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[ "<p>이 장에서는 기수의 공리론적 개념을 소개하고 기수의 연산(덧셈, 곱셈)과 기수의 다양한 성질, 연속체 가설에 관하여 알아본다.", "</p><h1>5.1 기수의 개념</h1><p>인류의 역사와 더불어 수의 크기에 관한 개념은 우리 생활 속에서 밀접하게 관련되어 있다.", "이를테면, \\[ 2+3=5,4<7,5 \\times 7=35 \\] 등이다.", "</p><p>앞에서 언급했듯이 집합에서 대등관계는 동치관계임을 알았다.", "이 관계에 의하여 “집합들의 모임”을 동치류로 분할할 수 있다.", "즉, 같은 동치류에 속하는 모든 집합들은 원소의 개수가 같다.", "그런데 유한집합 \\( X \\) 인 경우에는 그 집합에 상응하는 자연수의 부분집합 \\( \\mathbb{N}_{k}=\\{1,2,3, \\cdots, k\\} \\) 와 대등하므로 쉽게 그 집합 \\( X \\) 의 원소의 개수의 크기를 \\( k \\) 라고 쉽게 정의할 수 있다.", "그러나 무한집합인 경우에는 유한한 자연수 부분집합 범위 내에서 주어진 집합의 크기를 정의할 수 없어서 수의 확장이 필요하다.", "따라서 모든 집합에 사용할 수 있도록 대등관계에 의해 생성된 동치류가 공통으로 지니고 있는 성질을 기수(cardinal number) 또는 농도(cardinality)라고 부르고 임의의 집합 \\( X \\) 에 대한 기수를 \\( \\operatorname{card} X \\) 로 표현한다.", "즉, 집합 \\( A \\) 의 기수를 \\( A \\) 와 대등한 모든 집합들이 공통으로 가지는 성질이라고 알아두자.", "</p><p>한편 기수에 관한 다음의 공리(axiom)를 공준(公準)으로 하여 기수를 이해하면 매우 편리하다.", "</p><p>[기수의 공리(axiom of Cardinality)] \\( C \\)-\\(1\\).", "각 집합 \\( X \\) 에 대하여 \\( \\operatorname{card} X \\) 로 표시된 하나의 기수가 정해지고 각 기수 \\( \\alpha \\) 에 대하여 \\( \\alpha \\) 의 크기를 갖는 하나의 집합 \\( X \\) 가 존재한다. \\", "( C \\)-\\(2\\). \\", "( X=\\phi \\) 이면, 그리고 그때에만 \\( \\operatorname{card} X=0 \\) 이다. \\", "( C \\)-\\(3\\).", "유한집합 \\( X(\\neq \\phi) \\) 에 대하여 어떤 \\( k(\\in N) \\) 에 대하여 \\( X \\sim \\mathbb{N}_{k} \\) 이면 \\( \\operatorname{card} X =k \\) 이다. \\", "( C \\)-\\(4\\).", "임의의 두 집합 \\( X, Y \\) 에 대하여 \\( X \\sim Y \\) 이면, 그리고 그때에만 \\( \\operatorname{card} X = \\operatorname{card} Y \\) 이다.", "여기서 공리 \\(C\\)-\\(2\\), \\(C\\)-\\(3\\) 는 유한집합에 관한 기수의 정의에 필요한 공리이고 \\(C\\)-\\(1 \\) 과 \\( C\\)-\\(4 \\) 는 무한집합에 관한 기수의 정의에 필요한 공리이다.", "즉, 집합의 기수란 그 집합과 대등한 모든 집합이 공동으로 갖는 성질이다.", "</p><p>예제 \\(1\\) 다음 집합의 기수를 구하여라. \\", "[ X=\\{1,2,3\\}, Y=\\{\\phi,\\{3,4\\}\\}, Z=\\{\\phi, 1,2,3,4\\} \\]</p><p>풀이 \\( \\operatorname{card} X=3 \\), card \\( Y=2 \\), card \\( Z=5 \\).", "</p><h2>연습문제 \\( 5.1 \\)</h2><ol type=1 start=1><li>\\( A=\\{a, b, c\\}, B=\\{1,2\\} \\) 일 때 \\( \\operatorname{card} B^{A} \\) 및 \\( \\operatorname{card}(A \\times B) \\) 를 구하여라.", "</li><li>다음 집합의 기수를 구하여라.", "<ol type=1 start=1><li>\\( X=\\{\\phi,\\{\\phi,\\{1\\}\\},\\{3,4,5\\}\\} \\)</li><li>\\( \\{\\phi,\\{\\phi,\\{\\phi\\}\\}\\} \\)</li></ol></li><li>기수의 공리를 이용하여 임의의 자연수는 모두 기수임을 보여라.", "</li></ol> <h1>5.2 기수의 비교</h1><p>유한집합의 기수를 유한기수(finite cardinal number)라 하고 무한집합의 기수를 초한기수(transfinite cardinal number) 또는 무한기수(infinite cardinal number)라고 부른다.", "</p><p>이 절에서는 주로 초한기수의 성질과 연산을 심도 있게 다루는데 초한기수는 유한기수의 확대로 볼 수 있기 때문에 유한기수의 성질을 잘 연구하여 확장적 사고에 의하여 초한기수를 다루면 훨씬 쉽게 초한기수를 이해할 수 있다.", "</p><p>\\(5.1\\)절의 기수공리에서 \\(C\\)-\\(2\\), \\(C\\)-\\(3\\) 은 유한기수가 음이 아닌 정수임을 알 수 있다.", "유한기수는 자연스럽게 크기를 다음과 같이 비교할 수 있다.", "</p><p>\\( 0<1<2<3<\\cdots<n<n+1<\\cdots . \\)", "</p><p>한편 임의의 두 초한기수에 대해서는 공리 \\( C-4 \\) 에 의하여 그들이 같을 때와 같지 않을 때를 판정할 수 있지만 두 초한기수의 크기에 의한 대소(大, 小)의 구별은 쉽지 않다.", "그러므로 유한집합에서 기수의 크기를 비교하는 방법을 익혀서 점진적으로 초한기수의 크기를 비교하는 방법을 터득하도록 한다.", "</p><p>정리 \\(1\\) 두 개의 유한집합 \\( X, Y \\) 에 대하여 \\( X \\) 가 \\( Y \\) 의 어떤 진부분집합과 대등하면 \\( \\operatorname{card} X< \\) \\( \\operatorname{card} Y \\) 이다.", "</p><p>증명 \\( X \\) 와 \\( Y \\) 는 유한집합이므로 자연수 \\( n, m \\) 이 존재하여 각각 \\[ X \\sim\\{1,2, \\cdots, m\\}, Y \\sim\\{1,2,3, \\cdots, n\\} \\] 이 성립한다.", "그런데 \\( X \\) 는 \\( Y \\) 의 진부분집합과 대등이므로 \\( m<n \\) 이 된다.", "즉, \\( \\operatorname{card} X<\\operatorname{card} Y \\) 이다.", "그러나 무한집합의 경우에 기수의 비교는 정리 \\(1\\) 의 방법을 택할 수 없다.", "왜냐하면, 무한집합의 경우는 데데킨트의 무한집합의 정의 “무한집합은 그 진부분집합과 대등하다\"는 것이 성립하기 때문이다.", "그래서 유한기수의 크기의 비교도 가능함과 동시에 무한기수의 크기를 비교할 수 있는 더욱 포괄적인 정의가 필요하다.", "</p><p>정의 \\(1\\) 집합 \\( X, Y \\) 에 대하여 \\( X \\) 가 \\( Y \\) 의 어떤 부분집합과 대등하지만 \\( Y \\) 는 \\( X \\) 의 어떤 부분집합과도 대등하지 않을 때 \\( \\operatorname{card} X \\) 는 \\( \\operatorname{card} Y \\) 보다 작다라고 말하고 \\( \\operatorname{card} X<\\operatorname{card} Y \\) 로 표시한다.", "</p><p>예제 \\(2\\) \\( \\operatorname{card} \\mathbb{N}<\\operatorname{card} \\mathbb{R} \\) 이다.", "</p><p>풀이 집합 \\( \\mathbb{N} \\) 은 \\( \\mathbb{R} \\) 의 부분집합 \\( \\mathbb{N} \\) 과 대등하고, \\( \\mathbb{R} \\) 은 비가부번집합이고 \\( \\mathbb{N} \\) 은 가부번집합이므로 \\( \\mathbb{N} \\) 의 어떤 부분집합이 \\( \\mathbb{R} \\) 와 대등할 수는 없는 것이다.", "따라서 \\( \\operatorname{card} \\mathbb{N}< \\operatorname{card} \\mathbb{R} \\) 이다.", "위에서 언급했듯이 집합 \\( X \\) 가 집합 \\( Y \\) 의 부분집합과 대등하고 \\( Y \\) 가 \\( X \\) 의 부분집합과 대등할 때 두 기수 \\( \\operatorname{card} X \\) 와 \\( \\operatorname{card} Y \\) 를 비교할 수 있는 방법이 분명하지 않다.", "이 경우 칸토어(G.", "Cantor)는 \\( \\operatorname{card} X \\) 와 \\( \\operatorname{card} Y \\) 는 같아야 한다고 예측하였다.", "그 후 \\(1890\\)년대에 그 예측을 칸토어의 세미나에서 베른슈타인(F. Bernstein)과 슈뢰더(E.", "Schröder)가 제각기 논리적 증명을 하였으나 \\(1902\\)년 알원 코르세(Alwin Korset)는 슈뢰더의 증명이 틀렸음을 지적하였다.", "그래서 오늘날 그 결과(정리 \\(2\\))를 칸토어-베른슈타인의 정리로 부른다.", "</p><p>정리 \\(2\\) 칸토어-베른슈타인의 정리</p><p>임의의 집합 \\( X, Y \\) 에 대하여 \\( X \\) 가 \\( Y \\) 의 부분집합과 대등하고 \\( Y \\) 가 \\( X \\) 의 부분집합과 대등하면 \\( X \\) 와 \\( Y \\) 는 대등하다.", "</p><p>먼저 정리 \\(2\\) 의 특별한 경우에 해당되는 다음 보조정리를 증명하면 정리 \\(2\\) 는 이 보조정리로부터 쉽게 유도된다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "410", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "집합론_기수와 그 연산", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-4a39-4c29-96ee-5087e2b83155", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961059909", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2016", "doc_author": [ "한상언" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>14-1 행렬의 정의와 연산</h1><ul><li>행렬 : 수나 문자를 소괄호( )나 대괄호[ ] 안에 직사각형 형태로 배열한 것을 행렬이라하고, \\( i \\) 행 \\( j \\) 열의 원소를 ( \\( i, j) \\) 원소라 한다.", "행이 \\( m \\) 개, 열이 \\( n \\) 개인 행렬을 \\( m \\times n \\) 행렬이라 한다.", "</li><li>행렬의 상등 \\[ \\begin{aligned} A=\\left[\\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\\\ a_{21} & a_{22} \\end{array}\\right], B=\\left[\\begin{array}{ll} b_{11} & b_{12} \\\\ b_{21} & b_{22} \\end{array}\\right] \\text { 에 대해 } \\\\ A=B \\Leftrightarrow \\quad a_{11}=b_{11}, a_{12}=b_{12}, a_{21}=b_{21}, a_{22}=b_{22} \\end{aligned} \\]</li><li>행렬의 실수배 \\[ A=\\left[\\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\\\ a_{21} & a_{22} \\end{array}\\right], k \\text { 가 실수일 때, } k A=\\left[\\begin{array}{ll} k a_{11} & k a_{12} \\\\ k a_{21} & k a_{22} \\end{array}\\right] \\]</li><li>행렬의 합과 차 \\[ \\begin{array}{c} A=\\left[\\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\\\ a_{21} & a_{22} \\end{array}\\right], B=\\left[\\begin{array}{ll} b_{11} & b_{12} \\\\ b_{21} & b_{22} \\end{array}\\right] \\text { 에 대해 } \\\\ A \\pm B=\\left[\\begin{array}{ll} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\\\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \\end{array}\\right] \\end{array} \\]</li></ul><p>연습 \\(14-1\\) \\( A=\\left[\\begin{array}{rr}2 & 1 \\\\ -1 & 0\\end{array}\\right], B=\\left[\\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 & 2\\end{array}\\right] \\) 일 때, 다음을 계산하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( A+B \\)</li><li>\\( A-B \\)</li><li>\\( 2 A \\)</li><li>\\( 2 A-B \\)</li></ol><h1>14-2 행렬의 곱셈</h1><p>행렬 \\( A B \\) 는 \\( A \\) 의 열의 수와 \\( B \\) 의 행의 수가 같을 때에만 정의되며 다음과 같이 계산한다.", "</p><p>특히 \\( A=\\left[\\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\\\ a_{21} & a_{22}\\end{array}\\right], B=\\left[\\begin{array}{ll}b_{11} & b_{12} \\\\ b_{21} & b_{22}\\end{array}\\right] \\) 에 대해 \\[ A B=\\left[\\begin{array}{ll} a_{11} b_{11}+a_{12} b_{21} & a_{11} b_{12}+a_{12} b_{22} \\\\ a_{21} b_{11}+a_{22} b_{21} & a_{21} b_{12}+a_{22} b_{22} \\end{array}\\right] \\]</p><p>연습 14-2 다음 행렬의 곱셈을 계산하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\left[\\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 0\\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\\\ 2 & -1 & 0\\end{array}\\right] \\)</li><li>\\( \\left[\\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{ll}4 & 3 \\\\ 2 & 1\\end{array}\\right] \\)</li></ol><h1>14-3 항등행렬과 영행렬</h1><ul><li>\\( n \\times n \\) 행렬을 \\( n \\) 차 정사각행렬이라 한다.", "</li><li>정사각형렬에서 \\( (i, i) \\) 성분을 주대각선 성분이라 한다.", "</li><li>주대각선 성분이 \\(1\\) 이고 나머지 성분은 \\(0\\) 인 행렬을 단위행렬 또는 항등행렬이라 한다. \\", "[ I_{2}=\\left[\\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{array}\\right] I_{3}=\\left[\\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end{array}\\right] \\ldots \\]</li><li>모든 성분이 \\(0\\) 인 행렬을 영행렬이라 한다. \\", "[ O=\\left[\\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\end{array}\\right] \\ldots \\]</li></ul><p>연습 \\(14-3\\) 다음 행렬의 곱셈을 계산하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\left[\\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\\end{array}\\right] \\)</li><li>\\( \\left[\\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 0\\end{array}\\right] \\)</li><li>\\( \\left[\\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 5\\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{rr}-5 & 2 \\\\ 3 & -1\\end{array}\\right] \\)</li></ol><h1>14-4 전치행렬</h1><p>행렬의 \\( i \\) 행을 \\( i \\) 열로 교환하여 얻은 행렬을 전치행렬이라 하고 \\( A \\) 의 전치행렬을 \\( A^{T} \\) 로 쓴다.", "예를 들어 \\( A=\\left[\\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\\end{array}\\right] \\Rightarrow A^{T}=\\left[\\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 2 & 4\\end{array}\\right], B=\\left[\\begin{array}{lll}a & b & c \\\\ d & e & f\\end{array}\\right] \\Rightarrow B^{T}=\\left[\\begin{array}{ll}a & d \\\\ b & e \\\\ c & f\\end{array}\\right] \\) 이다.", "</p><p>연습 \\(14-4\\) 다음 행렬의 곱셈을 계산하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\left[\\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 0\\end{array}\\right]^{T}\\left[\\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\\\ 2 & -1 & 0\\end{array}\\right] \\)</li><li>\\( \\left[\\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{ll}4 & 3 \\\\ 2 & 1\\end{array}\\right]^{T} \\)</li></ol><h1>14-5 