unsloth/LaTeX_OCR · Datasets at Hugging Face

image imagewidth (px) 120 800	text stringlengths 0 595
	g _ { \Gamma \Omega } = { \frac { \delta _ { \Gamma \Omega } [ c ^ { 2 } + ( \omega _ { 1 } ) ^ { 2 } ] } { [ c ^ { 2 } + ( \omega _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( \omega _ { 2 } ) ^ { 2 } ] ^ { 2 } } }
	g \circ Y _ { M ( \lambda ) } ( u , z ) \circ g ^ { - 1 } = Y _ { M ( \lambda ) } ( g u , z )
	{ \cal V } ( \phi , t ) \sim e ^ { ( 3 - f ( \lambda ) ) \sqrt { \frac { 8 \pi } { 3 } } M _ { \mathrm { p } } t } \ P _ { p } ( \phi ) \ .
	i ( x ) = \frac { 1 } { 1 6 \pi g } \langle 0 \| : \partial _ { t } \phi ^ { e } ( x , t ) ^ { 2 } : \| 0 \rangle .
	\begin{array} { c } { \displaystyle \int \frac { d ^ { 4 } k _ { 1 } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \int \frac { d ^ { 4 } k _ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } D _ { m } ^ { 2 } ( k _ { 1 } ) [ D _ { m } ( k _ { 2 } ) - D ( k _ { 2 } ) ] \overline { { D ( k _ { 1 } + p ) } } K _ { 1 2 } . } \\ \end{array}
	4 f ^ { 3 } C _ { 0 5 0 5 } + 2 e ^ { 2 } f ^ { 2 } ( G _ { \phantom { 5 } 5 } ^ { 5 } - G _ { \phantom { 0 } 0 } ^ { 0 } - G _ { \phantom { 3 } 3 } ^ { 3 } ) = 6 e ^ { 2 } f f ^ { \prime \prime } - 3 e ^ { 2 } f ^ { \prime 2 }
	\theta _ { \alpha } = \epsilon _ { \alpha \beta } \theta ^ { \beta } , \quad \bar { \theta } ^ { \dot { \alpha } } = \epsilon ^ { \dot { \alpha } \dot { \beta } } \bar { \theta } _ { \dot { \beta } } .
	\Phi ^ { \Lambda } { \bar { \Phi } } ^ { \Sigma } + \Phi ^ { \Sigma } { \bar { \Phi } } ^ { \Lambda } = { \o { 1 } { 2 } } L _ { \phantom { \Lambda } \Gamma } ^ { \Lambda } L _ { \phantom { \Sigma } \Delta } ^ { \Sigma } \left( \delta ^ { \Gamma \Delta } + \eta ^ { \Gamma \Delta } \right)
	\int _ { [ k , \Lambda ] } \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { p _ { \lambda } p _ { \kappa } p _ { \mu } p _ { \nu } } { p ^ { 8 } } = \frac { 1 } { 3 } \frac { 1 } { 6 4 \pi ^ { 2 } } \ln \frac { \Lambda } { k } \bigl ( \delta _ { \lambda \kappa } \delta _ { \mu \nu } + \delta _ { \lambda \mu } \delta _ { \kappa \nu } + \delta _ { \lambda \nu } \delta _ { \kappa \mu } \bigr ) .
	\omega _ { 0 } ( z ) = { \frac { 1 } { N } } t r { \frac { 1 } { z - S } }
	\chi = \mathrm { e } ^ { - i P \cdot X } \phi \left( x , P \right) .
	\frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { i j k } W ^ { - 1 } \Omega _ { j k } W = \Omega _ { i } = \frac { 1 } { 2 } \int ( a _ { p } ^ { \dag } \sigma _ { i } a _ { p } + b _ { p } ^ { \dag } \sigma _ { i } b _ { p } ) d ^ { 3 } p
	\left\{ C \left( \xi \right) C ^ { + } \left( \xi ^ { \prime } \right) \right\} = C \left( \xi \right) C ^ { + } \left( \xi ^ { \prime } \right) + C ^ { + } \left( \xi ^ { \prime } \right) C \left( \xi \right) = \delta _ { \xi \xi ^ { \prime } } .
	a \left( \lambda , \mu \right) = - t \frac { \lambda + \mu } { \lambda - \mu } ,
	i S p \ln \langle x \| [ i \gamma ^ { \mu } ( x ) D _ { \mu } - \sigma ] \| x \rangle = - i S p \int ^ { \sigma } d m \ S ( x , x ; m ) .
	J _ { \Lambda \Pi } = \left( \begin{matrix} { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \delta _ { i j } } \\ \end{matrix} \right) .
	{ \frac { S U ( 1 , 1 ) } { U ( 1 ) } } \otimes { \frac { S O ( 6 , n + m ) } { S O ( 6 ) \otimes S O ( n + m ) } } \supset S T ( n ) \otimes H Q ( m ) .
	F ( e , A ) ( \alpha , { \cal H } _ { 0 } ) = ( \beta , \pi _ { 0 } ( T _ { e } ^ { * } \rho _ { \alpha } ( A ) ) \psi )
	\Delta ^ { ( i ) } = \frac { H _ { i } ^ { + } - H _ { i } ^ { - } } { 2 } .
	L = p ^ { 2 } + \Psi \star p + ( D _ { 2 } \Psi ) \star \Pi _ { 1 }
	I = \left\{ ( n c s ) { \mathrm { w i t h } } \lambda _ { n c s } = \lambda _ { k } \right\} .
	L _ { G } ^ { P } = \epsilon _ { a _ { 1 } \cdots a _ { D } } R ^ { a _ { 1 } a _ { 2 } } \cdots R ^ { a _ { D - 2 } a _ { D - 1 } } e ^ { a _ { D } } .
	\langle \O _ { \Delta } ( x ) \O _ { \Delta _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) \cdots \O _ { \Delta _ { n } } ( x _ { n } ) \rangle \ , \qquad \Delta + 2 m { \cal K } = \Delta _ { 1 } + \cdots + \Delta _ { n } \ ,
