Datasets:

imvladikon
/

wikipedia_20230601_he

Modalities:

Formats:

Languages:

Size:

Libraries:

Dataset card Viewer Files Files and versions Community

Dataset Viewer

Auto-converted to Parquet

Full Screen Viewer

Split (1)

train · 326k rows

id stringlengths 1 7	url stringlengths 31 573	title stringlengths 1 98	text stringlengths 1 169k	clean_text stringlengths 0 167k
7	https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94	מתמטיקה	מָתֵמָטִיקָה היא תחום דעת העוסק במושגים כגון כמות, מבנה, מרחב ושינוי. המתמטיקאים מחפשים דפוסים ותבניות משותפות במספרים, במרחב, במדע ובהפשטות דמיוניות. המתמטיקה התפתחה ממנייה, חישוב ומדידה ומהמחקר השיטתי של צורות ותנועה של עצמים מוחשיים. הידע והשימוש במתמטיקה בסיסית היוו תמיד חלק טבעי וחיוני בחיי האדם והקבוצה. ניתן למצוא שכלולים של הרעיונות הבסיסיים בטקסטים המתמטיים שהגו המצרים, הבבלים, ההודים, הסינים, היוונים והמוסלמים. כבר בשלב מוקדם בלטו שלושה מאפיינים המלווים את המתמטיקה עד היום: הפשטה: אף שמקורם של חלק מן העצמים המתמטיים בעולם הממשי, הדיון המתמטי בהם כרוך בהפשטה ניכרת. המספר 5 עשוי לייצג 5 אבנים או 5 תפוחים, אך המתמטיקה עוסקת במספר כישות עצמאית, שאינה מייצגת דבר. המעגל מזכיר לנו חפצים מוחשיים עגולים, כגון גלגל, אך הגאומטריה עוסקת במעגל מופשט, חסר משקל וחסר נפח ומושלם בצורתו. הכללה: המתמטיקה בוחנת את עצמיה המופשטים בראייה רחבה, תוך חיפוש מאפיינים כלליים שלהם. מושג המספר כולל בתוכו סדרה של הכללות: מעבר ממספרים טבעיים למספרים שלמים, מהם למספרים רציונליים, מהם למספרים ממשיים ומהם למספרים מרוכבים. בכל אחת ממערכות המספרים הללו מוכלת המערכת שקדמה לה. הוכחה: כל טענה מתמטית יש להוכיח, כלומר לנמק את נכונות הטענה באמצעות סדרה של כללי היסק. המתמטיקאי מעלה השערות חדשות, שאת אמיתותן עליו לבסס באמצעות הוכחות פורמליות דדוקטיביות הנובעות מתוך אקסיומות (הנחות יסוד שקובעים כי הן נכונות), והגדרות שנבחרו בהתאם. הוכחות פורמליות הופיעו לראשונה במתמטיקה היוונית, ובמיוחד ב"יסודות" של אוקלידס. פיתוח המתמטיקה המשיך, בצורה בלתי מסודרת, עד תקופת הרנסאנס במאה ה-16, שבה החידושים המתמטיים קיימו יחסי גומלין עם התגליות המדעיות של התקופה. דבר זה הוביל להאצה במחקר המתמטי, ובמקביל לכך החלה התרחבות מהירה של המתמטיקה כמדע עצמאי. שני כיווני התפתחות אלה נמשכים עד היום. המתמטיקה משמשת ככלי חיוני בתחומים רבים, ובכלל זה במדעי הטבע, בהנדסה, ברפואה ואף במדעי החברה כגון כלכלה, פסיכולוגיה ודמוגרפיה. בעיות שמקורן בענפי מדע אחרים ממשיכות להוות זרז ומניע לתגליות מתמטיות חדשות, ולעיתים מתפתחים תחומים מתמטיים חדשים לחלוטין בעקבות זאת. במקביל מתפתחת המתמטיקה כענף ידע נרחב ועצמאי, ללא התייחסות ליישומו בענפי מדע אחרים, אם כי לעיתים קרובות מתגלים בהמשך יישומים מעשיים לתגליות שהחלו כמתמטיקה עיונית בלבד. אטימולוגיה מקור המילה "מתמטיקה" במילה היוונית העתיקה μάθημα (מתמה, máthēma), שפירושה: "למידה, לימוד, מדע". בנוסף קיבלה המילה, עוד בעת העתיקה, את המשמעות הצרה יותר של "לימוד מתמטי". שם התואר המתאים ביוונית הוא μαθηματικός (מתמטיקוס, mathēmatikós), שפירושו: "קשור ללמידה"; כמו השם שהוא נגזר ממנו, גם התואר קיבל משמעות צרה יותר, דהיינו "מתמטי, קשור למתמטיקה". התואר משמש בפרט בביטוי μαθηματικὴ τέχνη (מתמטיקה טכנה, mathēmatikḗ tékhnē), כלומר (בתרגום חופשי) "מקצוע המתמטיקה", או בלטינית ars mathematica (ארס מתמטיקה), כלומר "אמנות המתמטיקה". שמואל אבן תיבון, בתרגומו ל"מורה הנבוכים", בתחילת המאה ה-13, השתמש במילה "לימודיים" במשמעות של מתמטיקה. בכך הלך ישירות על פי הערבית ("תעאלים") והיוונית. יהודה אלחריזי, שתרגם אף הוא את "מורה הנבוכים", השתמש בביטויים "חכמת הלימודים" ו"חכמות לימודיות" במשמעות של מתמטיקה. בעברית ישראלית משמשת המילה "מתמטיקה". בכיתות הנמוכות מכונים לימודי המתמטיקה "חשבון" (אריתמטיקה בסיסית) ו"הנדסה" (גאומטריה בסיסית). היסטוריה את התפתחות המתמטיקה ניתן לראות כסדרה הולכת וגדלה של הפשטות או פיתוחים של נושאים שונים. ההפשטה הראשונה הייתה, ככל הנראה, של המספרים: ההבחנה, כי לשני תפוחים ולשני תפוזים (לדוגמה) יש תכונה משותפת, היוותה פריצת דרך בחשיבה האנושית. בנוסף להבנה כיצד לספור חפצים מוחשיים, בני האדם הפרהיסטוריים הבינו גם כיצד לספור חפצים מופשטים, כגון יחידות זמן - ימים, עונות ושנים. משם נבעה באופן טבעי האריתמטיקה, הכוללת את ארבע פעולות החשבון: חיבור, חיסור, כפל וחילוק. על-מנת להשיג התקדמות נוספת, נדרשה כתיבה או מערכת אחרת לרשימת מספרים, כגון מקל ספירה או קיפו, התקן ספירה הבנוי מחוטים וקשרים ושימש את בני האינקה לשמירת מידע מספרי. שיטות ספירה רבות ומגוונות הומצאו, כאשר המספרים הכתובים העתיקים ביותר הידועים כיום נרשמו על ידי המצרים כ-4,000 שנה לפני זמננו בטקסטים כגון פפירוס רינד. התחומים המרכזיים במתמטיקה נוצרו מתוך הצורך בהבנת הקשר בין המספרים, במדידת שטחים, בחישובים לצורכי מס ומסחר, ובחיזוי אירועים שמימיים. מכאן נבעה החלוקה הבסיסית של המתמטיקה למחקר של כמות, מבנה, שינוי ומרחב. חפירות ארכאולוגיות מעידות על כך שלחכמי בבל ובמצרים היה ידע במתמטיקה, בין השאר במשוואות ריבועיות, שורש ריבועי, שטחים של צורות מישוריות ושימוש בטבלאות שונות. מאז, הורחבה המתמטיקה בצורה ניכרת, ויצרה יחסי גומלין פוריים עם תחומי המדע השונים. תגליות מתמטיות חדשות נתגלו לכל אורך ההיסטוריה, וממשיכות להתגלות עד היום. התפתחות המתמטיקה בעת העתיקה הגיעה לשיאה ביוון העתיקה, בזכות מתמטיקאים מפורסמים כמו אוקלידס וארכימדס. בימי הביניים היה עיקר ההתפתחות על ידי הערבים, שפיתחו את האלגברה והטריגונומטריה. במאה ה-17 הייתה פריחה של ענפים שונים במתמטיקה, כגון גאומטריה אנליטית וחשבון אינפיניטסימלי, ששימשו הזנק לענפים מדעיים רבים. פיתוח הגאומטריה הלא-אוקלידית במאה ה-19 הדגיש את חשיבותן של האקסיומות במתמטיקה, ואת התרחקותה מהגישה האינטואיטיבית. בסוף המאה ה-19 פותחה תורת הקבוצות, והתפתח דיון ביסודות המתמטיקה. במאה ה-20 המשיכה המתמטיקה בהתפתחותה המהירה והושגו הישגים רבים, בהם פתירת רוב הבעיות שנכללו ב-23 הבעיות של הילברט. תחום הלוגיקה זכה להישגים בולטים במאה זו, ונולד תחום מתמטי חדש, מדעי המחשב. למרות כל ההישגים הללו, הידע המתמטי שלנו רחוק מלהיות שלם: מתמטיקאים עודם שוקדים על הוכחות למשפטים חדשים ופיתוח רעיונות מתמטיים מקוריים. לשם הדגמה, בבסיס הנתונים של כתב העת Mathematical Review, שנוסד ב-1940, יש, נכון ל-2017, מעל שני מיליון מאמרים וספרים. רובן המוחלט של עבודות אלו עוסק במשפטים מתמטיים חדשים ובהוכחותיהם. תחומי עיסוק כאמור לעיל, התחומים העיקריים במתמטיקה הופיעו כתוצאה מהצורך לבצע חישובים במסחר, להבין את היחסים בין מספרים, למדוד אדמה ולחזות אירועים אסטרונומיים. ארבעת הצרכים הראשוניים האלו מחלקים באופן גס את המתמטיקה לחקר של כמות, מבנה, מרחב ושינוי (אריתמטיקה, אלגברה, גאומטריה ואנליזה, בהתאמה). בנוסף לתחומים אלו, ישנן חלוקות-משנה המיועדות לחקר יסודות המתמטיקה (לוגיקה מתמטית ותורת הקבוצות), לשימושים של המתמטיקה במדעים השונים, ולאחרונה למחקר הריגורוזי באי-ודאות. כמות חקר הכמות מתחיל עם מספרים: ראשית, המספרים הטבעיים והשלמים והפעולות הבסיסיות שניתן לבצע עליהם, אשר מאופיינות באמצעות האריתמטיקה. בהמשך, התכונות המורכבות יותר של המספרים השלמים נלמדות בתורת המספרים, אשר ממנה נובעות תוצאות חשובות כגון המשפט האחרון של פרמה. לאחר פיתוח נוסף של מערכת המספרים, ניתן לראות כי המספרים השלמים הם תת-קבוצה של המספרים הרציונלים ("שברים"). אלה, בתורם, מהווים חלק מקבוצת המספרים הממשיים, המשמשים לייצוג כמויות רציפות. את המספרים הממשיים ניתן להכליל למספרים מרוכבים, וזהו צעד ראשון בהיררכיה של מספרים אשר ניתן להמשיך אותה עם קווטרניונים ואוקטוניונים. עיון במספרים הטבעיים מניב גם את הסודרים האינסופיים, שנותנים תוקף למושג של ספירה לאינסוף. תחום מחקר נוסף הוא גודל, אשר מוביל לעוצמות ולתפיסה אחרת של האינסוף: מספרי "אָלֶף", המאפשרים השוואה בעלת משמעות בין הגדלים של קבוצות אינסופיות. {\| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="20" \| \|\| \|\| \|\| \|\| \|- \| מספרים טבעיים \|\| מספרים שלמים \|\| מספרים רציונליים \|\| מספרים ממשיים \|\| מספרים מרוכבים \|} מבנה עצמים מתמטיים רבים, כגון קבוצות של מספרים ושל פונקציות, הם בעלי מבנה פנימי. את תכונות המבנה שלהם חוקרים באמצעות התבוננות בחבורות, חוגים, שדות ומבנים מופשטים נוספים, שהם עצמים מתמטיים בפני עצמם. זהו תחום האלגברה המופשטת. מושג חשוב בתחום זה הוא וקטורים, אשר ניתן להכלילם למרחב וקטורי וללמוד אותם במסגרת האלגברה הליניארית. מושג הווקטור משלב בתוכו שלושה מהתחומים היסודיים במתמטיקה: כמות, מבנה ומרחב. אנליזה וקטורית מוסיפה את התחום היסודי הרביעי, שינוי. באמצעות חשבון טנזורים נחקרות סימטריות והתנהגותם של וקטורים תחת סיבובים. מספר שאלות עתיקות על בנייה בסרגל ומחוגה נפתרו לבסוף בתורת גלואה. {\| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15" \| \|\| \|\| \|\| \|- \| תורת המספרים \|\| אלגברה מופשטת \|\| תורת החבורות \|\| תורת הסדר \|} מרחב לימוד המרחב התחיל בגאומטריה - בפרט, גאומטריה אוקלידית. טריגונומטריה משלבת מרחב ומספרים. המחקר המודרני במרחב מכליל את הרעיונות האלה לגאומטריה מרובת-ממדים, גאומטריות לא-אוקלידיות (שלהן תפקיד מרכזי בתורת היחסות הכללית) וטופולוגיה. כמות ומרחב משתלבים באמצעות גאומטריה אנליטית, גאומטריה דיפרנציאלית וגאומטריה אלגברית. בתחום הגאומטריה הדיפרנציאלית, אשר שמה דגש על מערכות צירים, חלקות וכיוון, נמצא את המושגים של אגד סיבים ואנליזה על יריעות. בגאומטריה אלגברית מתוארים העצמים הגאומטריים כקבוצת הפתרונות של משוואות פולינומיות, ובכך משתלבים מושגי הכמות והמרחב, וכן נחקרות חבורות טופולוגיות, אשר משלבות מבנה ומרחב. חבורות לי משמשות לחקר מרחב, מבנה ושינוי. טופולוגיה, על תתי-הענפים שלה, הייתה כנראה תחום ההתפתחות הגדול ביותר במאה ה-20, וכוללת את השערת פואנקרה ואת משפט ארבעת הצבעים, שהוכח בעזרת מחשב ונכונותו לא אומתה בידי אדם. {\| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15" \| \|\| \|\| \|\| \|\| \|- \|גאומטריה \|\| טריגונומטריה \|\| גאומטריה דיפרנציאלית \|\| טופולוגיה \|\| גאומטריה פרקטלית \|} שינוי תיאור והבנת שינוי הוא צורך נפוץ במדעי הטבע, וחשבון אינפיניטסימלי פותח ככלי רב-עוצמה לחקירתו. המושג העיקרי המשמש לתיאור מנה משתנית הוא הפונקציה. המחקר הריגורוזי במספרים הממשיים ובפונקציות המקבלות ערכים ממשיים נקרא אנליזה ממשית, והתחום המקביל החוקר פונקציות של מספרים מרוכבים נקרא אנליזה מרוכבת. השערת רימן, אחת מהשאלות הפתוחות היסודיות ביותר במתמטיקה, נובעת מהאנליזה המרוכבת. אנליזה פונקציונלית מתמקדת במרחבי פונקציות, בדרך כלל בעלי אינסוף ממדים. אחד מהשימושים הרבים של האנליזה הפונקציונלית הוא במכניקת הקוונטים. בפתרון בעיות רבות ניתן להיעזר בקשרים בין כמות לבין קצב השינוי שלה, וקשרים אלה נלמדים בתחום המשוואות הדיפרנציאליות. תופעות רבות בטבע ניתנות לתיאור באמצעות מערכות דינמיות; תורת הכאוס חוקרת בצורה מדויקת את הצורה שבה רבות ממערכות אלה פועלות בצורה בלתי ניתנת לחיזוי אך עדיין דטרמיניסטית. אנליזה נומרית חוקרת שיטות חישוב שונות לפתרון יעיל של קשת רחבה של בעיות חישוביות שאין להן פתרון אנליטי; היא כוללת את המחקר בשגיאות עיגול ומקורות אחרים לשגיאות בחישוב. יסודות ופילוסופיה על מנת להסביר את יסודות המתמטיקה פותחו תחומי הלוגיקה המתמטית ותורת הקבוצות, וכן תורת הקטגוריות שעדיין בשלבי פיתוח. "משבר היסודות" הוא הכינוי שניתן בתחילת המאה ה-20 לחיפוש אחר יסודות מתאימים למתמטיקה, הוא תופעה מתמשכת, המומחשת על ידי מספר מחלוקות כגון המחלוקת על תורת קנטור, מחלוקת בראואר-הילברט ומחלוקת בישופ-קייסלר. לוגיקה מתמטית מתייחסת לקביעת המתמטיקה על מסגרת אקסיומטית קשיחה, וחקר התוצאות של מסגרת כזו. ניתן למצוא בה את משפט האי שלמות השני של גדל, אולי התוצאה המפורסמת ביותר בלוגיקה, שלפיה כל מערכת פורמלית המכילה אריתמטיקה בסיסית, אם היא חזקה מספיק (כלומר, כל המשפטים שניתן להוכיחם הם נכונים) אזי היא בהכרח בלתי שלמה (כלומר, ישנם משפטים נכונים שלא ניתן להוכיחם במסגרת אותה מערכת). גדל הראה כיצד לבנות, בהינתן אוסף של אקסיומות בתורת המספרים, טענה פורמלית שהיא נכונה במספרים הטבעיים, אך אינה נובעת מהאקסיומות הנתונות. מכאן, שום מערכת פורמלית אינה אקסיומטיזציה אמיתית של תורת המספרים במלואה. לוגיקה מודרנית מחולקת לתורת הרקורסיה, תורת המודלים ותורת ההוכחות, והיא בעלת יחסים הדוקים עם מדעי המחשב התאורטיים. {\| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15" \| \|\| \|\| \|- \| לוגיקה מתמטית \|\| תורת הקבוצות \|\| תורת הקטגוריות \|\| \|} מתמטיקה דיסקרטית מתמטיקה דיסקרטית (או מתמטיקה בדידה) היא תחום העוסק בחקר מבנים מתמטיים בדידים, כלומר בני־מנייה. זאת להבדיל מהאנליזה המתמטית, המרבה לעסוק במבנים מתמטיים רציפים, שאינם בני מנייה. מתמטיקה בדידה זוכה לפופולריות גוברת מאז החצי השני של המאה העשרים, בזכות שימושיה במדעי המחשב: מחשב ספרתי (להבדיל ממחשב אנלוגי) פועל בצורה בדידה, צעד אחר צעד ובעזרת יחידות בדידות, ולכן למתמטיקה בדידה רלוונטיות גבוהה ליסודות התאורטיים של אופן פעולתו. ענפים עיקריים הנכללים במסגרת הרחבה של המתמטיקה הבדידה הם: קומבינטוריקה, תורת הגרפים, אלגוריתמיקה ואלגברה בוליאנית. {\| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15" \| \|\| \|- \| קומבינטוריקה \|\| תורת הגרפים \|} מדעי המחשב מדעי המחשב התאורטיים כוללים תחומים מתמטיים אחדים בעלי רלוונטיות גבוהה להבנת מהותם ואופן פעולתם של מחשבים, ובהם תורת החישוביות, תורת הסיבוכיות החישובית ותורת האינפורמציה. תורת החישוביות חוקרת את גבולותיהם של מודלים תאורטיים שונים של המחשב, ובכלל זה המודל העוצמתי ביותר הידוע כיום - מכונת טיורינג. תורת הסיבוכיות חוקרת את המשאבים הנחוצים לפתרון בעיות; חלק מהבעיות, אף על פי שתאורטית ניתן לפתור אותן באמצעות מחשב, דורשות זמן ריצה וזיכרון כה רבים, שפתרונן עתיד להישאר בלתי-ישים, אפילו בהתחשב בהתקדמות המהירה של פיתוח החומרה. לבסוף, תורת האינפורמציה עוסקת בכמות הנתונים שניתן לאחסן על אמצעי-אחסון מסוים, ובמושגים כגון דחיסת נתונים ואנטרופיה. כתחום חדש יחסית, במדעי המחשב קיימות בעיות פתוחות מהותיות רבות. המפורסמת מתוכן היא האם P=NP. {\| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15" \| \|\| \|\| \|- \| תורת החישוביות \|\| תורת הסיבוכיות \|\| קריפטוגרפיה \|} בסיס תאורטי למחקר במדעי החברה והניהול ובמדעי החיים מראשית ימיה שימשה המתמטיקה לפתרון בעיות בעולם הממשי, במקביל להתפתחותה העיונית, כמדע העומד בפני עצמו. לאורך הדורות בלט השימוש במתמטיקה לפתרון בעיות בפיזיקה. בעת החדשה, ובפרט במאה העשרים התפתחו ענפי מתמטיקה אחדים המספקים ביסוס מתמטי לפעילויות שההיבטים המעשיים שלהם נחקרים במסגרת מדעי החברה (כלכלה, ניהול) ומדעי