "end": 501.16, "text": " esto tenemos seno al cuadrado de theta igual a lo siguiente, este 1 podemos cambiarlo por"}, {"start": 501.16, "end": 506.8, "text": " la fracci\u00f3n 9 novenos, para que tengamos resta de fracciones homog\u00e9neas, efectuamos"}, {"start": 506.8, "end": 513.72, "text": " la operaci\u00f3n de los numeradores, 9 menos 4 nos da 5 y conservamos el mismo denominador,"}, {"start": 513.72, "end": 521.0, "text": " y all\u00ed podemos hacer el despeje de seno de theta, ser\u00e1 igual a m\u00e1s o menos la ra\u00edz"}, {"start": 521.0, "end": 529.5600000000001, "text": " cuadrada de 5 novenos, pero con este an\u00e1lisis que hicimos del \u00e1ngulo theta ya podemos elegir"}, {"start": 529.5600000000001, "end": 536.1600000000001, "text": " el signo, como se trata de un \u00e1ngulo del primer cuadrante comprendido entre 0 y pi medios"}, {"start": 536.1600000000001, "end": 543.1600000000001, "text": " radianes, en esa zona el seno es positivo, entonces ya sabemos con certeza cu\u00e1l es el"}, {"start": 543.16, "end": 549.48, "text": " signo que debemos escoger, nos queda entonces seno de theta igual a la ra\u00edz cuadrada de"}, {"start": 549.48, "end": 555.8, "text": " 5 sobre la ra\u00edz cuadrada de 9 que nos da 3, recordemos que aqu\u00ed la ra\u00edz se reparte para"}, {"start": 555.8, "end": 562.6, "text": " el numerador y para el denominador, as\u00ed ya tenemos entonces el valor de seno de theta,"}, {"start": 562.6, "end": 569.76, "text": " nos dio ra\u00edz cuadrada de 5 sobre 3, ahora as\u00ed como el coseno y la secante son funciones"}, {"start": 569.76, "end": 578.76, "text": " rec\u00edprocas, lo mismo sucede con la cosecante y el seno, tambi\u00e9n son rec\u00edprocas, luego"}, {"start": 578.76, "end": 585.72, "text": " su producto nos da 1 y de all\u00ed podemos despejar cosecante de theta, seno de theta que est\u00e1"}, {"start": 585.72, "end": 592.56, "text": " multiplicando pasa al otro lado a dividir, nos queda 1 sobre seno de theta que es lo"}, {"start": 592.56, "end": 600.8399999999999, "text": " mismo que tener seno de theta y todo esto elevado al exponente menos 1, entonces como"}, {"start": 600.8399999999999, "end": 607.2399999999999, "text": " ya tenemos el valor de seno de theta podemos hallar cosecante de theta, aqu\u00ed sustituimos"}, {"start": 607.2399999999999, "end": 615.02, "text": " lo que nos dio que fue ra\u00edz cuadrada de 5 sobre 3, todo esto elevado a la menos 1 y"}, {"start": 615.02, "end": 622.28, "text": " as\u00ed como hicimos ahora este exponente menos 1 nos invierte la fracci\u00f3n, nos queda 3 sobre"}, {"start": 622.28, "end": 629.24, "text": " ra\u00edz cuadrada de 5, aqu\u00ed podemos decir que ya encontramos lo que nos pide el ejercicio,"}, {"start": 629.24, "end": 636.52, "text": " el valor exacto de cosecante de theta, sin embargo queda mejor si racionalizamos el denominador"}, {"start": 636.52, "end": 645.36, "text": " de esa fracci\u00f3n y para ello debemos multiplicar arriba y abajo por la ra\u00edz cuadrada de 5,"}, {"start": 645.36, "end": 654.2, "text": " entonces nos queda as\u00ed, cosecante de theta igual, multiplicamos numeradores entre s\u00ed,"}, {"start": 654.2, "end": 661.52, "text": " nos queda entonces 3 por ra\u00edz de 5, lo dejamos indicado y abajo ra\u00edz de 5 por ra\u00edz de 5,"}, {"start": 661.52, "end": 667.4, "text": " nos dar\u00eda ra\u00edz de 5 al cuadrado que nos da como resultado 5 y as\u00ed hemos llegado al"}, {"start": 667.4, "end": 675.3199999999999, "text": " final del ejercicio, esta es la respuesta, el valor exacto de cosecante de theta sin"}, {"start": 675.32, "end": 700.5200000000001, "text": " utilizar calculadora a partir de esta informaci\u00f3n que nos dieron para el \u00e1ngulo theta."}]

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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA - Ejercicio 7

#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida por el Método de Sustitución Trigonométrica. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver de manera detallada esta integral indefinida. Comenzamos revisando si se puede resolver en forma directa. Vemos que no es posible. La función que tenemos en el integrando está muy compleja como para pensar en integrarla directamente. También podemos revisar el método de sustitución o cambio de variable. Podríamos intentar tomando x al cuadrado más uno como una nueva letra, pero al derivar eso nos da dos x y vemos que en el numerador no hay una x que nos permita simplificar esa variable. Por lo tanto, descartamos ese método de sustitución o cambio de variable. Revisamos si se puede resolver por partes, pero aquí en el integrando no tenemos la combinación habitual de funciones de ese método. Es decir, que identifiquemos funciones inversas, logarítmicas, algebraicas, trigonométricas o exponenciales. También podemos revisar el método de las fracciones parciales, pero aquí tenemos un exponente fraccionario que no nos favorece el uso de ese método. En cambio, vemos aquí una suma de cuadrados dentro del paréntesis. X al cuadrado más uno al cuadrado. Esa suma de cuadrados nos permite pensar en que una sustitución trigonométrica puede ser el camino más favorable para resolver esta integral. Entonces, usando el método de sustitución trigonométrica, comenzamos por construir un triángulo rectángulo, donde sus catetos serán las raíces cuadradas de estas dos cantidades. La raíz cuadrada de x al cuadrado es x y la raíz cuadrada de uno nos da uno. Podemos colocar entonces esos datos en los catetos de esa manera. También se podría colocar aquí la x y acá el uno. Realmente eso no interesa. Ahora este ángulo agudo vamos a llamarlo theta y también vamos a determinar la hipotenusa utilizando el teorema de Pitágoras. Recordemos que la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos, es decir, de x al cuadrado más uno al cuadrado que es uno. Y con eso ya podemos empezar a plantear lo que son razones trigonométricas para obtener los componentes de esa integral. Utilizamos entonces SOH CAH TOA. Recordemos que es la manera fácil de recordar las tres razones trigonométricas principales. CENO que es cateto opuesto sobre hipotenusa, COCENO que es cateto adyacente sobre hipotenusa y TANGENTE que es cateto opuesto sobre cateto adyacente. En este caso vamos a buscar una razón trigonométrica que nos relacione estos dos lados, el que es constante con la hipotenusa. En este caso sería el cateto adyacente al ángulo theta con la hipotenusa. Aquí la tenemos, cateto adyacente con hipotenusa, entonces usamos COCENO. Decimos COCENO de theta será igual a la razón entre el cateto adyacente que es uno y la hipotenusa que es la raíz cuadrada de x al cuadrado más uno. De allí podemos hacer el despeje de la raíz, para ello podemos pasar este componente acá a multiplicar y COCENO de theta viene acá a dividir. Hacemos entonces un intercambio entre esas dos cantidades. Nos queda entonces la raíz cuadrada de x al cuadrado más uno, todo esto dentro de la raíz igual a 1 sobre COCENO de theta. Pero sabemos que 1 sobre COCENO de theta equivale a secante de theta. Recordemos que el COCENO y la secante son funciones recíprocas. Entonces nos queda esa raíz cuadrada igualada con secante de theta. Aquí podemos cambiar esa raíz cuadrada por exponente un medio. Entonces vamos a seguir por acá, nos queda que x al cuadrado más uno, todo esto elevado al exponente un medio es igual a secante de theta. Y si revisamos la integral original vemos que la expresión que tenemos en el denominador es x al cuadrado más uno, todo eso elevado al exponente tres medios. Pero acá tenemos un medio. Para conseguir el tres medios entonces vamos a elevar ambos lados de esa igualdad al exponente tres. Vamos a elevar al cubo. Entonces en el lado izquierdo nos queda todo esto entre corchetes elevado al cubo y en el lado derecho lo que es secante de theta también elevada al cubo. Aquí podemos resolver lo del lado izquierdo. Recordemos que se conserva la base y se multiplican los exponentes. Entonces nos va a quedar x al cuadrado más uno, todo eso elevado al resultado de tres por un medio que es tres medios. Allí nos aparece ese componente. Y acá en el lado derecho nos queda secante de theta, todo eso elevado al cubo que se puede escribir como secante al cubo de theta. Allí ya hemos conseguido entonces un reemplazo para este componente en términos de theta. Nos falta el diferencial de x. Para ello vamos a buscar aquí una razón trigonométrica que nos relacione estas dos cantidades x con el lado constante, es decir, los catetos. Vemos entonces que la función adecuada es tangente que relaciona el cateto opuesto con el cateto adyacente. Entonces decimos tangente de theta va a ser igual a la razón entre cateto opuesto, el cateto opuesto al ángulo theta que es x, y el cateto adyacente que en este caso es uno. De allí tenemos que x sobre uno nos da x y esto será igual a tangente de theta escribiendo la igualdad en sentido contrario. Y aquí podemos efectuar la derivación a ambos lados de la igualdad. Vamos a derivar x con respecto a la variable theta. Entonces dx de theta será igual a la derivada de tangente de theta que nos da secante al cuadrado de theta. De allí podemos hacer el despeje de dx y para ello pasamos de theta que está dividiendo acá al otro lado a multiplicar. Nos queda entonces secante al cuadrado de theta, todo esto multiplicado por el diferencial de theta. Por esos dos componentes ya podemos reconstruir la integral en términos de la nueva variable que es theta. Entonces esa integral nos queda así. Integral de... Trazamos la línea de la fracción en el denominador. Todo este componente equivale a secante al cubo de theta. Y acá en el numerador tenemos dx, pero dx nos dio secante al cuadrado de theta y eso por el diferencial de theta. Allí lo que hemos conseguido es una integral trigonométrica. Vamos entonces a resolverla. Nos queda la integral de lo siguiente. Aquí podemos simplificar secante al cuadrado de theta con secante al cubo de theta. Podemos cancelar lo del numerador con secante al cuadrado de theta en el denominador y nos va a quedar una secante de theta allí en ese lugar, es decir, en el denominador. En el numerador nos queda 1. Y acá podemos escribir esto por el diferencial de theta. Recordemos que 1 sobre secante de theta es coseno de theta, por lo que dijimos hace un momento. Recordemos que la secante y el coseno son funciones recíprocas. Entonces cambiamos. 1 sobre secante de theta por coseno de theta y eso queda acompañado del diferencial de theta. Allí hemos llegado a una integral que es directa. Recordemos que la integral de coseno de theta es seno de theta, porque la derivada de seno de theta es coseno de theta y a esto le agregamos la constante de integración. Finalmente debemos expresar esto en términos de x, que es la variable original del ejercicio. Para ello nos apoyamos nuevamente en lo que es soukato a. Entonces allí vamos a utilizar la razón seno, esta de aquí. Entonces seno de theta en este triángulo será la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa. Vamos a colocar aquí entonces ya el resultado de la integral en términos de x. Tenemos entonces que el cateto opuesto al ángulo theta es x y la hipotenusa es la raíz cuadrada de x al cuadrado más 1. Y todo esto más la constante de integración. Y de esta manera hemos resuelto el ejercicio. Esta expresión es el resultado de esa integral indefinida que resolvimos por el método de sustitución trigonométrica.

[{"start": 0.0, "end": 7.72, "text": " Vamos a resolver de manera detallada esta integral indefinida."}, {"start": 7.72, "end": 11.84, "text": " Comenzamos revisando si se puede resolver en forma directa."}, {"start": 11.84, "end": 13.280000000000001, "text": " Vemos que no es posible."}, {"start": 13.280000000000001, "end": 18.88, "text": " La funci\u00f3n que tenemos en el integrando est\u00e1 muy compleja como para pensar en integrarla"}, {"start": 18.88, "end": 20.32, "text": " directamente."}, {"start": 20.32, "end": 24.6, "text": " Tambi\u00e9n podemos revisar el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n o cambio de variable."}, {"start": 24.6, "end": 30.44, "text": " Podr\u00edamos intentar tomando x al cuadrado m\u00e1s uno como una nueva letra, pero al derivar"}, {"start": 30.44, "end": 36.32, "text": " eso nos da dos x y vemos que en el numerador no hay una x que nos permita simplificar"}, {"start": 36.32, "end": 37.52, "text": " esa variable."}, {"start": 37.52, "end": 43.32, "text": " Por lo tanto, descartamos ese m\u00e9todo de sustituci\u00f3n o cambio de variable."}, {"start": 43.32, "end": 47.92, "text": " Revisamos si se puede resolver por partes, pero aqu\u00ed en el integrando no tenemos la"}, {"start": 47.92, "end": 51.040000000000006, "text": " combinaci\u00f3n habitual de funciones de ese m\u00e9todo."}, {"start": 51.04, "end": 56.6, "text": " Es decir, que identifiquemos funciones inversas, logar\u00edtmicas, algebraicas, trigonom\u00e9tricas"}, {"start": 56.6, "end": 58.36, "text": " o exponenciales."}, {"start": 58.36, "end": 63.48, "text": " Tambi\u00e9n podemos revisar el m\u00e9todo de las fracciones parciales, pero aqu\u00ed tenemos un"}, {"start": 63.48, "end": 68.72, "text": " exponente fraccionario que no nos favorece el uso de ese m\u00e9todo."}, {"start": 68.72, "end": 74.24, "text": " En cambio, vemos aqu\u00ed una suma de cuadrados dentro del par\u00e9ntesis."}, {"start": 74.24, "end": 76.36, "text": " X al cuadrado m\u00e1s uno al cuadrado."}, {"start": 76.36, "end": 82.4, "text": " Esa suma de cuadrados nos permite pensar en que una sustituci\u00f3n trigonom\u00e9trica puede"}, {"start": 82.4, "end": 86.4, "text": " ser el camino m\u00e1s favorable para resolver esta integral."}, {"start": 86.4, "end": 92.52, "text": " Entonces, usando el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n trigonom\u00e9trica, comenzamos por construir un"}, {"start": 92.52, "end": 98.12, "text": " tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo, donde sus catetos ser\u00e1n las ra\u00edces cuadradas de estas dos"}, {"start": 98.12, "end": 99.12, "text": " cantidades."}, {"start": 99.12, "end": 105.68, "text": " La ra\u00edz cuadrada de x al cuadrado es x y la ra\u00edz cuadrada de uno nos da uno."}, {"start": 105.68, "end": 110.84, "text": " Podemos colocar entonces esos datos en los catetos de esa manera."}, {"start": 110.84, "end": 114.16000000000001, "text": " Tambi\u00e9n se podr\u00eda colocar aqu\u00ed la x y ac\u00e1 el uno."}, {"start": 114.16000000000001, "end": 116.0, "text": " Realmente eso no interesa."}, {"start": 116.0, "end": 122.64000000000001, "text": " Ahora este \u00e1ngulo agudo vamos a llamarlo theta y tambi\u00e9n vamos a determinar la hipotenusa"}, {"start": 122.64000000000001, "end": 125.36000000000001, "text": " utilizando el teorema de Pit\u00e1goras."}, {"start": 125.36000000000001, "end": 131.16, "text": " Recordemos que la hipotenusa es igual a la ra\u00edz cuadrada de la suma de los cuadrados"}, {"start": 131.16, "end": 138.68, "text": " de los catetos, es decir, de x al cuadrado m\u00e1s uno al cuadrado que es uno."}, {"start": 138.68, "end": 145.64, "text": " Y con eso ya podemos empezar a plantear lo que son razones trigonom\u00e9tricas para obtener"}, {"start": 145.64, "end": 149.07999999999998, "text": " los componentes de esa integral."}, {"start": 149.07999999999998, "end": 151.07999999999998, "text": " Utilizamos entonces SOH CAH TOA."}, {"start": 151.07999999999998, "end": 156.72, "text": " Recordemos que es la manera f\u00e1cil de recordar las tres razones trigonom\u00e9tricas principales."}, {"start": 156.72, "end": 163.04, "text": " CENO que es cateto opuesto sobre hipotenusa, COCENO que es cateto adyacente sobre hipotenusa"}, {"start": 163.04, "end": 167.07999999999998, "text": " y TANGENTE que es cateto opuesto sobre cateto adyacente."}, {"start": 167.07999999999998, "end": 172.96, "text": " En este caso vamos a buscar una raz\u00f3n trigonom\u00e9trica que nos relacione estos dos lados, el que"}, {"start": 172.96, "end": 175.64, "text": " es constante con la hipotenusa."}, {"start": 175.64, "end": 181.0, "text": " En este caso ser\u00eda el cateto adyacente al \u00e1ngulo theta con la hipotenusa."}, {"start": 181.0, "end": 186.07999999999998, "text": " Aqu\u00ed la tenemos, cateto adyacente con hipotenusa, entonces usamos COCENO."}, {"start": 186.08, "end": 194.0, "text": " Decimos COCENO de theta ser\u00e1 igual a la raz\u00f3n entre el cateto adyacente que es uno y la"}, {"start": 194.0, "end": 200.44, "text": " hipotenusa que es la ra\u00edz cuadrada de x al cuadrado m\u00e1s uno."}, {"start": 200.44, "end": 205.84, "text": " De all\u00ed podemos hacer el despeje de la ra\u00edz, para ello podemos pasar este componente ac\u00e1"}, {"start": 205.84, "end": 210.24, "text": " a multiplicar y COCENO de theta viene ac\u00e1 a dividir."}, {"start": 210.24, "end": 214.36, "text": " Hacemos entonces un intercambio entre esas dos cantidades."}, {"start": 214.36, "end": 220.04000000000002, "text": " Nos queda entonces la ra\u00edz cuadrada de x al cuadrado m\u00e1s uno, todo esto dentro de la"}, {"start": 220.04000000000002, "end": 226.16000000000003, "text": " ra\u00edz igual a 1 sobre COCENO de theta."}, {"start": 226.16000000000003, "end": 231.8, "text": " Pero sabemos que 1 sobre COCENO de theta equivale a secante de theta."}, {"start": 231.8, "end": 236.88000000000002, "text": " Recordemos que el COCENO y la secante son funciones rec\u00edprocas."}, {"start": 236.88000000000002, "end": 243.56, "text": " Entonces nos queda esa ra\u00edz cuadrada igualada con secante de theta."}, {"start": 243.56, "end": 248.24, "text": " Aqu\u00ed podemos cambiar esa ra\u00edz cuadrada por exponente un medio."}, {"start": 248.24, "end": 253.6, "text": " Entonces vamos a seguir por ac\u00e1, nos queda que x al cuadrado m\u00e1s uno, todo esto elevado"}, {"start": 253.6, "end": 258.04, "text": " al exponente un medio es igual a secante de theta."}, {"start": 258.04, "end": 264.24, "text": " Y si revisamos la integral original vemos que la expresi\u00f3n que tenemos en el denominador"}, {"start": 264.24, "end": 269.28, "text": " es x al cuadrado m\u00e1s uno, todo eso elevado al exponente tres medios."}, {"start": 269.28, "end": 271.0, "text": " Pero ac\u00e1 tenemos un medio."}, {"start": 271.0, "end": 277.16, "text": " Para conseguir el tres medios entonces vamos a elevar ambos lados de esa igualdad al exponente"}, {"start": 277.16, "end": 278.28, "text": " tres."}, {"start": 278.28, "end": 280.72, "text": " Vamos a elevar al cubo."}, {"start": 280.72, "end": 286.76, "text": " Entonces en el lado izquierdo nos queda todo esto entre corchetes elevado al cubo y en"}, {"start": 286.76, "end": 292.56, "text": " el lado derecho lo que es secante de theta tambi\u00e9n elevada al cubo."}, {"start": 292.56, "end": 295.28, "text": " Aqu\u00ed podemos resolver lo del lado izquierdo."}, {"start": 295.28, "end": 299.4, "text": " Recordemos que se conserva la base y se multiplican los exponentes."}, {"start": 299.4, "end": 305.35999999999996, "text": " Entonces nos va a quedar x al cuadrado m\u00e1s uno, todo eso elevado al resultado de tres"}, {"start": 305.35999999999996, "end": 308.59999999999997, "text": " por un medio que es tres medios."}, {"start": 308.59999999999997, "end": 310.76, "text": " All\u00ed nos aparece ese componente."}, {"start": 310.76, "end": 316.08, "text": " Y ac\u00e1 en el lado derecho nos queda secante de theta, todo eso elevado al cubo que se"}, {"start": 316.08, "end": 320.88, "text": " puede escribir como secante al cubo de theta."}, {"start": 320.88, "end": 326.52, "text": " All\u00ed ya hemos conseguido entonces un reemplazo para este componente en t\u00e9rminos de theta."}, {"start": 326.52, "end": 328.96, "text": " Nos falta el diferencial de x."}, {"start": 328.96, "end": 334.47999999999996, "text": " Para ello vamos a buscar aqu\u00ed una raz\u00f3n trigonom\u00e9trica que nos relacione estas dos"}, {"start": 334.47999999999996, "end": 339.52, "text": " cantidades x con el lado constante, es decir, los catetos."}, {"start": 339.52, "end": 345.47999999999996, "text": " Vemos entonces que la funci\u00f3n adecuada es tangente que relaciona el cateto opuesto con"}, {"start": 345.47999999999996, "end": 347.56, "text": " el cateto adyacente."}, {"start": 347.56, "end": 353.88, "text": " Entonces decimos tangente de theta va a ser igual a la raz\u00f3n entre cateto opuesto, el"}, {"start": 353.88, "end": 361.88, "text": " cateto opuesto al \u00e1ngulo theta que es x, y el cateto adyacente que en este caso es uno."}, {"start": 361.88, "end": 369.65999999999997, "text": " De all\u00ed tenemos que x sobre uno nos da x y esto ser\u00e1 igual a tangente de theta escribiendo"}, {"start": 369.65999999999997, "end": 372.48, "text": " la igualdad en sentido contrario."}, {"start": 372.48, "end": 377.0, "text": " Y aqu\u00ed podemos efectuar la derivaci\u00f3n a ambos lados de la igualdad."}, {"start": 377.0, "end": 381.96, "text": " Vamos a derivar x con respecto a la variable theta."}, {"start": 381.96, "end": 387.84, "text": " Entonces dx de theta ser\u00e1 igual a la derivada de tangente de theta que nos da secante al"}, {"start": 387.84, "end": 390.35999999999996, "text": " cuadrado de theta."}, {"start": 390.35999999999996, "end": 397.08, "text": " De all\u00ed podemos hacer el despeje de dx y para ello pasamos de theta que est\u00e1 dividiendo"}, {"start": 397.08, "end": 399.64, "text": " ac\u00e1 al otro lado a multiplicar."}, {"start": 399.64, "end": 405.03999999999996, "text": " Nos queda entonces secante al cuadrado de theta, todo esto multiplicado por el diferencial"}, {"start": 405.03999999999996, "end": 406.32, "text": " de theta."}, {"start": 406.32, "end": 412.92, "text": " Por esos dos componentes ya podemos reconstruir la integral en t\u00e9rminos de la nueva variable"}, {"start": 412.92, "end": 414.44, "text": " que es theta."}, {"start": 414.44, "end": 417.44, "text": " Entonces esa integral nos queda as\u00ed."}, {"start": 417.44, "end": 418.92, "text": " Integral de..."}, {"start": 418.92, "end": 422.04, "text": " Trazamos la l\u00ednea de la fracci\u00f3n en el denominador."}, {"start": 422.04, "end": 427.15999999999997, "text": " Todo este componente equivale a secante al cubo de theta."}, {"start": 427.15999999999997, "end": 434.4, "text": " Y ac\u00e1 en el numerador tenemos dx, pero dx nos dio secante al cuadrado de theta y eso"}, {"start": 434.4, "end": 437.91999999999996, "text": " por el diferencial de theta."}, {"start": 437.91999999999996, "end": 441.67999999999995, "text": " All\u00ed lo que hemos conseguido es una integral trigonom\u00e9trica."}, {"start": 441.67999999999995, "end": 444.15999999999997, "text": " Vamos entonces a resolverla."}, {"start": 444.15999999999997, "end": 446.96, "text": " Nos queda la integral de lo siguiente."}, {"start": 446.96, "end": 452.15999999999997, "text": " Aqu\u00ed podemos simplificar secante al cuadrado de theta con secante al cubo de theta."}, {"start": 452.15999999999997, "end": 457.96, "text": " Podemos cancelar lo del numerador con secante al cuadrado de theta en el denominador y nos"}, {"start": 457.96, "end": 464.35999999999996, "text": " va a quedar una secante de theta all\u00ed en ese lugar, es decir, en el denominador."}, {"start": 464.36, "end": 466.2, "text": " En el numerador nos queda 1."}, {"start": 466.2, "end": 470.64, "text": " Y ac\u00e1 podemos escribir esto por el diferencial de theta."}, {"start": 470.64, "end": 476.76, "text": " Recordemos que 1 sobre secante de theta es coseno de theta, por lo que dijimos hace un"}, {"start": 476.76, "end": 478.04, "text": " momento."}, {"start": 478.04, "end": 481.96000000000004, "text": " Recordemos que la secante y el coseno son funciones rec\u00edprocas."}, {"start": 481.96000000000004, "end": 482.96000000000004, "text": " Entonces cambiamos."}, {"start": 482.96000000000004, "end": 488.72, "text": " 1 sobre secante de theta por coseno de theta y eso queda acompa\u00f1ado del diferencial de"}, {"start": 488.72, "end": 489.72, "text": " theta."}, {"start": 489.72, "end": 493.96000000000004, "text": " All\u00ed hemos llegado a una integral que es directa."}, {"start": 493.96, "end": 499.59999999999997, "text": " Recordemos que la integral de coseno de theta es seno de theta, porque la derivada de seno"}, {"start": 499.59999999999997, "end": 506.52, "text": " de theta es coseno de theta y a esto le agregamos la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 506.52, "end": 513.48, "text": " Finalmente debemos expresar esto en t\u00e9rminos de x, que es la variable original del ejercicio."}, {"start": 513.48, "end": 519.0799999999999, "text": " Para ello nos apoyamos nuevamente en lo que es soukato a."}, {"start": 519.08, "end": 525.08, "text": " Entonces all\u00ed vamos a utilizar la raz\u00f3n seno, esta de aqu\u00ed."}, {"start": 525.08, "end": 531.9200000000001, "text": " Entonces seno de theta en este tri\u00e1ngulo ser\u00e1 la raz\u00f3n entre el cateto opuesto y la hipotenusa."}, {"start": 531.9200000000001, "end": 537.64, "text": " Vamos a colocar aqu\u00ed entonces ya el resultado de la integral en t\u00e9rminos de x."}, {"start": 537.64, "end": 543.4000000000001, "text": " Tenemos entonces que el cateto opuesto al \u00e1ngulo theta es x y la hipotenusa es la ra\u00edz"}, {"start": 543.4000000000001, "end": 547.36, "text": " cuadrada de x al cuadrado m\u00e1s 1."}, {"start": 547.36, "end": 553.32, "text": " Y todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 553.32, "end": 557.4, "text": " Y de esta manera hemos resuelto el ejercicio."}, {"start": 557.4, "end": 564.5600000000001, "text": " Esta expresi\u00f3n es el resultado de esa integral indefinida que resolvimos por el m\u00e9todo de"}, {"start": 564.56, "end": 591.56, "text": " sustituci\u00f3n trigonom\u00e9trica."}]

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GRÁFICA, DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL

#julioprofe explica cómo obtener la gráfica de una función exponencial, así como su dominio y rango. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para esta función vamos a determinar su dominio, su rango y también vamos a construir su gráfica. Lo primero que podemos notar es que se trata de una función exponencial porque la variable independiente que es X se encuentra aquí en el exponente de esta potencia, únicamente la X aparece allí. Entonces, repetimos, es una función de tipo exponencial. Vamos a recordar algunos conceptos básicos de ese tipo de función. La función exponencial tiene este modelo, Y o eje de X igual a la X, donde A es una cantidad positiva y también A tiene que ser diferente de 1. La gráfica de una función exponencial es una curva que puede ser de cualquiera de estas dos formas. Puede ser una curva creciente o una curva decreciente. ¿Eso de qué depende? Depende de cómo sea A. A es una cantidad positiva diferente de 1. Si A es una cantidad mayor que 1, entonces la función exponencial, su gráfica, es decir, la curva, tiene esta forma, es creciente. Y si A es una cantidad comprendida entre 0 y 1, entonces la curva es decreciente. En ambos casos, esas curvas cortan el eje Y o el eje vertical en la ordenada 1. Y eso sucede porque cuando X toma el valor 0, aquí tendríamos A al 0 que equivale a 1. Entonces, ese será el corte o intersección con el eje Y. También se observa que en ambos casos el eje X es asíntota horizontal. Eso significa que acá la curva se aproxima cada vez más al eje X, pero nunca lo toca. Y lo mismo sucede en esta situación. Para toda función exponencial que tenga este modelo, su dominio serán todos los reales. X, que es la variable independiente, puede tomar cualquier valor perteneciente al conjunto de los reales. Puede tomar valores negativos, el 0 o valores positivos. Cualquier número real es bienvenido aquí en la función. Y en cuanto al rango, podemos decir que se trata de los valores de Y mayores que 0. Como podemos ver aquí en las gráficas, la curva habita en los cuadrantes 1 y 2. 1 y 2 cuadrantes. Solamente allí. Y como el eje X es asíntota horizontal, nunca se va a tomar el valor 0. Siempre Y toma valores positivos. Entonces, teniendo en cuenta estos conceptos de la función exponencial, vamos ahora sí a trabajar la función que nos dieron. Vamos a ver en cual de estos dos modelos encaja. Vemos que acá el modelo original tiene la X positiva y acá la tenemos negativa. Vamos entonces a realizar una transformación para esa expresión. Comenzamos tomando el exponente del 3, es decir, 1 menos X, que podemos escribir como menos X más 1. Simplemente cambiamos la posición de los términos. Y aquí podemos extraer como factor común el signo menos. Entonces nos queda dentro del paréntesis X menos 1. Al salir el menos, nos cambian los signos de esos dos términos. Y esto lo podemos escribir como menos 1 por X menos 1. Simplemente hacemos visible el 1 que aquí está invisible. Entonces, eso lo vamos a reemplazar acá. Nos quedaría Y o F de X igual a menos 3. Todo eso elevado a menos 1 por X menos 1 y todo eso menos 2. Ahora observamos un producto o una multiplicación aquí en el exponente de esta potencia. Vamos entonces a recordar esta propiedad de la potenciación. Si tenemos una potencia elevada a otro exponente, entonces conservamos la base y multiplicamos los exponentes. Pues bien, esta situación es esto que se presenta acá. Y de acuerdo con esta propiedad, podemos presentarlo de esta manera. Entonces, la función nos queda así. Y o F de X igual a menos 3 a la menos 1 y todo esto elevado a su vez a X menos 1. Ya podemos escribirlo acá sin necesidad de ese paréntesis. Y todo esto menos 2. Ahora con 3 a la menos 1, podemos aplicar la propiedad de la potenciación para el exponente negativo. Vamos a recordarla. A a la menos n es igual a 1 sobre a a la n. Si n toma el valor 1, nos queda que a a la menos 1 es igual a 1 sobre a a la 1. Pero recordemos que a a la 1 equivale a este exponente 1. Se hace invisible. Entonces a la menos 1 es 1 sobre a. Luego la función nos queda Y o F de X igual a menos, abrimos el paréntesis, 3 a la menos 1, se convierte en 1 tercio. De acuerdo con esta propiedad, todo eso queda elevado al exponente X menos 1 y todo eso menos 2. Vamos a escribir esto por acá. Entonces esta función que hemos obtenido que es equivalente a la original ya tiene parecido con este modelo. La base en este caso será 1 tercio. 1 tercio hace el papel de a. Y aquí ya vemos la X positiva. Entonces podemos pensar en que el modelo original para esa función, es decir, la primitiva que llamamos, la función que será el punto de partida, corresponde a este caso. Podemos decir que esta función es la que corresponde a Y igual a 1 tercio a la X. En este caso a es 1 tercio. Es una cantidad comprendida entre 0 y 1. Es entonces una curva decreciente. Entonces a partir de esta gráfica vamos a llegar poco a poco a la función que hemos obtenido. Vamos a realizar las transformaciones necesarias. Comenzamos entonces aplicando este menos 1, el que afecta aquí a la X. Entonces vamos a ver cómo nos quedaría la nueva gráfica. Bien, allí la tenemos. Esa nueva gráfica resulta de trasladar esta, que es la función primitiva o la función patrón, una unidad hacia la derecha. Esta curva corresponde a la función Y igual a 1 tercio, todo esto elevado al exponente X menos 1. Allí tenemos ya este componente. Esa gráfica tiene este punto de acá, el punto que aquí era 0,1, lo tenemos ahora en este sitio. Se ha corrido una unidad hacia la derecha. Ahora corresponde a la coordenada 1,1. También podríamos establecer cuál es su corte con el eje vertical, con el eje Y. Y eso se obtiene cuando X toma el valor 0. Si aquí X toma 0, nos queda 0 menos 1, es decir, menos 1, y un tercio elevado a la menos 1, nos daría 3 a la 1. Aplicando la propiedad de la potencia con exponente negativo, cuando la base es una fracción. Si tenemos A sobre B a la menos N, esto es igual a B sobre A a la N. Entonces si tenemos un tercio, todo esto a la menos 1, entonces aplicando esto nos queda 3 sobre 1 a la 1. Pero 3 sobre 1 nos da 3, y 3 a la 1 nos da 3. Entonces, es el número que tenemos allí. 3, la ordenada 3, es el punto donde la curva corta al eje Y. Esta traslación que hemos hecho de la función original de una unidad hacia la derecha, corresponde a una de las transformaciones que puede experimentar una función. F de X menos A es la gráfica de la función original F de X trasladada a unidades hacia la derecha. Ahora también se presenta el caso contrario. Si aquí tuviéramos F de X más A, entonces sería la gráfica de F de X trasladada a unidades, pero hacia la izquierda. Repetimos, en este caso, a la X se le ha restado 1, para poder obtener esto de acá, y lo que hemos visto es que la curva original se ha trasladado una unidad hacia la derecha. Bien, ya tenemos este componente, aquí tenemos la nueva curva, y vamos ahora a aplicar este signo menos, que afecta a esa potencia. Este signo menos ocasiona que esta curva presente una reflexión en relación con el eje X. Va a reflejarse acá, en los cuadrantes 3 y 4. Entonces, este punto nos va a quedar aquí, es decir, en la coordenada 1, menos 1, y este nos va a quedar acá, en la ordenada menos 3. Bien, aquí la tenemos. Entonces, esta curva es el reflejo de esta en relación con el eje X. Esa curva corresponde a la función menos, entre paréntesis 1 tercio, y todo esto elevado al exponente X menos 1. Repetimos, es anteponerle a esta función un signo menos, y eso nos ocasiona un reflejo con respecto del eje X. Como decíamos, aquí está el reflejo de este punto. Esta será la coordenada 1, menos 1, y este será el reflejo de este que teníamos acá. Ahora corta el eje Y en la ordenada menos 3. Esta es otra de las transformaciones que puede experimentar una función. Menos F de X es el reflejo de la gráfica de la función original F de X en relación con el eje de las X. El eje de las abscisas produce una reflexión con respecto del eje X. Como podemos ver, ya se tiene todo esto. Aquí tenemos la gráfica que corresponde a este componente. Nos hace falta restarle 2 para obtener la gráfica que buscamos. Este menos 2 va a ocasionar que esta función, esta gráfica, se desplace hacia abajo dos unidades, incluyendo la síntota horizontal, que aquí es el eje X. La síntota hasta el momento no se ha modificado. Es la misma que traía el modelo inicial, el que correspondía a la función Y igual a 1 tercio a la X. Bien, aquí tenemos la nueva gráfica que como decíamos resulta de trasladar esta de acá, incluyendo su síntota dos unidades hacia abajo. Aquí tenemos la nueva síntota. La hemos pintado en color azul con línea ponteada. Es la recta Y igual a menos 2. Una recta horizontal que pasa por la ordenada menos 2. También tenemos este punto, el que veníamos considerando, este de acá que antes era este de allá. Ahora será la coordenada 1, menos 3. Y el nuevo punto de intersección con el eje vertical o con el eje Y será este. Ahora tenemos el corte en la ordenada menos 5, porque anteriormente era menos 3. Si se bajan dos unidades, ahora queda en menos 5. Esta será entonces la curva que corresponde a la función Y igual a menos 1 tercio. Todo esto a la X menos 1 y todo eso menos 2. La que habíamos obtenido por acá. Lógicamente esto es un bosquejo de la curva. Si quisiéramos un gráfico con mayor precisión, deberíamos hacer una tabla de valores, ingresar números reales de X, negativos el cero positivos. Y de esa manera obtendríamos parejas XY que nos permitirían trazar la curva con precisión. Esta traslación hacia abajo que sufría la función es otra de las transformaciones que puede experimentar una función. F de X menos A es la traslación de la función original F de X a unidades hacia abajo. De igual forma, si tuviéramos F de X más A, entonces sería la traslación de la gráfica de F de X a unidades hacia arriba. Es importante distinguir los dos tipos de traslación que se pueden dar en una función. La traslación horizontal y la traslación vertical. Entonces debemos diferenciar estas dos situaciones. Acá tenemos que la función original F de X se traslada a unidades hacia la derecha. En cambio acá la función original F de X se traslada a unidades hacia abajo. La diferencia está en lo que afecta la A. Aquí A afecta a la X, mientras que aquí A afecta a toda la función. De igual forma, el caso de F de X más A es diferente a tener F de X todo eso más A. Aquí la función original F de X se desplaza o se traslada a unidades hacia la izquierda, mientras que aquí la gráfica original de F de X se traslada a unidades hacia arriba. Ya tenemos entonces el bosquejo de la gráfica de la función que habíamos obtenido al transformar la original, la que nos dieron inicialmente. Entonces a partir de esta gráfica vamos a determinar lo que es el dominio y el rango para esa función. Como decíamos al comienzo, si es una función de tipo exponencial, entonces el dominio serán todos los reales. X que es la variable independiente puede tomar cualquier valor perteneciente al conjunto de los reales. Y aquí vemos que la curva ratifica eso. Es una curva que toma valores negativos, toma el cero y toma valores positivos de la variable X. Ahora para el rango nos concentramos en la gráfica. Vemos que la curva habita en esta zona, es decir, en lo que está por debajo de la asíntota horizontal y igual a menos 2. Entonces podemos decir que el rango de la función son los valores de Y menores que menos 2. No toma menos 2 porque como decíamos aquí la curva se aproxima cada vez más a la asíntota pero nunca la toca. Otra forma de presentar el rango de la función es la siguiente, valores de Y pertenecientes al intervalo que va desde menos infinito hasta menos 2. Lógicamente abierto en los dos extremos. Venimos desde menos infinito subiendo con valores negativos de Y hasta un poco antes de menos 2. Entonces los puntos de esta curva toman valores de Y que están presentes o contenidos en este intervalo. Bien, de esta manera terminamos. A partir de la función original que nos dieron, obtuvimos esta. Y con ella fue posible construir la gráfica tomando la función patrón o primitiva 1 tercio a la X corriendo la primero una unidad hacia la derecha, después reflejándola en relación con el eje X y por último trasladándola hacia abajo dos unidades. Eso nos permitió ver los elementos principales de la gráfica como son la asíntota horizontal que es la recta Y igual a menos 2, el punto de corte con el eje Y que nos quedó en 0,5 y este punto que nos sirvió de guía durante todo el proceso de transformación. Finalmente fue 1,-3. También fue posible determinar el dominio y el rango para esta función que es equivalente a la original. Gracias por ver el vídeo.

[{"start": 0.0, "end": 10.0, "text": " Para esta funci\u00f3n vamos a determinar su dominio, su rango y tambi\u00e9n vamos a construir su gr\u00e1fica."}, {"start": 10.0, "end": 17.0, "text": " Lo primero que podemos notar es que se trata de una funci\u00f3n exponencial porque la variable independiente que es X"}, {"start": 17.0, "end": 23.0, "text": " se encuentra aqu\u00ed en el exponente de esta potencia, \u00fanicamente la X aparece all\u00ed."}, {"start": 23.0, "end": 32.0, "text": " Entonces, repetimos, es una funci\u00f3n de tipo exponencial. Vamos a recordar algunos conceptos b\u00e1sicos de ese tipo de funci\u00f3n."}, {"start": 32.0, "end": 45.0, "text": " La funci\u00f3n exponencial tiene este modelo, Y o eje de X igual a la X, donde A es una cantidad positiva y tambi\u00e9n A tiene que ser diferente de 1."}, {"start": 45.0, "end": 52.0, "text": " La gr\u00e1fica de una funci\u00f3n exponencial es una curva que puede ser de cualquiera de estas dos formas."}, {"start": 52.0, "end": 59.0, "text": " Puede ser una curva creciente o una curva decreciente. \u00bfEso de qu\u00e9 depende? Depende de c\u00f3mo sea A."}, {"start": 59.0, "end": 72.0, "text": " A es una cantidad positiva diferente de 1. Si A es una cantidad mayor que 1, entonces la funci\u00f3n exponencial, su gr\u00e1fica, es decir, la curva, tiene esta forma, es creciente."}, {"start": 72.0, "end": 87.0, "text": " Y si A es una cantidad comprendida entre 0 y 1, entonces la curva es decreciente. En ambos casos, esas curvas cortan el eje Y o el eje vertical en la ordenada 1."}, {"start": 87.0, "end": 99.0, "text": " Y eso sucede porque cuando X toma el valor 0, aqu\u00ed tendr\u00edamos A al 0 que equivale a 1. Entonces, ese ser\u00e1 el corte o intersecci\u00f3n con el eje Y."}, {"start": 99.0, "end": 111.0, "text": " Tambi\u00e9n se observa que en ambos casos el eje X es as\u00edntota horizontal. Eso significa que ac\u00e1 la curva se aproxima cada vez m\u00e1s al eje X, pero nunca lo toca."}, {"start": 111.0, "end": 121.0, "text": " Y lo mismo sucede en esta situaci\u00f3n. Para toda funci\u00f3n exponencial que tenga este modelo, su dominio ser\u00e1n todos los reales."}, {"start": 121.0, "end": 133.0, "text": " X, que es la variable independiente, puede tomar cualquier valor perteneciente al conjunto de los reales. Puede tomar valores negativos, el 0 o valores positivos."}, {"start": 133.0, "end": 144.0, "text": " Cualquier n\u00famero real es bienvenido aqu\u00ed en la funci\u00f3n. Y en cuanto al rango, podemos decir que se trata de los valores de Y mayores que 0."}, {"start": 144.0, "end": 153.0, "text": " Como podemos ver aqu\u00ed en las gr\u00e1ficas, la curva habita en los cuadrantes 1 y 2. 1 y 2 cuadrantes. Solamente all\u00ed."}, {"start": 153.0, "end": 162.0, "text": " Y como el eje X es as\u00edntota horizontal, nunca se va a tomar el valor 0. Siempre Y toma valores positivos."}, {"start": 162.0, "end": 170.0, "text": " Entonces, teniendo en cuenta estos conceptos de la funci\u00f3n exponencial, vamos ahora s\u00ed a trabajar la funci\u00f3n que nos dieron."}, {"start": 170.0, "end": 179.0, "text": " Vamos a ver en cual de estos dos modelos encaja. Vemos que ac\u00e1 el modelo original tiene la X positiva y ac\u00e1 la tenemos negativa."}, {"start": 179.0, "end": 184.0, "text": " Vamos entonces a realizar una transformaci\u00f3n para esa expresi\u00f3n."}, {"start": 184.0, "end": 192.0, "text": " Comenzamos tomando el exponente del 3, es decir, 1 menos X, que podemos escribir como menos X m\u00e1s 1."}, {"start": 192.0, "end": 203.0, "text": " Simplemente cambiamos la posici\u00f3n de los t\u00e9rminos. Y aqu\u00ed podemos extraer como factor com\u00fan el signo menos. Entonces nos queda dentro del par\u00e9ntesis X menos 1."}, {"start": 203.0, "end": 212.0, "text": " Al salir el menos, nos cambian los signos de esos dos t\u00e9rminos. Y esto lo podemos escribir como menos 1 por X menos 1."}, {"start": 212.0, "end": 217.0, "text": " Simplemente hacemos visible el 1 que aqu\u00ed est\u00e1 invisible."}, {"start": 217.0, "end": 235.0, "text": " Entonces, eso lo vamos a reemplazar ac\u00e1. Nos quedar\u00eda Y o F de X igual a menos 3. Todo eso elevado a menos 1 por X menos 1 y todo eso menos 2."}, {"start": 235.0, "end": 241.0, "text": " Ahora observamos un producto o una multiplicaci\u00f3n aqu\u00ed en el exponente de esta potencia."}, {"start": 241.0, "end": 248.0, "text": " Vamos entonces a recordar esta propiedad de la potenciaci\u00f3n. Si tenemos una potencia elevada a otro exponente,"}, {"start": 248.0, "end": 257.0, "text": " entonces conservamos la base y multiplicamos los exponentes. Pues bien, esta situaci\u00f3n es esto que se presenta ac\u00e1."}, {"start": 257.0, "end": 262.0, "text": " Y de acuerdo con esta propiedad, podemos presentarlo de esta manera."}, {"start": 262.0, "end": 275.0, "text": " Entonces, la funci\u00f3n nos queda as\u00ed. Y o F de X igual a menos 3 a la menos 1 y todo esto elevado a su vez a X menos 1."}, {"start": 275.0, "end": 281.0, "text": " Ya podemos escribirlo ac\u00e1 sin necesidad de ese par\u00e9ntesis. Y todo esto menos 2."}, {"start": 281.0, "end": 288.0, "text": " Ahora con 3 a la menos 1, podemos aplicar la propiedad de la potenciaci\u00f3n para el exponente negativo."}, {"start": 288.0, "end": 302.0, "text": " Vamos a recordarla. A a la menos n es igual a 1 sobre a a la n. Si n toma el valor 1, nos queda que a a la menos 1 es igual a 1 sobre a a la 1."}, {"start": 302.0, "end": 308.0, "text": " Pero recordemos que a a la 1 equivale a este exponente 1. Se hace invisible."}, {"start": 308.0, "end": 319.0, "text": " Entonces a la menos 1 es 1 sobre a. Luego la funci\u00f3n nos queda Y o F de X igual a menos, abrimos el par\u00e9ntesis, 3 a la menos 1,"}, {"start": 319.0, "end": 329.0, "text": " se convierte en 1 tercio. De acuerdo con esta propiedad, todo eso queda elevado al exponente X menos 1 y todo eso menos 2."}, {"start": 329.0, "end": 340.0, "text": " Vamos a escribir esto por ac\u00e1. Entonces esta funci\u00f3n que hemos obtenido que es equivalente a la original ya tiene parecido con este modelo."}, {"start": 340.0, "end": 347.0, "text": " La base en este caso ser\u00e1 1 tercio. 1 tercio hace el papel de a. Y aqu\u00ed ya vemos la X positiva."}, {"start": 347.0, "end": 357.0, "text": " Entonces podemos pensar en que el modelo original para esa funci\u00f3n, es decir, la primitiva que llamamos, la funci\u00f3n que ser\u00e1 el punto de partida,"}, {"start": 357.0, "end": 365.0, "text": " corresponde a este caso. Podemos decir que esta funci\u00f3n es la que corresponde a Y igual a 1 tercio a la X."}, {"start": 365.0, "end": 373.0, "text": " En este caso a es 1 tercio. Es una cantidad comprendida entre 0 y 1. Es entonces una curva decreciente."}, {"start": 373.0, "end": 380.0, "text": " Entonces a partir de esta gr\u00e1fica vamos a llegar poco a poco a la funci\u00f3n que hemos obtenido."}, {"start": 380.0, "end": 389.0, "text": " Vamos a realizar las transformaciones necesarias. Comenzamos entonces aplicando este menos 1, el que afecta aqu\u00ed a la X."}, {"start": 389.0, "end": 395.0, "text": " Entonces vamos a ver c\u00f3mo nos quedar\u00eda la nueva gr\u00e1fica. Bien, all\u00ed la tenemos."}, {"start": 395.0, "end": 404.0, "text": " Esa nueva gr\u00e1fica resulta de trasladar esta, que es la funci\u00f3n primitiva o la funci\u00f3n patr\u00f3n, una unidad hacia la derecha."}, {"start": 404.0, "end": 413.0, "text": " Esta curva corresponde a la funci\u00f3n Y igual a 1 tercio, todo esto elevado al exponente X menos 1."}, {"start": 413.0, "end": 423.0, "text": " All\u00ed tenemos ya este componente. Esa gr\u00e1fica tiene este punto de ac\u00e1, el punto que aqu\u00ed era 0,1, lo tenemos ahora en este sitio."}, {"start": 423.0, "end": 428.0, "text": " Se ha corrido una unidad hacia la derecha. Ahora corresponde a la coordenada 1,1."}, {"start": 428.0, "end": 436.0, "text": " Tambi\u00e9n podr\u00edamos establecer cu\u00e1l es su corte con el eje vertical, con el eje Y. Y eso se obtiene cuando X toma el valor 0."}, {"start": 436.0, "end": 444.0, "text": " Si aqu\u00ed X toma 0, nos queda 0 menos 1, es decir, menos 1, y un tercio elevado a la menos 1, nos dar\u00eda 3 a la 1."}, {"start": 444.0, "end": 450.0, "text": " Aplicando la propiedad de la potencia con exponente negativo, cuando la base es una fracci\u00f3n."}, {"start": 450.0, "end": 460.0, "text": " Si tenemos A sobre B a la menos N, esto es igual a B sobre A a la N. Entonces si tenemos un tercio, todo esto a la menos 1,"}, {"start": 460.0, "end": 470.0, "text": " entonces aplicando esto nos queda 3 sobre 1 a la 1. Pero 3 sobre 1 nos da 3, y 3 a la 1 nos da 3."}, {"start": 470.0, "end": 478.0, "text": " Entonces, es el n\u00famero que tenemos all\u00ed. 3, la ordenada 3, es el punto donde la curva corta al eje Y."}, {"start": 478.0, "end": 484.0, "text": " Esta traslaci\u00f3n que hemos hecho de la funci\u00f3n original de una unidad hacia la derecha,"}, {"start": 484.0, "end": 489.0, "text": " corresponde a una de las transformaciones que puede experimentar una funci\u00f3n."}, {"start": 489.0, "end": 500.0, "text": " F de X menos A es la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n original F de X trasladada a unidades hacia la derecha."}, {"start": 500.0, "end": 510.0, "text": " Ahora tambi\u00e9n se presenta el caso contrario. Si aqu\u00ed tuvi\u00e9ramos F de X m\u00e1s A, entonces ser\u00eda la gr\u00e1fica de F de X trasladada a unidades,"}, {"start": 510.0, "end": 517.0, "text": " pero hacia la izquierda. Repetimos, en este caso, a la X se le ha restado 1, para poder obtener esto de ac\u00e1,"}, {"start": 517.0, "end": 524.0, "text": " y lo que hemos visto es que la curva original se ha trasladado una unidad hacia la derecha."}, {"start": 524.0, "end": 533.0, "text": " Bien, ya tenemos este componente, aqu\u00ed tenemos la nueva curva, y vamos ahora a aplicar este signo menos, que afecta a esa potencia."}, {"start": 533.0, "end": 544.0, "text": " Este signo menos ocasiona que esta curva presente una reflexi\u00f3n en relaci\u00f3n con el eje X. Va a reflejarse ac\u00e1, en los cuadrantes 3 y 4."}, {"start": 544.0, "end": 555.0, "text": " Entonces, este punto nos va a quedar aqu\u00ed, es decir, en la coordenada 1, menos 1, y este nos va a quedar ac\u00e1, en la ordenada menos 3."}, {"start": 555.0, "end": 562.0, "text": " Bien, aqu\u00ed la tenemos. Entonces, esta curva es el reflejo de esta en relaci\u00f3n con el eje X."}, {"start": 562.0, "end": 571.0, "text": " Esa curva corresponde a la funci\u00f3n menos, entre par\u00e9ntesis 1 tercio, y todo esto elevado al exponente X menos 1."}, {"start": 571.0, "end": 580.0, "text": " Repetimos, es anteponerle a esta funci\u00f3n un signo menos, y eso nos ocasiona un reflejo con respecto del eje X."}, {"start": 580.0, "end": 584.0, "text": " Como dec\u00edamos, aqu\u00ed est\u00e1 el reflejo de este punto."}, {"start": 584.0, "end": 590.0, "text": " Esta ser\u00e1 la coordenada 1, menos 1, y este ser\u00e1 el reflejo de este que ten\u00edamos ac\u00e1."}, {"start": 590.0, "end": 594.0, "text": " Ahora corta el eje Y en la ordenada menos 3."}, {"start": 594.0, "end": 599.0, "text": " Esta es otra de las transformaciones que puede experimentar una funci\u00f3n."}, {"start": 599.0, "end": 612.0, "text": " Menos F de X es el reflejo de la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n original F de X en relaci\u00f3n con el eje de las X."}, {"start": 612.0, "end": 619.0, "text": " El eje de las abscisas produce una reflexi\u00f3n con respecto del eje X."}, {"start": 619.0, "end": 622.0, "text": " Como podemos ver, ya se tiene todo esto."}, {"start": 622.0, "end": 626.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos la gr\u00e1fica que corresponde a este componente."}, {"start": 626.0, "end": 631.0, "text": " Nos hace falta restarle 2 para obtener la gr\u00e1fica que buscamos."}, {"start": 631.0, "end": 643.0, "text": " Este menos 2 va a ocasionar que esta funci\u00f3n, esta gr\u00e1fica, se desplace hacia abajo dos unidades, incluyendo la s\u00edntota horizontal, que aqu\u00ed es el eje X."}, {"start": 643.0, "end": 646.0, "text": " La s\u00edntota hasta el momento no se ha modificado."}, {"start": 646.0, "end": 653.0, "text": " Es la misma que tra\u00eda el modelo inicial, el que correspond\u00eda a la funci\u00f3n Y igual a 1 tercio a la X."}, {"start": 653.0, "end": 663.0, "text": " Bien, aqu\u00ed tenemos la nueva gr\u00e1fica que como dec\u00edamos resulta de trasladar esta de ac\u00e1, incluyendo su s\u00edntota dos unidades hacia abajo."}, {"start": 663.0, "end": 669.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos la nueva s\u00edntota. La hemos pintado en color azul con l\u00ednea ponteada."}, {"start": 669.0, "end": 673.0, "text": " Es la recta Y igual a menos 2."}, {"start": 673.0, "end": 678.0, "text": " Una recta horizontal que pasa por la ordenada menos 2."}, {"start": 678.0, "end": 685.0, "text": " Tambi\u00e9n tenemos este punto, el que ven\u00edamos considerando, este de ac\u00e1 que antes era este de all\u00e1."}, {"start": 685.0, "end": 689.0, "text": " Ahora ser\u00e1 la coordenada 1, menos 3."}, {"start": 689.0, "end": 695.0, "text": " Y el nuevo punto de intersecci\u00f3n con el eje vertical o con el eje Y ser\u00e1 este."}, {"start": 695.0, "end": 702.0, "text": " Ahora tenemos el corte en la ordenada menos 5, porque anteriormente era menos 3."}, {"start": 702.0, "end": 706.0, "text": " Si se bajan dos unidades, ahora queda en menos 5."}, {"start": 706.0, "end": 713.0, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la curva que corresponde a la funci\u00f3n Y igual a menos 1 tercio."}, {"start": 713.0, "end": 718.0, "text": " Todo esto a la X menos 1 y todo eso menos 2."}, {"start": 718.0, "end": 720.0, "text": " La que hab\u00edamos obtenido por ac\u00e1."}, {"start": 720.0, "end": 723.0, "text": " L\u00f3gicamente esto es un bosquejo de la curva."}, {"start": 723.0, "end": 733.0, "text": " Si quisi\u00e9ramos un gr\u00e1fico con mayor precisi\u00f3n, deber\u00edamos hacer una tabla de valores, ingresar n\u00fameros reales de X, negativos el cero positivos."}, {"start": 733.0, "end": 741.0, "text": " Y de esa manera obtendr\u00edamos parejas XY que nos permitir\u00edan trazar la curva con precisi\u00f3n."}, {"start": 741.0, "end": 749.0, "text": " Esta traslaci\u00f3n hacia abajo que sufr\u00eda la funci\u00f3n es otra de las transformaciones que puede experimentar una funci\u00f3n."}, {"start": 749.0, "end": 759.0, "text": " F de X menos A es la traslaci\u00f3n de la funci\u00f3n original F de X a unidades hacia abajo."}, {"start": 759.0, "end": 768.0, "text": " De igual forma, si tuvi\u00e9ramos F de X m\u00e1s A, entonces ser\u00eda la traslaci\u00f3n de la gr\u00e1fica de F de X a unidades hacia arriba."}, {"start": 768.0, "end": 773.0, "text": " Es importante distinguir los dos tipos de traslaci\u00f3n que se pueden dar en una funci\u00f3n."}, {"start": 773.0, "end": 777.0, "text": " La traslaci\u00f3n horizontal y la traslaci\u00f3n vertical."}, {"start": 777.0, "end": 781.0, "text": " Entonces debemos diferenciar estas dos situaciones."}, {"start": 781.0, "end": 787.0, "text": " Ac\u00e1 tenemos que la funci\u00f3n original F de X se traslada a unidades hacia la derecha."}, {"start": 787.0, "end": 793.0, "text": " En cambio ac\u00e1 la funci\u00f3n original F de X se traslada a unidades hacia abajo."}, {"start": 793.0, "end": 801.0, "text": " La diferencia est\u00e1 en lo que afecta la A. Aqu\u00ed A afecta a la X, mientras que aqu\u00ed A afecta a toda la funci\u00f3n."}, {"start": 801.0, "end": 810.0, "text": " De igual forma, el caso de F de X m\u00e1s A es diferente a tener F de X todo eso m\u00e1s A."}, {"start": 810.0, "end": 817.0, "text": " Aqu\u00ed la funci\u00f3n original F de X se desplaza o se traslada a unidades hacia la izquierda,"}, {"start": 817.0, "end": 823.0, "text": " mientras que aqu\u00ed la gr\u00e1fica original de F de X se traslada a unidades hacia arriba."}, {"start": 823.0, "end": 832.0, "text": " Ya tenemos entonces el bosquejo de la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n que hab\u00edamos obtenido al transformar la original, la que nos dieron inicialmente."}, {"start": 832.0, "end": 841.0, "text": " Entonces a partir de esta gr\u00e1fica vamos a determinar lo que es el dominio y el rango para esa funci\u00f3n."}, {"start": 841.0, "end": 849.0, "text": " Como dec\u00edamos al comienzo, si es una funci\u00f3n de tipo exponencial, entonces el dominio ser\u00e1n todos los reales."}, {"start": 849.0, "end": 856.0, "text": " X que es la variable independiente puede tomar cualquier valor perteneciente al conjunto de los reales."}, {"start": 856.0, "end": 867.0, "text": " Y aqu\u00ed vemos que la curva ratifica eso. Es una curva que toma valores negativos, toma el cero y toma valores positivos de la variable X."}, {"start": 867.0, "end": 880.0, "text": " Ahora para el rango nos concentramos en la gr\u00e1fica. Vemos que la curva habita en esta zona, es decir, en lo que est\u00e1 por debajo de la as\u00edntota horizontal y igual a menos 2."}, {"start": 880.0, "end": 887.0, "text": " Entonces podemos decir que el rango de la funci\u00f3n son los valores de Y menores que menos 2."}, {"start": 887.0, "end": 895.0, "text": " No toma menos 2 porque como dec\u00edamos aqu\u00ed la curva se aproxima cada vez m\u00e1s a la as\u00edntota pero nunca la toca."}, {"start": 895.0, "end": 904.0, "text": " Otra forma de presentar el rango de la funci\u00f3n es la siguiente, valores de Y pertenecientes al intervalo que va desde menos infinito hasta menos 2."}, {"start": 904.0, "end": 914.0, "text": " L\u00f3gicamente abierto en los dos extremos. Venimos desde menos infinito subiendo con valores negativos de Y hasta un poco antes de menos 2."}, {"start": 914.0, "end": 921.0, "text": " Entonces los puntos de esta curva toman valores de Y que est\u00e1n presentes o contenidos en este intervalo."}, {"start": 921.0, "end": 927.0, "text": " Bien, de esta manera terminamos. A partir de la funci\u00f3n original que nos dieron, obtuvimos esta."}, {"start": 927.0, "end": 938.0, "text": " Y con ella fue posible construir la gr\u00e1fica tomando la funci\u00f3n patr\u00f3n o primitiva 1 tercio a la X corriendo la primero una unidad hacia la derecha,"}, {"start": 938.0, "end": 945.0, "text": " despu\u00e9s reflej\u00e1ndola en relaci\u00f3n con el eje X y por \u00faltimo traslad\u00e1ndola hacia abajo dos unidades."}, {"start": 945.0, "end": 953.0, "text": " Eso nos permiti\u00f3 ver los elementos principales de la gr\u00e1fica como son la as\u00edntota horizontal que es la recta Y igual a menos 2,"}, {"start": 953.0, "end": 963.0, "text": " el punto de corte con el eje Y que nos qued\u00f3 en 0,5 y este punto que nos sirvi\u00f3 de gu\u00eda durante todo el proceso de transformaci\u00f3n."}, {"start": 963.0, "end": 984.0, "text": " Finalmente fue 1,-3. Tambi\u00e9n fue posible determinar el dominio y el rango para esta funci\u00f3n que es equivalente a la original."}, {"start": 993.0, "end": 997.0, "text": " Gracias por ver el v\u00eddeo."}]

julioprofe

https://www.youtube.com/watch?v=FComJ_juquI

LÍMITES ALGEBRAICOS - Ejercicio 20

#julioprofe explica cómo resolver un límite algebraico, utilizando un cambio de variable y factorización. Al final, hace la comprobación usando calculadora científica. Tema: #Límites → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEeindtt3TarvkVHRDmqNTf REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente este límite algebraico. Haremos el proceso manualmente y al final la comprobación en calculadora. Comenzamos evaluando esta expresión cuando x toma el valor 1. Entonces en el numerador tendremos la raíz cúbica de 1, todo esto menos 1, y en el denominador tendremos la raíz cuadrada de 1, todo esto menos 1. Seguimos resolviendo, tenemos en el numerador la raíz cúbica de 1, que nos da 1, eso menos 1, y en el denominador la raíz cuadrada de 1, que equivale a 1, y eso también menos 1. Arriba 1 menos 1 nos da 0, y abajo en el denominador 1 menos 1 también nos da 0. Llegamos así a una forma indeterminada, 0 sobre 0, algo que no podemos aceptar como respuesta para un límite. Esto es entonces un llamado de alerta que nos indica que hay que hacerle algo a esa expresión. La estrategia que vamos a utilizar es la siguiente. Determinamos el mínimo común múltiplo de los índices de estas dos raíces. Aquí tenemos raíz cuadrada, es decir, raíz de índice 2, y acá raíz cúbica, es decir, raíz de índice 3. Entonces el mínimo común múltiplo de 2 y 3 será 6. Por ser números primos basta con multiplicarlos. Entonces 6 es el número más pequeño que contiene exactamente al 2 y al 3. Ahora vamos a utilizar un cambio de variable. Vamos a decir que x, la letra que protagoniza el ejercicio, es igual a otra letra, por ejemplo, u elevada al exponente 6, es decir, al número que obtuvimos como mínimo común múltiplo de 2 y 3, los índices de esas raíces. Y aquí hacemos el despeje de u. U nos dará la raíz sexta de x. Extraemos raíz sexta a ambos lados y de esa manera obtenemos esa equivalencia. Y aquí decimos que si x tiende o se aproxima a 1, tal como tenemos acá, entonces la consecuencia será que u también se aproxima a 1. Eso lo podemos ver acá. Si en esta raíz x toma valores cercanos a 1, el resultado de la raíz sexta de ese número que escogemos también será un valor para u cercano a 1. Entonces utilizando estos elementos vamos a reconstruir el límite. Vamos a utilizar la nueva letra que hemos elegido, es decir, la u. Tenemos por acá que x tiende a 1, pero dijimos que si x tiende a 1, u también tiende a 1. Entonces colocamos eso por acá. Ahora veamos en la expresión del límite que cambios ocurren. La raíz cúbica de x, pero tenemos que x equivale a u a la 6. Entonces será la raíz cúbica de u a la 6. Esto menos x, pero acá tenemos que x nos dio u a la 6. Acá en el denominador tenemos la raíz cuadrada de x, pero x equivale a u a la 6 y esto menos x. Otra vez x se reemplaza por u a la 6. Entonces ahora nos encargamos de resolver este límite que tiene como protagonista la letra u. Tenemos entonces lo siguiente, límite cuando u tiende a 1 de la siguiente expresión. Vamos a resolver o simplificar esas raíces. Allí aplicamos una propiedad de la radicación que dice lo siguiente. Si tenemos la raíz de índice n de una potencia a la m, eso será igual a a elevada al exponente m sobre n. Es decir, se divide este exponente entre el índice de la raíz. Entonces aquí tendríamos lo siguiente, u elevada al exponente 6 tercios, 6 dividido entre 3, que nos da 2, y eso menos u a la 6. Esto no presenta ningún cambio. Y acá tendremos u elevada al exponente 6 dividido entre 2. Recordemos que aquí el índice es 2. 6 dividido entre 2 nos da 3 y eso menos u a la 6. Esto tampoco presenta ningún cambio. Continuamos resolviendo. Aquí en esta expresión, tanto en el numerador como en el denominador, podemos aplicar la factorización. Entonces tendremos lo siguiente, límite cuando u tiende a 1 de la siguiente expresión. En el numerador, extraemos como factor común la u que tenga el menor exponente, en este caso u al cuadrado. Entonces sale u al cuadrado, que será factor de 1. Si sale u al cuadrado, aquí nos queda 1 menos u a la 4. Si a u a la 6 le sacamos u al cuadrado, entonces nos queda en su lugar u a la 4. Y acá el factor común será u a la 3, la u que tenga el menor exponente. Sale como factor común u a la 3 y nos queda 1 menos acá u a la 3. Entonces hemos aplicado allí el caso llamado factor común. Continuamos resolviendo el ejercicio. Aquí tenemos una expresión que podemos simplificar. Tenemos acá u al cuadrado y aquí u al cubo. Entonces podemos cancelar u al cuadrado tanto en el numerador como en el denominador. Y acá nos queda u. Entonces veamos. Esto nos queda límite cuando u tiende a 1 de lo siguiente. En el numerador nos quedó 1 menos u a la 4 y en el denominador nos queda u que multiplica con esta expresión. 1 menos u al cubo. Continuamos resolviendo el ejercicio. En esta expresión podemos seguir factorizando tanto el numerador como el denominador. Nos queda límite cuando u tiende a 1 de lo siguiente. Acá en el numerador tenemos una diferencia de cuadrados perfectos. Vamos a factorizarla. Recordemos que se extrae la raíz cuadrada de cada uno de estos términos. La raíz cuadrada de 1 nos da 1 y la raíz cuadrada de u a la 4 nos da u al cuadrado. Entonces esas dos cantidades se anotan en una suma y en una diferencia. Lógicamente esas dos expresiones multiplicando entre sí. Allí tenemos entonces la factorización de esta diferencia de cuadrados. Ahora en el denominador dejamos u y eso queda multiplicando por la factorización de esta expresión que es una diferencia de cubos perfectos. Entonces aplicamos ese caso. Se arma un factor corto que tiene dos términos y que son las raíces cúbicas de estos dos componentes. La raíz cúbica de 1 nos da 1 y la raíz cúbica de u al cubo nos da u. Entonces anotamos 1 y u. Allí están las dos raíces cúbicas de estos componentes. Y en la mitad anotamos este mismo signo, signo menos. Vamos ahora con el otro factor que tiene tres términos. Será el factor largo. Ese se conforma así. Comenzamos con este término al cuadrado. 1 al cuadrado que nos da 1. Luego tenemos más el producto de estos dos componentes. 1 por u que nos da u. Y luego tenemos más este término elevado al cuadrado. Es decir u al cuadrado. Y de esa manera tenemos ya la factorización de esta diferencia de cubos perfectos. Continuamos factorizando aquello que sea posible en esta expresión. Es el caso de esto que tenemos acá. Otra vez una diferencia de cuadrados perfectos. Entonces veamos cómo nos queda. Continuamos por acá. Tenemos límite cuando u tiende a 1. De lo siguiente, en el numerador nos queda 1 más u al cuadrado. Y aquí viene la factorización de esa diferencia de cuadrados perfectos. Extravamos la raíz cuadrada de cada uno de estos términos. La raíz cuadrada de 1 nos da 1. Y la raíz cuadrada de u al cuadrado nos da u. Anotamos entonces esas dos raíces cuadradas en una suma y en una diferencia. Allí tenemos la factorización de esta diferencia de cuadrados perfectos. Y en el denominador permanece la misma expresión. Como allí ya no se puede factorizar nada más, entonces procedemos a simplificar esta expresión. Específicamente vamos a cancelar aquellos factores repetidos. Y es el caso de 1 menos 1, que se repite tanto en el numerador como en el denominador. Si observamos con atención, este es el factor problema. Es el causante del 0 sobre 0 que nos daba al comienzo. Porque como u tiende a 1, entonces aquí 1 menos 1 nos da 0. Y aquí también 1 menos 1 nos da 0. Pero aquí logramos cancelar de manera lícita ese factor que nos está provocando la indeterminación. Entonces el límite nos queda así. Vamos a seguir por acá. Tendremos límite cuando u tiende a 1 de lo siguiente. En el numerador nos quedó 1 más u al cuadrado. Eso por 1 más u. Y en el denominador tenemos u que multiplica con este trinomio. 1 más u más u al cuadrado. Lo que hacemos finalmente es evaluar de nuevo esta expresión cuando u toma el valor 1. Entonces vamos a realizar ese proceso por acá. En el numerador nos queda lo siguiente. Aquí tenemos 1 más, si u toma el valor 1, nos queda 1 al cuadrado que es 1. Y acá tenemos 1 más el valor de u que es 1. En el denominador u se cambia por 1 y esto multiplica a esta expresión. Que nos queda 1 más el valor de u que es 1 más u al cuadrado. O sea 1 al cuadrado que también nos da 1. Resolvemos ahora esas operaciones. En el numerador 1 más 1 nos da 2 por 1 más 1 que es 2. En el denominador tenemos 1 por 1 más 1 más 1 que nos da 3. Seguimos resolviendo 2 por 2 es 4. En el denominador 1 por 3 es 3. Y de esa manera obtenemos 4 tercios que es el resultado para ese límite algebraico. Si efectuamos la división 4 entre 3, esto nos da como resultado 1.333. Es decir, un número decimal infinito periódico puro que se puede escribir también de esta manera. 1.3 con circunflejo encima de 3. Es decir, indicando la cantidad que se repite indefinidamente, o sea el periodo. Después de haber resuelto manualmente el ejercicio, vamos a efectuar su comprobación utilizando esta calculadora. Entonces comenzamos oprimiendo el botón de fracción para ingresar esta expresión. La que tenemos en el límite. Vemos allí la raíz cúbica de x. Entonces para activar la función de raíz cúbica, oprimimos el botón shift y después el botón de la raíz cuadrada. Allí nos aparece entonces la raíz cúbica. Vemos el cursor dentro de la raíz en un cuadrito y allí vamos a ingresar la x. Para ello oprimimos el botón alfa y luego el botón del paréntesis derecho. Allí nos aparece la x. Corremos el cursor hacia la derecha utilizando el botón respectivo del navegador para luego escribir menos x. Entonces el botón del signo menos y luego la x que será botón alfa y luego el botón del paréntesis derecho. Ahora nos movemos hacia abajo de la fracción con el botón respectivo del navegador y allí vamos a escribir esto. Raíz cuadrada de x menos x. Comenzamos con la raíz cuadrada de x. Oprimimos el botón de la raíz cuadrada y en el interior debemos anotar x. Entonces botón alfa luego botón del paréntesis derecho. Allí nos aparece la x. Corremos hacia la derecha el cursor luego oprimimos el menos y otra vez botón alfa seguido del botón del paréntesis derecho. Allí hemos ingresado entonces esta expresión. Vamos a utilizar ahora la función calc. Oprimimos ese botón y la calculadora nos pregunta por un valor de x. Como x se aproxima a 1 vamos a revisar qué pasa. Cuando nos acercamos por izquierda y cuando nos acercamos por derecha. Por la izquierda un valor cercano a 1 puede ser 0.9999. Un 0 seguido de 4 9. Entonces escribimos 0, en este caso la marca decimal de esta calculadora es la coma. En otras puede ser el punto. Ya escribimos 4 9. Oprimimos el botón igual la calculadora digamos que ingresa ese valor y al darle igual nos da 1,33334. Bueno otros números que siguen. Allí tenemos esto. El resultado que nos había dado manualmente. El equivalente a 4 tercios. Lógicamente un valor muy cercano. Ahora vamos a hacer la prueba con otro valor que se aproxime a 1 pero por la derecha. Entonces de nuevo oprimimos el botón igual. Allí la calculadora nos pregunta por un siguiente valor de x. Vamos a escribir por ejemplo 1 coma 0 0 0 1. Es decir el 1 seguido de 3 ceros y 1 1. Es un número muy cercano a 1 por la derecha. Le damos igual la calculadora lo incorpora. Y después de darle otra vez igual. El resultado que nos da es 1.3333. Bueno luego sigue el 2. Y nos da otra vez un número muy aproximado a esto que nos dio acá. Entonces de esa manera tenemos la certeza de que este ejercicio que hicimos manualmente. Y que al final nos dio 4 tercios es correcto.

[{"start": 0.0, "end": 9.36, "text": " Vamos a resolver detalladamente este l\u00edmite algebraico. Haremos el proceso manualmente"}, {"start": 9.36, "end": 12.64, "text": " y al final la comprobaci\u00f3n en calculadora."}, {"start": 12.64, "end": 19.64, "text": " Comenzamos evaluando esta expresi\u00f3n cuando x toma el valor 1. Entonces en el numerador"}, {"start": 19.64, "end": 33.64, "text": " tendremos la ra\u00edz c\u00fabica de 1, todo esto menos 1, y en el denominador tendremos la ra\u00edz cuadrada de 1, todo esto menos 1."}, {"start": 33.64, "end": 40.64, "text": " Seguimos resolviendo, tenemos en el numerador la ra\u00edz c\u00fabica de 1, que nos da 1, eso menos 1,"}, {"start": 40.64, "end": 46.64, "text": " y en el denominador la ra\u00edz cuadrada de 1, que equivale a 1, y eso tambi\u00e9n menos 1."}, {"start": 46.64, "end": 53.64, "text": " Arriba 1 menos 1 nos da 0, y abajo en el denominador 1 menos 1 tambi\u00e9n nos da 0."}, {"start": 53.64, "end": 61.64, "text": " Llegamos as\u00ed a una forma indeterminada, 0 sobre 0, algo que no podemos aceptar como respuesta para un l\u00edmite."}, {"start": 61.64, "end": 69.64, "text": " Esto es entonces un llamado de alerta que nos indica que hay que hacerle algo a esa expresi\u00f3n."}, {"start": 69.64, "end": 72.64, "text": " La estrategia que vamos a utilizar es la siguiente."}, {"start": 72.64, "end": 77.64, "text": " Determinamos el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de los \u00edndices de estas dos ra\u00edces."}, {"start": 77.64, "end": 85.64, "text": " Aqu\u00ed tenemos ra\u00edz cuadrada, es decir, ra\u00edz de \u00edndice 2, y ac\u00e1 ra\u00edz c\u00fabica, es decir, ra\u00edz de \u00edndice 3."}, {"start": 85.64, "end": 93.64, "text": " Entonces el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de 2 y 3 ser\u00e1 6. Por ser n\u00fameros primos basta con multiplicarlos."}, {"start": 93.64, "end": 99.64, "text": " Entonces 6 es el n\u00famero m\u00e1s peque\u00f1o que contiene exactamente al 2 y al 3."}, {"start": 99.64, "end": 107.64, "text": " Ahora vamos a utilizar un cambio de variable. Vamos a decir que x, la letra que protagoniza el ejercicio,"}, {"start": 107.64, "end": 119.64, "text": " es igual a otra letra, por ejemplo, u elevada al exponente 6, es decir, al n\u00famero que obtuvimos como m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de 2 y 3, los \u00edndices de esas ra\u00edces."}, {"start": 119.64, "end": 131.64, "text": " Y aqu\u00ed hacemos el despeje de u. U nos dar\u00e1 la ra\u00edz sexta de x. Extraemos ra\u00edz sexta a ambos lados y de esa manera obtenemos esa equivalencia."}, {"start": 131.64, "end": 143.64, "text": " Y aqu\u00ed decimos que si x tiende o se aproxima a 1, tal como tenemos ac\u00e1, entonces la consecuencia ser\u00e1 que u tambi\u00e9n se aproxima a 1."}, {"start": 143.64, "end": 155.64, "text": " Eso lo podemos ver ac\u00e1. Si en esta ra\u00edz x toma valores cercanos a 1, el resultado de la ra\u00edz sexta de ese n\u00famero que escogemos tambi\u00e9n ser\u00e1 un valor para u cercano a 1."}, {"start": 155.64, "end": 166.64, "text": " Entonces utilizando estos elementos vamos a reconstruir el l\u00edmite. Vamos a utilizar la nueva letra que hemos elegido, es decir, la u."}, {"start": 166.64, "end": 175.64, "text": " Tenemos por ac\u00e1 que x tiende a 1, pero dijimos que si x tiende a 1, u tambi\u00e9n tiende a 1. Entonces colocamos eso por ac\u00e1."}, {"start": 175.64, "end": 185.64, "text": " Ahora veamos en la expresi\u00f3n del l\u00edmite que cambios ocurren. La ra\u00edz c\u00fabica de x, pero tenemos que x equivale a u a la 6."}, {"start": 185.64, "end": 203.64, "text": " Entonces ser\u00e1 la ra\u00edz c\u00fabica de u a la 6. Esto menos x, pero ac\u00e1 tenemos que x nos dio u a la 6. Ac\u00e1 en el denominador tenemos la ra\u00edz cuadrada de x, pero x equivale a u a la 6 y esto menos x."}, {"start": 203.64, "end": 214.64, "text": " Otra vez x se reemplaza por u a la 6. Entonces ahora nos encargamos de resolver este l\u00edmite que tiene como protagonista la letra u."}, {"start": 214.64, "end": 226.64, "text": " Tenemos entonces lo siguiente, l\u00edmite cuando u tiende a 1 de la siguiente expresi\u00f3n. Vamos a resolver o simplificar esas ra\u00edces."}, {"start": 226.64, "end": 245.64, "text": " All\u00ed aplicamos una propiedad de la radicaci\u00f3n que dice lo siguiente. Si tenemos la ra\u00edz de \u00edndice n de una potencia a la m, eso ser\u00e1 igual a a elevada al exponente m sobre n. Es decir, se divide este exponente entre el \u00edndice de la ra\u00edz."}, {"start": 245.64, "end": 258.64, "text": " Entonces aqu\u00ed tendr\u00edamos lo siguiente, u elevada al exponente 6 tercios, 6 dividido entre 3, que nos da 2, y eso menos u a la 6. Esto no presenta ning\u00fan cambio."}, {"start": 258.64, "end": 273.64, "text": " Y ac\u00e1 tendremos u elevada al exponente 6 dividido entre 2. Recordemos que aqu\u00ed el \u00edndice es 2. 6 dividido entre 2 nos da 3 y eso menos u a la 6. Esto tampoco presenta ning\u00fan cambio."}, {"start": 273.64, "end": 282.64, "text": " Continuamos resolviendo. Aqu\u00ed en esta expresi\u00f3n, tanto en el numerador como en el denominador, podemos aplicar la factorizaci\u00f3n."}, {"start": 282.64, "end": 291.64, "text": " Entonces tendremos lo siguiente, l\u00edmite cuando u tiende a 1 de la siguiente expresi\u00f3n."}, {"start": 291.64, "end": 303.64, "text": " En el numerador, extraemos como factor com\u00fan la u que tenga el menor exponente, en este caso u al cuadrado. Entonces sale u al cuadrado, que ser\u00e1 factor de 1."}, {"start": 303.64, "end": 315.64, "text": " Si sale u al cuadrado, aqu\u00ed nos queda 1 menos u a la 4. Si a u a la 6 le sacamos u al cuadrado, entonces nos queda en su lugar u a la 4."}, {"start": 315.64, "end": 328.64, "text": " Y ac\u00e1 el factor com\u00fan ser\u00e1 u a la 3, la u que tenga el menor exponente. Sale como factor com\u00fan u a la 3 y nos queda 1 menos ac\u00e1 u a la 3."}, {"start": 328.64, "end": 338.64, "text": " Entonces hemos aplicado all\u00ed el caso llamado factor com\u00fan. Continuamos resolviendo el ejercicio. Aqu\u00ed tenemos una expresi\u00f3n que podemos simplificar."}, {"start": 338.64, "end": 346.64, "text": " Tenemos ac\u00e1 u al cuadrado y aqu\u00ed u al cubo. Entonces podemos cancelar u al cuadrado tanto en el numerador como en el denominador."}, {"start": 346.64, "end": 355.64, "text": " Y ac\u00e1 nos queda u. Entonces veamos. Esto nos queda l\u00edmite cuando u tiende a 1 de lo siguiente."}, {"start": 355.64, "end": 369.64, "text": " En el numerador nos qued\u00f3 1 menos u a la 4 y en el denominador nos queda u que multiplica con esta expresi\u00f3n. 1 menos u al cubo."}, {"start": 369.64, "end": 378.64, "text": " Continuamos resolviendo el ejercicio. En esta expresi\u00f3n podemos seguir factorizando tanto el numerador como el denominador."}, {"start": 378.64, "end": 389.64, "text": " Nos queda l\u00edmite cuando u tiende a 1 de lo siguiente. Ac\u00e1 en el numerador tenemos una diferencia de cuadrados perfectos. Vamos a factorizarla."}, {"start": 389.64, "end": 399.64, "text": " Recordemos que se extrae la ra\u00edz cuadrada de cada uno de estos t\u00e9rminos. La ra\u00edz cuadrada de 1 nos da 1 y la ra\u00edz cuadrada de u a la 4 nos da u al cuadrado."}, {"start": 399.64, "end": 411.64, "text": " Entonces esas dos cantidades se anotan en una suma y en una diferencia. L\u00f3gicamente esas dos expresiones multiplicando entre s\u00ed."}, {"start": 411.64, "end": 416.64, "text": " All\u00ed tenemos entonces la factorizaci\u00f3n de esta diferencia de cuadrados."}, {"start": 416.64, "end": 426.64, "text": " Ahora en el denominador dejamos u y eso queda multiplicando por la factorizaci\u00f3n de esta expresi\u00f3n que es una diferencia de cubos perfectos."}, {"start": 426.64, "end": 435.64, "text": " Entonces aplicamos ese caso. Se arma un factor corto que tiene dos t\u00e9rminos y que son las ra\u00edces c\u00fabicas de estos dos componentes."}, {"start": 435.64, "end": 447.64, "text": " La ra\u00edz c\u00fabica de 1 nos da 1 y la ra\u00edz c\u00fabica de u al cubo nos da u. Entonces anotamos 1 y u. All\u00ed est\u00e1n las dos ra\u00edces c\u00fabicas de estos componentes."}, {"start": 447.64, "end": 456.64, "text": " Y en la mitad anotamos este mismo signo, signo menos. Vamos ahora con el otro factor que tiene tres t\u00e9rminos. Ser\u00e1 el factor largo."}, {"start": 456.64, "end": 466.64, "text": " Ese se conforma as\u00ed. Comenzamos con este t\u00e9rmino al cuadrado. 1 al cuadrado que nos da 1. Luego tenemos m\u00e1s el producto de estos dos componentes."}, {"start": 466.64, "end": 474.64, "text": " 1 por u que nos da u. Y luego tenemos m\u00e1s este t\u00e9rmino elevado al cuadrado. Es decir u al cuadrado."}, {"start": 474.64, "end": 480.64, "text": " Y de esa manera tenemos ya la factorizaci\u00f3n de esta diferencia de cubos perfectos."}, {"start": 480.64, "end": 487.64, "text": " Continuamos factorizando aquello que sea posible en esta expresi\u00f3n. Es el caso de esto que tenemos ac\u00e1."}, {"start": 487.64, "end": 494.64, "text": " Otra vez una diferencia de cuadrados perfectos. Entonces veamos c\u00f3mo nos queda. Continuamos por ac\u00e1."}, {"start": 494.64, "end": 504.64, "text": " Tenemos l\u00edmite cuando u tiende a 1. De lo siguiente, en el numerador nos queda 1 m\u00e1s u al cuadrado."}, {"start": 504.64, "end": 508.64, "text": " Y aqu\u00ed viene la factorizaci\u00f3n de esa diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 508.64, "end": 517.64, "text": " Extravamos la ra\u00edz cuadrada de cada uno de estos t\u00e9rminos. La ra\u00edz cuadrada de 1 nos da 1. Y la ra\u00edz cuadrada de u al cuadrado nos da u."}, {"start": 517.64, "end": 524.64, "text": " Anotamos entonces esas dos ra\u00edces cuadradas en una suma y en una diferencia."}, {"start": 524.64, "end": 528.64, "text": " All\u00ed tenemos la factorizaci\u00f3n de esta diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 528.64, "end": 533.64, "text": " Y en el denominador permanece la misma expresi\u00f3n."}, {"start": 533.64, "end": 539.64, "text": " Como all\u00ed ya no se puede factorizar nada m\u00e1s, entonces procedemos a simplificar esta expresi\u00f3n."}, {"start": 539.64, "end": 544.64, "text": " Espec\u00edficamente vamos a cancelar aquellos factores repetidos."}, {"start": 544.64, "end": 550.64, "text": " Y es el caso de 1 menos 1, que se repite tanto en el numerador como en el denominador."}, {"start": 550.64, "end": 558.64, "text": " Si observamos con atenci\u00f3n, este es el factor problema. Es el causante del 0 sobre 0 que nos daba al comienzo."}, {"start": 558.64, "end": 565.64, "text": " Porque como u tiende a 1, entonces aqu\u00ed 1 menos 1 nos da 0. Y aqu\u00ed tambi\u00e9n 1 menos 1 nos da 0."}, {"start": 565.64, "end": 573.64, "text": " Pero aqu\u00ed logramos cancelar de manera l\u00edcita ese factor que nos est\u00e1 provocando la indeterminaci\u00f3n."}, {"start": 573.64, "end": 577.64, "text": " Entonces el l\u00edmite nos queda as\u00ed. Vamos a seguir por ac\u00e1."}, {"start": 577.64, "end": 584.64, "text": " Tendremos l\u00edmite cuando u tiende a 1 de lo siguiente."}, {"start": 584.64, "end": 591.64, "text": " En el numerador nos qued\u00f3 1 m\u00e1s u al cuadrado. Eso por 1 m\u00e1s u."}, {"start": 591.64, "end": 598.64, "text": " Y en el denominador tenemos u que multiplica con este trinomio."}, {"start": 598.64, "end": 602.64, "text": " 1 m\u00e1s u m\u00e1s u al cuadrado."}, {"start": 602.64, "end": 609.64, "text": " Lo que hacemos finalmente es evaluar de nuevo esta expresi\u00f3n cuando u toma el valor 1."}, {"start": 609.64, "end": 613.64, "text": " Entonces vamos a realizar ese proceso por ac\u00e1."}, {"start": 613.64, "end": 616.64, "text": " En el numerador nos queda lo siguiente."}, {"start": 616.64, "end": 624.64, "text": " Aqu\u00ed tenemos 1 m\u00e1s, si u toma el valor 1, nos queda 1 al cuadrado que es 1."}, {"start": 624.64, "end": 629.64, "text": " Y ac\u00e1 tenemos 1 m\u00e1s el valor de u que es 1."}, {"start": 629.64, "end": 634.64, "text": " En el denominador u se cambia por 1 y esto multiplica a esta expresi\u00f3n."}, {"start": 634.64, "end": 640.64, "text": " Que nos queda 1 m\u00e1s el valor de u que es 1 m\u00e1s u al cuadrado."}, {"start": 640.64, "end": 644.64, "text": " O sea 1 al cuadrado que tambi\u00e9n nos da 1."}, {"start": 644.64, "end": 647.64, "text": " Resolvemos ahora esas operaciones."}, {"start": 647.64, "end": 652.64, "text": " En el numerador 1 m\u00e1s 1 nos da 2 por 1 m\u00e1s 1 que es 2."}, {"start": 652.64, "end": 657.64, "text": " En el denominador tenemos 1 por 1 m\u00e1s 1 m\u00e1s 1 que nos da 3."}, {"start": 657.64, "end": 660.64, "text": " Seguimos resolviendo 2 por 2 es 4."}, {"start": 660.64, "end": 663.64, "text": " En el denominador 1 por 3 es 3."}, {"start": 663.64, "end": 670.64, "text": " Y de esa manera obtenemos 4 tercios que es el resultado para ese l\u00edmite algebraico."}, {"start": 670.64, "end": 678.64, "text": " Si efectuamos la divisi\u00f3n 4 entre 3, esto nos da como resultado 1.333."}, {"start": 678.64, "end": 685.64, "text": " Es decir, un n\u00famero decimal infinito peri\u00f3dico puro que se puede escribir tambi\u00e9n de esta manera."}, {"start": 685.64, "end": 688.64, "text": " 1.3 con circunflejo encima de 3."}, {"start": 688.64, "end": 694.64, "text": " Es decir, indicando la cantidad que se repite indefinidamente, o sea el periodo."}, {"start": 694.64, "end": 701.64, "text": " Despu\u00e9s de haber resuelto manualmente el ejercicio, vamos a efectuar su comprobaci\u00f3n utilizando esta calculadora."}, {"start": 701.64, "end": 707.64, "text": " Entonces comenzamos oprimiendo el bot\u00f3n de fracci\u00f3n para ingresar esta expresi\u00f3n."}, {"start": 707.64, "end": 709.64, "text": " La que tenemos en el l\u00edmite."}, {"start": 709.64, "end": 711.64, "text": " Vemos all\u00ed la ra\u00edz c\u00fabica de x."}, {"start": 711.64, "end": 718.64, "text": " Entonces para activar la funci\u00f3n de ra\u00edz c\u00fabica, oprimimos el bot\u00f3n shift y despu\u00e9s el bot\u00f3n de la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 718.64, "end": 721.64, "text": " All\u00ed nos aparece entonces la ra\u00edz c\u00fabica."}, {"start": 721.64, "end": 726.64, "text": " Vemos el cursor dentro de la ra\u00edz en un cuadrito y all\u00ed vamos a ingresar la x."}, {"start": 726.64, "end": 731.64, "text": " Para ello oprimimos el bot\u00f3n alfa y luego el bot\u00f3n del par\u00e9ntesis derecho."}, {"start": 731.64, "end": 733.64, "text": " All\u00ed nos aparece la x."}, {"start": 733.64, "end": 740.64, "text": " Corremos el cursor hacia la derecha utilizando el bot\u00f3n respectivo del navegador para luego escribir menos x."}, {"start": 740.64, "end": 748.64, "text": " Entonces el bot\u00f3n del signo menos y luego la x que ser\u00e1 bot\u00f3n alfa y luego el bot\u00f3n del par\u00e9ntesis derecho."}, {"start": 748.64, "end": 756.64, "text": " Ahora nos movemos hacia abajo de la fracci\u00f3n con el bot\u00f3n respectivo del navegador y all\u00ed vamos a escribir esto."}, {"start": 756.64, "end": 758.64, "text": " Ra\u00edz cuadrada de x menos x."}, {"start": 758.64, "end": 761.64, "text": " Comenzamos con la ra\u00edz cuadrada de x."}, {"start": 761.64, "end": 766.64, "text": " Oprimimos el bot\u00f3n de la ra\u00edz cuadrada y en el interior debemos anotar x."}, {"start": 766.64, "end": 770.64, "text": " Entonces bot\u00f3n alfa luego bot\u00f3n del par\u00e9ntesis derecho."}, {"start": 770.64, "end": 772.64, "text": " All\u00ed nos aparece la x."}, {"start": 772.64, "end": 781.64, "text": " Corremos hacia la derecha el cursor luego oprimimos el menos y otra vez bot\u00f3n alfa seguido del bot\u00f3n del par\u00e9ntesis derecho."}, {"start": 781.64, "end": 784.64, "text": " All\u00ed hemos ingresado entonces esta expresi\u00f3n."}, {"start": 784.64, "end": 787.64, "text": " Vamos a utilizar ahora la funci\u00f3n calc."}, {"start": 787.64, "end": 792.64, "text": " Oprimimos ese bot\u00f3n y la calculadora nos pregunta por un valor de x."}, {"start": 792.64, "end": 795.64, "text": " Como x se aproxima a 1 vamos a revisar qu\u00e9 pasa."}, {"start": 795.64, "end": 799.64, "text": " Cuando nos acercamos por izquierda y cuando nos acercamos por derecha."}, {"start": 799.64, "end": 805.64, "text": " Por la izquierda un valor cercano a 1 puede ser 0.9999."}, {"start": 805.64, "end": 808.64, "text": " Un 0 seguido de 4 9."}, {"start": 808.64, "end": 814.64, "text": " Entonces escribimos 0, en este caso la marca decimal de esta calculadora es la coma."}, {"start": 814.64, "end": 816.64, "text": " En otras puede ser el punto."}, {"start": 816.64, "end": 818.64, "text": " Ya escribimos 4 9."}, {"start": 818.64, "end": 829.64, "text": " Oprimimos el bot\u00f3n igual la calculadora digamos que ingresa ese valor y al darle igual nos da 1,33334."}, {"start": 829.64, "end": 831.64, "text": " Bueno otros n\u00fameros que siguen."}, {"start": 831.64, "end": 832.64, "text": " All\u00ed tenemos esto."}, {"start": 832.64, "end": 835.64, "text": " El resultado que nos hab\u00eda dado manualmente."}, {"start": 835.64, "end": 837.64, "text": " El equivalente a 4 tercios."}, {"start": 837.64, "end": 839.64, "text": " L\u00f3gicamente un valor muy cercano."}, {"start": 839.64, "end": 845.64, "text": " Ahora vamos a hacer la prueba con otro valor que se aproxime a 1 pero por la derecha."}, {"start": 845.64, "end": 848.64, "text": " Entonces de nuevo oprimimos el bot\u00f3n igual."}, {"start": 848.64, "end": 852.64, "text": " All\u00ed la calculadora nos pregunta por un siguiente valor de x."}, {"start": 852.64, "end": 856.64, "text": " Vamos a escribir por ejemplo 1 coma 0 0 0 1."}, {"start": 856.64, "end": 859.64, "text": " Es decir el 1 seguido de 3 ceros y 1 1."}, {"start": 859.64, "end": 862.64, "text": " Es un n\u00famero muy cercano a 1 por la derecha."}, {"start": 862.64, "end": 865.64, "text": " Le damos igual la calculadora lo incorpora."}, {"start": 865.64, "end": 868.64, "text": " Y despu\u00e9s de darle otra vez igual."}, {"start": 868.64, "end": 872.64, "text": " El resultado que nos da es 1.3333."}, {"start": 872.64, "end": 874.64, "text": " Bueno luego sigue el 2."}, {"start": 874.64, "end": 878.64, "text": " Y nos da otra vez un n\u00famero muy aproximado a esto que nos dio ac\u00e1."}, {"start": 878.64, "end": 884.64, "text": " Entonces de esa manera tenemos la certeza de que este ejercicio que hicimos manualmente."}, {"start": 884.64, "end": 912.64, "text": " Y que al final nos dio 4 tercios es correcto."}]

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FÓRMULA DE HERÓN - Demostración

#julioprofe demuestra cómo obtener la Fórmula de Herón de Alejandría, que sirve para determinar el área de un triángulo conociendo las longitudes de sus lados. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En esta ocasión vamos a demostrar cómo se obtiene la fórmula de Herón. Esta que tenemos aquí se atribuye al matemático griego Herón de Alejandría, quien estableció que es posible determinar el área de un triángulo solamente conociendo las longitudes ABC de sus lados. Aquí encontramos otro parámetro llamado S, que es el semiperímetro, es decir, el perímetro del triángulo, la suma de las longitudes de sus lados y todo eso dividido entre dos. Vamos a ver entonces cómo se demuestra esta fórmula. Comenzamos trazando esta altura que vamos a llamar H, es la que conecta este vértice con este lado y recordemos que la altura llega al lado formando 90 grados, son segmentos perpendiculares. Entonces con esa información podemos establecer que el área del triángulo es base por altura dividido entre dos, la base que es A minúscula por la altura que es H y todo eso dividido entre dos. Esto lo podemos escribir también de la siguiente manera, área del triángulo es igual a un medio que multiplica a A minúscula y a H. De esta manera tenemos una expresión que vamos a etiquetar con el número 1. Ahora cuando trazamos esa altura H, el segmento de longitud A, es decir, la base del triángulo queda dividido en dos tramos, uno cuya longitud vamos a llamar X y otro cuya longitud será la diferencia entre A y X. Entonces lo representamos como A menos X. Allí podemos observar dos triángulos rectángulos, aquí tenemos uno y aquí está el otro. Entonces recordemos que en los triángulos rectángulos se puede aplicar el teorema de Pitágoras. Vamos a comenzar con este triángulo donde los catetos son H y X. Entonces tenemos H al cuadrado más X al cuadrado, allí tenemos la suma de los cuadrados de los catetos y esto es igual al cuadrado de la hipotenusa, es decir, B al cuadrado. De allí vamos a realizar el despeje de H cuadrado. Entonces tenemos H cuadrado es igual a B al cuadrado menos X al cuadrado. Esta cantidad que está sumando la pasamos al otro lado a restar. De esa manera tenemos una nueva expresión que vamos a etiquetar con el número 2. Vamos ahora al otro triángulo rectángulo, este que tenemos aquí. Vamos a aplicar también el teorema de Pitágoras. Tenemos H al cuadrado más A menos X al cuadrado, allí tenemos la suma de los cuadrados de los catetos y esto es igual a la hipotenusa al cuadrado, es decir, C al cuadrado. Y de allí también vamos a despejar H al cuadrado. Entonces nos queda C al cuadrado menos, entre paréntesis, A menos X y todo eso elevado al cuadrado. Otra vez esta cantidad que está sumando pasa al otro lado a restar. De esa manera conseguimos una nueva expresión que vamos a etiquetar con el número 3. Ahora vamos a realizar la igualación de estas dos expresiones porque en ellas se encuentra despejada H al cuadrado. Entonces igualamos la expresión 2 con la expresión 3. Tenemos entonces lo siguiente, V al cuadrado menos X al cuadrado, todo eso vamos a igualarlo con esto que tenemos acá, C al cuadrado menos, entre paréntesis, A menos X y todo eso al cuadrado. Allí vamos a efectuar el desarrollo o la expansión de este binomio elevado al cuadrado. Entonces nos queda de la siguiente manera, V al cuadrado menos X al cuadrado, igual a C al cuadrado menos, abrimos paréntesis y aplicamos el producto notable. Para un binomio elevado al cuadrado tenemos que eso es igual a la primera cantidad al cuadrado menos dos veces la primera cantidad por la segunda, o sea 2 a X. Y luego tenemos más la segunda cantidad que es X elevada al cuadrado. Y cerramos el paréntesis. Ahora vamos a distribuir en este trinomio este signo negativo, vamos a romper o destruir ese paréntesis. Nos queda entonces V al cuadrado menos X al cuadrado, igual a C al cuadrado, entonces entra el signo menos, nos cambia los signos de cada uno de esos términos. Tenemos menos A al cuadrado más 2 a X y eso menos X al cuadrado. Como podemos observar a ambos lados de la igualdad tenemos repetido ese término, por lo tanto podemos cancelarlo o eliminarlo. Es como si sumáramos a ambos lados de la igualdad X al cuadrado. Entonces nos queda V al cuadrado, luego tenemos igual a C al cuadrado menos A al cuadrado y todo eso más 2 a X. Y allí vamos a realizar poco a poco el despeje de X. Entonces vamos a comenzar por pasar estos términos al otro lado. Nos queda V al cuadrado menos C al cuadrado más A al cuadrado. Este está positivo, llega negativo, este está negativo, llega positivo y todo esto nos queda igualado con 2 a X. Ahora 2 a que está multiplicando con X pasa al otro lado a dividir, de esa manera despejamos X. X será entonces igual a V al cuadrado menos C al cuadrado más A al cuadrado y todo eso dividido entre 2 a. De esa manera obtenemos una nueva expresión que vamos a etiquetar con el número 4. Y a continuación vamos a reemplazar X que equivale a todo esto aquí. En otras palabras la expresión 4 va a sustituirse en la expresión 2. Nos queda de la siguiente manera. H al cuadrado será igual a V al cuadrado menos X que equivale a todo esto. Entonces abrimos un paréntesis para insertar la expresión que corresponde a X. V al cuadrado menos C al cuadrado, todo eso más A al cuadrado y eso dividido entre 2 a y a su vez todo eso elevado al cuadrado. Aquí vamos a aplicar una propiedad de la potenciación en este componente. Como tenemos una fracción elevada al cuadrado, entonces este exponente afecta al numerador y afecta al denominador. Vamos a continuar por acá. Tenemos H al cuadrado igual a V al cuadrado menos, entonces trazamos la línea de la fracción en el numerador tenemos V al cuadrado menos C al cuadrado más A al cuadrado, entonces todo esto queda elevado al cuadrado y el denominador que es 2 a, todo eso también elevado al cuadrado. Ahora aquí vamos a aplicar otra propiedad de la potenciación. Tenemos un producto y todo eso elevado al cuadrado. Entonces el exponente 2 afecta a cada uno de los factores. Nos queda esto de la siguiente manera. H al cuadrado es igual a V al cuadrado menos, trazamos la línea de la fracción, acá en el numerador permanece lo mismo y en el denominador entonces repartimos el exponente 2, 2 al cuadrado que nos da 4 y eso acompañado de A al cuadrado. Ahora al componente V al cuadrado podemos colocarle denominador 1 y tenemos así una resta de fracciones heterogéneas, fracciones con distinto denominador. Vamos a resolver esa resta aplicando el truco o la técnica de la canita feliz. Veamos entonces cómo nos queda. Allá en el numerador comenzamos con el producto de estos dos componentes. V al cuadrado por 4 a al cuadrado lo organizamos como 4 a al cuadrado V al cuadrado. Luego tenemos menos esto por esto que nos da esa misma expresión entre paréntesis V al cuadrado menos C al cuadrado más A al cuadrado todo esto elevado al cuadrado y en el denominador tenemos el producto de estos dos componentes que nos da 4 a al cuadrado. Entonces repetimos se ha aplicado el truco o la técnica de la canita feliz para restar dos fracciones heterogéneas o fracciones con distinto denominador. De allí vamos a despejar lo que es H. Para ello sacamos raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad. Entonces en el lado izquierdo nos queda raíz cuadrada de H al cuadrado y en el lado derecho la raíz cuadrada de toda esa expresión 4 a al cuadrado V al cuadrado menos entre paréntesis V al cuadrado menos C al cuadrado más A al cuadrado todo esto elevado al cuadrado a su vez todo eso dividido entre 4 a al cuadrado y como decíamos a toda esa expresión le extraemos la raíz cuadrada. Es usual decir que esto equivale a H porque el exponente 2 se cancela o se elimina con la raíz cuadrada. Sin embargo esto en términos estrictos equivale a valor absoluto de H. Entonces vamos a tomarlo de esa manera. Y acá tenemos la raíz cuadrada con una fracción en su interior. Entonces esa raíz afecta tanto al numerador como al denominador. Entonces nos queda de la siguiente manera. En el numerador la raíz cuadrada de todo eso y en el denominador la raíz cuadrada de 4 a al cuadrado. Entonces repartimos la raíz para el numerador y para el denominador. Ahora para liberar H de esas barras decimos que H es igual a más o menos toda esta expresión. Vamos a escribirla por acá. En el numerador permanece lo mismo. Y en el denominador podemos simplificar esa raíz ya que tiene un producto en su interior. Entonces repartimos la raíz para cada uno de esos factores. Raíz cuadrada de 4 nos da 2 y la raíz cuadrada de a al cuadrado nos daría también valor absoluto de a. En este caso ya podemos decidir cuál de los dos signos se va a tomar. H es la altura del triángulo. Por lo tanto es una cantidad positiva. Corresponde a una longitud. Entonces nos quedamos con la opción más. Allí nos queda invisible. Y lo mismo sucede aquí. Valor absoluto de a nos daría más o menos a. Pero a es la longitud de este lado del triángulo. Por lo tanto es una cantidad positiva. Nos quedamos entonces simplemente con a. De esta manera obtenemos una nueva expresión que vamos a etiquetar con el número 5. Y enseguida vamos a reemplazar H. Que equivale a todo esto aquí. Es decir la expresión 5 se va a sustituir en la expresión 1. Veamos cómo nos queda. Vamos a fingir por acá. Tenemos entonces área del triángulo es igual a un medio por a. Y todo eso multiplicado por H. Que es toda esta expresión. Bien, allí la tenemos. Entonces se ha reemplazado H de la expresión 5 en la expresión 1. Ahora allí es completamente elícito cancelar esa letra a. Porque la tenemos tanto en el numerador como en el denominador. Y a su vez solo se tienen operaciones de multiplicación. Entonces veamos cómo nos queda la expresión para el área. Ya podemos multiplicar numeradores entre sí y denominadores entre sí. Tal como se multiplican las fracciones. Entonces en el numerador nos queda 1 por toda esa raíz. Nos da toda esta expresión. Y en el denominador tenemos 2 por 2 que es 4. Ahora podemos cambiar 4 por la raíz cuadrada de 16. Y esto lo hacemos con el objetivo de tener un cosiente o una división de raíces cuadradas. Eso nos permite escribir una sola raíz cuadrada con el cosiente o la división en su interior. Esa es una propiedad de la radicación. Acá tenemos la misma expresión del numerador. Y acá en el denominador tenemos 16. Ahora acá en el numerador tenemos una diferencia de cuadrados perfectos. Vamos entonces a factorizar esa expresión utilizando ese caso de factorización. Tenemos la raíz cuadrada de lo siguiente. Para el numerador vamos a aplicar la diferencia de cuadrados perfectos. Raíz cuadrada del primer término sería 2ab y la raíz cuadrada del segundo término sería lo que tenemos en el paréntesis. Es decir b al cuadrado menos c al cuadrado más a al cuadrado. Entonces anotamos esas dos cantidades en una suma. Protegemos todo esto con corchete y esas mismas dos cantidades en una resta. Entonces 2ab menos entre paréntesis b al cuadrado menos c al cuadrado más a al cuadrado. Allí tenemos entonces la factorización de esta diferencia de cuadrados perfectos. Acá en el denominador tenemos 16 y vamos a cerrar la raíz cuadrada. Enseguida vamos a destruir los paréntesis que tenemos dentro de los corchetes. Entonces área del triángulo será igual a lo siguiente. Por acá tenemos 2ab. Aquí para quitar el paréntesis simplemente lo borramos porque tenemos un signo más a su izquierda. Entonces salen los términos tal como están sin presentar ningún cambio. Allí podemos entonces dejar los corchetes. Ya no tenemos paréntesis en su interior y por acá nos queda 2ab pero aquí el signo menos si nos cambia los signos de cada uno de estos términos nos queda menos p al cuadrado más c al cuadrado menos a al cuadrado. Cerramos el corchete. En el denominador tenemos el número 16 y cerramos la raíz cuadrada. Ahora dentro de los corchetes vamos a reacomodar los términos de la siguiente manera. Tenemos acá a al cuadrado más 2ab más b al cuadrado. Allí hemos acomodado esos tres términos después tenemos menos c al cuadrado. Conservamos entonces los corchetes. Vamos al siguiente. Allí comenzamos anotando el término c al cuadrado después menos a al cuadrado después más 2ab luego menos b al cuadrado. Cerramos el corchete. Todo esto lo tenemos sobre 16 y cerramos la raíz cuadrada. Ahora dentro de los corchetes vamos a agrupar los términos que tienen a y b. Eso lo hacemos porque con esa organización que hemos logrado allí se forman trinomios cuadrados perfectos. Vamos entonces con lo que hay en el primer corchete. Abrimos un paréntesis para realizar la agrupación de esos tres términos. A esto menos c al cuadrado cerramos el corchete y vamos al otro. Nos queda c al cuadrado menos aquí. Abrimos el paréntesis. Entonces los signos de esos términos van a cambiar. Nos queda a al cuadrado menos 2ab y eso más b al cuadrado. Cerramos el corchete. Todo esto lo tenemos sobre 16 y también cerramos la raíz cuadrada. Como decíamos esos términos que hemos agrupado con paréntesis constituyen trinomios cuadrados perfectos. Vamos entonces a factorizarlos. Recordemos que la factorización de un trinomio cuadrado perfecto siempre es un binomio elevado al cuadrado. Vamos con la factorización del primero. Para ese caso tenemos a más b al cuadrado. La raíz cuadrada del primer término, la raíz cuadrada del último. Recordemos que se cumple el doble producto de esas raíces cuadradas y en la mitad va el signo del segundo término. Allí nos queda entonces la factorización de ese trinomio cuadrado perfecto. Todo eso nos queda menos c al cuadrado. Cerramos el corchete. Vamos al siguiente donde tenemos c al cuadrado y vamos a factorizar este otro trinomio cuadrado perfecto. Sería la raíz cuadrada del primer término, raíz cuadrada del último. Aquí tenemos el doble producto de esas raíces cuadradas y anotamos el signo del segundo término. Todo eso nos queda al cuadrado. Cerramos el corchete. Todo esto está sobre 16 y cerramos la raíz cuadrada. Ahora tenemos dentro de cada uno de los corchetes lo que son diferencias de cuadrados perfectos. Vamos a factorizarlas. Tenemos área del triángulo igual. Vamos con la factorización de esta primera diferencia de cuadrados perfectos. Raíz cuadrada del primer término será a más b y la raíz cuadrada del segundo término es c. Entonces anotamos esas dos cantidades en una suma y en una resta. Entonces a más b protegido con paréntesis menos c. Allí tenemos la suma por la diferencia que constituye la factorización de esa primera diferencia de cuadrados perfectos. Vamos con la otra. Raíz cuadrada del primer término sería c. Raíz cuadrada del segundo término sería a menos b protegido con paréntesis. Anotamos eso con una suma y también con una resta. Entonces c menos a menos b protegido con paréntesis. Cerramos el corchete. Todo eso está sobre 16 y cerramos la raíz cuadrada. Ahora vamos a quitar los paréntesis que tenemos dentro de los corchetes. Nos queda área del triángulo igual. Raíz cuadrada de lo siguiente. Trazamos la línea de la fracción y entonces en el numerador aquí quitamos el paréntesis nos queda a más b más c. Ya podríamos cambiar esos corchetes por paréntesis. Vamos al siguiente. Quitamos el paréntesis de a más b. Eso queda menos c. Cambiamos los corchetes por paréntesis. Vamos a la siguiente expresión. Cambiamos el corchete por paréntesis. Quitamos este. Entonces nos queda c más a menos b. Y vamos al último corchete que vamos a cambiar por paréntesis. Nos queda c. Aquí entra el signo menos. Nos queda menos a más b. Todo eso nos queda sobre 16 y cerramos la raíz cuadrada. Ahora dentro de cada uno de esos cuatro paréntesis vamos a procurar que nos quede a más b más c. Tal como sucede en el primer paréntesis. Entonces nos queda así. A más b más c. Repetimos el primer paréntesis. Ya está listo. Vamos al siguiente. Tenemos a más b. Nos hace falta más c. Entonces agregamos esa cantidad. Somamos originalmente menos c pero para no alterar la expresión debemos restar c. Si sumamos c tenemos que restar al mismo tiempo esa cantidad para conservar la expresión original. Vamos al siguiente paréntesis. Ya tenemos a. Nos hace falta más b. Entonces agregamos esa cantidad. Tenemos ya más c. También tenemos menos b. Y como sumamos b tenemos que restar esa cantidad. Vamos al último paréntesis. Allí tenemos a negativo. Nos hace falta a positivo. Entonces lo incorporamos. Tenemos más b. Tenemos más c. Tenemos originalmente menos a. Y también como sumamos a o entró a positivo debemos incluir a negativo. Restar a al mismo tiempo para conservar la expresión original. Todo eso está sobre 16 y cerramos la raíz cuadrada. Vamos a organizar lo que hay dentro de los paréntesis. Como decíamos el primero ya se encuentra listo. Entonces a más b más c. Vamos al siguiente donde aseguramos esa misma suma. A más b más c. Y operamos estos dos términos. Menos c menos c nos da menos 2c. Vamos al siguiente. A más b más c. Y operamos estos dos términos. Menos b menos b que es menos 2b. Y vamos al último donde de nuevo aseguramos a más b más c. Y operamos estos términos. Menos a menos a nos da menos 2a. Todo eso está sobre 16. Pero aquí vamos a realizar lo siguiente. Cambiamos 16 por esta multiplicación. Dos por dos por dos por dos. Y cerramos la raíz cuadrada. Ahora lo que hacemos es partir esa gran fracción en el producto de cuatro fracciones. Veamos cómo nos queda. Área del triángulo igual a la raíz cuadrada de a más b más c. Todo esto entre paréntesis sobre 2. Allí tenemos la primera fracción. Eso multiplicado por la siguiente que será a más b más c. Todo esto menos 12. También sobre 2. Eso multiplicado por la siguiente fracción que será a más b más c. Menos 2b. Todo esto sobre 2. Y eso multiplicado por la cuarta fracción que tiene a más b más c. Menos 2a. En el numerador. Dos en el denominador. Cerramos la raíz cuadrada. Y de esa manera, como decíamos, se ha partido esa gran fracción en el producto de cuatro fracciones. Recordemos que para multiplicar fracciones se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí. Por lo tanto, este producto nos daría esto que tenemos originalmente. A su vez, vamos a organizar cada uno de estos cuatro componentes de la siguiente manera. Tenemos área del triángulo igual a la raíz cuadrada de. Aquí para el caso del primer componente, lo escribimos como a más b más c. Todo eso sobre 2. Y lo protegemos con paréntesis. Vamos al segundo componente donde este denominador lo vamos a repartir para esta suma y para este componente. Entonces nos queda a más b más c. Todo esto sobre 2. Y eso menos 2c sobre 2. Recordemos que allí se está aplicando el concepto de denominador común. Cuando restamos dos fracciones con el mismo denominador, entonces se conserva el denominador y se operan los numeradores. Estamos como reversando esa situación. Vamos acá. Tenemos a más b más c sobre 2. Y eso menos 2b sobre 2. Vamos al último componente. Sería a más b más c sobre 2. Y eso menos 2a sobre 2. Cerramos el paréntesis y cerramos la raíz cuadrada. Eso que hemos hecho nos permite utilizar el concepto de semiperímetro que definíamos al comienzo de esta explicación. Es el perímetro del triángulo, la suma de las longitudes de sus lados y todo eso dividido entre 2. Pues bien, aquí tenemos el semiperímetro. Todo esto equivale a s. Aquí también lo tenemos. Todo esto equivale a s. Aquí también tenemos el semiperímetro. Y de igual forma, aquí también contamos con ese parámetro. Ahora, tenemos también por acá que se puede simplificar el número 2. Es completamente lícito. Lo mismo sucede aquí. Y también podemos simplificar el 2 en esa última fracción. Ya puliendo la expresión, nos queda así. Área del triángulo será igual a s, semiperímetro, por, vamos al segundo paréntesis, donde nos queda s menos c. Vamos al siguiente paréntesis, donde nos queda s menos b. Y vamos al último paréntesis, donde nos queda s menos a. Y cerramos la raíz cuadrada. Finalmente, lo que hacemos es acomodar esos paréntesis para que la expresión nos quede como venía presentada originalmente. Área del triángulo será igual a la raíz cuadrada de s por s menos a. Tratamos de seguir el orden alfabético. Esto por s menos b y eso por s menos c. Allí tenemos entonces la expresión que queríamos demostrar, la fórmula de Herón. Entonces, de esa manera, hemos conseguido realizar la demostración de esta fórmula que nos permite determinar el área de un triángulo si conocemos las longitudes a, b y c de sus lados. Es la fórmula de Herón de Alejandría matemático griego.

[{"start": 0.0, "end": 8.76, "text": " En esta ocasi\u00f3n vamos a demostrar c\u00f3mo se obtiene la f\u00f3rmula de Her\u00f3n."}, {"start": 8.76, "end": 14.96, "text": " Esta que tenemos aqu\u00ed se atribuye al matem\u00e1tico griego Her\u00f3n de Alejandr\u00eda, quien estableci\u00f3"}, {"start": 14.96, "end": 21.94, "text": " que es posible determinar el \u00e1rea de un tri\u00e1ngulo solamente conociendo las longitudes ABC de"}, {"start": 21.94, "end": 23.28, "text": " sus lados."}, {"start": 23.28, "end": 29.080000000000002, "text": " Aqu\u00ed encontramos otro par\u00e1metro llamado S, que es el semiper\u00edmetro, es decir, el"}, {"start": 29.08, "end": 34.8, "text": " per\u00edmetro del tri\u00e1ngulo, la suma de las longitudes de sus lados y todo eso dividido"}, {"start": 34.8, "end": 35.8, "text": " entre dos."}, {"start": 35.8, "end": 40.519999999999996, "text": " Vamos a ver entonces c\u00f3mo se demuestra esta f\u00f3rmula."}, {"start": 40.519999999999996, "end": 47.04, "text": " Comenzamos trazando esta altura que vamos a llamar H, es la que conecta este v\u00e9rtice"}, {"start": 47.04, "end": 54.56, "text": " con este lado y recordemos que la altura llega al lado formando 90 grados, son segmentos"}, {"start": 54.56, "end": 56.04, "text": " perpendiculares."}, {"start": 56.04, "end": 62.24, "text": " Entonces con esa informaci\u00f3n podemos establecer que el \u00e1rea del tri\u00e1ngulo es base por altura"}, {"start": 62.24, "end": 69.76, "text": " dividido entre dos, la base que es A min\u00fascula por la altura que es H y todo eso dividido"}, {"start": 69.76, "end": 70.76, "text": " entre dos."}, {"start": 70.76, "end": 76.6, "text": " Esto lo podemos escribir tambi\u00e9n de la siguiente manera, \u00e1rea del tri\u00e1ngulo es igual a un"}, {"start": 76.6, "end": 82.2, "text": " medio que multiplica a A min\u00fascula y a H."}, {"start": 82.2, "end": 88.4, "text": " De esta manera tenemos una expresi\u00f3n que vamos a etiquetar con el n\u00famero 1."}, {"start": 88.4, "end": 95.2, "text": " Ahora cuando trazamos esa altura H, el segmento de longitud A, es decir, la base del tri\u00e1ngulo"}, {"start": 95.2, "end": 101.68, "text": " queda dividido en dos tramos, uno cuya longitud vamos a llamar X y otro cuya longitud ser\u00e1"}, {"start": 101.68, "end": 104.96000000000001, "text": " la diferencia entre A y X."}, {"start": 104.96000000000001, "end": 108.96000000000001, "text": " Entonces lo representamos como A menos X."}, {"start": 108.96, "end": 116.19999999999999, "text": " All\u00ed podemos observar dos tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos, aqu\u00ed tenemos uno y aqu\u00ed est\u00e1 el otro."}, {"start": 116.19999999999999, "end": 121.19999999999999, "text": " Entonces recordemos que en los tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos se puede aplicar el teorema de"}, {"start": 121.19999999999999, "end": 122.55999999999999, "text": " Pit\u00e1goras."}, {"start": 122.55999999999999, "end": 127.47999999999999, "text": " Vamos a comenzar con este tri\u00e1ngulo donde los catetos son H y X."}, {"start": 127.47999999999999, "end": 133.44, "text": " Entonces tenemos H al cuadrado m\u00e1s X al cuadrado, all\u00ed tenemos la suma de los cuadrados de"}, {"start": 133.44, "end": 140.28, "text": " los catetos y esto es igual al cuadrado de la hipotenusa, es decir, B al cuadrado."}, {"start": 140.28, "end": 144.16, "text": " De all\u00ed vamos a realizar el despeje de H cuadrado."}, {"start": 144.16, "end": 150.5, "text": " Entonces tenemos H cuadrado es igual a B al cuadrado menos X al cuadrado."}, {"start": 150.5, "end": 155.0, "text": " Esta cantidad que est\u00e1 sumando la pasamos al otro lado a restar."}, {"start": 155.0, "end": 162.12, "text": " De esa manera tenemos una nueva expresi\u00f3n que vamos a etiquetar con el n\u00famero 2."}, {"start": 162.12, "end": 165.76, "text": " Vamos ahora al otro tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo, este que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 165.76, "end": 168.72, "text": " Vamos a aplicar tambi\u00e9n el teorema de Pit\u00e1goras."}, {"start": 168.72, "end": 175.6, "text": " Tenemos H al cuadrado m\u00e1s A menos X al cuadrado, all\u00ed tenemos la suma de los cuadrados de"}, {"start": 175.6, "end": 181.6, "text": " los catetos y esto es igual a la hipotenusa al cuadrado, es decir, C al cuadrado."}, {"start": 181.6, "end": 185.96, "text": " Y de all\u00ed tambi\u00e9n vamos a despejar H al cuadrado."}, {"start": 185.96, "end": 192.56, "text": " Entonces nos queda C al cuadrado menos, entre par\u00e9ntesis, A menos X y todo eso elevado"}, {"start": 192.56, "end": 194.0, "text": " al cuadrado."}, {"start": 194.0, "end": 198.20000000000002, "text": " Otra vez esta cantidad que est\u00e1 sumando pasa al otro lado a restar."}, {"start": 198.20000000000002, "end": 205.66, "text": " De esa manera conseguimos una nueva expresi\u00f3n que vamos a etiquetar con el n\u00famero 3."}, {"start": 205.66, "end": 210.8, "text": " Ahora vamos a realizar la igualaci\u00f3n de estas dos expresiones porque en ellas se encuentra"}, {"start": 210.8, "end": 213.64000000000001, "text": " despejada H al cuadrado."}, {"start": 213.64, "end": 218.72, "text": " Entonces igualamos la expresi\u00f3n 2 con la expresi\u00f3n 3."}, {"start": 218.72, "end": 225.76, "text": " Tenemos entonces lo siguiente, V al cuadrado menos X al cuadrado, todo eso vamos a igualarlo"}, {"start": 225.76, "end": 232.88, "text": " con esto que tenemos ac\u00e1, C al cuadrado menos, entre par\u00e9ntesis, A menos X y todo eso al"}, {"start": 232.88, "end": 233.88, "text": " cuadrado."}, {"start": 233.88, "end": 240.23999999999998, "text": " All\u00ed vamos a efectuar el desarrollo o la expansi\u00f3n de este binomio elevado al cuadrado."}, {"start": 240.24, "end": 245.52, "text": " Entonces nos queda de la siguiente manera, V al cuadrado menos X al cuadrado, igual a"}, {"start": 245.52, "end": 251.20000000000002, "text": " C al cuadrado menos, abrimos par\u00e9ntesis y aplicamos el producto notable."}, {"start": 251.20000000000002, "end": 256.0, "text": " Para un binomio elevado al cuadrado tenemos que eso es igual a la primera cantidad al"}, {"start": 256.0, "end": 262.08, "text": " cuadrado menos dos veces la primera cantidad por la segunda, o sea 2 a X."}, {"start": 262.08, "end": 268.24, "text": " Y luego tenemos m\u00e1s la segunda cantidad que es X elevada al cuadrado."}, {"start": 268.24, "end": 270.8, "text": " Y cerramos el par\u00e9ntesis."}, {"start": 270.8, "end": 276.88, "text": " Ahora vamos a distribuir en este trinomio este signo negativo, vamos a romper o destruir"}, {"start": 276.88, "end": 277.88, "text": " ese par\u00e9ntesis."}, {"start": 277.88, "end": 284.28000000000003, "text": " Nos queda entonces V al cuadrado menos X al cuadrado, igual a C al cuadrado, entonces"}, {"start": 284.28000000000003, "end": 289.12, "text": " entra el signo menos, nos cambia los signos de cada uno de esos t\u00e9rminos."}, {"start": 289.12, "end": 296.54, "text": " Tenemos menos A al cuadrado m\u00e1s 2 a X y eso menos X al cuadrado."}, {"start": 296.54, "end": 302.40000000000003, "text": " Como podemos observar a ambos lados de la igualdad tenemos repetido ese t\u00e9rmino, por"}, {"start": 302.40000000000003, "end": 305.76000000000005, "text": " lo tanto podemos cancelarlo o eliminarlo."}, {"start": 305.76000000000005, "end": 310.6, "text": " Es como si sum\u00e1ramos a ambos lados de la igualdad X al cuadrado."}, {"start": 310.6, "end": 319.16, "text": " Entonces nos queda V al cuadrado, luego tenemos igual a C al cuadrado menos A al cuadrado"}, {"start": 319.16, "end": 323.28000000000003, "text": " y todo eso m\u00e1s 2 a X."}, {"start": 323.28, "end": 327.28, "text": " Y all\u00ed vamos a realizar poco a poco el despeje de X."}, {"start": 327.28, "end": 330.71999999999997, "text": " Entonces vamos a comenzar por pasar estos t\u00e9rminos al otro lado."}, {"start": 330.71999999999997, "end": 336.28, "text": " Nos queda V al cuadrado menos C al cuadrado m\u00e1s A al cuadrado."}, {"start": 336.28, "end": 341.2, "text": " Este est\u00e1 positivo, llega negativo, este est\u00e1 negativo, llega positivo y todo esto"}, {"start": 341.2, "end": 345.47999999999996, "text": " nos queda igualado con 2 a X."}, {"start": 345.47999999999996, "end": 352.23999999999995, "text": " Ahora 2 a que est\u00e1 multiplicando con X pasa al otro lado a dividir, de esa manera despejamos"}, {"start": 352.24, "end": 353.24, "text": " X."}, {"start": 353.24, "end": 360.8, "text": " X ser\u00e1 entonces igual a V al cuadrado menos C al cuadrado m\u00e1s A al cuadrado y todo eso"}, {"start": 360.8, "end": 364.40000000000003, "text": " dividido entre 2 a."}, {"start": 364.40000000000003, "end": 370.04, "text": " De esa manera obtenemos una nueva expresi\u00f3n que vamos a etiquetar con el n\u00famero 4."}, {"start": 370.04, "end": 375.36, "text": " Y a continuaci\u00f3n vamos a reemplazar X que equivale a todo esto aqu\u00ed."}, {"start": 375.36, "end": 381.32, "text": " En otras palabras la expresi\u00f3n 4 va a sustituirse en la expresi\u00f3n 2."}, {"start": 381.32, "end": 383.96, "text": " Nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 383.96, "end": 392.15999999999997, "text": " H al cuadrado ser\u00e1 igual a V al cuadrado menos X que equivale a todo esto."}, {"start": 392.15999999999997, "end": 397.71999999999997, "text": " Entonces abrimos un par\u00e9ntesis para insertar la expresi\u00f3n que corresponde a X."}, {"start": 397.71999999999997, "end": 404.2, "text": " V al cuadrado menos C al cuadrado, todo eso m\u00e1s A al cuadrado y eso dividido entre 2"}, {"start": 404.2, "end": 408.64, "text": " a y a su vez todo eso elevado al cuadrado."}, {"start": 408.64, "end": 413.2, "text": " Aqu\u00ed vamos a aplicar una propiedad de la potenciaci\u00f3n en este componente."}, {"start": 413.2, "end": 419.44, "text": " Como tenemos una fracci\u00f3n elevada al cuadrado, entonces este exponente afecta al numerador"}, {"start": 419.44, "end": 421.71999999999997, "text": " y afecta al denominador."}, {"start": 421.71999999999997, "end": 423.59999999999997, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1."}, {"start": 423.59999999999997, "end": 431.24, "text": " Tenemos H al cuadrado igual a V al cuadrado menos, entonces trazamos la l\u00ednea de la fracci\u00f3n"}, {"start": 431.24, "end": 438.96000000000004, "text": " en el numerador tenemos V al cuadrado menos C al cuadrado m\u00e1s A al cuadrado, entonces"}, {"start": 438.96000000000004, "end": 447.88, "text": " todo esto queda elevado al cuadrado y el denominador que es 2 a, todo eso tambi\u00e9n elevado al cuadrado."}, {"start": 447.88, "end": 451.94, "text": " Ahora aqu\u00ed vamos a aplicar otra propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 451.94, "end": 455.56, "text": " Tenemos un producto y todo eso elevado al cuadrado."}, {"start": 455.56, "end": 459.92, "text": " Entonces el exponente 2 afecta a cada uno de los factores."}, {"start": 459.92, "end": 462.28000000000003, "text": " Nos queda esto de la siguiente manera."}, {"start": 462.28000000000003, "end": 469.12, "text": " H al cuadrado es igual a V al cuadrado menos, trazamos la l\u00ednea de la fracci\u00f3n, ac\u00e1 en"}, {"start": 469.12, "end": 476.88, "text": " el numerador permanece lo mismo y en el denominador entonces repartimos el exponente 2, 2 al cuadrado"}, {"start": 476.88, "end": 481.72, "text": " que nos da 4 y eso acompa\u00f1ado de A al cuadrado."}, {"start": 481.72, "end": 487.6, "text": " Ahora al componente V al cuadrado podemos colocarle denominador 1 y tenemos as\u00ed una"}, {"start": 487.6, "end": 492.76000000000005, "text": " resta de fracciones heterog\u00e9neas, fracciones con distinto denominador."}, {"start": 492.76000000000005, "end": 499.48, "text": " Vamos a resolver esa resta aplicando el truco o la t\u00e9cnica de la canita feliz."}, {"start": 499.48, "end": 501.48, "text": " Veamos entonces c\u00f3mo nos queda."}, {"start": 501.48, "end": 505.6, "text": " All\u00e1 en el numerador comenzamos con el producto de estos dos componentes."}, {"start": 505.6, "end": 512.4, "text": " V al cuadrado por 4 a al cuadrado lo organizamos como 4 a al cuadrado V al cuadrado."}, {"start": 512.4, "end": 518.1999999999999, "text": " Luego tenemos menos esto por esto que nos da esa misma expresi\u00f3n entre par\u00e9ntesis"}, {"start": 518.1999999999999, "end": 526.72, "text": " V al cuadrado menos C al cuadrado m\u00e1s A al cuadrado todo esto elevado al cuadrado y en"}, {"start": 526.72, "end": 533.88, "text": " el denominador tenemos el producto de estos dos componentes que nos da 4 a al cuadrado."}, {"start": 533.88, "end": 540.4, "text": " Entonces repetimos se ha aplicado el truco o la t\u00e9cnica de la canita feliz para restar"}, {"start": 540.4, "end": 545.4, "text": " dos fracciones heterog\u00e9neas o fracciones con distinto denominador."}, {"start": 545.4, "end": 548.4, "text": " De all\u00ed vamos a despejar lo que es H."}, {"start": 548.4, "end": 553.12, "text": " Para ello sacamos ra\u00edz cuadrada a ambos lados de la igualdad."}, {"start": 553.12, "end": 558.92, "text": " Entonces en el lado izquierdo nos queda ra\u00edz cuadrada de H al cuadrado y en el lado derecho"}, {"start": 558.92, "end": 566.0799999999999, "text": " la ra\u00edz cuadrada de toda esa expresi\u00f3n 4 a al cuadrado V al cuadrado menos entre par\u00e9ntesis"}, {"start": 566.08, "end": 573.72, "text": " V al cuadrado menos C al cuadrado m\u00e1s A al cuadrado todo esto elevado al cuadrado a su"}, {"start": 573.72, "end": 582.12, "text": " vez todo eso dividido entre 4 a al cuadrado y como dec\u00edamos a toda esa expresi\u00f3n le extraemos"}, {"start": 582.12, "end": 584.48, "text": " la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 584.48, "end": 590.6800000000001, "text": " Es usual decir que esto equivale a H porque el exponente 2 se cancela o se elimina con"}, {"start": 590.6800000000001, "end": 592.2, "text": " la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 592.2, "end": 598.5600000000001, "text": " Sin embargo esto en t\u00e9rminos estrictos equivale a valor absoluto de H."}, {"start": 598.5600000000001, "end": 600.8000000000001, "text": " Entonces vamos a tomarlo de esa manera."}, {"start": 600.8000000000001, "end": 605.9200000000001, "text": " Y ac\u00e1 tenemos la ra\u00edz cuadrada con una fracci\u00f3n en su interior."}, {"start": 605.9200000000001, "end": 611.08, "text": " Entonces esa ra\u00edz afecta tanto al numerador como al denominador."}, {"start": 611.08, "end": 613.5600000000001, "text": " Entonces nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 613.5600000000001, "end": 620.88, "text": " En el numerador la ra\u00edz cuadrada de todo eso y en el denominador la ra\u00edz cuadrada de 4"}, {"start": 620.88, "end": 622.84, "text": " a al cuadrado."}, {"start": 622.84, "end": 628.04, "text": " Entonces repartimos la ra\u00edz para el numerador y para el denominador."}, {"start": 628.04, "end": 636.88, "text": " Ahora para liberar H de esas barras decimos que H es igual a m\u00e1s o menos toda esta expresi\u00f3n."}, {"start": 636.88, "end": 639.04, "text": " Vamos a escribirla por ac\u00e1."}, {"start": 639.04, "end": 641.96, "text": " En el numerador permanece lo mismo."}, {"start": 641.96, "end": 648.16, "text": " Y en el denominador podemos simplificar esa ra\u00edz ya que tiene un producto en su interior."}, {"start": 648.16, "end": 652.28, "text": " Entonces repartimos la ra\u00edz para cada uno de esos factores."}, {"start": 652.28, "end": 658.28, "text": " Ra\u00edz cuadrada de 4 nos da 2 y la ra\u00edz cuadrada de a al cuadrado nos dar\u00eda tambi\u00e9n valor"}, {"start": 658.28, "end": 660.52, "text": " absoluto de a."}, {"start": 660.52, "end": 664.8, "text": " En este caso ya podemos decidir cu\u00e1l de los dos signos se va a tomar."}, {"start": 664.8, "end": 667.28, "text": " H es la altura del tri\u00e1ngulo."}, {"start": 667.28, "end": 669.52, "text": " Por lo tanto es una cantidad positiva."}, {"start": 669.52, "end": 671.92, "text": " Corresponde a una longitud."}, {"start": 671.92, "end": 674.28, "text": " Entonces nos quedamos con la opci\u00f3n m\u00e1s."}, {"start": 674.28, "end": 675.8399999999999, "text": " All\u00ed nos queda invisible."}, {"start": 675.8399999999999, "end": 677.56, "text": " Y lo mismo sucede aqu\u00ed."}, {"start": 677.56, "end": 680.0, "text": " Valor absoluto de a nos dar\u00eda m\u00e1s o menos a."}, {"start": 680.0, "end": 683.4799999999999, "text": " Pero a es la longitud de este lado del tri\u00e1ngulo."}, {"start": 683.4799999999999, "end": 686.04, "text": " Por lo tanto es una cantidad positiva."}, {"start": 686.04, "end": 689.7199999999999, "text": " Nos quedamos entonces simplemente con a."}, {"start": 689.7199999999999, "end": 695.56, "text": " De esta manera obtenemos una nueva expresi\u00f3n que vamos a etiquetar con el n\u00famero 5."}, {"start": 695.56, "end": 697.92, "text": " Y enseguida vamos a reemplazar H."}, {"start": 697.92, "end": 700.56, "text": " Que equivale a todo esto aqu\u00ed."}, {"start": 700.56, "end": 705.7199999999999, "text": " Es decir la expresi\u00f3n 5 se va a sustituir en la expresi\u00f3n 1."}, {"start": 705.7199999999999, "end": 707.3199999999999, "text": " Veamos c\u00f3mo nos queda."}, {"start": 707.32, "end": 708.98, "text": " Vamos a fingir por ac\u00e1."}, {"start": 708.98, "end": 714.84, "text": " Tenemos entonces \u00e1rea del tri\u00e1ngulo es igual a un medio por a."}, {"start": 714.84, "end": 717.0400000000001, "text": " Y todo eso multiplicado por H."}, {"start": 717.0400000000001, "end": 718.96, "text": " Que es toda esta expresi\u00f3n."}, {"start": 718.96, "end": 721.24, "text": " Bien, all\u00ed la tenemos."}, {"start": 721.24, "end": 726.6400000000001, "text": " Entonces se ha reemplazado H de la expresi\u00f3n 5 en la expresi\u00f3n 1."}, {"start": 726.6400000000001, "end": 731.1600000000001, "text": " Ahora all\u00ed es completamente el\u00edcito cancelar esa letra a."}, {"start": 731.1600000000001, "end": 734.32, "text": " Porque la tenemos tanto en el numerador como en el denominador."}, {"start": 734.32, "end": 738.2800000000001, "text": " Y a su vez solo se tienen operaciones de multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 738.2800000000001, "end": 742.08, "text": " Entonces veamos c\u00f3mo nos queda la expresi\u00f3n para el \u00e1rea."}, {"start": 742.08, "end": 747.12, "text": " Ya podemos multiplicar numeradores entre s\u00ed y denominadores entre s\u00ed."}, {"start": 747.12, "end": 749.8000000000001, "text": " Tal como se multiplican las fracciones."}, {"start": 749.8000000000001, "end": 753.72, "text": " Entonces en el numerador nos queda 1 por toda esa ra\u00edz."}, {"start": 753.72, "end": 756.08, "text": " Nos da toda esta expresi\u00f3n."}, {"start": 756.08, "end": 760.6, "text": " Y en el denominador tenemos 2 por 2 que es 4."}, {"start": 760.6, "end": 765.64, "text": " Ahora podemos cambiar 4 por la ra\u00edz cuadrada de 16."}, {"start": 765.64, "end": 772.24, "text": " Y esto lo hacemos con el objetivo de tener un cosiente o una divisi\u00f3n de ra\u00edces cuadradas."}, {"start": 772.24, "end": 780.84, "text": " Eso nos permite escribir una sola ra\u00edz cuadrada con el cosiente o la divisi\u00f3n en su interior."}, {"start": 780.84, "end": 783.32, "text": " Esa es una propiedad de la radicaci\u00f3n."}, {"start": 783.32, "end": 786.72, "text": " Ac\u00e1 tenemos la misma expresi\u00f3n del numerador."}, {"start": 786.72, "end": 791.0, "text": " Y ac\u00e1 en el denominador tenemos 16."}, {"start": 791.0, "end": 796.8000000000001, "text": " Ahora ac\u00e1 en el numerador tenemos una diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 796.8000000000001, "end": 803.48, "text": " Vamos entonces a factorizar esa expresi\u00f3n utilizando ese caso de factorizaci\u00f3n."}, {"start": 803.48, "end": 806.2, "text": " Tenemos la ra\u00edz cuadrada de lo siguiente."}, {"start": 806.2, "end": 811.8000000000001, "text": " Para el numerador vamos a aplicar la diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 811.8, "end": 818.12, "text": " Ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino ser\u00eda 2ab y la ra\u00edz cuadrada del segundo t\u00e9rmino"}, {"start": 818.12, "end": 820.3199999999999, "text": " ser\u00eda lo que tenemos en el par\u00e9ntesis."}, {"start": 820.3199999999999, "end": 825.56, "text": " Es decir b al cuadrado menos c al cuadrado m\u00e1s a al cuadrado."}, {"start": 825.56, "end": 829.24, "text": " Entonces anotamos esas dos cantidades en una suma."}, {"start": 829.24, "end": 835.68, "text": " Protegemos todo esto con corchete y esas mismas dos cantidades en una resta."}, {"start": 835.68, "end": 843.5999999999999, "text": " Entonces 2ab menos entre par\u00e9ntesis b al cuadrado menos c al cuadrado m\u00e1s a al cuadrado."}, {"start": 843.5999999999999, "end": 849.92, "text": " All\u00ed tenemos entonces la factorizaci\u00f3n de esta diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 849.92, "end": 856.4, "text": " Ac\u00e1 en el denominador tenemos 16 y vamos a cerrar la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 856.4, "end": 861.88, "text": " Enseguida vamos a destruir los par\u00e9ntesis que tenemos dentro de los corchetes."}, {"start": 861.88, "end": 865.4, "text": " Entonces \u00e1rea del tri\u00e1ngulo ser\u00e1 igual a lo siguiente."}, {"start": 865.4, "end": 867.6, "text": " Por ac\u00e1 tenemos 2ab."}, {"start": 867.6, "end": 872.68, "text": " Aqu\u00ed para quitar el par\u00e9ntesis simplemente lo borramos porque tenemos un signo m\u00e1s a"}, {"start": 872.68, "end": 873.92, "text": " su izquierda."}, {"start": 873.92, "end": 878.9599999999999, "text": " Entonces salen los t\u00e9rminos tal como est\u00e1n sin presentar ning\u00fan cambio."}, {"start": 878.9599999999999, "end": 882.4, "text": " All\u00ed podemos entonces dejar los corchetes."}, {"start": 882.4, "end": 888.88, "text": " Ya no tenemos par\u00e9ntesis en su interior y por ac\u00e1 nos queda 2ab pero aqu\u00ed el signo"}, {"start": 888.88, "end": 894.76, "text": " menos si nos cambia los signos de cada uno de estos t\u00e9rminos nos queda menos p al cuadrado"}, {"start": 894.76, "end": 899.2, "text": " m\u00e1s c al cuadrado menos a al cuadrado."}, {"start": 899.2, "end": 901.08, "text": " Cerramos el corchete."}, {"start": 901.08, "end": 909.16, "text": " En el denominador tenemos el n\u00famero 16 y cerramos la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 909.16, "end": 915.6, "text": " Ahora dentro de los corchetes vamos a reacomodar los t\u00e9rminos de la siguiente manera."}, {"start": 915.6, "end": 922.88, "text": " Tenemos ac\u00e1 a al cuadrado m\u00e1s 2ab m\u00e1s b al cuadrado."}, {"start": 922.88, "end": 928.2, "text": " All\u00ed hemos acomodado esos tres t\u00e9rminos despu\u00e9s tenemos menos c al cuadrado."}, {"start": 928.2, "end": 931.32, "text": " Conservamos entonces los corchetes."}, {"start": 931.32, "end": 932.32, "text": " Vamos al siguiente."}, {"start": 932.32, "end": 938.92, "text": " All\u00ed comenzamos anotando el t\u00e9rmino c al cuadrado despu\u00e9s menos a al cuadrado despu\u00e9s"}, {"start": 938.92, "end": 944.16, "text": " m\u00e1s 2ab luego menos b al cuadrado."}, {"start": 944.16, "end": 945.88, "text": " Cerramos el corchete."}, {"start": 945.88, "end": 953.18, "text": " Todo esto lo tenemos sobre 16 y cerramos la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 953.18, "end": 958.6, "text": " Ahora dentro de los corchetes vamos a agrupar los t\u00e9rminos que tienen a y b."}, {"start": 958.6, "end": 964.56, "text": " Eso lo hacemos porque con esa organizaci\u00f3n que hemos logrado all\u00ed se forman trinomios"}, {"start": 964.56, "end": 966.36, "text": " cuadrados perfectos."}, {"start": 966.36, "end": 968.96, "text": " Vamos entonces con lo que hay en el primer corchete."}, {"start": 968.96, "end": 975.48, "text": " Abrimos un par\u00e9ntesis para realizar la agrupaci\u00f3n de esos tres t\u00e9rminos."}, {"start": 975.48, "end": 981.4, "text": " A esto menos c al cuadrado cerramos el corchete y vamos al otro."}, {"start": 981.4, "end": 984.36, "text": " Nos queda c al cuadrado menos aqu\u00ed."}, {"start": 984.36, "end": 985.84, "text": " Abrimos el par\u00e9ntesis."}, {"start": 985.84, "end": 988.8000000000001, "text": " Entonces los signos de esos t\u00e9rminos van a cambiar."}, {"start": 988.8000000000001, "end": 995.52, "text": " Nos queda a al cuadrado menos 2ab y eso m\u00e1s b al cuadrado."}, {"start": 995.52, "end": 997.2, "text": " Cerramos el corchete."}, {"start": 997.2, "end": 1004.5600000000001, "text": " Todo esto lo tenemos sobre 16 y tambi\u00e9n cerramos la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 1004.56, "end": 1010.04, "text": " Como dec\u00edamos esos t\u00e9rminos que hemos agrupado con par\u00e9ntesis constituyen trinomios cuadrados"}, {"start": 1010.04, "end": 1011.04, "text": " perfectos."}, {"start": 1011.04, "end": 1013.4399999999999, "text": " Vamos entonces a factorizarlos."}, {"start": 1013.4399999999999, "end": 1018.76, "text": " Recordemos que la factorizaci\u00f3n de un trinomio cuadrado perfecto siempre es un binomio elevado"}, {"start": 1018.76, "end": 1019.76, "text": " al cuadrado."}, {"start": 1019.76, "end": 1022.0799999999999, "text": " Vamos con la factorizaci\u00f3n del primero."}, {"start": 1022.0799999999999, "end": 1026.76, "text": " Para ese caso tenemos a m\u00e1s b al cuadrado."}, {"start": 1026.76, "end": 1030.8, "text": " La ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino, la ra\u00edz cuadrada del \u00faltimo."}, {"start": 1030.8, "end": 1035.9199999999998, "text": " Recordemos que se cumple el doble producto de esas ra\u00edces cuadradas y en la mitad va"}, {"start": 1035.9199999999998, "end": 1038.1599999999999, "text": " el signo del segundo t\u00e9rmino."}, {"start": 1038.1599999999999, "end": 1043.08, "text": " All\u00ed nos queda entonces la factorizaci\u00f3n de ese trinomio cuadrado perfecto."}, {"start": 1043.08, "end": 1045.68, "text": " Todo eso nos queda menos c al cuadrado."}, {"start": 1045.68, "end": 1047.12, "text": " Cerramos el corchete."}, {"start": 1047.12, "end": 1053.04, "text": " Vamos al siguiente donde tenemos c al cuadrado y vamos a factorizar este otro trinomio cuadrado"}, {"start": 1053.04, "end": 1054.04, "text": " perfecto."}, {"start": 1054.04, "end": 1058.36, "text": " Ser\u00eda la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino, ra\u00edz cuadrada del \u00faltimo."}, {"start": 1058.36, "end": 1063.56, "text": " Aqu\u00ed tenemos el doble producto de esas ra\u00edces cuadradas y anotamos el signo del segundo"}, {"start": 1063.56, "end": 1064.56, "text": " t\u00e9rmino."}, {"start": 1064.56, "end": 1067.04, "text": " Todo eso nos queda al cuadrado."}, {"start": 1067.04, "end": 1068.6, "text": " Cerramos el corchete."}, {"start": 1068.6, "end": 1075.8, "text": " Todo esto est\u00e1 sobre 16 y cerramos la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 1075.8, "end": 1082.0, "text": " Ahora tenemos dentro de cada uno de los corchetes lo que son diferencias de cuadrados perfectos."}, {"start": 1082.0, "end": 1084.0, "text": " Vamos a factorizarlas."}, {"start": 1084.0, "end": 1086.0, "text": " Tenemos \u00e1rea del tri\u00e1ngulo igual."}, {"start": 1086.0, "end": 1090.36, "text": " Vamos con la factorizaci\u00f3n de esta primera diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 1090.36, "end": 1096.52, "text": " Ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino ser\u00e1 a m\u00e1s b y la ra\u00edz cuadrada del segundo t\u00e9rmino"}, {"start": 1096.52, "end": 1097.52, "text": " es c."}, {"start": 1097.52, "end": 1103.0, "text": " Entonces anotamos esas dos cantidades en una suma y en una resta."}, {"start": 1103.0, "end": 1107.68, "text": " Entonces a m\u00e1s b protegido con par\u00e9ntesis menos c."}, {"start": 1107.68, "end": 1113.0, "text": " All\u00ed tenemos la suma por la diferencia que constituye la factorizaci\u00f3n de esa primera"}, {"start": 1113.0, "end": 1115.56, "text": " diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 1115.56, "end": 1116.9199999999998, "text": " Vamos con la otra."}, {"start": 1116.9199999999998, "end": 1119.26, "text": " Ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino ser\u00eda c."}, {"start": 1119.26, "end": 1125.06, "text": " Ra\u00edz cuadrada del segundo t\u00e9rmino ser\u00eda a menos b protegido con par\u00e9ntesis."}, {"start": 1125.06, "end": 1129.6399999999999, "text": " Anotamos eso con una suma y tambi\u00e9n con una resta."}, {"start": 1129.6399999999999, "end": 1133.48, "text": " Entonces c menos a menos b protegido con par\u00e9ntesis."}, {"start": 1133.48, "end": 1134.9199999999998, "text": " Cerramos el corchete."}, {"start": 1134.9199999999998, "end": 1142.0, "text": " Todo eso est\u00e1 sobre 16 y cerramos la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 1142.0, "end": 1146.72, "text": " Ahora vamos a quitar los par\u00e9ntesis que tenemos dentro de los corchetes."}, {"start": 1146.72, "end": 1149.2, "text": " Nos queda \u00e1rea del tri\u00e1ngulo igual."}, {"start": 1149.2, "end": 1151.12, "text": " Ra\u00edz cuadrada de lo siguiente."}, {"start": 1151.12, "end": 1157.16, "text": " Trazamos la l\u00ednea de la fracci\u00f3n y entonces en el numerador aqu\u00ed quitamos el par\u00e9ntesis"}, {"start": 1157.16, "end": 1160.44, "text": " nos queda a m\u00e1s b m\u00e1s c."}, {"start": 1160.44, "end": 1164.12, "text": " Ya podr\u00edamos cambiar esos corchetes por par\u00e9ntesis."}, {"start": 1164.12, "end": 1165.64, "text": " Vamos al siguiente."}, {"start": 1165.64, "end": 1167.48, "text": " Quitamos el par\u00e9ntesis de a m\u00e1s b."}, {"start": 1167.48, "end": 1169.04, "text": " Eso queda menos c."}, {"start": 1169.04, "end": 1172.1599999999999, "text": " Cambiamos los corchetes por par\u00e9ntesis."}, {"start": 1172.1599999999999, "end": 1174.1599999999999, "text": " Vamos a la siguiente expresi\u00f3n."}, {"start": 1174.1599999999999, "end": 1176.3999999999999, "text": " Cambiamos el corchete por par\u00e9ntesis."}, {"start": 1176.3999999999999, "end": 1177.3999999999999, "text": " Quitamos este."}, {"start": 1177.3999999999999, "end": 1180.84, "text": " Entonces nos queda c m\u00e1s a menos b."}, {"start": 1180.84, "end": 1185.1599999999999, "text": " Y vamos al \u00faltimo corchete que vamos a cambiar por par\u00e9ntesis."}, {"start": 1185.1599999999999, "end": 1186.1599999999999, "text": " Nos queda c."}, {"start": 1186.1599999999999, "end": 1187.6, "text": " Aqu\u00ed entra el signo menos."}, {"start": 1187.6, "end": 1190.44, "text": " Nos queda menos a m\u00e1s b."}, {"start": 1190.44, "end": 1196.0, "text": " Todo eso nos queda sobre 16 y cerramos la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 1196.0, "end": 1202.08, "text": " Ahora dentro de cada uno de esos cuatro par\u00e9ntesis vamos a procurar que nos quede a m\u00e1s b m\u00e1s"}, {"start": 1202.08, "end": 1203.08, "text": " c."}, {"start": 1203.08, "end": 1205.88, "text": " Tal como sucede en el primer par\u00e9ntesis."}, {"start": 1205.88, "end": 1207.6, "text": " Entonces nos queda as\u00ed."}, {"start": 1207.6, "end": 1209.04, "text": " A m\u00e1s b m\u00e1s c."}, {"start": 1209.04, "end": 1211.0, "text": " Repetimos el primer par\u00e9ntesis."}, {"start": 1211.0, "end": 1212.52, "text": " Ya est\u00e1 listo."}, {"start": 1212.52, "end": 1213.52, "text": " Vamos al siguiente."}, {"start": 1213.52, "end": 1215.52, "text": " Tenemos a m\u00e1s b."}, {"start": 1215.52, "end": 1217.44, "text": " Nos hace falta m\u00e1s c."}, {"start": 1217.44, "end": 1221.28, "text": " Entonces agregamos esa cantidad."}, {"start": 1221.28, "end": 1227.72, "text": " Somamos originalmente menos c pero para no alterar la expresi\u00f3n debemos restar c."}, {"start": 1227.72, "end": 1234.2, "text": " Si sumamos c tenemos que restar al mismo tiempo esa cantidad para conservar la expresi\u00f3n original."}, {"start": 1234.2, "end": 1235.72, "text": " Vamos al siguiente par\u00e9ntesis."}, {"start": 1235.72, "end": 1237.0, "text": " Ya tenemos a."}, {"start": 1237.0, "end": 1238.96, "text": " Nos hace falta m\u00e1s b."}, {"start": 1238.96, "end": 1241.76, "text": " Entonces agregamos esa cantidad."}, {"start": 1241.76, "end": 1244.16, "text": " Tenemos ya m\u00e1s c."}, {"start": 1244.16, "end": 1245.8799999999999, "text": " Tambi\u00e9n tenemos menos b."}, {"start": 1245.8799999999999, "end": 1250.8799999999999, "text": " Y como sumamos b tenemos que restar esa cantidad."}, {"start": 1250.88, "end": 1253.0, "text": " Vamos al \u00faltimo par\u00e9ntesis."}, {"start": 1253.0, "end": 1255.3600000000001, "text": " All\u00ed tenemos a negativo."}, {"start": 1255.3600000000001, "end": 1257.88, "text": " Nos hace falta a positivo."}, {"start": 1257.88, "end": 1259.8000000000002, "text": " Entonces lo incorporamos."}, {"start": 1259.8000000000002, "end": 1261.64, "text": " Tenemos m\u00e1s b."}, {"start": 1261.64, "end": 1263.44, "text": " Tenemos m\u00e1s c."}, {"start": 1263.44, "end": 1265.68, "text": " Tenemos originalmente menos a."}, {"start": 1265.68, "end": 1272.1200000000001, "text": " Y tambi\u00e9n como sumamos a o entr\u00f3 a positivo debemos incluir a negativo."}, {"start": 1272.1200000000001, "end": 1276.96, "text": " Restar a al mismo tiempo para conservar la expresi\u00f3n original."}, {"start": 1276.96, "end": 1283.16, "text": " Todo eso est\u00e1 sobre 16 y cerramos la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 1283.16, "end": 1286.2, "text": " Vamos a organizar lo que hay dentro de los par\u00e9ntesis."}, {"start": 1286.2, "end": 1289.6000000000001, "text": " Como dec\u00edamos el primero ya se encuentra listo."}, {"start": 1289.6000000000001, "end": 1293.08, "text": " Entonces a m\u00e1s b m\u00e1s c."}, {"start": 1293.08, "end": 1296.76, "text": " Vamos al siguiente donde aseguramos esa misma suma."}, {"start": 1296.76, "end": 1298.2, "text": " A m\u00e1s b m\u00e1s c."}, {"start": 1298.2, "end": 1300.28, "text": " Y operamos estos dos t\u00e9rminos."}, {"start": 1300.28, "end": 1303.68, "text": " Menos c menos c nos da menos 2c."}, {"start": 1303.68, "end": 1305.44, "text": " Vamos al siguiente."}, {"start": 1305.44, "end": 1308.3600000000001, "text": " A m\u00e1s b m\u00e1s c."}, {"start": 1308.3600000000001, "end": 1310.16, "text": " Y operamos estos dos t\u00e9rminos."}, {"start": 1310.16, "end": 1313.0800000000002, "text": " Menos b menos b que es menos 2b."}, {"start": 1313.0800000000002, "end": 1318.4, "text": " Y vamos al \u00faltimo donde de nuevo aseguramos a m\u00e1s b m\u00e1s c."}, {"start": 1318.4, "end": 1320.1200000000001, "text": " Y operamos estos t\u00e9rminos."}, {"start": 1320.1200000000001, "end": 1323.3200000000002, "text": " Menos a menos a nos da menos 2a."}, {"start": 1323.3200000000002, "end": 1326.1200000000001, "text": " Todo eso est\u00e1 sobre 16."}, {"start": 1326.1200000000001, "end": 1328.56, "text": " Pero aqu\u00ed vamos a realizar lo siguiente."}, {"start": 1328.56, "end": 1331.76, "text": " Cambiamos 16 por esta multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 1331.76, "end": 1334.52, "text": " Dos por dos por dos por dos."}, {"start": 1334.52, "end": 1338.32, "text": " Y cerramos la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 1338.32, "end": 1342.36, "text": " Ahora lo que hacemos es partir esa gran fracci\u00f3n en el producto"}, {"start": 1342.36, "end": 1343.92, "text": " de cuatro fracciones."}, {"start": 1343.92, "end": 1345.6, "text": " Veamos c\u00f3mo nos queda."}, {"start": 1345.6, "end": 1350.8, "text": " \u00c1rea del tri\u00e1ngulo igual a la ra\u00edz cuadrada de a m\u00e1s b m\u00e1s"}, {"start": 1350.8, "end": 1351.72, "text": " c."}, {"start": 1351.72, "end": 1354.48, "text": " Todo esto entre par\u00e9ntesis sobre 2."}, {"start": 1354.48, "end": 1356.52, "text": " All\u00ed tenemos la primera fracci\u00f3n."}, {"start": 1356.52, "end": 1362.92, "text": " Eso multiplicado por la siguiente que ser\u00e1 a m\u00e1s b m\u00e1s c."}, {"start": 1362.92, "end": 1365.3200000000002, "text": " Todo esto menos 12."}, {"start": 1365.3200000000002, "end": 1367.1200000000001, "text": " Tambi\u00e9n sobre 2."}, {"start": 1367.1200000000001, "end": 1371.72, "text": " Eso multiplicado por la siguiente fracci\u00f3n que ser\u00e1 a"}, {"start": 1371.72, "end": 1374.2, "text": " m\u00e1s b m\u00e1s c."}, {"start": 1374.2, "end": 1376.5600000000002, "text": " Menos 2b."}, {"start": 1376.5600000000002, "end": 1378.48, "text": " Todo esto sobre 2."}, {"start": 1378.48, "end": 1383.6000000000001, "text": " Y eso multiplicado por la cuarta fracci\u00f3n que tiene a m\u00e1s b m\u00e1s"}, {"start": 1383.6000000000001, "end": 1384.88, "text": " c."}, {"start": 1384.88, "end": 1386.8400000000001, "text": " Menos 2a."}, {"start": 1386.8400000000001, "end": 1388.2, "text": " En el numerador."}, {"start": 1388.2, "end": 1389.96, "text": " Dos en el denominador."}, {"start": 1389.96, "end": 1392.44, "text": " Cerramos la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 1392.44, "end": 1397.3200000000002, "text": " Y de esa manera, como dec\u00edamos, se ha partido esa gran fracci\u00f3n en"}, {"start": 1397.3200000000002, "end": 1399.72, "text": " el producto de cuatro fracciones."}, {"start": 1399.72, "end": 1403.3200000000002, "text": " Recordemos que para multiplicar fracciones se multiplican"}, {"start": 1403.3200000000002, "end": 1406.64, "text": " numeradores entre s\u00ed y denominadores entre s\u00ed."}, {"start": 1406.64, "end": 1410.28, "text": " Por lo tanto, este producto nos dar\u00eda esto que tenemos"}, {"start": 1410.28, "end": 1411.8400000000001, "text": " originalmente."}, {"start": 1411.8400000000001, "end": 1415.8400000000001, "text": " A su vez, vamos a organizar cada uno de estos cuatro componentes"}, {"start": 1415.8400000000001, "end": 1417.48, "text": " de la siguiente manera."}, {"start": 1417.48, "end": 1421.44, "text": " Tenemos \u00e1rea del tri\u00e1ngulo igual a la ra\u00edz cuadrada de."}, {"start": 1421.44, "end": 1424.3200000000002, "text": " Aqu\u00ed para el caso del primer componente,"}, {"start": 1424.3200000000002, "end": 1426.72, "text": " lo escribimos como a m\u00e1s b m\u00e1s c."}, {"start": 1426.72, "end": 1428.52, "text": " Todo eso sobre 2."}, {"start": 1428.52, "end": 1431.1200000000001, "text": " Y lo protegemos con par\u00e9ntesis."}, {"start": 1431.1200000000001, "end": 1435.3600000000001, "text": " Vamos al segundo componente donde este denominador lo vamos"}, {"start": 1435.3600000000001, "end": 1438.72, "text": " a repartir para esta suma y para este componente."}, {"start": 1438.72, "end": 1442.56, "text": " Entonces nos queda a m\u00e1s b m\u00e1s c."}, {"start": 1442.56, "end": 1444.92, "text": " Todo esto sobre 2."}, {"start": 1444.92, "end": 1448.68, "text": " Y eso menos 2c sobre 2."}, {"start": 1448.68, "end": 1451.8, "text": " Recordemos que all\u00ed se est\u00e1 aplicando el concepto de"}, {"start": 1451.8, "end": 1453.28, "text": " denominador com\u00fan."}, {"start": 1453.28, "end": 1456.28, "text": " Cuando restamos dos fracciones con el mismo denominador,"}, {"start": 1456.28, "end": 1459.28, "text": " entonces se conserva el denominador y se operan los"}, {"start": 1459.28, "end": 1460.24, "text": " numeradores."}, {"start": 1460.24, "end": 1463.28, "text": " Estamos como reversando esa situaci\u00f3n."}, {"start": 1463.28, "end": 1464.28, "text": " Vamos ac\u00e1."}, {"start": 1464.28, "end": 1467.76, "text": " Tenemos a m\u00e1s b m\u00e1s c sobre 2."}, {"start": 1467.76, "end": 1472.92, "text": " Y eso menos 2b sobre 2."}, {"start": 1472.92, "end": 1474.88, "text": " Vamos al \u00faltimo componente."}, {"start": 1474.88, "end": 1479.92, "text": " Ser\u00eda a m\u00e1s b m\u00e1s c sobre 2."}, {"start": 1479.92, "end": 1484.5200000000002, "text": " Y eso menos 2a sobre 2."}, {"start": 1484.5200000000002, "end": 1488.92, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis y cerramos la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 1488.92, "end": 1492.92, "text": " Eso que hemos hecho nos permite utilizar el concepto de"}, {"start": 1492.92, "end": 1498.5200000000002, "text": " semiper\u00edmetro que defin\u00edamos al comienzo de esta explicaci\u00f3n."}, {"start": 1498.5200000000002, "end": 1502.24, "text": " Es el per\u00edmetro del tri\u00e1ngulo, la suma de las longitudes de"}, {"start": 1502.24, "end": 1505.68, "text": " sus lados y todo eso dividido entre 2."}, {"start": 1505.68, "end": 1508.64, "text": " Pues bien, aqu\u00ed tenemos el semiper\u00edmetro."}, {"start": 1508.64, "end": 1510.88, "text": " Todo esto equivale a s."}, {"start": 1510.88, "end": 1512.64, "text": " Aqu\u00ed tambi\u00e9n lo tenemos."}, {"start": 1512.64, "end": 1514.92, "text": " Todo esto equivale a s."}, {"start": 1514.92, "end": 1518.0, "text": " Aqu\u00ed tambi\u00e9n tenemos el semiper\u00edmetro."}, {"start": 1518.0, "end": 1522.64, "text": " Y de igual forma, aqu\u00ed tambi\u00e9n contamos con ese par\u00e1metro."}, {"start": 1522.64, "end": 1526.88, "text": " Ahora, tenemos tambi\u00e9n por ac\u00e1 que se puede simplificar el"}, {"start": 1526.88, "end": 1528.1200000000001, "text": " n\u00famero 2."}, {"start": 1528.1200000000001, "end": 1529.84, "text": " Es completamente l\u00edcito."}, {"start": 1529.84, "end": 1531.6, "text": " Lo mismo sucede aqu\u00ed."}, {"start": 1531.6, "end": 1535.28, "text": " Y tambi\u00e9n podemos simplificar el 2 en esa \u00faltima fracci\u00f3n."}, {"start": 1535.28, "end": 1538.76, "text": " Ya puliendo la expresi\u00f3n, nos queda as\u00ed."}, {"start": 1538.76, "end": 1544.6799999999998, "text": " \u00c1rea del tri\u00e1ngulo ser\u00e1 igual a s, semiper\u00edmetro, por,"}, {"start": 1544.6799999999998, "end": 1550.9599999999998, "text": " vamos al segundo par\u00e9ntesis, donde nos queda s menos c."}, {"start": 1550.9599999999998, "end": 1556.9599999999998, "text": " Vamos al siguiente par\u00e9ntesis, donde nos queda s menos b."}, {"start": 1556.96, "end": 1562.64, "text": " Y vamos al \u00faltimo par\u00e9ntesis, donde nos queda s menos a."}, {"start": 1562.64, "end": 1565.6000000000001, "text": " Y cerramos la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 1565.6000000000001, "end": 1569.1200000000001, "text": " Finalmente, lo que hacemos es acomodar esos par\u00e9ntesis para"}, {"start": 1569.1200000000001, "end": 1572.32, "text": " que la expresi\u00f3n nos quede como ven\u00eda presentada"}, {"start": 1572.32, "end": 1573.68, "text": " originalmente."}, {"start": 1573.68, "end": 1577.68, "text": " \u00c1rea del tri\u00e1ngulo ser\u00e1 igual a la ra\u00edz cuadrada de s por s"}, {"start": 1577.68, "end": 1578.72, "text": " menos a."}, {"start": 1578.72, "end": 1581.72, "text": " Tratamos de seguir el orden alfab\u00e9tico."}, {"start": 1581.72, "end": 1588.6000000000001, "text": " Esto por s menos b y eso por s menos c."}, {"start": 1588.6000000000001, "end": 1592.08, "text": " All\u00ed tenemos entonces la expresi\u00f3n que quer\u00edamos"}, {"start": 1592.08, "end": 1595.3600000000001, "text": " demostrar, la f\u00f3rmula de 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COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES EN EL ESPACIO

#julioprofe explica cómo demostrar que un vector (en el espacio) es combinación lineal de otros tres vectores (también en el espacio). Tema: #VectoresEnElEspacio → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFjM17fQYLwVa9p87SiAf1p REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a demostrar que este vector es combinación lineal de estos tres vectores. Para ello vamos a nombrar estos vectores de la siguiente manera. Este lo llamamos el vector B y estos los llamamos vector B1, vector B2 y vector B3. Como vemos son vectores en el espacio, cada uno tiene sus tres componentes. Entonces lo que debemos demostrar es que el vector B, este de acá, puede expresarse de la siguiente manera, como K1 por el vector B1 más K2 por el vector B2 más K3 por el vector B3, donde K1, K2 y K3 son escalares o números reales. Si logramos probar la existencia de esas tres cantidades de K1, K2 y K3, entonces demostraremos que este vector es combinación lineal de B1, B2 y B3. Entonces vamos reemplazando la información que conocemos. El vector B tiene componentes 2, 1, 3. Esto será igual al escalar K1 que multiplica al vector B1 que es 1, 5, menos 7. Esto más el escalar K2 que multiplica al vector B2, sus componentes son 1, 1, 2 y esto más el escalar K3 que multiplica al vector B3, cuyas componentes son 1, menos 4 y menos 5. Ahora lo que hacemos es incorporar cada uno de estos escalares a sus respectivos vectores. Recordemos que ellos multiplican a cada una de sus componentes. Entonces veamos, K1 por 1 nos da K1, K1 por 5 será 5K1 y K1 por menos 7 es menos 7K1. Allí hemos multiplicado el primer vector por el escalar K1. Vamos con el siguiente, K2 por 1 es K2, K2 por 1 nos da otra vez K2 y K2 por 2 es 2K2. Allí hemos incorporado el escalar K2 al segundo vector. Vamos con el último que será K3 por 1, o sea K3, K3 por menos 4, menos 4K3 y K3 por menos 5, es decir, menos 5K3. Ahora vamos a efectuar la suma de estos tres vectores. Recordemos que se suman sus componentes respectivas. Entonces veamos, tenemos K1 sumado con K2 y sumado con K3. Allí tenemos la primera componente del vector resultante de esta suma. Vamos con la siguiente componente, 5K1, eso sumado con K2 y eso sumado con menos 4K3. Directamente ponemos menos 4K3. Vamos con la tercera componente, será menos 7K1, eso sumado con más 2K2 y eso sumado con menos 5K3. Allí tenemos entonces la suma de esos tres vectores. Ahora lo que hacemos es aplicar la igualdad de vectores. Tenemos allí dos vectores en R3 o en el espacio. Entonces vamos a igualar sus componentes respectivas. Comenzamos con esta, es decir, K1 más K2 más K3 y esto lo igualamos con 2. Sería la igualdad de componentes en X. Vamos ahora con la segunda componente, tenemos 5K1 aquí más K2, después menos 4K3 y esto lo igualamos con 1. Allí tenemos la igualdad de componentes en Y. Ahora igualamos la tercera componente, tenemos menos 7K1, luego más 2K2, después menos 5K3 y todo esto lo igualamos con 3. Allí tenemos la igualdad de componentes en Z. De esta manera llegamos a un sistema de 3x3 que vamos a resolver a continuación. Vamos a resolver este sistema de 3x3, es decir, de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas utilizando el método de Gauss. Como podemos ver, en esas ecuaciones las incógnitas que son K1, K2 y K3 se encuentran ya organizadas. Entonces comenzamos por armar lo que se llama la matriz de coeficientes. Tenemos que en la primera ecuación los coeficientes de las incógnitas son 1. Entonces allí tendremos la primera fila de la matriz de coeficientes. Vamos ahora con la segunda ecuación, los coeficientes son 5, 1 y menos 4. Entonces anotamos esos números, allí están los coeficientes de la segunda ecuación y vamos con la tercera. Los coeficientes son menos 7, 2 y menos 5. Entonces anotamos esos números y allí tenemos la matriz de coeficientes. A esa matriz le aumentamos una columna que es la que conforman estos elementos. Los que tenemos después del signo igual en cada una de las ecuaciones. Para mayor seguridad vamos a colocarle a estas columnas los encabezados que corresponden a las incógnitas del sistema de ecuaciones. K1, K2 y K3. Y las filas son las ecuaciones. Tenemos entonces fila o renglón 1, fila o renglón 2 y la fila o renglón 3. Ahora sí vamos a iniciar el método de Gauss, que consiste en convertir esta matriz en triangular superior. Eso quiere decir que los elementos que están por debajo de la diagonal principal, es decir estos tres elementos, debemos convertirlos en ceros. Comenzamos entonces buscando cero en esta celda, la que corresponde a la fila 3 columna 1. Para ello podemos apoyarnos en este elemento, es decir utilizamos el renglón 1. Si multiplicamos esto por 7 y sumamos con este elemento allí obtendremos el cero. Entonces vamos a escribir por acá la operación en la fila destino que es la fila o renglón 3. La operación que vamos a hacer es multiplicar esto por 7, es decir 7 veces el renglón 1. Y eso lo vamos a sumar con lo que tenemos en el renglón 3. Y el resultado de esa operación lo anotamos en el nuevo renglón 3. Entonces nos queda de la siguiente manera, 7 por 1 nos da 7, 7 sumado con menos 7 nos da cero. 7 multiplicado por 1 es 7, 7 sumado con 2 nos da 9. Acá 7 por 1 es 7, sumado con menos 5 nos da 2. Y acá 7 por 2 es 14, 14 sumado con 3 nos da 17. Ahora en este mismo paso podemos buscar el cero que va en esta celda, la que corresponde a la fila 2 columna 1. También podemos apoyarnos en este elemento, es decir trabajando con el renglón 1. Si multiplicamos esto por menos 5 y sumamos con este número, allí obtendremos el cero. Entonces acá en la nueva fila 2 o renglón 2 anotamos la operación que se hace con estos renglones. Multiplicamos el renglón 1 por menos 5, es decir menos 5 R1. Y eso lo sumamos con lo que tenemos en el renglón 2. Veamos entonces, menos 5 por 1 nos da menos 5 sumado con 5 es cero. Allí conseguimos el objetivo de convertir esta celda en cero. Acá menos 5 por 1 es menos 5, sumado con 1 nos da menos 4. Acá 1 por menos 5 nos da menos 5, sumado con menos 4 es menos 9. Y acá 2 por menos 5 nos da menos 10, sumado con 1 es menos 9. Ahora el renglón 1 no sufre ninguna variación, entonces lo escribimos por acá. Es el que nos sirvió para obtener los dos primeros ceros, los que van en estas celdas. Nos queda por hallar el cero que va aquí, es decir en la celda que corresponde a la fila 3 columna 2. Para ello debemos trabajar necesariamente los renglones 2 y 3 para que no se dañen estos ceros que ya conseguimos. Entonces debemos ingeniarnos una operación con estos números de tal forma que al efectuar la suma nos de cero. Entonces hacemos lo siguiente, en la nueva fila destino que es la fila o renglón 3, vamos a multiplicar esto por 9 y esto por 4 y vamos a efectuar la suma. Entonces será 9 veces el renglón 2 más 4 veces el renglón 3. Como vimos ahora estas operaciones que hicimos para obtener estos ceros fueron relativamente sencillas. Se pueden hacer mentalmente sin ningún problema, pero esta operación hacerla mentalmente es un poco más arriesgado. Entonces se recomienda anotar por acá o en otro espacio los resultados de estas transformaciones que sufren los renglones 2 y 3 para después efectuar la suma. Veamos entonces, si multiplicamos por 9 los elementos del renglón 2 nos queda así, 9 por 0 es cero, 9 por menos 4 es menos 36, 9 por menos 9 nos da menos 81 y 9 por menos 9 también nos da menos 81. Digamos que acá tenemos 9 veces el renglón 2. Ahora vamos con 4 veces el renglón 3, vamos a anotar eso aquí debajo. Entonces tenemos 4 por 0, cero, 4 por 9, 36, 4 por 2 es 8 y 4 por 17 nos da 68. Ahora sí vamos a efectuar la suma de estas cantidades para dar cumplimiento a esta condición y los resultados se anotan en este renglón que es el renglón destino, el nuevo renglón 3. Tenemos cero más cero nos da cero, menos 36 más 36 es cero, menos 81 más 8 eso es menos 73. Y acá menos 81 más 68 eso nos da menos 13. Allí conseguimos entonces el objetivo de convertir en cero lo que teníamos en esta celda. Las otras filas o renglones se anotan tal como están, ya no presentan ningún cambio. Entonces de esa manera vamos consiguiendo el objetivo del método de Gauss que es obtener aquí una matriz triangular superior. Es decir que tenga ceros por debajo de la diagonal principal. Aquí vamos a colocar nuevamente los encabezados, las incógnitas K1, K2, K3 y para las filas o renglones los números de las ecuaciones. Entonces vamos a construir de nuevo esas tres ecuaciones comenzando por la número 3. Vamos a escribir eso por acá, comenzamos con la ecuación 3 que sería así. Cero por K1 es decir cero más cero por K2 que también nos da cero, menos 73 por K3, entonces menos 73 K3 igual a este número que es menos 13. Entonces eso es lo que nos indica el método de Gauss. Después de convertir esta matriz en triangular superior nos va a quedar fácil construir la ecuación inferior, en ese caso la número 3, para poder obtener así la primera incógnita que será K3 porque estos ceros nos eliminan estas dos incógnitas. Y allí despejamos K3, pasamos menos 73 al otro lado a dividir, nos queda menos 13 dividido entre menos 73 y allí podemos simplemente simplificar los signos. Menos con menos nos da más, esos dos números no se pueden simplificar y así obtenemos el valor de la primera incógnita. Ahora pasamos a la siguiente ecuación de abajo hacia arriba, es decir vamos a la ecuación número 2, vamos a construirla por acá. Entonces tendremos lo siguiente, cero por K1 eso nos da cero, menos cuatro por K2, después menos nueve por K3, igual a lo que tenemos acá que es menos nueve, pero ya conocemos el valor de K3. Entonces vamos a reemplazarlo, nos queda menos cuatro K2, menos nueve por el resultado de K3 que es 13 73 y todo esto igual a menos nueve. Vamos a continuar el desarrollo de esta ecuación por aquí, nos queda menos cuatro K2, aquí multiplicamos nueve por 13, eso es 117, y en el denominador aquí hay un 1, uno por 73 nos da 73 y todo esto igual a menos nueve. De allí vamos a despejar menos cuatro K2, es decir el término que contiene la incógnita nos queda menos nueve más 117 73, esta cantidad que está restando pasa al otro lado a sumar. Allí podemos resolver esta operación utilizando el truco o la técnica de la carita feliz, le colocamos uno como denominador a menos nueve. Entonces vamos a efectuar esa suma de fracciones heterogéneas o fracciones con distinto denominador. Acá tendremos menos nueve por 73 que es menos 657, después más uno por 117 que es 117 y abajo uno por 73 que nos da 73. Repetimos, es el truco o la técnica de la carita feliz para efectuar en este caso la suma de dos fracciones heterogéneas. Efectuamos ahora esta operación del numerador, nos queda menos cuatro K2 igual a menos 657 más 117, eso nos da menos 540 y esto queda sobre 73. Para encontrar el valor de K2 necesitamos deshacernos de este número que la acompaña, de este menos cuatro. Para ello podemos multiplicar ambos lados de la igualdad por menos un cuarto, es decir por el recíproco de menos cuatro. Entonces nos queda menos un cuarto por menos cuatro K2 igual a menos un cuarto por menos 540 73. Y vamos a resolver a cada lado, acá menos un cuarto por menos cuatro eso nos da uno positivo, nos queda uno acompañando a K2, vamos a escribir eso por acá. K2 será igual y acá también resolvemos, menos por menos nos da más, esto nos va a dar como resultado una fracción positiva. Y allí podemos simplificar 540 y cuatro, podemos sacar mitad, mitad de cuatro nos da dos, mitad de 540 es 270, otra vez podemos simplificar mitad de dos nos da uno, mitad de 270 es 135. Allí no se puede simplificar nada más, entonces nos queda en el numerador 135 y en el denominador 73. Anotamos este resultado por allá y construimos la ecuación número uno, la que nos queda faltando para poder averiguar el valor de la incógnita K1. Entonces será uno por K1 es decir K1 más uno por K2 es decir más K2 más uno por K3 o sea más K3 igual a dos, es decir la misma ecuación uno que nos daban al comienzo. Allí vamos a reemplazar entonces los valores que encontramos para K2 y K3, entonces K1 más el valor de K2 que es 135, 73 abos, más el valor de K3 que es 13, 73 abos y todo esto igual a dos. Allí podemos efectuar la suma de estas dos fracciones que son homogéneas, tienen el mismo denominador, entonces nos queda K1 más, conservamos el mismo denominador y efectuamos la suma de los numeradores, 135 más 13 es 148 y todo esto queda igualado a dos. De allí vamos a realizar el despeje de K1, entonces K1 es igual a dos menos 148, 73 abos, esta cantidad que está sumando pasa al otro lado a restar. Nuevamente podemos efectuar esta resta de fracciones heterogéneas utilizando el truco o la técnica de la carita feliz, entonces veamos, en el numerador tendremos 2 por 73 que eso nos da 146 menos 1 por 148, 148 y en el denominador 1 por 73 que es 73. Efectuamos la operación del numerador y eso nos da menos 2, nos queda entonces menos 2, 73 abos. Anotamos este resultado por allá y de esta manera terminamos, hemos encontrado los valores de las incógnitas K1, K2 y K3 que satisfacen este sistema de ecuaciones lineales de 3 por 3. Como vimos se utilizó el método de Gauss y podemos decir también que se trata de un sistema con solución única. Entonces como existen los escalares K1, K2 y K3 vemos que son números reales, podemos dar por demostrado que este vector es combinación lineal de estos tres vectores y eso para finalizar se puede escribir así. El vector V es igual a K1 que es menos 2, 73 abos por el vector V1 más K2 que nos dio 135, 73 abos por el vector V2 más K3 que nos dio 13, 73 abos y esto por el vector V3. Así terminamos este ejercicio. Música

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Vamos con el \u00faltimo que ser\u00e1 K3 por 1, o sea K3, K3 por menos 4, menos 4K3 y K3 por menos 5, es decir, menos 5K3."}, {"start": 180.0, "end": 184.0, "text": " Ahora vamos a efectuar la suma de estos tres vectores."}, {"start": 184.0, "end": 189.0, "text": " Recordemos que se suman sus componentes respectivas."}, {"start": 189.0, "end": 200.0, "text": " Entonces veamos, tenemos K1 sumado con K2 y sumado con K3."}, {"start": 200.0, "end": 206.0, "text": " All\u00ed tenemos la primera componente del vector resultante de esta suma."}, {"start": 206.0, "end": 216.0, "text": " Vamos con la siguiente componente, 5K1, eso sumado con K2 y eso sumado con menos 4K3."}, {"start": 216.0, "end": 219.0, "text": " Directamente ponemos menos 4K3."}, {"start": 219.0, "end": 231.0, "text": " Vamos con la tercera componente, ser\u00e1 menos 7K1, eso sumado con m\u00e1s 2K2 y eso sumado con menos 5K3."}, {"start": 231.0, "end": 236.0, "text": " All\u00ed tenemos entonces la suma de esos tres vectores."}, {"start": 236.0, "end": 240.0, "text": " Ahora lo que hacemos es aplicar la igualdad de vectores."}, {"start": 240.0, "end": 244.0, "text": " Tenemos all\u00ed dos vectores en R3 o en el espacio."}, {"start": 244.0, "end": 247.0, "text": " Entonces vamos a igualar sus componentes respectivas."}, {"start": 247.0, "end": 256.0, "text": " Comenzamos con esta, es decir, K1 m\u00e1s K2 m\u00e1s K3 y esto lo igualamos con 2."}, {"start": 256.0, "end": 259.0, "text": " Ser\u00eda la igualdad de componentes en X."}, {"start": 259.0, "end": 273.0, "text": " Vamos ahora con la segunda componente, tenemos 5K1 aqu\u00ed m\u00e1s K2, despu\u00e9s menos 4K3 y esto lo igualamos con 1."}, {"start": 273.0, "end": 277.0, "text": " All\u00ed tenemos la igualdad de componentes en Y."}, {"start": 277.0, "end": 294.0, "text": " Ahora igualamos la tercera componente, tenemos menos 7K1, luego m\u00e1s 2K2, despu\u00e9s menos 5K3 y todo esto lo igualamos con 3."}, {"start": 294.0, "end": 298.0, "text": " All\u00ed tenemos la igualdad de componentes en Z."}, {"start": 298.0, "end": 304.0, "text": " De esta manera llegamos a un sistema de 3x3 que vamos a resolver a continuaci\u00f3n."}, {"start": 304.0, "end": 314.0, "text": " Vamos a resolver este sistema de 3x3, es decir, de tres ecuaciones lineales con tres inc\u00f3gnitas utilizando el m\u00e9todo de Gauss."}, {"start": 314.0, "end": 322.0, "text": " Como podemos ver, en esas ecuaciones las inc\u00f3gnitas que son K1, K2 y K3 se encuentran ya organizadas."}, {"start": 322.0, "end": 328.0, "text": " Entonces comenzamos por armar lo que se llama la matriz de coeficientes."}, {"start": 328.0, "end": 333.0, "text": " Tenemos que en la primera ecuaci\u00f3n los coeficientes de las inc\u00f3gnitas son 1."}, {"start": 333.0, "end": 340.0, "text": " Entonces all\u00ed tendremos la primera fila de la matriz de coeficientes."}, {"start": 340.0, "end": 347.0, "text": " Vamos ahora con la segunda ecuaci\u00f3n, los coeficientes son 5, 1 y menos 4."}, {"start": 347.0, "end": 356.0, "text": " Entonces anotamos esos n\u00fameros, all\u00ed est\u00e1n los coeficientes de la segunda ecuaci\u00f3n y vamos con la tercera."}, {"start": 356.0, "end": 360.0, "text": " Los coeficientes son menos 7, 2 y menos 5."}, {"start": 360.0, "end": 367.0, "text": " Entonces anotamos esos n\u00fameros y all\u00ed tenemos la matriz de coeficientes."}, {"start": 367.0, "end": 373.0, "text": " A esa matriz le aumentamos una columna que es la que conforman estos elementos."}, {"start": 373.0, "end": 379.0, "text": " Los que tenemos despu\u00e9s del signo igual en cada una de las ecuaciones."}, {"start": 379.0, "end": 389.0, "text": " Para mayor seguridad vamos a colocarle a estas columnas los encabezados que corresponden a las inc\u00f3gnitas del sistema de ecuaciones."}, {"start": 389.0, "end": 391.0, "text": " K1, K2 y K3."}, {"start": 391.0, "end": 394.0, "text": " Y las filas son las ecuaciones."}, {"start": 394.0, "end": 402.0, "text": " Tenemos entonces fila o rengl\u00f3n 1, fila o rengl\u00f3n 2 y la fila o rengl\u00f3n 3."}, {"start": 402.0, "end": 410.0, "text": " Ahora s\u00ed vamos a iniciar el m\u00e9todo de Gauss, que consiste en convertir esta matriz en triangular superior."}, {"start": 410.0, "end": 420.0, "text": " Eso quiere decir que los elementos que est\u00e1n por debajo de la diagonal principal, es decir estos tres elementos, debemos convertirlos en ceros."}, {"start": 420.0, "end": 427.0, "text": " Comenzamos entonces buscando cero en esta celda, la que corresponde a la fila 3 columna 1."}, {"start": 427.0, "end": 433.0, "text": " Para ello podemos apoyarnos en este elemento, es decir utilizamos el rengl\u00f3n 1."}, {"start": 433.0, "end": 439.0, "text": " Si multiplicamos esto por 7 y sumamos con este elemento all\u00ed obtendremos el cero."}, {"start": 439.0, "end": 447.0, "text": " Entonces vamos a escribir por ac\u00e1 la operaci\u00f3n en la fila destino que es la fila o rengl\u00f3n 3."}, {"start": 447.0, "end": 454.0, "text": " La operaci\u00f3n que vamos a hacer es multiplicar esto por 7, es decir 7 veces el rengl\u00f3n 1."}, {"start": 454.0, "end": 459.0, "text": " Y eso lo vamos a sumar con lo que tenemos en el rengl\u00f3n 3."}, {"start": 459.0, "end": 465.0, "text": " Y el resultado de esa operaci\u00f3n lo anotamos en el nuevo rengl\u00f3n 3."}, {"start": 465.0, "end": 472.0, "text": " Entonces nos queda de la siguiente manera, 7 por 1 nos da 7, 7 sumado con menos 7 nos da cero."}, {"start": 472.0, "end": 478.0, "text": " 7 multiplicado por 1 es 7, 7 sumado con 2 nos da 9."}, {"start": 478.0, "end": 489.0, "text": " Ac\u00e1 7 por 1 es 7, sumado con menos 5 nos da 2. Y ac\u00e1 7 por 2 es 14, 14 sumado con 3 nos da 17."}, {"start": 489.0, "end": 498.0, "text": " Ahora en este mismo paso podemos buscar el cero que va en esta celda, la que corresponde a la fila 2 columna 1."}, {"start": 498.0, "end": 503.0, "text": " Tambi\u00e9n podemos apoyarnos en este elemento, es decir trabajando con el rengl\u00f3n 1."}, {"start": 503.0, "end": 509.0, "text": " Si multiplicamos esto por menos 5 y sumamos con este n\u00famero, all\u00ed obtendremos el cero."}, {"start": 509.0, "end": 517.0, "text": " Entonces ac\u00e1 en la nueva fila 2 o rengl\u00f3n 2 anotamos la operaci\u00f3n que se hace con estos renglones."}, {"start": 517.0, "end": 523.0, "text": " Multiplicamos el rengl\u00f3n 1 por menos 5, es decir menos 5 R1."}, {"start": 523.0, "end": 528.0, "text": " Y eso lo sumamos con lo que tenemos en el rengl\u00f3n 2."}, {"start": 528.0, "end": 534.0, "text": " Veamos entonces, menos 5 por 1 nos da menos 5 sumado con 5 es cero."}, {"start": 534.0, "end": 538.0, "text": " All\u00ed conseguimos el objetivo de convertir esta celda en cero."}, {"start": 538.0, "end": 544.0, "text": " Ac\u00e1 menos 5 por 1 es menos 5, sumado con 1 nos da menos 4."}, {"start": 544.0, "end": 552.0, "text": " Ac\u00e1 1 por menos 5 nos da menos 5, sumado con menos 4 es menos 9."}, {"start": 552.0, "end": 559.0, "text": " Y ac\u00e1 2 por menos 5 nos da menos 10, sumado con 1 es menos 9."}, {"start": 559.0, "end": 565.0, "text": " Ahora el rengl\u00f3n 1 no sufre ninguna variaci\u00f3n, entonces lo escribimos por ac\u00e1."}, {"start": 565.0, "end": 574.0, "text": " Es el que nos sirvi\u00f3 para obtener los dos primeros ceros, los que van en estas celdas."}, {"start": 574.0, "end": 582.0, "text": " Nos queda por hallar el cero que va aqu\u00ed, es decir en la celda que corresponde a la fila 3 columna 2."}, {"start": 582.0, "end": 591.0, "text": " Para ello debemos trabajar necesariamente los renglones 2 y 3 para que no se da\u00f1en estos ceros que ya conseguimos."}, {"start": 591.0, "end": 599.0, "text": " Entonces debemos ingeniarnos una operaci\u00f3n con estos n\u00fameros de tal forma que al efectuar la suma nos de cero."}, {"start": 599.0, "end": 610.0, "text": " Entonces hacemos lo siguiente, en la nueva fila destino que es la fila o rengl\u00f3n 3, vamos a multiplicar esto por 9 y esto por 4 y vamos a efectuar la suma."}, {"start": 610.0, "end": 620.0, "text": " Entonces ser\u00e1 9 veces el rengl\u00f3n 2 m\u00e1s 4 veces el rengl\u00f3n 3."}, {"start": 620.0, "end": 627.0, "text": " Como vimos ahora estas operaciones que hicimos para obtener estos ceros fueron relativamente sencillas."}, {"start": 627.0, "end": 635.0, "text": " Se pueden hacer mentalmente sin ning\u00fan problema, pero esta operaci\u00f3n hacerla mentalmente es un poco m\u00e1s arriesgado."}, {"start": 635.0, "end": 648.0, "text": " Entonces se recomienda anotar por ac\u00e1 o en otro espacio los resultados de estas transformaciones que sufren los renglones 2 y 3 para despu\u00e9s efectuar la suma."}, {"start": 648.0, "end": 668.0, "text": " Veamos entonces, si multiplicamos por 9 los elementos del rengl\u00f3n 2 nos queda as\u00ed, 9 por 0 es cero, 9 por menos 4 es menos 36, 9 por menos 9 nos da menos 81 y 9 por menos 9 tambi\u00e9n nos da menos 81."}, {"start": 668.0, "end": 672.0, "text": " Digamos que ac\u00e1 tenemos 9 veces el rengl\u00f3n 2."}, {"start": 672.0, "end": 679.0, "text": " Ahora vamos con 4 veces el rengl\u00f3n 3, vamos a anotar eso aqu\u00ed debajo."}, {"start": 679.0, "end": 691.0, "text": " Entonces tenemos 4 por 0, cero, 4 por 9, 36, 4 por 2 es 8 y 4 por 17 nos da 68."}, {"start": 691.0, "end": 705.0, "text": " Ahora s\u00ed vamos a efectuar la suma de estas cantidades para dar cumplimiento a esta condici\u00f3n y los resultados se anotan en este rengl\u00f3n que es el rengl\u00f3n destino, el nuevo rengl\u00f3n 3."}, {"start": 705.0, "end": 716.0, "text": " Tenemos cero m\u00e1s cero nos da cero, menos 36 m\u00e1s 36 es cero, menos 81 m\u00e1s 8 eso es menos 73."}, {"start": 716.0, "end": 721.0, "text": " Y ac\u00e1 menos 81 m\u00e1s 68 eso nos da menos 13."}, {"start": 721.0, "end": 727.0, "text": " All\u00ed conseguimos entonces el objetivo de convertir en cero lo que ten\u00edamos en esta celda."}, {"start": 727.0, "end": 734.0, "text": " Las otras filas o renglones se anotan tal como est\u00e1n, ya no presentan ning\u00fan cambio."}, {"start": 734.0, "end": 745.0, "text": " Entonces de esa manera vamos consiguiendo el objetivo del m\u00e9todo de Gauss que es obtener aqu\u00ed una matriz triangular superior."}, {"start": 745.0, "end": 750.0, "text": " Es decir que tenga ceros por debajo de la diagonal principal."}, {"start": 750.0, "end": 763.0, "text": " Aqu\u00ed vamos a colocar nuevamente los encabezados, las inc\u00f3gnitas K1, K2, K3 y para las filas o renglones los n\u00fameros de las ecuaciones."}, {"start": 763.0, "end": 770.0, "text": " Entonces vamos a construir de nuevo esas tres ecuaciones comenzando por la n\u00famero 3."}, {"start": 770.0, "end": 776.0, "text": " Vamos a escribir eso por ac\u00e1, comenzamos con la ecuaci\u00f3n 3 que ser\u00eda as\u00ed."}, {"start": 776.0, "end": 791.0, "text": " Cero por K1 es decir cero m\u00e1s cero por K2 que tambi\u00e9n nos da cero, menos 73 por K3, entonces menos 73 K3 igual a este n\u00famero que es menos 13."}, {"start": 791.0, "end": 795.0, "text": " Entonces eso es lo que nos indica el m\u00e9todo de Gauss."}, {"start": 795.0, "end": 804.0, "text": " Despu\u00e9s de convertir esta matriz en triangular superior nos va a quedar f\u00e1cil construir la ecuaci\u00f3n inferior, en ese caso la n\u00famero 3,"}, {"start": 804.0, "end": 812.0, "text": " para poder obtener as\u00ed la primera inc\u00f3gnita que ser\u00e1 K3 porque estos ceros nos eliminan estas dos inc\u00f3gnitas."}, {"start": 812.0, "end": 825.0, "text": " Y all\u00ed despejamos K3, pasamos menos 73 al otro lado a dividir, nos queda menos 13 dividido entre menos 73 y all\u00ed podemos simplemente simplificar los signos."}, {"start": 825.0, "end": 834.0, "text": " Menos con menos nos da m\u00e1s, esos dos n\u00fameros no se pueden simplificar y as\u00ed obtenemos el valor de la primera inc\u00f3gnita."}, {"start": 834.0, "end": 845.0, "text": " Ahora pasamos a la siguiente ecuaci\u00f3n de abajo hacia arriba, es decir vamos a la ecuaci\u00f3n n\u00famero 2, vamos a construirla por ac\u00e1."}, {"start": 845.0, "end": 854.0, "text": " Entonces tendremos lo siguiente, cero por K1 eso nos da cero, menos cuatro por K2,"}, {"start": 854.0, "end": 867.0, "text": " despu\u00e9s menos nueve por K3, igual a lo que tenemos ac\u00e1 que es menos nueve, pero ya conocemos el valor de K3."}, {"start": 867.0, "end": 881.0, "text": " Entonces vamos a reemplazarlo, nos queda menos cuatro K2, menos nueve por el resultado de K3 que es 13 73 y todo esto igual a menos nueve."}, {"start": 881.0, "end": 895.0, "text": " Vamos a continuar el desarrollo de esta ecuaci\u00f3n por aqu\u00ed, nos queda menos cuatro K2, aqu\u00ed multiplicamos nueve por 13, eso es 117,"}, {"start": 895.0, "end": 904.0, "text": " y en el denominador aqu\u00ed hay un 1, uno por 73 nos da 73 y todo esto igual a menos nueve."}, {"start": 904.0, "end": 916.0, "text": " De all\u00ed vamos a despejar menos cuatro K2, es decir el t\u00e9rmino que contiene la inc\u00f3gnita nos queda menos nueve m\u00e1s 117 73,"}, {"start": 916.0, "end": 920.0, "text": " esta cantidad que est\u00e1 restando pasa al otro lado a sumar."}, {"start": 920.0, "end": 930.0, "text": " All\u00ed podemos resolver esta operaci\u00f3n utilizando el truco o la t\u00e9cnica de la carita feliz, le colocamos uno como denominador a menos nueve."}, {"start": 930.0, "end": 938.0, "text": " Entonces vamos a efectuar esa suma de fracciones heterog\u00e9neas o fracciones con distinto denominador."}, {"start": 938.0, "end": 952.0, "text": " Ac\u00e1 tendremos menos nueve por 73 que es menos 657, despu\u00e9s m\u00e1s uno por 117 que es 117 y abajo uno por 73 que nos da 73."}, {"start": 952.0, "end": 961.0, "text": " Repetimos, es el truco o la t\u00e9cnica de la carita feliz para efectuar en este caso la suma de dos fracciones heterog\u00e9neas."}, {"start": 961.0, "end": 976.0, "text": " Efectuamos ahora esta operaci\u00f3n del numerador, nos queda menos cuatro K2 igual a menos 657 m\u00e1s 117, eso nos da menos 540 y esto queda sobre 73."}, {"start": 976.0, "end": 984.0, "text": " Para encontrar el valor de K2 necesitamos deshacernos de este n\u00famero que la acompa\u00f1a, de este menos cuatro."}, {"start": 984.0, "end": 992.0, "text": " Para ello podemos multiplicar ambos lados de la igualdad por menos un cuarto, es decir por el rec\u00edproco de menos cuatro."}, {"start": 992.0, "end": 1005.0, "text": " Entonces nos queda menos un cuarto por menos cuatro K2 igual a menos un cuarto por menos 540 73."}, {"start": 1005.0, "end": 1017.0, "text": " Y vamos a resolver a cada lado, ac\u00e1 menos un cuarto por menos cuatro eso nos da uno positivo, nos queda uno acompa\u00f1ando a K2, vamos a escribir eso por ac\u00e1."}, {"start": 1017.0, "end": 1026.0, "text": " K2 ser\u00e1 igual y ac\u00e1 tambi\u00e9n resolvemos, menos por menos nos da m\u00e1s, esto nos va a dar como resultado una fracci\u00f3n positiva."}, {"start": 1026.0, "end": 1045.0, "text": " Y all\u00ed podemos simplificar 540 y cuatro, podemos sacar mitad, mitad de cuatro nos da dos, mitad de 540 es 270, otra vez podemos simplificar mitad de dos nos da uno, mitad de 270 es 135."}, {"start": 1045.0, "end": 1054.0, "text": " All\u00ed no se puede simplificar nada m\u00e1s, entonces nos queda en el numerador 135 y en el denominador 73."}, {"start": 1054.0, "end": 1067.0, "text": " Anotamos este resultado por all\u00e1 y construimos la ecuaci\u00f3n n\u00famero uno, la que nos queda faltando para poder averiguar el valor de la inc\u00f3gnita K1."}, {"start": 1067.0, "end": 1085.0, "text": " Entonces ser\u00e1 uno por K1 es decir K1 m\u00e1s uno por K2 es decir m\u00e1s K2 m\u00e1s uno por K3 o sea m\u00e1s K3 igual a dos, es decir la misma ecuaci\u00f3n uno que nos daban al comienzo."}, {"start": 1085.0, "end": 1106.0, "text": " All\u00ed vamos a reemplazar entonces los valores que encontramos para K2 y K3, entonces K1 m\u00e1s el valor de K2 que es 135, 73 abos, m\u00e1s el valor de K3 que es 13, 73 abos y todo esto igual a dos."}, {"start": 1106.0, "end": 1129.0, "text": " All\u00ed podemos efectuar la suma de estas dos fracciones que son homog\u00e9neas, tienen el mismo denominador, entonces nos queda K1 m\u00e1s, conservamos el mismo denominador y efectuamos la suma de los numeradores, 135 m\u00e1s 13 es 148 y todo esto queda igualado a dos."}, {"start": 1129.0, "end": 1144.0, "text": " De all\u00ed vamos a realizar el despeje de K1, entonces K1 es igual a dos menos 148, 73 abos, esta cantidad que est\u00e1 sumando pasa al otro lado a restar."}, {"start": 1144.0, "end": 1169.0, "text": " Nuevamente podemos efectuar esta resta de fracciones heterog\u00e9neas utilizando el truco o la t\u00e9cnica de la carita feliz, entonces veamos, en el numerador tendremos 2 por 73 que eso nos da 146 menos 1 por 148, 148 y en el denominador 1 por 73 que es 73."}, {"start": 1169.0, "end": 1177.0, "text": " Efectuamos la operaci\u00f3n del numerador y eso nos da menos 2, nos queda entonces menos 2, 73 abos."}, {"start": 1177.0, "end": 1191.0, "text": " Anotamos este resultado por all\u00e1 y de esta manera terminamos, hemos encontrado los valores de las inc\u00f3gnitas K1, K2 y K3 que satisfacen este sistema de ecuaciones lineales de 3 por 3."}, {"start": 1191.0, "end": 1200.0, "text": " Como vimos se utiliz\u00f3 el m\u00e9todo de Gauss y podemos decir tambi\u00e9n que se trata de un sistema con soluci\u00f3n \u00fanica."}, {"start": 1200.0, "end": 1218.0, "text": " Entonces como existen los escalares K1, K2 y K3 vemos que son n\u00fameros reales, podemos dar por demostrado que este vector es combinaci\u00f3n lineal de estos tres vectores y eso para finalizar se puede escribir as\u00ed."}, {"start": 1218.0, "end": 1245.0, "text": " El vector V es igual a K1 que es menos 2, 73 abos por el vector V1 m\u00e1s K2 que nos dio 135, 73 abos por el vector V2 m\u00e1s K3 que nos dio 13, 73 abos y esto por el vector V3. As\u00ed terminamos este ejercicio."}, {"start": 1248.0, "end": 1269.0, "text": " M\u00fasica"}]

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PRODUCTOS NOTABLES: BINOMIO AL CUBO (Ejercicio 4)

#julioprofe explica cómo aplicar el Producto Notable llamado Binomio al Cubo. Tema: #ProductosNotables → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGZ0Uc88U7suZlA784fjzzj REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a efectuar el desarrollo o la expansión de este binomio al cubo utilizando el producto notable que lleva ese mismo nombre. Si tenemos un binomio de la forma a-b y todo esto está elevado al cubo, es decir al exponente 3, entonces su desarrollo o expansión es el siguiente, el primer termino al cubo menos tres veces el primer termino al cuadrado por el segundo más tres veces el primer termino por el segundo elevado al cuadrado menos el segundo termino elevado al cubo. Entonces para desarrollar con mayor seguridad ese binomio al cubo vamos a construir esta expresión cambiando las letras a y b por paréntesis, entonces nos queda así, paréntesis al cubo, allí tenemos el primer termino menos tres veces por el paréntesis al cuadrado por el otro paréntesis, allí tenemos este termino, después más tres por el lugar de a y el lugar de b al cuadrado menos vamos con el último termino que es ese paréntesis al cubo. Como se observa a está representada por el termino 2p al cubo, entonces vamos a llenar los espacios que corresponden a la letra a, tenemos allí 2p al cubo por aquí también y en este lugar, ahora b está representada por 7p a la 4, eso hace el papel de b sin considerar el signo menos, entonces en estos espacios vamos a escribir 7p a la 4 que es lo que corresponde a la letra b, lo que hacemos enseguida es desarrollar con cuidado cada una de las operaciones que tenemos en esos cuatro términos, comenzamos entonces con lo que hay en el primero, allí tenemos un producto de cantidades y eso está elevado al cubo, aplicamos entonces esta propiedad de la potenciación donde el exponente se reparte para cada uno de los factores que tenemos en la base, entonces aquí tendremos 2 al cubo por p al cubo y esto elevado al cubo menos aquí tenemos la misma situación 2 por p al cubo eso está elevado al cuadrado, entonces nos queda 3 por 2 al cuadrado por entre paréntesis p al cubo y eso elevado al cuadrado, aplicamos esta propiedad y esto multiplicado por 7p a la 4 y ahí podemos ya quitar el paréntesis, continuamos con el otro término donde tenemos más 3 por 2p al cubo, también podemos retirar ese paréntesis y aquí 7 por p a la 4 todo eso al cuadrado, entonces aplicamos esa propiedad, nos queda 7 al cuadrado por p a la 4 entre paréntesis al cuadrado y en el último término también aplicamos esa propiedad, nos quedaría 7 al cubo por p a la 4 entre paréntesis y eso elevado al cubo. Seguimos con el desarrollo de las operaciones, tenemos 2 al cubo que nos da 8, aquí tenemos otra situación que se resuelve con esta propiedad de la potenciación, si tenemos una potencia elevada a otro exponente conservamos la base y multiplicamos los exponentes, entonces nos queda p y el exponente será 3 por 3 que nos da 9 menos 3 por 2 al cuadrado que nos da 4, aquí p al cubo y eso elevado al cuadrado se resuelve con esta propiedad, nos queda p a la 3 por 2 que es 6 y eso multiplicado por 7 p a la 4, esto más 3 por 2 p al cubo por 7 al cuadrado que nos da 49 y aquí nuevamente se aplica esa propiedad, conservamos la base que es p y multiplicamos los exponentes, 4 por 2 nos da 8, esto menos 7 al cubo 7 por 7 por 7 que nos da 343 y esto multiplicado por p a la 4 por 3 que nos da 12. Continuamos con el desarrollo del ejercicio, el primer termino entonces nos queda 8 p a la 9, después tenemos menos, aquí 3 por 4 nos da 12, 12 por 7 es 84 y tenemos p a la 6 por p a la 8, allá aplicamos otra propiedad de la potenciación, si tenemos un producto de potencias de la misma base conservamos la base y sumamos los exponentes, entonces tendremos p conservamos la base y sumamos los exponentes, 6 más 4 nos da 10, vamos al otro termino, más 3 por 2 nos da 6, 6 por 49 nos da 294 y tenemos p a la 3 por p a la 8, conservamos la base y sumamos los exponentes, aplicamos esa propiedad, 3 más 8 nos da 11 y después tenemos menos, 343 que está acompañado de p a la 12. De esta manera terminamos, allí no hay nada más por realizar, esta expresión de 4 términos es entonces el desarrollo o la expansión de ese pino mío al cubo.