	R = \frac { 1 + \epsilon ^ { 2 } } { \| \epsilon ^ { \prime \prime } \| } \simeq \frac { 1 } { \| \epsilon ^ { \prime \prime } \| } ,
	\Lambda _ { \nu } ^ { \mu } = \frac { 1 } { 2 } t r ( \rho ^ { \mu } A \sigma _ { \nu } A ^ { \dagger } ) .
	\exp \left[ \frac { i } { \hbar } S _ { c l } ( b , a ) \right] = \prod _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \exp \left[ \frac { i m } { 2 \hbar \epsilon } ( r _ { k } ^ { 2 } + r _ { k - 1 } ^ { 2 } - 2 r _ { k } r _ { k - 1 } \cos ( \theta _ { k } - \theta _ { k - 1 } ) \right] .
	\chi ( \tau ) = - \lambda v ^ { 2 } + \lambda \phi _ { i } ^ { 2 } ( \tau ) + \lambda N \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { s ^ { 2 } d s } { 2 \pi ^ { 2 } } ( 2 n _ { s } + 1 ) \| \psi _ { s } ( \tau ) \| ^ { 2 } ,
	\gamma ( z ) \sim 4 i \pi g _ { s } ^ { B } \alpha ^ { \prime } \sum _ { \epsilon = \pm 1 } \left( \sum _ { p = 1 } ^ { N _ { 1 } } \log \frac { ( z + \epsilon z _ { 1 p } ) } { \Lambda } - \sum _ { q = 1 } ^ { N _ { 2 } } \log \frac { ( z + \epsilon z _ { 2 q } ) } { \Lambda } \right)
	K = \pm { \frac { ( D - 2 ) a ^ { 2 } } { 2 } } e ^ { - a C } \sqrt { { \frac { D - 2 } { 4 ( D - 1 ) - a ^ { 2 } ( D - 2 ) ^ { 2 } } } \Lambda } .
	d f = \partial _ { \mu } f d x ^ { \mu } + \partial f \phi ,
	E = \pm \sqrt { \vec { p } ^ { 2 } + m ^ { 2 } } ,
	S = f ^ { - 2 } S _ { 0 } + i k \Gamma + \epsilon S _ { \mathrm { r e g } } ,
	{ \cal { S } } \cdot { \cal { F } } = 1 , \qquad { \cal { S } } \cdot { \cal { G } } = 0 , \qquad { \cal { G } } \cdot { \cal { F } } = 1
	T _ { \mu \nu } : = \partial ^ { \rho } \phi _ { \mu \nu \rho } - \partial _ { ( \mu } \phi _ { \nu ) } ^ { \prime } = 0
	\| \alpha > _ { N + 1 } = \| n , \lambda > = \prod _ { i = 1 } ^ { N + 1 } z _ { i } ^ { n } J _ { \lambda } ( z _ { i } ; \beta ) \| 0 > _ { N + 1 }
	{ \frac { p _ { \perp } ^ { 2 } + m ^ { 2 } } { p ^ { + } } } < { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { P ^ { + } } }
	v _ { \pm } ^ { \prime \prime } + [ k ^ { 2 } + a ^ { 2 } m ^ { 2 } \pm i ( a m ) ^ { \prime } ] v _ { \pm } = 0 .
	W _ { \alpha } ^ { \cal N } = \exp \left( i \vec { \mu } _ { \alpha } \int d ^ { 3 } x \vec { \rho } ^ { \cal N } \eta \right) ,
	\left\| \frac { \partial ( a _ { 1 } ^ { 1 } , a _ { 1 } ^ { 2 } , a _ { 2 } ^ { 1 } , a _ { 2 } ^ { 2 } ) } { \partial ( r _ { 1 } , r _ { 2 } , \psi , \varphi ) } \right\| = - \: r _ { 1 } r _ { 2 } .
	a ^ { 2 } = 1 - \frac { \left( 1 + 2 \left\| \bar { l } \right\| \right) ^ { 2 } } { \left( 1 + 2 \left\| \bar { l } \right\| + 2 n \right) ^ { 2 } } , n = 0 , 1 , 2 , . . . .
	\tilde { \Gamma } ( H ; m ) \equiv \Gamma _ { \mathrm { r e n } } ( H ; m , \mu ) - \Gamma _ { \mathrm { r e n } } ( H ; m = 0 , \mu ) .
	d s ^ { 2 } = - d t ^ { 2 } + d x _ { 1 0 } ^ { 2 } + \frac { N } { M ^ { 9 } r ^ { 7 } R _ { 1 0 } ^ { 2 } } ( d t ^ { \prime } - d x _ { 1 0 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( d x ^ { \perp } ) ^ { 2 } \ .
	\nabla \circ \iota _ { s } = f _ { s } , \mathrm { f o r 1 \leq s \leq r } .
	F = F _ { M } = F _ { \tilde { M } } = 0 , \quad D = 0 ,
	M ^ { 2 } + G _ { a b } \Sigma ^ { a } \Sigma ^ { b } - V ( \phi _ { \infty } ^ { a } ) = 4 S ^ { 2 } T ^ { 2 } ,
	v _ { \mathrm { i n } } = \alpha v _ { \mathrm { o u t } } + \beta v _ { \mathrm { o u t } } ^ { * }
	\left\{ Q _ { i } , Q _ { j } \right\} = 2 k \epsilon _ { i j } .
	d \omega ^ { k _ { 0 } , 0 } = - \frac { 1 } { 2 } c _ { i _ { 0 } j _ { 0 } } ^ { k _ { 0 } } \omega ^ { i _ { 0 } , 0 } \wedge \omega ^ { j _ { 0 } , 0 } ;
	\gamma _ { n m } ^ { \prime } , \quad \overline { { \gamma } } _ { n m } ^ { ^ { \prime } } , \quad { \gamma } _ { n m } ^ { ^ { \prime \prime } } , \quad \overline { { \gamma } } _ { n m } ^ { ^ { \prime \prime } } , \quad n \geq 1 , \quad m \geq 1
	{ \cal B } _ { \widetilde { { \cal S } } } = b _ { _ { \widetilde { { \cal S } } } } + \varepsilon ^ { \mu } { \cal W } _ { \mu } + \frac 1 2 \varepsilon ^ { \mu } \varepsilon ^ { \nu } { \cal W } _ { \mu \nu } ,