행렬식</h1><ul><li>\\( A=\\left[\\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\\\ a_{21} & a_{22}\\end{array}\\right] \\) 일 때, \\( A \\) 의 행렬식 \\( \\operatorname{det} A \\) 는 다음과 같이 정의한다. \\", "[ \\operatorname{det} A=|A|=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} \\]</li><li>\\(2\\) 차 정사각행렬 \\( A, B \\) 에 대해 \\( \\operatorname{det}(A B)=\\operatorname{det}(A) \\operatorname{det}(B) \\)</li></ul><p>연습 \\(14-5\\) 다음 행렬의 행렬식을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\left[\\begin{array}{ll}5 & 2 \\\\ 7 & 3\\end{array}\\right] \\)</li><li>\\( \\left[\\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 5\\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{ll}5 & 3 \\\\ 2 & 2\\end{array}\\right] \\)</li></ol><h1>14-6 크래머 공식</h1><ul><li>연립방정식의 행렬 표현 \\[ \\left\\{\\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}=b_{1} \\\\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}=b_{2} \\end{array} \\Rightarrow\\left[\\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\\\ a_{21} & a_{22} \\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{l} x \\\\ y \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{l} b_{1} \\\\ b_{2} \\end{array}\\right]\\right. \\]", "</li><li>연립방정식의 크래머 공식 \\( \\left\\{\\begin{array}{l}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}=b_{1} \\\\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}=b_{2}\\end{array}\\right. \\)", "계수행렬을 \\( A=\\left[\\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\\\ a_{21} & a_{22}\\end{array}\\right] \\) 라고 하면 \\[ x=\\frac{1}{\\operatorname{det}(A)} \\operatorname{det}\\left[\\begin{array}{ll} b_{1} & a_{12} \\\\ b_{2} & a_{22} \\end{array}\\right], y=\\frac{1}{\\operatorname{det}(A)} \\operatorname{det}\\left[\\begin{array}{ll} a_{11} & b_{1} \\\\ a_{21} & b_{2} \\end{array}\\right] \\]</li></ul><p>연습 \\(14-6\\) 크래머 공식을 이용하여 다음 연립방정식의 해를 구하여라. \\", "[ \\left\\{\\begin{array}{l} 3 x+4 y=11 \\\\ 2 x+3 y=8 \\end{array}\\right. \\]", "</p><h1>14-7 역행렬</h1><ul><li>항등행렬 \\( I \\) 와 정사각행렬 \\( A \\) 와 \\( B \\) 가 \\( A B=B A=I \\) 이면 \\( B \\) 를 \\( A \\) 의 역행렬이라 하고 \\( B=A^{-1} \\) 로 표현한다.", "</li><li>\\( A=\\left[\\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\\\ a_{21} & a_{22}\\end{array}\\right] \\) 의 역행렬은 \\[ A^{-1}=\\frac{1}{\\operatorname{det}(A)}\\left[\\begin{array}{rr} a_{22} & -a_{12} \\\\ -a_{21} & a_{11} \\end{array}\\right] \\]</li></ul><p>연습 \\(14-7\\) 다음 행렬의 역행렬을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\left[\\begin{array}{ll}5 & 2 \\\\ 7 & 3\\end{array}\\right] \\)</li><li>\\( \\left[\\begin{array}{ll}4 & 3 \\\\ 3 & 2\\end{array}\\right] \\)</li></ol>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "411", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "기초미적분학_행렬", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-004b-45ac-8246-e4a4c0f07ed6", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160730579", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2017", "doc_author": [ "전춘배" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>8.1 극소 곡면</h1><p>정의 \\( 8.1 \\) 정칙곡면 \\( M \\)의 평균곡률이 \\( H=0 \\)일 때, \\( M \\)을 극소곡면(minimal surface)이라 하고 Gauss 곡률이 \\( K=0 \\)일 때 평탄곡면(flat surface)이라 한다.", "</p><p>예제 \\( 8.2 \\) (\\( 1 \\)) 평면은 극소곡면이다.", "왜나하면 예제 \\( 7.4 \\)로부터 모양연산자는 \\( S=0 \\)이다.", "따라서 평균곡률은 \\( H=\\frac{1}{2} \\operatorname{tr} S=0 \\)이다.", "</p><p>(\\( 2 \\)) 현수면(catenoid)은 극소곡면이다.", "즉, 현수면의 좌표조각사상(예제 \\(6.16 \\))은 \\[X(u, v)=(a u, a \\cosh u \\cos v, a \\cosh u \\sin v)\\]이므로 \\[\\begin{array}{l} X_{u}=(a, a \\sinh u \\cos v, a \\sinh u \\sin v), \\\\ X_{v}=(0,-a \\cosh u \\sin v, a \\cosh u \\cos v), \\\\ X_{u u}=(0, a \\cosh u \\cos v, a \\cosh u \\sin v), \\\\ X_{u v}=(0,-a \\sinh u \\sin v, a \\sinh u \\cos v), \\\\ X_{v v}=(0,-a \\cosh u \\cos v,-a \\cosh u \\sin v)\\end{array}\\]이다.", "그러므로 \\( X_{u} \\times X_{v}=\\left(a^{2} \\cosh u \\sinh u,-a^{2} \\cosh u \\cos v,-a^{2} \\cosh u \\sin v\\right) \\)이고 \\( \\left\\|X_{u} \\times X_{v}\\right\\|=a^{2} \\cosh ^{2} u \\) 이다.", "따라서 \\( n=\\frac{1}{\\cosh u}(\\sinh u,-\\cos v,-\\sin v) \\). \\", "( E=a^{2} \\cosh ^{2} u, \\quad F=0, \\quad G=a^{2} \\cosh ^{2} u, \\quad e=-a, f=0, g=a \\)이다.", "그러므로 \\[K=\\frac{e g-f^{2}}{E G-F^{2}}=-\\frac{1}{a^{2} \\cosh ^{4} u}, \\quad H=\\frac{E g+G e}{2\\left(E G-F^{2}\\right)}=0 .\\] 즉, 현수면은 극소곡면이다.", "</p><p>(\\( 3 \\)) 나선면(helicoid)은 극소곡면이다(예제 \\(6.15 \\)).", "</p><p>참고 극소곡면의 기하학적 의미를 알아보자.", "우선 단순곡면 \\( M \\)의 좌표조각사상을 \\( X: U \\) \\( \\rightarrow R^{3} \\)라 하고 \\( \\Omega \\subset U \\)를 유계영역(bounded domain)이라 하자.", "이때 임의의 미분 가능한 함수 \\( \\phi: \\Omega \\rightarrow R \\)에 대하여 좌표조각사상 \\( X^{t}: \\Omega \\rightarrow R^{3}, t \\in(-\\epsilon, \\epsilon) \\)를 \\[X^{t}(u, v)=X(u, v)+t \\phi(u, v) n\\]<caption>(8.1)</caption>으로 정의할 때, \\( X^{t} \\)를 \\( \\phi \\)에 의해 결정된 \\( X \\)의 변분(normal variation)이라고 한다.", "</p> <h1>8.3 Gauss-Bonnet 정리</h1><p>정칙곡면 \\( M \\)상으로의 연속함수 \\( \\alpha:[a, b] \\rightarrow M \\)에 대하여 폐구간 \\( [a, b] \\)의 분할 \\[a=t_{0}<t_{1}<\\cdots<t_{n}=b\\]가 존재하여 \\( \\left.\\", "alpha\\right|_{\\left[t_{i}, t_{i+1}\\right]}(i=0, \\cdots, n-1) \\)가 정칙곡선일 때 \\( \\alpha \\)를 조각별 정칙곡선 (piecewise regular curve)이라 하고 \\( \\alpha\\left(t_{i}\\right)(i=0,1, \\cdots, n) \\) 를 곡선의 꼭지점 (vertex), \\( \\alpha\\left(\\left[t_{i}, t_{i+1}\\right]\\right) \\)을 곡선의 변 또는 모서리(edge)라 한다.", "</p><p>참고 조각별 정칙곡선 \\( \\alpha:[a, c] \\rightarrow M \\)에 대하여 \\( b \\in[a, c] \\) 가 존재하여 꼭지점 \\( p=\\alpha(b) \\)일 때 꼭지점 \\( p \\)에서의 회전각 \\( \\theta \\)는 \\[\\theta=\\angle(v, w)\\]으로 정의한다.", "여기서 \\( v=\\lim _{t \\rightarrow b-} \\alpha^{\\prime}(t) \\)와 \\( w=\\lim _{t \\rightarrow b+} \\alpha^{\\prime}(t) \\)이다.", "즉,</p><p>정의 \\( 8.15 \\) 조각별 정칙곡선 \\( \\alpha:[a, b] \\rightarrow M \\)에서 꼭지점 \\( p \\)의 외각(exterior angle) \\( \\epsilon_{p} \\)는 그 꼭지점에서의 회전각이다.", "또 내각(interior angle) \\( i_{p} \\)는 \\( i_{p}=\\pi-\\epsilon_{p} \\)이다.", "</p><p>참고 \\(1.\\) 정칙곡면 \\( X: U \\rightarrow M \\) 위의 정칙곡선 \\( \\alpha:[a, b] \\rightarrow X(U) \\)에 대하여 \\[\\theta(t)=\\angle\\left(\\alpha^{\\prime}, X_{u}\\right)\\] 라 할 때 \\( \\theta(b)-\\theta(a)=\\int_{a}^{b} \\theta^{\\prime}(t) d t \\)를 곡선 \\( \\alpha \\)의 회전각이라 한다.", "</p><p>\\(2.\\) 정칙곡면 \\( X: U \\rightarrow M \\)위의 조각별 정칙곡선 \\( \\alpha:[a, b] \\rightarrow X(U) \\)에 대하여 곡선 \\( \\alpha_{i}:\\left[t_{i-1}, t_{i}\\right] \\rightarrow X(U)(i=1, \\cdots n) \\)가 \\( \\alpha_{i}=\\left.\\", "alpha\\right|_{\\left[t_{i-1}, t_{i}\\right]} \\) 라 할 때, 곡선 \\( \\alpha_{i} \\)의 회전각은 \\( \\int_{a_{i}} \\theta_{i}^{\\prime}(t) d t \\)이고 따라서 곡선 \\( \\alpha \\)의 회전각은 \\[\\sum_{i=1}^{n} \\int_{a_{t}} \\theta_{i}^{\\prime}(t) d t \\]이다.", "</p><p>\\(3.\\) 조각별 단순폐곡선에서 꼭지점의 회전각(즉, 외각)의 합과 곡선의 회전각의 합은 항상 \\( 2 \\pi \\)이다.", "즉, 조각별 단순폐곡선 \\( \\alpha:[a, b] \\rightarrow M \\)에 대하여 \\( \\alpha_{i}:\\left[t_{i-1}, t_{i}\\right] \\rightarrow M(i=1, \\cdots, n) \\)가 정칙일 때 \\[\\sum_{i=1}^{n} \\int_{a_{t}} \\theta_{i}^{\\prime}(t) d t+\\sum_{i=1}^{n} \\epsilon_{i}=2 \\pi \\]<caption>(8.2)</caption>이다.", "여기서 \\( \\epsilon_{i} \\)는 꼭지점 \\( \\alpha\\left(t_{i}\\right) \\)에서의 외각이다.", "</p><p>예제 \\( 8.16 \\) 평면상에서 삼각형의 각변의 회전각은 \\( 0^{\\circ} \\)이고 각 꼭지점의 외각의 합은 \\( 2 \\pi \\)이다.", "</p> <h1>8.2 회전면</h1><p>\\( R^{3} \\)상에서 주어진 정칙곡선 \\( \\alpha(u)=(r(u), h(u), 0), h>0 \\)를 \\( x \\)축으로 회전한 곡면의 좌표 조각사상은 \\[X(u, v)=(r(u), h(u) \\cos v, h(u) \\sin v)\\] 이다(정리 \\( 5.25 \\)).", "회전면이 극소곡면이 될 조건을 찾아보자.", "미분하면 \\[\\begin{array}{l}X_{u}=\\left(r^{\\prime}, h^{\\prime} \\cos v, h^{\\prime} \\sin v\\right) \\\\ X_{v}=(0,-h \\sin v, h \\cos v) \\\\X_{u u}=\\left(r^{\\prime \\prime}, h^{\\prime \\prime} \\cos v, h^{\\prime \\prime} \\sin v\\right) \\\\X_{u v}=\\left(0,-h^{\\prime} \\sin v, h^{\\prime} \\cos v\\right) \\\\X_{v v}=(0,-h \\cos v,-h \\sin v)\\end{array}\\]이다.", "따라서 \\( X_{u} \\times X_{v}=\\left(h h^{\\prime},-r^{\\prime} h \\cos v,-r^{\\prime} h \\sin v\\right) \\)이고, 또한 \\( \\left\\|X_{u} \\times X_{v}\\right\\|=h \\sqrt{h^{\\prime 2}+r^{\\prime 2}} \\)이기 때문에 \\[n=\\frac{1}{\\sqrt{h^{\\prime 2}+r^{\\prime 2}}}\\left(h^{\\prime},-r^{\\prime} \\cos v,-r^{\\prime} \\sin v\\right) .\\]", "그러므로 \\[E=r^{\\prime 2}+h^{\\prime 2}, \\quad F=0, \\quad G=h^{2}, e=\\frac{h^{\\prime} r^{\\prime \\prime}-r^{\\prime} h^{\\prime \\prime}}{\\sqrt{h^{\\prime 2}+r^{\\prime 2}}}, f=0, g=\\frac{r^{\\prime} h}{\\sqrt{h^{\\prime 2}+r^{\\prime 2}}} . \\]", "따라서 \\( H=0 \\Leftrightarrow g E-2 f F+e G=0 \\)이다.", "그러므로 \\( H=0 \\)일 필요충분조건은 \\[r^{\\prime}\\left(h^{\\prime 2}+r^{\\prime 2}\\right)+h\\left(h^{\\prime} r^{\\prime \\prime}-r^{\\prime} h^{\\prime \\prime}\\right)=0\\]이다.", "그러므로 다음 정리를 얻는다.", "</p><p>정리 \\( 8.11 \\) \\( R^{3} \\)상에서 주어진 정칙곡선 \\( \\alpha(u)=(r(u), h(u), 0), h>0 \\) 를 \\( x \\) 축으로 회전한 회전면 \\( X(u, v)=(r(u), h(u) \\cos v, h(u) \\sin v) \\)가 극소곡면일 필요충분조건은 \\[r^{\\prime}\\left(h^{\\prime 2}+r^{\\prime 2}\\right)+h\\left(h^{\\prime} r^{\\prime \\prime}-r^{\\prime} h^{\\prime \\prime}\\right)=0\\]를 만족할 때이다.", "</p><p>예제 \\( 8.12 \\) 예제 \\( 8.2 \\)의 현수면은 \\( r(u)=a u, h(u)=a \\cosh u \\)인 회전면이다.", "따라서 \\( r^{\\prime}=a, r^{\\prime \\prime}=0, h^{\\prime}=a \\sinh u, h^{\\prime \\prime}=a \\cosh u \\)이다.", "따라서 \\[r^{\\prime}\\left(h^{\\prime 2}+r^{\\prime 2}\\right)-h r^{\\prime} h^{\\prime \\prime}=0\\]이다.", "즉, 현수면은 극소곡면이다.", "</p><p>정리 \\( 8.13 \\) \\( R^{3} \\)상에서 회전면 \\( M \\)이 극소곡면이면 \\( M \\)은 평면 또는 현수면이다.", "</p><p>증명 정리 \\( 8.11 \\)의 미분방정식을 풀어보자.", "(1) \\( r^{\\prime}=0 \\), 즉 \\( r= \\) 상수일 때는 회전면이 평면이다.", "(2) \\( r^{\\prime} \\neq 0 \\)일 때, 적당한 변수변환에 의해 \\( r(u)=u \\)로 둘 수 있다.", "따라서 미분방정식은 \\[h^{\\prime 2}+1-h h^{\\prime \\prime}=0 \\]과 같다.", "따라서 \\( \\left(\\frac{h}{\\sqrt{1+h^{\\prime 2}}}\\right)^{\\prime}=0 \\Leftrightarrow h=a \\sqrt{1+h^{\\prime 2}} \\Leftrightarrow\\left(\\frac{h}{a}\\right)^{2}-h^{\\prime 2}=1 \\) 