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48. MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS (Ejercicio 4)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 48: Movimientos Rectilíneos (Ejercicio 4). Cuando la luz del semáforo cambia a verde, un motociclista inicia su marcha con aceleración constante de 2 m/s². Justo en ese momento, un camión que marcha con velocidad constante de 15 m/s pasa al motociclista. a) ¿A qué distancia del semáforo el motociclista alcanza al camión? b) ¿Qué velocidad (en km/h) tendrá el motociclista en ese instante? Tema: Estudio de diversos movimientos. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

En este problema vamos a considerar como sistema de referencia el eje X en metros. Vamos a trabajar sobre esa recta los movimientos de los dos vehículos. Entonces vamos a establecer como origen el sitio donde se encuentra el semáforo porque es allí donde empiezan a moverse la motocicleta y el camión. Vamos a considerar los dos vehículos como objetos puntuales. Este punto rojo representa la motocicleta en el punto de partida y este punto azul representa el camión. Ambos parten del origen. Para la motocicleta tenemos un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Veamos los datos. Se mueve con aceleración igual a 2 metros sobre segundo cuadrado. Parte del reposo es decir su velocidad inicial es cero y su posición inicial es decir en el tiempo cero vale cero. Si porque parte del origen. Entonces vamos a conformar la ecuación de posición para la motocicleta. Tomamos este modelo y vamos a escribirla así. Xm es decir posición de la motocicleta es igual a un medio por la aceleración que es 2 por el tiempo al cuadrado más la velocidad inicial es cero más la posición inicial que también vale cero. Simplificando todo esto nos queda que la posición de la motocicleta es igual a t al cuadrado. Si tenemos que esto se va y aquí un medio por 2 nos da 1. Por lo tanto tenemos esta primera expresión que es la posición de la motocicleta. Si derivamos esta ecuación es decir derivamos la posición de la motocicleta con respecto al tiempo vamos a obtener la expresión para la velocidad de la motocicleta. Recordemos que la velocidad es la derivada de la posición por lo tanto la velocidad de la motocicleta será igual a la derivada de t al cuadrado que es 2t y tenemos la expresión número 2. La expresión para la velocidad de la motocicleta en cualquier instante. Escribimos estas dos expresiones por acá y vamos ahora con el camión. Para el camión tenemos un movimiento rectilíneo uniforme. El se está moviendo con una velocidad constante de 15 metros por segundo. Por lo tanto su ecuación de posición sigue este modelo. Vamos a reemplazar entonces. Vamos a llamar xc la posición del camión. Su velocidad es 15 positiva porque va hacia la derecha por t más la posición inicial del camión es decir 0. Así la que tiene en el instante t igual a 0. Todo esto es lo que ocurre al inicio del movimiento es decir en t igual a 0. Tenemos entonces posición del camión igual a 15t y esta se convierte en la expresión número 3. La escribimos por acá y a continuación vamos a mirar lo siguiente. Los dos móviles parten del mismo sitio el camión se le adelanta a la motocicleta. Es decir digamos que en un instante posterior a 0 el camión va por aquí y la motocicleta va un poco más atrás mientras ella empieza a ganar velocidad. Pero como la motocicleta presenta movimiento rectilíneo uniformemente acelerada va a llegar un momento en que alcanza nuevamente al camión y eso es lo que queremos determinar. Donde ocurre ese encuentro es decir cuál sería el valor de esta posición donde se presenta el encuentro de los dos móviles. Entonces el encuentro ocurre cuando la posición de la motocicleta sea igual a la posición del camión. Entonces vamos a sustituir ambas variables por sus expresiones equivalentes. xm vale t cuadrado y xc vale 15t y se nos forma una ecuación cuadrática. Vamos a resolverla igualándola a 0. Pasamos este término para la izquierda sigamos por acá. Esto lo podemos resolver por factorización sacamos factor como un t que es factor de t menos 15 y todo esto igual a 0. Y aquí aplicamos el teorema del factor nulo si dos expresiones se están multiplicando y eso está igualado a 0 cada una de ellas se debe igualar a 0. Entonces tenemos t igual a 0 o t menos 15 igual a 0. Por aquí despejamos t y nos da 15. Como es un tiempo va en segundos. Entonces tenemos dos soluciones para la ecuación cuadrática t igual a 0 que es el momento donde coinciden los dos móviles es decir al inicio y t igual a 15 segundos que es aquí. Es decir el encuentro ocurre a los 15 segundos de haberse iniciado el movimiento. Para determinar entonces la posición donde se encuentran los dos móviles es decir donde el motociclista alcanza al camión. Entonces simplemente reemplazamos t igual a 15 en cualquiera de las dos expresiones que tenemos para la posición de los vehículos. Vamos a reemplazarlo en la primera ecuación. Calculamos xm cuando t vale 15 entonces nos queda 15 al cuadrado y eso nos da 225 metros. Entonces respondemos de esta manera la pregunta A. El motociclista alcanza al camión 225 metros más adelante del semáforo. En la parte B nos preguntan que velocidad tiene el motociclista en este instante. Es decir vamos a utilizar esta ecuación. Entonces en la expresión 2 calculamos la velocidad del motociclista cuando t es igual a 15 nos queda 2 por 15 y eso nos da 30 en unidades metros por segundo. Pero el problema nos pregunta esta velocidad en kilómetros por hora. Entonces hacemos la conversión de metros a kilómetros y de segundos a horas. Un kilómetro tiene 1000 metros y una hora son 3600 segundos. Allí podemos deshacernos de los segundos y de los metros. Efectuando la operación numérica es decir 30 por 3600 dividido entre 1000. Todo eso nos da como resultado 108 y queda en kilómetros por hora. Entonces esta es la respuesta a la pregunta B y es la velocidad de la motocicleta en este instante es decir cuando alcanza al camión. Como anterior podríamos llevarlo a una gráfica posición contra tiempo. Posición en metros tiempo en segundos y vemos en color rojo la gráfica de posición de la motocicleta. Es una función cuadrática porque te está al cuadrado por lo tanto su gráfica es una paraula que es cóncava hacia arriba. Eso nos indica que se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Allí vemos los puntos cuando te vale 0, cuando te vale 5, cuando te vale 25, cuando te vale 10, cuando te vale 100, cuando te vale 15, cuando te vale 225 y allí tenemos la parábola en color rojo. De manera similar hacemos la gráfica de la posición del camión que es una línea recta. Si cuando te vale 0, cuando te vale 5, cuando te vale 10 nos queda 150 y cuando te vale 15 nos da 225. Por lo tanto se aprecia claramente el momento del encuentro de los dos móviles que ocurre a los 15 segundos y en la posición 225, es decir 225 metros más adelante de la posición 0 que fue el punto de partida, es decir donde estaba el semáforo.

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cuadrado que es 2t y tenemos la expresi\u00f3n"}, {"start": 159.96, "end": 161.68, "text": " n\u00famero 2."}, {"start": 161.68, "end": 167.0, "text": " La expresi\u00f3n para la velocidad de la motocicleta en cualquier instante."}, {"start": 167.0, "end": 174.64000000000001, "text": " Escribimos estas dos expresiones por ac\u00e1 y vamos ahora con el cami\u00f3n."}, {"start": 174.64000000000001, "end": 179.64000000000001, "text": " Para el cami\u00f3n tenemos un movimiento rectil\u00edneo uniforme."}, {"start": 179.64, "end": 186.16, "text": " El se est\u00e1 moviendo con una velocidad constante de 15 metros por segundo."}, {"start": 186.16, "end": 191.23999999999998, "text": " Por lo tanto su ecuaci\u00f3n de posici\u00f3n sigue este modelo."}, {"start": 191.23999999999998, "end": 193.32, "text": " Vamos a reemplazar entonces."}, {"start": 193.32, "end": 197.0, "text": " Vamos a llamar xc la posici\u00f3n del cami\u00f3n."}, {"start": 197.0, "end": 204.56, "text": " Su velocidad es 15 positiva porque va hacia la derecha por t m\u00e1s la posici\u00f3n inicial"}, {"start": 204.56, "end": 207.07999999999998, "text": " del cami\u00f3n es decir 0."}, {"start": 207.08, "end": 210.8, "text": " As\u00ed la que tiene en el instante t igual a 0."}, {"start": 210.8, "end": 216.44, "text": " Todo esto es lo que ocurre al inicio del movimiento es decir en t igual a 0."}, {"start": 216.44, "end": 224.4, "text": " Tenemos entonces posici\u00f3n del cami\u00f3n igual a 15t y esta se convierte en la expresi\u00f3n"}, {"start": 224.4, "end": 226.56, "text": " n\u00famero 3."}, {"start": 226.56, "end": 231.88000000000002, "text": " La escribimos por ac\u00e1 y a continuaci\u00f3n vamos a mirar lo siguiente."}, {"start": 231.88, "end": 238.68, "text": " Los dos m\u00f3viles parten del mismo sitio el cami\u00f3n se le adelanta a la motocicleta."}, {"start": 238.68, "end": 245.72, "text": " Es decir digamos que en un instante posterior a 0 el cami\u00f3n va por aqu\u00ed y la motocicleta"}, {"start": 245.72, "end": 251.0, "text": " va un poco m\u00e1s atr\u00e1s mientras ella empieza a ganar velocidad."}, {"start": 251.0, "end": 257.71999999999997, "text": " Pero como la motocicleta presenta movimiento rectil\u00edneo uniformemente acelerada va a llegar"}, {"start": 257.72, "end": 266.32000000000005, "text": " un momento en que alcanza nuevamente al cami\u00f3n y eso es lo que queremos determinar."}, {"start": 266.32000000000005, "end": 274.28000000000003, "text": " Donde ocurre ese encuentro es decir cu\u00e1l ser\u00eda el valor de esta posici\u00f3n donde se"}, {"start": 274.28000000000003, "end": 279.44000000000005, "text": " presenta el encuentro de los dos m\u00f3viles."}, {"start": 279.44000000000005, "end": 286.6, "text": " Entonces el encuentro ocurre cuando la posici\u00f3n de la motocicleta sea igual a la posici\u00f3n"}, {"start": 286.6, "end": 288.40000000000003, "text": " del cami\u00f3n."}, {"start": 288.40000000000003, "end": 294.56, "text": " Entonces vamos a sustituir ambas variables por sus expresiones equivalentes."}, {"start": 294.56, "end": 304.20000000000005, "text": " xm vale t cuadrado y xc vale 15t y se nos forma una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 304.20000000000005, "end": 309.08000000000004, "text": " Vamos a resolverla igual\u00e1ndola a 0."}, {"start": 309.08000000000004, "end": 312.84000000000003, "text": " Pasamos este t\u00e9rmino para la izquierda sigamos por ac\u00e1."}, {"start": 312.84, "end": 318.91999999999996, "text": " Esto lo podemos resolver por factorizaci\u00f3n sacamos factor como un t que es factor de"}, {"start": 318.91999999999996, "end": 322.91999999999996, "text": " t menos 15 y todo esto igual a 0."}, {"start": 322.91999999999996, "end": 328.56, "text": " Y aqu\u00ed aplicamos el teorema del factor nulo si dos expresiones se est\u00e1n multiplicando"}, {"start": 328.56, "end": 334.12, "text": " y eso est\u00e1 igualado a 0 cada una de ellas se debe igualar a 0."}, {"start": 334.12, "end": 340.32, "text": " Entonces tenemos t igual a 0 o t menos 15 igual a 0."}, {"start": 340.32, "end": 343.92, "text": " Por aqu\u00ed despejamos t y nos da 15."}, {"start": 343.92, "end": 346.59999999999997, "text": " Como es un tiempo va en segundos."}, {"start": 346.59999999999997, "end": 352.0, "text": " Entonces tenemos dos soluciones para la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica t igual a 0 que es el momento"}, {"start": 352.0, "end": 360.71999999999997, "text": " donde coinciden los dos m\u00f3viles es decir al inicio y t igual a 15 segundos que es aqu\u00ed."}, {"start": 360.71999999999997, "end": 368.28, "text": " Es decir el encuentro ocurre a los 15 segundos de haberse iniciado el movimiento."}, {"start": 368.28, "end": 375.03999999999996, "text": " Para determinar entonces la posici\u00f3n donde se encuentran los dos m\u00f3viles es decir donde"}, {"start": 375.03999999999996, "end": 378.55999999999995, "text": " el motociclista alcanza al cami\u00f3n."}, {"start": 378.55999999999995, "end": 384.0, "text": " Entonces simplemente reemplazamos t igual a 15 en cualquiera de las dos expresiones que"}, {"start": 384.0, "end": 386.59999999999997, "text": " tenemos para la posici\u00f3n de los veh\u00edculos."}, {"start": 386.59999999999997, "end": 390.0, "text": " Vamos a reemplazarlo en la primera ecuaci\u00f3n."}, {"start": 390.0, "end": 402.2, "text": " Calculamos xm cuando t vale 15 entonces nos queda 15 al cuadrado y eso nos da 225 metros."}, {"start": 402.2, "end": 407.48, "text": " Entonces respondemos de esta manera la pregunta A."}, {"start": 407.48, "end": 416.44, "text": " El motociclista alcanza al cami\u00f3n 225 metros m\u00e1s adelante del sem\u00e1foro."}, {"start": 416.44, "end": 422.32, "text": " En la parte B nos preguntan que velocidad tiene el motociclista en este instante."}, {"start": 422.32, "end": 425.32, "text": " Es decir vamos a utilizar esta ecuaci\u00f3n."}, {"start": 425.32, "end": 431.48, "text": " Entonces en la expresi\u00f3n 2 calculamos la velocidad del motociclista cuando t es igual"}, {"start": 431.48, "end": 440.68, "text": " a 15 nos queda 2 por 15 y eso nos da 30 en unidades metros por segundo."}, {"start": 440.68, "end": 445.76, "text": " Pero el problema nos pregunta esta velocidad en kil\u00f3metros por hora."}, {"start": 445.76, "end": 453.2, "text": " Entonces hacemos la conversi\u00f3n de metros a kil\u00f3metros y de segundos a horas."}, {"start": 453.2, "end": 460.44, "text": " Un kil\u00f3metro tiene 1000 metros y una hora son 3600 segundos."}, {"start": 460.44, "end": 466.84, "text": " All\u00ed podemos deshacernos de los segundos y de los metros."}, {"start": 466.84, "end": 476.4, "text": " Efectuando la operaci\u00f3n num\u00e9rica es decir 30 por 3600 dividido entre 1000."}, {"start": 476.4, "end": 482.32, "text": " Todo eso nos da como resultado 108 y queda en kil\u00f3metros por hora."}, {"start": 482.32, "end": 492.28, "text": " Entonces esta es la respuesta a la pregunta B y es la velocidad de la motocicleta en este"}, {"start": 492.28, "end": 496.2, "text": " instante es decir cuando alcanza al cami\u00f3n."}, {"start": 496.2, "end": 502.08, "text": " Como anterior podr\u00edamos llevarlo a una gr\u00e1fica posici\u00f3n contra tiempo."}, {"start": 502.08, "end": 508.59999999999997, "text": " Posici\u00f3n en metros tiempo en segundos y vemos en color rojo la gr\u00e1fica de posici\u00f3n de"}, {"start": 508.59999999999997, "end": 509.96, "text": " la motocicleta."}, {"start": 509.96, "end": 515.0, "text": " Es una funci\u00f3n cuadr\u00e1tica porque te est\u00e1 al cuadrado por lo tanto su gr\u00e1fica es una"}, {"start": 515.0, "end": 518.92, "text": " paraula que es c\u00f3ncava hacia arriba."}, {"start": 518.92, "end": 524.48, "text": " Eso nos indica que se trata de un movimiento rectil\u00edneo uniformemente acelerado."}, {"start": 524.48, "end": 532.28, "text": " All\u00ed vemos los puntos cuando te vale 0, cuando te vale 5, cuando te vale 25, cuando te vale"}, {"start": 532.28, "end": 541.0, "text": " 10, cuando te vale 100, cuando te vale 15, cuando te vale 225 y all\u00ed tenemos la par\u00e1bola"}, {"start": 541.0, "end": 542.6800000000001, "text": " en color rojo."}, {"start": 542.6800000000001, "end": 548.0, "text": " De manera similar hacemos la gr\u00e1fica de la posici\u00f3n del cami\u00f3n que es una l\u00ednea recta."}, {"start": 548.0, "end": 560.08, "text": " Si cuando te vale 0, cuando te vale 5, cuando te vale 10 nos queda 150 y cuando te vale"}, {"start": 560.08, "end": 562.68, "text": " 15 nos da 225."}, {"start": 562.68, "end": 570.48, "text": " Por lo tanto se aprecia claramente el momento del encuentro de los dos m\u00f3viles que ocurre"}, {"start": 570.48, "end": 580.5600000000001, "text": " a los 15 segundos y en la posici\u00f3n 225, es decir 225 metros m\u00e1s adelante de la posici\u00f3n"}, {"start": 580.56, "end": 610.52, "text": " 0 que fue el punto de partida, es decir donde estaba el sem\u00e1foro."}]

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PRODUCTOS NOTABLES: BINOMIO AL CUADRADO (Ejercicio 5)

#julioprofe explica cómo aplicar el Producto Notable que corresponde a un Binomio elevado al cuadrado. Tema: #ProductosNotables → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGZ0Uc88U7suZlA784fjzzj REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

¿Cómo podemos obtener el desarrollo o la expansión de este binomio elevado al cuadrado? Y para ello vamos a recordar primero la fórmula que corresponde a esa situación, es decir, el producto notable llamado binomio al cuadrado cuando tenemos resta. Esto es igual a la primera cantidad al cuadrado menos dos veces la primera cantidad por la segunda más la segunda cantidad elevada al cuadrado. Entonces en este caso vemos que A está representada por 7m y B está representada por 3c. Únicamente tomamos esta cantidad 3c sin considerar el menos. Vamos entonces a construir esta expresión. Comenzamos con A al cuadrado, es decir, 7m, protegemos eso con paréntesis y lo elevamos al cuadrado. Después tenemos menos dos veces la primera cantidad que es 7m, protegemos con paréntesis, por la segunda, es decir, por lo que es B, que dijimos es 3c, protegida con paréntesis. Y esto más la segunda cantidad que es 3c, también entre paréntesis, elevada al cuadrado. Enseguida vamos a desarrollar estas potencias aplicando esta propiedad de la potenciación. Cuando tenemos un producto de cantidades y eso está elevado a un exponente, entonces repartimos el exponente para cada una de esas cantidades. Ese reparto solamente se puede hacer cuando tenemos multiplicación. Entonces vamos a desarrollar esta primera potencia, nos queda 7 al cuadrado por m al cuadrado, aplicando esta propiedad. Aquí podemos ya multiplicar esas cantidades, es un producto de monomios. Multiplicamos los números, 2 por 7 es 14, 14 por 3 nos da 42 y esto queda acompañado de las letras m y c que están multiplicando entre sí. Vamos ahora con esta potencia, allí aplicamos esta propiedad, nos queda entonces 3 al cuadrado por c al cuadrado. Ahora desarrollamos estas dos potencias, nos queda entonces 7 al cuadrado que es 49, 49 que es acompañado de m al cuadrado, menos este término que queda igual 42 mc y luego tenemos más 3 al cuadrado que es 9 y queda acompañado de c al cuadrado. Allí no podemos hacer más, esta expresión es el desarrollo o la expansión de ese binomio al cuadrado.

[{"start": 0.0, "end": 8.86, "text": " \u00bfC\u00f3mo podemos obtener el desarrollo o la expansi\u00f3n de este binomio elevado al cuadrado?"}, {"start": 8.86, "end": 14.82, "text": " Y para ello vamos a recordar primero la f\u00f3rmula que corresponde a esa situaci\u00f3n, es decir,"}, {"start": 14.82, "end": 20.18, "text": " el producto notable llamado binomio al cuadrado cuando tenemos resta."}, {"start": 20.18, "end": 25.98, "text": " Esto es igual a la primera cantidad al cuadrado menos dos veces la primera cantidad por la"}, {"start": 25.98, "end": 31.4, "text": " segunda m\u00e1s la segunda cantidad elevada al cuadrado."}, {"start": 31.4, "end": 38.52, "text": " Entonces en este caso vemos que A est\u00e1 representada por 7m y B est\u00e1 representada por 3c."}, {"start": 38.52, "end": 43.32, "text": " \u00danicamente tomamos esta cantidad 3c sin considerar el menos."}, {"start": 43.32, "end": 46.44, "text": " Vamos entonces a construir esta expresi\u00f3n."}, {"start": 46.44, "end": 53.72, "text": " Comenzamos con A al cuadrado, es decir, 7m, protegemos eso con par\u00e9ntesis y lo elevamos"}, {"start": 53.72, "end": 54.84, "text": " al cuadrado."}, {"start": 54.84, "end": 62.6, "text": " Despu\u00e9s tenemos menos dos veces la primera cantidad que es 7m, protegemos con par\u00e9ntesis,"}, {"start": 62.6, "end": 70.08, "text": " por la segunda, es decir, por lo que es B, que dijimos es 3c, protegida con par\u00e9ntesis."}, {"start": 70.08, "end": 77.84, "text": " Y esto m\u00e1s la segunda cantidad que es 3c, tambi\u00e9n entre par\u00e9ntesis, elevada al cuadrado."}, {"start": 77.84, "end": 84.32000000000001, "text": " Enseguida vamos a desarrollar estas potencias aplicando esta propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 84.32, "end": 89.72, "text": " Cuando tenemos un producto de cantidades y eso est\u00e1 elevado a un exponente, entonces"}, {"start": 89.72, "end": 94.39999999999999, "text": " repartimos el exponente para cada una de esas cantidades."}, {"start": 94.39999999999999, "end": 98.83999999999999, "text": " Ese reparto solamente se puede hacer cuando tenemos multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 98.83999999999999, "end": 105.82, "text": " Entonces vamos a desarrollar esta primera potencia, nos queda 7 al cuadrado por m al"}, {"start": 105.82, "end": 108.8, "text": " cuadrado, aplicando esta propiedad."}, {"start": 108.8, "end": 113.16, "text": " Aqu\u00ed podemos ya multiplicar esas cantidades, es un producto de monomios."}, {"start": 113.16, "end": 120.72, "text": " Multiplicamos los n\u00fameros, 2 por 7 es 14, 14 por 3 nos da 42 y esto queda acompa\u00f1ado"}, {"start": 120.72, "end": 125.32, "text": " de las letras m y c que est\u00e1n multiplicando entre s\u00ed."}, {"start": 125.32, "end": 130.92, "text": " Vamos ahora con esta potencia, all\u00ed aplicamos esta propiedad, nos queda entonces 3 al cuadrado"}, {"start": 130.92, "end": 133.72, "text": " por c al cuadrado."}, {"start": 133.72, "end": 141.6, "text": " Ahora desarrollamos estas dos potencias, nos queda entonces 7 al cuadrado que es 49, 49"}, {"start": 141.6, "end": 148.72, "text": " que es acompa\u00f1ado de m al cuadrado, menos este t\u00e9rmino que queda igual 42 mc y luego"}, {"start": 148.72, "end": 154.88, "text": " tenemos m\u00e1s 3 al cuadrado que es 9 y queda acompa\u00f1ado de c al cuadrado."}, {"start": 154.88, "end": 161.48, "text": " All\u00ed no podemos hacer m\u00e1s, esta expresi\u00f3n es el desarrollo o la expansi\u00f3n de ese binomio"}, {"start": 161.48, "end": 186.95999999999998, "text": " al cuadrado."}]

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47. MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS (Ejercicio 3)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 47: Movimientos Rectilíneos (Ejercicio 3). En una autopista recta un coche tiene velocidad de 108 km/h cuando pasa por el punto A y, cuando pasa por otro punto B, distante 50 m del anterior, la velocidad es de 36 km/h. Calcular: a) El valor de la aceleración, si se supone constante b) El tiempo que tarda el coche en moverse entre los puntos A y B. c) La distancia a la cual se detiene el coche, medida desde A. Tema: Estudio de diversos movimientos. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

En este problema nos dicen que un coche que viaja por una autopista recta se mueve entre dos puntos A y B separados entre sí 50 metros. Nos dicen que aquí en el instante A la velocidad del coche es 108 kilómetros por hora y aquí en el instante B la velocidad se ha reducido a 36 kilómetros por hora. Aquí tenemos una velocidad grande, aquí la tenemos un poco más pequeña. Entonces nos van a preguntar cuál es la aceleración en el tramo A-B, es decir cuál es la desaceleración en realidad porque vemos que la velocidad se ha reducido, se ha presentado un frenado y también nos preguntan por el tiempo que transcurre entre estos dos instantes, es decir entre A y B. Y también nos van a preguntar dónde se va a detener por completo este coche por acá más adelante en la distancia medida a partir de A. Vamos a llamar este instante el punto C y aquí necesitamos que la velocidad del coche sea cero porque allí se detiene por completo. Comenzamos por hacer la conversión de las dos velocidades que nos da el problema. Vamos a pasar las de kilómetros por hora a metros por segundo. Entonces utilizamos los factores de conversión necesarios para hacer ese cambio de unidades. Vamos a dejarlos listos y colocamos los números. Un kilómetro equivale a mil metros y una hora equivale a tres mil seiscientos segundos. Aquí lo mismo. Y entonces de esa manera eliminamos kilómetros y vamos también a eliminar horas. Y obtenemos metros por segundo en cada caso. Haciendo la operación numérica ciento ocho por mil dividido entre tres mil seiscientos eso nos da treinta y escribimos las unidades metros sobre segundo. Acá treinta y seis por mil dividido tres mil seiscientos eso nos da diez metros sobre segundos. Entonces esas son las velocidades en los puntos A y B en unidades del sistema internacional. Vamos a hacer el cambio aquí. Entonces velocidad en A treinta metros por segundo y velocidad en B equivale a diez metros por segundo. Ahora vamos a realizar el análisis del tramo A-B donde tenemos un movimiento rectilíneo uniformemente desacelerado. Vamos a escribir los datos. Velocidad inicial sería la velocidad en A, es decir treinta metros por segundo. Velocidad final es la velocidad en B que equivale a diez metros por segundo. Tenemos la distancia recorrida que es el tramo A-B y que equivale a cincuenta metros. Vamos a encontrar entonces cuanto vale la aceleración y cuanto vale el tiempo en ese tramo A-B. Utilizamos una fórmula que tenga velocidad inicial, velocidad final, distancia y aceleración. Esa fórmula es esta que dice velocidad final al cuadrado es igual a velocidad inicial al cuadrado más dos veces la aceleración por la distancia recorrida. Entonces reemplazamos los datos. La velocidad final es diez al cuadrado, velocidad inicial es treinta al cuadrado más dos por la aceleración por la distancia que es cincuenta. Resolviendo nos queda cien es igual a novecientos más cien A. Nos queda cien menos novecientos es igual a cien A. Es decir menos ochocientos es igual a cien A. Y de aquí desplejamos la aceleración. Cien que está multiplicando pasa a dividir. Entonces menos ochocientos dividido entre cien nos da menos ocho. Y escribimos las unidades correspondientes a la aceleración. Vemos entonces que en el tramo AB el coche ha presentado una desaceleración de ocho metros sobre segundo cuadrado. Es decir una aceleración negativa. Vamos a escribirla por aquí el dato de la aceleración que es la respuesta a la pregunta A del ejercicio. Y a continuación vamos a encontrar el tiempo. Podríamos utilizar esta formulita. Aceleración es igual a velocidad final menos velocidad inicial. Todo eso entre el tiempo. Replazamos la aceleración que nos dio menos ocho igual a la velocidad final que es diez menos la velocidad inicial que es treinta. Y todo esto dividido entre el tiempo. Resolviendo en el numerador eso nos da menos veinte entre t. T está dividiendo pasa a multiplicar. Nos queda menos ocho t igual a menos veinte. Y de aquí despejamos el tiempo. Nos queda igual a menos veinte dividido entre menos ocho. Esto nos da un resultado de dos punto cinco segundos. Y esta es la respuesta a la pregunta B. Es decir el tiempo que toma ese coche en pasar del punto A al punto B. Para responder la pregunta C es decir cuál es el valor de toda esta distancia desde A hasta C. Entonces justamente vamos a realizar el análisis del tramo AC. Donde se mantiene el movimiento rectilíneo uniformemente desacelerado. Y donde suponemos que la aceleración sigue siendo menos ocho. Menos ocho metros sobre segundo cuadrado. Es decir mantiene constante durante todo el trayecto AC. Tenemos entonces si vamos desde A hasta C la velocidad inicial será la velocidad en A que vale treinta metros por segundo. Y la velocidad final será la velocidad en C que es cero porque allí el coche se detiene por completo. Necesitamos encontrar la distancia recorrida es decir el trayecto AC. Esa será entonces la pregunta. Entonces vamos a utilizar una formulita que tenga estos cuatro datos. Es decir que no tenga el tiempo. Será esta. Entonces vamos a reemplazar allí los datos. Tenemos entonces velocidad final es cero. Cero al cuadrado es igual a la velocidad inicial que es treinta al cuadrado. Mas dos por la aceleración que es menos ocho por la distancia que es el tramo AC. Nos queda cero es igual a novecientos menos dieciséis AC. Pasamos este término al lado izquierdo nos llega positivo. Dieciséis AC es igual a novecientos y de allí despejamos AC. Nos queda igual a novecientos dividido entre dieciséis. Esto nos da un resultado de cincuenta y seis punto veinticinco. Y escribimos las unidades correspondientes que son metros por tratarse de una distancia. Esta será entonces la respuesta a la pregunta C. Es decir desde el punto A el auto recorre cincuenta y seis punto veinticinco metros hasta detenerse por completo en C.

[{"start": 0.0, "end": 23.54, "text": " En este problema nos dicen que un coche que viaja por una autopista recta se mueve entre"}, {"start": 23.54, "end": 35.32, "text": " dos puntos A y B separados entre s\u00ed 50 metros. Nos dicen que aqu\u00ed en el instante A la velocidad"}, {"start": 35.32, "end": 48.28, "text": " del coche es 108 kil\u00f3metros por hora y aqu\u00ed en el instante B la velocidad se ha reducido"}, {"start": 48.28, "end": 56.8, "text": " a 36 kil\u00f3metros por hora. Aqu\u00ed tenemos una velocidad grande, aqu\u00ed la tenemos un poco"}, {"start": 56.8, "end": 64.56, "text": " m\u00e1s peque\u00f1a. Entonces nos van a preguntar cu\u00e1l es la aceleraci\u00f3n en el tramo A-B, es"}, {"start": 64.56, "end": 71.36, "text": " decir cu\u00e1l es la desaceleraci\u00f3n en realidad porque vemos que la velocidad se ha reducido,"}, {"start": 71.36, "end": 77.68, "text": " se ha presentado un frenado y tambi\u00e9n nos preguntan por el tiempo que transcurre entre"}, {"start": 77.68, "end": 85.96000000000001, "text": " estos dos instantes, es decir entre A y B. Y tambi\u00e9n nos van a preguntar d\u00f3nde se va"}, {"start": 85.96000000000001, "end": 94.0, "text": " a detener por completo este coche por ac\u00e1 m\u00e1s adelante en la distancia medida a partir"}, {"start": 94.0, "end": 102.24000000000001, "text": " de A. Vamos a llamar este instante el punto C y aqu\u00ed necesitamos que la velocidad del"}, {"start": 102.24, "end": 109.75999999999999, "text": " coche sea cero porque all\u00ed se detiene por completo. Comenzamos por hacer la conversi\u00f3n"}, {"start": 109.75999999999999, "end": 117.39999999999999, "text": " de las dos velocidades que nos da el problema. Vamos a pasar las de kil\u00f3metros por hora"}, {"start": 117.39999999999999, "end": 128.2, "text": " a metros por segundo. Entonces utilizamos los factores de conversi\u00f3n necesarios para"}, {"start": 128.2, "end": 139.11999999999998, "text": " hacer ese cambio de unidades. Vamos a dejarlos listos y colocamos los n\u00fameros. Un kil\u00f3metro"}, {"start": 139.11999999999998, "end": 146.0, "text": " equivale a mil metros y una hora equivale a tres mil seiscientos segundos. Aqu\u00ed lo"}, {"start": 146.0, "end": 157.92, "text": " mismo. Y entonces de esa manera eliminamos kil\u00f3metros y vamos tambi\u00e9n a eliminar horas."}, {"start": 157.92, "end": 167.16, "text": " Y obtenemos metros por segundo en cada caso. Haciendo la operaci\u00f3n num\u00e9rica ciento ocho"}, {"start": 167.16, "end": 174.72, "text": " por mil dividido entre tres mil seiscientos eso nos da treinta y escribimos las unidades"}, {"start": 174.72, "end": 180.51999999999998, "text": " metros sobre segundo. Ac\u00e1 treinta y seis por mil dividido tres mil seiscientos eso"}, {"start": 180.52, "end": 188.20000000000002, "text": " nos da diez metros sobre segundos. Entonces esas son las velocidades en los puntos A y"}, {"start": 188.20000000000002, "end": 194.48000000000002, "text": " B en unidades del sistema internacional. Vamos a hacer el cambio aqu\u00ed. Entonces velocidad"}, {"start": 194.48000000000002, "end": 205.92000000000002, "text": " en A treinta metros por segundo y velocidad en B equivale a diez metros por segundo. Ahora"}, {"start": 205.92, "end": 214.79999999999998, "text": " vamos a realizar el an\u00e1lisis del tramo A-B donde tenemos un movimiento rectil\u00edneo uniformemente"}, {"start": 214.79999999999998, "end": 222.64, "text": " desacelerado. Vamos a escribir los datos. Velocidad inicial ser\u00eda la velocidad en A,"}, {"start": 222.64, "end": 232.32, "text": " es decir treinta metros por segundo. Velocidad final es la velocidad en B que equivale a"}, {"start": 232.32, "end": 243.64, "text": " diez metros por segundo. Tenemos la distancia recorrida que es el tramo A-B y que equivale"}, {"start": 243.64, "end": 250.85999999999999, "text": " a cincuenta metros. Vamos a encontrar entonces cuanto vale la aceleraci\u00f3n y cuanto vale"}, {"start": 250.85999999999999, "end": 259.76, "text": " el tiempo en ese tramo A-B. Utilizamos una f\u00f3rmula que tenga velocidad inicial, velocidad"}, {"start": 259.76, "end": 268.71999999999997, "text": " final, distancia y aceleraci\u00f3n. Esa f\u00f3rmula es esta que dice velocidad final al cuadrado"}, {"start": 268.71999999999997, "end": 275.52, "text": " es igual a velocidad inicial al cuadrado m\u00e1s dos veces la aceleraci\u00f3n por la distancia"}, {"start": 275.52, "end": 283.68, "text": " recorrida. Entonces reemplazamos los datos. La velocidad final es diez al cuadrado, velocidad"}, {"start": 283.68, "end": 294.76, "text": " inicial es treinta al cuadrado m\u00e1s dos por la aceleraci\u00f3n por la distancia que es cincuenta."}, {"start": 294.76, "end": 306.0, "text": " Resolviendo nos queda cien es igual a novecientos m\u00e1s cien A. Nos queda cien menos novecientos"}, {"start": 306.0, "end": 315.68, "text": " es igual a cien A. Es decir menos ochocientos es igual a cien A. Y de aqu\u00ed desplejamos"}, {"start": 315.68, "end": 321.64, "text": " la aceleraci\u00f3n. Cien que est\u00e1 multiplicando pasa a dividir. Entonces menos ochocientos"}, {"start": 321.64, "end": 329.76, "text": " dividido entre cien nos da menos ocho. Y escribimos las unidades correspondientes a la aceleraci\u00f3n."}, {"start": 329.76, "end": 339.4, "text": " Vemos entonces que en el tramo AB el coche ha presentado una desaceleraci\u00f3n de ocho"}, {"start": 339.4, "end": 345.76, "text": " metros sobre segundo cuadrado. Es decir una aceleraci\u00f3n negativa. Vamos a escribirla"}, {"start": 345.76, "end": 357.68, "text": " por aqu\u00ed el dato de la aceleraci\u00f3n que es la respuesta a la pregunta A del ejercicio."}, {"start": 357.68, "end": 365.6, "text": " Y a continuaci\u00f3n vamos a encontrar el tiempo. Podr\u00edamos utilizar esta formulita. Aceleraci\u00f3n"}, {"start": 365.6, "end": 373.72, "text": " es igual a velocidad final menos velocidad inicial. Todo eso entre el tiempo. Replazamos"}, {"start": 373.72, "end": 380.92, "text": " la aceleraci\u00f3n que nos dio menos ocho igual a la velocidad final que es diez menos la"}, {"start": 380.92, "end": 389.44, "text": " velocidad inicial que es treinta. Y todo esto dividido entre el tiempo. Resolviendo"}, {"start": 389.44, "end": 398.12, "text": " en el numerador eso nos da menos veinte entre t. T est\u00e1 dividiendo pasa a multiplicar."}, {"start": 398.12, "end": 404.26, "text": " Nos queda menos ocho t igual a menos veinte. Y de aqu\u00ed despejamos el tiempo. Nos queda"}, {"start": 404.26, "end": 412.0, "text": " igual a menos veinte dividido entre menos ocho. Esto nos da un resultado de dos punto"}, {"start": 412.0, "end": 423.84, "text": " cinco segundos. Y esta es la respuesta a la pregunta B. Es decir el tiempo que toma ese"}, {"start": 423.84, "end": 431.52, "text": " coche en pasar del punto A al punto B. Para responder la pregunta C es decir cu\u00e1l es"}, {"start": 431.52, "end": 439.71999999999997, "text": " el valor de toda esta distancia desde A hasta C. Entonces justamente vamos a realizar el"}, {"start": 439.71999999999997, "end": 448.59999999999997, "text": " an\u00e1lisis del tramo AC. Donde se mantiene el movimiento rectil\u00edneo uniformemente desacelerado."}, {"start": 448.59999999999997, "end": 455.47999999999996, "text": " Y donde suponemos que la aceleraci\u00f3n sigue siendo menos ocho. Menos ocho metros sobre"}, {"start": 455.48, "end": 463.52000000000004, "text": " segundo cuadrado. Es decir mantiene constante durante todo el trayecto AC. Tenemos entonces"}, {"start": 463.52000000000004, "end": 472.24, "text": " si vamos desde A hasta C la velocidad inicial ser\u00e1 la velocidad en A que vale treinta metros"}, {"start": 472.24, "end": 480.92, "text": " por segundo. Y la velocidad final ser\u00e1 la velocidad en C que es cero porque all\u00ed el"}, {"start": 480.92, "end": 487.24, "text": " coche se detiene por completo. Necesitamos encontrar la distancia recorrida es decir el"}, {"start": 487.24, "end": 496.96000000000004, "text": " trayecto AC. Esa ser\u00e1 entonces la pregunta. Entonces vamos a utilizar una formulita que"}, {"start": 496.96000000000004, "end": 507.20000000000005, "text": " tenga estos cuatro datos. Es decir que no tenga el tiempo. Ser\u00e1 esta. Entonces vamos"}, {"start": 507.2, "end": 514.48, "text": " a reemplazar all\u00ed los datos. Tenemos entonces velocidad final es cero. Cero al cuadrado"}, {"start": 514.48, "end": 522.68, "text": " es igual a la velocidad inicial que es treinta al cuadrado. Mas dos por la aceleraci\u00f3n que"}, {"start": 522.68, "end": 531.92, "text": " es menos ocho por la distancia que es el tramo AC. Nos queda cero es igual a novecientos"}, {"start": 531.92, "end": 541.0799999999999, "text": " menos diecis\u00e9is AC. Pasamos este t\u00e9rmino al lado izquierdo nos llega positivo. Diecis\u00e9is"}, {"start": 541.0799999999999, "end": 550.8, "text": " AC es igual a novecientos y de all\u00ed despejamos AC. Nos queda igual a novecientos dividido"}, {"start": 550.8, "end": 562.8399999999999, "text": " entre diecis\u00e9is. Esto nos da un resultado de cincuenta y seis punto veinticinco. Y escribimos"}, {"start": 562.8399999999999, "end": 569.76, "text": " las unidades correspondientes que son metros por tratarse de una distancia. Esta ser\u00e1"}, {"start": 569.76, "end": 579.0, "text": " entonces la respuesta a la pregunta C. Es decir desde el punto A el auto recorre cincuenta"}, {"start": 579.0, "end": 584.72, "text": " y seis punto veinticinco metros hasta detenerse por completo en C."}]

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PRODUCTOS NOTABLES: BINOMIO AL CUBO (Ejercicio 2)

#julioprofe explica cómo aplicar el Producto Notable llamado Binomio al Cubo. Tema: #ProductosNotables → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGZ0Uc88U7suZlA784fjzzj REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a obtener el desarrollo o expansión de este binomio elevado al cubo y para ello comenzamos recordando el producto notable correspondiente a esa situación. Si tenemos una resta elevada al exponente 3, es decir un binomio al cubo, esto es igual a la primera cantidad al cubo menos tres veces la primera cantidad al cuadrado por la segunda más tres veces la primera cantidad por la segunda elevada al cuadrado menos la segunda cantidad elevada al cubo. Entonces teniendo presente que A está representada por 2Z y B está representada por 3 sin incluir el signo menos, únicamente el 3, vamos a construir esta expresión. Comenzamos con A al cubo, es decir la primera cantidad que es 2Z protegida con paréntesis y todo esto elevado al cubo, después tenemos menos tres veces la primera cantidad al cuadrado, es decir 2Z todo esto al cuadrado por la segunda cantidad que repetimos es 3 sin considerar el signo menos. Después tenemos más tres veces la primera cantidad, es decir 2Z por la segunda elevada al cuadrado, es decir por 3 al cuadrado y después tenemos menos la segunda cantidad que es 3 elevada al cubo. Continuamos con el desarrollo de esas operaciones, aquí tenemos un producto elevado al cubo, entonces aplicamos esta propiedad, si tenemos la multiplicación de dos cantidades y esto está elevado a un exponente N, entonces el exponente afecta a cada una de esas cantidades, se reparte. Entonces aquí nos quedaría 2 al cubo por Z al cubo menos, vamos a este término, tenemos tres por aquí la misma situación, se reparte el exponente 2, tendremos 2 al cuadrado por Z al cuadrado y esto multiplicado por tres, ya podemos quitarle el paréntesis a ese número, aquí tenemos tres por 2Z, le quitamos el paréntesis a este componente y aquí también podemos quitarle el paréntesis, dejamos indicada la potencia y aquí hacemos lo mismo, nos queda tres al cubo. Continuamos ahora con el desarrollo de esas potencias numéricas, es el caso de 2 al cubo que nos da 8 y que queda acompañado de Z al cubo, después tenemos tres por 2 al cuadrado que es 4, esto por Z al cuadrado por 3, después tenemos más 3 por 2Z y aquí 3 al cuadrado que nos da 9, menos 3 al cubo que es 27. Ya resolvemos las operaciones que tenemos en estos dos términos, ya el primer término y el cuarto término se encuentran listos, entonces tendremos lo siguiente, 8Z al cubo menos tenemos tres por cuatro 12, 12 por 3 36 y queda acompañado de Z al cuadrado, después tenemos más tres por dos que es 6, 6 por 9 es 54, acompañado de Z y después tenemos menos 27. De esta manera terminamos, aquí ya no podemos hacer nada más y esta expresión constituye el desarrollo o expansión de este binomio elevado al cubo.

[{"start": 0.0, "end": 9.16, "text": " Vamos a obtener el desarrollo o expansi\u00f3n de este binomio elevado al cubo y para ello"}, {"start": 9.16, "end": 15.68, "text": " comenzamos recordando el producto notable correspondiente a esa situaci\u00f3n."}, {"start": 15.68, "end": 21.84, "text": " Si tenemos una resta elevada al exponente 3, es decir un binomio al cubo, esto es igual"}, {"start": 21.84, "end": 28.82, "text": " a la primera cantidad al cubo menos tres veces la primera cantidad al cuadrado por la segunda"}, {"start": 28.82, "end": 35.92, "text": " m\u00e1s tres veces la primera cantidad por la segunda elevada al cuadrado menos la segunda"}, {"start": 35.92, "end": 38.64, "text": " cantidad elevada al cubo."}, {"start": 38.64, "end": 45.72, "text": " Entonces teniendo presente que A est\u00e1 representada por 2Z y B est\u00e1 representada por 3 sin incluir"}, {"start": 45.72, "end": 51.44, "text": " el signo menos, \u00fanicamente el 3, vamos a construir esta expresi\u00f3n."}, {"start": 51.44, "end": 60.16, "text": " Comenzamos con A al cubo, es decir la primera cantidad que es 2Z protegida con par\u00e9ntesis"}, {"start": 60.16, "end": 67.24, "text": " y todo esto elevado al cubo, despu\u00e9s tenemos menos tres veces la primera cantidad al cuadrado,"}, {"start": 67.24, "end": 76.4, "text": " es decir 2Z todo esto al cuadrado por la segunda cantidad que repetimos es 3 sin considerar"}, {"start": 76.4, "end": 77.96, "text": " el signo menos."}, {"start": 77.96, "end": 87.24, "text": " Despu\u00e9s tenemos m\u00e1s tres veces la primera cantidad, es decir 2Z por la segunda elevada"}, {"start": 87.24, "end": 93.96, "text": " al cuadrado, es decir por 3 al cuadrado y despu\u00e9s tenemos menos la segunda cantidad"}, {"start": 93.96, "end": 98.08, "text": " que es 3 elevada al cubo."}, {"start": 98.08, "end": 104.19999999999999, "text": " Continuamos con el desarrollo de esas operaciones, aqu\u00ed tenemos un producto elevado al cubo,"}, {"start": 104.2, "end": 110.0, "text": " entonces aplicamos esta propiedad, si tenemos la multiplicaci\u00f3n de dos cantidades y esto"}, {"start": 110.0, "end": 117.16, "text": " est\u00e1 elevado a un exponente N, entonces el exponente afecta a cada una de esas cantidades,"}, {"start": 117.16, "end": 118.84, "text": " se reparte."}, {"start": 118.84, "end": 127.52000000000001, "text": " Entonces aqu\u00ed nos quedar\u00eda 2 al cubo por Z al cubo menos, vamos a este t\u00e9rmino, tenemos"}, {"start": 127.52, "end": 134.72, "text": " tres por aqu\u00ed la misma situaci\u00f3n, se reparte el exponente 2, tendremos 2 al cuadrado por"}, {"start": 134.72, "end": 142.0, "text": " Z al cuadrado y esto multiplicado por tres, ya podemos quitarle el par\u00e9ntesis a ese n\u00famero,"}, {"start": 142.0, "end": 148.85999999999999, "text": " aqu\u00ed tenemos tres por 2Z, le quitamos el par\u00e9ntesis a este componente y aqu\u00ed tambi\u00e9n podemos"}, {"start": 148.85999999999999, "end": 154.04, "text": " quitarle el par\u00e9ntesis, dejamos indicada la potencia y aqu\u00ed hacemos lo mismo, nos"}, {"start": 154.04, "end": 156.28, "text": " queda tres al cubo."}, {"start": 156.28, "end": 161.4, "text": " Continuamos ahora con el desarrollo de esas potencias num\u00e9ricas, es el caso de 2 al cubo"}, {"start": 161.4, "end": 169.0, "text": " que nos da 8 y que queda acompa\u00f1ado de Z al cubo, despu\u00e9s tenemos tres por 2 al cuadrado"}, {"start": 169.0, "end": 179.44, "text": " que es 4, esto por Z al cuadrado por 3, despu\u00e9s tenemos m\u00e1s 3 por 2Z y aqu\u00ed 3 al cuadrado"}, {"start": 179.44, "end": 184.72, "text": " que nos da 9, menos 3 al cubo que es 27."}, {"start": 184.72, "end": 190.28, "text": " Ya resolvemos las operaciones que tenemos en estos dos t\u00e9rminos, ya el primer t\u00e9rmino"}, {"start": 190.28, "end": 198.28, "text": " y el cuarto t\u00e9rmino se encuentran listos, entonces tendremos lo siguiente, 8Z al cubo"}, {"start": 198.28, "end": 207.07999999999998, "text": " menos tenemos tres por cuatro 12, 12 por 3 36 y queda acompa\u00f1ado de Z al cuadrado, despu\u00e9s"}, {"start": 207.08, "end": 216.12, "text": " tenemos m\u00e1s tres por dos que es 6, 6 por 9 es 54, acompa\u00f1ado de Z y despu\u00e9s tenemos"}, {"start": 216.12, "end": 217.44, "text": " menos 27."}, {"start": 217.44, "end": 224.52, "text": " De esta manera terminamos, aqu\u00ed ya no podemos hacer nada m\u00e1s y esta expresi\u00f3n constituye"}, {"start": 224.52, "end": 253.76000000000002, "text": " el desarrollo o expansi\u00f3n de este binomio elevado al cubo."}]

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46. MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS (Ejercicio 2)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 46: Movimientos Rectilíneos (Ejercicio 2). Un coche que tiene un movimiento uniformemente acelerado consigue pasar de 18 km/h a 72 km/h en un tramo recto de 37.5 m. Calcular el tiempo que ha empleado en este recorrido y su aceleración. Tema: Estudio de diversos movimientos. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

Vamos a sacar los datos del problema. Tenemos que la velocidad inicial del coche es 18 km por hora, la velocidad final es 72 km por hora y la distancia recorrida al pasar de esta velocidad a esta mayor es de 37.5 metros. Nos preguntan cuánto tiempo emplea en realizar ese cambio de velocidad y cuál es el valor de la aceleración. Tenemos entonces el caso de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Comenzamos por hacer la conversión de las velocidades a metros por segundo. Entonces armamos los factores de conversión para pasar de kilómetros a metros y de horas a segundos. Vamos a alistarlos, allí están y vamos a colocar los números. Sabemos que un kilómetro equivale a mil metros y que una hora equivale a 3.600 segundos. Entonces de esa manera conseguimos eliminar kilómetros y eliminar horas y obtener en ambos casos metros sobre segundos. Veamos cuánto nos da. Acá la operación es 18 por mil dividido 3.600, eso nos da 5. Entonces nos queda una velocidad inicial de 5 metros sobre segundo y en el otro caso 72 por mil dividido 3.600 nos da 20 y la velocidad final queda como 20 metros sobre segundo. Hacemos entonces aquí el cambio en las velocidades para iniciar el desarrollo del problema. Para comenzar vamos a buscar una formulita que tenga velocidad inicial, que tenga velocidad final, que tenga distancia y que tenga tiempo. Entonces esa fórmula es esta que dice distancia es igual a velocidad inicial más velocidad final, todo esto dividido entre 2 y todo esto multiplicado por el tiempo. Es una fórmula del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado que es la que nos permite con estos datos de aquí encontrar el tiempo. Vamos a reemplazar la distancia es 37.5, la velocidad inicial entra como 5 más la velocidad final entra 20, aquí queda el 2 y todo esto multiplicado por el tiempo t que no lo conocemos. Resolviendo todo esto nos queda 37.5 es igual aquí nos da 25 dividido entre 2 nos da 12.5 y esto multiplicado por el tiempo y allí despejamos el tiempo nos queda 37.5 dividido entre 12.5, esto está multiplicando pasa a dividir y nos da un tiempo de 3 segundos. De esa manera encontramos la primera respuesta, el tiempo que toma ese coche en pasar de 18 km por hora es decir 5 metros por segundo a 72 km por hora es decir 20 metros por segundo es 3 segundos. Vamos a escribir por aquí el resultado y a continuación vamos a buscar otra formulita que nos permita encontrar la aceleración. Entonces podríamos utilizar esta que dice aceleración es igual a velocidad final menos velocidad inicial todo eso dividido entre el tiempo debido a que ya conocemos estos tres datos. Entonces aceleración es igual a velocidad final que es 20 menos la velocidad inicial que vale 5 dividido entre el tiempo que ya la encontramos y que nos dio 3. Entonces en el numerador nos queda 15 y 15 tercios equivale a 5. Escribimos las unidades correspondientes a la aceleración que son metros sobre segundos cuadrados y de esta manera encontramos la otra respuesta. La aceleración de ese coche al pasar de esta velocidad a esta que es mayor es de 5 metros sobre segundo cuadrado.

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45. MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS (Ejercicio 1)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 45: Movimientos Rectilíneos (Ejercicio 1). Calcular la distancia de seguridad que debe dejar un conductor cuyo coche frena con una aceleración de 4 m/s² si viaja a 90 km/h y su tiempo de reacción es 0.8 segundos. Tema: Estudio de diversos movimientos. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

para este problema hacemos un dibujo donde observamos el coche en los instantes más importantes aquí tenemos el coche moviéndose con una velocidad constante de 90 km por hora que es el dato que nos da el problema vamos a llamar este el instante a este b y acá cuando el carro o el coche finalmente se detiene el instante c entonces entre a y b tenemos un movimiento rectilíneo uniforme donde la velocidad es 90 km por hora y donde tenemos un tiempo que es de ocho décimas de segundo es decir 0.8 segundos ese es el tiempo de reacción del conductor es decir en este instante él se da cuenta que debe frenar que debe detener el auto entonces transcurre 0.8 segundos hasta el instante en el cual el conductor aplica los frenos entonces entre base es que tenemos la etapa de frenado entre a y b el auto sigue moviéndose durante 0.8 segundos a 90 km por hora debemos encontrar entonces la distancia que hay entre a y b vamos a llamarla así y esta será la pregunta antes de utilizar la fórmula para encontrar la distancia vamos a convertir esta velocidad en metros sobre segundo entonces colocamos los factores de conversión para pasar de kilómetros a metros y el otro factor de conversión para pasar de horas a segundo un kilómetro tiene mil metros y una hora equivale a 3.600 segundos de esa manera eliminamos kilómetros con kilómetros y eliminamos horas con horas haciendo la operación numérica esto nos da 25 es decir 90 por 1000 dividido 3.600 nos da 25 metros sobre segundo que será entonces la velocidad del coche entre los instantes a y b cambiamos entonces la velocidad aquí por 25 metros sobre segundo y como tenemos movimiento rectilíneo uniforme vamos a utilizar el triangulito con las letras de b y t como necesitamos la distancia si la distancia es la pregunta entonces distancia es igual a velocidad por tiempo la distancia se llama a b es el tramo a b es igual a la velocidad que es 25 ya se encuentra en metros sobre segundo y eso multiplicado por el tiempo que es 0.8 que ya está en segundos haciendo esa multiplicación nos da 20 metros si la unidad de distancia para este caso son metros ya tenemos entonces la distancia que recorre el auto en el tramo a b allí la señalamos en el dibujo y a continuación vamos a trabajar lo relacionado con el tramo bc es decir el tramo donde el coche presenta el frenado entonces tenemos un movimiento rectilíneo uniformemente desacelerado veamos los datos velocidad inicial será la velocidad en b que es igual a 25 metros por segundo la velocidad final será la velocidad en c que es igual a cero si recordemos que aquí en este instante el auto se detiene por completo la distancia recorrida es el trayecto bc que no lo conocemos y el enunciado del problema nos da la aceleración en este tramo en realidad se trata de una desaceleración por lo tanto es negativa y el valor es 4 metros sobre segundo cuadrado y este dato nos lo da el enunciado del problema con esta información podemos utilizar esta formulita del movimiento rectilíneo uniformemente variado si aquí vemos los cuatro datos que tenemos aquí involucrados entonces vamos a reemplazar la velocidad final es cero entonces tenemos cero al cuadrado es igual a la velocidad inicial que es 25 al cuadrado más 2 por la aceleración que es menos 4 por la distancia que es el tramo bc vemos que la fórmula solamente ingresan los valores numéricos debido a que las unidades ya se encuentran todas en metros y segundos en unidades del sistema internacional resolvemos esto nos queda cero es igual a 625 menos 8 que multiplica al tramo bc este término puede pasar acá positivo nos queda 8 bc es igual a 625 y de allí despejamos bc será igual a 625 dividido entre 8 8 está multiplicando pasa a dividir y haciendo esta división nos da un resultado aproximado de 78.13 metros será entonces la distancia que hay entre los puntos b y c allí la señalamos en el dibujo y finalmente para encontrar la distancia de seguridad o de frenado que necesita ese conductor para detener por completo ese coche es decir la distancia desde a hasta c simplemente hacemos la suma de estos dos tramos es decir 20 más 78.13 todo esto en metros eso nos da una distancia hace igual a 98.13 metros que es la respuesta al ejercicio esta será entonces la distancia de seguridad o necesaria para que ese conductor detenga en este punto el coche por completo

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44. MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS (Teoría)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 44: Movimientos Rectilíneos (Teoría). Tema: Estudio de diversos movimientos. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

Vamos a estudiar los movimientos rectilíneos, que son todos aquellos donde la trayectoria de la partícula o el móvil es una línea recta. También se conocen como movimientos en una dimensión o movimiento unidimensional. Si trabajamos con un sistema o marco de referencia para un movimiento horizontal, entonces decimos que ese marco de referencia es el eje X. Y si el movimiento ocurre en dirección vertical, entonces tendremos el eje Y como sistema o marco de referencia. Entonces el movimiento rectilíneo se caracteriza por eso. Trajectoria, línea recta y puede desarrollarse a lo largo del eje X o a lo largo del eje Y. Dependiendo de la velocidad con la que se mueva el cuerpo, entonces tenemos dos clases de movimientos rectilíneos. Uno que es el movimiento rectilíneo uniforme y otro que se llama movimiento rectilíneo uniformemente variado. El movimiento rectilíneo uniforme se caracteriza porque la velocidad de la partícula permanece constante. Todo el tiempo se mueve con la misma velocidad. Y el movimiento rectilíneo uniformemente variado se caracteriza porque la velocidad es variable, tal como lo indica su nombre. Es decir que cambia con el tiempo. Entonces aquí podemos establecer dos categorías adicionales. Uno que es el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado y otro que es el movimiento rectilíneo uniformemente desacelerado. Acelerado es cuando la velocidad aumenta. La velocidad se incrementa con el paso del tiempo y el desacelerado es cuando la velocidad disminuye. Es decir, se va reduciendo con el paso del tiempo. En términos de la aceleración, se dice que el movimiento rectilíneo uniforme tiene aceleración cero. Es decir, no hay aceleración ya que no se presenta cambio en la velocidad. Recordemos que la aceleración se define como la razón o la tasa de cambio de la velocidad en el tiempo. Si no se presenta ese cambio, entonces no hay aceleración. Entonces esta es la característica fundamental del movimiento rectilíneo uniforme. Velocidad constante y aceleración cero. Para el caso del movimiento rectilíneo uniformemente variado, tenemos una aceleración diferente de cero. Entonces, por ejemplo, si el cuerpo se desplaza hacia la derecha, es decir, con una velocidad de signo positivo y es acelerado, entonces decimos que la aceleración también es positiva. Porque en este caso, la aceleración colabora con el incremento de velocidad. Las dos llevan el mismo sentido. En cambio, si el movimiento es desacelerado y el móvil se desplaza hacia la derecha, entonces decimos que la aceleración es negativa. Es menor que cero. Es decir, tienen signos contrarios ya que la aceleración lo que está haciendo es reducir poco a poco la rapidez o la velocidad del móvil. Decíamos que el movimiento rectilíneo uniforme se caracteriza porque la velocidad del móvil permanece constante en el tiempo. Entonces, allí se cumple la siguiente relación. La velocidad es igual a la distancia sobre el tiempo. Es la relación entre la distancia recorrida y el tiempo empleado. Aquí decimos que el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales. Entonces, de esta relación podemos despejar, por ejemplo, la distancia. Para despejar distancia, el tiempo pasa a multiplicar con la velocidad. Entonces nos queda distancia igual a velocidad por tiempo y a su vez de aquí podemos despejar el tiempo. Para ello pasamos la velocidad a dividir al otro lado. Entonces nos queda que el tiempo es igual a distancia entre velocidad o distancia dividida entre velocidad. Entonces tenemos aquí como una conexión entre estas tres expresiones que son las formulitas del movimiento rectilíneo uniforme cuando trabajamos sin marco de referencia. Hay ocasiones en que el problema no amerita utilizar un sistema marco de referencia puesto que es más sencillo trabajar con estas expresiones. Una manera de recordar fácilmente las expresiones anteriores es utilizando este triangulito. Allí escribimos las siguientes letras D, V y T. Entonces veamos cómo funciona el triangulito. Si queremos obtener, por ejemplo, la distancia, entonces tapamos aquí y nos queda V por T. Es decir, distancia es igual a velocidad por tiempo. Si queremos obtener la velocidad, entonces tapamos aquí y nos queda D sobre T. Allí tenemos que velocidad es igual a distancia sobre tiempo y si queremos obtener el tiempo, entonces tapamos el tiempo y nos queda D sobre V, distancia sobre velocidad. Entonces con ese triangulito fácilmente sacamos estas tres formulitas que son las que nos permiten trabajar situaciones de movimiento rectilíneo uniforme. Las unidades, veamos, si trabajamos en el sistema internacional, en el SI, entonces tenemos que la distancia recorrida va en metros, el tiempo va en segundos y por lo tanto la velocidad por ser la relación entre una distancia y un tiempo irá en metros sobre segundos. Si el movimiento rectilíneo uniforme se enmarca en un sistema de referencia como el eje X, aquí tenemos el origen, entonces vemos el móvil en dos puntos, podemos decir que aquí tenemos la posición inicial X sub cero, es decir, en el tiempo cero y aquí tenemos la posición X en el instante T. Y en todo ese trayecto la velocidad ha permanecido constante, por lo que tenemos un movimiento rectilíneo uniforme. Entonces para esta situación decimos que la posición X en cualquier instante T es igual a velocidad por tiempo más la posición inicial. Esta se convierte en la ecuación de posición para una partícula que presenta movimiento rectilíneo uniforme que se enmarca en el eje X como sistema de referencia. Esta ecuación también podemos escribirla aquí como X de T, es decir, posición de la partícula o del móvil en cualquier instante T. Si esta expresión se deriva, entonces vamos a obtener la expresión de velocidad, que sería entonces, veamos, tenemos una suma, la derivada de una constante por la variable T es la constante, es decir, la velocidad. Y la derivada de este término que es constante recordemos que vale cero, por lo tanto tenemos aquí el concepto del movimiento rectilíneo uniforme, un movimiento caracterizado porque la velocidad en cualquier instante T es siempre el mismo valor, el valor de la velocidad, en este caso, del coche. Esa velocidad en este caso sería positiva porque el coche se mueve hacia la derecha, si se moviera hacia la izquierda entonces este valor tendría signo negativo. Y si a su vez la ecuación de velocidad la derivamos obtenemos la expresión para la aceleración. Entonces, ¿a qué será igual la aceleración en cualquier instante T? La derivada de esta expresión, pero como tenemos un término constante entonces la derivada es cero. Y observamos también la otra característica del movimiento rectilíneo uniforme, donde tenemos siempre aceleración igual a cero. Ahora veamos en el caso del movimiento rectilíneo uniformemente variado cuáles son las fórmulas que nos permiten trabajar situaciones de este tipo. Las fórmulas vamos a utilizarlas cuando el movimiento no sea enmarcado en un sistema de referencia. Tenemos como primera fórmula la aceleración que es igual a velocidad final menos velocidad inicial, todo eso entre el tiempo. Otra fórmula nos dice que la distancia recorrida es igual a un medio de la aceleración por el tiempo al cuadrado más la velocidad inicial por el tiempo. Otra nos dice que la velocidad final al cuadrado es igual a la velocidad inicial al cuadrado más dos veces la aceleración por la distancia recorrida. Y la otra nos dice que la distancia recorrida es igual a la velocidad inicial más la velocidad final. Todo eso dividido entre dos y eso multiplicado por el tiempo. Entonces con estas cuatro formulitas trabajamos situaciones de movimiento rectilíneo uniformemente variado. Recordemos que allí están los casos acelerado y desacelerado. Dependiendo de la información que tengamos miramos cuál relación es la que nos sirve. Miremos para cada magnitud sus unidades en el sistema internacional. Para la aceleración tenemos metro sobre segundo cuadrado, para la velocidad inicial tenemos metro sobre segundo, para la velocidad final metros sobre segundo, para la distancia recorrida metros y para el tiempo segundos. Si el movimiento rectilíneo uniformamente variado se enmarca en un sistema de referencia como el eje X donde aquí tenemos su origen podemos decir que en el tiempo cero el coche o la partícula tiene posición X sub cero y en ese instante su velocidad será V sub cero, es decir la velocidad inicial. Transcurrido un tiempo T tenemos una posición X y allí otra velocidad vamos a suponer que es de mayor módulo que la anterior, es decir una velocidad final de mayor valor que esta entonces hablamos de un movimiento acelerado. Si en esta situación tenemos una aceleración que señala hacia la derecha, una aceleración positiva que lleva la misma dirección y sentido que las velocidades por lo tanto allí vemos un incremento en la velocidad, tendríamos el caso del movimiento acelerado. Para este caso decimos que la posición es igual a un medio de la aceleración tiempo al cuadrado más velocidad inicial por tiempo más X sub cero, es decir más la posición inicial. Esta es la ecuación de posición para un movimiento rectilíneo uniformemente variado que se enmarca en el eje X. Esta expresión puede escribirse como X de T, es decir posición de la partícula o del móvil en el instante de T. Si esto lo derivamos con respecto al tiempo entonces obtenemos la ecuación de velocidad. Veamos, la derivada de este primer término será de la siguiente manera, este 2 baja a multiplicar, 2 multiplicado por un medio nos da 1, 1 por A, la A es constante recordemos que en este caso la única variable es el tiempo, entonces 2 multiplicado por un medio de A nos queda A acompañado de T, porque recordemos que aquí se resta una unidad entonces nos queda aquí exponente 1, más la derivada de este término como esto es constante, la constante por la variable, la derivada de eso nos da la constante que en este caso es F sub 0 y la derivada de este último término que es un valor constante será 0, entonces no escribimos nada y tenemos la ecuación de velocidad para un movimiento rectilíneo uniformemente variado. Entonces velocidad en cualquier instante T es igual a la aceleración por el tiempo más la velocidad inicial y si a su vez esto lo derivamos hacemos la derivada de la velocidad vamos a obtener la expresión para la aceleración, la aceleración en cualquier instante T, veamos, tendríamos entonces la derivada de esto sería la derivada de este primer término es una constante por la variable T, la derivada de esto será la constante A y la derivada de este otro término que es un término constante será 0, por lo tanto se comprueba que la aceleración en el movimiento rectilíneo uniformemente variado presenta siempre el mismo valor, independientemente del tiempo la aceleración vale lo mismo por eso se llama un movimiento rectilíneo uniformemente variado porque el ritmo de cambio de la velocidad es siempre constante.

[{"start": 0.0, "end": 20.080000000000002, "text": " Vamos a estudiar los movimientos rectil\u00edneos, que son todos aquellos donde la trayectoria"}, {"start": 20.080000000000002, "end": 28.48, "text": " de la part\u00edcula o el m\u00f3vil es una l\u00ednea recta. Tambi\u00e9n se conocen como movimientos"}, {"start": 28.48, "end": 38.06, "text": " en una dimensi\u00f3n o movimiento unidimensional. Si trabajamos con un sistema o marco de referencia"}, {"start": 38.06, "end": 46.44, "text": " para un movimiento horizontal, entonces decimos que ese marco de referencia es el eje X. Y"}, {"start": 46.44, "end": 55.6, "text": " si el movimiento ocurre en direcci\u00f3n vertical, entonces tendremos el eje Y como sistema o"}, {"start": 55.6, "end": 63.760000000000005, "text": " marco de referencia. Entonces el movimiento rectil\u00edneo se caracteriza por eso. Trajectoria,"}, {"start": 63.760000000000005, "end": 72.4, "text": " l\u00ednea recta y puede desarrollarse a lo largo del eje X o a lo largo del eje Y. Dependiendo"}, {"start": 72.4, "end": 79.8, "text": " de la velocidad con la que se mueva el cuerpo, entonces tenemos dos clases de movimientos"}, {"start": 79.8, "end": 87.88, "text": " rectil\u00edneos. Uno que es el movimiento rectil\u00edneo uniforme y otro que se llama movimiento rectil\u00edneo"}, {"start": 87.88, "end": 96.4, "text": " uniformemente variado. El movimiento rectil\u00edneo uniforme se caracteriza porque la velocidad"}, {"start": 96.4, "end": 104.2, "text": " de la part\u00edcula permanece constante. Todo el tiempo se mueve con la misma velocidad."}, {"start": 104.2, "end": 110.64, "text": " Y el movimiento rectil\u00edneo uniformemente variado se caracteriza porque la velocidad"}, {"start": 110.64, "end": 118.32000000000001, "text": " es variable, tal como lo indica su nombre. Es decir que cambia con el tiempo. Entonces"}, {"start": 118.32000000000001, "end": 126.92, "text": " aqu\u00ed podemos establecer dos categor\u00edas adicionales. Uno que es el movimiento rectil\u00edneo uniformemente"}, {"start": 126.92, "end": 137.04, "text": " acelerado y otro que es el movimiento rectil\u00edneo uniformemente desacelerado. Acelerado es cuando"}, {"start": 137.04, "end": 146.4, "text": " la velocidad aumenta. La velocidad se incrementa con el paso del tiempo y el desacelerado es"}, {"start": 146.4, "end": 153.88, "text": " cuando la velocidad disminuye. Es decir, se va reduciendo con el paso del tiempo. En t\u00e9rminos"}, {"start": 153.88, "end": 160.51999999999998, "text": " de la aceleraci\u00f3n, se dice que el movimiento rectil\u00edneo uniforme tiene aceleraci\u00f3n cero."}, {"start": 160.51999999999998, "end": 168.24, "text": " Es decir, no hay aceleraci\u00f3n ya que no se presenta cambio en la velocidad. Recordemos"}, {"start": 168.24, "end": 174.28, "text": " que la aceleraci\u00f3n se define como la raz\u00f3n o la tasa de cambio de la velocidad en el"}, {"start": 174.28, "end": 181.84, "text": " tiempo. Si no se presenta ese cambio, entonces no hay aceleraci\u00f3n. Entonces esta es la caracter\u00edstica"}, {"start": 181.84, "end": 188.72, "text": " fundamental del movimiento rectil\u00edneo uniforme. Velocidad constante y aceleraci\u00f3n cero. Para"}, {"start": 188.72, "end": 194.48000000000002, "text": " el caso del movimiento rectil\u00edneo uniformemente variado, tenemos una aceleraci\u00f3n diferente"}, {"start": 194.48000000000002, "end": 200.88, "text": " de cero. Entonces, por ejemplo, si el cuerpo se desplaza hacia la derecha, es decir, con"}, {"start": 200.88, "end": 207.4, "text": " una velocidad de signo positivo y es acelerado, entonces decimos que la aceleraci\u00f3n tambi\u00e9n"}, {"start": 207.4, "end": 214.56, "text": " es positiva. Porque en este caso, la aceleraci\u00f3n colabora con el incremento de velocidad. Las"}, {"start": 214.56, "end": 221.48000000000002, "text": " dos llevan el mismo sentido. En cambio, si el movimiento es desacelerado y el m\u00f3vil"}, {"start": 221.48000000000002, "end": 227.68, "text": " se desplaza hacia la derecha, entonces decimos que la aceleraci\u00f3n es negativa. Es menor"}, {"start": 227.68, "end": 233.36, "text": " que cero. Es decir, tienen signos contrarios ya que la aceleraci\u00f3n lo que est\u00e1 haciendo"}, {"start": 233.36, "end": 242.8, "text": " es reducir poco a poco la rapidez o la velocidad del m\u00f3vil. Dec\u00edamos que el movimiento rectil\u00edneo"}, {"start": 242.8, "end": 251.60000000000002, "text": " uniforme se caracteriza porque la velocidad del m\u00f3vil permanece constante en el tiempo."}, {"start": 251.60000000000002, "end": 258.76, "text": " Entonces, all\u00ed se cumple la siguiente relaci\u00f3n. La velocidad es igual a la distancia sobre"}, {"start": 258.76, "end": 265.36, "text": " el tiempo. Es la relaci\u00f3n entre la distancia recorrida y el tiempo empleado. Aqu\u00ed decimos"}, {"start": 265.36, "end": 274.44, "text": " que el m\u00f3vil recorre distancias iguales en tiempos iguales. Entonces, de esta relaci\u00f3n"}, {"start": 274.44, "end": 281.28, "text": " podemos despejar, por ejemplo, la distancia. Para despejar distancia, el tiempo pasa a multiplicar"}, {"start": 281.28, "end": 288.12, "text": " con la velocidad. Entonces nos queda distancia igual a velocidad por tiempo y a su vez de"}, {"start": 288.12, "end": 295.88, "text": " aqu\u00ed podemos despejar el tiempo. Para ello pasamos la velocidad a dividir al otro lado."}, {"start": 295.88, "end": 302.48, "text": " Entonces nos queda que el tiempo es igual a distancia entre velocidad o distancia dividida"}, {"start": 302.48, "end": 310.2, "text": " entre velocidad. Entonces tenemos aqu\u00ed como una conexi\u00f3n entre estas tres expresiones"}, {"start": 310.2, "end": 316.92, "text": " que son las formulitas del movimiento rectil\u00edneo uniforme cuando trabajamos sin marco de referencia."}, {"start": 316.92, "end": 322.96000000000004, "text": " Hay ocasiones en que el problema no amerita utilizar un sistema marco de referencia puesto"}, {"start": 322.96000000000004, "end": 330.72, "text": " que es m\u00e1s sencillo trabajar con estas expresiones. Una manera de recordar f\u00e1cilmente las expresiones"}, {"start": 330.72, "end": 337.8, "text": " anteriores es utilizando este triangulito. All\u00ed escribimos las siguientes letras D,"}, {"start": 337.8, "end": 346.08000000000004, "text": " V y T. Entonces veamos c\u00f3mo funciona el triangulito. Si queremos obtener, por ejemplo, la distancia,"}, {"start": 346.08, "end": 353.03999999999996, "text": " entonces tapamos aqu\u00ed y nos queda V por T. Es decir, distancia es igual a velocidad por"}, {"start": 353.03999999999996, "end": 360.64, "text": " tiempo. Si queremos obtener la velocidad, entonces tapamos aqu\u00ed y nos queda D sobre"}, {"start": 360.64, "end": 366.56, "text": " T. All\u00ed tenemos que velocidad es igual a distancia sobre tiempo y si queremos obtener"}, {"start": 366.56, "end": 376.48, "text": " el tiempo, entonces tapamos el tiempo y nos queda D sobre V, distancia sobre velocidad."}, {"start": 376.48, "end": 382.12, "text": " Entonces con ese triangulito f\u00e1cilmente sacamos estas tres formulitas que son las que nos"}, {"start": 382.12, "end": 388.6, "text": " permiten trabajar situaciones de movimiento rectil\u00edneo uniforme. Las unidades, veamos,"}, {"start": 388.6, "end": 394.48, "text": " si trabajamos en el sistema internacional, en el SI, entonces tenemos que la distancia"}, {"start": 394.48, "end": 407.40000000000003, "text": " recorrida va en metros, el tiempo va en segundos y por lo tanto la velocidad por ser la relaci\u00f3n"}, {"start": 407.40000000000003, "end": 415.56, "text": " entre una distancia y un tiempo ir\u00e1 en metros sobre segundos. Si el movimiento rectil\u00edneo"}, {"start": 415.56, "end": 423.76, "text": " uniforme se enmarca en un sistema de referencia como el eje X, aqu\u00ed tenemos el origen, entonces"}, {"start": 423.76, "end": 431.64, "text": " vemos el m\u00f3vil en dos puntos, podemos decir que aqu\u00ed tenemos la posici\u00f3n inicial X sub"}, {"start": 431.64, "end": 439.84, "text": " cero, es decir, en el tiempo cero y aqu\u00ed tenemos la posici\u00f3n X en el instante T. Y"}, {"start": 439.84, "end": 446.92, "text": " en todo ese trayecto la velocidad ha permanecido constante, por lo que tenemos un movimiento"}, {"start": 446.92, "end": 454.96000000000004, "text": " rectil\u00edneo uniforme. Entonces para esta situaci\u00f3n decimos que la posici\u00f3n X en cualquier instante"}, {"start": 454.96000000000004, "end": 462.48, "text": " T es igual a velocidad por tiempo m\u00e1s la posici\u00f3n inicial. Esta se convierte en la"}, {"start": 462.48, "end": 471.40000000000003, "text": " ecuaci\u00f3n de posici\u00f3n para una part\u00edcula que presenta movimiento rectil\u00edneo uniforme"}, {"start": 471.4, "end": 480.23999999999995, "text": " que se enmarca en el eje X como sistema de referencia. Esta ecuaci\u00f3n tambi\u00e9n podemos"}, {"start": 480.23999999999995, "end": 488.14, "text": " escribirla aqu\u00ed como X de T, es decir, posici\u00f3n de la part\u00edcula o del m\u00f3vil en cualquier"}, {"start": 488.14, "end": 498.28, "text": " instante T. Si esta expresi\u00f3n se deriva, entonces vamos a obtener la expresi\u00f3n de velocidad,"}, {"start": 498.28, "end": 504.91999999999996, "text": " que ser\u00eda entonces, veamos, tenemos una suma, la derivada de una constante por la variable"}, {"start": 504.91999999999996, "end": 511.91999999999996, "text": " T es la constante, es decir, la velocidad. Y la derivada de este t\u00e9rmino que es constante"}, {"start": 511.91999999999996, "end": 518.48, "text": " recordemos que vale cero, por lo tanto tenemos aqu\u00ed el concepto del movimiento rectil\u00edneo"}, {"start": 518.48, "end": 526.16, "text": " uniforme, un movimiento caracterizado porque la velocidad en cualquier instante T es siempre"}, {"start": 526.16, "end": 532.3199999999999, "text": " el mismo valor, el valor de la velocidad, en este caso, del coche. Esa velocidad en"}, {"start": 532.3199999999999, "end": 538.4, "text": " este caso ser\u00eda positiva porque el coche se mueve hacia la derecha, si se moviera"}, {"start": 538.4, "end": 544.68, "text": " hacia la izquierda entonces este valor tendr\u00eda signo negativo. Y si a su vez la ecuaci\u00f3n"}, {"start": 544.68, "end": 553.28, "text": " de velocidad la derivamos obtenemos la expresi\u00f3n para la aceleraci\u00f3n. Entonces, \u00bfa qu\u00e9 ser\u00e1"}, {"start": 553.28, "end": 559.64, "text": " igual la aceleraci\u00f3n en cualquier instante T? La derivada de esta expresi\u00f3n, pero como"}, {"start": 559.64, "end": 566.16, "text": " tenemos un t\u00e9rmino constante entonces la derivada es cero. Y observamos tambi\u00e9n la"}, {"start": 566.16, "end": 572.68, "text": " otra caracter\u00edstica del movimiento rectil\u00edneo uniforme, donde tenemos siempre aceleraci\u00f3n"}, {"start": 572.68, "end": 578.8399999999999, "text": " igual a cero. Ahora veamos en el caso del movimiento rectil\u00edneo uniformemente variado"}, {"start": 578.84, "end": 585.6800000000001, "text": " cu\u00e1les son las f\u00f3rmulas que nos permiten trabajar situaciones de este tipo. Las f\u00f3rmulas"}, {"start": 585.6800000000001, "end": 592.96, "text": " vamos a utilizarlas cuando el movimiento no sea enmarcado en un sistema de referencia."}, {"start": 592.96, "end": 598.5600000000001, "text": " Tenemos como primera f\u00f3rmula la aceleraci\u00f3n que es igual a velocidad final menos velocidad"}, {"start": 598.5600000000001, "end": 605.6800000000001, "text": " inicial, todo eso entre el tiempo. Otra f\u00f3rmula nos dice que la distancia recorrida es igual"}, {"start": 605.68, "end": 611.7199999999999, "text": " a un medio de la aceleraci\u00f3n por el tiempo al cuadrado m\u00e1s la velocidad inicial por"}, {"start": 611.7199999999999, "end": 618.3199999999999, "text": " el tiempo. Otra nos dice que la velocidad final al cuadrado es igual a la velocidad"}, {"start": 618.3199999999999, "end": 625.64, "text": " inicial al cuadrado m\u00e1s dos veces la aceleraci\u00f3n por la distancia recorrida. Y la otra nos dice"}, {"start": 625.64, "end": 633.52, "text": " que la distancia recorrida es igual a la velocidad inicial m\u00e1s la velocidad final. Todo eso"}, {"start": 633.52, "end": 640.96, "text": " dividido entre dos y eso multiplicado por el tiempo. Entonces con estas cuatro formulitas"}, {"start": 640.96, "end": 646.64, "text": " trabajamos situaciones de movimiento rectil\u00edneo uniformemente variado. Recordemos que all\u00ed"}, {"start": 646.64, "end": 653.42, "text": " est\u00e1n los casos acelerado y desacelerado. Dependiendo de la informaci\u00f3n que tengamos"}, {"start": 653.42, "end": 659.68, "text": " miramos cu\u00e1l relaci\u00f3n es la que nos sirve. Miremos para cada magnitud sus unidades en"}, {"start": 659.68, "end": 667.4, "text": " el sistema internacional. 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Esta expresi\u00f3n"}, {"start": 776.6800000000001, "end": 784.2, "text": " puede escribirse como X de T, es decir posici\u00f3n de la part\u00edcula o del m\u00f3vil en el instante"}, {"start": 784.2, "end": 792.4000000000001, "text": " de T. Si esto lo derivamos con respecto al tiempo entonces obtenemos la ecuaci\u00f3n de"}, {"start": 792.4000000000001, "end": 799.48, "text": " velocidad. Veamos, la derivada de este primer t\u00e9rmino ser\u00e1 de la siguiente manera, este"}, {"start": 799.48, "end": 807.44, "text": " 2 baja a multiplicar, 2 multiplicado por un medio nos da 1, 1 por A, la A es constante"}, {"start": 807.44, "end": 814.1600000000001, "text": " recordemos que en este caso la \u00fanica variable es el tiempo, entonces 2 multiplicado por"}, {"start": 814.1600000000001, "end": 821.7600000000001, "text": " un medio de A nos queda A acompa\u00f1ado de T, porque recordemos que aqu\u00ed se resta una unidad"}, {"start": 821.7600000000001, "end": 827.6800000000001, "text": " entonces nos queda aqu\u00ed exponente 1, m\u00e1s la derivada de este t\u00e9rmino como esto es"}, {"start": 827.6800000000001, "end": 833.12, "text": " constante, la constante por la variable, la derivada de eso nos da la constante que en"}, {"start": 833.12, "end": 839.2, "text": " este caso es F sub 0 y la derivada de este \u00faltimo t\u00e9rmino que es un valor constante"}, {"start": 839.2, "end": 846.76, "text": " ser\u00e1 0, entonces no escribimos nada y tenemos la ecuaci\u00f3n de velocidad para un movimiento"}, {"start": 846.76, "end": 853.12, "text": " rectil\u00edneo uniformemente variado. Entonces velocidad en cualquier instante T es igual"}, {"start": 853.12, "end": 862.04, "text": " a la aceleraci\u00f3n por el tiempo m\u00e1s la velocidad inicial y si a su vez esto lo derivamos hacemos"}, {"start": 862.04, "end": 869.12, "text": " la derivada de la velocidad vamos a obtener la expresi\u00f3n para la aceleraci\u00f3n, la aceleraci\u00f3n"}, {"start": 869.12, "end": 875.64, "text": " en cualquier instante T, veamos, tendr\u00edamos entonces la derivada de esto ser\u00eda la derivada"}, {"start": 875.64, "end": 880.5999999999999, "text": " de este primer t\u00e9rmino es una constante por la variable T, la derivada de esto ser\u00e1 la"}, {"start": 880.5999999999999, "end": 887.8399999999999, "text": " constante A y la derivada de este otro t\u00e9rmino que es un t\u00e9rmino constante ser\u00e1 0, por"}, {"start": 887.84, "end": 894.52, "text": " lo tanto se comprueba que la aceleraci\u00f3n en el movimiento rectil\u00edneo uniformemente"}, {"start": 894.52, "end": 902.8000000000001, "text": " variado presenta siempre el mismo valor, independientemente del tiempo la aceleraci\u00f3n vale lo mismo"}, {"start": 902.8000000000001, "end": 908.98, "text": " por eso se llama un movimiento rectil\u00edneo uniformemente variado porque el ritmo de cambio"}, {"start": 908.98, "end": 936.04, "text": " de la velocidad es siempre constante."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=sHssEMBI3c8

63. Mensaje de MATEPENDIX a Julioprofe

Agradecimiento a Edwin Huayta (canal en YouTube: MATEPENDIX https://www.youtube.com/channel/UCc48wybKhq86e6yIHx7BUYg), estudiante de Ingeniería Mecatrónica en la Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez, por su mensaje desde Puno (Perú). Graba un corto video y envíamelo al correo julioprofecolombia@gmail.com para publicarlo en este canal. Incluye tu nombre, ciudad, país e institución educativa a la que perteneces y cuéntame cuál ha sido tu experiencia con el material educativo que he producido. De antemano, ¡Muchas Gracias! #julioprofe

What the dados? educativa a la que perteneces y cuéntame cuál ha sido tu experiencia con el material educativo que he producido. De antemano muchas gracias. La

[{"start": 0.0, "end": 17.34, "text": " What the dados?"}, {"start": 90.0, "end": 95.48, "text": " educativa a la que perteneces y cu\u00e9ntame cu\u00e1l ha sido tu experiencia con el material"}, {"start": 95.48, "end": 100.04, "text": " educativo que he producido. De antemano muchas gracias."}, {"start": 100.04, "end": 128.78, "text": " La"}]

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https://www.youtube.com/watch?v=o6PkQJEQql4

PRODUCTOS NOTABLES: BINOMIO AL CUADRADO (Ejercicio 1)

#julioprofe explica cómo aplicar el Producto Notable llamado "Binomio al cuadrado". Tema: #ProductosNotables → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGZ0Uc88U7suZlA784fjzzj REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a obtener el desarrollo o la expansión para este binomio elevado al cuadrado. Recordemos el producto notable correspondiente a esta situación. La suma de dos cantidades elevada al cuadrado es igual a la primera cantidad al cuadrado más dos veces la primera cantidad por la segunda más la segunda cantidad elevada al cuadrado. Es un producto notable de gran importancia que debemos en lo posible memorizar porque se utiliza para resolver este tipo de situaciones. Entonces de acuerdo con este modelo A está representada por 3x y B está representada por 5y. Vamos entonces a construir esta expresión. Comenzamos con A al cuadrado, es decir el componente 3x todo esto al cuadrado por eso lo encerramos en paréntesis, más dos veces la primera cantidad por la segunda, en este caso dos veces 3x y eso multiplicado por 5y. Repetimos es conveniente proteger esas cantidades con paréntesis y esto más la segunda cantidad al cuadrado, es decir 5y también encerrada en paréntesis y todo eso elevado al cuadrado. Allí vamos a utilizar una propiedad de la potenciación en estos dos casos, es la siguiente si tenemos un producto A por B y esto está elevado a un exponente N, entonces ese exponente afecta cada una de esas dos cantidades porque están multiplicando. Entonces siguiendo esto nos va a quedar de la siguiente manera, 3 al cuadrado por x al cuadrado, allí repartimos el exponente 2 para cada uno de esos dos factores. Aquí ya podemos resolver ese producto, sería un producto de monomios, podemos multiplicar los números 2 por 3 nos da 6, 6 por 5 es 30 y queda x por y, entonces esas letras acompañan al número, luego tenemos más esto donde aplicamos otra vez la propiedad y nos queda 5 al cuadrado por y al cuadrado repartiendo el exponente. Finalmente desarrollamos estas dos potencias, nos queda 3 al cuadrado que es 9, 9 acompañado de x al cuadrado más ese término que queda intacto, 30xy más 5 al cuadrado que es 25 y que queda acompañado de y al cuadrado. Allí hemos terminado, esta expresión es el desarrollo o la expansión de este binomio elevado al cuadrado.

[{"start": 0.0, "end": 9.28, "text": " Vamos a obtener el desarrollo o la expansi\u00f3n para este binomio elevado al cuadrado. Recordemos"}, {"start": 9.28, "end": 15.32, "text": " el producto notable correspondiente a esta situaci\u00f3n. La suma de dos cantidades elevada"}, {"start": 15.32, "end": 21.8, "text": " al cuadrado es igual a la primera cantidad al cuadrado m\u00e1s dos veces la primera cantidad"}, {"start": 21.8, "end": 28.2, "text": " por la segunda m\u00e1s la segunda cantidad elevada al cuadrado. Es un producto notable de gran"}, {"start": 28.2, "end": 35.0, "text": " importancia que debemos en lo posible memorizar porque se utiliza para resolver este tipo"}, {"start": 35.0, "end": 41.56, "text": " de situaciones. Entonces de acuerdo con este modelo A est\u00e1 representada por 3x y B est\u00e1"}, {"start": 41.56, "end": 49.32, "text": " representada por 5y. Vamos entonces a construir esta expresi\u00f3n. Comenzamos con A al cuadrado,"}, {"start": 49.32, "end": 56.36, "text": " es decir el componente 3x todo esto al cuadrado por eso lo encerramos en par\u00e9ntesis, m\u00e1s"}, {"start": 56.36, "end": 63.64, "text": " dos veces la primera cantidad por la segunda, en este caso dos veces 3x y eso multiplicado"}, {"start": 63.64, "end": 70.64, "text": " por 5y. Repetimos es conveniente proteger esas cantidades con par\u00e9ntesis y esto m\u00e1s"}, {"start": 70.64, "end": 77.12, "text": " la segunda cantidad al cuadrado, es decir 5y tambi\u00e9n encerrada en par\u00e9ntesis y todo"}, {"start": 77.12, "end": 82.6, "text": " eso elevado al cuadrado. All\u00ed vamos a utilizar una propiedad de la potenciaci\u00f3n en estos"}, {"start": 82.6, "end": 89.19999999999999, "text": " dos casos, es la siguiente si tenemos un producto A por B y esto est\u00e1 elevado a un exponente"}, {"start": 89.19999999999999, "end": 97.08, "text": " N, entonces ese exponente afecta cada una de esas dos cantidades porque est\u00e1n multiplicando."}, {"start": 97.08, "end": 104.24, "text": " Entonces siguiendo esto nos va a quedar de la siguiente manera, 3 al cuadrado por x al"}, {"start": 104.24, "end": 109.72, "text": " cuadrado, all\u00ed repartimos el exponente 2 para cada uno de esos dos factores. Aqu\u00ed"}, {"start": 109.72, "end": 114.8, "text": " ya podemos resolver ese producto, ser\u00eda un producto de monomios, podemos multiplicar"}, {"start": 114.8, "end": 123.28, "text": " los n\u00fameros 2 por 3 nos da 6, 6 por 5 es 30 y queda x por y, entonces esas letras acompa\u00f1an"}, {"start": 123.28, "end": 129.36, "text": " al n\u00famero, luego tenemos m\u00e1s esto donde aplicamos otra vez la propiedad y nos queda"}, {"start": 129.36, "end": 137.6, "text": " 5 al cuadrado por y al cuadrado repartiendo el exponente. Finalmente desarrollamos estas"}, {"start": 137.6, "end": 144.96, "text": " dos potencias, nos queda 3 al cuadrado que es 9, 9 acompa\u00f1ado de x al cuadrado m\u00e1s"}, {"start": 144.96, "end": 153.12, "text": " ese t\u00e9rmino que queda intacto, 30xy m\u00e1s 5 al cuadrado que es 25 y que queda acompa\u00f1ado"}, {"start": 153.12, "end": 160.56, "text": " de y al cuadrado. All\u00ed hemos terminado, esta expresi\u00f3n es el desarrollo o la expansi\u00f3n"}, {"start": 160.56, "end": 187.76, "text": " de este binomio elevado al cuadrado."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=LjL-28iMJls

43. ACELERACIÓN EN MOVIMIENTOS CURVILÍNEOS (Ejercicio 1)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 43: Aceleración en movimientos curvilíneos (Ejercicio 1). Una partícula se mueve en el espacio según la función de posición r(t) = ti + t²j + t³k, en unidades SI. Determinar las componentes tangencial y normal de la aceleración en t = 2 s. Tema: El Movimiento y su Descripción. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

Comenzamos el desarrollo de este problema escribiendo la función de posición, una función vectorial de esta manera. Únicamente anotando sus componentes, es decir, deshacemos la anotación ijk para trabajar de una manera más sencilla. Derivamos esa función vectorial para obtener la velocidad, el vector velocidad. Entonces derivamos cada componente, derivada de t es 1, derivada de t al cuadrado es 2t y la derivada de t al cubo es 3t al cuadrado. Allí tenemos entonces el vector velocidad. Ahora vamos a derivar la velocidad para obtener el vector aceleración, la aceleración en cualquier instante t. Entonces procedemos a derivar cada componente de la velocidad, derivada de 1 es 0, derivada de 2t es 2 y derivada de 3t al cuadrado es 6t. Tenemos entonces el vector aceleración. Ahora vamos a determinar cuanto vale la velocidad y la aceleración en el instante t igual a 2 segundos. Vamos a llamar entonces v a la velocidad evaluada en t igual a 2. Hacemos lo siguiente, aquí en el vector velocidad sustituimos la t por 2, 2 segundos. Entonces este 1 queda igual, aquí tendremos 2 por 2 es decir 4 y aquí 2 al cuadrado 4, 4 por 3 nos da 12. Entonces este es el vector velocidad en el instante t igual a 2 segundos. Este va en metros sobre segundos porque recordemos que estamos trabajando en unidades del sistema internacional. Ahora vamos a llamar a al vector aceleración en ese mismo instante, es decir en t igual a 2 segundos. Reemplazamos en este vector t igual a 2, únicamente la sustitución se hace aquí porque estas dos componentes permanecen fijas en los valores 0 y 2. Entonces aquí tenemos 6 por 2, 12 y este es el vector aceleración que va en metros sobre segundo cuadrado. Es la aceleración instantánea en t igual a 2. Ahora vamos a determinar la magnitud de la velocidad, es decir el módulo o norma de este vector. Vamos a hacerlo por acá, entonces tenemos la raíz cuadrada de 1 al cuadrado más 4 al cuadrado más 12 al cuadrado. Los cuadrados de sus componentes sumados entre sí. Esto nos da entonces la raíz cuadrada de 1 más 16 más 144. Y eso nos da un resultado igual a la raíz cuadrada de 161. Y esto va en metros sobre segundos. Vamos a escribirla por acá. Entonces la magnitud de la velocidad en ese instante, es decir la rapidez instantánea, es igual a la raíz cuadrada de 161. Y esto en metros sobre segundos. Ahora vamos a determinar la magnitud de la aceleración instantánea, es decir de este vector. Tenemos entonces, magnitud de la aceleración es igual a la raíz cuadrada de 0 al cuadrado más 2 al cuadrado más 12 al cuadrado. Todo esto dentro de la raíz cuadrada. Esto nos da 0, este no lo contamos, 2 al cuadrado es 4 más 12 al cuadrado que es 144. Y esto nos da como resultado la raíz cuadrada de 148. Que tiene unidades metros sobre segundo cuadrado por tratarse de una aceleración. Vamos a anotarla por acá. Magnitud de la aceleración instantánea igual a raíz cuadrada de 148 en metros sobre segundos cuadrados. Por otro lado vamos a determinar el producto punto, producto interno o escalar entre los vectores velocidad y aceleración instantáneas. Entonces, recordemos que se simboliza de esta manera y es igual a multiplicar las componentes respectivas y hacer la suma de esos productos. Entonces tenemos 1 por 0 más 4 por 2 más 12 por 12. Recordemos que se multiplican componentes en X entre sí, componentes en Y entre sí y componentes en Z entre sí y se hace la suma de esos valores. Todo esto nos da por aquí 0, 4 por 2 es 8 y 12 por 12 son 144. Luego esa suma nos da 152. El producto punto de los vectores velocidad y aceleración nos da el escalar 152. Para poder continuar anotamos este valor aquí, este por aquí y el producto punto de los vectores aquí. Este 152, es decir el producto punto, el escalar que resulta de esta operación tiene unidades metros al cuadrado sobre segundo al cubo. Por haber sido el resultado de multiplicar valores de la velocidad por valores de la aceleración. Es decir metros sobre segundo por metros sobre segundo cuadrado. Eso nos produce metro cuadrado sobre segundo al cubo. Vamos a anotar por aquí esas unidades. Ya conociendo esta información podemos encontrar la componente tangencial de la aceleración. Haciendo uso de esta expresión. En el numerador producto punto de la velocidad y la aceleración en el instante t igual a 2 segundos. Y acá en el denominador la magnitud de la velocidad instantánea. Entonces reemplazamos los valores. El producto punto nos dio 152. Y este valor de la magnitud norma o módulo de la velocidad nos dio raíz cuadrada de 161. Todo esto nos va a quedar en metros sobre segundo cuadrado. Es decir haciendo el cociente de estas unidades entre estas tenemos finalmente metros sobre segundo cuadrado. Que son las unidades de la aceleración. En este caso la componente tangencial de la aceleración. Haciendo toda esta operación en calculadora nos da un resultado que podemos aproximar a 12 metros sobre segundo cuadrado. Y de esta manera tenemos entonces la componente tangencial de la aceleración. Finalmente hallamos la componente normal de la aceleración haciendo uso de esta formulita. Esta raíz cuadrada nos permite encontrar la componente a n. Entonces vamos a reemplazar esta magnitud de la aceleración nos dio como resultado raíz cuadrada de 148. Entonces nos quedaría raíz cuadrada de 148. Esto elevado al cuadrado menos at que nos dio 12 al cuadrado. Vamos a resolver todo esto. Entonces nos va a quedar así. Raíz cuadrada de... Esto nos da 148. El cuadrado destruye la raíz cuadrada menos 12 al cuadrado que es 144. Esa diferencia nos da 4. Y la raíz cuadrada de 4 es igual a 2. Y colocamos las unidades correspondientes a esta componente. Es decir la componente normal de la aceleración. De esta manera hemos terminado el ejercicio. Tenemos aquí la componente tangencial de la aceleración. Y aquí la componente normal de la aceleración de esa partícula en t igual a 2 segundos. ¡Suscríbete al canal!

[{"start": 0.0, "end": 27.0, "text": " Comenzamos el desarrollo de este problema escribiendo la funci\u00f3n de posici\u00f3n, una funci\u00f3n vectorial de esta manera."}, {"start": 27.0, "end": 37.0, "text": " \u00danicamente anotando sus componentes, es decir, deshacemos la anotaci\u00f3n ijk para trabajar de una manera m\u00e1s sencilla."}, {"start": 37.0, "end": 49.0, "text": " Derivamos esa funci\u00f3n vectorial para obtener la velocidad, el vector velocidad."}, {"start": 49.0, "end": 63.0, "text": " Entonces derivamos cada componente, derivada de t es 1, derivada de t al cuadrado es 2t y la derivada de t al cubo es 3t al cuadrado."}, {"start": 63.0, "end": 67.0, "text": " All\u00ed tenemos entonces el vector velocidad."}, {"start": 67.0, "end": 80.0, "text": " Ahora vamos a derivar la velocidad para obtener el vector aceleraci\u00f3n, la aceleraci\u00f3n en cualquier instante t."}, {"start": 80.0, "end": 96.0, "text": " Entonces procedemos a derivar cada componente de la velocidad, derivada de 1 es 0, derivada de 2t es 2 y derivada de 3t al cuadrado es 6t."}, {"start": 96.0, "end": 99.0, "text": " Tenemos entonces el vector aceleraci\u00f3n."}, {"start": 99.0, "end": 108.0, "text": " Ahora vamos a determinar cuanto vale la velocidad y la aceleraci\u00f3n en el instante t igual a 2 segundos."}, {"start": 108.0, "end": 115.0, "text": " Vamos a llamar entonces v a la velocidad evaluada en t igual a 2."}, {"start": 115.0, "end": 124.0, "text": " Hacemos lo siguiente, aqu\u00ed en el vector velocidad sustituimos la t por 2, 2 segundos."}, {"start": 124.0, "end": 137.0, "text": " Entonces este 1 queda igual, aqu\u00ed tendremos 2 por 2 es decir 4 y aqu\u00ed 2 al cuadrado 4, 4 por 3 nos da 12."}, {"start": 137.0, "end": 144.0, "text": " Entonces este es el vector velocidad en el instante t igual a 2 segundos."}, {"start": 144.0, "end": 153.0, "text": " Este va en metros sobre segundos porque recordemos que estamos trabajando en unidades del sistema 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" Los cuadrados de sus componentes sumados entre s\u00ed."}, {"start": 220.0, "end": 230.0, "text": " Esto nos da entonces la ra\u00edz cuadrada de 1 m\u00e1s 16 m\u00e1s 144."}, {"start": 230.0, "end": 237.0, "text": " Y eso nos da un resultado igual a la ra\u00edz cuadrada de 161."}, {"start": 237.0, "end": 242.0, "text": " Y esto va en metros sobre segundos."}, {"start": 242.0, "end": 245.0, "text": " Vamos a escribirla por ac\u00e1."}, {"start": 245.0, "end": 256.0, "text": " Entonces la magnitud de la velocidad en ese instante, es decir la rapidez instant\u00e1nea, es igual a la ra\u00edz cuadrada de 161."}, {"start": 256.0, "end": 260.0, "text": " Y esto en metros sobre segundos."}, {"start": 260.0, "end": 267.0, "text": " Ahora vamos a determinar la magnitud de la aceleraci\u00f3n instant\u00e1nea, es decir de este vector."}, {"start": 267.0, "end": 279.0, "text": " Tenemos entonces, magnitud de la aceleraci\u00f3n es igual a la ra\u00edz cuadrada de 0 al cuadrado m\u00e1s 2 al cuadrado m\u00e1s 12 al cuadrado."}, {"start": 279.0, "end": 282.0, "text": " Todo esto dentro de la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 282.0, "end": 292.0, "text": " Esto nos da 0, este no lo contamos, 2 al cuadrado es 4 m\u00e1s 12 al cuadrado que es 144."}, {"start": 292.0, "end": 298.0, "text": " Y esto nos da como resultado la ra\u00edz cuadrada de 148."}, {"start": 298.0, "end": 306.0, "text": " Que tiene unidades metros sobre segundo cuadrado por tratarse de una aceleraci\u00f3n."}, {"start": 306.0, "end": 309.0, "text": " Vamos a anotarla por ac\u00e1."}, {"start": 309.0, "end": 319.0, "text": " Magnitud de la aceleraci\u00f3n instant\u00e1nea igual a ra\u00edz cuadrada de 148 en metros sobre segundos cuadrados."}, {"start": 319.0, "end": 331.0, "text": " Por otro lado vamos a determinar el producto punto, producto interno o escalar entre los vectores velocidad y aceleraci\u00f3n instant\u00e1neas."}, {"start": 331.0, "end": 344.0, "text": " Entonces, recordemos que se simboliza de esta manera y es igual a multiplicar las componentes respectivas y hacer la suma de esos productos."}, {"start": 344.0, "end": 352.0, "text": " Entonces tenemos 1 por 0 m\u00e1s 4 por 2 m\u00e1s 12 por 12."}, {"start": 352.0, "end": 365.0, "text": " Recordemos que se multiplican componentes en X entre s\u00ed, componentes en Y entre s\u00ed y componentes en Z entre s\u00ed y se hace la suma de esos valores."}, {"start": 365.0, "end": 373.0, "text": " Todo esto nos da por aqu\u00ed 0, 4 por 2 es 8 y 12 por 12 son 144."}, {"start": 373.0, "end": 377.0, "text": " Luego esa suma nos da 152."}, {"start": 377.0, "end": 384.0, "text": " El producto punto de los vectores velocidad y aceleraci\u00f3n nos da el escalar 152."}, {"start": 384.0, "end": 394.0, "text": " Para poder continuar anotamos este valor aqu\u00ed, este por aqu\u00ed y el producto punto de los vectores aqu\u00ed."}, {"start": 394.0, "end": 409.0, "text": " Este 152, es decir el producto punto, el escalar que resulta de esta operaci\u00f3n tiene unidades metros al cuadrado sobre segundo al cubo."}, {"start": 409.0, "end": 417.0, "text": " Por haber sido el resultado de multiplicar valores de la velocidad por valores de la aceleraci\u00f3n."}, {"start": 417.0, "end": 422.0, "text": " Es decir metros sobre segundo por metros sobre segundo cuadrado."}, {"start": 422.0, "end": 427.0, "text": " Eso nos produce metro cuadrado sobre segundo al cubo."}, {"start": 427.0, "end": 431.0, "text": " Vamos a anotar por aqu\u00ed esas unidades."}, {"start": 431.0, "end": 440.0, "text": " Ya conociendo esta informaci\u00f3n podemos encontrar la componente tangencial de la aceleraci\u00f3n."}, {"start": 440.0, "end": 444.0, "text": " Haciendo uso de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 444.0, "end": 452.0, "text": " En el numerador producto punto de la velocidad y la aceleraci\u00f3n en el instante t igual a 2 segundos."}, {"start": 452.0, "end": 458.0, "text": " Y ac\u00e1 en el denominador la magnitud de la velocidad instant\u00e1nea."}, {"start": 458.0, "end": 461.0, "text": " Entonces reemplazamos los valores."}, {"start": 461.0, "end": 466.0, "text": " El producto punto nos dio 152."}, {"start": 466.0, "end": 478.0, "text": " Y este valor de la magnitud norma o m\u00f3dulo de la velocidad nos dio ra\u00edz cuadrada de 161."}, {"start": 478.0, "end": 483.0, "text": " Todo esto nos va a quedar en metros sobre segundo cuadrado."}, {"start": 483.0, "end": 490.0, "text": " Es decir haciendo el cociente de estas unidades entre estas tenemos finalmente metros sobre segundo cuadrado."}, {"start": 490.0, "end": 493.0, "text": " Que son las unidades de la aceleraci\u00f3n."}, {"start": 493.0, "end": 497.0, "text": " En este caso la componente tangencial de la aceleraci\u00f3n."}, {"start": 497.0, "end": 507.0, "text": " Haciendo toda esta operaci\u00f3n en calculadora nos da un resultado que podemos aproximar a 12 metros sobre segundo cuadrado."}, {"start": 507.0, "end": 513.0, "text": " Y de esta manera tenemos entonces la componente tangencial de la aceleraci\u00f3n."}, {"start": 513.0, "end": 527.0, "text": " Finalmente hallamos la componente normal de la aceleraci\u00f3n haciendo uso de esta formulita."}, {"start": 527.0, "end": 533.0, "text": " Esta ra\u00edz cuadrada nos permite encontrar la componente a n."}, {"start": 533.0, "end": 541.0, "text": " Entonces vamos a reemplazar esta magnitud de la aceleraci\u00f3n nos dio como resultado ra\u00edz cuadrada de 148."}, {"start": 541.0, "end": 546.0, "text": " Entonces nos quedar\u00eda ra\u00edz cuadrada de 148."}, {"start": 546.0, "end": 556.0, "text": " Esto elevado al cuadrado menos at que nos dio 12 al cuadrado."}, {"start": 556.0, "end": 559.0, "text": " Vamos a resolver todo esto."}, {"start": 559.0, "end": 561.0, "text": " Entonces nos va a quedar as\u00ed."}, {"start": 561.0, "end": 562.0, "text": " Ra\u00edz cuadrada de..."}, {"start": 562.0, "end": 565.0, "text": " Esto nos da 148."}, {"start": 565.0, "end": 572.0, "text": " El cuadrado destruye la ra\u00edz cuadrada menos 12 al cuadrado que es 144."}, {"start": 572.0, "end": 575.0, "text": " Esa diferencia nos da 4."}, {"start": 575.0, "end": 579.0, "text": " Y la ra\u00edz cuadrada de 4 es igual a 2."}, {"start": 579.0, "end": 584.0, "text": " Y colocamos las unidades correspondientes a esta componente."}, {"start": 584.0, "end": 588.0, "text": " Es decir la componente normal de la aceleraci\u00f3n."}, {"start": 588.0, "end": 591.0, "text": " De esta manera hemos terminado el ejercicio."}, {"start": 591.0, "end": 595.0, "text": " Tenemos aqu\u00ed la componente tangencial de la aceleraci\u00f3n."}, {"start": 595.0, "end": 622.0, "text": " Y aqu\u00ed la componente normal de la aceleraci\u00f3n de esa part\u00edcula en t igual a 2 segundos."}, {"start": 625.0, "end": 627.0, "text": " \u00a1Suscr\u00edbete al canal!"}]

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DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO - Casos 2 y 3

#julioprofe explica como resolver una desigualdad con tres miembros y valor absoluto. Tema: #Desigualdades → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEZkcrDeNKKyhTxj4A1b83M REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para resolver esta desigualdad que tiene tres componentes y un valor absoluto en el centro, hacemos lo siguiente, vamos a considerar dos desigualdades, esta vamos a llamarla la desigualdad A y esta la llamamos la desigualdad B. La desigualdad A dice 2 menor que valor absoluto de X menos 3, pero esto podemos leerlo en este sentido y nos queda como valor absoluto de X menos 3 mayor que 2. Y ahora vamos a escribir por acá la desigualdad B, entonces esa dice valor absoluto de X menos 3, todo esto menor o igual que 4. Cada una de esas desigualdades tendrá su respectivo conjunto solución, entonces por acá tendremos la solución de la desigualdad A y por acá la solución de la desigualdad B y al final para encontrar la solución total del ejercicio propuesto, debemos hacer la intersección de las dos soluciones, de los dos conjuntos solución correspondientes a estas desigualdades. Comenzamos resolviendo la desigualdad A que corresponde al caso número 3, entonces vamos a escribir por acá ese modelo valor absoluto de A mayor que B y su respectiva solución será A menor que menos B unión con A mayor que B. Vamos a reemplazar entonces sus componentes respectivos, A está representada por X menos 3, esto será menor que menos B, es decir menos 2, todo esto unión con A que es X menos 3 mayor que B, pero B está representada por 2. Transolvemos ahora cada una de estas dos desigualdades que son de tipo lineal, entonces despejamos siempre la X en el lado izquierdo, acá nos queda X menor que menos 2 más 3, pues como sumar 3 a ambos lados de la desigualdad, por acá X mayor que 2 más 3, lo mismo, es como sumar 3 a ambos lados. Resolvemos ahora estas operaciones, por acá tendremos X menor que 1 y por acá X mayor que 5 y a esos dos conjuntos debemos efectuarle la operación unión. Para determinar con facilidad el conjunto solución de esa primera desigualdad, vamos a una recta numérica que simboliza los valores reales de X, desde menos infinito hasta más infinito, localizamos el 1 y localizamos el 5 y tenemos entonces los X menores que 1, es decir sin incluir el 1 y todos los números reales que están a la izquierda y por acá tenemos los X mayores que 5, sin incluir el 5 y todos los reales que tenemos a la derecha. De esta manera se observa con claridad cuál es la región que corresponde a la solución de esa primera desigualdad, estas dos zonas se unen y entonces tendremos que la solución para la desigualdad A son los X que van desde menos infinito hasta 1 sin incluirlo, por eso va con paréntesis, unión con el intervalo que va desde 5 sin incluirlo también con paréntesis hasta más infinito. Allí tenemos entonces la solución de la desigualdad A. Vamos ahora con la desigualdad B, entonces dice valor absoluto de X menos 3 menor o igual que 4, esa desigualdad corresponde al caso número 2, entonces vamos a escribir por acá el modelo valor absoluto de A menor o igual que B y su solución dice menos B menor o igual que A menor o igual que B. Vamos entonces a reemplazar cada uno de los componentes, menos B sería menos 4, esto menor o igual que A pero A está representada por X menos 3 y esto menor o igual que B pero B equivale a 4. Tenemos allí una desigualdad lineal con tres componentes donde la X está en el centro, entonces vamos a aislar esa letra aquí en el componente central, para ello sumamos 3 en los tres miembros de la desigualdad, vamos a hacer entonces eso, sumamos 3 a cada componente y vamos resolviendo, menos 4 más 3 nos da menos 1 menor o igual que aquí, menos 3 y más 3 eso nos da 0, nos queda entonces la X ya aislada en el componente central y por acá 4 más 3 nos da 7. De nuevo utilizamos esta gráfica para ver mejor este conjunto solución, es la recta que representa los valores reales de X, desde menos infinito hasta más infinito, localizamos entonces el menos 1 y el 7 y tenemos allí que son los X comprendidos entre estos dos números, es decir todos estos valores reales incluyendo los extremos porque tenemos aquí signo menor o igual, entonces de esa manera ya tenemos el conjunto solución para la desigualdad B, vamos a escribirlo por acá, tendríamos entonces el conjunto que va desde menos 1 cerrado por eso utilizamos corchete hasta 7 también cerrado y así hemos resuelto la desigualdad B. Lo que hacemos ahora es la intersección de esos dos conjuntos para determinar la solución total, el conjunto solución del ejercicio original, entonces será solución de la desigualdad A, intersección con la solución de la desigualdad B. Para ello vamos a utilizar otra vez este diagrama, la recta real para valores de X desde menos infinito hasta más infinito y en ella vamos a localizar los números que aparecen aquí implicados, el menor de todos ellos es el menos 1, entonces comenzamos con él, revisamos y el siguiente será el número 1, después tenemos el número 5 y luego el número 7, aquí no tenemos que preocuparnos por escala, podemos localizarlos de manera libre, eso sí teniendo en cuenta el orden que llevan en la recta numérica. Vamos entonces a localizar aquí el conjunto solución A y vamos a rayarlo de la siguiente manera, en este sentido, entonces el conjunto solución A va de menos infinito hasta 1 sin incluir el 1, rayamos entonces toda esta zona de esa manera y también lo que va desde 5 hasta más infinito abierto en 5, seguimos utilizando el mismo tipo de rayado. Ahora vamos con el conjunto solución B y vamos a utilizar rayado en la otra dirección, ese conjunto va desde menos 1 cerrado hasta 7 cerrado, es decir, incluyendo menos 1 e incluyendo el 7 y rayamos entonces teniendo en cuenta esa dirección que hemos establecido, allí tenemos entonces el conjunto solución B, como debemos determinar la intersección de esos dos conjuntos, entonces nos concentramos en las zonas donde se presentan los dos tipos de rayado, que sería aquí y también acá y de esa manera determinamos el conjunto solución total, será entonces el que va desde menos 1 hasta 1 cerrado en menos 1 abierto en 1 y esta zona, es decir, unión con el intervalo que va desde 5 hasta 7 abierto en 5 y cerrado en 7 y ese será el conjunto solución para la desigualdad original.

[{"start": 0.0, "end": 9.4, "text": " Para resolver esta desigualdad que tiene tres componentes y un valor absoluto en el centro,"}, {"start": 9.4, "end": 15.84, "text": " hacemos lo siguiente, vamos a considerar dos desigualdades, esta vamos a llamarla la desigualdad"}, {"start": 15.84, "end": 20.080000000000002, "text": " A y esta la llamamos la desigualdad B."}, {"start": 20.080000000000002, "end": 28.240000000000002, "text": " La desigualdad A dice 2 menor que valor absoluto de X menos 3, pero esto podemos leerlo en"}, {"start": 28.24, "end": 34.519999999999996, "text": " este sentido y nos queda como valor absoluto de X menos 3 mayor que 2."}, {"start": 34.519999999999996, "end": 42.68, "text": " Y ahora vamos a escribir por ac\u00e1 la desigualdad B, entonces esa dice valor absoluto de X menos"}, {"start": 42.68, "end": 47.16, "text": " 3, todo esto menor o igual que 4."}, {"start": 47.16, "end": 53.12, "text": " Cada una de esas desigualdades tendr\u00e1 su respectivo conjunto soluci\u00f3n, entonces por"}, {"start": 53.12, "end": 59.36, "text": " ac\u00e1 tendremos la soluci\u00f3n de la desigualdad A y por ac\u00e1 la soluci\u00f3n de la desigualdad"}, {"start": 59.36, "end": 66.44, "text": " B y al final para encontrar la soluci\u00f3n total del ejercicio propuesto, debemos hacer la"}, {"start": 66.44, "end": 74.4, "text": " intersecci\u00f3n de las dos soluciones, de los dos conjuntos soluci\u00f3n correspondientes a"}, {"start": 74.4, "end": 76.44, "text": " estas desigualdades."}, {"start": 76.44, "end": 83.39999999999999, "text": " Comenzamos resolviendo la desigualdad A que corresponde al caso n\u00famero 3, entonces vamos"}, {"start": 83.39999999999999, "end": 92.6, "text": " a escribir por ac\u00e1 ese modelo valor absoluto de A mayor que B y su respectiva soluci\u00f3n"}, {"start": 92.6, "end": 99.0, "text": " ser\u00e1 A menor que menos B uni\u00f3n con A mayor que B."}, {"start": 99.0, "end": 106.28, "text": " Vamos a reemplazar entonces sus componentes respectivos, A est\u00e1 representada por X menos"}, {"start": 106.28, "end": 115.72, "text": " 3, esto ser\u00e1 menor que menos B, es decir menos 2, todo esto uni\u00f3n con A que es X menos 3"}, {"start": 115.72, "end": 120.94, "text": " mayor que B, pero B est\u00e1 representada por 2."}, {"start": 120.94, "end": 126.58, "text": " Transolvemos ahora cada una de estas dos desigualdades que son de tipo lineal, entonces despejamos"}, {"start": 126.58, "end": 133.92, "text": " siempre la X en el lado izquierdo, ac\u00e1 nos queda X menor que menos 2 m\u00e1s 3, pues como"}, {"start": 133.92, "end": 141.92, "text": " sumar 3 a ambos lados de la desigualdad, por ac\u00e1 X mayor que 2 m\u00e1s 3, lo mismo, es como"}, {"start": 141.92, "end": 144.48, "text": " sumar 3 a ambos lados."}, {"start": 144.48, "end": 151.64, "text": " Resolvemos ahora estas operaciones, por ac\u00e1 tendremos X menor que 1 y por ac\u00e1 X mayor"}, {"start": 151.64, "end": 159.44, "text": " que 5 y a esos dos conjuntos debemos efectuarle la operaci\u00f3n uni\u00f3n."}, {"start": 159.44, "end": 164.2, "text": " Para determinar con facilidad el conjunto soluci\u00f3n de esa primera desigualdad, vamos"}, {"start": 164.2, "end": 170.23999999999998, "text": " a una recta num\u00e9rica que simboliza los valores reales de X, desde menos infinito hasta m\u00e1s"}, {"start": 170.23999999999998, "end": 178.6, "text": " infinito, localizamos el 1 y localizamos el 5 y tenemos entonces los X menores que 1,"}, {"start": 178.6, "end": 184.68, "text": " es decir sin incluir el 1 y todos los n\u00fameros reales que est\u00e1n a la izquierda y por ac\u00e1"}, {"start": 184.68, "end": 192.68, "text": " tenemos los X mayores que 5, sin incluir el 5 y todos los reales que tenemos a la derecha."}, {"start": 192.68, "end": 197.92, "text": " De esta manera se observa con claridad cu\u00e1l es la regi\u00f3n que corresponde a la soluci\u00f3n"}, {"start": 197.92, "end": 204.4, "text": " de esa primera desigualdad, estas dos zonas se unen y entonces tendremos que la soluci\u00f3n"}, {"start": 204.4, "end": 212.52, "text": " para la desigualdad A son los X que van desde menos infinito hasta 1 sin incluirlo, por"}, {"start": 212.52, "end": 219.24, "text": " eso va con par\u00e9ntesis, uni\u00f3n con el intervalo que va desde 5 sin incluirlo tambi\u00e9n con"}, {"start": 219.24, "end": 222.36, "text": " par\u00e9ntesis hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 222.36, "end": 227.28, "text": " All\u00ed tenemos entonces la soluci\u00f3n de la desigualdad A."}, {"start": 227.28, "end": 236.76, "text": " Vamos ahora con la desigualdad B, entonces dice valor absoluto de X menos 3 menor o igual"}, {"start": 236.76, "end": 244.96, "text": " que 4, esa desigualdad corresponde al caso n\u00famero 2, entonces vamos a escribir por ac\u00e1"}, {"start": 244.96, "end": 253.04, "text": " el modelo valor absoluto de A menor o igual que B y su soluci\u00f3n dice menos B menor o"}, {"start": 253.04, "end": 260.15999999999997, "text": " igual que A menor o igual que B. Vamos entonces a reemplazar cada uno de los componentes,"}, {"start": 260.15999999999997, "end": 268.12, "text": " menos B ser\u00eda menos 4, esto menor o igual que A pero A est\u00e1 representada por X menos"}, {"start": 268.12, "end": 273.88, "text": " 3 y esto menor o igual que B pero B equivale a 4."}, {"start": 273.88, "end": 279.88, "text": " Tenemos all\u00ed una desigualdad lineal con tres componentes donde la X est\u00e1 en el centro,"}, {"start": 279.88, "end": 286.15999999999997, "text": " entonces vamos a aislar esa letra aqu\u00ed en el componente central, para ello sumamos 3"}, {"start": 286.15999999999997, "end": 296.2, "text": " en los tres miembros de la desigualdad, vamos a hacer entonces eso, sumamos 3 a cada componente"}, {"start": 296.2, "end": 303.4, "text": " y vamos resolviendo, menos 4 m\u00e1s 3 nos da menos 1 menor o igual que aqu\u00ed, menos 3 y"}, {"start": 303.4, "end": 310.2, "text": " m\u00e1s 3 eso nos da 0, nos queda entonces la X ya aislada en el componente central y por"}, {"start": 310.2, "end": 317.2, "text": " ac\u00e1 4 m\u00e1s 3 nos da 7. De nuevo utilizamos esta gr\u00e1fica para ver mejor este conjunto"}, {"start": 317.2, "end": 322.84, "text": " soluci\u00f3n, es la recta que representa los valores reales de X, desde menos infinito"}, {"start": 322.84, "end": 330.52, "text": " hasta m\u00e1s infinito, localizamos entonces el menos 1 y el 7 y tenemos all\u00ed que son"}, {"start": 330.52, "end": 336.64, "text": " los X comprendidos entre estos dos n\u00fameros, es decir todos estos valores reales incluyendo"}, {"start": 336.64, "end": 342.91999999999996, "text": " los extremos porque tenemos aqu\u00ed signo menor o igual, entonces de esa manera ya tenemos"}, {"start": 342.91999999999996, "end": 349.0, "text": " el conjunto soluci\u00f3n para la desigualdad B, vamos a escribirlo por ac\u00e1, tendr\u00edamos"}, {"start": 349.0, "end": 355.84, "text": " entonces el conjunto que va desde menos 1 cerrado por eso utilizamos corchete hasta"}, {"start": 355.84, "end": 363.03999999999996, "text": " 7 tambi\u00e9n cerrado y as\u00ed hemos resuelto la desigualdad B. Lo que hacemos ahora es la"}, {"start": 363.03999999999996, "end": 370.71999999999997, "text": " intersecci\u00f3n de esos dos conjuntos para determinar la soluci\u00f3n total, el conjunto soluci\u00f3n"}, {"start": 370.71999999999997, "end": 377.88, "text": " del ejercicio original, entonces ser\u00e1 soluci\u00f3n de la desigualdad A, intersecci\u00f3n con la"}, {"start": 377.88, "end": 384.64, "text": " soluci\u00f3n de la desigualdad B. Para ello vamos a utilizar otra vez este diagrama, la recta"}, {"start": 384.64, "end": 391.68, "text": " real para valores de X desde menos infinito hasta m\u00e1s infinito y en ella vamos a localizar"}, {"start": 391.68, "end": 398.44, "text": " los n\u00fameros que aparecen aqu\u00ed implicados, el menor de todos ellos es el menos 1, entonces"}, {"start": 398.44, "end": 405.59999999999997, "text": " comenzamos con \u00e9l, revisamos y el siguiente ser\u00e1 el n\u00famero 1, despu\u00e9s tenemos el n\u00famero"}, {"start": 405.59999999999997, "end": 414.0, "text": " 5 y luego el n\u00famero 7, aqu\u00ed no tenemos que preocuparnos por escala, podemos localizarlos"}, {"start": 414.0, "end": 419.96, "text": " de manera libre, eso s\u00ed teniendo en cuenta el orden que llevan en la recta num\u00e9rica."}, {"start": 419.96, "end": 425.76, "text": " Vamos entonces a localizar aqu\u00ed el conjunto soluci\u00f3n A y vamos a rayarlo de la siguiente"}, {"start": 425.76, "end": 433.0, "text": " manera, en este sentido, entonces el conjunto soluci\u00f3n A va de menos infinito hasta 1 sin"}, {"start": 433.0, "end": 440.08, "text": " incluir el 1, rayamos entonces toda esta zona de esa manera y tambi\u00e9n lo que va desde"}, {"start": 440.08, "end": 448.03999999999996, "text": " 5 hasta m\u00e1s infinito abierto en 5, seguimos utilizando el mismo tipo de rayado. Ahora"}, {"start": 448.03999999999996, "end": 455.15999999999997, "text": " vamos con el conjunto soluci\u00f3n B y vamos a utilizar rayado en la otra direcci\u00f3n, ese"}, {"start": 455.15999999999997, "end": 462.86, "text": " conjunto va desde menos 1 cerrado hasta 7 cerrado, es decir, incluyendo menos 1 e incluyendo"}, {"start": 462.86, "end": 470.86, "text": " el 7 y rayamos entonces teniendo en cuenta esa direcci\u00f3n que hemos establecido, all\u00ed"}, {"start": 470.86, "end": 476.96000000000004, "text": " tenemos entonces el conjunto soluci\u00f3n B, como debemos determinar la intersecci\u00f3n de"}, {"start": 476.96000000000004, "end": 483.12, "text": " esos dos conjuntos, entonces nos concentramos en las zonas donde se presentan los dos tipos"}, {"start": 483.12, "end": 490.0, "text": " de rayado, que ser\u00eda aqu\u00ed y tambi\u00e9n ac\u00e1 y de esa manera determinamos el conjunto soluci\u00f3n"}, {"start": 490.0, "end": 499.36, "text": " total, ser\u00e1 entonces el que va desde menos 1 hasta 1 cerrado en menos 1 abierto en 1"}, {"start": 499.36, "end": 508.28, "text": " y esta zona, es decir, uni\u00f3n con el intervalo que va desde 5 hasta 7 abierto en 5 y cerrado"}, {"start": 508.28, "end": 530.92, "text": " en 7 y ese ser\u00e1 el conjunto soluci\u00f3n para la desigualdad original."}]

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42. ACELERACIÓN EN MOVIMIENTOS CURVILÍNEOS (Teoría)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 42: Aceleración en movimientos curvilíneos (Teoría). Tema: El Movimiento y su Descripción. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

En este vídeo teórico vamos a ver la aceleración en los movimientos curvilíneos. Recordemos que si tenemos la ecuación de posición en forma vectorial para el movimiento de una partícula por derivación podemos obtener la ecuación de velocidad, es decir, la función vectorial de velocidad. Y si a su vez derivamos la velocidad, entonces obtenemos la ecuación de aceleración. Si recordemos que esta es la velocidad instantánea y esta es la aceleración instantánea. También recordemos que la aceleración constituye la segunda derivada de la posición. La podemos escribir de esta manera. Entonces vamos a mirar en el caso de un movimiento en el plano estos vectores, posición, velocidad y aceleración y vamos a prestarle especial atención a la aceleración. Supongamos que esta es la trayectoria de una partícula que se mueve en el plano. Tenemos como marco de referencia el plano cartesiano generado por los ejes X, Y. Y vamos a considerar el instante T para la partícula, un instante cualquiera para ese movimiento. Allí tenemos el vector RDT que registra la posición de la partícula en ese instante T. Tenemos una recta tangente a la trayectoria en ese instante T. Y a partir de este punto sobre la línea tangente dibujamos el vector velocidad instantánea, es decir, el vector VDT. De este mismo punto sale otro vector que representa la aceleración de ese movimiento curvilíneo en ese instante T. Entonces este es el vector aceleración instantánea para la partícula en ese momento. Ahora, por este punto trazamos esta otra recta que será perpendicular a la tangente, forma aquí 90 grados. Esa línea recta se llama una normal, vamos a representarla con la letra N. Y esta que habíamos trazado inicialmente era la tangente, la representamos con la letra T. Tienen la particularidad de que forman 90 grados. Entonces hacemos de cuenta que estas dos rectas forman como unos nuevos ejes para la aceleración. Entonces la aceleración del movimiento curvilíneo puede ser descompuesta en dos vectores. Uno que irá en esta dirección, en dirección de la normal y otro que irá en dirección de la tangente. Vamos a mirarlos. Allí los tenemos. Este vector que resulta de trazar está perpendicular desde el extremo del vector aceleración hasta la recta normal se llamará el vector AN. Es decir, la componente normal de la aceleración. Y este vector que se forma aquí, resultado de trazar este otro segmento desde el extremo del vector aceleración perpendicular a la recta tangente, aquí forma 90 grados. Entonces este se llamará la componente AT. Vamos a señalarla por acá. Entonces tenemos componente normal de la aceleración y esta que se llama componente tangencial de la aceleración. Vemos que coincide con la recta tangente. Ahora vamos a llamar theta a todo este ángulo. Es decir, el que forma el vector velocidad instantánea con el vector aceleración instantánea. Si tomamos esta componente normal de la aceleración y la trasladamos aquí, se nos forma un triángulo rectángulo donde los catetos serán la componente tangencial de la aceleración y la componente normal. Y donde la hipotenusa será el módulo, magnitud o norma del vector aceleración instantánea. Vamos a mirar entonces con más detalle este triángulo teniendo en cuenta el ángulo theta que habíamos señalado. Allí tenemos el triángulo rectángulo. Observamos la componente tangencial de la aceleración, la componente normal que son los catetos del triángulo y la hipotenusa que es la magnitud, módulo o norma del vector aceleración instantánea. Aquí tenemos la partícula en el instante T. Observamos el ángulo theta que como dijimos es el que forma el vector aceleración instantánea con el vector velocidad instantánea que viene por aquí. Sería paralelo a la componente A-T. Entonces vamos a determinar en ese triángulo la relación coseno del ángulo theta. Recordemos que es igual a el cateto adyacente que sería A-T sobre la hipotenusa que es la magnitud del vector aceleración instantánea. Y de allí podemos despejar la componente A-T, la componente tangencial de la aceleración. Nos quedaría la magnitud de la aceleración multiplicada por el coseno del ángulo theta. En esta expresión podemos hacer lo siguiente. Podríamos multiplicar por la magnitud de la velocidad instantánea a lo que ya tenemos, pero al multiplicar por esta cantidad entonces debemos también dividir por ella misma para que no se altere la expresión original. Y lo que tenemos en el numerador es la definición geométrica del producto punto, producto interno o producto escalar de dos vectores. En este caso se trata de la definición geométrica del producto punto entre los vectores velocidad y aceleración instantáneas. Recordemos que theta es el ángulo que forman justamente esos dos vectores. Por lo tanto podemos escribir la parte de arriba como el producto punto de la velocidad y la aceleración, obviamente en ese instante T. Y en la parte de abajo esto lo podemos escribir así, simplemente como la magnitud de la velocidad de esta misma que tenemos arriba, es decir lo que se conocería como rapidez instantánea. Entonces esta expresión es la que nos permite determinar la componente tangencial de la aceleración que es este vector que observamos en la figura. Por otro lado en este triángulo podríamos aplicar el teorema de Pitágoras por tratarse de un triángulo rectángulo. Entonces podemos decir que este cateto al cuadrado, es decir la componente normal de la aceleración al cuadrado, más este cateto a T al cuadrado, la componente tangencial de la aceleración es igual a la hipotenusa al cuadrado, es decir la magnitud de la aceleración todo esto al cuadrado. Y de allí podemos despejar esta componente, la componente normal de la aceleración, puesto que esto ya se conoce y esta la determinamos con esta expresión. Entonces hacemos el despeje, esto pasa a restar y después sacamos raíz cuadrada, por lo tanto nos va a quedar así, la magnitud de la aceleración al cuadrado, es decir esta, le quitamos la T, ya sabemos que esta es aceleración instantánea menos esta componente, que es la componente tangencial elevada al cuadrado y todo esto dentro de la raíz cuadrada. Haciendo entonces esta operación, esta formulita, determinamos la otra componente de la aceleración, es decir la componente normal. Y de esta manera tenemos como calcular las dos componentes de la aceleración en un movimiento curvilíneo, las componentes normal y tangencial. Música

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OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONARIOS - Ejercicio 6

#julioprofe explica cómo resolver un ejercicio donde intervienen varias operaciones con números fraccionarios. Al final, hace la comprobación en calculadora científica. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente este ejercicio de operaciones combinadas con números fraccionarios. Al final haremos la comprobación en calculadora. Vamos a comenzar resolviendo la suma que tenemos en el numerador de la fracción principal. Son dos fracciones heterogéneas, fracciones con distinto denominador. En ese caso vamos a buscar el mínimo común múltiplo de esos dos números. Entonces vamos a realizar el procedimiento por acá. El 15 y el 10 los escribimos espaciados y por acá trazamos esta línea vertical. Entonces vamos a realizar la descomposición simultánea en factores primos de esos dos números. Comenzamos examinando el número primo 2. ¿Qué le sirve a este número que es par? A este no le sirve por ser impar. Entonces decimos mitad de 10 es 5. Al 15 no le sirve. Entonces lo dejamos como está. Ya el número 2 no nos vuelve a servir porque tenemos acá dos números impares. Pasamos a examinar el siguiente número primo que es el 3. 3 le sirve al 15 pero no le sirve al 5. Entonces utilizamos el 3 para poder simplificar este número. Tercera de 15 nos da 5. Y a este 5 como no le sirve lo dejamos igual. Por último utilizamos el número primo 5. El siguiente que deberíamos examinar. ¿Por qué le sirve a estos dos? Decimos quinta de 5, 1. Quinta de 5, 1. Esos 1 nos indican que el proceso ha terminado. Entonces multiplicamos estos números. 2 por 3, 6. 6 por 5, 30. Y será el mínimo común múltiplo para los denominadores de esas dos fracciones. Es decir para 15 y 10. Entonces lo que hacemos es amplificar cada una de esas dos fracciones. De tal forma que sus denominadores se conviertan en 30. Vamos con la primera fracción donde tenemos 4 y 15. Entonces debemos multiplicar por un número tal que en el denominador nos de 30. Entonces nos preguntamos 15 multiplicado por qué número nos da 30. Hacemos la búsqueda de ese número y nos da 2. Una forma de encontrarlo es también acá asegurar el 15. 5 por 3 nos da 15. Y por 2 es 30. Entonces nos damos cuenta que hay que multiplicar por 2 en el denominador. Y también por 2 en el numerador. Para cumplir con el requisito de la amplificación de fracciones. Vamos ahora a la otra fracción. Tenemos 3 décimos. Nos preguntamos por qué número hay que multiplicar 10 para que nos de 30. Hacemos la búsqueda y vemos que es el 3. También acá lo podemos determinar. 10 está representado en esta operación. 5 por 2. Y eso por 3 nos da 30. Entonces multiplicamos por 3 en el denominador y por 3 en el numerador. Vamos avanzando también con la operación que tenemos debajo de la línea principal. Allí se observa una multiplicación de fracciones. Recordemos que eso se resuelve multiplicando numeradores entre sí y denominadores entre sí. Entonces vamos a ensamblar la operación. Acá sobre la línea nos queda 12 por 20. Y acá debajo de la línea nos queda 25 por 21. Multiplicación de numeradores y multiplicación de denominadores. Seguimos resolviendo lo que tenemos acá encima de la línea principal. 4 por 2 nos da 8. En el denominador 15 por 2 es 30. Después tenemos más 3 por 3 que nos da 9. Y 10 por 3 30. Ya hemos convertido esas dos fracciones en fracciones homogéneas. Fracciones con el mismo denominador. Vamos a trabajarle a esta multiplicación que ensamblamos. Allí podemos simplificar al máximo estos números. Eso es conveniente hacerlo para que la fracción resultante ya nos quede totalmente simplificada. Entonces revisamos los números que tenemos allí. Por ejemplo 20 puede simplificarse con 25. Ambos números son divisibles por 5. Decimos quinta de 25 nos da 5. Y quinta de 20 es 4. También si revisamos 12 y 21 encontramos que esos números son divisibles por 3. Decimos tercera de 12 es 4. Tercera de 21 nos da 7. Revisamos los números que quedaron. 4 en el numerador, 5 y 7 en el denominador. Vemos que no es posible simplificar nada más. Entonces ya multiplicamos los números que quedaron. En el numerador 4 por 4 16. Y en el denominador 5 por 7 que es 35. Esta será la respuesta para esta multiplicación de fracciones. Y ya podemos contar con que es una fracción irreducible. No se puede simplificar más. Resolvemos ahora esta suma de fracciones homogéneas. Fracciones con el mismo denominador. Entonces conservamos ese denominador que es 30. Y efectuamos la suma de los numeradores. 8 más 9 nos da 17. Y todo eso nos queda sobre la fracción 16 35. Llegamos así a una división de fracciones. Donde vamos a aplicar lo que se conoce como ley de la oreja. Eso consiste en multiplicar estos elementos externos. Por lo que se llaman extremos. Acá en la parte superior. Es decir 17 por 35. Y la multiplicación de los elementos internos. Por lo que se conoce como medios. Acá en la parte inferior de la fracción. Es decir 30 por 16. Ahora lo que hacemos es el proceso de simplificación. En esto que ensamblamos. Tal como lo hicimos por acá. Vamos a simplificar siempre un número de arriba. Con un número de abajo. Hasta que no se pueda hacer nada más. Eso nos va a garantizar que la fracción que se obtiene es irreducible. Por ejemplo 35 y 30. Son números que se pueden dividir por 5. Decimos quinta de 30 nos da 6. Y quinta de 35 nos da 7. Revisamos los demás números. Y vemos que no es posible simplificar nada más. Entonces procedemos a multiplicar los números que quedaron. En el numerador 17 por 7. 7 por 7 es 49. Llevamos 4. 7 por 1 es 7. Y 4 que llevamos es 11. Nos da 119. En el denominador 6 por 16. 6 por 6 es 36. Escribimos el 6. Llevamos 3. 6 por 1 es 6. Y la fracción que llevamos es 9. Nos da 96 en el denominador. Entonces el resultado de este ejercicio. Donde vemos la combinación de operaciones con números fraccionarios. Es 119. 96. Como decíamos es una fracción irreducible. O sea que no se puede simplificar más. También vemos que es una fracción impropia. Porque el numerador es mayor que el denominador. Podemos expresarla entonces como número mixto. Para ello debemos efectuar la división. Entre el numerador y el denominador. Tenemos allí una división por un número de dos cifras. Entonces tomamos la primera cifra en el dividendo. Nos preguntamos si 96 cabe en 1. Vemos que no es posible. Tomamos las dos primeras cifras. O sea 11. Nos preguntamos si 96 cabe en 11. Vemos que no se puede. Entonces tomamos las tres cifras en el dividendo. 119. Nos preguntamos si 96 cabe en 119. Y vemos que si es posible. Entonces separamos las tres cifras en el dividendo. Si examinamos la tabla del número 96. 96 por 1 nos da 96. 96 por 2. Veamos. 2 por 6 es 12. Llevamos 1. 2 por 9 es 18. Y 1 que llevamos es 19. Aquí vemos que ya se pasa de 119. Por lo tanto 96 en 119 cabe una sola vez. 1 por 96 nos da 96. Aquí lo tenemos. Y efectuamos esta resta. Entonces veamos. 9 menos 6 nos da 3. 1 menos 9 no se puede hacer. Este 1 presta 1. El 1 queda en 0. Este 1 queda en 11. Y 11 menos 9 nos da 2. En la otra cifra ya nos queda 0. Allí no se puede hacer nada más. Es una división inexacta. Porque tenemos residuo diferente de 0. Entonces con estos números. Armamos el mixto. El 1 es decir el cociente. Es acá el número entero. Y la fracción se construye con estos dos números. Con el residuo. Que acá es el numerador. Y con el divisor. Que acá es el denominador. Entonces el resultado de todo este ejercicio. Puede expresarse como fracción impropia. O como número mixto. Vamos a ver a continuación la comprobación. De esto que hicimos manualmente. En calculadora. Para comprobar el ejercicio. Utilizamos esta calculadora. Comenzamos con la tecla de fracción. Y acá en el numerador. Vamos a escribir la suma de fracciones heterogéneas. Que nos propone el ejercicio. Oprimimos otra vez la tecla de fracción. Y allí vamos a escribir 4 15 aus. Acá en el numerador. Donde tenemos el cursor. Va el 4. Nos movemos hacia abajo. Con este botón del navegador. Y allí va el número 15. Entonces lo escribimos. Ahora corremos el cursor hacia la derecha. Utilizando este botón del navegador. Tecleamos el signo más. Y vamos con la otra fracción. Otra vez utilizamos esta tecla. La de fracciones. Y allí vamos a escribir 3 décimos. En el numerador. Tendremos el 3. Nos movemos hacia abajo. Con este botón del navegador. Y allí escribimos el 10. Ahora vamos a la parte inferior. De la fracción principal. Aquí debemos escribir el producto. Que nos propone el ejercicio. En esta zona. Entonces nos movemos hacia abajo. Utilizando este botón del navegador. Y allí oprimimos de nuevo la tecla de fracción. Tenemos que escribir 12 25. Entonces 12 en el numerador. Nos movemos hacia abajo. Con este botón del navegador. Y allí escribimos el 25. Corremos el cursor hacia la derecha. Con el navegador. Y escribimos el signo por. Vamos con la otra fracción. Tecla de fracción. Acá debemos escribir 20 21. Entonces en el numerador. El número 20. Bajamos el cursor con el botón del navegador. Y acá el número 21. Como se observa. Allí ya hemos ingresado el ejercicio propuesto. Oprimimos ahora el signo igual. Y nos aparece el resultado que obtuvimos. Al resolver el ejercicio manualmente. La fracción 119 96. Aquella que dijimos que es impropia. Y también irreducible. Ahora también podemos comprobar. La conversión a número mixto. Para ello utilizamos esta función. Que trae la calculadora. Encima del botón SD. Vemos que está en color amarillo. Y que nos permite hacer. El paso de número mixto a fraccionario. Y viceversa. Para ello debemos oprimir primero. El botón shift. Y luego este botón SD. Para activar lo que está en amarillo. Entonces allí vemos como nos aparece. El signo mixto que obtuvimos. Un entero 23 96. Con eso comprobamos. Que el ejercicio que resolvimos manualmente. Es correcto.

[{"start": 0.0, "end": 10.0, "text": " Vamos a resolver detalladamente este ejercicio de operaciones combinadas con n\u00fameros fraccionarios."}, {"start": 10.0, "end": 14.0, "text": " Al final haremos la comprobaci\u00f3n en calculadora."}, {"start": 14.0, "end": 20.0, "text": " Vamos a comenzar resolviendo la suma que tenemos en el numerador de la fracci\u00f3n principal."}, {"start": 20.0, "end": 25.0, "text": " Son dos fracciones heterog\u00e9neas, fracciones con distinto denominador."}, {"start": 25.0, "end": 30.0, "text": " En ese caso vamos a buscar el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de esos dos n\u00fameros."}, {"start": 30.0, "end": 33.0, "text": " Entonces vamos a realizar el procedimiento por ac\u00e1."}, {"start": 33.0, "end": 39.0, "text": " El 15 y el 10 los escribimos espaciados y por ac\u00e1 trazamos esta l\u00ednea vertical."}, {"start": 39.0, "end": 46.0, "text": " Entonces vamos a realizar la descomposici\u00f3n simult\u00e1nea en factores primos de esos dos n\u00fameros."}, {"start": 46.0, "end": 49.0, "text": " Comenzamos examinando el n\u00famero primo 2."}, {"start": 49.0, "end": 52.0, "text": " \u00bfQu\u00e9 le sirve a este n\u00famero que es par?"}, {"start": 52.0, "end": 54.0, "text": " A este no le sirve por ser impar."}, {"start": 54.0, "end": 57.0, "text": " Entonces decimos mitad de 10 es 5."}, {"start": 57.0, "end": 59.0, "text": " Al 15 no le sirve."}, {"start": 59.0, "end": 61.0, "text": " Entonces lo dejamos como est\u00e1."}, {"start": 61.0, "end": 66.0, "text": " Ya el n\u00famero 2 no nos vuelve a servir porque tenemos ac\u00e1 dos n\u00fameros impares."}, {"start": 66.0, "end": 70.0, "text": " Pasamos a examinar el siguiente n\u00famero primo que es el 3."}, {"start": 70.0, "end": 73.0, "text": " 3 le sirve al 15 pero no le sirve al 5."}, {"start": 73.0, "end": 78.0, "text": " Entonces utilizamos el 3 para poder simplificar este n\u00famero."}, {"start": 78.0, "end": 80.0, "text": " Tercera de 15 nos da 5."}, {"start": 80.0, "end": 84.0, "text": " Y a este 5 como no le sirve lo dejamos igual."}, {"start": 84.0, "end": 87.0, "text": " Por \u00faltimo utilizamos el n\u00famero primo 5."}, {"start": 87.0, "end": 90.0, "text": " El siguiente que deber\u00edamos examinar."}, {"start": 90.0, "end": 92.0, "text": " \u00bfPor qu\u00e9 le sirve a estos dos?"}, {"start": 92.0, "end": 94.0, "text": " Decimos quinta de 5, 1."}, {"start": 94.0, "end": 96.0, "text": " Quinta de 5, 1."}, {"start": 96.0, "end": 100.0, "text": " Esos 1 nos indican que el proceso ha terminado."}, {"start": 100.0, "end": 102.0, "text": " Entonces multiplicamos estos n\u00fameros."}, {"start": 102.0, "end": 104.0, "text": " 2 por 3, 6."}, {"start": 104.0, "end": 106.0, "text": " 6 por 5, 30."}, {"start": 106.0, "end": 112.0, "text": " Y ser\u00e1 el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo para los denominadores de esas dos fracciones."}, {"start": 112.0, "end": 116.0, "text": " Es decir para 15 y 10."}, {"start": 116.0, "end": 120.0, "text": " Entonces lo que hacemos es amplificar cada una de esas dos fracciones."}, {"start": 120.0, "end": 125.0, "text": " De tal forma que sus denominadores se conviertan en 30."}, {"start": 125.0, "end": 130.0, "text": " Vamos con la primera fracci\u00f3n donde tenemos 4 y 15."}, {"start": 130.0, "end": 137.0, "text": " Entonces debemos multiplicar por un n\u00famero tal que en el denominador nos de 30."}, {"start": 137.0, "end": 141.0, "text": " Entonces nos preguntamos 15 multiplicado por qu\u00e9 n\u00famero nos da 30."}, {"start": 141.0, "end": 144.0, "text": " Hacemos la b\u00fasqueda de ese n\u00famero y nos da 2."}, {"start": 144.0, "end": 149.0, "text": " Una forma de encontrarlo es tambi\u00e9n ac\u00e1 asegurar el 15."}, {"start": 149.0, "end": 151.0, "text": " 5 por 3 nos da 15."}, {"start": 151.0, "end": 153.0, "text": " Y por 2 es 30."}, {"start": 153.0, "end": 157.0, "text": " Entonces nos damos cuenta que hay que multiplicar por 2 en el denominador."}, {"start": 157.0, "end": 159.0, "text": " Y tambi\u00e9n por 2 en el numerador."}, {"start": 159.0, "end": 164.0, "text": " Para cumplir con el requisito de la amplificaci\u00f3n de fracciones."}, {"start": 164.0, "end": 166.0, "text": " Vamos ahora a la otra fracci\u00f3n."}, {"start": 166.0, "end": 168.0, "text": " Tenemos 3 d\u00e9cimos."}, {"start": 168.0, "end": 173.0, "text": " Nos preguntamos por qu\u00e9 n\u00famero hay que multiplicar 10 para que nos de 30."}, {"start": 173.0, "end": 176.0, "text": " Hacemos la b\u00fasqueda y vemos que es el 3."}, {"start": 176.0, "end": 178.0, "text": " Tambi\u00e9n ac\u00e1 lo podemos determinar."}, {"start": 178.0, "end": 181.0, "text": " 10 est\u00e1 representado en esta operaci\u00f3n."}, {"start": 181.0, "end": 182.0, "text": " 5 por 2."}, {"start": 182.0, "end": 184.0, "text": " Y eso por 3 nos da 30."}, {"start": 184.0, "end": 190.0, "text": " Entonces multiplicamos por 3 en el denominador y por 3 en el numerador."}, {"start": 190.0, "end": 195.0, "text": " Vamos avanzando tambi\u00e9n con la operaci\u00f3n que tenemos debajo de la l\u00ednea principal."}, {"start": 195.0, "end": 198.0, "text": " All\u00ed se observa una multiplicaci\u00f3n de fracciones."}, {"start": 198.0, "end": 205.0, "text": " Recordemos que eso se resuelve multiplicando numeradores entre s\u00ed y denominadores entre s\u00ed."}, {"start": 205.0, "end": 208.0, "text": " Entonces vamos a ensamblar la operaci\u00f3n."}, {"start": 208.0, "end": 211.0, "text": " Ac\u00e1 sobre la l\u00ednea nos queda 12 por 20."}, {"start": 211.0, "end": 216.0, "text": " Y ac\u00e1 debajo de la l\u00ednea nos queda 25 por 21."}, {"start": 216.0, "end": 221.0, "text": " Multiplicaci\u00f3n de numeradores y multiplicaci\u00f3n de denominadores."}, {"start": 221.0, "end": 226.0, "text": " Seguimos resolviendo lo que tenemos ac\u00e1 encima de la l\u00ednea principal."}, {"start": 226.0, "end": 228.0, "text": " 4 por 2 nos da 8."}, {"start": 228.0, "end": 232.0, "text": " En el denominador 15 por 2 es 30."}, {"start": 232.0, "end": 237.0, "text": " Despu\u00e9s tenemos m\u00e1s 3 por 3 que nos da 9."}, {"start": 237.0, "end": 239.0, "text": " Y 10 por 3 30."}, {"start": 239.0, "end": 243.0, "text": " Ya hemos convertido esas dos fracciones en fracciones homog\u00e9neas."}, {"start": 243.0, "end": 246.0, "text": " Fracciones con el mismo denominador."}, {"start": 246.0, "end": 249.0, "text": " Vamos a trabajarle a esta multiplicaci\u00f3n que ensamblamos."}, {"start": 249.0, "end": 253.0, "text": " All\u00ed podemos simplificar al m\u00e1ximo estos n\u00fameros."}, {"start": 253.0, "end": 260.0, "text": " Eso es conveniente hacerlo para que la fracci\u00f3n resultante ya nos quede totalmente simplificada."}, {"start": 260.0, "end": 263.0, "text": " Entonces revisamos los n\u00fameros que tenemos all\u00ed."}, {"start": 263.0, "end": 266.0, "text": " Por ejemplo 20 puede simplificarse con 25."}, {"start": 266.0, "end": 269.0, "text": " Ambos n\u00fameros son divisibles por 5."}, {"start": 269.0, "end": 272.0, "text": " Decimos quinta de 25 nos da 5."}, {"start": 272.0, "end": 275.0, "text": " Y quinta de 20 es 4."}, {"start": 275.0, "end": 282.0, "text": " Tambi\u00e9n si revisamos 12 y 21 encontramos que esos n\u00fameros son divisibles por 3."}, {"start": 282.0, "end": 285.0, "text": " Decimos tercera de 12 es 4."}, {"start": 285.0, "end": 288.0, "text": " Tercera de 21 nos da 7."}, {"start": 288.0, "end": 290.0, "text": " Revisamos los n\u00fameros que quedaron."}, {"start": 290.0, "end": 294.0, "text": " 4 en el numerador, 5 y 7 en el denominador."}, {"start": 294.0, "end": 297.0, "text": " Vemos que no es posible simplificar nada m\u00e1s."}, {"start": 297.0, "end": 301.0, "text": " Entonces ya multiplicamos los n\u00fameros que quedaron."}, {"start": 301.0, "end": 304.0, "text": " En el numerador 4 por 4 16."}, {"start": 304.0, "end": 308.0, "text": " Y en el denominador 5 por 7 que es 35."}, {"start": 308.0, "end": 313.0, "text": " Esta ser\u00e1 la respuesta para esta multiplicaci\u00f3n de fracciones."}, {"start": 313.0, "end": 318.0, "text": " Y ya podemos contar con que es una fracci\u00f3n irreducible."}, {"start": 318.0, "end": 320.0, "text": " No se puede simplificar m\u00e1s."}, {"start": 320.0, "end": 323.0, "text": " Resolvemos ahora esta suma de fracciones homog\u00e9neas."}, {"start": 323.0, "end": 326.0, "text": " Fracciones con el mismo denominador."}, {"start": 326.0, "end": 330.0, "text": " Entonces conservamos ese denominador que es 30."}, {"start": 330.0, "end": 333.0, "text": " Y efectuamos la suma de los numeradores."}, {"start": 333.0, "end": 336.0, "text": " 8 m\u00e1s 9 nos da 17."}, {"start": 336.0, "end": 341.0, "text": " Y todo eso nos queda sobre la fracci\u00f3n 16 35."}, {"start": 341.0, "end": 344.0, "text": " Llegamos as\u00ed a una divisi\u00f3n de fracciones."}, {"start": 344.0, "end": 349.0, "text": " Donde vamos a aplicar lo que se conoce como ley de la oreja."}, {"start": 349.0, "end": 354.0, "text": " Eso consiste en multiplicar estos elementos externos."}, {"start": 354.0, "end": 356.0, "text": " Por lo que se llaman extremos."}, {"start": 356.0, "end": 358.0, "text": " Ac\u00e1 en la parte superior."}, {"start": 358.0, "end": 361.0, "text": " Es decir 17 por 35."}, {"start": 361.0, "end": 365.0, "text": " Y la multiplicaci\u00f3n de los elementos internos."}, {"start": 365.0, "end": 367.0, "text": " Por lo que se conoce como medios."}, {"start": 367.0, "end": 370.0, "text": " Ac\u00e1 en la parte inferior de la fracci\u00f3n."}, {"start": 370.0, "end": 373.0, "text": " Es decir 30 por 16."}, {"start": 373.0, "end": 377.0, "text": " Ahora lo que hacemos es el proceso de simplificaci\u00f3n."}, {"start": 377.0, "end": 379.0, "text": " En esto que ensamblamos."}, {"start": 379.0, "end": 381.0, "text": " Tal como lo hicimos por ac\u00e1."}, {"start": 381.0, "end": 384.0, "text": " Vamos a simplificar siempre un n\u00famero de arriba."}, {"start": 384.0, "end": 386.0, "text": " Con un n\u00famero de abajo."}, {"start": 386.0, "end": 388.0, "text": " Hasta que no se pueda hacer nada m\u00e1s."}, {"start": 388.0, "end": 393.0, "text": " Eso nos va a garantizar que la fracci\u00f3n que se obtiene es irreducible."}, {"start": 393.0, "end": 395.0, "text": " Por ejemplo 35 y 30."}, {"start": 395.0, "end": 398.0, "text": " Son n\u00fameros que se pueden dividir por 5."}, {"start": 398.0, "end": 401.0, "text": " Decimos quinta de 30 nos da 6."}, {"start": 401.0, "end": 404.0, "text": " Y quinta de 35 nos da 7."}, {"start": 404.0, "end": 407.0, "text": " Revisamos los dem\u00e1s n\u00fameros."}, {"start": 407.0, "end": 410.0, "text": " Y vemos que no es posible simplificar nada m\u00e1s."}, {"start": 410.0, "end": 415.0, "text": " Entonces procedemos a multiplicar los n\u00fameros que quedaron."}, {"start": 415.0, "end": 417.0, "text": " En el numerador 17 por 7."}, {"start": 417.0, "end": 419.0, "text": " 7 por 7 es 49."}, {"start": 419.0, "end": 420.0, "text": " Llevamos 4."}, {"start": 420.0, "end": 421.0, "text": " 7 por 1 es 7."}, {"start": 421.0, "end": 423.0, "text": " Y 4 que llevamos es 11."}, {"start": 423.0, "end": 425.0, "text": " Nos da 119."}, {"start": 425.0, "end": 427.0, "text": " En el denominador 6 por 16."}, {"start": 427.0, "end": 429.0, "text": " 6 por 6 es 36."}, {"start": 429.0, "end": 431.0, "text": " Escribimos el 6. Llevamos 3."}, {"start": 431.0, "end": 433.0, "text": " 6 por 1 es 6."}, {"start": 433.0, "end": 435.0, "text": " Y la fracci\u00f3n que llevamos es 9."}, {"start": 435.0, "end": 438.0, "text": " Nos da 96 en el denominador."}, {"start": 438.0, "end": 441.0, "text": " Entonces el resultado de este ejercicio."}, {"start": 441.0, "end": 445.0, "text": " Donde vemos la combinaci\u00f3n de operaciones con n\u00fameros fraccionarios."}, {"start": 445.0, "end": 449.0, "text": " Es 119. 96."}, {"start": 449.0, "end": 452.0, "text": " Como dec\u00edamos es una fracci\u00f3n irreducible."}, {"start": 452.0, "end": 455.0, "text": " O sea que no se puede simplificar m\u00e1s."}, {"start": 455.0, "end": 457.0, "text": " Tambi\u00e9n vemos que es una fracci\u00f3n impropia."}, {"start": 457.0, "end": 461.0, "text": " Porque el numerador es mayor que el denominador."}, {"start": 461.0, "end": 465.0, "text": " Podemos expresarla entonces como n\u00famero mixto."}, {"start": 465.0, "end": 468.0, "text": " Para ello debemos efectuar la divisi\u00f3n."}, {"start": 468.0, "end": 470.0, "text": " Entre el numerador y el denominador."}, {"start": 470.0, "end": 474.0, "text": " Tenemos all\u00ed una divisi\u00f3n por un n\u00famero de dos cifras."}, {"start": 474.0, "end": 477.0, "text": " Entonces tomamos la primera cifra en el dividendo."}, {"start": 477.0, "end": 479.0, "text": " Nos preguntamos si 96 cabe en 1."}, {"start": 479.0, "end": 481.0, "text": " Vemos que no es posible."}, {"start": 481.0, "end": 484.0, "text": " Tomamos las dos primeras cifras. O sea 11."}, {"start": 484.0, "end": 486.0, "text": " Nos preguntamos si 96 cabe en 11."}, {"start": 486.0, "end": 488.0, "text": " Vemos que no se puede."}, {"start": 488.0, "end": 490.0, "text": " Entonces tomamos las tres cifras en el dividendo."}, {"start": 490.0, "end": 492.0, "text": " 119."}, {"start": 492.0, "end": 495.0, "text": " Nos preguntamos si 96 cabe en 119."}, {"start": 495.0, "end": 497.0, "text": " Y vemos que si es posible."}, {"start": 497.0, "end": 500.0, "text": " Entonces separamos las tres cifras en el dividendo."}, {"start": 500.0, "end": 504.0, "text": " Si examinamos la tabla del n\u00famero 96."}, {"start": 504.0, "end": 506.0, "text": " 96 por 1 nos da 96."}, {"start": 506.0, "end": 508.0, "text": " 96 por 2."}, {"start": 508.0, "end": 511.0, "text": " Veamos. 2 por 6 es 12."}, {"start": 511.0, "end": 512.0, "text": " Llevamos 1."}, {"start": 512.0, "end": 514.0, "text": " 2 por 9 es 18."}, {"start": 514.0, "end": 516.0, "text": " Y 1 que llevamos es 19."}, {"start": 516.0, "end": 519.0, "text": " Aqu\u00ed vemos que ya se pasa de 119."}, {"start": 519.0, "end": 524.0, "text": " Por lo tanto 96 en 119 cabe una sola vez."}, {"start": 524.0, "end": 527.0, "text": " 1 por 96 nos da 96."}, {"start": 527.0, "end": 529.0, "text": " Aqu\u00ed lo tenemos."}, {"start": 529.0, "end": 531.0, "text": " Y efectuamos esta resta."}, {"start": 531.0, "end": 533.0, "text": " Entonces veamos."}, {"start": 533.0, "end": 535.0, "text": " 9 menos 6 nos da 3."}, {"start": 535.0, "end": 537.0, "text": " 1 menos 9 no se puede hacer."}, {"start": 537.0, "end": 539.0, "text": " Este 1 presta 1."}, {"start": 539.0, "end": 540.0, "text": " El 1 queda en 0."}, {"start": 540.0, "end": 542.0, "text": " Este 1 queda en 11."}, {"start": 542.0, "end": 544.0, "text": " Y 11 menos 9 nos da 2."}, {"start": 544.0, "end": 546.0, "text": " En la otra cifra ya nos queda 0."}, {"start": 546.0, "end": 548.0, "text": " All\u00ed no se puede hacer nada m\u00e1s."}, {"start": 548.0, "end": 550.0, "text": " Es una divisi\u00f3n inexacta."}, {"start": 550.0, "end": 554.0, "text": " Porque tenemos residuo diferente de 0."}, {"start": 554.0, "end": 556.0, "text": " Entonces con estos n\u00fameros."}, {"start": 556.0, "end": 558.0, "text": " Armamos el mixto."}, {"start": 558.0, "end": 560.0, "text": " El 1 es decir el cociente."}, {"start": 560.0, "end": 562.0, "text": " Es ac\u00e1 el n\u00famero entero."}, {"start": 562.0, "end": 565.0, "text": " Y la fracci\u00f3n se construye con estos dos n\u00fameros."}, {"start": 565.0, "end": 566.0, "text": " Con el residuo."}, {"start": 566.0, "end": 568.0, "text": " Que ac\u00e1 es el numerador."}, {"start": 568.0, "end": 570.0, "text": " Y con el divisor."}, {"start": 570.0, "end": 573.0, "text": " Que ac\u00e1 es el denominador."}, {"start": 573.0, "end": 576.0, "text": " Entonces el resultado de todo este ejercicio."}, {"start": 576.0, "end": 579.0, "text": " Puede expresarse como fracci\u00f3n impropia."}, {"start": 579.0, "end": 581.0, "text": " O como n\u00famero mixto."}, {"start": 581.0, "end": 583.0, "text": " Vamos a ver a continuaci\u00f3n la comprobaci\u00f3n."}, {"start": 583.0, "end": 585.0, "text": " De esto que hicimos manualmente."}, {"start": 585.0, "end": 587.0, "text": " En calculadora."}, {"start": 587.0, "end": 589.0, "text": " Para comprobar el ejercicio."}, {"start": 589.0, "end": 591.0, "text": " Utilizamos esta calculadora."}, {"start": 591.0, "end": 594.0, "text": " Comenzamos con la tecla de fracci\u00f3n."}, {"start": 594.0, "end": 596.0, "text": " Y ac\u00e1 en el numerador."}, {"start": 596.0, "end": 599.0, "text": " Vamos a escribir la suma de fracciones heterog\u00e9neas."}, {"start": 599.0, "end": 601.0, "text": " Que nos propone el ejercicio."}, {"start": 601.0, "end": 604.0, "text": " Oprimimos otra vez la tecla de fracci\u00f3n."}, {"start": 604.0, "end": 607.0, "text": " Y all\u00ed vamos a escribir 4 15 aus."}, {"start": 607.0, "end": 609.0, "text": " Ac\u00e1 en el numerador."}, {"start": 609.0, "end": 610.0, "text": " Donde tenemos el cursor."}, {"start": 610.0, "end": 612.0, "text": " Va el 4."}, {"start": 612.0, "end": 614.0, "text": " Nos movemos hacia abajo."}, {"start": 614.0, "end": 616.0, "text": " Con este bot\u00f3n del navegador."}, {"start": 616.0, "end": 618.0, "text": " Y all\u00ed va el n\u00famero 15."}, {"start": 618.0, "end": 620.0, "text": " Entonces lo escribimos."}, {"start": 620.0, "end": 623.0, "text": " Ahora corremos el cursor hacia la derecha."}, {"start": 623.0, "end": 626.0, "text": " Utilizando este bot\u00f3n del navegador."}, {"start": 626.0, "end": 628.0, "text": " Tecleamos el signo m\u00e1s."}, {"start": 628.0, "end": 630.0, "text": " Y vamos con la otra fracci\u00f3n."}, {"start": 630.0, "end": 632.0, "text": " Otra vez utilizamos esta tecla."}, {"start": 632.0, "end": 634.0, "text": " La de fracciones."}, {"start": 634.0, "end": 637.0, "text": " Y all\u00ed vamos a escribir 3 d\u00e9cimos."}, {"start": 637.0, "end": 638.0, "text": " En el numerador."}, {"start": 638.0, "end": 640.0, "text": " Tendremos el 3."}, {"start": 640.0, "end": 642.0, "text": " Nos movemos hacia abajo."}, {"start": 642.0, "end": 644.0, "text": " Con este bot\u00f3n del navegador."}, {"start": 644.0, "end": 646.0, "text": " Y all\u00ed escribimos el 10."}, {"start": 646.0, "end": 648.0, "text": " Ahora vamos a la parte inferior."}, {"start": 648.0, "end": 650.0, "text": " De la fracci\u00f3n principal."}, {"start": 650.0, "end": 652.0, "text": " Aqu\u00ed debemos escribir el producto."}, {"start": 652.0, "end": 654.0, "text": " Que nos propone el ejercicio."}, {"start": 654.0, "end": 656.0, "text": " En esta zona."}, {"start": 656.0, "end": 658.0, "text": " Entonces nos movemos hacia abajo."}, {"start": 658.0, "end": 661.0, "text": " Utilizando este bot\u00f3n del navegador."}, {"start": 661.0, "end": 664.0, "text": " Y all\u00ed oprimimos de nuevo la tecla de fracci\u00f3n."}, {"start": 664.0, "end": 667.0, "text": " Tenemos que escribir 12 25."}, {"start": 667.0, "end": 669.0, "text": " Entonces 12 en el numerador."}, {"start": 669.0, "end": 671.0, "text": " Nos movemos hacia abajo."}, {"start": 671.0, "end": 673.0, "text": " Con este bot\u00f3n del navegador."}, {"start": 673.0, "end": 676.0, "text": " Y all\u00ed escribimos el 25."}, {"start": 676.0, "end": 678.0, "text": " Corremos el cursor hacia la derecha."}, {"start": 678.0, "end": 680.0, "text": " Con el navegador."}, {"start": 680.0, "end": 682.0, "text": " Y escribimos el signo por."}, {"start": 682.0, "end": 684.0, "text": " Vamos con la otra fracci\u00f3n."}, {"start": 684.0, "end": 686.0, "text": " Tecla de fracci\u00f3n."}, {"start": 686.0, "end": 689.0, "text": " Ac\u00e1 debemos escribir 20 21."}, {"start": 689.0, "end": 691.0, "text": " Entonces en el numerador."}, {"start": 691.0, "end": 693.0, "text": " El n\u00famero 20."}, {"start": 693.0, "end": 696.0, "text": " Bajamos el cursor con el bot\u00f3n del navegador."}, {"start": 696.0, "end": 698.0, "text": " Y ac\u00e1 el n\u00famero 21."}, {"start": 698.0, "end": 700.0, "text": " Como se observa."}, {"start": 700.0, "end": 702.0, "text": " All\u00ed ya hemos ingresado el ejercicio propuesto."}, {"start": 702.0, "end": 705.0, "text": " Oprimimos ahora el signo igual."}, {"start": 705.0, "end": 707.0, "text": " Y nos aparece el resultado que obtuvimos."}, {"start": 707.0, "end": 710.0, "text": " Al resolver el ejercicio manualmente."}, {"start": 710.0, "end": 713.0, "text": " La fracci\u00f3n 119 96."}, {"start": 713.0, "end": 715.0, "text": " Aquella que dijimos que es impropia."}, {"start": 715.0, "end": 717.0, "text": " Y tambi\u00e9n irreducible."}, {"start": 717.0, "end": 719.0, "text": " Ahora tambi\u00e9n podemos comprobar."}, {"start": 719.0, "end": 721.0, "text": " La conversi\u00f3n a n\u00famero mixto."}, {"start": 721.0, "end": 723.0, "text": " Para ello utilizamos esta funci\u00f3n."}, {"start": 723.0, "end": 725.0, "text": " Que trae la calculadora."}, {"start": 725.0, "end": 727.0, "text": " Encima del bot\u00f3n SD."}, {"start": 727.0, "end": 729.0, "text": " Vemos que est\u00e1 en color amarillo."}, {"start": 729.0, "end": 731.0, "text": " Y que nos permite hacer."}, {"start": 731.0, "end": 733.0, "text": " El paso de n\u00famero mixto a fraccionario."}, {"start": 733.0, "end": 735.0, "text": " Y viceversa."}, {"start": 735.0, "end": 737.0, "text": " Para ello debemos oprimir primero."}, {"start": 737.0, "end": 739.0, "text": " El bot\u00f3n shift."}, {"start": 739.0, "end": 741.0, "text": " Y luego este bot\u00f3n SD."}, {"start": 741.0, "end": 743.0, "text": " Para activar lo que est\u00e1 en amarillo."}, {"start": 743.0, "end": 745.0, "text": " Entonces all\u00ed vemos como nos aparece."}, {"start": 745.0, "end": 747.0, "text": " El signo mixto que obtuvimos."}, {"start": 747.0, "end": 749.0, "text": " Un entero 23 96."}, {"start": 749.0, "end": 751.0, "text": " Con eso comprobamos."}, {"start": 751.0, "end": 753.0, "text": " Que el ejercicio que resolvimos manualmente."}, {"start": 753.0, "end": 779.0, "text": " Es correcto."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=FkpM7pW6ROc

41. PRODUCTO PUNTO, INTERNO O ESCALAR (Ejercicio 2)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 41: Producto Punto, interno o Escalar (Ejercicio 2). Encontrar el ángulo que forman los vectores P = i + 2j + 3k y Q = -4i + j - 6k Tema: El Movimiento y su Descripción. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

Ahora miremos el ejemplo 2. Dice encontrar el ángulo que forman estos dos vectores en el espacio. Tenemos el vector P de componentes y más 2j más 3k y el vector Q de componentes menos 4i más j menos 6k. Comenzamos por deshacer la notación ijk escribiendo los vectores así. P tiene componentes 1,2,3 y el vector Q tiene componentes menos 4,1, menos 6. A continuación vamos a determinar el producto punto entre los dos vectores. Entonces P producto punto o producto escalar con Q será igual a 1 por menos 4. Ahí multiplicamos las componentes en X más 2 por 1 multiplicando las componentes en Y más 3 por menos 6 multiplicando las componentes en Z. Eso nos da menos 4 más 2 menos 18 y toda esa operación nos da como resultado menos 20. Entonces el producto punto de estos dos vectores nos da el escalar menos 20. Enseguida vamos a determinar la magnitud, módulo o norma de cada vector. Comenzamos con P entonces será igual a la raíz cuadrada de 1 al cuadrado más 2 al cuadrado más 3 al cuadrado. Eso es igual a la raíz cuadrada de 1 al cuadrado que es 1, 2 al cuadrado es 4, 3 al cuadrado es 9 y toda esa suma nos da 14. Tenemos entonces que la magnitud de nuestro vector P es raíz cuadrada de 14. Procedemos ahora con el vector Q que será entonces la raíz cuadrada de menos 4 al cuadrado más 1 al cuadrado más menos 6 al cuadrado. Eso nos da entonces la raíz cuadrada de 16 más 1 más 36 y toda esa suma nos da 53. Entonces nos queda raíz cuadrada de 53 la magnitud del vector Q. Ahora utilizamos la expresión para encontrar el ángulo theta entre los vectores P y Q. Recordemos que sería en este caso el producto punto de los vectores P y Q en el numerador y acá en el denominador tenemos el producto de las magnitudes de los dos vectores. Vamos entonces a sustituir la información que tenemos. El producto punto nos dio menos 20, la magnitud del vector P nos dio raíz cuadrada de 14 y la magnitud del vector Q nos dio raíz cuadrada de 53. Haciendo toda esta operación en la calculadora nos da aproximadamente igual a menos 0.73422. Ese es el resultado aproximándolo a 5 cifras decimales. Finalmente vamos a encontrar el valor del ángulo theta. Como cos theta es aproximadamente igual a este número, entonces decimos que theta es aproximadamente igual a cos la menos 1 de este valor de menos 0.73422. Haciendo esto en la calculadora obteremos un valor para theta de aproximadamente 137.2 grados. Este sería el ángulo que forman esos vectores P y Q en el espacio. Se trata de un ángulo obtuso. Con seguridad si los visualizamos en el espacio más o menos formarían un ángulo así. Un ángulo de 137.2 grados. ¡Suscríbete al canal!