	[ q _ { i } , q _ { j } ] = [ p _ { i } , p _ { j } ] = 0 , \qquad [ q _ { i } , p _ { j } ] = i \lambda _ { i } \delta _ { i j } E , \qquad i , j = 1 , \dots , N ,
	F \rightarrow F + \frac { \Gamma ( - 1 / 2 ) } { ( 4 \pi ) ^ { 3 / 2 } R } [ \int _ { B ^ { 3 } } ( \frac { \lambda } { 2 } \hat { \phi } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } d v + \frac { 2 } { 3 R } \int _ { S ^ { 2 } } ( \frac { \lambda } { 2 } \hat { \phi } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } d s ]
	n \in \lbrace 1 , \ldots , N - m - 1 \rbrace \quad \textrm { i f } \quad m \geq 0
	\psi _ { g } ^ { A } \longleftrightarrow \psi _ { - g } ^ { A } .
	( D _ { 1 ^ { N } } ^ { \phi } ) _ { \pi \sigma } = e ^ { i \phi ( \pi ) } \delta _ { \pi \sigma }
	\xi \Lambda \gg \mu ^ { 2 } , \frac { \lambda } { \kappa \xi } , \quad \quad \kappa _ { e f f } \simeq \left( \frac { \mu ^ { 2 } + \lambda / ( \kappa \xi ) } { 4 \xi \Lambda } \right) \kappa \ll \kappa .
	M _ { n m } ^ { \pm } ( z ) = \mp { \frac { 1 } { m } } \left( { \mp m \atop n } \right) z ^ { \mp m - n } ,
	L = \frac { i } { 2 } \left[ \epsilon ( { \bar { \alpha } } \dot { \alpha } - \dot { \bar { \alpha } } \alpha ) + \epsilon ( { \bar { \beta } } m \dot { \beta } - \dot { \bar { \beta } } m \beta ) \right] - H ( Q ^ { a } )
	\| \overline { { K } } , \overline { { P } } \rangle _ { \alpha } = \int \! \! \int \overline { { \kappa } }
	H \Psi \sb n = E \sb n \Psi \sb n , \quad G \Psi \sb n = g \sb n \Psi \sb n .
	\partial _ { \mu } q ^ { u } \to { D } _ { \mu } q ^ { u } = \partial _ { \mu } q ^ { u } - k _ { I } ^ { u } A _ { \mu } ^ { I } \ , \qquad \partial _ { \mu } t ^ { i } \to { D } _ { \mu } t ^ { i } = \partial _ { \mu } t ^ { i } - k _ { I } ^ { i } A _ { \mu } ^ { I } \ .
	a ( k ^ { + } ) = \alpha ( k ^ { + } ) \cdot \mathrm { { \bf 1 } _ { N \times N } } + { \tilde { a } } ( k ^ { + } ) \mathrm { a n d } b ( k ^ { + } ) = \beta ( k ^ { + } ) \cdot \mathrm { { \bf 1 } _ { N \times N } } + { \tilde { b } } ( k ^ { + } ) ,
	\lim _ { k \rightarrow \infty } { \bar { \delta } } _ { m _ { 1 } + m _ { 2 } + \cdots + m _ { p } , m } = \delta _ { m _ { 1 } + m _ { 2 } + \cdots + m _ { p } , m } .
	\varepsilon _ { a _ { 1 } \ldots a _ { n } b _ { 1 } \ldots b _ { p } } \varepsilon ^ { a _ { 1 } \ldots a _ { n } c _ { 1 } \ldots c _ { p } } = ( - ) ^ { t } p ! n ! \delta _ { [ b _ { 1 } } ^ { [ c _ { 1 } } \ldots \delta _ { b _ { p } ] } ^ { c _ { p } ] } .
	{ \cal L } _ { \varphi } = e ^ { 2 Q x ^ { 0 } } \left( - \eta ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \varphi \partial _ { \nu } \varphi - m ^ { 2 } \varphi ^ { 2 } \right)
	- \frac { 1 } { n ! } m ( m + 1 ) . . . . . . ( m + n - 1 ) \int _ { 1 } ^ { \infty } \overline { { B } }
	\left[ { \frac { \partial } { \partial \bar { x } } } + { \frac { 1 } { \bar { x } } } \right] { \frac { 1 } { \bar { x } } } = 0 ,
	\Gamma d ^ { p + 1 } \xi = - e ^ { - \phi } { \cal L } _ { D B I } ^ { - 1 } e ^ { \cal F } \wedge X \| _ { v o l } , \qquad X = \oplus _ { n } \Gamma _ { ( 2 n ) } K ^ { n } I ,
	W ^ { t r ( 2 ) } = - \frac { e ^ { - 1 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } K ( S ) \frac { 1 } { \eta ( T ) ^ { 6 } } \frac { 1 } { j ^ { a } ( T ) ( j ( T ) - 1 7 2 8 ) ^ { b } } , a , b \in Z ^ { \dagger } .
	( \partial _ { b } \tau ) _ { \Lambda } = { \frac { 1 } { 2 \pi i { b ^ { \prime } } ^ { 3 } ( 1 - v ^ { 2 } ) } } .
	\delta \psi ^ { i } = \epsilon \dot { x } ^ { i } , \quad \delta \xi = - i \epsilon R , \quad \delta R = - \epsilon \dot { \xi } , \quad \delta x ^ { i } = - i \epsilon \psi ^ { i } .
	\xi ^ { a } \partial _ { a } [ \xi ^ { \beta } g _ { \beta \mu } ( \xi ) - \xi ^ { \beta } c _ { \beta \mu } ] = 0 ,
	S _ { i n t } = + { \frac { 1 } { 2 } } \int d ^ { D } x d ^ { D } y { \cal J } _ { \mu } ( x ) { V } _ { \mu \nu } ( x , y ) { \cal J } _ { \nu } ( y ) = + { \frac { 1 } { 2 } } ( { \cal J } , V { \cal J } ) ,