החיים (ביולוגיה, רפואה). סטטיסטיקה עושה שימוש בכלים של תורת ההסתברות ומאפשרת תיאור, ניתוח וחיזוי של תופעות שבהן המקרה משחק תפקיד. רוב הניסויים, הסקרים והתצפיות דורשים שימוש מושכל בסטטיסטיקה. למרות זאת, רבים מהסטטיסטיקאים אינם מחשיבים את עצמם כמתמטיקאים, אלא כחלק מקבוצה נפרדת העושה שימוש במתמטיקה. חקר ביצועים הוא תחום יישומי נוסף של המתמטיקה המאפשר מציאת פתרונות אופטימליים לבעיות עם משאבים מוגבלים, או החלטות מיטביות בהתאם למידע הקיים. תורת המשחקים משמשת לניתוח מצבי תחרות ועימות. {\| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15" \| \|\| \|\| \|\| \|\| \|- \|אופטימיזציה \|\| תורת ההסתברות \|\| סטטיסטיקה \|\| מתמטיקה פיננסית \|\| תורת המשחקים \|} סימון, שפה וריגורוזיות מרבית הסימונים המתמטיים שבשימוש כיום הומצאו רק במאה ה-16 ואילך. לפני כן, המתמטיקה נכתבה במילים ולא בסימנים - תהליך איטי שהגביל את היכולת המתמטית של בני אותן תקופות. לאונרד אוילר המציא, במאה ה-18, רבים מהסימנים שבשימוש כיום. הסימון המתמטי המודרני הופך את העיסוק במתמטיקה נוח ביותר למקצוענים, אך מתחילים מוצאים אותו מרתיע לעיתים. הסימון המתמטי "דחוס" מאוד: ניתן להביע באמצעותו מידע רב מאוד תוך שימוש במספר מועט של סמלים. בדומה לתיווי מוזיקלי, גם לתיווי המתמטי המודרני תחביר מדויק ונוקשה, והוא מקודד מידע שיהיה קשה לכתבו בכל צורה אחרת. גם השפה המתמטית עשויה להיות קשה להבנה למתחילים. למילים כגון "או" יש משמעות מדויקת, ולעיתים שונה, מבלשון היומיומית. בנוסף, מילים כגון "פתוח" ו"שדה" קיבלו משמעות מתמטית מיוחדת. הז'רגון המתמטי כולל מונחים טכניים חדשים רבים, כגון הומיאומורפיזם ואינטגרביליות. ישנה סיבה לכל הסימונים והמונחים המיוחדים: המתמטיקה דורשת דיוק רב בהרבה מלשון היום-יום. המתמטיקאים קוראים לרמת הדיוק הזו בשפה "ריגורוזיות". ריגורוזיוּת היא מרכיב יסודי בכל הוכחה מתמטית. המתמטיקאים מעוניינים שהמשפטים שהם מנסחים ינבעו מאקסיומות באמצעות הסקת מסקנות שיטתית. רק כך ניתן להימנע מ"משפטים" שגויים, המבוססים על אינטואיציה בלבד, שכמותם הופיעו רבים במהלך ההיסטוריה המתמטית (ראו למשל: משפט ארבעת הצבעים). רמת הריגורוזיות המקובלת אצל המתמטיקאים השתנתה במשך ההיסטוריה. היוונים, שטיפלו בעיקר ביצורים גאומטריים קונקרטיים, דרשו טיעונים מפורטים. בתקופתו של אייזק ניוטון היה מקובל להשתמש בשיטות פחות קפדניות, וגם ההגדרות שנתנו ניוטון ולייבניץ למושגי היסוד של האנליזה, כמו הגבול של סדרה, לא היו מדוקדקים די הצורך בסטנדרטים מודרניים. בעיות מהותיות בהגדרת מושג הפונקציה, שהתעוררו בעיקר סביב עבודתו של פורייה, הובילו לתחייה המחודשת של ניתוח מדוקדק והוכחות פורמליות במאה ה-19. גם כיום, המתמטיקאים ממשיכים להתווכח בינם לבין עצמם בנוגע להוכחות מתמטיות בעזרת מחשב. חישובים בהיקף גדול קשים לאימות, ולכן יש הטוענים כי הוכחות כאלה אינן ריגורוזיוֹת מספיק. בהשקפת העולם המסורתית, אקסיומות היו "אמיתות מובנות מאליהן", אך תפיסה זו היא בעייתית. במישור הפורמלי, אקסיומה היא שרשרת של סמלים, המקבלת משמעות רק בהקשר של נוסחאות הנגזרות ממערכת אקסיומטית. מטרתה של תוכנית הילברט הייתה לבסס את כל המתמטיקה על בסיס אקסיומטי מוצק, אך לפי משפטי האי שלמות של גדל בכל מערכת אקסיומטית חזקה מספיק קיימים משפטים שלא ניתן להוכיחם, ולכן אקסיומטיזציה כפי שהציע אותה הילברט אינה אפשרית. למרות זאת, לעיתים קרובות מדברים על המתמטיקה, בכל הנוגע לתוכן הפורמלי שלה, כעל אקסיומטיזציה של תורת הקבוצות ותו לא - במובן שבו כל טענה מתמטית ניתנת לייצוג על ידי נוסחאות בתחום תורת הקבוצות. אחת מדרישות הריגורוזיות היא הסתמכות על דדוקציה ולא על אינדוקציה. בניגוד למדעי הטבע, בהם הסקת מסקנות מכמות גדולה של מקרים פרטיים אל הכלל מתקבלת כראייה מספקת לנכונותה של טענה, במתמטיקה נדרשות הוכחות ש"לוכדות את האינסוף" ולא רק מספר סופי של מספרים, גדול ככל שיהיה. דרישה זו יכולה להיראות קנטרנית, אך במהלך ההיסטוריה התברר שהיא הכרחית. לדוגמה, משפט המספרים הראשוניים, שמספק את הקירוב למספר הראשוניים הקטנים מ-x. (היחס בין ערך זה לבין הפונקציה , x מחולק בלוגריתם הטבעי שלו, שואף ל-1). הערכה זו מפריזה במספר הראשוניים לכל ערך שעבורו היא נבדקה, אך ג'ון אדנזור ליטלווד הראה שבשלב כלשהו הנוסחה תמעיט בכמות המספרים הראשוניים. משום כך השערות חשובות כמו המשפט האחרון של פרמה והשערת רימן נשארו פתוחות במשך שנים רבות (האחרונה עד היום), אף על פי שנמצאו להן ראיות, באמצעות מחשבי-על, התקפות למספרים רבים. פילוסופיה של המתמטיקה הפילוסופיה של המתמטיקה היא ענף בפילוסופיה שמטרתו הבהרת מהותה של המתמטיקה. הוא נועד לענות על שאלות כמו: האם למתמטיקה תקפות אוניברסלית או שהיא תלויה בחשיבה האנושית, עד כמה המשפטים המתמטיים תקפים במציאות הגשמית, האם המתמטיקה היא תגלית או המצאה, מדוע המתמטיקה כה שימושית בתיאור היקום וכיוצא בזאת. המושגים והמשפטים במתמטיקה אינם מתאימים בהכרח לעצמים בעולם הגשמי. אמנם, קיימת התאמה מסוימת, ואף על פי שמתמטיקאים עשויים לבחור אקסיומות וטענות הנראות הגיוניות ואינטואיטיביות, אין זה נחוץ שההנחות הבסיסיות במסגרת מערכת אקסיומטית יהיו נכונות במובן נסיוני או פיזיקלי. מכאן, אף על פי שמערכות אקסיומטיות רבות נגזרות מתפיסתנו ומניסויים, הן אינן תלויות בהם. לדוגמה, נוכל לומר כי את המושג הפיזיקלי של שני תפוחים ניתן להסביר באמצעות המודל המתמטי של המספרים הטבעיים - המספר 2. בעוד הדימוי של ההגדרות האקסיומטיות של המספרים הטבעיים כאוספים של תפוחים שימושי לצורכי הוראה, ההגדרה עצמה אינה תלויה או נגזרת מגופים גשמיים כלשהם. אף על פי כן, המתמטיקה היא עדיין כלי שימושי בפתרון בעיות ממשיות. שאלת תקפותה של המתמטיקה העסיקה הוגים רבים בכל הזמנים. היו שסברו שהמתמטיקה קיימת באותה מידה בה קיימים עצמים מוחשיים, ולפיכך היא מתגלה, ואילו אחרים טענו שהמתמטיקה נבנתה על ידי האדם, ולפיכך היא מומצאת. נושא זה הוא גרעין המחלוקת בין האסכולות בפילוסופיה של המתמטיקה: על פי הפלאטוניזם המתמטי, או הריאליזם המתמטי, הישויות המתמטיות קיימות באופן ממשי, והאדם רק מגלה אותן, כפי שהיה עושה ככל הנראה כל יצור תבוני אחר. השאלה הגדולה שמופנית לתומכי אסכולה זו היא איפה הישויות קיימות, ואיך ניתן למצוא אותן. בין התומכים המפורסמים בפלאטוניזם: הפילוסוף אפלטון והמתמטיקאים פאול ארדש וקורט גדל. הפורמליזם בבסיסו טוען שהמתמטיקה היא למעשה אוסף סמלים ופעולות שניתן לבצע בהם, על פי "כללי משחק" שנקבעו מראש, וללא כל משמעות מעבר לכך. גרסה מאוחרת יותר וקיצונית פחות של הפורמליזם היא הדדוקטיביזם, על פיה המתמטיקה אמיתית אם האקסיומות אמיתיות, אך ניתן לבנות גם מתמטיקה בעזרת אקסיומות "לא אמיתיות". ראייה לטובת אסכולה זו היא הגאומטריה הלא אוקלידית, גאומטריה שונה מזו המקובלת ולא אינטואיטיבית אך עקבית, שבמסגרתה אפשר להגיע לתכונות שונות מבגאומטריה האוקלידית הרגילה. בעקבות זאת המתמטיקאי הפורמליסט דויד הילברט ניסה לבנות את המתמטיקה על ידי ניסוח מוקפד של כלליה והצרנתה המוחלטת (הפיכתה לאוסף סמלים במסגרת המערכת), אך תוכנית זו נכשלה עקב משפטי אי השלמות של גדל, על פיהם המושגים "נכון" ו"בר הוכחה" במתמטיקה לא שווים, מה שפגע אנושות בפורמליזם. הלוגיציזם מבוסס על הסברה שהמתמטיקה נובעת ישירות מהלוגיקה. במידה רבה זהו פיתוח של הפלאטוניזם. מייסד הלוגיציזם, גוטלוב פרגה, ניסה לבנות את האריתמטיקה מהלוגיקה, אך בבנייתו התגלתה סתירה, הידועה בתור הפרדוקס של ראסל. הוגה הפרדוקס ברטרנד ראסל ואלפרד נורת' וייטהד פיתחו בנייה חדשה של המתמטיקה, אך מסובכת יותר ולא לחלוטין נגזרת מהלוגיקה. האינטואיציוניזם היא האסכולה הקיצונית ביותר מבחינת דרישותיה. על פי אסכולה זו, ניתן לקבל את קיומו של עצם מתמטי רק אם ניתן לבנותו בצורה ברורה. לויצן אגברטוס יאן בראואר בנה את הלוגיקה האינטואיציסטית, ששונה מאוד מהלוגיקה הרגילה. הבעיה המרכזית באינטואיציוניזם היא שהוא דורש לפסול חלק גדול מהמתמטיקה, לדוגמה את כל ההוכחות בדרך השלילה (האינטואיציוניזם אינו מקבל את כלל השלישי מן הנמנע, שלפיו שלילת אי נכונותו של משפט שווה להוכחתו). על פי תאוריות השכל המוגשם, המתמטיקה נמצאת רק במוח האנושי ונבנית על ידו. אסכולת הקונסטרוקטיביות חברתית או ריאליזם חברתי מניחה שהמתמטיקה, כמו המדע, היא תוצר של מצבים תרבותיים, ומשתנה בהתאם לניסיון האמפירי ולאופנות החולפות. שאלה אחרת היא מדוע המתמטיקה פועלת, ותורמת כל כך למדעי הטבע בפרט ולתיאור העולם בכלל. ניסח זאת אלברט איינשטיין: "כיצד ייתכן כי המתמטיקה, שהיא אחרי הכל תוצר של החשיבה האנושית ואינה תלויה בהתנסות, מתאימה בצורה כל מופלאה לתאר את המציאות?". שאלה זו הועלתה גם במאמרו המפורסם של יוג'ין ויגנר, "היעילות הבלתי סבירה של המתמטיקה במדעי הטבע". אחת הטענות שהיא שבמתמטיקה קיים מעין-אמפיריציזם, כלומר שהיא במידה מסוימת תלויה בהתנסות. תשובתו של איינשטיין עצמו הייתה: "אם חוקי המתמטיקה מתייחסים למציאות, הם אינם ודאיים; ואם הם ודאיים, הם אינם מתייחסים למציאות" - דווקא היותה יציר המוח האנושי הופך אותה לוודאית אף יותר מהמדע ולבסיס מוצק עבורו. נושאים נוספים בפילוסופיה של המתמטיקה: האתיקה של העיסוק בה בהתחשב בשימושיה הצבאיים (הצפנה, בניית פצצות), האסתטיקה של המתמטיקה (ספר חשוב בנושא זה הוא התנצלותו של מתמטיקאי) ועוד. מתמטיקאי מתמטיקאי הוא אדם העוסק במתמטיקה. בניגוד למדענים אחרים, שעוסקים בתיאור העולם הגשמי, המתמטיקאי עוסק בהסקת טענות חדשות, הנקראות "משפטים", מתוך טענות אחרות אשר הוכחו כבר, או מתוך משפטים יסודיים הנקראים אקסיומות. הוכחת הטענות מתבצעת בחשיבה לוגית בלבד, ללא צורך למצוא להן תימוכין ניסיוניים. התוצר העיקרי של מתמטיקאי העוסק במחקר הוא הוכחות, המתפרסמות בצורת מאמרים בכתבי-עת מתמטיים. לעיתים מסתפק המתמטיקאי, מחוסר הוכחות, בהעלאת השערה, ומותיר לעמיתיו את מלאכת ההוכחה של השערה זו. מתמטיקאים פעילים בעיקר באוניברסיטאות, בהוראה ובמחקר בענפי המתמטיקה הרבים. עם זאת, מתמטיקאים פעילים גם בתעשיית ההיי-טק והפיננסים, בעיקר בפיתוח של אלגוריתמים מתקדמים ובניית מודלים מתמטיים שיתארו בעיה מהמציאות ויספקו תובנות כיצד לפתור אותה בצורה המיטבית. השראה ואסתטיקה המתמטיקה דרושה לפתרון בעיות העוסקות בכמות, מבנה, מרחב או שינוי. בעיות כאלו נמצאו לראשונה במסחר, במדידת שטחים ומאוחר יותר באסטרונומיה; כיום, הן קיימות בכל המדעים, ואף בתוך המתמטיקה עצמה. הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן המציא את ניסוח אינטגרלי המסלול של מכניקת הקוונטים באמצעות שילוב של טיעונים מתמטיים ותובנה פיזיקלית; כיום תורת המיתרים, תאוריה מדעית שעודה בתהליכי פיתוח ואשר מנסה לאחד את ארבעת כוחות היסוד של הטבע, מהווה השראה לפיתוח מתמטיקה חדשה (אדוארד ויטן, פיזיקאי שהוא מאבות תורת המיתרים, זכה במדליית פילדס, שהיא הפרס החשוב ביותר במתמטיקה). רעיונות מסוימים במתמטיקה משמשים אך ורק בתחום שהיווה השראה ליצירתם, אך לעיתים רעיונות שנוצרו במקור על מנת לפתור בעיות בתחום מסוים מוכיחים את עצמם כשימושיים בתחומים רבים נוספים, והם מצטרפים לאוסף הכולל של הרעיונות המתמטיים. העובדה הלא-רגילה כי לעיתים קרובות ניתן למצוא שימושים מעשיים אף לרעיונות שהכי שייכים למתמטיקה העיונית היא מה שכינה הפיזיקאי יוג'ין ויגנר "היעילות הבלתי-הגיונית של המתמטיקה" במאמר משנת 1960. כמו ברוב תחומי המחקר, גם במתמטיקה נוצר צורך בהתמקצעות עקב הגידול המהיר בהיקף הידע בעידן המדעי. רוב המתמטיקאים בוחרים, לעיתים כבר במהלך לימודי התואר הראשון, להתמקצע באחד מתתי-הענפים של המתמטיקה, ובפרט מתמטיקה עיונית או מתמטיקה שימושית. מספר תחומים במתמטיקה השתלבו עם תחומים חוץ-מתמטיים והפכו לתחומי מחקר בפני עצמם, ובכלל זה חקר ביצועים ומדעי המחשב. עבור העוסקים במתמטיקה, קיים לתחום זה פן אסתטי בלתי מבוטל. מתמטיקאים רבים מדברים על האלגנטיות של המתמטיקה, האסתטיקה העצמית והיופי הפנימי שבה. פשטות והכללה הם עקרונות אסתטיים מוערכים. לדידם, ישנו יופי בכל הוכחה פשוטה ואלגנטית, כגון ההוכחה בדרך השלילה של אוקלידס לקיום אינסוף מספרים ראשוניים, ואף בשיטה נומרית נאה אשר מאיצה חישובים, כגון התמרת פורייה מהירה. גודפרי הרולד הארדי טען בספרו "התנצלותו של מתמטיקאי" כי שיקולים אסתטיים אלו הם, כשלעצמם, סיבה מספקת לעיסוק במחקר במתמטיקה עיונית, ואתו מסכימים רבים מהמתמטיקאים. מתמטיקאים שואפים לעיתים קרובות למצוא הוכחות אלגנטיות ככל האפשר למשפטים מתמטיים, תהליך אליו התייחס פאול ארדש כמציאת הוכחות מתוך "הספר בו אלוהים כתב את ההוכחות החביבות עליו". הפופולריות לה זוכים שעשועי מתמטיקה מעידה על ההנאה והעניין אשר רבים מוצאים בפתרון בעיות מתמטיות. מקומה של המתמטיקה בין המדעים המדען והמתמטיקאי, קרל פרידריך גאוס כינה את המתמטיקה "מלכת המדעים". במקור הלטיני Regina Scientiarum, וגם בגרמנית (שפתו של גאוס) Königin der Wissenschaften, המילה המציינת "מדע" פירושה "תחום ידע", ואין ספק שמבחינה זו, המתמטיקה היא אכן מדע. אם נצמצם את הגדרתו של מדע כמתייחס לחקר העולם החומרי בלבד (שבו עוסקים מדעי הטבע), אז מתמטיקה - או לפחות מתמטיקה עיונית - אינה מדע. פילוסופים רבים מאמינים כי המתמטיקה איננה ניתנת להפרכה, ולכן איננה תואמת את הגדרתו של קרל פופר למדע. פופר עצמו לעומת זאת טען כי "רוב התאוריות המתמטיות הן, כמו אלו של הפיזיקה והביולוגיה, מבוססות על השערות ודדוקציה; לכן, מתברר כי המתמטיקה העיונית קרובה הרבה יותר משנדמה לנו למדעי הטבע, אשר השערותיהם מבוססות על ניחושים". באוניברסיטאות רבות ניתן למצוא פקולטה בשם "מדעי הטבע ומתמטיקה", שם שמרמז ששני התחומים קשורים אך אינם חופפים. השקפה אחרת גורסת כי תחומים מדעיים מסוימים (כגון פיזיקה תאורטית) הם למעשה מתמטיקה עם אקסיומות שמטרתן להתאים אותה למציאות. הפיזיקאי התאורטי ג'ון זימן הציע כי המדע הוא "ידע ציבורי", ולכן המתמטיקה נכללת בתוכו. על כל פנים, למתמטיקה יש הרבה במשותף עם תחומים במדעים המדויקים. תפיסת המתמטיקה כשפת הפיזיקה, ואפילו כשפתו של אלוהים, היא עתיקה ושורשיה עוד ביוון העתיקה (האסכולה הפיתגוראית) ובתקופת הרנסאנס. גלילאו גליליי אמר: מתמטיקה ניסיונית היא תחום שחשיבותו הולכת וגדלה, וחישובים והדמיות נעשים כלים חשובים יותר ויותר הן במדעים והן במתמטיקה, מה שמחליש מעט, ביחס לענף זה של המתמטיקה, את הטענה כי המתמטיקה אינה משתמשת בשיטה המדעית. בספרו A New Kind of Science (2002)‎ טוען סטיבן וולפרם כי מתמטיקה נסיונית ראויה למחקר אמפירי כתחום מדעי בפני עצמו. דעותיהם של המתמטיקאים בעניין זה הן מגוונות. יש הסוברים כי סיווג המתמטיקה כמדע היא המעטה בערכה של האסתטיקה שלה ושל ההיסטוריה שלה כאחת משבע האמנויות החופשיות; אחרים טוענים כי התעלמות מהקשר של המתמטיקה למדעים היא התעלמות מהעובדה כי שימושי המתמטיקה במדע ובהנדסה גרמו להתקדמות רבה במתמטיקה עצמה. בבתי ספר תיכוניים, מעמדה של המתמטיקה כיום דומה לזה של הלטינית במאה ה-19. מקצוע זה נחשב לאחד המקצועות הקשים, ולאחד מהשנואים על חלק התלמידים. למרות זאת, שליטה במתמטיקה חשובה לכל הלומדים תחומים "ריאליים", שכן היא מהווה את אחד הכלים הבסיסיים שבהם משתמשים בתחומים אלו. פרק החשיבה הכמותית בבחינה הפסיכומטרית בוחן מיומנות