[{"start": 0.0, "end": 20.0, "text": " Ahora miremos el ejemplo 2. Dice encontrar el \u00e1ngulo que forman estos dos vectores en el espacio."}, {"start": 20.0, "end": 32.0, "text": " Tenemos el vector P de componentes y m\u00e1s 2j m\u00e1s 3k y el vector Q de componentes menos 4i m\u00e1s j menos 6k."}, {"start": 32.0, "end": 55.0, "text": " Comenzamos por deshacer la notaci\u00f3n ijk escribiendo los vectores as\u00ed. P tiene componentes 1,2,3 y el vector Q tiene componentes menos 4,1, menos 6."}, {"start": 55.0, "end": 62.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a determinar el producto punto entre los dos vectores."}, {"start": 62.0, "end": 71.0, "text": " Entonces P producto punto o producto escalar con Q ser\u00e1 igual a 1 por menos 4."}, {"start": 71.0, "end": 88.0, "text": " Ah\u00ed multiplicamos las componentes en X m\u00e1s 2 por 1 multiplicando las componentes en Y m\u00e1s 3 por menos 6 multiplicando las componentes en Z."}, {"start": 88.0, "end": 102.0, "text": " Eso nos da menos 4 m\u00e1s 2 menos 18 y toda esa operaci\u00f3n nos da como resultado menos 20."}, {"start": 102.0, "end": 108.0, "text": " Entonces el producto punto de estos dos vectores nos da el escalar menos 20."}, {"start": 108.0, "end": 115.0, "text": " Enseguida vamos a determinar la magnitud, m\u00f3dulo o norma de cada vector."}, {"start": 115.0, "end": 127.0, "text": " Comenzamos con P entonces ser\u00e1 igual a la ra\u00edz cuadrada de 1 al cuadrado m\u00e1s 2 al cuadrado m\u00e1s 3 al cuadrado."}, {"start": 127.0, "end": 141.0, "text": " Eso es igual a la ra\u00edz cuadrada de 1 al cuadrado que es 1, 2 al cuadrado es 4, 3 al cuadrado es 9 y toda esa suma nos da 14."}, {"start": 141.0, "end": 148.0, "text": " Tenemos entonces que la magnitud de nuestro vector P es ra\u00edz cuadrada de 14."}, {"start": 148.0, "end": 166.0, "text": " Procedemos ahora con el vector Q que ser\u00e1 entonces la ra\u00edz cuadrada de menos 4 al cuadrado m\u00e1s 1 al cuadrado m\u00e1s menos 6 al cuadrado."}, {"start": 166.0, "end": 180.0, "text": " Eso nos da entonces la ra\u00edz cuadrada de 16 m\u00e1s 1 m\u00e1s 36 y toda esa suma nos da 53."}, {"start": 180.0, "end": 186.0, "text": " Entonces nos queda ra\u00edz cuadrada de 53 la magnitud del vector Q."}, {"start": 186.0, "end": 194.0, "text": " Ahora utilizamos la expresi\u00f3n para encontrar el \u00e1ngulo theta entre los vectores P y Q."}, {"start": 194.0, "end": 212.0, "text": " Recordemos que ser\u00eda en este caso el producto punto de los vectores P y Q en el numerador y ac\u00e1 en el denominador tenemos el producto de las magnitudes de los dos vectores."}, {"start": 212.0, "end": 216.0, "text": " Vamos entonces a sustituir la informaci\u00f3n que tenemos."}, {"start": 216.0, "end": 233.0, "text": " El producto punto nos dio menos 20, la magnitud del vector P nos dio ra\u00edz cuadrada de 14 y la magnitud del vector Q nos dio ra\u00edz cuadrada de 53."}, {"start": 233.0, "end": 250.0, "text": " Haciendo toda esta operaci\u00f3n en la calculadora nos da aproximadamente igual a menos 0.73422. Ese es el resultado aproxim\u00e1ndolo a 5 cifras decimales."}, {"start": 250.0, "end": 272.0, "text": " Finalmente vamos a encontrar el valor del \u00e1ngulo theta. Como cos theta es aproximadamente igual a este n\u00famero, entonces decimos que theta es aproximadamente igual a cos la menos 1 de este valor de menos 0.73422."}, {"start": 272.0, "end": 283.0, "text": " Haciendo esto en la calculadora obteremos un valor para theta de aproximadamente 137.2 grados."}, {"start": 283.0, "end": 304.0, "text": " Este ser\u00eda el \u00e1ngulo que forman esos vectores P y Q en el espacio. Se trata de un \u00e1ngulo obtuso. Con seguridad si los visualizamos en el espacio m\u00e1s o menos formar\u00edan un \u00e1ngulo as\u00ed. Un \u00e1ngulo de 137.2 grados."}, {"start": 313.0, "end": 329.0, "text": " \u00a1Suscr\u00edbete al canal!"}]

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PRODUCTOS NOTABLES: BINOMIO AL CUBO (Ejercicio 1)

#julioprofe explica cómo aplicar el Producto Notable llamado Binomio al Cubo. Tema: #ProductosNotables → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGZ0Uc88U7suZlA784fjzzj REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a obtener paso a paso el desarrollo de este binomio elevado al cubo y para ello vamos a recordar el producto notable que corresponde a esa situación. Si tenemos la suma de dos cantidades, es decir un binomio elevado al cubo, entonces esto es igual a la primera cantidad al cubo más tres veces la primera cantidad al cuadrado por la segunda más tres veces la primera cantidad por la segunda elevada al cuadrado más la segunda cantidad elevada al cubo. Entonces este producto notable es de gran importancia porque nos permite desarrollar esa situación, un binomio elevado al cubo. Entonces vamos a construir toda esta expresión donde A está representada por 3C y B está representada por 4M. Comenzamos con A al cubo, es decir la primera cantidad que es 3C protegida con paréntesis elevada al cubo, después tenemos más tres veces la primera cantidad al cuadrado, es decir 3C, todo esto entre paréntesis al cuadrado por la segunda cantidad que es 4M. Entonces tenemos más tres veces la primera cantidad, es decir 3C por la segunda cantidad elevada al cuadrado, es decir 4M al cuadrado y después tenemos más la segunda cantidad que es 4M entre paréntesis elevada al cubo. Ahora vamos a desarrollar lo que tenemos en cada uno de los términos, comenzamos por el desarrollo de estas potencias donde aplicamos la siguiente propiedad de la potenciación, si tenemos un producto P por Q y esto elevado al exponente N, entonces nos queda P a la N por Q a la N, el exponente se reparte para los factores que tenemos en la base. Entonces es la situación que tenemos acá, nos quedaría 3 al cubo por C al cubo, después tenemos más tres por, aquí pasa lo mismo, nos queda tres al cuadrado por C al cuadrado y esto multiplicado por 4M, allí ya podemos quitarle el paréntesis, después tenemos más tres por 3C, también quitamos el paréntesis a esa cantidad y aquí repartimos el exponente 2, nos queda cuatro al cuadrado por M al cuadrado más, aquí también repartimos el exponente, nos queda cuatro al cubo por M al cubo siguiendo esta propiedad. Continuamos con el desarrollo de las operaciones, tendremos tres al cubo que es 27 acompañado de C al cubo más, aquí tenemos tres por tres al cuadrado que es nueve por C al cuadrado por 4M, después tenemos más tres por 3C por aquí, cuatro al cuadrado, 16 acompañado de M al cuadrado y después tenemos cuatro al cubo que es 64 y queda acompañado de M al cubo. Finalmente desarrollamos las operaciones que tenemos en estos dos términos, es decir, en el segundo y en el tercero, en el primero y en el cuarto término ya tenemos todo listo, entonces esto nos queda 27C al cubo más, veamos acá, tenemos tres por nueve que es 27 y 27 por cuatro nos da 108, entonces 108 que queda acompañado de la parte literal C al cuadrado y esto por M, después tenemos más aquí tres por tres nueve, nueve por 16 nos da 144, esto queda acompañado de las letras C y M al cuadrado y terminamos con este término, 64M al cubo. De esta manera hemos obtenido la expresión que corresponde al desarrollo o expansión de ese binomio elevado al cubo.

[{"start": 0.0, "end": 9.5, "text": " Vamos a obtener paso a paso el desarrollo de este binomio elevado al cubo y para ello"}, {"start": 9.5, "end": 15.0, "text": " vamos a recordar el producto notable que corresponde a esa situaci\u00f3n."}, {"start": 15.0, "end": 21.94, "text": " Si tenemos la suma de dos cantidades, es decir un binomio elevado al cubo, entonces esto"}, {"start": 21.94, "end": 28.900000000000002, "text": " es igual a la primera cantidad al cubo m\u00e1s tres veces la primera cantidad al cuadrado"}, {"start": 28.9, "end": 36.86, "text": " por la segunda m\u00e1s tres veces la primera cantidad por la segunda elevada al cuadrado"}, {"start": 36.86, "end": 41.44, "text": " m\u00e1s la segunda cantidad elevada al cubo."}, {"start": 41.44, "end": 46.32, "text": " Entonces este producto notable es de gran importancia porque nos permite desarrollar"}, {"start": 46.32, "end": 50.76, "text": " esa situaci\u00f3n, un binomio elevado al cubo."}, {"start": 50.76, "end": 57.28, "text": " Entonces vamos a construir toda esta expresi\u00f3n donde A est\u00e1 representada por 3C y B est\u00e1"}, {"start": 57.28, "end": 59.56, "text": " representada por 4M."}, {"start": 59.56, "end": 66.88, "text": " Comenzamos con A al cubo, es decir la primera cantidad que es 3C protegida con par\u00e9ntesis"}, {"start": 66.88, "end": 73.4, "text": " elevada al cubo, despu\u00e9s tenemos m\u00e1s tres veces la primera cantidad al cuadrado, es"}, {"start": 73.4, "end": 82.76, "text": " decir 3C, todo esto entre par\u00e9ntesis al cuadrado por la segunda cantidad que es 4M."}, {"start": 82.76, "end": 91.16000000000001, "text": " Entonces tenemos m\u00e1s tres veces la primera cantidad, es decir 3C por la segunda cantidad"}, {"start": 91.16000000000001, "end": 99.32000000000001, "text": " elevada al cuadrado, es decir 4M al cuadrado y despu\u00e9s tenemos m\u00e1s la segunda cantidad"}, {"start": 99.32000000000001, "end": 105.28, "text": " que es 4M entre par\u00e9ntesis elevada al cubo."}, {"start": 105.28, "end": 110.08000000000001, "text": " Ahora vamos a desarrollar lo que tenemos en cada uno de los t\u00e9rminos, comenzamos por"}, {"start": 110.08, "end": 117.0, "text": " el desarrollo de estas potencias donde aplicamos la siguiente propiedad de la potenciaci\u00f3n,"}, {"start": 117.0, "end": 123.0, "text": " si tenemos un producto P por Q y esto elevado al exponente N, entonces nos queda P a la"}, {"start": 123.0, "end": 130.2, "text": " N por Q a la N, el exponente se reparte para los factores que tenemos en la base."}, {"start": 130.2, "end": 136.72, "text": " Entonces es la situaci\u00f3n que tenemos ac\u00e1, nos quedar\u00eda 3 al cubo por C al cubo, despu\u00e9s"}, {"start": 136.72, "end": 144.36, "text": " tenemos m\u00e1s tres por, aqu\u00ed pasa lo mismo, nos queda tres al cuadrado por C al cuadrado"}, {"start": 144.36, "end": 150.12, "text": " y esto multiplicado por 4M, all\u00ed ya podemos quitarle el par\u00e9ntesis, despu\u00e9s tenemos"}, {"start": 150.12, "end": 158.32, "text": " m\u00e1s tres por 3C, tambi\u00e9n quitamos el par\u00e9ntesis a esa cantidad y aqu\u00ed repartimos el exponente"}, {"start": 158.32, "end": 165.52, "text": " 2, nos queda cuatro al cuadrado por M al cuadrado m\u00e1s, aqu\u00ed tambi\u00e9n repartimos el exponente,"}, {"start": 165.52, "end": 171.24, "text": " nos queda cuatro al cubo por M al cubo siguiendo esta propiedad."}, {"start": 171.24, "end": 178.76000000000002, "text": " Continuamos con el desarrollo de las operaciones, tendremos tres al cubo que es 27 acompa\u00f1ado"}, {"start": 178.76000000000002, "end": 187.68, "text": " de C al cubo m\u00e1s, aqu\u00ed tenemos tres por tres al cuadrado que es nueve por C al cuadrado"}, {"start": 187.68, "end": 197.56, "text": " por 4M, despu\u00e9s tenemos m\u00e1s tres por 3C por aqu\u00ed, cuatro al cuadrado, 16 acompa\u00f1ado"}, {"start": 197.56, "end": 205.72, "text": " de M al cuadrado y despu\u00e9s tenemos cuatro al cubo que es 64 y queda acompa\u00f1ado de M"}, {"start": 205.72, "end": 207.08, "text": " al cubo."}, {"start": 207.08, "end": 211.96, "text": " Finalmente desarrollamos las operaciones que tenemos en estos dos t\u00e9rminos, es decir,"}, {"start": 211.96, "end": 218.32000000000002, "text": " en el segundo y en el tercero, en el primero y en el cuarto t\u00e9rmino ya tenemos todo listo,"}, {"start": 218.32000000000002, "end": 226.20000000000002, "text": " entonces esto nos queda 27C al cubo m\u00e1s, veamos ac\u00e1, tenemos tres por nueve que es"}, {"start": 226.20000000000002, "end": 234.96, "text": " 27 y 27 por cuatro nos da 108, entonces 108 que queda acompa\u00f1ado de la parte literal"}, {"start": 234.96, "end": 242.52, "text": " C al cuadrado y esto por M, despu\u00e9s tenemos m\u00e1s aqu\u00ed tres por tres nueve, nueve por"}, {"start": 242.52, "end": 252.08, "text": " 16 nos da 144, esto queda acompa\u00f1ado de las letras C y M al cuadrado y terminamos con"}, {"start": 252.08, "end": 255.64000000000001, "text": " este t\u00e9rmino, 64M al cubo."}, {"start": 255.64000000000001, "end": 262.68, "text": " De esta manera hemos obtenido la expresi\u00f3n que corresponde al desarrollo o expansi\u00f3n"}, {"start": 262.68, "end": 265.12, "text": " de ese binomio elevado al cubo."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=74HxpaBvLPA

62. Mensaje de MATEMOVIL a Julioprofe

Agradecimiento al ingeniero Jorge Tejero Green (canal en YouTube: MateMovil https://youtube.com/matemovil1) por su mensaje desde Piura (Perú). Graba un corto video y envíamelo al correo julioprofecolombia@gmail.com para publicarlo en este canal. Incluye tu nombre, ciudad, país e institución educativa a la que perteneces y cuéntame cuál ha sido tu experiencia con el material educativo que he producido. De antemano, ¡Muchas Gracias! #julioprofe

Hola chicos, yo soy Jorge de MateMobil, pero el día de hoy estoy aquí para felicitar a Julio Profe por sus casi dos billones de suscriptores. Un estadio grande, tiene una capacidad para 50.000 personas. Tendríamos que llenar 40 estadios para poder alcanzar la cantidad de suscriptores que tiene el canal de Julio Profe. Yo empecé la universidad en el año 2005, y en esa época, para poder estudiar un tema que no habías comprendido bien, tenías que ir a la biblioteca, sacar un libro, luego ir a fotocopiarlo, y devolver el libro con esperanza de que no te hayan puesto ninguna multa en la biblioteca por haberte accedido del tiempo. Ahora, si te pierdes de algo, o faltaste a clase, simplemente te conectas a YouTube, al canal de Julio Profe, y listo. Vas a entender todo por completo. He grabado algunos otros videos de matemáticas y estadísticas, pero siempre que ando en busca de un poco de inspiración, entro al canal del Profe para poder comprender algunos métodos interesantes. Así que, yo por ahora me despido, y felicitaciones Profe, nuevamente por alcanzar una cifra tan grande de suscriptores. Un saludo y suerte. Subtítulos realizados por la comunidad de Amara.org

[{"start": 0.0, "end": 12.0, "text": " Hola chicos, yo soy Jorge de MateMobil, pero el d\u00eda de hoy estoy aqu\u00ed para felicitar a Julio Profe por sus casi dos billones de suscriptores."}, {"start": 12.0, "end": 16.0, "text": " Un estadio grande, tiene una capacidad para 50.000 personas."}, {"start": 16.0, "end": 23.0, "text": " Tendr\u00edamos que llenar 40 estadios para poder alcanzar la cantidad de suscriptores que tiene el canal de Julio Profe."}, {"start": 23.0, "end": 29.0, "text": " Yo empec\u00e9 la universidad en el a\u00f1o 2005, y en esa \u00e9poca, para poder estudiar un tema que no hab\u00edas comprendido bien,"}, {"start": 29.0, "end": 40.0, "text": " ten\u00edas que ir a la biblioteca, sacar un libro, luego ir a fotocopiarlo, y devolver el libro con esperanza de que no te hayan puesto ninguna multa en la biblioteca por haberte accedido del tiempo."}, {"start": 40.0, "end": 47.0, "text": " Ahora, si te pierdes de algo, o faltaste a clase, simplemente te conectas a YouTube, al canal de Julio Profe, y listo."}, {"start": 47.0, "end": 50.0, "text": " Vas a entender todo por completo."}, {"start": 50.0, "end": 63.0, "text": " He grabado algunos otros videos de matem\u00e1ticas y estad\u00edsticas, pero siempre que ando en busca de un poco de inspiraci\u00f3n, entro al canal del Profe para poder comprender algunos m\u00e9todos interesantes."}, {"start": 63.0, "end": 69.0, "text": " As\u00ed que, yo por ahora me despido, y felicitaciones Profe, nuevamente por alcanzar una cifra tan grande de suscriptores."}, {"start": 69.0, "end": 94.0, "text": " Un saludo y suerte."}, {"start": 99.0, "end": 102.0, "text": " Subt\u00edtulos realizados por la comunidad de Amara.org"}]

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https://www.youtube.com/watch?v=ft1js9gI0eM

40. PRODUCTO PUNTO, INTERNO O ESCALAR (Ejercicio 1)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 40: Producto Punto, interno o Escalar (Ejercicio 1). Determinar el ángulo que forman los vectores a = 3i + 5j y b = 4i + j Tema: El Movimiento y su Descripción. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

Miren un primer ejemplo con dos vectores en el plano. Dice determinar el ángulo que forman los vectores A de componentes 3i más 5j y el vector B de componentes 4i más j. Comenzamos por escribir los dos vectores de la siguiente manera. El vector A tiene componentes 3,5 y el vector B tiene componentes 4,1. Es decir, deshacemos la notación ij para mayor comodidad y vamos a proceder con el cálculo del producto punto o producto interno o producto escalar entre ellos. Entonces hacemos lo siguiente, multiplicamos 3 por 4 más 5 por 1. Hacemos el producto de las componentes respectivas y luego la suma entre ellos. 3 por 4 nos da 12 más 5 por 1, 5 y esto nos da 17. Entonces el producto punto entre los dos vectores es el número o el escalar 17. Ahora vamos a determinar para cada vector su norma, módulo o magnitud. Comenzamos con el vector A, entonces tendremos que eso es igual a la raíz cuadrada de 3 al cuadrado más 5 al cuadrado. Efectuando toda esta operación nos queda raíz cuadrada de 9 más 25 y eso es igual a la raíz cuadrada de 34. Ahora procedemos con el vector B, su magnitud módulo o norma será igual a la raíz cuadrada de 4 al cuadrado más 1 al cuadrado. Y esto es igual a la raíz cuadrada de 16 más 1 que a su vez es igual a la raíz cuadrada de 17. A continuación vamos a utilizar la expresión que nos permite determinar el ángulo theta entre los vectores A y B. Será entonces A producto punto con B en el numerador y abajo tendremos la magnitud de A multiplicada por la magnitud módulo o norma de B. Entonces vamos a reemplazar los valores. A producto punto con B nos dio 17, magnitud del vector A es raíz de 34 y todo eso multiplicado por raíz cuadrada de 17 que es la magnitud del vector B. Esta expresión la podemos transformar de la siguiente manera. Nos queda en el numerador 17 y en el denominador raíz cuadrada de 34 lo podemos descomponer como raíz cuadrada de 2 por raíz cuadrada de 17 y eso multiplica por otra raíz cuadrada de 17. Entonces tenemos lo siguiente. Abajo tendremos raíz cuadrada de 2 por el producto de estas dos raíces nos da raíz cuadrada de 17 al cuadrado que se convierte en 17 y vemos la posibilidad de simplificar este 17. Es como si sacáramos 17 aba y nos queda entonces 1 dividido entre raíz cuadrada de 2. Esta expresión podemos racionalizarla multiplicando por raíz cuadrada de 2 abajo y arriba y nos va a dar como resultado lo siguiente. En la parte de arriba 1 por raíz cuadrada de 2 nos da raíz cuadrada de 2 y en la parte de abajo raíz cuadrada de 2 por raíz cuadrada de 2 nos da raíz cuadrada de 2 al cuadrado que es igual a 2. Entonces tenemos que el coseno del ángulo theta equivale a raíz cuadrada de 2 dividido entre 2. Si de aquí despejamos el ángulo theta aplicando la función trigonométrica inversa coseno a la menos 1 de raíz cuadrada de 2 entre 2 obtenemos el ángulo theta de 45 grados y de esta manera respondemos a la pregunta. El ángulo que forman los vectores a y b es 45 grados. Lo que acabamos de hacer analíticamente podemos comprobarlo de manera gráfica. Vamos al plano cartesiano dibujamos los dos vectores a y b recordemos que las componentes del vector a son 3,5 allí podemos ver que tiene origen en el punto 0,0 y extremo en el punto de coordenadas 3,5 y para el caso del vector b sus componentes son 4,1 también tiene origen en el punto 0,0 y extremo en el punto de coordenadas 4,1 y entonces necesitamos probar que este ángulo es de 45 grados que fue el que obtuvimos utilizando el producto punto y la expresión que vimos hace un momento. Para ello podemos tomar una escuadra que tiene aquí en esta punta ángulo de 45 grados y podemos llevarla hasta ese punto hasta allí para ver que efectivamente el ángulo que forman los dos vectores es de 45 grados. Entonces se comprueba gráficamente que este ángulo el ángulo de menor giro que forman los dos vectores a y b es de 45 grados. ¡Suscríbete!

[{"start": 0.0, "end": 17.400000000000002, "text": " Miren un primer ejemplo con dos vectores en el plano."}, {"start": 17.400000000000002, "end": 26.12, "text": " Dice determinar el \u00e1ngulo que forman los vectores A de componentes 3i m\u00e1s 5j y el"}, {"start": 26.12, "end": 34.28, "text": " vector B de componentes 4i m\u00e1s j. Comenzamos por escribir los dos vectores"}, {"start": 34.28, "end": 43.72, "text": " de la siguiente manera. El vector A tiene componentes 3,5 y el vector B"}, {"start": 43.72, "end": 53.400000000000006, "text": " tiene componentes 4,1. Es decir, deshacemos la notaci\u00f3n ij para mayor"}, {"start": 53.4, "end": 61.4, "text": " comodidad y vamos a proceder con el c\u00e1lculo del producto punto o producto"}, {"start": 61.4, "end": 66.92, "text": " interno o producto escalar entre ellos. Entonces hacemos lo siguiente,"}, {"start": 66.92, "end": 70.72, "text": " multiplicamos 3 por 4"}, {"start": 71.8, "end": 77.8, "text": " m\u00e1s 5 por 1. Hacemos el producto de las componentes"}, {"start": 77.8, "end": 88.08, "text": " respectivas y luego la suma entre ellos. 3 por 4 nos da 12 m\u00e1s 5 por 1, 5 y esto"}, {"start": 88.08, "end": 95.64, "text": " nos da 17. Entonces el producto punto entre los dos vectores es el n\u00famero o"}, {"start": 95.64, "end": 103.24, "text": " el escalar 17. Ahora vamos a determinar para cada vector su norma, m\u00f3dulo o"}, {"start": 103.24, "end": 109.8, "text": " magnitud. Comenzamos con el vector A, entonces tendremos que eso es igual a la"}, {"start": 109.8, "end": 116.72, "text": " ra\u00edz cuadrada de 3 al cuadrado m\u00e1s 5 al cuadrado."}, {"start": 116.72, "end": 125.84, "text": " Efectuando toda esta operaci\u00f3n nos queda ra\u00edz cuadrada de 9 m\u00e1s 25 y eso es igual"}, {"start": 125.84, "end": 136.0, "text": " a la ra\u00edz cuadrada de 34. Ahora procedemos con el vector B, su magnitud"}, {"start": 136.0, "end": 143.8, "text": " m\u00f3dulo o norma ser\u00e1 igual a la ra\u00edz cuadrada de 4 al cuadrado m\u00e1s 1 al"}, {"start": 143.8, "end": 146.24, "text": " cuadrado."}, {"start": 146.88, "end": 152.6, "text": " Y esto es igual a la ra\u00edz cuadrada de 16 m\u00e1s 1"}, {"start": 152.6, "end": 161.51999999999998, "text": " que a su vez es igual a la ra\u00edz cuadrada de 17. A continuaci\u00f3n vamos a utilizar la"}, {"start": 161.51999999999998, "end": 168.16, "text": " expresi\u00f3n que nos permite determinar el \u00e1ngulo theta entre los vectores A y B."}, {"start": 168.16, "end": 175.35999999999999, "text": " Ser\u00e1 entonces A producto punto con B en el numerador"}, {"start": 175.36, "end": 183.48000000000002, "text": " y abajo tendremos la magnitud de A multiplicada por la magnitud m\u00f3dulo o"}, {"start": 183.48000000000002, "end": 190.20000000000002, "text": " norma de B. Entonces vamos a reemplazar los valores. A producto punto con B nos dio"}, {"start": 190.20000000000002, "end": 198.8, "text": " 17, magnitud del vector A es ra\u00edz de 34 y todo eso multiplicado por ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 198.8, "end": 208.28, "text": " de 17 que es la magnitud del vector B. Esta expresi\u00f3n la podemos transformar de"}, {"start": 208.28, "end": 216.28, "text": " la siguiente manera. Nos queda en el numerador 17 y en el denominador ra\u00edz"}, {"start": 216.28, "end": 223.32000000000002, "text": " cuadrada de 34 lo podemos descomponer como ra\u00edz cuadrada de 2 por ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 223.32, "end": 231.23999999999998, "text": " de 17 y eso multiplica por otra ra\u00edz cuadrada de 17."}, {"start": 231.23999999999998, "end": 239.44, "text": " Entonces tenemos lo siguiente. Abajo tendremos ra\u00edz cuadrada de 2 por el"}, {"start": 239.44, "end": 245.76, "text": " producto de estas dos ra\u00edces nos da ra\u00edz cuadrada de 17 al cuadrado que se"}, {"start": 245.76, "end": 252.48, "text": " convierte en 17 y vemos la posibilidad de simplificar este 17. Es como si"}, {"start": 252.48, "end": 262.44, "text": " sac\u00e1ramos 17 aba y nos queda entonces 1 dividido entre ra\u00edz cuadrada de 2."}, {"start": 262.44, "end": 270.59999999999997, "text": " Esta expresi\u00f3n podemos racionalizarla multiplicando por ra\u00edz cuadrada de 2"}, {"start": 270.59999999999997, "end": 277.32, "text": " abajo y arriba y nos va a dar como resultado lo siguiente."}, {"start": 277.32, "end": 283.32, "text": " En la parte de arriba 1 por ra\u00edz cuadrada de 2 nos da ra\u00edz cuadrada de 2 y en la"}, {"start": 283.32, "end": 288.36, "text": " parte de abajo ra\u00edz cuadrada de 2 por ra\u00edz cuadrada de 2 nos da ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 288.36, "end": 293.64, "text": " de 2 al cuadrado que es igual a 2. Entonces tenemos que el coseno del \u00e1ngulo"}, {"start": 293.64, "end": 300.71999999999997, "text": " theta equivale a ra\u00edz cuadrada de 2 dividido entre 2. Si de aqu\u00ed despejamos"}, {"start": 300.71999999999997, "end": 307.2, "text": " el \u00e1ngulo theta aplicando la funci\u00f3n trigonom\u00e9trica inversa coseno a la"}, {"start": 307.2, "end": 317.32, "text": " menos 1 de ra\u00edz cuadrada de 2 entre 2 obtenemos el \u00e1ngulo theta de 45 grados y"}, {"start": 317.32, "end": 323.64, "text": " de esta manera respondemos a la pregunta. El \u00e1ngulo que forman los vectores a y b"}, {"start": 323.64, "end": 332.48, "text": " es 45 grados. Lo que acabamos de hacer anal\u00edticamente podemos comprobarlo de"}, {"start": 332.48, "end": 338.72, "text": " manera gr\u00e1fica. Vamos al plano cartesiano dibujamos los dos vectores a y b"}, {"start": 338.72, "end": 345.64000000000004, "text": " recordemos que las componentes del vector a son 3,5 all\u00ed podemos ver que"}, {"start": 345.64000000000004, "end": 353.92, "text": " tiene origen en el punto 0,0 y extremo en el punto de coordenadas 3,5 y para el"}, {"start": 353.92, "end": 362.20000000000005, "text": " caso del vector b sus componentes son 4,1 tambi\u00e9n tiene origen en el punto 0,0"}, {"start": 362.2, "end": 370.8, "text": " y extremo en el punto de coordenadas 4,1 y entonces necesitamos probar que este"}, {"start": 370.8, "end": 377.8, "text": " \u00e1ngulo es de 45 grados que fue el que obtuvimos utilizando el producto punto"}, {"start": 377.8, "end": 383.68, "text": " y la expresi\u00f3n que vimos hace un momento. Para ello podemos tomar una escuadra que"}, {"start": 383.68, "end": 391.68, "text": " tiene aqu\u00ed en esta punta \u00e1ngulo de 45 grados y podemos llevarla hasta ese punto"}, {"start": 391.68, "end": 398.28000000000003, "text": " hasta all\u00ed para ver que efectivamente el \u00e1ngulo que forman los dos vectores es"}, {"start": 398.28000000000003, "end": 405.76, "text": " de 45 grados. Entonces se comprueba gr\u00e1ficamente que este \u00e1ngulo el \u00e1ngulo"}, {"start": 405.76, "end": 435.0, "text": " de menor giro que forman los dos vectores a y b es de 45 grados."}, {"start": 435.0, "end": 438.0, "text": " \u00a1Suscr\u00edbete!"}]

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39. PRODUCTO PUNTO, INTERNO O ESCALAR (Teoría)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 39: Producto Punto, interno o Escalar (Teoría). Tema: El Movimiento y su Descripción. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

El producto punto interno o escalar es una operación entre dos vectores. Por ejemplo, si tenemos dos vectores F y G, el producto punto interno o escalar se denota con este puntico y nos da como resultado un escalar. De allí debe su nombre, es decir, nos da como resultado un número. Si por ejemplo tenemos dos vectores en el plano, como el caso de los vectores A y B, con sus respectivas componentes en X y Y, entonces el producto punto entre ellos se calcula de la siguiente manera, multiplicamos A1 por B1 y a eso le sumamos el producto de A2 con B2. Es decir, se calcula haciendo la suma de los productos de las componentes respectivas. Ahora, si tenemos dos vectores en el espacio, los vectores C y D, con sus respectivas componentes en X, Y y Z, entonces el producto punto entre ellos se calcula así, multiplicamos C1 por D1 más C2 por D2 más C3 por D3. Nuevamente vemos que se calcula haciendo la suma de los productos de las componentes respectivas de los vectores. Geométricamente el producto punto interno o escalar de dos vectores, por ejemplo P y Q, se calcula de la siguiente manera, P producto punto con Q es igual a la magnitud norma o módulo de P por la magnitud norma o módulo de Q por el coseno de theta, donde theta es el ángulo de menor giro que forman los dos vectores, en este caso P y Q. De esta expresión podemos despejar coseno de theta, ese despeje nos dará lo siguiente, será igual a P producto punto con Q dividido todo eso entre la magnitud norma o módulo de P por la magnitud norma o módulo de Q. Con esta expresión podemos entonces encontrar el ángulo que forman los dos vectores. ¡Suscríbete al canal!

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LÍMITES ALGEBRAICOS - Ejercicio 19

#julioprofe explica cómo resolver un límite algebraico utilizando conjugación y factorización como estrategia de solución. Tema: #Límites → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEeindtt3TarvkVHRDmqNTf REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

¿Qué es el valor de x? Para resolver este límite algebraico, lo primero que hacemos es evaluar esta expresión cuando x toma el valor 3. Veamos, en el numerador nos queda 2 por 3 más 3, todo esto dentro de la raíz cuadrada, eso menos el valor de x que es 3, y en el denominador tenemos x que se cambia por 3 menos 3. Vamos a resolver entonces esas operaciones, aquí tenemos 2 por 3 es 6, 6 más 3 nos da 9, la raíz cuadrada de 9 es 3, y 3 menos 3 es 0 en el numerador, y en el denominador 3 menos 3 también nos da 0, entonces llegamos a una forma indeterminada, 0 sobre 0, que nos indica que hay que hacerle algo a esa expresión para poder dar la respuesta correcta a ese límite, no podemos dejarla aquí como 0 sobre 0. La estrategia que vamos a utilizar es multiplicar en el numerador y en el denominador por el conjugado de la expresión que tenemos en el numerador, entonces esto nos queda así, límite cuando x tiende a 3, d, en el numerador tenemos la raíz cuadrada de 2x más 3, todo esto menos x, entonces vamos a proteger esto con paréntesis y vamos a multiplicar por el conjugado de esa expresión que será la raíz cuadrada de 2x más 3 y todo esto más x, recordemos que el conjugado de a menos b es a más b y viceversa, y en el denominador tendremos la expresión x menos 3 que protegemos con paréntesis y acá multiplicamos por esto mismo, entonces por la raíz cuadrada de 2x más 3 y todo esto más x. Ahora en el numerador lo que hacemos es aplicar un producto notable, el producto notable llamado suma por diferencia, vamos a recortarlo por acá, si tenemos la suma de dos cantidades multiplicada por la diferencia de ellas o la diferencia por la suma, recordemos que la multiplicación es conmutativa, esto nos produce una diferencia de cuadrados perfectos, es decir el primer término elevado al cuadrado menos el segundo término también elevado al cuadrado, entonces es la situación que tenemos acá, eso nos va a dar el primer componente que es la raíz cuadrada de 2x más 3, todo esto elevado al cuadrado menos el segundo componente que es x también elevada al cuadrado y en el denominador nos queda esto mismo, x menos 3 que multiplica con esto la raíz cuadrada de 2x más 3 y todo esto más x. Vamos a resolver ahora lo que nos quedó en el numerador, tendremos límite cuando x tiende a 3 de lo siguiente, aquí el exponente 2 destruye o elimina la raíz cuadrada y entonces nos queda libre 2x más 3, acá tendremos menos x al cuadrado y en el denominador la misma expresión x menos 3 que multiplica con la raíz cuadrada de 2x más 3 y todo esto más x, extendemos esta línea. Miremos por acá aparte que le podemos hacer al numerador, esa expresión puede organizarse como menos x al cuadrado más 2x más 3, simplemente cambiamos de posición los términos organizando ese trinomio en forma descendente, es decir comenzamos con el término de mayor exponente, allí podemos extraer como factor común el signo negativo, eso implica que los signos de estos términos nos van a cambiar, nos queda entonces dentro del paréntesis x al cuadrado menos 2x menos 3 y esta expresión puede factorizarse, esto corresponde a un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c, vamos a realizar la factorización, abrimos 2 paréntesis, extraemos la raíz cuadrada del primer término que sería x, la escribimos al comienzo de cada paréntesis, ahora definimos los signos, el signo de este paréntesis será este que tenemos acá, es decir más multiplicado por menos, más por menos nos da menos y menos por menos nos da más que es el signo del segundo paréntesis. Ahora debemos buscar dos números, uno negativo y otro positivo que multiplicados entre sí nos den menos 3 y que al sumarlos nos de menos 2, esos números son menos 3 y más 1, entonces esta expresión va a reemplazar a esta, hacemos entonces esa sustitución y nos queda límite cuando x tiende a 3 de lo siguiente, en el numerador esto que obtuvimos, menos x menos 3 por x más 1 y en el denominador tendremos la misma expresión, x menos 3 por la raíz cuadrada de 2x más 3 y esto más x. Como podemos observar en esta fracción algebraica hay un factor repetido en el numerador y en el denominador, una expresión que está multiplicando en los dos componentes, se trata de x menos 3 por lo tanto podemos cancelar o eliminar ese factor, nos queda entonces límite cuando x tiende a 3 de lo siguiente, en el numerador menos que acompaña a x más 1 y en el denominador nos queda esta expresión a la que ya podemos quitarle el paréntesis, la raíz cuadrada de 2x más 3 y todo eso más x. Ahora lo que hacemos es evaluar otra vez esta expresión cuando x toma el valor 3, eso lo hacemos con total tranquilidad porque ya logramos cancelar o eliminar el factor problema, el causante del 0 sobre 0 que nos daba al principio, entonces vamos a reemplazar 3 en esta expresión, en el numerador nos queda menos paréntesis 3 más 1 y en el denominador la raíz cuadrada de 2 por 3 más 3 y todo esto más el valor de x que se cambia por 3. Resolvemos las operaciones que hay allí, entonces en el numerador tendremos menos 4 resolviendo lo que hay dentro del paréntesis y en el denominador tendremos 2 por 3 es 6, 6 más 3 es 9, la raíz cuadrada de 9 nos da 3 y 3 más 3 es 6, menos 4 sextos es una fracción que se puede simplificar, vamos a colocar el signo menos en la mitad y podemos sacar mitad en el numerador y en el denominador, decimos mitad de 4 es 2 y mitad de 6 es 3, llegamos a menos dos tercios, una fracción irreducible o sea que no se puede simplificar más, esta será entonces la respuesta, es el resultado para ese límite algebraico.

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38. VECTORES EN CINEMÁTICA (Ejercicio 8)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 38: Vectores en Cinemática (Ejercicio 8). La ecuación de un movimiento es s = 4t² + 3t - 8 (SI). ¿Cuál es la ecuación de la celeridad? ¿Y la de la aceleración? ¿Qué podemos deducir de ésta última? Tema: El Movimiento y su Descripción. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

Nos dan la ecuación de movimiento de una partícula en unidades del sistema internacional. Esta ecuación puede escribirse también como SDT, porque vemos como la posición depende del tiempo T. Como está en unidades del sistema internacional, entonces la posición S irá en metros y el tiempo T irá expresado en segundos. Esta ecuación corresponde a un movimiento unidimensional donde el eje de referencia sería el eje X, es decir que tenemos el caso de un movimiento rectilíneo. Entonces vamos a obtener la ecuación de celeridad, es decir la ecuación de velocidad. Para obtener la velocidad, entonces derivamos la posición. Vamos a hallar S' de T y como tenemos que la ecuación de posición es un polinomio de tres términos, es decir un trinomio, entonces derivamos cada uno de los términos. Derivada del primer término sería 8T. Recordemos que el 2 va a multiplicar con el 4, nos da 8, a 2 se le resta 1, nos quedaría exponente 1, que lo podemos volver invisible, entonces nos queda simplemente 8T. Más la derivada del siguiente término, derivada de 3T sería 3. Recordemos que la derivada de una constante por la variable es la constante, menos la derivada de este número sería 0. Por ser una constante su derivada es 0. Pero este último término podemos omitirlo por ser 0 y nos queda que la ecuación de celeridad o la ecuación de velocidad para esa partícula será esta. En ese caso seguimos manejando unidades del sistema internacional por lo que la velocidad se expresa en metros sobre segundo y el tiempo sigue dándose en segundos. Ahora nos piden encontrar la ecuación de aceleración, y la aceleración se obtiene derivando la ecuación de velocidad, entonces sería B' de T. Entonces la aceleración será, tenemos que la velocidad son dos términos, entonces derivamos cada uno de ellos, derivada de 8T sería 8 y derivada de 3 sería 0. Por lo tanto la aceleración en cualquier instante T vale 8. Veamos las unidades, la aceleración en el sistema internacional se expresa en metros sobre segundo cuadrado y el tiempo sigue expresándose en segundos. Como vemos que la aceleración vale 8 independientemente del tiempo, es decir tenemos aceleración constante, podemos decir que se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, es decir un MRUA con aceleración constante.

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RACIONALIZACIÓN MEDIANTE CONJUGACIÓN - Ejercicio 6

#julioprofe explica cómo racionalizar el denominador de una fracción numérica mediante conjugación. Tema: #Racionalización → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEhyDZyc08U1WijxsTgX8pa REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a efectuar el proceso de racionalización de esta fracción numérica, es decir, vamos a obtener otra expresión equivalente sin radicales en el denominador. Vamos a resolver este ejercicio manualmente y al final haremos la comprobación en calculadora. Comenzamos por simplificar esta raíz cuadrada de 8. Veamos, 8 se puede descomponer en factores primos. Aquí podemos sacar mitad, utilizamos el primer número primo que es el 2, mitad de 8 nos da 4, al 4 le sacamos mitad, mitad de 4 es 2 y a 2 le sacamos mitad, nos da como resultado 1. Entonces tenemos que 8 es igual a 2 por 2 por 2, es decir, 2 elevado al cubo, pero 2 al cubo se puede descomponer como 2 al cuadrado por 2 a la 1, o simplemente 2. Entonces la raíz cuadrada de 8 será igual a lo siguiente, será la raíz cuadrada de esto que tenemos acá, de 2 al cuadrado por 2 a la 1. Y allí podemos aplicar la propiedad de la radicación que dice que si dentro de la raíz hay multiplicación, entonces la raíz puede repartirse para cada uno de los factores, es decir, raíz cuadrada de 2 al cuadrado por la raíz cuadrada de 2 a la 1. Esta primera raíz se puede simplificar porque aquí el exponente 2 se cancela o se elimina con la raíz de índice 2, con la raíz cuadrada. Visto de otra forma, esto nos produciría valor absoluto de 2, que equivale a 2. Entonces nos queda 2 por la raíz cuadrada de 2 a la 1, que como dijimos es 2. Entonces raíz cuadrada de 8 equivale a 2 raíz de 2. Entonces reescribimos el ejercicio, nos queda de la siguiente manera, en el numerador continúa el 10 y en el denominador cambiamos raíz de 8 por esto que nos dio, 2 raíz de 2. Y eso está restando con raíz cuadrada de 6. Raíz de 6 no se puede simplificar porque si descomponemos 6 en factores primos nos da como resultado 2 por 3. Así que no hay nada que extraer de esta raíz cuadrada. Ahora vamos a aplicar el procedimiento llamado conjugación. Vamos a multiplicar esta fracción por otra que equivale a 1 o a la unidad. Y esa fracción se construye con lo que es el conjugado de este denominador. Vamos a recordar ese concepto. El conjugado de a menos b es a más b y viceversa. El conjugado de a más b será a menos b. Simplemente se cambia el signo de la mitad y esto nos da como resultado a al cuadrado menos b al cuadrado. Se aplica el producto notable llamado suma por diferencia o diferencia por suma, que produce como resultado una diferencia de cuadrados perfectos. Entonces el conjugado de 2 raíz de 2 menos raíz de 6 será 2 raíz de 2 más raíz de 6. Seguimos esta instrucción. Para una resta el conjugado es la suma. Y esto que escribimos en el denominador debemos escribirlo también en el numerador. Porque como decíamos esta fracción debe ser equivalente a 1. Para ello el numerador y el denominador deben ser iguales. Enseguida efectuamos esta multiplicación de fracciones. Recordemos que eso se hace de manera horizontal. Se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí. La multiplicación de numeradores vamos a dejarla indicada. Y es que multiplica con 2 raíz de 2 más raíz de 6. Esa suma se protege con paréntesis. Y en el denominador la multiplicación de estas dos cantidades obedece a esto que tenemos acá. Es allí cuando se aplica el producto notable. Entonces será la primera cantidad al cuadrado, es decir 2 raíz de 2, todo esto protegido con paréntesis, elevado al cuadrado, menos la segunda cantidad al cuadrado. Es decir raíz cuadrada de 6 y eso elevado al cuadrado. Seguimos resolviendo el ejercicio. Vamos a continuar por acá. En el numerador permanece la misma expresión. 10 que multiplica con 2 raíz de 2 y eso más raíz de 6. Ahora en el denominador vamos a efectuar esas dos potencias. En el primer caso aplicamos esta propiedad de la potenciación. Si tenemos un producto A por B y esto elevado al exponente N, esto será A a la N por B a la N. El exponente se reparte para cada uno de los factores. Eso está sucediendo aquí. Nos queda entonces 2 al cuadrado y eso multiplicado por la raíz cuadrada de 2 también al cuadrado. Y escribimos el otro término que es menos raíz cuadrada de 6 y eso elevado al cuadrado. Continuamos resolviendo lo que hay en el denominador. Veamos cómo nos queda. Por acá 2 al cuadrado es 4, esto multiplicado por raíz cuadrada de 2 al cuadrado. Aquí el exponente 2 elimina la raíz cuadrada y nos deja libre el 2. Pues tenemos menos esto, raíz cuadrada de 6 al cuadrado donde también el exponente 2 elimina la raíz cuadrada y nos libera el 6. En el numerador permanece lo mismo. 10 que multiplica con 2 raíz de 2 más raíz cuadrada de 6. En el denominador observamos multiplicación y resta. Primero se resuelve la multiplicación. Entonces nos va a quedar de la siguiente manera. 4 por 2 da como resultado 8 y 8 menos 6 nos da como resultado 2. Entonces ese será el denominador. En el numerador permanece lo mismo. 10 que multiplica con 2 raíz de 2 y eso más raíz cuadrada de 6. Y allí podemos simplificar esa fracción. 10 se está multiplicando en el numerador, puede simplificarse con este 2. Ambos números son divisibles por 2. La mitad de 2 nos da 1 y la mitad de 10 nos da 5. Entonces nos queda 5 que multiplica con 2 raíz de 2 y eso más raíz de 6. En el denominador nos queda 1, pero eso podemos omitirlo. Podríamos dejar el resultado presentado de esta manera. Allí ya hemos conseguido el objetivo de la racionalización que es obtener una expresión equivalente a la original pero que ya no tiene radicales en el denominador. Como decíamos aquí hay denominador 1. Otra forma de presentar la respuesta es romper este paréntesis aplicando la propiedad distributiva. Entonces nos queda 5 por 2 raíz de 2 será 10 raíz de 2 y luego tenemos más 5 por raíz de 6 que será 5 raíz de 6. Y también podemos presentar el resultado así como 5 raíz de 6 y eso más 10 raíz de 2. Simplemente se aplica la propiedad conmutativa de la suma. Se cambia el orden de los sumandos y lógicamente el resultado no se altera. De esta manera terminamos el ejercicio. Ahora vamos a efectuar la comprobación del ejercicio en esta calculadora científica. Comenzamos oprimiendo el botón de fracción. En el numerador ingresamos el número 10, pasamos al denominador y ahí vamos a escribir esto raíz cuadrada de 8 menos raíz cuadrada de 6. Entonces botón de raíz cuadrada escribimos el 8, corremos el cursor a la derecha, después el signo menos, ahora botón de raíz cuadrada y luego el 6. Allí ya hemos ingresado la expresión numérica a la calculadora. Oprimimos el botón igual y obtenemos este resultado, 5 raíz de 6 más 10 raíz de 2. Con eso comprobamos que este ejercicio se ha resuelto correctamente.

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256.9, "end": 259.58, "text": " Es all\u00ed cuando se aplica el producto notable."}, {"start": 259.58, "end": 265.28, "text": " Entonces ser\u00e1 la primera cantidad al cuadrado, es decir 2 ra\u00edz de 2, todo esto protegido"}, {"start": 265.28, "end": 271.36, "text": " con par\u00e9ntesis, elevado al cuadrado, menos la segunda cantidad al cuadrado."}, {"start": 271.36, "end": 276.46000000000004, "text": " Es decir ra\u00edz cuadrada de 6 y eso elevado al cuadrado."}, {"start": 276.46000000000004, "end": 279.42, "text": " Seguimos resolviendo el ejercicio."}, {"start": 279.42, "end": 281.56, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1."}, {"start": 281.56, "end": 284.82, "text": " En el numerador permanece la misma expresi\u00f3n."}, {"start": 284.82, "end": 292.42, "text": " 10 que multiplica con 2 ra\u00edz de 2 y eso m\u00e1s ra\u00edz de 6."}, {"start": 292.42, "end": 298.38, "text": " Ahora en el denominador vamos a efectuar esas dos potencias."}, {"start": 298.38, "end": 302.9, "text": " En el primer caso aplicamos esta propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 302.9, "end": 309.46, "text": " Si tenemos un producto A por B y esto elevado al exponente N, esto ser\u00e1 A a la N por B"}, {"start": 309.46, "end": 310.46, "text": " a la N."}, {"start": 310.46, "end": 314.02, "text": " El exponente se reparte para cada uno de los factores."}, {"start": 314.02, "end": 315.54, "text": " Eso est\u00e1 sucediendo aqu\u00ed."}, {"start": 315.54, "end": 323.88, "text": " Nos queda entonces 2 al cuadrado y eso multiplicado por la ra\u00edz cuadrada de 2 tambi\u00e9n al cuadrado."}, {"start": 323.88, "end": 331.38, "text": " Y escribimos el otro t\u00e9rmino que es menos ra\u00edz cuadrada de 6 y eso elevado al cuadrado."}, {"start": 331.38, "end": 334.86, "text": " Continuamos resolviendo lo que hay en el denominador."}, {"start": 334.86, "end": 336.78, "text": " Veamos c\u00f3mo nos queda."}, {"start": 336.78, "end": 343.7, "text": " Por ac\u00e1 2 al cuadrado es 4, esto multiplicado por ra\u00edz cuadrada de 2 al cuadrado."}, {"start": 343.7, "end": 348.78, "text": " Aqu\u00ed el exponente 2 elimina la ra\u00edz cuadrada y nos deja libre el 2."}, {"start": 348.78, "end": 354.61999999999995, "text": " Pues tenemos menos esto, ra\u00edz cuadrada de 6 al cuadrado donde tambi\u00e9n el exponente"}, {"start": 354.61999999999995, "end": 358.46, "text": " 2 elimina la ra\u00edz cuadrada y nos libera el 6."}, {"start": 358.46, "end": 360.58, "text": " En el numerador permanece lo mismo."}, {"start": 360.58, "end": 368.14, "text": " 10 que multiplica con 2 ra\u00edz de 2 m\u00e1s ra\u00edz cuadrada de 6."}, {"start": 368.14, "end": 372.09999999999997, "text": " En el denominador observamos multiplicaci\u00f3n y resta."}, {"start": 372.09999999999997, "end": 374.82, "text": " Primero se resuelve la multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 374.82, "end": 377.67999999999995, "text": " Entonces nos va a quedar de la siguiente manera."}, {"start": 377.68, "end": 384.94, "text": " 4 por 2 da como resultado 8 y 8 menos 6 nos da como resultado 2."}, {"start": 384.94, "end": 387.18, "text": " Entonces ese ser\u00e1 el denominador."}, {"start": 387.18, "end": 389.3, "text": " En el numerador permanece lo mismo."}, {"start": 389.3, "end": 395.9, "text": " 10 que multiplica con 2 ra\u00edz de 2 y eso m\u00e1s ra\u00edz cuadrada de 6."}, {"start": 395.9, "end": 398.7, "text": " Y all\u00ed podemos simplificar esa fracci\u00f3n."}, {"start": 398.7, "end": 403.06, "text": " 10 se est\u00e1 multiplicando en el numerador, puede simplificarse con este 2."}, {"start": 403.06, "end": 405.82, "text": " Ambos n\u00fameros son divisibles por 2."}, {"start": 405.82, "end": 411.02, "text": " La mitad de 2 nos da 1 y la mitad de 10 nos da 5."}, {"start": 411.02, "end": 418.14, "text": " Entonces nos queda 5 que multiplica con 2 ra\u00edz de 2 y eso m\u00e1s ra\u00edz de 6."}, {"start": 418.14, "end": 423.1, "text": " En el denominador nos queda 1, pero eso podemos omitirlo."}, {"start": 423.1, "end": 426.9, "text": " Podr\u00edamos dejar el resultado presentado de esta manera."}, {"start": 426.9, "end": 432.58, "text": " All\u00ed ya hemos conseguido el objetivo de la racionalizaci\u00f3n que es obtener una expresi\u00f3n"}, {"start": 432.58, "end": 437.78, "text": " equivalente a la original pero que ya no tiene radicales en el denominador."}, {"start": 437.78, "end": 440.53999999999996, "text": " Como dec\u00edamos aqu\u00ed hay denominador 1."}, {"start": 440.53999999999996, "end": 447.5, "text": " Otra forma de presentar la respuesta es romper este par\u00e9ntesis aplicando la propiedad distributiva."}, {"start": 447.5, "end": 454.84, "text": " Entonces nos queda 5 por 2 ra\u00edz de 2 ser\u00e1 10 ra\u00edz de 2 y luego tenemos m\u00e1s 5 por"}, {"start": 454.84, "end": 458.5, "text": " ra\u00edz de 6 que ser\u00e1 5 ra\u00edz de 6."}, {"start": 458.5, "end": 468.06, "text": " Y tambi\u00e9n podemos presentar el resultado as\u00ed como 5 ra\u00edz de 6 y eso m\u00e1s 10 ra\u00edz"}, {"start": 468.06, "end": 469.06, "text": " de 2."}, {"start": 469.06, "end": 473.34, "text": " Simplemente se aplica la propiedad conmutativa de la suma."}, {"start": 473.34, "end": 478.54, "text": " Se cambia el orden de los sumandos y l\u00f3gicamente el resultado no se altera."}, {"start": 478.54, "end": 482.06, "text": " De esta manera terminamos el ejercicio."}, {"start": 482.06, "end": 487.06, "text": " Ahora vamos a efectuar la comprobaci\u00f3n del ejercicio en esta calculadora cient\u00edfica."}, {"start": 487.06, "end": 489.98, "text": " Comenzamos oprimiendo el bot\u00f3n de fracci\u00f3n."}, {"start": 489.98, "end": 495.94, "text": " En el numerador ingresamos el n\u00famero 10, pasamos al denominador y ah\u00ed vamos a escribir"}, {"start": 495.94, "end": 500.5, "text": " esto ra\u00edz cuadrada de 8 menos ra\u00edz cuadrada de 6."}, {"start": 500.5, "end": 506.54, "text": " Entonces bot\u00f3n de ra\u00edz cuadrada escribimos el 8, corremos el cursor a la derecha, despu\u00e9s"}, {"start": 506.54, "end": 512.02, "text": " el signo menos, ahora bot\u00f3n de ra\u00edz cuadrada y luego el 6."}, {"start": 512.02, "end": 516.02, "text": " All\u00ed ya hemos ingresado la expresi\u00f3n num\u00e9rica a la calculadora."}, {"start": 516.02, "end": 523.14, "text": " Oprimimos el bot\u00f3n igual y obtenemos este resultado, 5 ra\u00edz de 6 m\u00e1s 10 ra\u00edz de 2."}, {"start": 523.14, "end": 552.06, "text": " Con eso comprobamos que este ejercicio se ha resuelto correctamente."}]

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PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO - Ejercicio 3

#julioprofe explica cómo resolver un ejercicio de aplicación de punto medio de un segmento en el plano cartesiano. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Tenemos en este caso la siguiente información, un punto A de coordenadas menos 1,3, un punto M de coordenadas 5,8, nos dicen que M es punto medio del segmento AB, pero no conocemos las coordenadas de B, entonces debemos encontrarlas. Esta es una situación de punto medio de un segmento en el plano cartesiano. Comenzamos por nombrar las coordenadas del punto A como X1, Y1, las coordenadas de B como X2, Y2, allí tenemos los puntos extremos del segmento y las coordenadas de M, o sea del punto medio, como X trazo y Y trazo. Utilizamos entonces la fórmula para encontrar la abscisa del punto medio de un segmento en el plano cartesiano, X trazo es igual a X1 más X2 y todo esto dividido entre 2, se hace el promedio o la media aritmética de las abscisas de los puntos extremos del segmento. Entonces tenemos que X trazo equivale a 5, esto será igual a X1 que es menos 1 más X2 que no lo conocemos, entonces lo escribimos aquí y todo esto dividido entre 2. Se forma entonces una ecuación lineal o de primer grado con una incógnita que es X2, vamos entonces a despejarla poco a poco. Primero pasamos este número 2 que está dividiendo en el lado derecho, pasa al otro lado a multiplicar, es lo mismo que multiplicar ambos lados de la igualdad por 2. Entonces nos queda 5 por 2 igual a menos 1 más X2, vamos a continuar por acá, resolvemos esta operación del lado izquierdo, 5 por 2 es igual a 10 y esto a su vez será igual a menos 1 más X2 y de allí vamos a despejar X2, para ello pasamos esta cantidad al otro lado, acá está negativa entonces llega al lado izquierdo con signo positivo, es como sumar 1 a ambos lados de la igualdad, nos queda entonces 10 más 1 igual a X2 y resolviendo esta operación nos da 11 igual a la incógnita que es X2. De esa manera ya conocemos entonces la abscisa del punto B, X2 equivale a 11. Ahora utilizamos la otra fórmula, la que nos permite encontrar la ordenada para el punto medio de un segmento en el plano cartesiano, Ytraso será igual a Y1 más Y2 y todo esto sobre 2, otra vez se hace el promedio o la media aritmética de las ordenadas de los puntos extremos del segmento, entonces tenemos Ytraso igual a 8, vamos reemplazando los valores, Y1 equivale a 3, esto más Y2 que no lo conocemos y todo esto nos queda sobre 2. Otra vez tenemos una ecuación lineal o de primer grado con una incógnita que en este caso es Y2, vamos a despejarla poco a poco, pasamos 2 que está dividiendo al otro lado a multiplicar, entonces nos queda 8 por 2 igual a 3 más Y2, vamos a continuar por acá y resuelvemos esta operación 8 por 2 es 16 y eso es igual a 3 más Y2 y de allí despejamos la incógnita, despejamos Y2, para ello pasamos este 3 al lado izquierdo, llega entonces con signo negativo o llega a restar, es lo mismo que restar 3 a ambos lados de la igualdad, esto es igual a Y2 y resolviendo esta operación nos da 13, 13 es igual a Y2, de esta manera encontramos el otro dato que necesitábamos, la ordenada del punto B, en este caso su valor es 13, de esta manera terminamos el ejercicio, su respuesta sería la siguiente, las coordenadas del punto B son X2 que nos dio 11, es decir la abscisa y Y2 que nos dio 13, o sea la ordenada, entonces con eso terminamos este ejercicio de aplicación de punto medio de un segmento en el plano cartesiano.

[{"start": 0.0, "end": 9.26, "text": " Tenemos en este caso la siguiente informaci\u00f3n, un punto A de coordenadas menos 1,3, un punto"}, {"start": 9.26, "end": 17.1, "text": " M de coordenadas 5,8, nos dicen que M es punto medio del segmento AB, pero no conocemos las"}, {"start": 17.1, "end": 20.96, "text": " coordenadas de B, entonces debemos encontrarlas."}, {"start": 20.96, "end": 26.16, "text": " Esta es una situaci\u00f3n de punto medio de un segmento en el plano cartesiano."}, {"start": 26.16, "end": 34.0, "text": " Comenzamos por nombrar las coordenadas del punto A como X1, Y1, las coordenadas de B"}, {"start": 34.0, "end": 41.44, "text": " como X2, Y2, all\u00ed tenemos los puntos extremos del segmento y las coordenadas de M, o sea"}, {"start": 41.44, "end": 45.44, "text": " del punto medio, como X trazo y Y trazo."}, {"start": 45.44, "end": 52.28, "text": " Utilizamos entonces la f\u00f3rmula para encontrar la abscisa del punto medio de un segmento"}, {"start": 52.28, "end": 60.92, "text": " en el plano cartesiano, X trazo es igual a X1 m\u00e1s X2 y todo esto dividido entre 2, se"}, {"start": 60.92, "end": 68.62, "text": " hace el promedio o la media aritm\u00e9tica de las abscisas de los puntos extremos del segmento."}, {"start": 68.62, "end": 76.8, "text": " Entonces tenemos que X trazo equivale a 5, esto ser\u00e1 igual a X1 que es menos 1 m\u00e1s"}, {"start": 76.8, "end": 85.16, "text": " X2 que no lo conocemos, entonces lo escribimos aqu\u00ed y todo esto dividido entre 2."}, {"start": 85.16, "end": 92.32, "text": " Se forma entonces una ecuaci\u00f3n lineal o de primer grado con una inc\u00f3gnita que es X2,"}, {"start": 92.32, "end": 95.28, "text": " vamos entonces a despejarla poco a poco."}, {"start": 95.28, "end": 101.28, "text": " Primero pasamos este n\u00famero 2 que est\u00e1 dividiendo en el lado derecho, pasa al otro lado a multiplicar,"}, {"start": 101.28, "end": 106.06, "text": " es lo mismo que multiplicar ambos lados de la igualdad por 2."}, {"start": 106.06, "end": 114.88, "text": " Entonces nos queda 5 por 2 igual a menos 1 m\u00e1s X2, vamos a continuar por ac\u00e1, resolvemos"}, {"start": 114.88, "end": 121.68, "text": " esta operaci\u00f3n del lado izquierdo, 5 por 2 es igual a 10 y esto a su vez ser\u00e1 igual"}, {"start": 121.68, "end": 130.12, "text": " a menos 1 m\u00e1s X2 y de all\u00ed vamos a despejar X2, para ello pasamos esta cantidad al otro"}, {"start": 130.12, "end": 136.44, "text": " lado, ac\u00e1 est\u00e1 negativa entonces llega al lado izquierdo con signo positivo, es como"}, {"start": 136.44, "end": 143.96, "text": " sumar 1 a ambos lados de la igualdad, nos queda entonces 10 m\u00e1s 1 igual a X2 y resolviendo"}, {"start": 143.96, "end": 150.64000000000001, "text": " esta operaci\u00f3n nos da 11 igual a la inc\u00f3gnita que es X2."}, {"start": 150.64000000000001, "end": 159.32, "text": " De esa manera ya conocemos entonces la abscisa del punto B, X2 equivale a 11."}, {"start": 159.32, "end": 164.64, "text": " Ahora utilizamos la otra f\u00f3rmula, la que nos permite encontrar la ordenada para el"}, {"start": 164.64, "end": 172.84, "text": " punto medio de un segmento en el plano cartesiano, Ytraso ser\u00e1 igual a Y1 m\u00e1s Y2 y todo esto"}, {"start": 172.84, "end": 178.92, "text": " sobre 2, otra vez se hace el promedio o la media aritm\u00e9tica de las ordenadas de los"}, {"start": 178.92, "end": 187.07999999999998, "text": " puntos extremos del segmento, entonces tenemos Ytraso igual a 8, vamos reemplazando los valores,"}, {"start": 187.08, "end": 197.16000000000003, "text": " Y1 equivale a 3, esto m\u00e1s Y2 que no lo conocemos y todo esto nos queda sobre 2."}, {"start": 197.16000000000003, "end": 202.20000000000002, "text": " Otra vez tenemos una ecuaci\u00f3n lineal o de primer grado con una inc\u00f3gnita que en este"}, {"start": 202.20000000000002, "end": 208.88000000000002, "text": " caso es Y2, vamos a despejarla poco a poco, pasamos 2 que est\u00e1 dividiendo al otro lado"}, {"start": 208.88000000000002, "end": 216.44, "text": " a multiplicar, entonces nos queda 8 por 2 igual a 3 m\u00e1s Y2, vamos a continuar por ac\u00e1"}, {"start": 216.44, "end": 227.04, "text": " y resuelvemos esta operaci\u00f3n 8 por 2 es 16 y eso es igual a 3 m\u00e1s Y2 y de all\u00ed despejamos"}, {"start": 227.04, "end": 233.6, "text": " la inc\u00f3gnita, despejamos Y2, para ello pasamos este 3 al lado izquierdo, llega entonces con"}, {"start": 233.6, "end": 240.8, "text": " signo negativo o llega a restar, es lo mismo que restar 3 a ambos lados de la igualdad,"}, {"start": 240.8, "end": 249.04000000000002, "text": " esto es igual a Y2 y resolviendo esta operaci\u00f3n nos da 13, 13 es igual a Y2, de esta manera"}, {"start": 249.04000000000002, "end": 256.0, "text": " encontramos el otro dato que necesit\u00e1bamos, la ordenada del punto B, en este caso su valor"}, {"start": 256.0, "end": 263.04, "text": " es 13, de esta manera terminamos el ejercicio, su respuesta ser\u00eda la siguiente, las coordenadas"}, {"start": 263.04, "end": 274.08000000000004, "text": " del punto B son X2 que nos dio 11, es decir la abscisa y Y2 que nos dio 13, o sea la ordenada,"}, {"start": 274.08000000000004, "end": 279.36, "text": " entonces con eso terminamos este ejercicio de aplicaci\u00f3n de punto medio de un segmento"}, {"start": 279.36, "end": 305.6, "text": " en el plano cartesiano."}]

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37. VECTORES EN CINEMÁTICA (Ejercicio 7)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 37: Vectores en Cinemática (Ejercicio 7). Un proyectil es disparado verticalmente hacia arriba según la ecuación s = 80t - 5t² (SI). Calcula: (a) La ecuación de su celeridad; (b) Su aceleración; (c) El instante en el que su velocidad es nula. Tema: El Movimiento y su Descripción. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

En este problema nos dicen que un proyectil es disparado hacia arriba y que su ecuación de posición es esta, en unidades del sistema internacional. Esa ecuación podríamos escribirla como S de T en la posición S en cualquier tiempo T, tomando como eje de referencia o sistema de referencia el eje vertical, es decir el eje Y. Como nos dicen que está en unidades del sistema internacional, la posición S va en metros y el tiempo T va en segundos. Entonces nos piden encontrar la ecuación de celeridad, es decir la ecuación de velocidad. Vamos entonces a obtenerla derivando la posición. Entonces tendremos que, como hay dos términos derivamos cada uno de ellos, derivada de 80 T será 80 y la derivada de este término sería 10 T. Recordemos que el 2 va a multiplicar con el 5, por eso nos da 10, y aquí tendremos exponente 1, que es el resultado de 2 menos 1. Por lo tanto tenemos allí la ecuación de velocidad o celeridad para esa partícula mientras es disparada hacia arriba. Esa velocidad irá en metros sobre segundo y el tiempo en segundos, por ser en unidades del sistema internacional. A continuación vamos a determinar la aceleración derivando la ecuación de velocidad. Entonces calculamos B' de T. Entonces veamos, como la ecuación de velocidad tiene dos términos, entonces derivamos cada uno de ellos, la derivada de 80 será 0 y la derivada de menos 10 T será menos 10. 0 menos 10 nos da menos 10 y tenemos entonces aceleración constante de menos 10. Claro, es la aceleración de la gravedad negativa porque recordemos que la gravedad es una aceleración dirigida hacia abajo. En las unidades, para la aceleración, metros sobre segundo cuadrado y para el tiempo segundos. En unidades del sistema internacional. Ahora nos piden encontrar el instante en que la velocidad es 0. Entonces hacemos velocidad igual a 0 y nos queda esta ecuación. De donde vamos a despejar T, es decir el tiempo. Pasamos ese término a la izquierda, llega positivo, nos queda 10 T igual a 80, de donde T es igual a 80 dividido entre 10. Y esto nos da 8 segundos. ¿Qué quiere decir esto? Que 8 segundos después de haber lanzado el proyectil hacia arriba, tendremos que la velocidad será 0. Es decir, es cuando el proyectil alcanza su punto más alto.

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https://www.youtube.com/watch?v=QlbsFX5XdHA

61. Mensaje de WIKISEBA a Julioprofe

Agradecimiento a Sebastián Rojas (canal en YouTube: Wikiseba https://www.youtube.com/user/imrdu3000) por su mensaje desde Antofagasta (Chile). Graba un corto video y envíamelo al correo julioprofecolombia@gmail.com para publicarlo en este canal. Incluye tu nombre, ciudad, país e institución educativa a la que perteneces y cuéntame cuál ha sido tu experiencia con el material educativo que he producido. De antemano, ¡Muchas Gracias! #julioprofe

Hola, mi nombre es Sebastián y tengo un canal de divulgación científica llamado WikiSeba. Quiero dar un enorme agradecimiento a Julio Profe por sus increíbles videos en este canal y sus aportes en matemáticas para toda la comunidad de YouTube. Como estudiante de Biología y como profesor para talleres y cursos de niños talentosos, me ha sido de gran ayuda el canal a la hora de entender o comprender algún mecanismo matemático que o no conocía o necesitaba repasar. Las ciencias naturales tienen una base matemática fuerte, por lo que el conocimiento entregado en este canal me ha sido de gran ayuda. Quiero también felicitar a Julio Profe de manera anticipada por los casi 2 millones de suscriptores que se aprontan. Es un gran canal y hace un gran trabajo. Tengo la oportunidad constantemente de conversar con él y es una gran persona. Y una felicitación también a toda la comunidad del canal de Julio Profe. Si les interesan las curiosidades sobre ciencia y aprender mucho más sobre la biología, les recomiendo que visiten mi canal WikiSeba. Un fuerte abrazo. ¡Adiós! Graba un corto video y envíamelo al correo julioprofecolombia.com para publicarlo en este canal. Incluya tu nombre, ciudad, país e institución educativa a la que perteneces y cuéntame cuál ha sido tu experiencia con el material educativo que he producido. De antemano muchas gracias. Julio Profe.

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https://www.youtube.com/watch?v=w-K-bMdSEFg

36. VECTORES EN CINEMÁTICA (Ejercicio 6)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 36: Vectores en Cinemática (Ejercicio 6). La ecuación del movimiento de un sistema es s = 3t³ - 5t² + 6 (SI). Calcula la celeridad del sistema en función del tiempo y el valor de ésta en el instante 2 s, la aceleración tangencial en función del tiempo y su módulo en el instante 3 s. Tema: El Movimiento y su Descripción. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

Nos dan la ecuación de posición para un móvil en unidades del sistema internacional, unidades SI, es decir, posición en metros tiempo en segundos. Esa ecuación podríamos escribirla como SDT, posición en función del tiempo. Recordemos que esto corresponde a un movimiento unidimensional, donde muy seguramente el sistema de referencia es el eje X. Entonces nos piden encontrar la ecuación de celeridad o velocidad en función del tiempo. Recordemos que ella se obtiene derivando la posición. Entonces calculamos S' DT. Como la ecuación de posición es un trinomio, tenemos tres términos, entonces vamos a derivar cada uno de ellos. Derivada del primer término será 9T al cuadrado. Derivada del siguiente término nos queda menos 10T y la derivada del último término sería 0, por ser un término constante. Luego este término podemos omitirlo y allí tenemos la ecuación de velocidad o de celeridad para ese móvil en cualquier instante T. Las unidades para la velocidad serían metros sobre segundo y para el tiempo siguen siendo segundos. Nos piden encontrar esa velocidad en el instante dos segundos. Entonces veamos, cuando T es igual a dos segundos, calculamos la velocidad en ese momento. Es decir, evaluamos la ecuación de velocidad o celeridad cuando T es igual a dos. Entonces reemplazamos donde está la T en número dos y vamos a resolver todo esto. Aquí tendremos dos al cuadrado cuatro, cuatro por nueve treinta y seis menos diez por dos que es veinte. Y resolviendo esto nos da dieciséis. Colocamos las unidades correspondientes a la velocidad. Decimos entonces que la velocidad en el instante dos segundos tiene un valor o un módulo de dieciséis metros sobre segundos. Debemos siempre colocar al resultado las unidades correspondientes a la magnitud que estamos calculando. Ahora nos piden encontrar la aceleración tangencial en función del tiempo. Como se trata de un movimiento rectilíneo, es simplemente la aceleración. Allí no tendremos sino la componente tangencial, es decir, la que lleva la dirección del movimiento que es rectilíneo. Entonces se obtiene derivando la velocidad. La ecuación de velocidad o de celeridad la derivamos. Veamos, tenemos dos términos, derivamos cada uno de ellos. Derivada de nueve T al cuadrado será dieciocho T y la derivada del último término del segundo nos da menos diez. Entonces tenemos allí la ecuación de aceleración para esa partícula en cualquier instante T. Es lo que se llama aceleración instantánea. Esa aceleración irá en metros sobre segundo cuadrado por tratarse de unidades del sistema internacional. Ahora nos piden encontrar la aceleración en el instante T igual a tres segundos. Entonces veamos, en T igual a tres segundos lo que hacemos es reemplazar el tres aquí en la ecuación de aceleración. Entonces decimos A de tres es igual a dieciocho por tres menos diez. Resolvemos, dieciocho por tres nos da cincuenta y cuatro y cincuenta y cuatro menos diez nos da cuarenta y cuatro. Entonces decimos que la aceleración instantánea es decir, en el instante T igual a tres segundos tiene un valor o un módulo de cuarenta y cuatro metros sobre segundo cuadrado. No olvidar colocar las unidades correspondientes, en este caso a la aceleración.

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https://www.youtube.com/watch?v=MbZweYyez5Q

DERIVACIÓN IMPLÍCITA - Ejercicio 8

#julioprofe explica cómo obtener dy/dx derivando implícitamente una expresión. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para esta expresión que nos dan vamos a obtener de y de x, es decir la derivada de y con respecto de la variable x. Allí vamos a proceder derivando implícitamente esa expresión, porque como vemos x y y están combinadas de tal forma que no es posible despejar y en términos de x. Entonces comenzamos derivando en el lado izquierdo derivada con respecto a x de la expresión secante de la raíz cuadrada de x y y en el lado derecho también colocamos ese operador derivada con respecto a x de esa expresión x al cuadrado más y al cuadrado. En el lado izquierdo debemos derivar la secante recordemos que la derivada de secante de manzanita la manzanita representa el ángulo es secante de la manzanita por tangente de la manzanita y todo eso por la derivada de la manzanita es decir por la derivada del ángulo. Entonces en este caso nos queda lo siguiente sería secante de la raíz cuadrada de x y esa raíz cuadrada de x y hace el papel de la manzanita luego tenemos por tangente de la raíz cuadrada de x y es decir la tangente del mismo ángulo y luego eso multiplicado por la derivada de la manzanita es decir por la derivada con respecto a x de esta expresión de la raíz cuadrada de x y que vamos a expresar de una vez como x por y y todo esto elevado al exponente 1 medio. Pasamos al otro lado de la igualdad tenemos allí una suma entonces derivamos cada uno de los componentes hacemos derivación con respecto a x la derivada de x al cuadrado nos da 2x y luego tenemos más la derivada de y al cuadrado que será 2y por la derivada de y con respecto a x. Continuamos con el desarrollo del ejercicio esto nos queda igual secante de la raíz cuadrada de x y luego tenemos por tangente de la raíz cuadrada de x y y acá tenemos la derivada con respecto a x de lo siguiente aquí tenemos un producto y todo eso está elevado al exponente 1 medio entonces repartimos el exponente nos queda x a la 1 medio por y a la 1 medio propiedad de la potenciación. Pasamos al otro lado de la igualdad donde tendremos 2x más 2y y vamos a cambiar de y de x por y prima esto por comodidad en el desarrollo del ejercicio. Seguimos avanzando con el ejercicio nos queda por acá la secante de raíz cuadrada de x y luego por tangente de raíz cuadrada de x y y llegamos ahora a la derivada de un producto vamos a derivar esto con respecto a x abrimos entonces un corchete y utilizamos la regla del producto comenzamos derivando el primer componente la derivada de x a la 1 medio será 1 medio de x a la 1 medio menos 1 que nos da menos 1 medio allí hemos derivado el primer componente eso se multiplica por el segundo componente sin derivar y a la 1 medio después tenemos más el primer componente sin derivar x a la 1 medio y eso multiplicado por la derivada del segundo componente vamos a derivar esto con respecto a x nos queda un medio de y a la 1 medio menos 1 que es menos un medio y eso multiplicado por la derivada de y con respecto a x allí tenemos entonces la derivada de este producto y lo del lado derecho permanece igual 2x más 2y por y prima en este punto del ejercicio ya hemos efectuado todas las derivadas ahora lo que tenemos que hacer es organizar poco a poco la expresión hasta despejar de prima o de x que es lo que buscamos en este ejercicio entonces nos queda secante de la raíz cuadrada de x y esto por tangente de la raíz cuadrada de x y luego tenemos por vamos a organizar esto que tenemos dentro de los corchetes vamos con el primer componente donde tendremos una fracción en el numerador nos queda 1 por y a la 1 medio es decir y a la 1 medio y en el denominador tendremos 2 por x a la 1 medio bajamos esta potencia la trasladamos al denominador y nos queda con exponente positivo después tenemos más vamos al otro componente donde también armamos una fracción en el numerador tendremos aquí sala un medio por 1 por de x es decir x a la 1 medio por de x que cambiaremos por y prima decíamos que es por comodidad y en el denominador nos queda 2 y traemos esta potencia nos llega como y a la 1 medio allí cerramos el corchete y escribimos lo que tenemos en la parte derecha de la igualdad 2x más 2 y por y prima continuamos resolviendo el ejercicio por acá nos queda secante de la raíz cuadrada de x y todo eso por tangente de la raíz cuadrada de x y y aquí tenemos una suma de fracciones heterogéneas vamos a convertirlas en fracciones homogéneas primero determinamos cuál es el común denominador en este caso sería 2 por x a la 1 medio y por y a la 1 medio debemos garantizar que ambas fracciones nos queden con esto en el denominador repetimos esto es el mínimo común múltiplo para estas dos expresiones entonces para el caso de la primera fracción necesitamos multiplicar arriba y abajo por y a la 1 medio entonces comencemos por el denominador nos quedaría 2x a la 1 medio por y a la 1 medio allí hemos multiplicado por lo que nos hace falta y en el numerador también multiplicamos por y a la 1 medio entonces nos quedaría y a la 1 medio por y a la 1 medio allí hemos realizado la amplificación de esta fracción de tal forma que en el denominador nos quede con esto que hemos determinado vamos ahora a la siguiente fracción comenzamos por el denominador allí nos hace falta este componente entonces vamos a insertarlo entra a multiplicar x a la 1 medio y en el numerador también vamos a multiplicar por ese componente nos queda entonces x a la 1 medio por x a la 1 medio y todo eso por y prima cerramos el corchete y lo del lado derecho permanece igual nos queda 2x más 2y por y prima continuamos con el desarrollo esto nos queda igual secante de la raíz cuadrada de x y por tangente de la raíz cuadrada de x y y aquí ya tenemos fracciones homogéneas fracciones con el mismo denominador entonces vamos a conservar ese denominador que es 2x a la 1 medio por y a la 1 medio y en el numerador tenemos lo siguiente aquí ocurre el producto de potencias con la misma base entonces conservamos la base y sumamos los exponentes 1 medio más 1 medio nos da 2 medios que es 1 entonces ya la 1 es lo mismo que y después tenemos más aquí la misma situación x a la 1 medio por x a la 1 medio nos dará x a la 1 o simplemente x y eso multiplicado por y prima cerramos el corchete que protege esa expresión y nos queda igual a lo mismo 2x más 2y por y prima ahora todo esto que tenemos acá tendrá denominador 1 entonces vamos a multiplicar estas dos fracciones multiplicamos los numeradores entre sí entonces nos queda secante de la raíz cuadrada de x y por la tangente de raíz cuadrada de x y todo eso multiplicado por esa suma vamos a protegerla con paréntesis nos queda y más x por y prima y en el denominador tendremos la siguiente expresión 1 por todo esto nos daría esto mismo pero lo podemos organizar de la siguiente manera escribimos el 2x a la 1 medio sería la raíz cuadrada de x ya la 1 medio sería la raíz cuadrada de y y si tenemos raíz cuadrada de x por raíz cuadrada de y eso nos da como resultado la raíz cuadrada de x y propiedad de la radicación entonces eso lo escribimos por acá y pasamos al otro lado de la igualdad donde permanece la misma expresión 2x más 2 y por y prima ahora todo esto que nos quedó acá dividiendo lo vamos a pasar al otro lado a multiplicar entonces en el lado izquierdo nos queda la secante de raíz cuadrada de x y por tangente de raíz cuadrada de x y todo eso multiplicado por y más x y prima y al otro lado como decíamos esto llega a multiplicar 2 raíz cuadrada de x y y todo eso por esta expresión 2x más 2 y por y prima ahora ambos lados de la igualdad vamos a aplicar la propiedad distributiva en el lado izquierdo todo esto que tenemos acá se va a multiplicar por cada uno de estos dos componentes entonces veamos cómo nos queda todo esto por que lo organizamos así y por secante de la raíz cuadrada de x y por tangente de la raíz cuadrada de x y lo que tenemos todo esto por este componente es decir más x y prima por secante de la raíz cuadrada de x y y esto por tangente de la raíz cuadrada de x y ya hemos aplicado la propiedad distributiva en el lado izquierdo de la igualdad y acá en el lado derecho también aplicamos la misma propiedad entonces todo esto por esto nos quedaría 4x por la raíz cuadrada de x y y todo eso más vamos a continuar por acá el resultado de multiplicar esto por esto que sería 4 y por la raíz cuadrada de x y y todo eso por y prima ahora como nuestro objetivo es encontrar de x vamos a dejar en el lado izquierdo de la igualdad aquellos términos que contengan ese componente es decir este término y este que tenemos acá entonces en el lado izquierdo se queda x y prima por secante de raíz cuadrada de x y por tangente de raíz cuadrada de x y y vamos a pasar este término que tiene signo positivo entonces llega al lado izquierdo con signo negativo 4 y por raíz cuadrada de x y y todo eso por y prima allí ya tenemos agrupados en el lado izquierdo los términos que contienen y prima ahora en el lado derecho se queda este término 4x por la raíz cuadrada de x y y pasamos este término el que no contiene y prima entonces llega acá con signo negativo nos queda y por secante de la raíz cuadrada de x y por tangente de la raíz cuadrada de x y ahora en el lado izquierdo de la igualdad ya podemos extraer como factor común y prima entonces sale ese componente y prima es factor de lo siguiente en el primer término nos queda x por secante de la raíz cuadrada de x y por tangente de la raíz cuadrada de x y luego tenemos menos 4 y por raíz cuadrada de x y entonces ha salido y prima como factor común en toda esa expresión en el lado derecho permanece lo mismo es decir 4x por raíz cuadrada de x y y esto menos y por secante de la raíz cuadrada de x y por tangente de la raíz cuadrada de x y ahora sí podemos despejar y prima y lo que hacemos es pasar toda esta expresión que está multiplicando al otro lado a dividir nos queda y prima igual a lo siguiente todo esto 4x por la raíz cuadrada de x y luego menos y por secante de la raíz cuadrada de x y por tangente de la raíz cuadrada de x y y todo eso sobre x por secante de la raíz cuadrada de x y por tangente de la raíz cuadrada de x y esto menos 4 y por la raíz cuadrada de x y para terminar simplemente cambiamos y prima por de x recordemos que es lo mismo y de esta manera hemos terminado el ejercicio toda esta expresión constituye la derivada de y con respecto a x para esta expresión que nos dieron y hemos utilizado la derivación implícita

[{"start": 0.0, "end": 10.32, "text": " Para esta expresi\u00f3n que nos dan vamos a obtener de y de x, es decir la derivada de y con respecto"}, {"start": 10.32, "end": 16.44, "text": " de la variable x. All\u00ed vamos a proceder derivando impl\u00edcitamente esa expresi\u00f3n,"}, {"start": 16.44, "end": 23.400000000000002, "text": " porque como vemos x y y est\u00e1n combinadas de tal forma que no es posible despejar y en t\u00e9rminos"}, {"start": 23.4, "end": 31.119999999999997, "text": " de x. Entonces comenzamos derivando en el lado izquierdo derivada con respecto a x de la expresi\u00f3n"}, {"start": 31.119999999999997, "end": 40.480000000000004, "text": " secante de la ra\u00edz cuadrada de x y y en el lado derecho tambi\u00e9n colocamos ese operador derivada"}, {"start": 40.480000000000004, "end": 49.64, "text": " con respecto a x de esa expresi\u00f3n x al cuadrado m\u00e1s y al cuadrado. En el lado izquierdo debemos"}, {"start": 49.64, "end": 56.120000000000005, "text": " derivar la secante recordemos que la derivada de secante de manzanita la manzanita representa"}, {"start": 56.120000000000005, "end": 67.38, "text": " el \u00e1ngulo es secante de la manzanita por tangente de la manzanita y todo eso por la derivada de la"}, {"start": 67.38, "end": 74.4, "text": " manzanita es decir por la derivada del \u00e1ngulo. Entonces en este caso nos queda lo siguiente ser\u00eda"}, {"start": 74.4, "end": 81.76, "text": " secante de la ra\u00edz cuadrada de x y esa ra\u00edz cuadrada de x y hace el papel de la manzanita"}, {"start": 81.76, "end": 91.12, "text": " luego tenemos por tangente de la ra\u00edz cuadrada de x y es decir la tangente del mismo \u00e1ngulo y luego"}, {"start": 91.12, "end": 98.24000000000001, "text": " eso multiplicado por la derivada de la manzanita es decir por la derivada con respecto a x de esta"}, {"start": 98.24, "end": 105.83999999999999, "text": " expresi\u00f3n de la ra\u00edz cuadrada de x y que vamos a expresar de una vez como x por y y todo esto elevado"}, {"start": 105.83999999999999, "end": 112.67999999999999, "text": " al exponente 1 medio. Pasamos al otro lado de la igualdad tenemos all\u00ed una suma entonces derivamos"}, {"start": 112.67999999999999, "end": 119.52, "text": " cada uno de los componentes hacemos derivaci\u00f3n con respecto a x la derivada de x al cuadrado"}, {"start": 119.52, "end": 127.56, "text": " nos da 2x y luego tenemos m\u00e1s la derivada de y al cuadrado que ser\u00e1 2y por la derivada de y"}, {"start": 127.56, "end": 135.8, "text": " con respecto a x. Continuamos con el desarrollo del ejercicio esto nos queda igual secante de la"}, {"start": 135.8, "end": 145.68, "text": " ra\u00edz cuadrada de x y luego tenemos por tangente de la ra\u00edz cuadrada de x y y ac\u00e1 tenemos la derivada"}, {"start": 145.68, "end": 153.68, "text": " con respecto a x de lo siguiente aqu\u00ed tenemos un producto y todo eso est\u00e1 elevado al exponente 1"}, {"start": 153.68, "end": 161.20000000000002, "text": " medio entonces repartimos el exponente nos queda x a la 1 medio por y a la 1 medio propiedad de la"}, {"start": 161.20000000000002, "end": 169.12, "text": " potenciaci\u00f3n. Pasamos al otro lado de la igualdad donde tendremos 2x m\u00e1s 2y y vamos a cambiar de"}, {"start": 169.12, "end": 176.52, "text": " y de x por y prima esto por comodidad en el desarrollo del ejercicio. Seguimos avanzando"}, {"start": 176.52, "end": 185.0, "text": " con el ejercicio nos queda por ac\u00e1 la secante de ra\u00edz cuadrada de x y luego por tangente de"}, {"start": 185.0, "end": 193.04000000000002, "text": " ra\u00edz cuadrada de x y y llegamos ahora a la derivada de un producto vamos a derivar esto"}, {"start": 193.04000000000002, "end": 199.92000000000002, "text": " con respecto a x abrimos entonces un corchete y utilizamos la regla del producto comenzamos"}, {"start": 199.92, "end": 207.39999999999998, "text": " derivando el primer componente la derivada de x a la 1 medio ser\u00e1 1 medio de x a la 1 medio menos 1"}, {"start": 207.39999999999998, "end": 214.0, "text": " que nos da menos 1 medio all\u00ed hemos derivado el primer componente eso se multiplica por el"}, {"start": 214.0, "end": 221.0, "text": " segundo componente sin derivar y a la 1 medio despu\u00e9s tenemos m\u00e1s el primer componente sin derivar"}, {"start": 221.0, "end": 228.07999999999998, "text": " x a la 1 medio y eso multiplicado por la derivada del segundo componente vamos a derivar esto con"}, {"start": 228.08, "end": 237.20000000000002, "text": " respecto a x nos queda un medio de y a la 1 medio menos 1 que es menos un medio y eso multiplicado"}, {"start": 237.20000000000002, "end": 245.44, "text": " por la derivada de y con respecto a x all\u00ed tenemos entonces la derivada de este producto y lo del"}, {"start": 245.44, "end": 254.92000000000002, "text": " lado derecho permanece igual 2x m\u00e1s 2y por y prima en este punto del ejercicio ya hemos efectuado"}, {"start": 254.92, "end": 261.2, "text": " todas las derivadas ahora lo que tenemos que hacer es organizar poco a poco la expresi\u00f3n hasta"}, {"start": 261.2, "end": 269.88, "text": " despejar de prima o de x que es lo que buscamos en este ejercicio entonces nos queda secante de"}, {"start": 269.88, "end": 279.68, "text": " la ra\u00edz cuadrada de x y esto por tangente de la ra\u00edz cuadrada de x y luego tenemos por vamos a"}, {"start": 279.68, "end": 286.40000000000003, "text": " organizar esto que tenemos dentro de los corchetes vamos con el primer componente donde tendremos"}, {"start": 286.40000000000003, "end": 293.92, "text": " una fracci\u00f3n en el numerador nos queda 1 por y a la 1 medio es decir y a la 1 medio y en el denominador"}, {"start": 293.92, "end": 301.6, "text": " tendremos 2 por x a la 1 medio bajamos esta potencia la trasladamos al denominador y nos"}, {"start": 301.6, "end": 308.12, "text": " queda con exponente positivo despu\u00e9s tenemos m\u00e1s vamos al otro componente donde tambi\u00e9n armamos"}, {"start": 308.12, "end": 315.24, "text": " una fracci\u00f3n en el numerador tendremos aqu\u00ed sala un medio por 1 por de x es decir x a la 1 medio"}, {"start": 315.24, "end": 323.56, "text": " por de x que cambiaremos por y prima dec\u00edamos que es por comodidad y en el denominador nos queda 2"}, {"start": 323.56, "end": 332.24, "text": " y traemos esta potencia nos llega como y a la 1 medio all\u00ed cerramos el corchete y escribimos lo"}, {"start": 332.24, "end": 341.84000000000003, "text": " que tenemos en la parte derecha de la igualdad 2x m\u00e1s 2 y por y prima continuamos resolviendo el"}, {"start": 341.84000000000003, "end": 350.32, "text": " ejercicio por ac\u00e1 nos queda secante de la ra\u00edz cuadrada de x y todo eso por tangente de la ra\u00edz"}, {"start": 350.32, "end": 356.64, "text": " cuadrada de x y y aqu\u00ed tenemos una suma de fracciones heterog\u00e9neas vamos a convertirlas"}, {"start": 356.64, "end": 363.28, "text": " en fracciones homog\u00e9neas primero determinamos cu\u00e1l es el com\u00fan denominador en este caso ser\u00eda 2"}, {"start": 363.28, "end": 373.03999999999996, "text": " por x a la 1 medio y por y a la 1 medio debemos garantizar que ambas fracciones nos queden con"}, {"start": 373.03999999999996, "end": 380.8, "text": " esto en el denominador repetimos esto es el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo para estas dos expresiones entonces"}, {"start": 380.8, "end": 387.12, "text": " para el caso de la primera fracci\u00f3n necesitamos multiplicar arriba y abajo por y a la 1 medio"}, {"start": 387.12, "end": 392.6, "text": " entonces comencemos por el denominador nos quedar\u00eda 2x a la 1 medio por y a la 1 medio"}, {"start": 392.6, "end": 398.64, "text": " all\u00ed hemos multiplicado por lo que nos hace falta y en el numerador tambi\u00e9n multiplicamos por y a la"}, {"start": 398.64, "end": 407.44, "text": " 1 medio entonces nos quedar\u00eda y a la 1 medio por y a la 1 medio all\u00ed hemos realizado la amplificaci\u00f3n"}, {"start": 407.44, "end": 414.36, "text": " de esta fracci\u00f3n de tal forma que en el denominador nos quede con esto que hemos determinado vamos"}, {"start": 414.36, "end": 419.76, "text": " ahora a la siguiente fracci\u00f3n comenzamos por el denominador all\u00ed nos hace falta este componente"}, {"start": 419.76, "end": 427.36, "text": " entonces vamos a insertarlo entra a multiplicar x a la 1 medio y en el numerador tambi\u00e9n vamos a"}, {"start": 427.36, "end": 435.15999999999997, "text": " multiplicar por ese componente nos queda entonces x a la 1 medio por x a la 1 medio y todo eso por"}, {"start": 435.16, "end": 446.48, "text": " y prima cerramos el corchete y lo del lado derecho permanece igual nos queda 2x m\u00e1s 2y por y prima"}, {"start": 446.48, "end": 455.28000000000003, "text": " continuamos con el desarrollo esto nos queda igual secante de la ra\u00edz cuadrada de x y por tangente"}, {"start": 455.28000000000003, "end": 462.96000000000004, "text": " de la ra\u00edz cuadrada de x y y aqu\u00ed ya tenemos fracciones homog\u00e9neas fracciones con el mismo"}, {"start": 462.96, "end": 472.2, "text": " denominador entonces vamos a conservar ese denominador que es 2x a la 1 medio por y a la"}, {"start": 472.2, "end": 479.32, "text": " 1 medio y en el numerador tenemos lo siguiente aqu\u00ed ocurre el producto de potencias con la misma base"}, {"start": 479.32, "end": 486.56, "text": " entonces conservamos la base y sumamos los exponentes 1 medio m\u00e1s 1 medio nos da 2 medios que es 1"}, {"start": 486.56, "end": 493.6, "text": " entonces ya la 1 es lo mismo que y despu\u00e9s tenemos m\u00e1s aqu\u00ed la misma situaci\u00f3n x a la 1 medio por"}, {"start": 493.6, "end": 501.28000000000003, "text": " x a la 1 medio nos dar\u00e1 x a la 1 o simplemente x y eso multiplicado por y prima cerramos el"}, {"start": 501.28000000000003, "end": 512.04, "text": " corchete que protege esa expresi\u00f3n y nos queda igual a lo mismo 2x m\u00e1s 2y por y prima ahora todo"}, {"start": 512.04, "end": 520.56, "text": " esto que tenemos ac\u00e1 tendr\u00e1 denominador 1 entonces vamos a multiplicar estas dos fracciones multiplicamos"}, {"start": 520.56, "end": 529.48, "text": " los numeradores entre s\u00ed entonces nos queda secante de la ra\u00edz cuadrada de x y por la tangente de ra\u00edz"}, {"start": 529.48, "end": 536.9599999999999, "text": " cuadrada de x y todo eso multiplicado por esa suma vamos a protegerla con par\u00e9ntesis nos queda"}, {"start": 536.96, "end": 547.0400000000001, "text": " y m\u00e1s x por y prima y en el denominador tendremos la siguiente expresi\u00f3n 1 por todo esto nos dar\u00eda"}, {"start": 547.0400000000001, "end": 553.76, "text": " esto mismo pero lo podemos organizar de la siguiente manera escribimos el 2x a la 1 medio ser\u00eda la ra\u00edz"}, {"start": 553.76, "end": 560.84, "text": " cuadrada de x ya la 1 medio ser\u00eda la ra\u00edz cuadrada de y y si tenemos ra\u00edz cuadrada de x por ra\u00edz"}, {"start": 560.84, "end": 568.64, "text": " cuadrada de y eso nos da como resultado la ra\u00edz cuadrada de x y propiedad de la radicaci\u00f3n entonces"}, {"start": 568.64, "end": 575.88, "text": " eso lo escribimos por ac\u00e1 y pasamos al otro lado de la igualdad donde permanece la misma expresi\u00f3n"}, {"start": 575.88, "end": 585.5600000000001, "text": " 2x m\u00e1s 2 y por y prima ahora todo esto que nos qued\u00f3 ac\u00e1 dividiendo lo vamos a pasar al otro lado"}, {"start": 585.56, "end": 593.76, "text": " a multiplicar entonces en el lado izquierdo nos queda la secante de ra\u00edz cuadrada de x y por tangente"}, {"start": 593.76, "end": 605.64, "text": " de ra\u00edz cuadrada de x y todo eso multiplicado por y m\u00e1s x y prima y al otro lado como dec\u00edamos esto"}, {"start": 605.64, "end": 616.84, "text": " llega a multiplicar 2 ra\u00edz cuadrada de x y y todo eso por esta expresi\u00f3n 2x m\u00e1s 2 y por y prima"}, {"start": 617.96, "end": 624.4, "text": " ahora ambos lados de la igualdad vamos a aplicar la propiedad distributiva en el lado izquierdo todo"}, {"start": 624.4, "end": 630.3199999999999, "text": " esto que tenemos ac\u00e1 se va a multiplicar por cada uno de estos dos componentes entonces veamos c\u00f3mo"}, {"start": 630.32, "end": 639.7600000000001, "text": " nos queda todo esto por que lo organizamos as\u00ed y por secante de la ra\u00edz cuadrada de x y por tangente"}, {"start": 639.7600000000001, "end": 649.36, "text": " de la ra\u00edz cuadrada de x y lo que tenemos todo esto por este componente es decir m\u00e1s x y prima"}, {"start": 649.36, "end": 660.92, "text": " por secante de la ra\u00edz cuadrada de x y y esto por tangente de la ra\u00edz cuadrada de x y ya hemos"}, {"start": 660.92, "end": 666.72, "text": " aplicado la propiedad distributiva en el lado izquierdo de la igualdad y ac\u00e1 en el lado derecho"}, {"start": 666.72, "end": 676.04, "text": " tambi\u00e9n aplicamos la misma propiedad entonces todo esto por esto nos quedar\u00eda 4x por la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 676.04, "end": 686.8, "text": " de x y y todo eso m\u00e1s vamos a continuar por ac\u00e1 el resultado de multiplicar esto por esto que ser\u00eda"}, {"start": 686.8, "end": 697.52, "text": " 4 y por la ra\u00edz cuadrada de x y y todo eso por y prima ahora como nuestro objetivo es encontrar"}, {"start": 697.52, "end": 703.7199999999999, "text": " de x vamos a dejar en el lado izquierdo de la igualdad aquellos t\u00e9rminos que contengan ese"}, {"start": 703.72, "end": 709.84, "text": " componente es decir este t\u00e9rmino y este que tenemos ac\u00e1 entonces en el lado izquierdo se"}, {"start": 709.84, "end": 723.88, "text": " queda x y prima por secante de ra\u00edz cuadrada de x y por tangente de ra\u00edz cuadrada de x y y vamos"}, {"start": 723.88, "end": 730.08, "text": " a pasar este t\u00e9rmino que tiene signo positivo entonces llega al lado izquierdo con signo negativo"}, {"start": 730.08, "end": 738.0, "text": " 4 y por ra\u00edz cuadrada de x y y todo eso por y prima all\u00ed ya tenemos agrupados en el lado izquierdo"}, {"start": 738.0, "end": 745.84, "text": " los t\u00e9rminos que contienen y prima ahora en el lado derecho se queda este t\u00e9rmino 4x por la ra\u00edz"}, {"start": 745.84, "end": 752.5200000000001, "text": " cuadrada de x y y pasamos este t\u00e9rmino el que no contiene y prima entonces llega ac\u00e1 con signo"}, {"start": 752.52, "end": 761.48, "text": " negativo nos queda y por secante de la ra\u00edz cuadrada de x y por tangente de la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 761.48, "end": 769.6, "text": " de x y ahora en el lado izquierdo de la igualdad ya podemos extraer como factor com\u00fan y prima"}, {"start": 769.6, "end": 777.84, "text": " entonces sale ese componente y prima es factor de lo siguiente en el primer t\u00e9rmino nos queda x por"}, {"start": 777.84, "end": 788.08, "text": " secante de la ra\u00edz cuadrada de x y por tangente de la ra\u00edz cuadrada de x y luego tenemos menos 4"}, {"start": 788.08, "end": 798.0400000000001, "text": " y por ra\u00edz cuadrada de x y entonces ha salido y prima como factor com\u00fan en toda esa expresi\u00f3n en"}, {"start": 798.04, "end": 808.04, "text": " el lado derecho permanece lo mismo es decir 4x por ra\u00edz cuadrada de x y y esto menos y por secante de"}, {"start": 808.04, "end": 817.48, "text": " la ra\u00edz cuadrada de x y por tangente de la ra\u00edz cuadrada de x y ahora s\u00ed podemos despejar y prima"}, {"start": 817.48, "end": 824.56, "text": " y lo que hacemos es pasar toda esta expresi\u00f3n que est\u00e1 multiplicando al otro lado a dividir nos queda"}, {"start": 824.56, "end": 836.92, "text": " y prima igual a lo siguiente todo esto 4x por la ra\u00edz cuadrada de x y luego menos y por secante"}, {"start": 836.92, "end": 848.64, "text": " de la ra\u00edz cuadrada de x y por tangente de la ra\u00edz cuadrada de x y y todo eso sobre x por secante"}, {"start": 848.64, "end": 859.88, "text": " de la ra\u00edz cuadrada de x y por tangente de la ra\u00edz cuadrada de x y esto menos 4 y por la ra\u00edz"}, {"start": 859.88, "end": 869.4, "text": " cuadrada de x y para terminar simplemente cambiamos y prima por de x recordemos que es lo mismo y de"}, {"start": 869.4, "end": 878.84, "text": " esta manera hemos terminado el ejercicio toda esta expresi\u00f3n constituye la derivada de y con respecto"}, {"start": 878.84, "end": 899.84, "text": " a x para esta expresi\u00f3n que nos dieron y hemos utilizado la derivaci\u00f3n impl\u00edcita"}]

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35. VECTORES EN CINEMÁTICA (Ejercicio 5)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 35: Vectores en Cinemática (Ejercicio 5). Las ecuaciones del movimiento de dos móviles son: S1 = 4t² + 6t - 5 ; S2 = 2t² + 5t - 3. ¿Qué relación existe entre los espacios recorridos por ambos móviles al cabo de 5 s? ¿Y entre sus velocidades? Tema: El Movimiento y su Descripción. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

Nos dan las ecuaciones de posición de dos móviles que podemos reescribir en términos de T como S1 de T, posición del móvil 1 y S2 de T, posición del móvil 2. Y nos piden encontrar que relación existe entre los espacios recorridos por esos dos móviles al cabo de 5 segundos. Entonces lo que debemos hacer es evaluar ambas ecuaciones en T igual a 5, mirar qué sucede, cuáles son las posiciones de los móviles en ese instante. Entonces en ambas ecuaciones vamos a sustituir T por 5 y vamos a resolver las operaciones. Entonces tendremos por acá 5 al cuadrado 25 por 4 son 100, 6 por 5 30 menos 5, esto nos da 130 menos 5 son 125 metros. Esto quiere decir que el móvil 1 se encuentra en la posición 125 metros en el instante T igual a 5 segundos. Por acá 5 al cuadrado 25 por 2 50 más 5 por 5 25 menos 3, todo esto nos da 72 metros. Miremos gráficamente esto que acabamos de obtener. En ambas ecuaciones corresponde a movimientos unidimensionales, es decir donde el sistema de referencia es por ejemplo el eje X en metros. Entonces por acá podemos marcar la posición 0, el origen de nuestro sistema de referencia y vamos a ubicar los dos móviles en las posiciones 125 y 72 metros. Mientras que el móvil 2 se encuentra en la posición 70. Entonces en el instante T igual a 5 segundos, en ese momento a los 5 segundos hagamos de cuenta que congelamos la imagen y observamos que el móvil 1 que es este carrito, este coche, aquí está, está en la posición 125. En la posición 72 metros. Eso quiere decir que en ese momento entre ellos existe una diferencia o una distancia que los separa de 53 metros. La distancia que separa los dos móviles o los dos vehículos en ese instante es de 53 metros. Ahora vamos a mirar que sucede con las velocidades. Entonces vamos a encontrar la ecuación de velocidad para cada móvil derivando la ecuación de posición correspondiente. Entonces veamos para el móvil 1 la derivada de esto sería 8T más 6 y la derivada del menos 5 sería 0 por ser una constante. Luego tenemos la ecuación 8T más 6. Y para el móvil 2 su ecuación de velocidad será la derivada de su posición. Entonces derivada de este término será 4T derivada de este es 5 y derivada de menos 3 sería 0 por lo tanto lo omitimos. Ahora vamos a evaluar ambas ecuaciones de velocidad en T igual a 5. Si queremos ver en este mismo instante de tiempo cuáles son las velocidades de ambos móviles. Entonces veamos por acá 8 por 5 más 6 sería 40 más 6 es decir 46 metros sobre segundos las unidades en el sistema internacional para la velocidad. Y por acá 4 por 5 más 5 eso nos da 20 más 5 son 25 metros sobre segundos. Vemos que las dos velocidades son positivas lo que nos dice que los móviles se están dirigiendo hacia la derecha. Entonces para el caso del móvil 1 su velocidad vamos a colocarla aquí como B1 tiene un valor de 46 metros sobre segundo. Ese sería el módulo o la magnitud de ese vector velocidad. Mientras tanto para el móvil 2 su velocidad es un poco menor hacemos el vector un poco más pequeño y vamos a colocarla por aquí la velocidad de ese móvil es de 25 metros sobre segundo. Este vector velocidad. ¿Qué podemos decir de las velocidades en ese instante? Que el móvil 1 supera en velocidad al móvil 2 en 21 metros sobre segundo. Este móvil 1 va mucho más rápido que este. Ese sería entonces la relación entre sus velocidades en el instante T igual a 5 segundos.

[{"start": 0.0, "end": 24.42, "text": " Nos dan las ecuaciones de posici\u00f3n de dos m\u00f3viles que podemos reescribir en t\u00e9rminos"}, {"start": 24.42, "end": 33.32, "text": " de T como S1 de T, posici\u00f3n del m\u00f3vil 1 y S2 de T, posici\u00f3n del m\u00f3vil 2."}, {"start": 33.32, "end": 38.64, "text": " Y nos piden encontrar que relaci\u00f3n existe entre los espacios recorridos por esos dos"}, {"start": 38.64, "end": 41.84, "text": " m\u00f3viles al cabo de 5 segundos."}, {"start": 41.84, "end": 49.8, "text": " Entonces lo que debemos hacer es evaluar ambas ecuaciones en T igual a 5, mirar qu\u00e9 sucede,"}, {"start": 49.8, "end": 54.36, "text": " cu\u00e1les son las posiciones de los m\u00f3viles en ese instante."}, {"start": 54.36, "end": 63.64, "text": " Entonces en ambas ecuaciones vamos a sustituir T por 5 y vamos a resolver las operaciones."}, {"start": 63.64, "end": 73.67999999999999, "text": " Entonces tendremos por ac\u00e1 5 al cuadrado 25 por 4 son 100, 6 por 5 30 menos 5, esto nos"}, {"start": 73.67999999999999, "end": 78.64, "text": " da 130 menos 5 son 125 metros."}, {"start": 78.64, "end": 86.52, "text": " Esto quiere decir que el m\u00f3vil 1 se encuentra en la posici\u00f3n 125 metros en el instante"}, {"start": 86.52, "end": 88.8, "text": " T igual a 5 segundos."}, {"start": 88.8, "end": 100.8, "text": " Por ac\u00e1 5 al cuadrado 25 por 2 50 m\u00e1s 5 por 5 25 menos 3, todo esto nos da 72 metros."}, {"start": 100.8, "end": 104.2, "text": " Miremos gr\u00e1ficamente esto que acabamos de obtener."}, {"start": 104.2, "end": 109.92, "text": " En ambas ecuaciones corresponde a movimientos unidimensionales, es decir donde el sistema"}, {"start": 109.92, "end": 114.88, "text": " de referencia es por ejemplo el eje X en metros."}, {"start": 114.88, "end": 121.16, "text": " Entonces por ac\u00e1 podemos marcar la posici\u00f3n 0, el origen de nuestro sistema de referencia"}, {"start": 121.16, "end": 129.2, "text": " y vamos a ubicar los dos m\u00f3viles en las posiciones 125 y 72 metros."}, {"start": 129.2, "end": 135.88, "text": " Mientras que el m\u00f3vil 2 se encuentra en la posici\u00f3n 70."}, {"start": 135.88, "end": 143.76, "text": " Entonces en el instante T igual a 5 segundos, en ese momento a los 5 segundos hagamos de"}, {"start": 143.76, "end": 152.2, "text": " cuenta que congelamos la imagen y observamos que el m\u00f3vil 1 que es este carrito, este"}, {"start": 152.2, "end": 156.76, "text": " coche, aqu\u00ed est\u00e1, est\u00e1 en la posici\u00f3n 125."}, {"start": 156.76, "end": 160.92, "text": " En la posici\u00f3n 72 metros."}, {"start": 160.92, "end": 167.64, "text": " Eso quiere decir que en ese momento entre ellos existe una diferencia o una distancia"}, {"start": 167.64, "end": 172.23999999999998, "text": " que los separa de 53 metros."}, {"start": 172.23999999999998, "end": 178.72, "text": " La distancia que separa los dos m\u00f3viles o los dos veh\u00edculos en ese instante es de 53"}, {"start": 178.72, "end": 180.07999999999998, "text": " metros."}, {"start": 180.07999999999998, "end": 183.68, "text": " Ahora vamos a mirar que sucede con las velocidades."}, {"start": 183.68, "end": 188.76000000000002, "text": " Entonces vamos a encontrar la ecuaci\u00f3n de velocidad para cada m\u00f3vil derivando la ecuaci\u00f3n"}, {"start": 188.76000000000002, "end": 191.16, "text": " de posici\u00f3n correspondiente."}, {"start": 191.16, "end": 199.0, "text": " Entonces veamos para el m\u00f3vil 1 la derivada de esto ser\u00eda 8T m\u00e1s 6 y la derivada del"}, {"start": 199.0, "end": 201.68, "text": " menos 5 ser\u00eda 0 por ser una constante."}, {"start": 201.68, "end": 204.92000000000002, "text": " Luego tenemos la ecuaci\u00f3n 8T m\u00e1s 6."}, {"start": 204.92000000000002, "end": 211.16, "text": " Y para el m\u00f3vil 2 su ecuaci\u00f3n de velocidad ser\u00e1 la derivada de su posici\u00f3n."}, {"start": 211.16, "end": 218.32, "text": " Entonces derivada de este t\u00e9rmino ser\u00e1 4T derivada de este es 5 y derivada de menos"}, {"start": 218.32, "end": 221.96, "text": " 3 ser\u00eda 0 por lo tanto lo omitimos."}, {"start": 221.96, "end": 226.8, "text": " Ahora vamos a evaluar ambas ecuaciones de velocidad en T igual a 5."}, {"start": 226.8, "end": 233.76, "text": " Si queremos ver en este mismo instante de tiempo cu\u00e1les son las velocidades de ambos"}, {"start": 233.76, "end": 235.56, "text": " m\u00f3viles."}, {"start": 235.56, "end": 245.8, "text": " Entonces veamos por ac\u00e1 8 por 5 m\u00e1s 6 ser\u00eda 40 m\u00e1s 6 es decir 46 metros sobre segundos"}, {"start": 245.8, "end": 249.24, "text": " las unidades en el sistema internacional para la velocidad."}, {"start": 249.24, "end": 259.84000000000003, "text": " Y por ac\u00e1 4 por 5 m\u00e1s 5 eso nos da 20 m\u00e1s 5 son 25 metros sobre segundos."}, {"start": 259.84, "end": 266.28, "text": " Vemos que las dos velocidades son positivas lo que nos dice que los m\u00f3viles se est\u00e1n"}, {"start": 266.28, "end": 268.2, "text": " dirigiendo hacia la derecha."}, {"start": 268.2, "end": 273.71999999999997, "text": " Entonces para el caso del m\u00f3vil 1 su velocidad vamos a colocarla aqu\u00ed como B1 tiene un"}, {"start": 273.71999999999997, "end": 276.76, "text": " valor de 46 metros sobre segundo."}, {"start": 276.76, "end": 280.59999999999997, "text": " Ese ser\u00eda el m\u00f3dulo o la magnitud de ese vector velocidad."}, {"start": 280.59999999999997, "end": 285.47999999999996, "text": " Mientras tanto para el m\u00f3vil 2 su velocidad es un poco menor hacemos el vector un poco"}, {"start": 285.48, "end": 292.36, "text": " m\u00e1s peque\u00f1o y vamos a colocarla por aqu\u00ed la velocidad de ese m\u00f3vil es de 25 metros"}, {"start": 292.36, "end": 294.36, "text": " sobre segundo."}, {"start": 294.36, "end": 295.36, "text": " Este vector velocidad."}, {"start": 295.36, "end": 298.92, "text": " \u00bfQu\u00e9 podemos decir de las velocidades en ese instante?"}, {"start": 298.92, "end": 307.54, "text": " Que el m\u00f3vil 1 supera en velocidad al m\u00f3vil 2 en 21 metros sobre segundo."}, {"start": 307.54, "end": 313.28000000000003, "text": " Este m\u00f3vil 1 va mucho m\u00e1s r\u00e1pido que este."}, {"start": 313.28, "end": 318.44, "text": " Ese ser\u00eda entonces la relaci\u00f3n entre sus velocidades en el instante T igual a 5 segundos."}]

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PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo resolver un ejercicio de aplicación de punto medio de un segmento en el plano cartesiano. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Tenemos en este caso tres puntos en el plano cartesiano. El punto P de coordenadas A,6, el punto Q de coordenadas 9,B y el punto M de coordenadas 7,3. Nos dicen que M es el punto medio del segmento PQ y debemos encontrar los valores de A y B. Como P y Q son los puntos extremos del segmento, entonces nombramos sus coordenadas de la siguiente manera. X1 es la abscisa de P, y1 la ordenada de P, x2 la abscisa de Q, y2 la ordenada del punto Q. Y para el caso de M, como es punto medio del segmento PQ, entonces nombramos sus coordenadas como X trazo y Y trazo. X trazo es la abscisa y Y trazo es la ordenada. Utilizamos entonces las fórmulas para determinar las coordenadas del punto medio de un segmento en el plano cartesiano. Tenemos que X trazo, la coordenada en X del punto medio, es X1 más X2 sobre 2, es decir, el promedio o la media aritmética de las abscisas de los puntos extremos. Entonces allí vamos a reemplazar la información que se conoce. Tenemos que X trazo equivale a 7, tenemos que X1 es A, allí tenemos una de las incógnitas, más X2 que en este caso es 9, y todo eso dividido entre 2. Se nos forma entonces una ecuación lineal o de primer grado, de donde tenemos que encontrar el valor de A. Comenzamos pasando este 2 que está dividiendo en el lado derecho, entonces llega al lado izquierdo a multiplicar, es lo mismo que multiplicar ambos lados de la igualdad por 2. Entonces nos queda 7 por 2 igual a A más 9. Resolvemos lo del lado izquierdo, vamos a continuar por acá, 7 por 2 nos da 14 y eso nos queda igual a A más 9, y de allí podemos despejar A. Para ello pasamos 9 que está sumando al otro lado a restar, es lo mismo que restar 9 a ambos lados de la igualdad. Y resolviendo esta operación nos da 5, 5 es igual a la variable A. De esa manera ya conocemos el valor de la primera incógnita, A es igual a 5. Ahora planteamos la otra fórmula, la que corresponde a Y trazo. Y trazo, o sea la ordenada del punto medio será igual a Y1 más Y2 y todo esto sobre 2. De nuevo se promedian o se obtiene la media aritmética de las ordenadas de los puntos extremos del segmento. Vamos a reemplazar la información que conocemos, Y trazo equivale a 3, esto será igual a Y1 que en este caso es menos 6 más Y2 que en este caso es B, allí aparece la otra incógnita y todo esto va dividido entre 2. Otra vez tenemos una ecuación lineal o de primer grado con una incógnita que es D. Vamos a despejarla poco a poco, primero pasamos este 2 que está dividiendo al otro lado a multiplicar, nos queda 3 por 2 igual a menos 6 más B. Pasamos lo del lado izquierdo, 3 por 2 nos da 6 y eso es igual a menos 6 más B y de allí despejamos B, para ello pasamos esta cantidad que está negativa a este lado, entonces llega al otro con signo positivo, llega a sumar, es lo mismo que sumar 6 a ambos lados de esa igualdad y resolviendo esta operación nos queda que 12 es igual a B. De esa manera encontramos que B es igual a 12 y así terminamos el ejercicio. Todo esto constituye la respuesta, es un ejercicio de aplicación del punto medio de un segmento en el plano cartesiano.

[{"start": 0.0, "end": 6.92, "text": " Tenemos en este caso tres puntos en el plano cartesiano."}, {"start": 6.92, "end": 14.88, "text": " El punto P de coordenadas A,6, el punto Q de coordenadas 9,B y el punto M de coordenadas"}, {"start": 14.88, "end": 16.4, "text": " 7,3."}, {"start": 16.4, "end": 23.04, "text": " Nos dicen que M es el punto medio del segmento PQ y debemos encontrar los valores de A y"}, {"start": 23.04, "end": 24.52, "text": " B."}, {"start": 24.52, "end": 31.28, "text": " Como P y Q son los puntos extremos del segmento, entonces nombramos sus coordenadas de la siguiente"}, {"start": 31.28, "end": 32.28, "text": " manera."}, {"start": 32.28, "end": 42.36, "text": " X1 es la abscisa de P, y1 la ordenada de P, x2 la abscisa de Q, y2 la ordenada del punto"}, {"start": 42.36, "end": 43.36, "text": " Q."}, {"start": 43.36, "end": 49.6, "text": " Y para el caso de M, como es punto medio del segmento PQ, entonces nombramos sus coordenadas"}, {"start": 49.6, "end": 52.0, "text": " como X trazo y Y trazo."}, {"start": 52.0, "end": 56.72, "text": " X trazo es la abscisa y Y trazo es la ordenada."}, {"start": 56.72, "end": 62.08, "text": " Utilizamos entonces las f\u00f3rmulas para determinar las coordenadas del punto medio de un segmento"}, {"start": 62.08, "end": 64.08, "text": " en el plano cartesiano."}, {"start": 64.08, "end": 73.03999999999999, "text": " Tenemos que X trazo, la coordenada en X del punto medio, es X1 m\u00e1s X2 sobre 2, es decir,"}, {"start": 73.03999999999999, "end": 79.48, "text": " el promedio o la media aritm\u00e9tica de las abscisas de los puntos extremos."}, {"start": 79.48, "end": 83.24000000000001, "text": " Entonces all\u00ed vamos a reemplazar la informaci\u00f3n que se conoce."}, {"start": 83.24000000000001, "end": 92.64, "text": " Tenemos que X trazo equivale a 7, tenemos que X1 es A, all\u00ed tenemos una de las inc\u00f3gnitas,"}, {"start": 92.64, "end": 99.2, "text": " m\u00e1s X2 que en este caso es 9, y todo eso dividido entre 2."}, {"start": 99.2, "end": 105.04, "text": " Se nos forma entonces una ecuaci\u00f3n lineal o de primer grado, de donde tenemos que encontrar"}, {"start": 105.04, "end": 106.28, "text": " el valor de A."}, {"start": 106.28, "end": 111.2, "text": " Comenzamos pasando este 2 que est\u00e1 dividiendo en el lado derecho, entonces llega al lado"}, {"start": 111.2, "end": 118.04, "text": " izquierdo a multiplicar, es lo mismo que multiplicar ambos lados de la igualdad por 2."}, {"start": 118.04, "end": 123.08, "text": " Entonces nos queda 7 por 2 igual a A m\u00e1s 9."}, {"start": 123.08, "end": 129.48, "text": " Resolvemos lo del lado izquierdo, vamos a continuar por ac\u00e1, 7 por 2 nos da 14 y eso"}, {"start": 129.48, "end": 134.84, "text": " nos queda igual a A m\u00e1s 9, y de all\u00ed podemos despejar A."}, {"start": 134.84, "end": 140.96, "text": " Para ello pasamos 9 que est\u00e1 sumando al otro lado a restar, es lo mismo que restar 9 a"}, {"start": 140.96, "end": 143.24, "text": " ambos lados de la igualdad."}, {"start": 143.24, "end": 150.04, "text": " Y resolviendo esta operaci\u00f3n nos da 5, 5 es igual a la variable A."}, {"start": 150.04, "end": 156.88, "text": " De esa manera ya conocemos el valor de la primera inc\u00f3gnita, A es igual a 5."}, {"start": 156.88, "end": 161.28, "text": " Ahora planteamos la otra f\u00f3rmula, la que corresponde a Y trazo."}, {"start": 161.28, "end": 169.56, "text": " Y trazo, o sea la ordenada del punto medio ser\u00e1 igual a Y1 m\u00e1s Y2 y todo esto sobre"}, {"start": 169.56, "end": 170.56, "text": " 2."}, {"start": 170.56, "end": 176.12, "text": " De nuevo se promedian o se obtiene la media aritm\u00e9tica de las ordenadas de los puntos"}, {"start": 176.12, "end": 178.52, "text": " extremos del segmento."}, {"start": 178.52, "end": 186.2, "text": " Vamos a reemplazar la informaci\u00f3n que conocemos, Y trazo equivale a 3, esto ser\u00e1 igual a Y1"}, {"start": 186.2, "end": 194.44, "text": " que en este caso es menos 6 m\u00e1s Y2 que en este caso es B, all\u00ed aparece la otra inc\u00f3gnita"}, {"start": 194.44, "end": 198.04, "text": " y todo esto va dividido entre 2."}, {"start": 198.04, "end": 203.56, "text": " Otra vez tenemos una ecuaci\u00f3n lineal o de primer grado con una inc\u00f3gnita que es D."}, {"start": 203.56, "end": 208.83999999999997, "text": " Vamos a despejarla poco a poco, primero pasamos este 2 que est\u00e1 dividiendo al otro lado a"}, {"start": 208.83999999999997, "end": 215.0, "text": " multiplicar, nos queda 3 por 2 igual a menos 6 m\u00e1s B."}, {"start": 215.0, "end": 222.44, "text": " Pasamos lo del lado izquierdo, 3 por 2 nos da 6 y eso es igual a menos 6 m\u00e1s B y de"}, {"start": 222.44, "end": 228.88, "text": " all\u00ed despejamos B, para ello pasamos esta cantidad que est\u00e1 negativa a este lado, entonces"}, {"start": 228.88, "end": 235.36, "text": " llega al otro con signo positivo, llega a sumar, es lo mismo que sumar 6 a ambos lados"}, {"start": 235.36, "end": 242.48, "text": " de esa igualdad y resolviendo esta operaci\u00f3n nos queda que 12 es igual a B."}, {"start": 242.48, "end": 249.56, "text": " De esa manera encontramos que B es igual a 12 y as\u00ed terminamos el ejercicio."}, {"start": 249.56, "end": 256.56, "text": " Todo esto constituye la respuesta, es un ejercicio de aplicaci\u00f3n del punto medio de un segmento"}, {"start": 256.56, "end": 282.88, "text": " en el plano cartesiano."}]

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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 28

#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida utilizando dos veces el método de sustitución o cambio de variable. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para resolver esta integral indefinida vamos a utilizar el método de sustitución conocido también como cambio de variable. Vamos a cambiar lo que es e a la x por otra letra. Vamos a utilizar por ejemplo la letra griega theta, entonces theta será igual a e a la x. Ese componente tenemos que derivarlo con respecto a x. Entonces decimos derivada de theta con respecto a la variable x, es decir la derivada de e a la x nos da esa misma expresión e a la x. Y de aquí vamos a despejar de x. Para despejar de x hacemos lo siguiente, de x está aquí dividiendo, pasaría a este lado a multiplicar y e a la x vendría acá a dividir. En otras palabras hacemos un intercambio con estos dos componentes, por lo tanto de x nos queda igual a d theta sobre e a la x. Pero por acá dijimos que e a la x equivale a theta, entonces esto nos queda así, de x igual a d theta sobre theta. Cambiamos e a la x por la variable theta. Entonces con estos dos componentes que hemos encerrado vamos a reconstruir esa integral. Nos queda entonces así, e a la x que se cambia por theta, eso multiplicado por tangente de e a la x, o sea tangente de theta, en el denominador tenemos coseno al cuadrado de e a la x, e a la x se cambia por theta, y acá tenemos el diferencial de x que nos dio d theta sobre theta. Entonces allí tenemos una nueva integral en términos de la variable theta. Esa expresión podemos simplificarla, esta letra theta la podemos cancelar o eliminar, es completamente lícito hacer eso. Entonces nos queda la integral de lo siguiente, tenemos tangente de theta y esto que tenemos en el denominador podemos escribirlo acá a un lado, es decir multiplicando por 1 sobre coseno al cuadrado de theta, y todo eso acompañado del diferencial de theta. A su vez podemos cambiar este componente utilizando una identidad trigonométrica, recordemos que 1 sobre coseno equivale a secante, y si aquí tenemos 1 sobre coseno al cuadrado de theta, esto se convertirá en secante al cuadrado de theta. Entonces la integral nos queda así, integral de tangente de theta por secante al cuadrado de theta, y todo eso acompañado del diferencial de theta. Si realizamos con atención esta expresión vemos que la derivada de tangente de theta nos da secante al cuadrado de theta. Entonces vamos a utilizar otra sustitución o cambio de variable. Vamos a utilizar por ejemplo la letra k para representar a lo que es tangente de theta. Entonces ese componente tenemos que derivarlo con respecto de la variable theta. Vamos a realizar esa derivada por acá, derivada de k con respecto a theta, es decir la derivada de tangente de theta nos da secante al cuadrado de theta, tal como decíamos ahora. Y de allí vamos a despejar de k, esta vez despejamos de k, es decir pasamos de theta al otro lado a multiplicar, nos queda secante al cuadrado de theta por de theta, porque es justamente este componente el que acompaña a tangente de theta. Entonces con estos dos elementos que hemos encerrado vamos a reconstruir la integral en términos de la variable k. Nos queda entonces así tangente de theta que es igual a k y todo esto como decíamos equivale al diferencial de k. Como se observa ya hemos llegado a una integral directa, una integral que depende solamente de la variable k y donde tenemos una expresión fácilmente integrable. La integral de k que recordemos tiene exponente 1 será k a la 1 más 1, o sea 2 sobre 1 más 1 que también es 2, k al cuadrado sobre 2 y todo esto más la constante de integración. Ahora lo que tenemos que hacer con esta expresión es deshacer los cambios de variable o sustituciones que se realizaron en el camino, entonces veamos cómo nos queda. Inicialmente cambiamos k por su equivalente que es tangente de theta, como k está al cuadrado entonces acá tendremos tangente de theta, todo esto al cuadrado y todo esto sobre 2 más la constante de integración. Enseguida cambiamos theta por e a la x, entonces nos queda tangente de e a la x encerrado con paréntesis y todo esto encerrado con corchetes porque va elevado al cuadrado y a su vez todo eso dividido entre 2 más la constante de integración. Ya para terminar podemos organizar esa expresión de la siguiente manera, vamos a seguir por acá nos queda un medio, es decir corremos este denominador 2 a la izquierda, nos queda como la fracción un medio y eso multiplica con tangente al cuadrado, podemos ubicar el exponente 2 allí de e a la x y todo eso más la constante de integración y de esta manera terminamos el ejercicio, esta expresión es la respuesta para esa integral indefinida.

[{"start": 0.0, "end": 10.120000000000001, "text": " Para resolver esta integral indefinida vamos a utilizar el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n conocido"}, {"start": 10.120000000000001, "end": 17.36, "text": " tambi\u00e9n como cambio de variable. Vamos a cambiar lo que es e a la x por otra letra."}, {"start": 17.36, "end": 24.28, "text": " Vamos a utilizar por ejemplo la letra griega theta, entonces theta ser\u00e1 igual a e a la"}, {"start": 24.28, "end": 32.0, "text": " x. Ese componente tenemos que derivarlo con respecto a x. Entonces decimos derivada de"}, {"start": 32.0, "end": 40.900000000000006, "text": " theta con respecto a la variable x, es decir la derivada de e a la x nos da esa misma expresi\u00f3n"}, {"start": 40.900000000000006, "end": 47.96, "text": " e a la x. Y de aqu\u00ed vamos a despejar de x. Para despejar de x hacemos lo siguiente, de"}, {"start": 47.96, "end": 55.08, "text": " x est\u00e1 aqu\u00ed dividiendo, pasar\u00eda a este lado a multiplicar y e a la x vendr\u00eda ac\u00e1 a dividir."}, {"start": 55.08, "end": 60.28, "text": " En otras palabras hacemos un intercambio con estos dos componentes, por lo tanto de x nos"}, {"start": 60.28, "end": 70.04, "text": " queda igual a d theta sobre e a la x. Pero por ac\u00e1 dijimos que e a la x equivale a theta,"}, {"start": 70.04, "end": 78.80000000000001, "text": " entonces esto nos queda as\u00ed, de x igual a d theta sobre theta. Cambiamos e a la x por"}, {"start": 78.80000000000001, "end": 85.88000000000001, "text": " la variable theta. Entonces con estos dos componentes que hemos encerrado vamos a reconstruir"}, {"start": 85.88000000000001, "end": 93.32000000000001, "text": " esa integral. Nos queda entonces as\u00ed, e a la x que se cambia por theta, eso multiplicado"}, {"start": 93.32, "end": 100.55999999999999, "text": " por tangente de e a la x, o sea tangente de theta, en el denominador tenemos coseno al"}, {"start": 100.55999999999999, "end": 107.08, "text": " cuadrado de e a la x, e a la x se cambia por theta, y ac\u00e1 tenemos el diferencial de x que"}, {"start": 107.08, "end": 114.19999999999999, "text": " nos dio d theta sobre theta. Entonces all\u00ed tenemos una nueva integral en t\u00e9rminos de"}, {"start": 114.19999999999999, "end": 121.24, "text": " la variable theta. Esa expresi\u00f3n podemos simplificarla, esta letra theta la podemos"}, {"start": 121.24, "end": 128.2, "text": " cancelar o eliminar, es completamente l\u00edcito hacer eso. Entonces nos queda la integral"}, {"start": 128.2, "end": 135.35999999999999, "text": " de lo siguiente, tenemos tangente de theta y esto que tenemos en el denominador podemos"}, {"start": 135.35999999999999, "end": 143.44, "text": " escribirlo ac\u00e1 a un lado, es decir multiplicando por 1 sobre coseno al cuadrado de theta, y"}, {"start": 143.44, "end": 151.0, "text": " todo eso acompa\u00f1ado del diferencial de theta. A su vez podemos cambiar este componente utilizando"}, {"start": 151.0, "end": 157.24, "text": " una identidad trigonom\u00e9trica, recordemos que 1 sobre coseno equivale a secante, y si"}, {"start": 157.24, "end": 163.12, "text": " aqu\u00ed tenemos 1 sobre coseno al cuadrado de theta, esto se convertir\u00e1 en secante al cuadrado"}, {"start": 163.12, "end": 173.2, "text": " de theta. Entonces la integral nos queda as\u00ed, integral de tangente de theta por secante"}, {"start": 173.2, "end": 180.98, "text": " al cuadrado de theta, y todo eso acompa\u00f1ado del diferencial de theta. Si realizamos con"}, {"start": 180.98, "end": 187.48, "text": " atenci\u00f3n esta expresi\u00f3n vemos que la derivada de tangente de theta nos da secante al cuadrado"}, {"start": 187.48, "end": 194.6, "text": " de theta. Entonces vamos a utilizar otra sustituci\u00f3n o cambio de variable. Vamos a utilizar por"}, {"start": 194.6, "end": 203.76, "text": " ejemplo la letra k para representar a lo que es tangente de theta. Entonces ese componente"}, {"start": 203.76, "end": 210.56, "text": " tenemos que derivarlo con respecto de la variable theta. Vamos a realizar esa derivada por"}, {"start": 210.56, "end": 217.6, "text": " ac\u00e1, derivada de k con respecto a theta, es decir la derivada de tangente de theta nos"}, {"start": 217.6, "end": 223.6, "text": " da secante al cuadrado de theta, tal como dec\u00edamos ahora. Y de all\u00ed vamos a despejar"}, {"start": 223.6, "end": 231.04, "text": " de k, esta vez despejamos de k, es decir pasamos de theta al otro lado a multiplicar, nos queda"}, {"start": 231.04, "end": 237.44, "text": " secante al cuadrado de theta por de theta, porque es justamente este componente el que"}, {"start": 237.44, "end": 245.44, "text": " acompa\u00f1a a tangente de theta. Entonces con estos dos elementos que hemos encerrado vamos"}, {"start": 245.44, "end": 252.24, "text": " a reconstruir la integral en t\u00e9rminos de la variable k. Nos queda entonces as\u00ed tangente"}, {"start": 252.24, "end": 261.02, "text": " de theta que es igual a k y todo esto como dec\u00edamos equivale al diferencial de k. Como"}, {"start": 261.02, "end": 266.96, "text": " se observa ya hemos llegado a una integral directa, una integral que depende solamente"}, {"start": 266.96, "end": 273.2, "text": " de la variable k y donde tenemos una expresi\u00f3n f\u00e1cilmente integrable. La integral de k que"}, {"start": 273.2, "end": 281.0, "text": " recordemos tiene exponente 1 ser\u00e1 k a la 1 m\u00e1s 1, o sea 2 sobre 1 m\u00e1s 1 que tambi\u00e9n"}, {"start": 281.0, "end": 287.96, "text": " es 2, k al cuadrado sobre 2 y todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n. Ahora lo que"}, {"start": 287.96, "end": 294.28, "text": " tenemos que hacer con esta expresi\u00f3n es deshacer los cambios de variable o sustituciones que"}, {"start": 294.28, "end": 301.28, "text": " se realizaron en el camino, entonces veamos c\u00f3mo nos queda. Inicialmente cambiamos k"}, {"start": 301.28, "end": 307.23999999999995, "text": " por su equivalente que es tangente de theta, como k est\u00e1 al cuadrado entonces ac\u00e1 tendremos"}, {"start": 307.23999999999995, "end": 316.71999999999997, "text": " tangente de theta, todo esto al cuadrado y todo esto sobre 2 m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 316.72, "end": 324.92, "text": " Enseguida cambiamos theta por e a la x, entonces nos queda tangente de e a la x encerrado con"}, {"start": 324.92, "end": 332.08000000000004, "text": " par\u00e9ntesis y todo esto encerrado con corchetes porque va elevado al cuadrado y a su vez todo"}, {"start": 332.08000000000004, "end": 340.64000000000004, "text": " eso dividido entre 2 m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n. Ya para terminar podemos organizar"}, {"start": 340.64, "end": 348.32, "text": " esa expresi\u00f3n de la siguiente manera, vamos a seguir por ac\u00e1 nos queda un medio, es decir"}, {"start": 348.32, "end": 354.32, "text": " corremos este denominador 2 a la izquierda, nos queda como la fracci\u00f3n un medio y eso"}, {"start": 354.32, "end": 363.28, "text": " multiplica con tangente al cuadrado, podemos ubicar el exponente 2 all\u00ed de e a la x y"}, {"start": 363.28, "end": 370.88, "text": " todo eso m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n y de esta manera terminamos el ejercicio,"}, {"start": 370.88, "end": 400.64, "text": " esta expresi\u00f3n es la respuesta para esa integral indefinida."}]

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34. VECTORES EN CINEMÁTICA (Ejercicio 4)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 34: Vectores en Cinemática (Ejercicio 4). La ecuación del movimiento de un objeto es s = 2t² -12t + 30 en la que t se expresa en segundos y s en metros. Calcula: (a) La celeridad instantánea al cabo de 2 s. (b) El instante en el que la celeridad es nula. (c) La celeridad media del móvil entre los instantes 1 y 4 s. Tema: El Movimiento y su Descripción. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/3y2VtR

... Nos dan esta ecuación de posición para una partícula, se trata de un movimiento unidimensional, vamos a cambiar ese por SdT, posición en términos del tiempo. Entonces vamos a encontrar la velocidad instantánea, es decir, la ecuación de velocidad derivando la ecuación de posición, si encontramos S'dT. Entonces vamos a derivar cada uno de los términos que tenemos en la ecuación de posición. Veamos, derivada de este término sería 4t, derivada del siguiente término nos da menos 12, y derivada del último término nos daría 0. La derivada de 30 es 0 por ser una constante, por lo tanto no escribimos nada. Ya tenemos entonces la ecuación de velocidad o celeridad, y vamos a averiguar cuánto es esa velocidad en el instante de igual a 2 segundos, para responder la pregunta A. Necesitamos ver a los dos segundos qué velocidad tiene el móvil, entonces sustituimos el 2 en la ecuación de velocidad que encontramos. Veamos, 4 por 2, 8 menos 12, esto nos da menos 4, y escribimos las unidades correspondientes a la velocidad, que serían metros sobre segundos, ya que estamos trabajando en unidades del sistema internacional. ¿Qué significa esto? Que en ese instante de tiempo la partícula seguramente se mueve hacia la izquierda, si estamos tomando como sistema de referencia el eje X. Bien, entonces respondimos la pregunta A, es decir la celeridad instantánea, de la partícula en t igual a 2 segundos. Ahora vamos para la pregunta B, y es el instante en el cual la celeridad es nula. Entonces tenemos que esta celeridad o velocidad vamos a volverla 0, y nos queda esta ecuación, 0 igual a 4t menos 12, podemos pasar el 12, no, mejor pasemos 4t, pasa negativo, nos queda igual a menos 12, dejamos t igual a menos 12, dividido entre menos 4, y tenemos que t es igual a 3 positivo, 3 segundos. Entonces es acelerar la respuesta a la pregunta B. A los 3 segundos la celeridad o velocidad de esa partícula es 0, es decir es nula. En la parte C nos preguntan por la celeridad media o velocidad media de ese móvil en el intervalo de tiempo comprendido entre t igual a 1 y t igual a 4 segundos. Entonces vamos a calcular las posiciones en esos dos instantes de tiempo, en 1 y en 4, entonces veamos ese de 1, sería 2 por 1 al cuadrado, menos 12 por 1, más 30. Aquí nos da 2 menos 12, más 30, esto nos da un total de 20 metros. Quiere decir que en t igual a 1 segundo la partícula se encuentra en la posición 20 metros sobre el eje de referencia. Vamos con 4, sería 2 por 4 al cuadrado, menos 12 por 4, más 30. Entonces 4 al cuadrado 16 por 2, 32, menos 12 por 4, 48, más 30. Y toda esta operación nos da un total de 14 metros. Ya con esos dos datos podemos encontrar el vector desplazamiento, lo que se conoce como delta DR, que en este caso podríamos llamar delta S por tratarse de un movimiento unidimensional. Será entonces la posición final, ese de 4, menos la posición inicial, ese de 1, es decir 14 metros menos 20 metros, que nos da menos 6 metros. Tenemos entonces el vector desplazamiento de esa partícula, que quiere decir el signo negativo, que entre t igual a 1 y t igual a 4 segundos la partícula se movió hacia la izquierda en el eje de referencia, un total de 6 metros. Ese fue su desplazamiento. Vamos a encontrar la duración del intervalo de tiempo delta T. Será restar 4 menos 1, es decir, el instante final menos el instante de tiempo inicial. 4 menos 1 nos da 3 segundos. Y ya con eso podemos encontrar el vector velocidad media o celeridad media. Entonces sería vector desplazamiento dividido entre el intervalo de tiempo. El vector desplazamiento nos dio menos 6 metros y el intervalo de tiempo son 3 segundos. Esto nos da un total de menos 2 metros sobre segundos, que sería entonces la celeridad media o velocidad media de esa partícula o de ese móvil en el intervalo de tiempo comprendido entre 1 y 4 segundos. El signo negativo indica movimiento hacia la izquierda.

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OPERACIONES CON FRACCIONES POSITIVAS Y NEGATIVAS - Ejercicio 4

#julioprofe explica cómo resolver un ejercicio que incluye diferentes operaciones con números fraccionarios, incluso negativos. Al final hace su comprobación en la calculadora científica Casio Classwiz. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

TENEMOS EN ESTE CASO UN EJERCICIO DE OPERACIONES COMBINADAS CON NUMEROS FRACTIONARIOS. VAMOS A RESOLVERLO MANUALMENTE Y AL FINAL HAREMOS SU COMPROBACIÓN EN CALCULADORA. Comenzamos por efectuar esta resta de fracciones heterogeneas, fracciones con distinto denominador. En este caso vamos a determinar el mínimo común múltiplo de esos denominadores, es decir de 6 y 4. Vamos a determinar lo que se llama el común denominador. Escribimos los números 6 y 4 espaciados entre sí y trazamos esta línea vertical a la derecha del último. Comenzamos entonces examinando aquí los números primos para ver cuáles son divisores de estos números que tenemos acá. Comenzamos con el primer número primo que es el 2. 2 efectivamente es divisor de estos números por ser pares. Entonces utilizamos el 2. Decimos mitad de 6 nos da 3, mitad de 4 nos da 2. Nos preguntamos si el 2 sirve nuevamente, le sirve a este número. Entonces lo utilizamos. Decimos mitad de 2 es 1 y al 3 no le sirve el 2. 2 no divide al 3 exactamente. Por lo tanto el 3 se deja igual. Este 1 que obtuvimos nos indica que por acá ya se terminó el proceso. Nos queda entonces el número 3 al cual solamente le sirve el número primo 3. Entonces decimos tercera de 3 nos da 1. Y allí también terminamos el proceso. Entonces multiplicamos estos números que nos quedaron. 2 por 2 es 4, 4 por 3 nos da 12. Y 12 será el mínimo común múltiplo para 6 y 4. Ahora tenemos que transformar estas dos fracciones de tal manera que sus denominadores se conviertan en 12. Y eso lo vamos a conseguir utilizando la amplificación. Vamos a escribir por acá esa operación 5 sextos menos 7 cuartos. Y vamos con la primera fracción. Entonces tenemos 5 sextos. Tenemos que multiplicar abajo y arriba por un número tal que abajo nos de 12. Entonces 6 multiplicado por qué número nos da 12. Ese número es 2. Y también tenemos que multiplicar arriba por 2. Es lo que se llama amplificar una fracción. Vamos con la otra. Tenemos 7 cuartos. Hacemos lo mismo. Vamos a multiplicar abajo y arriba por un número tal que acá en el denominador nos de 12. Entonces 4 por qué número nos da 12. Ese número es 3. Y también debemos multiplicar arriba por 3. Resolvemos ahora esas multiplicaciones. En el caso de la primera fracción tenemos 5 por 2 10 en el numerador. Y 6 por 2 12 en el denominador. 10 doce abos. Vamos con la segunda fracción. 7 por 3 21. Y en el denominador 4 por 3 12. 21 doce abos. Allí hemos conseguido amplificar las fracciones originales. Llegamos así a una resta de fracciones homogéneas. Fracciones con el mismo denominador. Entonces en ese caso se conserva el denominador. Y efectuamos la operación de los numeradores. 10 menos 21. Esa resta nos da como resultado menos 11. Y esto queda sobre 12. Entonces menos 11 doce abos será el resultado de esta operación. La que tenemos en el primer paréntesis. Vamos a anotar ese resultado por acá. Y también vamos a ponerle los paréntesis. Revisemos ahora esto que hay en el segundo paréntesis. Allí vemos una suma que ocurre entre un número entero y un número mixto. Esa operación la podemos escribir así. Dos que es el número entero. Y acá el número mixto se compone de un número entero y una fracción. En realidad aquí tenemos la operación suma. Entonces ese mixto se puede expresar como uno más cinco octavos. Y como vemos aquí quedan dos enteros libres. Que podemos sumar entre sí. Dos más uno nos da tres. Y a su vez esto queda sumando con la fracción cinco octavos. De nuevo esta operación, esta suma. Entre un entero y una fracción. Nos conforma otro número mixto. Que es tres enteros cinco octavos. Y que podemos convertir en fracción. Acá en el numerador va el resultado de esta operación. Tres por ocho más cinco. Primero efectuamos la multiplicación. Tres por ocho veinticuatro. Y veinticuatro más cinco nos da veintinueve. Es el numerador. Y acá se conserva el mismo denominador que es ocho. Entonces este es el resultado de toda esta operación. Vamos a escribirlo por acá. Entonces dividido entre la fracción veintinueve octavos. Ya no necesita el paréntesis. Llegamos así a una división entre una fracción negativa y una fracción positiva. Lo primero que hacemos es definir el signo resultante. Entonces se aplica la ley de los signos. Menos con más nos da menos. Recordemos que la ley de los signos es exclusiva para la multiplicación. Y para la división. Lo que hacemos ahora es ensamblar la operación. Recordemos que para la división de fracciones. Acá en el numerador. Va la multiplicación de estos dos componentes. Entonces once por ocho. En el numerador. Y acá en el denominador la multiplicación de estos dos elementos. Es decir doce. Por veintinueve. Allí antes de efectuar las multiplicaciones primero hacemos todas las simplificaciones. Que sean posibles. En este caso revisamos los números que tenemos arriba. Con los números que tenemos abajo. Para ver cuáles permiten que sean simplificados. Es el caso de ocho y doce. Ambos números son divisibles por cuatro. Entonces decimos cuarta de ocho. Nos da dos. Y cuarta de doce nos da tres. Si seguimos revisando. Ya no encontramos parejas de números que se puedan simplificar. Recordemos siempre el número de arriba. Con un número de abajo. Por lo tanto cuando ya estamos seguros de que no es posible simplificar nada más. Entonces efectuamos las multiplicaciones de los números que quedaron. Entonces recordemos que el resultado será negativo. No podemos olvidar ese signo. En el numerador tenemos once por dos que es veintidós. Y en el denominador tres por veintinueve. Que nos da ochenta y siete. Esta fracción que hemos obtenido es propia. Porque el numerador es menor que el denominador. Y también podemos asegurar que se trata de una fracción irreducible. Porque acá en el proceso vimos que no fue posible simplificar nada más. Entonces esta será la respuesta para este ejercicio de operaciones combinadas con números fraccionarios. En seguida vamos a realizar la comprobación de este ejercicio utilizando esta calculadora. Comenzamos entonces abriendo un paréntesis. Y enseguida el botón de la fracción. Para ingresar cinco sextos. Entonces cinco en el numerador. Bajamos el cursor con el botón respectivo del navegador. Y allí escribimos el seis. Corremos hacia la derecha el cursor con el botón respectivo del navegador. Escribimos el signo menos. Luego otra vez el botón de fracción. Y vamos a ingresar siete cuartos. Siete en el numerador bajamos cuatro en el denominador. Corremos el cursor hacia la derecha. Y vamos a cerrar el paréntesis. Luego escribimos el símbolo de la división. Abrimos el otro paréntesis. Escribimos el número entero dos. A eso le vamos a sumar el número mixto un entero cinco octavos. Para ingresar el número mixto entonces oprimimos el botón shift. Y el botón de la fracción. De esa manera activamos la función de número mixto que aparece en color amarillo. En la parte superior del botón de fracción. Allí tenemos el cursor titilando en lo que es el número entero. Allí ingresamos el uno. Corremos el cursor hacia la derecha con el botón respectivo del navegador. Y en el numerador vamos a ingresar el cinco. Bajamos el cursor para escribir el ocho. Y luego lo corremos hacia la derecha con el botón respectivo del navegador. Y cerramos el paréntesis. Después de haber ingresado toda esa operación oprimimos el botón igual. Y allí nos aparece en pantalla este resultado. La fracción menos 22 87 aos. De esa manera comprobamos que el ejercicio que resolvimos manualmente es correcto. Y ya tenemos el resultado.

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{"start": 71.12, "end": 75.56, "text": " Decimos mitad de 2 es 1 y al 3 no le sirve el 2."}, {"start": 75.56, "end": 78.36, "text": " 2 no divide al 3 exactamente."}, {"start": 78.36, "end": 81.36, "text": " Por lo tanto el 3 se deja igual."}, {"start": 81.36, "end": 86.6, "text": " Este 1 que obtuvimos nos indica que por ac\u00e1 ya se termin\u00f3 el proceso."}, {"start": 86.6, "end": 92.19999999999999, "text": " Nos queda entonces el n\u00famero 3 al cual solamente le sirve el n\u00famero primo 3."}, {"start": 92.19999999999999, "end": 95.88, "text": " Entonces decimos tercera de 3 nos da 1."}, {"start": 95.88, "end": 98.75999999999999, "text": " Y all\u00ed tambi\u00e9n terminamos el proceso."}, {"start": 98.75999999999999, "end": 102.11999999999999, "text": " Entonces multiplicamos estos n\u00fameros que nos quedaron."}, {"start": 102.11999999999999, "end": 105.44, "text": " 2 por 2 es 4, 4 por 3 nos da 12."}, {"start": 105.44, "end": 110.91999999999999, "text": " Y 12 ser\u00e1 el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo para 6 y 4."}, {"start": 110.92, "end": 118.16, "text": " Ahora tenemos que transformar estas dos fracciones de tal manera que sus denominadores se conviertan en 12."}, {"start": 118.16, "end": 122.52, "text": " Y eso lo vamos a conseguir utilizando la amplificaci\u00f3n."}, {"start": 122.52, "end": 127.4, "text": " Vamos a escribir por ac\u00e1 esa operaci\u00f3n 5 sextos menos 7 cuartos."}, {"start": 127.4, "end": 129.96, "text": " Y vamos con la primera fracci\u00f3n."}, {"start": 129.96, "end": 132.16, "text": " Entonces tenemos 5 sextos."}, {"start": 132.16, "end": 138.92000000000002, "text": " Tenemos que multiplicar abajo y arriba por un n\u00famero tal que abajo nos de 12."}, {"start": 138.92, "end": 142.11999999999998, "text": " Entonces 6 multiplicado por qu\u00e9 n\u00famero nos da 12."}, {"start": 142.11999999999998, "end": 143.79999999999998, "text": " Ese n\u00famero es 2."}, {"start": 143.79999999999998, "end": 147.07999999999998, "text": " Y tambi\u00e9n tenemos que multiplicar arriba por 2."}, {"start": 147.07999999999998, "end": 150.56, "text": " Es lo que se llama amplificar una fracci\u00f3n."}, {"start": 150.56, "end": 151.56, "text": " Vamos con la otra."}, {"start": 151.56, "end": 153.32, "text": " Tenemos 7 cuartos."}, {"start": 153.32, "end": 154.76, "text": " Hacemos lo mismo."}, {"start": 154.76, "end": 161.07999999999998, "text": " Vamos a multiplicar abajo y arriba por un n\u00famero tal que ac\u00e1 en el denominador nos de 12."}, {"start": 161.07999999999998, "end": 163.83999999999997, "text": " Entonces 4 por qu\u00e9 n\u00famero nos da 12."}, {"start": 163.83999999999997, "end": 165.48, "text": " Ese n\u00famero es 3."}, {"start": 165.48, "end": 169.39999999999998, "text": " Y tambi\u00e9n debemos multiplicar arriba por 3."}, {"start": 169.39999999999998, "end": 172.44, "text": " Resolvemos ahora esas multiplicaciones."}, {"start": 172.44, "end": 177.04, "text": " En el caso de la primera fracci\u00f3n tenemos 5 por 2 10 en el numerador."}, {"start": 177.04, "end": 180.07999999999998, "text": " Y 6 por 2 12 en el denominador."}, {"start": 180.07999999999998, "end": 181.39999999999998, "text": " 10 doce abos."}, {"start": 181.39999999999998, "end": 183.28, "text": " Vamos con la segunda fracci\u00f3n."}, {"start": 183.28, "end": 185.2, "text": " 7 por 3 21."}, {"start": 185.2, "end": 188.0, "text": " Y en el denominador 4 por 3 12."}, {"start": 188.0, "end": 189.51999999999998, "text": " 21 doce abos."}, {"start": 189.51999999999998, "end": 194.39999999999998, "text": " All\u00ed hemos conseguido amplificar las fracciones originales."}, {"start": 194.4, "end": 198.20000000000002, "text": " Llegamos as\u00ed a una resta de fracciones homog\u00e9neas."}, {"start": 198.20000000000002, "end": 200.76000000000002, "text": " Fracciones con el mismo denominador."}, {"start": 200.76000000000002, "end": 204.76, "text": " Entonces en ese caso se conserva el denominador."}, {"start": 204.76, "end": 207.8, "text": " Y efectuamos la operaci\u00f3n de los numeradores."}, {"start": 207.8, "end": 209.72, "text": " 10 menos 21."}, {"start": 209.72, "end": 213.48000000000002, "text": " Esa resta nos da como resultado menos 11."}, {"start": 213.48000000000002, "end": 215.72, "text": " Y esto queda sobre 12."}, {"start": 215.72, "end": 220.44, "text": " Entonces menos 11 doce abos ser\u00e1 el resultado de esta operaci\u00f3n."}, {"start": 220.44, "end": 222.88, "text": " La que tenemos en el primer par\u00e9ntesis."}, {"start": 222.88, "end": 226.0, "text": " Vamos a anotar ese resultado por ac\u00e1."}, {"start": 226.0, "end": 230.68, "text": " Y tambi\u00e9n vamos a ponerle los par\u00e9ntesis."}, {"start": 230.68, "end": 234.2, "text": " Revisemos ahora esto que hay en el segundo par\u00e9ntesis."}, {"start": 234.2, "end": 239.4, "text": " All\u00ed vemos una suma que ocurre entre un n\u00famero entero y un n\u00famero mixto."}, {"start": 239.4, "end": 242.28, "text": " Esa operaci\u00f3n la podemos escribir as\u00ed."}, {"start": 242.28, "end": 244.48, "text": " Dos que es el n\u00famero entero."}, {"start": 244.48, "end": 249.35999999999999, "text": " Y ac\u00e1 el n\u00famero mixto se compone de un n\u00famero entero y una fracci\u00f3n."}, {"start": 249.35999999999999, "end": 252.6, "text": " En realidad aqu\u00ed tenemos la operaci\u00f3n suma."}, {"start": 252.6, "end": 258.4, "text": " Entonces ese mixto se puede expresar como uno m\u00e1s cinco octavos."}, {"start": 258.4, "end": 261.28, "text": " Y como vemos aqu\u00ed quedan dos enteros libres."}, {"start": 261.28, "end": 263.08, "text": " Que podemos sumar entre s\u00ed."}, {"start": 263.08, "end": 265.0, "text": " Dos m\u00e1s uno nos da tres."}, {"start": 265.0, "end": 269.15999999999997, "text": " Y a su vez esto queda sumando con la fracci\u00f3n cinco octavos."}, {"start": 269.15999999999997, "end": 272.08, "text": " De nuevo esta operaci\u00f3n, esta suma."}, {"start": 272.08, "end": 274.24, "text": " Entre un entero y una fracci\u00f3n."}, {"start": 274.24, "end": 277.0, "text": " Nos conforma otro n\u00famero mixto."}, {"start": 277.0, "end": 279.88, "text": " Que es tres enteros cinco octavos."}, {"start": 279.88, "end": 283.28, "text": " Y que podemos convertir en fracci\u00f3n."}, {"start": 283.28, "end": 286.71999999999997, "text": " Ac\u00e1 en el numerador va el resultado de esta operaci\u00f3n."}, {"start": 286.71999999999997, "end": 288.64, "text": " Tres por ocho m\u00e1s cinco."}, {"start": 288.64, "end": 291.15999999999997, "text": " Primero efectuamos la multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 291.15999999999997, "end": 292.92, "text": " Tres por ocho veinticuatro."}, {"start": 292.92, "end": 295.84, "text": " Y veinticuatro m\u00e1s cinco nos da veintinueve."}, {"start": 295.84, "end": 297.24, "text": " Es el numerador."}, {"start": 297.24, "end": 302.0, "text": " Y ac\u00e1 se conserva el mismo denominador que es ocho."}, {"start": 302.0, "end": 305.71999999999997, "text": " Entonces este es el resultado de toda esta operaci\u00f3n."}, {"start": 305.71999999999997, "end": 307.48, "text": " Vamos a escribirlo por ac\u00e1."}, {"start": 307.48, "end": 311.92, "text": " Entonces dividido entre la fracci\u00f3n veintinueve octavos."}, {"start": 311.92, "end": 314.88, "text": " Ya no necesita el par\u00e9ntesis."}, {"start": 314.88, "end": 320.68, "text": " Llegamos as\u00ed a una divisi\u00f3n entre una fracci\u00f3n negativa y una fracci\u00f3n positiva."}, {"start": 320.68, "end": 324.44, "text": " Lo primero que hacemos es definir el signo resultante."}, {"start": 324.44, "end": 327.0, "text": " Entonces se aplica la ley de los signos."}, {"start": 327.0, "end": 329.16, "text": " Menos con m\u00e1s nos da menos."}, {"start": 329.16, "end": 333.72, "text": " Recordemos que la ley de los signos es exclusiva para la multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 333.72, "end": 335.48, "text": " Y para la divisi\u00f3n."}, {"start": 335.48, "end": 338.72, "text": " Lo que hacemos ahora es ensamblar la operaci\u00f3n."}, {"start": 338.72, "end": 341.36, "text": " Recordemos que para la divisi\u00f3n de fracciones."}, {"start": 341.36, "end": 343.16, "text": " Ac\u00e1 en el numerador."}, {"start": 343.16, "end": 346.12, "text": " Va la multiplicaci\u00f3n de estos dos componentes."}, {"start": 346.12, "end": 348.36, "text": " Entonces once por ocho."}, {"start": 348.36, "end": 349.68, "text": " En el numerador."}, {"start": 349.68, "end": 353.92, "text": " Y ac\u00e1 en el denominador la multiplicaci\u00f3n de estos dos elementos."}, {"start": 353.92, "end": 355.56, "text": " Es decir doce."}, {"start": 355.56, "end": 357.8, "text": " Por veintinueve."}, {"start": 357.8, "end": 364.08000000000004, "text": " All\u00ed antes de efectuar las multiplicaciones primero hacemos todas las simplificaciones."}, {"start": 364.08, "end": 365.59999999999997, "text": " Que sean posibles."}, {"start": 365.59999999999997, "end": 368.88, "text": " En este caso revisamos los n\u00fameros que tenemos arriba."}, {"start": 368.88, "end": 371.15999999999997, "text": " Con los n\u00fameros que tenemos abajo."}, {"start": 371.15999999999997, "end": 374.35999999999996, "text": " Para ver cu\u00e1les permiten que sean simplificados."}, {"start": 374.35999999999996, "end": 376.59999999999997, "text": " Es el caso de ocho y doce."}, {"start": 376.59999999999997, "end": 379.52, "text": " Ambos n\u00fameros son divisibles por cuatro."}, {"start": 379.52, "end": 381.76, "text": " Entonces decimos cuarta de ocho."}, {"start": 381.76, "end": 382.76, "text": " Nos da dos."}, {"start": 382.76, "end": 385.64, "text": " Y cuarta de doce nos da tres."}, {"start": 385.64, "end": 387.47999999999996, "text": " Si seguimos revisando."}, {"start": 387.47999999999996, "end": 391.24, "text": " Ya no encontramos parejas de n\u00fameros que se puedan simplificar."}, {"start": 391.24, "end": 393.32, "text": " Recordemos siempre el n\u00famero de arriba."}, {"start": 393.32, "end": 395.32, "text": " Con un n\u00famero de abajo."}, {"start": 395.32, "end": 400.24, "text": " Por lo tanto cuando ya estamos seguros de que no es posible simplificar nada m\u00e1s."}, {"start": 400.24, "end": 404.96, "text": " Entonces efectuamos las multiplicaciones de los n\u00fameros que quedaron."}, {"start": 404.96, "end": 407.64, "text": " Entonces recordemos que el resultado ser\u00e1 negativo."}, {"start": 407.64, "end": 409.68, "text": " No podemos olvidar ese signo."}, {"start": 409.68, "end": 413.03999999999996, "text": " En el numerador tenemos once por dos que es veintid\u00f3s."}, {"start": 413.03999999999996, "end": 415.68, "text": " Y en el denominador tres por veintinueve."}, {"start": 415.68, "end": 418.2, "text": " Que nos da ochenta y siete."}, {"start": 418.2, "end": 420.88, "text": " Esta fracci\u00f3n que hemos obtenido es propia."}, {"start": 420.88, "end": 423.92, "text": " Porque el numerador es menor que el denominador."}, {"start": 423.92, "end": 428.88, "text": " Y tambi\u00e9n podemos asegurar que se trata de una fracci\u00f3n irreducible."}, {"start": 428.88, "end": 434.4, "text": " Porque ac\u00e1 en el proceso vimos que no fue posible simplificar nada m\u00e1s."}, {"start": 434.4, "end": 440.64, "text": " Entonces esta ser\u00e1 la respuesta para este ejercicio de operaciones combinadas con n\u00fameros"}, {"start": 440.64, "end": 441.64, "text": " fraccionarios."}, {"start": 441.64, "end": 448.92, "text": " En seguida vamos a realizar la comprobaci\u00f3n de este ejercicio utilizando esta calculadora."}, {"start": 448.92, "end": 452.36, "text": " Comenzamos entonces abriendo un par\u00e9ntesis."}, {"start": 452.36, "end": 455.56, "text": " Y enseguida el bot\u00f3n de la fracci\u00f3n."}, {"start": 455.56, "end": 458.0, "text": " Para ingresar cinco sextos."}, {"start": 458.0, "end": 460.2, "text": " Entonces cinco en el numerador."}, {"start": 460.2, "end": 463.28000000000003, "text": " Bajamos el cursor con el bot\u00f3n respectivo del navegador."}, {"start": 463.28000000000003, "end": 465.52000000000004, "text": " Y all\u00ed escribimos el seis."}, {"start": 465.52000000000004, "end": 470.16, "text": " Corremos hacia la derecha el cursor con el bot\u00f3n respectivo del navegador."}, {"start": 470.16, "end": 471.68, "text": " Escribimos el signo menos."}, {"start": 471.68, "end": 473.8, "text": " Luego otra vez el bot\u00f3n de fracci\u00f3n."}, {"start": 473.8, "end": 476.76, "text": " Y vamos a ingresar siete cuartos."}, {"start": 476.76, "end": 481.28, "text": " Siete en el numerador bajamos cuatro en el denominador."}, {"start": 481.28, "end": 483.44, "text": " Corremos el cursor hacia la derecha."}, {"start": 483.44, "end": 486.44, "text": " Y vamos a cerrar el par\u00e9ntesis."}, {"start": 486.44, "end": 489.32, "text": " Luego escribimos el s\u00edmbolo de la divisi\u00f3n."}, {"start": 489.32, "end": 491.52, "text": " Abrimos el otro par\u00e9ntesis."}, {"start": 491.52, "end": 494.28, "text": " Escribimos el n\u00famero entero dos."}, {"start": 494.28, "end": 499.44, "text": " A eso le vamos a sumar el n\u00famero mixto un entero cinco octavos."}, {"start": 499.44, "end": 503.92, "text": " Para ingresar el n\u00famero mixto entonces oprimimos el bot\u00f3n shift."}, {"start": 503.92, "end": 505.76, "text": " Y el bot\u00f3n de la fracci\u00f3n."}, {"start": 505.76, "end": 511.48, "text": " De esa manera activamos la funci\u00f3n de n\u00famero mixto que aparece en color amarillo."}, {"start": 511.48, "end": 514.24, "text": " En la parte superior del bot\u00f3n de fracci\u00f3n."}, {"start": 514.24, "end": 518.8, "text": " All\u00ed tenemos el cursor titilando en lo que es el n\u00famero entero."}, {"start": 518.8, "end": 520.64, "text": " All\u00ed ingresamos el uno."}, {"start": 520.64, "end": 525.88, "text": " Corremos el cursor hacia la derecha con el bot\u00f3n respectivo del navegador."}, {"start": 525.88, "end": 529.4399999999999, "text": " Y en el numerador vamos a ingresar el cinco."}, {"start": 529.4399999999999, "end": 533.16, "text": " Bajamos el cursor para escribir el ocho."}, {"start": 533.16, "end": 538.24, "text": " Y luego lo corremos hacia la derecha con el bot\u00f3n respectivo del navegador."}, {"start": 538.24, "end": 540.4399999999999, "text": " Y cerramos el par\u00e9ntesis."}, {"start": 540.4399999999999, "end": 545.68, "text": " Despu\u00e9s de haber ingresado toda esa operaci\u00f3n oprimimos el bot\u00f3n igual."}, {"start": 545.68, "end": 548.76, "text": " Y all\u00ed nos aparece en pantalla este resultado."}, {"start": 548.76, "end": 551.8, "text": " La fracci\u00f3n menos 22 87 aos."}, {"start": 551.8, "end": 581.7199999999999, "text": " De esa manera comprobamos que el ejercicio que resolvimos manualmente es correcto."}, {"start": 581.72, "end": 582.72, "text": " Y ya tenemos el resultado."}]

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PROGRESIONES GEOMÉTRICAS - Ejercicio 5

#julioprofe explica cómo resolver un problema de Progresiones Geométricas: Dividir 195 en tres partes que formen una Progresión Geométrica, de modo que el tercer término exceda al primero en 120. Tema: #ProgresionesAritmeticasYGeometricas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFiqf8u82WBHdujX0v31LYQ REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Dividir 195 en tres partes que formen una progresión geométrica, de modo que el tercer término exceda al primero en 120. Para este problema vamos a elegir tres letras, por ejemplo, X, Y y Z, que representen las tres partes que debemos averiguar. Esas tres partes o esas tres cantidades van a formar una progresión geométrica. Eso quiere decir que el cociente entre dos términos consecutivos va a ser el mismo, primer término, segundo término, tercer término. Si dividimos el segundo término entre el primero, Y sobre X, nos debe dar lo mismo que la división entre el tercer término y el segundo, es decir, Z sobre Y. Allí tenemos entonces una primera expresión, vamos a llamarla la número uno. Vamos ahora con el resto de la información del problema. Nos dice que tenemos que dividir 195 en tres partes, es decir, la suma de estas tres cantidades nos debe dar 195. Vamos a anotar eso por acá. X más Y más Z es igual a 195 y eso lo vamos a llamar la expresión número dos. Allí debemos tener cuidado porque aunque el problema dice dividir, no se trata de una división, sino de repartir 195 en estas tres cantidades. La otra información nos dice que el tercer término, es decir, Z, debe exceder al primero en 120, es decir, vamos a comparar Z con X, el tercer término y el primer término. Nos dice que el tercero excede al primero en 120, Z es mayor que X en 120. Entonces para establecer la igualdad a la cantidad menor que en este caso es X, le sumamos 120. De esa manera quedan equilibradas las dos cantidades. Esto lo llamamos la expresión número tres. Como se observa tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas que son X, Y y Z. Entonces esto es lo que se llama un sistema de ecuaciones de tres por tres. Vamos a resolverlo de la siguiente manera. Comenzamos reemplazando esto acá, es decir, la expresión tres se va a sustituir en la expresión dos. Entonces anotamos esa instrucción, tres en dos y nos queda de la siguiente forma, X más Y más Z, es allí cuando se cambia por X más 120, allí ocurre la sustitución y esto nos queda igualado con 195. Allí podemos efectuar la suma de estos dos términos semejantes. Entonces X más X nos da 2X, eso queda más Y más 120 igual a 195. Y de allí vamos a realizar el despeje de la letra Y. Entonces vamos a pasar estos dos términos al otro lado. Nos queda entonces 195 y esa cantidad recibe a menos 2X y a menos 120. Las cantidades que están sumando a este lado pasan al otro lado a restar. Podemos efectuar la operación de estos dos números. Entonces Y será igual a lo siguiente, 195 menos 120 nos da 75 y esto queda menos 2X. Obtenemos así una nueva expresión que vamos a anotar por acá, Y igual a 75 menos 2X y vamos a etiquetar como la expresión número 4. Ahora, en la expresión 1 tenemos lo que en matemáticas se llama una proporción, es decir la igualdad de dos razones. En toda proporción estos elementos se llaman extremos y estos dos se llaman medios y se cumple la propiedad que dice lo siguiente, el producto de extremos es igual al producto de los medios. En otras palabras, Y por Y es decir, Y al cuadrado debe ser igual a X por Z. Allí estamos aplicando la propiedad fundamental de las proporciones. En esa expresión que hemos obtenido vamos a reemplazar el equivalente de Y que lo tenemos en la expresión 4 y el equivalente de Z que lo tenemos en la expresión 3. Nuevamente hacemos una sustitución, 4 y 3 entran aquí en esa expresión. Nos queda entonces Y que se cambia por 75 menos 2X, todo esto va al cuadrado igual a X por Z, menos Z equivale a X más 120. Protegemos esas expresiones con paréntesis. Lo que hacemos ahora es resolver esta ecuación a la que hemos llegado y como se observa ahora tiene una sola incógnita que es X. Comenzamos desarrollando esto que tenemos acá y es un binomio elevado al cuadrado. Recordemos que esto es igual al primer término al cuadrado, es decir, 75 al cuadrado menos dos veces el primer término que es 75 por el segundo que es 2X más el segundo término que es 2X y esto elevado al cuadrado. Allí hemos aplicado el producto notable llamado binomio al cuadrado y aquí vamos a romper este paréntesis aplicando la propiedad distributiva. X por X nos da X al cuadrado más X por 120 que nos da 120X. Enseguida desarrollamos estas operaciones. Comenzamos con 75 al cuadrado que nos da 5625, luego nos queda menos 2 por 75 eso nos da 150 y eso por 2X es 300X. Luego tenemos más 2X todo eso al cuadrado, aquí el exponente 2 afecta estas dos cantidades porque están multiplicando, entonces 2 al cuadrado nos da 4 y queda acompañado de X al cuadrado y todo esto es igual a X al cuadrado más 120X. Como se observa esto empieza a tomar forma de ecuación cuadrática o de segundo grado. Vamos entonces a organizarla igualándola a cero, es decir, vamos a pasar estos dos términos al lado izquierdo. Nos queda 5625 menos 300X, luego tenemos más 4X al cuadrado y pasamos estos dos términos. Llegan a restar al lado izquierdo menos X al cuadrado menos 120X y todo esto igual a cero. Seguimos organizando la ecuación, vamos a operar los términos que contienen X al cuadrado, con términos semejantes, entonces 4X al cuadrado menos X al cuadrado nos da 3X al cuadrado. Ahora vamos con los términos que contienen X, sería este término y este de acá, esa operación nos da menos 420X y luego tenemos el término independiente que es más 5625 y todo eso está igualado a cero. Aquí podemos simplificar esa ecuación dividiéndola por tres, porque estos tres números cumplen con esa condición, lógicamente tres es divisible por sí mismo, aquí 420, hacemos la prueba para saber si un número es divisible por tres, sumamos sus dígitos, 4 más 2 nos da 6, 6 más 0 es 6, 6 es divisible por 3, por lo tanto 420 será divisible por 3 y acá 5 más 6 nos da 11, 11 más 2 es 13, 13 más 5 es 18, entonces como el resultado es divisible por 3, este número también será divisible por 3. Entonces como decíamos vamos a simplificar la ecuación dividiéndola toda por 3, nos queda así, 3X al cuadrado dividido entre 3 nos da X al cuadrado, luego tenemos menos 420 dividido entre 3 nos da 140, queda acompañado de X y luego tenemos más 5625 dividido entre 3, eso nos da 1875 y al otro lado 0 dividido entre 3 que permanece como 0. Llegamos así a una ecuación cuadrática o de segundo grado, cuyo modelo es AX al cuadrado más BX más C igual a 0. Vamos entonces a utilizar la fórmula cuadrática o fórmula general para resolver esa ecuación, entonces vamos a identificar los valores de A, B y C, comenzamos con A que es el coeficiente de X al cuadrado, en este caso A es igual a 1, luego vamos con B que es el coeficiente de X, en este caso es menos 140 y después tenemos C que es el término independiente, en este caso 1875. Vamos entonces a escribir por acá la fórmula cuadrática o fórmula general cambiando esas letras por paréntesis. Bien allí la tenemos, ahora reemplazamos en estos espacios los valores, comenzamos con el valor de B que es menos 140, también lo reemplazamos por acá, luego tenemos el valor de A que es 1 y finalmente el valor de C que es 1875. Continuamos resolviendo, X será igual a lo siguiente, aquí menos por menos nos da más, esto nos queda 140 positivo, más o menos la raíz cuadrada de menos 140 al cuadrado, eso nos da 19600, nos da positivo, lo que tenemos menos 4 por 1 por 1875, eso nos da 7500 y todo eso nos queda sobre 2 por 1 que es 2. Continuamos resolviendo, X es igual a 140, más o menos la raíz cuadrada de 19600 menos 7500 nos da 12000 cero y todo eso nos queda sobre 2. Ahora la raíz cuadrada de 12100 la podemos resolver de la siguiente forma, tenemos aquí esa operación y el número 12100 lo podemos descomponer en 121 por 100 y a su vez allí podemos repartir la raíz para esas dos cantidades porque están multiplicando raíz cuadrada de 121 por la raíz cuadrada de 100 y tenemos allí dos raíces que son exactas, la raíz cuadrada de 121 nos da 11 y la raíz cuadrada de 100 nos da 10 y finalmente multiplicamos esas dos cantidades, 11 por 10 nos da 110. Entonces X será igual a 140, más o menos el resultado de esa raíz que nos dio 110 y todo eso sobre 2. Allí podemos determinar las dos soluciones de la ecuación cuadrática o de segundo grado, vamos con la primera que es cuando consideramos la opción menos nos queda X igual a 140 menos 110, todo esto dividido entre 2, resolvemos en el numerador esa resta nos da 30 y nos queda 30 medios que equivale a 15, 15 es una de las soluciones, la otra se obtiene al considerar la opción más, entonces será X igual a 140 más 110 y todo esto dividido entre 2, efectuando esa suma del numerador nos da 250 y esto al dividirlo entre 2 nos da como resultado 125. Entonces anotamos esos dos valores de X por acá que repetimos son las soluciones de la ecuación cuadrática o de segundo grado y para cada uno de ellos vamos a encontrar los respectivos valores de Y y Z utilizando estas dos expresiones, la número 4 y la número 3. Entonces para X igual a 15 vamos a la expresión número 4 y determinamos el valor de Y, nos queda Y igual a 75 menos 2 por X es decir 2 por 15, allí reemplazamos el valor de X, resolvemos esas operaciones nos queda 75 menos 2 por 15 que es 30, recordemos que aquí primero se hace la multiplicación y finalmente 75 menos 30 nos da 45, entonces para X igual a 15 el valor correspondiente de Y será 45. Ahora vamos a la expresión 3 para averiguar el valor de Z, Z es igual a X más 120, Z será entonces igual a X que toma el valor 15 y eso más 120, detectuando esa suma nos da 135, entonces para X igual a 15 el valor correspondiente de Z será 135. Vamos ahora con el otro valor de X que es 125, ingresamos a la expresión 4 para averiguar el valor de Y, tenemos Y es igual a 75 menos 2X, o sea 2 por 125, resolvemos esas operaciones comenzando por la multiplicación nos queda 75 menos 2 por 125 que es 250 y efectuando esa resta nos da menos 175, entonces decimos que el valor correspondiente de Y para X igual a 125 es menos 175. Por último utilizamos la expresión 3 para encontrar el valor de Z, Z es igual a X que en este caso es 125 y eso más 120, entonces efectuando esa suma nos da como resultado 245, anotamos eso por acá, el valor de Z que corresponde a X igual a 125 será 245, de esta manera terminamos el problema y se tienen dos soluciones, entonces la respuesta 1 será la siguiente, las tres cantidades que buscamos son X igual a 15, Y igual a 45, Z igual a 135, la otra respuesta, respuesta 2 será la siguiente, X igual a 125, Y igual a menos 175 y Z igual a 245. En algunos casos se cumplen las tres condiciones del problema, analicemos la primera solución, allí tenemos las tres cantidades, las tres partes que forman el número 195, si hacemos la suma de ellas esto nos da 60 y 60 más 135 nos da efectivamente 195, también estas tres cantidades forman una progresión geométrica, si dividimos 45 entre 15 nos da 3 y si dividimos 135 entre 45 nos da 3, o sea que es una progresión geométrica con razón igual a 3 y también vemos que el tercer término excede al primero en 120 que es lo que nos plantea la tercera condición del problema. En la segunda situación también tenemos que la suma de estas tres cantidades nos da 195, al sumar estas dos nos da menos 50 y menos 50 más 245, efectivamente nos da 195, probamos la condición para que sea progresión geométrica, al dividir esta cantidad entre esta nos da menos 7 quintos, o sea menos 1.4 y al dividir esta entre esta también nos da menos 7 quintos o menos 1.4, cumple el requisito de una progresión geométrica y por último el tercer término o la tercera cantidad excede a la primera en 120 que es lo que nos indica la tercera condición.

