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id int32 0 5.48k	corpus stringlengths 176 110k	category stringclasses 24 values	sentence_ls listlengths 1 830	metadata dict
100	<h1>4. 예제</h1> <h2>4.1. 해군병원 근무시간 자료</h2> <p>세계 각지에 있는 17 곳의 미 해군병원에서 반응변수인 월간 의사들의 연 근무시간 \( (Y) \)과 근무시간에 영향이 있을 것으로 예상되는 다섯 개의 설명변수의 자료가 Myers (1990)에 수록되어 있다. 그중에서 병석 수 \( \left(X_{1}\right) \)와 평균 입원일 \( \left(X_{2}\right) \)을 설명변수로 하는 회귀분석의 결과가 Table 1에 제시되어 있는데 표준화 회귀모형의 추정회귀식은 다음과 같다.</p> <p>\( \hat{y}^{}=1.088 x_{1}^{}-0.151 x_{2}^{} \).</p> <p>\( X_{2} \)가 관심대상인 설명변수라고 하면, \( r_{12}=0.671>0 \)이고 \( p=1.70>1.49=\left(1 / r_{12}\right) \)이므로 식 (3.4) 또는 식 (3.5)에 따라 \( \hat{\beta}_{2}^{} \) 와 \( \hat{b}_{2}^{} \)의 부호는 다르고 \( \left(1 / r_{12}\right)<p<\left(2 / r_{12}-r_{12}\right)=2.31 \)이므로 \( -1<\lambda<0 \)이 된다. 즉, \( \hat{\beta}_{2}^{}=-0.151, \hat{b}_{2}^{}=0.579 \)이고 \( \hat{\beta}_{2}^{} / \hat{b}_{2}^{}\|=\|-0.261 \mid<1 \)이다. \( X_{1} \)의 경우는 \( r_{12}>0 \)이고 \( p^{\prime}=r_{y x_{2}} / r_{y x_{1}}=0.587<\left(1 / r_{12}\right) \)이므로 \( \hat{\beta}_{1}^{} \)와 \( \hat{b}_{1}^{} \)의 부호는 다르지 않고 \( 0<p^{\prime}<r_{12} \)이므로 \( \lambda^{\prime}=\hat{\beta}_{1}^{} / \hat{b}_{1}^{}>1 \)이다. 즉, \( \hat{\beta}_{1}^{}=1.088, \hat{b}_{1}^{}=0.986 \) 이고 \( \hat{\beta}_{1}^{} / \hat{b}_{1}^{} \mid=1.10>1 \)이다. 이러한 결과는 Figure 1과 Figure 2에서도 확인된다.</p> <table border><caption>Table 1: Regression results for hospital data</caption> <tbody><tr><td>Variable</td><td>Parameter Estimate</td><td>Standard Error</td><td>\( t \)-value</td><td>\( p \)-value</td><td>Standardized Estimate</td><td>\( r_{y x_{j}}=\hat{b}_{j}^{} \)</td><td>\( V I F_{X_{j}} \)</td><td>Additional \[ R^{2} \]</td><td>\( r_{A V P} \)</td><td>\( r_{A R P} \)</td><td>\( r_{S R P} \)</td></tr><tr><td>Intercept</td><td>2585.52</td><td>807.09</td><td>3.204</td><td>0.006</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>\( X_{1} \)</td><td>1.232</td><td>0.0504</td><td>24.43</td><td>0.000</td><td>1.088</td><td>0.986</td><td>1.820</td><td>0.650</td><td>0.988</td><td>0.806</td><td>0.733</td></tr><tr><td>\( X_{2} \)</td><td>–530.93</td><td>156.25</td><td>-3.398</td><td>0.004</td><td>–0.151</td><td>0.579</td><td>1.820</td><td>0.013</td><td>–0.672</td><td>–0.112</td><td>–0.498</td></tr></tbody></table> <p>\( r_{12}=0.671,1 / r_{12}=1.49,2 / r_{12}-r_{12}=2.31, p=r_{y x_{1}} / r_{y x_{2}}=1.70, p^{\prime}=r_{y x_{2}} / r_{y x_{1}}=0.587, R_{y x_{2}}^{2}=0.3348, R_{y x_{1}}^{2}=0.9722 \)</p> <p>식 (3.4)에 따라 \( r_{12}=r_{0} \)이면 \( \lambda=\left(1-p r_{0}\right) /\left(1-r_{0}^{2}\right) \)를 그래프로 표현하면 Figure 2(a)와 같다. 또한 다양한 \( p \)의 값에 따른 \( \lambda \)와 \( r_{12} \)의 관계는 그래프로 표현하면 Figure 2(b)와 같다.</p> <p>표준화 회귀계수 추정값의 절대값을 기준으로 하면 \( X_{1} \)의 중요도가 월등하고 \( X_{2} \)는 중요도가 상대적으로 낮다고 할 수 있다. 이는 각각의 설명변수에 대한 부분 \( t \)-검정통계량이나 추가적인 결정계수를 보더라도 동일하다. 설명변수 \( X_{1} \)과 \( X_{2} \)의 표준화회귀계수의 추정값의 절대값은 \( \hat{\mathcal{R}}_{1}^{} \mid \)이 \( \left\|\hat{\beta}_{2}^{}\right\| \)의 약 \( 7(\approx 1.089 / 0.151) \) 배인데 추가적인 결정계수를 반영하는 \( X_{1} \) 과 \( X_{2} \)의 추가결정계수 산점도의 상관계수의 절대값 \( \left\|r_{A R P}\right\| \)의 비율과 일치한다. 하지만 추가적인 설명력을 반영하는 \( X_{1} \) 의 추가변수그림에서의 상관계수의 절대값은 \( X_{2} \) 에서의 상관계수의 약 \( 1.5(\approx 0.988 / 0.672) \)배이다. 이는 \( \hat{\beta}_{1}^{} \)과 \( \hat{\beta}_{2}^{} \)에는 \( \sqrt{1-R_{y x_{2}}^{2}}=0.816 \)과 \( \sqrt{1-R_{y x_{1}}^{2}}=0.167 \) 의 효과가 반영되었기 때문이다.</p>	통계학	[ "<h1>4. 예제</h1> <h2>4.1. 해군병원 근무시간 자료</h2> <p>세계 각지에 있는 17 곳의 미 해군병원에서 반응변수인 월간 의사들의 연 근무시간 \\( (Y) \\)과 근무시간에 영향이 있을 것으로 예상되는 다섯 개의 설명변수의 자료가 Myers (1990)에 수록되어 있다.", "그중에서 병석 수 \\( \\left(X_{1}\\right) \\)와 평균 입원일 \\( \\left(X_{2}\\right) \\)을 설명변수로 하는 회귀분석의 결과가 Table 1에 제시되어 있는데 표준화 회귀모형의 추정회귀식은 다음과 같다.", "</p> <p>\\( \\hat{y}^{}=1.088 x_{1}^{}-0.151 x_{2}^{} \\).", "</p> <p>\\( X_{2} \\)가 관심대상인 설명변수라고 하면, \\( r_{12}=0.671>0 \\)이고 \\( p=1.70>1.49=\\left(1 / r_{12}\\right) \\)이므로 식 (3.4) 또는 식 (3.5)에 따라 \\( \\hat{\\beta}_{2}^{} \\) 와 \\( \\hat{b}_{2}^{} \\)의 부호는 다르고 \\( \\left(1 / r_{12}\\right)<p<\\left(2 / r_{12}-r_{12}\\right)=2.31 \\)이므로 \\( -1<\\lambda<0 \\)이 된다.", "즉, \\( \\hat{\\beta}_{2}^{}=-0.151, \\hat{b}_{2}^{}=0.579 \\)이고 \\( \\hat{\\beta}_{2}^{} / \\hat{b}_{2}^{}\|=\|-0.261 \\mid<1 \\)이다. \\", "( X_{1} \\)의 경우는 \\( r_{12}>0 \\)이고 \\( p^{\\prime}=r_{y x_{2}} / r_{y x_{1}}=0.587<\\left(1 / r_{12}\\right) \\)이므로 \\( \\hat{\\beta}_{1}^{} \\)와 \\( \\hat{b}_{1}^{} \\)의 부호는 다르지 않고 \\( 0<p^{\\prime}<r_{12} \\)이므로 \\( \\lambda^{\\prime}=\\hat{\\beta}_{1}^{} / \\hat{b}_{1}^{}>1 \\)이다. 즉, \\( \\hat{\\beta}_{1}^{}=1.088, \\hat{b}_{1}^{}=0.986 \\) 이고 \\( \\hat{\\beta}_{1}^{} / \\hat{b}_{1}^{} \\mid=1.10>", "1 \\)이다.", "이러한 결과는 Figure 1과 Figure 2에서도 확인된다.", "</p> <table border><caption>Table 1: Regression results for hospital data</caption> <tbody><tr><td>Variable</td><td>Parameter Estimate</td><td>Standard Error</td><td>\\( t \\)-value</td><td>\\( p \\)-value</td><td>Standardized Estimate</td><td>\\( r_{y x_{j}}=\\hat{b}_{j}^{} \\)</td><td>\\( V I F_{X_{j}} \\)</td><td>Additional \\[ R^{2} \\]</td><td>\\( r_{A V P} \\)</td><td>\\( r_{A R P} \\)</td><td>\\( r_{S R P} \\)</td></tr><tr><td>Intercept</td><td>2585.52</td><td>807.09</td><td>3.204</td><td>0.006</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>\\( X_{1} \\)</td><td>1.232</td><td>0.0504</td><td>24.43</td><td>0.000</td><td>1.088</td><td>0.986</td><td>1.820</td><td>0.650</td><td>0.988</td><td>0.806</td><td>0.733</td></tr><tr><td>\\( X_{2} \\)</td><td>–530.93</td><td>156.25</td><td>-3.398</td><td>0.004</td><td>–0.151</td><td>0.579</td><td>1.820</td><td>0.013</td><td>–0.672</td><td>–0.112</td><td>–0.498</td></tr></tbody></table> <p>\\( r_{12}=0.671,1 / r_{12}=1.49,2 / r_{12}-r_{12}=2.31, p=r_{y x_{1}} / r_{y x_{2}}=1.70, p^{\\prime}=r_{y x_{2}} / r_{y x_{1}}=0.587, R_{y x_{2}}^{2}=0.3348, R_{y x_{1}}^{2}=0.9722 \\)</p> <p>식 (3.4)에 따라 \\( r_{12}=r_{0} \\)이면 \\( \\lambda=\\left(1-p r_{0}\\right) /\\left(1-r_{0}^{2}\\right) \\)를 그래프로 표현하면 Figure 2(a)와 같다.", "또한 다양한 \\( p \\)의 값에 따른 \\( \\lambda \\)와 \\( r_{12} \\)의 관계는 그래프로 표현하면 Figure 2(b)와 같다.", "</p> <p>표준화 회귀계수 추정값의 절대값을 기준으로 하면 \\( X_{1} \\)의 중요도가 월등하고 \\( X_{2} \\)는 중요도가 상대적으로 낮다고 할 수 있다.", "이는 각각의 설명변수에 대한 부분 \\( t \\)-검정통계량이나 추가적인 결정계수를 보더라도 동일하다.", "설명변수 \\( X_{1} \\)과 \\( X_{2} \\)의 표준화회귀계수의 추정값의 절대값은 \\( \\hat{\\mathcal{R}}_{1}^{} \\mid \\)이 \\( \\left\|\\hat{\\beta}_{2}^{}\\right\| \\)의 약 \\( 7(\\approx 1.089 / 0.151) \\) 배인데 추가적인 결정계수를 반영하는 \\( X_{1} \\) 과 \\( X_{2} \\)의 추가결정계수 산점도의 상관계수의 절대값 \\( \\left\|r_{A R P}\\right\| \\)의 비율과 일치한다.", "하지만 추가적인 설명력을 반영하는 \\( X_{1} \\) 의 추가변수그림에서의 상관계수의 절대값은 \\( X_{2} \\) 에서의 상관계수의 약 \\( 1.5(\\approx 0.988 / 0.672) \\)배이다.", "이는 \\( \\hat{\\beta}_{1}^{} \\)과 \\( \\hat{\\beta}_{2}^{} \\)에는 \\( \\sqrt{1-R_{y x_{2}}^{2}}=0.816 \\)과 \\( \\sqrt{1-R_{y x_{1}}^{2}}=0.167 \\) 의 효과가 반영되었기 때문이다.", "</p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "413.05", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "다중회귀에서 회귀계수 추정량의 특성", "eng": "Comments on the regression coefficients" }, "doc_type": "논문", "doc_id": "62374a30-f1496dfd-acf0-4222-8b7f-d478053467a2", "doc_number": { 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101	<p>예제\(1\) \( f(x)=x^{3}-x, a=0, b=2 \) 를 대상으로 MVT를 적용하여 보자. \( f \) 는 다항함수로 모든 \( x \) 에 대하여 연속이고 미분 가능하므로, \( [0,2] \) 에서 연속이고 \( (0,2) \) 에서 미분 가능함은 당연하다. 따라서 MVT에 의하면<caption>(2)</caption>\[ f(2)-f(0)=f^{\prime}(c)(2-0) \] 를 만족하는 \( c \) 가 \( (0,2) \) 에 존재한다. 여기서는 \( c \) 를 구체적으로 찾을 수 있다. 사실, \( f^{\prime}(x)=3 x^{2}-1 \) 이고 \( f(2)=6, f(0)=0 \) 이므로, 식 (\(2\))는 \[ 6=\left(3 c^{2}-1\right) 2=6 c^{2}-2 \] 가 된다. 이를 풀면 \( c^{2}=\frac{4}{3} \), 즉 \( c=\pm 2 / \sqrt{3} \) 인데, \( c \) 는 \( (0,2) \) 에 존재해야 하므로 \( c=2 / \sqrt{3} \) 이다(그림 \(5\) 참조).</p><p>예제 \(2\).삼차방정식 \( x^{3}+x-1=0 \) 이 꼭 하나의 실근만 가진다는 사실을 보이기 위해, 먼저 해가 존재한다는 것을 확인하고 뒤에 유일하다는 것을 보이도록 한다.</p><p>해의 존재 IVT를 이용하기 위하여 \( f(x)=x^{3}+x-1 \) 라 두고 구간은 \( [0,1] \) 로 택하자 (이는 상황에 따라 적절하게 선택이 가능하다). 그러면 다항함수인 \( f \) 는 구간 \( [0,1] \) 에서 연속이다. 그리고 \( f(1)=1>0 \) 이고 \( f(0)=-1<0 \) 이므로 IVT에 의해 \( f(c)=0 \) 인 \( c \) 가 \(0\) 과 \(1\) 사이에 하나 이상 존재함을 안다. 따라서 주어진 방정식은 적어도 하나 이상의 실수해를 구간 \( (0,1) \) 에서 가진다는 결론을 내릴 수 있다.</p><p>단 하나의 실수해이제 \( \mathrm{MVT} \) 를 이용하여 방정식이 실수해를 단 하나 가진다는 것을 보이자.우선 방정식이 구간 \( (0,1) \) 에서 서로 다른 두 개의 실수해 \( a \) 와 \( b \) 를 \( (a<b) \) 가진다고 하자.위에서와 같이 \( f(x)=x^{3}+x-1 \) 와 구간 \( [a, b] \) 을 택하면 \( f(a)=0=f(b) \) 이다. 이제 다항함수 \( f \) 는 \( [a, b] \) 에서 연속이 고 또한 \( (a, b) \) 에서 미분 가능하므로 MVT에 의하면 \( f^{\prime}(c)=0 \) 인 \( c \) 가 \( a \) 와 \( b \) 사이에 하나 이상 존재하게 된다.그러나 모든 실수 \( x \) 에 대해 \( x^{2} \geq 0 \) 이므로 \( f^{\prime}(x)=3 x^{2}+1 \geq 1 \) 가 되어 \( f^{\prime}(x) \) 는 결코 \(0\) 이 될 수 없다. 이것은 MVT의 정리에서 이끌어 낸 결론이 모순이라는 것을 말해 주므로, 이 방정식은 실수해 를 하나만 가져야 한다.</p><p>MVT의 가장 중요한 점은 함수에 대한 정보를 이 함수의 미분계수로부터 얻을 수 있다는 것이다. 다음의 예에서 이를 확인해 보자.</p><p>예제 \( 3 f(0)= -3\)이고 모든 \( x \) 에 대해 \( f^{\prime}(x) \leq 5 \) 이면, \( f(2) \) 는 얼마나 큰 값을 가질 수 있을까? \( f \) 는 모든 곳에서 미분 가능하므로 이 성질에 의해 연속은 자연히 보장된다. 이제 \(2\) 를 포함하는 구간 \( [0,2] \) 을 택하여 MVT를 적용하면, \[ f(2)-f(0)=f^{\prime}(c)(2-0) \] 을 만족하는 수 \( c \) 가 존재하게 된다. 따라서 원하는 함수값 \( f(2) \) 의 값으로 \[ f(2)=f(0)+2 f^{\prime}(c)=-3+2 f^{\prime}(c) \] 을 얻는다. 그런데 모든 \( x \) 에 대해 \( f^{\prime}(x) \leq 5 \) 이므로 당연히 \( f^{\prime}(c) \leq 5 \) 이다. 양변에 \(2\) 를 곱하면 \( 2 f^{\prime}(c) \leq 10 \) 이므로, \( f(2)=-3+2 f^{\prime}(c) \leq-3+10 \) \( =7 \) 이 된다. 즉, \( f(2) \) 가 가질 수 있는 가장 큰 값은 \(7\) 이다.</p> <h3>■ 거듭제곱의 부정형</h3>극한 \( \lim _{x \rightarrow a}[f(x)]^{g(x)} \) 이 다음의 경우 중의 하나가 되면<ol type=1 start=1><li>\( \lim _{x \rightarrow a} f(x)=0, \quad \lim _{x \rightarrow a} g(x)=0 \)</li><li>\( \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\infty, \quad \lim _{x \rightarrow a} g(x)=0 \)</li><li>\( \lim _{x \rightarrow a} f(x)=1, \quad \lim _{x \rightarrow a} g(x)=\pm \infty \)</li></ol><p>결과는 \( 0^{0}, \infty^{0}, 1^{\infty} \) 등의 부정형이 된다. 이러한 경우들은 함수 \( y=[f(x)]^{g(x)} \) 에 자연로그를 취하여 \[ \ln y=g(y) \ln f(x) \] 로 표현하든지, 혹은 지수함수를 이용하여 \[ [f(x)]^{g^{(x)}}=e^{g(x) \ln f(x)} \] 로 표현하면 \( 0 \cdot \infty \) 인 부정형을 얻어 해결이 가능하다.</p><p>예제 6. \( \lim _{x \rightarrow 0^{+}}(1+\sin 4 x)^{\cot x} \) 에서 \( x \rightarrow 0^{+} \)일 때 \( 1+\sin 4 x \rightarrow 1 \) 이고 \( \cot x \rightarrow \infty \) 이므로, 주어진 극한은 \( 1^{\infty} \) 의 부정형이다. 이제 \( y=(1+\sin 4 x)^{\cot x} \) 이라 두고 양변에 자연로그를 취하면 \[ \ln y=\ln \left[(1+\sin 4 x)^{\cot x}\right]=\cot x \ln (1+\sin 4 x) \] 이 되므로, 로피탈 법칙에 의해 \[ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln y=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln (1+\sin 4 x)}{\tan x}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{4 \cos 4 x}{1+\sin 4 x}}{\sec ^{2} x}=4 \] 를 얻는다. 그런데 이는 \( \ln y \) 의 극한이므로, \( y \) 의 극한은 \( y=e^{\ln y} \) 라는 사실을 이용하여 정리하면 다음이 된다. \[ \lim _{x \rightarrow 0^{+}}(1+\sin 4 x)^{\cot x}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} y=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} e^{\ln y}=e^{4} . \] 예제 7. \( \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{x} \) 에서 \( x>0 \) 인 경우 \( 0^{x}=0 \) 이지만 \( x \neq 0 \) 인 경우 \( x^{0}=1 \) 이므 로, 이 극한을 예측한다는 것은 불가능하다. 그러나 예제 6 에서와 같이 지수함 수를 이용하면 \[ x^{x}=\left(e^{\ln x}\right)^{x}=e^{x \ln x} \] 이 되는데, 예제 4 에서 \( \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \ln x=0 \) 임을 보였다. 따라서 \[ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} e^{x \ln x}=e^{0}=1 \] 이다.</p> <h2>4.5 함수의 그래프 그리기</h2><p>함수 \( f \) 의 그래프는 정의역의 점 \( a \) 에서 얻어지는 순서쌍 \( (a, f(a)) \) 들로 걸정된 다. 그러나 정의역의 모든 짐에 대하여 이를 조사하기란 불가능한 경우가 대부 분인데. 이 때는 몇몇 점을 선택하여 조사한 자료를 가지고 그래프를 그릴 수 밖에 없다.<p>이제, 다음의 표에서 나타난 짐들을 이용하여 평면의 점으로 표시 한 다음. 이들을 연걸하여 그래프를 그려 보도록 하자.</p><p>도표에서의 점을 \( x y \) 평면에 표시한 다음 이들을 연걸헤서 두 개의 그래프를 그렸다. 그런데 점들을 어떻게 연걸하느냐에 따라 그립 1과 그림 2 에서와 같이 서로 다른 그래프가 그려지는데 어떤 것이 옳은 것인지 예측이 불가능하다. 이런 오류가 나타나는 이유는 \( -2 \) 와 \( -1 \) 사이에 혹은 2 와 5 사이에 함수가 가지 는 특징을 무시하고 생각없이 연결했기 때문이다. 이 절에서는 지금까지 배운것을 이용하여. 이와 같은 오류를 범하지 않고 함수의 특징을 제대로 표현해 주 는 그래프를 어떻게 그릴 수 있는지 연습해 보기로 한다.</p><p>함수 \( y=f(x) \) 의 그래프를 걸정하기 위해서 점검해야할 항목은 다음과 같다. 다만. 함수들이 각 항목에 해당하는 성질을 모두 가지는 것은 아니라는 사실에 유의하자.</p><h3>■ 그래프를 결정하는 항목</h3><p>A. 정의역과 치역 \( f \) 의 정의역은 \( f(x) \) 가 정의되는 \( x \) 를 구하는 것으로 해결된다. 치역은 정의역의 모든 점들이 가지는 함수값의 집합인데, 쉽게 계산이 되지 않는 경우에는 그래프를 그리고 나서 확인해도 된다.</p><p>B. 절편 그래프가 \( y \) 축과 만나는 점이 \( y \) 절편인데 \( f(0) \) 으로 결정된다. 함수에 따라 단 하나 있거나 혹은 없거나 둘 중 하나이다. 곡선이 \( x \) 축과 만나는 점 이 \( x \) 절편인데. 방정식 \( f(x)=0 \) 를 만족하는 점 \( x \) 들로 얻어지는데. 만약 이 방정식이 풀기 어렵다면 생략해도 무방하다.</p><p>C. 곡선의 대칭성과 주기성<ol type=i start=1><li>대칭성은 짝함수와 홀함수에서 나타난다. 1,1 절에서 보았듯이 정의역의 모든 \( x \) 에 대해 \( f(-x)=f(x) \) 인 짝함수 \( f \) 의 그래프는 \( y \) 축에 대해 선 대칭이므로, \( x \geq 0 \) 에서의 그래프를 \( y \) 축에 대해 대징시킴으로써 전체 그래프를 얻는다(그림 \( 3(\mathrm{a}) \) 참조), 또한 \( f(-x)=-f(x) \) 인 홀함수의 그래프는 원점에 대한 대칭이므로, \( x \geq 0 \) 에서의 그래프를 원점에 대해 대칭시킴으로써 전체 그래프를 얻는다(그림 \( 3(\mathrm{~b}) \) 참조).</li><li>어떤 양의 정수 \( p \) 에 대하여 정의역의 모든 점 \( x \) 가 \( f(x+p)=f(x) \) 인 성질을 가지는 함수를 주기함수 (periodic function)라 하는데, 이를 만족 하는 양의 정수 중 가장 작은 \( p \) 를 \( f \) 의 주기(period)라 한다. 이는 삼각 함수의 득징인데. 예를 들면 \( y=\sin x \) 는 주기가 \( 2 \pi \) 인 주기함수이고 \( y=\tan x \) 는 주기가 \( \pi \) 인 주기함수이다. 주기함수의 그래프는 길이가 \( p \) 인 구간에서의 그래프가 정의역에 걸쳐 반복되어 나타난다.</li></ol></p><p>D. 수평점근선, 수직점근선, 사점근선<ol type=i start=1><li>직선 \( y=L \) 이 \( y=f(x) \) 의 그래프의 수평점근선이라는 것은 양과 음의 무한대에서의 극한이 \( \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=L \) 혹은 \( \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=L \) 인 경우 이다.</li><li>직선 \( x=a \) 가 \( y=f(x) \) 의 그래프의 수직점근선이라는 것은 다음 중 어느 하나를 만족하는 경우이다.</li></ol></p><p>\( \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\infty, \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=\infty, \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=-\infty, \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=-\infty \)</p> <p>예제 \( 3 \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln x}{\sqrt[3]{x}} \) 의 경우는 \( x \rightarrow \infty \) 일 때 \( \ln x \rightarrow \infty \) 이고 \( \sqrt[3]{x} \rightarrow \infty \) 이므 로, \( \frac{\infty}{\infty} \) 부정형이다. 따라서 로피탈 법칙에 의해 \[ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln x}{\sqrt[3]{x}}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{-2 / 3}} \] 이 되는데, 오른쪽 변의 극한이 다시 \( \frac{0}{0} \) 부정형이 되었다. 예제 2 에서와 같이 로피탈 법칙을 다시 적용하면 극한이 구해진다. 그러나 여기서는 로피탈 법칙을 사용하는 대신에 오른쪽 변의 분수함수를 간단하게 정리하면, 로피탈 법칙을 반 복 적용할 필요 없이 간단하게 다음을 얻을 수 있다. \[ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln x}{\sqrt[3]{x}}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{-2 / 3}}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{3}{x}}{\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3}{\sqrt[3]{x}}=0 . \] 주 로피탈 법칙을 모든 경우에 무턱대고 사용해서는 안 된다. 가령 \( \lim _{x \rightarrow \pi} \frac{\sin x}{1-\cos x} \) 에 로피탈 법 칙을 적용하면 \[ \lim _{x \rightarrow \pi^{-}} \frac{\sin x}{1-\cos x}=\lim _{x \rightarrow \pi^{-}} \frac{\cos x}{\sin x}=-\infty \] 인데, 이는 잘못된 계산이다. 사실, \( x \rightarrow \pi^{-} \)일 때 \( \sin x \rightarrow 0 \) 인 반면, 분모 \( (1-\cos x) \) 는 0 에 수렴하지 않으므로 부정형이 아니다. 실제로 이 극한은 다음과 같이 바로 구해진다. \[ \lim _{x \rightarrow \pi^{-}} \frac{\sin x}{1-\cos x}=\frac{\sin \pi}{1-\cos \pi}=\frac{0}{1-(-1)}=0 . \] 따라서 분수함수의 극한을 구하는 경우, 로피탈 법칙을 사용하기 전에 일반적인 방법들을 먼 저 시도해 보아야만 한다. 지금까지 보았던 \( \frac{0}{0} \) 과 \( \pm \frac{\infty}{\infty} \) 부정형과는 다른 특이한 형태의 부정형들도 있 는데, 이들 하나하나에 대하여 로피탈 법칙을 어떻게 적용하는지 조사해 보자.</p><h3>■ 곱 \( 0 \cdot \infty \) 의 부정형</h3><p>극한 \( \lim _{x \rightarrow a} f(x) g(x) \) 에서 \( \lim _{x \rightarrow a} f(x)=0 \) 이고 \( \lim _{x \rightarrow a} g(x)=\pm \infty \) 이면, 곱의 법 칙을 적용할 수 없다. 이 경우는 \( a \) 근방에서의 함수값 \( f(x) g(x) \) 이 \( f \) 의 영향 으로 0 에 접근할 수도 있고 \( g \) 의 영향으로 \( \pm \infty \) 에 접근할 수도 있기 때문인데, 때에 따라 0 이 아닌 어떤 수에 접근할 가능성도 배제할 수 없다. 이러한 종류의 극한을 \( 0 \cdot \infty \) 의 부정형이라고 하는데, 이는 곱 \( f g \) 를 분수함수 \( f g=\frac{f}{1 / g} \) 또는 \( f g=\frac{g}{1 / f} \) 로 취급하여 주어진 극한을 \( \frac{0}{0} \) 또는 \( \pm \frac{\infty}{\infty} \) 의 부정형으로 바 꾸는 것으로 해결이 가능하다.</p><p>예제 \( 4 \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \ln x \) 는 \( x \rightarrow 0^{+} \)일 때 \( x \) 는 0 에 수렴하고 \( \ln x \) 는 \( -\infty \) 로 접근 하기 때문에 \( 0 \cdot \infty \) 의 부정형이다. 이제 \( x=1 /(1 / x) \) 라 두면 \( x \rightarrow 0^{+} \)일 때 \( 1 / x \rightarrow \infty \) 이므로, 이 극한은 \( \pm \frac{\infty}{\infty} \) 의 부정형이 된다. 따라서 로피탈 법칙을 적 용하여 다음을 얻는다.</p>\[ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \ln x=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln x}{1 / x}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1 / x}{-1 / x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(-x)=0 . \]<p>주 ) 예제 4 에서 \( \ln x=1 /(1 / \ln x) \) 라 두어 \( \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln x=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{1 / \ln x} \) 로 바꾸면 극한은 \( \frac{0}{0} \) 의 부 정형이 되어 해결이 가능한데, 이는 위에서 보다 횔씬 더 복잡한 계산을 요구한다.<p><h3>■ 차 \( \infty-\infty \) 의 부정형</h3><p>극한 \( \lim _{x \rightarrow a}[f(x)-g(x)] \) 에서 \( \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\pm \infty \) 이고 \( \lim _{x \rightarrow a} g(x)=\pm \infty \) 이면, \( \infty-\infty \) 의 부정형이 생긴다. 이 또한 \( f \) 와 \( g \) 어느 쪽에서 영향을 강하게 받느냐 에 따라 \( f(x)-g(x) \) 의 값이 달라지므로 극한에 대한 예측이 불가능하다. 그러 나 차로 주어진 함수를 유리화한다든지 공통인수로 소거한다든지 혹은 공통분모 를 통해 하나의 분수함수로 바꾸면, \( \frac{0}{0} \) 혹은 \( \pm \frac{\infty}{\infty} \) 인 부정형을 얻을 수 있다.</p><p>예제 5 극한 \( \lim _{x \rightarrow(\pi / 2)^{-}}(\sec x-\tan x) \) 은 \( x \rightarrow(\pi / 2)^{-} \)일 때 \( \sec x \rightarrow \infty \) 이고 \( \tan x \rightarrow \infty \) 이므로, 극한은 \( \infty-\infty \) 의 부정형이다. 이 경우는 실제로 주어진 함 수들이 분수함수이므로, 공통분모를 통해 하나의 분수함수로 고칠 수 있다. 그 러면 이것은 \( \frac{0}{0} \) 부정형이 되고 로피탈 법칙을 이용하면 다음을 얻는다. \( \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow(\pi / 2)^{-}}(\sec x-\tan x) &=\lim _{x \rightarrow(\pi / 2)^{-}}\left(\frac{1}{\cos x}-\frac{\sin x}{\cos x}\right) \\ &=\lim _{x \rightarrow(\pi / 2)^{-}} \frac{1-\sin x}{\cos x} \\ &=\lim _{x \rightarrow(\pi / 2)^{-}} \frac{-\cos x}{-\sin x}=0 \end{aligned} \)</p> <p>MVT를 적용하여 다음과 같은 미분의 기본 성질을 얻을 수 있다.</p><h4>증명</h4><p>\( x_{1}<x_{2} \) 인 \( x_{1} \) 과 \( x_{2} \) 를 \( (a, b) \) 에서 택하자.</p><p>\( f \) 가 \( (a, b) \) 에서 미분 가능하 므로 \( f \) 는 \( \left[x_{1}, x_{2}\right] \) 에서 연속이고 \( \left(x_{1}, x_{2}\right) \) 에서도 미분가능하다. 따라 서 MVT에 의해</p><p>(3) \( \quad f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)=f^{\prime}(c)\left(x_{2}-x_{1}\right) \)</p><p>을 만족하는 수 \( c \) 를 \( x_{1}<c<x_{2} \) 에서 얻는다.</p><p>그런데 모든 \( x \) 에 대해 \( f^{\prime}(x)=0 \) 이므로 \( f^{\prime}(c)=0 \) 이고, 따라서 식 (3)은 \( f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right) \) \( =0 \) 혹은 \( f\left(x_{2}\right)=f\left(x_{1}\right) \) 이 된다.</p><p>이는 \( (a, b) \) 에 있는 어떤 두 수 \( x_{1} \) 과 \( x_{2} \) 를 택하여도 함수값들이 같다는 것을 말하므로 \( f \) 는 \( (a, b) \) 에서 상수 임을 알 수 있다.</p><p><h3>6. 따름정리</h3><p>구간 \( (a, b) \) 의 모든 \( x \) 에 대해 \( f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x) \) 이면, \( f-g \) 는 \( (a, b) \) 에서 상수이다.</p><p>즉, 실수 \( c \) 에 대하여 \( f(x)=q(x)+c \) 이다.</p><h4>증명</h4><p>구간 \( (a, b) \) 의 모든 점 \( x \) 에 대해 \( F(x)=f(x)-g(x) \) 라 두면 \[ F^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)=0 \] 을 얻는다. 따라서 정리 5 에 의해, \( F \) 는 상수, 즉 \( f-g \) 는 상수이다.</p><p>주) 정리 5 와 따름정리 6 을 적용할 때 주의해야 할 점이 있다. 예를 들면 함수</p>\[ f(x)=\frac{x}{\|x\|}=\left\{\begin{array}{c} 1, x>0 \\ -1, x<0 \end{array}\right. \] 에서 정의역은 \( D=\{x \mid x \neq 0\} \) 이고 \( D \) 의 모든 \( x \) 에 대해 \( f^{\prime}(x)=0 \) 임은 분명하다.</p><p>그러나 \( f \) 는 \( D \) 에서 분명히 상수함수가 아니다.</p><p>이유는 \( D \) 가 하나의 구간이 아닌데 이것은 정리의 조건에 위배되기 때문이다.</p><p>그러나 \( f \) 를 구간 \( (0, \infty) \) 혹은 \( (-\infty, 0) \) 로 제한하면 이 구간에 서는 상수함수가 된다.</p> <p>\(32\). 삼차함수 \( a \neq 0 \) 일 때 \( f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d \) 와 같은 형태로 표현된다.</p><p>(a) 삼차함수는 임계점을 두 개. 한 개. 또는 전혀 가지지 않는 경우로 나뉘는데, 이 세가지에 해당하는 함수의 예를 각각 찾고 그래프를 그려 설명하여라.</p><p>(b) 삼차함수는 몇 개의 극값을 가질 수 있는가? 설명하여라.<p>\(33\). \( f(x)=x^{101}+x^{51}+x+1 \) 은 극대도 극소도 가지지 않음을 보여라.<p>\(34\). 양수 \(a\), \(b\)와 \( 0 \leq x \leq 1 \) 에 대하여 함수 \( f(x)= \) \( x^{0}(1-x)^{6} \) 의 최대값을 구하여라.</p><p>\(35\). \(5\) 가 \( g(x)=2+(x-5)^{3} \) 의 임계점이지만, \( g \) 는 5에서 극값을 가지지 않는다는 겻을 보여라.</p><h1>4.2 평균값 정리</h1><p>닫힌구간에서 연속인 함수가 미분가능성을 가지면 아주 중요한 성질을 가진다. 다음 정리는 흔히 롤의 정리(Rolle's Theorem)이라 부르는데, 여러 방면에 많이 적용된다.</p><p>\(3\).롤의 정리 함수 \( f \) 가 닫힌구간 \( [a, b] \) 에서 연속이고 열린구간 \( (a, b) \) 에서 미분가능하며 \( f(a)=f(b) \) 이면, \( f^{\prime}(c)=0 \) 을 만족하는 점 \( c \) 가 \( (a, b) \) 안에 적어도 하나 존재한다.</p><p>증명 일어날 수 있는 세 가지 경우가 있는데 이를 각각 조사해 보자.</p><p>경우\(1\). 상수함수 \( f(x)=k \) ( \( k \) 는 실수) (그림 \(1\) 의 (\(a\)) 참조)</p><p>모든 \( x \) 에 대하여 \( f^{\prime}(x)=0 \) 이므로 \( c \) 는 \( (a, b) \) 의 어떤 수를 택해도 정리가 만족된다.</p><p>경우\(2\). \( (a, b) \) 의 어떤 점 \( x \) 에서 \( f(x)>f(a) \) (그림 \(1\) 의 (\(b\)), (\(c\)) 참조)</p><p>닫힌구간의 연속함수에 대한 극값 정리에 의하면, \( f \) 는 \( (a, b) \) 의 어떤 점 \( c \) 에서 최대값을 가진다 (여기서 \( f(x)>f(a) \) 이므로 최소는 일어날 수가 없다). 그런데 조건 \( f(a)=f(b) \) 에 따르면 이는 극대값이 될 것이므로 \( c \) 는 임계점이 되고, \( f \) 가 \( c \) 에서 미분가능하므로 \( f^{\prime}(c)=0 \) 를 얻는다.</p><p>경우\(3\). \( (a, b) \) 의 어떤 점 \( x \) 에서 \( f(x)<f(a) \) (그림 \(1\)의 (\(c\)), (\(d\)) 참조)</p>경우 \(2\) 와 마찬가지로, 극값 정리에 의해 \( (a, b) \) 의 어떤 점 \( c \) 에서 최소값 을 가진다. 다시 조건 \( f(a)=f(b) \) 로부터 이는 극소가 되어야 하고 따 라서 \( f^{\prime}(c)=0 \) 를 얻는다.</p><p>그림 \(1\) 에 주어진 그래프들은 수평접선을 가지는 점 \( (c, f(c)) \) 에서 \( f^{\prime}(c)=0 \) 이므로 롤의 정리가 확인된다. 롤의 정리에서의 조건 \( f(a)=f(b) \) 를 제거하면 다음의 평균값정리(Mean Value Theorem)를 얻는데, 흔히 약자로 MVT 라 쓴다.</p><p>\(4\). 평균값 정리(MVT) 함수 \( f \) 가 닫힌구간 \( [a, b] \) 에서 연속이고 열린구간 \( (a, b) \) 에서 미분 가능하면<caption>(1)</caption>\[ f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \] 즉 \( f(b)-f(a)=f^{\prime}(c)(b-a) \) 를 만족하는 점 \( c \) 가 \( (a, b) \) 에 적어도 하나 존재한다</p><p>평균값 정리의 기하학적인 이해</p><p>그림 \(2\) 에 주어진 미분가능한 함수의 그래프에서 두 점 \( A(a, f(a)) \) 와 \( B(b, f(b)) \) 를 택하자. 그러면 \( A B \) 의 기울기 \( m_{A B} \) 는 \[ m_{A B}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \] 이 되어 식 (\(1\))의 오른쪽 변이 설명된다. 그리고 식 (\(1\))의 왼쪽 변 \( f^{\prime}(c) \) 는 점 \( (c, f(c)) \) 에서의 접선의 기울기이므로, 점 \( P(c, f(c)) \) 을 지나는 접선의 기울기 와 선분 \( A B \) 의 기울기가 같다는 사실을 뜻한다. 다시 말해서 MVT는 선분 \( A B \) 와 평행한 접선을 가지는 점 \( P \) 가 적어도 하나 이상 존재함을 말한다(그림 \(3\) 참조).</p><p>증명 우선 그림 \(2\)에서 두 점 \( A(a, f(a)) \) 와 \( B(b, f(b)) \) 을 지나는 직선 \( A B \) 의 식은 \[ y=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \] 이다. 이제 구간 \( [a, b] \) 의 점 \( x \) 에 대하여 다음과 같이 새로운 함수를 정의하자(그림 \(4\) 참조). \[ h(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \] 그러면 \( h \) 는 정의역이 \( [a, b] \) 인 함수로 다음 세 가지 조건을 만족한다.</p><p>즉, (ⅰ) \( h \) 는 \( f \) 와 일차함수의 합인데 이들은 둘 다 \( [a, b] \) 에서 연속이므로 \( h \) 도 \( [a, b] \) 에서 연속이다.</p><p>(ⅱ) \( f \) 와 일차함수가 \( (a, b) \) 에서 미분가능하므로 함수 \( h \) 도 \( (a, b) \) 에서 미분가능하다. 사실, 도함수 \( h^{\prime} \) 을 직접 계산하면 \[ h^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \] 이 되는데, 여기서 \( f(a) \) 와 \( \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \) 가 상수임을 주목하자.</p><p>(ⅲ) 이제 \( h(b)=f(b)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=f(b)-f(a)- [f(b)-f(a)]=0\) 이고 \(h(a)=f(a)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a) =0 \) 이므로 \( h(a)=h(b) \) 이다. 따라서 롤의 정리에 의해 \( h^{\prime}(c)=0 \)인 점 \( c \) 가 \( (a, b) \) 에 적어도 하나 존재한다는 결론이 나온다. 이를 다시 쓰면 \[ 0=h^{\prime}(c)=f^{\prime}(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \] 인데, 정리하면 \( f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \) 이 되어 증명이 끝난다.</p><p>주 평균값 정리에 \( f(a)=f(b) \) 의 조건을 적용하면 바로 를의 정리가 얻어진다. 이러한 이유로 최근에는 를의 정리를 따로 구별하지 않고 평균값 정리에 포함시켜 포괄적으로 사용한다.</p> <ol type=1 start=23><li>함수 \( f(x)=x^{4} \) 에서 \( f^{\prime \prime}(0)=0 \) 이지만 \( (0,0) \) 은 \( f \) 의 변곡점이 아님을 보여라.</li><li>함수 \( g(x)=x\|x\| \) 는 \( (0,0) \) 을 변곡점으로 갖지만 \( g^{\prime \prime}(0) \) 은 존재하지 않음을 보여라.</li><li>\( f^{\prime \prime \prime} \) 가 연속이고 \( f^{\prime}(c)=f^{\prime \prime}(c)=0 \) 이지만 \( f^{\prime \prime \prime}(c)>0 \) 이라고 하자. 그러면 \( f \) 는 \( c \) 에서 극소를 가지는가? 또, \( c \) 가 \( f \) 의 변곡점인가? 설명하여라</li></ol><h2>4.4 부정형과 로피탈 정리</h2><p>앞에서 분수함수의 극한은 분모, 분자의 극한으로 \[ \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim _{x \rightarrow a} f(x)}{\lim _{x \rightarrow a} g(x)} \] 와 같이 구할 수 있었다. 그러나 이 결과가 \( \frac{0}{0} \) 이거나 \( \pm \frac{\infty}{\infty} \) 의 형태가 되어 극한 값이 의미를 가지지 못할 경우도 있는데, 이들을 극한의 부정형(indeterminate form)이라 한다. 이 절에서는 여러 가지의 부정형을 소개하고 이를 해결하는 방법에 대하여 알아보기로 하자.</p><p>■ \( \frac{0}{0} \) 부정형 \( x \rightarrow a \) 일 때 동시에 \( f(x) \rightarrow 0 \) 이고 \( g(x) \rightarrow 0 \) 이면, \( \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} \) 의 극한은 \( \frac{0}{0} \) 의 부정형이 된다. 이미 유리함수의 극한에서 이 경우를 다루었는데, 다음 예에서 는 공통 인수의 소거를 통해 해결하였다. \[ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-x}{x^{2}-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x}{x+1}=\frac{1}{2} . \] 또 다른 경우는 \( \lim _{x \rightarrow a} \frac{\sin x}{x}=1 \) 인데, 이는 기하학적인 방법을 써서 해결하였다.</p><p>■\( \pm \frac{\infty}{\infty} \) 부정형 \( x \rightarrow a \) 일 때 동시에 \( f(x) \rightarrow \pm \infty \) 이고 \( g(x) \rightarrow \pm \infty \) 이면, \( \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} \) 의 극한은 \( \pm \frac{\infty}{\infty} \) 의 부정형이 된다. 이 또한 유리함수의 극한에서 다루었는데, 다 음 예에서는 분모의 제일 높은 차수인 \( x^{2} \) 으로 분자와 분모를 나눔으로써 해결 하였다. \[ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}-1}{2 x^{2}+1}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1-\frac{1}{x^{2}}}{2+\frac{1}{x^{2}}}=\frac{1-0}{2+0}=\frac{1}{2} . \] 그러나 이상과 같은 방법을 적용하여 해결할 수 없는 경우가 더 많은데, 여기 에 적용할 수 있는 로피탈 법칙(L'Hospital's law)을 소개하기로 한다.</p><p>10. 로피탈 법칙 점 \( a \) 에서 함수 \( f \) 와 \( g \) 가 미분가능하고 \( a \) 근방의 점 \( x \) 에 대하여 \( g^{\prime}(x) \neq 0 \) 이라고 하자. 이 때 \( \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} \) 이 \( \frac{0}{0} \) 혹은 \( \pm \frac{\infty}{\infty} \) 부정형 즉 (i) \( \lim _{x \rightarrow a} f(x)=0 \) 이고 \( \quad \lim _{x \rightarrow a} g(x)=0 \) (ii) \( \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\pm \infty \) 이고 \( \quad \lim _{x \rightarrow a} g(x)=\pm \infty \) 이라 하자. 이때 만약 \( \lim _{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} \) 의 극한이 존재한다면, \( \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} \) 의 극한도 존재하고 이들 극한값은 서로 같다. 즉, 다음이 성립한다. \[ \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} . \]</p><p>증명 그림 1 을 통해 로피탈 법칙을 간단히 음미해 보자. 첫 번째 그래프에서 \( f \) 와 \( g \) 는 미분가능한 함수로 각각 \( x \rightarrow a \) 일 때 극한값 0 을 가진다. 점 \( (a, 0) \) 근방에서 그래프를 확대하면 거의 직선처럼 보이므로, 이를 두 번째 그래프처럼 그려보자. 그러면 \[ \frac{m_{1}(x-a)}{m_{2}(x-a)}=\frac{m_{1}}{m_{2}} \] 을 얻는다. 그런데, 이것은 바로 점 \( (a, 0) \) 에서의 미분계수에 대한 비율 이므로 \[ \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} \]</p><p>이 유도된다. 특히 \( f(a)=g(a)=0 \) 이고 \( f^{\prime} \) 과 \( g^{\prime} \) 이 연속이며 \( g^{\prime}(a) \neq 0 \) 인 특별한 경우에는 \[ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=\frac{f^{\prime}(a)}{g^{\prime}(a)} &=\frac{\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\lim _{x \rightarrow a} \frac{g(x)-g(a)}{x-a}}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac{g(x)-g(a)}{x-a}} \\ &=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} \end{aligned} \] 이므로, 로피탈 법칙이 쉽게 설명된다.</p><p>주1 로피탈 법칙은 어떤 조건 하에서 분수함수의 극한이 분자, 분모의 도함수로 이루어진 새로운 분수함수의 극한과 같다는 것을 말한다. 여기서 로피탈 법칙을 사용하기 전에 \( f \) 와 \( g \) 의 극 한에 대한 조건들을 확인하는 것이 대단히 중요하다.</p><p>주2 로피탈 법칙은 한쪽 극한 뿐 아니라 양, 음의 무한에서의 극한에 대해서도 적용이 가능하다. 즉, \( x \rightarrow a \) 대신에 \( x \rightarrow a^{+}, x \rightarrow a^{-}, x \rightarrow \infty, x \rightarrow-\infty \) 중 어느 것으로도 대체해도 정리 가 성립된다.</p><p>예제 1 \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\ln x}{x-1} \) 의 극한은 \( \lim _{x \rightarrow 1} \ln x=\ln 1=0 \) 이고 \( \lim _{x \rightarrow 1}(x-1)=0 \) 이므 로 \( \frac{0}{0} \) 부정형이다. 따라서 로피탈 법칙을 적용하면 다음을 얻는다. \[ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\ln x}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{d}{d x}(\ln x)}{\frac{d}{d x}(x-1)}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1 / x}{1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{x}=1 . \] 예제 2. \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}}{x^{2}} \) 의 경우 \( \lim _{x \rightarrow \infty} e^{x}=\infty \) 이고 \( \lim _{x \rightarrow \infty} x^{2}=\infty \) 이므로 \( \frac{\infty}{\infty} \) 부정 형이다. 따라서 로피탈 법칙에 의해 \[ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{d}{d x}\left(e^{x}\right)}{\frac{d}{d x}\left(x^{2}\right)}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}}{2 x} \] 이 된다. 그런데 \( x \rightarrow \infty \) 일 때 \( e^{x} \rightarrow \infty \) 이고 \( 2 x \rightarrow \infty \) 이므로 식 (1)의 오른쪽 변의 극한 역시 \( \frac{\infty}{\infty} \) 부정형이다. 여기에 로피탈 법칙을 다시 적용하면 극한이 다음과 같이 구해진다. \[ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}}{2 x}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}}{2}=\infty . \]</p>	해석학	[ "<p>예제\\(1\\) \\( f(x)=x^{3}-x, a=0, b=2 \\) 를 대상으로 MVT를 적용하여 보자. \\", "( f \\) 는 다항함수로 모든 \\( x \\) 에 대하여 연속이고 미분 가능하므로, \\( [0,2] \\) 에서 연속이고 \\( (0,2) \\) 에서 미분 가능함은 당연하다.", "따라서 MVT에 의하면<caption>(2)</caption>\\[ f(2)-f(0)=f^{\\prime}(c)(2-0) \\] 를 만족하는 \\( c \\) 가 \\( (0,2) \\) 에 존재한다.", "여기서는 \\( c \\) 를 구체적으로 찾을 수 있다.", "사실, \\( f^{\\prime}(x)=3 x^{2}-1 \\) 이고 \\( f(2)=6, f(0)=0 \\) 이므로, 식 (\\(2\\))는 \\[ 6=\\left(3 c^{2}-1\\right) 2=6 c^{2}-2 \\] 가 된다.", "이를 풀면 \\( c^{2}=\\frac{4}{3} \\), 즉 \\( c=\\pm 2 / \\sqrt{3} \\) 인데, \\( c \\) 는 \\( (0,2) \\) 에 존재해야 하므로 \\( c=2 / \\sqrt{3} \\) 이다(그림 \\(5\\) 참조).", "</p><p>예제 \\(2\\).삼차방정식 \\( x^{3}+x-1=0 \\) 이 꼭 하나의 실근만 가진다는 사실을 보이기 위해, 먼저 해가 존재한다는 것을 확인하고 뒤에 유일하다는 것을 보이도록 한다.", "</p><p>해의 존재 IVT를 이용하기 위하여 \\( f(x)=x^{3}+x-1 \\) 라 두고 구간은 \\( [0,1] \\) 로 택하자 (이는 상황에 따라 적절하게 선택이 가능하다). 그러면 다항함수인 \\( f \\) 는 구간 \\( [0,1] \\) 에서 연속이다. 그리고 \\( f(1)=1>", "0 \\) 이고 \\( f(0)=-1<0 \\) 이므로 IVT에 의해 \\( f(c)=0 \\) 인 \\( c \\) 가 \\(0\\) 과 \\(1\\) 사이에 하나 이상 존재함을 안다.", "따라서 주어진 방정식은 적어도 하나 이상의 실수해를 구간 \\( (0,1) \\) 에서 가진다는 결론을 내릴 수 있다.", "</p><p>단 하나의 실수해이제 \\( \\mathrm{MVT} \\) 를 이용하여 방정식이 실수해를 단 하나 가진다는 것을 보이자.", "우선 방정식이 구간 \\( (0,1) \\) 에서 서로 다른 두 개의 실수해 \\( a \\) 와 \\( b \\) 를 \\( (a<b) \\) 가진다고 하자.", "위에서와 같이 \\( f(x)=x^{3}+x-1 \\) 와 구간 \\( [a, b] \\) 을 택하면 \\( f(a)=0=f(b) \\) 이다.", "이제 다항함수 \\( f \\) 는 \\( [a, b] \\) 에서 연속이 고 또한 \\( (a, b) \\) 에서 미분 가능하므로 MVT에 의하면 \\( f^{\\prime}(c)=0 \\) 인 \\( c \\) 가 \\( a \\) 와 \\( b \\) 사이에 하나 이상 존재하게 된다.", "그러나 모든 실수 \\( x \\) 에 대해 \\( x^{2} \\geq 0 \\) 이므로 \\( f^{\\prime}(x)=3 x^{2}+1 \\geq 1 \\) 가 되어 \\( f^{\\prime}(x) \\) 는 결코 \\(0\\) 이 될 수 없다.", "이것은 MVT의 정리에서 이끌어 낸 결론이 모순이라는 것을 말해 주므로, 이 방정식은 실수해 를 하나만 가져야 한다.", "</p><p>MVT의 가장 중요한 점은 함수에 대한 정보를 이 함수의 미분계수로부터 얻을 수 있다는 것이다.", "다음의 예에서 이를 확인해 보자.", "</p><p>예제 \\( 3 f(0)= -3\\)이고 모든 \\( x \\) 에 대해 \\( f^{\\prime}(x) \\leq 5 \\) 이면, \\( f(2) \\) 는 얼마나 큰 값을 가질 수 있을까? \\", "( f \\) 는 모든 곳에서 미분 가능하므로 이 성질에 의해 연속은 자연히 보장된다.", "이제 \\(2\\) 를 포함하는 구간 \\( [0,2] \\) 을 택하여 MVT를 적용하면, \\[ f(2)-f(0)=f^{\\prime}(c)(2-0) \\] 을 만족하는 수 \\( c \\) 가 존재하게 된다.", "따라서 원하는 함수값 \\( f(2) \\) 의 값으로 \\[ f(2)=f(0)+2 f^{\\prime}(c)=-3+2 f^{\\prime}(c) \\] 을 얻는다.", "그런데 모든 \\( x \\) 에 대해 \\( f^{\\prime}(x) \\leq 5 \\) 이므로 당연히 \\( f^{\\prime}(c) \\leq 5 \\) 이다.", "양변에 \\(2\\) 를 곱하면 \\( 2 f^{\\prime}(c) \\leq 10 \\) 이므로, \\( f(2)=-3+2 f^{\\prime}(c) \\leq-3+10 \\) \\( =7 \\) 이 된다.", "즉, \\( f(2) \\) 가 가질 수 있는 가장 큰 값은 \\(7\\) 이다.", "</p> <h3>■ 거듭제곱의 부정형</h3>극한 \\( \\lim _{x \\rightarrow a}[f(x)]^{g(x)} \\) 이 다음의 경우 중의 하나가 되면<ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=0, \\quad \\lim _{x \\rightarrow a} g(x)=0 \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=\\infty, \\quad \\lim _{x \\rightarrow a} g(x)=0 \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=1, \\quad \\lim _{x \\rightarrow a} g(x)=\\pm \\infty \\)</li></ol><p>결과는 \\( 0^{0}, \\infty^{0}, 1^{\\infty} \\) 등의 부정형이 된다.", "이러한 경우들은 함수 \\( y=[f(x)]^{g(x)} \\) 에 자연로그를 취하여 \\[ \\ln y=g(y) \\ln f(x) \\] 로 표현하든지, 혹은 지수함수를 이용하여 \\[ [f(x)]^{g^{(x)}}=e^{g(x) \\ln f(x)} \\] 로 표현하면 \\( 0 \\cdot \\infty \\) 인 부정형을 얻어 해결이 가능하다.", "</p><p>예제 6. \\( \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}}(1+\\sin 4 x)^{\\cot x} \\) 에서 \\( x \\rightarrow 0^{+} \\)일 때 \\( 1+\\sin 4 x \\rightarrow 1 \\) 이고 \\( \\cot x \\rightarrow \\infty \\) 이므로, 주어진 극한은 \\( 1^{\\infty} \\) 의 부정형이다. 이제 \\( y=(1+\\sin 4 x)^{\\cot x} \\) 이라 두고 양변에 자연로그를 취하면 \\[ \\ln y=\\ln \\left[(1+\\sin 4 x)^{\\cot x}\\right]=\\cot x \\ln (1+\\sin 4 x) \\] 이 되므로, 로피탈 법칙에 의해 \\[ \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\ln y=\\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\frac{\\ln (1+\\sin 4 x)}{\\tan x}=\\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\frac{\\frac{4 \\cos 4 x}{1+\\sin 4 x}}{\\sec ^{2} x}=4 \\] 를 얻는다. 그런데 이는 \\( \\ln y \\) 의 극한이므로, \\( y \\) 의 극한은 \\( y=e^{\\ln y} \\) 라는 사실을 이용하여 정리하면 다음이 된다. \\[ \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}}(1+\\sin 4 x)^{\\cot x}=\\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} y=\\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} e^{\\ln y}=e^{4} . \\] 예제 7. \\( \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} x^{x} \\) 에서 \\( x>", "0 \\) 인 경우 \\( 0^{x}=0 \\) 이지만 \\( x \\neq 0 \\) 인 경우 \\( x^{0}=1 \\) 이므 로, 이 극한을 예측한다는 것은 불가능하다.", "그러나 예제 6 에서와 같이 지수함 수를 이용하면 \\[ x^{x}=\\left(e^{\\ln x}\\right)^{x}=e^{x \\ln x} \\] 이 되는데, 예제 4 에서 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} x \\ln x=0 \\) 임을 보였다.", "따라서 \\[ \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} x^{x}=\\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} e^{x \\ln x}=e^{0}=1 \\] 이다.", "</p> <h2>4.5 함수의 그래프 그리기</h2><p>함수 \\( f \\) 의 그래프는 정의역의 점 \\( a \\) 에서 얻어지는 순서쌍 \\( (a, f(a)) \\) 들로 걸정된 다. 그러나 정의역의 모든 짐에 대하여 이를 조사하기란 불가능한 경우가 대부 분인데.", "이 때는 몇몇 점을 선택하여 조사한 자료를 가지고 그래프를 그릴 수 밖에 없다.", "<p>이제, 다음의 표에서 나타난 짐들을 이용하여 평면의 점으로 표시 한 다음.", "이들을 연걸하여 그래프를 그려 보도록 하자.", "</p><p>도표에서의 점을 \\( x y \\) 평면에 표시한 다음 이들을 연걸헤서 두 개의 그래프를 그렸다.", "그런데 점들을 어떻게 연걸하느냐에 따라 그립 1과 그림 2 에서와 같이 서로 다른 그래프가 그려지는데 어떤 것이 옳은 것인지 예측이 불가능하다.", "이런 오류가 나타나는 이유는 \\( -2 \\) 와 \\( -1 \\) 사이에 혹은 2 와 5 사이에 함수가 가지 는 특징을 무시하고 생각없이 연결했기 때문이다.", "이 절에서는 지금까지 배운것을 이용하여.", "이와 같은 오류를 범하지 않고 함수의 특징을 제대로 표현해 주 는 그래프를 어떻게 그릴 수 있는지 연습해 보기로 한다.", "</p><p>함수 \\( y=f(x) \\) 의 그래프를 걸정하기 위해서 점검해야할 항목은 다음과 같다.", "다만. 함수들이 각 항목에 해당하는 성질을 모두 가지는 것은 아니라는 사실에 유의하자.", "</p><h3>■ 그래프를 결정하는 항목</h3><p>A.", "정의역과 치역 \\( f \\) 의 정의역은 \\( f(x) \\) 가 정의되는 \\( x \\) 를 구하는 것으로 해결된다.", "치역은 정의역의 모든 점들이 가지는 함수값의 집합인데, 쉽게 계산이 되지 않는 경우에는 그래프를 그리고 나서 확인해도 된다.", "</p><p>B.", "절편 그래프가 \\( y \\) 축과 만나는 점이 \\( y \\) 절편인데 \\( f(0) \\) 으로 결정된다.", "함수에 따라 단 하나 있거나 혹은 없거나 둘 중 하나이다.", "곡선이 \\( x \\) 축과 만나는 점 이 \\( x \\) 절편인데.", "방정식 \\( f(x)=0 \\) 를 만족하는 점 \\( x \\) 들로 얻어지는데.", "만약 이 방정식이 풀기 어렵다면 생략해도 무방하다.", "</p><p>C.", "곡선의 대칭성과 주기성<ol type=i start=1><li>대칭성은 짝함수와 홀함수에서 나타난다.", "1,1 절에서 보았듯이 정의역의 모든 \\( x \\) 에 대해 \\( f(-x)=f(x) \\) 인 짝함수 \\( f \\) 의 그래프는 \\( y \\) 축에 대해 선 대칭이므로, \\( x \\geq 0 \\) 에서의 그래프를 \\( y \\) 축에 대해 대징시킴으로써 전체 그래프를 얻는다(그림 \\( 3(\\mathrm{a}) \\) 참조), 또한 \\( f(-x)=-f(x) \\) 인 홀함수의 그래프는 원점에 대한 대칭이므로, \\( x \\geq 0 \\) 에서의 그래프를 원점에 대해 대칭시킴으로써 전체 그래프를 얻는다(그림 \\( 3(\\mathrm{~b}) \\) 참조).", "</li><li>어떤 양의 정수 \\( p \\) 에 대하여 정의역의 모든 점 \\( x \\) 가 \\( f(x+p)=f(x) \\) 인 성질을 가지는 함수를 주기함수 (periodic function)라 하는데, 이를 만족 하는 양의 정수 중 가장 작은 \\( p \\) 를 \\( f \\) 의 주기(period)라 한다.", "이는 삼각 함수의 득징인데.", "예를 들면 \\( y=\\sin x \\) 는 주기가 \\( 2 \\pi \\) 인 주기함수이고 \\( y=\\tan x \\) 는 주기가 \\( \\pi \\) 인 주기함수이다.", "주기함수의 그래프는 길이가 \\( p \\) 인 구간에서의 그래프가 정의역에 걸쳐 반복되어 나타난다.", "</li></ol></p><p>D.", "수평점근선, 수직점근선, 사점근선<ol type=i start=1><li>직선 \\( y=L \\) 이 \\( y=f(x) \\) 의 그래프의 수평점근선이라는 것은 양과 음의 무한대에서의 극한이 \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} f(x)=L \\) 혹은 \\( \\lim _{x \\rightarrow-\\infty} f(x)=L \\) 인 경우 이다.", "</li><li>직선 \\( x=a \\) 가 \\( y=f(x) \\) 의 그래프의 수직점근선이라는 것은 다음 중 어느 하나를 만족하는 경우이다.", "</li></ol></p><p>\\( \\lim _{x \\rightarrow a^{+}} f(x)=\\infty, \\lim _{x \\rightarrow a^{-}} f(x)=\\infty, \\lim _{x \\rightarrow a^{+}} f(x)=-\\infty, \\lim _{x \\rightarrow a^{-}} f(x)=-\\infty \\)</p> <p>예제 \\( 3 \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\ln x}{\\sqrt[3]{x}} \\) 의 경우는 \\( x \\rightarrow \\infty \\) 일 때 \\( \\ln x \\rightarrow \\infty \\) 이고 \\( \\sqrt[3]{x} \\rightarrow \\infty \\) 이므 로, \\( \\frac{\\infty}{\\infty} \\) 부정형이다.", "따라서 로피탈 법칙에 의해 \\[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\ln x}{\\sqrt[3]{x}}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\frac{1}{x}}{\\frac{1}{3} x^{-2 / 3}} \\] 이 되는데, 오른쪽 변의 극한이 다시 \\( \\frac{0}{0} \\) 부정형이 되었다.", "예제 2 에서와 같이 로피탈 법칙을 다시 적용하면 극한이 구해진다.", "그러나 여기서는 로피탈 법칙을 사용하는 대신에 오른쪽 변의 분수함수를 간단하게 정리하면, 로피탈 법칙을 반 복 적용할 필요 없이 간단하게 다음을 얻을 수 있다. \\", "[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\ln x}{\\sqrt[3]{x}}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\frac{1}{x}}{\\frac{1}{3} x^{-2 / 3}}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\frac{3}{x}}{\\frac{1}{\\sqrt[3]{x^{2}}}}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{3}{\\sqrt[3]{x}}=0 . \\] 주 로피탈 법칙을 모든 경우에 무턱대고 사용해서는 안 된다.", "가령 \\( \\lim _{x \\rightarrow \\pi} \\frac{\\sin x}{1-\\cos x} \\) 에 로피탈 법 칙을 적용하면 \\[ \\lim _{x \\rightarrow \\pi^{-}} \\frac{\\sin x}{1-\\cos x}=\\lim _{x \\rightarrow \\pi^{-}} \\frac{\\cos x}{\\sin x}=-\\infty \\] 인데, 이는 잘못된 계산이다.", "사실, \\( x \\rightarrow \\pi^{-} \\)일 때 \\( \\sin x \\rightarrow 0 \\) 인 반면, 분모 \\( (1-\\cos x) \\) 는 0 에 수렴하지 않으므로 부정형이 아니다.", "실제로 이 극한은 다음과 같이 바로 구해진다. \\", "[ \\lim _{x \\rightarrow \\pi^{-}} \\frac{\\sin x}{1-\\cos x}=\\frac{\\sin \\pi}{1-\\cos \\pi}=\\frac{0}{1-(-1)}=0 . \\] 따라서 분수함수의 극한을 구하는 경우, 로피탈 법칙을 사용하기 전에 일반적인 방법들을 먼 저 시도해 보아야만 한다.", "지금까지 보았던 \\( \\frac{0}{0} \\) 과 \\( \\pm \\frac{\\infty}{\\infty} \\) 부정형과는 다른 특이한 형태의 부정형들도 있 는데, 이들 하나하나에 대하여 로피탈 법칙을 어떻게 적용하는지 조사해 보자.", "</p><h3>■ 곱 \\( 0 \\cdot \\infty \\) 의 부정형</h3><p>극한 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x) g(x) \\) 에서 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=0 \\) 이고 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} g(x)=\\pm \\infty \\) 이면, 곱의 법 칙을 적용할 수 없다.", "이 경우는 \\( a \\) 근방에서의 함수값 \\( f(x) g(x) \\) 이 \\( f \\) 의 영향 으로 0 에 접근할 수도 있고 \\( g \\) 의 영향으로 \\( \\pm \\infty \\) 에 접근할 수도 있기 때문인데, 때에 따라 0 이 아닌 어떤 수에 접근할 가능성도 배제할 수 없다.", "이러한 종류의 극한을 \\( 0 \\cdot \\infty \\) 의 부정형이라고 하는데, 이는 곱 \\( f g \\) 를 분수함수 \\( f g=\\frac{f}{1 / g} \\) 또는 \\( f g=\\frac{g}{1 / f} \\) 로 취급하여 주어진 극한을 \\( \\frac{0}{0} \\) 또는 \\( \\pm \\frac{\\infty}{\\infty} \\) 의 부정형으로 바 꾸는 것으로 해결이 가능하다.", "</p><p>예제 \\( 4 \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} x \\ln x \\) 는 \\( x \\rightarrow 0^{+} \\)일 때 \\( x \\) 는 0 에 수렴하고 \\( \\ln x \\) 는 \\( -\\infty \\) 로 접근 하기 때문에 \\( 0 \\cdot \\infty \\) 의 부정형이다.", "이제 \\( x=1 /(1 / x) \\) 라 두면 \\( x \\rightarrow 0^{+} \\)일 때 \\( 1 / x \\rightarrow \\infty \\) 이므로, 이 극한은 \\( \\pm \\frac{\\infty}{\\infty} \\) 의 부정형이 된다.", "따라서 로피탈 법칙을 적 용하여 다음을 얻는다.", "</p>\\[ \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} x \\ln x=\\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\frac{\\ln x}{1 / x}=\\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\frac{1 / x}{-1 / x^{2}}=\\lim _{x \\rightarrow 0^{+}}(-x)=0 . \\]<p>주 ) 예제 4 에서 \\( \\ln x=1 /(1 / \\ln x) \\) 라 두어 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\ln x=\\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\frac{x}{1 / \\ln x} \\) 로 바꾸면 극한은 \\( \\frac{0}{0} \\) 의 부 정형이 되어 해결이 가능한데, 이는 위에서 보다 횔씬 더 복잡한 계산을 요구한다.", "<p><h3>■ 차 \\( \\infty-\\infty \\) 의 부정형</h3><p>극한 \\( \\lim _{x \\rightarrow a}[f(x)-g(x)] \\) 에서 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=\\pm \\infty \\) 이고 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} g(x)=\\pm \\infty \\) 이면, \\( \\infty-\\infty \\) 의 부정형이 생긴다.", "이 또한 \\( f \\) 와 \\( g \\) 어느 쪽에서 영향을 강하게 받느냐", "에 따라 \\( f(x)-g(x) \\) 의 값이 달라지므로 극한에 대한 예측이 불가능하다.", "그러 나 차로 주어진 함수를 유리화한다든지 공통인수로 소거한다든지 혹은 공통분모 를 통해 하나의 분수함수로 바꾸면, \\( \\frac{0}{0} \\) 혹은 \\( \\pm \\frac{\\infty}{\\infty} \\) 인 부정형을 얻을 수 있다.", "</p><p>예제 5 극한 \\( \\lim _{x \\rightarrow(\\pi / 2)^{-}}(\\sec x-\\tan x) \\) 은 \\( x \\rightarrow(\\pi / 2)^{-} \\)일 때 \\( \\sec x \\rightarrow \\infty \\) 이고 \\( \\tan x \\rightarrow \\infty \\) 이므로, 극한은 \\( \\infty-\\infty \\) 의 부정형이다.", "이 경우는 실제로 주어진 함 수들이 분수함수이므로, 공통분모를 통해 하나의 분수함수로 고칠 수 있다.", "그 러면 이것은 \\( \\frac{0}{0} \\) 부정형이 되고 로피탈 법칙을 이용하면 다음을 얻는다. \\", "( \\begin{aligned} \\lim _{x \\rightarrow(\\pi / 2)^{-}}(\\sec x-\\tan x) &=\\lim _{x \\rightarrow(\\pi / 2)^{-}}\\left(\\frac{1}{\\cos x}-\\frac{\\sin x}{\\cos x}\\right) \\\\ &=\\lim _{x \\rightarrow(\\pi / 2)^{-}} \\frac{1-\\sin x}{\\cos x} \\\\ &=\\lim _{x \\rightarrow(\\pi / 2)^{-}} \\frac{-\\cos x}{-\\sin x}=0 \\end{aligned} \\)</p> <p>MVT를 적용하여 다음과 같은 미분의 기본 성질을 얻을 수 있다.", "</p><h4>증명</h4><p>\\( x_{1}<x_{2} \\) 인 \\( x_{1} \\) 과 \\( x_{2} \\) 를 \\( (a, b) \\) 에서 택하자.", "</p><p>\\( f \\) 가 \\( (a, b) \\) 에서 미분 가능하 므로 \\( f \\) 는 \\( \\left[x_{1}, x_{2}\\right] \\) 에서 연속이고 \\( \\left(x_{1}, x_{2}\\right) \\) 에서도 미분가능하다.", "따라 서 MVT에 의해</p><p>(3) \\( \\quad f\\left(x_{2}\\right)-f\\left(x_{1}\\right)=f^{\\prime}(c)\\left(x_{2}-x_{1}\\right) \\)</p><p>을 만족하는 수 \\( c \\) 를 \\( x_{1}<c<x_{2} \\) 에서 얻는다.", "</p><p>그런데 모든 \\( x \\) 에 대해 \\( f^{\\prime}(x)=0 \\) 이므로 \\( f^{\\prime}(c)=0 \\) 이고, 따라서 식 (3)은 \\( f\\left(x_{2}\\right)-f\\left(x_{1}\\right) \\) \\( =0 \\) 혹은 \\( f\\left(x_{2}\\right)=f\\left(x_{1}\\right) \\) 이 된다.", "</p><p>이는 \\( (a, b) \\) 에 있는 어떤 두 수 \\( x_{1} \\) 과 \\( x_{2} \\) 를 택하여도 함수값들이 같다는 것을 말하므로 \\( f \\) 는 \\( (a, b) \\) 에서 상수 임을 알 수 있다.", "</p><p><h3>6. 따름정리</h3><p>구간 \\( (a, b) \\) 의 모든 \\( x \\) 에 대해 \\( f^{\\prime}(x)=g^{\\prime}(x) \\) 이면, \\( f-g \\) 는 \\( (a, b) \\) 에서 상수이다.", "</p><p>즉, 실수 \\( c \\) 에 대하여 \\( f(x)=q(x)+c \\) 이다.", "</p><h4>증명</h4><p>구간 \\( (a, b) \\) 의 모든 점 \\( x \\) 에 대해 \\( F(x)=f(x)-g(x) \\) 라 두면 \\[ F^{\\prime}(x)=f^{\\prime}(x)-g^{\\prime}(x)=0 \\] 을 얻는다.", "따라서 정리 5 에 의해, \\( F \\) 는 상수, 즉 \\( f-g \\) 는 상수이다.</p><p>주)", "정리 5 와 따름정리 6 을 적용할 때 주의해야 할 점이 있다.", "예를 들면 함수</p>\\[ f(x)=\\frac{x}{\|x\|}=\\left\\{\\begin{array}{c} 1, x>0 \\\\ -1, x<0 \\end{array}\\right. \\] 에서 정의역은 \\( D=\\{x \\mid x \\neq 0\\} \\) 이고 \\( D \\) 의 모든 \\( x \\) 에 대해 \\( f^{\\prime}(x)=0 \\) 임은 분명하다.", "</p><p>그러나 \\( f \\) 는 \\( D \\) 에서 분명히 상수함수가 아니다.", "</p><p>이유는 \\( D \\) 가 하나의 구간이 아닌데 이것은 정리의 조건에 위배되기 때문이다.", "</p><p>그러나 \\( f \\) 를 구간 \\( (0, \\infty) \\) 혹은 \\( (-\\infty, 0) \\) 로 제한하면 이 구간에 서는 상수함수가 된다.", "</p> <p>\\(32\\).", "삼차함수 \\( a \\neq 0 \\) 일 때 \\( f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d \\) 와 같은 형태로 표현된다.", "</p><p>(a) 삼차함수는 임계점을 두 개.", "한 개.", "또는 전혀 가지지 않는 경우로 나뉘는데, 이 세가지에 해당하는 함수의 예를 각각 찾고 그래프를 그려 설명하여라.", "</p><p>(b) 삼차함수는 몇 개의 극값을 가질 수 있는가?", "설명하여라.", "<p>\\(33\\). \\", "( f(x)=x^{101}+x^{51}+x+1 \\) 은 극대도 극소도 가지지 않음을 보여라.", "<p>\\(34\\).", "양수 \\(a\\), \\(b\\)와 \\( 0 \\leq x \\leq 1 \\) 에 대하여 함수 \\( f(x)= \\) \\( x^{0}(1-x)^{6} \\) 의 최대값을 구하여라.", "</p><p>\\(35\\). \\", "(5\\) 가 \\( g(x)=2+(x-5)^{3} \\) 의 임계점이지만, \\( g \\) 는 5에서 극값을 가지지 않는다는 겻을 보여라.", "</p><h1>4.2 평균값 정리</h1><p>닫힌구간에서 연속인 함수가 미분가능성을 가지면 아주 중요한 성질을 가진다.", "다음 정리는 흔히 롤의 정리(Rolle's Theorem)이라 부르는데, 여러 방면에 많이 적용된다.", "</p><p>\\(3\\).롤의 정리 함수 \\( f \\) 가 닫힌구간 \\( [a, b] \\) 에서 연속이고 열린구간 \\( (a, b) \\) 에서 미분가능하며 \\( f(a)=f(b) \\) 이면, \\( f^{\\prime}(c)=0 \\) 을 만족하는 점 \\( c \\) 가 \\( (a, b) \\) 안에 적어도 하나 존재한다.", "</p><p>증명 일어날 수 있는 세 가지 경우가 있는데 이를 각각 조사해 보자.", "</p><p>경우\\(1\\).", "상수함수 \\( f(x)=k \\) ( \\( k \\) 는 실수) (그림 \\(1\\) 의 (\\(a\\)) 참조)</p><p>모든 \\( x \\) 에 대하여 \\( f^{\\prime}(x)=0 \\) 이므로 \\( c \\) 는 \\( (a, b) \\) 의 어떤 수를 택해도 정리가 만족된다.", "</p><p>경우\\(2\\). \\", "( (a, b) \\) 의 어떤 점 \\( x \\) 에서 \\( f(x)>f(a) \\) (그림 \\(1\\) 의 (\\(b\\)), (\\(c\\)) 참조)</p><p>닫힌구간의 연속함수에 대한 극값 정리에 의하면, \\( f \\) 는 \\( (a, b) \\) 의 어떤 점 \\( c \\) 에서 최대값을 가진다 (여기서 \\( f(x)>f(a) \\) 이므로 최소는 일어날 수가 없다).", "그런데 조건 \\( f(a)=f(b) \\) 에 따르면 이는 극대값이 될 것이므로 \\( c \\) 는 임계점이 되고, \\( f \\) 가 \\( c \\) 에서 미분가능하므로 \\( f^{\\prime}(c)=0 \\) 를 얻는다.", "</p><p>경우\\(3\\). \\", "( (a, b) \\) 의 어떤 점 \\( x \\) 에서 \\( f(x)<f(a) \\) (그림 \\(1\\)의 (\\(c\\)), (\\(d\\)) 참조)</p>경우 \\(2\\) 와 마찬가지로, 극값 정리에 의해 \\( (a, b) \\) 의 어떤 점 \\( c \\) 에서 최소값 을 가진다.", "다시 조건 \\( f(a)=f(b) \\) 로부터 이는 극소가 되어야 하고 따 라서 \\( f^{\\prime}(c)=0 \\) 를 얻는다.", "</p><p>그림 \\(1\\) 에 주어진 그래프들은 수평접선을 가지는 점 \\( (c, f(c)) \\) 에서 \\( f^{\\prime}(c)=0 \\) 이므로 롤의 정리가 확인된다.", "롤의 정리에서의 조건 \\( f(a)=f(b) \\) 를 제거하면 다음의 평균값정리(Mean Value Theorem)를 얻는데, 흔히 약자로 MVT 라 쓴다.", "</p><p>\\(4\\).", "평균값 정리(MVT) 함수 \\( f \\) 가 닫힌구간 \\( [a, b] \\) 에서 연속이고 열린구간 \\( (a, b) \\) 에서 미분 가능하면<caption>(1)</caption>\\[ f^{\\prime}(c)=\\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \\] 즉 \\( f(b)-f(a)=f^{\\prime}(c)(b-a) \\) 를 만족하는 점 \\( c \\) 가 \\( (a, b) \\) 에 적어도 하나 존재한다</p><p>평균값 정리의 기하학적인 이해</p><p>그림 \\(2\\) 에 주어진 미분가능한 함수의 그래프에서 두 점 \\( A(a, f(a)) \\) 와 \\( B(b, f(b)) \\) 를 택하자.", "그러면 \\( A B \\) 의 기울기 \\( m_{A B} \\) 는 \\[ m_{A B}=\\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \\] 이 되어 식 (\\(1\\))의 오른쪽 변이 설명된다.", "그리고 식 (\\(1\\))의 왼쪽 변 \\( f^{\\prime}(c) \\) 는 점 \\( (c, f(c)) \\) 에서의 접선의 기울기이므로, 점 \\( P(c, f(c)) \\) 을 지나는 접선의 기울기 와 선분 \\( A B \\) 의 기울기가 같다는 사실을 뜻한다.", "다시 말해서 MVT는 선분 \\( A B \\) 와 평행한 접선을 가지는 점 \\( P \\) 가 적어도 하나 이상 존재함을 말한다(그림 \\(3\\) 참조).", "</p><p>증명 우선 그림 \\(2\\)에서 두 점 \\( A(a, f(a)) \\) 와 \\( B(b, f(b)) \\) 을 지나는 직선 \\( A B \\) 의 식은 \\[ y=f(a)+\\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \\] 이다.", "이제 구간 \\( [a, b] \\) 의 점 \\( x \\) 에 대하여 다음과 같이 새로운 함수를 정의하자(그림 \\(4\\) 참조). \\", "[ h(x)=f(x)-f(a)-\\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \\] 그러면 \\( h \\) 는 정의역이 \\( [a, b] \\) 인 함수로 다음 세 가지 조건을 만족한다.", "</p><p>즉, (ⅰ) \\( h \\) 는 \\( f \\) 와 일차함수의 합인데 이들은 둘 다 \\( [a, b] \\) 에서 연속이므로 \\( h \\) 도 \\( [a, b] \\) 에서 연속이다.", "</p><p>(ⅱ) \\( f \\) 와 일차함수가 \\( (a, b) \\) 에서 미분가능하므로 함수 \\( h \\) 도 \\( (a, b) \\) 에서 미분가능하다.", "사실, 도함수 \\( h^{\\prime} \\) 을 직접 계산하면 \\[ h^{\\prime}(x)=f^{\\prime}(x)-\\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \\] 이 되는데, 여기서 \\( f(a) \\) 와 \\( \\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \\) 가 상수임을 주목하자.", "</p><p>(ⅲ) 이제 \\( h(b)=f(b)-f(a)-\\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=f(b)-f(a)- [f(b)-f(a)]=0\\) 이고 \\(h(a)=f(a)-f(a)-\\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a) =0 \\) 이므로 \\( h(a)=h(b) \\) 이다.", "따라서 롤의 정리에 의해 \\( h^{\\prime}(c)=0 \\)인 점 \\( c \\) 가 \\( (a, b) \\) 에 적어도 하나 존재한다는 결론이 나온다.", "이를 다시 쓰면 \\[ 0=h^{\\prime}(c)=f^{\\prime}(c)-\\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \\] 인데, 정리하면 \\( f^{\\prime}(c)=\\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \\) 이 되어 증명이 끝난다.", "</p><p>\u0004주 평균값 정리에 \\( f(a)=f(b) \\) 의 조건을 적용하면 바로 를의 정리가 얻어진다.", "이러한 이유로 최근에는 를의 정리를 따로 구별하지 않고 평균값 정리에 포함시켜 포괄적으로 사용한다.", "</p> <ol type=1 start=23><li>함수 \\( f(x)=x^{4} \\) 에서 \\( f^{\\prime \\prime}(0)=0 \\) 이지만 \\( (0,0) \\) 은 \\( f \\) 의 변곡점이 아님을 보여라.", "</li><li>함수 \\( g(x)=x\|x\| \\) 는 \\( (0,0) \\) 을 변곡점으로 갖지만 \\( g^{\\prime \\prime}(0) \\) 은 존재하지 않음을 보여라.", "</li><li>\\( f^{\\prime \\prime \\prime} \\) 가 연속이고 \\( f^{\\prime}(c)=f^{\\prime \\prime}(c)=0 \\) 이지만 \\( f^{\\prime \\prime \\prime}(c)>0 \\) 이라고 하자.", "그러면 \\( f \\) 는 \\( c \\) 에서 극소를 가지는가?", "또, \\( c \\) 가 \\( f \\) 의 변곡점인가?", "설명하여라", "</li></ol><h2>4.4 부정형과 로피탈 정리</h2><p>앞에서 분수함수의 극한은 분모, 분자의 극한으로 \\[ \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f(x)}{g(x)}=\\frac{\\lim _{x \\rightarrow a} f(x)}{\\lim _{x \\rightarrow a} g(x)} \\] 와 같이 구할 수 있었다.", "그러나 이 결과가 \\( \\frac{0}{0} \\) 이거나 \\( \\pm \\frac{\\infty}{\\infty} \\) 의 형태가 되어 극한 값이 의미를 가지지 못할 경우도 있는데, 이들을 극한의 부정형(indeterminate form)이라 한다.", "이 절에서는 여러 가지의 부정형을 소개하고 이를 해결하는 방법에 대하여 알아보기로 하자.", "</p><p>■ \\( \\frac{0}{0} \\) 부정형 \\( x \\rightarrow a \\) 일 때 동시에 \\( f(x) \\rightarrow 0 \\) 이고 \\( g(x) \\rightarrow 0 \\) 이면, \\( \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f(x)}{g(x)} \\) 의 극한은 \\( \\frac{0}{0} \\) 의 부정형이 된다.", "이미 유리함수의 극한에서 이 경우를 다루었는데, 다음 예에서 는 공통 인수의 소거를 통해 해결하였다. \\", "[ \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{x^{2}-x}{x^{2}-1}=\\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{x}{x+1}=\\frac{1}{2} . \\]", "또 다른 경우는 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{\\sin x}{x}=1 \\) 인데, 이는 기하학적인 방법을 써서 해결하였다.", "</p><p>■\\( \\pm \\frac{\\infty}{\\infty} \\) 부정형 \\( x \\rightarrow a \\) 일 때 동시에 \\( f(x) \\rightarrow \\pm \\infty \\) 이고 \\( g(x) \\rightarrow \\pm \\infty \\) 이면, \\( \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f(x)}{g(x)} \\) 의 극한은 \\( \\pm \\frac{\\infty}{\\infty} \\) 의 부정형이 된다.", "이 또한 유리함수의 극한에서 다루었는데, 다 음 예에서는 분모의 제일 높은 차수인 \\( x^{2} \\) 으로 분자와 분모를 나눔으로써 해결 하였다. \\", "[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{x^{2}-1}{2 x^{2}+1}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{1-\\frac{1}{x^{2}}}{2+\\frac{1}{x^{2}}}=\\frac{1-0}{2+0}=\\frac{1}{2} . \\]", "그러나 이상과 같은 방법을 적용하여 해결할 수 없는 경우가 더 많은데, 여기 에 적용할 수 있는 로피탈 법칙(L'Hospital's law)을 소개하기로 한다.", "</p><p>10. 로피탈 법칙 점 \\( a \\) 에서 함수 \\( f \\) 와 \\( g \\) 가 미분가능하고 \\( a \\) 근방의 점 \\( x \\) 에 대하여 \\( g^{\\prime}(x) \\neq 0 \\) 이라고 하자.", "이 때 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f(x)}{g(x)} \\) 이 \\( \\frac{0}{0} \\) 혹은 \\( \\pm \\frac{\\infty}{\\infty} \\) 부정형 즉 (i) \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=0 \\) 이고 \\( \\quad \\lim _{x \\rightarrow a} g(x)=0 \\) (ii) \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=\\pm \\infty \\) 이고 \\( \\quad \\lim _{x \\rightarrow a} g(x)=\\pm \\infty \\) 이라 하자.", "이때 만약 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f^{\\prime}(x)}{g^{\\prime}(x)} \\) 의 극한이 존재한다면, \\( \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f(x)}{g(x)} \\) 의 극한도 존재하고 이들 극한값은 서로 같다.", "즉, 다음이 성립한다. \\", "[ \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f(x)}{g(x)}=\\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f^{\\prime}(x)}{g^{\\prime}(x)} . \\]", "</p><p>증명 그림 1 을 통해 로피탈 법칙을 간단히 음미해 보자.", "첫 번째 그래프에서 \\( f \\) 와 \\( g \\) 는 미분가능한 함수로 각각 \\( x \\rightarrow a \\) 일 때 극한값 0 을 가진다.", "점 \\( (a, 0) \\) 근방에서 그래프를 확대하면 거의 직선처럼 보이므로, 이를 두 번째 그래프처럼 그려보자.", "그러면 \\[ \\frac{m_{1}(x-a)}{m_{2}(x-a)}=\\frac{m_{1}}{m_{2}} \\] 을 얻는다.", "그런데, 이것은 바로 점 \\( (a, 0) \\) 에서의 미분계수에 대한 비율 이므로 \\[ \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f(x)}{g(x)}=\\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f^{\\prime}(x)}{g^{\\prime}(x)} \\]</p><p>이 유도된다.", "특히 \\( f(a)=g(a)=0 \\) 이고 \\( f^{\\prime} \\) 과 \\( g^{\\prime} \\) 이 연속이며 \\( g^{\\prime}(a) \\neq 0 \\) 인 특별한 경우에는 \\[ \\begin{aligned} \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f^{\\prime}(x)}{g^{\\prime}(x)}=\\frac{f^{\\prime}(a)}{g^{\\prime}(a)} &=\\frac{\\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}=\\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{\\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\\frac{g(x)-g(a)}{x-a}} \\\\ &=\\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f(x)}{g(x)} \\end{aligned} \\] 이므로, 로피탈 법칙이 쉽게 설명된다.", "</p><p>주1 로피탈 법칙은 어떤 조건 하에서 분수함수의 극한이 분자, 분모의 도함수로 이루어진 새로운 분수함수의 극한과 같다는 것을 말한다.", "여기서 로피탈 법칙을 사용하기 전에 \\( f \\) 와 \\( g \\) 의 극 한에 대한 조건들을 확인하는 것이 대단히 중요하다.", "</p><p>주2 로피탈 법칙은 한쪽 극한 뿐 아니라 양, 음의 무한에서의 극한에 대해서도 적용이 가능하다.", "즉, \\( x \\rightarrow a \\) 대신에 \\( x \\rightarrow a^{+}, x \\rightarrow a^{-}, x \\rightarrow \\infty, x \\rightarrow-\\infty \\) 중 어느 것으로도 대체해도 정리 가 성립된다.", "</p><p>예제 1 \\( \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{\\ln x}{x-1} \\) 의 극한은 \\( \\lim _{x \\rightarrow 1} \\ln x=\\ln 1=0 \\) 이고 \\( \\lim _{x \\rightarrow 1}(x-1)=0 \\) 이므 로 \\( \\frac{0}{0} \\) 부정형이다.", "따라서 로피탈 법칙을 적용하면 다음을 얻는다. \\", "[ \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{\\ln x}{x-1}=\\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{\\frac{d}{d x}(\\ln x)}{\\frac{d}{d x}(x-1)}=\\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{1 / x}{1}=\\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{1}{x}=1 . \\] 예제 2. \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{e^{x}}{x^{2}} \\) 의 경우 \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} e^{x}=\\infty \\) 이고 \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x^{2}=\\infty \\) 이므로 \\( \\frac{\\infty}{\\infty} \\) 부정 형이다.", "따라서 로피탈 법칙에 의해 \\[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{e^{x}}{x^{2}}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\frac{d}{d x}\\left(e^{x}\\right)}{\\frac{d}{d x}\\left(x^{2}\\right)}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{e^{x}}{2 x} \\] 이 된다.", "그런데 \\( x \\rightarrow \\infty \\) 일 때 \\( e^{x} \\rightarrow \\infty \\) 이고 \\( 2 x \\rightarrow \\infty \\) 이므로 식 (1)의 오른쪽 변의 극한 역시 \\( \\frac{\\infty}{\\infty} \\) 부정형이다.", "여기에 로피탈 법칙을 다시 적용하면 극한이 다음과 같이 구해진다. \\", "[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{e^{x}}{x^{2}}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{e^{x}}{2 x}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{e^{x}}{2}=\\infty . \\]", "</p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "이공계를 위한 미분적분학_미분의 응용", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-f021-4386-b028-85070897d545", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961055734", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2012", "doc_author": [ "홍정희", "배재국", "김익성" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }
102	<table border><caption>정규분포 \( \left ( \mu_ { y } =2.0, \sigma_ { y } =0.05 \right ) \) 에서 15개씩 표본을 100 번 시행한 평균의 표본분포</caption> <tbody><tr><td>구간</td><td>빈도</td><td>백분위</td></tr><tr><td>1.965-1.95 이하</td><td>3</td><td>3.0</td></tr><tr><td>1.975-1.085 이하</td><td>13</td><td>l3.0</td></tr><tr><td>1.985-1.99 이하</td><td>17</td><td>17.0</td></tr><tr><td>1.995-2.005 이하</td><td>31</td><td>31.0</td></tr><tr><td>2.005-2015 이하</td><td>25</td><td>25.0</td></tr><tr><td>2.이5-2025 이하</td><td>10</td><td>10.0</td></tr><tr><td>2.025-2035 이하</td><td>l</td><td>1.0</td></tr><tr><td></td><td>100</td><td>100</td></tr></tbody></table>	연구법, 연구방법 및 교육, 교육자료	[ "<table border><caption>정규분포 \\( \\left ( \\mu_ { y } =2.0, \\sigma_ { y } =0.05 \\right ) \\) 에서 15개씩 표본을 100 번 시행한 평균의 표본분포</caption> <tbody><tr><td>구간</td><td>빈도</td><td>백분위</td></tr><tr><td>1.965-1.95 이하</td><td>3</td><td>3.0</td></tr><tr><td>1.975-1.085 이하</td><td>13</td><td>l3.0</td></tr><tr><td>1.985-1.99 이하</td><td>17</td><td>17.0</td></tr><tr><td>1.995-2.005 이하</td><td>31</td><td>31.0</td></tr><tr><td>2.005-2015 이하</td><td>25</td><td>25.0</td></tr><tr><td>2.이5-2025 이하</td><td>10</td><td>10.0</td></tr><tr><td>2.025-2035 이하</td><td>l</td><td>1.0</td></tr><tr><td></td><td>100</td><td>100</td></tr></tbody></table>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "307.323", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "m831-표본추출방법론", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "96aba9d6-0ab42238-5526-490a-842f-a075ced3484e", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961058315", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2014", "doc_author": [ "김호일" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }
103	<h2>Ⅱ. 두 정규모집단에서 모평균의 차의 구간추정</h2><p>첫 번째의 경우는 두 정규모집단의 모분산을 알고 있을 때이다. 먼저 모집단 \( A \) 는 평균이 \( \mu_{1} \) 이고 분산이 \( \sigma_{1}^{2} \) 에 따르는 정규모집단 \( N\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right) \) 이고, 다른 모집단 \( B \) 는 평균이 \( \mu_{2} \) 이고 분산이 \( \sigma_{2}^{2} \) 에 따르는 정규모집단 \( N\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right) \) 이다. 여기서, 두 정규모집단 \( A \) 와 \( B \) 는 서로 독립이라 가정한다. 이제 정규모집단 \( A \) 로부터 크기 \( n_{1} \) 인 확률표본 \( X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n_{1}} \) 을 추출하여 이 확률표본의 표본평균을 \( \bar{X}=\sum_{i=1}^{n_{1}} X_{i} \) 라 하고, 또한 정규모집단 \( B \) 로부터 크기 \( n_{2} \) 인 확률표본 \( Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{n_{2}} \) 을 추출하여 이 확률표본의 표본평균을 \( \bar{Y}=\sum_{i=1}^{n_{2}} Y_{i} \) 라 하자. 이때, 두 표본평균의 차 \( \bar{X}-\bar{Y} \) 의 신뢰한계를 구하여 보자. 여기서, 두 확률표본의 차 \( \bar{X}-\bar{Y} \) 는 평균이 \( \mu_{1}-\mu_{2} \) 이고 분산이 \( \left(\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}\right) \) 인 정규분포에 따르므로, 표준화된 확률변수 \[ Z=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right)}{\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}} \sim N(0,1) \] 이다. 따라서, 앞의 경우와 마찬가지로 \[ P\left\{-z_{\alpha / 2}<Z<z_{\alpha / 2}\right\}=1-\alpha \] 의 한계값 \( \pm z_{\alpha / 2} \) 를 결정하면 \[ \begin{array}{l} P\left\{-z_{\alpha / 2}<\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right)}{\left.\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}<z_{\alpha / 2}\right\}}\right. \\ \quad=P\left\{(\bar{X}-\bar{Y})-z_{\alpha / 2} \sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}<\mu_{1}-\mu_{2}<(\bar{X}-\bar{Y})+z_{\alpha / 2} \sqrt{\left.\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}\right\}}\right. \\ \quad=1-\alpha \end{array} \] 이므로 정규모집단 \( A \) 로부터 확률표본의 관찰값 \( X_{1}=x_{1}, X_{2}=x_{2}, \cdots, X_{n_{1}}=x_{n_{1}} \) 과 정규모집단 \( B \) 로부터 확률표본의 관찰값 \( Y_{1}=y_{1}, Y_{2}=y_{2}, \cdots, Y_{n_{1}}=y_{n_{2}} \) 가 주어지면, 모평균 \( \mu_{1}-\mu_{2} \) 에 대한 신뢰도 \( 100(1-\alpha) \% \) 의 신뢰한계는 \[ (\bar{x}-\bar{y}) \pm z_{\alpha / 2} \sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}} \] 이다.</p><p>두 번째는, 두 정규모집단의 모분산은 모르지만 서로 같다고 가정한 경우이다. 모집단 \( A \) 는 평균이 \( \mu_{1} \) 이고 분산이 \( \sigma^{2} \) 에 따르는 정규모집단 \( N\left(\mu_{1}, \sigma^{2}\right) \) 이고, 다른 모집단 \( B \) 는 평균이 \( \mu_{2} \) 이고 분산이 \( \sigma^{2} \) 에 따르는 정규모집단 \( N\left(\mu_{2}, \sigma^{2}\right) \) 이라 하자. 물론, 두 정규모집단 \( A \) 와 \( B \) 는 서로 독립이라 가정한다. 이제 정규모집단 \( A \) 로부터 크기 \( n_{1} \) 인 확률표본 \( X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n_{1}} \) 를 추출하여 이 확률표본의 표본평균을 \( \bar{X}=\sum_{i=1}^{n_{1}} X_{i} \), 표본분산을 \( S_{1}^{2}=\frac{1}{n_{1}-1} \sum_{i=1}^{n_{1}}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2} \) 이라 하고, 또한 정규모집단 \( B \) 로부터 크기 \( n_{2} \) 인 확률 표본 \( Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{n_{2}} \) 을 추출하여 이 확률표본의 표본평균을 \( \bar{Y}=\sum_{i=1}^{n_{2}} Y_{i} \), 표본분산을 \( S_{2}^{2}=\frac{1}{n_{2}-1} \sum_{i=1}^{n_{2}}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2} \) 이라 할 때, 두 표본평균의 차 \( \bar{X}-\bar{Y} \) 의 신뢰한계를 구하여 보자. 두 표본평균의 차 \( \bar{X}-\bar{Y} \) 는 평균이 \( \mu_{1}-\mu_{2} \) 이고 분산이 \( \left(\frac{\sigma^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma^{2}}{n_{2}}\right) \) 인 정규분포 즉, \[ (\bar{X}-\bar{Y}) \sim N\left(\mu_{1}-\mu_{2}, \frac{\sigma^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma^{2}}{n_{2}}\right) \] 이다. 그런데, \[ \frac{\left(n_{1}-1\right) S_{1}^{2}}{\sigma_{1}^{2}} \sim \chi^{2}\left(n_{1}-1\right) \] 이고 \[ \frac{\left(n_{2}-1\right) S_{2}^{2}}{\sigma_{2}^{2}} \sim \chi^{2}\left(n_{2}-1\right) \] 이다. 또한, 이 두 통계량은 서로 독립이므로 그의 합(sum)은, \[ \frac{\left(n_{1}-1\right) S_{1}^{2}}{\sigma^{2}}+\frac{\left(n_{2}-1\right) S_{2}^{2}}{\sigma^{2}} \sim \chi^{2}\left(n_{1}+n_{2}-2\right) \] 이다. 여기서 통계량 \[ \begin{aligned} T &=\frac{\frac{(X-Y)-\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right)}{\sqrt{\frac{\sigma 2}{n_{1}}+\frac{\sigma^{2}}{n_{2}}}}}{\sqrt{\frac{\left(n_{1}-1\right) S_{1}^{2}+\left(n_{2}-1\right) S_{2}^{2}}{\left(n_{1}+n_{2}-2\right) \sigma^{2}}}} \\ &=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right)}{\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}} \sqrt{\frac{\left(n_{1}-1\right) S_{1}^{2}+\left(n_{2}-1\right) S_{2}^{2}}{\left(n_{1}+n_{2}-2\right)}}} \end{aligned} \] 은 자유도 \( n_{1}+n_{2}-2 \) 인 \( t \) 분포에 따른다. 따라서, \[ P\left\{-t_{\alpha / 2}\left(n_{1}+n_{2}-2\right)<T<t_{\alpha / 2}\left(n_{1}+n_{2}-2\right)\right\}=1-\alpha \] 에서 한계값 \( \pm t_{\alpha / 2}\left(n_{1}+n_{2}-2\right) \) 를 결정하면, 위의 식은 \[ P\left\{-t_{\alpha / 2}\left(n_{1}+n_{2}-2\right)<\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right)}{\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}} \sqrt{\frac{\left(n_{1}-1\right) S_{1}^{2}+\left(n_{2}-1\right) S_{2}^{2}}{\left(n_{1}+n_{2}-2\right)}}}<t_{\alpha / 2}\left(n_{1}+n_{2}-2\right)\right\}=1-\alpha \] 이므로 이 식을 정리하면, \[ \begin{array}{l} P\left\{(\bar{X}-\bar{Y})-t_{\alpha / 2}\left(n_{1}+n_{2}-2\right) \sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}} \sqrt{\frac{\left(n_{1}-1\right) S_{1}^{2}+\left(n_{2}-1\right) S_{2}^{2}}{\left(n_{1}+n_{2}-2\right)}}<\mu_{1}-\mu_{2}\right. \\ \quad<(\bar{X}-\bar{Y})+t_{\alpha / 2}\left(n_{1}+n_{2}-2\right) \sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}} \sqrt{\left.\frac{\left(n_{1}-1\right) S_{1}^{2}+\left(n_{2}-1\right) S_{2}^{2}}{\left(n_{1}+n_{2}-2\right)}\right\}}=1-\alpha \end{array} \] 이다. 이로부터, 두 정규모집단의 모평균의 차 \( \mu_{1}-\mu_{2} \) 의 신뢰도 \( 100(1-\alpha) \% \) 의 신뢰한계는 \[ (\bar{X}-\bar{Y}) \pm t_{\alpha / 2}\left(n_{1}+n_{2}-2\right) \sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}} \sqrt{\frac{\left(n_{1}-1\right) S_{1}^{2}+\left(n_{2}-1\right) S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}} \] 이다.</p><h2>Ⅲ. 이항모집단의 모비율의 구간추정</h2><p>이항모집단에서 모비율을 \( p \) 라 하고 이 모집단에서 추출한 표본의 수를 \( n \), 불량품의 수를 \( x \) 라 하면 표본비율은 \( \hat{p}=\frac{x}{n} \) 이다. 이제, 표본의 수 \( n \) 이 충분히 클 때, 모비율 \( p \) 의 신뢰구간을 구하여 보자. 여기에 대한 이론적인 접근은 다음과 같다.</p><p>표본비율 \( \hat{p}=\frac{x}{n} \) 가 근사적으로 정규분포 \( N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right) \) 에 따르므로, 임의의 상수 \( c(c>0) \) 에 대하여 \[ \begin{aligned} P\left\{-c<\frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}<c\right\} &=P\left\{\left\|\frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\right\|<c\right\} \\ &=\int_{c}^{c} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{z^{2}}{2}} d z \\ &=1-\alpha \end{aligned} \] 가 성립한다. 여기서 먼저, 부등식 \( \left\|\frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\right\|<c \) 를 제곱하여 정리하면, \[ n(\hat{p}-p)^{2}<c^{2} p(1-p) \] 이고, 이 식을 \( p \) 에 관하여 정리하면, \[ \left(n+c^{2}\right) p^{2}-\left(2 n \hat{p}+c^{2}\right) p+n \hat{p}^{2}<0 \] 이다. 이 부등식의 해(solution) \( p_{1} \) 과 \( p_{2}\left(p_{1}<p_{2}\right) \) 는 각각 \[ \begin{aligned} p_{1} &=\frac{\left(2 n \hat{p}+c^{2}\right)-c \sqrt{4 n \hat{p}+c^{2}-4 n \hat{p}}}{2\left(n+c^{2}\right)} \\ &=\frac{\left(\hat{p}+\frac{c^{2}}{2 n}\right)-\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}+\frac{c^{2}}{4 n^{n}}}}{1+\frac{c^{2}}{n}} \end{aligned} \] 와 \[ \begin{aligned} p_{2} &=\frac{\left(2 n \hat{p}+c^{2}\right)+c \sqrt{4 n \hat{p}+c^{2}-4 n \hat{p}}}{2\left(n+c^{2}\right)} \\ &=\frac{\left(\hat{p}+\frac{c^{2}}{2 n}\right)+\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}+\frac{c^{2}}{4 n^{n}}}}{1+\frac{c^{2}}{n}} \end{aligned} \] 이다. 여기서 항 \( \frac{c^{2}}{n} \) 과 \( \frac{c^{2}}{n^{2}} \) 이 \( \hat{p} \) 나 \( 1-\hat{p} \) 에 비하여 충분히 작으면, \[ p_{1}=\hat{p}-c \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \] 이고 \[ p_{2}=\hat{p}+c \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \] 이다. 따라서, 모비율 \( p \) 의 신뢰구간은 \[ \left(\hat{p}-c \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p}+c \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right) \] 이다. 이와 같은 근사식을 이용하여 모비율 \( p \) 의 구간추정을 적용할 수 경우는 표본의 수 \( n \) 이, \( n \hat{p} \geqslant 5 \) 를 만족시킬 때이다.</p><p>만약 표본이 충분히 클 경우, 모비율의 구간추정은 다음과 같다. 이항모집단에서 모비율을 \( p \) 라하고, 이 모집단에서 추출한 표본의 수를 \( n \), 불량품의 수를 \( x \) 라 하면 표본비율은 \( \hat{p}=\frac{x}{n} \) 이다. 이 경우, 표본비율 \( \hat{p}=\frac{x}{n} \) 가 근사적으로 정규분포 \( N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right) \) 에 따른다는 사실로부터 \[ P\left\{-z_{\alpha / 2}<\frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}<z_{\alpha / 2}\right\}=1-\alpha \] 이므로 정리하면 \[ P\left\{\hat{p}-z_{\alpha / 2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}<p<\hat{p}+z_{\alpha / 2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right\}=1-\alpha \] 이다. 이때 \( p \) 를 표본비율 \( \hat{p} \) 로 교환하면, \[ P\left\{\hat{p}-z_{\alpha / 2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}<p<\hat{p}+z_{\alpha / 2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right\}=1-\alpha \] 이다. 따라서, 모비율 \( p \) 의 신뢰도 \( 100(1-\alpha) \% \) 의 신뢰구간은 \[ \left(\hat{p}-z_{\alpha / 2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p}+z_{\alpha / 2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right) \] 이다.</p> <p>위에서 설명한 내용을 기초로 구간추정에서 가장 많이 사용되는 몇가지 중요한 신뢰구간을 구해 보자.</p><h2>Ⅰ. 정규모집단에서 모평균 \( \mu \) 의 구간추정</h2><p>첫 번째는, 모평균 \( \mu \) 가 미지이고 모분산 \( \sigma^{2} \) 을 알고 있을 경우이다. 정규모집단 \( N\left(\mu, \sigma^{2}\right) \) 으로부터 추출한 크기 \( n \) 인 확률표본을 \( X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} \) 이라 하면, 모평균 \( \mu \) 의 신뢰구간은 다음과 같은 방법으로 구한다.</p><p>확률표본의 합 \( X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n} \) 은 또한 정규분포 \( N\left(n \mu, n \sigma^{2}\right) \) 에 따르므로 표본평균은 \( \bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^{2}}{n}\right) \) 이다. 표준정규화 확률변수는 \[ \frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1) \] 이다. 따라서 \[ P\left\{a<\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}<b\right\}=\int_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{z^{2}}{2}} d z \] 이다. 여기서 미리 주어진 신뢰계수 \( 1-\alpha \) 를 이용하여 \[ \int_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{z^{2}}{2}} d z=1-\alpha \] 가 되도록 상수 \( a \) 와 \( b \) 를 정한다. 이로부터 \[ \begin{aligned} P\left\{a<\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}<b\right\} &=P\left\{a \frac{\sigma}{\sqrt{n}}<\bar{X}-\mu<b \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right\} \\ &=P\left\{\bar{X}-b \frac{\sigma}{\sqrt{n}}<\mu<\bar{X}-a \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right\} \end{aligned} \] 이므로 \[ P\left\{\bar{X}-b \frac{\sigma}{\sqrt{n}}<\mu<\bar{X}-a \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right\}=1-\alpha \] 이다. 따라서, 신뢰도 \( 100(1-\alpha) \% \) 인 모평균 \( \mu \) 의 신뢰구간은 \[ \left(\bar{x}-b \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x}-a \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \] 이다. 이 경우, 신뢰구간의 폭은 \( (b-a) \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \) 이므로 이 폭을 최소로 하려면 \[ \int_{-\lambda}^{\lambda} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{z^{2}}{2}} d z=1-\alpha \] 에서 상수 \( \lambda \) 를 정하여 \( a=-\lambda \) 와 \( b=\lambda \) 로 하면 된다. 표준정규분포표로부터 \( 1-\alpha= 0.95 \) 일 때 \( \lambda=1.96 \) 이고, \( 1-\alpha=0.99 \) 일 때 \( \lambda=2.58 \) 이다. 따라서, 확률표본의 관찰값 \( X_{1}=x_{1}, X_{2}=x_{2}, \cdots, X_{n}=x_{n} \) 이 주어겼을 때, 모평균 \( \mu \) 의 \( 95 \% \) 신뢰구간은 \[ \left(\bar{x}-1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x}+1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \] 이고 또한, 모평균 \( \mu \) 의 \( 99 \% \) 신뢰구간은 \[ \left(\bar{x}-2.58 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x}+2.58 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \] 이다. 이상을 정리하면, 모평균 \( \mu \) 의 구간추정을 신뢰한계를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.</p><ol type=1 start=1><li>모평균 \( \mu \) 의 신뢰도 \( 95 \% \) 인 신뢰한계는 \( \bar{X} \pm 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \) 이고</li><li>모평균 \( \mu \) 의 신뢰도 \( 99 \% \) 인 신뢰한계는 \( \bar{X} \pm 2.58 . \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \)</li></ol><p>두 번째는, 정규모집단의 모분산 \( \sigma^{2} \) 이 미지일 때, 정규모집단 \( N\left(\nu, \sigma^{2}\right) \) 으로부터 추출한 크기 \( n \) 인 확률표본을 \( X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} \) 이라 하면, 모평균 \( \mu \) 의 신뢰구간은 다음과 같은 방법으로 구한다. 정규모집단 \( N\left(\mu, \sigma^{2}\right) \) 으로부터 크기 \( n \) 인 확률표본 \( X_{1}, X_{2} \), \( \cdots, X_{n} \) 을 추출하여 이 들의 표본평균을 \( \bar{X} \) 라 하고 표본분산을 \( S^{2} \) 이라 하자. 이때, 표본평균은 \( \bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^{2}}{n}\right) \) 이므로, 표준정규화된 확률변수는 \[ \frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1) \] 이다. 확률변수 \( Y_{i}=\frac{X_{i}-\mu}{\sigma} \sim N(0,1) \) 이면, 통계량 \[ \sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2} \] 의 분포는 \[ \begin{aligned} \sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2} &=\frac{1}{\sigma^{2}} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2} \\ &=\frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}} \sim \chi^{2}(n-1) \end{aligned} \] 이다. 따라서, 다음 통계량 \[ \frac{\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}}{\sqrt{\frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}}}}=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S} \] 은 자유도 \( n-1 \) 을 갖는 \( t \) 분포에 따른다. 여기서, 자유도 \( n-1 \) 를 갖는 \( t \) 분포의 확률밀도함수를 \( f_{n-1} \) 이라 하자. 이제 미리 주어진 신뢰계수 \( 1-\alpha \) 에 대하여 \[ \int_{a}^{b} f_{n-1}(x) d x=1-\alpha \] 를 만족시키는 상수 \( a \) 와 \( b \) 를 구하면 \[ \begin{aligned} P\left\{a<\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S}<b\right\} &=P\left\{\bar{X}-b \frac{S}{\sqrt{n}}<\mu<\bar{X}-a \frac{S}{\sqrt{n}}\right\} \\ &=\int_{a}^{b} f_{n-1}(x) d x \\ &=1-\alpha \end{aligned} \] 이므로, 확률표본의 관찰값 \( X_{1}=x_{1}, X_{2}=x_{2}, \cdots, X_{n}=x_{n} \) 이 주어졌을 때, 신뢰도 \( 100(1-\alpha) \% \) 인 모분산 \( \sigma^{2} \) 의 신뢰구간은 \[ \left(\bar{x}-b \frac{s}{\sqrt{n}}, \bar{x}-a \frac{s}{\sqrt{n}}\right) \] 이다. 신뢰구간의 폭은 \( (b-a) \frac{s}{\sqrt{n}} \) 이고 \[ \int_{a}^{b} f_{n-1}(x) d x=1-\alpha \] 인 조건하에서, 신뢰구간의 폭을 최소로 하려면 \[ \int_{-\lambda}^{\lambda} f_{n-1}(x) d x=1-\alpha \] 으로부터 \( \lambda \) 를 정하여 \( a=-\lambda, b=\lambda \) 가 되게 하면 된다. 그런데 \( t \) 분포의 확률밀도함수는 우함수(even function)이므로 \[ \int_{\lambda}^{+\infty} f_{n-1}(x) d x=\frac{\alpha}{2} \] 로부터 \( \lambda \) 를 구하면, \( \lambda=t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \) 이다. 이로부터 구하고자 하는 신뢰구간은 다음과 같다. \[ \left(\bar{x}-t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \frac{s}{\sqrt{n}}, \bar{x}+t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \frac{s}{\sqrt{n}}\right) . \]</p> <p>정의 \(5.3\) \( n \) 차원 확률벡터 \( \boldsymbol{X}=\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right) \) 의 관찰값을 \( \boldsymbol{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots\right. \) ,\( \left.x_{n}\right) \) 이라 할 때, 다음 \( \theta \) 의 함수 \[ L(\theta ; \boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x} ; \boldsymbol{\theta}), \quad(\theta \in \Theta) \]<caption>(5.1)</caption>를 \( \boldsymbol{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \) 의 우도(likelihood) 또는 우도함수(likelihood function)라 한다. 특히, 무한 모집단분포의 모집단 확률밀도함수를 \( f(x ; \theta) \) 라 하고, 이 모집단으로부터 추출한 크기 \( n \) 인 확률표본을 \( X=\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right) \), 이 확률표본의 관찰값을 \( \boldsymbol{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \) 이라 하면, \( \boldsymbol{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \) 에 대한 우도함수는 다음과 같다. \[ \begin{aligned} L(\theta ; \boldsymbol{x}) &=L\left(\theta ; x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \\ &=\prod_{i=1}^{n} f\left(x_{i} ; \theta\right) \end{aligned} \]</p><p>정의\( 5.4\) \(n \) 차원 확률벡터 \( \boldsymbol{X}=\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right) \) 의 관찰값을 \( \boldsymbol{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots\right. \) ,\( \left.x_{n}\right) \) 이라 할 때, 우도함수 \( L(\theta ; x)=f(x ; \theta) \) 가 모든 \( \theta \in \Theta \) 에 대하여 최대가 되는 \( \theta=\hat{\theta} \) 즉 \[ L(\hat{\theta} ; \boldsymbol{x})=\max _{\theta \in \Theta} f(\boldsymbol{x} ; \theta) \]<caption>(5.2)</caption>를 만족하는 \( \hat{\theta} \) 을 모수 \( \theta \) 의 최우추정값(maximum likelihood estimate)라 하고, 관찰 값 \( x_{i} \) 대신에 확률변수 \( X_{i} \) 로 대치하여 얻은 통계량 \( \hat{\theta}=\hat{\theta}\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right) \) 을 최우추정량(maximum likelihood estimator) 또는 간단히 MLE 라고 한다.</p><p>지금부터는 최우추정법으로 구한 추정값 또는 추정량을 간단히 MLE로 쓸 것이다. 일반적으로 확률표본에 대하여 모수 \( \theta \) 의 MLE를 구할 때에는 로그우도함수(logarith-mic likelihood function)를 이용하는 것이 편리하다. 왜냐하면, 로그함수는 단조함수이므로 \( \theta=\hat{\theta} \) 에서 우도함수 \( L(\theta ; \boldsymbol{x}) \) 가 최대가 되면, 로그우도함수 \( \ln L(\theta ; \boldsymbol{x}) \) 도 최대가 되기 때문이다. 우도함수 \( L(\theta ; \boldsymbol{x}) \) 의 최대값을 구하는 문제는 미분법에 의해서 \[ \frac{d}{d \theta} L(\theta ; x)=0 \] 을 풀어, 이 방정식의 해가 존재하면 최우추정량 \( \theta=\hat{\theta}\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right) \) 을 구하면 된다. 그런데, 원래의 우도함수 \( L(\theta ; x) \) 의 최대값을 구하는 문제는 자연대수를 취한 우도함수 \( \ln L(\theta ; x) \) 의 최대값을 구하는 문제와 같으므로 실제적으로 구하고자 하는 최우추정량은 다음의 로그우도 방정식 \[ \frac{d}{d \theta} \ln L(\theta ; \boldsymbol{x})=0 \] 을 풀어 해(solution)가 존재하면, \( \theta \) 에 관한 해 \( \hat{\theta}=\hat{\theta}\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right) \) 이 최우추정량이다.</p><p>문제 \(1\) 모집단분포가 포아송분포 \( X_{i} \sim \operatorname{POIS}(\lambda) \) 일 때 즉, 모집단의 확률질량함수가 \[ f(x ; \lambda)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^{x}}{x !}, \quad x=0,1,2,3, \cdots, n, \lambda>0 \] 일 때, 모수 \( \lambda \) 의 최우추정량을 구하여라.</p><p>해답 먼저 관찰값을 \( \left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \) 이라 하면, 우도함수는 \[ \begin{aligned} L(\lambda ; x) &=\prod_{i=1}^{n} f\left(x_{i} ; \lambda\right) \\ &=\prod_{i=1}^{n} \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x_{i}}}{x_{i} !} \\ &=e^{-n x} \frac{\lambda^{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}}{x_{1} ! x_{2} ! \cdots x_{n} !} \end{aligned} \] 이다. 이 식의 양 변에 자연대수를 취하면, \[ \ln L(\lambda ; x)=-n \lambda+\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right) \ln \lambda-\ln \left(x_{1} ! x_{2} ! \cdots x_{n} !\right) \] 이고, 로그우도방정식은 \[ \begin{aligned} \frac{d}{d \lambda} \ln L(\theta ; x) &=-n+\frac{x_{1}+}{n} \\ &=\frac{n}{\lambda}(\bar{x}-\lambda) \\ &=0 \end{aligned} \] 이다. 이 로그우도방정식을 풀면 \[ \lambda=\bar{x} \] 이다. 따라서 \( \lambda>0 \) 이면, \( \lambda=\bar{x} \) 이다. 다시 말하면, \( \bar{x} \) 가 \( \lambda \) 의 최우추정값이고, \[ \hat{\theta}\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}=\bar{X} \] 는 즉, 표본평균은 \( \lambda \) 의 최우추정량이다. □</p><p>문제 \(2\) 모집단분포가 이항분포 \( X_{i} \sim \operatorname{BIN}(m, p) \) 즉, \[ f(x ; p)=\left(\begin{array}{c} m \\ x \end{array}\right) p^{x}(1-p)^{m-x}, x=0,1,2, \cdots, m, 0<p<1 \] 일 때, 모비율(성공확률) \( p \) 의 MLE를 구하여라. (단, \( m \) 은 이미 알고 있다.)</p><p>해답 확률표본 \( \left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right) \) 관찰값을 \( \left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \) 이라 하면, 우도함수는 \[ \begin{aligned} L(p ; x) &=\prod_{i=1}^{n} f\left(x_{i} ; p\right) \\ &=\prod_{i=1}^{n}\left(\begin{array}{l} m \\ x_{i} \end{array}\right) p_{i}^{x}(1-p)^{n-x_{i}} \\ &=\left(\begin{array}{c} m \\ x_{1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} m \\ x_{2} \end{array}\right) \cdots\left(\begin{array}{l} m \\ x_{2} \end{array}\right) p^{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}(1-p)^{n m-\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)} \end{aligned} \] 이므로, 양변에 자연대수를 취하면, \[ \begin{array}{c} \ln L(p ; x)=\ln \left(\begin{array}{c} n \\ x_{1} \end{array}\right)+\ln \left(\begin{array}{c} n \\ x_{2} \end{array}\right)+\cdots+\ln \left(\begin{array}{c} m \\ x_{n} \end{array}\right)+\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right) \ln p \\ +\left\{n m-\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)\right\} \ln (1-p) \end{array} \] 이고, 로그우도방정식은 \[ \begin{aligned} \frac{d}{d p} \ln L(p ; x) &=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{p}-\frac{n m-\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)}{1-p} \\ &=n\left(\frac{\bar{x}}{p}-\frac{m-\bar{x}}{(1-p)}\right) \\ &=\frac{n(\bar{x}-m p)}{p(1-p)} \\ &=0 \end{aligned} \] 이다. 이 로그우도방정식을 풀면 \[ \bar{x}=m p, \quad 0<p<1 \] 이다. 따라서, \( p=\frac{x}{m} \) 일 때, \( L(p ; x) \) 는 최대가 되므로 \( p \) 의 최우추정량은 \[ \hat{\theta}\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right)=\hat{p}=\frac{\bar{X}}{m} \] 이다. □</p><p>위의 [정의 \(5.4\)]는 일반적으로 미지의 모수를 \(2\) 개 이상 갖는 확률표본의 경우로 자연스럽게 확장하여 최우추정량을 구할 수가 있다.</p> <p>Cramér-Rao 부등식의 유도과정을 자세하게 살펴보면 분산이 CRLB와 같아지는 추정량의 형태에 대한 정보를 얻을 수 있다. Cauchy-Schwarz 부등식에서 등호는 상관계수 \( \rho\left(\hat{\theta}, \hat{\theta}^{}\right)=\pm 1 \) 일 때 성립하므로 이것은 \( \hat{\theta} \) 와 \( \hat{\theta}^{} \) 사이에 선형관계 \( \hat{\theta}=a \hat{\theta}^{}+b \) \( (a \neq 0, b \in \mathbb{R}) \) 가 성립해야 한다. 따라서 \( \hat{\theta} \) 의 분산이 \( \tau(\theta) \) 에 대한 CRLB와 일치하려면 \( \hat{\theta} \) 는 \( \hat{\theta}^{} \) 의 선형식이어야 한다. 이 사실에 근거하여 \[ \frac{\partial}{\partial \theta} \ln \prod_{i=1}^{n} f\left(x_{i} ; \theta\right)=\kappa(\theta, n)\{\varphi(x)-\tau(\theta)\} \] 를 만족하는 \( \kappa(\theta, n) \) 이 존재하면, \[ E\left(\hat{\theta}^{* 2}\right)=E\left[\{\kappa(\theta, n)(\varphi(\boldsymbol{X})-\tau(\theta))\}^{2}\right]=\{\kappa(\theta, n)\}^{2} \operatorname{Var}(\hat{\theta}) \] 이고 \[ S=B \] 이므로 \[ \text { CRLB }=\frac{\left\{\tau^{\prime}(\theta)\right\}^{2}}{E\left(\hat{\theta}^{* 2}\right)}=\frac{\{\kappa(\theta, n)\}^{2}\{\operatorname{Var}(\hat{\theta})\}^{2}}{\{\kappa(\theta, n)\}^{2}\{\operatorname{Var}(\hat{\theta})\}}=\operatorname{Var}(\hat{\theta}) \] 가 되어 \( \hat{\theta}=\varphi(\boldsymbol{X}) \) 는 \( \tau(\theta) \) 에 대한 UMVUE이다.</p><p>문제 \(8\) \(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} \) 을 기하분포 \( \mathrm{GEO}(\theta) \) 로부터 추출한 크기 \( n \) 인 확률표본이라 할 때, \( \tau(\theta)=\frac{1}{\theta} \) 의 UMVUE를 구하여라.</p><p>해답 먼저 \( \ln f(x ; \theta)=\ln \theta+(x-1) \ln (1-\theta) \) 를 \( \theta \) 에 관해 편미분하면 \[ \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial \theta} \ln f(x ; \theta) &=\frac{1}{\theta}-\frac{x-1}{1-\theta} \\ &=\frac{x-\frac{1}{\theta}}{\theta-1} \end{aligned} \] 이므로 불편추정량 \( \hat{\theta} \) 의 분산이 CRLB와 일치하려면 \( \hat{\theta} \) 는 \[ \hat{\theta}=a\left(\frac{1}{\theta-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\frac{1}{\theta}\right)\right)+b, \quad(a \neq 0, b \in \mathbb{R}) \] 의 형태가 되어야 한다. 즉, 이 식을 \( \hat{\theta}=c \bar{X}+d(c \neq 0, d \in \mathbb{R}) \) 의 선형식으로 나타내야 한다. 그런데 \( \bar{X} \) 가 \( \tau(\theta)=\frac{1}{\theta} \) 에 대한 불편추정량이므로 \( c=1, d=0 \) 이라는 것을 알 수 있다. 이로부터 \( \hat{\theta}=\bar{X} \) 가 선형식으로 표현되는 유일한 추정량은 그 분산이 CRLB와 일치하는 UMVUE이다. 실제로 구하면, \[ \begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial \theta} \ln f\left(X_{i} ; \theta\right) &=\frac{1}{\theta-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\frac{1}{\theta}\right) \\ &=\frac{n}{\theta-1}\left(\bar{X}-\frac{1}{\theta}\right) \end{aligned} \] 이므로 \( \hat{\theta}=\hat{X} \) 가 \( \tau(\theta)=\frac{1}{\theta} \) 의 UMVUE이고 \[ \begin{aligned} E\left[\left\{\frac{\partial}{\partial \theta} \ln f(X ; \theta)\right\}^{2}\right] &=E\left[\frac{1}{(1-\theta)^{2}}\left\{X-\frac{1}{\theta}\right\}^{2}\right] \\ &=\frac{\operatorname{Var}(X)}{(1-\theta)^{2}} \\ &=\frac{1}{(1-\theta) \theta^{2}} \end{aligned} \] 과 \( \tau^{\prime}(\theta)=-\frac{1}{\theta^{2}} \) 로부터 CRLB는 \[ \mathrm{CRLB}=\frac{\left(-\theta^{-2}\right)^{2}}{n \theta^{-2}(1-\theta)^{-1}}=\frac{1-\theta}{n \theta^{2}}=\operatorname{Var}(\bar{X}) \] 이다. □</p><p>Cramér-Rao 부등식에 의하면 추정하려는 모수의 함수에 대한 모든 불편추정량들의 분산에 대하여 그 하한이 주어지므로 어떤 통계적 추론에서 분산이 CRLB와 겅의 일치하는 불편추정량이 이용될 수 있다면 그 추정량은 종은 추정량이 된다. 따라서 어떤 추정량의 분산과 CRLB를 비교함으로서 주어진 불편추정량을 평가할 수 있다. 이제 크기 \( n \) 인 확률표본에 의한 어떤 불편추정량 \( \hat{\theta}_{n} \) 의 유효도를 \[ \operatorname{eff}\left(\hat{\theta}_{n}\right)=\frac{\text { CRLB }}{\operatorname{Var}\left(\hat{\theta}_{n}\right)} \]<caption>(5.16)</caption>로 정의한다. 여기서 정의한 \( \operatorname{eff}\left(\hat{\theta}_{n}\right) \) 을 불편추정량 \( \hat{\theta}_{n} \) 이 의미가 있는 추정량인가를 판단하는 기준으로 사용하는 경우가 많다. 이 경우, 점근불편추정량 \( \hat{\theta}_{n} \) 에 대한 점근유효도는 \[ \lim _{n \rightarrow \infty} \operatorname{eff}\left(\hat{\theta}_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\text { CRLB }}{\operatorname{Var}\left(\hat{\theta}_{n}\right)} \]<caption>(5.17)</caption>이다.</p><p>문제 \( 9\) \(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} \) 을 모평균 \( \mu \) 가 알려진 정규분포 \( N(\mu, \theta) \) 로부터 추출한 크기 \( n \) 인 확률표본이라 할 때, 표본분산 \( S^{2} \) 은 모수 \( \theta \) 의 불편추정량이다. 표본분산 \( S^{2} \) 의 유효도를 구하여라.</p><p>해답 \( \ln f(x ; \theta)=-\frac{1}{2}(\ln \pi+\ln \theta)-\frac{1}{2 \theta}(x-\mu)^{2} \) 이므로 \[ \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial \theta} \ln f(x ; \theta) &=-\frac{1}{2 \theta}+\frac{1}{2 \theta^{2}}(x-\mu)^{2}, \\ \frac{\partial^{2}}{\partial \theta^{2}} \ln f(x ; \theta) &=\frac{1}{2 \theta^{2}}-\frac{1}{\theta^{3}}(x-\mu)^{2} \end{aligned} \] 이고 \[ \begin{aligned} -E\left(\frac{\partial^{2}}{\partial \theta^{2}} \ln f(x ; \theta)\right) &=-\frac{1}{2 \theta^{2}}+\frac{1}{\theta^{3}} \operatorname{Var}(X) \\ &=\frac{1}{2 \theta^{2}} \end{aligned} \] 이다. \( \tau(\theta)=\theta \) 이면 \( \tau^{\prime}(\theta)=1 \) 이므로 \( \tau(\theta)=\theta \) 에 대한 CRLB는 \[ \text { CRLB }=\frac{1}{n\left(\frac{1}{2 \theta^{2}}\right)}=\frac{2 \theta^{2}}{n} \] 이다. 또한 \( \frac{(n-1) S^{2}}{\theta} \sim \chi^{2}(n-1) \) 이므로 \[ \operatorname{Var}\left(\frac{(n-1) S^{2}}{\theta}\right)=2(n-1) \] 이다. 따라서 \( S^{2} \) 의 분산은 \( \frac{2 \theta^{2}}{n-1} \) 이다. 이로부터 표본분산 \( S^{2} \) 의 유효도는 \[ \operatorname{eff}\left(S^{2}\right)=\frac{2 \theta^{2} / n}{2 \theta^{2} /(n-1)}=\frac{n-1}{n} \] 이다, 이 경우, \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n-1}{n}=1 \) 이므로 \( \theta \) 의 불편추정량 \( S^{2} \) 은 점근적으로 유효하다. □</p> <h2>Ⅳ. 두 이항모집단의 모비율의 구간추정</h2><p>두 개의 이항모집단에서 두 모비율의 차에 대한 구간추정을 생각해 보자. 이항모집단 \( A \) 의 모비율을 \( p_{1} \) 이라하고 이 모집단에서 추출한 표본의 수를 \( n_{1} \), 불량품의 수를 \( x_{1} \) 이라 하면 표본비율은 \( \hat{p}_{1}=\frac{x_{1}}{n_{1}} \) 이다. 또한, 다른 이항모집단 \( B \) 의 모비율을 \( p_{2} \) 이라하고 이 모집단에서 추출한 표본의 수를 \( n_{2} \), 불량품의 수를 \( x_{2} \) 라 하면 표본비율은 \( \hat{p}_{2}=\frac{x_{2}}{n_{2}} \) 이다. 여기서, 표본의 수 \( n_{1} \) 과 \( n_{2} \) 가 충분히 크고, 두 이항모집단이 서로 독립일 경우, 두 모비율의 차 \( p_{1}-p_{2} \) 의 신뢰구간을 구하여 보자. 표본비율 \( \hat{p}_{1}-\hat{p}_{2} \) 의 평균은 \[ E\left(\hat{p}_{1}-\hat{p}_{2}\right)=p_{1}-p_{2} \] 이고 분산은 \[ \begin{aligned} \operatorname{Var}\left(\hat{p}_{1}-\hat{p}_{2}\right) &=\operatorname{Var}\left(\hat{p}_{1}\right)+\operatorname{Var}\left(\hat{p}_{2}\right) \\ &=\frac{p_{1}\left(1-p_{1}\right)}{n_{1}}+\frac{p_{2}\left(1-p_{2}\right)}{n_{2}} \end{aligned} \] 이다. 앞의 경우처럼 다음 통계량은 \[ Z=\frac{\left(\hat{p}_{1}-\hat{p}_{2}\right)-\left(p_{1}-p_{2}\right)}{\sqrt{\frac{p_{1}\left(1-p_{1}\right)}{n_{1}}+\frac{p_{2}\left(1-p_{2}\right)}{n_{2}}}} \sim N(0,1) \] 이다. 이제, \( P\left\{-z_{\alpha / 2}<Z<z_{\alpha / 2}\right\}=1-\alpha \) 인 한계값 \( z_{\alpha / 2} \) 를 정하면 \[ P\left\{-z_{\alpha / 2}<\frac{\left(\hat{p}_{1}-\hat{p}_{2}\right)-\left(p_{1}-p_{2}\right)}{\sqrt{\frac{p_{1}\left(1-p_{1}\right)}{n_{1}}+\frac{p_{2}\left(1-p_{2}\right)}{n_{2}}}}<z_{\alpha / 2}\right\}=1-\alpha \] 이다. 정리하면 \[ \begin{array}{c} P\left\{\left(\hat{p}_{1}-\hat{p}_{2}\right)-z_{\alpha / 2} \sqrt{\frac{p_{1}\left(1-p_{1}\right)}{n_{1}}+\frac{p_{2}\left(1-p_{2}\right)}{n_{2}}}<p_{1}-p_{2}<\right. \\ \left.\left(\hat{p}_{1}-\hat{p}_{2}\right)+z_{\alpha / 2} \sqrt{\frac{p_{1}\left(1-p_{1}\right)}{n_{1}}+\frac{p_{2}\left(1-p_{2}\right)}{n_{2}}}\right\}=1-\alpha \end{array} \] 이고 여기서 \( p_{1} \) 과 \( p_{2} \) 대신 각각 표본비율 \( \hat{p}_{1} \) 과 \( \hat{p}_{2} \) 로 교환하면, \[ P\left\{\left(\hat{p}_{1}-\hat{p}_{2}\right)-z_{\alpha / 2} \sqrt{\frac{\hat{p}_{1}\left(1-\hat{p}_{1}\right)}{n_{1}}+\frac{\hat{p}_{2}\left(1-\hat{p}_{2}\right)}{n_{2}}}<p_{1}-p_{2}<\right. \] \[ \left.\left(\hat{p}_{1}-\hat{p}_{2}\right)+z_{\alpha / 2} \sqrt{\frac{\hat{p}_{1}\left(1-\hat{p}_{1}\right)}{n_{1}}+\frac{\hat{p}_{2}\left(1-\hat{p}_{2}\right)}{n_{2}}}\right\}=1-\alpha \] 이다. 따라서, 두 이항모집단의 모비율의 차 \( p_{1}-p_{2} \) 의 \( 100(1-\alpha) \% \) 의 신뢰한계는 \[ \left(\hat{p}_{1}-\hat{p}_{2}\right) \pm z_{\alpha / 2} \sqrt{\frac{\hat{p}_{1}\left(1-\hat{p}_{1}\right)}{n_{1}}+\frac{\hat{p}_{2}\left(1-\hat{p}_{2}\right)}{n_{2}}} \] 이다.</p><p>참고로 비율을 추정함에 있어서 모비율과 표본비율의 차는 \[ \|p-\hat{p}\|=z_{\alpha / 2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \] 이므로 오차가 \( c \) 이하인 표본수의 결정은 다음식 \[ z_{\alpha / 2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p}}{n}} \leqslant c \] 을 풀어서 상수 \( n \) 을 구하면 된다.</p><h2>Ⅴ. 정규모집단에서 모평균을 모를 경우 모분산의 구간추정</h2><p>모집단이 정규분포 \( N\left(\mu, \sigma^{2}\right) \) 에 따르지만, 모평균 \( \mu \) 는 모른다고 하자. 이 정규모집단으로부터 크기 \( n \) 인 확률표본을 \( X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} \) 이라 하고, 표본평균을 \( \bar{X}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i} \), 표본분산을 \( S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2} \) 이라 하자. 이때, 통계량 \[ \frac{1}{\sigma^{2}} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}=\frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}} \] 는 자유도 \( n-1 \) 을 갖는 \( \chi^{2} \) 분포에 따른다. 여기서, 자유도 \( n-1 \) 을 갖는 \( \chi^{2} \) 분포의 확률밀도함수를 \( f_{n-1}(x) \) 라고 하면 신뢰계수 \( 1-\alpha \) 에 대하여, \[ \begin{aligned} \int_{a}^{+\infty} f_{n-1}(x) d x &=1-\frac{\alpha}{2} \\ \int_{b}^{+\infty} f_{n-1}(x) d x &=\frac{\alpha}{2} \end{aligned} \] 로부터 상수 \( a \) 와 \( b \) 를 정하면, \[ \begin{aligned} a &=\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}(n-1) \\ b &=\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(n-1) \end{aligned} \] 이다. 따라서, \[ \begin{array}{l} P\left\{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}(n-1)<\frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}}<\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(n-1)\right\} \\ =\int_{a}^{b} f_{n-1}(x) d x \\ =\int_{a}^{+\infty} f_{n-1}(x) d x-\int_{b}^{+\infty} f_{n-1}(x) d x \\ =\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)-\frac{\alpha}{2} \\ =1-\alpha \end{array} \] 이므로 \[ P\left\{\frac{(n-1) S^{2}}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(n-1)}<\sigma^{2}<\frac{(n-1) S^{2}}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}(n-1)}\right\}=1-\alpha \] 이다. 이로부터, 확률표본의 관찰값 \( X_{1}=x_{1}, X_{2}=x_{2}, \cdots, X_{n}=x_{n} \) 이 주어지면 모평균 \( \mu \) 를 모를 때, 모분산 \( \sigma^{2} \) 의 신뢰도 \( 100(1-\alpha) \% \) 의 신뢰구간은 다음과 같다. \[ \left(\frac{(n-1) s^{2}}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(n-1)}, \frac{(n-1) s^{2}}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}(n-1)}\right) \]</p><h2>Ⅵ. 정규모집단에서 모평균을 알 경우 모분산의 구간추정</h2><p>모집단이 정규분포 \( N\left(\mu, \sigma^{2}\right) \) 에 따르고, 모평균 \( \mu \) 가 알려져 있다고 하자. 이 정규모집단으로부터 크기 \( n \) 인 확률표본을 \( X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} \) 이라 하고, 표본평균을 \( \bar{X}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i} \), 표본분산을 \( S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2} \) 이라 하자. 가정에 의해서 모평균이 이미 주어져 있으므로 표본평균 대신 모평균 \( \mu \) 를 사용할 수가 있다. 그러므로 표본분산은 \( S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2} \) 이 되고 이 경우, \[ \frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}}=\frac{1}{\sigma^{2}} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2} \sim \chi^{2}(n) \] 이다. 앞의 경우와 마찬가지로, 자유도 \( n \) 을 갖는 \( \chi^{2} \) 분포의 확률밀도함수를 \( f_{n}(x) \) 라고 하면 신뢰계수 \( 1-\alpha \) 에 대하여, \[ \begin{aligned} \int_{a}^{+\infty} f_{n}(x) d x &=1-\frac{\alpha}{2} \\ \int_{b}^{+\infty} f_{n}(x) d x &=\frac{\alpha}{2} \end{aligned} \] 로부터 상수 \( a \) 와 \( b \) 를 정하면, \[ \begin{aligned} a &=\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}(n) \\ b &=\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(n) \end{aligned} \] 이다. 따라서 \[ \begin{aligned} P\left\{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}\right.&\left.(n)<\frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}}<\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(n)\right\} \\ &=\int_{a}^{b} f_{n}(x) d x \\ &=\int_{a}^{+\infty} f_{n}(x) d x-\int_{b}^{+\infty} f_{n}(x) d x \\ &=\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)-\frac{\alpha}{2} \\ &=1-\alpha \end{aligned} \] 이므로 \[ P\left\{\frac{(n-1) S^{2}}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(n)}<\sigma^{2}<\frac{(n-1) S^{2}}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}(n)}\right\}=1-\alpha \] 이다. 이로부터, 확률표본의 관찰값 \( X_{1}=x_{1}, X_{2}=x_{2}, \cdots, X_{n}=x_{n} \) 이 주어지면 모 평균 \( \mu \) 를 알 때, 모분산 \( \sigma^{2} \) 의 신뢰도 \( 100(1-\alpha) \% \) 의 신뢰구간은 다음과 같다. \[ \left(\frac{(n-1) s^{2}}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(n)}, \frac{(n-1) s^{2}}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}(n)}\right) . \]</p> <p>UMVUE를 구하는 과정에서 조건부기댓값 \( E\{T \mid Y\} \) 를 계산할 때 다음 Basu의 정리는 대단히 유용하다.</p><p>정리 \( 5.13 \) (Basu의 정리) \( \boldsymbol{X}=\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right) \) 의 결합확률밀도함수를 \( f(x ; \theta)(\theta \in \Theta) \) 라 할 때, 임의의 통계량 \( \boldsymbol{T} \) 가 모수 \( \theta \) 와 무관하고, \( \boldsymbol{Y}=\left(Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{n}\right) \) 이 \( \theta \) 에 대한 결합완비충분통계량이면, 두 통계량 \( Y \) 와 \( T \) 는 서로 독립이다.</p><p>증명 이산형의 경우만 증명한다. \( T \) 의 확률질량함수 \( f_{T}(t) \) 는 모수 \( \theta \in \Theta \) 와 무관하므로, \( Y=y \) 가 주어졌을 때, \( T \) 의 조건부확률질량함수 \( f_{T \mid Y}(t \mid y) \) 는 \( Y \) 가 충분통계량이므로 \( \theta \) 와 무관하다. 따라서 \[ \begin{aligned} f_{T}(\boldsymbol{t}) &=\sum_{y} f_{T \mid Y}(\boldsymbol{t}, \boldsymbol{y} ; \theta) \\ &=\sum_{y} f_{T \mid Y}(\boldsymbol{t} \mid \boldsymbol{y}) f_{Y}(\boldsymbol{y} ; \theta) \end{aligned} \] 이므로 모든 \( \theta \in \Theta \) 에 대하여 \[ \begin{aligned} \sum_{y}\left[f_{T}(\boldsymbol{t})-f_{T \mid Y}(\boldsymbol{t} \mid \boldsymbol{y})\right] f_{Y}(\boldsymbol{y} ; \theta) & \equiv E_{Y}\left\{f_{T}(\boldsymbol{t})-f_{T \mid Y}(\boldsymbol{t} \mid \boldsymbol{Y})\right\} \\ & \equiv 0 \end{aligned} \] 이다. 그런데 \( Y \) 가 완비충분통계량이므로 \[ f_{Y}(\boldsymbol{t})=f_{T \mid Y}(t \mid Y)=0 \] 을 만족해야 한다. 따라서 \( f_{T}(t)=f_{T \mid Y}(t \mid y) \) 이므로 \( Y \) 와 \( T \) 는 서로 독립이다. ■</p><p>문제 \( 4\) \(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} \) 을 정규분포 \( N\left(\mu, \sigma^{2}\right) \) 에 따르는 크기 \( n \) 인 확률표본이라 할 때, 표본평균 \( \bar{X} \) 와 표본분산 \( S^{2} \) 은 서로 독립임을 보여라.</p><p>해답 표본평균 \( \bar{X} \) 는 고정된 모분산 \( \sigma^{2} \) 에 대하여 모평균 \( \mu \) 에 대한 완비충분통계량이고 표본분산 \( S^{2} \) 의 분포는 \( \frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}} \sim \chi^{2}(n-1) \) 이므로 \( S^{2} \) 의 분포는 \( \mu \) 와는 무관하다. 따라서 \( \mathrm{Basu} \) 의 정리에 의하여 \( \bar{X} \) 와 \( S^{2} \) 은 서로 독립이다. □</p><h1>5.7 구간추정</h1><p>지금까지 미지의 모수 \( \theta \) 또는 \( \theta \) 의 함수인 \( \tau(\theta) \) 를 추정하는 여러가지 점추정법에 대하여 알아 보았다. 그러나 실제로는 모집단으로부터 크기 \( n \) 인 확률표본을 추출하여 얻은 추정값 \( \hat{\theta} \) 이 실제로 모수 \( \theta \) 와 완전히 일치할 확률은 0 즉, \( P\{\hat{\theta}=\theta\}=0 \) 이므로 정도가 표시되기 않은 추정값은 의미가 없다. 따라서 점추정값은 추정값의 오차에 대한 측도와 함께 제시되어야 한다. 다시 말하면, 모수 \( \theta \) 를 추정값 \( \hat{\theta} \) 에 일치시키는 방법보다는 추정값에 얼마나 근접해 있다고 기대할 수 있는지를 밝히는 것이 더 좋은 추정방법이다. 즉, 추정량 \( \hat{\theta} \) 에 의하여 모수 \( \theta \) 를 포함될 어뗜 구간 \( (l(\hat{\theta}), u(\hat{\theta})) \) 를 결정함으로서 모수를 추정하는 방법을 구간추정(interval estimation)이라 한다. 이 절에서는 확률밀도함수 \( f(x ; \theta) \) 를 갖는 분포로부터 추출한 크기 \( n \) 인 확률표본을 \( X_{1}, X_{2} \), \( \cdots, X_{n} \) 이라 할 때, 모수 \( \theta \) 의 실수치함수인 \( \tau(\theta) \) 에 대한 구간추정 문제에 대하여 생각해 본다.</p><p>정의 \( 5.18 \) 확률밀도함수 \( f(x ; \theta) \) 를 갖는 모집단으로부터 추출한 확률표본을 \( X_{1} \), \( X_{2}, \cdots, X_{n} \) 이라 하자. 이때 임의의 두 통계량 \( L=l\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right) \) 과 \( U= u\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right) \) 이 다음 조건<ol type=1 start=1><li>\( L \leqslant U \) 이고</li><li>\( P\{L<\tau(\theta)<U\}=\gamma \)</li></ol>를 만족하면, \( (L, U) \) 를 \( \tau(\theta) \) 에 대한 \( 100 \gamma \% \) 신뢰구간이라 한다. 또한 \( \gamma \) 를 신뢰계수(confidence coefficient) 또는 신뢰수준(confidence level)이라 하고, \( L \) 과 \( U \) 를 각각 \( \tau(\theta) \) 에 대한 신뢰하한(lower confidence limit), 신뢰계상한(upper confidence limit)한다. 여기서 \( \gamma \) 는 모수 \( \theta \) 에 종속되어 있지 않으며, \( L \) 과 \( U \) 는 상수일 경우도 있다.</p><p>모수 \( \tau(\theta) \) 에 대한 신뢰구간 \( (L, U) \) 가 구해지면 이 구간은 확률구간이다. 따라서 두 통계량 \( L=l\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right) \) 과 \( U=u\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right) \) 에 확률표본의 한 관찰값 \( X_{1}=x_{1}, X_{2}=x_{2}, \cdots, X_{n}=x_{n} \) 이 주어지면, \( (L, U) \) 의 실구간(real interval) \( (l, u) \) 또한 모수 \( \tau(\theta) \) 에 대한 \( 100 \gamma \% \) 신뢰구간이 된다. 신뢰계수 \( \gamma \) 의 값으로 보통 \( \gamma=0.05 \) 또는 \( 0.01 \) 을 많이 사용한다. 예를 들면, 모집단이 미지의 모수 \( \tau(\theta) \) 에 대하여 어떤 통계량 \( \varphi\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} ; \theta\right) \) 를 결정한다고 하자. 이 경우, 통계량 \( \varphi\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} ; \theta\right) \) 는 모수 \( \theta \) 를 포함하고 있으나 이 통계량의 분포는 모수 \( \theta \) 와는 전혀 관계가 없다. 이제 \( a \) 와 \( b \) 를 임의의 실수라 하면, \[ P\left\{a<\varphi\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right)<b\right\}=0.95 \text { 또는 } 0.99 \] 와 같이 만들고, 이 식을 \( \tau(\theta) \) 에 관해 풀어서 \[ P\{l<\tau(\theta)<u\}=0.95 \quad \text { 또는 } 0.99 \] 가 성립하면 구간 \( (l, u) \) 는 모수 \( \tau(\theta) \) 의 \( 95 \%( \) 또는 \( 99 \%) \) 신뢰구간이 된다.</p> <h1>5.6 추정량의 완비성</h1><p>충분통계량은 UMVUE를 구할 때 아주 유용한 개념이다. 이러한 충분통계량의 유용성은 충분통계량의 함수로 표시되는 불편추정량의 분산이 어떤 다른 불편추정량의 분산보다 작다는 점이다.</p><p>\( \boldsymbol{X}=\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right) \) 을 확률밀도함수 \( f(x ; \theta) \) 를 갖는 분포로부터 추출한 확률표본이라 하고, \( T=t(\boldsymbol{X}) \) 를 \( \tau(\theta) \) 에 대한 임의의 불편추정량, \( \boldsymbol{Y}=u(\boldsymbol{X}) \) 를 모수 \( \theta \) 에 대한 충분통계량이라고 하면, \( T \) 보다 분산이 작고 충분통계량 \( Y \) 의 함수로 표시되는 \( \tau(\theta) \) 의 다른 불편추정량을 유도해 낼 수 있으며 이 경우, UMVUE를 구할 때 충분통계량의 함수로 표시되는 불편추정량 만을 고려해 볼 필요가 있다. 이것은 다음의 Rao-Blackwell 정리와 관련이 있다.</p><p>정리 \(5.11\) (Rao-Blackwell 정리) \( \boldsymbol{X}=\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right) \) 의 결합확률밀도함수를 \( f(x ; \theta) \), 모수 \( \theta \) 에 대한 결합충분통계량을 \( \boldsymbol{Y}=\left(Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{n}\right)=\left(u_{1}(\boldsymbol{X}), u_{2}(\boldsymbol{X}), \cdots, u_{n}(\boldsymbol{X}),\right), \tau(\theta \), 에 대한 임의의 불편추정량을 \( T=t(\boldsymbol{X}) \) 라 하면, 조건부기댓값 \( T^{}=E\{T \mid \boldsymbol{Y}\} \) 에 대하여 다음 성질0\| 성립한다.</p><p>\((1)\) \( T^{} \) 는 결합충분통계량 \( Y=\left(Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{n}\right) \) 의 함수이고,</p><p>\((2)\) \( T^{} \) 는 \( \tau(\theta) \) 의 불편추정량이며,</p><p>\((3)\) 모든 \( \theta \in \Theta \) 에 대하여, \( \operatorname{Var}\left(T^{}\right) \leqslant \operatorname{Var}(T) \) 이다. 단, 등호는 확률 1 로 \( T^{} \) 와 \( T \) 가 같을 경우이다.</p><p>증명 \( Y=\left(Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{n}\right) \) 가 \( \theta \) 에 대한 결합충분통계량이므로 \( Y=y \) 가 주어졌을 때 \( T \) 의 조건부확률밀도함수 \( f_{T \mid Y}(t \mid y) \) 에 모수 \( \theta \) 가 포함되어 있지 않으므로 \( t^{}(Y)= \) \( E\{T \mid Y\} \) 는 \( \theta \) 에 종속되지 않는다. 따라서, \( T^{}=t^{}(Y)=E\{T \mid Y\} \) 는 \( Y \) 의 함수로 표현되는 추정량이며, \[ E\left(T^{}\right)=E_{Y}\left(T^{}\right)=E_{Y}[E\{T \mid Y\}]=E(T)=\tau(\theta) \] 이므로 \( T^{} \) 는 \( \tau(\theta) \) 의 불편추정량이다. 또한, \[ \begin{aligned} \operatorname{Var}(T) &=\operatorname{Var}(E\{T \mid \boldsymbol{Y}\})+E[\operatorname{Var}(T \mid \boldsymbol{Y})] \\ & \geqslant \operatorname{Var}(E\{T \mid \boldsymbol{Y}\}) \\ &=\operatorname{Var}\left(T^{}\right) \end{aligned} \] 이고 \( E[\operatorname{Var}(T \mid \boldsymbol{Y})]=0 \) 이면 \( \operatorname{Var}\left(T^{}\right)=\operatorname{Var}(T) \) 이다. 여기서 \( E[\operatorname{Var}(T \mid \boldsymbol{Y})]=0 \) 이 되려면 확률 \(1\)로서 \[ \operatorname{Var}(T \mid \boldsymbol{Y})=E\left[\{T-E\{T \mid \boldsymbol{Y}\}\}^{2} \mid \boldsymbol{Y}\right]=0 \] 이 되어야 하므로 \( T=E\{T \mid \boldsymbol{Y}\}=T^{} \) 가 되어야 한다. ■</p><p>문제 \(1\) \(\boldsymbol{X}=\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right) \) 이 모수 \( \theta \) 를 갖는 베르누이분포로부터의 확률표본이라 하자. \( T=t(\boldsymbol{X})=X_{1}, Y=\sum_{i=1}^{n} X_{i}, \tau(\theta)=\theta \) 이면 Rao-Blackwell정리가 성립함을 보여라.</p><p>해답 \( T=X_{1} \) 은 모수 \( \theta \) 에 대한 불편추정량이고, \( Y=\sum_{i=1}^{n} X_{i} \) 는 모수 \( \theta \) 에 대한 충분통계량이다. 이제 \( T^{}=E\left\{X_{1} \mid Y\right\} \) 를 구하기 위하여 \( Y=y \) 가 주어졌을 때 \( T=X_{1} \) 에 대한 조건부확률분포를 구해보자. \( X_{1} \) 은 0 또는 1 의 값 만을 가질 수 있으므로 조건부확률밀도함수는 \[ \begin{aligned} P\left(X_{1}=0 \mid Y=y\right) &=\frac{P\left\{X_{1}=0, \sum_{i=1}^{n} X_{i}=y\right\}}{P\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}=y\right\}} \\ &=\frac{P\left\{X_{1}=0, \sum_{i=2}^{n} X_{i}=y\right\}}{P\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}=y\right\}} \\ &=\frac{P\left\{X_{1}=0\right\} P\left\{\sum_{i=2}^{n} X_{i}=y\right\}}{P\left\{\sum_{i=1}^{n} X_{i}=y\right\}} \\ &=\frac{(1-\theta)\left(\begin{array}{c} n-1 \\ y \end{array}\right) \theta^{y}(1-\theta)^{n-1-y}}{\left(\begin{array}{l} n \\ y \end{array}\right) \theta^{y}(1-\theta)^{n-y}} \\ &=\frac{n-y}{n} \end{aligned} \] 이고 \[ \begin{aligned} P\left(X_{1}=1 \mid Y=y\right) &=\frac{P\left\{X_{1}=1, \sum_{i=1}^{n} X_{i}=y\right\}}{P\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}=y\right\}} \\ &=\frac{P\left\{X_{1}=1, \sum_{i=2}^{n} X_{i}=y-1\right\}}{P\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}=y\right\}} \\ &=\frac{\theta\left(\begin{array}{l} n-1 \\ y-1 \end{array}\right) \theta^{y-1}(1-\theta)^{n-1-y+1}}{\left(\begin{array}{l} n \\ y \end{array}\right) \theta^{y}(1-\theta)^{n-y}} \\ &=\frac{y}{n} \end{aligned} \] 이다. 이로부터 \[ \begin{aligned} t^{}(y) &=E\left(X_{1} \mid Y=y\right) \\ &=E\left(X_{1} \mid \sum_{i=1}^{n} n X_{i}=y\right) \\ &=0 \cdot \frac{n-y}{n}+1 \cdot \frac{y}{n} \\ &=\frac{y}{n} \end{aligned} \] 이므로 \[ T^{}=E\{T \mid Y\}=\frac{Y}{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i} \] 은 \( \theta \) 의 불편추정량이고, \( n>1 \) 이면 \[ \operatorname{Var}(T)=\operatorname{Var}\left(X_{1}\right)=\theta(1-\theta)>\operatorname{Var}\left(\frac{Y}{n}\right)=\frac{\theta(1-\theta)}{n}=\operatorname{Var}\left(T^{}\right) \] 이므로 Rao-Blackwell 정리가 성립한다. □</p><p>Rao-Blackwell 정리에 의하면, 하나의 불편추정량으로부터 충분통계량의 합으로 표시되는 다른 불편추정량을 유도할 수 있으며 여기서 유도한 불편추정량의 분산은 처음에 주어진 불편추정량의 분산보다 작다는 것을 알 수 있다. 따라서 UMVUE를 구하는 과정에서 가능한 추정량의 범위를 충분통계량의 함수로 표시되는 불편추정량들로 제한할 수 있을 것이다. 그런데 Rao-Blackwell 정리에 의해서 \( \tau(\theta) \) 의 어떤 불편추정량 \( T \) 가 이미 결합충분통계량 \( \boldsymbol{Y} \) 의 함수일 경우에는 \( T^{}=E\{T \mid \boldsymbol{Y}\} \) 와 일치하므로 분산의 감소를 기대할 수 없다. 그러나 \( T^{} \) 가 \( \boldsymbol{Y} \) 의 함수로 표시되는 \( \tau(\theta) \) 에 대한 단 하나의 불편추정량이라면, \( T^{*} \) 는 \( \tau(\theta) \) 의 UMVUE 가 될 것이다. 이상에서 설명한 바와 같이 \( Y \) 의 함수로 표시되는 유일한 불편추정량임을 결정하는데에는 완비성(completeness)이 있다.</p><p>정의 \( 5.17\) \boldsymbol{X}=\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right) \) 의 결합확률밀도함수를 \( f(x ; \theta) \) 라 하자. 이때 \( \boldsymbol{Y}=\left(Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{n}\right) \) 과 \( u(\boldsymbol{Y}) \) 가 통계량이고 \[ E\{u(\boldsymbol{Y})\}=0, \forall \theta \in \Theta \Longrightarrow P\{u(\boldsymbol{Y})=0\}=1, \forall \theta \in \Theta \] 이면, \( \boldsymbol{Y} \) 의 분포족 \( \{g(\boldsymbol{y} ; \theta), \theta \in \Theta\} \) 을 완비(complete)라고 한다. 통계량 \( \boldsymbol{Y} \) 의 분포족이 완비이면, \( Y \) 를 완비통계량0\|라고 말하며, 결합충분통계량 \( Y \) 가 완비이면 \( Y \) 를 결합완비충분통계량이라 한다.</p><p>완비성의 정의에 의하면 \( Y \) 가 완비통계량이라 함은 0 에 대한 불편추정량이 될 수 있는 \( \boldsymbol{Y} \) 의 함수 \( u(\boldsymbol{Y}) \) 는 \(0\) 일 수 밖에 없음을 의미하고, 서로 다른 두 \( \boldsymbol{Y} \) 의 함수들에 대한 각 기댓값이 서로 같을 수 없음을 뜻한다. 이제 다음 정리를 살펴보자.</p>	통계학	[ "<h2>Ⅱ. 두 정규모집단에서 모평균의 차의 구간추정</h2><p>첫 번째의 경우는 두 정규모집단의 모분산을 알고 있을 때이다.", "먼저 모집단 \\( A \\) 는 평균이 \\( \\mu_{1} \\) 이고 분산이 \\( \\sigma_{1}^{2} \\) 에 따르는 정규모집단 \\( N\\left(\\mu_{1}, \\sigma_{1}^{2}\\right) \\) 이고, 다른 모집단 \\( B \\) 는 평균이 \\( \\mu_{2} \\) 이고 분산이 \\( \\sigma_{2}^{2} \\) 에 따르는 정규모집단 \\( N\\left(\\mu_{2}, \\sigma_{2}^{2}\\right) \\) 이다.", "여기서, 두 정규모집단 \\( A \\) 와 \\( B \\) 는 서로 독립이라 가정한다.", "이제 정규모집단 \\( A \\) 로부터 크기 \\( n_{1} \\) 인 확률표본 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n_{1}} \\) 을 추출하여 이 확률표본의 표본평균을 \\( \\bar{X}=\\sum_{i=1}^{n_{1}} X_{i} \\) 라 하고, 또한 정규모집단 \\( B \\) 로부터 크기 \\( n_{2} \\) 인 확률표본 \\( Y_{1}, Y_{2}, \\cdots, Y_{n_{2}} \\) 을 추출하여 이 확률표본의 표본평균을 \\( \\bar{Y}=\\sum_{i=1}^{n_{2}} Y_{i} \\) 라 하자.", "이때, 두 표본평균의 차 \\( \\bar{X}-\\bar{Y} \\) 의 신뢰한계를 구하여 보자.", "여기서, 두 확률표본의 차 \\( \\bar{X}-\\bar{Y} \\) 는 평균이 \\( \\mu_{1}-\\mu_{2} \\) 이고 분산이 \\( \\left(\\frac{\\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\\frac{\\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}\\right) \\) 인 정규분포에 따르므로, 표준화된 확률변수 \\[ Z=\\frac{(\\bar{X}-\\bar{Y})-\\left(\\mu_{1}-\\mu_{2}\\right)}{\\sqrt{\\frac{\\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\\frac{\\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}} \\sim N(0,1) \\] 이다.", "따라서, 앞의 경우와 마찬가지로 \\[ P\\left\\{-z_{\\alpha / 2}<Z<z_{\\alpha / 2}\\right\\}=1-\\alpha \\] 의 한계값 \\( \\pm z_{\\alpha / 2} \\) 를 결정하면 \\[ \\begin{array}{l} P\\left\\{-z_{\\alpha / 2}<\\frac{(\\bar{X}-\\bar{Y})-\\left(\\mu_{1}-\\mu_{2}\\right)}{\\left.\\", "sqrt{\\frac{\\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\\frac{\\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}<z_{\\alpha / 2}\\right\\}}\\right. \\\\ \\", "quad=P\\left\\{(\\bar{X}-\\bar{Y})-z_{\\alpha / 2} \\sqrt{\\frac{\\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\\frac{\\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}<\\mu_{1}-\\mu_{2}<(\\bar{X}-\\bar{Y})+z_{\\alpha / 2} \\sqrt{\\left.\\", "frac{\\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\\frac{\\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}\\right\\}}\\right. \\\\ \\", "quad=1-\\alpha \\end{array} \\] 이므로 정규모집단 \\( A \\) 로부터 확률표본의 관찰값 \\( X_{1}=x_{1}, X_{2}=x_{2}, \\cdots, X_{n_{1}}=x_{n_{1}} \\) 과 정규모집단 \\( B \\) 로부터 확률표본의 관찰값 \\( Y_{1}=y_{1}, Y_{2}=y_{2}, \\cdots, Y_{n_{1}}=y_{n_{2}} \\) 가 주어지면, 모평균 \\( \\mu_{1}-\\mu_{2} \\) 에 대한 신뢰도 \\( 100(1-\\alpha) \\% \\) 의 신뢰한계는 \\[ (\\bar{x}-\\bar{y}) \\pm z_{\\alpha / 2} \\sqrt{\\frac{\\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\\frac{\\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}} \\] 이다.", "</p><p>두 번째는, 두 정규모집단의 모분산은 모르지만 서로 같다고 가정한 경우이다.", "모집단 \\( A \\) 는 평균이 \\( \\mu_{1} \\) 이고 분산이 \\( \\sigma^{2} \\) 에 따르는 정규모집단 \\( N\\left(\\mu_{1}, \\sigma^{2}\\right) \\) 이고, 다른 모집단 \\( B \\) 는 평균이 \\( \\mu_{2} \\) 이고 분산이 \\( \\sigma^{2} \\) 에 따르는 정규모집단 \\( N\\left(\\mu_{2}, \\sigma^{2}\\right) \\) 이라 하자.", "물론, 두 정규모집단 \\( A \\) 와 \\( B \\) 는 서로 독립이라 가정한다.", "이제 정규모집단 \\( A \\) 로부터 크기 \\( n_{1} \\) 인 확률표본 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n_{1}} \\) 를 추출하여 이 확률표본의 표본평균을 \\( \\bar{X}=\\sum_{i=1}^{n_{1}} X_{i} \\), 표본분산을 \\( S_{1}^{2}=\\frac{1}{n_{1}-1} \\sum_{i=1}^{n_{1}}\\left(X_{i}-\\bar{X}\\right)^{2} \\) 이라 하고, 또한 정규모집단 \\( B \\) 로부터 크기 \\( n_{2} \\) 인 확률 표본 \\( Y_{1}, Y_{2}, \\cdots, Y_{n_{2}} \\) 을 추출하여 이 확률표본의 표본평균을 \\( \\bar{Y}=\\sum_{i=1}^{n_{2}} Y_{i} \\), 표본분산을 \\( S_{2}^{2}=\\frac{1}{n_{2}-1} \\sum_{i=1}^{n_{2}}\\left(Y_{i}-\\bar{Y}\\right)^{2} \\) 이라 할 때, 두 표본평균의 차 \\( \\bar{X}-\\bar{Y} \\) 의 신뢰한계를 구하여 보자.", "두 표본평균의 차 \\( \\bar{X}-\\bar{Y} \\) 는 평균이 \\( \\mu_{1}-\\mu_{2} \\) 이고 분산이 \\( \\left(\\frac{\\sigma^{2}}{n_{1}}+\\frac{\\sigma^{2}}{n_{2}}\\right) \\) 인 정규분포 즉, \\[ (\\bar{X}-\\bar{Y}) \\sim N\\left(\\mu_{1}-\\mu_{2}, \\frac{\\sigma^{2}}{n_{1}}+\\frac{\\sigma^{2}}{n_{2}}\\right) \\] 이다.", "그런데, \\[ \\frac{\\left(n_{1}-1\\right) S_{1}^{2}}{\\sigma_{1}^{2}} \\sim \\chi^{2}\\left(n_{1}-1\\right) \\] 이고 \\[ \\frac{\\left(n_{2}-1\\right) S_{2}^{2}}{\\sigma_{2}^{2}} \\sim \\chi^{2}\\left(n_{2}-1\\right) \\] 이다.", "또한, 이 두 통계량은 서로 독립이므로 그의 합(sum)은, \\[ \\frac{\\left(n_{1}-1\\right) S_{1}^{2}}{\\sigma^{2}}+\\frac{\\left(n_{2}-1\\right) S_{2}^{2}}{\\sigma^{2}} \\sim \\chi^{2}\\left(n_{1}+n_{2}-2\\right) \\] 이다.", "여기서 통계량 \\[ \\begin{aligned} T &=\\frac{\\frac{(X-Y)-\\left(\\mu_{1}-\\mu_{2}\\right)}{\\sqrt{\\frac{\\sigma 2}{n_{1}}+\\frac{\\sigma^{2}}{n_{2}}}}}{\\sqrt{\\frac{\\left(n_{1}-1\\right) S_{1}^{2}+\\left(n_{2}-1\\right) S_{2}^{2}}{\\left(n_{1}+n_{2}-2\\right) \\sigma^{2}}}} \\\\ &=\\frac{(\\bar{X}-\\bar{Y})-\\left(\\mu_{1}-\\mu_{2}\\right)}{\\sqrt{\\frac{1}{n_{1}}+\\frac{1}{n_{2}}} \\sqrt{\\frac{\\left(n_{1}-1\\right) S_{1}^{2}+\\left(n_{2}-1\\right) S_{2}^{2}}{\\left(n_{1}+n_{2}-2\\right)}}} \\end{aligned} \\] 은 자유도 \\( n_{1}+n_{2}-2 \\) 인 \\( t \\) 분포에 따른다.", "따라서, \\[ P\\left\\{-t_{\\alpha / 2}\\left(n_{1}+n_{2}-2\\right)<T<t_{\\alpha / 2}\\left(n_{1}+n_{2}-2\\right)\\right\\}=1-\\alpha \\] 에서 한계값 \\( \\pm t_{\\alpha / 2}\\left(n_{1}+n_{2}-2\\right) \\) 를 결정하면, 위의 식은 \\[ P\\left\\{-t_{\\alpha / 2}\\left(n_{1}+n_{2}-2\\right)<\\frac{(\\bar{X}-\\bar{Y})-\\left(\\mu_{1}-\\mu_{2}\\right)}{\\sqrt{\\frac{1}{n_{1}}+\\frac{1}{n_{2}}} \\sqrt{\\frac{\\left(n_{1}-1\\right) S_{1}^{2}+\\left(n_{2}-1\\right) S_{2}^{2}}{\\left(n_{1}+n_{2}-2\\right)}}}<t_{\\alpha / 2}\\left(n_{1}+n_{2}-2\\right)\\right\\}=1-\\alpha \\] 이므로 이 식을 정리하면, \\[ \\begin{array}{l} P\\left\\{(\\bar{X}-\\bar{Y})-t_{\\alpha / 2}\\left(n_{1}+n_{2}-2\\right) \\sqrt{\\frac{1}{n_{1}}+\\frac{1}{n_{2}}} \\sqrt{\\frac{\\left(n_{1}-1\\right) S_{1}^{2}+\\left(n_{2}-1\\right) S_{2}^{2}}{\\left(n_{1}+n_{2}-2\\right)}}<\\mu_{1}-\\mu_{2}\\right. \\\\ \\quad<(\\bar{X}-\\bar{Y})+t_{\\alpha / 2}\\left(n_{1}+n_{2}-2\\right) \\sqrt{\\frac{1}{n_{1}}+\\frac{1}{n_{2}}} \\sqrt{\\left.\\frac{\\left(n_{1}-1\\right) S_{1}^{2}+\\left(n_{2}-1\\right) S_{2}^{2}}{\\left(n_{1}+n_{2}-2\\right)}\\right\\}}=1-\\alpha \\end{array} \\] 이다.", "이로부터, 두 정규모집단의 모평균의 차 \\( \\mu_{1}-\\mu_{2} \\) 의 신뢰도 \\( 100(1-\\alpha) \\% \\) 의 신뢰한계는 \\[ (\\bar{X}-\\bar{Y}) \\pm t_{\\alpha / 2}\\left(n_{1}+n_{2}-2\\right) \\sqrt{\\frac{1}{n_{1}}+\\frac{1}{n_{2}}} \\sqrt{\\frac{\\left(n_{1}-1\\right) S_{1}^{2}+\\left(n_{2}-1\\right) S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}} \\] 이다.", "</p><h2>Ⅲ. 이항모집단의 모비율의 구간추정</h2><p>이항모집단에서 모비율을 \\( p \\) 라 하고 이 모집단에서 추출한 표본의 수를 \\( n \\), 불량품의 수를 \\( x \\) 라 하면 표본비율은 \\( \\hat{p}=\\frac{x}{n} \\) 이다.", "이제, 표본의 수 \\( n \\) 이 충분히 클 때, 모비율 \\( p \\) 의 신뢰구간을 구하여 보자.", "여기에 대한 이론적인 접근은 다음과 같다.", "</p><p>표본비율 \\( \\hat{p}=\\frac{x}{n} \\) 가 근사적으로 정규분포 \\( N\\left(p, \\frac{p(1-p)}{n}\\right) \\) 에 따르므로, 임의의 상수 \\( c(c>0) \\) 에 대하여 \\[ \\begin{aligned} P\\left\\{-c<\\frac{\\hat{p}-p}{\\sqrt{\\frac{p(1-p)}{n}}}<c\\right\\} &=P\\left\\{\\left\|\\frac{\\hat{p}-p}{\\sqrt{\\frac{p(1-p)}{n}}}\\right\|<c\\right\\} \\\\ &=\\int_{c}^{c} \\frac{1}{\\sqrt{2 \\pi}} e^{-\\frac{z^{2}}{2}} d z \\\\ &=1-\\alpha \\end{aligned} \\] 가 성립한다.", "여기서 먼저, 부등식 \\( \\left\|\\frac{\\hat{p}-p}{\\sqrt{\\frac{p(1-p)}{n}}}\\right\|<c \\) 를 제곱하여 정리하면, \\[ n(\\hat{p}-p)^{2}<c^{2} p(1-p) \\] 이고, 이 식을 \\( p \\) 에 관하여 정리하면, \\[ \\left(n+c^{2}\\right) p^{2}-\\left(2 n \\hat{p}+c^{2}\\right) p+n \\hat{p}^{2}<0 \\] 이다.", "이 부등식의 해(solution) \\( p_{1} \\) 과 \\( p_{2}\\left(p_{1}<p_{2}\\right) \\) 는 각각 \\[ \\begin{aligned} p_{1} &=\\frac{\\left(2 n \\hat{p}+c^{2}\\right)-c \\sqrt{4 n \\hat{p}+c^{2}-4 n \\hat{p}}}{2\\left(n+c^{2}\\right)} \\\\ &=\\frac{\\left(\\hat{p}+\\frac{c^{2}}{2 n}\\right)-\\sqrt{\\frac{\\hat{p}(1-\\hat{p})}{n}+\\frac{c^{2}}{4 n^{n}}}}{1+\\frac{c^{2}}{n}} \\end{aligned} \\] 와 \\[ \\begin{aligned} p_{2} &=\\frac{\\left(2 n \\hat{p}+c^{2}\\right)+c \\sqrt{4 n \\hat{p}+c^{2}-4 n \\hat{p}}}{2\\left(n+c^{2}\\right)} \\\\ &=\\frac{\\left(\\hat{p}+\\frac{c^{2}}{2 n}\\right)+\\sqrt{\\frac{\\hat{p}(1-\\hat{p})}{n}+\\frac{c^{2}}{4 n^{n}}}}{1+\\frac{c^{2}}{n}} \\end{aligned} \\] 이다.", "여기서 항 \\( \\frac{c^{2}}{n} \\) 과 \\( \\frac{c^{2}}{n^{2}} \\) 이 \\( \\hat{p} \\) 나 \\( 1-\\hat{p} \\) 에 비하여 충분히 작으면, \\[ p_{1}=\\hat{p}-c \\sqrt{\\frac{\\hat{p}(1-\\hat{p})}{n}} \\] 이고 \\[ p_{2}=\\hat{p}+c \\sqrt{\\frac{\\hat{p}(1-\\hat{p})}{n}} \\] 이다.", "따라서, 모비율 \\( p \\) 의 신뢰구간은 \\[ \\left(\\hat{p}-c \\sqrt{\\frac{\\hat{p}(1-\\hat{p})}{n}}, \\hat{p}+c \\sqrt{\\frac{\\hat{p}(1-\\hat{p})}{n}}\\right) \\] 이다.", "이와 같은 근사식을 이용하여 모비율 \\( p \\) 의 구간추정을 적용할 수 경우는 표본의 수 \\( n \\) 이, \\( n \\hat{p} \\geqslant 5 \\) 를 만족시킬 때이다.", "</p><p>만약 표본이 충분히 클 경우, 모비율의 구간추정은 다음과 같다.", "이항모집단에서 모비율을 \\( p \\) 라하고, 이 모집단에서 추출한 표본의 수를 \\( n \\), 불량품의 수를 \\( x \\) 라 하면 표본비율은 \\( \\hat{p}=\\frac{x}{n} \\) 이다.", "이 경우, 표본비율 \\( \\hat{p}=\\frac{x}{n} \\) 가 근사적으로 정규분포 \\( N\\left(p, \\frac{p(1-p)}{n}\\right) \\) 에 따른다는 사실로부터 \\[ P\\left\\{-z_{\\alpha / 2}<\\frac{\\hat{p}-p}{\\sqrt{\\frac{p(1-p)}{n}}}<z_{\\alpha / 2}\\right\\}=1-\\alpha \\] 이므로 정리하면 \\[ P\\left\\{\\hat{p}-z_{\\alpha / 2} \\sqrt{\\frac{p(1-p)}{n}}<p<\\hat{p}+z_{\\alpha / 2} \\sqrt{\\frac{p(1-p)}{n}}\\right\\}=1-\\alpha \\] 이다.", "이때 \\( p \\) 를 표본비율 \\( \\hat{p} \\) 로 교환하면, \\[ P\\left\\{\\hat{p}-z_{\\alpha / 2} \\sqrt{\\frac{\\hat{p}(1-\\hat{p})}{n}}<p<\\hat{p}+z_{\\alpha / 2} \\sqrt{\\frac{\\hat{p}(1-\\hat{p})}{n}}\\right\\}=1-\\alpha \\] 이다.", "따라서, 모비율 \\( p \\) 의 신뢰도 \\( 100(1-\\alpha) \\% \\) 의 신뢰구간은 \\[ \\left(\\hat{p}-z_{\\alpha / 2} \\sqrt{\\frac{\\hat{p}(1-\\hat{p})}{n}}, \\hat{p}+z_{\\alpha / 2} \\sqrt{\\frac{\\hat{p}(1-\\hat{p})}{n}}\\right) \\] 이다.", "</p> <p>위에서 설명한 내용을 기초로 구간추정에서 가장 많이 사용되는 몇가지 중요한 신뢰구간을 구해 보자.", "</p><h2>Ⅰ. 