מתמטית, ומחזק את חשיבותם של לימודי המתמטיקה לכל הרוצה להמשיך בלימודים באוניברסיטה. חשיבותה של המתמטיקה, הן לעולם המדעי והן למשק, תורמת גם לפופולריות הגוברת של המקצוע באקדמיה הישראלית, והיא נכללה בין המקצועות המבוקשים ביותר בקרב סטודנטים בישראל בשנת תשפ"א ובשנת תשפ"ב. כמו כן, חלה עלייה ברצונם של הורים כי ילדיהם ילמדו את מקצוע המתמטיקה באקדמיה. מבדיקת זרוע העבודה במשרד העבודה והרווחה, מקצוע המתמטיקה נכלל בין חמשת המקצועות הבולטים מבחינת דרישה לעובדים ורמות שכר, בין הסיבות לעלייה בביקוש לעובדים בענף זה הן צמיחת תעשיית ההייטק ופרישתם של עובדים ותיקים יותר בענף. שעשועי מתמטיקה שעשועי מתמטיקה הם משחקים, חידות, וקסמים המבוססים על מתמטיקה, וכן נושאים במתמטיקה שאינם דורשים ידע רב ויש בהם מן השעשוע. תחום שעשועי המתמטיקה זכה לדחיפה גדולה במאה ה-19 בזכות פעילותם של החידונאים הגדולים סם לויד והנרי ארנסט דודני. במאה ה-20 התקדם ענף שעשועי המתמטיקה המודרני במידה רבה בזכות פרסום טור בשם "Mathematical Games" (משחקים מתמטיים) על ידי מרטין גרדנר בירחון סיינטיפיק אמריקן. הטור כלל כתבות על נושאים רחבים שעד אז לא נחשבו כמתמטיים, כגון יצירותיו האמנותיות של מ. ק. אשר, פלקסגונים (צורות הנוצרות מקיפולי נייר), קסמים מתמטיים ועוד. ספרות שעשועי המתמטיקה עוסקת היום במגוון רחב של נושאים הכוללים: חידות מתחומים שונים: חידות מספרים, חידות גאומטריות, חידות לוגיות, משחקי לוח מבוססי מחשבה. נושאים הקושרים מתמטיקה לאמנות כגון: ריצופים, חידות חיתוך והרכבה, אוריגמי מודולרי. נושאים הקושרים מתמטיקה למדעי המחשב כגון: פרקטלים, חידות הקשורות להצפנה, ואוטומטים תאיים. פרסים ידועים במתמטיקה פרסים אחדים משמשים למתן הוקרה למתמטיקאים, על הישגיהם המתמטיים. בחלק מהמקרים אלה פרסים ייחודיים למתמטיקאים, ובאחרים הפרס במתמטיקה נכלל במסגרת פרסים הכוללים ענפי מדע רבים. פרסים בינלאומיים עיקריים הם: מדליית פילדס, שנוסדה בשנת 1936 ומחולקת בכל 4 שנים, היא אחד משני הפרסים הבין-לאומיים היוקרתיים ביותר במתמטיקה (יחד עם פרס אבל), המדליה מוענקת למתמטיקאים צעירים אשר לא עברו את גיל ארבעים על פריצות דרך משמעותיות במתמטיקה. פרס אבל, שנוסד בשנת 2003, נחשב מקביל לפרס נובל (שאינו כולל קטגוריית מתמטיקה), אחד משני הפרסים הבין-לאומיים היוקרתיים ביותר במתמטיקה (יחד עם מדליית פילדס), מוענק למתמטיקאים על הישגיהם המצטברים לאורך השנים. פרס נבנלינה, שנוסד בשנת 1981 ומחולק בכל 4 שנים, בעבור תרומה יוצאת דופן לאספקטים המתמטיים של תחומים כמו מדעי המחשב, סיבוכיות חישובית, אנליזה נומרית, אלגוריתמיקה, אינטליגנציה מלאכותית וקריפטוגרפיה, הפרס מוענק למתמטיקאים צעירים אשר לא עברו את גיל 40. נחשב לפרס המקביל במדעי המחשב למדליית פילדס. פרס גאוס, שנוסד בשנת 2002 ומחולק בכל 4 שנים, בעבור "תרומות יוצאות מן הכלל במתמטיקה אשר נמצאו כבעלות יישום משמעותי מחוץ לתחום המתמטיקה". בנוסף ישנם פרסים שניתנים בעבור תרומות בתחומים מסוימים במתמטיקה כגון: פרס נורברט וינר למתמטיקה יישומית שנוסד בשנת 1967, מוענק עבור תרומה יוצאת מן הכלל ל"מתמטיקה יישומית במובן הגבוה והרחב ביותר". פרס קול שנוסד בשנת 1928 מוענק בעבור תרומה יוצאת דופן בתחום האלגברה או בתחום תורת המספרים. פרס פוליה שנוסד בשנת 1969, מוענק בעבור תרומה משמעותית ליישום של תורת הקומבינטוריקה או תרומה משמעותית בתחום עניין אחר של ג'ורג' פוליה, לדוגמה בתורת הקירובים, אנליזה מרוכבת ותורת המספרים. בנוסף לפרסים אלה, הניתנים על הישגים כלליים במחקר המתמטי, מוכרזים לעיתים פרסים לפותר של בעיה פתוחה מסוימת: פרסים אחדים הוצעו למי שיוכיח את המשפט האחרון של פרמה. במסגרת קידום מכירות של הרומן "הדוד פטרוס והשערת גולדבך", הכריזו המו"ל של הגרסה האמריקאית והמו"ל של הגרסה הבריטית על פרס של מיליון דולר לראשון שיוכיח את השערת גולדבך במהלך שנתיים שהסתיימו, ללא זוכה, ב-15 במרץ 2002. לרשימה של שבע בעיות המילניום של מכון קליי, הוכרז בשנת 2000 פרס כספי של מיליון דולר לכל הפותר אחת מהן. לקריאה נוספת . לקריאה מקוונת באתר של מכון מופ"ת James R. Newman (ed.), The World of Mathematics, Dover Publications. Philip J. Davis, Reuben Hersh, Elena Anne Marchisotto, The Mathematical Experience, Study Edition, Birkhäuser Boston, 1995. by A. D. Aleksandrov, A. N. Kolmogorov, M. A. Lavrent'ev, Mathematics: Its Content, Methods and Meaning קישורים חיצוניים ארכיון ההיסטוריה של המתמטיקה של MacTutor, מקור מידע על עקרונות מתמטיים, תולדות המתמטיקה ומתמטיקאים Mathworld - אנציקלופדיה מקיפה למתמטיקה אנציקלופדיה למתמטיקה גיל קלעי ונתי ליניאל, אבני-דרך בתולדות המתמטיקה לא מדויק - בלוג מתמטי עברי מאת גדי אלכסנדרוביץ' אלף אפס - מאמרים ושעשועי מתמטיקה מילונים למונחי מתמטיקה, באתר האקדמיה ללשון \| חשבון 1912 \| מתמטיקה פשוטה 1933 \| מתמטיקה גבוהה 1938 \| מתמטיקה 1940 \| מתמטיקה 1985 \| הערות שוליים מדע וטכנולוגיה ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה	מָתֵמָטִיקָה היא תחום דעת העוסק במושגים כגון כמות, מבנה, מרחב ושינוי. המתמטיקאים מחפשים דפוסים ותבניות משותפות במספרים, במרחב, במדע ובהפשטות דמיוניות.המתמטיקה התפתחה ממנייה, חישוב ומדידה ומהמחקר השיטתי של צורות ותנועה של עצמים מוחשיים. הידע והשימוש במתמטיקה בסיסית היוו תמיד חלק טבעי וחיוני בחיי האדם והקבוצה. ניתן למצוא שכלולים של הרעיונות הבסיסיים בטקסטים המתמטיים שהגו המצרים, הבבלים, ההודים, הסינים, היוונים והמוסלמים. כבר בשלב מוקדם בלטו שלושה מאפיינים המלווים את המתמטיקה עד היום: הפשטה: אף שמקורם של חלק מן העצמים המתמטיים בעולם הממשי, הדיון המתמטי בהם כרוך בהפשטה ניכרת. המספר 5 עשוי לייצג 5 אבנים או 5 תפוחים, אך המתמטיקה עוסקת במספר כישות עצמאית, שאינה מייצגת דבר. המעגל מזכיר לנו חפצים מוחשיים עגולים, כגון גלגל, אך הגאומטריה עוסקת במעגל מופשט, חסר משקל וחסר נפח ומושלם בצורתו. הכללה: המתמטיקה בוחנת את עצמיה המופשטים בראייה רחבה, תוך חיפוש מאפיינים כלליים שלהם. מושג המספר כולל בתוכו סדרה של הכללות: מעבר ממספרים טבעיים למספרים שלמים, מהם למספרים רציונליים, מהם למספרים ממשיים ומהם למספרים מרוכבים. בכל אחת ממערכות המספרים הללו מוכלת המערכת שקדמה לה. הוכחה: כל טענה מתמטית יש להוכיח, כלומר לנמק את נכונות הטענה באמצעות סדרה של כללי היסק. המתמטיקאי מעלה השערות חדשות, שאת אמיתותן עליו לבסס באמצעות הוכחות פורמליות דדוקטיביות הנובעות מתוך אקסיומות (הנחות יסוד שקובעים כי הן נכונות), והגדרות שנבחרו בהתאם. הוכחות פורמליות הופיעו לראשונה במתמטיקה היוונית, ובמיוחד ב"יסודות" של אוקלידס.פיתוח המתמטיקה המשיך, בצורה בלתי מסודרת, עד תקופת הרנסאנס במאה ה-16, שבה החידושים המתמטיים קיימו יחסי גומלין עם התגליות המדעיות של התקופה. דבר זה הוביל להאצה במחקר המתמטי, ובמקביל לכך החלה התרחבות מהירה של המתמטיקה כמדע עצמאי. שני כיווני התפתחות אלה נמשכים עד היום.המתמטיקה משמשת ככלי חיוני בתחומים רבים, ובכלל זה במדעי הטבע, בהנדסה, ברפואה ואף במדעי החברה כגון כלכלה, פסיכולוגיה ודמוגרפיה. בעיות שמקורן בענפי מדע אחרים ממשיכות להוות זרז ומניע לתגליות מתמטיות חדשות, ולעיתים מתפתחים תחומים מתמטיים חדשים לחלוטין בעקבות זאת. במקביל מתפתחת המתמטיקה כענף ידע נרחב ועצמאי, ללא התייחסות ליישומו בענפי מדע אחרים, אם כי לעיתים קרובות מתגלים בהמשך יישומים מעשיים לתגליות שהחלו כמתמטיקה עיונית בלבד.אטימולוגיהמקור המילה "מתמטיקה" במילה היוונית העתיקה μάθημα (מתמה, máthēma), שפירושה: "למידה, לימוד, מדע". בנוסף קיבלה המילה, עוד בעת העתיקה, את המשמעות הצרה יותר של "לימוד מתמטי". שם התואר המתאים ביוונית הוא μαθηματικός (מתמטיקוס, mathēmatikós), שפירושו: "קשור ללמידה"; כמו השם שהוא נגזר ממנו, גם התואר קיבל משמעות צרה יותר, דהיינו "מתמטי, קשור למתמטיקה". התואר משמש בפרט בביטוי μαθηματικὴ τέχνη (מתמטיקה טכנה, mathēmatikḗ tékhnē), כלומר (בתרגום חופשי) "מקצוע המתמטיקה", או בלטינית ars mathematica (ארס מתמטיקה), כלומר "אמנות המתמטיקה".שמואל אבן תיבון, בתרגומו ל"מורה הנבוכים", בתחילת המאה ה-13, השתמש במילה "לימודיים" במשמעות של מתמטיקה. בכך הלך ישירות על פי הערבית ("תעאלים") והיוונית. יהודה אלחריזי, שתרגם אף הוא את "מורה הנבוכים", השתמש בביטויים "חכמת הלימודים" ו"חכמות לימודיות" במשמעות של מתמטיקה.בעברית ישראלית משמשת המילה "מתמטיקה". בכיתות הנמוכות מכונים לימודי המתמטיקה "חשבון" (אריתמטיקה בסיסית) ו"הנדסה" (גאומטריה בסיסית).היסטוריה את התפתחות המתמטיקה ניתן לראות כסדרה הולכת וגדלה של הפשטות או פיתוחים של נושאים שונים. ההפשטה הראשונה הייתה, ככל הנראה, של המספרים: ההבחנה, כי לשני תפוחים ולשני תפוזים (לדוגמה) יש תכונה משותפת, היוותה פריצת דרך בחשיבה האנושית.בנוסף להבנה כיצד לספור חפצים מוחשיים, בני האדם הפרהיסטוריים הבינו גם כיצד לספור חפצים מופשטים, כגון יחידות זמן - ימים, עונות ושנים. משם נבעה באופן טבעי האריתמטיקה, הכוללת את ארבע פעולות החשבון: חיבור, חיסור, כפל וחילוק.על-מנת להשיג התקדמות נוספת, נדרשה כתיבה או מערכת אחרת לרשימת מספרים, כגון מקל ספירה או קיפו, התקן ספירה הבנוי מחוטים וקשרים ושימש את בני האינקה לשמירת מידע מספרי. שיטות ספירה רבות ומגוונות הומצאו, כאשר המספרים הכתובים העתיקים ביותר הידועים כיום נרשמו על ידי המצרים כ-4,000 שנה לפני זמננו בטקסטים כגון פפירוס רינד.התחומים המרכזיים במתמטיקה נוצרו מתוך הצורך בהבנת הקשר בין המספרים, במדידת שטחים, בחישובים לצורכי מס ומסחר, ובחיזוי אירועים שמימיים. מכאן נבעה החלוקה הבסיסית של המתמטיקה למחקר של כמות, מבנה, שינוי ומרחב.חפירות ארכאולוגיות מעידות על כך שלחכמי בבל ובמצרים היה ידע במתמטיקה, בין השאר במשוואות ריבועיות, שורש ריבועי, שטחים של צורות מישוריות ושימוש בטבלאות שונות.מאז, הורחבה המתמטיקה בצורה ניכרת, ויצרה יחסי גומלין פוריים עם תחומי המדע השונים. תגליות מתמטיות חדשות נתגלו לכל אורך ההיסטוריה, וממשיכות להתגלות עד היום. התפתחות המתמטיקה בעת העתיקה הגיעה לשיאה ביוון העתיקה, בזכות מתמטיקאים מפורסמים כמו אוקלידס וארכימדס. בימי הביניים היה עיקר ההתפתחות על ידי הערבים, שפיתחו את האלגברה והטריגונומטריה. במאה ה-17 הייתה פריחה של ענפים שונים במתמטיקה, כגון גאומטריה אנליטית וחשבון אינפיניטסימלי, ששימשו הזנק לענפים מדעיים רבים. פיתוח הגאומטריה הלא-אוקלידית במאה ה-19 הדגיש את חשיבותן של האקסיומות במתמטיקה, ואת התרחקותה מהגישה האינטואיטיבית. בסוף המאה ה-19 פותחה תורת הקבוצות, והתפתח דיון ביסודות המתמטיקה. במאה ה-20 המשיכה המתמטיקה בהתפתחותה המהירה והושגו הישגים רבים, בהם פתירת רוב הבעיות שנכללו ב-23 הבעיות של הילברט. תחום הלוגיקה זכה להישגים בולטים במאה זו, ונולד תחום מתמטי חדש, מדעי המחשב.למרות כל ההישגים הללו, הידע המתמטי שלנו רחוק מלהיות שלם: מתמטיקאים עודם שוקדים על הוכחות למשפטים חדשים ופיתוח רעיונות מתמטיים מקוריים. לשם הדגמה, בבסיס הנתונים של כתב העת Mathematical Review, שנוסד ב-1940, יש, נכון ל-2017, מעל שני מיליון מאמרים וספרים. רובן המוחלט של עבודות אלו עוסק במשפטים מתמטיים חדשים ובהוכחותיהם.תחומי עיסוקכאמור לעיל, התחומים העיקריים במתמטיקה הופיעו כתוצאה מהצורך לבצע חישובים במסחר, להבין את היחסים בין מספרים, למדוד אדמה ולחזות אירועים אסטרונומיים. ארבעת הצרכים הראשוניים האלו מחלקים באופן גס את המתמטיקה לחקר של כמות, מבנה, מרחב ושינוי (אריתמטיקה, אלגברה, גאומטריה ואנליזה, בהתאמה). בנוסף לתחומים אלו, ישנן חלוקות-משנה המיועדות לחקר יסודות המתמטיקה (לוגיקה מתמטית ותורת הקבוצות), לשימושים של המתמטיקה במדעים השונים, ולאחרונה למחקר הריגורוזי באי-ודאות.כמות חקר הכמות מתחיל עם מספרים: ראשית, המספרים הטבעיים והשלמים והפעולות הבסיסיות שניתן לבצע עליהם, אשר מאופיינות באמצעות האריתמטיקה. בהמשך, התכונות המורכבות יותר של המספרים השלמים נלמדות בתורת המספרים, אשר ממנה נובעות תוצאות חשובות כגון המשפט האחרון של פרמה.לאחר פיתוח נוסף של מערכת המספרים, ניתן לראות כי המספרים השלמים הם תת-קבוצה של המספרים הרציונלים ("שברים"). אלה, בתורם, מהווים חלק מקבוצת המספרים הממשיים, המשמשים לייצוג כמויות רציפות. את המספרים הממשיים ניתן להכליל למספרים מרוכבים, וזהו צעד ראשון בהיררכיה של מספרים אשר ניתן להמשיך אותה עם קווטרניונים ואוקטוניונים. עיון במספרים הטבעיים מניב גם את הסודרים האינסופיים, שנותנים תוקף למושג של ספירה לאינסוף. תחום מחקר נוסף הוא גודל, אשר מוביל לעוצמות ולתפיסה אחרת של האינסוף: מספרי "אָלֶף", המאפשרים השוואה בעלת משמעות בין הגדלים של קבוצות אינסופיות.מבנה עצמים מתמטיים רבים, כגון קבוצות של מספרים ושל פונקציות, הם בעלי מבנה פנימי. את תכונות המבנה שלהם חוקרים באמצעות התבוננות בחבורות, חוגים, שדות ומבנים מופשטים נוספים, שהם עצמים מתמטיים בפני עצמם. זהו תחום האלגברה המופשטת. מושג חשוב בתחום זה הוא וקטורים, אשר ניתן להכלילם למרחב וקטורי וללמוד אותם במסגרת האלגברה הליניארית. מושג הווקטור משלב בתוכו שלושה מהתחומים היסודיים במתמטיקה: כמות, מבנה ומרחב. אנליזה וקטורית מוסיפה את התחום היסודי הרביעי, שינוי. באמצעות חשבון טנזורים נחקרות סימטריות והתנהגותם של וקטורים תחת סיבובים. מספר שאלות עתיקות על בנייה בסרגל ומחוגה נפתרו לבסוף בתורת גלואה.מרחב לימוד המרחב התחיל בגאומטריה - בפרט, גאומטריה אוקלידית. טריגונומטריה משלבת מרחב ומספרים. המחקר המודרני במרחב מכליל את הרעיונות האלה לגאומטריה מרובת-ממדים, גאומטריות לא-אוקלידיות (שלהן תפקיד מרכזי בתורת היחסות הכללית) וטופולוגיה. כמות ומרחב משתלבים באמצעות גאומטריה אנליטית, גאומטריה דיפרנציאלית וגאומטריה אלגברית. בתחום הגאומטריה הדיפרנציאלית, אשר שמה דגש על מערכות צירים, חלקות וכיוון, נמצא את המושגים של אגד סיבים ואנליזה על יריעות. בגאומטריה אלגברית מתוארים העצמים הגאומטריים כקבוצת הפתרונות של משוואות פולינומיות, ובכך משתלבים מושגי הכמות והמרחב, וכן נחקרות חבורות טופולוגיות, אשר משלבות מבנה ומרחב. חבורות לי משמשות לחקר מרחב, מבנה ושינוי. טופולוגיה, על תתי-הענפים שלה, הייתה כנראה תחום ההתפתחות הגדול ביותר במאה ה-20, וכוללת את השערת פואנקרה ואת משפט ארבעת הצבעים, שהוכח בעזרת מחשב ונכונותו לא אומתה בידי אדם.שינוי תיאור והבנת שינוי הוא צורך נפוץ במדעי הטבע, וחשבון אינפיניטסימלי פותח ככלי רב-עוצמה לחקירתו. המושג העיקרי המשמש לתיאור מנה משתנית הוא הפונקציה. המחקר הריגורוזי במספרים הממשיים ובפונקציות המקבלות ערכים ממשיים נקרא אנליזה ממשית, והתחום המקביל החוקר פונקציות של מספרים מרוכבים נקרא אנליזה מרוכבת. השערת רימן, אחת מהשאלות הפתוחות היסודיות ביותר במתמטיקה, נובעת מהאנליזה המרוכבת. אנליזה פונקציונלית מתמקדת במרחבי פונקציות, בדרך כלל בעלי אינסוף ממדים. אחד מהשימושים הרבים של האנליזה הפונקציונלית הוא במכניקת הקוונטים. בפתרון בעיות רבות ניתן להיעזר בקשרים בין כמות לבין קצב השינוי שלה, וקשרים אלה נלמדים בתחום המשוואות הדיפרנציאליות. תופעות רבות בטבע ניתנות לתיאור באמצעות מערכות דינמיות; תורת הכאוס חוקרת בצורה מדויקת את הצורה שבה רבות ממערכות אלה פועלות בצורה בלתי ניתנת לחיזוי אך עדיין דטרמיניסטית. אנליזה נומרית חוקרת שיטות חישוב שונות לפתרון יעיל של קשת רחבה של בעיות חישוביות שאין להן פתרון אנליטי; היא כוללת את המחקר בשגיאות עיגול ומקורות אחרים לשגיאות בחישוב.