이고.", "이것을 풀면 \\( \\frac{h}{a}=\\cosh \\left(\\frac{u}{a}\\right) \\), 즉 \\[h(u)=a \\cosh \\left(\\frac{u}{a}\\right)\\]이다.", "따라서 회전면은 현수면이 된다.", "</p> <p>정리 \\( 8.77 \\) (Gauss-Bonnet 정리 II) \\( M \\)이 가항폐곡면이면 \\[\\iint_{M} K d A=2 \\pi \\chi(M)\\]이 성립한다.", "</p><p>증명 가향폐곡면 \\( M \\)의 삼각분할을 \\( \\Gamma=\\left\\{\\Delta_{i} \\mid i=1, \\cdots, n\\right\\} \\)라 하자.", "그러면 GaussBonnet 정리 I (정리 \\( 8.17 \\))에 의해 임의의 삼각형 \\( \\Delta_{i} \\)상에서 \\[\\iint_{\\Delta_{t}} K d A+\\int_{\\partial \\Delta_{t}} \\kappa_{g} d s+\\sum_{j=1}^{3} \\epsilon_{i j}=2 \\pi\\]가 성립한다.", "여기서 \\( \\epsilon_{i j} \\)는 삼각형 \\( \\Delta_{i} \\)의 외각이다.", "따라서 각각을 합을 하면 \\[\\iint_{M} K d A+\\sum_{i=1}^{n} \\int_{\\partial \\Delta_{i}} \\kappa_{g} d s+\\sum_{i=1}^{n} \\sum_{j=1}^{3} \\epsilon_{i j}=2 \\pi n\\]<caption>(\\(8.3 \\))</caption>이다.", "더구나 각 꼭지점에서 내각과 외각의 합이 \\( \\pi \\), 즉 \\(\\epsilon_{j}+\\iota_{j}=\\pi \\)이므로 삼각형 \\( \\Delta_{i} \\)에서 \\[\\sum_{j=1}^{3} \\epsilon_{i j}=3 \\pi-\\sum_{j=1}^{3} \\iota_{i j}\\]이다.", "따라서 꼭지점의 개수를 \\( v \\) 라고.", "하면 각 꼭지점에서의 내각의 합은 \\( 2 \\pi \\) 이고. \\", "( \\sum_{i=1}^{n} \\sum_{j=1}^{3} \\iota_{i j} \\)는 전체 내각의 합이므로 \\[\\sum_{i=1}^{n} \\sum_{j=1}^{3} \\epsilon_{i j}=3 n \\pi-\\sum_{i=1}^{n} \\sum_{j=1}^{3} \\iota_{i j}=3 n \\pi-2 \\pi v\\]이다.", "한편 삼각형분할에서 면의 수를 \\( f \\), 모서리의 수를 \\( e \\) 라 하면 \\( 3 f=2 e \\) 이다.", "왜냐하면 한 면이 3개의 꼭지점을 가지고 있고 한 모서리는 두 개의 꼭지점을 가지기 때문이다.", "따라서 면의 수는 \\( f=n \\)이므로 (\\( 8.3 \\))식에 대입하면 \\[\\iint_{M} K d A+\\sum_{i=1}^{n} \\int_{\\partial \\Delta_{t}} \\kappa_{g} d s=-f \\pi+2 \\pi v=2 \\pi(f-e)+2 \\pi v=2 \\pi \\chi(M)\\]이다.", "한편 모든 삼각형에서 모든 모서리의 전측지곡률은 \\( \\int_{C} \\kappa_{g} d s \\) 와 \\( \\int_{-C} \\kappa_{g} d s \\)를 포함하고 있으므로 \\( \\sum_{i=1}^{n} \\int_{\\partial \\Delta_{t}} \\kappa_{g} d s=0 \\)이다.", "따라서 \\[ \\iint_{M} K d A=2 \\pi \\chi(M)\\]이 성립한다.", "</p><h1>제\\( 8 \\)장 연습문제</h1><p>\\( 01 \\) 접곡면, 일반원기둥면, 일반원뿔의 Gauss 곡를은 0 이다.", "즉, 평탄면이다.", "</p><p>\\( 02 \\) (Enneper's surface) 다음 좌표조각사상이 극소곡면임을 보여라. \\", "[X(u, v)=\\left(u-\\frac{u^{3}}{3}+u v^{2}, v-\\frac{v^{3}}{3}+v u^{2}, u^{2}-v^{2}\\right) . \\]", "</p><p>\\( 03 \\) 등온좌표함수 \\( X, Y \\)가 다음 조건 \\[X_{u}=Y_{v}, \\quad X_{v}=-Y_{u} \\text { (Cauchy-Riemann equation) }\\] 만족할 때, \\( X, Y \\) 는 공액극소곡면(conjugate minimal surface)라 한다.", "<ol type=i start=1><li>공액극소곡면 \\( X, Y \\) 가 주어질 때, \\( Z=\\cos t X+\\sin t Y(t \\in R) \\) 도 극소곡면임을 증명하여라.", "</li><li>나선면(helicoid)과 현수면(catenoid)은 공액극소곡면임을 증명하여라.", "</li></ol></p><p>\\( 04 \\) 반지름이 \\( r \\)인 구면 \\( S^{2}(r) \\)상의 측지삼각형 \\( \\triangle A B C \\)의 세 내각의 합은 \\[\\angle A+\\angle B+\\angle C=\\pi+\\frac{A(\\Delta)}{r^{2}}\\]임을 증명하여라.", "여기서 \\( A(\\Delta) \\)는 삼각형의 면적이다.", "</p><p>\\( 05 \\) 원환면(torus)의 오일러표수를 구하여라.", "(Gauss-Bonnet 정리를 이용하여라.)", "</p> <p>정의 \\( 8.20 \\) 정칙곡면 \\( M \\)상에서 삼각형들의 집합 \\( \\Gamma=\\left\\{\\Delta_{j} \\subset M \\mid j=1, \\cdots, m\\right\\} \\)가 두 조건 \"(i) \\( M=U_{j} \\Delta_{j} \\), (ii) \\( \\Delta_{i j}=\\Delta_{i} \\cap \\Delta_{j} \\neq \\varnothing \\)이면 \\( \\Delta_{i j} \\)는 두 삼각형의 변 또는 꼭지점\"를 만족할 때, \\( \\Gamma \\) 를 \\( M \\)의 삼각분할(triangulation)이라 한다.", "</p><p>정의 \\(8.21 \\) \\( M \\)을 폐곡면이라 하고 \\( \\Gamma \\)를 \\( M \\)의 삼각분할이라 할 때, \\( v=\\Gamma \\)의 꼭지점의 개수, \\( e=\\Gamma \\)의 변의 개수, \\( f=\\Gamma \\)의 면의 개수 라 하자.", "이때 \\[\\chi(M)=v-e+f\\]를 곡면 \\( M \\)의 오일러표수(Euler characteristic)이라 한다.", "</p><p>예제 \\( 8.22 \\)구면 \\( S^{2} \\)의 오일러표수는 \\( \\chi\\left(S^{2}\\right)=2 \\)이다.", "</p><p>정의 \\( 8.23 \\) 곡면 \\( M \\)상의 모든 점에서 연속인 법벡터장 \\( n \\)이 존재할 때, \\( M \\)을 가향곡면 (orientable surface)이라 한다.", "</p><p>예제 \\( 8.24 \\) 구면, 원환면은 가향곡면이고 뫼비우스 띠(Möbius band)나 클라인 병(Klein bottle)은 가향곡면이 아니다.", "</p><p>예제 \\( 8.25 \\) 정칙인 등위곡면 \\( M_{c}=\\left\\{(x, y, z) \\in R^{3} \\mid g(x, y, z)=c\\right\\} \\)는 항상 가향곡면이다.", "왜나하면 \\( n(p)=\\frac{\\nabla g(p)}{\\|\\nabla g(p)\\|} \\)는 연속함수이다(정리 \\( 5.20 \\)).", "</p><p>정리 \\(8.26 \\)<ol type=1 start=1><li>\\( M \\)이 가향폐곡면이면 항상 삼각분할가능하다.", "</li><li>폐곡면에서 오일러표수 \\( \\chi(M) \\)은 삼각분할에 독립이다.", "</li><li>두 곡면이 위상동형(homeomorphic)이면 오일러표수는 같다.", "</li></ol></p> <p>정의 \\( 8.6 \\) 좌표조각사상 \\( X: U \\rightarrow M \\)가 다음 조건들 \\[\\left\\langle X_{u}, X_{u}\\right\\rangle=\\left\\langle X_{v}, X_{v}\\right\\rangle, \\quad\\left\\langle X_{u}, X_{v}\\right\\rangle=0\\]를 만족할 때 \\( X \\) 를 등온좌표함수(isothermal coordinate)라 한다.", "</p><p>정리 \\(8.7 \\) 좌표조각사상 \\( X: U \\rightarrow M \\)가 등온좌표함수이면 \\[X_{u u}+X_{v v}=2 E H n=2 G H n\\]이 성립한다.", "</p><p>증명 \\( X \\)가 등온좌표이니까 \\( \\left\\langle X_{u}, X_{u}\\right\\rangle=\\left\\langle X_{v}, X_{v}\\right\\rangle,\\left\\langle X_{u}, X_{v}\\right\\rangle=0 \\)이다.", "따라서 미분하면 \\[\\left\\langle X_{u u}, X_{u}\\right\\rangle=\\left\\langle X_{v u}, X_{v}\\right\\rangle=\\left\\langle X_{v v}, X_{v}\\right\\rangle=-\\left\\langle X_{v v}, X_{u}\\right\\rangle .\\]", "그러므로 \\[\\left\\langle X_{u u}+X_{v v}, X_{u}\\right\\rangle=0 . \\]같은 방법으로 \\[\\left\\langle X_{u u}+X_{v v}, X_{v}\\right\\rangle=0 .\\] 따라서 \\( X_{u u}+X_{v v}=\\left\\langle X_{u u}+X_{v v}, n\\right\\rangle n=(e+g) n \\) 이다.", "한편 \\( F=0 \\) 이니까\\[H=\\frac{E g+G e}{2 E G}=\\frac{e+g}{2 E}=\\frac{e+g}{2 G}\\]이다.", "</p><p>참고 \\( \\Delta=\\frac{\\partial^{2}}{\\partial u^{2}}+\\frac{\\partial^{2}}{\\partial v^{2}} \\)을 라플라시안(Laplacian), 또는 라플라스 연산자(Laplace operator)라 한다.", "</p><p>정의 \\( 8.8 \\) 미분가능한 함수 \\( h: U \\rightarrow R \\)가 \\[\\Delta h=0\\] 를 만족할 때, \\( h \\)를 조화함수(harmonic function)라 한다.", "</p><p>따름정리 \\( 8.9\\) 등온좌표함수 \\( X: U \\rightarrow M \\)가 극소일 필요충분조건은 \\[X_{u u}+X_{v v}=0 .\\]즉, \\( X(u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \\)라 할 때, \\( X \\)가 극소곡면일 필요충분조건은 \\( x, y, z \\)가 조화함수이다.", "</p><p>예제 \\( 8.10 \\) 예제 \\( 8.2 \\)의 현수면의 좌표함수는 등온좌표함수이다.", "더구나 \\[\\Delta x=x_{u u}+x_{v v}=0, \\quad \\Delta y=\\Delta z=0\\]이므로 현수면은 극소곡면이다.", "</p> <p>정리 \\( 8.3 \\) 좌표조각사상 \\( X: U \\rightarrow R^{3} \\)와 유계영역 \\( \\Omega \\subset U \\)가 주어질 때, 변분 \\( X^{t} \\)의 면적 \\( A(t) \\) 는 \\[A(t)=\\iint_{\\Omega}\\left\\{\\sqrt{E G-F^{2}}(1-2 t \\phi H)+O\\left(t^{2}\\right)\\right\\} d u d v\\]이다.", "여기서 \\( \\lim _{t \\rightarrow 0} \\frac{O\\left(t^{2}\\right)}{t}=0 \\)이다.", "</p><p>증명 식 \\( 8.1 \\)로부터 \\[\\begin{aligned}X_{u}^{t} &=X_{u}+t \\phi_{u} n+t \\phi n_{u}, \\\\X_{v}^{t} &=X_{v}+t \\phi_{v} n+t \\phi n_{v} .\\end{aligned}\\]", "따라서 직접적인 계산에 의해 \\[\\begin{array}{l}E^{t}=E+2 t \\phi\\left\\langle X_{u}, n_{u}\\right\\rangle+t^{2} \\phi^{2}\\left\\langle n_{u}, n_{u}\\right\\rangle+t^{2} \\phi_{u}^{2}, \\\\ F^{t}=F+t \\phi\\left(\\left\\langle X_{u}, n_{v}\\right\\rangle+\\left\\langle X_{v}, n_{u}\\right\\rangle\\right)+t^{2} \\phi^{2}\\left\\langle n_{u}, n_{v}\\right\\rangle+t^{2} \\phi_{u} \\phi_{v}, \\\\G^{t}=G+2 t \\phi\\left\\langle X_{v}, n_{v}\\right\\rangle+t^{2} \\phi^{2}\\left\\langle n_{v}, n_{v}\\right\\rangle+t^{2} \\phi_{v}^{2} .\\", "end{array} \\]이므로\\[\\begin{aligned}E^{t} G^{t}-\\left(F^{t}\\right)^{2}=& E G-F^{2}+2 t \\phi E\\left\\langle X_{v}, n_{v}\\right\\rangle+2 t \\phi G\\left\\langle X_{u}, n_{v}\\right\\rangle \\\\ &-2 t \\phi F\\left\\{\\left\\langle X_{u}, n_{v}\\right\\rangle+\\left\\langle X_{v}, n_{u}\\right\\rangle\\right\\}+O\\left(t^{2}\\right)\\end{aligned}\\] \\[\\begin{array}{l} =E G-F^{2}-2 t \\phi(e G-2 f F+g E)+O\\left(t^{2}\\right) \\\\ =E G-F^{2}-4 t \\phi H\\left(E G-F^{2}\\right)+O\\left(t^{2}\\right) \\\\ =\\left(E G-F^{2}\\right)(1-4 t \\phi H)+O\\left(t^{2}\\right) . \\", "end{array}\\]따라서 \\( \\lim _{t \\rightarrow 0} \\frac{O\\left(t^{2}\\right)}{t}=0 \\)이기 때문에 \\[\\begin{aligned}A(t) &=\\iint_{\\Omega} \\sqrt{E^{t} G^{t}-F^{t^{2}}} d u d v=\\iint_{\\Omega} \\sqrt{E G-F^{2}} \\sqrt{1-4 t \\phi H+O\\left(t^{2}\\right)} d u d v \\\\ &=\\iint_{\\Omega}\\left\\{\\sqrt{E G-F^{2}}(1-2 t \\phi H)+O\\left(t^{2}\\right)\\right\\} d u d v \\end{aligned}\\]이다.", "</p><p>정리 \\( 8.4 \\) 좌표조각사상 \\( X: U \\rightarrow R^{3} \\)와 유계영역 \\( \\Omega \\subset U \\)가 주어질 때, 변분 \\( X^{t} \\)의 면적 \\( A(t) \\)는 \\[A^{\\prime}(0)=-2 \\iint_{\\Omega} \\phi H \\sqrt{E G-F^{2}} d u d v\\]이다.", "여기서 \\( H \\)는 \\( X \\)의 평균곡률이다.", "</p><p>증명 정리 \\( 8.3 \\)으로부터 금방 증명된다.", "</p><p>정리 \\( 8.5 \\) 좌표조각사상 \\( X: U \\rightarrow R^{3} \\)와 유계영역 \\( \\Omega \\)에 대하여 \\( X(\\Omega) \\)가 극소곡면일 필요충분조건은 임의의 변분에 대하여 \\( A^{\\prime}(0)=0 \\) 이다.", "</p><p>증명 (⭢) 정리 \\( 8.4 \\)로부터 분명하다.", "</p><p>(⭠) 만약 \\( X(\\Omega) \\) 가 극소곡면이 아니라고 하자.", "즉, \\( H(q) \\neq 0 \\) 인 점 \\( q \\in \\Omega \\) 가 존재한다.", "이때 함수 \\( \\phi: \\Omega \\rightarrow R \\) 를 \\( \\phi(q)=H(q) \\) 이고 \\( q \\) 의 근방밖에서는 \\( \\phi \\equiv 0 \\) 인것으로 잡으면 정리 \\( 8.4 \\)로부터 \\( A^{\\prime}(0)<0 \\)이다.", "따라서 모순이다.", "따라서 \\( X(\\Omega) \\)는 극소곡면이다.", "</p> <p>정리 \\(8.17 \\) (Gauss-Bonnet 정리 I) 단순곡면 \\( M \\)상에서 조각별 단순폐곡선 \\( \\alpha:\\left[t_{i-1}, t_{i}\\right] \\rightarrow M(i=1, \\cdots, n) \\)에 의해 둘러싸인 영역을 \\( \\Omega \\subset M \\) 라 하면 \\[\\int_{\\Omega} K d A+\\int_{a} \\kappa_{g} d s+\\sum_{i=1}^{n} \\epsilon_{i}=2 \\pi\\]이다.", "여기서 \\( \\epsilon_{i} \\)는 꼭지점 \\( \\alpha\\left(t_{i}\\right) \\)의 외각이다.", "</p><p>증명 일반성을 잃지 않고 단순곡면 \\( M \\)의 좌표조각사상 \\( X: U \\rightarrow M \\)가 \\( F=0 \\)을 만족한다고 하자.", "정리 \\( 7.56 \\)으로부터 임의의 단위속력곡선 \\( \\alpha \\)에 대해 \\[\\int_{a} \\kappa_{g} d s=\\int_{a} \\frac{d \\theta}{d s} d s+\\int_{a}\\left\\{\\left(\\kappa_{g}\\right)_{1} \\cos \\theta+\\left(\\kappa_{g}\\right)_{2} \\sin \\theta\\right\\} d s\\]<caption>(8.3)</caption>이다.", "여기서 \\( \\theta=\\angle\\left(\\alpha^{\\prime}, X_{u}\\right) \\)이다.", "한편 \\( \\alpha(t)=X(u(t), v(t)) \\)의 속도벡터는 \\( \\alpha^{\\prime}(t)=u^{\\prime} X_{u}+v^{\\prime} X_{v} \\)이고 \\( F=0 \\)이기 때문에 \\[\\cos \\theta=u^{\\prime} \\sqrt{E}, \\quad \\sin \\theta=v^{\\prime} \\sqrt{G}\\]이다.", "지금 \\( \\alpha \\)를 조각별 단순폐곡선이라 하자. \\", "( \\partial \\Omega=\\alpha \\)이므로 Green 정리에 의해 \\[\\begin{array}{l} \\int_{a}\\left[\\left(\\kappa_{g}\\right)_{1} \\sqrt{E} \\frac{d u}{d s}+\\left(\\kappa_{g}\\right)_{2} \\sqrt{G} \\frac{d v}{d s}\\right] d s \\\\ =\\iint_{\\Omega} \\frac{1}{\\sqrt{E G}}\\left[\\frac{\\partial}{\\partial u}\\left(\\frac{1}{\\sqrt{E}} \\frac{\\partial \\sqrt{G}}{\\partial u}\\right)+\\frac{\\partial}{\\partial v}\\left(\\frac{1}{\\sqrt{G}} \\frac{\\partial \\sqrt{E}}{\\partial v}\\right)\\right] \\sqrt{E G} d u d v\\end{array}\\]<caption>(8.4)</caption>가 성립한다.", "한편 Gauss 곡률 \\( K \\)는 연습문제 \\( 7.12 \\)에 의해 \\[K=\\frac{-1}{\\sqrt{E G}}\\left[\\frac{\\partial}{\\partial u}\\left(\\frac{1}{\\sqrt{E}} \\frac{\\partial \\sqrt{G}}{\\partial u}\\right)+\\frac{\\partial}{\\partial v}\\left(\\frac{1}{\\sqrt{G}} \\frac{\\partial \\sqrt{E}}{\\partial v}\\right)\\right] \\]<caption>(8.5)</caption>이고 \\( d A=\\sqrt{E G-F^{2}} d u d v=\\sqrt{E G} d u d v \\) 이므로 (\\( 8.3 \\)) ~ (\\( 8.5\\))로부터 \\[\\int_{a} \\kappa_{g} d s=\\int_{a} \\theta^{\\prime}(s) d s-\\iint_{\\Omega} \\ Kd A .