[{"start": 0.0, "end": 10.36, "text": " Dividir 195 en tres partes que formen una progresi\u00f3n geom\u00e9trica, de modo que el tercer"}, {"start": 10.36, "end": 14.4, "text": " t\u00e9rmino exceda al primero en 120."}, {"start": 14.4, "end": 21.64, "text": " Para este problema vamos a elegir tres letras, por ejemplo, X, Y y Z, que representen las"}, {"start": 21.64, "end": 24.22, "text": " tres partes que debemos averiguar."}, {"start": 24.22, "end": 30.56, "text": " Esas tres partes o esas tres cantidades van a formar una progresi\u00f3n geom\u00e9trica."}, {"start": 30.56, "end": 37.16, "text": " Eso quiere decir que el cociente entre dos t\u00e9rminos consecutivos va a ser el mismo,"}, {"start": 37.16, "end": 39.86, "text": " primer t\u00e9rmino, segundo t\u00e9rmino, tercer t\u00e9rmino."}, {"start": 39.86, "end": 45.72, "text": " Si dividimos el segundo t\u00e9rmino entre el primero, Y sobre X, nos debe dar lo mismo"}, {"start": 45.72, "end": 52.120000000000005, "text": " que la divisi\u00f3n entre el tercer t\u00e9rmino y el segundo, es decir, Z sobre Y."}, {"start": 52.12, "end": 58.919999999999995, "text": " All\u00ed tenemos entonces una primera expresi\u00f3n, vamos a llamarla la n\u00famero uno."}, {"start": 58.919999999999995, "end": 61.76, "text": " Vamos ahora con el resto de la informaci\u00f3n del problema."}, {"start": 61.76, "end": 69.53999999999999, "text": " Nos dice que tenemos que dividir 195 en tres partes, es decir, la suma de estas tres cantidades"}, {"start": 69.53999999999999, "end": 72.28, "text": " nos debe dar 195."}, {"start": 72.28, "end": 74.67999999999999, "text": " Vamos a anotar eso por ac\u00e1."}, {"start": 74.68, "end": 84.48, "text": " X m\u00e1s Y m\u00e1s Z es igual a 195 y eso lo vamos a llamar la expresi\u00f3n n\u00famero dos."}, {"start": 84.48, "end": 90.24000000000001, "text": " All\u00ed debemos tener cuidado porque aunque el problema dice dividir, no se trata de una"}, {"start": 90.24000000000001, "end": 96.48, "text": " divisi\u00f3n, sino de repartir 195 en estas tres cantidades."}, {"start": 96.48, "end": 103.68, "text": " La otra informaci\u00f3n nos dice que el tercer t\u00e9rmino, es decir, Z, debe exceder al primero"}, {"start": 103.68, "end": 111.12, "text": " en 120, es decir, vamos a comparar Z con X, el tercer t\u00e9rmino y el primer t\u00e9rmino."}, {"start": 111.12, "end": 117.84, "text": " Nos dice que el tercero excede al primero en 120, Z es mayor que X en 120."}, {"start": 117.84, "end": 123.24000000000001, "text": " Entonces para establecer la igualdad a la cantidad menor que en este caso es X, le sumamos"}, {"start": 123.24000000000001, "end": 124.24000000000001, "text": " 120."}, {"start": 124.24000000000001, "end": 128.84, "text": " De esa manera quedan equilibradas las dos cantidades."}, {"start": 128.84, "end": 132.84, "text": " Esto lo llamamos la expresi\u00f3n n\u00famero tres."}, {"start": 132.84, "end": 139.20000000000002, "text": " Como se observa tenemos tres ecuaciones con tres inc\u00f3gnitas que son X, Y y Z."}, {"start": 139.20000000000002, "end": 144.28, "text": " Entonces esto es lo que se llama un sistema de ecuaciones de tres por tres."}, {"start": 144.28, "end": 146.64000000000001, "text": " Vamos a resolverlo de la siguiente manera."}, {"start": 146.64000000000001, "end": 152.76, "text": " Comenzamos reemplazando esto ac\u00e1, es decir, la expresi\u00f3n tres se va a sustituir en la"}, {"start": 152.76, "end": 154.88, "text": " expresi\u00f3n dos."}, {"start": 154.88, "end": 162.96, "text": " Entonces anotamos esa instrucci\u00f3n, tres en dos y nos queda de la siguiente forma, X m\u00e1s"}, {"start": 162.96, "end": 171.8, "text": " Y m\u00e1s Z, es all\u00ed cuando se cambia por X m\u00e1s 120, all\u00ed ocurre la sustituci\u00f3n y esto"}, {"start": 171.8, "end": 175.48, "text": " nos queda igualado con 195."}, {"start": 175.48, "end": 179.51999999999998, "text": " All\u00ed podemos efectuar la suma de estos dos t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 179.52, "end": 190.52, "text": " Entonces X m\u00e1s X nos da 2X, eso queda m\u00e1s Y m\u00e1s 120 igual a 195."}, {"start": 190.52, "end": 194.64000000000001, "text": " Y de all\u00ed vamos a realizar el despeje de la letra Y."}, {"start": 194.64000000000001, "end": 197.92000000000002, "text": " Entonces vamos a pasar estos dos t\u00e9rminos al otro lado."}, {"start": 197.92000000000002, "end": 206.72, "text": " Nos queda entonces 195 y esa cantidad recibe a menos 2X y a menos 120."}, {"start": 206.72, "end": 212.32, "text": " Las cantidades que est\u00e1n sumando a este lado pasan al otro lado a restar."}, {"start": 212.32, "end": 215.68, "text": " Podemos efectuar la operaci\u00f3n de estos dos n\u00fameros."}, {"start": 215.68, "end": 224.64, "text": " Entonces Y ser\u00e1 igual a lo siguiente, 195 menos 120 nos da 75 y esto queda menos 2X."}, {"start": 224.64, "end": 232.64, "text": " Obtenemos as\u00ed una nueva expresi\u00f3n que vamos a anotar por ac\u00e1, Y igual a 75 menos 2X y"}, {"start": 232.64, "end": 238.32, "text": " vamos a etiquetar como la expresi\u00f3n n\u00famero 4."}, {"start": 238.32, "end": 244.88, "text": " Ahora, en la expresi\u00f3n 1 tenemos lo que en matem\u00e1ticas se llama una proporci\u00f3n, es decir"}, {"start": 244.88, "end": 247.6, "text": " la igualdad de dos razones."}, {"start": 247.6, "end": 253.54, "text": " En toda proporci\u00f3n estos elementos se llaman extremos y estos dos se llaman medios y se"}, {"start": 253.54, "end": 259.76, "text": " cumple la propiedad que dice lo siguiente, el producto de extremos es igual al producto"}, {"start": 259.76, "end": 261.2, "text": " de los medios."}, {"start": 261.2, "end": 268.56, "text": " En otras palabras, Y por Y es decir, Y al cuadrado debe ser igual a X por Z."}, {"start": 268.56, "end": 274.08, "text": " All\u00ed estamos aplicando la propiedad fundamental de las proporciones."}, {"start": 274.08, "end": 279.48, "text": " En esa expresi\u00f3n que hemos obtenido vamos a reemplazar el equivalente de Y que lo tenemos"}, {"start": 279.48, "end": 285.36, "text": " en la expresi\u00f3n 4 y el equivalente de Z que lo tenemos en la expresi\u00f3n 3."}, {"start": 285.36, "end": 291.72, "text": " Nuevamente hacemos una sustituci\u00f3n, 4 y 3 entran aqu\u00ed en esa expresi\u00f3n."}, {"start": 291.72, "end": 301.08000000000004, "text": " Nos queda entonces Y que se cambia por 75 menos 2X, todo esto va al cuadrado igual a"}, {"start": 301.08000000000004, "end": 308.0, "text": " X por Z, menos Z equivale a X m\u00e1s 120."}, {"start": 308.0, "end": 311.6, "text": " Protegemos esas expresiones con par\u00e9ntesis."}, {"start": 311.6, "end": 317.24, "text": " Lo que hacemos ahora es resolver esta ecuaci\u00f3n a la que hemos llegado y como se observa ahora"}, {"start": 317.24, "end": 321.04, "text": " tiene una sola inc\u00f3gnita que es X."}, {"start": 321.04, "end": 325.92, "text": " Comenzamos desarrollando esto que tenemos ac\u00e1 y es un binomio elevado al cuadrado."}, {"start": 325.92, "end": 331.96000000000004, "text": " Recordemos que esto es igual al primer t\u00e9rmino al cuadrado, es decir, 75 al cuadrado menos"}, {"start": 331.96000000000004, "end": 339.98, "text": " dos veces el primer t\u00e9rmino que es 75 por el segundo que es 2X m\u00e1s el segundo t\u00e9rmino"}, {"start": 339.98, "end": 343.92, "text": " que es 2X y esto elevado al cuadrado."}, {"start": 343.92, "end": 349.56, "text": " All\u00ed hemos aplicado el producto notable llamado binomio al cuadrado y aqu\u00ed vamos a romper"}, {"start": 349.56, "end": 353.16, "text": " este par\u00e9ntesis aplicando la propiedad distributiva."}, {"start": 353.16, "end": 361.88, "text": " X por X nos da X al cuadrado m\u00e1s X por 120 que nos da 120X."}, {"start": 361.88, "end": 364.8, "text": " Enseguida desarrollamos estas operaciones."}, {"start": 364.8, "end": 373.56, "text": " Comenzamos con 75 al cuadrado que nos da 5625, luego nos queda menos 2 por 75 eso nos da"}, {"start": 373.56, "end": 378.92, "text": " 150 y eso por 2X es 300X."}, {"start": 378.92, "end": 385.2, "text": " Luego tenemos m\u00e1s 2X todo eso al cuadrado, aqu\u00ed el exponente 2 afecta estas dos cantidades"}, {"start": 385.2, "end": 391.24, "text": " porque est\u00e1n multiplicando, entonces 2 al cuadrado nos da 4 y queda acompa\u00f1ado de X"}, {"start": 391.24, "end": 399.40000000000003, "text": " al cuadrado y todo esto es igual a X al cuadrado m\u00e1s 120X."}, {"start": 399.40000000000003, "end": 404.88, "text": " Como se observa esto empieza a tomar forma de ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado."}, {"start": 404.88, "end": 409.88, "text": " Vamos entonces a organizarla igual\u00e1ndola a cero, es decir, vamos a pasar estos dos"}, {"start": 409.88, "end": 412.36, "text": " t\u00e9rminos al lado izquierdo."}, {"start": 412.36, "end": 424.24, "text": " Nos queda 5625 menos 300X, luego tenemos m\u00e1s 4X al cuadrado y pasamos estos dos t\u00e9rminos."}, {"start": 424.24, "end": 431.72, "text": " Llegan a restar al lado izquierdo menos X al cuadrado menos 120X y todo esto igual a"}, {"start": 431.72, "end": 433.36, "text": " cero."}, {"start": 433.36, "end": 438.48, "text": " Seguimos organizando la ecuaci\u00f3n, vamos a operar los t\u00e9rminos que contienen X al cuadrado,"}, {"start": 438.48, "end": 445.76, "text": " con t\u00e9rminos semejantes, entonces 4X al cuadrado menos X al cuadrado nos da 3X al cuadrado."}, {"start": 445.76, "end": 450.92, "text": " Ahora vamos con los t\u00e9rminos que contienen X, ser\u00eda este t\u00e9rmino y este de ac\u00e1, esa"}, {"start": 450.92, "end": 461.24, "text": " operaci\u00f3n nos da menos 420X y luego tenemos el t\u00e9rmino independiente que es m\u00e1s 5625"}, {"start": 461.24, "end": 465.0, "text": " y todo eso est\u00e1 igualado a cero."}, {"start": 465.0, "end": 470.8, "text": " Aqu\u00ed podemos simplificar esa ecuaci\u00f3n dividi\u00e9ndola por tres, porque estos tres n\u00fameros cumplen"}, {"start": 470.8, "end": 478.16, "text": " con esa condici\u00f3n, l\u00f3gicamente tres es divisible por s\u00ed mismo, aqu\u00ed 420, hacemos la prueba"}, {"start": 478.16, "end": 483.32, "text": " para saber si un n\u00famero es divisible por tres, sumamos sus d\u00edgitos, 4 m\u00e1s 2 nos da"}, {"start": 483.32, "end": 490.76, "text": " 6, 6 m\u00e1s 0 es 6, 6 es divisible por 3, por lo tanto 420 ser\u00e1 divisible por 3 y ac\u00e1"}, {"start": 490.76, "end": 498.08, "text": " 5 m\u00e1s 6 nos da 11, 11 m\u00e1s 2 es 13, 13 m\u00e1s 5 es 18, entonces como el resultado es divisible"}, {"start": 498.08, "end": 502.88, "text": " por 3, este n\u00famero tambi\u00e9n ser\u00e1 divisible por 3."}, {"start": 502.88, "end": 508.64, "text": " Entonces como dec\u00edamos vamos a simplificar la ecuaci\u00f3n dividi\u00e9ndola toda por 3, nos"}, {"start": 508.64, "end": 515.36, "text": " queda as\u00ed, 3X al cuadrado dividido entre 3 nos da X al cuadrado, luego tenemos menos"}, {"start": 515.36, "end": 526.6800000000001, "text": " 420 dividido entre 3 nos da 140, queda acompa\u00f1ado de X y luego tenemos m\u00e1s 5625 dividido entre"}, {"start": 526.6800000000001, "end": 536.32, "text": " 3, eso nos da 1875 y al otro lado 0 dividido entre 3 que permanece como 0."}, {"start": 536.32, "end": 542.84, "text": " Llegamos as\u00ed a una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado, cuyo modelo es AX al cuadrado"}, {"start": 542.84, "end": 550.6, "text": " m\u00e1s BX m\u00e1s C igual a 0. Vamos entonces a utilizar la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula"}, {"start": 550.6, "end": 557.4, "text": " general para resolver esa ecuaci\u00f3n, entonces vamos a identificar los valores de A, B y"}, {"start": 557.4, "end": 563.12, "text": " C, comenzamos con A que es el coeficiente de X al cuadrado, en este caso A es igual"}, {"start": 563.12, "end": 571.6800000000001, "text": " a 1, luego vamos con B que es el coeficiente de X, en este caso es menos 140 y despu\u00e9s"}, {"start": 571.68, "end": 580.1999999999999, "text": " tenemos C que es el t\u00e9rmino independiente, en este caso 1875. Vamos entonces a escribir"}, {"start": 580.1999999999999, "end": 587.4, "text": " por ac\u00e1 la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula general cambiando esas letras por par\u00e9ntesis."}, {"start": 587.4, "end": 592.8, "text": " Bien all\u00ed la tenemos, ahora reemplazamos en estos espacios los valores, comenzamos"}, {"start": 592.8, "end": 601.0799999999999, "text": " con el valor de B que es menos 140, tambi\u00e9n lo reemplazamos por ac\u00e1, luego tenemos el"}, {"start": 601.08, "end": 612.64, "text": " valor de A que es 1 y finalmente el valor de C que es 1875. Continuamos resolviendo,"}, {"start": 612.64, "end": 619.44, "text": " X ser\u00e1 igual a lo siguiente, aqu\u00ed menos por menos nos da m\u00e1s, esto nos queda 140"}, {"start": 619.44, "end": 628.72, "text": " positivo, m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de menos 140 al cuadrado, eso nos da 19600,"}, {"start": 628.72, "end": 638.24, "text": " nos da positivo, lo que tenemos menos 4 por 1 por 1875, eso nos da 7500 y todo eso nos"}, {"start": 638.24, "end": 648.24, "text": " queda sobre 2 por 1 que es 2. Continuamos resolviendo, X es igual a 140, m\u00e1s o menos"}, {"start": 648.24, "end": 658.44, "text": " la ra\u00edz cuadrada de 19600 menos 7500 nos da 12000 cero y todo eso nos queda sobre 2."}, {"start": 658.44, "end": 665.2, "text": " Ahora la ra\u00edz cuadrada de 12100 la podemos resolver de la siguiente forma, tenemos aqu\u00ed"}, {"start": 665.2, "end": 676.2, "text": " esa operaci\u00f3n y el n\u00famero 12100 lo podemos descomponer en 121 por 100 y a su vez all\u00ed"}, {"start": 676.2, "end": 683.2800000000001, "text": " podemos repartir la ra\u00edz para esas dos cantidades porque est\u00e1n multiplicando ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 683.28, "end": 691.68, "text": " de 121 por la ra\u00edz cuadrada de 100 y tenemos all\u00ed dos ra\u00edces que son exactas, la ra\u00edz"}, {"start": 691.68, "end": 699.68, "text": " cuadrada de 121 nos da 11 y la ra\u00edz cuadrada de 100 nos da 10 y finalmente multiplicamos"}, {"start": 699.68, "end": 710.4, "text": " esas dos cantidades, 11 por 10 nos da 110. Entonces X ser\u00e1 igual a 140, m\u00e1s o menos"}, {"start": 710.4, "end": 718.72, "text": " el resultado de esa ra\u00edz que nos dio 110 y todo eso sobre 2. All\u00ed podemos determinar"}, {"start": 718.72, "end": 724.36, "text": " las dos soluciones de la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado, vamos con la primera que"}, {"start": 724.36, "end": 735.16, "text": " es cuando consideramos la opci\u00f3n menos nos queda X igual a 140 menos 110, todo esto dividido"}, {"start": 735.16, "end": 741.88, "text": " entre 2, resolvemos en el numerador esa resta nos da 30 y nos queda 30 medios que equivale"}, {"start": 741.88, "end": 750.76, "text": " a 15, 15 es una de las soluciones, la otra se obtiene al considerar la opci\u00f3n m\u00e1s,"}, {"start": 750.76, "end": 760.8, "text": " entonces ser\u00e1 X igual a 140 m\u00e1s 110 y todo esto dividido entre 2, efectuando esa suma"}, {"start": 760.8, "end": 770.5999999999999, "text": " del numerador nos da 250 y esto al dividirlo entre 2 nos da como resultado 125. Entonces"}, {"start": 770.5999999999999, "end": 776.1999999999999, "text": " anotamos esos dos valores de X por ac\u00e1 que repetimos son las soluciones de la ecuaci\u00f3n"}, {"start": 776.1999999999999, "end": 782.4399999999999, "text": " cuadr\u00e1tica o de segundo grado y para cada uno de ellos vamos a encontrar los respectivos"}, {"start": 782.4399999999999, "end": 790.4399999999999, "text": " valores de Y y Z utilizando estas dos expresiones, la n\u00famero 4 y la n\u00famero 3. Entonces para"}, {"start": 790.44, "end": 796.7600000000001, "text": " X igual a 15 vamos a la expresi\u00f3n n\u00famero 4 y determinamos el valor de Y, nos queda"}, {"start": 796.7600000000001, "end": 807.2800000000001, "text": " Y igual a 75 menos 2 por X es decir 2 por 15, all\u00ed reemplazamos el valor de X, resolvemos"}, {"start": 807.2800000000001, "end": 813.5400000000001, "text": " esas operaciones nos queda 75 menos 2 por 15 que es 30, recordemos que aqu\u00ed primero"}, {"start": 813.54, "end": 820.8, "text": " se hace la multiplicaci\u00f3n y finalmente 75 menos 30 nos da 45, entonces para X igual"}, {"start": 820.8, "end": 829.4, "text": " a 15 el valor correspondiente de Y ser\u00e1 45. Ahora vamos a la expresi\u00f3n 3 para averiguar"}, {"start": 829.4, "end": 837.52, "text": " el valor de Z, Z es igual a X m\u00e1s 120, Z ser\u00e1 entonces igual a X que toma el valor"}, {"start": 837.52, "end": 847.68, "text": " 15 y eso m\u00e1s 120, detectuando esa suma nos da 135, entonces para X igual a 15 el valor"}, {"start": 847.68, "end": 856.72, "text": " correspondiente de Z ser\u00e1 135. Vamos ahora con el otro valor de X que es 125, ingresamos"}, {"start": 856.72, "end": 867.16, "text": " a la expresi\u00f3n 4 para averiguar el valor de Y, tenemos Y es igual a 75 menos 2X, o"}, {"start": 867.16, "end": 875.3199999999999, "text": " sea 2 por 125, resolvemos esas operaciones comenzando por la multiplicaci\u00f3n nos queda"}, {"start": 875.3199999999999, "end": 886.0, "text": " 75 menos 2 por 125 que es 250 y efectuando esa resta nos da menos 175, entonces decimos"}, {"start": 886.0, "end": 893.64, "text": " que el valor correspondiente de Y para X igual a 125 es menos 175."}, {"start": 893.64, "end": 903.48, "text": " Por \u00faltimo utilizamos la expresi\u00f3n 3 para encontrar el valor de Z, Z es igual a X que"}, {"start": 903.48, "end": 912.4399999999999, "text": " en este caso es 125 y eso m\u00e1s 120, entonces efectuando esa suma nos da como resultado"}, {"start": 912.4399999999999, "end": 923.36, "text": " 245, anotamos eso por ac\u00e1, el valor de Z que corresponde a X igual a 125 ser\u00e1 245,"}, {"start": 923.36, "end": 929.4, "text": " de esta manera terminamos el problema y se tienen dos soluciones, entonces la respuesta"}, {"start": 929.4, "end": 938.6800000000001, "text": " 1 ser\u00e1 la siguiente, las tres cantidades que buscamos son X igual a 15, Y igual a 45,"}, {"start": 938.6800000000001, "end": 952.5600000000001, "text": " Z igual a 135, la otra respuesta, respuesta 2 ser\u00e1 la siguiente, X igual a 125, Y igual"}, {"start": 952.56, "end": 959.8, "text": " a menos 175 y Z igual a 245."}, {"start": 959.8, "end": 965.68, "text": " En algunos casos se cumplen las tres condiciones del problema, analicemos la primera soluci\u00f3n,"}, {"start": 965.68, "end": 972.3199999999999, "text": " all\u00ed tenemos las tres cantidades, las tres partes que forman el n\u00famero 195, si hacemos"}, {"start": 972.3199999999999, "end": 980.5999999999999, "text": " la suma de ellas esto nos da 60 y 60 m\u00e1s 135 nos da efectivamente 195, tambi\u00e9n estas"}, {"start": 980.6, "end": 988.5600000000001, "text": " tres cantidades forman una progresi\u00f3n geom\u00e9trica, si dividimos 45 entre 15 nos da 3 y si dividimos"}, {"start": 988.5600000000001, "end": 997.08, "text": " 135 entre 45 nos da 3, o sea que es una progresi\u00f3n geom\u00e9trica con raz\u00f3n igual a 3 y tambi\u00e9n"}, {"start": 997.08, "end": 1004.24, "text": " vemos que el tercer t\u00e9rmino excede al primero en 120 que es lo que nos plantea la tercera"}, {"start": 1004.24, "end": 1006.6800000000001, "text": " condici\u00f3n del problema."}, {"start": 1006.68, "end": 1011.16, "text": " En la segunda situaci\u00f3n tambi\u00e9n tenemos que la suma de estas tres cantidades nos da"}, {"start": 1011.16, "end": 1021.16, "text": " 195, al sumar estas dos nos da menos 50 y menos 50 m\u00e1s 245, efectivamente nos da 195,"}, {"start": 1021.16, "end": 1026.2, "text": " probamos la condici\u00f3n para que sea progresi\u00f3n geom\u00e9trica, al dividir esta cantidad entre"}, {"start": 1026.2, "end": 1033.3, "text": " esta nos da menos 7 quintos, o sea menos 1.4 y al dividir esta entre esta tambi\u00e9n nos"}, {"start": 1033.3, "end": 1040.1599999999999, "text": " da menos 7 quintos o menos 1.4, cumple el requisito de una progresi\u00f3n geom\u00e9trica y"}, {"start": 1040.1599999999999, "end": 1046.72, "text": " por \u00faltimo el tercer t\u00e9rmino o la tercera cantidad excede a la primera en 120 que es"}, {"start": 1046.72, "end": 1073.8, "text": " lo que nos indica la tercera condici\u00f3n."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=oRCIiRp4ow0

60. Mensaje de SMYFPYO a Julioprofe

Agradecimiento a Jorge Andrés Pérez y Norbey Orozco (canal en YouTube: Smyfpyo https://www.youtube.com/channel/UCnWXTDdnAlj411ni6-EquKA) por su mensaje desde Colombia. Graba un corto video y envíamelo al correo julioprofecolombia@gmail.com para publicarlo en este canal. Incluye tu nombre, ciudad, país e institución educativa a la que perteneces y cuéntame cuál ha sido tu experiencia con el material educativo que he producido. De antemano, ¡Muchas Gracias! #julioprofe

Hola Julio Profe, queremos darle un saludo muy especial desde nuestro canal Soluciones Matemáticas y Físicas, Pérez y Orozco Esmael Thieu. Somos estudiantes de Ingeniería Agropecuaria, séptimo semestre, Universidad de Antioquia, CE Sonson, él es Norbert Orozco y yo soy Jorge Andrés Pérez. Julio Profe, queremos agradecerle inmensamente por todo el material audiovisual que usted ha elaborado durante toda su carrera profesional, el cual nos ha sido de inmensa ayuda durante las diferentes etapas de nuestro aprendizaje académico, el cual nos ha permitido despejar muchas dudas y así obtener aprendizajes significativos para nuestra vida. Graba un corto video y envíamelo al correo JulioProfeColombia.com para publicarlo en este canal. Incluye tu nombre, ciudad, país e institución educativa a la que perteneces y cuéntame cual ha sido tu experiencia con el material educativo que he producido. De antemano muchas gracias. Julio Profe.

[{"start": 0.0, "end": 10.16, "text": " Hola Julio Profe, queremos darle un saludo muy especial desde nuestro canal Soluciones"}, {"start": 10.16, "end": 14.84, "text": " Matem\u00e1ticas y F\u00edsicas, P\u00e9rez y Orozco Esmael Thieu."}, {"start": 14.84, "end": 19.36, "text": " Somos estudiantes de Ingenier\u00eda Agropecuaria, s\u00e9ptimo semestre, Universidad de Antioquia,"}, {"start": 19.36, "end": 23.240000000000002, "text": " CE Sonson, \u00e9l es Norbert Orozco y yo soy Jorge Andr\u00e9s P\u00e9rez."}, {"start": 23.240000000000002, "end": 28.36, "text": " Julio Profe, queremos agradecerle inmensamente por todo el material audiovisual que usted"}, {"start": 28.36, "end": 34.76, "text": " ha elaborado durante toda su carrera profesional, el cual nos ha sido de inmensa ayuda durante"}, {"start": 34.76, "end": 41.2, "text": " las diferentes etapas de nuestro aprendizaje acad\u00e9mico, el cual nos ha permitido despejar"}, {"start": 41.2, "end": 46.28, "text": " muchas dudas y as\u00ed obtener aprendizajes significativos para nuestra vida."}, {"start": 46.28, "end": 53.68, "text": " Graba un corto video y env\u00edamelo al correo JulioProfeColombia.com para publicarlo en"}, {"start": 53.68, "end": 55.2, "text": " este canal."}, {"start": 55.2, "end": 61.36, "text": " Incluye tu nombre, ciudad, pa\u00eds e instituci\u00f3n educativa a la que perteneces y cu\u00e9ntame"}, {"start": 61.36, "end": 66.36, "text": " cual ha sido tu experiencia con el material educativo que he producido."}, {"start": 66.36, "end": 68.56, "text": " De antemano muchas gracias."}, {"start": 68.56, "end": 86.0, "text": " Julio Profe."}]

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LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS - Ejercicio 8

#julioprofe explica cómo resolver un límite trigonométrico, utilizando un cambio de variable. Al final, comprueba el ejercicio usando calculadora científica. Tema: #Límites → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEeindtt3TarvkVHRDmqNTf REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente este límite trigonométrico y comenzamos por evaluar esta función cuando x toma el valor 0. Entonces en el numerador nos queda arco tangente de 0 y en el denominador x se sustituye por 0. En el numerador esto nos produce como resultado 0, 0 radianes y en el denominador tenemos 0. Llegamos así a una forma indeterminada, 0 sobre 0. Lógicamente esto no puede ser la respuesta para un límite, es una voz de alerta que nos indica que hay que hacerle algo a esa expresión. Utilizamos entonces el concepto de función inversa, en este caso para la tangente. Entonces arco tangente de un número real que es lo mismo que tener tangente a la menos de ese número real, eso nos produce como resultado un ángulo, un ángulo que puede ser medido en grados o en radianes. En los límites trabajamos con radianes, esto quiere decir que la tangente de este ángulo nos tiene que dar como resultado el número real que tenemos allí involucrado. Entonces vamos a aplicar un cambio de variable en este ejercicio. Vamos a decir que arco tangente de x, eso que tenemos allá en el numerador es igual a una letra griega por ejemplo alfa. Siguiendo esto que tenemos acá, esto nos produce como resultado un ángulo al que hemos llamado alfa. Y de acuerdo con esto, entonces decimos que tangente de alfa debe ser igual a ese número real x. Ahora si x tiende a cero, entonces acá en esta expresión al ingresar aquí valores cada vez más próximos a cero, vamos a obtener valores del ángulo alfa, también muy cercanos a cero radianes. Entonces decimos que como consecuencia de esto, alfa también tiende a cero. Entonces utilizando esto que tenemos acá, vamos a reconstruir el límite pero ahora en términos de alfa, en términos de la nueva variable, tendremos límite ya no cuando x tiende a cero, sino cuando alfa tiende a cero. Y acá en la expresión, en la función que vamos a examinar, tenemos en el numerador arco tangente de x que se convierte en alfa, y en el denominador x que equivale a tangente de alfa. Entonces nos concentramos ahora en este límite, si volvemos a evaluar esta expresión cuando alfa toma el valor cero, nos seguirá dando cero sobre cero, otra vez la forma indeterminada. Entonces debemos seguir transformando esto que tenemos acá. Vamos a utilizar una identidad trigonométrica, aquella que nos dice que tangente equivale a seno sobre coseno. Entonces tangente de alfa, vamos a cambiarlo por seno de alfa sobre coseno de alfa. Y a eso que tenemos en el numerador, la letra grega alfa, le colocamos denominador 1. Allí resolvemos esta división de fracciones. Vamos a multiplicar estos dos componentes en el numerador y estos dos en el denominador. Aplicamos lo que se conoce como ley de la oreja. Entonces vamos a continuar por acá, nos queda límite cuando alfa tiende a cero de lo siguiente. En el numerador nos queda alfa por coseno de alfa. Entonces aquí lo escribimos y en el denominador 1 por seno de alfa que será seno de alfa. Ahora vamos a reescribir esto que tenemos acá de la siguiente manera. Tendremos límite cuando alfa tiende a cero de lo siguiente. Vamos a asegurar una fracción conformada por alfa sobre seno de alfa y todo eso multiplicado por coseno de alfa. Todo esto lo proveemos con paréntesis. Este producto equivale a esto que tenemos allá. Ahora aquí vamos a aplicar una propiedad de los límites. Recordemos que cuando un límite se aplica a un producto, entonces afecta a cada uno de los factores. Seguimos por acá, nos queda límite. Cuando alfa tiende a cero, aplicado al primer factor que sería alfa sobre seno de alfa, aseguramos todo esto y eso multiplicado por el límite de coseno de alfa, del otro factor, cuando alfa tiende a cero y aseguramos ese otro componente. Ahora vamos a transformar esto que tenemos aquí utilizando la siguiente propiedad de la potenciación. Si tenemos una fracción a sobre b, ella está elevada al exponente uno. Si invertimos la fracción, entonces el exponente nos cambia de signo, nos queda menos uno. Entonces vamos a aplicar eso para esta fracción que tenemos en el primer límite. Nos queda límite cuando alfa tiende a cero de seno de alfa sobre alfa. Aquí invertimos la fracción, pero para seguir conservando la expresión original debe quedar elevada al exponente menos uno, siguiendo esa propiedad. Aseguramos esto utilizando corchetes y nos queda multiplicando por este componente que no sufre ningún cambio, límite de coseno de alfa cuando alfa tiende a cero. Ahora aquí vamos a utilizar otra propiedad de los límites, cuando un límite se aplica a una potencia, entonces afecta a la base y afecta al exponente. Entonces vamos a seguir por acá y se nos queda límite de seno de alfa sobre alfa cuando alfa tiende a cero. Allí el límite afecta a la base y acá límite cuando alfa tiende a cero de menos uno. Aquí el límite afecta al exponente y todo eso multiplicado por el límite de coseno de alfa cuando alfa tiende a cero. Allí ya podemos resolver cada uno de estos límites. Por acá tenemos uno que es clásico, que es vital en el tema de límites trigonométricos. Normalmente lo encontramos como límite de seno de x sobre x cuando x tiende a cero y este límite equivale a uno. Este límite lo tenemos acá pero con la variable alfa. Entonces como decimos acá, todo esto que tenemos en la base equivale a uno. Acá el límite aplicado a una constante es la misma constante, o sea menos uno. Y acá este límite lo resolvemos por evaluación directa. Si alfa toma el valor cero acá nos queda coseno de cero radianes que equivale a uno. Finalmente resolvemos esto. Uno elevado al exponente menos uno nos sigue dando uno y eso multiplicado por uno es igual a uno. De esta manera encontramos el resultado del límite original, es uno. Esta será entonces la respuesta para este ejercicio. Veamos ahora la comprobación de este ejercicio utilizando una calculadora científica. Usualmente en las calculadoras científicas nos aparece esta letra D en la pantalla. Eso quiere decir que está configurada en el modo DEG, o sea degrees, que quiere decir ángulos en grados. Entonces lo primero que hacemos es llevarla al modo radianes. Para ello oprimimos la tecla shift y aquí el botón de configuración o setup y vamos a escoger la opción 4. Oprimimos aquí la tecla del número 4 para que nos quede entonces configurada en radianes. Nos aparece esta letra R en la parte superior de la pantalla. Enseguida vamos a ingresar la expresión que tenemos en el límite. Para ello comenzamos con el botón de fracción y en el numerador debemos escribir lo que es arco tangente de x. Ahora acá vamos a utilizar la función tangente a la menos 1, la inversa de la tangente. Como vemos está en la parte superior de la tecla de tangente y está en color amarillo. Por lo tanto oprimimos primero el botón shift y luego el botón tangente para activar la función tangente a la menos 1. La calculadora nos abre este paréntesis. En él debemos escribir la x. Aquí tenemos la x encima del botón del paréntesis derecho, pero la x está en color rojo, por lo tanto oprimimos primero el botón alfa y luego el botón del paréntesis donde tenemos la x y allí nos aparece en pantalla y ahora si cerramos ese paréntesis. Ahora con el botón del navegador nos dirigimos hacia abajo a la parte inferior de la fracción y allí debemos anotar la x. Nuevamente utilizamos el botón alfa y el botón del paréntesis derecho para que nos aparezca la x. Después de haber ingresado la expresión de tenerla aquí en pantalla, entonces vamos a evaluarla, vamos a ver que le sucede a esto cuando x toma valores cada vez más cercanos a 0, tanto por izquierda como por derecha. Para ello utilizamos este botón, el que dice calc, que quiere decir calcular. Si lo oprimimos entonces la calculadora nos pregunta por un valor de x, entonces vamos a escoger un número cercano a 0 por la derecha, puede ser por ejemplo 0.1, lo escribimos, le damos igual y la calculadora nos muestra el valor al que tiende esta expresión, cuando x toma el valor 0.1, vemos que nos da 0.996, bueno un número que está cercano a 1. Vamos con otro valor de x, para ello oprimimos el botón igual y escribimos otro número más cercano a 0, por ejemplo 0.01 y en ese caso le damos igual para ver a cuanto equivale la expresión, vemos que nos da 0.9999 y otros números que siguen, es decir el resultado está cada vez más cerca de 1. Vamos a intentar con otro valor más cercano a 0 por la derecha, por ejemplo 0.0001, le damos igual y vemos el resultado, un número cada vez más cercano a 1, eso nos confirma entonces que esta expresión se aproxima a 1 cuando x toma valores cercanos a 0 por la derecha. Ahora veamos que pasa cuando x se aproxima a 0 por la izquierda, oprimimos el botón igual y le vamos a dar a x el número menos 0.1, ya nos acercamos a 0 por el lado de los números negativos, si le damos igual vemos que el resultado de la expresión, es decir cuando x toma ese número es de 0.9966 también cercano a 1. Otro oprimimos otra vez el botón igual, ingresamos menos 0.0001, es decir un número más cercano a 0 por la izquierda, le damos igual y vemos el resultado, también un número muy cercano a 1. Finalmente, examinemos otro, un número negativo más cercano a 0, vamos a hacerlo así, muy cercano a 0, al darle igual vemos que la calculadora ya nos hace la aproximación. Entonces, de esta manera podemos concluir que el límite que hemos resuelto manualmente utilizando el cambio de variable, las identidades trigonométricas y aquel límite de gran importancia que es el de seno de alfa sobre alfa, límite cuando alfa tiende a 0 y que nos da 1, vemos que todo eso al final nos produce como resultado 1 para el ejercicio propuesto.

[{"start": 0.0, "end": 9.08, "text": " Vamos a resolver detalladamente este l\u00edmite trigonom\u00e9trico y comenzamos por evaluar esta"}, {"start": 9.08, "end": 13.16, "text": " funci\u00f3n cuando x toma el valor 0."}, {"start": 13.16, "end": 21.240000000000002, "text": " Entonces en el numerador nos queda arco tangente de 0 y en el denominador x se sustituye por"}, {"start": 21.240000000000002, "end": 22.240000000000002, "text": " 0."}, {"start": 22.240000000000002, "end": 29.96, "text": " En el numerador esto nos produce como resultado 0, 0 radianes y en el denominador tenemos 0."}, {"start": 29.96, "end": 33.92, "text": " Llegamos as\u00ed a una forma indeterminada, 0 sobre 0."}, {"start": 33.92, "end": 39.72, "text": " L\u00f3gicamente esto no puede ser la respuesta para un l\u00edmite, es una voz de alerta que"}, {"start": 39.72, "end": 43.84, "text": " nos indica que hay que hacerle algo a esa expresi\u00f3n."}, {"start": 43.84, "end": 50.84, "text": " Utilizamos entonces el concepto de funci\u00f3n inversa, en este caso para la tangente."}, {"start": 50.84, "end": 57.8, "text": " Entonces arco tangente de un n\u00famero real que es lo mismo que tener tangente a la menos"}, {"start": 57.8, "end": 65.44, "text": " de ese n\u00famero real, eso nos produce como resultado un \u00e1ngulo, un \u00e1ngulo que puede"}, {"start": 65.44, "end": 68.52, "text": " ser medido en grados o en radianes."}, {"start": 68.52, "end": 77.52, "text": " En los l\u00edmites trabajamos con radianes, esto quiere decir que la tangente de este \u00e1ngulo"}, {"start": 77.52, "end": 83.4, "text": " nos tiene que dar como resultado el n\u00famero real que tenemos all\u00ed involucrado."}, {"start": 83.4, "end": 88.32000000000001, "text": " Entonces vamos a aplicar un cambio de variable en este ejercicio."}, {"start": 88.32000000000001, "end": 95.2, "text": " Vamos a decir que arco tangente de x, eso que tenemos all\u00e1 en el numerador es igual"}, {"start": 95.2, "end": 98.36000000000001, "text": " a una letra griega por ejemplo alfa."}, {"start": 98.36000000000001, "end": 103.76, "text": " Siguiendo esto que tenemos ac\u00e1, esto nos produce como resultado un \u00e1ngulo al que hemos"}, {"start": 103.76, "end": 105.0, "text": " llamado alfa."}, {"start": 105.0, "end": 111.4, "text": " Y de acuerdo con esto, entonces decimos que tangente de alfa debe ser igual a ese n\u00famero"}, {"start": 111.4, "end": 113.2, "text": " real x."}, {"start": 113.2, "end": 121.8, "text": " Ahora si x tiende a cero, entonces ac\u00e1 en esta expresi\u00f3n al ingresar aqu\u00ed valores"}, {"start": 121.8, "end": 128.32, "text": " cada vez m\u00e1s pr\u00f3ximos a cero, vamos a obtener valores del \u00e1ngulo alfa, tambi\u00e9n muy cercanos"}, {"start": 128.32, "end": 130.2, "text": " a cero radianes."}, {"start": 130.2, "end": 136.24, "text": " Entonces decimos que como consecuencia de esto, alfa tambi\u00e9n tiende a cero."}, {"start": 136.24, "end": 141.68, "text": " Entonces utilizando esto que tenemos ac\u00e1, vamos a reconstruir el l\u00edmite pero ahora"}, {"start": 141.68, "end": 148.0, "text": " en t\u00e9rminos de alfa, en t\u00e9rminos de la nueva variable, tendremos l\u00edmite ya no cuando x"}, {"start": 148.0, "end": 152.88, "text": " tiende a cero, sino cuando alfa tiende a cero."}, {"start": 152.88, "end": 158.92000000000002, "text": " Y ac\u00e1 en la expresi\u00f3n, en la funci\u00f3n que vamos a examinar, tenemos en el numerador"}, {"start": 158.92000000000002, "end": 166.96, "text": " arco tangente de x que se convierte en alfa, y en el denominador x que equivale a tangente"}, {"start": 166.96, "end": 169.52, "text": " de alfa."}, {"start": 169.52, "end": 174.64000000000001, "text": " Entonces nos concentramos ahora en este l\u00edmite, si volvemos a evaluar esta expresi\u00f3n cuando"}, {"start": 174.64000000000001, "end": 181.04000000000002, "text": " alfa toma el valor cero, nos seguir\u00e1 dando cero sobre cero, otra vez la forma indeterminada."}, {"start": 181.04000000000002, "end": 185.18, "text": " Entonces debemos seguir transformando esto que tenemos ac\u00e1."}, {"start": 185.18, "end": 191.94, "text": " Vamos a utilizar una identidad trigonom\u00e9trica, aquella que nos dice que tangente equivale"}, {"start": 191.94, "end": 194.36, "text": " a seno sobre coseno."}, {"start": 194.36, "end": 200.24, "text": " Entonces tangente de alfa, vamos a cambiarlo por seno de alfa sobre coseno de alfa."}, {"start": 200.24, "end": 206.20000000000002, "text": " Y a eso que tenemos en el numerador, la letra grega alfa, le colocamos denominador 1."}, {"start": 206.20000000000002, "end": 209.44000000000003, "text": " All\u00ed resolvemos esta divisi\u00f3n de fracciones."}, {"start": 209.44000000000003, "end": 214.84, "text": " Vamos a multiplicar estos dos componentes en el numerador y estos dos en el denominador."}, {"start": 214.84, "end": 219.12, "text": " Aplicamos lo que se conoce como ley de la oreja."}, {"start": 219.12, "end": 226.84, "text": " Entonces vamos a continuar por ac\u00e1, nos queda l\u00edmite cuando alfa tiende a cero de lo siguiente."}, {"start": 226.84, "end": 230.96, "text": " En el numerador nos queda alfa por coseno de alfa."}, {"start": 230.96, "end": 238.24, "text": " Entonces aqu\u00ed lo escribimos y en el denominador 1 por seno de alfa que ser\u00e1 seno de alfa."}, {"start": 238.24, "end": 242.88, "text": " Ahora vamos a reescribir esto que tenemos ac\u00e1 de la siguiente manera."}, {"start": 242.88, "end": 248.44, "text": " Tendremos l\u00edmite cuando alfa tiende a cero de lo siguiente."}, {"start": 248.44, "end": 255.16, "text": " Vamos a asegurar una fracci\u00f3n conformada por alfa sobre seno de alfa y todo eso multiplicado"}, {"start": 255.16, "end": 257.48, "text": " por coseno de alfa."}, {"start": 257.48, "end": 260.08, "text": " Todo esto lo proveemos con par\u00e9ntesis."}, {"start": 260.08, "end": 263.68, "text": " Este producto equivale a esto que tenemos all\u00e1."}, {"start": 263.68, "end": 267.36, "text": " Ahora aqu\u00ed vamos a aplicar una propiedad de los l\u00edmites."}, {"start": 267.36, "end": 272.68, "text": " Recordemos que cuando un l\u00edmite se aplica a un producto, entonces afecta a cada uno"}, {"start": 272.68, "end": 274.8, "text": " de los factores."}, {"start": 274.8, "end": 277.15999999999997, "text": " Seguimos por ac\u00e1, nos queda l\u00edmite."}, {"start": 277.16, "end": 285.64000000000004, "text": " Cuando alfa tiende a cero, aplicado al primer factor que ser\u00eda alfa sobre seno de alfa,"}, {"start": 285.64000000000004, "end": 292.88000000000005, "text": " aseguramos todo esto y eso multiplicado por el l\u00edmite de coseno de alfa, del otro factor,"}, {"start": 292.88000000000005, "end": 298.20000000000005, "text": " cuando alfa tiende a cero y aseguramos ese otro componente."}, {"start": 298.20000000000005, "end": 303.08000000000004, "text": " Ahora vamos a transformar esto que tenemos aqu\u00ed utilizando la siguiente propiedad de"}, {"start": 303.08000000000004, "end": 304.48, "text": " la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 304.48, "end": 309.76, "text": " Si tenemos una fracci\u00f3n a sobre b, ella est\u00e1 elevada al exponente uno."}, {"start": 309.76, "end": 317.68, "text": " Si invertimos la fracci\u00f3n, entonces el exponente nos cambia de signo, nos queda menos uno."}, {"start": 317.68, "end": 323.92, "text": " Entonces vamos a aplicar eso para esta fracci\u00f3n que tenemos en el primer l\u00edmite."}, {"start": 323.92, "end": 330.88, "text": " Nos queda l\u00edmite cuando alfa tiende a cero de seno de alfa sobre alfa."}, {"start": 330.88, "end": 336.71999999999997, "text": " Aqu\u00ed invertimos la fracci\u00f3n, pero para seguir conservando la expresi\u00f3n original debe quedar"}, {"start": 336.71999999999997, "end": 341.48, "text": " elevada al exponente menos uno, siguiendo esa propiedad."}, {"start": 341.48, "end": 347.88, "text": " Aseguramos esto utilizando corchetes y nos queda multiplicando por este componente que"}, {"start": 347.88, "end": 354.68, "text": " no sufre ning\u00fan cambio, l\u00edmite de coseno de alfa cuando alfa tiende a cero."}, {"start": 354.68, "end": 359.71999999999997, "text": " Ahora aqu\u00ed vamos a utilizar otra propiedad de los l\u00edmites, cuando un l\u00edmite se aplica"}, {"start": 359.72, "end": 365.76000000000005, "text": " a una potencia, entonces afecta a la base y afecta al exponente."}, {"start": 365.76000000000005, "end": 375.12, "text": " Entonces vamos a seguir por ac\u00e1 y se nos queda l\u00edmite de seno de alfa sobre alfa cuando"}, {"start": 375.12, "end": 377.04, "text": " alfa tiende a cero."}, {"start": 377.04, "end": 385.12, "text": " All\u00ed el l\u00edmite afecta a la base y ac\u00e1 l\u00edmite cuando alfa tiende a cero de menos uno."}, {"start": 385.12, "end": 391.84000000000003, "text": " Aqu\u00ed el l\u00edmite afecta al exponente y todo eso multiplicado por el l\u00edmite de coseno de"}, {"start": 391.84000000000003, "end": 396.92, "text": " alfa cuando alfa tiende a cero."}, {"start": 396.92, "end": 400.5, "text": " All\u00ed ya podemos resolver cada uno de estos l\u00edmites."}, {"start": 400.5, "end": 406.52, "text": " Por ac\u00e1 tenemos uno que es cl\u00e1sico, que es vital en el tema de l\u00edmites trigonom\u00e9tricos."}, {"start": 406.52, "end": 413.2, "text": " Normalmente lo encontramos como l\u00edmite de seno de x sobre x cuando x tiende a cero y"}, {"start": 413.2, "end": 416.0, "text": " este l\u00edmite equivale a uno."}, {"start": 416.0, "end": 419.92, "text": " Este l\u00edmite lo tenemos ac\u00e1 pero con la variable alfa."}, {"start": 419.92, "end": 425.71999999999997, "text": " Entonces como decimos ac\u00e1, todo esto que tenemos en la base equivale a uno."}, {"start": 425.71999999999997, "end": 431.96, "text": " Ac\u00e1 el l\u00edmite aplicado a una constante es la misma constante, o sea menos uno."}, {"start": 431.96, "end": 435.88, "text": " Y ac\u00e1 este l\u00edmite lo resolvemos por evaluaci\u00f3n directa."}, {"start": 435.88, "end": 443.08, "text": " Si alfa toma el valor cero ac\u00e1 nos queda coseno de cero radianes que equivale a uno."}, {"start": 443.08, "end": 445.56, "text": " Finalmente resolvemos esto."}, {"start": 445.56, "end": 451.76, "text": " Uno elevado al exponente menos uno nos sigue dando uno y eso multiplicado por uno es igual"}, {"start": 451.76, "end": 452.76, "text": " a uno."}, {"start": 452.76, "end": 458.68, "text": " De esta manera encontramos el resultado del l\u00edmite original, es uno."}, {"start": 458.68, "end": 463.15999999999997, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la respuesta para este ejercicio."}, {"start": 463.16, "end": 469.28000000000003, "text": " Veamos ahora la comprobaci\u00f3n de este ejercicio utilizando una calculadora cient\u00edfica."}, {"start": 469.28000000000003, "end": 475.28000000000003, "text": " Usualmente en las calculadoras cient\u00edficas nos aparece esta letra D en la pantalla."}, {"start": 475.28000000000003, "end": 480.56, "text": " Eso quiere decir que est\u00e1 configurada en el modo DEG, o sea degrees, que quiere decir"}, {"start": 480.56, "end": 482.08000000000004, "text": " \u00e1ngulos en grados."}, {"start": 482.08000000000004, "end": 486.56, "text": " Entonces lo primero que hacemos es llevarla al modo radianes."}, {"start": 486.56, "end": 492.68, "text": " Para ello oprimimos la tecla shift y aqu\u00ed el bot\u00f3n de configuraci\u00f3n o setup y vamos"}, {"start": 492.68, "end": 495.44, "text": " a escoger la opci\u00f3n 4."}, {"start": 495.44, "end": 501.28000000000003, "text": " Oprimimos aqu\u00ed la tecla del n\u00famero 4 para que nos quede entonces configurada en radianes."}, {"start": 501.28000000000003, "end": 506.0, "text": " Nos aparece esta letra R en la parte superior de la pantalla."}, {"start": 506.0, "end": 510.08, "text": " Enseguida vamos a ingresar la expresi\u00f3n que tenemos en el l\u00edmite."}, {"start": 510.08, "end": 516.12, "text": " Para ello comenzamos con el bot\u00f3n de fracci\u00f3n y en el numerador debemos escribir lo que"}, {"start": 516.12, "end": 519.0, "text": " es arco tangente de x."}, {"start": 519.0, "end": 524.64, "text": " Ahora ac\u00e1 vamos a utilizar la funci\u00f3n tangente a la menos 1, la inversa de la tangente."}, {"start": 524.64, "end": 530.72, "text": " Como vemos est\u00e1 en la parte superior de la tecla de tangente y est\u00e1 en color amarillo."}, {"start": 530.72, "end": 537.4, "text": " Por lo tanto oprimimos primero el bot\u00f3n shift y luego el bot\u00f3n tangente para activar la"}, {"start": 537.4, "end": 539.92, "text": " funci\u00f3n tangente a la menos 1."}, {"start": 539.92, "end": 542.48, "text": " La calculadora nos abre este par\u00e9ntesis."}, {"start": 542.48, "end": 545.12, "text": " En \u00e9l debemos escribir la x."}, {"start": 545.12, "end": 551.28, "text": " Aqu\u00ed tenemos la x encima del bot\u00f3n del par\u00e9ntesis derecho, pero la x est\u00e1 en color rojo, por"}, {"start": 551.28, "end": 557.08, "text": " lo tanto oprimimos primero el bot\u00f3n alfa y luego el bot\u00f3n del par\u00e9ntesis donde tenemos"}, {"start": 557.08, "end": 563.28, "text": " la x y all\u00ed nos aparece en pantalla y ahora si cerramos ese par\u00e9ntesis."}, {"start": 563.28, "end": 569.4, "text": " Ahora con el bot\u00f3n del navegador nos dirigimos hacia abajo a la parte inferior de la fracci\u00f3n"}, {"start": 569.4, "end": 571.76, "text": " y all\u00ed debemos anotar la x."}, {"start": 571.76, "end": 577.48, "text": " Nuevamente utilizamos el bot\u00f3n alfa y el bot\u00f3n del par\u00e9ntesis derecho para que nos"}, {"start": 577.48, "end": 580.64, "text": " aparezca la x."}, {"start": 580.64, "end": 585.3, "text": " Despu\u00e9s de haber ingresado la expresi\u00f3n de tenerla aqu\u00ed en pantalla, entonces vamos"}, {"start": 585.3, "end": 591.08, "text": " a evaluarla, vamos a ver que le sucede a esto cuando x toma valores cada vez m\u00e1s cercanos"}, {"start": 591.08, "end": 594.8199999999999, "text": " a 0, tanto por izquierda como por derecha."}, {"start": 594.8199999999999, "end": 599.9, "text": " Para ello utilizamos este bot\u00f3n, el que dice calc, que quiere decir calcular."}, {"start": 599.9, "end": 605.28, "text": " Si lo oprimimos entonces la calculadora nos pregunta por un valor de x, entonces vamos"}, {"start": 605.28, "end": 613.0799999999999, "text": " a escoger un n\u00famero cercano a 0 por la derecha, puede ser por ejemplo 0.1, lo escribimos,"}, {"start": 613.0799999999999, "end": 619.1999999999999, "text": " le damos igual y la calculadora nos muestra el valor al que tiende esta expresi\u00f3n, cuando"}, {"start": 619.1999999999999, "end": 627.92, "text": " x toma el valor 0.1, vemos que nos da 0.996, bueno un n\u00famero que est\u00e1 cercano a 1."}, {"start": 627.92, "end": 634.88, "text": " Vamos con otro valor de x, para ello oprimimos el bot\u00f3n igual y escribimos otro n\u00famero"}, {"start": 634.88, "end": 641.9599999999999, "text": " m\u00e1s cercano a 0, por ejemplo 0.01 y en ese caso le damos igual para ver a cuanto equivale"}, {"start": 641.9599999999999, "end": 649.9399999999999, "text": " la expresi\u00f3n, vemos que nos da 0.9999 y otros n\u00fameros que siguen, es decir el resultado"}, {"start": 649.9399999999999, "end": 652.88, "text": " est\u00e1 cada vez m\u00e1s cerca de 1."}, {"start": 652.88, "end": 660.28, "text": " Vamos a intentar con otro valor m\u00e1s cercano a 0 por la derecha, por ejemplo 0.0001, le"}, {"start": 660.28, "end": 667.32, "text": " damos igual y vemos el resultado, un n\u00famero cada vez m\u00e1s cercano a 1, eso nos confirma"}, {"start": 667.32, "end": 674.92, "text": " entonces que esta expresi\u00f3n se aproxima a 1 cuando x toma valores cercanos a 0 por"}, {"start": 674.92, "end": 675.92, "text": " la derecha."}, {"start": 675.92, "end": 680.88, "text": " Ahora veamos que pasa cuando x se aproxima a 0 por la izquierda, oprimimos el bot\u00f3n"}, {"start": 680.88, "end": 689.76, "text": " igual y le vamos a dar a x el n\u00famero menos 0.1, ya nos acercamos a 0 por el lado de los"}, {"start": 689.76, "end": 695.56, "text": " n\u00fameros negativos, si le damos igual vemos que el resultado de la expresi\u00f3n, es decir"}, {"start": 695.56, "end": 702.32, "text": " cuando x toma ese n\u00famero es de 0.9966 tambi\u00e9n cercano a 1."}, {"start": 702.32, "end": 712.08, "text": " Otro oprimimos otra vez el bot\u00f3n igual, ingresamos menos 0.0001, es decir un n\u00famero m\u00e1s cercano"}, {"start": 712.08, "end": 718.48, "text": " a 0 por la izquierda, le damos igual y vemos el resultado, tambi\u00e9n un n\u00famero muy cercano"}, {"start": 718.48, "end": 719.48, "text": " a 1."}, {"start": 719.48, "end": 727.6600000000001, "text": " Finalmente, examinemos otro, un n\u00famero negativo m\u00e1s cercano a 0, vamos a hacerlo as\u00ed, muy"}, {"start": 727.66, "end": 733.1999999999999, "text": " cercano a 0, al darle igual vemos que la calculadora ya nos hace la aproximaci\u00f3n."}, {"start": 733.1999999999999, "end": 740.56, "text": " Entonces, de esta manera podemos concluir que el l\u00edmite que hemos resuelto manualmente"}, {"start": 740.56, "end": 747.1999999999999, "text": " utilizando el cambio de variable, las identidades trigonom\u00e9tricas y aquel l\u00edmite de gran importancia"}, {"start": 747.1999999999999, "end": 752.72, "text": " que es el de seno de alfa sobre alfa, l\u00edmite cuando alfa tiende a 0 y que nos da 1, vemos"}, {"start": 752.72, "end": 758.48, "text": " que todo eso al final nos produce como resultado 1 para el ejercicio propuesto."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=zn4HMLehwAo

33. VECTORES EN CINEMÁTICA (Ejercicio 3)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 33: Vectores en Cinemática (Ejercicio 3). El vector de posición de un móvil viene dado por r = t³i + 2tj + 3t²k. Calcula: (a) Su velocidad al cabo de 2 segundos. (b) Su velocidad media durante los cuatro primeros segundos. Tema: El Movimiento y su Descripción. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

Nos da el vector posición de un móvil, vemos que tiene las tres componentes I, J, K, O, X, Y, Z, es decir, se trata de un movimiento en el espacio. Vamos a reescribir esa ecuación como una función vectorial así, con componentes T al cubo, 2T y 3T al cuadrado. Si esa posición en metros, si el tiempo entra en segundos. Nos piden entonces encontrar la velocidad al cabo de dos segundos, es decir, la velocidad instantánea. Entonces tenemos que encontrar el vector velocidad, que se obtiene derivando la posición. Si vamos a derivar este vector, entonces procedemos a derivar cada una de sus componentes. Entonces tenemos la derivada de T al cubo, sería 3T al cuadrado. La derivada de 2T es 2, y la derivada de 3T al cuadrado sería 6T. Estas serían entonces las componentes del vector velocidad. A continuación vamos a encontrar en el instante T igual a dos segundos, cuál es el valor de esa velocidad. Entonces sustituimos el 2, sería calcular V de 2, esto nos queda 3 por 2 al cuadrado, coma 2,6 por 2, y resolvemos, nos da 2 al cuadrado, 4 por 3, 12. Aquí nos queda 2 y 6 por 2, 12. Sustituimos el módulo en metros sobre segundos, que son las unidades de la velocidad. Entonces en T igual a dos segundos, la velocidad de la partícula o del móvil es este vector, componentes 12,2,12 en metros sobre segundos. Vamos a encontrar el módulo de esta velocidad, es decir, lo que se llamaría la rapidez en ese instante. El módulo o magnitud de la velocidad en el instante T igual a dos segundos se calcula de la siguiente manera, raíz cuadrada de 12 al cuadrado, más 2 al cuadrado, más 12 al cuadrado. La suma de los cuadrados de sus componentes, todo eso dentro de una raíz cuadrada. Vemos esto nos da 144, más 4, más 144. Toda esa operación nos da como resultado 292 dentro de la raíz cuadrada, y simplificando eso al máximo nos queda 2 raíz cuadrada de 73 en metros sobre segundos. Aproximadamente igual a 17.09 metros sobre segundos. Esa sería entonces la rapidez instantánea, si el módulo de la velocidad de esa partícula en el instante T igual a dos segundos. En la parte B de este ejercicio nos preguntan por la velocidad media en los cuatro primeros segundos. Es decir que vamos a calcular esa velocidad entre T igual a cero y T igual a cuatro segundos. Vamos entonces a calcular la posición en cero y la posición en cuatro. R de cero, en el instante cero la posición vale cero, cero, cero. Vemos claramente que si reemplazamos T por cero nos da todo cero. Claro, eso quiere decir que la partícula en el instante T igual a cero se encuentra en el origen. Ahora miremos en T igual a cuatro segundos cuál es la posición. Sustituimos el cuatro en cada uno de los valores del tiempo y nos queda así. Aquí dos por cuatro, ocho. Aquí cuatro al cuadrado dieciséis, dieciséis por tres, cuarenta y ocho. Y esto en metros. Esto será entonces la posición, el vector posición de ese móvil en T igual a cuatro segundos. Con esto ya podemos calcular el vector desplazamiento delta R que sería posición final, es decir R de cuatro menos posición inicial que es R de cero. Nos queda entonces delta R igual a, tomamos el vector R de cuatro, sesenta y cuatro, coma ocho coma cuarenta y ocho, menos el vector R de cero que es la terna de ceros. Efectuando la resta tenemos que el vector desplazamiento delta R es equivale a sesenta y cuatro coma ocho coma cuarenta y ocho en metros. Calculamos entonces el desplazamiento de ese móvil en el intervalo que va desde cero hasta cuatro. Calculamos delta T, es decir el valor del intervalo de tiempo sería cuatro menos cero, instante final menos instante inicial, esto nos da cuatro segundos. Y ya con estos dos datos podemos encontrar la velocidad media en ese intervalo de tiempo, será el vector desplazamiento dividido entre el intervalo de tiempo. El vector desplazamiento nos dio componentes sesenta y cuatro coma ocho coma cuarenta y ocho en metros y el intervalo de tiempo cuatro segundos. Vamos entonces a distribuir el escalar tiempo, es decir los cuatro segundos, vamos a distribuirlos a cada componente, nos queda entonces sesenta y cuatro cuartos, ocho cuartos y cuarenta y ocho cuartos y ya esto toma unidades metros sobre segundos. Veamos cuanto nos da esta división, nos da dieciséis, por acá nos da dos y luego nos da doce metros sobre segundos. Y tenemos entonces el vector velocidad media para ese móvil en el intervalo de tiempo que va entre cero y cuatro segundos. Para terminar calculemos su módulo o su magnitud o su norma, recordemos que se puede llamar de esas tres formas, será entonces la raíz cuadrada de dieciséis al cuadrado más dos al cuadrado más doce al cuadrado, todo esto dentro de la raíz cuadrada. Resolvemos dieciséis al cuadrado es doscientos cincuenta y seis, dos al cuadrado es cuatro y doce al cuadrado es ciento cuarenta y cuatro, todo eso dentro de la raíz cuadrada. Hacemos esta suma y eso nos da como resultado cuatrocientos cuatro, que simplificando al máximo esa raíz nos da dos raíz cuadrada de ciento uno en metros sobre segundos. En número decimal esto aproxima a veinte punto uno en metros sobre segundos. Entonces, de esta manera hemos encontrado el módulo de nuestro vector velocidad media para el intervalo que nos dieron y terminamos el ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 23.2, "text": " Nos da el vector posici\u00f3n de un m\u00f3vil, vemos que tiene las tres componentes I, J, K, O,"}, {"start": 23.2, "end": 28.400000000000002, "text": " X, Y, Z, es decir, se trata de un movimiento en el espacio."}, {"start": 28.4, "end": 35.239999999999995, "text": " Vamos a reescribir esa ecuaci\u00f3n como una funci\u00f3n vectorial as\u00ed, con componentes T"}, {"start": 35.239999999999995, "end": 42.0, "text": " al cubo, 2T y 3T al cuadrado."}, {"start": 42.0, "end": 48.04, "text": " Si esa posici\u00f3n en metros, si el tiempo entra en segundos."}, {"start": 48.04, "end": 53.72, "text": " Nos piden entonces encontrar la velocidad al cabo de dos segundos, es decir, la velocidad"}, {"start": 53.72, "end": 55.72, "text": " instant\u00e1nea."}, {"start": 55.72, "end": 64.96, "text": " Entonces tenemos que encontrar el vector velocidad, que se obtiene derivando la posici\u00f3n."}, {"start": 64.96, "end": 74.36, "text": " Si vamos a derivar este vector, entonces procedemos a derivar cada una de sus componentes."}, {"start": 74.36, "end": 79.92, "text": " Entonces tenemos la derivada de T al cubo, ser\u00eda 3T al cuadrado."}, {"start": 79.92, "end": 88.48, "text": " La derivada de 2T es 2, y la derivada de 3T al cuadrado ser\u00eda 6T."}, {"start": 88.48, "end": 92.56, "text": " Estas ser\u00edan entonces las componentes del vector velocidad."}, {"start": 92.56, "end": 99.8, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a encontrar en el instante T igual a dos segundos, cu\u00e1l es el valor"}, {"start": 99.8, "end": 103.12, "text": " de esa velocidad."}, {"start": 103.12, "end": 113.08000000000001, "text": " Entonces sustituimos el 2, ser\u00eda calcular V de 2, esto nos queda 3 por 2 al cuadrado,"}, {"start": 113.08000000000001, "end": 123.92, "text": " coma 2,6 por 2, y resolvemos, nos da 2 al cuadrado, 4 por 3, 12."}, {"start": 123.92, "end": 129.56, "text": " Aqu\u00ed nos queda 2 y 6 por 2, 12."}, {"start": 129.56, "end": 136.68, "text": " Sustituimos el m\u00f3dulo en metros sobre segundos, que son las unidades de la velocidad."}, {"start": 136.68, "end": 145.08, "text": " Entonces en T igual a dos segundos, la velocidad de la part\u00edcula o del m\u00f3vil es este vector,"}, {"start": 145.08, "end": 150.12, "text": " componentes 12,2,12 en metros sobre segundos."}, {"start": 150.12, "end": 154.92000000000002, "text": " Vamos a encontrar el m\u00f3dulo de esta velocidad, es decir, lo que se llamar\u00eda la rapidez en"}, {"start": 154.92000000000002, "end": 156.76, "text": " ese instante."}, {"start": 156.76, "end": 164.72, "text": " El m\u00f3dulo o magnitud de la velocidad en el instante T igual a dos segundos se calcula"}, {"start": 164.72, "end": 173.07999999999998, "text": " de la siguiente manera, ra\u00edz cuadrada de 12 al cuadrado, m\u00e1s 2 al cuadrado, m\u00e1s 12 al"}, {"start": 173.07999999999998, "end": 174.07999999999998, "text": " cuadrado."}, {"start": 174.07999999999998, "end": 181.76, "text": " La suma de los cuadrados de sus componentes, todo eso dentro de una ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 181.76, "end": 190.51999999999998, "text": " Vemos esto nos da 144, m\u00e1s 4, m\u00e1s 144."}, {"start": 190.51999999999998, "end": 198.44, "text": " Toda esa operaci\u00f3n nos da como resultado 292 dentro de la ra\u00edz cuadrada, y simplificando"}, {"start": 198.44, "end": 207.28, "text": " eso al m\u00e1ximo nos queda 2 ra\u00edz cuadrada de 73 en metros sobre segundos."}, {"start": 207.28, "end": 216.92000000000002, "text": " Aproximadamente igual a 17.09 metros sobre segundos."}, {"start": 216.92000000000002, "end": 224.04, "text": " Esa ser\u00eda entonces la rapidez instant\u00e1nea, si el m\u00f3dulo de la velocidad de esa part\u00edcula"}, {"start": 224.04, "end": 227.4, "text": " en el instante T igual a dos segundos."}, {"start": 227.4, "end": 232.96, "text": " En la parte B de este ejercicio nos preguntan por la velocidad media en los cuatro primeros"}, {"start": 232.96, "end": 233.96, "text": " segundos."}, {"start": 233.96, "end": 242.08, "text": " Es decir que vamos a calcular esa velocidad entre T igual a cero y T igual a cuatro segundos."}, {"start": 242.08, "end": 245.88, "text": " Vamos entonces a calcular la posici\u00f3n en cero y la posici\u00f3n en cuatro."}, {"start": 245.88, "end": 254.96, "text": " R de cero, en el instante cero la posici\u00f3n vale cero, cero, cero."}, {"start": 254.96, "end": 258.64, "text": " Vemos claramente que si reemplazamos T por cero nos da todo cero."}, {"start": 258.64, "end": 264.03999999999996, "text": " Claro, eso quiere decir que la part\u00edcula en el instante T igual a cero se encuentra en"}, {"start": 264.03999999999996, "end": 265.2, "text": " el origen."}, {"start": 265.2, "end": 271.71999999999997, "text": " Ahora miremos en T igual a cuatro segundos cu\u00e1l es la posici\u00f3n."}, {"start": 271.72, "end": 289.6, "text": " Sustituimos el cuatro en cada uno de los valores del tiempo y nos queda as\u00ed."}, {"start": 289.6, "end": 292.48, "text": " Aqu\u00ed dos por cuatro, ocho."}, {"start": 292.48, "end": 298.0, "text": " Aqu\u00ed cuatro al cuadrado diecis\u00e9is, diecis\u00e9is por tres, cuarenta y ocho."}, {"start": 298.0, "end": 300.28000000000003, "text": " Y esto en metros."}, {"start": 300.28, "end": 305.52, "text": " Esto ser\u00e1 entonces la posici\u00f3n, el vector posici\u00f3n de ese m\u00f3vil en T igual a cuatro"}, {"start": 305.52, "end": 307.15999999999997, "text": " segundos."}, {"start": 307.15999999999997, "end": 314.52, "text": " Con esto ya podemos calcular el vector desplazamiento delta R que ser\u00eda posici\u00f3n final, es decir"}, {"start": 314.52, "end": 320.55999999999995, "text": " R de cuatro menos posici\u00f3n inicial que es R de cero."}, {"start": 320.56, "end": 329.48, "text": " Nos queda entonces delta R igual a, tomamos el vector R de cuatro, sesenta y cuatro, coma"}, {"start": 329.48, "end": 338.48, "text": " ocho coma cuarenta y ocho, menos el vector R de cero que es la terna de ceros."}, {"start": 338.48, "end": 343.92, "text": " Efectuando la resta tenemos que el vector desplazamiento delta R es equivale a sesenta"}, {"start": 343.92, "end": 348.8, "text": " y cuatro coma ocho coma cuarenta y ocho en metros."}, {"start": 348.8, "end": 355.32, "text": " Calculamos entonces el desplazamiento de ese m\u00f3vil en el intervalo que va desde cero hasta"}, {"start": 355.32, "end": 356.32, "text": " cuatro."}, {"start": 356.32, "end": 363.72, "text": " Calculamos delta T, es decir el valor del intervalo de tiempo ser\u00eda cuatro menos cero,"}, {"start": 363.72, "end": 368.04, "text": " instante final menos instante inicial, esto nos da cuatro segundos."}, {"start": 368.04, "end": 374.16, "text": " Y ya con estos dos datos podemos encontrar la velocidad media en ese intervalo de tiempo,"}, {"start": 374.16, "end": 379.56, "text": " ser\u00e1 el vector desplazamiento dividido entre el intervalo de tiempo."}, {"start": 379.56, "end": 385.56, "text": " El vector desplazamiento nos dio componentes sesenta y cuatro coma ocho coma cuarenta y"}, {"start": 385.56, "end": 392.92, "text": " ocho en metros y el intervalo de tiempo cuatro segundos."}, {"start": 392.92, "end": 400.34000000000003, "text": " Vamos entonces a distribuir el escalar tiempo, es decir los cuatro segundos, vamos a distribuirlos"}, {"start": 400.34, "end": 409.08, "text": " a cada componente, nos queda entonces sesenta y cuatro cuartos, ocho cuartos y cuarenta"}, {"start": 409.08, "end": 416.12, "text": " y ocho cuartos y ya esto toma unidades metros sobre segundos."}, {"start": 416.12, "end": 423.15999999999997, "text": " Veamos cuanto nos da esta divisi\u00f3n, nos da diecis\u00e9is, por ac\u00e1 nos da dos y luego nos"}, {"start": 423.15999999999997, "end": 426.67999999999995, "text": " da doce metros sobre segundos."}, {"start": 426.68, "end": 433.08, "text": " Y tenemos entonces el vector velocidad media para ese m\u00f3vil en el intervalo de tiempo"}, {"start": 433.08, "end": 436.6, "text": " que va entre cero y cuatro segundos."}, {"start": 436.6, "end": 443.32, "text": " Para terminar calculemos su m\u00f3dulo o su magnitud o su norma, recordemos que se puede llamar"}, {"start": 443.32, "end": 449.44, "text": " de esas tres formas, ser\u00e1 entonces la ra\u00edz cuadrada de diecis\u00e9is al cuadrado m\u00e1s dos"}, {"start": 449.44, "end": 457.84, "text": " al cuadrado m\u00e1s doce al cuadrado, todo esto dentro de la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 457.84, "end": 462.84, "text": " Resolvemos diecis\u00e9is al cuadrado es doscientos cincuenta y seis, dos al cuadrado es cuatro"}, {"start": 462.84, "end": 469.68, "text": " y doce al cuadrado es ciento cuarenta y cuatro, todo eso dentro de la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 469.68, "end": 476.88, "text": " Hacemos esta suma y eso nos da como resultado cuatrocientos cuatro, que simplificando al"}, {"start": 476.88, "end": 485.12, "text": " m\u00e1ximo esa ra\u00edz nos da dos ra\u00edz cuadrada de ciento uno en metros sobre segundos."}, {"start": 485.12, "end": 492.32, "text": " En n\u00famero decimal esto aproxima a veinte punto uno en metros sobre segundos."}, {"start": 492.32, "end": 498.96, "text": " Entonces, de esta manera hemos encontrado el m\u00f3dulo de nuestro vector velocidad media"}, {"start": 498.96, "end": 527.12, "text": " para el intervalo que nos dieron y terminamos el ejercicio."}]

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PRODUCTOS NOTABLES: BINOMIO AL CUBO (Ejercicio 3)

#julioprofe explica cómo aplicar el Producto Notable llamado Binomio al Cubo. Tema: #ProductosNotables → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGZ0Uc88U7suZlA784fjzzj REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a efectuar el desarrollo o la expansión de este binomio al cubo y para ello utilizamos el siguiente modelo. Si tenemos un binomio de la forma a más b y todo esto está elevado al cubo, es decir, al exponente 3, esto será igual a lo siguiente. El primer término al cubo más tres veces el primer término al cuadrado por el segundo, más tres veces el primer término por el segundo elevado al cuadrado y esto más el segundo término elevado al cubo. Entonces, siguiendo esta instrucción vamos a desarrollar este binomio al cubo. Vamos a utilizar la siguiente estrategia. Construimos esta expresión cambiando a y b por paréntesis. Entonces tenemos el lugar de a elevado al cubo, allí tenemos el primer término, más tres por el lugar de a elevado al cuadrado, esto por b, entonces otro paréntesis, más tres por el lugar de a, luego por b al cuadrado, allí tenemos este término y vamos con el último, el lugar de b elevado al cubo. Ahora a está representado por x al cuadrado y b está representado por 5x, entonces llenamos esos espacios haciendo esos cambios. X al cuadrado hace el papel de a y 5x hace el papel de b. Esto nos representa mayor seguridad para construir correctamente esta expresión. En seguida vamos a desarrollar cada una de las operaciones que hay en esos términos. Tenemos en total cuatro términos, los que corresponden a la expansión de un binomio al cubo. Comenzamos por acá donde tenemos una potencia elevada a otro exponente, allí aplicamos esta propiedad de la potenciación. Si tenemos una potencia a a la n y esto elevado a la m, entonces conservamos la base y multiplicamos los exponentes. Entonces en este caso dejamos x y multiplicamos 2 por 3 los exponentes y eso nos da 6. Luego tenemos más 3 por, aquí aplicamos esta misma propiedad, dejamos la base que es x y multiplicamos los exponentes, 2 por 2 nos da 4 y esto multiplicado por 5x que ya podemos escribir sin paréntesis. Continuamos con el otro término donde tenemos más 3 por x al cuadrado, aquí ya podemos quitar ese paréntesis y aquí hay otra situación que se resuelve con propiedad de la potenciación. Si tenemos un producto elevado a un exponente, entonces se reparte ese exponente para las cantidades que tenemos en la base, entonces acá nos quedaría 5 al cuadrado por x al cuadrado. Y vamos al otro término donde también aplicamos esta propiedad, nos quedaría 5 al cubo por x al cubo. Continuamos con el desarrollo de las operaciones en estos términos, entonces nos queda x a la 6 más aquí tenemos 3 por 5 que es 15 y x a la 4 por x, esta x tiene exponente 1, allí aplicamos otra propiedad de la potenciación, si tenemos un producto de potencias de la misma base, entonces se conserva la base y sumamos los exponentes. Aquí tenemos entonces x a la 4 por x a la 1 será x a la 5, conservamos la base y sumamos los exponentes, después tenemos más 3 por 5 al cuadrado, desarrollamos 5 al cuadrado que es 25 y 25 por 3 nos da 75 y aquí tenemos x al cuadrado por x al cuadrado, aplicamos entonces esta propiedad, dejamos la base y sumamos los exponentes, 2 más 2 nos da 4 y vamos al último término donde tenemos 5 al cubo, 5 por 5 por 5 que nos da 125 acompañado de x al cubo. De esta manera terminamos, esta expresión es el desarrollo o la expansión de este binomio elevado al cubo siguiendo este modelo.

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ECUACIONES LINEALES - Ejercicio 12

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación con una incógnita, que finalmente se convierte en ecuación lineal o de primer grado. Tema: #EcuacionesLineales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFaAaS3cm5sKZ3gFlxcML1E REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

¿Qué es la equación de la equación de la equación de la equación de la equación? Vamos a resolver detalladamente esta ecuación. Debemos encontrar cuánto vale x para que esta igualdad sea cierta. Comenzamos desarrollando este binomio al cuadrado. Vamos a recordar el producto notable correspondiente a esa situación. Si tenemos una resta elevada al cuadrado, esto es igual al primer término al cuadrado menos dos veces el primer término por el segundo más el segundo término elevado al cuadrado. Entonces vamos a aplicar este producto notable para desarrollar este primer componente. Comenzamos con el primer término al cuadrado, es decir 3x, lo protegemos con paréntesis y lo elevamos al cuadrado. Después tenemos menos dos veces el primer término que es 3x por el segundo que es 7. No incluimos el signo menos, solamente el 7. Después tenemos más b al cuadrado, o sea el segundo término que es 7 elevado al cuadrado. Continuamos con lo demás. Tenemos menos 5 que multiplica a este producto de binomios. Ahí tenemos que multiplicar los términos todos con todos. Comenzamos con la distributiva de este término 2x. Entonces veamos nos queda 2x por x es 2x al cuadrado. Después 2x por menos 2 es menos 4x. Ahora vamos a distribuir este término, el más uno. Entonces nos queda más uno por x que es más x y más uno por menos 2 que nos da menos 2. Pasamos al otro lado de la igualdad. Vamos a continuar por acá y tendremos lo siguiente. Aquí hay otro binomio al cuadrado precedido de signo menos. Entonces aseguramos ese signo menos y vamos a desarrollar esa situación. Recordamos el producto notable. Binomio al cuadrado cuando tenemos suma. Es el primer término al cuadrado más dos veces el primer término por el segundo más el segundo término al cuadrado. Entonces vamos a aplicar esto para desarrollar este binomio al cuadrado. Comenzamos con el primer término al cuadrado. Aquí abrimos un paréntesis para proteger todo ese desarrollo. Nos queda x al cuadrado más dos veces el primer término por el segundo. O sea 2 por x por 2. Vamos a escribir eso. Ahora lo resolvemos y luego más el segundo término que es 2 elevado al cuadrado. Cerramos el paréntesis que protege el desarrollo de este binomio al cuadrado y después escribimos estos dos términos. Más 4x más 9. Continuamos con el desarrollo del ejercicio. Aquí vamos a aplicar la siguiente propiedad de la potenciación. Cuando tenemos un producto elevado a un exponente, esto es igual a a la n por b a la n. Es decir, el exponente se reparte para cada uno de los factores que tenemos en la base. Entonces aquí aplicamos esta propiedad. Nos queda 3 al cuadrado que es 9 por x al cuadrado. Continuamos con esto. Desarrollamos esta multiplicación de monomios. Sería 2 por 3 es 6. 6 por 7 es 42 y queda acompañado de x. Entonces tenemos el término menos 42x. Por acá tenemos más 7 al cuadrado que es 49 menos 5. Abrimos paréntesis y acá vamos a operar términos semejantes. Es el caso de estos dos que contienen la x. Entonces escribimos el primer término 2x al cuadrado. Operamos estos términos menos 4x más x es menos 3x y anotamos el menos 2. Pasamos al otro lado de la igualdad. Continuamos por acá. Tenemos el signo menos y vamos a resolver eso que hay dentro del paréntesis. Tenemos x al cuadrado más 2 por x por 2. Eso nos da 4x. Luego tenemos más 2 al cuadrado que es 4. Cerramos el paréntesis y anotamos esos dos términos. Más 4x más 9. Continuamos con el desarrollo de la ecuación. Tenemos 9x al cuadrado menos 42x más 49 y vamos a romper este paréntesis. Vamos a aplicar la propiedad distributiva. Entonces vamos a multiplicar por menos 5 cada uno de estos términos. Tenemos menos 5 por 2x al cuadrado. Eso es menos 10x al cuadrado. Menos 5 por menos 3x es más 15x. Menos 5 por menos 2 es más 10. Pasamos al otro lado de la igualdad. Seguimos por acá. Y aquí también vamos a romper el paréntesis. En ese caso distribuimos este signo menos. Al entrar nos cambia los signos de cada uno de esos términos. Es decir, menos x al cuadrado menos 4x y menos 4. Y escribimos estos dos términos. Más 4x más 9. A continuación vamos a reducir términos semejantes a cada lado. En el lado izquierdo vemos estos dos que contienen x al cuadrado. Tenemos 9 menos 10 es menos 1. Quedaría menos x al cuadrado. El 1 se hace invisible. También tenemos estos dos que contienen la x. Entonces operamos menos 42 más 15. Eso nos da menos 27 y queda acompañado de x. También observamos estos dos números. Entonces los términos independientes más 49 más 10 nos da más 59. Pasamos al otro lado de la igualdad donde tenemos este término menos x al cuadrado. Ese no tiene término semejante a ese lado. También tenemos esos dos términos que contienen x pero que son opuestos. Entonces ellos se eliminan entre sí. La suma de ellos nos da 0. Y la operación de estos dos números menos 4 más 9 nos da más 5. Allí vemos que en los dos lados de la igualdad está presente este término menos x al cuadrado. Entonces podemos cancelarlo o eliminarlo. Es lo mismo que si sumamos a ambos lados más x al cuadrado. Entonces de esa manera la ecuación nos queda menos 27x más 59 igual a 5. Hemos llegado a una ecuación lineal o de primer grado con una incógnita. Resolvemos entonces esta ecuación. Dejamos en el lado izquierdo el término que contiene la x y en el lado derecho dejamos los números. Se queda 5 y pasa 59. Llega como menos 59. Es lo mismo que restar 59 a ambos lados de la igualdad. Esto nos queda menos 27x igual a 5 menos 59 que es menos 54. Y de allí podemos despejar x. Para ello menos 27 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Es lo mismo que dividir ambos lados de la igualdad por menos 27. Y resolviendo esa división obtenemos como resultado 2 positivo. Recordemos que en la división se aplica la ley de los signos. Entonces de esta manera encontramos el valor de x que hace cierta esta igualdad. Para mayor tranquilidad podemos hacer la prueba del ejercicio. Es decir, reemplazar x por el valor 2 en toda esa expresión y ver si la igualdad se cumple. Veamos entonces. Aquí tendríamos 3 por 2 menos 7. Todo esto al cuadrado. Allí hemos cambiado x por 2 menos 5. Abrimos paréntesis 2 por x. O sea 2 por 2 más 1. Cerramos paréntesis. Aquí x se cambia por 2. Nos queda menos 2. Igual a menos. Abrimos paréntesis. X se cambia por 2. Más 2. Todo esto al cuadrado. Más aquí 4 por x que vale 2. Y todo eso más 9. Resolvemos esas operaciones. Acá dentro del paréntesis tenemos multiplicación y resta. Recordemos que primero se hace la multiplicación. 3 por 2 nos da 6. Nos queda 6 menos 7. Todo esto al cuadrado. Menos 5. Abrimos paréntesis. Acá hay multiplicación y suma. Primero hacemos la multiplicación. 2 por 2 nos da 4. Nos queda 4 más 1. Acá efectuamos esa resta. Nos da 0. Pasamos al otro lado de la igualdad. Tenemos menos. Abrimos paréntesis. 2 más 2 que es 4. Esto al cuadrado. Más aquí hay una multiplicación digamos entre dos sumas. Entonces hacemos la multiplicación. 4 por 2 es 8 más 9. Continuamos con el desarrollo de las operaciones. Aquí 6 menos 7 es menos 1. Y eso está elevado al cuadrado. Aquí observamos una multiplicación. Esto nos daría 5. Pero tenemos un factor que es 0. Y 0 multiplicado por todo eso nos da como resultado 0. Entonces podemos ya obviar esa cantidad. Pasamos al otro lado de la igualdad. Acá nos queda menos 4 al cuadrado que es 16. En ese caso debemos tener cuidado porque este cuadrado no afecta a este signo menos. El menos es externo a la potencia. Por eso el queda allí. Y luego tenemos más 8 más 9. Seguimos resolviendo. Menos 1 al cuadrado nos da 1 positivo. Aquí sí el exponente 2 afecta al signo menos. Por eso nos queda signo positivo en el resultado. Y acá 8 más 9 nos da 17. Y menos 16 más 17 es 1 positivo. De esa manera vemos que la igualdad se cumple. Eso quiere decir que x igual a 2 es la solución para esta ecuación.

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Ahora lo resolvemos y luego m\u00e1s el segundo t\u00e9rmino que es 2"}, {"start": 161.6, "end": 166.56, "text": " elevado al cuadrado. Cerramos el par\u00e9ntesis que protege el desarrollo de"}, {"start": 166.56, "end": 171.92000000000002, "text": " este binomio al cuadrado y despu\u00e9s escribimos estos dos t\u00e9rminos. M\u00e1s 4x"}, {"start": 171.92000000000002, "end": 178.6, "text": " m\u00e1s 9. Continuamos con el desarrollo del ejercicio. Aqu\u00ed vamos a aplicar la"}, {"start": 178.6, "end": 183.84, "text": " siguiente propiedad de la potenciaci\u00f3n. Cuando tenemos un producto elevado a un"}, {"start": 183.84, "end": 190.44, "text": " exponente, esto es igual a a la n por b a la n. Es decir, el exponente se reparte"}, {"start": 190.44, "end": 195.72, "text": " para cada uno de los factores que tenemos en la base. Entonces aqu\u00ed"}, {"start": 195.72, "end": 202.88, "text": " aplicamos esta propiedad. Nos queda 3 al cuadrado que es 9 por x al cuadrado."}, {"start": 202.88, "end": 208.72, "text": " Continuamos con esto. Desarrollamos esta multiplicaci\u00f3n de monomios. Ser\u00eda 2 por"}, {"start": 208.72, "end": 215.64, "text": " 3 es 6. 6 por 7 es 42 y queda acompa\u00f1ado de x. Entonces tenemos el t\u00e9rmino menos"}, {"start": 215.64, "end": 224.52, "text": " 42x. Por ac\u00e1 tenemos m\u00e1s 7 al cuadrado que es 49 menos 5."}, {"start": 224.52, "end": 230.56, "text": " Abrimos par\u00e9ntesis y ac\u00e1 vamos a operar t\u00e9rminos semejantes. Es el caso de estos"}, {"start": 230.56, "end": 236.12, "text": " dos que contienen la x. Entonces escribimos el primer t\u00e9rmino 2x al"}, {"start": 236.12, "end": 244.60000000000002, "text": " cuadrado. Operamos estos t\u00e9rminos menos 4x m\u00e1s x es menos 3x y anotamos el menos"}, {"start": 244.60000000000002, "end": 250.84, "text": " 2. Pasamos al otro lado de la igualdad. Continuamos por ac\u00e1. Tenemos el signo"}, {"start": 250.84, "end": 256.12, "text": " menos y vamos a resolver eso que hay dentro del par\u00e9ntesis. Tenemos x al"}, {"start": 256.12, "end": 265.0, "text": " cuadrado m\u00e1s 2 por x por 2. Eso nos da 4x. Luego tenemos m\u00e1s 2 al cuadrado que"}, {"start": 265.0, "end": 273.0, "text": " es 4. Cerramos el par\u00e9ntesis y anotamos esos dos t\u00e9rminos. M\u00e1s 4x m\u00e1s 9."}, {"start": 273.0, "end": 278.92, "text": " Continuamos con el desarrollo de la ecuaci\u00f3n. Tenemos 9x al cuadrado menos"}, {"start": 278.92, "end": 288.36, "text": " 42x m\u00e1s 49 y vamos a romper este par\u00e9ntesis. Vamos a aplicar la"}, {"start": 288.36, "end": 293.8, "text": " propiedad distributiva. Entonces vamos a multiplicar por menos 5 cada uno de"}, {"start": 293.8, "end": 300.88, "text": " estos t\u00e9rminos. Tenemos menos 5 por 2x al cuadrado. Eso es menos 10x al cuadrado."}, {"start": 300.88, "end": 311.15999999999997, "text": " Menos 5 por menos 3x es m\u00e1s 15x. Menos 5 por menos 2 es m\u00e1s 10. Pasamos al otro"}, {"start": 311.15999999999997, "end": 316.15999999999997, "text": " lado de la igualdad. Seguimos por ac\u00e1. Y aqu\u00ed tambi\u00e9n vamos a romper el"}, {"start": 316.15999999999997, "end": 321.28, "text": " par\u00e9ntesis. En ese caso distribuimos este signo menos. Al entrar nos cambia los"}, {"start": 321.28, "end": 328.0, "text": " signos de cada uno de esos t\u00e9rminos. Es decir, menos x al cuadrado menos 4x y"}, {"start": 328.0, "end": 336.84, "text": " menos 4. Y escribimos estos dos t\u00e9rminos. M\u00e1s 4x m\u00e1s 9. A continuaci\u00f3n vamos a"}, {"start": 336.84, "end": 342.28, "text": " reducir t\u00e9rminos semejantes a cada lado. En el lado izquierdo vemos estos dos que"}, {"start": 342.28, "end": 348.72, "text": " contienen x al cuadrado. Tenemos 9 menos 10 es menos 1. Quedar\u00eda menos x al"}, {"start": 348.72, "end": 355.68, "text": " cuadrado. El 1 se hace invisible. Tambi\u00e9n tenemos estos dos que contienen la x."}, {"start": 355.68, "end": 363.48, "text": " Entonces operamos menos 42 m\u00e1s 15. Eso nos da menos 27 y queda acompa\u00f1ado de x."}, {"start": 363.48, "end": 368.84000000000003, "text": " Tambi\u00e9n observamos estos dos n\u00fameros. Entonces los t\u00e9rminos independientes m\u00e1s"}, {"start": 368.84000000000003, "end": 376.04, "text": " 49 m\u00e1s 10 nos da m\u00e1s 59. Pasamos al otro lado de la igualdad donde tenemos"}, {"start": 376.04, "end": 381.52, "text": " este t\u00e9rmino menos x al cuadrado. Ese no tiene t\u00e9rmino semejante a ese lado."}, {"start": 381.52, "end": 386.91999999999996, "text": " Tambi\u00e9n tenemos esos dos t\u00e9rminos que contienen x pero que son opuestos."}, {"start": 386.91999999999996, "end": 393.12, "text": " Entonces ellos se eliminan entre s\u00ed. La suma de ellos nos da 0. Y la operaci\u00f3n"}, {"start": 393.12, "end": 400.12, "text": " de estos dos n\u00fameros menos 4 m\u00e1s 9 nos da m\u00e1s 5. All\u00ed vemos que en los dos"}, {"start": 400.12, "end": 405.47999999999996, "text": " lados de la igualdad est\u00e1 presente este t\u00e9rmino menos x al cuadrado. Entonces"}, {"start": 405.47999999999996, "end": 411.35999999999996, "text": " podemos cancelarlo o eliminarlo. Es lo mismo que si sumamos a ambos lados m\u00e1s"}, {"start": 411.36, "end": 419.44, "text": " x al cuadrado. Entonces de esa manera la ecuaci\u00f3n nos queda menos 27x m\u00e1s 59"}, {"start": 419.44, "end": 426.16, "text": " igual a 5. Hemos llegado a una ecuaci\u00f3n lineal o de primer grado con una"}, {"start": 426.16, "end": 431.88, "text": " inc\u00f3gnita. Resolvemos entonces esta ecuaci\u00f3n. Dejamos en el lado izquierdo el"}, {"start": 431.88, "end": 437.14, "text": " t\u00e9rmino que contiene la x y en el lado derecho dejamos los n\u00fameros. Se queda"}, {"start": 437.14, "end": 445.0, "text": " 5 y pasa 59. Llega como menos 59. Es lo mismo que restar 59 a ambos lados de la"}, {"start": 445.0, "end": 453.84, "text": " igualdad. Esto nos queda menos 27x igual a 5 menos 59 que es menos 54. Y de all\u00ed"}, {"start": 453.84, "end": 459.96, "text": " podemos despejar x. Para ello menos 27 que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a"}, {"start": 459.96, "end": 467.28, "text": " dividir. Es lo mismo que dividir ambos lados de la igualdad por menos 27. Y"}, {"start": 467.28, "end": 473.2, "text": " resolviendo esa divisi\u00f3n obtenemos como resultado 2 positivo. Recordemos que en"}, {"start": 473.2, "end": 477.28, "text": " la divisi\u00f3n se aplica la ley de los signos. Entonces de esta manera"}, {"start": 477.28, "end": 482.67999999999995, "text": " encontramos el valor de x que hace cierta esta igualdad. Para mayor"}, {"start": 482.67999999999995, "end": 488.28, "text": " tranquilidad podemos hacer la prueba del ejercicio. Es decir, reemplazar x por el"}, {"start": 488.28, "end": 494.28, "text": " valor 2 en toda esa expresi\u00f3n y ver si la igualdad se cumple. Veamos entonces."}, {"start": 494.28, "end": 501.23999999999995, "text": " Aqu\u00ed tendr\u00edamos 3 por 2 menos 7. Todo esto al cuadrado. All\u00ed hemos cambiado x"}, {"start": 501.23999999999995, "end": 508.67999999999995, "text": " por 2 menos 5. Abrimos par\u00e9ntesis 2 por x. O sea 2 por 2 m\u00e1s 1. Cerramos"}, {"start": 508.67999999999995, "end": 516.1999999999999, "text": " par\u00e9ntesis. Aqu\u00ed x se cambia por 2. Nos queda menos 2. Igual a menos. Abrimos"}, {"start": 516.2, "end": 524.1600000000001, "text": " par\u00e9ntesis. X se cambia por 2. M\u00e1s 2. Todo esto al cuadrado. M\u00e1s aqu\u00ed 4 por x"}, {"start": 524.1600000000001, "end": 530.5200000000001, "text": " que vale 2. Y todo eso m\u00e1s 9. Resolvemos esas operaciones. Ac\u00e1 dentro del"}, {"start": 530.5200000000001, "end": 534.8000000000001, "text": " par\u00e9ntesis tenemos multiplicaci\u00f3n y resta. Recordemos que primero se hace la"}, {"start": 534.8000000000001, "end": 540.84, "text": " multiplicaci\u00f3n. 3 por 2 nos da 6. Nos queda 6 menos 7. Todo esto al cuadrado."}, {"start": 540.84, "end": 547.0, "text": " Menos 5. Abrimos par\u00e9ntesis. Ac\u00e1 hay multiplicaci\u00f3n y suma. Primero hacemos la"}, {"start": 547.0, "end": 553.6800000000001, "text": " multiplicaci\u00f3n. 2 por 2 nos da 4. Nos queda 4 m\u00e1s 1. Ac\u00e1 efectuamos esa resta."}, {"start": 553.6800000000001, "end": 559.6, "text": " Nos da 0. Pasamos al otro lado de la igualdad. Tenemos menos. Abrimos par\u00e9ntesis."}, {"start": 559.6, "end": 566.48, "text": " 2 m\u00e1s 2 que es 4. Esto al cuadrado. M\u00e1s aqu\u00ed hay una multiplicaci\u00f3n digamos entre"}, {"start": 566.48, "end": 572.52, "text": " dos sumas. Entonces hacemos la multiplicaci\u00f3n. 4 por 2 es 8 m\u00e1s 9."}, {"start": 572.52, "end": 577.96, "text": " Continuamos con el desarrollo de las operaciones. Aqu\u00ed 6 menos 7 es menos 1."}, {"start": 577.96, "end": 584.0, "text": " Y eso est\u00e1 elevado al cuadrado. Aqu\u00ed observamos una multiplicaci\u00f3n. Esto nos"}, {"start": 584.0, "end": 589.48, "text": " dar\u00eda 5. Pero tenemos un factor que es 0. Y 0 multiplicado por todo eso nos da"}, {"start": 589.48, "end": 595.64, "text": " como resultado 0. Entonces podemos ya obviar esa cantidad. Pasamos al otro"}, {"start": 595.64, "end": 601.96, "text": " lado de la igualdad. Ac\u00e1 nos queda menos 4 al cuadrado que es 16. En ese caso"}, {"start": 601.96, "end": 606.36, "text": " debemos tener cuidado porque este cuadrado no afecta a este signo menos. El"}, {"start": 606.36, "end": 613.08, "text": " menos es externo a la potencia. Por eso el queda all\u00ed. Y luego tenemos m\u00e1s 8 m\u00e1s"}, {"start": 613.08, "end": 619.52, "text": " 9. Seguimos resolviendo. Menos 1 al cuadrado nos da 1 positivo. Aqu\u00ed s\u00ed el"}, {"start": 619.52, "end": 624.68, "text": " exponente 2 afecta al signo menos. Por eso nos queda signo positivo en el"}, {"start": 624.68, "end": 633.4399999999999, "text": " resultado. Y ac\u00e1 8 m\u00e1s 9 nos da 17. Y menos 16 m\u00e1s 17 es 1 positivo. De esa"}, {"start": 633.4399999999999, "end": 639.7199999999999, "text": " manera vemos que la igualdad se cumple. Eso quiere decir que x igual a 2 es la"}, {"start": 639.72, "end": 668.84, "text": " soluci\u00f3n para esta ecuaci\u00f3n."}]

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EC. DIF. POR VARIABLES SEPARABLES - Ejercicio 5

#julioprofe explica cómo hallar la solución general de una Ecuación Diferencial por el método de separación de variables. Tema: #EcuacionesDiferenciales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGJGlFnQ4QGLGBNtrdZ8AIt REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

¿Qué es la solución general? Vamos a resolver detalladamente esta ecuación diferencial. Debemos obtener su solución general. Como podemos ver, aquí tenemos despejada de y de x, que es lo mismo que y'. Y acá tenemos una expresión fraccionaria, donde podemos factorizar tanto el numerador como el denominador. En el numerador podemos extraer factor común x. Entonces, x queda multiplicando por 2 más y al cuadrado. Y en el denominador aplicamos el mismo caso. Extraemos factor común, la letra y, que multiplica a 4 más x al cuadrado. Entonces, observamos ya una independencia entre las variables. Aquí tenemos un componente solo con y, que multiplica con x. Y acá la situación contraria. Un componente que tiene solamente x y que multiplica con y. Entonces, vamos a multiplicar esto por dy. Esto está dividiendo, pasa al otro lado a multiplicar. Nos queda y por 4 más x al cuadrado. Eso por el diferencial de y. Y pasamos de x a multiplicar a este lado. Nos queda x por 2 más y al cuadrado. Todo eso multiplicado por el diferencial de x. Ahora vamos a dejar en el lado izquierdo todo lo que contiene la letra y. Y en el lado derecho todo lo que contiene x. Entonces acá se queda y por dy. Y pasamos esto a dividir. Nos queda sobre 2 más y al cuadrado. Igual a x por dx. Y pasamos esto acá a dividir. Nos queda sobre 4 más x al cuadrado. Allí ya hemos logrado separar las variables. Como decíamos, acá quedó todo lo relacionado con y con su diferencial de y. Y acá todo lo relacionado con x con su diferencial de x. Lo que sigue es ahora integrar ambos lados. Tenemos entonces integral de la expresión del lado izquierdo. Organizamos así. Y sobre 2 más y al cuadrado. Esto con su diferencial de y. Y la integral de lo que tenemos en el lado derecho. Que organizamos como x en el numerador. 4 más x al cuadrado en el denominador. Y todo eso con su diferencial de x. Ahora debemos resolver esas dos integrales. Y para ello vamos a utilizar el siguiente modelo. Si tenemos la integral de una fracción. Donde en el denominador hay una expresión k de t. Y en el numerador tenemos la derivada de eso que está abajo. Es decir, k' de t. Todo esto con su diferencial de t. Entonces eso será igual al logaritmo natural de valor absoluto de k de t. Es decir, de lo que tenemos acá en el denominador. Todo esto más la constante de integración. Porque la derivada del logaritmo natural de k de t. Que es esto que tenemos acá. K' de t sobre k de t. Si observamos esta integral. Vemos que la derivada de lo que está abajo. La derivada de 2 más y al cuadrado. Sería 2y. Hace falta aquí un 2 en el numerador. Para conseguir lo que sucede en este modelo. Entonces ese 2 que hace falta en el numerador. Lo hacemos así. Multiplicamos acá por 2. Queda 2 por y. En el denominador 2 más y al cuadrado. Todo esto con su diferencial de y. Pero si multiplicamos por 2 en el numerador. Debemos multiplicar por 2 en el denominador. Para no alterar la fracción. Ese 2 que queda multiplicando aquí abajo. Lo podemos sacar de la integral como 1 medio. Entonces allí conservamos la integral original. Para utilizar este modelo. Lo mismo vamos a realizar acá. Con la otra integral. La derivada de esto es 2x. Acá tenemos solamente x. Entonces nos hace falta multiplicar en el numerador por 2. Tendremos 2x abajo 4 más x al cuadrado. Todo esto con su diferencial de x. Pero para contrarrestar ese 2 que multiplicamos arriba. Multiplicamos de una vez afuera por 1 medio. Allí es perfectamente elícito cancelar 1 medio. Porque está multiplicando a ambos lados de la igualdad. Entonces nos deshacemos esas cantidades. Y ya podemos resolver estas 2 integrales. Siguiendo esta instrucción. La integral de esto será logaritmo natural. De valor absoluto de lo que tenemos abajo. 2 más y al cuadrado. La integral de esto será logaritmo natural. De valor absoluto de 4 más x al cuadrado. Y aparece por primera vez. La constante de integración. Para todo el ejercicio. Recordemos que estos valores absolutos. Nos garantizan argumentos positivos. Para que estos logaritmos existan. Sin embargo las variables están elevadas al cuadrado. Por lo tanto tenemos la plena seguridad. De que esto es positivo. Podemos cambiar entonces los valores absolutos. Por paréntesis. Y vamos a tomar base E a ambos lados de esa igualdad. Nos queda entonces E elevado al logaritmo natural. De 2 más y al cuadrado. Igual a E elevado a todo esto. Logaritmo natural de 4 más y al cuadrado. Logaritmo natural de 4 más x al cuadrado. Y eso más C. Vamos a dejar lo del lado izquierdo. Tal como está. Número de Euler elevado al logaritmo natural. De 2 más y al cuadrado. Y acá vamos a aplicar una propiedad de la potenciación. Recordemos que cuando se tiene producto de potencias. De la misma base. Entonces conservamos la base y sumamos los exponentes. Pues bien vamos a aplicar esta propiedad. En sentido contrario. Tenemos esta situación. Una potencia con suma de exponentes. Vamos a convertirla entonces en producto de potencias. De la misma base. Es decir esto nos queda como E elevado al logaritmo natural. De 4 más x al cuadrado. Y el exponente C. Ahora vamos a aplicar una propiedad que combina potenciación y logaritmación. Si tenemos A elevado al logaritmo. En base a de una cantidad. Por ejemplo de manzanita. Entonces eso será igual a la manzanita. Es porque intervienen dos operaciones contrarias. Potenciación con logaritmación. Nos liberan esta cantidad. Por el número de Euler nos queda E elevado al logaritmo. En base a de logaritmo natural o neperiano. De la manzanita. Y esto es igual a la manzanita. Entonces eso quiere decir que esta expresión. Se nos convierte en 2 más y al cuadrado. Aplicando esta propiedad. Y esta nos queda como 4 más x al cuadrado. Protegemos esto con paréntesis. Y aquí tenemos E a la C. Que se nos convierte en una nueva constante. Vamos a llamarla por ejemplo K. Porque recordemos el número de Euler es una constante matemática. Al elevarse a otra constante. Nos da una nueva constante que llamamos K. Finalmente organizamos esa expresión. De la siguiente manera. Y al cuadrado más 2 es igual a la constante K. Que multiplica con x al cuadrado. Más 4. Y de esta manera. Hemos obtenido la solución general. Para esa ecuación diferencial. Que se resolvió por el método de separación de variables.

[{"start": 0.0, "end": 3.0, "text": " \u00bfQu\u00e9 es la soluci\u00f3n general?"}, {"start": 3.0, "end": 7.0, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta ecuaci\u00f3n diferencial."}, {"start": 7.0, "end": 10.0, "text": " Debemos obtener su soluci\u00f3n general."}, {"start": 10.0, "end": 16.0, "text": " Como podemos ver, aqu\u00ed tenemos despejada de y de x, que es lo mismo que y'."}, {"start": 16.0, "end": 19.0, "text": " Y ac\u00e1 tenemos una expresi\u00f3n fraccionaria,"}, {"start": 19.0, "end": 24.0, "text": " donde podemos factorizar tanto el numerador como el denominador."}, {"start": 24.0, "end": 28.0, "text": " En el numerador podemos extraer factor com\u00fan x."}, {"start": 28.0, "end": 34.0, "text": " Entonces, x queda multiplicando por 2 m\u00e1s y al cuadrado."}, {"start": 34.0, "end": 37.0, "text": " Y en el denominador aplicamos el mismo caso."}, {"start": 37.0, "end": 44.0, "text": " Extraemos factor com\u00fan, la letra y, que multiplica a 4 m\u00e1s x al 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de x."}, {"start": 83.0, "end": 87.0, "text": " Ahora vamos a dejar en el lado izquierdo todo lo que contiene la letra y."}, {"start": 87.0, "end": 90.0, "text": " Y en el lado derecho todo lo que contiene x."}, {"start": 90.0, "end": 94.0, "text": " Entonces ac\u00e1 se queda y por dy."}, {"start": 94.0, "end": 96.0, "text": " Y pasamos esto a dividir."}, {"start": 96.0, "end": 101.0, "text": " Nos queda sobre 2 m\u00e1s y al cuadrado."}, {"start": 101.0, "end": 105.0, "text": " Igual a x por dx."}, {"start": 105.0, "end": 109.0, "text": " Y pasamos esto ac\u00e1 a dividir."}, {"start": 109.0, "end": 114.0, "text": " Nos queda sobre 4 m\u00e1s x al cuadrado."}, {"start": 114.0, "end": 118.0, "text": " All\u00ed ya hemos logrado separar las variables."}, {"start": 118.0, "end": 123.0, "text": " Como dec\u00edamos, ac\u00e1 qued\u00f3 todo lo relacionado con y con su diferencial de y."}, {"start": 123.0, "end": 127.0, "text": " Y ac\u00e1 todo lo relacionado con x con su diferencial de x."}, {"start": 127.0, "end": 131.0, "text": " Lo que sigue es ahora integrar ambos lados."}, {"start": 131.0, "end": 136.0, "text": " Tenemos entonces integral de la expresi\u00f3n del lado izquierdo."}, {"start": 136.0, "end": 139.0, "text": " Organizamos as\u00ed."}, {"start": 139.0, "end": 142.0, "text": " Y sobre 2 m\u00e1s y al cuadrado."}, {"start": 142.0, "end": 145.0, "text": " Esto con su diferencial de y."}, {"start": 145.0, "end": 149.0, "text": " Y la integral de lo que tenemos en el lado derecho."}, {"start": 149.0, "end": 152.0, "text": " Que organizamos como x en el numerador."}, {"start": 152.0, "end": 156.0, "text": " 4 m\u00e1s x al cuadrado en el denominador."}, {"start": 156.0, "end": 159.0, "text": " Y todo eso con su diferencial de x."}, {"start": 159.0, "end": 162.0, "text": " Ahora debemos resolver esas dos integrales."}, {"start": 162.0, "end": 165.0, "text": " Y para ello vamos a utilizar el siguiente modelo."}, {"start": 165.0, "end": 168.0, "text": " Si tenemos la integral de una fracci\u00f3n."}, {"start": 168.0, "end": 172.0, "text": " Donde en el denominador hay una expresi\u00f3n k de t."}, {"start": 172.0, "end": 176.0, "text": " Y en el numerador tenemos la derivada de eso que est\u00e1 abajo."}, {"start": 176.0, "end": 179.0, "text": " Es decir, k' de t."}, {"start": 179.0, "end": 182.0, "text": " Todo esto con su diferencial de t."}, {"start": 182.0, "end": 187.0, "text": " Entonces eso ser\u00e1 igual al logaritmo natural de valor absoluto de k de t."}, {"start": 187.0, "end": 190.0, "text": " Es decir, de lo que tenemos ac\u00e1 en el denominador."}, {"start": 190.0, "end": 193.0, "text": " Todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 193.0, "end": 196.0, "text": " Porque la derivada del logaritmo natural de k de t."}, {"start": 196.0, "end": 199.0, "text": " Que es esto que tenemos ac\u00e1."}, {"start": 199.0, "end": 202.0, "text": " K' de t sobre k de t."}, {"start": 202.0, "end": 205.0, "text": " Si observamos esta integral."}, {"start": 205.0, "end": 208.0, "text": " Vemos que la derivada de lo que est\u00e1 abajo."}, {"start": 208.0, "end": 211.0, "text": " La derivada de 2 m\u00e1s y al cuadrado."}, {"start": 211.0, "end": 214.0, "text": " Ser\u00eda 2y. Hace falta aqu\u00ed un 2 en el numerador."}, {"start": 214.0, "end": 217.0, "text": " Para conseguir lo que sucede en este modelo."}, {"start": 217.0, "end": 220.0, "text": " Entonces ese 2 que hace falta en el numerador."}, {"start": 220.0, "end": 223.0, "text": " Lo hacemos as\u00ed. Multiplicamos ac\u00e1 por 2."}, {"start": 223.0, "end": 227.0, "text": " Queda 2 por y. En el denominador 2 m\u00e1s y al cuadrado."}, {"start": 227.0, "end": 230.0, "text": " Todo esto con su diferencial de y."}, {"start": 230.0, "end": 233.0, "text": " Pero si multiplicamos por 2 en el numerador."}, {"start": 233.0, "end": 236.0, "text": " Debemos multiplicar por 2 en el denominador."}, {"start": 236.0, "end": 239.0, "text": " Para no alterar la fracci\u00f3n."}, {"start": 239.0, "end": 242.0, "text": " Ese 2 que queda multiplicando aqu\u00ed abajo."}, {"start": 242.0, "end": 245.0, "text": " Lo podemos sacar de la integral como 1 medio."}, {"start": 245.0, "end": 248.0, "text": " Entonces all\u00ed conservamos la integral original."}, {"start": 248.0, "end": 251.0, "text": " Para utilizar este modelo."}, {"start": 251.0, "end": 254.0, "text": " Lo mismo vamos a realizar ac\u00e1."}, {"start": 254.0, "end": 257.0, "text": " Con la otra integral."}, {"start": 257.0, "end": 260.0, "text": " La derivada de esto es 2x."}, {"start": 260.0, "end": 263.0, "text": " Ac\u00e1 tenemos solamente x."}, {"start": 263.0, "end": 266.0, "text": " Entonces nos hace falta multiplicar en el numerador por 2."}, {"start": 266.0, "end": 269.0, "text": " Tendremos 2x abajo 4 m\u00e1s x al cuadrado."}, {"start": 269.0, "end": 272.0, "text": " Todo esto con su diferencial de x."}, {"start": 272.0, "end": 275.0, "text": " Pero para contrarrestar ese 2 que multiplicamos arriba."}, {"start": 275.0, "end": 279.0, "text": " Multiplicamos de una vez afuera por 1 medio."}, {"start": 279.0, "end": 282.0, "text": " All\u00ed es perfectamente el\u00edcito cancelar 1 medio."}, {"start": 282.0, "end": 285.0, "text": " Porque est\u00e1 multiplicando a ambos lados de la igualdad."}, {"start": 285.0, "end": 288.0, "text": " Entonces nos deshacemos esas cantidades."}, {"start": 288.0, "end": 291.0, "text": " Y ya podemos resolver estas 2 integrales."}, {"start": 291.0, "end": 294.0, "text": " Siguiendo esta instrucci\u00f3n."}, {"start": 294.0, "end": 297.0, "text": " La integral de esto ser\u00e1 logaritmo natural."}, {"start": 297.0, "end": 300.0, "text": " De valor absoluto de lo que tenemos abajo."}, {"start": 300.0, "end": 303.0, "text": " 2 m\u00e1s y al cuadrado."}, {"start": 303.0, "end": 306.0, "text": " La integral de esto ser\u00e1 logaritmo natural."}, {"start": 306.0, "end": 309.0, "text": " De valor absoluto de 4 m\u00e1s x al cuadrado."}, {"start": 309.0, "end": 312.0, "text": " Y aparece por primera vez."}, {"start": 312.0, "end": 315.0, "text": " La constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 315.0, "end": 318.0, "text": " Para todo el ejercicio."}, {"start": 318.0, "end": 321.0, "text": " Recordemos que estos valores absolutos."}, {"start": 321.0, "end": 324.0, "text": " Nos garantizan argumentos positivos."}, {"start": 324.0, "end": 327.0, "text": " Para que estos logaritmos existan."}, {"start": 327.0, "end": 330.0, "text": " Sin embargo las variables est\u00e1n elevadas al cuadrado."}, {"start": 330.0, "end": 333.0, "text": " Por lo tanto tenemos la plena seguridad."}, {"start": 333.0, "end": 336.0, "text": " De que esto es positivo."}, {"start": 336.0, "end": 339.0, "text": " Podemos cambiar entonces los valores absolutos."}, {"start": 339.0, "end": 342.0, "text": " Por par\u00e9ntesis."}, {"start": 342.0, "end": 345.0, "text": " Y vamos a tomar base E a ambos lados de esa igualdad."}, {"start": 345.0, "end": 348.0, "text": " Nos queda entonces E elevado al logaritmo natural."}, {"start": 348.0, "end": 351.0, "text": " De 2 m\u00e1s y al cuadrado."}, {"start": 351.0, "end": 354.0, "text": " Igual a E elevado a todo esto."}, {"start": 354.0, "end": 357.0, "text": " Logaritmo natural de 4 m\u00e1s y al cuadrado."}, {"start": 357.0, "end": 360.0, "text": " Logaritmo natural de 4 m\u00e1s x al cuadrado."}, {"start": 360.0, "end": 363.0, "text": " Y eso m\u00e1s C."}, {"start": 363.0, "end": 366.0, "text": " Vamos a dejar lo del lado izquierdo."}, {"start": 366.0, "end": 369.0, "text": " Tal como est\u00e1."}, {"start": 369.0, "end": 372.0, "text": " N\u00famero de Euler elevado al logaritmo natural."}, {"start": 372.0, "end": 375.0, "text": " De 2 m\u00e1s y al cuadrado."}, {"start": 375.0, "end": 378.0, "text": " Y ac\u00e1 vamos a aplicar una propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 378.0, "end": 381.0, "text": " Recordemos que cuando se tiene producto de potencias."}, {"start": 381.0, "end": 384.0, "text": " De la misma base."}, {"start": 384.0, "end": 387.0, "text": " Entonces conservamos la base y sumamos los exponentes."}, {"start": 387.0, "end": 390.0, "text": " Pues bien vamos a aplicar esta propiedad."}, {"start": 390.0, "end": 393.0, "text": " En sentido contrario."}, {"start": 393.0, "end": 396.0, "text": " Tenemos esta situaci\u00f3n."}, {"start": 396.0, "end": 399.0, "text": " Una potencia con suma de exponentes."}, {"start": 399.0, "end": 402.0, "text": " Vamos a convertirla entonces en producto de potencias."}, {"start": 402.0, "end": 405.0, "text": " De la misma base."}, {"start": 405.0, "end": 408.0, "text": " Es decir esto nos queda como E elevado al logaritmo natural."}, {"start": 408.0, "end": 411.0, "text": " De 4 m\u00e1s x al cuadrado."}, {"start": 411.0, "end": 414.0, "text": " Y el exponente C."}, {"start": 414.0, "end": 417.0, "text": " Ahora vamos a aplicar una propiedad que combina potenciaci\u00f3n y logaritmaci\u00f3n."}, {"start": 417.0, "end": 420.0, "text": " Si tenemos A elevado al logaritmo."}, {"start": 420.0, "end": 423.0, "text": " En base a de una cantidad."}, {"start": 423.0, "end": 426.0, "text": " Por ejemplo de manzanita."}, {"start": 426.0, "end": 429.0, "text": " Entonces eso ser\u00e1 igual a la manzanita."}, {"start": 429.0, "end": 432.0, "text": " Es porque intervienen dos operaciones contrarias."}, {"start": 432.0, "end": 435.0, "text": " Potenciaci\u00f3n con logaritmaci\u00f3n."}, {"start": 435.0, "end": 438.0, "text": " Nos liberan esta cantidad."}, {"start": 438.0, "end": 441.0, "text": " Por el n\u00famero de Euler nos queda E elevado al logaritmo."}, {"start": 441.0, "end": 444.0, "text": " En base a de logaritmo natural o neperiano."}, {"start": 444.0, "end": 447.0, "text": " De la manzanita."}, {"start": 447.0, "end": 450.0, "text": " Y esto es igual a la manzanita."}, {"start": 450.0, "end": 453.0, "text": " Entonces eso quiere decir que esta expresi\u00f3n."}, {"start": 453.0, "end": 456.0, "text": " Se nos convierte en 2 m\u00e1s y al cuadrado."}, {"start": 456.0, "end": 459.0, "text": " Aplicando esta propiedad."}, {"start": 459.0, "end": 462.0, "text": " Y esta nos queda como 4 m\u00e1s x al cuadrado."}, {"start": 462.0, "end": 465.0, "text": " Protegemos esto con par\u00e9ntesis."}, {"start": 465.0, "end": 468.0, "text": " Y aqu\u00ed tenemos E a la C."}, {"start": 468.0, "end": 471.0, "text": " Que se nos convierte en una nueva constante."}, {"start": 471.0, "end": 474.0, "text": " Vamos a llamarla por ejemplo K."}, {"start": 474.0, "end": 477.0, "text": " Porque recordemos el n\u00famero de Euler es una constante matem\u00e1tica."}, {"start": 477.0, "end": 480.0, "text": " Al elevarse a otra constante."}, {"start": 480.0, "end": 483.0, "text": " Nos da una nueva constante que llamamos K."}, {"start": 483.0, "end": 486.0, "text": " Finalmente organizamos esa expresi\u00f3n."}, {"start": 486.0, "end": 489.0, "text": " De la siguiente manera."}, {"start": 489.0, "end": 492.0, "text": " Y al cuadrado m\u00e1s 2 es igual a la constante K."}, {"start": 492.0, "end": 495.0, "text": " Que multiplica con x al cuadrado."}, {"start": 495.0, "end": 498.0, "text": " M\u00e1s 4. Y de esta manera."}, {"start": 498.0, "end": 501.0, "text": " Hemos obtenido la soluci\u00f3n general."}, {"start": 501.0, "end": 504.0, "text": " Para esa ecuaci\u00f3n diferencial."}, {"start": 504.0, "end": 533.0, "text": " Que se resolvi\u00f3 por el m\u00e9todo de separaci\u00f3n de variables."}]

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32. VECTORES EN CINEMÁTICA (Ejercicio 2)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 32: Vectores en Cinemática (Ejercicio 2). La distancia de un móvil a un punto fijo de su trayectoria (referencia), viene dada por la expresión s = 2t² + 4t + 8 (estando t expresado en segundos y s en metros). Calcula la celeridad media del móvil en el intervalo comprendido entre los instantes t = 1 s y t = 3 s. Tema: El Movimiento y su Descripción. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

En este ejercicio nos dan la ecuación de posición de una partícula que presenta movimiento unidimensional, es decir donde el sistema de referencia es un eje como por ejemplo el eje X vamos a cambiar ese por S de T, es decir la posición en términos de T vamos a encontrar la aceleridad media, es decir la velocidad media en el intervalo de tiempo comprendido entre T igual a 1 segundo y T igual a 3 segundos vamos a encontrar en ese intervalo de tiempo cuál es la aceleridad media o la velocidad media entonces comenzamos por determinar la posición de la partícula o del móvil en el instante T igual a 1 segundo entonces vamos a sustituir en la ecuación de posición T por el valor 1 resolvemos esto aquí nos queda 2 más 4 por 1, 4 más 8, esto nos da 14 metros si la posición se encuentra en metros y el tiempo en segundos vamos ahora con la posición en T igual a 3 segundos, S de 3 que sería entonces 2 por 3 al cuadrado más 4 por 3 más 8 veamos 3 al cuadrado es 9, 9 por 2 son 18, 4 por 3 12 más 8, todo esto suma 38 metros son entonces las posiciones del móvil en estos dos instantes de tiempo ahora vamos a encontrar el vector desplazamiento delta R que para este caso podríamos llamarlo delta S debido a que se trata de un movimiento unidimensional será entonces la posición final, es decir S de 3 menos la posición inicial que sería S de 1 tenemos entonces que S de 3 vale 38 metros menos S de 1 que vale 14 metros y eso nos da 24 metros ese sería entonces el desplazamiento de ese móvil o de esa partícula en este intervalo de tiempo calculamos delta T que es la duración del intervalo de tiempo será entonces el instante final menos el instante inicial 3 menos 1 igual a 2 segundos entonces allí tenemos delta T ya con esa información podemos encontrar entonces la celeridad media o el vector velocidad media que sería entonces desplazamiento delta R sobre el tiempo o el intervalo de tiempo que nos dan tenemos entonces desplazamiento nos dio 24 metros y delta T nos dio 2 segundos efectuando la división eso nos da 12 y las unidades metros sobre segundos que significa esto que en ese intervalo de tiempo comprendido entre T igual a 1 y T igual a 3 segundos la velocidad media del móvil es de 12 metros sobre segundos es decir se mueve hacia la derecha si porque tiene signo positivo

[{"start": 0.0, "end": 24.04, "text": " En este ejercicio nos dan la ecuaci\u00f3n de posici\u00f3n de una part\u00edcula que presenta movimiento"}, {"start": 24.04, "end": 33.04, "text": " unidimensional, es decir donde el sistema de referencia es un eje como por ejemplo el eje X"}, {"start": 33.04, "end": 41.04, "text": " vamos a cambiar ese por S de T, es decir la posici\u00f3n en t\u00e9rminos de T"}, {"start": 41.04, "end": 50.04, "text": " vamos a encontrar la aceleridad media, es decir la velocidad media en el intervalo de tiempo comprendido"}, {"start": 50.04, "end": 56.04, "text": " entre T igual a 1 segundo y T igual a 3 segundos"}, {"start": 56.04, "end": 64.03999999999999, "text": " vamos a encontrar en ese intervalo de tiempo cu\u00e1l es la aceleridad media o la velocidad media"}, {"start": 64.03999999999999, "end": 74.03999999999999, "text": " entonces comenzamos por determinar la posici\u00f3n de la part\u00edcula o del m\u00f3vil en el instante T igual a 1 segundo"}, {"start": 74.04, "end": 82.04, "text": " entonces vamos a sustituir en la ecuaci\u00f3n de posici\u00f3n T por el valor 1"}, {"start": 82.04, "end": 90.04, "text": " resolvemos esto aqu\u00ed nos queda 2 m\u00e1s 4 por 1, 4 m\u00e1s 8, esto nos da 14 metros"}, {"start": 90.04, "end": 95.04, "text": " si la posici\u00f3n se encuentra en metros y el tiempo en segundos"}, {"start": 95.04, "end": 109.04, "text": " vamos ahora con la posici\u00f3n en T igual a 3 segundos, S de 3 que ser\u00eda entonces 2 por 3 al cuadrado m\u00e1s 4 por 3 m\u00e1s 8"}, {"start": 109.04, "end": 122.04, "text": " veamos 3 al cuadrado es 9, 9 por 2 son 18, 4 por 3 12 m\u00e1s 8, todo esto suma 38 metros"}, {"start": 122.04, "end": 127.04, "text": " son entonces las posiciones del m\u00f3vil en estos dos instantes de tiempo"}, {"start": 127.04, "end": 136.04000000000002, "text": " ahora vamos a encontrar el vector desplazamiento delta R que para este caso podr\u00edamos llamarlo delta S"}, {"start": 136.04000000000002, "end": 140.04000000000002, "text": " debido a que se trata de un movimiento unidimensional"}, {"start": 140.04000000000002, "end": 149.04000000000002, "text": " ser\u00e1 entonces la posici\u00f3n final, es decir S de 3 menos la posici\u00f3n inicial que ser\u00eda S de 1"}, {"start": 149.04, "end": 162.04, "text": " tenemos entonces que S de 3 vale 38 metros menos S de 1 que vale 14 metros y eso nos da 24 metros"}, {"start": 162.04, "end": 170.04, "text": " ese ser\u00eda entonces el desplazamiento de ese m\u00f3vil o de esa part\u00edcula en este intervalo de tiempo"}, {"start": 170.04, "end": 175.04, "text": " calculamos delta T que es la duraci\u00f3n del intervalo de tiempo"}, {"start": 175.04, "end": 183.04, "text": " ser\u00e1 entonces el instante final menos el instante inicial 3 menos 1 igual a 2 segundos"}, {"start": 183.04, "end": 186.04, "text": " entonces all\u00ed tenemos delta T"}, {"start": 186.04, "end": 192.04, "text": " ya con esa informaci\u00f3n podemos encontrar entonces la celeridad media o el vector velocidad media"}, {"start": 192.04, "end": 203.04, "text": " que ser\u00eda entonces desplazamiento delta R sobre el tiempo o el intervalo de tiempo que nos dan"}, {"start": 203.04, "end": 213.04, "text": " tenemos entonces desplazamiento nos dio 24 metros y delta T nos dio 2 segundos"}, {"start": 213.04, "end": 220.04, "text": " efectuando la divisi\u00f3n eso nos da 12 y las unidades metros sobre segundos"}, {"start": 220.04, "end": 227.04, "text": " que significa esto que en ese intervalo de tiempo comprendido entre T igual a 1 y T igual a 3 segundos"}, {"start": 227.04, "end": 234.04, "text": " la velocidad media del m\u00f3vil es de 12 metros sobre segundos es decir se mueve hacia la derecha"}, {"start": 234.04, "end": 260.03999999999996, "text": " si porque tiene signo positivo"}]

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https://www.youtube.com/watch?v=DlosB_Kg4W4

OPERACIONES CON ENTEROS Y SIGNOS DE AGRUPACIÓN - Ejercicio 5

#julioprofe explica cómo resolver un polinomio con números enteros donde hay paréntesis y corchetes. Videos de #NúmerosEnteros → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFmPtR9zFQN2cpK9QL7X8w9 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver este ejercicio de operaciones combinadas con números enteros y signos de agrupación, es decir, los paréntesis y corchetes que encierran algunas operaciones. Comenzamos resolviendo lo que hay dentro de los paréntesis, como el caso de esta operación. Entonces tenemos menos 4 más 5 que es igual a 1 positivo. Si queremos se protege este número con paréntesis, pero en realidad no es necesario por ser positivo. Esto queda dividido entre menos 1, estos dos puntos indican división, luego tenemos más 3 menos 21 dividido entre menos 7, luego tenemos dividido 3, eso multiplicado por lo que hay dentro de este corchete. A ver, como no tenemos más operaciones dentro de los paréntesis, podríamos ya avanzar con lo que tenemos dentro de estos corchetes, es decir, aquí hay una multiplicación y también una resta. Entonces vamos resolviendo esa multiplicación, menos 11 por menos 2 nos da como resultado 22 positivo, el signo más puede hacerse invisible y luego escribimos menos 19 y cerramos el corchete. Continuamos desarrollando el ejercicio, si revisamos lo que hay hasta este punto vemos que no hay más operaciones encerradas por los signos de agrupación, pero acá sí tenemos una operación dentro de los corchetes. Vamos a resolverla, entonces escribimos todo esto como está y resolvemos la operación que tenemos aquí, 22 menos 19 nos da como resultado 3 positivo y cerramos el corchete. Si revisamos lo que nos quedó vemos que ya no hay más operaciones encerradas por los signos de agrupación, aquí los paréntesis cumplen la función de proteger estas cantidades negativas y este corchete lo que nos indica es que aquí existe una multiplicación, entonces podríamos quitar el corchete y escribir en su lugar el signo de la multiplicación. Lo que hacemos ahora es resolver las multiplicaciones y divisiones para efectuar después lo referente a sumas y restas. Vamos a señalar entonces aquellas operaciones que debemos resolver primero, es el caso de esa división y esto que tenemos acá donde observamos divisiones y una multiplicación. Entonces comenzamos con esta división 1 dividido entre menos 1 nos da como resultado menos 1, recordemos que allí se aplica la ley de los signos positivo con negativo nos da negativo, después tenemos más 3 luego tenemos menos, aquí vamos a proceder con cuidado debemos movernos de izquierda a derecha resolviendo las operaciones que hay entre parejas de números, comenzamos con esta operación que sería 21 dividido entre menos 7, esa operación nos da como resultado menos 3 y la vamos a proteger con paréntesis por ser un resultado negativo, escribimos lo demás dividido 3 y esto multiplicado por 3. Seguimos resolviendo esto que tenemos acá, repetimos la multiplicación y la división tienen prioridad sobre la suma y la resta, entonces nos queda de la siguiente manera, menos 1 más 3 esto queda en esfera y seguimos acá con las operaciones, de nuevo nos movemos de izquierda a derecha resolviendo primero esta operación menos 3 dividido entre 3 nos da como resultado menos 1, protegemos ese resultado con paréntesis y luego escribimos por 3. Seguimos ahora con esta operación la multiplicación que nos ha quedado allí, entonces tendremos menos 1 más 3 y eso menos el resultado de esa multiplicación menos 1 por 3 nos da menos 3, protegemos ese resultado con paréntesis. Como ya no tenemos más operaciones de multiplicación o división entonces lo que hacemos enseguida es destruir este paréntesis y aquí aplicamos la ley de los signos, cuando tenemos signos vecinos nos queda menos 1 más 3 menos con menos nos da más y anotamos el 3, allí ya podemos efectuar la suma de las cantidades positivas, la única cantidad negativa es menos 1, entonces nos queda menos 1 y el resultado de esta suma nos da más 6, finalizamos con esa operación que ocurre entre un entero negativo y un entero positivo, recordemos que en ese caso nos gana el signo de la cantidad que tenga mayor valor absoluto, valor absoluto de menos 1 nos da 1, valor absoluto de 6 nos da 6, predomina entonces el signo de esta cantidad que sería signo positivo, vamos a escribirlo y lo que hacemos ahora es restar esos valores absolutos, el de este nos dio 1, el de esta cantidad nos dio 6, 6 menos 1 nos da 5, entonces el resultado final será más 5 o simplemente 5, entonces así terminamos este ejercicio que es de operaciones combinadas con números enteros y signos de agrupación.

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RACIONALIZACIÓN MEDIANTE CONJUGACIÓN - Ejercicio 5

#julioprofe explica cómo racionalizar el denominador de una fracción numérica mediante conjugación. Tema: #Racionalización → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEhyDZyc08U1WijxsTgX8pa REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a racionalizar esta fracción numérica, es decir, vamos a obtener otra expresión equivalente sin radicales acá en el denominador. Vamos a resolver este ejercicio manualmente y al final haremos la comprobación en calculadora. Comenzamos por escribir nuevamente el ejercicio. Tenemos en el numerador el 2 y en el denominador la raíz cuadrada de 5 menos 1. Y vamos a aplicar el procedimiento llamado conjugación. Es decir, vamos a multiplicar por una fracción que equivale a 1, o sea, a la unidad, de tal forma que aquí tengamos lo que es el conjugado de esto que tenemos en el denominador de la fracción original. Entonces vamos a recordar ese concepto para una expresión a menos b. Como en este caso que tenemos la resta de dos cantidades, su conjugado será a más b. Es decir, simplemente se cambia el signo de la mitad. Y lo que buscamos con la conjugación es aplicar el producto notable llamado suma por diferencia o diferencia por suma. Realmente el orden de los factores no importa por la propiedad conmutativa de la multiplicación. Entonces tenemos que cuando se tiene suma por diferencia se genera una diferencia de cuadrados perfectos. Es un producto notable de gran importancia. Entonces el conjugado de raíz cuadrada de 5 menos 1 será raíz cuadrada de 5 más 1. Como decíamos, simplemente se cambia el signo de la mitad. Y esto que escribimos en el denominador lo repetimos en el numerador. Porque como decíamos, esta fracción por la que vamos a multiplicar la expresión original debe ser equivalente a 1. Para ello el numerador y el denominador deben ser iguales. Procedemos entonces a multiplicar esas dos fracciones. Recordemos que eso se hace de manera horizontal. Multiplicamos numeradores entre sí y denominadores entre sí. Para el caso de la multiplicación de numeradores vamos a dejar ese producto indicado. Entonces nos queda así, protegiendo con paréntesis la expresión de la suma. Y en el denominador la multiplicación de estas dos cantidades obedece a esto que tenemos acá. Es allí cuando aplicamos el producto notable. Nos queda entonces la primera cantidad que es raíz cuadrada de 5. Todo esto elevado al cuadrado menos la segunda cantidad que es 1, también elevado al cuadrado. Enseguida vamos a resolver esto que tenemos en el denominador. Vamos a continuar por acá. En el numerador permanece lo mismo. 2 que multiplica con raíz cuadrada de 5. Y eso más 1. Ahora en el denominador tendremos lo siguiente. Aquí el exponente 2 elimina la raíz cuadrada y nos libera el 5. Después tenemos 1 al cuadrado que es igual a 1. Resolvemos esa operación del denominador. Entonces 5 menos 1 nos da 4. Y en el numerador escribimos lo mismo. 2 que multiplica con la raíz cuadrada de 5 más 1. Y allí podemos simplificar esa fracción. 2 que está multiplicando en el numerador puede simplificarse con 4 que está en el denominador. Podemos sacar mitad a esos dos números. Mitad de 2 nos da 1 y mitad de 4 nos da 2. Entonces en el numerador nos queda 1 por raíz cuadrada de 5 más 1. Es decir esa misma expresión numérica. Raíz cuadrada de 5 más 1 ya puede escribirse sin paréntesis. Y en el denominador nos quedó 2. Ahora eso podemos escribirlo también como 1 más raíz cuadrada de 5 en el numerador y nos queda 2 en el denominador. Simplemente cambiamos el orden de los sumandos en el numerador. Aplicamos la propiedad conmutativa de la suma. De esta manera terminamos. Hemos llegado a una expresión numérica equivalente a la original pero que ya no tiene radicales en el denominador. Ahora vamos a verificar este ejercicio utilizando esta calculadora científica. Comenzamos oprimiendo el botón de fracción. En el numerador escribimos el 2. Pasamos al denominador y allí vamos a ingresar esto. Entonces botón de raíz cuadrada, escribimos el 5. Corremos el cursor a la derecha. Comenzamos el signo menos y luego el 1. De esa manera ya hemos ingresado la expresión a la calculadora. Oprimimos el botón igual y obtenemos este resultado. 1 más raíz cuadrada de 5 y todo eso sobre 2. Con esto comprobamos que este ejercicio sea resuelto correctamente.

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cantidad que es ra\u00edz cuadrada de 5."}, {"start": 162.68, "end": 170.68, "text": " Todo esto elevado al cuadrado menos la segunda cantidad que es 1, tambi\u00e9n elevado al cuadrado."}, {"start": 170.68, "end": 175.64, "text": " Enseguida vamos a resolver esto que tenemos en el denominador."}, {"start": 175.64, "end": 178.24, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1."}, {"start": 178.24, "end": 180.35999999999999, "text": " En el numerador permanece lo mismo."}, {"start": 180.35999999999999, "end": 185.12, "text": " 2 que multiplica con ra\u00edz cuadrada de 5."}, {"start": 185.12, "end": 187.07999999999998, "text": " Y eso m\u00e1s 1."}, {"start": 187.08, "end": 191.84, "text": " Ahora en el denominador tendremos lo siguiente."}, {"start": 191.84, "end": 197.28, "text": " Aqu\u00ed el exponente 2 elimina la ra\u00edz cuadrada y nos libera el 5."}, {"start": 197.28, "end": 202.12, "text": " Despu\u00e9s tenemos 1 al cuadrado que es igual a 1."}, {"start": 202.12, "end": 204.88000000000002, "text": " Resolvemos esa operaci\u00f3n del denominador."}, {"start": 204.88000000000002, "end": 208.12, "text": " Entonces 5 menos 1 nos da 4."}, {"start": 208.12, "end": 210.52, "text": " Y en el numerador escribimos lo mismo."}, {"start": 210.52, "end": 215.56, "text": " 2 que multiplica con la ra\u00edz cuadrada de 5 m\u00e1s 1."}, {"start": 215.56, "end": 218.24, "text": " Y all\u00ed podemos simplificar esa fracci\u00f3n."}, {"start": 218.24, "end": 223.2, "text": " 2 que est\u00e1 multiplicando en el numerador puede simplificarse con 4 que est\u00e1 en el"}, {"start": 223.2, "end": 224.2, "text": " denominador."}, {"start": 224.2, "end": 226.68, "text": " Podemos sacar mitad a esos dos n\u00fameros."}, {"start": 226.68, "end": 231.6, "text": " Mitad de 2 nos da 1 y mitad de 4 nos da 2."}, {"start": 231.6, "end": 236.28, "text": " Entonces en el numerador nos queda 1 por ra\u00edz cuadrada de 5 m\u00e1s 1."}, {"start": 236.28, "end": 238.96, "text": " Es decir esa misma expresi\u00f3n num\u00e9rica."}, {"start": 238.96, "end": 243.08, "text": " Ra\u00edz cuadrada de 5 m\u00e1s 1 ya puede escribirse sin par\u00e9ntesis."}, {"start": 243.08, "end": 246.48000000000002, "text": " Y en el denominador nos qued\u00f3 2."}, {"start": 246.48000000000002, "end": 255.48000000000002, "text": " Ahora eso podemos escribirlo tambi\u00e9n como 1 m\u00e1s ra\u00edz cuadrada de 5 en el numerador"}, {"start": 255.48000000000002, "end": 259.8, "text": " y nos queda 2 en el denominador."}, {"start": 259.8, "end": 264.24, "text": " Simplemente cambiamos el orden de los sumandos en el numerador."}, {"start": 264.24, "end": 267.84000000000003, "text": " Aplicamos la propiedad conmutativa de la suma."}, {"start": 267.84000000000003, "end": 269.92, "text": " De esta manera terminamos."}, {"start": 269.92, "end": 276.8, "text": " Hemos llegado a una expresi\u00f3n num\u00e9rica equivalente a la original pero que ya no tiene radicales"}, {"start": 276.8, "end": 279.18, "text": " en el denominador."}, {"start": 279.18, "end": 284.16, "text": " Ahora vamos a verificar este ejercicio utilizando esta calculadora cient\u00edfica."}, {"start": 284.16, "end": 286.72, "text": " Comenzamos oprimiendo el bot\u00f3n de fracci\u00f3n."}, {"start": 286.72, "end": 289.44, "text": " En el numerador escribimos el 2."}, {"start": 289.44, "end": 293.44, "text": " Pasamos al denominador y all\u00ed vamos a ingresar esto."}, {"start": 293.44, "end": 297.12, "text": " Entonces bot\u00f3n de ra\u00edz cuadrada, escribimos el 5."}, {"start": 297.12, "end": 299.8, "text": " Corremos el cursor a la derecha."}, {"start": 299.8, "end": 302.52000000000004, "text": " Comenzamos el signo menos y luego el 1."}, {"start": 302.52000000000004, "end": 306.52000000000004, "text": " De esa manera ya hemos ingresado la expresi\u00f3n a la calculadora."}, {"start": 306.52000000000004, "end": 310.28000000000003, "text": " Oprimimos el bot\u00f3n igual y obtenemos este resultado."}, {"start": 310.28000000000003, "end": 314.72, "text": " 1 m\u00e1s ra\u00edz cuadrada de 5 y todo eso sobre 2."}, {"start": 314.72, "end": 343.28000000000003, "text": " Con esto comprobamos que este ejercicio sea resuelto correctamente."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=HjxyhNbCoXQ

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo determinar las coordenadas del punto medio de un segmento en el plano cartesiano. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Determinar el punto medio del segmento en el plano cartesiano cuyos extremos son menos 17,3 y 5,-29. Bien, en este ejercicio vamos a llamar x1 y y1 las coordenadas del primer punto, así como x2 y2 las coordenadas del segundo punto. Son los puntos extremos del segmento cuyo punto medio debemos determinar. Ese punto medio podemos llamarlo M y sus coordenadas serán x trazo, y trazo, la abscisa y la ordenada. Para calcular x trazo hacemos el promedio o la media aritmética de las abscisas, es decir, de los valores en x de los puntos extremos del segmento, es decir, será x1 más x2 y todo esto dividido entre 2, es el promedio o la media aritmética. Vamos a reemplazar allí los valores que tenemos, x1 vale menos 17, esto más el valor de x2 que es 5 y todo esto se divide entre 2. Resolvemos la operación del numerador, menos 17 más 5, eso nos da menos 12, y menos 12 dividido entre 2 nos da como resultado menos 6, recordemos que allí se aplica la ley de los signos, menos con más nos da menos. De forma similar vamos a encontrar y trazo, es decir, la ordenada del punto medio del segmento, del punto M. Entonces hacemos también la media aritmética o el promedio de las ordenadas de los puntos extremos, entonces será y1 más y2 y todo esto dividido entre 2. Vamos a reemplazar entonces los valores, y1 vale 3, esto más y2 que es menos 29, allí protegemos ese valor con paréntesis por ser negativo y todo esto nos queda dividido entre 2. En el numerador vamos a romper ese paréntesis, aquí aplicamos la ley de los signos, porque tenemos la interacción de signos vecinos, entonces nos queda 3 más por menos nos da menos 29 y todo esto dividido entre 2. Resolvemos la operación del numerador, 3 menos 29 nos da menos 26 y menos 26 dividido entre 2 nos da como resultado menos 13. Otra vez aplicamos la ley de los signos, menos con más nos da menos. De esta manera terminamos el ejercicio, ya podemos dar su respuesta. El punto medio del segmento cuyos extremos son estos dos puntos es el siguiente, es el punto M, su abscisa es menos 6 y su ordenada es menos 13. Entonces hemos aplicado allí las fórmulas para determinar las coordenadas del punto medio de un segmento en el plano cartesiano. ¡Suscríbete al canal!

[{"start": 0.0, "end": 8.8, "text": " Determinar el punto medio del segmento en el plano cartesiano cuyos extremos son"}, {"start": 8.8, "end": 13.200000000000001, "text": " menos 17,3 y 5,-29."}, {"start": 13.200000000000001, "end": 21.6, "text": " Bien, en este ejercicio vamos a llamar x1 y y1 las coordenadas del primer punto,"}, {"start": 21.6, "end": 26.8, "text": " as\u00ed como x2 y2 las coordenadas del segundo punto."}, {"start": 26.8, "end": 32.8, "text": " Son los puntos extremos del segmento cuyo punto medio debemos determinar."}, {"start": 32.8, "end": 40.8, "text": " Ese punto medio podemos llamarlo M y sus coordenadas ser\u00e1n x trazo, y trazo,"}, {"start": 40.8, "end": 43.8, "text": " la abscisa y la ordenada."}, {"start": 43.8, "end": 50.8, "text": " Para calcular x trazo hacemos el promedio o la media aritm\u00e9tica de las abscisas,"}, {"start": 50.8, "end": 55.400000000000006, "text": " es decir, de los valores en x de los puntos extremos del segmento,"}, {"start": 55.4, "end": 66.0, "text": " es decir, ser\u00e1 x1 m\u00e1s x2 y todo esto dividido entre 2, es el promedio o la media aritm\u00e9tica."}, {"start": 66.0, "end": 72.0, "text": " Vamos a reemplazar all\u00ed los valores que tenemos, x1 vale menos 17,"}, {"start": 72.0, "end": 79.8, "text": " esto m\u00e1s el valor de x2 que es 5 y todo esto se divide entre 2."}, {"start": 79.8, "end": 86.0, "text": " Resolvemos la operaci\u00f3n del numerador, menos 17 m\u00e1s 5, eso nos da menos 12,"}, {"start": 86.0, "end": 91.39999999999999, "text": " y menos 12 dividido entre 2 nos da como resultado menos 6,"}, {"start": 91.39999999999999, "end": 97.0, "text": " recordemos que all\u00ed se aplica la ley de los signos, menos con m\u00e1s nos da menos."}, {"start": 97.0, "end": 105.6, "text": " De forma similar vamos a encontrar y trazo, es decir, la ordenada del punto medio del segmento, del punto M."}, {"start": 105.6, "end": 113.39999999999999, "text": " Entonces hacemos tambi\u00e9n la media aritm\u00e9tica o el promedio de las ordenadas de los puntos extremos,"}, {"start": 113.39999999999999, "end": 121.39999999999999, "text": " entonces ser\u00e1 y1 m\u00e1s y2 y todo esto dividido entre 2."}, {"start": 121.39999999999999, "end": 130.4, "text": " Vamos a reemplazar entonces los valores, y1 vale 3, esto m\u00e1s y2 que es menos 29,"}, {"start": 130.4, "end": 138.4, "text": " all\u00ed protegemos ese valor con par\u00e9ntesis por ser negativo y todo esto nos queda dividido entre 2."}, {"start": 138.4, "end": 143.6, "text": " En el numerador vamos a romper ese par\u00e9ntesis, aqu\u00ed aplicamos la ley de los signos,"}, {"start": 143.6, "end": 146.70000000000002, "text": " porque tenemos la interacci\u00f3n de signos vecinos,"}, {"start": 146.70000000000002, "end": 155.9, "text": " entonces nos queda 3 m\u00e1s por menos nos da menos 29 y todo esto dividido entre 2."}, {"start": 155.9, "end": 168.20000000000002, "text": " Resolvemos la operaci\u00f3n del numerador, 3 menos 29 nos da menos 26 y menos 26 dividido entre 2 nos da como resultado menos 13."}, {"start": 168.20000000000002, "end": 173.6, "text": " Otra vez aplicamos la ley de los signos, menos con m\u00e1s nos da menos."}, {"start": 173.6, "end": 179.1, "text": " De esta manera terminamos el ejercicio, ya podemos dar su respuesta."}, {"start": 179.1, "end": 186.29999999999998, "text": " El punto medio del segmento cuyos extremos son estos dos puntos es el siguiente,"}, {"start": 186.29999999999998, "end": 194.0, "text": " es el punto M, su abscisa es menos 6 y su ordenada es menos 13."}, {"start": 194.0, "end": 209.9, "text": " Entonces hemos aplicado all\u00ed las f\u00f3rmulas para determinar las coordenadas del punto medio de un segmento en el plano cartesiano."}, {"start": 224.0, "end": 228.0, "text": " \u00a1Suscr\u00edbete al canal!"}]

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31. VECTORES EN CINEMÁTICA (Ejercicio 1)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 31: Vectores en Cinemática (Ejercicio 1). El vector de posición de un móvil viene dado por r = t²i + 2tj + 4k. Halla su velocidad entre los instantes 1 y 3 s. Tema: El Movimiento y su Descripción. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

Tenemos en este problema el vector posición para un móvil. Vemos que aparece en la notación IJK, es decir que se trata de un movimiento en el espacio. Vamos a escribir ese vector como una función vectorial con componentes t cuadrado, 2t y 4. Y vamos a encontrar entonces las posiciones en los instantes de tiempo 1 y 3, que va a constituir el intervalo de tiempo donde nos piden la velocidad. Comenzamos entonces por sustituir 1 en el vector posición, tendremos 1 al cuadrado, coma 2 por 1 coma 4. Entonces resolviendo nos queda 1 coma 2 coma 4. Esto en metros, vector posición en metros para el instante t igual a 1. Ahora vamos a hacerlo para el instante t igual a 3. También sustituimos t por el valor 3 y vamos a resolver eso. 3 al cuadrado 9, 2 por 3 es 6 y la componente en z que es 4 y todo esto en metros. Con esta información ya podemos determinar el vector desplazamiento. El desplazamiento que ha tenido el móvil entre los instantes t igual a 1 y t igual a 3. Recordemos que el vector desplazamiento delta r es el vector posición final, es decir r de 3 menos el vector posición inicial, es decir r de 1. Como ya tenemos los vectores en términos de sus componentes vamos a escribirlos y vamos a realizar la resta o la diferencia entre ellos. Si allí reemplazamos r de 3 y r de 1. Entonces hacemos la diferencia, vamos a restar componentes respectivas, 9 menos 1 nos da 8, allí tenemos la componente x, 6 menos 2 nos da 4, componente y y 4 menos 4 nos da 0, componente en z. Este vector desplazamiento va en metros. También podemos encontrar el intervalo de tiempo delta t, sería el instante final 3 menos el instante inicial que es 1, 3 menos 1 nos da 2 segundos. Entonces el intervalo tiene una duración de 2 segundos. Ya con estos dos datos podemos encontrar la velocidad media en ese intervalo de tiempo. Entonces recordemos la definición de velocidad media, desplazamiento entre tiempo. Entonces traemos el vector desplazamiento, sus componentes son 8,4,0 en metros y traemos el delta t que es el intervalo de tiempo 2 segundos. Este escalar tiempo vamos a distribuirlo al vector, entonces nos queda 8 medios, 4 medios y 0 medios. Todo eso en metros sobre segundos que son las unidades de la velocidad media. Resolviendo esto nos queda 4,2,0 metros sobre segundos y tenemos el vector velocidad media para ese móvil en el intervalo de tiempo que va entre t igual a 1 y t igual a 3 segundos. Podríamos encontrar su módulo, entonces módulo de la velocidad media o su magnitud será igual a la raíz cuadrada de 4 al cuadrado más 2 al cuadrado más 0 al cuadrado, la suma de los cuadrados de sus componentes. Resolvemos eso nos queda entonces 16 más 4, esto nos da 0, 16 más 4 nos da 20. Tenemos entonces la raíz cuadrada de 20 que simplificándola nos da 2 raíz cuadrada de 5, esto irá en metros sobre segundos si es el módulo de la velocidad media y esto en número decimal es aproximadamente igual a 4.47 metros sobre segundos. Entonces de esta manera terminamos el ejercicio, tenemos la velocidad media, es decir el vector velocidad media en el intervalo de tiempo y el módulo o magnitud de esa velocidad media.

[{"start": 0.0, "end": 20.72, "text": " Tenemos en este problema el vector posici\u00f3n para un m\u00f3vil."}, {"start": 20.72, "end": 26.84, "text": " Vemos que aparece en la notaci\u00f3n IJK, es decir que se trata de un movimiento en el"}, {"start": 26.84, "end": 27.84, "text": " espacio."}, {"start": 27.84, "end": 37.68, "text": " Vamos a escribir ese vector como una funci\u00f3n vectorial con componentes t cuadrado, 2t y"}, {"start": 37.68, "end": 38.68, "text": " 4."}, {"start": 38.68, "end": 48.04, "text": " Y vamos a encontrar entonces las posiciones en los instantes de tiempo 1 y 3, que va a"}, {"start": 48.04, "end": 52.36, "text": " constituir el intervalo de tiempo donde nos piden la velocidad."}, {"start": 52.36, "end": 61.879999999999995, "text": " Comenzamos entonces por sustituir 1 en el vector posici\u00f3n, tendremos 1 al cuadrado,"}, {"start": 61.879999999999995, "end": 66.03999999999999, "text": " coma 2 por 1 coma 4."}, {"start": 66.03999999999999, "end": 71.12, 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307.40000000000003, "text": " Tenemos entonces la ra\u00edz cuadrada de 20 que simplific\u00e1ndola nos da 2 ra\u00edz cuadrada de"}, {"start": 307.40000000000003, "end": 315.0, "text": " 5, esto ir\u00e1 en metros sobre segundos si es el m\u00f3dulo de la velocidad media y esto en"}, {"start": 315.0, "end": 324.52, "text": " n\u00famero decimal es aproximadamente igual a 4.47 metros sobre segundos."}, {"start": 324.52, "end": 330.0, "text": " Entonces de esta manera terminamos el ejercicio, tenemos la velocidad media, es decir el vector"}, {"start": 330.0, "end": 349.0, "text": " velocidad media en el intervalo de tiempo y el m\u00f3dulo o magnitud de esa velocidad media."}]

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MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS - Video 2

#julioprofe explica cómo efectuar la multiplicación y la división de dos números complejos. En cada caso, comprueba la operación usando calculadora científica. Tema: #NumerosComplejos → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGWSEDj2vQeCAU2VLSQyy9j REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

TENEROS 2 NÚMEROS COMPLEJOS Tenemos en este caso dos números complejos y nos piden hallar tanto el producto como el cosiente de ellos. Vamos a resolver detalladamente estos dos ejercicios y también vamos a realizar su comprobación en calculadora científica. Comenzamos entonces con la multiplicación de ellos. Entonces z1 por z2 será igual a lo siguiente, el número complejo z1 es menos 2 más 7i. Allí tenemos la parte real y la parte imaginaria. Protegemos esto con paréntesis y lo vamos a multiplicar por el número complejo z2 que es menos 6 menos 4i. Allí también se observa la parte real y la parte imaginaria. En este caso procedemos como se multiplican en algebra dos binomios, es decir multiplicamos los términos todos con todos. Aplicando la propiedad distributiva. Entonces vamos a efectuar esta multiplicación de menos 2 por cada uno de estos términos. Nos queda entonces lo siguiente, menos 2 por menos 6 es 12 positivo, menos 2 por menos 4i nos da más 8i. Ahora vamos a distribuir este término, el término más 7i, para cada uno de estos dos. Entonces más 7i por menos 6 nos da menos 42i y más 7i por menos 4i nos da menos 28i al cuadrado. Allí podemos operar términos semejantes, es el caso de estos dos que contienen la i, es decir la unidad imaginaria. Entonces vamos a operar esos términos, nos queda 12, tenemos más 8i menos 42i, operamos más 8 con menos 42, eso nos da menos 34 y esto queda acompañado de la letra i o la unidad imaginaria. Y por acá tenemos i al cuadrado, recordemos que eso equivale a menos 1. Entonces tendremos menos 28 por menos 1 que es más 28. Finalmente podemos operar estas dos cantidades, los números que no contienen la i, es decir los componentes que conforman la parte real del número complejo. Entonces tenemos 12 más 28 que es 40 y esto queda acompañado de menos 34i. Allí se observa entonces la parte real y la parte imaginaria del número complejo que resulta del producto de los dos números complejos que nos dieron. Esta sería entonces la primera respuesta para el ejercicio. Veamos ahora la comprobación de este producto de números complejos en la calculadora científica. Para efectuar la comprobación de este ejercicio en calculadora científica lo primero que tenemos que hacer es llevarla al modo de números complejos. Para ello oprimimos este botón o esta tecla, la que dice modo, y vemos en pantalla 8 opciones. En este caso debemos seleccionar la segunda que es la de números complejos. Entonces oprimimos el botón del número 2 y de esa manera ya la calculadora nos queda en el modo de números complejos. Enseguida vamos a ingresar la operación, es decir la multiplicación o el producto de los números complejos. Para ello abrimos el paréntesis, botón de paréntesis izquierdo, luego debemos anotar menos 2 más 7i. Entonces utilizamos el botón del signo negativo, luego el 2, después más 7 y la unidad imaginaria la encontramos aquí. Está en color morado encima de la tecla que dice ENG, que es la tecla de ingeniería. Entonces oprimimos esa tecla y ya nos aparece la unidad imaginaria y cerramos el paréntesis. Luego si queremos se puede colocar el signo por, el signo de la multiplicación, o si queremos simplemente se abre el otro paréntesis. Ya la calculadora sabe que aquí existe la operación multiplicación. Vamos con el siguiente número complejo que es menos 6 menos 4i. Entonces botón del signo negativo, luego el 6, después el menos de la resta y 4i, 4 y este botón otra vez para activar la unidad imaginaria i. Cerramos el paréntesis y después de haber ingresado la operación le damos igual. Vemos allí el resultado 40 menos 34i, efectivamente lo que nos dio cuando resolvimos esa multiplicación de números complejos manualmente. Veremos ahora el otro ejercicio donde debemos encontrar el cociente o la división de esos números complejos. Tenemos entonces z1 sobre z2, vamos a reemplazar lo que nos da el enunciado. Z1 es menos 2 más 7i y el número complejo z2 es menos 6 menos 4i. Allí vamos a multiplicar por otra fracción que se conforma con el conjugado de esto que tenemos acá en el denominador. Aquí se observa una resta, entonces la expresión conjugada será la suma de esas dos cantidades, o sea menos 6 más 4i. Y esta cantidad la repetimos acá arriba porque esta fracción equivale a 1. Finalmente multiplicar todo esto por 1 nos garantiza que se conserva la expresión original. Recordemos que para multiplicar fracciones entonces efectuamos el producto de los numeradores y el producto de los denominadores. Vamos entonces a escribir eso por acá. En el numerador entonces multiplicamos estos dos números complejos. Hacemos un procedimiento similar al que hicimos anteriormente, es decir multiplicando los números o las cantidades todos con todos. Comenzamos entonces con menos 2 por menos 6, eso nos da 12 positivo. Luego menos 2 por más 4i, eso es menos 8i. Luego tenemos más 7i por menos 6, eso es menos 42i. Y finalmente más 7i por más 4i, eso nos da más 28i al cuadrado. Ahora en el denominador para multiplicar estas dos expresiones que es lo que debemos escribir aquí aplicamos un producto notable que se llama suma por diferencia. Ese es el objetivo de la conjugación, el conjugado de a menos b es a más b y viceversa. El objetivo de la conjugación es que se aplique este producto notable, suma por diferencia que nos produce una diferencia de cuadrados perfectos. La primera cantidad al cuadrado menos la segunda cantidad al cuadrado. Entonces aquí se observa esa situación, aquí está la suma de las dos cantidades y aquí está la resta de ellas. Y si multiplicamos eso aplicamos este producto notable y construimos esta expresión. Sería entonces la primera cantidad que es menos 6 elevada al cuadrado por eso protegemos eso con paréntesis. Menos la segunda cantidad que es 4i también protegida con paréntesis y todo eso elevado al cuadrado. Continuamos con el desarrollo del ejercicio por acá. En el numerador observamos términos semejantes, estos se contienen la i. Entonces tendremos 12, operamos esos dos términos, menos 8i menos 42i nos da menos 50i. Y también tenemos por acá i al cuadrado que equivale a menos 1. Entonces tendremos más 28 por menos 1 que es menos 28. En el denominador tenemos menos 6 al cuadrado que es igual a 36. Recordemos que toda cantidad negativa elevada a un exponente par nos produce un resultado positivo. Y después tenemos menos 4i todo eso al cuadrado. Como esto está multiplicando el exponente 2 afecta a cada una de esas cantidades. Nos quedaría 4 al cuadrado por i al cuadrado, es decir 16i al cuadrado. Continuamos resolviendo. En el numerador podemos operar esas dos cantidades, son números netamente reales, no tienen la i o la unidad imaginaria. Entonces 12 menos 28 es menos 16 y eso queda acompañado de menos 50i. Este es el componente imaginario. Ahora en el denominador tenemos 36 y por acá i al cuadrado que nuevamente se nos convierte en menos 1. Entonces menos 16 por menos 1 nos da más 16. En el numerador seguimos teniendo la misma expresión, menos 16 menos 50i. Aquí no podemos hacer nada y acá en el denominador efectuamos esa suma que nos da 52. Y allí ya podemos ir configurando nuestra respuesta. Lo que hacemos es repartir este denominador para cada uno de los términos que tenemos en el numerador. Entonces tendremos menos 16 sobre 52 y luego menos 50i sobre 52. Aquí ya se distingue la parte real de la parte imaginaria en el número complejo que resulta de la división de los dos números complejos dados. Sin embargo esto se puede simplificar. Veamos, en el caso de la primera fracción podríamos sacar mitad, mitad de 16 nos da 8, mitad de 52 es 26. Y en la siguiente fracción también podemos sacar mitad de 50 y de 52. Mitad de 50 nos da 25, mitad de 52 es 26 y todo esto queda acompañado de i. Finalmente vemos que esta fracción se puede simplificar otra vez. Podemos volver a sacar mitad, mitad de 8 nos da 4, mitad de 26 nos da 13. Esta fracción no se puede simplificar, es irreducible, se queda tal como está, acompañada de la unidad imaginaria. Y así terminamos el ejercicio. Este número complejo es el resultado de la división ocosiente de los números complejos dados. A continuación veremos cómo comprobar este resultado, esa división de números complejos en la calculadora científica. Vamos a efectuar la comprobación del ejercicio. Ya tenemos la calculadora en el modo de números complejos. Entonces vamos a ingresar a la operación. Para ello utilizamos el botón de fracción y en el numerador vamos a escribir el número complejo menos 2 más 7i. Entonces botón del signo negativo, luego el 2, después más 7 y la unidad imaginaria que está encima de esta tecla. Entonces la oprimimos. Allí tenemos menos 2 más 7i en el numerador de la fracción. Ahora pasamos al denominador. Para ello con el botón del navegador nos dirigimos hacia abajo y al cursor queda en la parte de abajo de la fracción. Y allí vamos a ingresar el otro número complejo, menos 6 menos 4i. Entonces botón del signo negativo, el 6, luego el menos de la resta y 4i. Allí tenemos entonces los dos números complejos que están dividiendo. Oprimimos el signo igual y allí tenemos el resultado, menos 4 treceavos menos 25 26avos de i. El número complejo que se obtiene al efectuar la división de los dos números complejos dados. Esto nos confirma que el procedimiento que hicimos manualmente es correcto.

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fracci\u00f3n podr\u00edamos sacar mitad, mitad de 16 nos da 8, mitad de 52 es 26."}, {"start": 623.0, "end": 628.0, "text": " Y en la siguiente fracci\u00f3n tambi\u00e9n podemos sacar mitad de 50 y de 52."}, {"start": 628.0, "end": 636.0, "text": " Mitad de 50 nos da 25, mitad de 52 es 26 y todo esto queda acompa\u00f1ado de i."}, {"start": 636.0, "end": 640.0, "text": " Finalmente vemos que esta fracci\u00f3n se puede simplificar otra vez."}, {"start": 640.0, "end": 647.0, "text": " Podemos volver a sacar mitad, mitad de 8 nos da 4, mitad de 26 nos da 13."}, {"start": 647.0, "end": 656.0, "text": " Esta fracci\u00f3n no se puede simplificar, es irreducible, se queda tal como est\u00e1, acompa\u00f1ada de la unidad imaginaria."}, {"start": 656.0, "end": 659.0, "text": " Y as\u00ed terminamos el ejercicio."}, {"start": 659.0, "end": 667.0, "text": " Este n\u00famero complejo es el resultado de la divisi\u00f3n ocosiente de los n\u00fameros complejos dados."}, {"start": 667.0, "end": 675.0, "text": " A continuaci\u00f3n veremos c\u00f3mo comprobar este resultado, esa divisi\u00f3n de n\u00fameros complejos en la calculadora cient\u00edfica."}, {"start": 675.0, "end": 677.0, "text": " Vamos a efectuar la comprobaci\u00f3n del ejercicio."}, {"start": 677.0, "end": 681.0, "text": " Ya tenemos la calculadora en el modo de n\u00fameros complejos."}, {"start": 681.0, "end": 684.0, "text": " Entonces vamos a ingresar a la operaci\u00f3n."}, {"start": 684.0, "end": 691.0, "text": " Para ello utilizamos el bot\u00f3n de fracci\u00f3n y en el numerador vamos a escribir el n\u00famero complejo menos 2 m\u00e1s 7i."}, {"start": 691.0, "end": 702.0, "text": " Entonces bot\u00f3n del signo negativo, luego el 2, despu\u00e9s m\u00e1s 7 y la unidad imaginaria que est\u00e1 encima de esta tecla."}, {"start": 702.0, "end": 704.0, "text": " Entonces la oprimimos."}, {"start": 704.0, "end": 708.0, "text": " All\u00ed tenemos menos 2 m\u00e1s 7i en el numerador de la fracci\u00f3n."}, {"start": 708.0, "end": 710.0, "text": " Ahora pasamos al denominador."}, {"start": 710.0, "end": 717.0, "text": " Para ello con el bot\u00f3n del navegador nos dirigimos hacia abajo y al cursor queda en la parte de abajo de la fracci\u00f3n."}, {"start": 717.0, "end": 723.0, "text": " Y all\u00ed vamos a ingresar el otro n\u00famero complejo, menos 6 menos 4i."}, {"start": 723.0, "end": 730.0, "text": " Entonces bot\u00f3n del signo negativo, el 6, luego el menos de la resta y 4i."}, {"start": 730.0, "end": 734.0, "text": " All\u00ed tenemos entonces los dos n\u00fameros complejos que est\u00e1n dividiendo."}, {"start": 734.0, "end": 742.0, "text": " Oprimimos el signo igual y all\u00ed tenemos el resultado, menos 4 treceavos menos 25 26avos de i."}, {"start": 742.0, "end": 748.0, "text": " El n\u00famero complejo que se obtiene al efectuar la divisi\u00f3n de los dos n\u00fameros complejos dados."}, {"start": 748.0, "end": 777.0, "text": " Esto nos confirma que el procedimiento que hicimos manualmente es correcto."}]

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Ejercicio 2 de ÁNGULOS EN TRIÁNGULOS

#julioprofe explica cómo resolver un ejercicio de Geometría que involucra ángulos en triángulos. Tema: #AngulosEnTriangulos → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHQg9i294ZNB4v-IEphKCEs REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

TENEMOS EN ESTE CASO ESTA FIGURA Y ESTA INFORMACIÓN. Debemos averiguar cuánto vale X y cuánto vale Y. Aquí observamos unas flechitas en los segmentos B, A y C, D. Eso quiere decir que son segmentos paralelos. Entonces vamos a aplicar lo siguiente. Cuando tenemos dos líneas rectas paralelas cortadas por otra recta que es transversal o secante, se forman estos ángulos que son alternos internos y por estar comprendidos entre paralelas son congruentes. Tienen la misma medida. Pues bien, es lo que está sucediendo acá. Podemos decir entonces que este ángulo es congruente con este por ser alternos internos entre paralelas. Entonces estos dos ángulos van a tener la misma medida por ser congruentes. Para este caso tenemos medida del ángulo B a C que se simboliza de esta manera igual con la medida del ángulo A, C, D. Y vamos a reemplazar sus valores. La medida del ángulo B a C nos la da el problema en términos de X. Dice que es X tercios más 40 grados. Y la medida del ángulo A a C, D, aquí lo tenemos, es la que nos da la figura que vale X. Vamos a resolver entonces esta ecuación que es de primer grado o lineal para determinar el valor de X. Allí podríamos multiplicar ambos lados de la igualdad por 3 para deshacernos de este denominador. Entonces tenemos 3 que multiplica a X tercios más 40 grados igual a 3 que multiplica a X, propiedad uniforme. Multiplicamos por 3 a ambos lados de la igualdad. Aquí aplicamos la propiedad distributiva. 3 por X tercios, eso nos da X. Sería 3X sobre 3, el 3 se cancela o se simplifica y nos queda la X. Más 3 por 40 grados, eso nos da 120 grados. Y al otro lado, 3 por X es 3X. Allí podemos dejar 120 grados en el lado izquierdo y pasar esta X al lado derecho. Llegará entonces a restar a este lado. Nos queda 3X menos X. Resolvemos ahora en el lado derecho donde tenemos términos semejantes. 3X menos X nos da 2X. De allí podemos ya despejar X. Para ello dividimos ambos lados de la igualdad por 2. O también este 2 que está multiplicando a este lado pasa al otro lado a dividir. Nos queda entonces 120 grados sobre 2 o dividido entre 2 igual a X. Haciendo esa división nos da 60 grados. Y 60 grados es igual a X. De esa manera ya conocemos el valor de X. Vamos a escribirlo por acá. X vale 60 grados. Ahora vamos a situarnos en este triángulo. Donde sabemos que la medida del ángulo DCE, es decir este ángulo, es X menos 20 grados. Pero ya conocemos el valor de X. X vale 60 grados. Entonces 60 grados menos 20 grados nos da como resultado 40 grados. Ya conocemos la medida de este ángulo. Ahora vamos a situarnos en el triángulo CDE. En ese triángulo, como en todos los triángulos, se cumple que la suma de los ángulos interiores debe dar 180 grados. Entonces tenemos este ángulo cuya medida es 40 grados. Más este ángulo que es de 90 grados es un ángulo recto. Más el otro ángulo cuya medida es Y. Entonces la suma de esos tres ángulos debe darnos 180 grados. Propiedad que cumplen todos los triángulos. Aquí podemos sumar 40 grados más 90 grados. Eso nos da 130 grados. Esto más Y igual a 180 grados. Y resolvemos esa ecuación que también es lineal o de primer grado para encontrar el valor de Y. Si sumamos 130 al lado derecho llegará a restar. Es como restar 130 grados a ambos lados. Y efectuando esa operación nos da como resultado 50 grados. Anotamos ese resultado por acá. Y vale 50 grados. Y de esta manera hemos terminado el ejercicio. X vale 60 grados. Y vale 50 grados en esta figura.

[{"start": 0.0, "end": 7.0, "text": " TENEMOS EN ESTE CASO ESTA FIGURA Y ESTA INFORMACI\u00d3N."}, {"start": 7.0, "end": 10.72, "text": " Debemos averiguar cu\u00e1nto vale X y cu\u00e1nto vale Y."}, {"start": 10.72, "end": 15.74, "text": " Aqu\u00ed observamos unas flechitas en los segmentos B, A y C, D."}, {"start": 15.74, "end": 18.56, "text": " Eso quiere decir que son segmentos paralelos."}, {"start": 18.56, "end": 21.72, "text": " Entonces vamos a aplicar lo siguiente."}, {"start": 21.72, "end": 27.46, "text": " Cuando tenemos dos l\u00edneas rectas paralelas cortadas por otra recta que es transversal"}, {"start": 27.46, "end": 34.94, "text": " o secante, se forman estos \u00e1ngulos que son alternos internos y por estar comprendidos"}, {"start": 34.94, "end": 38.120000000000005, "text": " entre paralelas son congruentes."}, {"start": 38.120000000000005, "end": 40.260000000000005, "text": " Tienen la misma medida."}, {"start": 40.260000000000005, "end": 43.2, "text": " Pues bien, es lo que est\u00e1 sucediendo ac\u00e1."}, {"start": 43.2, "end": 50.0, "text": " Podemos decir entonces que este \u00e1ngulo es congruente con este por ser alternos internos"}, {"start": 50.0, "end": 52.32, "text": " entre paralelas."}, {"start": 52.32, "end": 57.480000000000004, "text": " Entonces estos dos \u00e1ngulos van a tener la misma medida por ser congruentes."}, {"start": 57.480000000000004, "end": 65.6, "text": " Para este caso tenemos medida del \u00e1ngulo B a C que se simboliza de esta manera igual"}, {"start": 65.6, "end": 71.8, "text": " con la medida del \u00e1ngulo A, C, D."}, {"start": 71.8, "end": 74.46000000000001, "text": " Y vamos a reemplazar sus valores."}, {"start": 74.46000000000001, "end": 79.72, "text": " La medida del \u00e1ngulo B a C nos la da el problema en t\u00e9rminos de X."}, {"start": 79.72, "end": 84.56, "text": " Dice que es X tercios m\u00e1s 40 grados."}, {"start": 84.56, "end": 90.84, "text": " Y la medida del \u00e1ngulo A a C, D, aqu\u00ed lo tenemos, es la que nos da la figura que vale"}, {"start": 90.84, "end": 91.84, "text": " X."}, {"start": 91.84, "end": 97.24, "text": " Vamos a resolver entonces esta ecuaci\u00f3n que es de primer grado o lineal para determinar"}, {"start": 97.24, "end": 99.16, "text": " el valor de X."}, {"start": 99.16, "end": 104.2, "text": " All\u00ed podr\u00edamos multiplicar ambos lados de la igualdad por 3 para deshacernos de este"}, {"start": 104.2, "end": 105.32, "text": " denominador."}, {"start": 105.32, "end": 114.39999999999999, "text": " Entonces tenemos 3 que multiplica a X tercios m\u00e1s 40 grados igual a 3 que multiplica a"}, {"start": 114.39999999999999, "end": 116.44, "text": " X, propiedad uniforme."}, {"start": 116.44, "end": 119.83999999999999, "text": " Multiplicamos por 3 a ambos lados de la igualdad."}, {"start": 119.83999999999999, "end": 122.56, "text": " Aqu\u00ed aplicamos la propiedad distributiva."}, {"start": 122.56, "end": 125.67999999999999, "text": " 3 por X tercios, eso nos da X."}, {"start": 125.67999999999999, "end": 131.4, "text": " Ser\u00eda 3X sobre 3, el 3 se cancela o se simplifica y nos queda la X."}, {"start": 131.4, "end": 136.16, "text": " M\u00e1s 3 por 40 grados, eso nos da 120 grados."}, {"start": 136.16, "end": 140.16, "text": " Y al otro lado, 3 por X es 3X."}, {"start": 140.16, "end": 145.96, "text": " All\u00ed podemos dejar 120 grados en el lado izquierdo y pasar esta X al lado derecho."}, {"start": 145.96, "end": 148.76, "text": " Llegar\u00e1 entonces a restar a este lado."}, {"start": 148.76, "end": 151.24, "text": " Nos queda 3X menos X."}, {"start": 151.24, "end": 155.92000000000002, "text": " Resolvemos ahora en el lado derecho donde tenemos t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 155.92000000000002, "end": 159.68, "text": " 3X menos X nos da 2X."}, {"start": 159.68, "end": 162.16, "text": " De all\u00ed podemos ya despejar X."}, {"start": 162.16, "end": 165.48000000000002, "text": " Para ello dividimos ambos lados de la igualdad por 2."}, {"start": 165.48000000000002, "end": 171.32, "text": " O tambi\u00e9n este 2 que est\u00e1 multiplicando a este lado pasa al otro lado a dividir."}, {"start": 171.32, "end": 178.48000000000002, "text": " Nos queda entonces 120 grados sobre 2 o dividido entre 2 igual a X."}, {"start": 178.48000000000002, "end": 181.52, "text": " Haciendo esa divisi\u00f3n nos da 60 grados."}, {"start": 181.52, "end": 184.60000000000002, "text": " Y 60 grados es igual a X."}, {"start": 184.60000000000002, "end": 187.56, "text": " De esa manera ya conocemos el valor de X."}, {"start": 187.56, "end": 190.0, "text": " Vamos a escribirlo por ac\u00e1."}, {"start": 190.0, "end": 193.44, "text": " X vale 60 grados."}, {"start": 193.44, "end": 196.32, "text": " Ahora vamos a situarnos en este tri\u00e1ngulo."}, {"start": 196.32, "end": 205.84, "text": " Donde sabemos que la medida del \u00e1ngulo DCE, es decir este \u00e1ngulo, es X menos 20 grados."}, {"start": 205.84, "end": 208.04, "text": " Pero ya conocemos el valor de X."}, {"start": 208.04, "end": 210.28, "text": " X vale 60 grados."}, {"start": 210.28, "end": 215.48000000000002, "text": " Entonces 60 grados menos 20 grados nos da como resultado 40 grados."}, {"start": 215.48, "end": 218.64, "text": " Ya conocemos la medida de este \u00e1ngulo."}, {"start": 218.64, "end": 222.51999999999998, "text": " Ahora vamos a situarnos en el tri\u00e1ngulo CDE."}, {"start": 222.51999999999998, "end": 229.23999999999998, "text": " En ese tri\u00e1ngulo, como en todos los tri\u00e1ngulos, se cumple que la suma de los \u00e1ngulos interiores"}, {"start": 229.23999999999998, "end": 232.23999999999998, "text": " debe dar 180 grados."}, {"start": 232.23999999999998, "end": 237.28, "text": " Entonces tenemos este \u00e1ngulo cuya medida es 40 grados."}, {"start": 237.28, "end": 243.23999999999998, "text": " M\u00e1s este \u00e1ngulo que es de 90 grados es un \u00e1ngulo recto."}, {"start": 243.24, "end": 246.92000000000002, "text": " M\u00e1s el otro \u00e1ngulo cuya medida es Y."}, {"start": 246.92000000000002, "end": 252.56, "text": " Entonces la suma de esos tres \u00e1ngulos debe darnos 180 grados."}, {"start": 252.56, "end": 254.96, "text": " Propiedad que cumplen todos los tri\u00e1ngulos."}, {"start": 254.96, "end": 258.6, "text": " Aqu\u00ed podemos sumar 40 grados m\u00e1s 90 grados."}, {"start": 258.6, "end": 261.40000000000003, "text": " Eso nos da 130 grados."}, {"start": 261.40000000000003, "end": 265.12, "text": " Esto m\u00e1s Y igual a 180 grados."}, {"start": 265.12, "end": 270.72, "text": " Y resolvemos esa ecuaci\u00f3n que tambi\u00e9n es lineal o de primer grado para encontrar el"}, {"start": 270.72, "end": 272.08, "text": " valor de Y."}, {"start": 272.08, "end": 275.8, "text": " Si sumamos 130 al lado derecho llegar\u00e1 a restar."}, {"start": 275.8, "end": 280.0, "text": " Es como restar 130 grados a ambos lados."}, {"start": 280.0, "end": 285.8, "text": " Y efectuando esa operaci\u00f3n nos da como resultado 50 grados."}, {"start": 285.8, "end": 290.0, "text": " Anotamos ese resultado por ac\u00e1."}, {"start": 290.0, "end": 292.32, "text": " Y vale 50 grados."}, {"start": 292.32, "end": 295.96, "text": " Y de esta manera hemos terminado el ejercicio."}, {"start": 295.96, "end": 297.96, "text": " X vale 60 grados."}, {"start": 297.96, "end": 302.32, "text": " Y vale 50 grados en esta figura."}]

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DERIVADAS PARCIALES - Ejercicio 10

#julioprofe explica cómo hallar las primeras derivadas parciales de una función que depende de tres variables. Tema: #DerivadasParciales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwE5sy6Z6D7DCmBY74P0qkCG REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para esta función que depende de tres variables, vamos a determinar sus primeras derivadas parciales. Comenzamos reescribiendo este cociente z sobre x, entonces nos queda z por x a la menos 1. Entonces vamos a comenzar obteniendo f sub x, es decir, la derivada parcial de f con respecto a la variable x. En ese caso recordemos que las variables y y z se comportan como constantes. Entonces si revisamos esta expresión vemos que la x o sea la variable se encuentra en el exponente. Tenemos entonces allí el caso de una función exponencial. Para ello vamos a recordar cómo se deriva ese tipo de funciones, a elevada a la manzanita, a es una constante y la manzanita contiene la variable. La derivada de esta función exponencial es a a la manzanita por el logaritmo natural de a por la derivada de la manzanita. Es la regla de la cadena para una función exponencial. Entonces siguiendo esta instrucción vamos a derivar esto. Tendríamos entonces a la manzanita, o sea la misma expresión y elevada al producto z por x a la menos 1, esto por el logaritmo natural de a, o sea logaritmo natural de la base, que es y, que recordemos es constante, y esto por la derivada de la manzanita, es decir, por la derivada con respecto a x de esto que tenemos en el exponente, es decir, de z x a la menos 1, que es lo que actúa como la manzanita. Nos concentramos ahora en el desarrollo de esta derivada parcial, esto vamos a dejarlo igual, solamente cambiamos aquí z por x a la menos 1 como z sobre x, es decir, como el cosiente que aparece originalmente, esto por logaritmo natural de y, y esto por la derivada con respecto a x de esta expresión, recordemos que z es constante, entonces aquí baja el exponente menos 1, baja a multiplicar con z, nos queda menos z por x a la menos 1 menos 1, que es menos 2, protegemos entonces esa cantidad que es negativa. Ahora lo que hacemos es organizar esta expresión para que no nos quede con exponente negativo, entonces la derivada parcial de f con respecto a x será igual a lo siguiente, comenzamos asegurando el signo menos, ese signo negativo, y vamos a armar una fracción, porque x a la menos 2 se ubica ahora en el denominador como x al cuadrado, en el numerador tendremos lo siguiente, comenzamos por z que multiplica con esta expresión y a la z sobre x, y eso multiplicado por el logaritmo natural de y, allí tenemos entonces la primera respuesta, es la derivada parcial de la función con respecto a la variable x, seguimos con la derivada parcial de la función con respecto a la variable y, f sub y que también se puede expresar de esta manera, en ese caso x y z se comportan como constantes, entonces si revisamos esta expresión vemos que la variable y está en la base, entonces vamos a utilizar este modelo, la derivada de manzanita a la n, la regla de la cadena para potencias, allí baja el exponente n por la manzanita que queda intacta elevada al exponente n menos 1 y eso multiplicado por la derivada interna o la derivada de la manzanita, en este caso la manzanita está representada por y, y n está representada por zx a la menos 1, vamos entonces a derivar siguiendo este modelo, tenemos entonces n, es decir z por x a la menos 1 que multiplica a la manzanita que es y elevada al exponente n menos 1, es decir zx a la menos 1, todo esto menos 1 y eso multiplicado por la derivada interna, o sea la derivada de la base, en este caso sería la derivada de y con respecto a ella misma, esa derivada nos da 1. Ahora vamos a reescribir esta expresión de una forma más simple y sin que quede con exponentes negativos, entonces la derivada parcial de f con respecto a y será igual a lo siguiente, otra vez tendremos una fracción porque x a la menos 1 se sitúa en el denominador como x, arriba nos queda z por 1 que sería z y que multiplica a esta expresión y a la z por x a la menos 1 que es z sobre x y eso menos 1, esa resta la podemos dejar así expresada. Entonces aquí tenemos la derivada parcial de la función con respecto a la variable y. Finalmente vamos a determinar la derivada parcial de la función con respecto a z que también se puede escribir de esta manera, entonces en este caso x y se comportan como constantes, si realizamos esta expresión vemos que la variable z está otra vez en el exponente, tendríamos allí una función exponencial, otra vez vamos a utilizar este modelo, la derivada de a a la manzanita que es ella misma a la manzanita por logaritmo natural de a por la derivada de la manzanita. Entonces siguiendo este modelo derivamos parcialmente esta expresión con respecto a z, comenzamos con a a la manzanita, o sea esto mismo y elevada al exponente z por x a la menos 1, esto por logaritmo natural de a, es decir logaritmo natural de y que es la base y esto por la derivada de la manzanita, o sea la derivada parcial con respecto a z de la manzanita que es z por x a la menos 1. Nos concentramos ahora en resolver esta derivada, todo lo demás permanece igual, bueno aunque aquí podemos cambiar z por x a la menos 1 por la fracción z sobre x, esto por logaritmo natural de y y vamos con esta derivada, como vamos a derivar esto con respecto a z vemos que z está acompañado de un componente de x a la menos 1 que es constante, recordemos que cuando se deriva una constante por una variable, por ejemplo en este caso k por z, si derivamos esto con respecto a z entonces nos da k, en este caso la constante que acompaña a la variable, es decir x a la menos 1. Finalizamos entonces acomodando esta expresión para que no nos quede con exponente negativo, decimos que la derivada parcial de la función con respecto a z es igual a lo siguiente, armamos una fracción donde en el denominador nos queda x, x a la menos 1 se traslada al denominador como x a la 1 o simplemente de x y en el numerador nos quedan estos dos componentes, y elevada al cosiente z sobre x por logaritmo natural de y, de esta manera hemos obtenido la derivada parcial de la función con respecto a la variable z. De esta manera terminamos este ejercicio, hemos obtenido las primeras derivadas parciales para esa función que depende de tres variables.