יסודות ופילוסופיה על מנת להסביר את יסודות המתמטיקה פותחו תחומי הלוגיקה המתמטית ותורת הקבוצות, וכן תורת הקטגוריות שעדיין בשלבי פיתוח. "משבר היסודות" הוא הכינוי שניתן בתחילת המאה ה-20 לחיפוש אחר יסודות מתאימים למתמטיקה, הוא תופעה מתמשכת, המומחשת על ידי מספר מחלוקות כגון המחלוקת על תורת קנטור, מחלוקת בראואר-הילברט ומחלוקת בישופ-קייסלר.לוגיקה מתמטית מתייחסת לקביעת המתמטיקה על מסגרת אקסיומטית קשיחה, וחקר התוצאות של מסגרת כזו. ניתן למצוא בה את משפט האי שלמות השני של גדל, אולי התוצאה המפורסמת ביותר בלוגיקה, שלפיה כל מערכת פורמלית המכילה אריתמטיקה בסיסית, אם היא חזקה מספיק (כלומר, כל המשפטים שניתן להוכיחם הם נכונים) אזי היא בהכרח בלתי שלמה (כלומר, ישנם משפטים נכונים שלא ניתן להוכיחם במסגרת אותה מערכת). גדל הראה כיצד לבנות, בהינתן אוסף של אקסיומות בתורת המספרים, טענה פורמלית שהיא נכונה במספרים הטבעיים, אך אינה נובעת מהאקסיומות הנתונות. מכאן, שום מערכת פורמלית אינה אקסיומטיזציה אמיתית של תורת המספרים במלואה. לוגיקה מודרנית מחולקת לתורת הרקורסיה, תורת המודלים ותורת ההוכחות, והיא בעלת יחסים הדוקים עם מדעי המחשב התאורטיים.מתמטיקה דיסקרטית מתמטיקה דיסקרטית (או מתמטיקה בדידה) היא תחום העוסק בחקר מבנים מתמטיים בדידים, כלומר בני־מנייה. זאת להבדיל מהאנליזה המתמטית, המרבה לעסוק במבנים מתמטיים רציפים, שאינם בני מנייה.מתמטיקה בדידה זוכה לפופולריות גוברת מאז החצי השני של המאה העשרים, בזכות שימושיה במדעי המחשב: מחשב ספרתי (להבדיל ממחשב אנלוגי) פועל בצורה בדידה, צעד אחר צעד ובעזרת יחידות בדידות, ולכן למתמטיקה בדידה רלוונטיות גבוהה ליסודות התאורטיים של אופן פעולתו.ענפים עיקריים הנכללים במסגרת הרחבה של המתמטיקה הבדידה הם: קומבינטוריקה, תורת הגרפים, אלגוריתמיקה ואלגברה בוליאנית.מדעי המחשבמדעי המחשב התאורטיים כוללים תחומים מתמטיים אחדים בעלי רלוונטיות גבוהה להבנת מהותם ואופן פעולתם של מחשבים, ובהם תורת החישוביות, תורת הסיבוכיות החישובית ותורת האינפורמציה. תורת החישוביות חוקרת את גבולותיהם של מודלים תאורטיים שונים של המחשב, ובכלל זה המודל העוצמתי ביותר הידוע כיום - מכונת טיורינג. תורת הסיבוכיות חוקרת את המשאבים הנחוצים לפתרון בעיות; חלק מהבעיות, אף על פי שתאורטית ניתן לפתור אותן באמצעות מחשב, דורשות זמן ריצה וזיכרון כה רבים, שפתרונן עתיד להישאר בלתי-ישים, אפילו בהתחשב בהתקדמות המהירה של פיתוח החומרה. לבסוף, תורת האינפורמציה עוסקת בכמות הנתונים שניתן לאחסן על אמצעי-אחסון מסוים, ובמושגים כגון דחיסת נתונים ואנטרופיה.כתחום חדש יחסית, במדעי המחשב קיימות בעיות פתוחות מהותיות רבות. המפורסמת מתוכן היא האם P=NP.בסיס תאורטי למחקר במדעי החברה והניהול ובמדעי החיים מראשית ימיה שימשה המתמטיקה לפתרון בעיות בעולם הממשי, במקביל להתפתחותה העיונית, כמדע העומד בפני עצמו. לאורך הדורות בלט השימוש במתמטיקה לפתרון בעיות בפיזיקה. בעת החדשה, ובפרט במאה העשרים התפתחו ענפי מתמטיקה אחדים המספקים ביסוס מתמטי לפעילויות שההיבטים המעשיים שלהם נחקרים במסגרת מדעי החברה (כלכלה, ניהול) ומדעי החיים (ביולוגיה, רפואה). סטטיסטיקה עושה שימוש בכלים של תורת ההסתברות ומאפשרת תיאור, ניתוח וחיזוי של תופעות שבהן המקרה משחק תפקיד. רוב הניסויים, הסקרים והתצפיות דורשים שימוש מושכל בסטטיסטיקה. למרות זאת, רבים מהסטטיסטיקאים אינם מחשיבים את עצמם כמתמטיקאים, אלא כחלק מקבוצה נפרדת העושה שימוש במתמטיקה. חקר ביצועים הוא תחום יישומי נוסף של המתמטיקה המאפשר מציאת פתרונות אופטימליים לבעיות עם משאבים מוגבלים, או החלטות מיטביות בהתאם למידע הקיים. תורת המשחקים משמשת לניתוח מצבי תחרות ועימות.סימון, שפה וריגורוזיות מרבית הסימונים המתמטיים שבשימוש כיום הומצאו רק במאה ה-16 ואילך. לפני כן, המתמטיקה נכתבה במילים ולא בסימנים - תהליך איטי שהגביל את היכולת המתמטית של בני אותן תקופות. לאונרד אוילר המציא, במאה ה-18, רבים מהסימנים שבשימוש כיום. הסימון המתמטי המודרני הופך את העיסוק במתמטיקה נוח ביותר למקצוענים, אך מתחילים מוצאים אותו מרתיע לעיתים. הסימון המתמטי "דחוס" מאוד: ניתן להביע באמצעותו מידע רב מאוד תוך שימוש במספר מועט של סמלים. בדומה לתיווי מוזיקלי, גם לתיווי המתמטי המודרני תחביר מדויק ונוקשה, והוא מקודד מידע שיהיה קשה לכתבו בכל צורה אחרת.גם השפה המתמטית עשויה להיות קשה להבנה למתחילים. למילים כגון "או" יש משמעות מדויקת, ולעיתים שונה, מבלשון היומיומית. בנוסף, מילים כגון "פתוח" ו"שדה" קיבלו משמעות מתמטית מיוחדת. הז'רגון המתמטי כולל מונחים טכניים חדשים רבים, כגון הומיאומורפיזם ואינטגרביליות. ישנה סיבה לכל הסימונים והמונחים המיוחדים: המתמטיקה דורשת דיוק רב בהרבה מלשון היום-יום. המתמטיקאים קוראים לרמת הדיוק הזו בשפה "ריגורוזיות".ריגורוזיוּת היא מרכיב יסודי בכל הוכחה מתמטית. המתמטיקאים מעוניינים שהמשפטים שהם מנסחים ינבעו מאקסיומות באמצעות הסקת מסקנות שיטתית. רק כך ניתן להימנע מ"משפטים" שגויים, המבוססים על אינטואיציה בלבד, שכמותם הופיעו רבים במהלך ההיסטוריה המתמטית (ראו למשל: משפט ארבעת הצבעים). רמת הריגורוזיות המקובלת אצל המתמטיקאים השתנתה במשך ההיסטוריה. היוונים, שטיפלו בעיקר ביצורים גאומטריים קונקרטיים, דרשו טיעונים מפורטים. בתקופתו של אייזק ניוטון היה מקובל להשתמש בשיטות פחות קפדניות, וגם ההגדרות שנתנו ניוטון ולייבניץ למושגי היסוד של האנליזה, כמו הגבול של סדרה, לא היו מדוקדקים די הצורך בסטנדרטים מודרניים.בעיות מהותיות בהגדרת מושג הפונקציה, שהתעוררו בעיקר סביב עבודתו של פורייה, הובילו לתחייה המחודשת של ניתוח מדוקדק והוכחות פורמליות במאה ה-19. גם כיום, המתמטיקאים ממשיכים להתווכח בינם לבין עצמם בנוגע להוכחות מתמטיות בעזרת מחשב. חישובים בהיקף גדול קשים לאימות, ולכן יש הטוענים כי הוכחות כאלה אינן ריגורוזיוֹת מספיק.בהשקפת העולם המסורתית, אקסיומות היו "אמיתות מובנות מאליהן", אך תפיסה זו היא בעייתית. במישור הפורמלי, אקסיומה היא שרשרת של סמלים, המקבלת משמעות רק בהקשר של נוסחאות הנגזרות ממערכת אקסיומטית. מטרתה של תוכנית הילברט הייתה לבסס את כל המתמטיקה על בסיס אקסיומטי מוצק, אך לפי משפטי האי שלמות של גדל בכל מערכת אקסיומטית חזקה מספיק קיימים משפטים שלא ניתן להוכיחם, ולכן אקסיומטיזציה כפי שהציע אותה הילברט אינה אפשרית. למרות זאת, לעיתים קרובות מדברים על המתמטיקה, בכל הנוגע לתוכן הפורמלי שלה, כעל אקסיומטיזציה של תורת הקבוצות ותו לא - במובן שבו כל טענה מתמטית ניתנת לייצוג על ידי נוסחאות בתחום תורת הקבוצות.אחת מדרישות הריגורוזיות היא הסתמכות על דדוקציה ולא על אינדוקציה. בניגוד למדעי הטבע, בהם הסקת מסקנות מכמות גדולה של מקרים פרטיים אל הכלל מתקבלת כראייה מספקת לנכונותה של טענה, במתמטיקה נדרשות הוכחות ש"לוכדות את האינסוף" ולא רק מספר סופי של מספרים, גדול ככל שיהיה. דרישה זו יכולה להיראות קנטרנית, אך במהלך ההיסטוריה התברר שהיא הכרחית. לדוגמה, משפט המספרים הראשוניים, שמספק את הקירוב למספר הראשוניים הקטנים מ-x. (היחס בין ערך זה לבין הפונקציה , x מחולק בלוגריתם הטבעי שלו, שואף ל-1). הערכה זו מפריזה במספר הראשוניים לכל ערך שעבורו היא נבדקה, אך ג'ון אדנזור ליטלווד הראה שבשלב כלשהו הנוסחה תמעיט בכמות המספרים הראשוניים. משום כך השערות חשובות כמו המשפט האחרון של פרמה והשערת רימן נשארו פתוחות במשך שנים רבות (האחרונה עד היום), אף על פי שנמצאו להן ראיות, באמצעות מחשבי-על, התקפות למספרים רבים.פילוסופיה של המתמטיקההפילוסופיה של המתמטיקה היא ענף בפילוסופיה שמטרתו הבהרת מהותה של המתמטיקה. הוא נועד לענות על שאלות כמו: האם למתמטיקה תקפות אוניברסלית או שהיא תלויה בחשיבה האנושית, עד כמה המשפטים המתמטיים תקפים במציאות הגשמית, האם המתמטיקה היא תגלית או המצאה, מדוע המתמטיקה כה שימושית בתיאור היקום וכיוצא בזאת.המושגים והמשפטים במתמטיקה אינם מתאימים בהכרח לעצמים בעולם הגשמי. אמנם, קיימת התאמה מסוימת, ואף על פי שמתמטיקאים עשויים לבחור אקסיומות וטענות הנראות הגיוניות ואינטואיטיביות, אין זה נחוץ שההנחות הבסיסיות במסגרת מערכת אקסיומטית יהיו נכונות במובן נסיוני או פיזיקלי. מכאן, אף על פי שמערכות אקסיומטיות רבות נגזרות מתפיסתנו ומניסויים, הן אינן תלויות בהם. לדוגמה, נוכל לומר כי את המושג הפיזיקלי של שני תפוחים ניתן להסביר באמצעות המודל המתמטי של המספרים הטבעיים - המספר 2. בעוד הדימוי של ההגדרות האקסיומטיות של המספרים הטבעיים כאוספים של תפוחים שימושי לצורכי הוראה, ההגדרה עצמה אינה תלויה או נגזרת מגופים גשמיים כלשהם. אף על פי כן, המתמטיקה היא עדיין כלי שימושי בפתרון בעיות ממשיות.שאלת תקפותה של המתמטיקה העסיקה הוגים רבים בכל הזמנים. היו שסברו שהמתמטיקה קיימת באותה מידה בה קיימים עצמים מוחשיים, ולפיכך היא מתגלה, ואילו אחרים טענו שהמתמטיקה נבנתה על ידי האדם, ולפיכך היא מומצאת. נושא זה הוא גרעין המחלוקת בין האסכולות בפילוסופיה של המתמטיקה:על פי הפלאטוניזם המתמטי, או הריאליזם המתמטי, הישויות המתמטיות קיימות באופן ממשי, והאדם רק מגלה אותן, כפי שהיה עושה ככל הנראה כל יצור תבוני אחר. השאלה הגדולה שמופנית לתומכי אסכולה זו היא איפה הישויות קיימות, ואיך ניתן למצוא אותן. בין התומכים המפורסמים בפלאטוניזם: הפילוסוף אפלטון והמתמטיקאים פאול ארדש וקורט גדל.הפורמליזם בבסיסו טוען שהמתמטיקה היא למעשה אוסף סמלים ופעולות שניתן לבצע בהם, על פי "כללי משחק" שנקבעו מראש, וללא כל משמעות מעבר לכך. גרסה מאוחרת יותר וקיצונית פחות של הפורמליזם היא הדדוקטיביזם, על פיה המתמטיקה אמיתית אם האקסיומות אמיתיות, אך ניתן לבנות גם מתמטיקה בעזרת אקסיומות "לא אמיתיות". ראייה לטובת אסכולה זו היא הגאומטריה הלא אוקלידית, גאומטריה שונה מזו המקובלת ולא אינטואיטיבית אך עקבית, שבמסגרתה אפשר להגיע לתכונות שונות מבגאומטריה האוקלידית הרגילה. בעקבות זאת המתמטיקאי הפורמליסט דויד הילברט ניסה לבנות את המתמטיקה על ידי ניסוח מוקפד של כלליה והצרנתה המוחלטת (הפיכתה לאוסף סמלים במסגרת המערכת), אך תוכנית זו נכשלה עקב משפטי אי השלמות של גדל, על פיהם המושגים "נכון" ו"בר הוכחה" במתמטיקה לא שווים, מה שפגע אנושות בפורמליזם.הלוגיציזם מבוסס על הסברה שהמתמטיקה נובעת ישירות מהלוגיקה. במידה רבה זהו פיתוח של הפלאטוניזם. מייסד הלוגיציזם, גוטלוב פרגה, ניסה לבנות את האריתמטיקה מהלוגיקה, אך בבנייתו התגלתה סתירה, הידועה בתור הפרדוקס של ראסל. הוגה הפרדוקס ברטרנד ראסל ואלפרד נורת' וייטהד פיתחו בנייה חדשה של המתמטיקה, אך מסובכת יותר ולא לחלוטין נגזרת מהלוגיקה.האינטואיציוניזם היא האסכולה הקיצונית ביותר מבחינת דרישותיה. על פי אסכולה זו, ניתן לקבל את קיומו של עצם מתמטי רק אם ניתן לבנותו בצורה ברורה. לויצן אגברטוס יאן בראואר בנה את הלוגיקה האינטואיציסטית, ששונה מאוד מהלוגיקה הרגילה. הבעיה המרכזית באינטואיציוניזם היא שהוא דורש לפסול חלק גדול מהמתמטיקה, לדוגמה את כל ההוכחות בדרך השלילה (האינטואיציוניזם אינו מקבל את כלל השלישי מן הנמנע, שלפיו שלילת אי נכונותו של משפט שווה להוכחתו).על פי תאוריות השכל המוגשם, המתמטיקה נמצאת רק במוח האנושי ונבנית על ידו.אסכולת הקונסטרוקטיביות חברתית או ריאליזם חברתי מניחה שהמתמטיקה, כמו המדע, היא תוצר של מצבים תרבותיים, ומשתנה בהתאם לניסיון האמפירי ולאופנות החולפות.שאלה אחרת היא מדוע המתמטיקה פועלת, ותורמת כל כך למדעי הטבע בפרט ולתיאור העולם בכלל. ניסח זאת אלברט איינשטיין: "כיצד ייתכן כי המתמטיקה, שהיא אחרי הכל תוצר של החשיבה האנושית ואינה תלויה בהתנסות, מתאימה בצורה כל מופלאה לתאר את המציאות?".שאלה זו הועלתה גם במאמרו המפורסם של יוג'ין ויגנר, "היעילות הבלתי סבירה של המתמטיקה במדעי הטבע". אחת הטענות שהיא שבמתמטיקה קיים מעין-אמפיריציזם, כלומר שהיא במידה מסוימת תלויה בהתנסות. תשובתו של איינשטיין עצמו הייתה: "אם חוקי המתמטיקה מתייחסים למציאות, הם אינם ודאיים; ואם הם ודאיים, הם אינם מתייחסים למציאות" - דווקא היותה יציר המוח האנושי הופך אותה לוודאית אף יותר מהמדע ולבסיס מוצק עבורו.נושאים נוספים בפילוסופיה של המתמטיקה: האתיקה של העיסוק בה בהתחשב בשימושיה הצבאיים (הצפנה, בניית פצצות), האסתטיקה של המתמטיקה (ספר חשוב בנושא זה הוא התנצלותו של מתמטיקאי) ועוד.מתמטיקאימתמטיקאי הוא אדם העוסק במתמטיקה. בניגוד למדענים אחרים, שעוסקים בתיאור העולם הגשמי, המתמטיקאי עוסק בהסקת טענות חדשות, הנקראות "משפטים", מתוך טענות אחרות אשר הוכחו כבר, או מתוך משפטים יסודיים הנקראים אקסיומות. הוכחת הטענות מתבצעת בחשיבה לוגית בלבד, ללא צורך למצוא להן תימוכין ניסיוניים. התוצר העיקרי של מתמטיקאי העוסק במחקר הוא הוכחות, המתפרסמות בצורת מאמרים בכתבי-עת מתמטיים. לעיתים מסתפק המתמטיקאי, מחוסר הוכחות, בהעלאת השערה, ומותיר לעמיתיו את מלאכת ההוכחה של השערה זו.מתמטיקאים פעילים בעיקר באוניברסיטאות, בהוראה ובמחקר בענפי המתמטיקה הרבים. עם זאת, מתמטיקאים פעילים גם בתעשיית ההיי-טק והפיננסים, בעיקר בפיתוח של אלגוריתמים מתקדמים ובניית מודלים מתמטיים שיתארו בעיה מהמציאות ויספקו תובנות כיצד לפתור אותה בצורה המיטבית.השראה ואסתטיקה המתמטיקה דרושה לפתרון בעיות העוסקות בכמות, מבנה, מרחב או שינוי. בעיות כאלו נמצאו לראשונה במסחר, במדידת שטחים ומאוחר יותר באסטרונומיה; כיום, הן קיימות בכל המדעים, ואף בתוך המתמטיקה עצמה. הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן המציא את ניסוח אינטגרלי המסלול של מכניקת הקוונטים באמצעות שילוב של טיעונים מתמטיים ותובנה פיזיקלית; כיום תורת המיתרים, תאוריה מדעית שעודה בתהליכי פיתוח ואשר מנסה לאחד את ארבעת כוחות היסוד של הטבע, מהווה השראה לפיתוח מתמטיקה חדשה (אדוארד ויטן, פיזיקאי שהוא מאבות תורת המיתרים, זכה במדליית פילדס, שהיא הפרס החשוב ביותר במתמטיקה).רעיונות מסוימים במתמטיקה משמשים אך ורק בתחום שהיווה השראה ליצירתם, אך לעיתים רעיונות שנוצרו במקור על מנת לפתור בעיות בתחום מסוים מוכיחים את עצמם כשימושיים בתחומים רבים נוספים, והם מצטרפים לאוסף הכולל של הרעיונות המתמטיים. העובדה הלא-רגילה כי לעיתים קרובות ניתן למצוא שימושים מעשיים אף לרעיונות שהכי שייכים למתמטיקה העיונית היא מה שכינה הפיזיקאי יוג'ין ויגנר "היעילות הבלתי-הגיונית של המתמטיקה" במאמר משנת 1960.כמו ברוב תחומי המחקר, גם במתמטיקה נוצר צורך בהתמקצעות עקב הגידול המהיר בהיקף הידע בעידן המדעי. רוב המתמטיקאים בוחרים, לעיתים כבר במהלך לימודי התואר הראשון, להתמקצע באחד מתתי-הענפים של המתמטיקה, ובפרט מתמטיקה עיונית או מתמטיקה שימושית. מספר תחומים במתמטיקה השתלבו עם תחומים חוץ-מתמטיים והפכו לתחומי מחקר בפני עצמם, ובכלל זה חקר ביצועים ומדעי המחשב.