\\]", "한편 \\( \\alpha_{i}=\\left.\\", "alpha\\right|_{\\left[t_{t-1}, t_{t}\\right]} \\) 이기 때문에 \\( \\int_{a} \\theta^{\\prime}(s) d s=\\sum_{i=1}^{n} \\int_{a_{i}} \\theta_{i}^{\\prime}(s) d s \\) 이다.", "따라서 \\( (8.2) \\) 로 부터 Gauss-Bonnet 정리가 증명된다.", "</p><p>참고 곡면상에서 세 꼭지점이 정칙곡선으로 연결된 곡선을 삼각형이라 하고, 특히 꼭지점을 연결한 곡선이 측지선일 때, 측지삼각형이라 한다.", "</p><p>정리 \\( 8.18 \\) 정칙곡면 \\( M \\)상에서 측지삼각형 \\( \\triangle A B C \\)의 세 내각의 합은 \\[\\angle A+\\angle B+\\angle C=\\pi+\\iint_{\\Delta} K d A .\\]이다.", "여기서 \\( K \\)는 Gauss 곡률이다.", "</p><p>증명 정칙곡면 \\( M \\)상에서의 꼭지점이 \\( A, B, C \\)인 측지삼각형을 \\( \\triangle A B C \\)라 할 때, \\( \\kappa_g=0 \\)이고 \\( \\epsilon_{A}=\\pi-\\angle A, \\epsilon_{B}=\\pi-\\angle B, \\epsilon_{C}=\\pi-\\angle C \\)이기 때문에 정리 \\( 8.17 \\)로부터 증명된다.", "</p><p>예제 \\(8.19 \\) \\(R^{2} \\) 상의 삼각형, 즉 유클리드 삼각형 \\( \\triangle A B C \\)의 세 내각의 합은 \\[\\angle A+\\angle B+\\angle C=\\pi\\]이다.", "왜나하면 평면상에서 직선은 측지선이고. \\", "( K=0 \\)이므로 정리 \\( 8.18 \\)로부터 알 수 있다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "415", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "곡선과 곡면의 미분기하학_극소 곡면과 Gauss-Bonnet 정리", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-0b03-4df4-8c4e-01312c1fd52f", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961057868", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2014", "doc_author": [ "정승달" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>8-1 평균변화율</h1><p>\\(\\cdot\\) 함수 \\( y=f(x) \\)에 대해 \\( x \\)의 증가량 \\( \\Delta x \\)에 대한 \\( y \\)의 증가량 \\( \\Delta y \\)의 비율 \\[\\begin{aligned}\\frac{\\Delta y}{\\Delta x}=\\frac{f(b)-f(a)}{b-a} &=\\frac{f(a+\\Delta x)-f(a)}{\\Delta x} \\\\&=\\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\\end{aligned}\\]을 구간 \\( [a, b] \\) 에서 \\( y=f(x) \\)의 평균변화율이라고 한다.", "<p>\\(\\cdot\\) 평균변화율은 기하학적으로 위의 그림에서 \\( P Q \\)의 기울기를 의미한다.", "</p><p>연습 \\( 8-1 \\) 다음 함수의 주어진 구간에서의 평균변화율을 구하여라.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=2 x+3, \\quad[1,3] \\)</li><li>\\( g(x)=x^{2}-2 x,[1,2] \\)</li></ol></p><h1>8-2 순간변화율, 미분계수</h1><p>\\(\\cdot\\) 함수 \\( y=f(x) \\)에 대해 \\( x \\)가 \\( a \\)에서 \\( a+\\Delta x \\)까지 변할 때의 평균변화율의 \\( \\Delta x \\rightarrow 0 \\)일 때의 극한값 \\[\\begin{aligned}\\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{\\Delta y}{\\Delta x} &=\\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{f(a+\\Delta x)-f(a)}{\\Delta x} \\\\&=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\\\&=\\lim _{b \\rightarrow a} \\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\\end{aligned}\\] 을 \\( x=a \\)에서 \\( y=f(x) \\)의 순간변화율 또는 미분계수라고 하고 \\( f^{\\prime}(a) \\)로 나타낸다.", "즉, \\[f^{\\prime}(a)=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\\]</p><p>\\(\\cdot\\) \\( f^{\\prime}(a) \\)가 존재하면 \\( f(x) \\)는 \\( x=a \\)에서 미분가능하다고 한다.", "</p><p>\\(\\cdot\\) \\( f^{\\prime}(a) \\)는 \\( \\left.y^{\\prime}\\right|_{x=a},\\left.f^{\\prime}(x)\\right|_{x=a},\\left.\\frac{d y}{d x}\\right|_{x=a} \\)", "등으로도 나타낸다.", "</p><p>\\(\\cdot\\) 순간변화율은 기하학적으로 위의 그림에서 \\( P \\)에서의 접선 \\( T \\)의 기울기를 의미한다.", "</p><p>연습 \\( 8-2 \\) 함수 \\( f(x)=x^{2} \\)의 \\( x=2 \\)에서의 미분계수를 구하여라.", "</p><h1>8-3 도함수의 정의</h1><p>\\(\\cdot\\) \\( y=f(x) \\)가 미분가능할 때, \\( x \\)에 대해 \\( f^{\\prime}(x) \\)를 대응시키는 함수를 \\( y=f(x) \\)의 도함수라 하고 \\( y^{\\prime}, f^{\\prime}(x), \\frac{d y}{d x}, \\frac{d}{d x} f(x) \\)등으로 나타낸다.", "즉 \\[f^{\\prime}(x)=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\\lim _{b \\rightarrow x} \\frac{f(b)-f(x)}{b-x}\\]</p><p>\\(\\cdot\\) \\( f(x) \\)의 도함수 \\( f^{\\prime}(x) \\)를 구하는 것을 미분한다 하고 그 계산법을 미분법이라 한다.", "</p><p>연습 \\( 8-3 \\) 다음 함수의 도함수를 구하여라.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=3 x+1 \\)</li><li>\\( f(x)=x^{2} \\)</li></ol></p><h1>8-4 도함수의 기본 성질</h1><p>\\(\\cdot\\) \\( f(x) \\)와 \\( g(x) \\)의 도함수가 존재하면 다음이 성립한다.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( (c)^{\\prime}=0(c \\)는 상수)</li><li>\\( \\left(x^{n}\\right)^{\\prime}=n x^{n-1} \\)</li><li>\\( (c f(x))^{\\prime}=c f^{\\prime}(x)(c \\) 는 상수 \\( ) \\)</li><li>\\( (f(x) \\pm g(x))^{\\prime}=f^{\\prime}(x) \\pm g^{\\prime}(x) \\)</li><li>\\( (f(x) g(x))^{\\prime}=f^{\\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\\prime}(x) \\)</li><li>\\( \\left(\\frac{f(x)}{g(x)}\\right)^{\\prime}=\\frac{f^{\\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\\prime}(x)}{g^{2}(x)}(g(x) \\neq 0) \\)</li></ol></p><p>연습 \\( 8-4 \\) 다음 함수를 미분하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=3^{-1} \\)</li><li>\\( g(x)=x^{7} \\)</li><li>\\( h(x)=x^{15} \\)</li><li>\\( i(x)=x^{2017} \\)</li><li>\\( j(x)=x^{2}+2 x \\)</li><li>\\( k(x)=\\frac{1}{3} x^{3}-x^{2} \\)</li><li>\\( l(x)=\\left(x^{2}+x\\right)\\left(x^{2}-2 x+3\\right) \\)</li><li>\\( m(x)=\\frac{x^{2}+1}{3 x-1} \\)</li></ol><h1>8-5 합성함수의 미분법</h1><p>\\(\\cdot\\) \\( f(g(x)) \\)가 미분가능하면 \\( f(g(x))^{\\prime}=f^{\\prime}(g(x)) g^{\\prime}(x) \\)</p><p>\\(\\cdot\\) \\( f(x) \\)가 미분가능하면 \\( \\left(\\{f(x)\\}^{n}\\right)^{\\prime}=n\\{f(x)\\}^{n-1} \\cdot f^{\\prime}(x) \\)</p><p>\\(\\cdot\\) \\( (\\sqrt{f(x)})^{\\prime}=\\left((f(x))^{\\frac{1}{2}}\\right)^{\\prime}=\\frac{1}{2} f(x)^{-\\frac{1}{2}} \\cdot f^{\\prime}(x)=\\frac{f^{\\prime}(x)}{2 \\sqrt{f(x)}} \\)</p><p>연습 \\( 8-5 \\) 다음 함수를 미분하여라.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( y=(3 x-2)^{3} \\)</li><li>\\( y=\\left(x^{2}+3 x\\right)^{3} \\)</li><li>\\( y=\\sqrt{x^{2}+x} \\)</li></ol></p><p>\\( 8-6\\) 접선의 방정식</p><p>\\(\\cdot\\)곡선 \\( y=f(x) \\) 위의 한 점 \\( P(a, f(a)) \\)에서의 접선의 방정식은 \\( y=f^{\\prime}(a)(x-a)+f(a) \\)이다.", "</p><p>연습 \\( 8-6 \\) 다음 곡선의 주어진 점 위에서의 접선의 방정식을 구하여라.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( y=x^{2}-3 x,(2,-2) \\)</li><li>\\( y=\\frac{1}{x},\\left(2, \\frac{1}{2}\\right) \\)</li></ol></p><h1>8-7 평균값의 정리</h1><p>\\(\\cdot\\) 함수 \\( f(x) \\) 가 \\( [a, b] \\)에서 연속이고 개구간 \\( (a, b) \\)에서 미분가능하면 \\( \\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\\prime}(c) \\)인 \\( c \\)가 \\( (a, b) \\)에 존재한다.", "</p><p>연습 \\( 8-7 \\) 다음 함수의 주어진 구간에 대해 평균값의 정리를 만족하는 실수 \\( c \\)를 구하여라.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=x^{2}-3 x,[1,2] \\)</li><li>\\( f(x)=x^{2}-2 x+5 .[-1,2] \\)</li></ol></p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "411", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "기초미적분학_미분계수와 도함수", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-3104-4341-a532-490623f80a05", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160730579", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2017", "doc_author": [ "전춘배" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h2>A-\\(4\\) 분수의 입력과 계산</h2><ul><li>\\( \\frac{2}{3}+\\frac{1}{2}, 4-3 \\frac{1}{2}, \\frac{1}{2+3}+4 \\) 의 입력 예</li><li>분수의 대분수 변환</li></ul><p>보기 A-\\(4\\) 다음을 풀어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\frac{30}{8} \\) 를 약분하고 그 결과를 대분수로 바꾸어라.", "</li><li>\\( \\left(2-\\frac{7}{3}\\right)-\\frac{5}{4} \\div \\frac{9}{7} \\) 을 계산하여 소수로 나타내어라.", "</li></ol><h2>A-\\(5\\) 제곱근의 입력</h2><p>제곱근 입력 방법</p><p>보기 A-\\(5\\) 다음을 계산하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 3 \\sqrt{2}+5 \\sqrt{8} \\)</li><li>\\( \\frac{\\sqrt{5}-\\sqrt{2}}{\\sqrt{5}+\\sqrt{2}} \\)</li><li>\\( \\frac{\\frac{1}{\\sqrt{2}}}{\\frac{2}{\\sqrt{3}}} \\)</li></ol><h2>A-\\(6\\) 수식의 수정</h2><ul><li>삭제 : 졈 (삭제하고자 하는 문자 바로 오른쪽으로 이동 후)</li><li>삽입 : 입력하고자 하는 위치로 커서를 이동시킨 후 입력</li><li>이미 입력한 값 또는 식을 함수의 일부로 사용 [예] \\( \\frac{7}{6} \\) 을 입력 후 이것을 이용해 \\( \\sqrt{\\frac{7}{6}} \\) 계산하기.", "</li></ul><p>보기A-\\(6\\) \\( \\frac{1}{2}+\\frac{3}{5} \\) 와 \\( \\sqrt{\\frac{1}{2}}+\\sqrt{\\frac{3}{5}} \\) 을 계산하고 \\( \\sqrt{\\frac{1}{2}}+\\sqrt{\\frac{3}{5}} \\) 을 소수로 나타내어라.", "</p><h2>A-\\(7\\) 백분율 계산</h2><ul><li>백분율 : 비율에 100 을 곱한 수로 전체가 100 인 비율</li></ul><p>보기A-\\(7\\) 2700에서 \\( 15 \\% \\) 가 증가된 총 양을 구하여라.", "</p><h2>A-\\(8\\) 수의 대소 비교</h2><p>실수의 대소 비교: \\[ A-B>0 \\Leftrightarrow A>B, \\quad A-B<0 \\Leftrightarrow A<B, \\quad A-B=0 \\Leftrightarrow A=B \\]</p><p>보기 A-\\(8\\) 다음 두 수의 대소를 비교하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 1+\\sqrt{2}, \\sqrt{5} \\)</li><li>\\( \\sqrt{2}-1,2-\\sqrt{2} \\)</li></ol><h2>A-\\(9\\) 주요 상수</h2><p>보기A-\\(9\\) 다음을 계산하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\frac{1}{2} \\pi \\cdot 5^{2} \\)</li><li>\\( \\frac{e^{2}-e^{-2}}{2} \\)</li></ol><h2>A-\\(10\\) 변수에 값을 저장하여 식의 값 계산하기</h2><ul><li>계산기 변수의 종류 : \\( X, Y, A, B, C, D, E, F \\)</li><li>변수 명 : 대체 기능의 (녹색 괄호 안)에 빨간색으로 표기됨</li></ul><p>보기 A-\\(10\\) \\( x=2, y=-3 \\) 일 때 식 \\( x^{3}-3 x^{2} y-2 x y^{3} \\) 의 값을 구하여라.", "</p><h2>A-\\(11\\) 식을 입력하고 변수에 값을 입력하여 식의 값 계산</h2><p>보기 A-\\(11\\) \\( 3 A^{2} B+2 B A^{2}-A^{3} \\) 를 입력 후 \\( (A, B)=(5,10),(7,20) \\) 의 경우의 값을 구하여라.", "</p><h2>A-\\(12\\) 결과 메모리</h2><ul><li>결과 메모리 : 마지막 계산 결과는 결과 메모리 \\( \\operatorname{Ans} \\)에 저장됨</li><li>독립 