	J \Delta ^ { \frac { 1 } { 2 } } A \Omega = A ^ { * } \Omega
	\hat { S } = \int d ^ { 1 0 } \hat { x } \sqrt { \| \hat { g } \| } \left\{ e ^ { - 2 \hat { \phi } } \left[ \hat { R } - 4 ( \partial \hat { \phi } ) ^ { 2 } \right] + { \textstyle \frac { ( - 1 ) ^ { 7 - p } } { 2 \cdot ( 8 - p ) ! } } \left( \hat { G } ^ { ( 8 - p ) } \right) ^ { 2 } \right\} .
	\vec { \cal E } = f { \bf E } , \ \vec { \cal B } = f { \bf B } , \\| \vec { \cal E } \| = \| \vec { \cal B } \| ,
	E _ { k } ^ { 2 } = \frac { \cos ( 2 \pi w _ { r } / H ) + \cos ( \pi ( 2 j - 1 ) / H ) } { \cos ( \pi / H ) + \cos ( \pi ( 2 j - 1 ) / H ) } ; E _ { r } = \frac { \sin ( \pi w _ { r } / H ) } { \sin ( \pi w _ { r } ) \sin ( \pi / 2 H ) } .
	{ \frac { 1 } { a } } = { \frac { 1 3 7 } { 1 - { \frac { 1 } { 3 0 \times 1 2 7 } } } } = 1 3 7 . 0 3 5 9 \ 6 7 4 . . . \nonumber
	D - p - 1 = p + 2 + 1 \quad \longrightarrow \quad D = 2 ( p + 2 )
	\left\{ \chi ^ { \left( i \| a \right) } , \chi ^ { \left( j \| b \right) } \right\} = O \left( \Phi ^ { \left( 1 , . . . , k \right) } \right) , i + j = k + 2 .
	\Gamma _ { \cal W } = \Gamma _ { D } / \Gamma _ { M }
	S _ { \mathrm { \scriptsize { e f f } } } = \mathrm { T r } \left\{ Q ^ { \frac { l _ { 1 } + l _ { 2 } } { l _ { 2 } } } + \sum _ { s = 0 } ^ { l _ { 2 } - 2 } t _ { s } Q ^ { \frac { s + 1 } { l _ { 2 } } } \right\}
	K ( X , \bar { X } ) = - i { \bar { X } } ^ { I } F _ { I } + i { \bar { F } } _ { I } X ^ { I } \ ,
	\dot { \epsilon } = ( 1 + \epsilon ) \left( { \frac { \dot { \varrho } } { \varrho } } - { \frac { \dot { \varrho } _ { c } } { \varrho _ { c } } } \right) .
	S ( f ) \Omega ( i g ) = c ( f , g ) \Omega ( i g + i f ) , \quad \left\| c \right\| = 1
	[ J _ { \mu } , J _ { \nu } ] = - i \epsilon _ { \mu \nu \lambda } J ^ { \lambda } ,
	\frac { 1 } { 2 } \int \prod _ { i = 1 } ^ { 4 } d g _ { i } \phi ^ { 2 } ( g _ { 1 } , \ldots , g _ { 4 } ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { N _ { 1 } \ldots N _ { 4 } } \sum _ { \Lambda } \phi _ { \cal A } ^ { N _ { 1 } \ldots N _ { 4 } \Lambda } \phi _ { \cal A } ^ { N _ { 1 } \ldots N _ { 4 } \Lambda } .
	D _ { i j } = \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \exp \left[ - \| t _ { i } - t _ { j } + m \beta \| \right]
	U _ { ( 1 , 2 ) } = e x p _ { \diamond } ( \frac { i } { \hbar } A _ { ( 1 , 2 ) } )
	Z = \int \prod _ { x } d { \cal A } _ { \mu } ( x ) \exp ( - S _ { c \ell } ) \exp \left( - \int a D ^ { 2 } a d ^ { 3 } x \right)
	\sum _ { i } \left[ \Psi \right] _ { i } \delta \psi _ { i } \equiv - \sum _ { i } \partial _ { \mu } C _ { i } ^ { \mu }
	\Delta ^ { ( 1 ) } ( \beta _ { R } , \beta _ { I } , k , z _ { 1 } ) = u P ( \beta _ { R } \| \beta _ { I } , k , \mathrm { R e } ( z _ { 1 } ) , \mathrm { I m } ( z _ { 1 } ) )
	\partial _ { + } \partial _ { - } \Omega = 0 ~
	R _ { 1 2 } ( A Y ) _ { 1 } ( A Y ) _ { 2 } = ( A Y ) _ { 2 } ( A Y ) _ { 1 } R _ { 1 2 } ,
	k ^ { 2 } = \frac { 1 - u } { 1 + u } , u = \lambda \sqrt { 2 E } , b ( k ) = [ \frac { 2 } { 1 + k ^ { 2 } } ] ^ { \frac { 1 } { 2 } }
	0 = { \bar { \alpha } } ( 0 ) = \sum _ { m \neq 0 } { \bar { \alpha } } _ { m } ,
	\bigtriangleup \phi = \left( { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } } + { \frac { d } { r } } { \frac { \partial } { \partial r } } + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } { } ^ { ( d ) } \bigtriangleup \right) \phi ,
	H _ { \mathrm { I T } } = \frac { 1 } { 2 m } g ^ { i j } ( p _ { i } - A _ { i } ) ( p _ { j } - A _ { j } ) + V ( q ) - \lambda ^ { s } f _ { s } ( q ) + v ^ { s } p _ { s } ^ { \prime } ,
	\nu _ { \alpha \beta } ^ { g _ { 1 } g _ { 2 } } \: = \: \nu _ { \alpha \beta } ^ { g _ { 2 } } g _ { 2 } ^ { * } \nu _ { \alpha \beta } ^ { g _ { 1 } } \left( h _ { \alpha } ^ { g _ { 1 } , g _ { 2 } } \right) \left( h _ { \beta } ^ { g _ { 1 } , g _ { 2 } } \right) ^ { - 1 }
	T ^ { - a b } \gamma _ { a } \gamma _ { b } = 2 ( 1 - \gamma _ { 5 } ) T ^ { - 0 m } \gamma _ { 0 } \gamma _ { m }