정규모집단에서 모평균 \\( \\mu \\) 의 구간추정</h2><p>첫 번째는, 모평균 \\( \\mu \\) 가 미지이고 모분산 \\( \\sigma^{2} \\) 을 알고 있을 경우이다.", "정규모집단 \\( N\\left(\\mu, \\sigma^{2}\\right) \\) 으로부터 추출한 크기 \\( n \\) 인 확률표본을 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\) 이라 하면, 모평균 \\( \\mu \\) 의 신뢰구간은 다음과 같은 방법으로 구한다.", "</p><p>확률표본의 합 \\( X_{1}+X_{2}+\\cdots+X_{n} \\) 은 또한 정규분포 \\( N\\left(n \\mu, n \\sigma^{2}\\right) \\) 에 따르므로 표본평균은 \\( \\bar{X} \\sim N\\left(\\mu, \\frac{\\sigma^{2}}{n}\\right) \\) 이다.", "표준정규화 확률변수는 \\[ \\frac{\\bar{X}-\\mu}{\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}} \\sim N(0,1) \\] 이다.", "따라서 \\[ P\\left\\{a<\\frac{\\bar{X}-\\mu}{\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}}<b\\right\\}=\\int_{a}^{b} \\frac{1}{\\sqrt{2 \\pi}} e^{-\\frac{z^{2}}{2}} d z \\] 이다.", "여기서 미리 주어진 신뢰계수 \\( 1-\\alpha \\) 를 이용하여 \\[ \\int_{a}^{b} \\frac{1}{\\sqrt{2 \\pi}} e^{-\\frac{z^{2}}{2}} d z=1-\\alpha \\] 가 되도록 상수 \\( a \\) 와 \\( b \\) 를 정한다.", "이로부터 \\[ \\begin{aligned} P\\left\\{a<\\frac{\\bar{X}-\\mu}{\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}}<b\\right\\} &=P\\left\\{a \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}<\\bar{X}-\\mu<b \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}\\right\\} \\\\ &=P\\left\\{\\bar{X}-b \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}<\\mu<\\bar{X}-a \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}\\right\\} \\end{aligned} \\] 이므로 \\[ P\\left\\{\\bar{X}-b \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}<\\mu<\\bar{X}-a \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}\\right\\}=1-\\alpha \\] 이다.", "따라서, 신뢰도 \\( 100(1-\\alpha) \\% \\) 인 모평균 \\( \\mu \\) 의 신뢰구간은 \\[ \\left(\\bar{x}-b \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}, \\bar{x}-a \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}\\right) \\] 이다.", "이 경우, 신뢰구간의 폭은 \\( (b-a) \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} \\) 이므로 이 폭을 최소로 하려면 \\[ \\int_{-\\lambda}^{\\lambda} \\frac{1}{\\sqrt{2 \\pi}} e^{-\\frac{z^{2}}{2}} d z=1-\\alpha \\] 에서 상수 \\( \\lambda \\) 를 정하여 \\( a=-\\lambda \\) 와 \\( b=\\lambda \\) 로 하면 된다.", "표준정규분포표로부터 \\( 1-\\alpha= 0.95 \\) 일 때 \\( \\lambda=1.96 \\) 이고, \\( 1-\\alpha=0.99 \\) 일 때 \\( \\lambda=2.58 \\) 이다.", "따라서, 확률표본의 관찰값 \\( X_{1}=x_{1}, X_{2}=x_{2}, \\cdots, X_{n}=x_{n} \\) 이 주어겼을 때, 모평균 \\( \\mu \\) 의 \\( 95 \\% \\) 신뢰구간은 \\[ \\left(\\bar{x}-1.96 \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}, \\bar{x}+1.96 \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}\\right) \\] 이고 또한, 모평균 \\( \\mu \\) 의 \\( 99 \\% \\) 신뢰구간은 \\[ \\left(\\bar{x}-2.58 \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}, \\bar{x}+2.58 \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}\\right) \\] 이다.", "이상을 정리하면, 모평균 \\( \\mu \\) 의 구간추정을 신뢰한계를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.", "</p><ol type=1 start=1><li>모평균 \\( \\mu \\) 의 신뢰도 \\( 95 \\% \\) 인 신뢰한계는 \\( \\bar{X} \\pm 1.96 \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} \\) 이고</li><li>모평균 \\( \\mu \\) 의 신뢰도 \\( 99 \\% \\) 인 신뢰한계는 \\( \\bar{X} \\pm 2.58 . \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} \\)</li></ol><p>두 번째는, 정규모집단의 모분산 \\( \\sigma^{2} \\) 이 미지일 때, 정규모집단 \\( N\\left(\\nu, \\sigma^{2}\\right) \\) 으로부터 추출한 크기 \\( n \\) 인 확률표본을 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\) 이라 하면, 모평균 \\( \\mu \\) 의 신뢰구간은 다음과 같은 방법으로 구한다.", "정규모집단 \\( N\\left(\\mu, \\sigma^{2}\\right) \\) 으로부터 크기 \\( n \\) 인 확률표본 \\( X_{1}, X_{2} \\), \\( \\cdots, X_{n} \\) 을 추출하여 이 들의 표본평균을 \\( \\bar{X} \\) 라 하고 표본분산을 \\( S^{2} \\) 이라 하자.", "이때, 표본평균은 \\( \\bar{X} \\sim N\\left(\\mu, \\frac{\\sigma^{2}}{n}\\right) \\) 이므로, 표준정규화된 확률변수는 \\[ \\frac{\\bar{X}-\\mu}{\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}} \\sim N(0,1) \\] 이다.", "확률변수 \\( Y_{i}=\\frac{X_{i}-\\mu}{\\sigma} \\sim N(0,1) \\) 이면, 통계량 \\[ \\sum_{i=1}^{n}\\left(Y_{i}-\\bar{Y}\\right)^{2} \\] 의 분포는 \\[ \\begin{aligned} \\sum_{i=1}^{n}\\left(Y_{i}-\\bar{Y}\\right)^{2} &=\\frac{1}{\\sigma^{2}} \\sum_{i=1}^{n}\\left(X_{i}-\\bar{X}\\right)^{2} \\\\ &=\\frac{(n-1) S^{2}}{\\sigma^{2}} \\sim \\chi^{2}(n-1) \\end{aligned} \\] 이다.", "따라서, 다음 통계량 \\[ \\frac{\\frac{\\bar{X}-\\mu}{\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}}}{\\sqrt{\\frac{(n-1) S^{2}}{\\sigma^{2}}}}=\\frac{\\sqrt{n}(\\bar{X}-\\mu)}{S} \\] 은 자유도 \\( n-1 \\) 을 갖는 \\( t \\) 분포에 따른다.", "여기서, 자유도 \\( n-1 \\) 를 갖는 \\( t \\) 분포의 확률밀도함수를 \\( f_{n-1} \\) 이라 하자.", "이제 미리 주어진 신뢰계수 \\( 1-\\alpha \\) 에 대하여 \\[ \\int_{a}^{b} f_{n-1}(x) d x=1-\\alpha \\] 를 만족시키는 상수 \\( a \\) 와 \\( b \\) 를 구하면 \\[ \\begin{aligned} P\\left\\{a<\\frac{\\sqrt{n}(\\bar{X}-\\mu)}{S}<b\\right\\} &=P\\left\\{\\bar{X}-b \\frac{S}{\\sqrt{n}}<\\mu<\\bar{X}-a \\frac{S}{\\sqrt{n}}\\right\\} \\\\ &=\\int_{a}^{b} f_{n-1}(x) d x \\\\ &=1-\\alpha \\end{aligned} \\] 이므로, 확률표본의 관찰값 \\( X_{1}=x_{1}, X_{2}=x_{2}, \\cdots, X_{n}=x_{n} \\) 이 주어졌을 때, 신뢰도 \\( 100(1-\\alpha) \\% \\) 인 모분산 \\( \\sigma^{2} \\) 의 신뢰구간은 \\[ \\left(\\bar{x}-b \\frac{s}{\\sqrt{n}}, \\bar{x}-a \\frac{s}{\\sqrt{n}}\\right) \\] 이다.", "신뢰구간의 폭은 \\( (b-a) \\frac{s}{\\sqrt{n}} \\) 이고 \\[ \\int_{a}^{b} f_{n-1}(x) d x=1-\\alpha \\] 인 조건하에서, 신뢰구간의 폭을 최소로 하려면 \\[ \\int_{-\\lambda}^{\\lambda} f_{n-1}(x) d x=1-\\alpha \\] 으로부터 \\( \\lambda \\) 를 정하여 \\( a=-\\lambda, b=\\lambda \\) 가 되게 하면 된다.", "그런데 \\( t \\) 분포의 확률밀도함수는 우함수(even function)이므로 \\[ \\int_{\\lambda}^{+\\infty} f_{n-1}(x) d x=\\frac{\\alpha}{2} \\] 로부터 \\( \\lambda \\) 를 구하면, \\( \\lambda=t_{\\frac{\\alpha}{2}}(n-1) \\) 이다.", "이로부터 구하고자 하는 신뢰구간은 다음과 같다. \\", "[ \\left(\\bar{x}-t_{\\frac{\\alpha}{2}}(n-1) \\frac{s}{\\sqrt{n}}, \\bar{x}+t_{\\frac{\\alpha}{2}}(n-1) \\frac{s}{\\sqrt{n}}\\right) . \\]", "</p> <p>정의 \\(5.3\\) \\( n \\) 차원 확률벡터 \\( \\boldsymbol{X}=\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\) 의 관찰값을 \\( \\boldsymbol{x}=\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots\\right. \\)", ",\\( \\left.x_{n}\\right) \\) 이라 할 때, 다음 \\( \\theta \\) 의 함수 \\[ L(\\theta ; \\boldsymbol{x})=f(\\boldsymbol{x} ; \\boldsymbol{\\theta}), \\quad(\\theta \\in \\Theta) \\]<caption>(5.1)</caption>를 \\( \\boldsymbol{x}=\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\) 의 우도(likelihood) 또는 우도함수(likelihood function)라 한다.", "특히, 무한 모집단분포의 모집단 확률밀도함수를 \\( f(x ; \\theta) \\) 라 하고, 이 모집단으로부터 추출한 크기 \\( n \\) 인 확률표본을 \\( X=\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\), 이 확률표본의 관찰값을 \\( \\boldsymbol{x}=\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\) 이라 하면, \\( \\boldsymbol{x}=\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\) 에 대한 우도함수는 다음과 같다. \\", "[ \\begin{aligned} L(\\theta ; \\boldsymbol{x}) &=L\\left(\\theta ; x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\\\ &=\\prod_{i=1}^{n} f\\left(x_{i} ; \\theta\\right) \\end{aligned} \\]</p><p>정의\\( 5.4\\) \\(n \\) 차원 확률벡터 \\( \\boldsymbol{X}=\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\) 의 관찰값을 \\( \\boldsymbol{x}=\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots\\right. \\)", ",\\( \\left.x_{n}\\right) \\) 이라 할 때, 우도함수 \\( L(\\theta ; x)=f(x ; \\theta) \\) 가 모든 \\( \\theta \\in \\Theta \\) 에 대하여 최대가 되는 \\( \\theta=\\hat{\\theta} \\) 즉 \\[ L(\\hat{\\theta} ; \\boldsymbol{x})=\\max _{\\theta \\in \\Theta} f(\\boldsymbol{x} ; \\theta) \\]<caption>(5.2)</caption>를 만족하는 \\( \\hat{\\theta} \\) 을 모수 \\( \\theta \\) 의 최우추정값(maximum likelihood estimate)라 하고, 관찰 값 \\( x_{i} \\) 대신에 확률변수 \\( X_{i} \\) 로 대치하여 얻은 통계량 \\( \\hat{\\theta}=\\hat{\\theta}\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\) 을 최우추정량(maximum likelihood estimator) 또는 간단히 MLE 라고 한다.", "</p><p>지금부터는 최우추정법으로 구한 추정값 또는 추정량을 간단히 MLE로 쓸 것이다.", "일반적으로 확률표본에 대하여 모수 \\( \\theta \\) 의 MLE를 구할 때에는 로그우도함수(logarith-mic likelihood function)를 이용하는 것이 편리하다.", "왜냐하면, 로그함수는 단조함수이므로 \\( \\theta=\\hat{\\theta} \\) 에서 우도함수 \\( L(\\theta ; \\boldsymbol{x}) \\) 가 최대가 되면, 로그우도함수 \\( \\ln L(\\theta ; \\boldsymbol{x}) \\) 도 최대가 되기 때문이다.", "우도함수 \\( L(\\theta ; \\boldsymbol{x}) \\) 의 최대값을 구하는 문제는 미분법에 의해서 \\[ \\frac{d}{d \\theta} L(\\theta ; x)=0 \\] 을 풀어, 이 방정식의 해가 존재하면 최우추정량 \\( \\theta=\\hat{\\theta}\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\) 을 구하면 된다.", "그런데, 원래의 우도함수 \\( L(\\theta ; x) \\) 의 최대값을 구하는 문제는 자연대수를 취한 우도함수 \\( \\ln L(\\theta ; x) \\) 의 최대값을 구하는 문제와 같으므로 실제적으로 구하고자 하는 최우추정량은 다음의 로그우도 방정식 \\[ \\frac{d}{d \\theta} \\ln L(\\theta ; \\boldsymbol{x})=0 \\] 을 풀어 해(solution)가 존재하면, \\( \\theta \\) 에 관한 해 \\( \\hat{\\theta}=\\hat{\\theta}\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\) 이 최우추정량이다.", "</p><p>문제 \\(1\\) 모집단분포가 포아송분포 \\( X_{i} \\sim \\operatorname{POIS}(\\lambda) \\) 일 때 즉, 모집단의 확률질량함수가 \\[ f(x ; \\lambda)=\\frac{e^{-\\lambda} \\lambda^{x}}{x !}, \\quad x=0,1,2,3, \\cdots, n, \\lambda>0 \\] 일 때, 모수 \\( \\lambda \\) 의 최우추정량을 구하여라.", "</p><p>해답 먼저 관찰값을 \\( \\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\) 이라 하면, 우도함수는 \\[ \\begin{aligned} L(\\lambda ; x) &=\\prod_{i=1}^{n} f\\left(x_{i} ; \\lambda\\right) \\\\ &=\\prod_{i=1}^{n} \\frac{e^{-\\lambda} \\lambda^{x_{i}}}{x_{i} !} \\\\ &=e^{-n x} \\frac{\\lambda^{x_{1}+x_{2}+\\cdots+x_{n}}}{x_{1} ! x_{2} ! \\cdots x_{n} !} \\end{aligned} \\] 이다. 이 식의 양 변에 자연대수를 취하면, \\[ \\ln L(\\lambda ; x)=-n \\lambda+\\left(x_{1}+x_{2}+\\cdots+x_{n}\\right) \\ln \\lambda-\\ln \\left(x_{1} ! x_{2} ! \\cdots x_{n} !\\right) \\] 이고, 로그우도방정식은 \\[ \\begin{aligned} \\frac{d}{d \\lambda} \\ln L(\\theta ; x) &=-n+\\frac{x_{1}+}{n} \\\\ &=\\frac{n}{\\lambda}(\\bar{x}-\\lambda) \\\\ &=0 \\end{aligned} \\] 이다. 이 로그우도방정식을 풀면 \\[ \\lambda=\\bar{x} \\] 이다. 따라서 \\( \\lambda>", "0 \\) 이면, \\( \\lambda=\\bar{x} \\) 이다.", "다시 말하면, \\( \\bar{x} \\) 가 \\( \\lambda \\) 의 최우추정값이고, \\[ \\hat{\\theta}\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right)=\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} X_{i}=\\bar{X} \\] 는 즉, 표본평균은 \\( \\lambda \\) 의 최우추정량이다.", "□</p><p>문제 \\(2\\) 모집단분포가 이항분포 \\( X_{i} \\sim \\operatorname{BIN}(m, p) \\) 즉, \\[ f(x ; p)=\\left(\\begin{array}{c} m \\\\ x \\end{array}\\right) p^{x}(1-p)^{m-x}, x=0,1,2, \\cdots, m, 0<p<1 \\] 일 때, 모비율(성공확률) \\( p \\) 의 MLE를 구하여라.", "(단, \\( m \\) 은 이미 알고 있다.)", "</p><p>해답 확률표본 \\( \\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\) 관찰값을 \\( \\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\) 이라 하면, 우도함수는 \\[ \\begin{aligned} L(p ; x) &=\\prod_{i=1}^{n} f\\left(x_{i} ; p\\right) \\\\ &=\\prod_{i=1}^{n}\\left(\\begin{array}{l} m \\\\ x_{i} \\end{array}\\right) p_{i}^{x}(1-p)^{n-x_{i}} \\\\ &=\\left(\\begin{array}{c} m \\\\ x_{1} \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{l} m \\\\ x_{2} \\end{array}\\right) \\cdots\\left(\\begin{array}{l} m \\\\ x_{2} \\end{array}\\right) p^{x_{1}+x_{2}+\\cdots+x_{n}}(1-p)^{n m-\\left(x_{1}+x_{2}+\\cdots+x_{n}\\right)} \\end{aligned} \\] 이므로, 양변에 자연대수를 취하면, \\[ \\begin{array}{c} \\ln L(p ; x)=\\ln \\left(\\begin{array}{c} n \\\\ x_{1} \\end{array}\\right)+\\ln \\left(\\begin{array}{c} n \\\\ x_{2} \\end{array}\\right)+\\cdots+\\ln \\left(\\begin{array}{c} m \\\\ x_{n} \\end{array}\\right)+\\left(x_{1}+x_{2}+\\cdots+x_{n}\\right) \\ln p \\\\ +\\left\\{n m-\\left(x_{1}+x_{2}+\\cdots+x_{n}\\right)\\right\\} \\ln (1-p) \\end{array} \\] 이고, 로그우도방정식은 \\[ \\begin{aligned} \\frac{d}{d p} \\ln L(p ; x) &=\\frac{x_{1}+x_{2}+\\cdots+x_{n}}{p}-\\frac{n m-\\left(x_{1}+x_{2}+\\cdots+x_{n}\\right)}{1-p} \\\\ &=n\\left(\\frac{\\bar{x}}{p}-\\frac{m-\\bar{x}}{(1-p)}\\right) \\\\ &=\\frac{n(\\bar{x}-m p)}{p(1-p)} \\\\ &=0 \\end{aligned} \\] 이다.", "이 로그우도방정식을 풀면 \\[ \\bar{x}=m p, \\quad 0<p<1 \\] 이다.", "따라서, \\( p=\\frac{x}{m} \\) 일 때, \\( L(p ; x) \\) 는 최대가 되므로 \\( p \\) 의 최우추정량은 \\[ \\hat{\\theta}\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right)=\\hat{p}=\\frac{\\bar{X}}{m} \\] 이다.", "□</p><p>위의 [정의 \\(5.4\\)]는 일반적으로 미지의 모수를 \\(2\\) 개 이상 갖는 확률표본의 경우로 자연스럽게 확장하여 최우추정량을 구할 수가 있다.", "</p> <p>Cramér-Rao 부등식의 유도과정을 자세하게 살펴보면 분산이 CRLB와 같아지는 추정량의 형태에 대한 정보를 얻을 수 있다.", "Cauchy-Schwarz 부등식에서 등호는 상관계수 \\( \\rho\\left(\\hat{\\theta}, \\hat{\\theta}^{}\\right)=\\pm 1 \\) 일 때 성립하므로 이것은 \\( \\hat{\\theta} \\) 와 \\( \\hat{\\theta}^{} \\) 사이에 선형관계 \\( \\hat{\\theta}=a \\hat{\\theta}^{}+b \\) \\( (a \\neq 0, b \\in \\mathbb{R}) \\) 가 성립해야 한다.", "따라서 \\( \\hat{\\theta} \\) 의 분산이 \\( \\tau(\\theta) \\) 에 대한 CRLB와 일치하려면 \\( \\hat{\\theta} \\) 는 \\( \\hat{\\theta}^{} \\) 의 선형식이어야 한다.", "이 사실에 근거하여 \\[ \\frac{\\partial}{\\partial \\theta} \\ln \\prod_{i=1}^{n} f\\left(x_{i} ; \\theta\\right)=\\kappa(\\theta, n)\\{\\varphi(x)-\\tau(\\theta)\\} \\] 를 만족하는 \\( \\kappa(\\theta, n) \\) 이 존재하면, \\[ E\\left(\\hat{\\theta}^{* 2}\\right)=E\\left[\\{\\kappa(\\theta, n)(\\varphi(\\boldsymbol{X})-\\tau(\\theta))\\}^{2}\\right]=\\{\\kappa(\\theta, n)\\}^{2} \\operatorname{Var}(\\hat{\\theta}) \\] 이고 \\[ S=B \\] 이므로 \\[ \\text { CRLB }=\\frac{\\left\\{\\tau^{\\prime}(\\theta)\\right\\}^{2}}{E\\left(\\hat{\\theta}^{* 2}\\right)}=\\frac{\\{\\kappa(\\theta, n)\\}^{2}\\{\\operatorname{Var}(\\hat{\\theta})\\}^{2}}{\\{\\kappa(\\theta, n)\\}^{2}\\{\\operatorname{Var}(\\hat{\\theta})\\}}=\\operatorname{Var}(\\hat{\\theta}) \\] 가 되어 \\( \\hat{\\theta}=\\varphi(\\boldsymbol{X}) \\) 는 \\( \\tau(\\theta) \\) 에 대한 UMVUE이다.", "</p><p>문제 \\(8\\) \\(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\) 을 기하분포 \\( \\mathrm{GEO}(\\theta) \\) 로부터 추출한 크기 \\( n \\) 인 확률표본이라 할 때, \\( \\tau(\\theta)=\\frac{1}{\\theta} \\) 의 UMVUE를 구하여라.", "</p><p>해답 먼저 \\( \\ln f(x ; \\theta)=\\ln \\theta+(x-1) \\ln (1-\\theta) \\) 를 \\( \\theta \\) 에 관해 편미분하면 \\[ \\begin{aligned} \\frac{\\partial}{\\partial \\theta} \\ln f(x ; \\theta) &=\\frac{1}{\\theta}-\\frac{x-1}{1-\\theta} \\\\ &=\\frac{x-\\frac{1}{\\theta}}{\\theta-1} \\end{aligned} \\] 이므로 불편추정량 \\( \\hat{\\theta} \\) 의 분산이 CRLB와 일치하려면 \\( \\hat{\\theta} \\) 는 \\[ \\hat{\\theta}=a\\left(\\frac{1}{\\theta-1} \\sum_{i=1}^{n}\\left(X_{i}-\\frac{1}{\\theta}\\right)\\right)+b, \\quad(a \\neq 0, b \\in \\mathbb{R}) \\] 의 형태가 되어야 한다.", "즉, 이 식을 \\( \\hat{\\theta}=c \\bar{X}+d(c \\neq 0, d \\in \\mathbb{R}) \\) 의 선형식으로 나타내야 한다.", "그런데 \\( \\bar{X} \\) 가 \\( \\tau(\\theta)=\\frac{1}{\\theta} \\) 에 대한 불편추정량이므로 \\( c=1, d=0 \\) 이라는 것을 알 수 있다.", "이로부터 \\( \\hat{\\theta}=\\bar{X} \\) 가 선형식으로 표현되는 유일한 추정량은 그 분산이 CRLB와 일치하는 UMVUE이다.", "실제로 구하면, \\[ \\begin{aligned} \\sum_{i=1}^{n} \\frac{\\partial}{\\partial \\theta} \\ln f\\left(X_{i} ; \\theta\\right) &=\\frac{1}{\\theta-1} \\sum_{i=1}^{n}\\left(X_{i}-\\frac{1}{\\theta}\\right) \\\\ &=\\frac{n}{\\theta-1}\\left(\\bar{X}-\\frac{1}{\\theta}\\right) \\end{aligned} \\] 이므로 \\( \\hat{\\theta}=\\hat{X} \\) 가 \\( \\tau(\\theta)=\\frac{1}{\\theta} \\) 의 UMVUE이고 \\[ \\begin{aligned} E\\left[\\left\\{\\frac{\\partial}{\\partial \\theta} \\ln f(X ; \\theta)\\right\\}^{2}\\right] &=E\\left[\\frac{1}{(1-\\theta)^{2}}\\left\\{X-\\frac{1}{\\theta}\\right\\}^{2}\\right] \\\\ &=\\frac{\\operatorname{Var}(X)}{(1-\\theta)^{2}} \\\\ &=\\frac{1}{(1-\\theta) \\theta^{2}} \\end{aligned} \\] 과 \\( \\tau^{\\prime}(\\theta)=-\\frac{1}{\\theta^{2}} \\) 로부터 CRLB는 \\[ \\mathrm{CRLB}=\\frac{\\left(-\\theta^{-2}\\right)^{2}}{n \\theta^{-2}(1-\\theta)^{-1}}=\\frac{1-\\theta}{n \\theta^{2}}=\\operatorname{Var}(\\bar{X}) \\] 이다.", "□</p><p>Cramér-Rao 부등식에 의하면 추정하려는 모수의 함수에 대한 모든 불편추정량들의 분산에 대하여 그 하한이 주어지므로 어떤 통계적 추론에서 분산이 CRLB와 겅의 일치하는 불편추정량이 이용될 수 있다면 그 추정량은 종은 추정량이 된다.", "따라서 어떤 추정량의 분산과 CRLB를 비교함으로서 주어진 불편추정량을 평가할 수 있다.", "이제 크기 \\( n \\) 인 확률표본에 의한 어떤 불편추정량 \\( \\hat{\\theta}_{n} \\) 의 유효도를 \\[ \\operatorname{eff}\\left(\\hat{\\theta}_{n}\\right)=\\frac{\\text { CRLB }}{\\operatorname{Var}\\left(\\hat{\\theta}_{n}\\right)} \\]<caption>(5.16)</caption>로 정의한다.", "여기서 정의한 \\( \\operatorname{eff}\\left(\\hat{\\theta}_{n}\\right) \\) 을 불편추정량 \\( \\hat{\\theta}_{n} \\) 이 의미가 있는 추정량인가를 판단하는 기준으로 사용하는 경우가 많다.", "이 경우, 점근불편추정량 \\( \\hat{\\theta}_{n} \\) 에 대한 점근유효도는 \\[ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\operatorname{eff}\\left(\\hat{\\theta}_{n}\\right)=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\text { CRLB }}{\\operatorname{Var}\\left(\\hat{\\theta}_{n}\\right)} \\]<caption>(5.17)</caption>이다.", "</p><p>문제 \\( 9\\) \\(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\) 을 모평균 \\( \\mu \\) 가 알려진 정규분포 \\( N(\\mu, \\theta) \\) 로부터 추출한 크기 \\( n \\) 인 확률표본이라 할 때, 표본분산 \\( S^{2} \\) 은 모수 \\( \\theta \\) 의 불편추정량이다.", "표본분산 \\( S^{2} \\) 의 유효도를 구하여라.", "</p><p>해답 \\( \\ln f(x ; \\theta)=-\\frac{1}{2}(\\ln \\pi+\\ln \\theta)-\\frac{1}{2 \\theta}(x-\\mu)^{2} \\) 이므로 \\[ \\begin{aligned} \\frac{\\partial}{\\partial \\theta} \\ln f(x ; \\theta) &=-\\frac{1}{2 \\theta}+\\frac{1}{2 \\theta^{2}}(x-\\mu)^{2}, \\\\ \\frac{\\partial^{2}}{\\partial \\theta^{2}} \\ln f(x ; \\theta) &=\\frac{1}{2 \\theta^{2}}-\\frac{1}{\\theta^{3}}(x-\\mu)^{2} \\end{aligned} \\] 이고 \\[ \\begin{aligned} -E\\left(\\frac{\\partial^{2}}{\\partial \\theta^{2}} \\ln f(x ; \\theta)\\right) &=-\\frac{1}{2 \\theta^{2}}+\\frac{1}{\\theta^{3}} \\operatorname{Var}(X) \\\\ &=\\frac{1}{2 \\theta^{2}} \\end{aligned} \\] 이다. \\", "( \\tau(\\theta)=\\theta \\) 이면 \\( \\tau^{\\prime}(\\theta)=1 \\) 이므로 \\( \\tau(\\theta)=\\theta \\) 에 대한 CRLB는 \\[ \\text { CRLB }=\\frac{1}{n\\left(\\frac{1}{2 \\theta^{2}}\\right)}=\\frac{2 \\theta^{2}}{n} \\] 이다.", "또한 \\( \\frac{(n-1) S^{2}}{\\theta} \\sim \\chi^{2}(n-1) \\) 이므로 \\[ \\operatorname{Var}\\left(\\frac{(n-1) S^{2}}{\\theta}\\right)=2(n-1) \\] 이다.", "따라서 \\( S^{2} \\) 의 분산은 \\( \\frac{2 \\theta^{2}}{n-1} \\) 이다.", "이로부터 표본분산 \\( S^{2} \\) 의 유효도는 \\[ \\operatorname{eff}\\left(S^{2}\\right)=\\frac{2 \\theta^{2} / n}{2 \\theta^{2} /(n-1)}=\\frac{n-1}{n} \\] 이다, 이 경우, \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{n-1}{n}=1 \\) 이므로 \\( \\theta \\) 의 불편추정량 \\( S^{2} \\) 은 점근적으로 유효하다.", "□</p> <h2>Ⅳ. 두 이항모집단의 모비율의 구간추정</h2><p>두 개의 이항모집단에서 두 모비율의 차에 대한 구간추정을 생각해 보자.", "이항모집단 \\( A \\) 의 모비율을 \\( p_{1} \\) 이라하고 이 모집단에서 추출한 표본의 수를 \\( n_{1} \\), 불량품의 수를 \\( x_{1} \\) 이라 하면 표본비율은 \\( \\hat{p}_{1}=\\frac{x_{1}}{n_{1}} \\) 이다.", "또한, 다른 이항모집단 \\( B \\) 의 모비율을 \\( p_{2} \\) 이라하고 이 모집단에서 추출한 표본의 수를 \\( n_{2} \\), 불량품의 수를 \\( x_{2} \\) 라 하면 표본비율은 \\( \\hat{p}_{2}=\\frac{x_{2}}{n_{2}} \\) 이다.", "여기서, 표본의 수 \\( n_{1} \\) 과 \\( n_{2} \\) 가 충분히 크고, 두 이항모집단이 서로 독립일 경우, 두 모비율의 차 \\( p_{1}-p_{2} \\) 의 신뢰구간을 구하여 보자.", "표본비율 \\( \\hat{p}_{1}-\\hat{p}_{2} \\) 의 평균은 \\[ E\\left(\\hat{p}_{1}-\\hat{p}_{2}\\right)=p_{1}-p_{2} \\] 이고 분산은 \\[ \\begin{aligned} \\operatorname{Var}\\left(\\hat{p}_{1}-\\hat{p}_{2}\\right) &=\\operatorname{Var}\\left(\\hat{p}_{1}\\right)+\\operatorname{Var}\\left(\\hat{p}_{2}\\right) \\\\ &=\\frac{p_{1}\\left(1-p_{1}\\right)}{n_{1}}+\\frac{p_{2}\\left(1-p_{2}\\right)}{n_{2}} \\end{aligned} \\] 이다.", "앞의 경우처럼 다음 통계량은 \\[ Z=\\frac{\\left(\\hat{p}_{1}-\\hat{p}_{2}\\right)-\\left(p_{1}-p_{2}\\right)}{\\sqrt{\\frac{p_{1}\\left(1-p_{1}\\right)}{n_{1}}+\\frac{p_{2}\\left(1-p_{2}\\right)}{n_{2}}}} \\sim N(0,1) \\] 이다.", "이제, \\( P\\left\\{-z_{\\alpha / 2}<Z<z_{\\alpha / 2}\\right\\}=1-\\alpha \\) 인 한계값 \\( z_{\\alpha / 2} \\) 를 정하면 \\[ P\\left\\{-z_{\\alpha / 2}<\\frac{\\left(\\hat{p}_{1}-\\hat{p}_{2}\\right)-\\left(p_{1}-p_{2}\\right)}{\\sqrt{\\frac{p_{1}\\left(1-p_{1}\\right)}{n_{1}}+\\frac{p_{2}\\left(1-p_{2}\\right)}{n_{2}}}}<z_{\\alpha / 2}\\right\\}=1-\\alpha \\] 이다.", "정리하면 \\[ \\begin{array}{c} P\\left\\{\\left(\\hat{p}_{1}-\\hat{p}_{2}\\right)-z_{\\alpha / 2} \\sqrt{\\frac{p_{1}\\left(1-p_{1}\\right)}{n_{1}}+\\frac{p_{2}\\left(1-p_{2}\\right)}{n_{2}}}<p_{1}-p_{2}<\\right. \\\\ \\", "left.\\", "left(\\hat{p}_{1}-\\hat{p}_{2}\\right)+z_{\\alpha / 2} \\sqrt{\\frac{p_{1}\\left(1-p_{1}\\right)}{n_{1}}+\\frac{p_{2}\\left(1-p_{2}\\right)}{n_{2}}}\\right\\}=1-\\alpha \\end{array} \\] 이고 여기서 \\( p_{1} \\) 과 \\( p_{2} \\) 대신 각각 표본비율 \\( \\hat{p}_{1} \\) 과 \\( \\hat{p}_{2} \\) 로 교환하면, \\[ P\\left\\{\\left(\\hat{p}_{1}-\\hat{p}_{2}\\right)-z_{\\alpha / 2} \\sqrt{\\frac{\\hat{p}_{1}\\left(1-\\hat{p}_{1}\\right)}{n_{1}}+\\frac{\\hat{p}_{2}\\left(1-\\hat{p}_{2}\\right)}{n_{2}}}<p_{1}-p_{2}<\\right. \\] \\", "[ \\left.\\left(\\hat{p}_{1}-\\hat{p}_{2}\\right)+z_{\\alpha / 2} \\sqrt{\\frac{\\hat{p}_{1}\\left(1-\\hat{p}_{1}\\right)}{n_{1}}+\\frac{\\hat{p}_{2}\\left(1-\\hat{p}_{2}\\right)}{n_{2}}}\\right\\}=1-\\alpha \\] 이다.", "따라서, 두 이항모집단의 모비율의 차 \\( p_{1}-p_{2} \\) 의 \\( 100(1-\\alpha) \\% \\) 의 신뢰한계는 \\[ \\left(\\hat{p}_{1}-\\hat{p}_{2}\\right) \\pm z_{\\alpha / 2} \\sqrt{\\frac{\\hat{p}_{1}\\left(1-\\hat{p}_{1}\\right)}{n_{1}}+\\frac{\\hat{p}_{2}\\left(1-\\hat{p}_{2}\\right)}{n_{2}}} \\] 이다.", "</p><p>참고로 비율을 추정함에 있어서 모비율과 표본비율의 차는 \\[ \|p-\\hat{p}\|=z_{\\alpha / 2} \\sqrt{\\frac{\\hat{p}(1-\\hat{p})}{n}} \\] 이므로 오차가 \\( c \\) 이하인 표본수의 결정은 다음식 \\[ z_{\\alpha / 2} \\sqrt{\\frac{\\hat{p}(1-\\hat{p}}{n}} \\leqslant c \\] 을 풀어서 상수 \\( n \\) 을 구하면 된다.", "</p><h2>Ⅴ. 정규모집단에서 모평균을 모를 경우 모분산의 구간추정</h2><p>모집단이 정규분포 \\( N\\left(\\mu, \\sigma^{2}\\right) \\) 에 따르지만, 모평균 \\( \\mu \\) 는 모른다고 하자.", "이 정규모집단으로부터 크기 \\( n \\) 인 확률표본을 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\) 이라 하고, 표본평균을 \\( \\bar{X}= \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} X_{i} \\), 표본분산을 \\( S^{2}=\\frac{1}{n-1} \\sum_{i=1}^{n}\\left(X_{i}-\\bar{X}\\right)^{2} \\) 이라 하자.", "이때, 통계량 \\[ \\frac{1}{\\sigma^{2}} \\sum_{i=1}^{n}\\left(X_{i}-\\bar{X}\\right)^{2}=\\frac{(n-1) S^{2}}{\\sigma^{2}} \\] 는 자유도 \\( n-1 \\) 을 갖는 \\( \\chi^{2} \\) 분포에 따른다.", "여기서, 자유도 \\( n-1 \\) 을 갖는 \\( \\chi^{2} \\) 분포의 확률밀도함수를 \\( f_{n-1}(x) \\) 라고 하면 신뢰계수 \\( 1-\\alpha \\) 에 대하여, \\[ \\begin{aligned} \\int_{a}^{+\\infty} f_{n-1}(x) d x &=1-\\frac{\\alpha}{2} \\\\ \\int_{b}^{+\\infty} f_{n-1}(x) d x &=\\frac{\\alpha}{2} \\end{aligned} \\] 로부터 상수 \\( a \\) 와 \\( b \\) 를 정하면, \\[ \\begin{aligned} a &=\\chi_{1-\\frac{\\alpha}{2}}^{2}(n-1) \\\\ b &=\\chi_{\\frac{\\alpha}{2}}^{2}(n-1) \\end{aligned} \\] 이다.", "따라서, \\[ \\begin{array}{l} P\\left\\{\\chi_{1-\\frac{\\alpha}{2}}^{2}(n-1)<\\frac{(n-1) S^{2}}{\\sigma^{2}}<\\chi_{\\frac{\\alpha}{2}}^{2}(n-1)\\right\\} \\\\ =\\int_{a}^{b} f_{n-1}(x) d x \\\\ =\\int_{a}^{+\\infty} f_{n-1}(x) d x-\\int_{b}^{+\\infty} f_{n-1}(x) d x \\\\ =\\left(1-\\frac{\\alpha}{2}\\right)-\\frac{\\alpha}{2} \\\\ =1-\\alpha \\end{array} \\] 이므로 \\[ P\\left\\{\\frac{(n-1) S^{2}}{\\chi_{\\frac{\\alpha}{2}}^{2}(n-1)}<\\sigma^{2}<\\frac{(n-1) S^{2}}{\\chi_{1-\\frac{\\alpha}{2}}^{2}(n-1)}\\right\\}=1-\\alpha \\] 이다.", "이로부터, 확률표본의 관찰값 \\( X_{1}=x_{1}, X_{2}=x_{2}, \\cdots, X_{n}=x_{n} \\) 이 주어지면 모평균 \\( \\mu \\) 를 모를 때, 모분산 \\( \\sigma^{2} \\) 의 신뢰도 \\( 100(1-\\alpha) \\% \\) 의 신뢰구간은 다음과 같다. \\", "[ \\left(\\frac{(n-1) s^{2}}{\\chi_{\\frac{\\alpha}{2}}^{2}(n-1)}, \\frac{(n-1) s^{2}}{\\chi_{1-\\frac{\\alpha}{2}}^{2}(n-1)}\\right) \\]</p><h2>Ⅵ. 정규모집단에서 모평균을 알 경우 모분산의 구간추정</h2><p>모집단이 정규분포 \\( N\\left(\\mu, \\sigma^{2}\\right) \\) 에 따르고, 모평균 \\( \\mu \\) 가 알려져 있다고 하자.", "이 정규모집단으로부터 크기 \\( n \\) 인 확률표본을 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\) 이라 하고, 표본평균을 \\( \\bar{X}= \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} X_{i} \\), 표본분산을 \\( S^{2}=\\frac{1}{n-1} \\sum_{i=1}^{n}\\left(X_{i}-\\bar{X}\\right)^{2} \\) 이라 하자.", "가정에 의해서 모평균이 이미 주어져 있으므로 표본평균 대신 모평균 \\( \\mu \\) 를 사용할 수가 있다.", "그러므로 표본분산은 \\( S^{2}=\\frac{1}{n-1} \\sum_{i=1}^{n}\\left(X_{i}-\\mu\\right)^{2} \\) 이 되고 이 경우, \\[ \\frac{(n-1) S^{2}}{\\sigma^{2}}=\\frac{1}{\\sigma^{2}} \\sum_{i=1}^{n}\\left(X_{i}-\\mu\\right)^{2} \\sim \\chi^{2}(n) \\] 이다.", "앞의 경우와 마찬가지로, 자유도 \\( n \\) 을 갖는 \\( \\chi^{2} \\) 분포의 확률밀도함수를 \\( f_{n}(x) \\) 라고 하면 신뢰계수 \\( 1-\\alpha \\) 에 대하여, \\[ \\begin{aligned} \\int_{a}^{+\\infty} f_{n}(x) d x &=1-\\frac{\\alpha}{2} \\\\ \\int_{b}^{+\\infty} f_{n}(x) d x &=\\frac{\\alpha}{2} \\end{aligned} \\] 로부터 상수 \\( a \\) 와 \\( b \\) 를 정하면, \\[ \\begin{aligned} a &=\\chi_{1-\\frac{\\alpha}{2}}^{2}(n) \\\\ b &=\\chi_{\\frac{\\alpha}{2}}^{2}(n) \\end{aligned} \\] 이다.", "따라서 \\[ \\begin{aligned} P\\left\\{\\chi_{1-\\frac{\\alpha}{2}}^{2}\\right.&\\", "left.", "(n)<\\frac{(n-1) S^{2}}{\\sigma^{2}}<\\chi_{\\frac{\\alpha}{2}}^{2}(n)\\right\\} \\\\ &=\\int_{a}^{b} f_{n}(x) d x \\\\ &=\\int_{a}^{+\\infty} f_{n}(x) d x-\\int_{b}^{+\\infty} f_{n}(x) d x \\\\ &=\\left(1-\\frac{\\alpha}{2}\\right)-\\frac{\\alpha}{2} \\\\ &=1-\\alpha \\end{aligned} \\] 이므로 \\[ P\\left\\{\\frac{(n-1) S^{2}}{\\chi_{\\frac{\\alpha}{2}}^{2}(n)}<\\sigma^{2}<\\frac{(n-1) S^{2}}{\\chi_{1-\\frac{\\alpha}{2}}^{2}(n)}\\right\\}=1-\\alpha \\] 이다.", "이로부터, 확률표본의 관찰값 \\( X_{1}=x_{1}, X_{2}=x_{2}, \\cdots, X_{n}=x_{n} \\) 이 주어지면 모 평균 \\( \\mu \\) 를 알 때, 모분산 \\( \\sigma^{2} \\) 의 신뢰도 \\( 100(1-\\alpha) \\% \\) 의 신뢰구간은 다음과 같다. \\", "[ \\left(\\frac{(n-1) s^{2}}{\\chi_{\\frac{\\alpha}{2}}^{2}(n)}, \\frac{(n-1) s^{2}}{\\chi_{1-\\frac{\\alpha}{2}}^{2}(n)}\\right) . \\]", "</p> <p>UMVUE를 구하는 과정에서 조건부기댓값 \\( E\\{T \\mid Y\\} \\) 를 계산할 때 다음 Basu의 정리는 대단히 유용하다.", "</p><p>정리 \\( 5.13 \\) (Basu의 정리) \\( \\boldsymbol{X}=\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\) 의 결합확률밀도함수를 \\( f(x ; \\theta)(\\theta \\in \\Theta) \\) 라 할 때, 임의의 통계량 \\( \\boldsymbol{T} \\) 가 모수 \\( \\theta \\) 와 무관하고, \\( \\boldsymbol{Y}=\\left(Y_{1}, Y_{2}, \\cdots, Y_{n}\\right) \\) 이 \\( \\theta \\) 에 대한 결합완비충분통계량이면, 두 통계량 \\( Y \\) 와 \\( T \\) 는 서로 독립이다.", "</p><p>증명 이산형의 경우만 증명한다. \\", "( T \\) 의 확률질량함수 \\( f_{T}(t) \\) 는 모수 \\( \\theta \\in \\Theta \\) 와 무관하므로, \\( Y=y \\) 가 주어졌을 때, \\( T \\) 의 조건부확률질량함수 \\( f_{T \\mid Y}(t \\mid y) \\) 는 \\( Y \\) 가 충분통계량이므로 \\( \\theta \\) 와 무관하다.", "따라서 \\[ \\begin{aligned} f_{T}(\\boldsymbol{t}) &=\\sum_{y} f_{T \\mid Y}(\\boldsymbol{t}, \\boldsymbol{y} ; \\theta) \\\\ &=\\sum_{y} f_{T \\mid Y}(\\boldsymbol{t} \\mid \\boldsymbol{y}) f_{Y}(\\boldsymbol{y} ; \\theta) \\end{aligned} \\] 이므로 모든 \\( \\theta \\in \\Theta \\) 에 대하여 \\[ \\begin{aligned} \\sum_{y}\\left[f_{T}(\\boldsymbol{t})-f_{T \\mid Y}(\\boldsymbol{t} \\mid \\boldsymbol{y})\\right] f_{Y}(\\boldsymbol{y} ; \\theta) & \\equiv E_{Y}\\left\\{f_{T}(\\boldsymbol{t})-f_{T \\mid Y}(\\boldsymbol{t} \\mid \\boldsymbol{Y})\\right\\} \\\\ & \\equiv 0 \\end{aligned} \\] 이다.", "그런데 \\( Y \\) 가 완비충분통계량이므로 \\[ f_{Y}(\\boldsymbol{t})=f_{T \\mid Y}(t \\mid Y)=0 \\] 을 만족해야 한다.", "따라서 \\( f_{T}(t)=f_{T \\mid Y}(t \\mid y) \\) 이므로 \\( Y \\) 와 \\( T \\) 는 서로 독립이다.", "■</p><p>문제 \\( 4\\) \\(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\) 을 정규분포 \\( N\\left(\\mu, \\sigma^{2}\\right) \\) 에 따르는 크기 \\( n \\) 인 확률표본이라 할 때, 표본평균 \\( \\bar{X} \\) 와 표본분산 \\( S^{2} \\) 은 서로 독립임을 보여라.", "</p><p>해답 표본평균 \\( \\bar{X} \\) 는 고정된 모분산 \\( \\sigma^{2} \\) 에 대하여 모평균 \\( \\mu \\) 에 대한 완비충분통계량이고 표본분산 \\( S^{2} \\) 의 분포는 \\( \\frac{(n-1) S^{2}}{\\sigma^{2}} \\sim \\chi^{2}(n-1) \\) 이므로 \\( S^{2} \\) 의 분포는 \\( \\mu \\) 와는 무관하다.", "따라서 \\( \\mathrm{Basu} \\) 의 정리에 의하여 \\( \\bar{X} \\) 와 \\( S^{2} \\) 은 서로 독립이다.", "□</p><h1>5.7 구간추정</h1><p>지금까지 미지의 모수 \\( \\theta \\) 또는 \\( \\theta \\) 의 함수인 \\( \\tau(\\theta) \\) 를 추정하는 여러가지 점추정법에 대하여 알아 보았다.", "그러나 실제로는 모집단으로부터 크기 \\( n \\) 인 확률표본을 추출하여 얻은 추정값 \\( \\hat{\\theta} \\) 이 실제로 모수 \\( \\theta \\) 와 완전히 일치할 확률은 0 즉, \\( P\\{\\hat{\\theta}=\\theta\\}=0 \\) 이므로 정도가 표시되기 않은 추정값은 의미가 없다.", "따라서 점추정값은 추정값의 오차에 대한 측도와 함께 제시되어야 한다.", "다시 말하면, 모수 \\( \\theta \\) 를 추정값 \\( \\hat{\\theta} \\) 에 일치시키는 방법보다는 추정값에 얼마나 근접해 있다고 기대할 수 있는지를 밝히는 것이 더 좋은 추정방법이다.", "즉, 추정량 \\( \\hat{\\theta} \\) 에 의하여 모수 \\( \\theta \\) 를 포함될 어뗜 구간 \\( (l(\\hat{\\theta}), u(\\hat{\\theta})) \\) 를 결정함으로서 모수를 추정하는 방법을 구간추정(interval estimation)이라 한다.", "이 절에서는 확률밀도함수 \\( f(x ; \\theta) \\) 를 갖는 분포로부터 추출한 크기 \\( n \\) 인 확률표본을 \\( X_{1}, X_{2} \\), \\( \\cdots, X_{n} \\) 이라 할 때, 모수 \\( \\theta \\) 의 실수치함수인 \\( \\tau(\\theta) \\) 에 대한 구간추정 문제에 대하여 생각해 본다.", "</p><p>정의 \\( 5.18 \\) 확률밀도함수 \\( f(x ; \\theta) \\) 를 갖는 모집단으로부터 추출한 확률표본을 \\( X_{1} \\), \\( X_{2}, \\cdots, X_{n} \\) 이라 하자.", "이때 임의의 두 통계량 \\( L=l\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\) 과 \\( U= u\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\) 이 다음 조건<ol type=1 start=1><li>\\( L \\leqslant U \\) 이고</li><li>\\( P\\{L<\\tau(\\theta)<U\\}=\\gamma \\)</li></ol>를 만족하면, \\( (L, U) \\) 를 \\( \\tau(\\theta) \\) 에 대한 \\( 100 \\gamma \\% \\) 신뢰구간이라 한다.", "또한 \\( \\gamma \\) 를 신뢰계수(confidence coefficient) 또는 신뢰수준(confidence level)이라 하고, \\( L \\) 과 \\( U \\) 를 각각 \\( \\tau(\\theta) \\) 에 대한 신뢰하한(lower confidence limit), 신뢰계상한(upper confidence limit)한다.", "여기서 \\( \\gamma \\) 는 모수 \\( \\theta \\) 에 종속되어 있지 않으며, \\( L \\) 과 \\( U \\) 는 상수일 경우도 있다.", "</p><p>모수 \\( \\tau(\\theta) \\) 에 대한 신뢰구간 \\( (L, U) \\) 가 구해지면 이 구간은 확률구간이다.", "따라서 두 통계량 \\( L=l\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\) 과 \\( U=u\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\) 에 확률표본의 한 관찰값 \\( X_{1}=x_{1}, X_{2}=x_{2}, \\cdots, X_{n}=x_{n} \\) 이 주어지면, \\( (L, U) \\) 의 실구간(real interval) \\( (l, u) \\) 또한 모수 \\( \\tau(\\theta) \\) 에 대한 \\( 100 \\gamma \\% \\) 신뢰구간이 된다.", "신뢰계수 \\( \\gamma \\) 의 값으로 보통 \\( \\gamma=0.05 \\) 또는 \\( 0.01 \\) 을 많이 사용한다.", "예를 들면, 모집단이 미지의 모수 \\( \\tau(\\theta) \\) 에 대하여 어떤 통계량 \\( \\varphi\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} ; \\theta\\right) \\) 를 결정한다고 하자.", "이 경우, 통계량 \\( \\varphi\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} ; \\theta\\right) \\) 는 모수 \\( \\theta \\) 를 포함하고 있으나 이 통계량의 분포는 모수 \\( \\theta \\) 와는 전혀 관계가 없다.", "이제 \\( a \\) 와 \\( b \\) 를 임의의 실수라 하면, \\[ P\\left\\{a<\\varphi\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right)<b\\right\\}=0.95 \\text { 또는 } 0.99 \\] 와 같이 만들고, 이 식을 \\( \\tau(\\theta) \\) 에 관해 풀어서 \\[ P\\{l<\\tau(\\theta)<u\\}=0.95 \\quad \\text { 또는 } 0.99 \\] 가 성립하면 구간 \\( (l, u) \\) 는 모수 \\( \\tau(\\theta) \\) 의 \\( 95 \\%( \\) 또는 \\( 99 \\%) \\) 신뢰구간이 된다.", "</p> <h1>5.6 추정량의 완비성</h1><p>충분통계량은 UMVUE를 구할 때 아주 유용한 개념이다.", "이러한 충분통계량의 유용성은 충분통계량의 함수로 표시되는 불편추정량의 분산이 어떤 다른 불편추정량의 분산보다 작다는 점이다.", "</p><p>\\( \\boldsymbol{X}=\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\) 을 확률밀도함수 \\( f(x ; \\theta) \\) 를 갖는 분포로부터 추출한 확률표본이라 하고, \\( T=t(\\boldsymbol{X}) \\) 를 \\( \\tau(\\theta) \\) 에 대한 임의의 불편추정량, \\( \\boldsymbol{Y}=u(\\boldsymbol{X}) \\) 를 모수 \\( \\theta \\) 에 대한 충분통계량이라고 하면, \\( T \\) 보다 분산이 작고 충분통계량 \\( Y \\) 의 함수로 표시되는 \\( \\tau(\\theta) \\) 의 다른 불편추정량을 유도해 낼 수 있으며 이 경우, UMVUE를 구할 때 충분통계량의 함수로 표시되는 불편추정량 만을 고려해 볼 필요가 있다.", "이것은 다음의 Rao-Blackwell 정리와 관련이 있다.", "</p><p>정리 \\(5.11\\) (Rao-Blackwell 정리) \\( \\boldsymbol{X}=\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\) 의 결합확률밀도함수를 \\( f(x ; \\theta) \\), 모수 \\( \\theta \\) 에 대한 결합충분통계량을 \\( \\boldsymbol{Y}=\\left(Y_{1}, Y_{2}, \\cdots, Y_{n}\\right)=\\left(u_{1}(\\boldsymbol{X}), u_{2}(\\boldsymbol{X}), \\cdots, u_{n}(\\boldsymbol{X}),\\right), \\tau(\\theta \\), 에 대한 임의의 불편추정량을 \\( T=t(\\boldsymbol{X}) \\) 라 하면, 조건부기댓값 \\( T^{}=E\\{T \\mid \\boldsymbol{Y}\\} \\) 에 대하여 다음 성질0\| 성립한다.", "</p><p>\\((1)\\) \\( T^{} \\) 는 결합충분통계량 \\( Y=\\left(Y_{1}, Y_{2}, \\cdots, Y_{n}\\right) \\) 의 함수이고,</p><p>\\((2)\\) \\( T^{} \\) 는 \\( \\tau(\\theta) \\) 의 불편추정량이며,</p><p>\\((3)\\) 모든 \\( \\theta \\in \\Theta \\) 에 대하여, \\( \\operatorname{Var}\\left(T^{}\\right) \\leqslant \\operatorname{Var}(T) \\) 이다.", "단, 등호는 확률 1 로 \\( T^{} \\) 와 \\( T \\) 가 같을 경우이다.", "</p><p>증명 \\( Y=\\left(Y_{1}, Y_{2}, \\cdots, Y_{n}\\right) \\) 가 \\( \\theta \\) 에 대한 결합충분통계량이므로 \\( Y=y \\) 가 주어졌을 때 \\( T \\) 의 조건부확률밀도함수 \\( f_{T \\mid Y}(t \\mid y) \\) 에 모수 \\( \\theta \\) 가 포함되어 있지 않으므로 \\( t^{}(Y)= \\) \\( E\\{T \\mid Y\\} \\) 는 \\( \\theta \\) 에 종속되지 않는다.", "따라서, \\( T^{}=t^{}(Y)=E\\{T \\mid Y\\} \\) 는 \\( Y \\) 의 함수로 표현되는 추정량이며, \\[ E\\left(T^{}\\right)=E_{Y}\\left(T^{}\\right)=E_{Y}[E\\{T \\mid Y\\}]=E(T)=\\tau(\\theta) \\] 이므로 \\( T^{} \\) 는 \\( \\tau(\\theta) \\) 의 불편추정량이다.", "또한, \\[ \\begin{aligned} \\operatorname{Var}(T) &=\\operatorname{Var}(E\\{T \\mid \\boldsymbol{Y}\\})+E[\\operatorname{Var}(T \\mid \\boldsymbol{Y})] \\\\ & \\geqslant \\operatorname{Var}(E\\{T \\mid \\boldsymbol{Y}\\}) \\\\ &=\\operatorname{Var}\\left(T^{}\\right) \\end{aligned} \\] 이고 \\( E[\\operatorname{Var}(T \\mid \\boldsymbol{Y})]=0 \\) 이면 \\( \\operatorname{Var}\\left(T^{}\\right)=\\operatorname{Var}(T) \\) 이다.", "여기서 \\( E[\\operatorname{Var}(T \\mid \\boldsymbol{Y})]=0 \\) 이 되려면 확률 \\(1\\)로서 \\[ \\operatorname{Var}(T \\mid \\boldsymbol{Y})=E\\left[\\{T-E\\{T \\mid \\boldsymbol{Y}\\}\\}^{2} \\mid \\boldsymbol{Y}\\right]=0 \\] 이 되어야 하므로 \\( T=E\\{T \\mid \\boldsymbol{Y}\\}=T^{} \\) 가 되어야 한다.", "■</p><p>문제 \\(1\\) \\(\\boldsymbol{X}=\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\) 이 모수 \\( \\theta \\) 를 갖는 베르누이분포로부터의 확률표본이라 하자. \\", "( T=t(\\boldsymbol{X})=X_{1}, Y=\\sum_{i=1}^{n} X_{i}, \\tau(\\theta)=\\theta \\) 이면 Rao-Blackwell정리가 성립함을 보여라.", "</p><p>해답 \\( T=X_{1} \\) 은 모수 \\( \\theta \\) 에 대한 불편추정량이고, \\( Y=\\sum_{i=1}^{n} X_{i} \\) 는 모수 \\( \\theta \\) 에 대한 충분통계량이다. 이제 \\( T^{}=E\\left\\{X_{1} \\mid Y\\right\\} \\) 를 구하기 위하여 \\( Y=y \\) 가 주어졌을 때 \\( T=X_{1} \\) 에 대한 조건부확률분포를 구해보자. \\( X_{1} \\) 은 0 또는 1 의 값 만을 가질 수 있으므로 조건부확률밀도함수는 \\[ \\begin{aligned} P\\left(X_{1}=0 \\mid Y=y\\right) &=\\frac{P\\left\\{X_{1}=0, \\sum_{i=1}^{n} X_{i}=y\\right\\}}{P\\left(\\sum_{i=1}^{n} X_{i}=y\\right\\}} \\\\ &=\\frac{P\\left\\{X_{1}=0, \\sum_{i=2}^{n} X_{i}=y\\right\\}}{P\\left(\\sum_{i=1}^{n} X_{i}=y\\right\\}} \\\\ &=\\frac{P\\left\\{X_{1}=0\\right\\} P\\left\\{\\sum_{i=2}^{n} X_{i}=y\\right\\}}{P\\left\\{\\sum_{i=1}^{n} X_{i}=y\\right\\}} \\\\ &=\\frac{(1-\\theta)\\left(\\begin{array}{c} n-1 \\\\ y \\end{array}\\right) \\theta^{y}(1-\\theta)^{n-1-y}}{\\left(\\begin{array}{l} n \\\\ y \\end{array}\\right) \\theta^{y}(1-\\theta)^{n-y}} \\\\ &=\\frac{n-y}{n} \\end{aligned} \\] 이고 \\[ \\begin{aligned} P\\left(X_{1}=1 \\mid Y=y\\right) &=\\frac{P\\left\\{X_{1}=1, \\sum_{i=1}^{n} X_{i}=y\\right\\}}{P\\left(\\sum_{i=1}^{n} X_{i}=y\\right\\}} \\\\ &=\\frac{P\\left\\{X_{1}=1, \\sum_{i=2}^{n} X_{i}=y-1\\right\\}}{P\\left(\\sum_{i=1}^{n} X_{i}=y\\right\\}} \\\\ &=\\frac{\\theta\\left(\\begin{array}{l} n-1 \\\\ y-1 \\end{array}\\right) \\theta^{y-1}(1-\\theta)^{n-1-y+1}}{\\left(\\begin{array}{l} n \\\\ y \\end{array}\\right) \\theta^{y}(1-\\theta)^{n-y}} \\\\ &=\\frac{y}{n} \\end{aligned} \\] 이다. 이로부터 \\[ \\begin{aligned} t^{}(y) &=E\\left(X_{1} \\mid Y=y\\right) \\\\ &=E\\left(X_{1} \\mid \\sum_{i=1}^{n} n X_{i}=y\\right) \\\\ &=0 \\cdot \\frac{n-y}{n}+1 \\cdot \\frac{y}{n} \\\\ &=\\frac{y}{n} \\end{aligned} \\] 이므로 \\[ T^{}=E\\{T \\mid Y\\}=\\frac{Y}{n}=\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} X_{i} \\] 은 \\( \\theta \\) 의 불편추정량이고, \\( n>1 \\) 이면 \\[ \\operatorname{Var}(T)=\\operatorname{Var}\\left(X_{1}\\right)=\\theta(1-\\theta)>", "\\operatorname{Var}\\left(\\frac{Y}{n}\\right)=\\frac{\\theta(1-\\theta)}{n}=\\operatorname{Var}\\left(T^{}\\right) \\] 이므로 Rao-Blackwell 정리가 성립한다.", "□</p><p>Rao-Blackwell 정리에 의하면, 하나의 불편추정량으로부터 충분통계량의 합으로 표시되는 다른 불편추정량을 유도할 수 있으며 여기서 유도한 불편추정량의 분산은 처음에 주어진 불편추정량의 분산보다 작다는 것을 알 수 있다.", "따라서 UMVUE를 구하는 과정에서 가능한 추정량의 범위를 충분통계량의 함수로 표시되는 불편추정량들로 제한할 수 있을 것이다.", "그런데 Rao-Blackwell 정리에 의해서 \\( \\tau(\\theta) \\) 의 어떤 불편추정량 \\( T \\) 가 이미 결합충분통계량 \\( \\boldsymbol{Y} \\) 의 함수일 경우에는 \\( T^{}=E\\{T \\mid \\boldsymbol{Y}\\} \\) 와 일치하므로 분산의 감소를 기대할 수 없다.", "그러나 \\( T^{} \\) 가 \\( \\boldsymbol{Y} \\) 의 함수로 표시되는 \\( \\tau(\\theta) \\) 에 대한 단 하나의 불편추정량이라면, \\( T^{*} \\) 는 \\( \\tau(\\theta) \\) 의 UMVUE 가 될 것이다.", "이상에서 설명한 바와 같이 \\( Y \\) 의 함수로 표시되는 유일한 불편추정량임을 결정하는데에는 완비성(completeness)이 있다.", "</p><p>정의 \\( 5.17\\) \\boldsymbol{X}=\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\) 의 결합확률밀도함수를 \\( f(x ; \\theta) \\) 라 하자.", "이때 \\( \\boldsymbol{Y}=\\left(Y_{1}, Y_{2}, \\cdots, Y_{n}\\right) \\) 과 \\( u(\\boldsymbol{Y}) \\) 가 통계량이고 \\[ E\\{u(\\boldsymbol{Y})\\}=0, \\forall \\theta \\in \\Theta \\Longrightarrow P\\{u(\\boldsymbol{Y})=0\\}=1, \\forall \\theta \\in \\Theta \\] 이면, \\( \\boldsymbol{Y} \\) 의 분포족 \\( \\{g(\\boldsymbol{y} ; \\theta), \\theta \\in \\Theta\\} \\) 을 완비(complete)라고 한다.", "통계량 \\( \\boldsymbol{Y} \\) 의 분포족이 완비이면, \\( Y \\) 를 완비통계량0\|라고 말하며, 결합충분통계량 \\( Y \\) 가 완비이면 \\( Y \\) 를 결합완비충분통계량이라 한다.", "</p><p>완비성의 정의에 의하면 \\( Y \\) 가 완비통계량이라 함은 0 에 대한 불편추정량이 될 수 있는 \\( \\boldsymbol{Y} \\) 의 함수 \\( u(\\boldsymbol{Y}) \\) 는 \\(0\\) 일 수 밖에 없음을 의미하고, 서로 다른 두 \\( \\boldsymbol{Y} \\) 의 함수들에 대한 각 기댓값이 서로 같을 수 없음을 뜻한다.", "이제 다음 정리를 살펴보자.", "</p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "413", "DDC": "" }, "doc_title": { 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104	<p>단계 \( 4: \) 이 방정식을 \( t \) 에 대하여 푼다. 그러면 \[ \begin {aligned} 8(t + 2) &=40 t \\ 8 t + 16 &=40 t \\ 32 t &=16 \\ t &= \frac { 1 } { 2 } \text { 시간. } \end {aligned} \] 따라서 소나타가 최 군을 따라잡기 위하여 걸리는 시간은 \( \frac { 1 } { 2 } \) 시간이다. 이 때, 각각은 \( 20 \mathrm { ~km } \) 를 갈 것이다. 단계 \( 5: 2.5 \) 시간에, 최 군은 (2.5) (8) \( =20 \mathrm { ~km } \) 의 거리를 달린다. \( \frac { 1 } { 2 } \) 시간에 소나타는 \( \left ( \frac { 1 } { 2 } \right )(40)=20 \mathrm { ~km } \) 의 거리를 달린다. 이 절은 상수비율로 성취되는 일을 포함한다. 어떤 일이 \( t \) 단위 시각에 성취되면, 이 일의 \( \frac { 1 } { t } \) 은 1 단위 시각에 성취된다고 가정한다. 보기를 살펴보자.</p> <p>보기 5.3.7 일을 함께하기 오전 10시에 박 군은 정원의 풀을 뽑기 시작한다. 과거의 경험으로, 박 군은, 혼자 일하면, 이 일을 끝맷는데 4 시간이 소요된다. 그의 형은 이 일을 끝맺는데 6 시간이 필요하다. 그의 형은 박 군과 골프를 치러가고 싶어서 오후 1 시로 예약하였으므로, 그의 형은 박 군을 도와주려고 한다. 효율성에 득도 손실도 없다고 가정하고 둘이 함께 풀을 뽑는다면 그들은 언제 일을 끝맷을까? 그들은 골프약속을 지킬 수 있을까?</p> <p>풀이 단계 1: 박 군과 그의 형이 함께 정원의 풀을 뽑게 될 때 소요될 시간에 대한 문제다. 단계 \( 2: t \) 는 둘이 함께 정원의 풀을 뽑을 때 걸리는 시간을 나타낸다고 하자. 그러면, 함께 일하게 되면, 1 시간에 이 일의 \( \frac { 1 } { t } \) 이 완료된다. 단계 3 : 혼자서 일을 하게 될 때, 1 시간에 박 군은 이 일의 \( \frac { 1 } { 4 } \) 을 끝마치고, 그의 형은 \( \frac { 1 } { 6 } \) 을 끝마친다. 그래서 우리는 다음 표를 얻는다.</p> <table border><tbody><tr><td></td><td>일을 끝내는데 걸리는 시간</td><td>1시간에 일을 끝내는 부분</td></tr><tr><td>박 군</td><td>\(4 \)</td><td>\( \frac { 1 } { 4 } \)</td></tr><tr><td>박 군의 형</td><td>\(6 \)</td><td>\( \frac { 1 } { 6 } \)</td></tr><tr><td>함께</td><td>\( t \)</td><td>\( \frac { 1 } { t } \)</td></tr></tbody></table>	해석학	[ "<p>단계 \\( 4: \\) 이 방정식을 \\( t \\) 에 대하여 푼다.", "그러면 \\[ \\begin {aligned} 8(t + 2) &=40 t \\\\ 8 t + 16 &=40 t \\\\ 32 t &=16 \\\\ t &= \\frac { 1 } { 2 } \\text { 시간. } \\end {aligned} \\]", "따라서 소나타가 최 군을 따라잡기 위하여 걸리는 시간은 \\( \\frac { 1 } { 2 } \\) 시간이다.", "이 때, 각각은 \\( 20 \\mathrm { ~km } \\) 를 갈 것이다.", "단계 \\( 5: 2.5 \\) 시간에, 최 군은 (2.5) (8) \\( =20 \\mathrm { ~km } \\) 의 거리를 달린다. \\", "( \\frac { 1 } { 2 } \\) 시간에 소나타는 \\( \\left ( \\frac { 1 } { 2 } \\right )(40)=20 \\mathrm { ~km } \\) 의 거리를 달린다.", "이 절은 상수비율로 성취되는 일을 포함한다.", "어떤 일이 \\( t \\) 단위 시각에 성취되면, 이 일의 \\( \\frac { 1 } { t } \\) 은 1 단위 시각에 성취된다고 가정한다.", "보기를 살펴보자.", "</p> <p>보기 5.3.7 일을 함께하기 오전 10시에 박 군은 정원의 풀을 뽑기 시작한다.", "과거의 경험으로, 박 군은, 혼자 일하면, 이 일을 끝맷는데 4 시간이 소요된다.", "그의 형은 이 일을 끝맺는데 6 시간이 필요하다.", "그의 형은 박 군과 골프를 치러가고 싶어서 오후 1 시로 예약하였으므로, 그의 형은 박 군을 도와주려고 한다.", "효율성에 득도 손실도 없다고 가정하고 둘이 함께 풀을 뽑는다면 그들은 언제 일을 끝맷을까?", "그들은 골프약속을 지킬 수 있을까?", "</p> <p>풀이 단계 1: 박 군과 그의 형이 함께 정원의 풀을 뽑게 될 때 소요될 시간에 대한 문제다.", "단계 \\( 2: t \\) 는 둘이 함께 정원의 풀을 뽑을 때 걸리는 시간을 나타낸다고 하자.", "그러면, 함께 일하게 되면, 1 시간에 이 일의 \\( \\frac { 1 } { t } \\) 이 완료된다.", "단계 3 : 혼자서 일을 하게 될 때, 1 시간에 박 군은 이 일의 \\( \\frac { 1 } { 4 } \\) 을 끝마치고, 그의 형은 \\( \\frac { 1 } { 6 } \\) 을 끝마친다.", "그래서 우리는 다음 표를 얻는다.", "</p> <table border><tbody><tr><td></td><td>일을 끝내는데 걸리는 시간</td><td>1시간에 일을 끝내는 부분</td></tr><tr><td>박 군</td><td>\\(4 \\)</td><td>\\( \\frac { 1 } { 4 } \\)</td></tr><tr><td>박 군의 형</td><td>\\(6 \\)</td><td>\\( \\frac { 1 } { 6 } \\)</td></tr><tr><td>함께</td><td>\\( t \\)</td><td>\\( \\frac { 1 } { t } \\)</td></tr></tbody></table>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "미분적분을 위한 기초수학의 이해", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "772a8b07-3652bcd3-9eb9-4265-9be5-a4022a01ea1c", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961053846", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2011", "doc_author": [ "이건창", "안성수" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }
105	<h3>곡선의 매개함수표현과 무관한 곡선적분</h3><p>한 곡선의 매개함수 표현은 여러가지 방법으로 할 수 있다. 그렇다면 곡선 \( C \) 위의 곡선적분은 곡선 \( C \) 의 매개함수 표현 방법에 따라 달라지는 것일까? 다음 예제에서 보듯이 곡선 \( C \) 의 같은 방향을 유지하는 두 매개함수 표현에 대한 곡선적분의 값은 같다.</p><p>예제 7.2.6 점 \( (1,1) \) 과 \( (2, \sqrt{2}) \) 를 잇는 포물선 \( C \) 는 \( X_{1}(t)=t \mathbf{i}+\sqrt{t} \mathbf{j}, 1 \leq t \leq 2 \) 또는 \( X_{2}(t)=t^{2} \mathbf{i}+t \mathbf{j}, 1 \leq t \leq \sqrt{2} \) 과 같은 매개함수 표현을 갖는다. 매개함수 표현 \( X_{1} \) 을 이용한 곡선적분 \( \int_{C} x^{2} d s, \int_{C} x^{2} d x \) 의 값과 매개함수 표현 \( X_{2} \) 을 이용한 곡선적분 \( \int_{C} x^{2} d s, \int_{C} x^{2} d x \) 의 값을 구한 후 비교하여라.</p><p>풀이. 매개함수 표현 \( X_{1}(t) \) 에 대하여\[\begin{aligned} & X_{1}^{\prime}(t)=\left(1, \frac{1}{2 \sqrt{t}}\right) \\& d s=\left\|X_{1}^{\prime}(t)\right\| d t=\sqrt{1+\frac{1}{4 t}} d t \end{aligned} \]이므로\[ \begin{aligned} \int_{C} x^{2} d s &=\int_{1}^{2} t^{2} \sqrt{1+\frac{1}{4 t}} d t, \quad(u=\sqrt{t} \text { 로 치환 }) \\ &=\int_{1}^{\sqrt{2}} u^{4} \sqrt{1+4 u^{2}} d u \end{aligned} \]이다. 또, 매개함수 표현 \( X_{2}(t) \) 에 대하여\[ \begin{aligned} & X_{2}^{\prime}(t)=(2 t, 1) , \\& d s=\left\|X_{2}^{\prime}(t)\right\| d t=\sqrt{1+4 t^{2}} d t \end{aligned} \]이므로\[ \int_{C} x^{2} d s=\int_{1}^{\sqrt{2}} t^{4} \sqrt{1+4 t^{2}} d t \]이다. 따라서 호의 길이에 대한 두 적분값은 같다. 또 \( x \) 에 관한 곡선적분을 보면, 매개함수 표현 \( X_{1}(t) \) 에 대하여\[ \int_{C} x^{2} d x=\int_{1}^{2} t^{2} d t=\frac{7}{3} \]이고, 매개함수 표현 \( X_{2}(t) \) 에 대해서는\[ \int_{C} x^{2} d x=\int_{1}^{\sqrt{2}}\left(t^{2}\right)^{2} 2 t~ d t=\frac{7}{3} \]으로 매개함수 표현에 관계없이 적분값은 같다.</p><h3>곡선의 방향과 곡선적분</h3><p>\( C \) 가 점 \( P \) 에서 시작하여 점 \( Q \) 로 끝나는 곡선이라고 하면 \( -C \) 는 점 \( Q \) 에서 시작하여 점 \( P \) 에서 끝나는, 곡선 \( C \) 의 경로와 같고 방향이 반대인 곡선을 나타낸다 (그림 7.2-18)</p><p>예제 7.2.7 곡선 \( C \) 가 \( x=2 t, y=3 t^{2}, 0 \leq t \leq 1 \) 에 의해 표현된다고 하자. 곡선 \( -C \) 의 매개함수 표현이 \( x=2(1-t), y=3(1-t)^{2}, 0 \leq t \leq 1 \) 일 때\[ \int_{C} x y d x, \quad \int_{-C} x y d x, \quad \int_{C} x y d s, \int_{-C} x y d s \]을 비교하여라.</p><p>풀이.\[ \begin{aligned} &\int_{C} x y d x=\int_{0}^{1} 6 t^{3} \cdot 2 d t=12 \int_{0}^{1} t^{3} d t \\& \int_{-C} x y d x=\int_{0}^{1} 6(1-t)^{3}(-2) d t=-12 \int_{0}^{1} t^{3} d t=-\int_{C} x y d x \\& \int_{C} x y d s=\int_{0}^{1} 6 t^{3} \sqrt{4+36 t^{2}} d t \\& \int_{-C} x y d s=\int_{0}^{1} 6(1-t)^{3} \sqrt{4+36(1-t)^{2}} d t=\int_{0}^{1} 6 t^{3} \sqrt{4+36 t^{2}} d t=\int_{C} x y d s .\end{aligned}\]</p><p>위의 예제 7.2.7에서 보듯이 곡선 \( C \) 의 방향이 바뀌면 \( \Delta x_{i}, \Delta y_{i}, \Delta z_{i} \) 의 부호도 바뀌어 \( \int_{C} f d x, \int_{C} f d y, \int_{C} f d z \) 에는 영향을 미치나 \( \Delta s_{i} \) 는 길이로서 \( C \) 의 방향에 관계없이 항상 양이므로 \( \int_{C} f d s \) 에는 영향이 없다(연습문제 21). 따라서 다음과 같은 사실을 알 수 있다.\[ \begin{aligned} \int_{-C} f d x=-\int_{C} f d x, \int_{-C} f d y &=-\int_{C} f d y, \int_{-C} f d z=-\int_{C} f d z \\ \int_{-C} f d s &=\int_{C} f d s \end{aligned} \]</p> <p>예제 7.3.15 질량 \( m \) 을 갖는 입자가 원점을 지나지 않는 곡선 \( C \) 를 따라 \( (3,4,12) \) 에서 \( (2,2,0) \) 으로 움직일 때 중력장\[F(X)=-\frac{m M G}{\|X\|^{3}} X\]가 한 일의 양을 구하여라.</p><p>풀이. 예제 7.1.6에 의하면 \( F \) 는 \( \mathbb{R}^{3}-\{(0,0,0)\} \) 에서 보존장이다. 즉, \[\phi(x, y, z)=\frac{m M G}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\]라고 하면 \[F=\nabla \phi\]이다. 따라서 \( F \) 가 한 일의 양은 \[\begin{array}{l}W=\int_{C} F \cdot d X=\int_{C} \nabla \phi \cdot d X \\=\phi(2,2,0)-\phi(3,4,12) \\=\frac{m M G}{\sqrt{2^{2}+2^{2}}}-\frac{m M G}{\sqrt{3^{2}+4^{2}+12^{2}}} \\=m M G\left(\frac{1}{2 \sqrt{2}}-\frac{1}{13}\right).\end{array}\]</p><h3>에너지 보존 법칙 : 움직이는 물체가 갖는 위치에너지와 운동에너지의 합은 항상 일정하다.</h3><p>다음 예제에서는 곡선적분의 기본정리를 이용하여 에너지 보존의 법칙을 유도한다.</p><p>예제 7.3.16 물리학에서 보존력 \( F \) 에 의해 움직이는 물체가 갖는 위치에너지 (potential energy)와 운동 에너지(kinetic energy)의 합은 항상 일정하다는 에너지 보존 법칙을 증명해 보아라.</p><p>풀이. 질량이 \( m \) 인 물체가 곡선\[C: X(t)=x(t) \mathbf{i}+y(t) \mathbf{j}+z(t) \mathbf{k}, a \leq t \leq b\]를 따라 움직인다고 하자. 보존장인 벡터장 \( F \) 의 포텐셜 함수를 \( \varphi \) 라고 하자. 즉, \[F(x, y)=\nabla \varphi(x, y)\]라고 하자. 곡선 \( C \) 을 따라 점 \( A=X(a) \) 에서 점 \( B=X(b) \) 로 움직이는 입자의 \( t \) 시각에서의 위치를 \( X(t) \) 라고 하면, 입자의 속도는 \( \mathbf{v}=X^{\prime}(t) \), 가속도는 \( \mathbf{a}=X^{\prime \prime}(t) \), 속력은 \( v(t)=\left\|X^{\prime}(t)\right\| \) 이며, 다음과 같은 물리적 사실이 성립한다.\[ \begin{aligned} &물체에 미치는 힘 \quad F(x, y, z)=m X^{\prime \prime}(t) \\& 운동에너지 \quad k(x, y, z)=\frac{1}{2} m\left\|X^{\prime}(t)\right\|^{2}\\& 위치에너지 \quad p(x, y, z)=-\varphi(x, y, z) \end{aligned} \]</p><p>(1) 포텐셜 함수를 이용하여, \( A \) 에서 \( B \) 까지 매끄러운 곡선 \( C \) 를 따라 \( F \) 가 한 일을 구하면 \[\begin{aligned}W=\int_{C} F \cdot d X &=[\varphi(x, y, z)]_{A}^{B} \\&=[-p(x, y, z)]_{A}^{B} \\&=p(A)-p(B)\end{aligned}\] 이다. 즉, 일은 \( A \) 와 \( B \) 의 위치 에너지의 차이다.</p><p>(2) 뉴우튼의 제 2 법칙 \( F(X(t))=m X^{\prime \prime}(t) \) 을 이용하여, \( A \) 에서 \( B \) 까지 매끄러운 곡선 \( C \) 를 따라 \( F \) 가 한 일을 구하면\[\begin{aligned}W=\int_{C} F \cdot d X &=\int_{a}^{b} F \cdot X^{\prime}(t) d t \\&=\int_{a}^{b}\left[m\mathbf{v}^{\prime}(t)\right] \cdot \mathbf{v}(t) d t=\int_{a}^{b} m\left[\mathbf{v}^{\prime}(t) \cdot \mathbf{v}(t)\right] d t \\&=\frac{m}{2} \int_{a}^{b} \frac{d}{d t}[\mathbf{v}(t) \cdot \mathbf{v}(t)] d t=\frac{m}{2} \int_{a}^{b}\frac{d}{d t}\left[\|\mathbf{v}(t)\|^{2}\right] d t \\&=\frac{m}{2}\left[\|\mathbf{v}(t)\|^{2}\right]_{a}^{b}=\frac{m}{2}\left[(v(t))^{2}\right]_{a}^{b} \\&=\frac{1}{2} m[v(b)]^{2}-\frac{1}{2} m[v(a)]^{2}=k(B)-k(A)\end{aligned}\]이다. 이와 같이 두가지 방법에 의해 얻은 일은 같으므로\[\begin{array}{l}p(A)-p(B)=k(B)-k(A) \\p(A)+k(A)=p(B)+k(B)\end{array}\]이다. 즉, 점 \( A \) 에서의 위치에너지와 운동에너지의 합은 점 \( B \) 에서의 위치에너지와 운동에너지의 합과 같다.</p> <h1>7.4 그린 정리</h1><h2>평면영역에서의 그린 정리</h2><p>평면영역에서의 중적분과 곡선적분 사이의 관계에 대하여 살펴보자.</p><p>평면 위의 열린집합 \( U \) 에서 연속인 벡터값함수 \( F(x, y)=\left(f_{1}(x, y), f_{2}(x, y)\right) \) 와 \( U \) 에 포함되는 매끄러운 곡선\[C: X(t)=(x(t), y(t)), \quad a \leq t \leq b\]에 대하여 곡선적분은\[\begin{aligned}\int_{C} F \cdot d X &=\int_{C} f_{1} d x+f_{2} d y \\&=\int_{a}^{b}\left(f_{1}(x(t), y(t)) \frac{d x}{d t}+f_{2}(x(t), y(t)) \frac{d y}{d t}\right) d t\end{aligned}\]임을 알고 있다.</p><p>단순닫힌곡선(simply closed curve) \( C: X:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) 이란 양 끝점 \( a, b \) 에 대해서만\[X(a)=X(b)\]인 곡선을 말한다 (그림 7.4-27,7.4-28). 즉, 출발점과 도착점 외에는 일치하는 점이 없는 닫힌 곡선을 말한다. 하나의 단순닫힌곡선에 의해 둘러싸인 유계인 영역을 단순닫힌영역(simply closed domain)이라 부르고, 그 곡선의 양의 방향을 다음과 같이 정의한다. 유계인 영역 \( D \) 의 경계선 \( C \) 의 양의 방향(positive direction)이란 사람이 그 경계를 따라 걸을 때 영역을 왼편에 두고 걷는 방향을 말한다. 예를 들어, 원에 의해 둘러싸인 영역의 경계를 따라 시계 반대 방향으로 가는 쪽이 이 영역에서 경계의 양의 방향이다. 앞으로 특별한 언급이 없는 한 영역의 경계를 따른 곡선적분은 그 경계의 양의 방향을 따라 적분하는 값으로 한다.</p><p>다음에서는 곡선적분과 이중적분과의 관계를 보여주는 그린 정리를 소개하고 증명은 부록으로 남긴다.</p><p>정리 7.4.1 (그린 정리(Green's theorem)) 영역 \( D \subset \mathbb{R}^{2} \) 는 매끄러운 경계 \( C \) 에 둘러싸인 단순닫힌영역이고, 함수 \( F(x, y)=\left(f_{1}(x, y), f_{2}(x, y)\right) \) 는 \( D \) 위에서 정의되었다고 하자. \( f_{1}(x, y), f_{2}(x, y) \) 가 \( D \) 위에서 연속인 편도함수를 가지면\[\begin{aligned}\int_{C} F \cdot d X &=\int_{C} f_{1}(x, y) d x+f_{2}(x, y) d y \\&=\iint_{D}\left(\frac{\partial f_{2}}{\partial x}(x, y)-\frac{\partial f_{1}}{\partial y}(x, y)\right) d x d y\end{aligned}\]이다.</p><p>증명은 부록에 남긴다.</p><p>예제 7.4.2 곡선 \( C: x^{2}+y^{2}=9 \) 의 양의 방향을 따라 곡선적분\[\int_{C}\left(3 y-e^{\sin x}\right) d x+\left(7 x+\sqrt{y^{4}+1}\right) d y\]를 구하여라.</p><p>풀이. 곡선 \( C: x^{2}+y^{2}=9 \) 에 둘러싸인 영역을 \( D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 9\right\} \) 라고 하자. \( F(x, y)=\left(3 y-e^{\sin x}, 7 x+\sqrt{y^{4}+1}\right) \) 은 매끄러운 곡선 \( C \) 를 경계로 갖는 \( D \) 에서 \( C^{1} \) 급* 벡터값 함수이므로 그린 정리를 적용하면 \[\begin{aligned} &\int_{C}\left(3 y-e^{\sin x}\right) d x+\left(7 x+\sqrt{y^{4}+1}\right) d y \\&=\iint_{D}\left[\frac{\partial}{\partial x}\left(7 x+\sqrt{y^{4}+1}\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(3 y-e^{\sin x}\right)\right] d A \\&=\iint_{D}(7-3) d A \\&=4 \iint_{D} 1 d A \\&=4 \cdot \pi \cdot 3^{2}=36 \pi .\end{aligned}\]</p> <h1>7.2 곡선적분</h1><p>이 절에서는 곡선 \( C \) 위에서 정의된 함수 \( f \) 의 적분을 정의하는데 이 적분은 유체의 흐름, 힘, 전기, 자기 등의 문제와 밀접한 관련이 있다.</p><h2>실수값 함수의 곡선적분</h2><h3>울타리의 면적</h3><p>매끄러운 곡선 \( C \) 위에서 정의된 연속함수 \( f \) 에 대하여 \( f(x, y) \geq 0 \) 라고 하자. 즉, 곡선 \( C \) 위로 높이 \( f(x, y) \) 의 울타리가 쳐 있다고 할 때, 그 울타리의 면적을 구해보자. 곡선 \( C \) 를 \( n \) 개의 작은 곡선들로 분할한 점들\[ \left(x_{0}, y_{0}\right),\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots,\left(x_{n}, y_{n}\right) \]에 따라 그림 7.2-11에서와 같이 울타리는 소영역들로 분해된다. 곡선 위의 점 \( \left(x_{i-1}\right. \), \( \left.y_{i-1}\right) \) 과 \( \left(x_{i}, y_{i}\right) \) 사이 임의의 점을 \( \left(x_{i}^{}, y_{i}^{}\right) \) 라 하고 소영역의 면적을 \( \Delta A_{i} \) 라 하면\[ \Delta A_{i} \approx f\left(x_{i}^{}, y_{i}^{}\right) \Delta s_{i} \]이다. 이 때 \( \Delta s_{i} \) 는 \( \left(x_{i-1}, y_{i-1}\right) \) 와 \( \left(x_{i}, y_{i}\right) \) 사이 곡선의 길이이다. 따라서 울타리의 면적 \( A \) 는\[ A=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}^{}, y_{i}^{}\right) \Delta s_{i} \]이다.</p><h2>호의 길이 \( s \) 에 대한 곡선적분</h2><p>함수 \( f \) 는 매끄러운 곡선 \( C \) 위에서 정의된 임의의 연속함수라고 하자. 곡선 \( C \) 를 분할하고, 분할된 곡선의 길이를 \( \Delta s_{i} \) 라고 하자. 위에서와 같이 리만합\[ \sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}, y_{i}\right) \Delta s_{i} \]의 극한값은 존재하는 데, 이 극한값을 곡선 \( C \) 를 따른 호의 길이 \( s \) 에 대한 함수 \( f \) 의 곡선적분(curve integral) 또는 선적분(line integral)이라고 하며\[ \int_{C} f d s \]라고 쓴다. 즉, 곡선적분은\[ \int_{C} f d s=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}, y_{i}\right) \Delta s_{i} \]으로 정의한다.</p><p>이제 매끄러운 곡선 \( C \) 가 \( X(t)=x(t) \mathbf{i}+y(t) \mathbf{j}, a \leq t \leq b \) 에 의해서 정의되고, 구간 \( [a, b] \) 의 분할 \( P: a=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}=b \) 에 따라 곡선 \( C \) 가 분할되었다 하자. \( t_{i}^{} \) 를 \( t_{i-1} \) 과 \( t_{i} \) 사이 임의의 점이라 하고, \( \left[t_{i-1}, t_{i}\right] \) 사이 곡선의 길이를 \( \Delta s_{i} \) 라 하면\[ \Delta s_{i} \approx\left\|X^{\prime}\left(t_{i}^{}\right)\right\| \Delta t_{i} \]이므로, 곡선적분 \( \int_{C} f d s \) 는 \( ^{\dagger} \)\[ \int_{C} f d s=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(X\left(t_{i}^{}\right)\right)\left\|X^{\prime}\left(t_{i}^{}\right)\right\| \Delta t_{i} \]이고, 리만적분의 정의에 의하여\[ \begin{aligned} \int_{C} f d s &=\int_{a}^{b} f(X(t))\left\|X^{\prime}(t)\right\| d t \\ &=\int_{a}^{b} f(x(t), y(t)) \sqrt{\left(x^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\right)^{2}} d t \end{aligned} \]이다(그림 7.2-12).</p><p>평면에서와 같이 공간에서의 매끄러운 곡선 \( C: X(t)=x(t) \mathbf{i}+y(t) \mathbf{j}+z(t) \mathbf{k} \), \( a \leq t \leq b \) 위에 정의된 연속함수 \( f(x, y, z) \) 에 대하여, 호의 길이 \( s \) 에 대한 함수 \( f \) 의 곡선적분 \( \int_{C} f d s \) 는\[ \begin{aligned} \int_{C} f d s &=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}^{}, y_{i}^{}, z_{i}^{}\right) \Delta s_{i} \\ &=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(X\left(t_{i}\right)\right)\left\|X^{\prime}\left(t_{i}\right)\right\| \Delta t_{i} \end{aligned} \]이므로, 리만적분의 정의에 의하여\[ \begin{aligned} \int_{C} f d s &=\int_{a}^{b} f(X(t))\left\|X^{\prime}(t)\right\| d t \\ &=\int_{a}^{b} f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{\left(x^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(z^{\prime}(t)\right)^{2}} d t \end{aligned} \]이다.</p><h3>곡선의 길이</h3><p>매끄러운 곡선 \( C: X=X(t), a \leq t \leq b \) 에 대하여\[ \int_{C} 1 d s=\int_{a}^{b} \sqrt{\left(x^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\right)^{2}} d t, \text{(C는 평면곡선)} \]혹은\[ \int_{C} 1 d s=\int_{a}^{b} \sqrt{\left(x^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(z^{\prime}(t)\right)^{2}} d t,\text{(C 는 공간곡선 )} \]이므로, 곡선 \( C \) 의 길이 \( L_{C} \) 는\[ L_{C}=\int_{C} 1 d s \]이다.</p><p>또, 곡선 \( C \) 가 유한 개의 매끄러운 곡선 \( C_{1}, C_{2}, \cdots, C_{n} \) 들로 이루어져 있으면\[ \int_{C} f d s=\int_{C_{1}} f d s+\int_{C_{2}} f d s+\cdots+\int_{C_{n}} f d s \]로 정의하며(그림 7.2-13) 실수 \( \alpha, \beta \) 와 적분가능한 함수 \( f \) 와 \( g \) 에 대하여 리만적분과 같은 성질\[ \int_{C}(\alpha f+\beta g) d s=\alpha \int_{C} f d s+\beta \int_{C} g d s \]을 만족함을 보일 수 있다.</p> <h2>\( x, y, z \) 에 대한 곡선적분</h2><p>함수 \( f \) 는 곡선 \( C \) 위에서 정의된 연속함수라고 하자. \( \Delta s_{i} \) 를 \( \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1} \), \( \Delta y_{i}=y_{i}-y_{i-1} \) 혹은 \( \Delta z_{i}=z_{i}-z_{i-1} \) 으로 바꾸어 또 다른 곡선적분을 정의할 수 있다. 이 곡선적분들을 곡선 \( C \) 를 따르는 \( x, y \) 또는 \( z \) 에 대한 \( f \) 의 곡선적분이라고 하고 평면곡선에 대해서는\[ \begin{aligned} \int_{C} f(x, y) d x &=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}^{}, y_{i}^{}\right) \Delta x_{i} \\ \int_{C} f(x, y) d y &=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}^{}, y_{i}^{}\right) \Delta y_{i} \end{aligned} \]으로 공간곡선에 대해서는\[ \begin{aligned} & \int_{C} f(x, y, z) d x=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}^{}, y_{i}^{}, z_{i}^{}\right) \Delta x_{i} \\& \int_{C} f(x, y, z) d y=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}^{}, y_{i}^{}, z_{i}^{}\right) \Delta y_{i} \\& \int_{C} f(x, y, z) d z=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}^{}, y_{i}^{}, z_{i}^{}\right) \Delta z_{i} \end{aligned} \]으로 정의하며\[ \int_{C} f d x, \int_{C} f d y, \int_{C} f d z, \int_{C} f(x, y, z) d x, \int_{C} f(x, y, z) d y, \int_{C} f(x, y, z) d z \]로 쓴다. \( \int_{C} f d s \) 의 경우처럼, 평면곡선 \( C \)\[ x=x(t), y=y(t), \quad a \leq t \leq b \]에 대하여\[ d x=x^{\prime}(t) d t, \quad d y=y^{\prime}(t) d t \]이므로\[ \begin{aligned} \int_{C} f d x &=\int_{a}^{b} f(x(t), y(t)) x^{\prime}(t) d t \\ \int_{C} f d y &=\int_{a}^{b} f(x(t), y(t)) y^{\prime}(t) d t \end{aligned} \]이고, 마찬가지로 공간곡선 \( C: X(t)=(x(t), y(t), z(t)), a \leq t \leq b \) 에 대해서는\[ \begin{aligned} \int_{C} f d x &=\int_{a}^{b} f(x(t), y(t), z(t)) x^{\prime}(t) d t \\ \int_{C} f d y &=\int_{a}^{b} f(x(t), y(t), z(t)) y^{\prime}(t) d t \\ \int_{C} f d z &=\int_{a}^{b} f(x(t), y(t), z(t)) z^{\prime}(t) d t \end{aligned} \]이다.</p><p>우리는 편의상\[ \int_{C} f d x+g d y=\int_{C} f d x+\int_{C} g d y \]\[ \int_{C} f d x+g d y+h d z=\int_{C} f d x+\int_{C} g d y+\int_{C} h d z \]라고 쓴다.</p><p>예제 7.2.5 그림 7.2-17에서와 같이 반시계방향의 삼각형 경로를 따른 곡선적분\[ \int_{C} x^{2} y d x+x d y \]을 구하여라.</p><p>풀이. 점 \( P \) 와 \( Q \) 를 잇는 선분의 매개함수식은\[ X(t)=(1-t) P+t Q, \quad 0 \leq t \leq 1 \]이므로 세 선분 \( C_{1}, C_{2}, C_{3} \) 로 이루어진 곡선 \( C \) 를 매개함수로 표현하면\[ \begin{aligned} &C_{1}: X(t)=(1-t)(0,0)+t(1,0)=(t, 0) \\& C_{2}: X(t)=(1-t)(1,0)+t(1,2)=(1,2 t) \\& C_{3}: X(t)=(1-t)(1,2)+t(0,0)=(1-t, 2-2 t), 0 \leq t \leq 1 \end{aligned} \]이다. 따라서\[ \begin{aligned} \int_{C_{1}} x^{2} y d x+x d y &=\int_{C_{1}} x^{2} y d x=\int_{0}^{1} t^{2} \cdot 0 \cdot\left(\frac{d}{d t} t\right) d t=0 \\ \int_{C_{2}} x^{2} y d x+x d y &=\int_{C_{2}} x d y=\int_{0}^{1} 1 \cdot\left(\frac{d}{d t} 2 t\right) d t=2 \end{aligned} \]\[ \begin{aligned} \int_{C_{3}} x^{2} y d x+x d y &=\int_{0}^{1}(1-t)^{2}(2-2 t) \frac{d}{d t}(1-t) d t+\int_{0}^{1}(1-t)\left(\frac{d}{d t}(2-2 t)\right) d t \\ &=2 \int_{0}^{1}(t-1)^{3} d t+2 \int_{0}^{1}(t-1) d t \\ &=-\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{2} \end{aligned} \]이므로\[ \int_{C} x^{2} y d x+x d y=0+2+\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{2}. \]</p>	해석학	[ "<h3>곡선의 매개함수표현과 무관한 곡선적분</h3><p>한 곡선의 매개함수 표현은 여러가지 방법으로 할 수 있다.", "그렇다면 곡선 \\( C \\) 위의 곡선적분은 곡선 \\( C \\) 의 매개함수 표현 방법에 따라 달라지는 것일까?", "다음 예제에서 보듯이 곡선 \\( C \\) 의 같은 방향을 유지하는 두 매개함수 표현에 대한 곡선적분의 값은 같다.", "</p><p>예제 7.2.6 점 \\( (1,1) \\) 과 \\( (2, \\sqrt{2}) \\) 를 잇는 포물선 \\( C \\) 는 \\( X_{1}(t)=t \\mathbf{i}+\\sqrt{t} \\mathbf{j}, 1 \\leq t \\leq 2 \\) 또는 \\( X_{2}(t)=t^{2} \\mathbf{i}+t \\mathbf{j}, 1 \\leq t \\leq \\sqrt{2} \\) 과 같은 매개함수 표현을 갖는다.", "매개함수 표현 \\( X_{1} \\) 을 이용한 곡선적분 \\( \\int_{C} x^{2} d s, \\int_{C} x^{2} d x \\) 의 값과 매개함수 표현 \\( X_{2} \\) 을 이용한 곡선적분 \\( \\int_{C} x^{2} d s, \\int_{C} x^{2} d x \\) 의 값을 구한 후 비교하여라.", "</p><p>풀이.", "매개함수 표현 \\( X_{1}(t) \\) 에 대하여\\[\\begin{aligned} & X_{1}^{\\prime}(t)=\\left(1, \\frac{1}{2 \\sqrt{t}}\\right) \\\\& d s=\\left\|X_{1}^{\\prime}(t)\\right\| d t=\\sqrt{1+\\frac{1}{4 t}} d t \\end{aligned} \\]이므로\\[ \\begin{aligned} \\int_{C} x^{2} d s &=\\int_{1}^{2} t^{2} \\sqrt{1+\\frac{1}{4 t}} d t, \\quad(u=\\sqrt{t} \\text { 로 치환 }) \\\\ &=\\int_{1}^{\\sqrt{2}} u^{4} \\sqrt{1+4 u^{2}} d u \\end{aligned} \\]이다.", "또, 매개함수 표현 \\( X_{2}(t) \\) 에 대하여\\[ \\begin{aligned} & X_{2}^{\\prime}(t)=(2 t, 1) , \\\\& d s=\\left\|X_{2}^{\\prime}(t)\\right\| d t=\\sqrt{1+4 t^{2}} d t \\end{aligned} \\]이므로\\[ \\int_{C} x^{2} d s=\\int_{1}^{\\sqrt{2}} t^{4} \\sqrt{1+4 t^{2}} d t \\]이다.", "따라서 호의 길이에 대한 두 적분값은 같다.", "또 \\( x \\) 에 관한 곡선적분을 보면, 매개함수 표현 \\( X_{1}(t) \\) 에 대하여\\[ \\int_{C} x^{2} d x=\\int_{1}^{2} t^{2} d t=\\frac{7}{3} \\]이고, 매개함수 표현 \\( X_{2}(t) \\) 에 대해서는\\[ \\int_{C} x^{2} d x=\\int_{1}^{\\sqrt{2}}\\left(t^{2}\\right)^{2} 2 t~ d t=\\frac{7}{3} \\]으로 매개함수 표현에 관계없이 적분값은 같다.", "</p><h3>곡선의 방향과 곡선적분</h3><p>\\( C \\) 가 점 \\( P \\) 에서 시작하여 점 \\( Q \\) 로 끝나는 곡선이라고 하면 \\( -C \\) 는 점 \\( Q \\) 에서 시작하여 점 \\( P \\) 에서 끝나는, 곡선 \\( C \\) 의 경로와 같고 방향이 반대인 곡선을 나타낸다 (그림 7.2-18)</p><p>예제 7.2.7 곡선 \\( C \\) 가 \\( x=2 t, y=3 t^{2}, 0 \\leq t \\leq 1 \\) 에 의해 표현된다고 하자.", "곡선 \\( -C \\) 의 매개함수 표현이 \\( x=2(1-t), y=3(1-t)^{2}, 0 \\leq t \\leq 1 \\) 일 때\\[ \\int_{C} x y d x, \\quad \\int_{-C} x y d x, \\quad \\int_{C} x y d s, \\int_{-C} x y d s \\]을 비교하여라.", "</p><p>풀이.\\", "[ \\begin{aligned} &\\int_{C} x y d x=\\int_{0}^{1} 6 t^{3} \\cdot 2 d t=12 \\int_{0}^{1} t^{3} d t \\\\& \\int_{-C} x y d x=\\int_{0}^{1} 6(1-t)^{3}(-2) d t=-12 \\int_{0}^{1} t^{3} d t=-\\int_{C} x y d x \\\\& \\int_{C} x y d s=\\int_{0}^{1} 6 t^{3} \\sqrt{4+36 t^{2}} d t \\\\& \\int_{-C} x y d s=\\int_{0}^{1} 6(1-t)^{3} \\sqrt{4+36(1-t)^{2}} d t=\\int_{0}^{1} 6 t^{3} \\sqrt{4+36 t^{2}} d t=\\int_{C} x y d s .\\end{aligned}\\]", "</p><p>위의 예제 7.2.7에서 보듯이 곡선 \\( C \\) 의 방향이 바뀌면 \\( \\Delta x_{i}, \\Delta y_{i}, \\Delta z_{i} \\) 의 부호도 바뀌어 \\( \\int_{C} f d x, \\int_{C} f d y, \\int_{C} f d z \\) 에는 영향을 미치나 \\( \\Delta s_{i} \\) 는 길이로서 \\( C \\) 의 방향에 관계없이 항상 양이므로 \\( \\int_{C} f d s \\) 에는 영향이 없다(연습문제 21).", "따라서 다음과 같은 사실을 알 수 있다.\\", "[ \\begin{aligned} \\int_{-C} f d x=-\\int_{C} f d x, \\int_{-C} f d y &=-\\int_{C} f d y, \\int_{-C} f d z=-\\int_{C} f d z \\\\ \\int_{-C} f d s &=\\int_{C} f d s \\end{aligned} \\]</p> <p>예제 7.3.15 질량 \\( m \\) 을 갖는 입자가 원점을 지나지 않는 곡선 \\( C \\) 를 따라 \\( (3,4,12) \\) 에서 \\( (2,2,0) \\) 으로 움직일 때 중력장\\[F(X)=-\\frac{m M G}{\|X\|^{3}} X\\]가 한 일의 양을 구하여라.", "</p><p>풀이.", "예제 7.1.6에 의하면 \\( F \\) 는 \\( \\mathbb{R}^{3}-\\{(0,0,0)\\} \\) 에서 보존장이다.", "즉, \\[\\phi(x, y, z)=\\frac{m M G}{\\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\]라고 하면 \\[F=\\nabla \\phi\\]이다.", "따라서 \\( F \\) 가 한 일의 양은 \\[\\begin{array}{l}W=\\int_{C} F \\cdot d X=\\int_{C} \\nabla \\phi \\cdot d X \\\\=\\phi(2,2,0)-\\phi(3,4,12) \\\\=\\frac{m M G}{\\sqrt{2^{2}+2^{2}}}-\\frac{m M G}{\\sqrt{3^{2}+4^{2}+12^{2}}} \\\\=m M G\\left(\\frac{1}{2 \\sqrt{2}}-\\frac{1}{13}\\right).\\end{array}\\]", "</p><h3>에너지 보존 법칙 : 움직이는 물체가 갖는 위치에너지와 운동에너지의 합은 항상 일정하다.", "</h3><p>다음 예제에서는 곡선적분의 기본정리를 이용하여 에너지 보존의 법칙을 유도한다.", "</p><p>예제 7.3.16 물리학에서 보존력 \\( F \\) 에 의해 움직이는 물체가 갖는 위치에너지 (potential energy)와 운동 에너지(kinetic energy)의 합은 항상 일정하다는 에너지 보존 법칙을 증명해 보아라.", "</p><p>풀이.", "질량이 \\( m \\) 인 물체가 곡선\\[C: X(t)=x(t) \\mathbf{i}+y(t) \\mathbf{j}+z(t) \\mathbf{k}, a \\leq t \\leq b\\]를 따라 움직인다고 하자.", "보존장인 벡터장 \\( F \\) 의 포텐셜 함수를 \\( \\varphi \\) 라고 하자.", "즉, \\[F(x, y)=\\nabla \\varphi(x, y)\\]라고 하자.", "곡선 \\( C \\) 을 따라 점 \\( A=X(a) \\) 에서 점 \\( B=X(b) \\) 로 움직이는 입자의 \\( t \\) 시각에서의 위치를 \\( X(t) \\) 라고 하면, 입자의 속도는 \\( \\mathbf{v}=X^{\\prime}(t) \\), 가속도는 \\( \\mathbf{a}=X^{\\prime \\prime}(t) \\), 속력은 \\( v(t)=\\left\|X^{\\prime}(t)\\right\| \\) 이며, 다음과 같은 물리적 사실이 성립한다.\\", "[ \\begin{aligned} &물체에 미치는 힘 \\quad F(x, y, z)=m X^{\\prime \\prime}(t) \\\\& 운동에너지 \\quad k(x, y, z)=\\frac{1}{2} m\\left\|X^{\\prime}(t)\\right\|^{2}\\\\& 위치에너지 \\quad p(x, y, z)=-\\varphi(x, y, z) \\end{aligned} \\]</p><p>(1) 포텐셜 함수를 이용하여, \\( A \\) 에서 \\( B \\) 까지 매끄러운 곡선 \\( C \\) 를 따라 \\( F \\) 가 한 일을 구하면 \\[\\begin{aligned}W=\\int_{C} F \\cdot d X &=[\\varphi(x, y, z)]_{A}^{B} \\\\&=[-p(x, y, z)]_{A}^{B} \\\\&=p(A)-p(B)\\end{aligned}\\] 이다.", "즉, 일은 \\( A \\) 와 \\( B \\) 의 위치 에너지의 차이다.", "</p><p>(2) 뉴우튼의 제 2 법칙 \\( F(X(t))=m X^{\\prime \\prime}(t) \\) 을 이용하여, \\( A \\) 에서 \\( B \\) 까지 매끄러운 곡선 \\( C \\) 를 따라 \\( F \\) 가 한 일을 구하면\\[\\begin{aligned}W=\\int_{C} F \\cdot d X &=\\int_{a}^{b} F \\cdot X^{\\prime}(t) d t \\\\&=\\int_{a}^{b}\\left[m\\mathbf{v}^{\\prime}(t)\\right] \\cdot \\mathbf{v}(t) d t=\\int_{a}^{b} m\\left[\\mathbf{v}^{\\prime}(t) \\cdot \\mathbf{v}(t)\\right] d t \\\\&=\\frac{m}{2} \\int_{a}^{b} \\frac{d}{d t}[\\mathbf{v}(t) \\cdot \\mathbf{v}(t)] d t=\\frac{m}{2} \\int_{a}^{b}\\frac{d}{d t}\\left[\|\\mathbf{v}(t)\|^{2}\\right] d t \\\\&=\\frac{m}{2}\\left[\|\\mathbf{v}(t)\|^{2}\\right]_{a}^{b}=\\frac{m}{2}\\left[(v(t))^{2}\\right]_{a}^{b} \\\\&=\\frac{1}{2} m[v(b)]^{2}-\\frac{1}{2} m[v(a)]^{2}=k(B)-k(A)\\end{aligned}\\]이다.", "이와 같이 두가지 방법에 의해 얻은 일은 같으므로\\[\\begin{array}{l}p(A)-p(B)=k(B)-k(A) \\\\p(A)+k(A)=p(B)+k(B)\\end{array}\\]이다.", "즉, 점 \\( A \\) 에서의 위치에너지와 운동에너지의 합은 점 \\( B \\) 에서의 위치에너지와 운동에너지의 합과 같다.", "</p> <h1>7.4 그린 정리</h1><h2>평면영역에서의 그린 정리</h2><p>평면영역에서의 중적분과 곡선적분 사이의 관계에 대하여 살펴보자.", "</p><p>평면 위의 열린집합 \\( U \\) 에서 연속인 벡터값함수 \\( F(x, y)=\\left(f_{1}(x, y), f_{2}(x, y)\\right) \\) 와 \\( U \\) 에 포함되는 매끄러운 곡선\\[C: X(t)=(x(t), y(t)), \\quad a \\leq t \\leq b\\]에 대하여 곡선적분은\\[\\begin{aligned}\\int_{C} F \\cdot d X &=\\int_{C} f_{1} d x+f_{2} d y \\\\&=\\int_{a}^{b}\\left(f_{1}(x(t), y(t)) \\frac{d x}{d t}+f_{2}(x(t), y(t)) \\frac{d y}{d t}\\right) d t\\end{aligned}\\]임을 알고 있다.", "</p><p>단순닫힌곡선(simply closed curve) \\( C: X:[a, b] \\rightarrow \\mathbb{R}^{2} \\) 이란 양 끝점 \\( a, b \\) 에 대해서만\\[X(a)=X(b)\\]인 곡선을 말한다 (그림 7.4-27,7.4-28).", "즉, 출발점과 도착점 외에는 일치하는 점이 없는 닫힌 곡선을 말한다.", "하나의 단순닫힌곡선에 의해 둘러싸인 유계인 영역을 단순닫힌영역(simply closed domain)이라 부르고, 그 곡선의 양의 방향을 다음과 같이 정의한다.", "유계인 영역 \\( D \\) 의 경계선 \\( C \\) 의 양의 방향(positive direction)이란 사람이 그 경계를 따라 걸을 때 영역을 왼편에 두고 걷는 방향을 말한다.", "예를 들어, 원에 의해 둘러싸인 영역의 경계를 따라 시계 반대 방향으로 가는 쪽이 이 영역에서 경계의 양의 방향이다.", "앞으로 특별한 언급이 없는 한 영역의 경계를 따른 곡선적분은 그 경계의 양의 방향을 따라 적분하는 값으로 한다.", "</p><p>다음에서는 곡선적분과 이중적분과의 관계를 보여주는 그린 정리를 소개하고 증명은 부록으로 남긴다.", "</p><p>정리 7.4.1 (그린 정리(Green's theorem)) 영역 \\( D \\subset \\mathbb{R}^{2} \\) 는 매끄러운 경계 \\( C \\) 에 둘러싸인 단순닫힌영역이고, 함수 \\( F(x, y)=\\left(f_{1}(x, y), f_{2}(x, y)\\right) \\) 는 \\( D \\) 위에서 정의되었다고 하자. \\", "( f_{1}(x, y), f_{2}(x, y) \\) 가 \\( D \\) 위에서 연속인 편도함수를 가지면\\[\\begin{aligned}\\int_{C} F \\cdot d X &=\\int_{C} f_{1}(x, y) d x+f_{2}(x, y) d y \\\\&=\\iint_{D}\\left(\\frac{\\partial f_{2}}{\\partial x}(x, y)-\\frac{\\partial f_{1}}{\\partial y}(x, y)\\right) d x d y\\end{aligned}\\]이다.", "</p><p>증명은 부록에 남긴다.", "</p><p>예제 7.4.2 곡선 \\( C: x^{2}+y^{2}=9 \\) 의 양의 방향을 따라 곡선적분\\[\\int_{C}\\left(3 y-e^{\\sin x}\\right) d x+\\left(7 x+\\sqrt{y^{4}+1}\\right) d y\\]를 구하여라.", "</p><p>풀이.", "곡선 \\( C: x^{2}+y^{2}=9 \\) 에 둘러싸인 영역을 \\( D=\\left\\{(x, y) \\mid x^{2}+y^{2} \\leq 9\\right\\} \\) 라고 하자. \\", "( F(x, y)=\\left(3 y-e^{\\sin x}, 7 x+\\sqrt{y^{4}+1}\\right) \\) 은 매끄러운 곡선 \\( C \\) 를 경계로 갖는 \\( D \\) 에서 \\( C^{1} \\) 급* 벡터값 함수이므로 그린 정리를 적용하면 \\[\\begin{aligned} &\\int_{C}\\left(3 y-e^{\\sin x}\\right) d x+\\left(7 x+\\sqrt{y^{4}+1}\\right) d y \\\\&=\\iint_{D}\\left[\\frac{\\partial}{\\partial x}\\left(7 x+\\sqrt{y^{4}+1}\\right)-\\frac{\\partial}{\\partial y}\\left(3 y-e^{\\sin x}\\right)\\right] d A \\\\&=\\iint_{D}(7-3) d A \\\\&=4 \\iint_{D} 1 d A \\\\&=4 \\cdot \\pi \\cdot 3^{2}=36 \\pi .\\end{aligned}\\]", "</p> <h1>7.2 곡선적분</h1><p>이 절에서는 곡선 \\( C \\) 위에서 정의된 함수 \\( f \\) 의 적분을 정의하는데 이 적분은 유체의 흐름, 힘, 전기, 자기 등의 문제와 밀접한 관련이 있다.", "</p><h2>실수값 함수의 곡선적분</h2><h3>울타리의 면적</h3><p>매끄러운 곡선 \\( C \\) 위에서 정의된 연속함수 \\( f \\) 에 대하여 \\( f(x, y) \\geq 0 \\) 라고 하자.", "즉, 곡선 \\( C \\) 위로 높이 \\( f(x, y) \\) 의 울타리가 쳐 있다고 할 때, 그 울타리의 면적을 구해보자.", "곡선 \\( C \\) 를 \\( n \\) 개의 작은 곡선들로 분할한 점들\\[ \\left(x_{0}, y_{0}\\right),\\left(x_{1}, y_{1}\\right),\\left(x_{2}, y_{2}\\right), \\cdots,\\left(x_{n}, y_{n}\\right) \\]에 따라 그림 7.2-11에서와 같이 울타리는 소영역들로 분해된다.", "곡선 위의 점 \\( \\left(x_{i-1}\\right. \\)", ", \\( \\left.y_{i-1}\\right) \\) 과 \\( \\left(x_{i}, y_{i}\\right) \\) 사이 임의의 점을 \\( \\left(x_{i}^{}, y_{i}^{}\\right) \\) 라 하고 소영역의 면적을 \\( \\Delta A_{i} \\) 라 하면\\[ \\Delta A_{i} \\approx f\\left(x_{i}^{}, y_{i}^{}\\right) \\Delta s_{i} \\]이다.", "이 때 \\( \\Delta s_{i} \\) 는 \\( \\left(x_{i-1}, y_{i-1}\\right) \\) 와 \\( \\left(x_{i}, y_{i}\\right) \\) 사이 곡선의 길이이다.", "따라서 울타리의 면적 \\( A \\) 는\\[ A=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{i=1}^{n} f\\left(x_{i}^{}, y_{i}^{}\\right) \\Delta s_{i} \\]이다.", "</p><h2>호의 길이 \\( s \\) 에 대한 곡선적분</h2><p>함수 \\( f \\) 는 매끄러운 곡선 \\( C \\) 위에서 정의된 임의의 연속함수라고 하자.", "곡선 \\( C \\) 를 분할하고, 분할된 곡선의 길이를 \\( \\Delta s_{i} \\) 라고 하자.", "위에서와 같이 리만합\\[ \\sum_{i=1}^{n} f\\left(x_{i}, y_{i}\\right) \\Delta s_{i} \\]의 극한값은 존재하는 데, 이 극한값을 곡선 \\( C \\) 를 따른 호의 길이 \\( s \\) 에 대한 함수 \\( f \\) 의 곡선적분(curve integral) 또는 선적분(line integral)이라고 하며\\[ \\int_{C} f d s \\]라고 쓴다.", "즉, 곡선적분은\\[ \\int_{C} f d s=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{i=1}^{n} f\\left(x_{i}, y_{i}\\right) \\Delta s_{i} \\]으로 정의한다.", "</p><p>이제 매끄러운 곡선 \\( C \\) 가 \\( X(t)=x(t) \\mathbf{i}+y(t) \\mathbf{j}, a \\leq t \\leq b \\) 에 의해서 정의되고, 구간 \\( [a, b] \\) 의 분할 \\( P: a=t_{0}<t_{1}<\\cdots<t_{n}=b \\) 에 따라 곡선 \\( C \\) 가 분할되었다 하자. \\", "( t_{i}^{} \\) 를 \\( t_{i-1} \\) 과 \\( t_{i} \\) 사이 임의의 점이라 하고, \\( \\left[t_{i-1}, t_{i}\\right] \\) 사이 곡선의 길이를 \\( \\Delta s_{i} \\) 라 하면\\[ \\Delta s_{i} \\approx\\left\|X^{\\prime}\\left(t_{i}^{}\\right)\\right\| \\Delta t_{i} \\]이므로, 곡선적분 \\( \\int_{C} f d s \\) 는 \\( ^{\\dagger} \\)\\[ \\int_{C} f d s=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{i=1}^{n} f\\left(X\\left(t_{i}^{}\\right)\\right)\\left\|X^{\\prime}\\left(t_{i}^{}\\right)\\right\| \\Delta t_{i} \\]이고, 리만적분의 정의에 의하여\\[ \\begin{aligned} \\int_{C} f d s &=\\int_{a}^{b} f(X(t))\\left\|X^{\\prime}(t)\\right\| d t \\\\ &=\\int_{a}^{b} f(x(t), y(t)) \\sqrt{\\left(x^{\\prime}(t)\\right)^{2}+\\left(y^{\\prime}(t)\\right)^{2}} d t \\end{aligned} \\]이다(그림 7.2-12).", "</p><p>평면에서와 같이 공간에서의 매끄러운 곡선 \\( C: X(t)=x(t) \\mathbf{i}+y(t) \\mathbf{j}+z(t) \\mathbf{k} \\), \\( a \\leq t \\leq b \\) 위에 정의된 연속함수 \\( f(x, y, z) \\) 에 대하여, 호의 길이 \\( s \\) 에 대한 함수 \\( f \\) 의 곡선적분 \\( \\int_{C} f d s \\) 는\\[ \\begin{aligned} \\int_{C} f d s &=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{i=1}^{n} f\\left(x_{i}^{}, y_{i}^{}, z_{i}^{}\\right) \\Delta s_{i} \\\\ &=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{i=1}^{n} f\\left(X\\left(t_{i}\\right)\\right)\\left\|X^{\\prime}\\left(t_{i}\\right)\\right\| \\Delta t_{i} \\end{aligned} \\]이므로, 리만적분의 정의에 의하여\\[ \\begin{aligned} \\int_{C} f d s &=\\int_{a}^{b} f(X(t))\\left\|X^{\\prime}(t)\\right\| d t \\\\ &=\\int_{a}^{b} f(x(t), y(t), z(t)) \\sqrt{\\left(x^{\\prime}(t)\\right)^{2}+\\left(y^{\\prime}(t)\\right)^{2}+\\left(z^{\\prime}(t)\\right)^{2}} d t \\end{aligned} \\]이다.", "</p><h3>곡선의 길이</h3><p>매끄러운 곡선 \\( C: X=X(t), a \\leq t \\leq b \\) 에 대하여\\[ \\int_{C} 1 d s=\\int_{a}^{b} \\sqrt{\\left(x^{\\prime}(t)\\right)^{2}+\\left(y^{\\prime}(t)\\right)^{2}} d t, \\text{(C는 평면곡선)} \\]혹은\\[ \\int_{C} 1 d s=\\int_{a}^{b} \\sqrt{\\left(x^{\\prime}(t)\\right)^{2}+\\left(y^{\\prime}(t)\\right)^{2}+\\left(z^{\\prime}(t)\\right)^{2}} d t,\\text{(C 는 공간곡선 )} \\]이므로, 곡선 \\( C \\) 의 길이 \\( L_{C} \\) 는\\[ L_{C}=\\int_{C} 1 d s \\]이다.", "</p><p>또, 곡선 \\( C \\) 가 유한 개의 매끄러운 곡선 \\( C_{1}, C_{2}, \\cdots, C_{n} \\) 들로 이루어져 있으면\\[ \\int_{C} f d s=\\int_{C_{1}} f d s+\\int_{C_{2}} f d s+\\cdots+\\int_{C_{n}} f d s \\]로 정의하며(그림 7.2-13) 실수 \\( \\alpha, \\beta \\) 와 적분가능한 함수 \\( f \\) 와 \\( g \\) 에 대하여 리만적분과 같은 성질\\[ \\int_{C}(\\alpha f+\\beta g) d s=\\alpha \\int_{C} f d s+\\beta \\int_{C} g d s \\]을 만족함을 보일 수 있다.", "</p> <h2>\\( x, y, z \\) 에 대한 곡선적분</h2><p>함수 \\( f \\) 는 곡선 \\( C \\) 위에서 정의된 연속함수라고 하자. \\", "( \\Delta s_{i} \\) 를 \\( \\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1} \\), \\( \\Delta y_{i}=y_{i}-y_{i-1} \\) 혹은 \\( \\Delta z_{i}=z_{i}-z_{i-1} \\) 으로 바꾸어 또 다른 곡선적분을 정의할 수 있다.", "이 곡선적분들을 곡선 \\( C \\) 를 따르는 \\( x, y \\) 또는 \\( z \\) 에 대한 \\( f \\) 의 곡선적분이라고 하고 평면곡선에 대해서는\\[ \\begin{aligned} \\int_{C} f(x, y) d x &=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{i=1}^{n} f\\left(x_{i}^{}, y_{i}^{}\\right) \\Delta x_{i} \\\\ \\int_{C} f(x, y) d y &=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{i=1}^{n} f\\left(x_{i}^{}, y_{i}^{}\\right) \\Delta y_{i} \\end{aligned} \\]으로 공간곡선에 대해서는\\[ \\begin{aligned} & \\int_{C} f(x, y, z) d x=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{i=1}^{n} f\\left(x_{i}^{}, y_{i}^{}, z_{i}^{}\\right) \\Delta x_{i} \\\\& \\int_{C} f(x, y, z) d y=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{i=1}^{n} f\\left(x_{i}^{}, y_{i}^{}, z_{i}^{}\\right) \\Delta y_{i} \\\\& \\int_{C} f(x, y, z) d z=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{i=1}^{n} f\\left(x_{i}^{}, y_{i}^{}, z_{i}^{}\\right) \\Delta z_{i} \\end{aligned} \\]으로 정의하며\\[ \\int_{C} f d x, \\int_{C} f d y, \\int_{C} f d z, \\int_{C} f(x, y, z) d x, \\int_{C} f(x, y, z) d y, \\int_{C} f(x, y, z) d z \\]로 쓴다. \\", "( \\int_{C} f d s \\) 의 경우처럼, 평면곡선 \\( C \\)\\[ x=x(t), y=y(t), \\quad a \\leq t \\leq b \\]에 대하여\\[ d x=x^{\\prime}(t) d t, \\quad d y=y^{\\prime}(t) d t \\]이므로\\[ \\begin{aligned} \\int_{C} f d x &=\\int_{a}^{b} f(x(t), y(t)) x^{\\prime}(t) d t \\\\ \\int_{C} f d y &=\\int_{a}^{b} f(x(t), y(t)) y^{\\prime}(t) d t \\end{aligned} \\]이고, 마찬가지로 공간곡선 \\( C: X(t)=(x(t), y(t), z(t)), a \\leq t \\leq b \\) 에 대해서는\\[ \\begin{aligned} \\int_{C} f d x &=\\int_{a}^{b} f(x(t), y(t), z(t)) x^{\\prime}(t) d t \\\\ \\int_{C} f d y &=\\int_{a}^{b} f(x(t), y(t), z(t)) y^{\\prime}(t) d t \\\\ \\int_{C} f d z &=\\int_{a}^{b} f(x(t), y(t), z(t)) z^{\\prime}(t) d t \\end{aligned} \\]이다.", "</p><p>우리는 편의상\\[ \\int_{C} f d x+g d y=\\int_{C} f d x+\\int_{C} g d y \\]\\[ \\int_{C} f d x+g d y+h d z=\\int_{C} f d x+\\int_{C} g d y+\\int_{C} h d z \\]라고 쓴다.", "</p><p>예제 7.2.5 그림 7.2-17에서와 같이 반시계방향의 삼각형 경로를 따른 곡선적분\\[ \\int_{C} x^{2} y d x+x d y \\]을 구하여라.", "</p><p>풀이.", "점 \\( P \\) 와 \\( Q \\) 를 잇는 선분의 매개함수식은\\[ X(t)=(1-t) P+t Q, \\quad 0 \\leq t \\leq 1 \\]이므로 세 선분 \\( C_{1}, C_{2}, C_{3} \\) 로 이루어진 곡선 \\( C \\) 를 매개함수로 표현하면\\[ \\begin{aligned} &C_{1}: X(t)=(1-t)(0,0)+t(1,0)=(t, 0) \\\\& C_{2}: X(t)=(1-t)(1,0)+t(1,2)=(1,2 t) \\\\& C_{3}: X(t)=(1-t)(1,2)+t(0,0)=(1-t, 2-2 t), 0 \\leq t \\leq 1 \\end{aligned} \\]이다.", "따라서\\[ \\begin{aligned} \\int_{C_{1}} x^{2} y d x+x d y &=\\int_{C_{1}} x^{2} y d x=\\int_{0}^{1} t^{2} \\cdot 0 \\cdot\\left(\\frac{d}{d t} t\\right) d t=0 \\\\ \\int_{C_{2}} x^{2} y d x+x d y &=\\int_{C_{2}} x d y=\\int_{0}^{1} 1 \\cdot\\left(\\frac{d}{d t} 2 t\\right) d t=2 \\end{aligned} \\]\\[ \\begin{aligned} \\int_{C_{3}} x^{2} y d x+x d y &=\\int_{0}^{1}(1-t)^{2}(2-2 t) \\frac{d}{d t}(1-t) d t+\\int_{0}^{1}(1-t)\\left(\\frac{d}{d t}(2-2 t)\\right) d t \\\\ &=2 \\int_{0}^{1}(t-1)^{3} d t+2 \\int_{0}^{1}(t-1) d t \\\\ &=-\\frac{1}{2}-1=-\\frac{3}{2} \\end{aligned} \\]이므로\\[ \\int_{C} x^{2} y d x+x d y=0+2+\\left(-\\frac{3}{2}\\right)=\\frac{1}{2}. \\]", "</p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "미분적분학", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "772a8b07-45c778bd-3afc-4824-89dd-a7fb512ba9fc", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961051170", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2008", "doc_author": [ "강순자" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }
106	<p>예제3 \( \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{e^{\frac{1}{x^{2}}}} \) 을 구하여라.</p><p>풀이 \( \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{x}=\infty=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} e^{\frac{1}{x^{2}}} \) 이므로 로피탈의 법칙 (a)에 의하여 \[ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{e^{\frac{1}{x^{2}}}}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{-1}{x^{2}}}{e^{\frac{1}{x^{2}}}\left(-\frac{2}{x^{3}}\right)}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x \cdot e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{2}=\frac{0 \cdot 0}{2}=0 . \]</p><p>예제4\( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}}{x^{2}} \) 을 구하여라.</p><p>풀이 \( \lim _{x \rightarrow \infty} e^{x}=\infty=\lim _{x \rightarrow \infty} x^{2} \) 이므로 로피탈의 법칙 (b)에 의하여 \[ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}}{2 x}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}}{2}=\infty \] 임을 알 수 있다. 비숫한 방법으로 다음을 증명할 수 있다. \[ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}}{x^{n}}=\infty \]</p><p>[그 밖의 부정형 ; \( 0 \cdot \infty, 0^{0}, 1^{\infty}, \infty-\infty \) ] 이제, \( 0 \cdot \infty, 0^{0}, 1^{\infty} \) 그리고, \( \infty-\infty \) 와 같은 여러 형태의 부정형은 부정형 \( \frac{0}{0} \) 또는 \( \frac{\infty}{\infty} \) 로 고쳐서 로피탈의 법칙을 적용하여 구할 수 있다.</p><p>예제 5 \( \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \ln x \) 를 구하여라.</p><p>풀이 \( \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x=0 \) 이고. \( \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln x=-\infty \) 이므로 \( 0 \cdot \infty \) 형(정확히 \( 0 \cdot(-\infty) \) )이다. 그러나 이것을 다음과 같이 부정형 \( \frac{\infty}{\infty} \) 로 고칠 수 있다. \[ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} \] 이제, 로피탈의 법칙을 적용하면 \[ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^{2}}}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(-x)=0 \] 이므로 \( \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \ln x=0 \) 이다.</p> <h2>연 습 문 제 3.5</h2><p>1. 다읍 주어진 함수의 그래프를 그려라.</p><p><ol type=1 start=1><li>\( f(x)=x^{3}-x^{2}-2 x \)</li><li>\( f(x)=x^{4}+8 x^{3}+36 x^{2}-3 \)</li><li>\( g(x)=x+\frac{4}{x} \)</li><li>\( g(x)=\frac{8}{x^{2}+4} \)</li><li>\( h(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-1} \)</li><li>\( h(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{3}} \)</li><li>\( k(x)=\sqrt[3]{x} \)</li><li>\( k(x)=(x-4)^{\frac{2}{3}} \)</li><li>\( u(x)=\sqrt{3} \sin x+\cos x \)</li><li>\( u(x)=\sin ^{2} x \)</li></ol></p><h1>3.6 로피탈 법칙</h1><p>극한에 관한 기본정리에 의하면, 어떤 점에서의 극한값이 각각 존재하는 두 함수에 의해 정의된 분수함수의 극한은 두 함수읙 극한의 상으로 계산될 수 있다. 즉 \[ \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim _{x \rightarrow a} f(x)}{\lim _{x \rightarrow a} g(x)} \] 임을 보였다. 하지만 이 경우는 \( \lim _{x \rightarrow a} g(x) \neq 0 \) 이라는 가정이 필요하였다. 다시 말해서, \( \lim _{x \rightarrow a} g(x)=0 \) 인 경우에는 이 공식을 적용할 수 없다. 그러나 비록 \( \lim _{x \rightarrow a} g(x)=0 \) 이지만 함수 \( \frac{f}{g} \) 가 \( a \) 에서 극한을 갖는 예가 많이 있다. 간단한 예로 \( \frac{\sin x}{x} \) 를 들 수 있다. \( a=0 \) 일 때 비록 분모의 극한값이 0 일지라도 \[ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1 \] 이다. 이 절에서는 분모가 0 에 접근할 때 분수식의 극한을 계산하는 방법에 대하여 살며보자. 이를 위해 다음 정리가 필요하다.</p> <h1>3.5 그래프 그리기</h1><p>곡선 \( y=f(x) \) 를 손으로 그리기 위해서는 다읍 항목들이 지침이 될 것이다. 모든 항목들이 모든 함수에 다 관련되어 있는 것은 아니다(예를 들어, 어떤 주어진 곡선은 점근선을 갖지 않거나 대칭이 아닐 수도 있다). 그러나 이러한 지침들은 함수의 가장 증요한 점을 표현하기 위하여 필요한 모든 정보들을 제공한다.</p><p><ol type=A start=1><li>정의역 첫째 단계는 \( f \) 의 정의역, 즉 \( f(x) \) 가 정의되는 \( x \) 들의 집합 \( D \) 를 결정하는 것이다.</li><li>절편 \( y \) 절편은 \( f(0) \) 이고 곡선이 \( y \) 축과 만나는 곳을 말하여 준다. \( x \) 의 절편을 구하기 위하여 \( y=0 \) 이라 두고, \( x \) 에 대하여 푼다(방정식의 해를 구하는 것이 어려우면 이 단계는 생락할 수 있다).</li><li>대칭성<ol type=i start=1><li>만약 모든 \( x \in D \) 에 대하여 \( f(-x)=f(x) \), 즉 곡선의 방정식이 \( x \) 대신 \( -x \) 를 대입하 여도 변하지 않을 때, \( f \) 는 우함수이고 곡선은 \( y \) 축에 관하여 대칭이다. 이것은 우리의 일을 반으로 줄임을 뜻한다. \( x \geq 0 \) 일 때 곡선을 알고. \( y \) 축에 관하여 대칭시키기만 하면 된다[그림 \(3.28\)의 (a) 참조]. \( y=x^{2}, y=x^{4}, y=\|x\| \), 그리고 \( y=\cos x \) 가 이런 경우이다.</li><li>모든 \( x \in D \) 에 대하여 \( f(-x)=-f(x) \) 일 때 \( f \) 는 기함수이고, 곡선은 원점에 관하여 대칭이다. \( x \geq 0 \) 일 때의 곡선을 잘 알고 있다면 역시 완전한 곡선을 얻을 수 있다 [원점을 중심으로 \( 180^{\circ} \) 회전 ; 그림 3.28의 (b) 참조].기함수의 간단한 예들은 \( y=x, y=x^{3}, y=x^{5} \), 그리고 \( y=\sin x \) 등 이다.</li><li>만약 모든 \( x \in D \) 에 대하여 \( f(x+p)=f(x) \), 여기서 \( p \) 는 양의 상수일 때 함수 \( f \) 를 주기함수라 하고. 수 \( p \) 를 주기라고 한다. 예를 들면, \( y=\sin x \) 는 주기 \( 2 \pi \) 를 갖고. \( y=\tan x \) 는 주기 \( \pi \) 를 갖는다. 길이가 \( p \) 인 구간에서 함수의 그래프가 잘 알려져 있다면 완전한 그래프를 얻기 위해서는 평행이동을 이용하면 된다(그림 3.29 참조).</li></ol></li></ol></p> <h1>3.3 극대 - 극소 판정법</h1><p>최적화 문제는 대개 함수의 최대값 혹은 최소값을 구하는 문제로 변환되고. 최대 ·최소 값을 구하는 문제는 결국 극대 · 극소값을 구하는 문제로 귀착된다. 극대값 혹은 극소값 은 정의에 의해 함수의 그래프가 볼록한 점이나 오목한 점에서 갖게 되는 것을 확인하였다. 그래프에서 볼록한 점은 함수값이 증가하다가 감소로 바뀌는 점이고 오목한 점은 함수값이 감소하다가 증가상태로 바뀌는 점이다. 그런데 '정리 3.10 '에 의하면 도함수값의 부호에 의해 주어진 함수가 증가상태인지 감소상태인지를 확인할 수 있다. 다시 말하면, 도함수의 부호에 의해 극대값 혹은 극소값을 판정하는 것이 가능해진다. 이 절에서는 제 1계 혹은 제2계 도함수의 부호를 활용하여 극대값 혹은 극소값을 판정하는 방법을 알아 본다.</p><p>정의 3.11 (제1계 도함수 판정법) 함수 \( f \) 가 구간 \( I \) 에서 연속이고 \( c \) 가 \( I \) 안에 있는 임계수라고 하자.<ol type=a start=1><li>\( f^{\prime} \) 의 부호가 \( c \) 에서 양으로부터 음으로 변하면 \( f \) 는 \( c \) 에서 극대값 \( f(c) \) 를 갖는다.</li><li>\( f^{\prime} \) 의 부호가 \( c \) 에서 음으로부터 양으로 변하면 \( f \) 는 \( c \) 에서 극소값 \( f(c) \) 를 갖는다.</li><li>만약 \( f^{\prime} \) 의 부호가 \( c \) 에서 변하지 않으면 \( f \) 는 \( c \) 에서 극대값 혹은 극소값을 갖지 않는 다.</li></ol></p><p>증명<ol type=a start=1><li>\( f^{\prime} \) 의 부호가 \( c \) 에서 양으로부터 음으로 변하면 정리 \( 3.10 \) 에 의하여 \( f \) 는 \( c \) 를 중심으로 증가상태에서 감소상태로 바뀐다. 다시 말해서 \( c \) 의 왼쪽에서는 증가하므로 어떤 \( x \) 에 대해서 \( f(c) \) 가 \( f(x) \) 보다 더 크게 된다. 반대로 \( c \) 의 오른쪽에서는 감소하므로 어떤 \( x \) 에 대해서도 \( f(c) \) 가 \( f(x) \) 보다 더 크게 된다. 따라서 이 구간에서는 \( f(c) \)가 최대값이 되므로 \( f \) 는 \( c \) 에서 극대값 \( f(c) \) 를 갖는다.</li><li>(a)의 경우와 마찬가지로 증명할 수 있다.</li><li>만약 \( f^{\prime} \) 의 부호가 \( c \) 에서 변하지 않으면 \( f \) 는 \( c \) 를 중심으로 증가상태나 감소상태를 그대로 유지하게 되어 \( f(c) \) 가 최대값 혹은 최소값이 되게 하는 구간을 잡을 수 없으므로 \( f \) 는 \( c \) 에서 극대값이나 극소값을 갖지 못한다.</li></ol></p><p>제1계 도함수 판정법을 그래프를 이용하여 시작화하면 다음과 같다.</p> <p>롤의 정리는 \( f \) 의 그래프 위에서 접선의 기울기가 0 인 어떤 점 \( (c, f(c)) \) 가 존재함을 말한다. \( (a, f(a)),(b, f(b)) \) 를 지나는 직선을 \( l \) 이라 하면, \( f(a)=f(b) \) 이므로 \( l \) 은 수평직선이다. \( c \) 에서의 접선을 \( l_{1} \) 이라고 하면 \( l \) 과 \( l_{1} \) 은 평행이다. 여기에서 \( f(a) \neq f(b) \) 인 경우를 생각해보자. 두 점 \( (a, f(a)),(b, f(b)) \) 를 지나는 직선을 \( l \) 이라 할 때, \( l \) 과 기울기가 같은 직선을 접선으로 갖는 점 \( c \) 가 \( (a, b) \) 내에 존재할 것인가 (그림 3.8)? 이에 대한 답은 다음의 평균값 정리에 의하여 알 수 있다.</p><p>정리 3.7 (평균값 정리) \( f \) 가 \( [a, b] \) 에서 연속이고, \( (a, b) \) 에서 미분가능하다고 하면 \[ f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \] 를 만족하는 점 \( c \) 가 \( (a, b) \) 내에 적어도 하나 존재한다.</p><p>증명 함수 \( g(x) \) 를 다음과 같이 정의하자. \[ g(x)=f(x)-\left[f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right], a \leq x \leq b \] 그러면 \( g \) 는 함수 \( f \) 와 상수함수들과 1 차 함수의 결합으로 되어 있으므로 \( g \) 는 \( [a, b] \) 에서 연속이고, \( (a, b) \) 에서 미분가능하다. \( g(a)=g(b)=0 \) 이므로 롤의 정리에 의하여 \[ g^{\prime}(c)=0 \] 인 \( c \) 가 \( (a, b) \) 내에 존재한다. \[ g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}, a<x<b \] 이므로 \[ 0=g^{\prime}(c)=f^{\prime}(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \] 이다. 따라서 \[ f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \] 를 만족하는 \( c \) 가 \( (a, b) \) 내에 존재한다.</p> <h1>연 습 문 제 3.3</h1><p>1. 다음 각 함수의 극값을 구하여라.<ol type=1 start=1><li>\( f(x)=x^{2}+6 x-11 \)</li><li>\( f(x)=x^{3}+3 x^{2}+4 \)</li><li>\( g(x)=x \sqrt{1-x^{2}} \)</li><li>\( g(x)=\frac{x}{16+x^{3}} \)</li><li>\( h(x)=\left(x^{2}-1\right)^{2} \)</li><li>\( k(x)=\sin x+\cos x \)</li></ol></p><p>2. 합이 18 이고, 곱이 최대가 되는 두 양수를 구하여라.</p><p>3. 곱이 64 이고, 합이 최소가 되는 두 양수를 구하여라.</p><p>4. 점 \( (3,0) \) 에서 가장 가까운 곡선 \( y=x^{2} \) 위의 점을 구하여라.</p><p>5. 점 \( (0,3) \) 과 \( (2,0) \) 을 연결한 선분 위의 점 \( (x, y) \) 에서의 전위가 \( P=3 x^{2}+2 y^{2} \) 이라 하자. 이 선분 위의 어느 점에서 전위가 최대로 되겠는가?</p><p>6. 빗변의 \( 10 \mathrm{~cm} \) 인 직각삼각형 증에서 면적이 최대인 것의 다른 두 변의 길이를 구하여라.</p><p>7. \( 100 \mathrm{~m} \) 인 울타리의 재료를 가지고 긴 돌담을 따라서 그 담을 한 변으로 하고, 나머지 세 변만을 울타리를 쳐서 직사각형 모양의 울타리를 치려고 한다. 둘러막을 수 있는 가장 큰 땅의 면적은 얼마인가?</p><p>8. 타원 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \) 에 내접하는 최대 직사각형의 면적을 구하여라.</p><p>9. 부피가 \( k \) 인 직원기둥을 만드는데 높이와 밑면의 직경이 같으면 재료가 최소로 필요하게 됨을 보여라.</p><p>10. 반경 \( r \) 인 구에 내접하는 직원뿔의 최대 부피와 최대 겉넓이를 구하여라.</p> <p>제 1 계 도함수 판정법과 정리 3.10 을 이용하면 함수 \( f \) 의 대략적인 그래프를 그릴 수 있다. 즉 어떤 점을 중심으로 \( f^{\prime} \) 가 양에서 음으로 연속적으로 바뀌면 위로 볼록한 모양으로 그리면 되고, \( f^{\prime} \) 가 음에서 양으로 연속적으로 바뀌면 아래로 볼록한 모양으로 그리면 된다.</p><p>예제 1 \(f(x)=(x-1)^{2}(x-3)^{2} \) 의 극값을 구하고, 대략적인 그래프를 그려라.</p><p>\( \begin{aligned} f^{\prime}(x) &=2(x-1)(x-3)^{2}+(x-1)^{2} 2(x-3) \\ &=2(x-1)(x-3)(x-3+x-1) \\ &=4(x-1)(x-3)(x-2) \end{aligned} \) 이므로 \( f^{\prime}(x)=0 \) 인 점은 \( x=1,2,3 \) 이다. 표에 의하여 \( x=1 \) 에서 극소값 \( f(1)=0, x=2 \) 에서 극대값 \( f(2)=1, x=3 \) 에서 극소 값 \( f(3)=0 \) 를 갖는다. 함수 \( f \) 가 \( c \) 에서 미분가능하지 않을 때, 즉 \( f^{\prime}(c) \) 가 존재하지 않는 경우에도 제 1 계 도함수 판정법(정리 3.11)에 의하여 극값을 판정할 수 있다.</p><p>예제 2 \( f(x)=x^{\frac{2}{3}} \) 의 극값을 구하여라.</p><p>풀이 \( f^{\prime}(x)=\frac{2}{3} x^{-\overline{3}}=\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} \quad(x \neq 0) \) 이므로 \( f^{\prime}(x)=0 \) 인 \( x \) 는 존재하지 않는다. 하지만 \( f \) 가 \( x=0 \) 에서 미분가능하지 않으므로, 즉 \( f^{\prime}(0) \) 가 존재하지 않으므로 \( x=0 \) 에서 극값을 조사하여 보자. \( x<0 \) 일 때 \( f^{\prime}(x)<0 \) 이고, \( x>0 \) 일 때 \( f^{\prime}(x)>0 \) 이다. 즉 \( f^{\prime} \) 의 부호가 0 에서 음에서 양으로 변한다. \( f \) 는 \( (-\infty, \infty) \) 에서 연속이므로 제1 계 도함수 판정법에 의하여 \( f(0)=0 \) 은 \( f \) 의 극소값이 된다.</p> <h1>3.4 함수 그래프의 오목성과 변곡점</h1><p>정의 3.13 함수 \( f \) 의 그래프가 구간 \( (a, b) \) 위의 각 점에서의 접선보다 위에 있을 때, \( f \) 는 \( (a, b) \) 에서 위로 오목(concave upward) 혹은 아래로 볼록이라 하고 \( f \) 의 그래프가 구간 \( (a, b) \) 위의 각 점에서의 접선보다 아래에 있을 때, \( f \) 는 \( (a, b) \) 에서 아래로 오목 (concave downward) 혹은 위로 볼록이라고 한다.</p><p>그림 3.2은 구간 \( (b, c),(d, e) \), 그리고 \( (e, p) \) 에서 위로 오목(약어 : C U 이고 구간 \((a, b),(c, d)\),그리고 \((p, q)\) 에서 아래로 오목(약어 : C D) 인 함수의 그래프를 나타내고 있다. 이계도함수가 오목한 구간을 결정하는데 도움을 주는지 알아보자. 그림 3.22의 (a) 를 보자. 왼쪽에서 오른쪽으로 움직일 때 접선의 기울기가 중가하고 있음을 볼 수 있다. 이것은 도함수 \( f^{\prime}(x) \) 가 증가함수이고 따라서 이것의 도함수 \( f^{\prime \prime} \) 이 양이 되는 것을 의미한다. 또한 그림 3.22 의 (b)에서 접선의 기울기는 왼쪽에서 오른쪽으로 움직일 때 감소한다. 따라서 \( f^{\prime}(x) \) 는 감소함수이고 \( f^{\prime \prime} \) 은 음이다. 이 논리는 역도 성립하고 다음 정리가 성립한다.</p><p>정리 3.14 개구간 \( I \) 에 \( f^{\prime \prime} \) 가 존재한다고 하자.<ol type=a start=1><li>I에 있는 모든 \( x \) 에 대하여 \( f^{\prime \prime}(x)>0 \) 이면, \( f \) 의 그래프는 \( I \) 에서 위로 오목하다.</li><li>\( I \) 에 있는 모든 \( x \) 에 대하여 \( f^{\prime \prime}(x)<0 \) 이면, \( f \) 의 그래프는 \( I \) 에서 아래로 오목하다.</li></ol></p> <p>정의 3.9 구간 \( I \) 의 임의의 두 점 \( x, z \) 에 대하여 \( x<z \) 일 때 \( f(x) \leq f(z) \) 이면, 함수 \( f \) 는 구간 \( I \) 에서 증가(increasing)한다고 한다. 또한, \( x<z \) 일 때 \( f(x)<f(z) \) 이면 함수 \( f \) 는 구간 \( I \) 에서 강한증가(strictly increasing)한다고 한다. 같은 방법으로 구간 \( I \) 의 임의의 두 점 \( x, z \) 에 대하여 \( x<z \) 일 때 \( f(x) \geq f(z) \) 이면, 함수 \( f \) 는 구간 \( I \) 에서 감소(decreasing)한다고 한다. 또한 \( x<z \) 일 때 \( f(x)>f(z) \) 이면 함수 \( f \) 는 구간 \( I \) 에서 강한감소(strictly decreasing)한다고 한다. 기하학적으로 다음 그림 3.10 과 그림 3.11 과 같은 예를 들어 보면 쉽게 이해할 수 있다.</p><p>정리 3.10 함수 \( f \) 가 구간 \( I \) 에서 연속이고, \( I \) 의 각 내점에서 미분가능하다고 하자.<ol type=a start=1><li>\( I \) 의 각 내점 \( x \) 에서 \( f^{\prime}(x) \geq 0 \) 이면, \( f \) 는 \( I \) 에서 증가한다. 그 위에, \( I \) 내의 많아야 유한 개의 점에서 \( f^{\prime}(x)=0 \) 이면 \( f \) 는 \( I \) 에서 강한증가한다.</li><li>I의 각 내점 \( x \) 에서 \( f^{\prime}(x) \leq 0 \) 이면, \( f \) 는 \( I \) 에서 갑소한다. 그 위에, \( I \) 내의 많아야 유한 개의 점에서 \( f^{\prime}(x)=0 \) 이면 \( f \) 는 \( I \) 에서 강한감소한다.</li></ol></p><p>예제 4 함수 \( f(x)=2 x^{3}+3 x^{2}-12 x-3 \) 은 어떤 구간에서 (강한)중가 또는 (강한)감소하는가?</p><p>풀이 \[f^{\prime}(x)=6 x^{2}+6 x-12=6(x+2)(x-1) \] \( (-\infty,-2] \) 와 \( [-, \infty) \) 에서 \( f^{\prime}(x) \geq 0 \) 이므로 \( f \) 는 증가하고, \( [-2,1] \) 에서 \( f^{\prime}(x) \leq 0 \) 이므로 \( f \) 는 감소한다. \( f^{\prime}(x)=0 \) 을 만족하는 점은 \( x=-2,1 \) 뿐이므로 정리 \( 3.10 \) 에 의하여 \( f \) 는 \( (-\infty,-2] \) 와 \( [1, \infty) \) 에서 강한증가하고, \( [-2,1] \) 에서 강한감소한다.</p> <p>예제 1 \( f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+2 x \) 에서 \( f^{\prime}(c)=\frac{f(3)-f(0)}{3-0} \) 를 만족하는 \( (0,3) \) 내의 점 \( c \) 를 구하여라.</p><p>풀이 \( =f^{\prime}(x)=x^{2}+2 \) 이고 \( \frac{f(3)-f(0)}{3-0}=\frac{15-0}{3-0}=5 \) 이다. \( c^{2}+2=5 \) 이면 \( c=\pm \sqrt{3} \) 인데 \( (0,3) \) 내의 \( c \) 는 \( \sqrt{3} \) 이다.</p><p>예제 2 어떤 물체가 위치함수 \( s=f(t) \) 를 갖고 직선을 따라 움직이고 있다면 \( t=a \) 와 \( t=b \) 사이에서 평균속도는 \[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \] 이고. \( t=c \) 에서의 속도는 \( f^{\prime}(c) \) 이다. 따라서 평균값 정리는 \( a \) 와 \( b \) 사이의 어떤 시각 \( t=c \) 에서의 순간속도 \( f^{\prime}(c) \) 는 평균속도와 같음을 말해주고 있다. 예를 들어, 자동차가 두 시간 동안 \( 180 \mathrm{~km} \) 를 달렸다면 평균속도가 \( 90 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \) 이므로 속도계기는 적어도 한 번은 \( 90 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \) 를 나타내어야 한다. 일반적으로, 평균값 정리는 순간변화율이 구간에서의 평균변화율과 같아지는 수가 있다는 것을 말하는 것으로 이해된다. 다음은 미적분학의 토대를 형성하는 기초적인 정리 중의 하나인데 평균값 정리를 활용하여 설명할 수 있다.</p><p>정리 3.8<ol type=a start=1><li>함수 \( f \) 가 구간 \( I \) 에서 연속이라 하자. \( I \) 의 모든 내점 \( x \) 에 대하여 \( f^{\prime}(x)=0 \) 이면 \( f \) 는 \( I \)에서 상수함수이다.</li><li>함수 \( f \) 와 \( g \) 가 구간 \( I \) 에서 연속이라 하자. \( I \) 의 모든 내점 \( x \) 에 대하여 \( f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x) \) 이면 \( (f-g) \) 는 \( I \) 에서 상수함수이다. 즉 \( I \) 내의 모든 \( x \) 에 대해서 \[ f(x)=g(x)+c \] 인 상수 \( c \) 가 존재한다.</li></ol></p> <p>정의 3.5 \( \delta>0 \) 이 존재하여 구간 \( [c-\delta, c+\delta] \) 에서 \( f \) 의 최대값이 \( f(c) \) 이면 함수 \( f \) 는 \( c \) 에서 극대값(relative maximum value) \( f(c) \) 를 갖는다고 한다. 같은 방법으로 \( \delta>0 \) 이 존재하여 \( [c-\delta, c+\delta] \) 에서 \( f \) 의 최소값이 \( f(c) \) 이면 함수 \( f \) 는 \( c \) 에서 극소값 (relative minimum value) \( f(c) \) 를 갖는다고 한다. 극대값과 극소값을 통틀어 극값 (relative extreme value)이라 한다.</p><p>정의 3.5 에 의하여 \( f \) 가 \( c \) 에서 극대값 또는 극소값을 갖게 되면 \( f \) 는 구간 \( [c-\delta, c+\delta] \) 에서 정의되어 있다는 것을 알 수 있다. 또한, 정리 3.3 과 정의 3.5 에 의하여 \( f \) 가 \( c \) 에서 극대값 또는 극소값을 갖게되면 \( c \)는 \( f \)의 임계점이다.</p><p>예제 4 함수 \( f(x)=x^{3}-3 x-2 \) 의 극대값과 극소값을 구하여라.</p><p>풀이 모든 \( x \) 에 대하여 \( f^{\prime}(x) \) 가 존재하므로 \( f^{\prime}(x)=0 \) 을 만족하는 점에서 극값을 갖는다. \[ f^{\prime}(x)=3 x^{2}-3=3\left(x^{2}-1\right)=3(x-1)(x+1) \] 이므로 \( f^{\prime}(x)=0 \) 인 점은 \( x=1,-1 \) 이다. \( f \) 가 \( x=1 \) 에서 극대값 또는 극소값을 갖기 위해서는 \( x=1 \) 에서 최대값 또는 최소값을 갖는 1 을 포함하는 구간이 존재함을 보여야 한다. \( x=-1 \) 에서도 같은 방법으로 한다. \( x=1 \) 을 포함하는 구간 \( [0,2] \) 를 택하면 \[ f(0)=-2, f(1)=-4, f(2)=0 \] 이므로 \( f(1)=-4 \) 는 \( [0,2] \) 에서 \( f \) 의 최소값이다. 그러므로 \( f(1)=-4 \) 는 \( f \) 의 극소값이다. 같은 방법으로 하면, \( x=-1 \) 을 포함하는 구간 \( [-2,0] \) 에서 \[ f(-2)=-4, f(-1)=0, f(0)=-2 \] 이므로 \( f(-1)=0 \) 은 \( [-2,0] \) 에서 \( f \) 의 최대값이다. 그러므로 \( f(-1)=0 \) 은 \( f \) 의 극대값이다.</p> <p>정의 3.4 함수 \( f(x) \) 가 \( c \) 를 포함하는 어떤 구간에서 정의되었다고 하자. \( f^{\prime}(c)=0 \) 이거나 \( f^{\prime}(c) \) 가 존재하지 않으면, \( c \) 를 \( f \) 의 임계점(critical point)이라고 한다.</p><p>함수 \( f \) 가 \( [a, b] \) 에서 정의되었다고 하자. \( f \) 의 최대값과 최소값은 정리 3.3 에 의하여 다음의 함수값 중에서 갖게 된다. 구간의 끝점 \( a, b \) 에서의 함수값 \( f(a), f(b) \)를 구하고, \( (a, b) \) 내의 모든 임계점에서 \( f \) 의 함수값들을 구하여 놓으면 그 중에서 가장 큰 값이 최대값이고 가장 작은 값이 최소값이다.</p><p>예제2 \( [0,1] \) 에서 \( f(x)=x-x^{3} \) 의 최대값과 최소값을 구하여라</p><p>풀이 \( f(x) \) 가 \( [0,1] \) 에서 연속함수이므로, 최대-최소값 정리에 의하여 최대값과 최소값이 존재한다. \[ f^{\prime}(x)=1-3 x^{2} \] 에서 \( f^{\prime}(x)=0 \) 을 만족하는 점은 \( x=\pm \frac{\sqrt{3}}{3} \) 이다. 그런데 \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \notin[0,1] \) 이므로 \( [0,1] \) 에서 \( f \) 의 임계점은 \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) 이다. \[ \begin{array}{c} f(0)=0, \quad f(1)=0 \\ f\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}-\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{9}=\frac{2 \sqrt{3}}{9} \end{array} \] 이므로, \( [0,1] \) 에서 \( f \) 의 최대값은 \( \left(x=\frac{\sqrt{3}}{3}\right. \) 에서) \( \frac{2 \sqrt{3}}{9} \) 이고, 최소값은 \( (x=0, x=1 \) 에서 0 이다(그림 3.3).</p><p>예제 3 \([-1,1] \) 에서 \( f(x)=x^{\frac{2}{3}} \) 의 최대값과 최소값을 구하여라.</p><p>풀이 \( =f^{\prime}(x)=\frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}=\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} \) 이므로 \( f^{\prime}(x)=0 \) 인 \( x \) 점은 없고, \( x=0 \) 에서 \( f \) 는 미분가능하지 않다. 따라서 \( x=0 \) 는 \( f \) 의 임계점이다. \[ \begin{array}{l} f(-1)=1 \\ f(0)=0 \\ f(1)=1 \end{array} \] 이므로, \( [-1,1] \) 에서 \( f \) 의 최대값은 1이고, 최소값은 0 이다.</p><p>위의 '예제 2 ', '예제 3 '에서 최대값이나 최소값을 갖는 점은 그 점을 증심으로 하는 근방에서 함수값이 가장 작거나 가장 크다. 어떤 구간의 한 가운데 점에서의 함수값이 최대 혹은 최소가 되기 위해서는 그래프에서 그 점이 볼록하거나 오목한 점 혹은 뽀족한 점이 됨을 알 수 있다. 양 끝점을 제외하고는 이러한 점에서 최대, 최소가 존재하므로 이러한 점에서의 함수값을 다음과 같이 정의한다.</p> <p>예제 6 뚜껑이 없는 직육면체의 금속상자를 만들려고 한다. 한 변이 10인치(inches)인 정사각형의 금속판에서 네 귀를 정사각형으로 도려내어 만들고자 하는데, 높이를 얼마로 하면 최대의 부피를 갖는 상자를 만들 수 있겠는가?</p><p>풀이 \( x \) 를 네 귀에서 잘라낼 정사각형의 한 변의 길이라 하자. 금속판의 한 변의 길이가 10 인치이므로 \( 0 \leq x \leq 5 \) 이다. 만들어진 상자의 높이는 \( x \) 인치이고, 밑변의 한 변의 길이는 \( 10-2 x \) 인치이다. \( V \) 를 만들어진 상자의 부피라 하면 \[ V=x(10-2 x)^{2}=4 x^{3}-40 x^{2}+100 x, 0 \leq x \leq 5 \] \( [0,5] \) 에서 \( V \) 의 최대값을 구하기 위하여 \( (0,5) \) 에서 \( V \) 의 임계점을 구하자. \[ \begin{aligned} V^{\prime}(x) &=12 x^{2}-80 x+100=4\left(3 x^{2}-20 x+25\right) \\ &=4(3 x-5)(x-5) \end{aligned} \] 이므로 \( x=\frac{5}{3}, 5 \) 에서 \( V^{\prime}(x)=0 \) 이다. 따라서 \( (0,5) \) 에서 임계점은 \( x=\frac{5}{3} \) 이다. 표에 의해서 극대값 \( V\left(\frac{5}{3}\right)=\frac{5}{3}\left(\frac{20}{3}\right)^{2}=\frac{2000}{27} \) 을 갖는다. \[ V(0)=0, \quad V(5)=0, \quad \text { 극대값 } V\left(\frac{5}{3}\right)=\frac{2000}{27} \] 을 비교하면 \( x=\frac{5}{3} \) 에서 \( V \) 는 최대부피 \( \frac{2000}{27} \) 을 갖는다. 그러므로 구하는 높이는 \( \frac{5}{3} \) 인치이다.</p><p>예제 7 반경 \( r \), 높이 \( h \) 인 직원뿔에 내접하는 원기둥 중에서 체적이 가장 큰 것의 높이를 구하여라.</p><p>풀이 내접하는 원기등의 반경과 높이를 각각 \( x, y \) 라 하면 원기등의 체적은 \[ V=\pi x^{2} y \] 이다. 삼각형의 닮음바를 이용하면 \[ \frac{x}{r}=\frac{h-y}{h} \text {, 즉 } y=\frac{h}{r}(r-x) \] 를 얻는다. 하나의 변수로 \( V \) 를 나타내면 \[ V=\pi x^{2} y=\pi x^{2}\left(\frac{h}{r}(r-x)\right)=\frac{\pi h}{r}\left(r x^{2}-x^{3}\right), 0 \leq x \leq r \] 이다. \( [0, r] \) 에서 \( V \) 의 최대값을 구하기 위하여 \( (0, r) \) 에서 \( V \) 의 임계점을 구하자. \[ V^{\prime}(x)=\frac{\pi h}{r}\left(2 r x-3 x^{2}\right)=\frac{\pi h}{r} x(2 r-3 x) \] 이므로, \( V^{\prime}(x)=0 \) 인 점은 \( x=0, \frac{2}{3} r \) 이다. 따라서 \( (0, r) \) 에서 임계점은 \( \frac{2}{3} r \) 이다. \[ \begin{array}{l} V^{\prime \prime}(x)=\frac{\pi h}{r}(2 r-6 x), \\ V^{\prime \prime}\left(\frac{2}{3} r\right)=\frac{\pi h}{r}(2 r-4 r)=-2 \pi h<0 \end{array} \] 이므로 \( V\left(\frac{2}{3} r\right) \) 은 극대값이다. \( 0 \leq x \leq r \) 에서는 극대값 \( V\left(\frac{2}{3} r\right) \) 이 최대값이 된다. 따라서 \( x=\frac{2}{3} r \) 에서 최대값을 가지므로 구하고자 하는 높이는 \( y=\frac{h}{r}\left(r-\frac{2}{3} r\right)=\frac{h}{3} \) 이다. 구간 \( I \) 가 폐구간이 아니거나 유계가 아니면, \( I \) 에서 연속인 함수 \( f \) 는 \( I \) 에서 반드시 최대값 (또는 최소값)을 갖지 않는다. 그러나 최대값(또는 최소값)이 존재하면 3.3 절의 앞 부분에서 다룬 것들을 이용하여 구할 수 있다.</p> <p>예제3 \( f(x)=\frac{x}{(x+1)^{2}} \) 의 그래프를 그려라.</p><p>풀이 \( x=0 \) 일 때 \( f(x)=0, f(x)=0 \) 일 때 \( x=0 \) 이므로 \( x \) 절편, \( y \) 절편은 0 이다. 즉 좌표축과의 교점은 원점뿐이다. \[ f(-x)=\frac{-x}{((-x)+1)^{2}} \] 이므로 \( f(-x) \neq f(x), f(-x) \neq-f(x) \) 이다. 따라서 \( y \) 축 또는 원점에 관하여 대칭이 아니다. \[ \begin{array}{l} f^{\prime}(x)=\frac{(x+1)^{2}-2 x(x+1)}{(x+1)^{4}}=\frac{1-x}{(x+1)^{3}}, \\ f^{\prime \prime}(x)=\frac{(-1)(x+1)^{3}-(1-x) 3(x+1)^{2}}{(x+1)^{6}}=\frac{2(x-2)}{(x+1)^{4}} \end{array} \]</p><p>이므로 \( f^{\prime}(x)=0 \) 인 점은 \( x=1 \) 이고, \( f^{\prime \prime}(x)=0 \) 인 점은 \( x=2 \) 이다. 또한, \( x=-1 \) 에서 \( f(x), f^{\prime}(x) \), 그리고 \( f^{\prime \prime}(x) \) 가 정의되지 않는다. \( -1<x<1 \) 에 대하여 \( f^{\prime}(x)>0 \) 이므로 \( [-1,1] \) 에서 \( f \) 는 강한증기하고, \( x<-1 \) 과 \( x>1 \) 에 대하여 \( f^{\prime}(x)<0 \) 이므로 \( (-\infty,-1] \) 과 \( [1, \infty) \) 에서 \( f \) 는 강한감소한다. 따라서 \( f(1)=\frac{1}{4} \) 은 극대값이다. \( (-\infty,-1) \) 과 \( (-1,2) \) 에서 \( f^{\prime \prime}(x)<0 \) 이므로 \( f \) 의 그래프는 아래로 오목하고, \( (2, \infty) \) 에서 \( f^{\prime \prime}(x)>0 \) 이므로 \( f \) 의 그래프는 위로 오목하다. 그러므로 \( \left(2, \frac{2}{9}\right) \) 는 변곡점이다. 다음은 점근선을 칮아보자. \[ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x}{(x+1)^{2}}=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x}{(x+1)^{2}}=0 \] 이므로 직선 \( y=0 \) 은 수평점근선이고. \[ \lim _{x \rightarrow-1} \frac{x}{(x+1)^{2}}=-\infty \] 이므로 직선 \( x=-1 \) 은 수직점근선이다. 이상을 종합하여 \( f(x) \) 의 그래프를 그리면 다음(그 림 3.32 )과 같다.</p> <p>D. 점근선<ol type=i start=NaN><li>수평점근선. \( \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=L \) 또는 \( \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=L \) 이면 직선 \( y=L \) 은 곡선 \( y=f(x) \) 의 수평점근선이다. \( \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty \) (또는 \( -\infty \) )로 판명되면 오론쪽에 대한 점근선은 얻을 수 없지만 곡선을 그리는 데 있어서는 유용한 정보가 된다.</li><li>수직점근선. 다음 중 적어도 하나를 만족하면 직선 \( x=a \) 가 수직점근선이다. \( \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\infty, \quad \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=\infty, \quad \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=-\infty, \quad \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=-\infty \)</li></ol>유리함수에 대해서는 공통인수를 제거한 후 분모를 0 으로 둠으로써 수직점근선을 알 수 있지만 이 방법은 다른 함수에는 적용할 수 없다. 더욱이, 곡선을 그리는 데 있어서 위에 있는 사실들이 성립함을 정확히 하는 것이 매우 유용하다. 만약 \( f(a) \) 는 정의되지 않지만 \( a \) 가 \( f \) 의 정의역에서 끝점이면 \( \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x) \) 또는 \( \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x) \) 를 구하여야 한다.</p><p>E. 증가 또는 감소 판정법을 이용한다. \( f^{\prime}(x) \) 를 계산하고 \( f^{\prime}(x) \) 가 양 \( (f \) 는 증가) 그리고. \( f^{\prime}(x) \) 가 음(f는 감소)이 되는 구간을 구한다.</p><p>F. 극소값과 극대값 \( f \) 의 임계수 \( \left[f^{\prime}(c)=0\right. \) 또는 \( f^{\prime}(c) \) 가 존재하지 않는 수 \( \left.c\right] \) 를 구한다. 그리고 일계도함수 판정법을 이용한다. 만약 \( f^{\prime} \) 이 임계수 \( c \) 에서 양으로부터 음으로 변하면, \( f(c) \) 는 극대값이다. 만약 \( f^{\prime} \) 이 \( c \) 에서 음으로부터 양으로 변하면 \( f(c) \) 는 극소값이다. 통상적으로 일계도함수 판정법을 사용하지만 만약 \( c \) 가 \( f^{\prime \prime}(c) \neq 0 \) 인 임계수이면 이계도함수 판정법을 이용할 수도 있다. 이때 \( f^{\prime \prime}(c)>0 \) 이면 \( f(c) \) 는 극소값이고 반면 \( f^{\prime \prime}(c)<0 \) 이면 \( f(c) \) 는 극대값이다.</p><p>G. 오목성과 변곡점 \( f^{\prime \prime}(x) \) 를 계산하고 오목성 판정법을 이용한다. \( f^{\prime \prime}(c)>0 \) 이면 곡선은 의로 오목하고 \( f^{\prime \prime}(c)<0 \) 이면 아래로 오목목이다. 변곡점은 오목성의 방향이 바뀌는 점이다.</p><p>H. 곡선 그리기 A항에서 G 항까지의 정보를 이용하여 그래프를 그려라. 점선으로 점근 선을 그린다. 절편, 극대와 극소점, 그리고 변곡점을 표시한다. 이 점들을 지나면서 E에 의하여 올라가고. 내려가고, \( \mathrm{G} \) 에 의하여 오목성을 참고하면서 점근선에 접근하는 곡선을 그린다. 어떤 점 가까이에서 좀더 정확성이 요구된다면 그 점에서 도함수의 값을 계산할 수 있다. 접선은 곡선이 진행하는 방향을 나타낸다.</p> <p>예제 1 \( f(x)=x^{3}-3 x+2 \) 의 그래프를 그려라.</p><p>풀이 \( =f(0)=2 \) 이므로, \( y \) 절편은 2 이다. \( f(x)=x^{3}-3 x+2=(x-1)^{2}(x+2) \) 이므로, \( f(x)=f(-2)=0 \) 이다. 즉 \( x \) 절편은 \( 1,-2 \) 이다. \[ f^{\prime}(x)=3 x^{2}-3=3\left(x^{2}-1\right)=3(x-1)(x+1), \quad f^{\prime \prime}(x)=6 x \]에서 \( f^{\prime}(x)=0 \) 인 점은 \( x=-1,1 \) 이다. 표에 의하면 \( x<-1, x>1 \) 에 대하여 \( f^{\prime}(x)>0 \) 이므로 \( (-\infty,-1],[1, \infty) \) 에서 \( f \) 는 강한증가하고, \( -1<x<1 \) 에 대하여 \( f^{\prime}(x)<0 \) 이므로 \( [-1,1] \) 에서 \( f \) 는 강한감소한다. 따라서 \( x=-1 \) 에서 \( f^{\prime}(x) \) 의 부호가 \( + \) 에서 \( - \) 로 변하므로 \( f(-1)=4 \) 는 극대값이고, \( x=1 \) 에서 \( f^{\prime}(x) \) 의 부호가 \( - \) 에서 +로 변하므로 \( f(1)=0 \) 은 극소값이다. \( f^{\prime \prime}(x)=0 \) 인 점을 구하면 \( x=0 \) 이다. \( (-\infty, 0) \) 에서 \( f^{\prime \prime}(x)<0 \) 이므로 \( f \) 의 그래프는 아래로 오목하고, \( (0, \infty) \) 에서 \( f^{\prime \prime}(x)>0 \) 이므로 \( f \) 의 그래프는 위로 오목하다. 그러므로 \( (0,2) \) 는 변곡점이 다. 이상을 종합하여 그래프를 그리면 다음 ( 그림 3.30)과 같다.</p><p>예제 2 \( f(x)=\frac{2}{1+x^{2}} \) 의 그래프를 그려라.</p><p>풀이 \( f(0)=2 \) 이므로, \( y \) 절편은 2 이다. 그러나 모든 \( x \) 에 대하여 \( f(x)>0 \) 이므로, \( x \) 절편은 없다. \( f(-x)=f(x) \) 이므로 \( f \) 의 그래프는 \( y \) 축에 대칭이다. \[ \begin{array}{l} f^{\prime}(x)=\frac{-4 x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}, \\ f^{\prime \prime}(x)=\frac{-4\left(1+x^{2}\right)^{2}+4 x(2)\left(1+x^{2}\right)(2 x)}{\left(1+x^{2}\right)^{4}}=\frac{4\left(3 x^{2}-1\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{3}} \end{array} \] 에서 \( f^{\prime}(x)=0 \) 인 점은 \( x=0 \) 이다. \( x<0 \) 에 대하여 \( f^{\prime}(x)>0 \) 이므로 \( (-\infty, 0] \) 에서 \( f \) 는 강한증가하고, \( x>0 \) 에 대하여 \( f^{\prime}(x)>0 \) 이므로 \( [0, \infty) \) 에서 \( f \) 는 강한감소한다. 따라서 \( x=0 \) 에서 \( f^{\prime} \) 의 부호가 변하므로 \( f(0)=2 \) 는 극대값이다. 변곡점을 구하기 위하여 \( f^{\prime \prime}(x)=0 \) 인 점을 구하면, \( x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}} \) 이다. \( \left(-\infty,-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \) 과 \( \left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \infty\right) \) 에서 \( f^{\prime \prime}(x)>0 \) 이므로 \( f \) 의 그래프는 위로 오목하고, \( \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \) 에서 \( f^{\prime \prime}(x)<0 \) 이므로 \( f(x) \) 의 그래프는 아래로 오목하다. 그러므로 \( \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{3}{2}\right),\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{3}{2}\right) \) 은 변곡점이다. \[ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2}{1+x^{2}}=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2}{1+x^{2}}=0 \] 이므로 \( y=0 \) 인 \( x \) 축이 \( f \) 의 그래프의 수평점근선이다. 이상을 종합하여 그래프를 그리면 다음(그림 3.31 )과 같다.</p> <p>예제8그림 3.20 과 같이 둘레의 길이가 440야드(yards)인 육상경기 트랙(track)을 만들려고 한다. 트랙으로 둘러싸인 경기장에서 직사각형 부분의 면적이 최대가 되게 하기 위하여 트랙의 치수를 얼마로 하면 되겠는가?</p><p>풀이한 두 반원의 반경을 \( r(>0) \) 이라 하고, 경기장의 직사각형에서 길이를 \( x \) 라 하자. 직 사각형의 길이가 \( x \) 이고, 폭이 \( 2 r \) 이므로 직사각형의 녋이를 \( A \) 라 하면 \[ A=2 r x \] 이다. 트랙 둘레의 길이가 \( 2 x+2 \pi r \) 이므로 \[ 2 x+2 \pi r=440 \text {, 즉 } x=220-\pi r \] 이다. 따라서 \[ A=2 r x=2 r(220-\pi r)=440 r-2 \pi r^{2}, 0<r<\frac{220}{\pi} \] \[ A^{\prime}(r)=440-4 \pi r=4(110-\pi r), A^{\prime \prime}(r)=-4 \pi \] 를 얻는다. \( A^{\prime}(r)=0 \) 인 점은 \( r=\frac{110}{\pi} \) 이고, \[ A^{\prime \prime}\left(\frac{110}{\pi}\right)=-4 \pi<0 \] 이므로, \( A \) 는 \( r=\frac{110}{\pi} \) 에서 극대값 \( A\left(\frac{110}{\pi}\right) \) 을 갖는다. \( 0<r<\frac{220}{\pi} \) 에서는 극대값 \( A\left(\frac{110}{\pi}\right) \) 이 최대값이 된다. 이때 \( x=220-\pi\left(\frac{110}{\pi}\right)=110 \) 이다. 그러므로 직사각형의 길이가 110 야드이고, 반원들의 반경이 \( \frac{110}{\pi} \) 야드인 트랙일 때 경기장에서 직사각형의 면적이 최대가 된다.</p><p>예제 9 정오에 요트가 화물선의 \( 20 \mathrm{~km} \) 남쪽 지점에 위치하고 있다. 요트는 \( 20 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \) 속도로 동 쪽으로 항해 중이고, 화물선은 \( 40 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \) 속도로 남쪽으로 항해 중이다. 시계거리가 \( 10 \mathrm{~km} \) 라면 두 배 위의 사람들이 항해 중에 서로 볼 수 있겠는가?</p> <p>예제 1 \( f(x)=4 x^{3}-6 x^{2}-9 x \) 가 어떤 구간에서 위로 오목 또는 아래로 오목한지 결정하고, 대략적인 그래프를 그려라.</p><p>풀이 \( f \) 의 그래프의 오목성을 조사하자. \[ f^{\prime}(x)=12 x^{2}-12 x-9, \quad f^{\prime \prime}(x)=24 x-12=12(2 x-1) \] 이므로, \( f^{\prime \prime}(x)=0 \) 인 점은 \( x=\frac{1}{2} \) 이다. \( \left(-\infty, \frac{1}{2}\right) \) 에서 \( f^{\prime \prime}(x)<0 \) 이므로 아래로 오목 하고, \( \left(\frac{1}{2}, \infty\right) \) 에서 \( f^{\prime \prime}(x)>0 \) 이므로 위로 오목하다. 그래프를 그리기 위하여 극값을 구하자. \[ \begin{aligned} f^{\prime}(x) &=12 x^{2}-12 x-9=3\left(4 x^{2}-4 x-3\right) \\ &=3(2 x+1)(2 x-3)=0 \end{aligned} \] 이므로, \( f^{\prime}(x)=0 \) 인 점은 \( x=-\frac{1}{2}, \frac{3}{2} \) 이다. 그런데 \[ f^{\prime \prime}\left(-\frac{1}{2}\right)=-24<0, f^{\prime \prime}\left(\frac{3}{2}\right)=24>0 \] 이므로, \( f \) 는 \( x=-\frac{1}{2} \) 에서 극대값 \( f\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{2} \) 를 갖고, \( x=\frac{3}{2} \) 에서 극소값 \( f\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{27}{2} \) 을 갖는다. 위의 사실을 종합하여 \( f \) 의 그래프를 그리면 다음(그림 3.24)과 같다.</p><p>정의 3.15 곡선 위의 점 \( P \) 에서 곡선이 아래로 오목에서 위로 오목, 또는 위로 오목에 서 아래로 오목으로 변할 때 점 \( P \) 를 변곡점이라고 한다. 즉 곡선의 오목선이 변하는 점을 변곡점이라고 한다.</p><p>\( f^{\prime}(c) \) 가 존재하고 \( c \) 를 포함하는 개구간에서 \( f^{\prime \prime} \) 가 존재할 때, \( c \) 에서 \( f^{\prime \prime} \) 의 부호가 변하면 점 \( (c, f(c)) \) 는 변곡점이다. 그 위에 \( f^{\prime \prime}(c) \) 가 존재하고, \( f^{\prime \prime} \) 가 \( c \) 에서 연속이면 \( f^{\prime \prime}(c)=0 \) 이다. 따라서 변곡점을 구하려면 다음과 같이 하면 된다.<ol type=a start=1><li>\( f^{\prime \prime}(x)=0 \) 인 \( x=c \) 를 찾는다.</li><li>(1)에서 구한 각 \( c \) 에서 \( f^{\prime \prime} \) 의 부호가 변하는지를 조사한다.</li><li>\( c \) 에서 \( f^{\prime \prime} \) 의 부호가 변하면 \( (c, f(c)) \) 는 변곡점이다.</li></ol></p> <p>증명 (a) \( x \) 와 \( z \) 를 \( x<z \) 인 \( I \) 내의 임의의 두 점이라 하자. 평균값 정리에 의하여 \( (x, z) \) 내의 \( c \) 가 존재하여 \[ \frac{f(z)-f(x)}{z-x}=f^{\prime}(c) \] 를 만족한다. 가정에 의하여 \( f^{\prime}(c)=0 \) 이므로 \[ f(z)-f(x)=0, \text { 즉 } f(z)=f(x) \] 이다. \( I \) 내의 임의의 두 점 \( x, z \) 에 대하여 위의 식이 성립하므로 \( f \) 는 \( I \) 에서 상수함수이다.</p><p>(b) \( (f-g) \) 가 (a)의 조건을 만족한다. 따라서 \( (f-g) \) 는 \( I \) 에서 상수함수이다. 즉 \( I \)내의 모든 \( x \) 에 대하여 \[ f(x)=g(x)+c \] 인 상수 c가 존재한다.</p><p>함수 \( f \) 가 \( I \) 에서 정의되었다고, 하자. \( I \) 내의 모든 \( x \) 에 대하여 \[ F^{\prime}(x)=f(x) \] 를 만족하는 \( F(x) \) 를 \( f \) 의 역도함수(antiderivative)라 한다. 예를 들면, \( 3 x^{2} \) 의 역도함수는 \( x^{3} \) 이다. 또한, 정리 3.8 의 (b)에 의하여 \( x^{3}+c \) (c는 상수)도 모두 \( 3 x^{2} \) 의 역도함수임을 알 수 있다.</p><p>예제 3<ol type=a start=1><li>\( f(x)=x^{2}-4 x \) 의 역도함수를 구하여라.</li><li>\( f^{\prime}(x)=\cos x, f\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1 \) 인 \( f(x) \) 를 구하여라.</li></ol></p><p>풀이 (a) \( \frac{1}{3} x^{3} \) 이 \( x^{2} \) 의 역도함수이고, \( -2 x^{2} \) 이 \( -4 x \) 의 역도함수이므로 임의의 상수 \( c \) 에 대해서 함수 \( \frac{1}{3} x^{3}-2 x^{2}+c \) 는 모두 \( f(x)=x^{2}-4 x \) 의 역도함수가 된다. (b) \( \cos x \) 는 \( \sin x \) 의 도함수이므로, \( g(x)=\sin x \) 라 하면 \[ g^{\prime}(x)=\cos x=f^{\prime}(x) \] 이다. 정리 3.8 의 (b)에 의하여 \[ f(x)=g(x)+c=\sin x+c \quad(c \text { 는 상수 }) \] 이다. \( f\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1 \) 이므로 \( -1=f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin \frac{\pi}{2}+c=1+c \), 즉 \( c=-2 \) 이다. 그러므로 \( f(x)=\sin x-2 \) 이다.</p><p>다음은 주어진 함수의 그래프 개형을 그리는데 필요한 증가, 감소에 대한 정의로 이로부터 도함수를 활용하여 그래프 개형을 그리는 방법을 탐색할 수 있다.</p> <p>예제4 \( f(x)=x^{4} \) 의 극값을 구하여라.</p><p>풀이 \(f^{\prime}(x)=4 x^{3}, f^{\prime \prime}(x)=12 x^{2} \) 이며, \( f^{\prime}(x) \) 인 점은 \( x=0 \) 이다. 그러나 \( f^{\prime \prime}(0)=0 \) 이므로 제 2계 도함수 판정법을 사용할 수 없다. 그러므로 제1계 도함수 판정법을 사용하자. \( f^{\prime} \) 의 부호에 따라 \( f \) 의 증감을 표로 나타내자. 표에 의하여 \( f \) 는 \( x=0 \) 에서 극소값 \( f(0)=0 \) 을 갖는다.</p><p>예제5 \(f(x)=3 x^{4}-4 x^{3} \) 의 극값을 구하고, 대략적인 \( f \) 의 그래프를 그려라.</p><p>풀이 \( =f^{\prime}(x)=12 x^{3}-12 x^{2}=12 x^{2}(x-1), f^{\prime \prime}(x)=36 x^{2}-24 x \) 으며, \( f^{\prime}(x)=0 \) 인 점은 \( x=0,1 \) 이다. \( f^{\prime \prime}(1)=12>0 \) 이므로 극소값 \( f(1)=-1 \) 을 갖 는다. 그러나 \( f^{\prime \prime}(0)=0 \) 이므로 제2 계 도함수 판정법은 사용할 수 없다. 따라서 제 1 계 도함수 판정법을 사용하자. \( x<0 \) 일 때 \( f^{\prime}(x)<0 \) 이고, \( 0<x<1 \) 일 때도 \( f^{\prime}(x)<0 \) 이므로 \( f \) 는 \( x=0 \) 에서 극값을 갖지 않는다. 사실, 0 을 제외한 \( (-\infty, 1) \) 에서 \( f^{\prime}(x)<0 \) 이므로 \( f \) 는 \( (-\infty, 1) \) 에서 강한감소한다. 수학이나 수학의 응용분야에서 어떤 양의 최대값이나 최소값을 구해야 하는 문제가 나타난다. 이와 같은 응용문제들을 다루어보자. 우리는 최대-최소값 정리(정리 3.2)에서 \( f \) 가 유계인 폐구간 \( [a, b] \) 에서 연속함수일 때, \( f \) 는 최대값과 최소값을 갖는다는 것을 알았다. 더군다나 이 값들은 구간의 끝점 \( a, b \) 또는 \( (a, b) \) 내의 임계점들에서만 나타난다는 것을 알 수 있었다.</p> <p>\( I \) 가 \( f \) 의 정의역이면, \( I \) 위에서 \( f \) 의 최대값을 \( f \) 의 최대값이라 하고, \( I \) 위에서 \( f \) 의 최소값을 \( f \) 의 최소값이라 한다. 다음 예제는 모든 함수가 최대값이나 최소값을 갖는 것이 아님을 보여준다.</p><p>예제1 \[ f(x)=\left\{\begin{array}{lc} x, & 0 \leq x<1 \\ \frac{1}{2}, & x=1 \end{array}\right. \] 으로 정의된 함수의 최대값과 최소값을 구하여라.</p><p>풀이 함수 \( f(x) \) 의 치역은 \( [0,1) \) 이므로 \( f(x) \) 의 최소값은 0 이고, 최대값은 존재하지 않는다.</p><p>다음 정리는 폐구간 \( I \) 위에서 연속인 함수의 증요한 성질을 나타내고 있다. 이 정리는 실수집합 \( \mathrm{R} \) 의 성질을 이용하여 중명이 되지만 수준이 높으므로 중명은 생략한다.</p><p>정리 3.2 (최대-최소값 정라) 함수 \( f(x) \) 가 폐구간 \( [a, b] \) 에서 연속이라 하자. 그러면 \( f \) 는 폐구간 \( [a, b] \) 위에서 최대값과 최소값을 갖는다.</p><p>예를 들면 \( f(x)=x-x^{3}, 0 \leq x \leq 1 \) 은 폐구간 \( [0,1] \) 에서 연속이다. 따라서 최대-최소값 정리에 의하여 폐구간 \( [0,1] \) 위에서 최대값과 최소값을 갖는다.</p><p>정리 3.3 함수 \( f(x) \) 가 폐구간 \( [a, b] \) 에서 정의되었다고 하자. 개구간 \( (a, b) \) 내의 \( c \) 에서 미분가능하고, \( c \) 에서 폐구간 \( [a, b] \) 위의 \( f \) 의 최대값 또는 최소값을 갖는다면, \( f^{\prime}(c)=0 \) 이다.</p><p>함수 \( f(x)=\cos x \) 는 \( x=2 n \pi \) ( \( n \) : 정수)에 대해서 함수값이 1 이 되어 최대값을 가지며 \( x=(2 n+1) \pi(n \) : 정수)에 대해서는 함수값이 \( -1 \) 이 되어 최소값을 갖는다. 그런데 \( f^{\prime}(x)=-\sin x \) 이므로 \( f(x) \) 가 최대값이나 최소값을 갖는 점에서는 \( f^{\prime}(x)=0 \) 이 된다. 한편, \( g(x)=\|x\| \) 는 \( x=0 \) 에서 최소값을 갖지만 이 점에서 미분가능하지 않다. 즉 \( g^{\prime}(0) \)이 존재하지 않는다. 이처럼 주어진 함수가 어떤 점에서 최대값이나 최소값을 갖는 것과 그 함수의 도함수값이 0이거나 존재하지 않는 것은 밀접한 관련이 있다. 그래서 이러한 점을 따로 정의한다.</p> <h2>연 습 문 제 3.1</h2><p>1 . 다음 주어진 함수의 모든 임계점을 구하여라.<ol type=1 start=1><li>\( f(x)=x^{2}+4 x+6 \)</li><li>\( g(x)=x+\frac{1}{x} \)</li><li>\( h(x)=3 x^{\frac{2}{5}} \)</li><li>\( k(x)=x+\sin x \)</li></ol></p><p>2 . 다음 주어진 함수의 주어진 구간에서 최대값, 최소값을 구하여라.<ol type=1 start=1><li>\( f(x)=x-x^{3} ;[2,4] \)</li><li>\( g(x)=x^{3}:[-1,1] \)</li><li>\( h(x)=-\frac{1}{2 x} ;(0, \infty) \)</li><li>\( k(x)=\sqrt{1+x^{2}} ;[-2,3] \)</li></ol></p><p>3. 다음 주어진 함수의 극대값, 극소값을 구하여라.<ol type=1 start=1><li>\( f(x)=x^{3}-3 x^{2} \)</li><li>\( g(x)=x^{5}-20 x \)</li><li>\( h(x)=\sec \pi x \)</li></ol></p><h1>3.2 평균값 정리와 응용</h1><p>평균값 정리는 자체적으로도 여러 가지 응용문제를 해결하는데 활용될 수 있지만, 같은 도함수를 갖는 두 함수의 관계를 설명하는데 결정적인 역할을 해서 부정적분 개념을 도입 하는데 핵심적인 역도함수를 정의하는 토대를 마련한다. 뿐만 아니라, 주어진 함수의 미분계수를 활용하여 함수값이 어떻게 변화하는지 확인하는 방법을 제공하여 함수 그래프의 개형을 파악할 수 있게 한다. 평균값 정리를 증명하기 위해서는 다음 정리가 필요하다.</p><p>정리 3.6 (롤의 정리) 함수 \( f \) 가 폐구간 \( [a, b] \) 에서 연속이고, 개구간 \( (a, b) \) 에서 미분가능하다고 하자. \( f(a)=f(b) \) 이면 \( (a, b) \) 내에 적어도 한 점 \( c \) 가 존재하여 \[ f^{\prime}(c)=0 \] 이다.</p><p>증명 \( f \) 가 상수함수이면, \( f^{\prime}(x)=0 \) 이므로 \( (a, b) \) 내의 모든 \( c \) 에서 \( f^{\prime}(c)=0 \) 이다. \( f \) 가 상수함수가 아니라고 하자. 그러면 최대-최소값 정리에 의하여 최대값과 최소값이 서로 다르게 존재한다. \( f(a)=f(b) \) 이므로 최대값과 최소값 증에서 적어도 하나는 \( (a, b) \) 내의 \( c \) 에서 갖게 된다. 가정에서 \( f \) 가 \( c \) 에서 미분가능하므로 정리3.3 에 의하여 \( f^{\prime}(c)=0 \) 이다.</p> <p>정리 3.12 (제 2계 도함수 판정법) 함수 \( f \) 의 제 2 계 도함수 \( f^{\prime \prime} \) 이 \( c \) 근방에서 연속이라고. 가정하자. 그러면 다음이 성립한다.<ol type=a start=1><li>\( f^{\prime}(c)=0 \) 이고 \( f^{\prime \prime}(c)>0 \) 이면 \( f \) 는 \( c \) 에서 극소값을 갖는다.</li><li>\( f^{\prime}(c)=0 \) 이고 \( f^{\prime \prime}(c)<0 \) 이면 \( f \) 는 \( c \) 에서 극대값을 갖는다.</li></ol>증명 (a) 이 정리는 제2계 도함수의 정의를 사용하여 엄밀하게 증명할 수 있지만 여기서는 제 1계 도함수의 부호의 변화를 활용하여 직관적으로 설명하도록 하겠다. 가정에서 \( f^{\prime \prime}(c)>0 \) 이므로 \( c \) 를 중심으로 한 작은 근방에서는 \( f^{\prime} \) 가 증가한다. 그런데 \( f^{\prime}(c)=0 \) 이므로 \( f^{\prime} \) 가 \( c \) 를 중심으로 한 작은 근방에서 연속적으로 증가하기 위해서는 \( c \) 를 중심으로 \( f^{\prime} \) 의 부호가 음에서 양으로 바뀌어야 한다. 따라서 제1계 도함수 판정법에 의해 \( f \) 는 \( c \) 에서 극소값을 갖는다. (b) (a)와 같은 방법으로 증명할 수 있다.</p><p>예제 3 \( f(x)=x^{3}-3 x-2 \) 의 극값을 구하여라.</p><p>풀이 \(f^{\prime}(x)=3 x^{2}-3=3(x-1)(x+1), f^{\prime \prime}(x)=6 x \) 이며 \( f^{\prime}(x)=0 \) 인 점은 \( x=-1,1 \) 이다. \[ f^{\prime \prime}(-1)=-6<0, f^{\prime \prime}(1)=6>0 \] 이므로 \( f \) 는 \( x=-1 \) 에서 극대값 \( f(-1)=0 \) 을 갖고, \( x=1 \) 에서 극소값 \( f(1)=-4 \) 를 갖는다.