메모리 특징 : 최근에 얻은 결과 값으로 업데이트됨.", "전원을 끄면 가장 마지막 계산 결과를 저장함.", "</li><li>결과 메모리 활용 방법(예)</li></ul><p>보기 A-\\(12\\) 다음을 계산하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\frac{1}{10}+\\frac{1}{5}+\\frac{1}{4} \\) 를 구하여라.", "</li><li>\\(1\\)의 역수를 구하여라.", "즉 \\( \\frac{1}{((1) \\text { 의 결과 })} \\) 를 구하여라.", "(이 식의 결과는 \\( \\frac{1}{\\frac{1}{10}+\\frac{1}{5}+\\frac{1}{4}} \\) 와 같다.)", "</li></ol> <h2>A-\\(13\\) 다중 계산</h2><p>보기 A-\\(13\\) 세 변의 길이가 \\( a, b, c \\) 인 삼각형의 넓이는 \\( S=\\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\) 이다.", "단, \\( s=\\frac{1}{2}(a+b+c) \\).", "다음 세 변의 길이를 갖는 삼각형의 넓이를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( a=1, b=2, c=2 \\)</li><li>\\( a=4, b=5, c=6 \\)</li></ol><h2>A-\\(14\\) 방정식의 풀이</h2><p>보기A-\\(14\\) 다음 방정식을 풀어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 2(x+1)=x+1 \\)</li><li>\\( \\frac{v-50}{5}+\\frac{v}{10}+\\frac{v}{40}-3=0 \\)</li></ol><p>보기 A-\\(15\\) 다음 이차방정식의 해를 구하여라. \\", "[ x^{2}-x-1=0 \\]</p><p>보기 A-\\(16\\) 다음 방정식을 풀어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 2 x^{3}-1=x^{2}-2 x \\)</li><li>\\( x^{3}-3 x^{2}+1=0 \\)</li></ol><p>보기 A-\\(17\\) \\( x, y \\) 에 관한 연립 일차방정식 \\( \\left\\{\\begin{array}{l}y=2 x+1 \\\\ x+3 y=10\\end{array}\\right. \\) 을 풀어라.", "(참고: 계수는 \\( \\left\\{\\begin{aligned}-2 x+y &=1 \\\\ x+3 y &=10 \\end{aligned}\\right. \\) 의 형태로 정리하여 입력)</p><p>보기 A-\\(180) 연립 일차방정식의 해를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\left\\{\\begin{array}{l}x+3 y-2 z=5 \\\\ 3 x+5 y+6 z=7 \\\\ 2 x+4 y+3 z=8\\end{array}\\right. \\)", "</li><li>\\( \\left\\{\\begin{array}{l}T+C+R=141.0 \\\\ T+0.9 C+4 R=424.4 \\\\ \\left(\\frac{3}{5}+\\frac{3}{4}-\\frac{11}{20}\\right) T+\\frac{7}{10} C+\\left(\\frac{8}{54}-\\frac{5}{12}+\\frac{83}{108}\\right) R=82.7\\end{array}\\right. \\)", "</li></ol><p>보기A-\\(21\\) 방정식 \\( \\log _{3}(3 x-2)=\\log _{3} 2+\\log _{3}(x+2) \\) 을 풀어라.", "</p><p>보기 A-\\(22\\) \\( 12 \\times \\frac{\\sin (58)}{\\cos (51)} \\) 를 계산하여라.", "</p><p>보기 A-\\(24\\) \\( \\sin \\left(\\frac{\\pi}{4}\\right)+\\cos \\left(\\frac{\\pi}{3}\\right) \\) 를 계산하여라.", "단, 각의 단위는 라디안이다.", "</p><p>보기A-\\(25\\) 다음 \\(60\\) 분법의 각은 호도법으로, 호도법의 각은 \\(60\\) 분법으로 전환하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 60^{\\circ} \\)</li><li>\\( 315^{\\circ} \\)</li><li>\\( 720^{\\circ} \\)</li><li>\\( \\frac{\\pi}{4} r \\)</li><li>\\( \\frac{5 \\pi}{3} r \\)</li><li>\\( 2 \\mathrm{r} \\)</li></ol> <h1>부록: 공학용 계산기 사용법</h1><p>학습목표</p><ol type= start=1><li>공학용 계산기의 모드와 설정 변경을 할 수 있다</li><li>식을 입력하고 계산할 수 있다.", "</li><li>변수를 활용하여 문자식의 값을 계산할 수 있다.", "</li></ol><h2>A-\\(1\\) 계산기 시작</h2><ul><li>계산기 모델 : \\( \\mathrm{fx}-570 \\) 또는 \\( \\mathrm{fx}-991 \\) 기준</li><li>전원 켜기</li><li>전원 끄기</li><li>전체 초기화</li><li>계산모드</li><li>계산 시행 : 식 입력 후</li><li>화면 초기화</li></ul><p>보기 A-\\(1\\) 다음을 계산하여라.", "계산 후 화면을 초기화하여라.", "</p><p>\\( 122 \\times 56+42 \\times(-57) \\)</p><h2>A-\\(2\\) 수식 입력 기본 규칙 및 표시 전환</h2><ul><li>계산 순서 : 괄호 \\( >\\) 함수 \\( >\\) 거듭제곱 \\( >\\) 분수 \\( >\\) 곱셈 \\( >\\) 나눗셈</li><li>괄호 계산 순서 : 가장 안쪽에 있는 괄호부터 (별도의 괄호 구분이 없음)</li><li>공학용 계산기는 사칙연산 및 괄호 계산 순서를 자동으로 판단</li><li>함수 입력 마침 : 오른쪽 괄호</li><li>소수 표현과 수식 표현 상호 전환</li></ul><p>보기A-\\(2\\) 다음을 계산하고 소수로 나타내어라.", "</p><p>\\( 4 \\times \\sin 60 \\)</p><h2>A-\\(3\\) 기본 수식 입력</h2><p>기본 수식 입력 방법</p><p>보기 A-\\(3\\) 계산기를 초기화하고 다음을 계산하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\frac{1+\\sqrt{2}}{2+\\sqrt{2}} \\)</li><li>\\( \\frac{1}{2} \\times(-1)+4 \\times(-1)^{3}-3 \\)</li><li>\\( -2^{2} \\times\\left[-2 \\div 6+\\frac{5}{2} \\times\\left(-2-(-4)^{2}\\right)\\right] \\)</li><li>\\( |\\sqrt{5}-1|+|\\sqrt{5}-2|+|\\sqrt{5}-3|+|\\sqrt{5}-4| \\)</li></ol>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "411", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "대학기초수학_부록(공학용 계산기 사용법)", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-44ce-47aa-abd0-c1180961e0c2", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160730524", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2017", "doc_author": [ "전춘배" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>연 ·습 · 문 · 제 2.1</h1><p>\\( 1 \\).", "함수 \\( f(x)=3 x^{2}+2 x-1 \\) 의 구간 \\( [1,3] \\)에서의 평균변화율을 구하여라.", "</p><p>\\( 2 \\).", "곡선 \\( y=3 x^{2}-5 x \\) 위의 점 \\( (2,2) \\)에서의 접선과 법선의 방정식을 구하여라.", "</p><p>3. 다음 함수에 대하여 \\( x=2 \\)에서의 미분계수를 구하여라.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=5-3 x+4 x^{2} \\)</li><li>\\( f(x)=\\frac{1}{\\sqrt{x+2}} \\)</li><li>\\( f(x)=\\frac{1}{x} \\)</li><li>\\( f(x)=\\frac{2 x+1}{x+3} \\)</li></ol></p><p>\\( 4 \\).", "함수 \\( f(x)=x|x| \\)에 대하여 \\( f^{\\prime}(0) \\)이 존재하는지를 결정하여라.", "</p><p>\\( 5 \\).", "함수 \\( f(x)=[x] \\) (단, \\( [x] \\) 는 \\( x \\)을 넘지 않는 최대 정수)의 \\( x=n \\) (단, \\( n \\)은 정수)에서의 미분계수가 존재하는지를 말하여라.", "</p><p>\\( 6 \\).", "함수 \\( f(x)=x^{2}-3|x|+2 \\)가 \\( x=0 \\)에서 미분가능한지를 결정하여라.", "</p><p>\\( 7 \\).", "함수 \\( f(x) \\)가 \\( x=a \\)에서 미분가능할 때, 다음 극한값을 \\( f(a) \\)와 \\( f^{\\prime}(a) \\)로 나타내어라.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+2 h)-f(a+h)}{h} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{x f(a)-a f(x)}{x-a} \\)</li></ol></p><p>\\( 8 \\).", "함수 \\( f(x) \\)가 다음과 같이 정의될 때, \\( f(x) \\)는 \\( x=0 \\)에서 미분가능함을 보여라.", "</p><p>\\( f(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}x^{2} \\sin \\frac{1}{x}, & x \\neq 0 \\\\ 0, & x=0\\end{array}\\right. \\)", "</p><p>\\( 9 \\).", "함수 \\[f(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}a x^{2}, & x \\geq 1 \\\\ (x-2)^{2}+b, & x<1\\end{array}\\right.\\]가 \\( x=1 \\)에서 미분가능할 때, \\( a \\)와 \\( b \\)의 값을 구하여라.", "</p> <p>수학에서 미분학은 하나의 양이 또 다른 양에 관하여 어떻게 변하는가에 관심을 가지는 분야이다.", "미분학의 체계는 물체의 운동 속도와 가속도를 구하는 과정에서 미적분을 발견한 뉴턴(\\( 1642 \\)~\\( 1727 \\))과 평면곡선의 접선과 법선에서 미분을 생각한 라이프니츠(\\( 1646 \\)~\\( 1716 \\))에 의해 거의 같은 시대에 이루어졌다.", "계산 기술로써만 발전하던 미적분학은 코시(\\( 1789 \\)~\\( 1857 \\))에 의해 명확해지고 데데킨트(\\( 1831 \\)~\\( 1916 \\))와 칸토르(\\( 1845 \\)~\\( 1918 \\))가 실수에 대한 이론을 엄밀하게 체계화한 \\( 19 \\)세기 이후에 와서야 현재와 같은 형태를 갖추게 되었다.", "</p><p>이 장에서는 도함수의 정의, 여러 형태의 함수와 기본적인 초월함수들의 도함수 공식, 그리고 중요한 다섯 가지 미분법을 소개한다.", "변화율과 함수의 근삿값, 그래프 그리기, 최대·최소 문제, 부정형의 극한값 구하기 등 여러 가지 문제를 해결하는데 도함수를 이용한다.", "</p><h1>2.1 미분계수</h1><p>함수 \\( y=f(x) \\)에서 구간 \\( [a, a+\\Delta x] \\)에서의 평균변화율은 \\( y \\)의 변화량 \\( \\Delta y= \\) \\( f(a+\\Delta x)-f(a) \\)을 \\( x \\)의 변화량 \\( \\Delta x=(a+\\Delta x)-(a) \\) 으로 나눈 몫, 즉 \\( \\frac{\\Delta y}{\\Delta x} \\)로 정의한다.", "이것은 기하학적으로 곡선 위의 두 점 \\( P(a, f(a)), Q(a+\\Delta x \\), \\( f(a+\\Delta x)) \\)을 지나는 직선의 기울기를 나타낸다.", "이제 우리는 점 \\( P \\)을 지나는 순간의 변화율을 알기를 원하며 이것은 \\( \\Delta x \\)을 \\( 0 \\)에 접근하도록 함으로써 얻을 수 있다.", "</p><p>정의 \\( 2.1.1 \\) 극한값 \\( \\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{\\Delta y}{\\Delta x}=\\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{f(a+\\Delta x)-f(a)}{\\Delta x}=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\)가 존재하면, 이 극한값을 \\( x=a \\)에서 함수 \\( f \\)의 미분계수 또는 순간변화율이라 하고 \\( f^{\\prime}(a) \\)로 나타낸다. \\", "( x=a \\)에서 \\( f \\)의 미분계수 \\( f^{\\prime}(a) \\)가 존재할 때 함수 \\( f \\)는 \\( x=a \\)에서 미분가능하다고 말한다.", "</p><p>함수 \\( y=f(x) \\)의 그래프를 그려보면 \\( x=a \\)에서의 순간변화율은 \\( x=a \\)인 곡선 위의 점 \\( P \\)에서의 접선 \\( T \\)의 기울기와 같다.", "이것은 미분계수가 크면(따라서 곡선이 가파르면), \\( y \\)값들은 빠르게 변하고 미분계수가 작을 때는 곡선은 상대적으로 평편하고 \\( y \\)값들은 느리게 변한다는 것을 의미한다.", "미분계수 \\( f^{\\prime}(a) \\)는 곡선 \\( y=f(x) \\) 위의 점 \\( P(a, f(a)) \\)에서의 접선의 기울기와 같으므로 다음의 정리를 얻을 수 있다.", "</p><p>정리 \\( 2.1.1 \\) 곡선 \\( y=f(x) \\) 위의 점 \\( P(a, f(a)) \\)에서의 접선의 방정식은 \\[y-f(a)=f^{\\prime}(a)(x-a)\\]이고, 점 \\( P \\)에서의 법선(접선에 수직인 직선)의 방정식은 기울기가 \\( -\\frac{1}{f^{\\prime}(a)} \\)이므로 \\[y-f(a)=-\\frac{1}{f^{\\prime}(a)}(x-a) \\]이다.", "</p><p>이제 \\( x=a+h \\)로 놓으면, \\( h=x-a \\)이고 \\( h \\rightarrow 0 \\)일 필요충분조건은 \\( x \\rightarrow a \\)이므로 미분계수의 정의는 다음과 같이 나타낼 수도 있다.", "</p><p>\\( f^{\\prime}(a)=\\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \\)</p><p>예제 \\( 2.1.1 \\) \\( f(x)=3 x^{2} \\)일 때 \\( f^{\\prime}(1) \\)을 구하고, 이것을 이용해 포물선 \\( y=3 x^{2} \\) 위의 점 \\( (1,3) \\)에서의 접선과 법선의 방정식을 구하여라.", "</p><p>풀이 정의로부터 \\[\\begin{aligned}f^{\\prime}(1) &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{3(1+h)^{2}-3}{h} \\\\ &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{6 h+3 h^{2}}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0}(6+3 h)=6 \\end{aligned}\\]이다.", "주어진 점 \\( (1,3) \\)에서의 접선의 기울기가 \\( 6 \\) 이므로 접선의 방정식은 \\( y-3=6(x-1) \\) 또는 \\( y=6 x-3 \\)이다.", "한편, 법선의 방정식은 \\( y-3=-\\frac{1}{6}(x-1) \\)에서 \\( y=-\\frac{1}{6} x+\\frac{19}{6} \\)이다.", "</p><p>풀이 정의로부터 \\[\\begin{aligned}f^{\\prime}(1) &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{3(1+h)^{2}-3}{h} \\\\&=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{6 h+3 h^{2}}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0}(6+3 h)=6\\end{aligned}\\]이다.", "주어진 점 \\( (1,3) \\)에서의 접선의 기울기가 \\( 6 \\)이므로 접선의 방정식은 \\( y-3=6(x-1) \\) 또는 \\( y=6 x-3 \\)이다.", "한편, 법선의 방정식은 \\( y-3=-\\frac{1}{6}(x-1) \\)에서 \\( y=-\\frac{1}{6} x+\\frac{19}{6} \\) 이다.", "</p><p>예제 \\( 2.1.2\\) 함수 \\( f(x)=\\sqrt{x-2} \\)에 대하여 \\( x=3 \\)에서의 미분계수를 구하여라.", "</p><p>풀이 \\[\\begin{aligned}f^{\\prime}(3) &=\\lim _{x \\rightarrow 3} \\frac{f(x)-f(3)}{x-3} \\\\ &=\\lim _{x \\rightarrow 3} \\frac{\\sqrt{x-2}-1}{x-3} \\\\&=\\lim _{x \\rightarrow 3} \\frac{x-3}{(x-3)(\\sqrt{x-2}+1)} \\\\&=\\lim _{x \\rightarrow 3} \\frac{1}{\\sqrt{x-2}+1}=\\frac{1}{2} \\end{aligned}\\]</p><p>이제 함수의 미분가능성과 연속성과의 관계를 알아보자.", "</p><p>정리 \\( 2.1.2 \\) 함수 \\( f(x) \\)가 \\( x=a \\)에서 미분가능하면, \\( f(x) \\)는 \\( x=a \\)에서 연속이다.", "</p><p>증명 \\( f \\)가 \\( a \\)에서 연속임을 보이기 위해 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=f(a) \\)임을 보이면 충분하다. \\", "[\\lim _{x \\rightarrow a}(f(x)-f(a))=\\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a)=f^{\\prime}(a) \\times 0=0\\]이므로, \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=f(a) \\)이다.", "따라서 \\( f(x) \\)는 \\( x=a \\)에서 연속이다.", "</p><p>위의 사실로부터 함수가 불연속인 점에서는 미분계수를 구할 수 없음을 알 수 있다.", "정리 \\( 2.1.2 \\)의 역은 일반적으로 성립하지 않는다.", "예를 들면 \\( f(x)=|x| \\)는 \\( 0 \\)에서 연속이지만 \\( 0 \\)에서 미분가능하지는 않다.", "</p><p>예제 \\( 2.1.3 \\) 함수 \\( f(x)=|x| \\)는 \\( x=0 \\)에서 미분가능하지 않음을 보여라.", "</p><p>풀이 \\( \\quad f^{\\prime}(0)=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{|h|-0}{h}=\\left\\{\\begin{aligned} 1, & h>0 \\\\-1, & h<0 \\end{aligned}\\right. \\)", "즉, \\( h \\)가 \\( 0 \\)에 가까이 갈 때 평균변화율의 극한값이 존재하지 않으므로 \\( f^{\\prime}(0) \\)은 존재하지 않는다.", "</p><p>다만 위의 예제 \\( 2.1.3 \\)에서 본 바와 같이, 함수 \\( f(x)=|x| \\)에 대해서는 \\( x \\rightarrow 0^{+} \\)일때와 \\( x \\rightarrow 0^{-} \\)일 때 \\( \\frac{f(x)-f(0)}{x-0} \\)의 극한값 각각은 모두 존재한다.", "</p><p>일반적으로 함수 \\( f(x) \\)의 정의역에 속하는 \\( a \\)에 대하여 극한값 \\[\\lim _{h \\rightarrow 0^{+}} \\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\\lim _{x \\rightarrow a^{+}} \\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\\]가 존재할 때, \\( f(x) \\)는 \\( x=a \\)에서 우측 미분가능하다 하고, 이 극한값을 \\( x=a \\)에서의 우측 미분계수라고 한다.", "비슷하게 좌측 미분계수도 정의할 수 있다.", "</p><p>함수 \\( f(x)=|x| \\)는 \\( x=0 \\)에서 미분가능하지 않지만 우측으로부터 또는 좌측으로부터는 미분가능하며, 우측 미분계수는 \\( 1 \\), 좌측 미분계수는 \\( -1 \\)이다.", "</p><p>일반적으로 함수 \\( f(x) \\)가 \\( x=a \\)에서 미분가능하다는 것은 양쪽으로부터 미분가능하며, 우측 미분계수와 좌측 미분계수가 일치한다는 것이다.", "</p><p>예제 \\( 2.1.4 \\) 함수 \\( f(x)=\\left|x^{2}-x\\right| \\)가 \\( x=0 \\)에서 미분가능한가를 결정하여라.", "</p><p>풀이 \\[\\begin{aligned}f^{\\prime}(0) &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{\\left|h^{2}-h\\right|}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{|h(h-1)|}{h} \\\\&=\\left\\{\\begin{array}{l}\\lim _{h \\rightarrow 0^{+}} \\frac{-h(h-1)}{h}=1 \\\\\\lim _{h \\rightarrow 0^{-}} \\frac{h(h-1)}{h}=-1\\end{array}\\right.\\end{aligned}\\]", "로 우측 미분계수는 \\( 1 \\) , 좌측 미분계수는 \\( -1 \\)로 각각 존재하지만 같지 않으므로 \\( x=0 \\)에서 미분가능하지 않다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "공학도를 위한 기초미적분학_미분법", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-0001-46c8-a2a7-4b2a0c5f3591", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961055246", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2011", "doc_author": [ "박정준", "신현혜", "이혜경", "정계선", "최건돈" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h3>(4) 행렬곱셈 (matrix multiplication)</h3><p>두 \\( n \\)차원 벡터 \\( \\mathbf{a}=\\left(a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}\\right) \\)과 \\(\\mathbf{b}=\\left(b_{1}, b_{2}, \\cdots, b_{n}\\right) \\)의 내적 \\[\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}=a_{1} b_{1}+\\cdots+a_{n} b_{n}\\]의 정의를 행렬기호를 이용하면, \\( 1 \\times n \\) 행렬 \\( A \\)와 \\( n \\times 1 \\) 행렬 \\( B \\)의 곱은 \\[ A B=\\left[\\begin{array}{llll} a_{1} & a_{2} & \\cdots & a_{n} \\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{c} b_{1} \\\\ b_{2} \\\\ \\vdots \\\\ b_{n} \\end{array}\\right]=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\\cdots+a_{n} b_{n}=\\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i} \\] 로 정의된다.", "따라서 행렬의 각 행은 이러한 벡터들로 구성되므로 행렬의 곱의 정의로 일반화할 수 있다.", "</p><p>예 10<ol type=1 start=1><li>\\( \\left[\\begin{array}{lll}1 & 2 & 2\\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{r}3 \\\\ 1 \\\\ -2\\end{array}\\right]=1 \\times 3+(-2) \\times 1+2 \\times(-2)=-3 \\)</li><li>일차방정식 \\( a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+\\cdots+a_{n} x_{n}=b \\) 는 \\[ \\left[\\begin{array}{llll} a_{1} & a_{2} & \\cdots & a_{n} \\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{c} x_{1} \\\\ x_{2} \\\\ \\vdots \\\\ x_{n} \\end{array}\\right]=b \\]로 표기된다.", "</li></ol><p><p>다음 행렬의 곱셈연산은 케일리가 제시하였다.", "케일리는 1855년 합성함수와 선형변환을 연구하면서 행렬간의 곱셈을 정의하였고, 행렬들의 집합 안에 수학적 구조를 주는 행렬대수 (matrix algebra)에 대한 연구를 시작하게 되었다.", "</p><p>정의 8 두 행렬의 곱 두 행렬 \\( A=\\left[a_{i k}\\right]_{m \\times p} \\)와 \\( B=\\left[b_{k j}\\right]_{p \\times n} \\)에 대하여, \\( A \\)와 \\( B \\)의 곱 \\( A B \\)는 \\[c_{i j}=\\sum_{k=1}^{p} a_{i k} b_{k j}(\\text { 단, } i=1,2, \\cdots, m ; j=1,2, \\cdots, p ) \\]일 때 행렬 \\( C=\\left[c_{i j}\\right]_{m \\times n} \\) 로 정의된다.", "여기서 \\[c_{i j}=a_{i 1} b_{1 j}+a_{i 2} b_{2 j}+\\cdots+a_{i p} b_{p j}=\\sum_{k=1}^{p} a_{i k} b_{k j}\\]이다.", "</p><p>두 행렬 \\( A=\\left[a_{i k}\\right]_{m \\times p} \\)와 \\( B=\\left[b_{k j}\\right]_{p \\times n} \\)에 대하여, \\( A \\)의 \\( i \\)번째 행을 \\( A_{(i)}, B \\)의 \\( j \\)번째 열을 \\( B^{(j)} \\)로 표기하면 \\[ \\begin{aligned} C=A B &=\\left[\\begin{array}{c} A_{(1)} \\\\ A_{(2)} \\\\ \\vdots \\\\ A_{(m)} \\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{llllc} B^{(1)} & B^{(2)} & \\cdots & B^{(n)} \\end{array}\\right] \\\\ &=\\left[\\begin{array}{cccc} A_{(1)} B^{(1)} & A_{(1)} B^{(2)} & \\cdots & A_{(1)} B^{(n)} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots \\\\ A_{(m)} B^{(1)} & A_{(m)} B^{(2)} & \\cdots & A_{(m)} B^{(n)} \\end{array}\\right] \\end{aligned} \\]으로 나타낼 수 있다.", "여기서 \\[ c_{i j}=A_{(i)} B^{(j)}=\\left[\\begin{array}{lll} a_{i 1} & \\cdots & a_{i n} \\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{c} b_{1 j} \\\\ \\vdots \\\\ b_{n j} \\end{array}\\right]=\\sum_{k=1}^{n} a_{i k} b_{k j} \\]이다.", "</p><p>예 11 두 행렬 \\( A=\\left[\\begin{array}{rr}1 & 1 \\\\ 2 & -3 \\\\ 4 & 1\\end{array}\\right] \\)과 \\( B=\\left[\\begin{array}{rr}3 & 2 \\\\ 4 & -1\\end{array}\\right] \\)에 대하여, \\( A B \\)를 구해보자. \\", "( A \\)의 크기가 \\( 3 \\times 2 \\)이고 \\( B \\)의 크기가 \\( 2 \\times 2 \\)이므로 \\( A B \\)는 정의되고, 크기는 \\( 3 \\times 2 \\)가 된다.", "이때 성분들을 계산하면 다음과 같다. \\", "[ A B=\\left[\\begin{array}{cc} 1 \\times 3+1 \\times 4 & 1 \\times 2+1 \\times(-1) \\\\ 2 \\times 3+(-3) \\times 4 & 2 \\times 2+(-3) \\times(-1) \\\\ 4 \\times 3+1 \\times 4 & 4 \\times 2+1 \\times(-1) \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{rc} 7 & 1 \\\\ -6 & 7 \\\\ 6 & 7 \\end{array}\\right] \\]</p><p>예제 1 \\( A, B \\)가 \\( n \\)차 하삼각행렬일 때, \\( A \\)와 \\( B \\)의 곱 \\( A B \\)는 \\( n \\)차 하삼각행렬이 된다.", "</p><p>증명 \\( A B=C \\)라 하면, \\( c_{i j}=\\sum_{k=1}^{n} a_{i k} b_{k j} \\) (단, \\( 1 \\leq i, k \\leq n \\) )이다.", "여기서 \\( i<j \\) 이면 \\( a_{i k}=0 \\) 또는 \\( b_{k j}=0 \\) 으로 주어진다.", "따라서 \\( c_{i j}=0 \\) (단, \\( i<j \\) )이 된다.", "그러므로 \\( C \\)는 하삼각행렬이다.", "</p><p>행렬곱셈에서는 결합법칙과 덧셈에 대해 배분법칙이 성립되지만, 교환법칙은 성립하지 않는다.", "그러나 두 행렬이 역행렬 관계이거나 두 행렬 중 한 행렬이 단위행렬의 \\( k \\) (단, \\( k \\) 는 실수 )배, 즉 스칼라행렬이면 행렬의 곱셈에서 교환법칙이 성립한다.", "</p><p>예제 2 두 행렬 \\( A=\\left[\\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\\\ 3 & 3 & 0\\end{array}\\right]\\), \\(B=\\left[\\begin{array}{ll}3 & 1 \\\\ 0 & 2 \\\\ 2 & 4\\end{array}\\right] \\)에 대하여, \\( A B \\)와 \\( B A \\)를 구하시오.", "</p><p>풀이 \\( A \\)는 \\( 2 \\times 3 \\) 행렬이고 \\( B \\)는 \\( 3 \\times 2 \\) 행렬이므로, \\( A B \\)는 존재하고 \\( 2 \\times 2 \\) 행렬이다. \\", "( A B \\)를 구하면 \\[A B=\\left[\\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\\\ 3 & 3 & 0 \\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{ll} 3 & 1 \\\\ 0 & 2 \\\\ 2 & 4 \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{ll} 6+0+2 & 2+2+4 \\\\ 9+0+0 & 3+6+0 \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{ll} 8 & 8 \\\\ 9 & 9 \\end{array}\\right]\\] 이다.", "한편 \\( B \\)는 \\( 3 \\times 2 \\) 행렬이고 \\( A \\)는 \\( 2 \\times 3 \\) 행렬이므로, \\( B A \\)는 정의되고 \\( 3 \\times 3 \\) 행렬이다.", "이때 \\( B A \\)를 구하면 \\[ B A=\\left[\\begin{array}{ll} 3 & 1 \\\\ 0 & 2 \\\\ 2 & 4 \\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{lll} 2 & 1 & 1 \\\\ 3 & 3 & 0 \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{ccc} 6+3 & 3+3 & 3+0 \\\\ 0+6 & 0+6 & 0+0 \\\\ 4+12 & 2+12 & 2+0 \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{ccc} 9 & 6 & 3 \\\\ 6 & 6 & 0 \\\\ 16 & 14 & 2 \\end{array}\\right] \\] 가 된다.", "여기서 \\( A B \\)와 \\( B A \\)가 둘 다 정의되지만 크기는 다르다는 것을 알 수 있다.", "</p><p>참고 \\( n \\)차 대각행렬 \\( D \\)와 일반적인 \\( n \\)차 정사각행렬 \\( A \\)에 대하여 \\( D A \\)와 \\( A D \\)를 각각 계산하면 \\( D A \\)는 \\( A \\)의 각 행에 \\( D \\)에 대각성분을 곱한 결과와 같고, \\( A D \\)는 \\( A \\)의 열에 \\( D \\)의 대응하는 대각성분을 곱한 결과와 같다.", "</p> <h2>2. 행렬의 연산</h2><p>행렬의 연산에는 행렬덧셈, 스칼라배와 행렬곱셈이 있다.", "행렬연산의 대수적 성질 중 많은 부분은 실수 연산과 일치하지만, 일부 성질은 일치하지 않는다.", "사실 행렬연산은 실수연산의 일반화된 모습이다.", "</p><h3>(1) 행렬의 상등</h3><p>정의 4 행렬의 상등 두 \\( m \\times n \\) 행렬 \\( A=\\left[a_{i j}\\right]_{m \\times n}, B=\\left[b_{i j}\\right]_{m \\times n} \\)가 모든 \\( i, j \\)에 대하여 \\( a_{i j}=b_{i j} \\)를 만족하면 \\( A \\)와 \\( B \\)는 '서로 같다 (equal)' 또는 '상등'이라 하고 \\( A=B \\)로 나타낸다.", "</p><p>예 6 두 3차 정사각행렬 \\[ A=\\left[\\begin{array}{rrr} x & 1 & y \\\\ 3 & -2 & 4 \\\\ 0 & -3 & 4 \\end{array}\\right], B=\\left[\\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 2 \\\\ z & -2 & 4 \\\\ 0 & w & 4 \\end{array}\\right] \\]에 대하여, \\( A=B \\)가 성립하기 위한 필요충분조건은 \\[x=1, y=2, z=3, w=-3\\]이다.", "</p><h3>(2) 행렬덧셈 (matrix addition)</h3><p>정의 5 두 행렬의 합 \\( A \\)와 \\( B \\)가 같은 크기의 행렬이면 합(sum) \\( A+B \\)는 \\( A \\)와 \\( B \\)의 대응하는 원소를 더하여 얻어지는 행렬이다.", "즉 두 \\( m \\times n \\) 행렬 \\( A=\\left[a_{i j}\\right]_{m \\times n} \\)과 \\( B=\\left[b_{i j}\\right]_{m \\times n} \\)에 대하여, \\( A \\)와 \\( B \\)의 합 \\( A+B \\)는\\[A+B=\\left[a_{i j}+b_{i j}\\right]_{m \\times n}\\]로 정의한다.", "</p><p>\\( A \\)와 \\( B \\)가 같은 크기의 행렬이 아니라면 그들의 합은 정의되지 않는다.", "덧셈은 결합법칙과 교환법칙이 성립한다.", "</p><p>예 7 세 행렬 \\[ A=\\left[\\begin{array}{rrr} 3 & -2 & 4 \\\\ 0 & -3 & -1 \\end{array}\\right], \\quad B=\\left[\\begin{array}{lll} 2 & 4 & 6 \\\\ 0 & 1 & 3 \\end{array}\\right], \\quad C=\\left[\\begin{array}{ll} 1 & 3 \\\\ 2 & 4 \\end{array}\\right] \\]에 대하여 \\[ A+B=\\left[\\begin{array}{rrr} 3+2 & -2+4 & 4+6 \\\\ 0+0 & -3+1 & -1+3 \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{rrr} 5 & 2 & 10 \\\\ 0 & -2 & 2 \\end{array}\\right] \\]이다.", "그러나 \\( A \\)와 \\( C\\), \\(B \\)와 \\( C \\)는 크기가 다르므로, \\( A+C \\)와 \\( B+C \\)는 정의되지 않는다.", "</p><h3>(3) 스칼라배 (scalar multiplication)</h3><p>정의 6 스칼라배 \\( A \\)가 행렬이고 \\( \\lambda \\)가 실수라면 스칼라배 \\( \\lambda A \\)는 \\( A \\)의 각 원소에 \\( \\lambda \\)를 곱하여 얻어진 행렬이다.", "즉 \\( m \\times n \\) 행렬 \\( A=\\left[a_{i j}\\right]_{m \\times n} \\)와 스칼라 (실수) \\( \\lambda \\)에 대하여, 스칼라배 (실수배 ) \\( \\lambda A \\) 는\\[\\lambda A=\\left[\\lambda a_{i j}\\right]_{m \\times n}\\]로 정의한다.", "일반적으로 \\( A \\)의 덧셈의 역원 \\( (-1) A \\)를 간단히 \\( -A \\)로 정의한다.", "</p><p>예 8 \\( 2 \\times 3 \\) 행렬 \\(A=\\left[\\begin{array}{rrr}3 & -2 & 4 \\\\0 & -3 & -1\\end{array}\\right] \\)에 대하여 \\(2 A=\\left[\\begin{array}{rrr}6 & -4 & 8 \\\\0 & -6 & -2\\end{array}\\right]\\), \\((-1) A=\\left[\\begin{array}{rrr}-3 & 2 & -4 \\\\0 & 3 & 1\\end{array}\\right]\\)로 주어진다.", "</p><p>참고 두 행렬 \\( A \\)와 \\( B \\)가 같은 크기이고 정확히 같은 방법으로 분할되었다면 통상적인 두 행렬의 합 \\( A+B \\)에 같은 분할을 적용하는 것은 당연하다.", "이 경우에 \\( A+B \\)의 각 블록은 \\( A \\)와 \\( B \\)의 대응하는 블록의 합이다.", "분할된 행렬의 스칼라배는 또한 블록별로 계산된다.", "</p><p>정의 7 영행렬 모든 성분이 0인 행렬을 영행렬 (zero matrix)이라 하고, \\( O \\)로 나타낸다.", "특히 \\( m \\times n \\) 행렬에서 크기의 구분이 필요할 때는 \\( O_{m \\times n} \\)로 표기한다.", "</p><p>임의의 행렬 \\( A \\)에 대하여, \\( O \\)가 \\( A \\)와 크기가 같은 영행렬이면 \\[A+O=O+A=A\\]가 성립한다.", "즉 영행렬 \\( O \\)가 행렬의 합에 대한 항등원이다.", "</p><p>예 9 다음 행렬은 모두 영행렬이다. \\", "(\\left[\\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\\\0 & 0 & 0 \\\\0 & 0 & 0\\end{array}\\right]\\), \\(\\left[\\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\\\0 & 0 & 0\\end{array}\\right]\\), \\(\\left[\\begin{array}{l}0 \\\\0 \\\\0\\end{array}\\right]\\), \\(\\left[\\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\\end{array}\\right]\\)</p> <h1>2.1 행렬과 행렬대수</h1><p>연립일차방정식의 일반적인 해법이 연구되면서 행렬의 개념이 나타났다.", "코시가 1821년 'tableau'란 이름으로 행렬의 개념을 처음으로 소개하였다.", "'행렬'이란 용어는 1850년 영국의 수학자 실베스터 (Sylvester)가 직사각형 모양의 수의 배열에 붙인 이름이며, 1858년에 영국의 케일리 (Cayley)가 '행렬론'을 출판함으로써 행렬의 이론이 학문적인 체계를 갖추게 되었다.", "행렬의 개념은 실생활뿐만 아니라, 수학적 문제를 해결하는 데도 유용하게 이용되는 개념으로서, 오늘날에는 사회의 모든 영역에서 중요하게 사용되고 있다.", "</p><p>참고 케일리는 행렬의 대수학, 비유클리드 기하학, \\( n \\)차원 기하학, 불변식의 이론, 행렬식, 군론 등에 현저한 업적을 남겼다.", "</p><h2>1. 행렬</h2><p>이미 제 1장에서 행렬에 대하여 간단히 언급하였지만. 여기서는 행렬에 대한 구체적인 내용을 소개한다.", "</p><p>정의 1 행렬 \\( m n \\)개의 실수 (또는 복소수) \\( a_{i j} \\) (단, \\( i=1,2, \\cdots, m ; j=1,2, \\cdots, n \\) )를 직사각형 모양 \\[ A=\\left[\\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \\cdots & a_{1 n} \\\\ a_{21} & a_{22} & \\cdots & a_{2 n} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots \\\\ a_{m 1} & a_{m 2} & \\cdots & a_{m n} \\end{array}\\right] \\]으로 배열한 것을 \\( m \\times n \\) 행렬 (matrix)이라 하고, 행렬 \\( A \\) 의 수평선을 행 (row), 수직선을 열(column)이라 부른다.", "이때 \\( a_{i j} \\) 를 행렬 \\( A \\)의 \\( i \\)행, \\( j \\)열의 성분 (entry), 간단히 \\( i j \\) 성분 또는 \\( i j \\) 원소 (element)라 한다.", "</p><p>행렬 \\( A \\)의 모든 성분이 실수인 경우를 실행렬 (real matrix)이라 하고, 복소수인 경우를 복소행렬 (complex matrix)이라고 한다.", "행렬의 크기는 행과 열의 개수에 의하여 기술되며, 벡터는 오직 한 개의 행이나 열을 갖는 행렬이 된다.", "행렬은 알파벳의 대문자로 나타내고, 행렬의 성분은 소문자를 이용한다.", "이 책을 서술함에 있어서 특별한 언급이 없는 한, 행렬의 성분은 항상 실수로 가정한다.", "</p><p>예 1 \\( m \\times n \\) 행렬 \\( A \\) 에서 \\[\\left[\\begin{array}{llll}a_{i 1} & a_{i 2} & \\cdots & a_{i n}\\end{array}\\right](\\text { 단, } 1 \\leq i \\leq m)\\]을 \\( A \\)의 \\( i \\)행 ( \\( i \\)th row)이라 하고 \\[\\left[\\begin{array}{c}a_{1 j} \\\\a_{2 j} \\\\\\vdots \\\\a_{m j}\\end{array}\\right] \\quad(\\text { 단, } 1 \\leq j \\leq n)\\]을 \\( A \\)의 \\( j \\)열( \\( j \\)th column)이라고 한다.", "때로는 \\( A_{(i)} \\)를 \\( A \\)의 \\( i \\)행, \\( A^{(j)} \\)를 \\( A \\)의 \\( j \\)행으로 표기하며, 이때 \\[A=\\left[\\begin{array}{c}A_{(1)} \\\\A_{(2)} \\\\\\vdots \\\\A_{(m)}\\end{array}\\right]=\\left[A^{(1)} A^{(2)} \\cdots A^{(n)}\\right]\\] 으로 나타낸다.", "</p><p>일반적으로 \\( m \\)개의 행과 \\( n \\)개의 열을 갖는, 즉 크기가 \\( m \\times n \\)인 행렬 \\( A \\)를 간단히 \\[A=\\left[a_{i j}\\right]_{m \\times n}\\]로 표기한다.", "단, 행렬의 크기가 내용으로부터 명백하면 첨자는 생략하고 \\[A=\\left[a_{i j}\\right]\\]로 표기한다.", "특히 \\( m=n \\)인 행렬을 \\( n \\)차 정사각행렬 (square matrix)이라 하며, \\( n \\)차 정사각행렬 \\( A \\)의 대각선상에 위치해 있는 성분들 \\( a_{i j} \\) (단, \\( i=j \\) ), 즉 행과 열의 첨자가 같은 \\( a_{11}, a_{22}, \\cdots, a_{n n} \\)을 \\( A \\)의 주대각성분 (main diagonal entry), 간단히 대각성분 (diagonal entry) 또는 대각요소라고 한다.", "</p><p>정의 2 대각행렬 정사각행렬 \\( A \\)의 주대각성분 이외의 모든 성분이 0일 때 ( 0 아닌 성분은 대각선에만 있는 경우), \\( A \\)를 대각행렬(diagonal matrix)이라 하고, 보통 \\( D \\)로 표기한다.", "</p><p>주대각성분이 \\( a_{11}, a_{22}, \\cdots, a_{n n} \\)인 대각행렬 \\( A \\)를 \\[\\operatorname{diag}\\left[a_{11}, a_{22}, \\cdots, a_{n n}\\right]\\]으로 나타내기도 한다.", "특히 주대각성분이 모두 같은 대각행렬을 스칼라행렬 (scalar matrix)이라고 한다.", "</p><p>예 2 다음 3차 정사각행렬 \\[H=\\left[\\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\\\0 & 2 & 0 \\\\0 & 0 & 1\\end{array}\\right], \\quad I=\\left[\\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\0 & 1 & 0 \\\\0 & 0 & 1\\end{array}\\right]\\]은 모두 대각행렬이다.", "특히 \\( I \\)는 스칼라행렬이다.", "</p><p>정의 3 삼각행렬 대각성분보다 위에 놓여 있는 성분이 모두 0인 정사각행렬을 하삼각행렬 (lower triangular matrix)이라 하고, 대각성분보다 아래에 놓여 있는 성분이 모두 0인 정사각행렬을 상삼각행렬 (upper triangular matrix)이라 한다.", "하삼각 또는 상삼각행렬을 통틀어 삼각행렬 (triangular matrix)이라 한다.", "</p><p>일반적으로 3차 상삼각행렬은 \\[\\left[\\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\\0 & a_{22} & a_{23} \\\\0 & 0 & a_{33}\\end{array}\\right]\\]이고, 3차 하삼각행렬은 \\[\\left[\\begin{array}{ccc}a_{11} & 0 & 0 \\\\a_{21} & a_{22} & 0 \\\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\\end{array}\\right]\\]과 같은 형태로 주어진다.", "</p><p>예 3 행렬 \\( D\\), \\(L \\), \\(U \\), \\(R \\), \\(C \\), \\(A \\)가 각각 \\[\\begin{aligned} D=\\left[\\begin{array}{lll} 4 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 \\end{array}\\right], L=\\left[\\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 0 & 0 \\\\ 4 & 3 & 2 \\end{array}\\right], \\quad U=\\left[\\begin{array}{lll} 2 & 1 & 2 \\\\ 0 & 3 & 2 \\\\ 0 & 0 & 4 \\end{array}\\right], \\\\ R=\\left[\\begin{array}{lll}1 & 2 & 3\\end{array}\\right], \\quad C=\\left[\\begin{array}{l}2 \\\\ 4 \\\\ 3\\end{array}\\right], \\quad A=\\left[\\begin{array}{ccc}0 & 1 & 2 \\\\ 3 & 0 & 4 \\\\ 2 & 1 & 0\\end{array}\\right] \\end{aligned} \\] 으로 주어질 때<ol type=1 start=1><li>\\( D \\)는 대각행렬이다.", "</li><li>\\( L \\)은 하삼각행렬이고 \\( U \\)는 상삼각행렬이다.", "</li><li>\\( R \\)은 행 행렬 \\( (m=1) \\)이고 \\( C \\)는 열 행렬 \\( (n=1) \\)이다.", "</li><li>\\( D, L, U, A \\)는 정사각행렬이지만 \\( R, C \\)는 정사각행렬이 아니다.", "</li></ol></p> <p>종종 주어진 행렬 \\( A \\)의 부분행렬을 고려해야 할 필요가 있다.", "부분행렬이란 \\( A \\)의 일부 행과 열들을 제거하여 얻어진 행렬을 뜻한다.", "특별히 관심을 갖는 것은 행렬을 다른 부분행렬들로 분할하여 얻어진 부분행렬들이다.", "</p><p>예 4 행렬 \\[A=\\left[\\begin{array}{rrr:rr:r} 3 & 0 & 2 & 5 & 4 & -2 \\\\ -5 & 2 & 4 & 0 & 2 & 2 \\\\ \\hdashline-6 & -8 & 3 & 1 & 7 & -4 \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{lll} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\\\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\end{array}\\right]\\]에 대하여, \\( A_{11}=\\left[\\begin{array}{rrr}3 & 0 & 2 \\\\ -5 & 2 & 4\\end{array}\\right] \\)는 \\( A \\)의 \\( 2 \\times 3 \\) 부분행렬이고 \\( A_{12}=\\left[\\begin{array}{ll}5 & 4 \\\\ 0 & 2\\end{array}\\right] \\)는 \\( A \\)의 \\( 2 \\times 2 \\) 부분행렬이다.", "</p><p>참고 \\( m \\times n \\) 행렬 \\( A \\)의 부분행렬에 대하여 다음 표기법을 사용한다. \\", "[A^{(j)}=\\left[\\begin{array}{c} a_{1 j} \\\\ a_{2 j} \\\\ \\vdots \\\\ a_{m j} \\end{array}\\right] \\quad(\\text { 단, } 1 \\leq j \\leq n) \\] 는 \\( A \\)의 \\( j \\)번째 열이고, \\( A_{(i)}=\\left[\\begin{array}{ll}a_{i 1} & a_{i 2} \\cdots a_{i n}\\end{array}\\right] \\) (단, \\( 1 \\leq i \\leq m \\) )은 \\( A \\)의 \\( i \\)번째 행이다.", "</p><p>예 5 \\( m \\times n \\) 행렬 \\[ A=\\left[\\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \\cdots & a_{1 n} \\\\ a_{21} & a_{22} & \\cdots & a_{2 n} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots \\\\ a_{m 1} & a_{m 2} & \\cdots & a_{m n} \\end{array}\\right] \\]을 \\[ \\left[\\begin{array}{c}A_{(1)} \\\\ A_{(2)} \\\\ \\vdots \\\\ A_{(m)}\\end{array}\\right] \\text{ 또는 } \\left[ \\begin{array}{cccc}A^{(1)} &A^{(2)} &\\cdots &A^{(n)} \\end{array}\\right] \\]으로 표기한다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "412", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "선형대수학 입문_행렬", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-03e9-4f5e-be07-450ca87793b7", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961057219", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2013", "doc_author": [ "이병무" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>1.2 변수와 출력</h1><p>명령창 >>옆에 명령문을 입력하고 Enter를 치면 명령문이 수행되며 결과가 나타난다. 작업을 끝내려면 >>다음에 exit (", "또는 quit)을 친다.", "또한 프로그램이 실행 중에 중지하려면 Ctrl/c 를 누른다.", "명령문에서 \\( \\% \\) 다음에 있는 내용은 오직 설명문의 역할을 한다.", "명령문 끝에 쌍반점 ; 이 붙으면 변수의 값은 저장만 되고 출력되지 않는다.", "그러므로 프로그램 안에서 특별히 내용을 볼 필요가 없는 한 변수 끝에 쌍반점 ;를 붙여 변수의 값이 출력되지 않게 하는 것을 권장한다.", "</p><p>변수는 문자로 시작하며 문자, 숫자 그리고_로 구성한다.", "대문자와 소문자는 구별되며 미리 내장되어 있는 변수의 이름은 사용하지 않는 것이 바람직하다.", "사용된 변수와 함수는 새로 정의하지 않는 한 그대로 기억된다.", "clear 을 사용하면 정의된 내용이 모두 없어진다.", "현재까지 사용된 변수와 함수는 그대로 두고 현재 작업 중인 창을 깨끗이 비우려면 clc를 사용한다.", "</p><p>앞으로 계속 나오는 다음과 같이 상자 안에 있는 명령문에서 %이하는 설명을 위해 적은 것이니 직접 실행할 때는 입력할 필요가 없다.", "</p><p>가장 간단한 출력은 인용부호 ''를 이용하는 것이다.", "'' 안에 있는 문자를 있는 그대로 출력한다.", "형식을 갖추어서 출력하려면 fprintf()를 사용한다.", "() 안에 다음과 같은 선택사항을 사용하여 출력의 형태를 꾸밀 수 있다.", "</p><p>i, f, %n.m, \\n, \\t</p><p>여기서 i는 정수, f는 소수를 표현하는 기호이다. \\%", "ni은 대응하는 정수를 n자리수로 나타내고, \\%n.mf은 대응하는 실수를 전체 n자리수로 표현하되 이중 m개의 소수점 자리수를 갖게 한다. \\", "n은 다음 줄로 이동하여 출력하고, \\t는 탭만큼 간격을 주어 출력하게 한다.", "</p> <h1>1.9 그래프 그리기</h1><p>그래프를 그리는 명령어 중 직교좌표와 극좌표에 대한 것은 다음과 같다.", "</p><p>plot, polar</p><p>같은 크기의 벡터 \\( x=\\left(x_{i}\\right), y=\\left(y_{i}\\right) \\) 일 때 \\( \\operatorname{plot}(x, y) \\) 는 직교좌표에서 점 \\( \\left(x_{i}, y_{i}\\right) \\) 을 직선으로 연결한 그래프이다.", "마찬가지로 \\( t=\\left(t_{i}\\right), r=\\left(r_{i}\\right) \\) 일 때 \\( \\operatorname{polar}(t, r) \\) 는 사잇각이 \\( \\mathrm{t} \\) 이고 크기가 \\( r \\) 인 극좌표 그래프이다.", "</p><p>\\( [a, b] \\) 위에서 \\( y=f(x) \\) 의 그래프를 그리려면, \\( [a, b] \\) 를 균등하게 나눈 점을 \\( x \\) 에 저장하고 \\( y=f(x) \\) 로 정의한 후 \\( \\operatorname{plot}(x, y) \\) 