g _ { \Gamma \Omega } = { \frac { \delta _ { \Gamma \Omega } [ c ^ { 2 } + ( \omega _ { 1 } ) ^ { 2 } ] } { [ c ^ { 2 } + ( \omega _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( \omega _ { 2 } ) ^ { 2 } ] ^ { 2 } } }

g \circ Y _ { M ( \lambda ) } ( u , z ) \circ g ^ { - 1 } = Y _ { M ( \lambda ) } ( g u , z )

{ \cal V } ( \phi , t ) \sim e ^ { ( 3 - f ( \lambda ) ) \sqrt { \frac { 8 \pi } { 3 } } M _ { \mathrm { p } } t } \ P _ { p } ( \phi ) \ .

i ( x ) = \frac { 1 } { 1 6 \pi g } \langle 0 | : \partial _ { t } \phi ^ { e } ( x , t ) ^ { 2 } : | 0 \rangle .

\begin{array} { c } { \displaystyle \int \frac { d ^ { 4 } k _ { 1 } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \int \frac { d ^ { 4 } k _ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } D _ { m } ^ { 2 } ( k _ { 1 } ) [ D _ { m } ( k _ { 2 } ) - D ( k _ { 2 } ) ] \overline { { D ( k _ { 1 } + p ) } } K _ { 1 2 } . } \\ \end{array}

4 f ^ { 3 } C _ { 0 5 0 5 } + 2 e ^ { 2 } f ^ { 2 } ( G _ { \phantom { 5 } 5 } ^ { 5 } - G _ { \phantom { 0 } 0 } ^ { 0 } - G _ { \phantom { 3 } 3 } ^ { 3 } ) = 6 e ^ { 2 } f f ^ { \prime \prime } - 3 e ^ { 2 } f ^ { \prime 2 }

\theta _ { \alpha } = \epsilon _ { \alpha \beta } \theta ^ { \beta } , \quad \bar { \theta } ^ { \dot { \alpha } } = \epsilon ^ { \dot { \alpha } \dot { \beta } } \bar { \theta } _ { \dot { \beta } } .

\Phi ^ { \Lambda } { \bar { \Phi } } ^ { \Sigma } + \Phi ^ { \Sigma } { \bar { \Phi } } ^ { \Lambda } = { \o { 1 } { 2 } } L _ { \phantom { \Lambda } \Gamma } ^ { \Lambda } L _ { \phantom { \Sigma } \Delta } ^ { \Sigma } \left( \delta ^ { \Gamma \Delta } + \eta ^ { \Gamma \Delta } \right)

\int _ { [ k , \Lambda ] } \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { p _ { \lambda } p _ { \kappa } p _ { \mu } p _ { \nu } } { p ^ { 8 } } = \frac { 1 } { 3 } \frac { 1 } { 6 4 \pi ^ { 2 } } \ln \frac { \Lambda } { k } \bigl ( \delta _ { \lambda \kappa } \delta _ { \mu \nu } + \delta _ { \lambda \mu } \delta _ { \kappa \nu } + \delta _ { \lambda \nu } \delta _ { \kappa \mu } \bigr ) .

\omega _ { 0 } ( z ) = { \frac { 1 } { N } } t r { \frac { 1 } { z - S } }

\chi = \mathrm { e } ^ { - i P \cdot X } \phi \left( x , P \right) .

\frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { i j k } W ^ { - 1 } \Omega _ { j k } W = \Omega _ { i } = \frac { 1 } { 2 } \int ( a _ { p } ^ { \dag } \sigma _ { i } a _ { p } + b _ { p } ^ { \dag } \sigma _ { i } b _ { p } ) d ^ { 3 } p

\left\{ C \left( \xi \right) C ^ { + } \left( \xi ^ { \prime } \right) \right\} = C \left( \xi \right) C ^ { + } \left( \xi ^ { \prime } \right) + C ^ { + } \left( \xi ^ { \prime } \right) C \left( \xi \right) = \delta _ { \xi \xi ^ { \prime } } .

a \left( \lambda , \mu \right) = - t \frac { \lambda + \mu } { \lambda - \mu } ,

i S p \ln \langle x | [ i \gamma ^ { \mu } ( x ) D _ { \mu } - \sigma ] | x \rangle = - i S p \int ^ { \sigma } d m \ S ( x , x ; m ) .

J _ { \Lambda \Pi } = \left( \begin{matrix} { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \delta _ { i j } } \\ \end{matrix} \right) .

{ \frac { S U ( 1 , 1 ) } { U ( 1 ) } } \otimes { \frac { S O ( 6 , n + m ) } { S O ( 6 ) \otimes S O ( n + m ) } } \supset S T ( n ) \otimes H Q ( m ) .

F ( e , A ) ( \alpha , { \cal H } _ { 0 } ) = ( \beta , \pi _ { 0 } ( T _ { e } ^ { * } \rho _ { \alpha } ( A ) ) \psi )

\Delta ^ { ( i ) } = \frac { H _ { i } ^ { + } - H _ { i } ^ { - } } { 2 } .

L = p ^ { 2 } + \Psi \star p + ( D _ { 2 } \Psi ) \star \Pi _ { 1 }

I = \left\{ ( n c s ) { \mathrm { w i t h } } \lambda _ { n c s } = \lambda _ { k } \right\} .

L _ { G } ^ { P } = \epsilon _ { a _ { 1 } \cdots a _ { D } } R ^ { a _ { 1 } a _ { 2 } } \cdots R ^ { a _ { D - 2 } a _ { D - 1 } } e ^ { a _ { D } } .