</p><p>주 \( f^{\prime}(c)=0 \) 이고 \( f^{\prime \prime}(c)=0 \) 인 경우는 제2계 도함수 판정법을 사용할 수 없다. 이 경우 는 \( f \) 가 \( c \) 에서 극소값 또는 극대값을 갖거나 둘 다 갖지 않을 수도 있다.</p> <p>\( 3.1 \) 극대와 극소</p><p>수학, 특히 미적분학을 활용하여 해결할 수 있는 증요한 응용분야 중의 하나는 어떤 일을 하는 데 있어서 최적의 방법을 찾는 최적화 문제이다. 이러한 최적화 문제는 다양한 분야에서 제기될 수 있는데 몇 가지 살펴보면 다음과 같다.<ul><li>길이가 정해진 가장 넓은 트랙을 만들기 위해서는 어떻게 해야 하는가?</li><li>가장 큰 이익을 남기기 위해서 물건의 판매가격을 어떻게 책정해야 하는가?</li><li>가속도의 영향에 효과적으로 대응해야 하는 우주비행사에게 증요한 우주왕복선의 최대 가속도는 무엇인가?</li><li>피를 끌어 올릴 때 심장에 의하여 소모되는 에너지를 최소화하기 위한 혈관지류의 각도는 얼마인가?</li></ul>이러한 문제들은 대개 정해진 영역에서 어떤 합수의 최대값 혹은 최소값을 구하는 문제로 변환된다. 정해진 영역에서 함수 \( f(x) \) 의 최대값과 최소값은 다음과 같이 정의된다.</p><p>정의 \( 3.1 \) 함수 \( f(x) \) 가 집합 \( I \) 에서 정의되어 있고, \( I \) 내의 모든 \( x \) 에 대하여 \( f(x) \leq f(d) \) 를 만족하는 \( d \) 가 \( I \) 내에 존재하면 \( f(d) \) 를 \( I \) 위에서 \( f(x) \) 의 최대값 (maximum value)이라 한다. 같은 방법으로, \( I \) 내의 모든 \( x \) 에 대하여 \( f(x) \geq f(c) \) 를 만족하는 \( c \) 가 \( I \) 내에 존재하면 \( f(c) \) 를 \( I \) 위에서 \( f(x) \) 의 최소값(minimum value)이라 한다(그림 \(3.1\)).</p> <p>예제6 \( \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{x} \) 을 구하여라.</p><p>풀이 이 극한은 부정형 \( 0^{0} \) 이다. 정의에 의하여 \( x^{x}=e^{x \ln x} \) 이므로 \[ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} e^{x \ln x} \] 이고, 지수함수는 연속이므로 \( \lim _{x \rightarrow 0^{+}} e^{x \ln x} e^{\lim _{r \rightarrow 0^{+}} x \ln x} \) 이다. 예제 5에서 \( \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \ln x=0 \) 이므로 \[ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} e^{x \ln x}=e^{0}=1 . \]</p><p>예제 7 \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e \) 임을 보여라.</p><p>풀이 우리는 좌변에 로그를 취한 극한을 구함으로써 문제를 간단히 할 수 있다. 이것은 \[ \lim _{x \rightarrow \infty} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=b \] 라고. 하면, 원래의 극한에 대한 답은 \( e^{b} \) 임을 말해준다. \[ \lim _{x \rightarrow \infty} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=\lim _{x \rightarrow \infty} x \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}} \] 이므로 마지막 극한은 로피탈의 법칙을 필요로 한다. 그 결과 \[ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}} &=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{\left(1+\frac{1}{x}\right)}\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)}{-\frac{1}{x^{2}}} \\ &=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1}{1+0}=1 \end{aligned} \] 를 얻는다. \( b=1 \) 이므로 \[ \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e^{1}=e . \]</p><h2>연 습 문 제 3.6</h2><p>1. 로피탈의 법칙을 이용하여 다음 극한을 구하여라.</p><p><ol type=1 start=1><li>\( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-1}{x} \)</li><li>\( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right)}{\frac{1}{x}} \)</li><li>) \( \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}} \frac{\tan x}{\sec x+1} \)</li><li>\( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x}{\ln x} \)</li><li>\( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan 4 x}{\tan 2 x} \)</li><li>\( \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1-\cos \sqrt{x}}{\sin x} \)</li><li>\( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tanh x-\sinh x}{x^{2}} \)</li><li>\( \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\ln \frac{1}{x}\right)^{x} \)</li><li>\( \lim _{x \rightarrow \infty} x \sin \frac{1}{x} \)</li><li>\( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln \left(x^{2}+1\right)}{\ln x} \)</li><li>\( \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{x} \)</li><li>\( \lim _{x \rightarrow \infty} x^{2}\left(1-x \sin \frac{1}{x}\right) \)</li></ol></p> <p>예제 2 \(f(x)=3 x^{4}-4 x^{3} \) 의 변곡점을 구하고, 대략적인 \( f \) 의 그래프를 그려라.</p><p>3.3절의 예제5에서 \[ f^{\prime}(x)=12 x^{3}-12 x^{2}, \quad f^{\prime \prime}(x)=36 x^{2}-24 x=12 x(3 x-2) \] 이고, \( f(1)=-1 \) 이 \( f \) 의 극소값임을 보였다. 이제 변곡점을 구하자. \( f^{\prime \prime}(x)=0 \) 인 점을 구하면 \( x=0, \frac{2}{3} \) 이다. \( x<0 \) 이면 \( f^{\prime \prime}(x)>0 \) 이고, \( 0<x<\frac{2}{3} \) 이면 \( f^{\prime \prime}(x)<0 \), 즉 \( x=0 \) 에서 \( f^{\prime \prime} \) 의 부호가 변하므로 \( (0,0) \) 는 변곡점이다. 또한 \( 0<x<\frac{2}{3} \) 이면 \( f^{\prime \prime}(x)<0 \) 이고, \( \frac{2}{3}<x \) 이면 \( f^{\prime \prime}(x)>0 \), 즉 \( x=\frac{2}{3} \) 에서 \( f^{\prime \prime} \) 의 부호가 변하므로 \( \left(\frac{2}{3},-\frac{16}{27}\right) \) 도 변곡점이다. 위의 사실을 종합하여 대략적인 \( f \) 의 그래프를 그리면 다음(그림 3.26)과 같다.</p><p>예제 3 \( f(x)=\sin x(-\pi \leq x \leq \pi) \) 의 극값과 변곡점을 구하여라.</p><p>풀이 \( f^{\prime}(x)=\cos x, f^{\prime \prime}(x)=-\sin x \) 이므로, \( (-\pi, \pi) \) 에서 \( f^{\prime}(x)=0 \) 인 점은 \( x=-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \) 이다. \[ \begin{array}{c} f^{\prime \prime}\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)=1>0, \\ f^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\sin \frac{\pi}{2}=-1<0 \end{array} \] 이므로, \( f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1 \) 은 극소값이고, \( f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 \) 은 극대값이다. 이게, 변곡점을 찾기 위하여 \( (-\pi, \pi) \) 에서 \( f^{\prime \prime}(x)=0 \) 인 \( x \) 를 구하면 \( x=0 \) 이다. 그런데 \( (-\pi, 0) \) 에서 \( f^{\prime \prime}(x)>0 \) 이고, \( (0, \pi) \) 에서 \( f^{\prime \prime}(x)<0 \) 이므로 \( (0,0) \) 는 \( f \) 의 그래프의 변곡점이다. 이제, 대략적인 \( f \) 의 그래프를 그러면 다음(그림 3.27)과 같다. 앞에서 \( f^{\prime \prime}(x)=0 \) 인 \( x \) 에서 변곡점을 찾아보았다. 그런데 \( f^{\prime \prime} \) 가 존재하지 않는 점의 좌우에서 \( f^{\prime \prime} \) 의 부호가 변하면 그 점도 변곡점이다.</p><p>예제 4 \(f(x)=x^{\frac{5}{3}} \) 의 변곡점을 구하여라.</p><p>풀이 \( =f^{\prime}(x)=\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}, f^{\prime \prime}(x)=\frac{10}{9} x^{-\frac{1}{3}}=\frac{10}{9 \sqrt[3]{x}} \quad(x \neq 0) \) 이므로 \( f^{\prime \prime}(x)=0 \) 인 점은 없고. \( f^{\prime \prime} \) 가 존재하지 않는 점은 \( x=0 \) 이다. 그런데 \( x<0 \) 이면 \( f^{\prime \prime}(x)<0 \) 이고, \( x>0 \) 이면 \( f^{\prime \prime}(x)>0 \) 이다. 따라서 \( (0,0) \) 는 \( f \) 의 그래프의 변곡점이다.</p> <p>정리 3.16 (일반화된 평균값 정리) \( f \) 와 \( g \) 가 \( [a, b] \) 에서 연속이고, \( (a, b) \) 에서 미분가능이라고 하자. \( a<x<b \) 에 대해 \( g^{\prime}(x) \neq 0 \) 이면 다음을 만족하는 수 \( c \) 가 \( (a, b) \) 에 존재한다. 증명 부록3-3 \[ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} \]<caption>(1)</caption>여기서 \( g(x)=x(a \leq x \leq b) \) 라 놓으면 식 (1)은 \[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)}=\frac{f^{\prime}(c)}{1}=f^{\prime}(c) \] 가 되어 평균값 정리가 된다. 그런 이유에서 이 정리를 일반화된 평균값 정리라 하는데, 로피탈(L'Hôpital)의 법칙을 증명하는데 중요한 역할을 한다.</p><p>\( \left[\right. \) 부정형 \( \left.\frac{0}{0}\right] \) \( \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=0=\lim _{x \rightarrow a^{+}} g(x) \) 이면 \( \lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(x)}{g(x)} \) 는 부정형 \( \frac{0}{0} \) 을 갖는다고. 한다. 우선 부정형 \( \frac{0}{0} \) 의 극한에 관한 로피탈의 법칙을 알아보자.</p><p>정리 3.17 (로피탈의 법칙) (a) \( f \) 와 \( g \) 가 \( (a, b) \) 에서 미분가능이고, \( a<x<b \) 에 대하여 \( g^{\prime}(x) \neq 0 \) 이라고 하자. \[ \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=0=\lim _{x \rightarrow a^{+}} g(x), \lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=L \] 이면 \[ \lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(x)}{g(x)}=L=\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} \] 이다. (b) \( f \) 와 \( g \) 가 \( (a, \infty) \) 에서 미분가능이고, \( x>a \) 에 대하여 \( g^{\prime}(x) \neq 0 \) 이라고 하자. \[ \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0=\lim _{x \rightarrow \infty} g(x), \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=L \] 이면 \[ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=L=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} \] 이다.</p> <p>풀이 시간 단위는 시(hour)로 한다. 시간을 \( t \) 로 표시하고, 정오를 \( t=0 \) 이라 하자. \( t(\geq 0) \) 시간이 지나면 요트는 \( 20 t \mathrm{~km} \) 를 항해하고, 화물선은 \( 40 t \mathrm{~km} \) 를 항해한다. 그림 3.21 로부터 \( t \) 시에 두 배 사이의 거리 \( D \) 는 \[ D=\sqrt{(20 t)^{2}+(20-40 t)^{2}}, t \geq 0 \] 으로 나타낼 수 있다. 여기에서 \( D \leq 10 \) 이 되는 \( t \) 가 존재함을 보여야 하므로 \( D \) 의 어떤 시 간 \( t \) 에서 \( D^{2} \) 이 최소값을 가지면, 같은 시간 \( t \) 에서 \( D \) 도 최소값을 갖게 된다. \( E=D^{2} \) 이라 하고, \( E \) 가 최소값을 갖는 시간을 구하자. \[ \begin{array}{l} E=(20 t)^{2}+(20-40 t)^{2}, t \geq 0 \\ E^{\prime}(t)=2(20 t)(20)+2(20-40 t)(-40)=4000 t-1600 \end{array} \] 이므로 \( E^{\prime}(t)=0 \) 인 \( t \) 를 구하면 \[ 4000 t-1600=0, \text { 즉 } t=\frac{2}{5} \] 이다. \[ E^{\prime \prime}(t)=4000, \quad E^{\prime \prime}\left(\frac{2}{5}\right)=4000>0 \] 이므로 \( t=\frac{2}{5} \) 에서 \( E \) 는 극소값 \( E\left(\frac{2}{5}\right) \) 를 갖는다. \( 0 \leq t \) 에서는 극소값 \( E\left(\frac{2}{5}\right) \) 가 \( E \) 의 최소 값이 된다. 따라서 \( t=\frac{2}{5} \) 에서 \( D \) 도 최소값 \( D\left(\frac{2}{5}\right) \) 를 갖게 된다. \[ \begin{aligned} D\left(\frac{2}{5}\right) &=\sqrt{\left(20 \cdot \frac{2}{5}\right)^{2}+\left(20-40 \cdot \frac{2}{5}\right)^{2}} \\ &=\sqrt{8^{2}+4^{2}}=\sqrt{80}<10 \end{aligned} \] 이므로 두 배 위의 사람들은 서로 바라볼 수 있다. 특히, 정오 이후 대략 \( \frac{2}{5} \) 시간, 즉 오후 12시 24분경에 서로 바라볼 수 있다.</p>	해석학	[ "<p>예제3 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\frac{\\frac{1}{x}}{e^{\\frac{1}{x^{2}}}} \\) 을 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\frac{1}{x}=\\infty=\\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} e^{\\frac{1}{x^{2}}} \\) 이므로 로피탈의 법칙 (a)에 의하여 \\[ \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\frac{\\frac{1}{x}}{e^{\\frac{1}{x^{2}}}}=\\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\frac{\\frac{-1}{x^{2}}}{e^{\\frac{1}{x^{2}}}\\left(-\\frac{2}{x^{3}}\\right)}=\\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\frac{x \\cdot e^{-\\frac{1}{x^{2}}}}{2}=\\frac{0 \\cdot 0}{2}=0 . \\]</p><p>예제4\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{e^{x}}{x^{2}} \\) 을 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} e^{x}=\\infty=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} x^{2} \\) 이므로 로피탈의 법칙 (b)에 의하여 \\[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{e^{x}}{x^{2}}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{e^{x}}{2 x}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{e^{x}}{2}=\\infty \\] 임을 알 수 있다.", "비숫한 방법으로 다음을 증명할 수 있다. \\", "[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{e^{x}}{x^{n}}=\\infty \\]</p><p>[그 밖의 부정형 ; \\( 0 \\cdot \\infty, 0^{0}, 1^{\\infty}, \\infty-\\infty \\) ] 이제, \\( 0 \\cdot \\infty, 0^{0}, 1^{\\infty} \\) 그리고, \\( \\infty-\\infty \\) 와 같은 여러 형태의 부정형은 부정형 \\( \\frac{0}{0} \\) 또는 \\( \\frac{\\infty}{\\infty} \\) 로 고쳐서 로피탈의 법칙을 적용하여 구할 수 있다.", "</p><p>예제 5 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} x \\ln x \\) 를 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} x=0 \\) 이고. \\", "( \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\ln x=-\\infty \\) 이므로 \\( 0 \\cdot \\infty \\) 형(정확히 \\( 0 \\cdot(-\\infty) \\) )이다.", "그러나 이것을 다음과 같이 부정형 \\( \\frac{\\infty}{\\infty} \\) 로 고칠 수 있다. \\", "[ \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\frac{\\ln x}{\\frac{1}{x}} \\] 이제, 로피탈의 법칙을 적용하면 \\[ \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\frac{\\ln x}{\\frac{1}{x}}=\\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\frac{\\frac{1}{x}}{\\frac{-1}{x^{2}}}=\\lim _{x \\rightarrow 0^{+}}(-x)=0 \\] 이므로 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} x \\ln x=0 \\) 이다.", "</p> <h2>연 습 문 제 3.5</h2><p>1. 다읍 주어진 함수의 그래프를 그려라.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=x^{3}-x^{2}-2 x \\)</li><li>\\( f(x)=x^{4}+8 x^{3}+36 x^{2}-3 \\)</li><li>\\( g(x)=x+\\frac{4}{x} \\)</li><li>\\( g(x)=\\frac{8}{x^{2}+4} \\)</li><li>\\( h(x)=\\frac{x^{2}}{x^{2}-1} \\)</li><li>\\( h(x)=\\frac{x^{2}-1}{x^{3}} \\)</li><li>\\( k(x)=\\sqrt[3]{x} \\)</li><li>\\( k(x)=(x-4)^{\\frac{2}{3}} \\)</li><li>\\( u(x)=\\sqrt{3} \\sin x+\\cos x \\)</li><li>\\( u(x)=\\sin ^{2} x \\)</li></ol></p><h1>3.6 로피탈 법칙</h1><p>극한에 관한 기본정리에 의하면, 어떤 점에서의 극한값이 각각 존재하는 두 함수에 의해 정의된 분수함수의 극한은 두 함수읙 극한의 상으로 계산될 수 있다.", "즉 \\[ \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f(x)}{g(x)}=\\frac{\\lim _{x \\rightarrow a} f(x)}{\\lim _{x \\rightarrow a} g(x)} \\] 임을 보였다.", "하지만 이 경우는 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} g(x) \\neq 0 \\) 이라는 가정이 필요하였다.", "다시 말해서, \\( \\lim _{x \\rightarrow a} g(x)=0 \\) 인 경우에는 이 공식을 적용할 수 없다.", "그러나 비록 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} g(x)=0 \\) 이지만 함수 \\( \\frac{f}{g} \\) 가 \\( a \\) 에서 극한을 갖는 예가 많이 있다.", "간단한 예로 \\( \\frac{\\sin x}{x} \\) 를 들 수 있다. \\", "( a=0 \\) 일 때 비록 분모의 극한값이 0 일지라도 \\[ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin x}{x}=1 \\] 이다.", "이 절에서는 분모가 0 에 접근할 때 분수식의 극한을 계산하는 방법에 대하여 살며보자.", "이를 위해 다음 정리가 필요하다.", "</p> <h1>3.5 그래프 그리기</h1><p>곡선 \\( y=f(x) \\) 를 손으로 그리기 위해서는 다읍 항목들이 지침이 될 것이다.", "모든 항목들이 모든 함수에 다 관련되어 있는 것은 아니다(예를 들어, 어떤 주어진 곡선은 점근선을 갖지 않거나 대칭이 아닐 수도 있다).", "그러나 이러한 지침들은 함수의 가장 증요한 점을 표현하기 위하여 필요한 모든 정보들을 제공한다.", "</p><p><ol type=A start=1><li>정의역 첫째 단계는 \\( f \\) 의 정의역, 즉 \\( f(x) \\) 가 정의되는 \\( x \\) 들의 집합 \\( D \\) 를 결정하는 것이다.", "</li><li>절편 \\( y \\) 절편은 \\( f(0) \\) 이고 곡선이 \\( y \\) 축과 만나는 곳을 말하여 준다. \\", "( x \\) 의 절편을 구하기 위하여 \\( y=0 \\) 이라 두고, \\( x \\) 에 대하여 푼다(방정식의 해를 구하는 것이 어려우면 이 단계는 생락할 수 있다).", "</li><li>대칭성<ol type=i start=1><li>만약 모든 \\( x \\in D \\) 에 대하여 \\( f(-x)=f(x) \\), 즉 곡선의 방정식이 \\( x \\) 대신 \\( -x \\) 를 대입하 여도 변하지 않을 때, \\( f \\) 는 우함수이고 곡선은 \\( y \\) 축에 관하여 대칭이다.", "이것은 우리의 일을 반으로 줄임을 뜻한다. \\", "( x \\geq 0 \\) 일 때 곡선을 알고. \\", "( y \\) 축에 관하여 대칭시키기만 하면 된다[그림 \\(3.28\\)의 (a) 참조]. \\", "( y=x^{2}, y=x^{4}, y=\|x\| \\), 그리고 \\( y=\\cos x \\) 가 이런 경우이다.", "</li><li>모든 \\( x \\in D \\) 에 대하여 \\( f(-x)=-f(x) \\) 일 때 \\( f \\) 는 기함수이고, 곡선은 원점에 관하여 대칭이다. \\", "( x \\geq 0 \\) 일 때의 곡선을 잘 알고 있다면 역시 완전한 곡선을 얻을 수 있다 [원점을 중심으로 \\( 180^{\\circ} \\) 회전 ; 그림 3.28의 (b) 참조].기함수의 간단한 예들은 \\( y=x, y=x^{3}, y=x^{5} \\), 그리고 \\( y=\\sin x \\) 등 이다.", "</li><li>만약 모든 \\( x \\in D \\) 에 대하여 \\( f(x+p)=f(x) \\), 여기서 \\( p \\) 는 양의 상수일 때 함수 \\( f \\) 를 주기함수라 하고.", "수 \\( p \\) 를 주기라고 한다.", "예를 들면, \\( y=\\sin x \\) 는 주기 \\( 2 \\pi \\) 를 갖고. \\", "( y=\\tan x \\) 는 주기 \\( \\pi \\) 를 갖는다.", "길이가 \\( p \\) 인 구간에서 함수의 그래프가 잘 알려져 있다면 완전한 그래프를 얻기 위해서는 평행이동을 이용하면 된다(그림 3.29 참조).", "</li></ol></li></ol></p> <h1>3.3 극대 - 극소 판정법</h1><p>최적화 문제는 대개 함수의 최대값 혹은 최소값을 구하는 문제로 변환되고.", "최대 ·최소 값을 구하는 문제는 결국 극대 · 극소값을 구하는 문제로 귀착된다.", "극대값 혹은 극소값 은 정의에 의해 함수의 그래프가 볼록한 점이나 오목한 점에서 갖게 되는 것을 확인하였다.", "그래프에서 볼록한 점은 함수값이 증가하다가 감소로 바뀌는 점이고 오목한 점은 함수값이 감소하다가 증가상태로 바뀌는 점이다.", "그런데 '정리 3.10 '에 의하면 도함수값의 부호에 의해 주어진 함수가 증가상태인지 감소상태인지를 확인할 수 있다.", "다시 말하면, 도함수의 부호에 의해 극대값 혹은 극소값을 판정하는 것이 가능해진다.", "이 절에서는 제 1계 혹은 제2계 도함수의 부호를 활용하여 극대값 혹은 극소값을 판정하는 방법을 알아 본다.", "</p><p>정의 3.11 (제1계 도함수 판정법) 함수 \\( f \\) 가 구간 \\( I \\) 에서 연속이고 \\( c \\) 가 \\( I \\) 안에 있는 임계수라고 하자.", "<ol type=a start=1><li>\\( f^{\\prime} \\) 의 부호가 \\( c \\) 에서 양으로부터 음으로 변하면 \\( f \\) 는 \\( c \\) 에서 극대값 \\( f(c) \\) 를 갖는다.", "</li><li>\\( f^{\\prime} \\) 의 부호가 \\( c \\) 에서 음으로부터 양으로 변하면 \\( f \\) 는 \\( c \\) 에서 극소값 \\( f(c) \\) 를 갖는다.", "</li><li>만약 \\( f^{\\prime} \\) 의 부호가 \\( c \\) 에서 변하지 않으면 \\( f \\) 는 \\( c \\) 에서 극대값 혹은 극소값을 갖지 않는 다.</li></ol></p><p>증명<ol type=a start=1><li>\\( f^{\\prime} \\) 의 부호가 \\( c \\) 에서 양으로부터 음으로 변하면 정리 \\( 3.10 \\) 에 의하여 \\( f \\) 는 \\( c \\) 를 중심으로 증가상태에서 감소상태로 바뀐다.", "다시 말해서 \\( c \\) 의 왼쪽에서는 증가하므로 어떤 \\( x \\) 에 대해서 \\( f(c) \\) 가 \\( f(x) \\) 보다 더 크게 된다.", "반대로 \\( c \\) 의 오른쪽에서는 감소하므로 어떤 \\( x \\) 에 대해서도 \\( f(c) \\) 가 \\( f(x) \\) 보다 더 크게 된다.", "따라서 이 구간에서는 \\( f(c) \\)가 최대값이 되므로 \\( f \\) 는 \\( c \\) 에서 극대값 \\( f(c) \\) 를 갖는다.", "</li><li>(a)의 경우와 마찬가지로 증명할 수 있다.", "</li><li>만약 \\( f^{\\prime} \\) 의 부호가 \\( c \\) 에서 변하지 않으면 \\( f \\) 는 \\( c \\) 를 중심으로 증가상태나 감소상태를 그대로 유지하게 되어 \\( f(c) \\) 가 최대값 혹은 최소값이 되게 하는 구간을 잡을 수 없으므로 \\( f \\) 는 \\( c \\) 에서 극대값이나 극소값을 갖지 못한다.", "</li></ol></p><p>제1계 도함수 판정법을 그래프를 이용하여 시작화하면 다음과 같다.", "</p> <p>롤의 정리는 \\( f \\) 의 그래프 위에서 접선의 기울기가 0 인 어떤 점 \\( (c, f(c)) \\) 가 존재함을 말한다. \\", "( (a, f(a)),(b, f(b)) \\) 를 지나는 직선을 \\( l \\) 이라 하면, \\( f(a)=f(b) \\) 이므로 \\( l \\) 은 수평직선이다. \\", "( c \\) 에서의 접선을 \\( l_{1} \\) 이라고 하면 \\( l \\) 과 \\( l_{1} \\) 은 평행이다.", "여기에서 \\( f(a) \\neq f(b) \\) 인 경우를 생각해보자.", "두 점 \\( (a, f(a)),(b, f(b)) \\) 를 지나는 직선을 \\( l \\) 이라 할 때, \\( l \\) 과 기울기가 같은 직선을 접선으로 갖는 점 \\( c \\) 가 \\( (a, b) \\) 내에 존재할 것인가 (그림 3.8)?", "이에 대한 답은 다음의 평균값 정리에 의하여 알 수 있다.", "</p><p>정리 3.7 (평균값 정리) \\( f \\) 가 \\( [a, b] \\) 에서 연속이고, \\( (a, b) \\) 에서 미분가능하다고 하면 \\[ f^{\\prime}(c)=\\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \\] 를 만족하는 점 \\( c \\) 가 \\( (a, b) \\) 내에 적어도 하나 존재한다.", "</p><p>증명 함수 \\( g(x) \\) 를 다음과 같이 정의하자. \\", "[ g(x)=f(x)-\\left[f(a)+\\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\\right], a \\leq x \\leq b \\] 그러면 \\( g \\) 는 함수 \\( f \\) 와 상수함수들과 1 차 함수의 결합으로 되어 있으므로 \\( g \\) 는 \\( [a, b] \\) 에서 연속이고, \\( (a, b) \\) 에서 미분가능하다. \\", "( g(a)=g(b)=0 \\) 이므로 롤의 정리에 의하여 \\[ g^{\\prime}(c)=0 \\] 인 \\( c \\) 가 \\( (a, b) \\) 내에 존재한다. \\", "[ g^{\\prime}(x)=f^{\\prime}(x)-\\frac{f(b)-f(a)}{b-a}, a<x<b \\] 이므로 \\[ 0=g^{\\prime}(c)=f^{\\prime}(c)-\\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \\] 이다.", "따라서 \\[ f^{\\prime}(c)=\\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \\] 를 만족하는 \\( c \\) 가 \\( (a, b) \\) 내에 존재한다.", "</p> <h1>연 습 문 제 3.3</h1><p>1. 다음 각 함수의 극값을 구하여라.", "<ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=x^{2}+6 x-11 \\)</li><li>\\( f(x)=x^{3}+3 x^{2}+4 \\)</li><li>\\( g(x)=x \\sqrt{1-x^{2}} \\)</li><li>\\( g(x)=\\frac{x}{16+x^{3}} \\)</li><li>\\( h(x)=\\left(x^{2}-1\\right)^{2} \\)</li><li>\\( k(x)=\\sin x+\\cos x \\)</li></ol></p><p>2. 합이 18 이고, 곱이 최대가 되는 두 양수를 구하여라.", "</p><p>3. 곱이 64 이고, 합이 최소가 되는 두 양수를 구하여라.", "</p><p>4. 점 \\( (3,0) \\) 에서 가장 가까운 곡선 \\( y=x^{2} \\) 위의 점을 구하여라.", "</p><p>5. 점 \\( (0,3) \\) 과 \\( (2,0) \\) 을 연결한 선분 위의 점 \\( (x, y) \\) 에서의 전위가 \\( P=3 x^{2}+2 y^{2} \\) 이라 하자.", "이 선분 위의 어느 점에서 전위가 최대로 되겠는가?", "</p><p>6. 빗변의 \\( 10 \\mathrm{~cm} \\) 인 직각삼각형 증에서 면적이 최대인 것의 다른 두 변의 길이를 구하여라.", "</p><p>7. \\( 100 \\mathrm{~m} \\) 인 울타리의 재료를 가지고 긴 돌담을 따라서 그 담을 한 변으로 하고, 나머지 세 변만을 울타리를 쳐서 직사각형 모양의 울타리를 치려고 한다.", "둘러막을 수 있는 가장 큰 땅의 면적은 얼마인가?", "</p><p>8. 타원 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\) 에 내접하는 최대 직사각형의 면적을 구하여라.", "</p><p>9. 부피가 \\( k \\) 인 직원기둥을 만드는데 높이와 밑면의 직경이 같으면 재료가 최소로 필요하게 됨을 보여라.", "</p><p>10. 반경 \\( r \\) 인 구에 내접하는 직원뿔의 최대 부피와 최대 겉넓이를 구하여라.", "</p> <p>제 1 계 도함수 판정법과 정리 3.10 을 이용하면 함수 \\( f \\) 의 대략적인 그래프를 그릴 수 있다.", "즉 어떤 점을 중심으로 \\( f^{\\prime} \\) 가 양에서 음으로 연속적으로 바뀌면 위로 볼록한 모양으로 그리면 되고, \\( f^{\\prime} \\) 가 음에서 양으로 연속적으로 바뀌면 아래로 볼록한 모양으로 그리면 된다.", "</p><p>예제 1 \\(f(x)=(x-1)^{2}(x-3)^{2} \\) 의 극값을 구하고, 대략적인 그래프를 그려라.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} f^{\\prime}(x) &=2(x-1)(x-3)^{2}+(x-1)^{2} 2(x-3) \\\\ &=2(x-1)(x-3)(x-3+x-1) \\\\ &=4(x-1)(x-3)(x-2) \\end{aligned} \\) 이므로 \\( f^{\\prime}(x)=0 \\) 인 점은 \\( x=1,2,3 \\) 이다.", "표에 의하여 \\( x=1 \\) 에서 극소값 \\( f(1)=0, x=2 \\) 에서 극대값 \\( f(2)=1, x=3 \\) 에서 극소 값 \\( f(3)=0 \\) 를 갖는다.", "함수 \\( f \\) 가 \\( c \\) 에서 미분가능하지 않을 때, 즉 \\( f^{\\prime}(c) \\) 가 존재하지 않는 경우에도 제 1 계 도함수 판정법(정리 3.11)에 의하여 극값을 판정할 수 있다.", "</p><p>예제 2 \\( f(x)=x^{\\frac{2}{3}} \\) 의 극값을 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( f^{\\prime}(x)=\\frac{2}{3} x^{-\\overline{3}}=\\frac{2}{3 \\sqrt[3]{x}} \\quad(x \\neq 0) \\) 이므로 \\( f^{\\prime}(x)=0 \\) 인 \\( x \\) 는 존재하지 않는다.", "하지만 \\( f \\) 가 \\( x=0 \\) 에서 미분가능하지 않으므로, 즉 \\( f^{\\prime}(0) \\) 가 존재하지 않으므로 \\( x=0 \\) 에서 극값을 조사하여 보자. \\", "( x<0 \\) 일 때 \\( f^{\\prime}(x)<0 \\) 이고, \\( x>0 \\) 일 때 \\( f^{\\prime}(x)>0 \\) 이다.", "즉 \\( f^{\\prime} \\) 의 부호가 0 에서 음에서 양으로 변한다. \\", "( f \\) 는 \\( (-\\infty, \\infty) \\) 에서 연속이므로 제1 계 도함수 판정법에 의하여 \\( f(0)=0 \\) 은 \\( f \\) 의 극소값이 된다.", "</p> <h1>3.4 함수 그래프의 오목성과 변곡점</h1><p>정의 3.13 함수 \\( f \\) 의 그래프가 구간 \\( (a, b) \\) 위의 각 점에서의 접선보다 위에 있을 때, \\( f \\) 는 \\( (a, b) \\) 에서 위로 오목(concave upward) 혹은 아래로 볼록이라 하고 \\( f \\) 의 그래프가 구간 \\( (a, b) \\) 위의 각 점에서의 접선보다 아래에 있을 때, \\( f \\) 는 \\( (a, b) \\) 에서 아래로 오목 (concave downward) 혹은 위로 볼록이라고 한다.", "</p><p>그림 3.2은 구간 \\( (b, c),(d, e) \\), 그리고 \\( (e, p) \\) 에서 위로 오목(약어 : C U 이고 구간 \\((a, b),(c, d)\\),그리고 \\((p, q)\\) 에서 아래로 오목(약어 : C D) 인 함수의 그래프를 나타내고 있다.", "이계도함수가 오목한 구간을 결정하는데 도움을 주는지 알아보자.", "그림 3.22의 (a) 를 보자.", "왼쪽에서 오른쪽으로 움직일 때 접선의 기울기가 중가하고 있음을 볼 수 있다.", "이것은 도함수 \\( f^{\\prime}(x) \\) 가 증가함수이고 따라서 이것의 도함수 \\( f^{\\prime \\prime} \\) 이 양이 되는 것을 의미한다.", "또한 그림 3.22 의 (b)에서 접선의 기울기는 왼쪽에서 오른쪽으로 움직일 때 감소한다.", "따라서 \\( f^{\\prime}(x) \\) 는 감소함수이고 \\( f^{\\prime \\prime} \\) 은 음이다.", "이 논리는 역도 성립하고 다음 정리가 성립한다.", "</p><p>정리 3.14 개구간 \\( I \\) 에 \\( f^{\\prime \\prime} \\) 가 존재한다고 하자.", "<ol type=a start=1><li>I에 있는 모든 \\( x \\) 에 대하여 \\( f^{\\prime \\prime}(x)>0 \\) 이면, \\( f \\) 의 그래프는 \\( I \\) 에서 위로 오목하다.", "</li><li>\\( I \\) 에 있는 모든 \\( x \\) 에 대하여 \\( f^{\\prime \\prime}(x)<0 \\) 이면, \\( f \\) 의 그래프는 \\( I \\) 에서 아래로 오목하다.", "</li></ol></p> <p>정의 3.9 구간 \\( I \\) 의 임의의 두 점 \\( x, z \\) 에 대하여 \\( x<z \\) 일 때 \\( f(x) \\leq f(z) \\) 이면, 함수 \\( f \\) 는 구간 \\( I \\) 에서 증가(increasing)한다고 한다.", "또한, \\( x<z \\) 일 때 \\( f(x)<f(z) \\) 이면 함수 \\( f \\) 는 구간 \\( I \\) 에서 강한증가(strictly increasing)한다고 한다.", "같은 방법으로 구간 \\( I \\) 의 임의의 두 점 \\( x, z \\) 에 대하여 \\( x<z \\) 일 때 \\( f(x) \\geq f(z) \\) 이면, 함수 \\( f \\) 는 구간 \\( I \\) 에서 감소(decreasing)한다고 한다.", "또한 \\( x<z \\) 일 때 \\( f(x)>f(z) \\) 이면 함수 \\( f \\) 는 구간 \\( I \\) 에서 강한감소(strictly decreasing)한다고 한다.", "기하학적으로 다음 그림 3.10 과 그림 3.11 과 같은 예를 들어 보면 쉽게 이해할 수 있다.", "</p><p>정리 3.10 함수 \\( f \\) 가 구간 \\( I \\) 에서 연속이고, \\( I \\) 의 각 내점에서 미분가능하다고 하자.", "<ol type=a start=1><li>\\( I \\) 의 각 내점 \\( x \\) 에서 \\( f^{\\prime}(x) \\geq 0 \\) 이면, \\( f \\) 는 \\( I \\) 에서 증가한다.", "그 위에, \\( I \\) 내의 많아야 유한 개의 점에서 \\( f^{\\prime}(x)=0 \\) 이면 \\( f \\) 는 \\( I \\) 에서 강한증가한다.", "</li><li>I의 각 내점 \\( x \\) 에서 \\( f^{\\prime}(x) \\leq 0 \\) 이면, \\( f \\) 는 \\( I \\) 에서 갑소한다.", "그 위에, \\( I \\) 내의 많아야 유한 개의 점에서 \\( f^{\\prime}(x)=0 \\) 이면 \\( f \\) 는 \\( I \\) 에서 강한감소한다.", "</li></ol></p><p>예제 4 함수 \\( f(x)=2 x^{3}+3 x^{2}-12 x-3 \\) 은 어떤 구간에서 (강한)중가 또는 (강한)감소하는가?", "</p><p>풀이 \\[f^{\\prime}(x)=6 x^{2}+6 x-12=6(x+2)(x-1) \\] \\( (-\\infty,-2] \\) 와 \\( [-, \\infty) \\) 에서 \\( f^{\\prime}(x) \\geq 0 \\) 이므로 \\( f \\) 는 증가하고, \\( [-2,1] \\) 에서 \\( f^{\\prime}(x) \\leq 0 \\) 이므로 \\( f \\) 는 감소한다. \\", "( f^{\\prime}(x)=0 \\) 을 만족하는 점은 \\( x=-2,1 \\) 뿐이므로 정리 \\( 3.10 \\) 에 의하여 \\( f \\) 는 \\( (-\\infty,-2] \\) 와 \\( [1, \\infty) \\) 에서 강한증가하고, \\( [-2,1] \\) 에서 강한감소한다.", "</p> <p>예제 1 \\( f(x)=\\frac{1}{3} x^{3}+2 x \\) 에서 \\( f^{\\prime}(c)=\\frac{f(3)-f(0)}{3-0} \\) 를 만족하는 \\( (0,3) \\) 내의 점 \\( c \\) 를 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( =f^{\\prime}(x)=x^{2}+2 \\) 이고 \\( \\frac{f(3)-f(0)}{3-0}=\\frac{15-0}{3-0}=5 \\) 이다. \\", "( c^{2}+2=5 \\) 이면 \\( c=\\pm \\sqrt{3} \\) 인데 \\( (0,3) \\) 내의 \\( c \\) 는 \\( \\sqrt{3} \\) 이다.", "</p><p>예제 2 어떤 물체가 위치함수 \\( s=f(t) \\) 를 갖고 직선을 따라 움직이고 있다면 \\( t=a \\) 와 \\( t=b \\) 사이에서 평균속도는 \\[ \\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \\] 이고. \\", "( t=c \\) 에서의 속도는 \\( f^{\\prime}(c) \\) 이다.", "따라서 평균값 정리는 \\( a \\) 와 \\( b \\) 사이의 어떤 시각 \\( t=c \\) 에서의 순간속도 \\( f^{\\prime}(c) \\) 는 평균속도와 같음을 말해주고 있다.", "예를 들어, 자동차가 두 시간 동안 \\( 180 \\mathrm{~km} \\) 를 달렸다면 평균속도가 \\( 90 \\mathrm{~km} / \\mathrm{h} \\) 이므로 속도계기는 적어도 한 번은 \\( 90 \\mathrm{~km} / \\mathrm{h} \\) 를 나타내어야 한다.", "일반적으로, 평균값 정리는 순간변화율이 구간에서의 평균변화율과 같아지는 수가 있다는 것을 말하는 것으로 이해된다.", "다음은 미적분학의 토대를 형성하는 기초적인 정리 중의 하나인데 평균값 정리를 활용하여 설명할 수 있다.", "</p><p>정리 3.8<ol type=a start=1><li>함수 \\( f \\) 가 구간 \\( I \\) 에서 연속이라 하자. \\", "( I \\) 의 모든 내점 \\( x \\) 에 대하여 \\( f^{\\prime}(x)=0 \\) 이면 \\( f \\) 는 \\( I \\)에서 상수함수이다.", "</li><li>함수 \\( f \\) 와 \\( g \\) 가 구간 \\( I \\) 에서 연속이라 하자. \\", "( I \\) 의 모든 내점 \\( x \\) 에 대하여 \\( f^{\\prime}(x)=g^{\\prime}(x) \\) 이면 \\( (f-g) \\) 는 \\( I \\) 에서 상수함수이다.", "즉 \\( I \\) 내의 모든 \\( x \\) 에 대해서 \\[ f(x)=g(x)+c \\] 인 상수 \\( c \\) 가 존재한다.", "</li></ol></p> <p>정의 3.5 \\( \\delta>0 \\) 이 존재하여 구간 \\( [c-\\delta, c+\\delta] \\) 에서 \\( f \\) 의 최대값이 \\( f(c) \\) 이면 함수 \\( f \\) 는 \\( c \\) 에서 극대값(relative maximum value) \\( f(c) \\) 를 갖는다고 한다. 같은 방법으로 \\( \\delta>", "0 \\) 이 존재하여 \\( [c-\\delta, c+\\delta] \\) 에서 \\( f \\) 의 최소값이 \\( f(c) \\) 이면 함수 \\( f \\) 는 \\( c \\) 에서 극소값 (relative minimum value) \\( f(c) \\) 를 갖는다고 한다.", "극대값과 극소값을 통틀어 극값 (relative extreme value)이라 한다.", "</p><p>정의 3.5 에 의하여 \\( f \\) 가 \\( c \\) 에서 극대값 또는 극소값을 갖게 되면 \\( f \\) 는 구간 \\( [c-\\delta, c+\\delta] \\) 에서 정의되어 있다는 것을 알 수 있다.", "또한, 정리 3.3 과 정의 3.5 에 의하여 \\( f \\) 가 \\( c \\) 에서 극대값 또는 극소값을 갖게되면 \\( c \\)는 \\( f \\)의 임계점이다.", "</p><p>예제 4 함수 \\( f(x)=x^{3}-3 x-2 \\) 의 극대값과 극소값을 구하여라.", "</p><p>풀이 모든 \\( x \\) 에 대하여 \\( f^{\\prime}(x) \\) 가 존재하므로 \\( f^{\\prime}(x)=0 \\) 을 만족하는 점에서 극값을 갖는다. \\", "[ f^{\\prime}(x)=3 x^{2}-3=3\\left(x^{2}-1\\right)=3(x-1)(x+1) \\] 이므로 \\( f^{\\prime}(x)=0 \\) 인 점은 \\( x=1,-1 \\) 이다. \\", "( f \\) 가 \\( x=1 \\) 에서 극대값 또는 극소값을 갖기 위해서는 \\( x=1 \\) 에서 최대값 또는 최소값을 갖는 1 을 포함하는 구간이 존재함을 보여야 한다. \\", "( x=-1 \\) 에서도 같은 방법으로 한다. \\", "( x=1 \\) 을 포함하는 구간 \\( [0,2] \\) 를 택하면 \\[ f(0)=-2, f(1)=-4, f(2)=0 \\] 이므로 \\( f(1)=-4 \\) 는 \\( [0,2] \\) 에서 \\( f \\) 의 최소값이다.", "그러므로 \\( f(1)=-4 \\) 는 \\( f \\) 의 극소값이다.", "같은 방법으로 하면, \\( x=-1 \\) 을 포함하는 구간 \\( [-2,0] \\) 에서 \\[ f(-2)=-4, f(-1)=0, f(0)=-2 \\] 이므로 \\( f(-1)=0 \\) 은 \\( [-2,0] \\) 에서 \\( f \\) 의 최대값이다.", "그러므로 \\( f(-1)=0 \\) 은 \\( f \\) 의 극대값이다.", "</p> <p>정의 3.4 함수 \\( f(x) \\) 가 \\( c \\) 를 포함하는 어떤 구간에서 정의되었다고 하자. \\", "( f^{\\prime}(c)=0 \\) 이거나 \\( f^{\\prime}(c) \\) 가 존재하지 않으면, \\( c \\) 를 \\( f \\) 의 임계점(critical point)이라고 한다.", "</p><p>함수 \\( f \\) 가 \\( [a, b] \\) 에서 정의되었다고 하자. \\", "( f \\) 의 최대값과 최소값은 정리 3.3 에 의하여 다음의 함수값 중에서 갖게 된다.", "구간의 끝점 \\( a, b \\) 에서의 함수값 \\( f(a), f(b) \\)를 구하고, \\( (a, b) \\) 내의 모든 임계점에서 \\( f \\) 의 함수값들을 구하여 놓으면 그 중에서 가장 큰 값이 최대값이고 가장 작은 값이 최소값이다.", "</p><p>예제2 \\( [0,1] \\) 에서 \\( f(x)=x-x^{3} \\) 의 최대값과 최소값을 구하여라", "</p><p>풀이 \\( f(x) \\) 가 \\( [0,1] \\) 에서 연속함수이므로, 최대-최소값 정리에 의하여 최대값과 최소값이 존재한다. \\", "[ f^{\\prime}(x)=1-3 x^{2} \\] 에서 \\( f^{\\prime}(x)=0 \\) 을 만족하는 점은 \\( x=\\pm \\frac{\\sqrt{3}}{3} \\) 이다.", "그런데 \\( -\\frac{\\sqrt{3}}{3} \\notin[0,1] \\) 이므로 \\( [0,1] \\) 에서 \\( f \\) 의 임계점은 \\( \\frac{\\sqrt{3}}{3} \\) 이다. \\", "[ \\begin{array}{c} f(0)=0, \\quad f(1)=0 \\\\ f\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\right)=\\frac{\\sqrt{3}}{3}-\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\right)^{3}=\\frac{\\sqrt{3}}{3}-\\frac{\\sqrt{3}}{9}=\\frac{2 \\sqrt{3}}{9} \\end{array} \\] 이므로, \\( [0,1] \\) 에서 \\( f \\) 의 최대값은 \\( \\left(x=\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\right. \\) 에서) \\( \\frac{2 \\sqrt{3}}{9} \\) 이고, 최소값은 \\( (x=0, x=1 \\) 에서 0 이다(그림 3.3).", "</p><p>예제 3 \\([-1,1] \\) 에서 \\( f(x)=x^{\\frac{2}{3}} \\) 의 최대값과 최소값을 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( =f^{\\prime}(x)=\\frac{2}{3} x^{-\\frac{1}{3}}=\\frac{2}{3 \\sqrt[3]{x}} \\) 이므로 \\( f^{\\prime}(x)=0 \\) 인 \\( x \\) 점은 없고, \\( x=0 \\) 에서 \\( f \\) 는 미분가능하지 않다.", "따라서 \\( x=0 \\) 는 \\( f \\) 의 임계점이다. \\", "[ \\begin{array}{l} f(-1)=1 \\\\ f(0)=0 \\\\ f(1)=1 \\end{array} \\] 이므로, \\( [-1,1] \\) 에서 \\( f \\) 의 최대값은 1이고, 최소값은 0 이다.", "</p><p>위의 '예제 2 ', '예제 3 '에서 최대값이나 최소값을 갖는 점은 그 점을 증심으로 하는 근방에서 함수값이 가장 작거나 가장 크다.", "어떤 구간의 한 가운데 점에서의 함수값이 최대 혹은 최소가 되기 위해서는 그래프에서 그 점이 볼록하거나 오목한 점 혹은 뽀족한 점이 됨을 알 수 있다.", "양 끝점을 제외하고는 이러한 점에서 최대, 최소가 존재하므로 이러한 점에서의 함수값을 다음과 같이 정의한다.", "</p> <p>예제 6 뚜껑이 없는 직육면체의 금속상자를 만들려고 한다.", "한 변이 10인치(inches)인 정사각형의 금속판에서 네 귀를 정사각형으로 도려내어 만들고자 하는데, 높이를 얼마로 하면 최대의 부피를 갖는 상자를 만들 수 있겠는가?", "</p><p>풀이 \\( x \\) 를 네 귀에서 잘라낼 정사각형의 한 변의 길이라 하자.", "금속판의 한 변의 길이가 10 인치이므로 \\( 0 \\leq x \\leq 5 \\) 이다.", "만들어진 상자의 높이는 \\( x \\) 인치이고, 밑변의 한 변의 길이는 \\( 10-2 x \\) 인치이다. \\", "( V \\) 를 만들어진 상자의 부피라 하면 \\[ V=x(10-2 x)^{2}=4 x^{3}-40 x^{2}+100 x, 0 \\leq x \\leq 5 \\] \\( [0,5] \\) 에서 \\( V \\) 의 최대값을 구하기 위하여 \\( (0,5) \\) 에서 \\( V \\) 의 임계점을 구하자. \\", "[ \\begin{aligned} V^{\\prime}(x) &=12 x^{2}-80 x+100=4\\left(3 x^{2}-20 x+25\\right) \\\\ &=4(3 x-5)(x-5) \\end{aligned} \\] 이므로 \\( x=\\frac{5}{3}, 5 \\) 에서 \\( V^{\\prime}(x)=0 \\) 이다.", "따라서 \\( (0,5) \\) 에서 임계점은 \\( x=\\frac{5}{3} \\) 이다.", "표에 의해서 극대값 \\( V\\left(\\frac{5}{3}\\right)=\\frac{5}{3}\\left(\\frac{20}{3}\\right)^{2}=\\frac{2000}{27} \\) 을 갖는다. \\", "[ V(0)=0, \\quad V(5)=0, \\quad \\text { 극대값 } V\\left(\\frac{5}{3}\\right)=\\frac{2000}{27} \\] 을 비교하면 \\( x=\\frac{5}{3} \\) 에서 \\( V \\) 는 최대부피 \\( \\frac{2000}{27} \\) 을 갖는다.", "그러므로 구하는 높이는 \\( \\frac{5}{3} \\) 인치이다.", "</p><p>예제 7 반경 \\( r \\), 높이 \\( h \\) 인 직원뿔에 내접하는 원기둥 중에서 체적이 가장 큰 것의 높이를 구하여라.", "</p><p>풀이 내접하는 원기등의 반경과 높이를 각각 \\( x, y \\) 라 하면 원기등의 체적은 \\[ V=\\pi x^{2} y \\] 이다.", "삼각형의 닮음바를 이용하면 \\[ \\frac{x}{r}=\\frac{h-y}{h} \\text {, 즉 } y=\\frac{h}{r}(r-x) \\] 를 얻는다.", "하나의 변수로 \\( V \\) 를 나타내면 \\[ V=\\pi x^{2} y=\\pi x^{2}\\left(\\frac{h}{r}(r-x)\\right)=\\frac{\\pi h}{r}\\left(r x^{2}-x^{3}\\right), 0 \\leq x \\leq r \\] 이다. \\", "( [0, r] \\) 에서 \\( V \\) 의 최대값을 구하기 위하여 \\( (0, r) \\) 에서 \\( V \\) 의 임계점을 구하자. \\", "[ V^{\\prime}(x)=\\frac{\\pi h}{r}\\left(2 r x-3 x^{2}\\right)=\\frac{\\pi h}{r} x(2 r-3 x) \\] 이므로, \\( V^{\\prime}(x)=0 \\) 인 점은 \\( x=0, \\frac{2}{3} r \\) 이다.", "따라서 \\( (0, r) \\) 에서 임계점은 \\( \\frac{2}{3} r \\) 이다. \\", "[ \\begin{array}{l} V^{\\prime \\prime}(x)=\\frac{\\pi h}{r}(2 r-6 x), \\\\ V^{\\prime \\prime}\\left(\\frac{2}{3} r\\right)=\\frac{\\pi h}{r}(2 r-4 r)=-2 \\pi h<0 \\end{array} \\] 이므로 \\( V\\left(\\frac{2}{3} r\\right) \\) 은 극대값이다. \\", "( 0 \\leq x \\leq r \\) 에서는 극대값 \\( V\\left(\\frac{2}{3} r\\right) \\) 이 최대값이 된다.", "따라서 \\( x=\\frac{2}{3} r \\) 에서 최대값을 가지므로 구하고자 하는 높이는 \\( y=\\frac{h}{r}\\left(r-\\frac{2}{3} r\\right)=\\frac{h}{3} \\) 이다.", "구간 \\( I \\) 가 폐구간이 아니거나 유계가 아니면, \\( I \\) 에서 연속인 함수 \\( f \\) 는 \\( I \\) 에서 반드시 최대값 (또는 최소값)을 갖지 않는다.", "그러나 최대값(또는 최소값)이 존재하면 3.3 절의 앞 부분에서 다룬 것들을 이용하여 구할 수 있다.", "</p> <p>예제3 \\( f(x)=\\frac{x}{(x+1)^{2}} \\) 의 그래프를 그려라.", "</p><p>풀이 \\( x=0 \\) 일 때 \\( f(x)=0, f(x)=0 \\) 일 때 \\( x=0 \\) 이므로 \\( x \\) 절편, \\( y \\) 절편은 0 이다.", "즉 좌표축과의 교점은 원점뿐이다. \\", "[ f(-x)=\\frac{-x}{((-x)+1)^{2}} \\] 이므로 \\( f(-x) \\neq f(x), f(-x) \\neq-f(x) \\) 이다.", "따라서 \\( y \\) 축 또는 원점에 관하여 대칭이 아니다. \\", "[ \\begin{array}{l} f^{\\prime}(x)=\\frac{(x+1)^{2}-2 x(x+1)}{(x+1)^{4}}=\\frac{1-x}{(x+1)^{3}}, \\\\ f^{\\prime \\prime}(x)=\\frac{(-1)(x+1)^{3}-(1-x) 3(x+1)^{2}}{(x+1)^{6}}=\\frac{2(x-2)}{(x+1)^{4}} \\end{array} \\]</p><p>이므로 \\( f^{\\prime}(x)=0 \\) 인 점은 \\( x=1 \\) 이고, \\( f^{\\prime \\prime}(x)=0 \\) 인 점은 \\( x=2 \\) 이다.", "또한, \\( x=-1 \\) 에서 \\( f(x), f^{\\prime}(x) \\), 그리고 \\( f^{\\prime \\prime}(x) \\) 가 정의되지 않는다. \\", "( -1<x<1 \\) 에 대하여 \\( f^{\\prime}(x)>0 \\) 이므로 \\( [-1,1] \\) 에서 \\( f \\) 는 강한증기하고, \\( x<-1 \\) 과 \\( x>1 \\) 에 대하여 \\( f^{\\prime}(x)<0 \\) 이므로 \\( (-\\infty,-1] \\) 과 \\( [1, \\infty) \\) 에서 \\( f \\) 는 강한감소한다.", "따라서 \\( f(1)=\\frac{1}{4} \\) 은 극대값이다. \\", "( (-\\infty,-1) \\) 과 \\( (-1,2) \\) 에서 \\( f^{\\prime \\prime}(x)<0 \\) 이므로 \\( f \\) 의 그래프는 아래로 오목하고, \\( (2, \\infty) \\) 에서 \\( f^{\\prime \\prime}(x)>0 \\) 이므로 \\( f \\) 의 그래프는 위로 오목하다.", "그러므로 \\( \\left(2, \\frac{2}{9}\\right) \\) 는 변곡점이다.", "다음은 점근선을 칮아보자. \\", "[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{x}{(x+1)^{2}}=\\lim _{x \\rightarrow-\\infty} \\frac{x}{(x+1)^{2}}=0 \\] 이므로 직선 \\( y=0 \\) 은 수평점근선이고. \\", "[ \\lim _{x \\rightarrow-1} \\frac{x}{(x+1)^{2}}=-\\infty \\] 이므로 직선 \\( x=-1 \\) 은 수직점근선이다.", "이상을 종합하여 \\( f(x) \\) 의 그래프를 그리면 다음(그 림 3.32 )과 같다.", "</p> <p>D.", "점근선<ol type=i start=NaN><li>수평점근선. \\", "( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} f(x)=L \\) 또는 \\( \\lim _{x \\rightarrow-\\infty} f(x)=L \\) 이면 직선 \\( y=L \\) 은 곡선 \\( y=f(x) \\) 의 수평점근선이다. \\", "( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} f(x)=\\infty \\) (또는 \\( -\\infty \\) )로 판명되면 오론쪽에 대한 점근선은 얻을 수 없지만 곡선을 그리는 데 있어서는 유용한 정보가 된다.", "</li><li>수직점근선.", "다음 중 적어도 하나를 만족하면 직선 \\( x=a \\) 가 수직점근선이다. \\", "( \\lim _{x \\rightarrow a^{+}} f(x)=\\infty, \\quad \\lim _{x \\rightarrow a^{-}} f(x)=\\infty, \\quad \\lim _{x \\rightarrow a^{+}} f(x)=-\\infty, \\quad \\lim _{x \\rightarrow a^{-}} f(x)=-\\infty \\)</li></ol>유리함수에 대해서는 공통인수를 제거한 후 분모를 0 으로 둠으로써 수직점근선을 알 수 있지만 이 방법은 다른 함수에는 적용할 수 없다.", "더욱이, 곡선을 그리는 데 있어서 위에 있는 사실들이 성립함을 정확히 하는 것이 매우 유용하다.", "만약 \\( f(a) \\) 는 정의되지 않지만 \\( a \\) 가 \\( f \\) 의 정의역에서 끝점이면 \\( \\lim _{x \\rightarrow a^{-}} f(x) \\) 또는 \\( \\lim _{x \\rightarrow a^{+}} f(x) \\) 를 구하여야 한다.", "</p><p>E.", "증가 또는 감소 판정법을 이용한다. \\", "( f^{\\prime}(x) \\) 를 계산하고 \\( f^{\\prime}(x) \\) 가 양 \\( (f \\) 는 증가) 그리고. \\( f^{\\prime}(x) \\) 가 음", "(f는 감소)이 되는 구간을 구한다.", "</p><p>F. 극소값과 극대값 \\( f \\) 의 임계수 \\( \\left[f^{\\prime}(c)=0\\right. \\) 또는 \\( f^{\\prime}(c) \\) 가 존재하지 않는 수 \\( \\left.c\\right] \\) 를 구한다. 그리고 일계도함수 판정법을 이용한다. 만약 \\( f^{\\prime} \\) 이 임계수 \\( c \\) 에서 양으로부터 음으로 변하면, \\( f(c) \\) 는 극대값이다. 만약 \\( f^{\\prime} \\) 이 \\( c \\) 에서 음으로부터 양으로 변하면 \\( f(c) \\) 는 극소값이다. 통상적으로 일계도함수 판정법을 사용하지만 만약 \\( c \\) 가 \\( f^{\\prime \\prime}(c) \\neq 0 \\) 인 임계수이면 이계도함수 판정법을 이용할 수도 있다. 이때 \\( f^{\\prime \\prime}(c)>", "0 \\) 이면 \\( f(c) \\) 는 극소값이고 반면 \\( f^{\\prime \\prime}(c)<0 \\) 이면 \\( f(c) \\) 는 극대값이다.", "</p><p>G. 오목성과 변곡점 \\( f^{\\prime \\prime}(x) \\) 를 계산하고 오목성 판정법을 이용한다. \\( f^{\\prime \\prime}(c)>", "0 \\) 이면 곡선은 의로 오목하고 \\( f^{\\prime \\prime}(c)<0 \\) 이면 아래로 오목목이다.", "변곡점은 오목성의 방향이 바뀌는 점이다.", "</p><p>H.", "곡선 그리기 A항에서 G 항까지의 정보를 이용하여 그래프를 그려라.", "점선으로 점근 선을 그린다.", "절편, 극대와 극소점, 그리고 변곡점을 표시한다.", "이 점들을 지나면서 E에 의하여 올라가고.", "내려가고, \\( \\mathrm{G} \\) 에 의하여 오목성을 참고하면서 점근선에 접근하는 곡선을 그린다.", "어떤 점 가까이에서 좀더 정확성이 요구된다면 그 점에서 도함수의 값을 계산할 수 있다.", "접선은 곡선이 진행하는 방향을 나타낸다.", "</p> <p>예제 1 \\( f(x)=x^{3}-3 x+2 \\) 의 그래프를 그려라.", "</p><p>풀이 \\( =f(0)=2 \\) 이므로, \\( y \\) 절편은 2 이다. \\", "( f(x)=x^{3}-3 x+2=(x-1)^{2}(x+2) \\) 이므로, \\( f(x)=f(-2)=0 \\) 이다.", "즉 \\( x \\) 절편은 \\( 1,-2 \\) 이다. \\", "[ f^{\\prime}(x)=3 x^{2}-3=3\\left(x^{2}-1\\right)=3(x-1)(x+1), \\quad f^{\\prime \\prime}(x)=6 x \\]에서 \\( f^{\\prime}(x)=0 \\) 인 점은 \\( x=-1,1 \\) 이다.", "표에 의하면 \\( x<-1, x>1 \\) 에 대하여 \\( f^{\\prime}(x)>0 \\) 이므로 \\( (-\\infty,-1],[1, \\infty) \\) 에서 \\( f \\) 는 강한증가하고, \\( -1<x<1 \\) 에 대하여 \\( f^{\\prime}(x)<0 \\) 이므로 \\( [-1,1] \\) 에서 \\( f \\) 는 강한감소한다. 따라서 \\( x=-1 \\) 에서 \\( f^{\\prime}(x) \\) 의 부호가 \\( + \\) 에서 \\( - \\) 로 변하므로 \\( f(-1)=4 \\) 는 극대값이고, \\( x=1 \\) 에서 \\( f^{\\prime}(x) \\) 의 부호가 \\( - \\) 에서 +로 변하므로 \\( f(1)=0 \\) 은 극소값이다. \\( f^{\\prime \\prime}(x)=0 \\) 인 점을 구하면 \\( x=0 \\) 이다. \\( (-\\infty, 0) \\) 에서 \\( f^{\\prime \\prime}(x)<0 \\) 이므로 \\( f \\) 의 그래프는 아래로 오목하고, \\( (0, \\infty) \\) 에서 \\( f^{\\prime \\prime}(x)>0 \\) 이므로 \\( f \\) 의 그래프는 위로 오목하다. 그러므로 \\( (0,2) \\) 는 변곡점이 다. 이상을 종합하여 그래프를 그리면 다음 ( 그림 3.30)과 같다.</p><p>예제 2 \\( f(x)=\\frac{2}{1+x^{2}} \\) 의 그래프를 그려라.</p><p>풀이 \\( f(0)=2 \\) 이므로, \\( y \\) 절편은 2 이다. 그러나 모든 \\( x \\) 에 대하여 \\( f(x)>0 \\) 이므로, \\( x \\) 절편은 없다. \\( f(-x)=f(x) \\) 이므로 \\( f \\) 의 그래프는 \\( y \\) 축에 대칭이다. \\[ \\begin{array}{l} f^{\\prime}(x)=\\frac{-4 x}{\\left(1+x^{2}\\right)^{2}}, \\\\ f^{\\prime \\prime}(x)=\\frac{-4\\left(1+x^{2}\\right)^{2}+4 x(2)\\left(1+x^{2}\\right)(2 x)}{\\left(1+x^{2}\\right)^{4}}=\\frac{4\\left(3 x^{2}-1\\right)}{\\left(1+x^{2}\\right)^{3}} \\end{array} \\]", "에서 \\( f^{\\prime}(x)=0 \\) 인 점은 \\( x=0 \\) 이다. \\( x<0 \\) 에 대하여 \\( f^{\\prime}(x)>0 \\) 이므로 \\( (-\\infty, 0] \\) 에서 \\( f \\) 는 강한증가하고, \\( x>0 \\) 에 대하여 \\( f^{\\prime}(x)>0 \\) 이므로 \\( [0, \\infty) \\) 에서 \\( f \\) 는 강한감소한다. 따라서 \\( x=0 \\) 에서 \\( f^{\\prime} \\) 의 부호가 변하므로 \\( f(0)=2 \\) 는 극대값이다. 변곡점을 구하기 위하여 \\( f^{\\prime \\prime}(x)=0 \\) 인 점을 구하면, \\( x=\\p", "m \\frac{1}{\\sqrt{3}} \\) 이다. \\( \\left(-\\infty,-\\frac{1}{\\sqrt{3}}\\right) \\) 과 \\( \\left(\\frac{1}{\\sqrt{3}}, \\infty\\right) \\) 에서 \\( f^{\\prime \\prime}(x)>", "0 \\) 이므로 \\( f \\) 의 그래프는 위로 오목하고, \\( \\left(-\\frac{1}{\\sqrt{3}}, \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\right) \\) 에서 \\( f^{\\prime \\prime}(x)<0 \\) 이므로 \\( f(x) \\) 의 그래프는 아래로 오목하다.", "그러므로 \\( \\left(-\\frac{1}{\\sqrt{3}}, \\frac{3}{2}\\right),\\left(\\frac{1}{\\sqrt{3}}, \\frac{3}{2}\\right) \\) 은 변곡점이다. \\", "[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{2}{1+x^{2}}=\\lim _{x \\rightarrow-\\infty} \\frac{2}{1+x^{2}}=0 \\] 이므로 \\( y=0 \\) 인 \\( x \\) 축이 \\( f \\) 의 그래프의 수평점근선이다.", "이상을 종합하여 그래프를 그리면 다음(그림 3.31 )과 같다.", "</p> <p>예제8그림 3.20 과 같이 둘레의 길이가 440야드(yards)인 육상경기 트랙(track)을 만들려고 한다.", "트랙으로 둘러싸인 경기장에서 직사각형 부분의 면적이 최대가 되게 하기 위하여 트랙의 치수를 얼마로 하면 되겠는가?", "</p><p>풀이한 두 반원의 반경을 \\( r(>0) \\) 이라 하고, 경기장의 직사각형에서 길이를 \\( x \\) 라 하자.", "직 사각형의 길이가 \\( x \\) 이고, 폭이 \\( 2 r \\) 이므로 직사각형의 녋이를 \\( A \\) 라 하면 \\[ A=2 r x \\] 이다.", "트랙 둘레의 길이가 \\( 2 x+2 \\pi r \\) 이므로 \\[ 2 x+2 \\pi r=440 \\text {, 즉 } x=220-\\pi r \\] 이다.", "따라서 \\[ A=2 r x=2 r(220-\\pi r)=440 r-2 \\pi r^{2}, 0<r<\\frac{220}{\\pi} \\] \\[ A^{\\prime}(r)=440-4 \\pi r=4(110-\\pi r), A^{\\prime \\prime}(r)=-4 \\pi \\] 를 얻는다. \\", "( A^{\\prime}(r)=0 \\) 인 점은 \\( r=\\frac{110}{\\pi} \\) 이고, \\[ A^{\\prime \\prime}\\left(\\frac{110}{\\pi}\\right)=-4 \\pi<0 \\] 이므로, \\( A \\) 는 \\( r=\\frac{110}{\\pi} \\) 에서 극대값 \\( A\\left(\\frac{110}{\\pi}\\right) \\) 을 갖는다. \\", "( 0<r<\\frac{220}{\\pi} \\) 에서는 극대값 \\( A\\left(\\frac{110}{\\pi}\\right) \\) 이 최대값이 된다.", "이때 \\( x=220-\\pi\\left(\\frac{110}{\\pi}\\right)=110 \\) 이다.", "그러므로 직사각형의 길이가 110 야드이고, 반원들의 반경이 \\( \\frac{110}{\\pi} \\) 야드인 트랙일 때 경기장에서 직사각형의 면적이 최대가 된다.", "</p><p>예제 9 정오에 요트가 화물선의 \\( 20 \\mathrm{~km} \\) 남쪽 지점에 위치하고 있다.", "요트는 \\( 20 \\mathrm{~km} / \\mathrm{h} \\) 속도로 동 쪽으로 항해 중이고, 화물선은 \\( 40 \\mathrm{~km} / \\mathrm{h} \\) 속도로 남쪽으로 항해 중이다.", "시계거리가 \\( 10 \\mathrm{~km} \\) 라면 두 배 위의 사람들이 항해 중에 서로 볼 수 있겠는가?", "</p> <p>예제 1 \\( f(x)=4 x^{3}-6 x^{2}-9 x \\) 가 어떤 구간에서 위로 오목 또는 아래로 오목한지 결정하고, 대략적인 그래프를 그려라.", "</p><p>풀이 \\( f \\) 의 그래프의 오목성을 조사하자. \\", "[ f^{\\prime}(x)=12 x^{2}-12 x-9, \\quad f^{\\prime \\prime}(x)=24 x-12=12(2 x-1) \\] 이므로, \\( f^{\\prime \\prime}(x)=0 \\) 인 점은 \\( x=\\frac{1}{2} \\) 이다. \\", "( \\left(-\\infty, \\frac{1}{2}\\right) \\) 에서 \\( f^{\\prime \\prime}(x)<0 \\) 이므로 아래로 오목 하고, \\( \\left(\\frac{1}{2}, \\infty\\right) \\) 에서 \\( f^{\\prime \\prime}(x)>0 \\) 이므로 위로 오목하다.", "그래프를 그리기 위하여 극값을 구하자. \\", "[ \\begin{aligned} f^{\\prime}(x) &=12 x^{2}-12 x-9=3\\left(4 x^{2}-4 x-3\\right) \\\\ &=3(2 x+1)(2 x-3)=0 \\end{aligned} \\] 이므로, \\( f^{\\prime}(x)=0 \\) 인 점은 \\( x=-\\frac{1}{2}, \\frac{3}{2} \\) 이다.", "그런데 \\[ f^{\\prime \\prime}\\left(-\\frac{1}{2}\\right)=-24<0, f^{\\prime \\prime}\\left(\\frac{3}{2}\\right)=24>0 \\] 이므로, \\( f \\) 는 \\( x=-\\frac{1}{2} \\) 에서 극대값 \\( f\\left(-\\frac{1}{2}\\right)=\\frac{5}{2} \\) 를 갖고, \\( x=\\frac{3}{2} \\) 에서 극소값 \\( f\\left(\\frac{3}{2}\\right)=-\\frac{27}{2} \\) 을 갖는다.", "위의 사실을 종합하여 \\( f \\) 의 그래프를 그리면 다음(그림 3.24)과 같다.", "</p><p>정의 3.15 곡선 위의 점 \\( P \\) 에서 곡선이 아래로 오목에서 위로 오목, 또는 위로 오목에 서 아래로 오목으로 변할 때 점 \\( P \\) 를 변곡점이라고 한다.", "즉 곡선의 오목선이 변하는 점을 변곡점이라고 한다.", "</p><p>\\( f^{\\prime}(c) \\) 가 존재하고 \\( c \\) 를 포함하는 개구간에서 \\( f^{\\prime \\prime} \\) 가 존재할 때, \\( c \\) 에서 \\( f^{\\prime \\prime} \\) 의 부호가 변하면 점 \\( (c, f(c)) \\) 는 변곡점이다.", "그 위에 \\( f^{\\prime \\prime}(c) \\) 가 존재하고, \\( f^{\\prime \\prime} \\) 가 \\( c \\) 에서 연속이면 \\( f^{\\prime \\prime}(c)=0 \\) 이다.", "따라서 변곡점을 구하려면 다음과 같이 하면 된다.", "<ol type=a start=1><li>\\( f^{\\prime \\prime}(x)=0 \\) 인 \\( x=c \\) 를 찾는다.", "</li><li>(1)에서 구한 각 \\( c \\) 에서 \\( f^{\\prime \\prime} \\) 의 부호가 변하는지를 조사한다.", "</li><li>\\( c \\) 에서 \\( f^{\\prime \\prime} \\) 의 부호가 변하면 \\( (c, f(c)) \\) 는 변곡점이다.", "</li></ol></p> <p>증명 (a) \\( x \\) 와 \\( z \\) 를 \\( x<z \\) 인 \\( I \\) 내의 임의의 두 점이라 하자.", "평균값 정리에 의하여 \\( (x, z) \\) 내의 \\( c \\) 가 존재하여 \\[ \\frac{f(z)-f(x)}{z-x}=f^{\\prime}(c) \\] 를 만족한다.", "가정에 의하여 \\( f^{\\prime}(c)=0 \\) 이므로 \\[ f(z)-f(x)=0, \\text { 즉 } f(z)=f(x) \\] 이다. \\", "( I \\) 내의 임의의 두 점 \\( x, z \\) 에 대하여 위의 식이 성립하므로 \\( f \\) 는 \\( I \\) 에서 상수함수이다.", "</p><p>(b) \\( (f-g) \\) 가 (a)의 조건을 만족한다.", "따라서 \\( (f-g) \\) 는 \\( I \\) 에서 상수함수이다.", "즉 \\( I \\)내의 모든 \\( x \\) 에 대하여 \\[ f(x)=g(x)+c \\] 인 상수 c가 존재한다.", "</p><p>함수 \\( f \\) 가 \\( I \\) 에서 정의되었다고, 하자. \\", "( I \\) 내의 모든 \\( x \\) 에 대하여 \\[ F^{\\prime}(x)=f(x) \\] 를 만족하는 \\( F(x) \\) 를 \\( f \\) 의 역도함수(antiderivative)라 한다.", "예를 들면, \\( 3 x^{2} \\) 의 역도함수는 \\( x^{3} \\) 이다.", "또한, 정리 3.8 의 (b)에 의하여 \\( x^{3}+c \\) (c는 상수)도 모두 \\( 3 x^{2} \\) 의 역도함수임을 알 수 있다.", "</p><p>예제 3<ol type=a start=1><li>\\( f(x)=x^{2}-4 x \\) 의 역도함수를 구하여라.", "</li><li>\\( f^{\\prime}(x)=\\cos x, f\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right)=-1 \\) 인 \\( f(x) \\) 를 구하여라.", "</li></ol></p><p>풀이 (a) \\( \\frac{1}{3} x^{3} \\) 이 \\( x^{2} \\) 의 역도함수이고, \\( -2 x^{2} \\) 이 \\( -4 x \\) 의 역도함수이므로 임의의 상수 \\( c \\) 에 대해서 함수 \\( \\frac{1}{3} x^{3}-2 x^{2}+c \\) 는 모두 \\( f(x)=x^{2}-4 x \\) 의 역도함수가 된다.", "(b) \\( \\cos x \\) 는 \\( \\sin x \\) 의 도함수이므로, \\( g(x)=\\sin x \\) 라 하면 \\[ g^{\\prime}(x)=\\cos x=f^{\\prime}(x) \\] 이다.", "정리 3.8 의 (b)에 의하여 \\[ f(x)=g(x)+c=\\sin x+c \\quad(c \\text { 는 상수 }) \\] 이다. \\", "( f\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right)=-1 \\) 이므로 \\( -1=f\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right)=\\sin \\frac{\\pi}{2}+c=1+c \\), 즉 \\( c=-2 \\) 이다.", "그러므로 \\( f(x)=\\sin x-2 \\) 이다.", "</p><p>다음은 주어진 함수의 그래프 개형을 그리는데 필요한 증가, 감소에 대한 정의로 이로부터 도함수를 활용하여 그래프 개형을 그리는 방법을 탐색할 수 있다.", "</p> <p>예제4 \\( f(x)=x^{4} \\) 의 극값을 구하여라.", "</p><p>풀이 \\(f^{\\prime}(x)=4 x^{3}, f^{\\prime \\prime}(x)=12 x^{2} \\) 이며, \\( f^{\\prime}(x) \\) 인 점은 \\( x=0 \\) 이다.", "그러나 \\( f^{\\prime \\prime}(0)=0 \\) 이므로 제 2계 도함수 판정법을 사용할 수 없다.", "그러므로 제1계 도함수 판정법을 사용하자. \\", "( f^{\\prime} \\) 의 부호에 따라 \\( f \\) 의 증감을 표로 나타내자.", "표에 의하여 \\( f \\) 는 \\( x=0 \\) 에서 극소값 \\( f(0)=0 \\) 을 갖는다.", "</p><p>예제5 \\(f(x)=3 x^{4}-4 x^{3} \\) 의 극값을 구하고, 대략적인 \\( f \\) 의 그래프를 그려라.", "</p><p>풀이 \\( =f^{\\prime}(x)=12 x^{3}-12 x^{2}=12 x^{2}(x-1), f^{\\prime \\prime}(x)=36 x^{2}-24 x \\) 으며, \\( f^{\\prime}(x)=0 \\) 인 점은 \\( x=0,1 \\) 이다. \\( f^{\\prime \\prime}(1)=12>", "0 \\) 이므로 극소값 \\( f(1)=-1 \\) 을 갖 는다.", "그러나 \\( f^{\\prime \\prime}(0)=0 \\) 이므로 제2 계 도함수 판정법은 사용할 수 없다.", "따라서 제 1 계 도함수 판정법을 사용하자. \\", "( x<0 \\) 일 때 \\( f^{\\prime}(x)<0 \\) 이고, \\( 0<x<1 \\) 일 때도 \\( f^{\\prime}(x)<0 \\) 이므로 \\( f \\) 는 \\( x=0 \\) 에서 극값을 갖지 않는다.", "사실, 0 을 제외한 \\( (-\\infty, 1) \\) 에서 \\( f^{\\prime}(x)<0 \\) 이므로 \\( f \\) 는 \\( (-\\infty, 1) \\) 에서 강한감소한다.", "수학이나 수학의 응용분야에서 어떤 양의 최대값이나 최소값을 구해야 하는 문제가 나타난다.", "이와 같은 응용문제들을 다루어보자.", "우리는 최대-최소값 정리(정리 3.2)에서 \\( f \\) 가 유계인 폐구간 \\( [a, b] \\) 에서 연속함수일 때, \\( f \\) 는 최대값과 최소값을 갖는다는 것을 알았다.", "더군다나 이 값들은 구간의 끝점 \\( a, b \\) 또는 \\( (a, b) \\) 내의 임계점들에서만 나타난다는 것을 알 수 있었다.", "</p> <p>\\( I \\) 가 \\( f \\) 의 정의역이면, \\( I \\) 위에서 \\( f \\) 의 최대값을 \\( f \\) 의 최대값이라 하고, \\( I \\) 위에서 \\( f \\) 의 최소값을 \\( f \\) 의 최소값이라 한다.", "다음 예제는 모든 함수가 최대값이나 최소값을 갖는 것이 아님을 보여준다.", "</p><p>예제1 \\[ f(x)=\\left\\{\\begin{array}{lc} x, & 0 \\leq x<1 \\\\ \\frac{1}{2}, & x=1 \\end{array}\\right. \\]", "으로 정의된 함수의 최대값과 최소값을 구하여라.", "</p><p>풀이 함수 \\( f(x) \\) 의 치역은 \\( [0,1) \\) 이므로 \\( f(x) \\) 의 최소값은 0 이고, 최대값은 존재하지 않는다.", "</p><p>다음 정리는 폐구간 \\( I \\) 위에서 연속인 함수의 증요한 성질을 나타내고 있다.", "이 정리는 실수집합 \\( \\mathrm{R} \\) 의 성질을 이용하여 중명이 되지만 수준이 높으므로 중명은 생략한다.", "</p><p>정리 3.2 (최대-최소값 정라) 함수 \\( f(x) \\) 가 폐구간 \\( [a, b] \\) 에서 연속이라 하자.", "그러면 \\( f \\) 는 폐구간 \\( [a, b] \\) 위에서 최대값과 최소값을 갖는다.", "</p><p>예를 들면 \\( f(x)=x-x^{3}, 0 \\leq x \\leq 1 \\) 은 폐구간 \\( [0,1] \\) 에서 연속이다.", "따라서 최대-최소값 정리에 의하여 폐구간 \\( [0,1] \\) 위에서 최대값과 최소값을 갖는다.", "</p><p>정리 3.3 함수 \\( f(x) \\) 가 폐구간 \\( [a, b] \\) 에서 정의되었다고 하자.", "개구간 \\( (a, b) \\) 내의 \\( c \\) 에서 미분가능하고, \\( c \\) 에서 폐구간 \\( [a, b] \\) 위의 \\( f \\) 의 최대값 또는 최소값을 갖는다면, \\( f^{\\prime}(c)=0 \\) 이다.", "</p><p>함수 \\( f(x)=\\cos x \\) 는 \\( x=2 n \\pi \\) ( \\( n \\) : 정수)에 대해서 함수값이 1 이 되어 최대값을 가지며 \\( x=(2 n+1) \\pi(n \\) : 정수)에 대해서는 함수값이 \\( -1 \\) 이 되어 최소값을 갖는다.", "그런데 \\( f^{\\prime}(x)=-\\sin x \\) 이므로 \\( f(x) \\) 가 최대값이나 최소값을 갖는 점에서는 \\( f^{\\prime}(x)=0 \\) 이 된다.", "한편, \\( g(x)=\|x\| \\) 는 \\( x=0 \\) 에서 최소값을 갖지만 이 점에서 미분가능하지 않다.", "즉 \\( g^{\\prime}(0) \\)이 존재하지 않는다.", "이처럼 주어진 함수가 어떤 점에서 최대값이나 최소값을 갖는 것과 그 함수의 도함수값이 0이거나 존재하지 않는 것은 밀접한 관련이 있다.", "그래서 이러한 점을 따로 정의한다.", "</p> <h2>연 습 문 제 3.1</h2><p>1 . 다음 주어진 함수의 모든 임계점을 구하여라.", "<ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=x^{2}+4 x+6 \\)</li><li>\\( g(x)=x+\\frac{1}{x} \\)</li><li>\\( h(x)=3 x^{\\frac{2}{5}} \\)</li><li>\\( k(x)=x+\\sin x \\)</li></ol></p><p>2 . 다음 주어진 함수의 주어진 구간에서 최대값, 최소값을 구하여라.", "<ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=x-x^{3} ;[2,4] \\)</li><li>\\( g(x)=x^{3}:[-1,1] \\)</li><li>\\( h(x)=-\\frac{1}{2 x} ;(0, \\infty) \\)</li><li>\\( k(x)=\\sqrt{1+x^{2}} ;[-2,3] \\)</li></ol></p><p>3. 다음 주어진 함수의 극대값, 극소값을 구하여라.", "<ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=x^{3}-3 x^{2} \\)</li><li>\\( g(x)=x^{5}-20 x \\)</li><li>\\( h(x)=\\sec \\pi x \\)</li></ol></p><h1>3.2 평균값 정리와 응용</h1><p>평균값 정리는 자체적으로도 여러 가지 응용문제를 해결하는데 활용될 수 있지만, 같은 도함수를 갖는 두 함수의 관계를 설명하는데 결정적인 역할을 해서 부정적분 개념을 도입 하는데 핵심적인 역도함수를 정의하는 토대를 마련한다.", "뿐만 아니라, 주어진 함수의 미분계수를 활용하여 함수값이 어떻게 변화하는지 확인하는 방법을 제공하여 함수 그래프의 개형을 파악할 수 있게 한다.", "평균값 정리를 증명하기 위해서는 다음 정리가 필요하다.", "</p><p>정리 3.6 (롤의 정리) 함수 \\( f \\) 가 폐구간 \\( [a, b] \\) 에서 연속이고, 개구간 \\( (a, b) \\) 에서 미분가능하다고 하자. \\", "( f(a)=f(b) \\) 이면 \\( (a, b) \\) 내에 적어도 한 점 \\( c \\) 가 존재하여 \\[ f^{\\prime}(c)=0 \\] 이다.", "</p><p>증명 \\( f \\) 가 상수함수이면, \\( f^{\\prime}(x)=0 \\) 이므로 \\( (a, b) \\) 내의 모든 \\( c \\) 에서 \\( f^{\\prime}(c)=0 \\) 이다. \\", "( f \\) 가 상수함수가 아니라고 하자.", "그러면 최대-최소값 정리에 의하여 최대값과 최소값이 서로 다르게 존재한다. \\", "( f(a)=f(b) \\) 이므로 최대값과 최소값 증에서 적어도 하나는 \\( (a, b) \\) 내의 \\( c \\) 에서 갖게 된다.", "가정에서 \\( f \\) 가 \\( c \\) 에서 미분가능하므로 정리3.3 에 의하여 \\( f^{\\prime}(c)=0 \\) 이다.", "</p> <p>정리 3.12 (제 2계 도함수 판정법) 함수 \\( f \\) 의 제 2 계 도함수 \\( f^{\\prime \\prime} \\) 이 \\( c \\) 근방에서 연속이라고.", "가정하자.", "그러면 다음이 성립한다.", "<ol type=a start=1><li>\\( f^{\\prime}(c)=0 \\) 이고 \\( f^{\\prime \\prime}(c)>0 \\) 이면 \\( f \\) 는 \\( c \\) 에서 극소값을 갖는다.", "</li><li>\\( f^{\\prime}(c)=0 \\) 이고 \\( f^{\\prime \\prime}(c)<0 \\) 이면 \\( f \\) 는 \\( c \\) 에서 극대값을 갖는다.", "</li></ol>증명 (a) 이 정리는 제2계 도함수의 정의를 사용하여 엄밀하게 증명할 수 있지만 여기서는 제 1계 도함수의 부호의 변화를 활용하여 직관적으로 설명하도록 하겠다. 가정에서 \\( f^{\\prime \\prime}(c)>", "0 \\) 이므로 \\( c \\) 를 중심으로 한 작은 근방에서는 \\( f^{\\prime} \\) 가 증가한다.", "그런데 \\( f^{\\prime}(c)=0 \\) 이므로 \\( f^{\\prime} \\) 가 \\( c \\) 를 중심으로 한 작은 근방에서 연속적으로 증가하기 위해서는 \\( c \\) 를 중심으로 \\( f^{\\prime} \\) 의 부호가 음에서 양으로 바뀌어야 한다.", "따라서 제1계 도함수 판정법에 의해 \\( f \\) 는 \\( c \\) 에서 극소값을 갖는다.", "(b) (a)와 같은 방법으로 증명할 수 있다.", "</p><p>예제 3 \\( f(x)=x^{3}-3 x-2 \\) 의 극값을 구하여라.", "</p><p>풀이 \\(f^{\\prime}(x)=3 x^{2}-3=3(x-1)(x+1), f^{\\prime \\prime}(x)=6 x \\) 이며 \\( f^{\\prime}(x)=0 \\) 인 점은 \\( x=-1,1 \\) 이다. \\", "[ f^{\\prime \\prime}(-1)=-6<0, f^{\\prime \\prime}(1)=6>0 \\] 이므로 \\( f \\) 는 \\( x=-1 \\) 에서 극대값 \\( f(-1)=0 \\) 을 갖고, \\( x=1 \\) 에서 극소값 \\( f(1)=-4 \\) 를 갖는다.", "</p><p>주 \\( f^{\\prime}(c)=0 \\) 이고 \\( f^{\\prime \\prime}(c)=0 \\) 인 경우는 제2계 도함수 판정법을 사용할 수 없다.", "이 경우 는 \\( f \\) 가 \\( c \\) 에서 극소값 또는 극대값을 갖거나 둘 다 갖지 않을 수도 있다.", "</p> <p>\\( 3.1 \\) 극대와 극소</p><p>수학, 특히 미적분학을 활용하여 해결할 수 있는 증요한 응용분야 중의 하나는 어떤 일을 하는 데 있어서 최적의 방법을 찾는 최적화 문제이다.", "이러한 최적화 문제는 다양한 분야에서 제기될 수 있는데 몇 가지 살펴보면 다음과 같다.", "<ul><li>길이가 정해진 가장 넓은 트랙을 만들기 위해서는 어떻게 해야 하는가?", "</li><li>가장 큰 이익을 남기기 위해서 물건의 판매가격을 어떻게 책정해야 하는가?", "</li><li>가속도의 영향에 효과적으로 대응해야 하는 우주비행사에게 증요한 우주왕복선의 최대 가속도는 무엇인가?", "</li><li>피를 끌어 올릴 때 심장에 의하여 소모되는 에너지를 최소화하기 위한 혈관지류의 각도는 얼마인가?", "</li></ul>이러한 문제들은 대개 정해진 영역에서 어떤 합수의 최대값 혹은 최소값을 구하는 문제로 변환된다.", "정해진 영역에서 함수 \\( f(x) \\) 의 최대값과 최소값은 다음과 같이 정의된다.", "</p><p>정의 \\( 3.1 \\) 함수 \\( f(x) \\) 가 집합 \\( I \\) 에서 정의되어 있고, \\( I \\) 내의 모든 \\( x \\) 에 대하여 \\( f(x) \\leq f(d) \\) 를 만족하는 \\( d \\) 가 \\( I \\) 내에 존재하면 \\( f(d) \\) 를 \\( I \\) 위에서 \\( f(x) \\) 의 최대값 (maximum value)이라 한다.", "같은 방법으로, \\( I \\) 내의 모든 \\( x \\) 에 대하여 \\( f(x) \\geq f(c) \\) 를 만족하는 \\( c \\) 가 \\( I \\) 내에 존재하면 \\( f(c) \\) 를 \\( I \\) 위에서 \\( f(x) \\) 의 최소값(minimum value)이라 한다(그림 \\(3.1\\)).", "</p> <p>예제6 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} x^{x} \\) 을 구하여라.", "</p><p>풀이 이 극한은 부정형 \\( 0^{0} \\) 이다.", "정의에 의하여 \\( x^{x}=e^{x \\ln x} \\) 이므로 \\[ \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} x^{x}=\\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} e^{x \\ln x} \\] 이고, 지수함수는 연속이므로 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} e^{x \\ln x} e^{\\lim _{r \\rightarrow 0^{+}} x \\ln x} \\) 이다.", "예제 5에서 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} x \\ln x=0 \\) 이므로 \\[ \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} x^{x}=\\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} e^{x \\ln x}=e^{0}=1 . \\]</p><p>예제 7 \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)^{x}=e \\) 임을 보여라.", "</p><p>풀이 우리는 좌변에 로그를 취한 극한을 구함으로써 문제를 간단히 할 수 있다.", "이것은 \\[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\ln \\left(1+\\frac{1}{x}\\right)^{x}=b \\] 라고.", "하면, 원래의 극한에 대한 답은 \\( e^{b} \\) 임을 말해준다. \\", "[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\ln \\left(1+\\frac{1}{x}\\right)^{x}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} x \\ln \\left(1+\\frac{1}{x}\\right)=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\ln \\left(1+\\frac{1}{x}\\right)}{\\frac{1}{x}} \\] 이므로 마지막 극한은 로피탈의 법칙을 필요로 한다.", "그 결과 \\[ \\begin{aligned} \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\ln \\left(1+\\frac{1}{x}\\right)}{\\frac{1}{x}} &=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\frac{1}{\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)}\\left(-\\frac{1}{x^{2}}\\right)}{-\\frac{1}{x^{2}}} \\\\ &=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{1+\\frac{1}{x}}=\\frac{1}{1+0}=1 \\end{aligned} \\] 를 얻는다. \\", "( b=1 \\) 이므로 \\[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)^{x}=e^{1}=e . \\]", "</p><h2>연 습 문 제 3.6</h2><p>1. 로피탈의 법칙을 이용하여 다음 극한을 구하여라.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\cos x-1}{x} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\left(e^{\\frac{1}{x}}-1\\right)}{\\frac{1}{x}} \\)</li><li>) \\( \\lim _{x \\rightarrow \\frac{\\pi}{2}^{-}} \\frac{\\tan x}{\\sec x+1} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{x}{\\ln x} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tan 4 x}{\\tan 2 x} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\frac{1-\\cos \\sqrt{x}}{\\sin x} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tanh x-\\sinh x}{x^{2}} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}}\\left(\\ln \\frac{1}{x}\\right)^{x} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x \\sin \\frac{1}{x} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\ln \\left(x^{2}+1\\right)}{\\ln x} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(1-\\frac{1}{x}\\right)^{x} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x^{2}\\left(1-x \\sin \\frac{1}{x}\\right) \\)</li></ol></p> <p>예제 2 \\(f(x)=3 x^{4}-4 x^{3} \\) 의 변곡점을 구하고, 대략적인 \\( f \\) 의 그래프를 그려라.", "</p><p>3.3절의 예제5에서 \\[ f^{\\prime}(x)=12 x^{3}-12 x^{2}, \\quad f^{\\prime \\prime}(x)=36 x^{2}-24 x=12 x(3 x-2) \\] 이고, \\( f(1)=-1 \\) 이 \\( f \\) 의 극소값임을 보였다.", "이제 변곡점을 구하자. \\", "( f^{\\prime \\prime}(x)=0 \\) 인 점을 구하면 \\( x=0, \\frac{2}{3} \\) 이다. \\", "( x<0 \\) 이면 \\( f^{\\prime \\prime}(x)>0 \\) 이고, \\( 0<x<\\frac{2}{3} \\) 이면 \\( f^{\\prime \\prime}(x)<0 \\), 즉 \\( x=0 \\) 에서 \\( f^{\\prime \\prime} \\) 의 부호가 변하므로 \\( (0,0) \\) 는 변곡점이다.", "또한 \\( 0<x<\\frac{2}{3} \\) 이면 \\( f^{\\prime \\prime}(x)<0 \\) 이고, \\( \\frac{2}{3}<x \\) 이면 \\( f^{\\prime \\prime}(x)>0 \\), 즉 \\( x=\\frac{2}{3} \\) 에서 \\( f^{\\prime \\prime} \\) 의 부호가 변하므로 \\( \\left(\\frac{2}{3},-\\frac{16}{27}\\right) \\) 도 변곡점이다.", "위의 사실을 종합하여 대략적인 \\( f \\) 의 그래프를 그리면 다음(그림 3.26)과 같다.", "</p><p>예제 3 \\( f(x)=\\sin x(-\\pi \\leq x \\leq \\pi) \\) 의 극값과 변곡점을 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( f^{\\prime}(x)=\\cos x, f^{\\prime \\prime}(x)=-\\sin x \\) 이므로, \\( (-\\pi, \\pi) \\) 에서 \\( f^{\\prime}(x)=0 \\) 인 점은 \\( x=-\\frac{\\pi}{2}, \\frac{\\pi}{2} \\) 이다. \\[ \\begin{array}{c} f^{\\prime \\prime}\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right)=-\\sin \\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right)=1>", "0, \\\\ f^{\\prime \\prime}\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right)=-\\sin \\frac{\\pi}{2}=-1<0 \\end{array} \\] 이므로, \\( f\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right)=-1 \\) 은 극소값이고, \\( f\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right)=1 \\) 은 극대값이다. 이게, 변곡점을 찾기 위하여 \\( (-\\pi, \\pi) \\) 에서 \\( f^{\\prime \\prime}(x)=0 \\) 인 \\( x \\) 를 구하면 \\( x=0 \\) 이다. 그런데 \\( (-\\pi, 0) \\) 에서 \\( f^{\\prime \\prime}(x)>", "0 \\) 이고, \\( (0, \\pi) \\) 에서 \\( f^{\\prime \\prime}(x)<0 \\) 이므로 \\( (0,0) \\) 는 \\( f \\) 의 그래프의 변곡점이다.", "이제, 대략적인 \\( f \\) 의 그래프를 그러면 다음(그림 3.27)과 같다.", "앞에서 \\( f^{\\prime \\prime}(x)=0 \\) 인 \\( x \\) 에서 변곡점을 찾아보았다.", "그런데 \\( f^{\\prime \\prime} \\) 가 존재하지 않는 점의 좌우에서 \\( f^{\\prime \\prime} \\) 의 부호가 변하면 그 점도 변곡점이다.", "</p><p>예제 4 \\(f(x)=x^{\\frac{5}{3}} \\) 의 변곡점을 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( =f^{\\prime}(x)=\\frac{5}{3} x^{\\frac{2}{3}}, f^{\\prime \\prime}(x)=\\frac{10}{9} x^{-\\frac{1}{3}}=\\frac{10}{9 \\sqrt[3]{x}} \\quad(x \\neq 0) \\) 이므로 \\( f^{\\prime \\prime}(x)=0 \\) 인 점은 없고. \\", "( f^{\\prime \\prime} \\) 가 존재하지 않는 점은 \\( x=0 \\) 이다.", "그런데 \\( x<0 \\) 이면 \\( f^{\\prime \\prime}(x)<0 \\) 이고, \\( x>0 \\) 이면 \\( f^{\\prime \\prime}(x)>0 \\) 이다.", "따라서 \\( (0,0) \\) 는 \\( f \\) 의 그래프의 변곡점이다.", "</p> <p>정리 3.16 (일반화된 평균값 정리) \\( f \\) 와 \\( g \\) 가 \\( [a, b] \\) 에서 연속이고, \\( (a, b) \\) 에서 미분가능이라고 하자. \\", "( a<x<b \\) 에 대해 \\( g^{\\prime}(x) \\neq 0 \\) 이면 다음을 만족하는 수 \\( c \\) 가 \\( (a, b) \\) 에 존재한다.", "증명 부록3-3 \\[ \\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\\frac{f^{\\prime}(c)}{g^{\\prime}(c)} \\]<caption>(1)</caption>여기서 \\( g(x)=x(a \\leq x \\leq b) \\) 라 놓으면 식 (1)은 \\[ \\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\\frac{f^{\\prime}(c)}{g^{\\prime}(c)}=\\frac{f^{\\prime}(c)}{1}=f^{\\prime}(c) \\] 가 되어 평균값 정리가 된다.", "그런 이유에서 이 정리를 일반화된 평균값 정리라 하는데, 로피탈(L'Hôpital)의 법칙을 증명하는데 중요한 역할을 한다.", "</p><p>\\( \\left[\\right. \\) 부정형 \\( \\left.\\frac{0}{0}\\right]", "\\) \\( \\lim _{x \\rightarrow a^{+}} f(x)=0=\\lim _{x \\rightarrow a^{+}} g(x) \\) 이면 \\( \\lim _{x \\rightarrow a^{+}} \\frac{f(x)}{g(x)} \\) 는 부정형 \\( \\frac{0}{0} \\) 을 갖는다고.", "한다.", "우선 부정형 \\( \\frac{0}{0} \\) 의 극한에 관한 로피탈의 법칙을 알아보자.", "</p><p>정리 3.17 (로피탈의 법칙) (a) \\( f \\) 와 \\( g \\) 가 \\( (a, b) \\) 에서 미분가능이고, \\( a<x<b \\) 에 대하여 \\( g^{\\prime}(x) \\neq 0 \\) 이라고 하자. \\[ \\lim _{x \\rightarrow a^{+}} f(x)=0=\\lim _{x \\rightarrow a^{+}} g(x), \\lim _{x \\rightarrow a^{+}} \\frac{f^{\\prime}(x)}{g^{\\prime}(x)}=L \\] 이면 \\[ \\lim _{x \\rightarrow a^{+}} \\frac{f(x)}{g(x)}=L=\\lim _{x \\rightarrow a^{+}} \\frac{f^{\\prime}(x)}{g^{\\prime}(x)} \\] 이다. (b) \\( f \\) 와 \\( g \\) 가 \\( (a, \\infty) \\) 에서 미분가능이고, \\( x>", "a \\) 에 대하여 \\( g^{\\prime}(x) \\neq 0 \\) 이라고 하자. \\", "[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} f(x)=0=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} g(x), \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{f^{\\prime}(x)}{g^{\\prime}(x)}=L \\] 이면 \\[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{f(x)}{g(x)}=L=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{f^{\\prime}(x)}{g^{\\prime}(x)} \\] 이다.", "</p> <p>풀이 시간 단위는 시(hour)로 한다. 시간을 \\( t \\) 로 표시하고, 정오를 \\( t=0 \\) 이라 하자. \\( t(\\geq 0) \\) 시간이 지나면 요트는 \\( 20 t \\mathrm{~km} \\) 를 항해하고, 화물선은 \\( 40 t \\mathrm{~km} \\) 를 항해한다. 그림 3.21 로부터 \\( t \\) 시에 두 배 사이의 거리 \\( D \\) 는 \\[ D=\\sqrt{(20 t)^{2}+(20-40 t)^{2}}, t \\geq 0 \\] 으로 나타낼 수 있다. 여기에서 \\( D \\leq 10 \\) 이 되는 \\( t \\) 가 존재함을 보여야 하므로 \\( D \\) 의 어떤 시 간 \\( t \\) 에서 \\( D^{2} \\) 이 최소값을 가지면, 같은 시간 \\( t \\) 에서 \\( D \\) 도 최소값을 갖게 된다. \\( E=D^{2} \\) 이라 하고, \\( E \\) 가 최소값을 갖는 시간을 구하자. \\[ \\begin{array}{l} E=(20 t)^{2}+(20-40 t)^{2}, t \\geq 0 \\\\ E^{\\prime}(t)=2(20 t)(20)+2(20-40 t)(-40)=4000 t-1600 \\end{array} \\] 이므로 \\( E^{\\prime}(t)=0 \\) 인 \\( t \\) 를 구하면 \\[ 4000 t-1600=0, \\text { 즉 } t=\\frac{2}{5} \\] 이다. \\[ E^{\\prime \\prime}(t)=4000, \\quad E^{\\prime \\prime}\\left(\\frac{2}{5}\\right)=4000>", "0 \\] 이므로 \\( t=\\frac{2}{5} \\) 에서 \\( E \\) 는 극소값 \\( E\\left(\\frac{2}{5}\\right) \\) 를 갖는다. \\", "( 0 \\leq t \\) 에서는 극소값 \\( E\\left(\\frac{2}{5}\\right) \\) 가 \\( E \\) 의 최소 값이 된다.", "따라서 \\( t=\\frac{2}{5} \\) 에서 \\( D \\) 도 최소값 \\( D\\left(\\frac{2}{5}\\right) \\) 를 갖게 된다. \\", "[ \\begin{aligned} D\\left(\\frac{2}{5}\\right) &=\\sqrt{\\left(20 \\cdot \\frac{2}{5}\\right)^{2}+\\left(20-40 \\cdot \\frac{2}{5}\\right)^{2}} \\\\ &=\\sqrt{8^{2}+4^{2}}=\\sqrt{80}<10 \\end{aligned} \\] 이므로 두 배 위의 사람들은 서로 바라볼 수 있다.", "특히, 정오 이후 대략 \\( \\frac{2}{5} \\) 시간, 즉 오후 12시 24분경에 서로 바라볼 수 있다.", "</p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "미적분학_미분의 응용", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-d7a3-464e-ada2-3be0d4da34ba", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961052009", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2009", "doc_author": [ "강윤수", "김권욱", "송영무", "신향근", "양기열", "정권수" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }
107	<p>이들 공식을 근거로 임의의 내적공간 \( (V,\langle,\rangle) \)에서 벡터의 길이와 두 벡터 사이의 거리를 다음과 같이 정의한다.</p><p>정의 벡터공간 \( V \) 상의 내적을 \( \langle \),\( \rangle\)라 하고, \(v \in V \)라 할 때, 벡터 \( v \)의 크기 (norm) 혹은 길이 (length)를 다음과 같이 정의하고 \[ \\|v\\|=\sqrt{\langle v, v\rangle} \]</p><p>내적공간 \( V \)의 두 벡터 \( v \)와 \( w \) 사이의 거리 (distance)는 다음과 같이 정의한다. \[ d(v, w)=\\|v-w\\| \]</p><p>임의의 벡터 \( v \in V \)에 대하여, 내적의 공리 (4)에 의하여 \( \\|v\\| \geq 0 \)임을 알 수 있다. 특히, \( \\|v\\|=0 \Leftrightarrow v=0 \)이다.</p><p>[보기 3] Euclid 공간 \( \mathbb{R}^{n} \)의 임의의 두 벡터 \[ v=\left(v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right), w=\left(w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{n}\right) \] 에 대하여, \( v \)의 길이는 \[ \\|v\\|=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{n}^{2}} \text { (Euclid 내적을 사용하여) } \] 이고, \( v \)와 \( w \) 사이의 거리는 \[ d(v, w)=\sqrt{\left(v_{1}-w_{1}\right)^{2}+\left(v_{2}-w_{2}\right)^{2}+\cdots+\left(v_{n}-w_{n}\right)^{2}} \]</p><p>[보기 4] 예제 3에서 소개한 내적공간 \( C[a, b] \)의 원소 \( f=f(x) \)의 크기는 다음과 같다. \[ \\|f\\|=\sqrt{\int_{a}^{b} f(x)^{2} d x} \]</p><p>[예제 4] 내적공간 \( V \)의 임의의 두 벡터 \( u, v \)에 대하여 다음을 밝혀라.</p><p>풀이 \( \begin{aligned}\langle u+v, u-v\rangle &=\langle u, u\rangle-\langle u, v\rangle+\langle v, u\rangle-\langle v, v\rangle \\ &=\langle u, u\rangle-\langle u, v\rangle+\langle u, v\rangle-\langle v, v\rangle \\ &=\langle u, u\rangle-\langle v, v\rangle=\\|u\\|^{2}-\\|v\\|^{2} \end{aligned} \)</p><p>내적공간 \( V \)의 벡터 \( v \)에 대하여 \( \\|v\\|=1 \)인 경우 \( v \)를 단위벡터 (unit vector)라 하고, \( V \)내의 모든 단위벡터의 모임을 \( V \) 의 단위구 (unit ball)라고 부른다. 또한, \( V \)내의 벡터 \( v \neq 0 \)에 대하여 \( \frac{1}{\\|v\\|} v \)는 단위벡터이다.</p><p>예를 들면, \( V=\mathbb{R}^{2} \)로서 스칼라적을 갖는다고 하자. 그러면 \( v=(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \)에 대하여 \( \\|v\\|=1 \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1 \)이다. 따라서 \( \mathbb{R}^{2} \) 속의 단위공은 중심이 원점이고, 반지름이 1인 단위원 (unit circle) \( x^{2}+y^{2}=1 \)이다.</p> <p>정의 \( V \)를 체 \( \mathbb{R} \)위의 내적공간이라고 하자. 두 벡터 \( u, v \in V \)에 대하여 \( \langle u, v\rangle=0 \)일 때, \( u \)와 \( v \)는 서로 직교 (orthogonal) 또는 서로 수직(perpendicular)이라고 한다.</p><p>모든 벡터 \( v \in V \)에 대하여 \( \langle 0, v\rangle=\langle v, 0\rangle=0 \)이므로 영벡터는 모든 벡터와 서로 수직이다.</p><p>[보기 6] \( \quad \mathbb{R}^{4} \) 상의 두 벡터 \( u=(1,0,1,2) \)와 \( v=(0,3,-2,1) \)는 서로 직교한다. 실제로 \( u \cdot v=1 \cdot 0+0 \cdot 3+(-2) \cdot 1+2 \cdot 1=0 \), 또는 \( \cos \theta=\frac{u \cdot v}{\\|u\\|\\|v\\|}=\frac{0}{\\|u\\|\\|v\\|}=0 \)이다. 따라서 \( \theta=\frac{\pi}{2} \)이다.</p><p>[보기 7]유클리드 \( n \)차원 공간 \( \mathbb{R}^{n} \)의 임의의 두 벡터 \[ u=\left(v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right), \quad v=\left(v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right) \] 에 대하여 유클리드 내적에 의한 코시 슈바르cm 부등식은 다음과 같다. \[ \left\|u_{1} v_{1}+u_{2} v^{+} \ldots+u_{n} v_{n}\right\| \leq\left(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+\cdots u_{n}^{2}\right)^{1 / 2}\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{n}^{2}\right)^{1 / 2} . \]</p><p>정리 \(4\) 피타고라스 (Pythagoras) : 실수체 \( \mathbb{R} \) 위의 내적공간을 \( V \)라 하자. 두 벡터 \( u, v \in V \)에 대하여, \( u \)와 \( v \)가 서로 수직이면 다음 등식이 성립한다. \[ \\|u+v\\|^{2}=\\|u\\|^{2}+\\|v\\|^{2} \]</p><p>증명 \( u \)와 \( v \)가 서로 수직이므로 \( \langle u, v\rangle=0=\langle v, u\rangle \)이다. 따라서 \[ \begin{aligned} \\|u+v\\|^{2} &=\langle u+v, u+v\rangle=\langle u, u\rangle+\langle u, v\rangle+\langle v, u\rangle+\langle v, v\rangle \\ &=\langle u, u\rangle+\langle v, v\rangle=\\|u\\|^{2}+\\|v\\|^{2} \end{aligned} \] 이다.</p>	대수학	[ "<p>이들 공식을 근거로 임의의 내적공간 \\( (V,\\langle,\\rangle) \\)에서 벡터의 길이와 두 벡터 사이의 거리를 다음과 같이 정의한다.", "</p><p>정의 벡터공간 \\( V \\) 상의 내적을 \\( \\langle \\),\\( \\rangle\\)라 하고, \\(v \\in V \\)라 할 때, 벡터 \\( v \\)의 크기 (norm) 혹은 길이 (length)를 다음과 같이 정의하고 \\[ \\\|v\\\|=\\sqrt{\\langle v, v\\rangle} \\]</p><p>내적공간 \\( V \\)의 두 벡터 \\( v \\)와 \\( w \\) 사이의 거리 (distance)는 다음과 같이 정의한다. \\", "[ d(v, w)=\\\|v-w\\\| \\]</p><p>임의의 벡터 \\( v \\in V \\)에 대하여, 내적의 공리 (4)에 의하여 \\( \\\|v\\\| \\geq 0 \\)임을 알 수 있다.", "특히, \\( \\\|v\\\|=0 \\Leftrightarrow v=0 \\)이다.", "</p><p>[보기 3] Euclid 공간 \\( \\mathbb{R}^{n} \\)의 임의의 두 벡터 \\[ v=\\left(v_{1}, v_{2}, \\cdots, v_{n}\\right), w=\\left(w_{1}, w_{2}, \\cdots, w_{n}\\right) \\] 에 대하여, \\( v \\)의 길이는 \\[ \\\|v\\\|=\\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\\cdots+v_{n}^{2}} \\text { (Euclid 내적을 사용하여) } \\] 이고, \\( v \\)와 \\( w \\) 사이의 거리는 \\[ d(v, w)=\\sqrt{\\left(v_{1}-w_{1}\\right)^{2}+\\left(v_{2}-w_{2}\\right)^{2}+\\cdots+\\left(v_{n}-w_{n}\\right)^{2}} \\]</p><p>[보기 4] 예제 3에서 소개한 내적공간 \\( C[a, b] \\)의 원소 \\( f=f(x) \\)의 크기는 다음과 같다. \\", "[ \\\|f\\\|=\\sqrt{\\int_{a}^{b} f(x)^{2} d x} \\]</p><p>[예제 4] 내적공간 \\( V \\)의 임의의 두 벡터 \\( u, v \\)에 대하여 다음을 밝혀라.", "</p><p>풀이 \\( \\begin{aligned}\\langle u+v, u-v\\rangle &=\\langle u, u\\rangle-\\langle u, v\\rangle+\\langle v, u\\rangle-\\langle v, v\\rangle \\\\ &=\\langle u, u\\rangle-\\langle u, v\\rangle+\\langle u, v\\rangle-\\langle v, v\\rangle \\\\ &=\\langle u, u\\rangle-\\langle v, v\\rangle=\\\|u\\\|^{2}-\\\|v\\\|^{2} \\end{aligned} \\)</p><p>내적공간 \\( V \\)의 벡터 \\( v \\)에 대하여 \\( \\\|v\\\|=1 \\)인 경우 \\( v \\)를 단위벡터 (unit vector)라 하고, \\( V \\)내의 모든 단위벡터의 모임을 \\( V \\) 의 단위구 (unit ball)라고 부른다.", "또한, \\( V \\)내의 벡터 \\( v \\neq 0 \\)에 대하여 \\( \\frac{1}{\\\|v\\\|} v \\)는 단위벡터이다.", "</p><p>예를 들면, \\( V=\\mathbb{R}^{2} \\)로서 스칼라적을 갖는다고 하자.", "그러면 \\( v=(x, y) \\in \\mathbb{R}^{2} \\)에 대하여 \\( \\\|v\\\|=1 \\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1 \\)이다.", "따라서 \\( \\mathbb{R}^{2} \\) 속의 단위공은 중심이 원점이고, 반지름이 1인 단위원 (unit circle) \\( x^{2}+y^{2}=1 \\)이다.", "</p> <p>정의 \\( V \\)를 체 \\( \\mathbb{R} \\)위의 내적공간이라고 하자.", "두 벡터 \\( u, v \\in V \\)에 대하여 \\( \\langle u, v\\rangle=0 \\)일 때, \\( u \\)와 \\( v \\)는 서로 직교 (orthogonal) 또는 서로 수직(perpendicular)이라고 한다.", "</p><p>모든 벡터 \\( v \\in V \\)에 대하여 \\( \\langle 0, v\\rangle=\\langle v, 0\\rangle=0 \\)이므로 영벡터는 모든 벡터와 서로 수직이다.", "</p><p>[보기 6] \\( \\quad \\mathbb{R}^{4} \\) 상의 두 벡터 \\( u=(1,0,1,2) \\)와 \\( v=(0,3,-2,1) \\)는 서로 직교한다.", "실제로 \\( u \\cdot v=1 \\cdot 0+0 \\cdot 3+(-2) \\cdot 1+2 \\cdot 1=0 \\), 또는 \\( \\cos \\theta=\\frac{u \\cdot v}{\\\|u\\\|\\\|v\\\|}=\\frac{0}{\\\|u\\\|\\\|v\\\|}=0 \\)이다.", "따라서 \\( \\theta=\\frac{\\pi}{2} \\)이다.", "</p><p>[보기 7]유클리드 \\( n \\)차원 공간 \\( \\mathbb{R}^{n} \\)의 임의의 두 벡터 \\[ u=\\left(v_{1}, v_{2}, \\cdots, v_{n}\\right), \\quad v=\\left(v_{1}, v_{2}, \\cdots, v_{n}\\right) \\] 에 대하여 유클리드 내적에 의한 코시 슈바르cm 부등식은 다음과 같다. \\", "[ \\left\|u_{1} v_{1}+u_{2} v^{+} \\ldots+u_{n} v_{n}\\right\| \\leq\\left(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+\\cdots u_{n}^{2}\\right)^{1 / 2}\\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\\cdots+v_{n}^{2}\\right)^{1 / 2} . \\]", "</p><p>정리 \\(4\\) 피타고라스 (Pythagoras) : 실수체 \\( \\mathbb{R} \\) 위의 내적공간을 \\( V \\)라 하자.", "두 벡터 \\( u, v \\in V \\)에 대하여, \\( u \\)와 \\( v \\)가 서로 수직이면 다음 등식이 성립한다. \\", "[ \\\|u+v\\\|^{2}=\\\|u\\\|^{2}+\\\|v\\\|^{2} \\]</p><p>증명 \\( u \\)와 \\( v \\)가 서로 수직이므로 \\( \\langle u, v\\rangle=0=\\langle v, u\\rangle \\)이다.", "따라서 \\[ \\begin{aligned} \\\|u+v\\\|^{2} &=\\langle u+v, u+v\\rangle=\\langle u, u\\rangle+\\langle u, v\\rangle+\\langle v, u\\rangle+\\langle v, v\\rangle \\\\ &=\\langle u, u\\rangle+\\langle v, v\\rangle=\\\|u\\\|^{2}+\\\|v\\\|^{2} \\end{aligned} \\] 이다.", "</p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": 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108	<h1>제\(5\)장 \(2\)차곡면의 성질</h1><h2>5.1 \(2\)차곡면의 중심</h2><p>\(2\)차곡면</p><p>\[F(x, y, z) \equiv a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y+2 l x+2 m y+2 n z+d=0\]에 대하여 점 \( P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \)이 존재하여 \( P_{0} \)을 지나는 \( 2 \)차곡면 \( F(x, y, z)=0 \)의 현이 모두 점 \( P_{0} \)에서 \( 2 \)등분될 때, 점 \( P_{0} \)는 \( 2 \)차곡면 \( F(x, y, z)=0 \)의 중심(center)이라 한다. 점 \( P_{0} \)을 지나고 방향코사인이 \( (\lambda, \mu, \nu) \)인 직선의 방정식은 \[\left\{\begin{array}{l} x=x_{0}+\lambda t \\y=y_{0}+\mu t \\z=z_{0}+\nu t\end{array}\right.\] 이므로, 이를 \( F(x, y, z)=0 \)에 대입하면, 다음을 얻는다. \[\begin{array}{l} \left(a \lambda^{2}+b \mu^{2}+c \nu^{2}+2 f \mu \nu+2 g \nu \lambda+2 h \lambda \mu\right) t^{2} \\+2\left[\left(a x_{0}+h y_{0}+g z_{0}+l\right) \lambda+\left(h x_{0}+b y_{0}+f z_{0}+m\right) \mu+\left(g x_{0}+f y_{0}+c z_{0}+n\right) \nu\right] t \\ \quad+F\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=0\end{array}\]</p><p>이것은 점 \( P_{0} \)을 지나는 \( 2 \)차곡면의 현의 방정식이다. 위의 \( t \)에 관한 \( 2 \)차방정식의 두 근을 \( t_{1}, t_{2} \)라 하자. 이때 점 \( P_{0} \)가 현의 중심이기 위해서는 \( t_{1}+t_{2}=0 \)이어야 한다. 그러므로 만일 \( t_{1}+t_{2}=0 \)이면, 근과 계수와 관계에 의하여 다음이 성립한다. \[\left(a x_{0}+h y_{0}+g z_{0}+l\right) \lambda+\left(h x_{0}+b y_{0}+f z_{0}+m\right) \mu+\left(g x_{0}+f y_{0}+c z_{0}+n\right) \nu=0\]</p><p>점 \( P_{0} \)이 \( 2 \)차곡면의 중심이기 위해서는 모든 방향코사인 \( (\lambda, \mu, \nu) \)에 대하여 위의 등식이 성립하여야 한다. 그러므로 점 \( P_{0} \)은 다음 연립방정식을 만족하여야 한다. \[\left\{\begin{array}{l}a x_{0}+h y_{0}+g z_{0}+l=0 \\h x_{0}+b y_{0}+f z_{0}+m=0 \\g x_{0}+f y_{0}+c z_{0}+n=0\end{array}\right.\]</p><p>따라서 다음 정리를 얻는다.</p><p>정리 \( 5.1.1 \) \( 2 \)차곡면 \[F(x, y, z) \equiv a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y+2 l x+2 m y+2 n z+d=0\]에 대하여 \( F(x, y, z)=0 \)이 단 한 개의 중심을 갖기 위한 필요충분조건은 \[\left\|\begin{array}{lll}a & h & g \\h & b & f \\g & f & c \end{array}\right\| \neq 0\]이다.</p><p>단 하나의 중심을 갖는 \( 2 \)차곡면을 유심 \( 2 \)차곡면(central quadric surface)이라 하고, 무수히 많은 중심을 갖거나 중심을 갖지 않는 \( 2 \)차곡면을 무심 \( 2 \)차곡면(non-central quadric surface)이라 한다.</p><p><ol type=1 start=1><li>타원면, \( 1 \)엽쌍곡면, \( 2 \)엽쌍곡면, \( 2 \)차뿔면은 중심을 갖는 \( 2 \)차곡면이다.</li><li>포물면, 포물기둥면은 중심을 갖지 않는 \( 2 \)차곡면이다.</li><li>타원기둥면, 쌍곡기둥면은 무수히 많은 중심을 갖는 \( 2 \)차곡면이다.</li></ol></p> <p>정리 \( 6.3.1 \) (\( 2 \)차곡면의 분류) \( 2 \)차곡면의 방정식 \[F(x, y, z) \equiv a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y+2 l x+2 m y+2 n z+d=0 \]에 대하여 특성방정식 \( \left\|\begin{array}{ccc}a-t & h & g \\ h & b-t & f \\ g & f & c-t\end{array}\right\|=0 \)의 근을 \( t_{1}, t_{2}, t_{3} \)라 하자. 그러면 \( D=\left\|\begin{array}{lll}a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c\end{array}\right\|=t_{1} t_{2} t_{3} \)이다. \( \Delta_{1}=\left\|\begin{array}{llll}a & h & g & l \\ h & b & f & m \\ g & f & c & n \\ l & m & n & d\end{array}\right\| \)에 대하여 \( D \)와 \( \Delta_{1} \)의 \( 0 \)인지 아닌지에 따라 \( 2 \)차곡면의 표준형은 다음과 같다.</p><p>(\( 1 \)) \( D \neq 0\left\{\begin{array}{l}\Delta_{1} \neq 0, t_{1} \bar{x}^{2}+t_{2} \bar{y}^{2}+t_{3} \bar{z}^{2}+\frac{\Delta_{1}}{t_{1} t_{2} t_{3}}=0 \text { : 타원면 또는 쌍곡면 } \\ \Delta_{1}=0, t_{1} \bar{x}^{2}+t_{2} \bar{y}^{2}+t_{3} \bar{z}^{2}=0: 2 \text { 차뿔면 }\end{array}\right. \)</p><p>\(D = 0\begin{cases}& \Delta_{1} \neq 0, t_{1} \bar{x}^{2}+t_{2} \bar{y}^{2}+2 \sqrt{-\frac{\Delta_{1}}{t_{1} t_{2}}} \bar{z}=0:타원형 또는 쌍곡면 \\ & \Delta_{1}=0 \begin{cases} &t_{1} \bar{x}^{2}+t_{2} \bar{y}^{2}+\bar{d}=0 \ \begin{cases} & \bar{d}=0:타원기둥면 또는 쌍곡포물면\\& \bar{d}=0:교차하는 두 평면\end{cases} \\ & t_{1} \bar{x}^{2}+2 \bar{m} \bar{y}=0: 포물기둥면 \\ & t_{1} \bar{x}^{2}+\bar{d}=0:평행한 두평면\end{cases}\end{cases}\)</p><p>\( O-x y z \) 좌표계의 일반적인 \( 2 \)차곡면의 방정식 \( F(x, y, z)=0 \)에 대하여, \( x, y, z \)-축을 적당히 평행이동하고 회동이동시켜 얻어진 \( O^{\prime}-X Y Z \)에서는 \( F(x, y, z)=0 \)이 \( 2 \)차곡면의 기본형의 방정식으로 변환될 수 있다. 이러한 좌표축의 변환을 주축변환(transformation of principal axis)이라 한다.</p><p>예제 \( 6.3.2\) \( 2 \)차곡면의 방정식 \[F(x, y, z) \equiv 7 x^{2}+6 y^{2}+5 z^{2}-4 y z-4 x y+6 x+8 y+22 z+38=0\]의 표준형을 구하여라.</p><p>[풀이] 중심을 구하는 방정식은 다음과 같다. \[\left\{\begin{array}{r}7 x-2 y+3=0 \\-2 x+6 y-2 z+4=0 \\-2 y+5 z+11=0\end{array}\right. \]</p><p>이를 풀면, 중심은 \( \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=(-1,-2,-3) \)이다. 이때 \( \left\{\begin{array}{l}x=x^{\prime}-1 \\ y=y^{\prime}-2 \text { 으로 놓으면, } \\ z=z^{\prime}-3\end{array}\right. \) \( F^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right) \equiv 7 x^{\prime 2}+6 y^{\prime 2}+5 z^{\prime 2}-4 y^{\prime} z^{\prime}-4 x^{\prime} y^{\prime}-6=0 \)을 얻는다. 특성방정식은 \[\left\|\begin{array}{ccc}7-t & -2 & 0 \\-2 & 6-t & -2 \\0 & -2 & 5-t \end{array}\right\| \equiv-\left(t^{3}-18 t^{2}+99 t-162\right)=0\] 이다. 이를 풀면, 특성근은 \( t_{1}=3, t_{2}=6, t_{3}=9 \)이다. 방향코사인 \( (\lambda, \mu, \nu) \)는 다음 식으로부터 정해진다. \[\left\{\begin{array}{l}(7-t) \lambda-2 \mu=0 \\-2 \lambda+(6-t) \mu-2 \nu=0 \\ -2 \mu+(5-t) \nu=0\end{array}\right.\]</p><p>(ⅰ) \( t_{1}=3 \)일 때, \[\left\{\begin{array}{l}4 \lambda-2 \mu=0 \\ -2 \lambda+3 \mu-2 v=0, \lambda: \mu: \nu=1: 2: 2 \\-2 \mu+2 \nu=0\end{array}\right.\]</p><p>(ⅱ) \( t_{2}=6 \)일 때, \[\left\{\begin{array}{l}\lambda-2 \mu=0 \\ -2 \lambda-2 \nu=0, \lambda: \mu: \nu=2: 1:-2 \\-2 \mu-\nu=0\end{array}\right.\]</p><p>(ⅲ) \( t_{3}=9 \) 일 때\[\left\{\begin{array}{l} 2 \lambda-2 \mu=0 \\-2 \lambda-3 \mu-2 \nu=0, \quad \lambda: \mu: \nu=2:-2: 1 \\ -2 \mu-4 \nu=0\end{array}\right.\]</p><p>그러므로 \( \bar{x}, \bar{y}, \bar{z} \)-축의 방정식은 각각 다음과 같다. \[\begin{array}{l}\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+3}{2} \\ \frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+3}{-2} \\\frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z+3}{1} \end{array}\]</p><p>정리 \( 6.3.1 \)에 의하여 \( \bar{d}=\frac{\Delta_{1}}{t_{1} t_{2} t_{3}}=-6, \Delta_{1}=\left\|\begin{array}{cccc}7 & -2 & 0 & 3 \\ -2 & 6 & -2 & 4 \\ 0 & -2 & 5 & 11 \\ 3 & 4 & 11 & 38\end{array}\right\|=-972 \)이므로, 구하는 표준형은 다음과 같다. \[3 \bar{x}^{2}+6 \bar{y}^{2}+9 \bar{z}^{2}-6=0 .\]</p><p>예제 \( 6.3.3 \) \( 2 \)차곡면의 방정식 \[2 x^{2}+2 y^{2}-4 z^{2}-2 y z-2 z x-5 x y-2 x-2 y+z=0\]의 표준형을 구하여라.</p><p>[풀이] \( D=\left\|\begin{array}{ccc}2 & -5 / 2 & -1 \\ -5 / 2 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & -4\end{array}\right\|=0, \quad \Delta_{1}=\left\|\begin{array}{cccc}2 & -5 / 2 & -1 & -1 \\ -5 / 2 & 2 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -4 & 1 / 2 \\ -1 & -1 & 1 / 2 & 0\end{array}\right\|=\frac{729}{16} \) 이므로, 정리 \( 6.3.1\)에 의하여 \( 2 \)차곡면은 포물면이다. 특성방정식 \[\left\|\begin{array}{ccc}2-t & -5 / 2 & -1 \\ -5 / 2 & 2-t & -1 \\-1 & -1 & -4-t\end{array}\right\|=-\left(t^{3}-\frac{81}{4} t\right)=0 \]의 근은 \( t_{1}=\frac{9}{2}, t_{2}=-\frac{9}{2}, t_{3}=0 \)이다. 그러므로 정리 \( 6.3 .1 \) 에 의하여 표준형은 다음과 같다. \[\begin{array}{c}t_{1} \bar{x}^{2}+t_{2} \bar{y}^{2}+2 \sqrt{-\frac{\Delta_{1}}{t_{1} t_{2}}} \bar{z}=0 \\\frac{9}{2} \bar{x}^{2}-\frac{9}{2} \bar{y}^{2}+2 \sqrt{\frac{9}{4}} \bar{z}=0 \\3 \bar{x}^{2}-3 \bar{y}^{2}+2 \bar{z}=0\end{array}\]</p><p>이것은 쌍곡포물면을 나타낸다.</p><h1>연습문제</h1><p>\( 1 \). 다음 \( 2\)차곡면의 방정식의 표준형을 구하여라.</p><p><ol type=a start=1><li>\( 3 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}+2 z x+2 x y+2 x-2 y-2 z-2=0 \)</li><li>\( 7 x^{2}-13 y^{2}+6 z^{2}+12 y z-12 z x+24 x y-78 x-32 y+71=0 \)</li><li>\( x^{2}+y^{2}-4 y z-4 z x+2 x y-12 x-16 y+12 z+35=0 \)</li><li>\( y z+z x+x y+1=0 \)</li><li>\( x^{2}+y^{2}+z^{2}+y z+z x+x y+x+y+z=0 \)</li></ol></p> <h1>연습문제</h1><p>\( 1 \). 다음 구의 방정식을 구하여라.</p><p><ol type=a start=1><li>반지름이 \( r \)이고 \( 3 \)개의 좌표평면에 접하는 구</li><li>점 \( \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \)을 중심으로 하고 점 \( \left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) \)을 지나는 구</li><li>점 \( \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \)을 중심으로 하고 \( x y \)-평면에 접하는 구</li><li>2점 \( P_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right) \)를 직경의 양 끝점으로 하는 구</li></ol></p><p>\( 2 \). 평면 \( p x+q y+r z+s=0 \)이 구면 \( \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}=R^{2} \)에 접하기 위한 조건을 구하여라.</p><p>\( 3 \). 점 \( \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \)을 중심으로 하고 평면 \( a x+b y+c z+d=0 \)에 접하는 구면의 방정식을 구하여라.</p><p>\( 4 \). \(1 \)개의 구면과 \( y z \)-평면, \( z x \)-평면과의 교선이 각각 \[x=0, y^{2}+z^{2}+y=1 \text { 과 } y=0, x^{2}+z^{2}=1\]일 때, 이 구면의 방정식을 구하여라. 또한 이 구면과 \( x y \)-평면과의 교선의 방정식을 구하여라.</p><p>\( 5 \). 타원면 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \)의 중점 \( O \)를 지나는 \( 2 \)개씩 서로 수직인 \( 3 \)개의 직선을 그었을때, 그 타원면과의 교점을 각각 \( P_{1}, P_{2}, P_{3} \)이라 하자. 그러면 \[\frac{1}{\overline{O P}_{1}^{2}}+\frac{1}{{\overline{O P_{2}}}^{2}}+\frac{1}{{\overline{O P_{3}}}^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\]임을 증명하여라.</p><p>\( 6 \). 점 \( \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \) 을 지나고 구 \( x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} \)에 외접하는 원뿔의 방정식은 다음과 같음을 보여라.\[\left(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}-r^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}r^{2}\right)=\left(x_{0} x+y_{0} y+z_{0} z-r^{2}\right)^{2}\]</p><p>\( 7 \). 타원면 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \)과 평면 \( l x+m y+n z=1 \)과의 교점을 포함하고 원점을 꼭짓점으로 하는 \( 2 \)차뿔면의 방정식은 다음과 같음을 보여라.\[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=(l x+m y+n z)^{2}\]</p><p>\( 8 \). \( x z- \) 평면 위에 포물선 \( x^{2}=2 a^{2} c z \)가 놓여있고, \( y z- \)평면 위에 포물선 \( y^{2}=-2 b^{2} c z \)가 놓여있다고 하자. 이때 \( y z \)-평면 위의 포물선을 그의 꼭짓점이 \( x z \)-평면 위의 포물선에 있도록 평행이동할 때, 이 포물선이 그리는 자취를 구하여라.</p> <h1>제3장 유클리드 공간에서 직선과 평면</h1><h2>3.1 공간좌표</h2><p>[정사영] 공간에서 \( 2 \)개의 유향직선 \( l, g \)가 주어졌을 때, \( l^{\prime}, g^{\prime} \)는 공간의 임의의 점 \( O \)를 지나고. \( l, g \)와 같은 방향의 직선이라 하면, \( l^{\prime}, g^{\prime} \)가 이루는 각 \( \theta \)는 \( O \)의 위치에 상관없이 일정하다. 이 각 \( \theta \)를 유향직선 \( l, g \)가 이루는 각이라 하고, \( \theta=\angle(l, g) \)로 나타낸다. 공간의 한 점 \( P \)에서 그 공간의 정직선 \( g \) (또는 정평면 \( \pi \) )에 내린 수선의 발 \( P^{\prime} \)는 \( P \)에서 정직선 \( g \) (또는 정평면 \( \pi \) ) 위의 (정)사영((orthogonal) projection)이라 한다. 공간의 한 도형 \( F \) 위의 각 점에서 정직선 \( g \) (또는 정평면 \( \pi) \) 위의 정사영을 \( F \)에서 정직선 \( g \) (또는 정평면 \( \pi) \) 위의 (정)사영이라 한다.</p><p>유향직선 \( l \) 위의 선분 \( A B \)를 다른 유향직선 \( m \)에 내린 사영을 \( [A B]_{g} \)로 나타내면, \[[A B]_{g}=\overline{A B} \cos (\angle(1, g))\]이다. 공간에서의 다각선 \( A_{1} A_{2} \cdots A_{n} \) 을 유향직선 \( g \) 위에 사영하면, \[\left[A_{1} A_{2}\right]_{g}+\left[A_{2} A_{3}\right]_{g}+\cdots+\left[A_{n-1} A_{n}\right]_{g}=\left[A_{1} A_{n}\right]_{g}\]이다. 즉,\[\begin{array}{c} \overline{A_{1} A_{2}} \cos \left(\angle\left(1_{1}, g\right)\right)+\overline{A_{2} A_{3}} \cos \left(\angle\left(l_{2}, g\right)\right)+\cdots+\overline{A_{n}-1} A_{n} \cos \left(\angle\left(1_{n}-1, g\right)\right) \\=\overline{A_{1} A_{n}} \cos \left(\angle\left(l_{n}, g\right)\right)\end{array}\]</p><p>여기서 선분 \( A_{1} A_{2} \)는 유향직선 \( l_{1} \) 위에 놓여 있고, 선분 \( A_{2} A_{3} \)은 유향직선 \( l_{2} \) 위에 놓여 있고, 선분 \( A_{n-1} A_{n} \)은 유향직선 \( l_{n-1} \) 위에 놓여 있고, 선분 \( A_{1} A_{n} \)은 유향직선 \( l_{n} \) 위에 놓여 있다.</p><p>[공간좌표] 공간에서 서로 직교하는 \( 2 \)개의 유향직선 \( l, m \)의 교점을 \( O \)라 하자. 그러면 \( l, m \)은 직각좌표평면을 이룬다. 이때 \( l \)은 \( x \)-축, \( m \)은 \( y \)-축이라 하자. 이러한 평면을 \( x y \)-평면이라 하자. 점 \( O \)를 지나고 \( x y \)-평면에 수직인 유향직선 \( n \)을 그리자. 이러한 직선 \( n \)을 \( z \)-축이라 하자. 그러면 공간은 직각좌표공간을 이룬다. 여기서 \( O \)는 공간의 원점이라 하자.</p><p>[공간에서의 직선의 방향코사인] 직각좌표공간에서 유향직선 \( g \)가 \( x \)-축, \( y \)-축, \( z \)-축과 이루는 각을 각각 \( \alpha=\angle(x, g), \beta=\angle(y, g), \gamma=\angle(z, g) \)라 하자. \( g \)는 원점 \( O \)와 점 \( P(a, b, c) \)를 지나는 직선이라 가정해도 무방하다. 이때 \( \overline{O P}=r \)에 대하여 \[a=r \cos \alpha, b=r \cos \beta, c=r \cos \gamma\]이다. \( r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}=r^{2} \cos ^{2} \alpha+r^{2} \cos ^{2} \beta+r^{2} \cos ^{2} \gamma \) 이므로, \( \cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta+\cos ^{2} \gamma=1 \) 이다.\[l=\cos \alpha, m=\cos \beta, n=\cos \gamma\]는 유향직선 \( g \)의 방향코사인(direction cosine)이라 한다.</p><p>[\( 2 \)개의 공간직선이 이루는 각] 공간직선 \( l \)의 방정식은 점 \( P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \)을 지나고, 그 직선의 방향코사인은 \( (l, m, n) \)이라 하자.</p><p>\( l \) 위의 임의의 점을 \( P(x, y, z) \)라 하자. 그러면 직선 \( l \)의 방정식은 다음과 같다. \[\frac{x-x_{0}}{l}=\frac{y-y_{0}}{m}=\frac{z-z_{0}}{n}\] \( 2 \)개의 유향직선 \( g_{1}, g_{2} \)가 이루는 각을 \( \theta=\angle\left(g_{1}, g_{2}\right) \)이라 하고, 그의 방향코사인은 각각 \( \left(l_{1}, m_{1}, n_{1}\right),\left(l_{2}, m_{2}, n_{2}\right) \) 라 하자. 유향직선들은 평행이동 하더라도 그 사잇각 또는 방향코사인은 변하지 않으므로, \( g_{1}, g_{2} \)는 원점을 지난다고 가정해도 무방하다.</p><p>점 \( P(x, y, z) \)를 \( g_{1} \) 위에서 잡고, \( P \)에서 \( x y \)-평면에 수선의 발 \( M \)을 내리고, \( M \)에서 \( x \)-축에 수선의 발 \( N \)을 내리자. 이때 다각선 \( O N M P \) 를 \( g_{2} \) 위로 사영하면, \[[O N]_{g_2}+[N M]_{g_2}+[M P]_{g_2}=[O P]_{g_2}\]이다. 즉,\( \overline{O N} \cos \left(\angle\left(\mathrm{x}, \mathrm{g}_{2}\right)\right)+\overline{\mathrm{NM}} \cos \left(\angle\left(\mathrm{y}, \mathrm{g}_{2}\right)\right)+\overline{\mathrm{MP}} \cos \left(\angle\left(z, \mathrm{~g}_{2}\right)\right)=\overline{\mathrm{OP}} \cos \left(\angle\left(\mathrm{g}_{1}, \mathrm{~g}_{2}\right)\right) \). \( \overline{O P}=r \) 로 놓으면, \( \overline{O N}=x=l_{1} r, \overline{N M}=y=m_{1} r, \overline{M P}=z=r m_{1} \) 이므로, 다음을 얻는다. \( \cos \theta=l_{1} l_{2}+m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2} \)</p><p>그러므로 \( g_{1}, g_{2} \)가 이루는 각 \( \theta \)는 이것으로부터 얻을 수 있다.</p><p>만일 \( 2 \)직선 \( g_{1}, g_{2} \)가 직교하면, \( \theta=\frac{\pi}{2} \)이므로, 직교조건은 \( l_{1} l_{2}+m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2}=0 \)이다. \[\begin{aligned}\sin ^{2} \theta=1-\cos ^{2} \theta &=\left(l_{1}^{2}+m_{1}^{2}+n_{1}^{2}\right)\left(l_{2}^{2}+m_{2}^{2}+n_{2}^{2}\right)-\left(l_{1} l_{2}+m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2}\right)^{2} \\ &=\left(l_{1} m_{2}-l_{2} m_{1}\right)^{2}+\left(m_{1} n_{2}-m_{2} n_{1}\right)^{2}+\left(n_{1} l_{2}-n_{1} l_{1}\right)^{2}\end{aligned}\] 이므로, \( 2 \)직선 \( g_{1}, g_{2} \)가 평행하면, \( \theta=0 \) 또는 \( \theta=\pi \)이다. 따라서 \( 2 \)직선 \( g_{1}, g_{2} \)가 평행일 조건은 다음과 같다. \[\frac{l_{1}}{l_{2}}=\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{n_{1}}{n_{2}}\]</p> <h2>2.2 \(2\)차곡선의 성질</h2><p>[\( 2 \)차곡선의 접선] \( 2 \)차곡선의 방정식은 다음과 같다. \[f(x, y) \equiv a x^{2}+2 h x y+b y^{2}+2 g x+2 f y+c=0\] \( 2 \)차곡선 위의 임의의 점 \( P\left(x_{1}, y_{1}\right) \)에서 접선(tangent line)의 방정식을 구해보자. 점 \( P \)에서 접선의 방정식은 다음과 같다고 하자. \[y-y_{1}=m\left(x-x_{1}\right)\]이때 \( x-x_{1}=\rho \)로 놓으면, \( y=\rho m+y_{1} \)이다. \( \left\{\begin{array}{l}x=\rho+x_{1} \\ y=\rho m+y_{1}\end{array}\right. \)을 \( 2 \)차곡선의 방정식에 대입하여 정돈하면, 다음을 얻는다.</p><p>\[\begin{aligned}\rho^{2}\left(a+2 h m+b m^{2}\right)+2 \rho[& {\left[x_{1}+h y_{1}+g+m\left(h x_{1}+b y_{1}+f\right)\right] } \\&+\left(a x_{1}^{2}+2 h x_{1} y_{1}+b y_{1}^{2}+2 g x_{1}+2 f y_{1}+c\right)=0\end{aligned} \]점 \( P\left(x_{1}, y_{1}\right) \)은 \( 2 \)차곡선 위의 점이므로, \( a x_{1}^{2}+2 h x_{1} y_{1}+b y_{1}^{2}+2 g x_{1}+2 f y_{1}+c=0 \)이다. 따라서 \[ \rho^{2}\left(a+2 h m+b m^{2}\right)+2 \rho\left[a x_{1}+h y_{1}+g+m\left(h x_{1}+b y_{1}+f\right)\right]=0\]이다. 이 방정식은 \( \rho \)에 관한 \( 2 \)차방정식이다. 이 방정식의 중근을 갖기 위해서는 \[a x_{1}+h y_{1}+g+m\left(h x_{1}+b y_{1}+f\right)=0 \]이어야 한다. 이 식에 \( m=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}} \)을 대입하면, \[\left(x-x_{1}\right)\left(a x_{1}+h y_{1}+g\right)+\left(y-y_{1}\right)\left(h x_{1}+b y_{1}+f\right)=0\]이다. 이것을 정돈하면, 다음을 얻는다. \[\begin{aligned}x\left(a x_{1}+h y_{1}+g\right)+y\left(h x_{1}+b y_{1}+f\right) &=a x_{1}^{2}+2 h x_{1} y_{1}+b y_{1}^{2}+g x_{1}+f y_{1} \\&=-\left(g x_{1}+f y_{1}+c\right) \end{aligned}\]</p><p>그러므로 점 \( P\left(x_{1}, y_{1}\right) \)에서 접선의 방정식은 다음과 같다. \[a x_{1} x+h\left(x_{1} x+y_{1} y\right)+b y_{1}y+g\left(x+x_{1}\right)+f\left(y+y_{1}\right)+c=0\]</p><p>\( 2 \)차곡선의 특별한 경우인 원, 타원, 쌍곡선, 포물선에 대하여 점 \( P\left(x_{1}, y_{1}\right) \)에서 접선의 방정식은 다음과 같다.</p><p>(\( 1 \))원 \( x^{2}+y^{2}=r^{2} \) 접선 \( x_{1} x+y_{1} y=r^{2} \)</p><p>(\( 2 \)) 타원 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \) 접선 \( \frac{x_{1} x}{a^{2}}+\frac{y_{1} y}{b^{2}}=1 \)</p><p>(\( 3 \)) 쌍곡선 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \) 접선 \( \frac{x_{1} x}{a^{2}}-\frac{y_{1} y}{b^{2}}=1 \)</p><p>(\( 4 \)) 포물선 \( y^{2}=4 p x \) 접선 \( y_{1} y=2 p\left(x+x_{1}\right) \)</p><p>\( \left(1^{\prime}\right) \) 원 \( (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} \) 접선 \( \left(x_{1}-a\right)(x-a)+\left(y_{1}-b\right)(y-b)=r^{2} \)</p><p>\( \left(2^{\prime}\right) \) 타원 \( \frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}=1 \) 접선 \( \frac{\left(x_{1}-x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)}{a^{2}}+\frac{\left(y_{1}-y_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)}{b^{2}}=1 \)</p><p>\( \left(3^{\prime}\right) \) 쌍곡선 \( \frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}-\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}=1 \quad \) 접선 \( \frac{\left(x_{1}-x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)}{a^{2}}-\frac{\left(y_{1}-y_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)}{b^{2}}=1 \)</p><p>\( \left(4^{\prime}\right) \) 포물선 \( \left(y-y_{0}\right)^{2}=4 p\left(x-x_{0}\right) \) 접선 \( \left(y_{1}-y_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)=2 p\left(x-x_{0}+x_{1}-x_{0}\right) \)</p><p>정의 곡선 위의 점 \( P \)에서의 접선과 그 점에서 수직인 직선을 그 점에서의 법선(normal line)이 라 한다.</p><p>정리 \( 2.2.1 \) 타원 또는 쌍곡선 위의 한 점 \( P\left(x_{1}, y_{1}\right) \)에서 법선은 \( P \)와 초점 \( F, F^{\prime} \)를 이어서 이루어지는 각을 이등분한다.</p><p>증명 (ⅰ) 타원 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \) 위의 점 \( P\left(x_{1}, y_{1}\right) \)의 접선의 방정식은 \( \frac{x_{1} x}{a^{2}}+\frac{y_{1} y}{b^{2}}=1 \)이므로, 점 \( P \)에서 법선의 방정식은 다음과 같다. \[y-y_{1}=\frac{a^{2} y_{1}}{b^{2} x_{1}}\left(x-x_{1}\right)\]이 법선이 \( x \)-축과 만나는 점 \( N \) 의 좌표는 \( y=0 \) 이므로,\[\overline{O N}=x_{1} \frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}=x_{1} e^{2}\]이다. 그러므로\[\begin{array}{c}\overline{F^{\prime} N}=\overline{F^{\prime} O}+\overline{O N}=a e+x_{1} e^{2}=e\left(a+e x_{1}\right)=e \overline{F^{\prime} P} \\ \overline{N F}=\overline{O F}-\overline{O N}=a e-x_{1} e^{2}=e\left(a-e x_{1}\right)=e \overline{F P}\end{array}\]이다. 따라서 \( \overline{F^{\prime} N}: \overline{N F}=\overline{F^{\prime} P}: \overline{F P} \)이다. 그래서 \( \triangle P F^{\prime} N \sim \triangle P F N \) 이다. 그러므로 \( \angle F^{\prime} P N \equiv \angle F P N \) 이다. 따라서 법선은 \( \angle F^{\prime} P F \)을 이등분한다.</p><p>(ⅱ) 쌍곡선 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \) 위의 점 \( P\left(x_{1}, y_{1}\right) \)의 접선의 방정식은 \( \frac{x_{1} x}{a^{2}}-\frac{y_{1} y}{b^{2}}=1 \)이므로, 점 \( P \)에서 법선의 방정식은 다음과 같다. \[y-y_{1}=-\frac{a^{2} y_{1}}{b^{2} x_{1}}\left(x-x_{1}\right)\]이 법선이 \( x \)-축과 만나는 점 \( N \)의 좌표는 \( y=0 \)이므로, \[\overline{O N}=x_{1} \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}}=x_{1} e^{2}\]이다. 그러므로 \[\begin{array}{c}\overline{F^{\prime} N}=\overline{F^{\prime} O}+\overline{O N}=a e+x_{1} e^{2}=e\left(a+e x_{1}\right)=e \overline{F^{\prime} P} \\\overline{N F}=\overline{O N}-\overline{O F}=x_{1} e^{2}-a e=e\left(e x_{1}-a\right)=e \overline{F P}\end{array}\]이다. 따라서 \( \overline{N F^{\prime}}: \overline{F^{\prime} P}=\overline{N F}: \overline{F P} \)이다. 그래서 \( \triangle N F^{\prime} P \sim \triangle N F P \)이다. 그러므로 \( \angle F^{\prime} P N \equiv \angle F P N \)이다. 이것은 \( \angle F P N \equiv\left(\angle F^{\prime} P N\right. \) 의 보각 \( ) \)임을 의미한다. 따라서 법선은 \( \angle F^{\prime} P F \)을 이등분한다.</p><p>정리 \( 2.2.2 \) 포물선 위의 점 \( P\left(x_{1}, y_{1}\right) \)에서의 법선은 점 \( P \)를 지나고 \( x \)-축에 평행인 직선과 \( P \)와 초점 \( F \)를 지나는 직선이 이루어진 각을 이등분한다.</p><p>증명 포물선 \( y^{2}=4 p x, p>0 \) 위의 점 \( P\left(x_{1}, y_{1}\right) \)을 지나고 \( x \)-축에 평행인 직선을 그리자. 점 \( P \)에서 접선의 방정식은 \( y_{1} y=2 p\left(x+x_{1}\right) \)이다. 이 접선의 방정식이 \( x \)-축과 만나는 점을 \( T \)라 놓으면, \( T \)의 좌표는 \( \left(-x_{1}, 0\right) \)이다. 포물선의 초점은 \( F(p, 0) \)이므로, \[\overline{T F}=\overline{T O}+\overline{O F}=x_{1}+p=\overline{F P}\] 이다. 그러므로 \( \triangle T F P \)는 이등변삼각형이다. 그래서 \( \angle T P F \equiv \angle F T P \equiv \angle T_{1} P X \)이다. 그러므로 법선 \( \overleftrightarrow{P N} \)은 \( \angle F P X \)를 이등분한다.</p> <p>정리 \( 2.1.2 \) 쌍곡선은 정점 \( F \)와 정직선 \( l \)에 이르는 거리의 비가 상수 \( e(e>1) \)인 점 \( P \)들의 자취이다. 이때 \( F \)는 그 쌍곡선의 초점이고, \( l \)는 준선이다.</p><p>쌍곡선 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \)의 초점은 \( F(a e, 0), F^{\prime}(-a e, 0), e=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a} \)이고, 점 \( P(x, y) \)는 쌍곡선 위의 임의의 점이라 하자. 그러면 \( x \geqq a \)일 때 \[\left\{\begin{array}{l}\overline{P F}=a-e x \\ \overline{P F^{\prime}}=a+e x\end{array}\right.\]이고 \( x \leqq-a \) 일 때 \[\left\{\begin{array}{l}\overline{P F}=-(a-e x) \\\overline{P F^{\prime}}=-(a+e x) \end{array}\right.\]이다.</p><p>쌍곡선의 극방정식을 구해보자.</p><p>(\( 1 \)) 지금 \( F^{\prime} \)는 극으로 생각하자. \( x \)-축과 선분 \( P F^{\prime} \) 가 이루는 각을 \( \theta \)라 하고 \( \overline{P F^{\prime}}=\rho \)라 하자. 쌍곡선 위의 점 \( P(x, y) \)에 대하여 \( x \leqq-a \)라 하자. 그러면 \( x=-(a e-\rho \cos \theta) \)이다. \( \rho=\overline{P F^{\prime}}=-(a+e x) \)이므로, \( \rho=-a-e(\rho \cos \theta-a e) \)\( (1+e \cos \theta) \rho=a\left(e^{2}-1\right) \)\( =a\left(\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}}-1\right)=\frac{b^{2}}{a}:=k \),\( \rho=\frac{k}{1+e \cos \theta}\left(극: F^{\prime}\right) \)</p><p>(\( 2 \)) 다음에, \( F \)를 극, \( x \)-축과 선분 \( P F \)가 이루는 각을 \( \theta \)라 하고 \( \overline{P F}=\rho \)라 하자. 쌍곡선 위의 점 \( P(x, y) \)에 대하여 \( x \geqq a \)라 하자. 그러면 \( x=a e+\rho \cos \theta \)이다.</p><p>\( \rho=\overline{P F}=e x-a \)이므로, \( \rho=e(a e+\rho \cos \theta)-a \), \( (1-e \cos \theta) \rho=a\left(e^{2}-1\right) \)\( =a\left(\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}}-1\right)=\frac{b^{2}}{a}:=k \),\( \rho=\frac{k}{1-e \cos \theta}( \) 극: \( F) \)이다.</p><p>포물선</p><p>정의 한 정점 \( F \)와 정직선 \( l \)에 이르는 거리가 같은 점 \( P \)의 자취를 포물선(parabola)이라 한다. 이때 \( F \)를 초점(focus)이라 하고 \( l \)을 준선(directrix)이라 한다.</p><p>점 \( F \)에서 직선 \( l \)에 수직인 직선을 \( x \)-축이라 하자. 이때 직선 \( l \) 과 \( x \)-축과의 교점을 \( D \)라고 선분 \( D F \)의 이등분선을 \( y \)-축이라 하자. \( \overline{D F}=2 p \)라 하고 \( D F \)의 중점 \( O \)를 원점이라 하자. 그러면 \( D \) 의 좌표를 \( (-p, 0) \)이고 \( F \)의 좌표는 \( F(p, 0) \)이다. 포물선 위의 임의의 점 \( P(x, y) \)에서 \( l \)에 내린 수선의 발을 \( N \)이라 하자. 그러면 \( \overline{PF}=\overline{P N} \)이므로, \[\begin{aligned}\sqrt{(x-p)^{2}+y^{2}} &=x+p, \\(x-p)^{2}+y^{2} &=(x+p)^{2}, \\ y^{2} &=4 p x\end{aligned}\]이다. \( e=\frac{\overline{P F}}{\overline{P N}}=1 \)은 포물선의 이심률(eccentricity)이라 한다.</p><p>역으로, 정점 \( F \)와 정직선 \( l \)에 이르는 거리의 비가 \( e=1 \)인 점 \( P \)들의 자취는 포물선임을 보이자.</p><p>점 \( F \)에서 직선 \( l \)에 내린 수선의 발을 \( D \)라 하고, \( D F \)의 중점을 \( O \) 라 하자. \( \overline{D F}=2 p \)라 하자. 그러면 \( \overline{O F}=p \)이다. 여기에서 직선 \( \overleftrightarrow{O F} \) 를 \( x \)-축으로 간주하고, \( O \) 를 원점으로 하는 직교축을 생각하면 \( F \)의 좌표는 \( (p, 0) \)이다. 점 \( P(x, y) \)에서 \( l \)에 내린 수선의 발을 \( N \)이라 하면, \( l: x=-p \)이고, \( \overline{P F}=\overline{P N} \)이므로, \( \overline{P F}^{2}=\overline{P N}^{2} \)이다. 그러므로 \[(x-p)^{2}+y^{2}=(x+p)^{2}\]이다. 따라서 \( y^{2}=4 p x \)를 얻는다. 그러므로 \( P(x, y) \)는 \( F \)를 초점, \( l \)을 준선으로 하는 포물선 위에 있다. 따라서 다음 정리를 얻는다.</p><p>정리 \( 2.1.3 \) 포물선은 정점 \( F \)와 정직선 \( l \)에 이르는 거리의 비가 상수 \( e=1 \) 인 점 \( P \)들의 자취이다. 이때 \( F \)는 그 포물선의 초점이고, \( l \)는 준선이다.</p><p>포물선 \( y^{2}=4 p x \)의 초점은 \( F(p, 0) \)이므로, 포물선 위의 임의의 점 \( P(x, y) \) 에 대하여 \( \overline{P F}=\overline{P N}=x+p \)이다. 초점 \( F \)를 극으로 생각하면, \( \overline{P F}=\rho \)에 대하여\[\begin{aligned}\overline{P F} &=\rho=p+x \\ &=p+(p+\rho \cos \theta)\end{aligned}\]이므로, 포물선의 극방정식은 \( \rho=\frac{2 p}{1-\cos \theta} \) (극: \( \left.F\right) \)이다.</p> <h1>연습문제</h1><p>\( 1 \). 원 \( x^{2}+y^{2}-2 a x=0 \)이 직선 \( y=m x \)에 의하여 끊기는 선분을 직경으로 하는 원의 방정식을 구하여라.</p><p>\( 2 \). 두 점 \( (0,-3),(4,0) \)을 지나고 직선 \( x+2 y=0 \) 위에 중심을 갖는 원의 방정식을 구하여라. 또한 그 원의 중심의 좌표를 구하여라.</p><p>\( 3 \). 다음 타원의 양축의 길이, 이심률, 초점의 좌표를 구하여라.</p><p><ol type=a start=1><li>\( 5 x^{2}+4 y^{2}=1 \)</li><li>\( x^{2}+2 y^{2}-2 x+4 y=6 \)</li></ol></p><p>\( 4 \). 타원 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a>b>0 \)의 장축의 양 끝점을 \( A, A^{\prime} \)라 하고 타원 위의 임의의 점을 \( P \)라 하자. 각 \( A, A^{\prime} \)를 지나고 \( A P, A^{\prime} P \)에 수직인 직선의 교점 \( Q \)의 자취를 구하여라.</p><p>\( 5 \). 타원 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a>b>0 \) 위의 한 정점 \( P\left(x_{0}, y_{0}\right) \)을 지나는 현의 중점의 자취는 이 타원과 같은 이심률을 갖는 타원임을 증명하여라.</p><p>\( 6 \). 쌍곡선 \( \frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1 \)의 점근선의 방정식을 구하여라. 또, 두 점근선 사이의 각을 구하여라.</p><p>\(7 \). 점 \( (-2,1) \)을 초점, 직선 \( x+y=2 \)를 준선, \( 2 \)를 이심률로 하는 쌍곡선의 방정식을 구하여라.</p><p>\( 8 \). 선분 \( A B, C D \)가 서로 다른 것을 수직으로 \( 2 \)등분하고 있을 때, \( \overline{P A} \cdot \overline{P B}=\overline{P C} \cdot \overline{P D} \)를 만족하는 점 \( P \)의 자취는 등변쌍곡선임을 증명하여라.</p><p>\( 9 \). 원뿔곡선의 초점을 극으로 하는 극방정식은 \[\rho=\frac{k}{1+e \cos (\theta-\alpha)} \text { 또는 } \rho=\frac{k}{1-e \cos (\theta-\alpha)}\]인 꼴로 나타난다. 이것으로부터 원뿔곡선의 극방정식은\[\frac{1}{\rho}=A \cos \theta+B \sin \theta+C \]임을 증명하여라. 또, 역으로, 위의 방정식은 항상 초점을 극으로 하는 원뿔곡선을 나타낸다는 것을 증명하여라.</p><p>\( 10 \). 원뿔곡선의 한 초점 \( F \)를 지나는 현을 \( A B \)라 하면, \( \frac{1}{\overline{F A}}+\frac{1}{\overline{F B}} \)는 항상 일정함을 증명하여라.</p><p>\( 11 \). 타원 또는 쌍곡선의 중심을 극으로 하고, 주축을 극축으로 하는 극방정식은 타원: \( \rho^{2}=\frac{b^{2}}{1-e^{2} \cos ^{2} \theta} \), 쌍곡선: \( \rho^{2}=\frac{-b^{2}}{1-e^{2} \cos ^{2} \theta} \)임을 증명하여라.</p><p>\( 12 \). 직선 \( y=2 x+k \)가 타원 \( x^{2}+4 y^{2}-4=0 \)에 접하도록 \( k \)의 값을 정하여라.</p><p>\( 13 \). \( 2\)개의 원\[x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0, x^{2}+y^{2}+2 g^{\prime} x+2 f^{\prime} y+c^{\prime}=0\]이 직교하기 위한 조건은 \( 2\left(g g^{\prime}+f f^{\prime}\right)=c+c^{\prime} \)임을 증명하여라.</p><p>\( 14 \). 타원 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a>b>0 \) 위의 한 점 \( P\left(x_{0}, y_{0}\right) \)에서의 접선에 중심에서 내린 수선의 발을 \( N \)이라 하자. 이때 수선의 길이와 \( P \)에서의 법선이 주축 사이에 끼인 선분의 길이와의 곱은 일정함을 증명하여라.</p><p>\( 15 \). 쌍곡선 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \) 위의 한 점 \( P\left(x_{0}, y_{0}\right) \)에서의 접선이 주축과 만나는 점을 \( S \)라 하고, \( P \)와 중심을 지나는 직선이 꼭짓점 \( A \)에서의 접선과 만나는 점을 \( T \)라 하자. 이때 직선 \( S T \)는 직선 \( P A \)에 평행임을 증명하여라.</p><p>\( 16 \). \( \frac{x^{2}}{a^{2}-\lambda}+\frac{y^{2}}{b^{2}-\lambda}=1(a>b) \) 는 \( -\infty<\lambda<a^{2} \)에 대하여 한 원뿔곡선군을 이룬다. 이때 다음을 증명하여라.</p><p>(a) 임의의 \( \lambda \) 에 대하여 위의 곡선은 동일한 초점을 갖는다.</p><p>(b) 평면 위의 임의의 점 \( P(x, y) \) 를 지나고 위의 곡선군에 속하는 \( 2 \)개의 곡선이 존재하여 그 중 하나는 타원이고, 다른 하나는 쌍곡선이다. 또한 이 두 곡선은 점 \( P \)에서 직교한다.</p> <h2>4.4 포물면</h2><p>[타원포물면] 방정식 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=2 z, a, b>0 \) 을 만족하는 점 \( P(x, y, z) \) 의 자취가 나타내는 곡면은 타원포물면(elliptic paraboloid)이라 한다. 타원포물면은 평면 \( x=0 \) 과 평면 \( y=0 \) 에 관하여 대칭이고, \( z \geqq 0 \) 이다. 평면 \( x=0 \) 과 평면 \( y=0 \) 와의 교선은 각각 다음과 같은 포물선 이다.</p><p><ol type=i start=1><li>\( y^{2}=2 b^{2} z \) (평면 \( x=0 \)과의 교선 )</li><li>\( x^{2}=2 a^{2} z \) (평면 \( y=0 \)과의 교선 )</li></ol></p><p>평면 \( z=k(k>0) \)과의 교선은 타원이다. 즉,\[\frac{x^{2}}{2 a^{2} k}+\frac{y^{2}}{2 b^{2} k}=1 .\]</p><p>[쌍곡포물면] 방정식 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=2 z, a, b>0 \)을 만족하는 점 \( P(x, y, z) \)의 자취가 나타내는 곡면은 쌍곡포물면(hyperbolic paraboloid)이라 한다. 쌍곡포물면은 평면 \( x=0 \)과 평면 \( y=0 \)에 관하여 대칭이고, \( z \geqq 0 \)이다. 평면 \( x=0 \)과 평면 \( y=0 \)와의 교선은 각각 다음과 같은 포물선이다.</p><p><ol type=i start=1><li>\( y^{2}=-2 b^{2} z \) (평면 \( x=0 \)과의 교선)</li><li>\( x^{2}=2 a^{2} z \quad( \) 평면 \( y=0 \) 과의 교선)</li></ol></p><p>평면 \( z=k(k \neq 0) \)과의 교선은 포물선이다. 즉, \[\frac{x^{2}}{2 a^{2} k}-\frac{y^{2}}{2 b^{2} k}=1 .\]</p><p>평면 \( z=0 \)과의 교선은 \( 2 \)개의 직선이다. 즉,\[\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=0, y=\pm \frac{b}{a} x .\]</p><p>쌍곡포물면 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=2 z \)을 \( \left(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right)\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)=2 z \)이므로, \( 1 \)엽쌍곡면의 경우와 마찬가지로 쌍곡포물면은 다음과 같은 \( 2 \)개의 직선군을 갖는다는 것을 알 수 있다.</p><p><ol type=1 start=1><li>\( \left\{\begin{array}{l}\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=\lambda \\ \frac{x}{a}-\frac{y}{b}=\frac{2 z}{\lambda}\end{array}\right. \)</li><li>\( \left\{\begin{array}{l}\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=\mu \\ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=\frac{2 z}{\mu}\end{array}\right. \)</li></ol></p><p>이 직선군은 다음과 같은 성질을 갖는다.</p><p>직선군의 성질</p><ol type=1 start=1><li>쌍곡포물면 위의 임의의 점 \( P \)를 지나는 직선은 각 직선군에서 하나씩 존재한다.</li><li>같은 직선군에 속하는 임의의 \( 2 \) 직선은 만나지 않는다.</li><li>서로 다른 직선군에 속하는 \( 2 \)직선은 반드시 만난다.</li></ol></p> <h2>1.2 직선의 방정식</h2><p>결합공리 \( 1 \)에 의하여 유클리드 평면 위의 두 점 \( P, Q \)를 지나는 직선은 유일하다. 직각좌표 평면에서 이 직선의 방정식을 구해보자. 점 \( P\left(x_{1}, y_{1}\right), Q\left(x_{2}, y_{2}\right) \)에 대하여 (\( 1 \)) \( x_{1}=x_{2}, y_{1} \neq y_{2} \)인 경우 이 경우의 직선의 방정식은 \( x=x_{1} \)이다.</p><p>(2) \( x_{1} \neq x_{2}, y_{1}=y_{2} \)인 경우 이 경우의 직선의 방정식은 \( y=y_{1} \)이다.</p><p>(3) \( x_{1} \neq x_{2}, y_{1} \neq y_{2} \)인 경우 직선 \( l \) 위의 임의의 점을 \( R(x, y) \)라 하자. 그러면 삼각형 \( \triangle P S R \) 와 \( \triangle P T Q \)는 닮은 삼각형이다. 그러므로 \( \overline{P S}: \overline{P T}=\overline{R S}: \overline{Q T} \)이다. 따라서 \( x-x_{1}: x_{2}-x_{1}=y-y_{1}: y_{2}-y_{1} \)이다. 즉,\[\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} .\] 그러므로 두 점 \( P\left(x_{1}, y_{1}\right), Q\left(x_{2}, y_{2}\right) \)을 지나는 직선의 방정식은 \( a x+b y+c=0 \) 꼴이다.</p><p>정리 \( 1.2.1 \) 유클리드 평면 위의 직선은 직각좌표평면에서 일차방정식 \( a x+b y+c=0 \) 꼴로 나타난다. 역으로, 직각좌표평면에서의 일차방정식은 직선을 나타낸다.</p><p>증명 정리의 전반은 위에서 이미 증명되었다. 그러므로 후반을 증명하면 된다. 일차방정식 \( a x+b y+c=0 \)의 해는 무수히 많이 존재한다. \( \left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) \)는 그 일차방정식의 두 해라 하자. 즉, \[\left\{\begin{array}{l} a x_{1}+b y_{1}+c=0 \\a x_{2}+b y_{2}+c=0\end{array}\right.\] 그러면 그 해들은 유클리드 평면 위의 두 점 \( P, Q \)를 결정한다. \( (x, y) \)는 일차방정식의 임의의 해라 하자. \( (x, y) \)에 의하여 결정된 유클리드 평면 위의 점을 \( R \)이라 하자. 이때 \( R(x, y) \)는 \( P\left(x_{1}, y_{1}\right), Q\left(x_{2}, y_{2}\right) \)를 지나는 직선 위의 점임을 보이면 된다.</p><p>만일 \( b \neq 0 \) 이라면, \[\left\{\begin{array}{l}y_{1}=-\frac{a}{b} x_{1}-\frac{c}{b} \\y_{2}=-\frac{a}{b} x_{2}-\frac{c}{b}\end{array}, y=-\frac{a}{b} x-\frac{c}{b}\right.\]이다. 이때 \( y_{2}-y_{1}=-\frac{a}{b}\left(x_{2}-x_{1}\right) \)이므로, \( -\frac{a}{b}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \)이다. 그러므로 \[-\frac{c}{b}=y_{1}-\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} x_{1}\]이다. 따라서 \[\begin{array}{l}y=-\frac{a}{b} x-\frac{c}{b} \\=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} x+y_{1}-\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} x_{1}\end{array}\] 이다. 그래서 \( \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} \) 이다. 이것은 점 \( P\left(x_{1}, y_{1}\right), Q\left(x_{2}, y_{2}\right) \)를 지나는 직선의 방정식을 나타낸다. 그러므로 \( R(x, y) \)는 \( P\left(x_{1}, y_{1}\right), Q\left(x_{2}, y_{2}\right) \)를 지나는 직선 위의 점이다. 만일 \( b=0, a \neq 0 \)이라면, \( y_{1} \neq y_{2} \) 이고 \[\left\{\begin{array}{l}x_{1}=-\frac{c}{a} \\x_{2}=-\frac{c}{a} \end{array}, x=-\frac{c}{a}\right.\]이다. 이때 \( P\left(x_{1}, y_{1}\right), Q\left(x_{2}, y_{2}\right) \)를 지나는 직선의 방정식 \( x=x_{1} \)은 \( y \)-축에 평행인 직선이다.</p><p>[직선의 기울기] \( x_{1} \neq x_{2}, y_{1} \neq y_{2} \)에 대하여 점 \( P\left(x_{1}, y_{1}\right), Q\left(x_{2}, y_{2}\right) \)를 지나는 직선 \( l \)의 방정식은 다음과 같다. \[y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(x-x_{1}\right)\] 이때 \( \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=m \)은 직선 \( l \)의 기울기(slope) 또는 방향계수(direction coefficient)라 한다. \[y-y_{1}=m\left(x-x_{1}\right)\]은 점 \( P\left(x_{1}, y_{1}\right) \)을 지나고. 기울기가 \( m \)인 직선의 방정식이다. 기울기가 \( m \)인 직선의 방정식은 \( y=m x+b \)꼴이다.</p><p>[절편] 직각좌표평면에서 직선 \( l \)의 방정식 \( A x+B y+C=0, A \neq 0, B \neq 0, C \neq 0 \)을 생각하자. 이 직선이 \( x \)-축, \( y \)-축과 만나는 점을 각각 \( M, N \)이라 하자. 이때 \( M, N \)의 좌표는 각각\( (a, 0),(0, b) \)라 하자. 이때 \( a, b \)는 각각 직선 \( l \) 의 \( x \)-축, \( y \)-축의 절편(intercept)이라 한다. 그러면 \( a=-\frac{C}{A}, b=-\frac{C}{B} \)이다. 직선 \( l \)의 방정식은 \( -\frac{A}{C} x-\frac{B}{C} y=1 \)이므로, 이것은 \[\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\]이다. 이것은 양축의 절편이 각각 \( a, b \)인 직선의 방정식이다.</p> <h2>1.5 좌표변환</h2><p>한 평면에서 \( 2 \)개의 직각좌표계를 주자. 이 평면에는 \( x y \)-좌표계와 \( X Y \)-좌표계가 주어졌다고 하자. 평면 위의 점 \( P \)의 좌표는 \( x y- \) 좌표계에서 \( (x, y) \)이고 \( X Y \)-좌표계에서 \( (X, Y) \)라고 하자. 이때 \( (x, y) \)와 \( (X, Y) \)와의 관계를 나타내는 식을 좌표변환식(coordinate transformation formular)이라 한다.</p><p>[평행이동] \( X Y \)-좌표계에서의 원점 \( O^{\prime} \)는 \( x y \)-좌표계에서의 좌표로는 \( (a, b) \)라 하자. 그러면 \( x, y \)와 \( X, Y \)사이의 관계식은 다음과 같다. \[\left\{\begin{array}{c}X=x-a \\Y=y-b\end{array},\left\{\begin{array}{l}x=X+a \\ y=Y+b\end{array}\right.\right.\]이때 \( X \)-축, \( Y \)-축은 \( x \)-축, \( y \)-축을 각각 그 방향으로, \( a, b \)만큼 평행이동 하여 얻어진 새로운 직각좌표계를 이룬다고 한다.</p><p>[좌표축의 회전] \( x y- \)좌표계를 갖는 평면 위의 점을 \( P \)라 하자. 이때 \( x, y \)-축을 원점 \( O \)를 중심으로 각 \( \theta \)만큼 회전하여 얻어진 새로운 \( X Y \)-좌표계를 생각하자. 그러면 \( x \)-축과 \( X \)-축이 이루는 각은 \( \theta \)이다.점 \( P \)의 좌표는 \( x y \)-좌표계에서 \( (x, y), X Y \)-좌표계에서 \( (X, Y) \) 라 하자. 그러면 다음과 같은 관계식을 얻는다. \[\left\{\begin{array}{l}x=r \cos (\varphi+\theta)=r \cos \varphi \cos \theta-r \sin \varphi \sin \theta \\y=r \sin (\varphi+\theta)=r \sin \varphi \cos \theta+r \cos \varphi \sin \theta\end{array}\right.\]\( \left\{\begin{array}{c}X=r \cos \varphi \\ Y=r \sin \varphi\end{array}\right. \)이므로, 다음을 얻는다. \[\left\{\begin{array}{l} x=X \cos \theta-Y \sin \theta \\y=X \sin \theta+Y \cos \theta\end{array}\right. \]이를 \( X, Y \)에 관하여 풀면, 다음을 얻는다. \[\left\{\begin{array}{l}X=x \cos \theta+y \sin \theta \\Y=-x \sin \theta+y \cos \theta \end{array}\right.\]</p><h1>연습문제</h1><p>\( 1 \). 세 점 \( (1,-1),(1.4),(4,-2) \)를 꼭짓점으로 하는 삼각형에 대하여 다음을 구하여라.<ol type=a start=1><li>무게 중심의 좌표</li><li>외심의 좌표</li><li>외접원의 반지름</li></ol></p><p>\( 2 \). 두 점 \( (0,-1),(3,2) \)를 지나는 직선의 방정식을 구하여라. 또, 이 직선의 헤세의 표준형을 구하여라.</p><p>\( 3 \). 점 \( (5,-2) \)를 지나고 양 축의 절편이 같은 직선의 방정식을 구하여라.</p><p>\( 4 \). 두 직선 \( x+2 y=3,7 x-3 y=2 \) 의 교점을 지나고 다음 각 조건을 만족하는 직선의 방정식을 각각 구하여라.<ol type=a start=1><li>\( 5 x+2 y=0 \)에 평행</li><li>\( 3 x-2 y=1 \)에 수직</li><li>점 \( (2,3) \)을 지난다.</li></ol></p><p>\( 5 \). 두 직선 \( 3 x-4 y+7=0,12 x-5 y-8=0 \)이 이루는 각의 이등분선의 방정식을 구하여라.</p><p>\( 6 \). 점 \( (a, b) \)가 세 직선 \( x+2 y=2,2 x+y=2, x-y=3 \)으로 이루어진 삼각형의 내부에 있을 조건을 구하여라.</p><p>\( 7 \). \( 6 x^{2}+k x y-6 y^{2}-x+5 y-1=0 \)이 두 직선으로 나타내도록 \( k \)의 값을 정하여라.</p> <h1>연습문제</h1><p>\( 1 \). 다음 \( 2 \)차곡면의 중심을 구하여라.</p><p><ol type=a start=1><li>\( 3 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}+2 z x+2 x y+2 x-2 y-2 z-2=0 \)</li><li>\( x^{2}+y^{2}+z^{2}+y z+z x+x y+x+y+z=0 \)</li><li>\( x^{2}-y^{2}+z^{2}-2 y z-2 z x-2 x y+2 x+6 y+2 z-3=0 \)</li><li>\( 2 x^{2}+4 y^{2}-z^{2}-8 x y+8 x-8 y+4=0 \)</li><li>\( 2 x^{2}+2 y^{2}-4 z^{2}-2 y z-2 z x-5 x y-2 x-2 y+2=0 \)</li></ol></p><p>\( 2 \). 다음 \( 2 \)차곡면의 주경면의 방정식을 구하여라.</p><p><ol type=a start=1><li>\( x^{2}-y^{2}+z^{2}-2 y z-2 z x-2 x y+2 x+6 y+2 z-3=0 \)</li><li>\( 3 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}+2 z x+2 x y+2 x-2 y-2 z-2=0 \)</li><li>\( 2 x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 z x-2 x y+6 x-6 y-6 z+10=0 \)</li></ol></p><p>\( 3 \). 타원면 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \)의 중심을 \( O \)라 하자. 그 타원면 위의 임의의 점을 \( P\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \)라 하자. 그러면 점 \( P \)에서의 접평면은 \( \frac{x_{0} x}{a^{2}}+\frac{y_{0} y}{b^{2}}+\frac{z_{0} z}{c^{2}}=1 \)이다. 이때 \( O \)에서 접평면에 내린 수선의 발의 자취를 구하여라.</p><p>\( 4 \). \( 2 \) 차뿔면 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=0 \)의 서로 직교하는 접평면의 교선의 자취는 \( 2 \)차뿔면 \[\left(b^{2}-c^{2}\right) x^{2}+\left(a^{2}-c^{2}\right) y^{2}+\left(a^{2}+b^{2}\right) z^{2}=0\]임을 증명하여라.</p><p>\( 5 \). \( 2 \) 차곡면 \( a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y=0 \)이 서로 직교하는 \( 3 \)개의 모선을 갖기 위한 조건은 \( a+b+c=0 \) 임을 증명하여라.</p> <h2>2.3 \(2\)차곡선의 분류</h2><p>원, 타원, 쌍곡선, 포물선의 기본형을 평행이동한 다음에 회전시키면, 일반적인 원뿔곡선의 방정식은 \[f(x, y) \equiv a x^{2}+2 h x y+b y^{2}+2 g x+2 f y+c=0\]꼴이다. 이러한 이차방정식의 그래프를 \( 2 \)차곡선(quadratic curve)이라 한다. 역으로, 위와 같은 \( x, y \)에 관한 이차방정식을 원뿔곡선의 표준형을 구해보자.</p><p>정의 \( O \)를 정점이라 하고, \( O \)를 지나는 임의의 직선이 곡선 \( C \)와 두 점 \( P_{1}, P_{2} \)에서 만날 때, \( O \)가 항상 선분 \( P_{1} P_{2} \)의 중점이면, 이러한 정점 \( O \)를 곡선 \( C \) 의 중심(center)이라고 한다. 타원, 쌍곡선의 중심은 이러한 성질을 가지고 있다. 평행한 두 직선에서는 그 직선들에서 같은 거리에 있는 임의의 점이 모두 중심이다. 이차곡선들 중에서 중심을 가지는 곡선을 유심 \( 2 \)차곡선(central quadratic curre)이라 하고, 중심을 갖지 않는 곡선을 무심 \( 2 \)차곡선(non-central quadratic curve)이라 한다.</p><p>이차곡선 \( C \)의 방정식 \[f(x, y) \equiv a x^{2}+2 h x y+b y^{2}+2 g x+2 f y+c=0 \]는 중심으로 원점을 갖는다고 가정하자. 그러면 \( C \) 위의 임의의 점 \( (x, y) \)에 대하여 점 \( (-x,-y) \) 도 \( C \) 위의 점이다. 그러므로\[f(-x,-y) \equiv a x^{2}+h x y+by^{2}-2 g x-2 f y+c=0\]이다. 첫 번째 식에서 두 번째 식을 빼면,\[g x+f y=0\] 를 얻는다. \( (x, y) \)는 \( C \) 위의 임의의 점이므로, \( g=f=0 \)이다. 그러므로 원점을 증심으로 갖는 이차곡선의 방정식은 \[a x^{2}+2 h x y+b y^{2}+c=0\] 이다. 역으로, 이러한 꼴의 이차곡선의 방정식에 대하여 이 곡선 위의 임의의 점 \( (x, y) \)에 대하여 점 \( (-x,-y) \)도 그 곡선 위에 있으므로, 원점의 그 곡선의 중심이다. 그러므로 \[a x^{2}+2 h x y+b y^{2}+c=0\]은 원점이 중심인 이차곡선의 일반형이다.</p><p>다음에 이차곡선 \( C \)의 방정식 \[f(x, y)=a x^{2}+2 h x y+b y^{2}+2 g x+2 f y+c=0 \]는 중심 \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \)를 구해보자. 평행이동에 의하여 \( x y \)-평면의 원점을 \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \)으로 옮기면,\[x=X+x_{0}, y=Y+y_{0}\] 이므로, \( X Y \)-평면에서 위의 방정식은 다음과 같이 변환된다. \[a X^{2}+2 h X Y+b Y^{-2}+2\left(a x_{0}+h y_{0}+g\right) X+2\left(h x_{0}+b y_{0}+f\right) Y+c^{\prime}=0 .\]</p><p>여기서 \( c^{\prime}=f\left(x_{0}, y_{0}\right) \)이다.</p><p>\( X Y- \) 평면의 원점이 곡선의 중심이 되려면, \[\left\{\begin{array}{l}a x_{0}+h y_{0}+g=0 \\h x_{0}+b y_{0}+f=0\end{array}\right.\] 이어야 한다. 그러므로 만일 \( D=\left\|\begin{array}{l}a & h \\ h & b\end{array}\right\|=a b-h^{2} \neq 0 \), 즉 \( h^{2}-a b \neq 0 \)이면, 이 연립방정식은 단 하나의 해(중심)를 갖는다. 만일 \( D=\left\|\begin{array}{l}a & h \\ h & b\end{array}\right\|=a b-h^{2}=0 \), 즉 \( h^{2}-a b=0 \) 이면, \( \frac{a}{h}=\frac{h}{b}=\frac{g}{f} \)일 때, 연립방정식은 무수히 많은 해를 갖는다. \( \frac{a}{h}=\frac{h}{b} \neq \frac{g}{f} \)일 때, 연립방정식은 해를 갖지 않는다.</p><p>이차곡선의 분류</p><p>이차곡선 \( C \)가 주어졌을 때, 이것을 기본형으로 고치는 방법을 생각해 보자.</p><p>(ⅰ) \( h^{2}-a b \neq 0 \)인 경우 위에서 언급한 것과 같이 이차곡선 \( C \)의 중심 \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \)는 단 하나 존재한다. 이때, 평행이동에 의하여 \( x y \)-평면의 원점을 \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \)로 옮기면, 즉, \( x=X+x_{0}, y=Y+y_{0} \)로 놓으면, \( x y- \)평면에서의 이차곡선 \( C \) 는 \( X Y \)-평면에서는 다음과 같이 변환된다. \[a X^{2}+2 h X Y+b Y^{2}+c^{\prime}=0 .\]</p><p>여기서 \( c^{\prime}=f\left(x_{0}, y_{0}\right) \)이다.</p><p>지금, \( X Y \)-평면의 각 축을 그 평면의 원점 둘레로 각 \( \theta \)만큼 회전하여 얻어진 새로운 평면을 \( \xi \eta \)-평면이라 하자. 이때, 점 \( P \)의 좌표는 \( X Y \)-좌표계에서 \( (X, Y) \)이고, \( \xi \eta \)-좌표계에서 \( (\xi, \eta) \)라고 하자. 그러면 좌표 \( (X, Y) \)와 좌표 \( (\xi, \eta) \)와의 관계는 다음과 같다. \[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{l}X=\xi \cos \theta-\eta \sin \theta \\Y=\xi \sin \theta+\eta \cos \theta \end{array}\right. \\\left\{\begin{array}{l}\xi=X \cos \theta+Y \sin \theta \\ \eta=-X \sin \theta+Y \cos \theta\end{array} .\right.\end{array}\]</p><p>이것을 위의 식에 대입하면, 다음을 얻는다. \[a^{\prime} \xi^{2}+2 h^{\prime} \xi \eta+b^{\prime} \eta^{2}+c^{\prime}=0 .\]</p><p>여기서 \[\left\{\begin{array}{l} a^{\prime}=a \cos ^{2} \theta+2 h \cos \theta \sin \theta+b \sin ^{2} \theta \\ 2 h^{\prime}=2 h \cos 2 \theta-(a-b) \sin 2 \theta \\ b^{\prime}=a \sin ^{2} \theta-2 h \cos \theta \sin \theta+b \cos ^{2} \theta \end{array}\right.\]</p><p>따라서 \( a^{\prime}+b^{\prime}=a+b \)이다. 즉, 좌표축의 회전에 대하여 \( I=a+b \)는 불변이다. \[a^{\prime}-b^{\prime}=h \sin 2 \theta+(a-b) \cos 2 \theta\]이므로, \[\begin{aligned}4 h^{\prime 2}-4 a^{\prime} b^{\prime} &=4 h^{\prime 2}+\left(a^{\prime}-b\right)^{2}+(a+b)^{2} \\&=4 h^{2}-4 a b\end{aligned}\]이다. 그러므로 \( h^{\prime 2}-a^{\prime} b^{\prime}=h^{2}-a b \)이다. 따라서 \( I=a+b \)와 \( D=\left\|\begin{array}{l}a & h \\ h & b\end{array}\right\| \)는 좌표축의 회전에 대하여 불변임을 알 수 있다.</p><p>\( h^{\prime}=0 \)가 되도록 하기 위해서는 좌표축의 회전각 \( \theta \)는 \( \tan 2 \theta=\frac{2 h}{a-b} \)를 만족하도록 잡으면 된다. 그러면 다음을 얻는다. \[a^{\prime} \xi^{2}+b^{\prime} \eta^{2}+c^{\prime}=0\] \[0 \neq h^{2}-a b=h^{\prime 2}-a^{\prime} b^{\prime}=-a^{\prime} b^{\prime} \text { 이므로, } h^{2}-a b<0 \text { 또는 } h^{2}-a b>0 \text { 이다. }\]</p><p>(\( 1 \)) \( h^{2}-a b<0 \)일 때, \( a^{\prime} b^{\prime}>0 \)이므로, \( a^{\prime} \) 와 \( b^{\prime} \)는 모두 양수이거나 모두 음수이다. 그러므로 위의 식은 \[A \xi^{2}+B \eta^{2}=C, \quad(A>0, B>0)\]꼴로 된다. 이때, 만일 \( C>0 \)이면, 이것은 타원이다. 만일 \( C=0 \)이면, \( \xi=\eta=0 \)이다. 이것은 점타원(point ellipse)을 표시한다고 말한다. 만일 \( C<0 \)이면, 이것은 허타원(imaginary ellipse)을 나타낸다고 말한다.</p><p>(\( 2 \)) \( h^{2}-a b>0 \)일 때, \( a^{\prime} b^{\prime}<0 \)이므로, \( a^{\prime}>0, b^{\prime}<0 \) 또는 \( a^{\prime}<0, b^{\prime}>0 \)이다. 그러므로 위의 식은 \[A \xi^{2}-B \eta^{2}=C,(A>0, B>0)\]꼴로 된다. 이때, 만일 \( C \neq 0 \)이면, 이것은 쌍곡선이다. 만일 \( C=0 \)이면, \[A \xi^{2}-B \eta^{2}=(\sqrt{A} \xi+\sqrt{B} \eta)(\sqrt{A} \xi-\sqrt{B} \eta)=0\]이므로, \( \sqrt{A} \xi=\pm \sqrt{B} \eta \) 이다. 이 두 직선은 \( \xi \eta \)-평면의 원점에서 만나는 직선이다.</p> <p>타원 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a>b>0 \)의 초점을 \( F(a e, 0), F^{\prime}(-a e, 0), 0<e<1, a>0 \)이라 하고. 타원 위의 임의의 점을 \( P(x, y) \)라 하면,</p><p>\[\left\{\begin{array}{l}\overline{P F}^{2}=(x-a e)^{2}+y^{2} \\ \overline{P F'}^{2}=(x+a e)^{2}+y^{2}\end{array}\right.\] 이다. 이때 \( \overline{P F}, \overline{P F^{\prime}} \)는 점 \( P \)의 초점거리(focal distance)라 한다. \( a e=\sqrt{a^{2}-b^{2}} \) 이므로, \( \frac{b^{2}}{a^{2}}=1-e^{2} \) 이다. 그러므로 \[\begin{aligned}\overline{P F}^{2} &=(x-a e)^{2}+y^{2} \\ &=(x-a e)^{2}+\frac{b^{2}}{a^{2}}\left(a^{2}-x^{2}\right) \\ &=(x-a e)^{2}+\left(1-e^{2}\right)\left(a^{2}-x^{2}\right) \\&=(a-e x)^{2}\end{aligned} \]이다. \( \|x\| \leqq a \)이고 \( 0<e<1 \)이므로, \( a-e x>0 \)이다. 그러므로 \( \overline{P F}=a-e x \)이다.</p><p>마찬가지로, \( \overline{P F^{\prime}}=a+e x \)이다. 즉, \[\left\{\begin{array}{l} \overline{P F}=a-e x \\\overline{P F^{\prime}}=a+e x\end{array}\right.\]</p><p>타원 위의 점 \( P(x, y) \)에서 준선 \( l: x=\frac{a}{e}, l^{\prime}: x=-\frac{a}{e} \) 에 내린 수선의 발을 각각 \( N, N^{\prime} \) 라 하면,\[\left\{\begin{array}{l}\overline{P N}=\frac{a}{e}-x \\\overline{P N^{\prime}}=\frac{a}{e}+x\end{array}\right.\]이다. 