עבור העוסקים במתמטיקה, קיים לתחום זה פן אסתטי בלתי מבוטל. מתמטיקאים רבים מדברים על האלגנטיות של המתמטיקה, האסתטיקה העצמית והיופי הפנימי שבה. פשטות והכללה הם עקרונות אסתטיים מוערכים. לדידם, ישנו יופי בכל הוכחה פשוטה ואלגנטית, כגון ההוכחה בדרך השלילה של אוקלידס לקיום אינסוף מספרים ראשוניים, ואף בשיטה נומרית נאה אשר מאיצה חישובים, כגון התמרת פורייה מהירה. גודפרי הרולד הארדי טען בספרו "התנצלותו של מתמטיקאי" כי שיקולים אסתטיים אלו הם, כשלעצמם, סיבה מספקת לעיסוק במחקר במתמטיקה עיונית, ואתו מסכימים רבים מהמתמטיקאים. מתמטיקאים שואפים לעיתים קרובות למצוא הוכחות אלגנטיות ככל האפשר למשפטים מתמטיים, תהליך אליו התייחס פאול ארדש כמציאת הוכחות מתוך "הספר בו אלוהים כתב את ההוכחות החביבות עליו". הפופולריות לה זוכים שעשועי מתמטיקה מעידה על ההנאה והעניין אשר רבים מוצאים בפתרון בעיות מתמטיות.מקומה של המתמטיקה בין המדעים המדען והמתמטיקאי, קרל פרידריך גאוס כינה את המתמטיקה "מלכת המדעים".במקור הלטיני Regina Scientiarum, וגם בגרמנית (שפתו של גאוס) Königin der Wissenschaften, המילה המציינת "מדע" פירושה "תחום ידע", ואין ספק שמבחינה זו, המתמטיקה היא אכן מדע. אם נצמצם את הגדרתו של מדע כמתייחס לחקר העולם החומרי בלבד (שבו עוסקים מדעי הטבע), אז מתמטיקה - או לפחות מתמטיקה עיונית - אינה מדע.פילוסופים רבים מאמינים כי המתמטיקה איננה ניתנת להפרכה, ולכן איננה תואמת את הגדרתו של קרל פופר למדע. פופר עצמו לעומת זאת טען כי "רוב התאוריות המתמטיות הן, כמו אלו של הפיזיקה והביולוגיה, מבוססות על השערות ודדוקציה; לכן, מתברר כי המתמטיקה העיונית קרובה הרבה יותר משנדמה לנו למדעי הטבע, אשר השערותיהם מבוססות על ניחושים". באוניברסיטאות רבות ניתן למצוא פקולטה בשם "מדעי הטבע ומתמטיקה", שם שמרמז ששני התחומים קשורים אך אינם חופפים.השקפה אחרת גורסת כי תחומים מדעיים מסוימים (כגון פיזיקה תאורטית) הם למעשה מתמטיקה עם אקסיומות שמטרתן להתאים אותה למציאות. הפיזיקאי התאורטי ג'ון זימן הציע כי המדע הוא "ידע ציבורי", ולכן המתמטיקה נכללת בתוכו.על כל פנים, למתמטיקה יש הרבה במשותף עם תחומים במדעים המדויקים. תפיסת המתמטיקה כשפת הפיזיקה, ואפילו כשפתו של אלוהים, היא עתיקה ושורשיה עוד ביוון העתיקה (האסכולה הפיתגוראית) ובתקופת הרנסאנס. גלילאו גליליי אמר:מתמטיקה ניסיונית היא תחום שחשיבותו הולכת וגדלה, וחישובים והדמיות נעשים כלים חשובים יותר ויותר הן במדעים והן במתמטיקה, מה שמחליש מעט, ביחס לענף זה של המתמטיקה, את הטענה כי המתמטיקה אינה משתמשת בשיטה המדעית. בספרו A New Kind of Science (2002)‎ טוען סטיבן וולפרם כי מתמטיקה נסיונית ראויה למחקר אמפירי כתחום מדעי בפני עצמו.דעותיהם של המתמטיקאים בעניין זה הן מגוונות. יש הסוברים כי סיווג המתמטיקה כמדע היא המעטה בערכה של האסתטיקה שלה ושל ההיסטוריה שלה כאחת משבע האמנויות החופשיות; אחרים טוענים כי התעלמות מהקשר של המתמטיקה למדעים היא התעלמות מהעובדה כי שימושי המתמטיקה במדע ובהנדסה גרמו להתקדמות רבה במתמטיקה עצמה.בבתי ספר תיכוניים, מעמדה של המתמטיקה כיום דומה לזה של הלטינית במאה ה-19. מקצוע זה נחשב לאחד המקצועות הקשים, ולאחד מהשנואים על חלק התלמידים. למרות זאת, שליטה במתמטיקה חשובה לכל הלומדים תחומים "ריאליים", שכן היא מהווה את אחד הכלים הבסיסיים שבהם משתמשים בתחומים אלו. פרק החשיבה הכמותית בבחינה הפסיכומטרית בוחן מיומנות מתמטית, ומחזק את חשיבותם של לימודי המתמטיקה לכל הרוצה להמשיך בלימודים באוניברסיטה. חשיבותה של המתמטיקה, הן לעולם המדעי והן למשק, תורמת גם לפופולריות הגוברת של המקצוע באקדמיה הישראלית, והיא נכללה בין המקצועות המבוקשים ביותר בקרב סטודנטים בישראל בשנת תשפ"א ובשנת תשפ"ב. כמו כן, חלה עלייה ברצונם של הורים כי ילדיהם ילמדו את מקצוע המתמטיקה באקדמיה. מבדיקת זרוע העבודה במשרד העבודה והרווחה, מקצוע המתמטיקה נכלל בין חמשת המקצועות הבולטים מבחינת דרישה לעובדים ורמות שכר, בין הסיבות לעלייה בביקוש לעובדים בענף זה הן צמיחת תעשיית ההייטק ופרישתם של עובדים ותיקים יותר בענף.שעשועי מתמטיקה שעשועי מתמטיקה הם משחקים, חידות, וקסמים המבוססים על מתמטיקה, וכן נושאים במתמטיקה שאינם דורשים ידע רב ויש בהם מן השעשוע. תחום שעשועי המתמטיקה זכה לדחיפה גדולה במאה ה-19 בזכות פעילותם של החידונאים הגדולים סם לויד והנרי ארנסט דודני. במאה ה-20 התקדם ענף שעשועי המתמטיקה המודרני במידה רבה בזכות פרסום טור בשם "Mathematical Games" (משחקים מתמטיים) על ידי מרטין גרדנר בירחון סיינטיפיק אמריקן. הטור כלל כתבות על נושאים רחבים שעד אז לא נחשבו כמתמטיים, כגון יצירותיו האמנותיות של מ. ק. אשר, פלקסגונים (צורות הנוצרות מקיפולי נייר), קסמים מתמטיים ועוד.ספרות שעשועי המתמטיקה עוסקת היום במגוון רחב של נושאים הכוללים:חידות מתחומים שונים: חידות מספרים, חידות גאומטריות, חידות לוגיות, משחקי לוח מבוססי מחשבה.נושאים הקושרים מתמטיקה לאמנות כגון: ריצופים, חידות חיתוך והרכבה, אוריגמי מודולרי.נושאים הקושרים מתמטיקה למדעי המחשב כגון: פרקטלים, חידות הקשורות להצפנה, ואוטומטים תאיים.פרסים ידועים במתמטיקהפרסים אחדים משמשים למתן הוקרה למתמטיקאים, על הישגיהם המתמטיים. בחלק מהמקרים אלה פרסים ייחודיים למתמטיקאים, ובאחרים הפרס במתמטיקה נכלל במסגרת פרסים הכוללים ענפי מדע רבים. פרסים בינלאומיים עיקריים הם: מדליית פילדס, שנוסדה בשנת 1936 ומחולקת בכל 4 שנים, היא אחד משני הפרסים הבין-לאומיים היוקרתיים ביותר במתמטיקה (יחד עם פרס אבל), המדליה מוענקת למתמטיקאים צעירים אשר לא עברו את גיל ארבעים על פריצות דרך משמעותיות במתמטיקה. פרס אבל, שנוסד בשנת 2003, נחשב מקביל לפרס נובל (שאינו כולל קטגוריית מתמטיקה), אחד משני הפרסים הבין-לאומיים היוקרתיים ביותר במתמטיקה (יחד עם מדליית פילדס), מוענק למתמטיקאים על הישגיהם המצטברים לאורך השנים. פרס נבנלינה, שנוסד בשנת 1981 ומחולק בכל 4 שנים, בעבור תרומה יוצאת דופן לאספקטים המתמטיים של תחומים כמו מדעי המחשב, סיבוכיות חישובית, אנליזה נומרית, אלגוריתמיקה, אינטליגנציה מלאכותית וקריפטוגרפיה, הפרס מוענק למתמטיקאים צעירים אשר לא עברו את גיל 40. נחשב לפרס המקביל במדעי המחשב למדליית פילדס. פרס גאוס, שנוסד בשנת 2002 ומחולק בכל 4 שנים, בעבור "תרומות יוצאות מן הכלל במתמטיקה אשר נמצאו כבעלות יישום משמעותי מחוץ לתחום המתמטיקה".בנוסף ישנם פרסים שניתנים בעבור תרומות בתחומים מסוימים במתמטיקה כגון: פרס נורברט וינר למתמטיקה יישומית שנוסד בשנת 1967, מוענק עבור תרומה יוצאת מן הכלל ל"מתמטיקה יישומית במובן הגבוה והרחב ביותר". פרס קול שנוסד בשנת 1928 מוענק בעבור תרומה יוצאת דופן בתחום האלגברה או בתחום תורת המספרים. פרס פוליה שנוסד בשנת 1969, מוענק בעבור תרומה משמעותית ליישום של תורת הקומבינטוריקה או תרומה משמעותית בתחום עניין אחר של ג'ורג' פוליה, לדוגמה בתורת הקירובים, אנליזה מרוכבת ותורת המספרים.בנוסף לפרסים אלה, הניתנים על הישגים כלליים במחקר המתמטי, מוכרזים לעיתים פרסים לפותר של בעיה פתוחה מסוימת: פרסים אחדים הוצעו למי שיוכיח את המשפט האחרון של פרמה. במסגרת קידום מכירות של הרומן "הדוד פטרוס והשערת גולדבך", הכריזו המו"ל של הגרסה האמריקאית והמו"ל של הגרסה הבריטית על פרס של מיליון דולר לראשון שיוכיח את השערת גולדבך במהלך שנתיים שהסתיימו, ללא זוכה, ב-15 במרץ 2002. לרשימה של שבע בעיות המילניום של מכון קליי, הוכרז בשנת 2000 פרס כספי של מיליון דולר לכל הפותר אחת מהן.לקריאה נוספת. לקריאה מקוונת באתר של מכון מופ"ת James R. Newman (ed.), The World of Mathematics, Dover Publications. Philip J. Davis, Reuben Hersh, Elena Anne Marchisotto, The Mathematical Experience, Study Edition, Birkhäuser Boston, 1995. by A. D. Aleksandrov, A. N. Kolmogorov, M. A. Lavrent'ev, Mathematics: Its Content, Methods and Meaningקישורים חיצוניים ארכיון ההיסטוריה של המתמטיקה של MacTutor, מקור מידע על עקרונות מתמטיים, תולדות המתמטיקה ומתמטיקאים Mathworld - אנציקלופדיה מקיפה למתמטיקה אנציקלופדיה למתמטיקה גיל קלעי ונתי ליניאל, אבני-דרך בתולדות המתמטיקה לא מדויק - בלוג מתמטי עברי מאת גדי אלכסנדרוביץ' אלף אפס - מאמרים ושעשועי מתמטיקה מילונים למונחי מתמטיקה, באתר האקדמיה ללשון \| חשבון 1912 \| מתמטיקה פשוטה 1933 \| מתמטיקה גבוהה 1938 \| מתמטיקה 1940 \| מתמטיקה 1985 \|הערות שוליים מדע וטכנולוגיהערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
50	https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%95%D7%96%D7%99%D7%A7%D7%94	מוזיקה	מוזיקה היא אמנות סידור צלילים בזמן. מרכיביה העיקריים הם גובה צליל (האחראי על מלודיה והרמוניה), קצב (מפעם, משקל וארטיקולציה), דינמיקה, גוון ומרקם. היצירה, הסגנון, החשיבות ואף הגדרת המוזיקה עצמה רגישה למשתנים תרבותיים מורכבים ולהקשרים חברתיים. המוזיקה כוללת יצירות מסוגים שונים, מיצירות מאורגנות בקפידה, דרך אלתור מוזיקלי ועד צורות אלאטוריות (אקראיות לחלוטין). ניתן לחלק את המוזיקה לסוגות ותת-סוגות, אולם הגבולות והיחסים בין הסוגות מטושטשים, פתוחים לפרשנות אישית ואף שנויים במחלוקת. מבין האמנויות, ניתן לסווג את המוזיקה כאחת מאמנויות הבמה והאמנויות היפות וכאמנות שמיעתית/קולית. אטימולוגיה המילה "מוזיקה" נובעת מהמילה היוונית μουσική ("מוסיקי"), "(האמנות) של המוזות". "מוזה" משמשת כמילה כמעט נרדפת למילה "השראה", במיוחד בחיבור יצירות. היסטוריה פרה-היסטוריה בתקופה הפרה-היסטורית המוזיקה ככל הנראה התבססה על ריתמיקה (קצב) ומלודיה (מנגינה), ההרמוניה באה בשלב מאוחר הרבה יותר. נראה כי המוזיקה הפרה-היסטורית נוגנה על ידי כלי הקשה (אבנים, מקלות, עצמות, כלי צייד) וקול אנושי. אין לדעת כיצד באמת נשמעה המוזיקה העתיקה, וחוקרים מסוגלים רק לנחש זאת על פי ממצאים מתקופת האבן הקדומה, כגון עצמות אשר נוקבו חורים בצידן; לרוב מזהים עצמות אלה כחלילים, אשר ניגנו בהם על ידי נשיפה לתוך צד אחד כמו בשאקוהאצ'י היפני. גם באתרים ארכאולוגים של תרבות עמק האינדוס נמצאו כלי נגינה, כגון חליל בעל שבעה חורים וסוגים שונים של כלי מיתר. העת העתיקה בסהר הפורה באוגרית (אזור סוריה של ימינו) התגלו כתבי אוגרית, בניהם נמצא לוח חרס ועליו סימני יתדות המבטאים תווים מהעתיקים בעולם. בכתבים נמצאו אזכורים גם לכינורות (לירות), מצלתיים ותופים. נמצאו באותו אזור אף מספר כלי נגינה. תרבויות המזרח הרחוק בהודו התפתחה אחת מהמסורות המוזיקליות העתיקות ביותר בעולם. ניתן למצוא אזכורים של מוזיקה קלאסית הודית ("מרגה") בכתבי-הקודש העתיקים של דת ההינדו, הוודות. למוזיקה המסורתית של סין היסטוריה הנמתחת על פני כ-3000 שנה ויותר. יוון העתיקה ורומא המוזיקה היוותה חלק חשוב בחיי התרבות והחברה של יוון העתיקה: מקהלות של גברים ונשים הופיעו לשם בידור, בחגיגות ובטקסים דתיים; למוזיקאים ולזמרים היה תפקיד בולט בתיאטרון של יוון העתיקה. במאה ה-9, המלומד הפרסי אל-פאראבי כתב ספר שעסק במוזיקה בשם "ספר המוזיקה הגדול" (כתאב אל-מוזיקה אל-כביר, كتاب الموسيقى الكبير). הוא ניגן על כלי נגינה רבים ומגוונים, ואף המציא כלי נגינה משלו; כמו כן, הוא המציא את המערכת הטונלית הערבית, שעדיין משמשת היום במוזיקה ערבית. בימי יוון העתיקה התייחסו למוזיקה כאל אלוהית, נעלה ונשגבת. במוזיקה קיימים 4 מרווחים זכים: פרימה, קוורטה, קווינטה ואוקטבה, אלו הם המרווחים הטבעיים, המצויים בטבע. היוונים יחסו לספרה 4 חשיבות רבה, מפני שראו בה את הספרה הטבעית המסמלת את הטבע, מה שביסס את המוזיקה כבעלת מעמד אלוהי. בתקופת רומא העתיקה ירד מעמד המוזיקה. הרומאים השתמשו במוזיקה בתהלוכות הניצחון שלהם שלא היו חשובות מבחינה דתית והיו בעלות ערך גשמי ולא אלוהי. המוזיקה הפכה לרקע ולבידור נלווה לחגיגות אלה. מוזיקה בתרבות המערב מוזיקה בימי הביניים (500-1400) המוזיקה המוקדמת ביותר ששרדה ממוזיקה של ימי הביניים היא הקנטוס פלאנוס המונופוני הליטורגי (כלומר, משמש בטקסים דתיים) של הכנסייה הקתולית מהמאה התשיעית. צורת הביטוי העיקרית שלה הייתה מזמור גרגוריאני. לצד מסורת המוזיקה הדתית והמוזיקה הכנסייתית התקיימה גם מוזיקה חילונית, כגון מוטט, בלדה ווירלאי. בין המלחינים בתקופה זו היו לאונין, פרוטין, מייצגיה היחידים של אסכולת נוטרדאם והארס אנטיקווה הידועים בשמם, וגיום דה מאשו, שהיה ממייצגיה החשובים של תנועת ארס נובה. תקופת הרנסאנס (1400-1600) רוב המוזיקה ששרדה מאירופה של המאה ה-14 היא חילונית. החל מאמצע המאה ה-15, מלחינים וזמרים השתמשו בפוליפוניה ביצירות מוזיקליות דתיות. המצאת הדפוס תרמה להפצת סגנונות מוזיקליים חדשים במהירות ולאזורים נרחבים. מלחיני מוזיקת רנסאנס בולטים היו ויליאם בירד וג'ובאני פלסטרינה ואורלנדו לאסוס. מוזיקת בארוק (1600-1750) עידן מוזיקת הבארוק החל עם האופרות הראשונות ועם הפיכת המוזיקה הקונטרפונקטית לנפוצה. מלחיני בארוק גרמניים כתבו יצירות להרכבים שכללו כלי קשת, כלי נשיפה ממתכת וכלי נשיפה מעץ, בנוסף למקהלה, עוגב, צ'מבלו וקלאוויקורד. בתקופת הבארוק הוגדרו מספר צורות מוזיקליות אשר שרדו גם לתקופות מאוחרות יותר, בכלל זה הפוגה, האינוונציה, הסונאטה והקונצ'רטו. מלחינים חשובים מתקופת הבארוק הם יוהאן סבסטיאן באך, גאורג פרידריך הנדל וגאורג פיליפ טלמן. מוזיקה בתקופה הקלאסית (1750-1800) המוזיקה של התקופה הקלאסית מאופיינת במרקם הומופוני, המורכב ממלודיה וליווי. מלודיות אלו נטו להידמות לקול אנושי ולהיות ניתנות לשירה. המוזיקה הכלית הפופולרית אופיינה בהתפתחות נוספת של הצורות המוזיקליות שהוגדרו בתקופת הבארוק: הסונאטה והקונצ'רטו, בנוסף לצורה חדשה, הסימפוניה. מלחינים בולטים מתקופה זו הם וולפגנג אמדאוס מוצרט ויוזף היידן. מוזיקה בתקופה הרומנטית (1800-1900) התקופה הרומנטית במוזיקה החלה להתפתח בתחילת המאה ה-19, כאשר מלחינים כמו לודוויג ואן בטהובן ופרנץ שוברט הציגו סגנון דרמטי יותר, מלא הבעה ורגש. במהלך התקופה הזו פותחו סגנונות, צורות ואף שימושים חדשים למוזיקה, ומאפייניה הרגשיים וההבעתיים של המוזיקה החלו להיות חשובים יותר מטכניקת נגינה ומסורת. במקרה של בטהובן, מוטיבים החליפו את המלודיה בתור האלמנט הבסיסי של ההלחנה. בסוף המאה ה-19 הופיעה התרחבות דרמטית בגודלה של התזמורת ובתפקיד של הקונצרט בתרבות העירונית. מלחינים רומנטיים מאוחרים יותר כגון פיוטר איליץ' צ'ייקובסקי וגוסטב מאהלר הלחינו יצירות מוזיקליות מסובכות יותר ולעיתים תכופות ארוכות יותר. הם השתמשו באקורדים מורכבים ובדיסוננס ליצירת מתח ודרמטיות. מוזיקה של המאה ה-20 המוזיקה הקלאסית בתקופה המודרנית היא מוזיקה שחוברה מסוף המאה ה-19 עד ימינו אלה. מדובר בעיקר במוזיקה קונצרטית מערבית, אך גם בהשפעות ההדדיות בינה לבין סוגות אחרות, כמו ג'אז, רוק ופופ לסוגיהם מצד אחד ובין תרבויות המזרח ומוזיקה עממית, מצד שני. במאה ה-20 נרשם גידול בהאזנה למוזיקה בזכות העלייה בפופולריות של הרדיו והשימוש בפונוגרף לנגינה והפצה של מוזיקה. המוזיקה האמנותית התמקדה בחקירת מקצבים, סגנונות וצלילים חדשים. איגור סטרווינסקי, ארנולד שנברג וג'ון קייג' הם בין המלחינים המשפיעים ביותר של המוזיקה האמנותית במאה ה-20. מאז היות המוזיקה, מימי הביניים ועד התקופה הפוסט-רומנטית, הרחיבו המלחינים את המסגרות, שינו והוסיפו צורות, הגדילו הרכבים, פיתחו כלי נגינה חדשים ושיכללו כלים קיימים. התקופה הקלאסית הביאה עמה את צורת הסונאטה ואת הסימפוניה, אך שמרה על תבניות הרמוניות וצורניות מוגדרות ועל גבולות ברורים, שנקבעו בתקופות הקודמות. התקופה