\langle \O _ { \Delta } ( x ) \O _ { \Delta _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) \cdots \O _ { \Delta _ { n } } ( x _ { n } ) \rangle \ , \qquad \Delta + 2 m { \cal K } = \Delta _ { 1 } + \cdots + \Delta _ { n } \ ,

R = \frac { 1 + \epsilon ^ { 2 } } { | \epsilon ^ { \prime \prime } | } \simeq \frac { 1 } { | \epsilon ^ { \prime \prime } | } ,

\Lambda _ { \nu } ^ { \mu } = \frac { 1 } { 2 } t r ( \rho ^ { \mu } A \sigma _ { \nu } A ^ { \dagger } ) .

\exp \left[ \frac { i } { \hbar } S _ { c l } ( b , a ) \right] = \prod _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \exp \left[ \frac { i m } { 2 \hbar \epsilon } ( r _ { k } ^ { 2 } + r _ { k - 1 } ^ { 2 } - 2 r _ { k } r _ { k - 1 } \cos ( \theta _ { k } - \theta _ { k - 1 } ) \right] .

\chi ( \tau ) = - \lambda v ^ { 2 } + \lambda \phi _ { i } ^ { 2 } ( \tau ) + \lambda N \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { s ^ { 2 } d s } { 2 \pi ^ { 2 } } ( 2 n _ { s } + 1 ) | \psi _ { s } ( \tau ) | ^ { 2 } ,

\gamma ( z ) \sim 4 i \pi g _ { s } ^ { B } \alpha ^ { \prime } \sum _ { \epsilon = \pm 1 } \left( \sum _ { p = 1 } ^ { N _ { 1 } } \log \frac { ( z + \epsilon z _ { 1 p } ) } { \Lambda } - \sum _ { q = 1 } ^ { N _ { 2 } } \log \frac { ( z + \epsilon z _ { 2 q } ) } { \Lambda } \right)

K = \pm { \frac { ( D - 2 ) a ^ { 2 } } { 2 } } e ^ { - a C } \sqrt { { \frac { D - 2 } { 4 ( D - 1 ) - a ^ { 2 } ( D - 2 ) ^ { 2 } } } \Lambda } .

d f = \partial _ { \mu } f d x ^ { \mu } + \partial f \phi ,

E = \pm \sqrt { \vec { p } ^ { 2 } + m ^ { 2 } } ,

S = f ^ { - 2 } S _ { 0 } + i k \Gamma + \epsilon S _ { \mathrm { r e g } } ,

{ \cal { S } } \cdot { \cal { F } } = 1 , \qquad { \cal { S } } \cdot { \cal { G } } = 0 , \qquad { \cal { G } } \cdot { \cal { F } } = 1

T _ { \mu \nu } : = \partial ^ { \rho } \phi _ { \mu \nu \rho } - \partial _ { ( \mu } \phi _ { \nu ) } ^ { \prime } = 0

| \alpha > _ { N + 1 } = | n , \lambda > = \prod _ { i = 1 } ^ { N + 1 } z _ { i } ^ { n } J _ { \lambda } ( z _ { i } ; \beta ) | 0 > _ { N + 1 }

{ \frac { p _ { \perp } ^ { 2 } + m ^ { 2 } } { p ^ { + } } } < { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { P ^ { + } } }

v _ { \pm } ^ { \prime \prime } + [ k ^ { 2 } + a ^ { 2 } m ^ { 2 } \pm i ( a m ) ^ { \prime } ] v _ { \pm } = 0 .

W _ { \alpha } ^ { \cal N } = \exp \left( i \vec { \mu } _ { \alpha } \int d ^ { 3 } x \vec { \rho } ^ { \cal N } \eta \right) ,

\left| \frac { \partial ( a _ { 1 } ^ { 1 } , a _ { 1 } ^ { 2 } , a _ { 2 } ^ { 1 } , a _ { 2 } ^ { 2 } ) } { \partial ( r _ { 1 } , r _ { 2 } , \psi , \varphi ) } \right| = - \: r _ { 1 } r _ { 2 } .

a ^ { 2 } = 1 - \frac { \left( 1 + 2 \left| \bar { l } \right| \right) ^ { 2 } } { \left( 1 + 2 \left| \bar { l } \right| + 2 n \right) ^ { 2 } } , n = 0 , 1 , 2 , . . . .

\tilde { \Gamma } ( H ; m ) \equiv \Gamma _ { \mathrm { r e n } } ( H ; m , \mu ) - \Gamma _ { \mathrm { r e n } } ( H ; m = 0 , \mu ) .

d s ^ { 2 } = - d t ^ { 2 } + d x _ { 1 0 } ^ { 2 } + \frac { N } { M ^ { 9 } r ^ { 7 } R _ { 1 0 } ^ { 2 } } ( d t ^ { \prime } - d x _ { 1 0 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( d x ^ { \perp } ) ^ { 2 } \ .

\nabla \circ \iota _ { s } = f _ { s } , \mathrm { f o r 1 \leq s \leq r } .

F = F _ { M } = F _ { \tilde { M } } = 0 , \quad D = 0 ,

M ^ { 2 } + G _ { a b } \Sigma ^ { a } \Sigma ^ { b } - V ( \phi _ { \infty } ^ { a } ) = 4 S ^ { 2 } T ^ { 2 } ,

v _ { \mathrm { i n } } = \alpha v _ { \mathrm { o u t } } + \beta v _ { \mathrm { o u t } } ^ { * }

\left\{ Q _ { i } , Q _ { j } \right\} = 2 k \epsilon _ { i j } .

d \omega ^ { k _ { 0 } , 0 } = - \frac { 1 } { 2 } c _ { i _ { 0 } j _ { 0 } } ^ { k _ { 0 } } \omega ^ { i _ { 0 } , 0 } \wedge \omega ^ { j _ { 0 } , 0 } ;

\gamma _ { n m } ^ { \prime } , \quad \overline { { \gamma } } _ { n m } ^ { ^ { \prime } } , \quad { \gamma } _ { n m } ^ { ^ { \prime \prime } } , \quad \overline { { \gamma } } _ { n m } ^ { ^ { \prime \prime } } , \quad n \geq 1 , \quad m \geq 1

{ \cal B } _ { \widetilde { { \cal S } } } = b _ { _ { \widetilde { { \cal S } } } } + \varepsilon ^ { \mu } { \cal W } _ { \mu } + \frac 1 2 \varepsilon ^ { \mu } \varepsilon ^ { \nu } { \cal W } _ { \mu \nu } ,