그러므로 \[\left\{\begin{array}{l}\overline{P F}=e \cdot \overline{P N} \\\overline{P F^{\prime}}=e \cdot \overline{P N^{\prime}}\end{array}\right.\]이다. 따라서 타원 위의 임의의 점 \( P \)에서 초점 \( F, F^{\prime} \)까지의 거리는 각각 준선 \( l, l^{\prime} \)까지의 거리 와의 비는 상수 \( e \)와 같다. 즉,</p><p>\[\left\{\begin{array}{l}\frac{\overline{P F}}{\overline{P N}}=e \\\frac{\overline{P F^{\prime}}}{\overline{P N^{\prime}}}=e\end{array} .\right.\]\( 0<e<1 \)이므로, 타원 위의 점에서 초점에 이르는 거리는 준선에 이르는 거리보다 짧다.</p><p>역으로, 정점 \( F \)와 정직선 \( l \)에 이르는 거리의 비가 \( e(0<e<1) \)인 점 \( P \)들의 자취는 타원임을 보이자.</p><p>점 \( F \)에서 직선 \( l \)에 내린 수선의 발을 \( D \)라 하고, \( \overline{F D}=k, \frac{k e}{1-e^{2}}=a \)이라 하자. 선분 \( D F \)를 \( F \)쪽으로 연장하여 점 \( O \)를 선택하여 \( \overline{O D}=\frac{a}{e} \)가 되도록 하자. 그러면 \[\overline{O F}=\frac{a}{e}-k=\frac{a}{e}-\frac{a}{e}\left(1-e^{2}\right)\]이다. 여기에서 직선 \( \overleftrightarrow{O F} \) 를 \( x \)-축으로 간주하고, \( O \)를 원점으로 하는 직교축을 생각하면 \( F \)의 좌표는 \( (a e, 0) \)이다. 점 \( P(x, y) \)에서 \( l \)에 내린 수선의 발을 \( N \)이라 하면 \( \overline{P F}=e \cdot \overline{P N} \)이다. \( \overline{P F}^{2}=e^{2} \cdot \overline{P N}^{2} \)이므로, \[\begin{array}{l}(x-a e)^{2}+y^{2}=e^{2}\left(\frac{a}{e}-x\right)^{2} \\ \left(1-e^{2}\right) x^{2}+y^{2}=a^{2}\left(1-e^{2}\right)\end{array}\]이다. 이때 \( a^{2}\left(1-e^{2}\right)=b^{2} \) 으로 놓으면, \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \)을 얻는다. 그러므로 \( P(x, y) \)는 \( F \)를 초점, \( l \)을 준선으로 하는 타원 위에 있다. 따라서 다음 정리를 얻는다.</p><p>정리 \( 2.1.1 \) 타원은 정점 \( F \)와 정직선 \( l \)에 이르는 거리의 비가 상수 \( e(0<e<1) \)인 점 \( P \)들의 자취이다. 이때 \( F \)는 그 타원의 초점이고, \( l \)는 준선이다.</p><p>타원 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a>b>0 \)의 초점은 \( F(a e, 0), F^{\prime}(-a e, 0), e=\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a} \)이고, 점 \( P(x, y) \)는 타원 위의 임의의 점이라 하자. 그러면 \[\left\{\begin{array}{l}\overline{P F}=a-e x \\\overline{P F^{\prime}}=a+e x\end{array}\right.\]이다.</p><p>지금 \( F^{\prime} \)는 극으로 간주하자. \( x \)-축과 선분 \( P F^{\prime} \)가 이루는 각을 \( \theta \)라 하고 \( \overline{P F^{\prime}}=\rho \)라 하자.</p><p>그러면 \( x=\rho \cos \theta-a e \)이다. \( a+e x=\overline{P F^{\prime}}=\rho \)이므로, \[\begin{aligned}\rho &=a+e(\rho \cos \theta-a e) \\&=\rho e \cos \theta+a\left(1-e^{2}\right) \\&=\frac{b^{2}}{a}+\rho e \cos \theta \\&=\frac{b^{2}}{a(1-e \cos \theta)} \end{aligned}\]이다. 이 식에서 \( \theta=\frac{\pi}{2} \) 이면, \( \rho=\frac{b^{2}}{a} \) 이다. \( \frac{b^{2}}{a}=k \)로 놓으면, 타원의 극방정식 \[\rho=\frac{k}{1-e \cos \theta}\left(\text { 극: } F^{\prime}\right)\]를 얻는다.</p><p>다음에, \( F \)를 극, \( x \)-축과 선분 \( P F \)가 이루는 각을 \( \theta \)라 하고 \( \overline{P F}=\rho \)라 하자.</p><p>마찬가지로 하면, 타원의 극방정식</p><p>\[\rho=\frac{k}{1+e \cos \theta}(\text { 극: } F) \]을 얻는다.</p><p>\( 2 k=\frac{2 b^{2}}{a} \)는 초점을 지나고 \( x \)-축에 수직인 직선에 의하여 타원이 끊기는 선분의 길이이다. 이 선분을 통경이라 한다.</p><p>쌍곡선</p><p>정의 두 정점 \( F, F^{\prime} \)에서 이르는 거리의 차가 일정한 점 \( P \)의 자취를 쌍곡선(hyperbola)이라 한다. 이때 \( F, F^{\prime} \)는 쌍곡선의 초점(focus)이라 한다.</p><p>[쌍곡선의 방정식] \( F, F^{\prime} \)를 지나는 직선을 \( x \)-축이라 하고, 선분 \( F F^{\prime} \)의 중점을 \( O \)라 하자. \( O \)에서 \( F F^{\prime} \)의 수직 이등분선을 \( y \)-축이라 하자. \( F \)와 \( F^{\prime} \)의 좌표를 각각 \( (c, 0) \cdot(-c, 0) \)라 하고, 쌍곡선 위의 임의의 점을 \( P(x, y) \)라 하자. \( \left\|\overline{P F}-\overline{P F}^{\prime}\right\|=2 a \) (일정), \( a<c \)라 하자. 그러면 \[\begin{array}{r} \left\|\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}\right\|=2 a \\\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=\pm 2 a\end{array}\]이다.</p><p>\( \begin{aligned}(x+c)^{2}+y^{2}=& 4 a^{2} \pm 4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}+(x-c)^{2}+y^{2}, \\ & \pm a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=-a^{2}+c x, \\ & a^{2}\left[(x-c)^{2}+y^{2}\right]=a^{4}-2 a^{2} c x+c^{2} x^{2}, \\ & a^{2} x^{2}-2 a^{2} c x+a^{2} c^{2}+a^{2} y^{2}=a^{4}-2 a^{2} c x+c^{2} x^{2}, \\ &\left(c^{2}-a^{2}\right) x^{2}-a^{2} y^{2}=a^{2}\left(c^{2}-a^{2}\right) . \end{aligned} \)</p><p>이때 \( c^{2}-a^{2}:=b^{2} \)으로 놓으면, \( c=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \)이다. 그러므로 쌍곡선의 방정식은 다음과 같다.\[\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]</p> <p>[쌍곡선의 그래프] 타원과 마찬가지로, 쌍곡선의 방정식은 \( x \)-축, \( y \)-축에 대하여 대칭이므로, 쌍곡선 그래프의 모양은 제\( 1 \)사분면에서의 모양으로 알 수 있다. 제\( 1 \)사분면에서 쌍곡선의 방정식을 \( y \)에 대하여 풀면, \[y=\frac{b}{a} \sqrt{x^{2}-a^{2}}\] 이다. 이 곡선은 점 \( A(a, 0) \)에서 \( x \)-축과 만나고, \( x \geqq a \)인 범위에서만 있다. \( x \)가 \( a \)에서 차례로 증가하면, \( y \)는 \( 0 \)에서 차례로 커져서 \( x \rightarrow \infty \)이면, \( y \rightarrow \infty \)이다.</p><p>제\( 1 \)사분면에서는 \( x \geqq a>0 \)이므로 \[y=\frac{b}{a} x \sqrt{1-\frac{a^{2}}{x^{2}}}<\frac{b}{a} x\]이다. 따라서 제 \( 1 \)사분면에서의 쌍곡선의 그래프는 직선 \( l: y=\frac{b}{a} x \)의 아래쪽에 있다. 이 쌍곡선 위의 임의의 점 \( P(x, y) \)에 대하여 \( P \)를 지나는 \( x \)-축의 수직선이 \( x \)-축과 만나는 점을 \( M \)이라 하고 직선 \( l \)과 만나는 점을 \( Q\left(x, y_{1}\right) \)이라 하면, \( y_{1}=\frac{b}{a} x \)이므로 \[\overline{P Q}=y_{1}-y=\frac{b}{a} x-\frac{b}{a} x \sqrt{1-\frac{a^{2}}{x^{2}}} \]\[\begin{array}{l}=\frac{b}{a} x\left(1-\sqrt{1-\frac{a^{2}}{x^{2}}}\right) \\ =\frac{b}{a} x \cdot \frac{a^{2} / x^{2}}{1+\sqrt{1-a^{2} / x^{2}}}<\frac{a b}{x} \end{array}\]이다. 이때 \( x \rightarrow \infty \) 일 때 \( \overline{P Q} \rightarrow 0 \) 이다. 그러므로 제\( 1 \)사분면에 있는 쌍곡선은 \( x \)가 한없이 커짐에 따라 직선 \( l \)에 한없이 가까이 간다. 쌍곡선의 방정식은 \( x \)-축, \( y \)-축에 대하여 대칭이므로, 쌍곡선의 그래프는 2직선 \[l: y=\frac{b}{a} x, \quad l^{\prime}: y=-\frac{b}{a} x\] 의 맞꼭지각 안에 있고. \( \|x\| \) 가 한없이 커짐에 따라 직선 \( l, l^{\prime} \)에 한없이 가까이 간다. 이러한 \( 2 \)직선 \( l, l^{\prime} \)을 쌍곡선의 점근선(asymptote)이라 한다.</p><p>주어진 쌍곡선의 방정식 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \)에 대하여 방정식 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1 \)에 의하여 나타나는 곡선은 주어진 쌍곡선의 공액쌍곡선(conjugate hyperbola)이라 한다.</p><p>주어진 쌍곡선의 방정식 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \)의 공액쌍곡선의 방정식 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1 \)은 점 \( B(0, b), B^{\prime}(0,-b) \) 에서 \( y \)-축과 만난다. \( 2 \)직선 \( l: y=\frac{b}{a} x, \quad l^{\prime}: y=-\frac{b}{a} x \)도 공액쌍곡선의 점근선이다.</p><p>이때 직선 \( \overleftrightarrow{B B^{\prime}} \)는 공액축(conjugate axis)이라 하고, 원점 \( O \)는 주어진 쌍곡선의 중심 (center)이라 한다.</p><p>만일 \( a=b \)이면, 주어진 쌍곡선의 방정식은 \( x^{2}-y^{2}=a^{2} \)으로 된다. 이것을 직각쌍곡선(right angled hyperbola)의 방정식이라 한다. 이때 점근선은 \( y=\pm x \)이다. 이 점근선은 \( x- \)축과 \( 45^{\circ} \)의 각을 이루고 서로 직교한다.</p><p>원점 \( O \)를 중심으로 하고 반지름이 \( a \)인 원 \( x^{2}+y^{2}=a^{2} \)을 쌍곡선 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \)의 보조원 (auxiliary circle)이라 한다.</p><p>쌍곡선 위의 임의의 점 \( P(x, y) \)에서 \( x \)-축에 내린 수선의 발을 \( M \)이라 하고, \( M \)에서 보조원에 접선 \( \overleftrightarrow{M Q} \)를 그어서 \( x \)-축과 선분 \( O Q \)가 이루는 각을 \( \theta \)라 하자. 그러면 \[\begin{aligned}x &=\overline{O M}=\overline{O Q} \sec \theta \\&=a \sec \theta\end{aligned}\]이다. 이를 쌍곡선의 방정식에 대입하면,\[\begin{aligned}1 &=\frac{a^{2} \sec ^{2} \theta}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\sec ^{2} \theta-\frac{y^{2}}{b^{2}} \\&=1+\tan ^{2} \theta-\frac{y^{2}}{b^{2}}\end{aligned}\] 이므로, \( y=b \tan \theta \)이다. 그러므로 쌍곡선 위의 점 \( P(x, y) \)의 좌표는 다음과 같이 나타난다. \[\left\{\begin{array}{l}x=a \sec \theta \\y=b \tan \theta\end{array}\right. \]</p><p>이것은 매개변수 \( \theta \)에 관한 쌍곡선의 방정식(hyperbolic equation of parameter \( \theta \) )이라 이다. 이때 \( \theta \)는 이심각(eccentric angle)이라 한다.</p><p>쌍곡선의 방정식 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \)에서 \[ e=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}>1\] 은 이심률(eccentricity)이라 한다. 그러므로 쌍곡선의 초점 \( F, F^{\prime} \)의 좌표는 각각 다음과 같다. \[F(a e, 0), F^{\prime}(-a e, 0)\]</p><p>\( x \)-축 위의 점 \( D\left(\frac{a}{e}, 0\right), D^{\prime}\left(-\frac{a}{e}, 0\right) \)에서의 수직선 \( l: x=\frac{a}{e}, l^{\prime}: x=-\frac{a}{e} \)은 쌍곡선의 준선(directrix)이라 한다.</p><p>쌍곡선 위의 점 \( P(x, y) \)와 초점 \( F(a e, 0), F^{\prime}(-a e, 0) \)과의 거리 \( \overline{P F}, \overline{P F^{\prime}} \) 는 점 \( P \)의 초점거리(focal distance)라 한다. \( a e=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \) 이므로, \( \frac{b^{2}}{a^{2}}=e^{2}-1 \) 이다. 그러므로 \[\begin{aligned}\overline{P F}^{2} &=(x-a e)^{2}+y^{2} \\&=(x-a e)^{2}+\frac{b^{2}}{a^{2}}\left(x^{2}-a^{2}\right) \\&=(x-a e)^{2}+\left(e^{2}-1\right)\left(x^{2}-a^{2}\right) \\&=(e x-a)^{2},\end{aligned}\]\( \overline{P F}=\|e x-a\| \) 이다. \( \|x\| \geqq a \) 이고 \( e>1 \) 이므로,\[\overline{P F}=\left\{\begin{array}{cc} e x-a, & x \geqq a \\-(e x-a), & x \leqq-a\end{array}\right.\]이다. 마찬가지로, \( \overline{P F^{\prime}}=\|e x+a\| \)이므로,\[\overline{P F^{\prime}}=\left\{\begin{array}{cc} e x+a, & x \geqq a \\-(e x+a), & x \leqq-a\end{array}\right.\]이다.</p><p>역으로, 정점 \( F, F^{\prime} \)와 정직선 \( l, l^{\prime} \)에 이르는 각 거리의 비가 \( e(e>1) \)인 점 \( P \)들의 자취는 쌍곡선임을 보이자.</p><p>점 \( F \)에서 직선 \( l \)에 내린 수선의 발을 \( D \)라 하고, \( \overline{F D}=k, \frac{k e}{e^{2}-1}=a \)이라 하자. 선분 \( F D \)를 \( D \)쪽으로 연장하여 점 \( O \)를 선택하여 \( \overline{O D}=\frac{a}{e} \)가 되도록 하자.</p><p>그러면 \[\overline{O F}=\frac{a}{e}+k=\frac{a}{e}+\frac{a}{e}\left(e^{2}-1\right)=a e \]이다. 여기에서 직선 \( \overleftrightarrow{O F} \) 를 \( x \)-축으로 간주하고, \( O \)를 원점으로 하는 직교축을 생각하면 \( F \)의 좌표는 \( (a e, 0) \)이다. 점 \( P(x, y) \)에서 \( l \)에 내린 수선의 발을 \( N \)이라 하면 \( \overline{P F}=e \cdot \overline{P N} \)이다. \( \overline{P F}^{2}=e^{2} \cdot \overline{P N}^{2} \)이므로, \[\begin{array}{l} (x-a e)^{2}+y^{2}=e^{2}\left(x-\frac{a}{e}\right)^{2} \\\left(e^{2}-1\right) x^{2}=a^{2}\left(e^{2}-1\right)-y^{2}\end{array}\]이다. 이때 \( a^{2}\left(e^{2}-1\right)=b^{2} \)으로 놓으면, \( \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \) 을 얻는다. 그러므로 \( P(x, y) \)는 \( F \)를 초점, \( l \)을 준선으로 하는 쌍곡선 위에 있다. 따라서 다음 정리를 얻는다.</p>	기하학	[ "<h1>제\\(5\\)장 \\(2\\)차곡면의 성질</h1><h2>5.1 \\(2\\)차곡면의 중심</h2><p>\\(2\\)차곡면</p><p>\\[F(x, y, z) \\equiv a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y+2 l x+2 m y+2 n z+d=0\\]에 대하여 점 \\( P_{0}\\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\\right) \\)이 존재하여 \\( P_{0} \\)을 지나는 \\( 2 \\)차곡면 \\( F(x, y, z)=0 \\)의 현이 모두 점 \\( P_{0} \\)에서 \\( 2 \\)등분될 때, 점 \\( P_{0} \\)는 \\( 2 \\)차곡면 \\( F(x, y, z)=0 \\)의 중심(center)이라 한다.", "점 \\( P_{0} \\)을 지나고 방향코사인이 \\( (\\lambda, \\mu, \\nu) \\)인 직선의 방정식은 \\[\\left\\{\\begin{array}{l} x=x_{0}+\\lambda t \\\\y=y_{0}+\\mu t \\\\z=z_{0}+\\nu t\\end{array}\\right.\\] 이므로, 이를 \\( F(x, y, z)=0 \\)에 대입하면, 다음을 얻는다. \\", "[\\begin{array}{l} \\left(a \\lambda^{2}+b \\mu^{2}+c \\nu^{2}+2 f \\mu \\nu+2 g \\nu \\lambda+2 h \\lambda \\mu\\right) t^{2} \\\\+2\\left[\\left(a x_{0}+h y_{0}+g z_{0}+l\\right) \\lambda+\\left(h x_{0}+b y_{0}+f z_{0}+m\\right) \\mu+\\left(g x_{0}+f y_{0}+c z_{0}+n\\right) \\nu\\right] t \\\\ \\quad+F\\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\\right)=0\\end{array}\\]</p><p>이것은 점 \\( P_{0} \\)을 지나는 \\( 2 \\)차곡면의 현의 방정식이다.", "위의 \\( t \\)에 관한 \\( 2 \\)차방정식의 두 근을 \\( t_{1}, t_{2} \\)라 하자.", "이때 점 \\( P_{0} \\)가 현의 중심이기 위해서는 \\( t_{1}+t_{2}=0 \\)이어야 한다.", "그러므로 만일 \\( t_{1}+t_{2}=0 \\)이면, 근과 계수와 관계에 의하여 다음이 성립한다. \\", "[\\left(a x_{0}+h y_{0}+g z_{0}+l\\right) \\lambda+\\left(h x_{0}+b y_{0}+f z_{0}+m\\right) \\mu+\\left(g x_{0}+f y_{0}+c z_{0}+n\\right) \\nu=0\\]</p><p>점 \\( P_{0} \\)이 \\( 2 \\)차곡면의 중심이기 위해서는 모든 방향코사인 \\( (\\lambda, \\mu, \\nu) \\)에 대하여 위의 등식이 성립하여야 한다.", "그러므로 점 \\( P_{0} \\)은 다음 연립방정식을 만족하여야 한다. \\", "[\\left\\{\\begin{array}{l}a x_{0}+h y_{0}+g z_{0}+l=0 \\\\h x_{0}+b y_{0}+f z_{0}+m=0 \\\\g x_{0}+f y_{0}+c z_{0}+n=0\\end{array}\\right.\\]", "</p><p>따라서 다음 정리를 얻는다.", "</p><p>정리 \\( 5.1.1 \\) \\( 2 \\)차곡면 \\[F(x, y, z) \\equiv a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y+2 l x+2 m y+2 n z+d=0\\]에 대하여 \\( F(x, y, z)=0 \\)이 단 한 개의 중심을 갖기 위한 필요충분조건은 \\[\\left\|\\begin{array}{lll}a & h & g \\\\h & b & f \\\\g & f & c \\end{array}\\right\| \\neq 0\\]이다.", "</p><p>단 하나의 중심을 갖는 \\( 2 \\)차곡면을 유심 \\( 2 \\)차곡면(central quadric surface)이라 하고, 무수히 많은 중심을 갖거나 중심을 갖지 않는 \\( 2 \\)차곡면을 무심 \\( 2 \\)차곡면(non-central quadric surface)이라 한다.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>타원면, \\( 1 \\)엽쌍곡면, \\( 2 \\)엽쌍곡면, \\( 2 \\)차뿔면은 중심을 갖는 \\( 2 \\)차곡면이다.", "</li><li>포물면, 포물기둥면은 중심을 갖지 않는 \\( 2 \\)차곡면이다.", "</li><li>타원기둥면, 쌍곡기둥면은 무수히 많은 중심을 갖는 \\( 2 \\)차곡면이다.", "</li></ol></p> <p>정리 \\( 6.3.1 \\) (\\( 2 \\)차곡면의 분류) \\( 2 \\)차곡면의 방정식 \\[F(x, y, z) \\equiv a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y+2 l x+2 m y+2 n z+d=0 \\]에 대하여 특성방정식 \\( \\left\|\\begin{array}{ccc}a-t & h & g \\\\ h & b-t & f \\\\ g & f & c-t\\end{array}\\right\|=0 \\)의 근을 \\( t_{1}, t_{2}, t_{3} \\)라 하자.", "그러면 \\( D=\\left\|\\begin{array}{lll}a & h & g \\\\ h & b & f \\\\ g & f & c\\end{array}\\right\|=t_{1} t_{2} t_{3} \\)이다. \\", "( \\Delta_{1}=\\left\|\\begin{array}{llll}a & h & g & l \\\\ h & b & f & m \\\\ g & f & c & n \\\\ l & m & n & d\\end{array}\\right\| \\)에 대하여 \\( D \\)와 \\( \\Delta_{1} \\)의 \\( 0 \\)인지 아닌지에 따라 \\( 2 \\)차곡면의 표준형은 다음과 같다.", "</p><p>(\\( 1 \\)) \\( D \\neq 0\\left\\{\\begin{array}{l}\\Delta_{1} \\neq 0, t_{1} \\bar{x}^{2}+t_{2} \\bar{y}^{2}+t_{3} \\bar{z}^{2}+\\frac{\\Delta_{1}}{t_{1} t_{2} t_{3}}=0 \\text { : 타원면 또는 쌍곡면 } \\\\ \\Delta_{1}=0, t_{1} \\bar{x}^{2}+t_{2} \\bar{y}^{2}+t_{3} \\bar{z}^{2}=0: 2 \\text { 차뿔면 }\\end{array}\\right. \\)", "</p><p>\\(D = 0\\begin{cases}& \\Delta_{1} \\neq 0, t_{1} \\bar{x}^{2}+t_{2} \\bar{y}^{2}+2 \\sqrt{-\\frac{\\Delta_{1}}{t_{1} t_{2}}} \\bar{z}=0:타원형 또는 쌍곡면 \\\\ & \\Delta_{1}=0 \\begin{cases} &t_{1} \\bar{x}^{2}+t_{2} \\bar{y}^{2}+\\bar{d}=0 \\ \\begin{cases} & \\bar{d}=0:타원기둥면 또는 쌍곡포물면\\\\& \\bar{d}=0:교차하는 두 평면\\end{cases} \\\\ & t_{1} \\bar{x}^{2}+2 \\bar{m} \\bar{y}=0: 포물기둥면 \\\\ & t_{1} \\bar{x}^{2}+\\bar{d}=0:평행한 두평면\\end{cases}\\end{cases}\\)</p><p>\\( O-x y z \\) 좌표계의 일반적인 \\( 2 \\)차곡면의 방정식 \\( F(x, y, z)=0 \\)에 대하여, \\( x, y, z \\)-축을 적당히 평행이동하고 회동이동시켜 얻어진 \\( O^{\\prime}-X Y Z \\)에서는 \\( F(x, y, z)=0 \\)이 \\( 2 \\)차곡면의 기본형의 방정식으로 변환될 수 있다.", "이러한 좌표축의 변환을 주축변환(transformation of principal axis)이라 한다.", "</p><p>예제 \\( 6.3.2\\) \\( 2 \\)차곡면의 방정식 \\[F(x, y, z) \\equiv 7 x^{2}+6 y^{2}+5 z^{2}-4 y z-4 x y+6 x+8 y+22 z+38=0\\]의 표준형을 구하여라.", "</p><p>[풀이] 중심을 구하는 방정식은 다음과 같다. \\", "[\\left\\{\\begin{array}{r}7 x-2 y+3=0 \\\\-2 x+6 y-2 z+4=0 \\\\-2 y+5 z+11=0\\end{array}\\right. \\]", "</p><p>이를 풀면, 중심은 \\( \\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\\right)=(-1,-2,-3) \\)이다.", "이때 \\( \\left\\{\\begin{array}{l}x=x^{\\prime}-1 \\\\ y=y^{\\prime}-2 \\text { 으로 놓으면, } \\\\ z=z^{\\prime}-3\\end{array}\\right. \\) \\", "( F^{\\prime}\\left(x^{\\prime}, y^{\\prime}, z^{\\prime}\\right) \\equiv 7 x^{\\prime 2}+6 y^{\\prime 2}+5 z^{\\prime 2}-4 y^{\\prime} z^{\\prime}-4 x^{\\prime} y^{\\prime}-6=0 \\)을 얻는다.", "특성방정식은 \\[\\left\|\\begin{array}{ccc}7-t & -2 & 0 \\\\-2 & 6-t & -2 \\\\0 & -2 & 5-t \\end{array}\\right\| \\equiv-\\left(t^{3}-18 t^{2}+99 t-162\\right)=0\\] 이다.", "이를 풀면, 특성근은 \\( t_{1}=3, t_{2}=6, t_{3}=9 \\)이다.", "방향코사인 \\( (\\lambda, \\mu, \\nu) \\)는 다음 식으로부터 정해진다. \\", "[\\left\\{\\begin{array}{l}(7-t) \\lambda-2 \\mu=0 \\\\-2 \\lambda+(6-t) \\mu-2 \\nu=0 \\\\ -2 \\mu+(5-t) \\nu=0\\end{array}\\right.\\]", "</p><p>(ⅰ) \\( t_{1}=3 \\)일 때, \\[\\left\\{\\begin{array}{l}4 \\lambda-2 \\mu=0 \\\\ -2 \\lambda+3 \\mu-2 v=0, \\lambda: \\mu: \\nu=1: 2: 2 \\\\-2 \\mu+2 \\nu=0\\end{array}\\right.\\]", "</p><p>(ⅱ) \\( t_{2}=6 \\)일 때, \\[\\left\\{\\begin{array}{l}\\lambda-2 \\mu=0 \\\\ -2 \\lambda-2 \\nu=0, \\lambda: \\mu: \\nu=2: 1:-2 \\\\-2 \\mu-\\nu=0\\end{array}\\right.\\]", "</p><p>(ⅲ) \\( t_{3}=9 \\) 일 때\\[\\left\\{\\begin{array}{l} 2 \\lambda-2 \\mu=0 \\\\-2 \\lambda-3 \\mu-2 \\nu=0, \\quad \\lambda: \\mu: \\nu=2:-2: 1 \\\\ -2 \\mu-4 \\nu=0\\end{array}\\right.\\]", "</p><p>그러므로 \\( \\bar{x}, \\bar{y}, \\bar{z} \\)-축의 방정식은 각각 다음과 같다. \\", "[\\begin{array}{l}\\frac{x+1}{1}=\\frac{y+2}{2}=\\frac{z+3}{2} \\\\ \\frac{x+1}{2}=\\frac{y+2}{1}=\\frac{z+3}{-2} \\\\\\frac{x+1}{2}=\\frac{y+2}{-2}=\\frac{z+3}{1} \\end{array}\\]</p><p>정리 \\( 6.3.1 \\)에 의하여 \\( \\bar{d}=\\frac{\\Delta_{1}}{t_{1} t_{2} t_{3}}=-6, \\Delta_{1}=\\left\|\\begin{array}{cccc}7 & -2 & 0 & 3 \\\\ -2 & 6 & -2 & 4 \\\\ 0 & -2 & 5 & 11 \\\\ 3 & 4 & 11 & 38\\end{array}\\right\|=-972 \\)이므로, 구하는 표준형은 다음과 같다. \\", "[3 \\bar{x}^{2}+6 \\bar{y}^{2}+9 \\bar{z}^{2}-6=0 .\\]</p><p>예제 \\( 6.3.3 \\) \\( 2 \\)차곡면의 방정식 \\[2 x^{2}+2 y^{2}-4 z^{2}-2 y z-2 z x-5 x y-2 x-2 y+z=0\\]의 표준형을 구하여라.", "</p><p>[풀이] \\( D=\\left\|\\begin{array}{ccc}2 & -5 / 2 & -1 \\\\ -5 / 2 & 2 & -1 \\\\ -1 & -1 & -4\\end{array}\\right\|=0, \\quad \\Delta_{1}=\\left\|\\begin{array}{cccc}2 & -5 / 2 & -1 & -1 \\\\ -5 / 2 & 2 & -1 & -1 \\\\ -1 & -1 & -4 & 1 / 2 \\\\ -1 & -1 & 1 / 2 & 0\\end{array}\\right\|=\\frac{729}{16} \\) 이므로, 정리 \\( 6.3.1\\)에 의하여 \\( 2 \\)차곡면은 포물면이다.", "특성방정식 \\[\\left\|\\begin{array}{ccc}2-t & -5 / 2 & -1 \\\\ -5 / 2 & 2-t & -1 \\\\-1 & -1 & -4-t\\end{array}\\right\|=-\\left(t^{3}-\\frac{81}{4} t\\right)=0 \\]의 근은 \\( t_{1}=\\frac{9}{2}, t_{2}=-\\frac{9}{2}, t_{3}=0 \\)이다.", "그러므로 정리 \\( 6.3 .1 \\) 에 의하여 표준형은 다음과 같다. \\", "[\\begin{array}{c}t_{1} \\bar{x}^{2}+t_{2} \\bar{y}^{2}+2 \\sqrt{-\\frac{\\Delta_{1}}{t_{1} t_{2}}} \\bar{z}=0 \\\\\\frac{9}{2} \\bar{x}^{2}-\\frac{9}{2} \\bar{y}^{2}+2 \\sqrt{\\frac{9}{4}} \\bar{z}=0 \\\\3 \\bar{x}^{2}-3 \\bar{y}^{2}+2 \\bar{z}=0\\end{array}\\]</p><p>이것은 쌍곡포물면을 나타낸다.", "</p><h1>연습문제</h1><p>\\( 1 \\).", "다음 \\( 2\\)차곡면의 방정식의 표준형을 구하여라.", "</p><p><ol type=a start=1><li>\\( 3 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}+2 z x+2 x y+2 x-2 y-2 z-2=0 \\)</li><li>\\( 7 x^{2}-13 y^{2}+6 z^{2}+12 y z-12 z x+24 x y-78 x-32 y+71=0 \\)</li><li>\\( x^{2}+y^{2}-4 y z-4 z x+2 x y-12 x-16 y+12 z+35=0 \\)</li><li>\\( y z+z x+x y+1=0 \\)</li><li>\\( x^{2}+y^{2}+z^{2}+y z+z x+x y+x+y+z=0 \\)</li></ol></p> <h1>연습문제</h1><p>\\( 1 \\).", "다음 구의 방정식을 구하여라.", "</p><p><ol type=a start=1><li>반지름이 \\( r \\)이고 \\( 3 \\)개의 좌표평면에 접하는 구</li><li>점 \\( \\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\\right) \\)을 중심으로 하고 점 \\( \\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\\right) \\)을 지나는 구</li><li>점 \\( \\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\\right) \\)을 중심으로 하고 \\( x y \\)-평면에 접하는 구</li><li>2점 \\( P_{1}\\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\\right), P_{2}\\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\\right) \\)를 직경의 양 끝점으로 하는 구</li></ol></p><p>\\( 2 \\).", "평면 \\( p x+q y+r z+s=0 \\)이 구면 \\( \\left(x-x_{0}\\right)^{2}+\\left(y-y_{0}\\right)^{2}+\\left(z-z_{0}\\right)^{2}=R^{2} \\)에 접하기 위한 조건을 구하여라.", "</p><p>\\( 3 \\).", "점 \\( \\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\\right) \\)을 중심으로 하고 평면 \\( a x+b y+c z+d=0 \\)에 접하는 구면의 방정식을 구하여라.", "</p><p>\\( 4 \\). \\", "(1 \\)개의 구면과 \\( y z \\)-평면, \\( z x \\)-평면과의 교선이 각각 \\[x=0, y^{2}+z^{2}+y=1 \\text { 과 } y=0, x^{2}+z^{2}=1\\]일 때, 이 구면의 방정식을 구하여라.", "또한 이 구면과 \\( x y \\)-평면과의 교선의 방정식을 구하여라.", "</p><p>\\( 5 \\).", "타원면 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}+\\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \\)의 중점 \\( O \\)를 지나는 \\( 2 \\)개씩 서로 수직인 \\( 3 \\)개의 직선을 그었을때, 그 타원면과의 교점을 각각 \\( P_{1}, P_{2}, P_{3} \\)이라 하자.", "그러면 \\[\\frac{1}{\\overline{O P}_{1}^{2}}+\\frac{1}{{\\overline{O P_{2}}}^{2}}+\\frac{1}{{\\overline{O P_{3}}}^{2}}=\\frac{1}{a^{2}}+\\frac{1}{b^{2}}+\\frac{1}{c^{2}}\\]임을 증명하여라.", "</p><p>\\( 6 \\).", "점 \\( \\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\\right) \\) 을 지나고 구 \\( x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} \\)에 외접하는 원뿔의 방정식은 다음과 같음을 보여라.\\", "[\\left(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}-r^{2}\\right)\\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}r^{2}\\right)=\\left(x_{0} x+y_{0} y+z_{0} z-r^{2}\\right)^{2}\\]</p><p>\\( 7 \\).", "타원면 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}+\\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \\)과 평면 \\( l x+m y+n z=1 \\)과의 교점을 포함하고 원점을 꼭짓점으로 하는 \\( 2 \\)차뿔면의 방정식은 다음과 같음을 보여라.\\", "[\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}+\\frac{z^{2}}{c^{2}}=(l x+m y+n z)^{2}\\]</p><p>\\( 8 \\). \\", "( x z- \\) 평면 위에 포물선 \\( x^{2}=2 a^{2} c z \\)가 놓여있고, \\( y z- \\)평면 위에 포물선 \\( y^{2}=-2 b^{2} c z \\)가 놓여있다고 하자.", "이때 \\( y z \\)-평면 위의 포물선을 그의 꼭짓점이 \\( x z \\)-평면 위의 포물선에 있도록 평행이동할 때, 이 포물선이 그리는 자취를 구하여라.", "</p> <h1>제3장 유클리드 공간에서 직선과 평면</h1><h2>3.1 공간좌표</h2><p>[정사영] 공간에서 \\( 2 \\)개의 유향직선 \\( l, g \\)가 주어졌을 때, \\( l^{\\prime}, g^{\\prime} \\)는 공간의 임의의 점 \\( O \\)를 지나고. \\", "( l, g \\)와 같은 방향의 직선이라 하면, \\( l^{\\prime}, g^{\\prime} \\)가 이루는 각 \\( \\theta \\)는 \\( O \\)의 위치에 상관없이 일정하다.", "이 각 \\( \\theta \\)를 유향직선 \\( l, g \\)가 이루는 각이라 하고, \\( \\theta=\\angle(l, g) \\)로 나타낸다.", "공간의 한 점 \\( P \\)에서 그 공간의 정직선 \\( g \\) (또는 정평면 \\( \\pi \\) )에 내린 수선의 발 \\( P^{\\prime} \\)는 \\( P \\)에서 정직선 \\( g \\) (또는 정평면 \\( \\pi \\) ) 위의 (정)사영((orthogonal) projection)이라 한다.", "공간의 한 도형 \\( F \\) 위의 각 점에서 정직선 \\( g \\) (또는 정평면 \\( \\pi) \\) 위의 정사영을 \\( F \\)에서 정직선 \\( g \\) (또는 정평면 \\( \\pi) \\) 위의 (정)사영이라 한다.", "</p><p>유향직선 \\( l \\) 위의 선분 \\( A B \\)를 다른 유향직선 \\( m \\)에 내린 사영을 \\( [A B]_{g} \\)로 나타내면, \\[[A B]_{g}=\\overline{A B} \\cos (\\angle(1, g))\\]이다.", "공간에서의 다각선 \\( A_{1} A_{2} \\cdots A_{n} \\) 을 유향직선 \\( g \\) 위에 사영하면, \\[\\left[A_{1} A_{2}\\right]_{g}+\\left[A_{2} A_{3}\\right]_{g}+\\cdots+\\left[A_{n-1} A_{n}\\right]_{g}=\\left[A_{1} A_{n}\\right]_{g}\\]이다.", "즉,\\[\\begin{array}{c} \\overline{A_{1} A_{2}} \\cos \\left(\\angle\\left(1_{1}, g\\right)\\right)+\\overline{A_{2} A_{3}} \\cos \\left(\\angle\\left(l_{2}, g\\right)\\right)+\\cdots+\\overline{A_{n}-1} A_{n} \\cos \\left(\\angle\\left(1_{n}-1, g\\right)\\right) \\\\=\\overline{A_{1} A_{n}} \\cos \\left(\\angle\\left(l_{n}, g\\right)\\right)\\end{array}\\]</p><p>여기서 선분 \\( A_{1} A_{2} \\)는 유향직선 \\( l_{1} \\) 위에 놓여 있고, 선분 \\( A_{2} A_{3} \\)은 유향직선 \\( l_{2} \\) 위에 놓여 있고, 선분 \\( A_{n-1} A_{n} \\)은 유향직선 \\( l_{n-1} \\) 위에 놓여 있고, 선분 \\( A_{1} A_{n} \\)은 유향직선 \\( l_{n} \\) 위에 놓여 있다.", "</p><p>[공간좌표] 공간에서 서로 직교하는 \\( 2 \\)개의 유향직선 \\( l, m \\)의 교점을 \\( O \\)라 하자.", "그러면 \\( l, m \\)은 직각좌표평면을 이룬다.", "이때 \\( l \\)은 \\( x \\)-축, \\( m \\)은 \\( y \\)-축이라 하자.", "이러한 평면을 \\( x y \\)-평면이라 하자.", "점 \\( O \\)를 지나고 \\( x y \\)-평면에 수직인 유향직선 \\( n \\)을 그리자.", "이러한 직선 \\( n \\)을 \\( z \\)-축이라 하자.", "그러면 공간은 직각좌표공간을 이룬다.", "여기서 \\( O \\)는 공간의 원점이라 하자.", "</p><p>[공간에서의 직선의 방향코사인] 직각좌표공간에서 유향직선 \\( g \\)가 \\( x \\)-축, \\( y \\)-축, \\( z \\)-축과 이루는 각을 각각 \\( \\alpha=\\angle(x, g), \\beta=\\angle(y, g), \\gamma=\\angle(z, g) \\)라 하자. \\", "( g \\)는 원점 \\( O \\)와 점 \\( P(a, b, c) \\)를 지나는 직선이라 가정해도 무방하다.", "이때 \\( \\overline{O P}=r \\)에 대하여 \\[a=r \\cos \\alpha, b=r \\cos \\beta, c=r \\cos \\gamma\\]이다. \\", "( r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}=r^{2} \\cos ^{2} \\alpha+r^{2} \\cos ^{2} \\beta+r^{2} \\cos ^{2} \\gamma \\) 이므로, \\( \\cos ^{2} \\alpha+\\cos ^{2} \\beta+\\cos ^{2} \\gamma=1 \\) 이다.\\", "[l=\\cos \\alpha, m=\\cos \\beta, n=\\cos \\gamma\\]는 유향직선 \\( g \\)의 방향코사인(direction cosine)이라 한다.", "</p><p>[\\( 2 \\)개의 공간직선이 이루는 각] 공간직선 \\( l \\)의 방정식은 점 \\( P_{0}\\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\\right) \\)을 지나고, 그 직선의 방향코사인은 \\( (l, m, n) \\)이라 하자.", "</p><p>\\( l \\) 위의 임의의 점을 \\( P(x, y, z) \\)라 하자.", "그러면 직선 \\( l \\)의 방정식은 다음과 같다. \\", "[\\frac{x-x_{0}}{l}=\\frac{y-y_{0}}{m}=\\frac{z-z_{0}}{n}\\] \\( 2 \\)개의 유향직선 \\( g_{1}, g_{2} \\)가 이루는 각을 \\( \\theta=\\angle\\left(g_{1}, g_{2}\\right) \\)이라 하고, 그의 방향코사인은 각각 \\( \\left(l_{1}, m_{1}, n_{1}\\right),\\left(l_{2}, m_{2}, n_{2}\\right) \\) 라 하자.", "유향직선들은 평행이동 하더라도 그 사잇각 또는 방향코사인은 변하지 않으므로, \\( g_{1}, g_{2} \\)는 원점을 지난다고 가정해도 무방하다.", "</p><p>점 \\( P(x, y, z) \\)를 \\( g_{1} \\) 위에서 잡고, \\( P \\)에서 \\( x y \\)-평면에 수선의 발 \\( M \\)을 내리고, \\( M \\)에서 \\( x \\)-축에 수선의 발 \\( N \\)을 내리자.", "이때 다각선 \\( O N M P \\) 를 \\( g_{2} \\) 위로 사영하면, \\[[O N]_{g_2}+[N M]_{g_2}+[M P]_{g_2}=[O P]_{g_2}\\]이다.", "즉,\\( \\overline{O N} \\cos \\left(\\angle\\left(\\mathrm{x}, \\mathrm{g}_{2}\\right)\\right)+\\overline{\\mathrm{NM}} \\cos \\left(\\angle\\left(\\mathrm{y}, \\mathrm{g}_{2}\\right)\\right)+\\overline{\\mathrm{MP}} \\cos \\left(\\angle\\left(z, \\mathrm{~g}_{2}\\right)\\right)=\\overline{\\mathrm{OP}} \\cos \\left(\\angle\\left(\\mathrm{g}_{1}, \\mathrm{~g}_{2}\\right)\\right) \\). \\", "( \\overline{O P}=r \\) 로 놓으면, \\( \\overline{O N}=x=l_{1} r, \\overline{N M}=y=m_{1} r, \\overline{M P}=z=r m_{1} \\) 이므로, 다음을 얻는다. \\", "( \\cos \\theta=l_{1} l_{2}+m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2} \\)</p><p>그러므로 \\( g_{1}, g_{2} \\)가 이루는 각 \\( \\theta \\)는 이것으로부터 얻을 수 있다.", "</p><p>만일 \\( 2 \\)직선 \\( g_{1}, g_{2} \\)가 직교하면, \\( \\theta=\\frac{\\pi}{2} \\)이므로, 직교조건은 \\( l_{1} l_{2}+m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2}=0 \\)이다. \\", "[\\begin{aligned}\\sin ^{2} \\theta=1-\\cos ^{2} \\theta &=\\left(l_{1}^{2}+m_{1}^{2}+n_{1}^{2}\\right)\\left(l_{2}^{2}+m_{2}^{2}+n_{2}^{2}\\right)-\\left(l_{1} l_{2}+m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2}\\right)^{2} \\\\ &=\\left(l_{1} m_{2}-l_{2} m_{1}\\right)^{2}+\\left(m_{1} n_{2}-m_{2} n_{1}\\right)^{2}+\\left(n_{1} l_{2}-n_{1} l_{1}\\right)^{2}\\end{aligned}\\] 이므로, \\( 2 \\)직선 \\( g_{1}, g_{2} \\)가 평행하면, \\( \\theta=0 \\) 또는 \\( \\theta=\\pi \\)이다.", "따라서 \\( 2 \\)직선 \\( g_{1}, g_{2} \\)가 평행일 조건은 다음과 같다. \\", "[\\frac{l_{1}}{l_{2}}=\\frac{m_{1}}{m_{2}}=\\frac{n_{1}}{n_{2}}\\]</p> <h2>2.2 \\(2\\)차곡선의 성질</h2><p>[\\( 2 \\)차곡선의 접선] \\( 2 \\)차곡선의 방정식은 다음과 같다. \\", "[f(x, y) \\equiv a x^{2}+2 h x y+b y^{2}+2 g x+2 f y+c=0\\] \\( 2 \\)차곡선 위의 임의의 점 \\( P\\left(x_{1}, y_{1}\\right) \\)에서 접선(tangent line)의 방정식을 구해보자.", "점 \\( P \\)에서 접선의 방정식은 다음과 같다고 하자. \\", "[y-y_{1}=m\\left(x-x_{1}\\right)\\]이때 \\( x-x_{1}=\\rho \\)로 놓으면, \\( y=\\rho m+y_{1} \\)이다. \\", "( \\left\\{\\begin{array}{l}x=\\rho+x_{1} \\\\ y=\\rho m+y_{1}\\end{array}\\right. \\)을 \\( 2 \\)차곡선의 방정식에 대입하여 정돈하면, 다음을 얻는다.", "</p><p>\\[\\begin{aligned}\\rho^{2}\\left(a+2 h m+b m^{2}\\right)+2 \\rho[& {\\left[x_{1}+h y_{1}+g+m\\left(h x_{1}+b y_{1}+f\\right)\\right] } \\\\&+\\left(a x_{1}^{2}+2 h x_{1} y_{1}+b y_{1}^{2}+2 g x_{1}+2 f y_{1}+c\\right)=0\\end{aligned} \\]점 \\( P\\left(x_{1}, y_{1}\\right) \\)은 \\( 2 \\)차곡선 위의 점이므로, \\( a x_{1}^{2}+2 h x_{1} y_{1}+b y_{1}^{2}+2 g x_{1}+2 f y_{1}+c=0 \\)이다.", "따라서 \\[ \\rho^{2}\\left(a+2 h m+b m^{2}\\right)+2 \\rho\\left[a x_{1}+h y_{1}+g+m\\left(h x_{1}+b y_{1}+f\\right)\\right]=0\\]이다.", "이 방정식은 \\( \\rho \\)에 관한 \\( 2 \\)차방정식이다.", "이 방정식의 중근을 갖기 위해서는 \\[a x_{1}+h y_{1}+g+m\\left(h x_{1}+b y_{1}+f\\right)=0 \\]이어야 한다.", "이 식에 \\( m=\\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}} \\)을 대입하면, \\[\\left(x-x_{1}\\right)\\left(a x_{1}+h y_{1}+g\\right)+\\left(y-y_{1}\\right)\\left(h x_{1}+b y_{1}+f\\right)=0\\]이다.", "이것을 정돈하면, 다음을 얻는다. \\", "[\\begin{aligned}x\\left(a x_{1}+h y_{1}+g\\right)+y\\left(h x_{1}+b y_{1}+f\\right) &=a x_{1}^{2}+2 h x_{1} y_{1}+b y_{1}^{2}+g x_{1}+f y_{1} \\\\&=-\\left(g x_{1}+f y_{1}+c\\right) \\end{aligned}\\]</p><p>그러므로 점 \\( P\\left(x_{1}, y_{1}\\right) \\)에서 접선의 방정식은 다음과 같다. \\", "[a x_{1} x+h\\left(x_{1} x+y_{1} y\\right)+b y_{1}y+g\\left(x+x_{1}\\right)+f\\left(y+y_{1}\\right)+c=0\\]</p><p>\\( 2 \\)차곡선의 특별한 경우인 원, 타원, 쌍곡선, 포물선에 대하여 점 \\( P\\left(x_{1}, y_{1}\\right) \\)에서 접선의 방정식은 다음과 같다.", "</p><p>(\\( 1 \\))원 \\( x^{2}+y^{2}=r^{2} \\) 접선 \\( x_{1} x+y_{1} y=r^{2} \\)</p><p>(\\( 2 \\)) 타원 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\) 접선 \\( \\frac{x_{1} x}{a^{2}}+\\frac{y_{1} y}{b^{2}}=1 \\)</p><p>(\\( 3 \\)) 쌍곡선 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\) 접선 \\( \\frac{x_{1} x}{a^{2}}-\\frac{y_{1} y}{b^{2}}=1 \\)</p><p>(\\( 4 \\)) 포물선 \\( y^{2}=4 p x \\) 접선 \\( y_{1} y=2 p\\left(x+x_{1}\\right) \\)</p><p>\\( \\left(1^{\\prime}\\right) \\) 원 \\( (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} \\) 접선 \\( \\left(x_{1}-a\\right)(x-a)+\\left(y_{1}-b\\right)(y-b)=r^{2} \\)</p><p>\\( \\left(2^{\\prime}\\right) \\) 타원 \\( \\frac{\\left(x-x_{0}\\right)^{2}}{a^{2}}+\\frac{\\left(y-y_{0}\\right)^{2}}{b^{2}}=1 \\) 접선 \\( \\frac{\\left(x_{1}-x_{0}\\right)\\left(x-x_{0}\\right)}{a^{2}}+\\frac{\\left(y_{1}-y_{0}\\right)\\left(y-y_{0}\\right)}{b^{2}}=1 \\)</p><p>\\( \\left(3^{\\prime}\\right) \\) 쌍곡선 \\( \\frac{\\left(x-x_{0}\\right)^{2}}{a^{2}}-\\frac{\\left(y-y_{0}\\right)^{2}}{b^{2}}=1 \\quad \\) 접선 \\( \\frac{\\left(x_{1}-x_{0}\\right)\\left(x-x_{0}\\right)}{a^{2}}-\\frac{\\left(y_{1}-y_{0}\\right)\\left(y-y_{0}\\right)}{b^{2}}=1 \\)</p><p>\\( \\left(4^{\\prime}\\right) \\) 포물선 \\( \\left(y-y_{0}\\right)^{2}=4 p\\left(x-x_{0}\\right) \\) 접선 \\( \\left(y_{1}-y_{0}\\right)\\left(y-y_{0}\\right)=2 p\\left(x-x_{0}+x_{1}-x_{0}\\right) \\)</p><p>정의 곡선 위의 점 \\( P \\)에서의 접선과 그 점에서 수직인 직선을 그 점에서의 법선(normal line)이 라 한다.", "</p><p>정리 \\( 2.2.1 \\) 타원 또는 쌍곡선 위의 한 점 \\( P\\left(x_{1}, y_{1}\\right) \\)에서 법선은 \\( P \\)와 초점 \\( F, F^{\\prime} \\)를 이어서 이루어지는 각을 이등분한다.", "</p><p>증명 (ⅰ) 타원 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\) 위의 점 \\( P\\left(x_{1}, y_{1}\\right) \\)의 접선의 방정식은 \\( \\frac{x_{1} x}{a^{2}}+\\frac{y_{1} y}{b^{2}}=1 \\)이므로, 점 \\( P \\)에서 법선의 방정식은 다음과 같다. \\", "[y-y_{1}=\\frac{a^{2} y_{1}}{b^{2} x_{1}}\\left(x-x_{1}\\right)\\]이 법선이 \\( x \\)-축과 만나는 점 \\( N \\) 의 좌표는 \\( y=0 \\) 이므로,\\[\\overline{O N}=x_{1} \\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}=x_{1} e^{2}\\]이다.", "그러므로\\[\\begin{array}{c}\\overline{F^{\\prime} N}=\\overline{F^{\\prime} O}+\\overline{O N}=a e+x_{1} e^{2}=e\\left(a+e x_{1}\\right)=e \\overline{F^{\\prime} P} \\\\ \\overline{N F}=\\overline{O F}-\\overline{O N}=a e-x_{1} e^{2}=e\\left(a-e x_{1}\\right)=e \\overline{F P}\\end{array}\\]이다.", "따라서 \\( \\overline{F^{\\prime} N}: \\overline{N F}=\\overline{F^{\\prime} P}: \\overline{F P} \\)이다.", "그래서 \\( \\triangle P F^{\\prime} N \\sim \\triangle P F N \\) 이다.", "그러므로 \\( \\angle F^{\\prime} P N \\equiv \\angle F P N \\) 이다.", "따라서 법선은 \\( \\angle F^{\\prime} P F \\)을 이등분한다.", "</p><p>(ⅱ) 쌍곡선 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\) 위의 점 \\( P\\left(x_{1}, y_{1}\\right) \\)의 접선의 방정식은 \\( \\frac{x_{1} x}{a^{2}}-\\frac{y_{1} y}{b^{2}}=1 \\)이므로, 점 \\( P \\)에서 법선의 방정식은 다음과 같다. \\", "[y-y_{1}=-\\frac{a^{2} y_{1}}{b^{2} x_{1}}\\left(x-x_{1}\\right)\\]이 법선이 \\( x \\)-축과 만나는 점 \\( N \\)의 좌표는 \\( y=0 \\)이므로, \\[\\overline{O N}=x_{1} \\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}}=x_{1} e^{2}\\]이다.", "그러므로 \\[\\begin{array}{c}\\overline{F^{\\prime} N}=\\overline{F^{\\prime} O}+\\overline{O N}=a e+x_{1} e^{2}=e\\left(a+e x_{1}\\right)=e \\overline{F^{\\prime} P} \\\\\\overline{N F}=\\overline{O N}-\\overline{O F}=x_{1} e^{2}-a e=e\\left(e x_{1}-a\\right)=e \\overline{F P}\\end{array}\\]이다.", "따라서 \\( \\overline{N F^{\\prime}}: \\overline{F^{\\prime} P}=\\overline{N F}: \\overline{F P} \\)이다.", "그래서 \\( \\triangle N F^{\\prime} P \\sim \\triangle N F P \\)이다.", "그러므로 \\( \\angle F^{\\prime} P N \\equiv \\angle F P N \\)이다.", "이것은 \\( \\angle F P N \\equiv\\left(\\angle F^{\\prime} P N\\right. \\) 의 보각 \\( ) \\)임을 의미한다.", "따라서 법선은 \\( \\angle F^{\\prime} P F \\)을 이등분한다.", "</p><p>정리 \\( 2.2.2 \\) 포물선 위의 점 \\( P\\left(x_{1}, y_{1}\\right) \\)에서의 법선은 점 \\( P \\)를 지나고 \\( x \\)-축에 평행인 직선과 \\( P \\)와 초점 \\( F \\)를 지나는 직선이 이루어진 각을 이등분한다.", "</p><p>증명 포물선 \\( y^{2}=4 p x, p>0 \\) 위의 점 \\( P\\left(x_{1}, y_{1}\\right) \\)을 지나고 \\( x \\)-축에 평행인 직선을 그리자.", "점 \\( P \\)에서 접선의 방정식은 \\( y_{1} y=2 p\\left(x+x_{1}\\right) \\)이다.", "이 접선의 방정식이 \\( x \\)-축과 만나는 점을 \\( T \\)라 놓으면, \\( T \\)의 좌표는 \\( \\left(-x_{1}, 0\\right) \\)이다.", "포물선의 초점은 \\( F(p, 0) \\)이므로, \\[\\overline{T F}=\\overline{T O}+\\overline{O F}=x_{1}+p=\\overline{F P}\\] 이다.", "그러므로 \\( \\triangle T F P \\)는 이등변삼각형이다.", "그래서 \\( \\angle T P F \\equiv \\angle F T P \\equiv \\angle T_{1} P X \\)이다.", "그러므로 법선 \\( \\overleftrightarrow{P N} \\)은 \\( \\angle F P X \\)를 이등분한다.", "</p> <p>정리 \\( 2.1.2 \\) 쌍곡선은 정점 \\( F \\)와 정직선 \\( l \\)에 이르는 거리의 비가 상수 \\( e(e>1) \\)인 점 \\( P \\)들의 자취이다.", "이때 \\( F \\)는 그 쌍곡선의 초점이고, \\( l \\)는 준선이다.", "</p><p>쌍곡선 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\)의 초점은 \\( F(a e, 0), F^{\\prime}(-a e, 0), e=\\frac{\\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a} \\)이고, 점 \\( P(x, y) \\)는 쌍곡선 위의 임의의 점이라 하자.", "그러면 \\( x \\geqq a \\)일 때 \\[\\left\\{\\begin{array}{l}\\overline{P F}=a-e x \\\\ \\overline{P F^{\\prime}}=a+e x\\end{array}\\right.\\]이고 \\( x \\leqq-a \\) 일 때 \\[\\left\\{\\begin{array}{l}\\overline{P F}=-(a-e x) \\\\\\overline{P F^{\\prime}}=-(a+e x) \\end{array}\\right.\\]이다.", "</p><p>쌍곡선의 극방정식을 구해보자.", "</p><p>(\\( 1 \\)) 지금 \\( F^{\\prime} \\)는 극으로 생각하자. \\", "( x \\)-축과 선분 \\( P F^{\\prime} \\) 가 이루는 각을 \\( \\theta \\)라 하고 \\( \\overline{P F^{\\prime}}=\\rho \\)라 하자.", "쌍곡선 위의 점 \\( P(x, y) \\)에 대하여 \\( x \\leqq-a \\)라 하자.", "그러면 \\( x=-(a e-\\rho \\cos \\theta) \\)이다. \\", "( \\rho=\\overline{P F^{\\prime}}=-(a+e x) \\)이므로, \\( \\rho=-a-e(\\rho \\cos \\theta-a e) \\)\\( (1+e \\cos \\theta) \\rho=a\\left(e^{2}-1\\right) \\)\\( =a\\left(\\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}}-1\\right)=\\frac{b^{2}}{a}:=k \\),\\( \\rho=\\frac{k}{1+e \\cos \\theta}\\left(극: F^{\\prime}\\right) \\)</p><p>(\\( 2 \\)) 다음에, \\( F \\)를 극, \\( x \\)-축과 선분 \\( P F \\)가 이루는 각을 \\( \\theta \\)라 하고 \\( \\overline{P F}=\\rho \\)라 하자.", "쌍곡선 위의 점 \\( P(x, y) \\)에 대하여 \\( x \\geqq a \\)라 하자.", "그러면 \\( x=a e+\\rho \\cos \\theta \\)이다.", "</p><p>\\( \\rho=\\overline{P F}=e x-a \\)이므로, \\( \\rho=e(a e+\\rho \\cos \\theta)-a \\), \\( (1-e \\cos \\theta) \\rho=a\\left(e^{2}-1\\right) \\)\\( =a\\left(\\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}}-1\\right)=\\frac{b^{2}}{a}:=k \\),\\( \\rho=\\frac{k}{1-e \\cos \\theta}( \\) 극: \\( F) \\)이다.", "</p><p>포물선</p><p>정의 한 정점 \\( F \\)와 정직선 \\( l \\)에 이르는 거리가 같은 점 \\( P \\)의 자취를 포물선(parabola)이라 한다.", "이때 \\( F \\)를 초점(focus)이라 하고 \\( l \\)을 준선(directrix)이라 한다.", "</p><p>점 \\( F \\)에서 직선 \\( l \\)에 수직인 직선을 \\( x \\)-축이라 하자.", "이때 직선 \\( l \\) 과 \\( x \\)-축과의 교점을 \\( D \\)라고 선분 \\( D F \\)의 이등분선을 \\( y \\)-축이라 하자. \\", "( \\overline{D F}=2 p \\)라 하고 \\( D F \\)의 중점 \\( O \\)를 원점이라 하자.", "그러면 \\( D \\) 의 좌표를 \\( (-p, 0) \\)이고 \\( F \\)의 좌표는 \\( F(p, 0) \\)이다.", "포물선 위의 임의의 점 \\( P(x, y) \\)에서 \\( l \\)에 내린 수선의 발을 \\( N \\)이라 하자.", "그러면 \\( \\overline{PF}=\\overline{P N} \\)이므로, \\[\\begin{aligned}\\sqrt{(x-p)^{2}+y^{2}} &=x+p, \\\\(x-p)^{2}+y^{2} &=(x+p)^{2}, \\\\ y^{2} &=4 p x\\end{aligned}\\]이다. \\", "( e=\\frac{\\overline{P F}}{\\overline{P N}}=1 \\)은 포물선의 이심률(eccentricity)이라 한다.", "</p><p>역으로, 정점 \\( F \\)와 정직선 \\( l \\)에 이르는 거리의 비가 \\( e=1 \\)인 점 \\( P \\)들의 자취는 포물선임을 보이자.", "</p><p>점 \\( F \\)에서 직선 \\( l \\)에 내린 수선의 발을 \\( D \\)라 하고, \\( D F \\)의 중점을 \\( O \\) 라 하자. \\", "( \\overline{D F}=2 p \\)라 하자.", "그러면 \\( \\overline{O F}=p \\)이다.", "여기에서 직선 \\( \\overleftrightarrow{O F} \\) 를 \\( x \\)-축으로 간주하고, \\( O \\) 를 원점으로 하는 직교축을 생각하면 \\( F \\)의 좌표는 \\( (p, 0) \\)이다.", "점 \\( P(x, y) \\)에서 \\( l \\)에 내린 수선의 발을 \\( N \\)이라 하면, \\( l: x=-p \\)이고, \\( \\overline{P F}=\\overline{P N} \\)이므로, \\( \\overline{P F}^{2}=\\overline{P N}^{2} \\)이다.", "그러므로 \\[(x-p)^{2}+y^{2}=(x+p)^{2}\\]이다.", "따라서 \\( y^{2}=4 p x \\)를 얻는다.", "그러므로 \\( P(x, y) \\)는 \\( F \\)를 초점, \\( l \\)을 준선으로 하는 포물선 위에 있다.", "따라서 다음 정리를 얻는다.", "</p><p>정리 \\( 2.1.3 \\) 포물선은 정점 \\( F \\)와 정직선 \\( l \\)에 이르는 거리의 비가 상수 \\( e=1 \\) 인 점 \\( P \\)들의 자취이다.", "이때 \\( F \\)는 그 포물선의 초점이고, \\( l \\)는 준선이다.", "</p><p>포물선 \\( y^{2}=4 p x \\)의 초점은 \\( F(p, 0) \\)이므로, 포물선 위의 임의의 점 \\( P(x, y) \\) 에 대하여 \\( \\overline{P F}=\\overline{P N}=x+p \\)이다.", "초점 \\( F \\)를 극으로 생각하면, \\( \\overline{P F}=\\rho \\)에 대하여\\[\\begin{aligned}\\overline{P F} &=\\rho=p+x \\\\ &=p+(p+\\rho \\cos \\theta)\\end{aligned}\\]이므로, 포물선의 극방정식은 \\( \\rho=\\frac{2 p}{1-\\cos \\theta} \\) (극: \\( \\left.F\\right) \\)이다.", "</p> <h1>연습문제</h1><p>\\( 1 \\).", "원 \\( x^{2}+y^{2}-2 a x=0 \\)이 직선 \\( y=m x \\)에 의하여 끊기는 선분을 직경으로 하는 원의 방정식을 구하여라.", "</p><p>\\( 2 \\).", "두 점 \\( (0,-3),(4,0) \\)을 지나고 직선 \\( x+2 y=0 \\) 위에 중심을 갖는 원의 방정식을 구하여라.", "또한 그 원의 중심의 좌표를 구하여라.", "</p><p>\\( 3 \\).", "다음 타원의 양축의 길이, 이심률, 초점의 좌표를 구하여라.", "</p><p><ol type=a start=1><li>\\( 5 x^{2}+4 y^{2}=1 \\)</li><li>\\( x^{2}+2 y^{2}-2 x+4 y=6 \\)</li></ol></p><p>\\( 4 \\). 타원 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a>b>0 \\)의 장축의 양 끝점을 \\( A, A^{\\prime} \\)라 하고 타원 위의 임의의 점을 \\( P \\)라 하자.", "각 \\( A, A^{\\prime} \\)를 지나고 \\( A P, A^{\\prime} P \\)에 수직인 직선의 교점 \\( Q \\)의 자취를 구하여라.", "</p><p>\\( 5 \\). 타원 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a>b>", "0 \\) 위의 한 정점 \\( P\\left(x_{0}, y_{0}\\right) \\)을 지나는 현의 중점의 자취는 이 타원과 같은 이심률을 갖는 타원임을 증명하여라.", "</p><p>\\( 6 \\).", "쌍곡선 \\( \\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1 \\)의 점근선의 방정식을 구하여라.", "또, 두 점근선 사이의 각을 구하여라.", "</p><p>\\(7 \\).", "점 \\( (-2,1) \\)을 초점, 직선 \\( x+y=2 \\)를 준선, \\( 2 \\)를 이심률로 하는 쌍곡선의 방정식을 구하여라.", "</p><p>\\( 8 \\).", "선분 \\( A B, C D \\)가 서로 다른 것을 수직으로 \\( 2 \\)등분하고 있을 때, \\( \\overline{P A} \\cdot \\overline{P B}=\\overline{P C} \\cdot \\overline{P D} \\)를 만족하는 점 \\( P \\)의 자취는 등변쌍곡선임을 증명하여라.", "</p><p>\\( 9 \\).", "원뿔곡선의 초점을 극으로 하는 극방정식은 \\[\\rho=\\frac{k}{1+e \\cos (\\theta-\\alpha)} \\text { 또는 } \\rho=\\frac{k}{1-e \\cos (\\theta-\\alpha)}\\]인 꼴로 나타난다.", "이것으로부터 원뿔곡선의 극방정식은\\[\\frac{1}{\\rho}=A \\cos \\theta+B \\sin \\theta+C \\]임을 증명하여라.", "또, 역으로, 위의 방정식은 항상 초점을 극으로 하는 원뿔곡선을 나타낸다는 것을 증명하여라.", "</p><p>\\( 10 \\).", "원뿔곡선의 한 초점 \\( F \\)를 지나는 현을 \\( A B \\)라 하면, \\( \\frac{1}{\\overline{F A}}+\\frac{1}{\\overline{F B}} \\)는 항상 일정함을 증명하여라.", "</p><p>\\( 11 \\).", "타원 또는 쌍곡선의 중심을 극으로 하고, 주축을 극축으로 하는 극방정식은 타원: \\( \\rho^{2}=\\frac{b^{2}}{1-e^{2} \\cos ^{2} \\theta} \\), 쌍곡선: \\( \\rho^{2}=\\frac{-b^{2}}{1-e^{2} \\cos ^{2} \\theta} \\)임을 증명하여라.", "</p><p>\\( 12 \\).", "직선 \\( y=2 x+k \\)가 타원 \\( x^{2}+4 y^{2}-4=0 \\)에 접하도록 \\( k \\)의 값을 정하여라.", "</p><p>\\( 13 \\). \\", "( 2\\)개의 원\\[x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0, x^{2}+y^{2}+2 g^{\\prime} x+2 f^{\\prime} y+c^{\\prime}=0\\]이 직교하기 위한 조건은 \\( 2\\left(g g^{\\prime}+f f^{\\prime}\\right)=c+c^{\\prime} \\)임을 증명하여라.", "</p><p>\\( 14 \\). 타원 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a>b>0 \\) 위의 한 점 \\( P\\left(x_{0}, y_{0}\\right) \\)에서의 접선에", "중심에서 내린 수선의 발을 \\( N \\)이라 하자.", "이때 수선의 길이와 \\( P \\)에서의 법선이 주축 사이에 끼인 선분의 길이와의 곱은 일정함을 증명하여라.", "</p><p>\\( 15 \\).", "쌍곡선 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\) 위의 한 점 \\( P\\left(x_{0}, y_{0}\\right) \\)에서의 접선이 주축과 만나는 점을 \\( S \\)라 하고, \\( P \\)와 중심을 지나는 직선이 꼭짓점 \\( A \\)에서의 접선과 만나는 점을 \\( T \\)라 하자.", "이때 직선 \\( S T \\)는 직선 \\( P A \\)에 평행임을 증명하여라.", "</p><p>\\( 16 \\). \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}-\\lambda}+\\frac{y^{2}}{b^{2}-\\lambda}=1(a>", "b) \\) 는 \\( -\\infty<\\lambda<a^{2} \\)에 대하여 한 원뿔곡선군을 이룬다.", "이때 다음을 증명하여라.", "</p><p>(a) 임의의 \\( \\lambda \\) 에 대하여 위의 곡선은 동일한 초점을 갖는다.", "</p><p>(b) 평면 위의 임의의 점 \\( P(x, y) \\) 를 지나고 위의 곡선군에 속하는 \\( 2 \\)개의 곡선이 존재하여 그 중 하나는 타원이고, 다른 하나는 쌍곡선이다.", "또한 이 두 곡선은 점 \\( P \\)에서 직교한다.", "</p> <h2>4.4 포물면</h2><p>[타원포물면] 방정식 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=2 z, a, b>0 \\) 을 만족하는 점 \\( P(x, y, z) \\) 의 자취가 나타내는 곡면은 타원포물면(elliptic paraboloid)이라 한다.", "타원포물면은 평면 \\( x=0 \\) 과 평면 \\( y=0 \\) 에 관하여 대칭이고, \\( z \\geqq 0 \\) 이다.", "평면 \\( x=0 \\) 과 평면 \\( y=0 \\) 와의 교선은 각각 다음과 같은 포물선 이다.", "</p><p><ol type=i start=1><li>\\( y^{2}=2 b^{2} z \\) (평면 \\( x=0 \\)과의 교선 )</li><li>\\( x^{2}=2 a^{2} z \\) (평면 \\( y=0 \\)과의 교선 )</li></ol></p><p>평면 \\( z=k(k>0) \\)과의 교선은 타원이다.", "즉,\\[\\frac{x^{2}}{2 a^{2} k}+\\frac{y^{2}}{2 b^{2} k}=1 .\\]</p><p>[쌍곡포물면] 방정식 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=2 z, a, b>0 \\)을 만족하는 점 \\( P(x, y, z) \\)의 자취가 나타내는 곡면은 쌍곡포물면(hyperbolic paraboloid)이라 한다.", "쌍곡포물면은 평면 \\( x=0 \\)과 평면 \\( y=0 \\)에 관하여 대칭이고, \\( z \\geqq 0 \\)이다.", "평면 \\( x=0 \\)과 평면 \\( y=0 \\)와의 교선은 각각 다음과 같은 포물선이다.", "</p><p><ol type=i start=1><li>\\( y^{2}=-2 b^{2} z \\) (평면 \\( x=0 \\)과의 교선)</li><li>\\( x^{2}=2 a^{2} z \\quad( \\) 평면 \\( y=0 \\) 과의 교선)</li></ol></p><p>평면 \\( z=k(k \\neq 0) \\)과의 교선은 포물선이다.", "즉, \\[\\frac{x^{2}}{2 a^{2} k}-\\frac{y^{2}}{2 b^{2} k}=1 .\\]</p><p>평면 \\( z=0 \\)과의 교선은 \\( 2 \\)개의 직선이다.", "즉,\\[\\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=0, y=\\pm \\frac{b}{a} x .\\]", "</p><p>쌍곡포물면 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=2 z \\)을 \\( \\left(\\frac{x}{a}-\\frac{y}{b}\\right)\\left(\\frac{x}{a}+\\frac{y}{b}\\right)=2 z \\)이므로, \\( 1 \\)엽쌍곡면의 경우와 마찬가지로 쌍곡포물면은 다음과 같은 \\( 2 \\)개의 직선군을 갖는다는 것을 알 수 있다.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( \\left\\{\\begin{array}{l}\\frac{x}{a}+\\frac{y}{b}=\\lambda \\\\ \\frac{x}{a}-\\frac{y}{b}=\\frac{2 z}{\\lambda}\\end{array}\\right. \\)", "</li><li>\\( \\left\\{\\begin{array}{l}\\frac{x}{a}-\\frac{y}{b}=\\mu \\\\ \\frac{x}{a}+\\frac{y}{b}=\\frac{2 z}{\\mu}\\end{array}\\right. \\)", "</li></ol></p><p>이 직선군은 다음과 같은 성질을 갖는다.", "</p><p>직선군의 성질</p><ol type=1 start=1><li>쌍곡포물면 위의 임의의 점 \\( P \\)를 지나는 직선은 각 직선군에서 하나씩 존재한다.", "</li><li>같은 직선군에 속하는 임의의 \\( 2 \\) 직선은 만나지 않는다.", "</li><li>서로 다른 직선군에 속하는 \\( 2 \\)직선은 반드시 만난다.", "</li></ol></p> <h2>1.2 직선의 방정식</h2><p>결합공리 \\( 1 \\)에 의하여 유클리드 평면 위의 두 점 \\( P, Q \\)를 지나는 직선은 유일하다.", "직각좌표 평면에서 이 직선의 방정식을 구해보자.", "점 \\( P\\left(x_{1}, y_{1}\\right), Q\\left(x_{2}, y_{2}\\right) \\)에 대하여 (\\( 1 \\)) \\( x_{1}=x_{2}, y_{1} \\neq y_{2} \\)인 경우 이 경우의 직선의 방정식은 \\( x=x_{1} \\)이다.", "</p><p>(2) \\( x_{1} \\neq x_{2}, y_{1}=y_{2} \\)인 경우 이 경우의 직선의 방정식은 \\( y=y_{1} \\)이다.", "</p><p>(3) \\( x_{1} \\neq x_{2}, y_{1} \\neq y_{2} \\)인 경우 직선 \\( l \\) 위의 임의의 점을 \\( R(x, y) \\)라 하자.", "그러면 삼각형 \\( \\triangle P S R \\) 와 \\( \\triangle P T Q \\)는 닮은 삼각형이다.", "그러므로 \\( \\overline{P S}: \\overline{P T}=\\overline{R S}: \\overline{Q T} \\)이다.", "따라서 \\( x-x_{1}: x_{2}-x_{1}=y-y_{1}: y_{2}-y_{1} \\)이다.", "즉,\\[\\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} .\\]", "그러므로 두 점 \\( P\\left(x_{1}, y_{1}\\right), Q\\left(x_{2}, y_{2}\\right) \\)을 지나는 직선의 방정식은 \\( a x+b y+c=0 \\) 꼴이다.", "</p><p>정리 \\( 1.2.1 \\) 유클리드 평면 위의 직선은 직각좌표평면에서 일차방정식 \\( a x+b y+c=0 \\) 꼴로 나타난다.", "역으로, 직각좌표평면에서의 일차방정식은 직선을 나타낸다.", "</p><p>증명 정리의 전반은 위에서 이미 증명되었다.", "그러므로 후반을 증명하면 된다.", "일차방정식 \\( a x+b y+c=0 \\)의 해는 무수히 많이 존재한다. \\", "( \\left(x_{1}, y_{1}\\right),\\left(x_{2}, y_{2}\\right) \\)는 그 일차방정식의 두 해라 하자.", "즉, \\[\\left\\{\\begin{array}{l} a x_{1}+b y_{1}+c=0 \\\\a x_{2}+b y_{2}+c=0\\end{array}\\right.\\]", "그러면 그 해들은 유클리드 평면 위의 두 점 \\( P, Q \\)를 결정한다. \\", "( (x, y) \\)는 일차방정식의 임의의 해라 하자. \\", "( (x, y) \\)에 의하여 결정된 유클리드 평면 위의 점을 \\( R \\)이라 하자.", "이때 \\( R(x, y) \\)는 \\( P\\left(x_{1}, y_{1}\\right), Q\\left(x_{2}, y_{2}\\right) \\)를 지나는 직선 위의 점임을 보이면 된다.", "</p><p>만일 \\( b \\neq 0 \\) 이라면, \\[\\left\\{\\begin{array}{l}y_{1}=-\\frac{a}{b} x_{1}-\\frac{c}{b} \\\\y_{2}=-\\frac{a}{b} x_{2}-\\frac{c}{b}\\end{array}, y=-\\frac{a}{b} x-\\frac{c}{b}\\right.\\]이다.", "이때 \\( y_{2}-y_{1}=-\\frac{a}{b}\\left(x_{2}-x_{1}\\right) \\)이므로, \\( -\\frac{a}{b}=\\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\)이다.", "그러므로 \\[-\\frac{c}{b}=y_{1}-\\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} x_{1}\\]이다.", "따라서 \\[\\begin{array}{l}y=-\\frac{a}{b} x-\\frac{c}{b} \\\\=\\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} x+y_{1}-\\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} x_{1}\\end{array}\\] 이다.", "그래서 \\( \\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} \\) 이다.", "이것은 점 \\( P\\left(x_{1}, y_{1}\\right), Q\\left(x_{2}, y_{2}\\right) \\)를 지나는 직선의 방정식을 나타낸다.", "그러므로 \\( R(x, y) \\)는 \\( P\\left(x_{1}, y_{1}\\right), Q\\left(x_{2}, y_{2}\\right) \\)를 지나는 직선 위의 점이다.", "만일 \\( b=0, a \\neq 0 \\)이라면, \\( y_{1} \\neq y_{2} \\) 이고 \\[\\left\\{\\begin{array}{l}x_{1}=-\\frac{c}{a} \\\\x_{2}=-\\frac{c}{a} \\end{array}, x=-\\frac{c}{a}\\right.\\]이다.", "이때 \\( P\\left(x_{1}, y_{1}\\right), Q\\left(x_{2}, y_{2}\\right) \\)를 지나는 직선의 방정식 \\( x=x_{1} \\)은 \\( y \\)-축에 평행인 직선이다.", "</p><p>[직선의 기울기] \\( x_{1} \\neq x_{2}, y_{1} \\neq y_{2} \\)에 대하여 점 \\( P\\left(x_{1}, y_{1}\\right), Q\\left(x_{2}, y_{2}\\right) \\)를 지나는 직선 \\( l \\)의 방정식은 다음과 같다. \\", "[y-y_{1}=\\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\\left(x-x_{1}\\right)\\] 이때 \\( \\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=m \\)은 직선 \\( l \\)의 기울기(slope) 또는 방향계수(direction coefficient)라 한다. \\", "[y-y_{1}=m\\left(x-x_{1}\\right)\\]은 점 \\( P\\left(x_{1}, y_{1}\\right) \\)을 지나고.", "기울기가 \\( m \\)인 직선의 방정식이다.", "기울기가 \\( m \\)인 직선의 방정식은 \\( y=m x+b \\)꼴이다.", "</p><p>[절편] 직각좌표평면에서 직선 \\( l \\)의 방정식 \\( A x+B y+C=0, A \\neq 0, B \\neq 0, C \\neq 0 \\)을 생각하자.", "이 직선이 \\( x \\)-축, \\( y \\)-축과 만나는 점을 각각 \\( M, N \\)이라 하자.", "이때 \\( M, N \\)의 좌표는 각각\\( (a, 0),(0, b) \\)라 하자.", "이때 \\( a, b \\)는 각각 직선 \\( l \\) 의 \\( x \\)-축, \\( y \\)-축의 절편(intercept)이라 한다.", "그러면 \\( a=-\\frac{C}{A}, b=-\\frac{C}{B} \\)이다.", "직선 \\( l \\)의 방정식은 \\( -\\frac{A}{C} x-\\frac{B}{C} y=1 \\)이므로, 이것은 \\[\\frac{x}{a}+\\frac{y}{b}=1\\]이다.", "이것은 양축의 절편이 각각 \\( a, b \\)인 직선의 방정식이다.", "</p> <h2>1.5 좌표변환</h2><p>한 평면에서 \\( 2 \\)개의 직각좌표계를 주자.", "이 평면에는 \\( x y \\)-좌표계와 \\( X Y \\)-좌표계가 주어졌다고 하자.", "평면 위의 점 \\( P \\)의 좌표는 \\( x y- \\) 좌표계에서 \\( (x, y) \\)이고 \\( X Y \\)-좌표계에서 \\( (X, Y) \\)라고 하자.", "이때 \\( (x, y) \\)와 \\( (X, Y) \\)와의 관계를 나타내는 식을 좌표변환식(coordinate transformation formular)이라 한다.", "</p><p>[평행이동] \\( X Y \\)-좌표계에서의 원점 \\( O^{\\prime} \\)는 \\( x y \\)-좌표계에서의 좌표로는 \\( (a, b) \\)라 하자.", "그러면 \\( x, y \\)와 \\( X, Y \\)사이의 관계식은 다음과 같다. \\", "[\\left\\{\\begin{array}{c}X=x-a \\\\Y=y-b\\end{array},\\left\\{\\begin{array}{l}x=X+a \\\\ y=Y+b\\end{array}\\right.\\right.\\]", "이때 \\( X \\)-축, \\( Y \\)-축은 \\( x \\)-축, \\( y \\)-축을 각각 그 방향으로, \\( a, b \\)만큼 평행이동 하여 얻어진 새로운 직각좌표계를 이룬다고 한다.", "</p><p>[좌표축의 회전] \\( x y- \\)좌표계를 갖는 평면 위의 점을 \\( P \\)라 하자.", "이때 \\( x, y \\)-축을 원점 \\( O \\)를 중심으로 각 \\( \\theta \\)만큼 회전하여 얻어진 새로운 \\( X Y \\)-좌표계를 생각하자.", "그러면 \\( x \\)-축과 \\( X \\)-축이 이루는 각은 \\( \\theta \\)이다.", "점 \\( P \\)의 좌표는 \\( x y \\)-좌표계에서 \\( (x, y), X Y \\)-좌표계에서 \\( (X, Y) \\) 라 하자.", "그러면 다음과 같은 관계식을 얻는다. \\", "[\\left\\{\\begin{array}{l}x=r \\cos (\\varphi+\\theta)=r \\cos \\varphi \\cos \\theta-r \\sin \\varphi \\sin \\theta \\\\y=r \\sin (\\varphi+\\theta)=r \\sin \\varphi \\cos \\theta+r \\cos \\varphi \\sin \\theta\\end{array}\\right.\\]\\", "( \\left\\{\\begin{array}{c}X=r \\cos \\varphi \\\\ Y=r \\sin \\varphi\\end{array}\\right. \\)이므로, 다음을 얻는다. \\", "[\\left\\{\\begin{array}{l} x=X \\cos \\theta-Y \\sin \\theta \\\\y=X \\sin \\theta+Y \\cos \\theta\\end{array}\\right. \\]", "이를 \\( X, Y \\)에 관하여 풀면, 다음을 얻는다. \\", "[\\left\\{\\begin{array}{l}X=x \\cos \\theta+y \\sin \\theta \\\\Y=-x \\sin \\theta+y \\cos \\theta \\end{array}\\right.\\]", "</p><h1>연습문제</h1><p>\\( 1 \\).", "세 점 \\( (1,-1),(1.4),(4,-2) \\)를 꼭짓점으로 하는 삼각형에 대하여 다음을 구하여라.", "<ol type=a start=1><li>무게 중심의 좌표</li><li>외심의 좌표</li><li>외접원의 반지름</li></ol></p><p>\\( 2 \\).", "두 점 \\( (0,-1),(3,2) \\)를 지나는 직선의 방정식을 구하여라.", "또, 이 직선의 헤세의 표준형을 구하여라.", "</p><p>\\( 3 \\).", "점 \\( (5,-2) \\)를 지나고 양 축의 절편이 같은 직선의 방정식을 구하여라.", "</p><p>\\( 4 \\).", "두 직선 \\( x+2 y=3,7 x-3 y=2 \\) 의 교점을 지나고 다음 각 조건을 만족하는 직선의 방정식을 각각 구하여라.", "<ol type=a start=1><li>\\( 5 x+2 y=0 \\)에 평행</li><li>\\( 3 x-2 y=1 \\)에 수직</li><li>점 \\( (2,3) \\)을 지난다.", "</li></ol></p><p>\\( 5 \\).", "두 직선 \\( 3 x-4 y+7=0,12 x-5 y-8=0 \\)이 이루는 각의 이등분선의 방정식을 구하여라.", "</p><p>\\( 6 \\).", "점 \\( (a, b) \\)가 세 직선 \\( x+2 y=2,2 x+y=2, x-y=3 \\)으로 이루어진 삼각형의 내부에 있을 조건을 구하여라.", "</p><p>\\( 7 \\). \\", "( 6 x^{2}+k x y-6 y^{2}-x+5 y-1=0 \\)이 두 직선으로 나타내도록 \\( k \\)의 값을 정하여라.", "</p> <h1>연습문제</h1><p>\\( 1 \\).", "다음 \\( 2 \\)차곡면의 중심을 구하여라.", "</p><p><ol type=a start=1><li>\\( 3 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}+2 z x+2 x y+2 x-2 y-2 z-2=0 \\)</li><li>\\( x^{2}+y^{2}+z^{2}+y z+z x+x y+x+y+z=0 \\)</li><li>\\( x^{2}-y^{2}+z^{2}-2 y z-2 z x-2 x y+2 x+6 y+2 z-3=0 \\)</li><li>\\( 2 x^{2}+4 y^{2}-z^{2}-8 x y+8 x-8 y+4=0 \\)</li><li>\\( 2 x^{2}+2 y^{2}-4 z^{2}-2 y z-2 z x-5 x y-2 x-2 y+2=0 \\)</li></ol></p><p>\\( 2 \\).", "다음 \\( 2 \\)차곡면의 주경면의 방정식을 구하여라.", "</p><p><ol type=a start=1><li>\\( x^{2}-y^{2}+z^{2}-2 y z-2 z x-2 x y+2 x+6 y+2 z-3=0 \\)</li><li>\\( 3 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}+2 z x+2 x y+2 x-2 y-2 z-2=0 \\)</li><li>\\( 2 x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 z x-2 x y+6 x-6 y-6 z+10=0 \\)</li></ol></p><p>\\( 3 \\).", "타원면 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}+\\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \\)의 중심을 \\( O \\)라 하자.", "그 타원면 위의 임의의 점을 \\( P\\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\\right) \\)라 하자.", "그러면 점 \\( P \\)에서의 접평면은 \\( \\frac{x_{0} x}{a^{2}}+\\frac{y_{0} y}{b^{2}}+\\frac{z_{0} z}{c^{2}}=1 \\)이다.", "이때 \\( O \\)에서 접평면에 내린 수선의 발의 자취를 구하여라.", "</p><p>\\( 4 \\). \\", "( 2 \\) 차뿔면 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}-\\frac{z^{2}}{c^{2}}=0 \\)의 서로 직교하는 접평면의 교선의 자취는 \\( 2 \\)차뿔면 \\[\\left(b^{2}-c^{2}\\right) x^{2}+\\left(a^{2}-c^{2}\\right) y^{2}+\\left(a^{2}+b^{2}\\right) z^{2}=0\\]임을 증명하여라.", "</p><p>\\( 5 \\). \\", "( 2 \\) 차곡면 \\( a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y=0 \\)이 서로 직교하는 \\( 3 \\)개의 모선을 갖기 위한 조건은 \\( a+b+c=0 \\) 임을 증명하여라.", "</p> <h2>2.3 \\(2\\)차곡선의 분류</h2><p>원, 타원, 쌍곡선, 포물선의 기본형을 평행이동한 다음에 회전시키면, 일반적인 원뿔곡선의 방정식은 \\[f(x, y) \\equiv a x^{2}+2 h x y+b y^{2}+2 g x+2 f y+c=0\\]꼴이다.", "이러한 이차방정식의 그래프를 \\( 2 \\)차곡선(quadratic curve)이라 한다.", "역으로, 위와 같은 \\( x, y \\)에 관한 이차방정식을 원뿔곡선의 표준형을 구해보자.", "</p><p>정의 \\( O \\)를 정점이라 하고, \\( O \\)를 지나는 임의의 직선이 곡선 \\( C \\)와 두 점 \\( P_{1}, P_{2} \\)에서 만날 때, \\( O \\)가 항상 선분 \\( P_{1} P_{2} \\)의 중점이면, 이러한 정점 \\( O \\)를 곡선 \\( C \\) 의 중심(center)이라고 한다.", "타원, 쌍곡선의 중심은 이러한 성질을 가지고 있다.", "평행한 두 직선에서는 그 직선들에서 같은 거리에 있는 임의의 점이 모두 중심이다.", "이차곡선들 중에서 중심을 가지는 곡선을 유심 \\( 2 \\)차곡선(central quadratic curre)이라 하고, 중심을 갖지 않는 곡선을 무심 \\( 2 \\)차곡선(non-central quadratic curve)이라 한다.", "</p><p>이차곡선 \\( C \\)의 방정식 \\[f(x, y) \\equiv a x^{2}+2 h x y+b y^{2}+2 g x+2 f y+c=0 \\]는 중심으로 원점을 갖는다고 가정하자.", "그러면 \\( C \\) 위의 임의의 점 \\( (x, y) \\)에 대하여 점 \\( (-x,-y) \\) 도 \\( C \\) 위의 점이다.", "그러므로\\[f(-x,-y) \\equiv a x^{2}+h x y+by^{2}-2 g x-2 f y+c=0\\]이다.", "첫 번째 식에서 두 번째 식을 빼면,\\[g x+f y=0\\] 를 얻는다. \\", "( (x, y) \\)는 \\( C \\) 위의 임의의 점이므로, \\( g=f=0 \\)이다.", "그러므로 원점을 증심으로 갖는 이차곡선의 방정식은 \\[a x^{2}+2 h x y+b y^{2}+c=0\\] 이다.", "역으로, 이러한 꼴의 이차곡선의 방정식에 대하여 이 곡선 위의 임의의 점 \\( (x, y) \\)에 대하여 점 \\( (-x,-y) \\)도 그 곡선 위에 있으므로, 원점의 그 곡선의 중심이다.", "그러므로 \\[a x^{2}+2 h x y+b y^{2}+c=0\\]은 원점이 중심인 이차곡선의 일반형이다.", "</p><p>다음에 이차곡선 \\( C \\)의 방정식 \\[f(x, y)=a x^{2}+2 h x y+b y^{2}+2 g x+2 f y+c=0 \\]는 중심 \\( \\left(x_{0}, y_{0}\\right) \\)를 구해보자.", "평행이동에 의하여 \\( x y \\)-평면의 원점을 \\( \\left(x_{0}, y_{0}\\right) \\)으로 옮기면,\\[x=X+x_{0}, y=Y+y_{0}\\] 이므로, \\( X Y \\)-평면에서 위의 방정식은 다음과 같이 변환된다. \\", "[a X^{2}+2 h X Y+b Y^{-2}+2\\left(a x_{0}+h y_{0}+g\\right) X+2\\left(h x_{0}+b y_{0}+f\\right) Y+c^{\\prime}=0 .\\]</p><p>여기서 \\( c^{\\prime}=f\\left(x_{0}, y_{0}\\right) \\)이다.", "</p><p>\\( X Y- \\) 평면의 원점이 곡선의 중심이 되려면, \\[\\left\\{\\begin{array}{l}a x_{0}+h y_{0}+g=0 \\\\h x_{0}+b y_{0}+f=0\\end{array}\\right.\\] 이어야 한다.", "그러므로 만일 \\( D=\\left\|\\begin{array}{l}a & h \\\\ h & b\\end{array}\\right\|=a b-h^{2} \\neq 0 \\), 즉 \\( h^{2}-a b \\neq 0 \\)이면, 이 연립방정식은 단 하나의 해(중심)를 갖는다.", "만일 \\( D=\\left\|\\begin{array}{l}a & h \\\\ h & b\\end{array}\\right\|=a b-h^{2}=0 \\), 즉 \\( h^{2}-a b=0 \\) 이면, \\( \\frac{a}{h}=\\frac{h}{b}=\\frac{g}{f} \\)일 때, 연립방정식은 무수히 많은 해를 갖는다. \\", "( \\frac{a}{h}=\\frac{h}{b} \\neq \\frac{g}{f} \\)일 때, 연립방정식은 해를 갖지 않는다.", "</p><p>이차곡선의 분류</p><p>이차곡선 \\( C \\)가 주어졌을 때, 이것을 기본형으로 고치는 방법을 생각해 보자.", "</p><p>(ⅰ) \\( h^{2}-a b \\neq 0 \\)인 경우 위에서 언급한 것과 같이 이차곡선 \\( C \\)의 중심 \\( \\left(x_{0}, y_{0}\\right) \\)는 단 하나 존재한다.", "이때, 평행이동에 의하여 \\( x y \\)-평면의 원점을 \\( \\left(x_{0}, y_{0}\\right) \\)로 옮기면, 즉, \\( x=X+x_{0}, y=Y+y_{0} \\)로 놓으면, \\( x y- \\)평면에서의 이차곡선 \\( C \\) 는 \\( X Y \\)-평면에서는 다음과 같이 변환된다. \\", "[a X^{2}+2 h X Y+b Y^{2}+c^{\\prime}=0 .\\]</p><p>여기서 \\( c^{\\prime}=f\\left(x_{0}, y_{0}\\right) \\)이다.", "</p><p>지금, \\( X Y \\)-평면의 각 축을 그 평면의 원점 둘레로 각 \\( \\theta \\)만큼 회전하여 얻어진 새로운 평면을 \\( \\xi \\eta \\)-평면이라 하자.", "이때, 점 \\( P \\)의 좌표는 \\( X Y \\)-좌표계에서 \\( (X, Y) \\)이고, \\( \\xi \\eta \\)-좌표계에서 \\( (\\xi, \\eta) \\)라고 하자.", "그러면 좌표 \\( (X, Y) \\)와 좌표 \\( (\\xi, \\eta) \\)와의 관계는 다음과 같다. \\", "[\\begin{array}{c}\\left\\{\\begin{array}{l}X=\\xi \\cos \\theta-\\eta \\sin \\theta \\\\Y=\\xi \\sin \\theta+\\eta \\cos \\theta \\end{array}\\right. \\\\\\left\\{\\begin{array}{l}\\xi=X \\cos \\theta+Y \\sin \\theta \\\\ \\eta=-X \\sin \\theta+Y \\cos \\theta\\end{array} .\\right.\\end{array}\\]", "</p><p>이것을 위의 식에 대입하면, 다음을 얻는다. \\", "[a^{\\prime} \\xi^{2}+2 h^{\\prime} \\xi \\eta+b^{\\prime} \\eta^{2}+c^{\\prime}=0 .\\]</p><p>여기서 \\[\\left\\{\\begin{array}{l} a^{\\prime}=a \\cos ^{2} \\theta+2 h \\cos \\theta \\sin \\theta+b \\sin ^{2} \\theta \\\\ 2 h^{\\prime}=2 h \\cos 2 \\theta-(a-b) \\sin 2 \\theta \\\\ b^{\\prime}=a \\sin ^{2} \\theta-2 h \\cos \\theta \\sin \\theta+b \\cos ^{2} \\theta \\end{array}\\right.\\]", "</p><p>따라서 \\( a^{\\prime}+b^{\\prime}=a+b \\)이다.", "즉, 좌표축의 회전에 대하여 \\( I=a+b \\)는 불변이다. \\", "[a^{\\prime}-b^{\\prime}=h \\sin 2 \\theta+(a-b) \\cos 2 \\theta\\]이므로, \\[\\begin{aligned}4 h^{\\prime 2}-4 a^{\\prime} b^{\\prime} &=4 h^{\\prime 2}+\\left(a^{\\prime}-b\\right)^{2}+(a+b)^{2} \\\\&=4 h^{2}-4 a b\\end{aligned}\\]이다.", "그러므로 \\( h^{\\prime 2}-a^{\\prime} b^{\\prime}=h^{2}-a b \\)이다.", "따라서 \\( I=a+b \\)와 \\( D=\\left\|\\begin{array}{l}a & h \\\\ h & b\\end{array}\\right\| \\)는 좌표축의 회전에 대하여 불변임을 알 수 있다.", "</p><p>\\( h^{\\prime}=0 \\)가 되도록 하기 위해서는 좌표축의 회전각 \\( \\theta \\)는 \\( \\tan 2 \\theta=\\frac{2 h}{a-b} \\)를 만족하도록 잡으면 된다. 그러면 다음을 얻는다. \\[a^{\\prime} \\xi^{2}+b^{\\prime} \\eta^{2}+c^{\\prime}=0\\] \\[0 \\neq h^{2}-a b=h^{\\prime 2}-a^{\\prime} b^{\\prime}=-a^{\\prime} b^{\\prime} \\text { 이므로, } h^{2}-a b<0 \\text { 또는 } h^{2}-a b>0 \\text { 이다. }\\]</p><p>(\\( 1 \\)) \\( h^{2}-a b<0 \\)일 때, \\( a^{\\prime} b^{\\prime}>0 \\)이므로", ", \\( a^{\\prime} \\) 와 \\( b^{\\prime} \\)는 모두 양수이거나 모두 음수이다. 그러므로 위의 식은 \\[A \\xi^{2}+B \\eta^{2}=C, \\quad(A>0, B>0)\\]꼴로 된다. 이때, 만일 \\( C>", "0 \\)이면, 이것은 타원이다.", "만일 \\( C=0 \\)이면, \\( \\xi=\\eta=0 \\)이다.", "이것은 점타원(point ellipse)을 표시한다고 말한다.", "만일 \\( C<0 \\)이면, 이것은 허타원(imaginary ellipse)을 나타낸다고 말한다.", "</p><p>(\\( 2 \\)) \\( h^{2}-a b>0 \\)일 때, \\( a^{\\prime} b^{\\prime}<0 \\)이므로, \\( a^{\\prime}>0, b^{\\prime}<0 \\) 또는 \\( a^{\\prime}<0, b^{\\prime}>0 \\)이다. 그러므로 위의 식은 \\[A \\xi^{2}-B \\eta^{2}=C,(A>0, B>0)\\]꼴로 된다.", "이때, 만일 \\( C \\neq 0 \\)이면, 이것은 쌍곡선이다.", "만일 \\( C=0 \\)이면, \\[A \\xi^{2}-B \\eta^{2}=(\\sqrt{A} \\xi+\\sqrt{B} \\eta)(\\sqrt{A} \\xi-\\sqrt{B} \\eta)=0\\]이므로, \\( \\sqrt{A} \\xi=\\pm \\sqrt{B} \\eta \\) 이다.", "이 두 직선은 \\( \\xi \\eta \\)-평면의 원점에서 만나는 직선이다.", "</p> <p>타원 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a>b>0 \\)의 초점을 \\( F(a e, 0), F^{\\prime}(-a e, 0), 0<e<1, a>0 \\)이라 하고.", "타원 위의 임의의 점을 \\( P(x, y) \\)라 하면,</p><p>\\[\\left\\{\\begin{array}{l}\\overline{P F}^{2}=(x-a e)^{2}+y^{2} \\\\ \\overline{P F'}^{2}=(x+a e)^{2}+y^{2}\\end{array}\\right.\\] 이다.", "이때 \\( \\overline{P F}, \\overline{P F^{\\prime}} \\)는 점 \\( P \\)의 초점거리(focal distance)라 한다. \\", "( a e=\\sqrt{a^{2}-b^{2}} \\) 이므로, \\( \\frac{b^{2}}{a^{2}}=1-e^{2} \\) 이다.", "그러므로 \\[\\begin{aligned}\\overline{P F}^{2} &=(x-a e)^{2}+y^{2} \\\\ &=(x-a e)^{2}+\\frac{b^{2}}{a^{2}}\\left(a^{2}-x^{2}\\right) \\\\ &=(x-a e)^{2}+\\left(1-e^{2}\\right)\\left(a^{2}-x^{2}\\right) \\\\&=(a-e x)^{2}\\end{aligned} \\]이다. \\", "( \|x\| \\leqq a \\)이고 \\( 0<e<1 \\)이므로, \\( a-e x>0 \\)이다.", "그러므로 \\( \\overline{P F}=a-e x \\)이다.", "</p><p>마찬가지로, \\( \\overline{P F^{\\prime}}=a+e x \\)이다.", "즉, \\[\\left\\{\\begin{array}{l} \\overline{P F}=a-e x \\\\\\overline{P F^{\\prime}}=a+e x\\end{array}\\right.\\]", "</p><p>타원 위의 점 \\( P(x, y) \\)에서 준선 \\( l: x=\\frac{a}{e}, l^{\\prime}: x=-\\frac{a}{e} \\) 에 내린 수선의 발을 각각 \\( N, N^{\\prime} \\) 라 하면,\\[\\left\\{\\begin{array}{l}\\overline{P N}=\\frac{a}{e}-x \\\\\\overline{P N^{\\prime}}=\\frac{a}{e}+x\\end{array}\\right.\\]이다.", "그러므로 \\[\\left\\{\\begin{array}{l}\\overline{P F}=e \\cdot \\overline{P N} \\\\\\overline{P F^{\\prime}}=e \\cdot \\overline{P N^{\\prime}}\\end{array}\\right.\\]이다.", "따라서 타원 위의 임의의 점 \\( P \\)에서 초점 \\( F, F^{\\prime} \\)까지의 거리는 각각 준선 \\( l, l^{\\prime} \\)까지의 거리 와의 비는 상수 \\( e \\)와 같다.", "즉,</p><p>\\[\\left\\{\\begin{array}{l}\\frac{\\overline{P F}}{\\overline{P N}}=e \\\\\\frac{\\overline{P F^{\\prime}}}{\\overline{P N^{\\prime}}}=e\\end{array} .\\right.\\]\\", "( 0<e<1 \\)이므로, 타원 위의 점에서 초점에 이르는 거리는 준선에 이르는 거리보다 짧다.", "</p><p>역으로, 정점 \\( F \\)와 정직선 \\( l \\)에 이르는 거리의 비가 \\( e(0<e<1) \\)인 점 \\( P \\)들의 자취는 타원임을 보이자.", "</p><p>점 \\( F \\)에서 직선 \\( l \\)에 내린 수선의 발을 \\( D \\)라 하고, \\( \\overline{F D}=k, \\frac{k e}{1-e^{2}}=a \\)이라 하자.", "선분 \\( D F \\)를 \\( F \\)쪽으로 연장하여 점 \\( O \\)를 선택하여 \\( \\overline{O D}=\\frac{a}{e} \\)가 되도록 하자.", "그러면 \\[\\overline{O F}=\\frac{a}{e}-k=\\frac{a}{e}-\\frac{a}{e}\\left(1-e^{2}\\right)\\]이다.", "여기에서 직선 \\( \\overleftrightarrow{O F} \\) 를 \\( x \\)-축으로 간주하고, \\( O \\)를 원점으로 하는 직교축을 생각하면 \\( F \\)의 좌표는 \\( (a e, 0) \\)이다.", "점 \\( P(x, y) \\)에서 \\( l \\)에 내린 수선의 발을 \\( N \\)이라 하면 \\( \\overline{P F}=e \\cdot \\overline{P N} \\)이다. \\", "( \\overline{P F}^{2}=e^{2} \\cdot \\overline{P N}^{2} \\)이므로, \\[\\begin{array}{l}(x-a e)^{2}+y^{2}=e^{2}\\left(\\frac{a}{e}-x\\right)^{2} \\\\ \\left(1-e^{2}\\right) x^{2}+y^{2}=a^{2}\\left(1-e^{2}\\right)\\end{array}\\]이다.", "이때 \\( a^{2}\\left(1-e^{2}\\right)=b^{2} \\) 으로 놓으면, \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\)을 얻는다.", "그러므로 \\( P(x, y) \\)는 \\( F \\)를 초점, \\( l \\)을 준선으로 하는 타원 위에 있다.", "따라서 다음 정리를 얻는다.", "</p><p>정리 \\( 2.1.1 \\) 타원은 정점 \\( F \\)와 정직선 \\( l \\)에 이르는 거리의 비가 상수 \\( e(0<e<1) \\)인 점 \\( P \\)들의 자취이다.", "이때 \\( F \\)는 그 타원의 초점이고, \\( l \\)는 준선이다.", "</p><p>타원 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a>b>0 \\)의 초점은 \\( F(a e, 0), F^{\\prime}(-a e, 0), e=\\frac{\\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a} \\)이고, 점 \\( P(x, y) \\)는 타원 위의 임의의 점이라 하자.", "그러면 \\[\\left\\{\\begin{array}{l}\\overline{P F}=a-e x \\\\\\overline{P F^{\\prime}}=a+e x\\end{array}\\right.\\]이다.", "</p><p>지금 \\( F^{\\prime} \\)는 극으로 간주하자. \\", "( x \\)-축과 선분 \\( P F^{\\prime} \\)가 이루는 각을 \\( \\theta \\)라 하고 \\( \\overline{P F^{\\prime}}=\\rho \\)라 하자.", "</p><p>그러면 \\( x=\\rho \\cos \\theta-a e \\)이다. \\", "( a+e x=\\overline{P F^{\\prime}}=\\rho \\)이므로, \\[\\begin{aligned}\\rho &=a+e(\\rho \\cos \\theta-a e) \\\\&=\\rho e \\cos \\theta+a\\left(1-e^{2}\\right) \\\\&=\\frac{b^{2}}{a}+\\rho e \\cos \\theta \\\\&=\\frac{b^{2}}{a(1-e \\cos \\theta)} \\end{aligned}\\]이다.", "이 식에서 \\( \\theta=\\frac{\\pi}{2} \\) 이면, \\( \\rho=\\frac{b^{2}}{a} \\) 이다. \\", "( \\frac{b^{2}}{a}=k \\)로 놓으면, 타원의 극방정식 \\[\\rho=\\frac{k}{1-e \\cos \\theta}\\left(\\text { 극: } F^{\\prime}\\right)\\]를 얻는다.", "</p><p>다음에, \\( F \\)를 극, \\( x \\)-축과 선분 \\( P F \\)가 이루는 각을 \\( \\theta \\)라 하고 \\( \\overline{P F}=\\rho \\)라 하자.", "</p><p>마찬가지로 하면, 타원의 극방정식</p><p>\\[\\rho=\\frac{k}{1+e \\cos \\theta}(\\text { 극: } F) \\]을 얻는다.", "</p><p>\\( 2 k=\\frac{2 b^{2}}{a} \\)는 초점을 지나고 \\( x \\)-축에 수직인 직선에 의하여 타원이 끊기는 선분의 길이이다.", "이 선분을 통경이라 한다.", "</p><p>쌍곡선</p><p>정의 두 정점 \\( F, F^{\\prime} \\)에서 이르는 거리의 차가 일정한 점 \\( P \\)의 자취를 쌍곡선(hyperbola)이라 한다.", "이때 \\( F, F^{\\prime} \\)는 쌍곡선의 초점(focus)이라 한다.", "</p><p>[쌍곡선의 방정식] \\( F, F^{\\prime} \\)를 지나는 직선을 \\( x \\)-축이라 하고, 선분 \\( F F^{\\prime} \\)의 중점을 \\( O \\)라 하자. \\", "( O \\)에서 \\( F F^{\\prime} \\)의 수직 이등분선을 \\( y \\)-축이라 하자. \\", "( F \\)와 \\( F^{\\prime} \\)의 좌표를 각각 \\( (c, 0) \\cdot(-c, 0) \\)라 하고, 쌍곡선 위의 임의의 점을 \\( P(x, y) \\)라 하자. \\", "( \\left\|\\overline{P F}-\\overline{P F}^{\\prime}\\right\|=2 a \\) (일정), \\( a<c \\)라 하자.", "그러면 \\[\\begin{array}{r} \\left\|\\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}-\\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}\\right\|=2 a \\\\\\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}-\\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=\\pm 2 a\\end{array}\\]이다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned}(x+c)^{2}+y^{2}=& 4 a^{2} \\pm 4 a \\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}+(x-c)^{2}+y^{2}, \\\\ & \\pm a \\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=-a^{2}+c x, \\\\ & a^{2}\\left[(x-c)^{2}+y^{2}\\right]=a^{4}-2 a^{2} c x+c^{2} x^{2}, \\\\ & a^{2} x^{2}-2 a^{2} c x+a^{2} c^{2}+a^{2} y^{2}=a^{4}-2 a^{2} c x+c^{2} x^{2}, \\\\ &\\left(c^{2}-a^{2}\\right) x^{2}-a^{2} y^{2}=a^{2}\\left(c^{2}-a^{2}\\right) . \\", "end{aligned} \\)</p><p>이때 \\( c^{2}-a^{2}:=b^{2} \\)으로 놓으면, \\( c=\\sqrt{a^{2}+b^{2}} \\)이다.", "그러므로 쌍곡선의 방정식은 다음과 같다.\\", "[\\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\\]</p> <p>[쌍곡선의 그래프] 타원과 마찬가지로, 쌍곡선의 방정식은 \\( x \\)-축, \\( y \\)-축에 대하여 대칭이므로, 쌍곡선 그래프의 모양은 제\\( 1 \\)사분면에서의 모양으로 알 수 있다.", "제\\( 1 \\)사분면에서 쌍곡선의 방정식을 \\( y \\)에 대하여 풀면, \\[y=\\frac{b}{a} \\sqrt{x^{2}-a^{2}}\\] 이다.", "이 곡선은 점 \\( A(a, 0) \\)에서 \\( x \\)-축과 만나고, \\( x \\geqq a \\)인 범위에서만 있다. \\", "( x \\)가 \\( a \\)에서 차례로 증가하면, \\( y \\)는 \\( 0 \\)에서 차례로 커져서 \\( x \\rightarrow \\infty \\)이면, \\( y \\rightarrow \\infty \\)이다.", "</p><p>제\\( 1 \\)사분면에서는 \\( x \\geqq a>0 \\)이므로 \\[y=\\frac{b}{a} x \\sqrt{1-\\frac{a^{2}}{x^{2}}}<\\frac{b}{a} x\\]이다.", "따라서 제 \\( 1 \\)사분면에서의 쌍곡선의 그래프는 직선 \\( l: y=\\frac{b}{a} x \\)의 아래쪽에 있다.", "이 쌍곡선 위의 임의의 점 \\( P(x, y) \\)에 대하여 \\( P \\)를 지나는 \\( x \\)-축의 수직선이 \\( x \\)-축과 만나는 점을 \\( M \\)이라 하고 직선 \\( l \\)과 만나는 점을 \\( Q\\left(x, y_{1}\\right) \\)이라 하면, \\( y_{1}=\\frac{b}{a} x \\)이므로 \\[\\overline{P Q}=y_{1}-y=\\frac{b}{a} x-\\frac{b}{a} x \\sqrt{1-\\frac{a^{2}}{x^{2}}} \\]\\[\\begin{array}{l}=\\frac{b}{a} x\\left(1-\\sqrt{1-\\frac{a^{2}}{x^{2}}}\\right) \\\\ =\\frac{b}{a} x \\cdot \\frac{a^{2} / x^{2}}{1+\\sqrt{1-a^{2} / x^{2}}}<\\frac{a b}{x} \\end{array}\\]이다.", "이때 \\( x \\rightarrow \\infty \\) 일 때 \\( \\overline{P Q} \\rightarrow 0 \\) 이다.", "그러므로 제\\( 1 \\)사분면에 있는 쌍곡선은 \\( x \\)가 한없이 커짐에 따라 직선 \\( l \\)에 한없이 가까이 간다.", "쌍곡선의 방정식은 \\( x \\)-축, \\( y \\)-축에 대하여 대칭이므로, 쌍곡선의 그래프는 2직선 \\[l: y=\\frac{b}{a} x, \\quad l^{\\prime}: y=-\\frac{b}{a} x\\] 의 맞꼭지각 안에 있고. \\", "( \|x\| \\) 가 한없이 커짐에 따라 직선 \\( l, l^{\\prime} \\)에 한없이 가까이 간다.", "이러한 \\( 2 \\)직선 \\( l, l^{\\prime} \\)을 쌍곡선의 점근선(asymptote)이라 한다.", "</p><p>주어진 쌍곡선의 방정식 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\)에 대하여 방정식 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1 \\)에 의하여 나타나는 곡선은 주어진 쌍곡선의 공액쌍곡선(conjugate hyperbola)이라 한다.", "</p><p>주어진 쌍곡선의 방정식 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\)의 공액쌍곡선의 방정식 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1 \\)은 점 \\( B(0, b), B^{\\prime}(0,-b) \\) 에서 \\( y \\)-축과 만난다. \\", "( 2 \\)직선 \\( l: y=\\frac{b}{a} x, \\quad l^{\\prime}: y=-\\frac{b}{a} x \\)도 공액쌍곡선의 점근선이다.", "</p><p>이때 직선 \\( \\overleftrightarrow{B B^{\\prime}} \\)는 공액축(conjugate axis)이라 하고, 원점 \\( O \\)는 주어진 쌍곡선의 중심 (center)이라 한다.", "</p><p>만일 \\( a=b \\)이면, 주어진 쌍곡선의 방정식은 \\( x^{2}-y^{2}=a^{2} \\)으로 된다.", "이것을 직각쌍곡선(right angled hyperbola)의 방정식이라 한다.", "이때 점근선은 \\( y=\\pm x \\)이다.", "이 점근선은 \\( x- \\)축과 \\( 45^{\\circ} \\)의 각을 이루고 서로 직교한다.", "</p><p>원점 \\( O \\)를 중심으로 하고 반지름이 \\( a \\)인 원 \\( x^{2}+y^{2}=a^{2} \\)을 쌍곡선 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\)의 보조원 (auxiliary circle)이라 한다.", "</p><p>쌍곡선 위의 임의의 점 \\( P(x, y) \\)에서 \\( x \\)-축에 내린 수선의 발을 \\( M \\)이라 하고, \\( M \\)에서 보조원에 접선 \\( \\overleftrightarrow{M Q} \\)를 그어서 \\( x \\)-축과 선분 \\( O Q \\)가 이루는 각을 \\( \\theta \\)라 하자.", "그러면 \\[\\begin{aligned}x &=\\overline{O M}=\\overline{O Q} \\sec \\theta \\\\&=a \\sec \\theta\\end{aligned}\\]이다.", "이를 쌍곡선의 방정식에 대입하면,\\[\\begin{aligned}1 &=\\frac{a^{2} \\sec ^{2} \\theta}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=\\sec ^{2} \\theta-\\frac{y^{2}}{b^{2}} \\\\&=1+\\tan ^{2} \\theta-\\frac{y^{2}}{b^{2}}\\end{aligned}\\] 이므로, \\( y=b \\tan \\theta \\)이다.", "그러므로 쌍곡선 위의 점 \\( P(x, y) \\)의 좌표는 다음과 같이 나타난다. \\", "[\\left\\{\\begin{array}{l}x=a \\sec \\theta \\\\y=b \\tan \\theta\\end{array}\\right. \\]", "</p><p>이것은 매개변수 \\( \\theta \\)에 관한 쌍곡선의 방정식(hyperbolic equation of parameter \\( \\theta \\) )이라 이다.", "이때 \\( \\theta \\)는 이심각(eccentric angle)이라 한다.", "</p><p>쌍곡선의 방정식 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\)에서 \\[ e=\\frac{\\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a}=\\sqrt{1+\\frac{b^{2}}{a^{2}}}>1\\] 은 이심률(eccentricity)이라 한다.", "그러므로 쌍곡선의 초점 \\( F, F^{\\prime} \\)의 좌표는 각각 다음과 같다. \\", "[F(a e, 0), F^{\\prime}(-a e, 0)\\]</p><p>\\( x \\)-축 위의 점 \\( D\\left(\\frac{a}{e}, 0\\right), D^{\\prime}\\left(-\\frac{a}{e}, 0\\right) \\)에서의 수직선 \\( l: x=\\frac{a}{e}, l^{\\prime}: x=-\\frac{a}{e} \\)은 쌍곡선의 준선(directrix)이라 한다.", "</p><p>쌍곡선 위의 점 \\( P(x, y) \\)와 초점 \\( F(a e, 0), F^{\\prime}(-a e, 0) \\)과의 거리 \\( \\overline{P F}, \\overline{P F^{\\prime}} \\) 는 점 \\( P \\)의 초점거리(focal distance)라 한다. \\( a e=\\sqrt{a^{2}+b^{2}} \\) 이므로, \\( \\frac{b^{2}}{a^{2}}=e^{2}-1 \\) 이다. 그러므로 \\[\\begin{aligned}\\overline{P F}^{2} &=(x-a e)^{2}+y^{2} \\\\&=(x-a e)^{2}+\\frac{b^{2}}{a^{2}}\\left(x^{2}-a^{2}\\right) \\\\&=(x-a e)^{2}+\\left(e^{2}-1\\right)\\left(x^{2}-a^{2}\\right) \\\\&=(e x-a)^{2},\\end{aligned}\\]\\( \\overline{P F}=\|e x-a\| \\) 이다. \\( \|x\| \\geqq a \\) 이고 \\( e>", "1 \\) 이므로,\\[\\overline{P F}=\\left\\{\\begin{array}{cc} e x-a, & x \\geqq a \\\\-(e x-a), & x \\leqq-a\\end{array}\\right.\\]이다.", "마찬가지로, \\( \\overline{P F^{\\prime}}=\|e x+a\| \\)이므로,\\[\\overline{P F^{\\prime}}=\\left\\{\\begin{array}{cc} e x+a, & x \\geqq a \\\\-(e x+a), & x \\leqq-a\\end{array}\\right.\\]이다.", "</p><p>역으로, 정점 \\( F, F^{\\prime} \\)와 정직선 \\( l, l^{\\prime} \\)에 이르는 각 거리의 비가 \\( e(e>1) \\)인 점 \\( P \\)들의 자취는 쌍곡선임을 보이자.", "</p><p>점 \\( F \\)에서 직선 \\( l \\)에 내린 수선의 발을 \\( D \\)라 하고, \\( \\overline{F D}=k, \\frac{k e}{e^{2}-1}=a \\)이라 하자.", "선분 \\( F D \\)를 \\( D \\)쪽으로 연장하여 점 \\( O \\)를 선택하여 \\( \\overline{O D}=\\frac{a}{e} \\)가 되도록 하자.", "</p><p>그러면 \\[\\overline{O F}=\\frac{a}{e}+k=\\frac{a}{e}+\\frac{a}{e}\\left(e^{2}-1\\right)=a e \\]이다.", "여기에서 직선 \\( \\overleftrightarrow{O F} \\) 를 \\( x \\)-축으로 간주하고, \\( O \\)를 원점으로 하는 직교축을 생각하면 \\( F \\)의 좌표는 \\( (a e, 0) \\)이다.", "점 \\( P(x, y) \\)에서 \\( l \\)에 내린 수선의 발을 \\( N \\)이라 하면 \\( \\overline{P F}=e \\cdot \\overline{P N} \\)이다. \\", "( \\overline{P F}^{2}=e^{2} \\cdot \\overline{P N}^{2} \\)이므로, \\[\\begin{array}{l} (x-a e)^{2}+y^{2}=e^{2}\\left(x-\\frac{a}{e}\\right)^{2} \\\\\\left(e^{2}-1\\right) x^{2}=a^{2}\\left(e^{2}-1\\right)-y^{2}\\end{array}\\]이다.", "이때 \\( a^{2}\\left(e^{2}-1\\right)=b^{2} \\)으로 놓으면, \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\) 을 얻는다.", "그러므로 \\( P(x, y) \\)는 \\( F \\)를 초점, \\( l \\)을 준선으로 하는 쌍곡선 위에 있다.", "따라서 다음 정리를 얻는다.", "</p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "415", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "기하학 일반_해석 기하학", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-f16d-4996-a591-31bc23643a20", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160732801", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2019", "doc_author": [ "김광회" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }
109	<p>정의 군 \( G \) 의 부분집합 \( M \) 에서 집합 \( a^{-1} M a, a \in G \) 를 \( G \) 에서 \( M \) 에 대한 공액집합 (conjugate set)이라 한다. \( M=\{x\}, x \in G \) 이면 \( a^{-1} M a=\left\{a^{-1} x a\right\} \). \( a^{-1} x a=y \) 라 놓으면 \( x=a y a^{-1} \) 이다.</p><p>이때 \( x, y \) 는 공액관계(conjugate relation)에 있다고 하고, \( x \sim y \) 로 나타낸다. 즉 \( y=a^{-1} x a \) 가 되는 \( a \in G \) 가 존재하면 \( x \sim y \) 또는 \( y \sim x \) 이다.</p><p>\( M \) 이 군 \( G \) 의 정규부분군이면 모든 \( a \in G \) 에 대하여 \( a^{-1} M a=M \) 이므로 \( M \) 에 대한 공액집합은 \( M \) 자신뿐이다. 서로 다른 공액집합의 개수를 생각하여 보자.</p><p>정의 군 \( G \) 의 부분집합 \( M \) 에서 집합 \( N=\{a \in G \mid a M=M a\}=\left\{a \in G \mid a^{-1} M a=M\right\} \)을 \( G \) 에서의 \( M \) 의 정규화부분군(normalizer)이라 하고, \( N=N_{G}(M) \) 으로 나타낸다.</p><p>\( M=\{m\} \) 일 때 \( N_{G}(M)=N_{G}\{(m)\} \) 을 \( G \) 에서의 원소 \( m \) 의 중심화부분군(centralizer)이라 하고, \( C_{G}(m)=\{a \in G \mid a m=m a\} \) 로 나타낸다.</p><h3>정리 2.8.2</h3><p>부분군 \( M \) 의 군 \( G \) 에서의 서로 다른 공액집합의 개수는 \( \left[G: N_{G}(M)\right] \) 이다.</p><p>증명 임의의 \( a, b \in N=N_{G}(M) \) 에 대하여 \( a M=M a, b M=M b, b^{-1} M=M b^{-1} \). 그러면 \[ \begin{aligned} a b^{-1} M &=a\left(b^{-1} M\right)=a\left(M b^{-1}\right) \\ &=(a M) b^{-1}=(M a) b^{-1}=M a b^{-1} \end{aligned} \] 그러므로 \( a b^{-1} \in N \). 이는 \( N \) 이 \( G \) 의 부분군임을 의미한다.</p><p>\( N \) 에 관한 서로 다른 잉여류 \( N x \) 를 구하여 보자. 임의의 \( a b \in N b, a \in N \), \( b \in G \) 에 대하여 \( a^{-1} M a=M \). \( (a b)^{-1} M(a b)=b^{-1} a^{-1} M a b=b^{-1} M b \). 역으로 \( b, c \) 에 대응하는 공액집합이 같다면 \( b^{-1} M b=c^{-1} M c . M=b c^{-1} M c b^{-1} \) 에서 \( a=c b^{-1} \) 라 놓으면 \( a^{-1} M a=M . a \in N, c=a b \) 이므로 \( c \in N b \). 그러므로 \( b \) 와 같은 공액집합을 갖는 \( G \) 의 원소는 \( \mathrm{Nb} \) 의 원소뿐임을 알았다. 서로 다른 공액 집합의 개수는 서로 다른 잉여류 \( \mathrm{Nb} \) 의 개수와 같다. 따라서 \( M \) 에 대한 서로 다른 공액집합은 \( \left[G: N=N_{G}(M)\right] \) 개이다.</p> <p>지금부터, 군 \( G \) 의 원소에 대한 지수법칙을 다음과 같이 정의하자. 먼저, 군 \( G \) 의 원소 \( a, b, c \) 의 곱 \( (a b) c \) 와 \( a(b c) \) 는 같은 원소이므로 이를 \( a b c \) 로 나타낸다. 또한, 양의 정수 \( n \) 에 대하여 \( a^{n}=a a \cdots a \) ( \( n \) 번 연산), \( a^{-n}=\left(a^{-1}\right)^{n}, a^{0}=e \) 으로 정의한다.</p><h3>정리 2.2.4</h3><p>군 \( G \) 의 원소 \( a \in G \) 와 정수 \( m, n \in \mathbb{Z} \) 에 대하여 다음이 성립한다.</p><p>(1) \( a^{n} a^{m}=a^{n+m}=a^{m} a^{n} \)</p><p>(2) \( \left(a^{n}\right)^{m}=a^{n m}=\left(a^{m}\right)^{n} \)</p><p>(3) \( a^{-n}=\left(a^{n}\right)^{-1} \)</p><p>증명 편의상 (3)을 먼저 증명한다.</p><p>(3) \( a \in G \) 이고, \( m, n \in \mathbb{Z} \) 이라 하자. 먼저, \( n \geq 0 \) 일 때, \( \left(a^{n}\right)^{-1}=\left(a^{-1}\right)^{n} \) 임을 수학적 귀납법으로 증명해보자. \( n=0 \) 일 때, \( \left(a^{0}\right)^{-1}=(e)^{-1}=e=\left(a^{-1}\right)^{0} \)이 성립한다. 또한, \( n=k>0 \) 일 때, \( \left(a^{k}\right)^{-1}=\left(a^{-1}\right)^{k} \) 가 성립한다고 가정하자. 그러면, \[ \left(a^{k+1}\right)^{-1}=\left(a^{k} a\right)^{-1}=a^{-1}\left(a^{k}\right)^{-1}=a^{-1}\left(a^{-1}\right)^{k}=\left(a^{-1}\right)^{k+1} \] 이 성립하여, 수학적 귀납법으로써 \( n \geq 0 \) 이면 \( \left(a^{n}\right)^{-1}=\left(a^{-1}\right)^{n} \) 임이 증명되었다. 다음으로, \( n<0 \) 일 때, \( \left(a^{n}\right)^{-1}=\left(a^{-1}\right)^{n} \) 임을 위의 내용을 이용하여 증명해보자. \( n<0 \) 이므로, \( -n>0 \) 이다. 그러므로 위의 증명에 의하여 \( \left(a^{-n}\right)^{-1}=\left(a^{-1}\right)^{-n} \) 이 성립한다. 그러면 \[ \left(a^{n}\right)^{-1}=\left(a^{-(-n)}\right)^{-1}=\left(\left(a^{-1}\right)^{-n}\right)^{-1}=\left(\left(a^{-1}\right)^{-1}\right)^{-n}=a^{-n}=\left(a^{-1}\right)^{n} \] 이 된다. 따라서 모든 \( n \in \mathbb{Z} \) 에 대하여 \( \left(a^{n}\right)^{-1}=\left(a^{-1}\right)^{n} \) 이 증명되었다. 또한, 정의에 의하여 \( a^{-n}=\left(a^{-1}\right)^{n} \) 이므로, \( a^{-n}=\left(a^{n}\right)^{-1} \) 이 성립함을 알 수 있다.</p><p>(1) \( n>0, m>0 \) 이면, \( a \) 를 각각 \( n, m \) 번 곱한 \( a^{n} \) 와 \( a^{m} \) 의 곱 \( a^{n} a^{m} \) 은 \( a \) 를 \( n+m \) 번 곱한 것이므로 \( a^{n} a^{m}=a^{n+m} \) 이다. 또한, \( n<0, m<0 \) 이면, \( a, n, m \) 을 각각 \( a^{-1},-n,-m \) 에 대하여, \( -m>0,-n>0 \) 이므로 \( \left(a^{-1}\right)^{-n}\left(a^{-1}\right)^{-m}=\left(a^{-1}\right)^{(-n)+(-m)} \) 이 성립한다. 따라서 (3)을 이용하면, \[ a^{n} a^{m}=\left(a^{-1}\right)^{-n}\left(a^{-1}\right)^{-m}=\left(a^{-1}\right)^{(-n)+(-m)}=a^{n+m} \] 이 된다. 그리고, \( n=0 \) 또는 \( m=0 \) 인 경우를 살펴보자. \( n=0 \) 이면, \( a^{n}=e \) 이고, \[ a^{n} a^{m}=e a^{m}=a^{m}=a^{0+m}=a^{n+m} \] 이다. \( m=0 \) 이면, \( a^{m}=e \) 이고, \[ a^{n} a^{m}=a^{n} e=a^{n}=a^{n+0}=a^{n+m} \] 이다. \( m>0, n<0 \) 또는 \( m<0, n>0 \) 인 경우에도 \( m, n \) 에 관한 위의 법칙(예를 들어 \( m>0,-n>0 \) )을 이용하여 유사하게 증명할 수 있다.</p><p>(2) \( n=0 \) 이면 분명하다. 또한, \( n>0 \) 이면 \( n \) 에 관한 수학적 귀납법으로 증명할 수 있고, 이를 이용하여 \( n<0 \) 일 때도 성립함을 같은 방법으로 증명할 수 있다.</p> <p>보기 7 잉여류 군과 기약 잉여류 군 양의 정수 \( n \) 에 관한 잉여류 전체의 집합 \[ \mathrm{Z}_{n}=\{\overline{0}, \overline{1}, \ldots, \overline{n-1}\} \] 위의 덧셈과 곱셈을 다음으로 정의한다. \[ \bar{a}+\bar{b}=\overline{a+b}, \bar{a} \bar{b}=\overline{a b} \] \( \left(\mathbb{Z}_{n},+\right) \) 는 \( \overline{0} \) 을 영원, \( \bar{a} \) 의 음원이 \( -\bar{a}=\overline{-a}=\overline{n-a} \) 인 가환군이다. \( \left(\mathbb{Z}_{n}, \cdot\right) \) 는 \( \overline{1} \) 을 항등원으로 갖는 반군이 된다.임의의 \( \bar{a} \in Z_{n} \) 에 대하여 \( \bar{a} \cdot \bar{x}=\bar{x} \cdot \bar{a}=\overline{1} \) 이 되는 \( \bar{x} \) 가 존재할 필요충분조건은 \( (a, n)=1 \) 이다. 법 \( n \) 에 관한 기약 잉여류 전체의 집합 \[ \mathbb{Z}_{n}^{}=\left\{\bar{a} \in \mathbb{Z}_{n} \mid(a, n)=1\right\} \] 은 곱셈에 대하여 군을 이룬다.</p><p>덧셈군 \( \left(\mathbb{Z}_{n},+\right) \) 을 법 \( n \) 에 관한 잉여류 군(residue class group modulo \( n \) )이라 하고, 곱셈군 \( \left(\mathbb{Z}_{n}^{}, \cdot\right) \) 을 법 \( n \) 에 관한 기약 잉여류 군(reduced residue class group modulo \( n \) )이라 한다.</p><p>소수 \( p \) 에 관하여 곱셈군 \( \mathbb{Z}_{p}{ }^{}=\{1,2, \cdots, p-1\}=\mathbb{Z}_{p}-\{\overline{0}\} \) 는 \( \left\|Z_{p}{ }^{}\right\|=p-1 \)인 가환군이 된다.</p><p>보기 8 사원수군 집합 \( Q=\{1,-1, i,-i, j,-j, k,-k\} \) 의 곱셈을 다음으로 정의하자. \[ \begin{array}{c} i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1 \\ i j=-j i=k, j k=-k j=i, \quad k i=-i k=j \end{array} \] 그러면 \( Q \) 는 8 개의 원소를 가진 비가환군이 된다. 이 곱셈군을 사원수군 (quaternion group)이라 한다.</p><p>보기 9 정이면체 군 하나의 정삼각형을 그 자신과 같은 모양으로 포갤 수 있는 대응에 대하여 살펴보자. 이러한 대응은 중점 \( O \) 를 고정하여 120 도, 240 도, 360 도 회전과 직선 \( l_{1} \) (꼭지점 1 과 점 0 를 잇는 직선), \( l_{2}, l_{3} \) 에 관한 대칭이 있다. 120 도 회전을 \( a \), 대칭 \( l_{1} \) 을 \( b \) 라 하면 회전과 대칭의 모임은 군이 되고 다음과 같은 집합으로 나타낸다. \[ D_{3}=\left\{e, a, a^{2}, b, a b, a^{2} b\right\} . \] 한편, \( a^{3}=e, b^{2}=e, b a=a^{2} b \) 이므로 \( D_{3} \) 는 비가환군이 되고, 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[ D_{3}=\left\langle a, \quad b \mid a^{3}=e, b^{2}=e, b a=a^{2} b\right\rangle \] 이 군 \( D_{3} \) 를 3차 정이면체 군(dihedral group of degree 3)이라 한다.</p> <p>정의 \( H \) 가 군 \( G \) 의 부분군일 때 서로 다른 우 잉여류(좌 잉여류)의 개수를 \( G \) 에서 \( H \)의 지수(index)라 하고, \( [G: H] \) 로 나타낸다. 집합 \( \{H a \mid a \in G\} \) 가 무한집합이면 \( H \) 는 \( G \) 에서 무한지수(infinite index)를 갖는다고 한다.</p><p>\( G \) 가 유한군이면 라그랑주 정리에 의하면 다음이 성립한다. \( \|G\|=[G: H]\|H\| \) 이고, \[ [G: H]=\frac{\|G\|}{\|H\|}=\frac{G \text { 의위수 }}{H \text { 의위수 }} . \]</p><p>보기 7 정이면체군 \( D_{4} \) 의 부분군 \( H=\left\{1, \sigma^{2}, \sigma \tau, \sigma^{3} \tau\right\} \) 의 지수는 \( \frac{8}{4}=2 \) 이다. 또 부분군 \( K=\{1, \tau\} \) 의 위수는 \( \frac{8}{2}=4 \) 이다. 군 \( D_{4} \) 의 부분군의 위수는 \( 1,2,4,8 \) 뿐이다. 지수가 1 인 부분군은 1 개, 2 인 부분군은 4 개, 4 인 부분군은 5 개, 8 인 부분군은 1 개이다.</p><p>\( p \) 가 소수이고 \( (p a)=1 \) 이면 \( a^{p-1} \equiv 1(\bmod p) \) 가 된다는 것은 페르마(Pierre Fermat)가 증명하였고 ‘페르마의 작은 정리'로 알려져 있다.</p><p>오일러 함수 \( \varnothing(n) \) 에 관한 다음 정리는 오일러 정리로서 페르마의 정리를 일반화한 것이다.</p><h3>정리 2.4.10</h3><p>정수 \( a \) 와 \( n \) 이 서로소이면 \( a^{\phi(n)} \equiv 1(\bmod n) \) 이다.</p><p>증명 \( n \) 에 관한 기약잉여류군 \( \mathbb{Z}^{}{ }_{n} \) 의 원소 \( \bar{a} \) 에 대하여 정리 8 (2)에 의하여 \[ \overline{1}=(\bar{a})^{\varnothing(n)}=\overline{a^{\varnothing(n)}} \] 따라서 \( a^{\varnothing(n)} \equiv 1(\bmod n) \) 이다.</p><p>또 \( n=p \) (소수)이면 \( \varnothing(p)=p-1 \) 이므로 \[ a^{p-1} \equiv 1(\bmod p) \] 이다.</p><p>라그랑주 정리 증명의 보다 현대적인 방법을 소개하기 위하여 합동에 관한 성질을 생각하여 보자.</p><p>라그랑주 정리 증명의 보다 현대적인 방법을 소개하기 위하여 합동에 관한 성질을 생각하여 보자.</p><p>정의 군 \( G \) 의 부분집합 \( H \) 에서</p><p>\[ a b^{-1} \in H \Leftrightarrow a \equiv b(\bmod H) \] 로 정의된 관계 \( \equiv \) 를 \( a \) 는 법 \( H \) 에 관하여 \( b \) 와 우 합동(right congruent)이라 한다.</p><p>마찬가지로 \( a^{-1} b \in H \Leftrightarrow a \equiv b(\bmod H) \) 를 \( a \) 와 \( b \) 의 법 \( H \) 에 관한 좌 합동(left congruent)이라 한다.</p> <h2>2.1 군의 기본개념</h2><p>공집합이 아닌 집합 \( G \) 위의 이항연산은 \( G \times G \) 에서 \( G \) 에로의 함수이고, 이를 - : \( G \times G \rightarrow G \) 로 표시하고 \( ,+ \), 응으로도 나타낸다. 4가지 성질을 만족하는 군 \( G \) 의 개념을 다음과 같이 정의한다.</p><p>정의 공집합이 아닌 집합 \( G \) 위의 이항연산 • 가 있어서, 쌍 \( (G, \cdot) \) 이 다음의 조건을 만족할 때, \( G \) 는 •를 연산으로 갖는 군(group)이라고 한다. 이때, \( G \) 는 - 에 관하여 닫혀있다. 즉, 모든 \( a, b \in G \) 에 대하여 \( a \cdot b \in G \) 이다. 이를 \( a b \in G \) 로 표시한다.</p><p>(1) 결합성(associativity): 모든 \( a, b, c \in G \) 에 대하여 \[ (a b) c=a(b c) . \] (2) 항등원(identity)의 존재: \( G \) 의 원소 \( e \) 가 존재하여, 모든 \( a \in G \) 에 대하여 \( a e=e a=a \). (3) 역원(inverse)의 존재: 임의의 \( a \in G \) 에 대하여 \( G \) 의 원소 \( a^{\prime} \) 가 존재하여 \( a a^{\prime}=a^{\prime} a=e \). 공집합이 아닌 집합 \( G \) 위의 이항연산 - 가 있어서 결합법칙을 만족할 때 \( (G, \cdot) \) 를 반군(semigroup)이라 하고, 항등원을 갖는 반군을 모노이드 (monoid)라 한다. 다음의 조건 (4)를 만족하는 군을 아벨군(abelian group) 또는 가환군 (commutative group)이라 한다. 가환이 아닌 군을 비아벨군(non- abelian group) 또는 비가환군(non-commutative group)이라 한다. (4) 모든 \( a, b \in G \) 에 대하여 \( a b=b a \) 이다.</p><p>보기 1 집합 \( \mathbb{Z}(\sqrt{2})=\{a+b \sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z}\} \) 는 항등원을 갖는 반군이다. 여기서, 이 항연산은 집합 \( \mathbb{Z}(\sqrt{2}) \) 위에서의 곱셈연산이다. 임의의 두 원소 ( a+b \sqrt{2}, c+d \sqrt{2} \) 에 대하여 \[ (a+b \sqrt{2})(c+d \sqrt{2})=(a c+2 b d)+(a d+b c) \sqrt{2} . \] 또 \( 1=1+0 \sqrt{2} \) 를 항등원으로 갖는 모노이드임을 알 수 있다.</p> <p>정의 군 \( G \) 의 원소 \( a \) 에 의하여 생성된 부분군 \(<a>\) 의 원소의 개수를 \( a \) 의 위수 (order)라 한다. \( a \) 의 위수가 \( n \) 이면, \( n \) 은 \( a^{n}=e \) 가 되는 최소 양의 정수이다. 이와 같은 정수 \( n \) 이 존재하지 않을 때 \( a \) 는 무한위수(infinite order)를 갖는다고 한다.</p><p>이면체군 \( D_{3}=\left\{1, \sigma, \sigma^{2}, \tau, \sigma \tau, \sigma^{2} \tau\right\} \) 의 각 원소의 위수는 다음과 같다.</p><p>원소 \(\quad1, \quad \sigma, \quad \sigma^{2}, \quad \sigma^{3}, \quad \tau, \quad \sigma \tau, \quad \sigma^{2} \tau, \quad \sigma^{3} \tau \)</p><p>위수 \(\quad1,\quad 4,\quad 3\quad ,4,\quad 4,\quad 4,\quad 4,\quad 4 \)</p><h3>정리 2.3.7</h3><p>군 \( \prec a>=\left\{a^{n} \mid n \in \mathbb{Z}\right\} \) 의 원소의 개수가 \( n \) 이면 \(<a>=\left\{e, a, a^{2}, \cdots, a^{n-1}\right\} \) 이다.</p><p>지금, 임의의 \( a^{k} \in\langle a\rangle \) 를 택하자. 그러면 나눗셈의 정리에 의하여 \( k=q n+r, 0 \leq r<n \) 인 정수 \( q, r \) 이 존재한다.</p><p>임의의 \( a^{k} \in<a>\) 에 대하여 \[ a^{k}=\left(a^{n}\right)^{q} a^{r}=e a^{r}=a^{r} \] 이므로 \( a^{k}=a^{r} \in\left\{e, a, a^{2}, \cdots, a^{n-1}\right\} \) 이다. 따라서 \[<a>=\left\{e, a, a^{2}, \cdots, a^{n-1}\right\} \] 이 된다.</p><p>주의 클라인 사원군의 모든 부분군은 순환군이나 그 군 자체는 순환군이 아님을 알 수 있다.</p><h3>정리 2.3.8</h3><p>군 \( G \) 의 원소 \( a \) 의 위수를 \( n \) 라고 한다면 \( a^{k} \) 의 위수는 \( \frac{n}{d}, d=(k, n) \) 이다.</p><p>증명 \( a^{k} \) 의 위수가 \( m \) 이라고 가정한다면 \( e=\left(a^{k}\right)^{m}=d^{k m} \). 연습문제 9에 의하여 \( n \mid k m \) 이다. 그래서 \( \frac{n}{d} \) 는 \( \left(\frac{k}{d}\right) m \) 의 약수이고 \( \frac{n}{d} \) 과 \( \frac{k}{d} \) 는 서로소이므로 \( \frac{n}{d} \) 은 \( m \) 의 약수이다.</p><p>반면에, \( \left(a^{k}\right)^{\frac{n}{d}}=\left(a^{n}\right)^{\frac{k}{d}}=e \) 이므로 \( m \) 은 \( \frac{n}{d} \) 의 약수이다. 따라서 \( m=\frac{n}{d} \)이다.</p> <h3>정리 2.4.6</h3><p>군 \( G \) 의 부분군 \( H \) 의 잉여류집합 \( \{H a \mid a \in G\} \) 는 \( \mathrm{G} \) 의 분할이다. 즉,</p><p>(1) \( H a \cap H b \neq \varnothing \) 이면 \( H a=H b \)</p><p>(2) \( G=\cup H a \).</p><p>증명 (1) \( H a \cap H b \neq \varnothing \) 라고 가정하면 \( x \in H a \cap H b \) 인 \( x \) 가 존재한다. 그러면 위의 주의에 의하여 \( H a=H x=H b \).</p><p>(2) 임의의 \( a \in G \) 에 대하여, \( a \in H a \) 이므로 \( G \subseteq \cup H a \). 한편, \( H a \subseteq G \) 이므로 \( \cup H a \subseteq G \) 이다. 따라서 \( G=\cup H a \) 임이 증명되었다.</p><h3>정리 2.4.7 라그랑주 정리</h3><p>\( H \) 가 유한군 \( G \) 의 부분군 이라고 하면 \( \|H\| \) 는 \( \|G\| \) 의 약수이다.</p><p>증명 \( G \) 가 유한군이면, 부분군 \( H \) 도 유한이고 우(좌)잉여류의 개수도 유한이다. \( \|G\|=n,\|H\|=m \) 이고, 우 잉여류의 개수를 \( k \) 라고 둔다면 위의 정리 5 와 6 에 의하여 \[ n=k m \text { 이고, } m \mid n \text { 이다. } \] 따라서 \( \|H\|\|\| G \mid \) 이다.</p><p>다음 정리는 라그랑주 정리를 응용하는데 사용되는 도구이다.</p><h3>따름정리 2.4.8</h3><p>\( G \) 를 유한군이라고 하면 다음이 성립한다.</p><p>(2) \( \|G\|=n \) 이면, \( G \) 의 임의의 원소 \( a \) 에 대하여 \( a^{n}=e \) 이다.</p><p>증명 (1) \( a \) 의 위수는 \( \|<a>\| \) 이므로 정리 7에 의하여 \( \|<a>\|\|\| G \mid \). 따라서 \( a \)의 위수는 \( \|G\| \) 의 약수이다.</p><p>(2)는 (1)에 의하여 분명하다.</p><h3>따름정리 2.4.9</h3><p>군 \( G \) 의 위수가 소수 \( p \) 이면 \( G \) 는 순환군이다.</p><p>증명 \( a \in G \) 이고 \( a \neq e \) 이면 \( \|<a>\|\|\| G \mid=p \) 이므로 \( \|<a>\|=1 \) 또는 \( \|<a>\|=p \) 이다.</p><p>\( \|<a>\|=1 \) 이면 \(<a>=e, a=e \) 이므로 모순이다.</p><p>\( \|<a>\|=p \) 이면 \(<a>=G \) 이므로 \( G \) 는 \( a \) 에 의하여 생성된 순환 군이다.</p> <p>정의 군 준동형사상 \( f: G \rightarrow H \) 에서 집합 \( \left\{a \in G \mid f(a)=e_{H}\right\} \) 을 \( f \) 의 핵(kernel)이라 하고, Kerf로 나타낸다.</p><p>앞으로 군 \( G \) 의 항등원 \( e_{G} \) 와 군 \( H \) 의 항등원 \( e_{H} \) 를 다같이 \( e \) 로 나타내면 편리하므로 \( e_{G}=e_{H}=\mathrm{e} \) 로 나타내자. 그러면 준동형사상 \( f: G \rightarrow H \) 에서 \( f(a)=e \), \( \operatorname{Kerf} \) 가 \( \{a \in G \mid f(a)=e\} \) 이 된다.</p><h3>정리 2.6.3</h3><p>군 준동형사상 \( f: G \rightarrow H \) 에 대하여 다음이 성립한다.</p><p>(1) \( \operatorname{Kerf} \) 는 \( G \) 의 정규부분군이다.</p><p>(2) \( K \) 가 \( G \) 의 정규부분군이면 \( f(K) \) 도 \( f(G) \) 의 정규부분군이다.</p><p>(1) \( a, b \in \operatorname{Kerf} \) 이면 \( f(a)=f(b)=e \) 이므로 \[ f\left(a b^{-1}\right)=f(a) f(b)^{-1}=e \] 그러므로 \( a b^{-1} \in \operatorname{Kerf} \) 이고, 정리 1 에 의하여 \( \operatorname{Kerf} \) 는 \( G \) 의 부분군이다.</p><p>다음은, \( a \in K e r f, g \in G \) 에 대하여 \[ \begin{aligned} f\left(g^{-1} a g\right) &=f\left(g^{-1}\right) f(a) f(g)=f(g)^{-1} f(a) f(g) \\ &=f(g)^{-1} e f(g)=f(g)^{-1} f(g)=e \end{aligned} \] 그러므로 \( g^{-1} a g \in \operatorname{Kerf} \) 이다. 따라서 \( \operatorname{Kerf} \Delta G \) 임을 알 수 있다.</p><p>(2) 정리 1 에 의하여 \( f(K) \) 는 \( H \) 의 부분군이다. \( f(G) \) 도 \( H \) 의 부분군이고 \( f \) \( (K) \subseteq f(G) \) 이므로 \( f(K) \) 는 \( f(G) \) 의 부분군이다. 임의의 \( h \in f(G) \) 에 대하여 \( f(g)=h \) 를 만족하는 \( g \in G \) 가 존재한다. 임의의 \( l \in f(K) \) 에 대하여 \( f(k)=l \) 인 \( k \in K \) 가 존재하여 \[ \begin{array}{c} h^{-1} l h=f(g)^{-1} f(k) f(g)=f\left(g^{-1}\right) f(k) f(g) \\ =f\left(g^{-1} \mathrm{~kg}\right) \in f(K) \end{array} \] 그러므로 \( f(K) \triangleleft f(G) \).</p> <p>보기 7 군 \( \left(\mathbb{Z}_{12},+\right) \) 에서 \( H_{1}=\{\overline{0}, \overline{6}\}, H_{2}=\{\overline{0}, \overline{4}, \overline{8}\} \) 는 \( \mathbb{Z}_{12} \) 의 부분군이다. 그러나 \( H_{1} \cup H_{2}=\{\overline{0}, \overline{4}, \overline{6}, \overline{8}\} \) 에서 \( \overline{4}+\overline{6}=\overline{10}, \overline{6}+\overline{8}=\overline{2} \) 이므로 \( H_{1} \cup H_{2} \)는 덧셈에 의하여 닫혀있지 않다. 따라서 \( H_{1} \cup H_{2} \) 는 \( \mathrm{Z}_{12} \) 의 부분군이 아니다.</p><h3>따름정리 2.3.4</h3><p>\( G \) 의 부분군 \( H_{1}, H_{2} \) 에서 \( H_{1} \cup H_{2} \) 가 부분군이 되기 위한 필요충분조건은 \( H_{1} \subseteq H_{2} \) 또는 \( H_{2} \subseteq H_{1} \) 이 되는 것이다</p><p>증명 먼저, 필요조건을 증명해보자. 대우 명제에 의하여 \( H_{1} \nsubseteq H_{2} \) 이고 \( H_{2} \nsubseteq H_{1} \)이면 \( H_{1} \cup H_{2} \) 는 부분군이 아님을 보이면 충분이다. \( H_{1} \nsubseteq H_{2} \) 이고 \( H_{2} \nsubseteq H_{1} \)라고 가정하자. 그러면 \( a \in H_{1}-H_{2}, b \in H_{2}-H_{1} \) 가 되는 \( a, b \) 가 존재한다. 여기서, \( a b \in H_{1} \) 이라 하면 \( b=a^{-1}(a b) \in H_{1} \) 이 되어 모순이다.</p><p>마찬가지로 \( a b \in H_{2} \) 이면 \( a=(a b) b^{-1} \in H_{2} \) 가 되어 모순이다.</p><p>즉 \( a, b \in H_{1} \cup H_{2} \) 이나 \( a b \notin H_{1} \cup H_{2} \). 따라서 \( H_{1} \cup H_{2} \) 는 부분군이 아니다.</p><p>이제, 충분조건을 증명해보자. \( H_{1} \subseteq H_{2} \) 이면 \( H_{1} \cup H_{2}=H_{2} \) 가 되어 \( H_{1} \cup H_{2} \) 는 부분군이 되고, \( H_{2} \subseteq H_{1} \) 이면 \( H_{1} \cup H_{2}=H_{1} \) 이 되어 \( H_{1} \cup H_{2} \) 는 부분군이 된다.</p><p>정의 군 \( G \) 의 모든 원소와 가환인 \( G \) 의 원소 전체의 집합을 \( G \) 의 중심(center)이라 한다. 이를 다음과 같은 집합으로 나타낸다. \[ Z(G)=\{a \in G \mid a x=x a, \quad \forall x \in G\} \] \( G \) 가 가환군이면 \( G=Z(G) \) 이다.</p><p>보기8 \(Z\left(S_{3}\right)=\{1\}, Z\left(D_{4}\right)=\left\{1, \sigma^{2}\right\} \).</p> <p>다음은 준동형사상이 단사사상 또는 전단사사상이 되기 위한 특성을 생각하여 본다.</p><h3>정리 2.6.4</h3><p>군 준동형사상 \( f: G \rightarrow H \) 에서 다음이 성립한다.</p><p>(1) \( f \) 가 단사사상이기 위한 필요충분조건은 \( \operatorname{Kerf}=\{e\} \) 가 되는 것이다.</p><p>(2) \( f \) 가 동형사상이기 위한 필요충분조건은 다음 조건을 만족하는 동형사상 \( f^{-1}: H \rightarrow G \) 가 존재하는 것이다. \[ f \circ f^{-1}=1_{H}, f^{-1} \circ f=1_{G} \]</p><p>증명 (1) \( f \) 가 단사사상이라 하자. 정리 1 에 의하여 \( f(e)=e \) 이므로 \( e \in \operatorname{Kerf} \) 이다. 만약 \( a \in \operatorname{Kerf} \) 라고 하면, \( f(a)=e \) 이다. 그러면 \( f(a)=e=f(e) \) 이고, \( f \)가 단사사상이므로 \( a=e \) 이다. 따라서 \( \operatorname{Kerf}=\{e\} \) 이다.</p><p>역으로, \( \operatorname{Kerf}=\{e\} \) 라 하자. 임의의 \( a, b \in G \) 에 대하여 \( f(a)=f(b) \)가 성립한다고 하면 \[ f\left(a b^{-1}\right)=f(a) f\left(b^{-1}\right)=f(a) f(b)^{-1}=e \]</p><p>이므로 \( a b^{-1} \in \operatorname{Kerf} \). 그런데 \( \operatorname{Kerf}=\{e\} \) 이므로 \( a b^{-1}=e \), 즉 \( a=b \) 이다. 따라서 \( f \) 는 단사사상이다.</p><p>(2) \( f \) 가 전단사사상이면 주어진 조건을 만족하는 역사상 \( f^{-1} \) 가 존재한다. \( f^{-1} \) 가 전단사사상이므로, 이는 다시 준 동형임을 보이면 충분하다. 임의의 \( x, y \in H \) 에 대하여 \( f(a)=x, f(b)=y \) 가 되는 \( a, b \in G \) 는 각각 하나씩만 존재하여 \( f^{-1}(x)=a, f^{-1}(y)=b \) 이다. 이것으로부터 다음을 얻는다. \[ a b=f^{-1}(x) f^{-1}(y), x y=f(a) f(b)=f(a b), f^{-1}(x y)=a b \] 그래서 \( f^{-1}(x) f^{-1}(y)=f^{-1}(x y) \) 가 된다. 따라서 \( f^{-1} \) 은 \( H \) 에서 \( G \) 에로의 동형사상이다.</p><p>보기 8 정수 군 \( (\mathrm{Z},+) \) 위의 자기 동형사상은 다음의 두 경우뿐이다. \[ \begin{aligned} 1_{Z}: & \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, 1_{Z}(a)=a, a \in Z \\ (-1)_{Z}: & \rightarrow \mathbb{Z},(-1)_{Z}(a)=-a, a \in Z \end{aligned} \] \( f \) 가 \( \mathrm{Z} \) 위의 동형사상이면 \( f(1)=1 \) 또는 \( f(1)=-1 \) 이기 때문이다.</p> <p>군 \( G \) 의 부분집합 \( H \) 에서 \( H^{-1}=\left\{h^{-1} \mid h \in H\right\} \) 로 나타내면 \[ \left(H^{-1}\right)^{-1}=H,(H K)^{-1}=K^{-1} H^{-1} \] 이다. 또 부분집합 \( A, B, C \) 에 대하여 \( (A B) C=A(B C) \) 이다.</p><h3>정리 2.4.1</h3><p>\( G \) 의 부분군 \( H \) 에 대하여 다음 동치조건이 성립한다.</p><p>(1) \( H \prec G \)</p><p>(2) \( H H=H, H^{-1}=H \)</p><p>(3) \( H H^{-1}=H \)</p><p>증명(1) \( \Rightarrow \) (2). \( H H=\{x y \mid x, y \in H\} \subseteq H \), \[ H=\{h \mid h \in H\}=\{h e \mid h \in H\}=H e \subseteq H H \text {. 따라서 } H H=H \text {. } \] 만약 \( a \in H \) 이면, \( a^{-1} \in H \) 이므로 \( a=\left(a^{-1}\right)^{-1} \in H^{-1} \). 역으로 \( a \in H^{-1} \)이면, \( b \in H \) 가 존재하여 \( a=b^{-1} \) 이고, \( a=\left(a^{-1}\right)^{-1}=b^{-1} \in H \) 이다. 그러므로 \( H^{-1}=H \).</p><p>\( (2) \Rightarrow \) (3). (2)를 가정하자. 그러면 \( H H^{-1}=H H=H \).</p><p>(3) \( \Rightarrow \) (1). (3)을 가정하자. 그때, 임의의 \( a, b \in H \) 에 대하여 \( a b^{-1} \in H H^{-1}=H \) 이므로 \( H<G \) 가 된다.</p><p>공집합이 아닌 임의의 부분집합 \( S(\subseteq G) \) 에 대하여 \( S G=G=G S \) 이다. 실제로 임의의 \( a \in G \) 에 대해 \( a=s\left(s^{-1} a\right) \in S G \) 이기 때문이다.</p><p>군 \( G \) 의 부분집합 \( H, K \) 가 부분군이라 하여 \( H K \) 가 부분군이 되는 것은 아니다. 예제 4 에서 \( H, K \) 는 \( D_{4} \) 의 부분군이지만 \( H K \) 는 부분군이 아니었다.</p><h3>정리 2.4.2</h3><p>군 \( G \) 의 부분군 \( H, K \) 에 대하여 \( H K \) 가 \( G \) 의 부분군이 될 필요충분조건은 \( H K=K H \) 가 되는 것이다.</p><p>\( H K \) 가 \( G \) 의 부분군이라 하자. 그러면 정리 1 에 의하여 \[ K H=K^{-1} H^{-1}=(H K)^{-1}=H K . \] 역으로 \( H K=K H \) 라고 가정하면 역시 정리 1 에 의하여 \[ H K(H K)^{-1}=H K K^{-1} H^{-1}=H K H^{-1}=K H H^{-1}=K H=H K . \] 따라서 정리 1 에 의하여 \( H K \) 는 \( G \) 의 부분군이다.</p> <h3>정리 2.4.11</h3><p>군 \( G \) 의 부분군 \( H \) 에 관한 우(좌) 합동 \( \equiv \) 는 동치관계이다. 또 동치류는 \( H \) 의 우(좌) 잉여류이다.</p><p>증명 먼저 \( \equiv \) 가 동치관계임을 보이자.</p><p>(i) \( a a^{-1}=e \in H \) 이므로 \( a \equiv a(\bmod H) \).</p><p>(ii) \( a \equiv b(\bmod H) \) 라고 하면 즉, \( a b^{-1} \in H \) 이면 \( b a^{-1}=\left(a b^{-1}\right)^{-1} \in H \) 이므로 \( b \equiv a(\bmod H) \) 이다.</p><p>끝으로 (iii) \( a \equiv b(\bmod H), b \equiv c(\bmod H) \) 이면 \( a b^{-1} \in H, b c^{-1} \in H \) 이므로 \( a c^{-1}=\left(a b^{-1}\right)\left(b c^{-1}\right) \in H, a \equiv b(\bmod H) \) 이다. 따라서 우 합동 \( \equiv \) 는 동치관계이다.</p><p>임의의 \( a \in G \) 에 관한 동치류는 다음과 같다. \[ \begin{aligned} \bar{a} &=\{x \in G \mid x \equiv a(\bmod H)\}=\left\{x \in G \mid x a^{-1} \in H\right\} \\ &=\{x \in G \mid x \in H a\}=\{h a \mid h \in H\}=H a \end{aligned} \]</p><h3>따름정리 2.4.12</h3><p>군 \( G \) 의 부분군 \( H \) 에 대한 우 잉여류 전체의 집합을 \( \{H a \mid a \in G\} \)라 할 때 다음이 성립한다.</p><p>(1) \( b \in H a \Leftrightarrow H a=H b \)</p><p>(2) \( G=\cup H a \)</p><p>(3) 임의의 \( a, b \in G \) 에 대해 다음 중 하나만이 성립한다.</p><p>(i) \( H a \cap H b \neq \varnothing \)</p><p>(ii) \( H a=H b \).</p><p>\( H a \) 에 대하여 \( a \) 를 잉여류 \( H a \) 의 대표원(representative)이라 한다. \( b \in H a \) 이면, \( H a=H b \) 이므로 \( H a \) 의 모든 원소는 \( H a \) 의 대표원이 된다. 위의 따름정리에 의해서 집합족 \( \{H a \mid a \in G\} \) 는 \( G \) 의 분할이다.</p><p>\( H \) 가 유한집합이면 모든 \( H a \) 도 유한집합이고 \( H \) 와 같은 개수의 원소를 갖는다. 서로 다른 우 잉여류가 \( \mathrm{m} \) 개이면, 즉 \( [G: H]=\mathrm{m} \),</p><p>\[ G=H a_{1} \cup H a_{2} \cup \cdots \cup H a_{m}, H a_{1}=H, H a_{i} \cap H a_{j}=\varnothing, i \neq j \] 한편 \( \|G\|=\left\|H a_{1}\right\|+\left\|H a_{2}\right\|+\cdots+\left\|H a_{m}\right\|=m\|H\|=[G: H]\|H\| \) 이므로 \( \|H\| \) 는 \( \|G\| \) 의 약수이다. 이는 라그랑주 정리의 새로운 증명방법이다.</p> <h2>연습문제 2.8</h2><p>1 군 \( G \) 위의 공액관계 은 동치관계임을 보여라.</p><p>2 \(H \) 가 군 \( G \) 의 정규부분군이기 위한 필요충분조건은 \( H \) 에 대한 공액집합이 \( H \) 자신뿐임을 보여라.</p><p>3 군 \( G \) 의 원소 \( x \) 에 대하여 집합 \( C_{G}(G)=Z(G) \) 는 \( G \) 의 가환정규 부분군임을 보여라.</p><p>4 \( x \) 를 포함하는 공액류 \( \zeta \) 의 모든 원소의 위수는 \( x \) 의 위수와 같음을 보여라.</p><p>5 \(G \) 의 몇 개의 공액류합집합이 부분군이면 이 부분군은 \( G \) 의 정규 부분군임을 보여라.</p><p>6 위수가 \( p^{2}(p \) 는 소수)인 군 \( G \) 의 중심 \( Z(G) \) 의 위수를 구하라. 또 \( G \) 는 가환군임을 보여라.</p><p>7 대칭군 \( S_{4} \) 의 교대군 \( A_{4} \) 를 \( S_{4} \) 의 공액류의 합집합으로 나타내어라.</p><p>8 교대군 \( A_{4} \) 는 위수가 6 인 부분군을 갖지 않음을 보여라. 따라서 라그랑주 정리의 역이 성립하지 않는다.</p><p>9 다음은 대칭군 \( S_{5} \) 의 공액류를 나타낸 표이다. 교대군 \( A_{5} \) 를 공액류의 합집합으로 나타내어라.</p><p>10 \( A_{5} \) 의 공액류를 나타내는 표를 만들어라. 이 표를 이용하여 \( A_{5} \) 는 단순군임을 보여라.</p><p>11 정리 2.4.7의 라그랑주 정리의 역은 항상 성립하지 않는다. 그 반례(counter example)를 두 개 이상 들어라.</p><p>12 단순가환군 \( G(\neq\{e\} \) 는 위수가 소수인 순환군임을 보여라.</p><p>13 대칭군 \( G \) 의 부분군을 치환군이라 한다. 어떤 기치환을 포함하고 있는 치환군 \( G \) 는 \( G_{2} \cong\{1,-1\} \) 과 같거나 단순군이 아님을 보여라.</p><p>14 다음 사실을 증명하여라. "p \( \\| G \mid \) 인 가환인 유한군 \( G \) 에는 위수가 소수 \( p \) 인 원소가 존재한다." [귀납법 사용]</p><p>15 다음 사실을 증명하여라. “" \( \\| G \mid \) 인 유한군 \( G \) 에는 위수가 소수 \( p \) 인 원소가 존재한다.” [14번 이용]</p> <p>보기 6 법 4 에 관한 잉여류군 \( \left(\mathbb{Z}_{4},+\right) \) 와 4 원군 \( Q=\{1,-1, i,-i\}, i^{2}=-1 \) 은 동형이다.</p><p>정리 2.6.1에 의하여 \( f(0)=1, f(1)=-1 \) 이라 가정하면 1 의 역원은 3 이므로</p><p>\[ f(3)=f(-1)=f(1)^{-1}=(-1)^{-1}=-1 \text { 이다. } \quad \text { 그러므로 } \quad f(1)=-1=f(3) . \] \( 1 \neq 3 \) 이고 \( f(1)=f(3) \) 이므로 이러한 \( f \) 는 단사가 아니다. \( f(1)=i \) 라 가정하여 보자. 그러면 1 의 역원 3 의 값은 \[ \begin{array}{l} f(3)=f(-1)=f(1)=i=-i \\ f(2)=f(1+1)=f(1) \cdot f(1)=i \cdot i=-1 \\ f(3)=f(1+2)=f(1) \cdot f(2)=i \cdot(-1)=-i \end{array} \]</p><p>따라서 \( f: \mathbb{Z}_{4} \rightarrow Q \) 를 다음으로 정의하면 \( f \) 는 동형사상이다.</p><p>\( f(0)=1, f(1)=i, f(2)=-1, f(3)=-i \)</p><p>실제로 \( f(1+2)=f(3)=-i=i \cdot(-1)=f(1) f(2) \) 이므로 \( f \) 는 준동형의 조건을 만족한다.</p><p>보기 7 군 \( (\mathbb{Z},+) \) 와 군 \( \left(\mathbb{Q}^{}, \cdot\right), \mathbb{Q}^{}=\mathbb{Q}-\{0\} \) 은 동형이 아니다.</p><p>실제로, 동형사상 \( f: Z \rightarrow Q^{} \) 이 존재한다고 가정한다면 임의의 \( a, b \in Z \) 에 대하여 \( f(a+b)=f(a) f(b) \) 이고 \( f(n)=-1 \) 인 \( n \in Z \) 가 존재한다. 한편 정리 1에 의하여 0 은 \( Z \) 의 항등원이고 1 은 \( Q^{} \) 의 항등원이므로 \( f(0)=1 \) 이다. 따라서 \[ f(2 n)=f(n+n)=f(n) f(n)=(-1)(-1)=1=f(0) \] 그런데 \( 2 n \neq 0 \) 이므로 \( f \) 가 단사라는 가정에 어긋난다. 그러므로 \( Z \) 에서 \( Q^{} \)에로의 동형사상은 존재하지 않는다.</p><h3>정리 2.6.2</h3><p>2 군 준동형사상 \( f: G \rightarrow H, g: H \rightarrow K \) 의 합성사상 \( g \circ f: G \rightarrow K \) 도 군준동형사상이다.</p><p>증명 임의의 \( a, b \in G \) 에 대하여 \[ \begin{aligned} (g \circ f)(a b) &=g(f(a b))=g(f(a) f(b)) \\ &=g(f(a)) g(f(b))=(g \circ f)(a)(g \circ f)(b) \end{aligned} \] 이므로 \( g \circ f \) 는 \( G \) 에서 \( K \) 로의 준동형사상이다.</p> <h3>따름정리 2.6.7</h3><p>위수가 같은 두 순환군은 동형이다.</p><p>증명 위수가 \( n \) 인 순환 군 \( G \) 와 \( H \) 가 있으면 \[ G \cong Z_{n}, H \cong Z_{n} \] 이므로 \( G \cong H \) 이다.</p><p>군 \( G \) 의 어떤 원소 \( a \) 에 대하여 \( f_{a}(x)=a x, \forall x \in G \) 로 정의된 전단사사상 \( f_{a}: G \rightarrow G \) 의 전체의 집합 \( S_{G}=\left\{f_{a} \mid a \in G\right\} \) 는 합성연산에 의하여 군을 이룬다.</p><p>실제로, \( f_{e}=1_{G}, f_{a} \in S_{G} \) 에 대하여 \[ \begin{array}{c} \left(f_{e} \circ f_{a}\right)(x)=\left(1_{G} \circ f_{a}\right)(x)=1_{G}(f a(x)) \\ =1_{G}(a x)=a x=f_{a}(x), x \in G \\ \left(f_{a} \circ f_{e}\right)(x)=\left(f_{a} \circ 1_{G}\right)(x)=f_{a}\left(1_{G}(x)\right)=f_{a}(x) \end{array} \] 이므로 \( f_{e}=1_{G} \) 은 \( S_{G}=\left\{f_{a} \mid a \in G\right\} \) 의 항등원이다. \[ \begin{array}{l} \forall a \in G,\left(f_{a} \circ f_{a^{-1}}\right)(x)=f_{a}\left(a^{-1} x\right)= \\ a\left(a^{-1} x\right)=\left(a a^{-1}\right) x=e x=x=1_{G}(x), \quad \forall x \in G \end{array} \]</p><p>따라서 \( f_{a^{-1}}=f_{a}^{-1} \) 이다. 결과적으로 \( S_{G}=\left\{f_{a} \mid a \in G\right\} \) 는 합성 연산에 의하여 군을 이룬다.</p><p>군 \( G \) 에서 \( G \) 로의 전단사사상 전체의 집합을 \( G \) 위의 대칭군이라 하면 군 \( S_{G}=\left\{f_{a} \mid a \in G\right\} \) 는 이 대칭군의 부분군이다.</p><p>다음 명제는 군과 치환군의 관계를 설명하는 중요한 정리이다.</p><h3>정리 2.6.8 케일리(Cayley)</h3><p>임의의 군 \( G \) 는 \( G \) 위의 대칭군의 한 부분군과 동형이다.</p><p>증명 임의의 \( a \in G \) 에 대하여 \( f(a)=f_{a} \) 로 정의된 사상 \( f: G \rightarrow S_{G} \) 는 단사인 준동형 사상이다. 실제로 \( a, b \in G \) 에 관해 \[ f(a b)=f_{a b}=f_{a} \circ f_{b}=f(a) \circ f(b) \] \( f(a)=f(b) \) 즉, \( f_{a}=f_{b} \) 이면 모든 \( x \in G \) 에 대하여 \[ f(a)(x)=f_{b}(x), \quad a x=b x \]</p><p>\( x=e \) 이면 \( a=b \). 그러므로 \( f \) 는 단사사상 이다. 따라서 \( G \) 는 \( G \) 위의 대칭군의 한 부분군 \( S_{G} \) 와 동형이다.</p><p>보기 10 실수 군 \( (\mathbb{R},+) \) 에 대하여 \( f_{a}(x)=a+x, x \in \mathbb{R} \) 인 사상 \( f_{a}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) 는 \( a \) 만큼 평행이동을 의미한다.</p> <h3>정리 2.5.5</h3><p>상군 \( G / N \) 이 순환 군이고 \( N \subseteq Z(G) \) 이면 \( G \) 는 가환군이다.</p><p>증명 상군 \( G / N \) 이 순환 군이므로 \[ G / N=<N a>=\left\{N a^{n} \mid n \in Z\right\} \] 이다. 임의의 \( x, y \in G \) 에 대하여 \( n_{1}, n_{2} \in N \) 이 존재하여 \( x=n_{1} a^{i}, y=n_{2} a^{j} \) 로 둘 수 있다.</p><p>그러면 \[ x y=\left(n_{1} a^{i}\right)\left(n_{2} a^{j}\right)=\left(n_{1} n_{2}\right)\left(a^{i} a^{j}\right)=\left(n_{2} a^{j}\right)\left(n_{1} a^{i}\right)=y x . \] 따라서 \( G \) 는 가환군이다.</p><h3>정리 2.5.6</h3><p>\( N \subseteq H \) 인 군 \( G \) 의 정규부분군 \( N \) 과 부분군 \( H \) 에서 군 \( H / N \) 은 군 \( G / N \)의 부분군이다. 또 \( H \) 가 \( G \) 의 정규부분군이면 \( H / N \) 도 \( G / N \) 의 정규부분군이다.</p><p>증명 먼저 임의의 \( N a, N b \in H / N, a, b \in H \) 에 대하여 \( N a(N b)^{-1}=N a b^{-1} \), \( a b^{-1} \in H \) 이므로 \( N a(N b)^{-1} \in H / N \). 따라서 \( H / N \) 은 \( G / N \) 의 부분군이다.</p><p>다음은 \( H \Delta G \) 이면, 임의의 \( N a \in G / N, N b \in H / N \), 에 대하여 \[ (N a)^{-1} N b N a=N a^{-1} N b N a=N a^{-1} b a, \] \( a^{-1} b a \in H \) 이므로 \( (N a)^{-1} N b N a \in H / N \). 따라서 \( H / N \) 은 \( G / N \) 의 정규부분군이다.</p><p>정의 \( \{e\} \) 와 \( G \) 이외의 정규부분군을 갖지 않는 군 \( G \) 를 단순군(simple group)이라 한다.</p><p>보기 6 소수 \( p \) 에 대한 군 \( \left(\mathbb{Z}_{p},+\right) \) 은 단순군이다. 실제로 라그랑주 정리에 의하여 \( Z_{p} \) 의 진부분군은 \( \{\overline{0}\} \) 뿐이다.</p> <h2>2.9 자기 동형사상</h2><p>군 \( G \) 에서 \( G \) 자신으로의 준동형사상을 자기준동형사상(endomorphism), 동형사상을 자기동형사상(automorphism)이라 한다. 자기준동형사상 전체의 집합을 \( \operatorname{End}(G) \), 자기동형사상 전체의 집합을 \( \operatorname{Aut}(G) \) 로 나타낸다. 이를 활용하여 제 6장에 나오는 갈루아 군을 공부하는 것이 수업의 목표이다.</p><p>정의 군 \( G \) 의 고정된 원소 \( a \) 에 대하여 \( i_{a}(x)=a x a^{-1}, x \in G \) 로 정의된 사상 \( i_{a} \) 는 자기 동형사상이다. 사상 \( i_{a} \) 를 \( a \) 에 의하여 결정된 \( G \) 의 내적인 자기동형사상(inner automorphism)이라 한다. 내부자기동형사상이 아닌 자기동형사상을 외적인 자기동형사상(outer automorphism)이라 한다.</p><p>군 \( G \) 위의 내적인 자기동형사상 전체의 집합은 군을 이룬다. 이 군을 \( \operatorname{Inn}(G) \) 로 나타낸다. \( a x a^{-1} \) 를 \( x \) 를 \( y \) 에 의하여 공액 변형된 원소라 하고, \( y=a x a^{-1} \) 가 되는 원소 \( a \) 가 존재할 때 \( x \) 와 \( y \) 는 서로 공액원(conjugate element)이라 한다.</p><h3>정리 2.9.1</h3><p>\(\operatorname{Inn}(G) \) 는 \( \operatorname{Aut}(G) \) 의 정규부분군이다. 또 \( \mathrm{Aut}(G) \) 는 대칭군 \( A(G) \) 의 부분군이다.</p><p>증명 \( \operatorname{Aut}(G) \) 이 \( A(G) \) 의 부분군임은 분명하다. 먼저 \( \operatorname{Inn}(G) \) 가 \( A(G) \) 의 부분군임을 보이자. \( i_{a}, i_{b} \in \operatorname{Inn}(G) \) 이며 모든 \( x \in G \) 에 대하여 \[ \left(i_{a} \circ i_{b}\right)(x)=i_{a}\left(i_{b}(x)\right)=i_{a}\left(b x b^{-1}\right)=a\left(b x b^{-1}\right) a^{-1} \] \[ =(a b) x(a b)^{-1}=i_{a b}(x) \] 그러므로 \( i_{a} \circ i_{b}=i_{a b} \in \operatorname{Inn}(G) . \quad i_{e} \circ i \in \operatorname{Inn}(G) \) 이고, \( i_{a} \circ i_{a-1}=i_{a b-1} \) \( =i_{e}=i \) 에서 \( \left(i_{a}\right)^{-1}=i_{a-1} \in \operatorname{Inn}(G) \). 그러므로 \( \operatorname{Inn}(G) \) 는 \( A(G) \) 의 부분군, 즉 \( A u t(G) \) 의 부분군이다.</p><p>이제, \( \operatorname{Inn}(G) \) 가 \( \operatorname{Aut}(G) \) 의 정규부분군임을 보이기 위하여 \( \sigma \in A u t(G) \), \( \sigma \in \operatorname{Aut}(G), i_{a} \in \operatorname{Inn}(G) \) 라 하자. 임의의 \( x \in G \) 에 대하여 다음이 성립한다. \[ \begin{aligned} \left(\sigma^{-1} i_{a} \sigma\right)(x) &=\left(\left(\sigma^{-1}\right) i_{a}\right)(\sigma(x))=\sigma^{-1}\left(i_{a}(\sigma(x))\right)=\sigma^{-1}\left(a \sigma(x) \sigma^{-1}\right.\\ &=\sigma^{-1}(a)\left(\sigma^{-1}(\sigma(x)) \sigma^{-1}\left(\sigma^{-1}\right)=\sigma^{-1}(a) x \sigma(a)\right.\\ &=\sigma^{-1}(a) x\left(\sigma^{-1}(a)\right)^{-1}=i_{\sigma^{-1}(a)} \in \operatorname{Inn}(G) \end{aligned} \] 따라서 \( \operatorname{Inn}(G) \triangleleft \operatorname{Aut}(G) \) 이다.</p> <h3>정리 2.3.5</h3><p>군 \( G \) 의 중심 \( Z(G)=\{a \in G \mid a x=x a, \quad \forall x \in G\} \) 는 \( G \) 의 부분군이다.</p><p>증명 항등원 \( e \) 는 \( G \) 의 모든 원소와 가환이므로 \( Z(G) \neq \varnothing \) 이다. 임의의 \( a, b \in Z(G) \) 에 대하여 \( a x=x a, b x=x b, \forall x \in G \) 이므로 \[ \begin{aligned} \left(a b^{-1}\right) x &=a\left(b^{-1} x\right)=a\left(x^{-1} b\right)^{-1}=a\left(b x^{-1}\right)^{-1} \\ &=a\left(x b^{-1}\right)=(a x) b^{-1}=(x a) b^{-1}=x\left(a b^{-1}\right) \end{aligned} \] 따라서 \( a b^{-1} \in Z(G) \) 이다. 정리 1 의 (3)에 의하여 \( Z(G) \) 는 군 \( G \) 의 부분군이다.</p><p>지금부터 군 \( G \) 의 부분군을 생성하는 일반적인 방법을 생각하여 보자.</p><p>정의 군 \( G \) 의 부분집합 \( S(\neq \varnothing) \) 를 포함하는 \( G \) 의 부분군 전체의 교집합을 \( S \) 에 의하여 생성된 부분군(subgroup generated by \( S \) )이라 하고, \( \langle S\rangle \) 로 나타낸다. 즉, \[<S>=\cap\{H \mid S \subseteq H, \quad \forall H<G\} . \] 군 \( G \) 의 부분군들의 교집합은 \( G \) 의 부분군이고, 모든 \( H \supseteq S \) 이므로 \(<S>\) 는 \( S \) 를 포함하고 있는 최소의 부분군이다. \( S \) 의 원소를 \( \langle S\rangle \) 의 생성원(generator)이라 한다.</p><p>군 \( G \) 의 부분집합 \( T \neq S \) 에 대하여, \( \langle T\rangle=\langle S\rangle \) 인 경우가 있을 수 있다. \( S=\left\{a_{1}, \cdots, a_{n}\right\} \) 이면 \(<S>=<a_{1}, \cdots, a_{n}>\) 으로 나타낸다.</p><p>특히 \( G=\left\langle S>=<a_{1}, \cdots, a_{n}>\right. \) 이면 \( G \) 는 유한생성(finitely generated)군이라고 하고, \( \left\{a_{1}, \cdots, a_{n}\right\} \) 을 \( G \) 의 생성원 집합(generating set)이라 한다.</p><p>보기 9 군 \( (\mathbb{Z},+) \) 는 모든 홀수에 의하여 생성되고, \( \mathbb{Z}_{12} \) 는 모든 홀수 \( 1,3,5,7,9, 11 \)에 의하여 생성된다. 또 \( \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{3} \) 는 \( (1,1),(1,2) \) 에 의하여 생성된다.</p> <h2>2.2 군의 기본성질</h2><p>이 절에서는 군 \( G \) 의 기본적인 성질을 공부하여 다음에 나오는 군의 성질에 활용함을 수업목표로 한다.</p><p>정의 군 \( (G, \cdot) \) 에서, 모든 \( a \in G \) 에 대하여 \( a e=a \) 를 만족하는 \( G \) 의 원소 \( e \) 를 우측 항등원(right identity), \( e a=a \) 를 만족하는 \( e \) 를 좌측항등원(left identity)이라고 한다.</p><p>모든 \( a \in G \) 에 대하여 \( a a^{\prime}=e \) 인 원소 \( a^{\prime} \) 를 \( a \) 의 우측역원(right inverse), \( a^{\prime} a=e \) 인 원소 \( a^{\prime} \) 를 \( a \) 의 좌측역원(left inverse)이라 한다.</p><h3>정리 2.2.1</h3><p>반군 \( G \) 가, 군이 되기 위한 필요충분조건은 \( G \) 의 좌측항등원과 모든 \( a \in G \) 에 대하여, \( a \) 의 좌측역원이 존재하는 것이다. 즉 반군 \( G \) 가 좌측항등원과 좌측역원을 갖는다면 이들은 각각 항등원, 역원과 같게 된다.</p><p>두 가지 방법으로 증명할 수 있다.</p><p>증명1 \( G \) 를 좌측항등원과 좌측역원을 가지는 반군이라 하자. \( G \) 의 좌측항등원을 \( e \) 라 하고, \( a \in G \) 에 대하여 \( a \) 의 좌측역원을 \( a^{-1} \) 라 하면, \[ e a=a, a^{-1} a=e \] 이다.</p><p>여기서, \( a e=a \) 과 \( a a^{-1}=e \) 을 보이면 \( e \) 와 \( a^{-1} \) 가 각각 우측항등원과 \( a \) 의 우측역원이 됨을 보임으로써 증명이 완성된다.</p><p>\( G \) 의 원소 \( a^{-1} \) 에 대하여, \( a^{-1} \) 의 좌측역원 \( \left(a^{-1}\right)^{-1} \) 가 존재하여 \( \left(a^{-1}\right)^{-1} a^{-1} \) \( =e \) 이다. 그러므로 \( a a^{-1}=e\left(a a^{-1}\right)=\left(\left(a^{-1}\right)^{-1} a^{-1}\right)\left(a a^{-1}\right)=\left(a^{-1}\right)^{-1} \) \( \left(a^{-1} a\right) a^{-1}=\left(a^{-1}\right)^{-1}(e) a^{-1}=\left(a^{-1}\right)^{-1} a^{-1}=e \) 이 성립한다. 또한, \[ a e=a\left(a^{-1} a\right)=\left(a a^{-1}\right) a=e a=a \]이다. 그러므로 \( G \) 는 군이 된다.</p><p>증명2 위의 증명1과 별도로 \( a e=a \) 과 \( a a^{-1}=e \) 을 보임으로써 증명을 완성하고자 한다. 먼저, \( c c=c \) 인 \( G \) 의 원소 \( c \) 는 \( e \) 가 된다. 왜냐하면, \( c c=c \) 이면 \[ c=e c=\left(c^{-1} c\right) c=c^{-1}(c c)=c^{-1} c=e \] 이기 때문이다.</p><p>또한, 좌측역원의 정의에 의하여 \[ \left(a a^{-1}\right)\left(a a^{-1}\right)=a\left(a^{-1} a\right) a^{-1}=a(e) a^{-1}=a a^{-1} \] 이 성립한다. 즉, \( \left(a a^{-1}\right)\left(a a^{-1}\right)=a a^{-1} \) 이므로 \( a a^{-1}=e \) 이다.</p><p>한편, 임의의 \( a \in G \) 에 대하여, \[ a e=a\left(a^{-1} a\right)=\left(a a^{-1}\right) a=(e) a=a \] 이 된다.</p><p>반대방향의 증명은 군의 정의에 의하여 분명히 성립한다. 그러므로 \( G \) 는 군이 된다.</p> <h3>정리 2.7.2</h3><p>\(G=H K, H \cap K=\{e\} \) 인 군 \( G \) 의 정규부분군 \( H, K \) 에 대하여 \( G \cong H \) \( \times K \) 이다</p><p>증명 사상 \( f: H \times K \rightarrow G, f(a, b)=a b, a \in H, b \in K \) 가 동형사상임을 보이자. 임의의 \( g \in G \) 에 대하여 \( g=a b, a \in H, b \in K \) 가 존재하므로 \( f(a, b)=a b=g \) 즉 전사이다. 임의의 원소 \( (a, b),(c, d) \in H \times K \) 에 대하여 \[ f((a, b)(c, d))=f(a c, b d)=(a c)(b d)=a c b d \]</p><p>그런데 \( H \cap K=\{e\} \) 이므로 연습문제 2.7.7에 의하여 \( c b=b c, c \in H, b \in K \). \[ a c b d=a b c d=f(a, b) f(c, d) \] 이므로 \( f \) 는 준동형사상이다.</p><p>끝으로 \( f \) 가 일대일임을 보이자. \( (a, b) \in \operatorname{Ker} f \) 이면 \( f(a, b)=e=a b \) 이므로 \( a=b^{-1} \in H \cap K=\{e\} . \quad a=e \) 이므로, \( b=e, \quad(a, b)=(e, e) \). 따라서 \( \operatorname{Kerf}=\{(e, e)\} \) 이므로 정리 2.6.4에 의하여 \( f \) 는 일대일이다. 결과적으로 \( f \)는 \( H \times K \) 에서 \( G \) 로의 동형사상이므로 \( H \times K \cong G \) 즉, \( G=H \times K \) 이다.</p><p>정리 2.7.2에 의하여, \( H \oplus K=K \oplus H, G=\{e\} \oplus G=G \oplus\{e\} \bar{H}=H \times I_{H} \), \( \bar{K}=I_{K} \times K \) 라 놓으면 \( \bar{H} \bar{K}=G, \bar{H} \cong H, \bar{K} \cong K, \bar{H} \cap \bar{K}=\{(e, e)\} \) 이므로 정리 2에 의하여 \( H \times K \cong \bar{H} \oplus \bar{K} \cong H \oplus K \) 가 성립한다. 그러므로 \( H, K \) 의 내적 직적과 외적 직적은 같은 개념이다. 내적 직적과 외적 직적을 다 같이 직적 (direct product)이라 한다.</p><p>군 \( G \) 가 부부군 \( H, K \) 의 직적이라는 개념은 존재성과 유일성에 연관되는 개념이다.</p> <h3>정리 2.3.6</h3><p>\(<S>\) 의 원소는 \( a_{i} \in S \) 또는 \( a_{i} \in S^{-1} \) 의 유한 곱 \( a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \), \( (i=1,2, \cdots, n) \) 의 꼴로 표시 된다. \[ \text { 즉 }\langle S\rangle=\left\{a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \mid a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} \in S \cup S^{-1}\right\} \text { 이다. } \]</p><p>증명 \( \quad H=\left\{a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \mid a_{i} \in S\right. \) 또는 \( \left.a_{i}^{-1} \in S\right\} \) 라 하자.</p><p>임의의 \( x=a_{1} a_{2} \cdots a_{n}, y=b_{1} b_{2} \cdots b_{n} \in H \) 에 대하여 \[ x y^{-1}=a_{1} a_{2} \cdots a_{n} b_{n}^{-1} \cdots b_{2}^{-1} b_{1}^{-1} \] 이므로 \( x y^{-1} \in H \) 이고, \( H \) 는 군 \( G \) 의 부분군이다.</p><p>특히, \( S \subseteq H \) 이고 \(<S>\) 는 \( S \) 를 포함하고 있는 모든 부분군의 교집합이므로 \( \prec S>\subseteq H .<S>\) 는 \( S \) 를 포함하고 있는 부분군이므로 \( a_{i} \in \mathrm{S} \) 또는 \( a_{i}^{-1} \)\( \in \mathrm{S} \) 에 대하여 \( a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \in\langle\rangle \). 그러므로 \( \prec S>\supseteq H \) 이로서 \( H=\langle S\rangle \)임이 증명된다.</p><p>정의 군 \( G \) 의 원소 \( a \) 에 의하여 생성된 부분군 \( \prec a>\) 를 \( a \) 에 의하여 생성된 순환부분군(cyclic subgroup generated by \( a \) )라고 한다. \( G=\langle a\rangle \) 일 때, \( G \) 는 \( a \) 를 생성원으로 갖는 순환군(cyclic group)이라고 한다.</p><p>순환군은 여러 개의 생성원을 가질 수 있다. \( \left\langle a>=<a^{-1}>\right. \) 이므로 \( a \) 와 \( a^{-1} \) 는 생성원이다. 순환군 \( G=<a>\) 의 임의의 원소는 \( a^{n}, n \in \mathbb{Z} \) 의 꼴로 표시된다. 즉 \( \left\langle a>=\left\{a^{n} \mid n \in \mathbb{Z}\right\}\right. \).</p><p>보기 10 정수 군 \( (\mathbb{Z},+) \) 에서는 원소 \( a \in \mathbb{Z} \) 에 의하여 생성된 순환군은 \( \langle a\rangle=\{n a \mid n \in \mathbb{Z}\} \) 이다. 예를 들어 \[<0>=\{0\}, \quad<1>=\mathbb{Z}, \quad<3>=3 \mathbb{Z} \] 는 각각 \( 0,1,3 \) 을 생성원으로 갖는 순환군이다.</p><p>보기 11 대칭군 \( S_{3}=\{1,(123),(132),(12),(13),(2,3)\} \) 의 부분군 \(<1>=\{1\} \), \(<\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3\end{array}\right)>=\left\{1,\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & 3 & 2\end{array}\right)\right\}=<\left(\begin{array}{lll}1 & 3 & 2\end{array}\right)>,<\left(\begin{array}{ll}1 & 2\end{array}\right) \geqq\left\{1,\left(\begin{array}{ll}1 & 2\end{array}\right)\right\} \), \(<(13)>=<1,(13)>,<\left(\begin{array}{lll}2 & 3\end{array}\right)>=\{1,(23)\} \) 은 모두 순환 부분군이다. 그러나 \( S_{3} \) 는 순환군이 아니다</p><p>보기 12 법 \( n \) 에 관한 잉여류군 \( \mathbb{Z}_{n} \) 은 \( \overline{1} \) 를 생성원으로 갖는 순환군이다.</p> <h3>따름정리 2.4.13</h3><p>\( K \subseteq H \subseteq G \) 를 만족하는 유한군 \( G \) 의 부분군 \( K, H \) 의 지수는 다음 관계를 갖는다. \[ [G: K]=[G: H][H: K] \]</p><p>\( [G: H]=\mathrm{m},[H: K]=\mathrm{n} \) 이라 하면 서로소인 우 잉여류의 집합 \( \left\{H a_{i} \mid a_{i} \in G\right\} \), \( \left\{K b_{j} \mid b_{j} \in H\right\} \) 가 존재하여 \[ G=\bigcup_{i=1}^{m} H a_{i}, H=\bigcup_{j=1}^{n} K b_{j} \] 그러면 \[ G=\bigcup_{i=1}^{m}\left(\bigcup_{j=1}^{n} K b_{j}\right) a_{i}=\bigcup_{i=1}^{m} \bigcup_{j=1}^{n} K b_{j} a_{i} \] 이고 \( K b_{j} a_{i} \) 의 개수는 많아야 \( m \times n=m n \) 개다. \( K b_{j} a_{i}=K b_{r} a_{t} \) 인 경우는 \( j=r, i=t \) 임을 보이기만 하면 서로소인 \( K b_{j} a_{i} \) 는 \( m n \) 개가 됨을 알 수 있기 때문에 이 정리의 증명은 완성된다.</p><p>실제로 \( K b_{j} a_{i}=K b_{r} a_{t} \) 라 하면 \( e \in K \) 이므로 \( b_{j} a_{i}=k b_{r} a_{t} \) 인 \( k \in K \) 가 존재한다.</p><p>\( b_{j}, b_{r}, k \in H \) 이므로 다음 식에서 \( i=t \) 이다. \[ H a_{i}=H b_{j} a_{i}=H k b_{r} a_{t}=H a_{t} \] 한편, \( i=t \) 이면 \( b_{j}=k b_{r} \) 이고 \( K b_{j}=K k b_{r}=K b_{r} \) 에서 \( j=r \).</p><p>정리 2.4.2에 의하면 부분군 \( H, K \) 에서 \( H K \) 가 부분군이기 위한 필요충분조건은 \( H K=K H \) 가 되는 것이었다. 아래의 정리는 \( H, K \) 가 유한군이면 \( H K \) 가 유한집합이 된다는 것을 보여준다.</p><h3>정리 2.4.14</h3><p>\( H, K \) 가 군 \( G \) 의 유한부분군이면 다음이 성립한다. \[ \|H K\|=\frac{\|H\|\|K\|}{\|H \cap K\|} \]</p><p>\( D=H \cap K \) 는 \( K \) 의 부분군이므로 \( K \) 에서 \( D \) 의 지수가 m이면 \[ K=D k_{1} \cup D k_{2} \cup \cdots \cup D k_{m}, k_{i} \in K \] 가 되는 서로 다른 우 잉여류 \( \left\{D k_{i} \mid k_{i} \in K\right\} \) 가 존재한다. \( H D=H(H \cap K)=H \) 이므로 \[ H K=H k_{1} \cup H k_{2} \cup \cdots \cup H k_{m} \] 여기서, \( i \neq j \) 일 때 \( H k_{i} \neq H k_{j} \) 임을 보이자. \( x \in H k_{i} \cap H k_{j} \) 이면 \( h_{1}, h_{2} \in H \) 가 존재하여 \( x=h_{1} k_{i}=h_{2} k_{j} \). 이것은 다시 \( k_{i}=h_{1}^{-1} h_{2} k_{j}, \quad k_{i} k_{j}^{-1}=h_{1}^{-1} h_{2} \) \( \in H \cap K \) 이므로 \( k_{i} k_{j}^{-1} \in D \), 그래서 \( k_{i} \in D k_{j} \) 이고 \( D k_{i}=D k_{j} \) 이다. 이는 \( \left\{D k_{i} \mid k_{i} \in K\right\} \) 의 선택에 모순이다. 모든 \( i \) 에 대하여 \( \left\|H k_{i}\right\|=\|H\| \) 이므로 \[ \|H K\|=m\|H\|=\frac{\|K\|}{\|D\|}\|H\|=\frac{\|H\|\|K\|}{\|H \cap K\|} \] 이다.</p> <p>보기 9 다음의 준동형사상 \( f:(\mathbb{Z},+) \rightarrow\left(\mathbb{R}^{}, \cdot\right), \mathbb{R}^{}=\mathbb{R}-\{0\} \) 의 핵을 구하여 보자. \[ f(n)=\left\{\begin{aligned} 1, & n \in 2 \mathbb{Z} \\ -1, & n \in 2 \mathbb{Z}+1 \end{aligned}\right. \] \( \operatorname{Kerf}=\{n \in \mathbb{Z} \mid f(n)=1\}=2 \mathbb{Z}, f(\mathbb{Z})=\{1,-1\} \) 이고 \( \operatorname{Kerf} \Delta Z \) 이다. 더구나 \( \operatorname{Kerf} \neq\{0\} \) 이므로 \( f \) 는 동형이 아니다.