הרומנטית, החל בבטהובן, שחררה את המלחינים מכבלי המבנים המקובלים, הוסיפה מוזיקה ווקאלית לסימפוניה, הגדילה את התזמורת לממדי הענק של מאהלר ואת האופרה לחזיונות המדהימים של וגנר. אך בכל השינויים העצומים האלה, נשמרו עדיין יסודות ההרמוניה שנקבעו בתקופת הבארוק, כאשר ירשו הסולמות את מקום המודוסים של ימי הביניים והרנסאנס. חידושים ופריצות דרך הופיעו כבר בסוף המאה ה-19, ביצירות פוסט-רומנטיות ואימפרסיוניסטיות, ובמיזוג השפעות מן המזרח הרחוק במוזיקה המערבית, אך המאה העשרים הביאה עמה פריצת גדרות גמורה, כאשר שנברג, תלמידיו וממשיכי דרכו ניתקו מן הטונאליות והחלו לחבר בשיטת שנים-עשר הטונים. משם ואילך לא היה עוד כל מעצור – הסכר נפתח והכל הותר, במוזיקה כמו בשאר האמנויות: הציור המופשט (וסילי קנדינסקי), תיאטרון האבסורד (אז'ן יונסקו), המחול המודרני (מרתה גרהם) ועוד. ג'אז בתחילת המאה ה-20 התפתח סגנון מוזיקלי (ז'אנר) חדש הידוע בשם ג'אז (אנגלית: jazz). הג'אז הפך לאחד מסגנונות המוזיקה החשובים ביותר. זהו סגנון מוזיקלי שמקורו בהיתוך של מסורות מוזיקליות אפריקאיות ואירופאיות אשר התרחש בתחילת המאה ה-20 בקהילות אפרו-אמריקאיות בדרום ארצות הברית. שורשיו המערב אפריקאים ניכרים בשימוש שלו בבלו נוטס, אלתור, פוליריתמיקה, סינקופות ושמיניות סווינג. הג'אז ספח לתוכו, מתחילת דרכו ועד היום, קטעים נבחרים מהמוזיקה הפופולרית האמריקאית של המאה ה-19 והמאה ה-20. בנוסף הוא הוליד מגוון של תתי-סגנונות, מהדיקסילנד של ניו אורלינס בעשור השני של המאה ה-20 ועד הפיוז'ן בשנות ה-70 וה-80. מוזיקה פופולרית מרכיבי המוזיקה ההיבטים המוסכמים והמוגדרים אשר מרכיבים כל צליל וצליל אותו אנחנו שומעים, כותבים או מנגנים במוזיקה הם גובה (תדר), משך, צבע או גוון ועוצמה או משרעת של הצליל. בנוסף לאלה, אנו שומעים גם צלילים עיליים והרמוניות. תדר, כאמור הוא גובה הצליל - הצלילים נעים בין נמוכים לגבוהים (ילדים נוהגים להשתמש במונחים "דק" ו"עבה"). ישנם צלילים שלהם אין גובה מוגדר. משך הוא, פשוטו כמשמעו, הזמן שאורך הצליל. צבע וגוון הם תכונות המיוחסות להבדל בין צלילים המפיקים כלי נגינה ובני אדם שונים, כלומר, גוון הצליל של קונטרבס שונה מגוון הצליל של חצוצרה. בנוסף גם השקט הוא היבט במוזיקה, בהיותו שקט מדוד בין שני צלילים. למעשה כל צליל שאנו שומעים בוקע מתוך ה"שקט" של מקום ההאזנה שלעיתים אינו שקט כל כך, שקט כמעט מוחלט קיים רק בחדרים שקטים במעבדות מיוחדות העוסקות באקוסטיקה. המוזיקה יוצאת תמיד מתוך גודל נמוך של רעש המלווה אותה לכל אורכה וממשיך גם עם סיומה. כך ש"שקט" זה הוא חלק בלתי נפרד מן המוזיקה. תיווי את שמות התווים ואת החמשה המוזיקלית המציא במאה ה-11 נזיר איטלקי בשם גווידו ד'ארצו. הדרך שבה מועברת מוזיקה ממוזיקאי למוזיקאי היא בדרך כלל בתווים (אף על פי שלעיתים קרובות מועברת מוזיקה באמצעות האוזן, כלומר, המבצע לומד את היצירה משמיעה בלבד, ללא הסברים בכתב או תווים). יצירות תזמורתיות נכתבות בפרטיטורה, המשמשת את המנצח, וכל נגן מקבל תווים עם התפקיד שנועד לקבוצת הכלים שלו, לפי הצורך. ביצירות כוראליות גדולות תקבל כל קבוצת קולות במקהלה את תווי התפקיד המיועד לה ואילו ביצירות קטנות, כגון כוראלים או לידר, שרים כל חברי המקהלה מדפי תווים, המכילים את כל התפקידים. התווים המוכרים כיום החלו להתפתח באירופה במאה ה-14 בערך, מן הנוימות והתווים המרובעים שקדמו להם. בדפי התווים מצוינים כל ההיבטים המוזיקליים שהוזכרו קודם - גובה, משך, עוצמה, צבע וגוון. לעיתים מצוינים בתיווי גם דברים נוספים, כמו קצב, אופי המוזיקה, אווירה, או מהלך הרמוני. (ראו בס ממוספר והוראות ביצוע מוזיקליות). מופע מוזיקלי תרבויות רבות כוללות מסורת חזקה של הופעת סולו, היא הופעת היחיד. במוזיקה הקלאסית ההודית למשל ישנו דגש חזק מאוד על סולו. לעומתה, בתרבויות אחרות, כמו במוזיקה הקלאסית המערבית ישנו דגש על הרכבים (אנסמבלים) גדולים יותר, כמו מקהלה, תזמורת סימפונית או קאמרית והרכבים של מוזיקה קאמרית, משני נגנים או זמר וכלי ליווי (דואו) עד תשעה נגנים. למרות זאת, גם במוזיקה קלאסית מערבית, ישנן הופעות סולו לא מעטות. עם התפתחות המוזיקה לכיוון מודרני יותר, נוצרו הרכבים חדשים אשר כוללים עד חמישה מוזיקאים, בעיקר בתחום הג'אז והמוזיקה הקלה - להקת רוק, להקת בנים, להקת בנות וכו'. הלחנה, אלתור ופרשנות אישית ברוב התרבויות המוזיקליות ישנה אחידות כלשהי בדרך יצירת המוזיקה, יצירה מראש. יצירה של מוזיקה מראש נקראת הלחנה, ואילו יצירה של מוזיקה "תוך כדי" נקראת אלתור. ישנן טכניקות רבות של הלחנה, המשתנות מתרבות לתרבות. אלתור נפוץ בעיקר בג'אז ובמוזיקה ערבית. ברוב התרבויות נעשית גם פרשנות אישית למוזיקה הכתובה, כלומר - הנגן המבצע מנסה להוסיף את דעתו או הרגשותיו על המוזיקה, ומשנה היבט אחד או יותר מתוך ההיבטים המרכיבים את היצירה המוזיקלית. מכך אפשר להסיק כי אין שני ביצועים זהים לחלוטין של קטע מוזיקלי אחד. היבטים תרבותיים וחברתיים לאורך ההיסטוריה הועלו השערות שונות לגבי שימוש במוזיקה לצורך הנעה וריפוי בני אדם. בסיפורי מיתולוגיה נורדית, מיתולוגיה יוונית ומיתולוגיה פרסית שונות, כמו סיפורי שודדי ים תוארו סירנות, בנות ים, ודיאדרות כיצורים מיתולוגיים המפתים ומניעים אנשים דרך שירה לביצוע פעולות שונות. בסיפור המקראי שאול ודוד (שמואל א, פרק טז), עבדי שאול הציעו לשאול להביא לפניו אדם שינגן עבורו כדי להרגיעו מהמרה השחורה בה היה נתון . בימי הביניים נכתבו סיפורים שונים כמו החלילן מהמלין אודות תגובות בעלי חיים למוזיקה, ובהעת החדשה מלחינים כמו לודוויג ואן בטהובן החלו להשתמש במוזיקה כאמצעי להרגעת הנפש ולפיתוח ההכרה, אפקט מוצרט, כמו לצורך ריפוי. יש הטוענים כי ראה את יצירותיו המוזיקליות כצבע שהעלה על כתב בתווים. החל מהמאה ה-20 החלו לראות במוזיקה מקומית, עממית או לאומית, אמצעי לגיבוש זהות לאומית כמו גורם היכול לגבש את האזרחים לאומית. בנוסף להרגיע, למתן ולגשר עימותים ויריבויות: חברתיים, כלכליים, אתניים ולאומיים. כמו לחבר בין אנשים מתרבויות, מסורות והשתייכות מגזריות ועדתיות שונות. אך גם כאמצעי לשכחה. בתרבויות רבות המוזיקה שזורה בחיי האדם. הפילוסופים היוונים וההודים העתיקים הגדירו את המוזיקה כצלילים המסודרים ב"מאוזן" כמלודיות או ב"מאונך" כהרמוניות. ביטויים נפוצים כגון "ההרמוניה של גרמי השמים" או "זו מוזיקה לאוזניי" מצביעים על כך שמוזיקה היא לעיתים קרובות מסודרת היטב ונעימה לשמיעה. עם זאת, המלחין בן המאה ה-20 ג'ון קייג' חשב כי כל צליל עשוי להוות מוזיקה, ואמר לדוגמה כי "אין רעש רק צלילים". המוזיקולוג ז'אן ז'אק נטייה אמר, . היבטים פסיכולוגיים השפעות נוירולוגיות בעת שמיעת מוזיקה מתרחשת פעילות מוגברת באזורים שונים במוח, שאחראים על עיבוד הצליל ופירוקו לגורמים, כמו מלודיה וקצב. אזורים אלה משתתפים בחלקים שונים בתהליך, עד שלבסוף מתאחד הקלט לשלמות אחת. ממצאים אחרונים מראים, שמוזיקה משפיעה גם על תפקוד הגוף בכללותו. למשל, מחקרים אחרונים מראים, ששמיעת מוזיקה מעודדת, מהירה או איטית, בעת ריצה משפרת את התוצאות הסופיות בהשוואה לנבדקים, ששמעו מוזיקה רגועה או שלא שמעו מוזיקה כלל. מוזיקה גם נוטה להפחתת לחץ. מחקרים נוספים מראים כי מוזיקה משפיעה גם על תהליך השינה, ושיפרה את השינה של הנבדקים, ששמעו מוזיקה קלאסית כ־45 דקות לפני שהלכו לישון. אדם המנגן בכלי נגינה מפיק תועלת נוספת משמיעת מוזיקה וניגונה כאחד - במוחו של המנגן בכלי מוזיקלי מסוים "נדלקים", או מופעלים במקביל אזורים רבים, המעבירים מידע שעיבדו בקשרים מהירים ומורכבים במוח. למעשה, נגינת מוזיקה מפעילה כמעט את כל אזורי המוח במקביל. בתוכם נמצא במיוחד החלק השמיעתי, החלק המוטורי והחלק הוויזואלי. נגינה בכלי מוזיקלי מערבת פעילות של 2 האונות של המוח (הימנית והשמאלית). היא משלבת גם את הדיוק המתמטי, שבו מתמחה בעיקר האונה השמאלית (אם כי גם האונה השנייה מעורבת בתהליך זה, אבל בעוצמה נמוכה יותר) ואת החלק היצירתי, שבו מתמחה (שוב, בעיקר) האונה הימנית. למעשה, מוזיקה מגבירה את העוצמה והפעילות בכפיס המוח, באופן שמאפשר מעבר מידע מהיר יותר ובעל קשרים מגוונים יותר במוח. משום כך מיוחסות למוזיקאים יכולות גבוהות יותר בתחומים רבים, משום שנגינה בכלי גורמת להפעלתם של אזורים במוח, האחראיים על אסטרטגיות למידה, תכנון ותשומת לב לפרטים. למוזיקאים אלו מיוחס גם זיכרון בעל יכולות מוגברות, המתבטאות בשמירה, אחסון ויעילות גבוהה יותר של הזיכרון האנושי. מדענים אבחנו אצל נגנים נטייה להצמיד מעין "תגים" לכל זיכרון, כמו למשל תג קונספטואלי, תג רגשי, תג שמיעתי ותג לפי הקשר. אך לא כל האנשים מושפעים ממוזיקה, חוקרים ספרדיים גילו תופעה בשם אנהדוניה מוזיקלית, אשר הלוקים בה לא מושפעים ממוזיקה, למרות ששאר ההשפעות הרגשיות ההנאתיות שלהם נורמליות. בתופעה זו לוקים כשלושה אחוזים מן העולם. שמיעה בעוצמה גבוה מידי עלולה להשפיע על תפקוד האוזן ולגרום לנזקי רעש. תרפיה ממוקדת במוזיקה עד תחילת המאה ה-20 מחקרים בתחום חקר הקוגניציה לרוב התמקדו בחקר תגובות כלליות ותגובות קוגניטיבית של בני אדם לכתבי קריאה וחדשות. החל משנת 2010 החלה להתחזק בישראל תחום חקר הקוגניציה בשימוש ושמיעת מוזיקה, כמו חקר התגובות הפיזיולוגית שיש לשמיעת מוזיקה על גוף האדם. המוזיקה ביהדות ביהדות שירת הלוויים הייתה חלק אינטגרלי מעבודות הקודש בבית המקדש. כמו כן בתנך עבודת המנגן שימשה ככלי לריפוי בעיות נפשיות כפי שאפשר לראות בתנ"ך: "וְהָיָה, בִּהְיוֹת רוּחַ-אֱלֹהִים אֶל-שָׁאוּל, וְלָקַח דָּוִד אֶת-הַכִּנּוֹר, וְנִגֵּן בְּיָדוֹ; וְרָוַח לְשָׁאוּל וְטוֹב לוֹ, וְסָרָה מֵעָלָיו רוּחַ הָרָעָה". (שמואל א, פרק טז, פסוק כג) וסוגה נפוצה בכתיבה התנכית היא שירה כפי שאפשר לראות בשירת מרים, שירת דבורה, שירת הים ועוד. החסידות פיתחה את סוגת הניגונים חסידיים כאשר היא רואה ביכולת לשיר מוזיקה ללא מילים כחלק חשוב בעבודת השם, ישנם ניגונים אשר שמורים לאירועים מיוחדים, כאשר הבולט שבהם הוא ניגון ארבע בבות אותו תיקן מייסד חסידות חב"ד המנוגן בחתונות ובימי שמחה מיוחדים אך לא בימות החול. בימי אבלות כמו למשל בספירת העומר ובימי בין המצרים נהוג להפסיק לשמוע מוזיקה. ראו גם הרכב קאמרי תזמורת מקהלה אפקט מוצרט מוזיקה שחורה תולדות המוזיקה תאוריית המוזיקה - מונחים לקריאה נוספת תרפיה במוזיקה ופיזיותרפיה עם בנות תסמונת רט: גישה טרנס-דיסציפלינרית / כוכבית אלפנט, מאיר לוטן סוגיות בחינוך מיוחד ובשיקום, 13 (2): 89-97, 1999 נפתלי נורמן לברכט, אנציקלופדיה למוזיקה של המאה העשרים, בתרגום שלומית קדם, הוצאת לדורי, 1996. ג'ון סטנלי, מוזיקה קלאסית, הוצאת שבא, 1995. מילטון קרוס ודוד אבן, אנציקלופדיה של גדולי המוזיקה ויצירותיהם, בתרגום שלומית קדם וא. שן ארי, הוצאת לדורי. בארי קרנפלד, Grove Dictionary of Jazz, הוצאת אוניברסיטת אוקספורד. סטנלי סיידי וג'ון טיירל, Grove Dictionary of Music and Musicians, הוצאת אוניברסיטת אוקספורד. ליאונרד ברנשטיין, חדוות המוזיקה, הוצאת רשפים, 1960, תרגום יהואש הירשברג ליאונרד ברנשטיין, רבגוניותה של המוזיקה, הוצאת רשפים, 1973, תרגום יצחק הירשברג ושלומית הירשברג יהואש הירשברג, המוזיקה, המוזיקאי והמאזין, הוצאת רשפים מוזיקה: האמנות המרפאה - שילוב מוזיקה בטיפולי כוויות בילדים כאמצעי להפחתת כאב וחרדה- פינצ'וק, שירה (אחות),האחות בישראל, 172: 21-25, 2005 קישורים חיצוניים AllMusic - מקור מידע לגבי אמנים, אלבומים, סגנונות וזרמים במוזיקה. מומה - מקור מידע עברי העוסק במוזיקאים ולהקות. אמנדה פאלמר: האמנות לבקש – על מוזיקה חופשית. הרצאה באנגלית מאתר TED עם כתוביות בעברית . . . . . מוזיקה בספרייה הלאומית - אוסף המוזיקה וארכיון הצליל הערות שוליים אמנות אמנות הבמה בידור	מוזיקה היא אמנות סידור צלילים בזמן. מרכיביה העיקריים הם גובה צליל (האחראי על מלודיה והרמוניה), קצב (מפעם, משקל וארטיקולציה), דינמיקה, גוון ומרקם.היצירה, הסגנון, החשיבות ואף הגדרת המוזיקה עצמה רגישה למשתנים תרבותיים מורכבים ולהקשרים חברתיים. המוזיקה כוללת יצירות מסוגים שונים, מיצירות מאורגנות בקפידה, דרך אלתור מוזיקלי ועד צורות אלאטוריות (אקראיות לחלוטין). ניתן לחלק את המוזיקה לסוגות ותת-סוגות, אולם הגבולות והיחסים בין הסוגות מטושטשים, פתוחים לפרשנות אישית ואף שנויים במחלוקת. מבין האמנויות, ניתן לסווג את המוזיקה כאחת מאמנויות הבמה והאמנויות היפות וכאמנות שמיעתית/קולית.אטימולוגיה המילה "מוזיקה" נובעת מהמילה היוונית μουσική ("מוסיקי"), "(האמנות) של המוזות". "מוזה" משמשת כמילה כמעט נרדפת למילה "השראה", במיוחד בחיבור יצירות.היסטוריהפרה-היסטוריהבתקופה הפרה-היסטורית המוזיקה ככל הנראה התבססה על ריתמיקה (קצב) ומלודיה (מנגינה), ההרמוניה באה בשלב מאוחר הרבה יותר. נראה כי המוזיקה הפרה-היסטורית נוגנה על ידי כלי הקשה (אבנים, מקלות, עצמות, כלי צייד) וקול אנושי. אין לדעת כיצד באמת נשמעה המוזיקה העתיקה, וחוקרים מסוגלים רק לנחש זאת על פי ממצאים מתקופת האבן הקדומה, כגון עצמות אשר נוקבו חורים בצידן; לרוב מזהים עצמות אלה כחלילים,אשר ניגנו בהם על ידי נשיפה לתוך צד אחד כמו בשאקוהאצ'י היפני. גם באתרים ארכאולוגים של תרבות עמק האינדוס נמצאו כלי נגינה, כגון חליל בעל שבעה חורים וסוגים שונים של כלי מיתר.העת העתיקהבסהר הפורה באוגרית (אזור סוריה של ימינו) התגלו כתבי אוגרית, בניהם נמצא לוח חרס ועליו סימני יתדות המבטאים תווים מהעתיקים בעולם. בכתבים נמצאו אזכורים גם לכינורות (לירות), מצלתיים ותופים. נמצאו באותו אזור אף מספר כלי נגינה.תרבויות המזרח הרחוק בהודו התפתחה אחת מהמסורות המוזיקליות העתיקות ביותר בעולם. ניתן למצוא אזכורים של מוזיקה קלאסית הודית ("מרגה") בכתבי-הקודש העתיקים של דת ההינדו, הוודות. למוזיקה המסורתית של סין היסטוריה הנמתחת על פני כ-3000 שנה ויותר.יוון העתיקה ורומא המוזיקה היוותה חלק חשוב בחיי התרבות והחברה של יוון העתיקה: מקהלות של גברים ונשים הופיעו לשם בידור, בחגיגות ובטקסים דתיים; למוזיקאים ולזמרים היה תפקיד בולט בתיאטרון של יוון העתיקה. במאה ה-9, המלומד הפרסי אל-פאראבי כתב ספר שעסק במוזיקה בשם "ספר המוזיקה הגדול" (כתאב אל-מוזיקה אל-כביר, كتاب الموسيقى الكبير). הוא ניגן על כלי נגינה רבים ומגוונים, ואף המציא כלי נגינה משלו; כמו כן, הוא המציא את המערכת הטונלית הערבית, שעדיין משמשת היום במוזיקה ערבית.בימי יוון העתיקה התייחסו למוזיקה כאל אלוהית, נעלה ונשגבת. במוזיקה קיימים 4 מרווחים זכים: פרימה, קוורטה, קווינטה ואוקטבה, אלו הם המרווחים הטבעיים, המצויים בטבע. היוונים יחסו לספרה 4 חשיבות רבה, מפני שראו בה את הספרה הטבעית המסמלת את הטבע, מה שביסס את המוזיקה כבעלת מעמד אלוהי.בתקופת רומא העתיקה ירד מעמד המוזיקה. הרומאים השתמשו במוזיקה בתהלוכות הניצחון שלהם שלא היו חשובות מבחינה דתית והיו בעלות ערך גשמי ולא אלוהי. המוזיקה הפכה לרקע ולבידור נלווה לחגיגות אלה.מוזיקה בתרבות המערבמוזיקה בימי הביניים (500-1400)המוזיקה המוקדמת ביותר ששרדה ממוזיקה של ימי הביניים היא הקנטוס פלאנוס המונופוני הליטורגי (כלומר, משמש בטקסים דתיים) של הכנסייה הקתולית מהמאה התשיעית. צורת הביטוי העיקרית שלה הייתה מזמור גרגוריאני. לצד מסורת המוזיקה הדתית והמוזיקה הכנסייתית התקיימה גם מוזיקה חילונית, כגון מוטט, בלדה ווירלאי. בין המלחינים בתקופה זו היו לאונין, פרוטין, מייצגיה היחידים של אסכולת נוטרדאם והארס אנטיקווה הידועים בשמם, וגיום דה מאשו, שהיה ממייצגיה החשובים של תנועת ארס נובה.