[ q _ { i } , q _ { j } ] = [ p _ { i } , p _ { j } ] = 0 , \qquad [ q _ { i } , p _ { j } ] = i \lambda _ { i } \delta _ { i j } E , \qquad i , j = 1 , \dots , N ,

F \rightarrow F + \frac { \Gamma ( - 1 / 2 ) } { ( 4 \pi ) ^ { 3 / 2 } R } [ \int _ { B ^ { 3 } } ( \frac { \lambda } { 2 } \hat { \phi } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } d v + \frac { 2 } { 3 R } \int _ { S ^ { 2 } } ( \frac { \lambda } { 2 } \hat { \phi } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } d s ]

n \in \lbrace 1 , \ldots , N - m - 1 \rbrace \quad \textrm { i f } \quad m \geq 0

\psi _ { g } ^ { A } \longleftrightarrow \psi _ { - g } ^ { A } .

( D _ { 1 ^ { N } } ^ { \phi } ) _ { \pi \sigma } = e ^ { i \phi ( \pi ) } \delta _ { \pi \sigma }

\xi \Lambda \gg \mu ^ { 2 } , \frac { \lambda } { \kappa \xi } , \quad \quad \kappa _ { e f f } \simeq \left( \frac { \mu ^ { 2 } + \lambda / ( \kappa \xi ) } { 4 \xi \Lambda } \right) \kappa \ll \kappa .

M _ { n m } ^ { \pm } ( z ) = \mp { \frac { 1 } { m } } \left( { \mp m \atop n } \right) z ^ { \mp m - n } ,

L = \frac { i } { 2 } \left[ \epsilon ( { \bar { \alpha } } \dot { \alpha } - \dot { \bar { \alpha } } \alpha ) + \epsilon ( { \bar { \beta } } m \dot { \beta } - \dot { \bar { \beta } } m \beta ) \right] - H ( Q ^ { a } )

| \overline { { K } } , \overline { { P } } \rangle _ { \alpha } = \int \! \! \int \overline { { \kappa } }

H \Psi \sb n = E \sb n \Psi \sb n , \quad G \Psi \sb n = g \sb n \Psi \sb n .

\partial _ { \mu } q ^ { u } \to { D } _ { \mu } q ^ { u } = \partial _ { \mu } q ^ { u } - k _ { I } ^ { u } A _ { \mu } ^ { I } \ , \qquad \partial _ { \mu } t ^ { i } \to { D } _ { \mu } t ^ { i } = \partial _ { \mu } t ^ { i } - k _ { I } ^ { i } A _ { \mu } ^ { I } \ .

a ( k ^ { + } ) = \alpha ( k ^ { + } ) \cdot \mathrm { { \bf 1 } _ { N \times N } } + { \tilde { a } } ( k ^ { + } ) \mathrm { a n d } b ( k ^ { + } ) = \beta ( k ^ { + } ) \cdot \mathrm { { \bf 1 } _ { N \times N } } + { \tilde { b } } ( k ^ { + } ) ,

\lim _ { k \rightarrow \infty } { \bar { \delta } } _ { m _ { 1 } + m _ { 2 } + \cdots + m _ { p } , m } = \delta _ { m _ { 1 } + m _ { 2 } + \cdots + m _ { p } , m } .

\varepsilon _ { a _ { 1 } \ldots a _ { n } b _ { 1 } \ldots b _ { p } } \varepsilon ^ { a _ { 1 } \ldots a _ { n } c _ { 1 } \ldots c _ { p } } = ( - ) ^ { t } p ! n ! \delta _ { [ b _ { 1 } } ^ { [ c _ { 1 } } \ldots \delta _ { b _ { p } ] } ^ { c _ { p } ] } .

{ \cal L } _ { \varphi } = e ^ { 2 Q x ^ { 0 } } \left( - \eta ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \varphi \partial _ { \nu } \varphi - m ^ { 2 } \varphi ^ { 2 } \right)

- \frac { 1 } { n ! } m ( m + 1 ) . . . . . . ( m + n - 1 ) \int _ { 1 } ^ { \infty } \overline { { B } }

\left[ { \frac { \partial } { \partial \bar { x } } } + { \frac { 1 } { \bar { x } } } \right] { \frac { 1 } { \bar { x } } } = 0 ,

\Gamma d ^ { p + 1 } \xi = - e ^ { - \phi } { \cal L } _ { D B I } ^ { - 1 } e ^ { \cal F } \wedge X | _ { v o l } , \qquad X = \oplus _ { n } \Gamma _ { ( 2 n ) } K ^ { n } I ,

W ^ { t r ( 2 ) } = - \frac { e ^ { - 1 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } K ( S ) \frac { 1 } { \eta ( T ) ^ { 6 } } \frac { 1 } { j ^ { a } ( T ) ( j ( T ) - 1 7 2 8 ) ^ { b } } , a , b \in Z ^ { \dagger } .

( \partial _ { b } \tau ) _ { \Lambda } = { \frac { 1 } { 2 \pi i { b ^ { \prime } } ^ { 3 } ( 1 - v ^ { 2 } ) } } .

\delta \psi ^ { i } = \epsilon \dot { x } ^ { i } , \quad \delta \xi = - i \epsilon R , \quad \delta R = - \epsilon \dot { \xi } , \quad \delta x ^ { i } = - i \epsilon \psi ^ { i } .

\xi ^ { a } \partial _ { a } [ \xi ^ { \beta } g _ { \beta \mu } ( \xi ) - \xi ^ { \beta } c _ { \beta \mu } ] = 0 ,

S _ { i n t } = + { \frac { 1 } { 2 } } \int d ^ { D } x d ^ { D } y { \cal J } _ { \mu } ( x ) { V } _ { \mu \nu } ( x , y ) { \cal J } _ { \nu } ( y ) = + { \frac { 1 } { 2 } } ( { \cal J } , V { \cal J } ) ,

J \Delta ^ { \frac { 1 } { 2 } } A \Omega = A ^ { * } \Omega

\hat { S } = \int d ^ { 1 0 } \hat { x } \sqrt { | \hat { g } | } \left\{ e ^ { - 2 \hat { \phi } } \left[ \hat { R } - 4 ( \partial \hat { \phi } ) ^ { 2 } \right] + { \textstyle \frac { ( - 1 ) ^ { 7 - p } } { 2 \cdot ( 8 - p ) ! } } \left( \hat { G } ^ { ( 8 - p ) } \right) ^ { 2 } \right\} .