하면 된다.", "</p><p>그래프를 꾸미는 명령어와 선택사항은 다음과 같다.", "</p><p>axis, grid, xlabel, ylabel, title, text</p><p>axis는 축에 관련된 선택사항으로 axis([xmin xmax ymin ymax]) 은 \\( \\mathrm{x} \\) 축과 \\( \\mathrm{y} \\) 축의 범위, axis auto(square, equal)은 \\( x \\) 축과 \\( y \\) 축의 비율, axis on(off)은 축을 나타내는지의 여부를 나타낸다.", "grid off(on)는 격자선, xlabel('\\( 0 \\) \\leq \\{\\itt\\} \\leq \\( 2 \\) \\pi')과 ylabel('sin(\\(x\\))')은 축의 이름, title('y=sin(x)의 그래프', 'FontSize', \\( 12 \\))은 그림의 이름을 나타내며 그림 안에 설명문을 넣을 때는 text( \\(1\\), \\(-0.2\\), '{주기는 \\( 2\\) \\pi}')를 이용한다. \\", "leq는 \\( \\leq\\), \\it는 이태릭체. \\", "pi는 \\( \\pi \\) 를 뜻한다. \\", "( 1,-0.2 \\) 는 \\( (1,-0.2) \\) 에서부터 설명문을 시작한다는 뜻이다.", "</p><p>두 개 이상의 그래프를 함께 그릴 수 있고 각 그래프의 범례를 legend를 이용하여 만들 수 있다.", "</p><p>그래프 \\( \\operatorname{plot}(\\mathrm{x}, \\mathrm{y} \\), '속성')의 속성을 나타내는 선택사항은 다음과 같다.", "</p><p>색상 'c', 'm', 'y', 'r', 'g', 'b', 'w', 'k'</p><p>선 '-', '-_', ':', '-.' , :</p><p>표시 '+', 'o', '*', 'x', 's', 'd', '^', 'v', '〉', '〈', 'p', 'h'</p><p>hold on은 그림을 한 창에 계속 겹치게 한다.", "끝내려면 hold off를 한다.", "</p><p>\\( y=f(x), x \\in[a, b] \\) 의 그래프를 \\( \\mathrm{x} \\) 와 \\( \\mathrm{y} \\) 벡터를 만들지 않고 다음 명령어를 이용하여 바로 그릴 수 있다.", "fplot('함수’, '범위’, '속성')와 같이 사용한다.", "</p><p>화면을 새로 만들거나 분할하는 명령어는 다음과 같다.", "</p><p>figure, subplot</p><p>figure는 새로운 화면을 추가한다.", "figure(n)은 만들어진 화면 중 Figure n 화면을 활성화한다.", "subplot( \\( (\\mathrm{m}, \\mathrm{n}, \\mathrm{p}) \\) 은 현 화면을 \\( \\mathrm{mx} \\mathrm{n} \\) 으로 분할하여 \\( \\mathrm{p} \\) 번째 화면에 그래프를 삽입한다.", "</p><p>\\( z=f(x, y) \\) 와 같은 \\( 3 \\) 차원의 그래프는 다음 명령어로 그릴 수 있다.", "</p><p>plot3, mesh, surf</p><p>영역 \\( [a, b] \\times[c, d] \\) 를 \\( 0.1 \\) 의 간격으로 잘게 나눈 결과는 \\( [x, y]=\\operatorname{meshgrid}(\\mathrm{a}: 0.1: \\mathrm{b} \\), c: 0.1: d)로 \\( [x, y] \\) 에 저장한 후 \\( z=f(x, y) \\) 를 구하여 위 명령어에 입력하면 된다.", "예를들어 \\( z=x^{2}+y^{2},-5 \\leq x \\leq 5, \\quad-5 \\) ley \\( \\leq 5 \\) 의 그래프는 다음과 같이 그릴 수 있다.", "</p> <h1>1.3 연산자와 자릿수 표현</h1><p>사칙 및 거듭제곱의 연산은 차례로 기호 \\( +, -, *, /,^ \\)를 사용한다.", "변수로 지정되지 않은 결과는 ans에 저장되어 출력된다.", "</p><p>크기를 나타내는 관계연산자는 \\( \\langle, \\langle= ,\\rangle,\\rangle=,==, \\sim= \\) '그리고, 또는, 부정'을 나타내는 논리연산자는 각각 \\( &, |, ~ \\)을 사용한다.", "출력에서 \\( 1 \\)은 참, \\( 0 \\)은 거짓을 대신한다.", "</p><p>수의 자릿수를 조절하기 위하여 format을 사용하며 short, long과 함께 사용한다.", "format 또는 format short는 일반적으로 소수점을 포함하여 \\( 6 \\)자리를 표현(일배정도, single precision)하며, format long은 \\( 14 \\)자리로 나타낸다(이배정도, double precision).", "</p><h1>1.4 수학함수</h1><p>옥타브에는 다음과 같은 기호가 내장되어 있다.", "</p><p>e, pi, lnf, i, NaN</p><p>e는 무리수 \\( 2.718281828459045 \\cdots,\\)pi 는 원주율 \\( \\pi, \\operatorname{Inf} \\) 는 무한대 \\( \\infty\\), i는 복소수 \\( \\sqrt{-1} \\) 이며, NaN는 값이 결정되지 않은 부정이나 불능을 나타낸다.", "내장된 오차에 관련한 함수는 다음과 같다.", "</p><p>fix, floor, ceil, round</p><p>fix()는 수의 소수점 이하를 절단하고, floor()은 바로 아래 정수, ceil()은 바로 위 정수가 되며, round()는 반올림한다.", "</p><p>지수와 로그 그리고 제곱근 등에 관련된 함수는 다음과 같다.", "함수 이름 다음에는 반드시 \\( 0 \\)을 사용하여 그 안에 변수를 입력한다.", "</p><p>exp, log, log\\(10\\),log\\(2\\), sqrt, factorial</p><p>exp()는 밑수를 e로 하는 지수함수, log()는 밑수를 e로 하는 자연로그함수 log(),log\\(10\\)()은 밑수를 \\( 10 \\) 으로 하는 상용로그함수, log\\(2 \\) 는 밑수를 \\( 2 \\) 로 하는 로그함수이다.", "sqrt는 제곱근을 나타내며 factorial(n)은 계승 n!을 나타낸다.", "</p><p>삼각함수와 쌍곡선함수에 관련된 함수는 다음과 같다.", "</p><p>cos, sin, tan, sec, csc, cot</p><p>acos, asin, atan, asec, acsc, acot</p><p>cosh, sinh, tanh, sech, csch, coth</p><p>acosh, asinh, atanh, asech, acsch, acoth</p><p>앞에 a가 있는 함수는 역함수이며 뒤에 h가 있는 함수는 쌍곡선함수이다.", "</p><p>복소수에 관련된 함수는 다음과 같다.", "</p><p>abs, real, imag, angle, conj</p><p>abs()는 복소수의 크기, real()은 실수부분, imag()은 허수부분, angle()은 편각, conj()은 켤레복소수를 나타낸다.", "즉 \\( z=a+b i \\) 이면 \\( \\operatorname{abs}(\\mathrm{z})=\\sqrt{a^{2}+b^{2}}, \\operatorname{real}(\\mathrm{z})=a, \\operatorname{imag}(\\mathrm{z})=b \\), angle \\( (\\mathrm{z})=\\tan ^{-1}(b / a), \\operatorname{conj}(\\mathrm{z})=a-b i \\) 가 된다.", "</p> <h1>1.7 조건문과 반복문</h1><p>조건을 만족하면 실행하는 명령문의 가장 간단한 형태는 if/ end이며 일반형은 if/ else/ end이다.", "중첩될 경우 elseif를 추가한다.", "구문이 끝날 때는 반드시 end를 사용하여 문장이 끝났음을 알려준다.", "</p><p>조건을 만족하면 반복하여 실행하는 반복문은 for/ end와 while/ end가 있다.", "</p><p>다음은 벡터 \\( x, y \\in R^{n} \\) 의 곱 \\( \\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i} \\) 을 출력하는 명령문이다.", "</p><h1>1.8 M-파일 함수문</h1><p>M-파일 함수문이란 C 의 서브루틴과 같은 프로그램으로 독립된 파일이며 확장자를 .m을 갖는다.", "함수문에서 파일의 내용을 알려주거나 대화를 통한 명령어는 다음과 같다.", "</p><p>disp, input, error</p><p>disp는 ans을 출력하지 않고, input은 사용자의 입력을 기다리며, error은 실행을 정지한다.", "</p><p>M-파일을 만들려면 우선 창 위에 있는 메뉴의 File-New-New Function을 클릭한다.", "새로 만들 파일의 이름, 예를 들어 'func_exam\\(1\\)'을 주면 다음과 같은 창이 뜬다.", "</p><p>이 창에 프로그램을 작성한다.", "func_exam\\(1\\)은 이미 정의한 함수 이름이자 파일 이름이니 건드리지 말고 출력 retval과 입력 input\\(1\\), input\\(2\\)의 이름은 변수의 의미를 가능한 표현하는 단어로 정하면 된다.", "프로그램을 완성했으면 저장하고 명령창에서 실행하면 된다.", "</p><p>예를 들면 위 상단에 보듯이 옥타브 프로그램 저장을 위한 디랙토리를 아래와 같이 설정하여 Octave 아래에 저장한다.", "자신의 컴퓨터의 설정에 따라 다를 수 있으나 옥타브만을 위한 별도의 디랙토리를 만들어 좋기를 권장한다.", "</p><p>C:Users \\USER\\Octave</p><p>위 Current Directory: 옆에 C:\\Users\\USER\\Octave이 된 상태의 명령창에서 실행해야 한다.", "</p><p>예제 \\( 1.1 \\)</p><p>\\( 100 \\)점 만점에 \\( 80 \\)점 이상이면 'Exellent', 그렇지 않으면 'Need Effort'를 함수문 안에서 출력하는 함수문 grade\\(1\\).m을 작성하라.", "</p><p>프로그램 아래와 같은 M-파일문을 grade\\(1\\).m으로 \\Octave 디렉토리에 저장하고 명령창에서 입력값을 준 후 실행한다.", "</p><p>입력을 생략하고 함수문 안에서 직접 점수를 입력 받으려면 input () 을 이용한다.", "</p><p>예제 \\( 1.2 \\)</p><p>\\( \\mathrm{n} 1 \\) 에서 \\( \\mathrm{n} 2 \\) 까지 k의 간격으로 모두 합한 값을 출력하는 함수문 sum_n\\( 1 \\)_n\\( 2 \\).m을 작성하라. 단 \\( \\mathrm{n} 1>", "\\mathrm{n} 2 \\) 이고 \\( \\mathrm{k} \\) 는 양의 정수이다.", "</p><p>예제 \\( 1.3 \\)</p><p>벡터 \\( x \\in R^{n} \\) 의 성분의 합 \\( \\sum_{i=1}^{n} x_{i} \\) 을 출력하는 함수문 sum_vctor.m을 작성하자.", "</p><p>예제 \\( 1.4 \\)</p><p>벡터 \\( x, y \\in R^{n} \\) 의 내적 \\( x \\cdot y=\\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i} \\) 을 출력하는 함수문 xdoty.m을 작성하자.", "여기서 함수문을 사용하지 않고도 함수를 정의할 수 있다.", "</p><p>수식', eval, inline, feval</p><p>함수의 정의는 간단히 f_name = '수식'처럼 정의한 후 변수의 값을 정하고 eval(f)로 함수 그 변수의 'f'의 값을 출력할 수 있다. 또는 변수를 함께 주는 f-name = inline('수식' ' \\( x1',..., 'xn' \\))으로 정의하고 특정한 값 \\(x1,..., xn\\)에서의 함숫값은 f-name (\\(\\mathrm{x} 1, \\ldots, \\mathrm{xn}\\)) 또는 feval(f_name, \\( x1, ..., xn \\))로 출력할 수 있다.", "</p> <h1>1.6 행렬방정식에 필요한 명령어</h1><p>행렬방정식에서 주로 다루는 주제는 연립방정식 \\( A x=b \\) 의 해와 고유치방정식 \\( A x=\\lambda x \\) 의 고유치와 고유벡터를 구하는 것이다.", "이것을 위하여 행렬을 분해한다.", "기본적인 명령어는 다음과 같다.", "</p><p>inv, det, norm, eig, hillo, rosser</p><p>inv() 는 역행렬을 나타낸다.", "따라서 \\( A x=b \\) 의 해는 \\( x=A^{-1} b \\) 이므로 \\( \\mathrm{x}=\\operatorname{inv}(A) * \\mathrm{~b} \\) 또는 \\( \\mathrm{x}=A \\backslash \\mathrm{b} \\) 가 된다.", "det 는 행렬식, norm은 행렬(또는 벡터)의 노름을 나타낸다.", "norm(\\(A\\)) 는 \\( 2 \\)-노름이며 그 외 norm(\\(A\\),\\(1\\)), norm(\\(A\\),inf), norm(\\(A\\),\bp) norm(\\(A\\),'fro')이 있다.", "hilb()는 \\(i\\)행 \\(j\\)열의 성분이 \\( \\frac{1}{i+j-1} \\) 인 힐버트 행렬이다.", "eig0은 고유치와 고유벡터를 알려준다.", "rosser는 크기가 \\( 8 \\) 인 시험용 대칭행렬이다.", "</p><p>선형대수학에서 사용되는 중요한 명령어는 다음과 같다.", "</p><p>trace, cond, null, orth, poly, rank, rref, chol, lu, qr</p><p>trace(\\( A \\))는 행렬 \\( A \\) 의 대각성분의 합이고, cond(\\(A\\))는 조건상수 \\( \\|A\\| /\\left\\|A^{-1}\\right\\| \\) 이다.", "null(A) 는 \\( A \\) 의 영공간 \\( \\{x \\mid A x=0\\}\\), orth(\\(A\\)) 는 \\( A \\) 의 열벡터로 생성된 직교행렬이다.", "poly(\\(A\\)) \\(A\\)의 특성다항식의 계수를 내림차순으로 나열한 것이며 rank(\\(A\\)) 는 \\( A \\) 의 일차독립인 열벡터의 수이다.", "rref(\\(A\\)) 는 \\( A \\) 의 축소된 사다리꼴 형태이다.", "chol(\\(A\\)) 의 솔레스키 분해이며, lu(\\(A\\))는 \\( A \\) 의 LU 분해 그리고 qr(\\(A\\)) 는 \\( A \\) 의 QR분해이다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "410", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "옥타브로 배우는 인공지능을 위한 기초수학_옥타브 사용하기", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-10e1-4719-b42d-4ca18313e55f", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160734089", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2020", "doc_author": [ "이규봉" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h2>연 습 문 제 10.1</h2><p>\\(1\\).", "다음 반복적분의 값을 구하여라.", "<ol type=1 start=1><li>\\( \\int_{0}^{1} \\int_{0}^{1} e^{x+y} d x d y \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{1} \\int_{1}^{5} \\frac{1}{r} d r d s \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{\\pi} \\int_{0}^{x} x \\sin y d y d x \\)</li><li>\\( \\int_{1}^{3} \\int_{0}^{x} \\frac{2}{x^{2}+y^{2}} d y d x \\)</li></ol></p><p>\\(2\\).", "다음 반복적분의 값을 구하여라.", "<ol type=1 start=1><li>\\( \\int_{0}^{3} \\int_{0}^{3} \\int_{0}^{3}(y-x z) d z d y d x \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\int_{0}^{1} \\int_{0}^{\\sqrt{1-x^{2}}} x \\cos z d y d x d z \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{\\ln 3} \\int_{0}^{1} \\int_{0}^{y}\\left(z^{2}+1\\right) e^{y^{2}} d x d z d y \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\int_{0}^{z} \\int_{0}^{y} \\sin (x+y+z) d x d y d z \\)</li></ol></p><p>\\(3\\).", "다음 이중적분을 반복적분으로 표현하고, 값을 구하여라.", "<ol type=1 start=1><li>\\( R \\) 이 네 개의 직선 \\( x=2, x=3, y=4, y=6 \\) 으로 둘러싸인 직사각형 영역일 때 \\( \\iint_{R}(x+y) d A \\)</li><li>\\( R \\) 이 세 개의 직선 \\( y=2 x, x=0, y=4 \\) 로 둘러싸인 삼각형 영역일 때 \\( \\iint_{R}(x+y) d A \\)</li><li>\\( R \\) 이 \\( [-1,1] \\) 위의 \\( x \\) 축과 포물선 \\( y=4-x^{2} \\) 사이의 영역일 때 \\( \\iint_{R} x y^{2} d A \\)</li><li>\\( R \\) 이 원 \\( x^{2}+y^{2}=1 \\) 의 내부에서 직선 \\( y=1-x \\) 위쪽부분 영역일 때 \\( \\iint_{R} x y^{2} d A \\)</li></ol></p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "미적분학_다중적분", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-0ba8-487f-8e33-4b613e68eb5e", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961052009", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2009", "doc_author": [ "강윤수", "김권욱", "송영무", "신향근", "양기열", "정권수" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

["<h2>4.3 \\(\\chi^{2} \\)-분포, \\( t \\)-분포, \\( F \\)-분포</h2><p>이 절에서는 표본(...TRUNCATED)

{"doc_category":{"KDC":"413","DDC":""},"doc_title":{"kor":"확률과 통계_표본분포와 중심(...TRUNCATED)