תקופת הרנסאנס (1400-1600)רוב המוזיקה ששרדה מאירופה של המאה ה-14 היא חילונית. החל מאמצע המאה ה-15, מלחינים וזמרים השתמשו בפוליפוניה ביצירות מוזיקליות דתיות. המצאת הדפוס תרמה להפצת סגנונות מוזיקליים חדשים במהירות ולאזורים נרחבים. מלחיני מוזיקת רנסאנס בולטים היו ויליאם בירד וג'ובאני פלסטרינה ואורלנדו לאסוס.מוזיקת בארוק (1600-1750)עידן מוזיקת הבארוק החל עם האופרות הראשונות ועם הפיכת המוזיקה הקונטרפונקטית לנפוצה. מלחיני בארוק גרמניים כתבו יצירות להרכבים שכללו כלי קשת, כלי נשיפה ממתכת וכלי נשיפה מעץ, בנוסף למקהלה, עוגב, צ'מבלו וקלאוויקורד. בתקופת הבארוק הוגדרו מספר צורות מוזיקליות אשר שרדו גם לתקופות מאוחרות יותר, בכלל זה הפוגה, האינוונציה, הסונאטה והקונצ'רטו. מלחינים חשובים מתקופת הבארוק הם יוהאן סבסטיאן באך, גאורג פרידריך הנדל וגאורג פיליפ טלמן.מוזיקה בתקופה הקלאסית (1750-1800)המוזיקה של התקופה הקלאסית מאופיינת במרקם הומופוני, המורכב ממלודיה וליווי. מלודיות אלו נטו להידמות לקול אנושי ולהיות ניתנות לשירה. המוזיקה הכלית הפופולרית אופיינה בהתפתחות נוספת של הצורות המוזיקליות שהוגדרו בתקופת הבארוק: הסונאטה והקונצ'רטו, בנוסף לצורה חדשה, הסימפוניה. מלחינים בולטים מתקופה זו הם וולפגנג אמדאוס מוצרט ויוזף היידן.מוזיקה בתקופה הרומנטית (1800-1900)התקופה הרומנטית במוזיקה החלה להתפתח בתחילת המאה ה-19, כאשר מלחינים כמו לודוויג ואן בטהובן ופרנץ שוברט הציגו סגנון דרמטי יותר, מלא הבעה ורגש. במהלך התקופה הזו פותחו סגנונות, צורות ואף שימושים חדשים למוזיקה, ומאפייניה הרגשיים וההבעתיים של המוזיקה החלו להיות חשובים יותר מטכניקת נגינה ומסורת. במקרה של בטהובן, מוטיבים החליפו את המלודיה בתור האלמנט הבסיסי של ההלחנה. בסוף המאה ה-19 הופיעה התרחבות דרמטית בגודלה של התזמורת ובתפקיד של הקונצרט בתרבות העירונית. מלחינים רומנטיים מאוחרים יותר כגון פיוטר איליץ' צ'ייקובסקי וגוסטב מאהלר הלחינו יצירות מוזיקליות מסובכות יותר ולעיתים תכופות ארוכות יותר. הם השתמשו באקורדים מורכבים ובדיסוננס ליצירת מתח ודרמטיות.מוזיקה של המאה ה-20המוזיקה הקלאסית בתקופה המודרנית היא מוזיקה שחוברה מסוף המאה ה-19 עד ימינו אלה. מדובר בעיקר במוזיקה קונצרטית מערבית, אך גם בהשפעות ההדדיות בינה לבין סוגות אחרות, כמו ג'אז, רוק ופופ לסוגיהם מצד אחד ובין תרבויות המזרח ומוזיקה עממית, מצד שני.במאה ה-20 נרשם גידול בהאזנה למוזיקה בזכות העלייה בפופולריות של הרדיו והשימוש בפונוגרף לנגינה והפצה של מוזיקה. המוזיקה האמנותית התמקדה בחקירת מקצבים, סגנונות וצלילים חדשים. איגור סטרווינסקי, ארנולד שנברג וג'ון קייג' הם בין המלחינים המשפיעים ביותר של המוזיקה האמנותית במאה ה-20.מאז היות המוזיקה, מימי הביניים ועד התקופה הפוסט-רומנטית, הרחיבו המלחינים את המסגרות, שינו והוסיפו צורות, הגדילו הרכבים, פיתחו כלי נגינה חדשים ושיכללו כלים קיימים. התקופה הקלאסית הביאה עמה את צורת הסונאטה ואת הסימפוניה, אך שמרה על תבניות הרמוניות וצורניות מוגדרות ועל גבולות ברורים, שנקבעו בתקופות הקודמות. התקופה הרומנטית, החל בבטהובן, שחררה את המלחינים מכבלי המבנים המקובלים, הוסיפה מוזיקה ווקאלית לסימפוניה, הגדילה את התזמורת לממדי הענק של מאהלר ואת האופרה לחזיונות המדהימים של וגנר. אך בכל השינויים העצומים האלה, נשמרו עדיין יסודות ההרמוניה שנקבעו בתקופת הבארוק, כאשר ירשו הסולמות את מקום המודוסים של ימי הביניים והרנסאנס. חידושים ופריצות דרך הופיעו כבר בסוף המאה ה-19, ביצירות פוסט-רומנטיות ואימפרסיוניסטיות, ובמיזוג השפעות מן המזרח הרחוק במוזיקה המערבית, אך המאה העשרים הביאה עמה פריצת גדרות גמורה, כאשר שנברג, תלמידיו וממשיכי דרכו ניתקו מן הטונאליות והחלו לחבר בשיטת שנים-עשר הטונים. משם ואילך לא היה עוד כל מעצור – הסכר נפתח והכל הותר, במוזיקה כמו בשאר האמנויות: הציור המופשט (וסילי קנדינסקי), תיאטרון האבסורד (אז'ן יונסקו), המחול המודרני (מרתה גרהם) ועוד.ג'אזבתחילת המאה ה-20 התפתח סגנון מוזיקלי (ז'אנר) חדש הידוע בשם ג'אז (אנגלית: jazz). הג'אז הפך לאחד מסגנונות המוזיקה החשובים ביותר. זהו סגנון מוזיקלי שמקורו בהיתוך של מסורות מוזיקליות אפריקאיות ואירופאיות אשר התרחש בתחילת המאה ה-20 בקהילות אפרו-אמריקאיות בדרום ארצות הברית. שורשיו המערב אפריקאים ניכרים בשימוש שלו בבלו נוטס, אלתור, פוליריתמיקה, סינקופות ושמיניות סווינג.הג'אז ספח לתוכו, מתחילת דרכו ועד היום, קטעים נבחרים מהמוזיקה הפופולרית האמריקאית של המאה ה-19 והמאה ה-20.בנוסף הוא הוליד מגוון של תתי-סגנונות, מהדיקסילנד של ניו אורלינס בעשור השני של המאה ה-20 ועד הפיוז'ן בשנות ה-70 וה-80.מוזיקה פופולריתמרכיבי המוזיקהההיבטים המוסכמים והמוגדרים אשר מרכיבים כל צליל וצליל אותו אנחנו שומעים, כותבים או מנגנים במוזיקה הם גובה (תדר), משך, צבע או גוון ועוצמה או משרעת של הצליל. בנוסף לאלה, אנו שומעים גם צלילים עיליים והרמוניות. תדר, כאמור הוא גובה הצליל - הצלילים נעים בין נמוכים לגבוהים (ילדים נוהגים להשתמש במונחים "דק" ו"עבה"). ישנם צלילים שלהם אין גובה מוגדר. משך הוא, פשוטו כמשמעו, הזמן שאורך הצליל. צבע וגוון הם תכונות המיוחסות להבדל בין צלילים המפיקים כלי נגינה ובני אדם שונים, כלומר, גוון הצליל של קונטרבס שונה מגוון הצליל של חצוצרה. בנוסף גם השקט הוא היבט במוזיקה, בהיותו שקט מדוד בין שני צלילים. למעשה כל צליל שאנו שומעים בוקע מתוך ה"שקט" של מקום ההאזנה שלעיתים אינו שקט כל כך, שקט כמעט מוחלט קיים רק בחדרים שקטים במעבדות מיוחדות העוסקות באקוסטיקה. המוזיקה יוצאת תמיד מתוך גודל נמוך של רעש המלווה אותה לכל אורכה וממשיך גם עם סיומה. כך ש"שקט" זה הוא חלק בלתי נפרד מן המוזיקה.תיוויאת שמות התווים ואת החמשה המוזיקלית המציא במאה ה-11 נזיר איטלקי בשם גווידו ד'ארצו. הדרך שבה מועברת מוזיקה ממוזיקאי למוזיקאי היא בדרך כלל בתווים (אף על פי שלעיתים קרובות מועברת מוזיקה באמצעות האוזן, כלומר, המבצע לומד את היצירה משמיעה בלבד, ללא הסברים בכתב או תווים). יצירות תזמורתיות נכתבות בפרטיטורה, המשמשת את המנצח, וכל נגן מקבל תווים עם התפקיד שנועד לקבוצת הכלים שלו, לפי הצורך. ביצירות כוראליות גדולות תקבל כל קבוצת קולות במקהלה את תווי התפקיד המיועד לה ואילו ביצירות קטנות, כגון כוראלים או לידר, שרים כל חברי המקהלה מדפי תווים, המכילים את כל התפקידים. התווים המוכרים כיום החלו להתפתח באירופה במאה ה-14 בערך, מן הנוימות והתווים המרובעים שקדמו להם. בדפי התווים מצוינים כל ההיבטים המוזיקליים שהוזכרו קודם - גובה, משך, עוצמה, צבע וגוון. לעיתים מצוינים בתיווי גם דברים נוספים, כמו קצב, אופי המוזיקה, אווירה, או מהלך הרמוני. (ראו בס ממוספר והוראות ביצוע מוזיקליות).מופע מוזיקליתרבויות רבות כוללות מסורת חזקה של הופעת סולו, היא הופעת היחיד. במוזיקה הקלאסית ההודית למשל ישנו דגש חזק מאוד על סולו. לעומתה, בתרבויות אחרות, כמו במוזיקה הקלאסית המערבית ישנו דגש על הרכבים (אנסמבלים) גדולים יותר, כמו מקהלה, תזמורת סימפונית או קאמרית והרכבים של מוזיקה קאמרית, משני נגנים או זמר וכלי ליווי (דואו) עד תשעה נגנים. למרות זאת, גם במוזיקה קלאסית מערבית, ישנן הופעות סולו לא מעטות. עם התפתחות המוזיקה לכיוון מודרני יותר, נוצרו הרכבים חדשים אשר כוללים עד חמישה מוזיקאים, בעיקר בתחום הג'אז והמוזיקה הקלה - להקת רוק, להקת בנים, להקת בנות וכו'.הלחנה, אלתור ופרשנות אישיתברוב התרבויות המוזיקליות ישנה אחידות כלשהי בדרך יצירת המוזיקה, יצירה מראש. יצירה של מוזיקה מראש נקראת הלחנה, ואילו יצירה של מוזיקה "תוך כדי" נקראת אלתור. ישנן טכניקות רבות של הלחנה, המשתנות מתרבות לתרבות. אלתור נפוץ בעיקר בג'אז ובמוזיקה ערבית. ברוב התרבויות נעשית גם פרשנות אישית למוזיקה הכתובה, כלומר - הנגן המבצע מנסה להוסיף את דעתו או הרגשותיו על המוזיקה, ומשנה היבט אחד או יותר מתוך ההיבטים המרכיבים את היצירה המוזיקלית. מכך אפשר להסיק כי אין שני ביצועים זהים לחלוטין של קטע מוזיקלי אחד.היבטים תרבותיים וחברתייםלאורך ההיסטוריה הועלו השערות שונות לגבי שימוש במוזיקה לצורך הנעה וריפוי בני אדם. בסיפורי מיתולוגיה נורדית, מיתולוגיה יוונית ומיתולוגיה פרסית שונות, כמו סיפורי שודדי ים תוארו סירנות, בנות ים, ודיאדרות כיצורים מיתולוגיים המפתים ומניעים אנשים דרך שירה לביצוע פעולות שונות. בסיפור המקראי שאול ודוד (שמואל א, פרק טז), עבדי שאול הציעו לשאול להביא לפניו אדם שינגן עבורו כדי להרגיעו מהמרה השחורה בה היה נתון . בימי הביניים נכתבו סיפורים שונים כמו החלילן מהמלין אודות תגובות בעלי חיים למוזיקה, ובהעת החדשה מלחינים כמו לודוויג ואן בטהובן החלו להשתמש במוזיקה כאמצעי להרגעת הנפש ולפיתוח ההכרה, אפקט מוצרט, כמו לצורך ריפוי. יש הטוענים כי ראה את יצירותיו המוזיקליות כצבע שהעלה על כתב בתווים.החל מהמאה ה-20 החלו לראות במוזיקה מקומית, עממית או לאומית, אמצעי לגיבוש זהות לאומית כמו גורם היכול לגבש את האזרחים לאומית. בנוסף להרגיע, למתן ולגשר עימותים ויריבויות: חברתיים, כלכליים, אתניים ולאומיים. כמו לחבר בין אנשים מתרבויות, מסורות והשתייכות מגזריות ועדתיות שונות. אך גם כאמצעי לשכחה.בתרבויות רבות המוזיקה שזורה בחיי האדם. הפילוסופים היוונים וההודים העתיקים הגדירו את המוזיקה כצלילים המסודרים ב"מאוזן" כמלודיות או ב"מאונך" כהרמוניות. ביטויים נפוצים כגון "ההרמוניה של גרמי השמים" או "זו מוזיקה לאוזניי" מצביעים על כך שמוזיקה היא לעיתים קרובות מסודרת היטב ונעימה לשמיעה. עם זאת, המלחין בן המאה ה-20 ג'ון קייג' חשב כי כל צליל עשוי להוות מוזיקה, ואמר לדוגמה כי "אין רעש רק צלילים". המוזיקולוג ז'אן ז'אק נטייה אמר, .היבטים פסיכולוגייםהשפעות נוירולוגיות בעת שמיעת מוזיקה מתרחשת פעילות מוגברת באזורים שונים במוח, שאחראים על עיבוד הצליל ופירוקו לגורמים, כמו מלודיה וקצב. אזורים אלה משתתפים בחלקים שונים בתהליך, עד שלבסוף מתאחד הקלט לשלמות אחת. ממצאים אחרונים מראים, שמוזיקה משפיעה גם על תפקוד הגוף בכללותו. למשל, מחקרים אחרונים מראים, ששמיעת מוזיקה מעודדת, מהירה או איטית, בעת ריצה משפרת את התוצאות הסופיות בהשוואה לנבדקים, ששמעו מוזיקה רגועה או שלא שמעו מוזיקה כלל. מוזיקה גם נוטה להפחתת לחץ. מחקרים נוספים מראים כי מוזיקה משפיעה גם על תהליך השינה, ושיפרה את השינה של הנבדקים, ששמעו מוזיקה קלאסית כ־45 דקות לפני שהלכו לישון.אדם המנגן בכלי נגינה מפיק תועלת נוספת משמיעת מוזיקה וניגונה כאחד - במוחו של המנגן בכלי מוזיקלי מסוים "נדלקים", או מופעלים במקביל אזורים רבים, המעבירים מידע שעיבדו בקשרים מהירים ומורכבים במוח. למעשה, נגינת מוזיקה מפעילה כמעט את כל אזורי המוח במקביל. בתוכם נמצא במיוחד החלק השמיעתי, החלק המוטורי והחלק הוויזואלי. נגינה בכלי מוזיקלי מערבת פעילות של 2 האונות של המוח (הימנית והשמאלית). היא משלבת גם את הדיוק המתמטי, שבו מתמחה בעיקר האונה השמאלית (אם כי גם האונה השנייה מעורבת בתהליך זה, אבל בעוצמה נמוכה יותר) ואת החלק היצירתי, שבו מתמחה (שוב, בעיקר) האונה הימנית. למעשה, מוזיקה מגבירה את העוצמה והפעילות בכפיס המוח, באופן שמאפשר מעבר מידע מהיר יותר ובעל קשרים מגוונים יותר במוח. משום כך מיוחסות למוזיקאים יכולות גבוהות יותר בתחומים רבים, משום שנגינה בכלי גורמת להפעלתם של אזורים במוח, האחראיים על אסטרטגיות למידה, תכנון ותשומת לב לפרטים. למוזיקאים אלו מיוחס גם זיכרון בעל יכולות מוגברות, המתבטאות בשמירה, אחסון ויעילות גבוהה יותר של הזיכרון האנושי. מדענים אבחנו אצל נגנים נטייה להצמיד מעין "תגים" לכל זיכרון, כמו למשל תג קונספטואלי, תג רגשי, תג שמיעתי ותג לפי הקשר.אך לא כל האנשים מושפעים ממוזיקה, חוקרים ספרדיים גילו תופעה בשם אנהדוניה מוזיקלית, אשר הלוקים בה לא מושפעים ממוזיקה, למרות ששאר ההשפעות הרגשיות ההנאתיות שלהם נורמליות. בתופעה זו לוקים כשלושה אחוזים מן העולם.שמיעה בעוצמה גבוה מידי עלולה להשפיע על תפקוד האוזן ולגרום לנזקי רעש.תרפיה ממוקדת במוזיקהעד תחילת המאה ה-20 מחקרים בתחום חקר הקוגניציה לרוב התמקדו בחקר תגובות כלליות ותגובות קוגניטיבית של בני אדם לכתבי קריאה וחדשות. החל משנת 2010 החלה להתחזק בישראל תחום חקר הקוגניציה בשימוש ושמיעת מוזיקה, כמו חקר התגובות הפיזיולוגית שיש לשמיעת מוזיקה על גוף האדם.המוזיקה ביהדות ביהדות שירת הלוויים הייתה חלק אינטגרלי מעבודות הקודש בבית המקדש. כמו כן בתנך עבודת המנגן שימשה ככלי לריפוי בעיות נפשיות כפי שאפשר לראות בתנ"ך: "וְהָיָה, בִּהְיוֹת רוּחַ-אֱלֹהִים אֶל-שָׁאוּל, וְלָקַח דָּוִד אֶת-הַכִּנּוֹר, וְנִגֵּן בְּיָדוֹ; וְרָוַח לְשָׁאוּל וְטוֹב לוֹ, וְסָרָה מֵעָלָיו רוּחַ הָרָעָה". (שמואל א, פרק טז, פסוק כג) וסוגה נפוצה בכתיבה התנכית היא שירה כפי שאפשר לראות בשירת מרים, שירת דבורה, שירת הים ועוד. החסידות פיתחה את סוגת הניגונים חסידיים כאשר היא רואה ביכולת לשיר מוזיקה ללא מילים כחלק חשוב בעבודת השם, ישנם ניגונים אשר שמורים לאירועים מיוחדים, כאשר הבולט שבהם הוא ניגון ארבע בבות אותו תיקן מייסד חסידות חב"ד המנוגן בחתונות ובימי שמחה מיוחדים אך לא בימות החול. בימי אבלות כמו למשל בספירת העומר ובימי בין המצרים נהוג להפסיק לשמוע מוזיקה.ראו גם הרכב קאמרי תזמורת מקהלה אפקט מוצרט מוזיקה שחורה תולדות המוזיקה תאוריית המוזיקה - מונחיםלקריאה נוספת תרפיה במוזיקה ופיזיותרפיה עם בנות תסמונת רט: גישה טרנס-דיסציפלינרית / כוכבית אלפנט, מאיר לוטן סוגיות בחינוך מיוחד ובשיקום, 13 (2): 89-97, 1999 נפתלי נורמן לברכט, אנציקלופדיה למוזיקה של המאה העשרים, בתרגום שלומית קדם, הוצאת לדורי, 1996. ג'ון סטנלי, מוזיקה קלאסית, הוצאת שבא, 1995. מילטון קרוס ודוד אבן, אנציקלופדיה של גדולי המוזיקה ויצירותיהם, בתרגום שלומית קדם וא. שן ארי, הוצאת לדורי. בארי קרנפלד, Grove Dictionary of Jazz, הוצאת אוניברסיטת אוקספורד. סטנלי סיידי וג'ון טיירל, Grove Dictionary of Music and Musicians, הוצאת אוניברסיטת אוקספורד. ליאונרד ברנשטיין, חדוות המוזיקה, הוצאת רשפים, 1960, תרגום יהואש הירשברג ליאונרד ברנשטיין, רבגוניותה של המוזיקה, הוצאת רשפים, 1973, תרגום יצחק הירשברג ושלומית הירשברג יהואש הירשברג, המוזיקה, המוזיקאי והמאזין, הוצאת רשפים מוזיקה: האמנות המרפאה - שילוב מוזיקה בטיפולי כוויות בילדים כאמצעי להפחתת כאב וחרדה- פינצ'וק, שירה (אחות),האחות בישראל, 172: 21-25, 2005קישורים חיצוניים AllMusic - מקור מידע לגבי אמנים, אלבומים, סגנונות וזרמים במוזיקה. מומה - מקור מידע עברי העוסק במוזיקאים ולהקות. אמנדה פאלמר: האמנות לבקש – על מוזיקה חופשית. הרצאה באנגלית מאתר TED עם כתוביות בעברית . . .מוזיקה בספרייה הלאומית - אוסף המוזיקה וארכיון הצלילהערות שולייםאמנותאמנות הבמהבידור