</p><p>순환군의 성질을 군 준동형사상으로 알아본다. 일반적인 군의 구조를 규명하기 전에 순환군의 구조를 먼저 살펴본다.</p><h3>정리 2.6.5</h3><p>정수 군 \( (\mathbb{Z},+) \) 의 임의의 부분군 \( H \) 는 순환군이다. \( H \neq<0>\) 이면 \( H \) 의 최소양의 정수 \( m \) 에 대하여 \( H=<m>\) 은 무한군이다.</p><p>증명 \( \quad H=<0>\) 또는 \( H \neq<0>\) 의 두 가지 경우뿐이다. \( H \neq<0>\) 의 최소양의 정수를 \( m \) 이라 하면</p><p>\[<m>=\{m k \mid k \in Z\} \subseteq H . \] 역으로, 임의의 \( h \in H \) 를 택한다면, \( h=q m+r, 0 \leq r<m \) 인 정수 \( q, r \) 이 존재하여 \( r=h-q m \in H \) 이다. \( m \) 의 최소성에 의하여 \( r=0, \quad h=q m \) \( \in\langle m\rangle \). 따라서 \( H=\langle m\rangle \) 이다. 더욱이, \( H=\langle m\rangle=m Z \) 은 무한집합이므로, 자명하지 않은 \( Z \) 의 모든 부분군은 무한 순환부분군이다.</p><h3>정리 2.6.6</h3><p>위수가 \( n \) 인 모든 유한 순환군은 군 \( \left(\mathbb{Z}_{n},+\right) \) 와 동형이다. 또 모든 무한 순환군은 \( (\mathbb{Z},+) \) 와 동형이다.</p><p>증명 \( G=\langle a\rangle=\left\{e, a, a^{2}, \cdots, a^{n-1}\right\} \) 이라 하자. 사상 \( f: G \rightarrow \mathbb{Z}_{n,} f\left(a^{k}\right)=\bar{k}, 0 \leq k<n \) 이 동형임을 보인다.</p><p>실제로, \( f \) 가 전사사상임은 분명하다. \( f \) 가 잘 정의되고 단사임을 보이기 위하여, \( f\left(a^{k}\right)=f\left(a^{l}\right) \) 일 필요충분조건은 \( \bar{k}=\bar{l} \) 이다. 또 이의 필요충분조건은 \( k \equiv l(\bmod n) \) 이고, 다시 이의 동치조건은 \( a^{k}=a^{l} \) 이다.</p><p>임의의 \( a^{k}, a^{l} \in<a>\) 에 대하여 다음이 성립한다. \[ f\left(a^{k} a^{l}\right)=f\left(a^{k+l}\right)=\overline{k+l}=\bar{k}+\bar{l}=f\left(a^{k}\right)+f\left(a^{l}\right) \] 이로써 \( f \) 는 전단사인 군 준동형사상, 즉 군 동형사상임이 증명되었다.</p><p>다음은, \( G=<a>\) 가 무한군이면 \( f: G \rightarrow Z, f\left(a^{k}\right)=k, k \in Z \) 이 군 준동형사상임은 분명하다. 즉 \[ f\left(a^{k} a^{l}\right)=f\left(a^{k+l}\right)=k+l=f\left(a^{k}\right)+f\left(a^{l}\right) \]</p> <h3>정리 2.8.5</h3><p>유한군 \( G \) 의 서로 다른 공액류 전체를 \( \zeta_{1}=\{e\}, \quad \zeta_{2}, \cdots, \zeta_{r} \), \( x_{i} \in \zeta_{i},\left\|\zeta_{i}\right\|=h_{i}(i=1, \cdots, r) \) 라고 할 때 다음이 성립한다.</p><p>(1) \( \|G\|=h_{i}+\cdots+h_{r}, h_{i}=\left[G: C_{G}\left(x_{i}\right)\right], i=1, \cdots, r \)</p><p>(2) \( h_{1}=\cdots=h_{k}=1, h_{i}>1(i>k) \) 이라고 하면 \[ \|G\|=\|Z(G)\|+h_{k+1} \cdots+h_{r} . \]</p><p>증명 정리 2.8.4에 의하여 \( h_{i}=\left\|\zeta_{i}\right\|=\left[G: C_{G}\left(x_{i}\right)\right] . Z(G) \) 의 모든 원소 \( a \in G \) 에 대하여 \( C_{G}(a)=G \) 이므로 \( \left[G: C_{G}\left(x_{i}\right)\right]=[G: G]=1 . x_{i} \in Z(G) \) 이면 \( \left\|\zeta_{i}\right\|=1 \) 이므로 \( \left\|\zeta_{i}\right\|=1 \) 인 모든 공액류는 모두 \( \|Z(G)\| \) 개가 존재한다.</p><p>위 정리의 방정식을 유한군 \( G \) 의 류등식(class equation)이라 하고, 중심 \( Z(G) \) 는 \( G \) 의 부분군이므로 \( \|Z(G)\|\|\| G \mid \) 이 성립한다.</p><p>보기 1 대칭군 \( S_{3}=\{1,(12),(13),(23),(123),(132)\} \) 의 항등치환 1 은 \( Z\left(S_{3}\right) \)의 원소이다. \[ \begin{array}{l} (13)(12)=(132), \quad(12)(13)=(123) \\ (23)(12)=(123), \quad(12)(23)=(132) \end{array} \]</p><p>이므로 \( (12)(13) \neq(13)(12), \quad(12)(23) \neq(23)(12), \quad(12),(13),(23) \) 은 \( Z\left(S_{3}\right) \) 의 원소가 아니다. \( \left\|Z\left(S_{3}\right)\right\|=1,2,3,6 \) 에서 \( \left\|Z\left(S_{3}\right)\right\|=1,2,3 \) 만이 가능하다. 그런데 \( (12)(123)=(13), \quad(123)(12)=(23) \) 이므로 \( (123)(12) \) \( \neq(12)(123) \). 즉 중심에 속하지 않는 것은 적어도 네 개다. 그러므로 \( \left\|Z\left(S_{3}\right)\right\|=1,2 \)</p><p>끝으로 \( (12)(132) \neq(132)(12) \) 이므로 \( Z\left(S_{3}\right) \) 의 원소가 아닌 것은 다섯 개 이상이다. 결국 \( \left\|Z\left(S_{3}\right)\right\|=1 \) 이므로 \( Z\left(S_{3}\right)=\{1\} \) 이다.</p><p>보기 2 대칭군 \( S_{3} \) 의 류등식을 구하여 보자. \( \left\|Z\left(S_{3}\right)\right\|=1 \) 이므로 \( \zeta_{1}=\{1\} \). 위수가 1 보다 큰 공액류를 구하면 \[ \zeta_{2}=\{(12),(13),(23)\}, \zeta_{3}=\{(123),(132)\} \] 따라서 \( \|G\|=1+\left\|h_{2}\right\|+\left\|h_{3}\right\|=1+3+2 \).</p><p>보기 3 대칭군 \( G=S_{3} \) 에서 \( h_{1}=\left[G: C_{G}(12)\right], h_{2}=\left[G: C_{G}(123)\right] \) 을 구하여 보자. \( x \in C_{G}(12) \Leftrightarrow x(12) \Leftrightarrow(12) x \Leftrightarrow x=1, x=(12) \) 이므로 \( C_{G}(12)=\{1,(12)\} \). \( h_{1}=\left[G:\{1,(12)\}=\frac{\|G\|}{2}=\frac{6}{2}=3 . C_{G}(123)=\{1,(123),(132)\}\right. \) 이므로 \( h_{2}=\frac{\|G\|}{3}=\frac{6}{3}=2 \)</p><p>다음은 군 \( G \) 의 중심의 원소의 개수에 대하여 알아본다.</p> <h3>정리 2.7.4</h3><p>직적 \( G=G_{1} \times \cdots \times G_{n} \) 에는 다음 조건을 만족하는 정규부분군 \( \overline{G_{1}}, \cdots \), \( \overline{G_{n}} \) 이 존재한다. 여기서 각 \( e_{i} \) 는 \( G_{i} \) 의 항등원이다.</p><p>(1) \( \overline{G_{i}} \cong G_{i} \)</p><p>(2) \( G=\overline{G_{1}} \cdots \overline{G_{n}} \)</p><p>(3) \( \overline{G_{i}} \cap\left(\overline{G_{1}} \cdots \overline{G_{i-1}} \overline{G_{i+1}} \cdots \overline{G_{n}}\right)=\left(e_{1}, \cdots, e_{n}\right), i=1, \cdots, n \)</p><p>증명 각 \( G_{i} \) 에 대하여 \( \overline{G_{i}} \triangleleft G \) 임은 십게 증명되므로 독자에게 맡기고, (2), (3)을 증명하자. 임의의 \( \left(a_{1}, \cdots, a_{n}\right) \in G \) 는 다음으로 표시된다. \[ \begin{aligned} \left(a_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}\right) & \cdots\left(e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n-1}, a_{n}\right) \\ \left(a_{1}, e_{1}, \cdots, e_{n}\right) &=f_{1}\left(a_{1}\right),\left(e_{1}, a_{2}, e_{3}, \cdots, e_{n}\right) \\ &=f_{2}\left(a_{2}\right), \cdots,\left(e_{1}, \cdots, e_{n-1}, a_{n}\right)=f_{n}\left(a_{n}\right) \end{aligned} \] 이므로 \[ \left(a_{1}, \cdots, a_{n}\right)=f_{1}\left(a_{1}\right) \cdots f_{n}\left(a_{n}\right) . \] 그러므로 \( G=G_{1} \times \cdots \times G_{n}=\overline{G_{1}} \cdots \overline{G_{n}} \). 또 \( G \) 의 원소 \( a=\left(a_{1}, \cdots, a_{n}\right) \) \( \in \overline{G_{i}} \cap\left(\overline{G_{1}} \ldots \overline{G_{i-1}} \overline{G_{i+1}} \ldots \overline{G_{n}}\right) \) 에 대하여 \( a \in \overline{G_{i}} \) 이므로, 모든 \( j(\neq i) \) 에 대하여 \( a_{j}=e_{j} \). 그런데 \( \overline{G_{1}} \cdots \overline{G_{i-1}} \overline{G_{i+1}} \ldots \overline{G_{n}} \) 의 원소의 \( i \) 번째 성분은 \( e_{i} \) 이므 로 \( a_{i}=e_{i} \). 따라서 \( a=\left(e_{1}, \cdots, e_{n}\right) \) 이다.</p><p>정의 군 \( G \) 의 정규부분군 \( N_{1}, \cdots, N_{n} \) 이 \( G \cong N_{1} \times \cdots \times N_{n} \) 을 만족할 때 \( G \) 는 \( N_{1}, \cdots, N_{n} \) 의 (내적)직적이라 하고, 각 \( N_{i} \) 의 (내적)직적인자라 한다. 이때 \( G \cong N_{1} \dot{\times} \cdots \dot{\times} N_{n} \) 또는 \( G=N_{1} \times \cdots \times N_{n} \) 으로 나타낸다.</p><p>덧셈군 \( G \) 의 부분군 \( H_{1}, \cdots, H_{n} \) 이 \( G \) 의 직적인자이면 \( G=H_{1} \oplus \cdots \oplus H_{n} \)으로 나타낸다. \( G \) 를 각 \( H_{i} \) 의 직합이라 하고, \( H_{i} \) 직합인자라 한다.</p> <p>보기16 \( \mathbb{Z} \) 의 부분군 관계 \( 100 \mathbb{Z} \subset 25 \mathbb{Z} \subset \mathbb{Z} \) 에서 \( \mathbb{Z} / 100 \mathbb{Z}<25 \mathbb{Z} / 100 Z \mathbb{Z} \) 이므로 \( (\mathbb{Z} / 100 \mathbb{Z}) /(25 \mathbb{Z} / 100 \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z} / 25 \mathbb{Z} \) 이다.</p><h3>정리 2.6.15</h3><p>5 군 준동형사상 \( f: G \rightarrow G \) 가 전사사상이고 \( \operatorname{Kerf}=K \) 라 하면 다음이 성립한다.</p><p>(1) \( H \) 가 \( G \) 의 부분군이면, \( f(H) \) 는 \( G^{\prime} \) 의 부분군이고 \( f^{-1}(f(H))=H K= \) \( \mathrm{KH} \) 이다.</p><p>(2) \( H^{\prime} \) 가 \( G^{\prime} \) 의 부분군이면, \( f^{-1}\left(H^{\prime}\right) \) 는 \( G \) 의 부분군이고 \( K \subseteq f^{-1}\left(H^{\prime}\right) \), \( f\left(f^{-1}\left(H^{\prime}\right)\right)=H^{\prime} \) 이다.</p><p>증명 (1) 정리 1 에 의하여 \( f(H) \) 는 \( G \) 의 부분군이다. \( f^{-1}(f(H))=K H \) 임을 보이자.</p><p>만약 \( x \in f^{-1}(f(H)) \) 이면, \( f(x) \in(f(H)) \) 이므로 \( f(x)=f(h) \) 인 \( h \in H \) 가 존재한다. 이것으로부터, \( f\left(x h^{-1}\right)=f(x)(f(h))^{-1}=e \) 즉, \( x h^{-1} \in K \) 이고 \( x \in K h \subseteq K H \), 따라서 \( f^{-1}(f(H)) \subseteq K H \).</p><p>반면에 \( k h \in K H \) 이면 \( f(k h)=f(k) f(h)=e f(h)=f(h) \in f(H) \). 그러면 \( k h \in f^{-1}(f(H)) \). 따라서 \( K H \subseteq f^{-1}(f(H)) \).</p><p>한편, 제2동형정리에 의해서 \( K H<G \) 이므로 \( K H=H K \) 이다. 결과적으로 \( f^{-1}(f(H))=H K=K H \) 이다.</p><p>(2) 만약 \( a, b \in f^{-1}\left(H^{\prime}\right) \) 이면, \( f(a), f(b) \in H^{\prime} \) 이고 \( f\left(a b^{-1}\right)=f(a) f(b)^{-1} \) \( \in H^{\prime} \) 이므로 \( a b^{-1} \in f^{-1}\left(H^{\prime}\right) \) 이다. 따라서 \( f^{-1}\left(H^{\prime}\right)<G \) 이다. 끝으로 \( K=\left\{x \in G \mid f(x)=e^{\prime}\right\} \subseteq f^{-1}\left(H^{\prime}\right) \) 이고 \( f\left(f^{-1}\left(H^{\prime}\right)\right)=H^{\prime} \) 는 쉽게 증명된다.</p> <h3>정리 2.8.3</h3><p>군 \( G \) 의 부분집합 \( H \) 와 \( N_{G}(H) \) 에 다음이 성립한다.</p><p>(1) \( H \) 가 \( G \) 의 부분군이면 \( H \) 는 \( N_{G}(H) \) 의 정규부분군이다.</p><p>(2) \( H \) 가 부분군 \( N \) 의 정규부분군이면 \( H \subseteq N \subseteq N_{G}(H) \) 이다.</p><p>증명 (1) \( N_{G}(H)=\left\{a \in G \mid a^{-1} H a=H\right\} \) 이므로 임의의 \( a \in N_{G}(H) \) 에 대하여 \( a^{-1} H a=H \). 그러므로 \( H \triangleleft N_{G}(H) \).</p><p>(2) 임의의 \( a \in N \) 에 대하여 \( a^{-1} H a=H \) 이므로 \( a \in N_{G}(H) \). 그러므로 \( N \subseteq N_{G}(H) \)</p><p>두 원소 \( a, b \in G \) 에 관한 공액관계 " \( a \sim b \Leftrightarrow b=\mathrm{g}^{-1} a \) g 인 \( \mathrm{g} \in G \) 가 존재한다."는 군 \( G \) 위의 동치관계이다. \( a \) 의 동치류는 \( \left\{\mathrm{g}^{-1} a \mathrm{~g} \mid \mathrm{g} \in G\right\} \) 이고 이를 \( a \) 의 공액류(conjugacy class)라고 부르고, \( \zeta(a) \) 로 나타낸다. \( a^{-1} a a=a \) 이므로 \( a \)는 \( a \) 의 공액류의 원소이다.</p><p>정리 2.8.2에 의하여 서로 다른 공액류의 개수는 \( \left[G: N_{G}(a)\right] \) 이다.</p><p>\( G=\zeta_{1} \cup \cdots \zeta_{r}, \zeta_{i} \cap \zeta_{j}=\varnothing, i \neq j \). 공액류 \( \zeta_{1}, \cdots, \zeta_{r} \) 의 원소의 개수는 일정하지 않다. \( x \) 를 포함하는 공액류를 라 할 때 \( \|\zeta\|=1 \) 이면 \( \left\{\mathrm{g}^{-1} x \mathrm{~g} \mid \mathrm{g} \in G\right. \) \( =\{x\} \) 이므로, 모든 \( \mathrm{g} \in G \) 에 대하여 \( \mathrm{g}^{-1} x \mathrm{~g}=x, x \mathrm{~g}=\mathrm{g} x \). 그러므로 \( \|\zeta\|=1 \) 일 필요충분조건은 \( N_{c}(x)=C_{G}(x) \) 가 되는 것이다. 여기서 집합 \( C_{G}(x)=\{\mathrm{g} \in G \mid x \mathrm{~g}=\mathrm{g} x\} \) 를 \( G \) 에서 \( x \) 의 중심화부분군(centralizer)이라 한다.</p><h3>정리 2.8.4</h3><p>유한군 \( G \) 의 원소 \( x \) 를 포함하는 공액류 \( \zeta \) 의 원소의 개수는 \( G \) 내에서 부분군 \( C_{G}(x) \) 의 지수와 같다. 또 \( \|\zeta\|\|\| G \mid \).</p><p>증명 \( \zeta=\left\{a^{-1} x a \mid a \in G\right\} \) 와 부분군 \( C:=C_{G}(x) \) 의 잉여류 전체의 집합 \( \{C a \mid a \in G\} \)는 일대일 대응관계가 있음을 보이면 된다. 대응 \( y=a^{-1} x a \mapsto C a \) 를 생각하여 보자.</p><p>실제로 \( \quad a^{-1} x a=b^{-1} x b \) 이면 \( \quad x=a b^{-1} x b a^{-1}=\left(b a^{-1}\right)^{-1} x\left(b a^{-1}\right) \), \( \left(b a^{-1}\right) x=x\left(b a^{-1}\right) \) 이므로 \( b a^{-1} \in C \), 즉 \( b \in C a \). 그러므로 \( C b=C a \). 따라서 이 대응은 하나의 사상이며 단사이다. 전사임은 분명하므로 이 대응은 전단사이다.</p><p>서로 다른 잉여류 개수는 \( \left[G: C_{G}(x)\right] \) 이므로 \( \zeta \) 의 원소의 개수와 서로 다른 잉여류의 개수는 같고, \( \left[G: C_{G}(x)\right] \) 개이다. 또 \( \|\zeta\|=\left[G: C_{G}(x)\right]=\frac{\|G\|}{\left\|C_{G}(x)\right\|} \) 에서 \( \|\zeta\|\|\| G \mid \) 이다.</p> <h3>정리 2.6.13 군 제2동형정리</h3><p>\( K, N \) 이 군 \( G \) 의 부분군이고, \( N \) 이 군 \( G \) 의 정규부분군이면, \( K /(N \cap K) \cong N K / N \) 이다.</p><p>연습문제 2.5.4에 의해 \( K N \) 는 \( G \) 의 부분군이고 \( N \) 은 \( K N \) 의 정규부분군이다. 실제로 임의의 \( n k \in N K \) 에 대하여 \[ (n k) N(n k)^{-1}=n k N k^{-1} n^{-1}=n N n^{-1}=N \]</p><p>삽입사상 \( i \) 와 자연준동형사상 \( \pi \) 의 합성사상을 \( f \) 라 두면, 이의 핵은 \( N \cap K \)이다. 정리 11 에 의하여 \[ \begin{array}{c} K / N \cap K \cong \operatorname{Im} f=N K / N . \\ f: K \stackrel{i}{\rightarrow} N K \stackrel{\pi}{\rightarrow} N K / N \end{array} \]</p><p>실제로 \( \quad \operatorname{kerf}=\{k \in K \mid f(k)=N\}=\{k \in K \mid \pi(k)=N\}=\{k \in K \mid \) \( k \in N\} \) 이고, 이는 다시 \( N \cap K \) 이다. 그리고 \[ \operatorname{Imf}=\{N k \in N K / N \mid k \in K\}=N K / N \] 이고, 이때 제 1 동형정리에 의하여 \( K /(N \cap K) \cong N K / N \) 이 성립한다.</p><h3>정리 2.6.14 군 제3동형정리</h3><p>\( N \subseteq H \) 인 군 \( G \) 의 정규부분군 \( N, H \) 에 대하여 \( H / N \) 은 \( G / N \) 의 정규부분군이고, \( (G / N) /(H / N) \cong G / H \) 이다.</p><p>증명 \( f(N a)=H a, a \in G \) 로 정의된 대응 \( f: G / N \rightarrow G / H \) 가 사상임을 보이고자 한다. 실제로, \( N a=N b, a, b \in G \) 이면, \( a b^{-1} \in N \subseteq H \) 이므로 \( H a=H b \) 이다. 다음은 \[ f(N a N b)=f(N a b)=H a b=H a H b=f(N a) f(N b) \] 이므로 \( f \) 는 군 준동형사상이다. \[ \operatorname{Im} f=\{f(N a) \mid a \in G\}=\{H a \mid a \in G\} \] 이고, \( \operatorname{ker} f=\{N a \mid a \in G, f(N a)=H\}=\{N a \mid a \in H\}=H / N \) 이다. 따라서 제 1 동형정리에 의하여 \( (G / N) /(H / N) \cong G / H \) 이다.</p> <h3>따름정리 2.4.15</h3><p>유한인 군 \( G \) 의 부분군 \( H, K \) 에 대하여 \( [H: H \cap K] \leq[G: K] \) 가 성립한다.</p><p>증명 \( H \) 에서 부분군 \( H \cap K \) 의 우 잉여류 전체의 집합 \( X, G \) 에서 \( K \) 의 우 잉여류 전체의 집합 \( Y \) 라고 하고 \( f((H \cap K) h)=K h, h \in H \) 로 주어진 대응 \( f: X \rightarrow Y \)이 사상임을 밝히자. \( (H \cap K) h_{1}=(H \cap K) h_{2} \) 이면 \( h_{1} h_{2}^{-1} \in H \cap K \subseteq K \) 이므로 \( K h_{1}=K h_{2} \) 이다. 그러므로 \( f \) 는 \( \mathrm{X} \) 에서 \( \mathrm{Y} \) 로의 사상이다. 또 \( K h_{1}=K h_{2} \) 이면 \( (H \cap K) h_{1}=(H \cap K) h_{2} \) 이므로 \( f \) 는 일대일이다. 따라서 \( \|X\| \leq\|Y\| \), 즉 \( [H: H \cap K] \leq[G: K] \)</p><h2>연습문제 2.4</h2><p>1 대칭군 \( S_{3} \) 의 모든 진부분군은 순환군임을 보여라.</p><p>2 군 \( G \) 의 부분군 \( H, K \) 에 대하여 \( H K \) 가 \( G \) 의 부분군이 될 필요충분조건은 \(<H, K>=K H \) 가 되는 것임을 보여라.</p><p>3 군 \( G \) 의 부분군 \( H, K \) 의 위수가 각각 5,7 이면 \( H \cap K=\{e\} \) 임을 보여라.</p><p>4 위수가 \( p^{2}(P \) 는 소수) 인 군 \( G \) 에는 위수가 \( p \) 인 부분군이 적어도 하나 존재하고, 이러한 군은 \( p+1 \) 개를 넘지 않는다.</p><p>5 위수가 \( 2 p \) ( \( p \) 는 소수) 인 유한군 \( G \) 의 모든 부분군은 순환군임을 보여라.</p><p>6 군 \( G \) 의 부분군 \( H \) 에서 \( a^{-1} b \in H \Leftrightarrow a \equiv b(\bmod H) \) 로 정의하면 \( \equiv \) 은 동치관계이고, 동치류는 \( a H \) 임을 보여라.</p><p>7 라그랑주 정리를 이용하여 다음을 증명하여라.</p><p>(1) 대칭군 \( S_{7} \) 은 위수가 11인 부분군을 갖지 않는다.</p><p>(2) 정이면체군 \( D_{4} \) 는 위수가 5 인 부분군을 갖지 않는다.</p><p>8 군 \( G=\left(R^{2},+\right) \) 의 부분집합 \( H=\{(x, m x) \mid x \in R\} \) 에 대하여 다음에 답하여라.</p><p>(1) \( H=\{(x, 2 x) \mid x \in R\} \) 의 잉여류는 평면을 어떻게 분할하는가?</p><p>(2) \( H=\{(0, x) \mid x \in R\} \) 의 잉여류 전체의 집합을 구하여라.</p><p>(3) \( H=\{(x, m x) \mid x \in R, m \) 은 상수 \( \} \) 는 \( G \) 의 부분군인가?</p><p>9 위수가 짝수인 군 \( G \) 에는 \( x^{2}=e, x \neq e \) 인 원소 \( x \) 가 항상 존재함을 보여라.</p><p>10 군 \( G \) 의 부분집합 \( H_{i}, a \in G \) 에서 \( \left(\cap H_{i}\right) a=\cap H_{i} a \) 임을 보여라.</p><p>11 군 \( G \) 의 부분군 \( H \) 에 대하여 다음이 성립함을 보여라.</p><p>(1) \( a H=H \Leftrightarrow a \in H \) (2) \( a H=b H \Leftrightarrow a^{-1} b \in H \).</p><p>12 위수가 유한인 군 \( G \) 의 부분군 \( H, K \) 에 대하여 \( [H: H \cap K]=[G: K] \) 일 필요충분조건은 \( G=K H \) 이다.</p><p>13 \(K \subseteq H \subseteq G \) 를 만족하는 유한군 \( G \) 의 부분군 \( K, H \) 의 지수에 대해 다음을 밝혀라. \[ [G: K]=[G: H][H: K] \]</p><p>14 정이면체군 \( D_{4} \) 의 모든 부분군을 구하여라.</p> <h3>정리 2.5.9</h3><p>\( \sigma \in S_{n} \) 가 우 치환이면 \( \sigma^{-1} \) 도 우 치환이다. 같은 방법으로, \( \sigma \in S_{n} \) 가 기치환이면 \( \sigma^{-1} \) 도 기 치환이다.</p><p>\( \sigma \sigma^{-1}=(1) \) 이므로, \( \sigma \) 가 짝수개의 호환의 곱으로 표시되고, \( \sigma^{-1} \) 가 홀수개의 호환의 곱으로 표시되면 \( \sigma \sigma^{-1}=(1) \) 는 홀수개의 호환의 곱으로 표시된다. 이는 정리 8 에 모순이다.</p><p>보기 9 정리 7에서 모든 치환은 순서를 제외하고 서로소인 순환치환의 곱으로 유일 하게 표시된다. 그러나 호환의 곱으로는 유일하게 표현되지 않는다.</p><p>예를 들면,</p><p>\[ \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1 & 4\end{array}\right), \] \[ \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}1 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}2 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1 & 4\end{array}\right) , \] \[ \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}2 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}2 & 4\end{array}\right), \] \[\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1 & 5\end{array}\right) , \] \[ \left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}2 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}1 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}3 & 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}2 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}1 & 3\end{array}\right) \] \[ \left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}2 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}2 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}2 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}2 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}5\end{array}\right) \]</p><p>와 같이 쓸 수 있다.</p><p>여기서, \( (124) \) 는 짝수개의 호환의 곱, \( (1235) \) 는 홀수개의 호환의 곱으로 표시된다는 점에 주목하자.</p><h3>정리 2.5.10</h3><p>\(S_{n} \) 에서 모든 치환은 기 치환이거나 우 치환이다. 즉, 우 치환이면서 기 치환일 수는 없다.</p><p>증명 \( \quad \sigma \in S_{n} \) 에 대하여 \( \sigma=\rho_{1} \rho_{2} \cdots \rho_{r}=\tau_{1} \tau_{2} \cdots \tau_{s} \), 여기서 \( \rho_{i}, \tau_{j} \) 는 호환이다. \[ \begin{aligned} (1) &=\rho_{1} \rho_{2} \cdots \rho_{r}\left(\tau_{1} \tau_{2} \cdots \tau_{s}\right)^{-1}=\rho_{1} \rho_{2} \cdots \rho_{r} \tau_{s}^{-1} \cdots \tau_{2}^{-1} \tau_{1}^{-1} \\ &=\rho_{1} \rho_{2} \cdots \rho_{r} \tau_{s} \cdots \tau_{2} \tau_{1} \end{aligned} \]</p><p>정리 8 에 의해서 \( r+s \) 는 짝수이다. 따라서 \( r, s \) 는 동시에 짝수이거나 동시에 홀수이다.</p> <h3>따름정리 2.3.9</h3><p>\( G \) 는 위수가 \( n \) 인 유한군이다. \( a^{k} \in G \) 가 \( G \) 의 생성원이기 위한 필요충분조건은 \( (k, n)=1 \) 이다.</p><h3>정리 2.3.10</h3><p>순환군의 부분군은 역시 순환군이다.</p><p>\( G=<a>\) 이고, \( H \) 가 순환군 \( \mathrm{G} \) 의 부분군이라 하자. \( H=\{e\} \) 이면 \( H=<e>0 \) 이므로 순환부분군이다. \( H \neq\{e\} \) 라 하면 \( a^{m} \in H, m \neq 0 \) 가 되는 \( m \) 이 존재하고, \( a^{-m} \in H . m,-m \) 중 적어도 하나는 양의 정수이므로 \( a^{l} \in H, l>0 \) 인 정수 \( l \) 이 존재하고, 이들 중 최소인 양의 정수 \( n \) 이 존재하여 \( a^{n} \in H \) 이다. 우리는 \( H=<a^{n}>\) 임을 증명할 것이다.</p><p>\( a^{n} \) 의 멱은 또 \( H \) 의 원소이므로 \(<a^{n}>\subseteq H \) 는 분명하다.</p><p>\( H \subseteq\langle a\rangle=\left\{a^{k} \mid k \in Z\right\} \) 이므로 임의의 \( b \in H \) 는 \( b=a^{k} \) 로 표시된다. 나눗셈 정리에 의하여 정수 \( q, r \) 이 존재하여 \[ k=q n+r, 0 \leq r<n, a^{k}, a^{n} \in H \] 이므로 \( a^{r} \in H \), 즉 \( a^{r}=a^{k-q n}=a^{k}\left(a^{n}\right)^{-q} \in H \) 이다.</p><p>\( n \) 의 정의에 의하여 \( r=0 \) 이고 \( k=q n \) 이다. 따라서 \[ b=a^{k}=\left(a^{n}\right)^{q} \in<a^{n}>\] 이다. 즉, \( H \subseteq\left\langle a^{n}\right\rangle \) 이다. 그러므로 \( H=\left\langle a^{n}\right\rangle \) 임이 증명되었다.</p><h2>연습문제 2.3</h2><p>1 가환군 \( G \) 에 대하여 다음 집합이 부분군임을 보여라.</p><p>(1) \( H=\left\{a \in G \mid a^{n}=e, n \in \mathbb{Z}^{+}:\right. \)fixed \( \} \)</p><p>(2) \( H=\left\{a \in G \mid a=b^{2}\right. \), for some \( \left.b \in G\right\} \)</p><p>(3) \( H=\left\{a \in G \mid a^{3} \in K, K<G\right\} \)</p><p>(4) \( H=\left\{a \in G \mid(a x)^{2}=(x a)^{2}, x \in G\right\} \)</p><p>2 군 \( G \) 위의 함수 \( f: G \rightarrow G \) 에 대하여, \[ H=\{a \in G \mid f(x)=f(a x), x \in G\} \] 는 \( G \) 의 부분군임을 보여라.</p><p>3 잉여류군 \( \left(\mathbb{Z}_{12},+\right) \) 의 부분군의 격자를 만들어라.</p><p>4 Klein 사원군의 부분군의 격자를 만들어라.</p><p>5 \( \left\{\frac{a}{2^{n} 3^{m}} \mid a, n, m \in \mathbb{Z}\right\} \) 는 \( \left(Q^{+}\right. \), • \( ) \)의 부분군이나 순환부분군이 아님을 보여라.</p><p>6 군 \( \left(\mathbb{Q}^{}, \cdot\right), \mathbb{Q}^{}=\mathbb{Q}-\{0\} \) 은 순환군이 아님을 보여라.</p><p>7 모든 순환군은 가환군임을 보여라.</p><p>8 오직 하나의 생성원을 갖는 순환군 \( G \) 의 원소는 한 개 또는 두 개임을 보여라.</p><p>9 군 \( G \) 의 원소 \( a \) 의 위수가 \( n \) 이면 \( a^{k}=e \) 일 필요충분조건은 \( n \mid k \) 임을 보여라.</p><p>10 \( G=<a, b>, a b=b a \) 이면 \( G \) 는 가환군임을 보여라.</p><p>11 군 \( G \) 의 원소 \( a \) 의 위수가 \( n \) 일 때 \( a^{k} \) 의 위수가 \( n \) 일 필요충분조건은 \( (k, n)=1 \) 임을 보여라.</p><p>12 군 \( \left(\mathbb{Z}_{7}^{}\right. \), - )의 각 원소의 위수를 구하여라.</p><p>13 무환 순환군 \( G=<a>\) 의 생성원은 \( a, a^{-1} \) 뿐임을 보여라.</p><p>14 군 \( \left(\mathrm{Z}_{20},+\right) \) 는 \( \overline{1} \) 에 의하여 생성된 가환군이다. 부분군들의 격자를 구하여라.</p><p>15 위수가 24 인 순환군의 부분군을 모두 구하고, 그의 격자를 그려라.</p><p>16 위수가 \( n \) 인 순환군 \( G \) 에 의하여 다음이 성립함을 보여라.</p><p>(1) \( G \) 의 부분군의 위수는 \( n \) 의 약수이다.</p><p>(2) \( k \mid n, k>0 \) 이면 위수가 \( k \) 인 부분군은 존재하며 오직 하나뿐이다.</p><p>17 가환군 \( G \) 의 유한 위수인 원소 전체의 집합 \( H=\left\{a \in G \mid \exists n \in \mathbb{Z}, a^{n}=e\right\} \) 은 부분군임을 보여라.</p><p>18 가환군 \( G \) 의 원소 \( a, b \) 의 위수가 각각 \( m, n \) 이면 위수가 \( m, n \) 의 최소공배수인 원소 \( c \in G \) 가 존재함을 보여라.</p> <p>군 \( G \) 의 정규 부분군 \( N \) 를 이용하여 \( G \) 의 원소보다 적은 수의 원소를 가지며 군의 구조를 간명하게 보여주는 새로운 상군 \( G / N \) 을 생각할 수 있다.</p><h3>정리 2.5.4</h3><p>군 \( G \) 의 정규 부분군 \( N \) 로부터 \( N \) 의 우 잉여류 전체의 전체 \( G / N= \) \( \{N a \mid a \in G\} \) 는 이항연산 \( N a N b=N a b, a, b \in G \) 에 의하여 군을 이룬다.</p><p>증명 먼저 연산 - 이 이항연산임을 보이자. \( N a=N a^{\prime}, N b=N b^{\prime} \) 이라 가정하면 \( N a b=(N a)(N b)=\left(N a^{\prime}\right)\left(N b^{\prime}\right)=N a^{\prime} b^{\prime} \) 이다. 실제로 \( e \in N \) 이므로 \( a^{\prime}=n a \), \( b^{\prime}=n^{\prime} b \) 인 \( n, n^{\prime} \in N \) 이 존재한다. 한편, \( \quad a^{\prime} b^{\prime}=n a n^{\prime} b^{\prime} \) 이고 \( N \Delta G \) 이므로 \( a N=N a \) 로부터 \( a n=n a \) 를 만족하는 \( n^{\prime \prime} \in N \) 가 존재한다. 따라서 \[ N a^{\prime} b^{\prime}=N\left(n a n^{\prime} b\right)=N\left(n n^{\prime \prime} a b\right)=N a b . \] 즉 연산 • 는 잘 정의되었다. 다음은 연산 - 는 분명히 결합연산이다. 그리고 모든 \( N a \) 에 대하여 \( N a N=N a N e=N a e=N a \) 이므로 \( N=N e \) 는 항등원이다. 또 \( N a N a^{-1} \) \( =N\left(a a^{-1}\right)=N e=N \) 이므로 \( N a^{-1} \) 는 \( N a \) 의 역원, 즉 \( N a^{-1}=(N a)^{-1} \) 이다. 따라서 \( G / N=\{N a \mid a \in G\} \) 은 \( N \) 을 항등원으로 갖는 군이다.<p>정의 군 \( G \) 의 정규 부분군 \( N \) 의 잉여류 전체의 집합 \( G / N=\{N a \mid a \in G\} \) 는 연산 \( N a N b=N a b, a, b \in G \) 에 의하여 군을 이룬다. 이러한 군을 \( N \) 에 관한 \( G \) 의 인자군(factor group 또는 잉여군) 또는 상군(quotient group)이라 한다.</p><p>덧셈군 \( (G,+) \) 의 정규부분군 \( N \) 의 잉여류 전체의 집합 \( G / N= \) \( \{N+a \mid a \in G\} \) 은 덧셈 군 \( (G / N,+) \) 을 이룬다. 여기서 \( (N+a)+(N+b)= \) \( N+(a+b), \forall a, b \in G \) 이고 \( N+a \) 의 역원은 \( N+(-a) \) 이다.</p><p>정이면체군 \( D_{4} \) 의 상군은 \( D_{4} /\{e\}, \quad D_{4} / H_{1}, \quad D_{4} / H_{2}, \quad D_{4} / H_{3}, \quad D_{4} / H_{4} \), \( D_{4} / D_{4} \) 으로 여섯 개뿐이다.</p><p>보기 5 군 \( (\mathbb{Z},+) \) 의 부분군 \( n Z=\{n a \mid a \in Z\} \) 에 대하여 상군 \( \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \) 이 \( n \) 에 관한 잉여류군 \( \mathbb{Z}_{n}=\{\overline{0}, \overline{1}, \ldots, \overline{n-1}\} \) 이다. 즉, \[ \overline{0}=0+n Z, \overline{1}=1+n Z, \quad \cdots, \overline{n-1}=(n-1)+n Z \]</p> <p>덧셈군 \( (G,+),(H,+) \) 의 직적 \( G \times H \) 를 \( G \) 와 \( H \) 의 외적 직합(external direct sum) 또는 직합이라 하고 \( G \oplus H \) 로 나타낸다. 이 경우, 정리 1 을 적용하면 다음과 같이 된다.</p><p>\( K=G \oplus\{0\}, J=\{0\} \oplus H \) 이고, \( G \oplus H=K+J, K \cap J=(0,0) \) 이 성립한다. \( G \oplus H \) 의 영원은 \( (0,0) \) 이고, \( (g, h) \in G \oplus H \) 의 역원은 \( -(g, h)=(-g,-h) \) 이다.</p><p>보기 2 대칭군 \( S_{3}=\left\{e, a, a^{2}, b, a b, a^{2} b\right\} \) 잉여류군 \( \left(\mathbb{Z}_{2},+\right)=\{\overline{0}, \overline{1}\} \) 에서 \( S_{3} \times Z_{2} \) \( =\left\{(e, \overline{0}), \cdots\left(a^{2} b, \overline{0}\right), \cdots(e, \overline{1}), \cdots\left(a^{2} b, \overline{1}\right)\right\} \) 이다.</p><p>예를 들면 \( (a, \overline{0})(a b, \overline{1})=(a, \overline{0})(a b, \overline{1})=(a(a b), \overline{0}+\overline{1})=\left(a^{2} b, \overline{1}\right) \) 이다.</p><p>보기3 \( \mathbb{R}^{2} \) 과 \( (\mathbb{R},+) \oplus(\mathbb{R},+) \) 는 동형이다. 실제로 \( (a, b)=(a, 0)+(0, b) \) 이다.</p><p>보기4 \(N=\{(\overline{0}, \overline{0}),(\overline{0}, \overline{1})\} \) 는 \( \mathbb{Z}_{4} \times \mathbb{Z}_{2} \) 의 정규부분군 \( \mathbb{Z}_{4} \times \mathbb{Z}_{2} / N \cong \mathbb{Z}_{4} \) 이다.</p><p>보기 5 Klein 4 원군 \( V=\{e, a, b, c\} \) 와 잉여류군 \( \mathbb{Z}_{2} \) 에서 \( \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}=\{(\overline{0}, \overline{0}),(\overline{1}, \overline{0}) \), \( (\overline{0}, \overline{1}),(\overline{0}, \overline{1})\} \) 이다. \( f: V \rightarrow \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \) 를 다음으로 정의한다. \[ f(e)=(\overline{0}, \overline{0}), f(a)=(\overline{1}, \overline{0}), f(b)=(\overline{0}, \overline{1}), f(c)=(\overline{1}, \overline{1}) \] 이 사상 \( f \) 는 동형이고, \( \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \cong V \) 이다. 따라서 \( \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \) 는 위수가 4 인 비순환군이다.</p><p>주어진 군 \( G \) 의 부분군 \( H, K \) 가 정리 1 을 만족하게 되는 경우를 생각하여 보자.</p><p>정의 군 \( G \) 의 정규부분군 \( H, K \) 가 \( G \cong H \times K \) 를 만족할 때 \( G \) 는 정규부분군 \( H \) 와 \( K \)의 내적 직적(internal direct product) 또는 일반적으로 직합(direct sum)이라 하고, \( H \oplus K \) 로 나타낸다.</p><p>이때 \( G \) 는 부분군 \( H, K \) 의 직적으로 분해된다고 하고, \( H, K \) 를 \( G \) 의 직적인자 (direct factor)라고 한다.</p> <p>보기 6 \( \mathbb{R}^{+},\{1,-1\} \) 은 \( (\mathbb{R}-\{0\}, \cdot) \) 의 정규부분군이다. \( \mathbb{R}^{+} \cap\{1,-1\}=1 \)\( \mathbb{R}-\{0\}=\mathbb{R}^{+}\{1,-1\} \) 이므로 \( \mathbb{R}-\{0\}=\mathbb{R}^{+} \times\{1,-1\} \) 이다.</p><p>보기 7 유리수 군 \( (\mathbb{Q},+)=H \oplus K \) 인 군 \( (\mathbb{Q},+) \) 의 부분군 \( H, K \) 는 \( H=\{0\} \) 또는 \( K=\{0\} \) 뿐이다. 또 \( (Z,+)=H \oplus K \) 인 부부군 \( H, K \) 는 \( H=\{0\} \) 또는 \( K=\{0\} \) 뿐이다.</p><p>실제로, 자명하지 않은 \( (Q,+) \) 의 부분군 \( H, K \) 에 대하여 \( \frac{a}{b} \in H \), \( \frac{c}{d} \in K, a \neq 0, c \neq 0, b>0, d>0 \) 인 정수 \( a, b, c, d \) 가 존재한다. \( b\left(\frac{a}{b}\right) \) 는 \( \frac{a}{b} \)를 유한 번 더하여 \( a=b\left(\frac{a}{b}\right) \in H \) 이고, \( d\left(\frac{c}{d}\right) \) 는 \( \frac{c}{d} \) 를 유한 번 더하여 \( c=d\left(\frac{c}{d}\right) \in K \) 이다. \( a c \) 는 \( c \) 를 \( a \) 번 더한 것 또는 \( a \) 를 \( c \) 번 더한 것으로 \( a c \in H, a c \in K \) 이고 \( a c \in H \cap K, a c \neq 0 \) 이므로 \( H \cap K \neq\{0\} \) 이다. 따라서 \( H \neq\{0\}, K \neq\{0\} \) 이고, \( G=H \times K \) 인 부분군 \( H, K \) 는 존재하지 않는다.</p><p>마찬가지로 \( (\mathrm{Z},+) \) 의 자명하지 않는 직합인자는 존재하지 않는다.</p><p>군의 직적(직합)의 개념을 유한개의 군 \( G_{1}, \cdots, G_{n} \) 으로 확장하여 보자.</p><p>정의 군 \( G_{1}, \cdots, G_{n} \) 의 데카르트 곱 \( G=G_{1} \times \cdots \times G_{n} \) 위의 연산을 \( \left(a, \cdots, a_{n}\right) \) \( \left(b, \cdots, b_{n}\right)=\left(a_{1} b_{1}, \cdots, a_{n} b_{n}\right), \quad a_{i,}, a_{i} \in G_{i}, i=1, \cdots, n \) 으로 정의하면 \( G \) 는 이 이항연산에 의하여 군을 이룬다. 이 군 \( G \) 를 \( G_{1}, \cdots, G_{n} \) 의 (외적)직적이라 한다.</p><p>군 \( G=G_{1} \times \cdots \times G_{n}=\prod_{i=1}^{n} G_{i} \) 의 항등원 \( e \) 는 각 군 \( G_{i} \) 의 항등원 \( e_{i} \) 에 대하여 \( e=\left(e_{1}, \cdots, e_{n}\right) \) 이다. \( G \) 의 임의의 원소 \( a=\left(a_{1}, \cdots, a_{n}\right) \) 의 역원은 \( a^{-1}=\left(a_{1}^{-1}, \cdots, a_{n}^{-1}\right) \) 이다. 각 \( i \) 에 대하여 \( f_{i}: G_{i} \rightarrow G, f_{i}\left(a_{i}\right)=\left(e_{1}, \cdots, e_{i-1}\right. \), \( \left.a_{i}, e_{i+1}, \cdots, e_{n}\right) \) 은 일대일 군 준동형사상이다. \( \operatorname{Imf_{i}}=\overline{G_{i}} \) 라 놓으면 \( \overline{G_{i}} \) 는 \( G \)의 부분군이고, 더욱이 \( \overline{G_{i}} \cong G_{i}, \overline{G_{i}} \triangleleft G \) 임을 알 수 있다. 실제로 \( \left(a_{1}, \cdots, a_{n}\right) \) \( \in G, f_{i}\left(b_{i}\right) \in \bar{G}_{i} \) 에 대하여 \[ \left(a_{1}, \cdots, a_{n}\right)^{-1} f_{i}\left(b_{i}\right)\left(a_{1}, \cdots, a_{n}\right)=f_{i}\left(a_{i}^{-1} b_{i} a_{i}\right) \in \overline{G_{i}} . \]</p> <h3>따름정리 2.4.3</h3><p>\( H, K \) 가 가환군 \( G \) 의 부분군이면 \( H K \) 도 \( G \) 의 부분군이다.</p><p>보기 5 대칭군 \( S_{3} \) 의 부분군 \( H=\{1,(23)\}, K=\{1,(13)\} \) 에서 \( H K \neq K H \) 이고 \( H K, K H \) 는 부분군이 아니다.</p><p>대칭군 \( S_{3} \) 의 부분군 \( H=\{1,(23)\} \) 의 좌 잉여류들 \( H,(23) H,(13) H \) 의 원소의 개수는 모두 2이다. 우 잉여류들 \( H, H(23), H(13) \) 의 원소의 개수도 모두 2이다.</p><p>예를 들면, 집합 \( H(13)=\{(13),(133)\}=(13) H \) 과 \((13) H=\{(13) \), \( (123)\}=H(12) \) 의 원소의 개수가 같다. 한편 \( (12) H \neq H(12),(23) H= \) \( H=H(23) \) 이다.</p><h3>정리 2.4.4</h3><p>군 \( G \) 의 공집합이 아닌 부분집합 \( H \) 와 잉여류 \( \mathrm{Ha}( \) 또는 \( a H) \) 사이에는 일대일 대응관계가 있다.</p><p>증명 사상 \( f_{a}: H \rightarrow H a, f_{a}(x)=a x, x \in H \) 가 전단사임을 보이자. \( x a \in H a \) 이면 \( f_{a}(x)=a x \) 이므로 \( f_{a} \) 는 전사이다. 만약 \( f_{a}(x)=f_{a}(y) \) 이면 \( a x=a y \) 이고, 소거의 법칙에 의하여 \( x=y \) 이다. 그러므로 \( f_{a} \) 는 단사이다. 따라서 \( H \) 와 잉여류 \( H a \) 는 일대일 대응이다. 마찬가지로 \( H \) 와 잉여류 \( a H \) 도 일대일 대응이다.</p><p>일대일 대응관계에 있는 두 집합은 같은 개수(cardinality)를 갖는다고 한다. 위의 정리 4 에 의하면 모든 우 잉여류, 좌 잉여류는 같은 개수를 갖는다. 실제로 이들의 개수는 \( H \) 의 원소의 개수와 같다.</p><h3>따름정리 2.4.5</h3><p>\( H \) 가 유한군 \( G \) 의 부분군이면 다음이 성립한다. \[ \|H\|=\|H a\|=\|a H\|, \quad a \in G . \]</p><p>보기 6 정이면체군 \( D_{4} \) 의 부분군 \( K=\{1, \tau\} \) 의 우 잉여류는 \[ \begin{array}{l} K 1=\{1, \tau\}=K \tau, \\ K \sigma=\{\sigma, \tau \sigma\}=\left\{\sigma, \sigma^{3} \tau\right\}=K \sigma^{3} \tau, \\ K \sigma^{2}=\left\{\sigma^{2}, \tau \sigma^{2}\right\}=\left\{\sigma^{2}, \sigma^{2} \tau\right\}=K \sigma^{2} \tau, \\ K \sigma^{3}=\left\{\sigma^{3}, \tau \sigma^{3}\right\}=\left\{\sigma^{3}, \sigma \tau\right\}=K \sigma \tau \end{array} \] 이다. 이들의 원소의 개수는 모두 2 이다.</p><p>주의 군 \( G \) 의 부분군 \( H \) 와 \( a \in G \) 에 대하여, \( b \in H a \) 이 되기 위한 필요충분조건은 \( H a=H b \) 이다.</p> <h2>연습문제 2.5</h2><p>1 군 \( G \) 의 원소 \( a, b \) 에 대하여 \( [a, b]=a^{-1} b^{-1} a b \) 라 할 때, 모든 \( [a, b] \) 로 생성된 부분군을 \( G \) 의 교환자군이라 하고, \( [a, b] \) 를 \( a \) 와 \( b \) 의 교환자라 한다. 이때 다음에 답하여라.</p><p>(1) \( [a, b] \) 의 역원을 구하여라.</p><p>(2) \( G^{\prime}=\langle[x, y] \mid x, y \in G\rangle \) 는 \( G^{\prime} \) 의 정규부분군이다.</p><p>(3) \( G \) 가 가환군이기 위한 필요충분조건은 \( G^{\prime}=\{e\} \) 이다.</p><p>2 군 \( G \) 의 부분군 \( H \) 가 정규부분군이기 위한 필요충분조건은 모든 \( x, y \in G \) 에 대하여 \( x H y H=x y H \) 가 되는 것임을 보여라.</p><p>3 치환군 \( S_{n} \) 의 교환자 군을 구하여라.</p><p>4 군 \( G \) 의 부분군 \( H \) 와 정규부분군 \( N \) 에서 집합 \( H N=\{h n \mid h \in H, n \in N\} \) 은 \( G \) 의 부분군임을 보여라.</p><p>5 군 \( G \) 의 부분집합 \( S \) 에서 집합 \( C(S)=\{a \in G \mid a s=s a, \forall s \in S\} \) 를 \( G \) 에서의 부분집합 \( S \) 의 중심화군이라 한다. \( S \) 가 가환부분군이면 \( S \) 는 \( C(S) \) 의 정규부분군임을 보여라.</p><p>6 군 \( G \) 의 부분집합 \( S \) 에서 \( N(S)=\{a \in G \mid a S=S a\} \) 를 \( G \) 에서의 \( S \) 의 정규화군이라 한다. 다음이 성립함을 보여라.</p><p>(1) \( S \) 가 \( G \) 의 부분군이면 \( S \) 는 \( N(S) \) 의 정규부분군이다.</p><p>(2) \( S \) 가 \( G \) 의 정규부분군일 필요충분조건은 \( N(S)=G \) 가 되는 것이다.</p><p>7 군 \( G \) 의 정규부분군 \( N \) 의 위수가 2 이면 \( N \) 은 \( G \) 의 중심의 부분집합임을 보여라.</p><p>\( 8 \quad S_{n} \) 에 속한 모든 치환은 서로소인 몇 개의 순환치환의 곱으로 표시된다.</p><p>9 교대군 \( A_{n}(n \geq 5) \) 의 정규부분군 \( N \) 이 길이가 3 인 순환 군을 포함하고 있으면 \( N=A_{n} \) 이다.</p><p>10 교대군 \( A_{n} \) 이 치환군 \( S_{n} \) 의 단순부분군이기 위한 필요충분조건은 \( n \neq 4 \) 가 되는 것이다.</p><p>\( 11 \sigma \in S_{n} \) 가 우 치환이면 \( \sigma^{-1} \) 도 우 치환임을 밝혀라.</p><p>12 군 \( G \) 의 부분군 \( N \) 에서 다음은 서로 동치라는 사실을 밝혀라.</p><p>(1) \( N \) 이 \( G \) 의 정규부분군이다.</p><p>(2) 모든 \( a \in G \) 에 대하여 \( a^{-1} N a=N \) 즉 모든 \( a \in G, x \in N \) 에 대하여 \( a^{-1} x a \in N \).</p><p>13 대칭 군 \( S_{n}(n \geq 2) \) 에서 모든 우 치환의 모임 \( A_{n} \) 은 \( S_{n} \) 의 부분군이 되며, 지수가 2임을 보여라.</p> <h3>정리 2.3.2</h3><p>군 \( G \) 의 유한집합 \( H \) 가 부분군일 필요충분조건은 모든 \( a, b \in H \) 에 대하여 \( a b \in H \) 가 되는 것이다.</p><p>증명 \( H \) 가 \( G \) 의 부분군이면 모든 \( a, b \in H \) 에 대하여 \( a b \in H \) 가 되는 것은 분명하다. 역으로 모든 \( a, b \in H \) 에 대하여 \( a b \in H \) 라 하자. 그러면, 임의의 \( a \in H \) 에 대하여 \( a^{2}, a^{3}, a^{4}, \cdots \) 는 \( H \) 의 원소이다. \( H \) 가 유한집합이므로 \( a^{n}=e \) 가 되는 양의 정수 \( n \) 이 존재한다. \( n=1 \) 인 경우, \( a=e \) 이고, \( n>1 \) 인 경우, \( a^{-1}= \) \( a^{n-1} \) 이다. 따라서 정리 2.3.1의 (2)에 의하여 \( H<G \) 이다.</p><h3>정리 2.3.3</h3><p>군 \( G \) 의 부분군들의 모임인 집합족 \( \left\{H_{i} \mid i \in \Lambda\right\} \) 에 대하여 교집합 \( \cap H_{i} \)는 군 \( G \) 의 부분군이다.</p><p>증명 \( \quad G \) 의 항등원 \( e \) 는 모든 \( H_{i} \) 의 원소이므로 \( \cap H_{i} \neq \varnothing \) 이다. \( a, b \in \cap H_{i} \) 이면 모든 \( i \) 에 대하여 \( a, b \in H_{i} \) 이다. 각 \( i \) 에 대하여 \( H_{i} \) 가 군 \( G \) 의 부분군이므로 정리 2.3.1의 (3)에 의하여 \( a b^{-1} \in H_{i} \) 이다. 모든 \( i \) 에 대하여 \( a b^{-1} \in H_{i} \) 이므로 \( a b^{-1} \in \cap H_{i} \) 이다. 따라서 다시 정리 \( 2.3 .1 \) 의 (3)에 의하여 \( \cap H_{i} \) 는 군 \( G \) 의 부분군이다.</p><p>보기 6 정이면체군 \( D_{4} \) 에서 \( H_{1}=\left\{1, \sigma, \sigma^{2}, \sigma^{3}\right\}, H_{2}=\left\{1, \sigma^{2}, \tau, \sigma^{2} \tau\right\} \) 는 \( D_{4} \) 의 부분군이다. 여기서 \( \sigma \) 는 \( \frac{\pi}{2} \) 만큼 반시계방향으로 회전이고, \( \tau \) 는 \( (1,3) \) 축에 대한 반사이다.</p><p>더욱이, \( H_{1} \cap H_{2}=\left\{1, \sigma^{2}\right\} \) 는 \( D_{4} \) 의 부분군이다.</p> <p>보기 2 정이면체군 \( D_{3}=\left\{1, \sigma, \sigma^{2}, \tau, \sigma \tau, \sigma^{2} \tau\right\} \) 의 부분군 \( \{1\}, A_{3}=\left\{1, \sigma, \sigma^{2}\right\} \), \( D_{3} \) 은 정규부분군이다. 그러나 \[ K_{1}=\{1, \tau\}, K_{2}=\{1, \sigma \tau\}, K_{3}=\left\{1, \sigma^{2} \tau\right\} \] 은 정규부분군이 아니다. 실제로 \[ \sigma^{-1} K_{1} \sigma=\{1, \sigma \tau\}=K_{2}, \quad \sigma^{-1} A_{3} \sigma=\left\{1, \sigma, \sigma^{2}\right\}=A_{3} \] 이다.</p><p>가환군 \( G \) 의 임의의 부분군 \( H \) 에서는 \( a^{-1} h a=h \) 가 항상 성립하므로 \( H \) 는 정규부분군이다. 덧셈군 \( (G,+) \) 는 항상 가환이므로 \( G \) 의 모든 부분군은 정규부분군이다.</p><h3>정리 2.5.2</h3><p>군 \( G \) 의 부분군 \( H \) 의 지수가 2이면 \( H \) 는 정규부분군이다.</p><p>임의의 \( a \in G \) 에 대하여 \( a \in H \) 또는 \( a \in G-H \) 이다. (i) \( a \in H \) 이면 \( a H=H=H a \) 이다. (ii) \( a \notin H \) 이면 \( H \neq H a \) 이므로 \( H \cap H a=\varnothing \) 이다. 따라서 \( H a=G-H=a H \) 임을 알 수 있다. 그러므로 \( H \triangleleft G \).</p><h3>정리 2.5.3</h3><p>군 \( G \) 의 중심 \( Z(G)=\{a \in G \mid a x=x a, \forall x \in G\} \) 는 \( G \) 의 정규부분군이다.</p><p>증명 \( Z(G) \) 의 원소는 모든 \( G \) 의 원소와 가환이므로 \( G \) 의 정규부분군이다. 또 \( Z(G) \) 는 가환군이므로 이 군의 모든 부분군은 정규부분군이다.</p><p>보기 3 원수군 \( Q=\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}\} \) 는 비가환군이나 모든 부분군은 정규부분군이다. 또 \( Z(Q)=\{1,-1\} \) 도 정규부분군이다.</p><p>보기 4 정이면체 \( D_{4}=\left\{1, \sigma, \sigma^{2}, \sigma^{3}, \tau, \sigma \tau, \sigma^{2} \tau, \sigma^{3} \tau\right\} \) 의 중심은 \( \mathrm{Z}\left(D_{4}\right)=H_{1}= \) \( \left\{1, \sigma^{2}\right\} \) 이다. 지수가 2 인 부분군은 세 개다. \[ \begin{array}{l} H_{2}=\left\{1, \sigma, \sigma^{2}, \sigma^{3}\right\}=<\sigma>=<\sigma^{3}>\\ H_{3}=\left\{1, \tau, \sigma^{2}, \sigma^{2} \tau\right\}=<\tau>=<\sigma^{2} \tau>\\ H_{4}=\left\{1, \sigma, \sigma^{2}, \sigma^{3} \tau\right\}=<\sigma \tau>=<\sigma^{3} \tau>\end{array} \] 따라서 \( D_{4} \) 의 정규부분군은 \( \{1\}, H_{1}, H_{2}, H_{3}, H_{4}, D_{4} \) 로 여섯 개가 있다. \( D_{4} \) 의 정규부분군의 격자는 다음과 같다.</p> <h3>정리 2.6.16</h3><p>전사 준동형사상 \( f: G \rightarrow G^{\prime} \) 에 대하여 \( S(G)=\{H \mid H<G, K e r f \subseteq H\} \)과 \( S\left(G^{\prime}\right)=\left\{H^{\prime} \mid H^{\prime} \prec G^{\prime}\right\} \) 는 일대일 대응관계에 있다. 즉, \( H \mapsto f(H) \), \( H^{\prime} \mapsto f^{-1}\left(H^{\prime}\right) \)</p><p>정규부분군 \( H \triangleleft G \) 와 \( H^{\prime} \triangleleft G^{\prime} \) 에 대해서도 역시 일대일 대응 관계가 성립된다.</p><p>증명 만약 \( H^{\prime} \triangleleft G^{\prime} \) 이면, \( x \in G, a \in f^{-1}\left(H^{\prime}\right) \) 에 대하여 \( f(x) \in f(G), f(a) \in H^{\prime} \) 이고 \( H^{\prime} \triangleleft G^{\prime}=f(G) \) 이므로 \[ f\left(x^{-1} a x\right)=f(x)^{-1} f(a) f(x) \in H^{\prime} \text {, 즉 } x^{-1} a x \in f^{-1}\left(H^{\prime}\right) . \] 그러므로 \( f^{-1}\left(H^{\prime}\right) \) 는 \( G \) 의 정규부분군이다.</p><p>다음은 정리 3 에 의하여 \( H \) 가 \( G \) 의 정규부분군이라고 하면 \( f(H) \) 는 \( f(G)=G^{\prime} \) 의 정규부분군이다.</p><p>끝으로 정리 15 에 의해서 \( H \supseteq \operatorname{Kerf}=: K \) 이면 \( f^{-1}(f(H))=H \), \( f\left(f^{-1}\left(H^{\prime}\right)\right)=H^{\prime} \) 이다. 이는 대응 \[ H \mapsto f(H), \quad H^{\prime} \mapsto f^{-1}\left(H^{\prime}\right) \] 가 일대일임을 의미한다.</p><h3>따름정리 2.6.17</h3><p>\( N \) 이 군 \( G \) 의 정규부분군이면 \( G / N \) 의 부분군은 \( N \) 을 포함하는 \( G \) 의 부분군 \( H \) 가 존재하여 \( H / N \) 의 꼴로 표시된다. 또 \( G / N \) 의 정규부분군은 \( K / N \), \( N \subseteq K \triangleleft G \) 의 형태이다.</p><p>증명 자연 전사 준동형사상 \( \pi: G \rightarrow G / N \) 에서 \( G / N \) 의 부분군 \( L \) 에 대하여 정리 15 (2)를 적용하면 \( \pi^{-1}(L)=H \) 이고 \( \pi(H)=\pi\left(\pi^{-1}(L)\right)=L \) 이다. 한편 \( \pi(H)=H / N \)이므로 \( L=H / N \), 여기서 \( N \subseteq H \subseteq G \) 이다.</p><p>다음은 \( M \) 이 \( G / N \) 의 정규부분군이면 \( \pi^{-1}(M)=K \triangleleft G \) 이고 \( M=K / N \), 여기서 \( N \subseteq K \triangleleft G \) 이다.</p> <p>보기 4 대칭군 \( S_{4}=\{1,(12),(13),(14),(23),(24),(34) \) \( (123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243),(12) \) (34), (1 2)(24), (14)(23), (1234), (1324), (1342), (1423), (1432)\}의 위수 \( \left\|S_{4}\right\|=2^{3} \cdot 3 \) 이고, 2\|\|\( S_{4}\|\| 3\|\|,\left\|S_{4}\right\| \). 공액류를 구하면 다음과 같다.</p><p>\[ \begin{array}{l} \zeta_{1}=\{1\} \\ \zeta_{2}=\{(12),(13),(14),(23),(24),(34)\} \\ \zeta_{3}=\{(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)\} \\ \zeta_{4}=\{(12)(34),(13)(24),(14)(23)\} \\ \zeta_{5}=\{(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)\} \end{array} \]</p><h3>정리 2.8.8</h3><p>\( N \)이 군 \( G \) 의 정규부분군이기 위한 필요충분조건은 \( N \) 이 \( G \) 의 몇 개의 공액류들의 합으로 표시되는 것이다.</p><p>증명 \( a \in G, n \in N \) 에 대하여 \( a^{-1} n a \in N \) 이므로 \( \cup\{\zeta(n) \mid n \in N\} \subseteq N \). 또 \( n \in \zeta(n) \) 이므로 \( N \subseteq \cup\{\zeta(n) \mid n \in N\} \). 그러므로 \( N=\cup\{\zeta(n) \mid n \in N\} \).</p><p>역으로 \( N=\cup\{\zeta(n) \mid n \in N\} \) 이면 \( \zeta(n)=\left\{a^{-1} n a \mid a \in G\right\} \subseteq N \) 이므로 모든 \( a^{-1} n a \in N \). 따라서 \( a^{-1} N a=N \) 이 되어 \( N<G \).</p><p>유한군 \( G \) 의 정규부분군을 공액류로 찾아보자. \( G \) 의 공액류 몇 개의 합집합을 만들었을 때 \( G \) 의 부분군이면 이 집합은 정규부분군이다. 부분군의 위수와 부분군을 이루는 공액류의 원소의 개수를 결부시켜서 유한군의 정규부분을 얻을 수 있다.</p><p>보기 5 대칭군 \( S_{4} \) 의 공액류 \( \zeta_{1}, \zeta_{4} \) 의 합집합 \[ \zeta_{1} \cup \zeta_{4}=\{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}=K_{4} \] 는 \( S_{4} \) 의 부분군이고 또한 정규부분군이다. \( S_{4} \) 의 정규부분군은 \( \{1\} \) 과 나머지 몇 개의 공액류의 합집합으로 부분군이 되어야 한다.</p><p>\( S_{4}=24 \) 이므로 이 부분군의 위수는 24 의 약수인 \( 1,2,3,4,6,8,12,24 \) 이다. 공액류의 원소는 각각 \( 1,6,8,3,6 \) 개이므로 부분군이 될 수 있는 경우는 \(1, 1+3,1+8+3,24 \) 뿐이다. 그러므로 정규부분군은 \( \{1\},\{1,(12)(34) \),\(( (13)(24),(14)(23)\}=K_{4}, A_{4}, S_{4} \) 뿐이다. 이들의 위수는 각각 \( 1,4,12,24 \) 이다.<p>4차원의 교대군 \( A_{4} \) 는 \( S_{4} \) 의 단순부분군이 아니다. \( A_{4} \) 의 공액류 \( \zeta_{1}=\{1\} \), \( \zeta_{2}=\{(123),(134),(142),(243)\}, \zeta_{3}=\{(132),(143),(124),(234)\} \), \( \zeta_{4}=\{(12)(34),(13)(24),(14)(23)\} \) 의 위수는 각각 \( 1,4,4,3 \) 이다.</p><p>\( A_{4} \) 의 부분군의 위수는 12 의 약수로 \( 1,2,3,4,6,12 \) 이다. 그런데 1,4 ,4,3 으로 만들 수 있는 수는 \( 1,4,5,7,8,11 \) 이다. \( \zeta_{1} \cup \zeta_{4}= \) \( =\{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\} \) 은 부분군으로 \( A_{4} \) 의 정규부분군이다.</p> <h3>정리 2.2.2</h3><p>군 \( G \) 에 대하여 다음이 성립한다.<p>(1) 항등원 \( e \) 는 하나뿐이다.</p><p>(2) 임의의 \( a \in G \) 의 역원 \( a^{-1} \) 는 하나뿐이다.</p><p>(3) 좌우 소거법칙이 성립한다. 즉, \[ a b=a c \Rightarrow b=c \text { 이고 } b a=c a \Rightarrow b=c \]</p><p>(4) 임의의 \( a, b \in G \) 에 관한 방정식 \( a x=b \) 와 \( y a=b \) 는 유일한 해 \( x=a^{-1} b \) 와 \( y=b a^{-1} \) 를 갖는다.</p><p>(5) 임의의 \( a, b \in G \) 에 대하여 \[ \left(a^{-1}\right)^{-1}=a, \quad(a b)^{-1}=b^{-1} a^{-1} \] 이다.</p><p>증명 (1) 두 원소 \( e, f \) 를 \( G \) 의 항등원이라 하자. 그러면, 임의의 \( a \in G \) 에 대하여</p><p>\[ a e=e a=a \text { 과 } a f=f a=a \] 이 성립한다. 여기서, \( a=f \) 일 경우, \( f e=e f=f \) 이 성립하고, 또 \( a=e \) 일 경우, \( e f=f e=e \) 이 성립한다. 따라서 \[ f=e f=e \] 이다.</p><p>(2) \( a \in G \) 의 또 다른 역원을 \( b \) 라 하자. 그러면, \( a b=b a=e \) 이므로, \[ b=b e=b\left(a a^{-1}\right)=(b a) a^{-1}=(e) a^{-1}=a^{-1} \] 이다. 즉, \( a \) 의 역원은 \( a^{-1} \) 로 유일하다.</p><p>(3) \( a b=a c \) 라 하자. 이 식의 양변에 \( a^{-1} \) 를 곱하면 \[ \begin{array}{l} a^{-1}(a b)=\left(a^{-1} a\right) b=e b=b \\ a^{-1}(a c)=\left(a^{-1} a\right) c=e c=c \end{array} \] 이다. 따라서 \( b=a^{-1}(a b)=a^{-1}(a c)=c \) 이다. 마찬가지로 \( b a=c a \) 라 하면, \[ b=b e=b\left(a a^{-1}\right)=(b a) a^{-1}=(c a) a^{-1}=c\left(a a^{-1}\right)=c e=c \] 이다.</p><p>(4) 일단, \( a\left(a^{-1} b\right)=\left(a a^{-1}\right) b=e b=b \) 이므로, \( a^{-1} b \) 는 \( a x=b \) 의 해이다. 이 해의 유일성은 위 (3)에 의하여 성립한다. 마찬가지 방법으로 \( b a^{-1} \) 또한 \( y a=b \) 의 유일한 해이다.</p><p>(5) \( a \in G \) 의 역원은 \( a^{-1} \) 이고, \( a^{-1} \) 의 역원은 \( \left(a^{-1}\right)^{-1} \) 이다. 그러므로 \[ a a^{-1}=a^{-1} a=e \] \[ \left(a^{-1}\right)\left(a^{-1}\right)^{-1}=\left(a^{-1}\right)^{-1} a^{-1}=e \] 이 된다. 고로, \( a^{-1} \) 의 역원은 \( a \) 와 \( \left(a^{-1}\right)^{-1} \) 이고, 이들은 유일성에 의하여 \( a=\left(a^{-1}\right)^{-1} \) 이 된다. 마찬가지 방법으로 \[ (a b)\left(b^{-1} a^{-1}\right)=a\left(b b^{-1}\right) a^{-1}=a\left(e a^{-1}\right)=a a^{-1}=e \] 이므로, \( a b \) 의 유일한 역원은 \( (a b)^{-1}=b^{-1} a^{-1} \) 이다.</p> <p>예제 3 소수 \( p \) 에 관한 잉여류군 \( \left(\mathbb{Z}_{p},+\right) \) 는 진부분군을 갖지 않는다. 이를 밝혀라.</p><p>부분집합들을 포함관계 \( \subset \) 로서 가장 큰 것은 가장 위에 놓고 가장 작은 것을 가장 밑에 놓고 나머지 부분군을 그 사이에 배열한 그림을 부분군의 격자 (subgroup lattice)라 한다.</p><p>보기 \( 4\left(\mathbb{Z}_{4},+\right) \) 의 부분군은 \( \{\overline{0}\},\{\overline{0}, \overline{2}\} \) 뿐이다. 이 군의 부분군의 격자는 그림과 같다.</p><p>보기 5 대칭군 \( S_{3}=\left\{\begin{array}{lll}1,\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & 3 & 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}2 & 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 2\end{array}\right)\end{array}\right\} \) 의 우 치환 전체의 집합인 교대군은 \( A_{3}=\left\{1,\left(\begin{array}{lllll}1 & 2 & 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & 3 & 2\end{array}\right)\right\} \) 이다. 다른 부분군 \( \left\{\begin{array}{ll}1\end{array}\right\} \), \( \left\{1,\left(\begin{array}{ll}1 & 2\end{array}\right)\right\},\left\{1,\left(\begin{array}{ll}1 & 3\end{array}\right)\right\},\left\{1,\left(\begin{array}{ll}2 & 3\end{array}\right)\right\} \) 을 각각 \( H_{0}, H_{1}, H_{2}, H_{3} \) 라 하면 \( S_{3} \) 의 부분군의 격자는 다음과 같다.</p><p>주의 \( H \) 가 군 \( G \) 의 부분군이면 \( H \) 는 \( G \) 의 부분집합이므로 \( H \) 에서 결합법칙은 자동적으로 성립한다.</p><h3>정리 2.2.3</h3><p>부분군 Criterion \( H \) 가 군 \( G \) 의 공집합이 아닌 부분집합일 때, 다음 사실은 서로 동치조건이다.</p><p>(1) \( H<G \).</p><p>(2) (i) \( a, b \in H \Rightarrow a b \in H \) (ii) \( a \in H \Rightarrow a^{-1} \in H \).</p><p>(3) \( a, b \in H \Rightarrow a b^{-1} \in H \).</p><p>증명 부분군의 정의와 조건 (2)의 \( (i),(i i) \) 에 의하여 \( (1) \Rightarrow(2) \Rightarrow(3) \) 는 명백하다. \( (3) \Rightarrow(1) \) 주어진 조건 (3)을 가정할 때, 임의의 \( a \in H \) 에 대하여 \( e=a a^{-1} \in H \)이다. 다음으로, 임의의 \( a \in H \) 에 대하여, \( e \in H \) 이므로 \( a^{-1}=e a^{-1} \in H \). 또, \( a, b \in H \) 이면 \( b^{-1} \in H \) 이므로 \( a b=a\left(b^{-1}\right)^{-1} \in H \). 따라서 \( H<G \) 이다.</p> <h3>정리 2.7.3</h3><p>군 \( G \) 가 \( G=H K \) 인 정규부분군 \( H, K \) 의 직적이기 위한 필요충분조건은 다음의 각각이 성립하는 것이다.</p><p>(1) 임의의 \( g \in G \) 에 대하여 \( g=a b \) 인 \( a \in H, b \in K \) 가 오직 한 쌍만 존재한다.</p><p>(2) \( a b=e, a \in H, b \in K \) 이면 \( a=e, b=e \) 이다.</p><p>증명 (1) \( G=H K, \quad H \cap K=\{e\}, g \in G \) 이면 \( g=a b \) 인 \( a \in H, b \in K \) 가 존재한다. \( g=a b=a^{\prime} b^{\prime}, \quad a^{\prime} \in H, b^{\prime} \in K \) 이면 \( \quad a^{-1} a^{\prime}=b b^{\prime-1} \in H \cap K=\{e\} \) 이므로 \( a^{-1} a^{\prime}=b b^{\prime-1}=e \) 로부터 \( a^{\prime}=a, b^{\prime}=b \). 따라서 \( g=a b \) 인 \( a, b \) 는 오직 한 쌍뿐이다.</p><p>역으로 \( g \in H \cap K \) 라 하면 \( g \in H, g^{-1} \in K, e=g g^{-1} \). 그런데 \( e e^{-1}=e \)이므로 가정에 의하여 \( g=e \cdot G=H K \) 이고 \( H \cap K=\{e\} \) 이므로 \( G \) 는 \( H, K \) 의 직적이다.</p><p>(2) (1)에서 \( a b=e, e e=e \) 이므로 \( a=b=e \). 역으로 \( g \in H \cap K \) 이면 \( e=g g^{-1} \)이므로 \( g=e \). 그러므로 \( H \cap K=\{e\} \) 이다.</p><p>덧셈군 \( H, K \) 의 직적을 \( H \oplus K \) 로 나타낸다. \( G=H+K, \quad H \cap K=\{0\} \) 이면 \( G=H \oplus K \) 이다. \( H, K \) 를 군 \( G \) 의 직합인자(direct summand), \( G \) 를 \( H, K \) 의 직합(direct sum)이라 한다. 정리 3 에 의하여 임의 \( g \in G \) 는 \( a \in H, b \in K \) 의 합 \( g=a+b \) 로 표시되고, 이러한 \( (a, b) \) 는 오직 한 쌍만이 존재할 필요충분조건이 \( G=H \oplus K \) 이다.</p> <p>보기 2 합 \( S=\mathbb{R}^{} \times \mathbb{R}^{}, \mathbb{R}^{}=\mathbb{R}-\{0\} \) 위의 이항연산이 다음과 같다고 하자. \[ (a, b) (c, d)=(a c, b d) \] 그러면 \( (1,1) \) 은 \( (S, ) \) 의 항등원이다. 한편, 임의의 \( (a, b) \in S \) 에 대하여 \[ (a, b) \left(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}\right)=\left(a \frac{1}{a}, b \frac{1}{b}\right)=(1,1) \] 그러므로 \( (a, b) \) 의 역원은 \( \left(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}\right) \) 이다. 따라서 \( (S, ) \) 는 아벨군을 이룬다.</p><p>보기 3 전체집합 \( X \) 의 멱집합 \( P(X) \) 와 집합연산 \( \cap, \cup \) 에 대하여 \( (P(X), \cap) \), \( (P(X), \cup) \) 를 생각하여 보자. 임의의 \( A \in P(X) \) 에 대하여 \[ \begin{array}{c} A \cup \varnothing=\varnothing \cup A=A \\ A \cap X=X \cap A=A \end{array} \] 이다. 그러므로 \( \cup \) 에 관한 항등원은 \( \varnothing, \cap \) 에 관한 항등원은 \( A \) 이다. \( A \neq \varnothing \) 이면 \( A \cup X=\varnothing \) 이 되는 \( A \subseteq X \) 는 존재하지 않는다. \( A \cap B=X \) 가 되는 \( A, B \) 는 전체집합 \( X \) 뿐이다. 따라서 \( (P(X), \cup),(P(X), \cap) \) 는 항등원을 갖는 반군이나 군은 아니다.</p><p>공집합이 아닌 집합 \( G \) 가 덧셈연산 \( + \) 에 대하여 군을 이룰 때 이를 덧셈군 (additive group)이라 하고, 쌍 \( (G,+) \) 으로 표시한다. 이때 항등원을 0 으로 나타내고 영원(zero element)이라 부른다. 각 원소 \( a \in G \) 의 역원을 \( -a \) 로 나타내고 \( a \) 의 음원(negative element)이라 한다. 모든 덧셈군 \( (G,+) \) 는 항상 가환군 즉, 아벨군인 것으로 약속한다.</p><p>보기 4 집합 \( \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C} \) 는 모두 덧셈연산 \( + \) 에 관하여 아벨군을 이룬다. 이들의 영원은 0 이고 원소 \( a \) 의 음원은 \( -a \) 이다.</p><p>보기 5 다음 집합 \( \mathbb{Q}^{+}, \mathbb{R}^{+}, \mathbb{Q}^{}=\mathbb{Q}-\{0\}, \mathbb{R}^{}=\mathbb{R}-\{0\}, \mathbb{C}^{}=\mathbb{C}-\{0\} \) 은 모두 곱셈연산에 관한 가환군이다. 이들의 항등원은 1 이며, \( a \) 의 역원은 \( a^{-1} \) 이다.</p> <h2>2.3 부분군, 순환군</h2><p>이 절에서는 군 \( G \) 의 부분군의 성질 및 군 \( G \) 의 한 원소에 의해서 생성된 순환군에 대하여 학습함을 수업목표로 한다.</p><p>정의 군 \( (G, \bullet) \) 의 공집합이 아닌 부분집합 \( H \) 가 있어서 \( (H, \bullet) \) 가 또 하나의 군을 이룰 때 \( (H, \bullet) \) 를 \( (G, \bullet) \) 의 부분군(subgroup)이라 한다. 이를 간단히 \( H \) 는 \( G \) 의 부분군이라 하고, 이의 표시를 \( H<G \) 또는 \( (H, \bullet)<(G \), • \( ) \) 로 나타낸다.</p><p>특히, 대칭군의 부분군을 치환군(permutation group)이라 한다.</p><p>\( H \) 가 \( G \) 의 부분군이면 집합 \( H \) 가 연산 - 에 의하여 군을 이루므로, 임의의 \( a, b \in H \) 에 대하여, \( a b \in H \) 이고 (i) \( (a b) c=a(b c), \forall a, b, c \in H \) (ii) \( \exists e^{\prime} \in H, a e^{\prime}=a=e^{\prime} a, \forall a \in H \), (iii) 임의의 \( a \in H \) 에 대하여 \( a a^{-1}=a^{-1} \) \( a=e^{\prime} \) 가 되는 \( a^{-1} \in H \) 가 존재한다.</p><p>한편, \( (i i) \) 에서 \( e^{\prime} e^{\prime}=e^{\prime} \) 이므로, 양변에 \( \left(e^{\prime}\right)^{-1} \) 를 곱하면 \( e=e^{\prime} \) 가 되고, \( e \in H \) 이다.</p><p>보기 1 잉여류군 \( \left(\mathbb{Z}_{6},+\right) \) 의 부분집합 \( H=\{\overline{0}, \overline{2}, \overline{4}\} \) 는 덧셈에 관한 부분군이다. 실제로 \( \overline{0}+\overline{2}=\overline{2}, \overline{0}+\overline{4}=\overline{4}, \overline{2}+\overline{4}=\overline{0} \) 이므로 \( H \) 는 \( + \) 에 관하여 닫혀있다. 여기서, \( \overline{0} \) 는 \( H \) 의 영원이고, \( -\overline{0}=\overline{0},-\overline{2}=\overline{4},-\overline{4}=\overline{2} \) 이다.</p><p>보기 \( 2\left(\mathbb{Z}_{4},+\right) \) 의 부분집합 \( \{\overline{0}, \overline{2}\},\{\overline{0}\} \) 는 \( \{\overline{0}\}<\{\overline{0}, \overline{2}\}<\mathbb{Z}_{4} \) 인 관계가 되는 부분군들이다.</p><p>군 \( G \) 는 그 자신의 부분군이고 항등원 하나만으로 된 집합 \( \{e\} \) 도 \( G \) 의 부분군이다. 이때 군 \( \{e\} \) 를 \( G \) 의 자명한 부분군(trivial subgroup)이라 한다. \( H \neq G, H \neq\{e\} \) 인 부분군 \( H \) 를 \( G \) 의 진부분군(proper subgroup)이라 한다.</p> <p>보기 1 실수의 집합 \( \mathbb{R} \) 을 생각하자. 그리고 \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \) 상에서 연산 \( * \) 를 다음과 같이 정의하자. \[ (a, b) (c, d)=(a c, b c+d), \quad \forall(a, b), \quad(c, d) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \] 그러면 주어진 연산 \( \) 에 의하여 \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \) 역시 군을 이룬다. 모든 \( (a, b) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \) 에 대하여 \[ (a, b) (1,0)=(1,0) (a, b)=(a, b) \] 이므로 \( (1,0) \) 은 항등원이다. 또, 임의의 \( (a, b) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \) 에 대하여 \[ (a, b) \left(\frac{1}{a},-\frac{b}{a}\right)=(1,0)=\left(\frac{1}{a},-\frac{b}{a}\right) (a, b) \] 이므로 \( (a, b)^{-1}=\left(\frac{1}{a},-\frac{b}{a}\right) \) 이다. 여기서 \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \) 는 \( * \) 에 관하여 비가환군임을 알 수 있다. 예를 들어, \( (1,3)^{-1}=(1,-3),(2,4)^{-1}=\left(\frac{1}{2},-2\right) \) 이고, \( (1,3)^{}(2,4)= \) \( (2,10),(2,4) (1,3)=(2,7) \) 이다. 한편, \( (2,10)^{-1}=\left(\frac{1}{2},-5\right),((1,3) (2,4))^{-1}=(2,10)^{-1}=\left(\frac{1}{2}, 5\right) \), \[ (2,4)^{-1 }(1,3)^{-1}=\left(\frac{1}{2},-2\right) (1,-3)=\left(\frac{1}{2}, 5\right), \] \[ (1,3)^{-1 }(2,4)^{-1}=(1,-3)^{}\left(\frac{1}{2},-2\right)=\left(\frac{1}{2},-\frac{7}{2}\right) \] 이므로, \( \quad(1,3) (2,4) \neq(2,4) (1,3), \quad((1,3) (2,4))^{-1} \neq(1,3)^{-1} (2,4)^{-1} \) 임을 알 수 있다.</p><p>정리 2,2,3 군 \( G \) 에 대하여 다음이 성립한다.</p><p>(1) \( G \) 가 가환일 필요충분조건은 모든 \( a, b \in G \) 에 대하여 \( (a b)^{-1}=a^{-1} b^{-1} \) 가 되는 것이다.</p><p>(2) 모든 \( a \in G \) 에 대하여 \( a a=e \) 이면 \( G \) 는 가환군이다.</p><p>증명 (1) 군 \( G \) 가 가환이라 하자. 그러면, \( (a b)^{-1}=b^{-1} a^{-1}=a^{-1} b^{-1} \) 이다. 역으로 임의의 \( a, b \in G \) 에 대하여 \( (a b)^{-1}=a^{-1} b^{-1} \) 가 성립한다고 하자. 그러면, 앞에서 배운 \( (a b)^{-1}=b^{-1} a^{-1} \) 를 이용하여, \[ a b=\left((a b)^{-1}\right)^{-1}=\left(a^{-1} b^{-1}\right)^{-1}=\left((b a)^{-1}\right)^{-1}=b a \] 이 된다. 따라서 \( G \) 는 가환군이다.</p><p>(2) 모든 \( a \in G \) 에 대하여 \( a^{2}=a a=e \) 라 하자. 이의 양변에 \( a^{-1} \) 를 곱하면 \( a=a^{-1} \) 를 얻는다. 고로, 임의의 \( a, b \in G \) 에 대하여 \[ a b=(a b)^{-1}=b^{-1} a^{-1}=b a \] 이 된다. 따라서 \( G \) 는 가환군이다.</p> <p>예제 2 군 \( G \) 에서 \( x^{3}=e \) 일 필요충분조건은 임의의 \( y \in G \) 에 대하여 \( \left(y^{-1} x y\right)^{3}=e \) 가 되는 것임을 보여라.</p><p>풀이 먼저, 군 \( G \) 의 원소 \( x \) 에 대하여 \( x^{3}=e \) 라고 가정하자. 그러면, 임의의 \( y \in G \) 에 대하여 \[ \left(y^{-1} x y\right)^{3}=\left(y^{-1} x y\right)\left(y^{-1} x y\right)\left(y^{-1} x y\right)=y^{-1} x \text { exex } y=y^{-1} x^{3} y=y^{-1} e y=e \] 이다. 역으로, \( G \) 의 원소 \( x, y \) 에 대하여 \( \left(y^{-1} x y\right)^{3}=e \) 라 가정하면, \( y^{-1} x^{3} y=e \) 이다. 따라서 \[ x^{3}=y y^{-1} x^{3} y y^{-1}=y\left(y^{-1} x^{3} y\right) y^{-1}=y e y^{-1}=e \] 이다.</p><p>끝으로, 덧셈 군 \( G \) 의 \( a, b \in G \) 에 대하여 \( a+(-b)=a-b \) 와 같이 차를 정의하고, 다음과 같은 성질이 있음을 상기하자. \[ -(-a)=a,-(a+b)=-a-b, a+b=0 \Rightarrow b=-a \] 또한, 양의 정수 \( n \) 에 대하여 덧셈에 관한 지수법칙을 다음으로 정의하자. \[ \begin{aligned} n a=a+a+a &+\cdots+a(n \text { 번 }) \\ 0 a &=0, \\ (-n) a &=n(-a) \end{aligned} \] 이때 \( 0 a \) 의 0 는 정수의 영, 우변의 0 는 군 \( G \) 의 영원(항등원)이다. 정수의 영과 \( G \) 의 영원을 같은 기호로 나타내기로 한다. 다음 명제는 쉽게 증명된다.</p><h3>따름정리 2.2.5</h3><p>가환군 \( (G,+) \), 원소 \( a, b \in G \), 정수 \( n \in \mathbb{Z} \) 에 대하여 다음이 성립한다.</p><p>(1) \( (n+m) a=n a+m a \)</p><p>(2) \( m(n a)=m n a \)</p><p>(3) \( (-n) a=-(n a) \)</p><p>(4) \( n(a+b)=n a+n b \)</p><h2>연습문제 2.2</h2><p>1 군 \( G \) 에 대하여 모든 \( a, b \in G \) 에 대하여 \( (a b)^{2}=a^{2} b^{2} \) 이면 \( G \) 는 가환임을 밝혀라.</p><p>2 \( a^{} b \neq b^{} a \) 인 군 \( G \) 의 원소를 \( a, b \) 라 하면 \( e, a, b, a^{} b, b^{} a \) 는 서로 다른 원소임을 보여라.</p><p>3 위수가 3 이상인 군 \( G \) 에 \( a b=b a, a \neq b, a \neq e, b \neq e \) 인 원소 \( a, b \in G \) 가 존재함을 보여라.</p><p>4 군 \( G \) 에 관한 방정식 \( x^{2}=x \) 의 해(solution)는 \( x=e \) 뿐임을 보여라.</p><p>5 군 \( G \) 에 대하여 \( a^{-1} b a=b^{-1}, b^{-1} a b=a^{-1} \) 인 원소 \( a, b \in G \) 는 \( a^{4}=b^{4}=e \) 임을 만족한다.</p><p>6 군 \( G \) 의 고정된 원소 \( a \) 에 대하여 다음 사상 \( f_{a}: G \rightarrow G \) 을 좌 이동사상(left translation)이라 한다. \[ f_{a}(x)=a x, x \in G \]</p><p>(1) \( f_{a} \) 는 전단사이다.</p><p>(2) \( f_{a}, f_{b} \) 에 대하여 \( f_{a} \circ f_{b}=f_{a b} \) 가 성립한다.</p><p>(3) \( \left\{f_{a} \mid a \in G\right\} \) 는 합성 에 대하여 군을 이룬다.</p><p>7 원소의 개수가 2 또는 3 인 군은 모두 가환군임을 보여라.</p><p>8 원소의 개수가 짝수인 군 \( G \) 는 \( a^{2}=e, a \neq e \) 인 원소 \( a \) 를 적어도 하나 가짐을 보여라.</p><p>9 비가환군은 적어도 여섯 개의 원소를 가짐을 보여라.</p><p>10 양의 정수 \( n \) 에 대하여, 군 \( G \) 에서 \( x^{n}=e \) 일 필요충분조건은 임의의 \( y \in G \) 에 대하여 \( \left(y^{-1} x y\right)^{n}=e \) 가 되는 것임을 보여라.</p><p>11 좌우 소거법칙을 만족하는 유한 반군(finite semigroup) \( G \) 는 군을 이룬다. 그러나 \( G \)가 무한집합이면 군을 이룬다고 할 수 없음을 보여라.</p><p>11 좌우 소거법칙을 만족하는 유한 반군(finite semigroup) \( G \) 는 군을 이룬다. 그러나 \( G \)가 무한집합이면 군을 이룬다고 할 수 없음을 보여라.</p><p>12 따름 정리 2.2.5를 증명하여라.</p> <h2>2.6 군 준동형사상, 군 동형정리</h2><p>군과 군 사이의 관계를 이어주는 준동형사상 및 동형사상에 대한 정의를 소개하고, 이들의 주요 성질에 대하여 살펴본다.</p><p>정의 군 \( (G, ) \) 에서 군 \( (H, \circ) \) 로의 사상 \( f: G \rightarrow H \) 이 모든 \( a, b \in G \) 에 대하여 \( f(a * b)=f(a) \circ f(b) \) 를 만족할 때 \( f \) 를 \( G \) 에서 \( H \) 로의 (군) 준동형사상 (group homomorphism)이라 한다. 만약 \( a * b=a b, f(a) \circ f(b)=f(a) f(b) \) 로 나타내면 \( f(a b)=f(a) f(b), a, b \in G \) 일 때, 사상 \( f: G \rightarrow H \) 는 준동형사상이다.</p><p>단사인 준동형사상을 단사 준동형사상(monomorphism), 전사인 준동형사상을 전사 준동형사상(epimorphism), 전단사인 준동형사상을 동형사상(isomorphism)이라 한다.</p><p>군 \( G \) 에서 \( H \) 로의 동형사상이 존재 할 때, \( G \) 와 \( H \) 는 동형(isomorphic) 관계에 있다고 하고, \( G \cong H \) 로 나타낸다.</p><p>\( G \) 에서 \( G \) 로의 준동형사상 \( f: G \rightarrow G \) 를 자기 준동형사상, 또 동형사상 \( f: G \hookrightarrow G \) 를 자기 동형사상(automorphism)이라 한다.</p><p>보기 \( 1 f(n)=(-1)^{n}, n \in \mathbb{Z} \) 로 정의된 사상 \( f:(\mathbb{Z},+) \rightarrow\{1,-1\} \) 은 군 준동형사상이다. \( m, n \in Z \) 에 대하여 \[ f(m+n)=(-1)^{m+n}=(-1)^{n}(-1)^{n}=f(m) f(n) \] 이므로 \( f \) 는 준동형사상이다. 그러나 동형사상은 아니다.</p><p>보기 2 법 4인 정수군 \( G=\mathbb{Z}_{4} \) 와 클라인 4군 \( V \) 는 동형사상이 아니다.</p><p>실제로, 동형사상 \( f: G \rightarrow V \) 이 존재한다고 가정하면 \( f(x)=e, a, b, c \) \( (x \neq 0,2) \) 중 어느 하나이다. \( f(x+x)=f(x) f(x)=e^{2}, a^{2}, b^{2}, c^{2} \) 중 어느 하나이므로 \( a^{2}=b^{2}=c^{2}=\mathrm{e}=e^{2} \) 에서 \( \quad f(x+x)=e \) 이다. \( f(0)=f(0) f(0)=e \) 이므로 \( f(x+x)=f(0) \) 이다. 그러나 \( x+x \neq 0 \) 이므로 \( f \) 는 단사가 아니나. 따라서 \( G \) \( \neq V \).</p> <h3>따름정리 2.6.9</h3><p>위수가 \( n \) 인 유한군은 대칭군 \( S_{n} \) 의 한 부분군과 동형이다.</p><p>지금부터는 군의 동형관계 중에서 중요한 몇 가지를 소개하기로 한다.</p><h3>정리 2.6.10</h3><p>\( N \) 이 군 \( G \) 의 정규부분군이면, \( \pi(a)=N a, a \in G \) 로 정의된 사상 \( \pi: G \) \( \rightarrow G / N \) 은 \( N \) 을 핵으로 갖는 전사 준동형사상이다.</p><p>군 \( G / N=\{N a \mid a \in G\} \) 의 임의의 원소는 \( N a, a \in G \) 이므로 \( \pi(a)=N a \), 즉 \( a \) 는 \( \pi \) 에 관한 \( \mathrm{Na} \) 의 원상이다. 그러므로 \( \pi \) 는 전사사상이다.</p><p>\( a, b \in G \) 에 대하여 \( \pi(a b)=N a b=N a N b=\pi(a) \pi(b) \) 이므로 \( \pi \) 는 준동형 사상이나. 또한, \[ \begin{aligned} \operatorname{Ker} \pi &=\{a \in G \mid \pi(a)=N\}=\{a \in G \mid N a=N\} \\ &=\{a \in G \mid a \in N\}=N, \operatorname{Im} \pi=G / N \end{aligned} \]</p><p>위의 사상 \( \pi \) 를 \( G \) 에서 \( G / N \) 에로의 표준 준동형사상(canonical homo-morphism) 또는 자연 준동형사상(natural homomorphism)이라 한다.</p><h3>정리 2.6.11 준동형사상 기본정리</h3><p>군 준동형사상 \( f: G \rightarrow G^{\prime} \) 와 \( G \) 의 정규부분군 \( N \)에 대하여 \( N \subseteq K e r f \) 이라고 하면 \( \bar{f}(N a)=f(a), a \in G \) 가 되는 군 준동형사상 \( \bar{f}: G / N \rightarrow G \) 가 오직 하나만 존재하여, \( \bar{f} \circ \pi=f \) 이 유도된다. 더욱이 \( \operatorname{Im} \bar{f}=\operatorname{Imf}, \operatorname{Ker} \bar{f}=\operatorname{Kerf} / N \) 이다.</p><p>증명 먼저 대응 \( \bar{f} \) 가 사상임을 보인다. \( N \subseteq K e r f \) 이므로 \( N a=N b \) 에 대하여 \( b=n a, n \in N \) 이고 \[ f(b)=f(n a)=f(n) f(a)=e f(a)=f(a) . \] 따라서 \( \bar{f}(N a)=\bar{f}(N b) \) 이고 \( \bar{f} \) 가 사상임이 잘 정의된다.</p><p>다음은 \( \bar{f}(N a b)=f(a b)=f(a) f(b)=\bar{f}(N a) \bar{f}(N b) \) 이므로 \( \bar{f} \) 는 준동형사상이다. 그리고 임의의 \( a \in G \) 에 대하여 \[ (\bar{f} \circ \pi)(a)=\bar{f}(\pi(a))=\bar{f}(N a)=f(a) . \]</p><p>마지막으로 \( \bar{f} \) 의 유일성을 증명하기 위하여, \( f^{\prime} \circ \pi=f \) 를 만족하는 \( f^{\prime} \) 가 존재한다면 \[ f^{\prime}(N a)=\left(f^{\prime} \circ \pi\right)(a)=f(a)=(\bar{f} \circ \pi)(a)=\bar{f}(N a) \] 이므로 \( \bar{f} \) 의 유일성이 증명된다.</p><p>한편 \( \bar{f} \) 의 정의에서 \( \operatorname{Imf}=\operatorname{Im} \bar{f} \) 이고, \( N a \in \operatorname{Ker} \bar{f} \Leftrightarrow \bar{f}(N a)=e^{\prime} \Leftrightarrow f(a)= \) \( e^{\prime} \Leftrightarrow a \in \operatorname{Kerf} \) 이므로 \( \operatorname{Ker} \bar{f}=\{N a \mid a \in \operatorname{Kerf}\}=\operatorname{Kerf} / N \) 이다.</p>	대수학	[ "<p>정의 군 \\( G \\) 의 부분집합 \\( M \\) 에서 집합 \\( a^{-1} M a, a \\in G \\) 를 \\( G \\) 에서 \\( M \\) 에 대한 공액집합 (conjugate set)이라 한다. \\", "( M=\\{x\\}, x \\in G \\) 이면 \\( a^{-1} M a=\\left\\{a^{-1} x a\\right\\} \\). \\", "( a^{-1} x a=y \\) 라 놓으면 \\( x=a y a^{-1} \\) 이다.", "</p><p>이때 \\( x, y \\) 는 공액관계(conjugate relation)에 있다고 하고, \\( x \\sim y \\) 로 나타낸다.", "즉 \\( y=a^{-1} x a \\) 가 되는 \\( a \\in G \\) 가 존재하면 \\( x \\sim y \\) 또는 \\( y \\sim x \\) 이다.", "</p><p>\\( M \\) 이 군 \\( G \\) 의 정규부분군이면 모든 \\( a \\in G \\) 에 대하여 \\( a^{-1} M a=M \\) 이므로 \\( M \\) 에 대한 공액집합은 \\( M \\) 자신뿐이다.", "서로 다른 공액집합의 개수를 생각하여 보자.", "</p><p>정의 군 \\( G \\) 의 부분집합 \\( M \\) 에서 집합 \\( N=\\{a \\in G \\mid a M=M a\\}=\\left\\{a \\in G \\mid a^{-1} M a=M\\right\\} \\)을 \\( G \\) 에서의 \\( M \\) 의 정규화부분군(normalizer)이라 하고, \\( N=N_{G}(M) \\) 으로 나타낸다.", "</p><p>\\( M=\\{m\\} \\) 일 때 \\( N_{G}(M)=N_{G}\\{(m)\\} \\) 을 \\( G \\) 에서의 원소 \\( m \\) 의 중심화부분군(centralizer)이라 하고, \\( C_{G}(m)=\\{a \\in G \\mid a m=m a\\} \\) 로 나타낸다.", "</p><h3>정리 2.8.2</h3><p>부분군 \\( M \\) 의 군 \\( G \\) 에서의 서로 다른 공액집합의 개수는 \\( \\left[G: N_{G}(M)\\right] \\) 이다.", "</p><p>증명 임의의 \\( a, b \\in N=N_{G}(M) \\) 에 대하여 \\( a M=M a, b M=M b, b^{-1} M=M b^{-1} \\).", "그러면 \\[ \\begin{aligned} a b^{-1} M &=a\\left(b^{-1} M\\right)=a\\left(M b^{-1}\\right) \\\\ &=(a M) b^{-1}=(M a) b^{-1}=M a b^{-1} \\end{aligned} \\] 그러므로 \\( a b^{-1} \\in N \\).", "이는 \\( N \\) 이 \\( G \\) 의 부분군임을 의미한다.", "</p><p>\\( N \\) 에 관한 서로 다른 잉여류 \\( N x \\) 를 구하여 보자.", "임의의 \\( a b \\in N b, a \\in N \\), \\( b \\in G \\) 에 대하여 \\( a^{-1} M a=M \\). \\", "( (a b)^{-1} M(a b)=b^{-1} a^{-1} M a b=b^{-1} M b \\).", "역으로 \\( b, c \\) 에 대응하는 공액집합이 같다면 \\( b^{-1} M b=c^{-1} M c .", "M=b c^{-1} M c b^{-1} \\) 에서 \\( a=c b^{-1} \\) 라 놓으면 \\( a^{-1} M a=M .", "a \\in N, c=a b \\) 이므로 \\( c \\in N b \\).", "그러므로 \\( b \\) 와 같은 공액집합을 갖는 \\( G \\) 의 원소는 \\( \\mathrm{Nb} \\) 의 원소뿐임을 알았다.", "서로 다른 공액 집합의 개수는 서로 다른 잉여류 \\( \\mathrm{Nb} \\) 의 개수와 같다.", "따라서 \\( M \\) 에 대한 서로 다른 공액집합은 \\( \\left[G: N=N_{G}(M)\\right] \\) 개이다.", "</p> <p>지금부터, 군 \\( G \\) 의 원소에 대한 지수법칙을 다음과 같이 정의하자.", "먼저, 군 \\( G \\) 의 원소 \\( a, b, c \\) 의 곱 \\( (a b) c \\) 와 \\( a(b c) \\) 는 같은 원소이므로 이를 \\( a b c \\) 로 나타낸다.", "또한, 양의 정수 \\( n \\) 에 대하여 \\( a^{n}=a a \\cdots a \\) ( \\( n \\) 번 연산), \\( a^{-n}=\\left(a^{-1}\\right)^{n}, a^{0}=e \\) 으로 정의한다.", "</p><h3>정리 2.2.4</h3><p>군 \\( G \\) 의 원소 \\( a \\in G \\) 와 정수 \\( m, n \\in \\mathbb{Z} \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "</p><p>(1) \\( a^{n} a^{m}=a^{n+m}=a^{m} a^{n} \\)</p><p>(2) \\( \\left(a^{n}\\right)^{m}=a^{n m}=\\left(a^{m}\\right)^{n} \\)</p><p>(3) \\( a^{-n}=\\left(a^{n}\\right)^{-1} \\)</p><p>증명 편의상 (3)을 먼저 증명한다.", "</p><p>(3) \\( a \\in G \\) 이고, \\( m, n \\in \\mathbb{Z} \\) 이라 하자. 먼저, \\( n \\geq 0 \\) 일 때, \\( \\left(a^{n}\\right)^{-1}=\\left(a^{-1}\\right)^{n} \\) 임을 수학적 귀납법으로 증명해보자. \\( n=0 \\) 일 때, \\( \\left(a^{0}\\right)^{-1}=(e)^{-1}=e=\\left(a^{-1}\\right)^{0} \\)이 성립한다. 또한, \\( n=k>", "0 \\) 일 때, \\( \\left(a^{k}\\right)^{-1}=\\left(a^{-1}\\right)^{k} \\) 가 성립한다고 가정하자.", "그러면, \\[ \\left(a^{k+1}\\right)^{-1}=\\left(a^{k} a\\right)^{-1}=a^{-1}\\left(a^{k}\\right)^{-1}=a^{-1}\\left(a^{-1}\\right)^{k}=\\left(a^{-1}\\right)^{k+1} \\] 이 성립하여, 수학적 귀납법으로써 \\( n \\geq 0 \\) 이면 \\( \\left(a^{n}\\right)^{-1}=\\left(a^{-1}\\right)^{n} \\) 임이 증명되었다.", "다음으로, \\( n<0 \\) 일 때, \\( \\left(a^{n}\\right)^{-1}=\\left(a^{-1}\\right)^{n} \\) 임을 위의 내용을 이용하여 증명해보자. \\", "( n<0 \\) 이므로, \\( -n>0 \\) 이다.", "그러므로 위의 증명에 의하여 \\( \\left(a^{-n}\\right)^{-1}=\\left(a^{-1}\\right)^{-n} \\) 이 성립한다.", "그러면 \\[ \\left(a^{n}\\right)^{-1}=\\left(a^{-(-n)}\\right)^{-1}=\\left(\\left(a^{-1}\\right)^{-n}\\right)^{-1}=\\left(\\left(a^{-1}\\right)^{-1}\\right)^{-n}=a^{-n}=\\left(a^{-1}\\right)^{n} \\] 이 된다.", "따라서 모든 \\( n \\in \\mathbb{Z} \\) 에 대하여 \\( \\left(a^{n}\\right)^{-1}=\\left(a^{-1}\\right)^{n} \\) 이 증명되었다.", "또한, 정의에 의하여 \\( a^{-n}=\\left(a^{-1}\\right)^{n} \\) 이므로, \\( a^{-n}=\\left(a^{n}\\right)^{-1} \\) 이 성립함을 알 수 있다.", "</p><p>(1) \\( n>0, m>0 \\) 이면, \\( a \\) 를 각각 \\( n, m \\) 번 곱한 \\( a^{n} \\) 와 \\( a^{m} \\) 의 곱 \\( a^{n} a^{m} \\) 은 \\( a \\) 를 \\( n+m \\) 번 곱한 것이므로 \\( a^{n} a^{m}=a^{n+m} \\) 이다.", "또한, \\( n<0, m<0 \\) 이면, \\( a, n, m \\) 을 각각 \\( a^{-1},-n,-m \\) 에 대하여, \\( -m>0,-n>0 \\) 이므로 \\( \\left(a^{-1}\\right)^{-n}\\left(a^{-1}\\right)^{-m}=\\left(a^{-1}\\right)^{(-n)+(-m)} \\) 이 성립한다.", "따라서 (3)을 이용하면, \\[ a^{n} a^{m}=\\left(a^{-1}\\right)^{-n}\\left(a^{-1}\\right)^{-m}=\\left(a^{-1}\\right)^{(-n)+(-m)}=a^{n+m} \\] 이 된다.", "그리고, \\( n=0 \\) 또는 \\( m=0 \\) 인 경우를 살펴보자. \\", "( n=0 \\) 이면, \\( a^{n}=e \\) 이고, \\[ a^{n} a^{m}=e a^{m}=a^{m}=a^{0+m}=a^{n+m} \\] 이다. \\", "( m=0 \\) 이면, \\( a^{m}=e \\) 이고, \\[ a^{n} a^{m}=a^{n} e=a^{n}=a^{n+0}=a^{n+m} \\] 이다. \\", "( m>0, n<0 \\) 또는 \\( m<0, n>0 \\) 인 경우에도 \\( m, n \\) 에 관한 위의 법칙(예를 들어 \\( m>0,-n>0 \\) )을 이용하여 유사하게 증명할 수 있다.", "</p><p>(2) \\( n=0 \\) 이면 분명하다. 또한, \\( n>", "0 \\) 이면 \\( n \\) 에 관한 수학적 귀납법으로 증명할 수 있고, 이를 이용하여 \\( n<0 \\) 일 때도 성립함을 같은 방법으로 증명할 수 있다.", "</p> <p>보기 7 잉여류 군과 기약 잉여류 군 양의 정수 \\( n \\) 에 관한 잉여류 전체의 집합 \\[ \\mathrm{Z}_{n}=\\{\\overline{0}, \\overline{1}, \\ldots, \\overline{n-1}\\} \\] 위의 덧셈과 곱셈을 다음으로 정의한다. \\", "[ \\bar{a}+\\bar{b}=\\overline{a+b}, \\bar{a} \\bar{b}=\\overline{a b} \\] \\( \\left(\\mathbb{Z}_{n},+\\right) \\) 는 \\( \\overline{0} \\) 을 영원, \\( \\bar{a} \\) 의 음원이 \\( -\\bar{a}=\\overline{-a}=\\overline{n-a} \\) 인 가환군이다. \\", "( \\left(\\mathbb{Z}_{n}, \\cdot\\right) \\) 는 \\( \\overline{1} \\) 을 항등원으로 갖는 반군이 된다.", "임의의 \\( \\bar{a} \\in Z_{n} \\) 에 대하여 \\( \\bar{a} \\cdot \\bar{x}=\\bar{x} \\cdot \\bar{a}=\\overline{1} \\) 이 되는 \\( \\bar{x} \\) 가 존재할 필요충분조건은 \\( (a, n)=1 \\) 이다.", "법 \\( n \\) 에 관한 기약 잉여류 전체의 집합 \\[ \\mathbb{Z}_{n}^{}=\\left\\{\\bar{a} \\in \\mathbb{Z}_{n} \\mid(a, n)=1\\right\\} \\] 은 곱셈에 대하여 군을 이룬다.", "</p><p>덧셈군 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{n},+\\right) \\) 을 법 \\( n \\) 에 관한 잉여류 군(residue class group modulo \\( n \\) )이라 하고, 곱셈군 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{n}^{}, \\cdot\\right) \\) 을 법 \\( n \\) 에 관한 기약 잉여류 군(reduced residue class group modulo \\( n \\) )이라 한다.", "</p><p>소수 \\( p \\) 에 관하여 곱셈군 \\( \\mathbb{Z}_{p}{ }^{}=\\{1,2, \\cdots, p-1\\}=\\mathbb{Z}_{p}-\\{\\overline{0}\\} \\) 는 \\( \\left\|Z_{p}{ }^{}\\right\|=p-1 \\)인 가환군이 된다.", "</p><p>보기 8 사원수군 집합 \\( Q=\\{1,-1, i,-i, j,-j, k,-k\\} \\) 의 곱셈을 다음으로 정의하자. \\", "[ \\begin{array}{c} i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1 \\\\ i j=-j i=k, j k=-k j=i, \\quad k i=-i k=j \\end{array} \\] 그러면 \\( Q \\) 는 8 개의 원소를 가진 비가환군이 된다.", "이 곱셈군을 사원수군 (quaternion group)이라 한다.", "</p><p>보기 9 정이면체 군 하나의 정삼각형을 그 자신과 같은 모양으로 포갤 수 있는 대응에 대하여 살펴보자.", "이러한 대응은 중점 \\( O \\) 를 고정하여 120 도, 240 도, 360 도 회전과 직선 \\( l_{1} \\) (꼭지점 1 과 점 0 를 잇는 직선), \\( l_{2}, l_{3} \\) 에 관한 대칭이 있다.", "120 도 회전을 \\( a \\), 대칭 \\( l_{1} \\) 을 \\( b \\) 라 하면 회전과 대칭의 모임은 군이 되고 다음과 같은 집합으로 나타낸다. \\", "[ D_{3}=\\left\\{e, a, a^{2}, b, a b, a^{2} b\\right\\} . \\]", "한편, \\( a^{3}=e, b^{2}=e, b a=a^{2} b \\) 이므로 \\( D_{3} \\) 는 비가환군이 되고, 다음과 같이 나타낼 수 있다. \\", "[ D_{3}=\\left\\langle a, \\quad b \\mid a^{3}=e, b^{2}=e, b a=a^{2} b\\right\\rangle \\] 이 군 \\( D_{3} \\) 를 3차 정이면체 군(dihedral group of degree 3)이라 한다.", "</p> <p>정의 \\( H \\) 가 군 \\( G \\) 의 부분군일 때 서로 다른 우 잉여류(좌 잉여류)의 개수를 \\( G \\) 에서 \\( H \\)의 지수(index)라 하고, \\( [G: H] \\) 로 나타낸다.", "집합 \\( \\{H a \\mid a \\in G\\} \\) 가 무한집합이면 \\( H \\) 는 \\( G \\) 에서 무한지수(infinite index)를 갖는다고 한다.", "</p><p>\\( G \\) 가 유한군이면 라그랑주 정리에 의하면 다음이 성립한다. \\", "( \|G\|=[G: H]\|H\| \\) 이고, \\[ [G: H]=\\frac{\|G\|}{\|H\|}=\\frac{G \\text { 의위수 }}{H \\text { 의위수 }} . \\]", "</p><p>보기 7 정이면체군 \\( D_{4} \\) 의 부분군 \\( H=\\left\\{1, \\sigma^{2}, \\sigma \\tau, \\sigma^{3} \\tau\\right\\} \\) 의 지수는 \\( \\frac{8}{4}=2 \\) 이다.", "또 부분군 \\( K=\\{1, \\tau\\} \\) 의 위수는 \\( \\frac{8}{2}=4 \\) 이다.", "군 \\( D_{4} \\) 의 부분군의 위수는 \\( 1,2,4,8 \\) 뿐이다.", "지수가 1 인 부분군은 1 개, 2 인 부분군은 4 개, 4 인 부분군은 5 개, 8 인 부분군은 1 개이다.", "</p><p>\\( p \\) 가 소수이고 \\( (p a)=1 \\) 이면 \\( a^{p-1} \\equiv 1(\\bmod p) \\) 가 된다는 것은 페르마(Pierre Fermat)가 증명하였고 ‘페르마의 작은 정리'로 알려져 있다.", "</p><p>오일러 함수 \\( \\varnothing(n) \\) 에 관한 다음 정리는 오일러 정리로서 페르마의 정리를 일반화한 것이다.", "</p><h3>정리 2.4.10</h3><p>정수 \\( a \\) 와 \\( n \\) 이 서로소이면 \\( a^{\\phi(n)} \\equiv 1(\\bmod n) \\) 이다.", "</p><p>증명 \\( n \\) 에 관한 기약잉여류군 \\( \\mathbb{Z}^{}{ }_{n} \\) 의 원소 \\( \\bar{a} \\) 에 대하여 정리 8 (2)에 의하여 \\[ \\overline{1}=(\\bar{a})^{\\varnothing(n)}=\\overline{a^{\\varnothing(n)}} \\] 따라서 \\( a^{\\varnothing(n)} \\equiv 1(\\bmod n) \\) 이다.", "</p><p>또 \\( n=p \\) (소수)이면 \\( \\varnothing(p)=p-1 \\) 이므로 \\[ a^{p-1} \\equiv 1(\\bmod p) \\] 이다.", "</p><p>라그랑주 정리 증명의 보다 현대적인 방법을 소개하기 위하여 합동에 관한 성질을 생각하여 보자.", "</p><p>라그랑주 정리 증명의 보다 현대적인 방법을 소개하기 위하여 합동에 관한 성질을 생각하여 보자.", "</p><p>정의 군 \\( G \\) 의 부분집합 \\( H \\) 에서</p><p>\\[ a b^{-1} \\in H \\Leftrightarrow a \\equiv b(\\bmod H) \\] 로 정의된 관계 \\( \\equiv \\) 를 \\( a \\) 는 법 \\( H \\) 에 관하여 \\( b \\) 와 우 합동(right congruent)이라 한다.", "</p><p>마찬가지로 \\( a^{-1} b \\in H \\Leftrightarrow a \\equiv b(\\bmod H) \\) 를 \\( a \\) 와 \\( b \\) 의 법 \\( H \\) 에 관한 좌 합동(left congruent)이라 한다.", "</p> <h2>2.1 군의 기본개념</h2><p>공집합이 아닌 집합 \\( G \\) 위의 이항연산은 \\( G \\times G \\) 에서 \\( G \\) 에로의 함수이고, 이를 - : \\( G \\times G \\rightarrow G \\) 로 표시하고 \\( ,+ \\), 응으로도 나타낸다.", "4가지 성질을 만족하는 군 \\( G \\) 의 개념을 다음과 같이 정의한다.", "</p><p>정의 공집합이 아닌 집합 \\( G \\) 위의 이항연산 • 가 있어서, 쌍 \\( (G, \\cdot) \\) 이 다음의 조건을 만족할 때, \\( G \\) 는 •를 연산으로 갖는 군(group)이라고 한다.", "이때, \\( G \\) 는 - 에 관하여 닫혀있다.", "즉, 모든 \\( a, b \\in G \\) 에 대하여 \\( a \\cdot b \\in G \\) 이다.", "이를 \\( a b \\in G \\) 로 표시한다.", "</p><p>(1) 결합성(associativity): 모든 \\( a, b, c \\in G \\) 에 대하여 \\[ (a b) c=a(b c) . \\]", "(2) 항등원(identity)의 존재: \\( G \\) 의 원소 \\( e \\) 가 존재하여, 모든 \\( a \\in G \\) 에 대하여 \\( a e=e a=a \\).", "(3) 역원(inverse)의 존재: 임의의 \\( a \\in G \\) 에 대하여 \\( G \\) 의 원소 \\( a^{\\prime} \\) 가 존재하여 \\( a a^{\\prime}=a^{\\prime} a=e \\).", "공집합이 아닌 집합 \\( G \\) 위의 이항연산 - 가 있어서 결합법칙을 만족할 때 \\( (G, \\cdot) \\) 를 반군(semigroup)이라 하고, 항등원을 갖는 반군을 모노이드 (monoid)라 한다.", "다음의 조건 (4)를 만족하는 군을 아벨군(abelian group) 또는 가환군 (commutative group)이라 한다.", "가환이 아닌 군을 비아벨군(non- abelian group) 또는 비가환군(non-commutative group)이라 한다.", "(4) 모든 \\( a, b \\in G \\) 에 대하여 \\( a b=b a \\) 이다.", "</p><p>보기 1 집합 \\( \\mathbb{Z}(\\sqrt{2})=\\{a+b \\sqrt{2} \\mid a, b \\in \\mathbb{Z}\\} \\) 는 항등원을 갖는 반군이다.", "여기서, 이 항연산은 집합 \\( \\mathbb{Z}(\\sqrt{2}) \\) 위에서의 곱셈연산이다.", "임의의 두 원소 ( a+b \\sqrt{2}, c+d \\sqrt{2} \\) 에 대하여 \\[ (a+b \\sqrt{2})(c+d \\sqrt{2})=(a c+2 b d)+(a d+b c) \\sqrt{2} . \\]", "또 \\( 1=1+0 \\sqrt{2} \\) 를 항등원으로 갖는 모노이드임을 알 수 있다.", "</p> <p>정의 군 \\( G \\) 의 원소 \\( a \\) 에 의하여 생성된 부분군 \\(<a>\\) 의 원소의 개수를 \\( a \\) 의 위수 (order)라 한다. \\", "( a \\) 의 위수가 \\( n \\) 이면, \\( n \\) 은 \\( a^{n}=e \\) 가 되는 최소 양의 정수이다.", "이와 같은 정수 \\( n \\) 이 존재하지 않을 때 \\( a \\) 는 무한위수(infinite order)를 갖는다고 한다.", "</p><p>이면체군 \\( D_{3}=\\left\\{1, \\sigma, \\sigma^{2}, \\tau, \\sigma \\tau, \\sigma^{2} \\tau\\right\\} \\) 의 각 원소의 위수는 다음과 같다.", "</p><p>원소 \\(\\quad1, \\quad \\sigma, \\quad \\sigma^{2}, \\quad \\sigma^{3}, \\quad \\tau, \\quad \\sigma \\tau, \\quad \\sigma^{2} \\tau, \\quad \\sigma^{3} \\tau \\)</p><p>위수 \\(\\quad1,\\quad 4,\\quad 3\\quad ,4,\\quad 4,\\quad 4,\\quad 4,\\quad 4 \\)</p><h3>정리 2.3.7</h3><p>군 \\( \\prec a>=\\left\\{a^{n} \\mid n \\in \\mathbb{Z}\\right\\} \\) 의 원소의 개수가 \\( n \\) 이면 \\(<a>=\\left\\{e, a, a^{2}, \\cdots, a^{n-1}\\right\\} \\) 이다.", "</p><p>지금, 임의의 \\( a^{k} \\in\\langle a\\rangle \\) 를 택하자.", "그러면 나눗셈의 정리에 의하여 \\( k=q n+r, 0 \\leq r<n \\) 인 정수 \\( q, r \\) 이 존재한다.", "</p><p>임의의 \\( a^{k} \\in<a>\\) 에 대하여 \\[ a^{k}=\\left(a^{n}\\right)^{q} a^{r}=e a^{r}=a^{r} \\] 이므로 \\( a^{k}=a^{r} \\in\\left\\{e, a, a^{2}, \\cdots, a^{n-1}\\right\\} \\) 이다.", "따라서 \\[<a>=\\left\\{e, a, a^{2}, \\cdots, a^{n-1}\\right\\} \\] 이 된다.", "</p><p>주의 클라인 사원군의 모든 부분군은 순환군이나 그 군 자체는 순환군이 아님을 알 수 있다.", "</p><h3>정리 2.3.8</h3><p>군 \\( G \\) 의 원소 \\( a \\) 의 위수를 \\( n \\) 라고 한다면 \\( a^{k} \\) 의 위수는 \\( \\frac{n}{d}, d=(k, n) \\) 이다.", "</p><p>증명 \\( a^{k} \\) 의 위수가 \\( m \\) 이라고 가정한다면 \\( e=\\left(a^{k}\\right)^{m}=d^{k m} \\).", "연습문제 9에 의하여 \\( n \\mid k m \\) 이다.", "그래서 \\( \\frac{n}{d} \\) 는 \\( \\left(\\frac{k}{d}\\right) m \\) 의 약수이고 \\( \\frac{n}{d} \\) 과 \\( \\frac{k}{d} \\) 는 서로소이므로 \\( \\frac{n}{d} \\) 은 \\( m \\) 의 약수이다.", "</p><p>반면에, \\( \\left(a^{k}\\right)^{\\frac{n}{d}}=\\left(a^{n}\\right)^{\\frac{k}{d}}=e \\) 이므로 \\( m \\) 은 \\( \\frac{n}{d} \\) 의 약수이다.", "따라서 \\( m=\\frac{n}{d} \\)이다.", "</p> <h3>정리 2.4.6</h3><p>군 \\( G \\) 의 부분군 \\( H \\) 의 잉여류집합 \\( \\{H a \\mid a \\in G\\} \\) 는 \\( \\mathrm{G} \\) 의 분할이다.", "즉,</p><p>(1) \\( H a \\cap H b \\neq \\varnothing \\) 이면 \\( H a=H b \\)</p><p>(2) \\( G=\\cup H a \\).", "</p><p>증명 (1) \\( H a \\cap H b \\neq \\varnothing \\) 라고 가정하면 \\( x \\in H a \\cap H b \\) 인 \\( x \\) 가 존재한다.", "그러면 위의 주의에 의하여 \\( H a=H x=H b \\).", "</p><p>(2) 임의의 \\( a \\in G \\) 에 대하여, \\( a \\in H a \\) 이므로 \\( G \\subseteq \\cup H a \\).", "한편, \\( H a \\subseteq G \\) 이므로 \\( \\cup H a \\subseteq G \\) 이다.", "따라서 \\( G=\\cup H a \\) 임이 증명되었다.", "</p><h3>정리 2.4.7 라그랑주 정리</h3><p>\\( H \\) 가 유한군 \\( G \\) 의 부분군 이라고 하면 \\( \|H\| \\) 는 \\( \|G\| \\) 의 약수이다.", "</p><p>증명 \\( G \\) 가 유한군이면, 부분군 \\( H \\) 도 유한이고 우(좌)잉여류의 개수도 유한이다. \\", "( \|G\|=n,\|H\|=m \\) 이고, 우 잉여류의 개수를 \\( k \\) 라고 둔다면 위의 정리 5 와 6 에 의하여 \\[ n=k m \\text { 이고, } m \\mid n \\text { 이다. } \\]", "따라서 \\( \|H\|\|\| G \\mid \\) 이다.", "</p><p>다음 정리는 라그랑주 정리를 응용하는데 사용되는 도구이다.", "</p><h3>따름정리 2.4.8</h3><p>\\( G \\) 를 유한군이라고 하면 다음이 성립한다.", "</p><p>(2) \\( \|G\|=n \\) 이면, \\( G \\) 의 임의의 원소 \\( a \\) 에 대하여 \\( a^{n}=e \\) 이다.", "</p><p>증명 (1) \\( a \\) 의 위수는 \\( \|<a>\| \\) 이므로 정리 7에 의하여 \\( \|<a>\|\|\| G \\mid \\).", "따라서 \\( a \\)의 위수는 \\( \|G\| \\) 의 약수이다.", "</p><p>(2)는 (1)에 의하여 분명하다.", "</p><h3>따름정리 2.4.9</h3><p>군 \\( G \\) 의 위수가 소수 \\( p \\) 이면 \\( G \\) 는 순환군이다.", "</p><p>증명 \\( a \\in G \\) 이고 \\( a \\neq e \\) 이면 \\( \|<a>\|\|\| G \\mid=p \\) 이므로 \\( \|<a>\|=1 \\) 또는 \\( \|<a>\|=p \\) 이다.", "</p><p>\\( \|<a>\|=1 \\) 이면 \\(<a>=e, a=e \\) 이므로 모순이다.", "</p><p>\\( \|<a>\|=p \\) 이면 \\(<a>=G \\) 이므로 \\( G \\) 는 \\( a \\) 에 의하여 생성된 순환 군이다.", "</p> <p>정의 군 준동형사상 \\( f: G \\rightarrow H \\) 에서 집합 \\( \\left\\{a \\in G \\mid f(a)=e_{H}\\right\\} \\) 을 \\( f \\) 의 핵(kernel)이라 하고, Kerf로 나타낸다.", "</p><p>앞으로 군 \\( G \\) 의 항등원 \\( e_{G} \\) 와 군 \\( H \\) 의 항등원 \\( e_{H} \\) 를 다같이 \\( e \\) 로 나타내면 편리하므로 \\( e_{G}=e_{H}=\\mathrm{e} \\) 로 나타내자.", "그러면 준동형사상 \\( f: G \\rightarrow H \\) 에서 \\( f(a)=e \\), \\( \\operatorname{Kerf} \\) 가 \\( \\{a \\in G \\mid f(a)=e\\} \\) 이 된다.", "</p><h3>정리 2.6.3</h3><p>군 준동형사상 \\( f: G \\rightarrow H \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "</p><p>(1) \\( \\operatorname{Kerf} \\) 는 \\( G \\) 의 정규부분군이다.", "</p><p>(2) \\( K \\) 가 \\( G \\) 의 정규부분군이면 \\( f(K) \\) 도 \\( f(G) \\) 의 정규부분군이다.", "</p><p>(1) \\( a, b \\in \\operatorname{Kerf} \\) 이면 \\( f(a)=f(b)=e \\) 이므로 \\[ f\\left(a b^{-1}\\right)=f(a) f(b)^{-1}=e \\] 그러므로 \\( a b^{-1} \\in \\operatorname{Kerf} \\) 이고, 정리 1 에 의하여 \\( \\operatorname{Kerf} \\) 는 \\( G \\) 의 부분군이다.", "</p><p>다음은, \\( a \\in K e r f, g \\in G \\) 에 대하여 \\[ \\begin{aligned} f\\left(g^{-1} a g\\right) &=f\\left(g^{-1}\\right) f(a) f(g)=f(g)^{-1} f(a) f(g) \\\\ &=f(g)^{-1} e f(g)=f(g)^{-1} f(g)=e \\end{aligned} \\] 그러므로 \\( g^{-1} a g \\in \\operatorname{Kerf} \\) 이다.", "따라서 \\( \\operatorname{Kerf} \\Delta G \\) 임을 알 수 있다.", "</p><p>(2) 정리 1 에 의하여 \\( f(K) \\) 는 \\( H \\) 의 부분군이다. \\", "( f(G) \\) 도 \\( H \\) 의 부분군이고 \\( f \\) \\( (K) \\subseteq f(G) \\) 이므로 \\( f(K) \\) 는 \\( f(G) \\) 의 부분군이다.", "임의의 \\( h \\in f(G) \\) 에 대하여 \\( f(g)=h \\) 를 만족하는 \\( g \\in G \\) 가 존재한다.", "임의의 \\( l \\in f(K) \\) 에 대하여 \\( f(k)=l \\) 인 \\( k \\in K \\) 가 존재하여 \\[ \\begin{array}{c} h^{-1} l h=f(g)^{-1} f(k) f(g)=f\\left(g^{-1}\\right) f(k) f(g) \\\\ =f\\left(g^{-1} \\mathrm{~kg}\\right) \\in f(K) \\end{array} \\] 그러므로 \\( f(K) \\triangleleft f(G) \\).", "</p> <p>보기 7 군 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{12},+\\right) \\) 에서 \\( H_{1}=\\{\\overline{0}, \\overline{6}\\}, H_{2}=\\{\\overline{0}, \\overline{4}, \\overline{8}\\} \\) 는 \\( \\mathbb{Z}_{12} \\) 의 부분군이다.", "그러나 \\( H_{1} \\cup H_{2}=\\{\\overline{0}, \\overline{4}, \\overline{6}, \\overline{8}\\} \\) 에서 \\( \\overline{4}+\\overline{6}=\\overline{10}, \\overline{6}+\\overline{8}=\\overline{2} \\) 이므로 \\( H_{1} \\cup H_{2} \\)는 덧셈에 의하여 닫혀있지 않다.", "따라서 \\( H_{1} \\cup H_{2} \\) 는 \\( \\mathrm{Z}_{12} \\) 의 부분군이 아니다.", "</p><h3>따름정리 2.3.4</h3><p>\\( G \\) 의 부분군 \\( H_{1}, H_{2} \\) 에서 \\( H_{1} \\cup H_{2} \\) 가 부분군이 되기 위한 필요충분조건은 \\( H_{1} \\subseteq H_{2} \\) 또는 \\( H_{2} \\subseteq H_{1} \\) 이 되는 것이다</p><p>증명 먼저, 필요조건을 증명해보자.", "대우 명제에 의하여 \\( H_{1} \\nsubseteq H_{2} \\) 이고 \\( H_{2} \\nsubseteq H_{1} \\)이면 \\( H_{1} \\cup H_{2} \\) 는 부분군이 아님을 보이면 충분이다. \\", "( H_{1} \\nsubseteq H_{2} \\) 이고 \\( H_{2} \\nsubseteq H_{1} \\)라고 가정하자.", "그러면 \\( a \\in H_{1}-H_{2}, b \\in H_{2}-H_{1} \\) 가 되는 \\( a, b \\) 가 존재한다.", "여기서, \\( a b \\in H_{1} \\) 이라 하면 \\( b=a^{-1}(a b) \\in H_{1} \\) 이 되어 모순이다.", "</p><p>마찬가지로 \\( a b \\in H_{2} \\) 이면 \\( a=(a b) b^{-1} \\in H_{2} \\) 가 되어 모순이다.", "</p><p>즉 \\( a, b \\in H_{1} \\cup H_{2} \\) 이나 \\( a b \\notin H_{1} \\cup H_{2} \\).", "따라서 \\( H_{1} \\cup H_{2} \\) 는 부분군이 아니다.", "</p><p>이제, 충분조건을 증명해보자. \\", "( H_{1} \\subseteq H_{2} \\) 이면 \\( H_{1} \\cup H_{2}=H_{2} \\) 가 되어 \\( H_{1} \\cup H_{2} \\) 는 부분군이 되고, \\( H_{2} \\subseteq H_{1} \\) 이면 \\( H_{1} \\cup H_{2}=H_{1} \\) 이 되어 \\( H_{1} \\cup H_{2} \\) 는 부분군이 된다.", "</p><p>정의 군 \\( G \\) 의 모든 원소와 가환인 \\( G \\) 의 원소 전체의 집합을 \\( G \\) 의 중심(center)이라 한다.", "이를 다음과 같은 집합으로 나타낸다. \\", "[ Z(G)=\\{a \\in G \\mid a x=x a, \\quad \\forall x \\in G\\} \\] \\( G \\) 가 가환군이면 \\( G=Z(G) \\) 이다.", "</p><p>보기8 \\(Z\\left(S_{3}\\right)=\\{1\\}, Z\\left(D_{4}\\right)=\\left\\{1, \\sigma^{2}\\right\\} \\).", "</p> <p>다음은 준동형사상이 단사사상 또는 전단사사상이 되기 위한 특성을 생각하여 본다.", "</p><h3>정리 2.6.4</h3><p>군 준동형사상 \\( f: G \\rightarrow H \\) 에서 다음이 성립한다.", "</p><p>(1) \\( f \\) 가 단사사상이기 위한 필요충분조건은 \\( \\operatorname{Kerf}=\\{e\\} \\) 가 되는 것이다.", "</p><p>(2) \\( f \\) 가 동형사상이기 위한 필요충분조건은 다음 조건을 만족하는 동형사상 \\( f^{-1}: H \\rightarrow G \\) 가 존재하는 것이다. \\", "[ f \\circ f^{-1}=1_{H}, f^{-1} \\circ f=1_{G} \\]</p><p>증명 (1) \\( f \\) 가 단사사상이라 하자.", "정리 1 에 의하여 \\( f(e)=e \\) 이므로 \\( e \\in \\operatorname{Kerf} \\) 이다.", "만약 \\( a \\in \\operatorname{Kerf} \\) 라고 하면, \\( f(a)=e \\) 이다.", "그러면 \\( f(a)=e=f(e) \\) 이고, \\( f \\)가 단사사상이므로 \\( a=e \\) 이다.", "따라서 \\( \\operatorname{Kerf}=\\{e\\} \\) 이다.", "</p><p>역으로, \\( \\operatorname{Kerf}=\\{e\\} \\) 라 하자.", "임의의 \\( a, b \\in G \\) 에 대하여 \\( f(a)=f(b) \\)가 성립한다고 하면 \\[ f\\left(a b^{-1}\\right)=f(a) f\\left(b^{-1}\\right)=f(a) f(b)^{-1}=e \\]</p><p>이므로 \\( a b^{-1} \\in \\operatorname{Kerf} \\).", "그런데 \\( \\operatorname{Kerf}=\\{e\\} \\) 이므로 \\( a b^{-1}=e \\), 즉 \\( a=b \\) 이다.", "따라서 \\( f \\) 는 단사사상이다.", "</p><p>(2) \\( f \\) 가 전단사사상이면 주어진 조건을 만족하는 역사상 \\( f^{-1} \\) 가 존재한다. \\", "( f^{-1} \\) 가 전단사사상이므로, 이는 다시 준 동형임을 보이면 충분하다.", "임의의 \\( x, y \\in H \\) 에 대하여 \\( f(a)=x, f(b)=y \\) 가 되는 \\( a, b \\in G \\) 는 각각 하나씩만 존재하여 \\( f^{-1}(x)=a, f^{-1}(y)=b \\) 이다.", "이것으로부터 다음을 얻는다. \\", "[ a b=f^{-1}(x) f^{-1}(y), x y=f(a) f(b)=f(a b), f^{-1}(x y)=a b \\] 그래서 \\( f^{-1}(x) f^{-1}(y)=f^{-1}(x y) \\) 가 된다.", "따라서 \\( f^{-1} \\) 은 \\( H \\) 에서 \\( G \\) 에로의 동형사상이다.", "</p><p>보기 8 정수 군 \\( (\\mathrm{Z},+) \\) 위의 자기 동형사상은 다음의 두 경우뿐이다. \\", "[ \\begin{aligned} 1_{Z}: & \\mathbb{Z} \\rightarrow \\mathbb{Z}, 1_{Z}(a)=a, a \\in Z \\\\ (-1)_{Z}: & \\rightarrow \\mathbb{Z},(-1)_{Z}(a)=-a, a \\in Z \\end{aligned} \\] \\( f \\) 가 \\( \\mathrm{Z} \\) 위의 동형사상이면 \\( f(1)=1 \\) 또는 \\( f(1)=-1 \\) 이기 때문이다.", "</p> <p>군 \\( G \\) 의 부분집합 \\( H \\) 에서 \\( H^{-1}=\\left\\{h^{-1} \\mid h \\in H\\right\\} \\) 로 나타내면 \\[ \\left(H^{-1}\\right)^{-1}=H,(H K)^{-1}=K^{-1} H^{-1} \\] 이다.", "또 부분집합 \\( A, B, C \\) 에 대하여 \\( (A B) C=A(B C) \\) 이다.", "</p><h3>정리 2.4.1</h3><p>\\( G \\) 의 부분군 \\( H \\) 에 대하여 다음 동치조건이 성립한다.", "</p><p>(1) \\( H \\prec G \\)</p><p>(2) \\( H H=H, H^{-1}=H \\)</p><p>(3) \\( H H^{-1}=H \\)</p><p>증명(1) \\( \\Rightarrow \\) (2). \\", "( H H=\\{x y \\mid x, y \\in H\\} \\subseteq H \\), \\[ H=\\{h \\mid h \\in H\\}=\\{h e \\mid h \\in H\\}=H e \\subseteq H H \\text {. 따라서 } H H=H \\text {. } \\]", "만약 \\( a \\in H \\) 이면, \\( a^{-1} \\in H \\) 이므로 \\( a=\\left(a^{-1}\\right)^{-1} \\in H^{-1} \\).", "역으로 \\( a \\in H^{-1} \\)이면, \\( b \\in H \\) 가 존재하여 \\( a=b^{-1} \\) 이고, \\( a=\\left(a^{-1}\\right)^{-1}=b^{-1} \\in H \\) 이다.", "그러므로 \\( H^{-1}=H \\).", "</p><p>\\( (2) \\Rightarrow \\) (3).", "(2)를 가정하자.", "그러면 \\( H H^{-1}=H H=H \\).", "</p><p>(3) \\( \\Rightarrow \\) (1).", "(3)을 가정하자.", "그때, 임의의 \\( a, b \\in H \\) 에 대하여 \\( a b^{-1} \\in H H^{-1}=H \\) 이므로 \\( H<G \\) 가 된다.", "</p><p>공집합이 아닌 임의의 부분집합 \\( S(\\subseteq G) \\) 에 대하여 \\( S G=G=G S \\) 이다.", "실제로 임의의 \\( a \\in G \\) 에 대해 \\( a=s\\left(s^{-1} a\\right) \\in S G \\) 이기 때문이다.", "</p><p>군 \\( G \\) 의 부분집합 \\( H, K \\) 가 부분군이라 하여 \\( H K \\) 가 부분군이 되는 것은 아니다.", "예제 4 에서 \\( H, K \\) 는 \\( D_{4} \\) 의 부분군이지만 \\( H K \\) 는 부분군이 아니었다.", "</p><h3>정리 2.4.2</h3><p>군 \\( G \\) 의 부분군 \\( H, K \\) 에 대하여 \\( H K \\) 가 \\( G \\) 의 부분군이 될 필요충분조건은 \\( H K=K H \\) 가 되는 것이다.", "</p><p>\\( H K \\) 가 \\( G \\) 의 부분군이라 하자.", "그러면 정리 1 에 의하여 \\[ K H=K^{-1} H^{-1}=(H K)^{-1}=H K . \\]", "역으로 \\( H K=K H \\) 라고 가정하면 역시 정리 1 에 의하여 \\[ H K(H K)^{-1}=H K K^{-1} H^{-1}=H K H^{-1}=K H H^{-1}=K H=H K . \\]", "따라서 정리 1 에 의하여 \\( H K \\) 는 \\( G \\) 의 부분군이다.", "</p> <h3>정리 2.4.11</h3><p>군 \\( G \\) 의 부분군 \\( H \\) 에 관한 우(좌) 합동 \\( \\equiv \\) 는 동치관계이다.", "또 동치류는 \\( H \\) 의 우(좌) 잉여류이다.", "</p><p>증명 먼저 \\( \\equiv \\) 가 동치관계임을 보이자.", "</p><p>(i) \\( a a^{-1}=e \\in H \\) 이므로 \\( a \\equiv a(\\bmod H) \\).", "</p><p>(ii) \\( a \\equiv b(\\bmod H) \\) 라고 하면 즉, \\( a b^{-1} \\in H \\) 이면 \\( b a^{-1}=\\left(a b^{-1}\\right)^{-1} \\in H \\) 이므로 \\( b \\equiv a(\\bmod H) \\) 이다.", "</p><p>끝으로 (iii) \\( a \\equiv b(\\bmod H), b \\equiv c(\\bmod H) \\) 이면 \\( a b^{-1} \\in H, b c^{-1} \\in H \\) 이므로 \\( a c^{-1}=\\left(a b^{-1}\\right)\\left(b c^{-1}\\right) \\in H, a \\equiv b(\\bmod H) \\) 이다.", "따라서 우 합동 \\( \\equiv \\) 는 동치관계이다.", "</p><p>임의의 \\( a \\in G \\) 에 관한 동치류는 다음과 같다. \\", "[ \\begin{aligned} \\bar{a} &=\\{x \\in G \\mid x \\equiv a(\\bmod H)\\}=\\left\\{x \\in G \\mid x a^{-1} \\in H\\right\\} \\\\ &=\\{x \\in G \\mid x \\in H a\\}=\\{h a \\mid h \\in H\\}=H a \\end{aligned} \\]</p><h3>따름정리 2.4.12</h3><p>군 \\( G \\) 의 부분군 \\( H \\) 에 대한 우 잉여류 전체의 집합을 \\( \\{H a \\mid a \\in G\\} \\)라 할 때 다음이 성립한다.", "</p><p>(1) \\( b \\in H a \\Leftrightarrow H a=H b \\)</p><p>(2) \\( G=\\cup H a \\)</p><p>(3) 임의의 \\( a, b \\in G \\) 에 대해 다음 중 하나만이 성립한다.", "</p><p>(i) \\( H a \\cap H b \\neq \\varnothing \\)</p><p>(ii) \\( H a=H b \\).", "</p><p>\\( H a \\) 에 대하여 \\( a \\) 를 잉여류 \\( H a \\) 의 대표원(representative)이라 한다. \\", "( b \\in H a \\) 이면, \\( H a=H b \\) 이므로 \\( H a \\) 의 모든 원소는 \\( H a \\) 의 대표원이 된다.", "위의 따름정리에 의해서 집합족 \\( \\{H a \\mid a \\in G\\} \\) 는 \\( G \\) 의 분할이다.", "</p><p>\\( H \\) 가 유한집합이면 모든 \\( H a \\) 도 유한집합이고 \\( H \\) 와 같은 개수의 원소를 갖는다.", "서로 다른 우 잉여류가 \\( \\mathrm{m} \\) 개이면, 즉 \\( [G: H]=\\mathrm{m} \\),</p><p>\\[ G=H a_{1} \\cup H a_{2} \\cup \\cdots \\cup H a_{m}, H a_{1}=H, H a_{i} \\cap H a_{j}=\\varnothing, i \\neq j \\] 한편 \\( \|G\|=\\left\|H a_{1}\\right\|+\\left\|H a_{2}\\right\|+\\cdots+\\left\|H a_{m}\\right\|=m\|H\|=[G: H]\|H\| \\) 이므로 \\( \|H\| \\) 는 \\( \|G\| \\) 의 약수이다.", "이는 라그랑주 정리의 새로운 증명방법이다.", "</p> <h2>연습문제 2.8</h2><p>1 군 \\( G \\) 위의 공액관계 은 동치관계임을 보여라.", "</p><p>2 \\(H \\) 가 군 \\( G \\) 의 정규부분군이기 위한 필요충분조건은 \\( H \\) 에 대한 공액집합이 \\( H \\) 자신뿐임을 보여라.", "</p><p>3 군 \\( G \\) 의 원소 \\( x \\) 에 대하여 집합 \\( C_{G}(G)=Z(G) \\) 는 \\( G \\) 의 가환정규 부분군임을 보여라.", "</p><p>4 \\( x \\) 를 포함하는 공액류 \\( \\zeta \\) 의 모든 원소의 위수는 \\( x \\) 의 위수와 같음을 보여라.", "</p><p>5 \\(G \\) 의 몇 개의 공액류합집합이 부분군이면 이 부분군은 \\( G \\) 의 정규 부분군임을 보여라.", "</p><p>6 위수가 \\( p^{2}(p \\) 는 소수)인 군 \\( G \\) 의 중심 \\( Z(G) \\) 의 위수를 구하라.", "또 \\( G \\) 는 가환군임을 보여라.", "</p><p>7 대칭군 \\( S_{4} \\) 의 교대군 \\( A_{4} \\) 를 \\( S_{4} \\) 의 공액류의 합집합으로 나타내어라.", "</p><p>8 교대군 \\( A_{4} \\) 는 위수가 6 인 부분군을 갖지 않음을 보여라.", "따라서 라그랑주 정리의 역이 성립하지 않는다.", "</p><p>9 다음은 대칭군 \\( S_{5} \\) 의 공액류를 나타낸 표이다.", "교대군 \\( A_{5} \\) 를 공액류의 합집합으로 나타내어라.", "</p><p>10 \\( A_{5} \\) 의 공액류를 나타내는 표를 만들어라.", "이 표를 이용하여 \\( A_{5} \\) 는 단순군임을 보여라.", "</p><p>11 정리 2.4.7의 라그랑주 정리의 역은 항상 성립하지 않는다.", "그 반례(counter example)를 두 개 이상 들어라.", "</p><p>12 단순가환군 \\( G(\\neq\\{e\\} \\) 는 위수가 소수인 순환군임을 보여라.", "</p><p>13 대칭군 \\( G \\) 의 부분군을 치환군이라 한다.", "어떤 기치환을 포함하고 있는 치환군 \\( G \\) 는 \\( G_{2} \\cong\\{1,-1\\} \\) 과 같거나 단순군이 아님을 보여라.", "</p><p>14 다음 사실을 증명하여라.", "\"p \\( \\\| G \\mid \\) 인 가환인 유한군 \\( G \\) 에는 위수가 소수 \\( p \\) 인 원소가 존재한다.\"", "[귀납법 사용]</p><p>15 다음 사실을 증명하여라.", "“\" \\( \\\| G \\mid \\) 인 유한군 \\( G \\) 에는 위수가 소수 \\( p \\) 인 원소가 존재한다.” [14번 이용]</p> <p>보기 6 법 4 에 관한 잉여류군 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{4},+\\right) \\) 와 4 원군 \\( Q=\\{1,-1, i,-i\\}, i^{2}=-1 \\) 은 동형이다.</p><p>정리 2.6.1에 의하여 \\( f(0)=1, f(1)=-1 \\) 이라 가정하면 1 의 역원은 3 이므로</p><p>\\[ f(3)=f(-1)=f(1)^{-1}=(-1)^{-1}=-1 \\text { 이다. } \\quad \\text { 그러므로 } \\quad f(1)=-1=f(3) . \\] \\( 1 \\neq 3 \\) 이고 \\( f(1)=f(3) \\) 이므로 이러한 \\( f \\) 는 단사가 아니다. \\( f(1)=i \\) 라 가정하여 보자. 그러면 1 의 역원 3 의 값은 \\[ \\begin{array}{l} f(3)=f(-1)=f(1)=i=-i \\\\ f(2)=f(1+1)=f(1) \\cdot f(1)=i \\cdot i=-1 \\\\ f(3)=f(1+2)=f(1) \\cdot f(2)=i \\cdot(-1)=-i \\end{array} \\]</p><p>따라서 \\( f: \\mathbb{Z}_{4} \\rightarrow Q \\) 를 다음으로 정의하면 \\( f \\) 는 동형사상이다.</p><p>\\( f(0)=1, f(1)=i, f(2)=-1, f(3)=-i \\)</p><p>실제로 \\( f(1+2)=f(3)=-i=i \\cdot(-1)=f(1) f(2) \\) 이므로 \\( f \\) 는 준동형의 조건을 만족한다.</p><p>보기 7 군 \\( (\\mathbb{Z},+) \\) 와 군 \\( \\left(\\mathbb{Q}^{}, \\cdot\\right), \\mathbb{Q}^{}=\\mathbb{Q}-\\{0\\} \\) 은 동형이 아니다.</p><p>실제로, 동형사상 \\( f: Z \\rightarrow Q^{} \\) 이 존재한다고 가정한다면 임의의 \\( a, b \\in Z \\) 에 대하여 \\( f(a+b)=f(a) f(b) \\) 이고 \\( f(n)=-1 \\) 인 \\( n \\in Z \\) 가 존재한다. 한편 정리 1에 의하여 0 은 \\( Z \\) 의 항등원이고 1 은 \\( Q^{} \\) 의 항등원이므로 \\( f(0)=1 \\) 이다. 따라서 \\[ f(2 n)=f(n+n)=f(n) f(n)=(-1)(-1)=1=f(0) \\] 그런데 \\( 2 n \\neq 0 \\) 이므로 \\( f \\) 가 단사라는 가정에 어긋난다. 그러므로 \\( Z \\) 에서 \\( Q^{} \\)에로의 동형사상은 존재하지 않는다.</p><h3>정리 2.6.2</h3><p>2 군 준동형사상 \\( f: G \\rightarrow H, g: H \\rightarrow K \\) 의 합성사상 \\( g \\circ f: G \\rightarrow K \\) 도 군준동형사상이다.</p><p>증명 임의의 \\( a, b \\in G \\) 에 대하여 \\[ \\begin{aligned} (g \\circ f)(a b) &=g(f(a b))=g(f(a) f(b)) \\\\ &=g(f(a)) g(f(b))=(g \\circ f)(a)(g \\circ f)(b) \\end{aligned} \\] 이므로 \\( g \\circ f \\) 는 \\( G \\) 에서 \\( K \\) 로의 준동형사상이다.</p> <h3>따름정리 2.6.7</h3><p>위수가 같은 두 순환군은 동형이다.</p><p>증명 위수가 \\( n \\) 인 순환 군 \\( G \\) 와 \\( H \\) 가 있으면 \\[ G \\cong Z_{n}, H \\cong Z_{n} \\] 이므로 \\( G \\cong H \\) 이다.</p><p>군 \\( G \\) 의 어떤 원소 \\( a \\) 에 대하여 \\( f_{a}(x)=a x, \\forall x \\in G \\) 로 정의된 전단사사상 \\( f_{a}: G \\rightarrow G \\) 의 전체의 집합 \\( S_{G}=\\left\\{f_{a} \\mid a \\in G\\right\\} \\) 는 합성연산에 의하여 군을 이룬다.</p><p>실제로, \\( f_{e}=1_{G}, f_{a} \\in S_{G} \\) 에 대하여 \\[ \\begin{array}{c} \\left(f_{e} \\circ f_{a}\\right)(x)=\\left(1_{G} \\circ f_{a}\\right)(x)=1_{G}(f a(x)) \\\\ =1_{G}(a x)=a x=f_{a}(x), x \\in G \\\\ \\left(f_{a} \\circ f_{e}\\right)(x)=\\left(f_{a} \\circ 1_{G}\\right)(x)=f_{a}\\left(1_{G}(x)\\right)=f_{a}(x) \\end{array} \\] 이므로 \\( f_{e}=1_{G} \\) 은 \\( S_{G}=\\left\\{f_{a} \\mid a \\in G\\right\\} \\) 의 항등원이다. \\[ \\begin{array}{l} \\forall a \\in G,\\left(f_{a} \\circ f_{a^{-1}}\\right)(x)=f_{a}\\left(a^{-1} x\\right)= \\\\ a\\left(a^{-1} x\\right)=\\left(a a^{-1}\\right) x=e x=x=1_{G}(x), \\quad \\forall x \\in G \\end{array} \\]</p><p>따라서 \\( f_{a^{-1}}=f_{a}^{-1} \\) 이다. 결과적으로 \\( S_{G}=\\left\\{f_{a} \\mid a \\in G\\right\\} \\) 는 합성 연산에 의하여 군을 이룬다.</p><p>군 \\( G \\) 에서 \\( G \\) 로의 전단사사상 전체의 집합을 \\( G \\) 위의 대칭군이라 하면 군 \\( S_{G}=\\left\\{f_{a} \\mid a \\in G\\right\\} \\) 는 이 대칭군의 부분군이다.</p><p>다음 명제는 군과 치환군의 관계를 설명하는 중요한 정리이다.</p><h3>정리 2.6.8 케일리(Cayley)</h3><p>임의의 군 \\( G \\) 는 \\( G \\) 위의 대칭군의 한 부분군과 동형이다.</p><p>증명 임의의 \\( a \\in G \\) 에 대하여 \\( f(a)=f_{a} \\) 로 정의된 사상 \\( f: G \\rightarrow S_{G} \\) 는 단사인 준동형 사상이다. 실제로 \\( a, b \\in G \\) 에 관해 \\[ f(a b)=f_{a b}=f_{a} \\circ f_{b}=f(a) \\circ f(b) \\] \\( f(a)=f(b) \\) 즉, \\( f_{a}=f_{b} \\) 이면 모든 \\( x \\in G \\) 에 대하여 \\[ f(a)(x)=f_{b}(x), \\quad a x=b x \\]</p><p>\\( x=e \\) 이면 \\( a=b \\). 그러므로 \\( f \\) 는 단사사상 이다. 따라서 \\( G \\) 는 \\( G \\) 위의 대칭군의 한 부분군 \\( S_{G} \\) 와 동형이다.</p><p>보기 10 실수 군 \\( (\\mathbb{R},+) \\) 에 대하여 \\( f_{a}(x)=a+x, x \\in \\mathbb{R} \\) 인 사상 \\( f_{a}: \\mathbb{R} \\rightarrow \\mathbb{R} \\) 는 \\( a \\) 만큼 평행이동을 의미한다.</p> <h3>정리 2.5.5</h3><p>상군 \\( G / N \\) 이 순환 군이고 \\( N \\subseteq Z(G) \\) 이면 \\( G \\) 는 가환군이다.</p><p>증명 상군 \\( G / N \\) 이 순환 군이므로 \\[ G / N=<N a>=\\left\\{N a^{n} \\mid n \\in Z\\right\\} \\] 이다. 임의의 \\( x, y \\in G \\) 에 대하여 \\( n_{1}, n_{2} \\in N \\) 이 존재하여 \\( x=n_{1} a^{i}, y=n_{2} a^{j} \\) 로 둘 수 있다.</p><p>그러면 \\[ x y=\\left(n_{1} a^{i}\\right)\\left(n_{2} a^{j}\\right)=\\left(n_{1} n_{2}\\right)\\left(a^{i} a^{j}\\right)=\\left(n_{2} a^{j}\\right)\\left(n_{1} a^{i}\\right)=y x . \\] 따라서 \\( G \\) 는 가환군이다.</p><h3>정리 2.5.6</h3><p>\\( N \\subseteq H \\) 인 군 \\( G \\) 의 정규부분군 \\( N \\) 과 부분군 \\( H \\) 에서 군 \\( H / N \\) 은 군 \\( G / N \\)의 부분군이다. 또 \\( H \\) 가 \\( G \\) 의 정규부분군이면 \\( H / N \\) 도 \\( G / N \\) 의 정규부분군이다.</p><p>증명 먼저 임의의 \\( N a, N b \\in H / N, a, b \\in H \\) 에 대하여 \\( N a(N b)^{-1}=N a b^{-1} \\), \\( a b^{-1} \\in H \\) 이므로 \\( N a(N b)^{-1} \\in H / N \\). 따라서 \\( H / N \\) 은 \\( G / N \\) 의 부분군이다.</p><p>다음은 \\( H \\Delta G \\) 이면, 임의의 \\( N a \\in G / N, N b \\in H / N \\), 에 대하여 \\[ (N a)^{-1} N b N a=N a^{-1} N b N a=N a^{-1} b a, \\] \\( a^{-1} b a \\in H \\) 이므로 \\( (N a)^{-1} N b N a \\in H / N \\). 따라서 \\( H / N \\) 은 \\( G / N \\) 의 정규부분군이다.</p><p>정의 \\( \\{e\\} \\) 와 \\( G \\) 이외의 정규부분군을 갖지 않는 군 \\( G \\) 를 단순군(simple group)이라 한다.</p><p>보기 6 소수 \\( p \\) 에 대한 군 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{p},+\\right) \\) 은 단순군이다. 실제로 라그랑주 정리에 의하여 \\( Z_{p} \\) 의 진부분군은 \\( \\{\\overline{0}\\} \\) 뿐이다.</p> <h2>2.9 자기 동형사상</h2><p>군 \\( G \\) 에서 \\( G \\) 자신으로의 준동형사상을 자기준동형사상(endomorphism), 동형사상을 자기동형사상(automorphism)이라 한다. 자기준동형사상 전체의 집합을 \\( \\operatorname{End}(G) \\), 자기동형사상 전체의 집합을 \\( \\operatorname{Aut}(G) \\) 로 나타낸다. 이를 활용하여 제 6장에 나오는 갈루아 군을 공부하는 것이 수업의 목표이다.</p><p>정의 군 \\( G \\) 의 고정된 원소 \\( a \\) 에 대하여 \\( i_{a}(x)=a x a^{-1}, x \\in G \\) 로 정의된 사상 \\( i_{a} \\) 는 자기 동형사상이다. 사상 \\( i_{a} \\) 를 \\( a \\) 에 의하여 결정된 \\( G \\) 의 내적인 자기동형사상(inner automorphism)이라 한다. 내부자기동형사상이 아닌 자기동형사상을 외적인 자기동형사상(outer automorphism)이라 한다.</p><p>군 \\( G \\) 위의 내적인 자기동형사상 전체의 집합은 군을 이룬다. 이 군을 \\( \\operatorname{Inn}(G) \\) 로 나타낸다. \\( a x a^{-1} \\) 를 \\( x \\) 를 \\( y \\) 에 의하여 공액 변형된 원소라 하고, \\( y=a x a^{-1} \\) 가 되는 원소 \\( a \\) 가 존재할 때 \\( x \\) 와 \\( y \\) 는 서로 공액원(conjugate element)이라 한다.</p><h3>정리 2.9.1</h3><p>\\(\\operatorname{Inn}(G) \\) 는 \\( \\operatorname{Aut}(G) \\) 의 정규부분군이다. 또 \\( \\mathrm{Aut}(G) \\) 는 대칭군 \\( A(G) \\) 의 부분군이다.</p><p>증명 \\( \\operatorname{Aut}(G) \\) 이 \\( A(G) \\) 의 부분군임은 분명하다. 먼저 \\( \\operatorname{Inn}(G) \\) 가 \\( A(G) \\) 의 부분군임을 보이자. \\( i_{a}, i_{b} \\in \\operatorname{Inn}(G) \\) 이며 모든 \\( x \\in G \\) 에 대하여 \\[ \\left(i_{a} \\circ i_{b}\\right)(x)=i_{a}\\left(i_{b}(x)\\right)=i_{a}\\left(b x b^{-1}\\right)=a\\left(b x b^{-1}\\right) a^{-1} \\] \\[ =(a b) x(a b)^{-1}=i_{a b}(x) \\] 그러므로 \\( i_{a} \\circ i_{b}=i_{a b} \\in \\operatorname{Inn}(G) . \\quad i_{e} \\circ i \\in \\operatorname{Inn}(G) \\) 이고, \\( i_{a} \\circ i_{a-1}=i_{a b-1} \\) \\( =i_{e}=i \\) 에서 \\( \\left(i_{a}\\right)^{-1}=i_{a-1} \\in \\operatorname{Inn}(G) \\). 그러므로 \\( \\operatorname{Inn}(G) \\) 는 \\( A(G) \\) 의 부분군, 즉 \\( A u t(G) \\) 의 부분군이다.</p><p>이제, \\( \\operatorname{Inn}(G) \\) 가 \\( \\operatorname{Aut}(G) \\) 의 정규부분군임을 보이기 위하여 \\( \\sigma \\in A u t(G) \\), \\( \\sigma \\in \\operatorname{Aut}(G), i_{a} \\in \\operatorname{Inn}(G) \\) 라 하자. 임의의 \\( x \\in G \\) 에 대하여 다음이 성립한다. \\[ \\begin{aligned} \\left(\\sigma^{-1} i_{a} \\sigma\\right)(x) &=\\left(\\left(\\sigma^{-1}\\right) i_{a}\\right)(\\sigma(x))=\\sigma^{-1}\\left(i_{a}(\\sigma(x))\\right)=\\sigma^{-1}\\left(a \\sigma(x) \\sigma^{-1}\\right.\\\\ &=\\sigma^{-1}(a)\\left(\\sigma^{-1}(\\sigma(x)) \\sigma^{-1}\\left(\\sigma^{-1}\\right)=\\sigma^{-1}(a) x \\sigma(a)\\right.\\\\ &=\\sigma^{-1}(a) x\\left(\\sigma^{-1}(a)\\right)^{-1}=i_{\\sigma^{-1}(a)} \\in \\operatorname{Inn}(G) \\end{aligned} \\] 따라서 \\( \\operatorname{Inn}(G) \\triangleleft \\operatorname{Aut}(G) \\) 이다.</p> <h3>정리 2.3.5</h3><p>군 \\( G \\) 의 중심 \\( Z(G)=\\{a \\in G \\mid a x=x a, \\quad \\forall x \\in G\\} \\) 는 \\( G \\) 의 부분군이다.</p><p>증명 항등원 \\( e \\) 는 \\( G \\) 의 모든 원소와 가환이므로 \\( Z(G) \\neq \\varnothing \\) 이다. 임의의 \\( a, b \\in Z(G) \\) 에 대하여 \\( a x=x a, b x=x b, \\forall x \\in G \\) 이므로 \\[ \\begin{aligned} \\left(a b^{-1}\\right) x &=a\\left(b^{-1} x\\right)=a\\left(x^{-1} b\\right)^{-1}=a\\left(b x^{-1}\\right)^{-1} \\\\ &=a\\left(x b^{-1}\\right)=(a x) b^{-1}=(x a) b^{-1}=x\\left(a b^{-1}\\right) \\end{aligned} \\] 따라서 \\( a b^{-1} \\in Z(G) \\) 이다. 정리 1 의 (3)에 의하여 \\( Z(G) \\) 는 군 \\( G \\) 의 부분군이다.</p><p>지금부터 군 \\( G \\) 의 부분군을 생성하는 일반적인 방법을 생각하여 보자.</p><p>정의 군 \\( G \\) 의 부분집합 \\( S(\\neq \\varnothing) \\) 를 포함하는 \\( G \\) 의 부분군 전체의 교집합을 \\( S \\) 에 의하여 생성된 부분군(subgroup generated by \\( S \\) )이라 하고, \\( \\langle S\\rangle \\) 로 나타낸다. 즉, \\[<S>=\\cap\\{H \\mid S \\subseteq H, \\quad \\forall H<G\\} . \\] 군 \\( G \\) 의 부분군들의 교집합은 \\( G \\) 의 부분군이고, 모든 \\( H \\supseteq S \\) 이므로 \\(<S>\\) 는 \\( S \\) 를 포함하고 있는 최소의 부분군이다. \\( S \\) 의 원소를 \\( \\langle S\\rangle \\) 의 생성원(generator)이라 한다.</p><p>군 \\( G \\) 의 부분집합 \\( T \\neq S \\) 에 대하여, \\( \\langle T\\rangle=\\langle S\\rangle \\) 인 경우가 있을 수 있다. \\( S=\\left\\{a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right\\} \\) 이면 \\(<S>=<a_{1}, \\cdots, a_{n}>\\) 으로 나타낸다.</p><p>특히 \\( G=\\left\\langle S>=<a_{1}, \\cdots, a_{n}>\\right. \\) 이면 \\( G \\) 는 유한생성(finitely generated)군이라고 하고, \\( \\left\\{a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right\\} \\) 을 \\( G \\) 의 생성원 집합(generating set)이라 한다.</p><p>보기 9 군 \\( (\\mathbb{Z},+) \\) 는 모든 홀수에 의하여 생성되고, \\( \\mathbb{Z}_{12} \\) 는 모든 홀수 \\( 1,3,5,7,9, 11 \\)에 의하여 생성된다. 또 \\( \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{3} \\) 는 \\( (1,1),(1,2) \\) 에 의하여 생성된다.</p> <h2>2.2 군의 기본성질</h2><p>이 절에서는 군 \\( G \\) 의 기본적인 성질을 공부하여 다음에 나오는 군의 성질에 활용함을 수업목표로 한다.</p><p>정의 군 \\( (G, \\cdot) \\) 에서, 모든 \\( a \\in G \\) 에 대하여 \\( a e=a \\) 를 만족하는 \\( G \\) 의 원소 \\( e \\) 를 우측 항등원(right identity), \\( e a=a \\) 를 만족하는 \\( e \\) 를 좌측항등원(left identity)이라고 한다.</p><p>모든 \\( a \\in G \\) 에 대하여 \\( a a^{\\prime}=e \\) 인 원소 \\( a^{\\prime} \\) 를 \\( a \\) 의 우측역원(right inverse), \\( a^{\\prime} a=e \\) 인 원소 \\( a^{\\prime} \\) 를 \\( a \\) 의 좌측역원(left inverse)이라 한다.</p><h3>정리 2.2.1</h3><p>반군 \\( G \\) 가, 군이 되기 위한 필요충분조건은 \\( G \\) 의 좌측항등원과 모든 \\( a \\in G \\) 에 대하여, \\( a \\) 의 좌측역원이 존재하는 것이다. 즉 반군 \\( G \\) 가 좌측항등원과 좌측역원을 갖는다면 이들은 각각 항등원, 역원과 같게 된다.</p><p>두 가지 방법으로 증명할 수 있다.</p><p>증명1 \\( G \\) 를 좌측항등원과 좌측역원을 가지는 반군이라 하자. \\( G \\) 의 좌측항등원을 \\( e \\) 라 하고, \\( a \\in G \\) 에 대하여 \\( a \\) 의 좌측역원을 \\( a^{-1} \\) 라 하면, \\[ e a=a, a^{-1} a=e \\] 이다.</p><p>여기서, \\( a e=a \\) 과 \\( a a^{-1}=e \\) 을 보이면 \\( e \\) 와 \\( a^{-1} \\) 가 각각 우측항등원과 \\( a \\) 의 우측역원이 됨을 보임으로써 증명이 완성된다.</p><p>\\( G \\) 의 원소 \\( a^{-1} \\) 에 대하여, \\( a^{-1} \\) 의 좌측역원 \\( \\left(a^{-1}\\right)^{-1} \\) 가 존재하여 \\( \\left(a^{-1}\\right)^{-1} a^{-1} \\) \\( =e \\) 이다. 그러므로 \\( a a^{-1}=e\\left(a a^{-1}\\right)=\\left(\\left(a^{-1}\\right)^{-1} a^{-1}\\right)\\left(a a^{-1}\\right)=\\left(a^{-1}\\right)^{-1} \\) \\( \\left(a^{-1} a\\right) a^{-1}=\\left(a^{-1}\\right)^{-1}(e) a^{-1}=\\left(a^{-1}\\right)^{-1} a^{-1}=e \\) 이 성립한다. 또한, \\[ a e=a\\left(a^{-1} a\\right)=\\left(a a^{-1}\\right) a=e a=a \\]이다. 그러므로 \\( G \\) 는 군이 된다.</p><p>증명2 위의 증명1과 별도로 \\( a e=a \\) 과 \\( a a^{-1}=e \\) 을 보임으로써 증명을 완성하고자 한다. 먼저, \\( c c=c \\) 인 \\( G \\) 의 원소 \\( c \\) 는 \\( e \\) 가 된다. 왜냐하면, \\( c c=c \\) 이면 \\[ c=e c=\\left(c^{-1} c\\right) c=c^{-1}(c c)=c^{-1} c=e \\] 이기 때문이다.</p><p>또한, 좌측역원의 정의에 의하여 \\[ \\left(a a^{-1}\\right)\\left(a a^{-1}\\right)=a\\left(a^{-1} a\\right) a^{-1}=a(e) a^{-1}=a a^{-1} \\] 이 성립한다. 즉, \\( \\left(a a^{-1}\\right)\\left(a a^{-1}\\right)=a a^{-1} \\) 이므로 \\( a a^{-1}=e \\) 이다.</p><p>한편, 임의의 \\( a \\in G \\) 에 대하여, \\[ a e=a\\left(a^{-1} a\\right)=\\left(a a^{-1}\\right) a=(e) a=a \\] 이 된다.</p><p>반대방향의 증명은 군의 정의에 의하여 분명히 성립한다. 그러므로 \\( G \\) 는 군이 된다.</p> <h3>정리 2.7.2</h3><p>\\(G=H K, H \\cap K=\\{e\\} \\) 인 군 \\( G \\) 의 정규부분군 \\( H, K \\) 에 대하여 \\( G \\cong H \\) \\( \\times K \\) 이다</p><p>증명 사상 \\( f: H \\times K \\rightarrow G, f(a, b)=a b, a \\in H, b \\in K \\) 가 동형사상임을 보이자. 임의의 \\( g \\in G \\) 에 대하여 \\( g=a b, a \\in H, b \\in K \\) 가 존재하므로 \\( f(a, b)=a b=g \\) 즉 전사이다. 임의의 원소 \\( (a, b),(c, d) \\in H \\times K \\) 에 대하여 \\[ f((a, b)(c, d))=f(a c, b d)=(a c)(b d)=a c b d \\]</p><p>그런데 \\( H \\cap K=\\{e\\} \\) 이므로 연습문제 2.7.7에 의하여 \\( c b=b c, c \\in H, b \\in K \\). \\[ a c b d=a b c d=f(a, b) f(c, d) \\] 이므로 \\( f \\) 는 준동형사상이다.</p><p>끝으로 \\( f \\) 가 일대일임을 보이자. \\( (a, b) \\in \\operatorname{Ker} f \\) 이면 \\( f(a, b)=e=a b \\) 이므로 \\( a=b^{-1} \\in H \\cap K=\\{e\\} . \\quad a=e \\) 이므로, \\( b=e, \\quad(a, b)=(e, e) \\). 따라서 \\( \\operatorname{Kerf}=\\{(e, e)\\} \\) 이므로 정리 2.6.4에 의하여 \\( f \\) 는 일대일이다. 결과적으로 \\( f \\)는 \\( H \\times K \\) 에서 \\( G \\) 로의 동형사상이므로 \\( H \\times K \\cong G \\) 즉, \\( G=H \\times K \\) 이다.</p><p>정리 2.7.2에 의하여, \\( H \\oplus K=K \\oplus H, G=\\{e\\} \\oplus G=G \\oplus\\{e\\} \\bar{H}=H \\times I_{H} \\), \\( \\bar{K}=I_{K} \\times K \\) 라 놓으면 \\( \\bar{H} \\bar{K}=G, \\bar{H} \\cong H, \\bar{K} \\cong K, \\bar{H} \\cap \\bar{K}=\\{(e, e)\\} \\) 이므로 정리 2에 의하여 \\( H \\times K \\cong \\bar{H} \\oplus \\bar{K} \\cong H \\oplus K \\) 가 성립한다. 그러므로 \\( H, K \\) 의 내적 직적과 외적 직적은 같은 개념이다. 내적 직적과 외적 직적을 다 같이 직적 (direct product)이라 한다.</p><p>군 \\( G \\) 가 부부군 \\( H, K \\) 의 직적이라는 개념은 존재성과 유일성에 연관되는 개념이다.</p> <h3>정리 2.3.6</h3><p>\\(<S>\\) 의 원소는 \\( a_{i} \\in S \\) 또는 \\( a_{i} \\in S^{-1} \\) 의 유한 곱 \\( a_{1} a_{2} \\cdots a_{n} \\), \\( (i=1,2, \\cdots, n) \\) 의 꼴로 표시 된다. \\[ \\text { 즉 }\\langle S\\rangle=\\left\\{a_{1} a_{2} \\cdots a_{n} \\mid a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n} \\in S \\cup S^{-1}\\right\\} \\text { 이다. } \\]</p><p>증명 \\( \\quad H=\\left\\{a_{1} a_{2} \\cdots a_{n} \\mid a_{i} \\in S\\right. \\) 또는 \\( \\left.a_{i}^{-1} \\in S\\right\\} \\) 라 하자.</p><p>임의의 \\( x=a_{1} a_{2} \\cdots a_{n}, y=b_{1} b_{2} \\cdots b_{n} \\in H \\) 에 대하여 \\[ x y^{-1}=a_{1} a_{2} \\cdots a_{n} b_{n}^{-1} \\cdots b_{2}^{-1} b_{1}^{-1} \\] 이므로 \\( x y^{-1} \\in H \\) 이고, \\( H \\) 는 군 \\( G \\) 의 부분군이다.</p><p>특히, \\( S \\subseteq H \\) 이고 \\(<S>\\) 는 \\( S \\) 를 포함하고 있는 모든 부분군의 교집합이므로 \\( \\prec S>\\subseteq H .<S>\\) 는 \\( S \\) 를 포함하고 있는 부분군이므로 \\( a_{i} \\in \\mathrm{S} \\) 또는 \\( a_{i}^{-1} \\)\\( \\in \\mathrm{S} \\) 에 대하여 \\( a_{1} a_{2} \\cdots a_{n} \\in\\langle\\rangle \\). 그러므로 \\( \\prec S>\\supseteq H \\) 이로서 \\( H=\\langle S\\rangle \\)임이 증명된다.</p><p>정의 군 \\( G \\) 의 원소 \\( a \\) 에 의하여 생성된 부분군 \\( \\prec a>\\) 를 \\( a \\) 에 의하여 생성된 순환부분군(cyclic subgroup generated by \\( a \\) )라고 한다. \\( G=\\langle a\\rangle \\) 일 때, \\( G \\) 는 \\( a \\) 를 생성원으로 갖는 순환군(cyclic group)이라고 한다.</p><p>순환군은 여러 개의 생성원을 가질 수 있다. \\( \\left\\langle a>=<a^{-1}>\\right. \\) 이므로 \\( a \\) 와 \\( a^{-1} \\) 는 생성원이다. 순환군 \\( G=<a>\\) 의 임의의 원소는 \\( a^{n}, n \\in \\mathbb{Z} \\) 의 꼴로 표시된다. 즉 \\( \\left\\langle a>=\\left\\{a^{n} \\mid n \\in \\mathbb{Z}\\right\\}\\right. \\).</p><p>보기 10 정수 군 \\( (\\mathbb{Z},+) \\) 에서는 원소 \\( a \\in \\mathbb{Z} \\) 에 의하여 생성된 순환군은 \\( \\langle a\\rangle=\\{n a \\mid n \\in \\mathbb{Z}\\} \\) 이다. 예를 들어 \\[<0>=\\{0\\}, \\quad<1>=\\mathbb{Z}, \\quad<3>=3 \\mathbb{Z} \\] 는 각각 \\( 0,1,3 \\) 을 생성원으로 갖는 순환군이다.</p><p>보기 11 대칭군 \\( S_{3}=\\{1,(123),(132),(12),(13),(2,3)\\} \\) 의 부분군 \\(<1>=\\{1\\} \\), \\(<\\left(\\begin{array}{lll}1 & 2 & 3\\end{array}\\right)>=\\left\\{1,\\left(\\begin{array}{llll}1 & 2 & 3\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{lll}1 & 3 & 2\\end{array}\\right)\\right\\}=<\\left(\\begin{array}{lll}1 & 3 & 2\\end{array}\\right)>,<\\left(\\begin{array}{ll}1 & 2\\end{array}\\right) \\geqq\\left\\{1,\\left(\\begin{array}{ll}1 & 2\\end{array}\\right)\\right\\} \\), \\(<(13)>=<1,(13)>,<\\left(\\begin{array}{lll}2 & 3\\end{array}\\right)>=\\{1,(23)\\} \\) 은 모두 순환 부분군이다. 그러나 \\( S_{3} \\) 는 순환군이 아니다</p><p>보기 12 법 \\( n \\) 에 관한 잉여류군 \\( \\mathbb{Z}_{n} \\) 은 \\( \\overline{1} \\) 를 생성원으로 갖는 순환군이다.</p> <h3>따름정리 2.4.13</h3><p>\\( K \\subseteq H \\subseteq G \\) 를 만족하는 유한군 \\( G \\) 의 부분군 \\( K, H \\) 의 지수는 다음 관계를 갖는다. \\[ [G: K]=[G: H][H: K] \\]</p><p>\\( [G: H]=\\mathrm{m},[H: K]=\\mathrm{n} \\) 이라 하면 서로소인 우 잉여류의 집합 \\( \\left\\{H a_{i} \\mid a_{i} \\in G\\right\\} \\), \\( \\left\\{K b_{j} \\mid b_{j} \\in H\\right\\} \\) 가 존재하여 \\[ G=\\bigcup_{i=1}^{m} H a_{i}, H=\\bigcup_{j=1}^{n} K b_{j} \\] 그러면 \\[ G=\\bigcup_{i=1}^{m}\\left(\\bigcup_{j=1}^{n} K b_{j}\\right) a_{i}=\\bigcup_{i=1}^{m} \\bigcup_{j=1}^{n} K b_{j} a_{i} \\] 이고 \\( K b_{j} a_{i} \\) 의 개수는 많아야 \\( m \\times n=m n \\) 개다. \\( K b_{j} a_{i}=K b_{r} a_{t} \\) 인 경우는 \\( j=r, i=t \\) 임을 보이기만 하면 서로소인 \\( K b_{j} a_{i} \\) 는 \\( m n \\) 개가 됨을 알 수 있기 때문에 이 정리의 증명은 완성된다.</p><p>실제로 \\( K b_{j} a_{i}=K b_{r} a_{t} \\) 라 하면 \\( e \\in K \\) 이므로 \\( b_{j} a_{i}=k b_{r} a_{t} \\) 인 \\( k \\in K \\) 가 존재한다.</p><p>\\( b_{j}, b_{r}, k \\in H \\) 이므로 다음 식에서 \\( i=t \\) 이다. \\[ H a_{i}=H b_{j} a_{i}=H k b_{r} a_{t}=H a_{t} \\] 한편, \\( i=t \\) 이면 \\( b_{j}=k b_{r} \\) 이고 \\( K b_{j}=K k b_{r}=K b_{r} \\) 에서 \\( j=r \\).</p><p>정리 2.4.2에 의하면 부분군 \\( H, K \\) 에서 \\( H K \\) 가 부분군이기 위한 필요충분조건은 \\( H K=K H \\) 가 되는 것이었다. 아래의 정리는 \\( H, K \\) 가 유한군이면 \\( H K \\) 가 유한집합이 된다는 것을 보여준다.</p><h3>정리 2.4.14</h3><p>\\( H, K \\) 가 군 \\( G \\) 의 유한부분군이면 다음이 성립한다. \\[ \|H K\|=\\frac{\|H\|\|K\|}{\|H \\cap K\|} \\]</p><p>\\( D=H \\cap K \\) 는 \\( K \\) 의 부분군이므로 \\( K \\) 에서 \\( D \\) 의 지수가 m이면 \\[ K=D k_{1} \\cup D k_{2} \\cup \\cdots \\cup D k_{m}, k_{i} \\in K \\] 가 되는 서로 다른 우 잉여류 \\( \\left\\{D k_{i} \\mid k_{i} \\in K\\right\\} \\) 가 존재한다. \\( H D=H(H \\cap K)=H \\) 이므로 \\[ H K=H k_{1} \\cup H k_{2} \\cup \\cdots \\cup H k_{m} \\] 여기서, \\( i \\neq j \\) 일 때 \\( H k_{i} \\neq H k_{j} \\) 임을 보이자. \\( x \\in H k_{i} \\cap H k_{j} \\) 이면 \\( h_{1}, h_{2} \\in H \\) 가 존재하여 \\( x=h_{1} k_{i}=h_{2} k_{j} \\). 이것은 다시 \\( k_{i}=h_{1}^{-1} h_{2} k_{j}, \\quad k_{i} k_{j}^{-1}=h_{1}^{-1} h_{2} \\) \\( \\in H \\cap K \\) 이므로 \\( k_{i} k_{j}^{-1} \\in D \\), 그래서 \\( k_{i} \\in D k_{j} \\) 이고 \\( D k_{i}=D k_{j} \\) 이다. 이는 \\( \\left\\{D k_{i} \\mid k_{i} \\in K\\right\\} \\) 의 선택에 모순이다. 모든 \\( i \\) 에 대하여 \\( \\left\|H k_{i}\\right\|=\|H\| \\) 이므로 \\[ \|H K\|=m\|H\|=\\frac{\|K\|}{\|D\|}\|H\|=\\frac{\|H\|\|K\|}{\|H \\cap K\|} \\] 이다.</p> <p>보기 9 다음의 준동형사상 \\( f:(\\mathbb{Z},+) \\rightarrow\\left(\\mathbb{R}^{}, \\cdot\\right), \\mathbb{R}^{}=\\mathbb{R}-\\{0\\} \\) 의 핵을 구하여 보자. \\[ f(n)=\\left\\{\\begin{aligned} 1, & n \\in 2 \\mathbb{Z} \\\\ -1, & n \\in 2 \\mathbb{Z}+1 \\end{aligned}\\right. \\] \\( \\operatorname{Kerf}=\\{n \\in \\mathbb{Z} \\mid f(n)=1\\}=2 \\mathbb{Z}, f(\\mathbb{Z})=\\{1,-1\\} \\) 이고 \\( \\operatorname{Kerf} \\Delta Z \\) 이다. 더구나 \\( \\operatorname{Kerf} \\neq\\{0\\} \\) 이므로 \\( f \\) 는 동형이 아니다.</p><p>순환군의 성질을 군 준동형사상으로 알아본다. 일반적인 군의 구조를 규명하기 전에 순환군의 구조를 먼저 살펴본다.</p><h3>정리 2.6.5</h3><p>정수 군 \\( (\\mathbb{Z},+) \\) 의 임의의 부분군 \\( H \\) 는 순환군이다. \\( H \\neq<0>\\) 이면 \\( H \\) 의 최소양의 정수 \\( m \\) 에 대하여 \\( H=<m>\\) 은 무한군이다.</p><p>증명 \\( \\quad H=<0>\\) 또는 \\( H \\neq<0>\\) 의 두 가지 경우뿐이다. \\( H \\neq<0>\\) 의 최소양의 정수를 \\( m \\) 이라 하면</p><p>\\[<m>=\\{m k \\mid k \\in Z\\} \\subseteq H . \\] 역으로, 임의의 \\( h \\in H \\) 를 택한다면, \\( h=q m+r, 0 \\leq r<m \\) 인 정수 \\( q, r \\) 이 존재하여 \\( r=h-q m \\in H \\) 이다. \\( m \\) 의 최소성에 의하여 \\( r=0, \\quad h=q m \\) \\( \\in\\langle m\\rangle \\). 따라서 \\( H=\\langle m\\rangle \\) 이다. 더욱이, \\( H=\\langle m\\rangle=m Z \\) 은 무한집합이므로, 자명하지 않은 \\( Z \\) 의 모든 부분군은 무한 순환부분군이다.</p><h3>정리 2.6.6</h3><p>위수가 \\( n \\) 인 모든 유한 순환군은 군 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{n},+\\right) \\) 와 동형이다. 또 모든 무한 순환군은 \\( (\\mathbb{Z},+) \\) 와 동형이다.</p><p>증명 \\( G=\\langle a\\rangle=\\left\\{e, a, a^{2}, \\cdots, a^{n-1}\\right\\} \\) 이라 하자. 사상 \\( f: G \\rightarrow \\mathbb{Z}_{n,} f\\left(a^{k}\\right)=\\bar{k}, 0 \\leq k<n \\) 이 동형임을 보인다.</p><p>실제로, \\( f \\) 가 전사사상임은 분명하다. \\( f \\) 가 잘 정의되고 단사임을 보이기 위하여, \\( f\\left(a^{k}\\right)=f\\left(a^{l}\\right) \\) 일 필요충분조건은 \\( \\bar{k}=\\bar{l} \\) 이다. 또 이의 필요충분조건은 \\( k \\equiv l(\\bmod n) \\) 이고, 다시 이의 동치조건은 \\( a^{k}=a^{l} \\) 이다.</p><p>임의의 \\( a^{k}, a^{l} \\in<a>\\) 에 대하여 다음이 성립한다. \\[ f\\left(a^{k} a^{l}\\right)=f\\left(a^{k+l}\\right)=\\overline{k+l}=\\bar{k}+\\bar{l}=f\\left(a^{k}\\right)+f\\left(a^{l}\\right) \\] 이로써 \\( f \\) 는 전단사인 군 준동형사상, 즉 군 동형사상임이 증명되었다.</p><p>다음은, \\( G=<a>\\) 가 무한군이면 \\( f: G \\rightarrow Z, f\\left(a^{k}\\right)=k, k \\in Z \\) 이 군 준동형사상임은 분명하다. 즉 \\[ f\\left(a^{k} a^{l}\\right)=f\\left(a^{k+l}\\right)=k+l=f\\left(a^{k}\\right)+f\\left(a^{l}\\right) \\]</p> <h3>정리 2.8.5</h3><p>유한군 \\( G \\) 의 서로 다른 공액류 전체를 \\( \\zeta_{1}=\\{e\\}, \\quad \\zeta_{2}, \\cdots, \\zeta_{r} \\), \\( x_{i} \\in \\zeta_{i},\\left\|\\zeta_{i}\\right\|=h_{i}(i=1, \\cdots, r) \\) 라고 할 때 다음이 성립한다.</p><p>(1) \\( \|G\|=h_{i}+\\cdots+h_{r}, h_{i}=\\left[G: C_{G}\\left(x_{i}\\right)\\right], i=1, \\cdots, r \\)</p><p>(2) \\( h_{1}=\\cdots=h_{k}=1, h_{i}>1(i>k) \\) 이라고 하면 \\[ \|G\|=\|Z(G)\|+h_{k+1} \\cdots+h_{r} . \\]</p><p>증명 정리 2.8.4에 의하여 \\( h_{i}=\\left\|\\zeta_{i}\\right\|=\\left[G: C_{G}\\left(x_{i}\\right)\\right] . Z(G) \\) 의 모든 원소 \\( a \\in G \\) 에 대하여 \\( C_{G}(a)=G \\) 이므로 \\( \\left[G: C_{G}\\left(x_{i}\\right)\\right]=[G: G]=1 . x_{i} \\in Z(G) \\) 이면 \\( \\left\|\\zeta_{i}\\right\|=1 \\) 이므로 \\( \\left\|\\zeta_{i}\\right\|=1 \\) 인 모든 공액류는 모두 \\( \|Z(G)\| \\) 개가 존재한다.</p><p>위 정리의 방정식을 유한군 \\( G \\) 의 류등식(class equation)이라 하고, 중심 \\( Z(G) \\) 는 \\( G \\) 의 부분군이므로 \\( \|Z(G)\|\|\| G \\mid \\) 이 성립한다.</p><p>보기 1 대칭군 \\( S_{3}=\\{1,(12),(13),(23),(123),(132)\\} \\) 의 항등치환 1 은 \\( Z\\left(S_{3}\\right) \\)의 원소이다. \\[ \\begin{array}{l} (13)(12)=(132), \\quad(12)(13)=(123) \\\\ (23)(12)=(123), \\quad(12)(23)=(132) \\end{array} \\]</p><p>이므로 \\( (12)(13) \\neq(13)(12), \\quad(12)(23) \\neq(23)(12), \\quad(12),(13),(23) \\) 은 \\( Z\\left(S_{3}\\right) \\) 의 원소가 아니다. \\( \\left\|Z\\left(S_{3}\\right)\\right\|=1,2,3,6 \\) 에서 \\( \\left\|Z\\left(S_{3}\\right)\\right\|=1,2,3 \\) 만이 가능하다. 그런데 \\( (12)(123)=(13), \\quad(123)(12)=(23) \\) 이므로 \\( (123)(12) \\) \\( \\neq(12)(123) \\). 즉 중심에 속하지 않는 것은 적어도 네 개다. 그러므로 \\( \\left\|Z\\left(S_{3}\\right)\\right\|=1,2 \\)</p><p>끝으로 \\( (12)(132) \\neq(132)(12) \\) 이므로 \\( Z\\left(S_{3}\\right) \\) 의 원소가 아닌 것은 다섯 개 이상이다. 결국 \\( \\left\|Z\\left(S_{3}\\right)\\right\|=1 \\) 이므로 \\( Z\\left(S_{3}\\right)=\\{1\\} \\) 이다.</p><p>보기 2 대칭군 \\( S_{3} \\) 의 류등식을 구하여 보자. \\( \\left\|Z\\left(S_{3}\\right)\\right\|=1 \\) 이므로 \\( \\zeta_{1}=\\{1\\} \\). 위수가 1 보다 큰 공액류를 구하면 \\[ \\zeta_{2}=\\{(12),(13),(23)\\}, \\zeta_{3}=\\{(123),(132)\\} \\] 따라서 \\( \|G\|=1+\\left\|h_{2}\\right\|+\\left\|h_{3}\\right\|=1+3+2 \\).</p><p>보기 3 대칭군 \\( G=S_{3} \\) 에서 \\( h_{1}=\\left[G: C_{G}(12)\\right], h_{2}=\\left[G: C_{G}(123)\\right] \\) 을 구하여 보자. \\( x \\in C_{G}(12) \\Leftrightarrow x(12) \\Leftrightarrow(12) x \\Leftrightarrow x=1, x=(12) \\) 이므로 \\( C_{G}(12)=\\{1,(12)\\} \\). \\( h_{1}=\\left[G:\\{1,(12)\\}=\\frac{\|G\|}{2}=\\frac{6}{2}=3 . C_{G}(123)=\\{1,(123),(132)\\}\\right. \\) 이므로 \\( h_{2}=\\frac{\|G\|}{3}=\\frac{6}{3}=2 \\)</p><p>다음은 군 \\( G \\) 의 중심의 원소의 개수에 대하여 알아본다.</p> <h3>정리 2.7.4</h3><p>직적 \\( G=G_{1} \\times \\cdots \\times G_{n} \\) 에는 다음 조건을 만족하는 정규부분군 \\( \\overline{G_{1}}, \\cdots \\), \\( \\overline{G_{n}} \\) 이 존재한다. 여기서 각 \\( e_{i} \\) 는 \\( G_{i} \\) 의 항등원이다.</p><p>(1) \\( \\overline{G_{i}} \\cong G_{i} \\)</p><p>(2) \\( G=\\overline{G_{1}} \\cdots \\overline{G_{n}} \\)</p><p>(3) \\( \\overline{G_{i}} \\cap\\left(\\overline{G_{1}} \\cdots \\overline{G_{i-1}} \\overline{G_{i+1}} \\cdots \\overline{G_{n}}\\right)=\\left(e_{1}, \\cdots, e_{n}\\right), i=1, \\cdots, n \\)</p><p>증명 각 \\( G_{i} \\) 에 대하여 \\( \\overline{G_{i}} \\triangleleft G \\) 임은 십게 증명되므로 독자에게 맡기고, (2), (3)을 증명하자. 임의의 \\( \\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right) \\in G \\) 는 다음으로 표시된다. \\[ \\begin{aligned} \\left(a_{1}, e_{2}, \\cdots, e_{n}\\right) & \\cdots\\left(e_{1}, e_{2}, \\cdots, e_{n-1}, a_{n}\\right) \\\\ \\left(a_{1}, e_{1}, \\cdots, e_{n}\\right) &=f_{1}\\left(a_{1}\\right),\\left(e_{1}, a_{2}, e_{3}, \\cdots, e_{n}\\right) \\\\ &=f_{2}\\left(a_{2}\\right), \\cdots,\\left(e_{1}, \\cdots, e_{n-1}, a_{n}\\right)=f_{n}\\left(a_{n}\\right) \\end{aligned} \\] 이므로 \\[ \\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right)=f_{1}\\left(a_{1}\\right) \\cdots f_{n}\\left(a_{n}\\right) . \\] 그러므로 \\( G=G_{1} \\times \\cdots \\times G_{n}=\\overline{G_{1}} \\cdots \\overline{G_{n}} \\). 또 \\( G \\) 의 원소 \\( a=\\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right) \\) \\( \\in \\overline{G_{i}} \\cap\\left(\\overline{G_{1}} \\ldots \\overline{G_{i-1}} \\overline{G_{i+1}} \\ldots \\overline{G_{n}}\\right) \\) 에 대하여 \\( a \\in \\overline{G_{i}} \\) 이므로, 모든 \\( j(\\neq i) \\) 에 대하여 \\( a_{j}=e_{j} \\). 그런데 \\( \\overline{G_{1}} \\cdots \\overline{G_{i-1}} \\overline{G_{i+1}} \\ldots \\overline{G_{n}} \\) 의 원소의 \\( i \\) 번째 성분은 \\( e_{i} \\) 이므 로 \\( a_{i}=e_{i} \\). 따라서 \\( a=\\left(e_{1}, \\cdots, e_{n}\\right) \\) 이다.</p><p>정의 군 \\( G \\) 의 정규부분군 \\( N_{1}, \\cdots, N_{n} \\) 이 \\( G \\cong N_{1} \\times \\cdots \\times N_{n} \\) 을 만족할 때 \\( G \\) 는 \\( N_{1}, \\cdots, N_{n} \\) 의 (내적)직적이라 하고, 각 \\( N_{i} \\) 의 (내적)직적인자라 한다. 이때 \\( G \\cong N_{1} \\dot{\\times} \\cdots \\dot{\\times} N_{n} \\) 또는 \\( G=N_{1} \\times \\cdots \\times N_{n} \\) 으로 나타낸다.</p><p>덧셈군 \\( G \\) 의 부분군 \\( H_{1}, \\cdots, H_{n} \\) 이 \\( G \\) 의 직적인자이면 \\( G=H_{1} \\oplus \\cdots \\oplus H_{n} \\)으로 나타낸다. \\( G \\) 를 각 \\( H_{i} \\) 의 직합이라 하고, \\( H_{i} \\) 직합인자라 한다.</p> <p>보기16 \\( \\mathbb{Z} \\) 의 부분군 관계 \\( 100 \\mathbb{Z} \\subset 25 \\mathbb{Z} \\subset \\mathbb{Z} \\) 에서 \\( \\mathbb{Z} / 100 \\mathbb{Z}<25 \\mathbb{Z} / 100 Z \\mathbb{Z} \\) 이므로 \\( (\\mathbb{Z} / 100 \\mathbb{Z}) /(25 \\mathbb{Z} / 100 \\mathbb{Z}) \\cong \\mathbb{Z} / 25 \\mathbb{Z} \\) 이다.</p><h3>정리 2.6.15</h3><p>5 군 준동형사상 \\( f: G \\rightarrow G \\) 가 전사사상이고 \\( \\operatorname{Kerf}=K \\) 라 하면 다음이 성립한다.</p><p>(1) \\( H \\) 가 \\( G \\) 의 부분군이면, \\( f(H) \\) 는 \\( G^{\\prime} \\) 의 부분군이고 \\( f^{-1}(f(H))=H K= \\) \\( \\mathrm{KH} \\) 이다.</p><p>(2) \\( H^{\\prime} \\) 가 \\( G^{\\prime} \\) 의 부분군이면, \\( f^{-1}\\left(H^{\\prime}\\right) \\) 는 \\( G \\) 의 부분군이고 \\( K \\subseteq f^{-1}\\left(H^{\\prime}\\right) \\), \\( f\\left(f^{-1}\\left(H^{\\prime}\\right)\\right)=H^{\\prime} \\) 이다.</p><p>증명 (1) 정리 1 에 의하여 \\( f(H) \\) 는 \\( G \\) 의 부분군이다. \\( f^{-1}(f(H))=K H \\) 임을 보이자.</p><p>만약 \\( x \\in f^{-1}(f(H)) \\) 이면, \\( f(x) \\in(f(H)) \\) 이므로 \\( f(x)=f(h) \\) 인 \\( h \\in H \\) 가 존재한다. 이것으로부터, \\( f\\left(x h^{-1}\\right)=f(x)(f(h))^{-1}=e \\) 즉, \\( x h^{-1} \\in K \\) 이고 \\( x \\in K h \\subseteq K H \\), 따라서 \\( f^{-1}(f(H)) \\subseteq K H \\).</p><p>반면에 \\( k h \\in K H \\) 이면 \\( f(k h)=f(k) f(h)=e f(h)=f(h) \\in f(H) \\). 그러면 \\( k h \\in f^{-1}(f(H)) \\). 따라서 \\( K H \\subseteq f^{-1}(f(H)) \\).</p><p>한편, 제2동형정리에 의해서 \\( K H<G \\) 이므로 \\( K H=H K \\) 이다. 결과적으로 \\( f^{-1}(f(H))=H K=K H \\) 이다.</p><p>(2) 만약 \\( a, b \\in f^{-1}\\left(H^{\\prime}\\right) \\) 이면, \\( f(a), f(b) \\in H^{\\prime} \\) 이고 \\( f\\left(a b^{-1}\\right)=f(a) f(b)^{-1} \\) \\( \\in H^{\\prime} \\) 이므로 \\( a b^{-1} \\in f^{-1}\\left(H^{\\prime}\\right) \\) 이다. 따라서 \\( f^{-1}\\left(H^{\\prime}\\right)<G \\) 이다. 끝으로 \\( K=\\left\\{x \\in G \\mid f(x)=e^{\\prime}\\right\\} \\subseteq f^{-1}\\left(H^{\\prime}\\right) \\) 이고 \\( f\\left(f^{-1}\\left(H^{\\prime}\\right)\\right)=H^{\\prime} \\) 는 쉽게 증명된다.</p> <h3>정리 2.8.3</h3><p>군 \\( G \\) 의 부분집합 \\( H \\) 와 \\( N_{G}(H) \\) 에 다음이 성립한다.</p><p>(1) \\( H \\) 가 \\( G \\) 의 부분군이면 \\( H \\) 는 \\( N_{G}(H) \\) 의 정규부분군이다.</p><p>(2) \\( H \\) 가 부분군 \\( N \\) 의 정규부분군이면 \\( H \\subseteq N \\subseteq N_{G}(H) \\) 이다.</p><p>증명 (1) \\( N_{G}(H)=\\left\\{a \\in G \\mid a^{-1} H a=H\\right\\} \\) 이므로 임의의 \\( a \\in N_{G}(H) \\) 에 대하여 \\( a^{-1} H a=H \\). 그러므로 \\( H \\triangleleft N_{G}(H) \\).</p><p>(2) 임의의 \\( a \\in N \\) 에 대하여 \\( a^{-1} H a=H \\) 이므로 \\( a \\in N_{G}(H) \\). 그러므로 \\( N \\subseteq N_{G}(H) \\)</p><p>두 원소 \\( a, b \\in G \\) 에 관한 공액관계 \" \\( a \\sim b \\Leftrightarrow b=\\mathrm{g}^{-1} a \\) g 인 \\( \\mathrm{g} \\in G \\) 가 존재한다.\"는 군 \\( G \\) 위의 동치관계이다. \\", "( a \\) 의 동치류는 \\( \\left\\{\\mathrm{g}^{-1} a \\mathrm{~g} \\mid \\mathrm{g} \\in G\\right\\} \\) 이고 이를 \\( a \\) 의 공액류(conjugacy class)라고 부르고, \\( \\zeta(a) \\) 로 나타낸다. \\", "( a^{-1} a a=a \\) 이므로 \\( a \\)는 \\( a \\) 의 공액류의 원소이다.", "</p><p>정리 2.8.2에 의하여 서로 다른 공액류의 개수는 \\( \\left[G: N_{G}(a)\\right] \\) 이다.", "</p><p>\\( G=\\zeta_{1} \\cup \\cdots \\zeta_{r}, \\zeta_{i} \\cap \\zeta_{j}=\\varnothing, i \\neq j \\).", "공액류 \\( \\zeta_{1}, \\cdots, \\zeta_{r} \\) 의 원소의 개수는 일정하지 않다. \\", "( x \\) 를 포함하는 공액류를 라 할 때 \\( \|\\zeta\|=1 \\) 이면 \\( \\left\\{\\mathrm{g}^{-1} x \\mathrm{~g} \\mid \\mathrm{g} \\in G\\right. \\) \\", "( =\\{x\\} \\) 이므로, 모든 \\( \\mathrm{g} \\in G \\) 에 대하여 \\( \\mathrm{g}^{-1} x \\mathrm{~g}=x, x \\mathrm{~g}=\\mathrm{g} x \\).", "그러므로 \\( \|\\zeta\|=1 \\) 일 필요충분조건은 \\( N_{c}(x)=C_{G}(x) \\) 가 되는 것이다.", "여기서 집합 \\( C_{G}(x)=\\{\\mathrm{g} \\in G \\mid x \\mathrm{~g}=\\mathrm{g} x\\} \\) 를 \\( G \\) 에서 \\( x \\) 의 중심화부분군(centralizer)이라 한다.", "</p><h3>정리 2.8.4</h3><p>유한군 \\( G \\) 의 원소 \\( x \\) 를 포함하는 공액류 \\( \\zeta \\) 의 원소의 개수는 \\( G \\) 내에서 부분군 \\( C_{G}(x) \\) 의 지수와 같다.", "또 \\( \|\\zeta\|\|\| G \\mid \\).", "</p><p>증명 \\( \\zeta=\\left\\{a^{-1} x a \\mid a \\in G\\right\\} \\) 와 부분군 \\( C:=C_{G}(x) \\) 의 잉여류 전체의 집합 \\( \\{C a \\mid a \\in G\\} \\)는 일대일 대응관계가 있음을 보이면 된다.", "대응 \\( y=a^{-1} x a \\mapsto C a \\) 를 생각하여 보자.", "</p><p>실제로 \\( \\quad a^{-1} x a=b^{-1} x b \\) 이면 \\( \\quad x=a b^{-1} x b a^{-1}=\\left(b a^{-1}\\right)^{-1} x\\left(b a^{-1}\\right) \\), \\( \\left(b a^{-1}\\right) x=x\\left(b a^{-1}\\right) \\) 이므로 \\( b a^{-1} \\in C \\), 즉 \\( b \\in C a \\).", "그러므로 \\( C b=C a \\).", "따라서 이 대응은 하나의 사상이며 단사이다.", "전사임은 분명하므로 이 대응은 전단사이다.", "</p><p>서로 다른 잉여류 개수는 \\( \\left[G: C_{G}(x)\\right] \\) 이므로 \\( \\zeta \\) 의 원소의 개수와 서로 다른 잉여류의 개수는 같고, \\( \\left[G: C_{G}(x)\\right] \\) 개이다.", "또 \\( \|\\zeta\|=\\left[G: C_{G}(x)\\right]=\\frac{\|G\|}{\\left\|C_{G}(x)\\right\|} \\) 에서 \\( \|\\zeta\|\|\| G \\mid \\) 이다.", "</p> <h3>정리 2.6.13 군 제2동형정리</h3><p>\\( K, N \\) 이 군 \\( G \\) 의 부분군이고, \\( N \\) 이 군 \\( G \\) 의 정규부분군이면, \\( K /(N \\cap K) \\cong N K / N \\) 이다.", "</p><p>연습문제 2.5.4에 의해 \\( K N \\) 는 \\( G \\) 의 부분군이고 \\( N \\) 은 \\( K N \\) 의 정규부분군이다.", "실제로 임의의 \\( n k \\in N K \\) 에 대하여 \\[ (n k) N(n k)^{-1}=n k N k^{-1} n^{-1}=n N n^{-1}=N \\]</p><p>삽입사상 \\( i \\) 와 자연준동형사상 \\( \\pi \\) 의 합성사상을 \\( f \\) 라 두면, 이의 핵은 \\( N \\cap K \\)이다.", "정리 11 에 의하여 \\[ \\begin{array}{c} K / N \\cap K \\cong \\operatorname{Im} f=N K / N . \\\\ f: K \\stackrel{i}{\\rightarrow} N K \\stackrel{\\pi}{\\rightarrow} N K / N \\end{array} \\]", "</p><p>실제로 \\( \\quad \\operatorname{kerf}=\\{k \\in K \\mid f(k)=N\\}=\\{k \\in K \\mid \\pi(k)=N\\}=\\{k \\in K \\mid \\) \\( k \\in N\\} \\) 이고, 이는 다시 \\( N \\cap K \\) 이다.", "그리고 \\[ \\operatorname{Imf}=\\{N k \\in N K / N \\mid k \\in K\\}=N K / N \\] 이고, 이때 제 1 동형정리에 의하여 \\( K /(N \\cap K) \\cong N K / N \\) 이 성립한다.", "</p><h3>정리 2.6.14 군 제3동형정리</h3><p>\\( N \\subseteq H \\) 인 군 \\( G \\) 의 정규부분군 \\( N, H \\) 에 대하여 \\( H / N \\) 은 \\( G / N \\) 의 정규부분군이고, \\( (G / N) /(H / N) \\cong G / H \\) 이다.", "</p><p>증명 \\( f(N a)=H a, a \\in G \\) 로 정의된 대응 \\( f: G / N \\rightarrow G / H \\) 가 사상임을 보이고자 한다.", "실제로, \\( N a=N b, a, b \\in G \\) 이면, \\( a b^{-1} \\in N \\subseteq H \\) 이므로 \\( H a=H b \\) 이다.", "다음은 \\[ f(N a N b)=f(N a b)=H a b=H a H b=f(N a) f(N b) \\] 이므로 \\( f \\) 는 군 준동형사상이다. \\", "[ \\operatorname{Im} f=\\{f(N a) \\mid a \\in G\\}=\\{H a \\mid a \\in G\\} \\] 이고, \\( \\operatorname{ker} f=\\{N a \\mid a \\in G, f(N a)=H\\}=\\{N a \\mid a \\in H\\}=H / N \\) 이다.", "따라서 제 1 동형정리에 의하여 \\( (G / N) /(H / N) \\cong G / H \\) 이다.", "</p> <h3>따름정리 2.4.15</h3><p>유한인 군 \\( G \\) 의 부분군 \\( H, K \\) 에 대하여 \\( [H: H \\cap K] \\leq[G: K] \\) 가 성립한다.", "</p><p>증명 \\( H \\) 에서 부분군 \\( H \\cap K \\) 의 우 잉여류 전체의 집합 \\( X, G \\) 에서 \\( K \\) 의 우 잉여류 전체의 집합 \\( Y \\) 라고 하고 \\( f((H \\cap K) h)=K h, h \\in H \\) 로 주어진 대응 \\( f: X \\rightarrow Y \\)이 사상임을 밝히자. \\", "( (H \\cap K) h_{1}=(H \\cap K) h_{2} \\) 이면 \\( h_{1} h_{2}^{-1} \\in H \\cap K \\subseteq K \\) 이므로 \\( K h_{1}=K h_{2} \\) 이다.", "그러므로 \\( f \\) 는 \\( \\mathrm{X} \\) 에서 \\( \\mathrm{Y} \\) 로의 사상이다.", "또 \\( K h_{1}=K h_{2} \\) 이면 \\( (H \\cap K) h_{1}=(H \\cap K) h_{2} \\) 이므로 \\( f \\) 는 일대일이다.", "따라서 \\( \|X\| \\leq\|Y\| \\), 즉 \\( [H: H \\cap K] \\leq[G: K] \\)</p><h2>연습문제 2.4</h2><p>1 대칭군 \\( S_{3} \\) 의 모든 진부분군은 순환군임을 보여라.", "</p><p>2 군 \\( G \\) 의 부분군 \\( H, K \\) 에 대하여 \\( H K \\) 가 \\( G \\) 의 부분군이 될 필요충분조건은 \\(<H, K>=K H \\) 가 되는 것임을 보여라.", "</p><p>3 군 \\( G \\) 의 부분군 \\( H, K \\) 의 위수가 각각 5,7 이면 \\( H \\cap K=\\{e\\} \\) 임을 보여라.", "</p><p>4 위수가 \\( p^{2}(P \\) 는 소수) 인 군 \\( G \\) 에는 위수가 \\( p \\) 인 부분군이 적어도 하나 존재하고, 이러한 군은 \\( p+1 \\) 개를 넘지 않는다.", "</p><p>5 위수가 \\( 2 p \\) ( \\( p \\) 는 소수) 인 유한군 \\( G \\) 의 모든 부분군은 순환군임을 보여라.", "</p><p>6 군 \\( G \\) 의 부분군 \\( H \\) 에서 \\( a^{-1} b \\in H \\Leftrightarrow a \\equiv b(\\bmod H) \\) 로 정의하면 \\( \\equiv \\) 은 동치관계이고, 동치류는 \\( a H \\) 임을 보여라.", "</p><p>7 라그랑주 정리를 이용하여 다음을 증명하여라.", "</p><p>(1) 대칭군 \\( S_{7} \\) 은 위수가 11인 부분군을 갖지 않는다.", "</p><p>(2) 정이면체군 \\( D_{4} \\) 는 위수가 5 인 부분군을 갖지 않는다.", "</p><p>8 군 \\( G=\\left(R^{2},+\\right) \\) 의 부분집합 \\( H=\\{(x, m x) \\mid x \\in R\\} \\) 에 대하여 다음에 답하여라.", "</p><p>(1) \\( H=\\{(x, 2 x) \\mid x \\in R\\} \\) 의 잉여류는 평면을 어떻게 분할하는가?", "</p><p>(2) \\( H=\\{(0, x) \\mid x \\in R\\} \\) 의 잉여류 전체의 집합을 구하여라.", "</p><p>(3) \\( H=\\{(x, m x) \\mid x \\in R, m \\) 은 상수 \\( \\} \\) 는 \\( G \\) 의 부분군인가?", "</p><p>9 위수가 짝수인 군 \\( G \\) 에는 \\( x^{2}=e, x \\neq e \\) 인 원소 \\( x \\) 가 항상 존재함을 보여라.", "</p><p>10 군 \\( G \\) 의 부분집합 \\( H_{i}, a \\in G \\) 에서 \\( \\left(\\cap H_{i}\\right) a=\\cap H_{i} a \\) 임을 보여라.", "</p><p>11 군 \\( G \\) 의 부분군 \\( H \\) 에 대하여 다음이 성립함을 보여라.", "</p><p>(1) \\( a H=H \\Leftrightarrow a \\in H \\) (2) \\( a H=b H \\Leftrightarrow a^{-1} b \\in H \\).", "</p><p>12 위수가 유한인 군 \\( G \\) 의 부분군 \\( H, K \\) 에 대하여 \\( [H: H \\cap K]=[G: K] \\) 일 필요충분조건은 \\( G=K H \\) 이다.", "</p><p>13 \\(K \\subseteq H \\subseteq G \\) 를 만족하는 유한군 \\( G \\) 의 부분군 \\( K, H \\) 의 지수에 대해 다음을 밝혀라. \\", "[ [G: K]=[G: H][H: K] \\]</p><p>14 정이면체군 \\( D_{4} \\) 의 모든 부분군을 구하여라.", "</p> <h3>정리 2.5.9</h3><p>\\( \\sigma \\in S_{n} \\) 가 우 치환이면 \\( \\sigma^{-1} \\) 도 우 치환이다.", "같은 방법으로, \\( \\sigma \\in S_{n} \\) 가 기치환이면 \\( \\sigma^{-1} \\) 도 기 치환이다.", "</p><p>\\( \\sigma \\sigma^{-1}=(1) \\) 이므로, \\( \\sigma \\) 가 짝수개의 호환의 곱으로 표시되고, \\( \\sigma^{-1} \\) 가 홀수개의 호환의 곱으로 표시되면 \\( \\sigma \\sigma^{-1}=(1) \\) 는 홀수개의 호환의 곱으로 표시된다.", "이는 정리 8 에 모순이다.", "</p><p>보기 9 정리 7에서 모든 치환은 순서를 제외하고 서로소인 순환치환의 곱으로 유일 하게 표시된다.", "그러나 호환의 곱으로는 유일하게 표현되지 않는다.", "</p><p>예를 들면,</p><p>\\[ \\left(\\begin{array}{lll}1 & 2 & 4\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{lll}1 & 2\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{ll}1 & 4\\end{array}\\right), \\] \\[ \\left(\\begin{array}{lll}1 & 2 & 4\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{ll}1 & 4\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{ll}1 & 2\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{ll}2 & 4\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{ll}1 & 4\\end{array}\\right) , \\] \\[ \\left(\\begin{array}{lll}1 & 2 & 4\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{ll}2 & 4\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{ll}1 & 2\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{ll}1 & 4\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{ll}1 & 2\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{ll}1 & 4\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{ll}2 & 4\\end{array}\\right), \\] \\[\\left(\\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 5\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{lll}1 & 2\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{lll}1 & 3\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{ll}1 & 5\\end{array}\\right) , \\] \\[ \\left(\\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 5\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{lll}2 & 4\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{lll}1 & 4\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{lll}3 & 5\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{lll}2 & 4\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{lll}1 & 3\\end{array}\\right) \\] \\[ \\left(\\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 5\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{lll}1 & 2\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{lll}2 & 4\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{lll}2 & 4\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{lll}1 & 3\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{lll}2 & 3\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{lll}2 & 3\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{l}5\\end{array}\\right) \\]</p><p>와 같이 쓸 수 있다.", "</p><p>여기서, \\( (124) \\) 는 짝수개의 호환의 곱, \\( (1235) \\) 는 홀수개의 호환의 곱으로 표시된다는 점에 주목하자.", "</p><h3>정리 2.5.10</h3><p>\\(S_{n} \\) 에서 모든 치환은 기 치환이거나 우 치환이다.", "즉, 우 치환이면서 기 치환일 수는 없다.", "</p><p>증명 \\( \\quad \\sigma \\in S_{n} \\) 에 대하여 \\( \\sigma=\\rho_{1} \\rho_{2} \\cdots \\rho_{r}=\\tau_{1} \\tau_{2} \\cdots \\tau_{s} \\), 여기서 \\( \\rho_{i}, \\tau_{j} \\) 는 호환이다. \\", "[ \\begin{aligned} (1) &=\\rho_{1} \\rho_{2} \\cdots \\rho_{r}\\left(\\tau_{1} \\tau_{2} \\cdots \\tau_{s}\\right)^{-1}=\\rho_{1} \\rho_{2} \\cdots \\rho_{r} \\tau_{s}^{-1} \\cdots \\tau_{2}^{-1} \\tau_{1}^{-1} \\\\ &=\\rho_{1} \\rho_{2} \\cdots \\rho_{r} \\tau_{s} \\cdots \\tau_{2} \\tau_{1} \\end{aligned} \\]</p><p>정리 8 에 의해서 \\( r+s \\) 는 짝수이다.", "따라서 \\( r, s \\) 는 동시에 짝수이거나 동시에 홀수이다.", "</p> <h3>따름정리 2.3.9</h3><p>\\( G \\) 는 위수가 \\( n \\) 인 유한군이다. \\", "( a^{k} \\in G \\) 가 \\( G \\) 의 생성원이기 위한 필요충분조건은 \\( (k, n)=1 \\) 이다.", "</p><h3>정리 2.3.10</h3><p>순환군의 부분군은 역시 순환군이다.", "</p><p>\\( G=<a>\\) 이고, \\( H \\) 가 순환군 \\( \\mathrm{G} \\) 의 부분군이라 하자. \\", "( H=\\{e\\} \\) 이면 \\( H=<e>0 \\) 이므로 순환부분군이다. \\( H \\neq\\{e\\} \\) 라 하면 \\( a^{m} \\in H, m \\neq 0 \\) 가 되는 \\( m \\) 이 존재하고, \\( a^{-m} \\in H . m,-m \\) 중 적어도 하나는 양의 정수이므로 \\( a^{l} \\in H, l>", "0 \\) 인 정수 \\( l \\) 이 존재하고, 이들 중 최소인 양의 정수 \\( n \\) 이 존재하여 \\( a^{n} \\in H \\) 이다.", "우리는 \\( H=<a^{n}>\\) 임을 증명할 것이다.", "</p><p>\\( a^{n} \\) 의 멱은 또 \\( H \\) 의 원소이므로 \\(<a^{n}>\\subseteq H \\) 는 분명하다.", "</p><p>\\( H \\subseteq\\langle a\\rangle=\\left\\{a^{k} \\mid k \\in Z\\right\\} \\) 이므로 임의의 \\( b \\in H \\) 는 \\( b=a^{k} \\) 로 표시된다.", "나눗셈 정리에 의하여 정수 \\( q, r \\) 이 존재하여 \\[ k=q n+r, 0 \\leq r<n, a^{k}, a^{n} \\in H \\] 이므로 \\( a^{r} \\in H \\), 즉 \\( a^{r}=a^{k-q n}=a^{k}\\left(a^{n}\\right)^{-q} \\in H \\) 이다.", "</p><p>\\( n \\) 의 정의에 의하여 \\( r=0 \\) 이고 \\( k=q n \\) 이다.", "따라서 \\[ b=a^{k}=\\left(a^{n}\\right)^{q} \\in<a^{n}>\\] 이다.", "즉, \\( H \\subseteq\\left\\langle a^{n}\\right\\rangle \\) 이다.", "그러므로 \\( H=\\left\\langle a^{n}\\right\\rangle \\) 임이 증명되었다.", "</p><h2>연습문제 2.3</h2><p>1 가환군 \\( G \\) 에 대하여 다음 집합이 부분군임을 보여라.", "</p><p>(1) \\( H=\\left\\{a \\in G \\mid a^{n}=e, n \\in \\mathbb{Z}^{+}:\\right. \\)", "fixed \\( \\} \\)</p><p>(2) \\( H=\\left\\{a \\in G \\mid a=b^{2}\\right. \\)", ", for some \\( \\left.b \\in G\\right\\} \\)</p><p>(3) \\( H=\\left\\{a \\in G \\mid a^{3} \\in K, K<G\\right\\} \\)</p><p>(4) \\( H=\\left\\{a \\in G \\mid(a x)^{2}=(x a)^{2}, x \\in G\\right\\} \\)</p><p>2 군 \\( G \\) 위의 함수 \\( f: G \\rightarrow G \\) 에 대하여, \\[ H=\\{a \\in G \\mid f(x)=f(a x), x \\in G\\} \\] 는 \\( G \\) 의 부분군임을 보여라.", "</p><p>3 잉여류군 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{12},+\\right) \\) 의 부분군의 격자를 만들어라.", "</p><p>4 Klein 사원군의 부분군의 격자를 만들어라.", "</p><p>5 \\( \\left\\{\\frac{a}{2^{n} 3^{m}} \\mid a, n, m \\in \\mathbb{Z}\\right\\} \\) 는 \\( \\left(Q^{+}\\right. \\)", ", • \\( ) \\)의 부분군이나 순환부분군이 아님을 보여라.", "</p><p>6 군 \\( \\left(\\mathbb{Q}^{}, \\cdot\\right), \\mathbb{Q}^{}=\\mathbb{Q}-\\{0\\} \\) 은 순환군이 아님을 보여라.", "</p><p>7 모든 순환군은 가환군임을 보여라.", "</p><p>8 오직 하나의 생성원을 갖는 순환군 \\( G \\) 의 원소는 한 개 또는 두 개임을 보여라.", "</p><p>9 군 \\( G \\) 의 원소 \\( a \\) 의 위수가 \\( n \\) 이면 \\( a^{k}=e \\) 일 필요충분조건은 \\( n \\mid k \\) 임을 보여라.", "</p><p>10 \\( G=<a, b>, a b=b a \\) 이면 \\( G \\) 는 가환군임을 보여라.", "</p><p>11 군 \\( G \\) 의 원소 \\( a \\) 의 위수가 \\( n \\) 일 때 \\( a^{k} \\) 의 위수가 \\( n \\) 일 필요충분조건은 \\( (k, n)=1 \\) 임을 보여라.", "</p><p>12 군 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{7}^{}\\right. \\), - )의 각 원소의 위수를 구하여라.", "</p><p>13 무환 순환군 \\( G=<a>\\) 의 생성원은 \\( a, a^{-1} \\) 뿐임을 보여라.", "</p><p>14 군 \\( \\left(\\mathrm{Z}_{20},+\\right) \\) 는 \\( \\overline{1} \\) 에 의하여 생성된 가환군이다.", "부분군들의 격자를 구하여라.", "</p><p>15 위수가 24 인 순환군의 부분군을 모두 구하고, 그의 격자를 그려라.", "</p><p>16 위수가 \\( n \\) 인 순환군 \\( G \\) 에 의하여 다음이 성립함을 보여라.", "</p><p>(1) \\( G \\) 의 부분군의 위수는 \\( n \\) 의 약수이다.", "</p><p>(2) \\( k \\mid n, k>0 \\) 이면 위수가 \\( k \\) 인 부분군은 존재하며 오직 하나뿐이다.", "</p><p>17 가환군 \\( G \\) 의 유한 위수인 원소 전체의 집합 \\( H=\\left\\{a \\in G \\mid \\exists n \\in \\mathbb{Z}, a^{n}=e\\right\\} \\) 은 부분군임을 보여라.", "</p><p>18 가환군 \\( G \\) 의 원소 \\( a, b \\) 의 위수가 각각 \\( m, n \\) 이면 위수가 \\( m, n \\) 의 최소공배수인 원소 \\( c \\in G \\) 가 존재함을 보여라.", "</p> <p>군 \\( G \\) 의 정규 부분군 \\( N \\) 를 이용하여 \\( G \\) 의 원소보다 적은 수의 원소를 가지며 군의 구조를 간명하게 보여주는 새로운 상군 \\( G / N \\) 을 생각할 수 있다.", "</p><h3>정리 2.5.4</h3><p>군 \\( G \\) 의 정규 부분군 \\( N \\) 로부터 \\( N \\) 의 우 잉여류 전체의 전체 \\( G / N= \\) \\( \\{N a \\mid a \\in G\\} \\) 는 이항연산 \\( N a N b=N a b, a, b \\in G \\) 에 의하여 군을 이룬다.", "</p><p>증명 먼저 연산 - 이 이항연산임을 보이자. \\", "( N a=N a^{\\prime}, N b=N b^{\\prime} \\) 이라 가정하면 \\( N a b=(N a)(N b)=\\left(N a^{\\prime}\\right)\\left(N b^{\\prime}\\right)=N a^{\\prime} b^{\\prime} \\) 이다.", "실제로 \\( e \\in N \\) 이므로 \\( a^{\\prime}=n a \\), \\( b^{\\prime}=n^{\\prime} b \\) 인 \\( n, n^{\\prime} \\in N \\) 이 존재한다.", "한편, \\( \\quad a^{\\prime} b^{\\prime}=n a n^{\\prime} b^{\\prime} \\) 이고 \\( N \\Delta G \\) 이므로 \\( a N=N a \\) 로부터 \\( a n=n a \\) 를 만족하는 \\( n^{\\prime \\prime} \\in N \\) 가 존재한다.", "따라서 \\[ N a^{\\prime} b^{\\prime}=N\\left(n a n^{\\prime} b\\right)=N\\left(n n^{\\prime \\prime} a b\\right)=N a b . \\]", "즉 연산 • 는 잘 정의되었다.", "다음은 연산 - 는 분명히 결합연산이다.", "그리고 모든 \\( N a \\) 에 대하여 \\( N a N=N a N e=N a e=N a \\) 이므로 \\( N=N e \\) 는 항등원이다.", "또 \\( N a N a^{-1} \\) \\( =N\\left(a a^{-1}\\right)=N e=N \\) 이므로 \\( N a^{-1} \\) 는 \\( N a \\) 의 역원, 즉 \\( N a^{-1}=(N a)^{-1} \\) 이다.", "따라서 \\( G / N=\\{N a \\mid a \\in G\\} \\) 은 \\( N \\) 을 항등원으로 갖는 군이다.", "<p>정의 군 \\( G \\) 의 정규 부분군 \\( N \\) 의 잉여류 전체의 집합 \\( G / N=\\{N a \\mid a \\in G\\} \\) 는 연산 \\( N a N b=N a b, a, b \\in G \\) 에 의하여 군을 이룬다.", "이러한 군을 \\( N \\) 에 관한 \\( G \\) 의 인자군(factor group 또는 잉여군) 또는 상군(quotient group)이라 한다.", "</p><p>덧셈군 \\( (G,+) \\) 의 정규부분군 \\( N \\) 의 잉여류 전체의 집합 \\( G / N= \\) \\( \\{N+a \\mid a \\in G\\} \\) 은 덧셈 군 \\( (G / N,+) \\) 을 이룬다.", "여기서 \\( (N+a)+(N+b)= \\) \\( N+(a+b), \\forall a, b \\in G \\) 이고 \\( N+a \\) 의 역원은 \\( N+(-a) \\) 이다.", "</p><p>정이면체군 \\( D_{4} \\) 의 상군은 \\( D_{4} /\\{e\\}, \\quad D_{4} / H_{1}, \\quad D_{4} / H_{2}, \\quad D_{4} / H_{3}, \\quad D_{4} / H_{4} \\), \\( D_{4} / D_{4} \\) 으로 여섯 개뿐이다.", "</p><p>보기 5 군 \\( (\\mathbb{Z},+) \\) 의 부분군 \\( n Z=\\{n a \\mid a \\in Z\\} \\) 에 대하여 상군 \\( \\mathbb{Z} / n \\mathbb{Z} \\) 이 \\( n \\) 에 관한 잉여류군 \\( \\mathbb{Z}_{n}=\\{\\overline{0}, \\overline{1}, \\ldots, \\overline{n-1}\\} \\) 이다.", "즉, \\[ \\overline{0}=0+n Z, \\overline{1}=1+n Z, \\quad \\cdots, \\overline{n-1}=(n-1)+n Z \\]</p> <p>덧셈군 \\( (G,+),(H,+) \\) 의 직적 \\( G \\times H \\) 를 \\( G \\) 와 \\( H \\) 의 외적 직합(external direct sum) 또는 직합이라 하고 \\( G \\oplus H \\) 로 나타낸다.", "이 경우, 정리 1 을 적용하면 다음과 같이 된다.", "</p><p>\\( K=G \\oplus\\{0\\}, J=\\{0\\} \\oplus H \\) 이고, \\( G \\oplus H=K+J, K \\cap J=(0,0) \\) 이 성립한다. \\", "( G \\oplus H \\) 의 영원은 \\( (0,0) \\) 이고, \\( (g, h) \\in G \\oplus H \\) 의 역원은 \\( -(g, h)=(-g,-h) \\) 이다.", "</p><p>보기 2 대칭군 \\( S_{3}=\\left\\{e, a, a^{2}, b, a b, a^{2} b\\right\\} \\) 잉여류군 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{2},+\\right)=\\{\\overline{0}, \\overline{1}\\} \\) 에서 \\( S_{3} \\times Z_{2} \\) \\( =\\left\\{(e, \\overline{0}), \\cdots\\left(a^{2} b, \\overline{0}\\right), \\cdots(e, \\overline{1}), \\cdots\\left(a^{2} b, \\overline{1}\\right)\\right\\} \\) 이다.", "</p><p>예를 들면 \\( (a, \\overline{0})(a b, \\overline{1})=(a, \\overline{0})(a b, \\overline{1})=(a(a b), \\overline{0}+\\overline{1})=\\left(a^{2} b, \\overline{1}\\right) \\) 이다.", "</p><p>보기3 \\( \\mathbb{R}^{2} \\) 과 \\( (\\mathbb{R},+) \\oplus(\\mathbb{R},+) \\) 는 동형이다.", "실제로 \\( (a, b)=(a, 0)+(0, b) \\) 이다.", "</p><p>보기4 \\(N=\\{(\\overline{0}, \\overline{0}),(\\overline{0}, \\overline{1})\\} \\) 는 \\( \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\) 의 정규부분군 \\( \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{2} / N \\cong \\mathbb{Z}_{4} \\) 이다.", "</p><p>보기 5 Klein 4 원군 \\( V=\\{e, a, b, c\\} \\) 와 잉여류군 \\( \\mathbb{Z}_{2} \\) 에서 \\( \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{2}=\\{(\\overline{0}, \\overline{0}),(\\overline{1}, \\overline{0}) \\), \\( (\\overline{0}, \\overline{1}),(\\overline{0}, \\overline{1})\\} \\) 이다. \\", "( f: V \\rightarrow \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\) 를 다음으로 정의한다. \\", "[ f(e)=(\\overline{0}, \\overline{0}), f(a)=(\\overline{1}, \\overline{0}), f(b)=(\\overline{0}, \\overline{1}), f(c)=(\\overline{1}, \\overline{1}) \\] 이 사상 \\( f \\) 는 동형이고, \\( \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\cong V \\) 이다.", "따라서 \\( \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\) 는 위수가 4 인 비순환군이다.", "</p><p>주어진 군 \\( G \\) 의 부분군 \\( H, K \\) 가 정리 1 을 만족하게 되는 경우를 생각하여 보자.", "</p><p>정의 군 \\( G \\) 의 정규부분군 \\( H, K \\) 가 \\( G \\cong H \\times K \\) 를 만족할 때 \\( G \\) 는 정규부분군 \\( H \\) 와 \\( K \\)의 내적 직적(internal direct product) 또는 일반적으로 직합(direct sum)이라 하고, \\( H \\oplus K \\) 로 나타낸다.", "</p><p>이때 \\( G \\) 는 부분군 \\( H, K \\) 의 직적으로 분해된다고 하고, \\( H, K \\) 를 \\( G \\) 의 직적인자 (direct factor)라고 한다.", "</p> <p>보기 6 \\( \\mathbb{R}^{+},\\{1,-1\\} \\) 은 \\( (\\mathbb{R}-\\{0\\}, \\cdot) \\) 의 정규부분군이다. \\", "( \\mathbb{R}^{+} \\cap\\{1,-1\\}=1 \\)\\( \\mathbb{R}-\\{0\\}=\\mathbb{R}^{+}\\{1,-1\\} \\) 이므로 \\( \\mathbb{R}-\\{0\\}=\\mathbb{R}^{+} \\times\\{1,-1\\} \\) 이다.", "</p><p>보기 7 유리수 군 \\( (\\mathbb{Q},+)=H \\oplus K \\) 인 군 \\( (\\mathbb{Q},+) \\) 의 부분군 \\( H, K \\) 는 \\( H=\\{0\\} \\) 또는 \\( K=\\{0\\} \\) 뿐이다.", "또 \\( (Z,+)=H \\oplus K \\) 인 부부군 \\( H, K \\) 는 \\( H=\\{0\\} \\) 또는 \\( K=\\{0\\} \\) 뿐이다.", "</p><p>실제로, 자명하지 않은 \\( (Q,+) \\) 의 부분군 \\( H, K \\) 에 대하여 \\( \\frac{a}{b} \\in H \\), \\( \\frac{c}{d} \\in K, a \\neq 0, c \\neq 0, b>0, d>0 \\) 인 정수 \\( a, b, c, d \\) 가 존재한다. \\", "( b\\left(\\frac{a}{b}\\right) \\) 는 \\( \\frac{a}{b} \\)를 유한 번 더하여 \\( a=b\\left(\\frac{a}{b}\\right) \\in H \\) 이고, \\( d\\left(\\frac{c}{d}\\right) \\) 는 \\( \\frac{c}{d} \\) 를 유한 번 더하여 \\( c=d\\left(\\frac{c}{d}\\right) \\in K \\) 이다. \\", "( a c \\) 는 \\( c \\) 를 \\( a \\) 번 더한 것 또는 \\( a \\) 를 \\( c \\) 번 더한 것으로 \\( a c \\in H, a c \\in K \\) 이고 \\( a c \\in H \\cap K, a c \\neq 0 \\) 이므로 \\( H \\cap K \\neq\\{0\\} \\) 이다.", "따라서 \\( H \\neq\\{0\\}, K \\neq\\{0\\} \\) 이고, \\( G=H \\times K \\) 인 부분군 \\( H, K \\) 는 존재하지 않는다.", "</p><p>마찬가지로 \\( (\\mathrm{Z},+) \\) 의 자명하지 않는 직합인자는 존재하지 않는다.", "</p><p>군의 직적(직합)의 개념을 유한개의 군 \\( G_{1}, \\cdots, G_{n} \\) 으로 확장하여 보자.", "</p><p>정의 군 \\( G_{1}, \\cdots, G_{n} \\) 의 데카르트 곱 \\( G=G_{1} \\times \\cdots \\times G_{n} \\) 위의 연산을 \\( \\left(a, \\cdots, a_{n}\\right) \\) \\( \\left(b, \\cdots, b_{n}\\right)=\\left(a_{1} b_{1}, \\cdots, a_{n} b_{n}\\right), \\quad a_{i,}, a_{i} \\in G_{i}, i=1, \\cdots, n \\) 으로 정의하면 \\( G \\) 는 이 이항연산에 의하여 군을 이룬다.", "이 군 \\( G \\) 를 \\( G_{1}, \\cdots, G_{n} \\) 의 (외적)직적이라 한다.", "</p><p>군 \\( G=G_{1} \\times \\cdots \\times G_{n}=\\prod_{i=1}^{n} G_{i} \\) 의 항등원 \\( e \\) 는 각 군 \\( G_{i} \\) 의 항등원 \\( e_{i} \\) 에 대하여 \\( e=\\left(e_{1}, \\cdots, e_{n}\\right) \\) 이다. \\", "( G \\) 의 임의의 원소 \\( a=\\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right) \\) 의 역원은 \\( a^{-1}=\\left(a_{1}^{-1}, \\cdots, a_{n}^{-1}\\right) \\) 이다.", "각 \\( i \\) 에 대하여 \\( f_{i}: G_{i} \\rightarrow G, f_{i}\\left(a_{i}\\right)=\\left(e_{1}, \\cdots, e_{i-1}\\right. \\)", ", \\( \\left.a_{i}, e_{i+1}, \\cdots, e_{n}\\right) \\) 은 일대일 군 준동형사상이다. \\", "( \\operatorname{Imf_{i}}=\\overline{G_{i}} \\) 라 놓으면 \\( \\overline{G_{i}} \\) 는 \\( G \\)의 부분군이고, 더욱이 \\( \\overline{G_{i}} \\cong G_{i}, \\overline{G_{i}} \\triangleleft G \\) 임을 알 수 있다.", "실제로 \\( \\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right) \\) \\( \\in G, f_{i}\\left(b_{i}\\right) \\in \\bar{G}_{i} \\) 에 대하여 \\[ \\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right)^{-1} f_{i}\\left(b_{i}\\right)\\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right)=f_{i}\\left(a_{i}^{-1} b_{i} a_{i}\\right) \\in \\overline{G_{i}} . \\]", "</p> <h3>따름정리 2.4.3</h3><p>\\( H, K \\) 가 가환군 \\( G \\) 의 부분군이면 \\( H K \\) 도 \\( G \\) 의 부분군이다.", "</p><p>보기 5 대칭군 \\( S_{3} \\) 의 부분군 \\( H=\\{1,(23)\\}, K=\\{1,(13)\\} \\) 에서 \\( H K \\neq K H \\) 이고 \\( H K, K H \\) 는 부분군이 아니다.", "</p><p>대칭군 \\( S_{3} \\) 의 부분군 \\( H=\\{1,(23)\\} \\) 의 좌 잉여류들 \\( H,(23) H,(13) H \\) 의 원소의 개수는 모두 2이다.", "우 잉여류들 \\( H, H(23), H(13) \\) 의 원소의 개수도 모두 2이다.", "</p><p>예를 들면, 집합 \\( H(13)=\\{(13),(133)\\}=(13) H \\) 과 \\((13) H=\\{(13) \\), \\( (123)\\}=H(12) \\) 의 원소의 개수가 같다.", "한편 \\( (12) H \\neq H(12),(23) H= \\) \\( H=H(23) \\) 이다.", "</p><h3>정리 2.4.4</h3><p>군 \\( G \\) 의 공집합이 아닌 부분집합 \\( H \\) 와 잉여류 \\( \\mathrm{Ha}( \\) 또는 \\( a H) \\) 사이에는 일대일 대응관계가 있다.", "</p><p>증명 사상 \\( f_{a}: H \\rightarrow H a, f_{a}(x)=a x, x \\in H \\) 가 전단사임을 보이자. \\", "( x a \\in H a \\) 이면 \\( f_{a}(x)=a x \\) 이므로 \\( f_{a} \\) 는 전사이다.", "만약 \\( f_{a}(x)=f_{a}(y) \\) 이면 \\( a x=a y \\) 이고, 소거의 법칙에 의하여 \\( x=y \\) 이다.", "그러므로 \\( f_{a} \\) 는 단사이다.", "따라서 \\( H \\) 와 잉여류 \\( H a \\) 는 일대일 대응이다.", "마찬가지로 \\( H \\) 와 잉여류 \\( a H \\) 도 일대일 대응이다.", "</p><p>일대일 대응관계에 있는 두 집합은 같은 개수(cardinality)를 갖는다고 한다.", "위의 정리 4 에 의하면 모든 우 잉여류, 좌 잉여류는 같은 개수를 갖는다.", "실제로 이들의 개수는 \\( H \\) 의 원소의 개수와 같다.", "</p><h3>따름정리 2.4.5</h3><p>\\( H \\) 가 유한군 \\( G \\) 의 부분군이면 다음이 성립한다. \\", "[ \|H\|=\|H a\|=\|a H\|, \\quad a \\in G . \\]", "</p><p>보기 6 정이면체군 \\( D_{4} \\) 의 부분군 \\( K=\\{1, \\tau\\} \\) 의 우 잉여류는 \\[ \\begin{array}{l} K 1=\\{1, \\tau\\}=K \\tau, \\\\ K \\sigma=\\{\\sigma, \\tau \\sigma\\}=\\left\\{\\sigma, \\sigma^{3} \\tau\\right\\}=K \\sigma^{3} \\tau, \\\\ K \\sigma^{2}=\\left\\{\\sigma^{2}, \\tau \\sigma^{2}\\right\\}=\\left\\{\\sigma^{2}, \\sigma^{2} \\tau\\right\\}=K \\sigma^{2} \\tau, \\\\ K \\sigma^{3}=\\left\\{\\sigma^{3}, \\tau \\sigma^{3}\\right\\}=\\left\\{\\sigma^{3}, \\sigma \\tau\\right\\}=K \\sigma \\tau \\end{array} \\] 이다.", "이들의 원소의 개수는 모두 2 이다.", "</p><p>주의 군 \\( G \\) 의 부분군 \\( H \\) 와 \\( a \\in G \\) 에 대하여, \\( b \\in H a \\) 이 되기 위한 필요충분조건은 \\( H a=H b \\) 이다.", "</p> <h2>연습문제 2.5</h2><p>1 군 \\( G \\) 의 원소 \\( a, b \\) 에 대하여 \\( [a, b]=a^{-1} b^{-1} a b \\) 라 할 때, 모든 \\( [a, b] \\) 로 생성된 부분군을 \\( G \\) 의 교환자군이라 하고, \\( [a, b] \\) 를 \\( a \\) 와 \\( b \\) 의 교환자라 한다.", "이때 다음에 답하여라.", "</p><p>(1) \\( [a, b] \\) 의 역원을 구하여라.", "</p><p>(2) \\( G^{\\prime}=\\langle[x, y] \\mid x, y \\in G\\rangle \\) 는 \\( G^{\\prime} \\) 의 정규부분군이다.", "</p><p>(3) \\( G \\) 가 가환군이기 위한 필요충분조건은 \\( G^{\\prime}=\\{e\\} \\) 이다.", "</p><p>2 군 \\( G \\) 의 부분군 \\( H \\) 가 정규부분군이기 위한 필요충분조건은 모든 \\( x, y \\in G \\) 에 대하여 \\( x H y H=x y H \\) 가 되는 것임을 보여라.", "</p><p>3 치환군 \\( S_{n} \\) 의 교환자 군을 구하여라.", "</p><p>4 군 \\( G \\) 의 부분군 \\( H \\) 와 정규부분군 \\( N \\) 에서 집합 \\( H N=\\{h n \\mid h \\in H, n \\in N\\} \\) 은 \\( G \\) 의 부분군임을 보여라.", "</p><p>5 군 \\( G \\) 의 부분집합 \\( S \\) 에서 집합 \\( C(S)=\\{a \\in G \\mid a s=s a, \\forall s \\in S\\} \\) 를 \\( G \\) 에서의 부분집합 \\( S \\) 의 중심화군이라 한다. \\", "( S \\) 가 가환부분군이면 \\( S \\) 는 \\( C(S) \\) 의 정규부분군임을 보여라.", "</p><p>6 군 \\( G \\) 의 부분집합 \\( S \\) 에서 \\( N(S)=\\{a \\in G \\mid a S=S a\\} \\) 를 \\( G \\) 에서의 \\( S \\) 의 정규화군이라 한다.", "다음이 성립함을 보여라.", "</p><p>(1) \\( S \\) 가 \\( G \\) 의 부분군이면 \\( S \\) 는 \\( N(S) \\) 의 정규부분군이다.", "</p><p>(2) \\( S \\) 가 \\( G \\) 의 정규부분군일 필요충분조건은 \\( N(S)=G \\) 가 되는 것이다.", "</p><p>7 군 \\( G \\) 의 정규부분군 \\( N \\) 의 위수가 2 이면 \\( N \\) 은 \\( G \\) 의 중심의 부분집합임을 보여라.", "</p><p>\\( 8 \\quad S_{n} \\) 에 속한 모든 치환은 서로소인 몇 개의 순환치환의 곱으로 표시된다.", "</p><p>9 교대군 \\( A_{n}(n \\geq 5) \\) 의 정규부분군 \\( N \\) 이 길이가 3 인 순환 군을 포함하고 있으면 \\( N=A_{n} \\) 이다.", "</p><p>10 교대군 \\( A_{n} \\) 이 치환군 \\( S_{n} \\) 의 단순부분군이기 위한 필요충분조건은 \\( n \\neq 4 \\) 가 되는 것이다.", "</p><p>\\( 11 \\sigma \\in S_{n} \\) 가 우 치환이면 \\( \\sigma^{-1} \\) 도 우 치환임을 밝혀라.", "</p><p>12 군 \\( G \\) 의 부분군 \\( N \\) 에서 다음은 서로 동치라는 사실을 밝혀라.", "</p><p>(1) \\( N \\) 이 \\( G \\) 의 정규부분군이다.", "</p><p>(2) 모든 \\( a \\in G \\) 에 대하여 \\( a^{-1} N a=N \\) 즉 모든 \\( a \\in G, x \\in N \\) 에 대하여 \\( a^{-1} x a \\in N \\).", "</p><p>13 대칭 군 \\( S_{n}(n \\geq 2) \\) 에서 모든 우 치환의 모임 \\( A_{n} \\) 은 \\( S_{n} \\) 의 부분군이 되며, 지수가 2임을 보여라.", "</p> <h3>정리 2.3.2</h3><p>군 \\( G \\) 의 유한집합 \\( H \\) 가 부분군일 필요충분조건은 모든 \\( a, b \\in H \\) 에 대하여 \\( a b \\in H \\) 가 되는 것이다.", "</p><p>증명 \\( H \\) 가 \\( G \\) 의 부분군이면 모든 \\( a, b \\in H \\) 에 대하여 \\( a b \\in H \\) 가 되는 것은 분명하다. 역으로 모든 \\( a, b \\in H \\) 에 대하여 \\( a b \\in H \\) 라 하자. 그러면, 임의의 \\( a \\in H \\) 에 대하여 \\( a^{2}, a^{3}, a^{4}, \\cdots \\) 는 \\( H \\) 의 원소이다. \\( H \\) 가 유한집합이므로 \\( a^{n}=e \\) 가 되는 양의 정수 \\( n \\) 이 존재한다. \\( n=1 \\) 인 경우, \\( a=e \\) 이고, \\( n>", "1 \\) 인 경우, \\( a^{-1}= \\) \\( a^{n-1} \\) 이다.", "따라서 정리 2.3.1의 (2)에 의하여 \\( H<G \\) 이다.", "</p><h3>정리 2.3.3</h3><p>군 \\( G \\) 의 부분군들의 모임인 집합족 \\( \\left\\{H_{i} \\mid i \\in \\Lambda\\right\\} \\) 에 대하여 교집합 \\( \\cap H_{i} \\)는 군 \\( G \\) 의 부분군이다.", "</p><p>증명 \\( \\quad G \\) 의 항등원 \\( e \\) 는 모든 \\( H_{i} \\) 의 원소이므로 \\( \\cap H_{i} \\neq \\varnothing \\) 이다. \\", "( a, b \\in \\cap H_{i} \\) 이면 모든 \\( i \\) 에 대하여 \\( a, b \\in H_{i} \\) 이다.", "각 \\( i \\) 에 대하여 \\( H_{i} \\) 가 군 \\( G \\) 의 부분군이므로 정리 2.3.1의 (3)에 의하여 \\( a b^{-1} \\in H_{i} \\) 이다.", "모든 \\( i \\) 에 대하여 \\( a b^{-1} \\in H_{i} \\) 이므로 \\( a b^{-1} \\in \\cap H_{i} \\) 이다.", "따라서 다시 정리 \\( 2.3 .1 \\) 의 (3)에 의하여 \\( \\cap H_{i} \\) 는 군 \\( G \\) 의 부분군이다.", "</p><p>보기 6 정이면체군 \\( D_{4} \\) 에서 \\( H_{1}=\\left\\{1, \\sigma, \\sigma^{2}, \\sigma^{3}\\right\\}, H_{2}=\\left\\{1, \\sigma^{2}, \\tau, \\sigma^{2} \\tau\\right\\} \\) 는 \\( D_{4} \\) 의 부분군이다.", "여기서 \\( \\sigma \\) 는 \\( \\frac{\\pi}{2} \\) 만큼 반시계방향으로 회전이고, \\( \\tau \\) 는 \\( (1,3) \\) 축에 대한 반사이다.", "</p><p>더욱이, \\( H_{1} \\cap H_{2}=\\left\\{1, \\sigma^{2}\\right\\} \\) 는 \\( D_{4} \\) 의 부분군이다.", "</p> <p>보기 2 정이면체군 \\( D_{3}=\\left\\{1, \\sigma, \\sigma^{2}, \\tau, \\sigma \\tau, \\sigma^{2} \\tau\\right\\} \\) 의 부분군 \\( \\{1\\}, A_{3}=\\left\\{1, \\sigma, \\sigma^{2}\\right\\} \\), \\( D_{3} \\) 은 정규부분군이다.", "그러나 \\[ K_{1}=\\{1, \\tau\\}, K_{2}=\\{1, \\sigma \\tau\\}, K_{3}=\\left\\{1, \\sigma^{2} \\tau\\right\\} \\] 은 정규부분군이 아니다.", "실제로 \\[ \\sigma^{-1} K_{1} \\sigma=\\{1, \\sigma \\tau\\}=K_{2}, \\quad \\sigma^{-1} A_{3} \\sigma=\\left\\{1, \\sigma, \\sigma^{2}\\right\\}=A_{3} \\] 이다.", "</p><p>가환군 \\( G \\) 의 임의의 부분군 \\( H \\) 에서는 \\( a^{-1} h a=h \\) 가 항상 성립하므로 \\( H \\) 는 정규부분군이다.", "덧셈군 \\( (G,+) \\) 는 항상 가환이므로 \\( G \\) 의 모든 부분군은 정규부분군이다.", "</p><h3>정리 2.5.2</h3><p>군 \\( G \\) 의 부분군 \\( H \\) 의 지수가 2이면 \\( H \\) 는 정규부분군이다.", "</p><p>임의의 \\( a \\in G \\) 에 대하여 \\( a \\in H \\) 또는 \\( a \\in G-H \\) 이다.", "(i) \\( a \\in H \\) 이면 \\( a H=H=H a \\) 이다.", "(ii) \\( a \\notin H \\) 이면 \\( H \\neq H a \\) 이므로 \\( H \\cap H a=\\varnothing \\) 이다.", "따라서 \\( H a=G-H=a H \\) 임을 알 수 있다.", "그러므로 \\( H \\triangleleft G \\).", "</p><h3>정리 2.5.3</h3><p>군 \\( G \\) 의 중심 \\( Z(G)=\\{a \\in G \\mid a x=x a, \\forall x \\in G\\} \\) 는 \\( G \\) 의 정규부분군이다.", "</p><p>증명 \\( Z(G) \\) 의 원소는 모든 \\( G \\) 의 원소와 가환이므로 \\( G \\) 의 정규부분군이다.", "또 \\( Z(G) \\) 는 가환군이므로 이 군의 모든 부분군은 정규부분군이다.", "</p><p>보기 3 원수군 \\( Q=\\{\\pm 1, \\pm i, \\pm j, \\pm k\\}\\} \\) 는 비가환군이나 모든 부분군은 정규부분군이다.", "또 \\( Z(Q)=\\{1,-1\\} \\) 도 정규부분군이다.", "</p><p>보기 4 정이면체 \\( D_{4}=\\left\\{1, \\sigma, \\sigma^{2}, \\sigma^{3}, \\tau, \\sigma \\tau, \\sigma^{2} \\tau, \\sigma^{3} \\tau\\right\\} \\) 의 중심은 \\( \\mathrm{Z}\\left(D_{4}\\right)=H_{1}= \\) \\( \\left\\{1, \\sigma^{2}\\right\\} \\) 이다.", "지수가 2 인 부분군은 세 개다. \\", "[ \\begin{array}{l} H_{2}=\\left\\{1, \\sigma, \\sigma^{2}, \\sigma^{3}\\right\\}=<\\sigma>=<\\sigma^{3}>\\\\ H_{3}=\\left\\{1, \\tau, \\sigma^{2}, \\sigma^{2} \\tau\\right\\}=<\\tau>=<\\sigma^{2} \\tau>\\\\ H_{4}=\\left\\{1, \\sigma, \\sigma^{2}, \\sigma^{3} \\tau\\right\\}=<\\sigma \\tau>=<\\sigma^{3} \\tau>\\end{array} \\] 따라서 \\( D_{4} \\) 의 정규부분군은 \\( \\{1\\}, H_{1}, H_{2}, H_{3}, H_{4}, D_{4} \\) 로 여섯 개가 있다. \\", "( D_{4} \\) 의 정규부분군의 격자는 다음과 같다.", "</p> <h3>정리 2.6.16</h3><p>전사 준동형사상 \\( f: G \\rightarrow G^{\\prime} \\) 에 대하여 \\( S(G)=\\{H \\mid H<G, K e r f \\subseteq H\\} \\)과 \\( S\\left(G^{\\prime}\\right)=\\left\\{H^{\\prime} \\mid H^{\\prime} \\prec G^{\\prime}\\right\\} \\) 는 일대일 대응관계에 있다.", "즉, \\( H \\mapsto f(H) \\), \\( H^{\\prime} \\mapsto f^{-1}\\left(H^{\\prime}\\right) \\)</p><p>정규부분군 \\( H \\triangleleft G \\) 와 \\( H^{\\prime} \\triangleleft G^{\\prime} \\) 에 대해서도 역시 일대일 대응 관계가 성립된다.", "</p><p>증명 만약 \\( H^{\\prime} \\triangleleft G^{\\prime} \\) 이면, \\( x \\in G, a \\in f^{-1}\\left(H^{\\prime}\\right) \\) 에 대하여 \\( f(x) \\in f(G), f(a) \\in H^{\\prime} \\) 이고 \\( H^{\\prime} \\triangleleft G^{\\prime}=f(G) \\) 이므로 \\[ f\\left(x^{-1} a x\\right)=f(x)^{-1} f(a) f(x) \\in H^{\\prime} \\text {, 즉 } x^{-1} a x \\in f^{-1}\\left(H^{\\prime}\\right) . \\]", "그러므로 \\( f^{-1}\\left(H^{\\prime}\\right) \\) 는 \\( G \\) 의 정규부분군이다.", "</p><p>다음은 정리 3 에 의하여 \\( H \\) 가 \\( G \\) 의 정규부분군이라고 하면 \\( f(H) \\) 는 \\( f(G)=G^{\\prime} \\) 의 정규부분군이다.", "</p><p>끝으로 정리 15 에 의해서 \\( H \\supseteq \\operatorname{Kerf}=: K \\) 이면 \\( f^{-1}(f(H))=H \\), \\( f\\left(f^{-1}\\left(H^{\\prime}\\right)\\right)=H^{\\prime} \\) 이다.", "이는 대응 \\[ H \\mapsto f(H), \\quad H^{\\prime} \\mapsto f^{-1}\\left(H^{\\prime}\\right) \\] 가 일대일임을 의미한다.", "</p><h3>따름정리 2.6.17</h3><p>\\( N \\) 이 군 \\( G \\) 의 정규부분군이면 \\( G / N \\) 의 부분군은 \\( N \\) 을 포함하는 \\( G \\) 의 부분군 \\( H \\) 가 존재하여 \\( H / N \\) 의 꼴로 표시된다.", "또 \\( G / N \\) 의 정규부분군은 \\( K / N \\), \\( N \\subseteq K \\triangleleft G \\) 의 형태이다.", "</p><p>증명 자연 전사 준동형사상 \\( \\pi: G \\rightarrow G / N \\) 에서 \\( G / N \\) 의 부분군 \\( L \\) 에 대하여 정리 15 (2)를 적용하면 \\( \\pi^{-1}(L)=H \\) 이고 \\( \\pi(H)=\\pi\\left(\\pi^{-1}(L)\\right)=L \\) 이다.", "한편 \\( \\pi(H)=H / N \\)이므로 \\( L=H / N \\), 여기서 \\( N \\subseteq H \\subseteq G \\) 이다.", "</p><p>다음은 \\( M \\) 이 \\( G / N \\) 의 정규부분군이면 \\( \\pi^{-1}(M)=K \\triangleleft G \\) 이고 \\( M=K / N \\), 여기서 \\( N \\subseteq K \\triangleleft G \\) 이다.", "</p> <p>보기 4 대칭군 \\( S_{4}=\\{1,(12),(13),(14),(23),(24),(34) \\) \\( (123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243),(12) \\) (34), (1 2)(24), (14)(23), (1234), (1324), (1342), (1423), (1432)\\}의 위수 \\( \\left\|S_{4}\\right\|=2^{3} \\cdot 3 \\) 이고, 2\|\|\\( S_{4}\|\| 3\|\|,\\left\|S_{4}\\right\| \\).", "공액류를 구하면 다음과 같다.", "</p><p>\\[ \\begin{array}{l} \\zeta_{1}=\\{1\\} \\\\ \\zeta_{2}=\\{(12),(13),(14),(23),(24),(34)\\} \\\\ \\zeta_{3}=\\{(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)\\} \\\\ \\zeta_{4}=\\{(12)(34),(13)(24),(14)(23)\\} \\\\ \\zeta_{5}=\\{(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)\\} \\end{array} \\]</p><h3>정리 2.8.8</h3><p>\\( N \\)이 군 \\( G \\) 의 정규부분군이기 위한 필요충분조건은 \\( N \\) 이 \\( G \\) 의 몇 개의 공액류들의 합으로 표시되는 것이다.", "</p><p>증명 \\( a \\in G, n \\in N \\) 에 대하여 \\( a^{-1} n a \\in N \\) 이므로 \\( \\cup\\{\\zeta(n) \\mid n \\in N\\} \\subseteq N \\).", "또 \\( n \\in \\zeta(n) \\) 이므로 \\( N \\subseteq \\cup\\{\\zeta(n) \\mid n \\in N\\} \\).", "그러므로 \\( N=\\cup\\{\\zeta(n) \\mid n \\in N\\} \\).", "</p><p>역으로 \\( N=\\cup\\{\\zeta(n) \\mid n \\in N\\} \\) 이면 \\( \\zeta(n)=\\left\\{a^{-1} n a \\mid a \\in G\\right\\} \\subseteq N \\) 이므로 모든 \\( a^{-1} n a \\in N \\).", "따라서 \\( a^{-1} N a=N \\) 이 되어 \\( N<G \\).", "</p><p>유한군 \\( G \\) 의 정규부분군을 공액류로 찾아보자. \\", "( G \\) 의 공액류 몇 개의 합집합을 만들었을 때 \\( G \\) 의 부분군이면 이 집합은 정규부분군이다.", "부분군의 위수와 부분군을 이루는 공액류의 원소의 개수를 결부시켜서 유한군의 정규부분을 얻을 수 있다.", "</p><p>보기 5 대칭군 \\( S_{4} \\) 의 공액류 \\( \\zeta_{1}, \\zeta_{4} \\) 의 합집합 \\[ \\zeta_{1} \\cup \\zeta_{4}=\\{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\\}=K_{4} \\] 는 \\( S_{4} \\) 의 부분군이고 또한 정규부분군이다. \\", "( S_{4} \\) 의 정규부분군은 \\( \\{1\\} \\) 과 나머지 몇 개의 공액류의 합집합으로 부분군이 되어야 한다.", "</p><p>\\( S_{4}=24 \\) 이므로 이 부분군의 위수는 24 의 약수인 \\( 1,2,3,4,6,8,12,24 \\) 이다.", "공액류의 원소는 각각 \\( 1,6,8,3,6 \\) 개이므로 부분군이 될 수 있는 경우는 \\(1, 1+3,1+8+3,24 \\) 뿐이다.", "그러므로 정규부분군은 \\( \\{1\\},\\{1,(12)(34) \\),\\(( (13)(24),(14)(23)\\}=K_{4}, A_{4}, S_{4} \\) 뿐이다.", "이들의 위수는 각각 \\( 1,4,12,24 \\) 이다.", "<p>4차원의 교대군 \\( A_{4} \\) 는 \\( S_{4} \\) 의 단순부분군이 아니다. \\", "( A_{4} \\) 의 공액류 \\( \\zeta_{1}=\\{1\\} \\), \\( \\zeta_{2}=\\{(123),(134),(142),(243)\\}, \\zeta_{3}=\\{(132),(143),(124),(234)\\} \\), \\( \\zeta_{4}=\\{(12)(34),(13)(24),(14)(23)\\} \\) 의 위수는 각각 \\( 1,4,4,3 \\) 이다.", "</p><p>\\( A_{4} \\) 의 부분군의 위수는 12 의 약수로 \\( 1,2,3,4,6,12 \\) 이다.", "그런데 1,4 ,4,3 으로 만들 수 있는 수는 \\( 1,4,5,7,8,11 \\) 이다. \\", "( \\zeta_{1} \\cup \\zeta_{4}= \\) \\( =\\{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\\} \\) 은 부분군으로 \\( A_{4} \\) 의 정규부분군이다.", "</p> <h3>정리 2.2.2</h3><p>군 \\( G \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "<p>(1) 항등원 \\( e \\) 는 하나뿐이다.", "</p><p>(2) 임의의 \\( a \\in G \\) 의 역원 \\( a^{-1} \\) 는 하나뿐이다.", "</p><p>(3) 좌우 소거법칙이 성립한다.", "즉, \\[ a b=a c \\Rightarrow b=c \\text { 이고 } b a=c a \\Rightarrow b=c \\]</p><p>(4) 임의의 \\( a, b \\in G \\) 에 관한 방정식 \\( a x=b \\) 와 \\( y a=b \\) 는 유일한 해 \\( x=a^{-1} b \\) 와 \\( y=b a^{-1} \\) 를 갖는다.", "</p><p>(5) 임의의 \\( a, b \\in G \\) 에 대하여 \\[ \\left(a^{-1}\\right)^{-1}=a, \\quad(a b)^{-1}=b^{-1} a^{-1} \\] 이다.", "</p><p>증명 (1) 두 원소 \\( e, f \\) 를 \\( G \\) 의 항등원이라 하자.", "그러면, 임의의 \\( a \\in G \\) 에 대하여</p><p>\\[ a e=e a=a \\text { 과 } a f=f a=a \\] 이 성립한다.", "여기서, \\( a=f \\) 일 경우, \\( f e=e f=f \\) 이 성립하고, 또 \\( a=e \\) 일 경우, \\( e f=f e=e \\) 이 성립한다.", "따라서 \\[ f=e f=e \\] 이다.", "</p><p>(2) \\( a \\in G \\) 의 또 다른 역원을 \\( b \\) 라 하자.", "그러면, \\( a b=b a=e \\) 이므로, \\[ b=b e=b\\left(a a^{-1}\\right)=(b a) a^{-1}=(e) a^{-1}=a^{-1} \\] 이다.", "즉, \\( a \\) 의 역원은 \\( a^{-1} \\) 로 유일하다.", "</p><p>(3) \\( a b=a c \\) 라 하자.", "이 식의 양변에 \\( a^{-1} \\) 를 곱하면 \\[ \\begin{array}{l} a^{-1}(a b)=\\left(a^{-1} a\\right) b=e b=b \\\\ a^{-1}(a c)=\\left(a^{-1} a\\right) c=e c=c \\end{array} \\] 이다.", "따라서 \\( b=a^{-1}(a b)=a^{-1}(a c)=c \\) 이다.", "마찬가지로 \\( b a=c a \\) 라 하면, \\[ b=b e=b\\left(a a^{-1}\\right)=(b a) a^{-1}=(c a) a^{-1}=c\\left(a a^{-1}\\right)=c e=c \\] 이다.", "</p><p>(4) 일단, \\( a\\left(a^{-1} b\\right)=\\left(a a^{-1}\\right) b=e b=b \\) 이므로, \\( a^{-1} b \\) 는 \\( a x=b \\) 의 해이다.", "이 해의 유일성은 위 (3)에 의하여 성립한다.", "마찬가지 방법으로 \\( b a^{-1} \\) 또한 \\( y a=b \\) 의 유일한 해이다.", "</p><p>(5) \\( a \\in G \\) 의 역원은 \\( a^{-1} \\) 이고, \\( a^{-1} \\) 의 역원은 \\( \\left(a^{-1}\\right)^{-1} \\) 이다.", "그러므로 \\[ a a^{-1}=a^{-1} a=e \\] \\[ \\left(a^{-1}\\right)\\left(a^{-1}\\right)^{-1}=\\left(a^{-1}\\right)^{-1} a^{-1}=e \\] 이 된다.", "고로, \\( a^{-1} \\) 의 역원은 \\( a \\) 와 \\( \\left(a^{-1}\\right)^{-1} \\) 이고, 이들은 유일성에 의하여 \\( a=\\left(a^{-1}\\right)^{-1} \\) 이 된다.", "마찬가지 방법으로 \\[ (a b)\\left(b^{-1} a^{-1}\\right)=a\\left(b b^{-1}\\right) a^{-1}=a\\left(e a^{-1}\\right)=a a^{-1}=e \\] 이므로, \\( a b \\) 의 유일한 역원은 \\( (a b)^{-1}=b^{-1} a^{-1} \\) 이다.", "</p> <p>예제 3 소수 \\( p \\) 에 관한 잉여류군 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{p},+\\right) \\) 는 진부분군을 갖지 않는다.", "이를 밝혀라.", "</p><p>부분집합들을 포함관계 \\( \\subset \\) 로서 가장 큰 것은 가장 위에 놓고 가장 작은 것을 가장 밑에 놓고 나머지 부분군을 그 사이에 배열한 그림을 부분군의 격자 (subgroup lattice)라 한다.", "</p><p>보기 \\( 4\\left(\\mathbb{Z}_{4},+\\right) \\) 의 부분군은 \\( \\{\\overline{0}\\},\\{\\overline{0}, \\overline{2}\\} \\) 뿐이다.", "이 군의 부분군의 격자는 그림과 같다.", "</p><p>보기 5 대칭군 \\( S_{3}=\\left\\{\\begin{array}{lll}1,\\left(\\begin{array}{llll}1 & 2 & 3\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{lll}1 & 3 & 2\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{lll}2 & 3\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{ll}1 & 3\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{ll}1 & 2\\end{array}\\right)\\end{array}\\right\\} \\) 의 우 치환 전체의 집합인 교대군은 \\( A_{3}=\\left\\{1,\\left(\\begin{array}{lllll}1 & 2 & 3\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{lll}1 & 3 & 2\\end{array}\\right)\\right\\} \\) 이다.", "다른 부분군 \\( \\left\\{\\begin{array}{ll}1\\end{array}\\right\\} \\), \\( \\left\\{1,\\left(\\begin{array}{ll}1 & 2\\end{array}\\right)\\right\\},\\left\\{1,\\left(\\begin{array}{ll}1 & 3\\end{array}\\right)\\right\\},\\left\\{1,\\left(\\begin{array}{ll}2 & 3\\end{array}\\right)\\right\\} \\) 을 각각 \\( H_{0}, H_{1}, H_{2}, H_{3} \\) 라 하면 \\( S_{3} \\) 의 부분군의 격자는 다음과 같다.", "</p><p>주의 \\( H \\) 가 군 \\( G \\) 의 부분군이면 \\( H \\) 는 \\( G \\) 의 부분집합이므로 \\( H \\) 에서 결합법칙은 자동적으로 성립한다.", "</p><h3>정리 2.2.3</h3><p>부분군 Criterion \\( H \\) 가 군 \\( G \\) 의 공집합이 아닌 부분집합일 때, 다음 사실은 서로 동치조건이다.", "</p><p>(1) \\( H<G \\).", "</p><p>(2) (i) \\( a, b \\in H \\Rightarrow a b \\in H \\) (ii) \\( a \\in H \\Rightarrow a^{-1} \\in H \\).", "</p><p>(3) \\( a, b \\in H \\Rightarrow a b^{-1} \\in H \\).", "</p><p>증명 부분군의 정의와 조건 (2)의 \\( (i),(i i) \\) 에 의하여 \\( (1) \\Rightarrow(2) \\Rightarrow(3) \\) 는 명백하다. \\", "( (3) \\Rightarrow(1) \\) 주어진 조건 (3)을 가정할 때, 임의의 \\( a \\in H \\) 에 대하여 \\( e=a a^{-1} \\in H \\)이다.", "다음으로, 임의의 \\( a \\in H \\) 에 대하여, \\( e \\in H \\) 이므로 \\( a^{-1}=e a^{-1} \\in H \\).", "또, \\( a, b \\in H \\) 이면 \\( b^{-1} \\in H \\) 이므로 \\( a b=a\\left(b^{-1}\\right)^{-1} \\in H \\).", "따라서 \\( H<G \\) 이다.", "</p> <h3>정리 2.7.3</h3><p>군 \\( G \\) 가 \\( G=H K \\) 인 정규부분군 \\( H, K \\) 의 직적이기 위한 필요충분조건은 다음의 각각이 성립하는 것이다.", "</p><p>(1) 임의의 \\( g \\in G \\) 에 대하여 \\( g=a b \\) 인 \\( a \\in H, b \\in K \\) 가 오직 한 쌍만 존재한다.", "</p><p>(2) \\( a b=e, a \\in H, b \\in K \\) 이면 \\( a=e, b=e \\) 이다.", "</p><p>증명 (1) \\( G=H K, \\quad H \\cap K=\\{e\\}, g \\in G \\) 이면 \\( g=a b \\) 인 \\( a \\in H, b \\in K \\) 가 존재한다. \\", "( g=a b=a^{\\prime} b^{\\prime}, \\quad a^{\\prime} \\in H, b^{\\prime} \\in K \\) 이면 \\( \\quad a^{-1} a^{\\prime}=b b^{\\prime-1} \\in H \\cap K=\\{e\\} \\) 이므로 \\( a^{-1} a^{\\prime}=b b^{\\prime-1}=e \\) 로부터 \\( a^{\\prime}=a, b^{\\prime}=b \\).", "따라서 \\( g=a b \\) 인 \\( a, b \\) 는 오직 한 쌍뿐이다.", "</p><p>역으로 \\( g \\in H \\cap K \\) 라 하면 \\( g \\in H, g^{-1} \\in K, e=g g^{-1} \\).", "그런데 \\( e e^{-1}=e \\)이므로 가정에 의하여 \\( g=e \\cdot G=H K \\) 이고 \\( H \\cap K=\\{e\\} \\) 이므로 \\( G \\) 는 \\( H, K \\) 의 직적이다.", "</p><p>(2) (1)에서 \\( a b=e, e e=e \\) 이므로 \\( a=b=e \\).", "역으로 \\( g \\in H \\cap K \\) 이면 \\( e=g g^{-1} \\)이므로 \\( g=e \\).", "그러므로 \\( H \\cap K=\\{e\\} \\) 이다.", "</p><p>덧셈군 \\( H, K \\) 의 직적을 \\( H \\oplus K \\) 로 나타낸다. \\", "( G=H+K, \\quad H \\cap K=\\{0\\} \\) 이면 \\( G=H \\oplus K \\) 이다. \\", "( H, K \\) 를 군 \\( G \\) 의 직합인자(direct summand), \\( G \\) 를 \\( H, K \\) 의 직합(direct sum)이라 한다.", "정리 3 에 의하여 임의 \\( g \\in G \\) 는 \\( a \\in H, b \\in K \\) 의 합 \\( g=a+b \\) 로 표시되고, 이러한 \\( (a, b) \\) 는 오직 한 쌍만이 존재할 필요충분조건이 \\( G=H \\oplus K \\) 이다.", "</p> <p>보기 2 합 \\( S=\\mathbb{R}^{} \\times \\mathbb{R}^{}, \\mathbb{R}^{}=\\mathbb{R}-\\{0\\} \\) 위의 이항연산이 다음과 같다고 하자. \\", "[ (a, b) (c, d)=(a c, b d) \\] 그러면 \\( (1,1) \\) 은 \\( (S, ) \\) 의 항등원이다.", "한편, 임의의 \\( (a, b) \\in S \\) 에 대하여 \\[ (a, b) \\left(\\frac{1}{a}, \\frac{1}{b}\\right)=\\left(a \\frac{1}{a}, b \\frac{1}{b}\\right)=(1,1) \\] 그러므로 \\( (a, b) \\) 의 역원은 \\( \\left(\\frac{1}{a}, \\frac{1}{b}\\right) \\) 이다.", "따라서 \\( (S, ) \\) 는 아벨군을 이룬다.", "</p><p>보기 3 전체집합 \\( X \\) 의 멱집합 \\( P(X) \\) 와 집합연산 \\( \\cap, \\cup \\) 에 대하여 \\( (P(X), \\cap) \\), \\( (P(X), \\cup) \\) 를 생각하여 보자.", "임의의 \\( A \\in P(X) \\) 에 대하여 \\[ \\begin{array}{c} A \\cup \\varnothing=\\varnothing \\cup A=A \\\\ A \\cap X=X \\cap A=A \\end{array} \\] 이다.", "그러므로 \\( \\cup \\) 에 관한 항등원은 \\( \\varnothing, \\cap \\) 에 관한 항등원은 \\( A \\) 이다. \\", "( A \\neq \\varnothing \\) 이면 \\( A \\cup X=\\varnothing \\) 이 되는 \\( A \\subseteq X \\) 는 존재하지 않는다. \\", "( A \\cap B=X \\) 가 되는 \\( A, B \\) 는 전체집합 \\( X \\) 뿐이다.", "따라서 \\( (P(X), \\cup),(P(X), \\cap) \\) 는 항등원을 갖는 반군이나 군은 아니다.", "</p><p>공집합이 아닌 집합 \\( G \\) 가 덧셈연산 \\( + \\) 에 대하여 군을 이룰 때 이를 덧셈군 (additive group)이라 하고, 쌍 \\( (G,+) \\) 으로 표시한다.", "이때 항등원을 0 으로 나타내고 영원(zero element)이라 부른다.", "각 원소 \\( a \\in G \\) 의 역원을 \\( -a \\) 로 나타내고 \\( a \\) 의 음원(negative element)이라 한다.", "모든 덧셈군 \\( (G,+) \\) 는 항상 가환군 즉, 아벨군인 것으로 약속한다.", "</p><p>보기 4 집합 \\( \\mathbb{Z}, \\mathbb{Q}, \\mathbb{R}, \\mathbb{C} \\) 는 모두 덧셈연산 \\( + \\) 에 관하여 아벨군을 이룬다.", "이들의 영원은 0 이고 원소 \\( a \\) 의 음원은 \\( -a \\) 이다.", "</p><p>보기 5 다음 집합 \\( \\mathbb{Q}^{+}, \\mathbb{R}^{+}, \\mathbb{Q}^{}=\\mathbb{Q}-\\{0\\}, \\mathbb{R}^{}=\\mathbb{R}-\\{0\\}, \\mathbb{C}^{}=\\mathbb{C}-\\{0\\} \\) 은 모두 곱셈연산에 관한 가환군이다.", "이들의 항등원은 1 이며, \\( a \\) 의 역원은 \\( a^{-1} \\) 이다.", "</p> <h2>2.3 부분군, 순환군</h2><p>이 절에서는 군 \\( G \\) 의 부분군의 성질 및 군 \\( G \\) 의 한 원소에 의해서 생성된 순환군에 대하여 학습함을 수업목표로 한다.", "</p><p>정의 군 \\( (G, \\bullet) \\) 의 공집합이 아닌 부분집합 \\( H \\) 가 있어서 \\( (H, \\bullet) \\) 가 또 하나의 군을 이룰 때 \\( (H, \\bullet) \\) 를 \\( (G, \\bullet) \\) 의 부분군(subgroup)이라 한다.", "이를 간단히 \\( H \\) 는 \\( G \\) 의 부분군이라 하고, 이의 표시를 \\( H<G \\) 또는 \\( (H, \\bullet)<(G \\), • \\( ) \\) 로 나타낸다.", "</p><p>특히, 대칭군의 부분군을 치환군(permutation group)이라 한다.", "</p><p>\\( H \\) 가 \\( G \\) 의 부분군이면 집합 \\( H \\) 가 연산 - 에 의하여 군을 이루므로, 임의의 \\( a, b \\in H \\) 에 대하여, \\( a b \\in H \\) 이고 (i) \\( (a b) c=a(b c), \\forall a, b, c \\in H \\) (ii) \\( \\exists e^{\\prime} \\in H, a e^{\\prime}=a=e^{\\prime} a, \\forall a \\in H \\), (iii) 임의의 \\( a \\in H \\) 에 대하여 \\( a a^{-1}=a^{-1} \\) \\( a=e^{\\prime} \\) 가 되는 \\( a^{-1} \\in H \\) 가 존재한다.", "</p><p>한편, \\( (i i) \\) 에서 \\( e^{\\prime} e^{\\prime}=e^{\\prime} \\) 이므로, 양변에 \\( \\left(e^{\\prime}\\right)^{-1} \\) 를 곱하면 \\( e=e^{\\prime} \\) 가 되고, \\( e \\in H \\) 이다.", "</p><p>보기 1 잉여류군 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{6},+\\right) \\) 의 부분집합 \\( H=\\{\\overline{0}, \\overline{2}, \\overline{4}\\} \\) 는 덧셈에 관한 부분군이다.", "실제로 \\( \\overline{0}+\\overline{2}=\\overline{2}, \\overline{0}+\\overline{4}=\\overline{4}, \\overline{2}+\\overline{4}=\\overline{0} \\) 이므로 \\( H \\) 는 \\( + \\) 에 관하여 닫혀있다.", "여기서, \\( \\overline{0} \\) 는 \\( H \\) 의 영원이고, \\( -\\overline{0}=\\overline{0},-\\overline{2}=\\overline{4},-\\overline{4}=\\overline{2} \\) 이다.", "</p><p>보기 \\( 2\\left(\\mathbb{Z}_{4},+\\right) \\) 의 부분집합 \\( \\{\\overline{0}, \\overline{2}\\},\\{\\overline{0}\\} \\) 는 \\( \\{\\overline{0}\\}<\\{\\overline{0}, \\overline{2}\\}<\\mathbb{Z}_{4} \\) 인 관계가 되는 부분군들이다.", "</p><p>군 \\( G \\) 는 그 자신의 부분군이고 항등원 하나만으로 된 집합 \\( \\{e\\} \\) 도 \\( G \\) 의 부분군이다.", "이때 군 \\( \\{e\\} \\) 를 \\( G \\) 의 자명한 부분군(trivial subgroup)이라 한다. \\", "( H \\neq G, H \\neq\\{e\\} \\) 인 부분군 \\( H \\) 를 \\( G \\) 의 진부분군(proper subgroup)이라 한다.", "</p> <p>보기 1 실수의 집합 \\( \\mathbb{R} \\) 을 생각하자.", "그리고 \\( \\mathbb{R} \\times \\mathbb{R} \\) 상에서 연산 \\( * \\) 를 다음과 같이 정의하자. \\", "[ (a, b) (c, d)=(a c, b c+d), \\quad \\forall(a, b), \\quad(c, d) \\in \\mathbb{R} \\times \\mathbb{R} \\] 그러면 주어진 연산 \\( \\) 에 의하여 \\( \\mathbb{R} \\times \\mathbb{R} \\) 역시 군을 이룬다.", "모든 \\( (a, b) \\in \\mathbb{R} \\times \\mathbb{R} \\) 에 대하여 \\[ (a, b) (1,0)=(1,0) (a, b)=(a, b) \\] 이므로 \\( (1,0) \\) 은 항등원이다.", "또, 임의의 \\( (a, b) \\in \\mathbb{R} \\times \\mathbb{R} \\) 에 대하여 \\[ (a, b) \\left(\\frac{1}{a},-\\frac{b}{a}\\right)=(1,0)=\\left(\\frac{1}{a},-\\frac{b}{a}\\right) (a, b) \\] 이므로 \\( (a, b)^{-1}=\\left(\\frac{1}{a},-\\frac{b}{a}\\right) \\) 이다.", "여기서 \\( \\mathbb{R} \\times \\mathbb{R} \\) 는 \\( * \\) 에 관하여 비가환군임을 알 수 있다.", "예를 들어, \\( (1,3)^{-1}=(1,-3),(2,4)^{-1}=\\left(\\frac{1}{2},-2\\right) \\) 이고, \\( (1,3)^{}(2,4)= \\) \\( (2,10),(2,4) (1,3)=(2,7) \\) 이다.", "한편, \\( (2,10)^{-1}=\\left(\\frac{1}{2},-5\\right),((1,3) (2,4))^{-1}=(2,10)^{-1}=\\left(\\frac{1}{2}, 5\\right) \\), \\[ (2,4)^{-1 }(1,3)^{-1}=\\left(\\frac{1}{2},-2\\right) (1,-3)=\\left(\\frac{1}{2}, 5\\right), \\] \\[ (1,3)^{-1 }(2,4)^{-1}=(1,-3)^{}\\left(\\frac{1}{2},-2\\right)=\\left(\\frac{1}{2},-\\frac{7}{2}\\right) \\] 이므로, \\( \\quad(1,3) (2,4) \\neq(2,4) (1,3), \\quad((1,3) (2,4))^{-1} \\neq(1,3)^{-1} (2,4)^{-1} \\) 임을 알 수 있다.", "</p><p>정리 2,2,3 군 \\( G \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "</p><p>(1) \\( G \\) 가 가환일 필요충분조건은 모든 \\( a, b \\in G \\) 에 대하여 \\( (a b)^{-1}=a^{-1} b^{-1} \\) 가 되는 것이다.", "</p><p>(2) 모든 \\( a \\in G \\) 에 대하여 \\( a a=e \\) 이면 \\( G \\) 는 가환군이다.", "</p><p>증명 (1) 군 \\( G \\) 가 가환이라 하자.", "그러면, \\( (a b)^{-1}=b^{-1} a^{-1}=a^{-1} b^{-1} \\) 이다.", "역으로 임의의 \\( a, b \\in G \\) 에 대하여 \\( (a b)^{-1}=a^{-1} b^{-1} \\) 가 성립한다고 하자.", "그러면, 앞에서 배운 \\( (a b)^{-1}=b^{-1} a^{-1} \\) 를 이용하여, \\[ a b=\\left((a b)^{-1}\\right)^{-1}=\\left(a^{-1} b^{-1}\\right)^{-1}=\\left((b a)^{-1}\\right)^{-1}=b a \\] 이 된다.", "따라서 \\( G \\) 는 가환군이다.", "</p><p>(2) 모든 \\( a \\in G \\) 에 대하여 \\( a^{2}=a a=e \\) 라 하자.", "이의 양변에 \\( a^{-1} \\) 를 곱하면 \\( a=a^{-1} \\) 를 얻는다.", "고로, 임의의 \\( a, b \\in G \\) 에 대하여 \\[ a b=(a b)^{-1}=b^{-1} a^{-1}=b a \\] 이 된다.", "따라서 \\( G \\) 는 가환군이다.", "</p> <p>예제 2 군 \\( G \\) 에서 \\( x^{3}=e \\) 일 필요충분조건은 임의의 \\( y \\in G \\) 에 대하여 \\( \\left(y^{-1} x y\\right)^{3}=e \\) 가 되는 것임을 보여라.", "</p><p>풀이 먼저, 군 \\( G \\) 의 원소 \\( x \\) 에 대하여 \\( x^{3}=e \\) 라고 가정하자.", "그러면, 임의의 \\( y \\in G \\) 에 대하여 \\[ \\left(y^{-1} x y\\right)^{3}=\\left(y^{-1} x y\\right)\\left(y^{-1} x y\\right)\\left(y^{-1} x y\\right)=y^{-1} x \\text { exex } y=y^{-1} x^{3} y=y^{-1} e y=e \\] 이다.", "역으로, \\( G \\) 의 원소 \\( x, y \\) 에 대하여 \\( \\left(y^{-1} x y\\right)^{3}=e \\) 라 가정하면, \\( y^{-1} x^{3} y=e \\) 이다.", "따라서 \\[ x^{3}=y y^{-1} x^{3} y y^{-1}=y\\left(y^{-1} x^{3} y\\right) y^{-1}=y e y^{-1}=e \\] 이다.", "</p><p>끝으로, 덧셈 군 \\( G \\) 의 \\( a, b \\in G \\) 에 대하여 \\( a+(-b)=a-b \\) 와 같이 차를 정의하고, 다음과 같은 성질이 있음을 상기하자. \\", "[ -(-a)=a,-(a+b)=-a-b, a+b=0 \\Rightarrow b=-a \\] 또한, 양의 정수 \\( n \\) 에 대하여 덧셈에 관한 지수법칙을 다음으로 정의하자. \\", "[ \\begin{aligned} n a=a+a+a &+\\cdots+a(n \\text { 번 }) \\\\ 0 a &=0, \\\\ (-n) a &=n(-a) \\end{aligned} \\] 이때 \\( 0 a \\) 의 0 는 정수의 영, 우변의 0 는 군 \\( G \\) 의 영원(항등원)이다.", "정수의 영과 \\( G \\) 의 영원을 같은 기호로 나타내기로 한다.", "다음 명제는 쉽게 증명된다.", "</p><h3>따름정리 2.2.5</h3><p>가환군 \\( (G,+) \\), 원소 \\( a, b \\in G \\), 정수 \\( n \\in \\mathbb{Z} \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "</p><p>(1) \\( (n+m) a=n a+m a \\)</p><p>(2) \\( m(n a)=m n a \\)</p><p>(3) \\( (-n) a=-(n a) \\)</p><p>(4) \\( n(a+b)=n a+n b \\)</p><h2>연습문제 2.2</h2><p>1 군 \\( G \\) 에 대하여 모든 \\( a, b \\in G \\) 에 대하여 \\( (a b)^{2}=a^{2} b^{2} \\) 이면 \\( G \\) 는 가환임을 밝혀라.", "</p><p>2 \\( a^{} b \\neq b^{} a \\) 인 군 \\( G \\) 의 원소를 \\( a, b \\) 라 하면 \\( e, a, b, a^{} b, b^{} a \\) 는 서로 다른 원소임을 보여라.", "</p><p>3 위수가 3 이상인 군 \\( G \\) 에 \\( a b=b a, a \\neq b, a \\neq e, b \\neq e \\) 인 원소 \\( a, b \\in G \\) 가 존재함을 보여라.", "</p><p>4 군 \\( G \\) 에 관한 방정식 \\( x^{2}=x \\) 의 해(solution)는 \\( x=e \\) 뿐임을 보여라.", "</p><p>5 군 \\( G \\) 에 대하여 \\( a^{-1} b a=b^{-1}, b^{-1} a b=a^{-1} \\) 인 원소 \\( a, b \\in G \\) 는 \\( a^{4}=b^{4}=e \\) 임을 만족한다.", "</p><p>6 군 \\( G \\) 의 고정된 원소 \\( a \\) 에 대하여 다음 사상 \\( f_{a}: G \\rightarrow G \\) 을 좌 이동사상(left translation)이라 한다. \\", "[ f_{a}(x)=a x, x \\in G \\]</p><p>(1) \\( f_{a} \\) 는 전단사이다.", "</p><p>(2) \\( f_{a}, f_{b} \\) 에 대하여 \\( f_{a} \\circ f_{b}=f_{a b} \\) 가 성립한다.", "</p><p>(3) \\( \\left\\{f_{a} \\mid a \\in G\\right\\} \\) 는 합성 에 대하여 군을 이룬다.", "</p><p>7 원소의 개수가 2 또는 3 인 군은 모두 가환군임을 보여라.", "</p><p>8 원소의 개수가 짝수인 군 \\( G \\) 는 \\( a^{2}=e, a \\neq e \\) 인 원소 \\( a \\) 를 적어도 하나 가짐을 보여라.", "</p><p>9 비가환군은 적어도 여섯 개의 원소를 가짐을 보여라.", "</p><p>10 양의 정수 \\( n \\) 에 대하여, 군 \\( G \\) 에서 \\( x^{n}=e \\) 일 필요충분조건은 임의의 \\( y \\in G \\) 에 대하여 \\( \\left(y^{-1} x y\\right)^{n}=e \\) 가 되는 것임을 보여라.", "</p><p>11 좌우 소거법칙을 만족하는 유한 반군(finite semigroup) \\( G \\) 는 군을 이룬다.", "그러나 \\( G \\)가 무한집합이면 군을 이룬다고 할 수 없음을 보여라.", "</p><p>11 좌우 소거법칙을 만족하는 유한 반군(finite semigroup) \\( G \\) 는 군을 이룬다.", "그러나 \\( G \\)가 무한집합이면 군을 이룬다고 할 수 없음을 보여라.", "</p><p>12 따름 정리 2.2.5를 증명하여라.", "</p> <h2>2.6 군 준동형사상, 군 동형정리</h2><p>군과 군 사이의 관계를 이어주는 준동형사상 및 동형사상에 대한 정의를 소개하고, 이들의 주요 성질에 대하여 살펴본다.", "</p><p>정의 군 \\( (G, ) \\) 에서 군 \\( (H, \\circ) \\) 로의 사상 \\( f: G \\rightarrow H \\) 이 모든 \\( a, b \\in G \\) 에 대하여 \\( f(a * b)=f(a) \\circ f(b) \\) 를 만족할 때 \\( f \\) 를 \\( G \\) 에서 \\( H \\) 로의 (군) 준동형사상 (group homomorphism)이라 한다.", "만약 \\( a * b=a b, f(a) \\circ f(b)=f(a) f(b) \\) 로 나타내면 \\( f(a b)=f(a) f(b), a, b \\in G \\) 일 때, 사상 \\( f: G \\rightarrow H \\) 는 준동형사상이다.", "</p><p>단사인 준동형사상을 단사 준동형사상(monomorphism), 전사인 준동형사상을 전사 준동형사상(epimorphism), 전단사인 준동형사상을 동형사상(isomorphism)이라 한다.", "</p><p>군 \\( G \\) 에서 \\( H \\) 로의 동형사상이 존재 할 때, \\( G \\) 와 \\( H \\) 는 동형(isomorphic) 관계에 있다고 하고, \\( G \\cong H \\) 로 나타낸다.", "</p><p>\\( G \\) 에서 \\( G \\) 로의 준동형사상 \\( f: G \\rightarrow G \\) 를 자기 준동형사상, 또 동형사상 \\( f: G \\hookrightarrow G \\) 를 자기 동형사상(automorphism)이라 한다.", "</p><p>보기 \\( 1 f(n)=(-1)^{n}, n \\in \\mathbb{Z} \\) 로 정의된 사상 \\( f:(\\mathbb{Z},+) \\rightarrow\\{1,-1\\} \\) 은 군 준동형사상이다. \\", "( m, n \\in Z \\) 에 대하여 \\[ f(m+n)=(-1)^{m+n}=(-1)^{n}(-1)^{n}=f(m) f(n) \\] 이므로 \\( f \\) 는 준동형사상이다.", "그러나 동형사상은 아니다.", "</p><p>보기 2 법 4인 정수군 \\( G=\\mathbb{Z}_{4} \\) 와 클라인 4군 \\( V \\) 는 동형사상이 아니다.", "</p><p>실제로, 동형사상 \\( f: G \\rightarrow V \\) 이 존재한다고 가정하면 \\( f(x)=e, a, b, c \\) \\( (x \\neq 0,2) \\) 중 어느 하나이다. \\", "( f(x+x)=f(x) f(x)=e^{2}, a^{2}, b^{2}, c^{2} \\) 중 어느 하나이므로 \\( a^{2}=b^{2}=c^{2}=\\mathrm{e}=e^{2} \\) 에서 \\( \\quad f(x+x)=e \\) 이다. \\", "( f(0)=f(0) f(0)=e \\) 이므로 \\( f(x+x)=f(0) \\) 이다.", "그러나 \\( x+x \\neq 0 \\) 이므로 \\( f \\) 는 단사가 아니나.", "따라서 \\( G \\) \\( \\neq V \\).", "</p> <h3>따름정리 2.6.9</h3><p>위수가 \\( n \\) 인 유한군은 대칭군 \\( S_{n} \\) 의 한 부분군과 동형이다.", "</p><p>지금부터는 군의 동형관계 중에서 중요한 몇 가지를 소개하기로 한다.", "</p><h3>정리 2.6.10</h3><p>\\( N \\) 이 군 \\( G \\) 의 정규부분군이면, \\( \\pi(a)=N a, a \\in G \\) 로 정의된 사상 \\( \\pi: G \\) \\( \\rightarrow G / N \\) 은 \\( N \\) 을 핵으로 갖는 전사 준동형사상이다.", "</p><p>군 \\( G / N=\\{N a \\mid a \\in G\\} \\) 의 임의의 원소는 \\( N a, a \\in G \\) 이므로 \\( \\pi(a)=N a \\), 즉 \\( a \\) 는 \\( \\pi \\) 에 관한 \\( \\mathrm{Na} \\) 의 원상이다.", "그러므로 \\( \\pi \\) 는 전사사상이다.", "</p><p>\\( a, b \\in G \\) 에 대하여 \\( \\pi(a b)=N a b=N a N b=\\pi(a) \\pi(b) \\) 이므로 \\( \\pi \\) 는 준동형 사상이나.", "또한, \\[ \\begin{aligned} \\operatorname{Ker} \\pi &=\\{a \\in G \\mid \\pi(a)=N\\}=\\{a \\in G \\mid N a=N\\} \\\\ &=\\{a \\in G \\mid a \\in N\\}=N, \\operatorname{Im} \\pi=G / N \\end{aligned} \\]</p><p>위의 사상 \\( \\pi \\) 를 \\( G \\) 에서 \\( G / N \\) 에로의 표준 준동형사상(canonical homo-morphism) 또는 자연 준동형사상(natural homomorphism)이라 한다.", "</p><h3>정리 2.6.11 준동형사상 기본정리</h3><p>군 준동형사상 \\( f: G \\rightarrow G^{\\prime} \\) 와 \\( G \\) 의 정규부분군 \\( N \\)에 대하여 \\( N \\subseteq K e r f \\) 이라고 하면 \\( \\bar{f}(N a)=f(a), a \\in G \\) 가 되는 군 준동형사상 \\( \\bar{f}: G / N \\rightarrow G \\) 가 오직 하나만 존재하여, \\( \\bar{f} \\circ \\pi=f \\) 이 유도된다.", "더욱이 \\( \\operatorname{Im} \\bar{f}=\\operatorname{Imf}, \\operatorname{Ker} \\bar{f}=\\operatorname{Kerf} / N \\) 이다.", "</p><p>증명 먼저 대응 \\( \\bar{f} \\) 가 사상임을 보인다. \\", "( N \\subseteq K e r f \\) 이므로 \\( N a=N b \\) 에 대하여 \\( b=n a, n \\in N \\) 이고 \\[ f(b)=f(n a)=f(n) f(a)=e f(a)=f(a) . \\]", "따라서 \\( \\bar{f}(N a)=\\bar{f}(N b) \\) 이고 \\( \\bar{f} \\) 가 사상임이 잘 정의된다.", "</p><p>다음은 \\( \\bar{f}(N a b)=f(a b)=f(a) f(b)=\\bar{f}(N a) \\bar{f}(N b) \\) 이므로 \\( \\bar{f} \\) 는 준동형사상이다.", "그리고 임의의 \\( a \\in G \\) 에 대하여 \\[ (\\bar{f} \\circ \\pi)(a)=\\bar{f}(\\pi(a))=\\bar{f}(N a)=f(a) . \\]", "</p><p>마지막으로 \\( \\bar{f} \\) 의 유일성을 증명하기 위하여, \\( f^{\\prime} \\circ \\pi=f \\) 를 만족하는 \\( f^{\\prime} \\) 가 존재한다면 \\[ f^{\\prime}(N a)=\\left(f^{\\prime} \\circ \\pi\\right)(a)=f(a)=(\\bar{f} \\circ \\pi)(a)=\\bar{f}(N a) \\] 이므로 \\( \\bar{f} \\) 의 유일성이 증명된다.", "</p><p>한편 \\( \\bar{f} \\) 의 정의에서 \\( \\operatorname{Imf}=\\operatorname{Im} \\bar{f} \\) 이고, \\( N a \\in \\operatorname{Ker} \\bar{f} \\Leftrightarrow \\bar{f}(N a)=e^{\\prime} \\Leftrightarrow f(a)= \\) \\( e^{\\prime} \\Leftrightarrow a \\in \\operatorname{Kerf} \\) 이므로 \\( \\operatorname{Ker} \\bar{f}=\\{N a \\mid a \\in \\operatorname{Kerf}\\}=\\operatorname{Kerf} / N \\) 이다.", "</p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "412", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "알기 쉬운 현대대수학_군론", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-e781-4a28-985e-857ee52f7442", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961059442", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2015", "doc_author": [ "조용욱" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", 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110	<p>많은 응용문제들은 2차 방정식의 해를 필요로 한다. 여러분이 미분적분학을 공부하면 아마도 약간 다른 꼴로 알게 될 보기 하나를 살펴보자.</p><p>보기 6.1.8 상자 만들기</p><p>한 조각의 정사각형 얇은 금속판(sheet metal)의 각 귀퉁이(corner)로부터, 한 변의 길이가 \( 9 \mathrm{~cm} \) 인 정사각형을 때어 낸다. 일린 상자를 만들기 위하여 가장자리(edge)들 을 위로 접는다. 이 상자의 부피가 \( 144 \mathrm{~cm}^{3} \) 이 되도록 한다면, 얇은 금속판 조각의 한 변의 길이는 얼마가 되어야만 하는가?</p><p>풀이</p><p>길잡이로 그림 3.1.1을 사용한다. \( x \) 는 이 한 조각의 정사각형 얇은 금속판의 한 변의 길이를 나타낸다고 하자. 이 상자의 높이는 \( 9 \mathrm{~cm} \) 이고 이 상자의 정사각형인 밑면의 한 변의 길이는 \( x-18(\mathrm{~cm}) \) 이다. 그래서 이 상자의 부피는 다음과 같다. 이 상자의 부피는 \( 144 \mathrm{~cm}^{3} \) 이므로, \[\begin{array}{ll}9(x-18)^{2}=144 & \\(x-18)^{2}=16 & \text { 양변을 } 9 \text { 로 나눈다. } \\x-18=\pm 4 & \text { 제곱근 방법을 사용한다. } \\x=18 \pm 4 &\end{array}\]</p><p>확인 : 한 변의 길이가 \( 22 \mathrm{~cm} \) 인 한 조각의 정사각형 얇은 금속판에서, 각 귀퉁이로부터 한 변의 길이가 \( 9 \mathrm{~cm} \) 인 정사각형을 잘라내고, 가장자리들을 위로 접으면, 각 길이 가 \( 9 \mathrm{~cm}, 4 \mathrm{~cm}, 4 \mathrm{~cm} \) 인 상자를 언는다. 이 때, 이 상자의 부피는 \( 9 \times 4 \times 4=144 \mathrm{~cm}^{3} \) 이다. 이것이 요구되는 상자다.</p><p>보기 6.1.9 물리학 : 등속운동</p><p>모터보트가 \( 3 \mathrm{~km} / \mathrm{hr} \) 로 흘러가는 강 위에서 \( 24 \mathrm{~km} \) 거리를 거슬러 올라갔다가 내려오는데 6시간이 걸렸다. 이 모터보트는 물에 관하여 상수속력을 유지했다고 가정하자. 이 보트의 속력은 얼마인가?</p><p>풀이</p><p>그림 6.1.2를 보라. \( v \) 는 물에 관한 이 모터보트의 상수속력을 나타낸다고 하자. 그러면 상류로 올라 갈 때의 이 모터보트의 속력은 \( v-3 \mathrm{~km} / \mathrm{hr} \) 고, 하류로 내려 올 때의 이 모터보트의 속력은 \( v+3 \mathrm{~km} / \mathrm{hr} \) 이다. 거리 = 속력 \( \times \) 시각이므로, 시각 \( = \) 거리 /속력이다. 그래서 다음의 표를 만든다.</p><table border><caption></caption><tbody><tr><td></td><td>속력\( \mathrm{km} / \mathrm{hr} \)</td><td>거리\( \mathrm{km} \)</td><td>\[\text { 시각 }=\text { 거리/속력 }\] 시간</td></tr><tr><td>상류로 올라가는 경우</td><td>\( v-3 \)</td><td>24</td><td>\( \frac{24}{v-3} \)</td></tr><tr><td>하류로 내려오는 경우</td><td>\( v+3 \)</td><td>24</td><td>\( \frac{24}{v+3} \)</td></tr></tbody></table> <p>이제 방정식 \( x^{4}+x^{2}-2=0 \) 은 \( x \) 의 2 차 방정식은 아니지만, 이 방정식은 \( x^{2} \) 의 2 차 방정식이다. 즉, \( u=x^{2} \) 라 놓으면, \( u \) 의 2 차 방정식 \( u^{2}+u-2=0 \) 을 얻는다. 이 방정식을 \( u \) 에 대하여 풀 수 있고 차레로, \( u=x^{2} \) 을 사용함으로써, 원래 방정식의 해 \( x \) 를 구할 수 있다. 일반적으로, 적당한 대입(substitution) \( u \) 에 의하여 어떤 방정식을 \[a u^{2}+b u+c=0, a \neq 0\]꼴 중의 어느 하나로 바꾸면, 원래 방정식을 2 차 꼴의 방정식(equation of the quadratic type 또는 quadratic equation in form)이라 한다.</p><p>보기 \( 6.1 .6\) 2차 꼴이 되는 방정식의 풀이</p><p>방정식 \( (x+2)^{2}+11(x+2)-12=0 \) 의 실수해들 구하여라.</p><p>풀이</p><p>\( u=x+2 \) 로 놓자. 그러면 \( u^{2}=(x+2)^{2} \) 이고 원래 방정식 \[(x+2)^{2}+11(x+2)-12=0\]은 다음과 간은 2 차 꼴의 방정식이 된다.\[\begin{array}{lc}u^{2}+11 u-12=0 & u=x+2 \text { 로 놓는다. } \\(u+12)(u-1)=0 & \text { 인수분해 한다. } \\u=-12 \text { 또는 } u=1 . & \text { 푼다. }\end{array}\] 그러나 \( x \) 에 대한 풀이를 원한다. \( u=x+2 \) 이므로 \[\begin{array}{rrrr}x+2 & =-12 & \text { 또는 } & x+2=1 \\x=-14 & \text { 또는 } & x=-1 .\end{array}\]</p><p>확인 : \( \quad x=-14:(-14+2)^{2}+11(-14+2)-12 \) \[\begin{array}{c}=(-12)^{2}+11(-12)-12=144-132-12=0 . \\x=-1:(-1+2)^{2}+11(-1+2)-12=1+11-12=0 .\end{array}\] 따라서 원래 방정식은 해집합 \( \{-14,-1\} \) 을 갖는다.</p><p>보기 \( 6.1.7 \) 2차 꼴이 되는 방정식의 풀이</p><p>방정식 \( x+2 \sqrt{x}-3=0 \) 의 실수해를 구하여라.</p><p>풀이</p><p>\( u=\sqrt{x} \) 라 하자. 그러면 \( u^{2}=x \) 이고 원래 방정식\[x+2 \sqrt{x}-3=0\]은 다음과 같은 2 차 꼴의 방정식이 된다. \[\begin{array}{lc}u^{2}+2 u-3=0 & u=\sqrt{x} \text { 로 놓는다. } \\(u+3)(u-1)=0 & \text { 인수분해 한다. } \\u=-3 \text { 또는 } u=1 . & \text { 푼다. }\end{array}\]\( u=\sqrt{x} \) 이므로, \( \sqrt{x}=-3 \) 또는 \( \sqrt{x}=1 \). 실수의 제곱근은 결코 음이 아니므로, \( \sqrt{x}=-3 \) 은 실수해를 갖지 않는다. 한편, \( \sqrt{x}=1 \) 은 해 \( x=1 \) 을 갖는다.<p>확인 : \( 1+2 \sqrt{1}-3=1+2-3=0 \). 따라서 \( x=1 \) 은 원래 방정식의 유일한 해다.</p></p> <p>보기 \( 6.1.2 \) 인수분해에 의한 2 차 방정식의 풀이 2 차 방정식 \( x^{2}-10 x+25=0 \) 을 풀어라.</p><p>풀이</p><p>이 방정식은 이미 표준 꼴이다. 왼족 변을 인수분해 하면,\[\begin{array}{l}x^{2}-10 x+25=0 \\(x-5)(x-5)=0\end{array}\] 그래서 \( x=5 \) 또는 \( x=5 \). 따라서 이 방정식은 중근 5 를 갖는다. 다음의 보기는 2 차 방정식을 풀기 위하여 완전제곱의 과정이 어떻게 사용될 수 있는가를 설명해준다.</p><p>보기 \( 6.1.3 \) 완전제곱에 의한 2 차 방정식의 풀이 완전제곱에 의하여 \( x^{2}+5 x+4=0 \) 을 풀어라.</p><p>풀이</p><p>\[x^{2}+5 x=-4 .\]\( x^{2} \) 의 계수가 1 이므로, 왼쪽 변에 \( \left(\frac{1}{2} \cdot 5\right)^{2}=\frac{25}{4} \) 를 더함으로씨 완전제곱 할 수 있다. 물론, 방정식에서, 왼쪽 변에 더한 것은 모두 오른쪽 변에도 역시 더해져야만 한다. 그래서 양변에 \( \frac{25}{4} \) 더 한다. \[\begin{array}{l} x^{2}+5 x+\frac{25}{4}=-4+\frac{25}{4} \quad \frac{25}{4} \text { 를 양변에 더한다. } \\ \left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4} \quad \text { 인수분해 하고 간단히 하라. } \\ x+\frac{5}{2}=\pm \sqrt{\frac{9}{4}} \quad \text { 제곱근 방법을 사용하라. } \\x+\frac{5}{2}=\pm \frac{3}{2} \\x=-\frac{5}{2} \pm \frac{3}{2} \\x=-\frac{5}{2}+\frac{3}{2}=-1 \text { 또는 } x=-\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=-4 .\end{array}\] 따라서 해집합은 \( \{-4,-1\} \). 보기 6.1.3에 있는 방정식의 해는 역시 인수분해에 의하여 얻어질 수 있다. 인수분 해를 사용하여 보기 \( 6.1 .3 \) 을 다시 해결해보라. 이제 2 차 방정식 \[a x^{2}+b x+c=0, a \neq 0\]을 풀기 위한 일반 공식을 얻기 위하여 완전제곱의 방법을 사용할 수 있다. 주목 \( a<0 \) 면 양의 최고차의 계수 \( \left(x^{2}\right. \) 의 계수 \( ) \) 를 갖는 2 차 방징식을 얻기 위하여 양변에 \( -1 \) 을 곱할 수 있으므로, \( a>0 \) 라고 가정하여도 일반성을 잃지 않는다. 보기 6.1.3에서처럼, \[a x^{2}+b x=-c, a>0\]로 항들을 다시 정돈함으로써 시작한다. \( a>0 \) 이므로,\[x^{2}+\frac{b}{a} x=-\frac{c}{a}\]를 얻기 위하여 양변을 \( a \)로 나눌 수 있다. 이제 \( x^{2} \)의 계수는 1 이다. 왼쪽 변을 완전 제곱하기 위하여, \( x \) 의 계수의 \( \frac{1}{2} \) 의 제곱, 즉, \[\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{b}{a}\right)^{2}=\frac{b^{2}}{4 a^{2}}\]을 양변에 더한다. 그러면 \[\begin{array}{c}x^{2}+\frac{b}{a} x+\frac{b^{2}}{4 a^{2}}=\frac{b^{2}}{4 a^{2}}-\frac{c}{a} . \\\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}=\frac{b^{2}-4 a c}{4 a^{2}} . \quad \frac{b^{2}}{4 a^{2}}-\frac{c}{a}=\frac{b^{2}}{4 a^{2}}-\frac{4 a c}{4 a^{2}}=\frac{b^{2}-4 a c}{4 a^{2}} . \end{array}\]<caption>(6.1.1)</caption>\( b^{2}-4 a c \geq 0 \)라 가정하면, 이제 다음을 얻기 위하여 제곱근 방법을 사용할 수 있다: \( x+\frac{b}{2 a}=\pm \sqrt{\frac{b^{2}-4 a c}{4 a^{2}}} \) \( x+\frac{b}{2 a}=\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \)몫의 제곱근은 제곱근의 몫과 같다. \( a>0 \) 이므로, 역시 \( \sqrt{4 a^{2}}=2 a \) 다.\( x=-\frac{b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \) 양변에 \( -\frac{b}{2 a} \) 를 더한다. \( x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \)오른쪽 변의 몫을 결합한다. \( b^{2}-4 a c<0 \) 이면 어떻게 될까? 그러면 방정식 (6.1.1)은 왼쪽 변 식(제곱된 실수)이 오른쪽 변 식(음수)과 같다는 것을 말한다. 이런 일은 실수에 대하여, 불가능하므로, \( b^{2}-4 a c<0 \) 이면 2 차 방정식은 실수해를 갖지 못한다고 결론을 내릴 수 있다.</p>	해석학	[ "<p>많은 응용문제들은 2차 방정식의 해를 필요로 한다.", "여러분이 미분적분학을 공부하면 아마도 약간 다른 꼴로 알게 될 보기 하나를 살펴보자.", "</p><p>보기 6.1.8 상자 만들기</p><p>한 조각의 정사각형 얇은 금속판(sheet metal)의 각 귀퉁이(corner)로부터, 한 변의 길이가 \\( 9 \\mathrm{~cm} \\) 인 정사각형을 때어 낸다.", "일린 상자를 만들기 위하여 가장자리(edge)들 을 위로 접는다.", "이 상자의 부피가 \\( 144 \\mathrm{~cm}^{3} \\) 이 되도록 한다면, 얇은 금속판 조각의 한 변의 길이는 얼마가 되어야만 하는가?", "</p><p>풀이</p><p>길잡이로 그림 3.1.1을 사용한다. \\", "( x \\) 는 이 한 조각의 정사각형 얇은 금속판의 한 변의 길이를 나타낸다고 하자.", "이 상자의 높이는 \\( 9 \\mathrm{~cm} \\) 이고 이 상자의 정사각형인 밑면의 한 변의 길이는 \\( x-18(\\mathrm{~cm}) \\) 이다.", "그래서 이 상자의 부피는 다음과 같다.", "이 상자의 부피는 \\( 144 \\mathrm{~cm}^{3} \\) 이므로, \\[\\begin{array}{ll}9(x-18)^{2}=144 & \\\\(x-18)^{2}=16 & \\text { 양변을 } 9 \\text { 로 나눈다. } \\\\x-18=\\pm 4 & \\text { 제곱근 방법을 사용한다. } \\\\x=18 \\pm 4 &\\end{array}\\]", "</p><p>확인 : 한 변의 길이가 \\( 22 \\mathrm{~cm} \\) 인 한 조각의 정사각형 얇은 금속판에서, 각 귀퉁이로부터 한 변의 길이가 \\( 9 \\mathrm{~cm} \\) 인 정사각형을 잘라내고, 가장자리들을 위로 접으면, 각 길이 가 \\( 9 \\mathrm{~cm}, 4 \\mathrm{~cm}, 4 \\mathrm{~cm} \\) 인 상자를 언는다.", "이 때, 이 상자의 부피는 \\( 9 \\times 4 \\times 4=144 \\mathrm{~cm}^{3} \\) 이다.", "이것이 요구되는 상자다.", "</p><p>보기 6.1.9 물리학 : 등속운동</p><p>모터보트가 \\( 3 \\mathrm{~km} / \\mathrm{hr} \\) 로 흘러가는 강 위에서 \\( 24 \\mathrm{~km} \\) 거리를 거슬러 올라갔다가 내려오는데 6시간이 걸렸다.", "이 모터보트는 물에 관하여 상수속력을 유지했다고 가정하자.", "이 보트의 속력은 얼마인가?", "</p><p>풀이</p><p>그림 6.1.2를 보라. \\", "( v \\) 는 물에 관한 이 모터보트의 상수속력을 나타낸다고 하자.", "그러면 상류로 올라 갈 때의 이 모터보트의 속력은 \\( v-3 \\mathrm{~km} / \\mathrm{hr} \\) 고, 하류로 내려 올 때의 이 모터보트의 속력은 \\( v+3 \\mathrm{~km} / \\mathrm{hr} \\) 이다.", "거리 = 속력 \\( \\times \\) 시각이므로, 시각 \\( = \\) 거리 /속력이다.", "그래서 다음의 표를 만든다.", "</p><table border><caption></caption><tbody><tr><td></td><td>속력\\( \\mathrm{km} / \\mathrm{hr} \\)</td><td>거리\\( \\mathrm{km} \\)</td><td>\\[\\text { 시각 }=\\text { 거리/속력 }\\] 시간</td></tr><tr><td>상류로 올라가는 경우</td><td>\\( v-3 \\)</td><td>24</td><td>\\( \\frac{24}{v-3} \\)</td></tr><tr><td>하류로 내려오는 경우</td><td>\\( v+3 \\)</td><td>24</td><td>\\( \\frac{24}{v+3} \\)</td></tr></tbody></table> <p>이제 방정식 \\( x^{4}+x^{2}-2=0 \\) 은 \\( x \\) 의 2 차 방정식은 아니지만, 이 방정식은 \\( x^{2} \\) 의 2 차 방정식이다.", "즉, \\( u=x^{2} \\) 라 놓으면, \\( u \\) 의 2 차 방정식 \\( u^{2}+u-2=0 \\) 을 얻는다.", "이 방정식을 \\( u \\) 에 대하여 풀 수 있고 차레로, \\( u=x^{2} \\) 을 사용함으로써, 원래 방정식의 해 \\( x \\) 를 구할 수 있다.", "일반적으로, 적당한 대입(substitution) \\( u \\) 에 의하여 어떤 방정식을 \\[a u^{2}+b u+c=0, a \\neq 0\\]꼴 중의 어느 하나로 바꾸면, 원래 방정식을 2 차 꼴의 방정식(equation of the quadratic type 또는 quadratic equation in form)이라 한다.", "</p><p>보기 \\( 6.1 .6\\) 2차 꼴이 되는 방정식의 풀이</p><p>방정식 \\( (x+2)^{2}+11(x+2)-12=0 \\) 의 실수해들 구하여라.", "</p><p>풀이</p><p>\\( u=x+2 \\) 로 놓자.", "그러면 \\( u^{2}=(x+2)^{2} \\) 이고 원래 방정식 \\[(x+2)^{2}+11(x+2)-12=0\\]은 다음과 간은 2 차 꼴의 방정식이 된다.\\", "[\\begin{array}{lc}u^{2}+11 u-12=0 & u=x+2 \\text { 로 놓는다. } \\\\(u+12)(u-1)=0 & \\text { 인수분해 한다. } \\\\u=-12 \\text { 또는 } u=1 . & \\text { 푼다. }\\end{array}\\]", "그러나 \\( x \\) 에 대한 풀이를 원한다. \\", "( u=x+2 \\) 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\\( 6.1.2 \\) 인수분해에 의한 2 차 방정식의 풀이 2 차 방정식 \\( x^{2}-10 x+25=0 \\) 을 풀어라.", "</p><p>풀이</p><p>이 방정식은 이미 표준 꼴이다.", "왼족 변을 인수분해 하면,\\[\\begin{array}{l}x^{2}-10 x+25=0 \\\\(x-5)(x-5)=0\\end{array}\\] 그래서 \\( x=5 \\) 또는 \\( x=5 \\).", "따라서 이 방정식은 중근 5 를 갖는다.", "다음의 보기는 2 차 방정식을 풀기 위하여 완전제곱의 과정이 어떻게 사용될 수 있는가를 설명해준다.", "</p><p>보기 \\( 6.1.3 \\) 완전제곱에 의한 2 차 방정식의 풀이 완전제곱에 의하여 \\( x^{2}+5 x+4=0 \\) 을 풀어라.", "</p><p>풀이</p><p>\\[x^{2}+5 x=-4 .\\]\\( x^{2} \\) 의 계수가 1 이므로, 왼쪽 변에 \\( \\left(\\frac{1}{2} \\cdot 5\\right)^{2}=\\frac{25}{4} \\) 를 더함으로씨 완전제곱 할 수 있다. 물론, 방정식에서, 왼쪽 변에 더한 것은 모두 오른쪽 변에도 역시 더해져야만 한다. 그래서 양변에 \\( \\frac{25}{4} \\) 더 한다. \\[\\begin{array}{l} x^{2}+5 x+\\frac{25}{4}=-4+\\frac{25}{4} \\quad \\frac{25}{4} \\text { 를 양변에 더한다. } \\\\ \\left(x+\\frac{5}{2}\\right)^{2}=\\frac{9}{4} \\quad \\text { 인수분해 하고 간단히 하라. } \\\\ x+\\frac{5}{2}=\\pm \\sqrt{\\frac{9}{4}} \\quad \\text { 제곱근 방법을 사용하라. } \\\\x+\\frac{5}{2}=\\pm \\frac{3}{2} \\\\x=-\\frac{5}{2} \\pm \\frac{3}{2} \\\\x=-\\frac{5}{2}+\\frac{3}{2}=-1 \\text { 또는 } x=-\\frac{5}{2}-\\frac{3}{2}=-4 .\\end{array}\\] 따라서 해집합은 \\( \\{-4,-1\\} \\). 보기 6.1.3에 있는 방정식의 해는 역시 인수분해에 의하여 얻어질 수 있다. 인수분 해를 사용하여 보기 \\( 6.1 .3 \\) 을 다시 해결해보라. 이제 2 차 방정식 \\[a x^{2}+b x+c=0, a \\neq 0\\]을 풀기 위한 일반 공식을 얻기 위하여 완전제곱의 방법을 사용할 수 있다. 주목 \\( a<0 \\) 면 양의 최고차의 계수 \\( \\left(x^{2}\\right. \\) 의 계수 \\( ) \\) 를 갖는 2 차 방징식을 얻기 위하여 양변에 \\( -1 \\) 을 곱할 수 있으므로, \\( a>0 \\) 라고 가정하여도 일반성을 잃지 않는다. 보기 6.1.3에서처럼, \\[a x^{2}+b x=-c, a>0\\]로 항들을 다시 정돈함으로써 시작한다. \\( a>", "0 \\) 이므로,\\[x^{2}+\\frac{b}{a} x=-\\frac{c}{a}\\]를 얻기 위하여 양변을 \\( a \\)로 나눌 수 있다.", "이제 \\( x^{2} \\)의 계수는 1 이다.", "왼쪽 변을 완전 제곱하기 위하여, \\( x \\) 의 계수의 \\( \\frac{1}{2} \\) 의 제곱, 즉, \\[\\left(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{b}{a}\\right)^{2}=\\frac{b^{2}}{4 a^{2}}\\]을 양변에 더한다.", "그러면 \\[\\begin{array}{c}x^{2}+\\frac{b}{a} x+\\frac{b^{2}}{4 a^{2}}=\\frac{b^{2}}{4 a^{2}}-\\frac{c}{a} . \\\\\\left(x+\\frac{b}{2 a}\\right)^{2}=\\frac{b^{2}-4 a c}{4 a^{2}} . \\quad \\frac{b^{2}}{4 a^{2}}-\\frac{c}{a}=\\frac{b^{2}}{4 a^{2}}-\\frac{4 a c}{4 a^{2}}=\\frac{b^{2}-4 a c}{4 a^{2}} . \\end{array}\\]", "<caption>(6.1.1)</caption>\\( b^{2}-4 a c \\geq 0 \\)라 가정하면, 이제 다음을 얻기 위하여 제곱근 방법을 사용할 수 있다: \\( x+\\frac{b}{2 a}=\\pm \\sqrt{\\frac{b^{2}-4 a c}{4 a^{2}}} \\) \\( x+\\frac{b}{2 a}=\\pm \\frac{\\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\)몫의 제곱근은 제곱근의 몫과 같다. \\( a>", "0 \\) 이므로, 역시 \\( \\sqrt{4 a^{2}}=2 a \\) 다.\\( x=-\\frac{b}{2 a} \\pm \\frac{\\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\) 양변에 \\( -\\frac{b}{2 a} \\) 를 더한다. \\", "( x=\\frac{-b \\pm \\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\)오른쪽 변의 몫을 결합한다. \\", "( b^{2}-4 a c<0 \\) 이면 어떻게 될까?", "그러면 방정식 (6.1.1)은 왼쪽 변 식(제곱된 실수)이 오른쪽 변 식(음수)과 같다는 것을 말한다.", "이런 일은 실수에 대하여, 불가능하므로, \\( b^{2}-4 a c<0 \\) 이면 2 차 방정식은 실수해를 갖지 못한다고 결론을 내릴 수 있다.", "</p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "미분적분을 위한 기초수학의 이해", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "772a8b07-a06b6b63-7085-493c-8d41-95958d667bd6", "doc_number": { "ISSN": "", 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111	<h3>보기 9.3.1 주기적 성질을 이용하는 정확한 값</h3><p>다음 각각의 정확한 값을 구하여라.</p><ol type=a start=1><li>\( \sin \frac{17 \pi}{4} \)</li><li>\( \cos (5 \pi) \)</li><li>\( \tan \frac{5 \pi}{4} \)</li></ol><h3>풀이</h3><p>(a)그림 9.3.3(a)에서 보이는 것처럼, 먼저 주어진 각의 그림을 그리는 것이 가장 좋다. 사인 함수의 주기는 \( 2 \pi \) 이므로, 각 전체 회전은 무시될 수 있다. 따라서 \[\sin \frac{17 \pi}{4}=\sin \left(\frac{\pi}{4}+4 \pi\right)=\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} .\]</p><p>(b)그림 9.3.3(b)를 보라. 코사인 함수의 주기는 \( 2 \pi \) 이므로, 각 전체 회전은 무시된다. 따라서\[\cos (5 \pi)=\cos (\pi+4 \pi)=\cos \pi=-1\]</p><p>(c)그림 9.3.3(c)를 보라. 탄젠트 함수의 주기는 \( \pi \) 이므로, 각 \( \frac{1}{2} \) 회전은 무시된다. 따라서 \[\tan \frac{5 \pi}{4}=\tan \left(\frac{\pi}{4}+\pi\right)=\tan \frac{\pi}{4}=1\]</p><p>이 절의 뒤에서 삼각함수의 그래프를 공부할 때, 삼각함수의 주기적 성질은 우리에게 매우 도움이 될 것이다.</p><p>이제 삼각함수의 부호에 대해 알아보자.</p><p>\( P=(x, y) \) 는 각 \( \theta \) 에 대응하는 단위원 위의 점이라 하자. 점 \( P \) 가 어느 사분면에 있다는 것을 알면, \( \theta \) 의 삼각함수의 부호를 결정할 수 있다. 예로써, 그림 9.3.4에서와 같이 \( P=(x, y) \) 가 사분면 Ⅳ에 있으면, \( x>0 \) 이고 \( y<0 \) 임을 안다. 그러므로, \( \quad \sin \theta=y<0, \quad \cos \theta=x>0, \quad \tan \theta=\frac{y}{x}<0 \), \( \csc \theta=\frac{1}{y}<0, \quad \sec \theta=\frac{1}{x}>0, \quad \cot \theta=\frac{x}{y}<0 \).</p><p>표 9.3.2는 각 사분면에 대한 6 개 삼각함수의 부호에 대한 목록이다. 그림 9.3.5를 보라.</p><table border><caption>Title</caption><tbody><tr><td>\( \theta \) 의 사분면</td><td>\( \sin \theta, \csc \theta \)</td><td>\( \cos \theta, \sec \theta \)</td><td>\( \tan \theta, \cot \theta \)</td></tr><tr><td>Ⅰ</td><td>+</td><td>+</td><td>+</td></tr><tr><td>Ⅱ</td><td>+</td><td>-</td><td>-</td></tr><tr><td>Ⅲ</td><td>-</td><td>-</td><td>+</td></tr><tr><td>Ⅳ</td><td>-</td><td>+</td><td>-</td></tr></tbody></table><h3>보기 9.3.2 각 \( \theta \) 가 있는 사분면을 구하기</h3><p>\( \sin \theta<0 \) 이고 \( \cos \theta<0 \) 일 때, 각 \( \theta \) 가 있는 사분면의 이름은 무엇인가?</p><h3>풀이</h3><p>\( P=(x, y) \) 는 \( \theta \) 에 대응하는 단위원 위의 점이라 하자.</p><p>그러면, 정의에 의하여, \( \sin \theta=y<0 \) 이고 \( \cos \theta=x<0 \). 그래서 \( P=(x, y) \) 는 사분면 Ⅲ에 있어야만 한다. 따라서 \( \theta \) 는 사분면 Ⅲ에 있다.</p> <h1>\( 9.3 \) 삼각함수의 성질</h1><p>이제 삼각함수의 정의역과 치역에 대하여 살펴보기로 하자.</p><p>\( \theta \) 는 표준위치의 상태에 있는 각이고 \( P=(x, y) \) 는 \( \theta \) 에 대응하는 단위원 위의 점이라 하자. 그림 9.3.1을 보라.</p><p>그러면, \( \begin{array}{lll}\sin \theta=y, & \cos \theta=x, & \tan \theta=\frac{y}{x}, x \neq 0, \\ \csc \theta=\frac{1}{y}, y \neq 0, & \sec \theta=\frac{1}{x}, x \neq 0, & \cot \theta=\frac{x}{y}, y \neq 0 .\end{array} \)</p><p>\( \sin \theta \) 와 \( \cos \theta \) 에 대하여, \( \theta \) 는 임의의 각일 수 있다. 그러므로 사인 함수와 코사인 함수의 정의역은 모든 실수들의 집합이 된다.</p><p>따라서 다음의 결과를 얻는다.</p><p>표 9.3.1은 지금까지 논의한 결과들을 요약한 것이다.</p><table border><caption>Title</caption><tbody><tr><td>함수</td><td>기호</td><td>정의역</td><td>치역</td></tr><tr><td>사인</td><td>\( f(\theta)=\sin \theta \)</td><td>\( \mathbb{R} \)</td><td>[-1, 1]</td></tr><tr><td>코사인</td><td>\( f(\theta)= \cos \theta \)</td><td>\( \mathbb{R} \)</td><td>[-1, 1]</td></tr><tr><td>탄젠트</td><td>\( f(\theta)= \tan \theta \)</td><td>\( \left\{\theta \in \mathbb{R}: \theta \neq \frac{(2 n-1) \pi}{2}, n \in \mathbb{Z}\right\} \)</td><td>\( \mathbb{R} \)</td></tr></tr><tr><td>코시칸트</td><td>\( f(\theta)= \csc\theta \)</td><td>\( \{\theta \in \mathbb{R}: \theta \neq n \pi, n \in \mathbb{Z}\} \)</td><td>\( (-\infty,-1] \) 또는 \( [1, \infty) \)</td></tr><tr><td >시칸트</td><td >\( f(\theta)= \sec\theta \)</td><td>\( \left\{\theta \in \mathbb{R}: \theta \neq \frac{(2 n-1) \pi}{2}, n \in \mathbb{Z}\right\} \)</td><td >\( (-\infty,-1] \) 또는 \( [1, \infty) \)</td></tr></tr><tr><td>코탄젠트</td><td>\( f(\theta)= \cot\theta \)</td><td>\( \{\theta \in \mathbb{R}: \theta \neq n \pi, n \in \mathbb{Z}\} \)</td><td>\( \mathbb{R} \)</td></tr></tbody></table><p>이제 삼각함수의 주기에 대하여 알아보기로 하자.</p><p>각 \( \frac{\pi}{3} \) 라디안에 대하여, 단위원 위에 대응하는 점 \( P \) 는 \( \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \) 이다. 각 \( \frac{\pi}{3}+2 \pi \) 라디안에 대하여, 대응하는 점 \( P \) 역시 \( \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \) 임에 주목하라. 그러면 \( \sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} \) 이고 \( \quad \sin \left(\frac{\pi}{3}+2 \pi\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} \) 이고 \( \quad \cos \left(\frac{\pi}{3}+2 \pi\right)=\frac{1}{2} \). 따라서 함수 \( f \) 가 주기함수(periodic function)다 \( \Leftrightarrow \) 양수 \( p \) 가 존재하여 다음의 조건이 만족된다.</p><ol type=i start=1><li>\( \theta \) 가 \( f \) 의 정의역의 원이면, \( \theta+p \) 역시 \( f \) 의 정의역의 원이다.</li><li>\( f(\theta+p)=f(\theta) \).</li></ol><p>조건(ii)를 만족하는 가장 작은 \( p \) 를 \( f \) 의 (기본)주기(fundamental period)라 한다.</p><p>따라서 다음과 같은 삼각함수의 주기적 성질을 갖는다.</p><p>\( \theta \) 는 임의의 실수고 \( n \) 은 임의의 정수라 하자. 그러면 \( \begin{array}{ll}\sin (\theta+2 \pi n)=\sin \theta, & \csc (\theta+2 \pi n)=\csc \theta, \\ \cos (\theta+2 \pi n)=\cos \theta, & \sec (\theta+2 \pi n)=\sec \theta, \\ \tan (\theta+2 \pi n)=\tan \theta, & \cot (\theta+2 \pi n)=\cot \theta .\end{array} \)</p> <h1>\( 9.4 \) 삼각함수의 그래프</h1><p>\( x y \)-평면에서 삼각함수의 그래프를 그리기 위해, 각 함수에 대하여 독립변수와 종속변수에 대하여 각각 기호 \( x \) 와 \( y \) 를 사용할 것이다.</p><p>그러므로 6 개 삼각함수를 다음과 같이 쓴다. \( \begin{array}{lll}y=f(x)=\sin x, & y=f(x)=\cos x, & y=f(x)=\tan x \\ y=f(x)=\csc x, & y=f(x)=\sec x, & y=f(x)=\cot x\end{array} \)</p><p>여기서 독립변수 \( x \) 는 호도법으로 측정된 각을 나타낸다. 미분적분학에서, \( x \) 는 보통 실수로 취급될 것이다.</p><p>먼저 \( y=\sin x \) 의 그래프에 대하여 살펴보기로 하자.</p><p>사인 함수는 주기 \( 2 \pi \) 를 가지므로, 구간 \( [0,2 \pi] \) 에서만 \( y=\sin x \) 의 그래프를 그릴 필요가 있다. 사인 함수의 그래프의 나머지는 이 부분의 반복으로 이루어진다.</p><p>\( 0 \leq x \leq 2 \pi \) 에서 \( y=\sin x \) 의 그래프 위의 몇 개의 점들을 정하는 표 9.4.1을 만드는 것으로부터 시작한다.</p><table border><tbody><tr><td>\( x \)</td><td>\( y=\sin x\)</td><td>\((x, y) \)</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>\((0, 0) \)</td></tr><tr><td>\( \frac{\pi}{6} \)</td><td>\( \frac{1}{2} \)</td><td>\(( \frac{\pi}{6}, \frac{1}{2}) \)</td></tr><tr><td>\( \frac{\pi}{2} \)</td><td>1</td><td>\((\frac{\pi}{2} , 1) \)</td></tr><tr><td>\( \frac{5\pi}{6} \)</td><td>\( \frac{1}{2} \)</td><td>\((\frac{5\pi}{6}, \frac{1}{2} ) \)</td></tr><tr><td>\(\pi \)</td><td>0</td><td>\((\pi , 0) \)</td></tr><tr><td>\( \frac{7\pi}{6} \)</td><td>\( -\frac{1}{2} \)</td><td>\(( \frac{7\pi}{6}, -\frac{1}{2}) \)</td></tr><tr><td>\( \frac{3\pi}{2} \)</td><td>-1</td><td>\((\frac{3\pi}{2}, -1) \)</td></tr><tr><td>\( \frac{11\pi}{6} \)</td><td>\(- \frac{1}{2} \)</td><td>\((\frac{11\pi}{6},- \frac{1}{2}) \)</td></tr><tr><td>\(2\pi \)</td><td>0</td><td>\((2\pi , 0) \)</td></tr></tbody></table><p></p><p>표 9.4.1이 보여주듯이, \( y=\sin x(0 \leq x \leq 2 \pi) \)의 그래프는 원점에서 시작한다. \( x \) 가 0에서 \( \frac{\pi}{2} \) 까지 증가할 때, \( y=\sin x \) 의 값은 0 에서 1 까지 증가하고, \( x \) 가 \( \frac{\pi}{2} \) 에서 \( \pi \) 를 지나 \( \frac{3}{2} \pi \) 까지 증가할 때; \( y \) 의 값은 1 에서 0 을 지나 \( -1 \) 까지 감소하며, \( x \) 가 \( \frac{3}{2} \pi \) 에서 \( 2 \pi \) 까지 증가할 때, \( y \) 의 값은 \( -1 \) 에서 0까지 증가한다.</p><p>표 9.4.1에 열거된 점들의 위치를 정하고 매끄러운 곡선으로 이들을 연결하면, 그림 9.4.1에 보이는 그래프를 얻는다.</p><p>그림 9.4.1에 있는 그래프는 \( y=\sin x \) 의 그래프의 1 주기(one period 또는 one cycle)다. \( y=\sin x \) 의 더 완전한 그래프를 얻기 위하여, 그림 9.4.2에서 처럼, 각 방향 에서 이 주기를 반복한다.</p><p>\( y=\sin x \) 의 그래프는 사인 함수에 대하여 이미 아는 사실들 중의 몇 가지를 설명 해 준다.</p> <p>\( y=\sin x \) 함수의 성질</p><ol type=1 start=1><li>정의역 \( =\mathbb{R} \).</li><li>치역 \( =[-1,1] \) 또는 \( \{y \in \mathbb{R}:-1 \leq y \leq 1\} \).</li><li>그래프는 원점에 관하여 대칭이다. 즉, 사인 함수는 홀함수이다.</li><li>사인 함수는 주기 \( 2 \pi \) 를 갖는 주기함수이다.</li><li>\( x \)-절편 : \( \cdots,-2 \pi,-\pi, 0, \pi, 2 \pi, 3 \pi, \cdots \); \( y \)-절편 : 0 .</li><li>최대값은 1 이고 \( x=\cdots,-\frac{3 \pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{9 \pi}{2} \) 에서 생기고; 최소값은 \( -1 \) 이고 \( x=\cdots,-\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}, \frac{11 \pi}{2}, \cdots \) 에서 생긴다.</li></ol><p>보기 9.4.1 \( y=\sin x \) 의 변환의 그래프</p><p>\( y=\sin x \) 의 그래프를 사용하여 \( y=\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right) \) 의 그래프를 그려라.</p><p>풀이</p><p>그림 9.4.3은 \( y=\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right) \) 의 그래프를 그리는 단계를 설명해준다.</p><p>\( x \) 대신에 \( x-\frac{\pi}{4} \) 로 바꾼다. \( \frac{\pi}{4} \) 단위 오른쪽으로 가로 이동한다.</p><p>보기 \( 9.4 .2 y=\sin x \) 의 변환의 그래프</p><p>\( y=\sin x \) 의 그래프를 사용하여 \( y=-\sin x+2 \) 의 그래프를 그려라.</p><p>풀이</p><p>그림 9.4.4는 \( y=-\sin x+2 \) 의 그래프를 그리는 단계를 설명해준다.</p><p>-1 배를 한다. \( x \)-축에 대하여 반사한다.</p><p>2 를 더한다. 세로 이동한다.</p><p>다음으로 \( y=\cos x \) 의 그래프에 대하여 살펴보자.</p><p>코사인 함수 역시 주기 \( 2 \pi \) 를 갖는다. \( 0 \leq x \leq 2 \pi \)에서 \( y=\cos x \) 의 그래프 위의 몇 개의 점들을 정하는 표 9.4.2를 만듦으로써 사인 함수를 취급하였던 것처럼 진행한다.</p><table border><tbody><tr><td>\( x \)</td><td>\( y=cos x\)</td><td>\((x, y) \)</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>\((0, 1) \)</td></tr><tr><td>\( \frac{\pi}{3} \)</td><td>\( \frac{1}{2} \)</td><td>\(( \frac{\pi}{3}, \frac{1}{2}) \)</td></tr><tr><td>\( \frac{\pi}{2} \)</td><td>0</td><td>\((\frac{\pi}{2} , 0) \)</td></tr><tr><td>\( \frac{2\pi}{3} \)</td><td>\( -\frac{1}{2} \)</td><td>\((\frac{2\pi}{3}, -\frac{1}{2} ) \)</td></tr><tr><td>\(\pi \)</td><td>-1</td><td>\((\pi , -1) \)</td></tr><tr><td>\( \frac{4\pi}{3} \)</td><td>\( -\frac{1}{2} \)</td><td>\(( \frac{4\pi}{3}, -\frac{1}{2}) \)</td></tr><tr><td>\( \frac{3\pi}{2} \)</td><td>0</td><td>\((\frac{3\pi}{2},0) \)</td></tr><tr><td>\( \frac{15\pi}{3} \)</td><td>\( \frac{1}{2} \)</td><td>\((\frac{15\pi}{3}, \frac{1}{2}) \)</td></tr><tr><td>\(2\pi \)</td><td>1</td><td>\((2\pi , 1) \)</td></tr></tbody></table><p></p> <p>이제 \( y=\tan x \) 함수의 성질에 대하여 살펴보기로 하자.</p><p>탄젠트함수는 주기 \( \pi \) 를 갖기 때문에, 길이가 \( \pi \) 인 어떤 구간 위에서만 이 그래프를 결정할 필요가 있다. 탄젠트 함수의 그래프의 나머지는 이 부분의 반복으로 이루어진다. 탄젠트 함수는 \( \cdots,-\frac{3 \pi}{2},-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \cdots \) 에서 정의되지 않기 때문에, 길이가 \( \pi \) 인 구간 \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \) 에 집중하여, \( y=\tan x\left(-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\right) \) 의 그래프 위에 있는 몇 개의 점의 목록을 작성한, 표 \( 9.4 .3 \) 을 만들 것이다.</p><p>\( y=\tan x \) 의 그래프의 1 주기를 완성하기 위하여, \( x \) 가 \( -\frac{\pi}{2} \) 와 \( \frac{\pi}{2} \) 에 접근할 때 이 함수의 행동을 조사할 필요가 있다. 이 행동을 결정하기 위하여, 다음의 항등식을 사용한다. \[\tan x=\frac{\sin x}{\cos x} .\]</p><p>\( \frac{\pi}{2} \) 보다 작은 값을 유지하면서, \( x \) 가 \( \frac{\pi}{2} \) 의 근처에 있으면, \( \sin x \) 는 \( 1 \) 의 근처이고, \( \cos x \) 는 양이고 \( 0 \) 의 근처에 있을 것이다(사인 함수와 코사인 함수의 그래프를 다시 참고하라).</p><p>따라서 비 \( \frac{\sin x}{\cos x} \) 는 큰 양수가 될 것이다. 실로, \( x \) 가 \( \frac{\pi}{2} \) 에 더 가까운 값을 취할수록, \( \sin x \) 는 1 에 \( \cos x \) 는 0 에 점점 더 가깝게 된다. 그러므로 \( \tan x \) 는 \( \infty \) 에 접근한다. 즉, \(\begin{array}{} \lim \tan x=\infty \\ x \rightarrow \frac{\pi^-}{2} \end{array}\). 바꾸어 말하면, 세로 직선 \( x=-\frac{\pi}{2} \) 는 역시 이 그래프의 점근선 \( x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-} \)이다. 그림 9.4.15를 보라.</p><p>\( -\frac{\pi}{2} \) 보다 큰 값을 유지하면서, \( x \) 가 \( -\frac{\pi}{2} \) 에 가까우면, \( \sin x \) 는 \( -1 \) 에 가깝고, \( \cos x^{\frac{2}{2}} \) 양이고 \(0\) 에 가까울 것이다. 따라서 비 \( \frac{\sin x}{\cos x} \) 는 \( -\infty \) 에 접근한다.</p><p>즉, \(\begin{array}{} \lim \tan x=-\infty \\ x \rightarrow \frac{\pi^+}{2} \end{array}\). 바꾸어 말하면, 세로 직선 \( x=\frac{\pi}{2} \) 역시 \( y=\tan x \) 의 그래프의 세로 점근선이다.</p><p>지금까지의 논의를 통하여, \( y=\tan x \) 의 그래프의 1 주기를 완성할 수 있다. 그림 9.4.15에서 보이듯이, 이 주기를 반복함으로씨 \( y=\tan x \) 의 완전한 그래프를 얻는다.</p><p>\( y=\tan x \) 의 그래프는 이미 탄젠트함수에 대하여 알고 있는 몇 가지 사실을 설명해 준다.</p><p>\( y=\tan x \) 함수의 성질</p><ol type=1 start=1><li>정의역 \( =\left\{x \in \mathbb{R}: x \neq \frac{(2 n+1) \pi}{2}, n \in \mathbb{Z}\right\} \).</li><li>치역 \( =\mathbb{R} \).</li><li>탄젠트 함수의 그래프는 원점에 관하여 대칭이다. 즉, 탄젠트 함수는 홀함수이다.</li><li>탄젠트 함수는 주기 \( \pi \) 를 갖는 주기함수이다.</li><li>\( x \)-절편 : \( \cdots,-2 \pi,-\pi, 0, \pi, 2 \pi, 3 \pi, \cdots \); \( y \)-절편 : 0 .</li><li>세로점근선은 \( x=\cdots,-\frac{3 \pi}{2},-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \cdots \) 에서 생긴다.</li></ol>	해석학	[ "<h3>보기 9.3.1 주기적 성질을 이용하는 정확한 값</h3><p>다음 각각의 정확한 값을 구하여라.", "</p><ol type=a start=1><li>\\( \\sin \\frac{17 \\pi}{4} \\)</li><li>\\( \\cos (5 \\pi) \\)</li><li>\\( \\tan \\frac{5 \\pi}{4} \\)</li></ol><h3>풀이</h3><p>(a)그림 9.3.3(a)에서 보이는 것처럼, 먼저 주어진 각의 그림을 그리는 것이 가장 좋다.", "사인 함수의 주기는 \\( 2 \\pi \\) 이므로, 각 전체 회전은 무시될 수 있다.", "따라서 \\[\\sin \\frac{17 \\pi}{4}=\\sin \\left(\\frac{\\pi}{4}+4 \\pi\\right)=\\sin \\frac{\\pi}{4}=\\frac{\\sqrt{2}}{2} .\\]", "</p><p>(b)그림 9.3.3(b)를 보라.", "코사인 함수의 주기는 \\( 2 \\pi \\) 이므로, 각 전체 회전은 무시된다.", "따라서\\[\\cos (5 \\pi)=\\cos (\\pi+4 \\pi)=\\cos \\pi=-1\\]</p><p>(c)그림 9.3.3(c)를 보라.", "탄젠트 함수의 주기는 \\( \\pi \\) 이므로, 각 \\( \\frac{1}{2} \\) 회전은 무시된다.", "따라서 \\[\\tan \\frac{5 \\pi}{4}=\\tan \\left(\\frac{\\pi}{4}+\\pi\\right)=\\tan \\frac{\\pi}{4}=1\\]</p><p>이 절의 뒤에서 삼각함수의 그래프를 공부할 때, 삼각함수의 주기적 성질은 우리에게 매우 도움이 될 것이다.", "</p><p>이제 삼각함수의 부호에 대해 알아보자.", "</p><p>\\( P=(x, y) \\) 는 각 \\( \\theta \\) 에 대응하는 단위원 위의 점이라 하자. 점 \\( P \\) 가 어느 사분면에 있다는 것을 알면, \\( \\theta \\) 의 삼각함수의 부호를 결정할 수 있다. 예로써, 그림 9.3.4에서와 같이 \\( P=(x, y) \\) 가 사분면 Ⅳ에 있으면, \\( x>", "0 \\) 이고 \\( y<0 \\) 임을 안다.", "그러므로, \\( \\quad \\sin \\theta=y<0, \\quad \\cos \\theta=x>0, \\quad \\tan \\theta=\\frac{y}{x}<0 \\), \\( \\csc \\theta=\\frac{1}{y}<0, \\quad \\sec \\theta=\\frac{1}{x}>0, \\quad \\cot \\theta=\\frac{x}{y}<0 \\).", "</p><p>표 9.3.2는 각 사분면에 대한 6 개 삼각함수의 부호에 대한 목록이다.", "그림 9.3.5를 보라.", "</p><table border><caption>Title</caption><tbody><tr><td>\\( \\theta \\) 의 사분면</td><td>\\( \\sin \\theta, \\csc \\theta \\)</td><td>\\( \\cos \\theta, \\sec \\theta \\)</td><td>\\( \\tan \\theta, \\cot \\theta \\)</td></tr><tr><td>Ⅰ</td><td>+</td><td>+</td><td>+</td></tr><tr><td>Ⅱ</td><td>+</td><td>-</td><td>-</td></tr><tr><td>Ⅲ</td><td>-</td><td>-</td><td>+</td></tr><tr><td>Ⅳ</td><td>-</td><td>+</td><td>-</td></tr></tbody></table><h3>보기 9.3.2 각 \\( \\theta \\) 가 있는 사분면을 구하기</h3><p>\\( \\sin \\theta<0 \\) 이고 \\( \\cos \\theta<0 \\) 일 때, 각 \\( \\theta \\) 가 있는 사분면의 이름은 무엇인가?", "</p><h3>풀이</h3><p>\\( P=(x, y) \\) 는 \\( \\theta \\) 에 대응하는 단위원 위의 점이라 하자.", "</p><p>그러면, 정의에 의하여, \\( \\sin \\theta=y<0 \\) 이고 \\( \\cos \\theta=x<0 \\).", "그래서 \\( P=(x, y) \\) 는 사분면 Ⅲ에 있어야만 한다.", "따라서 \\( \\theta \\) 는 사분면 Ⅲ에 있다.", "</p> <h1>\\( 9.3 \\) 삼각함수의 성질</h1><p>이제 삼각함수의 정의역과 치역에 대하여 살펴보기로 하자.", "</p><p>\\( \\theta \\) 는 표준위치의 상태에 있는 각이고 \\( P=(x, y) \\) 는 \\( \\theta \\) 에 대응하는 단위원 위의 점이라 하자.", "그림 9.3.1을 보라.", "</p><p>그러면, \\( \\begin{array}{lll}\\sin \\theta=y, & \\cos \\theta=x, & \\tan \\theta=\\frac{y}{x}, x \\neq 0, \\\\ \\csc \\theta=\\frac{1}{y}, y \\neq 0, & \\sec \\theta=\\frac{1}{x}, x \\neq 0, & \\cot \\theta=\\frac{x}{y}, y \\neq 0 .\\end{array} \\)</p><p>\\( \\sin \\theta \\) 와 \\( \\cos \\theta \\) 에 대하여, \\( \\theta \\) 는 임의의 각일 수 있다.", "그러므로 사인 함수와 코사인 함수의 정의역은 모든 실수들의 집합이 된다.", "</p><p>따라서 다음의 결과를 얻는다.", "</p><p>표 9.3.1은 지금까지 논의한 결과들을 요약한 것이다.", "</p><table border><caption>Title</caption><tbody><tr><td>함수</td><td>기호</td><td>정의역</td><td>치역</td></tr><tr><td>사인</td><td>\\( f(\\theta)=\\sin \\theta \\)</td><td>\\( \\mathbb{R} \\)</td><td>[-1, 1]</td></tr><tr><td>코사인</td><td>\\( f(\\theta)= \\cos \\theta \\)</td><td>\\( \\mathbb{R} \\)</td><td>[-1, 1]</td></tr><tr><td>탄젠트</td><td>\\( f(\\theta)= \\tan \\theta \\)</td><td>\\( \\left\\{\\theta \\in \\mathbb{R}: \\theta \\neq \\frac{(2 n-1) \\pi}{2}, n \\in \\mathbb{Z}\\right\\} \\)</td><td>\\( \\mathbb{R} \\)</td></tr></tr><tr><td>코시칸트</td><td>\\( f(\\theta)= \\csc\\theta \\)</td><td>\\( \\{\\theta \\in \\mathbb{R}: \\theta \\neq n \\pi, n \\in \\mathbb{Z}\\} \\)</td><td>\\( (-\\infty,-1] \\) 또는 \\( [1, \\infty) \\)</td></tr><tr><td >시칸트</td><td >\\( f(\\theta)= \\sec\\theta \\)</td><td>\\( \\left\\{\\theta \\in \\mathbb{R}: \\theta \\neq \\frac{(2 n-1) \\pi}{2}, n \\in \\mathbb{Z}\\right\\} \\)</td><td >\\( (-\\infty,-1] \\) 또는 \\( [1, \\infty) \\)</td></tr></tr><tr><td>코탄젠트</td><td>\\( f(\\theta)= \\cot\\theta \\)</td><td>\\( \\{\\theta \\in \\mathbb{R}: \\theta \\neq n \\pi, n \\in \\mathbb{Z}\\} \\)</td><td>\\( \\mathbb{R} \\)</td></tr></tbody></table><p>이제 삼각함수의 주기에 대하여 알아보기로 하자.", "</p><p>각 \\( \\frac{\\pi}{3} \\) 라디안에 대하여, 단위원 위에 대응하는 점 \\( P \\) 는 \\( \\left(\\frac{1}{2}, \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right) \\) 이다.", "각 \\( \\frac{\\pi}{3}+2 \\pi \\) 라디안에 대하여, 대응하는 점 \\( P \\) 역시 \\( \\left(\\frac{1}{2}, \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right) \\) 임에 주목하라.", "그러면 \\( \\sin \\frac{\\pi}{3}=\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\) 이고 \\( \\quad \\sin \\left(\\frac{\\pi}{3}+2 \\pi\\right)=\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\), \\( \\cos \\frac{\\pi}{3}=\\frac{1}{2} \\) 이고 \\( \\quad \\cos \\left(\\frac{\\pi}{3}+2 \\pi\\right)=\\frac{1}{2} \\).", "따라서 함수 \\( f \\) 가 주기함수(periodic function)다 \\( \\Leftrightarrow \\) 양수 \\( p \\) 가 존재하여 다음의 조건이 만족된다.", "</p><ol type=i start=1><li>\\( \\theta \\) 가 \\( f \\) 의 정의역의 원이면, \\( \\theta+p \\) 역시 \\( f \\) 의 정의역의 원이다.", "</li><li>\\( f(\\theta+p)=f(\\theta) \\).", "</li></ol><p>조건(ii)를 만족하는 가장 작은 \\( p \\) 를 \\( f \\) 의 (기본)주기(fundamental period)라 한다.", "</p><p>따라서 다음과 같은 삼각함수의 주기적 성질을 갖는다.", "</p><p>\\( \\theta \\) 는 임의의 실수고 \\( n \\) 은 임의의 정수라 하자.", "그러면 \\( \\begin{array}{ll}\\sin (\\theta+2 \\pi n)=\\sin \\theta, & \\csc (\\theta+2 \\pi n)=\\csc \\theta, \\\\ \\cos (\\theta+2 \\pi n)=\\cos \\theta, & \\sec (\\theta+2 \\pi n)=\\sec \\theta, \\\\ \\tan (\\theta+2 \\pi n)=\\tan \\theta, & \\cot (\\theta+2 \\pi n)=\\cot \\theta .\\", "end{array} \\)</p> <h1>\\( 9.4 \\) 삼각함수의 그래프</h1><p>\\( x y \\)-평면에서 삼각함수의 그래프를 그리기 위해, 각 함수에 대하여 독립변수와 종속변수에 대하여 각각 기호 \\( x \\) 와 \\( y \\) 를 사용할 것이다.", "</p><p>그러므로 6 개 삼각함수를 다음과 같이 쓴다. \\", "( \\begin{array}{lll}y=f(x)=\\sin x, & y=f(x)=\\cos x, & y=f(x)=\\tan x \\\\ y=f(x)=\\csc x, & y=f(x)=\\sec x, & y=f(x)=\\cot x\\end{array} \\)</p><p>여기서 독립변수 \\( x \\) 는 호도법으로 측정된 각을 나타낸다.", "미분적분학에서, \\( x \\) 는 보통 실수로 취급될 것이다.", "</p><p>먼저 \\( y=\\sin x \\) 의 그래프에 대하여 살펴보기로 하자.", "</p><p>사인 함수는 주기 \\( 2 \\pi \\) 를 가지므로, 구간 \\( [0,2 \\pi] \\) 에서만 \\( y=\\sin x \\) 의 그래프를 그릴 필요가 있다.", "사인 함수의 그래프의 나머지는 이 부분의 반복으로 이루어진다.", "</p><p>\\( 0 \\leq x \\leq 2 \\pi \\) 에서 \\( y=\\sin x \\) 의 그래프 위의 몇 개의 점들을 정하는 표 9.4.1을 만드는 것으로부터 시작한다.", "</p><table border><tbody><tr><td>\\( x \\)</td><td>\\( y=\\sin x\\)</td><td>\\((x, y) \\)</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>\\((0, 0) \\)</td></tr><tr><td>\\( \\frac{\\pi}{6} \\)</td><td>\\( \\frac{1}{2} \\)</td><td>\\(( \\frac{\\pi}{6}, \\frac{1}{2}) \\)</td></tr><tr><td>\\( \\frac{\\pi}{2} \\)</td><td>1</td><td>\\((\\frac{\\pi}{2} , 1) \\)</td></tr><tr><td>\\( \\frac{5\\pi}{6} \\)</td><td>\\( \\frac{1}{2} \\)</td><td>\\((\\frac{5\\pi}{6}, \\frac{1}{2} ) \\)</td></tr><tr><td>\\(\\pi \\)</td><td>0</td><td>\\((\\pi , 0) \\)</td></tr><tr><td>\\( \\frac{7\\pi}{6} \\)</td><td>\\( -\\frac{1}{2} \\)</td><td>\\(( \\frac{7\\pi}{6}, -\\frac{1}{2}) \\)</td></tr><tr><td>\\( \\frac{3\\pi}{2} \\)</td><td>-1</td><td>\\((\\frac{3\\pi}{2}, -1) \\)</td></tr><tr><td>\\( \\frac{11\\pi}{6} \\)</td><td>\\(- \\frac{1}{2} \\)</td><td>\\((\\frac{11\\pi}{6},- \\frac{1}{2}) \\)</td></tr><tr><td>\\(2\\pi \\)</td><td>0</td><td>\\((2\\pi , 0) \\)</td></tr></tbody></table><p></p><p>표 9.4.1이 보여주듯이, \\( y=\\sin x(0 \\leq x \\leq 2 \\pi) \\)의 그래프는 원점에서 시작한다. \\", "( x \\) 가 0에서 \\( \\frac{\\pi}{2} \\) 까지 증가할 때, \\( y=\\sin x \\) 의 값은 0 에서 1 까지 증가하고, \\( x \\) 가 \\( \\frac{\\pi}{2} \\) 에서 \\( \\pi \\) 를 지나 \\( \\frac{3}{2} \\pi \\) 까지 증가할 때; \\( y \\) 의 값은 1 에서 0 을 지나 \\( -1 \\) 까지 감소하며, \\( x \\) 가 \\( \\frac{3}{2} \\pi \\) 에서 \\( 2 \\pi \\) 까지 증가할 때, \\( y \\) 의 값은 \\( -1 \\) 에서 0까지 증가한다.", "</p><p>표 9.4.1에 열거된 점들의 위치를 정하고 매끄러운 곡선으로 이들을 연결하면, 그림 9.4.1에 보이는 그래프를 얻는다.", "</p><p>그림 9.4.1에 있는 그래프는 \\( y=\\sin x \\) 의 그래프의 1 주기(one period 또는 one cycle)다. \\", "( y=\\sin x \\) 의 더 완전한 그래프를 얻기 위하여, 그림 9.4.2에서 처럼, 각 방향 에서 이 주기를 반복한다.", "</p><p>\\( y=\\sin x \\) 의 그래프는 사인 함수에 대하여 이미 아는 사실들 중의 몇 가지를 설명 해 준다.", "</p> <p>\\( y=\\sin x \\) 함수의 성질</p><ol type=1 start=1><li>정의역 \\( =\\mathbb{R} \\).", "</li><li>치역 \\( =[-1,1] \\) 또는 \\( \\{y \\in \\mathbb{R}:-1 \\leq y \\leq 1\\} \\).", "</li><li>그래프는 원점에 관하여 대칭이다.", "즉, 사인 함수는 홀함수이다.", "</li><li>사인 함수는 주기 \\( 2 \\pi \\) 를 갖는 주기함수이다.", "</li><li>\\( x \\)-절편 : \\( \\cdots,-2 \\pi,-\\pi, 0, \\pi, 2 \\pi, 3 \\pi, \\cdots \\); \\( y \\)-절편 : 0 .</li><li>최대값은 1 이고 \\( x=\\cdots,-\\frac{3 \\pi}{2}, \\frac{\\pi}{2}, \\frac{5 \\pi}{2}, \\frac{9 \\pi}{2} \\) 에서 생기고; 최소값은 \\( -1 \\) 이고 \\( x=\\cdots,-\\frac{\\pi}{2}, \\frac{3 \\pi}{2}, \\frac{7 \\pi}{2}, \\frac{11 \\pi}{2}, \\cdots \\) 에서 생긴다.", "</li></ol><p>보기 9.4.1 \\( y=\\sin x \\) 의 변환의 그래프</p><p>\\( y=\\sin x \\) 의 그래프를 사용하여 \\( y=\\sin \\left(x-\\frac{\\pi}{4}\\right) \\) 의 그래프를 그려라.", "</p><p>풀이</p><p>그림 9.4.3은 \\( y=\\sin \\left(x-\\frac{\\pi}{4}\\right) \\) 의 그래프를 그리는 단계를 설명해준다.", "</p><p>\\( x \\) 대신에 \\( x-\\frac{\\pi}{4} \\) 로 바꾼다. \\", "( \\frac{\\pi}{4} \\) 단위 오른쪽으로 가로 이동한다.", "</p><p>보기 \\( 9.4 .2 y=\\sin x \\) 의 변환의 그래프</p><p>\\( y=\\sin x \\) 의 그래프를 사용하여 \\( y=-\\sin x+2 \\) 의 그래프를 그려라.", "</p><p>풀이</p><p>그림 9.4.4는 \\( y=-\\sin x+2 \\) 의 그래프를 그리는 단계를 설명해준다.", "</p><p>-1 배를 한다. \\", "( x \\)-축에 대하여 반사한다.", "</p><p>2 를 더한다.", "세로 이동한다.", "</p><p>다음으로 \\( y=\\cos x \\) 의 그래프에 대하여 살펴보자.", "</p><p>코사인 함수 역시 주기 \\( 2 \\pi \\) 를 갖는다. \\", "( 0 \\leq x \\leq 2 \\pi \\)에서 \\( y=\\cos x \\) 의 그래프 위의 몇 개의 점들을 정하는 표 9.4.2를 만듦으로써 사인 함수를 취급하였던 것처럼 진행한다.", "</p><table border><tbody><tr><td>\\( x \\)</td><td>\\( y=cos x\\)</td><td>\\((x, y) \\)</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>\\((0, 1) \\)</td></tr><tr><td>\\( \\frac{\\pi}{3} \\)</td><td>\\( \\frac{1}{2} \\)</td><td>\\(( \\frac{\\pi}{3}, \\frac{1}{2}) \\)</td></tr><tr><td>\\( \\frac{\\pi}{2} \\)</td><td>0</td><td>\\((\\frac{\\pi}{2} , 0) \\)</td></tr><tr><td>\\( \\frac{2\\pi}{3} \\)</td><td>\\( -\\frac{1}{2} \\)</td><td>\\((\\frac{2\\pi}{3}, -\\frac{1}{2} ) \\)</td></tr><tr><td>\\(\\pi \\)</td><td>-1</td><td>\\((\\pi , -1) \\)</td></tr><tr><td>\\( \\frac{4\\pi}{3} \\)</td><td>\\( -\\frac{1}{2} \\)</td><td>\\(( \\frac{4\\pi}{3}, -\\frac{1}{2}) \\)</td></tr><tr><td>\\( \\frac{3\\pi}{2} \\)</td><td>0</td><td>\\((\\frac{3\\pi}{2},0) \\)</td></tr><tr><td>\\( \\frac{15\\pi}{3} \\)</td><td>\\( \\frac{1}{2} \\)</td><td>\\((\\frac{15\\pi}{3}, \\frac{1}{2}) \\)</td></tr><tr><td>\\(2\\pi \\)</td><td>1</td><td>\\((2\\pi , 1) \\)</td></tr></tbody></table><p></p> <p>이제 \\( y=\\tan x \\) 함수의 성질에 대하여 살펴보기로 하자.", "</p><p>탄젠트함수는 주기 \\( \\pi \\) 를 갖기 때문에, 길이가 \\( \\pi \\) 인 어떤 구간 위에서만 이 그래프를 결정할 필요가 있다.", "탄젠트 함수의 그래프의 나머지는 이 부분의 반복으로 이루어진다.", "탄젠트 함수는 \\( \\cdots,-\\frac{3 \\pi}{2},-\\frac{\\pi}{2}, \\frac{\\pi}{2}, \\frac{3 \\pi}{2}, \\cdots \\) 에서 정의되지 않기 때문에, 길이가 \\( \\pi \\) 인 구간 \\( \\left(-\\frac{\\pi}{2}, \\frac{\\pi}{2}\\right) \\) 에 집중하여, \\( y=\\tan x\\left(-\\frac{\\pi}{2}<x<\\frac{\\pi}{2}\\right) \\) 의 그래프 위에 있는 몇 개의 점의 목록을 작성한, 표 \\( 9.4 .3 \\) 을 만들 것이다.", "</p><p>\\( y=\\tan x \\) 의 그래프의 1 주기를 완성하기 위하여, \\( x \\) 가 \\( -\\frac{\\pi}{2} \\) 와 \\( \\frac{\\pi}{2} \\) 에 접근할 때 이 함수의 행동을 조사할 필요가 있다.", "이 행동을 결정하기 위하여, 다음의 항등식을 사용한다. \\", "[\\tan x=\\frac{\\sin x}{\\cos x} .\\]", "</p><p>\\( \\frac{\\pi}{2} \\) 보다 작은 값을 유지하면서, \\( x \\) 가 \\( \\frac{\\pi}{2} \\) 의 근처에 있으면, \\( \\sin x \\) 는 \\( 1 \\) 의 근처이고, \\( \\cos x \\) 는 양이고 \\( 0 \\) 의 근처에 있을 것이다(사인 함수와 코사인 함수의 그래프를 다시 참고하라).", "</p><p>따라서 비 \\( \\frac{\\sin x}{\\cos x} \\) 는 큰 양수가 될 것이다.", "실로, \\( x \\) 가 \\( \\frac{\\pi}{2} \\) 에 더 가까운 값을 취할수록, \\( \\sin x \\) 는 1 에 \\( \\cos x \\) 는 0 에 점점 더 가깝게 된다.", "그러므로 \\( \\tan x \\) 는 \\( \\infty \\) 에 접근한다.", "즉, \\(\\begin{array}{} \\lim \\tan x=\\infty \\\\ x \\rightarrow \\frac{\\pi^-}{2} \\end{array}\\).", "바꾸어 말하면, 세로 직선 \\( x=-\\frac{\\pi}{2} \\) 는 역시 이 그래프의 점근선 \\( x \\rightarrow \\frac{\\pi}{2}^{-} \\)이다.", "그림 9.4.15를 보라.", "</p><p>\\( -\\frac{\\pi}{2} \\) 보다 큰 값을 유지하면서, \\( x \\) 가 \\( -\\frac{\\pi}{2} \\) 에 가까우면, \\( \\sin x \\) 는 \\( -1 \\) 에 가깝고, \\( \\cos x^{\\frac{2}{2}} \\) 양이고 \\(0\\) 에 가까울 것이다.", "따라서 비 \\( \\frac{\\sin x}{\\cos x} \\) 는 \\( -\\infty \\) 에 접근한다.", "</p><p>즉, \\(\\begin{array}{} \\lim \\tan x=-\\infty \\\\ x \\rightarrow \\frac{\\pi^+}{2} \\end{array}\\).", "바꾸어 말하면, 세로 직선 \\( x=\\frac{\\pi}{2} \\) 역시 \\( y=\\tan x \\) 의 그래프의 세로 점근선이다.", "</p><p>지금까지의 논의를 통하여, \\( y=\\tan x \\) 의 그래프의 1 주기를 완성할 수 있다.", "그림 9.4.15에서 보이듯이, 이 주기를 반복함으로씨 \\( y=\\tan x \\) 의 완전한 그래프를 얻는다.", "</p><p>\\( y=\\tan x \\) 의 그래프는 이미 탄젠트함수에 대하여 알고 있는 몇 가지 사실을 설명해 준다.", "</p><p>\\( y=\\tan x \\) 함수의 성질</p><ol type=1 start=1><li>정의역 \\( =\\left\\{x \\in \\mathbb{R}: x \\neq \\frac{(2 n+1) \\pi}{2}, n \\in \\mathbb{Z}\\right\\} \\).", "</li><li>치역 \\( =\\mathbb{R} \\).", "</li><li>탄젠트 함수의 그래프는 원점에 관하여 대칭이다.", "즉, 탄젠트 함수는 홀함수이다.", "</li><li>탄젠트 함수는 주기 \\( \\pi \\) 를 갖는 주기함수이다.", "</li><li>\\( x \\)-절편 : \\( \\cdots,-2 \\pi,-\\pi, 0, \\pi, 2 \\pi, 3 \\pi, \\cdots \\); \\( y \\)-절편 : 0 .</li><li>세로점근선은 \\( x=\\cdots,-\\frac{3 \\pi}{2},-\\frac{\\pi}{2}, \\frac{\\pi}{2}, \\frac{3 \\pi}{2}, \\cdots \\) 에서 생긴다.", "</li></ol>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "미분적분을 위한 기초수학의 이해", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "772a8b07-d86a16df-dd68-41d8-b199-d04d9c858cac", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961053846", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2011", "doc_author": [ "이건창", "안성수" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }
112	<h1>1.1 집합(Set)</h1><p>직관적으로 어떤 대상들의 모입을 집합(set)이라 하고 집합 \( X \) 의 구성원올 원소 (element)라 한다.</p><p>어떤 \( x \) 가 집합 \( X \) 의 원소인지 \( (x \in X) \), 원소가 아닌지 \( (x \notin X) \) 가 명확해야 한다. 집합 \( X \) 가 주어진 성질 \( P \) 를 만족하는 원소의 모임이면 \[X=\{x \mid P(x)\}\]로 나타낸다.</p><p>예 1.1.1 성질 \( P \) 가 정수라고 하면 정수의 집합 \( \mathbb{Z}=\{n \mid n \) 은 정수 \( \} \) \[=\{\ldots,-2,-1,0,1,2, \ldots\}\]으로 나타낸다.</p><p>집합 \( X \) 의 원소의 개수가 유한이면 유한집합(finite set), 무한이면 무한집합 (infinite set), 하나이면 단집합(singleton set), 없으면 공집합 \( \phi \) (empty set)이라한다.</p><p>두 집합 \( X, Y \) 에 대하여 \( X \) 의 모든 원소가 \( Y \) 의 원소이면 \( (x \in X \Rightarrow x \in Y) \) \( X \) 는 \( Y \) 의 부분집합(subset)이라 하고, \( X \subset Y \) 로 나타낸다. \( X \) 가 \( Y \) 의 부분집합이고 \( (X \subset Y) \quad Y \) 가 \( X \) 의 부분집합 \( (Y \subset X) \) 일 때 두 집합이 같다(equal)고 하고, \( X=Y \) 로 나타낸다. 집합 \( X \) 가 \( Y \) 의 부분집합이고 같지 않을 때 \( X \) 를 \( Y \)의 진부분집합(proper subset)이라 하고, \( X \subsetneq Y \) 로 나타낸다.</p><p>집합 \( X \) 의 두 부분집합 \( A_{1} \) 과 \( A_{2} \) 가 서로소(disjoint)란 교집합 \( A_{1} \cap A_{2}=\varnothing \)이 공집합입을 의미한다.</p><p>집합에 대한 여러 가지 용어와 성질은 집합론에서 다룬 것으로 하자.</p><p>주의 [러셀의 패러독스] \( M=\{A \mid A \notin A\} \) 은 집합인가?</p> <p>정의 1. 1. 1</p><p>(1) 집합족(family of sets) \( \left\{X_{\alpha} \mid \alpha \in I\right\} \) 에 대하여 적집합(product set)은 \[\prod_{\alpha \in I} X_{\alpha}=\left\{\left(x_{\alpha}\right)_{\alpha \in I} \mid \text { 각 } \alpha \in I \text { 에 대하여 } x_{\alpha} \in X_{\alpha}\right\} \]라고 정의한다.</p><p>(2) 집합 \( X \) 의 원소들 사이에 관계 \( \leq \) 가 \( x, y, z \in X \) 에 대하여<ol type=i start=1><li>\( x \leq x \)</li><li>\( x \leq y \) 이고 \( y \leq x \) 이면 \( x=y \)</li><li>\( x \leq y \) 이고 \( y \leq z \) 이면 \( x \leq z \)</li></ol>가 성립할 때, 관계 \( \leq \) 를 부분순서(partial order)라 하고 쌍 \( (X, \leq) \) 를 부분순서집합(partially ordered set)이라 한다.</p><p>(3) 부분순서집합 \( (X, \leq) \) 에서 입의의 두 원소 \( x, y \in X \) 사이에 \( x \leq y \), \( x=y, y \leq x \) 중 하나가 성립하면 \( \leq \) 를 전순서(total order)라 하고, 이때 \( (X, \leq) \)를 전순서집합(totally ordered set)이라 한다.</p><p>(4) 부분순서집합 \( (X, \leq) \) 에서 원소 \( x_{0} \in X \) 가 극대원소(maximal element)이면 원소 \( x \in X \) 가 \( x_{0} \leq x \) 일 때 \( x=x_{0} \) 가 성립한다. 반대로 \( x_{0} \in X \)가 극소원소(minimal element)이면 원소 \( x \in X \) 가 \( x \leq x_{0} \) 일 때 \( x=x_{0} \)가 성립한다.</p><p>부분집합 \( A \subset X \) 에서 모든 \( a \in A \) 에 대하여 \( x \in X \) 가 존재하여 \( a \leq x \) 이면 \( A \) 를 위로 유계(bounded above)라 한다.</p><p>같은 방법으로, 아래로 유계(bounded below)는 부등호를 반대로 \( x \leq a \)로 정의한다.</p><p>[Zorn의 보조정리] 부분순서집합 \( (X, \leq) \) 의 입의의 전순서부분집합이 위로 유계이면 \( X \) 는 극대원소를 갖는다.</p><p>정의 1.1.2 (1) 집합 \( X \) 상에 관계 가 다음 세 가지 조건을 만족할 때 \( \sim \) 을 \( X \) 상의 동치관계(equivalence relation)라 한다.</p><ol type=i start=1><li>(i) \( x \sim x \), 모든 원소 \( x \in X \)</li><li>\( x \sim y \) 이면 \( y \sim x, x, y \in X \)</li><li>\( x \sim y \) 이고 \( y \sim z \) 이면 \( x \sim z, x, y, z \in X \)</li></ol><p>(2) 집합 \( X \) 상에 동치류 \( \sim \) 가 정의될 때, \( x \in X \) 에 대하여 \[[x]=\{y \mid y \in X, x \sim y\}\]를 \( x \) 의 동치류(equivalence class)라 한다. 집합 \( \mathrm{X} / \sim=\{[x] \mid x \in X\} \)를 상집합(quotient set)이라 한다.</p><p>정리 1.1.1 \( X \) 상의 관계 \( \sim \) 가 동치관계일 때, (1) 각 \( x, y \in X \) 에 대하여 \( [x]=[y] \) 혹은 \( [x] \cap[y]=\phi \) 이다.</p><p>(2) \( X=\cup\{[x] \mid x \in X\} \) 는 동치류에 의하여 분할(partition)이 된다. 여기서 분할은 서로소(disjoint)인 부분집합의 합집합을 의미한다.</p> <h1>1.2 함수(Function)</h1><p>두 집합 \( X, Y \) 에 대하여 \( X \) 의 각 원소 \( x \) 에 \( Y \) 의 한 원소 \( y \) 를 대응시키는 규칙 \( f \) 를 \( X \) 에서 \( Y \) 로의 함수(function)라 하고, 기호로 \[f: X \rightarrow Y\]로 나타내고 \( f(x)=y \) 로 쓰며, \( y \) 를 \( f \) 에 의한 \( x \) 의 상(image) 혹은 값(value)이라 한다. \( X \) 를 정의역(domain), \( Y \) 를 공역(codomain), \( f(X)=\{f(x) \in Y \mid x \) \( \in X\} \) 를 치역(range)이라 한다.</p><p>두 함수 \( f, g: X \rightarrow Y \) 가 같다는 것은 모든 \( x \in X \) 에 대하여 \( f(x)=g(x) \)를 의미하며 \( f=g \) 로 나타낸다.</p><p>주의<ol type=1 start=1><li>통상 교재에서 쓰는 함수 또는 사상을 이 책에서는 함수라고 한다.</li><li>집합론이나 학부 1, 2 학년에서 함수의 성질(합성함수, 역함수, 단사함수, 전사함수 등)을 다룬 것으로 한다.</li><li>함수의 정의에서 정의역이 공집합이면 공함수가 있으나, 정의역이 공집합이 아니고 공역이 공집합이면 함수는 없다</li></ol></p><p>이 책에서 쓰일 몇 가지 용어를 설명한다.</p><p>정의 \( 1.2 .1 \)<ol type=1 start=1><li>두 집합 \( X, Y \) 가 같은 농도(cardinality)를 갖는다는 것은 전단사함수\( f: X \rightarrow Y \) 가 존재함을 의미한다.</li><li>집합 \( X \) 가 유한집합이거나 자연수 집합 \( \mathbb{N} \) 과 같은 농도를 가질 때 \( X \)를 가산집합(countable set)이라 하고, 가산집합이 아닌 집합을 비가산집합(uncountable set)이라 한다.</li></ol></p><p>예 1.2.1<ol type=1 start=1><li>정수 집합 \( \mathbb{Z} \) 와 유리수 집합 \( \mathbb{Q} \) 는 가산집합이다.</li><li>열린구간 \( (0,1) \), 실수 집합 \( \mathbb{R} \) 은 비가산집합이다.</li></ol></p><p>[선택공리] 공집합이 아닌 집합들의 집합족 \( \left\{X_{\alpha} \mid \alpha \in I\right\} \) 에 대하여 \( f: I \rightarrow \) \( \bigcup_{\alpha \in I} X_{\alpha} \), 각 \( \alpha \in I \) 에 \( f(\alpha) \in X_{\alpha} \)를 만족하는 함수가 존재한다.</p><p>따라서 적집합은 \( \prod_{\alpha \in I} X_{\alpha}=\left\{f: I \rightarrow \bigcup_{\alpha \in I} X_{\alpha} \mid\right. \) 각 \( \alpha \in I \) 에 대하여 \( \left.f(\alpha) \in X_{\alpha}\right\} \)이고, 각 \( \alpha \) 에 대하여 사영함수 \( p_{\alpha}: \prod_{\alpha \in I} X_{\alpha} \rightarrow X_{\alpha}, p_{\alpha}(f)=f(\alpha) \) 가 잘 정의된다.</p>	기하학	[ "<h1>1.1 집합(Set)</h1><p>직관적으로 어떤 대상들의 모입을 집합(set)이라 하고 집합 \\( X \\) 의 구성원올 원소 (element)라 한다.", "</p><p>어떤 \\( x \\) 가 집합 \\( X \\) 의 원소인지 \\( (x \\in X) \\), 원소가 아닌지 \\( (x \\notin X) \\) 가 명확해야 한다.", "집합 \\( X \\) 가 주어진 성질 \\( P \\) 를 만족하는 원소의 모임이면 \\[X=\\{x \\mid P(x)\\}\\]로 나타낸다.", "</p><p>예 1.1.1 성질 \\( P \\) 가 정수라고 하면 정수의 집합 \\( \\mathbb{Z}=\\{n \\mid n \\) 은 정수 \\( \\} \\) \\[=\\{\\ldots,-2,-1,0,1,2, \\ldots\\}\\]으로 나타낸다.", "</p><p>집합 \\( X \\) 의 원소의 개수가 유한이면 유한집합(finite set), 무한이면 무한집합 (infinite set), 하나이면 단집합(singleton set), 없으면 공집합 \\( \\phi \\) (empty set)이라한다.", "</p><p>두 집합 \\( X, Y \\) 에 대하여 \\( X \\) 의 모든 원소가 \\( Y \\) 의 원소이면 \\( (x \\in X \\Rightarrow x \\in Y) \\) \\( X \\) 는 \\( Y \\) 의 부분집합(subset)이라 하고, \\( X \\subset Y \\) 로 나타낸다. \\", "( X \\) 가 \\( Y \\) 의 부분집합이고 \\( (X \\subset Y) \\quad Y \\) 가 \\( X \\) 의 부분집합 \\( (Y \\subset X) \\) 일 때 두 집합이 같다(equal)고 하고, \\( X=Y \\) 로 나타낸다.", "집합 \\( X \\) 가 \\( Y \\) 의 부분집합이고 같지 않을 때 \\( X \\) 를 \\( Y \\)의 진부분집합(proper subset)이라 하고, \\( X \\subsetneq Y \\) 로 나타낸다.", "</p><p>집합 \\( X \\) 의 두 부분집합 \\( A_{1} \\) 과 \\( A_{2} \\) 가 서로소(disjoint)란 교집합 \\( A_{1} \\cap A_{2}=\\varnothing \\)이 공집합입을 의미한다.", "</p><p>집합에 대한 여러 가지 용어와 성질은 집합론에서 다룬 것으로 하자.", "</p><p>주의 [러셀의 패러독스] \\( M=\\{A \\mid A \\notin A\\} \\) 은 집합인가?", "</p> <p>정의 1. 1. 1</p><p>(1) 집합족(family of sets) \\( \\left\\{X_{\\alpha} \\mid \\alpha \\in I\\right\\} \\) 에 대하여 적집합(product set)은 \\[\\prod_{\\alpha \\in I} X_{\\alpha}=\\left\\{\\left(x_{\\alpha}\\right)_{\\alpha \\in I} \\mid \\text { 각 } \\alpha \\in I \\text { 에 대하여 } x_{\\alpha} \\in X_{\\alpha}\\right\\} \\]라고 정의한다.", "</p><p>(2) 집합 \\( X \\) 의 원소들 사이에 관계 \\( \\leq \\) 가 \\( x, y, z \\in X \\) 에 대하여<ol type=i start=1><li>\\( x \\leq x \\)</li><li>\\( x \\leq y \\) 이고 \\( y \\leq x \\) 이면 \\( x=y \\)</li><li>\\( x \\leq y \\) 이고 \\( y \\leq z \\) 이면 \\( x \\leq z \\)</li></ol>가 성립할 때, 관계 \\( \\leq \\) 를 부분순서(partial order)라 하고 쌍 \\( (X, \\leq) \\) 를 부분순서집합(partially ordered set)이라 한다.", "</p><p>(3) 부분순서집합 \\( (X, \\leq) \\) 에서 입의의 두 원소 \\( x, y \\in X \\) 사이에 \\( x \\leq y \\), \\( x=y, y \\leq x \\) 중 하나가 성립하면 \\( \\leq \\) 를 전순서(total order)라 하고, 이때 \\( (X, \\leq) \\)를 전순서집합(totally ordered set)이라 한다.", "</p><p>(4) 부분순서집합 \\( (X, \\leq) \\) 에서 원소 \\( x_{0} \\in X \\) 가 극대원소(maximal element)이면 원소 \\( x \\in X \\) 가 \\( x_{0} \\leq x \\) 일 때 \\( x=x_{0} \\) 가 성립한다.", "반대로 \\( x_{0} \\in X \\)가 극소원소(minimal element)이면 원소 \\( x \\in X \\) 가 \\( x \\leq x_{0} \\) 일 때 \\( x=x_{0} \\)가 성립한다.", "</p><p>부분집합 \\( A \\subset X \\) 에서 모든 \\( a \\in A \\) 에 대하여 \\( x \\in X \\) 가 존재하여 \\( a \\leq x \\) 이면 \\( A \\) 를 위로 유계(bounded above)라 한다.", "</p><p>같은 방법으로, 아래로 유계(bounded below)는 부등호를 반대로 \\( x \\leq a \\)로 정의한다.", "</p><p>[Zorn의 보조정리] 부분순서집합 \\( (X, \\leq) \\) 의 입의의 전순서부분집합이 위로 유계이면 \\( X \\) 는 극대원소를 갖는다.", "</p><p>정의 1.1.2 (1) 집합 \\( X \\) 상에 관계 가 다음 세 가지 조건을 만족할 때 \\( \\sim \\) 을 \\( X \\) 상의 동치관계(equivalence relation)라 한다.", "</p><ol type=i start=1><li>(i) \\( x \\sim x \\), 모든 원소 \\( x \\in X \\)</li><li>\\( x \\sim y \\) 이면 \\( y \\sim x, x, y \\in X \\)</li><li>\\( x \\sim y \\) 이고 \\( y \\sim z \\) 이면 \\( x \\sim z, x, y, z \\in X \\)</li></ol><p>(2) 집합 \\( X \\) 상에 동치류 \\( \\sim \\) 가 정의될 때, \\( x \\in X \\) 에 대하여 \\[[x]=\\{y \\mid y \\in X, x \\sim y\\}\\]를 \\( x \\) 의 동치류(equivalence class)라 한다.", "집합 \\( \\mathrm{X} / \\sim=\\{[x] \\mid x \\in X\\} \\)를 상집합(quotient set)이라 한다.", "</p><p>정리 1.1.1 \\( X \\) 상의 관계 \\( \\sim \\) 가 동치관계일 때, (1) 각 \\( x, y \\in X \\) 에 대하여 \\( [x]=[y] \\) 혹은 \\( [x] \\cap[y]=\\phi \\) 이다.", "</p><p>(2) \\( X=\\cup\\{[x] \\mid x \\in X\\} \\) 는 동치류에 의하여 분할(partition)이 된다.", "여기서 분할은 서로소(disjoint)인 부분집합의 합집합을 의미한다.", "</p> <h1>1.2 함수(Function)</h1><p>두 집합 \\( X, Y \\) 에 대하여 \\( X \\) 의 각 원소 \\( x \\) 에 \\( Y \\) 의 한 원소 \\( y \\) 를 대응시키는 규칙 \\( f \\) 를 \\( X \\) 에서 \\( Y \\) 로의 함수(function)라 하고, 기호로 \\[f: X \\rightarrow Y\\]로 나타내고 \\( f(x)=y \\) 로 쓰며, \\( y \\) 를 \\( f \\) 에 의한 \\( x \\) 의 상(image) 혹은 값(value)이라 한다. \\", "( X \\) 를 정의역(domain), \\( Y \\) 를 공역(codomain), \\( f(X)=\\{f(x) \\in Y \\mid x \\) \\( \\in X\\} \\) 를 치역(range)이라 한다.", "</p><p>두 함수 \\( f, g: X \\rightarrow Y \\) 가 같다는 것은 모든 \\( x \\in X \\) 에 대하여 \\( f(x)=g(x) \\)를 의미하며 \\( f=g \\) 로 나타낸다.", "</p><p>주의<ol type=1 start=1><li>통상 교재에서 쓰는 함수 또는 사상을 이 책에서는 함수라고 한다.", "</li><li>집합론이나 학부 1, 2 학년에서 함수의 성질(합성함수, 역함수, 단사함수, 전사함수 등)을 다룬 것으로 한다.", "</li><li>함수의 정의에서 정의역이 공집합이면 공함수가 있으나, 정의역이 공집합이 아니고 공역이 공집합이면 함수는 없다</li></ol></p><p>이 책에서 쓰일 몇 가지 용어를 설명한다.", "</p><p>정의 \\( 1.2 .1 \\)<ol type=1 start=1><li>두 집합 \\( X, Y \\) 가 같은 농도(cardinality)를 갖는다는 것은 전단사함수\\( f: X \\rightarrow Y \\) 가 존재함을 의미한다.", "</li><li>집합 \\( X \\) 가 유한집합이거나 자연수 집합 \\( \\mathbb{N} \\) 과 같은 농도를 가질 때 \\( X \\)를 가산집합(countable set)이라 하고, 가산집합이 아닌 집합을 비가산집합(uncountable set)이라 한다.", "</li></ol></p><p>예 1.2.1<ol type=1 start=1><li>정수 집합 \\( \\mathbb{Z} \\) 와 유리수 집합 \\( \\mathbb{Q} \\) 는 가산집합이다.", "</li><li>열린구간 \\( (0,1) \\), 실수 집합 \\( \\mathbb{R} \\) 은 비가산집합이다.", "</li></ol></p><p>[선택공리] 공집합이 아닌 집합들의 집합족 \\( \\left\\{X_{\\alpha} \\mid \\alpha \\in I\\right\\} \\) 에 대하여 \\( f: I \\rightarrow \\) \\( \\bigcup_{\\alpha \\in I} X_{\\alpha} \\), 각 \\( \\alpha \\in I \\) 에 \\( f(\\alpha) \\in X_{\\alpha} \\)를 만족하는 함수가 존재한다.", "</p><p>따라서 적집합은 \\( \\prod_{\\alpha \\in I} X_{\\alpha}=\\left\\{f: I \\rightarrow \\bigcup_{\\alpha \\in I} X_{\\alpha} \\mid\\right. \\)", "각 \\( \\alpha \\in I \\) 에 대하여 \\( \\left.f(\\alpha) \\in X_{\\alpha}\\right\\} \\)이고, 각 \\( \\alpha \\) 에 대하여 사영함수 \\( p_{\\alpha}: \\prod_{\\alpha \\in I} X_{\\alpha} \\rightarrow X_{\\alpha}, p_{\\alpha}(f)=f(\\alpha) \\) 가 잘 정의된다.", "</p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "415", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "위상수학", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "772a8b07-c855376d-c9bc-4d2a-b2d9-4647e198249b", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961053365", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2010", 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113	<h1>1.4 대칭원리</h1><p>\( A \)와 \( B \)가 중심인 원이 직각으로 만난다고 하자. \( A \)에서 나온 사선이 원 \( B \)와 \( P \)와 \( Q \)에서 만난다고 가정하자.</p><p>\( M \)을 원 \( A \)와 \( B \)의 두 교점 중의 하나라 하고(여기서의 논의는 두 교점 중의 어느 것을 \( M \)으로 선택하는지에 관계없이 성립한다. -단지 \( P \)와 \( Q \)의 역할이 바뀐다면 약간의 변형이 필요할 뿐이다.) \( M N \)을 원 \( B \)의 지름이라 하자. 그러면 \[\angle A Q M=\angle P N M=\frac{\pi}{2}-\angle P M N=\angle A M P\]이고, 따라서\[\triangle A M P \sim \triangle A Q M\]이다. (이 장에서는, 우리가 두 삼각형이 닮았다고 할 때 더 이상 그것들이 같은 방향을 갖는다고 하지 않음을 유의하라.) 그러므로, \( r \)이 원 \( A \)의 반지름일 때, \[\overline{A P}: \overline{A M}=\overline{A M}: \overline{A Q}\]가 성립하고, 따라서 \[\overline{A P} \cdot \overline{A Q}=\overline{A M}^{2}=r^{2}\]을 얻는다. 특히, 점 \( Q \)는 원 \( B \)가 원 \( A \)에 직교하고 점 \( P \)를 지난다는 의미에서 원 \( B \)에 의존한다. 그러나 무한개의 그러한 원이 존재한다.</p><p>두 점 \( P \)와 \( Q \) 모두가 (원의 중심) \( A \)로부터의 사선 위에 있고, \( r \)이 원 \( A \)의 반지름이라면, 위의 마지막 등식을 만족하는 \( P \)와 \( Q \)는 원 \( A \)에 관해 서로 대칭(또는 서로의 반전)이라고 한다.</p><p>원의 중심과 무한점은 서로 대칭인 반면, 원 위의 점은 자기 자신과 대칭이다. 원이 직선으로 퇴화한다면, 두 점이 대칭일 필요충분조건은 직선에 관해 서로의 반사인 것이다.</p><p>지금까지 다음 정리의 첫 반을 증명하였다.</p><p>[보조정리 1.1] 원 \( B \)가 원 \( A \)에 직교하고 점 \( P \)를 지나면, 이것은 또한 원 \( A \)에 관해 점 \( P \)와 대칭인 점 \( Q \)를 지나야만 한다. 역으로, 원 \( B \)가 원 \( A \)에 관해 서로 대칭인 한 쌍의 점 \( P \)와 \( Q \)를 지나면, 원 \( A \)와 \( B \)는 서로 직교한다.</p><p>증명 역의 증명은 위의 논의를 단순히 되짚어 감으로써 얻을 수 있다. 위에서와 같은 기호를 써서, 가정에 의해 \( \overline{A P} \cdot \overline{A Q}=\overline{A M}^{2}, \quad \) 즉, \( \overline{A P}: \overline{A M}=\overline{A M}: \overline{A Q} \)를 얻는다. 그러므로 \( \triangle A M P \sim \triangle A Q M \)가 된다. 따라서\[\angle A M P=\angle A Q M=\angle P N M=\frac{\pi}{2}-\angle P M N\]이 되고, 결과적으로 \[\angle A M B=\frac{\pi}{2}\]를 얻게 된다.</p><p>[정리 1.9 (대칭원리)] 뫼비우스 변환은 대칭을 보존한다.</p><p>증명 한 쌍의 점 \( P, Q \)가 원 \( A \)에 관해 대칭이고, 뫼비우스 변환 \( T \)는 \( P, Q \)와 원 \( A \)를 각각 점 \( P^{\prime}, Q^{\prime} \)과 원 \( A^{\prime} \)으로 사상한다고 가정하자. \( P^{\prime}, Q^{\prime} \)이 원 \( A^{\prime} \)에 관해 대칭이 됨을 보이고자 한다.</p><p>\( B^{\prime} \)을 점 \( P^{\prime} \)을 지나고 원 \( A^{\prime} \)에 직교하는 원이라 하자. 그러면 이것의 역상\( T^{-1} B^{\prime} \)은 ( \( T^{-1} \)이 뫼비우스 변환이고 따라서 등각사상이므로) 원 \( A \)에 직교하는 원이고, 점 \( T^{-1} P^{\prime}=P \)를 지난다. 보조정리 1.1에 의해, 원 \( T^{-1} B^{\prime} \)은 또 한 점 \( Q \)를 반드시 지나야 한다. 따라서 원 \( B^{\prime} \)은 점 \( Q^{\prime} \)을 반드시 지나야 하고, 이는 \( Q^{\prime} \)이 \( A^{\prime} \)에 관해 \( P^{\prime} \)과 대칭임을 유도한다.</p><p>[예제 1.4] 단위원 \( \|z\|=1 \)을 단위원 \( \|w\|=1 \) 위로 사상하는 뫼비우스 변환은 반드시 \[w=k \frac{z-\alpha}{1-\bar{\alpha} z}, \quad(\|k\|=1,\|\alpha\| \neq 1)\]<caption>(1.2)</caption>의 형태이어야만 한다.</p><p>풀이 \( \alpha(\|\alpha\| \neq 1, \alpha \neq \infty) \)를 \( w=0 \)으로 사상되는 점이라 가정하면, 이것의(단위원에 관한) 대칭 상 \( \frac{1}{\bar{\alpha}} \)은 반드시 \( w=\infty \)로 사상되어야만 한다. 따라서, \[w=k^{\prime} \frac{z-\alpha}{z-\frac{1}{\bar{\alpha}}}=k \frac{z-\alpha}{1-\bar{\alpha} z} \quad\left(k=-\bar{\alpha} k^{\prime}\right)\]이다. \( \|z\|=1 \)일 때 \( \|w\|=1 \)이므로, \( z=1 \)로 놓으면, \[1=\|k\| \cdot\left\|\frac{1-\alpha}{1-\bar{\alpha}}\right\|=\|k\|\]를 얻는다. \( \alpha=\infty \)이면, 변환 \( w=\frac{k}{z} \)를 얻고, \( \|z\|=1 \)이면 \( \|w\|=1 \)이어야 하므로 \( \|k\|=1 \)을 얻는다. 역으로, \[w=k \frac{z-\alpha}{1-\bar{\alpha} z}, \quad(\|k\|=1,\|\alpha\| \neq 1)\]이라면, \( \|z\|=1 \)에 대해, \[\|w\|=\|k\| \cdot\left\|\frac{z-\alpha}{1-\bar{\alpha} z}\right\|=\left\|\frac{\bar{z}(z-\alpha)}{1-\bar{\alpha} z}\right\|=\left\|\frac{1-\alpha \bar{z}}{1-\bar{\alpha}z}\right\|=1\]이 된다. 따라서, 그렇게 얻은 뫼비우스 변환은 조건을 만족한다. \( z \)-평면의 단위원의 내부는 \( \|\alpha\|<1 \) 또는 \( \|\alpha\|>1 \)에 따라 \( w \)-평면의 단위원의 내부 또는 외부로 사상된다.</p><p>[예제 1.5] \( z \)-평면의 실축을 \( w \)-평면의 단위원 \( \|w\|=1 \)로 사상하는 뫼비우스 변환은 \[w=k \frac{z-\mu}{z-\bar{\mu}}, \quad(\|k\|=1, \mu \notin \mathbb{R})\]의 형태이어야만 한다.</p><p>풀이 \( w=0, \infty \)에 대응하는 \( z \)-평면의 점들은 실축에 관해 대칭이어야만 한다. 즉, 서로의 복소공액이다. 따라서 \[w=k \frac{z-\mu}{z-\bar{\mu}}, \quad(\mu \notin \mathbb{R})\]가 된다. \( z \)가 실수이면, \[ \left\|\frac{z-\mu}{z-\bar{\mu}}\right\|=1\]이고, \( w \)는 단위원 \( \|w\|=1 \) 위에 있어야 하고, 따라서 \( \|k\|=1 \)을 얻는다. 역으로, 위 형태의 뫼비우스 변환은 분명히 원하는 조건을 만족한다. 위반 \( z \)-평면은 \( \Im \mu>0 \) 또는 \( \Im \mu<0 \)에 따라 \( w \)-평면의 단위원 \( \|w\|=1 \)의 내부 또는 외부로 사상된다.</p> <p>1.8.5 다발군의 추이성. 완비 평면을 자신 위로 사상하는 변환 \( w=\mathfrak{T}(z) \)의 군 \( \mathcal{G} \)는, 영역 \( \mathcal{D} \) 안의 점 \( z_{1}, w_{1} \)의 모든 쌍에 대해서 \( w_{1}=\mathfrak{T}\left(z_{1}\right) \)을 만족하는 변환 \( \mathfrak{T} \)가 \( \mathcal{G} \) 안에 적어도 하나 있다면, 평면의 영역 \( \mathcal{D} \) 안에서 추이적이라 말한다. (또한 전평면이 될 수도 있는) 영역 \( \mathcal{D} \)를 군 \( \mathcal{G} \)의 추이성 영역이라 부른다.</p><p>군 \( \mathcal{G} \)는, \( p \)개의 점 중의 임의의 두 집합 \( z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{p} \) 와 \( w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{p} \)에 대해 \[w_{1}=\mathfrak{T}\left(z_{1}\right), w_{2}=\mathfrak{T}\left(z_{2}\right), \cdots,w_{p}=\mathfrak{T}\left(z_{p}\right)\]를 만족하는 \( \mathfrak{T} \)가 \( \mathcal{G} \) 안에 적어도 하나 존재한다면, \( \mathcal{D} \) 안에서 \( p \)-중 추이적이라 한다. 분명히 모든 \( p \)-중 추이적 군은 또한 같은 영역 \( \mathcal{D} \)에서 \( (p-1)\)-중 추이적이다. \( p=1 \)이면, 그 군은 단순히 추이적이다.</p><p>모든 뫼비우스 변환의 군 \( \mathcal{M} \)은 완비 평면에서 사중 추이적은 아니고 삼중 추이적이라는 것을 알고 있다. 실축은 모든 실 뫼비우스 변환의 군에 대해 삼중 추이성의 영역이다. 모든 정수형 뫼비우스 변환의 군은 (무한점이 빠진) 복소평면 \( \mathbb{C} \)에서 삼중 추이적이 아닌 이중 추이적이다.</p><p>다음 사실은 1장의 토의 내용에 대해 기본적인 중요성을 가진다.</p><p>[정리 1.15] 원의 다발 안의 반전사상의 곱으로 얻은 모든 뫼비우스 변환의 모든 군 \( \mathcal{G} \)는 영역 \( \mathcal{D} \) 안에서 이중 추이적이 아니고 단순 추이적이다. 타원형 다발의 군에 대해서, \( \mathcal{D} \)는 완비 평면이다. 포물형 다발의 군에 대해서 \( \mathcal{D} \)는 점 평면(즉, 한 점이 제거된 완비 평면)이다. 쌍곡형 다발의 비고유군에 대해서 \( \mathcal{D} \)는 원의 내부이다.</p><p>증명 세 군 \( \mathcal{R}, \mathcal{E}, \mathcal{U}_{+} \)에 대해 정리를 증명하면 충분하다.</p><p>(i) 타원형 다발의 경우에, 구가 그것의 중심에 관한 모든 회전변환의 군에 대해 단순 추이성의 영역임을 보이면 충분하다. 사실 구의 모든 점은 적당한 회전변환에 의해 구의 모든 다른 점으로 전위될 수 있다. 그러나 회전변환은 구 위의 두 점 사이의 거리를 보존한다. 따라서 주어진 점의 쌍은 다른 점의 모든 다른 쌍으로 바뀔 수 없다.</p><p>(ii) 비슷한 논의가 포물형의 경우에도 적용될 수 있다. 무한점이 빠진 복소평면은 유클리드 변환의 군 \( \mathcal{E} \)에 대한 단순 추이성의 영역이다. 점 \( z_{1}, z_{2} \)의 쌍이 다른 쌍 \( w_{1}, w_{2} \)로 전위되기 위한 필요충분조건은 \( \left\|w_{1}-w_{2}\right\|=\mid z_{1}-z_{2} \|\)인 것이다. 따라서 군은 이중 추이적이 아니다.</p><p>(iii) 쌍곡형 군 \( \mathcal{U}_{+} \)는 단위원 \( \|z\|<1 \)의 내부를 단순 추이성의 영역으로 갖는다. 사실 변환 (1.6)에 의해서 임의의 주어진 점 \( z_{1}\left(\left\|z_{1}\right\|<1\right) \)은 중심 0으로 사상될 것이지만, 두 번째 점을 지정된 위치로 취하도록 고안된 임의의 연속된 변환은 0에 관한 순수한 회전변환임이 보여졌고, 따라서 0으로부터의 거리를 보존한다.</p><p>첫 번째 두 경우에서 증명은 불변 거리함수, 즉 군의 모든 원소 \( \mathfrak{H} \)와 두 점 \( z_{1}, z_{2} \)에 대해 두 조건 \[d\left[\mathfrak{H}\left(z_{1}\right), \mathfrak{H}\left(z_{2}\right)\right]=d\left(z_{1}, z_{2}\right)\]<caption>(1.17)</caption>와 \[d\left(z_{1}, z_{2}\right) \neq 0 \quad\left(z_{1} \neq z_{2}\right) ; \quad d\left(z_{1}, z_{1}\right)=0\]<caption>(1.18)</caption>을 만족하는 함수 \( d\left(z_{1}, z_{2}\right) \)의 기하학적으로 분명한 존재성에 근거를 둔다.</p><p>세 번째 경우에 두 점 불변은 복비 \[d_{-1}\left(z_{1}, z_{2}\right)=\left(z_{1}, z_{2} ; \frac{1}{\bar{z}_{1}}, \frac{1}{\bar{z}_{2}}\right)\]<caption>(1.18)</caption>에 의해 주어진다. 실제로, \( w=\mathfrak{H}(z) \)를 군 \( \mathcal{U}_{+} \)의 원소로 두자. 그러면 \( \frac{1}{\bar{w}}=\mathfrak{H}\left(\frac{1}{\bar{z}}\right) \)이고, 따라서 \[d_{-1}\left(w_{1}, w_{2}\right)=\left(\mathfrak{H}\left(z_{1}\right), \mathfrak{H}\left(z_{2}\right) ; \mathfrak{H}\left(\frac{1}{\bar{z}_{1}}\right), \mathfrak{H}\left(\frac{1}{\bar{z}_{2}}\right)\right)=d_{-1}\left(z_{1}, z_{2}\right)\]이다. 따라서 쌍곡형의 경우의 증명은 두 다른 경우에서와 같은 방법에 의해 수행된다.</p><p>참고 완비 평면에서 모든 뫼비우스 변환의 군 \( \mathcal{M} \)은, 세 개의 주어진 서로 다른 점을 세 개의 주어진 서로 다른 점으로 보내는 하나이고, 하나 이상이 아닌, 뫼비우스 변환이 존재한다라는 강한 의미에서, '정확히 삼중 추이적'이라는 것을 얻을 수 있다. 정확히 삼중 추이적인 완비 평면을 자신으로 사상하는 모든 연속 변환의 군은 군 \( \mathcal{M} \)과 닮았다는 사실은 주목할 만하다. 이것은 완비 평면을 자신 위로 사상하는 (항등사상이 될 수도 있는) 위상학적 변환 이후에 주어진 삼중 추이적 군은 \( \mathcal{M} \)과 일치한다는 것을 의미한다.</p> <h1>1.3 복비</h1><p>뫼비우스 변환은 그것의 계수 사이의 비율에 의해 완전하게 결정된다. 따라서 세 조건이 주어지면 이 조건들을 만족하는 뫼비우스 변환을 찾을 수 있을 것이다. 특히, 원은 세 점에 의해 결정되고, 따라서 \( z \)-평면의 주어진 원을 \( w \)-평면의 주어진 원으로 사상하는 뫼비우스 변환을 찾을 수 있을 것이다.</p><p>다음 관찰로부터 시작하자. \[\frac{a w+b}{c w+d}=\frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}\]라 가정하자. \( w \)를 \( z \)에 관해 풀면, \( w \)를 \( z \)의 뫼비우스 변환으로 얻고, 더욱이 한쪽변의 분자가 0이 되면, 다른쪽 변의 분자도 또한 0이 되어야만 하고, 분모도 유사하게 관련된다. 따라서, 뫼비우스 변환이 \( z_{1}, z_{2}, z_{3} \)을 각각 \( w_{1}, w_{2}, w_{3} \)으로 사상한다면, \( \frac{w-w_{2}}{w-w_{3}}=k \frac{z-z_{2}}{z-z_{3}} \)로 쓸 수 있는데, 여기서 \( k \)는 나중에 결정되어야 할 상수이다. \( k \)의 값에 관계 없이, 뫼비우스 변환은 \( z_{2} \)와 \( z_{3} \)을 각각 \( w_{2} \)와 \( w_{3} \)으로 사상하는 이 등식에 의해 결정된다. 따라서, 남은 것은 \( z_{1} \)이 \( w_{1} \)에 대응하도록 \( k \)를 선택하는 것이다. 즉, \[\frac{w_{1}-w_{2}}{w_{1}-w_{3}}=k \frac{z_{1}-z_{2}}{z_{1}-z_{3}} .\] 마지막 등식을 \( k \)에 대해 풀고, 이것을 그 앞의 것에 대입하면(동일하게, 이 두 등식을 나눔으로써 \( k \)를 소거하면), \[ \frac{w-w_{2}}{w-w_{3}} / \frac{w_{1}-w_{2}}{w_{1}-w_{3}}=\frac{z-z_{2}}{z-z_{3}} / \frac{z_{1}-z_{2}}{z_{1}-z_{3}}\]<caption>(1.1)</caption>를 얻는다. 이것으로 \( z_{1}, z_{2}, z_{3} \)을 각각 \( w_{1}, w_{2}, w_{3} \)으로 사상하는 뫼비우스 변환을 얻는다. 즉, 다음 정리를 증명하였다.</p><p>[정리 1.5 (뫼비우스기하학의 기본정리)] 임의의 세 복소 점 \( z_{1}, z_{2}, z_{3} \)을 서로 다른 세 복소 점 \( w_{1}, w_{2}, w_{3} \)으로 사상하는 유일한 뫼비우스 변환이 존재한다.</p><p>[따름정리 1.1] 서로 다른 세 점으로 이루어진 모든 도형은 뫼비우스기하학에서 합동이다.</p><p>식 (1.1)의 왼쪽 식과 오른쪽 식은 각각 매우 중요하므로 별도의 이름과 정의를 갖는다.</p><p>[정의 1.3] 네 복소수 \( z, z_{1}, z_{2}, z_{3} \)의 복비는 다음과 같이 정의된 함수이다. \[\left(z, z_{1} ; z_{2}, z_{3}\right)=\frac{z-z_{2}}{z-z_{3}} \frac{z_{1}-z_{3}}{z_{1}-z_{2}} .\] \( z_{1}, z_{2} \)와 \( z_{3} \)이 상수라면 \( z \)의 함수로서 복비는 \( z_{1}, z_{2} \)와 \( z_{3} \)을 1, 0 과 \( \infty \)로 각각 보내는 유일한 뫼비우스 변환이다.</p><p>이제 위의 정리 1.5와 식 (1.1)에서, 이 뫼비우스 변환이 또한 \( z_{0} \)을 \( w_{0} \)으로 사상한다면, \[ \frac{w_{0}-w_{2}}{w_{0}-w_{3}} / \frac{w_{1}-w_{2}}{w_{1}-w_{3}}=\frac{z_{0}-z_{2}}{z_{0}-z_{3}} / \frac{z_{1}-z_{2}}{z_{1}-z_{3}},\] 즉, \[\left(w_{0}, w_{1} ; w_{2}, w_{3}\right)=\left(z_{0}, z_{1} ; z_{2}, z_{3}\right)\]을 얻어야만 한다. 즉 다음을 증명하였다.</p><p>[정리 1.6] 복비는 뫼비우스 변환에 의해 불변이다.</p><p>[따름정리 1.2] \( z_{0}, z_{1}, z_{2}, z_{3} \)을 각각 \( w_{0}, w_{1}, w_{2}, w_{3} \)으로 사상하는 뫼비우스 변환이 존재할 필요충분조건은 \[\left(w_{0}, w_{1} ; w_{2}, w_{3}\right)=\left(z_{0}, z_{1} ; z_{2}, z_{3}\right)\]인 것이다.</p><p>이 정리가 매우 일반적으로 유효하다는 것을 정당화하기 위해, 점 중의 하나가 \( \infty \)인 경우에 대해 이 점을 포함하는 인자를 단순히 제거함으로써 복비의 정의를 확장한다. 예를 들어, \( z_{0}=\infty \)이면, \[\left(z_{0}, z_{1} ; z_{2}, z_{3}\right)=\frac{z_{1}-z_{3}}{z_{1}-z_{2}}\]이다. 이것은 \[\begin{aligned}\left(z, z_{1} ; z_{2}, z_{3}\right) &=\frac{z-z_{2}}{z-z_{3}} / \frac{z_{1}-z_{2}}{z_{1}-z_{3}} \\&=\left(\frac{1-\frac{z_{2}}{z}}{1-\frac{z_{3}}{z}}\right) \cdot\left(\frac{z_{1}-z_{3}}{z_{1}-z_{2}}\right) \\& \longrightarrow \frac{z_{1}-z_{3}}{z_{1}-z_{2}} \quad(z \rightarrow \infty \text {일 때 })\end{aligned}\]임을 관찰해 보면 매우 자연스럽다.</p><p>따라서 주어진 점 \( z_{1}, z_{2}, z_{3} \in \mathbb{C} \)을 미리 지정된 서로 다른 세 점 \( w_{1}, w_{2} \), \( w_{3} \in \mathbb{C} \)으로 보내는 뫼비우스 변환을, \[\frac{w-w_{2}}{w-w_{3}} / \frac{w_{1}-w_{2}}{w_{1}-w_{3}}=\frac{z-z_{2}}{z-z_{3}} / \frac{z_{1}-z_{2}}{z_{1}-z_{3}}\]로 단순히 놓고 \( w \)에 관해 이 방정식을 풀면, 항상 뫼비우스 변환을 구할 수 있다. 대응 \( z_{j} \leftrightarrow w_{j}(j=1,2,3) \)가 뫼비우스 변환을 완전히 결정하므로, 원하는 뫼비우스 변환을 얻는다.</p><p>원은 그 위의 세 점에 의해 결정되고 뫼비우스 변환은 '원'을 '원'으로 사상하므로, \( z \)-평면의 주어진 원을 \( w \)-평면의 주어진 원으로 사상하는 뫼비우스 변환을 구할 수 있다. 더욱이, 첫 번째 원의 서로 다른 세 점은 두 번째 원의 서로 다른 세 점으로 사상될 수 있다.</p> <p>1.8.3 원의 다발의 표준형. 평면에서 모든 원의 속은, 알맞은 뫼비우스 변환에 의해 표준형<ul><li>타원형의 경우 : 0을 지나는 모든 직선</li><li>포물형의 경우: 실축에 평행한 모든 직선</li><li>쌍곡형의 경우 : 0을 중심으로 한 모든 원</li></ul>으로 변환될 수 있다. 이제 원의 다발에 대해 대응하는 상황을 설정할 것이다.</p><p>(i) 타원형 다발이 주어지면, 그것의 구 위의 상은 점 \( \mathbf{P} \)에 의해서 결정되는데, 대응하는 구면원의 평면이 이 점을 지난다. 구의 알맞은 회전변환에 의해 이 점 \( \mathbf{P} \)를 동차 좌표가 \( (0,0, \rho, 1)(0 \leq \rho=\mathbf{O P}<1) \)인 \( \zeta \)-축의 점으로 보낸다. 행렬 \[S=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & \tilde{\rho} & -\rho \tilde{\rho} \\0 & 0 & -\rho \tilde{\rho} & \tilde{\rho}\end{array}\right), \quad \tilde{\rho}=\frac{1}{\sqrt{1-\rho^{2}}}\]에 의해 주어진 사영변환은 단위구를 자신 위로 점 \( (0,0, \rho, 1) \)을 원점 \( \mathbf{O}= \) \( (0,0,0,1) \) 위로 사상한다. 두 개의 사용된 변환에 대해 주어진 타원형 다발을 허 단위원에 직교하는 모든 원의 계인 그것의 표준형으로 사상하는 평면상의 뫼비우스 변환이 대응한다.</p><p>(ii) 구 위의 포물형 다발은 구의 표면 위의 점 \( \mathbf{P} \)를 통과하는 모든 평면에 의해 구 위에서 잘린 원으로 구성된다. 회전변환은 이 점을 구의 남극 \( \mathrm{S} \)로 보낼 것이다. 그러면 이 다발은 평면에서 그것의 입체사영이 표준형(즉, 평면에서의 모든 직선)의 원소인 \( \mathbf{S} \)를 지나는 모든 원으로 이루어진다.</p><p>(iii) 구 위의 쌍곡형 다발은 구 밖의 점 \( \mathbf{P} \)를 지나는 평면과 구와의 교선으로 이루어진다. 사영변환에 의해 구를 자기자신으로, \( \mathrm{P} \)를 \( \zeta \)-축의 무한점으로 사상 할 수 있다. 그러면 다발은 평면이 \( \zeta \)-축에 평행인 구 위의 원으로 이루어진다. 따라서 모든 이러한 원은 적도에 수직이다. 사영변환은 주어진 쌍곡형 다발을 그것의 표준형, 즉 단위원에 수직인 모든 원의 다발로 변환하는 평면의 뫼비우스 변환에 대응한다.</p><p>참고 모든 원의 다발은 원 방정식의 계수 \( A, B, C, D \) 사이의 선형 동차 조건에 의해 해석적으로 정의될 수 있다. 주어진 다발을 그것의 표준형으로 바꾸는 뫼비우스 변환을 안다면, 그것의 원 위치에 주어진 다발에 대한 대응하는 조건이 이 방정식으로부터 유도될 수 있다.</p> <h1>1.5 한 쌍의 원</h1><p>\( z \)-평면의 원은 뫼비우스 변환에 의해 \( w \)-평면의 미리 지정된 원에 사상될 수 있음을 이미 보았다. 그러나 한 쌍의 원에 대해서는 어떤가? \(z\)-평면의 한 쌍의 원 \( C_{1} \)과 \( C_{2} \)를 \( w \)-평면의 미리 지정된 한 쌍의 원 \( C_{1}^{\prime} \)과 \( C_{2}^{\prime} \)으로 뫼비우스 변환에 의해 사상할 수 있는가? \( C_{1} \)과 \( C_{2} \)가 각 \( \theta \)로 만난다면, 뫼비우스 변환이 등각적이므로, \( C_{1}^{\prime} \)과 \( C_{2}^{\prime} \)도 또한 각 \( \theta \)로 만나야만 함은 분명하다. 그러나 이 조건이 만족되면, 그러한 뫼비우스 변환의 존재를 보장할 수 있는가?</p><p>답은 희망적이다. 이 주장을 증명하기 위해서는 각 \( \theta \)로 만나는 임의의 한 쌍의 원 \( C_{1} \)과 \( C_{2} \)가 뫼비우스 변환에 의해 실축과 직선 \( x \sin \theta-y \cos \theta=0 \)으로 사상될 수 있는지를 보이면 된다. (왜 이것으로 충분한가?) 그러나, 이것을 증명하기는 쉽다. \( C_{1} \)과 \( C_{2} \)의 교점의 하나를 무한점으로 보내면, \( C_{1} \)과 \( C_{2} \)의 상들은 각 \( \theta \)로 만나는 두 직선이다. 이 두 직선의 교점을 원점으로 평행이동시키고 알맞은 각에 의해 회전시키면 원하는 결론을 얻는다.</p><p>위의 논의에서 \( \theta \not \equiv 0(\bmod \pi) \)라 가정했다. (어디서 이 가정을 사용했는가?) 따라서, 한 쌍의 원 \( C_{1} \)과 \( C_{2} \)가 서로 접하면 어떤가? 서로 접하는 한 쌍의 원 \( C_{1} \)과 \( C_{2} \)는 뫼비우스 변환에 의해 미리 지정된 한 쌍의 서로 접하는 원 \( C_{1}^{\prime} \)과 \( C_{2}^{\prime} \)으로 사상될 수 있음을 주장한다. 다시, 한 쌍의 서로 접하는 원 \( C_{1} \)과 \( C_{2} \)는 뫼비우스 변환에 의해 한 쌍의 평행선 \( y=0 \)과 \( y=1 \)로 사상될 수 있음을 보이면 충분하다. 다시 한번 이것을 증명하기는 쉽다. 이 두 원의 접점을 무한점으로 사상하면, 원 \( C_{1} \)과 \( C_{2} \)의 상은 한 쌍의 평행선이 된다. 이제 평행이동과 확대변환(즉, 회전변환을 행한 후 확장변환)을 시행하면, 원하는 결과를 얻는다.</p><p>남은 것은 한 쌍의 만나지 않는 원의 경우를 살펴보는 것이다. 한 쌍의 만나지 않는 원은 뫼비우스 변환에 의해 한 쌍의 동심원으로 항상 사상될 수 있다. 이것을 보이기 위해, 먼저 원 중의 하나, 예를 들어 \( C_{2} \) 위에 점을 택하고, 이 점을 무한점으로 사상한다. 그러면, \( C_{1} \)과 \( C_{2} \)의 상은 서로 만나지 않는 원과 직선이다. 원을 \( K \)라 하고, 직선을 \( \ell \)이라 하자. \( m \)을 원 \( K \)의 중심을 지나고 직선 \( \ell \)에 직교하는 직선이라 하고, \( H \)를 직선 \( \ell \)과 \( m \)의 교점이라 하자. 교점 \( H \)는 원 \( K \)의 밖에 있음을 유의하라. 중심이 \( H \)이고 원 \( K \)에 직교하는 원 \( S \)를 그려라. (이것은 \( H \)에서 원 \( K \)로의 접선의 접점까지의 길이를 반지름으로 택함으로써 완성될 수 있다.) 마지막으로, 원 \( S \)와 직선 \( m \)의 교점의 하나(어느 것도 상관 없음)를 무한점으로 사상한다. 그러면, 원 \( K \)와 직선 \( \ell \)의 상들은 원 \( S \)와 직선 \( m \)의 상에 모두 직교하는 한 쌍의 원이다. 그러나 원 \( S \)와 직선 \( m \)의 상은 한 쌍의 직교 직선이다. 따라서 원 \( K \)와 직선 \( \ell \)의 상은 반드시 한 쌍의 동심원이어야 한다.</p><p>신중하게 유의하라. 임의의 만나지 않는 한 쌍의 원이 미리 지정된 한 쌍의 동심원에 사상될 수 있다는 것은 옳지 않다. 만나지 않는 한 쌍의 원이 주어질 때, 주어진 한 쌍의 원이 사상될 수 있는 한 쌍의 동심원의 반지름의 비는 우리가 어떤 영향도 끼칠 수 없는 내재적 성질이다.</p> <p>[정리 1.7] 네 점 \( z_{0}, z_{1}, z_{2}, z_{3} \)이 공순환점 또는 공선점이 될 필요충분조건은 이 점들의 복비 \( \left(z_{0}, z_{1} ; z_{2}, z_{3}\right) \)이 실수인 것이다.</p><p>증명 네 점이 공순환적(또는 공선적)이기 위한 필요충분조건은 이 점들을 실축 위의 점으로 보내는 뫼비우스 변환이 존재하는 것이다. 네 점의 복비가 실수이므로, 정리 1.6에 의해 성립한다.</p><p>[정리 1.8] 뫼비우스 변환은 등각사상이다. 즉, 뫼비우스 변환은 교차하는 곡선 사이의 각(방향과 크기)을 보존한다.</p><p>증명 일반성을 잃지 않고, 두 교차하는 곡선은 원이라 가정할 수 있다. \( z_{1}, z_{2} \)를 이 두 원의 교점이라 하자. 각각의 원 위에 임의의 점 \( z_{3} \)과 \( z_{4} \)를 택하면(그림 1.2), \[\begin{aligned}\arg \left(z_{3}, z_{4} ; z_{1}, z_{2}\right) &=\arg \left(\frac{z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{2}}\right)-\arg \left(\frac{z_{4}-z_{1}}{z_{4}-z_{2}}\right) \\&=\angle z_{2} z_{3} z_{1}-\angle z_{2} z_{4} z_{1}\end{aligned}\]이 된다.</p><p>\( z_{3} \)과 \( z_{4} \)가 각각의 원에서 \( z_{1} \)로 접근한다고 하면, 오른쪽 변은 두 교차하는 원 사이의 각이 된다. (기초기하학에 익숙하지 않은 독자는 다음 절(1.4절)의 논의를 모방해도 된다.) 그러나 복비는 뫼비우스 변환에 의해 불변이므로, 원하는 결과를 얻는다.</p><p>\( z \)-평면의 원 \( C \)가 뫼비우스 변환 \( T \)에 의해 \( w \)-평면의 원 \( C^{\prime} \)으로 사상한다고 가정하자. 원 \( C \)는 \( z \)-평면을 두 영역 \( \Delta_{1} \)과 \( \Delta_{2} \)로 나누고, 원 \( C^{\prime} \)은 \( w \)-평면을 두 영역 \( \Delta_{1}^{\prime} \)과 \( \Delta_{2}^{\prime} \)으로 나눈다. \( \Delta_{1} \)의 임의의 두 점 \( z_{1} \)과 \( z_{2} \)를 원 \( C \)와 만나지 않는 원호 \( \ell \)(또는 선분)으로 연결할 수 있다. 그러면, 뫼비우스 변환 \( T \)에 의한 \( \ell \)의 상은 원 \( C^{\prime} \)과 만나지 않는 \( z_{1} \)과 \( z_{2} \)의 상을 잇는 원호(또는 선분)이다. 따라서 \( z_{1} \)과 \( z_{2} \)의 상은 모두 \( \Delta_{1}^{\prime} \)에 있거나 또는 모두 \( \Delta_{2}^{\prime} \) 안에 있다. 같은 논의가 \( \Delta_{2} \)의 두 점에 대해서도 성립한다. 뫼비우스 변환이 전단사이므로, 어떤 \( z \in \Delta_{1} \)에 대해, 그것의 상이 \( T(z) \in \Delta_{1}^{\prime} \)이면, \( \Delta_{1} \)의 \( T \)에 의한 상은 반드시 \( \Delta_{1}^{\prime} \) 전체이어야 한다. 반면, \( T(z) \in \Delta_{2}^{\prime} \)이면, \( \Delta_{1} \)의 \( T \)에 의한 상은 반드시 \( \Delta_{2}^{\prime} \) 전체이어야 한다.</p><p>이제 원 \( C \)와 그것의 반지름 중의 하나를 생각하자. 뫼비우스 변환 \( T \)에 의한 그들의 상은 직각으로 만나는 원 \( C^{\prime} \)과 원호이다. 뫼비우스 변환은 각의 방향을 또한 보존하므로, 원 \( C \)의 내부가 뫼비우스 변환 \( T \)에 의해 원 \( C^{\prime} \)의 내부로 사상한다면, 점 \( z \)가 원 \( C \) 위를 반시계 방향으로 움직일 때, 그것의 상 \( w \)도 원 \( C^{\prime} \) 위를 또한 반시계 방향으로 움직인다는 것을 즉시 알 수 있다. 반면, 원 \( C \)의 내부가 원 \( C^{\prime} \)의 외부로 사상한다면, 점 \( z \)가 원 \( C \) 위를 반시계 방향으로 움직일 때, 그것의 상 \( w \)는 원 \( C^{\prime} \) 위를 시계 방향으로 움직인다.</p><p>역으로, 점 \( z \)와 뫼비우스 변환 \( T \)에 의한 그것의 상 \( w \)가 대응되는 원에서 같은 방향으로 움직인다면, \( T \)는 원 \( C \)의 내부를 원 \( C^{\prime} \)의 내부로 보낸다. 반면 \( z \)와 \( w \)가 반대방향으로 움직인다면, \( T \)는 \( C \)의 내부를 \( C^{\prime} \)의 외부로 사상한다.</p><p>다음 약속을 차용하는 것이 더 편리하다. 원(또는 곡선)을 (보통, 그것의 매개변수 방정식에 의해) 방향화된 곡선이라 생각하면, 점이 원(닫힌 곡선) 위를 움직일 때, 우리가 왼쪽에서 보는 영역이 정의에 의해 내부이다. 이 약속 하에, 뫼비우스 변환은 항상 (원의) 내부를 (원의) 내부로 사상한다.</p> <p>1.8.4 다발군. 원의 다발 안에서 반전사상의 곱인 모든 뫼비우스 변환이 속의 원을 상호교환하는 모든 뫼비우스 변환의 (순환)군을 형성한다는 것이 밝혀졌다. 이제 다발의 경우에서 대응하는 상황을 토론한다.</p><p>다발 \( \mathfrak{P} \)의 원에 관한 모든 반전사상은 다발 \( \mathfrak{P} \) 안에서의 반전사상이라 부른다. 다발은 주어진 원 \( \mathfrak{B} \)에 수직인 모든 원으로 구성되어 있다. 그러므로 다발 안의 모든 반전사상은 \( \mathfrak{B} \)를 자신 위로, 다발의 모든 원을 다발의 몇 개의 원에 사상한다. 따라서 다발 안의 임의의 두 개의 반전사상의 곱은 다발을 자신 위로 사상하는 뫼비우스 변환일 것이다.</p><p>역은 어떤 제한이 없이는 성립하지 않는다.</p><p>[정리 1.14] 다발 \( \mathfrak{P} \)의 자신 위로의 모든 뫼비우스 변환 \( \mathfrak{H} \)가 다발 안의 두 반전사상의 곱이기 위한 필요충분조건은 \( \mathfrak{P} \)가 타원형 또는 쌍곡형인 것이다.</p><p>증명 \( \mathfrak{P} \)가 타형원 또는 쌍곡형이면, 그것의 원 \( \mathfrak{B} \)는 허원 또는 실원이고, 점원이 아니다. 그러므로 \( \mathfrak{P} \)를 자신 위로 사상하는 모든 뫼비우스 변환의 군 \( \mathcal{G}_{\mathfrak{P}} \)는 항해선형 변환을 포함하지 않는다. \( \mathfrak{H} \)를 \( \mathcal{G}_{\mathfrak{P}} \)의 원소라 하자. \( \mathfrak{H} \)에 의해 상호교환되는 (불변원의 속에 수직인) 모든 원의 속은 \( \mathfrak{P} \) 안에 포함되고, \( \mathfrak{H} \)는 이 속, 따라서 \( \mathfrak{P} \) 안에서 두 개의 반전사상의 곱임을 안다.</p><p>한편, 포물형 다발 안의 반전사상을 다시 고려하자. 그것은 직선에 관한 대칭이고 따라서 평면에서 모든 거리를 보존한다. 그러므로 그러한 반전사상의 곱인 뫼비우스 변환 또한 거리를 보존한다. 따라서 그것은 평면 유클리드운동 또는 변이이고 \[\left.w=e^{i \alpha} z+b \quad \text { ( } \alpha \text { : 실수 }\right)\]<caption>(1.16)</caption>에 의해 표현될 수 있다. 그것들이 타원형 또는 포물형 정수형 뫼비우스 변환이라는 사실로부터 같은 것이 성립한다. 군 (1.16)을 \( \mathcal{E} \)로 놓겠다. \( \mathcal{E} \)의 원소는 세 개의 독립 실 매개변수 \( \alpha, b_{1}, b_{2}~(b=b_{1}+i b_{2})\)에 의존한다.</p><p>\( \mathfrak{P} \)가 타원형이면, 표준형은 구 위의 모든 대원의 입체사영상의 다발이다. 공간에서 대원을 대원으로 사상하는 모든 사영변환은 \( \mathrm{O} \)를 지나는 평면을 \( \mathrm{O} \)를 지나는 평면으로, \( \mathrm{O} \)를 지나는 직선을 \( \mathrm{O} \)를 지나는 직선으로 사상한다. 따라서 구의 대각적으로 반대에 있는 점의 쌍은 대각적으로 반대인 점의 쌍으로 사상된다. 그러므로 변환은 \( \mathrm{O} \)에 관한 회전변환이다. 따라서 표준형에서 타원형 다발의 군은 모든 회전형 뫼비우스 변환의 군 \( \mathcal{R} \)이다.</p><p>참고 정리 1.14로부터 \( \mathrm{O} \)에 관한 모든 평면 회전변환은 \( \mathrm{O} \)를 지나는 평면에 관한 두 개의 대칭변환의 곱으로 나타낼 수 있다는 잘 알려진 사실을 결론지을 수 있다.</p><p>\( \mathfrak{P} \)가 쌍곡형이면, 그 표준형은 실 단위원에 수직인 모든 원의 다발이다. 그것은 타원형, 포물형, 쌍곡형 속을 포함하고 따라서 또한 허원을 포함한다. 그것의 군은 단위원을 자신 위로 사상하는 모든 뫼비우스 변환의 군 \( \mathcal{U} \)이다. ( \( \mathcal{U} \)의 원소 \( \mathfrak{H} \)가 반전사상의 곱으로 얻어질지 모르는) 반전사상의 기본원은 \( \mathfrak{H} \)가 비고유 쌍곡형일 때 -이 경우는 이 원 중의 하나는 반드시 허원이어야 한다- 를 제외하면 실원이 되게 선택될 수 있다.</p> <p>[예제 1.6] \( D=\{z \in \mathbb{C}:\|z\| \leq 1\} \)를 닫힌 단위원반, \( D^{\prime} \)을 \( D \) 안에 있는 다른 닫힌 원반이라 하자. (특히, \( D \)와 \( D^{\prime} \)의 경계원은 만나지 않는다.) 닫힌 단위원반을 자신 위로 사상하고, 원반 \( D^{\prime} \)을 적당한 반지름 \( r \)을 가진 원반 \( \{w \in \mathbb{C}:\|w\| \leq r\} \)로 사상하는 뫼비우스 변환이 존재함을 보이고자 한다. 쇤베르크(Schoenberg, 1903-1991)의 방법에 의해 다음과 같이 전개한다.</p><p>필요하다면 알맞은 회전변환에 의해, 일반성을 잃지 않고, \( D^{\prime} \)의 중심이 실축 위에 있고, \[[a, b]=D^{\prime} \cap\{z \in \mathbb{C}: \Im z=0\}\]은 \( D^{\prime} \)의 반지름이라 가정할 수 있다. \( a+b=0 \)이면, 증명할 것이 없다. 그래서 일반성을 잃지 않고, \( a+b>0 \)이라 가정할 수 있다. (실제로, \( a+b<0 \)일지라도 아래 논의는 사소한 변형을 하면 옳다.)</p><p>1.4절의 예제 1.4를 기억하고, \( z \)-평면의 두 원반과 \( w \)-평면에서의 상은 모두 실축에 관해 대칭임을 고려하여, \( \alpha \)가 나중에 결정되어야 할 어떤 적당한 실수일 때, 형태 \[w=\frac{z-\alpha}{1-\alpha z}\]의 뫼비우스 변환을 구하고자 시도한다. 모든 계수가 실수이므로, 이 뫼비우스 변환은 실축을 자신으로 사상한다. 더욱이, -1과 1 은 뫼비우스 변환의 두 고정점이다. 뫼비우스 변환이 등각적이고, 원반 \( D \)와 \( D^{\prime} \)의 경계원이 실축과 수직으로 만나기 때문에, \( a \)와 \( b \)를 (\(r\)이 실수일 때) \( -r \)과 \( r \)로 사상하는 알맞은 실수 \( \alpha \)를 구할 수 있음을 보이면 된다. 이것은 \[\frac{a-\alpha}{1-\alpha a}+\frac{b-\alpha}{1-\alpha b}=0\]이 실수 해를 가져야 함을 뜻한다. 마지막 방정식을 새로 쓰면, \[\alpha^{2}-\frac{2(1+a b)}{a+b} \alpha+1=0\]을 얻는다.</p><p>이것의 판별식(의 \(\frac{1}{4})\)을 계산하면, \[\begin{aligned}\left(\frac{1+a b}{a+b}\right)^{2}-1 &=\frac{1-a^{2}-b^{2}+a^{2} b^{2}}{(a+b)^{2}} \\&=\frac{\left(1-a^{2}\right)\left(1-b^{2}\right)}{(a+b)^{2}}>0 \quad(-1<a<b<1)\end{aligned}\]이 되므로, 방정식은 실수 해를 갖는다는 것을 알 수 있다. 더욱이, 계수의 부호로부터, 두 해 모두 양수임을 알 수 있다. 두 해의 곱이 1이고, \( D \)와 \( D^{\prime} \)의 경계원이 서로 만나지 않는다는 가정에 의해 \( \alpha=1 \)은 해가 아니므로, 해 중의 하나는 0과 1 사이에 있고, 다른 하나는 1보다 크다고 결론지을 수 있다. \( \alpha \)로 0과 1 사이의 해를 택하면, 증명이 끝난다.</p><p>참고<ol type=a start=1><li>실제로, 단지 두 개의 경계원을 한 쌍의 동심원으로 사상하기만을 원한다면 어느 선택도 상관없지만 작은 원을 작은 원으로 사상하고자 하는 욕구가 더 강하다.</li><li>비록 \( D^{\prime} \supset D \)(즉, \( a<-1, b>1 \) )이더라도 단지 간단한 변형만 하면 유효하다.</li></ol></p><p>[정리 1.10 (슈타이너(J. Steiner))] \( C, C^{\prime} \)을 하나가 다른 하나의 내부에 있는, 예를 들어 \( C^{\prime} \)이 \( C \)의 내부에 있는, 평면의 두 원이라 하자. \( C \)에 내접하고, \( C^{\prime} \)에 외접하는 원 \( K_{1} \)을 그려라. 다음에 \( C \)에 내접하고 \( C^{\prime} \)과 \( K_{1} \)에 외접하는 원 \( K_{2} \)를 그려라. 이 과정을 계속하여 각각의 원 \( K_{j} \)가 \( C \)에 내접하고 \( C^{\prime}, K_{j-1} \), \( K_{j+1}(2 \leq j \leq n-1) \)에 외접하는 원 \( K_{1}, K_{2}, \cdots, K_{n}(n \geq 3) \)의 사슬을 얻는다. 만약 \( K_{n} \)이 \( K_{1} \)(과, 물론, \( C, C^{\prime}, K_{n-1} \) )과 접한다면, 이것은 초기 원 \( K_{1} \)의 위치의 선택에 상관 없이 일어난다.</p><p>증명 원 \( C \)와 \( C^{\prime} \)을 뫼비우스 변환을 이용해 두 동심원으로 사상하면 분명하다.</p><p>참고 슈타이너는, \( n \)개의 원의 사슬이 서로 접하면서 내접할 때, 원 \( C, C^{\prime} \)의 반지름 \( r, r^{\prime} \), 두 원의 중심간의 거리 \( d, ~n \)을 관련시키는 공식을 구했다.</p><p>\( d^{2}=\left(r-r^{\prime}\right)^{2}-4 r r^{\prime} \tan ^{2}\left(\frac{\pi}{n}\right) \).</p> <p>1.9.3 거리함수. 어떻게 거리함수가 쌍곡기하학과 구면기하학에서 구성될 수 있는가를 1.8.5절과 같은 절 문제 6에서 보았다. 이제 세 군 \( \mathcal{U}_{+}, \mathcal{E}, \mathcal{R} \)과 가능하다면 다른 군 \( \mathcal{G} \)에 공통인 두 번째 방법을 전개해 본다. 동시에 거리함수의 유일성도 확립될 것이다.</p><p>그 증명은 \( \mathcal{U}_{+}, \mathcal{E}, \mathcal{R} \)의 경우에 실현되는 군 \( \mathcal{G} \)의 몇 가지 간단한 성질에 기초하게 된다.</p><p>I. G의 원소는 \( \mathcal{D} \)에서 자신 위로의 사상이다.</p><p>군의 원소로서 \( \mathcal{G} \) 안에 그 역을 가지고 있고, 따라서 1대1이고 가역적이다.</p><p>II. \( \mathcal{G} \)는 2중이 아닌 단순 추이적이다.</p><p>\( \mathcal{D} \)의 점 \( z_{0} \)이 고정점인 \( \mathcal{G} \)의 모든 원소 \( \mathfrak{H}_{0} \)은 \( z_{0} \)에서 \( \mathcal{G} \)의 안정 부분군이라 불리는 \( \mathcal{G} \)의 부분군 \( \mathcal{H}_{0} \)을 형성한다.</p><p>[정리 1.16] \( \mathcal{D} \)의 점들에서 안정 부분군은 \( \mathcal{G} \)의 공액 부분군의 완전 집합을 형성한다.</p><p>증명 \( z_{1} \)을 \( \mathcal{D} \)의 점이라 하고 \( \mathcal{H}_{1} \)을 \( z_{1} \)에서의 안정 부분군이라 하자. 가정 II에 따르면 \( z=\mathfrak{T}\left(z_{0}\right) \)을 만족하는 변환 \( \mathfrak{T} \)가 \( \mathcal{G} \) 안에 존재한다. 그러면 \[\mathfrak{T} \mathfrak{H}_{0} \mathfrak{T}^{-1}\left(z_{1}\right)=\mathfrak{T} \mathfrak{H}_{0}\left(z_{0}\right)=\mathfrak{T}\left(z_{0}\right)=z_{1}\]이 되는데, 이것은 \( \mathcal{H}_{0} \)의 모든 원소 \( \mathfrak{H}_{0} \)에 대해서 변환 \( \mathfrak{T H}_{0} \mathfrak{T}^{-1} \)은 \( \mathcal{H}_{1} \)의 원소 임을 뜻한다. 비슷하게 모든 \( \mathfrak{H}_{1} \)에 대해서 \( \mathcal{H}_{1} \)에서 변환 \( \mathfrak{T}^{-1} \mathfrak{H}_{1} \mathfrak{T} \)는 \( \mathcal{H}_{0} \)의 원소이다. 따라서 군 이론의 기호에서 \( \mathcal{H}_{1}=\mathfrak{T} \mathcal{H}_{0} \mathfrak{T}^{-1} \)을 얻는데, 이것은 \( \mathcal{H}_{0} \)과 \( \mathcal{H}_{1} \)이 공액 부분군이라는 것을 의미한다.</p><p>1.8.1과 1.8.2절 그리고 1.9.1절로부터 군 \( \mathcal{U}_{+}, \mathcal{E}, \mathcal{R} \)의 각각에서 점 0에서의 안정 부분군은 이 점에 관한 모든 회전변환의 군이라는 것은 분명하다. 그러므로 \( \mathcal{D} \)가 점 0을 포함하고 III. 0에서 \( \mathcal{G} \)의 안정 부분군은 0에 관한 모든 (유클리드) 회전변환의 군이다. 라고 가정하자.</p><p>이제 이 세 가정의 기반 위에서 \( \mathcal{D} \)의 점 \( z_{1}, z_{2} \)의 모든 쌍에 대해 정의된 불변 \( f\left(z_{1}, z_{2}\right) \)를 구성할 것이다. \( \mathfrak{H} \)를 \( \mathcal{G} \)의 원소라 하고 \[\mathfrak{H}\left(z_{1}\right)=w_{1}, \quad \mathfrak{H}\left(z_{2}\right)=w_{2}\]라 하자.</p><p>\( \mathcal{D} \)의 임의의 점 \( z_{0} \)을 선택하고, \[ \mathfrak{H}_{z_{2}}\left(z_{2}\right)=\mathfrak{H}_{w_{2}}\left(w_{2}\right)=z_{0}\]인 \( \mathcal{G} \)의 두 변환 \( \mathfrak{H}_{z_{2}}, \mathfrak{H}_{w_{2}} \)를 구하라. 그러면 \( z_{0} \)은 변환 \[\mathfrak{H}_{0}=\mathfrak{H}_{w_{2}} \mathfrak{H}_{\mathcal{H}_{z_{2}}}^{-1}\]의 고정점이다. 만약 이 변환을 \( z=\mathfrak{H}_{z_{2}}\left(z_{1}\right) \)에 적용한다면,\( \mathfrak{H}_{0}\left[\mathfrak{H}_{z_{2}}\left(z_{1}\right)\right]=\mathfrak{H}_{w_{2}}\left[\mathfrak{H}\left(z_{1}\right)\right]=\mathfrak{H}_{w_{2}}\left(w_{1}\right) \)<caption>(1.39)</caption>을 얻는다.</p><p>\( z_{0} \)에서의 안정 부분군 \( \mathcal{H}_{0} \)이 단위 원소로만, 따라서 반드시 \( \mathfrak{H}_{0}=\mathfrak{E} \)로만 이루어진다면, 식 (1.39)에 의해 \( \mathfrak{H}_{z_{2}}\left(z_{1}\right) \)은 군 \( \mathcal{G} \)에 의해 불변이다.</p><p>그러나 이제 \( z_{0}=0 \)이라 하자. 그러면 III에 따르면 안정 부분군 \( \mathcal{H}_{0} \)은 0에 관한 모든 회전변환의 군이다. 그러므로 \[\mathfrak{H}_{0}(z)=e^{i \alpha} z\]이고, 식 (1.39)로부터 \[f\left(z_{1}, z_{2}\right)=\left\|\mathfrak{H}_{z_{2}}\left(z_{1}\right)\right\|\]<caption>(1.40)</caption>은 군 \( \mathcal{G} \)의 두 점 불변을 표현한다는 것은 분명하다.</p><p>\( \mathcal{D} \)의 모든 \( z \)에 대해 \[f(z, 0)=\left\|\mathfrak{H}_{0}(z)\right\|=\|z\|\]<caption>(1.41)</caption>은 안정군 \( \mathcal{H}_{0} \)의 유일한 불변이라는 것을 살펴 본다. 따라서 0과 \( z \)의 임의의 다른 불변은 \( \|z\| \)의 함수이다. 그러므로 함수 \( f\left(z_{1}, z_{2}\right) \)의 대칭이 확립되지 않는 한 \[f(0, z)=F(\|z\|)\]를 만족하는 음이 아닌 변수 \( r \)의 함수 \( F(r) \)이 존재한다는 것만 말할 수 있다.</p><p>더구나 \( \mathcal{G} \)의 원소 \( \mathfrak{H} \)에 대해 \[\mathfrak{H}(0)=w_{0}, \quad \mathfrak{H}(z)=w\]가 성립한다면, \[f\left(w, w_{0}\right)=\|z\|\]<caption>(1.42)</caption>이 유일하게 정의된다. 비슷하게 \( f\left(w_{0}, w\right)=F(\|z\|) \)이다.</p><p>이제 \( f_{1}\left(z_{1}, z_{2}\right) \)가 \( \mathcal{G} \)의 다른 두 점 불변이라 하자. 부분군 \( \mathcal{H}_{0} \)의 불변성이 유일하므로, \( f_{1}(z, 0)=F_{1}(\|z\|) \)를 만족하는 함수 \( F_{1}(r) \)이 존재한다. 따라서 \( w_{0} \)이 \( \mathfrak{H} \)의 선택에 의해 정의될 때, \[f_{1}\left(w, w_{0}\right)=F_{1}(\|z\|)=F_{1}\left[f\left(w, w_{0}\right)\right]\]이 성립한다. \( z \)가 \( \mathcal{D} \)의 임의의 점이므로 \( w \)에 대해서도 성립한다. 따라서 마지막 방정식은 \( \mathcal{D} \)의 점들 \( w_{0}, w \)의 모든 쌍에 대해서도 성립한다. 그러므로 [정리 1.17] 조건 \( \mathrm{I}-\mathrm{III} \)을 만족하는 군 \( \mathcal{G} \)에 대해 유일한 독립 두 점 불변 \( f\left(z_{1}, z_{2}\right) \)가 존재한다. 그것은 식 (1.40)에 의해 주어지고, \( z_{1}, z_{2} \)의 \( \mathcal{G} \)-거리 함수라 불린다.</p><p>유클리드 평면의 임의의 두 점 \( z_{1}, z_{2} \)의 \( \mathcal{E} \)-거리 함수는 유클리드 거리 \( \left\|z_{1}-z_{2}\right\| \)와 같다는 것은 즉시 증명된다. 이 거리의 분명한 성질들의 몇 가지는 또한 \( \mathcal{G} \)-거리 함수의 성질들이다. (1.40)에 의해 주어진 함수 \( f\left(z_{1}, z_{2}\right) \)는 음이 아니고, 0이 되기 위한 필요충분조건은 \( z_{1}=z_{2} \)인 것이다. 실제로 \( \mathfrak{H}_{z_{2}}\left(z_{2}\right)=z_{0}=0 \)이고, 변환 \( \mathfrak{H}_{z_{2}} \)가 \( \mathcal{G} \) 안에 유일한 역을 가지므로 방정식 \( \mathfrak{H}_{z_{2}}(z)=0 \)은 유일한 해 \( z=z_{2} \)를 갖는다.</p><p>군 \( \mathcal{G} \)와 관련하는 별도의 가정이 없이는 거리함수 \( f\left(z_{1}, z_{2}\right) \)가 대칭적, 즉 \( f\left(z_{2}, z_{1}\right)=f\left(z_{1}, z_{2}\right) \)라는 것을 증명하는 것은 불가능한 것처럼 보인다. 그러나, 군 \( \mathcal{G} \)에 대해 \[f(0, z)=f(z, 0)\]<caption>(1.43)</caption>이 다음 조건 IV. \( \mathfrak{H}_{z_{1}}\left(z_{1}\right)=0 \)을 만족하는 \( \mathcal{G} \)의 변환 \( \mathfrak{H}_{z_{1}} \)은 성질 \( \left\|\mathfrak{H}_{z_{1}}(0)\right\|=\left\|z_{1}\right\| \)을 만족한다. 를 포함한다고 가정하면 대칭은 성립한다.</p><p>사실 \( f\left(z_{1}, z_{2}\right) \)의 불변성을 사용하면 이 함수의 대칭성을 증명할 수 있다. \[\begin{aligned} f\left(z_{1}, z_{2}\right)=\left\|\mathfrak{H}_{z_{2}}\left(z_{1}\right)\right\| \\ =f\left[\mathfrak{H}_{z_{1}}\left(z_{1}\right), \mathfrak{H}_{z_{1}}\left(z_{2}\right)\right] &=f\left[0, \mathfrak{H}_{z_{1}}\left(z_{2}\right)\right] \\&=f\left[\mathfrak{H}_{z_{1}}\left(z_{2}\right), 0\right]=\left\|\mathfrak{H}_{z_{1}}\left(z_{2}\right)\right\| \\&=f\left(z_{2}, z_{1}\right) .\end{aligned}\]</p><p>이제 각각 \( \mathcal{G}=\mathcal{U}_{+} \), 또는 \( \mathcal{E} \), 또는 \( \mathcal{R} \)이라 하고, \( \varepsilon=-1 \), 또는 0 , 또는 \( +1 \)이라고 하자. 그러면 \( \mathcal{G} \)의 원소들은 변환 \( \frac{a z+b}{-\varepsilon \bar{b} z+\bar{a}} \)이고, \( \mathfrak{H}_{z_{2}}\left(z_{2}\right)=0 \)은 \( b=-a z_{2} \)를 유도한다. 그러므로 (1.40)에 의해 거리함수 \[f_{\varepsilon}\left(z_{1}, z_{2}\right)=\frac{\left\|z_{1}-z_{2}\right\|}{\left\|1+\varepsilon \bar{z}_{2} z_{1}\right\|}\]<caption>(1.44)</caption>을 얻는다. 이 함수가 대칭적임을 쉽게 알 수 있다. 그들은 (1.19)와 1.8절, 문제 6에서 소개했던 함수 \( d_{-1}, d_{1} \)과 자연적으로 연결되어 있다.</p> <h1>1.7 고정점과 뫼비우스 변환의 분류</h1><p>점 \( z_{0} \)이 \( T\left(z_{0}\right)=z_{0} \)을 만족하면 변환 \( T \)의 고정점이라 한다. 뫼비우스 변환 \[w=\frac{a z+b}{c z+d}\]의 고정점은 방정식 \[c z^{2}+(d-a) z-b=0\]을 만족해야만 한다. 이것은 \( z \)에 관한 2차 방정식이므로, 뫼비우스 변환 \( T \)가 세 개(또는 그 이상의) 고정점을 갖는다면, 모든 계수는 0이 된다. 즉, \[c=0, \quad d-a=0, \quad b=0\]이고, 따라서 \( T \)는 항등변환이다. 앞으로 이 경우를 배제할 것이다.</p><p>(a) \( c=0, a-d=0 \)이면, \( T \)는 평행이동 \[w=T(z)=z+k \quad\left(k=\frac{b}{a}\right)\]이고, 따라서 무한점은 \( T \)의 유일한 고정점이다. \( c=0, ~a-d \neq 0 \)이면, \( T \)는 \[w=T(z)=\left(\frac{a}{d}\right) z+\left(\frac{b}{d}\right)\]의 형태이고, \( T \)는 두 고정점 \( \frac{b}{d-a} \)와 무한점을 갖는다. 이 경우, \[S(z)=z-\frac{b}{d-a}\]로 놓으면, \[\begin{aligned}S(T(z))=S(w) &=w-\frac{b}{d-a}=\left(\frac{a}{d} z+\frac{b}{d}\right)-\frac{b}{d-a} \\&=\frac{a}{d}\left(z-\frac{b}{d-a}\right)=\frac{a}{d} S(z)\end{aligned}\] 즉, \( U(z)=\frac{a}{d} z \)라 할 때, \[T=S^{-1} U S\]를 얻는다.</p><p>(b) \( c \neq 0, D \neq 0 \)(단, \( D=(d-a)^{2}+4 b c \) 는 판별식)이면, \( T \)는 두 개의 서로 다른 고정점 \[ \alpha=\frac{a-d+\sqrt{D}}{2 c}, \quad \beta=\frac{a-d-\sqrt{D}}{2 c}\]를 갖는다. 이 경우, \[S(z)=\frac{z-\alpha}{z-\beta}\]로 놓으면, \[\frac{w-\alpha}{w-\beta}=k \frac{z-\alpha}{z-\beta},\] 즉, \[U(z)=k z \quad\left(k=\frac{a-\alpha c}{a-\beta c}\right)\]가 확대변환일 때, \[S(T(z))=S(w)=k(S(z)), \quad \text { 즉, } T=S^{-1} U S\]를 얻는다. \( c \neq 0, D=0 \)이면, \( T \)는 유일한 고정점 \[\alpha=\beta=\frac{a-d}{2 c}\]를 갖는다. \( T \)가 \( z=\alpha \)를 \( w=\alpha \)로 사상하므로, 알맞은 상수 \( h \)와 \( k \)에 대해, \[\frac{1}{w-\alpha}=\frac{h}{z-\alpha}+k\]라 쓸 수 있다. \( z=\infty, w=\frac{a}{c} \)와 \( z=0, w=\frac{b}{d} \)를 대입하면, \[k=\frac{2 c}{a+d}, \quad h=1\]을 얻는다. 따라서, \[S(z)=\frac{1}{z-\alpha}\]로 놓으면, \[S(T(z))=S(w)=\frac{1}{w-\alpha}=\frac{1}{z-\alpha}+\frac{2 c}{a+d}=V(S(z)),\] 즉, \( V(z)=z+k \)가 평행이동일 때, \[T=S^{-1} V S\]를 얻는다.</p><p>두 뫼비우스 변환 \( T_{1} \)과 \( T_{2} \)는, \( T_{2}=S^{-1} T_{1} S \) 또는 \( T_{2}=S T_{1} S^{-1} \)을 만족하는 세 번째 뫼비우스 변환 \( S \)가 존재하면, 닮았다고 한다.</p><p>지금까지 다음 정리를 증명했다</p><p>[정리 1.11] \[w=T(z)=\frac{a z+b}{c z+d}\]를 뫼비우스 변환이라 하고, \( D=(a-d)^{2}+4 b c \)라 하자.</p><p>(a) \( c=0 \)인 경우. \( D=0 \)이면, 무한점은 \( T \)의 유일한 고정점이고, \( T \)는 표준형 \[w=z+k \quad\left(k=\frac{b}{d}\right)\]로 쓸 수 있다. \( D \neq 0 \)이면, \( T \)는 두 개의 서로 다른 고정점 \( \gamma=\frac{b}{d-a} \)와 무한점을 갖고, \( T \)는 표준형 \[w-\gamma=k(z-\gamma) \quad\left(k=\frac{a}{d}\right)\]로 쓸 수 있다.</p><p>(b) \( c \neq 0 \)인 경우. \( D \neq 0 \)이면, \( T \)는 두 개의 서로 다른 고정점 \[\alpha=\frac{a-d+\sqrt{D}}{2 c}, \quad \beta=\frac{a-d-\sqrt{D}}{2 c}\]를 갖고, \( T \)는 표준형 \[\frac{w-\alpha}{w-\beta}=k \frac{z-\alpha}{z-\beta} \quad\left(k=\frac{a-\alpha c}{a-\beta c}=\frac{a+d-\sqrt{D}}{a+d+\sqrt{D}}\right)\]로 쓸 수 있다. \( D=0 \)이면, \( T \)는 유일한 고정점 \( \alpha=\frac{a-d}{2 c} \)를 갖고, \( T \)는 표준형 \[\frac{1}{w-\alpha}=\frac{1}{z-\alpha}+k \quad\left(k=\frac{2 c}{a+d}\right)\]로 쓸 수 있다.</p><p>다시 말하면,<ol type=a start=1><li>뫼비우스 변환 \( T \)가 두 고정점을 가질 필요충분조건은 \( D \neq 0 \)인 것이고, 이 경우, \( T \)는 확대변환과 닮았다. 반면,</li><li>\( T \)가 유일한 고정점을 가질 필요충분조건은 \( D=0 \)인 것이고, 이 경우, \( T \)는 평행이동과 닮았다.</li></ol></p> <h1>1.8 뫼비우스 변환의 부분군</h1><p>이 확장된 주제를 광범위하게 다루지는 않겠다. 비유클리드기하학의 설명을 위해 기본적으로 중요한 두 부분군의 기하학적 특성에 대해 관심을 집중하겠다.</p><p>1.8.1 단위원의 군 \( \mathcal{U} \). 이 군은 단위원(의 원주)을 그 자신으로 사상하는 모든 뫼비우스 변환 \[w=\mathfrak{H}(z)=\frac{a z+b}{c z+d}\]로 구성되어 있다. 이것은 모든 실 뫼비우스 변환의 군과 닮았다. \( \mathfrak{T} \)가 실축을 단위원 \( \|z\|=1 \) 위로 사상하는 뫼비우스 변환이라면, \( \mathfrak{T}^{-1} \mathfrak{H} \mathfrak{T} \)는 실 뫼비우스 변환을 나타낸다. 따라서 두 군은 동형적이다.</p><p>변환 \( \mathfrak{H} \)는 서로 역인 점 \( z, \frac{1}{\bar{z}} \)의 모든 쌍을 서로 역인 점 \( w, \frac{1}{\bar{w}} \)의 쌍으로 사상한다. 그러므로 \[\frac{1}{\bar{w}}=\frac{b \bar{z}+a}{d \bar{z}+c} \quad \text { 또는 } \quad w=\frac{\bar{d} z+\bar{c}}{\bar{b} z+\bar{a}}\]를 얻는데 이는 행렬 조건 \[\left(\begin{array}{ll}a & b \\c & d \end{array}\right)=q\left(\begin{array}{ll}\bar{d} & \bar{c} \\\bar{b} & \bar{a}\end{array}\right) \quad(q \neq 0)\]를 유도한다.</p><p>\( a \neq 0 \)이라 가정하면, \( a=q d=q \bar{q} a \)이므로, \( q \bar{q}=1 \)을 얻는다.</p><p>\[q=e^{2 i \phi}\]라 하자. 그러면 \( d=e^{2 i \phi} \bar{a}, c=e^{2 i \phi} \bar{b} \)이다. \( e^{-i \phi} a \)와 \( e^{-i \phi} b \)를 각각 \( a \)와 \( b \)로 형식적으로 대체하면, 행렬 \( \mathfrak{H} \)를 \[ \mathfrak{H}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\\bar{b} & \bar{a}\end{array}\right), \quad w=\frac{a z+b}{\bar{b} z+\bar{a}}\]<caption>(1.5)</caption>의 형태로 얻는데 이것은 실수 인자의 비례성을 고려하면 유일하다. 그러면 이것의 행렬식과 자취(trace) \[\delta=\|\mathfrak{H}\|=a \bar{a}-b \bar{b}, \quad \tau=a+\bar{a}\]는 실수이다. \( a=0 \)이면 \( b c \neq 0 \)이고 \( b=q \bar{c}=q \bar{q} b \)이다. 따라서 \( \|q\|=1 \)이고 식 (1.5)는 다시 성립한다.</p><p>단위원의 내부를 단위원의 내부(따라서 외부를 외부)로 사상하는 변환 \( \mathfrak{H} \)는 단위원의 군 안에서 지수 2의 부분군이다. 이것들의 각각에 대해 \( \mathfrak{H}(0)=\frac{b}{\bar{a}} \)가 단위원의 내점이 되는 것이 필요충분조건이다. 이것은 \( \|b\|<\|a\| \) 또는 \[\delta>0\]과 동치이다. 이 부분군을 \( \mathcal{U}_{+} \)라 쓰고 이것을 단위원의 고유군이라 부르겠다.</p><p>단위원을 단위원 위로 사상하는 비고유 사상들은 조건 \( \delta<0 \)에 의해 특성화 된다. 이것들은 원의 외부와 내부를 교환한다.</p><p>군 \( \mathcal{U}_{+} \)가 타원형, 포물형과 고유 쌍곡형 뫼비우스 변환들로 구성되어 있다는 것은 분명하다. 그러나 단위원의 모든 비고유 사상은 반드시 비고유 쌍곡형이어야만 한다.</p><p>\( a=0 \)이면, 변환 (1.5)은 쌍곡형 대합일 것이다. \( a \neq 0 \)이면, \[\mathfrak{H}^{-1}(0)=-\frac{b}{a}=z_{1}, \quad \arg a=\alpha\]라 놓으면, \[w=\mathfrak{H}_{z_{1}}(z)=\frac{z-z_{1}}{-\bar{z}_{1} z+1}, \quad \mathfrak{H}_{z_{1}}=\left(\begin{array}{cc}1 & -z_{1} \\-\bar{z}_{1} & 1\end{array}\right)\]<caption>(1.6)</caption>일 때, \[w=\mathfrak{H}(z)=\frac{a}{\bar{a}} \frac{z-z_{1}}{-\bar{z}_{1} z+1}=e^{2 i \alpha} \mathfrak{H}_{z_{1}}(z)\]<caption>(1.7)</caption>는 \( z_{1} \)을 0으로 보내는 단위원의 자기자신 위로의 변환이다.</p><p>\[\sigma\left(\mathfrak{H}_{z_{1}}\right)=\frac{\tau^{2}}{\delta}-4=\frac{4}{1-z_{1} \bar{z}_{1}}-4\]이므로, 변환 \( \mathfrak{H}_{z_{1}} \)은 \( z_{1}=0 \) 또는 \( \left\|z_{1}\right\|=1 \)이 아닌 모든 \( z_{1} \)에 대해 쌍곡형이다. 이때 \( \left\|z_{1}\right\|<1 \)이면 고유 쌍곡형, \( \left\|z_{1}\right\|>1 \)이면 비고유 쌍곡형이다. 이것의 고정점들은 2차 방정식 \( \bar{z}_{1} z^{2}=z_{1} \)의 해이다. 따라서, \[z_{1}=r_{1} e^{i \theta_{1}}\]이면, 해는 단위원의 두 개의 대각적으로 반대인 점 \( \pm e^{i \theta_{1}} \)이다. \( \mathfrak{H}_{z_{1}} \)의 특성상 수는 \[ k=\frac{1+\bar{z}_{1} e^{i \theta_{1}}}{1-\bar{z}_{1} e^{i \theta_{1}}}=\frac{1+r_{1}}{1-r_{1}}\]에 의해 주어지고, 따라서 \[r_{1}=\frac{k-1}{k+1}, \quad z_{1}=\frac{k-1}{k+1} e^{i \theta_{1}}\]이다.</p><p>이제 \( \mathfrak{H}_{z_{1}} \)을 \( \left(\mathcal{U}_{+}\right. \) 안의) 고유 쌍곡형이라 하자. 그러면 \( 0<r_{1}<1(k>1) \)이 성립한다. 실지수 \( s \)에 대해 \( \mathfrak{H}_{z_{1}} \)의 연속 반복 \( \mathfrak{H}_{z_{1}}^{s} \)를 \( k \)가 \( \mathfrak{H}_{z_{1}} \) 안에 나타날 때 마다 \( k^{s} \)로 대체함으로 구성한다.</p><p>\( z_{s}=\frac{k^{s}-1}{k^{s}+1} e^{i \theta_{1}} \)을 생각하자. \( -\infty<s<\infty \)에 대해 점 \( z_{s} \)는 양 끝점이 \( \mathfrak{H} \)의 고정점들 \( -e^{i \theta_{1}} \) \( (s=-\infty) \)과 \( e^{i \theta_{1}}(s=\infty) \)인 전체 열린 구간(단위원의 지름)을 움직인다. 그러면 \[\mathfrak{H}_{z_{1}}^{s}(z)=\mathfrak{H}_{z_{s}}(z), \quad \mathfrak{H}_{z_{s}}=\left(\begin{array}{cc}r r 1 & -z_{s} \\-\bar{z}_{s} & 1\end{array}\right)\]<caption>(1.8)</caption>이 된다.</p><p>변환 \( \mathfrak{H}_{z_{1}}^{s} \)를 0에 관한 회전변환에 예속시킴으로 닮음 변환 \[w=e^{i t} \mathfrak{H}_{z_{1}}^{s}\left(e^{-i t} z\right)=\frac{z-e^{i t} z_{s}}{-e^{-i t} \bar{z}_{s} z+1}\]<caption>(1.9)</caption>를 얻는데, 이는 다시 쌍곡변환 -즉, 점 \( e^{i t} z_{s} \)를 0으로 변환하는 것- 이다. 적당한 회전변환으로 사상 (1.9)를 추적함으로써 단위원의 임의의 주어진 고유 변환의 표현을 얻을 수 있다. 따라서 다음 정리를 얻는다.</p><p>[정리 1.12] 단위원의 고유군의 모든 원소는, \( \mathfrak{R}_{1}=\left(\begin{array}{ll}e^{i} & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) \)이고 \( \mathfrak{H}_{\frac{1}{2}}= \) \( \left(\begin{array}{cc}1 & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & 1\end{array}\right) \)일 때, 즉 \( z=\frac{1}{2} \)을 0으로 보내고 \( -1 \)과 \( +1 \)을 고정점으로 갖는 쌍곡변환의 행렬일 때, \[\mathfrak{H}=\mathfrak{R}_{1}^{t_{1}} \mathfrak{H}_{\frac{1}{2}}^{s} \mathfrak{H}_{1}^{t_{2}} \quad\left(s, t_{1}, t_{2} \text { : 실수 }\right)\]의 형태로 쓸 수 있다.</p><p>마지막으로 (1.7)의 단순 결과를 인지한다. 고정점 \( \left(z_{1}=0\right. \) 또는 \( \left.b=0\right) \)으로 중심 0을 갖는 단위원의 모든 변환 \( \mathfrak{H} \)는 반드시 0에 관한 순수 회전변환이다.</p> <p>참고 \( U_{1}(z)=k_{1} z, U_{2}(z)=k_{2} z \)가 두 확대변환이라면, \( U_{1} \)과 \( U_{2} \)가 닮을 필요충분조건은 승수 \( k_{1} \)과 \( k_{2} \)가 같거나 또는 서로의 상반, 즉 \( k_{1}=k_{2} \) 또는 \( k_{1}=\frac{1}{k_{2}} \)인 것이다. 그러나, 평행이동 \( w=z+k \)가 \[\left(\frac{w}{k}\right)=\left(\frac{z}{k}\right)+1\]로 쓰여질 수 있으므로, 모든 평행이동은 (확대변환에 의해) 평행이동 \( w=z+1\)과 닮았다. 다시 말하면, 임의의 두 평행이동은 서로 닮았다. 이제 \[w=T(z)=\frac{a z+b}{c z+d}\]를 \( D=(d-a)^{2}+4 b c \neq 0 \)인 뫼비우스 변환이라 가정하자. 그러면 다음 성질을 만족하는 뫼비우스 변환 \( S \)가 존재한다. \( W=S(w), Z=S(z) \)이고 \( U(Z)=k Z \)가 확대변환일 때, \[S(w)=S T(z)=U(S(z)), \quad \text { 즉, } \quad W=U(Z)=k Z \text {. }\] \( k \neq 0,~1 \)인 실수이면, 뫼비우스 변환 \( T \)는 쌍곡형, \( \|k\|=1 \)(그러나 \( k \neq 1,~-1 \) )이면, \( T \)는 타원형이라 부른다. \( \|k\| \neq 1 \)이고 \( k \)가 실수가 아니면, \( T \)는 항해선형이라 부른다. 여기서 \( k \)를 특성상수라 부른다.</p><p>\( T \)가 쌍곡형이면, \( U \)는 \( Z \)-평면의 원점을 지나는 각각의 직선을 자신 위로 사상하고, 원점이 중심인 원을 다른 그러한 원으로 사상한다. 원래의 \( z \)-평면과 \( w \) -평면의 원에 관해, 이것은 \( T \)의 두 고정점을 지나는 원들의 (타원)속 \( \mathcal{P} \)의 각각의 원은 자신위로 사상되지만, \( T \)의 두 고정점을 그것의 극한점으로 갖는 원들의 공액 (쌍곡)속 \( \mathcal{Q} \)의 모든 원은 원들의 같은 속의 다른 원으로 사상된다는 것을 의미한다. 특히, \( \alpha \)와 \( \beta \)가 \( T \) 의 고정점이고, \( h \)가 상수라면, 아폴로니우스 원 \( \left\|\frac{z-\alpha}{z-\beta}\right\|=h \)는 다른 아폴로니우스 원 \[\left\|\frac{w-\alpha}{w-\beta}\right\|=h k\]로 사상된다.</p><p>\( T \)가 타원형이면, \( U \)는 \( Z \)-평면의 ( \( \arg k \)만큼의) 회전변환이다. 따라서 앞의 문장에서 속 \( \mathcal{P} \)와 \( \mathcal{Q} \)의 역할을 바꾸기만 하면 된다.</p><p>\( D=0 \)이면, 뫼비우스 변환 \( T \)는 포물형이라 하고, 이 경우 \( T \)는 유일한 고정점을 갖고, 평행이동 \[W=V(Z)=Z+k\]와 닮았다. 이제, \( V \)는 \( Z \)-평면의 벡터 \( k \)에 평행인 모든 직선을 자신 위로 사상하고, 벡터 \( k \)에 직교하는 모든 직선을 \( k \)에 직교하는 다른 직선으로 사상한다. 원래의 \(z\)-평면의 원에 관해, 이것은 \( \mathcal{P} \)의 모든 원은 \( T \)에 의해 자신 위로 사상되고, 그것의 공액 (포물형) 속 \( \mathcal{Q}(\mathcal{P} \) 의 원들의 공통 접점에서 \( \mathcal{P} \)에 직교하는 원들의 속)의 모든 원은 \( \mathcal{Q} \)의 다른 원으로 사상되는 성질을 가진 \( T \)의 유일한 고정점에서 서로 접하는 원들의 (포물형) 속 \( \mathcal{P} \)가 존재함을 의미한다.</p><p>앞의 논의에서 \( D=(a-d)^{2}+4 b c \)가 뫼비우스 변환의 분류에 중요한 역할을 하고 있다. 그렇다면 이와 관련된 뫼비우스 변환의 닮음 불변량에 대해 살펴 보는 것도 좋을 듯하다. 위에서 정의했듯이 두 뫼비우스 변환 \( \mathfrak{H}^{} \)와 \( \mathfrak{H} \)가 닮기 위해서는 세 번째 뫼비우스 변환 \( \mathfrak{T} \)가 존재하여 \( \mathfrak{H}^{}(z)=\left(\mathfrak{T} \circ \mathfrak{H} \circ \mathfrak{T}^{-1}\right)(z) \)가 성립하는 것이다. 이를 행렬로 나타내면, 0이 아닌 임의의 상수 \( q \)에 대해 \[\mathfrak{H}^{}=q \mathfrak{T} \mathfrak{H} \mathfrak{T}^{-1} \quad(q \neq 0)\]<caption>(1.3)</caption>이다. \( \mathfrak{H}=\mathfrak{E} \) (단위행렬)이라면, 모든 \( \mathfrak{T} \)에 대해 \( \mathfrak{H}^{}=q \mathfrak{E} \)이다. 따라서 항등원은 항등변환과 닮았다.</p><p>행렬 \( \mathfrak{T H} \mathfrak{T}^{-1} \)은 행렬 \( \mathfrak{H} \)에 닮았다고 말한다. 행렬대수의 원소로부터 (2행 행렬의 현재 경우에서 쉽게 확인된다) 이 닮음행렬은 같은 행렬식과 같은 자취(trace)를 갖는다. 따라서 \[\delta=\|\mathfrak{H}\|=a d-b c, \quad \operatorname{tr} \mathfrak{H}=a+d=\tau\]는 닮음불변량, 즉 \[\left\|\mathfrak{T} \mathfrak{H T} \mathfrak{T}^{-1}\right\|=\|\mathfrak{H}\|, \quad\operatorname{tr}\left(\mathfrak{T} \mathfrak{H} \mathfrak{T}^{-1}\right)=\operatorname{tr} \mathfrak{H}\]이다. 닮음행렬을 가진 두 개의 뫼비우스 변환은 닮았다[식 (1.3)에서 \( q=1] \). 그러나 두 개의 닮음 뫼비우스 변환의 행렬은 \[\left\|\mathfrak{H}^{}\right\|=q^{2}\|\mathfrak{H}\|, \quad \operatorname{tr} \mathfrak{H}^{}=q \operatorname{tr} \mathfrak{H}\]에 의해 관련된 닮음불변량을 가진다. 따라서 상 \( \frac{(\operatorname{tr} \mathfrak{H})^{2}}{\|\mathfrak{H}\|} \)은 행렬 \( \mathfrak{H}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \)를 가진 뫼비우스 변환의 닮음불변량일 것이다. 항등변환 \( (\mathfrak{H}=q \mathfrak{E}) \)에 대해 이 상은 값 4를 갖는다. 뫼비우스 변환의 기본 닮음불변량에 따라 크기를 도입할 수 있다. \[ \sigma=\sigma(\mathfrak{H})=\frac{(\operatorname{tr} \mathfrak{H})^{2}}{\|\mathfrak{H}\|}-4=\frac{\tau^{2}}{\delta}-4=\frac{(a-d)^{2}+4 b c}{a d-b c}\]<caption>(1.4)</caption>이고, 따라서 변환 \( \mathfrak{H}, \mathfrak{H}^{} \)가 닮았다면, \[\sigma\left(\mathfrak{H}^{}\right)=\sigma(\mathfrak{H})\]이다. \( (\mathfrak{T}=\mathfrak{E} \)로 하면 \( ) \) 모든 변환 \( \mathfrak{H} \)는 그 자신과 닮았다. 따라서 \( D \)는 닮음 불변량 (1.4)에서 분자와 같게 된다. 이를 이용하면 위의 정리 1.11과 참고에서 분류한 뫼비우스 변환을 \( k \)와 \( \sigma \)를 이용해 비교 분류할 수 있게 된다.</p><ul><li>타원형 \( : \quad\|k\|=1(k \neq 1,-1) \), 즉 \( -4<\sigma<0 \)</li><li>쌍곡형 : \( k \neq 0,1 \)인 실수, 즉 \( \sigma>0 \) 또는 \( \sigma \leq-4 \) (고유 쌍곡형 : \( k>0(k \neq 1) \), 즉 \( \sigma>0 \)일 때, 비고유 쌍곡형 : \( k<0 \), 즉 \( \sigma \leq-4 \)일 때)</li><li>항해선형 : \( \|k\| \neq 1 \)이고 \( k \)가 실수가 아닐 때, 즉 \( \sigma \)가 실수가 아닐 때.</li></ul> <h1>1.9 변환군의 기하학</h1><p>1.9.1 유클리드기하학. 비유클리드기하학의 다음 설명에 대한 준비과정으로 어떻게 유클리드기하학의 정수가 모든 유클리드 변위(운동)의 군 \( \mathcal{E} \)의 어떤 성질로부터 유도될 수 있는지 먼저 보겠다.</p><p>선분, 삼각형, 직선, 원 같은 평면 기하학적 도형을 \( \mathfrak{F}, \mathfrak{F}_{1}, \mathfrak{F}_{2} \) 라 놓는다. 평면상의 유클리드기하학은 \( \mathfrak{F} \)가 임의의 방법으로 평면 상에서 변위되어도 바뀌지 않고 남아 있는 그러한 도형 \( \mathfrak{F} \)의 그러한 성질을 연구하는 것이다. 도형 \( \mathfrak{F} \)의 다른 점 사이의 거리와 직선 혹은 원 사이의 각은 변위에 의해 변하지 않는다. 평면 상의 고정점으로부터 \( \mathfrak{F} \)의 점까지의 거리는 변하게 된다.</p><p>도형 \( \mathfrak{F}_{1} \)이 변위에 의해 \( \mathfrak{F}_{2} \)와 일치하도록 할 수 있다면, \( \mathfrak{F}_{1} \)과 \( \mathfrak{F}_{2} \)는 모든 변위의 군에 관해 합동 또는 단순히 합동이라고 말한다. 그러므로 모든 변위(1.16)의 군 \( \mathcal{E} \)는 기하학적 도형의 합동성을 결정한다. 군 \( \mathcal{E} \)의 원소인 어떤 조작들은 주어진 두 도형의 합동성을 검사할 수 있게 해준다.</p><p>더욱이 이것의 일변수 부분군, 즉 어떤 군구조적 성질에 의해 군 \( \mathcal{E} \)는 유클리드기하학의 기본 원소, 즉 직선과 원을 정의한다. 이것은 \( \mathcal{E} \)의 두 가지 다른 종류의 일변수 부분군에 대응한다.</p><p>1. 포물형 부분군. 이 부분군은 군 \( \mathcal{E} \)의 포물형 변환의 연속적인 반복에 의해 얻어진다. 군의 모든 포물형 변환은 평행이동 \( \mathfrak{T}_{b} \)\[w=\mathfrak{T}_{b}(z)=z+b\]들이다. 상수 \( z \)와 실변수 \( s \)에 대해, 점 \[w=\mathfrak{T}_{b}^{s}(z)=z+s b\]는, 평행이동 벡터 \( b \)에 평행한, \( z \)를 지나는 잘 정의된 직선 위를 움직인다.</p><p>2. 타원형 부분군. 변위군 \( \mathcal{E} \)의 임의의 비 평행이동변환은 타원형이다. \( \alpha \neq 2 n \pi \)라 하자. 그러면 \[\gamma=\frac{b}{1-e^{i \alpha}}\]는 \[w=\mathfrak{H}(z)=\gamma+e^{i \alpha}(z-\gamma)\]의 형태로 쓸 수 있는 회전변환 (1.16)의 유일한 유한 고정점이다. 따라서 상수 \( z \neq \gamma \)가 주어질 때, 점 \[ w=\mathfrak{H}^{s}(z)=\gamma+e^{i \alpha s}(z-\gamma)\]는, \( s \)가 실변수이면, \( z \)를 지나는 \( \gamma \)에 관한 원 위를 움직일 것이다.</p><p>모든 점 \( z \)는 알맞은 변위 \( \mathfrak{H} \)에 의해서 유한 평면에서 임의의 다른 점의 위치로 이동될 수 있다. 따라서 함수 \( f(z) \)가 불변이면, 즉, \( \mathcal{E} \) 안의 모든 \( \mathfrak{H} \)에 대해 \[f[\mathfrak{H}(z)]=f(z)\]<caption>(1.37)</caption>이면, 그것은 반드시 상수이어야만 한다. 이것이 바로 우리가 변위군의 1-점 불 변이 존재하지 않는다고 말하는 것을 의미한다. 이 사실은 물론 군 \( \mathcal{E} \)의 추이성의 결과이다.</p><p>점 \( z \)의 다음에 점 \( z_{1}, z_{2} \)의 쌍에 의해 정의된 선분을 생각한다. 임의의 변위 하에서 불변인 두 점 \( z_{1}, z_{2} \)의 함수가 있다. 이것은 그들의 거리 \( \left\|z_{1}-z_{2}\right\| \)이다. 당연히, 임의의 거리의 함수는 불변이다. 함수의 선택에서 이런 임의성은 별 문제로 하더라도, 거리 \( \left\|z_{1}-z_{2}\right\| \)는 두 점에 관련되어 불변인 유일한 변위임을 보일 것이다. 이것은 모든 불변 함수 \( f\left(z_{1}, z_{2}\right) \)는 거리 \( \left\|z_{1}-z_{2}\right\| \)의 함수임을 의미한다.</p><p>실제로, \( f\left(z_{1}, z_{2}\right) \)가 불변이라면, \( z_{1}, z_{2} \)가 둘 다 임의의 평행이동 \( f\left(z_{1}+\right. \) \( \left.b, z_{2}+b\right)=f\left(z_{1}, z_{2}\right) \)의 적용을 받을 때, 그것은 그것의 값을 변화시키지는 않을 것이다. \( b=-z_{2} \)에 대해 \[f\left(z_{1}, z_{2}\right)=f\left(z_{1}-z_{2}, 0\right)\]이다. 따라서 불변값은 차 \( z_{1}-z_{2} \)의 함수이다.</p><p>그러나 \( f\left(z_{1}, z_{2}\right) \)는, \( z_{1}, z_{2} \)가 임의의 회전변환 \[f\left(z_{1}, z_{2}\right)=f\left[e^{i \alpha}\left(z_{1}-z_{2}\right), 0\right]\]의 적용을 받는다면, 그것의 값을 유지한다. \( \alpha=-\arg \left(z_{1}-z_{2}\right) \)라 하면, \[f\left(z_{1}, z_{2}\right)=f\left(\left\|z_{1}-z_{2}\right\|, 0\right)\]이 성립한다.</p><p>참고 군 \( \mathcal{E} \)의 2중 추이성이 아닌 단순 추이성은 불변 거리의 존재성과 유일성에 대해 필수이다. 실제로 변환의 2중 추이적 군은 두 점에 관련된 불변을 가질 수 없다는 것과 비추이적 군은 두 점의 몇 가지 불변들을 가질 수 있다는 것을 보는 것은 쉽다.</p> <h1>1.2 뫼비우스 변환</h1><p>이제 뫼비우스 변환(선형분수변환, 쌍선형변환, 호모그래픽변환 등)이라 부르는 기초적이지만 유용한 함수를 다룬다. 먼저 몇 가지 관찰해 보자.</p><p>실변수의 실가 함수의 행동을 다루기 위해서는 그래프를 이용한다. 함수의 그래프를 그리기 위해 \( (x, y) \)-평면을 사용한다 (\( x \)는 변수, \( y \)는 함수) -이것은 우리들의 가시적 이해와 직관을 돕지만, 복소변수의 복소함수에 대해서는 사용될 수 없다- 4차원 공간이 필요하다(변수 \( z \)에 대해 2차원, 함수 \( w \)에 대해 2차원). 이것은 우리가 사는 세상의 차원을 넘어선다. 따라서, 복소변수의 복소함수를 공부하기 위해서는, 두 장의 복소평면, 변수 \( z \)에 대해 \( z \)-평면, 함수 \( w \)에 대해 \( w \)-평면을 사용한다. 이것은 실변수의 실가 함수의 경우에서처럼 이상적이지 않지만, 이것이 우리가 다룰 수 있는 최선이다.</p><p>[정의 1.1] 뫼비우스 변환은 형태 \[w=T(z)=\frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}, \quad \alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb{C}, \quad\left\|\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\\gamma & \delta\end{array}\right\|=\alpha \delta-\beta \gamma \neq 0\]의 특수한 유리함수이다. 조건 \( \alpha \delta-\beta \gamma \neq 0 \)은 \( T \)가 상수가 아님을 보장한다.</p><p>뫼비우스 변환은 \( z=-\frac{\delta}{\gamma} \)를 제외한 \( z \)-평면의 모든 점에서 정의되고, 역변환 \( z=T^{-1} w=\frac{\delta w-\beta}{-\gamma w+\alpha}, \quad\left\|\begin{array}{rr}\delta & -\beta \\ -\gamma & \alpha\end{array}\right\|=\left\|\begin{array}{ll}\alpha & \beta \\ \gamma &\delta\end{array}\right\| \neq 0 \)도 또한 뫼비우스 변환이고, 이것은 \( w \)-평면의 모든 점은 \( w=\frac{\alpha}{\gamma} \)를 제외하고는 (유일한) 역상을 가짐을 말한다. \( z=-\frac{\delta}{\gamma} \)의 상을 \( w=\infty \)로, \( w=\frac{\alpha}{\gamma} \)의 역상을 \( z=\infty \)로 정의함으로써 뫼비우스 변환을 리만 구를 자신 위로 보내는 사상으로 생각하여 이 예외를 제거하는 것이 유리하다. 뫼비우스 변환의 역은 일가임을 유의하면, 뫼비우스 변환의 정의의 이 확장은 뫼비우스 변환은 완비 복소평면 \( \widehat{\mathbb{C}} \)의 자기자신 위로의 전단사(일대일, 위로) 사상임을 말할 수 있게 한다.</p><p>항등사상 \( (\beta=\gamma=0, \alpha=\delta) \)은 분명히 뫼비우스 변환이다. 더욱이, 뫼비우스 변환의 합성은 뫼비우스 변환이다. 즉, \( z \)-평면을 \[w_{1}=T(z)=\frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}, \quad\left\|\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\\gamma & \delta\end{array}\right\| \neq 0\]에 의해 \( w_{1} \)-평면 위로 사상하고, \( w_{1} \)-평면을 \[w=S\left(w_{1}\right)=\frac{a w_{1}+b}{c w_{1}+d}, \quad\left\|\begin{array}{ll}a & b \\c & d\end{array}\right\| \neq 0\]에 의해 \( w \)-평면 위로 사상한다면, 결과는 \[ w=S T(z)=\frac{(a \alpha+b \gamma) z+(a \beta+b \delta)}{(c \alpha+d \gamma) z+(c \beta+d \delta)}\]에 의해 주어지는 \( z \)-평면에서 \( w \)-평면 위로의 뫼비우스 변환이다. 여기서 \[\left\|\begin{array}{cc}a \alpha+b \gamma & a \beta+b \delta \\c \alpha+d \gamma & c \beta+d \delta\end{array}\right\|=\left\|\begin{array}{ll}a & b \\c & d\end{array}\right\| \cdot\left\|\begin{array}{ll}\alpha & \beta \\\gamma & \delta\end{array}\right\| \neq 0\]을 만족한다. 비슷하게 결합법칙을 밝힐 수 있다. 지금까지 다음 정리를 증명하였다.</p><p>[정리 1.3] 모든 뫼비우스 변환들의 집합 \( \mathcal{M} \)은 군을 이룬다. 즉, 다음 네 공준을 만족한다.</p><p>(a) 임의의 두 \( T, S \in \mathcal{M} \)에 대해, 그들의 곱(합성) \( T S \)가 정의되고, \( \mathcal{M} \)의 원소이다. 즉, \( T S \in \mathcal{M} \).</p><p>(b) \( \mathcal{M} \)은 항등원이라 부르는 다음 성질을 만족하는 원소 \( E \)를 갖는다.</p><p>모든 \( T \in \mathcal{M} \)에 대해, \( T E=E T=T \).</p><p>(c) 모든 원소 \( T \in \mathcal{M} \)에 대해, \( T \)의 역이라 부르는 다음 성질을 만족하는 원소 \( T^{-1} \in \mathcal{M} \)가 존재한다.</p><p>\( T T^{-1}=T^{-1} T=E \).</p><p>(d) 결합법칙이 성립한다. 임의의 \( T, S, U \in \mathcal{M} \)에 대해,</p><p>\( (T S) U=T(S U) \).</p><p>[정의 1.2] \( \widehat{\mathbb{C}} \) 위에 작용 군을 \( \mathcal{M} \)으로 정의한 쌍 \( (\widehat{\mathbb{C}}, \mathcal{M}) \)은 뫼비우스기하학 모형이다.</p><p>뫼비우스 변환의 곱에 대한 표현은 행렬을 생각나게 한다. 위의 뫼비우스 변환 \( T \)와 \( S \)를 \[T=\left(\begin{array}{ll}\alpha & \beta \\\gamma & \delta\end{array}\right) \quad S=\left(\begin{array}{ll} a & b \\c & d\end{array}\right)\]로 쓰면, \[S T=\left(\begin{array}{ll}a \alpha+b \gamma & a \beta+b \delta \\ c \alpha+d \gamma & c \beta+d \delta\end{array}\right)\]가 된다. 즉, 이 기호는 행렬 연산과 일치하거나, 또는 모든 \( 2 \times 2 \) 가역행렬의 군은 뫼비우스 변환들의 군과 준동형적이다.</p><p>군의 부분집합이 (같은 군 연산하에서) 군이라면 부분군이라 불린다. 뫼비우스 군의 부분군의 예를 몇 가지 들어보자.</p><p>[예제 1.1] 모든 평행이동 \[w=T(z)=z+b \quad(\text { 적당한 상수 } b \in \mathbb{C})\]의 집합.</p><p>[예제 1.2] 모든 확대변환 \[w=T(z)=\alpha z \quad(0 \text {이 아닌 적당한 상수 } \alpha \in \mathbb{C})\]의 집합.</p><p>실제로, 이 부분군은 두 개의 중요한 부분군을 포함한다.</p><p>(a) 확장(또는 닮음)변환 : \[w=T(z)=a z \quad(a \text {는 양의 상수 }) .\]</p><p>이것은 인자 \( a \)에 의해 단지 확장(또는 축소)하는 것이다.</p><p>(b) 회전변환 : \[w=T(z)=k z \quad(\text { 단 }\|k\|=1)\]</p><p>이것은 원점에 관해 \( k \)의 편각만큼 회전한 회전변환이다. 확장변환과 회전변환은 교환가능하고 모든 확대변환은 확장변환과 회전변환의 곱임을 유의하라.</p><p>[예제 1.3] 항등원과 상반변환 \[w=T(z)=\frac{1}{z}\]로 이루어진 \( \mathcal{M} \)의 부분집합은 또한 부분군이다.</p><p>이제 뫼비우스 변환 \[w=T(z)=\frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}, \quad\left\|\begin{array}{ll} \alpha & \beta \\\gamma & \delta\end{array}\right\| \neq 0\]을 정의하는 유리함수를 부분분수로 분해하자. 두 가지 가능성이 있다.</p><p>(a) \( \gamma=0 \)이면, \( \delta \neq 0 \)이고, \[w=\frac{\alpha}{\delta} z+\frac{\beta}{\delta}\]를 얻는다.</p><p>(b) \( \gamma \neq 0 \)이면, \[w=\frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}=\frac{\alpha}{\gamma}-\frac{(\alpha \delta-\beta \gamma) / \gamma}{\gamma z+\delta} .\]이다. 따라서 뫼비우스 변환은 확대변환, 평행이동과 상반변환의 곱이다.</p><p>평행이동과 확대변환은 직선을 직선으로 원을 원으로 사상하는 것은 분명하다. 이것은 상반변환에 대해서는 옳지 않다. 그러나, 모든 직선과 원의 족을 불변시킨다.</p><p>\( A\left(x^{2}+y^{2}\right)+B x+C y+D=0 \quad\left(B^{2}+C^{2}>4 A D\right) \) 또는 복소기호를 써서 \[ a z \bar{z}+\bar{b} z+b \bar{z}+c=0 \quad\left(\|b\|^{2}>a c\right)\]을 평면의 임의의 원 (\(a=0 \)이면 직선)이라 가정하자. 단, \( a=A \)와 \( c=D \)는 실수이고, \( b=\frac{1}{2}(B+C i) \)는 복소수이다. 상반변환 \( w=\frac{1}{z} \)을 행하면, \[a+\bar{b} \bar{w}+b w+c w \bar{w}=0\]을 얻는데, 이는 같은 형태의 방정식이다. 따라서 다음을 얻는다.</p><p>[정리 1.4] 뫼비우스 변환은 평면의 모든 원과 직선의 족을 자신으로 사상한다.</p> <h1>1.1 입체사영</h1><p>지금까지 복소수는 평면상의 점으로 나타낼 수 있다. 또한 그것을 구 위의 점으로 생각하는 것이 때로는 유용하다. 일반적으로 구면 전체에서 평면으로의 전단사 연속사상을 구성하는 것은 가능하지 않다. 그러나 입체사영(그림 1.1)은 사영의 중심인 북극 \( N(0,0,1) \)을 뺀 나머지를 평면으로 전단사이면서 연속적으로 사상한다.</p><p>원점에서 복소평면에 접하는 단위지름을 가진 구를 생각하자. 직교좌표 \( (\xi, \eta, \zeta) \)에 관해 표현하면 구의 방정식은 \[\xi^{2}+\eta^{2}+\left(\zeta-\frac{1}{2}\right)^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\]이다. 평면의 각각의 점 \( z=x+y i \)에 대해, 점을 북극 \( N(0,0,1) \)과 잇는 선분은 (북극 외의) 유일한 점에서 구와 만난다. 역으로 북극 외의 구 위의 점에 대해, 점과 북극을 잇는 선분의 연장선은 유일한 점에서 복소평면과 만난다. 따라서 복소평면과 북극을 뺀 리만 구 사이에 일대일 대응을 구성하였다. 이 예외를 포함하기 위해서는 \( (\infty \)로 놓는) 무한점이라 불리는 이상점을 복소평면 \( \mathbb{C} \)에 더하고, 이것을 북극 \( N \)과 대응시킨다. 확장된 복소평면을 \( \widehat{\mathbb{C}} \)이라 놓는다. 따라서, \( \widehat{\mathbb{C}}=\mathbb{C} \cup\{\infty\} \)이다. 이것을 (복소)평면의 \( \infty \)에 의한 완비화라 한다.</p><p>두 객체 간에 대응하는 좌표를 구체적으로 구해보자. \( z=x+y i \in \mathbb{C} \)가 리만 구 위의 점 \( (\xi, \eta, \zeta) \)와 대응한다고 하면, 닮음 삼각형을 고려하여, \[\frac{x}{\xi}=\frac{y}{\eta}=\frac{1}{1-\zeta}\] 즉, \[ x=\frac{\xi}{1-\zeta}, \quad y=\frac{\eta}{1-\zeta}\]를 얻는다. 즉, \[z=\frac{\xi+\eta i}{1-\zeta}, \quad x^{2}+y^{2}=\frac{\zeta}{1-\zeta}\]이다. 역으로, \( \xi, \eta, \zeta \)를 \( x, y \)와 \( z \)에 관해 풀면, \[ \begin{aligned}\xi &=\frac{x}{1+\|z\|^{2}}=\frac{z+\bar{z}}{2\left(1+\|z\|^{2}\right)}, \\\eta &=\frac{y}{1+\|z\|^{2}}=\frac{z-\bar{z}}{2\left(1+\|z\|^{2}\right) i}, \\\zeta &=\frac{\|z\|^{2}}{1+\|z\|^{2}}\end{aligned}\]을 얻는다. 평면 위의 원(또는 직선)의 리만 구 위로의 상을 구하기 위해, 이 관계식을 평면의 원(만약 \( A=0 \)이면 직선)의 방정식, 즉 \( A, B, C, D \in \mathbb{R} \)이고 \( B^{2}+C^{2} \geq 4 A D \)일 때, \[A\left(x^{2}+y^{2}\right)+B x+C y+D=0\]에 대체한다. 그러면 선형방정식 \[A \zeta+B \xi+C \eta+D(1-\zeta)=0\]을 얻는다. 이 평면이 주어진 리만 구와 실제로 만날 조건은 (구의 중심에서 평면까지의 거리를 계산하여 얻게 되는) \[\left\|\frac{\frac{1}{2}(A-D)+D}{\sqrt{B^{2}+C^{2}+(A-D)^{2}}}\right\| \leq \frac{1}{2}\]인데, 이것은 복소평면 위의 원래의 방정식은 실제로 원이 되는 조건 \( B^{2}+C^{2} \geq 4 A D \)이다. 더욱이, \( A=0 \)이면, 북극 \( N(0,0,1) \)은 평면의 방정식을 만족한다. 평면과 구의 교점은 원이기 때문에, 다음 정리의 처음 반을 얻었다.</p><p>[정리 1.1] 입체사영에 의해 평면의 원과 직선은 구 위의 원으로 사상한다. 직선은 북극을 지나는 원으로 사상한다. 역으로, 구 위의 원은 평면의 원과 직선으로 사상한다.</p><p>증명 역을 증명하기 위해, 구 위의 원은 (실제적인 만남을 보증하는) \( \left\|\frac{\frac{1}{2} C+D}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}\right\| \leq \frac{1}{2}, \quad \) 즉, \( \quad A^{2}+B^{2} \geq 4 D(C+D) \)를 만족하는 구와 평면 \[A \xi+B \eta+C \zeta+D=0\]의 교점임을 관찰하자. \( x, y \)에 관해, 이 방정식은 \[ (C+D)\left(x^{2}+y^{2}\right)+A x+B y+D=0\]의 형태를 취한다. \( C+D \neq 0 \)이면, 방정식은 원을 나타내고, \( C+D=0 \)(즉, 구 위의 원이 북극을 지나면)이면, 방정식은 직선을 나타낸다.</p><p>특히, 이것은 평면의 임의의 두 직선은 무한대에서 만난다는 것을 정당화한다. 구면 위에서는 거리가 유계이지만 평면에서는 무한정이기 때문에 분명히 입체사영은 거리를 보존하지 않는다. 그러나 다음과 같은 입체사영의 다른 중요한 성질이 성립한다.</p><p>[정리 1.2 (등각성, 극소 유사성)] 입체사영은 각-보존 변환이다.</p><p>증명 일반성을 잃지 않고, 평면의 두 교차하는 곡선은 직선이라 가정할 수 있다. 이제, 점 \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \)에서 만나는 평면의 두 직선을 점 \( \left(\xi_{0}, \eta_{0}, \zeta_{0}\right) \)과 북극에서 만나는 구의 두 원으로 사상하고, 이 두 원의 두 교점에서 서로 같은 각을 만든다. 평면의 두 직선이 \[A_{1} x+B_{1} y+C_{1}=0, \quad A_{2} x+B_{2} y+C_{2}=0\]이면, 그들의 입체사영 상은 각각 평면 \[A_{1} \xi+B_{1} \eta+C_{1}(1-\zeta)=0, \quad A_{2} \xi+B_{2} \eta+C_{2}(1-\zeta)=0\]이다. 북극에서 대응하는 원의 접선은 이 평면과 평면 \( \zeta=1 \)의 교점이다. 즉, 그 방정식은 각각 \[A_{1} \xi+B_{1} \eta=0, \quad \zeta=1 ; \quad A_{2} \xi+B_{2} \eta=0, \quad \zeta=1\]이다. 복소평면의 두 직선 사이의 각은 (평면 \( \zeta=1 \) 이 복소평면에 평행이기 때문에) 북극에서의 두 접선 사이의 각과 같다.</p><p>사실은, 접선을 갖는 곡선의 성질은 입체사영에 의해 보존된다는 사실을 증명해야 하는데 이는 미적분학과 관련되어 있음을 유의하라. (여러분이 증명해 보라.)</p> <p>1.9.2 \( \mathcal{G} \)-기하학. (\( \mathcal{G} \)-기하학이라 부르는) 기하학을 이 기하학의 '공간' 안에서 작용하는 변환들의 보다 임의의 군 \( \mathcal{G} \)와 유클리드 운동들의 군 \( \mathcal{E} \)가 유클리드 평면에서 작용하는 방법으로 연결시킨 것은 클라인(Klein)의 '에를랑겐(Erlangen) 프로그램'(1872)의 기본 사고이었다. \( \mathcal{G} \)-기하학의 '공간'은 변환들의 주어진 군 \( \mathcal{G} \)의 단순 추이성의 영역으로 정의될 수 있다.</p><p>특히 클라인의 의미에서 쌍곡형, 포물형과 타원형 다발의 군에 속하는 그러한 평면 기하학을 연구할 것이다. 이 다발들을 그들의 표준형으로 가정할 수 있다. 따라서 \( \mathcal{G} \)는, 단순 추이성의 영역으로 각각 단위원의 내부, 통상적 유클리드 평면과 복소수의 완비 평면을 갖는, 군들 \( \mathcal{U}_{+}, \mathcal{E}, \mathcal{R} \) 중의 하나일 것이다. 각 경우에서 이 영역은 \( \mathcal{D} \)로 표시할 수 있다. 이것은 대응하는 \( \mathcal{G} \)-기하학의 평면(또는 '공간')이다.</p><p>유클리드기하학의 경우에서처럼, \( \mathcal{D} \)에서의 두 도형은, 하나가 \( \mathcal{G} \)의 변환에 의해서 다른 것으로 사상되어질 수 있다면, \( \mathcal{G} \)-일치라고 말할 것이다.</p><p>\( \mathcal{G} \)-기하학의 점은 \( \mathcal{D} \) 안의 복소수이다. 직선, 순환마디, 그리고 원으로 불리는 \( \mathcal{G} \)-기하학의 다른 기본적인 원소는 \( \mathcal{G} \)의 원소 \( \mathfrak{H} \)의 연속적 반복 \( \mathfrak{H}^{s} \)로 이루어지는 \( \mathcal{G} \)의 1-매개변수 부분군을 통해 소개되었다. \( \mathcal{D} \)의 임의의 점 \( z_{0} \)에 \( \mathfrak{H} \)의 모든 멱을 적용하므로써 얻어지는 모든 곡선 \( \mathfrak{C} \)는 원 또는 원의 호라는 것이 알려져 있다. 그것의 매개변수 표현은 방정식 \[z=\mathfrak{H}^{s}\left(z_{0}\right) \quad(-\infty<s<\infty)\]<caption>(1.38)</caption>에 의해 주어진다.</p><p>[정의 1.4] 원 \( \mathfrak{C} \)는 변환 \( \mathfrak{H} \)가 타원형이라면 \( \mathcal{G} \)-원이라 부른다. \( \mathcal{D} \) 내부에 놓여 있는 \( \mathfrak{H} \)의 고정점 \( \gamma \)는 \( \mathcal{G} \)-원의 중심이라고 부른다. 원호 (1.38)은, \( \mathfrak{H} \)가 고유 쌍곡형이라면 \( \mathcal{G} \)-초순환마디라 불리고, \( \mathfrak{H} \)가 포물형이면 \( \mathcal{G} \)-호로사이클이라 불린다.</p><p>\( \mathcal{G}=\mathcal{R} \)이면, \( \mathcal{G} \)의 모든 변환은 타원형이고, 따라서 \( \mathcal{G} \)-순환마디는 없다. \( \mathcal{G}= \mathcal{E} \)이면, 모든 변환은 타원형 또는 포물형이고 초순환마디는 존재하지 않는다.</p><p>0을 지나는 통상적 (유클리드) 직선 위에 놓여 있는 \( \mathcal{G} \)-순환마디와 \( \mathcal{G} \)-원은, 정의에 의해, 0을 지나는 \( \mathcal{G} \)-직선이다. 0을 지나는 \( \mathcal{G} \)-직선과 합동인 모든 곡선을 \( \mathcal{G} \)-직선이라 부른다.</p><p>따라서 \( \mathcal{U}_{+} \)-직선은 단위원에 수직이고 (단위원에 의해서 경계가 이루어지는) \( \mathcal{U}_{+} \)-초순환마디이다. \( \mathcal{E} \)-직선은 호로사이클이다. 이것은 무한점을 통과하는 원, 즉 통상의 직선이다.</p><p>앞의 정의를 근간으로, 기하적인 이론들이 어떻게 발전될 수 있는가를 보일 것이다. \( \mathcal{G}=\mathcal{E} \) 인 경우는 1.9.1절에 논의되어 있다. 더 이상의 토의는 하지 않을 것이다. \( \mathcal{G}=\mathcal{U}_{+} \)에 대해서는 쌍곡기하학을 얻고, \( \mathcal{G}=\mathcal{R} \)에 대해서는 구면 기하학을 얻게 된다. 이 기하학들의 각각에서 \( \mathcal{G} \)의 원소들은 유클리드기하학에서 운동의 역할을 수행한다. 그러므로 \( \mathcal{U}_{+} \)를 쌍곡운동의 군이라 부르며 \( \mathcal{R} \)을 구면운동의 군이라고 부른다.</p> <p>1.8.2 회전형 뫼비우스 변환들의 군 \( \mathcal{R} \). 고정점으로 중심 \( \mathrm{O} \)를 갖는 단위구의 모든 사영 변환은 3행 직교 행렬 \( S_{3} \)의 군과 동형인 군을 형성함을 알고 있다. 양의 행렬식을 갖는 변환은 \( \mathrm{O} \)에 관한 구의 회전변환을 표현한다. 이것은 \( \mathrm{O} \)를 지나는 직선을 \( \mathrm{O} \)를 지나는 직선으로 보내고, 따라서 구 위의 대각 반대점의 쌍을 대각 반대점의 쌍 위로 보낸다. 입체사영적으로 원점 대칭점 \( z,-\frac{1}{\bar{z}} \)을 평면의 원점 대칭점 \( w,-\frac{1}{\bar{w}} \) 위로 사상하는 뫼비우스 변환 \[w=\mathfrak{H}(z)=\frac{a z+b}{c z+d}\]에 대응한다. 따라서 \[-\frac{1}{\bar{w}}=\mathfrak{H}\left(-\frac{1}{\bar{z}}\right)=\frac{b \bar{z}-a}{d \bar{z}-c}\] 또는 \[w=\frac{\bar{d} z-\bar{c}}{-\bar{b} z+\bar{a}},\] 따라서 \[\left(\begin{array}{ll}a & b \\c & d\end{array}\right)=q\left(\begin{array}{cc}\bar{b} & -\bar{c} \\-\bar{b} & \bar{a}\end{array}\right)\]이다. 1.8.1절에서처럼, \( q \bar{q}=1, q=e^{2 i \phi} \)임이 보여지고, 따라서 \[ e^{-i \phi}\left(\begin{array}{ll}a & b \\c & d\end{array}\right)=e^{i \phi}\left(\begin{array}{cc}\bar{d} & -\bar{c} \\-\bar{b} & \bar{a}\end{array}\right)\]이다. 그러므로 \( e^{-i \phi} a \)를 \( a \)로, 나머지를 같은 방법으로 교체하면 \[\left(\begin{array}{ll}a & b \\c & d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\bar{d} & -\bar{c} \\-\bar{b} & \bar{a}\end{array}\right)\] 또는 \[\mathfrak{H}=\left(\begin{array}{cc}a & b \\-\bar{b} & \bar{a} \end{array}\right) \quad \text {와} ~w=\frac{a z+b}{-\bar{b} z+\bar{a}}\]<caption>(1.10)</caption>는 회전형 뫼비우스 변환을 표현한다.</p><p>그러한 임의의 변환 \( \mathfrak{H} \)는 타원형이 된다. 이는 \[\delta=a \bar{a}+b \bar{b}>0, \quad \tau=a+\bar{a}\]이고 따라서 \[\frac{\tau^{2}}{\delta}=\frac{(a+\bar{a})^{2}}{a \bar{a}+b \bar{b}} \leq 4\left(\frac{\Re a}{\|a\|}\right)^{2} \leq 4\]이므로 \[-4 \leq \sigma(\mathfrak{H}) \leq 0\]이 되는데, 반면 \( \sigma(\mathfrak{H})=0 \)은 \( a \)가 실수이고, \( b=0 \)이고, 따라서 \( \mathfrak{H}=q \mathfrak{E} \)임을 유도하기 때문이다. (여기서, \( \mathfrak{E} \)는 단위행렬을 나타낸다.)</p><p>고정점으로 \( z=0 \)을 갖는 그러한 회전형 뫼비우스 변환은 0에 관한 순수 회전변환임을 다시 한번 인지하자.</p><p>행렬 (1.10)은 임의의 실 인자를 고려하여 정의된다. 따라서 \( \mathfrak{H} \)는 \[\delta=\|\mathfrak{H}\|=\|a\|^{2}+\|b\|^{2}=1\]<caption>(1.11)</caption>을 만족하도록 더 표준화될 수 있다. 그러면 행렬 \( \mathfrak{H} \)는 유니타리, 즉 \[\overline{\mathfrak{H}^{t}} \mathfrak{H}=\mathfrak{E} \quad \text { 또는 } \quad \mathfrak{H}^{-1}=\overline{\mathfrak{H}^{t}}\]<caption>(1.12)</caption>이다. (여기서 \( \mathfrak{H}^{t} \)는 \( \mathfrak{H} \)의 행과 열을 바꾼 전치행렬이고, \( \overline{\mathfrak{H}^{t}} \)는 \( \mathfrak{H}^{t} \)에서 각 항의 복소공액을 취한 행렬이다.)</p><p>\[\begin{array}{c}\text { 역으로 } \mathfrak{H}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\c & d\end{array}\right) \text { 가 유니타리이고 }\|\mathfrak{H}\|=1 \text { 이면, } \\\mathfrak{H}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}d & -b \\-c & a \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\bar{a} & \bar{c} \\\bar{b} & \bar{d}\end{array}\right)\end{array}\]이고 \( \mathfrak{H} \)는 실제로 형태 (1.10)을 갖는다.</p><p>회전형 뫼비우스 변환의 군 \( \mathcal{R} \)은 허원 \( z \bar{z}+1=0 \)을 불변시키는 모든 그러한 뫼비우스 변환의 군으로 소개될 수 있고, 따라서 그것의 유사 결론을 실 단위원 \( z \bar{z}-1=0 \)을 불변시키는 변환들의 군 \( \mathcal{U}_{+} \)에 대해 보인다. 실제로 허 단위원을 불변시키는 모든 변환은 이 원에 관해 대칭인 점들의 쌍을 그러한 대칭쌍으로 사상한다. 그러한 점의 쌍은 원점 대칭이 된다. 이 변환은 회전형 뫼비우스 변환이다.</p><p>회전형 변환 \( \mathfrak{H} \)의 닮음표준형 \( \mathfrak{H}^{}=\mathfrak{T H} \mathfrak{T}^{-1} \)은 군 \( \mathcal{R} \)의 변환 \( \mathfrak{H} \)에 의해 얻을 수 있다. \( \gamma \)가 \( \mathfrak{H} \)의 고정점 중의 하나라면, 다른 하나는 원점 대칭점 \( -\frac{1}{\bar{\gamma}} \)이다. \( \mathbf{P} \)와 \( -\mathbf{P} \)를 대응하는 (대각적으로 반대인) 구면 점이라 하자. 구의 회전변환 \( \mathfrak{T} \)에 의해 \( \mathbf{P} \)를 \( \mathbf{N}[ \) 북극 \( (0,0,1)] \)으로 \( -\mathbf{P} \)를 \( \mathbf{S}[ \) 남극 \( (0,0,-1)] \)로 전환하는 것이 가능하다. 대응되는 뫼비우스 변환 \( z^{}=\mathfrak{T}(z) \)는 회전형이고 \( \gamma \)를 0으로, \( -\frac{1}{\bar{\gamma}} \)을 \( \infty \)로 보낸다. 따라서 \[w^{}=e^{i \psi} z^{}=\mathfrak{H}^{}\left(z^{}\right), \quad \mathfrak{H}^{}=\left(\begin{array}{cc}e^{i \frac{\psi}{2}} & 0 \\0 & e^{-i \frac{\psi}{2}}\end{array}\right)\]<caption>(1.13)</caption>는 표준형이다. 행렬 \( \mathfrak{H}^{} \)는 그것의 부호를 고려하면 유일하게 정의된다.</p><p>\( a=0 \)이면, 변환 \( \mathfrak{H} \)는 대합 \( w=-\frac{b}{\bar{b} z}=-\frac{e^{2 i \beta}}{z} \) ( \( \beta \)는 \( b \)의 편각)이다. 그것의 고정점은 원점 대칭점 \( \pm i e^{i \beta} \)이다.</p><p>\( a \neq 0 \)이면, 1.8.1절에서처럼, (1.10)의 회전형 변환 \( \mathfrak{H} \)에 의해 0으로 사상되는 점 \[z_{1}=\mathfrak{H}^{-1}(0)=-\frac{b}{a}=r_{1} e^{i \theta_{1}} \quad\left(r_{1}>0\right)\]을 도입한다. 그러면 \[ w=\mathfrak{H}(z)=\frac{a}{\bar{a}} \frac{z-z_{1}}{\bar{z}_{1} z+1}=e^{2 i \alpha} \frac{z-z_{1}}{\bar{z}_{1} z+1}=e^{2 i \alpha} \mathfrak{H}_{z_{1}}(z)\]<caption>(1.14)</caption>가 된다. 변환 \[w=\mathfrak{H}_{z_{1}}(z), \quad \mathfrak{H}_{z_{1}}=\left(\begin{array}{cc}1 & -z_{1} \\\bar{z}_{1} & 1\end{array}\right)\]은 고정점으로서 실 단위원의 두 원점 대칭점 \( \pm i e^{i \theta_{1}} \) 을 갖는다. 그것의 특성상수 \[k=\frac{1-\bar{z}_{1} i e^{i \theta_{1}}}{1+\bar{z}_{1} i e^{i \theta_{1}}}=\frac{1-i r_{1}}{1+i r_{2}}=e^{-i \kappa}\]는 \( \theta_{1} \)과 무관하고, \( 2 \pi \)의 덧셈 정수배를 고려해 정의된 실 상수 \( \kappa \)는 양수이고 \( \leq \pi \)가 되게 택할 수 있다. 그러면 \[r_{1}=\tan \frac{\kappa}{2}\]이다. 실수 \( s \)에 대한 연속 반복 \( \mathfrak{H}_{z_{1}}^{s} \)는, \( s \)가 \( 0 \leq \kappa s<\pi \)를 만족하는 구간을 움직일 때, \( \mathfrak{H}_{z} \)에서 상수 \( k \)를 \( k^{s} \)로, 즉 \( \kappa \)를 \( s \kappa \)로, 대체함으로 찾을 수 있다. 따라서 \( \mathfrak{H}_{z_{1}}^{s}(z)=\mathfrak{H}_{z_{s}}(z), \quad \mathfrak{H} \bar{z}_{s}=\left(\begin{array}{cc}1 & -z_{s} \\ \bar{z}_{s} & 1\end{array}\right), \quad z_{s}=e^{i \theta_{1}} \tan \left(\frac{\kappa s}{2}\right) \)<caption>(1.15)</caption>를 얻는다. \( z_{1}=1 \)이면, \( \mathfrak{H}_{1}=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right), \kappa=\frac{\pi}{2}, z_{s}=\tan \left(\frac{\pi s}{4}\right) \)를 갖는다. 따라서 \( z_{s} \)가 가정할 수 있는 모든 값은 구간 \( 0 \leq s<2 \)에 있는 \( s \)에 대해서이다. 극한의 경우 \( s=2 \)는 대합 \( (a=0) \)에 대응한다.</p><p>정리1.12의 증명에서 적용된 논의에 의해 다음을 얻는다.</p><p>[정리 1.13] 모든 회전형 뫼비우스 변환은, \( \Re \)이 0에 관한 회전변환이고, \( \mathfrak{H}_{1} \)은 \( z=1 \)을 0으로 사상하고 고정점으로 \( \pm i \)를 갖는 타원형 변환일 때, \[\mathfrak{H}=\mathfrak{R}^{t_{1}} \mathfrak{H}_{1}^{s} \mathfrak{R}^{t_{2}} \quad(0 \leq s \leq 2)\]의 형태로 쓸 수 있다.</p>	기하학	[ "<h1>1.4 대칭원리</h1><p>\\( A \\)와 \\( B \\)가 중심인 원이 직각으로 만난다고 하자. \\", "( A \\)에서 나온 사선이 원 \\( B \\)와 \\( P \\)와 \\( Q \\)에서 만난다고 가정하자.", "</p><p>\\( M \\)을 원 \\( A \\)와 \\( B \\)의 두 교점 중의 하나라 하고(여기서의 논의는 두 교점 중의 어느 것을 \\( M \\)으로 선택하는지에 관계없이 성립한다.", "-단지 \\( P \\)와 \\( Q \\)의 역할이 바뀐다면 약간의 변형이 필요할 뿐이다.) \\", "( M N \\)을 원 \\( B \\)의 지름이라 하자.", "그러면 \\[\\angle A Q M=\\angle P N M=\\frac{\\pi}{2}-\\angle P M N=\\angle A M P\\]이고, 따라서\\[\\triangle A M P \\sim \\triangle A Q M\\]이다.", "(이 장에서는, 우리가 두 삼각형이 닮았다고 할 때 더 이상 그것들이 같은 방향을 갖는다고 하지 않음을 유의하라.)", "그러므로, \\( r \\)이 원 \\( A \\)의 반지름일 때, \\[\\overline{A P}: \\overline{A M}=\\overline{A M}: \\overline{A Q}\\]가 성립하고, 따라서 \\[\\overline{A P} \\cdot \\overline{A Q}=\\overline{A M}^{2}=r^{2}\\]을 얻는다.", "특히, 점 \\( Q \\)는 원 \\( B \\)가 원 \\( A \\)에 직교하고 점 \\( P \\)를 지난다는 의미에서 원 \\( B \\)에 의존한다.", "그러나 무한개의 그러한 원이 존재한다.", "</p><p>두 점 \\( P \\)와 \\( Q \\) 모두가 (원의 중심) \\( A \\)로부터의 사선 위에 있고, \\( r \\)이 원 \\( A \\)의 반지름이라면, 위의 마지막 등식을 만족하는 \\( P \\)와 \\( Q \\)는 원 \\( A \\)에 관해 서로 대칭(또는 서로의 반전)이라고 한다.", "</p><p>원의 중심과 무한점은 서로 대칭인 반면, 원 위의 점은 자기 자신과 대칭이다.", "원이 직선으로 퇴화한다면, 두 점이 대칭일 필요충분조건은 직선에 관해 서로의 반사인 것이다.", "</p><p>지금까지 다음 정리의 첫 반을 증명하였다.", "</p><p>[보조정리 1.1] 원 \\( B \\)가 원 \\( A \\)에 직교하고 점 \\( P \\)를 지나면, 이것은 또한 원 \\( A \\)에 관해 점 \\( P \\)와 대칭인 점 \\( Q \\)를 지나야만 한다.", "역으로, 원 \\( B \\)가 원 \\( A \\)에 관해 서로 대칭인 한 쌍의 점 \\( P \\)와 \\( Q \\)를 지나면, 원 \\( A \\)와 \\( B \\)는 서로 직교한다.", "</p><p>증명 역의 증명은 위의 논의를 단순히 되짚어 감으로써 얻을 수 있다.", "위에서와 같은 기호를 써서, 가정에 의해 \\( \\overline{A P} \\cdot \\overline{A Q}=\\overline{A M}^{2}, \\quad \\) 즉, \\( \\overline{A P}: \\overline{A M}=\\overline{A M}: \\overline{A Q} \\)를 얻는다.", "그러므로 \\( \\triangle A M P \\sim \\triangle A Q M \\)가 된다.", "따라서\\[\\angle A M P=\\angle A Q M=\\angle P N M=\\frac{\\pi}{2}-\\angle P M N\\]이 되고, 결과적으로 \\[\\angle A M B=\\frac{\\pi}{2}\\]를 얻게 된다.", "</p><p>[정리 1.9 (대칭원리)] 뫼비우스 변환은 대칭을 보존한다.", "</p><p>증명 한 쌍의 점 \\( P, Q \\)가 원 \\( A \\)에 관해 대칭이고, 뫼비우스 변환 \\( T \\)는 \\( P, Q \\)와 원 \\( A \\)를 각각 점 \\( P^{\\prime}, Q^{\\prime} \\)과 원 \\( A^{\\prime} \\)으로 사상한다고 가정하자. \\", "( P^{\\prime}, Q^{\\prime} \\)이 원 \\( A^{\\prime} \\)에 관해 대칭이 됨을 보이고자 한다.", "</p><p>\\( B^{\\prime} \\)을 점 \\( P^{\\prime} \\)을 지나고 원 \\( A^{\\prime} \\)에 직교하는 원이라 하자.", "그러면 이것의 역상\\( T^{-1} B^{\\prime} \\)은 ( \\( T^{-1} \\)이 뫼비우스 변환이고 따라서 등각사상이므로) 원 \\( A \\)에 직교하는 원이고, 점 \\( T^{-1} P^{\\prime}=P \\)를 지난다.", "보조정리 1.1에 의해, 원 \\( T^{-1} B^{\\prime} \\)은 또 한 점 \\( Q \\)를 반드시 지나야 한다.", "따라서 원 \\( B^{\\prime} \\)은 점 \\( Q^{\\prime} \\)을 반드시 지나야 하고, 이는 \\( Q^{\\prime} \\)이 \\( A^{\\prime} \\)에 관해 \\( P^{\\prime} \\)과 대칭임을 유도한다.", "</p><p>[예제 1.4] 단위원 \\( \|z\|=1 \\)을 단위원 \\( \|w\|=1 \\) 위로 사상하는 뫼비우스 변환은 반드시 \\[w=k \\frac{z-\\alpha}{1-\\bar{\\alpha} z}, \\quad(\|k\|=1,\|\\alpha\| \\neq 1)\\]<caption>(1.2)</caption>의 형태이어야만 한다.", "</p><p>풀이 \\( \\alpha(\|\\alpha\| \\neq 1, \\alpha \\neq \\infty) \\)를 \\( w=0 \\)으로 사상되는 점이라 가정하면, 이것의(단위원에 관한) 대칭 상 \\( \\frac{1}{\\bar{\\alpha}} \\)은 반드시 \\( w=\\infty \\)로 사상되어야만 한다.", "따라서, \\[w=k^{\\prime} \\frac{z-\\alpha}{z-\\frac{1}{\\bar{\\alpha}}}=k \\frac{z-\\alpha}{1-\\bar{\\alpha} z} \\quad\\left(k=-\\bar{\\alpha} k^{\\prime}\\right)\\]이다. \\", "( \|z\|=1 \\)일 때 \\( \|w\|=1 \\)이므로, \\( z=1 \\)로 놓으면, \\[1=\|k\| \\cdot\\left\|\\frac{1-\\alpha}{1-\\bar{\\alpha}}\\right\|=\|k\|\\]를 얻는다. \\", "( \\alpha=\\infty \\)이면, 변환 \\( w=\\frac{k}{z} \\)를 얻고, \\( \|z\|=1 \\)이면 \\( \|w\|=1 \\)이어야 하므로 \\( \|k\|=1 \\)을 얻는다.", "역으로, \\[w=k \\frac{z-\\alpha}{1-\\bar{\\alpha} z}, \\quad(\|k\|=1,\|\\alpha\| \\neq 1)\\]이라면, \\( \|z\|=1 \\)에 대해, \\[\|w\|=\|k\| \\cdot\\left\|\\frac{z-\\alpha}{1-\\bar{\\alpha} z}\\right\|=\\left\|\\frac{\\bar{z}(z-\\alpha)}{1-\\bar{\\alpha} z}\\right\|=\\left\|\\frac{1-\\alpha \\bar{z}}{1-\\bar{\\alpha}z}\\right\|=1\\]이 된다.", "따라서, 그렇게 얻은 뫼비우스 변환은 조건을 만족한다. \\", "( z \\)-평면의 단위원의 내부는 \\( \|\\alpha\|<1 \\) 또는 \\( \|\\alpha\|>1 \\)에 따라 \\( w \\)-평면의 단위원의 내부 또는 외부로 사상된다.", "</p><p>[예제 1.5] \\( z \\)-평면의 실축을 \\( w \\)-평면의 단위원 \\( \|w\|=1 \\)로 사상하는 뫼비우스 변환은 \\[w=k \\frac{z-\\mu}{z-\\bar{\\mu}}, \\quad(\|k\|=1, \\mu \\notin \\mathbb{R})\\]의 형태이어야만 한다.", "</p><p>풀이 \\( w=0, \\infty \\)에 대응하는 \\( z \\)-평면의 점들은 실축에 관해 대칭이어야만 한다. 즉, 서로의 복소공액이다. 따라서 \\[w=k \\frac{z-\\mu}{z-\\bar{\\mu}}, \\quad(\\mu \\notin \\mathbb{R})\\]가 된다. \\( z \\)가 실수이면, \\[ \\left\|\\frac{z-\\mu}{z-\\bar{\\mu}}\\right\|=1\\]이고, \\( w \\)는 단위원 \\( \|w\|=1 \\) 위에 있어야 하고, 따라서 \\( \|k\|=1 \\)을 얻는다. 역으로, 위 형태의 뫼비우스 변환은 분명히 원하는 조건을 만족한다. 위반 \\( z \\)-평면은 \\( \\Im \\mu>", "0 \\) 또는 \\( \\Im \\mu<0 \\)에 따라 \\( w \\)-평면의 단위원 \\( \|w\|=1 \\)의 내부 또는 외부로 사상된다.", "</p> <p>1.8.5 다발군의 추이성.", "완비 평면을 자신 위로 사상하는 변환 \\( w=\\mathfrak{T}(z) \\)의 군 \\( \\mathcal{G} \\)는, 영역 \\( \\mathcal{D} \\) 안의 점 \\( z_{1}, w_{1} \\)의 모든 쌍에 대해서 \\( w_{1}=\\mathfrak{T}\\left(z_{1}\\right) \\)을 만족하는 변환 \\( \\mathfrak{T} \\)가 \\( \\mathcal{G} \\) 안에 적어도 하나 있다면, 평면의 영역 \\( \\mathcal{D} \\) 안에서 추이적이라 말한다.", "(또한 전평면이 될 수도 있는) 영역 \\( \\mathcal{D} \\)를 군 \\( \\mathcal{G} \\)의 추이성 영역이라 부른다.", "</p><p>군 \\( \\mathcal{G} \\)는, \\( p \\)개의 점 중의 임의의 두 집합 \\( z_{1}, z_{2}, \\cdots, z_{p} \\) 와 \\( w_{1}, w_{2}, \\cdots, w_{p} \\)에 대해 \\[w_{1}=\\mathfrak{T}\\left(z_{1}\\right), w_{2}=\\mathfrak{T}\\left(z_{2}\\right), \\cdots,w_{p}=\\mathfrak{T}\\left(z_{p}\\right)\\]를 만족하는 \\( \\mathfrak{T} \\)가 \\( \\mathcal{G} \\) 안에 적어도 하나 존재한다면, \\( \\mathcal{D} \\) 안에서 \\( p \\)-중 추이적이라 한다.", "분명히 모든 \\( p \\)-중 추이적 군은 또한 같은 영역 \\( \\mathcal{D} \\)에서 \\( (p-1)\\)-중 추이적이다. \\", "( p=1 \\)이면, 그 군은 단순히 추이적이다.", "</p><p>모든 뫼비우스 변환의 군 \\( \\mathcal{M} \\)은 완비 평면에서 사중 추이적은 아니고 삼중 추이적이라는 것을 알고 있다.", "실축은 모든 실 뫼비우스 변환의 군에 대해 삼중 추이성의 영역이다.", "모든 정수형 뫼비우스 변환의 군은 (무한점이 빠진) 복소평면 \\( \\mathbb{C} \\)에서 삼중 추이적이 아닌 이중 추이적이다.", "</p><p>다음 사실은 1장의 토의 내용에 대해 기본적인 중요성을 가진다.", "</p><p>[정리 1.15] 원의 다발 안의 반전사상의 곱으로 얻은 모든 뫼비우스 변환의 모든 군 \\( \\mathcal{G} \\)는 영역 \\( \\mathcal{D} \\) 안에서 이중 추이적이 아니고 단순 추이적이다.", "타원형 다발의 군에 대해서, \\( \\mathcal{D} \\)는 완비 평면이다.", "포물형 다발의 군에 대해서 \\( \\mathcal{D} \\)는 점 평면(즉, 한 점이 제거된 완비 평면)이다.", "쌍곡형 다발의 비고유군에 대해서 \\( \\mathcal{D} \\)는 원의 내부이다.", "</p><p>증명 세 군 \\( \\mathcal{R}, \\mathcal{E}, \\mathcal{U}_{+} \\)에 대해 정리를 증명하면 충분하다.", "</p><p>(i) 타원형 다발의 경우에, 구가 그것의 중심에 관한 모든 회전변환의 군에 대해 단순 추이성의 영역임을 보이면 충분하다.", "사실 구의 모든 점은 적당한 회전변환에 의해 구의 모든 다른 점으로 전위될 수 있다.", "그러나 회전변환은 구 위의 두 점 사이의 거리를 보존한다.", "따라서 주어진 점의 쌍은 다른 점의 모든 다른 쌍으로 바뀔 수 없다.", "</p><p>(ii) 비슷한 논의가 포물형의 경우에도 적용될 수 있다.", "무한점이 빠진 복소평면은 유클리드 변환의 군 \\( \\mathcal{E} \\)에 대한 단순 추이성의 영역이다.", "점 \\( z_{1}, z_{2} \\)의 쌍이 다른 쌍 \\( w_{1}, w_{2} \\)로 전위되기 위한 필요충분조건은 \\( \\left\|w_{1}-w_{2}\\right\|=\\mid z_{1}-z_{2} \|\\)인 것이다.", "따라서 군은 이중 추이적이 아니다.", "</p><p>(iii) 쌍곡형 군 \\( \\mathcal{U}_{+} \\)는 단위원 \\( \|z\|<1 \\)의 내부를 단순 추이성의 영역으로 갖는다.", "사실 변환 (1.6)에 의해서 임의의 주어진 점 \\( z_{1}\\left(\\left\|z_{1}\\right\|<1\\right) \\)은 중심 0으로 사상될 것이지만, 두 번째 점을 지정된 위치로 취하도록 고안된 임의의 연속된 변환은 0에 관한 순수한 회전변환임이 보여졌고, 따라서 0으로부터의 거리를 보존한다.", "</p><p>첫 번째 두 경우에서 증명은 불변 거리함수, 즉 군의 모든 원소 \\( \\mathfrak{H} \\)와 두 점 \\( z_{1}, z_{2} \\)에 대해 두 조건 \\[d\\left[\\mathfrak{H}\\left(z_{1}\\right), \\mathfrak{H}\\left(z_{2}\\right)\\right]=d\\left(z_{1}, z_{2}\\right)\\]<caption>(1.17)</caption>와 \\[d\\left(z_{1}, z_{2}\\right) \\neq 0 \\quad\\left(z_{1} \\neq z_{2}\\right) ; \\quad d\\left(z_{1}, z_{1}\\right)=0\\]<caption>(1.18)</caption>을 만족하는 함수 \\( d\\left(z_{1}, z_{2}\\right) \\)의 기하학적으로 분명한 존재성에 근거를 둔다.", "</p><p>세 번째 경우에 두 점 불변은 복비 \\[d_{-1}\\left(z_{1}, z_{2}\\right)=\\left(z_{1}, z_{2} ; \\frac{1}{\\bar{z}_{1}}, \\frac{1}{\\bar{z}_{2}}\\right)\\]<caption>(1.18)</caption>에 의해 주어진다.", "실제로, \\( w=\\mathfrak{H}(z) \\)를 군 \\( \\mathcal{U}_{+} \\)의 원소로 두자.", "그러면 \\( \\frac{1}{\\bar{w}}=\\mathfrak{H}\\left(\\frac{1}{\\bar{z}}\\right) \\)이고, 따라서 \\[d_{-1}\\left(w_{1}, w_{2}\\right)=\\left(\\mathfrak{H}\\left(z_{1}\\right), \\mathfrak{H}\\left(z_{2}\\right) ; \\mathfrak{H}\\left(\\frac{1}{\\bar{z}_{1}}\\right), \\mathfrak{H}\\left(\\frac{1}{\\bar{z}_{2}}\\right)\\right)=d_{-1}\\left(z_{1}, z_{2}\\right)\\]이다.", "따라서 쌍곡형의 경우의 증명은 두 다른 경우에서와 같은 방법에 의해 수행된다.", "</p><p>참고 완비 평면에서 모든 뫼비우스 변환의 군 \\( \\mathcal{M} \\)은, 세 개의 주어진 서로 다른 점을 세 개의 주어진 서로 다른 점으로 보내는 하나이고, 하나 이상이 아닌, 뫼비우스 변환이 존재한다라는 강한 의미에서, '정확히 삼중 추이적'이라는 것을 얻을 수 있다.", "정확히 삼중 추이적인 완비 평면을 자신으로 사상하는 모든 연속 변환의 군은 군 \\( \\mathcal{M} \\)과 닮았다는 사실은 주목할 만하다.", "이것은 완비 평면을 자신 위로 사상하는 (항등사상이 될 수도 있는) 위상학적 변환 이후에 주어진 삼중 추이적 군은 \\( \\mathcal{M} \\)과 일치한다는 것을 의미한다.", "</p> <h1>1.3 복비</h1><p>뫼비우스 변환은 그것의 계수 사이의 비율에 의해 완전하게 결정된다.", "따라서 세 조건이 주어지면 이 조건들을 만족하는 뫼비우스 변환을 찾을 수 있을 것이다.", "특히, 원은 세 점에 의해 결정되고, 따라서 \\( z \\)-평면의 주어진 원을 \\( w \\)-평면의 주어진 원으로 사상하는 뫼비우스 변환을 찾을 수 있을 것이다.", "</p><p>다음 관찰로부터 시작하자. \\", "[\\frac{a w+b}{c w+d}=\\frac{\\alpha z+\\beta}{\\gamma z+\\delta}\\]라 가정하자. \\", "( w \\)를 \\( z \\)에 관해 풀면, \\( w \\)를 \\( z \\)의 뫼비우스 변환으로 얻고, 더욱이 한쪽변의 분자가 0이 되면, 다른쪽 변의 분자도 또한 0이 되어야만 하고, 분모도 유사하게 관련된다.", "따라서, 뫼비우스 변환이 \\( z_{1}, z_{2}, z_{3} \\)을 각각 \\( w_{1}, w_{2}, w_{3} \\)으로 사상한다면, \\( \\frac{w-w_{2}}{w-w_{3}}=k \\frac{z-z_{2}}{z-z_{3}} \\)로 쓸 수 있는데, 여기서 \\( k \\)는 나중에 결정되어야 할 상수이다. \\", "( k \\)의 값에 관계 없이, 뫼비우스 변환은 \\( z_{2} \\)와 \\( z_{3} \\)을 각각 \\( w_{2} \\)와 \\( w_{3} \\)으로 사상하는 이 등식에 의해 결정된다.", "따라서, 남은 것은 \\( z_{1} \\)이 \\( w_{1} \\)에 대응하도록 \\( k \\)를 선택하는 것이다.", "즉, \\[\\frac{w_{1}-w_{2}}{w_{1}-w_{3}}=k \\frac{z_{1}-z_{2}}{z_{1}-z_{3}} .\\]", "마지막 등식을 \\( k \\)에 대해 풀고, 이것을 그 앞의 것에 대입하면(동일하게, 이 두 등식을 나눔으로써 \\( k \\)를 소거하면), \\[ \\frac{w-w_{2}}{w-w_{3}} / \\frac{w_{1}-w_{2}}{w_{1}-w_{3}}=\\frac{z-z_{2}}{z-z_{3}} / \\frac{z_{1}-z_{2}}{z_{1}-z_{3}}\\]<caption>(1.1)</caption>를 얻는다.", "이것으로 \\( z_{1}, z_{2}, z_{3} \\)을 각각 \\( w_{1}, w_{2}, w_{3} \\)으로 사상하는 뫼비우스 변환을 얻는다.", "즉, 다음 정리를 증명하였다.", "</p><p>[정리 1.5 (뫼비우스기하학의 기본정리)] 임의의 세 복소 점 \\( z_{1}, z_{2}, z_{3} \\)을 서로 다른 세 복소 점 \\( w_{1}, w_{2}, w_{3} \\)으로 사상하는 유일한 뫼비우스 변환이 존재한다.", "</p><p>[따름정리 1.1] 서로 다른 세 점으로 이루어진 모든 도형은 뫼비우스기하학에서 합동이다.", "</p><p>식 (1.1)의 왼쪽 식과 오른쪽 식은 각각 매우 중요하므로 별도의 이름과 정의를 갖는다.", "</p><p>[정의 1.3] 네 복소수 \\( z, z_{1}, z_{2}, z_{3} \\)의 복비는 다음과 같이 정의된 함수이다. \\", "[\\left(z, z_{1} ; z_{2}, z_{3}\\right)=\\frac{z-z_{2}}{z-z_{3}} \\frac{z_{1}-z_{3}}{z_{1}-z_{2}} .\\] \\", "( z_{1}, z_{2} \\)와 \\( z_{3} \\)이 상수라면 \\( z \\)의 함수로서 복비는 \\( z_{1}, z_{2} \\)와 \\( z_{3} \\)을 1, 0 과 \\( \\infty \\)로 각각 보내는 유일한 뫼비우스 변환이다.", "</p><p>이제 위의 정리 1.5와 식 (1.1)에서, 이 뫼비우스 변환이 또한 \\( z_{0} \\)을 \\( w_{0} \\)으로 사상한다면, \\[ \\frac{w_{0}-w_{2}}{w_{0}-w_{3}} / \\frac{w_{1}-w_{2}}{w_{1}-w_{3}}=\\frac{z_{0}-z_{2}}{z_{0}-z_{3}} / \\frac{z_{1}-z_{2}}{z_{1}-z_{3}},\\] 즉, \\[\\left(w_{0}, w_{1} ; w_{2}, w_{3}\\right)=\\left(z_{0}, z_{1} ; z_{2}, z_{3}\\right)\\]을 얻어야만 한다.", "즉 다음을 증명하였다.", "</p><p>[정리 1.6] 복비는 뫼비우스 변환에 의해 불변이다.", "</p><p>[따름정리 1.2] \\( z_{0}, z_{1}, z_{2}, z_{3} \\)을 각각 \\( w_{0}, w_{1}, w_{2}, w_{3} \\)으로 사상하는 뫼비우스 변환이 존재할 필요충분조건은 \\[\\left(w_{0}, w_{1} ; w_{2}, w_{3}\\right)=\\left(z_{0}, z_{1} ; z_{2}, z_{3}\\right)\\]인 것이다.", "</p><p>이 정리가 매우 일반적으로 유효하다는 것을 정당화하기 위해, 점 중의 하나가 \\( \\infty \\)인 경우에 대해 이 점을 포함하는 인자를 단순히 제거함으로써 복비의 정의를 확장한다.", "예를 들어, \\( z_{0}=\\infty \\)이면, \\[\\left(z_{0}, z_{1} ; z_{2}, z_{3}\\right)=\\frac{z_{1}-z_{3}}{z_{1}-z_{2}}\\]이다.", "이것은 \\[\\begin{aligned}\\left(z, z_{1} ; z_{2}, z_{3}\\right) &=\\frac{z-z_{2}}{z-z_{3}} / \\frac{z_{1}-z_{2}}{z_{1}-z_{3}} \\\\&=\\left(\\frac{1-\\frac{z_{2}}{z}}{1-\\frac{z_{3}}{z}}\\right) \\cdot\\left(\\frac{z_{1}-z_{3}}{z_{1}-z_{2}}\\right) \\\\& \\longrightarrow \\frac{z_{1}-z_{3}}{z_{1}-z_{2}} \\quad(z \\rightarrow \\infty \\text {일 때 })\\end{aligned}\\]임을 관찰해 보면 매우 자연스럽다.", "</p><p>따라서 주어진 점 \\( z_{1}, z_{2}, z_{3} \\in \\mathbb{C} \\)을 미리 지정된 서로 다른 세 점 \\( w_{1}, w_{2} \\), \\( w_{3} \\in \\mathbb{C} \\)으로 보내는 뫼비우스 변환을, \\[\\frac{w-w_{2}}{w-w_{3}} / \\frac{w_{1}-w_{2}}{w_{1}-w_{3}}=\\frac{z-z_{2}}{z-z_{3}} / \\frac{z_{1}-z_{2}}{z_{1}-z_{3}}\\]로 단순히 놓고 \\( w \\)에 관해 이 방정식을 풀면, 항상 뫼비우스 변환을 구할 수 있다.", "대응 \\( z_{j} \\leftrightarrow w_{j}(j=1,2,3) \\)가 뫼비우스 변환을 완전히 결정하므로, 원하는 뫼비우스 변환을 얻는다.", "</p><p>원은 그 위의 세 점에 의해 결정되고 뫼비우스 변환은 '원'을 '원'으로 사상하므로, \\( z \\)-평면의 주어진 원을 \\( w \\)-평면의 주어진 원으로 사상하는 뫼비우스 변환을 구할 수 있다.", "더욱이, 첫 번째 원의 서로 다른 세 점은 두 번째 원의 서로 다른 세 점으로 사상될 수 있다.", "</p> <p>1.8.3 원의 다발의 표준형.", "평면에서 모든 원의 속은, 알맞은 뫼비우스 변환에 의해 표준형<ul><li>타원형의 경우 : 0을 지나는 모든 직선</li><li>포물형의 경우: 실축에 평행한 모든 직선</li><li>쌍곡형의 경우 : 0을 중심으로 한 모든 원</li></ul>으로 변환될 수 있다.", "이제 원의 다발에 대해 대응하는 상황을 설정할 것이다.", "</p><p>(i) 타원형 다발이 주어지면, 그것의 구 위의 상은 점 \\( \\mathbf{P} \\)에 의해서 결정되는데, 대응하는 구면원의 평면이 이 점을 지난다.", "구의 알맞은 회전변환에 의해 이 점 \\( \\mathbf{P} \\)를 동차 좌표가 \\( (0,0, \\rho, 1)(0 \\leq \\rho=\\mathbf{O P}<1) \\)인 \\( \\zeta \\)-축의 점으로 보낸다.", "행렬 \\[S=\\left(\\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\0 & 0 & \\tilde{\\rho} & -\\rho \\tilde{\\rho} \\\\0 & 0 & -\\rho \\tilde{\\rho} & \\tilde{\\rho}\\end{array}\\right), \\quad \\tilde{\\rho}=\\frac{1}{\\sqrt{1-\\rho^{2}}}\\]에 의해 주어진 사영변환은 단위구를 자신 위로 점 \\( (0,0, \\rho, 1) \\)을 원점 \\( \\mathbf{O}= \\) \\( (0,0,0,1) \\) 위로 사상한다.", "두 개의 사용된 변환에 대해 주어진 타원형 다발을 허 단위원에 직교하는 모든 원의 계인 그것의 표준형으로 사상하는 평면상의 뫼비우스 변환이 대응한다.", "</p><p>(ii) 구 위의 포물형 다발은 구의 표면 위의 점 \\( \\mathbf{P} \\)를 통과하는 모든 평면에 의해 구 위에서 잘린 원으로 구성된다.", "회전변환은 이 점을 구의 남극 \\( \\mathrm{S} \\)로 보낼 것이다.", "그러면 이 다발은 평면에서 그것의 입체사영이 표준형(즉, 평면에서의 모든 직선)의 원소인 \\( \\mathbf{S} \\)를 지나는 모든 원으로 이루어진다.", "</p><p>(iii) 구 위의 쌍곡형 다발은 구 밖의 점 \\( \\mathbf{P} \\)를 지나는 평면과 구와의 교선으로 이루어진다.", "사영변환에 의해 구를 자기자신으로, \\( \\mathrm{P} \\)를 \\( \\zeta \\)-축의 무한점으로 사상 할 수 있다.", "그러면 다발은 평면이 \\( \\zeta \\)-축에 평행인 구 위의 원으로 이루어진다.", "따라서 모든 이러한 원은 적도에 수직이다.", "사영변환은 주어진 쌍곡형 다발을 그것의 표준형, 즉 단위원에 수직인 모든 원의 다발로 변환하는 평면의 뫼비우스 변환에 대응한다.", "</p><p>참고 모든 원의 다발은 원 방정식의 계수 \\( A, B, C, D \\) 사이의 선형 동차 조건에 의해 해석적으로 정의될 수 있다.", "주어진 다발을 그것의 표준형으로 바꾸는 뫼비우스 변환을 안다면, 그것의 원 위치에 주어진 다발에 대한 대응하는 조건이 이 방정식으로부터 유도될 수 있다.", "</p> <h1>1.5 한 쌍의 원</h1><p>\\( z \\)-평면의 원은 뫼비우스 변환에 의해 \\( w \\)-평면의 미리 지정된 원에 사상될 수 있음을 이미 보았다.", "그러나 한 쌍의 원에 대해서는 어떤가? \\", "(z\\)-평면의 한 쌍의 원 \\( C_{1} \\)과 \\( C_{2} \\)를 \\( w \\)-평면의 미리 지정된 한 쌍의 원 \\( C_{1}^{\\prime} \\)과 \\( C_{2}^{\\prime} \\)으로 뫼비우스 변환에 의해 사상할 수 있는가? \\", "( C_{1} \\)과 \\( C_{2} \\)가 각 \\( \\theta \\)로 만난다면, 뫼비우스 변환이 등각적이므로, \\( C_{1}^{\\prime} \\)과 \\( C_{2}^{\\prime} \\)도 또한 각 \\( \\theta \\)로 만나야만 함은 분명하다.", "그러나 이 조건이 만족되면, 그러한 뫼비우스 변환의 존재를 보장할 수 있는가?", "</p><p>답은 희망적이다.", "이 주장을 증명하기 위해서는 각 \\( \\theta \\)로 만나는 임의의 한 쌍의 원 \\( C_{1} \\)과 \\( C_{2} \\)가 뫼비우스 변환에 의해 실축과 직선 \\( x \\sin \\theta-y \\cos \\theta=0 \\)으로 사상될 수 있는지를 보이면 된다.", "(왜 이것으로 충분한가?)", "그러나, 이것을 증명하기는 쉽다. \\", "( C_{1} \\)과 \\( C_{2} \\)의 교점의 하나를 무한점으로 보내면, \\( C_{1} \\)과 \\( C_{2} \\)의 상들은 각 \\( \\theta \\)로 만나는 두 직선이다.", "이 두 직선의 교점을 원점으로 평행이동시키고 알맞은 각에 의해 회전시키면 원하는 결론을 얻는다.", "</p><p>위의 논의에서 \\( \\theta \\not \\equiv 0(\\bmod \\pi) \\)라 가정했다.", "(어디서 이 가정을 사용했는가?)", "따라서, 한 쌍의 원 \\( C_{1} \\)과 \\( C_{2} \\)가 서로 접하면 어떤가?", "서로 접하는 한 쌍의 원 \\( C_{1} \\)과 \\( C_{2} \\)는 뫼비우스 변환에 의해 미리 지정된 한 쌍의 서로 접하는 원 \\( C_{1}^{\\prime} \\)과 \\( C_{2}^{\\prime} \\)으로 사상될 수 있음을 주장한다.", "다시, 한 쌍의 서로 접하는 원 \\( C_{1} \\)과 \\( C_{2} \\)는 뫼비우스 변환에 의해 한 쌍의 평행선 \\( y=0 \\)과 \\( y=1 \\)로 사상될 수 있음을 보이면 충분하다.", "다시 한번 이것을 증명하기는 쉽다.", "이 두 원의 접점을 무한점으로 사상하면, 원 \\( C_{1} \\)과 \\( C_{2} \\)의 상은 한 쌍의 평행선이 된다.", "이제 평행이동과 확대변환(즉, 회전변환을 행한 후 확장변환)을 시행하면, 원하는 결과를 얻는다.", "</p><p>남은 것은 한 쌍의 만나지 않는 원의 경우를 살펴보는 것이다.", "한 쌍의 만나지 않는 원은 뫼비우스 변환에 의해 한 쌍의 동심원으로 항상 사상될 수 있다.", "이것을 보이기 위해, 먼저 원 중의 하나, 예를 들어 \\( C_{2} \\) 위에 점을 택하고, 이 점을 무한점으로 사상한다.", "그러면, \\( C_{1} \\)과 \\( C_{2} \\)의 상은 서로 만나지 않는 원과 직선이다.", "원을 \\( K \\)라 하고, 직선을 \\( \\ell \\)이라 하자. \\", "( m \\)을 원 \\( K \\)의 중심을 지나고 직선 \\( \\ell \\)에 직교하는 직선이라 하고, \\( H \\)를 직선 \\( \\ell \\)과 \\( m \\)의 교점이라 하자.", "교점 \\( H \\)는 원 \\( K \\)의 밖에 있음을 유의하라.", "중심이 \\( H \\)이고 원 \\( K \\)에 직교하는 원 \\( S \\)를 그려라.", "(이것은 \\( H \\)에서 원 \\( K \\)로의 접선의 접점까지의 길이를 반지름으로 택함으로써 완성될 수 있다.)", "마지막으로, 원 \\( S \\)와 직선 \\( m \\)의 교점의 하나(어느 것도 상관 없음)를 무한점으로 사상한다.", "그러면, 원 \\( K \\)와 직선 \\( \\ell \\)의 상들은 원 \\( S \\)와 직선 \\( m \\)의 상에 모두 직교하는 한 쌍의 원이다.", "그러나 원 \\( S \\)와 직선 \\( m \\)의 상은 한 쌍의 직교 직선이다.", "따라서 원 \\( K \\)와 직선 \\( \\ell \\)의 상은 반드시 한 쌍의 동심원이어야 한다.", "</p><p>신중하게 유의하라.", "임의의 만나지 않는 한 쌍의 원이 미리 지정된 한 쌍의 동심원에 사상될 수 있다는 것은 옳지 않다.", "만나지 않는 한 쌍의 원이 주어질 때, 주어진 한 쌍의 원이 사상될 수 있는 한 쌍의 동심원의 반지름의 비는 우리가 어떤 영향도 끼칠 수 없는 내재적 성질이다.", "</p> <p>[정리 1.7] 네 점 \\( z_{0}, z_{1}, z_{2}, z_{3} \\)이 공순환점 또는 공선점이 될 필요충분조건은 이 점들의 복비 \\( \\left(z_{0}, z_{1} ; z_{2}, z_{3}\\right) \\)이 실수인 것이다.", "</p><p>증명 네 점이 공순환적(또는 공선적)이기 위한 필요충분조건은 이 점들을 실축 위의 점으로 보내는 뫼비우스 변환이 존재하는 것이다.", "네 점의 복비가 실수이므로, 정리 1.6에 의해 성립한다.", "</p><p>[정리 1.8] 뫼비우스 변환은 등각사상이다.", "즉, 뫼비우스 변환은 교차하는 곡선 사이의 각(방향과 크기)을 보존한다.", "</p><p>증명 일반성을 잃지 않고, 두 교차하는 곡선은 원이라 가정할 수 있다. \\", "( z_{1}, z_{2} \\)를 이 두 원의 교점이라 하자.", "각각의 원 위에 임의의 점 \\( z_{3} \\)과 \\( z_{4} \\)를 택하면(그림 1.2), \\[\\begin{aligned}\\arg \\left(z_{3}, z_{4} ; z_{1}, z_{2}\\right) &=\\arg \\left(\\frac{z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{2}}\\right)-\\arg \\left(\\frac{z_{4}-z_{1}}{z_{4}-z_{2}}\\right) \\\\&=\\angle z_{2} z_{3} z_{1}-\\angle z_{2} z_{4} z_{1}\\end{aligned}\\]이 된다.", "</p><p>\\( z_{3} \\)과 \\( z_{4} \\)가 각각의 원에서 \\( z_{1} \\)로 접근한다고 하면, 오른쪽 변은 두 교차하는 원 사이의 각이 된다.", "(기초기하학에 익숙하지 않은 독자는 다음 절(1.4절)의 논의를 모방해도 된다.)", "그러나 복비는 뫼비우스 변환에 의해 불변이므로, 원하는 결과를 얻는다.", "</p><p>\\( z \\)-평면의 원 \\( C \\)가 뫼비우스 변환 \\( T \\)에 의해 \\( w \\)-평면의 원 \\( C^{\\prime} \\)으로 사상한다고 가정하자.", "원 \\( C \\)는 \\( z \\)-평면을 두 영역 \\( \\Delta_{1} \\)과 \\( \\Delta_{2} \\)로 나누고, 원 \\( C^{\\prime} \\)은 \\( w \\)-평면을 두 영역 \\( \\Delta_{1}^{\\prime} \\)과 \\( \\Delta_{2}^{\\prime} \\)으로 나눈다. \\", "( \\Delta_{1} \\)의 임의의 두 점 \\( z_{1} \\)과 \\( z_{2} \\)를 원 \\( C \\)와 만나지 않는 원호 \\( \\ell \\)(또는 선분)으로 연결할 수 있다.", "그러면, 뫼비우스 변환 \\( T \\)에 의한 \\( \\ell \\)의 상은 원 \\( C^{\\prime} \\)과 만나지 않는 \\( z_{1} \\)과 \\( z_{2} \\)의 상을 잇는 원호(또는 선분)이다.", "따라서 \\( z_{1} \\)과 \\( z_{2} \\)의 상은 모두 \\( \\Delta_{1}^{\\prime} \\)에 있거나 또는 모두 \\( \\Delta_{2}^{\\prime} \\) 안에 있다.", "같은 논의가 \\( \\Delta_{2} \\)의 두 점에 대해서도 성립한다.", "뫼비우스 변환이 전단사이므로, 어떤 \\( z \\in \\Delta_{1} \\)에 대해, 그것의 상이 \\( T(z) \\in \\Delta_{1}^{\\prime} \\)이면, \\( \\Delta_{1} \\)의 \\( T \\)에 의한 상은 반드시 \\( \\Delta_{1}^{\\prime} \\) 전체이어야 한다.", "반면, \\( T(z) \\in \\Delta_{2}^{\\prime} \\)이면, \\( \\Delta_{1} \\)의 \\( T \\)에 의한 상은 반드시 \\( \\Delta_{2}^{\\prime} \\) 전체이어야 한다.", "</p><p>이제 원 \\( C \\)와 그것의 반지름 중의 하나를 생각하자.", "뫼비우스 변환 \\( T \\)에 의한 그들의 상은 직각으로 만나는 원 \\( C^{\\prime} \\)과 원호이다.", "뫼비우스 변환은 각의 방향을 또한 보존하므로, 원 \\( C \\)의 내부가 뫼비우스 변환 \\( T \\)에 의해 원 \\( C^{\\prime} \\)의 내부로 사상한다면, 점 \\( z \\)가 원 \\( C \\) 위를 반시계 방향으로 움직일 때, 그것의 상 \\( w \\)도 원 \\( C^{\\prime} \\) 위를 또한 반시계 방향으로 움직인다는 것을 즉시 알 수 있다.", "반면, 원 \\( C \\)의 내부가 원 \\( C^{\\prime} \\)의 외부로 사상한다면, 점 \\( z \\)가 원 \\( C \\) 위를 반시계 방향으로 움직일 때, 그것의 상 \\( w \\)는 원 \\( C^{\\prime} \\) 위를 시계 방향으로 움직인다.", "</p><p>역으로, 점 \\( z \\)와 뫼비우스 변환 \\( T \\)에 의한 그것의 상 \\( w \\)가 대응되는 원에서 같은 방향으로 움직인다면, \\( T \\)는 원 \\( C \\)의 내부를 원 \\( C^{\\prime} \\)의 내부로 보낸다.", "반면 \\( z \\)와 \\( w \\)가 반대방향으로 움직인다면, \\( T \\)는 \\( C \\)의 내부를 \\( C^{\\prime} \\)의 외부로 사상한다.", "</p><p>다음 약속을 차용하는 것이 더 편리하다.", "원(또는 곡선)을 (보통, 그것의 매개변수 방정식에 의해) 방향화된 곡선이라 생각하면, 점이 원(닫힌 곡선) 위를 움직일 때, 우리가 왼쪽에서 보는 영역이 정의에 의해 내부이다.", "이 약속 하에, 뫼비우스 변환은 항상 (원의) 내부를 (원의) 내부로 사상한다.", "</p> <p>1.8.4 다발군.", "원의 다발 안에서 반전사상의 곱인 모든 뫼비우스 변환이 속의 원을 상호교환하는 모든 뫼비우스 변환의 (순환)군을 형성한다는 것이 밝혀졌다.", "이제 다발의 경우에서 대응하는 상황을 토론한다.", "</p><p>다발 \\( \\mathfrak{P} \\)의 원에 관한 모든 반전사상은 다발 \\( \\mathfrak{P} \\) 안에서의 반전사상이라 부른다.", "다발은 주어진 원 \\( \\mathfrak{B} \\)에 수직인 모든 원으로 구성되어 있다.", "그러므로 다발 안의 모든 반전사상은 \\( \\mathfrak{B} \\)를 자신 위로, 다발의 모든 원을 다발의 몇 개의 원에 사상한다.", "따라서 다발 안의 임의의 두 개의 반전사상의 곱은 다발을 자신 위로 사상하는 뫼비우스 변환일 것이다.", "</p><p>역은 어떤 제한이 없이는 성립하지 않는다.", "</p><p>[정리 1.14] 다발 \\( \\mathfrak{P} \\)의 자신 위로의 모든 뫼비우스 변환 \\( \\mathfrak{H} \\)가 다발 안의 두 반전사상의 곱이기 위한 필요충분조건은 \\( \\mathfrak{P} \\)가 타원형 또는 쌍곡형인 것이다.", "</p><p>증명 \\( \\mathfrak{P} \\)가 타형원 또는 쌍곡형이면, 그것의 원 \\( \\mathfrak{B} \\)는 허원 또는 실원이고, 점원이 아니다.", "그러므로 \\( \\mathfrak{P} \\)를 자신 위로 사상하는 모든 뫼비우스 변환의 군 \\( \\mathcal{G}_{\\mathfrak{P}} \\)는 항해선형 변환을 포함하지 않는다. \\", "( \\mathfrak{H} \\)를 \\( \\mathcal{G}_{\\mathfrak{P}} \\)의 원소라 하자. \\", "( \\mathfrak{H} \\)에 의해 상호교환되는 (불변원의 속에 수직인) 모든 원의 속은 \\( \\mathfrak{P} \\) 안에 포함되고, \\( \\mathfrak{H} \\)는 이 속, 따라서 \\( \\mathfrak{P} \\) 안에서 두 개의 반전사상의 곱임을 안다.", "</p><p>한편, 포물형 다발 안의 반전사상을 다시 고려하자.", "그것은 직선에 관한 대칭이고 따라서 평면에서 모든 거리를 보존한다.", "그러므로 그러한 반전사상의 곱인 뫼비우스 변환 또한 거리를 보존한다.", "따라서 그것은 평면 유클리드운동 또는 변이이고 \\[\\left.w=e^{i \\alpha} z+b \\quad \\text { ( } \\alpha \\text { : 실수 }\\right)\\]<caption>(1.16)</caption>에 의해 표현될 수 있다.", "그것들이 타원형 또는 포물형 정수형 뫼비우스 변환이라는 사실로부터 같은 것이 성립한다.", "군 (1.16)을 \\( \\mathcal{E} \\)로 놓겠다. \\", "( \\mathcal{E} \\)의 원소는 세 개의 독립 실 매개변수 \\( \\alpha, b_{1}, b_{2}~(b=b_{1}+i b_{2})\\)에 의존한다.", "</p><p>\\( \\mathfrak{P} \\)가 타원형이면, 표준형은 구 위의 모든 대원의 입체사영상의 다발이다.", "공간에서 대원을 대원으로 사상하는 모든 사영변환은 \\( \\mathrm{O} \\)를 지나는 평면을 \\( \\mathrm{O} \\)를 지나는 평면으로, \\( \\mathrm{O} \\)를 지나는 직선을 \\( \\mathrm{O} \\)를 지나는 직선으로 사상한다.", "따라서 구의 대각적으로 반대에 있는 점의 쌍은 대각적으로 반대인 점의 쌍으로 사상된다.", "그러므로 변환은 \\( \\mathrm{O} \\)에 관한 회전변환이다.", "따라서 표준형에서 타원형 다발의 군은 모든 회전형 뫼비우스 변환의 군 \\( \\mathcal{R} \\)이다.", "</p><p>참고 정리 1.14로부터 \\( \\mathrm{O} \\)에 관한 모든 평면 회전변환은 \\( \\mathrm{O} \\)를 지나는 평면에 관한 두 개의 대칭변환의 곱으로 나타낼 수 있다는 잘 알려진 사실을 결론지을 수 있다.", "</p><p>\\( \\mathfrak{P} \\)가 쌍곡형이면, 그 표준형은 실 단위원에 수직인 모든 원의 다발이다.", "그것은 타원형, 포물형, 쌍곡형 속을 포함하고 따라서 또한 허원을 포함한다.", "그것의 군은 단위원을 자신 위로 사상하는 모든 뫼비우스 변환의 군 \\( \\mathcal{U} \\)이다.", "( \\( \\mathcal{U} \\)의 원소 \\( \\mathfrak{H} \\)가 반전사상의 곱으로 얻어질지 모르는) 반전사상의 기본원은 \\( \\mathfrak{H} \\)가 비고유 쌍곡형일 때 -이 경우는 이 원 중의 하나는 반드시 허원이어야 한다- 를 제외하면 실원이 되게 선택될 수 있다.", "</p> <p>[예제 1.6] \\( D=\\{z \\in \\mathbb{C}:\|z\| \\leq 1\\} \\)를 닫힌 단위원반, \\( D^{\\prime} \\)을 \\( D \\) 안에 있는 다른 닫힌 원반이라 하자.", "(특히, \\( D \\)와 \\( D^{\\prime} \\)의 경계원은 만나지 않는다.)", "닫힌 단위원반을 자신 위로 사상하고, 원반 \\( D^{\\prime} \\)을 적당한 반지름 \\( r \\)을 가진 원반 \\( \\{w \\in \\mathbb{C}:\|w\| \\leq r\\} \\)로 사상하는 뫼비우스 변환이 존재함을 보이고자 한다.", "쇤베르크(Schoenberg, 1903-1991)의 방법에 의해 다음과 같이 전개한다.", "</p><p>필요하다면 알맞은 회전변환에 의해, 일반성을 잃지 않고, \\( D^{\\prime} \\)의 중심이 실축 위에 있고, \\[[a, b]=D^{\\prime} \\cap\\{z \\in \\mathbb{C}: \\Im z=0\\}\\]은 \\( D^{\\prime} \\)의 반지름이라 가정할 수 있다. \\( a+b=0 \\)이면, 증명할 것이 없다. 그래서 일반성을 잃지 않고, \\( a+b>", "0 \\)이라 가정할 수 있다.", "(실제로, \\( a+b<0 \\)일지라도 아래 논의는 사소한 변형을 하면 옳다.)", "</p><p>1.4절의 예제 1.4를 기억하고, \\( z \\)-평면의 두 원반과 \\( w \\)-평면에서의 상은 모두 실축에 관해 대칭임을 고려하여, \\( \\alpha \\)가 나중에 결정되어야 할 어떤 적당한 실수일 때, 형태 \\[w=\\frac{z-\\alpha}{1-\\alpha z}\\]의 뫼비우스 변환을 구하고자 시도한다.", "모든 계수가 실수이므로, 이 뫼비우스 변환은 실축을 자신으로 사상한다.", "더욱이, -1과 1 은 뫼비우스 변환의 두 고정점이다.", "뫼비우스 변환이 등각적이고, 원반 \\( D \\)와 \\( D^{\\prime} \\)의 경계원이 실축과 수직으로 만나기 때문에, \\( a \\)와 \\( b \\)를 (\\(r\\)이 실수일 때) \\( -r \\)과 \\( r \\)로 사상하는 알맞은 실수 \\( \\alpha \\)를 구할 수 있음을 보이면 된다.", "이것은 \\[\\frac{a-\\alpha}{1-\\alpha a}+\\frac{b-\\alpha}{1-\\alpha b}=0\\]이 실수 해를 가져야 함을 뜻한다.", "마지막 방정식을 새로 쓰면, \\[\\alpha^{2}-\\frac{2(1+a b)}{a+b} \\alpha+1=0\\]을 얻는다.", "</p><p>이것의 판별식(의 \\(\\frac{1}{4})\\)을 계산하면, \\[\\begin{aligned}\\left(\\frac{1+a b}{a+b}\\right)^{2}-1 &=\\frac{1-a^{2}-b^{2}+a^{2} b^{2}}{(a+b)^{2}} \\\\&=\\frac{\\left(1-a^{2}\\right)\\left(1-b^{2}\\right)}{(a+b)^{2}}>0 \\quad(-1<a<b<1)\\end{aligned}\\]이 되므로, 방정식은 실수 해를 갖는다는 것을 알 수 있다.", "더욱이, 계수의 부호로부터, 두 해 모두 양수임을 알 수 있다.", "두 해의 곱이 1이고, \\( D \\)와 \\( D^{\\prime} \\)의 경계원이 서로 만나지 않는다는 가정에 의해 \\( \\alpha=1 \\)은 해가 아니므로, 해 중의 하나는 0과 1 사이에 있고, 다른 하나는 1보다 크다고 결론지을 수 있다. \\", "( \\alpha \\)로 0과 1 사이의 해를 택하면, 증명이 끝난다.", "</p><p>참고<ol type=a start=1><li>실제로, 단지 두 개의 경계원을 한 쌍의 동심원으로 사상하기만을 원한다면 어느 선택도 상관없지만 작은 원을 작은 원으로 사상하고자 하는 욕구가 더 강하다.", "</li><li>비록 \\( D^{\\prime} \\supset D \\)(즉, \\( a<-1, b>1 \\) )이더라도 단지 간단한 변형만 하면 유효하다.", "</li></ol></p><p>[정리 1.10 (슈타이너(J. Steiner))]", "\\( C, C^{\\prime} \\)을 하나가 다른 하나의 내부에 있는, 예를 들어 \\( C^{\\prime} \\)이 \\( C \\)의 내부에 있는, 평면의 두 원이라 하자. \\", "( C \\)에 내접하고, \\( C^{\\prime} \\)에 외접하는 원 \\( K_{1} \\)을 그려라.", "다음에 \\( C \\)에 내접하고 \\( C^{\\prime} \\)과 \\( K_{1} \\)에 외접하는 원 \\( K_{2} \\)를 그려라.", "이 과정을 계속하여 각각의 원 \\( K_{j} \\)가 \\( C \\)에 내접하고 \\( C^{\\prime}, K_{j-1} \\), \\( K_{j+1}(2 \\leq j \\leq n-1) \\)에 외접하는 원 \\( K_{1}, K_{2}, \\cdots, K_{n}(n \\geq 3) \\)의 사슬을 얻는다.", "만약 \\( K_{n} \\)이 \\( K_{1} \\)(과, 물론, \\( C, C^{\\prime}, K_{n-1} \\) )과 접한다면, 이것은 초기 원 \\( K_{1} \\)의 위치의 선택에 상관 없이 일어난다.", "</p><p>증명 원 \\( C \\)와 \\( C^{\\prime} \\)을 뫼비우스 변환을 이용해 두 동심원으로 사상하면 분명하다.", "</p><p>참고 슈타이너는, \\( n \\)개의 원의 사슬이 서로 접하면서 내접할 때, 원 \\( C, C^{\\prime} \\)의 반지름 \\( r, r^{\\prime} \\), 두 원의 중심간의 거리 \\( d, ~n \\)을 관련시키는 공식을 구했다.", "</p><p>\\( d^{2}=\\left(r-r^{\\prime}\\right)^{2}-4 r r^{\\prime} \\tan ^{2}\\left(\\frac{\\pi}{n}\\right) \\).", "</p> <p>1.9.3 거리함수.", "어떻게 거리함수가 쌍곡기하학과 구면기하학에서 구성될 수 있는가를 1.8.5절과 같은 절 문제 6에서 보았다.", "이제 세 군 \\( \\mathcal{U}_{+}, \\mathcal{E}, \\mathcal{R} \\)과 가능하다면 다른 군 \\( \\mathcal{G} \\)에 공통인 두 번째 방법을 전개해 본다.", "동시에 거리함수의 유일성도 확립될 것이다.", "</p><p>그 증명은 \\( \\mathcal{U}_{+}, \\mathcal{E}, \\mathcal{R} \\)의 경우에 실현되는 군 \\( \\mathcal{G} \\)의 몇 가지 간단한 성질에 기초하게 된다.", "</p><p>I.", "G의 원소는 \\( \\mathcal{D} \\)에서 자신 위로의 사상이다.", "</p><p>군의 원소로서 \\( \\mathcal{G} \\) 안에 그 역을 가지고 있고, 따라서 1대1이고 가역적이다.", "</p><p>II. \\", "( \\mathcal{G} \\)는 2중이 아닌 단순 추이적이다.", "</p><p>\\( \\mathcal{D} \\)의 점 \\( z_{0} \\)이 고정점인 \\( \\mathcal{G} \\)의 모든 원소 \\( \\mathfrak{H}_{0} \\)은 \\( z_{0} \\)에서 \\( \\mathcal{G} \\)의 안정 부분군이라 불리는 \\( \\mathcal{G} \\)의 부분군 \\( \\mathcal{H}_{0} \\)을 형성한다.", "</p><p>[정리 1.16] \\( \\mathcal{D} \\)의 점들에서 안정 부분군은 \\( \\mathcal{G} \\)의 공액 부분군의 완전 집합을 형성한다.", "</p><p>증명 \\( z_{1} \\)을 \\( \\mathcal{D} \\)의 점이라 하고 \\( \\mathcal{H}_{1} \\)을 \\( z_{1} \\)에서의 안정 부분군이라 하자.", "가정 II에 따르면 \\( z=\\mathfrak{T}\\left(z_{0}\\right) \\)을 만족하는 변환 \\( \\mathfrak{T} \\)가 \\( \\mathcal{G} \\) 안에 존재한다.", "그러면 \\[\\mathfrak{T} \\mathfrak{H}_{0} \\mathfrak{T}^{-1}\\left(z_{1}\\right)=\\mathfrak{T} \\mathfrak{H}_{0}\\left(z_{0}\\right)=\\mathfrak{T}\\left(z_{0}\\right)=z_{1}\\]이 되는데, 이것은 \\( \\mathcal{H}_{0} \\)의 모든 원소 \\( \\mathfrak{H}_{0} \\)에 대해서 변환 \\( \\mathfrak{T H}_{0} \\mathfrak{T}^{-1} \\)은 \\( \\mathcal{H}_{1} \\)의 원소 임을 뜻한다.", "비슷하게 모든 \\( \\mathfrak{H}_{1} \\)에 대해서 \\( \\mathcal{H}_{1} \\)에서 변환 \\( \\mathfrak{T}^{-1} \\mathfrak{H}_{1} \\mathfrak{T} \\)는 \\( \\mathcal{H}_{0} \\)의 원소이다.", "따라서 군 이론의 기호에서 \\( \\mathcal{H}_{1}=\\mathfrak{T} \\mathcal{H}_{0} \\mathfrak{T}^{-1} \\)을 얻는데, 이것은 \\( \\mathcal{H}_{0} \\)과 \\( \\mathcal{H}_{1} \\)이 공액 부분군이라는 것을 의미한다.", "</p><p>1.8.1과 1.8.2절 그리고 1.9.1절로부터 군 \\( \\mathcal{U}_{+}, \\mathcal{E}, \\mathcal{R} \\)의 각각에서 점 0에서의 안정 부분군은 이 점에 관한 모든 회전변환의 군이라는 것은 분명하다.", "그러므로 \\( \\mathcal{D} \\)가 점 0을 포함하고 III.", "0에서 \\( \\mathcal{G} \\)의 안정 부분군은 0에 관한 모든 (유클리드) 회전변환의 군이다. 라고 가정하자.", "</p><p>이제 이 세 가정의 기반 위에서 \\( \\mathcal{D} \\)의 점 \\( z_{1}, z_{2} \\)의 모든 쌍에 대해 정의된 불변 \\( f\\left(z_{1}, z_{2}\\right) \\)를 구성할 것이다. \\", "( \\mathfrak{H} \\)를 \\( \\mathcal{G} \\)의 원소라 하고 \\[\\mathfrak{H}\\left(z_{1}\\right)=w_{1}, \\quad \\mathfrak{H}\\left(z_{2}\\right)=w_{2}\\]라 하자.", "</p><p>\\( \\mathcal{D} \\)의 임의의 점 \\( z_{0} \\)을 선택하고, \\[ \\mathfrak{H}_{z_{2}}\\left(z_{2}\\right)=\\mathfrak{H}_{w_{2}}\\left(w_{2}\\right)=z_{0}\\]인 \\( \\mathcal{G} \\)의 두 변환 \\( \\mathfrak{H}_{z_{2}}, \\mathfrak{H}_{w_{2}} \\)를 구하라.", "그러면 \\( z_{0} \\)은 변환 \\[\\mathfrak{H}_{0}=\\mathfrak{H}_{w_{2}} \\mathfrak{H}_{\\mathcal{H}_{z_{2}}}^{-1}\\]의 고정점이다.", "만약 이 변환을 \\( z=\\mathfrak{H}_{z_{2}}\\left(z_{1}\\right) \\)에 적용한다면,\\( \\mathfrak{H}_{0}\\left[\\mathfrak{H}_{z_{2}}\\left(z_{1}\\right)\\right]=\\mathfrak{H}_{w_{2}}\\left[\\mathfrak{H}\\left(z_{1}\\right)\\right]=\\mathfrak{H}_{w_{2}}\\left(w_{1}\\right) \\)<caption>(1.39)</caption>을 얻는다.", "</p><p>\\( z_{0} \\)에서의 안정 부분군 \\( \\mathcal{H}_{0} \\)이 단위 원소로만, 따라서 반드시 \\( \\mathfrak{H}_{0}=\\mathfrak{E} \\)로만 이루어진다면, 식 (1.39)에 의해 \\( \\mathfrak{H}_{z_{2}}\\left(z_{1}\\right) \\)은 군 \\( \\mathcal{G} \\)에 의해 불변이다.", "</p><p>그러나 이제 \\( z_{0}=0 \\)이라 하자.", "그러면 III에 따르면 안정 부분군 \\( \\mathcal{H}_{0} \\)은 0에 관한 모든 회전변환의 군이다.", "그러므로 \\[\\mathfrak{H}_{0}(z)=e^{i \\alpha} z\\]이고, 식 (1.39)로부터 \\[f\\left(z_{1}, z_{2}\\right)=\\left\|\\mathfrak{H}_{z_{2}}\\left(z_{1}\\right)\\right\|\\]<caption>(1.40)</caption>은 군 \\( \\mathcal{G} \\)의 두 점 불변을 표현한다는 것은 분명하다.", "</p><p>\\( \\mathcal{D} \\)의 모든 \\( z \\)에 대해 \\[f(z, 0)=\\left\|\\mathfrak{H}_{0}(z)\\right\|=\|z\|\\]<caption>(1.41)</caption>은 안정군 \\( \\mathcal{H}_{0} \\)의 유일한 불변이라는 것을 살펴 본다.", "따라서 0과 \\( z \\)의 임의의 다른 불변은 \\( \|z\| \\)의 함수이다.", "그러므로 함수 \\( f\\left(z_{1}, z_{2}\\right) \\)의 대칭이 확립되지 않는 한 \\[f(0, z)=F(\|z\|)\\]를 만족하는 음이 아닌 변수 \\( r \\)의 함수 \\( F(r) \\)이 존재한다는 것만 말할 수 있다.", "</p><p>더구나 \\( \\mathcal{G} \\)의 원소 \\( \\mathfrak{H} \\)에 대해 \\[\\mathfrak{H}(0)=w_{0}, \\quad \\mathfrak{H}(z)=w\\]가 성립한다면, \\[f\\left(w, w_{0}\\right)=\|z\|\\]<caption>(1.42)</caption>이 유일하게 정의된다.", "비슷하게 \\( f\\left(w_{0}, w\\right)=F(\|z\|) \\)이다.", "</p><p>이제 \\( f_{1}\\left(z_{1}, z_{2}\\right) \\)가 \\( \\mathcal{G} \\)의 다른 두 점 불변이라 하자.", "부분군 \\( \\mathcal{H}_{0} \\)의 불변성이 유일하므로, \\( f_{1}(z, 0)=F_{1}(\|z\|) \\)를 만족하는 함수 \\( F_{1}(r) \\)이 존재한다.", "따라서 \\( w_{0} \\)이 \\( \\mathfrak{H} \\)의 선택에 의해 정의될 때, \\[f_{1}\\left(w, w_{0}\\right)=F_{1}(\|z\|)=F_{1}\\left[f\\left(w, w_{0}\\right)\\right]\\]이 성립한다. \\", "( z \\)가 \\( \\mathcal{D} \\)의 임의의 점이므로 \\( w \\)에 대해서도 성립한다.", "따라서 마지막 방정식은 \\( \\mathcal{D} \\)의 점들 \\( w_{0}, w \\)의 모든 쌍에 대해서도 성립한다.", "그러므로 [정리 1.17] 조건 \\( \\mathrm{I}-\\mathrm{III} \\)을 만족하는 군 \\( \\mathcal{G} \\)에 대해 유일한 독립 두 점 불변 \\( f\\left(z_{1}, z_{2}\\right) \\)가 존재한다.", "그것은 식 (1.40)에 의해 주어지고, \\( z_{1}, z_{2} \\)의 \\( \\mathcal{G} \\)-거리 함수라 불린다.", "</p><p>유클리드 평면의 임의의 두 점 \\( z_{1}, z_{2} \\)의 \\( \\mathcal{E} \\)-거리 함수는 유클리드 거리 \\( \\left\|z_{1}-z_{2}\\right\| \\)와 같다는 것은 즉시 증명된다.", "이 거리의 분명한 성질들의 몇 가지는 또한 \\( \\mathcal{G} \\)-거리 함수의 성질들이다.", "(1.40)에 의해 주어진 함수 \\( f\\left(z_{1}, z_{2}\\right) \\)는 음이 아니고, 0이 되기 위한 필요충분조건은 \\( z_{1}=z_{2} \\)인 것이다.", "실제로 \\( \\mathfrak{H}_{z_{2}}\\left(z_{2}\\right)=z_{0}=0 \\)이고, 변환 \\( \\mathfrak{H}_{z_{2}} \\)가 \\( \\mathcal{G} \\) 안에 유일한 역을 가지므로 방정식 \\( \\mathfrak{H}_{z_{2}}(z)=0 \\)은 유일한 해 \\( z=z_{2} \\)를 갖는다.", "</p><p>군 \\( \\mathcal{G} \\)와 관련하는 별도의 가정이 없이는 거리함수 \\( f\\left(z_{1}, z_{2}\\right) \\)가 대칭적, 즉 \\( f\\left(z_{2}, z_{1}\\right)=f\\left(z_{1}, z_{2}\\right) \\)라는 것을 증명하는 것은 불가능한 것처럼 보인다.", "그러나, 군 \\( \\mathcal{G} \\)에 대해 \\[f(0, z)=f(z, 0)\\]<caption>(1.43)</caption>이 다음 조건 IV. \\", "( \\mathfrak{H}_{z_{1}}\\left(z_{1}\\right)=0 \\)을 만족하는 \\( \\mathcal{G} \\)의 변환 \\( \\mathfrak{H}_{z_{1}} \\)은 성질 \\( \\left\|\\mathfrak{H}_{z_{1}}(0)\\right\|=\\left\|z_{1}\\right\| \\)을 만족한다.", "를 포함한다고 가정하면 대칭은 성립한다.", "</p><p>사실 \\( f\\left(z_{1}, z_{2}\\right) \\)의 불변성을 사용하면 이 함수의 대칭성을 증명할 수 있다. \\", "[\\begin{aligned} f\\left(z_{1}, z_{2}\\right)=\\left\|\\mathfrak{H}_{z_{2}}\\left(z_{1}\\right)\\right\| \\\\ =f\\left[\\mathfrak{H}_{z_{1}}\\left(z_{1}\\right), \\mathfrak{H}_{z_{1}}\\left(z_{2}\\right)\\right] &=f\\left[0, \\mathfrak{H}_{z_{1}}\\left(z_{2}\\right)\\right] \\\\&=f\\left[\\mathfrak{H}_{z_{1}}\\left(z_{2}\\right), 0\\right]=\\left\|\\mathfrak{H}_{z_{1}}\\left(z_{2}\\right)\\right\| \\\\&=f\\left(z_{2}, z_{1}\\right) .\\end{aligned}\\]", "</p><p>이제 각각 \\( \\mathcal{G}=\\mathcal{U}_{+} \\), 또는 \\( \\mathcal{E} \\), 또는 \\( \\mathcal{R} \\)이라 하고, \\( \\varepsilon=-1 \\), 또는 0 , 또는 \\( +1 \\)이라고 하자.", "그러면 \\( \\mathcal{G} \\)의 원소들은 변환 \\( \\frac{a z+b}{-\\varepsilon \\bar{b} z+\\bar{a}} \\)이고, \\( \\mathfrak{H}_{z_{2}}\\left(z_{2}\\right)=0 \\)은 \\( b=-a z_{2} \\)를 유도한다.", "그러므로 (1.40)에 의해 거리함수 \\[f_{\\varepsilon}\\left(z_{1}, z_{2}\\right)=\\frac{\\left\|z_{1}-z_{2}\\right\|}{\\left\|1+\\varepsilon \\bar{z}_{2} z_{1}\\right\|}\\]<caption>(1.44)</caption>을 얻는다.", "이 함수가 대칭적임을 쉽게 알 수 있다.", "그들은 (1.19)와 1.8절, 문제 6에서 소개했던 함수 \\( d_{-1}, d_{1} \\)과 자연적으로 연결되어 있다.", "</p> <h1>1.7 고정점과 뫼비우스 변환의 분류</h1><p>점 \\( z_{0} \\)이 \\( T\\left(z_{0}\\right)=z_{0} \\)을 만족하면 변환 \\( T \\)의 고정점이라 한다.", "뫼비우스 변환 \\[w=\\frac{a z+b}{c z+d}\\]의 고정점은 방정식 \\[c z^{2}+(d-a) z-b=0\\]을 만족해야만 한다.", "이것은 \\( z \\)에 관한 2차 방정식이므로, 뫼비우스 변환 \\( T \\)가 세 개(또는 그 이상의) 고정점을 갖는다면, 모든 계수는 0이 된다.", "즉, \\[c=0, \\quad d-a=0, \\quad b=0\\]이고, 따라서 \\( T \\)는 항등변환이다.", "앞으로 이 경우를 배제할 것이다.", "</p><p>(a) \\( c=0, a-d=0 \\)이면, \\( T \\)는 평행이동 \\[w=T(z)=z+k \\quad\\left(k=\\frac{b}{a}\\right)\\]이고, 따라서 무한점은 \\( T \\)의 유일한 고정점이다. \\", "( c=0, ~a-d \\neq 0 \\)이면, \\( T \\)는 \\[w=T(z)=\\left(\\frac{a}{d}\\right) z+\\left(\\frac{b}{d}\\right)\\]의 형태이고, \\( T \\)는 두 고정점 \\( \\frac{b}{d-a} \\)와 무한점을 갖는다.", "이 경우, \\[S(z)=z-\\frac{b}{d-a}\\]로 놓으면, \\[\\begin{aligned}S(T(z))=S(w) &=w-\\frac{b}{d-a}=\\left(\\frac{a}{d} z+\\frac{b}{d}\\right)-\\frac{b}{d-a} \\\\&=\\frac{a}{d}\\left(z-\\frac{b}{d-a}\\right)=\\frac{a}{d} S(z)\\end{aligned}\\] 즉, \\( U(z)=\\frac{a}{d} z \\)라 할 때, \\[T=S^{-1} U S\\]를 얻는다.", "</p><p>(b) \\( c \\neq 0, D \\neq 0 \\)(단, \\( D=(d-a)^{2}+4 b c \\) 는 판별식)이면, \\( T \\)는 두 개의 서로 다른 고정점 \\[ \\alpha=\\frac{a-d+\\sqrt{D}}{2 c}, \\quad \\beta=\\frac{a-d-\\sqrt{D}}{2 c}\\]를 갖는다.", "이 경우, \\[S(z)=\\frac{z-\\alpha}{z-\\beta}\\]로 놓으면, \\[\\frac{w-\\alpha}{w-\\beta}=k \\frac{z-\\alpha}{z-\\beta},\\] 즉, \\[U(z)=k z \\quad\\left(k=\\frac{a-\\alpha c}{a-\\beta c}\\right)\\]가 확대변환일 때, \\[S(T(z))=S(w)=k(S(z)), \\quad \\text { 즉, } T=S^{-1} U S\\]를 얻는다. \\", "( c \\neq 0, D=0 \\)이면, \\( T \\)는 유일한 고정점 \\[\\alpha=\\beta=\\frac{a-d}{2 c}\\]를 갖는다. \\", "( T \\)가 \\( z=\\alpha \\)를 \\( w=\\alpha \\)로 사상하므로, 알맞은 상수 \\( h \\)와 \\( k \\)에 대해, \\[\\frac{1}{w-\\alpha}=\\frac{h}{z-\\alpha}+k\\]라 쓸 수 있다. \\", "( z=\\infty, w=\\frac{a}{c} \\)와 \\( z=0, w=\\frac{b}{d} \\)를 대입하면, \\[k=\\frac{2 c}{a+d}, \\quad h=1\\]을 얻는다.", "따라서, \\[S(z)=\\frac{1}{z-\\alpha}\\]로 놓으면, \\[S(T(z))=S(w)=\\frac{1}{w-\\alpha}=\\frac{1}{z-\\alpha}+\\frac{2 c}{a+d}=V(S(z)),\\] 즉, \\( V(z)=z+k \\)가 평행이동일 때, \\[T=S^{-1} V S\\]를 얻는다.", "</p><p>두 뫼비우스 변환 \\( T_{1} \\)과 \\( T_{2} \\)는, \\( T_{2}=S^{-1} T_{1} S \\) 또는 \\( T_{2}=S T_{1} S^{-1} \\)을 만족하는 세 번째 뫼비우스 변환 \\( S \\)가 존재하면, 닮았다고 한다.", "</p><p>지금까지 다음 정리를 증명했다", "</p><p>[정리 1.11] \\[w=T(z)=\\frac{a z+b}{c z+d}\\]를 뫼비우스 변환이라 하고, \\( D=(a-d)^{2}+4 b c \\)라 하자.", "</p><p>(a) \\( c=0 \\)인 경우. \\", "( D=0 \\)이면, 무한점은 \\( T \\)의 유일한 고정점이고, \\( T \\)는 표준형 \\[w=z+k \\quad\\left(k=\\frac{b}{d}\\right)\\]로 쓸 수 있다. \\", "( D \\neq 0 \\)이면, \\( T \\)는 두 개의 서로 다른 고정점 \\( \\gamma=\\frac{b}{d-a} \\)와 무한점을 갖고, \\( T \\)는 표준형 \\[w-\\gamma=k(z-\\gamma) \\quad\\left(k=\\frac{a}{d}\\right)\\]로 쓸 수 있다.", "</p><p>(b) \\( c \\neq 0 \\)인 경우. \\", "( D \\neq 0 \\)이면, \\( T \\)는 두 개의 서로 다른 고정점 \\[\\alpha=\\frac{a-d+\\sqrt{D}}{2 c}, \\quad \\beta=\\frac{a-d-\\sqrt{D}}{2 c}\\]를 갖고, \\( T \\)는 표준형 \\[\\frac{w-\\alpha}{w-\\beta}=k \\frac{z-\\alpha}{z-\\beta} \\quad\\left(k=\\frac{a-\\alpha c}{a-\\beta c}=\\frac{a+d-\\sqrt{D}}{a+d+\\sqrt{D}}\\right)\\]로 쓸 수 있다. \\", "( D=0 \\)이면, \\( T \\)는 유일한 고정점 \\( \\alpha=\\frac{a-d}{2 c} \\)를 갖고, \\( T \\)는 표준형 \\[\\frac{1}{w-\\alpha}=\\frac{1}{z-\\alpha}+k \\quad\\left(k=\\frac{2 c}{a+d}\\right)\\]로 쓸 수 있다.", "</p><p>다시 말하면,<ol type=a start=1><li>뫼비우스 변환 \\( T \\)가 두 고정점을 가질 필요충분조건은 \\( D \\neq 0 \\)인 것이고, 이 경우, \\( T \\)는 확대변환과 닮았다.", "반면,</li><li>\\( T \\)가 유일한 고정점을 가질 필요충분조건은 \\( D=0 \\)인 것이고, 이 경우, \\( T \\)는 평행이동과 닮았다.", "</li></ol></p> <h1>1.8 뫼비우스 변환의 부분군</h1><p>이 확장된 주제를 광범위하게 다루지는 않겠다.", "비유클리드기하학의 설명을 위해 기본적으로 중요한 두 부분군의 기하학적 특성에 대해 관심을 집중하겠다.", "</p><p>1.8.1 단위원의 군 \\( \\mathcal{U} \\).", "이 군은 단위원(의 원주)을 그 자신으로 사상하는 모든 뫼비우스 변환 \\[w=\\mathfrak{H}(z)=\\frac{a z+b}{c z+d}\\]로 구성되어 있다.", "이것은 모든 실 뫼비우스 변환의 군과 닮았다. \\", "( \\mathfrak{T} \\)가 실축을 단위원 \\( \|z\|=1 \\) 위로 사상하는 뫼비우스 변환이라면, \\( \\mathfrak{T}^{-1} \\mathfrak{H} \\mathfrak{T} \\)는 실 뫼비우스 변환을 나타낸다.", "따라서 두 군은 동형적이다.", "</p><p>변환 \\( \\mathfrak{H} \\)는 서로 역인 점 \\( z, \\frac{1}{\\bar{z}} \\)의 모든 쌍을 서로 역인 점 \\( w, \\frac{1}{\\bar{w}} \\)의 쌍으로 사상한다.", "그러므로 \\[\\frac{1}{\\bar{w}}=\\frac{b \\bar{z}+a}{d \\bar{z}+c} \\quad \\text { 또는 } \\quad w=\\frac{\\bar{d} z+\\bar{c}}{\\bar{b} z+\\bar{a}}\\]를 얻는데 이는 행렬 조건 \\[\\left(\\begin{array}{ll}a & b \\\\c & d \\end{array}\\right)=q\\left(\\begin{array}{ll}\\bar{d} & \\bar{c} \\\\\\bar{b} & \\bar{a}\\end{array}\\right) \\quad(q \\neq 0)\\]를 유도한다.", "</p><p>\\( a \\neq 0 \\)이라 가정하면, \\( a=q d=q \\bar{q} a \\)이므로, \\( q \\bar{q}=1 \\)을 얻는다.", "</p><p>\\[q=e^{2 i \\phi}\\]라 하자.", "그러면 \\( d=e^{2 i \\phi} \\bar{a}, c=e^{2 i \\phi} \\bar{b} \\)이다. \\", "( e^{-i \\phi} a \\)와 \\( e^{-i \\phi} b \\)를 각각 \\( a \\)와 \\( b \\)로 형식적으로 대체하면, 행렬 \\( \\mathfrak{H} \\)를 \\[ \\mathfrak{H}=\\left(\\begin{array}{ll}a & b \\\\\\bar{b} & \\bar{a}\\end{array}\\right), \\quad w=\\frac{a z+b}{\\bar{b} z+\\bar{a}}\\]<caption>(1.5)</caption>의 형태로 얻는데 이것은 실수 인자의 비례성을 고려하면 유일하다.", "그러면 이것의 행렬식과 자취(trace) \\[\\delta=\|\\mathfrak{H}\|=a \\bar{a}-b \\bar{b}, \\quad \\tau=a+\\bar{a}\\]는 실수이다. \\", "( a=0 \\)이면 \\( b c \\neq 0 \\)이고 \\( b=q \\bar{c}=q \\bar{q} b \\)이다.", "따라서 \\( \|q\|=1 \\)이고 식 (1.5)는 다시 성립한다.", "</p><p>단위원의 내부를 단위원의 내부(따라서 외부를 외부)로 사상하는 변환 \\( \\mathfrak{H} \\)는 단위원의 군 안에서 지수 2의 부분군이다.", "이것들의 각각에 대해 \\( \\mathfrak{H}(0)=\\frac{b}{\\bar{a}} \\)가 단위원의 내점이 되는 것이 필요충분조건이다.", "이것은 \\( \|b\|<\|a\| \\) 또는 \\[\\delta>0\\]과 동치이다.", "이 부분군을 \\( \\mathcal{U}_{+} \\)라 쓰고 이것을 단위원의 고유군이라 부르겠다.", "</p><p>단위원을 단위원 위로 사상하는 비고유 사상들은 조건 \\( \\delta<0 \\)에 의해 특성화 된다.", "이것들은 원의 외부와 내부를 교환한다.", "</p><p>군 \\( \\mathcal{U}_{+} \\)가 타원형, 포물형과 고유 쌍곡형 뫼비우스 변환들로 구성되어 있다는 것은 분명하다.", "그러나 단위원의 모든 비고유 사상은 반드시 비고유 쌍곡형이어야만 한다.", "</p><p>\\( a=0 \\)이면, 변환 (1.5)은 쌍곡형 대합일 것이다. \\", "( a \\neq 0 \\)이면, \\[\\mathfrak{H}^{-1}(0)=-\\frac{b}{a}=z_{1}, \\quad \\arg a=\\alpha\\]라 놓으면, \\[w=\\mathfrak{H}_{z_{1}}(z)=\\frac{z-z_{1}}{-\\bar{z}_{1} z+1}, \\quad \\mathfrak{H}_{z_{1}}=\\left(\\begin{array}{cc}1 & -z_{1} \\\\-\\bar{z}_{1} & 1\\end{array}\\right)\\]<caption>(1.6)</caption>일 때, \\[w=\\mathfrak{H}(z)=\\frac{a}{\\bar{a}} \\frac{z-z_{1}}{-\\bar{z}_{1} z+1}=e^{2 i \\alpha} \\mathfrak{H}_{z_{1}}(z)\\]<caption>(1.7)</caption>는 \\( z_{1} \\)을 0으로 보내는 단위원의 자기자신 위로의 변환이다.", "</p><p>\\[\\sigma\\left(\\mathfrak{H}_{z_{1}}\\right)=\\frac{\\tau^{2}}{\\delta}-4=\\frac{4}{1-z_{1} \\bar{z}_{1}}-4\\]이므로, 변환 \\( \\mathfrak{H}_{z_{1}} \\)은 \\( z_{1}=0 \\) 또는 \\( \\left\|z_{1}\\right\|=1 \\)이 아닌 모든 \\( z_{1} \\)에 대해 쌍곡형이다.", "이때 \\( \\left\|z_{1}\\right\|<1 \\)이면 고유 쌍곡형, \\( \\left\|z_{1}\\right\|>1 \\)이면 비고유 쌍곡형이다.", "이것의 고정점들은 2차 방정식 \\( \\bar{z}_{1} z^{2}=z_{1} \\)의 해이다.", "따라서, \\[z_{1}=r_{1} e^{i \\theta_{1}}\\]이면, 해는 단위원의 두 개의 대각적으로 반대인 점 \\( \\pm e^{i \\theta_{1}} \\)이다. \\", "( \\mathfrak{H}_{z_{1}} \\)의 특성상 수는 \\[ k=\\frac{1+\\bar{z}_{1} e^{i \\theta_{1}}}{1-\\bar{z}_{1} e^{i \\theta_{1}}}=\\frac{1+r_{1}}{1-r_{1}}\\]에 의해 주어지고, 따라서 \\[r_{1}=\\frac{k-1}{k+1}, \\quad z_{1}=\\frac{k-1}{k+1} e^{i \\theta_{1}}\\]이다.", "</p><p>이제 \\( \\mathfrak{H}_{z_{1}} \\)을 \\( \\left(\\mathcal{U}_{+}\\right. \\) 안의)", "고유 쌍곡형이라 하자.", "그러면 \\( 0<r_{1}<1(k>1) \\)이 성립한다.", "실지수 \\( s \\)에 대해 \\( \\mathfrak{H}_{z_{1}} \\)의 연속 반복 \\( \\mathfrak{H}_{z_{1}}^{s} \\)를 \\( k \\)가 \\( \\mathfrak{H}_{z_{1}} \\) 안에 나타날 때 마다 \\( k^{s} \\)로 대체함으로 구성한다.", "</p><p>\\( z_{s}=\\frac{k^{s}-1}{k^{s}+1} e^{i \\theta_{1}} \\)을 생각하자. \\", "( -\\infty<s<\\infty \\)에 대해 점 \\( z_{s} \\)는 양 끝점이 \\( \\mathfrak{H} \\)의 고정점들 \\( -e^{i \\theta_{1}} \\) \\( (s=-\\infty) \\)과 \\( e^{i \\theta_{1}}(s=\\infty) \\)인 전체 열린 구간(단위원의 지름)을 움직인다.", "그러면 \\[\\mathfrak{H}_{z_{1}}^{s}(z)=\\mathfrak{H}_{z_{s}}(z), \\quad \\mathfrak{H}_{z_{s}}=\\left(\\begin{array}{cc}r r 1 & -z_{s} \\\\-\\bar{z}_{s} & 1\\end{array}\\right)\\]<caption>(1.8)</caption>이 된다.", "</p><p>변환 \\( \\mathfrak{H}_{z_{1}}^{s} \\)를 0에 관한 회전변환에 예속시킴으로 닮음", "변환 \\[w=e^{i t} \\mathfrak{H}_{z_{1}}^{s}\\left(e^{-i t} z\\right)=\\frac{z-e^{i t} z_{s}}{-e^{-i t} \\bar{z}_{s} z+1}\\]<caption>(1.9)</caption>를 얻는데, 이는 다시 쌍곡변환 -즉, 점 \\( e^{i t} z_{s} \\)를 0으로 변환하는 것- 이다.", "적당한 회전변환으로 사상 (1.9)를 추적함으로써 단위원의 임의의 주어진 고유 변환의 표현을 얻을 수 있다.", "따라서 다음 정리를 얻는다.", "</p><p>[정리 1.12] 단위원의 고유군의 모든 원소는, \\( \\mathfrak{R}_{1}=\\left(\\begin{array}{ll}e^{i} & 0 \\\\ 0 & 1\\end{array}\\right) \\)이고 \\( \\mathfrak{H}_{\\frac{1}{2}}= \\) \\( \\left(\\begin{array}{cc}1 & -\\frac{1}{2} \\\\ -\\frac{1}{2} & 1\\end{array}\\right) \\)일 때, 즉 \\( z=\\frac{1}{2} \\)을 0으로 보내고 \\( -1 \\)과 \\( +1 \\)을 고정점으로 갖는 쌍곡변환의 행렬일 때, \\[\\mathfrak{H}=\\mathfrak{R}_{1}^{t_{1}} \\mathfrak{H}_{\\frac{1}{2}}^{s} \\mathfrak{H}_{1}^{t_{2}} \\quad\\left(s, t_{1}, t_{2} \\text { : 실수 }\\right)\\]의 형태로 쓸 수 있다.", "</p><p>마지막으로 (1.7)의 단순 결과를 인지한다.", "고정점 \\( \\left(z_{1}=0\\right. \\)", "또는 \\( \\left.b=0\\right) \\)으로 중심 0을 갖는 단위원의 모든 변환 \\( \\mathfrak{H} \\)는 반드시 0에 관한 순수 회전변환이다.", "</p> <p>참고 \\( U_{1}(z)=k_{1} z, U_{2}(z)=k_{2} z \\)가 두 확대변환이라면, \\( U_{1} \\)과 \\( U_{2} \\)가 닮을 필요충분조건은 승수 \\( k_{1} \\)과 \\( k_{2} \\)가 같거나 또는 서로의 상반, 즉 \\( k_{1}=k_{2} \\) 또는 \\( k_{1}=\\frac{1}{k_{2}} \\)인 것이다.", "그러나, 평행이동 \\( w=z+k \\)가 \\[\\left(\\frac{w}{k}\\right)=\\left(\\frac{z}{k}\\right)+1\\]로 쓰여질 수 있으므로, 모든 평행이동은 (확대변환에 의해) 평행이동 \\( w=z+1\\)과 닮았다.", "다시 말하면, 임의의 두 평행이동은 서로 닮았다.", "이제 \\[w=T(z)=\\frac{a z+b}{c z+d}\\]를 \\( D=(d-a)^{2}+4 b c \\neq 0 \\)인 뫼비우스 변환이라 가정하자.", "그러면 다음 성질을 만족하는 뫼비우스 변환 \\( S \\)가 존재한다. \\", "( W=S(w), Z=S(z) \\)이고 \\( U(Z)=k Z \\)가 확대변환일 때, \\[S(w)=S T(z)=U(S(z)), \\quad \\text { 즉, } \\quad W=U(Z)=k Z \\text {. }\\] \\", "( k \\neq 0,~1 \\)인 실수이면, 뫼비우스 변환 \\( T \\)는 쌍곡형, \\( \|k\|=1 \\)(그러나 \\( k \\neq 1,~-1 \\) )이면, \\( T \\)는 타원형이라 부른다. \\", "( \|k\| \\neq 1 \\)이고 \\( k \\)가 실수가 아니면, \\( T \\)는 항해선형이라 부른다.", "여기서 \\( k \\)를 특성상수라 부른다.", "</p><p>\\( T \\)가 쌍곡형이면, \\( U \\)는 \\( Z \\)-평면의 원점을 지나는 각각의 직선을 자신 위로 사상하고, 원점이 중심인 원을 다른 그러한 원으로 사상한다.", "원래의 \\( z \\)-평면과 \\( w \\) -평면의 원에 관해, 이것은 \\( T \\)의 두 고정점을 지나는 원들의 (타원)속 \\( \\mathcal{P} \\)의 각각의 원은 자신위로 사상되지만, \\( T \\)의 두 고정점을 그것의 극한점으로 갖는 원들의 공액 (쌍곡)속 \\( \\mathcal{Q} \\)의 모든 원은 원들의 같은 속의 다른 원으로 사상된다는 것을 의미한다.", "특히, \\( \\alpha \\)와 \\( \\beta \\)가 \\( T \\) 의 고정점이고, \\( h \\)가 상수라면, 아폴로니우스 원 \\( \\left\|\\frac{z-\\alpha}{z-\\beta}\\right\|=h \\)는 다른 아폴로니우스 원 \\[\\left\|\\frac{w-\\alpha}{w-\\beta}\\right\|=h k\\]로 사상된다.", "</p><p>\\( T \\)가 타원형이면, \\( U \\)는 \\( Z \\)-평면의 ( \\( \\arg k \\)만큼의) 회전변환이다.", "따라서 앞의 문장에서 속 \\( \\mathcal{P} \\)와 \\( \\mathcal{Q} \\)의 역할을 바꾸기만 하면 된다.", "</p><p>\\( D=0 \\)이면, 뫼비우스 변환 \\( T \\)는 포물형이라 하고, 이 경우 \\( T \\)는 유일한 고정점을 갖고, 평행이동 \\[W=V(Z)=Z+k\\]와 닮았다.", "이제, \\( V \\)는 \\( Z \\)-평면의 벡터 \\( k \\)에 평행인 모든 직선을 자신 위로 사상하고, 벡터 \\( k \\)에 직교하는 모든 직선을 \\( k \\)에 직교하는 다른 직선으로 사상한다.", "원래의 \\(z\\)-평면의 원에 관해, 이것은 \\( \\mathcal{P} \\)의 모든 원은 \\( T \\)에 의해 자신 위로 사상되고, 그것의 공액 (포물형) 속 \\( \\mathcal{Q}(\\mathcal{P} \\) 의 원들의 공통 접점에서 \\( \\mathcal{P} \\)에 직교하는 원들의 속)의 모든 원은 \\( \\mathcal{Q} \\)의 다른 원으로 사상되는 성질을 가진 \\( T \\)의 유일한 고정점에서 서로 접하는 원들의 (포물형) 속 \\( \\mathcal{P} \\)가 존재함을 의미한다.", "</p><p>앞의 논의에서 \\( D=(a-d)^{2}+4 b c \\)가 뫼비우스 변환의 분류에 중요한 역할을 하고 있다.", "그렇다면 이와 관련된 뫼비우스 변환의 닮음 불변량에 대해 살펴 보는 것도 좋을 듯하다.", "위에서 정의했듯이 두 뫼비우스 변환 \\( \\mathfrak{H}^{} \\)와 \\( \\mathfrak{H} \\)가 닮기 위해서는 세 번째 뫼비우스 변환 \\( \\mathfrak{T} \\)가 존재하여 \\( \\mathfrak{H}^{}(z)=\\left(\\mathfrak{T} \\circ \\mathfrak{H} \\circ \\mathfrak{T}^{-1}\\right)(z) \\)가 성립하는 것이다.", "이를 행렬로 나타내면, 0이 아닌 임의의 상수 \\( q \\)에 대해 \\[\\mathfrak{H}^{}=q \\mathfrak{T} \\mathfrak{H} \\mathfrak{T}^{-1} \\quad(q \\neq 0)\\]<caption>(1.3)</caption>이다. \\", "( \\mathfrak{H}=\\mathfrak{E} \\) (단위행렬)이라면, 모든 \\( \\mathfrak{T} \\)에 대해 \\( \\mathfrak{H}^{}=q \\mathfrak{E} \\)이다.", "따라서 항등원은 항등변환과 닮았다.", "</p><p>행렬 \\( \\mathfrak{T H} \\mathfrak{T}^{-1} \\)은 행렬 \\( \\mathfrak{H} \\)에 닮았다고 말한다.", "행렬대수의 원소로부터 (2행 행렬의 현재 경우에서 쉽게 확인된다) 이 닮음행렬은 같은 행렬식과 같은 자취(trace)를 갖는다.", "따라서 \\[\\delta=\|\\mathfrak{H}\|=a d-b c, \\quad \\operatorname{tr} \\mathfrak{H}=a+d=\\tau\\]는 닮음불변량, 즉 \\[\\left\|\\mathfrak{T} \\mathfrak{H T} \\mathfrak{T}^{-1}\\right\|=\|\\mathfrak{H}\|, \\quad\\operatorname{tr}\\left(\\mathfrak{T} \\mathfrak{H} \\mathfrak{T}^{-1}\\right)=\\operatorname{tr} \\mathfrak{H}\\]이다.", "닮음행렬을 가진 두 개의 뫼비우스 변환은 닮았다", "[식 (1.3)에서 \\( q=1] \\).", "그러나 두 개의 닮음 뫼비우스 변환의 행렬은 \\[\\left\|\\mathfrak{H}^{}\\right\|=q^{2}\|\\mathfrak{H}\|, \\quad \\operatorname{tr} \\mathfrak{H}^{}=q \\operatorname{tr} \\mathfrak{H}\\]에 의해 관련된 닮음불변량을 가진다.", "따라서 상 \\( \\frac{(\\operatorname{tr} \\mathfrak{H})^{2}}{\|\\mathfrak{H}\|} \\)은 행렬 \\( \\mathfrak{H}=\\left(\\begin{array}{ll}a & b \\\\ c & d\\end{array}\\right) \\)를 가진 뫼비우스 변환의 닮음불변량일 것이다.", "항등변환 \\( (\\mathfrak{H}=q \\mathfrak{E}) \\)에 대해 이 상은 값 4를 갖는다.", "뫼비우스 변환의 기본 닮음불변량에 따라 크기를 도입할 수 있다. \\", "[ \\sigma=\\sigma(\\mathfrak{H})=\\frac{(\\operatorname{tr} \\mathfrak{H})^{2}}{\|\\mathfrak{H}\|}-4=\\frac{\\tau^{2}}{\\delta}-4=\\frac{(a-d)^{2}+4 b c}{a d-b c}\\]<caption>(1.4)</caption>이고, 따라서 변환 \\( \\mathfrak{H}, \\mathfrak{H}^{} \\)가 닮았다면, \\[\\sigma\\left(\\mathfrak{H}^{}\\right)=\\sigma(\\mathfrak{H})\\]이다. \\", "( (\\mathfrak{T}=\\mathfrak{E} \\)로 하면 \\( ) \\) 모든 변환 \\( \\mathfrak{H} \\)는 그 자신과 닮았다.", "따라서 \\( D \\)는 닮음 불변량 (1.4)에서 분자와 같게 된다.", "이를 이용하면 위의 정리 1.11과 참고에서 분류한 뫼비우스 변환을 \\( k \\)와 \\( \\sigma \\)를 이용해 비교 분류할 수 있게 된다.", "</p><ul><li>타원형 \\( : \\quad\|k\|=1(k \\neq 1,-1) \\), 즉 \\( -4<\\sigma<0 \\)</li><li>쌍곡형 : \\( k \\neq 0,1 \\)인 실수, 즉 \\( \\sigma>0 \\) 또는 \\( \\sigma \\leq-4 \\) (고유 쌍곡형 : \\( k>0(k \\neq 1) \\), 즉 \\( \\sigma>0 \\)일 때, 비고유 쌍곡형 : \\( k<0 \\), 즉 \\( \\sigma \\leq-4 \\)일 때)</li><li>항해선형 : \\( \|k\| \\neq 1 \\)이고 \\( k \\)가 실수가 아닐 때, 즉 \\( \\sigma \\)가 실수가 아닐 때.", "</li></ul> <h1>1.9 변환군의 기하학</h1><p>1.9.1 유클리드기하학.", "비유클리드기하학의 다음 설명에 대한 준비과정으로 어떻게 유클리드기하학의 정수가 모든 유클리드 변위(운동)의 군 \\( \\mathcal{E} \\)의 어떤 성질로부터 유도될 수 있는지 먼저 보겠다.", "</p><p>선분, 삼각형, 직선, 원 같은 평면 기하학적 도형을 \\( \\mathfrak{F}, \\mathfrak{F}_{1}, \\mathfrak{F}_{2} \\) 라 놓는다.", "평면상의 유클리드기하학은 \\( \\mathfrak{F} \\)가 임의의 방법으로 평면 상에서 변위되어도 바뀌지 않고 남아 있는 그러한 도형 \\( \\mathfrak{F} \\)의 그러한 성질을 연구하는 것이다.", "도형 \\( \\mathfrak{F} \\)의 다른 점 사이의 거리와 직선 혹은 원 사이의 각은 변위에 의해 변하지 않는다.", "평면 상의 고정점으로부터 \\( \\mathfrak{F} \\)의 점까지의 거리는 변하게 된다.", "</p><p>도형 \\( \\mathfrak{F}_{1} \\)이 변위에 의해 \\( \\mathfrak{F}_{2} \\)와 일치하도록 할 수 있다면, \\( \\mathfrak{F}_{1} \\)과 \\( \\mathfrak{F}_{2} \\)는 모든 변위의 군에 관해 합동 또는 단순히 합동이라고 말한다.", "그러므로 모든 변위(1.16)의 군 \\( \\mathcal{E} \\)는 기하학적 도형의 합동성을 결정한다.", "군 \\( \\mathcal{E} \\)의 원소인 어떤 조작들은 주어진 두 도형의 합동성을 검사할 수 있게 해준다.", "</p><p>더욱이 이것의 일변수 부분군, 즉 어떤 군구조적 성질에 의해 군 \\( \\mathcal{E} \\)는 유클리드기하학의 기본 원소, 즉 직선과 원을 정의한다.", "이것은 \\( \\mathcal{E} \\)의 두 가지 다른 종류의 일변수 부분군에 대응한다.", "</p><p>1. 포물형 부분군.", "이 부분군은 군 \\( \\mathcal{E} \\)의 포물형 변환의 연속적인 반복에 의해 얻어진다.", "군의 모든 포물형 변환은 평행이동 \\( \\mathfrak{T}_{b} \\)\\[w=\\mathfrak{T}_{b}(z)=z+b\\]들이다.", "상수 \\( z \\)와 실변수 \\( s \\)에 대해, 점 \\[w=\\mathfrak{T}_{b}^{s}(z)=z+s b\\]는, 평행이동 벡터 \\( b \\)에 평행한, \\( z \\)를 지나는 잘 정의된 직선 위를 움직인다.", "</p><p>2. 