[{"start": 0.0, "end": 8.92, "text": " Para esta funci\u00f3n que depende de tres variables, vamos a determinar sus primeras derivadas"}, {"start": 8.92, "end": 10.16, "text": " parciales."}, {"start": 10.16, "end": 19.12, "text": " Comenzamos reescribiendo este cociente z sobre x, entonces nos queda z por x a la menos 1."}, {"start": 19.12, "end": 25.560000000000002, "text": " Entonces vamos a comenzar obteniendo f sub x, es decir, la derivada parcial de f con"}, {"start": 25.56, "end": 32.48, "text": " respecto a la variable x. En ese caso recordemos que las variables y y z se comportan como"}, {"start": 32.48, "end": 39.08, "text": " constantes. Entonces si revisamos esta expresi\u00f3n vemos que la x o sea la variable se encuentra"}, {"start": 39.08, "end": 44.8, "text": " en el exponente. Tenemos entonces all\u00ed el caso de una funci\u00f3n exponencial."}, {"start": 44.8, "end": 50.4, "text": " Para ello vamos a recordar c\u00f3mo se deriva ese tipo de funciones, a elevada a la manzanita,"}, {"start": 50.4, "end": 55.64, "text": " a es una constante y la manzanita contiene la variable. La derivada de esta funci\u00f3n"}, {"start": 55.64, "end": 65.52, "text": " exponencial es a a la manzanita por el logaritmo natural de a por la derivada de la manzanita."}, {"start": 65.52, "end": 70.32, "text": " Es la regla de la cadena para una funci\u00f3n exponencial."}, {"start": 70.32, "end": 76.0, "text": " Entonces siguiendo esta instrucci\u00f3n vamos a derivar esto. Tendr\u00edamos entonces a la manzanita,"}, {"start": 76.0, "end": 83.32, "text": " o sea la misma expresi\u00f3n y elevada al producto z por x a la menos 1, esto por el logaritmo"}, {"start": 83.32, "end": 89.08, "text": " natural de a, o sea logaritmo natural de la base, que es y, que recordemos es constante,"}, {"start": 89.08, "end": 94.92, "text": " y esto por la derivada de la manzanita, es decir, por la derivada con respecto a x de"}, {"start": 94.92, "end": 101.68, "text": " esto que tenemos en el exponente, es decir, de z x a la menos 1, que es lo que act\u00faa"}, {"start": 101.68, "end": 108.12, "text": " como la manzanita. Nos concentramos ahora en el desarrollo de esta derivada parcial,"}, {"start": 108.12, "end": 114.76, "text": " esto vamos a dejarlo igual, solamente cambiamos aqu\u00ed z por x a la menos 1 como z sobre x,"}, {"start": 114.76, "end": 120.56, "text": " es decir, como el cosiente que aparece originalmente, esto por logaritmo natural de y, y esto por"}, {"start": 120.56, "end": 126.64000000000001, "text": " la derivada con respecto a x de esta expresi\u00f3n, recordemos que z es constante, entonces aqu\u00ed"}, {"start": 126.64, "end": 133.12, "text": " baja el exponente menos 1, baja a multiplicar con z, nos queda menos z por x a la menos"}, {"start": 133.12, "end": 140.0, "text": " 1 menos 1, que es menos 2, protegemos entonces esa cantidad que es negativa. Ahora lo que"}, {"start": 140.0, "end": 146.64, "text": " hacemos es organizar esta expresi\u00f3n para que no nos quede con exponente negativo, entonces"}, {"start": 146.64, "end": 152.92000000000002, "text": " la derivada parcial de f con respecto a x ser\u00e1 igual a lo siguiente, comenzamos asegurando"}, {"start": 152.92, "end": 159.35999999999999, "text": " el signo menos, ese signo negativo, y vamos a armar una fracci\u00f3n, porque x a la menos"}, {"start": 159.35999999999999, "end": 165.64, "text": " 2 se ubica ahora en el denominador como x al cuadrado, en el numerador tendremos lo"}, {"start": 165.64, "end": 173.88, "text": " siguiente, comenzamos por z que multiplica con esta expresi\u00f3n y a la z sobre x, y eso"}, {"start": 173.88, "end": 180.72, "text": " multiplicado por el logaritmo natural de y, all\u00ed tenemos entonces la primera respuesta,"}, {"start": 180.72, "end": 188.0, "text": " es la derivada parcial de la funci\u00f3n con respecto a la variable x, seguimos con la derivada"}, {"start": 188.0, "end": 194.42, "text": " parcial de la funci\u00f3n con respecto a la variable y, f sub y que tambi\u00e9n se puede expresar"}, {"start": 194.42, "end": 201.16, "text": " de esta manera, en ese caso x y z se comportan como constantes, entonces si revisamos esta"}, {"start": 201.16, "end": 207.76, "text": " expresi\u00f3n vemos que la variable y est\u00e1 en la base, entonces vamos a utilizar este modelo,"}, {"start": 207.76, "end": 213.12, "text": " la derivada de manzanita a la n, la regla de la cadena para potencias, all\u00ed baja el"}, {"start": 213.12, "end": 220.2, "text": " exponente n por la manzanita que queda intacta elevada al exponente n menos 1 y eso multiplicado"}, {"start": 220.2, "end": 226.88, "text": " por la derivada interna o la derivada de la manzanita, en este caso la manzanita est\u00e1"}, {"start": 226.88, "end": 233.45999999999998, "text": " representada por y, y n est\u00e1 representada por zx a la menos 1, vamos entonces a derivar"}, {"start": 233.46, "end": 240.96, "text": " siguiendo este modelo, tenemos entonces n, es decir z por x a la menos 1 que multiplica"}, {"start": 240.96, "end": 248.64000000000001, "text": " a la manzanita que es y elevada al exponente n menos 1, es decir zx a la menos 1, todo"}, {"start": 248.64000000000001, "end": 254.84, "text": " esto menos 1 y eso multiplicado por la derivada interna, o sea la derivada de la base, en"}, {"start": 254.84, "end": 261.40000000000003, "text": " este caso ser\u00eda la derivada de y con respecto a ella misma, esa derivada nos da 1."}, {"start": 261.4, "end": 266.47999999999996, "text": " Ahora vamos a reescribir esta expresi\u00f3n de una forma m\u00e1s simple y sin que quede con"}, {"start": 266.47999999999996, "end": 272.52, "text": " exponentes negativos, entonces la derivada parcial de f con respecto a y ser\u00e1 igual"}, {"start": 272.52, "end": 279.64, "text": " a lo siguiente, otra vez tendremos una fracci\u00f3n porque x a la menos 1 se sit\u00faa en el denominador"}, {"start": 279.64, "end": 287.15999999999997, "text": " como x, arriba nos queda z por 1 que ser\u00eda z y que multiplica a esta expresi\u00f3n y a la"}, {"start": 287.16, "end": 296.24, "text": " z por x a la menos 1 que es z sobre x y eso menos 1, esa resta la podemos dejar as\u00ed expresada."}, {"start": 296.24, "end": 301.6, "text": " Entonces aqu\u00ed tenemos la derivada parcial de la funci\u00f3n con respecto a la variable"}, {"start": 301.6, "end": 302.6, "text": " y."}, {"start": 302.6, "end": 308.6, "text": " Finalmente vamos a determinar la derivada parcial de la funci\u00f3n con respecto a z que"}, {"start": 308.6, "end": 315.08000000000004, "text": " tambi\u00e9n se puede escribir de esta manera, entonces en este caso x y se comportan como"}, {"start": 315.08, "end": 320.64, "text": " constantes, si realizamos esta expresi\u00f3n vemos que la variable z est\u00e1 otra vez en"}, {"start": 320.64, "end": 326.59999999999997, "text": " el exponente, tendr\u00edamos all\u00ed una funci\u00f3n exponencial, otra vez vamos a utilizar este"}, {"start": 326.59999999999997, "end": 334.0, "text": " modelo, la derivada de a a la manzanita que es ella misma a la manzanita por logaritmo"}, {"start": 334.0, "end": 338.79999999999995, "text": " natural de a por la derivada de la manzanita."}, {"start": 338.79999999999995, "end": 344.91999999999996, "text": " Entonces siguiendo este modelo derivamos parcialmente esta expresi\u00f3n con respecto a z, comenzamos"}, {"start": 344.92, "end": 352.40000000000003, "text": " con a a la manzanita, o sea esto mismo y elevada al exponente z por x a la menos 1, esto por"}, {"start": 352.40000000000003, "end": 358.20000000000005, "text": " logaritmo natural de a, es decir logaritmo natural de y que es la base y esto por la"}, {"start": 358.20000000000005, "end": 364.36, "text": " derivada de la manzanita, o sea la derivada parcial con respecto a z de la manzanita que"}, {"start": 364.36, "end": 369.08000000000004, "text": " es z por x a la menos 1."}, {"start": 369.08, "end": 375.08, "text": " Nos concentramos ahora en resolver esta derivada, todo lo dem\u00e1s permanece igual, bueno aunque"}, {"start": 375.08, "end": 382.2, "text": " aqu\u00ed podemos cambiar z por x a la menos 1 por la fracci\u00f3n z sobre x, esto por logaritmo"}, {"start": 382.2, "end": 388.24, "text": " natural de y y vamos con esta derivada, como vamos a derivar esto con respecto a z vemos"}, {"start": 388.24, "end": 393.4, "text": " que z est\u00e1 acompa\u00f1ado de un componente de x a la menos 1 que es constante, recordemos"}, {"start": 393.4, "end": 398.84, "text": " que cuando se deriva una constante por una variable, por ejemplo en este caso k por z,"}, {"start": 398.84, "end": 405.35999999999996, "text": " si derivamos esto con respecto a z entonces nos da k, en este caso la constante que acompa\u00f1a"}, {"start": 405.35999999999996, "end": 409.56, "text": " a la variable, es decir x a la menos 1."}, {"start": 409.56, "end": 415.08, "text": " Finalizamos entonces acomodando esta expresi\u00f3n para que no nos quede con exponente negativo,"}, {"start": 415.08, "end": 420.28, "text": " decimos que la derivada parcial de la funci\u00f3n con respecto a z es igual a lo siguiente,"}, {"start": 420.28, "end": 426.35999999999996, "text": " armamos una fracci\u00f3n donde en el denominador nos queda x, x a la menos 1 se traslada al"}, {"start": 426.36, "end": 431.12, "text": " denominador como x a la 1 o simplemente de x y en el numerador nos quedan estos dos"}, {"start": 431.12, "end": 439.68, "text": " componentes, y elevada al cosiente z sobre x por logaritmo natural de y, de esta manera"}, {"start": 439.68, "end": 447.08000000000004, "text": " hemos obtenido la derivada parcial de la funci\u00f3n con respecto a la variable z."}, {"start": 447.08000000000004, "end": 452.66, "text": " De esta manera terminamos este ejercicio, hemos obtenido las primeras derivadas parciales"}, {"start": 452.66, "end": 456.48, "text": " para esa funci\u00f3n que depende de tres variables."}]

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PRODUCTOS NOTABLES: SUMA POR DIFERENCIA (Ejercicio 4)

#julioprofe explica cómo aplicar el Producto Notable llamado Suma por Diferencia. Tema: #ProductosNotables → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGZ0Uc88U7suZlA784fjzzj REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta multiplicación de tres binomios aplicando un producto notable que se llama suma por diferencia. Comenzamos escribiendo este factor de primero y a su vez allí vamos a cambiar la posición de esos dos términos, es decir, vamos a aplicar la propiedad conmutativa de la suma. El orden de los sumandos no altera el resultado. Entonces vamos a escribir en este factor primero el término 5t a la 6q a la 8 y después este más 12t al cubo. Después vamos a escribir este factor que se queda tal como está, 5p a la 6q a la 8 y esto menos 12t al cubo y enseguida escribimos este que tampoco presenta variación. 144t a la 6 más 25t a la 12q a la 16 y cerramos el paréntesis. Como se observa allí se ha aplicado también la propiedad conmutativa de la multiplicación. El orden de los factores no altera el producto. Primero escribimos este, después va este y el último queda en su lugar. Ahora vamos a aplicar aquí otra propiedad de la multiplicación que es la propiedad asociativa. Si tenemos la multiplicación de tres cantidades podemos armar grupos asociando por ejemplo los dos primeros factores o los dos últimos factores. Es la propiedad asociativa de la multiplicación. En este caso nos conviene agrupar estos dos términos. Entonces eso lo hacemos colocándole un corchete que encierre esa operación. Allí estamos aplicando entonces la propiedad asociativa de la multiplicación. En eso que agrupamos se observa la suma de dos cantidades multiplicada por la diferencia o resta de ellas y es allí cuando aplicamos el producto notable llamado suma por diferencia y que nos da como resultado una diferencia de cuadrados perfectos. La primera cantidad al cuadrado menos la segunda cantidad elevada al cuadrado. Entonces aquí está sucediendo eso. Vamos a aplicar entonces este producto notable llamado suma por diferencia. Comenzamos con la primera cantidad que es 5p a la 6, q a la 8, todo esto elevado al cuadrado menos la segunda cantidad que es 12t al cubo, todo eso protegido con paréntesis y elevado al cuadrado y seguimos manteniendo los corchetes que protegen esta operación y a su vez tenemos que dejar el último factor allí acompañando. 444t a la 6 más 25p a la 12, q a la 16 y le cerramos en paréntesis. Desarrollamos ahora estas dos potencias. Allí aplicamos otra propiedad de la potenciación que dice que si tenemos el producto de varias cantidades todo es elevado a un exponente n. Entonces ese exponente afecta a cada uno de los factores, se reparte para cada uno de ellos. Entonces acá tendremos lo siguiente, 5 al cuadrado por p a la 6, todo esto al cuadrado, por eso debemos colocarle paréntesis y eso por q a la 8 que también queda al cuadrado. Después tenemos menos, aquí la misma situación pero ahora con dos factores, cada uno queda elevado al cuadrado. Entonces 12 al cuadrado por t al cubo que también debe protegerse con paréntesis para elevarlo al cuadrado. Colocamos el corchete que protege toda esa operación y escribimos el último factor, 144t a la 6 más 25p a la 12, q a la 16 y cerramos en paréntesis. Colocamos ahora lo que tenemos dentro de los corchetes, por acá 5 al cuadrado nos da 25, acá tenemos una potencia elevada a otro exponente, aplicamos entonces esta propiedad de la potenciación, para esta situación se deja la misma base y se multiplican los exponentes. Entonces aquí conservamos la base que es p y multiplicamos los exponentes, 6 por 2 nos da 12, acá tenemos la misma situación, conservamos la base que es q y multiplicamos los exponentes, 8 por 2 nos da 16. Después tenemos menos, 12 al cuadrado, 12 por 12 que nos da 144 y esto nos queda acompañado de t a la 3 por 2 que es 6. Ya podemos cambiar ese corchete por paréntesis y anotamos el último factor, 144t a la 6 más 25p a la 12, q a la 16 y cerramos en paréntesis. Tenemos ahora la multiplicación de dos binomios donde también vamos a aplicar el producto notable llamado suma por diferencia. Con ello comenzamos por escribir este factor de primero y allí vamos a cambiar la posición de los términos, es decir aplicamos la propiedad conmutativa de la suma. Comenzamos con 25p a la 12, q a la 16 y después más 144t a la 6, allí tenemos entonces ese factor acá cambiando la posición de los sumandos y después escribimos el otro factor que es 25p a la 12, q a la 16 y esto menos 144t a la 6 y cerramos en paréntesis. Allí tenemos entonces la configuración del producto notable que veníamos mencionando, suma por diferencia a más b por a menos b y que como decíamos produce como resultado una diferencia de cuadrados perfectos. Aquí tenemos entonces esa situación, vamos a resolverla aplicando este producto notable. Será entonces la primera cantidad al cuadrado, es decir 25p a la 12, q a la 16, todo esto elevado al cuadrado menos la segunda cantidad que es 144t a la 6 y todo esto elevado al cuadrado. Ahora resolvemos cada una de estas potencias aplicando las propiedades de la potenciación que ya mencionamos, por ejemplo acá el exponente 2 afecta cada uno de estos factores, cada uno de esos componentes que están multiplicando entre sí, entonces nos queda 25 al cuadrado, esto por p a la 12, todo esto entre paréntesis al cuadrado y eso por q a la 16 también protegido con paréntesis y elevado al cuadrado. Pasamos al otro término, también hay dos cantidades que están elevadas al cuadrado, esas cantidades están multiplicando entre sí, entonces el exponente 2 afecta a cada una de ellas, nos queda 144 al cuadrado y esto por t a la 6, todo eso elevado al cuadrado. Seguimos resolviendo, por acá 25 al cuadrado, es decir 25 por 25 nos da 625, acá dejamos la misma base y multiplicamos los exponentes, tal como vemos ahora en la propiedad que se llama potencia de una potencia, 12 por 2 es 24, acá dejamos la base que es q y multiplicamos los exponentes, 16 por 2 que es 32, ahora tenemos 144 al cuadrado, es decir 144 por 144 eso nos da 20736 y queda acompañado de t y acá multiplicamos los exponentes, 6 por 2 nos da 12. De esta manera terminamos el ejercicio, esta expresión es la respuesta para esa multiplicación de tres binomios que teníamos inicialmente, como vimos esta situación se resolvió aplicando el producto notable llamado suma por diferencia. Muchas gracias.

[{"start": 0.0, "end": 8.9, "text": " Vamos a resolver esta multiplicaci\u00f3n de tres binomios aplicando un producto notable que"}, {"start": 8.9, "end": 11.540000000000001, "text": " se llama suma por diferencia."}, {"start": 11.540000000000001, "end": 16.740000000000002, "text": " Comenzamos escribiendo este factor de primero y a su vez all\u00ed vamos a cambiar la posici\u00f3n"}, {"start": 16.740000000000002, "end": 22.900000000000002, "text": " de esos dos t\u00e9rminos, es decir, vamos a aplicar la propiedad conmutativa de la suma."}, {"start": 22.900000000000002, "end": 25.86, "text": " El orden de los sumandos no altera el resultado."}, {"start": 25.86, "end": 35.74, "text": " Entonces vamos a escribir en este factor primero el t\u00e9rmino 5t a la 6q a la 8 y despu\u00e9s este"}, {"start": 35.74, "end": 39.56, "text": " m\u00e1s 12t al cubo."}, {"start": 39.56, "end": 46.879999999999995, "text": " Despu\u00e9s vamos a escribir este factor que se queda tal como est\u00e1, 5p a la 6q a la 8"}, {"start": 46.879999999999995, "end": 55.36, "text": " y esto menos 12t al cubo y enseguida escribimos este que tampoco presenta variaci\u00f3n."}, {"start": 55.36, "end": 68.3, "text": " 144t a la 6 m\u00e1s 25t a la 12q a la 16 y cerramos el par\u00e9ntesis."}, {"start": 68.3, "end": 73.86, "text": " Como se observa all\u00ed se ha aplicado tambi\u00e9n la propiedad conmutativa de la multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 73.86, "end": 77.28, "text": " El orden de los factores no altera el producto."}, {"start": 77.28, "end": 81.9, "text": " Primero escribimos este, despu\u00e9s va este y el \u00faltimo queda en su lugar."}, {"start": 81.9, "end": 86.7, "text": " Ahora vamos a aplicar aqu\u00ed otra propiedad de la multiplicaci\u00f3n que es la propiedad"}, {"start": 86.7, "end": 88.06, "text": " asociativa."}, {"start": 88.06, "end": 94.34, "text": " Si tenemos la multiplicaci\u00f3n de tres cantidades podemos armar grupos asociando por ejemplo"}, {"start": 94.34, "end": 99.7, "text": " los dos primeros factores o los dos \u00faltimos factores."}, {"start": 99.7, "end": 103.64000000000001, "text": " Es la propiedad asociativa de la multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 103.64000000000001, "end": 107.34, "text": " En este caso nos conviene agrupar estos dos t\u00e9rminos."}, {"start": 107.34, "end": 113.94, "text": " Entonces eso lo hacemos coloc\u00e1ndole un corchete que encierre esa operaci\u00f3n."}, {"start": 113.94, "end": 119.74000000000001, "text": " All\u00ed estamos aplicando entonces la propiedad asociativa de la multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 119.74000000000001, "end": 125.94, "text": " En eso que agrupamos se observa la suma de dos cantidades multiplicada por la diferencia"}, {"start": 125.94, "end": 132.86, "text": " o resta de ellas y es all\u00ed cuando aplicamos el producto notable llamado suma por diferencia"}, {"start": 132.86, "end": 138.22000000000003, "text": " y que nos da como resultado una diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 138.22000000000003, "end": 144.46, "text": " La primera cantidad al cuadrado menos la segunda cantidad elevada al cuadrado."}, {"start": 144.46, "end": 146.76000000000002, "text": " Entonces aqu\u00ed est\u00e1 sucediendo eso."}, {"start": 146.76000000000002, "end": 151.98000000000002, "text": " Vamos a aplicar entonces este producto notable llamado suma por diferencia."}, {"start": 151.98000000000002, "end": 159.34, "text": " Comenzamos con la primera cantidad que es 5p a la 6, q a la 8, todo esto elevado al"}, {"start": 159.34, "end": 168.1, "text": " cuadrado menos la segunda cantidad que es 12t al cubo, todo eso protegido con par\u00e9ntesis"}, {"start": 168.1, "end": 175.86, "text": " y elevado al cuadrado y seguimos manteniendo los corchetes que protegen esta operaci\u00f3n"}, {"start": 175.86, "end": 181.1, "text": " y a su vez tenemos que dejar el \u00faltimo factor all\u00ed acompa\u00f1ando."}, {"start": 181.1, "end": 193.5, "text": " 444t a la 6 m\u00e1s 25p a la 12, q a la 16 y le cerramos en par\u00e9ntesis."}, {"start": 193.5, "end": 196.62, "text": " Desarrollamos ahora estas dos potencias."}, {"start": 196.62, "end": 202.01999999999998, "text": " All\u00ed aplicamos otra propiedad de la potenciaci\u00f3n que dice que si tenemos el producto de varias"}, {"start": 202.01999999999998, "end": 205.57999999999998, "text": " cantidades todo es elevado a un exponente n."}, {"start": 205.58, "end": 212.58, "text": " Entonces ese exponente afecta a cada uno de los factores, se reparte para cada uno de"}, {"start": 212.58, "end": 213.58, "text": " ellos."}, {"start": 213.58, "end": 222.02, "text": " Entonces ac\u00e1 tendremos lo siguiente, 5 al cuadrado por p a la 6, todo esto al cuadrado,"}, {"start": 222.02, "end": 229.42000000000002, "text": " por eso debemos colocarle par\u00e9ntesis y eso por q a la 8 que tambi\u00e9n queda al cuadrado."}, {"start": 229.42000000000002, "end": 234.66000000000003, "text": " Despu\u00e9s tenemos menos, aqu\u00ed la misma situaci\u00f3n pero ahora con dos factores, cada uno queda"}, {"start": 234.66, "end": 236.78, "text": " elevado al cuadrado."}, {"start": 236.78, "end": 242.74, "text": " Entonces 12 al cuadrado por t al cubo que tambi\u00e9n debe protegerse con par\u00e9ntesis para"}, {"start": 242.74, "end": 245.1, "text": " elevarlo al cuadrado."}, {"start": 245.1, "end": 251.62, "text": " Colocamos el corchete que protege toda esa operaci\u00f3n y escribimos el \u00faltimo factor,"}, {"start": 251.62, "end": 264.18, "text": " 144t a la 6 m\u00e1s 25p a la 12, q a la 16 y cerramos en par\u00e9ntesis."}, {"start": 264.18, "end": 270.82, "text": " Colocamos ahora lo que tenemos dentro de los corchetes, por ac\u00e1 5 al cuadrado nos da 25,"}, {"start": 270.82, "end": 278.18, "text": " ac\u00e1 tenemos una potencia elevada a otro exponente, aplicamos entonces esta propiedad de la potenciaci\u00f3n,"}, {"start": 278.18, "end": 284.18, "text": " para esta situaci\u00f3n se deja la misma base y se multiplican los exponentes."}, {"start": 284.18, "end": 289.86, "text": " Entonces aqu\u00ed conservamos la base que es p y multiplicamos los exponentes, 6 por 2"}, {"start": 289.86, "end": 296.78000000000003, "text": " nos da 12, ac\u00e1 tenemos la misma situaci\u00f3n, conservamos la base que es q y multiplicamos"}, {"start": 296.78000000000003, "end": 300.98, "text": " los exponentes, 8 por 2 nos da 16."}, {"start": 300.98, "end": 309.34000000000003, "text": " Despu\u00e9s tenemos menos, 12 al cuadrado, 12 por 12 que nos da 144 y esto nos queda acompa\u00f1ado"}, {"start": 309.34000000000003, "end": 313.22, "text": " de t a la 3 por 2 que es 6."}, {"start": 313.22, "end": 322.22, "text": " Ya podemos cambiar ese corchete por par\u00e9ntesis y anotamos el \u00faltimo factor, 144t a la 6"}, {"start": 322.22, "end": 331.82000000000005, "text": " m\u00e1s 25p a la 12, q a la 16 y cerramos en par\u00e9ntesis."}, {"start": 331.82000000000005, "end": 337.5, "text": " Tenemos ahora la multiplicaci\u00f3n de dos binomios donde tambi\u00e9n vamos a aplicar el producto"}, {"start": 337.5, "end": 340.70000000000005, "text": " notable llamado suma por diferencia."}, {"start": 340.7, "end": 346.65999999999997, "text": " Con ello comenzamos por escribir este factor de primero y all\u00ed vamos a cambiar la posici\u00f3n"}, {"start": 346.65999999999997, "end": 352.5, "text": " de los t\u00e9rminos, es decir aplicamos la propiedad conmutativa de la suma."}, {"start": 352.5, "end": 366.18, "text": " Comenzamos con 25p a la 12, q a la 16 y despu\u00e9s m\u00e1s 144t a la 6, all\u00ed tenemos entonces ese"}, {"start": 366.18, "end": 371.90000000000003, "text": " factor ac\u00e1 cambiando la posici\u00f3n de los sumandos y despu\u00e9s escribimos el otro factor"}, {"start": 371.90000000000003, "end": 384.9, "text": " que es 25p a la 12, q a la 16 y esto menos 144t a la 6 y cerramos en par\u00e9ntesis."}, {"start": 384.9, "end": 391.14, "text": " All\u00ed tenemos entonces la configuraci\u00f3n del producto notable que ven\u00edamos mencionando,"}, {"start": 391.14, "end": 397.78, "text": " suma por diferencia a m\u00e1s b por a menos b y que como dec\u00edamos produce como resultado"}, {"start": 397.78, "end": 400.58, "text": " una diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 400.58, "end": 407.18, "text": " Aqu\u00ed tenemos entonces esa situaci\u00f3n, vamos a resolverla aplicando este producto notable."}, {"start": 407.18, "end": 416.46, "text": " Ser\u00e1 entonces la primera cantidad al cuadrado, es decir 25p a la 12, q a la 16, todo esto"}, {"start": 416.46, "end": 427.02, "text": " elevado al cuadrado menos la segunda cantidad que es 144t a la 6 y todo esto elevado al"}, {"start": 427.02, "end": 428.65999999999997, "text": " cuadrado."}, {"start": 428.65999999999997, "end": 434.26, "text": " Ahora resolvemos cada una de estas potencias aplicando las propiedades de la potenciaci\u00f3n"}, {"start": 434.26, "end": 440.53999999999996, "text": " que ya mencionamos, por ejemplo ac\u00e1 el exponente 2 afecta cada uno de estos factores, cada"}, {"start": 440.54, "end": 446.86, "text": " uno de esos componentes que est\u00e1n multiplicando entre s\u00ed, entonces nos queda 25 al cuadrado,"}, {"start": 446.86, "end": 456.18, "text": " esto por p a la 12, todo esto entre par\u00e9ntesis al cuadrado y eso por q a la 16 tambi\u00e9n protegido"}, {"start": 456.18, "end": 459.18, "text": " con par\u00e9ntesis y elevado al cuadrado."}, {"start": 459.18, "end": 464.18, "text": " Pasamos al otro t\u00e9rmino, tambi\u00e9n hay dos cantidades que est\u00e1n elevadas al cuadrado,"}, {"start": 464.18, "end": 468.94, "text": " esas cantidades est\u00e1n multiplicando entre s\u00ed, entonces el exponente 2 afecta a cada"}, {"start": 468.94, "end": 479.5, "text": " una de ellas, nos queda 144 al cuadrado y esto por t a la 6, todo eso elevado al cuadrado."}, {"start": 479.5, "end": 488.26, "text": " Seguimos resolviendo, por ac\u00e1 25 al cuadrado, es decir 25 por 25 nos da 625, ac\u00e1 dejamos"}, {"start": 488.26, "end": 494.22, "text": " la misma base y multiplicamos los exponentes, tal como vemos ahora en la propiedad que se"}, {"start": 494.22, "end": 502.22, "text": " llama potencia de una potencia, 12 por 2 es 24, ac\u00e1 dejamos la base que es q y multiplicamos"}, {"start": 502.22, "end": 510.66, "text": " los exponentes, 16 por 2 que es 32, ahora tenemos 144 al cuadrado, es decir 144 por"}, {"start": 510.66, "end": 520.26, "text": " 144 eso nos da 20736 y queda acompa\u00f1ado de t y ac\u00e1 multiplicamos los exponentes, 6 por"}, {"start": 520.26, "end": 528.74, "text": " 2 nos da 12. De esta manera terminamos el ejercicio, esta expresi\u00f3n es la respuesta"}, {"start": 528.74, "end": 534.84, "text": " para esa multiplicaci\u00f3n de tres binomios que ten\u00edamos inicialmente, como vimos esta"}, {"start": 534.84, "end": 551.5400000000001, "text": " situaci\u00f3n se resolvi\u00f3 aplicando el producto notable llamado suma por diferencia."}, {"start": 551.54, "end": 565.5799999999999, "text": " Muchas gracias."}]

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30. VECTORES EN CINEMÁTICA (Teoría)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 30: Vectores en Cinemática (Teoría). Conceptos de posición, desplazamiento, velocidad (media e instantánea) y aceleración (media e instantánea). Incluye repaso de las reglas básicas de derivación. Tema: El Movimiento y su Descripción. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

En el estudio de la cinemática vamos a encontrar las siguientes magnitudes vectoriales, la posición, el desplazamiento, la velocidad media, la velocidad instantánea, la aceleración media y la aceleración instantánea. Miremos cada magnitud en detalle. Posición generalmente se denota con R y es el vector que une el origen del sistema de referencia con el punto donde se encuentra el móvil en un instante específico. Supongamos que la partícula se mueve en el sistema de referencia bidimensional con los ejes X y Y definidos en unidades de longitud del sistema internacional, es decir en metros. La partícula sigue la trayectoria de color rojo que se muestra. Entonces tenemos el vector R1 en el instante T1 y el vector R2 en el instante T2. Obsérvese que ambos vectores tienen su origen en el punto 0,0 y sus extremos son los puntos P1 y P2 respectivamente. Las coordenadas de P1 son X1, Y1 y para P2 son X2, Y2. Sabiendo que las componentes de un vector se determinan restando del punto final, el punto inicial, tenemos que el vector R1 puede escribirse también como OP1 y es la diferencia entre los puntos P1 y O, es decir que sus componentes son X1, Y1. De igual manera el vector R2, denotado también como OP2, se define como las coordenadas de P2 menos las coordenadas de O, o sea que sus componentes son X2, Y2. Ambos vectores pueden escribirse así, en términos de los vectores unitarios IJ. En general un vector posición en el plano tiene esta forma. Si se logra establecer una ecuación para la posición en X y otra para la posición Y que muestre como depende cada una del tiempo T, entonces puede recopilarse esa información en lo que se conoce como la ecuación de posición del móvil, donde el vector posición R queda en función del tiempo T. Este tipo de expresión es lo que matemáticamente se conoce como una función vectorial. De forma similar se haría si la partícula se mueve en una línea recta o en el espacio, es decir en los sistemas de referencia unidimensional y tridimensional. En esos casos los vectores posición tienen una y tres componentes respectivamente, en unidades de longitud. También podría determinarse la ecuación de posición en cada caso, si todo se expresa en términos del tiempo T como funciones vectoriales. Es usual llamar ST o SDT a la ecuación de posición de una partícula que presenta movimiento unidimensional. Desplazamiento. Geométricamente es el vector que une dos puntos cualesquiera de la trayectoria de un móvil, puede denotarse como el vector D. Decimos que una partícula tiene desplazamiento cuando presenta cambio de posición. Si el movimiento es rectilíneo, el módulo del vector desplazamiento es igual a la distancia recorrida por el móvil. Es el único caso en que coinciden ambos valores, porque en el caso del movimiento curvilíneo esos valores son diferentes. Por ejemplo, si la partícula describe media circunferencia de radio R, el vector desplazamiento tiene orientación oeste y módulo igual al diámetro, o sea dos veces el radio. Mientras que la distancia o espacio recorrido por el móvil corresponde a la mitad de la longitud de la circunferencia, es decir 2πR sobre 2 que equivale a πR. Vemos entonces que en un movimiento curvilíneo la magnitud del desplazamiento es diferente a la distancia recorrida. Si el movimiento de la partícula ocurre en un sistema de referencia como el bidimensional, el vector desplazamiento une dos puntos de la trayectoria del móvil, como P1 y P2, y se denota como ΔR. Se trata entonces de un vector secante porque su línea de acción toca dos puntos de la curva. Recordemos que la letra griega Δ indica cambio y por eso el desplazamiento de una partícula implica que ella presente un cambio de posición o de lugar. Note que los vectores R1 y ΔR quedan dispuestos de manera consecutiva y el vector R2 se convierte en la suma de ellos por el método del triángulo. Luego la suma de R1 y ΔR da como resultado el vector R2. De esta expresión despejamos ΔR pasando R1 al lado derecho a restar y tenemos que ΔR es igual a R2 menos R1. En otras palabras, el vector desplazamiento se define como la diferencia entre el vector posición final y el vector posición inicial. Como ya teníamos R1 y R2 expresados en términos de sus componentes, se hace la resta entre los valores respectivos de manera muy sencilla. Nos queda entonces que el vector ΔR tiene componentes x2 menos x1 e y2 menos y1 que pueden expresarse como Δx y Δy. Como hemos observado en la anterior situación, el movimiento de la partícula se registra entre los instantes T1 y T2, es decir en el intervalo de tiempo ΔT cuya duración es igual a la diferencia entre T2 y T1. Este concepto nos permite definir la siguiente magnitud vectorial de la cinemática. Velocidad media, se define como el cociente entre el desplazamiento del móvil y el tiempo que emplea en ello. Se trata de una magnitud vectorial por ser el resultado de dividir el vector desplazamiento ΔR entre el escalar ΔT que es el intervalo de tiempo. En unidades del sistema internacional, su módulo se expresa en metros sobre segundo. La dirección y el sentido del vector velocidad media son los mismos del vector desplazamiento ΔR. Si sustituimos el vector ΔR por sus componentes Δx y Δy, tenemos que el escalar ΔT se distribuye dividiendo a cada una de ellas, quedando entonces el vector velocidad media expresado en términos de sus componentes velocidad en x y velocidad en y. Recordemos que en matemáticas una razón es la comparación o el cociente entre dos cantidades, por ejemplo a y b. Pues bien, la velocidad media es justamente la razón entre ΔR que es un cambio de posición y ΔT que es un intervalo de tiempo. Por eso se puede afirmar que la velocidad media es la razón de cambio o tasa de variación media de la posición del móvil con respecto del tiempo. En otras palabras, la velocidad media nos dice que tan rápido la partícula realiza el cambio de posición o de lugar en el lapso de tiempo ΔT. Si ese intervalo de tiempo ΔT se hace muy pequeño, es decir se reduce casi a un instante, entonces es cuando hablamos de la velocidad instantánea, otra magnitud de tipo vectorial en cinemática. Entonces la velocidad instantánea es el vector que resulta de determinar el vector velocidad media cuando ΔT es muy pequeño o se aproxima a cero. La velocidad instantánea podemos denotarla como VT, es decir la velocidad del móvil en el instante T, y lo del lado derecho se puede escribir en un lenguaje simbólico como el límite de la velocidad media cuando ΔT tiende a cero. Sustituyendo el vector velocidad media por su definición, es decir, ΔR sobre ΔT, tenemos una expresión que matemáticamente se conoce como la derivada del vector posición R con respecto del tiempo T, y que se denota como de R de T o R' de T. Por eso en física se dice que en un instante específico la velocidad del móvil es la derivada de su posición. Aquí se observa la estrecha relación que existe entre la física y la matemática, más exactamente con el cálculo. Si la ecuación de posición R de T tiene la forma de una función vectorial con componentes X de T y Y de T para el caso de un movimiento en el plano, entonces al aplicarle la derivada se obtiene la pareja X' de T y Y' de T. A su vez R' de T representa la velocidad en el instante T. X' de T representa la componente X de la velocidad y Y' de T viene siendo la componente Y de la velocidad. De esta manera se obtiene el vector velocidad del móvil en el instante T. Gráficamente este es un vector tangente a la trayectoria en el punto que corresponde al instante T, porque su línea de acción toca solamente ese punto de la curva. Entonces resumiendo, si conocemos la ecuación de posición de una partícula para cualquier tiempo T, la derivamos para obtener la ecuación que nos permite determinar la velocidad del móvil también en cualquier instante T. Aun si la ecuación de posición viene dada de la forma S de T, se sigue aplicando lo mismo. Mediante derivación se obtiene la ecuación para hallar la velocidad en un instante T cualquiera. En realidad la ecuación S de T corresponde a un movimiento unidimensional y prácticamente es lo mismo que decir R de T igual a la componente X de T tomando el eje X como sistema de referencia. No saber derivar en estos momentos no debe ser motivo de preocupación. A continuación haremos un pare y veremos algunas reglas básicas para derivar expresiones. Regla número 1, si tenemos una constante es decir un número real su derivada será 0, por ejemplo la derivada de 7 es 0, la derivada de menos 4 es 0 y la derivada de 15.3 es 0. Regla número 2, si tenemos la variable T su derivada es 1. Regla número 3, si tenemos una constante C que multiplica a la variable T su derivada es la constante C, por ejemplo la derivada de 3T es 3, la derivada de 50T es 50 y la derivada de menos 9T es menos 9. Regla número 4, si tenemos T elevada al exponente N donde N es un número real su derivada es N por T elevada al exponente N menos 1, por ejemplo la derivada de T al cuadrado es 2 por T elevada al exponente 2 menos 1, o sea 2T a la 1 que equivale a 2T. La derivada de T al cubo es 3 por T elevada al exponente 3 menos 1 es decir 3T al cuadrado. Vemos que en este caso el exponente baja a la izquierda a multiplicar a la variable y ese exponente se disminuye en una unidad, así la derivada de T a la 4 es 4T a la 3 o 4T al cubo, la derivada de T a la 5 es 5T a la 4 y la derivada de T a la 18 es 18T a la 17. Regla número 5, si tenemos una constante C que multiplica a la variable T elevada al exponente N donde C y N son números reales su derivada es C por N por T elevada al exponente N menos 1, por ejemplo la derivada de 4T al cuadrado es 4 por 2 por T elevada al exponente 2 menos 1, o sea 8T a la 1 que equivale a 8T. La derivada de 5T al cubo es 5 por 3 por T elevada al exponente 3 menos 1 es decir 15T al cuadrado. Note que el exponente baja a la izquierda a multiplicar el coeficiente de la variable y ese exponente lo disminuimos en una unidad, así la derivada de 6T a la 4 es 24T a la 3 o 24T al cubo y la derivada de 9T a la 5 es 45T a la 4. Finalmente la regla número 6, si vamos a derivar una expresión donde hay suma o resta de varios términos es decir un polinomio entonces derivamos cada uno de los términos, por ejemplo derivemos la expresión 4T al cubo menos 9T al cuadrado menos 14T más 11, entonces procedemos a derivar término por término, la derivada de 4T al cubo es 12T al cuadrado queda listo el primer término, la derivada de menos 9T al cuadrado es menos 18T queda listo el segundo término, la derivada de menos 14T es menos 14 y queda listo el tercer término, finalmente la derivada de 11 es 0 por tratarse de una constante y de esta manera queda listo el cuarto término, este último 0 se puede omitir y entonces la derivada del polinomio es 12T al cuadrado menos 18T menos 14, con estas seis reglas de derivación nos defendemos por ahora. Continuando con las magnitudes vectoriales en cinemática veamos el concepto de aceleración media, supongamos que una partícula tiene una velocidad V1 en el instante T1 y luego en el instante T2 tiene una velocidad V2 diferente a V1 en módulo y orientación, recordemos que en cada punto el vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria del móvil, entonces entre T1 y T2 la partícula modificó su velocidad, ese cambio de velocidad se denota como delta V y es la diferencia entre V2 y V1 es decir la velocidad final menos la velocidad inicial, este trata de una resta de vectores razón por la cual delta V es otro vector, mientras tanto delta T es la diferencia entre T2 y T1 y constituye el intervalo de tiempo en el cual ocurre esa variación en la velocidad del móvil, pues bien la aceleración media se define como el cociente entre delta V y delta T, se trata de una magnitud vectorial por ser la división entre el vector delta V y el escalar delta T, la aceleración media constituye la razón de cambio o tasa de variación media de la velocidad del móvil con respecto del tiempo, en otras palabras nos informa que tan rápido la partícula cambia o modifica su velocidad en el lapso de tiempo delta T, en unidades del sistema internacional el módulo de la aceleración media se expresa en metros sobre segundo cuadrado, su dirección y sentido son los mismos del vector delta V, si el intervalo de tiempo delta T se hace muy pequeño, es decir se convierte casi en un instante, entonces hablamos de la aceleración instantánea, otra magnitud de tipo vectorial en cinemática, entonces la aceleración instantánea es el vector que resulta de determinar el vector aceleración media cuando delta T es muy pequeño o se aproxima a cero, la aceleración instantánea podemos denotarla como ADT, es decir la aceleración del móvil en el instante T y el lado derecho de la igualdad puede escribirse como el límite de la aceleración media cuando delta T tiende a cero, sustituyendo el vector aceleración media por su definición, es decir delta V sobre delta T, tenemos la expresión conocida matemáticamente como la derivada del vector velocidad V con respecto del tiempo T y que se denota como de V de T o V' de T, por eso en física se dice que en un instante específico la aceleración del móvil es la derivada de su velocidad, nuevamente se observa la relación que existe entre la física y el cálculo, si la ecuación de velocidad V de T tiene la forma de una función vectorial con componentes Vx de T y Vy de T para el caso de un movimiento en el plano, entonces la derivada se le aplica a cada componente, quedando la pareja Vx' de T y Vy' de T, a su vez V' de T representa la aceleración en el instante T, Vx' de T representa la componente x de la aceleración y Vy' de T viene siendo la componente y de la aceleración, de esta manera se obtiene el vector aceleración del móvil en el instante T, entonces resumiendo si conocemos la ecuación de velocidad de una partícula para cualquier tiempo T la derivamos para obtener la ecuación que nos permite determinar la aceleración del móvil también en cualquier instante T, finalmente destacamos lo siguiente, si conocemos la posición de un móvil en función del tiempo, bien sea como expresión vectorial o unidimensional, hacemos la derivada con respecto de T para encontrar la velocidad en función del tiempo, es cuando decimos que la velocidad es la primera derivada de la posición, si a su vez derivamos la velocidad con respecto de T, hallamos la aceleración del móvil en términos de T, decimos entonces que la aceleración es la primera derivada de la velocidad, obsérvese que para obtener la aceleración es necesario derivar dos veces la posición, por esa razón se dice también que la aceleración es la segunda derivada de la posición y se denota como R2' de T o S2' de T.

[{"start": 0.0, "end": 19.0, "text": " En el estudio de la cinem\u00e1tica vamos a encontrar las siguientes magnitudes vectoriales, la"}, {"start": 19.0, "end": 26.48, "text": " posici\u00f3n, el desplazamiento, la velocidad media, la velocidad instant\u00e1nea, la aceleraci\u00f3n"}, {"start": 26.48, "end": 34.44, "text": " media y la aceleraci\u00f3n instant\u00e1nea. Miremos cada magnitud en detalle."}, {"start": 34.44, "end": 41.68, "text": " Posici\u00f3n generalmente se denota con R y es el vector que une el origen del sistema de"}, {"start": 41.68, "end": 48.16, "text": " referencia con el punto donde se encuentra el m\u00f3vil en un instante espec\u00edfico."}, {"start": 48.16, "end": 54.6, "text": " Supongamos que la part\u00edcula se mueve en el sistema de referencia bidimensional con los"}, {"start": 54.6, "end": 63.480000000000004, "text": " ejes X y Y definidos en unidades de longitud del sistema internacional, es decir en metros."}, {"start": 63.480000000000004, "end": 69.4, "text": " La part\u00edcula sigue la trayectoria de color rojo que se muestra."}, {"start": 69.4, "end": 79.84, "text": " Entonces tenemos el vector R1 en el instante T1 y el vector R2 en el instante T2."}, {"start": 79.84, "end": 88.52000000000001, "text": " Obs\u00e9rvese que ambos vectores tienen su origen en el punto 0,0 y sus extremos son los puntos"}, {"start": 88.52000000000001, "end": 103.4, "text": " P1 y P2 respectivamente. Las coordenadas de P1 son X1, Y1 y para P2 son X2, Y2."}, {"start": 103.4, "end": 109.96000000000001, "text": " Sabiendo que las componentes de un vector se determinan restando del punto final, el"}, {"start": 109.96000000000001, "end": 119.4, "text": " punto inicial, tenemos que el vector R1 puede escribirse tambi\u00e9n como OP1 y es la diferencia"}, {"start": 119.4, "end": 128.84, "text": " entre los puntos P1 y O, es decir que sus componentes son X1, Y1."}, {"start": 128.84, "end": 137.36, "text": " De igual manera el vector R2, denotado tambi\u00e9n como OP2, se define como las coordenadas de"}, {"start": 137.36, "end": 147.2, "text": " P2 menos las coordenadas de O, o sea que sus componentes son X2, Y2."}, {"start": 147.2, "end": 154.32, "text": " Ambos vectores pueden escribirse as\u00ed, en t\u00e9rminos de los vectores unitarios IJ. En"}, {"start": 154.32, "end": 163.0, "text": " general un vector posici\u00f3n en el plano tiene esta forma. Si se logra establecer una ecuaci\u00f3n"}, {"start": 163.0, "end": 170.51999999999998, "text": " para la posici\u00f3n en X y otra para la posici\u00f3n Y que muestre como depende cada una del tiempo"}, {"start": 170.51999999999998, "end": 179.0, "text": " T, entonces puede recopilarse esa informaci\u00f3n en lo que se conoce como la ecuaci\u00f3n de posici\u00f3n"}, {"start": 179.0, "end": 186.62, "text": " del m\u00f3vil, donde el vector posici\u00f3n R queda en funci\u00f3n del tiempo T. Este tipo de expresi\u00f3n"}, {"start": 186.62, "end": 194.32, "text": " es lo que matem\u00e1ticamente se conoce como una funci\u00f3n vectorial. De forma similar se"}, {"start": 194.32, "end": 202.8, "text": " har\u00eda si la part\u00edcula se mueve en una l\u00ednea recta o en el espacio, es decir en los sistemas"}, {"start": 202.8, "end": 210.48000000000002, "text": " de referencia unidimensional y tridimensional. En esos casos los vectores posici\u00f3n tienen"}, {"start": 210.48000000000002, "end": 218.68, "text": " una y tres componentes respectivamente, en unidades de longitud. Tambi\u00e9n podr\u00eda determinarse"}, {"start": 218.68, "end": 225.88000000000002, "text": " la ecuaci\u00f3n de posici\u00f3n en cada caso, si todo se expresa en t\u00e9rminos del tiempo T"}, {"start": 225.88, "end": 234.6, "text": " como funciones vectoriales. Es usual llamar ST o SDT a la ecuaci\u00f3n de posici\u00f3n de una"}, {"start": 234.6, "end": 242.07999999999998, "text": " part\u00edcula que presenta movimiento unidimensional. Desplazamiento. Geom\u00e9tricamente es el vector"}, {"start": 242.07999999999998, "end": 249.48, "text": " que une dos puntos cualesquiera de la trayectoria de un m\u00f3vil, puede denotarse como el vector"}, {"start": 249.48, "end": 258.32, "text": " D. Decimos que una part\u00edcula tiene desplazamiento cuando presenta cambio de posici\u00f3n. Si el"}, {"start": 258.32, "end": 265.92, "text": " movimiento es rectil\u00edneo, el m\u00f3dulo del vector desplazamiento es igual a la distancia"}, {"start": 265.92, "end": 272.92, "text": " recorrida por el m\u00f3vil. Es el \u00fanico caso en que coinciden ambos valores, porque en"}, {"start": 272.92, "end": 280.72, "text": " el caso del movimiento curvil\u00edneo esos valores son diferentes. Por ejemplo, si la part\u00edcula"}, {"start": 280.72, "end": 289.96000000000004, "text": " describe media circunferencia de radio R, el vector desplazamiento tiene orientaci\u00f3n"}, {"start": 289.96000000000004, "end": 297.84000000000003, "text": " oeste y m\u00f3dulo igual al di\u00e1metro, o sea dos veces el radio. Mientras que la distancia"}, {"start": 297.84, "end": 304.4, "text": " o espacio recorrido por el m\u00f3vil corresponde a la mitad de la longitud de la circunferencia,"}, {"start": 304.4, "end": 313.9, "text": " es decir 2\u03c0R sobre 2 que equivale a \u03c0R. Vemos entonces que en un movimiento curvil\u00edneo"}, {"start": 313.9, "end": 320.64, "text": " la magnitud del desplazamiento es diferente a la distancia recorrida. Si el movimiento"}, {"start": 320.64, "end": 327.76, "text": " de la part\u00edcula ocurre en un sistema de referencia como el bidimensional, el vector desplazamiento"}, {"start": 327.76, "end": 337.32, "text": " une dos puntos de la trayectoria del m\u00f3vil, como P1 y P2, y se denota como \u0394R. Se trata"}, {"start": 337.32, "end": 345.12, "text": " entonces de un vector secante porque su l\u00ednea de acci\u00f3n toca dos puntos de la curva. Recordemos"}, {"start": 345.12, "end": 352.8, "text": " que la letra griega \u0394 indica cambio y por eso el desplazamiento de una part\u00edcula implica"}, {"start": 352.8, "end": 357.8, "text": " que ella presente un cambio de posici\u00f3n o de lugar."}, {"start": 357.8, "end": 367.1, "text": " Note que los vectores R1 y \u0394R quedan dispuestos de manera consecutiva y el vector R2 se convierte"}, {"start": 367.1, "end": 376.08000000000004, "text": " en la suma de ellos por el m\u00e9todo del tri\u00e1ngulo. Luego la suma de R1 y \u0394R da como resultado"}, {"start": 376.08, "end": 385.44, "text": " el vector R2. De esta expresi\u00f3n despejamos \u0394R pasando R1 al lado derecho a restar y"}, {"start": 385.44, "end": 395.2, "text": " tenemos que \u0394R es igual a R2 menos R1. En otras palabras, el vector desplazamiento se"}, {"start": 395.2, "end": 402.44, "text": " define como la diferencia entre el vector posici\u00f3n final y el vector posici\u00f3n inicial."}, {"start": 402.44, "end": 409.84, "text": " Como ya ten\u00edamos R1 y R2 expresados en t\u00e9rminos de sus componentes, se hace la resta entre"}, {"start": 409.84, "end": 417.84, "text": " los valores respectivos de manera muy sencilla. Nos queda entonces que el vector \u0394R tiene"}, {"start": 417.84, "end": 430.58, "text": " componentes x2 menos x1 e y2 menos y1 que pueden expresarse como \u0394x y \u0394y."}, {"start": 430.58, "end": 436.03999999999996, "text": " Como hemos observado en la anterior situaci\u00f3n, el movimiento de la part\u00edcula se registra"}, {"start": 436.03999999999996, "end": 444.52, "text": " entre los instantes T1 y T2, es decir en el intervalo de tiempo \u0394T cuya duraci\u00f3n es"}, {"start": 444.52, "end": 451.84, "text": " igual a la diferencia entre T2 y T1. Este concepto nos permite definir la siguiente"}, {"start": 451.84, "end": 459.52, "text": " magnitud vectorial de la cinem\u00e1tica. Velocidad media, se define como el cociente"}, {"start": 459.52, "end": 466.29999999999995, "text": " entre el desplazamiento del m\u00f3vil y el tiempo que emplea en ello. Se trata de una magnitud"}, {"start": 466.29999999999995, "end": 473.59999999999997, "text": " vectorial por ser el resultado de dividir el vector desplazamiento \u0394R entre el escalar"}, {"start": 473.59999999999997, "end": 479.76, "text": " \u0394T que es el intervalo de tiempo. En unidades del sistema internacional, su"}, {"start": 479.76, "end": 486.94, "text": " m\u00f3dulo se expresa en metros sobre segundo. La direcci\u00f3n y el sentido del vector velocidad"}, {"start": 486.94, "end": 492.4, "text": " media son los mismos del vector desplazamiento \u0394R."}, {"start": 492.4, "end": 501.76, "text": " Si sustituimos el vector \u0394R por sus componentes \u0394x y \u0394y, tenemos que el escalar \u0394T se"}, {"start": 501.76, "end": 508.86, "text": " distribuye dividiendo a cada una de ellas, quedando entonces el vector velocidad media"}, {"start": 508.86, "end": 517.08, "text": " expresado en t\u00e9rminos de sus componentes velocidad en x y velocidad en y. Recordemos"}, {"start": 517.08, "end": 524.48, "text": " que en matem\u00e1ticas una raz\u00f3n es la comparaci\u00f3n o el cociente entre dos cantidades, por ejemplo"}, {"start": 524.48, "end": 533.88, "text": " a y b. Pues bien, la velocidad media es justamente la raz\u00f3n entre \u0394R que es un cambio de posici\u00f3n"}, {"start": 533.88, "end": 541.48, "text": " y \u0394T que es un intervalo de tiempo. Por eso se puede afirmar que la velocidad media es"}, {"start": 541.48, "end": 547.5, "text": " la raz\u00f3n de cambio o tasa de variaci\u00f3n media de la posici\u00f3n del m\u00f3vil con respecto del"}, {"start": 547.5, "end": 554.26, "text": " tiempo. En otras palabras, la velocidad media nos dice que tan r\u00e1pido la part\u00edcula realiza"}, {"start": 554.26, "end": 559.58, "text": " el cambio de posici\u00f3n o de lugar en el lapso de tiempo \u0394T."}, {"start": 559.58, "end": 567.6, "text": " Si ese intervalo de tiempo \u0394T se hace muy peque\u00f1o, es decir se reduce casi a un instante,"}, {"start": 567.6, "end": 573.9200000000001, "text": " entonces es cuando hablamos de la velocidad instant\u00e1nea, otra magnitud de tipo vectorial"}, {"start": 573.9200000000001, "end": 582.4000000000001, "text": " en cinem\u00e1tica. Entonces la velocidad instant\u00e1nea es el vector que resulta de determinar el"}, {"start": 582.4, "end": 590.88, "text": " vector velocidad media cuando \u0394T es muy peque\u00f1o o se aproxima a cero. La velocidad instant\u00e1nea"}, {"start": 590.88, "end": 597.92, "text": " podemos denotarla como VT, es decir la velocidad del m\u00f3vil en el instante T, y lo del lado"}, {"start": 597.92, "end": 605.36, "text": " derecho se puede escribir en un lenguaje simb\u00f3lico como el l\u00edmite de la velocidad media cuando"}, {"start": 605.36, "end": 614.0, "text": " \u0394T tiende a cero. Sustituyendo el vector velocidad media por su definici\u00f3n, es decir, \u0394R sobre"}, {"start": 614.0, "end": 623.0, "text": " \u0394T, tenemos una expresi\u00f3n que matem\u00e1ticamente se conoce como la derivada del vector posici\u00f3n"}, {"start": 623.0, "end": 632.44, "text": " R con respecto del tiempo T, y que se denota como de R de T o R' de T. Por eso en f\u00edsica"}, {"start": 632.44, "end": 638.98, "text": " se dice que en un instante espec\u00edfico la velocidad del m\u00f3vil es la derivada de su"}, {"start": 638.98, "end": 645.24, "text": " posici\u00f3n. Aqu\u00ed se observa la estrecha relaci\u00f3n que existe entre la f\u00edsica y la matem\u00e1tica,"}, {"start": 645.24, "end": 651.96, "text": " m\u00e1s exactamente con el c\u00e1lculo. Si la ecuaci\u00f3n de posici\u00f3n R de T tiene la forma de una"}, {"start": 651.96, "end": 658.96, "text": " funci\u00f3n vectorial con componentes X de T y Y de T para el caso de un movimiento en"}, {"start": 658.96, "end": 667.88, "text": " el plano, entonces al aplicarle la derivada se obtiene la pareja X' de T y Y' de T."}, {"start": 667.88, "end": 676.4000000000001, "text": " A su vez R' de T representa la velocidad en el instante T. X' de T representa la componente"}, {"start": 676.4000000000001, "end": 684.48, "text": " X de la velocidad y Y' de T viene siendo la componente Y de la velocidad. De esta manera"}, {"start": 684.48, "end": 690.9200000000001, "text": " se obtiene el vector velocidad del m\u00f3vil en el instante T. Gr\u00e1ficamente este es un"}, {"start": 690.9200000000001, "end": 697.66, "text": " vector tangente a la trayectoria en el punto que corresponde al instante T, porque su l\u00ednea"}, {"start": 697.66, "end": 704.8000000000001, "text": " de acci\u00f3n toca solamente ese punto de la curva. Entonces resumiendo, si conocemos la"}, {"start": 704.8000000000001, "end": 711.16, "text": " ecuaci\u00f3n de posici\u00f3n de una part\u00edcula para cualquier tiempo T, la derivamos para obtener"}, {"start": 711.16, "end": 716.56, "text": " la ecuaci\u00f3n que nos permite determinar la velocidad del m\u00f3vil tambi\u00e9n en cualquier"}, {"start": 716.56, "end": 723.24, "text": " instante T. Aun si la ecuaci\u00f3n de posici\u00f3n viene dada de la forma S de T, se sigue aplicando"}, {"start": 723.24, "end": 728.7199999999999, "text": " lo mismo. Mediante derivaci\u00f3n se obtiene la ecuaci\u00f3n para hallar la velocidad en un"}, {"start": 728.7199999999999, "end": 738.12, "text": " instante T cualquiera. En realidad la ecuaci\u00f3n S de T corresponde a un movimiento unidimensional"}, {"start": 738.12, "end": 746.2, "text": " y pr\u00e1cticamente es lo mismo que decir R de T igual a la componente X de T tomando el"}, {"start": 746.2, "end": 754.24, "text": " eje X como sistema de referencia. No saber derivar en estos momentos no debe ser motivo"}, {"start": 754.24, "end": 761.72, "text": " de preocupaci\u00f3n. A continuaci\u00f3n haremos un pare y veremos algunas reglas b\u00e1sicas para"}, {"start": 761.72, "end": 769.44, "text": " derivar expresiones. Regla n\u00famero 1, si tenemos una constante es decir un n\u00famero real su"}, {"start": 769.44, "end": 779.2, "text": " derivada ser\u00e1 0, por ejemplo la derivada de 7 es 0, la derivada de menos 4 es 0 y la"}, {"start": 779.2, "end": 789.8000000000001, "text": " derivada de 15.3 es 0. Regla n\u00famero 2, si tenemos la variable T su derivada es 1. Regla"}, {"start": 789.8, "end": 796.8, "text": " n\u00famero 3, si tenemos una constante C que multiplica a la variable T su derivada es"}, {"start": 796.8, "end": 807.64, "text": " la constante C, por ejemplo la derivada de 3T es 3, la derivada de 50T es 50 y la derivada"}, {"start": 807.64, "end": 816.9599999999999, "text": " de menos 9T es menos 9. Regla n\u00famero 4, si tenemos T elevada al exponente N donde N es"}, {"start": 816.96, "end": 826.1600000000001, "text": " un n\u00famero real su derivada es N por T elevada al exponente N menos 1, por ejemplo la derivada"}, {"start": 826.1600000000001, "end": 835.36, "text": " de T al cuadrado es 2 por T elevada al exponente 2 menos 1, o sea 2T a la 1 que equivale a"}, {"start": 835.36, "end": 846.44, "text": " 2T. La derivada de T al cubo es 3 por T elevada al exponente 3 menos 1 es decir 3T al cuadrado."}, {"start": 846.44, "end": 852.4000000000001, "text": " Vemos que en este caso el exponente baja a la izquierda a multiplicar a la variable y"}, {"start": 852.4000000000001, "end": 862.12, "text": " ese exponente se disminuye en una unidad, as\u00ed la derivada de T a la 4 es 4T a la 3"}, {"start": 862.12, "end": 873.6400000000001, "text": " o 4T al cubo, la derivada de T a la 5 es 5T a la 4 y la derivada de T a la 18 es 18T"}, {"start": 873.64, "end": 882.8, "text": " a la 17. Regla n\u00famero 5, si tenemos una constante C que multiplica a la variable T elevada al"}, {"start": 882.8, "end": 893.08, "text": " exponente N donde C y N son n\u00fameros reales su derivada es C por N por T elevada al exponente"}, {"start": 893.08, "end": 903.72, "text": " N menos 1, por ejemplo la derivada de 4T al cuadrado es 4 por 2 por T elevada al exponente"}, {"start": 903.72, "end": 914.88, "text": " 2 menos 1, o sea 8T a la 1 que equivale a 8T. La derivada de 5T al cubo es 5 por 3 por"}, {"start": 914.88, "end": 923.72, "text": " T elevada al exponente 3 menos 1 es decir 15T al cuadrado. Note que el exponente baja"}, {"start": 923.72, "end": 930.52, "text": " a la izquierda a multiplicar el coeficiente de la variable y ese exponente lo disminuimos"}, {"start": 930.52, "end": 942.72, "text": " en una unidad, as\u00ed la derivada de 6T a la 4 es 24T a la 3 o 24T al cubo y la derivada"}, {"start": 942.72, "end": 953.48, "text": " de 9T a la 5 es 45T a la 4. Finalmente la regla n\u00famero 6, si vamos a derivar una expresi\u00f3n"}, {"start": 953.48, "end": 960.9200000000001, "text": " donde hay suma o resta de varios t\u00e9rminos es decir un polinomio entonces derivamos cada"}, {"start": 960.9200000000001, "end": 969.6, "text": " uno de los t\u00e9rminos, por ejemplo derivemos la expresi\u00f3n 4T al cubo menos 9T al cuadrado"}, {"start": 969.6, "end": 978.6, "text": " menos 14T m\u00e1s 11, entonces procedemos a derivar t\u00e9rmino por t\u00e9rmino, la derivada de 4T al"}, {"start": 978.6, "end": 987.5600000000001, "text": " cubo es 12T al cuadrado queda listo el primer t\u00e9rmino, la derivada de menos 9T al cuadrado"}, {"start": 987.5600000000001, "end": 996.44, "text": " es menos 18T queda listo el segundo t\u00e9rmino, la derivada de menos 14T es menos 14 y queda"}, {"start": 996.44, "end": 1005.5200000000001, "text": " listo el tercer t\u00e9rmino, finalmente la derivada de 11 es 0 por tratarse de una constante y"}, {"start": 1005.5200000000001, "end": 1013.6800000000001, "text": " de esta manera queda listo el cuarto t\u00e9rmino, este \u00faltimo 0 se puede omitir y entonces"}, {"start": 1013.6800000000001, "end": 1023.24, "text": " la derivada del polinomio es 12T al cuadrado menos 18T menos 14, con estas seis reglas"}, {"start": 1023.24, "end": 1027.08, "text": " de derivaci\u00f3n nos defendemos por ahora."}, {"start": 1027.08, "end": 1033.48, "text": " Continuando con las magnitudes vectoriales en cinem\u00e1tica veamos el concepto de aceleraci\u00f3n"}, {"start": 1033.48, "end": 1042.2, "text": " media, supongamos que una part\u00edcula tiene una velocidad V1 en el instante T1 y luego"}, {"start": 1042.2, "end": 1051.36, "text": " en el instante T2 tiene una velocidad V2 diferente a V1 en m\u00f3dulo y orientaci\u00f3n, recordemos"}, {"start": 1051.36, "end": 1060.04, "text": " que en cada punto el vector velocidad instant\u00e1nea es tangente a la trayectoria del m\u00f3vil, entonces"}, {"start": 1060.04, "end": 1068.7199999999998, "text": " entre T1 y T2 la part\u00edcula modific\u00f3 su velocidad, ese cambio de velocidad se denota como delta"}, {"start": 1068.7199999999998, "end": 1078.0, "text": " V y es la diferencia entre V2 y V1 es decir la velocidad final menos la velocidad inicial,"}, {"start": 1078.0, "end": 1085.1, "text": " este trata de una resta de vectores raz\u00f3n por la cual delta V es otro vector, mientras"}, {"start": 1085.1, "end": 1093.4, "text": " tanto delta T es la diferencia entre T2 y T1 y constituye el intervalo de tiempo en"}, {"start": 1093.4, "end": 1100.4, "text": " el cual ocurre esa variaci\u00f3n en la velocidad del m\u00f3vil, pues bien la aceleraci\u00f3n media"}, {"start": 1100.4, "end": 1108.3200000000002, "text": " se define como el cociente entre delta V y delta T, se trata de una magnitud vectorial"}, {"start": 1108.3200000000002, "end": 1116.1200000000001, "text": " por ser la divisi\u00f3n entre el vector delta V y el escalar delta T, la aceleraci\u00f3n media"}, {"start": 1116.1200000000001, "end": 1123.0800000000002, "text": " constituye la raz\u00f3n de cambio o tasa de variaci\u00f3n media de la velocidad del m\u00f3vil con respecto"}, {"start": 1123.0800000000002, "end": 1130.0800000000002, "text": " del tiempo, en otras palabras nos informa que tan r\u00e1pido la part\u00edcula cambia o modifica"}, {"start": 1130.08, "end": 1137.28, "text": " su velocidad en el lapso de tiempo delta T, en unidades del sistema internacional el"}, {"start": 1137.28, "end": 1143.96, "text": " m\u00f3dulo de la aceleraci\u00f3n media se expresa en metros sobre segundo cuadrado, su direcci\u00f3n"}, {"start": 1143.96, "end": 1152.36, "text": " y sentido son los mismos del vector delta V, si el intervalo de tiempo delta T se hace"}, {"start": 1152.36, "end": 1160.04, "text": " muy peque\u00f1o, es decir se convierte casi en un instante, entonces hablamos de la aceleraci\u00f3n"}, {"start": 1160.04, "end": 1169.12, "text": " instant\u00e1nea, otra magnitud de tipo vectorial en cinem\u00e1tica, entonces la aceleraci\u00f3n instant\u00e1nea"}, {"start": 1169.12, "end": 1176.36, "text": " es el vector que resulta de determinar el vector aceleraci\u00f3n media cuando delta T es"}, {"start": 1176.36, "end": 1185.1999999999998, "text": " muy peque\u00f1o o se aproxima a cero, la aceleraci\u00f3n instant\u00e1nea podemos denotarla como ADT, es"}, {"start": 1185.1999999999998, "end": 1193.36, "text": " decir la aceleraci\u00f3n del m\u00f3vil en el instante T y el lado derecho de la igualdad puede escribirse"}, {"start": 1193.36, "end": 1201.0, "text": " como el l\u00edmite de la aceleraci\u00f3n media cuando delta T tiende a cero, sustituyendo el vector"}, {"start": 1201.0, "end": 1209.64, "text": " aceleraci\u00f3n media por su definici\u00f3n, es decir delta V sobre delta T, tenemos la expresi\u00f3n"}, {"start": 1209.64, "end": 1217.56, "text": " conocida matem\u00e1ticamente como la derivada del vector velocidad V con respecto del tiempo"}, {"start": 1217.56, "end": 1227.6, "text": " T y que se denota como de V de T o V' de T, por eso en f\u00edsica se dice que en un instante"}, {"start": 1227.6, "end": 1234.8, "text": " espec\u00edfico la aceleraci\u00f3n del m\u00f3vil es la derivada de su velocidad, nuevamente se"}, {"start": 1234.8, "end": 1242.56, "text": " observa la relaci\u00f3n que existe entre la f\u00edsica y el c\u00e1lculo, si la ecuaci\u00f3n de velocidad"}, {"start": 1242.56, "end": 1250.9599999999998, "text": " V de T tiene la forma de una funci\u00f3n vectorial con componentes Vx de T y Vy de T para el"}, {"start": 1250.96, "end": 1258.28, "text": " caso de un movimiento en el plano, entonces la derivada se le aplica a cada componente,"}, {"start": 1258.28, "end": 1269.04, "text": " quedando la pareja Vx' de T y Vy' de T, a su vez V' de T representa la aceleraci\u00f3n"}, {"start": 1269.04, "end": 1279.16, "text": " en el instante T, Vx' de T representa la componente x de la aceleraci\u00f3n y Vy' de T viene siendo"}, {"start": 1279.16, "end": 1286.2, "text": " la componente y de la aceleraci\u00f3n, de esta manera se obtiene el vector aceleraci\u00f3n del"}, {"start": 1286.2, "end": 1293.3400000000001, "text": " m\u00f3vil en el instante T, entonces resumiendo si conocemos la ecuaci\u00f3n de velocidad de"}, {"start": 1293.3400000000001, "end": 1299.66, "text": " una part\u00edcula para cualquier tiempo T la derivamos para obtener la ecuaci\u00f3n que nos"}, {"start": 1299.66, "end": 1307.0400000000002, "text": " permite determinar la aceleraci\u00f3n del m\u00f3vil tambi\u00e9n en cualquier instante T, finalmente"}, {"start": 1307.04, "end": 1313.68, "text": " destacamos lo siguiente, si conocemos la posici\u00f3n de un m\u00f3vil en funci\u00f3n del tiempo, bien"}, {"start": 1313.68, "end": 1321.76, "text": " sea como expresi\u00f3n vectorial o unidimensional, hacemos la derivada con respecto de T para"}, {"start": 1321.76, "end": 1328.6399999999999, "text": " encontrar la velocidad en funci\u00f3n del tiempo, es cuando decimos que la velocidad es la primera"}, {"start": 1328.6399999999999, "end": 1335.32, "text": " derivada de la posici\u00f3n, si a su vez derivamos la velocidad con respecto de T, hallamos"}, {"start": 1335.32, "end": 1341.76, "text": " la aceleraci\u00f3n del m\u00f3vil en t\u00e9rminos de T, decimos entonces que la aceleraci\u00f3n es"}, {"start": 1341.76, "end": 1348.12, "text": " la primera derivada de la velocidad, obs\u00e9rvese que para obtener la aceleraci\u00f3n es necesario"}, {"start": 1348.12, "end": 1355.22, "text": " derivar dos veces la posici\u00f3n, por esa raz\u00f3n se dice tambi\u00e9n que la aceleraci\u00f3n es la"}, {"start": 1355.22, "end": 1366.08, "text": " segunda derivada de la posici\u00f3n y se denota como R2' de T o S2' de T."}]

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GRÁFICA, DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN CON RAÍZ CUADRADA

#julioprofe explica cómo obtener la gráfica de una función con raíz cuadrada, así como su dominio y rango. Adicionalmente, determina los cortes o intersecciones de la gráfica con los ejes coordenados. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para esta función que nos dan vamos a determinar su gráfica, su dominio y su rango. Vamos a comenzar por reescribirla de la siguiente manera, menos la raíz cuadrada de x más 2 y todo esto más 4. Entonces vamos a realizar la gráfica de esa función en las siguientes etapas. Primero vamos a considerar la función y igual a la raíz cuadrada de x, porque como se observa es la función que comanda el ejercicio, allí detectamos una raíz cuadrada. Segundo, vamos a realizar la gráfica de la función y igual a la raíz cuadrada de x más 2. Tercero, vamos a efectuar la gráfica de la función y igual a menos la raíz cuadrada de x más 2, es decir el negativo de la función anterior. Y como cuarta y última gráfica vamos a trabajar la función y igual a menos la raíz cuadrada de x más 2 y todo eso más 4. Y vamos a llegar entonces a la función que se nos ha planteado. Comenzamos dibujando un plano cartesiano, donde en el eje x hemos establecido la medida de cada unidad utilizando dos cuadritos, mientras tanto en el eje vertical o en el eje y cada unidad corresponde a un cuadrito. Vamos entonces con la gráfica número 1, la gráfica de y igual a raíz cuadrada de x, esa es una función de uso frecuente que parte del origen cuando x vale 0 lleva 0 y tiene esta forma. Para dibujarla con un poco de precisión podemos considerar los siguientes puntos, para x igual a 1 lleva 1, si la raíz cuadrada de 1 nos da 1 y para x igual a 4 la raíz cuadrada de 4 nos da 2, entonces para x igual a 4 corresponde y igual a 2, entonces la gráfica tendrá esta forma. Bien, allí la tenemos en forma aproximada, entonces repetimos, esa curva corresponde a la gráfica de la función 1, la función y igual a raíz cuadrada de x. Vamos ahora a dibujar la gráfica 2, la que corresponde a y igual a la raíz cuadrada de x más 2, entonces lo que hacemos es tomar la gráfica de la curva 1 y la vamos a correr 2 unidades hacia la izquierda, porque como vemos aquí el número 2 está sumando con la x, entonces el efecto de sumarle una cantidad a la variable x a una función es que se corre a la izquierda esa cantidad, es decir en este caso 2 unidades. Vamos a correr entonces esos 3 puntos principales, este punto se corre a la izquierda 2 lugares, nos quedaría por aquí, este punto se corre a la izquierda 2 lugares, nos queda aquí y este punto se corre a la izquierda 2 unidades, es decir aquí, entonces la nueva gráfica tendrá esta forma. Bien, allí la tenemos, entonces esta curva de color verde corresponde a la función 2, la gráfica de y igual a la raíz cuadrada de x más 2, repetimos, es correr la gráfica 1, 2 unidades hacia la izquierda. Vamos ahora con la gráfica 3, que es el negativo de la función anterior, en otras palabras es reflejar esta curva con respecto del eje x, se va a producir entonces un reflejo de sus puntos principales en relación con el eje horizontal, este punto nos queda allí mismo, no sufre ningún reflejo, este punto si se refleja nos queda aquí, es decir a una unidad de distancia, pero ahora por debajo del eje x, y lo mismo hacemos con este punto, que está a 2 unidades de distancia por encima del eje x, entonces lo vamos a trasladar acá, que nos quede 2 unidades por debajo de dicho eje, entonces ahora la curva tendrá esta forma. Bien, allí tenemos en forma aproximada la gráfica de la curva 3, entonces repetimos, es producirle un reflejo a la curva número 2 con respecto del eje x, y eso sucede porque la función ahora tiene un signo menos que va antes de la expresión, entonces vuelve negativa la función número 2. Ahora vamos con la función 4, es decir la que nos conduce al ejercicio original, aquí vamos a realizar lo siguiente, vemos que es sumarle 4 a la expresión anterior, entonces eso va a ocasionar que la gráfica azul se desplace hacia arriba 4 unidades, entonces vamos a desplazar los puntos principales, este punto sube 4 unidades, 1, 2, 3, 4 nos queda allí, este punto lo subimos 4 unidades, 1, 2, 3, 4 nos queda en este punto, y este también lo subimos 4 unidades, 1, 2, 3 y 4 nos queda exactamente allí, entonces la curva tendrá esta forma. Bien, allí la tenemos, entonces esa gráfica de color rojo corresponde a la expresión número 4, es decir la función como decíamos que se nos dio al comienzo, esa curva es siempre decreciente, parte desde este punto y se mueve siempre descendiendo a medida que x va aumentando, entonces podemos decir que es una función decreciente o descendente en todo su dominio, parte en este punto cuyas coordenadas son menos 2,4, menos 2 es la abscisa y 4 es la ordenada. Bien, ya teniendo un bosquejo de la gráfica de la función que como vimos se hizo transformando sucesivamente la función primitiva que era esta, la función y igual a raíz cuadrada de x, entonces podemos determinar el dominio y el rango para la función que nos han dado. Comencemos con el dominio, es decir debemos establecer cuales son los valores que puede tomar la variable x, como vemos esta curva inicia en este punto y se mueve en esta dirección, entonces va a tomar valores de x correspondientes al intervalo que va desde menos 2 hasta más infinito, entonces lo podemos escribir así, los x mayores o iguales que menos 2 o también en notación de intervalo, los x que van desde menos 2 cerrado porque se incluye ese valor hasta más infinito, ese será entonces el dominio para esa función. Vamos ahora con el rango, el rango son los valores que toma la variable dependiente y, como vemos en esa gráfica, la curva inicia en este punto y empieza a descender en esta dirección, o sea que toma valores a partir de 4 hacia abajo, entonces el rango de la función serán los valores de y mayores o iguales que 4 o también en notación de intervalo nos queda así, los y que pertenecen al intervalo que va desde menos infinito desde por acá abajo hasta 4, entonces hasta 4 incluyéndolo, por eso se cierra con corchete. Otra manera de determinar el dominio es a partir de la expresión original o bueno también esta en realidad es lo mismo, solamente que aquí se han cambiado el orden de esos dos términos, lo que hacemos en la expresión original es fijarnos en esta expresión, la que está dentro de la raíz cuadrada, en ese caso tenemos que garantizar que esto no sea negativo, entonces la condición que establecemos es que x más 2 sea mayor o igual que 0, se forma así una desigualdad lineal que al resolverla nos da x mayor o igual que menos 2, es como restar 2 a ambos lados de la desigualdad y llegamos a esta expresión, lo que tenemos acá como dominio y que pudimos deducir a partir de la gráfica. Otro adicional que podemos determinar para esta curva de color rojo, es decir para la gráfica que corresponde a esta función son los puntos de corte o de intersección con los ejes, aquí vemos el punto de corte con el eje y y por acá más adelante ocurriría el punto de corte o de intersección con el eje x, para hallar el punto de corte con el eje y lo que hacemos es volver x igual a 0, aquí si x vale 0 entonces aquí nos queda la raíz cuadrada de 2 y y sería igual a 4 menos raíz cuadrada de 2, entonces el corte de la curva con el eje y ocurre en la ordenada y igual a 4 menos raíz cuadrada de 2 que eso es aproximadamente 2.6, si hacemos esta operación en calculadora nos da aproximadamente 2.6 y más o menos es el valor que se observa aquí en la gráfica. Ahora para hallar el punto de corte de la función con el eje x lo que tenemos que hacer es volver y igual a 0, entonces nos quedaría 0 igual a 4 menos la raíz cuadrada de x más 2, una ecuación que debemos resolver, veamos cómo se hace. Para resolver esta ecuación primero aislamos la raíz, eso quiere decir que podemos pasarla a este lado, si acá está negativa entonces llega al lado izquierdo con signo positivo, llega a sumar con 0, entonces nos queda la raíz cuadrada de x más 2 y todo esto igual a 4. Ahora debemos destruir o eliminar esa raíz cuadrada y para ello vamos a elevar ambos lados de la igualdad al cuadrado, entonces elevamos el lado izquierdo y también elevamos el lado derecho, todo eso al cuadrado, acá en el lado izquierdo el exponente 2 nos elimina o nos destruye la raíz cuadrada y nos libera x más 2, en el lado derecho resolvemos 4 al cuadrado que nos da 16 y de allí despejamos x, para despejar x 2 que está sumando pasa al otro lado a restar, nos queda 16 menos 2, es como restar 2 a ambos lados de la igualdad y efectuando esa operación nos da x igual a 14, esa será entonces la solución para esa ecuación. Bien, entonces el corte de esa curva con el eje x ocurre en la abscisa x igual a 14, de esta manera terminamos el ejercicio, tenemos entonces la gráfica de esta función, una curva que es siempre decreciente o descendente en su dominio, también hemos establecido el rango y los puntos de corte o intersección de esa función con los ejes coordenados.

[{"start": 0.0, "end": 9.200000000000001, "text": " Para esta funci\u00f3n que nos dan vamos a determinar su gr\u00e1fica, su dominio y su rango."}, {"start": 9.200000000000001, "end": 15.52, "text": " Vamos a comenzar por reescribirla de la siguiente manera, menos la ra\u00edz cuadrada de x m\u00e1s"}, {"start": 15.52, "end": 20.2, "text": " 2 y todo esto m\u00e1s 4."}, {"start": 20.2, "end": 26.68, "text": " Entonces vamos a realizar la gr\u00e1fica de esa funci\u00f3n en las siguientes etapas."}, {"start": 26.68, "end": 33.8, "text": " Primero vamos a considerar la funci\u00f3n y igual a la ra\u00edz cuadrada de x, porque como se observa"}, {"start": 33.8, "end": 40.519999999999996, "text": " es la funci\u00f3n que comanda el ejercicio, all\u00ed detectamos una ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 40.519999999999996, "end": 48.760000000000005, "text": " Segundo, vamos a realizar la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n y igual a la ra\u00edz cuadrada de x"}, {"start": 48.760000000000005, "end": 50.239999999999995, "text": " m\u00e1s 2."}, {"start": 50.24, "end": 59.24, "text": " Tercero, vamos a efectuar la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n y igual a menos la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 59.24, "end": 65.4, "text": " de x m\u00e1s 2, es decir el negativo de la funci\u00f3n anterior."}, {"start": 65.4, "end": 74.68, "text": " Y como cuarta y \u00faltima gr\u00e1fica vamos a trabajar la funci\u00f3n y igual a menos la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 74.68, "end": 79.08, "text": " de x m\u00e1s 2 y todo eso m\u00e1s 4."}, {"start": 79.08, "end": 84.52, "text": " Y vamos a llegar entonces a la funci\u00f3n que se nos ha planteado."}, {"start": 84.52, "end": 90.32, "text": " Comenzamos dibujando un plano cartesiano, donde en el eje x hemos establecido la medida"}, {"start": 90.32, "end": 97.88, "text": " de cada unidad utilizando dos cuadritos, mientras tanto en el eje vertical o en el eje y cada"}, {"start": 97.88, "end": 101.56, "text": " unidad corresponde a un cuadrito."}, {"start": 101.56, "end": 106.52, "text": " Vamos entonces con la gr\u00e1fica n\u00famero 1, la gr\u00e1fica de y igual a ra\u00edz cuadrada de"}, {"start": 106.52, "end": 113.11999999999999, "text": " x, esa es una funci\u00f3n de uso frecuente que parte del origen cuando x vale 0 lleva 0 y"}, {"start": 113.11999999999999, "end": 114.92, "text": " tiene esta forma."}, {"start": 114.92, "end": 120.44, "text": " Para dibujarla con un poco de precisi\u00f3n podemos considerar los siguientes puntos, para x igual"}, {"start": 120.44, "end": 127.24, "text": " a 1 lleva 1, si la ra\u00edz cuadrada de 1 nos da 1 y para x igual a 4 la ra\u00edz cuadrada de"}, {"start": 127.24, "end": 134.28, "text": " 4 nos da 2, entonces para x igual a 4 corresponde y igual a 2, entonces la gr\u00e1fica tendr\u00e1 esta"}, {"start": 134.28, "end": 135.28, "text": " forma."}, {"start": 135.28, "end": 141.28, "text": " Bien, all\u00ed la tenemos en forma aproximada, entonces repetimos, esa curva corresponde"}, {"start": 141.28, "end": 147.72, "text": " a la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n 1, la funci\u00f3n y igual a ra\u00edz cuadrada de x."}, {"start": 147.72, "end": 152.96, "text": " Vamos ahora a dibujar la gr\u00e1fica 2, la que corresponde a y igual a la ra\u00edz cuadrada de"}, {"start": 152.96, "end": 159.92000000000002, "text": " x m\u00e1s 2, entonces lo que hacemos es tomar la gr\u00e1fica de la curva 1 y la vamos a correr"}, {"start": 159.92, "end": 165.44, "text": " 2 unidades hacia la izquierda, porque como vemos aqu\u00ed el n\u00famero 2 est\u00e1 sumando con"}, {"start": 165.44, "end": 172.72, "text": " la x, entonces el efecto de sumarle una cantidad a la variable x a una funci\u00f3n es que se"}, {"start": 172.72, "end": 179.35999999999999, "text": " corre a la izquierda esa cantidad, es decir en este caso 2 unidades."}, {"start": 179.35999999999999, "end": 185.07999999999998, "text": " Vamos a correr entonces esos 3 puntos principales, este punto se corre a la izquierda 2 lugares,"}, {"start": 185.08, "end": 190.48000000000002, "text": " nos quedar\u00eda por aqu\u00ed, este punto se corre a la izquierda 2 lugares, nos queda aqu\u00ed"}, {"start": 190.48000000000002, "end": 196.92000000000002, "text": " y este punto se corre a la izquierda 2 unidades, es decir aqu\u00ed, entonces la nueva gr\u00e1fica"}, {"start": 196.92000000000002, "end": 198.44, "text": " tendr\u00e1 esta forma."}, {"start": 198.44, "end": 205.78, "text": " Bien, all\u00ed la tenemos, entonces esta curva de color verde corresponde a la funci\u00f3n 2,"}, {"start": 205.78, "end": 211.92000000000002, "text": " la gr\u00e1fica de y igual a la ra\u00edz cuadrada de x m\u00e1s 2, repetimos, es correr la gr\u00e1fica"}, {"start": 211.92, "end": 215.6, "text": " 1, 2 unidades hacia la izquierda."}, {"start": 215.6, "end": 222.0, "text": " Vamos ahora con la gr\u00e1fica 3, que es el negativo de la funci\u00f3n anterior, en otras palabras"}, {"start": 222.0, "end": 229.04, "text": " es reflejar esta curva con respecto del eje x, se va a producir entonces un reflejo de"}, {"start": 229.04, "end": 235.23999999999998, "text": " sus puntos principales en relaci\u00f3n con el eje horizontal, este punto nos queda all\u00ed"}, {"start": 235.23999999999998, "end": 240.95999999999998, "text": " mismo, no sufre ning\u00fan reflejo, este punto si se refleja nos queda aqu\u00ed, es decir a"}, {"start": 240.96, "end": 247.44, "text": " una unidad de distancia, pero ahora por debajo del eje x, y lo mismo hacemos con este punto,"}, {"start": 247.44, "end": 253.8, "text": " que est\u00e1 a 2 unidades de distancia por encima del eje x, entonces lo vamos a trasladar"}, {"start": 253.8, "end": 260.8, "text": " ac\u00e1, que nos quede 2 unidades por debajo de dicho eje, entonces ahora la curva tendr\u00e1"}, {"start": 260.8, "end": 261.8, "text": " esta forma."}, {"start": 261.8, "end": 269.16, "text": " Bien, all\u00ed tenemos en forma aproximada la gr\u00e1fica de la curva 3, entonces repetimos,"}, {"start": 269.16, "end": 276.40000000000003, "text": " es producirle un reflejo a la curva n\u00famero 2 con respecto del eje x, y eso sucede porque"}, {"start": 276.40000000000003, "end": 282.20000000000005, "text": " la funci\u00f3n ahora tiene un signo menos que va antes de la expresi\u00f3n, entonces vuelve"}, {"start": 282.20000000000005, "end": 285.76000000000005, "text": " negativa la funci\u00f3n n\u00famero 2."}, {"start": 285.76000000000005, "end": 291.84000000000003, "text": " Ahora vamos con la funci\u00f3n 4, es decir la que nos conduce al ejercicio original, aqu\u00ed"}, {"start": 291.84000000000003, "end": 298.16, "text": " vamos a realizar lo siguiente, vemos que es sumarle 4 a la expresi\u00f3n anterior, entonces"}, {"start": 298.16, "end": 305.56, "text": " eso va a ocasionar que la gr\u00e1fica azul se desplace hacia arriba 4 unidades, entonces"}, {"start": 305.56, "end": 312.52000000000004, "text": " vamos a desplazar los puntos principales, este punto sube 4 unidades, 1, 2, 3, 4 nos"}, {"start": 312.52000000000004, "end": 320.76000000000005, "text": " queda all\u00ed, este punto lo subimos 4 unidades, 1, 2, 3, 4 nos queda en este punto, y este"}, {"start": 320.76000000000005, "end": 327.68, "text": " tambi\u00e9n lo subimos 4 unidades, 1, 2, 3 y 4 nos queda exactamente all\u00ed, entonces la"}, {"start": 327.68, "end": 329.76, "text": " curva tendr\u00e1 esta forma."}, {"start": 329.76, "end": 336.2, "text": " Bien, all\u00ed la tenemos, entonces esa gr\u00e1fica de color rojo corresponde a la expresi\u00f3n"}, {"start": 336.2, "end": 344.36, "text": " n\u00famero 4, es decir la funci\u00f3n como dec\u00edamos que se nos dio al comienzo, esa curva es siempre"}, {"start": 344.36, "end": 352.92, "text": " decreciente, parte desde este punto y se mueve siempre descendiendo a medida que x va aumentando,"}, {"start": 352.92, "end": 358.76, "text": " entonces podemos decir que es una funci\u00f3n decreciente o descendente en todo su dominio,"}, {"start": 358.76, "end": 366.08000000000004, "text": " parte en este punto cuyas coordenadas son menos 2,4, menos 2 es la abscisa y 4 es la"}, {"start": 366.08000000000004, "end": 367.08000000000004, "text": " ordenada."}, {"start": 367.08000000000004, "end": 373.76, "text": " Bien, ya teniendo un bosquejo de la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n que como vimos se hizo transformando"}, {"start": 373.76, "end": 379.76, "text": " sucesivamente la funci\u00f3n primitiva que era esta, la funci\u00f3n y igual a ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 379.76, "end": 387.8, "text": " de x, entonces podemos determinar el dominio y el rango para la funci\u00f3n que nos han dado."}, {"start": 387.8, "end": 392.2, "text": " Comencemos con el dominio, es decir debemos establecer cuales son los valores que puede"}, {"start": 392.2, "end": 399.71999999999997, "text": " tomar la variable x, como vemos esta curva inicia en este punto y se mueve en esta direcci\u00f3n,"}, {"start": 399.71999999999997, "end": 405.56, "text": " entonces va a tomar valores de x correspondientes al intervalo que va desde menos 2 hasta m\u00e1s"}, {"start": 405.56, "end": 412.4, "text": " infinito, entonces lo podemos escribir as\u00ed, los x mayores o iguales que menos 2 o tambi\u00e9n"}, {"start": 412.4, "end": 419.44, "text": " en notaci\u00f3n de intervalo, los x que van desde menos 2 cerrado porque se incluye ese valor"}, {"start": 419.44, "end": 425.66, "text": " hasta m\u00e1s infinito, ese ser\u00e1 entonces el dominio para esa funci\u00f3n."}, {"start": 425.66, "end": 431.28, "text": " Vamos ahora con el rango, el rango son los valores que toma la variable dependiente y,"}, {"start": 431.28, "end": 437.0, "text": " como vemos en esa gr\u00e1fica, la curva inicia en este punto y empieza a descender en esta"}, {"start": 437.0, "end": 443.44, "text": " direcci\u00f3n, o sea que toma valores a partir de 4 hacia abajo, entonces el rango de la"}, {"start": 443.44, "end": 450.44, "text": " funci\u00f3n ser\u00e1n los valores de y mayores o iguales que 4 o tambi\u00e9n en notaci\u00f3n de intervalo"}, {"start": 450.44, "end": 456.44, "text": " nos queda as\u00ed, los y que pertenecen al intervalo que va desde menos infinito desde por ac\u00e1"}, {"start": 456.44, "end": 464.2, "text": " abajo hasta 4, entonces hasta 4 incluy\u00e9ndolo, por eso se cierra con corchete."}, {"start": 464.2, "end": 470.32, "text": " Otra manera de determinar el dominio es a partir de la expresi\u00f3n original o bueno tambi\u00e9n"}, {"start": 470.32, "end": 474.96, "text": " esta en realidad es lo mismo, solamente que aqu\u00ed se han cambiado el orden de esos dos"}, {"start": 474.96, "end": 480.6, "text": " t\u00e9rminos, lo que hacemos en la expresi\u00f3n original es fijarnos en esta expresi\u00f3n, la"}, {"start": 480.6, "end": 485.76, "text": " que est\u00e1 dentro de la ra\u00edz cuadrada, en ese caso tenemos que garantizar que esto no"}, {"start": 485.76, "end": 492.96, "text": " sea negativo, entonces la condici\u00f3n que establecemos es que x m\u00e1s 2 sea mayor o igual que 0, se"}, {"start": 492.96, "end": 500.21999999999997, "text": " forma as\u00ed una desigualdad lineal que al resolverla nos da x mayor o igual que menos 2, es como"}, {"start": 500.21999999999997, "end": 505.59999999999997, "text": " restar 2 a ambos lados de la desigualdad y llegamos a esta expresi\u00f3n, lo que tenemos"}, {"start": 505.59999999999997, "end": 510.96, "text": " ac\u00e1 como dominio y que pudimos deducir a partir de la gr\u00e1fica."}, {"start": 510.96, "end": 515.72, "text": " Otro adicional que podemos determinar para esta curva de color rojo, es decir para la"}, {"start": 515.72, "end": 521.0, "text": " gr\u00e1fica que corresponde a esta funci\u00f3n son los puntos de corte o de intersecci\u00f3n con"}, {"start": 521.0, "end": 526.12, "text": " los ejes, aqu\u00ed vemos el punto de corte con el eje y y por ac\u00e1 m\u00e1s adelante ocurrir\u00eda"}, {"start": 526.12, "end": 531.16, "text": " el punto de corte o de intersecci\u00f3n con el eje x, para hallar el punto de corte con el"}, {"start": 531.16, "end": 538.12, "text": " eje y lo que hacemos es volver x igual a 0, aqu\u00ed si x vale 0 entonces aqu\u00ed nos queda"}, {"start": 538.12, "end": 544.96, "text": " la ra\u00edz cuadrada de 2 y y ser\u00eda igual a 4 menos ra\u00edz cuadrada de 2, entonces el corte"}, {"start": 544.96, "end": 553.76, "text": " de la curva con el eje y ocurre en la ordenada y igual a 4 menos ra\u00edz cuadrada de 2 que"}, {"start": 553.76, "end": 561.44, "text": " eso es aproximadamente 2.6, si hacemos esta operaci\u00f3n en calculadora nos da aproximadamente"}, {"start": 561.44, "end": 567.24, "text": " 2.6 y m\u00e1s o menos es el valor que se observa aqu\u00ed en la gr\u00e1fica."}, {"start": 567.24, "end": 573.04, "text": " Ahora para hallar el punto de corte de la funci\u00f3n con el eje x lo que tenemos que hacer"}, {"start": 573.04, "end": 579.96, "text": " es volver y igual a 0, entonces nos quedar\u00eda 0 igual a 4 menos la ra\u00edz cuadrada de x m\u00e1s"}, {"start": 579.96, "end": 585.84, "text": " 2, una ecuaci\u00f3n que debemos resolver, veamos c\u00f3mo se hace."}, {"start": 585.84, "end": 591.28, "text": " Para resolver esta ecuaci\u00f3n primero aislamos la ra\u00edz, eso quiere decir que podemos pasarla"}, {"start": 591.28, "end": 597.28, "text": " a este lado, si ac\u00e1 est\u00e1 negativa entonces llega al lado izquierdo con signo positivo,"}, {"start": 597.28, "end": 604.0, "text": " llega a sumar con 0, entonces nos queda la ra\u00edz cuadrada de x m\u00e1s 2 y todo esto igual"}, {"start": 604.0, "end": 605.0, "text": " a 4."}, {"start": 605.0, "end": 610.9599999999999, "text": " Ahora debemos destruir o eliminar esa ra\u00edz cuadrada y para ello vamos a elevar ambos"}, {"start": 610.9599999999999, "end": 617.3199999999999, "text": " lados de la igualdad al cuadrado, entonces elevamos el lado izquierdo y tambi\u00e9n elevamos"}, {"start": 617.32, "end": 624.0400000000001, "text": " el lado derecho, todo eso al cuadrado, ac\u00e1 en el lado izquierdo el exponente 2 nos elimina"}, {"start": 624.0400000000001, "end": 631.12, "text": " o nos destruye la ra\u00edz cuadrada y nos libera x m\u00e1s 2, en el lado derecho resolvemos 4"}, {"start": 631.12, "end": 638.44, "text": " al cuadrado que nos da 16 y de all\u00ed despejamos x, para despejar x 2 que est\u00e1 sumando pasa"}, {"start": 638.44, "end": 645.1800000000001, "text": " al otro lado a restar, nos queda 16 menos 2, es como restar 2 a ambos lados de la igualdad"}, {"start": 645.18, "end": 653.3199999999999, "text": " y efectuando esa operaci\u00f3n nos da x igual a 14, esa ser\u00e1 entonces la soluci\u00f3n para"}, {"start": 653.3199999999999, "end": 654.3199999999999, "text": " esa ecuaci\u00f3n."}, {"start": 654.3199999999999, "end": 662.5999999999999, "text": " Bien, entonces el corte de esa curva con el eje x ocurre en la abscisa x igual a 14,"}, {"start": 662.5999999999999, "end": 668.3599999999999, "text": " de esta manera terminamos el ejercicio, tenemos entonces la gr\u00e1fica de esta funci\u00f3n, una"}, {"start": 668.3599999999999, "end": 674.4799999999999, "text": " curva que es siempre decreciente o descendente en su dominio, tambi\u00e9n hemos establecido"}, {"start": 674.48, "end": 680.28, "text": " el rango y los puntos de corte o intersecci\u00f3n de esa funci\u00f3n con los ejes coordenados."}]

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PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO - DEMOSTRACIÓN

#julioprofe demuestra las fórmulas que se utilizan para determinar las coordenadas del punto medio de un segmento en el plano cartesiano. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En esta ocasión vamos a demostrar las fórmulas que se utilizan para determinar las coordenadas del punto medio de un segmento en el plano cartesiano. Comenzamos dibujando un plano cartesiano y en él un segmento cuyos extremos serán los puntos A y B. Y también vamos a tener como punto medio de ese segmento este que vamos a llamar M. Para el plano cartesiano recordemos que el eje horizontal o eje X es el eje de las abscisas y el eje vertical, o sea el eje Y, es el eje de las ordenadas. Entonces tenemos allí como decíamos un segmento A-B en el plano cartesiano X-Y y su punto medio que es M. Para el punto A tenemos que su abscisa es X1 y su ordenada es Y1. Entonces por acá anotamos las coordenadas de A, X1, Y1. Para el punto B tenemos que su abscisa es X2 y su ordenada es Y2. Entonces anotamos por acá las coordenadas de B, X2, Y2. Y para el punto medio del segmento A-B, es decir para el punto M, sus coordenadas serán X trazo que es la abscisa y Y trazo que será la coordenada. Entonces anotamos por acá las coordenadas de M, X trazo, Y trazo. Trasamos ahora esta línea horizontal y de esa manera se determinan otros dos puntos que vamos a llamar C y D. También allí tenemos dos triángulos rectángulos, este que tenemos aquí cuyos vértices son A, M y D. Aquí tenemos el ángulo recto y aquí tenemos otro más grande cuyos vértices son A, B y C. Aquí también tenemos ángulo recto. Como se puede observar estas dos líneas punteadas de color verde son verticales, por lo tanto son paralelas y el segmento A-B actúa como secante o transversal. Por lo tanto podemos asegurar que estos dos ángulos son congruentes por ser ángulos correspondientes entre paralelas. Este está en la zona interna de ellas y este está en la zona externa, pero ambos están del mismo lado del secante o transversal. También observamos un ángulo que es común a los dos triángulos, se trata de este ángulo que tiene vértice en A, entonces le pertenece al triángulo pequeño y al triángulo grande. Con esa información podemos asegurar entonces que el triángulo rectángulo A-M-D, vamos a escribirlo por acá, triángulo A-M-D es semejante con el triángulo rectángulo grande, el que tiene vértices en A, B y C. Entonces aquí lo escribimos, triángulo A-B-C. Son triángulos semejantes por el criterio opostulado ángulo-ángulo-ángulo. Los dos triángulos tienen exactamente los mismos ángulos. Esta semejanza que existe entre los triángulos nos permite establecer una proporcionalidad entre sus lados correspondientes. Por ejemplo podríamos comparar las dos hipotenusas de los triángulos, es decir A-M se compara con A-B, la hipotenusa del triángulo pequeño se compara con la hipotenusa del triángulo grande y esa misma relación la deben guardar por ejemplo estos catetos. Entonces el cateto pequeño que es A-D con el cateto del triángulo grande que es A-C. Entonces repetimos A-M es A-B como A-D es A-C. Comparación de hipotenusas y comparación de los catetos horizontales. A continuación vamos a expresar estos datos en términos de la información que tenemos en el dibujo. Veamos, A-M lo dejamos igual. Y para el caso de A-B hacemos lo siguiente, sabemos que M es punto medio del segmento A-B, por lo tanto el segmento A-M será igual o congruente con el segmento M-B, ambos tienen la misma medida, por lo tanto podemos decir que el segmento A-B es el doble de A-M, lo expresamos entonces así, dos veces A-M. Ahora para el caso de estos dos segmentos podemos determinar sus medidas de la siguiente manera, para A-D tendríamos que restar las abscisas, es decir la longitud de este segmento será la diferencia entre la abscisa mayor y la abscisa menor, vamos a señalar esa distancia por acá. Entonces nos referimos a este segmento que se obtiene restando X trazo menos X sub 1 abscisa mayor menos abscisa menor, entonces eso lo anotamos por acá, X trazo menos X sub 1 es la longitud del segmento A-D. Para el caso del segmento A-C hacemos algo similar, será la diferencia entre las abscisas X sub 2 y X sub 1, entonces hacemos referencia a esta distancia que repetimos se obtiene restando X sub 2 menos X sub 1, la diferencia de las abscisas, entonces eso lo anotamos por acá, X sub 2 menos X sub 1 es la longitud que corresponde al segmento A-C. Ahora podemos simplificar esta primera razón, podríamos cancelar o eliminar el componente A-M, es como si dividimos arriba y abajo por esa cantidad, por lo tanto nos queda un medio y un medio será igual a esto que tenemos acá, es decir, X trazo menos X sub 1 en el numerador y X sub 2 menos X sub 1 en el denominador. Ahora aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones, recordemos que en una proporción que es la igualdad de dos razones, estos elementos se llaman los extremos y estos se llaman los medios y la propiedad fundamental nos dice que el producto de extremos debe ser igual al producto de los medios, en otras palabras 1 por esto nos da X sub 2 menos X sub 1 y eso debe ser igual a 2 por esto, entonces lo dejamos indicado, 2 por X trazo menos X sub 1, allí lo del lado izquierdo permanece igual, nos queda X sub 2 menos X sub 1 y en el lado derecho vamos a romper ese paréntesis aplicando la propiedad distributiva, entonces tenemos 2 por X trazo, 2 X trazo menos 2 por X sub 1, o sea 2 X sub 1. Allí podemos aislar este término en el lado derecho y para ello pasamos este componente al lado izquierdo, veamos como nos queda, tenemos en el lado izquierdo X sub 2 menos X sub 1 y pasamos esto que está restando al otro lado a sumar, llega como más 2 X sub 1 y eso nos queda igual a 2 por X trazo, como decíamos ya se consigue aislar ese componente. A su vez en el lado izquierdo de la igualdad encontramos dos términos que son semejantes, entonces los podemos operar entre sí, nos queda X sub 2 y menos X sub 1 más 2 X sub 1 nos daría más 1 X sub 1 o simplemente más X sub 1 y eso es igual a 2 por X trazo. Ahora de allí ya podemos efectuar el despeje de X trazo, simplemente 2 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir o lo que es lo mismo dividir ambos lados de la igualdad por 2, entonces nos queda así, X sub 2 más X sub 1 todo esto dividido entre 2 igual a X trazo, allí hemos despejado este elemento. De esta manera ya tenemos una expresión para X trazo, es decir para la abscisa del punto M que es el punto medio del segmento AB, vamos a anotar eso que obtuvimos por acá, X trazo será igual a X1 más X2 simplemente cambiamos el orden de los sumandos propiedad conmutativa de la suma y todo esto nos queda dividido entre 2. Ahora volvemos a considerar la semejanza de los dos triángulos y vamos a realizar la siguiente comparación, otra vez tomamos las hipotenusas, AM es al segmento AB la hipotenusa del triángulo pequeño la comparamos con la hipotenusa del triángulo grande y ahora vamos a comparar los catetos verticales, es decir el cateto MD lo comparamos con el cateto BC, entonces como decíamos se conserva la proporción por ser triángulos semejantes. Otra vez vamos a dejar el segmento AM tal como está y vamos a reemplazar AB por 2 veces AM porque como decíamos M es punto medio del segmento AB y ahora vamos a escribir acá las expresiones que corresponden a las longitudes de estos segmentos, vamos con el segmento MD es decir este que tenemos acá, venimos al eje Y y vemos que es la diferencia entre las ordenadas la mayor menos la menor nos referimos a esta distancia que será entonces la ordenada mayor es decir Y trazo menos la ordenada menor que es Y sub 1, entonces esa información la anotamos por acá, Y trazo menos Y sub 1. Vamos ahora con el segmento BC aquí lo tenemos vamos al eje Y y vemos que es también la diferencia entre las ordenadas respectivas, vamos a anotar eso por acá hacemos referencia a todo este segmento entonces será la ordenada mayor que es Y sub 2 menos la ordenada menor que es Y sub 1 y eso lo escribimos por acá, Y sub 2 menos Y sub 1. Otra vez vamos a simplificar la primera razón cancelamos o simplificamos este componente y nos queda que se convierte en un medio igual a esto mismo, Y trazo menos Y sub 1 y todo esto sobre Y sub 2 menos Y sub 1, allí aplicamos de nuevo la propiedad fundamental de las proporciones producto de los extremos es decir 1 por Y sub 2 menos Y sub 1 que nos da eso mismo es igual al producto de los medios es decir 2 que multiplica con Y trazo menos Y sub 1. Aplicamos en el lado derecho la propiedad distributiva para romper ese paréntesis entonces en el lado izquierdo nos queda lo mismo Y sub 2 menos Y sub 1 y en el lado derecho después de distribuir el 2 nos queda 2 Y trazo menos 2 Y sub 1. Ahora vamos a aislar este componente y para ello pasamos este término que está restando al otro lado a sumar entonces nos queda Y sub 2 menos Y sub 1 y llega más 2 Y sub 1 de esa manera eso nos queda igual a 2 Y trazo. En seguida operamos estos dos términos que son semejantes entonces nos queda así Y sub 2 y la operación de estos dos términos nos da más 1 Y sub 1 o simplemente Y sub 1 igual a 2 Y trazo. Finalmente despejamos Y trazo el 2 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir nos queda Y sub 2 más Y sub 1 todo esto dividido entre 2 igual a Y trazo. Así obtenemos el otro componente Y trazo que es la coordenada de M el punto medio del segmento A B anotamos el resultado por acá Y trazo entonces es igual a Y sub 1 más Y sub 2 otra vez cambiamos el orden de los sumandos y todo esto nos queda dividido entre 2. De esta manera terminamos tenemos aquí entonces como obtener las coordenadas del punto medio de un segmento cuyos extremos son A y B con coordenadas X1 Y1 y X2 Y2 como decíamos las coordenadas del punto medio son X trazo Y trazo y aquí podemos ver que simplemente lo que se hace es promediar las abscisas para el caso de X trazo y las coordenadas para el caso de Y trazo. Entonces con esto terminamos estas son las coordenadas para el punto medio de un segmento cuando estos son sus extremos.

[{"start": 0.0, "end": 9.200000000000001, "text": " En esta ocasi\u00f3n vamos a demostrar las f\u00f3rmulas que se utilizan para determinar las coordenadas"}, {"start": 9.200000000000001, "end": 14.24, "text": " del punto medio de un segmento en el plano cartesiano."}, {"start": 14.24, "end": 20.0, "text": " Comenzamos dibujando un plano cartesiano y en \u00e9l un segmento cuyos extremos ser\u00e1n"}, {"start": 20.0, "end": 22.72, "text": " los puntos A y B."}, {"start": 22.72, "end": 30.24, "text": " Y tambi\u00e9n vamos a tener como punto medio de ese segmento este que vamos a llamar M."}, {"start": 30.24, "end": 38.0, "text": " Para el plano cartesiano recordemos que el eje horizontal o eje X es el eje de las abscisas"}, {"start": 38.0, "end": 44.64, "text": " y el eje vertical, o sea el eje Y, es el eje de las ordenadas."}, {"start": 44.64, "end": 51.8, "text": " Entonces tenemos all\u00ed como dec\u00edamos un segmento A-B en el plano cartesiano X-Y y su punto"}, {"start": 51.8, "end": 53.72, "text": " medio que es M."}, {"start": 53.72, "end": 61.879999999999995, "text": " Para el punto A tenemos que su abscisa es X1 y su ordenada es Y1."}, {"start": 61.879999999999995, "end": 69.0, "text": " Entonces por ac\u00e1 anotamos las coordenadas de A, X1, Y1."}, {"start": 69.0, "end": 76.52, "text": " Para el punto B tenemos que su abscisa es X2 y su ordenada es Y2."}, {"start": 76.52, "end": 83.28, "text": " Entonces anotamos por ac\u00e1 las coordenadas de B, X2, Y2."}, {"start": 83.28, "end": 89.47999999999999, "text": " Y para el punto medio del segmento A-B, es decir para el punto M, sus coordenadas ser\u00e1n"}, {"start": 89.47999999999999, "end": 95.84, "text": " X trazo que es la abscisa y Y trazo que ser\u00e1 la coordenada."}, {"start": 95.84, "end": 103.84, "text": " Entonces anotamos por ac\u00e1 las coordenadas de M, X trazo, Y trazo."}, {"start": 103.84, "end": 110.24000000000001, "text": " Trasamos ahora esta l\u00ednea horizontal y de esa manera se determinan otros dos puntos"}, {"start": 110.24000000000001, "end": 112.80000000000001, "text": " que vamos a llamar C y D."}, {"start": 112.80000000000001, "end": 119.08, "text": " Tambi\u00e9n all\u00ed tenemos dos tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos, este que tenemos aqu\u00ed cuyos v\u00e9rtices son"}, {"start": 119.08, "end": 120.76, "text": " A, M y D."}, {"start": 120.76, "end": 126.68, "text": " Aqu\u00ed tenemos el \u00e1ngulo recto y aqu\u00ed tenemos otro m\u00e1s grande cuyos v\u00e9rtices son A, B y"}, {"start": 126.68, "end": 127.68, "text": " C."}, {"start": 127.68, "end": 130.84, "text": " Aqu\u00ed tambi\u00e9n tenemos \u00e1ngulo recto."}, {"start": 130.84, "end": 137.12, "text": " Como se puede observar estas dos l\u00edneas punteadas de color verde son verticales, por lo tanto"}, {"start": 137.12, "end": 143.28, "text": " son paralelas y el segmento A-B act\u00faa como secante o transversal."}, {"start": 143.28, "end": 149.96, "text": " Por lo tanto podemos asegurar que estos dos \u00e1ngulos son congruentes por ser \u00e1ngulos"}, {"start": 149.96, "end": 153.16, "text": " correspondientes entre paralelas."}, {"start": 153.16, "end": 159.28, "text": " Este est\u00e1 en la zona interna de ellas y este est\u00e1 en la zona externa, pero ambos est\u00e1n"}, {"start": 159.28, "end": 163.56, "text": " del mismo lado del secante o transversal."}, {"start": 163.56, "end": 169.04, "text": " Tambi\u00e9n observamos un \u00e1ngulo que es com\u00fan a los dos tri\u00e1ngulos, se trata de este \u00e1ngulo"}, {"start": 169.04, "end": 176.08, "text": " que tiene v\u00e9rtice en A, entonces le pertenece al tri\u00e1ngulo peque\u00f1o y al tri\u00e1ngulo grande."}, {"start": 176.08, "end": 181.88, "text": " Con esa informaci\u00f3n podemos asegurar entonces que el tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo A-M-D, vamos"}, {"start": 181.88, "end": 190.4, "text": " a escribirlo por ac\u00e1, tri\u00e1ngulo A-M-D es semejante con el tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo grande,"}, {"start": 190.4, "end": 193.79999999999998, "text": " el que tiene v\u00e9rtices en A, B y C."}, {"start": 193.79999999999998, "end": 196.84, "text": " Entonces aqu\u00ed lo escribimos, tri\u00e1ngulo A-B-C."}, {"start": 196.84, "end": 203.6, "text": " Son tri\u00e1ngulos semejantes por el criterio opostulado \u00e1ngulo-\u00e1ngulo-\u00e1ngulo."}, {"start": 203.6, "end": 208.44, "text": " Los dos tri\u00e1ngulos tienen exactamente los mismos \u00e1ngulos."}, {"start": 208.44, "end": 214.48, "text": " Esta semejanza que existe entre los tri\u00e1ngulos nos permite establecer una proporcionalidad"}, {"start": 214.48, "end": 216.8, "text": " entre sus lados correspondientes."}, {"start": 216.8, "end": 224.92, "text": " Por ejemplo podr\u00edamos comparar las dos hipotenusas de los tri\u00e1ngulos, es decir A-M se compara"}, {"start": 224.92, "end": 231.44, "text": " con A-B, la hipotenusa del tri\u00e1ngulo peque\u00f1o se compara con la hipotenusa del tri\u00e1ngulo"}, {"start": 231.44, "end": 237.48, "text": " grande y esa misma relaci\u00f3n la deben guardar por ejemplo estos catetos."}, {"start": 237.48, "end": 244.67999999999998, "text": " Entonces el cateto peque\u00f1o que es A-D con el cateto del tri\u00e1ngulo grande que es A-C."}, {"start": 244.67999999999998, "end": 250.23999999999998, "text": " Entonces repetimos A-M es A-B como A-D es A-C."}, {"start": 250.23999999999998, "end": 254.88, "text": " Comparaci\u00f3n de hipotenusas y comparaci\u00f3n de los catetos horizontales."}, {"start": 254.88, "end": 260.44, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a expresar estos datos en t\u00e9rminos de la informaci\u00f3n que tenemos"}, {"start": 260.44, "end": 261.64, "text": " en el dibujo."}, {"start": 261.64, "end": 265.36, "text": " Veamos, A-M lo dejamos igual."}, {"start": 265.36, "end": 272.08000000000004, "text": " Y para el caso de A-B hacemos lo siguiente, sabemos que M es punto medio del segmento"}, {"start": 272.08000000000004, "end": 280.12, "text": " A-B, por lo tanto el segmento A-M ser\u00e1 igual o congruente con el segmento M-B, ambos tienen"}, {"start": 280.12, "end": 287.0, "text": " la misma medida, por lo tanto podemos decir que el segmento A-B es el doble de A-M, lo"}, {"start": 287.0, "end": 291.2, "text": " expresamos entonces as\u00ed, dos veces A-M."}, {"start": 291.2, "end": 297.12, "text": " Ahora para el caso de estos dos segmentos podemos determinar sus medidas de la siguiente"}, {"start": 297.12, "end": 304.03999999999996, "text": " manera, para A-D tendr\u00edamos que restar las abscisas, es decir la longitud de este segmento"}, {"start": 304.03999999999996, "end": 310.32, "text": " ser\u00e1 la diferencia entre la abscisa mayor y la abscisa menor, vamos a se\u00f1alar esa distancia"}, {"start": 310.32, "end": 312.03999999999996, "text": " por ac\u00e1."}, {"start": 312.03999999999996, "end": 319.52, "text": " Entonces nos referimos a este segmento que se obtiene restando X trazo menos X sub 1"}, {"start": 319.52, "end": 325.91999999999996, "text": " abscisa mayor menos abscisa menor, entonces eso lo anotamos por ac\u00e1, X trazo menos X"}, {"start": 325.91999999999996, "end": 330.2, "text": " sub 1 es la longitud del segmento A-D."}, {"start": 330.2, "end": 336.56, "text": " Para el caso del segmento A-C hacemos algo similar, ser\u00e1 la diferencia entre las abscisas"}, {"start": 336.56, "end": 346.08, "text": " X sub 2 y X sub 1, entonces hacemos referencia a esta distancia que repetimos se obtiene"}, {"start": 346.08, "end": 354.32, "text": " restando X sub 2 menos X sub 1, la diferencia de las abscisas, entonces eso lo anotamos"}, {"start": 354.32, "end": 361.28, "text": " por ac\u00e1, X sub 2 menos X sub 1 es la longitud que corresponde al segmento A-C."}, {"start": 361.28, "end": 367.4, "text": " Ahora podemos simplificar esta primera raz\u00f3n, podr\u00edamos cancelar o eliminar el componente"}, {"start": 367.4, "end": 375.24, "text": " A-M, es como si dividimos arriba y abajo por esa cantidad, por lo tanto nos queda un medio"}, {"start": 375.24, "end": 383.36, "text": " y un medio ser\u00e1 igual a esto que tenemos ac\u00e1, es decir, X trazo menos X sub 1 en el numerador"}, {"start": 383.36, "end": 388.34000000000003, "text": " y X sub 2 menos X sub 1 en el denominador."}, {"start": 388.34000000000003, "end": 393.8, "text": " Ahora aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones, recordemos que en una proporci\u00f3n"}, {"start": 393.8, "end": 399.6, "text": " que es la igualdad de dos razones, estos elementos se llaman los extremos y estos se llaman los"}, {"start": 399.6, "end": 405.40000000000003, "text": " medios y la propiedad fundamental nos dice que el producto de extremos debe ser igual"}, {"start": 405.40000000000003, "end": 413.8, "text": " al producto de los medios, en otras palabras 1 por esto nos da X sub 2 menos X sub 1 y"}, {"start": 413.8, "end": 422.68, "text": " eso debe ser igual a 2 por esto, entonces lo dejamos indicado, 2 por X trazo menos X sub"}, {"start": 422.68, "end": 431.12, "text": " 1, all\u00ed lo del lado izquierdo permanece igual, nos queda X sub 2 menos X sub 1 y en el lado"}, {"start": 431.12, "end": 437.6, "text": " derecho vamos a romper ese par\u00e9ntesis aplicando la propiedad distributiva, entonces tenemos"}, {"start": 437.6, "end": 445.8, "text": " 2 por X trazo, 2 X trazo menos 2 por X sub 1, o sea 2 X sub 1."}, {"start": 445.8, "end": 451.2, "text": " All\u00ed podemos aislar este t\u00e9rmino en el lado derecho y para ello pasamos este componente"}, {"start": 451.2, "end": 457.24, "text": " al lado izquierdo, veamos como nos queda, tenemos en el lado izquierdo X sub 2 menos"}, {"start": 457.24, "end": 464.08, "text": " X sub 1 y pasamos esto que est\u00e1 restando al otro lado a sumar, llega como m\u00e1s 2 X"}, {"start": 464.08, "end": 473.12, "text": " sub 1 y eso nos queda igual a 2 por X trazo, como dec\u00edamos ya se consigue aislar ese componente."}, {"start": 473.12, "end": 479.48, "text": " A su vez en el lado izquierdo de la igualdad encontramos dos t\u00e9rminos que son semejantes,"}, {"start": 479.48, "end": 485.76, "text": " entonces los podemos operar entre s\u00ed, nos queda X sub 2 y menos X sub 1 m\u00e1s 2 X sub"}, {"start": 485.76, "end": 494.6, "text": " 1 nos dar\u00eda m\u00e1s 1 X sub 1 o simplemente m\u00e1s X sub 1 y eso es igual a 2 por X trazo."}, {"start": 494.6, "end": 500.6, "text": " Ahora de all\u00ed ya podemos efectuar el despeje de X trazo, simplemente 2 que est\u00e1 multiplicando"}, {"start": 500.6, "end": 506.90000000000003, "text": " pasa al otro lado a dividir o lo que es lo mismo dividir ambos lados de la igualdad por"}, {"start": 506.9, "end": 516.4399999999999, "text": " 2, entonces nos queda as\u00ed, X sub 2 m\u00e1s X sub 1 todo esto dividido entre 2 igual a X"}, {"start": 516.4399999999999, "end": 523.84, "text": " trazo, all\u00ed hemos despejado este elemento. De esta manera ya tenemos una expresi\u00f3n para"}, {"start": 523.84, "end": 530.56, "text": " X trazo, es decir para la abscisa del punto M que es el punto medio del segmento AB, vamos"}, {"start": 530.56, "end": 538.4, "text": " a anotar eso que obtuvimos por ac\u00e1, X trazo ser\u00e1 igual a X1 m\u00e1s X2 simplemente cambiamos"}, {"start": 538.4, "end": 544.5999999999999, "text": " el orden de los sumandos propiedad conmutativa de la suma y todo esto nos queda dividido"}, {"start": 544.5999999999999, "end": 551.16, "text": " entre 2. Ahora volvemos a considerar la semejanza de los dos tri\u00e1ngulos y vamos a realizar"}, {"start": 551.16, "end": 559.8, "text": " la siguiente comparaci\u00f3n, otra vez tomamos las hipotenusas, AM es al segmento AB la hipotenusa"}, {"start": 559.8, "end": 564.76, "text": " del tri\u00e1ngulo peque\u00f1o la comparamos con la hipotenusa del tri\u00e1ngulo grande y ahora"}, {"start": 564.76, "end": 572.4399999999999, "text": " vamos a comparar los catetos verticales, es decir el cateto MD lo comparamos con el cateto"}, {"start": 572.4399999999999, "end": 580.4, "text": " BC, entonces como dec\u00edamos se conserva la proporci\u00f3n por ser tri\u00e1ngulos semejantes."}, {"start": 580.4, "end": 588.12, "text": " Otra vez vamos a dejar el segmento AM tal como est\u00e1 y vamos a reemplazar AB por 2"}, {"start": 588.12, "end": 596.0, "text": " veces AM porque como dec\u00edamos M es punto medio del segmento AB y ahora vamos a escribir"}, {"start": 596.0, "end": 601.92, "text": " ac\u00e1 las expresiones que corresponden a las longitudes de estos segmentos, vamos con el"}, {"start": 601.92, "end": 608.4, "text": " segmento MD es decir este que tenemos ac\u00e1, venimos al eje Y y vemos que es la diferencia"}, {"start": 608.4, "end": 616.36, "text": " entre las ordenadas la mayor menos la menor nos referimos a esta distancia que ser\u00e1 entonces"}, {"start": 616.36, "end": 624.08, "text": " la ordenada mayor es decir Y trazo menos la ordenada menor que es Y sub 1, entonces esa"}, {"start": 624.08, "end": 629.28, "text": " informaci\u00f3n la anotamos por ac\u00e1, Y trazo menos Y sub 1."}, {"start": 629.28, "end": 634.66, "text": " Vamos ahora con el segmento BC aqu\u00ed lo tenemos vamos al eje Y y vemos que es tambi\u00e9n la"}, {"start": 634.66, "end": 642.84, "text": " diferencia entre las ordenadas respectivas, vamos a anotar eso por ac\u00e1 hacemos referencia"}, {"start": 642.84, "end": 650.44, "text": " a todo este segmento entonces ser\u00e1 la ordenada mayor que es Y sub 2 menos la ordenada menor"}, {"start": 650.44, "end": 658.44, "text": " que es Y sub 1 y eso lo escribimos por ac\u00e1, Y sub 2 menos Y sub 1."}, {"start": 658.44, "end": 664.32, "text": " Otra vez vamos a simplificar la primera raz\u00f3n cancelamos o simplificamos este componente"}, {"start": 664.32, "end": 673.9200000000001, "text": " y nos queda que se convierte en un medio igual a esto mismo, Y trazo menos Y sub 1 y todo"}, {"start": 673.9200000000001, "end": 683.08, "text": " esto sobre Y sub 2 menos Y sub 1, all\u00ed aplicamos de nuevo la propiedad fundamental de las proporciones"}, {"start": 683.08, "end": 690.0, "text": " producto de los extremos es decir 1 por Y sub 2 menos Y sub 1 que nos da eso mismo es"}, {"start": 690.0, "end": 698.88, "text": " igual al producto de los medios es decir 2 que multiplica con Y trazo menos Y sub 1."}, {"start": 698.88, "end": 704.6, "text": " Aplicamos en el lado derecho la propiedad distributiva para romper ese par\u00e9ntesis entonces"}, {"start": 704.6, "end": 711.14, "text": " en el lado izquierdo nos queda lo mismo Y sub 2 menos Y sub 1 y en el lado derecho despu\u00e9s"}, {"start": 711.14, "end": 718.2, "text": " de distribuir el 2 nos queda 2 Y trazo menos 2 Y sub 1."}, {"start": 718.2, "end": 723.4200000000001, "text": " Ahora vamos a aislar este componente y para ello pasamos este t\u00e9rmino que est\u00e1 restando"}, {"start": 723.4200000000001, "end": 732.96, "text": " al otro lado a sumar entonces nos queda Y sub 2 menos Y sub 1 y llega m\u00e1s 2 Y sub 1"}, {"start": 732.96, "end": 738.5200000000001, "text": " de esa manera eso nos queda igual a 2 Y trazo."}, {"start": 738.5200000000001, "end": 744.84, "text": " En seguida operamos estos dos t\u00e9rminos que son semejantes entonces nos queda as\u00ed Y"}, {"start": 744.84, "end": 751.84, "text": " sub 2 y la operaci\u00f3n de estos dos t\u00e9rminos nos da m\u00e1s 1 Y sub 1 o simplemente Y sub"}, {"start": 751.84, "end": 754.84, "text": " 1 igual a 2 Y trazo."}, {"start": 754.84, "end": 760.84, "text": " Finalmente despejamos Y trazo el 2 que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir"}, {"start": 760.84, "end": 768.76, "text": " nos queda Y sub 2 m\u00e1s Y sub 1 todo esto dividido entre 2 igual a Y trazo."}, {"start": 768.76, "end": 775.4399999999999, "text": " As\u00ed obtenemos el otro componente Y trazo que es la coordenada de M el punto medio del segmento"}, {"start": 775.4399999999999, "end": 783.16, "text": " A B anotamos el resultado por ac\u00e1 Y trazo entonces es igual a Y sub 1 m\u00e1s Y sub 2 otra"}, {"start": 783.16, "end": 789.64, "text": " vez cambiamos el orden de los sumandos y todo esto nos queda dividido entre 2."}, {"start": 789.64, "end": 796.2, "text": " De esta manera terminamos tenemos aqu\u00ed entonces como obtener las coordenadas del punto medio"}, {"start": 796.2, "end": 806.0, "text": " de un segmento cuyos extremos son A y B con coordenadas X1 Y1 y X2 Y2 como dec\u00edamos las"}, {"start": 806.0, "end": 811.5600000000001, "text": " coordenadas del punto medio son X trazo Y trazo y aqu\u00ed podemos ver que simplemente"}, {"start": 811.5600000000001, "end": 818.36, "text": " lo que se hace es promediar las abscisas para el caso de X trazo y las coordenadas para"}, {"start": 818.36, "end": 820.5200000000001, "text": " el caso de Y trazo."}, {"start": 820.52, "end": 826.24, "text": " Entonces con esto terminamos estas son las coordenadas para el punto medio de un segmento"}, {"start": 826.24, "end": 853.48, "text": " cuando estos son sus extremos."}]

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DERIVACIÓN IMPLÍCITA - Ejercicio 7

#julioprofe explica cómo obtener dy/dx derivando implícitamente una expresión. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para obtener de y de x de esta expresión vamos a utilizar la derivación implícita, porque aquí tenemos las variables x y y combinadas de tal manera que no es posible despejar y en términos de x. Entonces derivamos ambos miembros de esa igualdad con respecto de x. En el lado izquierdo escribimos derivada con respecto a x, de esto que tenemos acá que es un producto, el producto x por y y en el lado derecho escribimos la derivada con respecto a x de esa expresión coseno de x más y. Acá tenemos la derivada de un producto, recordemos que se deriva el primero por el segundo sin derivar luego más el primero por la derivada del segundo. Pasamos entonces a aplicar esa regla del producto, derivada del primero con respecto a x, sería de x de x, esto por el segundo sin derivar, es decir y, luego tenemos más el primer componente sin derivar que es x por la derivada del segundo componente, es decir de y de x, recordemos que la derivada se está efectuando con respecto de la variable x. Pasamos al otro lado de la igualdad donde tenemos la derivada con respecto a x de coseno de x más y, recordemos que la derivada de coseno es menos seno del ángulo, en este caso x más y y eso multiplicado por la derivada del ángulo, en este caso por la derivada con respecto de x de x más y, estamos aplicando allí la regla de la cadena para derivar una función trigonométrica. En el lado izquierdo tenemos que de x de x, es decir la derivada de x con respecto a x nos da como resultado 1, entonces tenemos 1 por y que es igual a y, esto más x por la derivada de y con respecto a x que se deja indicada, es justamente lo que estamos buscando y todo esto igual a menos seno de x más y y todo esto multiplicado por la derivada con respecto a x de esta suma, recordemos que allí se deriva cada uno de los componentes, sería entonces la derivada de x con respecto a x más la derivada de y con respecto a x. Este componente de x sobre dx, es decir la derivada de x con respecto a x nos da como resultado 1 y vamos a cambiar de y de x por y', que es lo mismo, esto lo hacemos para facilitar el proceso de lo que viene, entonces la expresión nos queda así, y más x por y', todo esto igual a menos seno de x más y y todo eso multiplicado por 1 más y' y cerramos el corchete. Continuamos con el desarrollo del ejercicio, en el lado izquierdo nos queda lo mismo, y más x por y', y acá vamos a romper ese corchete, vamos a aplicar la propiedad distributiva, entonces tenemos menos seno de x más y por 1 nos da lo mismo, menos seno de x más y y menos seno de x más y por y', eso nos queda menos y', que queda multiplicando con seno de x más y. Como vemos hay dos términos que contienen y' y dos términos que no contienen ese componente, recordemos que y' es de y de x, entonces vamos a agrupar en el lado izquierdo aquellos términos que contienen y' y dejamos en el lado derecho los términos que no tienen ese elemento, entonces en el lado izquierdo se queda x por y' y pasamos este término que está negativo, entonces llega allá con signo positivo, más y' por seno de x más y. Ahora en el lado derecho se queda este término, menos seno de x más y y pasamos este término, llega con signo negativo. Después de haber agrupado en el miembro izquierdo de la igualdad los términos que contienen y' vamos a extraer ese componente como factor común, nos queda entonces y' que multiplica con x más seno de x más y. Cerramos el corchete y todo esto igual a esta expresión en la que vamos a extraer como factor común el signo menos, nos queda así, sale el menos dentro del corchete seno de x más y y todo eso más y. Allí ya podemos hacer el despeje de y', para ello todo esto que está multiplicando pasa al otro lado a dividir, nos queda entonces menos, abrimos el corchete, escribimos esa expresión y todo eso nos queda sobre x más seno de x más y. Para terminar hacemos lo siguiente, cambiamos y' por de y de x y en el lado derecho aseguramos el signo menos que vuelve negativa toda esa fracción y en el numerador cambiamos el orden de estos dos sumando, nos queda y más seno de x más y. En el denominador dejamos la misma expresión, x más seno de x más y y de esta manera terminamos, hemos encontrado de y de x a partir de esa expresión utilizando derivación implícita. ¡Suscríbete!

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29. ESCALARES EN CINEMÁTICA

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 29: Escalares en Cinemática. Conceptos de distancia (o espacio recorrido), tiempo y rapidez (media e instantánea). Tema: El Movimiento y su Descripción. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

En el estudio de la cinemática vamos a encontrar las siguientes magnitudes escalares, la distancia o espacio recorrido, el tiempo, la rapidez media y la rapidez instantánea, veamos una por una. Distancia o espacio recorrido es la longitud de la trayectoria del móvil, es decir la medida de la linea que describe la partícula al desplazarse de un punto a otro. Por ser una longitud, es decir una magnitud fundamental de la física, su dimensión es L, y en unidades del sistema internacional se expresa en metros. Si la partícula se desplaza del punto a al punto b con movimiento rectilíneo, la distancia o espacio recorrido será la medida del segmento a b. Si la partícula describe una circunferencia de radio r, la distancia o espacio recorrido al dar una vuelta completa será la longitud de dicha circunferencia, que viene dada por la expresión matemática 2 pi r. Tiempo recordemos que es una magnitud fundamental de la física, su dimensión es T y en unidades del sistema internacional se expresa en segundos. Rapidez media se define como el cosiente entre la distancia recorrida por el móvil y el tiempo empleado en ello, se trata de una magnitud derivada de carácter escalar por ser el resultado de dividir magnitudes fundamentales de naturaleza escalar. Su dimensión es L sobre T o LT elevada al exponente menos 1 y en unidades del sistema internacional se expresa en metros sobre segundo. Rapidez instantánea es la magnitud o módulo del vector velocidad del móvil en un instante específico. Por ejemplo, si decimos que a las 3 y 25 de la tarde un avión vuela a 900 km por hora con rumbo sur 24 grados oeste, entonces la rapidez instantánea del avión es 900 km por hora, o sea la magnitud de su velocidad, sin interesar que esté volando con la orientación especificada. Un buen ejemplo para ilustrar los conceptos de distancia recorrida y rapidez instantánea es lo que observamos en el tablero de un coche. El odómetro registra el kilometraje del coche, es decir la distancia que recorre sin importar en que dirección marcha. La aguja del velocímetro indica la rapidez del coche en el momento preciso en que fijamos nuestra mirada allí, independientemente del rumbo que seguimos al conducir el coche. Por ejemplo, en el instante en que se tomó esta fotografía, el coche ha recorrido 2 kilómetros y marcha a una rapidez de 85 kilómetros por hora.

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DERIVACIÓN LOGARÍTMICA - Ejercicio 4

#julioprofe explica cómo hallar la segunda derivada de una función, usando Derivación Logarítmica para obtener la primera derivada. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para esta función que nos dan, vamos a determinar su segunda derivada. Aquí observamos un cociente, a su vez en el numerador hay un producto y también observamos potencias. Entonces, vamos a comenzar utilizando derivación logarítmica para obtener la primera derivada. Entonces, tomamos logaritmo natural a ambos lados de la igualdad. Ahora vamos a proteger todo lo del lado derecho con paréntesis. Tenemos e a la x por coseno de x en el numerador y x al cubo en el denominador. En el lado izquierdo seguimos dejando logaritmo natural de y y acá en el lado derecho vamos a utilizar las propiedades de los logaritmos. Comenzamos utilizando la siguiente. Si tenemos el logaritmo natural de un cociente a sobre b, entonces esto será el logaritmo natural de a menos logaritmo natural de b. Bueno, en realidad esta propiedad aplica para logaritmo en cualquier base, pero en este caso vamos a trabajar con logaritmo natural que es el que tiene la base e, el número de Euler. Entonces, aplicamos esta propiedad acá en esta situación y nos queda logaritmo natural de e a la x por coseno de x menos logaritmo natural de x al cubo. Ahora, como aquí tenemos el logaritmo de un producto, vamos a aplicar otra propiedad. Logaritmo natural de a por b será igual a logaritmo natural de a más logaritmo natural de b. Entonces, veamos cómo nos queda la expresión. Logaritmo natural de y, esto permanece igual y aquí aplicamos esta propiedad. Nos queda logaritmo natural de e a la x más logaritmo natural de coseno de x. Esto permanece también igual menos logaritmo natural de x al cubo. Ahora, para estas dos situaciones donde observamos logaritmos aplicados a potencias, utilizamos la siguiente propiedad. Si tenemos logaritmo natural de a elevada al exponente k, entonces esto nos queda k por logaritmo natural de a. Es decir, el exponente baja a multiplicar. Entonces, esto nos queda así. Logaritmo natural de y es igual. Aquí x baja a multiplicar con logaritmo natural de e. Luego tenemos más logaritmo natural de coseno de x. Esto permanece igual y acá tenemos 3 por logaritmo natural de x. El 3 baja a multiplicar. Ahora aquí vamos a simplificar este componente. Vamos a recordar que es igual logaritmo natural de e. Vamos a suponer que esto es igual a incógnita. Entonces, tenemos que logaritmo natural es el logaritmo en la base e. Nos queda logaritmo en base e de e igual a la incógnita y allí aplicamos el concepto del logaritmo. Recordemos que esta cantidad elevada a esto que tenemos acá, es decir, a la incógnita, nos tiene que dar lo que hay aquí en el argumento. Entonces, nos queda e elevado a la incógnita igual a e que tiene exponente 1. Es invisible pero allí lo hacemos aparecer y observamos una igualdad de potencias con la misma base. Por lo tanto, se concluye que los exponentes deben ser iguales. Entonces, la incógnita nos queda igual a 1. Quiere decir que logaritmo natural de e equivale a 1. Y eso lo podemos reemplazar aquí. Por lo tanto, esa expresión nos queda de la siguiente manera. Logaritmo natural de e igual a x por 1 que es x más logaritmo natural de coseno de x menos 3 por logaritmo natural de x. Cuando ya no podemos hacer nada más en términos de uso de propiedades de logaritmos o de simplificar la expresión, entonces empezamos el proceso de derivación que será de tipo implícita porque aquí la letra y pertenece a un logaritmo natural. Entonces, vamos a derivar implícitamente ambos lados de esta igualdad con respecto a la variable x. En el lado izquierdo, la derivada de logaritmo natural de y será y' sobre y. Problemos que cuando se deriva un logaritmo natural de una expresión, vamos a hacerlo con manzanita, entonces el modelo es el siguiente. Arriba la derivada de la manzanita y abajo la manzanita sin derivar. Entonces, en este caso, y va en el denominador, es la manzanita y en el numerador va la derivada de lo que escribimos abajo, o sea la derivada de la manzanita. En ese caso la derivada de y se deja expresada como y', que es lo mismo que de y de x. Ahora vamos a derivar esto de acá, tendremos derivada de x que es 1 más derivada del logaritmo natural de coseno de x. Aplicamos este concepto, trazamos la línea, en el denominador irá la manzanita, o sea coseno de x y acá en el numerador la derivada de lo que escribimos abajo, es decir la derivada de coseno de x que es menos seno de x. Y acá tenemos menos 3, este 3 queda quieto porque está multiplicando con esta expresión, la derivada del logaritmo natural de x será x en el denominador, x es la manzanita y acá en el numerador es la derivada de lo que tenemos abajo, es decir la derivada de x con respecto a ella misma que nos da 1. De esa expresión vamos a despejar y', para ello pasamos y que está dividiendo al otro lado a multiplicar con todo esto, entonces nos queda y por esta expresión que vamos a organizar de la siguiente manera, 1 aquí tendremos más por menos, es menos, aplicamos ley de los signos, nos queda seno de x sobre coseno de x que podemos transformar en tangente de x y acá tenemos menos 3 por 1 sobre x que podemos escribir como 3 sobre x. De esta manera ya tenemos y', es decir la primera derivada de esta función, repetimos y' es lo mismo que de y de x, pero esto tenemos que volverlo a derivar para obtener lo que nos pide el ejercicio que es la segunda derivada. Entonces antes de iniciar el proceso de derivación vamos a transformar este componente, todo lo demás permanece igual y acá tendremos 3 por x a la menos 1, subimos esa x nos queda con exponente menos 1. Ahora lo que hacemos es derivar otra vez ambos lados de esta igualdad, hacemos derivación implícita con respecto a x, derivación implícita porque repetimos, allí está la letra y, la letra y involucrada en toda la expresión, entonces tenemos derivada de y' con respecto a x, la podemos expresar como de y' sobre de x, ahora más adelante transformaremos esto en la segunda derivada. Acá tenemos un producto entre y y toda esta expresión que depende de x, entonces debemos derivar aplicando la regla del producto, comenzamos con la derivada del primer componente, derivada de y con respecto a x que será de y de x o también podríamos expresarlo como y', esto multiplicado por el segundo componente sin derivar, entonces 1 menos tangente de x menos 3x a la menos 1, todo esto más el primer componente sin derivar, o sea y, por la derivada del segundo componente con respecto a x, entonces tenemos derivada de 1 será 0 menos derivada tangente de x, ese cante al cuadrado de x y la derivada de este componente será baja a menos 1 multiplicar con menos 3, eso nos queda más 3 y queda x a la menos 2, recordemos que a este número se le resta 1 y por eso nos da menos 2. Como decíamos ahora, la derivada de y' con respecto a x es la segunda derivada de y, obviamente con respecto a x, es esto mismo que nos están pidiendo, entonces allí podemos hacer ese cambio, esto es lo mismo que y', entonces puede cambiarse por esta expresión, sería y por 1 menos tangente de x menos 3x a la menos 1 y todo eso multiplica con esta expresión, entonces 1 menos tangente de x menos 3x a la menos 1, acá tenemos más y que multiplica con esto de acá, este 0 lo podemos omitir y organizamos esto de acá, nos quedaría 3x a la menos 2, escribimos primero el término positivo y después el término negativo, nos queda menos el cante al cuadrado de x. Como se puede observar aquí ya tenemos una expresión para y', es decir para la segunda derivada de la función que es lo que nos pide el ejercicio, sin embargo vamos a transformar todo esto utilizando la légebra para llevarlo a una forma más simple, nos queda entonces y' igual a lo siguiente, acá se observa la suma de dos términos y en ellos está presente la letra y, entonces puede extraerse como factor común, nos queda y que multiplica con lo siguiente, en el primer término nos queda el producto de estas dos expresiones que como vemos son iguales, entonces nos va a quedar todo eso 1 menos tangente de x menos 3x a la menos 1 elevado al cuadrado y en el otro término nos queda esto de acá, a lo cual podemos quitarle ya el paréntesis porque está precedido de signo más, es decir 3x a la menos 2 menos secante al cuadrado de x y cerramos el corchetes. Ya para terminar hacemos lo siguiente, cambiamos y' por esta notación, es la segunda derivada de la función con respecto a x, cambiamos y por su equivalente original, es decir la función que nos dieron era la x por coseno de x, todo esto sobre x al cubo y eso multiplica con toda esta expresión que vamos a organizar de modo que no nos quede con exponentes negativos, entonces aquí tendríamos 1 menos tangente de x menos 3 por x a la menos 1 se convierte en 3 sobre x, cerramos el paréntesis y eso está elevado al cuadrado, después tenemos más 3 por x a la menos 2 que sería 3 sobre x al cuadrado y después menos secante al cuadrado de x y cerramos el corchete. De esta manera terminamos, todo esto constituye la respuesta, esta expresión que como vemos depende solamente de x, es la segunda derivada de esa función que nos dieron originalmente.

[{"start": 0.0, "end": 8.64, "text": " Para esta funci\u00f3n que nos dan, vamos a determinar su segunda derivada."}, {"start": 8.64, "end": 14.36, "text": " Aqu\u00ed observamos un cociente, a su vez en el numerador hay un producto y tambi\u00e9n observamos"}, {"start": 14.36, "end": 15.36, "text": " potencias."}, {"start": 15.36, "end": 22.8, "text": " Entonces, vamos a comenzar utilizando derivaci\u00f3n logar\u00edtmica para obtener la primera derivada."}, {"start": 22.8, "end": 28.16, "text": " Entonces, tomamos logaritmo natural a ambos lados de la igualdad."}, {"start": 28.16, "end": 31.72, "text": " Ahora vamos a proteger todo lo del lado derecho con par\u00e9ntesis."}, {"start": 31.72, "end": 39.480000000000004, "text": " Tenemos e a la x por coseno de x en el numerador y x al cubo en el denominador."}, {"start": 39.480000000000004, "end": 45.64, "text": " En el lado izquierdo seguimos dejando logaritmo natural de y y ac\u00e1 en el lado derecho vamos"}, {"start": 45.64, "end": 49.120000000000005, "text": " a utilizar las propiedades de los logaritmos."}, {"start": 49.120000000000005, "end": 50.8, "text": " Comenzamos utilizando la siguiente."}, {"start": 50.8, "end": 57.400000000000006, "text": " Si tenemos el logaritmo natural de un cociente a sobre b, entonces esto ser\u00e1 el logaritmo"}, {"start": 57.4, "end": 61.239999999999995, "text": " natural de a menos logaritmo natural de b."}, {"start": 61.239999999999995, "end": 66.0, "text": " Bueno, en realidad esta propiedad aplica para logaritmo en cualquier base, pero en este"}, {"start": 66.0, "end": 71.12, "text": " caso vamos a trabajar con logaritmo natural que es el que tiene la base e, el n\u00famero"}, {"start": 71.12, "end": 72.12, "text": " de Euler."}, {"start": 72.12, "end": 78.08, "text": " Entonces, aplicamos esta propiedad ac\u00e1 en esta situaci\u00f3n y nos queda logaritmo natural"}, {"start": 78.08, "end": 86.16, "text": " de e a la x por coseno de x menos logaritmo natural de x al cubo."}, {"start": 86.16, "end": 93.11999999999999, "text": " Ahora, como aqu\u00ed tenemos el logaritmo de un producto, vamos a aplicar otra propiedad."}, {"start": 93.11999999999999, "end": 101.06, "text": " Logaritmo natural de a por b ser\u00e1 igual a logaritmo natural de a m\u00e1s logaritmo natural"}, {"start": 101.06, "end": 102.06, "text": " de b."}, {"start": 102.06, "end": 105.72, "text": " Entonces, veamos c\u00f3mo nos queda la expresi\u00f3n."}, {"start": 105.72, "end": 110.84, "text": " Logaritmo natural de y, esto permanece igual y aqu\u00ed aplicamos esta propiedad."}, {"start": 110.84, "end": 118.08, "text": " Nos queda logaritmo natural de e a la x m\u00e1s logaritmo natural de coseno de x."}, {"start": 118.08, "end": 123.16, "text": " Esto permanece tambi\u00e9n igual menos logaritmo natural de x al cubo."}, {"start": 123.16, "end": 130.82, "text": " Ahora, para estas dos situaciones donde observamos logaritmos aplicados a potencias, utilizamos"}, {"start": 130.82, "end": 132.82, "text": " la siguiente propiedad."}, {"start": 132.82, "end": 140.12, "text": " Si tenemos logaritmo natural de a elevada al exponente k, entonces esto nos queda k"}, {"start": 140.12, "end": 142.28, "text": " por logaritmo natural de a."}, {"start": 142.28, "end": 145.6, "text": " Es decir, el exponente baja a multiplicar."}, {"start": 145.6, "end": 147.8, "text": " Entonces, esto nos queda as\u00ed."}, {"start": 147.8, "end": 150.76, "text": " Logaritmo natural de y es igual."}, {"start": 150.76, "end": 155.88, "text": " Aqu\u00ed x baja a multiplicar con logaritmo natural de e."}, {"start": 155.88, "end": 159.72, "text": " Luego tenemos m\u00e1s logaritmo natural de coseno de x."}, {"start": 159.72, "end": 166.12, "text": " Esto permanece igual y ac\u00e1 tenemos 3 por logaritmo natural de x."}, {"start": 166.12, "end": 168.84, "text": " El 3 baja a multiplicar."}, {"start": 168.84, "end": 172.56, "text": " Ahora aqu\u00ed vamos a simplificar este componente."}, {"start": 172.56, "end": 176.32, "text": " Vamos a recordar que es igual logaritmo natural de e."}, {"start": 176.32, "end": 179.44, "text": " Vamos a suponer que esto es igual a inc\u00f3gnita."}, {"start": 179.44, "end": 184.32, "text": " Entonces, tenemos que logaritmo natural es el logaritmo en la base e."}, {"start": 184.32, "end": 191.3, "text": " Nos queda logaritmo en base e de e igual a la inc\u00f3gnita y all\u00ed aplicamos el concepto"}, {"start": 191.3, "end": 192.88, "text": " del logaritmo."}, {"start": 192.88, "end": 198.44, "text": " Recordemos que esta cantidad elevada a esto que tenemos ac\u00e1, es decir, a la inc\u00f3gnita,"}, {"start": 198.44, "end": 201.35999999999999, "text": " nos tiene que dar lo que hay aqu\u00ed en el argumento."}, {"start": 201.35999999999999, "end": 207.24, "text": " Entonces, nos queda e elevado a la inc\u00f3gnita igual a e que tiene exponente 1."}, {"start": 207.24, "end": 212.07999999999998, "text": " Es invisible pero all\u00ed lo hacemos aparecer y observamos una igualdad de potencias con"}, {"start": 212.07999999999998, "end": 213.64, "text": " la misma base."}, {"start": 213.64, "end": 218.16, "text": " Por lo tanto, se concluye que los exponentes deben ser iguales."}, {"start": 218.16, "end": 221.8, "text": " Entonces, la inc\u00f3gnita nos queda igual a 1."}, {"start": 221.8, "end": 225.84, "text": " Quiere decir que logaritmo natural de e equivale a 1."}, {"start": 225.84, "end": 228.84, "text": " Y eso lo podemos reemplazar aqu\u00ed."}, {"start": 228.84, "end": 233.16, "text": " Por lo tanto, esa expresi\u00f3n nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 233.16, "end": 241.0, "text": " Logaritmo natural de e igual a x por 1 que es x m\u00e1s logaritmo natural de coseno de x"}, {"start": 241.0, "end": 245.72, "text": " menos 3 por logaritmo natural de x."}, {"start": 245.72, "end": 251.76, "text": " Cuando ya no podemos hacer nada m\u00e1s en t\u00e9rminos de uso de propiedades de logaritmos o de simplificar"}, {"start": 251.76, "end": 258.84, "text": " la expresi\u00f3n, entonces empezamos el proceso de derivaci\u00f3n que ser\u00e1 de tipo impl\u00edcita"}, {"start": 258.84, "end": 262.8, "text": " porque aqu\u00ed la letra y pertenece a un logaritmo natural."}, {"start": 262.8, "end": 267.84, "text": " Entonces, vamos a derivar impl\u00edcitamente ambos lados de esta igualdad con respecto"}, {"start": 267.84, "end": 269.52, "text": " a la variable x."}, {"start": 269.52, "end": 278.15999999999997, "text": " En el lado izquierdo, la derivada de logaritmo natural de y ser\u00e1 y' sobre y."}, {"start": 278.16, "end": 284.68, "text": " Problemos que cuando se deriva un logaritmo natural de una expresi\u00f3n, vamos a hacerlo"}, {"start": 284.68, "end": 288.88000000000005, "text": " con manzanita, entonces el modelo es el siguiente."}, {"start": 288.88000000000005, "end": 294.08000000000004, "text": " Arriba la derivada de la manzanita y abajo la manzanita sin derivar."}, {"start": 294.08000000000004, "end": 300.96000000000004, "text": " Entonces, en este caso, y va en el denominador, es la manzanita y en el numerador va la derivada"}, {"start": 300.96000000000004, "end": 304.56, "text": " de lo que escribimos abajo, o sea la derivada de la manzanita."}, {"start": 304.56, "end": 311.08, "text": " En ese caso la derivada de y se deja expresada como y', que es lo mismo que de y de x."}, {"start": 311.08, "end": 317.52, "text": " Ahora vamos a derivar esto de ac\u00e1, tendremos derivada de x que es 1 m\u00e1s derivada del"}, {"start": 317.52, "end": 319.64, "text": " logaritmo natural de coseno de x."}, {"start": 319.64, "end": 326.24, "text": " Aplicamos este concepto, trazamos la l\u00ednea, en el denominador ir\u00e1 la manzanita, o sea"}, {"start": 326.24, "end": 333.0, "text": " coseno de x y ac\u00e1 en el numerador la derivada de lo que escribimos abajo, es decir la derivada"}, {"start": 333.0, "end": 337.84, "text": " de coseno de x que es menos seno de x."}, {"start": 337.84, "end": 344.28, "text": " Y ac\u00e1 tenemos menos 3, este 3 queda quieto porque est\u00e1 multiplicando con esta expresi\u00f3n,"}, {"start": 344.28, "end": 349.76, "text": " la derivada del logaritmo natural de x ser\u00e1 x en el denominador, x es la manzanita y ac\u00e1"}, {"start": 349.76, "end": 355.0, "text": " en el numerador es la derivada de lo que tenemos abajo, es decir la derivada de x con respecto"}, {"start": 355.0, "end": 358.08, "text": " a ella misma que nos da 1."}, {"start": 358.08, "end": 365.4, "text": " De esa expresi\u00f3n vamos a despejar y', para ello pasamos y que est\u00e1 dividiendo al otro"}, {"start": 365.4, "end": 371.56, "text": " lado a multiplicar con todo esto, entonces nos queda y por esta expresi\u00f3n que vamos"}, {"start": 371.56, "end": 377.59999999999997, "text": " a organizar de la siguiente manera, 1 aqu\u00ed tendremos m\u00e1s por menos, es menos, aplicamos"}, {"start": 377.59999999999997, "end": 384.12, "text": " ley de los signos, nos queda seno de x sobre coseno de x que podemos transformar en tangente"}, {"start": 384.12, "end": 392.6, "text": " de x y ac\u00e1 tenemos menos 3 por 1 sobre x que podemos escribir como 3 sobre x."}, {"start": 392.6, "end": 398.4, "text": " De esta manera ya tenemos y', es decir la primera derivada de esta funci\u00f3n, repetimos"}, {"start": 398.4, "end": 405.12, "text": " y' es lo mismo que de y de x, pero esto tenemos que volverlo a derivar para obtener lo que"}, {"start": 405.12, "end": 409.44, "text": " nos pide el ejercicio que es la segunda derivada."}, {"start": 409.44, "end": 416.44, "text": " Entonces antes de iniciar el proceso de derivaci\u00f3n vamos a transformar este componente, todo"}, {"start": 416.44, "end": 425.2, "text": " lo dem\u00e1s permanece igual y ac\u00e1 tendremos 3 por x a la menos 1, subimos esa x nos queda"}, {"start": 425.2, "end": 428.0, "text": " con exponente menos 1."}, {"start": 428.0, "end": 432.84, "text": " Ahora lo que hacemos es derivar otra vez ambos lados de esta igualdad, hacemos derivaci\u00f3n"}, {"start": 432.84, "end": 439.36, "text": " impl\u00edcita con respecto a x, derivaci\u00f3n impl\u00edcita porque repetimos, all\u00ed est\u00e1 la letra y,"}, {"start": 439.36, "end": 445.68, "text": " la letra y involucrada en toda la expresi\u00f3n, entonces tenemos derivada de y' con respecto"}, {"start": 445.68, "end": 453.44, "text": " a x, la podemos expresar como de y' sobre de x, ahora m\u00e1s adelante transformaremos"}, {"start": 453.44, "end": 456.16, "text": " esto en la segunda derivada."}, {"start": 456.16, "end": 462.44, "text": " Ac\u00e1 tenemos un producto entre y y toda esta expresi\u00f3n que depende de x, entonces debemos"}, {"start": 462.44, "end": 468.44, "text": " derivar aplicando la regla del producto, comenzamos con la derivada del primer componente, derivada"}, {"start": 468.44, "end": 475.56, "text": " de y con respecto a x que ser\u00e1 de y de x o tambi\u00e9n podr\u00edamos expresarlo como y',"}, {"start": 475.56, "end": 481.52, "text": " esto multiplicado por el segundo componente sin derivar, entonces 1 menos tangente de"}, {"start": 481.52, "end": 490.84, "text": " x menos 3x a la menos 1, todo esto m\u00e1s el primer componente sin derivar, o sea y, por"}, {"start": 490.84, "end": 496.92, "text": " la derivada del segundo componente con respecto a x, entonces tenemos derivada de 1 ser\u00e1"}, {"start": 496.92, "end": 504.44, "text": " 0 menos derivada tangente de x, ese cante al cuadrado de x y la derivada de este componente"}, {"start": 504.44, "end": 510.56, "text": " ser\u00e1 baja a menos 1 multiplicar con menos 3, eso nos queda m\u00e1s 3 y queda x a la menos"}, {"start": 510.56, "end": 516.32, "text": " 2, recordemos que a este n\u00famero se le resta 1 y por eso nos da menos 2."}, {"start": 516.32, "end": 522.88, "text": " Como dec\u00edamos ahora, la derivada de y' con respecto a x es la segunda derivada de y,"}, {"start": 522.88, "end": 528.2, "text": " obviamente con respecto a x, es esto mismo que nos est\u00e1n pidiendo, entonces all\u00ed podemos"}, {"start": 528.2, "end": 535.04, "text": " hacer ese cambio, esto es lo mismo que y', entonces puede cambiarse por esta expresi\u00f3n,"}, {"start": 535.04, "end": 546.1, "text": " ser\u00eda y por 1 menos tangente de x menos 3x a la menos 1 y todo eso multiplica con esta"}, {"start": 546.1, "end": 556.4, "text": " expresi\u00f3n, entonces 1 menos tangente de x menos 3x a la menos 1, ac\u00e1 tenemos m\u00e1s"}, {"start": 556.4, "end": 563.48, "text": " y que multiplica con esto de ac\u00e1, este 0 lo podemos omitir y organizamos esto de ac\u00e1,"}, {"start": 563.48, "end": 569.0, "text": " nos quedar\u00eda 3x a la menos 2, escribimos primero el t\u00e9rmino positivo y despu\u00e9s el"}, {"start": 569.0, "end": 574.48, "text": " t\u00e9rmino negativo, nos queda menos el cante al cuadrado de x."}, {"start": 574.48, "end": 579.9, "text": " Como se puede observar aqu\u00ed ya tenemos una expresi\u00f3n para y', es decir para la segunda"}, {"start": 579.9, "end": 585.5600000000001, "text": " derivada de la funci\u00f3n que es lo que nos pide el ejercicio, sin embargo vamos a transformar"}, {"start": 585.5600000000001, "end": 591.84, "text": " todo esto utilizando la l\u00e9gebra para llevarlo a una forma m\u00e1s simple, nos queda entonces"}, {"start": 591.84, "end": 599.9, "text": " y' igual a lo siguiente, ac\u00e1 se observa la suma de dos t\u00e9rminos y en ellos est\u00e1"}, {"start": 599.9, "end": 606.56, "text": " presente la letra y, entonces puede extraerse como factor com\u00fan, nos queda y que multiplica"}, {"start": 606.56, "end": 612.04, "text": " con lo siguiente, en el primer t\u00e9rmino nos queda el producto de estas dos expresiones"}, {"start": 612.04, "end": 618.72, "text": " que como vemos son iguales, entonces nos va a quedar todo eso 1 menos tangente de x menos"}, {"start": 618.72, "end": 626.84, "text": " 3x a la menos 1 elevado al cuadrado y en el otro t\u00e9rmino nos queda esto de ac\u00e1, a lo"}, {"start": 626.84, "end": 632.86, "text": " cual podemos quitarle ya el par\u00e9ntesis porque est\u00e1 precedido de signo m\u00e1s, es decir 3x"}, {"start": 632.86, "end": 641.24, "text": " a la menos 2 menos secante al cuadrado de x y cerramos el corchetes."}, {"start": 641.24, "end": 649.12, "text": " Ya para terminar hacemos lo siguiente, cambiamos y' por esta notaci\u00f3n, es la segunda derivada"}, {"start": 649.12, "end": 656.2800000000001, "text": " de la funci\u00f3n con respecto a x, cambiamos y por su equivalente original, es decir la"}, {"start": 656.28, "end": 663.4399999999999, "text": " funci\u00f3n que nos dieron era la x por coseno de x, todo esto sobre x al cubo y eso multiplica"}, {"start": 663.4399999999999, "end": 670.9599999999999, "text": " con toda esta expresi\u00f3n que vamos a organizar de modo que no nos quede con exponentes negativos,"}, {"start": 670.9599999999999, "end": 679.8, "text": " entonces aqu\u00ed tendr\u00edamos 1 menos tangente de x menos 3 por x a la menos 1 se convierte"}, {"start": 679.8, "end": 686.24, "text": " en 3 sobre x, cerramos el par\u00e9ntesis y eso est\u00e1 elevado al cuadrado, despu\u00e9s tenemos"}, {"start": 686.24, "end": 694.24, "text": " m\u00e1s 3 por x a la menos 2 que ser\u00eda 3 sobre x al cuadrado y despu\u00e9s menos secante al"}, {"start": 694.24, "end": 699.1999999999999, "text": " cuadrado de x y cerramos el corchete."}, {"start": 699.1999999999999, "end": 706.3599999999999, "text": " De esta manera terminamos, todo esto constituye la respuesta, esta expresi\u00f3n que como vemos"}, {"start": 706.36, "end": 713.5600000000001, "text": " depende solamente de x, es la segunda derivada de esa funci\u00f3n que nos dieron originalmente."}]

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LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS - Ejercicio 6

#julioprofe explica cómo resolver un límite trigonométrico. Tema: #Límites → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEeindtt3TarvkVHRDmqNTf REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente este límite trigonométrico y comenzamos por evaluar la función cuando x toma el valor 0. En el numerador tendríamos 2 por 0, 0, entonces nos queda tangente de 0, estos son 0 radianes y en el denominador 0 más seno de 0, también aquí son 0 radianes. Tangente de 0 radianes nos da 0, acá seno de 0 radianes también es 0 y 0 más 0 nos da 0. Llegamos a una forma indeterminada 0 sobre 0 que nos indica que debemos transformar esa función. Comenzamos utilizando esta identidad trigonométrica, tangente de un ángulo theta es igual a seno de theta sobre coseno de theta, entonces vamos a cambiar tangente de 2x utilizando esa identidad, esto nos queda límite cuando x tiende a 0 de, trazamos la línea principal de la fracción y en el numerador tendremos seno de 2x sobre coseno de 2x, repetimos se usa esta identidad trigonométrica y en el denominador tenemos x más seno de x y a todo esto le vamos a colocar denominador 1. Hacemos ahora la división de esas dos fracciones, entonces tendremos límite cuando x tiende a 0 de lo siguiente, trazamos la línea principal de la fracción, en el numerador tendremos el producto de estos dos componentes seno de 2x por 1 que nos da seno de 2x y en el denominador tendremos el producto de estos dos componentes, entonces coseno de 2x que multiplica con x más seno de x. Allí vamos a utilizar otra identidad trigonométrica, la del seno del ángulo doble, vamos a recordarla por acá, seno de 2teta equivale a 2 por seno de teta por coseno de teta. Entonces vamos a transformar el numerador de esa expresión, seguimos por acá, nos queda límite cuando x tiende a 0 de lo siguiente, trazamos la línea principal de la fracción en el numerador seno de 2x será 2 por seno de x por coseno de x, aplicando esta identidad para el seno del ángulo doble, en el denominador sigue la misma expresión coseno de 2x que multiplica con x más seno de x. Ahora vamos a dividir tanto el numerador como el denominador por x, tendremos entonces límite cuando x tiende a 0 de, trazamos la línea principal de la fracción y en el numerador tendremos 2 seno de x por coseno de x y todo esto dividido entre x, en el denominador tendremos coseno de 2x que multiplica con x más seno de x y todo eso lo dividimos también entre x. Como aquí tenemos el producto de tres componentes, tres factores y todo eso está sobre x, entonces elegimos a quien le colocamos x como denominador, se lo vamos a colocar a seno de x, vamos a seguir por acá, nos queda límite cuando x tiende a 0 de lo siguiente, en el numerador nos queda 2 por seno de x sobre x y todo esto por coseno de x. Aquí debemos tener cuidado con lo siguiente, no se debe repartir la x para cada uno de los componentes, elegimos a cual de esos tres factores le entregamos esa x como denominador y lo mismo vamos a hacer acá en el denominador, vamos a entregarle esta x a este factor, a x más seno de x, entonces tendremos coseno de 2x y esto por x más seno de x y esto nos queda sobre x, por seguridad mejor protegemos esto con paréntesis. Ahora a su vez aquí vamos a repartir esta x para estos dos componentes de la suma, entonces tendremos límite cuando x tiende a 0 de lo siguiente, línea principal de la fracción, en el numerador la misma expresión 2 por seno de x sobre x por coseno de x y en el denominador coseno de 2x por, aquí repartimos la x, nos queda x sobre x más seno de x sobre x. Aquí podemos simplificar este componente, x sobre x nos da 1 y ya hemos llegado a una expresión donde nos aparece seno de x sobre x y todo eso cuando el límite tiene la x que se aproxima a 0, allí vamos a utilizar entonces este límite o esta propiedad de los límites trigonométricos que nos dice que el límite cuando x tiende a 0 de seno de x sobre x esto nos da 1. Entonces vamos a aplicar las propiedades de los límites, vamos a seguir por acá, tendremos lo siguiente, inicialmente el límite afecta a un cosiente por lo tanto afecta al numerador y afecta al denominador, pero allí tenemos factores, entonces el límite afecta a cada uno de esos componentes, veamos entonces, trazamos la línea principal de la fracción en el numerador tendríamos límite cuando x tiende a 0 de 2, o sea el primer factor por el límite cuando x tiende a 0 de seno de x sobre x, allí tenemos el segundo factor y eso por el límite de coseno de x cuando x tiende a 0 y allí tenemos entonces el tercer factor. Ahora en el denominador pasa lo mismo, el límite afecta a cada uno de los componentes, respetando las operaciones, nos queda límite cuando x tiende a 0 de coseno de 2x, vamos a proteger esto utilizando corchetes y esto por el límite que afecta a esta suma, por lo tanto se toma límite a cada uno de los sumandos, límite de 1 cuando x tiende a 0 más límite de seno de x sobre x cuando x tiende también a 0, todo esto lo protegemos con paréntesis y extendemos esta línea. Ahora si resolvemos cada uno de esos límites, aquí observamos este que habíamos mencionado, esa propiedad que debemos tener bien presente, límite cuando x tiende a 0 de seno de x sobre x, todo esto equivale a 1, también lo tenemos acá y también tenemos otros límites que salen por reemplazo directo, acá tendremos el límite de una constante, límite de 2 cuando x tiende a 0, esto nos da la constante que es 2, acá límite de coseno de x cuando x tiende a 0, reemplazamos el 0 acá, nos queda coseno de 0, coseno de 0 radianes que equivale a 1 y por acá coseno de 2x, 2 por 0 nos da 0, coseno de 0 radianes también nos da 1 y otra vez el límite de una constante, límite de 1 cuando x tiende a 0 nos da 1. Finalmente resolvemos las operaciones con los números que nos quedaron, en el numerador 2x1x1 eso nos da 2, en el denominador todo esto nos dio 1 que multiplica con, acá dentro del paréntesis 1 más 1 nos da 2, esto al final nos queda dos medios que equivale a 1 y 1 es la respuesta para este ejercicio, para este límite trigonométrico. Podríamos comprobar esta solución ingresando esta expresión a una calculadora científica colocándola en modo de radianes y dándole a x valores muy cercanos a 0 tanto por izquierda como por derecha, veremos como esa expresión se aproxima a 1.

[{"start": 0.0, "end": 9.06, "text": " Vamos a resolver detalladamente este l\u00edmite trigonom\u00e9trico y comenzamos por evaluar la"}, {"start": 9.06, "end": 12.620000000000001, "text": " funci\u00f3n cuando x toma el valor 0."}, {"start": 12.620000000000001, "end": 19.98, "text": " En el numerador tendr\u00edamos 2 por 0, 0, entonces nos queda tangente de 0, estos son 0 radianes"}, {"start": 19.98, "end": 28.400000000000002, "text": " y en el denominador 0 m\u00e1s seno de 0, tambi\u00e9n aqu\u00ed son 0 radianes."}, {"start": 28.4, "end": 35.6, "text": " Tangente de 0 radianes nos da 0, ac\u00e1 seno de 0 radianes tambi\u00e9n es 0 y 0 m\u00e1s 0 nos"}, {"start": 35.6, "end": 36.92, "text": " da 0."}, {"start": 36.92, "end": 42.64, "text": " Llegamos a una forma indeterminada 0 sobre 0 que nos indica que debemos transformar"}, {"start": 42.64, "end": 44.94, "text": " esa funci\u00f3n."}, {"start": 44.94, "end": 52.16, "text": " Comenzamos utilizando esta identidad trigonom\u00e9trica, tangente de un \u00e1ngulo theta es igual a seno"}, {"start": 52.16, "end": 62.04, "text": " de theta sobre coseno de theta, entonces vamos a cambiar tangente de 2x utilizando esa identidad,"}, {"start": 62.04, "end": 69.16, "text": " esto nos queda l\u00edmite cuando x tiende a 0 de, trazamos la l\u00ednea principal de la fracci\u00f3n"}, {"start": 69.16, "end": 80.47999999999999, "text": " y en el numerador tendremos seno de 2x sobre coseno de 2x, repetimos se usa esta identidad"}, {"start": 80.48, "end": 86.9, "text": " trigonom\u00e9trica y en el denominador tenemos x m\u00e1s seno de x y a todo esto le vamos a"}, {"start": 86.9, "end": 90.24000000000001, "text": " colocar denominador 1."}, {"start": 90.24000000000001, "end": 96.16, "text": " Hacemos ahora la divisi\u00f3n de esas dos fracciones, entonces tendremos l\u00edmite cuando x tiende"}, {"start": 96.16, "end": 102.98, "text": " a 0 de lo siguiente, trazamos la l\u00ednea principal de la fracci\u00f3n, en el numerador tendremos"}, {"start": 102.98, "end": 111.68, "text": " el producto de estos dos componentes seno de 2x por 1 que nos da seno de 2x y en el denominador"}, {"start": 111.68, "end": 121.2, "text": " tendremos el producto de estos dos componentes, entonces coseno de 2x que multiplica con x"}, {"start": 121.2, "end": 124.74000000000001, "text": " m\u00e1s seno de x."}, {"start": 124.74000000000001, "end": 130.8, "text": " All\u00ed vamos a utilizar otra identidad trigonom\u00e9trica, la del seno del \u00e1ngulo doble, vamos a recordarla"}, {"start": 130.8, "end": 142.32000000000002, "text": " por ac\u00e1, seno de 2teta equivale a 2 por seno de teta por coseno de teta."}, {"start": 142.32000000000002, "end": 148.36, "text": " Entonces vamos a transformar el numerador de esa expresi\u00f3n, seguimos por ac\u00e1, nos"}, {"start": 148.36, "end": 155.96, "text": " queda l\u00edmite cuando x tiende a 0 de lo siguiente, trazamos la l\u00ednea principal de la fracci\u00f3n"}, {"start": 155.96, "end": 164.5, "text": " en el numerador seno de 2x ser\u00e1 2 por seno de x por coseno de x, aplicando esta identidad"}, {"start": 164.5, "end": 171.16, "text": " para el seno del \u00e1ngulo doble, en el denominador sigue la misma expresi\u00f3n coseno de 2x que"}, {"start": 171.16, "end": 176.56, "text": " multiplica con x m\u00e1s seno de x."}, {"start": 176.56, "end": 183.12, "text": " Ahora vamos a dividir tanto el numerador como el denominador por x, tendremos entonces l\u00edmite"}, {"start": 183.12, "end": 189.20000000000002, "text": " cuando x tiende a 0 de, trazamos la l\u00ednea principal de la fracci\u00f3n y en el numerador"}, {"start": 189.20000000000002, "end": 198.72, "text": " tendremos 2 seno de x por coseno de x y todo esto dividido entre x, en el denominador tendremos"}, {"start": 198.72, "end": 207.56, "text": " coseno de 2x que multiplica con x m\u00e1s seno de x y todo eso lo dividimos tambi\u00e9n entre"}, {"start": 207.56, "end": 209.02, "text": " x."}, {"start": 209.02, "end": 217.12, "text": " Como aqu\u00ed tenemos el producto de tres componentes, tres factores y todo eso est\u00e1 sobre x, entonces"}, {"start": 217.12, "end": 223.92000000000002, "text": " elegimos a quien le colocamos x como denominador, se lo vamos a colocar a seno de x, vamos"}, {"start": 223.92000000000002, "end": 231.8, "text": " a seguir por ac\u00e1, nos queda l\u00edmite cuando x tiende a 0 de lo siguiente, en el numerador"}, {"start": 231.8, "end": 242.28, "text": " nos queda 2 por seno de x sobre x y todo esto por coseno de x."}, {"start": 242.28, "end": 247.16000000000003, "text": " Aqu\u00ed debemos tener cuidado con lo siguiente, no se debe repartir la x para cada uno de"}, {"start": 247.16000000000003, "end": 253.92000000000002, "text": " los componentes, elegimos a cual de esos tres factores le entregamos esa x como denominador"}, {"start": 253.92000000000002, "end": 261.36, "text": " y lo mismo vamos a hacer ac\u00e1 en el denominador, vamos a entregarle esta x a este factor, a"}, {"start": 261.36, "end": 270.28000000000003, "text": " x m\u00e1s seno de x, entonces tendremos coseno de 2x y esto por x m\u00e1s seno de x y esto nos"}, {"start": 270.28000000000003, "end": 276.52000000000004, "text": " queda sobre x, por seguridad mejor protegemos esto con par\u00e9ntesis."}, {"start": 276.52000000000004, "end": 283.48, "text": " Ahora a su vez aqu\u00ed vamos a repartir esta x para estos dos componentes de la suma, entonces"}, {"start": 283.48, "end": 291.36, "text": " tendremos l\u00edmite cuando x tiende a 0 de lo siguiente, l\u00ednea principal de la fracci\u00f3n,"}, {"start": 291.36, "end": 299.88, "text": " en el numerador la misma expresi\u00f3n 2 por seno de x sobre x por coseno de x y en el denominador"}, {"start": 299.88, "end": 311.52000000000004, "text": " coseno de 2x por, aqu\u00ed repartimos la x, nos queda x sobre x m\u00e1s seno de x sobre x."}, {"start": 311.52, "end": 319.88, "text": " Aqu\u00ed podemos simplificar este componente, x sobre x nos da 1 y ya hemos llegado a una"}, {"start": 319.88, "end": 327.0, "text": " expresi\u00f3n donde nos aparece seno de x sobre x y todo eso cuando el l\u00edmite tiene la x"}, {"start": 327.0, "end": 334.47999999999996, "text": " que se aproxima a 0, all\u00ed vamos a utilizar entonces este l\u00edmite o esta propiedad de"}, {"start": 334.47999999999996, "end": 339.32, "text": " los l\u00edmites trigonom\u00e9tricos que nos dice que el l\u00edmite cuando x tiende a 0 de seno"}, {"start": 339.32, "end": 344.12, "text": " de x sobre x esto nos da 1."}, {"start": 344.12, "end": 350.84, "text": " Entonces vamos a aplicar las propiedades de los l\u00edmites, vamos a seguir por ac\u00e1, tendremos"}, {"start": 350.84, "end": 357.1, "text": " lo siguiente, inicialmente el l\u00edmite afecta a un cosiente por lo tanto afecta al numerador"}, {"start": 357.1, "end": 362.92, "text": " y afecta al denominador, pero all\u00ed tenemos factores, entonces el l\u00edmite afecta a cada"}, {"start": 362.92, "end": 369.76, "text": " uno de esos componentes, veamos entonces, trazamos la l\u00ednea principal de la fracci\u00f3n"}, {"start": 369.76, "end": 378.84000000000003, "text": " en el numerador tendr\u00edamos l\u00edmite cuando x tiende a 0 de 2, o sea el primer factor"}, {"start": 378.84000000000003, "end": 390.16, "text": " por el l\u00edmite cuando x tiende a 0 de seno de x sobre x, all\u00ed tenemos el segundo factor"}, {"start": 390.16, "end": 400.16, "text": " y eso por el l\u00edmite de coseno de x cuando x tiende a 0 y all\u00ed tenemos entonces el tercer"}, {"start": 400.16, "end": 401.16, "text": " factor."}, {"start": 401.16, "end": 407.34000000000003, "text": " Ahora en el denominador pasa lo mismo, el l\u00edmite afecta a cada uno de los componentes, respetando"}, {"start": 407.34000000000003, "end": 415.04, "text": " las operaciones, nos queda l\u00edmite cuando x tiende a 0 de coseno de 2x, vamos a proteger"}, {"start": 415.04, "end": 422.1, "text": " esto utilizando corchetes y esto por el l\u00edmite que afecta a esta suma, por lo tanto se toma"}, {"start": 422.1, "end": 431.14000000000004, "text": " l\u00edmite a cada uno de los sumandos, l\u00edmite de 1 cuando x tiende a 0 m\u00e1s l\u00edmite de seno"}, {"start": 431.14000000000004, "end": 438.82000000000005, "text": " de x sobre x cuando x tiende tambi\u00e9n a 0, todo esto lo protegemos con par\u00e9ntesis y"}, {"start": 438.82, "end": 446.36, "text": " extendemos esta l\u00ednea. Ahora si resolvemos cada uno de esos l\u00edmites, aqu\u00ed observamos"}, {"start": 446.36, "end": 452.15999999999997, "text": " este que hab\u00edamos mencionado, esa propiedad que debemos tener bien presente, l\u00edmite cuando"}, {"start": 452.15999999999997, "end": 460.53999999999996, "text": " x tiende a 0 de seno de x sobre x, todo esto equivale a 1, tambi\u00e9n lo tenemos ac\u00e1 y tambi\u00e9n"}, {"start": 460.53999999999996, "end": 467.4, "text": " tenemos otros l\u00edmites que salen por reemplazo directo, ac\u00e1 tendremos el l\u00edmite de una constante,"}, {"start": 467.4, "end": 473.06, "text": " l\u00edmite de 2 cuando x tiende a 0, esto nos da la constante que es 2, ac\u00e1 l\u00edmite de coseno"}, {"start": 473.06, "end": 478.56, "text": " de x cuando x tiende a 0, reemplazamos el 0 ac\u00e1, nos queda coseno de 0, coseno de 0"}, {"start": 478.56, "end": 487.06, "text": " radianes que equivale a 1 y por ac\u00e1 coseno de 2x, 2 por 0 nos da 0, coseno de 0 radianes"}, {"start": 487.06, "end": 493.47999999999996, "text": " tambi\u00e9n nos da 1 y otra vez el l\u00edmite de una constante, l\u00edmite de 1 cuando x tiende"}, {"start": 493.48, "end": 502.36, "text": " a 0 nos da 1. Finalmente resolvemos las operaciones con los n\u00fameros que nos quedaron, en el numerador"}, {"start": 502.36, "end": 511.36, "text": " 2x1x1 eso nos da 2, en el denominador todo esto nos dio 1 que multiplica con, ac\u00e1 dentro"}, {"start": 511.36, "end": 519.04, "text": " del par\u00e9ntesis 1 m\u00e1s 1 nos da 2, esto al final nos queda dos medios que equivale a"}, {"start": 519.04, "end": 527.38, "text": " 1 y 1 es la respuesta para este ejercicio, para este l\u00edmite trigonom\u00e9trico. Podr\u00edamos"}, {"start": 527.38, "end": 534.24, "text": " comprobar esta soluci\u00f3n ingresando esta expresi\u00f3n a una calculadora cient\u00edfica coloc\u00e1ndola"}, {"start": 534.24, "end": 540.18, "text": " en modo de radianes y d\u00e1ndole a x valores muy cercanos a 0 tanto por izquierda como"}, {"start": 540.18, "end": 569.68, "text": " por derecha, veremos como esa expresi\u00f3n se aproxima a 1."}]

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Ejercicio 1 de ÁNGULOS EN TRIÁNGULOS

#julioprofe explica cómo resolver un ejercicio de Geometría que involucra ángulos en triángulos. Tema: #AngulosEnTriangulos → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHQg9i294ZNB4v-IEphKCEs REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

¿Qué es la suma de los ángulos A y B? Tenemos en este caso esta figura y esta información. La suma de los ángulos A y B, la suma de sus medidas es 120 grados. Nos piden averiguar el valor del ángulo A. Para ello comenzamos por llamar este ángulo con la letra X. Y vamos a realizar lo siguiente. En B vemos que se forma un ángulo de 180 grados. La suma de estos tres ángulos, es decir, theta más X más theta, nos da 180 grados. Vemos que son ángulos consecutivos que entre sí forman lo que se llama un ángulo llano o un par lineal, es decir, 180 grados. Aquí podemos sumar theta más theta, eso nos da 2 theta. Entonces 2 theta más X es igual a 180 grados y de allí podemos despejar X. X será igual a 180 grados menos 2 theta. Pasamos este componente al otro lado con signo negativo. Entonces de esa manera vamos a cambiar X, esto que habíamos nombrado, por esto que obtuvimos. 180 grados menos 2 theta. Ahora de esta información que nos da el problema, vamos a despejar B. B será igual a 120 grados menos A. Pasamos A al lado derecho, llega entonces a restar. Ahora nos vamos a situar en el triángulo RBA. En ese triángulo, como en todos los triángulos, la suma de los tres ángulos interiores es 180 grados. Entonces comenzamos con este ángulo, el que tiene vértice en R, ese ángulo es B, más este ángulo que determinamos, el que tiene vértice en B, ese ángulo es 180 grados menos 2 theta, ángulo interior del triángulo. Y ahora este ángulo, que es 2 alpha. Entonces como decíamos, la suma de esos tres ángulos debe ser 180 grados. Ahora vemos que 180 grados está a ambos lados de la igualdad, entonces podemos cancelar esa cantidad. Es como si restamos 180 grados a ambos lados. Y también podemos sustituir B por lo que encontramos, que es 120 grados menos A. Entonces B se cambia por esto, luego tenemos menos 2 theta más 2 alpha y nos queda igual a 0. Allí podríamos dejar las letras en el lado izquierdo de la igualdad y pasamos este número al lado derecho. Este número aquí está positivo, entonces llega acá con signo negativo, llega a restar con 0 y nos da menos 120 grados. Y allí podemos multiplicar ambos lados de la igualdad por menos 1, eso nos va a cambiar los signos a ambos lados. Aquí nos queda A positivo más 2 theta menos 2 alpha igual a 120 grados. Esa expresión la anotamos por acá y la etiquetamos como la expresión o la ecuación número 1. Ahora vamos a llamar este punto con la letra D mayúscula y vamos a situarnos en el triángulo A de C. En ese triángulo vamos a aplicar el teorema del ángulo exterior. El ángulo A es exterior a ese triángulo, vemos que el ángulo A se forma con la prolongación del lado AD. Entonces dice el teorema del ángulo exterior en un triángulo que la medida de ese ángulo, en este caso A, la medida del ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él, es decir, igual a la suma de estos dos ángulos que no hacen contacto con el ángulo A, es decir, con los que no son adyacentes a ese ángulo exterior. Entonces A será igual a alpha más beta. Repetimos aplicando el teorema del ángulo exterior en un triángulo y de allí vamos a despejar beta. Para despejar beta pasamos alpha al lado izquierdo, llegaría entonces a restar. Esta igualdad la vamos a escribir por acá, beta es igual a menos alpha y la vamos a etiquetar con el número 2. Ahora vamos a situarnos en el triángulo DDC. En ese triángulo, como dijimos ahora, la suma de los ángulos interiores es 180 grados. Los ángulos son A, luego tenemos theta y el otro ángulo es beta. Entonces la suma de esos tres ángulos debe darnos 180 grados. Y de allí vamos a despejar beta. Pasamos estas dos cantidades al lado derecho, llegarán con signo negativo. Nos queda entonces 180 grados menos A menos theta. Y esa expresión la escribimos por acá, beta es igual a 180 grados menos A menos theta. Y etiquetamos esa nueva expresión o ecuación con el número 3. Ahora lo que hacemos es una igualación con estas dos expresiones, con la número 2 y con la número 3. Vemos que en ambas está despejada la letra beta. Entonces, si igualamos la expresión 2 y la expresión 3, obtenemos lo siguiente. A menos alfa igual a 180 grados menos A menos theta. Y allí vamos a pasar todas las letras, vamos a dejarlas en el lado izquierdo. Entonces comenzamos con esas dos que quedan en su territorio y pasamos estas de acá. Llegan al lado izquierdo con signo positivo y todo esto nos queda igualado con 180 grados. Allí podemos sumar términos semejantes. A más A es 2A, nos queda 2A más theta, luego menos alfa, igual a 180 grados. Y esa expresión vamos a escribirla por acá como la número 4. Entonces tenemos 2A más theta menos alfa igual a 180 grados. Como se puede observar, las expresiones 1 y 4 tienen similitud. Aparecen las mismas tres letras que son A, theta y alfa. Entonces vamos a deshacernos de lo que es theta y alfa. Y para ello vamos a multiplicar la expresión 4 por menos 2. Entonces hacemos lo siguiente, multiplicamos por menos 2 a ambos lados de la igualdad. En el lado izquierdo menos 2 afecta a estos tres componentes. Entonces menos 2 por 2A es menos 4A. Menos 2 por más theta será menos 2 theta. Menos 2 por menos alfa será más 2 alfa. Y al otro lado de la igualdad tenemos menos 2 por 180 grados, que nos da menos 360 grados. Ahora, debajo de esto, vamos a anotar la expresión número 1. Que dice lo siguiente, A más 2 theta menos 2 alfa igual a 120 grados. Y enseguida vamos a efectuar la suma de esas dos igualdades en forma vertical. Tenemos entonces, menos 4A más A, eso nos da menos 3A. Vemos también que menos 2 theta más 2 theta, eso da cero. Entonces es allí cuando se elimina esa variable. Lo mismo sucede aquí con más 2 alfa y menos 2 alfa. Su suma da cero, entonces se elimina alfa. Y por acá tenemos menos 360 grados más 120 grados, eso nos da menos 240 grados. Y de allí podemos despejar A, que es finalmente lo que nos pide el ejercicio. Para ello, menos 3 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Como dividir ambos lados de esa igualdad por menos 3. Entonces nos queda menos 240 grados divido entre menos 3. Y efectuando esa operación nos da como resultado 80 grados positivo. Entonces de esta manera terminamos el ejercicio. Y por último, el valor del ángulo A, el que nos piden es 80 grados.