55	https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%98%D7%99%D7%A4%D7%95%D7%A1%20%D7%A7%D7%99%D7%A8%D7%95%D7%AA	טיפוס קירות	טיפוס על קירות הוא ענף ספורט אתגרי שבו על הספורטאי להגיע בטיפוס לסופו של מסלול על הקיר, תוך שימוש באחיזות ידיים ורגליים, המפוזרות על הקיר ומחוברות אליו בברגים. מסלולים על קירות טיפוס אינם תמיד מאונכים. למעשה, ניתן לבנות מסלולים קשים יותר או פחות על פי שיפוע הקיר ("חיובי" - קל, אנכי - בינוני ו"שלילי" או "גג" - קשה) ועל פי גודל האחיזות (אחיזות גדולות ליד שלמה - "ג'אגים", אחיזה בינוניות וקטנות לקצות האצבעות בלבד - "קרימפים", אחיזות שהן חורים לאצבעות - "פוקטים" או אחיזות חלקות של חיכוך -"סלופרים". האחיזות עשויות בדרך כלל מיציקה של פוליאסטר מוקשה, עם חומרי מילוי שונים. טיפוס על קירות הוא ענף ספורט חדש יחסית, ומוצאו מטיפוס המצוקים. ספורט זה נפוץ באירופה ובצפון אמריקה וחודר אט אט לישראל. קירות טיפוס עשויים ממגוון של חומרים, החל בקירות בטון או אבן, דרך קירות עץ (שבדרך כלל מצופים בשכבה להגברת חיכוך) וכלה בלוחות שנוצרו במיוחד למטרה זו מיריעות פיברגלס ויציקות פוליאסטר, ועשויים לכלול תבליטים שונים, ביניהם מרקמים דמויי סלע. מכיוון שטיפוס על קירות מציב את הספורטאי לעיתים בגובה רב הוא טומן בחובו סכנה מרובה. יש לשים דגש רב על בטיחות ועל האופן בו הספורטאי מאובטח. אדם המעוניין לעסוק בטיפוס יכול לעשות זאת ללא כל ציוד מיוחד (למעט ציוד האבטחה שבדרך כלל מסופק במלואו בקירות הטיפוס). עם זאת, מטפסים מקצוענים נעזרים בנעליים מיוחדות, דקות במיוחד, המספקות חיכוך גבוה (הדומות במראן לנעלי בלט) וגם באבקה הסופגת את הזיעה בכפות הידיים. האבקה נקראת בארץ מגנזיום מכיוון שהיא עשויה ברובה ממגנזיום קרבונט. ככלל ניתן לחלק את טיפוס הקירות למספר תחומים: Top Rope הובלה בולדרינג תחרויות תחרויות טיפוס התחילו בשנות ה-40 של המאה ה-20 בברית המועצות, בתחרויות השתתפו מטפסים מברית המועצות שהתחרו במהירות הטיפוס. בשנת 1985 אסף עיתונאי הספורט האיטלקי עמנואל קסארה (Emanuele Cassarà) את המטפסים הטובים באירופה וערך תחרות על מצוק טבעי בעמק סטרטה (Valle Stretta), לא רחוק מהעיר טורינו. בתחרות זו ניצח הגרמני סטפן גלובץ' (Stefan Glowacz). שם התחרות היה "Sportroccia", כלומר - סלע ספורטיבי. בשנת 1986 נערכו שתי תחרויות. הראשונה בארקו (Arco) שבאיטליה, על סלע טבעי, ובה ניצחו הצרפתים פאטריק אדלנג'ה (Patrick Edlinger) וקתרין דסטיבל (Catherine Destivell). כ-10000 צופים הגיעו לצפות במקצה הגמר ואת התחרות צילמו, פרט לצלמי הסטילס, גם שבעה ערוצי טלוויזיה. התחרות הראשונה על קיר מלאכותי התקיימה ליד העיר ליון שבצרפת, בשנת 1986. בסוף שנות ה-80 של המאה ה-20 פותחה שיטת סבב התחרויות המוכרת כיום ונערכו תחרויות הגביע העולמי (World Cup). בתחילת שנות ה-90 של המאה ה-20 התקיימו מספר תחרויות בכל שנה, נוספו תחרויות בארצות הברית וביפן. אליפות העולם (World Championship) הראשונה נערכה בפרנקפורט, גרמניה בשנת 1991. אליפות העולם הראשונה לנוער נערכה בשנת 1992. הענף הפך לאולימפי במשחקים האולימפיים שנערכו בטוקיו בשנת 2021. בישראל מתקיימות תחרויות משנת 1998. התחרות הראשונה נערכה בקיר איילת, ומיד אחריה נערכה תחרות נוספת במגדל העמק, על "קיר שגיא", שמאוחר יותר הועבר לרמת ישי. סוגי תחרויות קושי (difficulty) בתחרויות קושי המטרה היא להגיע כמה שיותר גבוה על מסלול שנבנה לשם כך במיוחד על קיר מלאכותי. המסלול עובר דרך רצף של אחיזות ממוספרות. רמת הקושי של הצעדים עולה בהדרגה, וכל צעד קשה מכל קודמיו. המטפס/ת מקבלים ניקוד בהתאם לאחיזה האחרונה אשר הגיעו אליה. מלבד תחרויות של ילדים צעירים מאוד, מתחרים כאשר הטיפוס מתבצע בהובלה, ובדרך כלל בלי ידע קודם על המסלול. המתחרים מוחזקים בבידוד ואינם יכולים לצפות באחרים בזמן הטיפוס. לפני תחילת התחרות מקבלים המתחרים זמן (בדרך כלל כ 5–6 דקות) כדי להתבונן ולתכנן את הניסיון שלהם על המסלול (אך לא לגעת באחיזות או לראות כיצד מטפסים עליו). התחרויות האלה נחשבות ליוקרתיות מבין שלושת סוגי התחרויות. סבב גביע העולם נודד ממדינה למדינה במשך השנה ובו מתחרים מיטב המטפסים בעולם. אחת לשנתיים מתקיימת אליפות עולם. תחרות יוקרתית נוספת נקראת rock masters המתקיימת פעם בשנה ואליה מוזמנים חמשת המטפסים וחמש המטפסות הטובים ביותר באותה שנה - בתחרות זו מתחרים בשיטה שונה, בה לכל מטפס/ת יש הזדמנות "לעבוד" על המסלול במשך זמן קצוב - ואחריו יש לו/ה הזדמנות לנסות לטפס אותו. עקב כך בתחרויות אלו רמת הטיפוס היא גבוהה ביותר. סבב התחרויות השנתי בישראל (כ 4–5 תחרויות בשנה), מתקיים בקירות טיפוס השונים, בו מתחרים ילדים נוער ובוגרים (גברים ונשים). ביחס לרמה העולמית הרמה הכללית של הבוגרים/ בוגרות בארץ היא בינונית ומטה, בגילאי הנוער הרמה גבוהה יותר ומטפסים ומטפסות ישראלים הגיעו להשגים מכובדים בתחרויות בינ"ל. מהירות (speed climbing) בתחרויות מהירות המטרה היא להגיע לסוף המסלול כמה שיותר מהר - ללא נפילה. תחרויות אלו מאופיינות במסלולים קלים מאוד ביחס לאלו שבתחרויות הקושי. האבטחה היא בשיטת טופ-רופ. בעולם מתקיים סבב תחרויות במקביל לגביע העולם ב - difficulty. תחרויות ה - speed נחשבות פחות יוקרתיות ויותר "כיפיות" מתחרויות קושי ובולדרינג. בישראל תחרויות מהירות אינן מתקיימות באופן סדיר, לעיתים מתקיימת תחרות speed בתור תחרות ראווה במקביל לתחרות קושי. בולדרינג (bouldering) בתחרויות אלו מטרת המטפס היא לסיים בעיית בולדרינג (על קיר מלאכותי) בזמן קצוב. הזמן המוקצב לטיפוס הבעיה כולל בתוכו גם את הכרתה ומציאת הדרך לפתרונה. המטפס יכול לבצע מספר לא מוגבל של ניסיונות לטפס את הבעיה, אך עליו להשלים פעם אחת את הבעיה מתחילתה ועד סופה ברצף - (ללא נפילה ובתוך הזמן שנקבע, בדרך כלל כ - 5 דקות), על מנת לזכות בניקוד עבור הבעיה. בדרך כלל יקבל כל מטפס כ-5–6 בעיות לפתרון במהלך התחרות. תחרויות הבולדרינג צוברות פופולריות גדלה והולכת עקב היותה של התחרות אטרקטיבית לצופים מכיוון שהטיפוס מאוד אינטנסיבי, מאוד אתלטי ואסתטי, וקצב התרחשות הדברים מהיר ואטרקטיבי יותר מסוגי התחרויות האחרים. קיים סבב תחרויות גביע העולם בבולדרינג, וכמו כן ישנן תחרויות בולדרינג נוספות במסגרות פרטיות כמו X-games, world games ותחרויות נוספות. בישראל תחרויות הבולדרינג מתחילות לצבור תאוצה ובשנתיים האחרונות מתקיים סבב תחרויות בולדרינג (5 תחרויות בשנה לא כולל גמר) בו מתחרים (קטגוריות גיל) 6-9, 10-12, 13-15, 16-17, 18+ הענף מאוגד בארץ תחת מועדון המטפסים הישראלי, אשר מארגן מספר תחרויות מדי שנה. קישורים חיצוניים "קיר טיפוס" באנציקלופדיית הטיפוס פורטל קירוטיפוס - מגזין ישראלי לקירות טיפוס קליימברס - קהילת מטפסים בישראל הערות שוליים טיפוס טיפוס ספורטיבי	טיפוס על קירות הוא ענף ספורט אתגרי שבו על הספורטאי להגיע בטיפוס לסופו של מסלול על הקיר, תוך שימוש באחיזות ידיים ורגליים, המפוזרות על הקיר ומחוברות אליו בברגים.מסלולים על קירות טיפוס אינם תמיד מאונכים. למעשה, ניתן לבנות מסלולים קשים יותר או פחות על פי שיפוע הקיר ("חיובי" - קל, אנכי - בינוני ו"שלילי" או "גג" - קשה) ועל פי גודל האחיזות (אחיזות גדולות ליד שלמה - "ג'אגים", אחיזה בינוניות וקטנות לקצות האצבעות בלבד - "קרימפים", אחיזות שהן חורים לאצבעות - "פוקטים" או אחיזות חלקות של חיכוך -"סלופרים".האחיזות עשויות בדרך כלל מיציקה של פוליאסטר מוקשה, עם חומרי מילוי שונים.טיפוס על קירות הוא ענף ספורט חדש יחסית, ומוצאו מטיפוס המצוקים. ספורט זה נפוץ באירופה ובצפון אמריקה וחודר אט אט לישראל.קירות טיפוס עשויים ממגוון של חומרים, החל בקירות בטון או אבן, דרך קירות עץ (שבדרך כלל מצופים בשכבה להגברת חיכוך) וכלה בלוחות שנוצרו במיוחד למטרה זו מיריעות פיברגלס ויציקות פוליאסטר, ועשויים לכלול תבליטים שונים, ביניהם מרקמים דמויי סלע.מכיוון שטיפוס על קירות מציב את הספורטאי לעיתים בגובה רב הוא טומן בחובו סכנה מרובה. יש לשים דגש רב על בטיחות ועל האופן בו הספורטאי מאובטח.אדם המעוניין לעסוק בטיפוס יכול לעשות זאת ללא כל ציוד מיוחד (למעט ציוד האבטחה שבדרך כלל מסופק במלואו בקירות הטיפוס). עם זאת, מטפסים מקצוענים נעזרים בנעליים מיוחדות, דקות במיוחד, המספקות חיכוך גבוה (הדומות במראן לנעלי בלט) וגם באבקה הסופגת את הזיעה בכפות הידיים. האבקה נקראת בארץ מגנזיום מכיוון שהיא עשויה ברובה ממגנזיום קרבונט.ככלל ניתן לחלק את טיפוס הקירות למספר תחומים:Top Ropeהובלהבולדרינגתחרויותתחרויות טיפוס התחילו בשנות ה-40 של המאה ה-20 בברית המועצות, בתחרויות השתתפו מטפסים מברית המועצות שהתחרו במהירות הטיפוס. בשנת 1985 אסף עיתונאי הספורט האיטלקי עמנואל קסארה (Emanuele Cassarà) את המטפסים הטובים באירופה וערך תחרות על מצוק טבעי בעמק סטרטה (Valle Stretta), לא רחוק מהעיר טורינו. בתחרות זו ניצח הגרמני סטפן גלובץ' (Stefan Glowacz). שם התחרות היה "Sportroccia", כלומר - סלע ספורטיבי.בשנת 1986 נערכו שתי תחרויות. הראשונה בארקו (Arco) שבאיטליה, על סלע טבעי, ובה ניצחו הצרפתים פאטריק אדלנג'ה (Patrick Edlinger) וקתרין דסטיבל (Catherine Destivell). כ-10000 צופים הגיעו לצפות במקצה הגמר ואת התחרות צילמו, פרט לצלמי הסטילס, גם שבעה ערוצי טלוויזיה. התחרות הראשונה על קיר מלאכותי התקיימה ליד העיר ליון שבצרפת, בשנת 1986.בסוף שנות ה-80 של המאה ה-20 פותחה שיטת סבב התחרויות המוכרת כיום ונערכו תחרויות הגביע העולמי (World Cup). בתחילת שנות ה-90 של המאה ה-20 התקיימו מספר תחרויות בכל שנה, נוספו תחרויות בארצות הברית וביפן. אליפות העולם (World Championship) הראשונה נערכה בפרנקפורט, גרמניה בשנת 1991. אליפות העולם הראשונה לנוער נערכה בשנת 1992. הענף הפך לאולימפי במשחקים האולימפיים שנערכו בטוקיו בשנת 2021.בישראל מתקיימות תחרויות משנת 1998. התחרות הראשונה נערכה בקיר איילת, ומיד אחריה נערכה תחרות נוספת במגדל העמק, על "קיר שגיא", שמאוחר יותר הועבר לרמת ישי.סוגי תחרויותקושי (difficulty)בתחרויות קושי המטרה היא להגיע כמה שיותר גבוה על מסלול שנבנה לשם כך במיוחד על קיר מלאכותי. המסלול עובר דרך רצף של אחיזות ממוספרות. רמת הקושי של הצעדים עולה בהדרגה, וכל צעד קשה מכל קודמיו. המטפס/ת מקבלים ניקוד בהתאם לאחיזה האחרונה אשר הגיעו אליה.מלבד תחרויות של ילדים צעירים מאוד, מתחרים כאשר הטיפוס מתבצע בהובלה, ובדרך כלל בלי ידע קודם על המסלול. המתחרים מוחזקים בבידוד ואינם יכולים לצפות באחרים בזמן הטיפוס. לפני תחילת התחרות מקבלים המתחרים זמן (בדרך כלל כ 5–6 דקות) כדי להתבונן ולתכנן את הניסיון שלהם על המסלול (אך לא לגעת באחיזות או לראות כיצד מטפסים עליו).התחרויות האלה נחשבות ליוקרתיות מבין שלושת סוגי התחרויות. סבב גביע העולם נודד ממדינה למדינה במשך השנה ובו מתחרים מיטב המטפסים בעולם. אחת לשנתיים מתקיימת אליפות עולם.תחרות יוקרתית נוספת נקראת rock masters המתקיימת פעם בשנה ואליה מוזמנים חמשת המטפסים וחמש המטפסות הטובים ביותר באותה שנה - בתחרות זו מתחרים בשיטה שונה, בה לכל מטפס/ת יש הזדמנות "לעבוד" על המסלול במשך זמן קצוב - ואחריו יש לו/ה הזדמנות לנסות לטפס אותו. עקב כך בתחרויות אלו רמת הטיפוס היא גבוהה ביותר.סבב התחרויות השנתי בישראל (כ 4–5 תחרויות בשנה), מתקיים בקירות טיפוס השונים, בו מתחרים ילדים נוער ובוגרים (גברים ונשים). ביחס לרמה העולמית הרמה הכללית של הבוגרים/ בוגרות בארץ היא בינונית ומטה, בגילאי הנוער הרמה גבוהה יותר ומטפסים ומטפסות ישראלים הגיעו להשגים מכובדים בתחרויות בינ"ל.מהירות (speed climbing)בתחרויות מהירות המטרה היא להגיע לסוף המסלול כמה שיותר מהר - ללא נפילה. תחרויות אלו מאופיינות במסלולים קלים מאוד ביחס לאלו שבתחרויות הקושי.האבטחה היא בשיטת טופ-רופ. בעולם מתקיים סבב תחרויות במקביל לגביע העולם ב - difficulty. תחרויות ה - speed נחשבות פחות יוקרתיות ויותר "כיפיות" מתחרויות קושי ובולדרינג.בישראל תחרויות מהירות אינן מתקיימות באופן סדיר, לעיתים מתקיימת תחרות speed בתור תחרות ראווה במקביל לתחרות קושי.בולדרינג (bouldering) בתחרויות אלו מטרת המטפס היא לסיים בעיית בולדרינג (על קיר מלאכותי) בזמן קצוב. הזמן המוקצב לטיפוס הבעיה כולל בתוכו גם את הכרתה ומציאת הדרך לפתרונה.המטפס יכול לבצע מספר לא מוגבל של ניסיונות לטפס את הבעיה, אך עליו להשלים פעם אחת את הבעיה מתחילתה ועד סופה ברצף - (ללא נפילה ובתוך הזמן שנקבע, בדרך כלל כ - 5 דקות), על מנת לזכות בניקוד עבור הבעיה. בדרך כלל יקבל כל מטפס כ-5–6 בעיות לפתרון במהלך התחרות.תחרויות הבולדרינג צוברות פופולריות גדלה והולכת עקב היותה של התחרות אטרקטיבית לצופים מכיוון שהטיפוס מאוד אינטנסיבי, מאוד אתלטי ואסתטי, וקצב התרחשות הדברים מהיר ואטרקטיבי יותר מסוגי התחרויות האחרים.קיים סבב תחרויות גביע העולם בבולדרינג, וכמו כן ישנן תחרויות בולדרינג נוספות במסגרות פרטיות כמו X-games, world games ותחרויות נוספות.בישראל תחרויות הבולדרינג מתחילות לצבור תאוצה ובשנתיים האחרונות מתקיים סבב תחרויות בולדרינג (5 תחרויות בשנה לא כולל גמר) בו מתחרים (קטגוריות גיל)6-9,10-12,13-15,16-17,18+ הענף מאוגד בארץ תחת מועדון המטפסים הישראלי, אשר מארגן מספר תחרויות מדי שנה.קישורים חיצוניים "קיר טיפוס" באנציקלופדיית הטיפוספורטל קירוטיפוס - מגזין ישראלי לקירות טיפוס קליימברס - קהילת מטפסים בישראלהערות שולייםטיפוסטיפוס ספורטיבי
64	https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A7%D7%95%D7%93%20%D7%A4%D7%AA%D7%95%D7%97	קוד פתוח	"קוד פתוח משמש בעולם התוכנה לציון תוכנה שקוד המקור שלה (...TRUNCATED)	"קוד פתוח משמש בעולם התוכנה לציון תוכנה שקוד המקור שלה (...TRUNCATED)
72	https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A2%D7%91%D7%93	מעבד	"מעבד, או בשמו המלא יחידת עיבוד מרכזית (באנגלית: CPU - Central (...TRUNCATED)	"מעבד, או בשמו המלא יחידת עיבוד מרכזית (באנגלית: CPU - Central (...TRUNCATED)
76	https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A6%D7%92	צג	"__ללא_תוכן_עניינים__\n\nצג (מִרְקָע או מַצָּג; מכונה גם מָ(...TRUNCATED)	"__ללא_תוכן_עניינים__צג (מִרְקָע או מַצָּג; מכונה גם מָסָ(...TRUNCATED)
83	"https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%9C%D7%91%D7%A8%D7%98%20%D7%90%D7%99%D7%99%D7%A0%D7%A9%D7%98(...TRUNCATED)	אלברט איינשטיין	"אלברט איינשטיין (בגרמנית: Albert Einstein, ; 14 במרץ 1879 – 18 באפר(...TRUNCATED)	"אלברט איינשטיין (בגרמנית: Albert Einstein, ; 14 במרץ 1879 – 18 באפר(...TRUNCATED)
89	https://he.wikipedia.org/wiki/PHP	PHP	"PHP (ראשי תיבות רקורסיביים של PHP Hypertext Preprocessor, שבמקור התב(...TRUNCATED)	"PHP (ראשי תיבות רקורסיביים של PHP Hypertext Preprocessor, שבמקור התב(...TRUNCATED)
97	https://he.wikipedia.org/wiki/Athlon	Athlon	"Athlon הוא מותג לסדרת מעבדים מסוג X86 המתוכננים ומיוצרים ע(...TRUNCATED)	"Athlon הוא מותג לסדרת מעבדים מסוג X86 המתוכננים ומיוצרים ע(...TRUNCATED)
108	https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%A8%D7%A0%D7%98	אינטרנט	"האינטרנט (בעברית: מִרְשֶׁתֶת) הוא רשת תקשורת נתונים בה(...TRUNCATED)	"האינטרנט (בעברית: מִרְשֶׁתֶת) הוא רשת תקשורת נתונים בה(...TRUNCATED)

End of preview. Expand in Dataset Viewer.

Dataset Card for "wikipedia_20230601_he"

More Information needed

Downloads last month: 47

Size of downloaded dataset files:

Size of the auto-converted Parquet files:

Number of rows: