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Déterminer les fonctions $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dérivables et telles que $$\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) + f(x) = f(0) + f(1)$$ Soit $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction borneé et dérivable, telle que $\lim_{x \rightarrow +\infty} f' = l$. Montrer que $l = 0$. Soit $f(x) = \int_{t=0}^1\frac{1-t}{\ln t}t^x, dt$. Étudier le domaine de définition de $f$, sa dérivabilité, puis calculer $f(x)$. Soit $(G,, \star ,)$ un groupe tel que $$\forall x \in G,x^2 = e$$ Montrer que $G$ est commutatif. Soit $(E,, \star ,)$ un monoïde avec $E$ ensemble fini. Montrer que tout élément régulier de $E$ est inversible. Factoriser le polynôme $(X + i)^n - (X - i)^n $ pour $n \in \mathbb{N}^\star$. Soient $a \in \left] {0,\pi } \right[$ et $n \in \mathbb{N}^\star $. Factoriser dans $\mathbb{C}\left[ X \right]$ puis dans $\mathbb{R}\left[ X \right]$ le polynôme $$X^{2n} - 2\cos (na)X^n + 1$$ Soient $F,G,F',G'$ des sous-espaces vectoriels de $E$ tels que $F \cap G = F' \cap G'$. Montrer que $$(F + (G \cap F')) \cap (F + (G \cap G')) = F$$ Trouver les coordonnées des vecteurs suivants relativement à la base $\left( (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) \right)$ de $\mathbb{R}^3$ : $u = (4,-3,2)$ et $v = (a,b,c)$.