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28. DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR EN EL PLANO

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 28: Descomposición de un Vector en el plano. Tema: El Movimiento y su Descripción. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

Si tenemos un vector A en el sistema de referencia bidimensional, es decir en el plano cartesiano y del vector conocemos su módulo y orientación dada por el ángulo θ que forma con el eje x, entonces podemos descomponerlo de la siguiente manera, desde el extremo del vector trazamos segmentos perpendiculares a los ejes x e y y de esta manera tenemos los vectores ax y ay, que son las proyecciones del vector A sobre dichos ejes, en otras palabras ax y ay son las componentes rectangulares del vector A, esto nos permite escribir el vector A como la suma de los vectores ax y ay, para expresar estas componentes en términos de la información que conocemos, es decir del módulo de A y del ángulo θ hacemos lo siguiente, formamos el triángulo rectángulo con los vectores, incluyendo el ángulo θ, aplicamos la relación trigonométrica coseno al ángulo θ que es el cateto adyacente sobre la hipotenusa, es decir que coseno de θ es igual a la componente ax sobre el módulo del vector A, despejamos ax pasando el módulo de A a multiplicar al lado izquierdo con el coseno de θ, entonces la componente ax se obtiene multiplicando el módulo del vector A por el coseno del ángulo θ, escribimos esto que obtuvimos en los dos dibujos, ahora aplicamos la relación trigonométrica coseno al ángulo θ que es el cateto opuesto sobre la hipotenusa, es decir que coseno de θ es igual a la componente ay sobre el módulo del vector A, despejamos ay pasando el módulo de A a multiplicar al lado izquierdo con el coseno de θ, y tenemos que la componente ay se obtiene multiplicando el módulo del vector A por el seno del ángulo θ, anotamos esto que nos dio en ambos dibujos, luego el vector A que es igual a la suma de sus componentes ax y ay queda expresado así, utilizando la anotación con vectores unitarios ij, recordemos que también puede expresarse como la pareja de componentes en x e y, cualquiera de las dos notaciones es correcta, de esta manera se expresa el vector A en términos de sus componentes rectangulares, obtenidas de la descomposición del vector A, podríamos afirmar que esto siempre será así, es decir que la componente x es el módulo del vector por el coseno de θ y que la componente y es el módulo del vector por el seno de θ, siempre y cuando el ángulo θ sea el que forma el vector con el eje x, debemos asegurarnos de ello antes de aplicar mecánicamente estas fórmulas, también hay que recordar que si las componentes del vector apuntan hacia la derecha o hacia arriba son de signo positivo y si apuntan hacia la izquierda o hacia abajo son de signo negativo, si por alguna razón se conoce el ángulo que el vector forma con el eje y, por ejemplo φ, entonces recordamos que θ y φ suman 90 grados, son ángulos complementarios, luego para hallar θ simplemente a 90 grados le restamos el valor de φ, el procedimiento de descomponer vectores resulta bastante útil cuando se trata de sumar o restar varios de ellos en forma analítica, ya que la operación se efectúa entre las componentes respectivas, x con x e y con y, incluso si hay escalares que multiplican a los vectores, por ejemplo los escalares λ minúscula y ω minúscula, estos se distribuyen para sus componentes, de igual manera la operación suma o resta ocurre entre componentes respectivas, al final se tiene un vector resultante al cual puede calcularse su módulo y orientación.

[{"start": 0.0, "end": 20.240000000000002, "text": " Si tenemos un vector A en el sistema de referencia bidimensional, es decir en el plano cartesiano"}, {"start": 20.240000000000002, "end": 27.2, "text": " y del vector conocemos su m\u00f3dulo y orientaci\u00f3n dada por el \u00e1ngulo \u03b8 que forma con el eje"}, {"start": 27.2, "end": 35.04, "text": " x, entonces podemos descomponerlo de la siguiente manera, desde el extremo del vector trazamos"}, {"start": 35.04, "end": 43.56, "text": " segmentos perpendiculares a los ejes x e y y de esta manera tenemos los vectores ax y"}, {"start": 43.56, "end": 52.2, "text": " ay, que son las proyecciones del vector A sobre dichos ejes, en otras palabras ax y"}, {"start": 52.2, "end": 61.0, "text": " ay son las componentes rectangulares del vector A, esto nos permite escribir el vector A como"}, {"start": 61.0, "end": 68.96000000000001, "text": " la suma de los vectores ax y ay, para expresar estas componentes en t\u00e9rminos de la 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125.91999999999999, "text": " \u03b8, escribimos esto que obtuvimos en los dos dibujos, ahora aplicamos la relaci\u00f3n trigonom\u00e9trica"}, {"start": 125.92, "end": 133.68, "text": " coseno al \u00e1ngulo \u03b8 que es el cateto opuesto sobre la hipotenusa, es decir que coseno de"}, {"start": 133.68, "end": 143.76, "text": " \u03b8 es igual a la componente ay sobre el m\u00f3dulo del vector A, despejamos ay pasando el m\u00f3dulo"}, {"start": 143.76, "end": 152.0, "text": " de A a multiplicar al lado izquierdo con el coseno de \u03b8, y tenemos que la componente ay"}, {"start": 152.0, "end": 159.28, "text": " se obtiene multiplicando el m\u00f3dulo del vector A por el seno del \u00e1ngulo \u03b8, anotamos esto"}, {"start": 159.28, "end": 166.96, "text": " que nos dio en ambos dibujos, luego el vector A que es igual a la suma de sus componentes"}, {"start": 166.96, "end": 176.06, "text": " ax y ay queda expresado as\u00ed, utilizando la anotaci\u00f3n con vectores unitarios ij, recordemos"}, {"start": 176.06, "end": 184.0, "text": " que tambi\u00e9n puede expresarse como la pareja de componentes en x e y, cualquiera de las"}, {"start": 184.0, "end": 190.0, "text": " dos notaciones es correcta, de esta manera se expresa el vector A en t\u00e9rminos de sus"}, {"start": 190.0, "end": 197.44, "text": " componentes rectangulares, obtenidas de la descomposici\u00f3n del vector A, podr\u00edamos afirmar"}, {"start": 197.44, "end": 203.76, "text": " que esto siempre ser\u00e1 as\u00ed, es decir que la componente x es el m\u00f3dulo del vector por"}, {"start": 203.76, "end": 211.0, "text": " el coseno de \u03b8 y que la componente y es el m\u00f3dulo del vector por el seno de \u03b8, siempre"}, {"start": 211.0, "end": 218.64, "text": " y cuando el \u00e1ngulo \u03b8 sea el que forma el vector con el eje x, debemos asegurarnos de"}, {"start": 218.64, "end": 224.16, "text": " ello antes de aplicar mec\u00e1nicamente estas f\u00f3rmulas, tambi\u00e9n hay que recordar que si"}, {"start": 224.16, "end": 231.6, "text": " las componentes del vector apuntan hacia la derecha o hacia arriba son de signo positivo"}, {"start": 231.6, "end": 238.44, "text": " y si apuntan hacia la izquierda o hacia abajo son de signo negativo, si por alguna raz\u00f3n"}, {"start": 238.44, "end": 245.79999999999998, "text": " se conoce el \u00e1ngulo que el vector forma con el eje y, por ejemplo \u03c6, entonces recordamos"}, {"start": 245.79999999999998, "end": 254.95999999999998, "text": " que \u03b8 y \u03c6 suman 90 grados, son \u00e1ngulos complementarios, luego para hallar \u03b8 simplemente"}, {"start": 254.96, "end": 262.8, "text": " a 90 grados le restamos el valor de \u03c6, el procedimiento de descomponer vectores resulta"}, {"start": 262.8, "end": 270.88, "text": " bastante \u00fatil cuando se trata de sumar o restar varios de ellos en forma anal\u00edtica,"}, {"start": 270.88, "end": 279.96000000000004, "text": " ya que la operaci\u00f3n se efect\u00faa entre las componentes respectivas, x con x e y con y,"}, {"start": 279.96, "end": 286.96, "text": " incluso si hay escalares que multiplican a los vectores, por ejemplo los escalares \u03bb"}, {"start": 286.96, "end": 295.12, "text": " min\u00fascula y \u03c9 min\u00fascula, estos se distribuyen para sus componentes, de igual manera la operaci\u00f3n"}, {"start": 295.12, "end": 303.56, "text": " suma o resta ocurre entre componentes respectivas, al final se tiene un vector resultante al"}, {"start": 303.56, "end": 310.56, "text": " cual puede calcularse su m\u00f3dulo y orientaci\u00f3n."}]

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DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicio 22

#julioprofe explica cómo obtener la #derivada de una función, realizando previamente la transformación de la misma. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a derivar paso a paso esta función, pero antes realizaremos su transformación. En realidad es algo que vale la pena porque al tener una expresión más sencilla se nos facilita el proceso de derivación. Comenzamos transformando esa raíz. Recordemos que la raíz de índice n de una cantidad a a la m es igual a a elevada al exponente m sobre n. En este caso a es toda esta expresión, m es el exponente de toda esta expresión que sería 1 invisible y n es 4. Entonces vamos a transformar eso en una potencia con exponente fraccionario. Nos queda la función h de t igual al logaritmo en base 10 de toda esta expresión t al cuadrado menos 1 sobre t al cubo más 5 y todo eso elevado al exponente 1 cuarto aplicando esta propiedad. Ahora vamos con otra propiedad pero de los logaritmos. Aquí observamos el logaritmo de una potencia. Entonces recordemos que el logaritmo en una base a de una potencia por ejemplo b elevada al exponente k será igual a k por el logaritmo en la base a de esa cantidad b. El exponente baja a multiplicar. Entonces en este caso 1 cuarto vamos a trasladarlo a multiplicar acá delante del logaritmo. Entonces 1 cuarto por logaritmo en base 10 recordemos que este logaritmo cuando la base a es invisible quiere decir que es base 10 y acá tendremos la expresión t al cuadrado menos 1 todo esto sobre t al cubo más 5. De nuevo vamos a aplicar otra propiedad de los logaritmos. Aquí tenemos el logaritmo de un cociente. Vamos a recordar esa propiedad logaritmo en base a de un cociente por ejemplo m sobre n. Entonces eso será igual al logaritmo en base a de m menos logaritmo en base a de n. Entonces vamos a transformar ese logaritmo de un cociente como una resta de logaritmos. Nos queda 1 cuarto por vamos a abrir aquí un corchete nos queda entonces logaritmo en base 10 de la expresión del numerador t al cuadrado menos 1 y esto menos logaritmo en base 10 de la expresión que tenemos en el denominador t al cubo más 5 y de esa manera hemos transformado ese logaritmo de un cociente en una resta de logaritmos aplicando esta propiedad. Ahora sí cuando hemos transformado la función en una expresión ya mucho más sencilla donde bueno no podemos hacer nada más entonces es el momento de comenzar con el proceso de derivación. Vamos a empezar a obtener lo que es h' de t la derivada de la función h con respecto a la variable t. Entonces tenemos lo siguiente 1 cuarto es decir una constante que multiplica a toda esta expresión que contiene la variable t entonces ese número 1 cuarto se queda allí quieto acompañando a lo que sucede acá es decir con la derivación de todo esto. Aquí observamos una resta recordemos que debemos derivar cada uno de los componentes de esa resta y para derivar cada uno de ellos vamos a aplicar la derivada del logaritmo de una cantidad logaritmo en base a de manzanita entonces vamos a recordar cómo se deriva esto la derivada se construye de la siguiente manera es una fracción acá en el numerador tenemos la derivada de la manzanita la manzanita es esta expresión que tenemos allí acompañando el logaritmo es decir el argumento y acá en el denominador tenemos la manzanita por el logaritmo natural de a. Demos que el logaritmo natural es el que tiene la base e el número de euler entonces siguiendo esta propiedad vamos a comenzar con la derivada de esta expresión lanzamos la línea en el numerador tendremos la derivada de t al cuadrado menos 1 vamos a indicarla la ponemos de esta manera allí tendríamos la derivada de la manzanita y en el denominador lo que es la manzanita es decir t al cuadrado menos 1 y esto por el logaritmo natural de a es decir el logaritmo natural de 10 recordemos que este es el logaritmo pulgar o de Briggs que tiene la base 10 ahora todo esto nos queda menos la derivada de esta expresión que otra vez realizamos siguiendo esta instrucción en el numerador tendremos la derivada de la manzanita es decir la derivada de t al cubo más 5 vamos a indicarla y en el denominador tendremos la manzanita que es t al cubo más 5 por el logaritmo natural de a recordemos que aquí a es otra vez 10 es la base de ese logaritmo y cerramos el corchet. Continuamos entonces desarrollando esto nos queda h prima de t la derivada de la función h con respecto a t igual a 1 cuarto que multiplica con lo siguiente veamos acá en la primera expresión vamos a derivar el numerador otra vez tenemos una resta derivada de t al cuadrado nos da 2t y la derivada de este número es 0 entonces solamente nos queda 2t y en el denominador tendremos t al cuadrado menos 1 acompañado del logaritmo natural de 10 bien pasemos ahora a la otra expresión donde la derivada del numerador es la derivada de una suma derivamos entonces cada uno de sus términos derivada de t al cubo nos da 3t al cuadrado y la derivada de este número también es 0 por lo tanto nos queda solamente 3t al cuadrado en el denominador continúa t al cubo más 5 por logaritmo natural de 10 y vamos a cerrar aquí el corchet. Podemos decir que allí ya tenemos la derivada de esa función sin embargo vamos a transformar algebraicamente todo esto para llevarlo a una expresión más simple entonces tendremos h prima de t igual a 1 cuarto por aquí vamos a extraer factor común vemos que en el numerador está t y t al cuadrado allí podemos sacar t es decir la t de menor exponente y en el denominador aparece también logaritmo natural de 10 por lo tanto el factor común será t sobre logaritmo natural de 10 y todo esto queda multiplicando por lo siguiente en la primera expresión si quitamos esos dos componentes que salen nos queda 2 sobre t al cuadrado menos 1 esta expresión ya no necesita paréntesis porque ya quitamos logaritmo natural de 10 y en la otra nos queda en el numerador 3t y en el denominador t al cubo más 5 y cerramos el corchet. Vamos con el desarrollo del ejercicio tenemos por acá h prima de t igual a lo siguiente podemos multiplicar estas dos fracciones recordemos que se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí en el numerador 1 por t nos queda t y en el denominador 4 por logaritmo natural de 10 entonces se deja así expresado y aquí vamos a resolver esa resta de fracciones con distinto denominador es decir fracciones heterogéneas vamos a aplicar el truco o la técnica de la carita feliz en el numerador tenemos esta expresión por esta entonces 2 que multiplica a t al cubo más 5 menos esto por esto es decir 3t que multiplica con t al cuadrado menos 1 y en el denominador el producto de estas dos cantidades o componentes nos queda t al cuadrado menos 1 que multiplica con t al cubo más 5 entonces repetimos allí se aplicó el truco o la técnica de la carita feliz vamos a recordarla estas dos cantidades van arriba esta también va arriba y estas dos van en la parte de abajo ese es el truco de la carita feliz continuamos con el desarrollo del ejercicio nos queda por aquí h' de t igual a t sobre 4 logaritmo natural de 10 y todo esto que multiplica a lo siguiente vamos a desarrollar lo que tenemos acá en el numerador vamos a aplicar la propiedad distributiva para romper esos paréntesis entonces tendremos lo siguiente 2 por t al cubo es 2t al cubo 2 por más 5 nos da más 10 luego tenemos menos 3t por t al cuadrado es menos 3t al cubo menos 3t por menos 1 nos da más 3t y en el denominador conservamos eso mismo dejamos ese producto indicado y cerramos el corchete ahora vamos a reducir términos semejantes acá en el numerador veamos entonces cómo nos queda esto h' de t igual a t sobre 4 por logaritmo natural de 10 y esto multiplica con lo siguiente revisamos en el numerador de esa expresión y vemos que los términos semejantes son estos dos los que contienen t al cubo la operación de ellos nos da menos t al cubo podemos comenzar mejor con un término positivo puede ser el 10 después más 3t y luego el resultado de esa operación que nos dio menos t al cubo allí nos queda el polinomio del numerador organizado en forma ascendente y en el denominador conservamos la misma expresión ese producto de binomios y cerramos el corchete para finalizar simplemente llevamos a este producto a una sola expresión para que nos quede entonces de manera compacta veamos entonces trazamos la línea principal de la fracción en el numerador tenemos el producto de t por este polinomio entonces lo dejamos así expresado más 3t menos t al cubo y en el denominador el producto de estas cantidades que también dejamos indicado 4 por logaritmo natural de 10 es lo que multiplica con t al cuadrado menos 1 y eso por t al cubo más 5 allí no podemos hacer nada más y de esta manera terminamos esta expresión es la respuesta es la forma más compacta o comprimida para la derivada de esa función

[{"start": 0.0, "end": 9.92, "text": " Vamos a derivar paso a paso esta funci\u00f3n, pero antes realizaremos su transformaci\u00f3n."}, {"start": 9.92, "end": 15.84, "text": " En realidad es algo que vale la pena porque al tener una expresi\u00f3n m\u00e1s sencilla se nos"}, {"start": 15.84, "end": 18.96, "text": " facilita el proceso de derivaci\u00f3n."}, {"start": 18.96, "end": 21.96, "text": " Comenzamos transformando esa ra\u00edz."}, {"start": 21.96, "end": 30.48, "text": " Recordemos que la ra\u00edz de \u00edndice n de una cantidad a a la m es igual a a elevada al"}, {"start": 30.48, "end": 33.32, "text": " exponente m sobre n."}, {"start": 33.32, "end": 39.88, "text": " En este caso a es toda esta expresi\u00f3n, m es el exponente de toda esta expresi\u00f3n que"}, {"start": 39.88, "end": 44.040000000000006, "text": " ser\u00eda 1 invisible y n es 4."}, {"start": 44.040000000000006, "end": 49.72, "text": " Entonces vamos a transformar eso en una potencia con exponente fraccionario."}, {"start": 49.72, "end": 57.24, "text": " Nos queda la funci\u00f3n h de t igual al logaritmo en base 10 de toda esta expresi\u00f3n t al cuadrado"}, {"start": 57.24, "end": 67.48, "text": " menos 1 sobre t al cubo m\u00e1s 5 y todo eso elevado al exponente 1 cuarto aplicando esta"}, {"start": 67.48, "end": 68.72, "text": " propiedad."}, {"start": 68.72, "end": 72.16, "text": " Ahora vamos con otra propiedad pero de los logaritmos."}, {"start": 72.16, "end": 75.16, "text": " Aqu\u00ed observamos el logaritmo de una potencia."}, {"start": 75.16, "end": 82.28, "text": " Entonces recordemos que el logaritmo en una base a de una potencia por ejemplo b elevada"}, {"start": 82.28, "end": 90.47999999999999, "text": " al exponente k ser\u00e1 igual a k por el logaritmo en la base a de esa cantidad b."}, {"start": 90.47999999999999, "end": 93.03999999999999, "text": " El exponente baja a multiplicar."}, {"start": 93.03999999999999, "end": 102.24, "text": " Entonces en este caso 1 cuarto vamos a trasladarlo a multiplicar ac\u00e1 delante del logaritmo."}, {"start": 102.24, "end": 108.52, "text": " Entonces 1 cuarto por logaritmo en base 10 recordemos que este logaritmo cuando la base"}, {"start": 108.52, "end": 115.03999999999999, "text": " a es invisible quiere decir que es base 10 y ac\u00e1 tendremos la expresi\u00f3n t al cuadrado"}, {"start": 115.03999999999999, "end": 121.16, "text": " menos 1 todo esto sobre t al cubo m\u00e1s 5."}, {"start": 121.16, "end": 125.02, "text": " De nuevo vamos a aplicar otra propiedad de los logaritmos."}, {"start": 125.02, "end": 127.84, "text": " Aqu\u00ed tenemos el logaritmo de un cociente."}, {"start": 127.84, "end": 134.12, "text": " Vamos a recordar esa propiedad logaritmo en base a de un cociente por ejemplo m sobre"}, {"start": 134.12, "end": 135.8, "text": " n."}, {"start": 135.8, "end": 145.84, "text": " Entonces eso ser\u00e1 igual al logaritmo en base a de m menos logaritmo en base a de n."}, {"start": 145.84, 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entonces es el momento de comenzar con el proceso de derivaci\u00f3n."}, {"start": 195.20000000000002, "end": 202.48000000000002, "text": " Vamos a empezar a obtener lo que es h' de t la derivada de la funci\u00f3n h con respecto"}, {"start": 202.48000000000002, "end": 204.52, "text": " a la variable t."}, {"start": 204.52, "end": 209.12, "text": " Entonces tenemos lo siguiente 1 cuarto es decir una constante que multiplica a toda"}, {"start": 209.12, "end": 214.48000000000002, "text": " esta expresi\u00f3n que contiene la variable t entonces ese n\u00famero 1 cuarto se queda all\u00ed"}, {"start": 214.48000000000002, "end": 220.92000000000002, "text": " quieto acompa\u00f1ando a lo que sucede ac\u00e1 es decir con la derivaci\u00f3n de todo esto."}, {"start": 220.92000000000002, "end": 225.96, "text": " Aqu\u00ed observamos una resta recordemos que debemos derivar cada uno de los componentes de esa"}, {"start": 225.96, "end": 233.4, "text": " resta y para derivar cada uno de ellos vamos a aplicar la derivada del logaritmo de una"}, {"start": 233.4, "end": 239.88, "text": " cantidad logaritmo en base a de manzanita entonces vamos a recordar c\u00f3mo se deriva"}, {"start": 239.88, "end": 246.64000000000001, "text": " esto la derivada se construye de la siguiente manera es una fracci\u00f3n ac\u00e1 en el numerador"}, {"start": 246.64000000000001, "end": 253.48000000000002, "text": " tenemos la derivada de la manzanita la manzanita es esta expresi\u00f3n que tenemos all\u00ed acompa\u00f1ando"}, {"start": 253.48000000000002, "end": 258.84000000000003, "text": " el logaritmo es decir el argumento y ac\u00e1 en el denominador tenemos la manzanita por"}, {"start": 258.84000000000003, "end": 261.16, "text": " el logaritmo natural de a."}, {"start": 261.16, "end": 266.44, "text": " Demos que el logaritmo natural es el que tiene la base e el n\u00famero de euler entonces siguiendo"}, {"start": 266.44, "end": 273.16, "text": " esta propiedad vamos a comenzar con la derivada de esta expresi\u00f3n lanzamos la l\u00ednea en el"}, {"start": 273.16, "end": 279.40000000000003, "text": " numerador tendremos la derivada de t al cuadrado menos 1 vamos a indicarla la ponemos de esta"}, {"start": 279.40000000000003, "end": 284.56, "text": " manera all\u00ed tendr\u00edamos la derivada de la manzanita y en el denominador lo que es la"}, {"start": 284.56, "end": 292.48, "text": " manzanita es decir t al cuadrado menos 1 y esto por el logaritmo natural de a es decir"}, {"start": 292.48, "end": 297.76, "text": " el logaritmo natural de 10 recordemos que este es el logaritmo pulgar o de Briggs que"}, {"start": 297.76, "end": 305.34000000000003, "text": " tiene la base 10 ahora todo esto nos queda menos la derivada de esta expresi\u00f3n que otra"}, {"start": 305.34000000000003, "end": 310.72, "text": " vez realizamos siguiendo esta instrucci\u00f3n en el numerador tendremos la derivada de la"}, {"start": 310.72, "end": 318.88000000000005, "text": " manzanita es decir la derivada de t al cubo m\u00e1s 5 vamos a indicarla y en el denominador"}, {"start": 318.88000000000005, "end": 327.36, "text": " tendremos la manzanita que es t al cubo m\u00e1s 5 por el logaritmo natural de a recordemos"}, {"start": 327.36, "end": 334.28000000000003, "text": " que aqu\u00ed a es otra vez 10 es la base de ese logaritmo y cerramos el corchet."}, {"start": 334.28, "end": 340.67999999999995, "text": " Continuamos entonces desarrollando esto nos queda h prima de t la derivada de la funci\u00f3n"}, {"start": 340.67999999999995, "end": 349.32, "text": " h con respecto a t igual a 1 cuarto que multiplica con lo siguiente veamos ac\u00e1 en la primera"}, {"start": 349.32, "end": 355.65999999999997, "text": " expresi\u00f3n vamos a derivar el numerador otra vez tenemos una resta derivada de t al cuadrado"}, {"start": 355.65999999999997, "end": 362.59999999999997, "text": " nos da 2t y la derivada de este n\u00famero es 0 entonces solamente nos queda 2t y en el"}, {"start": 362.6, "end": 368.8, "text": " denominador tendremos t al cuadrado menos 1 acompa\u00f1ado del logaritmo natural de 10"}, {"start": 368.8, "end": 375.28000000000003, "text": " bien pasemos ahora a la otra expresi\u00f3n donde la derivada del numerador es la derivada de"}, {"start": 375.28000000000003, "end": 381.86, "text": " una suma derivamos entonces cada uno de sus t\u00e9rminos derivada de t al cubo nos da 3t"}, {"start": 381.86, "end": 387.40000000000003, "text": " al cuadrado y la derivada de este n\u00famero tambi\u00e9n es 0 por lo tanto nos queda solamente"}, {"start": 387.4, "end": 394.28, "text": " 3t al cuadrado en el denominador contin\u00faa t al cubo m\u00e1s 5 por logaritmo natural de"}, {"start": 394.28, "end": 399.15999999999997, "text": " 10 y vamos a cerrar aqu\u00ed el corchet."}, {"start": 399.15999999999997, "end": 404.91999999999996, "text": " Podemos decir que all\u00ed ya tenemos la derivada de esa funci\u00f3n sin embargo vamos a transformar"}, {"start": 404.91999999999996, "end": 412.12, "text": " algebraicamente todo esto para llevarlo a una expresi\u00f3n m\u00e1s simple entonces tendremos"}, {"start": 412.12, "end": 422.24, "text": " h prima de t igual a 1 cuarto por aqu\u00ed vamos a extraer factor com\u00fan vemos que en el numerador"}, {"start": 422.24, "end": 428.28000000000003, "text": " est\u00e1 t y t al cuadrado all\u00ed podemos sacar t es decir la t de menor exponente y en el"}, {"start": 428.28000000000003, "end": 433.24, "text": " denominador aparece tambi\u00e9n logaritmo natural de 10 por lo tanto el factor com\u00fan ser\u00e1"}, {"start": 433.24, "end": 440.6, "text": " t sobre logaritmo natural de 10 y todo esto queda multiplicando por lo siguiente en la"}, {"start": 440.6, "end": 447.92, "text": " primera expresi\u00f3n si quitamos esos dos componentes que salen nos queda 2 sobre t al cuadrado menos"}, {"start": 447.92, "end": 454.16, "text": " 1 esta expresi\u00f3n ya no necesita par\u00e9ntesis porque ya quitamos logaritmo natural de 10"}, {"start": 454.16, "end": 462.92, "text": " y en la otra nos queda en el numerador 3t y en el denominador t al cubo m\u00e1s 5 y cerramos"}, {"start": 462.92, "end": 465.44, "text": " el corchet."}, {"start": 465.44, "end": 473.48, "text": " Vamos con el desarrollo del ejercicio tenemos por ac\u00e1 h prima de t igual a lo siguiente"}, {"start": 473.48, "end": 478.96, "text": " podemos multiplicar estas dos fracciones recordemos que se multiplican numeradores entre s\u00ed y"}, {"start": 478.96, "end": 485.4, "text": " denominadores entre s\u00ed en el numerador 1 por t nos queda t y en el denominador 4 por"}, {"start": 485.4, "end": 492.88, "text": " logaritmo natural de 10 entonces se deja as\u00ed expresado y aqu\u00ed vamos a resolver esa resta"}, {"start": 492.88, "end": 498.92, "text": " de fracciones con distinto denominador es decir fracciones heterog\u00e9neas vamos a aplicar"}, {"start": 498.92, "end": 504.2, "text": " el truco o la t\u00e9cnica de la carita feliz en el numerador tenemos esta expresi\u00f3n por"}, {"start": 504.2, "end": 515.36, "text": " esta entonces 2 que multiplica a t al cubo m\u00e1s 5 menos esto por esto es decir 3t que"}, {"start": 515.36, "end": 522.64, "text": " multiplica con t al cuadrado menos 1 y en el denominador el producto de estas dos cantidades"}, {"start": 522.64, "end": 531.6800000000001, "text": " o componentes nos queda t al cuadrado menos 1 que multiplica con t al cubo m\u00e1s 5 entonces"}, {"start": 531.6800000000001, "end": 538.12, "text": " repetimos all\u00ed se aplic\u00f3 el truco o la t\u00e9cnica de la carita feliz vamos a recordarla estas"}, {"start": 538.12, "end": 543.6800000000001, "text": " dos cantidades van arriba esta tambi\u00e9n va arriba y estas dos van en la parte de abajo"}, {"start": 543.68, "end": 549.28, "text": " ese es el truco de la carita feliz continuamos con el desarrollo del ejercicio nos queda"}, {"start": 549.28, "end": 562.0, "text": " por aqu\u00ed h' de t igual a t sobre 4 logaritmo natural de 10 y todo esto que multiplica a"}, {"start": 562.0, "end": 569.4399999999999, "text": " lo siguiente vamos a desarrollar lo que tenemos ac\u00e1 en el numerador vamos a aplicar la propiedad"}, {"start": 569.44, "end": 576.9200000000001, "text": " distributiva para romper esos par\u00e9ntesis entonces tendremos lo siguiente 2 por t al"}, {"start": 576.9200000000001, "end": 585.7600000000001, "text": " cubo es 2t al cubo 2 por m\u00e1s 5 nos da m\u00e1s 10 luego tenemos menos 3t por t al cuadrado"}, {"start": 585.7600000000001, "end": 593.48, "text": " es menos 3t al cubo menos 3t por menos 1 nos da m\u00e1s 3t y en el denominador conservamos"}, {"start": 593.48, "end": 603.64, "text": " eso mismo dejamos ese producto indicado y cerramos el corchete ahora vamos a reducir"}, {"start": 603.64, "end": 612.0, "text": " t\u00e9rminos semejantes ac\u00e1 en el numerador veamos entonces c\u00f3mo nos queda esto h' de t igual"}, {"start": 612.0, "end": 622.54, "text": " a t sobre 4 por logaritmo natural de 10 y esto multiplica con lo siguiente revisamos"}, {"start": 622.54, "end": 629.0, "text": " en el numerador de esa expresi\u00f3n y vemos que los t\u00e9rminos semejantes son estos dos"}, {"start": 629.0, "end": 634.9599999999999, "text": " los que contienen t al cubo la operaci\u00f3n de ellos nos da menos t al cubo podemos comenzar"}, {"start": 634.9599999999999, "end": 642.68, "text": " mejor con un t\u00e9rmino positivo puede ser el 10 despu\u00e9s m\u00e1s 3t y luego el resultado de"}, {"start": 642.68, "end": 648.5799999999999, "text": " esa operaci\u00f3n que nos dio menos t al cubo all\u00ed nos queda el polinomio del numerador"}, {"start": 648.58, "end": 656.1600000000001, "text": " organizado en forma ascendente y en el denominador conservamos la misma expresi\u00f3n ese producto"}, {"start": 656.1600000000001, "end": 664.08, "text": " de binomios y cerramos el corchete para finalizar simplemente llevamos a este producto a una"}, {"start": 664.08, "end": 671.4000000000001, "text": " sola expresi\u00f3n para que nos quede entonces de manera compacta veamos entonces trazamos"}, {"start": 671.4000000000001, "end": 677.5600000000001, "text": " la l\u00ednea principal de la fracci\u00f3n en el numerador tenemos el producto de t por este"}, {"start": 677.56, "end": 686.88, "text": " polinomio entonces lo dejamos as\u00ed expresado m\u00e1s 3t menos t al cubo y en el denominador"}, {"start": 686.88, "end": 692.52, "text": " el producto de estas cantidades que tambi\u00e9n dejamos indicado 4 por logaritmo natural de"}, {"start": 692.52, "end": 700.8, "text": " 10 es lo que multiplica con t al cuadrado menos 1 y eso por t al cubo m\u00e1s 5 all\u00ed no"}, {"start": 700.8, "end": 708.68, "text": " podemos hacer nada m\u00e1s y de esta manera terminamos esta expresi\u00f3n es la respuesta es la forma"}, {"start": 708.68, "end": 737.8, "text": " m\u00e1s compacta o comprimida para la derivada de esa funci\u00f3n"}]

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LÍMITES ALGEBRAICOS - Ejercicio 16

#julioprofe explica cómo resolver un límite algebraico utilizando conjugación del numerador y del denominador como estrategia de solución. Tema: #Límites → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEeindtt3TarvkVHRDmqNTf REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para resolver este límite algebraico lo primero que hacemos es evaluar esta expresión cuando de x toma el valor 4. Nos queda entonces 3 menos la raíz cuadrada de 5 más 4 y todo esto sobre 1 menos la raíz cuadrada de 5 menos 4. Resolvemos entonces esas operaciones. En el numerador nos queda 3 menos 5 más 4 es 9. La raíz cuadrada de 9 nos da 3. En el denominador tendremos 1 menos 5 menos 4 nos da 1. Raíz cuadrada de 1 es igual a 1. En el numerador 3 menos 3 nos da 0. En el denominador 1 menos 1 nos da 0. Y hemos llegado a una forma indeterminada que es 0 sobre 0. Eso nos dice que hay que hacerle algo a esa expresión. La estrategia que vamos a utilizar entonces es conjugar tanto el numerador como el denominador. Nos queda así. Límite cuando de x tiende a 4 de 3 menos la raíz cuadrada de 5 más x. Todo esto lo vamos a proteger con paréntesis sobre 1 menos la raíz cuadrada de 5 menos x. Y todo esto también lo vamos a proteger con paréntesis. Aquí tenemos la expresión original y hemos trazado la línea divisoria más larga porque aquí vamos a colocar los componentes necesarios para efectuar la conjugación del numerador y del denominador. Para el caso de lo que tenemos en el numerador su expresión conjugada será 3 más la raíz cuadrada de 5 más x. Y para el caso de lo que tenemos en el denominador su expresión conjugada será 1 más la raíz cuadrada de 5 menos x. Pero si multiplicamos por esos nuevos componentes debemos contrarrestar ese efecto. Por lo tanto esta expresión debemos colocarla también abajo. Multiplica también en el denominador y lo mismo hacemos con esta que debemos escribir acá en el numerador para conservar la expresión original. Lo que hacemos ahora es multiplicar estos dos componentes y también estos dos aplicando el producto notable que se llama suma por diferencia. Bueno en realidad aquí tenemos primero la diferencia y después la suma pero no importa recordemos que la multiplicación es conmutativa y esto nos da el primer componente al cuadrado menos el segundo componente al cuadrado. Entonces con la conjugación lo que buscamos es aprovechar este producto notable llamado suma por diferencia y que nos genera una diferencia de cuadrados perfectos. Entonces para el caso de estos dos componentes nos queda así abrimos un corchete tendremos el primer componente que es 3 al cuadrado menos el segundo componente que es la raíz cuadrada de 5 más x y todo esto también elevado al cuadrado. Allí hemos aplicado el producto notable 3 hace el papel de a y esta raíz cuadrada de 5 más x hace el papel de b. Escribimos esta expresión, no podemos olvidarla, 1 más la raíz cuadrada de 5 menos x y en el denominador vamos ahora con este producto donde se aplica otra vez el producto notable. Nos queda abrimos corchete 1 al cuadrado el primer componente al cuadrado menos el segundo componente que es la raíz cuadrada de 5 menos x y todo esto elevado al cuadrado. De nuevo 1 hace el papel de a y esta raíz cuadrada de 5 menos x hace el papel de b y anotamos ese componente 3 más la raíz cuadrada de 5 más x. Resolvemos ahora lo que hay dentro de los corchetes en el numerador nos queda 3 al cuadrado que es 9 y aquí este exponente 2 destruye la raíz cuadrada y nos deja libre 5 más x pero entonces el signo menos hace su efecto se distribuye para estos dos componentes nos da entonces menos 5 menos x cerramos el corchete y anotamos esta expresión 1 más la raíz cuadrada de 5 menos x. Ahora vamos al denominador aquí 1 al cuadrado nos da 1 el cuadrado destruye la raíz nos queda libre 5 menos x este signo menos hace su efecto se distribuye y nos queda menos 5 más x cerramos el corchete y anotamos esta expresión 3 más la raíz cuadrada de 5 más x cerramos entonces el paréntesis. Continuamos resolviendo lo que hay dentro de los corchetes que ya podemos cambiar por paréntesis aquí 9 menos 5 nos da 4 nos queda 4 menos x anotamos esta expresión 1 más la raíz cuadrada de 5 menos x y en el denominador tendremos cambiamos ese corchete por paréntesis 1 menos 5 es menos 4 esto más x cerramos y anotamos esa expresión 3 más la raíz cuadrada de 5 más x cerramos la raíz y cerramos el paréntesis. En esta expresión del denominador podemos extraer como factor común el signo menos si hacemos eso colocamos el menos por acá este signo nos cambia a positivo y este nos cambia a negativo de esta manera observamos el factor 4 menos x repetido tanto en el numerador como en el denominador y si observamos bien este era el causante del 0 sobre 0 porque como x tiende a 4 entonces esto nos va a dar 0 y esto también cuando se haga el reemplazo por lo tanto cancelamos de manera lícita este componente y nos queda la expresión de la siguiente manera en el numerador 1 más la raíz cuadrada de 5 menos x podemos proteger esto con paréntesis y trasladar el signo menos al numerador y en el denominador nos queda 3 más la raíz cuadrada de 5 más x allí no es necesario el paréntesis y podemos quitar esta parte de la línea divisoria. Ahora lo que hacemos es evaluar esta expresión cuando x toma el valor 4 esto ya lo hacemos con tranquilidad porque como decíamos ya se eliminó el factor problema el causante del 0 sobre 0 que era la indeterminación inicial el signo menos vamos a colocarlo en la mitad entonces en el numerador tendremos lo siguiente 1 más la raíz cuadrada de 5 menos 4 y en el denominador 3 más la raíz cuadrada de 5 más 4 continuamos el desarrollo por acá y vamos resolviendo esas operaciones aseguramos el signo negativo en la mitad de la fracción por acá en el numerador tendremos 1 más 5 menos 4 es 1 la raíz cuadrada de 1 nos da 1 en el denominador tenemos 3 más 5 más 4 nos da 9 la raíz cuadrada de 9 es 3 seguimos resolviendo en el numerador nos da 2 en el denominador nos da 6 y esta fracción se puede simplificar sacamos mitad tanto en el numerador como en el denominador y nos queda 1 tercio negativo de esta manera terminamos el ejercicio menos 1 tercio es la respuesta para ese límite algebraico

[{"start": 0.0, "end": 9.64, "text": " Para resolver este l\u00edmite algebraico lo primero que hacemos es evaluar esta expresi\u00f3n cuando"}, {"start": 9.64, "end": 17.78, "text": " de x toma el valor 4. Nos queda entonces 3 menos la ra\u00edz cuadrada de 5 m\u00e1s 4 y todo"}, {"start": 17.78, "end": 29.22, "text": " esto sobre 1 menos la ra\u00edz cuadrada de 5 menos 4. Resolvemos entonces esas operaciones."}, {"start": 29.22, "end": 36.519999999999996, "text": " En el numerador nos queda 3 menos 5 m\u00e1s 4 es 9. La ra\u00edz cuadrada de 9 nos da 3. En"}, {"start": 36.519999999999996, "end": 45.2, "text": " el denominador tendremos 1 menos 5 menos 4 nos da 1. Ra\u00edz cuadrada de 1 es igual a 1."}, {"start": 45.2, "end": 51.519999999999996, "text": " En el numerador 3 menos 3 nos da 0. En el denominador 1 menos 1 nos da 0. Y hemos llegado"}, {"start": 51.519999999999996, "end": 58.68, "text": " a una forma indeterminada que es 0 sobre 0. Eso nos dice que hay que hacerle algo a esa"}, {"start": 58.68, "end": 65.86, "text": " expresi\u00f3n. La estrategia que vamos a utilizar entonces es conjugar tanto el numerador como"}, {"start": 65.86, "end": 73.24, "text": " el denominador. Nos queda as\u00ed. L\u00edmite cuando de x tiende a 4 de 3 menos la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 73.24, "end": 83.16, "text": " de 5 m\u00e1s x. Todo esto lo vamos a proteger con par\u00e9ntesis sobre 1 menos la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 83.16, "end": 89.92, "text": " de 5 menos x. Y todo esto tambi\u00e9n lo vamos a proteger con par\u00e9ntesis. Aqu\u00ed tenemos"}, {"start": 89.92, "end": 94.88, "text": " la expresi\u00f3n original y hemos trazado la l\u00ednea divisoria m\u00e1s larga porque aqu\u00ed vamos"}, {"start": 94.88, "end": 100.4, "text": " a colocar los componentes necesarios para efectuar la conjugaci\u00f3n del numerador y del"}, {"start": 100.4, "end": 105.88, "text": " denominador. 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Lo"}, {"start": 147.6, "end": 153.28, "text": " que hacemos ahora es multiplicar estos dos componentes y tambi\u00e9n estos dos aplicando"}, {"start": 153.28, "end": 159.9, "text": " el producto notable que se llama suma por diferencia. Bueno en realidad aqu\u00ed tenemos"}, {"start": 159.9, "end": 164.8, "text": " primero la diferencia y despu\u00e9s la suma pero no importa recordemos que la multiplicaci\u00f3n"}, {"start": 164.8, "end": 171.0, "text": " es conmutativa y esto nos da el primer componente al cuadrado menos el segundo componente al"}, {"start": 171.0, "end": 177.64000000000001, "text": " cuadrado. Entonces con la conjugaci\u00f3n lo que buscamos es aprovechar este producto notable"}, {"start": 177.64000000000001, "end": 184.12, "text": " llamado suma por diferencia y que nos genera una diferencia de cuadrados perfectos. 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Nos queda abrimos"}, {"start": 226.52, "end": 232.52, "text": " corchete 1 al cuadrado el primer componente al cuadrado menos el segundo componente que"}, {"start": 232.52, "end": 240.56, "text": " es la ra\u00edz cuadrada de 5 menos x y todo esto elevado al cuadrado. De nuevo 1 hace el papel"}, {"start": 240.56, "end": 247.96, "text": " de a y esta ra\u00edz cuadrada de 5 menos x hace el papel de b y anotamos ese componente 3"}, {"start": 247.96, "end": 256.88, "text": " m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de 5 m\u00e1s x. Resolvemos ahora lo que hay dentro de los corchetes en"}, {"start": 256.88, "end": 262.36, "text": " el numerador nos queda 3 al cuadrado que es 9 y aqu\u00ed este exponente 2 destruye la ra\u00edz"}, {"start": 262.36, "end": 268.8, "text": " cuadrada y nos deja libre 5 m\u00e1s x pero entonces el signo menos hace su efecto se distribuye"}, {"start": 268.8, "end": 276.0, "text": " para estos dos componentes nos da entonces menos 5 menos x cerramos el corchete y anotamos"}, {"start": 276.0, "end": 284.76, "text": " esta expresi\u00f3n 1 m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de 5 menos x. Ahora vamos al denominador aqu\u00ed"}, {"start": 284.76, "end": 292.68, "text": " 1 al cuadrado nos da 1 el cuadrado destruye la ra\u00edz nos queda libre 5 menos x este signo"}, {"start": 292.68, "end": 300.6, "text": " menos hace su efecto se distribuye y nos queda menos 5 m\u00e1s x cerramos el corchete y anotamos"}, {"start": 300.6, "end": 310.12, "text": " esta expresi\u00f3n 3 m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de 5 m\u00e1s x cerramos entonces el par\u00e9ntesis."}, {"start": 310.12, "end": 314.36, "text": " Continuamos resolviendo lo que hay dentro de los corchetes que ya podemos cambiar por"}, {"start": 314.36, "end": 322.48, "text": " par\u00e9ntesis aqu\u00ed 9 menos 5 nos da 4 nos queda 4 menos x anotamos esta expresi\u00f3n 1 m\u00e1s"}, {"start": 322.48, "end": 331.16, "text": " la ra\u00edz cuadrada de 5 menos x y en el denominador tendremos cambiamos ese corchete por par\u00e9ntesis"}, {"start": 331.16, "end": 340.96000000000004, "text": " 1 menos 5 es menos 4 esto m\u00e1s x cerramos y anotamos esa expresi\u00f3n 3 m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 340.96000000000004, "end": 348.24, "text": " de 5 m\u00e1s x cerramos la ra\u00edz y cerramos el par\u00e9ntesis. En esta expresi\u00f3n del denominador"}, {"start": 348.24, "end": 353.86, "text": " podemos extraer como factor com\u00fan el signo menos si hacemos eso colocamos el menos por"}, {"start": 353.86, "end": 361.52, "text": " ac\u00e1 este signo nos cambia a positivo y este nos cambia a negativo de esta manera observamos"}, {"start": 361.52, "end": 368.88, "text": " el factor 4 menos x repetido tanto en el numerador como en el denominador y si observamos bien"}, {"start": 368.88, "end": 375.36, "text": " este era el causante del 0 sobre 0 porque como x tiende a 4 entonces esto nos va a dar"}, {"start": 375.36, "end": 381.44, "text": " 0 y esto tambi\u00e9n cuando se haga el reemplazo por lo tanto cancelamos de manera l\u00edcita"}, {"start": 381.44, "end": 388.64, "text": " este componente y nos queda la expresi\u00f3n de la siguiente manera en el numerador 1 m\u00e1s"}, {"start": 388.64, "end": 395.96000000000004, "text": " la ra\u00edz cuadrada de 5 menos x podemos proteger esto con par\u00e9ntesis y trasladar el signo"}, {"start": 395.96000000000004, "end": 403.82, "text": " menos al numerador y en el denominador nos queda 3 m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de 5 m\u00e1s x"}, {"start": 403.82, "end": 409.52, "text": " all\u00ed no es necesario el par\u00e9ntesis y podemos quitar esta parte de la l\u00ednea divisoria."}, {"start": 409.52, "end": 415.56, "text": " Ahora lo que hacemos es evaluar esta expresi\u00f3n cuando x toma el valor 4 esto ya lo hacemos"}, {"start": 415.56, "end": 421.12, "text": " con tranquilidad porque como dec\u00edamos ya se elimin\u00f3 el factor problema el causante"}, {"start": 421.12, "end": 426.56, "text": " del 0 sobre 0 que era la indeterminaci\u00f3n inicial el signo menos vamos a colocarlo"}, {"start": 426.56, "end": 433.8, "text": " en la mitad entonces en el numerador tendremos lo siguiente 1 m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de 5"}, {"start": 433.8, "end": 444.88, "text": " menos 4 y en el denominador 3 m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de 5 m\u00e1s 4 continuamos el desarrollo"}, {"start": 444.88, "end": 453.04, "text": " por ac\u00e1 y vamos resolviendo esas operaciones aseguramos el signo negativo en la mitad de"}, {"start": 453.04, "end": 460.28000000000003, "text": " la fracci\u00f3n por ac\u00e1 en el numerador tendremos 1 m\u00e1s 5 menos 4 es 1 la ra\u00edz cuadrada de"}, {"start": 460.28, "end": 469.55999999999995, "text": " 1 nos da 1 en el denominador tenemos 3 m\u00e1s 5 m\u00e1s 4 nos da 9 la ra\u00edz cuadrada de 9 es"}, {"start": 469.55999999999995, "end": 477.28, "text": " 3 seguimos resolviendo en el numerador nos da 2 en el denominador nos da 6 y esta fracci\u00f3n"}, {"start": 477.28, "end": 482.55999999999995, "text": " se puede simplificar sacamos mitad tanto en el numerador como en el denominador y nos"}, {"start": 482.56, "end": 490.68, "text": " queda 1 tercio negativo de esta manera terminamos el ejercicio menos 1 tercio es la respuesta"}, {"start": 490.68, "end": 516.76, "text": " para ese l\u00edmite algebraico"}]

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RACIONALIZACIÓN MEDIANTE CONJUGACIÓN - Ejercicio 4

#julioprofe explica cómo racionalizar el denominador de una fracción numérica mediante conjugación. Tema: #Racionalización → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEhyDZyc08U1WijxsTgX8pa REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a racionalizar esta fracción numérica, es decir, vamos a obtener una expresión equivalente libre de radicales en el denominador. Vamos a efectuar este ejercicio manualmente y al final haremos la comprobación en calculadora. Comenzamos por escribir nuevamente el ejercicio. En el numerador tenemos raíz cuadrada de 13, esto menos la raíz cuadrada de 11 y en el denominador tenemos esas mismas dos cantidades pero sumando raíz cuadrada de 13 más raíz cuadrada de 11. Y vamos a utilizar el procedimiento llamado conjugación, es decir, vamos a multiplicar por una fracción que equivale a la unidad, o sea, a1 y que se compone de lo que es el conjugado de esto que tenemos en el denominador. Vamos a recordar ese concepto, el conjugado de dos elementos que están sumando como en este caso el conjugado de a más b será a menos b y viceversa, el conjugado de a menos b será a más b. El objetivo de la conjugación es aplicar el producto notable llamado suma por diferencia y que nos produce como resultado una diferencia de cuadrados perfectos. Entonces el conjugado de raíz cuadrada de 13 más raíz cuadrada de 11 será raíz cuadrada de 13 menos raíz cuadrada de 11. Como se observa únicamente cambia el signo de la mitad tal como se aprecia en este modelo. Aquí tenemos suma, eso va multiplicado por la diferencia para generar la diferencia de cuadrados perfectos. Y esto que escribimos en el denominador debemos repetirlo en el numerador porque como decíamos esta fracción debe ser equivalente a 1, para ello tanto el numerador como el denominador deben ser iguales. Ahora vamos a resolver esta multiplicación de fracciones, recordemos que eso se hace de manera horizontal, es decir multiplicamos numeradores entre sí y denominadores entre sí. Para el caso de los numeradores, allí tenemos la multiplicación de la misma expresión, entonces podemos escribir eso como raíz cuadrada de 13 menos raíz cuadrada de 11 y todo esto elevado al cuadrado. Y en el denominador la multiplicación de estas dos cantidades obedece a este producto notable, entonces será la primera cantidad al cuadrado, raíz cuadrada de 13, todo esto al cuadrado menos la segunda cantidad al cuadrado, es decir raíz cuadrada de 11 y todo esto elevado al cuadrado. En el numerador tenemos lo que es un binomio elevado al cuadrado, vamos a aplicar entonces ese producto notable, si tenemos a menos b al cuadrado, esto es igual a la primera cantidad al cuadrado menos dos veces la primera cantidad por la segunda más la segunda cantidad elevada al cuadrado, otro producto notable de gran importancia. Entonces comencemos con la primera cantidad al cuadrado, o sea raíz cuadrada de 13, todo esto al cuadrado, después tenemos menos dos veces la primera cantidad por la segunda, o sea dos por raíz cuadrada de 13 y eso multiplicado por raíz cuadrada de 11 y luego tenemos más la segunda cantidad elevada al cuadrado, es decir raíz cuadrada de 11 y todo esto elevado al cuadrado. Ahora en el denominador vamos a desarrollar estas dos potencias, allí el exponente 2 elimina la raíz cuadrada, entonces en el primer caso nos queda 13 y en el segundo nos queda 11. Seguimos resolviendo las operaciones, en el numerador aquí el exponente 2 también elimina la raíz cuadrada y nos queda libre el 13, después tenemos menos dos por este producto de radicales podemos resolverlo de acuerdo con la siguiente propiedad, si tenemos raíz enésima de A por B, es decir la raíz de un producto, esto es igual a la raíz enésima de A por la raíz enésima de B, entonces si hay multiplicación dentro de la raíz se puede repartir el radical, pero también si tenemos este producto de raíces podemos llegar acá, la propiedad se aplica también en sentido contrario, entonces eso será la raíz cuadrada de 13 por 11, escribimos eso dentro de una sola raíz cuadrada, después tenemos más raíz cuadrada de 11 elevado al cuadrado que nos da 11, allí el exponente 2 elimina el radical y en el denominador efectuamos esa resta, 13 menos 11 nos da 2. En el numerador podemos efectuar la operación de estos dos números, son términos independientes que están sumando entre sí, entonces 13 más 11 nos da 24 y esto queda menos 2 que multiplica con la raíz cuadrada de 13 por 11 que nos da 143 y todo esto queda dividido entre 2. Ahora allí podemos aplicar lo que es la factorización en el numerador, podemos extraer como factor común el número 2, entonces si sale el 2 nos queda factor de 12 en el primer término menos raíz cuadrada de 143 en el segundo término, cerramos el paréntesis y todo esto nos queda sobre 2. Finalmente podemos simplificar esta fracción, este número 2 que está multiplicando en el numerador puede cancelarse con este 2 que tenemos en el denominador, es como dividir por 2 tanto en el numerador como en el denominador, nos quedarían unos, entonces veamos, el resultado nos queda presentado de la siguiente forma, en el numerador 1 por todo esto nos da 12 menos la raíz cuadrada de 143 y en el denominador nos quedó 1, por lo tanto ese denominador lo omitimos y de esa manera terminamos, hemos llegado a una expresión numérica equivalente a la original pero que ya no tiene radicales en el denominador, repetimos aquí hay denominador 1, entonces con esto damos cumplimiento al propósito de la racionalización. Enseguida vamos a efectuar la verificación de este ejercicio utilizando esta calculadora científica, comenzamos soprimiendo el botón de fracción, en el numerador vamos a ingresar esto, raíz cuadrada de 13 menos raíz cuadrada de 11, entonces botón de raíz cuadrada, luego el 13, corremos a la derecha el cursor, después el menos, otra vez botón de raíz cuadrada y allí escribimos el 11, corremos el cursor a la derecha, lo bajamos al denominador y allí vamos a ingresar esto, raíz cuadrada de 13, entonces botón de raíz cuadrada, el 13, corremos el cursor a la derecha, después más raíz cuadrada de 11, entonces botón de raíz cuadrada y el 11, de esa manera ya tenemos la expresión numérica en la calculadora, oprimimos el botón igual y obtenemos este resultado 12 menos la raíz cuadrada de 143, con esto comprobamos que este ejercicio se haya resuelto correctamente.

[{"start": 0.0, "end": 10.34, "text": " Vamos a racionalizar esta fracci\u00f3n num\u00e9rica, es decir, vamos a obtener una expresi\u00f3n equivalente"}, {"start": 10.34, "end": 13.56, "text": " libre de radicales en el denominador."}, {"start": 13.56, "end": 20.080000000000002, "text": " Vamos a efectuar este ejercicio manualmente y al final haremos la comprobaci\u00f3n en calculadora."}, {"start": 20.080000000000002, "end": 23.52, "text": " Comenzamos por escribir nuevamente el ejercicio."}, {"start": 23.52, "end": 32.519999999999996, "text": " En el numerador tenemos ra\u00edz cuadrada de 13, esto menos la ra\u00edz cuadrada de 11 y en el"}, {"start": 32.519999999999996, "end": 41.519999999999996, "text": " denominador tenemos esas mismas dos cantidades pero sumando ra\u00edz cuadrada de 13 m\u00e1s ra\u00edz"}, {"start": 41.519999999999996, "end": 43.519999999999996, "text": " cuadrada de 11."}, {"start": 43.519999999999996, "end": 50.14, "text": " Y vamos a utilizar el procedimiento llamado conjugaci\u00f3n, es decir, vamos a multiplicar"}, {"start": 50.14, "end": 57.0, "text": " por una fracci\u00f3n que equivale a la unidad, o sea, a1 y que se compone de lo que es el"}, {"start": 57.0, "end": 60.5, "text": " conjugado de esto que tenemos en el denominador."}, {"start": 60.5, "end": 66.04, "text": " Vamos a recordar ese concepto, el conjugado de dos elementos que est\u00e1n sumando como en"}, {"start": 66.04, "end": 73.12, "text": " este caso el conjugado de a m\u00e1s b ser\u00e1 a menos b y viceversa, el conjugado de a menos"}, {"start": 73.12, "end": 75.2, "text": " b ser\u00e1 a m\u00e1s b."}, {"start": 75.2, "end": 81.04, "text": " El objetivo de la conjugaci\u00f3n es aplicar el producto notable llamado suma por diferencia"}, {"start": 81.04, "end": 86.88, "text": " y que nos produce como resultado una diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 86.88, "end": 93.64, "text": " Entonces el conjugado de ra\u00edz cuadrada de 13 m\u00e1s ra\u00edz cuadrada de 11 ser\u00e1 ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 93.64, "end": 98.08, "text": " de 13 menos ra\u00edz cuadrada de 11."}, {"start": 98.08, "end": 104.72, "text": " Como se observa \u00fanicamente cambia el signo de la mitad tal como se aprecia en este modelo."}, {"start": 104.72, "end": 109.78, "text": " Aqu\u00ed tenemos suma, eso va multiplicado por la diferencia para generar la diferencia de"}, {"start": 109.78, "end": 111.52, "text": " cuadrados perfectos."}, {"start": 111.52, "end": 118.84, "text": " Y esto que escribimos en el denominador debemos repetirlo en el numerador porque como dec\u00edamos"}, {"start": 118.84, "end": 126.0, "text": " esta fracci\u00f3n debe ser equivalente a 1, para ello tanto el numerador como el denominador"}, {"start": 126.0, "end": 128.16, "text": " deben ser iguales."}, {"start": 128.16, "end": 132.96, "text": " Ahora vamos a resolver esta multiplicaci\u00f3n de fracciones, recordemos que eso se hace"}, {"start": 132.96, "end": 140.16, "text": " de manera horizontal, es decir multiplicamos numeradores entre s\u00ed y denominadores entre"}, {"start": 140.16, "end": 141.16, "text": " s\u00ed."}, {"start": 141.16, "end": 147.28, "text": " Para el caso de los numeradores, all\u00ed tenemos la multiplicaci\u00f3n de la misma expresi\u00f3n,"}, {"start": 147.28, "end": 155.5, "text": " entonces podemos escribir eso como ra\u00edz cuadrada de 13 menos ra\u00edz cuadrada de 11 y todo esto"}, {"start": 155.5, "end": 157.44, "text": " elevado al cuadrado."}, {"start": 157.44, "end": 164.07999999999998, "text": " Y en el denominador la multiplicaci\u00f3n de estas dos cantidades obedece a este producto notable,"}, {"start": 164.07999999999998, "end": 172.96, "text": " entonces ser\u00e1 la primera cantidad al cuadrado, ra\u00edz cuadrada de 13, todo esto al cuadrado"}, {"start": 172.96, "end": 181.16, "text": " menos la segunda cantidad al cuadrado, es decir ra\u00edz cuadrada de 11 y todo esto elevado"}, {"start": 181.16, "end": 183.48, "text": " al cuadrado."}, {"start": 183.48, "end": 188.92, "text": " En el numerador tenemos lo que es un binomio elevado al cuadrado, vamos a aplicar entonces"}, {"start": 188.92, "end": 194.88, "text": " ese producto notable, si tenemos a menos b al cuadrado, esto es igual a la primera cantidad"}, {"start": 194.88, "end": 202.12, "text": " al cuadrado menos dos veces la primera cantidad por la segunda m\u00e1s la segunda cantidad elevada"}, {"start": 202.12, "end": 206.39999999999998, "text": " al cuadrado, otro producto notable de gran importancia."}, {"start": 206.39999999999998, "end": 213.0, "text": " Entonces comencemos con la primera cantidad al cuadrado, o sea ra\u00edz cuadrada de 13, todo"}, {"start": 213.0, "end": 218.92, "text": " esto al cuadrado, despu\u00e9s tenemos menos dos veces la primera cantidad por la segunda,"}, {"start": 218.92, "end": 229.8, "text": " o sea dos por ra\u00edz cuadrada de 13 y eso multiplicado por ra\u00edz cuadrada de 11 y luego tenemos m\u00e1s"}, {"start": 229.8, "end": 237.72, "text": " la segunda cantidad elevada al cuadrado, es decir ra\u00edz cuadrada de 11 y todo esto elevado"}, {"start": 237.72, "end": 239.84, "text": " al cuadrado."}, {"start": 239.84, "end": 244.92000000000002, "text": " Ahora en el denominador vamos a desarrollar estas dos potencias, all\u00ed el exponente 2"}, {"start": 244.92000000000002, "end": 251.68, "text": " elimina la ra\u00edz cuadrada, entonces en el primer caso nos queda 13 y en el segundo nos"}, {"start": 251.68, "end": 253.92000000000002, "text": " queda 11."}, {"start": 253.92000000000002, "end": 260.46, "text": " Seguimos resolviendo las operaciones, en el numerador aqu\u00ed el exponente 2 tambi\u00e9n elimina"}, {"start": 260.46, "end": 268.84000000000003, "text": " la ra\u00edz cuadrada y nos queda libre el 13, despu\u00e9s tenemos menos dos por este producto"}, {"start": 268.84, "end": 274.59999999999997, "text": " de radicales podemos resolverlo de acuerdo con la siguiente propiedad, si tenemos ra\u00edz"}, {"start": 274.59999999999997, "end": 280.71999999999997, "text": " en\u00e9sima de A por B, es decir la ra\u00edz de un producto, esto es igual a la ra\u00edz en\u00e9sima"}, {"start": 280.71999999999997, "end": 288.2, "text": " de A por la ra\u00edz en\u00e9sima de B, entonces si hay multiplicaci\u00f3n dentro de la ra\u00edz"}, {"start": 288.2, "end": 293.91999999999996, "text": " se puede repartir el radical, pero tambi\u00e9n si tenemos este producto de ra\u00edces podemos"}, {"start": 293.92, "end": 299.36, "text": " llegar ac\u00e1, la propiedad se aplica tambi\u00e9n en sentido contrario, entonces eso ser\u00e1 la"}, {"start": 299.36, "end": 307.46000000000004, "text": " ra\u00edz cuadrada de 13 por 11, escribimos eso dentro de una sola ra\u00edz cuadrada, despu\u00e9s"}, {"start": 307.46000000000004, "end": 314.40000000000003, "text": " tenemos m\u00e1s ra\u00edz cuadrada de 11 elevado al cuadrado que nos da 11, all\u00ed el exponente"}, {"start": 314.40000000000003, "end": 322.76, "text": " 2 elimina el radical y en el denominador efectuamos esa resta, 13 menos 11 nos da 2."}, {"start": 322.76, "end": 329.03999999999996, "text": " En el numerador podemos efectuar la operaci\u00f3n de estos dos n\u00fameros, son t\u00e9rminos independientes"}, {"start": 329.03999999999996, "end": 336.08, "text": " que est\u00e1n sumando entre s\u00ed, entonces 13 m\u00e1s 11 nos da 24 y esto queda menos 2 que"}, {"start": 336.08, "end": 345.56, "text": " multiplica con la ra\u00edz cuadrada de 13 por 11 que nos da 143 y todo esto queda dividido"}, {"start": 345.56, "end": 352.96, "text": " entre 2. Ahora all\u00ed podemos aplicar lo que es la factorizaci\u00f3n en el numerador, podemos"}, {"start": 352.96, "end": 360.76, "text": " extraer como factor com\u00fan el n\u00famero 2, entonces si sale el 2 nos queda factor de 12 en el"}, {"start": 360.76, "end": 369.48, "text": " primer t\u00e9rmino menos ra\u00edz cuadrada de 143 en el segundo t\u00e9rmino, cerramos el par\u00e9ntesis"}, {"start": 369.48, "end": 377.28000000000003, "text": " y todo esto nos queda sobre 2. Finalmente podemos simplificar esta fracci\u00f3n, este n\u00famero"}, {"start": 377.28000000000003, "end": 381.72, "text": " 2 que est\u00e1 multiplicando en el numerador puede cancelarse con este 2 que tenemos en"}, {"start": 381.72, "end": 387.20000000000005, "text": " el denominador, es como dividir por 2 tanto en el numerador como en el denominador, nos"}, {"start": 387.20000000000005, "end": 395.44, "text": " quedar\u00edan unos, entonces veamos, el resultado nos queda presentado de la siguiente forma,"}, {"start": 395.44, "end": 405.24, "text": " en el numerador 1 por todo esto nos da 12 menos la ra\u00edz cuadrada de 143 y en el denominador"}, {"start": 405.24, "end": 412.04, "text": " nos qued\u00f3 1, por lo tanto ese denominador lo omitimos y de esa manera terminamos, hemos"}, {"start": 412.04, "end": 419.12, "text": " llegado a una expresi\u00f3n num\u00e9rica equivalente a la original pero que ya no tiene radicales"}, {"start": 419.12, "end": 425.84000000000003, "text": " en el denominador, repetimos aqu\u00ed hay denominador 1, entonces con esto damos cumplimiento al"}, {"start": 425.84000000000003, "end": 432.0, "text": " prop\u00f3sito de la racionalizaci\u00f3n. Enseguida vamos a efectuar la verificaci\u00f3n de este"}, {"start": 432.0, "end": 438.36, "text": " ejercicio utilizando esta calculadora cient\u00edfica, comenzamos soprimiendo el bot\u00f3n de fracci\u00f3n,"}, {"start": 438.36, "end": 444.36, "text": " en el numerador vamos a ingresar esto, ra\u00edz cuadrada de 13 menos ra\u00edz cuadrada de 11,"}, {"start": 444.36, "end": 450.08000000000004, "text": " entonces bot\u00f3n de ra\u00edz cuadrada, luego el 13, corremos a la derecha el cursor, despu\u00e9s"}, {"start": 450.08000000000004, "end": 456.44, "text": " el menos, otra vez bot\u00f3n de ra\u00edz cuadrada y all\u00ed escribimos el 11, corremos el cursor"}, {"start": 456.44, "end": 462.24, "text": " a la derecha, lo bajamos al denominador y all\u00ed vamos a ingresar esto, ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 462.24, "end": 469.24, "text": " de 13, entonces bot\u00f3n de ra\u00edz cuadrada, el 13, corremos el cursor a la derecha, despu\u00e9s"}, {"start": 469.24, "end": 476.12, "text": " m\u00e1s ra\u00edz cuadrada de 11, entonces bot\u00f3n de ra\u00edz cuadrada y el 11, de esa manera ya"}, {"start": 476.12, "end": 482.72, "text": " tenemos la expresi\u00f3n num\u00e9rica en la calculadora, oprimimos el bot\u00f3n igual y obtenemos este"}, {"start": 482.72, "end": 489.8, "text": " resultado 12 menos la ra\u00edz cuadrada de 143, con esto comprobamos que este ejercicio se"}, {"start": 489.8, "end": 496.8, "text": " haya resuelto correctamente."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=EWEuTTXOM3E

OPERACIONES CON ENTEROS SIN SIGNOS DE AGRUPACIÓN - Ejercicio 2

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Vamos a resolver detalladamente este ejercicio de operaciones combinadas con números enteros sin signos de agrupación. Vemos que no hay paréntesis, corchetes ni llaves. Comenzamos resolviendo lo que son multiplicaciones y divisiones. Por último, efectuaremos las sumas y restas. Vamos a señalar entonces las operaciones que vamos a realizar primero. Es el caso de esta, donde observamos división y multiplicación. Aquí tenemos otra de multiplicación. Aquí hay otra que tiene multiplicación y división. Aquí tenemos una división y por acá observamos una multiplicación. Entonces, comenzamos. Esto nos queda igual a menos 17 más vamos a efectuar eso que tenemos acá. Cuando tenemos operaciones de multiplicaciones y divisiones procedemos de izquierda a derecha. Repetimos, no hay signos de agrupación, no hay paréntesis, no hay corchetes, tampoco hay llaves. Entonces en este caso vamos de izquierda a derecha, siempre operando parejas de números. Entonces comenzamos con 20 dividido entre 5. Esa operación nos da como resultado 4 y luego 4 se multiplica por 3 y nos da como resultado 12. Continuamos acá, 9 por 2 es 18. Seguimos, menos. Otra vez tenemos aquí multiplicación y división. Vamos de izquierda a derecha. 14 por 2 nos da 28 y 28 dividido entre 7 nos da 4. Seguimos, más. Resolvemos esta división, 27 dividido entre 3 nos da 9 y luego tenemos más. 11 por 2, resolvemos esa multiplicación, nos da como resultado 22 y anotamos menos 6. Como se observa nos hemos librado de las multiplicaciones y divisiones. Aquí ya no tenemos esas operaciones, ya fueron resueltas porque son de mayor jerarquía que la suma y la resta. Ahora nos encargamos de esto que nos quedó donde hay suma y resta con números enteros. Podemos señalar los enteros negativos, por ejemplo el caso de menos 17, menos 18, aquí tenemos menos 4 y menos 6. Y también podemos señalar los enteros positivos, el caso de más 12, más 9 y más 22. Entonces vamos a sumar aparte los enteros negativos y aparte los enteros positivos para al final realizar una sola operación entre el resultado de la operación de los negativos y el resultado de la operación de los positivos. Vamos entonces con los enteros negativos. Recordemos que en ese caso el resultado será negativo y lo que hacemos es sumar sus valores absolutos. Valor absoluto de menos 17 será 17, valor absoluto de menos 18 será 18, valor absoluto de menos 4 será 4 y valor absoluto de menos 6 nos da 6. Sumamos entonces esos valores absolutos, 17 más 18 es 35, 35 más 4 nos da 39 y 39 más 6 nos da 45. El resultado de esa operación de enteros negativos nos da menos 45. Ahora vamos con la operación de los enteros positivos. Lógicamente el resultado será positivo, entonces tenemos 12 más 9 que nos da 21 y 21 sumado con 22 nos da como resultado 43. Por último efectuamos esa operación que ocurre entre un entero negativo y un entero positivo. Recordemos que en ese caso se deja el signo del mayor de esos dos números, es decir del que tenga mayor valor absoluto. El valor absoluto de este número es 45 y el de este es 43. Como este resultado es mayor entonces predomina el signo negativo, este será el signo del resultado. Y lo que hacemos allí es restar esos valores absolutos, es decir a 45 le quitamos 43 y nos da como resultado 2. Entonces menos 45 más 43 nos da menos 2 y este será el resultado para este ejercicio de operaciones combinadas con números enteros sin signos de agrupación.

[{"start": 0.0, "end": 9.24, "text": " Vamos a resolver detalladamente este ejercicio de operaciones combinadas con n\u00fameros enteros"}, {"start": 9.24, "end": 15.200000000000001, "text": " sin signos de agrupaci\u00f3n. Vemos que no hay par\u00e9ntesis, corchetes ni llaves."}, {"start": 15.200000000000001, "end": 20.52, "text": " Comenzamos resolviendo lo que son multiplicaciones y divisiones. Por \u00faltimo, efectuaremos las"}, {"start": 20.52, "end": 27.240000000000002, "text": " sumas y restas. Vamos a se\u00f1alar entonces las operaciones que vamos a realizar primero."}, {"start": 27.24, "end": 35.08, "text": " Es el caso de esta, donde observamos divisi\u00f3n y multiplicaci\u00f3n. Aqu\u00ed tenemos otra de multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 35.08, "end": 41.12, "text": " Aqu\u00ed hay otra que tiene multiplicaci\u00f3n y divisi\u00f3n. Aqu\u00ed tenemos una divisi\u00f3n y por"}, {"start": 41.12, "end": 49.44, "text": " ac\u00e1 observamos una multiplicaci\u00f3n. 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Entonces"}, {"start": 254.56, "end": 262.68, "text": " menos 45 m\u00e1s 43 nos da menos 2 y este ser\u00e1 el resultado para este ejercicio de operaciones"}, {"start": 262.68, "end": 266.56, "text": " combinadas con n\u00fameros enteros sin signos de agrupaci\u00f3n."}]

julioprofe

https://www.youtube.com/watch?v=dY-_SAGg26w

DESCOMPOSICIÓN DE NÚMEROS EN FACTORES PRIMOS - Video 3

#julioprofe explica cómo descomponer tres números naturales en factores primos y, en cada caso, hace la comprobación en calculadora. Contenido: 00:00 - 00:20 Introducción 00:20 - 05:03 Descomposición del número 840 05:03 - 10:38 Descomposición del número 4.680 10:38 - 17:18 Descomposición del número 7.920 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a descomponer en factores primos los siguientes números naturales, 840, 4680 y 7920. Vamos a realizar este proceso manualmente y en cada caso haremos la comprobación en calculadora. Comenzamos con el ejercicio A, vamos a descomponer en factores primos el número 840. Antes de empezar vamos a recordar cuál es el conjunto de los números primos. Recordemos que son aquellos números naturales que se pueden dividir solamente por ellos mismos y por uno. El primer número primo que encontramos es el 2, es el único número que es par y primo a la vez. Luego tenemos el 3, después el 5, luego el 7, de allí pasamos al número 11, después tenemos el 13, luego sigue el 17 y así sucesivamente. El conjunto es infinito. Entonces estos son los números primos. Entonces comenzamos el proceso escribiendo el número y esta línea vertical a su derecha. Comenzamos entonces examinando el número primo 2. Nos preguntamos si 2 es divisor de 840 o si 840 es divisible por 2. Como vemos este número termina en cero, que es cifra par. Eso nos garantiza que si es divisible por 2. Entonces utilizamos ese número primo. Decimos 840 dividido entre 2 o también la mitad de 840 eso nos da 420. Allí nos volvemos a preguntar si es divisible por 2. Si 420 es divisible por este número. Vemos que sí porque termina otra vez en cifra par. La mitad de 420 nos da 210. Otra vez termina en cero, por lo tanto podemos utilizar de nuevo el 2. La mitad de 210 nos da 105. Allí nos preguntamos si 105 vuelve a ser divisible por 2. Vemos que no es posible porque este número termina en cifra impar. Entonces descartamos ya el 2 y pasamos a examinar el siguiente número primo que es el 3. Nos preguntamos si 105 es divisible por 3. Para ello sumamos las cifras de este número. 1 más 0 más 5 nos da 6 y 6 es múltiplo de 3. Por lo tanto eso nos garantiza que 105 es divisible por 3. Entonces utilizamos allí el número primo 3. Decimos tercera de 105 o 105 dividido entre 3. Esa división la podemos hacer aparte y nos da como resultado 35. Nos preguntamos si 35 vuelve a ser divisible por 3. Veamos si sumamos las cifras 3 más 5 nos da 8. Pero 8 no es múltiplo de 3. Por lo tanto descartamos que este número sea divisible por 3. Pasamos a examinar el siguiente número primo que es el 5. Vemos que este número termina en 5. Por lo tanto tenemos garantizado que es divisible por 5. Decimos quinta de 35 o 35 dividido entre 5 eso nos da 7. Y para 7 lógicamente le sirve el número primo 7. No le sirve otro. Séptima de 7 nos da 1. De esa manera terminamos el proceso cuando aquí ya tenemos 1. Entonces podemos decir que 840 nos queda igual a 2 por 2 por 2 y eso multiplicado por 3 por 5 y por 7. Allí tenemos entonces la descomposición de ese número en factores primos o lo que se conoce también como la factorización de este número natural. Como aquí el número 2 se repite tres veces está multiplicando por sí mismo tres veces entonces podemos expresar esto utilizando la potenciación. Se expresa en forma abreviada como 2 elevado a la 3 o 2 al cubo. Entonces la factorización o descomposición en factores primos de 840 nos queda 2 al cubo por 3 por 5 por 7. Vamos a realizar la comprobación de este ejercicio utilizando esta calculadora. Entonces lo primero que hacemos es escribir en pantalla el número 840 y oprimimos el botón igual. Después vamos a activar la función fact que aparece encima del botón grados minutos y segundos. Como vemos esa función está en color amarillo. Entonces para activarla primero oprimimos el botón shift y después el botón de grados minutos y segundos. Y allí vemos en pantalla esto que obtuvimos 2 al cubo por 3 por 5 por 7. Eso nos confirma que esta descomposición del número 840 en factores primos es correcta. Vamos ahora con el ejercicio B, la descomposición en factores primos del número 4680. Lo escribimos entonces por acá quitándole el punto que nos indica la posición de miles y trazamos esta línea vertical a su derecha. Comenzamos examinando si este número es divisible por el primer número primo que es 2. Vemos que sí porque termina en cifra par, termina en cero. Entonces utilizamos el 2. Decimos mitad de 4680 o 4680 dividido entre 2 eso nos da 2340. Podemos hacer ese proceso por aparte. Otra vez tenemos un número que termina en cifra par, termina en cero. Por lo tanto podemos utilizar de nuevo el número primo 2. Mitad de 2340 nos daría mitad de 2, 1. Mitad de 3, allí cabe el 2 una vez, sobra 1. El 1 con el 4 forma el 14. La mitad de 14 es 7 y la mitad de 0 nos da 0. Es otra forma de obtener la mitad de ese número. 1170 termina otra vez en cifra par, en cero. Por lo tanto debemos utilizar otra vez el número primo 2. La mitad de 1170 será la siguiente. Mitad de 11 porque el 2 en el 1 no cabe, entonces mitad de 11 nos da 5. El 2 en el 11 cabe 5 veces, sobra 1. El 1 con el 7 nos forma el 17. El 2 en 17 cabe 8 veces, sobra 1. Y el 1 con el 0 nos forma el 10. El 2 en el 10 cabe 5 veces. 585 es la mitad de 11170. Repetimos, si este proceso no es tan claro, se puede hacer aparte la división de 1170 dividido entre 2. Tenemos ahora 585, un número que termina en cifra impar. Allí ya no podemos utilizar el número primo 2. Entonces lo descartamos y pasamos ahora a analizar el siguiente número primo que es el 3. Nos preguntamos si este número es divisible por 3. Para ello sumamos sus dígitos o sus cifras. 5 más 8 nos da 13. 13 más 5 es 18. Y 18 es múltiplo de 3. Por lo tanto tenemos garantizado que 585 es divisible por 3. Utilizamos entonces ese número primo. Decimos el 3 en el 5 cabe una vez, sobra 2. El 2 con el 8 nos da 28. El 3 en 28 cabe 9 veces. 9 por 3 es 27. A 28, 1. El 1 que nos sobra con el 5 forma el 15. Y el 3 en el 15 cabe 5 veces. Repetimos esa división se puede hacer aparte si este proceso resulta ser un poco más complicado. Tenemos ahora 195. Vamos a ver si este número es divisible por 3. Entonces sumamos los dígitos. 1 más 9 nos da 10. 10 más 5 nos da 15. 15 es múltiplo de 3. Por lo tanto podemos utilizar aquí el número primo 3. Decimos entonces 3 en 1 no cabe. Entonces separamos dos cifras. 3 en 19 cabe 6 veces. 6 por 3 es 18. A 19, 1. Ese 1 que sobra con el 5 nos forma el 15. El 3 en el 15 cabe 5 veces. Tenemos ahora 65. Miramos si este número otra vez es divisible por 3. Sumamos sus dígitos. Allí nos da 11 esa suma. Pero 11 no es múltiplo de 3. Entonces ya descartamos el número primo 3 y pasamos a examinar el siguiente que es el 5. Vemos que efectivamente este número termina en 5. Por lo tanto podemos utilizar acá el número primo 5. 5 de 65 o 65 dividido entre 5 nos da 13. Y allí nos aparece el número primo 13. A 13 solamente le sirve el 13. 13 va de 13 nos da 1 y con eso terminamos el proceso. Entonces 4680 nos queda igual a lo siguiente. 2 por 2 por 2. Eso multiplicado por 3 por 3. Y eso multiplicado por 5 y por 13. Como podemos ver el número 2 se repite 3 veces. Está multiplicando por sí mismo 3 veces. Aquí podemos utilizar la potenciación. Esto nos queda 2 elevado a la 3 o 2 al cubo. Y aquí también el número 3 se repite 2 veces. Entonces 3 por 3 lo podemos escribir en forma abreviada como 3 elevado a la 2 o 3 al cuadrado. Por lo tanto la descomposición del número 4680 en factores primos nos queda así. 2 al cubo por 3 al cuadrado por 5 por 13. Esos números que solamente aparecen una vez tendrán aquí exponente invisible 1. Veamos la comprobación de este ejercicio otra vez en esta calculadora. Entonces ingresamos el número 4680, lo escribimos en pantalla y oprimimos el botón igual. Luego activamos la función fact. Recordemos que se oprime primero el botón shift y después el botón de grados minutos y segundos. Y allí nos aparece en pantalla esto que obtuvimos. 2 al cubo por 3 al cuadrado por 5 por 13. Eso nos confirma que este proceso que hicimos manualmente es correcto. Veamos ahora el ejercicio C, la descomposición del número 7920 en factores primos. Escribimos por acá el número quitándole el punto que nos indica la posición de miles y trazamos esta línea vertical a su derecha. Comenzamos examinando el primer número primo que es 2. Este número efectivamente es divisible por 2 porque termina en 0, es decir en cifra par. Entonces utilizamos el 2. La mitad de 7920 se obtiene de la siguiente manera. El 2 en el 7 cabe tres veces, 2 por 3 es 6 a 7 es 1, ese 1 que sobra con el 9 nos forma en 19, 2 en 19 cabe nueve veces, 2 por 9 es 18 a 19 es 1, ese 1 que sobra con el 2 nos forma el 12, el 2 en el 12 cabe seis veces, no sobra nada y 2 en 0 cabe cero veces. Entonces la mitad de 7920 es 3960. Volvemos a utilizar el 2 porque este número termina en 0 que es cifra par. Utilizamos aquí el 2. La mitad de 3960 se obtiene así, el 2 en el 3 cabe una vez, 2 por 1 es 2 a 3 es 1, el 1 con el 9 forma en 19, 2 en 19 cabe nueve veces, 2 por 9 es 18 a 19 es 1, el 1 con el 6 forma en 16, 2 en 16 cabe ocho veces, no sobra nada y 2 en 0 cabe cero veces. 1980 puede dividirse otra vez por 2 porque termina en 0 que es cifra par. Entonces utilizamos otra vez este número primo. La mitad de 1980 se obtiene así, el 2 en el 1 no cabe, entonces tomamos estas dos cifras, 2 en 19 si cabe, cabe nueve veces, 2 por 9 es 18 a 19 es 1, entonces ese 1 que sobra con el 8 nos forma el 18, 2 en 18 cabe nueve veces exactas, no sobra nada y 2 en 0 cabe cero veces. 990 otra vez puede dividirse por 2, entonces utilizamos otra vez ese número primo. El 2 en el 9 cabe cuatro veces, 2 por 4 es 8 a 9 es 1, el 1 con el 9 forma en 19, 2 en 19 cabe nueve veces, 2 por 9 es 18 a 19 es 1, ese 1 con el 0 forma en 10 y 2 en 10 cabe cinco veces. 495 ya no puede dividirse por 2 porque como vemos termina en cifra impar, entonces descartamos ya el número primo 2, lo hemos utilizado hasta que sea posible. Pasamos ahora a examinar el siguiente número primo que es el 3, para ello sumamos aquí los dígitos del número, 4 más 9 nos da 13, 13 más 5 es 18 y 18 es múltiplo de 3, por lo tanto tenemos garantizado que 495 es divisible por 3. Decimos entonces 3 en 4 cabe una vez, 3 por 1 es 3, a 4 es 1, ese 1 con el 9 forma en 19, 3 en 19 cabe seis veces, 3 por 6 es 18, a 19 es 1, ese 1 que sobra con el 5 forma en 15, 3 en 15 cabe cinco veces. De nuevo examinamos si 165 es divisible por 3, el número primo que estamos examinando en este momento, para ello sumamos los dígitos del número, 1 más 6 nos da 7, 7 más 5 nos da 12 y 12 es múltiplo de 3, por lo tanto 165 es divisible por 3. Decimos el 3 en el 1 no cabe, entonces tomamos aquí dos cifras 16, 3 en 16 cabe cinco veces, 3 por 5 nos da 15, a 16 es 1, ese 1 con el 5 forma en 15 y 3 en 15 cabe cinco veces. Revisamos si 55 es divisible por 3, para ello sumamos los dígitos de este número, 5 más 5 nos da 10, pero 10 no es múltiplo de 3, por lo tanto descartamos que este número sea divisible por este número primo, entonces como vemos ya se ha utilizado el 2, se ha utilizado el 3 hasta donde es posible, ya los descartamos y pasamos a examinar el siguiente número primo que es el 5, efectivamente 55 termina en 5, por lo tanto es divisible por 5, recordemos que todos los números que terminan en 0 y en 5 son divisibles por 5, entonces utilizamos ese número, quinta de 55 o 55 dividido entre 5 eso nos da 11 y allí nos aparece el número primo 11, ya podemos saltar del 5 al 11, nos saltamos el 7 porque 11 es el único número que le sirve a 11, decimos onceaba de 11 nos da 1 y con esto terminamos el proceso, entonces podemos decir que el número 7920 es igual a lo siguiente 2 por 2 por 2 por 2, eso por 3 por 3 y eso por 5 y por 11, esta es la descomposición de ese número en factores primos, vemos que el 2 se repite cuatro veces, está multiplicando por sí mismo cuatro veces, entonces aquí aplicamos la anotación de potencia 2 elevado a la 4, el 2 se está multiplicando por sí mismo cuatro veces y acá 3 por 3 también se puede escribir en forma resumida como 3 a la 2, como 3 al cuadrado utilizando para ello la potenciación, entonces ya para terminar 7920 nos queda expresado así como 2 a la 4 por 3 al cuadrado o 3 a la 2 por 5 que recordemos tiene aquí exponente invisible 1 y esto por 11 que también tiene exponente invisible 1, veamos la comprobación de este ejercicio en la calculadora, escribimos el número 7920 en la pantalla y oprimimos el botón igual, de nuevo activamos la función fact entonces botón shift y luego el botón de grados minutos y segundos y allí nos aparece en la pantalla eso que obtuvimos 2 a la 4 por 3 a la 2 por 5 por 11, eso nos confirma que esta descomposición que hicimos manualmente es correcta.

[{"start": 0.0, "end": 11.76, "text": " Vamos a descomponer en factores primos los siguientes n\u00fameros naturales, 840, 4680 y"}, {"start": 11.76, "end": 19.2, "text": " 7920. Vamos a realizar este proceso manualmente y en cada caso haremos la comprobaci\u00f3n en"}, {"start": 19.2, "end": 25.6, "text": " calculadora. Comenzamos con el ejercicio A, vamos a descomponer en factores primos el"}, {"start": 25.6, "end": 32.68, "text": " n\u00famero 840. Antes de empezar vamos a recordar cu\u00e1l es el conjunto de los n\u00fameros primos."}, {"start": 32.68, "end": 39.68, "text": " Recordemos que son aquellos n\u00fameros naturales que se pueden dividir solamente por ellos mismos y"}, {"start": 39.68, "end": 46.6, "text": " por uno. El primer n\u00famero primo que encontramos es el 2, es el \u00fanico n\u00famero que es par y primo a"}, {"start": 46.6, "end": 56.08, "text": " la vez. Luego tenemos el 3, despu\u00e9s el 5, luego el 7, de all\u00ed pasamos al n\u00famero 11, despu\u00e9s tenemos"}, {"start": 56.08, "end": 65.4, "text": " el 13, luego sigue el 17 y as\u00ed sucesivamente. El conjunto es infinito. Entonces estos son los"}, {"start": 65.4, "end": 72.24000000000001, "text": " n\u00fameros primos. Entonces comenzamos el proceso escribiendo el n\u00famero y esta l\u00ednea vertical a"}, {"start": 72.24, "end": 78.36, "text": " su derecha. Comenzamos entonces examinando el n\u00famero primo 2. Nos preguntamos si 2 es divisor"}, {"start": 78.36, "end": 86.91999999999999, "text": " de 840 o si 840 es divisible por 2. Como vemos este n\u00famero termina en cero, que es cifra par."}, {"start": 86.91999999999999, "end": 95.16, "text": " Eso nos garantiza que si es divisible por 2. Entonces utilizamos ese n\u00famero primo. Decimos 840"}, {"start": 95.16, "end": 103.39999999999999, "text": " dividido entre 2 o tambi\u00e9n la mitad de 840 eso nos da 420. All\u00ed nos volvemos a preguntar si es"}, {"start": 103.39999999999999, "end": 110.64, "text": " divisible por 2. Si 420 es divisible por este n\u00famero. Vemos que s\u00ed porque termina otra vez"}, {"start": 110.64, "end": 119.72, "text": " en cifra par. La mitad de 420 nos da 210. Otra vez termina en cero, por lo tanto podemos utilizar"}, {"start": 119.72, "end": 129.2, "text": " de nuevo el 2. La mitad de 210 nos da 105. All\u00ed nos preguntamos si 105 vuelve a ser divisible"}, {"start": 129.2, "end": 136.56, "text": " por 2. Vemos que no es posible porque este n\u00famero termina en cifra impar. Entonces descartamos ya"}, {"start": 136.56, "end": 142.76, "text": " el 2 y pasamos a examinar el siguiente n\u00famero primo que es el 3. Nos preguntamos si 105 es"}, {"start": 142.76, "end": 150.76, "text": " divisible por 3. Para ello sumamos las cifras de este n\u00famero. 1 m\u00e1s 0 m\u00e1s 5 nos da 6 y 6 es m\u00faltiplo"}, {"start": 150.76, "end": 158.32, "text": " de 3. Por lo tanto eso nos garantiza que 105 es divisible por 3. Entonces utilizamos all\u00ed el"}, {"start": 158.32, "end": 165.72, "text": " n\u00famero primo 3. Decimos tercera de 105 o 105 dividido entre 3. Esa divisi\u00f3n la podemos hacer"}, {"start": 165.72, "end": 173.68, "text": " aparte y nos da como resultado 35. Nos preguntamos si 35 vuelve a ser divisible por 3. Veamos si"}, {"start": 173.68, "end": 181.4, "text": " sumamos las cifras 3 m\u00e1s 5 nos da 8. Pero 8 no es m\u00faltiplo de 3. Por lo tanto descartamos que este"}, {"start": 181.4, "end": 187.5, "text": " n\u00famero sea divisible por 3. Pasamos a examinar el siguiente n\u00famero primo que es el 5. Vemos que"}, {"start": 187.5, "end": 195.07999999999998, "text": " este n\u00famero termina en 5. Por lo tanto tenemos garantizado que es divisible por 5. Decimos quinta"}, {"start": 195.08, "end": 203.92000000000002, "text": " de 35 o 35 dividido entre 5 eso nos da 7. Y para 7 l\u00f3gicamente le sirve el n\u00famero primo 7. No le"}, {"start": 203.92000000000002, "end": 211.08, "text": " sirve otro. S\u00e9ptima de 7 nos da 1. De esa manera terminamos el proceso cuando aqu\u00ed ya tenemos 1."}, {"start": 211.08, "end": 219.96, "text": " Entonces podemos decir que 840 nos queda igual a 2 por 2 por 2 y eso multiplicado por 3 por 5 y por"}, {"start": 219.96, "end": 226.56, "text": " 7. All\u00ed tenemos entonces la descomposici\u00f3n de ese n\u00famero en factores primos o lo que se conoce"}, {"start": 226.56, "end": 233.16, "text": " tambi\u00e9n como la factorizaci\u00f3n de este n\u00famero natural. Como aqu\u00ed el n\u00famero 2 se repite tres"}, {"start": 233.16, "end": 239.08, "text": " veces est\u00e1 multiplicando por s\u00ed mismo tres veces entonces podemos expresar esto utilizando la"}, {"start": 239.08, "end": 247.20000000000002, "text": " potenciaci\u00f3n. Se expresa en forma abreviada como 2 elevado a la 3 o 2 al cubo. Entonces la"}, {"start": 247.2, "end": 258.76, "text": " factorizaci\u00f3n o descomposici\u00f3n en factores primos de 840 nos queda 2 al cubo por 3 por 5 por 7."}, {"start": 258.76, "end": 265.68, "text": " Vamos a realizar la comprobaci\u00f3n de este ejercicio utilizando esta calculadora. Entonces lo primero"}, {"start": 265.68, "end": 274.36, "text": " que hacemos es escribir en pantalla el n\u00famero 840 y oprimimos el bot\u00f3n igual. Despu\u00e9s vamos a"}, {"start": 274.36, "end": 281.2, "text": " activar la funci\u00f3n fact que aparece encima del bot\u00f3n grados minutos y segundos. Como vemos esa"}, {"start": 281.2, "end": 287.72, "text": " funci\u00f3n est\u00e1 en color amarillo. Entonces para activarla primero oprimimos el bot\u00f3n shift y"}, {"start": 287.72, "end": 294.0, "text": " despu\u00e9s el bot\u00f3n de grados minutos y segundos. Y all\u00ed vemos en pantalla esto que obtuvimos 2 al"}, {"start": 294.0, "end": 301.92, "text": " cubo por 3 por 5 por 7. Eso nos confirma que esta descomposici\u00f3n del n\u00famero 840 en factores primos"}, {"start": 301.92, "end": 310.8, "text": " es correcta. Vamos ahora con el ejercicio B, la descomposici\u00f3n en factores primos del n\u00famero 4680."}, {"start": 310.8, "end": 317.12, "text": " Lo escribimos entonces por ac\u00e1 quit\u00e1ndole el punto que nos indica la posici\u00f3n de miles y"}, {"start": 317.12, "end": 323.08000000000004, "text": " trazamos esta l\u00ednea vertical a su derecha. Comenzamos examinando si este n\u00famero es divisible"}, {"start": 323.08000000000004, "end": 328.96000000000004, "text": " por el primer n\u00famero primo que es 2. Vemos que s\u00ed porque termina en cifra par, termina en cero."}, {"start": 328.96, "end": 340.56, "text": " Entonces utilizamos el 2. Decimos mitad de 4680 o 4680 dividido entre 2 eso nos da 2340."}, {"start": 340.56, "end": 346.03999999999996, "text": " Podemos hacer ese proceso por aparte. Otra vez tenemos un n\u00famero que termina en cifra par,"}, {"start": 346.03999999999996, "end": 354.24, "text": " termina en cero. Por lo tanto podemos utilizar de nuevo el n\u00famero primo 2. Mitad de 2340 nos"}, {"start": 354.24, "end": 362.12, "text": " dar\u00eda mitad de 2, 1. Mitad de 3, all\u00ed cabe el 2 una vez, sobra 1. El 1 con el 4 forma el 14."}, {"start": 362.12, "end": 370.28000000000003, "text": " La mitad de 14 es 7 y la mitad de 0 nos da 0. Es otra forma de obtener la mitad de ese n\u00famero."}, {"start": 370.28000000000003, "end": 379.08, "text": " 1170 termina otra vez en cifra par, en cero. Por lo tanto debemos utilizar otra vez el n\u00famero"}, {"start": 379.08, "end": 386.47999999999996, "text": " primo 2. La mitad de 1170 ser\u00e1 la siguiente. Mitad de 11 porque el 2 en el 1 no cabe, entonces"}, {"start": 386.47999999999996, "end": 394.64, "text": " mitad de 11 nos da 5. El 2 en el 11 cabe 5 veces, sobra 1. El 1 con el 7 nos forma el 17. El 2 en"}, {"start": 394.64, "end": 404.71999999999997, "text": " 17 cabe 8 veces, sobra 1. Y el 1 con el 0 nos forma el 10. El 2 en el 10 cabe 5 veces. 585 es la mitad"}, {"start": 404.72, "end": 412.54, "text": " de 11170. Repetimos, si este proceso no es tan claro, se puede hacer aparte la divisi\u00f3n de 1170"}, {"start": 412.54, "end": 420.36, "text": " dividido entre 2. Tenemos ahora 585, un n\u00famero que termina en cifra impar. All\u00ed ya no podemos"}, {"start": 420.36, "end": 427.1, "text": " utilizar el n\u00famero primo 2. Entonces lo descartamos y pasamos ahora a analizar el siguiente n\u00famero"}, {"start": 427.1, "end": 433.12, "text": " primo que es el 3. Nos preguntamos si este n\u00famero es divisible por 3. Para ello sumamos sus d\u00edgitos"}, {"start": 433.12, "end": 441.04, "text": " o sus cifras. 5 m\u00e1s 8 nos da 13. 13 m\u00e1s 5 es 18. Y 18 es m\u00faltiplo de 3. Por lo tanto tenemos"}, {"start": 441.04, "end": 450.08, "text": " garantizado que 585 es divisible por 3. Utilizamos entonces ese n\u00famero primo. Decimos el 3 en el 5"}, {"start": 450.08, "end": 460.76, "text": " cabe una vez, sobra 2. El 2 con el 8 nos da 28. El 3 en 28 cabe 9 veces. 9 por 3 es 27. A 28, 1. El 1"}, {"start": 460.76, "end": 468.48, "text": " que nos sobra con el 5 forma el 15. Y el 3 en el 15 cabe 5 veces. Repetimos esa divisi\u00f3n se puede"}, {"start": 468.48, "end": 475.92, "text": " hacer aparte si este proceso resulta ser un poco m\u00e1s complicado. Tenemos ahora 195. Vamos a ver si"}, {"start": 475.92, "end": 483.32, "text": " este n\u00famero es divisible por 3. Entonces sumamos los d\u00edgitos. 1 m\u00e1s 9 nos da 10. 10 m\u00e1s 5 nos da 15."}, {"start": 483.32, "end": 492.24, "text": " 15 es m\u00faltiplo de 3. Por lo tanto podemos utilizar aqu\u00ed el n\u00famero primo 3. Decimos entonces 3 en 1"}, {"start": 492.24, "end": 501.56, "text": " no cabe. Entonces separamos dos cifras. 3 en 19 cabe 6 veces. 6 por 3 es 18. A 19, 1. Ese 1 que sobra con"}, {"start": 501.56, "end": 510.64, "text": " el 5 nos forma el 15. El 3 en el 15 cabe 5 veces. Tenemos ahora 65. Miramos si este n\u00famero otra"}, {"start": 510.64, "end": 517.4, "text": " vez es divisible por 3. Sumamos sus d\u00edgitos. All\u00ed nos da 11 esa suma. Pero 11 no es m\u00faltiplo de 3."}, {"start": 517.4, "end": 524.28, "text": " Entonces ya descartamos el n\u00famero primo 3 y pasamos a examinar el siguiente que es el 5. Vemos que"}, {"start": 524.28, "end": 531.12, "text": " efectivamente este n\u00famero termina en 5. Por lo tanto podemos utilizar ac\u00e1 el n\u00famero primo 5."}, {"start": 531.12, "end": 542.24, "text": " 5 de 65 o 65 dividido entre 5 nos da 13. Y all\u00ed nos aparece el n\u00famero primo 13. A 13 solamente le"}, {"start": 542.24, "end": 552.08, "text": " sirve el 13. 13 va de 13 nos da 1 y con eso terminamos el proceso. Entonces 4680 nos queda"}, {"start": 552.08, "end": 561.08, "text": " igual a lo siguiente. 2 por 2 por 2. Eso multiplicado por 3 por 3. Y eso multiplicado por 5 y por 13."}, {"start": 561.08, "end": 568.24, "text": " Como podemos ver el n\u00famero 2 se repite 3 veces. Est\u00e1 multiplicando por s\u00ed mismo 3 veces. Aqu\u00ed"}, {"start": 568.24, "end": 574.6, "text": " podemos utilizar la potenciaci\u00f3n. Esto nos queda 2 elevado a la 3 o 2 al cubo. Y aqu\u00ed tambi\u00e9n el"}, {"start": 574.6, "end": 582.5200000000001, "text": " n\u00famero 3 se repite 2 veces. Entonces 3 por 3 lo podemos escribir en forma abreviada como 3 elevado"}, {"start": 582.52, "end": 591.88, "text": " a la 2 o 3 al cuadrado. Por lo tanto la descomposici\u00f3n del n\u00famero 4680 en factores primos nos queda as\u00ed."}, {"start": 591.88, "end": 603.04, "text": " 2 al cubo por 3 al cuadrado por 5 por 13. Esos n\u00fameros que solamente aparecen una vez tendr\u00e1n"}, {"start": 603.04, "end": 610.1999999999999, "text": " aqu\u00ed exponente invisible 1. Veamos la comprobaci\u00f3n de este ejercicio otra vez en esta calculadora."}, {"start": 610.2, "end": 619.24, "text": " Entonces ingresamos el n\u00famero 4680, lo escribimos en pantalla y oprimimos el bot\u00f3n igual. Luego"}, {"start": 619.24, "end": 625.44, "text": " activamos la funci\u00f3n fact. Recordemos que se oprime primero el bot\u00f3n shift y despu\u00e9s el bot\u00f3n de"}, {"start": 625.44, "end": 632.24, "text": " grados minutos y segundos. Y all\u00ed nos aparece en pantalla esto que obtuvimos. 2 al cubo por 3 al"}, {"start": 632.24, "end": 639.12, "text": " cuadrado por 5 por 13. Eso nos confirma que este proceso que hicimos manualmente es correcto."}, {"start": 639.12, "end": 648.04, "text": " Veamos ahora el ejercicio C, la descomposici\u00f3n del n\u00famero 7920 en factores primos. Escribimos"}, {"start": 648.04, "end": 653.5600000000001, "text": " por ac\u00e1 el n\u00famero quit\u00e1ndole el punto que nos indica la posici\u00f3n de miles y trazamos esta"}, {"start": 653.5600000000001, "end": 659.16, "text": " l\u00ednea vertical a su derecha. Comenzamos examinando el primer n\u00famero primo que es 2. Este n\u00famero"}, {"start": 659.16, "end": 666.36, "text": " efectivamente es divisible por 2 porque termina en 0, es decir en cifra par. Entonces utilizamos"}, {"start": 666.36, "end": 675.08, "text": " el 2. La mitad de 7920 se obtiene de la siguiente manera. El 2 en el 7 cabe tres veces, 2 por 3 es"}, {"start": 675.08, "end": 684.92, "text": " 6 a 7 es 1, ese 1 que sobra con el 9 nos forma en 19, 2 en 19 cabe nueve veces, 2 por 9 es 18 a"}, {"start": 684.92, "end": 694.48, "text": " 19 es 1, ese 1 que sobra con el 2 nos forma el 12, el 2 en el 12 cabe seis veces, no sobra nada y 2 en"}, {"start": 694.48, "end": 703.9200000000001, "text": " 0 cabe cero veces. Entonces la mitad de 7920 es 3960. Volvemos a utilizar el 2 porque este n\u00famero"}, {"start": 703.9200000000001, "end": 712.72, "text": " termina en 0 que es cifra par. Utilizamos aqu\u00ed el 2. La mitad de 3960 se obtiene as\u00ed, el 2 en el 3"}, {"start": 712.72, "end": 722.24, "text": " cabe una vez, 2 por 1 es 2 a 3 es 1, el 1 con el 9 forma en 19, 2 en 19 cabe nueve veces, 2 por 9"}, {"start": 722.24, "end": 732.84, "text": " es 18 a 19 es 1, el 1 con el 6 forma en 16, 2 en 16 cabe ocho veces, no sobra nada y 2 en 0 cabe cero"}, {"start": 732.84, "end": 742.0, "text": " veces. 1980 puede dividirse otra vez por 2 porque termina en 0 que es cifra par. Entonces utilizamos"}, {"start": 742.0, "end": 749.76, "text": " otra vez este n\u00famero primo. La mitad de 1980 se obtiene as\u00ed, el 2 en el 1 no cabe, entonces tomamos"}, {"start": 749.76, "end": 759.48, "text": " estas dos cifras, 2 en 19 si cabe, cabe nueve veces, 2 por 9 es 18 a 19 es 1, entonces ese 1 que"}, {"start": 759.48, "end": 768.48, "text": " sobra con el 8 nos forma el 18, 2 en 18 cabe nueve veces exactas, no sobra nada y 2 en 0 cabe cero"}, {"start": 768.48, "end": 778.16, "text": " veces. 990 otra vez puede dividirse por 2, entonces utilizamos otra vez ese n\u00famero primo. El 2 en el"}, {"start": 778.16, "end": 788.2199999999999, "text": " 9 cabe cuatro veces, 2 por 4 es 8 a 9 es 1, el 1 con el 9 forma en 19, 2 en 19 cabe nueve veces, 2 por"}, {"start": 788.2199999999999, "end": 799.68, "text": " 9 es 18 a 19 es 1, ese 1 con el 0 forma en 10 y 2 en 10 cabe cinco veces. 495 ya no puede dividirse por"}, {"start": 799.68, "end": 806.48, "text": " 2 porque como vemos termina en cifra impar, entonces descartamos ya el n\u00famero primo 2, lo hemos utilizado"}, {"start": 806.48, "end": 813.64, "text": " hasta que sea posible. Pasamos ahora a examinar el siguiente n\u00famero primo que es el 3, para ello"}, {"start": 813.64, "end": 821.28, "text": " sumamos aqu\u00ed los d\u00edgitos del n\u00famero, 4 m\u00e1s 9 nos da 13, 13 m\u00e1s 5 es 18 y 18 es m\u00faltiplo de 3,"}, {"start": 821.28, "end": 830.28, "text": " por lo tanto tenemos garantizado que 495 es divisible por 3. Decimos entonces 3 en 4 cabe"}, {"start": 830.28, "end": 839.8, "text": " una vez, 3 por 1 es 3, a 4 es 1, ese 1 con el 9 forma en 19, 3 en 19 cabe seis veces, 3 por 6 es"}, {"start": 839.8, "end": 849.92, "text": " 18, a 19 es 1, ese 1 que sobra con el 5 forma en 15, 3 en 15 cabe cinco veces. De nuevo examinamos si"}, {"start": 849.92, "end": 857.1999999999999, "text": " 165 es divisible por 3, el n\u00famero primo que estamos examinando en este momento, para ello sumamos"}, {"start": 857.2, "end": 866.9200000000001, "text": " los d\u00edgitos del n\u00famero, 1 m\u00e1s 6 nos da 7, 7 m\u00e1s 5 nos da 12 y 12 es m\u00faltiplo de 3, por lo tanto 165"}, {"start": 866.9200000000001, "end": 875.72, "text": " es divisible por 3. Decimos el 3 en el 1 no cabe, entonces tomamos aqu\u00ed dos cifras 16, 3 en 16 cabe"}, {"start": 875.72, "end": 885.5200000000001, "text": " cinco veces, 3 por 5 nos da 15, a 16 es 1, ese 1 con el 5 forma en 15 y 3 en 15 cabe cinco veces."}, {"start": 885.52, "end": 893.84, "text": " Revisamos si 55 es divisible por 3, para ello sumamos los d\u00edgitos de este n\u00famero, 5 m\u00e1s 5 nos da"}, {"start": 893.84, "end": 900.76, "text": " 10, pero 10 no es m\u00faltiplo de 3, por lo tanto descartamos que este n\u00famero sea divisible por"}, {"start": 900.76, "end": 906.72, "text": " este n\u00famero primo, entonces como vemos ya se ha utilizado el 2, se ha utilizado el 3 hasta donde"}, {"start": 906.72, "end": 914.0, "text": " es posible, ya los descartamos y pasamos a examinar el siguiente n\u00famero primo que es el 5, efectivamente"}, {"start": 914.0, "end": 920.96, "text": " 55 termina en 5, por lo tanto es divisible por 5, recordemos que todos los n\u00fameros que terminan"}, {"start": 920.96, "end": 930.28, "text": " en 0 y en 5 son divisibles por 5, entonces utilizamos ese n\u00famero, quinta de 55 o 55 dividido"}, {"start": 930.28, "end": 937.24, "text": " entre 5 eso nos da 11 y all\u00ed nos aparece el n\u00famero primo 11, ya podemos saltar del 5 al 11,"}, {"start": 937.24, "end": 943.56, "text": " nos saltamos el 7 porque 11 es el \u00fanico n\u00famero que le sirve a 11, decimos onceaba de 11 nos da"}, {"start": 943.56, "end": 952.7199999999999, "text": " 1 y con esto terminamos el proceso, entonces podemos decir que el n\u00famero 7920 es igual a"}, {"start": 952.7199999999999, "end": 962.4399999999999, "text": " lo siguiente 2 por 2 por 2 por 2, eso por 3 por 3 y eso por 5 y por 11, esta es la descomposici\u00f3n"}, {"start": 962.4399999999999, "end": 969.1199999999999, "text": " de ese n\u00famero en factores primos, vemos que el 2 se repite cuatro veces, est\u00e1 multiplicando por"}, {"start": 969.12, "end": 976.72, "text": " s\u00ed mismo cuatro veces, entonces aqu\u00ed aplicamos la anotaci\u00f3n de potencia 2 elevado a la 4, el 2 se"}, {"start": 976.72, "end": 983.04, "text": " est\u00e1 multiplicando por s\u00ed mismo cuatro veces y ac\u00e1 3 por 3 tambi\u00e9n se puede escribir en forma"}, {"start": 983.04, "end": 991.24, "text": " resumida como 3 a la 2, como 3 al cuadrado utilizando para ello la potenciaci\u00f3n, entonces ya para terminar"}, {"start": 991.24, "end": 1001.44, "text": " 7920 nos queda expresado as\u00ed como 2 a la 4 por 3 al cuadrado o 3 a la 2 por 5 que recordemos tiene"}, {"start": 1001.44, "end": 1009.26, "text": " aqu\u00ed exponente invisible 1 y esto por 11 que tambi\u00e9n tiene exponente invisible 1, veamos la"}, {"start": 1009.26, "end": 1016.4, "text": " comprobaci\u00f3n de este ejercicio en la calculadora, escribimos el n\u00famero 7920 en la pantalla y"}, {"start": 1016.4, "end": 1023.0799999999999, "text": " oprimimos el bot\u00f3n igual, de nuevo activamos la funci\u00f3n fact entonces bot\u00f3n shift y luego el"}, {"start": 1023.0799999999999, "end": 1029.32, "text": " bot\u00f3n de grados minutos y segundos y all\u00ed nos aparece en la pantalla eso que obtuvimos 2 a la"}, {"start": 1029.32, "end": 1046.9199999999998, "text": " 4 por 3 a la 2 por 5 por 11, eso nos confirma que esta descomposici\u00f3n que hicimos manualmente es correcta."}]

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27. COMPONENTES DE UN VECTOR (Ejercicio 2)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 27: Componentes de un Vector (Ejercicio 2). Calcula la dirección del movimiento rectilíneo de una partícula cuyas componentes de la velocidad son Vx = 3i y Vy = -2j. Tema: El Movimiento y su Descripción. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

En este problema nos dicen que una partícula con movimiento reptilíneo tiene estas componentes de su velocidad. Ellas podrían recopilarse en el vector velocidad de esta manera. El vector tiene componentes 3,-2 y vamos a asumir que se encuentra en las unidades del sistema internacional para la velocidad, es decir metros sobre segundo. Nos piden encontrar la dirección del movimiento. Entonces vamos a determinar el ángulo theta que forma este vector en el plano. Recordemos que la formulita para encontrar theta es tangente a la menos uno de la componente en el eje y, es decir menos 2 sobre o dividido entre la componente en x. Entonces calculamos tangente a la menos uno de menos dos tercios que es lo mismo que tener arco tangente de ese valor de menos dos tercios. Haciendo esto en la calculadora obtenemos el resultado menos 33.7 grados aproximadamente. Entonces vamos a ir al plano cartesiano para localizar este ángulo y establecer la dirección del movimiento. Aquí tenemos el dibujo donde podemos apreciar la componente en x de la velocidad y la componente en el eje y de la velocidad, menos 2j, es decir dos unidades hacia abajo. Este vector de color rojo es el vector velocidad, aquel cuyas componentes son tres coma menos dos en metros sobre segundo. Entonces el ángulo theta que acabamos de obtener será este ángulo de aquí. Nos dio negativo porque se mide a favor de las manecillas del reloj. Entonces este ángulo es de 33.7 grados. Colocamos el valor positivo porque el negativo está incluido en la dirección en que se mide. Siempre partimos del eje x positivo y nos movemos en este caso a favor de las manecillas del reloj por ser un ángulo negativo. Por eso ya podríamos decir que la partícula se está moviendo en esta dirección, es decir con una orientación de menos 33.7 grados. Pero de pronto queda mejor especificada la orientación si usamos los puntos cardinales. Por acá tenemos sur, por acá tenemos este, por acá tendríamos norte y por acá oeste. Entonces vemos que este vector queda situado en el cuadrante sureste. Luego debemos obtener este ángulo que se forma aquí. Y este ángulo es simplemente el complemento de 33.7 grados. Estos dos ángulos suman 90 grados. Entonces si a 90 grados le restamos 33.7 nos da 56.3 grados. Allí tenemos entonces el ángulo que forma el vector con el eje vertical, digamos con el eje del sur. Por lo tanto podemos decir que la orientación del movimiento rectilíneo de la partícula será sur 56.3 grados. Y este así nos queda mejor especificado como estableciendo el rumbo que sigue la partícula en su movimiento rectilíneo. ¡Suscríbete al canal!

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SISTEMA DE ECUACIONES 2×2 USANDO CAMBIO DE VARIABLE - Ejercicio 3

#julioprofe explica cómo resolver un sistema de ecuaciones literal de 2x2, donde es conveniente usar un cambio de variable. Tema: #SistemasDeEcuaciones → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEFAYT8s7eBiUPuANxiqi_l REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

¿Qué es el sistema de dos por dos? Tenemos en este caso un sistema de dos por dos, dos ecuaciones con dos incógnitas que son las letras X y Y. Debemos encontrar entonces cuánto vale X y Y para que esas dos igualdades sean ciertas. Como vemos hay otras letras que son A y B, ellas se comportan como constantes. Entonces esto es lo que se llama un sistema de ecuaciones literal. Vamos a realizar entonces un cambio de variable. Vamos a llamar por ejemplo L a lo que es 1 sobre X más Y y vamos a utilizar la letra K que va a representar a lo que es 1 sobre X menos Y. Entonces utilizamos este recurso llamado cambio de variable para resolver con mayor facilidad este sistema de ecuaciones de dos por dos. De esa manera entonces cambiamos la ecuación 1 por otra ecuación que se va a llamar la ecuación 3. Veamos lo siguiente. Tener A sobre X más Y es lo mismo que A por 1 sobre X más Y, luego tenemos menos B sobre X menos Y. Eso es lo mismo que tener B por 1 sobre X menos Y. Todo esto igualado con 1. Entonces allí hacemos uso de estas nuevas letras. Todo esto representa la letra L y todo esto representa la letra K. Por lo tanto la nueva ecuación será A por L, es decir A L, luego tenemos menos B por K, o sea menos BK igual a 1. Entonces esta ecuación 3 sustituye a la ecuación 1. Algo similar hacemos con la ecuación 2 que ahora se va a convertir en la ecuación 4. Entonces tenemos B sobre X más Y es lo mismo que tener B por 1 sobre X más Y, después más A sobre X menos Y, o sea A por 1 sobre X menos Y. Y todo esto igual con B al cuadrado menos A al cuadrado sobre 2AB. Entonces allí hacemos nuevamente el cambio de las variables. Todo esto se va a cambiar por L y todo esto se cambia por la letra K. Por lo tanto la nueva ecuación será B por L, o sea BL, después más A por K, es decir más AK, igual a esta expresión B al cuadrado menos A al cuadrado y todo esto sobre 2AB. Entonces tenemos allí la ecuación 4 que va a sustituir a la ecuación 2. Nos concentramos ahora en la solución de este nuevo sistema de 2 por 2. Ahora es un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas que serán las letras L y K. Repetimos A y B se comportan como constantes. Vamos a comenzar entonces por transformar la ecuación 4 y vamos a multiplicar por 2AB para deshacernos de esta expresión fraccionaria. Entonces multiplicamos por lo que hay en el denominador. Lógicamente hay que multiplicar ambos lados de la igualdad. Entonces si multiplicamos por 2AB el lado izquierdo esta cantidad afecta a esos dos términos. Nos queda entonces 2AB por BL será 2AB al cuadrado L. Luego 2AB por ese término nos queda más 2A al cuadrado B por K. Y si multiplicamos por 2AB esta fracción como decíamos se elimina el denominador. Nos queda únicamente lo que hay en el numerador que es B al cuadrado menos A al cuadrado. Podemos transformar la ecuación 3 en una nueva ecuación de tal forma que al sumarla con esta que obtuvimos logremos aplicar el método de eliminación. Vemos que por ejemplo este término y este ya tienen signos contrarios. Aquí K está acompañada de B y aquí K está acompañada de 2A al cuadrado B. Por lo tanto allá nos hace falta este componente para lograr la eliminación de estos dos términos. Entonces eso lo conseguimos multiplicando ambos lados de esa igualdad de la ecuación número 3 por 2A al cuadrado. Vamos entonces a multiplicar en el lado izquierdo. Afecta a cada uno de estos términos 2A al cuadrado por AL nos da 2A al cubo L. Luego tenemos menos 2A al cuadrado por BK será 2A al cuadrado BK. Y todo esto igual a 1 por 2A al cuadrado que nos da eso mismo 2A al cuadrado. Entonces como decíamos aquí ya tenemos dos términos que son opuestos. Ellos al sumarse nos va a dar como resultado 0. Entonces se cancelan o eliminan. Vamos a sumar los otros términos que nos quedan. La suma de estos dos vamos a escribirla por acá 2A al cubo L más 2A al cuadrado L. Y al otro lado del signo igual anotamos también la suma de esas cantidades 2A al cuadrado más esto que tenemos acá de al cuadrado menos A al cuadrado. Ahora nos concentramos en resolver esta ecuación donde la incógnita es L. En el lado izquierdo podríamos extraer factor común. Vemos que hay cosas que se repiten en los dos términos. Vemos por ejemplo el 2. Vemos también la letra A. Allí extraemos la de menor exponente. O sea A a la 1 es decir A. Y también está repetida la letra L. Veamos que nos queda dentro del paréntesis. En el primer término si extraemos 2AL nos queda A al cuadrado. Y en el segundo término si extraemos 2AL nos queda B al cuadrado. Ahora en el lado derecho aquí tenemos dos términos que son semejantes. Los podemos operar entre sí. 2A al cuadrado menos A al cuadrado nos da A al cuadrado y esto queda sumando con B al cuadrado. Y allí podemos hacer el espeje de L. Para ello pasamos todo esto que está multiplicando al otro lado a dividir. Nos queda entonces A al cuadrado más B al cuadrado sobre o dividido entre 2A por A al cuadrado más B al cuadrado. Y allí podemos simplificar el componente A cuadrado más B cuadrado. Se va totalmente en el numerador y se va con esto del denominador. Por lo tanto el valor de L será 1 sobre 2A. Vamos a escribir eso por acá. Y a continuación debemos encontrar el valor de K. Para ello vamos a reemplazar esto que encontramos por ejemplo en la expresión 3 que está más sencilla que la expresión 4. Entonces la expresión 3 nos queda así. Sería A por L o sea A por 1 sobre 2A. Luego tenemos menos BK igual a 1. Entonces de allí vamos a obtener el valor de K. Aquí al efectuar esta multiplicación esto nos queda A sobre 2A. Luego tenemos menos BK igual a 1. Y en esta fracción podemos simplificar la letra A. Entonces se cancela esa letra y nos queda un medio. Un medio menos BK igual a 1. Luego aislamos el componente menos BK el que contiene la incógnita y nos queda 1 menos un medio. Pasamos este número que está positivo al otro lado negativo. En el lado derecho efectuamos esta operación. Nos queda menos BK igual a. Recordemos que 1 puede cambiarse por dos medios. Dos medios menos un medio nos da un medio. Y de allí vamos a despejar K. Para ello pasamos menos BK que está multiplicando al otro lado a dividir. Nos queda un medio sobre menos BK. Pero a esto le colocamos denominador 1. Resolvemos ahora esta división de fracciones. Allá aplicamos el producto de extremos y el producto de medios. O lo que se conoce también como ley de la oreja. Entonces en la parte de arriba 1 por 1 nos da 1 y en la parte de abajo 2 por menos BK es menos 2B. Pero aquí podemos reacomodar el signo menos para que no nos quede en la parte de abajo. Lo situamos en la mitad o en la parte de arriba. Y de esa manera encontramos el valor de K. Sería menos 1 sobre 2B. Allí hemos resuelto este sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2. Donde las incógnitas eran L y K. Vemos que nos han quedado en términos de A y B. Las letras que se comportan como constantes. Como se observa tenemos que L equivale a 1 sobre X más Y. Pero también obtuvimos L igual a 1 sobre 2A. Por lo tanto estas dos expresiones pueden igualarse. Nos queda 1 sobre X más Y igual a 1 sobre 2A. Y aquí podemos invertir ambos lados de esa igualdad. Es como si elevamos ambos lados al exponente menos 1. Acá nos quedaría X más Y y en el otro lado 2A. Allí aparece entonces una nueva ecuación. Una nueva igualdad. Vamos a llamarla la ecuación número 5. Vamos a escribirla por acá. Que será entonces X más Y igual a 2A. De modo similar igualamos estas dos expresiones porque ambas equivalen acá. Entonces 1 sobre X menos Y será igual a menos 1 sobre 2B. Y si invertimos ambos lados de la igualdad. Repetimos es como elevar al exponente menos 1. Nos queda X menos Y igual a menos 2B. Entonces esta nueva igualdad la escribimos por acá y constituye la ecuación número 6. Una nueva ecuación que junto con la ecuación 5 nos va a formar un sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2. Vamos a escribir este sistema de ecuaciones por acá. Como se observa allí también podemos resolver este sistema por el método de eliminación. Tenemos aquí más Y y acá menos Y. Entonces vamos a efectuar la suma en forma vertical de esas dos ecuaciones. Tenemos X más X, 2X. Más Y y menos Y, eso nos da 0. Son términos que se cancelan o eliminan. Y en el lado derecho la suma de esos dos términos será 2A menos 2B. Allí podemos efectuar la factorización del lado derecho. Sale el 2 como factor común. 2 será factor de A menos B. Y allí podemos cancelar el 2. Es como dividir ambos lados de la igualdad por 2. Se nos cancela este número y de esa manera obtenemos X. X será igual a A menos B. Conociendo el valor de X podemos encontrar el valor de Y. Para ello elegimos cualquiera de estas dos ecuaciones. La que nos parezca más fácil. Vamos a la ecuación 5. Entonces allí reemplazamos el valor de X que es A menos B. Nos queda A menos B más Y igual a 2A. Y de allí vamos a efectuar el espeje de Y. Entonces Y será igual a 2A menos A más B. Pasamos estos términos para el lado derecho. Y allí podemos operar 2A menos A. Son términos semejantes. Esto nos da A y nos queda más B. De esta manera terminamos. Esta pareja de valores X, Y constituyen la respuesta para el ejercicio. Son los valores de las incógnitas X y Y que hacen cierto el sistema de ecuaciones que nos dieron originalmente.

[{"start": 0.0, "end": 3.0, "text": " \u00bfQu\u00e9 es el sistema de dos por dos?"}, {"start": 3.0, "end": 8.84, "text": " Tenemos en este caso un sistema de dos por dos, dos ecuaciones con dos inc\u00f3gnitas"}, {"start": 8.84, "end": 16.26, "text": " que son las letras X y Y. Debemos encontrar entonces cu\u00e1nto vale X y Y"}, {"start": 16.26, "end": 21.88, "text": " para que esas dos igualdades sean ciertas. Como vemos hay otras letras que"}, {"start": 21.88, "end": 27.12, "text": " son A y B, ellas se comportan como constantes. Entonces esto es lo que se"}, {"start": 27.12, "end": 32.8, "text": " llama un sistema de ecuaciones literal. Vamos a realizar entonces un cambio de"}, {"start": 32.8, "end": 41.8, "text": " variable. Vamos a llamar por ejemplo L a lo que es 1 sobre X m\u00e1s Y y vamos a"}, {"start": 41.8, "end": 48.6, "text": " utilizar la letra K que va a representar a lo que es 1 sobre X menos Y."}, {"start": 48.6, "end": 53.92, "text": " Entonces utilizamos este recurso llamado cambio de variable para resolver con"}, {"start": 53.92, "end": 59.120000000000005, "text": " mayor facilidad este sistema de ecuaciones de dos por dos. De esa manera"}, {"start": 59.120000000000005, "end": 65.76, "text": " entonces cambiamos la ecuaci\u00f3n 1 por otra ecuaci\u00f3n que se va a llamar la"}, {"start": 65.76, "end": 72.76, "text": " ecuaci\u00f3n 3. Veamos lo siguiente. Tener A sobre X m\u00e1s Y es lo mismo que A por 1"}, {"start": 72.76, "end": 80.24000000000001, "text": " sobre X m\u00e1s Y, luego tenemos menos B sobre X menos Y. Eso es lo mismo que tener B"}, {"start": 80.24, "end": 88.75999999999999, "text": " por 1 sobre X menos Y. Todo esto igualado con 1. Entonces all\u00ed hacemos uso de estas"}, {"start": 88.75999999999999, "end": 96.11999999999999, "text": " nuevas letras. Todo esto representa la letra L y todo esto representa la letra"}, {"start": 96.11999999999999, "end": 103.24, "text": " K. Por lo tanto la nueva ecuaci\u00f3n ser\u00e1 A por L, es decir A L, luego tenemos menos"}, {"start": 103.24, "end": 111.47999999999999, "text": " B por K, o sea menos BK igual a 1. Entonces esta ecuaci\u00f3n 3 sustituye a la"}, {"start": 111.47999999999999, "end": 118.39999999999999, "text": " ecuaci\u00f3n 1. Algo similar hacemos con la ecuaci\u00f3n 2 que ahora se va a convertir"}, {"start": 118.39999999999999, "end": 126.03999999999999, "text": " en la ecuaci\u00f3n 4. Entonces tenemos B sobre X m\u00e1s Y es lo mismo que tener B"}, {"start": 126.04, "end": 135.48000000000002, "text": " por 1 sobre X m\u00e1s Y, despu\u00e9s m\u00e1s A sobre X menos Y, o sea A por 1 sobre X menos"}, {"start": 135.48000000000002, "end": 143.76, "text": " Y. Y todo esto igual con B al cuadrado menos A al cuadrado sobre 2AB. Entonces"}, {"start": 143.76, "end": 150.32, "text": " all\u00ed hacemos nuevamente el cambio de las variables. Todo esto se va a cambiar por"}, {"start": 150.32, "end": 157.12, "text": " L y todo esto se cambia por la letra K. Por lo tanto la nueva ecuaci\u00f3n ser\u00e1 B"}, {"start": 157.12, "end": 168.44, "text": " por L, o sea BL, despu\u00e9s m\u00e1s A por K, es decir m\u00e1s AK, igual a esta expresi\u00f3n B al"}, {"start": 168.44, "end": 175.48, "text": " cuadrado menos A al cuadrado y todo esto sobre 2AB. Entonces tenemos all\u00ed la"}, {"start": 175.48, "end": 181.72, "text": " ecuaci\u00f3n 4 que va a sustituir a la ecuaci\u00f3n 2. Nos concentramos ahora en la"}, {"start": 181.72, "end": 186.56, "text": " soluci\u00f3n de este nuevo sistema de 2 por 2. Ahora es un sistema de ecuaciones"}, {"start": 186.56, "end": 192.16, "text": " lineales de dos ecuaciones con dos inc\u00f3gnitas que ser\u00e1n las letras L y K."}, {"start": 192.16, "end": 198.12, "text": " Repetimos A y B se comportan como constantes. Vamos a comenzar entonces por"}, {"start": 198.12, "end": 205.32, "text": " transformar la ecuaci\u00f3n 4 y vamos a multiplicar por 2AB para deshacernos de"}, {"start": 205.32, "end": 209.84, "text": " esta expresi\u00f3n fraccionaria. Entonces multiplicamos por lo que hay en el"}, {"start": 209.84, "end": 213.36, "text": " denominador. L\u00f3gicamente hay que multiplicar ambos"}, {"start": 213.36, "end": 218.16, "text": " lados de la igualdad. Entonces si multiplicamos por 2AB el lado izquierdo"}, {"start": 218.16, "end": 226.56, "text": " esta cantidad afecta a esos dos t\u00e9rminos. Nos queda entonces 2AB por BL ser\u00e1 2AB"}, {"start": 226.56, "end": 235.48, "text": " al cuadrado L. Luego 2AB por ese t\u00e9rmino nos queda m\u00e1s 2A al cuadrado B por K."}, {"start": 235.48, "end": 242.16, "text": " Y si multiplicamos por 2AB esta fracci\u00f3n como dec\u00edamos se elimina el"}, {"start": 242.16, "end": 247.0, "text": " denominador. Nos queda \u00fanicamente lo que hay en el numerador que es B al cuadrado"}, {"start": 247.0, "end": 252.84, "text": " menos A al cuadrado. Podemos transformar la ecuaci\u00f3n 3 en una nueva ecuaci\u00f3n de"}, {"start": 252.84, "end": 257.92, "text": " tal forma que al sumarla con esta que obtuvimos logremos aplicar el m\u00e9todo de"}, {"start": 257.92, "end": 262.72, "text": " eliminaci\u00f3n. Vemos que por ejemplo este t\u00e9rmino y este ya tienen signos"}, {"start": 262.72, "end": 268.92, "text": " contrarios. Aqu\u00ed K est\u00e1 acompa\u00f1ada de B y aqu\u00ed K est\u00e1 acompa\u00f1ada de 2A al"}, {"start": 268.92, "end": 274.6, "text": " cuadrado B. Por lo tanto all\u00e1 nos hace falta este componente para lograr la"}, {"start": 274.6, "end": 280.12, "text": " eliminaci\u00f3n de estos dos t\u00e9rminos. Entonces eso lo conseguimos multiplicando"}, {"start": 280.12, "end": 287.16, "text": " ambos lados de esa igualdad de la ecuaci\u00f3n n\u00famero 3 por 2A al cuadrado."}, {"start": 287.16, "end": 291.84000000000003, "text": " Vamos entonces a multiplicar en el lado izquierdo. Afecta a cada uno de estos"}, {"start": 291.84000000000003, "end": 300.8, "text": " t\u00e9rminos 2A al cuadrado por AL nos da 2A al cubo L. Luego tenemos menos 2A al"}, {"start": 300.8, "end": 309.6, "text": " cuadrado por BK ser\u00e1 2A al cuadrado BK. Y todo esto igual a 1 por 2A al"}, {"start": 309.6, "end": 316.12, "text": " cuadrado que nos da eso mismo 2A al cuadrado. Entonces como dec\u00edamos aqu\u00ed ya"}, {"start": 316.12, "end": 321.76000000000005, "text": " tenemos dos t\u00e9rminos que son opuestos. Ellos al sumarse nos va a dar como"}, {"start": 321.76000000000005, "end": 326.92, "text": " resultado 0. Entonces se cancelan o eliminan. Vamos a sumar los otros"}, {"start": 326.92, "end": 331.6, "text": " t\u00e9rminos que nos quedan. La suma de estos dos vamos a escribirla por ac\u00e1 2A al"}, {"start": 331.6, "end": 340.6, "text": " cubo L m\u00e1s 2A al cuadrado L. Y al otro lado del signo igual anotamos tambi\u00e9n la"}, {"start": 340.6, "end": 346.6, "text": " suma de esas cantidades 2A al cuadrado m\u00e1s esto que tenemos ac\u00e1 de al cuadrado"}, {"start": 346.6, "end": 352.36, "text": " menos A al cuadrado. Ahora nos concentramos en resolver esta ecuaci\u00f3n"}, {"start": 352.36, "end": 358.40000000000003, "text": " donde la inc\u00f3gnita es L. En el lado izquierdo podr\u00edamos extraer factor"}, {"start": 358.4, "end": 363.03999999999996, "text": " com\u00fan. Vemos que hay cosas que se repiten en los dos t\u00e9rminos. Vemos por"}, {"start": 363.03999999999996, "end": 368.96, "text": " ejemplo el 2. Vemos tambi\u00e9n la letra A. All\u00ed extraemos la de menor exponente. O"}, {"start": 368.96, "end": 374.59999999999997, "text": " sea A a la 1 es decir A. Y tambi\u00e9n est\u00e1 repetida la letra L. Veamos que nos queda"}, {"start": 374.59999999999997, "end": 380.12, "text": " dentro del par\u00e9ntesis. En el primer t\u00e9rmino si extraemos 2AL nos queda A al"}, {"start": 380.12, "end": 386.88, "text": " cuadrado. Y en el segundo t\u00e9rmino si extraemos 2AL nos queda B al cuadrado."}, {"start": 386.88, "end": 391.8, "text": " Ahora en el lado derecho aqu\u00ed tenemos dos t\u00e9rminos que son semejantes. Los"}, {"start": 391.8, "end": 396.76, "text": " podemos operar entre s\u00ed. 2A al cuadrado menos A al cuadrado nos da A al cuadrado"}, {"start": 396.76, "end": 403.74, "text": " y esto queda sumando con B al cuadrado. Y all\u00ed podemos hacer el espeje de L. Para"}, {"start": 403.74, "end": 409.0, "text": " ello pasamos todo esto que est\u00e1 multiplicando al otro lado a dividir. Nos"}, {"start": 409.0, "end": 416.76, "text": " queda entonces A al cuadrado m\u00e1s B al cuadrado sobre o dividido entre 2A por A al"}, {"start": 416.76, "end": 423.16, "text": " cuadrado m\u00e1s B al cuadrado. Y all\u00ed podemos simplificar el componente A"}, {"start": 423.16, "end": 428.16, "text": " cuadrado m\u00e1s B cuadrado. Se va totalmente en el numerador y se va con esto del"}, {"start": 428.16, "end": 436.8, "text": " denominador. Por lo tanto el valor de L ser\u00e1 1 sobre 2A. Vamos a escribir eso por"}, {"start": 436.8, "end": 443.0, "text": " ac\u00e1. Y a continuaci\u00f3n debemos encontrar el valor de K. Para ello vamos a"}, {"start": 443.0, "end": 447.72, "text": " reemplazar esto que encontramos por ejemplo en la expresi\u00f3n 3 que est\u00e1 m\u00e1s"}, {"start": 447.72, "end": 455.52, "text": " sencilla que la expresi\u00f3n 4. Entonces la expresi\u00f3n 3 nos queda as\u00ed. Ser\u00eda A por"}, {"start": 455.52, "end": 465.32, "text": " L o sea A por 1 sobre 2A. Luego tenemos menos BK igual a 1. Entonces de all\u00ed"}, {"start": 465.32, "end": 470.48, "text": " vamos a obtener el valor de K. Aqu\u00ed al efectuar esta multiplicaci\u00f3n esto nos"}, {"start": 470.48, "end": 478.84, "text": " queda A sobre 2A. Luego tenemos menos BK igual a 1. Y en esta fracci\u00f3n podemos"}, {"start": 478.84, "end": 486.68, "text": " simplificar la letra A. Entonces se cancela esa letra y nos queda un medio. Un"}, {"start": 486.68, "end": 494.84, "text": " medio menos BK igual a 1. Luego aislamos el componente menos BK el que contiene"}, {"start": 494.84, "end": 500.96, "text": " la inc\u00f3gnita y nos queda 1 menos un medio. Pasamos este n\u00famero que est\u00e1"}, {"start": 500.96, "end": 506.67999999999995, "text": " positivo al otro lado negativo. En el lado derecho efectuamos esta operaci\u00f3n."}, {"start": 506.67999999999995, "end": 513.16, "text": " Nos queda menos BK igual a. Recordemos que 1 puede cambiarse por dos medios. Dos"}, {"start": 513.16, "end": 519.36, "text": " medios menos un medio nos da un medio. Y de all\u00ed vamos a despejar K. Para ello"}, {"start": 519.36, "end": 525.12, "text": " pasamos menos BK que est\u00e1 multiplicando al otro lado a dividir. Nos queda un"}, {"start": 525.12, "end": 531.32, "text": " medio sobre menos BK. Pero a esto le colocamos denominador 1. Resolvemos ahora"}, {"start": 531.32, "end": 537.24, "text": " esta divisi\u00f3n de fracciones. All\u00e1 aplicamos el producto de extremos y el"}, {"start": 537.24, "end": 542.52, "text": " producto de medios. O lo que se conoce tambi\u00e9n como ley de la oreja. Entonces en"}, {"start": 542.52, "end": 547.76, "text": " la parte de arriba 1 por 1 nos da 1 y en la parte de abajo 2 por menos BK es"}, {"start": 547.76, "end": 553.08, "text": " menos 2B. Pero aqu\u00ed podemos reacomodar el signo menos para que no nos quede en la"}, {"start": 553.08, "end": 558.64, "text": " parte de abajo. Lo situamos en la mitad o en la parte de arriba. Y de esa manera"}, {"start": 558.64, "end": 565.92, "text": " encontramos el valor de K. Ser\u00eda menos 1 sobre 2B. All\u00ed hemos resuelto este"}, {"start": 565.92, "end": 572.4399999999999, "text": " sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2. Donde las inc\u00f3gnitas eran L y K. Vemos"}, {"start": 572.4399999999999, "end": 577.0, "text": " que nos han quedado en t\u00e9rminos de A y B. Las letras que se comportan como"}, {"start": 577.0, "end": 583.12, "text": " constantes. Como se observa tenemos que L equivale a 1 sobre X m\u00e1s Y. Pero"}, {"start": 583.12, "end": 589.0, "text": " tambi\u00e9n obtuvimos L igual a 1 sobre 2A. Por lo tanto estas dos expresiones"}, {"start": 589.0, "end": 596.8, "text": " pueden igualarse. Nos queda 1 sobre X m\u00e1s Y igual a 1 sobre 2A. Y aqu\u00ed podemos"}, {"start": 596.8, "end": 602.56, "text": " invertir ambos lados de esa igualdad. Es como si elevamos ambos lados al exponente"}, {"start": 602.56, "end": 609.4399999999999, "text": " menos 1. Ac\u00e1 nos quedar\u00eda X m\u00e1s Y y en el otro lado 2A. All\u00ed aparece entonces"}, {"start": 609.4399999999999, "end": 616.0, "text": " una nueva ecuaci\u00f3n. Una nueva igualdad. Vamos a llamarla la ecuaci\u00f3n n\u00famero 5."}, {"start": 616.0, "end": 624.56, "text": " Vamos a escribirla por ac\u00e1. Que ser\u00e1 entonces X m\u00e1s Y igual a 2A."}, {"start": 624.56, "end": 630.1999999999999, "text": " De modo similar igualamos estas dos expresiones porque ambas equivalen ac\u00e1."}, {"start": 630.2, "end": 641.8000000000001, "text": " Entonces 1 sobre X menos Y ser\u00e1 igual a menos 1 sobre 2B. Y si invertimos ambos"}, {"start": 641.8000000000001, "end": 647.0, "text": " lados de la igualdad. Repetimos es como elevar al exponente menos 1. Nos queda X"}, {"start": 647.0, "end": 656.0400000000001, "text": " menos Y igual a menos 2B. Entonces esta nueva igualdad la escribimos por ac\u00e1 y"}, {"start": 656.04, "end": 663.16, "text": " constituye la ecuaci\u00f3n n\u00famero 6. Una nueva ecuaci\u00f3n que junto con la ecuaci\u00f3n"}, {"start": 663.16, "end": 669.92, "text": " 5 nos va a formar un sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2. Vamos a"}, {"start": 669.92, "end": 674.5999999999999, "text": " escribir este sistema de ecuaciones por ac\u00e1. Como se observa all\u00ed tambi\u00e9n"}, {"start": 674.5999999999999, "end": 679.52, "text": " podemos resolver este sistema por el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n. Tenemos aqu\u00ed m\u00e1s"}, {"start": 679.52, "end": 685.92, "text": " Y y ac\u00e1 menos Y. Entonces vamos a efectuar la suma en forma vertical de esas"}, {"start": 685.92, "end": 694.4399999999999, "text": " dos ecuaciones. Tenemos X m\u00e1s X, 2X. M\u00e1s Y y menos Y, eso nos da 0. Son t\u00e9rminos"}, {"start": 694.4399999999999, "end": 699.16, "text": " que se cancelan o eliminan. Y en el lado derecho la suma de esos dos t\u00e9rminos"}, {"start": 699.16, "end": 707.0799999999999, "text": " ser\u00e1 2A menos 2B. All\u00ed podemos efectuar la factorizaci\u00f3n del lado derecho. Sale"}, {"start": 707.0799999999999, "end": 713.12, "text": " el 2 como factor com\u00fan. 2 ser\u00e1 factor de A menos B. Y all\u00ed podemos cancelar el 2."}, {"start": 713.12, "end": 718.6, "text": " Es como dividir ambos lados de la igualdad por 2. Se nos cancela este"}, {"start": 718.6, "end": 726.08, "text": " n\u00famero y de esa manera obtenemos X. X ser\u00e1 igual a A menos B. Conociendo el"}, {"start": 726.08, "end": 731.52, "text": " valor de X podemos encontrar el valor de Y. Para ello elegimos cualquiera de estas"}, {"start": 731.52, "end": 737.5600000000001, "text": " dos ecuaciones. La que nos parezca m\u00e1s f\u00e1cil. Vamos a la ecuaci\u00f3n 5. Entonces"}, {"start": 737.56, "end": 744.4, "text": " all\u00ed reemplazamos el valor de X que es A menos B. Nos queda A menos B m\u00e1s Y"}, {"start": 744.4, "end": 752.92, "text": " igual a 2A. Y de all\u00ed vamos a efectuar el espeje de Y. Entonces Y ser\u00e1 igual a"}, {"start": 752.92, "end": 759.92, "text": " 2A menos A m\u00e1s B. Pasamos estos t\u00e9rminos para el lado derecho. Y all\u00ed podemos"}, {"start": 759.92, "end": 765.64, "text": " operar 2A menos A. Son t\u00e9rminos semejantes. Esto nos da A y nos queda"}, {"start": 765.64, "end": 772.36, "text": " m\u00e1s B. De esta manera terminamos. Esta pareja de valores X, Y constituyen la"}, {"start": 772.36, "end": 778.3199999999999, "text": " respuesta para el ejercicio. Son los valores de las inc\u00f3gnitas X y Y que"}, {"start": 778.32, "end": 806.8800000000001, "text": " hacen cierto el sistema de ecuaciones que nos dieron originalmente."}]

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DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicio 39

#julioprofe explica cómo determinar la derivada de una función, evaluada en un valor específico, a partir de condiciones dadas. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Nos dan esta función HDX, toda esta información y nos piden averiguar la derivada de esa función H cuando X toma el valor 0. Como se observa la función HDX viene presentada como un cociente. Vamos a recordar cómo se deriva esa situación. La derivada de un cociente A sobre B es igual a lo siguiente, derivada del numerador A sobre B. Es igual a lo siguiente, derivada del numerador por el denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador y todo esto sobre el denominador elevado al cuadrado. Entonces siguiendo esta instrucción vamos a derivar esa función HDX. Tendremos entonces que H' de X es igual a derivada del numerador. Para derivar esto que tenemos acá utilizamos la regla de la cadena. Entonces será primero la derivada externa, es decir F' de F de X y esto multiplicado por la derivada interna, es decir F' de X. Allí hemos derivado el numerador y esto va multiplicado por el denominador sin derivar que es coseno de la expresión G de X. Ahora tenemos menos el numerador sin derivar, es decir F de F de X y esto multiplicado por la derivada del denominador. La derivada de coseno de G de X será menos seno de G de X y esto multiplicado por la derivada interna. Allí aplicamos la regla de la cadena para derivar coseno en este caso de G de X y todo esto vamos a protegerlo utilizando corchete. En el denominador tendremos el denominador elevado al cuadrado, es decir coseno de G de X y todo esto elevado al cuadrado. Allí vemos que todo este componente es negativo y esto está multiplicando por otro signo negativo. Entonces menos por menos nos dará más y podemos quitar este signo de aquí, inclusive podríamos retirar el corchete ya no necesitamos esa protección. Enseguida vamos a cambiar X por el número 0 porque repetimos lo que se pide es la derivada de la función H, es decir H' cuando X toma el valor 0. Vamos a comenzar por desaparecer la X, bien allí tenemos eso y a continuación llenamos esos espacios con 0. Y a continuación vamos a utilizar toda esta información, entonces tenemos por aquí F' de F de 0, buscamos acá en los datos que nos dieron F de 0 vale 1. Esto multiplicado por F' de 0, aquí lo tenemos, F' de 0 vale 5. Después tenemos por coseno de G de 0, buscamos acá cuánto vale G de 0, aquí lo tenemos, equivale a pi, en ese caso son pi radianes. Después tenemos más F de F de 0, entonces F de, veamos F de 0, aquí lo tenemos equivale a 1 y esto multiplicado por seno de G de 0, buscamos acá G de 0 equivale a pi. Y esto multiplicado por G' de 0, aquí lo tenemos, G' de 0 equivale a 2. Ahora en el denominador tenemos coseno de G de 0, pero G de 0 equivale a pi y todo esto va al cuadrado. Continuamos reemplazando F' de 1, aquí lo tenemos, F' de 1 vale 2, entonces 2 por 5 y aquí ya podemos resolver coseno de pi radianes. Recordemos que eso equivale a menos 1, después tenemos más F de 1, buscamos acá en la información que nos dan F de 1 equivale a 1. Replazamos allí el 1, eso por seno de pi radianes, eso equivale a 0 y esto multiplicado por 2. Y en el denominador tenemos coseno de pi radianes, que es menos 1 y todo esto elevado al cuadrado. Resolvemos ahora eso que nos quedó, por acá 2 por 5 es 10, 10 por menos 1 es menos 10. Por acá 1 por 0 por 2, todo esto nos da 0, entonces en el numerador solamente nos queda menos 10. Y en el denominador tenemos menos 1 al cuadrado que equivale a 1. Por último simplificamos eso y nos da que H' de 0 es igual a menos 10, de esta manera terminamos el ejercicio. Entonces, menos 10 es el valor de esa derivada, de la derivada de H de X, evaluada en X igual a 0. ¡Suscríbete al canal!

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INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicio 9

#julioprofe explica cómo resolver una integral trigonométrica ∫ (cotx)^4 dx Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para resolver esta integral trigonométrica hacemos lo siguiente, vamos a descomponer cotangente a la 4 de x en cotangente al cuadrado de x por cotangente al cuadrado de x y allí vamos a utilizar una identidad trigonométrica que surge a partir de la identidad fundamental de la trigonometría, vamos a recordarla seno al cuadrado de x más coseno al cuadrado de x es igual a 1, recordemos que es la identidad pitagórica más importante de la trigonometría, es la fundamental. Aquí podemos dividir ambos lados de la igualdad por seno al cuadrado, es decir vamos a dividir acá por seno al cuadrado de x y lo mismo hacemos al lado derecho, pero en el lado izquierdo si dividimos por seno al cuadrado podemos repartirlo para cada uno de estos sumandos, entonces tendremos seno al cuadrado de x sobre seno al cuadrado de x, esto más coseno al cuadrado de x sobre seno al cuadrado de x y como decíamos al lado derecho también se divide por seno al cuadrado de x. En esta primera fracción obtenemos 1 porque el numerador es igual al denominador, luego tenemos coseno al cuadrado de x sobre seno al cuadrado de x, recordemos que coseno sobre seno nos da cotangente, pero como ambos componentes están al cuadrado nos dará cotangente al cuadrado de x y acá recordemos que 1 sobre seno nos da cosecante, pero como tenemos 1 sobre seno al cuadrado de x esto nos da cosecante al cuadrado de x, de allí podemos hacer el despeje de cotangente al cuadrado de x, entonces nos da cosecante al cuadrado de x menos 1, pasamos este número al lado derecho nos llega a restar, entonces tenemos aquí como decíamos una identidad trigonométrica que hace parte de las identidades pitagóricas y con esta vamos a resolver ese ejercicio, entonces vamos a reemplazar aquí esto que obtuvimos, vamos a dejar la primera expresión, el primer componente cotangente al cuadrado de x, este lo dejamos quieto y hacemos aquí el cambio, entonces tendremos cosecante al cuadrado de x menos 1 y todo esto con el diferencial de x, aplicamos aquí la propiedad distributiva, entonces esto nos queda de la siguiente manera, vamos a continuar por acá tendremos la integral de cotangente al cuadrado de x por cosecante al cuadrado de x y después tenemos cotangente al cuadrado de x por menos 1, es decir menos cotangente al cuadrado de x, protejemos todo esto con paréntesis y anotamos el diferencial de x, vamos a escribir esto por acá, vamos a cambiar este componente por esto que obtuvimos, entonces continuamos por acá tendremos la integral de, vamos a abrir corchete, cambiamos el paréntesis por corchete, esto nos queda cotangente al cuadrado de x por cosecante al cuadrado de x menos, aquí abrimos un paréntesis y cambiamos cotangente al cuadrado de x por cosecante al cuadrado de x menos 1, cerramos paréntesis, cerramos el corchete y anotamos el diferencial de x, ahora vamos a romper este paréntesis, ingresa el signo negativo, continuamos por acá y nos queda la integral de, podemos volver a cambiar los corchetes por paréntesis, nos queda cotangente al cuadrado de x por cosecante al cuadrado de x y aquí nos da menos cosecante al cuadrado de x y menos por menos nos da más 1, cerramos el paréntesis y anotamos el diferencial de x, allí podemos partir esa integral en tres integrales porque tenemos resta y suma, entonces nos queda la integral del primer componente cotangente al cuadrado de x por cosecante al cuadrado de x con su diferencial de x, después menos la integral de cosecante al cuadrado de x con su diferencial de x y luego más la integral de 1 con su diferencial de x, vamos entonces a resolver cada una de estas integrales, para el caso de la primera vamos a utilizar el método de sustitución, vamos a realizar por acá eso de la sustitución o cambio de variable, vamos a utilizar por ejemplo como w el componente cotangente de x y esto vamos a derivarlo con respecto a x, derivada de w con respecto a x nos da la derivada de cotangente de x es menos cosecante al cuadrado de x y de allí vamos a despejar el componente de x, entonces dx pasa a multiplicar, esto viene a dividir y nos queda lo del lado izquierdo como menos de w sobre cosecante al cuadrado de x, entonces con estos dos componentes, con estas dos nubesillas vamos a reconstruir esa primera integral, tendremos entonces lo siguiente, seguimos por acá, acá en la primera integral cambiamos cotangente de x por w pero como eso está al cuadrado, aquí nos da w al cuadrado por cosecante al cuadrado de x, esto lo dejamos quieto y cambiamos de x por esto que nos dio acá, que sería menos de w sobre cosecante al cuadrado de x, seguimos con el desarrollo de estas dos integrales las podemos hacer de una vez porque son integrales directas, veamos la integral de cosecante al cuadrado de x nos da menos cotangente de x, aquí podemos ver eso, la derivada de cotangente de x es menos cosecante al cuadrado de x, si integramos esto nos da menos cotangente de x, que es lo que tenemos aquí, más la integral de 1 con su diferencial de x nos da x, podríamos colocar de una vez la constante de integración que será para todo el ejercicio, vamos a continuar por acá y tenemos lo siguiente, aquí en esta integral podríamos cancelar este componente cosecante al cuadrado de x, podemos sacar el signo menos y nos queda la integral de w al cuadrado con su diferencial w, continuamos con esto nos queda más, aquí menos por menos nos da más cotangente de x, luego más x y esto más la constante de integración, seguimos con el desarrollo del ejercicio, podemos resolver esa primera integral que está en términos de w, nos queda menos integral de w al cuadrado nos da w al cubo sobre 3, es una integral directa, esto nos queda más cotangente de x, más x y esto más la constante de integración, finalmente cambiamos aquí w por su equivalente en términos de x, w es igual a cotangente de x, entonces nos queda así, menos, no podemos olvidar ese signo menos, tendremos en el numerador w al cubo, es decir cotangente de x elevada al cubo que podemos expresar así, cotangente al cubo de x, esto sobre 3, luego tenemos más cotangente de x, más x y esto más la constante de integración y de esta manera hemos terminado el ejercicio, esta expresión es el resultado de esa integral trigonométrica.

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265.44, "text": " de x por cosecante al cuadrado de x con su diferencial de x, despu\u00e9s menos la integral"}, {"start": 265.44, "end": 273.56, "text": " de cosecante al cuadrado de x con su diferencial de x y luego m\u00e1s la integral de 1 con su"}, {"start": 273.56, "end": 280.04, "text": " diferencial de x, vamos entonces a resolver cada una de estas integrales, para el caso"}, {"start": 280.04, "end": 286.32, "text": " de la primera vamos a utilizar el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n, vamos a realizar por ac\u00e1"}, {"start": 286.32, "end": 293.84000000000003, "text": " eso de la sustituci\u00f3n o cambio de variable, vamos a utilizar por ejemplo como w el componente"}, {"start": 293.84, "end": 303.88, "text": " cotangente de x y esto vamos a derivarlo con respecto a x, derivada de w con respecto a"}, {"start": 303.88, "end": 311.12, "text": " x nos da la derivada de cotangente de x es menos cosecante al cuadrado de x y de all\u00ed"}, {"start": 311.12, "end": 318.34, "text": " vamos a despejar el componente de x, entonces dx pasa a multiplicar, esto viene a dividir"}, {"start": 318.34, "end": 326.59999999999997, "text": " y nos queda lo del lado izquierdo como menos de w sobre cosecante al cuadrado de x, entonces"}, {"start": 326.59999999999997, "end": 333.76, "text": " con estos dos componentes, con estas dos nubesillas vamos a reconstruir esa primera integral, tendremos"}, {"start": 333.76, "end": 340.55999999999995, "text": " entonces lo siguiente, seguimos por ac\u00e1, ac\u00e1 en la primera integral cambiamos cotangente"}, {"start": 340.55999999999995, "end": 347.35999999999996, "text": " de x por w pero como eso est\u00e1 al cuadrado, aqu\u00ed nos da w al cuadrado por cosecante al"}, {"start": 347.36, "end": 353.36, "text": " cuadrado de x, esto lo dejamos quieto y cambiamos de x por esto que nos dio ac\u00e1, que ser\u00eda"}, {"start": 353.36, "end": 361.04, "text": " menos de w sobre cosecante al cuadrado de x, seguimos con el desarrollo de estas dos"}, {"start": 361.04, "end": 367.24, "text": " integrales las podemos hacer de una vez porque son integrales directas, veamos la integral"}, {"start": 367.24, "end": 374.40000000000003, "text": " de cosecante al cuadrado de x nos da menos cotangente de x, aqu\u00ed podemos ver eso, la"}, {"start": 374.4, "end": 379.64, "text": " derivada de cotangente de x es menos cosecante al cuadrado de x, si integramos esto nos da"}, {"start": 379.64, "end": 385.64, "text": " menos cotangente de x, que es lo que tenemos aqu\u00ed, m\u00e1s la integral de 1 con su diferencial"}, {"start": 385.64, "end": 392.17999999999995, "text": " de x nos da x, podr\u00edamos colocar de una vez la constante de integraci\u00f3n que ser\u00e1 para"}, {"start": 392.17999999999995, "end": 401.28, "text": " todo el ejercicio, vamos a continuar por ac\u00e1 y tenemos lo siguiente, aqu\u00ed en esta integral"}, {"start": 401.28, "end": 408.35999999999996, "text": " podr\u00edamos cancelar este componente cosecante al cuadrado de x, podemos sacar el signo menos"}, {"start": 408.35999999999996, "end": 415.61999999999995, "text": " y nos queda la integral de w al cuadrado con su diferencial w, continuamos con esto nos"}, {"start": 415.61999999999995, "end": 422.67999999999995, "text": " queda m\u00e1s, aqu\u00ed menos por menos nos da m\u00e1s cotangente de x, luego m\u00e1s x y esto m\u00e1s"}, {"start": 422.67999999999995, "end": 429.9, "text": " la constante de integraci\u00f3n, seguimos con el desarrollo del ejercicio, podemos resolver"}, {"start": 429.9, "end": 436.35999999999996, "text": " esa primera integral que est\u00e1 en t\u00e9rminos de w, nos queda menos integral de w al cuadrado"}, {"start": 436.35999999999996, "end": 444.15999999999997, "text": " nos da w al cubo sobre 3, es una integral directa, esto nos queda m\u00e1s cotangente de"}, {"start": 444.15999999999997, "end": 453.23999999999995, "text": " x, m\u00e1s x y esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n, finalmente cambiamos aqu\u00ed w por su equivalente"}, {"start": 453.24, "end": 460.72, "text": " en t\u00e9rminos de x, w es igual a cotangente de x, entonces nos queda as\u00ed, menos, no podemos"}, {"start": 460.72, "end": 466.98, "text": " olvidar ese signo menos, tendremos en el numerador w al cubo, es decir cotangente de x elevada"}, {"start": 466.98, "end": 473.96000000000004, "text": " al cubo que podemos expresar as\u00ed, cotangente al cubo de x, esto sobre 3, luego tenemos"}, {"start": 473.96000000000004, "end": 481.52, "text": " m\u00e1s cotangente de x, m\u00e1s x y esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n y de esta manera"}, {"start": 481.52, "end": 488.84, "text": " hemos terminado el ejercicio, esta expresi\u00f3n es el resultado de esa integral trigonom\u00e9trica."}]

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26. COMPONENTES DE UN VECTOR (Ejercicio 1)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 26: Componentes de un Vector (Ejercicio 1). El copiloto de un coche que circula a 54 km/h lanza una piedra perpendicularmente a la carretera desde él con una velocidad de 5 m/s. ¿Cuál es el valor de la velocidad de la piedra en el instante de soltarla? Tema: El Movimiento y su Descripción. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

En este dibujo apreciamos el coche visto desde arriba viajando por una carretera recta, se mueve hacia la derecha. Nos dice el problema que el coche viaja a una velocidad de 54 km por hora y que el copiloto lanza desde la ventana del coche una piedra con velocidad perpendicular a la carretera. Vamos a dibujarla en esta dirección, una velocidad de 5 metros sobre segundo. El copiloto le imprime a la piedra esta velocidad como vemos en dirección perpendicular a la carretera. Queremos saber entonces cuál es la velocidad total o resultante de la piedra. Entonces en dirección X la piedra va a tener la velocidad del auto, esa será su componente en X y esta será su componente Y, es decir la componente vertical. Comenzamos por convertir esta velocidad del auto a metros sobre segundos, es decir a unidades del sistema internacional. Entonces escribimos la velocidad y vamos a multiplicar por los factores de conversión. Colocamos kilómetros abajo, metros arriba y un kilómetro equivale a mil metros. De esta manera cancelaríamos kilómetros. Agregamos otro factor de conversión que nos permita pasar de horas a segundos. Una hora son 3.600 segundos. Entonces allí eliminamos horas con horas y efectuando la operación numérica, es decir 54 por mil dividido 3.600, eso nos da un total de 15 metros sobre segundos. Que sería entonces la velocidad de este coche expresada en metros sobre segundos. Bien, ahora vamos a llevar la situación a un plano cartesiano. Vamos a considerar la piedra aquí en el origen y podemos apreciar sus dos componentes de la velocidad. Entonces esta de color rojo será la velocidad en X que nos dio 15 metros sobre segundos. La misma velocidad del auto y la componente vertical que tiene una magnitud de 5 metros sobre segundos. Recordemos que es perpendicular a la carretera. Entonces vamos a encontrar la resultante de esos dos vectores por el método del paralelogramo. Trazamos líneas paralelas a cada vector por los extremos de cada uno de ellos. Vemos entonces que se nos forma un rectángulo, es decir un paralelogramo y a continuación vamos a dibujar esta diagonal que será el vector resultante. Allí la tenemos. Entonces la diagonal del paralelogramo constituye el vector resultante. Entonces vamos a encontrar el módulo de ese vector velocidad. Recordemos que el módulo se obtiene con esta formulita, la componente en X al cuadrado más la componente en Y al cuadrado. Vamos a reemplazar entonces los valores. La componente en X vale 15 al cuadrado la componente en Y vale 5 al cuadrado. Resolvemos esas operaciones 15 al cuadrado, es 225, 5 al cuadrado es 25. Hacemos la suma y eso nos da la raíz cuadrada de 250. Simplificando esa raíz cuadrada nos da un total de 5 raíz de 10. Haciendo la simplificación, sacando lo que se puede de la raíz nos queda 5 raíz de 10. Esto irá en metros sobre segundos. Y si queremos podemos llevar el resultado a número decimal. Entonces vamos a colocar la respuesta. Tenemos entonces que en el momento de lanzar la piedra su velocidad tiene un valor, es decir un módulo o magnitud de 5 raíz de 10 metros sobre segundos. El número decimal esto es aproximadamente igual a 15.81 en metros sobre segundos. De esta manera terminamos el ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 25.0, "text": " En este dibujo apreciamos el coche visto desde arriba viajando por una carretera recta, se"}, {"start": 25.0, "end": 36.0, "text": " mueve hacia la derecha. Nos dice el problema que el coche viaja a una velocidad de 54 km"}, {"start": 36.0, "end": 45.0, "text": " por hora y que el copiloto lanza desde la ventana del coche una piedra con velocidad"}, {"start": 45.0, "end": 55.0, "text": " perpendicular a la carretera. Vamos a dibujarla en esta direcci\u00f3n, una velocidad de 5 metros sobre segundo."}, {"start": 55.0, "end": 63.0, "text": " El copiloto le imprime a la piedra esta velocidad como vemos en direcci\u00f3n perpendicular a la carretera."}, {"start": 63.0, "end": 71.0, "text": " Queremos saber entonces cu\u00e1l es la velocidad total o resultante de la piedra. Entonces en direcci\u00f3n"}, {"start": 71.0, "end": 80.0, "text": " X la piedra va a tener la velocidad del auto, esa ser\u00e1 su componente en X y esta ser\u00e1 su componente Y,"}, {"start": 80.0, "end": 90.0, "text": " es decir la componente vertical. Comenzamos por convertir esta velocidad del auto a metros sobre segundos,"}, {"start": 90.0, "end": 97.0, "text": " es decir a unidades del sistema internacional. Entonces escribimos la velocidad y vamos a multiplicar"}, {"start": 97.0, "end": 106.0, "text": " por los factores de conversi\u00f3n. Colocamos kil\u00f3metros abajo, metros arriba y un kil\u00f3metro equivale a mil metros."}, {"start": 106.0, "end": 114.0, "text": " De esta manera cancelar\u00edamos kil\u00f3metros. Agregamos otro factor de conversi\u00f3n que nos permita pasar de horas"}, {"start": 114.0, "end": 125.0, "text": " a segundos. Una hora son 3.600 segundos. Entonces all\u00ed eliminamos horas con horas y efectuando la operaci\u00f3n num\u00e9rica,"}, {"start": 125.0, "end": 135.0, "text": " es decir 54 por mil dividido 3.600, eso nos da un total de 15 metros sobre segundos."}, {"start": 135.0, "end": 144.0, "text": " Que ser\u00eda entonces la velocidad de este coche expresada en metros sobre segundos."}, {"start": 144.0, "end": 152.0, "text": " Bien, ahora vamos a llevar la situaci\u00f3n a un plano cartesiano. Vamos a considerar la piedra aqu\u00ed en el origen"}, {"start": 152.0, "end": 160.0, "text": " y podemos apreciar sus dos componentes de la velocidad. Entonces esta de color rojo ser\u00e1 la velocidad en X"}, {"start": 160.0, "end": 170.0, "text": " que nos dio 15 metros sobre segundos. La misma velocidad del auto y la componente vertical que tiene una magnitud"}, {"start": 170.0, "end": 179.0, "text": " de 5 metros sobre segundos. Recordemos que es perpendicular a la carretera. Entonces vamos a encontrar"}, {"start": 179.0, "end": 188.0, "text": " la resultante de esos dos vectores por el m\u00e9todo del paralelogramo. Trazamos l\u00edneas paralelas a cada vector"}, {"start": 188.0, "end": 196.0, "text": " por los extremos de cada uno de ellos. Vemos entonces que se nos forma un rect\u00e1ngulo, es decir un paralelogramo"}, {"start": 196.0, "end": 202.0, "text": " y a continuaci\u00f3n vamos a dibujar esta diagonal que ser\u00e1 el vector resultante. All\u00ed la tenemos."}, {"start": 202.0, "end": 211.0, "text": " Entonces la diagonal del paralelogramo constituye el vector resultante. Entonces vamos a encontrar el m\u00f3dulo"}, {"start": 211.0, "end": 219.0, "text": " de ese vector velocidad. Recordemos que el m\u00f3dulo se obtiene con esta formulita, la componente en X al cuadrado"}, {"start": 219.0, "end": 230.0, "text": " m\u00e1s la componente en Y al cuadrado. Vamos a reemplazar entonces los valores. La componente en X vale 15 al cuadrado"}, {"start": 230.0, "end": 243.0, "text": " la componente en Y vale 5 al cuadrado. Resolvemos esas operaciones 15 al cuadrado, es 225, 5 al cuadrado es 25."}, {"start": 243.0, "end": 258.0, "text": " Hacemos la suma y eso nos da la ra\u00edz cuadrada de 250. Simplificando esa ra\u00edz cuadrada nos da un total de 5 ra\u00edz de 10."}, {"start": 258.0, "end": 268.0, "text": " Haciendo la simplificaci\u00f3n, sacando lo que se puede de la ra\u00edz nos queda 5 ra\u00edz de 10. Esto ir\u00e1 en metros sobre segundos."}, {"start": 268.0, "end": 275.0, "text": " Y si queremos podemos llevar el resultado a n\u00famero decimal. Entonces vamos a colocar la respuesta."}, {"start": 275.0, "end": 285.0, "text": " Tenemos entonces que en el momento de lanzar la piedra su velocidad tiene un valor, es decir un m\u00f3dulo o magnitud"}, {"start": 285.0, "end": 298.0, "text": " de 5 ra\u00edz de 10 metros sobre segundos. El n\u00famero decimal esto es aproximadamente igual a 15.81 en metros sobre segundos."}, {"start": 298.0, "end": 325.0, "text": " De esta manera terminamos el ejercicio."}]

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LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS - Ejercicio 7

#julioprofe explica cómo resolver un límite trigonométrico, utilizando un cambio de variable. Tema: #Límites → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEeindtt3TarvkVHRDmqNTf REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para resolver este límite trigonométrico comenzamos por evaluar esta expresión cuando x toma el valor 0. En el numerador tendremos arco seno de 0 y en el denominador x se reemplaza por 0. Resolvemos lo de arriba. Arco seno de 0 nos da como resultado 0, en este caso 0 radianes y todo esto sobre 0. 0 sobre 0 es lo que se llama una indeterminación, es como una voz de alerta que nos dice que tenemos que hacerle algo al límite, alguna transformación a esta expresión. No podemos dar esto como resultado. La estrategia que vamos a utilizar es un cambio de variable y nos vamos a apoyar en el concepto de función inversa del seno. Recordemos que arco seno de un número real nos produce como resultado un ángulo y esto quiere decir que el seno de este ángulo debe darnos como resultado este número real, que por cierto recordemos que debe estar comprendido entre menos 1 y 1. Entonces podemos decir que arco seno de x es igual a una letra, por ejemplo, theta y eso significa que seno de theta es igual a x. Theta es el ángulo y x es el número real. El ángulo se mide en grados o en radianes, aunque para los límites trigonométricos los ángulos van en radianes y x es el número real. Nos dice acá que x tiende a cero y cuando eso sucede acá en la función inversa del seno, entonces si estos valores se aproximan a cero, el resultado de todo esto también nos produce un ángulo cercano a cero. Podemos decir entonces que si x tiende a cero, theta también tiende a cero. Entonces utilizando esto vamos a reconstruir el límite, allí es donde vamos a aplicar el cambio de variable. Allá dice que x tiende a cero, entonces ahora escribimos acá theta tiende a cero. En el numerador tenemos arco seno de x, pero dijimos que eso equivale a theta y en el denominador tenemos x, pero x equivale a seno de theta. Recordemos que en los límites trigonométricos hay uno de gran importancia, un límite que es clave, que dice límite cuando k tiende a cero, de seno de k sobre k, todo esto es igual a 1 y este límite se parece mucho al que tenemos acá, pero vemos que la expresión está invertida, entonces eso lo solucionamos aplicando una propiedad de la potenciación. Si tenemos una fracción, ella tiene exponente 1 invisible, si la invertimos, es decir, si nos queda b sobre a, entonces el exponente nos cambia de signo, nos quedaría elevada a la menos 1. Es lo que podemos aplicar acá, límite cuando theta tiende a cero, de seno de theta sobre theta, allí hemos invertido la fracción, pero para que siga conservándose lo que tenemos originalmente, debe quedar elevado a la menos 1, aplicando esta propiedad. Allí aplicamos ahora una propiedad de los límites, recordemos que si se tiene límite de una potencia, el límite afecta a la base y afecta al exponente, entonces tendremos el límite de seno de theta sobre theta, cuando theta tiende a cero, allí el límite ha afectado la base y el límite de menos 1, cuando theta tiende a cero, allí el límite ha afectado al exponente. En la base ya tenemos esta situación, solamente que aquí tenemos como variable la letra theta y aquí tenemos como variable la letra k, pero es lo mismo, entonces todo esto equivale a 1 y en el exponente tenemos el límite cuando theta tiende a cero, aplicado a una constante, el límite de una constante es la misma constante, o sea, menos 1 y 1 elevado a la menos 1 nos da como resultado 1. De esta manera terminamos, el resultado de todo ese límite trigonométrico es 1, podríamos probarlo en una calculadora científica, ingresamos esta expresión, ponemos la calculadora en modo de radianes y empezamos a darle valores a x cercanos a cero, tanto por izquierda como por derecha, veremos cómo esta expresión cada vez se aproxima al valor 1.

[{"start": 0.0, "end": 9.36, "text": " Para resolver este l\u00edmite trigonom\u00e9trico comenzamos por evaluar esta expresi\u00f3n cuando"}, {"start": 9.36, "end": 18.8, "text": " x toma el valor 0. En el numerador tendremos arco seno de 0 y en el denominador x se reemplaza"}, {"start": 18.8, "end": 25.76, "text": " por 0. Resolvemos lo de arriba. Arco seno de 0 nos da como resultado 0, en este caso"}, {"start": 25.76, "end": 34.08, "text": " 0 radianes y todo esto sobre 0. 0 sobre 0 es lo que se llama una indeterminaci\u00f3n, es como una voz"}, {"start": 34.08, "end": 40.88, "text": " de alerta que nos dice que tenemos que hacerle algo al l\u00edmite, alguna transformaci\u00f3n a esta expresi\u00f3n."}, {"start": 40.88, "end": 48.040000000000006, "text": " No podemos dar esto como resultado. La estrategia que vamos a utilizar es un cambio de variable y"}, {"start": 48.04, "end": 55.96, "text": " nos vamos a apoyar en el concepto de funci\u00f3n inversa del seno. Recordemos que arco seno de"}, {"start": 55.96, "end": 64.44, "text": " un n\u00famero real nos produce como resultado un \u00e1ngulo y esto quiere decir que el seno de este"}, {"start": 64.44, "end": 71.28, "text": " \u00e1ngulo debe darnos como resultado este n\u00famero real, que por cierto recordemos que debe estar"}, {"start": 71.28, "end": 80.68, "text": " comprendido entre menos 1 y 1. Entonces podemos decir que arco seno de x es igual a una letra,"}, {"start": 80.68, "end": 89.36, "text": " por ejemplo, theta y eso significa que seno de theta es igual a x. Theta es el \u00e1ngulo y x es"}, {"start": 89.36, "end": 95.76, "text": " el n\u00famero real. El \u00e1ngulo se mide en grados o en radianes, aunque para los l\u00edmites trigonom\u00e9tricos"}, {"start": 95.76, "end": 105.64, "text": " los \u00e1ngulos van en radianes y x es el n\u00famero real. Nos dice ac\u00e1 que x tiende a cero y cuando"}, {"start": 105.64, "end": 111.52000000000001, "text": " eso sucede ac\u00e1 en la funci\u00f3n inversa del seno, entonces si estos valores se aproximan a cero,"}, {"start": 111.52000000000001, "end": 118.0, "text": " el resultado de todo esto tambi\u00e9n nos produce un \u00e1ngulo cercano a cero. Podemos decir entonces"}, {"start": 118.0, "end": 125.24000000000001, "text": " que si x tiende a cero, theta tambi\u00e9n tiende a cero. Entonces utilizando esto vamos a reconstruir"}, {"start": 125.24, "end": 131.48, "text": " el l\u00edmite, all\u00ed es donde vamos a aplicar el cambio de variable. All\u00e1 dice que x tiende a cero,"}, {"start": 131.48, "end": 138.79999999999998, "text": " entonces ahora escribimos ac\u00e1 theta tiende a cero. En el numerador tenemos arco seno de x,"}, {"start": 138.79999999999998, "end": 147.48, "text": " pero dijimos que eso equivale a theta y en el denominador tenemos x, pero x equivale a seno de"}, {"start": 147.48, "end": 155.12, "text": " theta. Recordemos que en los l\u00edmites trigonom\u00e9tricos hay uno de gran importancia, un l\u00edmite que es clave,"}, {"start": 155.12, "end": 165.64000000000001, "text": " que dice l\u00edmite cuando k tiende a cero, de seno de k sobre k, todo esto es igual a 1 y este l\u00edmite"}, {"start": 165.64000000000001, "end": 172.04000000000002, "text": " se parece mucho al que tenemos ac\u00e1, pero vemos que la expresi\u00f3n est\u00e1 invertida, entonces eso lo"}, {"start": 172.04000000000002, "end": 178.04000000000002, "text": " solucionamos aplicando una propiedad de la potenciaci\u00f3n. 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All\u00ed aplicamos ahora una propiedad de los l\u00edmites, recordemos que si se tiene l\u00edmite de"}, {"start": 218.12, "end": 225.92000000000002, "text": " una potencia, el l\u00edmite afecta a la base y afecta al exponente, entonces tendremos el l\u00edmite de seno"}, {"start": 225.92, "end": 235.82, "text": " de theta sobre theta, cuando theta tiende a cero, all\u00ed el l\u00edmite ha afectado la base y el l\u00edmite de"}, {"start": 235.82, "end": 244.88, "text": " menos 1, cuando theta tiende a cero, all\u00ed el l\u00edmite ha afectado al exponente. En la base ya tenemos"}, {"start": 244.88, "end": 251.23999999999998, "text": " esta situaci\u00f3n, solamente que aqu\u00ed tenemos como variable la letra theta y aqu\u00ed tenemos como"}, {"start": 251.24, "end": 259.16, "text": " variable la letra k, pero es lo mismo, entonces todo esto equivale a 1 y en el exponente tenemos el"}, {"start": 259.16, "end": 266.0, "text": " l\u00edmite cuando theta tiende a cero, aplicado a una constante, el l\u00edmite de una constante es la misma"}, {"start": 266.0, "end": 274.64, "text": " constante, o sea, menos 1 y 1 elevado a la menos 1 nos da como resultado 1. De esta manera terminamos,"}, {"start": 274.64, "end": 281.88, "text": " el resultado de todo ese l\u00edmite trigonom\u00e9trico es 1, podr\u00edamos probarlo en una calculadora"}, {"start": 281.88, "end": 289.28, "text": " cient\u00edfica, ingresamos esta expresi\u00f3n, ponemos la calculadora en modo de radianes y empezamos a darle"}, {"start": 289.28, "end": 296.71999999999997, "text": " valores a x cercanos a cero, tanto por izquierda como por derecha, veremos c\u00f3mo esta expresi\u00f3n cada"}, {"start": 296.72, "end": 323.72, "text": " vez se aproxima al valor 1."}]

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SISTEMA DE ECUACIONES 2×2 USANDO CAMBIO DE VARIABLE - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo resolver un sistema de ecuaciones de 2x2, donde es conveniente usar un cambio de variable. Tema: #SistemasDeEcuaciones → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEFAYT8s7eBiUPuANxiqi_l REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

¿Cómo podemos cambiar la variable de la letra P y la variable de la letra Y? Tenemos en este caso un sistema de ecuaciones de dos por dos, es decir, dos ecuaciones con dos incógnitas que son las letras X y Y, pero como vemos esas letras se encuentran en los denominadores, entonces vamos a utilizar un recurso llamado cambio de variable, vamos a cambiar 1 sobre X por la letra P y 1 sobre Y por la letra Q. Entonces la primera ecuación, esta la llamamos la ecuación 1, vamos a convertirla ahora en la ecuación 3 y nos queda de la siguiente manera, 1 sobre X se cambia por P, tenemos menos 1 sobre Y que se cambia por Q y esto nos queda más 8 65' igual a 0, allí tenemos entonces una nueva ecuación, la ecuación 3 que sustituye a la ecuación 1 haciendo el cambio de variable. Ahora hacemos lo mismo con la segunda ecuación, esa la vamos a convertir en la ecuación 4, pero miremos lo siguiente, tener 5 sobre X es lo mismo que escribir 5 por 1 sobre X, luego más 13 sobre Y que es lo mismo que tener 13 por 1 sobre Y, esto más 2 igual a 0, entonces vamos a cambiar allí 1 sobre X y 1 sobre Y por las nuevas letras, nos queda entonces 5 por 1 sobre X que es P, es decir 5P, después tenemos más 13 que multiplica con 1 sobre Y, pero 1 sobre Y equivale a Q y esto más 2 igualado con 0, entonces allí tenemos la ecuación 4 que ha sustituido a la ecuación 2. Entonces vamos a resolver este nuevo sistema de ecuaciones de 2 por 2, ahora es un sistema de ecuaciones lineales con las 5 unitas P y Q, para ello vamos a multiplicar la ecuación 3 por 65, multiplicamos por 65 a ambos lados de la igualdad por el objetivo de deshacernos de este denominador, entonces comenzamos, en el lado izquierdo 65 afecta a cada uno de estos componentes, 65 por P nos queda 65P, después tenemos menos 65 por Q, es decir 65Q, aquí si multiplicamos 8 65 abos por 65 logramos cancelar el 65 y nos queda más 8 y en el lado derecho 0 por 65 nos queda 0. Si revisamos con atención esta ecuación y la ecuación 4 vemos que Q está acompañada aquí de menos 65 y aquí Q está acompañado de más 13, resulta que 65 es múltiplo de 13, 13 por 5 nos da 65, entonces si multiplicamos esta ecuación por 5 a ambos lados de la igualdad vamos a conseguir que las dos ecuaciones queden listas para efectuar el método de eliminación, entonces veamos si multiplicamos por 5 el lado izquierdo 5 afecta a cada uno de estos términos, 5 por 5P nos da 25P, después tenemos 5 por más 13Q es más 65Q y 5 por más 2 nos da más 10 y en el lado derecho 5 por 0 nos da 0. En seguida efectuamos la suma de estas dos ecuaciones en forma vertical, por aquí tenemos 65P más 25P eso nos da 90P, aquí la suma de estos dos términos nos da 0, son términos opuestos, entonces esos dos términos se cancelan o se eliminan, por acá tenemos más 8 y más 10 nos da más 18 y en el lado derecho 0 más 0 nos da 0, de esta manera llegamos a una ecuación lineal o de primer grado con una incógnita que es P, vamos entonces a resolverla, esto nos queda 90P igual a menos 18, pasamos este número al lado derecho a restar y nos da menos 18 y allí podemos dividir ambos lados por 90 por lo que es lo mismo, pasamos 90 que está multiplicando al otro lado a dividir, nos queda menos 18 sobre 90, allí podemos simplificar esta fracción, podemos sacar por ejemplo mitad, mitad de 18 nos da 9, mitad de 90 es 45 y allí observamos que 9 y 45 son divisibles por 9, decimos 9 de 9 es 1, 9 de 45 nos da 5, entonces el resultado para P, vamos a escribirlo por acá, será menos, no podemos olvidar ese signo negativo, un quinto, que hemos encontrado entonces el valor de la primera incógnita en este sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2, ahora debemos hallar el valor de Q, escogemos cualquiera de esas dos ecuaciones, vamos a reemplazar por ejemplo en la ecuación número 4, nos queda entonces lo siguiente, 5 por P es decir 5 por menos un quinto, allá hacemos el reemplazo de ese valor obtenido, después tenemos más 13Q más 2 igual a 0 y allí vamos a resolver esa ecuación lineal de primer grado donde la incógnita es Q, 5 por menos un quinto eso nos da menos 1, luego más 13Q más 2 igual a 0, allí podemos operar estos dos números, nos queda entonces 13Q y menos 1 más 2 nos da más 1 igual a 0 y allí despejamos el término que contiene la incógnita, es decir 13Q, pasamos este número al otro lado a restar y nos da menos 1, ahora dividimos ambos lados de esta igualdad por 13 o lo que es lo mismo, 13 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir y de esa manera obtenemos el valor de Q, Q nos da entonces menos 1, 13A, allí hemos encontrado entonces el valor de la otra incógnita en ese sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2, pero no podemos olvidar que nuestras incógnitas originales son X y Y, P y Q fueron dos letras que nos inventamos para efectuar el cambio de variable y realizar el desarrollo del ejercicio con mayor facilidad, entonces ahora conociendo los valores de P y Q debemos ir a encontrar los valores originales que son X y Y, tenemos entonces que 1 sobre X es igual a P, pero P nos dio menos un quinto, aquí podemos invertir ambos lados de esa igualdad, es como elevar ambos lados de la igualdad al exponente menos 1, entonces si invertimos el lado izquierdo nos da X y si invertimos el lado derecho nos da menos 5, allí aparece entonces el valor de X, algo similar hacemos con la otra equivalencia, 1 sobre Y equivale a Q, pero Q nos dio menos 1 sobre 13, menos 1, 13A, entonces de nuevo invertimos ambos lados de la igualdad, acá al invertir la primera fracción nos da Y y si invertimos la segunda nos da menos 13, de esta manera terminamos el ejercicio, esta pareja X y constituye la respuesta, entonces son los valores para X y Y que hacen cierto este sistema de ecuaciones de 2 por 2, el que nos daban originalmente.

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{"start": 332.8, "end": 338.16, "text": " debemos hallar el valor de Q, escogemos cualquiera de esas dos ecuaciones, vamos a"}, {"start": 338.16, "end": 343.76, "text": " reemplazar por ejemplo en la ecuaci\u00f3n n\u00famero 4, nos queda entonces lo siguiente,"}, {"start": 343.76, "end": 351.0, "text": " 5 por P es decir 5 por menos un quinto, all\u00e1 hacemos el reemplazo de ese valor"}, {"start": 351.0, "end": 360.12, "text": " obtenido, despu\u00e9s tenemos m\u00e1s 13Q m\u00e1s 2 igual a 0 y all\u00ed vamos a resolver esa"}, {"start": 360.12, "end": 366.68, "text": " ecuaci\u00f3n lineal de primer grado donde la inc\u00f3gnita es Q, 5 por menos un quinto"}, {"start": 366.68, "end": 376.2, "text": " eso nos da menos 1, luego m\u00e1s 13Q m\u00e1s 2 igual a 0, all\u00ed podemos operar estos dos"}, {"start": 376.2, "end": 384.72, "text": " n\u00fameros, nos queda entonces 13Q y menos 1 m\u00e1s 2 nos da m\u00e1s 1 igual a 0 y all\u00ed"}, {"start": 384.72, "end": 390.24, "text": " despejamos el t\u00e9rmino que contiene la inc\u00f3gnita, es decir 13Q, pasamos este"}, {"start": 390.24, "end": 396.56, "text": " n\u00famero al otro lado a restar y nos da menos 1, ahora dividimos ambos lados de"}, {"start": 396.56, "end": 402.16, "text": " esta igualdad por 13 o lo que es lo mismo, 13 que est\u00e1 multiplicando pasa al"}, {"start": 402.16, "end": 408.12, "text": " otro lado a dividir y de esa manera obtenemos el valor de Q, Q nos da entonces"}, {"start": 408.12, "end": 415.24, "text": " menos 1, 13A, all\u00ed hemos encontrado entonces el valor de la otra inc\u00f3gnita en"}, {"start": 415.24, "end": 420.52, "text": " ese sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2, pero no podemos olvidar que"}, {"start": 420.52, "end": 426.36, "text": " nuestras inc\u00f3gnitas originales son X y Y, P y Q fueron dos letras que nos"}, {"start": 426.36, "end": 431.44, "text": " inventamos para efectuar el cambio de variable y realizar el desarrollo del"}, {"start": 431.44, "end": 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DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicio 38

#julioprofe explica cómo determinar la derivada de una función, evaluada en un valor específico, a partir de una condición dada. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

nos dan esta expresión, esta información y nos piden hallar la derivada de f cuando x toma el valor 2. Comenzamos entonces derivando ambos lados de esta igualdad con respecto de la variable x. Entonces vamos a escribir ese operador. En el lado izquierdo la derivada con respecto a x de x al cuadrado por f de x, esto al cubo más x y en el lado derecho la derivada con respecto a x de esta expresión que es 5x al cuadrado. En el lado izquierdo tenemos inicialmente la derivada de una suma, entonces vamos a derivar cada uno de los componentes, vamos a indicar eso, derivada con respecto a x de x al cuadrado por f de x al cubo y todo eso más la derivada con respecto a x de este componente, es decir de x. Y en el lado derecho ya podríamos efectuar esta derivada, derivada con respecto a x de 5x al cuadrado nos da 10x, recordemos que 2 baja a multiplicar con 5 por eso nos da 10 y acá restamos 1, por eso nos queda x elevada al exponente 1. Tenemos por aquí la derivada de un producto, entonces vamos a recordar cómo se deriva esa situación, derivada de un producto a por b es la derivada del primer componente por el segundo sin derivar más el primer componente sin derivar por la derivada del segundo, en este caso a está representada por x al cuadrado y b está representada por f de x al cubo. Entonces siguiendo esta instrucción tenemos que la derivada de este producto es derivada del primer componente derivada de x al cuadrado que es 2x por el segundo componente sin derivar es decir f de x y todo esto elevado al cubo, después tenemos más el primer componente sin derivar que es x al cuadrado por la derivada del segundo componente, para derivar f de x elevada al cubo aplicamos la regla de la cadena para potencias, baja el 3 a multiplicar esto por f de x a la 3 menos 1 que sería 2 y esto multiplicado por la derivada interna que denotamos como f' de x, allí hemos derivado ese producto. Continuemos con la derivada de este componente, entonces tenemos más la derivada con respecto a x de x eso nos da 1 y todo esto igualado con 10x. Aquí ya hemos efectuado el proceso de derivación con respecto a x de esta expresión, lo que hacemos ahora es cambiar x por el valor 2, entonces tendremos 2 por 2, esto por abrimos corchete f de 2 todo esto elevado al cubo, después tenemos más aquí se cambia x por 2 nos queda 2 al cuadrado por 3 por abrimos corchete f de 2 todo esto elevado al cuadrado y esto multiplicado por f' de 2 cambiamos x por el valor 2, esto más 1 igual con 10x es decir 10 por 2. Todos resolviendo lo que tenemos allí, por acá 2 por 2 nos da 4, esto multiplica con f de 2 que equivale a 2, allí utilizamos la información que nos da el enunciado del ejercicio esto está elevado al cubo más 2 al cuadrado que es 4 por 3 por abrimos el corchete otra vez f de 2 que equivale a 2 allí lo reemplazamos esto al cuadrado y esto multiplicado por f' de 2 que es justamente lo que debemos averiguar lo dejamos allí expresado todo esto más 1 igualado con 10 por 2 que es 20. Continuemos resolviendo 2 al cubo nos da 8, 8 por 4 es 32, luego tenemos 4 por 3 es 12, 12 al cuadrado nos da 4 entonces 12 por 4 es 48 y eso multiplica con f' de 2 todo esto más 1 igualado con 20. En el lado izquierdo de la igualdad podemos sumar estos dos números 32 más 1 nos da 33 esto queda más 48 por f' de 2 y eso igualado con 20. Después aislamos este término el que contiene el componente que debemos averiguar entonces nos queda 48 por f' de 2 igual a 20 menos 33 pasamos este número al lado derecho a restar eso nos queda entonces así 48 por f' de 2 igual a 20 menos 33 que nos da menos 13 y allí ya podemos despejar lo que nos pide el ejercicio f' de 2 será menos 13 sobre 48, 48 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir esta fracción no se puede simplificar es una fracción irreducible y tenemos de esta manera la respuesta al ejercicio este es el valor de la derivada de f evaluada en x igual a 2.