\vec { \cal E } = f { \bf E } , \ \vec { \cal B } = f { \bf B } , \| \vec { \cal E } | = | \vec { \cal B } | ,

E _ { k } ^ { 2 } = \frac { \cos ( 2 \pi w _ { r } / H ) + \cos ( \pi ( 2 j - 1 ) / H ) } { \cos ( \pi / H ) + \cos ( \pi ( 2 j - 1 ) / H ) } ; E _ { r } = \frac { \sin ( \pi w _ { r } / H ) } { \sin ( \pi w _ { r } ) \sin ( \pi / 2 H ) } .

{ \frac { 1 } { a } } = { \frac { 1 3 7 } { 1 - { \frac { 1 } { 3 0 \times 1 2 7 } } } } = 1 3 7 . 0 3 5 9 \ 6 7 4 . . . \nonumber

D - p - 1 = p + 2 + 1 \quad \longrightarrow \quad D = 2 ( p + 2 )

\left\{ \chi ^ { \left( i | a \right) } , \chi ^ { \left( j | b \right) } \right\} = O \left( \Phi ^ { \left( 1 , . . . , k \right) } \right) , i + j = k + 2 .

\Gamma _ { \cal W } = \Gamma _ { D } / \Gamma _ { M }

S _ { \mathrm { \scriptsize { e f f } } } = \mathrm { T r } \left\{ Q ^ { \frac { l _ { 1 } + l _ { 2 } } { l _ { 2 } } } + \sum _ { s = 0 } ^ { l _ { 2 } - 2 } t _ { s } Q ^ { \frac { s + 1 } { l _ { 2 } } } \right\}

K ( X , \bar { X } ) = - i { \bar { X } } ^ { I } F _ { I } + i { \bar { F } } _ { I } X ^ { I } \ ,

\dot { \epsilon } = ( 1 + \epsilon ) \left( { \frac { \dot { \varrho } } { \varrho } } - { \frac { \dot { \varrho } _ { c } } { \varrho _ { c } } } \right) .

S ( f ) \Omega ( i g ) = c ( f , g ) \Omega ( i g + i f ) , \quad \left| c \right| = 1

[ J _ { \mu } , J _ { \nu } ] = - i \epsilon _ { \mu \nu \lambda } J ^ { \lambda } ,

\frac { 1 } { 2 } \int \prod _ { i = 1 } ^ { 4 } d g _ { i } \phi ^ { 2 } ( g _ { 1 } , \ldots , g _ { 4 } ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { N _ { 1 } \ldots N _ { 4 } } \sum _ { \Lambda } \phi _ { \cal A } ^ { N _ { 1 } \ldots N _ { 4 } \Lambda } \phi _ { \cal A } ^ { N _ { 1 } \ldots N _ { 4 } \Lambda } .

D _ { i j } = \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \exp \left[ - | t _ { i } - t _ { j } + m \beta | \right]

U _ { ( 1 , 2 ) } = e x p _ { \diamond } ( \frac { i } { \hbar } A _ { ( 1 , 2 ) } )

Z = \int \prod _ { x } d { \cal A } _ { \mu } ( x ) \exp ( - S _ { c \ell } ) \exp \left( - \int a D ^ { 2 } a d ^ { 3 } x \right)

\sum _ { i } \left[ \Psi \right] _ { i } \delta \psi _ { i } \equiv - \sum _ { i } \partial _ { \mu } C _ { i } ^ { \mu }

\Delta ^ { ( 1 ) } ( \beta _ { R } , \beta _ { I } , k , z _ { 1 } ) = u P ( \beta _ { R } | \beta _ { I } , k , \mathrm { R e } ( z _ { 1 } ) , \mathrm { I m } ( z _ { 1 } ) )

\partial _ { + } \partial _ { - } \Omega = 0 ~

R _ { 1 2 } ( A Y ) _ { 1 } ( A Y ) _ { 2 } = ( A Y ) _ { 2 } ( A Y ) _ { 1 } R _ { 1 2 } ,

k ^ { 2 } = \frac { 1 - u } { 1 + u } , u = \lambda \sqrt { 2 E } , b ( k ) = [ \frac { 2 } { 1 + k ^ { 2 } } ] ^ { \frac { 1 } { 2 } }

0 = { \bar { \alpha } } ( 0 ) = \sum _ { m \neq 0 } { \bar { \alpha } } _ { m } ,

\bigtriangleup \phi = \left( { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } } + { \frac { d } { r } } { \frac { \partial } { \partial r } } + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } { } ^ { ( d ) } \bigtriangleup \right) \phi ,

H _ { \mathrm { I T } } = \frac { 1 } { 2 m } g ^ { i j } ( p _ { i } - A _ { i } ) ( p _ { j } - A _ { j } ) + V ( q ) - \lambda ^ { s } f _ { s } ( q ) + v ^ { s } p _ { s } ^ { \prime } ,

\nu _ { \alpha \beta } ^ { g _ { 1 } g _ { 2 } } \: = \: \nu _ { \alpha \beta } ^ { g _ { 2 } } g _ { 2 } ^ { * } \nu _ { \alpha \beta } ^ { g _ { 1 } } \left( h _ { \alpha } ^ { g _ { 1 } , g _ { 2 } } \right) \left( h _ { \beta } ^ { g _ { 1 } , g _ { 2 } } \right) ^ { - 1 }

T ^ { - a b } \gamma _ { a } \gamma _ { b } = 2 ( 1 - \gamma _ { 5 } ) T ^ { - 0 m } \gamma _ { 0 } \gamma _ { m }