[{"start": 0.0, "end": 9.84, "text": " nos dan esta expresi\u00f3n, esta informaci\u00f3n y nos piden hallar la derivada de f cuando"}, {"start": 9.84, "end": 12.64, "text": " x toma el valor 2."}, {"start": 12.64, "end": 18.28, "text": " Comenzamos entonces derivando ambos lados de esta igualdad con respecto de la variable"}, {"start": 18.28, "end": 19.28, "text": " x."}, {"start": 19.28, "end": 22.44, "text": " Entonces vamos a escribir ese operador."}, {"start": 22.44, "end": 31.72, "text": " En el lado izquierdo la derivada con respecto a x de x al cuadrado por f de x, esto al cubo"}, {"start": 31.72, "end": 43.040000000000006, "text": " m\u00e1s x y en el lado derecho la derivada con respecto a x de esta expresi\u00f3n que es 5x"}, {"start": 43.040000000000006, "end": 44.88, "text": " al cuadrado."}, {"start": 44.88, "end": 50.120000000000005, "text": " En el lado izquierdo tenemos inicialmente la derivada de una suma, entonces vamos a"}, {"start": 50.12, "end": 57.16, "text": " 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108.11999999999999, "text": " por el segundo sin derivar m\u00e1s el primer componente sin derivar por la derivada del"}, {"start": 108.11999999999999, "end": 114.8, "text": " segundo, en este caso a est\u00e1 representada por x al cuadrado y b est\u00e1 representada por"}, {"start": 114.8, "end": 117.28, "text": " f de x al cubo."}, {"start": 117.28, "end": 122.32, "text": " Entonces siguiendo esta instrucci\u00f3n tenemos que la derivada de este producto es derivada"}, {"start": 122.32, "end": 129.28, "text": " del primer componente derivada de x al cuadrado que es 2x por el segundo componente sin derivar"}, {"start": 129.28, "end": 137.08, "text": " es decir f de x y todo esto elevado al cubo, despu\u00e9s tenemos m\u00e1s el primer componente"}, {"start": 137.08, "end": 144.36, "text": " sin derivar que es x al cuadrado por la derivada del segundo componente, para derivar f de"}, {"start": 144.36, "end": 151.52, "text": " x elevada al cubo aplicamos la regla de la cadena para 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25. COMPONENTES DE UN VECTOR (Teoría)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 25: Componentes de un Vector (Teoría). Componentes de vectores en una, dos y tres dimensiones, en términos de vectores unitarios. Tema: El Movimiento y su Descripción. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

Comencemos definiendo que son vectores unitarios. Se llaman así a aquellos vectores cuyo módulo, magnitud o norma es 1. Considerando el espacio tridimensional generado por los ejes x, y y y z, se llama y al vector unitario que tiene sentido positivo en la dirección del eje x, j el vector unitario con sentido positivo en la dirección del eje y y k el vector unitario que tiene sentido positivo en la dirección del eje z. Entonces los vectores i, j, k tienen módulo 1 y son perpendiculares entre sí. Miremos el dibujo más grande considerando únicamente los semiejes positivos o x o y y o z. Supongamos que escalares a, b y c, diferentes entre sí y mayores que 1, multiplican a los vectores unitarios i, j, k respectivamente. Obtenemos entonces los vectores a, i, b, j y c, k con módulos o tamaños respectivos a, b y c. Si sumamos el vector amarillo a, i con el vector rojo b, j por el método del paralelogramo, obtenemos el vector violeta a, i más b, j. Y si nuevamente usamos el método del paralelogramo para sumar el vector violeta con el vector azul c, k, obtenemos el vector verde a, i más b, j más c, k que vamos a llamar n. Luego el vector n es igual a la suma de los vectores a, i más b, j más c, k. Y esto también se puede escribir como la terna de valores a, b, c. De esta manera el vector n queda expresado en términos de sus componentes rectangulares. Los vectores a, i, b, j y c, k se llaman componentes rectangulares de n porque siendo perpendiculares entre sí, la resultante de su suma es el vector n. Estas componentes siempre se enuncian en el orden x, y, z cuando se trata de vectores en el espacio. Por otro lado el punto o es el origen del sistema de referencia tridimensional, que corresponde a x igual a 0, y igual a 0 y z igual a 0. Luego sus coordenadas son 0, 0, 0. Mientras tanto desde x igual a, y igual a b y z igual a c se generan segmentos paralelos a los ejes, formando como una especie de caja que permite determinar el punto p, cuyas coordenadas son a, b, c. Obsérvese que para el vector n su origen, cola o punto inicial es o y su extremo, cabeza o punto final es p. Luego el vector n puede escribirse también como el vector o p, y las componentes de n resultan de hacer la diferencia entre las coordenadas de p y las coordenadas de o, es decir punto final menos punto inicial. Veamos, al punto final p de coordenadas a, b, c le restamos el punto inicial o de coordenadas 0, 0, 0. Efectuando la resta entre las coordenadas respectivas, es decir x con x, y con y y z con z obtenemos la terna a, b, c que definen las componentes rectangulares del vector n. Como dijimos hace un momento, esto equivale a escribir a, y más b, j más c, k. Para obtener el módulo, magnitud o norma del vector espacial n, hallamos la raíz cuadrada de a al cuadrado más b al cuadrado más c al cuadrado, es decir la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes. Bien, hemos visto entonces como un vector en el espacio puede expresarse en términos de sus componentes, y como se determina su módulo, norma o magnitud. Si en todo esto hacemos el escalar c igual a 0, entonces eliminamos todo aquello que contiene la c. Desaparece el vector c, k y por lo tanto el vector n. Quedan entonces los vectores a, i y b, j cuya suma habíamos obtenido por el método del paralelogramo. Si a este vector violeta lo llamamos g, tenemos que es igual a, a, i más b, j, o la pareja de componentes a, b. Se trata de un vector en el plano x y griega y su módulo es igual a la raíz cuadrada de a al cuadrado más b al cuadrado. Mirando esto con más detalle y desde otro ángulo, tenemos el sistema de referencia bidimensional, es decir el plano cartesiano formado por los ejes x y griega, los vectores a, i y b, j y la resultante de su suma es decir el vector g, que aparece expresado en términos de sus componentes rectangulares. Para este vector dijimos hace un momento que su módulo viene dado por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes. Note que si dibujamos los vectores a, i y b, j de manera consecutiva por el método del triángulo se obtiene su suma, es decir el vector g. Tenemos entonces un triángulo rectángulo con catetos de longitud a y b, cuya hipotenusa mide la raíz cuadrada de a al cuadrado más b al cuadrado, según el teorema de Pitágoras. De esta manera se demuestra que el módulo del vector g es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes. Por otro lado el ángulo theta que forma el vector g con el semieje positivo o x, lo encontramos también en el triángulo rectángulo. Si aplicamos la relación trigonométrica tangente al ángulo theta, es decir cateto opuesto sobre cateto adyacente, tenemos que tangente de theta es igual a b sobre a, es decir el cosiente entre la componente en el eje y y la componente en el eje x. De allí podemos despejar el ángulo theta aplicando la función trigonométrica inversa, es decir theta es igual a tangente a la menos 1 de b sobre a, o lo que es lo mismo arco tangente de b sobre a. De esta manera se encuentra el ángulo theta que determina la dirección de un vector en el plano. Para determinar las componentes de un vector en el plano, si se conocen las coordenadas del origen y del extremo, también se hace la resta entre el punto final y el punto inicial, es decir las coordenadas de P2 menos las coordenadas de P1. Restando coordenadas respectivas, es decir x2-x1 e y2-y1, tenemos las componentes del vector P1 P2. Recordemos que esto se puede escribir también así, en términos de los vectores unitarios i, j. Finalmente, para un vector que pertenece a un sistema de referencia unidimensional como el eje x, solamente se especifica su componente en dicho eje, en términos del vector unitario i. Recordemos el caso del vector a y, cuyo tamaño es a. Si este vector lo llamamos l, entonces se expresa como l igual a a y o simplemente la componente a, su módulo expresado con doble barra es la raíz cuadrada de a al cuadrado, lo que matemáticamente equivale al valor absoluto de a. Si el vector tiene su origen en el punto P1 de coordenada x1 y su extremo en el punto P2 de coordenada x2, entonces la componente del vector P1 P2 queda definida nuevamente por la diferencia entre el punto final y el punto inicial, es decir P2 menos P1. Recordemos entonces que el vector unidimensional P1 P2 tiene la componente x2 menos x1 o también x2 menos x1 en i.

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tridimensional, que"}, {"start": 166.26000000000002, "end": 172.32000000000002, "text": " corresponde a x igual a 0, y igual a 0 y z igual a 0."}, {"start": 172.32000000000002, "end": 176.56, "text": " Luego sus coordenadas son 0, 0, 0."}, {"start": 176.56, "end": 185.4, "text": " Mientras tanto desde x igual a, y igual a b y z igual a c se generan segmentos paralelos"}, {"start": 185.4, "end": 193.64000000000001, "text": " a los ejes, formando como una especie de caja que permite determinar el punto p, cuyas coordenadas"}, {"start": 193.64000000000001, "end": 196.28, "text": " son a, b, c."}, {"start": 196.28, "end": 204.68, "text": " Obs\u00e9rvese que para el vector n su origen, cola o punto inicial es o y su extremo, cabeza"}, {"start": 204.68, "end": 206.6, "text": " o punto final es p."}, {"start": 206.6, "end": 214.08, "text": " Luego el vector n puede escribirse tambi\u00e9n como el vector o p, y las componentes de n"}, {"start": 214.08, "end": 220.8, "text": " resultan de hacer la diferencia entre las coordenadas de p y las coordenadas de o, es"}, {"start": 220.8, "end": 224.8, "text": " decir punto final menos punto inicial."}, {"start": 224.8, "end": 232.84, "text": " Veamos, al punto final p de coordenadas a, b, c le restamos el punto inicial o de coordenadas"}, {"start": 232.84, "end": 235.76, "text": " 0, 0, 0."}, {"start": 235.76, "end": 243.44, "text": " Efectuando la resta entre las coordenadas respectivas, es decir x con x, y con y y z"}, {"start": 243.44, "end": 252.2, "text": " con z obtenemos la terna a, b, c que definen las componentes rectangulares del vector n."}, {"start": 252.2, "end": 260.4, "text": " Como dijimos hace un momento, esto equivale a escribir a, y m\u00e1s b, j m\u00e1s c, k."}, {"start": 260.4, "end": 267.52, "text": " Para obtener el m\u00f3dulo, magnitud o norma del vector espacial n, hallamos la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 267.52, "end": 274.2, "text": " de a al cuadrado m\u00e1s b al cuadrado m\u00e1s c al cuadrado, es decir la ra\u00edz cuadrada de"}, {"start": 274.2, "end": 277.64, "text": " la suma de los cuadrados de sus componentes."}, {"start": 277.64, "end": 283.76, "text": " Bien, hemos visto entonces como un vector en el espacio puede expresarse en t\u00e9rminos"}, {"start": 283.76, "end": 289.35999999999996, "text": " de sus componentes, y como se determina su m\u00f3dulo, norma o magnitud."}, {"start": 289.36, "end": 297.56, "text": " Si en todo esto hacemos el escalar c igual a 0, entonces eliminamos todo aquello que"}, {"start": 297.56, "end": 299.08000000000004, "text": " contiene la c."}, {"start": 299.08000000000004, "end": 304.92, "text": " Desaparece el vector c, k y por lo tanto el vector n."}, {"start": 304.92, "end": 312.96000000000004, "text": " Quedan entonces los vectores a, i y b, j cuya suma hab\u00edamos obtenido por el m\u00e9todo del"}, {"start": 312.96000000000004, "end": 314.32, "text": " paralelogramo."}, {"start": 314.32, "end": 322.56, "text": " Si a este vector violeta lo llamamos g, tenemos que es igual a, a, i m\u00e1s b, j, o la pareja"}, {"start": 322.56, "end": 324.92, "text": " de componentes a, b."}, {"start": 324.92, "end": 332.68, "text": " Se trata de un vector en el plano x y griega y su m\u00f3dulo es igual a la ra\u00edz cuadrada de"}, {"start": 332.68, "end": 336.15999999999997, "text": " a al cuadrado m\u00e1s b al cuadrado."}, {"start": 336.15999999999997, "end": 341.76, "text": " Mirando esto con m\u00e1s detalle y desde otro \u00e1ngulo, tenemos el sistema de referencia"}, {"start": 341.76, "end": 350.68, "text": " bidimensional, es decir el plano cartesiano formado por los ejes x y griega, los vectores"}, {"start": 350.68, "end": 360.68, "text": " a, i y b, j y la resultante de su suma es decir el vector g, que aparece expresado en"}, {"start": 360.68, "end": 364.15999999999997, "text": " t\u00e9rminos de sus componentes rectangulares."}, {"start": 364.15999999999997, "end": 370.2, "text": " Para este vector dijimos hace un momento que su m\u00f3dulo viene dado por la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 370.2, "end": 374.03999999999996, "text": " de la suma de los cuadrados de sus componentes."}, {"start": 374.03999999999996, "end": 380.88, "text": " Note que si dibujamos los vectores a, i y b, j de manera consecutiva por el m\u00e9todo del"}, {"start": 380.88, "end": 385.84, "text": " tri\u00e1ngulo se obtiene su suma, es decir el vector g."}, {"start": 385.84, "end": 393.76, "text": " Tenemos entonces un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo con catetos de longitud a y b, cuya hipotenusa"}, {"start": 393.76, "end": 401.44, "text": " mide la ra\u00edz cuadrada de a al cuadrado m\u00e1s b al cuadrado, seg\u00fan el teorema de Pit\u00e1goras."}, {"start": 401.44, "end": 408.24, "text": " De esta manera se demuestra que el m\u00f3dulo del vector g es la ra\u00edz cuadrada de la suma"}, {"start": 408.24, "end": 411.34, "text": " de los cuadrados de sus componentes."}, {"start": 411.34, "end": 419.82, "text": " Por otro lado el \u00e1ngulo theta que forma el vector g con el semieje positivo o x, lo encontramos"}, {"start": 419.82, "end": 422.8, "text": " tambi\u00e9n en el tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo."}, {"start": 422.8, "end": 429.2, "text": " Si aplicamos la relaci\u00f3n trigonom\u00e9trica tangente al \u00e1ngulo theta, es decir cateto"}, {"start": 429.2, "end": 437.8, "text": " opuesto sobre cateto adyacente, tenemos que tangente de theta es igual a b sobre a, es"}, {"start": 437.8, "end": 445.12, "text": " decir el cosiente entre la componente en el eje y y la componente en el eje x."}, {"start": 445.12, "end": 451.28000000000003, "text": " De all\u00ed podemos despejar el \u00e1ngulo theta aplicando la funci\u00f3n trigonom\u00e9trica inversa,"}, {"start": 451.28, "end": 459.88, "text": " es decir theta es igual a tangente a la menos 1 de b sobre a, o lo que es lo mismo arco"}, {"start": 459.88, "end": 462.76, "text": " tangente de b sobre a."}, {"start": 462.76, "end": 468.47999999999996, "text": " De esta manera se encuentra el \u00e1ngulo theta que determina la direcci\u00f3n de un vector en"}, {"start": 468.47999999999996, "end": 469.71999999999997, "text": " el plano."}, {"start": 469.71999999999997, "end": 474.52, "text": " Para determinar las componentes de un vector en el plano, si se conocen las coordenadas"}, {"start": 474.52, "end": 481.59999999999997, "text": " del origen y del extremo, tambi\u00e9n se hace la resta entre el punto final y el punto inicial,"}, {"start": 481.59999999999997, "end": 486.88, "text": " es decir las coordenadas de P2 menos las coordenadas de P1."}, {"start": 486.88, "end": 495.32, "text": " Restando coordenadas respectivas, es decir x2-x1 e y2-y1, tenemos las componentes del"}, {"start": 495.32, "end": 497.24, "text": " vector P1 P2."}, {"start": 497.24, "end": 504.68, "text": " Recordemos que esto se puede escribir tambi\u00e9n as\u00ed, en t\u00e9rminos de los vectores unitarios i, j."}, {"start": 504.68, "end": 510.12, "text": " Finalmente, para un vector que pertenece a un sistema de referencia unidimensional como"}, {"start": 510.12, "end": 516.72, "text": " el eje x, solamente se especifica su componente en dicho eje, en t\u00e9rminos del vector unitario"}, {"start": 516.72, "end": 517.72, "text": " i."}, {"start": 517.72, "end": 522.6800000000001, "text": " Recordemos el caso del vector a y, cuyo tama\u00f1o es a."}, {"start": 522.68, "end": 530.3199999999999, "text": " Si este vector lo llamamos l, entonces se expresa como l igual a a y o simplemente la"}, {"start": 530.3199999999999, "end": 538.52, "text": " componente a, su m\u00f3dulo expresado con doble barra es la ra\u00edz cuadrada de a al cuadrado,"}, {"start": 538.52, "end": 543.7399999999999, "text": " lo que matem\u00e1ticamente equivale al valor absoluto de a."}, {"start": 543.74, "end": 554.8, "text": " Si el vector tiene su origen en el punto P1 de coordenada x1 y su extremo en el punto P2 de coordenada x2,"}, {"start": 554.8, "end": 563.08, "text": " entonces la componente del vector P1 P2 queda definida nuevamente por la diferencia entre"}, {"start": 563.08, "end": 569.8, "text": " el punto final y el punto inicial, es decir P2 menos P1."}, {"start": 569.8, "end": 579.56, "text": " Recordemos entonces que el vector unidimensional P1 P2 tiene la componente x2 menos x1 o tambi\u00e9n"}, {"start": 579.56, "end": 607.68, "text": " x2 menos x1 en i."}]

julioprofe

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DESIGUALDADES CÚBICAS - Ejercicio 3

#julioprofe explica cómo hallar el conjunto solución de una desigualdad o inecuación cúbica (o de tercer grado). Al final, hace la comprobación usando calculadora científica. Tema: #Desigualdades → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEZkcrDeNKKyhTxj4A1b83M REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

¿Qué es la desigualdad? Para resolver esta desigualdad lo primero que hacemos es romper estos paréntesis aplicamos entonces la propiedad distributiva vamos a aplicar eso a ambos lados de la desigualdad entonces tenemos x al cuadrado por 5 eso nos da 5x al cuadrado x al cuadrado por menos x nos da menos x al cubo eso es menor que 2 por x que nos da 2x más 2 por 4 que es 8 detectamos entonces una desigualdad cúbica o de grado 3 vamos a resolverla manualmente y al final haremos la comprobación en calculadora lo que vamos a hacer es organizar en el lado izquierdo de la desigualdad el polinomio de grado 3 y a este lado vamos a dejar 0 entonces comenzamos por escribir el término menos x al cubo es decir el de mayor grado o mayor exponente después más 5x al cuadrado esos términos son los que permanecen en el lado izquierdo y ahora pasamos esos dos términos al dicho lado entonces llega menos 2x y llega menos 8 como están positivos llegan al otro lado con signo negativo y todo esto nos queda menor que 0 ahora es conveniente que este polinomio empiece con signo positivo para ello vamos a multiplicar ambos lados de la desigualdad por menos 1 para realizar ese cambio de signo en el primer término y lógicamente en todos los demás con esta multiplicación por una cantidad negativa a ambos lados de la desigualdad ella nos va a cambiar de sentido entonces en el lado izquierdo nos queda x al cubo luego nos queda menos 5x al cuadrado después más 2x y ese término queda como más 8 allí cambiaron todos los signos del polinomio que tenemos en el lado izquierdo como decíamos este signo se cambia la desigualdad ahora tiene el sentido contrario y el 0 permanece igual porque 0 por menos 1 sigue siendo 0 en seguida debemos factorizar todo este polinomio todo lo que tenemos al lado izquierdo en la desigualdad vamos a ver cómo se efectúa ese procedimiento detalladamente comenzamos revisando los casos principales de factorización que son estos 7 entonces como siempre empezamos revisando si hay factor común vemos entonces si en esos 4 términos hay algo que podamos extraer vemos que no es posible entonces descartamos el primer caso de factorización factor común como tenemos 4 términos podemos descartar aquellos casos que son para binomios es decir para expresiones de 2 términos como son la diferencia de cuadrados y el caso 7 que es suma y diferencia de cubos por la misma razón es decir porque este polinomio tiene 4 términos podemos descartar los casos que corresponden a trinomios como son el caso 4, el caso 5 y el caso 6 nos queda por revisar el caso número 2 factor común por agrupación de términos que suele aplicarse en polinomios como este que tienen 4 incluso 6, 8 o más términos siempre y cuando la cantidad de términos sea un número par entonces vamos a ver si ese caso funciona hacemos la agrupación de términos vamos a agrupar con paréntesis los dos primeros y también los dos últimos allí colocamos tranquilamente esos paréntesis porque tanto el primero como el tercer término están precedidos de signo positivo ahora en el primer grupo que formamos allí se puede extraer como factor común x al cuadrado si sale x cuadrado nos queda x menos 5 y en el segundo grupo que formamos se puede extraer como factor común el número 2 si sale el 2 nos queda x más 4 digamos que hasta allí todo va muy bien pero llegamos a una expresión que tiene dos términos donde no hay un factor repetido por lo tanto eso nos dice que el caso número 2 tampoco podemos aplicarlo entonces como no sirvió ninguno de los siete casos principales de factorización vamos a utilizar aquel que se llama factorización por evaluación es decir el que se realiza mediante la división sintética para ello comenzamos determinando el conjunto de valores de P que son los divisores del término independiente es decir, divisores de 8 veamos, sería más o menos 1 comenzamos por el menor más o menos 2 más o menos 4 y más o menos 8 son los divisores enteros de 8 por eso consideramos las dos opciones la positiva y la negativa una manera de determinar que este conjunto está completo es hacer este apareamiento de números para ver que su producto sea 8 allí vemos entonces que 2 por 4 es 8 1 por 8 nos da 8 y no queda sobrando ningún número eso quiere decir que este conjunto de divisores de 8 está completo enseguida vamos a determinar el conjunto de valores de Q que son los divisores del coeficiente principal es decir, el coeficiente de este término que es el que tiene mayor grado o mayor exponente el coeficiente es 1 lo tenemos aquí invisible entonces los divisores de 1 serán más o menos 1 también son los divisores enteros ahora los posibles valores a examinar en ese polinomio es decir, los que vamos a utilizar en el método de evaluación son las posibles combinaciones P sobre Q que podamos obtener de acá es decir, tomamos cada valor del conjunto P y lo dividimos entre cada valor del conjunto Q en este caso sería 1 dividido entre 1 pues eso nos da más o menos 1 2 entre 1 nos da más o menos 2 después 4 dividido entre 1 nos da más o menos 4 y finalmente 8 entre 1 nos da más o menos 8 en definitiva lo que se obtiene es el mismo conjunto de divisores de 8 entonces estos serán los números que vamos a utilizar en el método de evaluación vamos a iniciarlo comenzamos verificando que el polinomio esté organizado en forma descendente efectivamente esa condición se cumple empieza con grado 3 luego pasa a grado 2 aquí tenemos grado 1 y acá sería grado 0 el que corresponde al término independiente entonces vamos a anotar acá los coeficientes de esos términos que repetimos ya están ordenados en forma descendente o decreciente comenzamos con el coeficiente principal el que decíamos que corresponde al primer término después sigue menos 5 después tenemos 2 y finalmente 8 para mayor tranquilidad podemos escribir encima de cada número a que término corresponde entonces tenemos que 1 es el coeficiente de x al cubo menos 5 es coeficiente de x al cuadrado 2 es coeficiente de x y 8 es el término independiente en ese polinomio ahora sí comenzamos con el método de evaluación vamos a examinar el valor 1 positivo entonces este número lo traemos acá lo bajamos tal como está decimos 1 por 1 nos da 1 sumamos en forma vertical menos 5 más 1 es menos 4 luego menos 4 por 1 eso nos da menos 4 sumamos en forma vertical 2 sumado con menos 4 nos da menos 2 menos 2 por 1 es menos 2 sumamos verticalmente 8 con menos 2 nos da 6 como aquí no obtenemos 0 que es lo que buscamos entonces este primer valor se descarga pasamos a examinar el siguiente valor que es menos 1 entonces de nuevo este número lo traemos acá baja tal como está decimos 1 por menos 1 eso nos da como resultado menos 1 sumamos en forma vertical menos 5 sumado con menos 1 nos da menos 6 menos 6 por menos 1 nos da 6 positivo sumamos en forma vertical 2 más 6 es 8 8 por menos 1 nos da menos 8 y al sumar en forma vertical eso nos da 0 que es lo que estamos buscando entonces x igual a menos 1 se acepta de aquí podemos obtener el primer factor de ese polinomio para ello pasamos este número al otro lado al lado izquierdo de tal forma que acá en el lado derecho nos quede 0 entonces si uno está aquí negativo llega al lado izquierdo con signo positivo nos queda x más 1 igual a 0 es como sumar 1 a ambos lados de la igualdad y aquí tenemos el primer factor de ese polinomio vamos a escribirlo por acá el primer factor será x más 1 y lo protegemos con paréntesis ahora con estos números que quedan a la izquierda de 0 es decir con estos valores se construye un polinomio que será de un grado menos que el original este era de grado 3 ahora este será de grado 2 entonces 1 será el coeficiente de x al cuadrado menos 6 será el coeficiente de x y 8 será el término independiente entonces ese polinomio nos queda así x al cuadrado aquí ya tenemos coeficiente 1 después menos 6x y después más 8 en realidad es un trinomio que vamos a ver si podemos factorizar utilizando alguno de los casos principales de factorización que mencionamos al comienzo si hacemos la revisión de esos 7 casos encontramos que esta expresión encaja perfectamente con el caso número 5 que se llama trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c entonces vamos a intentar la factorización por ese camino abrimos dos paréntesis extraemos la raíz cuadrada del primer término raíz cuadrada de x al cuadrado nos da x se anota esa letra al comienzo de cada paréntesis después definimos los signos aquí tenemos signo positivo más por menos nos da menos en el primer paréntesis y menos por más nos da menos en el segundo paréntesis entonces ahora buscamos dos números negativos que multiplicados entre sí nos den más 8 y que al sumarlos nos de como resultado menos 6 si hacemos la búsqueda encontramos que esos números son menos 4 y menos 2 entonces aquí ya tenemos los otros dos factores de ese polinomio vamos a escribirlos acá enseguida del que ya habíamos determinado son los factores x menos 4 y x menos 2 entonces esto que tenemos acá después del signo igual es decir la multiplicación de esos tres binomios sencillos constituyen la factorización completa de ese polinomio de cuatro términos entonces escribimos el resultado de la factorización del polinomio nos dio x más 1 esto multiplicado por x menos 4 y eso multiplicado por x menos 2 y todo eso es mayor que 0 después de haber realizado la factorización de esta expresión vamos a determinar los puntos críticos estos serán los valores de x que vuelven 0 todo esto lo que hay al lado izquierdo de la desigualdad para ello debemos igualar a 0 toda esa expresión nos quedaría entonces x más 1 por x menos 4 por x menos 2 todo esto igual a 0 y allí vamos a aplicar el teorema del factor nulo que para tres componentes dice así si a por b por c es igual a 0 entonces a es igual a 0 o b es igual a 0 o c es igual a 0 en otras palabras igualamos a 0 cada uno de los factores entonces tenemos x más 1 igual a 0 o x menos 4 igual a 0 o x menos 2 igual a 0 y en cada caso hallamos el valor de x por acá tendremos x igual a menos 1 por acá tendremos x igual a 4 y por acá nos da x igual a 2 entonces estos tres números son los puntos críticos de la desigualdad son los valores de x que hacen 0 todo este componente lo que hay al lado izquierdo en dicha desigualdad como acá tenemos signo mayor entonces ninguno de estos puntos críticos debe ser parte de la solución todos deben considerarse abiertos y eso se representa con esa bolita sin llenar entonces el conjunto de puntos críticos de la desigualdad lo escribimos por acá el menor de ellos es menos 1 después sigue el 2 y finalmente el 4 allí tenemos los tres puntos críticos que como decíamos no se van a tomar no van a ser parte de la solución enseguida vamos a realizar el análisis de signos para esta expresión y para ello trazamos esta recta que representa los valores reales de la variable x desde menos infinito hasta más infinito y en ella vamos a localizar los valores de x que determinamos es decir los puntos críticos de la desigualdad lógicamente ordenando los de menor a mayor tal como aparecen en este conjunto ahora lo que tenemos que hacer es elegir valores de prueba valores que pertenezcan a cada uno de esos intervalos entonces por ejemplo entre menos infinito y menos 1 podemos seleccionar el valor x igual a menos 2 entre menos 1 y 2 podemos seleccionar el valor x igual a 0 entre 2 y 4 podemos elegir el valor 3 y entre 4 y más infinito podemos elegir el valor 5 ahora como la expresión que vamos a analizar consta de tres factores vamos a abrir esa misma cantidad de paréntesis para analizar el signo de cada uno de ellos en esos intervalos utilizando el valor de prueba que hemos elegido en cada uno de ellos comenzamos entonces con x igual a menos 2 veamos en el primer paréntesis cuanto nos da menos 2 más 1 nos da como resultado menos 1 es decir el primer paréntesis sería negativo acá menos 2 menos 4 nos da menos 6 es decir segundo paréntesis negativo y acá menos 2 menos 2 nos daría menos 4 tercer paréntesis negativo vamos ahora con x igual a 0 acá 0 más 1 nos da 1 positivo primer paréntesis positivo acá 0 menos 4 nos da menos 4 segundo paréntesis negativo y acá 0 menos 2 es menos 2 tercer paréntesis negativo vamos ahora con x igual a 3 3 más 1 nos da 4 positivo es el signo del primer paréntesis acá 3 menos 4 nos da menos 1 negativo el segundo paréntesis y acá 3 menos 2 es 1 positivo vamos al último intervalo vamos con x igual a 5, 5 más 1 nos da 6 positivo 5 menos 4 es 1 positivo y 5 menos 2 es 3 positivo ahora aplicamos la ley de los signos en cada uno de esos intervalos menos por menos nos da más más por menos nos da menos en el primer intervalo toda esta expresión tiene signo negativo vamos al segundo menos por menos nos da más y positivo con positivo nos da positivo en el tercer intervalo más por más nos da más y eso multiplicado por menos es menos y en el último tenemos producto de signos positivos que nos da como resultado signo positivo ahora como tenemos que toda esta expresión tiene que ser mayor que 0 entonces su signo debe ser positivo por lo tanto las zonas positivas que obtuvimos acá son las que si sirven lógicamente las zonas negativas no sirven entonces procedemos a destacar esas zonas que si sirven es decir este intervalo el que va entre menos 1 y 2 y este de acá el que va entre 4 y más infinito y como dijimos los puntos críticos de la desigualdad no se deben tomar no son parte de la solución porque como decíamos acá se tiene signo solamente mayor entonces eso se representa acá como dijimos con la bolita sin llenar entonces ya podemos expresar el conjunto solución de esa desigualdad cúbica en forma de intervalo son los valores reales de x que pertenecen al intervalo que va desde menos 1 hasta 2 abierto en ambos extremos por eso se utiliza paréntesis y eso unión con el intervalo que va desde 4 hasta más infinito abierto en 4 porque dijimos que el 4 no se toma y lógicamente también abierto en más infinito este conjunto solución también podemos expresarlo en notación de desigualdad nos quedaría así esta primera zona que sirve son los valores de x comprendidos entre menos 1 y 2 se lee los x mayores que menos 1 y al mismo tiempo son valores de x menores que 2 y eso se debe unir con los valores de x que están después de 4 es decir, los x mayores que 4 después de haber resuelto el ejercicio manualmente podemos hacer su comprobación en una calculadora como esta comenzamos oprimiendo el botón menú allí vemos unas opciones en pantalla entonces nos movemos hasta llegar a la que corresponde a las desigualdades la opción B entonces oprimimos el botón igual para entrar a ese modo nos preguntan por el grado del polinomio aquí tenemos un polinomio de grado 3 entonces oprimimos la tecla del 3 y llegamos a 4 opciones de desigualdad cúbica mayor que 0, menor que 0 mayor o igual que 0 y menor o igual que 0 en este caso tenemos la expresión mayor que 0 es decir, la opción 1 entonces oprimimos la tecla del 1 y llegamos a una nueva pantalla donde tenemos que ingresar los coeficientes de cada uno de estos términos comenzamos con el coeficiente de x al cubo que será 1 entonces oprimimos el 1 y luego el botón igual para ingresar ese valor después el coeficiente de x al cuadrado que es menos 5 botón del signo menos, luego el 5 y oprimimos el signo igual luego el coeficiente de x que es 2 positivo entonces oprimimos el 2 y luego el botón igual finalmente el término independiente que es el 8 entonces 8 signo igual y ya hemos ingresado de esa manera los valores lo que hacemos ahora es oprimir el botón igual y nos aparece en pantalla el conjunto solución allí vemos este primer intervalo que es el que va entre menos 1 y 2 tal como lo tenemos acá y el otro que aquí aparece como 4 menor que x es lo mismo que decir x mayor que 4 simplemente aquí la desigualdad se lee en sentido contrario con esto comprobamos que el ejercicio que resolvimos manualmente es correcto

[{"start": 0.0, "end": 3.0, "text": " \u00bfQu\u00e9 es la desigualdad?"}, {"start": 3.0, "end": 9.0, "text": " Para resolver esta desigualdad lo primero que hacemos es romper estos par\u00e9ntesis"}, {"start": 9.0, "end": 12.0, "text": " aplicamos entonces la propiedad distributiva"}, {"start": 12.0, "end": 16.0, "text": " vamos a aplicar eso a ambos lados de la desigualdad"}, {"start": 16.0, "end": 22.0, "text": " entonces tenemos x al cuadrado por 5 eso nos da 5x al cuadrado"}, {"start": 22.0, "end": 26.0, "text": " x al cuadrado por menos x nos da menos x al cubo"}, {"start": 26.0, "end": 34.0, "text": " eso es menor que 2 por x que nos da 2x m\u00e1s 2 por 4 que es 8"}, {"start": 34.0, "end": 39.0, "text": " detectamos entonces una desigualdad c\u00fabica o de grado 3"}, {"start": 39.0, "end": 45.0, "text": " vamos a resolverla manualmente y al final haremos la comprobaci\u00f3n en calculadora"}, {"start": 45.0, "end": 49.0, "text": " lo que vamos a hacer es organizar en el lado izquierdo de la desigualdad"}, {"start": 49.0, "end": 54.0, "text": " el polinomio de grado 3 y a este lado vamos a dejar 0"}, {"start": 54.0, "end": 58.0, "text": " entonces comenzamos por escribir el t\u00e9rmino menos x al cubo"}, {"start": 58.0, "end": 61.0, "text": " es decir el de mayor grado o mayor exponente"}, {"start": 61.0, "end": 65.0, "text": " despu\u00e9s m\u00e1s 5x al cuadrado"}, {"start": 65.0, "end": 69.0, "text": " esos t\u00e9rminos son los que permanecen en el lado izquierdo"}, {"start": 69.0, "end": 72.0, "text": " y ahora pasamos esos dos t\u00e9rminos al dicho lado"}, {"start": 72.0, "end": 76.0, "text": " entonces llega menos 2x y llega menos 8"}, {"start": 76.0, "end": 80.0, "text": " como est\u00e1n positivos llegan al otro lado con signo negativo"}, {"start": 80.0, "end": 83.0, "text": " y todo esto nos queda menor que 0"}, {"start": 83.0, "end": 88.0, "text": " ahora es conveniente que este polinomio empiece con signo positivo"}, {"start": 88.0, "end": 93.0, "text": " para ello vamos a multiplicar ambos lados de la desigualdad por menos 1"}, {"start": 93.0, "end": 97.0, "text": " para realizar ese cambio de signo en el primer t\u00e9rmino"}, {"start": 97.0, "end": 100.0, "text": " y l\u00f3gicamente en todos los dem\u00e1s"}, {"start": 100.0, "end": 105.0, "text": " con esta multiplicaci\u00f3n por una cantidad negativa a ambos lados de la desigualdad"}, {"start": 105.0, "end": 108.0, "text": " ella nos va a cambiar de sentido"}, {"start": 108.0, "end": 111.0, "text": " entonces en el lado izquierdo nos queda x al cubo"}, {"start": 111.0, "end": 115.0, "text": " luego nos queda menos 5x al cuadrado"}, {"start": 115.0, "end": 119.0, "text": " despu\u00e9s m\u00e1s 2x y ese t\u00e9rmino queda como m\u00e1s 8"}, {"start": 119.0, "end": 124.0, "text": " all\u00ed cambiaron todos los signos del polinomio que tenemos en el lado izquierdo"}, {"start": 124.0, "end": 127.0, "text": " como dec\u00edamos este signo se cambia"}, {"start": 127.0, "end": 130.0, "text": " la desigualdad ahora tiene el sentido contrario"}, {"start": 130.0, "end": 135.0, "text": " y el 0 permanece igual porque 0 por menos 1 sigue siendo 0"}, {"start": 135.0, "end": 139.0, "text": " en seguida debemos factorizar todo este polinomio"}, {"start": 139.0, "end": 143.0, "text": " todo lo que tenemos al lado izquierdo en la desigualdad"}, {"start": 143.0, "end": 148.0, "text": " vamos a ver c\u00f3mo se efect\u00faa ese procedimiento detalladamente"}, {"start": 148.0, "end": 152.0, "text": " comenzamos revisando los casos principales de factorizaci\u00f3n"}, {"start": 152.0, "end": 154.0, "text": " que son estos 7"}, {"start": 154.0, "end": 158.0, "text": " entonces como siempre empezamos revisando si hay factor com\u00fan"}, {"start": 158.0, "end": 163.0, "text": " vemos entonces si en esos 4 t\u00e9rminos hay algo que podamos extraer"}, {"start": 163.0, "end": 165.0, "text": " vemos que no es posible"}, {"start": 165.0, "end": 171.0, "text": " entonces descartamos el primer caso de factorizaci\u00f3n factor com\u00fan"}, {"start": 171.0, "end": 173.0, "text": " como tenemos 4 t\u00e9rminos"}, {"start": 173.0, "end": 178.0, "text": " podemos descartar aquellos casos que son para binomios"}, {"start": 178.0, "end": 181.0, "text": " es decir para expresiones de 2 t\u00e9rminos"}, {"start": 181.0, "end": 188.0, "text": " como son la diferencia de cuadrados y el caso 7 que es suma y diferencia de cubos"}, {"start": 188.0, "end": 193.0, "text": " por la misma raz\u00f3n es decir porque este polinomio tiene 4 t\u00e9rminos"}, {"start": 193.0, "end": 197.0, "text": " podemos descartar los casos que corresponden a trinomios"}, {"start": 197.0, "end": 202.0, "text": " como son el caso 4, el caso 5 y el caso 6"}, {"start": 202.0, "end": 206.0, "text": " nos queda por revisar el caso n\u00famero 2 factor com\u00fan por agrupaci\u00f3n de t\u00e9rminos"}, {"start": 206.0, "end": 213.0, "text": " que suele aplicarse en polinomios como este que tienen 4 incluso 6, 8 o m\u00e1s t\u00e9rminos"}, {"start": 213.0, "end": 217.0, "text": " siempre y cuando la cantidad de t\u00e9rminos sea un n\u00famero par"}, {"start": 217.0, "end": 219.0, "text": " entonces vamos a ver si ese caso funciona"}, {"start": 219.0, "end": 221.0, "text": " hacemos la agrupaci\u00f3n de t\u00e9rminos"}, {"start": 221.0, "end": 228.0, "text": " vamos a agrupar con par\u00e9ntesis los dos primeros y tambi\u00e9n los dos \u00faltimos"}, {"start": 228.0, "end": 234.0, "text": " all\u00ed colocamos tranquilamente esos par\u00e9ntesis porque tanto el primero como el tercer t\u00e9rmino"}, {"start": 234.0, "end": 237.0, "text": " est\u00e1n precedidos de signo positivo"}, {"start": 237.0, "end": 243.0, "text": " ahora en el primer grupo que formamos all\u00ed se puede extraer como factor com\u00fan x al cuadrado"}, {"start": 243.0, "end": 247.0, "text": " si sale x cuadrado nos queda x menos 5"}, {"start": 247.0, "end": 253.0, "text": " y en el segundo grupo que formamos se puede extraer como factor com\u00fan el n\u00famero 2"}, {"start": 253.0, "end": 256.0, "text": " si sale el 2 nos queda x m\u00e1s 4"}, {"start": 256.0, "end": 258.0, "text": " digamos que hasta all\u00ed todo va muy bien"}, {"start": 258.0, "end": 264.0, "text": " pero llegamos a una expresi\u00f3n que tiene dos t\u00e9rminos donde no hay un factor repetido"}, {"start": 264.0, "end": 270.0, "text": " por lo tanto eso nos dice que el caso n\u00famero 2 tampoco podemos aplicarlo"}, {"start": 270.0, "end": 275.0, "text": " entonces como no sirvi\u00f3 ninguno de los siete casos principales de factorizaci\u00f3n"}, {"start": 275.0, "end": 280.0, "text": " vamos a utilizar aquel que se llama factorizaci\u00f3n por evaluaci\u00f3n"}, {"start": 280.0, "end": 284.0, "text": " es decir el que se realiza mediante la divisi\u00f3n sint\u00e9tica"}, {"start": 284.0, "end": 288.0, "text": " para ello comenzamos determinando el conjunto de valores de P"}, {"start": 288.0, "end": 291.0, "text": " que son los divisores del t\u00e9rmino independiente"}, {"start": 291.0, "end": 294.0, "text": " es decir, divisores de 8"}, {"start": 294.0, "end": 296.0, "text": " veamos, ser\u00eda m\u00e1s o menos 1"}, {"start": 296.0, "end": 298.0, "text": " comenzamos por el menor"}, {"start": 298.0, "end": 300.0, "text": " m\u00e1s o menos 2"}, {"start": 300.0, "end": 302.0, "text": " m\u00e1s o menos 4"}, {"start": 302.0, "end": 304.0, "text": " y m\u00e1s o menos 8"}, {"start": 304.0, "end": 307.0, "text": " son los divisores enteros de 8"}, {"start": 307.0, "end": 310.0, "text": " por eso consideramos las dos opciones"}, {"start": 310.0, "end": 312.0, "text": " la positiva y la negativa"}, {"start": 312.0, "end": 316.0, "text": " una manera de determinar que este conjunto est\u00e1 completo"}, {"start": 316.0, "end": 319.0, "text": " es hacer este apareamiento de n\u00fameros"}, {"start": 319.0, "end": 322.0, "text": " para ver que su producto sea 8"}, {"start": 322.0, "end": 325.0, "text": " all\u00ed vemos entonces que 2 por 4 es 8"}, {"start": 325.0, "end": 327.0, "text": " 1 por 8 nos da 8"}, {"start": 327.0, "end": 329.0, "text": " y no queda sobrando ning\u00fan n\u00famero"}, {"start": 329.0, "end": 334.0, "text": " eso quiere decir que este conjunto de divisores de 8 est\u00e1 completo"}, {"start": 334.0, "end": 338.0, "text": " enseguida vamos a determinar el conjunto de valores de Q"}, {"start": 338.0, "end": 341.0, "text": " que son los divisores del coeficiente principal"}, {"start": 341.0, "end": 344.0, "text": " es decir, el coeficiente de este t\u00e9rmino"}, {"start": 344.0, "end": 347.0, "text": " que es el que tiene mayor grado o mayor exponente"}, {"start": 347.0, "end": 349.0, "text": " el coeficiente es 1"}, {"start": 349.0, "end": 351.0, "text": " lo tenemos aqu\u00ed invisible"}, {"start": 351.0, "end": 353.0, "text": " entonces los divisores de 1"}, {"start": 353.0, "end": 355.0, "text": " ser\u00e1n m\u00e1s o menos 1"}, {"start": 355.0, "end": 358.0, "text": " tambi\u00e9n son los divisores enteros"}, {"start": 358.0, "end": 362.0, "text": " ahora los posibles valores a examinar en ese polinomio"}, {"start": 362.0, "end": 366.0, "text": " es decir, los que vamos a utilizar en el m\u00e9todo de evaluaci\u00f3n"}, {"start": 366.0, "end": 369.0, "text": " son las posibles combinaciones P sobre Q"}, {"start": 369.0, "end": 371.0, "text": " que podamos obtener de ac\u00e1"}, {"start": 371.0, "end": 374.0, "text": " es decir, tomamos cada valor del conjunto P"}, {"start": 374.0, "end": 377.0, "text": " y lo dividimos entre cada valor del conjunto Q"}, {"start": 377.0, "end": 380.0, "text": " en este caso ser\u00eda 1 dividido entre 1"}, {"start": 380.0, "end": 382.0, "text": " pues eso nos da m\u00e1s o menos 1"}, {"start": 382.0, "end": 385.0, "text": " 2 entre 1 nos da m\u00e1s o menos 2"}, {"start": 385.0, "end": 388.0, "text": " despu\u00e9s 4 dividido entre 1"}, {"start": 388.0, "end": 390.0, "text": " nos da m\u00e1s o menos 4"}, {"start": 390.0, "end": 394.0, "text": " y finalmente 8 entre 1 nos da m\u00e1s o menos 8"}, {"start": 394.0, "end": 396.0, "text": " en definitiva lo que se obtiene"}, {"start": 396.0, "end": 400.0, "text": " es el mismo conjunto de divisores de 8"}, {"start": 400.0, "end": 404.0, "text": " entonces estos ser\u00e1n los n\u00fameros que vamos a utilizar"}, {"start": 404.0, "end": 406.0, "text": " en el m\u00e9todo de evaluaci\u00f3n"}, {"start": 406.0, "end": 407.0, "text": " vamos a iniciarlo"}, {"start": 407.0, "end": 411.0, "text": " comenzamos verificando que el polinomio est\u00e9 organizado"}, {"start": 411.0, "end": 412.0, "text": " en forma descendente"}, {"start": 412.0, "end": 415.0, "text": " efectivamente esa condici\u00f3n se cumple"}, {"start": 415.0, "end": 416.0, "text": " empieza con grado 3"}, {"start": 416.0, "end": 418.0, "text": " luego pasa a grado 2"}, {"start": 418.0, "end": 419.0, "text": " aqu\u00ed tenemos grado 1"}, {"start": 419.0, "end": 421.0, "text": " y ac\u00e1 ser\u00eda grado 0"}, {"start": 421.0, "end": 424.0, "text": " el que corresponde al t\u00e9rmino independiente"}, {"start": 424.0, "end": 428.0, "text": " entonces vamos a anotar ac\u00e1 los coeficientes de esos t\u00e9rminos"}, {"start": 428.0, "end": 431.0, "text": " que repetimos ya est\u00e1n ordenados"}, {"start": 431.0, "end": 434.0, "text": " en forma descendente o decreciente"}, {"start": 434.0, "end": 436.0, "text": " comenzamos con el coeficiente principal"}, {"start": 436.0, "end": 439.0, "text": " el que dec\u00edamos que corresponde al primer t\u00e9rmino"}, {"start": 439.0, "end": 441.0, "text": " despu\u00e9s sigue menos 5"}, {"start": 441.0, "end": 443.0, "text": " despu\u00e9s tenemos 2"}, {"start": 443.0, "end": 445.0, "text": " y finalmente 8"}, {"start": 445.0, "end": 449.0, "text": " para mayor tranquilidad podemos escribir encima de cada n\u00famero"}, {"start": 449.0, "end": 451.0, "text": " a que t\u00e9rmino corresponde"}, {"start": 451.0, "end": 455.0, "text": " entonces tenemos que 1 es el coeficiente de x al cubo"}, {"start": 455.0, "end": 458.0, "text": " menos 5 es coeficiente de x al cuadrado"}, {"start": 458.0, "end": 460.0, "text": " 2 es coeficiente de x"}, {"start": 460.0, "end": 464.0, "text": " y 8 es el t\u00e9rmino independiente en ese polinomio"}, {"start": 464.0, "end": 468.0, "text": " ahora s\u00ed comenzamos con el m\u00e9todo de evaluaci\u00f3n"}, {"start": 468.0, "end": 472.0, "text": " vamos a examinar el valor 1 positivo"}, {"start": 472.0, "end": 474.0, "text": " entonces este n\u00famero lo traemos ac\u00e1"}, {"start": 474.0, "end": 476.0, "text": " lo bajamos tal como est\u00e1"}, {"start": 476.0, "end": 478.0, "text": " decimos 1 por 1 nos da 1"}, {"start": 478.0, "end": 480.0, "text": " sumamos en forma vertical"}, {"start": 480.0, "end": 483.0, "text": " menos 5 m\u00e1s 1 es menos 4"}, {"start": 483.0, "end": 485.0, "text": " luego menos 4 por 1"}, {"start": 485.0, "end": 486.0, "text": " eso nos da menos 4"}, {"start": 486.0, "end": 488.0, "text": " sumamos en forma vertical"}, {"start": 488.0, "end": 491.0, "text": " 2 sumado con menos 4 nos da menos 2"}, {"start": 491.0, "end": 493.0, "text": " menos 2 por 1 es menos 2"}, {"start": 493.0, "end": 495.0, "text": " sumamos verticalmente"}, {"start": 495.0, "end": 497.0, "text": " 8 con menos 2"}, {"start": 497.0, "end": 498.0, "text": " nos da 6"}, {"start": 498.0, "end": 501.0, "text": " como aqu\u00ed no obtenemos 0"}, {"start": 501.0, "end": 502.0, "text": " que es lo que buscamos"}, {"start": 502.0, "end": 505.0, "text": " entonces este primer valor se descarga"}, {"start": 505.0, "end": 509.0, "text": " pasamos a examinar el siguiente valor que es menos 1"}, {"start": 509.0, "end": 512.0, "text": " entonces de nuevo este n\u00famero lo traemos ac\u00e1"}, {"start": 512.0, "end": 514.0, "text": " baja tal como est\u00e1"}, {"start": 514.0, "end": 516.0, "text": " decimos 1 por menos 1"}, {"start": 516.0, "end": 518.0, "text": " eso nos da como resultado menos 1"}, {"start": 518.0, "end": 520.0, "text": " sumamos en forma vertical"}, {"start": 520.0, "end": 523.0, "text": " menos 5 sumado con menos 1 nos da menos 6"}, {"start": 523.0, "end": 526.0, "text": " menos 6 por menos 1 nos da 6 positivo"}, {"start": 526.0, "end": 528.0, "text": " sumamos en forma vertical"}, {"start": 528.0, "end": 530.0, "text": " 2 m\u00e1s 6 es 8"}, {"start": 530.0, "end": 532.0, "text": " 8 por menos 1 nos da menos 8"}, {"start": 532.0, "end": 534.0, "text": " y al sumar en forma vertical"}, {"start": 534.0, "end": 536.0, "text": " eso nos da 0"}, {"start": 536.0, "end": 538.0, "text": " que es lo que estamos buscando"}, {"start": 538.0, "end": 542.0, "text": " entonces x igual a menos 1 se acepta"}, {"start": 542.0, "end": 547.0, "text": " de aqu\u00ed podemos obtener el primer factor de ese polinomio"}, {"start": 547.0, "end": 549.0, "text": " para ello pasamos este n\u00famero al otro lado"}, {"start": 549.0, "end": 550.0, "text": " al lado izquierdo"}, {"start": 550.0, "end": 553.0, "text": " de tal forma que ac\u00e1 en el lado derecho nos quede 0"}, {"start": 553.0, "end": 555.0, "text": " entonces si uno est\u00e1 aqu\u00ed negativo"}, {"start": 555.0, "end": 558.0, "text": " llega al lado izquierdo con signo positivo"}, {"start": 558.0, "end": 561.0, "text": " nos queda x m\u00e1s 1 igual a 0"}, {"start": 561.0, "end": 564.0, "text": " es como sumar 1 a ambos lados de la igualdad"}, {"start": 564.0, "end": 568.0, "text": " y aqu\u00ed tenemos el primer factor de ese polinomio"}, {"start": 568.0, "end": 570.0, "text": " vamos a escribirlo por ac\u00e1"}, {"start": 570.0, "end": 573.0, "text": " el primer factor ser\u00e1 x m\u00e1s 1"}, {"start": 573.0, "end": 576.0, "text": " y lo protegemos con par\u00e9ntesis"}, {"start": 576.0, "end": 579.0, "text": " ahora con estos n\u00fameros que quedan a la izquierda de 0"}, {"start": 579.0, "end": 581.0, "text": " es decir con estos valores"}, {"start": 581.0, "end": 583.0, "text": " se construye un polinomio"}, {"start": 583.0, "end": 586.0, "text": " que ser\u00e1 de un grado menos que el original"}, {"start": 586.0, "end": 588.0, "text": " este era de grado 3"}, {"start": 588.0, "end": 590.0, "text": " ahora este ser\u00e1 de grado 2"}, {"start": 590.0, "end": 593.0, "text": " entonces 1 ser\u00e1 el coeficiente de x al cuadrado"}, {"start": 593.0, "end": 596.0, "text": " menos 6 ser\u00e1 el coeficiente de x"}, {"start": 596.0, "end": 599.0, "text": " y 8 ser\u00e1 el t\u00e9rmino independiente"}, {"start": 599.0, "end": 602.0, "text": " entonces ese polinomio nos queda as\u00ed"}, {"start": 602.0, "end": 603.0, "text": " x al cuadrado"}, {"start": 603.0, "end": 605.0, "text": " aqu\u00ed ya tenemos coeficiente 1"}, {"start": 605.0, "end": 607.0, "text": " despu\u00e9s menos 6x"}, {"start": 607.0, "end": 609.0, "text": " y despu\u00e9s m\u00e1s 8"}, {"start": 609.0, "end": 611.0, "text": " en realidad es un trinomio"}, {"start": 611.0, "end": 614.0, "text": " que vamos a ver si podemos factorizar"}, {"start": 614.0, "end": 618.0, "text": " utilizando alguno de los casos principales de factorizaci\u00f3n"}, {"start": 618.0, "end": 621.0, "text": " que mencionamos al comienzo"}, {"start": 621.0, "end": 624.0, "text": " si hacemos la revisi\u00f3n de esos 7 casos"}, {"start": 624.0, "end": 627.0, "text": " encontramos que esta expresi\u00f3n encaja perfectamente"}, {"start": 627.0, "end": 629.0, "text": " con el caso n\u00famero 5"}, {"start": 629.0, "end": 632.0, "text": " que se llama trinomio de la forma x al cuadrado"}, {"start": 632.0, "end": 633.0, "text": " m\u00e1s bx m\u00e1s c"}, {"start": 633.0, "end": 636.0, "text": " entonces vamos a intentar la factorizaci\u00f3n"}, {"start": 636.0, "end": 637.0, "text": " por ese camino"}, {"start": 637.0, "end": 639.0, "text": " abrimos dos par\u00e9ntesis"}, {"start": 639.0, "end": 642.0, "text": " extraemos la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino"}, {"start": 642.0, "end": 645.0, "text": " ra\u00edz cuadrada de x al cuadrado nos da x"}, {"start": 645.0, "end": 649.0, "text": " se anota esa letra al comienzo de cada par\u00e9ntesis"}, {"start": 649.0, "end": 651.0, "text": " despu\u00e9s definimos los signos"}, {"start": 651.0, "end": 653.0, "text": " aqu\u00ed tenemos signo positivo"}, {"start": 653.0, "end": 656.0, "text": " m\u00e1s por menos nos da menos en el primer par\u00e9ntesis"}, {"start": 656.0, "end": 660.0, "text": " y menos por m\u00e1s nos da menos en el segundo par\u00e9ntesis"}, {"start": 660.0, "end": 663.0, "text": " entonces ahora buscamos dos n\u00fameros negativos"}, {"start": 663.0, "end": 667.0, "text": " que multiplicados entre s\u00ed nos den m\u00e1s 8"}, {"start": 667.0, "end": 671.0, "text": " y que al sumarlos nos de como resultado menos 6"}, {"start": 671.0, "end": 673.0, "text": " si hacemos la b\u00fasqueda"}, {"start": 673.0, "end": 677.0, "text": " encontramos que esos n\u00fameros son menos 4 y menos 2"}, {"start": 677.0, "end": 682.0, "text": " entonces aqu\u00ed ya tenemos los otros dos factores de ese polinomio"}, {"start": 682.0, "end": 684.0, "text": " vamos a escribirlos ac\u00e1 enseguida"}, {"start": 684.0, "end": 686.0, "text": " del que ya hab\u00edamos determinado"}, {"start": 686.0, "end": 693.0, "text": " son los factores x menos 4 y x menos 2"}, {"start": 693.0, "end": 696.0, "text": " entonces esto que tenemos ac\u00e1 despu\u00e9s del signo igual"}, {"start": 696.0, "end": 700.0, "text": " es decir la multiplicaci\u00f3n de esos tres binomios sencillos"}, {"start": 700.0, "end": 706.0, "text": " constituyen la factorizaci\u00f3n completa de ese polinomio de cuatro t\u00e9rminos"}, {"start": 706.0, "end": 710.0, "text": " entonces escribimos el resultado de la factorizaci\u00f3n del polinomio"}, {"start": 710.0, "end": 712.0, "text": " nos dio x m\u00e1s 1"}, {"start": 712.0, "end": 715.0, "text": " esto multiplicado por x menos 4"}, {"start": 715.0, "end": 719.0, "text": " y eso multiplicado por x menos 2"}, {"start": 719.0, "end": 721.0, "text": " y todo eso es mayor que 0"}, {"start": 721.0, "end": 725.0, "text": " despu\u00e9s de haber realizado la factorizaci\u00f3n de esta expresi\u00f3n"}, {"start": 725.0, "end": 728.0, "text": " vamos a determinar los puntos cr\u00edticos"}, {"start": 728.0, "end": 732.0, "text": " estos ser\u00e1n los valores de x que vuelven 0 todo esto"}, {"start": 732.0, "end": 736.0, "text": " lo que hay al lado izquierdo de la desigualdad"}, {"start": 736.0, "end": 739.0, "text": " para ello debemos igualar a 0 toda esa expresi\u00f3n"}, {"start": 739.0, "end": 746.0, "text": " nos quedar\u00eda entonces x m\u00e1s 1 por x menos 4 por x menos 2"}, {"start": 746.0, "end": 748.0, "text": " todo esto igual a 0"}, {"start": 748.0, "end": 752.0, "text": " y all\u00ed vamos a aplicar el teorema del factor nulo"}, {"start": 752.0, "end": 755.0, "text": " que para tres componentes dice as\u00ed"}, {"start": 755.0, "end": 758.0, "text": " si a por b por c es igual a 0"}, {"start": 758.0, "end": 761.0, "text": " entonces a es igual a 0"}, {"start": 761.0, "end": 764.0, "text": " o b es igual a 0"}, {"start": 764.0, "end": 767.0, "text": " o c es igual a 0"}, {"start": 767.0, "end": 771.0, "text": " en otras palabras igualamos a 0 cada uno de los factores"}, {"start": 771.0, "end": 774.0, "text": " entonces tenemos x m\u00e1s 1 igual a 0"}, {"start": 774.0, "end": 778.0, "text": " o x menos 4 igual a 0"}, {"start": 778.0, "end": 782.0, "text": " o x menos 2 igual a 0"}, {"start": 782.0, "end": 785.0, "text": " y en cada caso hallamos el valor de x"}, {"start": 785.0, "end": 787.0, "text": " por ac\u00e1 tendremos x igual a menos 1"}, {"start": 787.0, "end": 790.0, "text": " por ac\u00e1 tendremos x igual a 4"}, {"start": 790.0, "end": 794.0, "text": " y por ac\u00e1 nos da x igual a 2"}, {"start": 794.0, "end": 799.0, "text": " entonces estos tres n\u00fameros son los puntos cr\u00edticos de la desigualdad"}, {"start": 799.0, "end": 803.0, "text": " son los valores de x que hacen 0 todo este componente"}, {"start": 803.0, "end": 807.0, "text": " lo que hay al lado izquierdo en dicha desigualdad"}, {"start": 807.0, "end": 809.0, "text": " como ac\u00e1 tenemos signo mayor"}, {"start": 809.0, "end": 814.0, "text": " entonces ninguno de estos puntos cr\u00edticos debe ser parte de la soluci\u00f3n"}, {"start": 814.0, "end": 817.0, "text": " todos deben considerarse abiertos"}, {"start": 817.0, "end": 821.0, "text": " y eso se representa con esa bolita sin llenar"}, {"start": 821.0, "end": 825.0, "text": " entonces el conjunto de puntos cr\u00edticos de la desigualdad"}, {"start": 825.0, "end": 827.0, "text": " lo escribimos por ac\u00e1"}, {"start": 827.0, "end": 829.0, "text": " el menor de ellos es menos 1"}, {"start": 829.0, "end": 831.0, "text": " despu\u00e9s sigue el 2"}, {"start": 831.0, "end": 833.0, "text": " y finalmente el 4"}, {"start": 833.0, "end": 839.0, "text": " all\u00ed tenemos los tres puntos cr\u00edticos que como dec\u00edamos no se van a tomar"}, {"start": 839.0, "end": 842.0, "text": " no van a ser parte de la soluci\u00f3n"}, {"start": 842.0, "end": 846.0, "text": " enseguida vamos a realizar el an\u00e1lisis de signos para esta expresi\u00f3n"}, {"start": 846.0, "end": 852.0, "text": " y para ello trazamos esta recta que representa los valores reales de la variable x"}, {"start": 852.0, "end": 857.0, "text": " desde menos infinito hasta m\u00e1s infinito"}, {"start": 857.0, "end": 862.0, "text": " y en ella vamos a localizar los valores de x que determinamos"}, {"start": 862.0, "end": 866.0, "text": " es decir los puntos cr\u00edticos de la desigualdad"}, {"start": 866.0, "end": 869.0, "text": " l\u00f3gicamente ordenando los de menor a mayor"}, {"start": 869.0, "end": 872.0, "text": " tal como aparecen en este conjunto"}, {"start": 872.0, "end": 875.0, "text": " ahora lo que tenemos que hacer es elegir valores de prueba"}, {"start": 875.0, "end": 879.0, "text": " valores que pertenezcan a cada uno de esos intervalos"}, {"start": 879.0, "end": 882.0, "text": " entonces por ejemplo entre menos infinito y menos 1"}, {"start": 882.0, "end": 886.0, "text": " podemos seleccionar el valor x igual a menos 2"}, {"start": 886.0, "end": 891.0, "text": " entre menos 1 y 2 podemos seleccionar el valor x igual a 0"}, {"start": 891.0, "end": 895.0, "text": " entre 2 y 4 podemos elegir el valor 3"}, {"start": 895.0, "end": 900.0, "text": " y entre 4 y m\u00e1s infinito podemos elegir el valor 5"}, {"start": 900.0, "end": 905.0, "text": " ahora como la expresi\u00f3n que vamos a analizar consta de tres factores"}, {"start": 905.0, "end": 908.0, "text": " vamos a abrir esa misma cantidad de par\u00e9ntesis"}, {"start": 908.0, "end": 912.0, "text": " para analizar el signo de cada uno de ellos"}, {"start": 912.0, "end": 914.0, "text": " en esos intervalos"}, {"start": 914.0, "end": 920.0, "text": " utilizando el valor de prueba que hemos elegido en cada uno de ellos"}, {"start": 920.0, "end": 922.0, "text": " comenzamos entonces con x igual a menos 2"}, {"start": 922.0, "end": 925.0, "text": " veamos en el primer par\u00e9ntesis cuanto nos da"}, {"start": 925.0, "end": 928.0, "text": " menos 2 m\u00e1s 1 nos da como resultado menos 1"}, {"start": 928.0, "end": 931.0, "text": " es decir el primer par\u00e9ntesis ser\u00eda negativo"}, {"start": 931.0, "end": 934.0, "text": " ac\u00e1 menos 2 menos 4 nos da menos 6"}, {"start": 934.0, "end": 936.0, "text": " es decir segundo par\u00e9ntesis negativo"}, {"start": 936.0, "end": 940.0, "text": " y ac\u00e1 menos 2 menos 2 nos dar\u00eda menos 4"}, {"start": 940.0, "end": 942.0, "text": " tercer par\u00e9ntesis negativo"}, {"start": 942.0, "end": 944.0, "text": " vamos ahora con x igual a 0"}, {"start": 944.0, "end": 947.0, "text": " ac\u00e1 0 m\u00e1s 1 nos da 1 positivo"}, {"start": 947.0, "end": 949.0, "text": " primer par\u00e9ntesis positivo"}, {"start": 949.0, "end": 952.0, "text": " ac\u00e1 0 menos 4 nos da menos 4"}, {"start": 952.0, "end": 954.0, "text": " segundo par\u00e9ntesis negativo"}, {"start": 954.0, "end": 957.0, "text": " y ac\u00e1 0 menos 2 es menos 2"}, {"start": 957.0, "end": 959.0, "text": " tercer par\u00e9ntesis negativo"}, {"start": 959.0, "end": 961.0, "text": " vamos ahora con x igual a 3"}, {"start": 961.0, "end": 964.0, "text": " 3 m\u00e1s 1 nos da 4 positivo"}, {"start": 964.0, "end": 966.0, "text": " es el signo del primer par\u00e9ntesis"}, {"start": 966.0, "end": 971.0, "text": " ac\u00e1 3 menos 4 nos da menos 1 negativo el segundo par\u00e9ntesis"}, {"start": 971.0, "end": 974.0, "text": " y ac\u00e1 3 menos 2 es 1 positivo"}, {"start": 974.0, "end": 976.0, "text": " vamos al \u00faltimo intervalo"}, {"start": 976.0, "end": 980.0, "text": " vamos con x igual a 5, 5 m\u00e1s 1 nos da 6 positivo"}, {"start": 980.0, "end": 983.0, "text": " 5 menos 4 es 1 positivo"}, {"start": 983.0, "end": 987.0, "text": " y 5 menos 2 es 3 positivo"}, {"start": 987.0, "end": 989.0, "text": " ahora aplicamos la ley de los signos"}, {"start": 989.0, "end": 991.0, "text": " en cada uno de esos intervalos"}, {"start": 991.0, "end": 993.0, "text": " menos por menos nos da m\u00e1s"}, {"start": 993.0, "end": 995.0, "text": " m\u00e1s por menos nos da menos"}, {"start": 995.0, "end": 998.0, "text": " en el primer intervalo toda esta expresi\u00f3n"}, {"start": 998.0, "end": 1000.0, "text": " tiene signo negativo"}, {"start": 1000.0, "end": 1001.0, "text": " vamos al segundo"}, {"start": 1001.0, "end": 1003.0, "text": " menos por menos nos da m\u00e1s"}, {"start": 1003.0, "end": 1005.0, "text": " y positivo con positivo nos da positivo"}, {"start": 1005.0, "end": 1007.0, "text": " en el tercer intervalo"}, {"start": 1007.0, "end": 1009.0, "text": " m\u00e1s por m\u00e1s nos da m\u00e1s"}, {"start": 1009.0, "end": 1011.0, "text": " y eso multiplicado por menos es menos"}, {"start": 1011.0, "end": 1014.0, "text": " y en el \u00faltimo tenemos producto de signos positivos"}, {"start": 1014.0, "end": 1017.0, "text": " que nos da como resultado signo positivo"}, {"start": 1017.0, "end": 1020.0, "text": " ahora como tenemos que toda esta expresi\u00f3n"}, {"start": 1020.0, "end": 1022.0, "text": " tiene que ser mayor que 0"}, {"start": 1022.0, "end": 1025.0, "text": " entonces su signo debe ser positivo"}, {"start": 1025.0, "end": 1029.0, "text": " por lo tanto las zonas positivas que obtuvimos ac\u00e1"}, {"start": 1029.0, "end": 1031.0, "text": " son las que si sirven"}, {"start": 1031.0, "end": 1035.0, "text": " l\u00f3gicamente las zonas negativas no sirven"}, {"start": 1035.0, "end": 1039.0, "text": " entonces procedemos a destacar esas zonas que si sirven"}, {"start": 1039.0, "end": 1041.0, "text": " es decir este intervalo"}, {"start": 1041.0, "end": 1043.0, "text": " el que va entre menos 1 y 2"}, {"start": 1043.0, "end": 1045.0, "text": " y este de ac\u00e1"}, {"start": 1045.0, "end": 1048.0, "text": " el que va entre 4 y m\u00e1s infinito"}, {"start": 1048.0, "end": 1052.0, "text": " y como dijimos los puntos cr\u00edticos de la desigualdad"}, {"start": 1052.0, "end": 1053.0, "text": " no se deben tomar"}, {"start": 1053.0, "end": 1056.0, "text": " no son parte de la soluci\u00f3n porque como dec\u00edamos"}, {"start": 1056.0, "end": 1059.0, "text": " ac\u00e1 se tiene signo solamente mayor"}, {"start": 1059.0, "end": 1062.0, "text": " entonces eso se representa ac\u00e1"}, {"start": 1062.0, "end": 1066.0, "text": " como dijimos con la bolita sin llenar"}, {"start": 1066.0, "end": 1069.0, "text": " entonces ya podemos expresar el conjunto soluci\u00f3n"}, {"start": 1069.0, "end": 1071.0, "text": " de esa desigualdad c\u00fabica"}, {"start": 1071.0, "end": 1073.0, "text": " en forma de intervalo"}, {"start": 1073.0, "end": 1075.0, "text": " son los valores reales de x"}, {"start": 1075.0, "end": 1079.0, "text": " que pertenecen al intervalo que va desde menos 1 hasta 2"}, {"start": 1079.0, "end": 1082.0, "text": " abierto en ambos extremos"}, {"start": 1082.0, "end": 1084.0, "text": " por eso se utiliza par\u00e9ntesis"}, {"start": 1084.0, "end": 1088.0, "text": " y eso uni\u00f3n con el intervalo que va desde 4"}, {"start": 1088.0, "end": 1090.0, "text": " hasta m\u00e1s infinito"}, {"start": 1090.0, "end": 1094.0, "text": " abierto en 4 porque dijimos que el 4 no se toma"}, {"start": 1094.0, "end": 1098.0, "text": " y l\u00f3gicamente tambi\u00e9n abierto en m\u00e1s infinito"}, {"start": 1098.0, "end": 1101.0, "text": " este conjunto soluci\u00f3n tambi\u00e9n podemos expresarlo"}, {"start": 1101.0, "end": 1103.0, "text": " en notaci\u00f3n de desigualdad"}, {"start": 1103.0, "end": 1105.0, "text": " nos quedar\u00eda as\u00ed"}, {"start": 1105.0, "end": 1107.0, "text": " esta primera zona que sirve"}, {"start": 1107.0, "end": 1109.0, "text": " son los valores de x"}, {"start": 1109.0, "end": 1113.0, "text": " comprendidos entre menos 1 y 2"}, {"start": 1113.0, "end": 1115.0, "text": " se lee los x mayores que menos 1"}, {"start": 1115.0, "end": 1118.0, "text": " y al mismo tiempo son valores de x menores que 2"}, {"start": 1118.0, "end": 1122.0, "text": " y eso se debe unir con los valores de x"}, {"start": 1122.0, "end": 1124.0, "text": " que est\u00e1n despu\u00e9s de 4"}, {"start": 1124.0, "end": 1128.0, "text": " es decir, los x mayores que 4"}, {"start": 1128.0, "end": 1131.0, "text": " despu\u00e9s de haber resuelto el ejercicio manualmente"}, {"start": 1131.0, "end": 1133.0, "text": " podemos hacer su comprobaci\u00f3n"}, {"start": 1133.0, "end": 1135.0, "text": " en una calculadora como esta"}, {"start": 1135.0, "end": 1137.0, "text": " comenzamos oprimiendo el bot\u00f3n men\u00fa"}, {"start": 1137.0, "end": 1140.0, "text": " all\u00ed vemos unas opciones en pantalla"}, {"start": 1140.0, "end": 1142.0, "text": " entonces nos movemos hasta llegar"}, {"start": 1142.0, "end": 1144.0, "text": " a la que corresponde a las desigualdades"}, {"start": 1144.0, "end": 1146.0, "text": " la opci\u00f3n B"}, {"start": 1146.0, "end": 1148.0, "text": " entonces oprimimos el bot\u00f3n igual"}, {"start": 1148.0, "end": 1150.0, "text": " para entrar a ese modo"}, {"start": 1150.0, "end": 1153.0, "text": " nos preguntan por el grado del polinomio"}, {"start": 1153.0, "end": 1155.0, "text": " aqu\u00ed tenemos un polinomio de grado 3"}, {"start": 1155.0, "end": 1158.0, "text": " entonces oprimimos la tecla del 3"}, {"start": 1158.0, "end": 1161.0, "text": " y llegamos a 4 opciones de desigualdad c\u00fabica"}, {"start": 1161.0, "end": 1163.0, "text": " mayor que 0, menor que 0"}, {"start": 1163.0, "end": 1165.0, "text": " mayor o igual que 0"}, {"start": 1165.0, "end": 1167.0, "text": " y menor o igual que 0"}, {"start": 1167.0, "end": 1169.0, "text": " en este caso tenemos la expresi\u00f3n"}, {"start": 1169.0, "end": 1171.0, "text": " mayor que 0"}, {"start": 1171.0, "end": 1173.0, "text": " es decir, la opci\u00f3n 1"}, {"start": 1173.0, "end": 1175.0, "text": " entonces oprimimos la tecla del 1"}, {"start": 1175.0, "end": 1177.0, "text": " y llegamos a una nueva pantalla"}, {"start": 1177.0, "end": 1179.0, "text": " donde tenemos que ingresar"}, {"start": 1179.0, "end": 1182.0, "text": " los coeficientes de cada uno de estos t\u00e9rminos"}, {"start": 1182.0, "end": 1185.0, "text": " comenzamos con el coeficiente de x al cubo"}, {"start": 1185.0, "end": 1186.0, "text": " que ser\u00e1 1"}, {"start": 1186.0, "end": 1189.0, "text": " entonces oprimimos el 1 y luego el bot\u00f3n igual"}, {"start": 1189.0, "end": 1191.0, "text": " para ingresar ese valor"}, {"start": 1191.0, "end": 1193.0, "text": " despu\u00e9s el coeficiente de x al cuadrado"}, {"start": 1193.0, "end": 1195.0, "text": " que es menos 5"}, {"start": 1195.0, "end": 1197.0, "text": " bot\u00f3n del signo menos, luego el 5"}, {"start": 1197.0, "end": 1199.0, "text": " y oprimimos el signo igual"}, {"start": 1199.0, "end": 1202.0, "text": " luego el coeficiente de x que es 2 positivo"}, {"start": 1202.0, "end": 1204.0, "text": " entonces oprimimos el 2"}, {"start": 1204.0, "end": 1206.0, "text": " y luego el bot\u00f3n igual"}, {"start": 1206.0, "end": 1209.0, "text": " finalmente el t\u00e9rmino independiente que es el 8"}, {"start": 1209.0, "end": 1212.0, "text": " entonces 8 signo igual"}, {"start": 1212.0, "end": 1216.0, "text": " y ya hemos ingresado de esa manera los valores"}, {"start": 1216.0, "end": 1219.0, "text": " lo que hacemos ahora es oprimir el bot\u00f3n igual"}, {"start": 1219.0, "end": 1223.0, "text": " y nos aparece en pantalla el conjunto soluci\u00f3n"}, {"start": 1223.0, "end": 1225.0, "text": " all\u00ed vemos este primer intervalo"}, {"start": 1225.0, "end": 1228.0, "text": " que es el que va entre menos 1 y 2"}, {"start": 1228.0, "end": 1230.0, "text": " tal como lo tenemos ac\u00e1"}, {"start": 1230.0, "end": 1234.0, "text": " y el otro que aqu\u00ed aparece como 4 menor que x"}, {"start": 1234.0, "end": 1238.0, "text": " es lo mismo que decir x mayor que 4"}, {"start": 1238.0, "end": 1242.0, "text": " simplemente aqu\u00ed la desigualdad se lee en sentido contrario"}, {"start": 1242.0, "end": 1245.0, "text": " con esto comprobamos que el ejercicio"}, {"start": 1245.0, "end": 1273.0, "text": " que resolvimos manualmente es correcto"}]

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RECTA NORMAL A UNA CURVA - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo hallar la ecuación de la recta normal a una curva en un punto específico. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a hallar la ecuación de la recta normal a esa curva en el punto de abscisa 1. No conocemos su ordenada. Vamos a comenzar entonces por hallar ese dato. Para ello evaluamos la función cuando x toma el valor 1. Entonces y es igual al logaritmo natural de la raíz quinta de 2 por 1 menos 1, esto sobre 1 al cubo. Allí entonces reemplazamos x o la abscisa por el valor 1 y resolvemos esas operaciones. Nos queda el logaritmo natural de la raíz quinta de 2 por 1 nos da 2, 2 menos 1 es 1. En el numerador 1 al cubo nos da 1 en el denominador. Seguimos resolviendo. 1 sobre 1 nos da 1. Y la raíz quinta de 1 es igual a 1. Y logaritmo natural de 1 nos da 0. Esa será entonces la ordenada del punto donde debemos hallar la ecuación de la recta normal. Supongamos que esa curva tiene esta forma y que el punto donde nos pide hallar la ecuación de la recta es este. Tenemos allí el punto P. Por ese punto pasa una recta tangente cuya pendiente la vamos a llamar MT. Pendiente de la recta tangente. Y este valor se determina evaluando la derivada de esa función en este punto. Que se convierte en el punto de tangencia. Ahora por ese mismo punto pasa otra recta que es la normal. Y que es perpendicular a la recta tangente. Esta recta tiene pendiente MM. La pendiente de la recta normal. Como esas dos rectas son perpendiculares entonces el producto de sus pendientes debe ser menos 1. Recordemos que esa es la propiedad que cumplen dos rectas que son perpendiculares. El producto de sus pendientes es menos 1. Entonces lo que hacemos a continuación es obtener la derivada de la función que nos dan. Para poder hallar el valor de la pendiente de la recta tangente en ese punto. Comenzamos por transformar esa función. Tenemos allí una raíz quinta que podemos cambiar al exponente un quinto. Esto de adentro nos queda igual. 2x menos 1 sobre x al cubo. Y ahora este exponente puede bajar por propiedad de los logaritmos. Nos queda un quinto por logaritmo natural de 2x menos 1 sobre x al cubo. Allí hemos aplicado la propiedad que dice que si tenemos el logaritmo de una potencia. En este caso logaritmo natural de A elevada al exponente B. Entonces B baja a multiplicar con el logaritmo. Esto es la propiedad que hemos aplicado en ese caso. A su vez esto puede transformarse. Tenemos aquí el logaritmo de un cociente. Recordemos la propiedad que se aplica en ese caso. Logaritmo natural de A sobre B es igual a logaritmo natural de A menos logaritmo natural de B. Por lo tanto esto nos queda así. Y igual a un quinto por vamos a abrir un corchete. Nos queda logaritmo natural de 2x menos 1 y esto menos logaritmo natural de x al cubo. Aplicando entonces esa propiedad. De nuevo tenemos el logaritmo de una potencia. Entonces este exponente puede bajar a multiplicar por la propiedad que veíamos hace un momento. Entonces la función nos queda y igual a un quinto por logaritmo natural de 2x menos 1. Y esto menos, aquí bajamos el 3 a multiplicar. Nos queda 3 por logaritmo natural de x y cerramos el corchete. Entonces esta expresión que hemos obtenido es equivalente a la original. Es la misma función. Solamente que acá está mucho más fácil de derivar. Por eso vale la pena hacer esa transformación. Ahora sí iniciamos el proceso de derivación. Derivada de y con respecto a x será igual a lo siguiente. Como un quinto multiplica a toda esta expresión entonces se queda quieto. Esa constante está multiplicando, la dejamos allí como acompañante. Y entramos a derivar lo que hay dentro del corchete. Allí tenemos una resta. Entonces derivamos cada uno de los componentes. Vamos con el primero. Recordemos que si tenemos logaritmo natural de manzanita. Entonces la derivada de eso será igual a manzanita prima sobre manzanita. En este caso la manzanita es 2x menos 1. Entonces siguiendo esta instrucción nos queda así. En el numerador la derivada de la manzanita. La derivada de 2x menos 1. Allí derivamos cada término por ser una resta. Derivada de 2x nos da 2. Derivada de este número nos da 0. Por lo tanto la derivada de 2x menos 1 es 2. Y en el denominador va la manzanita. Es decir 2x menos 1. Pasamos ahora al siguiente término. Donde otra vez el 3 se está multiplicando con esta expresión que contiene la x. Entonces 3 se deja quieto. Está multiplicando. Es lo mismo que pasaba con un quinto. Y derivamos este componente. La derivada del logaritmo natural de x. Siguiendo esta instrucción será 1 sobre x. 1 es la derivada de x. Y cerramos el corchete. Podríamos organizar esa expresión de una forma mucho más compacta. Pero podemos dejarla allí. Porque lo que nos interesa es obtener el valor de la pendiente de la recta tangente. Entonces como decíamos ahora. La pendiente de la tangente será la derivada de y de x. Evaluada en el punto de tangencia. Es decir cuando x toma el valor 1. En ese caso solamente se utiliza el valor de x. Porque es el que aparece en esta expresión. No se utiliza el valor de y. Entonces vamos a reemplazar. 1 aquí donde tenemos las x. Vamos resolviendo. Nos queda un quinto por. Abrimos el corchete. 2 sobre. Veamos. 2 por 1 nos da 2. 2 menos 1 nos da 1. Menos. Aquí. 1 sobre 1 nos da 1. Y 3 por 1 nos da 3. Continuamos resolviendo. Esto nos queda un quinto. Por. Esto nos da 2. 2 menos 3 nos da menos 1. Y un quinto por menos 1 es menos un quinto. Entonces la pendiente de la recta tangente. A esa curva en este punto. Nos dio menos un quinto. Para encontrar fácilmente el valor de la pendiente de la normal. Hacemos lo siguiente. Invertimos este valor. Y le cambiamos el signo. Si le invertimos nos queda menos 5. Y cambiando el signo nos queda 5 positivo. De esa manera menos un quinto por 5. Nos da menos 1. Ahí se cumple el requisito. Para la tangente y la normal. Que son rectas perpendiculares. Conociendo el valor de la pendiente de la recta normal. Y el punto por donde pasa. Podemos hallar la ecuación que nos solicitan. La ecuación de la recta normal. Para ello vamos a utilizar el modelo punto pendiente. Recordemos que dice y menos y uno. Igual a m por x menos x uno. Donde x uno y y uno. Son los componentes del punto p. El punto por donde pasa la recta normal. Reemplazamos entonces los componentes. Nos queda y menos y uno. Que vale cero. Igual a la pendiente. De la recta normal que vale cinco. Y esto multiplicado por x menos x uno. Pero x uno vale uno. Resolvemos eso. Y menos cero nos queda y. Y acá distribuimos el cinco. Cinco por x nos da cinco x. Cinco por menos uno es menos cinco. Aquí tenemos entonces la ecuación de la recta normal. A esta curva en este punto. En el punto de abscisa uno. Esta presentada en la forma y igual a mx más b.

[{"start": 0.0, "end": 12.0, "text": " Vamos a hallar la ecuaci\u00f3n de la recta normal a esa curva en el punto de abscisa 1. No conocemos su ordenada."}, {"start": 12.0, "end": 20.0, "text": " Vamos a comenzar entonces por hallar ese dato. Para ello evaluamos la funci\u00f3n cuando x toma el valor 1."}, {"start": 20.0, "end": 32.0, "text": " Entonces y es igual al logaritmo natural de la ra\u00edz quinta de 2 por 1 menos 1, esto sobre 1 al cubo."}, {"start": 32.0, "end": 40.0, "text": " All\u00ed entonces reemplazamos x o la abscisa por el valor 1 y resolvemos esas operaciones."}, {"start": 40.0, "end": 46.0, "text": " Nos queda el logaritmo natural de la ra\u00edz quinta de 2 por 1 nos da 2, 2 menos 1 es 1."}, {"start": 46.0, "end": 54.0, "text": " En el numerador 1 al cubo nos da 1 en el denominador. Seguimos resolviendo. 1 sobre 1 nos da 1."}, {"start": 54.0, "end": 60.0, "text": " Y la ra\u00edz quinta de 1 es igual a 1. 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Tenemos all\u00ed una ra\u00edz quinta que podemos cambiar al exponente un quinto."}, {"start": 148.0, "end": 153.0, "text": " Esto de adentro nos queda igual. 2x menos 1 sobre x al cubo."}, {"start": 153.0, "end": 158.0, "text": " Y ahora este exponente puede bajar por propiedad de los logaritmos."}, {"start": 158.0, "end": 166.0, "text": " Nos queda un quinto por logaritmo natural de 2x menos 1 sobre x al cubo."}, {"start": 166.0, "end": 172.0, "text": " All\u00ed hemos aplicado la propiedad que dice que si tenemos el logaritmo de una potencia."}, {"start": 172.0, "end": 176.0, "text": " En este caso logaritmo natural de A elevada al exponente B."}, {"start": 176.0, "end": 180.0, "text": " Entonces B baja a multiplicar con el logaritmo."}, {"start": 180.0, "end": 183.0, "text": " Esto es la propiedad que hemos aplicado en ese caso."}, {"start": 183.0, "end": 188.0, "text": " A su vez esto puede transformarse. Tenemos aqu\u00ed el logaritmo de un cociente."}, {"start": 188.0, "end": 192.0, "text": " Recordemos la propiedad que se aplica en ese caso."}, {"start": 192.0, "end": 199.0, "text": " Logaritmo natural de A sobre B es igual a logaritmo natural de A menos logaritmo natural de B."}, {"start": 199.0, "end": 201.0, "text": " Por lo tanto esto nos queda as\u00ed."}, {"start": 201.0, "end": 207.0, "text": " Y igual a un quinto por vamos a abrir un corchete."}, {"start": 207.0, "end": 216.0, "text": " Nos queda logaritmo natural de 2x menos 1 y esto menos logaritmo natural de x al cubo."}, {"start": 216.0, "end": 219.0, "text": " Aplicando entonces esa propiedad."}, {"start": 219.0, "end": 222.0, "text": " De nuevo tenemos el logaritmo de una potencia."}, {"start": 222.0, "end": 228.0, "text": " Entonces este exponente puede bajar a multiplicar por la propiedad que ve\u00edamos hace un momento."}, {"start": 228.0, "end": 237.0, "text": " Entonces la funci\u00f3n nos queda y igual a un quinto por logaritmo natural de 2x menos 1."}, {"start": 237.0, "end": 241.0, "text": " Y esto menos, aqu\u00ed bajamos el 3 a multiplicar."}, {"start": 241.0, "end": 246.0, "text": " Nos queda 3 por logaritmo natural de x y cerramos el corchete."}, {"start": 246.0, "end": 251.0, "text": " Entonces esta expresi\u00f3n que hemos obtenido es equivalente a la original."}, {"start": 251.0, "end": 253.0, "text": " Es la misma funci\u00f3n."}, {"start": 253.0, "end": 257.0, "text": " Solamente que ac\u00e1 est\u00e1 mucho m\u00e1s f\u00e1cil de derivar."}, {"start": 257.0, "end": 260.0, "text": " Por eso vale la pena hacer esa transformaci\u00f3n."}, {"start": 260.0, "end": 263.0, "text": " Ahora s\u00ed iniciamos el proceso de derivaci\u00f3n."}, {"start": 263.0, "end": 268.0, "text": " Derivada de y con respecto a x ser\u00e1 igual a lo siguiente."}, {"start": 268.0, "end": 273.0, "text": " Como un quinto multiplica a toda esta expresi\u00f3n entonces se queda quieto."}, {"start": 273.0, "end": 278.0, "text": " Esa constante est\u00e1 multiplicando, la dejamos all\u00ed como acompa\u00f1ante."}, {"start": 278.0, "end": 281.0, "text": " Y entramos a derivar lo que hay dentro del corchete."}, {"start": 281.0, "end": 283.0, "text": " All\u00ed tenemos una resta."}, {"start": 283.0, "end": 286.0, "text": " Entonces derivamos cada uno de los componentes."}, {"start": 286.0, "end": 287.0, "text": " Vamos con el primero."}, {"start": 287.0, "end": 291.0, "text": " Recordemos que si tenemos logaritmo natural de manzanita."}, {"start": 291.0, "end": 300.0, "text": " Entonces la derivada de eso ser\u00e1 igual a manzanita prima sobre manzanita."}, {"start": 300.0, "end": 304.0, "text": " En este caso la manzanita es 2x menos 1."}, {"start": 304.0, "end": 308.0, "text": " Entonces siguiendo esta instrucci\u00f3n nos queda as\u00ed."}, {"start": 308.0, "end": 310.0, "text": " En el numerador la derivada de la manzanita."}, {"start": 310.0, "end": 312.0, "text": " La derivada de 2x menos 1."}, {"start": 312.0, "end": 316.0, "text": " All\u00ed derivamos cada t\u00e9rmino por ser una resta."}, {"start": 316.0, "end": 318.0, "text": " Derivada de 2x nos da 2."}, {"start": 318.0, "end": 320.0, "text": " Derivada de este n\u00famero nos da 0."}, {"start": 320.0, "end": 324.0, "text": " Por lo tanto la derivada de 2x menos 1 es 2."}, {"start": 324.0, "end": 326.0, "text": " Y en el denominador va la manzanita."}, {"start": 326.0, "end": 330.0, "text": " Es decir 2x menos 1."}, {"start": 330.0, "end": 332.0, "text": " Pasamos ahora al siguiente t\u00e9rmino."}, {"start": 332.0, "end": 338.0, "text": " Donde otra vez el 3 se est\u00e1 multiplicando con esta expresi\u00f3n que contiene la x."}, {"start": 338.0, "end": 340.0, "text": " Entonces 3 se deja quieto."}, {"start": 340.0, "end": 341.0, "text": " Est\u00e1 multiplicando."}, {"start": 341.0, "end": 343.0, "text": " Es lo mismo que pasaba con un quinto."}, {"start": 343.0, "end": 345.0, "text": " Y derivamos este componente."}, {"start": 345.0, "end": 347.0, "text": " La derivada del logaritmo natural de x."}, {"start": 347.0, "end": 351.0, "text": " Siguiendo esta instrucci\u00f3n ser\u00e1 1 sobre x."}, {"start": 351.0, "end": 354.0, "text": " 1 es la derivada de x."}, {"start": 354.0, "end": 357.0, "text": " Y cerramos el corchete."}, {"start": 357.0, "end": 362.0, "text": " Podr\u00edamos organizar esa expresi\u00f3n de una forma mucho m\u00e1s compacta."}, {"start": 362.0, "end": 364.0, "text": " Pero podemos dejarla all\u00ed."}, {"start": 364.0, "end": 369.0, "text": " Porque lo que nos interesa es obtener el valor de la pendiente de la recta tangente."}, {"start": 369.0, "end": 371.0, "text": " Entonces como dec\u00edamos ahora."}, {"start": 371.0, "end": 375.0, "text": " La pendiente de la tangente ser\u00e1 la derivada de y de x."}, {"start": 375.0, "end": 378.0, "text": " Evaluada en el punto de tangencia."}, {"start": 378.0, "end": 382.0, "text": " Es decir cuando x toma el valor 1."}, {"start": 382.0, "end": 385.0, "text": " En ese caso solamente se utiliza el valor de x."}, {"start": 385.0, "end": 388.0, "text": " Porque es el que aparece en esta expresi\u00f3n."}, {"start": 388.0, "end": 390.0, "text": " No se utiliza el valor de y."}, {"start": 390.0, "end": 392.0, "text": " Entonces vamos a reemplazar."}, {"start": 392.0, "end": 394.0, "text": " 1 aqu\u00ed donde tenemos las x."}, {"start": 394.0, "end": 396.0, "text": " Vamos resolviendo."}, {"start": 396.0, "end": 398.0, "text": " Nos queda un quinto por."}, {"start": 398.0, "end": 400.0, "text": " Abrimos el corchete."}, {"start": 400.0, "end": 402.0, "text": " 2 sobre. Veamos."}, {"start": 402.0, "end": 404.0, "text": " 2 por 1 nos da 2."}, {"start": 404.0, "end": 406.0, "text": " 2 menos 1 nos da 1."}, {"start": 406.0, "end": 407.0, "text": " Menos. Aqu\u00ed."}, {"start": 407.0, "end": 409.0, "text": " 1 sobre 1 nos da 1."}, {"start": 409.0, "end": 411.0, "text": " Y 3 por 1 nos da 3."}, {"start": 411.0, "end": 413.0, "text": " Continuamos resolviendo."}, {"start": 413.0, "end": 415.0, "text": " Esto nos queda un quinto."}, {"start": 415.0, "end": 417.0, "text": " Por. Esto nos da 2."}, {"start": 417.0, "end": 420.0, "text": " 2 menos 3 nos da menos 1."}, {"start": 420.0, "end": 425.0, "text": " Y un quinto por menos 1 es menos un quinto."}, {"start": 425.0, "end": 428.0, "text": " Entonces la pendiente de la recta tangente."}, {"start": 428.0, "end": 430.0, "text": " A esa curva en este punto."}, {"start": 430.0, "end": 432.0, "text": " Nos dio menos un quinto."}, {"start": 432.0, "end": 436.0, "text": " Para encontrar f\u00e1cilmente el valor de la pendiente de la normal."}, {"start": 436.0, "end": 438.0, "text": " Hacemos lo siguiente."}, {"start": 438.0, "end": 440.0, "text": " Invertimos este valor."}, {"start": 440.0, "end": 442.0, "text": " Y le cambiamos el signo."}, {"start": 442.0, "end": 444.0, "text": " Si le invertimos nos queda menos 5."}, {"start": 444.0, "end": 447.0, "text": " Y cambiando el signo nos queda 5 positivo."}, {"start": 447.0, "end": 449.0, "text": " De esa manera menos un quinto por 5."}, {"start": 449.0, "end": 451.0, "text": " Nos da menos 1."}, {"start": 451.0, "end": 453.0, "text": " Ah\u00ed se cumple el requisito."}, {"start": 453.0, "end": 455.0, "text": " Para la tangente y la normal."}, {"start": 455.0, "end": 457.0, "text": " Que son rectas perpendiculares."}, {"start": 457.0, "end": 460.0, "text": " Conociendo el valor de la pendiente de la recta normal."}, {"start": 460.0, "end": 462.0, "text": " Y el punto por donde pasa."}, {"start": 462.0, "end": 466.0, "text": " Podemos hallar la ecuaci\u00f3n que nos solicitan."}, {"start": 466.0, "end": 469.0, "text": " La ecuaci\u00f3n de la recta normal."}, {"start": 469.0, "end": 473.0, "text": " Para ello vamos a utilizar el modelo punto pendiente."}, {"start": 473.0, "end": 475.0, "text": " Recordemos que dice y menos y uno."}, {"start": 475.0, "end": 479.0, "text": " Igual a m por x menos x uno."}, {"start": 479.0, "end": 481.0, "text": " Donde x uno y y uno."}, {"start": 481.0, "end": 484.0, "text": " Son los componentes del punto p."}, {"start": 484.0, "end": 487.0, "text": " El punto por donde pasa la recta normal."}, {"start": 487.0, "end": 489.0, "text": " Reemplazamos entonces los componentes."}, {"start": 489.0, "end": 492.0, "text": " Nos queda y menos y uno."}, {"start": 492.0, "end": 494.0, "text": " Que vale cero."}, {"start": 494.0, "end": 496.0, "text": " Igual a la pendiente."}, {"start": 496.0, "end": 499.0, "text": " De la recta normal que vale cinco."}, {"start": 499.0, "end": 502.0, "text": " Y esto multiplicado por x menos x uno."}, {"start": 502.0, "end": 505.0, "text": " Pero x uno vale uno."}, {"start": 505.0, "end": 507.0, "text": " Resolvemos eso."}, {"start": 507.0, "end": 509.0, "text": " Y menos cero nos queda y."}, {"start": 509.0, "end": 511.0, "text": " Y ac\u00e1 distribuimos el cinco."}, {"start": 511.0, "end": 513.0, "text": " Cinco por x nos da cinco x."}, {"start": 513.0, "end": 516.0, "text": " Cinco por menos uno es menos cinco."}, {"start": 516.0, "end": 520.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos entonces la ecuaci\u00f3n de la recta normal."}, {"start": 520.0, "end": 523.0, "text": " A esta curva en este punto."}, {"start": 523.0, "end": 525.0, "text": " En el punto de abscisa uno."}, {"start": 525.0, "end": 530.0, "text": " Esta presentada en la forma y igual a mx m\u00e1s b."}]

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SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 3×3 - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales de 3x3, usando el Método de Reducción o Eliminación y después el Método de Sustitución. Tema: #SistemasDeEcuaciones → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEFAYT8s7eBiUPuANxiqi_l REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

TENEMOS EN ESTE CASO UN SISTEMA DE EQUACIONES LINEALES DE 3x3, 3 ecuaciones con 3 incógnitas, que son las letras M, N y P. Comenzamos por numerar las ecuaciones y vamos a utilizar el método de eliminación o reducción. Vamos a deshacernos de una de esas letras para llevar el sistema a uno de 2x2. Podemos elegir las ecuaciones 2 y 3 para deshacernos de la letra P. Vemos que aquí P tiene coeficiente menos 6. Necesitamos que acá tenga coeficiente 6. Entonces para ello multiplicamos la ecuación 2x6. Multiplicamos por 6 a ambos lados de la igualdad. 6xP nos da 6P, 6x-7N nos da-42N y al otro lado del signo igual tenemos 6x4 que nos da 24. La ecuación 3 la escribimos acá debajo. Esa no sufre ningún cambio. Entonces tenemos M-6P y todo eso igual a 1. Ahora sumamos esas dos expresiones en forma vertical. Lo que se nota allí es que 6P se elimina con menos 6P. Esa suma nos da cero. Es allí cuando ocurre la reducción o eliminación de esa incógnita. Nos queda entonces M-42N y al otro lado del signo igual sumamos estos números. Eso nos da 25. Esa ecuación que es nueva la escribimos por acá. M-42N igual a 25. Y la vamos a etiquetar como la ecuación número 4. Podríamos volver a utilizar el método de eliminación o reducción trabajando la ecuación 4 con la ecuación 1 que tienen las incógnitas M y N. Pero vamos a cambiar de método. Vamos a utilizar el método de sustitución. Para ello despejamos de aquí una incógnita que esté fácil. En este caso la letra M. Entonces para despejar M pasamos este término al otro lado. Nos queda 25 más 42N. Y esta nueva expresión la etiquetamos como la expresión o ecuación número 5. Ahora vamos a realizar la sustitución de 5 en 1. Entonces la expresión 5 va a entrar en la expresión 1. Allí hacemos la sustitución. Tenemos entonces lo siguiente. 3M. Entonces 3 por lo que equivale M que es 25 más 42N. Todo eso más 2N igual a 11. Y vamos a resolver esta ecuación que ahora solamente contiene la incógnita N. Rompemos este paréntesis aplicando la propiedad distributiva. Tenemos 3 por 25 que nos da 75. 3 por más 42N. Eso nos da más 126N. Todo esto más 2N igualado con 11. Y vamos a realizar la transposición de términos. Dejamos en el lado izquierdo los términos que contienen la N. Y en el lado derecho los números. Se queda 11. Y pasamos este número. Llega al otro lado a restar. Efectuamos acá. Esto nos da 128N. Suma de términos semejantes. Y acá 11 menos 75 nos da menos 64. De allí podemos hacer el despeje de la incógnita N. Para ello pasamos 128 que está multiplicando al otro lado a dividir. O es como dividir ambos lados de la igualdad por 128. Nos queda menos 64 dividido entre 128. Y vamos a simplificar al máximo esa fracción. Esto nos va a quedar con signo de 12. Podríamos sacar por ejemplo mitad de 64 nos da 32. Y mitad de 128 nos da 64. Y vemos que 32 es la mitad de 64. Entonces allí podemos dividir arriba y abajo por 32. 32A de 32 nos da 1. 32A de 64 nos da 2. Entonces el resultado para N será menos un medio. Anotamos ese resultado por acá. Y podemos aprovechar la expresión 5. Donde la letra M está despejada. Solamente necesitamos ingresar aquí el valor que encontramos para N. Entonces aquí en esta expresión tenemos M igual a 25 más 42 por el valor de N que es menos un medio. Y resolvemos esas operaciones. Tenemos M igual a 25. Aquí tenemos más por menos nos da menos. 42 por un medio será 42 medios. Es decir la mitad de 42 que es 21. Y efectuando esa operación nos da 4. Ese será el valor de la incógnita M. Anotamos ese resultado por acá. Y nos queda por averiguar el valor de P. Para ello podemos utilizar bien sea la ecuación 2 o la ecuación 3. La que nos parezca más fácil. Entonces vamos a la ecuación 2. Allí vamos a reemplazar el valor de N. Y de esa manera averiguamos P. Nos queda P menos 7 por N. 7 por menos un medio. El valor de N. Y todo esto igual a 4. Resolvemos ahora esa ecuación. Nos queda P aquí menos por menos nos da más. 7 por un medio es 7 medios. Esto igual a 4. Y allí despejamos P. Pasamos 7 medios al otro lado. Nos queda 4 menos 7 medios. Podemos cambiar el 4 por 8 medios. Para que tengamos una resta de fracciones homogéneas. Fracciones con el mismo denominador. Entonces P será igual a lo siguiente. Conservamos el denominador que es 2. Y efectuamos la resta de numeradores. 8 menos 7 nos da 1. De esta manera ya tenemos los valores de las incógnitas. En este sistema de ecuaciones lineales de 3 por 3. Comenzamos con el valor de M que es 4. Luego el valor de N que es menos un medio. Y después el valor de P que nos dio un medio. Respetamos el orden alfabético. M, N y P. De esta manera conformamos la terna que constituye la solución para ese sistema de ecuaciones lineales de 3 por 3. Y así terminamos. Es un sistema con solución única.

[{"start": 0.0, "end": 11.28, "text": " TENEMOS EN ESTE CASO UN SISTEMA DE EQUACIONES LINEALES DE 3x3, 3 ecuaciones con 3 inc\u00f3gnitas,"}, {"start": 11.28, "end": 19.2, "text": " que son las letras M, N y P. Comenzamos por numerar las ecuaciones y vamos a utilizar"}, {"start": 19.2, "end": 25.400000000000002, "text": " el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n o reducci\u00f3n. Vamos a deshacernos de una de esas letras para llevar"}, {"start": 25.4, "end": 33.04, "text": " el sistema a uno de 2x2. Podemos elegir las ecuaciones 2 y 3 para deshacernos de la letra"}, {"start": 33.04, "end": 38.8, "text": " P. Vemos que aqu\u00ed P tiene coeficiente menos 6. Necesitamos que ac\u00e1 tenga coeficiente"}, {"start": 38.8, "end": 46.519999999999996, "text": " 6. Entonces para ello multiplicamos la ecuaci\u00f3n 2x6. Multiplicamos por 6 a ambos lados de"}, {"start": 46.52, "end": 59.160000000000004, "text": " la igualdad. 6xP nos da 6P, 6x-7N nos da-42N y al otro lado del signo igual tenemos 6x4"}, {"start": 59.160000000000004, "end": 66.12, "text": " que nos da 24. La ecuaci\u00f3n 3 la escribimos ac\u00e1 debajo. Esa no sufre ning\u00fan cambio."}, {"start": 66.12, "end": 76.4, "text": " Entonces tenemos M-6P y todo eso igual a 1. Ahora sumamos esas dos expresiones en forma"}, {"start": 76.4, "end": 83.68, "text": " vertical. Lo que se nota all\u00ed es que 6P se elimina con menos 6P. Esa suma nos da cero."}, {"start": 83.68, "end": 93.62, "text": " Es all\u00ed cuando ocurre la reducci\u00f3n o eliminaci\u00f3n de esa inc\u00f3gnita. Nos queda entonces M-42N"}, {"start": 93.62, "end": 100.24000000000001, "text": " y al otro lado del signo igual sumamos estos n\u00fameros. Eso nos da 25. Esa ecuaci\u00f3n que"}, {"start": 100.24000000000001, "end": 112.16, "text": " es nueva la escribimos por ac\u00e1. M-42N igual a 25. Y la vamos a etiquetar como la ecuaci\u00f3n"}, {"start": 112.16, "end": 119.28, "text": " n\u00famero 4. Podr\u00edamos volver a utilizar el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n o reducci\u00f3n trabajando"}, {"start": 119.28, "end": 125.72, "text": " la ecuaci\u00f3n 4 con la ecuaci\u00f3n 1 que tienen las inc\u00f3gnitas M y N. Pero vamos a cambiar"}, {"start": 125.72, "end": 131.24, "text": " de m\u00e9todo. Vamos a utilizar el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n. Para ello despejamos de aqu\u00ed"}, {"start": 131.24, "end": 137.66, "text": " una inc\u00f3gnita que est\u00e9 f\u00e1cil. En este caso la letra M. Entonces para despejar M pasamos"}, {"start": 137.66, "end": 147.16, "text": " este t\u00e9rmino al otro lado. Nos queda 25 m\u00e1s 42N. Y esta nueva expresi\u00f3n la etiquetamos"}, {"start": 147.16, "end": 153.76, "text": " como la expresi\u00f3n o ecuaci\u00f3n n\u00famero 5. Ahora vamos a realizar la sustituci\u00f3n de"}, {"start": 153.76, "end": 164.2, "text": " 5 en 1. Entonces la expresi\u00f3n 5 va a entrar en la expresi\u00f3n 1. All\u00ed hacemos la sustituci\u00f3n."}, {"start": 164.2, "end": 173.8, "text": " Tenemos entonces lo siguiente. 3M. Entonces 3 por lo que equivale M que es 25 m\u00e1s 42N."}, {"start": 173.8, "end": 182.14000000000001, "text": " Todo eso m\u00e1s 2N igual a 11. Y vamos a resolver esta ecuaci\u00f3n que ahora solamente contiene"}, {"start": 182.14000000000001, "end": 189.82000000000002, "text": " la inc\u00f3gnita N. Rompemos este par\u00e9ntesis aplicando la propiedad distributiva. Tenemos"}, {"start": 189.82000000000002, "end": 200.08, "text": " 3 por 25 que nos da 75. 3 por m\u00e1s 42N. Eso nos da m\u00e1s 126N. Todo esto m\u00e1s 2N igualado"}, {"start": 200.08, "end": 206.0, "text": " con 11. Y vamos a realizar la transposici\u00f3n de t\u00e9rminos. Dejamos en el lado izquierdo"}, {"start": 206.0, "end": 211.86, "text": " los t\u00e9rminos que contienen la N. Y en el lado derecho los n\u00fameros. Se queda 11. Y"}, {"start": 211.86, "end": 218.84, "text": " pasamos este n\u00famero. Llega al otro lado a restar. Efectuamos ac\u00e1. Esto nos da 128N."}, {"start": 218.84, "end": 226.3, "text": " Suma de t\u00e9rminos semejantes. Y ac\u00e1 11 menos 75 nos da menos 64. De all\u00ed podemos hacer"}, {"start": 226.3, "end": 232.62, "text": " el despeje de la inc\u00f3gnita N. Para ello pasamos 128 que est\u00e1 multiplicando al otro lado a"}, {"start": 232.62, "end": 240.82000000000002, "text": " dividir. O es como dividir ambos lados de la igualdad por 128. Nos queda menos 64 dividido"}, {"start": 240.82000000000002, "end": 247.64000000000001, "text": " entre 128. Y vamos a simplificar al m\u00e1ximo esa fracci\u00f3n. Esto nos va a quedar con signo"}, {"start": 247.64, "end": 256.12, "text": " de 12. Podr\u00edamos sacar por ejemplo mitad de 64 nos da 32. Y mitad de 128 nos da 64."}, {"start": 256.12, "end": 263.84, "text": " Y vemos que 32 es la mitad de 64. Entonces all\u00ed podemos dividir arriba y abajo por 32."}, {"start": 263.84, "end": 274.84, "text": " 32A de 32 nos da 1. 32A de 64 nos da 2. Entonces el resultado para N ser\u00e1 menos un medio."}, {"start": 274.84, "end": 280.9, "text": " Anotamos ese resultado por ac\u00e1. Y podemos aprovechar la expresi\u00f3n 5. Donde la letra"}, {"start": 280.9, "end": 287.97999999999996, "text": " M est\u00e1 despejada. Solamente necesitamos ingresar aqu\u00ed el valor que encontramos para N. Entonces"}, {"start": 287.97999999999996, "end": 298.09999999999997, "text": " aqu\u00ed en esta expresi\u00f3n tenemos M igual a 25 m\u00e1s 42 por el valor de N que es menos"}, {"start": 298.1, "end": 305.54, "text": " un medio. Y resolvemos esas operaciones. Tenemos M igual a 25. Aqu\u00ed tenemos m\u00e1s por menos"}, {"start": 305.54, "end": 314.3, "text": " nos da menos. 42 por un medio ser\u00e1 42 medios. Es decir la mitad de 42 que es 21. Y efectuando"}, {"start": 314.3, "end": 321.1, "text": " esa operaci\u00f3n nos da 4. Ese ser\u00e1 el valor de la inc\u00f3gnita M. Anotamos ese resultado"}, {"start": 321.1, "end": 326.54, "text": " por ac\u00e1. Y nos queda por averiguar el valor de P. Para ello podemos utilizar bien sea"}, {"start": 326.54, "end": 332.22, "text": " la ecuaci\u00f3n 2 o la ecuaci\u00f3n 3. La que nos parezca m\u00e1s f\u00e1cil. Entonces vamos a la ecuaci\u00f3n"}, {"start": 332.22, "end": 338.5, "text": " 2. All\u00ed vamos a reemplazar el valor de N. Y de esa manera averiguamos P. Nos queda P"}, {"start": 338.5, "end": 347.82000000000005, "text": " menos 7 por N. 7 por menos un medio. El valor de N. Y todo esto igual a 4. Resolvemos ahora"}, {"start": 347.82000000000005, "end": 355.90000000000003, "text": " esa ecuaci\u00f3n. Nos queda P aqu\u00ed menos por menos nos da m\u00e1s. 7 por un medio es 7 medios."}, {"start": 355.9, "end": 363.34, "text": " Esto igual a 4. Y all\u00ed despejamos P. Pasamos 7 medios al otro lado. Nos queda 4 menos 7"}, {"start": 363.34, "end": 369.82, "text": " medios. Podemos cambiar el 4 por 8 medios. Para que tengamos una resta de fracciones"}, {"start": 369.82, "end": 377.17999999999995, "text": " homog\u00e9neas. Fracciones con el mismo denominador. Entonces P ser\u00e1 igual a lo siguiente. Conservamos"}, {"start": 377.17999999999995, "end": 384.5, "text": " el denominador que es 2. Y efectuamos la resta de numeradores. 8 menos 7 nos da 1. De esta"}, {"start": 384.5, "end": 389.98, "text": " manera ya tenemos los valores de las inc\u00f3gnitas. En este sistema de ecuaciones lineales de 3"}, {"start": 389.98, "end": 397.42, "text": " por 3. Comenzamos con el valor de M que es 4. Luego el valor de N que es menos un medio."}, {"start": 397.42, "end": 405.94, "text": " Y despu\u00e9s el valor de P que nos dio un medio. Respetamos el orden alfab\u00e9tico. M, N y P."}, {"start": 405.94, "end": 413.5, "text": " De esta manera conformamos la terna que constituye la soluci\u00f3n para ese sistema de ecuaciones"}, {"start": 413.5, "end": 419.62, "text": " lineales de 3 por 3. Y as\u00ed terminamos. Es un sistema con soluci\u00f3n \u00fanica."}]

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24. OPERACIONES GRÁFICAS CON VECTORES

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 24: Operaciones gráficas con vectores. Igualdad de vectores, multiplicación de un escalar por un vector, suma y resta de vectores, en términos gráficos. Tema: El Movimiento y su Descripción. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

En este vídeo teórico veremos las siguientes operaciones con vectores, en términos gráficos, igualdad de vectores, multiplicación de un escalar por un vector, suma de vectores y resta de vectores. Comencemos con la igualdad de vectores. Dos vectores A y B son iguales si tienen las mismas características, es decir, igual módulo, norma o magnitud, igual dirección e igual sentido. Gráficamente vemos que no necesariamente los vectores deben coincidir ni tener el mismo punto de origen, sin embargo, si trasladamos el vector A hasta el vector B, allí lo tenemos, observamos que se superponen en toda su extensión, evidenciándose la igualdad que hay entre ellos. Por esta propiedad resulta válido trasladar un vector en una recta, en el plano o en el espacio, sin que se afecten sus características. Multiplicación de un escalar por un vector. Si tenemos un escalar K, es decir, un número real y un vector F, al realizar el producto entre ellos, obtenemos un nuevo vector llamado K por F, cuyas características son, su módulo es el resultado de multiplicar el valor absoluto del escalar K por el módulo del vector F. Su dirección no varía, es la misma del vector original F y su sentido se conserva si K es positivo y cambia al opuesto si K es negativo. Por ejemplo, consideremos el vector fuerza F cuyo módulo es 10 newtons, en este caso es como si el vector F estuviera multiplicado por el escalar K igual a 1, puesto que es igual a sí mismo. Si el vector F se multiplica por el escalar K igual a 2, obtenemos el vector 2F, cuyo módulo se determina multiplicando el valor absoluto del escalar por el módulo del vector F, es decir, 2 por 10 newtons, lo que equivale a 20 newtons. Vemos entonces que el nuevo vector tiene el doble del tamaño del vector original. De manera similar, si el vector F se multiplica por el escalar 0.5, obtenemos el vector 0.5F, cuyo módulo es 0.5 veces el del vector F, es decir, la mitad de la magnitud de F, y esto equivale a 5 newtons. Podemos notar que los vectores 2F y 0.5F tienen el mismo sentido de F, es decir, hacia la derecha o hacia el este. Esto se debe a que en estos casos el escalar que multiplica al vector F es positivo. Ahora miremos que sucede cuando el escalar K igual a menos 1 multiplica al vector F, vemos que se obtiene el vector menos F, cuyo módulo se determina multiplicando el valor absoluto del escalar por el módulo del vector F, es decir, 1 por 10 newtons, lo que equivale a 10 newtons. De manera similar, si el vector F se multiplica por el escalar K igual a menos 3, obtenemos el vector menos 3F, cuyo módulo es 3 veces el del vector F, es decir, 30 newtons. Vemos entonces que el nuevo vector tiene el triple del tamaño del vector original. Se puede notar que los vectores menos F y menos 3F tienen sentido opuesto a F, es decir, hacia la izquierda o hacia el oeste. Esto se debe a que en estos dos últimos casos el escalar que multiplica al vector F es negativo. Entonces observa que en los cuatro casos, independientemente de si el escalar que multiplica al vector F es positivo o negativo, la dirección no cambia. Todos resultan ser vectores paralelos que tienen la misma dirección horizontal. Para efectuar la suma gráfica de vectores, veamos primero el caso de dos vectores que tienen la misma dirección y sentido, como los vectores P y Q. En este caso podemos dejar quieto el vector P y trasladar el vector Q, lógicamente conservando su magnitud y orientación, de manera que el origen de Q coincida con el extremo de P. Cuando los vectores P y Q hacen contacto, se traza el vector que va desde el origen del vector P hasta el extremo del vector Q. Ese vector que podemos llamar R es el resultante de la suma de los vectores P y Q. Note que el vector R tiene la misma orientación de los vectores que lo conforman. Ahora vamos a trasladar el vector R hacia abajo para verlo mejor. El módulo del vector R será la suma de los módulos de los vectores P y Q. Cabe resaltar que este es el único caso en que el módulo del vector suma se obtiene de esta manera tan sencilla, es decir, sumando los módulos de los vectores que allí participan. Por otro lado, se recomienda el uso de papel gráfico cuadriculado o milimetrado, así como regla, escuadras y transportador para realizar la suma gráfica de vectores con precisión y exactitud. Continuando con la suma gráfica de vectores, veamos ahora el caso de dos vectores que tienen diferente dirección y sentido, como los vectores A y B. Una forma de sumarlos es usando el método del triángulo, que consiste en disponerlos de manera consecutiva, es decir, extremo con origen o, en otras palabras, cabeza con cola. Podemos dejar quieto el vector A y trasladar el vector B hasta que su origen coincida con el extremo de A. Luego, trazamos el vector que une el origen de A con el extremo de B, y de esa manera obtenemos el vector R, que es el resultante de la suma de los vectores A y B. Otra forma de sumar los vectores A y B es usando el método del paralelogramo, que consiste en disponer los vectores de manera que coincidan sus orígenes, es decir, cola con cola. A continuación, por el extremo de A, trazamos un segmento paralelo a B, y por el extremo del vector B, trazamos un segmento paralelo al vector A. Si trazamos un vector desde el punto donde coinciden los orígenes de A y B, hasta el punto donde se cortaron los segmentos trazados, tendremos la diagonal del paralelogramo formado por los vectores A y B. Ese vector será R, es decir, el resultante de la suma de los vectores A y B. Note que si en este paralelogramo trasladamos el vector B al lado contrario, tenemos los vectores A y B dispuestos como vimos en el método del triángulo, y el vector suma, es decir, R, es el mismo. Por otro lado, si en el paralelogramo trasladamos el vector A al lado opuesto, tenemos los vectores B y A colocados de manera consecutiva, como en el método del triángulo, y el vector R, que corresponde al resultante de B más A, sería exactamente el mismo que obtuvimos como A más B. Con esto se demuestra que la suma de vectores es conmutativa. Nuevamente se reitera la importancia de usar papel gráfico adecuado e instrumentos para determinar con precisión y exactitud tanto la magnitud como la orientación del vector resultante de la suma de este tipo de vectores. Veamos a continuación cómo se suman más de dos vectores. Consideremos los vectores A, B y C que tienen diferente orientación. Para sumarlos gráficamente utilizamos el método del polígono, que consiste en lo siguiente. Dejamos quieto el vector A y trasladamos el vector B de tal manera que su origen haga contacto con el extremo de A. Luego trasladamos el vector C de modo que su origen coincida con el extremo de B. Finalmente, trazamos el vector que conecta el origen del vector A con el extremo del vector C y así obtenemos el vector R, que es el resultante de sumar los vectores A, B y C. Como se dijo antes, la suma de vectores es conmutativa. Luego podríamos iniciar dejando quieto el vector B y luego trasladar los vectores A y C de forma que queden cabeza con cola, o sea consecutivos. Al unir el origen de B con el extremo de C cerramos el polígono y obtenemos el vector R resultante de la suma de B, A y C. Note que es el mismo que nos dio cuando hicimos la suma en el orden A, B, C. Si tuviéramos N vectores, hacemos el mismo procedimiento. Dejamos quieto un vector y trasladamos los demás de forma que todos queden dispuestos consecutivamente. Para determinar la resultante de la suma de ellos, se traza el vector que une el origen del primer vector con el extremo del último. En este caso podemos observar el vector R que es el resultante de sumar los vectores P1, P2, P3, P4 y P5. Finalmente miremos cómo se restan vectores gráficamente. Consideremos los vectores m y n y vamos a obtener gráficamente la diferencia entre ellos, es decir m menos n. Lo primero que debemos hacer es determinar el vector menos n, es decir el que resulta de multiplicar n por el escalar menos 1. Recordemos que este vector tiene el mismo módulo y dirección de n pero sentido opuesto. Ahora nos olvidamos de n y vamos a realizar la suma entre m y menos n. Podemos usar el método del triángulo, para lo cual trasladamos el vector menos n hasta que su origen haga contacto con el extremo de m. Al unir el origen de m con el extremo de menos n obtenemos el vector suma m más menos n, que equivale a m menos n, destruyendo el paréntesis y aplicando ley de los signos. También por el método del paralelogramo podemos sumar los vectores m y menos n. En este caso trasladamos el vector menos n hasta que su origen haga contacto con el origen de m. Construimos el paralelogramo y trazamos la diagonal que es el vector suma m más menos n, es decir m menos n.

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A continuaci\u00f3n, por el extremo de A, trazamos un segmento paralelo a B, y"}, {"start": 433.12, "end": 439.15999999999997, "text": " por el extremo del vector B, trazamos un segmento paralelo al vector A."}, {"start": 439.15999999999997, "end": 445.52, "text": " Si trazamos un vector desde el punto donde coinciden los or\u00edgenes de A y B, hasta el"}, {"start": 445.52, "end": 451.6, "text": " punto donde se cortaron los segmentos trazados, tendremos la diagonal del paralelogramo formado"}, {"start": 451.6, "end": 459.44, "text": " por los vectores A y B. Ese vector ser\u00e1 R, es decir, el resultante de la suma de los"}, {"start": 459.44, "end": 461.44, "text": " vectores A y B."}, {"start": 461.44, "end": 468.24, "text": " Note que si en este paralelogramo trasladamos el vector B al lado contrario, tenemos los"}, {"start": 468.24, "end": 475.56, "text": " vectores A y B dispuestos como vimos en el m\u00e9todo del tri\u00e1ngulo, y el vector suma,"}, {"start": 475.56, "end": 478.28000000000003, "text": " es decir, R, es el mismo."}, {"start": 478.28, "end": 485.64, "text": " Por otro lado, si en el paralelogramo trasladamos el vector A al lado opuesto, tenemos los vectores"}, {"start": 485.64, "end": 492.44, "text": " B y A colocados de manera consecutiva, como en el m\u00e9todo del tri\u00e1ngulo, y el vector"}, {"start": 492.44, "end": 500.71999999999997, "text": " R, que corresponde al resultante de B m\u00e1s A, ser\u00eda exactamente el mismo que obtuvimos"}, {"start": 500.71999999999997, "end": 507.28, "text": " como A m\u00e1s B. Con esto se demuestra que la suma de vectores es conmutativa."}, {"start": 507.28, "end": 513.6, "text": " Nuevamente se reitera la importancia de usar papel gr\u00e1fico adecuado e instrumentos para"}, {"start": 513.6, "end": 519.12, "text": " determinar con precisi\u00f3n y exactitud tanto la magnitud como la orientaci\u00f3n del vector"}, {"start": 519.12, "end": 523.28, "text": " resultante de la suma de este tipo de vectores."}, {"start": 523.28, "end": 528.12, "text": " Veamos a continuaci\u00f3n c\u00f3mo se suman m\u00e1s de dos vectores."}, {"start": 528.12, "end": 532.8, "text": " Consideremos los vectores A, B y C que tienen diferente orientaci\u00f3n."}, {"start": 532.8, "end": 538.5999999999999, "text": " Para sumarlos gr\u00e1ficamente utilizamos el m\u00e9todo del pol\u00edgono, que consiste en lo"}, {"start": 538.5999999999999, "end": 539.5999999999999, "text": " siguiente."}, {"start": 539.5999999999999, "end": 545.52, "text": " Dejamos quieto el vector A y trasladamos el vector B de tal manera que su origen haga"}, {"start": 545.52, "end": 547.8399999999999, "text": " contacto con el extremo de A."}, {"start": 547.8399999999999, "end": 554.24, "text": " Luego trasladamos el vector C de modo que su origen coincida con el extremo de B."}, {"start": 554.24, "end": 560.64, "text": " Finalmente, trazamos el vector que conecta el origen del vector A con el extremo del"}, {"start": 560.64, "end": 568.56, "text": " vector C y as\u00ed obtenemos el vector R, que es el resultante de sumar los vectores A,"}, {"start": 568.56, "end": 570.04, "text": " B y C."}, {"start": 570.04, "end": 573.76, "text": " Como se dijo antes, la suma de vectores es conmutativa."}, {"start": 573.76, "end": 581.06, "text": " Luego podr\u00edamos iniciar dejando quieto el vector B y luego trasladar los vectores A"}, {"start": 581.06, "end": 586.68, "text": " y C de forma que queden cabeza con cola, o sea consecutivos."}, {"start": 586.68, "end": 594.5999999999999, "text": " Al unir el origen de B con el extremo de C cerramos el pol\u00edgono y obtenemos el vector"}, {"start": 594.5999999999999, "end": 599.3599999999999, "text": " R resultante de la suma de B, A y C."}, {"start": 599.3599999999999, "end": 606.56, "text": " Note que es el mismo que nos dio cuando hicimos la suma en el orden A, B, C."}, {"start": 606.56, "end": 611.3599999999999, "text": " Si tuvi\u00e9ramos N vectores, hacemos el mismo procedimiento."}, {"start": 611.36, "end": 619.08, "text": " Dejamos quieto un vector y trasladamos los dem\u00e1s de forma que todos queden dispuestos"}, {"start": 619.08, "end": 620.8000000000001, "text": " consecutivamente."}, {"start": 620.8000000000001, "end": 628.4, "text": " Para determinar la resultante de la suma de ellos, se traza el vector que une el origen"}, {"start": 628.4, "end": 632.0, "text": " del primer vector con el extremo del \u00faltimo."}, {"start": 632.0, "end": 638.52, "text": " En este caso podemos observar el vector R que es el resultante de sumar los vectores"}, {"start": 638.52, "end": 643.64, "text": " P1, P2, P3, P4 y P5."}, {"start": 643.64, "end": 647.28, "text": " Finalmente miremos c\u00f3mo se restan vectores gr\u00e1ficamente."}, {"start": 647.28, "end": 655.0799999999999, "text": " Consideremos los vectores m y n y vamos a obtener gr\u00e1ficamente la diferencia entre"}, {"start": 655.0799999999999, "end": 657.8, "text": " ellos, es decir m menos n."}, {"start": 657.8, "end": 664.56, "text": " Lo primero que debemos hacer es determinar el vector menos n, es decir el que resulta"}, {"start": 664.56, "end": 667.96, "text": " de multiplicar n por el escalar menos 1."}, {"start": 667.96, "end": 675.08, "text": " Recordemos que este vector tiene el mismo m\u00f3dulo y direcci\u00f3n de n pero sentido opuesto."}, {"start": 675.08, "end": 682.0400000000001, "text": " Ahora nos olvidamos de n y vamos a realizar la suma entre m y menos n."}, {"start": 682.0400000000001, "end": 688.14, "text": " Podemos usar el m\u00e9todo del tri\u00e1ngulo, para lo cual trasladamos el vector menos n hasta"}, {"start": 688.14, "end": 693.24, "text": " que su origen haga contacto con el extremo de m."}, {"start": 693.24, "end": 701.5600000000001, "text": " Al unir el origen de m con el extremo de menos n obtenemos el vector suma m m\u00e1s menos n,"}, {"start": 701.5600000000001, "end": 710.64, "text": " que equivale a m menos n, destruyendo el par\u00e9ntesis y aplicando ley de los signos."}, {"start": 710.64, "end": 716.36, "text": " Tambi\u00e9n por el m\u00e9todo del paralelogramo podemos sumar los vectores m y menos n."}, {"start": 716.36, "end": 723.34, "text": " En este caso trasladamos el vector menos n hasta que su origen haga contacto con el origen"}, {"start": 723.34, "end": 724.34, "text": " de m."}, {"start": 724.34, "end": 732.76, "text": " Construimos el paralelogramo y trazamos la diagonal que es el vector suma m m\u00e1s menos"}, {"start": 732.76, "end": 760.68, "text": " n, es decir m menos n."}]

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RACIONALIZACIÓN MEDIANTE CONJUGACIÓN - Ejercicio 3

#julioprofe explica cómo racionalizar el denominador de una fracción numérica mediante conjugación. Al final, hace la comprobación en calculadora. Tema: #Racionalización → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEhyDZyc08U1WijxsTgX8pa REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a efectuar el proceso de racionalización de esta fracción numérica, es decir, vamos a obtener una fracción equivalente sin radicales en el denominador. Vamos a efectuar este ejercicio manualmente y al final haremos la comprobación en calculadora. Comenzamos escribiendo nuevamente el ejercicio. Tenemos entonces en el numerador la expresión raíz cuadrada de 2 menos 1 y en el denominador 5 más 3 raíz cuadrada de 2. Y vamos a utilizar el procedimiento llamado conjugación. Vamos a multiplicar por una fracción que equivale a 1 para no alterar la expresión original y esta fracción se compone de lo que es el conjugado del denominador. Vamos a recordar ese concepto del conjugado. Si tenemos una expresión a más b, como en este caso su conjugado será a menos b y si tuviéramos a menos b su conjugado es a más b. El objetivo de la conjugación es aprovechar el producto notable llamado suma por diferencia que nos da origen a una diferencia de cuadrados perfectos. Entonces en este caso el conjugado de 5 más 3 raíz de 2 será 5 menos 3 raíz cuadrada de 2. Siguiendo esta instrucción aquí tenemos a más b y aquí está el conjugado a menos b y esto que escribimos abajo tenemos que repetirlo arriba porque como decíamos esta fracción debe ser equivalente a 1. Para ello el numerador y el denominador deben ser iguales. Efectuamos ahora esa multiplicación de fracciones. Vamos a seguir por acá. Recordemos que las fracciones se multiplican de manera horizontal numeradores entre sí y denominadores entre sí. Entonces el producto de numeradores nos queda raíz cuadrada de 2 menos 1 todo esto multiplicado por 5 menos 3 raíz de 2 debemos proteger esos binomios utilizando paréntesis y en el denominador tendremos el producto de estas dos expresiones y es allí cuando se aplica esto lo que es el producto notable llamado suma por diferencia y que nos produce una diferencia de cuadrados perfectos. Entonces la multiplicación de esto por esto nos dará el primer término al cuadrado allí lo tenemos menos el segundo término que es 3 raíz cuadrada de 2 y todo esto elevado al cuadrado. En el numerador vamos a efectuar ese producto de binomios allí nos toca aplicar la propiedad distributiva. Entonces comenzamos distribuyendo raíz cuadrada de 2 para cada uno de estos dos términos entonces veamos cómo nos queda raíz cuadrada de 2 por 5 será 5 raíz de 2 después tenemos raíz cuadrada de 2 por menos 3 raíz de 2 será menos 3 entre paréntesis raíz cuadrada de 2 y esto elevado al cuadrado. Ahora vamos a distribuir este elemento menos 1 para cada uno de estos términos propiedad distributiva entonces menos 1 por 5 nos da menos 5 y menos 1 por menos 3 raíz de 2 será más 3 raíz de 2 entonces allí hemos resuelto ese producto de binomios en el numerador y ahora en el denominador efectuamos cada una de esas potencias 5 al cuadrado nos da 25 y acá tenemos un multiplicación y eso está elevado al cuadrado. Aquí aplicamos la siguiente propiedad si tenemos por ejemplo k por l todo esto elevado al exponente n entonces nos queda k a la n por l a la n se reparte el exponente cuando tenemos multiplicación en la base entonces será 3 al cuadrado por raíz cuadrada de 2 y esto elevado al cuadrado. Seguimos resolviendo esas operaciones vamos a continuar por acá entonces en el numerador tenemos 5 raíz de 2 eso lo dejamos igual después tenemos menos 3 por raíz cuadrada de 2 todo eso al cuadrado nos da 2 allí el exponente 2 elimina la raíz cuadrada después tenemos menos 5 y después más 3 raíz de 2 ahora en el denominador vamos a tener lo siguiente aquí 25 menos 3 al cuadrado que es 9 y eso por raíz cuadrada de 2 al cuadrado otra vez el exponente 2 elimina la raíz cuadrada y nos deja libre el 2. Continuamos resolviendo en el numerador tendremos 5 raíz de 2 después menos resolvemos esa multiplicación 3 por 2 que es 6 luego menos 5 y después más 3 raíz cuadrada de 2 ahora vamos al denominador donde tenemos 25 y eso menos 9 por 2 que es 18. En el numerador podemos hacer la reducción de términos por ejemplo estos dos son radicales semejantes se pueden sumar entre sí y también podemos operar estos dos números que son términos independientes vamos a continuar por acá y entonces en el numerador tendremos 5 raíz de 2 más 3 raíz de 2 eso nos da 8 raíz de 2 allí operamos los coeficientes es decir los números que acompañan a raíz de 2 y tenemos menos 6 menos 5 que es menos 11 ahora en el denominador efectuamos esa resta 25 menos 18 nos da como resultado 7 allí no se puede hacer nada más podríamos dejar el resultado presentado de esta forma o también como menos 11 más 8 raíz de 2 simplemente cambiamos la posición de los términos en el numerador y todo esto dividido entre 7 entonces con esto terminamos hemos obtenido una expresión numérica equivalente a la original pero que ya no tiene radicales en el denominador entonces con eso damos cumplimiento al propósito de la racionalización ahora vamos a comprobar este ejercicio utilizando esta calculadora científica comenzamos oprimiendo el botón de fracción luego tenemos que ingresar en el numerador raíz cuadrada de 2 menos 1 entonces botón de raíz cuadrada después el 2 corremos el cursor a la derecha el botón del menos y luego el 1 bajamos el cursor al denominador y allí vamos a ingresar 5 más 3 raíz de 2 entonces 5 más 3 botón de raíz cuadrada y luego el 2 allí hemos ingresado esa expresión oprimimos el botón igual y obtenemos este resultado menos 11 más 8 raíz de 2 y todo eso sobre 7 con eso comprobamos que ese ejercicio ha sido resuelto correctamente

[{"start": 0.0, "end": 8.8, "text": " Vamos a efectuar el proceso de racionalizaci\u00f3n de esta fracci\u00f3n num\u00e9rica, es decir, vamos"}, {"start": 8.8, "end": 15.76, "text": " a obtener una fracci\u00f3n equivalente sin radicales en el denominador. Vamos a efectuar este ejercicio"}, {"start": 15.76, "end": 22.88, "text": " manualmente y al final haremos la comprobaci\u00f3n en calculadora. Comenzamos escribiendo nuevamente"}, {"start": 22.88, "end": 30.84, "text": " el ejercicio. Tenemos entonces en el numerador la expresi\u00f3n ra\u00edz cuadrada de 2 menos 1"}, {"start": 30.84, "end": 38.519999999999996, "text": " y en el denominador 5 m\u00e1s 3 ra\u00edz cuadrada de 2. Y vamos a utilizar el procedimiento"}, {"start": 38.519999999999996, "end": 44.96, "text": " llamado conjugaci\u00f3n. Vamos a multiplicar por una fracci\u00f3n que equivale a 1 para no"}, {"start": 44.96, "end": 52.84, "text": " alterar la expresi\u00f3n original y esta fracci\u00f3n se compone de lo que es el conjugado del denominador."}, {"start": 52.84, "end": 59.400000000000006, "text": " Vamos a recordar ese concepto del conjugado. Si tenemos una expresi\u00f3n a m\u00e1s b, como en"}, {"start": 59.400000000000006, "end": 66.12, "text": " este caso su conjugado ser\u00e1 a menos b y si tuvi\u00e9ramos a menos b su conjugado es a m\u00e1s"}, {"start": 66.12, "end": 73.28, "text": " b. El objetivo de la conjugaci\u00f3n es aprovechar el producto notable llamado suma por diferencia"}, {"start": 73.28, "end": 79.80000000000001, "text": " que nos da origen a una diferencia de cuadrados perfectos. Entonces en este caso el conjugado"}, {"start": 79.8, "end": 88.47999999999999, "text": " de 5 m\u00e1s 3 ra\u00edz de 2 ser\u00e1 5 menos 3 ra\u00edz cuadrada de 2. 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Aqu\u00ed aplicamos la siguiente propiedad si"}, {"start": 240.28, "end": 246.79999999999998, "text": " tenemos por ejemplo k por l todo esto elevado al exponente n entonces nos queda k a la n"}, {"start": 246.79999999999998, "end": 253.95999999999998, "text": " por l a la n se reparte el exponente cuando tenemos multiplicaci\u00f3n en la base entonces"}, {"start": 253.95999999999998, "end": 263.4, "text": " ser\u00e1 3 al cuadrado por ra\u00edz cuadrada de 2 y esto elevado al cuadrado. Seguimos resolviendo"}, {"start": 263.4, "end": 271.15999999999997, "text": " esas operaciones vamos a continuar por ac\u00e1 entonces en el numerador tenemos 5 ra\u00edz de"}, {"start": 271.15999999999997, "end": 279.84, "text": " 2 eso lo dejamos igual despu\u00e9s tenemos menos 3 por ra\u00edz cuadrada de 2 todo eso al cuadrado"}, {"start": 279.84, "end": 287.76, "text": " nos da 2 all\u00ed el exponente 2 elimina la ra\u00edz cuadrada despu\u00e9s tenemos menos 5 y despu\u00e9s"}, {"start": 287.76, "end": 300.28, "text": " m\u00e1s 3 ra\u00edz de 2 ahora en el denominador vamos a tener lo siguiente aqu\u00ed 25 menos"}, {"start": 300.28, "end": 307.4, "text": " 3 al cuadrado que es 9 y eso por ra\u00edz cuadrada de 2 al cuadrado otra vez el exponente 2 elimina"}, {"start": 307.4, "end": 316.32, "text": " la ra\u00edz cuadrada y nos deja libre el 2. Continuamos resolviendo en el numerador tendremos 5 ra\u00edz"}, {"start": 316.32, "end": 324.92, "text": " de 2 despu\u00e9s menos resolvemos esa multiplicaci\u00f3n 3 por 2 que es 6 luego menos 5 y despu\u00e9s"}, {"start": 324.92, "end": 334.64, "text": " m\u00e1s 3 ra\u00edz cuadrada de 2 ahora vamos al denominador donde tenemos 25 y eso menos 9"}, {"start": 334.64, "end": 341.68, "text": " por 2 que es 18. En el numerador podemos hacer la reducci\u00f3n de t\u00e9rminos por ejemplo"}, {"start": 341.68, "end": 348.44, "text": " estos dos son radicales semejantes se pueden sumar entre s\u00ed y tambi\u00e9n podemos operar estos"}, {"start": 348.44, "end": 355.32, "text": " dos n\u00fameros que son t\u00e9rminos independientes vamos a continuar por ac\u00e1 y entonces en el"}, {"start": 355.32, "end": 364.64, "text": " numerador tendremos 5 ra\u00edz de 2 m\u00e1s 3 ra\u00edz de 2 eso nos da 8 ra\u00edz de 2 all\u00ed operamos"}, {"start": 364.64, "end": 371.56, "text": " los coeficientes es decir los n\u00fameros que acompa\u00f1an a ra\u00edz de 2 y tenemos menos 6"}, {"start": 371.56, "end": 381.2, "text": " menos 5 que es menos 11 ahora en el denominador efectuamos esa resta 25 menos 18 nos da como"}, {"start": 381.2, "end": 387.71999999999997, "text": " resultado 7 all\u00ed no se puede hacer nada m\u00e1s podr\u00edamos dejar el resultado presentado de"}, {"start": 387.72, "end": 395.68, "text": " esta forma o tambi\u00e9n como menos 11 m\u00e1s 8 ra\u00edz de 2 simplemente cambiamos la posici\u00f3n"}, {"start": 395.68, "end": 403.78000000000003, "text": " de los t\u00e9rminos en el numerador y todo esto dividido entre 7 entonces con esto terminamos"}, {"start": 403.78000000000003, "end": 410.64000000000004, "text": " hemos obtenido una expresi\u00f3n num\u00e9rica equivalente a la original pero que ya no tiene radicales"}, {"start": 410.64, "end": 418.0, "text": " en el denominador entonces con eso damos cumplimiento al prop\u00f3sito de la racionalizaci\u00f3n ahora"}, {"start": 418.0, "end": 424.34, "text": " vamos a comprobar este ejercicio utilizando esta calculadora cient\u00edfica comenzamos oprimiendo"}, {"start": 424.34, "end": 430.03999999999996, "text": " el bot\u00f3n de fracci\u00f3n luego tenemos que ingresar en el numerador ra\u00edz cuadrada de 2 menos"}, {"start": 430.03999999999996, "end": 436.59999999999997, "text": " 1 entonces bot\u00f3n de ra\u00edz cuadrada despu\u00e9s el 2 corremos el cursor a la derecha el bot\u00f3n"}, {"start": 436.6, "end": 443.6, "text": " del menos y luego el 1 bajamos el cursor al denominador y all\u00ed vamos a ingresar 5 m\u00e1s"}, {"start": 443.6, "end": 452.76000000000005, "text": " 3 ra\u00edz de 2 entonces 5 m\u00e1s 3 bot\u00f3n de ra\u00edz cuadrada y luego el 2 all\u00ed hemos ingresado"}, {"start": 452.76000000000005, "end": 460.16, "text": " esa expresi\u00f3n oprimimos el bot\u00f3n igual y obtenemos este resultado menos 11 m\u00e1s 8 ra\u00edz"}, {"start": 460.16, "end": 467.16, "text": " de 2 y todo eso sobre 7 con eso comprobamos que ese ejercicio ha sido resuelto correctamente"}]

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PRODUCTOS NOTABLES: SUMA POR DIFERENCIA (Ejercicio 3)

#julioprofe explica cómo aplicar el Producto Notable llamado Suma por Diferencia. Tema: #ProductosNotables → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGZ0Uc88U7suZlA784fjzzj REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a efectuar la multiplicación de estos dos bilomios utilizando un producto notable que se llama suma por diferencia. Comenzamos por cambiar la posición de estos dos sumandos, es decir, allí vamos a aplicar la propiedad conmutativa de la suma. El orden de los sumandos no altera el resultado. Entonces, vamos a comenzar escribiendo este factor por acá, como decíamos, cambiando de posición estos dos términos. Comenzamos con tres décimos de g elevada al exponente a más uno y después tenemos más cuatro trece agos de h que está elevada al exponente de menos dos. Protegemos esto con paréntesis y eso va multiplicado por todo este binomio que es tres décimos de g elevada al exponente a más uno y eso menos cuatro trece agos de h elevada al exponente de menos dos. Allí también hemos aplicado la propiedad conmutativa de la multiplicación porque hemos cambiado la posición de los factores. Recordemos que el orden de los factores no altera el producto. Ahora sí, tenemos todo listo para aplicar el producto notable que mencionamos y que se llama suma por diferencia. La suma de dos cantidades multiplicada por la diferencia de ellas es igual a la primera cantidad al cuadrado menos la segunda cantidad al cuadrado. Es un producto notable de gran importancia que nos ahorra el proceso de aplicar la propiedad distributiva. Rápidamente se obtiene el resultado elevando al cuadrado cada una de las dos cantidades y aplicándose la operación resta entre ellas. Entonces vamos a aplicar eso en esta situación. Comenzamos con el primer término que es tres décimos de g elevado al exponente a más uno y todo esto elevado al cuadrado. Entonces tenemos menos el segundo término que es cuatro treceavos de h, eso elevado al exponente de menos dos y todo esto elevado al cuadrado. Ahora tenemos que desarrollar esas potencias. En cada caso tenemos la multiplicación de dos cantidades y todo eso elevado al cuadrado. Entonces aplicamos esta propiedad de la potenciación. El producto de dos cantidades elevado a un exponente n es igual a a la n por b a la n, es decir el exponente se reparte para cada uno de los factores. Entonces aquí tendremos tres décimos, todo esto elevado al cuadrado y eso por g elevada al exponente a más uno y también todo esto elevado al cuadrado. Después tenemos menos cuatro treceavos que queda elevado al cuadrado y eso multiplicado por el otro componente h elevado al exponente de menos dos y todo esto elevado al cuadrado. Ahora en estas fracciones que están elevadas al cuadrado se aplica otra propiedad de la potenciación. Si tenemos a sobre b y esto elevado al exponente n, entonces es igual a a la n sobre b a la n, es decir el exponente afecta tanto al numerador como al denominador. Entonces para el caso de tres décimos al cuadrado eso será tres al cuadrado sobre diez al cuadrado. Y acá tenemos otra situación que se llama potencia de una potencia. Si tenemos una potencia a a la n elevada a otro exponente m se conserva la base y se multiplican los exponentes. Otra propiedad de la potenciación. Entonces aquí conservamos la base que es g y se van a multiplicar los exponentes. En ese caso se protege con paréntesis a más uno porque nos va a quedar multiplicando con dos. Pasamos al otro término. Una vez la fracción elevada al cuadrado aplicamos esta propiedad, es decir cuatro al cuadrado sobre trece al cuadrado. Y acá volvemos a aplicar potencia de una potencia. Conservamos la base que es h y nos queda el producto de los exponentes b menos dos entre paréntesis multiplicado por dos. Resolvemos ahora cada una de esas situaciones. Ahora acá tenemos tres al cuadrado que es nueve sobre diez al cuadrado que es cien y acá nos queda g elevada al exponente que resulta de multiplicar esas dos cantidades. Allí aplicamos la propiedad distributiva. Entonces tenemos dos por a que es dos a más dos por uno que es dos. Pasamos al otro término. Tenemos cuatro al cuadrado que es dieciséis. Puesto sobre tres al cuadrado que nos da ciento sesenta y nueve y acá aplicamos otra vez la propiedad distributiva para resolver esta multiplicación. Entonces nos queda dos por b que es dos b menos dos por dos que es cuatro. De esta manera terminamos el ejercicio. Esta expresión es la respuesta para esta multiplicación de binomios que hemos resuelto aplicando el producto notable llamado suma por diferencia.

[{"start": 0.0, "end": 8.64, "text": " Vamos a efectuar la multiplicaci\u00f3n de estos dos bilomios utilizando un producto notable"}, {"start": 8.64, "end": 11.72, "text": " que se llama suma por diferencia."}, {"start": 11.72, "end": 17.240000000000002, "text": " Comenzamos por cambiar la posici\u00f3n de estos dos sumandos, es decir, all\u00ed vamos a aplicar"}, {"start": 17.240000000000002, "end": 19.98, "text": " la propiedad conmutativa de la suma."}, {"start": 19.98, "end": 23.0, "text": " El orden de los sumandos no altera el resultado."}, {"start": 23.0, "end": 27.64, "text": " Entonces, vamos a comenzar escribiendo este factor por ac\u00e1, como dec\u00edamos, cambiando"}, {"start": 27.64, "end": 30.48, "text": " de posici\u00f3n estos dos t\u00e9rminos."}, {"start": 30.48, "end": 38.04, "text": " Comenzamos con tres d\u00e9cimos de g elevada al exponente a m\u00e1s uno y despu\u00e9s tenemos"}, {"start": 38.04, "end": 46.72, "text": " m\u00e1s cuatro trece agos de h que est\u00e1 elevada al exponente de menos dos."}, {"start": 46.72, "end": 54.64, "text": " Protegemos esto con par\u00e9ntesis y eso va multiplicado por todo este binomio que es tres d\u00e9cimos"}, {"start": 54.64, "end": 64.48, "text": " de g elevada al exponente a m\u00e1s uno y eso menos cuatro trece agos de h elevada al exponente"}, {"start": 64.48, "end": 66.32, "text": " de menos dos."}, {"start": 66.32, "end": 71.72, "text": " All\u00ed tambi\u00e9n hemos aplicado la propiedad conmutativa de la multiplicaci\u00f3n porque hemos"}, {"start": 71.72, "end": 74.12, "text": " cambiado la posici\u00f3n de los factores."}, {"start": 74.12, "end": 78.8, "text": " Recordemos que el orden de los factores no altera el producto."}, {"start": 78.8, "end": 84.96, "text": " Ahora s\u00ed, tenemos todo listo para aplicar el producto notable que mencionamos y que"}, {"start": 84.96, "end": 87.96, "text": " se llama suma por diferencia."}, {"start": 87.96, "end": 93.12, "text": " La suma de dos cantidades multiplicada por la diferencia de ellas es igual a la primera"}, {"start": 93.12, "end": 97.64, "text": " cantidad al cuadrado menos la segunda cantidad al cuadrado."}, {"start": 97.64, "end": 102.96, "text": " Es un producto notable de gran importancia que nos ahorra el proceso de aplicar la propiedad"}, {"start": 102.96, "end": 104.12, "text": " distributiva."}, {"start": 104.12, "end": 109.88000000000001, "text": " R\u00e1pidamente se obtiene el resultado elevando al cuadrado cada una de las dos cantidades"}, {"start": 109.88000000000001, "end": 113.4, "text": " y aplic\u00e1ndose la operaci\u00f3n resta entre ellas."}, {"start": 113.4, "end": 117.24000000000001, "text": " Entonces vamos a aplicar eso en esta situaci\u00f3n."}, {"start": 117.24000000000001, "end": 124.56, "text": " Comenzamos con el primer t\u00e9rmino que es tres d\u00e9cimos de g elevado al exponente a m\u00e1s"}, {"start": 124.56, "end": 129.4, "text": " uno y todo esto elevado al cuadrado."}, {"start": 129.4, "end": 136.68, "text": " Entonces tenemos menos el segundo t\u00e9rmino que es cuatro treceavos de h, eso elevado"}, {"start": 136.68, "end": 142.56, "text": " al exponente de menos dos y todo esto elevado al cuadrado."}, {"start": 142.56, "end": 145.4, "text": " Ahora tenemos que desarrollar esas potencias."}, {"start": 145.4, "end": 151.64000000000001, "text": " En cada caso tenemos la multiplicaci\u00f3n de dos cantidades y todo eso elevado al cuadrado."}, {"start": 151.64000000000001, "end": 154.4, "text": " Entonces aplicamos esta propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 154.4, "end": 161.28, "text": " El producto de dos cantidades elevado a un exponente n es igual a a la n por b a la n,"}, {"start": 161.28, "end": 165.84, "text": " es decir el exponente se reparte para cada uno de los factores."}, {"start": 165.84, "end": 174.68, "text": " Entonces aqu\u00ed tendremos tres d\u00e9cimos, todo esto elevado al cuadrado y eso por g elevada"}, {"start": 174.68, "end": 180.0, "text": " al exponente a m\u00e1s uno y tambi\u00e9n todo esto elevado al cuadrado."}, {"start": 180.0, "end": 186.96, "text": " Despu\u00e9s tenemos menos cuatro treceavos que queda elevado al cuadrado y eso multiplicado"}, {"start": 186.96, "end": 195.68, "text": " por el otro componente h elevado al exponente de menos dos y todo esto elevado al cuadrado."}, {"start": 195.68, "end": 200.96, "text": " Ahora en estas fracciones que est\u00e1n elevadas al cuadrado se aplica otra propiedad de la"}, {"start": 200.96, "end": 202.12, "text": " potenciaci\u00f3n."}, {"start": 202.12, "end": 209.88, "text": " Si tenemos a sobre b y esto elevado al exponente n, entonces es igual a a la n sobre b a la"}, {"start": 209.88, "end": 214.92000000000002, "text": " n, es decir el exponente afecta tanto al numerador como al denominador."}, {"start": 214.92000000000002, "end": 221.24, "text": " Entonces para el caso de tres d\u00e9cimos al cuadrado eso ser\u00e1 tres al cuadrado sobre"}, {"start": 221.24, "end": 223.04000000000002, "text": " diez al cuadrado."}, {"start": 223.04000000000002, "end": 227.56, "text": " Y ac\u00e1 tenemos otra situaci\u00f3n que se llama potencia de una potencia."}, {"start": 227.56, "end": 234.54, "text": " Si tenemos una potencia a a la n elevada a otro exponente m se conserva la base y se"}, {"start": 234.54, "end": 237.24, "text": " multiplican los exponentes."}, {"start": 237.24, "end": 239.88, "text": " Otra propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 239.88, "end": 244.92000000000002, "text": " Entonces aqu\u00ed conservamos la base que es g y se van a multiplicar los exponentes."}, {"start": 244.92000000000002, "end": 250.16, "text": " En ese caso se protege con par\u00e9ntesis a m\u00e1s uno porque nos va a quedar multiplicando"}, {"start": 250.16, "end": 251.72, "text": " con dos."}, {"start": 251.72, "end": 253.28, "text": " Pasamos al otro t\u00e9rmino."}, {"start": 253.28, "end": 259.28, "text": " Una vez la fracci\u00f3n elevada al cuadrado aplicamos esta propiedad, es decir cuatro al cuadrado"}, {"start": 259.28, "end": 262.24, "text": " sobre trece al cuadrado."}, {"start": 262.24, "end": 266.48, "text": " Y ac\u00e1 volvemos a aplicar potencia de una potencia."}, {"start": 266.48, "end": 272.06, "text": " Conservamos la base que es h y nos queda el producto de los exponentes b menos dos entre"}, {"start": 272.06, "end": 276.2, "text": " par\u00e9ntesis multiplicado por dos."}, {"start": 276.2, "end": 279.0, "text": " Resolvemos ahora cada una de esas situaciones."}, {"start": 279.0, "end": 284.72, "text": " Ahora ac\u00e1 tenemos tres al cuadrado que es nueve sobre diez al cuadrado que es cien y"}, {"start": 284.72, "end": 291.68, "text": " ac\u00e1 nos queda g elevada al exponente que resulta de multiplicar esas dos cantidades."}, {"start": 291.68, "end": 294.24, "text": " All\u00ed aplicamos la propiedad distributiva."}, {"start": 294.24, "end": 300.92, "text": " Entonces tenemos dos por a que es dos a m\u00e1s dos por uno que es dos."}, {"start": 300.92, "end": 302.62, "text": " Pasamos al otro t\u00e9rmino."}, {"start": 302.62, "end": 305.3, "text": " Tenemos cuatro al cuadrado que es diecis\u00e9is."}, {"start": 305.3, "end": 311.28000000000003, "text": " Puesto sobre tres al cuadrado que nos da ciento sesenta y nueve y ac\u00e1 aplicamos otra vez"}, {"start": 311.28000000000003, "end": 315.8, "text": " la propiedad distributiva para resolver esta multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 315.8, "end": 322.52, "text": " Entonces nos queda dos por b que es dos b menos dos por dos que es cuatro."}, {"start": 322.52, "end": 325.62, "text": " De esta manera terminamos el ejercicio."}, {"start": 325.62, "end": 332.36, "text": " Esta expresi\u00f3n es la respuesta para esta multiplicaci\u00f3n de binomios que hemos resuelto"}, {"start": 332.36, "end": 336.72, "text": " aplicando el producto notable llamado suma por diferencia."}]

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OPERACIONES COMBINADAS CON DECIMALES - Ejercicio 5

#julioprofe explica cómo resolver paso a paso un ejercicio de operaciones combinadas con números decimales. Al final, hace la comprobación en calculadora. Tema: #DecimalesPrimaria → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFID2VJp5Qvue_SAifzdGxl Video especialmente dedicado a los niños que trabajan por primera vez con números decimales, a los padres de familia que les apoyan y a los maestros de nivel primaria. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Tenemos en este caso un ejercicio de operaciones combinadas con números decimales. Vamos a resolverlo manualmente y al final haremos la comprobación en calculadora. Como podemos notar para los números decimales se ha utilizado la coma, en otros países se utiliza el punto para denotar esa marca decimal. También podemos observar la presencia de signos de agrupación, específicamente paréntesis. Eso nos indica que tenemos que comenzar por las operaciones que hay en su interior. Allí observamos una resta y una multiplicación. Recordemos que entre esas dos operaciones tiene mayor importancia o mayor jerarquía la multiplicación. Entonces vamos a comenzar por resolver ese producto. Entonces vamos a efectuar esa multiplicación por acá. Tenemos 2,4 que multiplica con 4,5. Vamos a resolverla en forma vertical. Entonces vamos a ejecutar esa operación haciendo de cuenta que la coma no está. Como si multiplicáramos 24 por 45. Entonces 5 por 4 nos da 20. Anotamos el 0, llevamos 2. 5 por 2, 10. Y 2 que llevamos es 12. Seguimos 4 por 4, 16. Anotamos el 6, llevamos 1. 4 por 2 es 8. Más 1 que llevamos nos da 9. Ahora efectuamos la suma verticalmente comenzando por la derecha. Tenemos que este 0 baja aquí. Después 2 más 6 nos da 8. Luego tenemos 1 más 9 que es 10. Y miramos entonces cuántos decimales debemos dejar en el producto. Es decir en el resultado de la multiplicación. Nos fijamos entonces cuántas cifras decimales aportan los factores. Vemos que cada uno de estos números aporta una cifra decimal. Entonces tenemos aquí en total dos cifras decimales que son las que tenemos que dejar acá. Por lo tanto la coma va en este lugar entre el 0 y el 8. Entonces esa operación nos queda así. 1 coma 0 2. Eso dividido entre. Abrimos el paréntesis. Allí tenemos 12. Y eso menos el resultado de esa multiplicación que nos dio 10 coma 80. Sin embargo este 0 podemos quitarlo. Podemos dejar el resultado simplemente como 10 coma 8. Es exactamente lo mismo. Y cerramos el paréntesis. Seguimos con la operación que ha quedado dentro de los paréntesis. Es decir esta resta. Vamos a resolverla por acá. Tenemos el minuendo que es 12. Un número entero. Y debajo escribimos el sustraendo que es 10 coma 8. Entonces 12 tiene la coma en este lugar. A la derecha del dígito de las unidades. Recordemos que en la resta de decimales. Así como en la suma. La coma debe quedar en la misma columna. Este espacio lo llenamos con 0. Y vamos a efectuar esa operación. Esa resta de decimales. Comenzamos por la derecha. Donde a 0 no podemos quitarle 8. Entonces venimos acá a la columna de la izquierda. Y nos fijamos si este número nos puede prestar. Efectivamente 2 puede prestar una unidad. Que llega aquí convertida como 10 décimas. 10 décimas más 0 décimas nos da 10 décimas. Y 2 unidades como prestó 1 queda convertido en una unidad. Allí ya podemos entonces efectuar la operación. En columnas. Comenzando por la derecha. 10 menos 8 nos da 2. Escribimos la coma que nos debe quedar debajo de las otras. Después 1 menos 0 es 1. Y 1 menos 1 nos da 0. Entonces esta operación nos queda así. 1 coma 0 2. Y eso dividido entre el resultado de esa resta. Que ya podemos escribir sin necesidad de paréntesis. Nos dio esto. Pero este 0 como está a la izquierda del 1. A la izquierda de la parte entera. Entonces lo podemos omitir. Nos queda simplemente 1 coma 2. Y vamos a proceder ahora con esa división. Recordemos que para dividir números decimales. Lo primero que tenemos que hacer es equilibrar la cantidad de cifras decimales. Tanto en el dividendo como en el divisor. Acá tenemos dos cifras decimales. Y acá tenemos solamente 1. Entonces agregamos aquí un 0. Para que de esa manera ambos números queden con la misma cantidad de decimales. Cuando hemos logrado ese equilibrio. Entonces podemos suprimir la coma. O la marca decimal. Entonces nos queda la operación 102. Dividido entre 120. Ya es una división de números enteros. Específicamente de números naturales. Esa operación podemos escribirla en forma de fracción. Vamos a continuar por acá. Nos queda entonces 102 sobre 120. O 102 120. Y aquí podemos utilizar lo que es la simplificación de fracciones. Por ejemplo vemos que estos dos números terminan en cifra par. Por lo tanto son divisibles por 2. Si sacamos la mitad de 102. Eso nos da 51. Y la mitad de 120 nos da 60. A su vez si revisamos estos dos números. Nos damos cuenta que son divisibles por 3. Porque la suma de sus dígitos nos da como resultado un múltiplo de 3. 5 más 1 nos da 6. 6 es múltiplo de 3. Aquí lógicamente 6 más 0 nos da 6 que también es múltiplo de 3. Por lo tanto ambos números tienen tercera. Son divisibles por 3. 51 dividido entre 3 nos da 17. Y 60 dividido entre 3 nos da 20. Esta fracción ya no se puede simplificar más. Es irreducible. Entonces es aquí cuando vamos a realizar ya el proceso de la división. Vamos a resolver esa operación de dos maneras. Como se acostumbra dividir en la mayoría de países de América Latina. Es decir colocando acá el dividendo que es 17. Por acá el divisor que es 20. Y como se divide en Estados Unidos y otros territorios. Acá adentro va el dividendo que es 17. Y por acá afuera va el divisor. Comenzamos tomando la primera cifra en el dividendo. Es decir el 1. Nos preguntamos si 20 cabe en 1. Vemos que eso no es posible. Comenzamos ahora las dos cifras en el dividendo. O sea el número 17. Nos preguntamos si 20 cabe en 17. Vemos que eso tampoco es posible. Entonces como 20 no cabe en 17 colocamos 0 en el cociente. Y allí supuestamente la división terminaría. Sin embargo es aquí cuando el proceso puede continuarse para obtener las posiciones decimales en el cociente. Entonces colocamos una coma allí en el cociente y agregamos un 0 en el dividendo. Para continuar con el proceso de la división. Allí vemos que 20 si cabe en 170. Entonces separamos estas cifras. Las tres que tenemos en el dividendo e iniciamos el proceso de división. Revisamos la tabla de multiplicar del número 20. Y miramos cuál es el resultado que más se aproxima a 170. Ese número es 160. Que quiere decir 20 por 8. Entonces 20 en 170 cabe 8 veces. Colocamos ese número en el lugar que corresponde al cociente. 8 por 20 nos da 160. Entonces escribimos ese número debajo de 170. Acá sería 20 por 8. O también 8 por 20 que es 160. Y vamos a efectuar la resta en cada caso. Por acá 170 menos 160. Eso nos da como resultado 10. Y para obtener otra cifra en el cociente. Entonces agregamos otro 0 en el residuo. Continuamos la división. Nos preguntamos si 20 cabe en 100. Vemos que eso es posible. Si revisamos la tabla del 20. Vemos que aparece el número 100. 20 por 5 es 100. Entonces el 20 en el 100 cabe 5 veces. Colocamos ese número en el lugar del cociente. 5 por 20 nos da 100. Acá también 5 por 20 o 20 por 5 nos da 100. Y vamos a efectuar la resta en ambos casos. 100 menos 100 nos da como resultado 0. Allí ya tenemos residuo 0. Por lo tanto concluimos que la división terminó. Entonces el resultado de esta última operación de esa división nos dio 0,85. Y de esa manera damos por terminado el ejercicio. Después de haber resuelto el ejercicio manualmente. Vamos a efectuar su comprobación en una calculadora como esta. Entonces vamos a escribir en pantalla lo que tenemos acá inicialmente. Es decir 1,02 dividido. Abrimos paréntesis. 12 menos 2,4 por 4,5. Y cerramos el paréntesis. Después oprimimos el botón igual. Y en pantalla nos aparece 17,20 aos. Es decir un resultado en forma de fracción. Es allí cuando oprimimos la tecla SD. Que es la que nos permite pasar un número de su forma estándar a la forma decimal y viceversa. Nos aparece entonces 0,85. Lo que habíamos obtenido al hacer todo este desarrollo en forma manual. Con eso comprobamos que el ejercicio se resolvió correctamente.

[{"start": 0.0, "end": 9.08, "text": " Tenemos en este caso un ejercicio de operaciones combinadas con n\u00fameros decimales. Vamos a"}, {"start": 9.08, "end": 15.32, "text": " resolverlo manualmente y al final haremos la comprobaci\u00f3n en calculadora. Como podemos"}, {"start": 15.32, "end": 22.36, "text": " notar para los n\u00fameros decimales se ha utilizado la coma, en otros pa\u00edses se utiliza el punto"}, {"start": 22.36, "end": 29.36, "text": " para denotar esa marca decimal. Tambi\u00e9n podemos observar la presencia de signos de agrupaci\u00f3n,"}, {"start": 29.36, "end": 35.24, "text": " espec\u00edficamente par\u00e9ntesis. Eso nos indica que tenemos que comenzar por las operaciones"}, {"start": 35.24, "end": 41.24, "text": " que hay en su interior. All\u00ed observamos una resta y una multiplicaci\u00f3n. Recordemos que"}, {"start": 41.24, "end": 48.28, "text": " entre esas dos operaciones tiene mayor importancia o mayor jerarqu\u00eda la multiplicaci\u00f3n. Entonces"}, {"start": 48.28, "end": 54.4, "text": " vamos a comenzar por resolver ese producto. Entonces vamos a efectuar esa multiplicaci\u00f3n"}, {"start": 54.4, "end": 64.48, "text": " por ac\u00e1. Tenemos 2,4 que multiplica con 4,5. Vamos a resolverla en forma vertical. Entonces"}, {"start": 64.48, "end": 70.12, "text": " vamos a ejecutar esa operaci\u00f3n haciendo de cuenta que la coma no est\u00e1. Como si multiplic\u00e1ramos"}, {"start": 70.12, "end": 79.44, "text": " 24 por 45. Entonces 5 por 4 nos da 20. Anotamos el 0, llevamos 2. 5 por 2, 10. Y 2 que llevamos"}, {"start": 79.44, "end": 88.8, "text": " es 12. Seguimos 4 por 4, 16. Anotamos el 6, llevamos 1. 4 por 2 es 8. M\u00e1s 1 que llevamos"}, {"start": 88.8, "end": 96.64, "text": " nos da 9. Ahora efectuamos la suma verticalmente comenzando por la derecha. Tenemos que este"}, {"start": 96.64, "end": 105.84, "text": " 0 baja aqu\u00ed. Despu\u00e9s 2 m\u00e1s 6 nos da 8. Luego tenemos 1 m\u00e1s 9 que es 10. Y miramos entonces"}, {"start": 105.84, "end": 112.64, "text": " cu\u00e1ntos decimales debemos dejar en el producto. Es decir en el resultado de la multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 112.64, "end": 118.44, "text": " Nos fijamos entonces cu\u00e1ntas cifras decimales aportan los factores. Vemos que cada uno de"}, {"start": 118.44, "end": 125.84, "text": " estos n\u00fameros aporta una cifra decimal. Entonces tenemos aqu\u00ed en total dos cifras decimales"}, {"start": 125.84, "end": 130.96, "text": " que son las que tenemos que dejar ac\u00e1. Por lo tanto la coma va en este lugar entre el"}, {"start": 130.96, "end": 140.8, "text": " 0 y el 8. Entonces esa operaci\u00f3n nos queda as\u00ed. 1 coma 0 2. Eso dividido entre. Abrimos"}, {"start": 140.8, "end": 149.20000000000002, "text": " el par\u00e9ntesis. All\u00ed tenemos 12. Y eso menos el resultado de esa multiplicaci\u00f3n que nos"}, {"start": 149.20000000000002, "end": 156.56, "text": " dio 10 coma 80. Sin embargo este 0 podemos quitarlo. Podemos dejar el resultado simplemente"}, {"start": 156.56, "end": 164.64000000000001, "text": " como 10 coma 8. Es exactamente lo mismo. Y cerramos el par\u00e9ntesis. Seguimos con la operaci\u00f3n"}, {"start": 164.64000000000001, "end": 170.84, "text": " que ha quedado dentro de los par\u00e9ntesis. Es decir esta resta. Vamos a resolverla por ac\u00e1."}, {"start": 170.84, "end": 177.84, "text": " Tenemos el minuendo que es 12. Un n\u00famero entero. Y debajo escribimos el sustraendo que es 10"}, {"start": 177.84, "end": 185.28, "text": " coma 8. Entonces 12 tiene la coma en este lugar. A la derecha del d\u00edgito de las unidades."}, {"start": 185.28, "end": 190.88, "text": " Recordemos que en la resta de decimales. As\u00ed como en la suma. La coma debe quedar en la"}, {"start": 190.88, "end": 198.96, "text": " misma columna. Este espacio lo llenamos con 0. Y vamos a efectuar esa operaci\u00f3n. Esa"}, {"start": 198.96, "end": 206.08, "text": " resta de decimales. Comenzamos por la derecha. Donde a 0 no podemos quitarle 8. Entonces"}, {"start": 206.08, "end": 211.84, "text": " venimos ac\u00e1 a la columna de la izquierda. Y nos fijamos si este n\u00famero nos puede prestar."}, {"start": 211.84, "end": 218.84, "text": " Efectivamente 2 puede prestar una unidad. Que llega aqu\u00ed convertida como 10 d\u00e9cimas."}, {"start": 218.84, "end": 226.72, "text": " 10 d\u00e9cimas m\u00e1s 0 d\u00e9cimas nos da 10 d\u00e9cimas. Y 2 unidades como prest\u00f3 1 queda convertido"}, {"start": 226.72, "end": 233.56, "text": " en una unidad. All\u00ed ya podemos entonces efectuar la operaci\u00f3n. En columnas. Comenzando por"}, {"start": 233.56, "end": 239.72, "text": " la derecha. 10 menos 8 nos da 2. Escribimos la coma que nos debe quedar debajo de las"}, {"start": 239.72, "end": 248.4, "text": " otras. Despu\u00e9s 1 menos 0 es 1. Y 1 menos 1 nos da 0. Entonces esta operaci\u00f3n nos queda"}, {"start": 248.4, "end": 257.6, "text": " as\u00ed. 1 coma 0 2. Y eso dividido entre el resultado de esa resta. Que ya podemos escribir sin"}, {"start": 257.6, "end": 263.6, "text": " necesidad de par\u00e9ntesis. Nos dio esto. Pero este 0 como est\u00e1 a la izquierda del 1. A"}, {"start": 263.6, "end": 270.6, "text": " la izquierda de la parte entera. Entonces lo podemos omitir. Nos queda simplemente 1 coma"}, {"start": 270.6, "end": 278.32000000000005, "text": " 2. Y vamos a proceder ahora con esa divisi\u00f3n. Recordemos que para dividir n\u00fameros decimales."}, {"start": 278.32000000000005, "end": 284.48, "text": " Lo primero que tenemos que hacer es equilibrar la cantidad de cifras decimales. Tanto en"}, {"start": 284.48, "end": 290.72, "text": " el dividendo como en el divisor. Ac\u00e1 tenemos dos cifras decimales. Y ac\u00e1 tenemos solamente"}, {"start": 290.72, "end": 296.8, "text": " 1. Entonces agregamos aqu\u00ed un 0. Para que de esa manera ambos n\u00fameros queden con la"}, {"start": 296.8, "end": 303.64000000000004, "text": " misma cantidad de decimales. Cuando hemos logrado ese equilibrio. Entonces podemos suprimir"}, {"start": 303.64000000000004, "end": 312.28000000000003, "text": " la coma. O la marca decimal. Entonces nos queda la operaci\u00f3n 102. Dividido entre 120."}, {"start": 312.28000000000003, "end": 319.52000000000004, "text": " Ya es una divisi\u00f3n de n\u00fameros enteros. Espec\u00edficamente de n\u00fameros naturales. Esa operaci\u00f3n podemos"}, {"start": 319.52, "end": 327.88, "text": " escribirla en forma de fracci\u00f3n. Vamos a continuar por ac\u00e1. Nos queda entonces 102"}, {"start": 327.88, "end": 337.4, "text": " sobre 120. O 102 120. Y aqu\u00ed podemos utilizar lo que es la simplificaci\u00f3n de fracciones."}, {"start": 337.4, "end": 343.47999999999996, "text": " Por ejemplo vemos que estos dos n\u00fameros terminan en cifra par. Por lo tanto son divisibles"}, {"start": 343.48, "end": 353.52000000000004, "text": " por 2. Si sacamos la mitad de 102. Eso nos da 51. Y la mitad de 120 nos da 60. A su vez"}, {"start": 353.52000000000004, "end": 359.16, "text": " si revisamos estos dos n\u00fameros. Nos damos cuenta que son divisibles por 3. Porque la"}, {"start": 359.16, "end": 365.68, "text": " suma de sus d\u00edgitos nos da como resultado un m\u00faltiplo de 3. 5 m\u00e1s 1 nos da 6. 6 es"}, {"start": 365.68, "end": 371.16, "text": " m\u00faltiplo de 3. Aqu\u00ed l\u00f3gicamente 6 m\u00e1s 0 nos da 6 que tambi\u00e9n es m\u00faltiplo de 3. Por"}, {"start": 371.16, "end": 378.40000000000003, "text": " lo tanto ambos n\u00fameros tienen tercera. Son divisibles por 3. 51 dividido entre 3 nos da"}, {"start": 378.40000000000003, "end": 386.24, "text": " 17. Y 60 dividido entre 3 nos da 20. Esta fracci\u00f3n ya no se puede simplificar m\u00e1s."}, {"start": 386.24, "end": 392.92, "text": " Es irreducible. Entonces es aqu\u00ed cuando vamos a realizar ya el proceso de la divisi\u00f3n."}, {"start": 392.92, "end": 399.44000000000005, "text": " Vamos a resolver esa operaci\u00f3n de dos maneras. Como se acostumbra dividir en la mayor\u00eda"}, {"start": 399.44, "end": 406.24, "text": " de pa\u00edses de Am\u00e9rica Latina. Es decir colocando ac\u00e1 el dividendo que es 17. Por ac\u00e1 el divisor"}, {"start": 406.24, "end": 415.08, "text": " que es 20. Y como se divide en Estados Unidos y otros territorios. Ac\u00e1 adentro va el dividendo"}, {"start": 415.08, "end": 422.24, "text": " que es 17. Y por ac\u00e1 afuera va el divisor. Comenzamos tomando la primera cifra en el"}, {"start": 422.24, "end": 428.44, "text": " dividendo. Es decir el 1. Nos preguntamos si 20 cabe en 1. Vemos que eso no es posible."}, {"start": 428.44, "end": 433.68, "text": " Comenzamos ahora las dos cifras en el dividendo. O sea el n\u00famero 17. Nos preguntamos si 20"}, {"start": 433.68, "end": 442.0, "text": " cabe en 17. Vemos que eso tampoco es posible. Entonces como 20 no cabe en 17 colocamos 0"}, {"start": 442.0, "end": 448.12, "text": " en el cociente. Y all\u00ed supuestamente la divisi\u00f3n terminar\u00eda. Sin embargo es aqu\u00ed cuando el"}, {"start": 448.12, "end": 454.12, "text": " proceso puede continuarse para obtener las posiciones decimales en el cociente. Entonces"}, {"start": 454.12, "end": 461.76, "text": " colocamos una coma all\u00ed en el cociente y agregamos un 0 en el dividendo. Para continuar"}, {"start": 461.76, "end": 468.7, "text": " con el proceso de la divisi\u00f3n. All\u00ed vemos que 20 si cabe en 170. Entonces separamos"}, {"start": 468.7, "end": 474.72, "text": " estas cifras. Las tres que tenemos en el dividendo e iniciamos el proceso de divisi\u00f3n. Revisamos"}, {"start": 474.72, "end": 479.38, "text": " la tabla de multiplicar del n\u00famero 20. Y miramos cu\u00e1l es el resultado que m\u00e1s se"}, {"start": 479.38, "end": 489.04, "text": " aproxima a 170. Ese n\u00famero es 160. Que quiere decir 20 por 8. Entonces 20 en 170 cabe 8"}, {"start": 489.04, "end": 497.64, "text": " veces. Colocamos ese n\u00famero en el lugar que corresponde al cociente. 8 por 20 nos da 160."}, {"start": 497.64, "end": 503.52, "text": " Entonces escribimos ese n\u00famero debajo de 170. Ac\u00e1 ser\u00eda 20 por 8. O tambi\u00e9n 8 por"}, {"start": 503.52, "end": 514.64, "text": " 20 que es 160. Y vamos a efectuar la resta en cada caso. Por ac\u00e1 170 menos 160. Eso"}, {"start": 514.64, "end": 523.02, "text": " nos da como resultado 10. Y para obtener otra cifra en el cociente. Entonces agregamos otro"}, {"start": 523.02, "end": 529.3199999999999, "text": " 0 en el residuo. Continuamos la divisi\u00f3n. Nos preguntamos si 20 cabe en 100. Vemos"}, {"start": 529.32, "end": 535.36, "text": " que eso es posible. Si revisamos la tabla del 20. 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Entonces vamos a escribir en pantalla lo que"}, {"start": 587.24, "end": 600.1600000000001, "text": " tenemos ac\u00e1 inicialmente. Es decir 1,02 dividido. Abrimos par\u00e9ntesis. 12 menos 2,4 por 4,5."}, {"start": 600.16, "end": 605.9599999999999, "text": " Y cerramos el par\u00e9ntesis. Despu\u00e9s oprimimos el bot\u00f3n igual. Y en pantalla nos aparece"}, {"start": 605.9599999999999, "end": 612.0799999999999, "text": " 17,20 aos. Es decir un resultado en forma de fracci\u00f3n. Es all\u00ed cuando oprimimos la"}, {"start": 612.0799999999999, "end": 617.92, "text": " tecla SD. Que es la que nos permite pasar un n\u00famero de su forma est\u00e1ndar a la forma"}, {"start": 617.92, "end": 626.4399999999999, "text": " decimal y viceversa. Nos aparece entonces 0,85. Lo que hab\u00edamos obtenido al hacer todo"}, {"start": 626.44, "end": 633.12, "text": " este desarrollo en forma manual. Con eso comprobamos que el ejercicio se resolvi\u00f3 correctamente."}]

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23. ESCALARES Y VECTORES

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 23: Escalares y vectores. Conceptos y ejemplos de magnitudes escalares y vectoriales. Tema: El Movimiento y su Descripción. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

Habíamos visto que las magnitudes físicas son propiedades o atributos medibles del mundo que nos rodea, pues bien, en la física estas magnitudes pueden ser de dos clases, escalares y vectoriales. Las magnitudes escalares son aquellas en las que solamente se expresa su valor, es decir se enuncian con un número y una unidad de medida. Veamos algunos ejemplos de magnitudes escalares. Una longitud de 5 metros, una masa de 3 kg, un tiempo de 10 segundos, una superficie de 20 cm², un volumen de 4.5 m³, una temperatura de 18 ºC, una rapidez de 30 ms, una densidad de 7.8 gramos sobre cm³, una energía de 300 J, entre otras. Como vemos el valor de una magnitud escalar se compone de un número y la unidad de medida correspondiente. Sin embargo en física hay algunas excepciones de magnitudes escalares cuyo valor consta de un número más no de unidad. Se trata de las cantidades adimensionales, es decir que no tienen unidades y un ejemplo de ellas es el coeficiente de rozamiento o fricción que se representa con la letra griega mu y que se expresa únicamente como un número real, sin unidades. Por ejemplo mu igual a 0.25. Las magnitudes vectoriales son aquellas en las que además de expresar su valor se debe especificar su orientación. En otras palabras tienen magnitud, dirección y sentido. Citemos algunos ejemplos de magnitudes vectoriales. Un desplazamiento de 40 km hacia el norte, una velocidad de 10 ms hacia el este, una aceleración de 9.8 ms² dirigida hacia abajo, una fuerza de 45 N con orientación norte 60º oeste entre otras. Como vemos la magnitud vectorial se compone de un número con la unidad de medida correspondiente, es decir su valor y la dirección y el sentido, es decir su orientación. Si hace falta alguno de estos datos, entonces la magnitud vectorial no estará correctamente expresada. Un vector es la herramienta matemática que permite representar gráficamente una magnitud de carácter vectorial. Se dibuja como una flecha y técnicamente se define como un segmento de recta orientado. Veamos los principales elementos de un vector. El origen o cola que además de indicar donde inicia el vector nos especifica el punto de aplicación del mismo. El extremo o cabeza que es donde está la punta de la flecha indica donde finaliza el vector. El valor o magnitud o norma del vector que hace referencia al tamaño del vector. Es el valor de la magnitud vectorial que representa la flecha. La línea de acción que es la recta imaginaria que contiene el vector. La orientación de la línea de acción en el sistema de referencia al cual pertenece el vector es lo que determina la dirección del mismo. Si es un vector en un sistema unidimensional su dirección es la recta que se ha elegido como sistema o marco de referencia. Si el vector pertenece a un sistema bidimensional como el plano determinado por los ejes X y, usualmente su dirección es el ángulo theta que forma la línea de acción con el semieje positivo o X. Y si el vector está en un sistema tridimensional como el espacio generado por los ejes X, Y y Z, su dirección viene dada por los ángulos alfa, beta y theta que la línea de acción forma con los semiejes positivos o X o Y y o Z respectivamente. Otro elemento de un vector es el sentido, que lo determina hacia donde apunta la flecha que está en su extremo. Por eso se dice que un vector es un segmento dirigido. Por ejemplo aquí apreciamos dos vectores que tienen la misma dirección pero sentido opuesto. Usualmente, un vector se denota por una letra mayúscula o minúscula en negrilla o con una flecha encima. En este caso denotamos el vector con la letra a minúscula y la flechita encima. La anotación en negrilla es propia de los textos de matemáticas y física. El vector también puede nombrarse usando las letras que corresponden a su origen y extremo con la flecha encima. Si el origen es el punto P1 y el extremo es el punto P2, entonces tenemos el vector P1P2. Finalmente, para denotar el módulo, magnitud o norma del vector, se escribe el vector entre barras simples o dobles. Aunque las dos notaciones son correctas, es preferible usar las barras dobles, ya que estas se diferencian claramente del símbolo de valor absoluto al cual se parecen mucho las barras simples. Al enunciar el módulo de un vector, se debe citar el número y la unidad de medida correspondiente a la magnitud física que representa.

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{"start": 208.24, "end": 210.3, "text": " aplicaci\u00f3n del mismo."}, {"start": 210.3, "end": 216.68, "text": " El extremo o cabeza que es donde est\u00e1 la punta de la flecha indica donde finaliza el"}, {"start": 216.68, "end": 217.68, "text": " vector."}, {"start": 217.68, "end": 223.76000000000002, "text": " El valor o magnitud o norma del vector que hace referencia al tama\u00f1o del vector."}, {"start": 223.76000000000002, "end": 228.28, "text": " Es el valor de la magnitud vectorial que representa la flecha."}, {"start": 228.28, "end": 233.20000000000002, "text": " La l\u00ednea de acci\u00f3n que es la recta imaginaria que contiene el vector."}, {"start": 233.20000000000002, "end": 237.96, "text": " La orientaci\u00f3n de la l\u00ednea de acci\u00f3n en el sistema de referencia al cual pertenece"}, {"start": 237.96, "end": 243.44, "text": " el vector es lo que determina la direcci\u00f3n del mismo."}, {"start": 243.44, "end": 249.2, "text": " Si es un vector en un sistema 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correspondiente"}, {"start": 375.44, "end": 378.16, "text": " a la magnitud f\u00edsica que representa."}]

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PRODUCTOS NOTABLES: SUMA POR DIFERENCIA (Ejercicio 1)

#julioprofe explica cómo aplicar el Producto Notable llamado Suma por Diferencia. Tema: #ProductosNotables → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGZ0Uc88U7suZlA784fjzzj REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta situación donde observamos la multiplicación de dos binomios. Aquí se observa la suma de dos cantidades y aquí la resta de ellas mismas. Entonces vamos a utilizar un producto notable llamado suma por diferencia. Su modelo es A más B por A menos B. Aquí se observa la suma de dos cantidades multiplicada por la resta de ellas mismas. Este producto notable es igual a la primera cantidad al cuadrado menos la segunda cantidad al cuadrado. Esta es la forma rápida de resolver esta situación. Este producto notable nos ahorra la propiedad distributiva todos con todos. Es de gran importancia. Entonces en este caso vamos a aplicar esta fórmula, o sea este producto notable, para resolver este producto de binomios. En este caso vemos que A está representada por 5M al cubo y B está representada por 3N al al cuadrado. Entonces siguiendo esta instrucción tendremos que conformar esto que tenemos acá. A al cuadrado es decir 5M al cubo lo que representa la cantidad A, todo esto al cuadrado, menos la segunda cantidad, es decir la que representa B que es 3N al al cuadro y todo esto elevado al cuadrado. Enseguida vamos a desarrollar cada una de estas situaciones donde se observa la multiplicación de dos cantidades y en ambos casos ese producto está elevado al cuadrado. Entonces aplicamos esta propiedad. Si tenemos el producto de dos cantidades y esto está elevado a un exponente, entonces ese exponente se reparte para cada una de esas cantidades, para cada uno de los factores que tenemos en la base. Entonces aquí nos quedará 5 al cuadrado por N al cubo y todo esto al cuadrado. En el otro término nos queda 3 al cuadrado por N al al cuadro y todo esto elevado al cuadrado. Ahora desarrollamos estas potencias numéricas y estas dos situaciones. Veamos entonces. 5 al cuadrado es 25 y acá tenemos una situación que se llama potencia de una potencia. Si tenemos una potencia P al al cubo y todo esto está elevado a otro exponente, por ejemplo R, entonces conservamos la base y multiplicamos los exponentes. Entonces eso lo aplicamos acá. Conservamos la base que es M y multiplicamos los exponentes. 3 por 2 nos da 6. Acá tenemos 3 al cuadrado que es 9 y aquí utilizamos esta propiedad. Se conserva la base que es N y se multiplican los exponentes. 4 por 2 nos da 8. De esta manera terminamos. Aquí ya no se puede hacer nada más. Esta expresión es la respuesta para este ejercicio. Es la expresión que se obtiene cuando se desarrolla este producto que ocurre entre la suma de dos cantidades y la diferencia de ellas utilizando este producto notable que justamente se llama suma por diferencia.

[{"start": 0.0, "end": 9.08, "text": " Vamos a resolver esta situaci\u00f3n donde observamos la multiplicaci\u00f3n de dos binomios."}, {"start": 9.08, "end": 14.48, "text": " Aqu\u00ed se observa la suma de dos cantidades y aqu\u00ed la resta de ellas mismas."}, {"start": 14.48, "end": 19.56, "text": " Entonces vamos a utilizar un producto notable llamado suma por diferencia."}, {"start": 19.56, "end": 24.080000000000002, "text": " Su modelo es A m\u00e1s B por A menos B."}, {"start": 24.080000000000002, "end": 29.88, "text": " Aqu\u00ed se observa la suma de dos cantidades multiplicada por la resta de ellas mismas."}, {"start": 29.88, "end": 37.48, "text": " Este producto notable es igual a la primera cantidad al cuadrado menos la segunda cantidad al cuadrado."}, {"start": 37.48, "end": 41.08, "text": " Esta es la forma r\u00e1pida de resolver esta situaci\u00f3n."}, {"start": 41.08, "end": 45.519999999999996, "text": " Este producto notable nos ahorra la propiedad distributiva todos 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justamente se llama suma por diferencia."}]

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OPERACIONES COMBINADAS CON DECIMALES - Ejercicio 3

#julioprofe explica cómo resolver paso a paso un ejercicio de operaciones combinadas con números decimales. Al final, hace la comprobación en calculadora. Tema: #DecimalesPrimaria → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFID2VJp5Qvue_SAifzdGxl Video especialmente dedicado a los niños que trabajan por primera vez con números decimales, a los padres de familia que les apoyan y a los maestros de nivel primaria. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

¿Cómo se puede hacer? Tenemos en este caso un ejercicio de operaciones combinadas con números decimales y también enteros. Vamos a resolverlo manualmente y al final haremos la comprobación en calculadora. Como no tenemos signos de agrupación, es decir, no hay paréntesis, corchetes ni llaves, debemos comenzar por resolver las operaciones de mayor importancia, que en este caso son la multiplicación y la división. Ellas tienen mayor jerarquía que la resta. Entonces vamos a resolver esta operación, este producto, después este cociente y al final haremos la resta entre los dos resultados. Aclaramos que en este caso se utiliza la coma para los números decimales. En otros países se utiliza el punto para denotar esa marca decimal. Entonces comenzamos resolviendo esta multiplicación. Vamos a efectuarla por acá, 4,32 y eso vamos a multiplicarlo por 8. Entonces vamos a realizar el proceso detalladamente. Multiplicamos haciendo de cuenta que esta coma no está, como si hiciéramos 432 por 8. Entonces 8 por 2 nos da 16, escribimos el 6, llevamos 1, 8 por 3, 24 y uno que llevamos es 25. Escribimos el 5, llevamos 2, 8 por 4, 32 y 2 que llevamos es 34. Ahora, en el resultado debemos dejar el total de cifras decimales que aportan los factores. 4,32 aporta dos cifras decimales, 8 es un número entero que no aporta ninguna cifra decimal. Entonces el total de decimales que aportan los factores es 2. Esa es la cantidad que tenemos que dejar acá como posiciones decimales. Por lo tanto la coma va aquí. El resultado entonces de esa multiplicación es 34,56. Enseguida vamos a resolver esta división. Vamos a efectuar el proceso por acá. Tenemos 204 que es un número entero dividido entre el número decimal 7,5. Este es el dividendo y acá tenemos el divisor. Lo primero que tenemos que hacer es equilibrar la cantidad de cifras decimales en los dos números. 204 por ser entero inicialmente no tiene cifras decimales y este tiene una cifra decimal. Entonces lo que hacemos es escribir 204 como 204,0, es decir hacemos visible la coma que acá está invisible a la derecha de la cifra de las unidades. Y agregamos un 0 y esto queda dividido entre 7,5. De esa manera ambos números quedan con una cifra decimal. Cuando hemos logrado el equilibrio de la cantidad de cifras decimales tanto en el dividendo como en el divisor. Entonces podemos suprimir la coma que es la marca decimal. Si quitamos la coma en el primer número nos da 2040 y si quitamos la coma acá nos queda 75. Como vemos ya es una división entre números enteros, específicamente entre números naturales. Entonces podemos escribir esto en forma de fracción 2040 sobre 75 o 2040 75 aos. Y allí podemos utilizar la simplificación, estos dos números son divisibles por 5 porque este termina en 0 y este termina en 5. Entonces si dividimos 2040 entre 5 eso nos da 408 y al dividir 75 entre 5 obtenemos 15. Ahora en esta fracción estos dos números son divisibles por 3 porque si sumamos los dígitos en cada uno de ellos obtenemos como resultado un número que es múltiplo de 3. Por ejemplo aquí 4 más 0 más 8 nos da 12, 12 es múltiplo de 3 y 1 más 5 nos da 6, 6 también es múltiplo de 3. Entonces ambos números tienen tercera, o sea que son divisibles por 3. Si 408 se divide entre 3 nos da 136 y 15 dividido entre 3 nos da 5. Si revisamos esta fracción vemos que ya no se puede simplificar más, es una fracción irreducible. El objetivo de todo este proceso de simplificación es llegar a los números más pequeños cuya división nos represente la original. Vamos entonces ahora si a efectuar esa división por acá como se suele hacer en la mayoría de países de América Latina. Donde tenemos acá el dividendo y acá el divisor y también vamos a efectuarla como se suele trabajar en Estados Unidos y otros territorios. Es decir colocando acá el dividendo que es 136 y por acá el divisor que es 5. Comenzamos tomando la primera cifra en el dividendo, es decir el 1. Nos preguntamos si 5 cabe en 1, vemos que eso no es posible. Entonces tomamos las dos primeras cifras en el dividendo, es decir el 13. 5 cabe en 13, vemos que eso sí es posible. Entonces separamos las dos primeras cifras en el dividendo. Revisamos la tabla de multiplicar del 5 y vemos que el resultado que más se aproxima a 13 es 10. Eso quiere decir que 5 en 13 cabe dos veces. Colocamos ese número en estas posiciones, las que corresponden al cociente. Entonces decimos 2 por 5 nos da 10. Acá sería también 2 por 5, 10. Lo colocamos debajo del 13 y efectuamos la resta en ambos casos. 13 menos 10 nos da 3. Y bajamos ahora la siguiente cifra que tenemos en el dividendo, es decir el 6. Revisamos la tabla de multiplicar del 5 y encontramos que el resultado que más se aproxima a 36 es 35. Es decir que el 5 en 36 cabe 7 veces. 7 por 5 nos da 35. Acá colocaríamos el 7 en este lugar, en el que corresponde al cociente. Y 7 por 5 o 5 por 7 nos da 35. Lo escribimos debajo de 36. Ahora efectuamos la resta en ambos casos. 36 menos 35 nos da 1. Allí podemos decir que la división ya terminó porque no hay más cifras para bajar en el dividendo. Sin embargo, podemos continuarla obteniendo posiciones decimales en el cociente. Para ello colocamos coma en el cociente y agregamos un 0 en el residuo. Nos preguntamos si 5 cabe en 10. Vemos que eso sí es posible. El 5 en el 10 cabe 2 veces. Colocamos entonces el 2 acá en el cociente después de la coma. 2 por 5 nos da 10. Acá 2 por 5 nos da 10. Y vamos a efectuar la resta en ambos casos. Entonces tenemos que 10 menos 10 nos da 0. Y allí termina la división. Entonces el resultado de esta operación, como decíamos, todo este proceso, que al final desemboca en la división 136 entre 5, nos da como resultado 27,2. Y es allí cuando vamos a efectuar la resta entre esas dos cantidades. Vamos a efectuar esa operación por acá, de manera vertical. Escribimos el minoendo, que es 34,56, y debajo el sustraendo, que es 27,2. Recordemos que los números tienen que acomodarse de manera que la coma nos quede en la misma columna, alineada verticalmente. Entonces vamos a efectuar la resta de esas dos cantidades. Podemos completar esta casilla con 0. Y ahora sí comenzamos por la derecha. 6 menos 0 nos da 6. 5 menos 2 es 3. Colocamos la coma. Luego 4 menos 7. Esa operación no es posible. Entonces le pedimos prestado a 3. 3 decenas presta 1 decena que llega convertida acá como 10 unidades. 10 unidades más 4 unidades nos da 14 unidades. Y 3 decenas queda convertida en 2 decenas. Ya podemos entonces efectuar la resta. 14 menos 7 nos da 7. Y 2 menos 2 es 0. Entonces esta última operación, la resta de esos números decimales, nos dio 7 coma 36. Este 0 que está a la izquierda del 7 puede omitirse. Después de haber resuelto el ejercicio manualmente, vamos a realizar su comprobación en una calculadora como esta. Entonces vamos a escribir toda esa operación acá en pantalla. Comenzamos con 4 coma 32, después por 8, luego menos 204 dividido entre 7 coma 5. Allí hemos ingresado la operación inicial. Entonces ahora oprimimos el botón igual y obtenemos 184 25. Es decir, un resultado fraccionario. Es allí cuando oprimimos la tecla SD para pasar a la forma decimal. Esa tecla nos permite pasar de la forma estándar de un número a su forma decimal y viceversa. Vemos en pantalla 7 coma 36, el resultado que obtuvimos al resolver todo esto manualmente. Con eso comprobamos que el ejercicio se resolvió correctamente.

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cabe 2 veces."}, {"start": 431.0, "end": 435.0, "text": " Colocamos entonces el 2 ac\u00e1 en el cociente despu\u00e9s de la coma."}, {"start": 435.0, "end": 437.0, "text": " 2 por 5 nos da 10."}, {"start": 437.0, "end": 441.0, "text": " Ac\u00e1 2 por 5 nos da 10."}, {"start": 441.0, "end": 445.0, "text": " Y vamos a efectuar la resta en ambos casos."}, {"start": 445.0, "end": 449.0, "text": " Entonces tenemos que 10 menos 10 nos da 0."}, {"start": 449.0, "end": 451.0, "text": " Y all\u00ed termina la divisi\u00f3n."}, {"start": 451.0, "end": 456.0, "text": " Entonces el resultado de esta operaci\u00f3n, como dec\u00edamos, todo este proceso,"}, {"start": 456.0, "end": 464.0, "text": " que al final desemboca en la divisi\u00f3n 136 entre 5, nos da como resultado 27,2."}, {"start": 464.0, "end": 470.0, "text": " Y es all\u00ed cuando vamos a efectuar la resta entre esas dos cantidades."}, {"start": 470.0, "end": 474.0, "text": " Vamos a efectuar esa operaci\u00f3n por ac\u00e1, de manera vertical."}, {"start": 474.0, "end": 482.0, "text": " Escribimos el minoendo, que es 34,56, y debajo el sustraendo, que es 27,2."}, {"start": 482.0, "end": 488.0, "text": " Recordemos que los n\u00fameros tienen que acomodarse de manera que la coma nos quede en la misma columna,"}, {"start": 488.0, "end": 490.0, "text": " alineada verticalmente."}, {"start": 490.0, "end": 495.0, "text": " Entonces vamos a efectuar la resta de esas dos cantidades."}, {"start": 495.0, "end": 498.0, "text": " Podemos completar esta casilla con 0."}, {"start": 498.0, "end": 501.0, "text": " Y ahora s\u00ed comenzamos por la derecha."}, {"start": 501.0, "end": 503.0, "text": " 6 menos 0 nos da 6."}, {"start": 503.0, "end": 506.0, "text": " 5 menos 2 es 3."}, {"start": 506.0, "end": 508.0, "text": " Colocamos la coma."}, {"start": 508.0, "end": 510.0, "text": " Luego 4 menos 7."}, {"start": 510.0, "end": 511.0, "text": " Esa operaci\u00f3n no es posible."}, {"start": 511.0, "end": 514.0, "text": " Entonces le pedimos prestado a 3."}, {"start": 514.0, "end": 519.0, "text": " 3 decenas presta 1 decena que llega convertida ac\u00e1 como 10 unidades."}, {"start": 519.0, "end": 524.0, "text": " 10 unidades m\u00e1s 4 unidades nos da 14 unidades."}, {"start": 524.0, "end": 528.0, "text": " Y 3 decenas queda convertida en 2 decenas."}, {"start": 528.0, "end": 530.0, "text": " Ya podemos entonces efectuar la resta."}, {"start": 530.0, "end": 532.0, "text": " 14 menos 7 nos da 7."}, {"start": 532.0, "end": 535.0, "text": " Y 2 menos 2 es 0."}, {"start": 535.0, "end": 543.0, "text": " Entonces esta \u00faltima operaci\u00f3n, la resta de esos n\u00fameros decimales, nos dio 7 coma 36."}, {"start": 543.0, "end": 547.0, "text": " Este 0 que est\u00e1 a la izquierda del 7 puede omitirse."}, {"start": 547.0, "end": 554.0, "text": " Despu\u00e9s de haber resuelto el ejercicio manualmente, vamos a realizar su comprobaci\u00f3n en una calculadora como esta."}, {"start": 554.0, "end": 558.0, "text": " Entonces vamos a escribir toda esa operaci\u00f3n ac\u00e1 en pantalla."}, {"start": 558.0, "end": 570.0, "text": " Comenzamos con 4 coma 32, despu\u00e9s por 8, luego menos 204 dividido entre 7 coma 5."}, {"start": 570.0, "end": 573.0, "text": " All\u00ed hemos ingresado la operaci\u00f3n inicial."}, {"start": 573.0, "end": 579.0, "text": " Entonces ahora oprimimos el bot\u00f3n igual y obtenemos 184 25."}, {"start": 579.0, "end": 581.0, "text": " Es decir, un resultado fraccionario."}, {"start": 581.0, "end": 587.0, "text": " Es all\u00ed cuando oprimimos la tecla SD para pasar a la forma decimal."}, {"start": 587.0, "end": 593.0, "text": " Esa tecla nos permite pasar de la forma est\u00e1ndar de un n\u00famero a su forma decimal y viceversa."}, {"start": 593.0, "end": 601.0, "text": " Vemos en pantalla 7 coma 36, el resultado que obtuvimos al resolver todo esto manualmente."}, {"start": 601.0, "end": 630.0, "text": " Con eso comprobamos que el ejercicio se resolvi\u00f3 correctamente."}]

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22. GRÁFICAS POSICIÓN-TIEMPO

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 22: Gráficas Posición-Tiempo. Elementos de las gráficas Posición-Tiempo en movimientos rectilíneos. Tema: El Movimiento y su Descripción. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

Un movimiento unidimensional tiene asociada una gráfica posición tiempo, conocida también como gráfica ST. En esta gráfica queda registrada la posición S que ocupa el móvil en cada instante de tiempo T, sobre el eje que ha sido elegido como sistema o marco de referencia. En una gráfica ST la posición S va en el eje vertical y el tiempo T va en el eje horizontal. Para una gráfica ST es importante definir una escala apropiada para localizar los valores en cada eje y especificar las unidades tanto de la posición S como del tiempo T. Miremos esto con un dibujo. Tenemos el eje vertical donde se ubica la posición S, el eje horizontal donde se ubica el tiempo T, el valor 0 tanto para la posición como para el tiempo, la escala en el eje vertical, en este caso de 10 en 10 incluyendo valores negativos para la posición S, la escala en el eje horizontal valores únicamente positivos para el tiempo, en este caso de 1 en 1. Observamos que las escalas utilizadas en los ejes pueden ser diferentes. También tenemos las unidades, metros para la posición y segundos para el tiempo. En ese plano generado por los ejes S y T se registran entonces las posiciones que ocupa una partícula que se mueve a lo largo del eje X, que tiene los mismos valores en metros del eje vertical S. Este es el eje, es decir el sistema o marco de referencia donde ocurre el movimiento unidimensional de la partícula. Por ejemplo si la partícula o el móvil se encuentra en la posición X igual a 30 metros en el instante T igual a 2 segundos, entonces en la gráfica ST localizamos el punto 2,30, es decir la pareja T, S que indica la posición S del móvil en ese instante T. Veamos la siguiente situación, en el instante T igual a 0 tenemos una partícula localizada en X igual a menos 20 metros, entonces marcamos el punto correspondiente a la pareja 0, menos 20, esa partícula se mueve hacia la derecha con velocidad constante de manera que en el instante T igual a 1 segundo se encuentra en X igual a 0, entonces marcamos el punto correspondiente a la pareja 1,0. La partícula continúa moviéndose hacia la derecha y en T igual a 2 segundos se encuentra en X igual a 20 metros, entonces marcamos el punto correspondiente a la pareja 2,20. La partícula se queda en X igual a 20 metros durante 1 segundo más, es decir que en T igual a 3 segundos tenemos el punto 3,20. La partícula continúa en el mismo sitio durante otro segundo de manera que en T igual a 4 segundos registramos el punto 4,20. Finalmente la partícula se mueve hacia la izquierda con velocidad constante y en T igual a 5 segundos se localiza en X igual a 0, entonces marcamos el punto 5,0 en la gráfica ST. Entonces, resumiendo, la partícula se movió en el intervalo de tiempo desde T igual a 0 hasta T igual a 2 segundos con MRU, es decir con movimiento rectilíneo uniforme. Eso significa que la partícula se movió con velocidad constante, como habíamos dicho antes, entre X igual a menos 20 metros y X igual a 20 metros. Por lo tanto en la gráfica ST unimos los puntos 0,-20 y 2,20 con un segmento de recta. Obsérvese que la linea pasa por el punto 1,0 porque entre T igual a 0 y T igual a 2 segundos la partícula mantiene constante su velocidad. Note que el segmento de recta trazado es ascendente o creciente. En el intervalo de tiempo comprendido entre T igual a 2 segundos, T igual a 3 segundos y T igual a 4 segundos, observamos que la partícula estuvo en reposo, es decir que se quedó estacionada en la posición X igual a 20 metros sobre el eje de referencia. Entonces unimos los puntos 2,20, 3,20 y 4,20 con un segmento de recta. Note que es horizontal. Finalmente en el intervalo de tiempo comprendido entre los instantes T igual a 4 segundos y T igual a 5 segundos la partícula se movió con velocidad constante como lo habíamos mencionado, esto significa que presentó movimiento rectilíneo uniforme en esta ocasión hacia la izquierda. Entonces en la gráfica ST unimos los puntos 4,20 y 5,0 con un segmento de recta. Note que es descendente o decreciente. De esta manera hemos elaborado la gráfica ST, es decir posición tiempo para lo que ha sucedido con la partícula en el intervalo de tiempo comprendido entre T igual a 0 y T igual a 5 segundos, al presentar movimiento unidimensional sobre el eje X que se ha utilizado como sistema o marco de referencia. De la situación presentada anteriormente tenemos que en una gráfica ST los intervalos donde hay tramos rectos ascendentes indican que el móvil o la partícula se mueve con velocidad constante hacia la derecha. En otras palabras el móvil presenta movimiento rectilíneo uniforme en la dirección positiva del eje que se ha tomado como sistema de referencia. Veamos esa situación. Entre T igual a 0 y T igual a 2 segundos la partícula presenta movimiento rectilíneo uniforme hacia la derecha. Entonces en la gráfica posición tiempo tenemos un tramo recto ascendente o creciente. Para determinar la velocidad con que se mueve la partícula entre T igual a 0 y T igual a 2 segundos hallamos la pendiente del tramo recto. Allí tenemos la fórmula para la pendiente de una recta en el plano cartesiano formado por los ejes X y Y. Recordemos que la pendiente M se define como la relación entre la diferencia de ordenadas y la diferencia de abscisas. Adaptando esta expresión que es matemática a la situación física que estamos considerando tenemos la fórmula para la velocidad, definida como la relación entre delta S que es el desplazamiento de la partícula y delta T que es el intervalo de tiempo. Vemos que el desplazamiento delta S es la diferencia entre dos posiciones S2 y S1, en otras palabras la posición final menos la posición inicial del móvil. Asimismo el intervalo de tiempo delta T es la diferencia entre T2 y T1, o sea los instantes en que la partícula registra las posiciones S2 y S1 respectivamente. Entonces llamamos T1 S1 al punto 0,-20 y T2 S2 al punto 2,20. Reemplazando estos valores en la expresión para la velocidad y resolviendo obtenemos 20 metros sobre segundo. Recordemos que la posición S está en metros que el tiempo T está en segundos, luego debemos escribir las unidades correspondientes a la velocidad, en este caso metros sobre segundo. Como conclusión tenemos que entre T igual a 0 y T igual a 2 segundos la partícula se mueve con velocidad constante de 20 metros sobre segundo hacia la derecha. En una gráfica ST los intervalos donde hay tramos rectos horizontales indican que el móvil o la partícula ha estado en reposo. Veamos, en los instantes T igual a 2 segundos, T igual a 3 segundos y T igual a 4 segundos la partícula permaneció en reposo en la posición 20 metros. Entonces en la gráfica tenemos un tramo recto horizontal. Luego la velocidad de la partícula entre T igual a 2 segundos y T igual a 4 segundos es la pendiente del tramo recto. Llamamos T1 S1 al punto 2,20 y T2 S2 al punto 4,20. Reemplazamos estos valores en la expresión para la velocidad y al resolver obtenemos 0 como resultado. Entonces la conclusión es que entre T igual a 2 segundos y T igual a 4 segundos la partícula se encuentra en reposo. En una gráfica ST los intervalos donde hay tramos rectos descendentes indican que el móvil o la partícula se mueve con velocidad constante hacia la izquierda. En otras palabras el móvil presenta movimiento rectilíneo uniforme en la dirección negativa del eje que se ha tomado como sistema de referencia. Veamos, entre T igual a 4 segundos y T igual a 5 segundos la partícula presenta movimiento rectilíneo uniforme hacia la izquierda. Entonces en la gráfica posición tiempo tenemos un tramo recto descendente o decreciente. La velocidad de la partícula entre T igual a 4 segundos y T igual a 5 segundos es la pendiente del tramo recto. Entonces llamamos T1 S1 al punto 4,20, T2 S2 al punto 5,0. Reemplazando estos valores en la expresión para la velocidad y resolviendo obtenemos como resultado menos 20 metros sobre segundo. Luego la conclusión es que entre T igual a 4 y T igual a 5 segundos la partícula se mueve con velocidad constante de menos 20 metros sobre segundo, es decir hacia la izquierda. Por el momento podemos concluir que para una gráfica ST tramos rectos inclinados indican que el móvil presenta movimiento rectilíneo uniforme, o sea con velocidad constante. Tramos rectos horizontales corresponden a periodos de reposo de la partícula. La pendiente de un tramo recto representa la velocidad del móvil en ese intervalo de tiempo. Veamos el resumen en la siguiente tabla. Si el tramo recto es ascendente, la pendiente, es decir la velocidad del móvil es positiva, y esto significa que la partícula presenta movimiento rectilíneo uniforme en la dirección positiva del eje de referencia. Ahora si el tramo recto es horizontal, la pendiente, o sea la velocidad de la partícula es cero, y esto quiere decir que en ese lapso de tiempo la partícula estuvo en reposo. Por último si el tramo recto es descendente, la pendiente, es decir la velocidad del móvil es negativa, lo que se traduce en un movimiento rectilíneo uniforme en la dirección negativa del eje que se ha tomado como sistema de referencia. En ocasiones la gráfica ST puede presentar forma curva, como es el caso del movimiento rectilíneo uniformemente variado, donde la velocidad del móvil aumenta o disminuye a un mismo ritmo. Para ese tipo de movimiento la gráfica ST tiene forma de parábola. Veamos los casos que se presentan. Primer caso, la partícula presenta movimiento rectilíneo uniformemente acelerado hacia la derecha sobre el eje X, que en este caso es el sistema de referencia. La gráfica que se genera es una parábola creciente y cóncava hacia arriba. Por ser una gráfica creciente nos indica que la velocidad es positiva, es decir que apunta hacia la derecha. La concavidad hacia arriba nos dice que la aceleración es positiva, o sea que también apunta hacia la derecha. El hecho de que la velocidad y la aceleración tenga la misma orientación es lo que caracteriza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. En este caso la partícula se mueve cada vez más rápido hacia la derecha. Segundo caso, la partícula registra movimiento rectilíneo uniformemente desacelerado hacia la derecha. La gráfica que se obtiene es una parábola creciente y concava hacia abajo. Como la curva es creciente, la velocidad es positiva, o sea que apunta hacia la derecha. Y como la curva presenta concavidad hacia abajo, la aceleración es negativa, luego apunta hacia la izquierda. Debido a que la velocidad y la aceleración tienen orientaciones contrarias es que el móvil presenta movimiento rectilíneo uniformemente desacelerado. En esta ocasión la partícula se mueve cada vez con más lentitud hacia la derecha, como si estuviera frenando. Tercer caso, la partícula presenta movimiento rectilíneo uniformemente acelerado hacia la izquierda sobre el eje X. La gráfica que se genera es una parábola decreciente y concava hacia abajo. Por ser una curva decreciente nos indica que la velocidad del móvil es negativa, o sea que apunta hacia la izquierda. Debido a que la curva es concava hacia abajo, la aceleración es negativa, luego también apunta hacia la izquierda. Dado que la velocidad y la aceleración tienen la misma orientación, el movimiento es rectilíneo uniformemente acelerado. En este caso la partícula se mueve cada vez más rápido hacia la izquierda. Cuarto y último caso, la partícula registra movimiento rectilíneo uniformemente desacelerado hacia la izquierda. La gráfica que se obtiene es una parábola decreciente y concava hacia arriba. Como la curva decrece, entonces la velocidad es negativa y apunta hacia la izquierda. Por ser una curva concava hacia arriba, la aceleración es positiva, luego apunta hacia la derecha. Observamos que la velocidad y la aceleración tienen orientaciones opuestas, por esa razón el móvil presenta movimiento rectilíneo uniformemente desacelerado. En esta oportunidad la partícula se mueve cada vez más despacio hacia la izquierda. Sabemos que en el movimiento rectilíneo uniformemente variado, la velocidad no es constante. Sin embargo de la gráfica ST podemos determinar la velocidad media del móvil para un intervalo de tiempo y la velocidad instantánea en un tiempo T específico. Veamos cómo. Consideremos el caso de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado y un intervalo de tiempo comprendido entre los instantes T1 y T2. Para T1 corresponde la posición S1 y para T2 corresponde la posición S2. Tenemos entonces los puntos T1 S1 y T2 S2 sobre la curva. Al unir esos puntos con una línea recta, determinamos una recta secante, llamada así porque toca dos puntos de la curva. Para hallar la velocidad media del móvil en ese intervalo de tiempo usamos esta expresión, que no es otra cosa que calcular la pendiente de la recta. Definimos entonces la velocidad media como la relación entre el desplazamiento delta S y el intervalo de tiempo delta T. Ahora consideremos un instante T cualquiera al cual corresponde una posición S. Tenemos entonces el punto T, S. Por ese punto trazamos una línea recta llamada recta tangente porque toca un solo punto de la curva. En este caso debemos determinar otro punto de la recta, por ejemplo el punto Q, cuyas coordenadas debemos determinar con la mayor precisión y exactitud posible de la gráfica. Entonces definimos la velocidad instantánea como la pendiente de la recta tangente PQ. En otras palabras, calculando la pendiente de la recta tangente que apreciamos en pantalla, obtenemos el valor de la velocidad del móvil en el instante T. En esta ocasión la pendiente de la recta es positiva por tratarse de una recta ascendente. Luego la velocidad instantánea es positiva y ello concuerda con el hecho de que en el punto T, S la curva es creciente. En general de una gráfica ST podemos deducir la siguiente información del movimiento de una partícula a lo largo del eje de referencia. En los intervalos de tiempo donde la gráfica es creciente o ascendente el móvil tiene velocidad positiva, o sea que se mueve en el eje X hacia la derecha o en el eje Y hacia arriba. En los intervalos de tiempo donde la gráfica es decreciente o descendente el móvil tiene velocidad negativa, o sea que se mueve en el eje X hacia la izquierda o en el eje Y hacia abajo. En los intervalos de tiempo donde la gráfica es constante u horizontal el móvil se encuentra en reposo, es decir, su velocidad es cero. La pendiente de la recta tangente a la curva en un punto T, S de la gráfica representa la velocidad instantánea del móvil en ese tiempo T. En los intervalos de tiempo donde la gráfica es cóncava hacia arriba la aceleración del móvil es positiva, es decir, está dirigida hacia la derecha en el eje X o hacia arriba en el eje Y. En los intervalos de tiempo donde la gráfica es cóncava hacia abajo la aceleración del móvil es negativa, es decir, está dirigida hacia la izquierda en el eje X o hacia abajo en el eje Y. Subtítulos realizados por la comunidad de Amara.org

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Como conclusi\u00f3n tenemos que entre T igual"}, {"start": 543.14, "end": 549.5600000000001, "text": " a 0 y T igual a 2 segundos la part\u00edcula se mueve con velocidad constante de 20 metros"}, {"start": 549.5600000000001, "end": 556.6800000000001, "text": " sobre segundo hacia la derecha. En una gr\u00e1fica ST los intervalos donde hay tramos rectos"}, {"start": 556.68, "end": 564.4799999999999, "text": " horizontales indican que el m\u00f3vil o la part\u00edcula ha estado en reposo. Veamos, en los instantes"}, {"start": 564.4799999999999, "end": 572.06, "text": " T igual a 2 segundos, T igual a 3 segundos y T igual a 4 segundos la part\u00edcula permaneci\u00f3"}, {"start": 572.06, "end": 580.8599999999999, "text": " en reposo en la posici\u00f3n 20 metros. 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En una gr\u00e1fica ST los intervalos"}, {"start": 620.44, "end": 626.46, "text": " donde hay tramos rectos descendentes indican que el m\u00f3vil o la part\u00edcula se mueve con"}, {"start": 626.46, "end": 633.1800000000001, "text": " velocidad constante hacia la izquierda. En otras palabras el m\u00f3vil presenta movimiento"}, {"start": 633.18, "end": 640.9799999999999, "text": " rectil\u00edneo uniforme en la direcci\u00f3n negativa del eje que se ha tomado como sistema de referencia."}, {"start": 640.9799999999999, "end": 649.1999999999999, "text": " Veamos, entre T igual a 4 segundos y T igual a 5 segundos la part\u00edcula presenta movimiento"}, {"start": 649.1999999999999, "end": 656.0, "text": " rectil\u00edneo uniforme hacia la izquierda. Entonces en la gr\u00e1fica posici\u00f3n tiempo tenemos un"}, {"start": 656.0, "end": 662.04, "text": " tramo recto descendente o decreciente. La velocidad de la part\u00edcula entre T igual a"}, {"start": 662.04, "end": 671.26, "text": " 4 segundos y T igual a 5 segundos es la pendiente del tramo recto. Entonces llamamos T1 S1 al"}, {"start": 671.26, "end": 680.2199999999999, "text": " punto 4,20, T2 S2 al punto 5,0. Reemplazando estos valores en la expresi\u00f3n para la velocidad"}, {"start": 680.2199999999999, "end": 687.62, "text": " y resolviendo obtenemos como resultado menos 20 metros sobre segundo. Luego la conclusi\u00f3n"}, {"start": 687.62, "end": 695.64, "text": " es que entre T igual a 4 y T igual a 5 segundos la part\u00edcula se mueve con velocidad constante"}, {"start": 695.64, "end": 701.84, "text": " de menos 20 metros sobre segundo, es decir hacia la izquierda."}, {"start": 701.84, "end": 708.46, "text": " Por el momento podemos concluir que para una gr\u00e1fica ST tramos rectos inclinados indican"}, {"start": 708.46, "end": 714.92, "text": " que el m\u00f3vil presenta movimiento rectil\u00edneo uniforme, o sea con velocidad constante. Tramos"}, {"start": 714.92, "end": 721.78, "text": " rectos horizontales corresponden a periodos de reposo de la part\u00edcula. La pendiente de"}, {"start": 721.78, "end": 727.9399999999999, "text": " un tramo recto representa la velocidad del m\u00f3vil en ese intervalo de tiempo. Veamos"}, {"start": 727.9399999999999, "end": 735.02, "text": " el resumen en la siguiente tabla. Si el tramo recto es ascendente, la pendiente, es decir"}, {"start": 735.02, "end": 741.56, "text": " la velocidad del m\u00f3vil es positiva, y esto significa que la part\u00edcula presenta movimiento"}, {"start": 741.56, "end": 748.68, "text": " rectil\u00edneo uniforme en la direcci\u00f3n positiva del eje de referencia. Ahora si el tramo recto"}, {"start": 748.68, "end": 756.1999999999999, "text": " es horizontal, la pendiente, o sea la velocidad de la part\u00edcula es cero, y esto quiere decir"}, {"start": 756.1999999999999, "end": 763.5799999999999, "text": " que en ese lapso de tiempo la part\u00edcula estuvo en reposo. Por \u00faltimo si el tramo recto es"}, {"start": 763.5799999999999, "end": 771.26, "text": " descendente, la pendiente, es decir la velocidad del m\u00f3vil es negativa, lo que se traduce"}, {"start": 771.26, "end": 777.86, "text": " en un movimiento rectil\u00edneo uniforme en la direcci\u00f3n negativa del eje que se ha tomado"}, {"start": 777.86, "end": 785.5, "text": " como sistema de referencia. En ocasiones la gr\u00e1fica ST puede presentar forma curva,"}, {"start": 785.5, "end": 791.06, "text": " como es el caso del movimiento rectil\u00edneo uniformemente variado, donde la velocidad"}, {"start": 791.06, "end": 798.86, "text": " del m\u00f3vil aumenta o disminuye a un mismo ritmo. Para ese tipo de movimiento la gr\u00e1fica ST"}, {"start": 798.86, "end": 803.82, "text": " tiene forma de par\u00e1bola. Veamos los casos que se presentan."}, {"start": 803.82, "end": 809.78, "text": " Primer caso, la part\u00edcula presenta movimiento rectil\u00edneo uniformemente acelerado hacia"}, {"start": 809.78, "end": 816.5, "text": " la derecha sobre el eje X, que en este caso es el sistema de referencia. La gr\u00e1fica que"}, {"start": 816.5, "end": 824.5600000000001, "text": " se genera es una par\u00e1bola creciente y c\u00f3ncava hacia arriba. Por ser una gr\u00e1fica creciente"}, {"start": 824.56, "end": 832.9, "text": " nos indica que la velocidad es positiva, es decir que apunta hacia la derecha. La concavidad"}, {"start": 832.9, "end": 840.54, "text": " hacia arriba nos dice que la aceleraci\u00f3n es positiva, o sea que tambi\u00e9n apunta hacia"}, {"start": 840.54, "end": 845.9599999999999, "text": " la derecha. El hecho de que la velocidad y la aceleraci\u00f3n tenga la misma orientaci\u00f3n"}, {"start": 845.9599999999999, "end": 852.8199999999999, "text": " es lo que caracteriza un movimiento rectil\u00edneo uniformemente acelerado. En este caso la part\u00edcula"}, {"start": 852.82, "end": 857.4000000000001, "text": " se mueve cada vez m\u00e1s r\u00e1pido hacia la derecha."}, {"start": 857.4000000000001, "end": 863.5, "text": " Segundo caso, la part\u00edcula registra movimiento rectil\u00edneo uniformemente desacelerado hacia"}, {"start": 863.5, "end": 871.5, "text": " la derecha. La gr\u00e1fica que se obtiene es una par\u00e1bola creciente y concava hacia abajo."}, {"start": 871.5, "end": 878.1, "text": " Como la curva es creciente, la velocidad es positiva, o sea que apunta hacia la derecha."}, {"start": 878.1, "end": 884.9200000000001, "text": " Y como la curva presenta concavidad hacia abajo, la aceleraci\u00f3n es negativa, luego"}, {"start": 884.9200000000001, "end": 891.02, "text": " apunta hacia la izquierda. Debido a que la velocidad y la aceleraci\u00f3n tienen orientaciones"}, {"start": 891.02, "end": 897.94, "text": " contrarias es que el m\u00f3vil presenta movimiento rectil\u00edneo uniformemente desacelerado. En"}, {"start": 897.94, "end": 903.74, "text": " esta ocasi\u00f3n la part\u00edcula se mueve cada vez con m\u00e1s lentitud hacia la derecha, como"}, {"start": 903.74, "end": 905.6600000000001, "text": " si estuviera frenando."}, {"start": 905.66, "end": 911.4599999999999, "text": " Tercer caso, la part\u00edcula presenta movimiento rectil\u00edneo uniformemente acelerado hacia"}, {"start": 911.4599999999999, "end": 919.8199999999999, "text": " la izquierda sobre el eje X. La gr\u00e1fica que se genera es una par\u00e1bola decreciente y concava"}, {"start": 919.8199999999999, "end": 926.3399999999999, "text": " hacia abajo. Por ser una curva decreciente nos indica que la velocidad del m\u00f3vil es"}, {"start": 926.3399999999999, "end": 930.4599999999999, "text": " negativa, o sea que apunta hacia la izquierda."}, {"start": 930.46, "end": 938.14, "text": " Debido a que la curva es concava hacia abajo, la aceleraci\u00f3n es negativa, luego tambi\u00e9n"}, {"start": 938.14, "end": 944.58, "text": " apunta hacia la izquierda. Dado que la velocidad y la aceleraci\u00f3n tienen la misma orientaci\u00f3n,"}, {"start": 944.58, "end": 951.38, "text": " el movimiento es rectil\u00edneo uniformemente acelerado. En este caso la part\u00edcula se mueve"}, {"start": 951.38, "end": 954.82, "text": " cada vez m\u00e1s r\u00e1pido hacia la izquierda."}, {"start": 954.82, "end": 962.1, "text": " Cuarto y \u00faltimo caso, la part\u00edcula registra movimiento rectil\u00edneo uniformemente desacelerado"}, {"start": 962.1, "end": 969.6600000000001, "text": " hacia la izquierda. La gr\u00e1fica que se obtiene es una par\u00e1bola decreciente y concava hacia"}, {"start": 969.6600000000001, "end": 977.9000000000001, "text": " arriba. Como la curva decrece, entonces la velocidad es negativa y apunta hacia la izquierda."}, {"start": 977.9, "end": 985.34, "text": " Por ser una curva concava hacia arriba, la aceleraci\u00f3n es positiva, luego apunta hacia"}, {"start": 985.34, "end": 986.34, "text": " la derecha."}, {"start": 986.34, "end": 992.66, "text": " Observamos que la velocidad y la aceleraci\u00f3n tienen orientaciones opuestas, por esa raz\u00f3n"}, {"start": 992.66, "end": 999.66, "text": " el m\u00f3vil presenta movimiento rectil\u00edneo uniformemente desacelerado. En esta oportunidad"}, {"start": 999.66, "end": 1005.54, "text": " la part\u00edcula se mueve cada vez m\u00e1s despacio hacia la izquierda."}, {"start": 1005.54, "end": 1011.8199999999999, "text": " Sabemos que en el movimiento rectil\u00edneo uniformemente variado, la velocidad no es constante. Sin"}, {"start": 1011.8199999999999, "end": 1018.62, "text": " embargo de la gr\u00e1fica ST podemos determinar la velocidad media del m\u00f3vil para un intervalo"}, {"start": 1018.62, "end": 1025.34, "text": " de tiempo y la velocidad instant\u00e1nea en un tiempo T espec\u00edfico. Veamos c\u00f3mo."}, {"start": 1025.34, "end": 1030.2, "text": " Consideremos el caso de un movimiento rectil\u00edneo uniformemente acelerado y un intervalo de"}, {"start": 1030.2, "end": 1039.74, "text": " tiempo comprendido entre los instantes T1 y T2. Para T1 corresponde la posici\u00f3n S1 y"}, {"start": 1039.74, "end": 1050.54, "text": " para T2 corresponde la posici\u00f3n S2. Tenemos entonces los puntos T1 S1 y T2 S2 sobre la"}, {"start": 1050.54, "end": 1051.54, "text": " curva."}, {"start": 1051.54, "end": 1059.26, "text": " Al unir esos puntos con una l\u00ednea recta, determinamos una recta secante, llamada as\u00ed"}, {"start": 1059.26, "end": 1066.32, "text": " porque toca dos puntos de la curva. Para hallar la velocidad media del m\u00f3vil en ese intervalo"}, {"start": 1066.32, "end": 1072.86, "text": " de tiempo usamos esta expresi\u00f3n, que no es otra cosa que calcular la pendiente de la"}, {"start": 1072.86, "end": 1079.18, "text": " recta. Definimos entonces la velocidad media como la relaci\u00f3n entre el desplazamiento"}, {"start": 1079.18, "end": 1083.74, "text": " delta S y el intervalo de tiempo delta T."}, {"start": 1083.74, "end": 1091.02, "text": " Ahora consideremos un instante T cualquiera al cual corresponde una posici\u00f3n S. Tenemos"}, {"start": 1091.02, "end": 1099.5, "text": " entonces el punto T, S. Por ese punto trazamos una l\u00ednea recta llamada recta tangente porque"}, {"start": 1099.5, "end": 1106.3, "text": " toca un solo punto de la curva. En este caso debemos determinar otro punto de la recta,"}, {"start": 1106.3, "end": 1111.88, "text": " por ejemplo el punto Q, cuyas coordenadas debemos determinar con la mayor precisi\u00f3n"}, {"start": 1111.88, "end": 1119.5, "text": " y exactitud posible de la gr\u00e1fica. Entonces definimos la velocidad instant\u00e1nea como la"}, {"start": 1119.5, "end": 1126.1000000000001, "text": " pendiente de la recta tangente PQ. En otras palabras, calculando la pendiente de la recta"}, {"start": 1126.1000000000001, "end": 1131.7, "text": " tangente que apreciamos en pantalla, obtenemos el valor de la velocidad del m\u00f3vil en el"}, {"start": 1131.7, "end": 1137.8200000000002, "text": " instante T. En esta ocasi\u00f3n la pendiente de la recta es positiva por tratarse de una"}, {"start": 1137.82, "end": 1145.46, "text": " recta ascendente. Luego la velocidad instant\u00e1nea es positiva y ello concuerda con el hecho"}, {"start": 1145.46, "end": 1154.4399999999998, "text": " de que en el punto T, S la curva es creciente. En general de una gr\u00e1fica ST podemos deducir"}, {"start": 1154.4399999999998, "end": 1161.6799999999998, "text": " la siguiente informaci\u00f3n del movimiento de una part\u00edcula a lo largo del eje de referencia."}, {"start": 1161.6799999999998, "end": 1167.1, "text": " En los intervalos de tiempo donde la gr\u00e1fica es creciente o ascendente el m\u00f3vil tiene"}, {"start": 1167.1, "end": 1174.8999999999999, "text": " velocidad positiva, o sea que se mueve en el eje X hacia la derecha o en el eje Y hacia"}, {"start": 1174.8999999999999, "end": 1182.1, "text": " arriba. En los intervalos de tiempo donde la gr\u00e1fica es decreciente o descendente el"}, {"start": 1182.1, "end": 1188.6599999999999, "text": " m\u00f3vil tiene velocidad negativa, o sea que se mueve en el eje X hacia la izquierda o"}, {"start": 1188.6599999999999, "end": 1196.4199999999998, "text": " en el eje Y hacia abajo. En los intervalos de tiempo donde la gr\u00e1fica es constante u"}, {"start": 1196.42, "end": 1204.6200000000001, "text": " horizontal el m\u00f3vil se encuentra en reposo, es decir, su velocidad es cero. La pendiente"}, {"start": 1204.6200000000001, "end": 1211.02, "text": " de la recta tangente a la curva en un punto T, S de la gr\u00e1fica representa la velocidad"}, {"start": 1211.02, "end": 1217.02, "text": " instant\u00e1nea del m\u00f3vil en ese tiempo T. En los intervalos de tiempo donde la gr\u00e1fica"}, {"start": 1217.02, "end": 1223.44, "text": " es c\u00f3ncava hacia arriba la aceleraci\u00f3n del m\u00f3vil es positiva, es decir, est\u00e1 dirigida"}, {"start": 1223.44, "end": 1231.18, "text": " hacia la derecha en el eje X o hacia arriba en el eje Y. En los intervalos de tiempo donde"}, {"start": 1231.18, "end": 1238.74, "text": " la gr\u00e1fica es c\u00f3ncava hacia abajo la aceleraci\u00f3n del m\u00f3vil es negativa, es decir, est\u00e1 dirigida"}, {"start": 1238.74, "end": 1267.98, "text": " hacia la izquierda en el eje X o hacia abajo en el eje Y."}, {"start": 1268.74, "end": 1271.98, "text": " Subt\u00edtulos realizados por la comunidad de Amara.org"}]

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21. TRAYECTORIA Y POSICIÓN DE UN MÓVIL

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 21: Trayectoria y posición de un móvil. Conceptos y ejemplos de trayectorias y posiciones de un móvil en diferentes movimientos. Tema: El Movimiento y su Descripción. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

En cinemática se define trayectoria como la línea continua que describe un cuerpo en movimiento. Según la trayectoria, los movimientos se clasifican en rectilíneos, curvilíneos y erráticos. El movimiento rectilíneo es aquel donde la trayectoria descrita por el móvil es una línea recta. Ejemplo, un atleta que corre los 100 metros planos. Una pelota que cae libremente. El movimiento curvilíneo es aquel donde la trayectoria descrita por el móvil es una línea curva. Por ejemplo, el looping, es decir la acrobacia aérea consistente en realizar un círculo vertical. Allí podemos apreciar la figura y esta es una trayectoria circular, es decir, una curva plana. Otro ejemplo es el salto de un motociclista. Allí podemos apreciar la figura y tenemos una trayectoria parabólica, es decir, una curva plana. Otro ejemplo es el movimiento de traslación de la tierra alrededor del sol. Allí podemos ver la figura y tenemos, en este caso, una trayectoria elíptica, que es también una curva plana. El movimiento del coche de una montaña rusa. Allí podemos apreciar la figura y tenemos una curva espacial. El movimiento errático es aquel donde la trayectoria descrita por el móvil es una línea irregular y no obedece a una forma geométrica definida. Por ejemplo, el movimiento browniano. Este movimiento se observa en partículas microscópicas que se desplazan en movimientos aleatorios sin razón aparente. Un ejemplo de ello son pequeñas partículas de polen que se mueven en una gota de agua. De la geometría sabemos que una línea está formada por muchos puntos. Pues bien, cada punto de la trayectoria de un cuerpo en movimiento es lo que se conoce como la posición del móvil. La posición de un móvil se determina con respecto del cero u origen del sistema o marco de referencia elegido para estudiar el movimiento. En un movimiento unidimensional la posición del móvil queda determinada por la coordenada SDT sobre el eje que se ha tomado como sistema de referencia. Miremos esta situación. Allí tenemos el eje X graduado en metros y un ciclista que se mueve hacia la derecha y que en el tiempo cero se encuentra en la posición menos 2. Luego SD0 es igual a menos 2 metros. El ciclista sigue moviéndose y en el tiempo dos segundos se encuentra en la posición cero. Es decir que SD2 es igual a cero. Sigue moviéndose y en el tiempo 7 segundos se encuentra en la posición 2, es decir que SD7 es igual a 2 metros. En un movimiento bidimensional o tridimensional la posición del móvil queda determinada por el vector RDT, llamado vector posición, que se traza desde el origen del sistema de referencia hasta el punto donde se encuentra la partícula en un instante específico. Miremos el caso de un movimiento bidimensional. Como sistema de referencia tenemos el plano cartesiano formado por los ejes X e Y y también apreciamos el origen marcado con O. Tenemos la trayectoria de una partícula en movimiento, esa línea plana que apreciamos. Allí tenemos la partícula en un instante específico situada en la coordenada X, Y de ese plano cartesiano. Tenemos entonces el origen y la posición de la partícula en un instante T cualquiera. El vector que une el origen con ese punto donde se encuentra la partícula en ese instante T es el vector posición RDT, que como podemos ver tiene dos componentes, una componente en X y otra componente en Y. Ambas componentes dependen de la variable T, es decir del tiempo. Ahora miremos el caso de un movimiento tridimensional que se desarrolla en el espacio. En este caso el sistema de referencia es el espacio generado por los tres ejes X, Y y Z que apreciamos en pantalla. Allí tenemos entonces la trayectoria de una partícula en movimiento, en este caso se trata de una línea espacial. Tenemos la partícula situada en la coordenada X, Y y Z. Tenemos entonces el origen y la posición de la partícula en un instante T cualquiera. El vector que une el origen con ese punto donde se encuentra la partícula es el vector posición RDT. Y en este caso podemos ver que tiene tres componentes X, Y y Z que dependen cada una de la variable T, es decir del tiempo.

[{"start": 0.0, "end": 18.48, "text": " En cinem\u00e1tica se define trayectoria como la l\u00ednea continua que describe un cuerpo"}, {"start": 18.48, "end": 25.6, "text": " en movimiento. Seg\u00fan la trayectoria, los movimientos se clasifican en rectil\u00edneos,"}, {"start": 25.6, "end": 32.92, "text": " curvil\u00edneos y err\u00e1ticos. El movimiento rectil\u00edneo es aquel donde la trayectoria descrita por"}, {"start": 32.92, "end": 41.04, "text": " el m\u00f3vil es una l\u00ednea recta. Ejemplo, un atleta que corre los 100 metros planos. Una"}, {"start": 41.04, "end": 48.72, "text": " pelota que cae libremente. El movimiento curvil\u00edneo es aquel donde la trayectoria descrita por"}, {"start": 48.72, "end": 56.6, "text": " el m\u00f3vil es una l\u00ednea curva. Por ejemplo, el looping, es decir la acrobacia a\u00e9rea consistente"}, {"start": 56.6, "end": 63.48, "text": " en realizar un c\u00edrculo vertical. 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El movimiento err\u00e1tico es aquel donde la trayectoria descrita"}, {"start": 108.24, "end": 115.36, "text": " por el m\u00f3vil es una l\u00ednea irregular y no obedece a una forma geom\u00e9trica definida."}, {"start": 115.36, "end": 122.19999999999999, "text": " Por ejemplo, el movimiento browniano. Este movimiento se observa en part\u00edculas microsc\u00f3picas"}, {"start": 122.19999999999999, "end": 129.24, "text": " que se desplazan en movimientos aleatorios sin raz\u00f3n aparente. Un ejemplo de ello son"}, {"start": 129.24, "end": 136.0, "text": " peque\u00f1as part\u00edculas de polen que se mueven en una gota de agua. De la geometr\u00eda sabemos"}, {"start": 136.0, "end": 142.36, "text": " que una l\u00ednea est\u00e1 formada por muchos puntos. Pues bien, cada punto de la trayectoria de"}, {"start": 142.36, "end": 149.16000000000003, "text": " un cuerpo en movimiento es lo que se conoce como la posici\u00f3n del m\u00f3vil. La posici\u00f3n"}, {"start": 149.16000000000003, "end": 156.60000000000002, "text": " de un m\u00f3vil se determina con respecto del cero u origen del sistema o marco de referencia"}, {"start": 156.6, "end": 163.28, "text": " elegido para estudiar el movimiento. En un movimiento unidimensional la posici\u00f3n del"}, {"start": 163.28, "end": 170.68, "text": " m\u00f3vil queda determinada por la coordenada SDT sobre el eje que se ha tomado como sistema"}, {"start": 170.68, "end": 178.72, "text": " de referencia. Miremos esta situaci\u00f3n. All\u00ed tenemos el eje X graduado en metros y un ciclista"}, {"start": 178.72, "end": 186.72, "text": " que se mueve hacia la derecha y que en el tiempo cero se encuentra en la posici\u00f3n menos 2."}, {"start": 186.72, "end": 195.36, "text": " Luego SD0 es igual a menos 2 metros. El ciclista sigue movi\u00e9ndose y en el tiempo dos segundos"}, {"start": 195.36, "end": 203.0, "text": " se encuentra en la posici\u00f3n cero. Es decir que SD2 es igual a cero. Sigue movi\u00e9ndose"}, {"start": 203.0, "end": 211.4, "text": " y en el tiempo 7 segundos se encuentra en la posici\u00f3n 2, es decir que SD7 es igual"}, {"start": 211.4, "end": 219.24, "text": " a 2 metros. En un movimiento bidimensional o tridimensional la posici\u00f3n del m\u00f3vil queda"}, {"start": 219.24, "end": 226.44, "text": " determinada por el vector RDT, llamado vector posici\u00f3n, que se traza desde el origen del"}, {"start": 226.44, "end": 233.72, "text": " sistema de referencia hasta el punto donde se encuentra la part\u00edcula en un instante espec\u00edfico."}, {"start": 233.72, "end": 238.84, "text": " Miremos el caso de un movimiento bidimensional. Como sistema de referencia tenemos el plano"}, {"start": 238.84, "end": 247.84, "text": " cartesiano formado por los ejes X e Y y tambi\u00e9n apreciamos el origen marcado con O. Tenemos"}, {"start": 247.84, "end": 255.16, "text": " la trayectoria de una part\u00edcula en movimiento, esa l\u00ednea plana que apreciamos. All\u00ed tenemos"}, {"start": 255.16, "end": 264.28, "text": " la part\u00edcula en un instante espec\u00edfico situada en la coordenada X, Y de ese plano cartesiano."}, {"start": 264.28, "end": 270.32, "text": " Tenemos entonces el origen y la posici\u00f3n de la part\u00edcula en un instante T cualquiera."}, {"start": 270.32, "end": 276.54, "text": " El vector que une el origen con ese punto donde se encuentra la part\u00edcula en ese instante"}, {"start": 276.54, "end": 283.96, "text": " T es el vector posici\u00f3n RDT, que como podemos ver tiene dos componentes, una componente"}, {"start": 283.96, "end": 292.59999999999997, "text": " en X y otra componente en Y. Ambas componentes dependen de la variable T, es decir del tiempo."}, {"start": 292.59999999999997, "end": 298.71999999999997, "text": " Ahora miremos el caso de un movimiento tridimensional que se desarrolla en el espacio. En este caso"}, {"start": 298.71999999999997, "end": 306.24, "text": " el sistema de referencia es el espacio generado por los tres ejes X, Y y Z que apreciamos"}, {"start": 306.24, "end": 313.34, "text": " en pantalla. All\u00ed tenemos entonces la trayectoria de una part\u00edcula en movimiento, en este caso"}, {"start": 313.34, "end": 321.91999999999996, "text": " se trata de una l\u00ednea espacial. Tenemos la part\u00edcula situada en la coordenada X, Y y"}, {"start": 321.91999999999996, "end": 329.03999999999996, "text": " Z. Tenemos entonces el origen y la posici\u00f3n de la part\u00edcula en un instante T cualquiera."}, {"start": 329.03999999999996, "end": 335.08, "text": " El vector que une el origen con ese punto donde se encuentra la part\u00edcula es el vector"}, {"start": 335.08, "end": 342.91999999999996, "text": " posici\u00f3n RDT. Y en este caso podemos ver que tiene tres componentes X, Y y Z que dependen"}, {"start": 342.92, "end": 346.56, "text": " cada una de la variable T, es decir del tiempo."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=LjRrKPBnHvo

OPERACIONES COMBINADAS CON DECIMALES - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo resolver paso a paso un ejercicio de operaciones combinadas con números decimales. Al final, hace la comprobación en calculadora. Tema: #DecimalesPrimaria → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFID2VJp5Qvue_SAifzdGxl Video especialmente dedicado a los niños que trabajan por primera vez con números decimales, a los padres de familia que les apoyan y a los maestros de nivel primaria. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente este ejercicio de operaciones combinadas con números decimales. Vamos a efectuarlo manualmente y al final haremos la comprobación en calculadora. Como no hay signos de agrupación, es decir, no hay paréntesis, corchetes ni llaves, debemos comenzar por resolver esta multiplicación, que es una operación de mayor jerarquía o mayor importancia que la suma. Entonces vamos a multiplicar primero estos dos números, al resultado que nos de, le sumamos 1,8. Aclaramos que en este caso la marca decimal es la coma. En otros países se suele utilizar el punto para esa marca decimal. Entonces como decíamos, vamos a efectuar primero esa multiplicación. Vamos a realizar el proceso por acá en forma vertical. Allí tenemos los dos números y vamos a multiplicar haciendo de cuenta que esa coma no está. Es decir, como si multiplicáramos 25 por 37. Tenemos entonces 7 por 5, 35. Escribimos el 5, llevamos 3. 7 por 2, 14. Más 3 que llevamos es 17. Ahora pasamos a multiplicar con este número. 3 por 5 nos da 15. Escribimos el 5, llevamos 1. 3 por 2 nos da 6. Y uno que llevamos es 7. Ahora vamos a efectuar la suma en forma vertical, comenzando por la derecha. Bajamos aquí el 5. Luego tenemos 7 más 5 que es 12. Escribimos el 2, llevamos 1. Después 1 más 1, 2 más 7 nos da 9. Ahora estos dos números aportan en total dos cifras decimales. Este número aporta una cifra decimal y este número aporta otra. Entonces para el resultado dejamos dos cifras decimales. Por lo tanto la coma va aquí. El resultado es 9,25. Entonces el ejercicio nos queda así. 1,8. Escribimos ese primer sumando y esto más el resultado de esta multiplicación que como decíamos es 9,25. Vamos entonces a resolver esta operación por acá, también de manera vertical. Escribimos 1,8 y debajo 9,25. Cuidando que la marca decimal que en este caso es la coma nos quede alineada verticalmente. Podemos completar este espacio en blanco con 0 para que los dos números queden equilibrados en la cantidad de cifras decimales. Entonces vamos a efectuar esa suma comenzando por la derecha. 0 más 5 nos da 5. Por acá 8 más 2 nos da 10. Escribimos el 0, llevamos 1. Acá tenemos 1 más 1, 2 más 9 es 11. Y colocamos la marca decimal debajo de las otras. Entonces el resultado de esa suma nos dio 11,05. Y de esa manera terminamos el ejercicio. Esto que hicimos manualmente se puede comprobar en una calculadora como esta. Veamos. 1,8 más 2,5 por 3,7. Se escribe la operación en pantalla tal como la tenemos acá. Después oprimimos el botón igual y nos da 221,20. Nos produce una fracción. Allí oprimimos entonces la tecla SD que es la que nos permite pasar un número de la forma estándar a la forma decimal y viceversa. En este caso 221,20 es la forma estándar del resultado. Si oprimimos esa tecla, pasamos a la forma decimal que es 11,05. Con esto comprobamos que ese ejercicio se ha resuelto correctamente.

[{"start": 0.0, "end": 9.44, "text": " Vamos a resolver detalladamente este ejercicio de operaciones combinadas con n\u00fameros decimales."}, {"start": 9.44, "end": 15.42, "text": " Vamos a efectuarlo manualmente y al final haremos la comprobaci\u00f3n en calculadora."}, {"start": 15.42, "end": 20.84, "text": " Como no hay signos de agrupaci\u00f3n, es decir, no hay par\u00e9ntesis, corchetes ni llaves, debemos"}, {"start": 20.84, "end": 26.7, "text": " comenzar por resolver esta multiplicaci\u00f3n, que es una operaci\u00f3n de mayor jerarqu\u00eda"}, {"start": 26.7, "end": 32.64, "text": " o mayor importancia que la suma. Entonces vamos a multiplicar primero estos dos n\u00fameros,"}, {"start": 32.64, "end": 40.0, "text": " al resultado que nos de, le sumamos 1,8. Aclaramos que en este caso la marca decimal es la coma."}, {"start": 40.0, "end": 46.56, "text": " En otros pa\u00edses se suele utilizar el punto para esa marca decimal."}, {"start": 46.56, "end": 52.16, "text": " Entonces como dec\u00edamos, vamos a efectuar primero esa multiplicaci\u00f3n. Vamos a realizar el proceso"}, {"start": 52.16, "end": 59.44, "text": " por ac\u00e1 en forma vertical. All\u00ed tenemos los dos n\u00fameros y vamos a multiplicar haciendo"}, {"start": 59.44, "end": 66.16, "text": " de cuenta que esa coma no est\u00e1. Es decir, como si multiplic\u00e1ramos 25 por 37. Tenemos"}, {"start": 66.16, "end": 76.19999999999999, "text": " entonces 7 por 5, 35. Escribimos el 5, llevamos 3. 7 por 2, 14. M\u00e1s 3 que llevamos es 17."}, {"start": 76.2, "end": 82.44, "text": " Ahora pasamos a multiplicar con este n\u00famero. 3 por 5 nos da 15. Escribimos el 5, llevamos"}, {"start": 82.44, "end": 90.12, "text": " 1. 3 por 2 nos da 6. Y uno que llevamos es 7. Ahora vamos a efectuar la suma en forma"}, {"start": 90.12, "end": 96.96000000000001, "text": " vertical, comenzando por la derecha. Bajamos aqu\u00ed el 5. Luego tenemos 7 m\u00e1s 5 que es"}, {"start": 96.96000000000001, "end": 105.32000000000001, "text": " 12. Escribimos el 2, llevamos 1. Despu\u00e9s 1 m\u00e1s 1, 2 m\u00e1s 7 nos da 9. Ahora estos dos"}, {"start": 105.32, "end": 112.32, "text": " n\u00fameros aportan en total dos cifras decimales. Este n\u00famero aporta una cifra decimal y este"}, {"start": 112.32, "end": 118.75999999999999, "text": " n\u00famero aporta otra. Entonces para el resultado dejamos dos cifras decimales. Por lo tanto"}, {"start": 118.75999999999999, "end": 129.35999999999999, "text": " la coma va aqu\u00ed. El resultado es 9,25. Entonces el ejercicio nos queda as\u00ed. 1,8. Escribimos"}, {"start": 129.36, "end": 136.84, "text": " ese primer sumando y esto m\u00e1s el resultado de esta multiplicaci\u00f3n que como dec\u00edamos"}, {"start": 136.84, "end": 146.60000000000002, "text": " es 9,25. Vamos entonces a resolver esta operaci\u00f3n por ac\u00e1, tambi\u00e9n de manera vertical. Escribimos"}, {"start": 146.60000000000002, "end": 155.04000000000002, "text": " 1,8 y debajo 9,25. Cuidando que la marca decimal que en este caso es la coma nos quede alineada"}, {"start": 155.04, "end": 160.4, "text": " verticalmente. Podemos completar este espacio en blanco con 0 para que los dos n\u00fameros"}, {"start": 160.4, "end": 166.84, "text": " queden equilibrados en la cantidad de cifras decimales. Entonces vamos a efectuar esa suma"}, {"start": 166.84, "end": 173.88, "text": " comenzando por la derecha. 0 m\u00e1s 5 nos da 5. Por ac\u00e1 8 m\u00e1s 2 nos da 10. Escribimos"}, {"start": 173.88, "end": 181.42, "text": " el 0, llevamos 1. Ac\u00e1 tenemos 1 m\u00e1s 1, 2 m\u00e1s 9 es 11. Y colocamos la marca decimal"}, {"start": 181.42, "end": 191.64, "text": " debajo de las otras. Entonces el resultado de esa suma nos dio 11,05. Y de esa manera"}, {"start": 191.64, "end": 197.88, "text": " terminamos el ejercicio. Esto que hicimos manualmente se puede comprobar en una calculadora"}, {"start": 197.88, "end": 208.2, "text": " como esta. Veamos. 1,8 m\u00e1s 2,5 por 3,7. Se escribe la operaci\u00f3n en pantalla tal como"}, {"start": 208.2, "end": 216.28, "text": " la tenemos ac\u00e1. Despu\u00e9s oprimimos el bot\u00f3n igual y nos da 221,20. Nos produce una fracci\u00f3n."}, {"start": 216.28, "end": 221.88, "text": " All\u00ed oprimimos entonces la tecla SD que es la que nos permite pasar un n\u00famero de la"}, {"start": 221.88, "end": 230.2, "text": " forma est\u00e1ndar a la forma decimal y viceversa. En este caso 221,20 es la forma est\u00e1ndar"}, {"start": 230.2, "end": 237.79999999999998, "text": " del resultado. Si oprimimos esa tecla, pasamos a la forma decimal que es 11,05. Con esto"}, {"start": 237.8, "end": 241.56, "text": " comprobamos que ese ejercicio se ha resuelto correctamente."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=B7q-096CrK0

INTEGRALES DOBLES - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo resolver una integral doble en coordenadas cartesianas o rectangulares. Al final, hace la comprobación de la última integral definida utilizando calculadora. Tema: #IntegralesDobles → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHjJMXGUDWy2-rLa3YDhE5a REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente esta integral doble. Comenzamos por determinar estos valores a que variable pertenecen, será de la letra y. Entonces tenemos integral desde y igual a 1 hasta y igual a logaritmo natural de 8, es la integral externa. Ahora con la integral interna tenemos aquí valores de la variable x. Entonces desde x igual a 0 hasta x igual a logaritmo natural de y. Y aquí vamos a realizar una transformación. Si tenemos a a la n por a a la m, esto es igual a a elevada al exponente n más m, propiedad de la potenciación, producto de potencias de la misma base. Se deja la base y se suman los exponentes. Pues bien, esta propiedad podemos aplicarla en sentido contrario, es decir, pasar de esto que tenemos acá, una potencia con suma en el exponente, a un producto de potencias de la misma base. Es la situación que tenemos aquí. Entonces eso nos quedaría e a la x por e a la y, aplicando esta propiedad. Y anotamos los diferenciales de x y de y. Entonces comenzamos por resolver la integral más interna, que es la que depende de la variable x. Vamos a señalarla utilizando estos corchetes. Entonces vamos a comenzar por resolver esta integral. Allí lo que contiene la letra y se comporta como constante. La letra que controla es la x. Entonces nos quedará la integral desde y igual a 1 hasta y igual al logaritmo natural de 8. Abrimos el corchete y entonces resolvemos esa integral. Como decíamos, esto es constante, entonces lo dejamos quieto. Es como si lo sacáramos de la integral y nos ocupamos de lo que contiene la x. La integral de e a la x recordemos que es ella misma. Y como tenemos una integral definida, entonces trazamos esta línea y anotamos los límites de integración. x igual a 0 es el límite inferior, x igual al logaritmo natural de y es el límite superior. Cerramos el corchete que protege este procedimiento y anotamos el diferencial de y. Ahora vamos a evaluar estos límites de integración aquí en esta expresión. Es decir, vamos a aplicar lo que se llama el teorema fundamental del cálculo. Entonces tenemos la integral desde y igual a 1 hasta y igual al logaritmo natural de 8. Abrimos el corchete, dejamos esto quieto y entonces como decíamos, vamos a reemplazar los límites de integración aquí donde tenemos la x. Comenzamos con el límite superior. Aquí podemos abrir un paréntesis. Entonces entra el límite superior, nos queda e elevado al logaritmo natural de y y esto menos el reemplazo del límite inferior, es decir, e al 0. Entonces allí estamos aplicando el teorema fundamental del cálculo. Cerramos el corchete y anotamos el diferencial de y. Allí vamos a transformar estos dos componentes. Si tenemos el número de Euler elevado al logaritmo natural de y, eso nos dará como resultado y. Y eso se fundamenta en esta propiedad. Si tenemos a elevado al logaritmo en base a de cualquier cantidad, por ejemplo de la manzanita, esto será igual a la manzanita. Pues bien, si cambiamos a por el número de Euler, nos queda e elevado al logaritmo en base e de la manzanita igual a la manzanita. Pero el logaritmo en la base e es el logaritmo natural o logaritmo neperiano. Entonces nos queda e elevado al logaritmo natural de la manzanita igual a la manzanita. Es lo que está sucediendo allí. Y por acá tenemos que e al 0 equivale a 1. Recordemos que en toda potencia, si la base es una cantidad distinta de 0 y el exponente es 0, el resultado de esa potencia es 1. Entonces esto nos queda así. Tenemos la integral que va desde y igual a 1 hasta y igual a logaritmo natural de 8. Acá esto nos queda como y menos 1. Vamos a escribirlo primero. Y menos 1 protegido con paréntesis y que multiplica con e a la y. Y todo eso acompañado del diferencial de y. Llegamos así a una integral que depende de una sola variable. Vemos que solamente depende de y. Vamos entonces a resolver esa integral. Primero miramos si se puede hacer en forma directa. Vemos que no es así. Luego revisamos el método de sustitución o cambio de variable. Vemos que tampoco es posible por ese camino. Y entonces vamos a intentar el método de integración por partes. Vamos a escribir la integral por acá. Integral de y menos 1. Todo esto por e a la y. Con su diferencial de y. Vamos a trabajarla aquí como integral indefinida. Comenzamos clasificando las dos expresiones que participan aquí en el integrando. Esto será de tipo algebraico. Tenemos allí un polinomio de primer grado. Entonces es categoría algebraica. Y esto que tenemos acá es categoría exponencial. Recordemos que en integración por partes se aplica el truco y late. Para poder determinar cuál de los dos componentes será u. Entonces tenemos allí una expresión de tipo algebraico y otra de tipo exponencial. Si leemos la palabra late, lógicamente de izquierda a derecha. Vemos que la primera que encontramos de esas dos que están señaladas. Es la categoría algebraica. Por lo tanto esa expresión y menos 1 hace el papel de u. Entonces tenemos u igual a y menos 1. Vamos a destacar ese componente. Y allí vamos a realizar la derivada de esa expresión con respecto a la variable y. Derivada de u con respecto a y. O sea la derivada de y menos 1. Eso nos da como resultado 1. Y de allí despejamos de u. Entonces de y que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar con 1. Nos queda que de u es igual a de y. Ahora vamos con lo que es de b. De b será el resto de la expresión. Es decir, r y acompañado del diferencial de y. Aquí tenemos este componente. Y eso vamos a integrarlo a ambos lados. Entonces tendremos que la integral de db es igual a la integral de e a la y. Con su respectivo diferencial de y. Integral de db nos da v. Y la integral de e a la y es esa misma expresión. Allí tenemos entonces el otro componente que es v. En seguida aplicamos la fórmula de integración por partes. La integral de u por db es igual a u por b. Esto menos la integral de v por du. Recordemos que para aprender fácilmente esta fórmula decimos. Una barca menos la integral vestida de uniforme. Vamos entonces a reemplazar allí cada uno de los componentes. Nos queda la integral de u. Buscamos acá que es u. Que equivale a y menos 1. Todo esto por db. Aquí tenemos db que es e a la y. Por db allí nos aparece la integral original. Esto es igual a u que equivale a y menos 1. Protejemos eso con paréntesis. Por b, aquí tenemos b que es e a la y. Luego tenemos menos la integral de b que equivale a e a la y. Por du, pero du equivale al diferencial de y. Continuamos resolviendo. Esto nos queda igual la integral de y menos 1. Por e a la y. Con su respectivo diferencial de y. Será igual a esto. Y menos 1 por e a la y. Tampoco presenta cambio. Y acá resolvemos esta integral. La integral de e a la y con el diferencial de y. Será ella misma. Ahora aquí tenemos dos términos donde está el factor e a la y. Está repetido. Entonces podemos extraerlo como factor común. Nos queda e a la y. Factor d. Abrimos un corchete. Nos queda en el primer término y menos 1. Protejido con paréntesis. Y acá en este término si sale e a la y. Nos queda en su lugar 1. Allí podríamos retirar este paréntesis. En realidad no se necesita porque a su izquierda tenemos signo positivo. Entonces resolvemos aquí la operación de estos dos números. Podemos cambiar esos corchetes por paréntesis. Nos queda entonces y menos 2. Esto será el resultado de esta integral indefinida. Entonces conociendo ya el resultado de esta integral. O sea esto que tenemos acá. Vamos a continuar con el desarrollo del ejercicio. Nos queda entonces igual al resultado de esta integral que es e a la y. Por y menos 2. Y todo eso evaluado en los límites de integración que son. Y igual a 1. El límite inferior. Y igual al logaritmo natural de 8. El límite superior. En seguida evaluamos estos límites de integración. Aquí en la antiderivada que obtuvimos. Es decir vamos a aplicar el teorema fundamental del cálculo. Comenzamos reemplazando el límite superior. Aquí donde está la y vamos a escribir logaritmo natural de 8. Nos queda e a la logaritmo natural de 8. Por logaritmo natural de 8 menos 2. Allí hemos reemplazado el límite superior. Y luego tenemos menos el reemplazo del límite inferior. O sea y igual a 1 en esta expresión. E a la 1 que multiplica con 1 menos 2. Por la propiedad que vimos ahora. De e elevado al logaritmo natural de manzanita. Y que esto es igual a manzanita. Entonces tenemos que e elevado al logaritmo natural de 8. Equivale a 8. Entonces esto nos queda así. 8 que multiplica al logaritmo natural de 8. Menos 2. Todo eso menos e a la 1 que equivale a e. El número de Euler. Por 1 menos 2. Que es igual a menos 1. Continuamos organizando esta expresión numérica. Aquí podemos aplicar la propiedad distributiva. Entonces distribuimos el 8. Nos queda entonces igual a. 8 por logaritmo natural de 8. Eso se deja así expresado. 8 por menos 2 es menos 16. Y acá menos e por menos 1 nos da más e. Si efectuamos todo esto en la calculadora científica. Obtenemos un resultado aproximado de 3.35. Y de esta manera terminamos el ejercicio. Este será el valor para esa integral doble. Podríamos comprobar este resultado utilizando esta calculadora científica. Veamos cómo se hace. La última integral que resolvimos. Iba desde y igual a 1. Hasta y igual a logaritmo natural de 8. Acá en el integrando teníamos. Y menos 1. Por e a la y. Con su diferencial de y. Pues bien. Para ingresar esto a esta calculadora. Ella nos va a tomar como variable la letra x. Simplemente sería cambiar todo eso a la letra x. Es decir la variable que controla la integral. Sería tener la integral desde x igual a 1. Hasta x igual a logaritmo natural de 8. Acá tendríamos x menos 1. Por e a la x. Y eso con el diferencial de x. Veamos entonces cómo se hace la comprobación. En esta calculadora. Tenemos que oprimir primero el botón de la integral definida. Allí nos aparece el cursor. En un cuadrito que es donde vamos a ingresar. El integrando. Entonces abrimos un paréntesis. Oprimimos el botón de la letra x. Luego tenemos menos 1. Cerramos el paréntesis. Y después debemos ingresar e a la x. Entonces la función de e a la x. Está arriba del botón de logaritmo natural. Para activarla oprimimos primero el botón shift. Y luego el botón de logaritmo natural. Allí nos aparece e elevada a un cuadrito. Allí está el cursor titilando en el cuadrito. Entonces allí ingresamos la x. Oprimimos el botón de la x. Ahora corremos el navegador hacia la derecha. Oprimimos el botón respectivo. Dos veces. Y allí nos aparece ya el cursor situado en el límite inferior. Es allí donde debemos escribir el 1. Otra vez oprimimos el botón derecho del navegador. Y el cursor se sitúa automáticamente en el límite superior. Donde debemos ingresar logaritmo natural de 8. Entonces botón de logaritmo natural. Escribimos el 8. Cerramos el paréntesis. Y después de haber copiado esto aquí en la calculadora. Oprimimos el botón igual. Allí nos aparece entonces el valor 3.35. Lógicamente aproximado a dos cifras decimales. Por esto comprobamos que esta última integral definida es correcta.

[{"start": 0.0, "end": 7.0, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta integral doble."}, {"start": 7.0, "end": 11.5, "text": " Comenzamos por determinar estos valores a que variable pertenecen,"}, {"start": 11.5, "end": 13.5, "text": " ser\u00e1 de la letra y."}, {"start": 13.5, "end": 18.5, "text": " Entonces tenemos integral desde y igual a 1"}, {"start": 18.5, "end": 23.5, "text": " hasta y igual a logaritmo natural de 8,"}, {"start": 23.5, "end": 25.5, "text": " es la integral externa."}, {"start": 25.5, "end": 30.5, "text": " Ahora con la integral interna tenemos aqu\u00ed valores de la variable x."}, {"start": 30.5, "end": 37.5, "text": " Entonces desde x igual a 0 hasta x igual a logaritmo natural de y."}, {"start": 37.5, "end": 40.5, "text": " Y aqu\u00ed vamos a realizar una transformaci\u00f3n."}, {"start": 40.5, "end": 45.5, "text": " Si tenemos a a la n por a a la m,"}, {"start": 45.5, "end": 50.5, "text": " esto es igual a a elevada al exponente n m\u00e1s m,"}, {"start": 50.5, "end": 55.5, "text": " propiedad de la potenciaci\u00f3n, producto de potencias de la misma base."}, {"start": 55.5, "end": 58.5, "text": " Se deja la base y se suman los exponentes."}, {"start": 58.5, "end": 62.5, "text": " Pues bien, esta propiedad podemos aplicarla en sentido contrario,"}, {"start": 62.5, "end": 65.5, "text": " es decir, pasar de esto que tenemos ac\u00e1,"}, {"start": 65.5, "end": 68.5, "text": " una potencia con suma en el exponente,"}, {"start": 68.5, "end": 71.0, "text": " a un producto de potencias de la misma base."}, {"start": 71.0, "end": 73.5, "text": " Es la situaci\u00f3n que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 73.5, "end": 77.5, "text": " Entonces eso nos quedar\u00eda e a la x por e a la y,"}, {"start": 77.5, "end": 79.5, "text": " aplicando esta propiedad."}, {"start": 79.5, "end": 83.5, "text": " Y anotamos los diferenciales de x y de y."}, {"start": 83.5, "end": 88.5, "text": " Entonces comenzamos por resolver la integral m\u00e1s interna,"}, {"start": 88.5, "end": 91.5, "text": " que es la que depende de la variable x."}, {"start": 91.5, "end": 96.5, "text": " Vamos a se\u00f1alarla utilizando estos corchetes."}, {"start": 96.5, "end": 101.5, "text": " Entonces vamos a comenzar por resolver esta integral."}, {"start": 101.5, "end": 105.5, "text": " All\u00ed lo que contiene la letra y se comporta como constante."}, {"start": 105.5, "end": 108.5, "text": " La letra que controla es la x."}, {"start": 108.5, "end": 112.5, "text": " Entonces nos quedar\u00e1 la integral desde y igual a 1"}, {"start": 112.5, "end": 117.5, "text": " hasta y igual al logaritmo natural de 8."}, {"start": 117.5, "end": 122.5, "text": " Abrimos el corchete y entonces resolvemos esa integral."}, {"start": 122.5, "end": 126.5, "text": " Como dec\u00edamos, esto es constante, entonces lo dejamos quieto."}, {"start": 126.5, "end": 128.5, "text": " Es como si lo sac\u00e1ramos de la integral"}, {"start": 128.5, "end": 131.5, "text": " y nos ocupamos de lo que contiene la x."}, {"start": 131.5, "end": 135.5, "text": " La integral de e a la x recordemos que es ella misma."}, {"start": 135.5, "end": 140.5, "text": " Y como tenemos una integral definida, entonces trazamos esta l\u00ednea"}, {"start": 140.5, "end": 143.5, "text": " y anotamos los l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 143.5, "end": 145.5, "text": " x igual a 0 es el l\u00edmite inferior,"}, {"start": 145.5, "end": 150.5, "text": " x igual al logaritmo natural de y es el l\u00edmite superior."}, {"start": 150.5, "end": 154.5, "text": " Cerramos el corchete que protege este procedimiento"}, {"start": 154.5, "end": 157.5, "text": " y anotamos el diferencial de y."}, {"start": 157.5, "end": 161.5, "text": " Ahora vamos a evaluar estos l\u00edmites de integraci\u00f3n"}, {"start": 161.5, "end": 163.5, "text": " aqu\u00ed en esta expresi\u00f3n."}, {"start": 163.5, "end": 168.5, "text": " Es decir, vamos a aplicar lo que se llama el teorema fundamental del c\u00e1lculo."}, {"start": 168.5, "end": 171.5, "text": " Entonces tenemos la integral desde y igual a 1"}, {"start": 171.5, "end": 175.5, "text": " hasta y igual al logaritmo natural de 8."}, {"start": 175.5, "end": 179.5, "text": " Abrimos el corchete, dejamos esto quieto"}, {"start": 179.5, "end": 183.5, "text": " y entonces como dec\u00edamos, vamos a reemplazar los l\u00edmites de integraci\u00f3n"}, {"start": 183.5, "end": 185.5, "text": " aqu\u00ed donde tenemos la x."}, {"start": 185.5, "end": 187.5, "text": " Comenzamos con el l\u00edmite superior."}, {"start": 187.5, "end": 190.5, "text": " Aqu\u00ed podemos abrir un par\u00e9ntesis."}, {"start": 190.5, "end": 195.5, "text": " Entonces entra el l\u00edmite superior, nos queda e elevado al logaritmo natural de y"}, {"start": 195.5, "end": 201.5, "text": " y esto menos el reemplazo del l\u00edmite inferior, es decir, e al 0."}, {"start": 201.5, "end": 206.5, "text": " Entonces all\u00ed estamos aplicando el teorema fundamental del c\u00e1lculo."}, {"start": 206.5, "end": 210.5, "text": " Cerramos el corchete y anotamos el diferencial de y."}, {"start": 210.5, "end": 213.5, "text": " All\u00ed vamos a transformar estos dos componentes."}, {"start": 213.5, "end": 217.5, "text": " Si tenemos el n\u00famero de Euler elevado al logaritmo natural de y,"}, {"start": 217.5, "end": 220.5, "text": " eso nos dar\u00e1 como resultado y."}, {"start": 220.5, "end": 224.5, "text": " Y eso se fundamenta en esta propiedad."}, {"start": 224.5, "end": 229.5, "text": " Si tenemos a elevado al logaritmo en base a de cualquier cantidad,"}, {"start": 229.5, "end": 233.5, "text": " por ejemplo de la manzanita, esto ser\u00e1 igual a la manzanita."}, {"start": 233.5, "end": 236.5, "text": " Pues bien, si cambiamos a por el n\u00famero de Euler,"}, {"start": 236.5, "end": 242.5, "text": " nos queda e elevado al logaritmo en base e de la manzanita"}, {"start": 242.5, "end": 245.5, "text": " igual a la manzanita."}, {"start": 245.5, "end": 251.5, "text": " Pero el logaritmo en la base e es el logaritmo natural o logaritmo neperiano."}, {"start": 251.5, "end": 255.5, "text": " Entonces nos queda e elevado al logaritmo natural de la manzanita"}, {"start": 255.5, "end": 257.5, "text": " igual a la manzanita."}, {"start": 257.5, "end": 260.5, "text": " Es lo que est\u00e1 sucediendo all\u00ed."}, {"start": 260.5, "end": 264.5, "text": " Y por ac\u00e1 tenemos que e al 0 equivale a 1."}, {"start": 264.5, "end": 269.5, "text": " Recordemos que en toda potencia, si la base es una cantidad distinta de 0"}, {"start": 269.5, "end": 274.5, "text": " y el exponente es 0, el resultado de esa potencia es 1."}, {"start": 274.5, "end": 277.5, "text": " Entonces esto nos queda as\u00ed."}, {"start": 277.5, "end": 281.5, "text": " Tenemos la integral que va desde y igual a 1"}, {"start": 281.5, "end": 286.5, "text": " hasta y igual a logaritmo natural de 8."}, {"start": 286.5, "end": 289.5, "text": " Ac\u00e1 esto nos queda como y menos 1."}, {"start": 289.5, "end": 291.5, "text": " Vamos a escribirlo primero."}, {"start": 291.5, "end": 296.5, "text": " Y menos 1 protegido con par\u00e9ntesis y que multiplica con e a la y."}, {"start": 296.5, "end": 300.5, "text": " Y todo eso acompa\u00f1ado del diferencial de y."}, {"start": 300.5, "end": 305.5, "text": " Llegamos as\u00ed a una integral que depende de una sola variable."}, {"start": 305.5, "end": 307.5, "text": " Vemos que solamente depende de y."}, {"start": 307.5, "end": 310.5, "text": " Vamos entonces a resolver esa integral."}, {"start": 310.5, "end": 313.5, "text": " Primero miramos si se puede hacer en forma directa."}, {"start": 313.5, "end": 314.5, "text": " Vemos que no es as\u00ed."}, {"start": 314.5, "end": 318.5, "text": " Luego revisamos el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n o cambio de variable."}, {"start": 318.5, "end": 321.5, "text": " Vemos que tampoco es posible por ese camino."}, {"start": 321.5, "end": 326.5, "text": " Y entonces vamos a intentar el m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes."}, {"start": 326.5, "end": 328.5, "text": " Vamos a escribir la integral por ac\u00e1."}, {"start": 328.5, "end": 331.5, "text": " Integral de y menos 1."}, {"start": 331.5, "end": 333.5, "text": " Todo esto por e a la y."}, {"start": 333.5, "end": 335.5, "text": " Con su diferencial de y."}, {"start": 335.5, "end": 339.5, "text": " Vamos a trabajarla aqu\u00ed como integral indefinida."}, {"start": 339.5, "end": 344.5, "text": " Comenzamos clasificando las dos expresiones que participan aqu\u00ed en el integrando."}, {"start": 344.5, "end": 347.5, "text": " Esto ser\u00e1 de tipo algebraico."}, {"start": 347.5, "end": 351.5, "text": " Tenemos all\u00ed un polinomio de primer grado."}, {"start": 351.5, "end": 353.5, "text": " Entonces es categor\u00eda algebraica."}, {"start": 353.5, "end": 357.5, "text": " Y esto que tenemos ac\u00e1 es categor\u00eda exponencial."}, {"start": 357.5, "end": 362.5, "text": " Recordemos que en integraci\u00f3n por partes se aplica el truco y late."}, {"start": 362.5, "end": 366.5, "text": " Para poder determinar cu\u00e1l de los dos componentes ser\u00e1 u."}, {"start": 366.5, "end": 372.5, "text": " Entonces tenemos all\u00ed una expresi\u00f3n de tipo algebraico y otra de tipo exponencial."}, {"start": 372.5, "end": 377.5, "text": " Si leemos la palabra late, l\u00f3gicamente de izquierda a derecha."}, {"start": 377.5, "end": 381.5, "text": " Vemos que la primera que encontramos de esas dos que est\u00e1n se\u00f1aladas."}, {"start": 381.5, "end": 383.5, "text": " Es la categor\u00eda algebraica."}, {"start": 383.5, "end": 388.5, "text": " Por lo tanto esa expresi\u00f3n y menos 1 hace el papel de u."}, {"start": 388.5, "end": 393.5, "text": " Entonces tenemos u igual a y menos 1."}, {"start": 393.5, "end": 397.5, "text": " Vamos a destacar ese componente."}, {"start": 397.5, "end": 404.5, "text": " Y all\u00ed vamos a realizar la derivada de esa expresi\u00f3n con respecto a la variable y."}, {"start": 404.5, "end": 406.5, "text": " Derivada de u con respecto a y."}, {"start": 406.5, "end": 409.5, "text": " O sea la derivada de y menos 1."}, {"start": 409.5, "end": 411.5, "text": " Eso nos da como resultado 1."}, {"start": 411.5, "end": 413.5, "text": " Y de all\u00ed despejamos de u."}, {"start": 413.5, "end": 418.5, "text": " Entonces de y que est\u00e1 dividiendo pasa al otro lado a multiplicar con 1."}, {"start": 418.5, "end": 421.5, "text": " Nos queda que de u es igual a de y."}, {"start": 421.5, "end": 423.5, "text": " Ahora vamos con lo que es de b."}, {"start": 423.5, "end": 426.5, "text": " De b ser\u00e1 el resto de la expresi\u00f3n."}, {"start": 426.5, "end": 431.5, "text": " Es decir, r y acompa\u00f1ado del diferencial de y."}, {"start": 431.5, "end": 433.5, "text": " Aqu\u00ed tenemos este componente."}, {"start": 433.5, "end": 437.5, "text": " Y eso vamos a integrarlo a ambos lados."}, {"start": 437.5, "end": 445.5, "text": " Entonces tendremos que la integral de db es igual a la integral de e a la y."}, {"start": 445.5, "end": 448.5, "text": " Con su respectivo diferencial de y."}, {"start": 448.5, "end": 450.5, "text": " Integral de db nos da v."}, {"start": 450.5, "end": 454.5, "text": " Y la integral de e a la y es esa misma expresi\u00f3n."}, {"start": 454.5, "end": 459.5, "text": " All\u00ed tenemos entonces el otro componente que es v."}, {"start": 459.5, "end": 463.5, "text": " En seguida aplicamos la f\u00f3rmula de integraci\u00f3n por partes."}, {"start": 463.5, "end": 468.5, "text": " La integral de u por db es igual a u por b."}, {"start": 468.5, "end": 473.5, "text": " Esto menos la integral de v por du."}, {"start": 473.5, "end": 477.5, "text": " Recordemos que para aprender f\u00e1cilmente esta f\u00f3rmula decimos."}, {"start": 477.5, "end": 481.5, "text": " Una barca menos la integral vestida de uniforme."}, {"start": 481.5, "end": 485.5, "text": " Vamos entonces a reemplazar all\u00ed cada uno de los componentes."}, {"start": 485.5, "end": 488.5, "text": " Nos queda la integral de u."}, {"start": 488.5, "end": 490.5, "text": " Buscamos ac\u00e1 que es u."}, {"start": 490.5, "end": 493.5, "text": " Que equivale a y menos 1."}, {"start": 493.5, "end": 495.5, "text": " Todo esto por db."}, {"start": 495.5, "end": 498.5, "text": " Aqu\u00ed tenemos db que es e a la y."}, {"start": 498.5, "end": 501.5, "text": " Por db all\u00ed nos aparece la integral original."}, {"start": 501.5, "end": 506.5, "text": " Esto es igual a u que equivale a y menos 1."}, {"start": 506.5, "end": 508.5, "text": " Protejemos eso con par\u00e9ntesis."}, {"start": 508.5, "end": 512.5, "text": " Por b, aqu\u00ed tenemos b que es e a la y."}, {"start": 512.5, "end": 518.5, "text": " Luego tenemos menos la integral de b que equivale a e a la y."}, {"start": 518.5, "end": 523.5, "text": " Por du, pero du equivale al diferencial de y."}, {"start": 523.5, "end": 525.5, "text": " Continuamos resolviendo."}, {"start": 525.5, "end": 529.5, "text": " Esto nos queda igual la integral de y menos 1."}, {"start": 529.5, "end": 531.5, "text": " Por e a la y."}, {"start": 531.5, "end": 534.5, "text": " Con su respectivo diferencial de y."}, {"start": 534.5, "end": 536.5, "text": " Ser\u00e1 igual a esto."}, {"start": 536.5, "end": 539.5, "text": " Y menos 1 por e a la y."}, {"start": 539.5, "end": 541.5, "text": " Tampoco presenta cambio."}, {"start": 541.5, "end": 543.5, "text": " Y ac\u00e1 resolvemos esta integral."}, {"start": 543.5, "end": 546.5, "text": " La integral de e a la y con el diferencial de y."}, {"start": 546.5, "end": 548.5, "text": " Ser\u00e1 ella misma."}, {"start": 548.5, "end": 553.5, "text": " Ahora aqu\u00ed tenemos dos t\u00e9rminos donde est\u00e1 el factor e a la y."}, {"start": 553.5, "end": 555.5, "text": " Est\u00e1 repetido."}, {"start": 555.5, "end": 558.5, "text": " Entonces podemos extraerlo como factor com\u00fan."}, {"start": 558.5, "end": 560.5, "text": " Nos queda e a la y."}, {"start": 560.5, "end": 561.5, "text": " Factor d."}, {"start": 561.5, "end": 562.5, "text": " Abrimos un corchete."}, {"start": 562.5, "end": 565.5, "text": " Nos queda en el primer t\u00e9rmino y menos 1."}, {"start": 565.5, "end": 567.5, "text": " Protejido con par\u00e9ntesis."}, {"start": 567.5, "end": 570.5, "text": " Y ac\u00e1 en este t\u00e9rmino si sale e a la y."}, {"start": 570.5, "end": 573.5, "text": " Nos queda en su lugar 1."}, {"start": 573.5, "end": 576.5, "text": " All\u00ed podr\u00edamos retirar este par\u00e9ntesis."}, {"start": 576.5, "end": 581.5, "text": " En realidad no se necesita porque a su izquierda tenemos signo positivo."}, {"start": 581.5, "end": 585.5, "text": " Entonces resolvemos aqu\u00ed la operaci\u00f3n de estos dos n\u00fameros."}, {"start": 585.5, "end": 588.5, "text": " Podemos cambiar esos corchetes por par\u00e9ntesis."}, {"start": 588.5, "end": 590.5, "text": " Nos queda entonces y menos 2."}, {"start": 590.5, "end": 595.5, "text": " Esto ser\u00e1 el resultado de esta integral indefinida."}, {"start": 595.5, "end": 599.5, "text": " Entonces conociendo ya el resultado de esta integral."}, {"start": 599.5, "end": 601.5, "text": " O sea esto que tenemos ac\u00e1."}, {"start": 601.5, "end": 604.5, "text": " Vamos a continuar con el desarrollo del ejercicio."}, {"start": 604.5, "end": 609.5, "text": " Nos queda entonces igual al resultado de esta integral que es e a la y."}, {"start": 609.5, "end": 611.5, "text": " Por y menos 2."}, {"start": 611.5, "end": 616.5, "text": " Y todo eso evaluado en los l\u00edmites de integraci\u00f3n que son."}, {"start": 616.5, "end": 618.5, "text": " Y igual a 1."}, {"start": 618.5, "end": 620.5, "text": " El l\u00edmite inferior."}, {"start": 620.5, "end": 622.5, "text": " Y igual al logaritmo natural de 8."}, {"start": 622.5, "end": 624.5, "text": " El l\u00edmite superior."}, {"start": 624.5, "end": 628.5, "text": " En seguida evaluamos estos l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 628.5, "end": 631.5, "text": " Aqu\u00ed en la antiderivada que obtuvimos."}, {"start": 631.5, "end": 635.5, "text": " Es decir vamos a aplicar el teorema fundamental del c\u00e1lculo."}, {"start": 635.5, "end": 638.5, "text": " Comenzamos reemplazando el l\u00edmite superior."}, {"start": 638.5, "end": 641.5, "text": " Aqu\u00ed donde est\u00e1 la y vamos a escribir logaritmo natural de 8."}, {"start": 641.5, "end": 644.5, "text": " Nos queda e a la logaritmo natural de 8."}, {"start": 644.5, "end": 647.5, "text": " Por logaritmo natural de 8 menos 2."}, {"start": 647.5, "end": 650.5, "text": " All\u00ed hemos reemplazado el l\u00edmite superior."}, {"start": 650.5, "end": 654.5, "text": " Y luego tenemos menos el reemplazo del l\u00edmite inferior."}, {"start": 654.5, "end": 657.5, "text": " O sea y igual a 1 en esta expresi\u00f3n."}, {"start": 657.5, "end": 662.5, "text": " E a la 1 que multiplica con 1 menos 2."}, {"start": 662.5, "end": 664.5, "text": " Por la propiedad que vimos ahora."}, {"start": 664.5, "end": 668.5, "text": " De e elevado al logaritmo natural de manzanita."}, {"start": 668.5, "end": 670.5, "text": " Y que esto es igual a manzanita."}, {"start": 670.5, "end": 675.5, "text": " Entonces tenemos que e elevado al logaritmo natural de 8."}, {"start": 675.5, "end": 677.5, "text": " Equivale a 8."}, {"start": 677.5, "end": 679.5, "text": " Entonces esto nos queda as\u00ed."}, {"start": 679.5, "end": 683.5, "text": " 8 que multiplica al logaritmo natural de 8."}, {"start": 683.5, "end": 684.5, "text": " Menos 2."}, {"start": 684.5, "end": 687.5, "text": " Todo eso menos e a la 1 que equivale a e."}, {"start": 687.5, "end": 688.5, "text": " El n\u00famero de Euler."}, {"start": 688.5, "end": 690.5, "text": " Por 1 menos 2."}, {"start": 690.5, "end": 693.5, "text": " Que es igual a menos 1."}, {"start": 693.5, "end": 696.5, "text": " Continuamos organizando esta expresi\u00f3n num\u00e9rica."}, {"start": 696.5, "end": 699.5, "text": " Aqu\u00ed podemos aplicar la propiedad distributiva."}, {"start": 699.5, "end": 702.5, "text": " Entonces distribuimos el 8."}, {"start": 702.5, "end": 704.5, "text": " Nos queda entonces igual a."}, {"start": 704.5, "end": 706.5, "text": " 8 por logaritmo natural de 8."}, {"start": 706.5, "end": 709.5, "text": " Eso se deja as\u00ed expresado."}, {"start": 709.5, "end": 712.5, "text": " 8 por menos 2 es menos 16."}, {"start": 712.5, "end": 716.5, "text": " Y ac\u00e1 menos e por menos 1 nos da m\u00e1s e."}, {"start": 716.5, "end": 720.5, "text": " Si efectuamos todo esto en la calculadora cient\u00edfica."}, {"start": 720.5, "end": 725.5, "text": " Obtenemos un resultado aproximado de 3.35."}, {"start": 725.5, "end": 729.5, "text": " Y de esta manera terminamos el ejercicio."}, {"start": 729.5, "end": 733.5, "text": " Este ser\u00e1 el valor para esa integral doble."}, {"start": 733.5, "end": 738.5, "text": " Podr\u00edamos comprobar este resultado utilizando esta calculadora cient\u00edfica."}, {"start": 738.5, "end": 740.5, "text": " Veamos c\u00f3mo se hace."}, {"start": 740.5, "end": 742.5, "text": " La \u00faltima integral que resolvimos."}, {"start": 742.5, "end": 744.5, "text": " Iba desde y igual a 1."}, {"start": 744.5, "end": 748.5, "text": " Hasta y igual a logaritmo natural de 8."}, {"start": 748.5, "end": 750.5, "text": " Ac\u00e1 en el integrando ten\u00edamos."}, {"start": 750.5, "end": 751.5, "text": " Y menos 1."}, {"start": 751.5, "end": 752.5, "text": " Por e a la y."}, {"start": 752.5, "end": 755.5, "text": " Con su diferencial de y."}, {"start": 755.5, "end": 756.5, "text": " Pues bien."}, {"start": 756.5, "end": 758.5, "text": " Para ingresar esto a esta calculadora."}, {"start": 758.5, "end": 762.5, "text": " Ella nos va a tomar como variable la letra x."}, {"start": 762.5, "end": 766.5, "text": " Simplemente ser\u00eda cambiar todo eso a la letra x."}, {"start": 766.5, "end": 768.5, "text": " Es decir la variable que controla la integral."}, {"start": 768.5, "end": 771.5, "text": " Ser\u00eda tener la integral desde x igual a 1."}, {"start": 771.5, "end": 774.5, "text": " Hasta x igual a logaritmo natural de 8."}, {"start": 774.5, "end": 777.5, "text": " Ac\u00e1 tendr\u00edamos x menos 1."}, {"start": 777.5, "end": 779.5, "text": " Por e a la x."}, {"start": 779.5, "end": 782.5, "text": " Y eso con el diferencial de x."}, {"start": 782.5, "end": 784.5, "text": " Veamos entonces c\u00f3mo se hace la comprobaci\u00f3n."}, {"start": 784.5, "end": 786.5, "text": " En esta calculadora."}, {"start": 786.5, "end": 791.5, "text": " Tenemos que oprimir primero el bot\u00f3n de la integral definida."}, {"start": 791.5, "end": 793.5, "text": " All\u00ed nos aparece el cursor."}, {"start": 793.5, "end": 796.5, "text": " En un cuadrito que es donde vamos a ingresar."}, {"start": 796.5, "end": 797.5, "text": " El integrando."}, {"start": 797.5, "end": 800.5, "text": " Entonces abrimos un par\u00e9ntesis."}, {"start": 800.5, "end": 802.5, "text": " Oprimimos el bot\u00f3n de la letra x."}, {"start": 802.5, "end": 805.5, "text": " Luego tenemos menos 1."}, {"start": 805.5, "end": 807.5, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis."}, {"start": 807.5, "end": 809.5, "text": " Y despu\u00e9s debemos ingresar e a la x."}, {"start": 809.5, "end": 812.5, "text": " Entonces la funci\u00f3n de e a la x."}, {"start": 812.5, "end": 815.5, "text": " Est\u00e1 arriba del bot\u00f3n de logaritmo natural."}, {"start": 815.5, "end": 818.5, "text": " Para activarla oprimimos primero el bot\u00f3n shift."}, {"start": 818.5, "end": 820.5, "text": " Y luego el bot\u00f3n de logaritmo natural."}, {"start": 820.5, "end": 823.5, "text": " All\u00ed nos aparece e elevada a un cuadrito."}, {"start": 823.5, "end": 826.5, "text": " All\u00ed est\u00e1 el cursor titilando en el cuadrito."}, {"start": 826.5, "end": 829.5, "text": " Entonces all\u00ed ingresamos la x."}, {"start": 829.5, "end": 831.5, "text": " Oprimimos el bot\u00f3n de la x."}, {"start": 831.5, "end": 834.5, "text": " Ahora corremos el navegador hacia la derecha."}, {"start": 834.5, "end": 837.5, "text": " Oprimimos el bot\u00f3n respectivo."}, {"start": 837.5, "end": 838.5, "text": " Dos veces."}, {"start": 838.5, "end": 843.5, "text": " Y all\u00ed nos aparece ya el cursor situado en el l\u00edmite inferior."}, {"start": 843.5, "end": 846.5, "text": " Es all\u00ed donde debemos escribir el 1."}, {"start": 846.5, "end": 850.5, "text": " Otra vez oprimimos el bot\u00f3n derecho del navegador."}, {"start": 850.5, "end": 854.5, "text": " Y el cursor se sit\u00faa autom\u00e1ticamente en el l\u00edmite superior."}, {"start": 854.5, "end": 858.5, "text": " Donde debemos ingresar logaritmo natural de 8."}, {"start": 858.5, "end": 860.5, "text": " Entonces bot\u00f3n de logaritmo natural."}, {"start": 860.5, "end": 862.5, "text": " Escribimos el 8."}, {"start": 862.5, "end": 864.5, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis."}, {"start": 864.5, "end": 868.5, "text": " Y despu\u00e9s de haber copiado esto aqu\u00ed en la calculadora."}, {"start": 868.5, "end": 870.5, "text": " Oprimimos el bot\u00f3n igual."}, {"start": 870.5, "end": 874.5, "text": " All\u00ed nos aparece entonces el valor 3.35."}, {"start": 874.5, "end": 878.5, "text": " L\u00f3gicamente aproximado a dos cifras decimales."}, {"start": 878.5, "end": 884.5, "text": " Por esto comprobamos que esta \u00faltima integral definida es correcta."}]

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DESIGUALDADES CÚBICAS - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo hallar el conjunto solución de una desigualdad o inecuación cúbica (o de tercer grado). Al final, hace la comprobación usando calculadora científica. Tema: #Desigualdades → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEZkcrDeNKKyhTxj4A1b83M REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente esta desigualdad, es decir, vamos a encontrar el conjunto solución para la variable X. Al final haremos la comprobación de este ejercicio en calculadora. Comenzamos por romper este paréntesis, aplicando la propiedad distributiva. Entonces, tendremos X al cuadrado por X nos da X al cubo, X al cuadrado por menos 1 es menos X al cuadrado y todo esto es menor que 6X. Ahora vamos a dejar 0 en este lado de la desigualdad, para ello pasamos el término 6X al lado izquierdo. Llegaría entonces con signo negativo, nos queda X al cubo menos X al cuadrado menos 6X y todo esto menor que 0. Es lo mismo que restar 6X a ambos lados de esta desigualdad. Es allí cuando nos damos cuenta que esta es una desigualdad cúbica o de grado 3. Aquí tenemos un polinomio de tercer grado menor que 0. Entonces vamos a comenzar por factorizar toda esta expresión, el miembro izquierdo de la desigualdad. Comenzamos extrayendo factor común que es X. Si sale la X nos queda X al cuadrado menos X menos 6 dentro del paréntesis y todo esto menor que 0. Ahora aquí observamos un trinomio de la forma X al cuadrado más BX más C. Vamos a factorizarlo, recordemos que se abre en dos paréntesis, extraemos la raíz cuadrada de este término que sería X, la anotamos al comienzo de cada paréntesis, ahora definimos los signos, más por menos nos da menos, signo del primer paréntesis, menos por menos nos da más, signo del segundo paréntesis. Ahora buscamos dos números, uno negativo y otro positivo que al multiplicarlos entre sí nos de como resultado menos 6 y que al sumarlos nos de menos 1, el coeficiente que tiene X en ese término. Entonces esos números son menos 3 y más 2, menos 3 por más 2 nos da menos 6 y menos 3 sumado con 2 nos da menos 1 y todo esto queda menor que 0. Enseguida vamos a determinar los puntos críticos para esa desigualdad, para ello convertimos todo esto momentáneamente en una igualdad, es decir en una ecuación, X por X menos 3 por X más 2, todo esto igual a 0 y allí aplicamos el teorema del factor nulo, cuando tenemos tres componentes, recordemos que si A por B por C es igual a 0, entonces decimos que A es igual a 0 o B es igual a 0 o C igual a 0, en otras palabras cada uno de los factores se igual a 0, tendremos entonces X igual a 0, X menos 3 igual a 0 y el factor X más 2 igualado con 0. Ahora en cada caso despejamos el valor de X, por aquí ya tenemos un primer valor, X vale 0, y acá el despeje de X nos da 3, 3 está restando pasa al otro lado a sumar con 0, entonces X vale 3 y por acá tendremos que el despeje de X nos da menos 2, 2 está sumando pasa al otro lado a restar con 0 y nos da menos 2, allí tenemos entonces los tres puntos críticos para esa desigualdad, también tenemos que definir si estos puntos críticos serán o no serán parte del conjunto solución, como acá tenemos una desigualdad con signo menor, entonces estos valores no se pueden incluir en el conjunto solución, por lo tanto se representan con esta bolita sin llenar, vamos entonces a anotar por acá estos puntos críticos. A continuación vamos a realizar el análisis de signos para toda esta expresión, necesitamos saber para qué valores de X todo esto es menor que 0, en otras palabras, para qué valores reales de X todo esto adopta signo negativo, para ello trazamos esta línea recta que representa los valores reales de la variable X, desde menos infinito hasta más infinito, y en ella vamos a localizar estos valores, los puntos críticos para esa desigualdad, el menor de todos estos números es menos 2, entonces ese será el primero, después sigue el 0 y después tenemos el mayor de ellos que es 3. Esos tres valores de X nos determinan cuatro intervalos o cuatro zonas, en las cuales debemos analizar el comportamiento de toda esta expresión, cuál es el signo que adopta, para ello vamos a escoger valores de prueba pertenecientes a cada uno de esos intervalos, comenzamos con el primero, allí debemos escoger un valor comprendido entre menos infinito y menos 2, puede ser por ejemplo X igual a menos 3, vamos al siguiente, debemos escoger un valor de X comprendido entre menos 2 y 0, puede ser por ejemplo X igual a menos 1, vamos al siguiente intervalo, un valor comprendido entre 0 y 3, puede ser el 1, y en el último un valor de X comprendido entre 3 y más infinito, puede ser X igual a 4. Ahora como la expresión consta de tres factores, tres expresiones que están multiplicando entre sí, entonces podemos abrir estos paréntesis, para anotar el signo que adopta cada uno, cuando reemplazamos el valor que hemos escogido. Vamos entonces con el primer intervalo, allí X toma el valor menos 3, por lo tanto el primer factor será negativo, acá menos 3 menos 3 nos da menos 6, el segundo factor es negativo, y acá menos 3 más 2 nos da menos 1, este factor también es negativo. Pasamos al siguiente intervalo, donde X toma el valor menos 1, entonces el primer factor será negativo, acá menos 1 menos 3 nos da menos 4, factor negativo, y acá menos 1 más 2 nos da 1 positivo, entonces ese es el signo del tercer factor. Vamos al siguiente intervalo, donde X toma el valor 1, acá el primer factor, X, toma ese valor que es positivo, acá con 1 tenemos 1 menos 3 que es menos 2, signo negativo para el segundo factor, y aquí 1 más 2 nos da 3 positivo. Vamos con el último intervalo, con X igual a 4, el primer factor X toma ese valor que es positivo, acá tenemos 4 menos 3 nos da 1 positivo, y acá 4 más 2 nos daría 6 positivo. Ahora vamos a aplicar ley de los signos en cada uno de los intervalos, aquí tenemos menos por menos que es más, y más por menos nos da menos, en el primer intervalo esa expresión toma signo negativo, vamos acá, menos por menos nos da más, y más por más nos da más, acá tenemos más por más que es más, y más por menos nos da menos, y acá producto de signos positivos, nos da signo positivo. Como decíamos ahora, necesitamos que toda esta expresión sea menor que 0, es decir que todo esto sea negativo, por lo tanto esta zona sí sirve, y esta también, las zonas que nos dieron con signo negativo, las zonas positivas lógicamente no sirven. Ahora lo que hacemos es rayar o destacar las zonas, o los intervalos que sí sirvieron, tenemos entonces el caso de este intervalo, y este de acá, y habíamos dicho que los puntos críticos no se incluyen como parte de la solución, entonces se representa con esta bolita sin llenar. Con esto ya podemos dar la respuesta, es decir podemos establecer cuál es el conjunto solución, para esa desigualdad cúbica o de grado 3, veámosla en forma de intervalo, serán los x que pertenecen a este intervalo, el que va desde menos infinito hasta menos 2, sería abierto en sus dos extremos, lleva paréntesis, menos infinito nunca se incluye, y en este caso menos 2 también dijimos que no hace parte de la solución, unión con este intervalo que también será abierto, va desde 0 hasta 3, y lleva paréntesis en sus extremos, porque ni el 0 ni el 3 se pueden incluir. La otra forma como podemos presentar la respuesta es en notación de desigualdad, esta zona se expresa como los x menores que menos 2, y la unimos con esta zona, que son los x comprendidos entre 0 y 3, se expresa de esta manera, x mayores que 0, pero al mismo tiempo x menores que 3. A continuación vamos a realizar la prueba de este ejercicio, utilizando esta calculadora, comenzamos oprimiendo el botón menú, y allí en pantalla nos aparecen unas opciones, nos movemos con los botones del navegador, hasta la opción B, o la categoría B, que es la que hace referencia a las desigualdades, allí oprimimos el signo igual, para entrar a esa modalidad, la calculadora nos pregunta por el grado del polinomio, en nuestro caso tenemos una desigualdad cúbica o de grado 3, entonces seleccionamos la opción 3, oprimimos la tecla del 3, y allí llegamos a otras 4 opciones, como vemos allí nos aparecen unas desigualdades, que encajan con este modelo, o con esto que habíamos llegado, es decir un polinomio de grado 3, y todo eso menor que 0, como vemos se trata de la opción número 2, entonces oprimimos la tecla del 2, y entramos a esa categoría, ahora vamos a ingresar los coeficientes de este polinomio, en el caso de x al cubo, tenemos coeficiente 1 positivo, entonces oprimimos el botón del 1, le damos igual, allí la calculadora nos muestra el 1, ya acompañando a x al cubo en pantalla, pasamos ahora al coeficiente de x al cuadrado, que sería menos 1, entonces botón del signo negativo, botón del 1, y le damos igual, allí ingresó ese valor, vamos ahora con el coeficiente de x que será menos 6, entonces botón del signo negativo, luego el botón del 6, y le damos igual, y luego nos pregunta por el término independiente, aquí no tenemos ningún número solo, entonces en ese caso, oprimimos la tecla del 0, y le damos igual, de esa manera hemos ingresado los coeficientes de ese polinomio, y lógicamente también su término independiente, ahora le damos igual nuevamente, y es allí cuando nos aparece esto que nos dio acá, es decir, x menores que menos 2, y el otro intervalo que son los x comprendidos entre 0 y 3, con eso comprobamos que la solución de este ejercicio es correcta.

[{"start": 0.0, "end": 9.76, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta desigualdad, es decir, vamos a encontrar el conjunto soluci\u00f3n"}, {"start": 9.76, "end": 11.28, "text": " para la variable X."}, {"start": 11.28, "end": 16.240000000000002, "text": " Al final haremos la comprobaci\u00f3n de este ejercicio en calculadora."}, {"start": 16.240000000000002, "end": 21.92, "text": " Comenzamos por romper este par\u00e9ntesis, aplicando la propiedad distributiva."}, {"start": 21.92, "end": 30.400000000000002, "text": " Entonces, tendremos X al cuadrado por X nos da X al cubo, X al cuadrado por menos 1 es menos X al cuadrado"}, {"start": 30.400000000000002, "end": 33.2, "text": " y todo esto es menor que 6X."}, {"start": 33.2, "end": 40.400000000000006, "text": " Ahora vamos a dejar 0 en este lado de la desigualdad, para ello pasamos el t\u00e9rmino 6X al lado izquierdo."}, {"start": 40.400000000000006, "end": 47.52, "text": " Llegar\u00eda entonces con signo negativo, nos queda X al cubo menos X al cuadrado menos 6X"}, {"start": 47.52, "end": 49.52, "text": " y todo esto menor que 0."}, {"start": 49.52, "end": 54.64, "text": " Es lo mismo que restar 6X a ambos lados de esta desigualdad."}, {"start": 54.64, "end": 60.0, "text": " Es all\u00ed cuando nos damos cuenta que esta es una desigualdad c\u00fabica o de grado 3."}, {"start": 60.0, "end": 64.08, "text": " Aqu\u00ed tenemos un polinomio de tercer grado menor que 0."}, {"start": 64.08, "end": 71.04, "text": " Entonces vamos a comenzar por factorizar toda esta expresi\u00f3n, el miembro izquierdo de la desigualdad."}, {"start": 71.04, "end": 74.16, "text": " Comenzamos extrayendo factor com\u00fan que es X."}, {"start": 74.16, "end": 82.24, "text": " Si sale la X nos queda X al cuadrado menos X menos 6 dentro del par\u00e9ntesis y todo esto menor que 0."}, {"start": 82.24, "end": 87.75999999999999, "text": " Ahora aqu\u00ed observamos un trinomio de la forma X al cuadrado m\u00e1s BX m\u00e1s C."}, {"start": 87.75999999999999, "end": 95.84, "text": " Vamos a factorizarlo, recordemos que se abre en dos par\u00e9ntesis, extraemos la ra\u00edz cuadrada de este t\u00e9rmino que ser\u00eda X,"}, {"start": 95.84, "end": 100.47999999999999, "text": " la anotamos al comienzo de cada par\u00e9ntesis, ahora definimos los signos,"}, {"start": 100.48, "end": 108.32000000000001, "text": " m\u00e1s por menos nos da menos, signo del primer par\u00e9ntesis, menos por menos nos da m\u00e1s, signo del segundo par\u00e9ntesis."}, {"start": 108.32000000000001, "end": 116.56, "text": " Ahora buscamos dos n\u00fameros, uno negativo y otro positivo que al multiplicarlos entre s\u00ed nos de como resultado menos 6"}, {"start": 116.56, "end": 122.0, "text": " y que al sumarlos nos de menos 1, el coeficiente que tiene X en ese t\u00e9rmino."}, {"start": 122.0, "end": 131.68, "text": " Entonces esos n\u00fameros son menos 3 y m\u00e1s 2, menos 3 por m\u00e1s 2 nos da menos 6 y menos 3 sumado con 2 nos da menos 1"}, {"start": 131.68, "end": 134.96, "text": " y todo esto queda menor que 0."}, {"start": 134.96, "end": 139.6, "text": " Enseguida vamos a determinar los puntos cr\u00edticos para esa desigualdad,"}, {"start": 139.6, "end": 146.64, "text": " para ello convertimos todo esto moment\u00e1neamente en una igualdad, es decir en una ecuaci\u00f3n,"}, {"start": 146.64, "end": 156.07999999999998, "text": " X por X menos 3 por X m\u00e1s 2, todo esto igual a 0 y all\u00ed aplicamos el teorema del factor nulo,"}, {"start": 156.07999999999998, "end": 161.67999999999998, "text": " cuando tenemos tres componentes, recordemos que si A por B por C es igual a 0,"}, {"start": 161.67999999999998, "end": 170.23999999999998, "text": " entonces decimos que A es igual a 0 o B es igual a 0 o C igual a 0,"}, {"start": 170.23999999999998, "end": 174.64, "text": " en otras palabras cada uno de los factores se igual a 0,"}, {"start": 174.64, "end": 185.35999999999999, "text": " tendremos entonces X igual a 0, X menos 3 igual a 0 y el factor X m\u00e1s 2 igualado con 0."}, {"start": 185.35999999999999, "end": 192.39999999999998, "text": " Ahora en cada caso despejamos el valor de X, por aqu\u00ed ya tenemos un primer valor, X vale 0,"}, {"start": 192.39999999999998, "end": 198.39999999999998, "text": " y ac\u00e1 el despeje de X nos da 3, 3 est\u00e1 restando pasa al otro lado a sumar con 0,"}, {"start": 198.4, "end": 206.08, "text": " entonces X vale 3 y por ac\u00e1 tendremos que el despeje de X nos da menos 2,"}, {"start": 206.08, "end": 211.12, "text": " 2 est\u00e1 sumando pasa al otro lado a restar con 0 y nos da menos 2,"}, {"start": 211.12, "end": 215.68, "text": " all\u00ed tenemos entonces los tres puntos cr\u00edticos para esa desigualdad,"}, {"start": 215.68, "end": 222.08, "text": " tambi\u00e9n tenemos que definir si estos puntos cr\u00edticos ser\u00e1n o no ser\u00e1n parte del conjunto soluci\u00f3n,"}, {"start": 222.08, "end": 230.72000000000003, "text": " como ac\u00e1 tenemos una desigualdad con signo menor, entonces estos valores no se pueden incluir en el conjunto soluci\u00f3n,"}, {"start": 230.72000000000003, "end": 234.72000000000003, "text": " por lo tanto se representan con esta bolita sin llenar,"}, {"start": 234.72000000000003, "end": 239.44, "text": " vamos entonces a anotar por ac\u00e1 estos puntos cr\u00edticos."}, {"start": 239.44, "end": 244.64000000000001, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a realizar el an\u00e1lisis de signos para toda esta expresi\u00f3n,"}, {"start": 244.64000000000001, "end": 249.68, "text": " necesitamos saber para qu\u00e9 valores de X todo esto es menor que 0,"}, {"start": 249.68, "end": 256.24, "text": " en otras palabras, para qu\u00e9 valores reales de X todo esto adopta signo negativo,"}, {"start": 256.24, "end": 262.40000000000003, "text": " para ello trazamos esta l\u00ednea recta que representa los valores reales de la variable X,"}, {"start": 262.40000000000003, "end": 267.2, "text": " desde menos infinito hasta m\u00e1s infinito,"}, {"start": 267.2, "end": 272.8, "text": " y en ella vamos a localizar estos valores, los puntos cr\u00edticos para esa desigualdad,"}, {"start": 272.8, "end": 276.24, "text": " el menor de todos estos n\u00fameros es menos 2,"}, {"start": 276.24, "end": 283.84000000000003, "text": " entonces ese ser\u00e1 el primero, despu\u00e9s sigue el 0 y despu\u00e9s tenemos el mayor de ellos que es 3."}, {"start": 283.84000000000003, "end": 288.96000000000004, "text": " Esos tres valores de X nos determinan cuatro intervalos o cuatro zonas,"}, {"start": 288.96000000000004, "end": 294.16, "text": " en las cuales debemos analizar el comportamiento de toda esta expresi\u00f3n,"}, {"start": 294.16, "end": 296.48, "text": " cu\u00e1l es el signo que adopta,"}, {"start": 296.48, "end": 302.08, "text": " para ello vamos a escoger valores de prueba pertenecientes a cada uno de esos intervalos,"}, {"start": 302.08, "end": 308.24, "text": " comenzamos con el primero, all\u00ed debemos escoger un valor comprendido entre menos infinito y menos 2,"}, {"start": 308.24, "end": 311.52, "text": " puede ser por ejemplo X igual a menos 3,"}, {"start": 311.52, "end": 317.2, "text": " vamos al siguiente, debemos escoger un valor de X comprendido entre menos 2 y 0,"}, {"start": 317.2, "end": 320.15999999999997, "text": " puede ser por ejemplo X igual a menos 1,"}, {"start": 320.15999999999997, "end": 324.15999999999997, "text": " vamos al siguiente intervalo, un valor comprendido entre 0 y 3,"}, {"start": 324.15999999999997, "end": 330.24, "text": " puede ser el 1, y en el \u00faltimo un valor de X comprendido entre 3 y m\u00e1s infinito,"}, {"start": 330.24, "end": 332.8, "text": " puede ser X igual a 4."}, {"start": 332.8, "end": 336.32, "text": " Ahora como la expresi\u00f3n consta de tres factores,"}, {"start": 336.32, "end": 339.68, "text": " tres expresiones que est\u00e1n multiplicando entre s\u00ed,"}, {"start": 339.68, "end": 343.36, "text": " entonces podemos abrir estos par\u00e9ntesis,"}, {"start": 343.36, "end": 346.72, "text": " para anotar el signo que adopta cada uno,"}, {"start": 346.72, "end": 350.88, "text": " cuando reemplazamos el valor que hemos escogido."}, {"start": 350.88, "end": 355.6, "text": " Vamos entonces con el primer intervalo, all\u00ed X toma el valor menos 3,"}, {"start": 355.6, "end": 358.48, "text": " por lo tanto el primer factor ser\u00e1 negativo,"}, {"start": 358.48, "end": 361.36, "text": " ac\u00e1 menos 3 menos 3 nos da menos 6,"}, {"start": 361.36, "end": 363.20000000000005, "text": " el segundo factor es negativo,"}, {"start": 363.20000000000005, "end": 366.08000000000004, "text": " y ac\u00e1 menos 3 m\u00e1s 2 nos da menos 1,"}, {"start": 366.08000000000004, "end": 368.96000000000004, "text": " este factor tambi\u00e9n es negativo."}, {"start": 368.96000000000004, "end": 372.72, "text": " Pasamos al siguiente intervalo, donde X toma el valor menos 1,"}, {"start": 372.72, "end": 375.68, "text": " entonces el primer factor ser\u00e1 negativo,"}, {"start": 375.68, "end": 378.8, "text": " ac\u00e1 menos 1 menos 3 nos da menos 4,"}, {"start": 378.8, "end": 383.52000000000004, "text": " factor negativo, y ac\u00e1 menos 1 m\u00e1s 2 nos da 1 positivo,"}, {"start": 383.52000000000004, "end": 386.40000000000003, "text": " entonces ese es el signo del tercer factor."}, {"start": 386.4, "end": 390.4, "text": " Vamos al siguiente intervalo, donde X toma el valor 1,"}, {"start": 390.4, "end": 394.88, "text": " ac\u00e1 el primer factor, X, toma ese valor que es positivo,"}, {"start": 394.88, "end": 399.35999999999996, "text": " ac\u00e1 con 1 tenemos 1 menos 3 que es menos 2,"}, {"start": 399.35999999999996, "end": 401.44, "text": " signo negativo para el segundo factor,"}, {"start": 401.44, "end": 405.28, "text": " y aqu\u00ed 1 m\u00e1s 2 nos da 3 positivo."}, {"start": 405.28, "end": 408.15999999999997, "text": " Vamos con el \u00faltimo intervalo, con X igual a 4,"}, {"start": 408.15999999999997, "end": 412.08, "text": " el primer factor X toma ese valor que es positivo,"}, {"start": 412.08, "end": 416.32, "text": " ac\u00e1 tenemos 4 menos 3 nos da 1 positivo,"}, {"start": 416.32, "end": 420.64, "text": " y ac\u00e1 4 m\u00e1s 2 nos dar\u00eda 6 positivo."}, {"start": 420.64, "end": 424.64, "text": " Ahora vamos a aplicar ley de los signos en cada uno de los intervalos,"}, {"start": 424.64, "end": 427.04, "text": " aqu\u00ed tenemos menos por menos que es m\u00e1s,"}, {"start": 427.04, "end": 429.52, "text": " y m\u00e1s por menos nos da menos,"}, {"start": 429.52, "end": 433.52, "text": " en el primer intervalo esa expresi\u00f3n toma signo negativo,"}, {"start": 433.52, "end": 436.15999999999997, "text": " vamos ac\u00e1, menos por menos nos da m\u00e1s,"}, {"start": 436.15999999999997, "end": 438.88, "text": " y m\u00e1s por m\u00e1s nos da m\u00e1s,"}, {"start": 438.88, "end": 441.2, "text": " ac\u00e1 tenemos m\u00e1s por m\u00e1s que es m\u00e1s,"}, {"start": 441.2, "end": 443.28, "text": " y m\u00e1s por menos nos da menos,"}, {"start": 443.28, "end": 445.68, "text": " y ac\u00e1 producto de signos positivos,"}, {"start": 445.68, "end": 447.92, "text": " nos da signo positivo."}, {"start": 447.92, "end": 452.72, "text": " Como dec\u00edamos ahora, necesitamos que toda esta expresi\u00f3n sea menor que 0,"}, {"start": 452.72, "end": 455.76, "text": " es decir que todo esto sea negativo,"}, {"start": 455.76, "end": 458.32, "text": " por lo tanto esta zona s\u00ed sirve,"}, {"start": 458.32, "end": 462.08, "text": " y esta tambi\u00e9n, las zonas que nos dieron con signo negativo,"}, {"start": 462.08, "end": 466.4, "text": " las zonas positivas l\u00f3gicamente no sirven."}, {"start": 466.4, "end": 470.16, "text": " Ahora lo que hacemos es rayar o destacar las zonas,"}, {"start": 470.16, "end": 472.56, "text": " o los intervalos que s\u00ed sirvieron,"}, {"start": 472.56, "end": 476.48, "text": " tenemos entonces el caso de este intervalo,"}, {"start": 476.48, "end": 478.48, "text": " y este de ac\u00e1,"}, {"start": 478.48, "end": 484.48, "text": " y hab\u00edamos dicho que los puntos cr\u00edticos no se incluyen como parte de la soluci\u00f3n,"}, {"start": 484.48, "end": 489.04, "text": " entonces se representa con esta bolita sin llenar."}, {"start": 489.04, "end": 491.76, "text": " Con esto ya podemos dar la respuesta,"}, {"start": 491.76, "end": 495.28, "text": " es decir podemos establecer cu\u00e1l es el conjunto soluci\u00f3n,"}, {"start": 495.28, "end": 498.8, "text": " para esa desigualdad c\u00fabica o de grado 3,"}, {"start": 498.8, "end": 501.2, "text": " ve\u00e1mosla en forma de intervalo,"}, {"start": 501.2, "end": 504.4, "text": " ser\u00e1n los x que pertenecen a este intervalo,"}, {"start": 504.4, "end": 507.52, "text": " el que va desde menos infinito hasta menos 2,"}, {"start": 507.52, "end": 510.0, "text": " ser\u00eda abierto en sus dos extremos,"}, {"start": 510.0, "end": 513.04, "text": " lleva par\u00e9ntesis, menos infinito nunca se incluye,"}, {"start": 513.04, "end": 517.2, "text": " y en este caso menos 2 tambi\u00e9n dijimos que no hace parte de la soluci\u00f3n,"}, {"start": 517.2, "end": 520.48, "text": " uni\u00f3n con este intervalo que tambi\u00e9n ser\u00e1 abierto,"}, {"start": 520.48, "end": 522.24, "text": " va desde 0 hasta 3,"}, {"start": 522.24, "end": 524.64, "text": " y lleva par\u00e9ntesis en sus extremos,"}, {"start": 524.64, "end": 528.16, "text": " porque ni el 0 ni el 3 se pueden incluir."}, {"start": 528.16, "end": 533.6, "text": " La otra forma como podemos presentar la respuesta es en notaci\u00f3n de desigualdad,"}, {"start": 533.6, "end": 538.4, "text": " esta zona se expresa como los x menores que menos 2,"}, {"start": 538.4, "end": 541.4399999999999, "text": " y la unimos con esta zona,"}, {"start": 541.4399999999999, "end": 545.68, "text": " que son los x comprendidos entre 0 y 3,"}, {"start": 545.68, "end": 547.6, "text": " se expresa de esta manera,"}, {"start": 547.6, "end": 549.1999999999999, "text": " x mayores que 0,"}, {"start": 549.1999999999999, "end": 552.64, "text": " pero al mismo tiempo x menores que 3."}, {"start": 552.64, "end": 556.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a realizar la prueba de este ejercicio,"}, {"start": 556.0, "end": 558.0, "text": " utilizando esta calculadora,"}, {"start": 558.0, "end": 560.56, "text": " comenzamos oprimiendo el bot\u00f3n men\u00fa,"}, {"start": 560.56, "end": 563.52, "text": " y all\u00ed en pantalla nos aparecen unas opciones,"}, {"start": 563.52, "end": 566.08, "text": " nos movemos con los botones del navegador,"}, {"start": 566.08, "end": 568.08, "text": " hasta la opci\u00f3n B,"}, {"start": 568.08, "end": 569.52, "text": " o la categor\u00eda B,"}, {"start": 569.52, "end": 572.64, "text": " que es la que hace referencia a las desigualdades,"}, {"start": 572.64, "end": 575.04, "text": " all\u00ed oprimimos el signo igual,"}, {"start": 575.04, "end": 577.2, "text": " para entrar a esa modalidad,"}, {"start": 577.2, "end": 580.56, "text": " la calculadora nos pregunta por el grado del polinomio,"}, {"start": 580.56, "end": 584.96, "text": " en nuestro caso tenemos una desigualdad c\u00fabica o de grado 3,"}, {"start": 584.96, "end": 588.24, "text": " entonces seleccionamos la opci\u00f3n 3,"}, {"start": 588.24, "end": 589.9200000000001, "text": " oprimimos la tecla del 3,"}, {"start": 589.9200000000001, "end": 592.48, "text": " y all\u00ed llegamos a otras 4 opciones,"}, {"start": 592.48, "end": 596.48, "text": " como vemos all\u00ed nos aparecen unas desigualdades,"}, {"start": 596.48, "end": 599.6, "text": " que encajan con este modelo,"}, {"start": 599.6, "end": 602.32, "text": " o con esto que hab\u00edamos llegado,"}, {"start": 602.32, "end": 604.64, "text": " es decir un polinomio de grado 3,"}, {"start": 604.64, "end": 606.64, "text": " y todo eso menor que 0,"}, {"start": 606.64, "end": 609.84, "text": " como vemos se trata de la opci\u00f3n n\u00famero 2,"}, {"start": 609.84, "end": 612.64, "text": " entonces oprimimos la tecla del 2,"}, {"start": 612.64, "end": 615.1999999999999, "text": " y entramos a esa categor\u00eda,"}, {"start": 615.1999999999999, "end": 619.04, "text": " ahora vamos a ingresar los coeficientes de este polinomio,"}, {"start": 619.04, "end": 621.36, "text": " en el caso de x al cubo,"}, {"start": 621.36, "end": 623.84, "text": " tenemos coeficiente 1 positivo,"}, {"start": 623.84, "end": 626.48, "text": " entonces oprimimos el bot\u00f3n del 1,"}, {"start": 626.48, "end": 627.76, "text": " le damos igual,"}, {"start": 627.76, "end": 630.08, "text": " all\u00ed la calculadora nos muestra el 1,"}, {"start": 630.08, "end": 633.04, "text": " ya acompa\u00f1ando a x al cubo en pantalla,"}, {"start": 633.04, "end": 636.0, "text": " pasamos ahora al coeficiente de x al cuadrado,"}, {"start": 636.0, "end": 637.4399999999999, "text": " que ser\u00eda menos 1,"}, {"start": 637.4399999999999, "end": 639.68, "text": " entonces bot\u00f3n del signo negativo,"}, {"start": 639.68, "end": 640.88, "text": " bot\u00f3n del 1,"}, {"start": 640.88, "end": 642.24, "text": " y le damos igual,"}, {"start": 642.24, "end": 644.24, "text": " all\u00ed ingres\u00f3 ese valor,"}, {"start": 644.24, "end": 647.52, "text": " vamos ahora con el coeficiente de x que ser\u00e1 menos 6,"}, {"start": 647.52, "end": 649.92, "text": " entonces bot\u00f3n del signo negativo,"}, {"start": 649.92, "end": 651.52, "text": " luego el bot\u00f3n del 6,"}, {"start": 651.52, "end": 653.04, "text": " y le damos igual,"}, {"start": 653.04, "end": 656.08, "text": " y luego nos pregunta por el t\u00e9rmino independiente,"}, {"start": 656.08, "end": 658.24, "text": " aqu\u00ed no tenemos ning\u00fan n\u00famero solo,"}, {"start": 658.24, "end": 660.0, "text": " entonces en ese caso,"}, {"start": 660.0, "end": 662.08, "text": " oprimimos la tecla del 0,"}, {"start": 662.08, "end": 663.6800000000001, "text": " y le damos igual,"}, {"start": 663.6800000000001, "end": 667.84, "text": " de esa manera hemos ingresado los coeficientes de ese polinomio,"}, {"start": 667.84, "end": 670.72, "text": " y l\u00f3gicamente tambi\u00e9n su t\u00e9rmino independiente,"}, {"start": 670.72, "end": 672.72, "text": " ahora le damos igual nuevamente,"}, {"start": 672.72, "end": 675.6, "text": " y es all\u00ed cuando nos aparece esto que nos dio ac\u00e1,"}, {"start": 675.6, "end": 678.32, "text": " es decir, x menores que menos 2,"}, {"start": 678.32, "end": 682.64, "text": " y el otro intervalo que son los x comprendidos entre 0 y 3,"}, {"start": 682.64, "end": 711.76, "text": " con eso comprobamos que la soluci\u00f3n de este ejercicio es correcta."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=gubbGR80M6Q

20. MOVIMIENTO Y SISTEMAS DE REFERENCIA

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 20: Movimiento y Sistemas de Referencia. Conceptos y ejemplos de movimientos y sistemas de referencia. Tema: El Movimiento y su Descripción. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

El movimiento de los cuerpos ha sido un tema que siempre ha inquietado al ser humano desde los tiempos más primitivos. La observación de cosas que se mueven a su alrededor despertó en el hombre un gran interés por encontrar la explicación a este tipo de fenómenos. Grandes estudiosos como Galileo Galilei e Isaac Newton en los siglos 16 y 17 hicieron importantes aportes a la comprensión del movimiento. La parte de la física que se dedica al estudio del movimiento de los cuerpos se llama mecánica. La mecánica tiene dos grandes divisiones, la cinemática y la dinámica. La cinemática estudia el movimiento de los cuerpos sin considerar su masa ni las fuerzas que participan. La cinemática solamente se centra en la descripción del movimiento. La dinámica estudia el movimiento de los cuerpos teniendo en cuenta su masa y la intervención de las fuerzas ya que son estas las responsables de que los objetos se muevan. En este curso de física veremos primero lo relacionado con cinemática estudiando diversos movimientos tales como el rectilíneo, el circular y el parabólico. Después nos ocuparemos del estudio de las fuerzas y su relación con la dinámica. Sistemas de referencia Cuando afirmamos que un cuerpo se encuentra en movimiento o en reposo, debemos tener presente que estos son estados relativos y no absolutos. Es decir, un cuerpo está en movimiento o en reposo en relación con un sistema o marco de referencia. Por ejemplo, el piloto de un coche de Fórmula 1 está en movimiento en relación con la pista, pero se encuentra en reposo en relación con el coche. En esta situación, la pista y el coche son los sistemas o marcos de referencia que nos permiten establecer la condición de movimiento o reposo del piloto, respectivamente. El sistema o marco de referencia se elige según el tipo de movimiento que se va a estudiar, es decir, depende de si este ocurre en una, en dos o en tres dimensiones. Veamos los sistemas o marcos de referencia más utilizados en física. Para un movimiento unidimensional, es decir, en una dimensión, el sistema o marco de referencia más utilizado es el eje X. Para un movimiento bidimensional, es decir, en dos dimensiones, el sistema o marco de referencia más utilizado es el plano cartesiano formado por los ejes X, Y. Para un movimiento tridimensional, el sistema o marco de referencia es el espacio generado por los tres ejes X, Y y Z. En todos los marcos de referencia, C suele denotar el cero, allí lo tenemos para el caso del eje X, para el caso del plano cartesiano y para el caso del espacio. En un sistema o marco de referencia se debe especificar cual será la dirección positiva y cual será la dirección negativa. El convenio de signos más utilizado es el siguiente. Para el caso del eje X, se considera positivo lo que va hacia la derecha y negativo lo que va hacia la izquierda. Para el caso del plano cartesiano formado por los ejes X y Y, positivo es lo que va hacia la derecha y hacia arriba, negativo lo que va hacia la izquierda y hacia abajo. Y para el caso del espacio tridimensional, el espacio generado por los ejes X, Y y Z, las direcciones positivas son las que podemos apreciar en el dibujo. Obviamente las direcciones negativas serán las contrarias a los ejes que aparecen en este caso en la gráfica. Definir el sistema o marco de referencia es muy importante para describir correctamente el movimiento de un cuerpo. Datos como la posición, la velocidad y la aceleración del móvil en instantes de tiempo específicos están determinados por el sistema o marco de referencia elegido. Cabe señalar que, en el desarrollo de muchos problemas de física, generalmente se toma la tierra como sistema o marco de referencia, sin necesidad de dibujar ejes X, Y o Z. Es como si se trabajaran esos problemas de manera libre, sin usar formalmente un sistema o marco de referencia. En realidad es lícito proceder de esa manera desde que no haya riesgo de confusión por parte de quien resuelve el problema. Lo que sí debemos tener presente es que hay situaciones que se describen con mayor claridad utilizando un sistema o marco de referencia. Podemos citar dos ejemplos de la cinemática. En el movimiento vertical, es decir, lo que es caída libre y lanzamiento de cuerpos hacia arriba o hacia abajo, utilizar la parte positiva del eje Y como sistema de referencia facilita el análisis de los problemas. En el movimiento de proyectiles, es decir, lo que se conoce como tiro parabólico y semiparabólico, usar el primer cuadrante del plano cartesiano X, Y como sistema de referencia resulta muy conveniente para enmarcar el movimiento y analizarlo de manera muy sencilla. ¡Suscríbete al canal!

[{"start": 0.0, "end": 19.0, "text": " El movimiento de los cuerpos ha sido un tema que siempre ha inquietado al ser humano desde"}, {"start": 19.0, "end": 21.44, "text": " los tiempos m\u00e1s primitivos."}, {"start": 21.44, "end": 27.12, "text": " La observaci\u00f3n de cosas que se mueven a su alrededor despert\u00f3 en el hombre un gran"}, {"start": 27.12, "end": 33.4, "text": " inter\u00e9s por encontrar la explicaci\u00f3n a este tipo de fen\u00f3menos."}, {"start": 33.4, "end": 41.160000000000004, "text": " Grandes estudiosos como Galileo Galilei e Isaac Newton en los siglos 16 y 17 hicieron"}, {"start": 41.160000000000004, "end": 46.36, "text": " importantes aportes a la comprensi\u00f3n del movimiento."}, {"start": 46.36, "end": 53.28, "text": " La parte de la f\u00edsica que se dedica al estudio del movimiento de los cuerpos se llama mec\u00e1nica."}, {"start": 53.28, "end": 59.52, "text": " La mec\u00e1nica tiene dos grandes divisiones, la cinem\u00e1tica y la 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Problema 5 de TRIGONOMETRÍA EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

#julioprofe explica cómo resolver un problema de trigonometría donde intervienen triángulos rectángulos: El asta de una bandera está colocado en la parte superior de un edificio de 115 pies de altura. Desde un punto del mismo plano horizontal de la base del edificio, los ángulos de elevación de los extremos inferior y superior del asta son 58.6° y 63.2°, respectivamente. ¿Cuál es la longitud del asta de la bandera? REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

El hasta de una bandera está colocado en la parte superior de un edificio de 115 pies de altura. Desde un punto del mismo plano horizontal de la base del edificio, los ángulos de elevación de los extremos inferior y superior del hasta son de 58.6 grados y 63.2 grados respectivamente. ¿Cuál es la longitud del hasta de la bandera? Para este problema, hacemos un dibujo que ilustre la situación. Aquí tenemos el edificio con una altura de 115 pies, utilizamos FT, la abreviatura de FIT, o sea pies en inglés, y acá en la parte superior del edificio tenemos el hasta de la bandera, cuya longitud debemos determinar. Esa longitud vamos a llamarla L. También nos dice el problema que desde un punto que está localizado en el mismo plano horizontal de la base del edificio, vamos a suponer que es este punto P, desde allí se hacen dos observaciones, una al extremo inferior del hasta y otra al extremo superior de ese mismo elemento. Bien, allí tenemos esas dos líneas que nos indican las observaciones realizadas, desde el punto P hasta los extremos del hasta. Y nos dice el problema que los ángulos de elevación para esas dos observaciones son los siguientes. Aquí tenemos un primer ángulo de elevación hasta el extremo inferior del hasta de 58.6 grados y otro ángulo de elevación mayor será este, hasta el extremo superior del hasta, ese ángulo es de 63.2 grados. Y de esa manera ya tenemos localizada la información del problema. Como aquí tenemos ángulo recto, el que se forma entre el edificio y la línea que representa la base del mismo, entonces apreciamos dos triángulos rectángulos. Vamos a colocarle nombres a estos puntos, a los vértices de esos triángulos, podemos llamar este el punto A, este lo llamamos el punto B y este lo llamamos el punto C. Entonces tenemos ahí dos triángulos rectángulos que vamos a trabajar a continuación. Comenzamos con el triángulo rectángulo BCP, este que tenemos acá, donde el cateto BC es la altura del edificio, son 115 pies y donde este cateto CP, este de acá, no lo conocemos, entonces vamos a colocarle una letra X que representa su longitud. Vamos a utilizar entonces SOCATOA que es la forma fácil de recordar las tres razones trigonométricas principales, seno, coseno y tangente. Seno se define como cateto opuesto sobre hipotenusa, coseno se define como cateto adyacente sobre hipotenusa y tangente se define como cateto opuesto sobre cateto adyacente. Entonces, para este ángulo agudo que tenemos aquí de 58.6 grados, este es el cateto opuesto y este es el cateto adyacente, aquí tenemos esos dos lados, cateto opuesto, cateto adyacente, por lo tanto vamos a utilizar tangente, decimos entonces, tangente de ese ángulo agudo 58.6 grados será igual a la razón que hay entre el cateto opuesto y el cateto adyacente, el cateto opuesto es 115 pies, vamos a omitir las unidades, todas las longitudes van a estar en pies sobre el cateto adyacente cuya medida es X. De allí podemos hacer el despeje de X que aquí está dividiendo, entonces pasaría a este lado a multiplicar y esta cantidad que queda multiplicando con X, pasaría acá a dividir, en otras palabras es intercambiar estos dos componentes, nos queda entonces X igual a 115, todo esto sobre o dividido entre la tangente de 58.6 grados. Anotamos eso que nos dio por acá y eso representa el valor de X expresado en pies, la longitud del segmento CP. Consideramos ahora el otro triángulo rectángulo, el triángulo ACP, el triángulo grande, donde este cateto AC será toda esta distancia, la suma de 115 más L, entonces vamos a anotar eso por acá, 115 más L, todo eso en pies es la longitud del segmento AC, uno de los catetos de este triángulo y esta distancia CP es la que habíamos llamado X. De nuevo utilizamos SOHCATOA y como tenemos que relacionar estos dos lados, es decir los catetos del triángulo, entonces usamos tangente, decimos entonces tangente de este ángulo agudo, 63.2 grados, es igual a la relación que hay entre el cateto opuesto, entonces para este ángulo agudo, su cateto opuesto es 115 más L sobre el cateto anteacente, este cateto que hace contacto con el ángulo, cuya medida es X. De allí vamos a realizar poco a poco el despeje de L, primero X que está dividiendo, pasa al otro lado a multiplicar, nos queda X por tangente de 63.2 grados y todo esto igual a 115 más L, y allí despejamos L, para ello 115 que está sumando a este lado, lo pasamos al otro a restar, nos queda X por tangente de 63.2 grados y todo eso menos 115. Pero aquí ya conocemos X, su valor está representado por esta expresión numérica, entonces L nos queda igual a X que lo reemplazamos por 115 sobre tangente de 58.6 grados, todo eso multiplicado por la tangente de 63.2 grados y todo eso menos 115. A continuación vamos a resolver todo eso utilizando una calculadora científica, lo primero que tenemos que hacer es asegurarnos que la calculadora esté en el modo DEC, es decir que la unidad angular sea en grados, en la pantalla nos aparece una letra D en la parte superior que nos indica que ya la calculadora está en ese modo, el modo DEC que quiere decir degrees, o sea grados. Ahora sí procedemos a ingresar esa expresión numérica, comenzamos con el botón de fracción, en el numerador escribimos 115, pasamos al denominador con los botones del navegador y allí vamos a escribir tangente de 58.6, acá tenemos coma 6, en esta calculadora la marca decimal es una coma, acá teníamos punto, es simplemente revisar que clase de símbolo tenemos para la marca decimal, si es punto o si es coma. Luego corremos el cursor a la derecha para multiplicar por tangente de 63.2, otra vez 63.2, cerramos el paréntesis y a todo eso tenemos que restarle 115. Después de haber ingresado toda esa expresión numérica oprimimos el botón igual y allí tenemos el resultado 23,96, acá tenemos entonces L igual a 23.96 pies, que será entonces la respuesta para este ejercicio, es la longitud del hasta de esa bandera.

[{"start": 0.0, "end": 8.94, "text": " El hasta de una bandera est\u00e1 colocado en la parte superior de un edificio de 115 pies"}, {"start": 8.94, "end": 14.8, "text": " de altura. Desde un punto del mismo plano horizontal de la base del edificio, los \u00e1ngulos"}, {"start": 14.8, "end": 23.32, "text": " de elevaci\u00f3n de los extremos inferior y superior del hasta son de 58.6 grados y 63.2 grados"}, {"start": 23.32, "end": 28.560000000000002, "text": " respectivamente. \u00bfCu\u00e1l es la longitud del hasta de la bandera?"}, {"start": 28.56, "end": 34.239999999999995, "text": " Para este problema, hacemos un dibujo que ilustre la situaci\u00f3n. Aqu\u00ed tenemos el edificio"}, {"start": 34.239999999999995, "end": 42.36, "text": " con una altura de 115 pies, utilizamos FT, la abreviatura de FIT, o sea pies en ingl\u00e9s,"}, {"start": 42.36, "end": 48.54, "text": " y ac\u00e1 en la parte superior del edificio tenemos el hasta de la bandera, cuya longitud debemos"}, {"start": 48.54, "end": 53.239999999999995, "text": " determinar. Esa longitud vamos a llamarla L. Tambi\u00e9n"}, {"start": 53.24, "end": 59.52, "text": " nos dice el problema que desde un punto que est\u00e1 localizado en el mismo plano horizontal"}, {"start": 59.52, "end": 65.2, "text": " de la base del edificio, vamos a suponer que es este punto P, desde all\u00ed se hacen dos"}, {"start": 65.2, "end": 72.46000000000001, "text": " observaciones, una al extremo inferior del hasta y otra al extremo superior de ese mismo"}, {"start": 72.46000000000001, "end": 76.52000000000001, "text": " elemento. Bien, all\u00ed tenemos esas dos l\u00edneas que nos"}, {"start": 76.52000000000001, "end": 82.76, "text": " indican las observaciones realizadas, desde el punto P hasta los extremos del hasta. Y"}, {"start": 82.76, "end": 90.12, "text": " nos dice el problema que los \u00e1ngulos de elevaci\u00f3n para esas dos observaciones son los siguientes."}, {"start": 90.12, "end": 97.24000000000001, "text": " Aqu\u00ed tenemos un primer \u00e1ngulo de elevaci\u00f3n hasta el extremo inferior del hasta de 58.6"}, {"start": 97.24000000000001, "end": 106.52000000000001, "text": " grados y otro \u00e1ngulo de elevaci\u00f3n mayor ser\u00e1 este, hasta el extremo superior del"}, {"start": 106.52, "end": 116.16, "text": " hasta, ese \u00e1ngulo es de 63.2 grados. Y de esa manera ya tenemos localizada la informaci\u00f3n"}, {"start": 116.16, "end": 120.47999999999999, "text": " del problema. Como aqu\u00ed tenemos \u00e1ngulo recto, el que se"}, {"start": 120.47999999999999, "end": 128.16, "text": " forma entre el edificio y la l\u00ednea que representa la base del mismo, entonces apreciamos dos"}, {"start": 128.16, "end": 134.72, "text": " tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos. Vamos a colocarle nombres a estos puntos, a los v\u00e9rtices de"}, {"start": 134.72, "end": 141.24, "text": " esos tri\u00e1ngulos, podemos llamar este el punto A, este lo llamamos el punto B y este lo llamamos"}, {"start": 141.24, "end": 148.6, "text": " el punto C. Entonces tenemos ah\u00ed dos tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos que vamos a trabajar a continuaci\u00f3n."}, {"start": 148.6, "end": 155.54, "text": " Comenzamos con el tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo BCP, este que tenemos ac\u00e1, donde el cateto BC"}, {"start": 155.54, "end": 165.64, "text": " es la altura del edificio, son 115 pies y donde este cateto CP, este de ac\u00e1, no lo conocemos,"}, {"start": 165.64, "end": 171.23999999999998, "text": " entonces vamos a colocarle una letra X que representa su longitud."}, {"start": 171.23999999999998, "end": 176.88, "text": " Vamos a utilizar entonces SOCATOA que es la forma f\u00e1cil de recordar las tres razones"}, {"start": 176.88, "end": 181.2, "text": " trigonom\u00e9tricas principales, seno, coseno y tangente."}, {"start": 181.2, "end": 188.07999999999998, "text": " Seno se define como cateto opuesto sobre hipotenusa, coseno se define como cateto adyacente sobre"}, {"start": 188.07999999999998, "end": 194.35999999999999, "text": " hipotenusa y tangente se define como cateto opuesto sobre cateto adyacente."}, {"start": 194.35999999999999, "end": 202.64, "text": " Entonces, para este \u00e1ngulo agudo que tenemos aqu\u00ed de 58.6 grados, este es el cateto opuesto"}, {"start": 202.64, "end": 209.32, "text": " y este es el cateto adyacente, aqu\u00ed tenemos esos dos lados, cateto opuesto, cateto adyacente,"}, {"start": 209.32, "end": 218.54, "text": " por lo tanto vamos a utilizar tangente, decimos entonces, tangente de ese \u00e1ngulo agudo 58.6"}, {"start": 218.54, "end": 225.04, "text": " grados ser\u00e1 igual a la raz\u00f3n que hay entre el cateto opuesto y el cateto adyacente,"}, {"start": 225.04, "end": 232.72, "text": " el cateto opuesto es 115 pies, vamos a omitir las unidades, todas las longitudes van a estar"}, {"start": 232.72, "end": 238.04, "text": " en pies sobre el cateto adyacente cuya medida es X."}, {"start": 238.04, "end": 243.12, "text": " De all\u00ed podemos hacer el despeje de X que aqu\u00ed est\u00e1 dividiendo, entonces pasar\u00eda"}, {"start": 243.12, "end": 248.72, "text": " a este lado a multiplicar y esta cantidad que queda multiplicando con X, pasar\u00eda ac\u00e1"}, {"start": 248.72, "end": 254.64, "text": " a dividir, en otras palabras es intercambiar estos dos componentes, nos queda entonces"}, {"start": 254.64, "end": 266.44, "text": " X igual a 115, todo esto sobre o dividido entre la tangente de 58.6 grados."}, {"start": 266.44, "end": 273.84, "text": " Anotamos eso que nos dio por ac\u00e1 y eso representa el valor de X expresado en pies, la longitud"}, {"start": 273.84, "end": 277.16, "text": " del segmento CP."}, {"start": 277.16, "end": 282.84, "text": " Consideramos ahora el otro tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo, el tri\u00e1ngulo ACP, el tri\u00e1ngulo grande,"}, {"start": 282.84, "end": 291.28, "text": " donde este cateto AC ser\u00e1 toda esta distancia, la suma de 115 m\u00e1s L, entonces vamos a anotar"}, {"start": 291.28, "end": 298.23999999999995, "text": " eso por ac\u00e1, 115 m\u00e1s L, todo eso en pies es la longitud del segmento AC, uno de los"}, {"start": 298.23999999999995, "end": 305.03999999999996, "text": " catetos de este tri\u00e1ngulo y esta distancia CP es la que hab\u00edamos llamado X."}, {"start": 305.03999999999996, "end": 311.02, "text": " De nuevo utilizamos SOHCATOA y como tenemos que relacionar estos dos lados, es decir los"}, {"start": 311.02, "end": 319.28, "text": " catetos del tri\u00e1ngulo, entonces usamos tangente, decimos entonces tangente de este \u00e1ngulo"}, {"start": 319.28, "end": 327.91999999999996, "text": " agudo, 63.2 grados, es igual a la relaci\u00f3n que hay entre el cateto opuesto, entonces"}, {"start": 327.91999999999996, "end": 337.11999999999995, "text": " para este \u00e1ngulo agudo, su cateto opuesto es 115 m\u00e1s L sobre el cateto anteacente,"}, {"start": 337.11999999999995, "end": 342.08, "text": " este cateto que hace contacto con el \u00e1ngulo, cuya medida es X."}, {"start": 342.08, "end": 348.15999999999997, "text": " De all\u00ed vamos a realizar poco a poco el despeje de L, primero X que est\u00e1 dividiendo, pasa"}, {"start": 348.16, "end": 356.92, "text": " al otro lado a multiplicar, nos queda X por tangente de 63.2 grados y todo esto igual"}, {"start": 356.92, "end": 366.08000000000004, "text": " a 115 m\u00e1s L, y all\u00ed despejamos L, para ello 115 que est\u00e1 sumando a este lado, lo pasamos"}, {"start": 366.08000000000004, "end": 377.68, "text": " al otro a restar, nos queda X por tangente de 63.2 grados y todo eso menos 115."}, {"start": 377.68, "end": 384.40000000000003, "text": " Pero aqu\u00ed ya conocemos X, su valor est\u00e1 representado por esta expresi\u00f3n num\u00e9rica,"}, {"start": 384.40000000000003, "end": 397.28000000000003, "text": " entonces L nos queda igual a X que lo reemplazamos por 115 sobre tangente de 58.6 grados, todo"}, {"start": 397.28, "end": 409.15999999999997, "text": " eso multiplicado por la tangente de 63.2 grados y todo eso menos 115."}, {"start": 409.15999999999997, "end": 414.28, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a resolver todo eso utilizando una calculadora cient\u00edfica, lo"}, {"start": 414.28, "end": 419.67999999999995, "text": " primero que tenemos que hacer es asegurarnos que la calculadora est\u00e9 en el modo DEC, es"}, {"start": 419.67999999999995, "end": 425.0, "text": " decir que la unidad angular sea en grados, en la pantalla nos aparece una letra D en"}, {"start": 425.0, "end": 430.64, "text": " la parte superior que nos indica que ya la calculadora est\u00e1 en ese modo, el modo DEC"}, {"start": 430.64, "end": 434.08, "text": " que quiere decir degrees, o sea grados."}, {"start": 434.08, "end": 440.2, "text": " Ahora s\u00ed procedemos a ingresar esa expresi\u00f3n num\u00e9rica, comenzamos con el bot\u00f3n de fracci\u00f3n,"}, {"start": 440.2, "end": 446.3, "text": " en el numerador escribimos 115, pasamos al denominador con los botones del navegador"}, {"start": 446.3, "end": 454.78000000000003, "text": " y all\u00ed vamos a escribir tangente de 58.6, ac\u00e1 tenemos coma 6, en esta calculadora la"}, {"start": 454.78000000000003, "end": 460.72, "text": " marca decimal es una coma, ac\u00e1 ten\u00edamos punto, es simplemente revisar que clase de"}, {"start": 460.72, "end": 465.32, "text": " s\u00edmbolo tenemos para la marca decimal, si es punto o si es coma."}, {"start": 465.32, "end": 474.88, "text": " Luego corremos el cursor a la derecha para multiplicar por tangente de 63.2, otra vez"}, {"start": 474.88, "end": 482.64, "text": " 63.2, cerramos el par\u00e9ntesis y a todo eso tenemos que restarle 115."}, {"start": 482.64, "end": 488.48, "text": " Despu\u00e9s de haber ingresado toda esa expresi\u00f3n num\u00e9rica oprimimos el bot\u00f3n igual y all\u00ed"}, {"start": 488.48, "end": 501.28, "text": " tenemos el resultado 23,96, ac\u00e1 tenemos entonces L igual a 23.96 pies, que ser\u00e1 entonces la"}, {"start": 501.28, "end": 508.08, "text": " respuesta para este ejercicio, es la longitud del hasta de esa bandera."}]

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VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE EN FUNCIÓN DE X

#julioprofe explica cómo expresar el volumen de una pirámide en función de una variable X. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Se va a construir una tienda de campaña con forma piramidal base cuadrada del lado X metros y soportada por un poste en su centro. Si se cuenta con 10 metros cuadrados de lona para las caras laterales del albergue, expresar el volumen de la tienda en función de X. Bien para resolver este problema hacemos un dibujo de la situación. Allí tenemos una pirámide que ilustra la tienda de campaña. Vemos que tiene base cuadrada del lado X metros y también un poste en su centro que la soporta. Vamos a llamar H la longitud de ese poste que llega justo al centro del cuadrado de la base. Con esa información podemos conformar una expresión para el volumen de la pirámide que es finalmente lo que nos pide el problema. El volumen de cualquier pirámide se define como 1 tercio por el área de la base por la altura. En este caso tenemos que la base es un cuadrado del lado X. Por lo tanto esto nos queda 1 tercio por área de la base que será X por X, es decir X al cuadrado y la altura de la pirámide se define como el segmento que va desde el vértice hasta el plano de la base. Ese segmento cae formando 90 grados con la base, cae perpendicularmente. En este caso la altura es H, justamente el poste que sostiene o que soporta la tienda. Escribimos esta expresión por acá y la vamos a llamar la expresión número 1. Ahora vamos a determinar el punto medio de este lado, es decir aquí, y vamos a conectar este punto con este que hemos marcado. Bien, aquí tenemos ese segmento. Ahora si este punto lo proyectamos acá moviéndonos en dirección paralela a cualquiera de estos dos lados vamos a llegar también al punto medio de este segmento. Por lo tanto la distancia de aquí a acá será X medios, la mitad de X. Por lo tanto esto, el segmento que hemos trazado tiene una longitud X medios. Ahora vamos a conectar también este punto que es el vértice de la pirámide con este, que es el punto medio de este lado. Bien, allí tenemos este segmento cuya longitud vamos a llamar K. Es un segmento que pertenece a esta cara de la pirámide, una de las caras laterales. Y este segmento forma 90 grados con este lado de la base. Son segmentos perpendiculares. Este segmento de longitud K se convierte en la altura de este triángulo, que es una de las cuatro caras laterales de la pirámide. Esos cuatro triángulos son congruentes. Entonces este será representativo de esas cuatro caras laterales. Ya conociendo K que es la altura y sabiendo que X es la base, podemos determinar el área de este triángulo. Recordemos que el área de un triángulo es base por altura sobre 2. En este caso el área del triángulo que hemos considerado el de esta cara es la base, que es X, por la altura de ese triángulo que es K y todo esto sobre 2. Pero el problema nos dice que se cuenta con 10 metros cuadrados de lona para las caras laterales del albergue o de la tienda. Por lo tanto si multiplicamos esto por 4 nos dará el área total de lona disponible. Entonces 10 metros cuadrados será igual a 4 veces el área de ese triángulo. Repetimos el área de esta cara triangular de la pirámide. Entonces nos queda 10 es igual a 4 por el área del triángulo que nos dio X por K sobre 2. Y podemos omitir las unidades metros cuadrados porque sabemos que X se trabaja en metros y el área en este caso de la lona va en metros cuadrados. Aquí podemos simplificar 4 con 2, decimos mitad de 4 es 2, mitad de 2 es 1 y entonces eso nos queda 10 es igual a 2 por X por K, 2XK. Y a su vez de allí podemos despejar K. Vamos a realizar ese despeje por aquí. Entonces para despejar K, 2X que está multiplicando lo pasamos al otro lado a dividir. Nos queda 10 sobre 2X. Hacemos el despeje de K porque es una letra digamos intrusa, es una letra que creamos entonces debemos tratar que nos quede en términos de X que es finalmente la letra que controla o que comanda el ejercicio. Acá podemos simplificar 10 con 2, mitad de 10 nos da 5, mitad de 2 nos da 1 y entonces nos queda que K es igual a 5 sobre X. Anotamos esto por acá y llamamos esta expresión como la número 2. Ahora vamos a concentrarnos en este triángulo formado por el segmento H, el segmento que mide X medios y el segmento que mide K. Aquí se forman 90 grados porque como decíamos H representa el poste que sostiene la tienda y ese poste llega formando 90 grados con el plano de la base. El segmento es perpendicular al cuadrado de la base. Tenemos entonces allí un triángulo rectángulo donde podemos plantear el teorema de Pitágoras. Recordemos que dice lo siguiente, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Los catetos son H y X medios. Entonces comencemos con el cateto X medios, eso al cuadrado, más el otro cateto que es H elevado al cuadrado. Allí tenemos la suma de los cuadrados de los catetos y eso es igual al cuadrado de la hipotenusa, es decir K al cuadrado. Allí podríamos sustituir K por esto que obtuvimos, K equivale a 5 sobre X. Entonces tendremos X medios al cuadrado más H al cuadrado igual a 5 sobre X y todo esto elevado al cuadrado. De allí vamos a despejar H al cuadrado. Entonces para ello dejamos este término donde está sin presentar ninguna modificación y movemos este para el lado derecho, está positivo entonces llega acá con signo negativo. Es como restar a ambos lados de esta igualdad esta cantidad, X medios al cuadrado. Allí podríamos trabajar esta expresión, nos queda entonces H al cuadrado igual, aquí el exponente 2 afecta tanto al numerador como al denominador, entonces 5 al cuadrado nos da 25 y esto nos queda sobre X al cuadrado. Aquí sucede lo mismo, el cuadrado afecta a los dos componentes, nos queda en el numerador X al cuadrado y en el denominador 2 al cuadrado que es 4. Ahora resolvemos esta resta que ocurre entre dos fracciones con distinto denominador, fracciones heterogéneas, entonces tendremos lo siguiente, H al cuadrado igual, vamos a usar el truco o la técnica de la carita feliz, tenemos entonces en el numerador lo siguiente, 25 por 4 que nos da 100 menos X al cuadrado por X al cuadrado, esto nos da X a la 4 y acá en el denominador el producto de estas dos cantidades, X al cuadrado por 4 que no podemos organizar como 4X al cuadrado. Repetimos, se ha utilizado el truco o la técnica de la carita feliz que se utiliza para sumar o restar dos fracciones con distinto denominador. Como vemos ya tenemos H al cuadrado en términos de X, entonces ya podemos despejar H de aquí, para ello extraemos raíz cuadrada a ambos lados de esa igualdad, entonces en el lado izquierdo raíz cuadrada de H al cuadrado y en el lado derecho la raíz cuadrada de 100 menos X a la 4 y todo esto sobre 4X al cuadrado. En el lado izquierdo esto nos daría más o menos H y acá en el lado derecho la raíz puede repartirse tanto para el numerador como para el denominador, es una de las propiedades de la radicación, entonces allí la aplicamos. H tiene que ser una cantidad positiva porque es la longitud del poste que soporta la tienda o el albergue, entonces descartamos la opción negativa, nos quedamos con más H y acá tendremos la raíz cuadrada de 100 menos X a la 4, allí no podemos hacer nada porque dentro de la raíz tenemos una resta y acá en el denominador podemos resolver esa raíz, es una raíz de tipo exacta, la raíz cuadrada de 4X al cuadrado nos da 2X, bueno eso saldría con signo más o menos pero también X es una cantidad positiva porque es la longitud del lado del cuadrado de la base de la pirámide. Esta nueva expresión donde tenemos H en términos de X la llamamos la número 3 y es allí cuando vamos a realizar una sustitución, 3 vamos a sustituirlo en 1, entonces de esa manera el volumen de la pirámide nos queda así, 1 tercio por X al cuadrado por H, pero H es todo esto, la raíz cuadrada de 100 menos X a la 4 y todo esto sobre 2X. Allí ya tenemos prácticamente lo que nos pide el problema, el volumen de esa pirámide, es decir de esa tienda de campaña en términos de X, X es el lado del cuadrado de la base pero podemos organizar un poco más esa expresión, podemos decir que el volumen en términos de X será igual a lo siguiente, 3 por 2 nos da 6, es decir 6 en el denominador podemos asegurar un sexto al principio, podemos simplificar X al cuadrado con X, entonces se va una X del denominador con una X del numerador, nos queda X en el numerador y se la escribimos acá y eso acompaña a esa raíz cuadrada, raíz de 100 menos X a la 4, todo esto dentro de la raíz cuadrada. De esta manera terminamos, esto es lo que nos pregunta el ejercicio, el volumen de esa tienda de campaña que tiene forma piramidal en función de X, X es la longitud del lado del cuadrado de la base, X dijimos que va expresada en metros y el volumen de esa pirámide o de esa tienda irá expresado en metros cúbicos, con esto terminamos este ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 10.9, "text": " Se va a construir una tienda de campa\u00f1a con forma piramidal base cuadrada del lado X metros"}, {"start": 10.9, "end": 14.08, "text": " y soportada por un poste en su centro."}, {"start": 14.08, "end": 19.84, "text": " Si se cuenta con 10 metros cuadrados de lona para las caras laterales del albergue, expresar"}, {"start": 19.84, "end": 23.28, "text": " el volumen de la tienda en funci\u00f3n de X."}, {"start": 23.28, "end": 27.16, "text": " Bien para resolver este problema hacemos un dibujo de la situaci\u00f3n."}, {"start": 27.16, "end": 31.64, "text": " All\u00ed tenemos una pir\u00e1mide que ilustra la tienda de campa\u00f1a."}, {"start": 31.64, "end": 39.4, "text": " Vemos que tiene base cuadrada del lado X metros y tambi\u00e9n un poste en su centro que la soporta."}, {"start": 39.4, "end": 46.44, "text": " Vamos a llamar H la longitud de ese poste que llega justo al centro del cuadrado de"}, {"start": 46.44, "end": 47.44, "text": " la base."}, {"start": 47.44, "end": 52.64, "text": " Con esa informaci\u00f3n podemos conformar una expresi\u00f3n para el volumen de la pir\u00e1mide"}, {"start": 52.64, "end": 55.519999999999996, "text": " que es finalmente lo que nos pide el problema."}, {"start": 55.52, "end": 61.84, "text": " El volumen de cualquier pir\u00e1mide se define como 1 tercio por el \u00e1rea de la base por"}, {"start": 61.84, "end": 63.68000000000001, "text": " la altura."}, {"start": 63.68000000000001, "end": 68.68, "text": " En este caso tenemos que la base es un cuadrado del lado X."}, {"start": 68.68, "end": 75.5, "text": " Por lo tanto esto nos queda 1 tercio por \u00e1rea de la base que ser\u00e1 X por X, es decir X al"}, {"start": 75.5, "end": 81.78, "text": " cuadrado y la altura de la pir\u00e1mide se define como el segmento que va desde el v\u00e9rtice"}, {"start": 81.78, "end": 83.96000000000001, "text": " hasta el plano de la base."}, {"start": 83.96, "end": 89.32, "text": " Ese segmento cae formando 90 grados con la base, cae perpendicularmente."}, {"start": 89.32, "end": 97.52, "text": " En este caso la altura es H, justamente el poste que sostiene o que soporta la tienda."}, {"start": 97.52, "end": 104.63999999999999, "text": " Escribimos esta expresi\u00f3n por ac\u00e1 y la vamos a llamar la expresi\u00f3n n\u00famero 1."}, {"start": 104.63999999999999, "end": 110.88, "text": " Ahora vamos a determinar el punto medio de este lado, es decir aqu\u00ed, y vamos a conectar"}, {"start": 110.88, "end": 114.08, "text": " este punto con este que hemos marcado."}, {"start": 114.08, "end": 116.67999999999999, "text": " Bien, aqu\u00ed tenemos ese segmento."}, {"start": 116.67999999999999, "end": 121.75999999999999, "text": " Ahora si este punto lo proyectamos ac\u00e1 movi\u00e9ndonos en direcci\u00f3n paralela a cualquiera de estos"}, {"start": 121.75999999999999, "end": 127.0, "text": " dos lados vamos a llegar tambi\u00e9n al punto medio de este segmento."}, {"start": 127.0, "end": 132.2, "text": " Por lo tanto la distancia de aqu\u00ed a ac\u00e1 ser\u00e1 X medios, la mitad de X."}, {"start": 132.2, "end": 138.72, "text": " Por lo tanto esto, el segmento que hemos trazado tiene una longitud X medios."}, {"start": 138.72, "end": 144.12, "text": " Ahora vamos a conectar tambi\u00e9n este punto que es el v\u00e9rtice de la pir\u00e1mide con este,"}, {"start": 144.12, "end": 146.64, "text": " que es el punto medio de este lado."}, {"start": 146.64, "end": 151.96, "text": " Bien, all\u00ed tenemos este segmento cuya longitud vamos a llamar K."}, {"start": 151.96, "end": 157.88, "text": " Es un segmento que pertenece a esta cara de la pir\u00e1mide, una de las caras laterales."}, {"start": 157.88, "end": 163.04, "text": " Y este segmento forma 90 grados con este lado de la base."}, {"start": 163.04, "end": 165.52, "text": " Son segmentos perpendiculares."}, {"start": 165.52, "end": 171.96, "text": " Este segmento de longitud K se convierte en la altura de este tri\u00e1ngulo, que es una de"}, {"start": 171.96, "end": 175.20000000000002, "text": " las cuatro caras laterales de la pir\u00e1mide."}, {"start": 175.20000000000002, "end": 177.8, "text": " Esos cuatro tri\u00e1ngulos son congruentes."}, {"start": 177.8, "end": 182.8, "text": " Entonces este ser\u00e1 representativo de esas cuatro caras laterales."}, {"start": 182.8, "end": 189.32000000000002, "text": " Ya conociendo K que es la altura y sabiendo que X es la base, podemos determinar el \u00e1rea"}, {"start": 189.32000000000002, "end": 190.72, "text": " de este tri\u00e1ngulo."}, {"start": 190.72, "end": 196.48, "text": " Recordemos que el \u00e1rea de un tri\u00e1ngulo es base por altura sobre 2."}, {"start": 196.48, "end": 203.56, "text": " En este caso el \u00e1rea del tri\u00e1ngulo que hemos considerado el de esta cara es la base, que"}, {"start": 203.56, "end": 211.56, "text": " es X, por la altura de ese tri\u00e1ngulo que es K y todo esto sobre 2."}, {"start": 211.56, "end": 217.32, "text": " Pero el problema nos dice que se cuenta con 10 metros cuadrados de lona para las caras"}, {"start": 217.32, "end": 220.48, "text": " laterales del albergue o de la tienda."}, {"start": 220.48, "end": 226.39999999999998, "text": " Por lo tanto si multiplicamos esto por 4 nos dar\u00e1 el \u00e1rea total de lona disponible."}, {"start": 226.39999999999998, "end": 233.64, "text": " Entonces 10 metros cuadrados ser\u00e1 igual a 4 veces el \u00e1rea de ese tri\u00e1ngulo."}, {"start": 233.64, "end": 238.16, "text": " Repetimos el \u00e1rea de esta cara triangular de la pir\u00e1mide."}, {"start": 238.16, "end": 246.04, "text": " Entonces nos queda 10 es igual a 4 por el \u00e1rea del tri\u00e1ngulo que nos dio X por K sobre"}, {"start": 246.04, "end": 247.04, "text": " 2."}, {"start": 247.04, "end": 252.56, "text": " Y podemos omitir las unidades metros cuadrados porque sabemos que X se trabaja en metros y"}, {"start": 252.56, "end": 257.15999999999997, "text": " el \u00e1rea en este caso de la lona va en metros cuadrados."}, {"start": 257.15999999999997, "end": 264.8, "text": " Aqu\u00ed podemos simplificar 4 con 2, decimos mitad de 4 es 2, mitad de 2 es 1 y entonces"}, {"start": 264.8, "end": 271.6, "text": " eso nos queda 10 es igual a 2 por X por K, 2XK."}, {"start": 271.6, "end": 275.18, "text": " Y a su vez de all\u00ed podemos despejar K."}, {"start": 275.18, "end": 277.88, "text": " Vamos a realizar ese despeje por aqu\u00ed."}, {"start": 277.88, "end": 283.52, "text": " Entonces para despejar K, 2X que est\u00e1 multiplicando lo pasamos al otro lado a dividir."}, {"start": 283.52, "end": 286.96, "text": " Nos queda 10 sobre 2X."}, {"start": 286.96, "end": 292.24, "text": " Hacemos el despeje de K porque es una letra digamos intrusa, es una letra que creamos"}, {"start": 292.24, "end": 298.42, "text": " entonces debemos tratar que nos quede en t\u00e9rminos de X que es finalmente la letra que controla"}, {"start": 298.42, "end": 300.56, "text": " o que comanda el ejercicio."}, {"start": 300.56, "end": 307.8, "text": " Ac\u00e1 podemos simplificar 10 con 2, mitad de 10 nos da 5, mitad de 2 nos da 1 y entonces"}, {"start": 307.8, "end": 313.28000000000003, "text": " nos queda que K es igual a 5 sobre X."}, {"start": 313.28000000000003, "end": 320.44, "text": " Anotamos esto por ac\u00e1 y llamamos esta expresi\u00f3n como la n\u00famero 2."}, {"start": 320.44, "end": 326.62, "text": " Ahora vamos a concentrarnos en este tri\u00e1ngulo formado por el segmento H, el segmento que"}, {"start": 326.62, "end": 330.16, "text": " mide X medios y el segmento que mide K."}, {"start": 330.16, "end": 337.56, "text": " Aqu\u00ed se forman 90 grados porque como dec\u00edamos H representa el poste que sostiene la tienda"}, {"start": 337.56, "end": 342.16, "text": " y ese poste llega formando 90 grados con el plano de la base."}, {"start": 342.16, "end": 346.36, "text": " El segmento es perpendicular al cuadrado de la base."}, {"start": 346.36, "end": 352.56, "text": " Tenemos entonces all\u00ed un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo donde podemos plantear el teorema de Pit\u00e1goras."}, {"start": 352.56, "end": 356.76000000000005, "text": " Recordemos que dice lo siguiente, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al"}, {"start": 356.76000000000005, "end": 359.12, "text": " cuadrado de la hipotenusa."}, {"start": 359.12, "end": 362.4, "text": " Los catetos son H y X medios."}, {"start": 362.4, "end": 369.16, "text": " Entonces comencemos con el cateto X medios, eso al cuadrado, m\u00e1s el otro cateto que es"}, {"start": 369.16, "end": 372.12, "text": " H elevado al cuadrado."}, {"start": 372.12, "end": 377.2, "text": " All\u00ed tenemos la suma de los cuadrados de los catetos y eso es igual al cuadrado de"}, {"start": 377.2, "end": 381.56, "text": " la hipotenusa, es decir K al cuadrado."}, {"start": 381.56, "end": 387.88, "text": " All\u00ed podr\u00edamos sustituir K por esto que obtuvimos, K equivale a 5 sobre X."}, {"start": 387.88, "end": 396.68, "text": " Entonces tendremos X medios al cuadrado m\u00e1s H al cuadrado igual a 5 sobre X y todo esto"}, {"start": 396.68, "end": 399.24, "text": " elevado al cuadrado."}, {"start": 399.24, "end": 403.4, "text": " De all\u00ed vamos a despejar H al cuadrado."}, {"start": 403.4, "end": 408.4, "text": " Entonces para ello dejamos este t\u00e9rmino donde est\u00e1 sin presentar ninguna modificaci\u00f3n"}, {"start": 408.4, "end": 415.24, "text": " y movemos este para el lado derecho, est\u00e1 positivo entonces llega ac\u00e1 con signo negativo."}, {"start": 415.24, "end": 422.2, "text": " Es como restar a ambos lados de esta igualdad esta cantidad, X medios al cuadrado."}, {"start": 422.2, "end": 428.48, "text": " All\u00ed podr\u00edamos trabajar esta expresi\u00f3n, nos queda entonces H al cuadrado igual, aqu\u00ed"}, {"start": 428.48, "end": 433.84000000000003, "text": " el exponente 2 afecta tanto al numerador como al denominador, entonces 5 al cuadrado nos"}, {"start": 433.84000000000003, "end": 438.88, "text": " da 25 y esto nos queda sobre X al cuadrado."}, {"start": 438.88, "end": 443.96000000000004, "text": " Aqu\u00ed sucede lo mismo, el cuadrado afecta a los dos componentes, nos queda en el numerador"}, {"start": 443.96, "end": 449.4, "text": " X al cuadrado y en el denominador 2 al cuadrado que es 4."}, {"start": 449.4, "end": 456.2, "text": " Ahora resolvemos esta resta que ocurre entre dos fracciones con distinto denominador, fracciones"}, {"start": 456.2, "end": 462.47999999999996, "text": " heterog\u00e9neas, entonces tendremos lo siguiente, H al cuadrado igual, vamos a usar el truco"}, {"start": 462.47999999999996, "end": 469.09999999999997, "text": " o la t\u00e9cnica de la carita feliz, tenemos entonces en el numerador lo siguiente, 25 por 4 que"}, {"start": 469.1, "end": 477.96000000000004, "text": " nos da 100 menos X al cuadrado por X al cuadrado, esto nos da X a la 4 y ac\u00e1 en el denominador"}, {"start": 477.96000000000004, "end": 486.52000000000004, "text": " el producto de estas dos cantidades, X al cuadrado por 4 que no podemos organizar como 4X al cuadrado."}, {"start": 486.52000000000004, "end": 492.76000000000005, "text": " Repetimos, se ha utilizado el truco o la t\u00e9cnica de la carita feliz que se utiliza para sumar"}, {"start": 492.76000000000005, "end": 497.3, "text": " o restar dos fracciones con distinto denominador."}, {"start": 497.3, "end": 504.04, "text": " Como vemos ya tenemos H al cuadrado en t\u00e9rminos de X, entonces ya podemos despejar H de aqu\u00ed,"}, {"start": 504.04, "end": 509.52000000000004, "text": " para ello extraemos ra\u00edz cuadrada a ambos lados de esa igualdad, entonces en el lado"}, {"start": 509.52000000000004, "end": 515.48, "text": " izquierdo ra\u00edz cuadrada de H al cuadrado y en el lado derecho la ra\u00edz cuadrada de"}, {"start": 515.48, "end": 523.04, "text": " 100 menos X a la 4 y todo esto sobre 4X al cuadrado."}, {"start": 523.04, "end": 529.8399999999999, "text": " En el lado izquierdo esto nos dar\u00eda m\u00e1s o menos H y ac\u00e1 en el lado derecho la ra\u00edz"}, {"start": 529.8399999999999, "end": 538.3199999999999, "text": " puede repartirse tanto para el numerador como para el denominador, es una de las propiedades"}, {"start": 538.3199999999999, "end": 543.9599999999999, "text": " de la radicaci\u00f3n, entonces all\u00ed la aplicamos."}, {"start": 543.9599999999999, "end": 550.36, "text": " H tiene que ser una cantidad positiva porque es la longitud del poste que soporta la tienda"}, {"start": 550.36, "end": 557.44, "text": " o el albergue, entonces descartamos la opci\u00f3n negativa, nos quedamos con m\u00e1s H y ac\u00e1 tendremos"}, {"start": 557.44, "end": 564.92, "text": " la ra\u00edz cuadrada de 100 menos X a la 4, all\u00ed no podemos hacer nada porque dentro de la"}, {"start": 564.92, "end": 571.64, "text": " ra\u00edz tenemos una resta y ac\u00e1 en el denominador podemos resolver esa ra\u00edz, es una ra\u00edz de"}, {"start": 571.64, "end": 578.4200000000001, "text": " tipo exacta, la ra\u00edz cuadrada de 4X al cuadrado nos da 2X, bueno eso saldr\u00eda con signo m\u00e1s"}, {"start": 578.42, "end": 585.12, "text": " o menos pero tambi\u00e9n X es una cantidad positiva porque es la longitud del lado del cuadrado"}, {"start": 585.12, "end": 587.5999999999999, "text": " de la base de la pir\u00e1mide."}, {"start": 587.5999999999999, "end": 594.86, "text": " Esta nueva expresi\u00f3n donde tenemos H en t\u00e9rminos de X la llamamos la n\u00famero 3 y es all\u00ed cuando"}, {"start": 594.86, "end": 601.8399999999999, "text": " vamos a realizar una sustituci\u00f3n, 3 vamos a sustituirlo en 1, entonces de esa manera"}, {"start": 601.84, "end": 610.36, "text": " el volumen de la pir\u00e1mide nos queda as\u00ed, 1 tercio por X al cuadrado por H, pero H es"}, {"start": 610.36, "end": 621.72, "text": " todo esto, la ra\u00edz cuadrada de 100 menos X a la 4 y todo esto sobre 2X."}, {"start": 621.72, "end": 627.32, "text": " All\u00ed ya tenemos pr\u00e1cticamente lo que nos pide el problema, el volumen de esa pir\u00e1mide,"}, {"start": 627.32, "end": 633.6, "text": " es decir de esa tienda de campa\u00f1a en t\u00e9rminos de X, X es el lado del cuadrado de la base"}, {"start": 633.6, "end": 638.84, "text": " pero podemos organizar un poco m\u00e1s esa expresi\u00f3n, podemos decir que el volumen en t\u00e9rminos"}, {"start": 638.84, "end": 646.7600000000001, "text": " de X ser\u00e1 igual a lo siguiente, 3 por 2 nos da 6, es decir 6 en el denominador podemos"}, {"start": 646.7600000000001, "end": 653.44, "text": " asegurar un sexto al principio, podemos simplificar X al cuadrado con X, entonces se va una X"}, {"start": 653.44, "end": 658.72, "text": " del denominador con una X del numerador, nos queda X en el numerador y se la escribimos"}, {"start": 658.72, "end": 667.08, "text": " ac\u00e1 y eso acompa\u00f1a a esa ra\u00edz cuadrada, ra\u00edz de 100 menos X a la 4, todo esto dentro"}, {"start": 667.08, "end": 671.8800000000001, "text": " de la ra\u00edz cuadrada. De esta manera terminamos, esto es lo que"}, {"start": 671.8800000000001, "end": 677.9200000000001, "text": " nos pregunta el ejercicio, el volumen de esa tienda de campa\u00f1a que tiene forma piramidal"}, {"start": 677.92, "end": 685.1999999999999, "text": " en funci\u00f3n de X, X es la longitud del lado del cuadrado de la base, X dijimos que va"}, {"start": 685.1999999999999, "end": 694.3199999999999, "text": " expresada en metros y el volumen de esa pir\u00e1mide o de esa tienda ir\u00e1 expresado en metros c\u00fabicos,"}, {"start": 694.32, "end": 721.08, "text": " con esto terminamos este ejercicio."}]