타원형 부분군.", "변위군 \\( \\mathcal{E} \\)의 임의의 비 평행이동변환은 타원형이다. \\", "( \\alpha \\neq 2 n \\pi \\)라 하자.", "그러면 \\[\\gamma=\\frac{b}{1-e^{i \\alpha}}\\]는 \\[w=\\mathfrak{H}(z)=\\gamma+e^{i \\alpha}(z-\\gamma)\\]의 형태로 쓸 수 있는 회전변환 (1.16)의 유일한 유한 고정점이다.", "따라서 상수 \\( z \\neq \\gamma \\)가 주어질 때, 점 \\[ w=\\mathfrak{H}^{s}(z)=\\gamma+e^{i \\alpha s}(z-\\gamma)\\]는, \\( s \\)가 실변수이면, \\( z \\)를 지나는 \\( \\gamma \\)에 관한 원 위를 움직일 것이다.", "</p><p>모든 점 \\( z \\)는 알맞은 변위 \\( \\mathfrak{H} \\)에 의해서 유한 평면에서 임의의 다른 점의 위치로 이동될 수 있다.", "따라서 함수 \\( f(z) \\)가 불변이면, 즉, \\( \\mathcal{E} \\) 안의 모든 \\( \\mathfrak{H} \\)에 대해 \\[f[\\mathfrak{H}(z)]=f(z)\\]<caption>(1.37)</caption>이면, 그것은 반드시 상수이어야만 한다.", "이것이 바로 우리가 변위군의 1-점 불 변이 존재하지 않는다고 말하는 것을 의미한다.", "이 사실은 물론 군 \\( \\mathcal{E} \\)의 추이성의 결과이다.", "</p><p>점 \\( z \\)의 다음에 점 \\( z_{1}, z_{2} \\)의 쌍에 의해 정의된 선분을 생각한다.", "임의의 변위 하에서 불변인 두 점 \\( z_{1}, z_{2} \\)의 함수가 있다.", "이것은 그들의 거리 \\( \\left\|z_{1}-z_{2}\\right\| \\)이다.", "당연히, 임의의 거리의 함수는 불변이다.", "함수의 선택에서 이런 임의성은 별 문제로 하더라도, 거리 \\( \\left\|z_{1}-z_{2}\\right\| \\)는 두 점에 관련되어 불변인 유일한 변위임을 보일 것이다.", "이것은 모든 불변 함수 \\( f\\left(z_{1}, z_{2}\\right) \\)는 거리 \\( \\left\|z_{1}-z_{2}\\right\| \\)의 함수임을 의미한다.", "</p><p>실제로, \\( f\\left(z_{1}, z_{2}\\right) \\)가 불변이라면, \\( z_{1}, z_{2} \\)가 둘 다 임의의 평행이동 \\( f\\left(z_{1}+\\right. \\) \\", "( \\left.b, z_{2}+b\\right)=f\\left(z_{1}, z_{2}\\right) \\)의 적용을 받을 때, 그것은 그것의 값을 변화시키지는 않을 것이다. \\", "( b=-z_{2} \\)에 대해 \\[f\\left(z_{1}, z_{2}\\right)=f\\left(z_{1}-z_{2}, 0\\right)\\]이다.", "따라서 불변값은 차 \\( z_{1}-z_{2} \\)의 함수이다.", "</p><p>그러나 \\( f\\left(z_{1}, z_{2}\\right) \\)는, \\( z_{1}, z_{2} \\)가 임의의 회전변환 \\[f\\left(z_{1}, z_{2}\\right)=f\\left[e^{i \\alpha}\\left(z_{1}-z_{2}\\right), 0\\right]\\]의 적용을 받는다면, 그것의 값을 유지한다. \\", "( \\alpha=-\\arg \\left(z_{1}-z_{2}\\right) \\)라 하면, \\[f\\left(z_{1}, z_{2}\\right)=f\\left(\\left\|z_{1}-z_{2}\\right\|, 0\\right)\\]이 성립한다.", "</p><p>참고 군 \\( \\mathcal{E} \\)의 2중 추이성이 아닌 단순 추이성은 불변 거리의 존재성과 유일성에 대해 필수이다.", "실제로 변환의 2중 추이적 군은 두 점에 관련된 불변을 가질 수 없다는 것과 비추이적 군은 두 점의 몇 가지 불변들을 가질 수 있다는 것을 보는 것은 쉽다.", "</p> <h1>1.2 뫼비우스 변환</h1><p>이제 뫼비우스 변환(선형분수변환, 쌍선형변환, 호모그래픽변환 등)이라 부르는 기초적이지만 유용한 함수를 다룬다.", "먼저 몇 가지 관찰해 보자.", "</p><p>실변수의 실가 함수의 행동을 다루기 위해서는 그래프를 이용한다.", "함수의 그래프를 그리기 위해 \\( (x, y) \\)-평면을 사용한다 (\\( x \\)는 변수, \\( y \\)는 함수) -이것은 우리들의 가시적 이해와 직관을 돕지만, 복소변수의 복소함수에 대해서는 사용될 수 없다- 4차원 공간이 필요하다(변수 \\( z \\)에 대해 2차원, 함수 \\( w \\)에 대해 2차원).", "이것은 우리가 사는 세상의 차원을 넘어선다.", "따라서, 복소변수의 복소함수를 공부하기 위해서는, 두 장의 복소평면, 변수 \\( z \\)에 대해 \\( z \\)-평면, 함수 \\( w \\)에 대해 \\( w \\)-평면을 사용한다.", "이것은 실변수의 실가 함수의 경우에서처럼 이상적이지 않지만, 이것이 우리가 다룰 수 있는 최선이다.", "</p><p>[정의 1.1] 뫼비우스 변환은 형태 \\[w=T(z)=\\frac{\\alpha z+\\beta}{\\gamma z+\\delta}, \\quad \\alpha, \\beta, \\gamma, \\delta \\in \\mathbb{C}, \\quad\\left\|\\begin{array}{cc}\\alpha & \\beta \\\\\\gamma & \\delta\\end{array}\\right\|=\\alpha \\delta-\\beta \\gamma \\neq 0\\]의 특수한 유리함수이다.", "조건 \\( \\alpha \\delta-\\beta \\gamma \\neq 0 \\)은 \\( T \\)가 상수가 아님을 보장한다.", "</p><p>뫼비우스 변환은 \\( z=-\\frac{\\delta}{\\gamma} \\)를 제외한 \\( z \\)-평면의 모든 점에서 정의되고, 역변환 \\( z=T^{-1} w=\\frac{\\delta w-\\beta}{-\\gamma w+\\alpha}, \\quad\\left\|\\begin{array}{rr}\\delta & -\\beta \\\\ -\\gamma & \\alpha\\end{array}\\right\|=\\left\|\\begin{array}{ll}\\alpha & \\beta \\\\ \\gamma &\\delta\\end{array}\\right\| \\neq 0 \\)도 또한 뫼비우스 변환이고, 이것은 \\( w \\)-평면의 모든 점은 \\( w=\\frac{\\alpha}{\\gamma} \\)를 제외하고는 (유일한) 역상을 가짐을 말한다. \\", "( z=-\\frac{\\delta}{\\gamma} \\)의 상을 \\( w=\\infty \\)로, \\( w=\\frac{\\alpha}{\\gamma} \\)의 역상을 \\( z=\\infty \\)로 정의함으로써 뫼비우스 변환을 리만 구를 자신 위로 보내는 사상으로 생각하여 이 예외를 제거하는 것이 유리하다.", "뫼비우스 변환의 역은 일가임을 유의하면, 뫼비우스 변환의 정의의 이 확장은 뫼비우스 변환은 완비 복소평면 \\( \\widehat{\\mathbb{C}} \\)의 자기자신 위로의 전단사(일대일, 위로) 사상임을 말할 수 있게 한다.", "</p><p>항등사상 \\( (\\beta=\\gamma=0, \\alpha=\\delta) \\)은 분명히 뫼비우스 변환이다.", "더욱이, 뫼비우스 변환의 합성은 뫼비우스 변환이다.", "즉, \\( z \\)-평면을 \\[w_{1}=T(z)=\\frac{\\alpha z+\\beta}{\\gamma z+\\delta}, \\quad\\left\|\\begin{array}{cc}\\alpha & \\beta \\\\\\gamma & \\delta\\end{array}\\right\| \\neq 0\\]에 의해 \\( w_{1} \\)-평면 위로 사상하고, \\( w_{1} \\)-평면을 \\[w=S\\left(w_{1}\\right)=\\frac{a w_{1}+b}{c w_{1}+d}, \\quad\\left\|\\begin{array}{ll}a & b \\\\c & d\\end{array}\\right\| \\neq 0\\]에 의해 \\( w \\)-평면 위로 사상한다면, 결과는 \\[ w=S T(z)=\\frac{(a \\alpha+b \\gamma) z+(a \\beta+b \\delta)}{(c \\alpha+d \\gamma) z+(c \\beta+d \\delta)}\\]에 의해 주어지는 \\( z \\)-평면에서 \\( w \\)-평면 위로의 뫼비우스 변환이다.", "여기서 \\[\\left\|\\begin{array}{cc}a \\alpha+b \\gamma & a \\beta+b \\delta \\\\c \\alpha+d \\gamma & c \\beta+d \\delta\\end{array}\\right\|=\\left\|\\begin{array}{ll}a & b \\\\c & d\\end{array}\\right\| \\cdot\\left\|\\begin{array}{ll}\\alpha & \\beta \\\\\\gamma & \\delta\\end{array}\\right\| \\neq 0\\]을 만족한다.", "비슷하게 결합법칙을 밝힐 수 있다.", "지금까지 다음 정리를 증명하였다.", "</p><p>[정리 1.3] 모든 뫼비우스 변환들의 집합 \\( \\mathcal{M} \\)은 군을 이룬다.", "즉, 다음 네 공준을 만족한다.", "</p><p>(a) 임의의 두 \\( T, S \\in \\mathcal{M} \\)에 대해, 그들의 곱(합성) \\( T S \\)가 정의되고, \\( \\mathcal{M} \\)의 원소이다.", "즉, \\( T S \\in \\mathcal{M} \\).", "</p><p>(b) \\( \\mathcal{M} \\)은 항등원이라 부르는 다음 성질을 만족하는 원소 \\( E \\)를 갖는다.", "</p><p>모든 \\( T \\in \\mathcal{M} \\)에 대해, \\( T E=E T=T \\).", "</p><p>(c) 모든 원소 \\( T \\in \\mathcal{M} \\)에 대해, \\( T \\)의 역이라 부르는 다음 성질을 만족하는 원소 \\( T^{-1} \\in \\mathcal{M} \\)가 존재한다.", "</p><p>\\( T T^{-1}=T^{-1} T=E \\).", "</p><p>(d) 결합법칙이 성립한다.", "임의의 \\( T, S, U \\in \\mathcal{M} \\)에 대해,</p><p>\\( (T S) U=T(S U) \\).", "</p><p>[정의 1.2] \\( \\widehat{\\mathbb{C}} \\) 위에 작용 군을 \\( \\mathcal{M} \\)으로 정의한 쌍 \\( (\\widehat{\\mathbb{C}}, \\mathcal{M}) \\)은 뫼비우스기하학 모형이다.", "</p><p>뫼비우스 변환의 곱에 대한 표현은 행렬을 생각나게 한다.", "위의 뫼비우스 변환 \\( T \\)와 \\( S \\)를 \\[T=\\left(\\begin{array}{ll}\\alpha & \\beta \\\\\\gamma & \\delta\\end{array}\\right) \\quad S=\\left(\\begin{array}{ll} a & b \\\\c & d\\end{array}\\right)\\]로 쓰면, \\[S T=\\left(\\begin{array}{ll}a \\alpha+b \\gamma & a \\beta+b \\delta \\\\ c \\alpha+d \\gamma & c \\beta+d \\delta\\end{array}\\right)\\]가 된다.", "즉, 이 기호는 행렬 연산과 일치하거나, 또는 모든 \\( 2 \\times 2 \\) 가역행렬의 군은 뫼비우스 변환들의 군과 준동형적이다.", "</p><p>군의 부분집합이 (같은 군 연산하에서) 군이라면 부분군이라 불린다.", "뫼비우스 군의 부분군의 예를 몇 가지 들어보자.", "</p><p>[예제 1.1] 모든 평행이동 \\[w=T(z)=z+b \\quad(\\text { 적당한 상수 } b \\in \\mathbb{C})\\]의 집합.", "</p><p>[예제 1.2] 모든 확대변환 \\[w=T(z)=\\alpha z \\quad(0 \\text {이 아닌 적당한 상수 } \\alpha \\in \\mathbb{C})\\]의 집합.", "</p><p>실제로, 이 부분군은 두 개의 중요한 부분군을 포함한다.", "</p><p>(a) 확장(또는 닮음)변환 : \\[w=T(z)=a z \\quad(a \\text {는 양의 상수 }) .\\]", "</p><p>이것은 인자 \\( a \\)에 의해 단지 확장(또는 축소)하는 것이다.", "</p><p>(b) 회전변환 : \\[w=T(z)=k z \\quad(\\text { 단 }\|k\|=1)\\]</p><p>이것은 원점에 관해 \\( k \\)의 편각만큼 회전한 회전변환이다.", "확장변환과 회전변환은 교환가능하고 모든 확대변환은 확장변환과 회전변환의 곱임을 유의하라.", "</p><p>[예제 1.3] 항등원과 상반변환 \\[w=T(z)=\\frac{1}{z}\\]로 이루어진 \\( \\mathcal{M} \\)의 부분집합은 또한 부분군이다.", "</p><p>이제 뫼비우스 변환 \\[w=T(z)=\\frac{\\alpha z+\\beta}{\\gamma z+\\delta}, \\quad\\left\|\\begin{array}{ll} \\alpha & \\beta \\\\\\gamma & \\delta\\end{array}\\right\| \\neq 0\\]을 정의하는 유리함수를 부분분수로 분해하자.", "두 가지 가능성이 있다.", "</p><p>(a) \\( \\gamma=0 \\)이면, \\( \\delta \\neq 0 \\)이고, \\[w=\\frac{\\alpha}{\\delta} z+\\frac{\\beta}{\\delta}\\]를 얻는다.", "</p><p>(b) \\( \\gamma \\neq 0 \\)이면, \\[w=\\frac{\\alpha z+\\beta}{\\gamma z+\\delta}=\\frac{\\alpha}{\\gamma}-\\frac{(\\alpha \\delta-\\beta \\gamma) / \\gamma}{\\gamma z+\\delta} .\\]이다.", "따라서 뫼비우스 변환은 확대변환, 평행이동과 상반변환의 곱이다.", "</p><p>평행이동과 확대변환은 직선을 직선으로 원을 원으로 사상하는 것은 분명하다.", "이것은 상반변환에 대해서는 옳지 않다.", "그러나, 모든 직선과 원의 족을 불변시킨다.", "</p><p>\\( A\\left(x^{2}+y^{2}\\right)+B x+C y+D=0 \\quad\\left(B^{2}+C^{2}>4 A D\\right) \\) 또는 복소기호를 써서 \\[ a z \\bar{z}+\\bar{b} z+b \\bar{z}+c=0 \\quad\\left(\|b\|^{2}>a c\\right)\\]을 평면의 임의의 원 (\\(a=0 \\)이면 직선)이라 가정하자.", "단, \\( a=A \\)와 \\( c=D \\)는 실수이고, \\( b=\\frac{1}{2}(B+C i) \\)는 복소수이다.", "상반변환 \\( w=\\frac{1}{z} \\)을 행하면, \\[a+\\bar{b} \\bar{w}+b w+c w \\bar{w}=0\\]을 얻는데, 이는 같은 형태의 방정식이다.", "따라서 다음을 얻는다.", "</p><p>[정리 1.4] 뫼비우스 변환은 평면의 모든 원과 직선의 족을 자신으로 사상한다.", "</p> <h1>1.1 입체사영</h1><p>지금까지 복소수는 평면상의 점으로 나타낼 수 있다.", "또한 그것을 구 위의 점으로 생각하는 것이 때로는 유용하다.", "일반적으로 구면 전체에서 평면으로의 전단사 연속사상을 구성하는 것은 가능하지 않다.", "그러나 입체사영(그림 1.1)은 사영의 중심인 북극 \\( N(0,0,1) \\)을 뺀 나머지를 평면으로 전단사이면서 연속적으로 사상한다.", "</p><p>원점에서 복소평면에 접하는 단위지름을 가진 구를 생각하자.", "직교좌표 \\( (\\xi, \\eta, \\zeta) \\)에 관해 표현하면 구의 방정식은 \\[\\xi^{2}+\\eta^{2}+\\left(\\zeta-\\frac{1}{2}\\right)^{2}=\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2}\\]이다.", "평면의 각각의 점 \\( z=x+y i \\)에 대해, 점을 북극 \\( N(0,0,1) \\)과 잇는 선분은 (북극 외의) 유일한 점에서 구와 만난다.", "역으로 북극 외의 구 위의 점에 대해, 점과 북극을 잇는 선분의 연장선은 유일한 점에서 복소평면과 만난다.", "따라서 복소평면과 북극을 뺀 리만 구 사이에 일대일 대응을 구성하였다.", "이 예외를 포함하기 위해서는 \\( (\\infty \\)로 놓는) 무한점이라 불리는 이상점을 복소평면 \\( \\mathbb{C} \\)에 더하고, 이것을 북극 \\( N \\)과 대응시킨다.", "확장된 복소평면을 \\( \\widehat{\\mathbb{C}} \\)이라 놓는다.", "따라서, \\( \\widehat{\\mathbb{C}}=\\mathbb{C} \\cup\\{\\infty\\} \\)이다.", "이것을 (복소)평면의 \\( \\infty \\)에 의한 완비화라 한다.", "</p><p>두 객체 간에 대응하는 좌표를 구체적으로 구해보자. \\", "( z=x+y i \\in \\mathbb{C} \\)가 리만 구 위의 점 \\( (\\xi, \\eta, \\zeta) \\)와 대응한다고 하면, 닮음 삼각형을 고려하여, \\[\\frac{x}{\\xi}=\\frac{y}{\\eta}=\\frac{1}{1-\\zeta}\\] 즉, \\[ x=\\frac{\\xi}{1-\\zeta}, \\quad y=\\frac{\\eta}{1-\\zeta}\\]를 얻는다.", "즉, \\[z=\\frac{\\xi+\\eta i}{1-\\zeta}, \\quad x^{2}+y^{2}=\\frac{\\zeta}{1-\\zeta}\\]이다.", "역으로, \\( \\xi, \\eta, \\zeta \\)를 \\( x, y \\)와 \\( z \\)에 관해 풀면, \\[ \\begin{aligned}\\xi &=\\frac{x}{1+\|z\|^{2}}=\\frac{z+\\bar{z}}{2\\left(1+\|z\|^{2}\\right)}, \\\\\\eta &=\\frac{y}{1+\|z\|^{2}}=\\frac{z-\\bar{z}}{2\\left(1+\|z\|^{2}\\right) i}, \\\\\\zeta &=\\frac{\|z\|^{2}}{1+\|z\|^{2}}\\end{aligned}\\]을 얻는다.", "평면 위의 원(또는 직선)의 리만 구 위로의 상을 구하기 위해, 이 관계식을 평면의 원(만약 \\( A=0 \\)이면 직선)의 방정식, 즉 \\( A, B, C, D \\in \\mathbb{R} \\)이고 \\( B^{2}+C^{2} \\geq 4 A D \\)일 때, \\[A\\left(x^{2}+y^{2}\\right)+B x+C y+D=0\\]에 대체한다.", "그러면 선형방정식 \\[A \\zeta+B \\xi+C \\eta+D(1-\\zeta)=0\\]을 얻는다.", "이 평면이 주어진 리만 구와 실제로 만날 조건은 (구의 중심에서 평면까지의 거리를 계산하여 얻게 되는) \\[\\left\|\\frac{\\frac{1}{2}(A-D)+D}{\\sqrt{B^{2}+C^{2}+(A-D)^{2}}}\\right\| \\leq \\frac{1}{2}\\]인데, 이것은 복소평면 위의 원래의 방정식은 실제로 원이 되는 조건 \\( B^{2}+C^{2} \\geq 4 A D \\)이다.", "더욱이, \\( A=0 \\)이면, 북극 \\( N(0,0,1) \\)은 평면의 방정식을 만족한다.", "평면과 구의 교점은 원이기 때문에, 다음 정리의 처음 반을 얻었다.", "</p><p>[정리 1.1] 입체사영에 의해 평면의 원과 직선은 구 위의 원으로 사상한다.", "직선은 북극을 지나는 원으로 사상한다.", "역으로, 구 위의 원은 평면의 원과 직선으로 사상한다.", "</p><p>증명 역을 증명하기 위해, 구 위의 원은 (실제적인 만남을 보증하는) \\( \\left\|\\frac{\\frac{1}{2} C+D}{\\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}\\right\| \\leq \\frac{1}{2}, \\quad \\) 즉, \\( \\quad A^{2}+B^{2} \\geq 4 D(C+D) \\)를 만족하는 구와 평면 \\[A \\xi+B \\eta+C \\zeta+D=0\\]의 교점임을 관찰하자. \\", "( x, y \\)에 관해, 이 방정식은 \\[ (C+D)\\left(x^{2}+y^{2}\\right)+A x+B y+D=0\\]의 형태를 취한다. \\", "( C+D \\neq 0 \\)이면, 방정식은 원을 나타내고, \\( C+D=0 \\)(즉, 구 위의 원이 북극을 지나면)이면, 방정식은 직선을 나타낸다.", "</p><p>특히, 이것은 평면의 임의의 두 직선은 무한대에서 만난다는 것을 정당화한다.", "구면 위에서는 거리가 유계이지만 평면에서는 무한정이기 때문에 분명히 입체사영은 거리를 보존하지 않는다.", "그러나 다음과 같은 입체사영의 다른 중요한 성질이 성립한다.", "</p><p>[정리 1.2 (등각성, 극소 유사성)] 입체사영은 각-보존 변환이다.", "</p><p>증명 일반성을 잃지 않고, 평면의 두 교차하는 곡선은 직선이라 가정할 수 있다.", "이제, 점 \\( \\left(x_{0}, y_{0}\\right) \\)에서 만나는 평면의 두 직선을 점 \\( \\left(\\xi_{0}, \\eta_{0}, \\zeta_{0}\\right) \\)과 북극에서 만나는 구의 두 원으로 사상하고, 이 두 원의 두 교점에서 서로 같은 각을 만든다.", "평면의 두 직선이 \\[A_{1} x+B_{1} y+C_{1}=0, \\quad A_{2} x+B_{2} y+C_{2}=0\\]이면, 그들의 입체사영 상은 각각 평면 \\[A_{1} \\xi+B_{1} \\eta+C_{1}(1-\\zeta)=0, \\quad A_{2} \\xi+B_{2} \\eta+C_{2}(1-\\zeta)=0\\]이다.", "북극에서 대응하는 원의 접선은 이 평면과 평면 \\( \\zeta=1 \\)의 교점이다.", "즉, 그 방정식은 각각 \\[A_{1} \\xi+B_{1} \\eta=0, \\quad \\zeta=1 ; \\quad A_{2} \\xi+B_{2} \\eta=0, \\quad \\zeta=1\\]이다.", "복소평면의 두 직선 사이의 각은 (평면 \\( \\zeta=1 \\) 이 복소평면에 평행이기 때문에) 북극에서의 두 접선 사이의 각과 같다.", "</p><p>사실은, 접선을 갖는 곡선의 성질은 입체사영에 의해 보존된다는 사실을 증명해야 하는데 이는 미적분학과 관련되어 있음을 유의하라.", "(여러분이 증명해 보라.)", "</p> <p>1.9.2 \\( \\mathcal{G} \\)-기하학.", "(\\( \\mathcal{G} \\)-기하학이라 부르는) 기하학을 이 기하학의 '공간' 안에서 작용하는 변환들의 보다 임의의 군 \\( \\mathcal{G} \\)와 유클리드 운동들의 군 \\( \\mathcal{E} \\)가 유클리드 평면에서 작용하는 방법으로 연결시킨 것은 클라인(Klein)의 '에를랑겐(Erlangen) 프로그램'(1872)의 기본 사고이었다. \\", "( \\mathcal{G} \\)-기하학의 '공간'은 변환들의 주어진 군 \\( \\mathcal{G} \\)의 단순 추이성의 영역으로 정의될 수 있다.", "</p><p>특히 클라인의 의미에서 쌍곡형, 포물형과 타원형 다발의 군에 속하는 그러한 평면 기하학을 연구할 것이다.", "이 다발들을 그들의 표준형으로 가정할 수 있다.", "따라서 \\( \\mathcal{G} \\)는, 단순 추이성의 영역으로 각각 단위원의 내부, 통상적 유클리드 평면과 복소수의 완비 평면을 갖는, 군들 \\( \\mathcal{U}_{+}, \\mathcal{E}, \\mathcal{R} \\) 중의 하나일 것이다.", "각 경우에서 이 영역은 \\( \\mathcal{D} \\)로 표시할 수 있다.", "이것은 대응하는 \\( \\mathcal{G} \\)-기하학의 평면(또는 '공간')이다.", "</p><p>유클리드기하학의 경우에서처럼, \\( \\mathcal{D} \\)에서의 두 도형은, 하나가 \\( \\mathcal{G} \\)의 변환에 의해서 다른 것으로 사상되어질 수 있다면, \\( \\mathcal{G} \\)-일치라고 말할 것이다.", "</p><p>\\( \\mathcal{G} \\)-기하학의 점은 \\( \\mathcal{D} \\) 안의 복소수이다.", "직선, 순환마디, 그리고 원으로 불리는 \\( \\mathcal{G} \\)-기하학의 다른 기본적인 원소는 \\( \\mathcal{G} \\)의 원소 \\( \\mathfrak{H} \\)의 연속적 반복 \\( \\mathfrak{H}^{s} \\)로 이루어지는 \\( \\mathcal{G} \\)의 1-매개변수 부분군을 통해 소개되었다. \\", "( \\mathcal{D} \\)의 임의의 점 \\( z_{0} \\)에 \\( \\mathfrak{H} \\)의 모든 멱을 적용하므로써 얻어지는 모든 곡선 \\( \\mathfrak{C} \\)는 원 또는 원의 호라는 것이 알려져 있다.", "그것의 매개변수 표현은 방정식 \\[z=\\mathfrak{H}^{s}\\left(z_{0}\\right) \\quad(-\\infty<s<\\infty)\\]<caption>(1.38)</caption>에 의해 주어진다.", "</p><p>[정의 1.4] 원 \\( \\mathfrak{C} \\)는 변환 \\( \\mathfrak{H} \\)가 타원형이라면 \\( \\mathcal{G} \\)-원이라 부른다. \\", "( \\mathcal{D} \\) 내부에 놓여 있는 \\( \\mathfrak{H} \\)의 고정점 \\( \\gamma \\)는 \\( \\mathcal{G} \\)-원의 중심이라고 부른다.", "원호 (1.38)은, \\( \\mathfrak{H} \\)가 고유 쌍곡형이라면 \\( \\mathcal{G} \\)-초순환마디라 불리고, \\( \\mathfrak{H} \\)가 포물형이면 \\( \\mathcal{G} \\)-호로사이클이라 불린다.", "</p><p>\\( \\mathcal{G}=\\mathcal{R} \\)이면, \\( \\mathcal{G} \\)의 모든 변환은 타원형이고, 따라서 \\( \\mathcal{G} \\)-순환마디는 없다. \\", "( \\mathcal{G}= \\mathcal{E} \\)이면, 모든 변환은 타원형 또는 포물형이고 초순환마디는 존재하지 않는다.", "</p><p>0을 지나는 통상적 (유클리드) 직선 위에 놓여 있는 \\( \\mathcal{G} \\)-순환마디와 \\( \\mathcal{G} \\)-원은, 정의에 의해, 0을 지나는 \\( \\mathcal{G} \\)-직선이다.", "0을 지나는 \\( \\mathcal{G} \\)-직선과 합동인 모든 곡선을 \\( \\mathcal{G} \\)-직선이라 부른다.", "</p><p>따라서 \\( \\mathcal{U}_{+} \\)-직선은 단위원에 수직이고 (단위원에 의해서 경계가 이루어지는) \\( \\mathcal{U}_{+} \\)-초순환마디이다. \\", "( \\mathcal{E} \\)-직선은 호로사이클이다.", "이것은 무한점을 통과하는 원, 즉 통상의 직선이다.", "</p><p>앞의 정의를 근간으로, 기하적인 이론들이 어떻게 발전될 수 있는가를 보일 것이다. \\", "( \\mathcal{G}=\\mathcal{E} \\) 인 경우는 1.9.1절에 논의되어 있다.", "더 이상의 토의는 하지 않을 것이다. \\", "( \\mathcal{G}=\\mathcal{U}_{+} \\)에 대해서는 쌍곡기하학을 얻고, \\( \\mathcal{G}=\\mathcal{R} \\)에 대해서는 구면 기하학을 얻게 된다.", "이 기하학들의 각각에서 \\( \\mathcal{G} \\)의 원소들은 유클리드기하학에서 운동의 역할을 수행한다.", "그러므로 \\( \\mathcal{U}_{+} \\)를 쌍곡운동의 군이라 부르며 \\( \\mathcal{R} \\)을 구면운동의 군이라고 부른다.", "</p> <p>1.8.2 회전형 뫼비우스 변환들의 군 \\( \\mathcal{R} \\).", "고정점으로 중심 \\( \\mathrm{O} \\)를 갖는 단위구의 모든 사영 변환은 3행 직교 행렬 \\( S_{3} \\)의 군과 동형인 군을 형성함을 알고 있다.", "양의 행렬식을 갖는 변환은 \\( \\mathrm{O} \\)에 관한 구의 회전변환을 표현한다.", "이것은 \\( \\mathrm{O} \\)를 지나는 직선을 \\( \\mathrm{O} \\)를 지나는 직선으로 보내고, 따라서 구 위의 대각 반대점의 쌍을 대각 반대점의 쌍 위로 보낸다.", "입체사영적으로 원점 대칭점 \\( z,-\\frac{1}{\\bar{z}} \\)을 평면의 원점 대칭점 \\( w,-\\frac{1}{\\bar{w}} \\) 위로 사상하는 뫼비우스 변환 \\[w=\\mathfrak{H}(z)=\\frac{a z+b}{c z+d}\\]에 대응한다.", "따라서 \\[-\\frac{1}{\\bar{w}}=\\mathfrak{H}\\left(-\\frac{1}{\\bar{z}}\\right)=\\frac{b \\bar{z}-a}{d \\bar{z}-c}\\] 또는 \\[w=\\frac{\\bar{d} z-\\bar{c}}{-\\bar{b} z+\\bar{a}},\\] 따라서 \\[\\left(\\begin{array}{ll}a & b \\\\c & d\\end{array}\\right)=q\\left(\\begin{array}{cc}\\bar{b} & -\\bar{c} \\\\-\\bar{b} & \\bar{a}\\end{array}\\right)\\]이다.", "1.8.1절에서처럼, \\( q \\bar{q}=1, q=e^{2 i \\phi} \\)임이 보여지고, 따라서 \\[ e^{-i \\phi}\\left(\\begin{array}{ll}a & b \\\\c & d\\end{array}\\right)=e^{i \\phi}\\left(\\begin{array}{cc}\\bar{d} & -\\bar{c} \\\\-\\bar{b} & \\bar{a}\\end{array}\\right)\\]이다.", "그러므로 \\( e^{-i \\phi} a \\)를 \\( a \\)로, 나머지를 같은 방법으로 교체하면 \\[\\left(\\begin{array}{ll}a & b \\\\c & d\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{cc}\\bar{d} & -\\bar{c} \\\\-\\bar{b} & \\bar{a}\\end{array}\\right)\\] 또는 \\[\\mathfrak{H}=\\left(\\begin{array}{cc}a & b \\\\-\\bar{b} & \\bar{a} \\end{array}\\right) \\quad \\text {와} ~w=\\frac{a z+b}{-\\bar{b} z+\\bar{a}}\\]<caption>(1.10)</caption>는 회전형 뫼비우스 변환을 표현한다.", "</p><p>그러한 임의의 변환 \\( \\mathfrak{H} \\)는 타원형이 된다. 이는 \\[\\delta=a \\bar{a}+b \\bar{b}>", "0, \\quad \\tau=a+\\bar{a}\\]이고 따라서 \\[\\frac{\\tau^{2}}{\\delta}=\\frac{(a+\\bar{a})^{2}}{a \\bar{a}+b \\bar{b}} \\leq 4\\left(\\frac{\\Re a}{\|a\|}\\right)^{2} \\leq 4\\]이므로 \\[-4 \\leq \\sigma(\\mathfrak{H}) \\leq 0\\]이 되는데, 반면 \\( \\sigma(\\mathfrak{H})=0 \\)은 \\( a \\)가 실수이고, \\( b=0 \\)이고, 따라서 \\( \\mathfrak{H}=q \\mathfrak{E} \\)임을 유도하기 때문이다.", "(여기서, \\( \\mathfrak{E} \\)는 단위행렬을 나타낸다.)", "</p><p>고정점으로 \\( z=0 \\)을 갖는 그러한 회전형 뫼비우스 변환은 0에 관한 순수 회전변환임을 다시 한번 인지하자.", "</p><p>행렬 (1.10)은 임의의 실 인자를 고려하여 정의된다.", "따라서 \\( \\mathfrak{H} \\)는 \\[\\delta=\|\\mathfrak{H}\|=\|a\|^{2}+\|b\|^{2}=1\\]<caption>(1.11)</caption>을 만족하도록 더 표준화될 수 있다.", "그러면 행렬 \\( \\mathfrak{H} \\)는 유니타리, 즉 \\[\\overline{\\mathfrak{H}^{t}} \\mathfrak{H}=\\mathfrak{E} \\quad \\text { 또는 } \\quad \\mathfrak{H}^{-1}=\\overline{\\mathfrak{H}^{t}}\\]<caption>(1.12)</caption>이다.", "(여기서 \\( \\mathfrak{H}^{t} \\)는 \\( \\mathfrak{H} \\)의 행과 열을 바꾼 전치행렬이고, \\( \\overline{\\mathfrak{H}^{t}} \\)는 \\( \\mathfrak{H}^{t} \\)에서 각 항의 복소공액을 취한 행렬이다.)", "</p><p>\\[\\begin{array}{c}\\text { 역으로 } \\mathfrak{H}=\\left(\\begin{array}{ll}a & b \\\\c & d\\end{array}\\right) \\text { 가 유니타리이고 }\|\\mathfrak{H}\|=1 \\text { 이면, } \\\\\\mathfrak{H}^{-1}=\\left(\\begin{array}{cc}d & -b \\\\-c & a \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{cc}\\bar{a} & \\bar{c} \\\\\\bar{b} & \\bar{d}\\end{array}\\right)\\end{array}\\]이고 \\( \\mathfrak{H} \\)는 실제로 형태 (1.10)을 갖는다.", "</p><p>회전형 뫼비우스 변환의 군 \\( \\mathcal{R} \\)은 허원 \\( z \\bar{z}+1=0 \\)을 불변시키는 모든 그러한 뫼비우스 변환의 군으로 소개될 수 있고, 따라서 그것의 유사 결론을 실 단위원 \\( z \\bar{z}-1=0 \\)을 불변시키는 변환들의 군 \\( \\mathcal{U}_{+} \\)에 대해 보인다.", "실제로 허 단위원을 불변시키는 모든 변환은 이 원에 관해 대칭인 점들의 쌍을 그러한 대칭쌍으로 사상한다.", "그러한 점의 쌍은 원점 대칭이 된다.", "이 변환은 회전형 뫼비우스 변환이다.", "</p><p>회전형 변환 \\( \\mathfrak{H} \\)의 닮음표준형 \\( \\mathfrak{H}^{}=\\mathfrak{T H} \\mathfrak{T}^{-1} \\)은 군 \\( \\mathcal{R} \\)의 변환 \\( \\mathfrak{H} \\)에 의해 얻을 수 있다. \\", "( \\gamma \\)가 \\( \\mathfrak{H} \\)의 고정점 중의 하나라면, 다른 하나는 원점 대칭점 \\( -\\frac{1}{\\bar{\\gamma}} \\)이다. \\", "( \\mathbf{P} \\)와 \\( -\\mathbf{P} \\)를 대응하는 (대각적으로 반대인) 구면 점이라 하자.", "구의 회전변환 \\( \\mathfrak{T} \\)에 의해 \\( \\mathbf{P} \\)를 \\( \\mathbf{N}[ \\) 북극 \\( (0,0,1)] \\)으로 \\( -\\mathbf{P} \\)를 \\( \\mathbf{S}[ \\) 남극 \\( (0,0,-1)] \\)로 전환하는 것이 가능하다.", "대응되는 뫼비우스 변환 \\( z^{}=\\mathfrak{T}(z) \\)는 회전형이고 \\( \\gamma \\)를 0으로, \\( -\\frac{1}{\\bar{\\gamma}} \\)을 \\( \\infty \\)로 보낸다.", "따라서 \\[w^{}=e^{i \\psi} z^{}=\\mathfrak{H}^{}\\left(z^{}\\right), \\quad \\mathfrak{H}^{}=\\left(\\begin{array}{cc}e^{i \\frac{\\psi}{2}} & 0 \\\\0 & e^{-i \\frac{\\psi}{2}}\\end{array}\\right)\\]<caption>(1.13)</caption>는 표준형이다.", "행렬 \\( \\mathfrak{H}^{} \\)는 그것의 부호를 고려하면 유일하게 정의된다.", "</p><p>\\( a=0 \\)이면, 변환 \\( \\mathfrak{H} \\)는 대합 \\( w=-\\frac{b}{\\bar{b} z}=-\\frac{e^{2 i \\beta}}{z} \\) ( \\( \\beta \\)는 \\( b \\)의 편각)이다.", "그것의 고정점은 원점 대칭점 \\( \\pm i e^{i \\beta} \\)이다.", "</p><p>\\( a \\neq 0 \\)이면, 1.8.1절에서처럼, (1.10)의 회전형 변환 \\( \\mathfrak{H} \\)에 의해 0으로 사상되는 점 \\[z_{1}=\\mathfrak{H}^{-1}(0)=-\\frac{b}{a}=r_{1} e^{i \\theta_{1}} \\quad\\left(r_{1}>0\\right)\\]을 도입한다.", "그러면 \\[ w=\\mathfrak{H}(z)=\\frac{a}{\\bar{a}} \\frac{z-z_{1}}{\\bar{z}_{1} z+1}=e^{2 i \\alpha} \\frac{z-z_{1}}{\\bar{z}_{1} z+1}=e^{2 i \\alpha} \\mathfrak{H}_{z_{1}}(z)\\]<caption>(1.14)</caption>가 된다.", "변환 \\[w=\\mathfrak{H}_{z_{1}}(z), \\quad \\mathfrak{H}_{z_{1}}=\\left(\\begin{array}{cc}1 & -z_{1} \\\\\\bar{z}_{1} & 1\\end{array}\\right)\\]은 고정점으로서 실 단위원의 두 원점 대칭점 \\( \\pm i e^{i \\theta_{1}} \\) 을 갖는다.", "그것의 특성상수 \\[k=\\frac{1-\\bar{z}_{1} i e^{i \\theta_{1}}}{1+\\bar{z}_{1} i e^{i \\theta_{1}}}=\\frac{1-i r_{1}}{1+i r_{2}}=e^{-i \\kappa}\\]는 \\( \\theta_{1} \\)과 무관하고, \\( 2 \\pi \\)의 덧셈 정수배를 고려해 정의된 실 상수 \\( \\kappa \\)는 양수이고 \\( \\leq \\pi \\)가 되게 택할 수 있다.", "그러면 \\[r_{1}=\\tan \\frac{\\kappa}{2}\\]이다.", "실수 \\( s \\)에 대한 연속 반복 \\( \\mathfrak{H}_{z_{1}}^{s} \\)는, \\( s \\)가 \\( 0 \\leq \\kappa s<\\pi \\)를 만족하는 구간을 움직일 때, \\( \\mathfrak{H}_{z} \\)에서 상수 \\( k \\)를 \\( k^{s} \\)로, 즉 \\( \\kappa \\)를 \\( s \\kappa \\)로, 대체함으로 찾을 수 있다.", "따라서 \\( \\mathfrak{H}_{z_{1}}^{s}(z)=\\mathfrak{H}_{z_{s}}(z), \\quad \\mathfrak{H} \\bar{z}_{s}=\\left(\\begin{array}{cc}1 & -z_{s} \\\\ \\bar{z}_{s} & 1\\end{array}\\right), \\quad z_{s}=e^{i \\theta_{1}} \\tan \\left(\\frac{\\kappa s}{2}\\right) \\)<caption>(1.15)</caption>를 얻는다. \\", "( z_{1}=1 \\)이면, \\( \\mathfrak{H}_{1}=\\left(\\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 1 & 1\\end{array}\\right), \\kappa=\\frac{\\pi}{2}, z_{s}=\\tan \\left(\\frac{\\pi s}{4}\\right) \\)를 갖는다.", "따라서 \\( z_{s} \\)가 가정할 수 있는 모든 값은 구간 \\( 0 \\leq s<2 \\)에 있는 \\( s \\)에 대해서이다.", "극한의 경우 \\( s=2 \\)는 대합 \\( (a=0) \\)에 대응한다.", "</p><p>정리1.12의 증명에서 적용된 논의에 의해 다음을 얻는다.", "</p><p>[정리 1.13] 모든 회전형 뫼비우스 변환은, \\( \\Re \\)이 0에 관한 회전변환이고, \\( \\mathfrak{H}_{1} \\)은 \\( z=1 \\)을 0으로 사상하고 고정점으로 \\( \\pm i \\)를 갖는 타원형 변환일 때, \\[\\mathfrak{H}=\\mathfrak{R}^{t_{1}} \\mathfrak{H}_{1}^{s} \\mathfrak{R}^{t_{2}} \\quad(0 \\leq s \\leq 2)\\]의 형태로 쓸 수 있다.", "</p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "415", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "비유클리드기하학", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "772a8b07-451fdadf-3140-42b0-8517-6ef30b11a7e9", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788972828839", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2006", "doc_author": [ "고석구" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }
114	<h2>5 회전과 Stokes의 정리</h2><p>Green의 정리는 평면 위의 닫힌 곡선위에서의 선적분과 그 곡선으로 둘러쌓인 영역의 이중적분과의 관계를 말해준다. 이 절에서는 이를 확장하여 유계인 곡면의 경계로 이루어진 닫힌 곡선에 대한 벡터장의 선적분은 벡터장의 회전의 면적분과 같다는 것을 보이려고 한다.</p><p>\( \mathbf{F}=P \mathrm{i}+Q \mathrm{j} \) 을 평면 위의 주어진 점에서 벡터장이라 하자. 곡선 \( C \) 를 따라 \( \mathrm{F} \) 의 선적분 \( \int_{C} \mathrm{~F}(\mathrm{r}) \cdot d \mathbf{r}=\int_{C} P d x+Q d y \) 은 Green의 정리에 있는 방정식의 왼편에 나타난다. 여기서 \( \int_{C} \mathrm{~F}(\mathrm{r}) \cdot d \mathrm{r} \) 을 'C 주위의 \( \mathrm{F} \) 의 순환'이라고 한다. 이는 유체역학을 다룰 때 Green의 정리의 응용으로 자주 나타난다. 이를 다루어 보자.</p><p>우리는 먼저 평면에 있는 유체의 흐름을 생각하자. 모든점에서 그 흐름에 대한 속도 벡터가 잘 정의되었다고 하자. 이제 각 점 \( (x, y) \) 에서 시간 \( t \) 에 속도 벡터 \( \mathbf{v}(x, y) \) 가 정의되고, 따라서 벡터장 \( \mathrm{v}(x, y) \) 을 얻는다. 이제 닫힌 곡선 \( C \) 에 대하여 \( \int_{C} \mathrm{v}(\mathrm{r}(t)) \cdot d \mathbf{r} \) 은 직관적으로 닫힌 곡선 \( C \) 위에서 \( \mathrm{v}(x, y) \) 의 접선 성분들의 합이 된다. 따라서 \( C \) 가 시계 반대 방향을 갖고 \( \int_{C} \mathrm{v}(\mathrm{r}(t)) \cdot d \mathrm{r}>0 \) 이면 유체는 전체적으로 시계 반대 방향으로 흐름이 있게 되며, \( \int_{C} \mathrm{v}(\mathrm{r}(t)) \cdot d \mathrm{r}<0 \) 이면 유체는 전체적으로 시계 방향으로 흐름이 있게 된다. 이 선적분은 Green의 정리에 의하면 \( \iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y \) 과 같음으로 선적분의 부호는 \( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \) 의 부호에 의하여 결정된다. 여기서 선적분 \( \int_{C} \mathrm{v}(\mathrm{r}(t)) \cdot d \mathrm{r} \) 을 순환(circulation)이라고 한다.</p><h3>평면에서의 회전의 정의</h3><p>\( \mathbf{F}(x, y)=P(x, y) \mathbf{i}+Q(x, y) \mathbf{j} \) 를 평면위의 벡터장이라 하자. 그러면</p><p>\( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \)</p><p>를 \( \mathrm{F} \) 의 스칼라 회전(scalar curl)이라 한다.</p> <h3>매끄러운 곡선을 따라 벡터장의 선적분의 정의</h3><p>\(예제 6\) 곡선 \( 0 \leq t \leq 2 \) 일 때 \( C: \mathbf{r}(t)=\left(0, t, t^{2}\right) \) 을 따라 벡터장 \( \mathbf{F}(x, y, z)= \) \( e^{y} \mathbf{i}+e^{x} \mathbf{j}+e^{z} \mathbf{k} \) 의 선적분을 구하라.</p><p>\(풀이\) \( \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=e^{t} \mathbf{i}+\mathbf{j}+e^{t^{2}} \mathbf{k} \) 이고, \( \mathbf{r}^{\prime}(t)=\mathbf{j}+2 t \mathbf{k} \) 이기 때문에 선적분은</p><p>\( \int_{0}^{2}\left(e^{t} \mathbf{i}+\mathbf{j}+e^{t^{2}} \mathbf{k}\right) \cdot(\mathbf{j}+2 t \mathbf{k}) d t=\int_{0}^{2}\left(1+2 t e^{t^{2}}\right) d t=\left[t+e^{t^{2}}\right]_{0}^{2} \)</p><p>\( =\left[2+e^{4}-1\right]=1+e^{4} \)</p><p>이 된다.</p><p>벡터를 성분으로 표시할 때 쓰이는 선적분의 새로운 기호를 알아보자. \( \mathrm{F}(x, y, z)= \) \( P(x, y, z) \mathbf{i}+Q(x, y, z) \mathbf{j}+R(x, y, z) \mathbf{k} \) 라 하자. 도함수</p><p>\( \frac{d \mathbf{r}}{d t}=\frac{d x}{d t} \mathbf{i}+\frac{d y}{d t} \mathbf{j}+\frac{d z}{d t} \mathbf{k} \)</p><p>의 다른 표현으로 우리는 다음과 같이 사용한다.</p><p>\( d \mathbf{r}=d x \mathbf{i}+d y \mathbf{j}+d z \mathbf{k} \)</p><p>따라서</p><p>\( \int_{C} \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot d \mathbf{r}=\int_{C}[P(x, y, z) \mathbf{i}+Q(x, y, z) \mathbf{j}+R(x, y, z) \mathbf{k}] \cdot(d x \mathbf{i}+d y \mathbf{j}+d z \mathbf{k}) \)</p><p>\( =\int_{C}[P(x, y, z) d x+Q(x, y, z) d y+R(x, y, z) d z] \)</p><p>로 쓴다. 여기서 \( P(x, y, z) d x+Q(x, y, z) d y+R(x, y, z) d z \) 또는 간단하게 \( P d x+Q d y+ \) \( R d z \) 와 같은 표현을 미분형(differential form)이라 한다.</p> <p>\(예제 19\) 세면대 위의 물이 흐르는 속도에 대한 수직 방향의 사영 벡터장(평면 벡터장)은 근사적으로</p><p>\( \mathbf{v}(x, y)=\frac{(y \mathbf{i}-x \mathbf{j})}{x^{2}+y^{2}} \)</p><p>과 같이 쓸 수있다. (예제 18 참조) 이 벡터장의 스칼라 회전을 구하라. 또한 영역 \( D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\} \) 와 \( D \) 의 경계 \( C \) 에 대하여 Green의 정리가 성립하는지를 밝혀라.</p><p>\(풀이\) \( P=y /\left(x^{2}+y^{2}\right), Q=-x /\left(x^{2}+y^{2}\right) \) 라 하자. 그러면 예제 18 에서 보듯이, 스칼라 회전은</p><p>\( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0 \)</p><p>가 된다. 또한 예제 18 과 같은 방법으로</p><p>\( \int_{C} P(x, y) d x+Q(x, y) d y=-2 \pi \)</p><p>를 얻는다. 따라서 Green의 정리를 만족하지 않는다. 그 이유는 \( (0,0) \) 에서 벡터장 \( \mathrm{v} \) 이 존재하지 않기 때문에 Green의 정리의 가정을 만족하지 않는다.</p><p>삼차원 공간에서 유체의 움직임은 \( \mathbf{F}(x, y, z)=P(x, y, z) \mathbf{i}+Q(x, y, z) \mathbf{j}+R(x, y, z) \mathbf{k} \) 로 나타난다. 이 경우의 Green의 정리를 일반화한 것이 Stokes 정리이다.</p><p>먼저 평면 위의 영역 \( D \) 와 \( D \) 에서 정의된 함수 \( f \) 를 생각하자. 함수 \( f \) 의 그래프는 \( D \) 위에서의 곡면이 된다. \( 4.2 \) 절에서 다루었듯이 이 곡면의 법선벡터는 \( -f_{x} \mathrm{i}-f_{y} \mathrm{j}+\mathrm{k} \) 이기 때문에 단위법선벡터는</p><p>\( \mathbf{n}=\frac{-f_{x} \mathbf{i}-f_{y} \mathbf{j}+\mathbf{k}}{\sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}} \)</p><p>가 된다. \( 5.3 \) 절에서 \( f \) 의 그래프의 표면적을 구하는 방법에서 보았듯이</p><p>\( d A=\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}} d x d y \)</p><p>가 된다. 따라서</p><p>\( \mathbf{n} d A=\left(-f_{x} \mathbf{i}-f_{y} \mathbf{j}+\mathbf{k}\right) d x d y \)</p><p>가 된다. 이를 정리하면 다음과 같다.</p><h3>면적분의 정의</h3><p>\(예제 20\) \( \quad \mathbf{F}=x^{2} \mathbf{i}+y^{2} \mathbf{j}+z \mathbf{k} \) 라 하자. \( S \) 를 정사각형 \( [0,1] \times[0,1] \) 위에서 정의된 함수 \( z=x+y+1 \) 의 그래프라고 할 때, \( \iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d A \) 를 구하라.</p><p>\(풀이\) \( \quad P(x, y, z)=x^{2}, Q(x, y, z)=y^{2}, R(x, y, z)=z \) 가 되고 \( f(x, y)=x+y+1 \) 가 된다. 따라서</p><p>\( \left.\iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d A=\iint_{D}\left[\left(-x^{2}\right)(1)-\left(y^{2}\right)(1)+(x+y+1)\right)\right] d x d y \)</p><p>\( =\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}\left(-x^{2}-y^{2}-x+y+1\right) d x d y \)</p><p>\( =\frac{4}{3} \)</p><p>이 된다.</p> <h2>2 벡터장</h2> <h3>벡터장의 정의</h3> <p>\( D \subset \mathbf{R}^{2} \) 라 하자. \( D \) 의 각 점 \( P(x, y) \) 에 대하여 벡터 \( \mathbf{r}=f(x, y) \mathbf{i}+g(x, y) \mathbf{j} \) 를 대응시키는 함수를 벡터장(vector field)이라 한다. 삼차원 벡터의 경우도 이와 같이 정의 한다.</p> <p>벡터장의 한 예로 정의역 \( D \) 를 갖는 이변수 함수 \( f(x, y) \) 에 대하여 각 점 \( (x, y) \in D \) 에 기울기벡터 \( \nabla f(x, y)=\left(f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)\right) \) 를 대응시키는 함수는 벡터장이 된다.</p> <p>\(예제 4\) 함수 \( f(x, y)=x^{2} / 4+y^{2} \) 의 기울기벡터장을 그려보아라.</p> <p>\(풀이\) 다음과 같은 Maplet의 도움으로 기울기 벡터장과 함수의 등위선을 그릴 수 있다. 우리는 기울기 벡터는 등위선의 접선과 수직을 이루는 것을 알 수 있는데, 그림 6.1에서 확인할 수 있다.</p> <p>앞으로는 주로 공간에서의 벡터장을 다루기로 한다. 평면 위의 벡터장에 대해서는 벡터장에서 \( z \)-성분을 0 으로 생각하면 된다. 공간에서 주어진 벡터장 \( \mathrm{F}(x, y, z)= \) \( M(x, y, z) \mathbf{i}+N(x, y, z) \mathbf{j}+P(x, y, z) \mathbf{k} \) 과 매끄러운 곡선 \( \mathbf{r}(t)=x(t) \mathbf{i}+y(t) \mathbf{j}+z(t) \mathbf{k} \) 을 생각하자. 예를 들어, 물리에서 \( \mathrm{F} \) 는 중력장이거나 전기장에 해당된다. 물체가 곡선 \( \mathrm{r}(t) \) 을 따라 움직일 때 일의 값을 구해보자. 일은 힘과 그 힘 벡터에 평행인 방향으로 움직인 거리의 곱으로 나타낸다.</p> <h3>매끄러운 곡선 위에서의 일</h3> <table border><table border><caption></caption> <tbody><tr><td><p>\( \mathbf{F}=M \mathrm{i}+N \mathbf{j}+P \mathrm{k} \) 가 매꾜러운 곡선 을 따라 \( t=a \) 로부터 \( t=b \) 까지 행하여진 일 \( W \) 은</p> <p>\( W=\int_{t=a}^{t=b} \mathbf{F} \cdot \mathbf{T} d s \)</p> <p>이다. 여기서 \( \mathbf{T} \) 는 곡선의 단위접선벡터이다. 즉 \( \mathbf{T}=\mathbf{r}^{\prime}(t) /\left\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\| \) 이다.</p></td></tr></tbody></table> <p>이제 일의 값을 계산하여보자. \( \mathbf{T}=\mathbf{r}^{\prime}(t) /\left\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\| \) 이고,</p> <p>\( d s=\sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}} d t=\left\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\| d t \)</p> <p>이므로 간단한 형태로</p> <p>\( \mathbf{F} \cdot \mathbf{T} d s=\mathbf{F} \cdot\left(\mathbf{r}^{\prime}(t) /\left\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\|\right)\left\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\| d t=\mathbf{F} \cdot \mathbf{r}^{\prime}(t) d t \)</p> <p>이 된다.</p> <p>\(예제 5\) 물체가 점 \( (1,0,0) \) 에서 점 \( (1,0,1) \) 을 각각 곡선</p> <p> <caption>(a)</caption>\( C: \quad \mathrm{r}(t)=(\cos t, \sin t, t / 2 \pi), \quad 0 \leq t \leq 2 \pi \)</p> <p> <caption>(b)</caption>\( C: \quad \mathrm{r}(t)=(\cos t,-\sin t, t / 2 \pi), \quad 0 \leq t \leq 2 \pi \)</p> <p>을 따라 움직일 때 \( \mathbf{F}(x, y, z)=y \mathbf{i}-x \mathbf{j}+\mathbf{k} \) 에 의하여 행하여진 일을 구하라.</p> <p>\(풀이\)</p> <p> <caption>(a)</caption>\( \mathbf{F}(\mathrm{r}(t))=\sin t \mathbf{i}-\cos t \mathbf{j}+\mathrm{k} \) 이고, \( \mathbf{r}^{\prime}(t)=-\sin t \mathbf{i}+\cos t \mathbf{j}+\frac{1}{2 \pi} \mathrm{k} \) 이기 때문에 일은</p> <p>\( \int_{0}^{2 \pi} \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}^{\prime}(t) d t=\int_{0}^{2 \pi}(\sin t \mathbf{i}-\cos t \mathbf{j}+\mathbf{k}) \cdot\left(-\sin t \mathbf{i}+\cos t \mathbf{j}+\frac{1}{2 \pi} \mathbf{k}\right) \)</p> <p>\( =\int_{0}^{2 \pi}\left(-\sin ^{2} t-\cos ^{2} t+\frac{1}{2 \pi}\right) d t \)</p> <p>\( =2 \pi\left(-1+\frac{1}{2 \pi}\right)=-2 \pi+1 \)</p> <p>이 된다.</p> <p> <caption>(b)</caption>\( \mathrm{F}(\mathrm{r}(t))=-\sin t \mathbf{i}-\cos t \mathbf{j}+\mathrm{k} \) 이고, \( \mathbf{r}^{\prime}(t)=-\sin t \mathbf{i}-\cos t \mathbf{j}+\frac{1}{2 \pi} \mathrm{k} \) 이기 때문에 일은</p> <p>\( \int_{0}^{2 \pi} \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}^{\prime}(t) d t=\int_{0}^{2 \pi}(-\sin t \mathbf{i}-\cos t \mathbf{j}+\mathbf{k}) \cdot\left(-\sin t \mathbf{i}-\cos t \mathbf{j}+\frac{1}{2 \pi} \mathbf{k}\right) \)</p> <p>\( =\int_{0}^{2 \pi}\left(\sin ^{2} t+\cos ^{2} t+\frac{1}{2 \pi}\right) d t \)</p> <p>\( =2 \pi\left(1+\frac{1}{2 \pi}\right)=2 \pi+1 \)</p> <p>이 된다.</p> <h1>6 벡터해석</h1> <p>이 장에서는 미분적분학의 기본정리를 곡선과 평면 그리고 공간으로 확장시키고자 한다. 이 과정에서 우리는 벡터장, Green의 정리, 회전과 Stokes 정리, 유동과 발산정리를 다룬다. 이 과정에서 곡선과 곡면위에서의 다중적분이 매우 중요하게 사용된다.</p> <h2>1 선적분</h2> <p>이 절에서는 일변수함수의 적분의 정의를 확장시켜 곡선 위의 적분, 즉 선적분을 정의하려고 한다.</p> <p>먼저 평면위의 곡선 \( C \) 가 다음과 같이 매개방정식</p> <p>\( x=x(t), \quad y=y(t), \quad a \leq t \leq b \).</p> <p>으로 나타난다고 하고,</p> <p>\( a=t_{0}, t_{1}, \cdots, t_{n}=b \)</p> <p>를 \( [a, b] \) 의 분할이라고 하자. 곡선 \( C \) 위에서의 선적분을 정의하자.</p> <h3>선적분의 정의</h3> <p>함수 \( f(x, y) \) 가 곡선 \( C \) 에서 정의되었다고 하자. 만약 극한 \( \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(x\left(t_{i}^{}\right), y\left(t_{i}^{}\right)\right) \triangle s_{i} \)이 존재하면, 이 값을 \( C \) 를 따라 \( a \) 로부터 \( b \) 까지의 \( f \) 의 선적분(line integral)이라 한다. 여기서 \( \triangle s_{i}=\sqrt{\left(\triangle x_{i}\right)^{2}+\left(\triangle y_{i}\right)^{2}} \) 는 \( t_{i-1} \) 로 부터 \( t_{i} \) 까지의 곡선의 길이이다. 또한 이 적분값을 \( \int_{C} f(x, y) d s \)로 쓴다.</p><p>이제 선적분이 존재할 때 그 값을 계산하는 방법을 알아보자. \( f \) 가 연속이고, \( C \) 가 미분가능한 곡선이라면 \( C \) 의 길이 \( L \) 은</p> <p>\( \triangle s_{i}=\sqrt{\left(\triangle x_{i}\right)^{2}+\left(\triangle y_{i}\right)^{2}}=\sqrt{\left(\frac{\triangle x_{i}}{\triangle t_{i}}\right)^{2}+\left(\frac{\triangle y_{i}}{\triangle t_{i}}\right)^{2}} \triangle t_{i} \)</p> <p>이므로</p> <p>\( L=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{\left(\frac{\triangle x_{i}}{\triangle t_{i}}\right)^{2}+\left(\frac{\triangle y_{i}}{\triangle t_{i}}\right)^{2}} \Delta t_{i}=\int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}} d t \)</p> <p>가 되고, 따라서</p> <p>\( \int_{C} f(x, y) d s=\int_{a}^{b} f(x(t), y(t)) \sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}} d t \)</p> <p>가 된다. 여기서 우리는</p> <p>\( d s=\sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}} d t \)</p> <p>로 표기하고, 이를 선소(line element)한다. 또한 곡선 \( C \) 는 벡터방정식으로 \( \mathrm{r}(t)= \) \( x(t) \mathbf{i}+y(t) \mathbf{j} \) 로 쓰게 되면,</p> <p>\( \left\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\|=\|\mathrm{v}(t)\|=\sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}} \)</p> <p>이기 때문에, 위 식은</p> <p>\( \int_{C} f(x, y) d s=\int_{a}^{b} f(x(t), y(t))\|\mathbf{v}(t)\| d t \)</p> <p>로 계산할 수 있다. 삼차원 공간에서의 선적분도 이와같다.</p> <h3>벡터장의 유동의 정의</h3> <h3>평면에서의 발산</h3> <p>\(정리 6.12 \) (평면에서 Gauss의 발산 정리) \( D \) 를 Green의 정리가 성립하는 평면 위의 영역이고 \( C \) 를 시계 반대 방향으로 움직이는 \( D \) 의 경계라 하자. 그러면</p> <p>\( \int_{C} \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} d s=\iint_{D}(\operatorname{div} \mathbf{v}) d x d y \)</p> <p>가 된다.</p> <p>\(증명\) 이 식의 왼쪽은</p> <p>\( \int_{C} P d y-Q d x \)</p> <p>와 같다. Green의 정리에 의하여</p> <p>\( \iint_{D}\left(\frac{\partial P}{\partial x}-\frac{\partial(-Q)}{\partial y}\right) d x d y=\iint_{D}(\operatorname{div} \mathbf{v}) d x d y \)</p> <p>이다.</p> <p>\(예제 24\) 네 점 \( (0,0),(1,0),(1,1),(0,1) \) 으로 만들어진 정사각형의 경계를 따라 \( \mathbf{v}=x \cos y \mathbf{i}-\sin y \mathbf{j} \) 의 유동을 계산하라.</p> <p>플이: 발산정리를 이용하자. \( \mathrm{v} \) 의 발산은</p> <p>\( \operatorname{div} \mathbf{v}=\frac{\partial}{\partial x}(x \cos y)-\frac{\partial}{\partial y}(-\sin y)=\cos y-\cos y=0 \)</p> <p>이므로 구하는 발산은 )이 된다.</p> <p>\( \operatorname{div} \mathbf{v}=0 \) 이 되는 벡터장 \( \mathbf{v} \) 를 비압축성(imcompressible 또는 divergence free)이라 한다. \( \operatorname{div} \mathrm{v}=0 \) 이면 발산정리로 부터 닫힌 곡선을 따라 유동이 0 이라는 뜻이며, 이 것은 그 닫힌 곡선으로 둘로쌓인 영역으로 유체가 들어가고 나가는 총 합의 량이 0 이란 뜻이다. 따라서 압축성인 벡터장에서 유체가 영역의 안쪽으로 조여 들어오면 \( \operatorname{div} \mathrm{v}<0 \) 이 되고, 반대로 영역의 밖으로 퍼져나가면 \( \operatorname{div} \mathrm{v}>0 \) 이 된다.</p> <p>\(예제 25\) 다음 그림은 속도장 \( \mathrm{v} \) 으로 나타난 유체의 흐름을 표시한 것이다. 점 \( A \), \( B, C, D \) 에서 \( \operatorname{div} \mathbf{v} \) 의 기호를 정하여라.</p> <p>\(풀이\) 점 \( A, B, C \) 의 작은 영역에서 보면 유체가 점에서 빠져 나가는 것으로 보이므로 \( \operatorname{divv}>0 \) 이고, 점 \( D \) 에서는 그 점으로 들어가는 것으로 보이므로 \( \operatorname{div} \mathrm{v}<0 \) 이다.</p> <h3>벡터장의 회전의 정의</h3><p>\( \mathbf{F}(x, y, z)=P(x, y, z) \mathbf{i}+Q(x, y, z) \mathbf{j}+R(x, y, z) \mathbf{k} \) 를 공간 위의 벡터장이라 하자. \( \mathbf{F} \) 의 회전(curl)을 다음과 같이 정의 한다.</p><p>\( \operatorname{curl} \mathbf{F}=\left(R_{y}-Q_{z}\right) \mathbf{i}+\left(P_{z}-R_{x}\right) \mathbf{j}+\left(Q_{x}-P_{y}\right) \mathbf{k} \).</p><p>여기서 \( \mathrm{F} \) 가 평면 위의 벡터장이면, \( R=0 \) 인 경우에 해당한다. 따라서 이 경우 벡터장의 회전은 스칼라회전과 일치한다.</p><p>이러한 것을 기호로 나타내기 위하여 \( \nabla=\frac{\partial}{\partial x} \mathbf{i}+\frac{\partial}{\partial y} \mathrm{j}+\frac{\partial}{\partial z} \mathrm{k} \) 라 쓰자. 그러면</p><p>\( \operatorname{curl} \mathbf{F}=\nabla \times \mathbf{F}=\left\|\begin{array}{ccc}\mathrm{i} & \mathrm{i} & \mathrm{i} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R\end{array}\right\| \)</p><p>로 쓸 수 있다.</p><p>\(예제 21\) \( x y \mathbf{i}-\sin z \mathbf{j}+\mathrm{k} \) 의 회전을 구하라.</p><p>\(풀이\) 구하고자 하는 회전은</p><p>\( \operatorname{curl} \mathbf{F}=\nabla \times \mathbf{F}=\left\|\begin{array}{ccc}\mathrm{i} & \mathrm{j} & \mathrm{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x y & -\sin z & 1\end{array}\right\| \)</p><p>\( =\left\|\begin{array}{cc}\frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ -\sin z & 1\end{array}\right\| \mathrm{i}-\left\|\begin{array}{cc}\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x y & 1\end{array}\right\| \mathrm{j}+\left\|\begin{array}{cc}\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\ x y & -\sin z\end{array}\right\| \mathrm{k} \)</p><p>\( =\cos z \mathrm{i}-x \mathrm{k} \)</p><p>이 된다.</p><p>정리 \( 6.10 \operatorname{curl}(\nabla f)=\nabla \times(\nabla f)=0 \).</p><p>증명 \( \quad \nabla f=(\partial f / \partial x, \partial f / \partial x, \partial f / \partial x) \) 이고 클레로의 정리에 의하여</p><p>\( \nabla \times \mathbf{F}=\left\|\begin{array}{ccc}\mathrm{i} & \mathrm{i} & \mathrm{i} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} & \frac{\partial f}{\partial z}\end{array}\right\| \)</p><p>\( =\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial z}-\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial z}\right) \mathbf{i}+\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial z \partial x}-\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial z}\right) \mathbf{j}+\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}-\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}\right) \mathbf{k} \)</p><p>\( =0 \)</p><p>가 된다.</p>	해석학	[ "<h2>5 회전과 Stokes의 정리</h2><p>Green의 정리는 평면 위의 닫힌 곡선위에서의 선적분과 그 곡선으로 둘러쌓인 영역의 이중적분과의 관계를 말해준다.", "이 절에서는 이를 확장하여 유계인 곡면의 경계로 이루어진 닫힌 곡선에 대한 벡터장의 선적분은 벡터장의 회전의 면적분과 같다는 것을 보이려고 한다.", "</p><p>\\( \\mathbf{F}=P \\mathrm{i}+Q \\mathrm{j} \\) 을 평면 위의 주어진 점에서 벡터장이라 하자.", "곡선 \\( C \\) 를 따라 \\( \\mathrm{F} \\) 의 선적분 \\( \\int_{C} \\mathrm{~F}(\\mathrm{r}) \\cdot d \\mathbf{r}=\\int_{C} P d x+Q d y \\) 은 Green의 정리에 있는 방정식의 왼편에 나타난다.", "여기서 \\( \\int_{C} \\mathrm{~F}(\\mathrm{r}) \\cdot d \\mathrm{r} \\) 을 'C 주위의 \\( \\mathrm{F} \\) 의 순환'이라고 한다.", "이는 유체역학을 다룰 때 Green의 정리의 응용으로 자주 나타난다.", "이를 다루어 보자.", "</p><p>우리는 먼저 평면에 있는 유체의 흐름을 생각하자. 모든점에서 그 흐름에 대한 속도 벡터가 잘 정의되었다고 하자. 이제 각 점 \\( (x, y) \\) 에서 시간 \\( t \\) 에 속도 벡터 \\( \\mathbf{v}(x, y) \\) 가 정의되고, 따라서 벡터장 \\( \\mathrm{v}(x, y) \\) 을 얻는다. 이제 닫힌 곡선 \\( C \\) 에 대하여 \\( \\int_{C} \\mathrm{v}(\\mathrm{r}(t)) \\cdot d \\mathbf{r} \\) 은 직관적으로 닫힌 곡선 \\( C \\) 위에서 \\( \\mathrm{v}(x, y) \\) 의 접선 성분들의 합이 된다. 따라서 \\( C \\) 가 시계 반대 방향을 갖고 \\( \\int_{C} \\mathrm{v}(\\mathrm{r}(t)) \\cdot d \\mathrm{r}>", "0 \\) 이면 유체는 전체적으로 시계 반대 방향으로 흐름이 있게 되며, \\( \\int_{C} \\mathrm{v}(\\mathrm{r}(t)) \\cdot d \\mathrm{r}<0 \\) 이면 유체는 전체적으로 시계 방향으로 흐름이 있게 된다.", "이 선적분은 Green의 정리에 의하면 \\( \\iint_{D}\\left(\\frac{\\partial Q}{\\partial x}-\\frac{\\partial P}{\\partial y}\\right) d x d y \\) 과 같음으로 선적분의 부호는 \\( \\frac{\\partial Q}{\\partial x}-\\frac{\\partial P}{\\partial y} \\) 의 부호에 의하여 결정된다.", "여기서 선적분 \\( \\int_{C} \\mathrm{v}(\\mathrm{r}(t)) \\cdot d \\mathrm{r} \\) 을 순환(circulation)이라고 한다.", "</p><h3>평면에서의 회전의 정의</h3><p>\\( \\mathbf{F}(x, y)=P(x, y) \\mathbf{i}+Q(x, y) \\mathbf{j} \\) 를 평면위의 벡터장이라 하자.", "그러면</p><p>\\( \\frac{\\partial Q}{\\partial x}-\\frac{\\partial P}{\\partial y} \\)</p><p>를 \\( \\mathrm{F} \\) 의 스칼라 회전(scalar curl)이라 한다.", "</p> <h3>매끄러운 곡선을 따라 벡터장의 선적분의 정의</h3><p>\\(예제 6\\) 곡선 \\( 0 \\leq t \\leq 2 \\) 일 때 \\( C: \\mathbf{r}(t)=\\left(0, t, t^{2}\\right) \\) 을 따라 벡터장 \\( \\mathbf{F}(x, y, z)= \\) \\( e^{y} \\mathbf{i}+e^{x} \\mathbf{j}+e^{z} \\mathbf{k} \\) 의 선적분을 구하라.", "</p><p>\\(풀이\\) \\( \\mathbf{F}(\\mathbf{r}(t))=e^{t} \\mathbf{i}+\\mathbf{j}+e^{t^{2}} \\mathbf{k} \\) 이고, \\( \\mathbf{r}^{\\prime}(t)=\\mathbf{j}+2 t \\mathbf{k} \\) 이기 때문에 선적분은</p><p>\\( \\int_{0}^{2}\\left(e^{t} \\mathbf{i}+\\mathbf{j}+e^{t^{2}} \\mathbf{k}\\right) \\cdot(\\mathbf{j}+2 t \\mathbf{k}) d t=\\int_{0}^{2}\\left(1+2 t e^{t^{2}}\\right) d t=\\left[t+e^{t^{2}}\\right]_{0}^{2} \\)</p><p>\\( =\\left[2+e^{4}-1\\right]=1+e^{4} \\)</p><p>이 된다.", "</p><p>벡터를 성분으로 표시할 때 쓰이는 선적분의 새로운 기호를 알아보자. \\", "( \\mathrm{F}(x, y, z)= \\) \\( P(x, y, z) \\mathbf{i}+Q(x, y, z) \\mathbf{j}+R(x, y, z) \\mathbf{k} \\) 라 하자.", "도함수</p><p>\\( \\frac{d \\mathbf{r}}{d t}=\\frac{d x}{d t} \\mathbf{i}+\\frac{d y}{d t} \\mathbf{j}+\\frac{d z}{d t} \\mathbf{k} \\)</p><p>의 다른 표현으로 우리는 다음과 같이 사용한다.", "</p><p>\\( d \\mathbf{r}=d x \\mathbf{i}+d y \\mathbf{j}+d z \\mathbf{k} \\)</p><p>따라서</p><p>\\( \\int_{C} \\mathbf{F}(\\mathbf{r}(t)) \\cdot d \\mathbf{r}=\\int_{C}[P(x, y, z) \\mathbf{i}+Q(x, y, z) \\mathbf{j}+R(x, y, z) \\mathbf{k}] \\cdot(d x \\mathbf{i}+d y \\mathbf{j}+d z \\mathbf{k}) \\)</p><p>\\( =\\int_{C}[P(x, y, z) d x+Q(x, y, z) d y+R(x, y, z) d z] \\)</p><p>로 쓴다.", "여기서 \\( P(x, y, z) d x+Q(x, y, z) d y+R(x, y, z) d z \\) 또는 간단하게 \\( P d x+Q d y+ \\) \\( R d z \\) 와 같은 표현을 미분형(differential form)이라 한다.", "</p> <p>\\(예제 19\\) 세면대 위의 물이 흐르는 속도에 대한 수직 방향의 사영 벡터장(평면 벡터장)은 근사적으로</p><p>\\( \\mathbf{v}(x, y)=\\frac{(y \\mathbf{i}-x \\mathbf{j})}{x^{2}+y^{2}} \\)</p><p>과 같이 쓸 수있다. (예제 18 참조)", "이 벡터장의 스칼라 회전을 구하라.", "또한 영역 \\( D=\\left\\{(x, y) \\mid x^{2}+y^{2} \\leq 1\\right\\} \\) 와 \\( D \\) 의 경계 \\( C \\) 에 대하여 Green의 정리가 성립하는지를 밝혀라.", "</p><p>\\(풀이\\) \\( P=y /\\left(x^{2}+y^{2}\\right), Q=-x /\\left(x^{2}+y^{2}\\right) \\) 라 하자.", "그러면 예제 18 에서 보듯이, 스칼라 회전은</p><p>\\( \\frac{\\partial Q}{\\partial x}-\\frac{\\partial P}{\\partial y}=0 \\)</p><p>가 된다.", "또한 예제 18 과 같은 방법으로</p><p>\\( \\int_{C} P(x, y) d x+Q(x, y) d y=-2 \\pi \\)</p><p>를 얻는다.", "따라서 Green의 정리를 만족하지 않는다.", "그 이유는 \\( (0,0) \\) 에서 벡터장 \\( \\mathrm{v} \\) 이 존재하지 않기 때문에 Green의 정리의 가정을 만족하지 않는다.", "</p><p>삼차원 공간에서 유체의 움직임은 \\( \\mathbf{F}(x, y, z)=P(x, y, z) \\mathbf{i}+Q(x, y, z) \\mathbf{j}+R(x, y, z) \\mathbf{k} \\) 로 나타난다.", "이 경우의 Green의 정리를 일반화한 것이 Stokes 정리이다.", "</p><p>먼저 평면 위의 영역 \\( D \\) 와 \\( D \\) 에서 정의된 함수 \\( f \\) 를 생각하자.", "함수 \\( f \\) 의 그래프는 \\( D \\) 위에서의 곡면이 된다. \\", "( 4.2 \\) 절에서 다루었듯이 이 곡면의 법선벡터는 \\( -f_{x} \\mathrm{i}-f_{y} \\mathrm{j}+\\mathrm{k} \\) 이기 때문에 단위법선벡터는</p><p>\\( \\mathbf{n}=\\frac{-f_{x} \\mathbf{i}-f_{y} \\mathbf{j}+\\mathbf{k}}{\\sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}} \\)</p><p>가 된다. \\", "( 5.3 \\) 절에서 \\( f \\) 의 그래프의 표면적을 구하는 방법에서 보았듯이</p><p>\\( d A=\\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}} d x d y \\)</p><p>가 된다.", "따라서</p><p>\\( \\mathbf{n} d A=\\left(-f_{x} \\mathbf{i}-f_{y} \\mathbf{j}+\\mathbf{k}\\right) d x d y \\)</p><p>가 된다.", "이를 정리하면 다음과 같다.", "</p><h3>면적분의 정의</h3><p>\\(예제 20\\) \\( \\quad \\mathbf{F}=x^{2} \\mathbf{i}+y^{2} \\mathbf{j}+z \\mathbf{k} \\) 라 하자. \\", "( S \\) 를 정사각형 \\( [0,1] \\times[0,1] \\) 위에서 정의된 함수 \\( z=x+y+1 \\) 의 그래프라고 할 때, \\( \\iint_{S} \\mathbf{F} \\cdot \\mathbf{n} d A \\) 를 구하라.", "</p><p>\\(풀이\\) \\( \\quad P(x, y, z)=x^{2}, Q(x, y, z)=y^{2}, R(x, y, z)=z \\) 가 되고 \\( f(x, y)=x+y+1 \\) 가 된다.", "따라서</p><p>\\( \\left.\\", "iint_{S} \\mathbf{F} \\cdot \\mathbf{n} d A=\\iint_{D}\\left[\\left(-x^{2}\\right)(1)-\\left(y^{2}\\right)(1)+(x+y+1)\\right)\\right] d x d y \\)</p><p>\\( =\\int_{0}^{1} \\int_{0}^{1}\\left(-x^{2}-y^{2}-x+y+1\\right) d x d y \\)</p><p>\\( =\\frac{4}{3} \\)</p><p>이 된다.", "</p> <h2>2 벡터장</h2> <h3>벡터장의 정의</h3> <p>\\( D \\subset \\mathbf{R}^{2} \\) 라 하자. \\", "( D \\) 의 각 점 \\( P(x, y) \\) 에 대하여 벡터 \\( \\mathbf{r}=f(x, y) \\mathbf{i}+g(x, y) \\mathbf{j} \\) 를 대응시키는 함수를 벡터장(vector field)이라 한다.", "삼차원 벡터의 경우도 이와 같이 정의 한다.", "</p> <p>벡터장의 한 예로 정의역 \\( D \\) 를 갖는 이변수 함수 \\( f(x, y) \\) 에 대하여 각 점 \\( (x, y) \\in D \\) 에 기울기벡터 \\( \\nabla f(x, y)=\\left(f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)\\right) \\) 를 대응시키는 함수는 벡터장이 된다.", "</p> <p>\\(예제 4\\) 함수 \\( f(x, y)=x^{2} / 4+y^{2} \\) 의 기울기벡터장을 그려보아라.", "</p> <p>\\(풀이\\) 다음과 같은 Maplet의 도움으로 기울기 벡터장과 함수의 등위선을 그릴 수 있다.", "우리는 기울기 벡터는 등위선의 접선과 수직을 이루는 것을 알 수 있는데, 그림 6.1에서 확인할 수 있다.", "</p> <p>앞으로는 주로 공간에서의 벡터장을 다루기로 한다.", "평면 위의 벡터장에 대해서는 벡터장에서 \\( z \\)-성분을 0 으로 생각하면 된다.", "공간에서 주어진 벡터장 \\( \\mathrm{F}(x, y, z)= \\) \\( M(x, y, z) \\mathbf{i}+N(x, y, z) \\mathbf{j}+P(x, y, z) \\mathbf{k} \\) 과 매끄러운 곡선 \\( \\mathbf{r}(t)=x(t) \\mathbf{i}+y(t) \\mathbf{j}+z(t) \\mathbf{k} \\) 을 생각하자.", "예를 들어, 물리에서 \\( \\mathrm{F} \\) 는 중력장이거나 전기장에 해당된다.", "물체가 곡선 \\( \\mathrm{r}(t) \\) 을 따라 움직일 때 일의 값을 구해보자.", "일은 힘과 그 힘 벡터에 평행인 방향으로 움직인 거리의 곱으로 나타낸다.", "</p> <h3>매끄러운 곡선 위에서의 일</h3> <table border><table border><caption></caption> <tbody><tr><td><p>\\( \\mathbf{F}=M \\mathrm{i}+N \\mathbf{j}+P \\mathrm{k} \\) 가 매꾜러운 곡선 을 따라 \\( t=a \\) 로부터 \\( t=b \\) 까지 행하여진 일 \\( W \\) 은</p> <p>\\( W=\\int_{t=a}^{t=b} \\mathbf{F} \\cdot \\mathbf{T} d s \\)</p> <p>이다.", "여기서 \\( \\mathbf{T} \\) 는 곡선의 단위접선벡터이다.", "즉 \\( \\mathbf{T}=\\mathbf{r}^{\\prime}(t) /\\left\|\\mathbf{r}^{\\prime}(t)\\right\| \\) 이다.", "</p></td></tr></tbody></table> <p>이제 일의 값을 계산하여보자. \\", "( \\mathbf{T}=\\mathbf{r}^{\\prime}(t) /\\left\|\\mathbf{r}^{\\prime}(t)\\right\| \\) 이고,</p> <p>\\( d s=\\sqrt{\\left(\\frac{d x}{d t}\\right)^{2}+\\left(\\frac{d y}{d t}\\right)^{2}} d t=\\left\|\\mathbf{r}^{\\prime}(t)\\right\| d t \\)</p> <p>이므로 간단한 형태로</p> <p>\\( \\mathbf{F} \\cdot \\mathbf{T} d s=\\mathbf{F} \\cdot\\left(\\mathbf{r}^{\\prime}(t) /\\left\|\\mathbf{r}^{\\prime}(t)\\right\|\\right)\\left\|\\mathbf{r}^{\\prime}(t)\\right\| d t=\\mathbf{F} \\cdot \\mathbf{r}^{\\prime}(t) d t \\)</p> <p>이 된다.", "</p> <p>\\(예제 5\\) 물체가 점 \\( (1,0,0) \\) 에서 점 \\( (1,0,1) \\) 을 각각 곡선</p> <p> <caption>(a)</caption>\\( C: \\quad \\mathrm{r}(t)=(\\cos t, \\sin t, t / 2 \\pi), \\quad 0 \\leq t \\leq 2 \\pi \\)</p> <p> <caption>(b)</caption>\\( C: \\quad \\mathrm{r}(t)=(\\cos t,-\\sin t, t / 2 \\pi), \\quad 0 \\leq t \\leq 2 \\pi \\)</p> <p>을 따라 움직일 때 \\( \\mathbf{F}(x, y, z)=y \\mathbf{i}-x \\mathbf{j}+\\mathbf{k} \\) 에 의하여 행하여진 일을 구하라.", "</p> <p>\\(풀이\\)</p> <p> <caption>(a)</caption>\\( \\mathbf{F}(\\mathrm{r}(t))=\\sin t \\mathbf{i}-\\cos t \\mathbf{j}+\\mathrm{k} \\) 이고, \\( \\mathbf{r}^{\\prime}(t)=-\\sin t \\mathbf{i}+\\cos t \\mathbf{j}+\\frac{1}{2 \\pi} \\mathrm{k} \\) 이기 때문에 일은</p> <p>\\( \\int_{0}^{2 \\pi} \\mathbf{F}(\\mathbf{r}(t)) \\cdot \\mathbf{r}^{\\prime}(t) d t=\\int_{0}^{2 \\pi}(\\sin t \\mathbf{i}-\\cos t \\mathbf{j}+\\mathbf{k}) \\cdot\\left(-\\sin t \\mathbf{i}+\\cos t \\mathbf{j}+\\frac{1}{2 \\pi} \\mathbf{k}\\right) \\)</p> <p>\\( =\\int_{0}^{2 \\pi}\\left(-\\sin ^{2} t-\\cos ^{2} t+\\frac{1}{2 \\pi}\\right) d t \\)</p> <p>\\( =2 \\pi\\left(-1+\\frac{1}{2 \\pi}\\right)=-2 \\pi+1 \\)</p> <p>이 된다.", "</p> <p> <caption>(b)</caption>\\( \\mathrm{F}(\\mathrm{r}(t))=-\\sin t \\mathbf{i}-\\cos t \\mathbf{j}+\\mathrm{k} \\) 이고, \\( \\mathbf{r}^{\\prime}(t)=-\\sin t \\mathbf{i}-\\cos t \\mathbf{j}+\\frac{1}{2 \\pi} \\mathrm{k} \\) 이기 때문에 일은</p> <p>\\( \\int_{0}^{2 \\pi} \\mathbf{F}(\\mathbf{r}(t)) \\cdot \\mathbf{r}^{\\prime}(t) d t=\\int_{0}^{2 \\pi}(-\\sin t \\mathbf{i}-\\cos t \\mathbf{j}+\\mathbf{k}) \\cdot\\left(-\\sin t \\mathbf{i}-\\cos t \\mathbf{j}+\\frac{1}{2 \\pi} \\mathbf{k}\\right) \\)</p> <p>\\( =\\int_{0}^{2 \\pi}\\left(\\sin ^{2} t+\\cos ^{2} t+\\frac{1}{2 \\pi}\\right) d t \\)</p> <p>\\( =2 \\pi\\left(1+\\frac{1}{2 \\pi}\\right)=2 \\pi+1 \\)</p> <p>이 된다.", "</p> <h1>6 벡터해석</h1> <p>이 장에서는 미분적분학의 기본정리를 곡선과 평면 그리고 공간으로 확장시키고자 한다.", "이 과정에서 우리는 벡터장, Green의 정리, 회전과 Stokes 정리, 유동과 발산정리를 다룬다.", "이 과정에서 곡선과 곡면위에서의 다중적분이 매우 중요하게 사용된다.", "</p> <h2>1 선적분</h2> <p>이 절에서는 일변수함수의 적분의 정의를 확장시켜 곡선 위의 적분, 즉 선적분을 정의하려고 한다.", "</p> <p>먼저 평면위의 곡선 \\( C \\) 가 다음과 같이 매개방정식</p> <p>\\( x=x(t), \\quad y=y(t), \\quad a \\leq t \\leq b \\).", "</p> <p>으로 나타난다고 하고,</p> <p>\\( a=t_{0}, t_{1}, \\cdots, t_{n}=b \\)</p> <p>를 \\( [a, b] \\) 의 분할이라고 하자.", "곡선 \\( C \\) 위에서의 선적분을 정의하자.", "</p> <h3>선적분의 정의</h3> <p>함수 \\( f(x, y) \\) 가 곡선 \\( C \\) 에서 정의되었다고 하자.", "만약 극한 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{i=1}^{n} f\\left(x\\left(t_{i}^{}\\right), y\\left(t_{i}^{}\\right)\\right) \\triangle s_{i} \\)이 존재하면, 이 값을 \\( C \\) 를 따라 \\( a \\) 로부터 \\( b \\) 까지의 \\( f \\) 의 선적분(line integral)이라 한다.", "여기서 \\( \\triangle s_{i}=\\sqrt{\\left(\\triangle x_{i}\\right)^{2}+\\left(\\triangle y_{i}\\right)^{2}} \\) 는 \\( t_{i-1} \\) 로 부터 \\( t_{i} \\) 까지의 곡선의 길이이다.", "또한 이 적분값을 \\( \\int_{C} f(x, y) d s \\)로 쓴다.", "</p><p>이제 선적분이 존재할 때 그 값을 계산하는 방법을 알아보자. \\", "( f \\) 가 연속이고, \\( C \\) 가 미분가능한 곡선이라면 \\( C \\) 의 길이 \\( L \\) 은</p> <p>\\( \\triangle s_{i}=\\sqrt{\\left(\\triangle x_{i}\\right)^{2}+\\left(\\triangle y_{i}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\left(\\frac{\\triangle x_{i}}{\\triangle t_{i}}\\right)^{2}+\\left(\\frac{\\triangle y_{i}}{\\triangle t_{i}}\\right)^{2}} \\triangle t_{i} \\)</p> <p>이므로</p> <p>\\( L=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{i=1}^{n} \\sqrt{\\left(\\frac{\\triangle x_{i}}{\\triangle t_{i}}\\right)^{2}+\\left(\\frac{\\triangle y_{i}}{\\triangle t_{i}}\\right)^{2}} \\Delta t_{i}=\\int_{a}^{b} \\sqrt{\\left(\\frac{d x}{d t}\\right)^{2}+\\left(\\frac{d y}{d t}\\right)^{2}} d t \\)</p> <p>가 되고, 따라서</p> <p>\\( \\int_{C} f(x, y) d s=\\int_{a}^{b} f(x(t), y(t)) \\sqrt{\\left(\\frac{d x}{d t}\\right)^{2}+\\left(\\frac{d y}{d t}\\right)^{2}} d t \\)</p> <p>가 된다.", "여기서 우리는</p> <p>\\( d s=\\sqrt{\\left(\\frac{d x}{d t}\\right)^{2}+\\left(\\frac{d y}{d t}\\right)^{2}} d t \\)</p> <p>로 표기하고, 이를 선소(line element)한다.", "또한 곡선 \\( C \\) 는 벡터방정식으로 \\( \\mathrm{r}(t)= \\) \\( x(t) \\mathbf{i}+y(t) \\mathbf{j} \\) 로 쓰게 되면,</p> <p>\\( \\left\|\\mathbf{r}^{\\prime}(t)\\right\|=\|\\mathrm{v}(t)\|=\\sqrt{\\left(\\frac{d x}{d t}\\right)^{2}+\\left(\\frac{d y}{d t}\\right)^{2}} \\)</p> <p>이기 때문에, 위 식은</p> <p>\\( \\int_{C} f(x, y) d s=\\int_{a}^{b} f(x(t), y(t))\|\\mathbf{v}(t)\| d t \\)</p> <p>로 계산할 수 있다.", "삼차원 공간에서의 선적분도 이와같다.", "</p> <h3>벡터장의 유동의 정의</h3> <h3>평면에서의 발산</h3> <p>\\(정리 6.12 \\) (평면에서 Gauss의 발산 정리) \\( D \\) 를 Green의 정리가 성립하는 평면 위의 영역이고 \\( C \\) 를 시계 반대 방향으로 움직이는 \\( D \\) 의 경계라 하자.", "그러면</p> <p>\\( \\int_{C} \\mathbf{v} \\cdot \\mathbf{n} d s=\\iint_{D}(\\operatorname{div} \\mathbf{v}) d x d y \\)</p> <p>가 된다.", "</p> <p>\\(증명\\) 이 식의 왼쪽은</p> <p>\\( \\int_{C} P d y-Q d x \\)</p> <p>와 같다.", "Green의 정리에 의하여</p> <p>\\( \\iint_{D}\\left(\\frac{\\partial P}{\\partial x}-\\frac{\\partial(-Q)}{\\partial y}\\right) d x d y=\\iint_{D}(\\operatorname{div} \\mathbf{v}) d x d y \\)</p> <p>이다.", "</p> <p>\\(예제 24\\) 네 점 \\( (0,0),(1,0),(1,1),(0,1) \\) 으로 만들어진 정사각형의 경계를 따라 \\( \\mathbf{v}=x \\cos y \\mathbf{i}-\\sin y \\mathbf{j} \\) 의 유동을 계산하라.", "</p> <p>플이: 발산정리를 이용하자. \\", "( \\mathrm{v} \\) 의 발산은</p> <p>\\( \\operatorname{div} \\mathbf{v}=\\frac{\\partial}{\\partial x}(x \\cos y)-\\frac{\\partial}{\\partial y}(-\\sin y)=\\cos y-\\cos y=0 \\)</p> <p>이므로 구하는 발산은 )이 된다.", "</p> <p>\\( \\operatorname{div} \\mathbf{v}=0 \\) 이 되는 벡터장 \\( \\mathbf{v} \\) 를 비압축성(imcompressible 또는 divergence free)이라 한다. \\", "( \\operatorname{div} \\mathrm{v}=0 \\) 이면 발산정리로 부터 닫힌 곡선을 따라 유동이 0 이라는 뜻이며, 이 것은 그 닫힌 곡선으로 둘로쌓인 영역으로 유체가 들어가고 나가는 총 합의 량이 0 이란 뜻이다.", "따라서 압축성인 벡터장에서 유체가 영역의 안쪽으로 조여 들어오면 \\( \\operatorname{div} \\mathrm{v}<0 \\) 이 되고, 반대로 영역의 밖으로 퍼져나가면 \\( \\operatorname{div} \\mathrm{v}>0 \\) 이 된다.", "</p> <p>\\(예제 25\\) 다음 그림은 속도장 \\( \\mathrm{v} \\) 으로 나타난 유체의 흐름을 표시한 것이다.", "점 \\( A \\), \\( B, C, D \\) 에서 \\( \\operatorname{div} \\mathbf{v} \\) 의 기호를 정하여라.", "</p> <p>\\(풀이\\) 점 \\( A, B, C \\) 의 작은 영역에서 보면 유체가 점에서 빠져 나가는 것으로 보이므로 \\( \\operatorname{divv}>0 \\) 이고, 점 \\( D \\) 에서는 그 점으로 들어가는 것으로 보이므로 \\( \\operatorname{div} \\mathrm{v}<0 \\) 이다.", "</p> <h3>벡터장의 회전의 정의</h3><p>\\( \\mathbf{F}(x, y, z)=P(x, y, z) \\mathbf{i}+Q(x, y, z) \\mathbf{j}+R(x, y, z) \\mathbf{k} \\) 를 공간 위의 벡터장이라 하자. \\", "( \\mathbf{F} \\) 의 회전(curl)을 다음과 같이 정의 한다.", "</p><p>\\( \\operatorname{curl} \\mathbf{F}=\\left(R_{y}-Q_{z}\\right) \\mathbf{i}+\\left(P_{z}-R_{x}\\right) \\mathbf{j}+\\left(Q_{x}-P_{y}\\right) \\mathbf{k} \\).", "</p><p>여기서 \\( \\mathrm{F} \\) 가 평면 위의 벡터장이면, \\( R=0 \\) 인 경우에 해당한다.", "따라서 이 경우 벡터장의 회전은 스칼라회전과 일치한다.", "</p><p>이러한 것을 기호로 나타내기 위하여 \\( \\nabla=\\frac{\\partial}{\\partial x} \\mathbf{i}+\\frac{\\partial}{\\partial y} \\mathrm{j}+\\frac{\\partial}{\\partial z} \\mathrm{k} \\) 라 쓰자.", "그러면</p><p>\\( \\operatorname{curl} \\mathbf{F}=\\nabla \\times \\mathbf{F}=\\left\|\\begin{array}{ccc}\\mathrm{i} & \\mathrm{i} & \\mathrm{i} \\\\ \\frac{\\partial}{\\partial x} & \\frac{\\partial}{\\partial y} & \\frac{\\partial}{\\partial z} \\\\ P & Q & R\\end{array}\\right\| \\)</p><p>로 쓸 수 있다.", "</p><p>\\(예제 21\\) \\( x y \\mathbf{i}-\\sin z \\mathbf{j}+\\mathrm{k} \\) 의 회전을 구하라.", "</p><p>\\(풀이\\) 구하고자 하는 회전은</p><p>\\( \\operatorname{curl} \\mathbf{F}=\\nabla \\times \\mathbf{F}=\\left\|\\begin{array}{ccc}\\mathrm{i} & \\mathrm{j} & \\mathrm{k} \\\\ \\frac{\\partial}{\\partial x} & \\frac{\\partial}{\\partial y} & \\frac{\\partial}{\\partial z} \\\\ x y & -\\sin z & 1\\end{array}\\right\| \\)</p><p>\\( =\\left\|\\begin{array}{cc}\\frac{\\partial}{\\partial y} & \\frac{\\partial}{\\partial z} \\\\ -\\sin z & 1\\end{array}\\right\| \\mathrm{i}-\\left\|\\begin{array}{cc}\\frac{\\partial}{\\partial x} & \\frac{\\partial}{\\partial z} \\\\ x y & 1\\end{array}\\right\| \\mathrm{j}+\\left\|\\begin{array}{cc}\\frac{\\partial}{\\partial x} & \\frac{\\partial}{\\partial y} \\\\ x y & -\\sin z\\end{array}\\right\| \\mathrm{k} \\)</p><p>\\( =\\cos z \\mathrm{i}-x \\mathrm{k} \\)</p><p>이 된다.", "</p><p>정리 \\( 6.10 \\operatorname{curl}(\\nabla f)=\\nabla \\times(\\nabla f)=0 \\).", "</p><p>증명 \\( \\quad \\nabla f=(\\partial f / \\partial x, \\partial f / \\partial x, \\partial f / \\partial x) \\) 이고 클레로의 정리에 의하여</p><p>\\( \\nabla \\times \\mathbf{F}=\\left\|\\begin{array}{ccc}\\mathrm{i} & \\mathrm{i} & \\mathrm{i} \\\\ \\frac{\\partial}{\\partial x} & \\frac{\\partial}{\\partial y} & \\frac{\\partial}{\\partial z} \\\\ \\frac{\\partial f}{\\partial x} & \\frac{\\partial f}{\\partial y} & \\frac{\\partial f}{\\partial z}\\end{array}\\right\| \\)</p><p>\\( =\\left(\\frac{\\partial^{2} f}{\\partial y \\partial z}-\\frac{\\partial^{2} f}{\\partial y \\partial z}\\right) \\mathbf{i}+\\left(\\frac{\\partial^{2} f}{\\partial z \\partial x}-\\frac{\\partial^{2} f}{\\partial x \\partial z}\\right) \\mathbf{j}+\\left(\\frac{\\partial^{2} f}{\\partial x \\partial y}-\\frac{\\partial^{2} f}{\\partial y \\partial x}\\right) \\mathbf{k} \\)</p><p>\\( =0 \\)</p><p>가 된다.", "</p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "다변수미적분학", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "772a8b07-922aa599-cacd-4c5a-8645-7eecf55da55f", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961052597", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2009", "doc_author": [ "강성주" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }
115	<h1>3.2 위상적 성질(Topological Property)</h1><p>위상공간 사이에 위상동형함수에 의하여 불변인 성질을 알아보자.</p><p>정의 3.2.1 위상공간 사이의 함수 \( f: X \rightarrow Y \) 에 대하여<ol type=1 start=1><li>\( f \) 가 열린함수(open function)의 정의는 \( X \) 의 임의의 열린집합 \( U \) 의 상 \( f(U) \) 가 \( Y \) 에서 열린집합이다.</li><li>\( f \) 가 닫힌함수(closed function)의 정의는 \( X \) 의 임의의 닫힌집합 \( F \) 의 상 \( f(F) \) 가 \( Y \) 에서 닫힌집합이다.</li><li>\( f \) 가 위상동형함수(homeomorphism)의 정의는 \( f \) 와 역함수 \( f^{-1} \) 가 전단사 연속함수일 때이다. 이때 공간 \( X \) 와 \( Y \) 는 위상동형(homeomorphic) 이라 한다.</li><li>위상동형함수에 의하여 불변하는 성질을 위상적 성질(topological pro-perty 혹은 topological invariant)이라 한다.</li></ol></p><p>주의 \( f: X \rightarrow Y \) 가 위상동형함수이면 역함수 \( f^{-1}: Y \rightarrow X \) 도 위상동형함수이다.</p><p>예 3.2.1 (1) 함수 \( f:(-1,1) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\tan \frac{\pi}{2} x \) 는 위상동형함수이다.</p><p>(2) 예 3.1.1에서 함수 \( f:(\mathbb{R}, \mathfrak{I}) \rightarrow(\mathbb{R}, d) \) 는 전사이나 위상동형함수는 아니다.</p><p>정리 3.2.1 위상공간 사이의 함수 \( f: X \rightarrow Y \) 에 대하여<ol type=1 start=1><li>\( f \) 가 열린함수일 필요충분조건은 임의의 부분집합 \( A \subset X \) 에 대하여 \( f(i(A)) \subset i(f(A)) \) 이다.</li><li>\( f \) 가 닫힌함수일 필요충분조건은 임의의 부분집합 \( A \subset X \) 에 대하여 \( \overline{f(A)} \subset f(\bar{A}) \) 이다.</li><li>\( f \) 가 전단사 연속함수이고 열린(혹은 닫힌)함수이면 \( f \) 는 위상동형함수이다.</li><li>\( f \) 가 위상동형함수이고 \( f(A)=B \) 이면 축소함수 \( f_{A}: A \rightarrow B \) 는 위상동형함수이다.</li></ol></p><p>증명 (1) \( i(A) \subset A \) 이므로 \( f(i(A)) \subset f(A) \) 이다.</p><p>\( f \) 가 열린함수이므로 \( f(i(A)) \) 는 열린집합이며 \( f(i(A)) \subset i(f(A)) \) 이다.</p><p>역으로 \( A \) 가 \( X \) 의 열린부분집합이면 \( A=i(A) \) 이고 \( f(A)= \) \( f(i(A)) \subset i(f(A)) \subset f(A) \) 이므로 \( f(A)=i(f(A)) \) 가 되어 \( f(A) \)도 열린집합이다.</p><p>(2) (1)의 증명방법과 같다.</p><p>(3) \( f \) 가 전단사 연속함수이고, 열린(혹은 닫힌)함수이면 \( X \) 의 열린부분 집합 \( A \) 에 대하여 \( \left(f^{-1}\right)^{-1}(A)=f(A) \) 가 \( Y \) 의 열린집합이므로 역함수 \( f^{-1} \) 는 연속이다.</p><p>(4) \( f: X \rightarrow Y \) 가 위상동형함수이면 축소함수 \( f_{A}: A \rightarrow B=f(A) \) 는 전단사함수이다.</p><p>만일 \( V \) 가 \( Y \) 에서 열린집합이면 \( V \cap B \) 는 \( B \) 에서 열린집합이며 \[ f^{-1}(V \cap B)=f^{-1}(V) \cap f^{-1}(B) \\ =f^{-1}(V) \cap A \\ =f_{A}^{-1}(V) \] 이고 \( A \) 에서 열린집합이다. 축소함수 \( f_{A} \) 의 역함수 \( f_{A}^{-1} \) 는 전단사 연속함수이고, 따라서 \( f_{A} \) 는 위상동형함수이다. 열린함수이므로 (3) 에 의하여 \( f_{A}^{-1} \) 는 위상동형함수이다.</p> <p>예 3.1.1 실수의 집합 \( \mathbb{R} \) 상에 위상을 \( \mathfrak{I}=\{\phi\} \cup\{\mathbb{R}-A \mid A \) 는 가산부분집합 \( \} \) 이라 하자. 위상공간 \( (\mathbb{R}, \mathfrak{I}) \) 에서 점렬 \( \left\langle a_{n}\right\rangle \) 이 \( a \) 에 수렴할 필요충분조건은 \( n_{0} \) 가 존재하여 점렬이 \[ \left\langle a_{n}\right\rangle=\left(a_{1}, \ldots, a_{n_{0}}, a, a, a, \ldots\right) \]인 형태이다. 유한개의 항을 제외하고 모든 항이 \( a \) 이다. 따라서 \( (\mathbb{R}, \mathfrak{I}) \) 에서 가는 모든 함수는 점렬연속이다.</p><p>특히 함수 \( f:(\mathbb{R}, \mathfrak{I}) \rightarrow(\mathbb{R}, d), f(x)=x\left({ }^{\forall} x \in \mathbb{R}\right) \) 는 점렬연속이나 연속은 아니다. 여기서 \( (\mathbb{R}, d) \) 는 보통거리 실직선이다.</p><p>정리 3.1.3 만일 \( F_{1}, \ldots, F_{n} \) 이 \( X \) 의 닫힌부분집합이며 합집합 \( X=\bigcup_{i=1}^{n} F_{i} \) 라 하자. 함수 \( f: X \rightarrow Y \) 가 연속일 필요충분조건은 각 \( i \) 에 대하여 축소함수 \( f_{F_{i}} \) : \( F_{i} \rightarrow Y \) 가 연속함수이다.</p><p>증명 만일 \( G \) 가 \( Y \) 의 닫힌부분집합이고 각 축소함수 \( f_{F_{i}} \) 가 연속함수라 하자. \( f_{F_{i}}^{-1}(G)=F_{i} \cap f^{-1}(G) \) 는 \( F_{i} \) 에서 닫힌집합이다. \( F_{i} \) 가 \( X \) 에서 닫힌집합이므로 \( f_{F_{i}}^{-1}(G) \) 는 \( X \) 에서 닫힌집합이다. 따라서 닫힌집합의 유한합집합 \[ \bigcup_{i=1}^{n}\left(f_{F_{i}}^{-1}(G)\right)=\bigcup_{i=1}^{n}\left[f^{-1}(G) \cap F_{i}\right]=f^{-1}(G) \cap\left(\bigcup_{i=1}^{n} F_{i}\right) \\ =f^{-1}(G) \cap X=f^{-1}(G) \] 는 닫힌집합이므로 \( f \) 는 연속이다.</p><p>역으로 \( f \) 가 연속이면 축소함수 \( f_{F_{i}} \) 의 연속은 위에서 증명했다.</p><p>정리 3.1.3에서 닫힌집합족이 무한이면 정리가 성립하지 않는다.</p><p>예 3.1.2 실수상의 함수 \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) 가 \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1, & x \geq 0 \\ -1, & x<0 \end{array}\right. \] 로 정의되어 있다 하자. \( \mathbb{R} \) 의 닫힌부분집합을 \[ F=[0, \infty), F_{n}=\left(-\infty,-\frac{1}{n}\right], n=1,2,3, \ldots \] 이라 하면 \( \mathbb{R}=F \cup\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} F_{n}\right) \) 이고 \( f \) 의 축소함수 \( f_{F}, f_{F_{n}}(n=1,2,3, \ldots) \) 은 각각 연속이나 \( f \) 는 \( x=0 \) 에서 연속이 아니다.</p> <p>자연수의 집합을 \( \mathbb{N} \) 이라 나타내자.</p><p>정의 3.1.2<ol type=1 start=1><li>함수 \( x: \mathbb{N} \rightarrow X \) 를 \( X \) 상의 점렬(sequence of point)이라 하고 상을 \( x(n)=x_{n} \), 점렬을 \( x=\left\langle x_{n}\right\rangle \) 으로 나타내자.</li><li>자연수 \( n_{1}<n_{2}<\cdots \) 에 대하여 \( \left\langle x_{n_{i}}\right\rangle=\left(x_{n_{1}}, x_{n_{2}}, \ldots\right) \) 를 점렬 \( \left\langle x_{n}\right\rangle \)의 부분열(subsequence)이라 한다.</li><li>점렬 \( \left\langle x_{n}\right\rangle \) 이 \( x \) 에 수렴(convergence)한다는 것은 \( x \) 의 임의의 근방 \( U \) 에 대하여 \( n_{0} \) 가 존재하여 모든 \( n>n_{0} \) 에 대하여 \( x_{n} \in U \) 임을 의미한다. 기호로 \( \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x \) 로 나타내고 \( x \) 를 점렬 \( \left\langle x_{n}\right\rangle \) 의 극한(limit)이라 한다.</li><li>함수 \( f: X \rightarrow Y \) 가 점 \( x \in X \) 에서 점렬연속(sequentially continuous)의 정의는 만일 \( \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x \) 이면 \( \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=f(x) \) 이다.</li></ol></p><p>정리 3.1.2 함수 \( f: X \rightarrow Y \) 가 \( x \in X \) 에서 연속이면 \( f \) 는 \( x \) 에서 점렬연속이다.</p><p>증명 점렬 \( \left\langle x_{n}\right\rangle \) 이 \( x \in X \) 에 수렴하고, \( V \) 를 \( f(x) \) 의 근방이라 하자. \( f \) 가 \( x \) 에서 연속이므로 \( f^{-1}(V) \) 는 \( x \) 의 근방이고 자연수 \( n_{0} \) 가 존재하여 \( n>n_{0} \)이면 \( x_{n} \in f^{-1}(V) \) 이다.</p><p>따라서 \( n>n_{0} \) 이면 \( f\left(x_{n}\right) \in V \) 이므로 \( \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=f(x) \) 이다.</p><p>연속함수 \( f:\left(X, \mathfrak{T}_{1}\right) \rightarrow\left(Y, \mathfrak{T}_{2}\right) \) 와 \( X \) 의 부분공간 \( \left(A, \mathfrak{T}_{A}\right) \) 에 대하여 축소함수(restriction) \( f_{A}: A \rightarrow Y \) 는 각 점 \( a \in A \) 에 대하여 \( f_{A}(a)=f(a) \) 로 정의된다.</p><p>만일 \( V \) 가 \( Y \) 에서 열린집합이면 \( f^{-1}(V) \in \mathfrak{T}_{1} \) 이고 \( f_{A}^{-1}(V)=f^{-1}(V) \cap A \in \mathfrak{T}_{A} \) 이므로 축소함수 \( f_{A} \) 는 연속이다.</p><p>주의<ol type=1 start=1><li>정리 3.1.2에서 \( X \) 가 거리공간이면 역도 성립한다.</li><li>정리 3.1.2의 역은 일반적으로 성립하지 않는다.</li></ol></p>	기하학	[ "<h1>3.2 위상적 성질(Topological Property)</h1><p>위상공간 사이에 위상동형함수에 의하여 불변인 성질을 알아보자.", "</p><p>정의 3.2.1 위상공간 사이의 함수 \\( f: X \\rightarrow Y \\) 에 대하여<ol type=1 start=1><li>\\( f \\) 가 열린함수(open function)의 정의는 \\( X \\) 의 임의의 열린집합 \\( U \\) 의 상 \\( f(U) \\) 가 \\( Y \\) 에서 열린집합이다.", "</li><li>\\( f \\) 가 닫힌함수(closed function)의 정의는 \\( X \\) 의 임의의 닫힌집합 \\( F \\) 의 상 \\( f(F) \\) 가 \\( Y \\) 에서 닫힌집합이다.", "</li><li>\\( f \\) 가 위상동형함수(homeomorphism)의 정의는 \\( f \\) 와 역함수 \\( f^{-1} \\) 가 전단사 연속함수일 때이다.", "이때 공간 \\( X \\) 와 \\( Y \\) 는 위상동형(homeomorphic) 이라 한다.", "</li><li>위상동형함수에 의하여 불변하는 성질을 위상적 성질(topological pro-perty 혹은 topological invariant)이라 한다.", "</li></ol></p><p>주의 \\( f: X \\rightarrow Y \\) 가 위상동형함수이면 역함수 \\( f^{-1}: Y \\rightarrow X \\) 도 위상동형함수이다.", "</p><p>예 3.2.1 (1) 함수 \\( f:(-1,1) \\rightarrow \\mathbb{R}, f(x)=\\tan \\frac{\\pi}{2} x \\) 는 위상동형함수이다.", "</p><p>(2) 예 3.1.1에서 함수 \\( f:(\\mathbb{R}, \\mathfrak{I}) \\rightarrow(\\mathbb{R}, d) \\) 는 전사이나 위상동형함수는 아니다.", "</p><p>정리 3.2.1 위상공간 사이의 함수 \\( f: X \\rightarrow Y \\) 에 대하여<ol type=1 start=1><li>\\( f \\) 가 열린함수일 필요충분조건은 임의의 부분집합 \\( A \\subset X \\) 에 대하여 \\( f(i(A)) \\subset i(f(A)) \\) 이다.", "</li><li>\\( f \\) 가 닫힌함수일 필요충분조건은 임의의 부분집합 \\( A \\subset X \\) 에 대하여 \\( \\overline{f(A)} \\subset f(\\bar{A}) \\) 이다.", "</li><li>\\( f \\) 가 전단사 연속함수이고 열린(혹은 닫힌)함수이면 \\( f \\) 는 위상동형함수이다.", "</li><li>\\( f \\) 가 위상동형함수이고 \\( f(A)=B \\) 이면 축소함수 \\( f_{A}: A \\rightarrow B \\) 는 위상동형함수이다.", "</li></ol></p><p>증명 (1) \\( i(A) \\subset A \\) 이므로 \\( f(i(A)) \\subset f(A) \\) 이다.", "</p><p>\\( f \\) 가 열린함수이므로 \\( f(i(A)) \\) 는 열린집합이며 \\( f(i(A)) \\subset i(f(A)) \\) 이다.", "</p><p>역으로 \\( A \\) 가 \\( X \\) 의 열린부분집합이면 \\( A=i(A) \\) 이고 \\( f(A)= \\) \\( f(i(A)) \\subset i(f(A)) \\subset f(A) \\) 이므로 \\( f(A)=i(f(A)) \\) 가 되어 \\( f(A) \\)도 열린집합이다.", "</p><p>(2) (1)의 증명방법과 같다.", "</p><p>(3) \\( f \\) 가 전단사 연속함수이고, 열린(혹은 닫힌)함수이면 \\( X \\) 의 열린부분 집합 \\( A \\) 에 대하여 \\( \\left(f^{-1}\\right)^{-1}(A)=f(A) \\) 가 \\( Y \\) 의 열린집합이므로 역함수 \\( f^{-1} \\) 는 연속이다.", "</p><p>(4) \\( f: X \\rightarrow Y \\) 가 위상동형함수이면 축소함수 \\( f_{A}: A \\rightarrow B=f(A) \\) 는 전단사함수이다.", "</p><p>만일 \\( V \\) 가 \\( Y \\) 에서 열린집합이면 \\( V \\cap B \\) 는 \\( B \\) 에서 열린집합이며 \\[ f^{-1}(V \\cap B)=f^{-1}(V) \\cap f^{-1}(B) \\\\ =f^{-1}(V) \\cap A \\\\ =f_{A}^{-1}(V) \\] 이고 \\( A \\) 에서 열린집합이다.", "축소함수 \\( f_{A} \\) 의 역함수 \\( f_{A}^{-1} \\) 는 전단사 연속함수이고, 따라서 \\( f_{A} \\) 는 위상동형함수이다.", "열린함수이므로 (3) 에 의하여 \\( f_{A}^{-1} \\) 는 위상동형함수이다.", "</p> <p>예 3.1.1 실수의 집합 \\( \\mathbb{R} \\) 상에 위상을 \\( \\mathfrak{I}=\\{\\phi\\} \\cup\\{\\mathbb{R}-A \\mid A \\) 는 가산부분집합 \\( \\} \\) 이라 하자.", "위상공간 \\( (\\mathbb{R}, \\mathfrak{I}) \\) 에서 점렬 \\( \\left\\langle a_{n}\\right\\rangle \\) 이 \\( a \\) 에 수렴할 필요충분조건은 \\( n_{0} \\) 가 존재하여 점렬이 \\[ \\left\\langle a_{n}\\right\\rangle=\\left(a_{1}, \\ldots, a_{n_{0}}, a, a, a, \\ldots\\right) \\]인 형태이다.", "유한개의 항을 제외하고 모든 항이 \\( a \\) 이다.", "따라서 \\( (\\mathbb{R}, \\mathfrak{I}) \\) 에서 가는 모든 함수는 점렬연속이다.", "</p><p>특히 함수 \\( f:(\\mathbb{R}, \\mathfrak{I}) \\rightarrow(\\mathbb{R}, d), f(x)=x\\left({ }^{\\forall} x \\in \\mathbb{R}\\right) \\) 는 점렬연속이나 연속은 아니다.", "여기서 \\( (\\mathbb{R}, d) \\) 는 보통거리 실직선이다.", "</p><p>정리 3.1.3 만일 \\( F_{1}, \\ldots, F_{n} \\) 이 \\( X \\) 의 닫힌부분집합이며 합집합 \\( X=\\bigcup_{i=1}^{n} F_{i} \\) 라 하자.", "함수 \\( f: X \\rightarrow Y \\) 가 연속일 필요충분조건은 각 \\( i \\) 에 대하여 축소함수 \\( f_{F_{i}} \\) : \\( F_{i} \\rightarrow Y \\) 가 연속함수이다.", "</p><p>증명 만일 \\( G \\) 가 \\( Y \\) 의 닫힌부분집합이고 각 축소함수 \\( f_{F_{i}} \\) 가 연속함수라 하자. \\", "( f_{F_{i}}^{-1}(G)=F_{i} \\cap f^{-1}(G) \\) 는 \\( F_{i} \\) 에서 닫힌집합이다. \\", "( F_{i} \\) 가 \\( X \\) 에서 닫힌집합이므로 \\( f_{F_{i}}^{-1}(G) \\) 는 \\( X \\) 에서 닫힌집합이다.", "따라서 닫힌집합의 유한합집합 \\[ \\bigcup_{i=1}^{n}\\left(f_{F_{i}}^{-1}(G)\\right)=\\bigcup_{i=1}^{n}\\left[f^{-1}(G) \\cap F_{i}\\right]=f^{-1}(G) \\cap\\left(\\bigcup_{i=1}^{n} F_{i}\\right) \\\\ =f^{-1}(G) \\cap X=f^{-1}(G) \\] 는 닫힌집합이므로 \\( f \\) 는 연속이다.", "</p><p>역으로 \\( f \\) 가 연속이면 축소함수 \\( f_{F_{i}} \\) 의 연속은 위에서 증명했다.", "</p><p>정리 3.1.3에서 닫힌집합족이 무한이면 정리가 성립하지 않는다.", "</p><p>예 3.1.2 실수상의 함수 \\( f: \\mathbb{R} \\rightarrow \\mathbb{R} \\) 가 \\[ f(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll} 1, & x \\geq 0 \\\\ -1, & x<0 \\end{array}\\right. \\]", "로 정의되어 있다 하자. \\", "( \\mathbb{R} \\) 의 닫힌부분집합을 \\[ F=[0, \\infty), F_{n}=\\left(-\\infty,-\\frac{1}{n}\\right], n=1,2,3, \\ldots \\] 이라 하면 \\( \\mathbb{R}=F \\cup\\left(\\bigcup_{n=1}^{\\infty} F_{n}\\right) \\) 이고 \\( f \\) 의 축소함수 \\( f_{F}, f_{F_{n}}(n=1,2,3, \\ldots) \\) 은 각각 연속이나 \\( f \\) 는 \\( x=0 \\) 에서 연속이 아니다.", "</p> <p>자연수의 집합을 \\( \\mathbb{N} \\) 이라 나타내자.", "</p><p>정의 3.1.2<ol type=1 start=1><li>함수 \\( x: \\mathbb{N} \\rightarrow X \\) 를 \\( X \\) 상의 점렬(sequence of point)이라 하고 상을 \\( x(n)=x_{n} \\), 점렬을 \\( x=\\left\\langle x_{n}\\right\\rangle \\) 으로 나타내자.", "</li><li>자연수 \\( n_{1}<n_{2}<\\cdots \\) 에 대하여 \\( \\left\\langle x_{n_{i}}\\right\\rangle=\\left(x_{n_{1}}, x_{n_{2}}, \\ldots\\right) \\) 를 점렬 \\( \\left\\langle x_{n}\\right\\rangle \\)의 부분열(subsequence)이라 한다.", "</li><li>점렬 \\( \\left\\langle x_{n}\\right\\rangle \\) 이 \\( x \\) 에 수렴(convergence)한다는 것은 \\( x \\) 의 임의의 근방 \\( U \\) 에 대하여 \\( n_{0} \\) 가 존재하여 모든 \\( n>n_{0} \\) 에 대하여 \\( x_{n} \\in U \\) 임을 의미한다.", "기호로 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} x_{n}=x \\) 로 나타내고 \\( x \\) 를 점렬 \\( \\left\\langle x_{n}\\right\\rangle \\) 의 극한(limit)이라 한다.", "</li><li>함수 \\( f: X \\rightarrow Y \\) 가 점 \\( x \\in X \\) 에서 점렬연속(sequentially continuous)의 정의는 만일 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} x_{n}=x \\) 이면 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} f\\left(x_{n}\\right)=f(x) \\) 이다.", "</li></ol></p><p>정리 3.1.2 함수 \\( f: X \\rightarrow Y \\) 가 \\( x \\in X \\) 에서 연속이면 \\( f \\) 는 \\( x \\) 에서 점렬연속이다.", "</p><p>증명 점렬 \\( \\left\\langle x_{n}\\right\\rangle \\) 이 \\( x \\in X \\) 에 수렴하고, \\( V \\) 를 \\( f(x) \\) 의 근방이라 하자. \\( f \\) 가 \\( x \\) 에서 연속이므로 \\( f^{-1}(V) \\) 는 \\( x \\) 의 근방이고 자연수 \\( n_{0} \\) 가 존재하여 \\( n>", "n_{0} \\)이면 \\( x_{n} \\in f^{-1}(V) \\) 이다.", "</p><p>따라서 \\( n>n_{0} \\) 이면 \\( f\\left(x_{n}\\right) \\in V \\) 이므로 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} f\\left(x_{n}\\right)=f(x) \\) 이다.", "</p><p>연속함수 \\( f:\\left(X, \\mathfrak{T}_{1}\\right) \\rightarrow\\left(Y, \\mathfrak{T}_{2}\\right) \\) 와 \\( X \\) 의 부분공간 \\( \\left(A, \\mathfrak{T}_{A}\\right) \\) 에 대하여 축소함수(restriction) \\( f_{A}: A \\rightarrow Y \\) 는 각 점 \\( a \\in A \\) 에 대하여 \\( f_{A}(a)=f(a) \\) 로 정의된다.", "</p><p>만일 \\( V \\) 가 \\( Y \\) 에서 열린집합이면 \\( f^{-1}(V) \\in \\mathfrak{T}_{1} \\) 이고 \\( f_{A}^{-1}(V)=f^{-1}(V) \\cap A \\in \\mathfrak{T}_{A} \\) 이므로 축소함수 \\( f_{A} \\) 는 연속이다.", "</p><p>주의<ol type=1 start=1><li>정리 3.1.2에서 \\( X \\) 가 거리공간이면 역도 성립한다.", "</li><li>정리 3.1.2의 역은 일반적으로 성립하지 않는다.", "</li></ol></p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "415", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "위상수학", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "772a8b07-a13e2ef5-3505-427d-8bcb-193eb3241e71", "doc_number": { 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116	<p>정리 1.8.11 곡선의 기본정리</p><p>두 정칙곡선 \( \alpha, \gamma:(a, b) \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) 의 곡률과 비틀림이 같고 곡률이 양수이면 \[ F(\alpha)=\gamma \] 를 만족시키는 유클리드 등장사상 \( F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) 이 존재한다.</p><p>증명</p><p>증명을 다음과 같이 세 단계로 나누어 하자.</p><p>(단계 1) 등장사상 \( F \) 의 존재성</p><p>\( \alpha, \gamma \) 가 단위속력곡선이라고 가정하고 \( \alpha \) 와 \( \gamma \) 의 곡률 및 비틀림을 각각 \( \kappa, \tau \) 라고 하자. 또한 \( \alpha \) 와 \( \gamma \) 의 프레네 틀마당을 각각 \( \left\{T_{\alpha}, N_{\alpha}, B_{\alpha}\right\},\left\{T_{\gamma}, N_{\gamma}, B_{\gamma}\right\} \) 라고 하면 \( \kappa>0 \) 이므로 프레네 틀마당은 잘 정의된다.</p><p>한 점 \( s_{0} \in(a, b) \) 를 고정하자. \( \left\{T_{\alpha}\left(s_{0}\right), N_{\alpha}\left(s_{0}\right), B_{\alpha}\left(s_{0}\right)\right\} \) 는 점 \( \alpha\left(s_{0}\right) \) 에서 \( \mathbb{R}^{3} \) 의 정규직교기저이고 \( \left\{T_{\gamma}\left(s_{0}\right), N_{\gamma}\left(s_{0}\right), B_{\gamma}\left(s_{0}\right)\right\} \) 는 점 \( \gamma\left(s_{0}\right) \) 에서 \( \mathbb{R}^{3} \) 의 정규직교기저이므로</p><p><caption>(1.8.6)</caption>\[ A\left(T_{\alpha}\left(s_{0}\right)\right)=T_{\gamma}\left(s_{0}\right), A\left(N_{\alpha}\left(s_{0}\right)\right)=N_{\gamma}\left(s_{0}\right), A\left(B_{\alpha}\left(s_{0}\right)\right)=B_{\gamma}\left(s_{0}\right) \]을 만족시키는 직교변환 \( A: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) 이 존재한다. 특히, 도움정리 \( 1.8 .9 \) 에 의해 \( \operatorname{det}(A)=1 \) 이다.</p><p>이때 \( T \) 를 \[T(\mathbf{p})=\mathbf{p}+\gamma\left(s_{0}\right)-A\left(\alpha\left(s_{0}\right)\right)\] 로 정의되는 평행이동사상이라 하고 사상 \( F \) 를 \( F=T \circ A \) 로 정의하자. 그러면 \( F \) 는 등장사상이고 을 만족시킨다(그림 1.18).</p><p><caption>(1.8.7)</caption>\[ F\left(\alpha\left(s_{0}\right)\right)=(T \circ A)\left(\alpha\left(s_{0}\right)\right)=\gamma\left(s_{0}\right) \]</p><p>(단계 2)</p><p>\( \beta=F \circ \alpha \) 로 정의하고 \( \beta \) 의 프레네 틀마당을 \( \left\{T_{\beta}, N_{\beta}, B_{\beta}\right\} \) 라 할 때,</p><p><caption>(1.8.8)</caption>\[ \quad T_{\beta}\left(s_{0}\right)=T_{\gamma}\left(s_{0}\right), N_{\beta}\left(s_{0}\right)=N_{\gamma}\left(s_{0}\right), B_{\beta}\left(s_{0}\right)=B_{\gamma}\left(s_{0}\right) \] 가 성립함을 보이자.</p><p>\( F \) 가 등장사상이고 \( \operatorname{det}(A)=1 \) 이므로 정리 \( 1.8 .10 \) 에 의해 곡선 \( \beta \) 의 곡률 \( \kappa_{\beta} \) 과 비틀림 \( \tau_{\beta} \) 는 곡선 \( \alpha \) 의 곡률 및 비틀림과 일치한다. 즉, \( \kappa_{\beta}=\kappa, \tau_{\beta}=\tau \) 이다.</p><p>한편, \[T_{\beta}(s)=(F \circ \alpha)^{\prime}(s)=A\left(\alpha^{\prime}(s)\right)=A\left(T_{\alpha}(s)\right)\] 이므로 (1.8.6)에 의해 \[T_{\beta}\left(s_{0}\right)=A\left(T_{\alpha}\left(s_{0}\right)\right)=T_{\gamma}\left(s_{0}\right)\] 또한 \[T_{\beta}^{\prime}(s)=A\left(T^{\prime}{ }_{\alpha}(s)\right)=\kappa A\left(N_{\alpha}(s)\right)\] 이고 프레네 공식에 의해 \[T_{\beta}^{\prime}(s)=\kappa N_{\beta}(s)\] 이므로 \[N_{\beta}(s)=A\left(N_{\alpha}(s)\right)\]이다. 따라서 (1.8.6)에 의해 \[N_{\beta}\left(s_{0}\right)=N_{\gamma}\left(s_{0}\right)\] 끝으로 \[T_{\beta}(s) \times N_{\beta}(s) \cdot B_{\beta}(s)=\left\\|B_{\beta}(s)\right\\|^{2}=1\] 이고 도움정리 1.8.9에 의해 \[\begin{aligned} T_{\beta}(s) \times N_{\beta}(s) \cdot A\left(B_{\alpha}(s)\right) &=A\left(T_{\alpha}(s)\right) \times A\left(N_{\alpha}(s)\right) \cdot A\left(B_{\alpha}(s)\right) \\&=\operatorname{det}(A)\left(T_{\alpha}(s) \times N_{\alpha}(s) \cdot B_{\alpha}(s)\right)=1\end{aligned}\] 따라서 \( B_{\beta}(s)=A\left(B_{\alpha}(s)\right) \) 이고 \( B_{\beta}\left(s_{0}\right)=B_{\gamma}\left(s_{0}\right) \) 가 성립한다.</p><p>(단계 3) \( F \circ \alpha=\beta=\gamma \)</p><p>(1.8.7)에 의해</p><p><caption>(1.8.9)</caption>\[ \beta\left(s_{0}\right)=\gamma\left(s_{0}\right) \]</p><p>이 성립한다. \( \beta=\alpha \) 임을 보이기 위해 각각의 \( s, a<s<b \) 에 대하여 함수 \( f(s) \) 를 \[f(s)=\left\\|T_{\beta}(s)-T_{\gamma}(s)\right\\|^{2}+\left\\|N_{\beta}(s)-N_{\gamma}(s)\right\\|^{2}+\left\\|B_{\beta}(s)-B_{\gamma}(s)\right\\|^{2}\] 로 정의하자. 양변을 \( s \) 에 관해 미분하면 \[f^{\prime}(s)=2\left(T_{\beta}^{\prime}(s)-T_{\gamma}^{\prime}(s)\right) \cdot\left(T_{\beta}(s)-T_{\gamma}(s)\right)+2\left(N_{\beta}^{\prime}(s)-N_{\gamma}^{\prime}(s)\right)\] \[\text { - }\left(N_{\beta}(s)-N_{\gamma}(s)\right)+2\left(B_{\beta}^{\prime}(s)-B_{\gamma}^{\prime}(s)\right) \cdot\left(B_{\beta}(s)-B_{\gamma}(s)\right)\] 프레네 틀마당은 모두 단위벡터장이므로 \[T_{\beta}{ }^{\prime}(s) \cdot T_{\beta}(s)=0=N_{\beta}{ }^{\prime}(s) \cdot N_{\beta}(s)=B_{\beta}{ }^{\prime}(s) \cdot B_{\beta}(s)\] 이고 \[T_{\gamma}^{\prime}(s) \cdot T_{\gamma}(s)=0=N_{\gamma}^{\prime}(s) \cdot N_{\gamma}(s)=B_{\gamma}^{\prime}(s) \cdot B_{\gamma}(s)\] 이다. 따라서 \[\begin{aligned} f^{\prime}(s)=&-2\left\{T_{\beta}^{\prime}(s) \cdot T_{\gamma}(s)+T_{\beta}(s) \cdot T_{\gamma}^{\prime}(s)+N_{\beta}^{\prime}(s) \cdot N_{\gamma}(s)\right.\\&\left.+N_{\beta}(s) \cdot N_{\gamma}^{\prime}(s)+B_{\beta}^{\prime}(s) \cdot B_{\gamma}(s)+B_{\beta}(s) \cdot B_{\gamma}^{\prime}(s)\right\} \\=&-2\left\{\kappa N_{\beta}(s) \cdot T_{\gamma}(s)+\kappa T_{\beta}(s) \cdot N_{\gamma}(s)-\kappa T_{\beta}(s) \cdot N_{\gamma}(s)+\tau B_{\beta}(s) \cdot N_{\gamma}(s)\right\} \\&\left.-\kappa N_{\beta}(s) \cdot T_{\gamma}(s)+\tau N_{\beta}(s) \cdot B_{\gamma}(s)-\tau N_{\beta}(s) \cdot B_{\gamma}(s)-\tau B_{\beta}(s) \cdot N_{\gamma}(s)\right\} \\=& 0\end{aligned}\] 그러므로 함수 \( f \) 는 상수함수이고 (단계 2)에 의해 \( f\left(s_{0}\right)=0 \) 이므로 함수 \( f \) 는 항등적으로 \( \mathrm{O} \) 이다. 따라서 \[(F \circ \alpha)^{\prime}(s)=T_{\beta}(s)=T_{\gamma}(s)=\gamma^{\prime}(s)\] 그러므로 (1.8.9)에 의해 \( (F \circ \alpha)(s)=\beta(s)=\gamma(s) \) 가 성립한다.</p> <h1>제 1 장 곡선</h1><p>대학교 미분기하학 과정에서 다룰 수 있는 기하학적 대상으로는 고전 미분기하학의 시발점이 되었던 곡선과 3 차원 유클리드 공간의 곡면이 있다. 1 장에서는 곡선 이론에 대하여 알아본다. 곡선은 실수의 개구간에서 정의된 미분가능한 함수로 일변수함수의 미분법만 알면 곡선 이론을 이해하기에 충분하다. 다시 말해서 곡선 이론은 미적분학 수준에서도 이해할 수 있는 비교적 쉬운 내용이다. 곡선 이론에는 곡선의 형태에 따라서 여러 가지 개념을 도입하고 이를 이용하여 곡선의 성질을 파악하는 다양한 이론이 존재하지만 이러한 모든 개념을 다루는 것은 이 책의 본질을 벗어나므로, 여러 가지 곡선을 구분할 수 있는 도구가 되는 기하학적 개념과 그것의 기본적인 성질 등 가급적이면 간단한 형태의 곡선과 비교적 쉬운 개념만을 다루기로 한다.</p><p>1절에서는 이 책에서 주로 다루는 기하학적 대상인 곡선과 곡면을 품고 있는 3 차원 유클리드 공간에 대하여 간략하게 알아보고 2절에서는 곡선의 정의와 여러 가지 형태의 곡선을 살펴보기로 한다. 3절에서는 곡선 이론을 공부하는데 있어서 가장 간단한 기하학적 도구인 곡선의 길이에 관하여 알아본다. 4절과 5 절에서는 6절을 위한 준비 과정으로 곡선의 벡터장, 유클리드 공간의 방향(orientation) 및 벡터곱에 대하여 설명한다. 6절에서는 곡선 이론에서 가장 중요한 개념인 곡률과 비틀림에 대하여 알아본다. 곡선의 기본정리에 의하면 곡선의 모양은 곡률과 비틀림에 의해 결정된다. 7절에서는 임의속력을 갖는 곡선의 곡률과 비틀림에 관하여 이야기하고, 8 절에서는 유클리드 공간에서 거리를 보존하는 사상인 등장사상에 대하여 알아본다. 등장사상에 의해 옮겨지는 기하학적 대상은 모두 같은 기하학적 성질을 갖는다.</p> <p>보기 1.7.4와 정리 1.7.7로부터 곡선 \( \alpha(t)=\left(2 t, t^{2}, \frac{t^{3}}{3}\right) \) 은 \( \kappa=\tau \) 이므로 원기둥나선이다. 또한 보기 1.6.10에 의해 나선은 곡률과 비틀림이 모두 상수인 원기둥나선이다. 다음 정리에 의하면 곡률과 비틀림이 모두 상수인 곡선은 나선밖에 없다.</p><p>정리 1.7.8</p><p>단위속력곡선 \( \alpha \) 의 곡률 \( \kappa>0 \) 와 비틀림 \( \tau \neq 0 \) 이 모두 상수이면 \( \alpha \) 는 나선이다.</p><p>정리 1.7.8을 증명하기 위해서는 미분방정식에 관한 다음 도움정리가 필요하다.</p><p>도움정리 1.7.9</p><p>원점을 포함하는 개구간에서 정의된 미분가능한 함수 \( f, g \) 가 두 실수 \( a, c \in \mathbb{R} \)에 대하여</p><p><caption>(1.7.7)</caption>\[ f g^{\prime}-f^{\prime} g=\frac{a^{2}}{c^{3}}, f^{2}+g^{2}=\frac{a^{2}}{c^{2}} \]</p><p>과 초기조건</p><p><caption>(1.7.8)</caption>\[ f(0)=0, \quad g(0)=\frac{a}{c} \]</p><p>를 만족시키면 \[ f(t)=-\frac{a}{c} \sin \frac{t}{c}, g(t)=\frac{a}{c} \cos \frac{t}{c} \]</p><p>증명</p><p>식 (1.7.7)의 두 번째 식으로부터</p><p><caption>(1.7.9)</caption>\[ f f^{\prime}+g g^{\prime}=0 \]</p><p>이 성립한다.</p><p>(단계 1) 함수</p><p><caption>(1.7.10)</caption>\[ -f \sin \frac{t}{c}+g \cos \frac{t}{c} \]</p><p>가 상수임을 보이자. 식 (1.7.10)을 \( t \) 에 관해 미분하면 \[\begin{array}{l}\left(-f \sin \frac{t}{c}+g \cos \frac{t}{c}\right)^{\prime}=-f^{\prime} \sin \frac{t}{c}-\frac{f}{c} \cos \frac{t}{c}+g^{\prime} \cos \frac{t}{c}-\frac{g}{c} \sin \frac{t}{c} \\=-f^{\prime} \sin \frac{t}{c}-\frac{c^{2}}{a^{2}} f\left(f g^{\prime}-f^{\prime} g\right) \cos \frac{t}{c}+g^{\prime} \cos \frac{t}{c}-\frac{c^{2}}{a^{2}} g\left(f g^{\prime}-f^{\prime} g\right) \sin \frac{t}{c}\end{array}\] \[\begin{array}{l}=-f^{\prime} \sin \frac{t}{c}-\frac{c^{2}}{a^{2}}\left(f^{2}+g^{2}\right) g^{\prime} \cos \frac{t}{c}+g^{\prime} \cos \frac{t}{c}+\frac{c^{2}}{a^{2}}\left(f^{2}+g^{2}\right) f^{\prime} \sin \frac{t}{c} \\=0\end{array}\] 위의 두 번째 등식과 세 번째 등식에서 식 (1.7.7)과 (1.7.9)를 각각 대입하였다. 따라서 초기조건 (1.7.8)로부터</p><p><caption>(1.7.11)</caption>\[ -f \sin \frac{t}{c}+g \cos \frac{t}{c}=\frac{a}{c} \]</p><p>(단계 2) \( \left(f+\frac{a}{c} \sin \frac{t}{c}\right)^{2}+\left(g-\frac{a}{c} \cos \frac{t}{c}\right)^{2} \) 이 O임을 보이자. \[\left(f+\frac{a}{c} \sin \frac{t}{c}\right)^{2}+\left(g-\frac{a}{c} \cos \frac{t}{c}\right)^{2}=f^{2}+g^{2}+\frac{a^{2}}{c^{2}}+\frac{2 a}{c}\left(f \sin \frac{t}{c}-g \cos \frac{t}{c}\right)\] \[=\frac{2 a^{2}}{c^{2}}-\frac{2 a^{2}}{c^{2}}=0\] (식 (1.7.11)에 의해) 그러므로 \[f(t)=-\frac{a}{c} \sin \frac{\mathrm{t}}{\mathrm{c}}, g(t)=\frac{a}{c} \cos \frac{\mathrm{t}}{\mathrm{c}}\]</p><p>증명</p><p>정리 1.7.7에 의해 \( \alpha \) 는 원기둥나선이므로</p><p><caption>(1.7.12)</caption>\[ T \cdot \mathbf{u}=\cos \theta \] 를 만족시키는 단위벡터 \( \mathrm{u} \) 와 상수 \( \theta \) 가 존재한다. \( \alpha(s)=(x(s), y(s), z(s)) \) 로 놓고 \( \mathbf{u}=(0,0,1), \alpha(0)=\left(x_{0}, 0,0\right) \) 이라 가정하면 식 \( (1.7 .12) \) 는 \[\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right) \cdot(0,0,1)=\cos \theta\] 즉,</p><p><caption>(1.7.13)</caption>\[ z^{\prime}(s)=\cos \theta \]</p><p>와 동치이다. \( a \) 와 \( b \) 가</p><p><caption>(1.7.14)</caption>\[ \kappa=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}, \quad \tau=\frac{b}{a^{2}+b^{2}} \]</p><p>를 만족시키는 실수라고 하자. 실제로 식 (1.7.14)를 풀면 \[a=\frac{\kappa}{\kappa^{2}+\tau^{2}}, \quad b=\frac{\tau}{\kappa^{2}+\tau^{2}}\] 이다. 정리 1.7.7에 의해 \[\cot \theta=\frac{\tau}{\kappa}=\frac{b}{a}\] 이므로</p><p><caption>(1.7.15)</caption>\[\cos \theta=\frac{b}{c}, \sin \theta=\frac{a}{c}, c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\] 따라서 식 (1.7.13)과 초기조건 \( z(0)=0 \) 으로부터 \[z(s)=\frac{b s}{c}\]이다.</p><p>한편, \( \left\\|\alpha^{\prime}(s)\right\\|=1 \) 이므로 \[\begin{aligned}\left(x^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\right)^{2} &=1-\left(z^{\prime}(t)\right)^{2}=1-\cos ^{2} \theta \\ &=\sin ^{2} \theta=\frac{a^{2}}{c^{2}}\end{aligned}\] 또, \[\begin{aligned}B &=T \times N=T \times \frac{T^{\prime}}{\kappa} \\&=\frac{1}{\kappa}\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right) \times\left(x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}, z^{\prime \prime}\right) \\&=\frac{1}{\kappa}\left(y^{\prime} z^{\prime \prime}-y^{\prime \prime} z^{\prime}, x^{\prime \prime} z^{\prime}-x^{\prime} z^{\prime \prime}, x^{\prime} y^{\prime \prime}-x^{\prime \prime} y^{\prime}\right)\end{aligned}\] 이고 정리 \( 1.7 .7 \) 의 증명으로부터 \( B \cdot \mathrm{u}=\sin \theta=\frac{a}{c} \) 이므로 \[x^{\prime} y^{\prime \prime}-x^{\prime \prime} y^{\prime}=\frac{a^{2}}{c^{3}}\] 따라서</p><p><caption>(1.7.15)</caption>\[x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=\frac{a^{2}}{c^{2}}, x^{\prime} y^{\prime \prime}-x^{\prime \prime} y^{\prime}=\frac{a^{2}}{c^{3}}\] 초기 접벡터가 \( y z \)-평면에 놓여 있다고 가정하면 식 (1.7.16)의 첫째 식으로부터 \[x^{\prime}(0)=0, y^{\prime}(0)=\frac{a}{c}\]이다.</p><p>도움정리 1.7.9에 의해 \[x^{\prime}(s)=-\frac{a}{c} \sin \frac{s}{c}, y^{\prime}(s)=\frac{a}{c} \cos \frac{s}{c}\]이고 초기조건에 의해 \[x(s)=a \cos \frac{s}{c}, y(s)=a \sin \frac{s}{c}\]이므로 곡선 \( \alpha \) 는 나선이다.</p><p>\( \mathbb{R}^{3} \) 의 정칙곡선 \( \alpha=\alpha(t) \) 와 곡률 \( \kappa \) 및 비틀림 \( \tau \) 와의 관계에 대하여 요약하면 다음과 같다. \[\begin{aligned}\kappa &=0 \Leftrightarrow \alpha \text { 는 상수 } \\ \tau &=0 \Leftrightarrow \alpha \text { 는 평면곡선 } \\ \kappa>0 \text { 상수, } \tau &=0 \Leftrightarrow \alpha \text { 는 원 } \\ \kappa>0 \text { 상수, } \tau \neq 0 \Leftrightarrow \alpha \text { 는 나선 } \\ \frac{\tau}{\kappa} \text { 상수 } \Leftrightarrow \alpha \text { 는 원기둥나선 } \end{aligned}\]</p>	해석학	[ "<p>정리 1.8.11 곡선의 기본정리</p><p>두 정칙곡선 \\( \\alpha, \\gamma:(a, b) \\rightarrow \\mathbb{R}^{3} \\) 의 곡률과 비틀림이 같고 곡률이 양수이면 \\[ F(\\alpha)=\\gamma \\] 를 만족시키는 유클리드 등장사상 \\( F: \\mathbb{R}^{3} \\rightarrow \\mathbb{R}^{3} \\) 이 존재한다.", "</p><p>증명</p><p>증명을 다음과 같이 세 단계로 나누어 하자.", "</p><p>(단계 1) 등장사상 \\( F \\) 의 존재성</p><p>\\( \\alpha, \\gamma \\) 가 단위속력곡선이라고 가정하고 \\( \\alpha \\) 와 \\( \\gamma \\) 의 곡률 및 비틀림을 각각 \\( \\kappa, \\tau \\) 라고 하자. 또한 \\( \\alpha \\) 와 \\( \\gamma \\) 의 프레네 틀마당을 각각 \\( \\left\\{T_{\\alpha}, N_{\\alpha}, B_{\\alpha}\\right\\},\\left\\{T_{\\gamma}, N_{\\gamma}, B_{\\gamma}\\right\\} \\) 라고 하면 \\( \\kappa>", "0 \\) 이므로 프레네 틀마당은 잘 정의된다.", "</p><p>한 점 \\( s_{0} \\in(a, b) \\) 를 고정하자. \\", "( \\left\\{T_{\\alpha}\\left(s_{0}\\right), N_{\\alpha}\\left(s_{0}\\right), B_{\\alpha}\\left(s_{0}\\right)\\right\\} \\) 는 점 \\( \\alpha\\left(s_{0}\\right) \\) 에서 \\( \\mathbb{R}^{3} \\) 의 정규직교기저이고 \\( \\left\\{T_{\\gamma}\\left(s_{0}\\right), N_{\\gamma}\\left(s_{0}\\right), B_{\\gamma}\\left(s_{0}\\right)\\right\\} \\) 는 점 \\( \\gamma\\left(s_{0}\\right) \\) 에서 \\( \\mathbb{R}^{3} \\) 의 정규직교기저이므로</p><p><caption>(1.8.6)</caption>\\[ A\\left(T_{\\alpha}\\left(s_{0}\\right)\\right)=T_{\\gamma}\\left(s_{0}\\right), A\\left(N_{\\alpha}\\left(s_{0}\\right)\\right)=N_{\\gamma}\\left(s_{0}\\right), A\\left(B_{\\alpha}\\left(s_{0}\\right)\\right)=B_{\\gamma}\\left(s_{0}\\right) \\]을 만족시키는 직교변환 \\( A: \\mathbb{R}^{3} \\rightarrow \\mathbb{R}^{3} \\) 이 존재한다.", "특히, 도움정리 \\( 1.8 .9 \\) 에 의해 \\( \\operatorname{det}(A)=1 \\) 이다.", "</p><p>이때 \\( T \\) 를 \\[T(\\mathbf{p})=\\mathbf{p}+\\gamma\\left(s_{0}\\right)-A\\left(\\alpha\\left(s_{0}\\right)\\right)\\] 로 정의되는 평행이동사상이라 하고 사상 \\( F \\) 를 \\( F=T \\circ A \\) 로 정의하자.", "그러면 \\( F \\) 는 등장사상이고 을 만족시킨다(그림 1.18).", "</p><p><caption>(1.8.7)</caption>\\[ F\\left(\\alpha\\left(s_{0}\\right)\\right)=(T \\circ A)\\left(\\alpha\\left(s_{0}\\right)\\right)=\\gamma\\left(s_{0}\\right) \\]</p><p>(단계 2)</p><p>\\( \\beta=F \\circ \\alpha \\) 로 정의하고 \\( \\beta \\) 의 프레네 틀마당을 \\( \\left\\{T_{\\beta}, N_{\\beta}, B_{\\beta}\\right\\} \\) 라 할 때,</p><p><caption>(1.8.8)</caption>\\[ \\quad T_{\\beta}\\left(s_{0}\\right)=T_{\\gamma}\\left(s_{0}\\right), N_{\\beta}\\left(s_{0}\\right)=N_{\\gamma}\\left(s_{0}\\right), B_{\\beta}\\left(s_{0}\\right)=B_{\\gamma}\\left(s_{0}\\right) \\] 가 성립함을 보이자.", "</p><p>\\( F \\) 가 등장사상이고 \\( \\operatorname{det}(A)=1 \\) 이므로 정리 \\( 1.8 .10 \\) 에 의해 곡선 \\( \\beta \\) 의 곡률 \\( \\kappa_{\\beta} \\) 과 비틀림 \\", "( \\tau_{\\beta} \\) 는 곡선 \\( \\alpha \\) 의 곡률 및 비틀림과 일치한다.", "즉, \\( \\kappa_{\\beta}=\\kappa, \\tau_{\\beta}=\\tau \\) 이다.", "</p><p>한편, \\[T_{\\beta}(s)=(F \\circ \\alpha)^{\\prime}(s)=A\\left(\\alpha^{\\prime}(s)\\right)=A\\left(T_{\\alpha}(s)\\right)\\] 이므로 (1.8.6)에 의해 \\[T_{\\beta}\\left(s_{0}\\right)=A\\left(T_{\\alpha}\\left(s_{0}\\right)\\right)=T_{\\gamma}\\left(s_{0}\\right)\\] 또한 \\[T_{\\beta}^{\\prime}(s)=A\\left(T^{\\prime}{ }_{\\alpha}(s)\\right)=\\kappa A\\left(N_{\\alpha}(s)\\right)\\] 이고 프레네 공식에 의해 \\[T_{\\beta}^{\\prime}(s)=\\kappa N_{\\beta}(s)\\] 이므로 \\[N_{\\beta}(s)=A\\left(N_{\\alpha}(s)\\right)\\]이다.", "따라서 (1.8.6)에 의해 \\[N_{\\beta}\\left(s_{0}\\right)=N_{\\gamma}\\left(s_{0}\\right)\\] 끝으로 \\[T_{\\beta}(s) \\times N_{\\beta}(s) \\cdot B_{\\beta}(s)=\\left\\\|B_{\\beta}(s)\\right\\\|^{2}=1\\] 이고 도움정리 1.8.9에 의해 \\[\\begin{aligned} T_{\\beta}(s) \\times N_{\\beta}(s) \\cdot A\\left(B_{\\alpha}(s)\\right) &=A\\left(T_{\\alpha}(s)\\right) \\times A\\left(N_{\\alpha}(s)\\right) \\cdot A\\left(B_{\\alpha}(s)\\right) \\\\&=\\operatorname{det}(A)\\left(T_{\\alpha}(s) \\times N_{\\alpha}(s) \\cdot B_{\\alpha}(s)\\right)=1\\end{aligned}\\] 따라서 \\( B_{\\beta}(s)=A\\left(B_{\\alpha}(s)\\right) \\) 이고 \\( B_{\\beta}\\left(s_{0}\\right)=B_{\\gamma}\\left(s_{0}\\right) \\) 가 성립한다.", "</p><p>(단계 3) \\( F \\circ \\alpha=\\beta=\\gamma \\)</p><p>(1.8.7)에 의해</p><p><caption>(1.8.9)</caption>\\[ \\beta\\left(s_{0}\\right)=\\gamma\\left(s_{0}\\right) \\]</p><p>이 성립한다. \\", "( \\beta=\\alpha \\) 임을 보이기 위해 각각의 \\( s, a<s<b \\) 에 대하여 함수 \\( f(s) \\) 를 \\[f(s)=\\left\\\|T_{\\beta}(s)-T_{\\gamma}(s)\\right\\\|^{2}+\\left\\\|N_{\\beta}(s)-N_{\\gamma}(s)\\right\\\|^{2}+\\left\\\|B_{\\beta}(s)-B_{\\gamma}(s)\\right\\\|^{2}\\] 로 정의하자.", "양변을 \\( s \\) 에 관해 미분하면 \\[f^{\\prime}(s)=2\\left(T_{\\beta}^{\\prime}(s)-T_{\\gamma}^{\\prime}(s)\\right) \\cdot\\left(T_{\\beta}(s)-T_{\\gamma}(s)\\right)+2\\left(N_{\\beta}^{\\prime}(s)-N_{\\gamma}^{\\prime}(s)\\right)\\] \\[\\text { - }\\left(N_{\\beta}(s)-N_{\\gamma}(s)\\right)+2\\left(B_{\\beta}^{\\prime}(s)-B_{\\gamma}^{\\prime}(s)\\right) \\cdot\\left(B_{\\beta}(s)-B_{\\gamma}(s)\\right)\\] 프레네 틀마당은 모두 단위벡터장이므로 \\[T_{\\beta}{ }^{\\prime}(s) \\cdot T_{\\beta}(s)=0=N_{\\beta}{ }^{\\prime}(s) \\cdot N_{\\beta}(s)=B_{\\beta}{ }^{\\prime}(s) \\cdot B_{\\beta}(s)\\] 이고 \\[T_{\\gamma}^{\\prime}(s) \\cdot T_{\\gamma}(s)=0=N_{\\gamma}^{\\prime}(s) \\cdot N_{\\gamma}(s)=B_{\\gamma}^{\\prime}(s) \\cdot B_{\\gamma}(s)\\] 이다.", "따라서 \\[\\begin{aligned} f^{\\prime}(s)=&-2\\left\\{T_{\\beta}^{\\prime}(s) \\cdot T_{\\gamma}(s)+T_{\\beta}(s) \\cdot T_{\\gamma}^{\\prime}(s)+N_{\\beta}^{\\prime}(s) \\cdot N_{\\gamma}(s)\\right.\\\\&\\left.+N_{\\beta}(s) \\cdot N_{\\gamma}^{\\prime}(s)+B_{\\beta}^{\\prime}(s) \\cdot B_{\\gamma}(s)+B_{\\beta}(s) \\cdot B_{\\gamma}^{\\prime}(s)\\right\\} \\\\=&-2\\left\\{\\kappa N_{\\beta}(s) \\cdot T_{\\gamma}(s)+\\kappa T_{\\beta}(s) \\cdot N_{\\gamma}(s)-\\kappa T_{\\beta}(s) \\cdot N_{\\gamma}(s)+\\tau B_{\\beta}(s) \\cdot N_{\\gamma}(s)\\right\\} \\\\&\\left.-\\kappa N_{\\beta}(s) \\cdot T_{\\gamma}(s)+\\tau N_{\\beta}(s) \\cdot B_{\\gamma}(s)-\\tau N_{\\beta}(s) \\cdot B_{\\gamma}(s)-\\tau B_{\\beta}(s) \\cdot N_{\\gamma}(s)\\right\\} \\\\=& 0\\end{aligned}\\]", "그러므로 함수 \\( f \\) 는 상수함수이고 (단계 2)에 의해 \\( f\\left(s_{0}\\right)=0 \\) 이므로 함수 \\( f \\) 는 항등적으로 \\( \\mathrm{O} \\) 이다.", "따라서 \\[(F \\circ \\alpha)^{\\prime}(s)=T_{\\beta}(s)=T_{\\gamma}(s)=\\gamma^{\\prime}(s)\\] 그러므로 (1.8.9)에 의해 \\( (F \\circ \\alpha)(s)=\\beta(s)=\\gamma(s) \\) 가 성립한다.", "</p> <h1>제 1 장 곡선</h1><p>대학교 미분기하학 과정에서 다룰 수 있는 기하학적 대상으로는 고전 미분기하학의 시발점이 되었던 곡선과 3 차원 유클리드 공간의 곡면이 있다.", "1 장에서는 곡선 이론에 대하여 알아본다.", "곡선은 실수의 개구간에서 정의된 미분가능한 함수로 일변수함수의 미분법만 알면 곡선 이론을 이해하기에 충분하다.", "다시 말해서 곡선 이론은 미적분학 수준에서도 이해할 수 있는 비교적 쉬운 내용이다.", "곡선 이론에는 곡선의 형태에 따라서 여러 가지 개념을 도입하고 이를 이용하여 곡선의 성질을 파악하는 다양한 이론이 존재하지만 이러한 모든 개념을 다루는 것은 이 책의 본질을 벗어나므로, 여러 가지 곡선을 구분할 수 있는 도구가 되는 기하학적 개념과 그것의 기본적인 성질 등 가급적이면 간단한 형태의 곡선과 비교적 쉬운 개념만을 다루기로 한다.", "</p><p>1절에서는 이 책에서 주로 다루는 기하학적 대상인 곡선과 곡면을 품고 있는 3 차원 유클리드 공간에 대하여 간략하게 알아보고 2절에서는 곡선의 정의와 여러 가지 형태의 곡선을 살펴보기로 한다.", "3절에서는 곡선 이론을 공부하는데 있어서 가장 간단한 기하학적 도구인 곡선의 길이에 관하여 알아본다.", "4절과 5 절에서는 6절을 위한 준비 과정으로 곡선의 벡터장, 유클리드 공간의 방향(orientation) 및 벡터곱에 대하여 설명한다.", "6절에서는 곡선 이론에서 가장 중요한 개념인 곡률과 비틀림에 대하여 알아본다.", "곡선의 기본정리에 의하면 곡선의 모양은 곡률과 비틀림에 의해 결정된다.", "7절에서는 임의속력을 갖는 곡선의 곡률과 비틀림에 관하여 이야기하고, 8 절에서는 유클리드 공간에서 거리를 보존하는 사상인 등장사상에 대하여 알아본다.", "등장사상에 의해 옮겨지는 기하학적 대상은 모두 같은 기하학적 성질을 갖는다.", "</p> <p>보기 1.7.4와 정리 1.7.7로부터 곡선 \\( \\alpha(t)=\\left(2 t, t^{2}, \\frac{t^{3}}{3}\\right) \\) 은 \\( \\kappa=\\tau \\) 이므로 원기둥나선이다.", "또한 보기 1.6.10에 의해 나선은 곡률과 비틀림이 모두 상수인 원기둥나선이다.", "다음 정리에 의하면 곡률과 비틀림이 모두 상수인 곡선은 나선밖에 없다.", "</p><p>정리 1.7.8</p><p>단위속력곡선 \\( \\alpha \\) 의 곡률 \\( \\kappa>0 \\) 와 비틀림 \\", "( \\tau \\neq 0 \\) 이 모두 상수이면 \\( \\alpha \\) 는 나선이다.", "</p><p>정리 1.7.8을 증명하기 위해서는 미분방정식에 관한 다음 도움정리가 필요하다.", "</p><p>도움정리 1.7.9</p><p>원점을 포함하는 개구간에서 정의된 미분가능한 함수 \\( f, g \\) 가 두 실수 \\( a, c \\in \\mathbb{R} \\)에 대하여</p><p><caption>(1.7.7)</caption>\\[ f g^{\\prime}-f^{\\prime} g=\\frac{a^{2}}{c^{3}}, f^{2}+g^{2}=\\frac{a^{2}}{c^{2}} \\]</p><p>과 초기조건</p><p><caption>(1.7.8)</caption>\\[ f(0)=0, \\quad g(0)=\\frac{a}{c} \\]</p><p>를 만족시키면 \\[ f(t)=-\\frac{a}{c} \\sin \\frac{t}{c}, g(t)=\\frac{a}{c} \\cos \\frac{t}{c} \\]</p><p>증명</p><p>식 (1.7.7)의 두 번째 식으로부터</p><p><caption>(1.7.9)</caption>\\[ f f^{\\prime}+g g^{\\prime}=0 \\]</p><p>이 성립한다.", "</p><p>(단계 1) 함수</p><p><caption>(1.7.10)</caption>\\[ -f \\sin \\frac{t}{c}+g \\cos \\frac{t}{c} \\]</p><p>가 상수임을 보이자.", "식 (1.7.10)을 \\( t \\) 에 관해 미분하면 \\[\\begin{array}{l}\\left(-f \\sin \\frac{t}{c}+g \\cos \\frac{t}{c}\\right)^{\\prime}=-f^{\\prime} \\sin \\frac{t}{c}-\\frac{f}{c} \\cos \\frac{t}{c}+g^{\\prime} \\cos \\frac{t}{c}-\\frac{g}{c} \\sin \\frac{t}{c} \\\\=-f^{\\prime} \\sin \\frac{t}{c}-\\frac{c^{2}}{a^{2}} f\\left(f g^{\\prime}-f^{\\prime} g\\right) \\cos \\frac{t}{c}+g^{\\prime} \\cos \\frac{t}{c}-\\frac{c^{2}}{a^{2}} g\\left(f g^{\\prime}-f^{\\prime} g\\right) \\sin \\frac{t}{c}\\end{array}\\] \\[\\begin{array}{l}=-f^{\\prime} \\sin \\frac{t}{c}-\\frac{c^{2}}{a^{2}}\\left(f^{2}+g^{2}\\right) g^{\\prime} \\cos \\frac{t}{c}+g^{\\prime} \\cos \\frac{t}{c}+\\frac{c^{2}}{a^{2}}\\left(f^{2}+g^{2}\\right) f^{\\prime} \\sin \\frac{t}{c} \\\\=0\\end{array}\\] 위의 두 번째 등식과 세 번째 등식에서 식 (1.7.7)과 (1.7.9)를 각각 대입하였다.", "따라서 초기조건 (1.7.8)로부터</p><p><caption>(1.7.11)</caption>\\[ -f \\sin \\frac{t}{c}+g \\cos \\frac{t}{c}=\\frac{a}{c} \\]</p><p>(단계 2) \\( \\left(f+\\frac{a}{c} \\sin \\frac{t}{c}\\right)^{2}+\\left(g-\\frac{a}{c} \\cos \\frac{t}{c}\\right)^{2} \\) 이 O임을 보이자. \\", "[\\left(f+\\frac{a}{c} \\sin \\frac{t}{c}\\right)^{2}+\\left(g-\\frac{a}{c} \\cos \\frac{t}{c}\\right)^{2}=f^{2}+g^{2}+\\frac{a^{2}}{c^{2}}+\\frac{2 a}{c}\\left(f \\sin \\frac{t}{c}-g \\cos \\frac{t}{c}\\right)\\] \\[=\\frac{2 a^{2}}{c^{2}}-\\frac{2 a^{2}}{c^{2}}=0\\] (식 (1.7.11)에 의해) 그러므로 \\[f(t)=-\\frac{a}{c} \\sin \\frac{\\mathrm{t}}{\\mathrm{c}}, g(t)=\\frac{a}{c} \\cos \\frac{\\mathrm{t}}{\\mathrm{c}}\\]</p><p>증명</p><p>정리 1.7.7에 의해 \\( \\alpha \\) 는 원기둥나선이므로</p><p><caption>(1.7.12)</caption>\\[ T \\cdot \\mathbf{u}=\\cos \\theta \\] 를 만족시키는 단위벡터 \\( \\mathrm{u} \\) 와 상수 \\( \\theta \\) 가 존재한다. \\", "( \\alpha(s)=(x(s), y(s), z(s)) \\) 로 놓고 \\( \\mathbf{u}=(0,0,1), \\alpha(0)=\\left(x_{0}, 0,0\\right) \\) 이라 가정하면 식 \\( (1.7 .12) \\) 는 \\[\\left(x^{\\prime}, y^{\\prime}, z^{\\prime}\\right) \\cdot(0,0,1)=\\cos \\theta\\] 즉,</p><p><caption>(1.7.13)</caption>\\[ z^{\\prime}(s)=\\cos \\theta \\]</p><p>와 동치이다. \\", "( a \\) 와 \\( b \\) 가</p><p><caption>(1.7.14)</caption>\\[ \\kappa=\\frac{a}{a^{2}+b^{2}}, \\quad \\tau=\\frac{b}{a^{2}+b^{2}} \\]</p><p>를 만족시키는 실수라고 하자.", "실제로 식 (1.7.14)를 풀면 \\[a=\\frac{\\kappa}{\\kappa^{2}+\\tau^{2}}, \\quad b=\\frac{\\tau}{\\kappa^{2}+\\tau^{2}}\\] 이다.", "정리 1.7.7에 의해 \\[\\cot \\theta=\\frac{\\tau}{\\kappa}=\\frac{b}{a}\\] 이므로</p><p><caption>(1.7.15)</caption>\\[\\cos \\theta=\\frac{b}{c}, \\sin \\theta=\\frac{a}{c}, c=\\sqrt{a^{2}+b^{2}}\\] 따라서 식 (1.7.13)과 초기조건 \\( z(0)=0 \\) 으로부터 \\[z(s)=\\frac{b s}{c}\\]이다.", "</p><p>한편, \\( \\left\\\|\\alpha^{\\prime}(s)\\right\\\|=1 \\) 이므로 \\[\\begin{aligned}\\left(x^{\\prime}(t)\\right)^{2}+\\left(y^{\\prime}(t)\\right)^{2} &=1-\\left(z^{\\prime}(t)\\right)^{2}=1-\\cos ^{2} \\theta \\\\ &=\\sin ^{2} \\theta=\\frac{a^{2}}{c^{2}}\\end{aligned}\\] 또, \\[\\begin{aligned}B &=T \\times N=T \\times \\frac{T^{\\prime}}{\\kappa} \\\\&=\\frac{1}{\\kappa}\\left(x^{\\prime}, y^{\\prime}, z^{\\prime}\\right) \\times\\left(x^{\\prime \\prime}, y^{\\prime \\prime}, z^{\\prime \\prime}\\right) \\\\&=\\frac{1}{\\kappa}\\left(y^{\\prime} z^{\\prime \\prime}-y^{\\prime \\prime} z^{\\prime}, x^{\\prime \\prime} z^{\\prime}-x^{\\prime} z^{\\prime \\prime}, x^{\\prime} y^{\\prime \\prime}-x^{\\prime \\prime} y^{\\prime}\\right)\\end{aligned}\\] 이고 정리 \\( 1.7 .7 \\) 의 증명으로부터 \\( B \\cdot \\mathrm{u}=\\sin \\theta=\\frac{a}{c} \\) 이므로 \\[x^{\\prime} y^{\\prime \\prime}-x^{\\prime \\prime} y^{\\prime}=\\frac{a^{2}}{c^{3}}\\] 따라서</p><p><caption>(1.7.15)</caption>\\[x^{\\prime 2}+y^{\\prime 2}=\\frac{a^{2}}{c^{2}}, x^{\\prime} y^{\\prime \\prime}-x^{\\prime \\prime} y^{\\prime}=\\frac{a^{2}}{c^{3}}\\] 초기 접벡터가 \\( y z \\)-평면에 놓여 있다고 가정하면 식 (1.7.16)의 첫째 식으로부터 \\[x^{\\prime}(0)=0, y^{\\prime}(0)=\\frac{a}{c}\\]이다.", "</p><p>도움정리 1.7.9에 의해 \\[x^{\\prime}(s)=-\\frac{a}{c} \\sin \\frac{s}{c}, y^{\\prime}(s)=\\frac{a}{c} \\cos \\frac{s}{c}\\]이고 초기조건에 의해 \\[x(s)=a \\cos \\frac{s}{c}, y(s)=a \\sin \\frac{s}{c}\\]이므로 곡선 \\( \\alpha \\) 는 나선이다.", "</p><p>\\( \\mathbb{R}^{3} \\) 의 정칙곡선 \\( \\alpha=\\alpha(t) \\) 와 곡률 \\( \\kappa \\) 및 비틀림 \\", "( \\tau \\) 와의 관계에 대하여 요약하면 다음과 같다. \\", "[\\begin{aligned}\\kappa &=0 \\Leftrightarrow \\alpha \\text { 는 상수 } \\\\ \\tau &=0 \\Leftrightarrow \\alpha \\text { 는 평면곡선 } \\\\ \\kappa>0 \\text { 상수, } \\tau &=0 \\Leftrightarrow \\alpha \\text { 는 원 } \\\\ \\kappa>0 \\text { 상수, } \\tau \\neq 0 \\Leftrightarrow \\alpha \\text { 는 나선 } \\\\ \\frac{\\tau}{\\kappa} \\text { 상수 } \\Leftrightarrow \\alpha \\text { 는 원기둥나선 } \\end{aligned}\\]</p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "미분기하학", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "772a8b07-682c1c9b-ce92-4b61-a1a5-771c2a8d35f4", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961050456", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2007", "doc_author": [ "윤갑진" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }
117	<h1>3.0 머리말</h1><p>일계와 이계 미분방정식에 대하여 실제적이거나 또는 이론적인 몇 가지의 결과들을 이미 공부했다. 이런한 결과들 중 많은 것들이 고계 미분방정식에 직접적으로 일반화되어 사용된다. k계도함수 \( d^{k} y / d x^{k} \) 를 \( y^{(k)} \) 로 표기하듯이 n계 미분방정식은 \( F\left(x, y, y^{\prime}, \cdots, y^{(n)}\right)=0 \) 의 형태로 표기하며, 이것은 \( x, y, y^{\prime}, y^{(2)}, \cdots, y^{(n)} \) 을 포함한다.</p><h1>3.1 이론적 고찰</h1><p>일반적인 \( n \) 계 미분방정식 \( F\left(x, y, y^{\prime}, \cdots, y^{(n)}\right)=0 \) 의 해를 구하는 것은 불가능하므로, 여기서는 앞의 두 장에서 익힌 정리들을 확장하여, 특별한 형태의 \( n \) 계 미분방정식의 해를 구하는 법을 살피려고 한다. \( \left.y^{(n)}+P_{n-1}(x) y^{(n-1}\right)+P_{n-2}(x) y^{(n-2)}+\cdots+P_{1}(x) y^{\prime}+P_{0}(x) y=F(x) \)<caption>\( \left ({ }^{}\right) \)</caption>를 선형(linear)이라고 하며, 이때 \( P_{n-1}(x), \cdots, P_{1}(x), P_{0}(x), F(x) \) 를 계수함수(coefficient function)라고 한다. 때로는 이들 계수함수가 한 특정한 구간 J위에서만 정의되기도 한다. 이런 경우에 미분방정식의 해는 J위에서 구해야 한다. 한 함수 \( y=f(x) \) 가 \( f^{(n)}(x)+P_{n-1}(x) f^{(n-1)}(x)+\cdots+P_{1}(x) f^{\prime}(x)+P_{0}(x) f(x)=F(x) \) 를 만족하면, 이 함수를 위의 n계 미분방정식의 해(solution)라고 한다. 예를 들어 실수전체에서 함수 \( e^{2 x}, e^{x}, e^{-x} \) 등은 미분방정식 \( y^{(3)}-2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=0 \) 의 해이다.</p><p>다음의 정리는 정리 \( 2.1 \) 의 이계 미분방정식에서의 해의 존재성과 유일성에 관한 정리를 고계 미분방정식으로 확장시킨 것이다. 마찬가지로 증명은 생략하겠다.</p><p>정리 \( 3.1 \) \( n \geq 2 \) 일 때, 한 구간 \( J \) 에서 계수함수 \( P_{0}(x), P_{1}(x), \cdots, P_{n-1}(x), F(x) \) 가 연속이라 하자. 또 \( x_{0} \) 는 구간 \( J \) 의 한 점이고, \( A_{0}, A_{1}, \cdots, A_{n-1} \) 이 상수라고 하자. 그러면 초기치 문제<p>\[ \begin{array}{l} y^{(n)}+P_{n-1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+P_{1}(x) y^{\prime}+P_{0}(x) y=F(x) ; \\ y\left(x_{0}\right)=A_{0}, y^{\prime}\left(x_{0}\right)=A_{1}, \cdots, y^{(n-1)}\left(x_{0}\right)=A_{n-1} \end{array} \]</p>은 구간 \( J \) 안에 한 해를 갖고, 또 이 해는 유일하다.</p><p>\( n=2 \) 인 경우와 같이 선형인 n계 미분방정식 () 에서 \( F(x)=0 \) 인 경우를 제차(homogeneous), 그렇지 않은 경우를 비제차(nonhomogeneous)라고 한다. 2.2절에서 언급한 것을 확장하면, 함수 \( y_{1}(x), \cdots, y_{k}(x) \) 와 상수 \( c_{1}, \cdots, c_{k} \) 에 대하여 \[c_{1} y_{1}(x)+\cdots+c_{k} y_{k}(x)\] 형태를 \( y_{1}(x), \cdots, y_{k}(x) \) 의 일차결합(linear combination)이라고 한다. n계 제차미분방정식에 관한 다음의 정리는 2.2절의 정리 2.2를 확장시킨 것이다.</p><p>정리 \( 3.2 \) n계 제차 미분방정식<p>\[y^{(n)}+P_{n-1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+P_{1}(x) y^{\prime}+P_{0}(x) y=0\]<caption>\( \left ({ }^{}\right) \)</caption></p>에서 \( y_{1}(x), \cdots, y_{k}(x) \) 가 () 의 해이면 이들의 일차결합도 (**)의 해가 된다.</p> <h1>3.5 미분연산자</h1><p>미분방정식을 나타내는 데 편리한 방법이 있다. \( D \) 를 도함수를 취하는 연산으로 나타내고, 즉 \( D=d / d x \) 로 하고, \( D^{2}=d^{2} / d x^{2}, D^{3}=d^{3} / d x^{3} \) 등으로 하고, 일반적으로 \( D^{n} \) 을 미분을 \( n \) 번하 는 연산으로 나타내자. 이런 경우에 \( D \) 를 미분연산자(differential operator)라고 한다.</p><p>미분의 통상적인 규칙을 이용하여 한 미분방정식을 \( D \) 에 관한 대수적 표현으로 바꿀 수 있다. 예를 들어 \( D^{2}-2 D \) 는</p><p>\(\frac{d^{2}}{d x^{2}}-2 \frac{d}{d x}\) 를 나타내므로<p>\( \begin{array}{l} \left(D^{2}-2 D\right)\left(x^{3}+2\right)=\frac{d^{2}}{d x^{2}}\left(x^{3}+2\right)-2 \frac{d}{d x}\left(x^{3}+2\right)=6 x-6 x^{2}, \\ \left(D^{2}-2 D\right) \cos (x)=-\cos (x)+2 \sin (x) \end{array} \)</p>등과 같이 된다.</p><p>또한 \( D \) 에 관한 식을 인수분해할 수도 있다. 예를 들어 \(\left(D^{2}-2 D-8\right) y=y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-8 y\) 이고, 한편 \(\begin{aligned} (D+2)(D-4) y &=(D+2)\left(y^{\prime}-4 y\right) &=y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+2 y^{\prime}-8 y=y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-8 y \end{aligned}\) 이므로 \( \left(D^{2}-2 D-8\right)=(D+2)(D-4) \) 로 인수분해할 수 있다. 미분연산자의 표현을 써서 미분방정식의 해를 구하는 것을 간단한 예를 통하여 살펴보자.</p><p>예제 \( 1 \) 미분방정식 \( y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-15 y=0 \) 을 미분연산자 \( D \) 로 나타내면<p>\(\left(D^{2}-2 D-15\right) y=0\)</p>또는<p>\((D-5)(D+3) y=0\)</p>이다. 위의 해는 \( (D-5) y=0 \) 또는 \( (D+3) y=0 \) 을 만족시켜야 하므로 \( y_{1}=e^{5 x} \) 와 \( y_{2}=e^{-3 x} \) 이 이미 알고 있는 것과 같이 주어진 미분방정식의 해가 된다.</p><p>예제 \(2\) 미분방정식<p>\(y^{(3)}-y^{\prime \prime}-10 y^{\prime}-8 y=0\)</>을 미분연산자 \( D \) 로 나타내면<p>\((D-4)(D+2)(D+1) y=0\)</p>이다. 이때 \( (D-4) y=0,(D+2) y=0,(D+1) y=0 \) 의 해가 각각 \( e^{4 x}, e^{-2 x}, e^{-x} \) 인데, 이들은 또한 주어진 미분방정식의 해가 된다.</p><p>위에서 간단하게 살핀 것과 같이, 미분연산자를 써서 미분방정식의 해를 구하는 것은 D로 된 방정식을 인수분해하는 것이므로, 미분방정식의 특성방정식의 근을 구하는 것과 다를 것이 없다. 그러나 뒤에서 살피겠지만 미분방정식으로 된 연립방정식(연립미분방정식)의 해를 구하는 데는 매우 유용하게 쓰인다. 또한 미분방정식의 고급이론에도 중요하게 활용될 수 있다.</p> <h1>3.4 n계 오일러의 방정식</h1><p>\( x>0 \) 일 때, y의 j번째 도함수 \( y^{(j)} \) 의 계수가 \( x^{i} \) 와 상수의 곱으로 된 \(x^{n} y^{(n)}+A_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)}+\cdots+A_{1} x y^{\prime}+A_{0} y=0 \quad(x>0)\) 형태의 미분방정식을 n계 오일러 방정식(n-th order Euler equation)이라고 한다. \( n=2 \) 인 경우에는 이미 2.9절에서 해를 구하는 방법을 살폈는데, n계 오일러 방정식에서도 마찬가지로, \( y=x^{r} \) 을 미분방정식에 대입하고 정리하여 얻는 특성방정식의 근을 구하면 된다.</p><p>예제 \( 1 \) 3계 오일러 방정식<p>\(x^{3} y^{(3)}+x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=0\)</p>의 해를 구해보자. \( y=x^{r} \) 을 주어진 미분방정식에 대입하여 정리하면 특성방정식<p>\(r^{3}-2 r^{2}-r+2=0\)</p>을 얻게 되고, 이 방정식의 근을 구하면 \( -1,1,2 \) 이다. 그러므로 \( 1 / x, x, x^{2} \) 등이 주어진 오일러 방정식의 해인데, \( x>0 \) 일 때 이들이 일차독립이므로 일반해는<p>\(y=c_{1} x^{-1}+c_{2} x+c_{2} x^{2}\) 이 된다.</p></p><p>예제 \( 2 \) 오일러 방정식<p>\( x^{3} y^{(3)}+9 x^{2} y^{\prime \prime}+19 x y^{\prime}+8 y=0 \)</p>의 해를 구하여 보자. \( y=x^{r} \) 을 대입하여 정리하면 특성방정식<p>\(r^{3}+6 r^{2}+12 r+8=0\)</p>을 얻는데, \( r=-2 \) 가 특성방정식의 3중근이므로<p>\((\ln (x)) \frac{1}{x^{2}},(\ln (x))^{2} \frac{1}{x^{2}}\)</p>이 위의 오일러 방정식의 해가 된다. 그런데 \( x>0 \) 일 때 이들이 일차독립이므로 일반해는<p>\(y=c_{1} \frac{1}{x^{2}}+c_{2} \ln (x) \frac{1}{x^{2}}+c_{3}[\ln (x)]^{2} \frac{1}{x^{2}}, \quad(x>0)\)</p>이다. 일반적으로 \( r_{1} \) 이 한 오일러 방정식의 특성방정식의 \( k \) 중근일 때는<p>\(x^{r_{1}}, \ln (x) x^{r_{1}},[\ln (x)]^{2} x^{r_{1}}, \cdots,[\ln (x)]^{k-1} x^{r_{1}}\)</p>등이 주어진 오일러 방정식의 일차독립인 해가 된다. 또 특성방정식이 복소근 \( p+i q, p-i q \) 를 갖는 경우에는<p>\(x^{p} \cos [q \ln (x)], x^{p} \sin [q \ln (x)]\)</p>가 오일러 방정식의 일차독립인 해이다.</p><p>예제 \( 3 \) 오일러 방정식<p>\(x^{3} y^{(3)}-5 x^{2} y^{\prime \prime}+18 x y^{\prime}-26 y=0\)</p>의 특성방정식을 구하면<p>\(r^{3}-8 r^{2}+25 r-26=0\)</p>이고, 특성방정식의 근을 구하면 \( 2,3+2 i, 3-2 i \) 이다. 그러므로 주어진 오일러 방정식의 일반해는<p>\(y=c_{1} x^{2}+c_{2} c^{3} \cos [2 \ln (x)]+c_{3} x^{3} \sin [2 \ln (x)]\)</p>가 된다.</p> <h1>3.2 상수계수의 n계 제차미분방정식의 해</h1><p>여기서는 상수계수의 선형 n계 제차미분방정식의 해를 구하려고 한다. 개념은 2장에서의 \( n=2 \) 일 때와 마찬가지이지만, 실제적인 계산에서는 n차 방정식의 근을 구하는 것이 어렵다. \( A_{n-1}, \cdots, A_{1}, A_{0} \) 이 상수일 때 미분방정식 \( A^{(n)}+A_{n-1} y^{(n-1)}+\cdots+A_{1} y^{\prime}+A_{0} y=0 \) 의 해를 구해보자. \( y=e^{r x} \) 를 대입하여 정리하고, 양변을 \( e^{r x} \) 로 나누면 \( r^{n}+A_{n-1} r^{n-1}+\cdots+A_{1} r+A_{0}=0 \) 형태의 특성방정식을 얻는다. 위의 방정식은 \( n \) 개의 근을 갖는데, 근 중에서 실근, 복소근, 중근 등이 생길 수 있고, 이런 경우는 제 2 장에서와 마찬가지로 하여 미분방정식의 해를 정할 수 있다.</p><p>예제 \( 1\) 미분방정식</p><p>\( y^{(4)}+3 y^{(3)}-16 y^{\prime \prime}+12 y^{\prime}=0 \)</p>의 해를 구해보자. 특성방정식을 구하면<p>\( r^{4}+3 r^{3}-16 r^{2}+12 r=0 \)</p>이고, 이 방정식의 근은 \( r=0,1,2,-6 \) 이다. 그러므로 네 개의 해<p>\( e^{0 x}=1, e^{x}, e^{2 x}, e^{-6 x} \)</p>를 갖는데 이들이 일차독립이므로 주어진 미분방정식의 일반해는<p>\( y=c_{1}+c_{2} e^{x}+c_{3} e^{2 x}+c_{4} e^{-6 x} \)</p>이다. 또 위의 미분방정식이 초기조건<p>\( y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime}(0)=4, \quad y^{(3)}=0 \)</p>을 가질 때는<p>\( y(0)=c_{1}+c_{2}+c_{3}+c_{4}=2 \)</p><p>\( y^{\prime}(0)=c_{2}+2 c_{3}-6 c_{4}=0 \)</p><p>\( y^{\prime \prime}(0)=c_{2}+4 c_{3}+36 c_{4}=4 \)</p><p>\( y^{(3)}(0)=c_{2}+8 c_{3}-216 c_{4}=0 \)</p><p>이므로 이들을 풀면 \( c_{1}=3, c_{2}=-16 / 7, c_{3}=5 / 4, c_{4}=1 / 28 \) 이다. 그러므로 위의 초기조건을 갖는 초기치 문제의 해는<p>\( y=e-\frac{16}{7} e^{x}+\frac{5}{4} d^{2 x}+\frac{1}{28} e^{-6 x} \)</p><p>예제 \( 2 \) 미분방정식<p>\(y^{(4)}-4 y^{(3)}+6 y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+y=0\)</p>의 특성방정식은 \( (r-1)^{4}=0 \) 이므로 \( r=1 \) 이 4 중근이다. 그러므로 해는 \( e^{x}, x e^{x}, x^{2} e^{x}, x^{3} e^{x} \) 이고, 또 이들이 일차독립이므로 주어진 미분방정식의 일반해는<p>\(y=e^{x}\left(c_{1}+c_{2} x+c_{2} x^{2}+c_{3} x^{3}\right)\)</p>이 된다.</p><p>예제 \( 3 \) 미분방정식<p>\(y^{(5)}+2 y^{(4)}-3 y^{(3)}-4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}=0\) 의 특성방정식은 \(r^{5}+2 r^{4}-3 r^{3}-4 r^{2}+4 r=0\) 이고, 근을 구하면 1 (중근), \( -2 \) (중근)와 0 이다. 그러므로 일반해는<p>\(\begin{aligned} y &=e^{x}\left(c_{1}+c_{2} x\right)+e^{-2 x}\left(c_{3}+c_{4} x\right) \mid c_{5} e^{0 x} \\&=e^{x}\left(c_{1}+c_{2} x\right)+e^{-2 x}\left(c_{3}+c_{4} x\right)+c_{5}\end{aligned}\)</p>가 된다.</p>	해석학	[ "<h1>3.0 머리말</h1><p>일계와 이계 미분방정식에 대하여 실제적이거나 또는 이론적인 몇 가지의 결과들을 이미 공부했다.", "이런한 결과들 중 많은 것들이 고계 미분방정식에 직접적으로 일반화되어 사용된다.", "k계도함수 \\( d^{k} y / d x^{k} \\) 를 \\( y^{(k)} \\) 로 표기하듯이 n계 미분방정식은 \\( F\\left(x, y, y^{\\prime}, \\cdots, y^{(n)}\\right)=0 \\) 의 형태로 표기하며, 이것은 \\( x, y, y^{\\prime}, y^{(2)}, \\cdots, y^{(n)} \\) 을 포함한다.", "</p><h1>3.1 이론적 고찰</h1><p>일반적인 \\( n \\) 계 미분방정식 \\( F\\left(x, y, y^{\\prime}, \\cdots, y^{(n)}\\right)=0 \\) 의 해를 구하는 것은 불가능하므로, 여기서는 앞의 두 장에서 익힌 정리들을 확장하여, 특별한 형태의 \\( n \\) 계 미분방정식의 해를 구하는 법을 살피려고 한다. \\", "( \\left.y^{(n)}+P_{n-1}(x) y^{(n-1}\\right)+P_{n-2}(x) y^{(n-2)}+\\cdots+P_{1}(x) y^{\\prime}+P_{0}(x) y=F(x) \\)<caption>\\( \\left ({ }^{}\\right) \\)</caption>를 선형(linear)이라고 하며, 이때 \\( P_{n-1}(x), \\cdots, P_{1}(x), P_{0}(x), F(x) \\) 를 계수함수(coefficient function)라고 한다.", "때로는 이들 계수함수가 한 특정한 구간 J위에서만 정의되기도 한다.", "이런 경우에 미분방정식의 해는 J위에서 구해야 한다.", "한 함수 \\( y=f(x) \\) 가 \\( f^{(n)}(x)+P_{n-1}(x) f^{(n-1)}(x)+\\cdots+P_{1}(x) f^{\\prime}(x)+P_{0}(x) f(x)=F(x) \\) 를 만족하면, 이 함수를 위의 n계 미분방정식의 해(solution)라고 한다.", "예를 들어 실수전체에서 함수 \\( e^{2 x}, e^{x}, e^{-x} \\) 등은 미분방정식 \\( y^{(3)}-2 y^{\\prime \\prime}-y^{\\prime}+2 y=0 \\) 의 해이다.", "</p><p>다음의 정리는 정리 \\( 2.1 \\) 의 이계 미분방정식에서의 해의 존재성과 유일성에 관한 정리를 고계 미분방정식으로 확장시킨 것이다.", "마찬가지로 증명은 생략하겠다.", "</p><p>정리 \\( 3.1 \\) \\( n \\geq 2 \\) 일 때, 한 구간 \\( J \\) 에서 계수함수 \\( P_{0}(x), P_{1}(x), \\cdots, P_{n-1}(x), F(x) \\) 가 연속이라 하자.", "또 \\( x_{0} \\) 는 구간 \\( J \\) 의 한 점이고, \\( A_{0}, A_{1}, \\cdots, A_{n-1} \\) 이 상수라고 하자.", "그러면 초기치 문제<p>\\[ \\begin{array}{l} y^{(n)}+P_{n-1}(x) y^{(n-1)}+\\cdots+P_{1}(x) y^{\\prime}+P_{0}(x) y=F(x) ; \\\\ y\\left(x_{0}\\right)=A_{0}, y^{\\prime}\\left(x_{0}\\right)=A_{1}, \\cdots, y^{(n-1)}\\left(x_{0}\\right)=A_{n-1} \\end{array} \\]</p>은 구간 \\( J \\) 안에 한 해를 갖고, 또 이 해는 유일하다.", "</p><p>\\( n=2 \\) 인 경우와 같이 선형인 n계 미분방정식 () 에서 \\( F(x)=0 \\) 인 경우를 제차(homogeneous), 그렇지 않은 경우를 비제차(nonhomogeneous)라고 한다. 2.2절에서 언급한 것을 확장하면, 함수 \\( y_{1}(x), \\cdots, y_{k}(x) \\) 와 상수 \\( c_{1}, \\cdots, c_{k} \\) 에 대하여 \\[c_{1} y_{1}(x)+\\cdots+c_{k} y_{k}(x)\\] 형태를 \\( y_{1}(x), \\cdots, y_{k}(x) \\) 의 일차결합(linear combination)이라고 한다.", "n계 제차미분방정식에 관한 다음의 정리는 2.2절의 정리 2.2를 확장시킨 것이다.", "</p><p>정리 \\( 3.2 \\) n계 제차 미분방정식<p>\\[y^{(n)}+P_{n-1}(x) y^{(n-1)}+\\cdots+P_{1}(x) y^{\\prime}+P_{0}(x) y=0\\]<caption>\\( \\left ({ }^{}\\right) \\)</caption></p>에서 \\( y_{1}(x), \\cdots, y_{k}(x) \\) 가 () 의 해이면 이들의 일차결합도 (**)의 해가 된다.", "</p> <h1>3.5 미분연산자</h1><p>미분방정식을 나타내는 데 편리한 방법이 있다. \\", "( D \\) 를 도함수를 취하는 연산으로 나타내고, 즉 \\( D=d / d x \\) 로 하고, \\( D^{2}=d^{2} / d x^{2}, D^{3}=d^{3} / d x^{3} \\) 등으로 하고, 일반적으로 \\( D^{n} \\) 을 미분을 \\( n \\) 번하 는 연산으로 나타내자.", "이런 경우에 \\( D \\) 를 미분연산자(differential operator)라고 한다.", "</p><p>미분의 통상적인 규칙을 이용하여 한 미분방정식을 \\( D \\) 에 관한 대수적 표현으로 바꿀 수 있다.", "예를 들어 \\( D^{2}-2 D \\) 는</p><p>\\(\\frac{d^{2}}{d x^{2}}-2 \\frac{d}{d x}\\) 를 나타내므로<p>\\( \\begin{array}{l} \\left(D^{2}-2 D\\right)\\left(x^{3}+2\\right)=\\frac{d^{2}}{d x^{2}}\\left(x^{3}+2\\right)-2 \\frac{d}{d x}\\left(x^{3}+2\\right)=6 x-6 x^{2}, \\\\ \\left(D^{2}-2 D\\right) \\cos (x)=-\\cos (x)+2 \\sin (x) \\end{array} \\)</p>등과 같이 된다.", "</p><p>또한 \\( D \\) 에 관한 식을 인수분해할 수도 있다.", "예를 들어 \\(\\left(D^{2}-2 D-8\\right) y=y^{\\prime \\prime}-2 y^{\\prime}-8 y\\) 이고, 한편 \\(\\begin{aligned} (D+2)(D-4) y &=(D+2)\\left(y^{\\prime}-4 y\\right) &=y^{\\prime \\prime}-4 y^{\\prime}+2 y^{\\prime}-8 y=y^{\\prime \\prime}-2 y^{\\prime}-8 y \\end{aligned}\\) 이므로 \\( \\left(D^{2}-2 D-8\\right)=(D+2)(D-4) \\) 로 인수분해할 수 있다.", "미분연산자의 표현을 써서 미분방정식의 해를 구하는 것을 간단한 예를 통하여 살펴보자.", "</p><p>예제 \\( 1 \\) 미분방정식 \\( y^{\\prime \\prime}-2 y^{\\prime}-15 y=0 \\) 을 미분연산자 \\( D \\) 로 나타내면<p>\\(\\left(D^{2}-2 D-15\\right) y=0\\)</p>또는<p>\\((D-5)(D+3) y=0\\)</p>이다.", "위의 해는 \\( (D-5) y=0 \\) 또는 \\( (D+3) y=0 \\) 을 만족시켜야 하므로 \\( y_{1}=e^{5 x} \\) 와 \\( y_{2}=e^{-3 x} \\) 이 이미 알고 있는 것과 같이 주어진 미분방정식의 해가 된다.", "</p><p>예제 \\(2\\) 미분방정식<p>\\(y^{(3)}-y^{\\prime \\prime}-10 y^{\\prime}-8 y=0\\)</>을 미분연산자 \\( D \\) 로 나타내면<p>\\((D-4)(D+2)(D+1) y=0\\)</p>이다.", "이때 \\( (D-4) y=0,(D+2) y=0,(D+1) y=0 \\) 의 해가 각각 \\( e^{4 x}, e^{-2 x}, e^{-x} \\) 인데, 이들은 또한 주어진 미분방정식의 해가 된다.", "</p><p>위에서 간단하게 살핀 것과 같이, 미분연산자를 써서 미분방정식의 해를 구하는 것은 D로 된 방정식을 인수분해하는 것이므로, 미분방정식의 특성방정식의 근을 구하는 것과 다를 것이 없다.", "그러나 뒤에서 살피겠지만 미분방정식으로 된 연립방정식(연립미분방정식)의 해를 구하는 데는 매우 유용하게 쓰인다.", "또한 미분방정식의 고급이론에도 중요하게 활용될 수 있다.", "</p> <h1>3.4 n계 오일러의 방정식</h1><p>\\( x>0 \\) 일 때, y의 j번째 도함수 \\( y^{(j)} \\) 의 계수가 \\( x^{i} \\) 와 상수의 곱으로 된 \\(x^{n} y^{(n)}+A_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)}+\\cdots+A_{1} x y^{\\prime}+A_{0} y=0 \\quad(x>0)\\) 형태의 미분방정식을 n계 오일러 방정식(n-th order Euler equation)이라고 한다. \\", "( n=2 \\) 인 경우에는 이미 2.9절에서 해를 구하는 방법을 살폈는데, n계 오일러 방정식에서도 마찬가지로, \\( y=x^{r} \\) 을 미분방정식에 대입하고 정리하여 얻는 특성방정식의 근을 구하면 된다.", "</p><p>예제 \\( 1 \\) 3계 오일러 방정식<p>\\(x^{3} y^{(3)}+x^{2} y^{\\prime \\prime}-2 x y^{\\prime}+2 y=0\\)</p>의 해를 구해보자. \\", "( y=x^{r} \\) 을 주어진 미분방정식에 대입하여 정리하면 특성방정식<p>\\(r^{3}-2 r^{2}-r+2=0\\)</p>을 얻게 되고, 이 방정식의 근을 구하면 \\( -1,1,2 \\) 이다.", "그러므로 \\( 1 / x, x, x^{2} \\) 등이 주어진 오일러 방정식의 해인데, \\( x>0 \\) 일 때 이들이 일차독립이므로 일반해는<p>\\(y=c_{1} x^{-1}+c_{2} x+c_{2} x^{2}\\) 이 된다.", "</p></p><p>예제 \\( 2 \\) 오일러 방정식<p>\\( x^{3} y^{(3)}+9 x^{2} y^{\\prime \\prime}+19 x y^{\\prime}+8 y=0 \\)</p>의 해를 구하여 보자. \\", "( y=x^{r} \\) 을 대입하여 정리하면 특성방정식<p>\\(r^{3}+6 r^{2}+12 r+8=0\\)</p>을 얻는데, \\( r=-2 \\) 가 특성방정식의 3중근이므로<p>\\((\\ln (x)) \\frac{1}{x^{2}},(\\ln (x))^{2} \\frac{1}{x^{2}}\\)</p>이 위의 오일러 방정식의 해가 된다.", "그런데 \\( x>0 \\) 일 때 이들이 일차독립이므로 일반해는<p>\\(y=c_{1} \\frac{1}{x^{2}}+c_{2} \\ln (x) \\frac{1}{x^{2}}+c_{3}[\\ln (x)]^{2} \\frac{1}{x^{2}}, \\quad(x>0)\\)</p>이다.", "일반적으로 \\( r_{1} \\) 이 한 오일러 방정식의 특성방정식의 \\( k \\) 중근일 때는<p>\\(x^{r_{1}}, \\ln (x) x^{r_{1}},[\\ln (x)]^{2} x^{r_{1}}, \\cdots,[\\ln (x)]^{k-1} x^{r_{1}}\\)</p>등이 주어진 오일러 방정식의 일차독립인 해가 된다.", "또 특성방정식이 복소근 \\( p+i q, p-i q \\) 를 갖는 경우에는<p>\\(x^{p} \\cos [q \\ln (x)], x^{p} \\sin [q \\ln (x)]\\)</p>가 오일러 방정식의 일차독립인 해이다.", "</p><p>예제 \\( 3 \\) 오일러 방정식<p>\\(x^{3} y^{(3)}-5 x^{2} y^{\\prime \\prime}+18 x y^{\\prime}-26 y=0\\)</p>의 특성방정식을 구하면<p>\\(r^{3}-8 r^{2}+25 r-26=0\\)</p>이고, 특성방정식의 근을 구하면 \\( 2,3+2 i, 3-2 i \\) 이다.", "그러므로 주어진 오일러 방정식의 일반해는<p>\\(y=c_{1} x^{2}+c_{2} c^{3} \\cos [2 \\ln (x)]+c_{3} x^{3} \\sin [2 \\ln (x)]\\)</p>가 된다.", "</p> <h1>3.2 상수계수의 n계 제차미분방정식의 해</h1><p>여기서는 상수계수의 선형 n계 제차미분방정식의 해를 구하려고 한다.", "개념은 2장에서의 \\( n=2 \\) 일 때와 마찬가지이지만, 실제적인 계산에서는 n차 방정식의 근을 구하는 것이 어렵다. \\", "( A_{n-1}, \\cdots, A_{1}, A_{0} \\) 이 상수일 때 미분방정식 \\( A^{(n)}+A_{n-1} y^{(n-1)}+\\cdots+A_{1} y^{\\prime}+A_{0} y=0 \\) 의 해를 구해보자. \\", "( y=e^{r x} \\) 를 대입하여 정리하고, 양변을 \\( e^{r x} \\) 로 나누면 \\( r^{n}+A_{n-1} r^{n-1}+\\cdots+A_{1} r+A_{0}=0 \\) 형태의 특성방정식을 얻는다.", "위의 방정식은 \\( n \\) 개의 근을 갖는데, 근 중에서 실근, 복소근, 중근 등이 생길 수 있고, 이런 경우는 제 2 장에서와 마찬가지로 하여 미분방정식의 해를 정할 수 있다.", "</p><p>예제 \\( 1\\) 미분방정식</p><p>\\( y^{(4)}+3 y^{(3)}-16 y^{\\prime \\prime}+12 y^{\\prime}=0 \\)</p>의 해를 구해보자.", "특성방정식을 구하면<p>\\( r^{4}+3 r^{3}-16 r^{2}+12 r=0 \\)</p>이고, 이 방정식의 근은 \\( r=0,1,2,-6 \\) 이다.", "그러므로 네 개의 해<p>\\( e^{0 x}=1, e^{x}, e^{2 x}, e^{-6 x} \\)</p>를 갖는데 이들이 일차독립이므로 주어진 미분방정식의 일반해는<p>\\( y=c_{1}+c_{2} e^{x}+c_{3} e^{2 x}+c_{4} e^{-6 x} \\)</p>이다.", "또 위의 미분방정식이 초기조건<p>\\( y(0)=2, \\quad y^{\\prime}(0)=0, \\quad y^{\\prime \\prime}(0)=4, \\quad y^{(3)}=0 \\)</p>을 가질 때는<p>\\( y(0)=c_{1}+c_{2}+c_{3}+c_{4}=2 \\)</p><p>\\( y^{\\prime}(0)=c_{2}+2 c_{3}-6 c_{4}=0 \\)</p><p>\\( y^{\\prime \\prime}(0)=c_{2}+4 c_{3}+36 c_{4}=4 \\)</p><p>\\( y^{(3)}(0)=c_{2}+8 c_{3}-216 c_{4}=0 \\)</p><p>이므로 이들을 풀면 \\( c_{1}=3, c_{2}=-16 / 7, c_{3}=5 / 4, c_{4}=1 / 28 \\) 이다.", "그러므로 위의 초기조건을 갖는 초기치 문제의 해는<p>\\( y=e-\\frac{16}{7} e^{x}+\\frac{5}{4} d^{2 x}+\\frac{1}{28} e^{-6 x} \\)</p><p>예제 \\( 2 \\) 미분방정식<p>\\(y^{(4)}-4 y^{(3)}+6 y^{\\prime \\prime}-4 y^{\\prime}+y=0\\)</p>의 특성방정식은 \\( (r-1)^{4}=0 \\) 이므로 \\( r=1 \\) 이 4 중근이다.", "그러므로 해는 \\( e^{x}, x e^{x}, x^{2} e^{x}, x^{3} e^{x} \\) 이고, 또 이들이 일차독립이므로 주어진 미분방정식의 일반해는<p>\\(y=e^{x}\\left(c_{1}+c_{2} x+c_{2} x^{2}+c_{3} x^{3}\\right)\\)</p>이 된다.", "</p><p>예제 \\( 3 \\) 미분방정식<p>\\(y^{(5)}+2 y^{(4)}-3 y^{(3)}-4 y^{\\prime \\prime}+4 y^{\\prime}=0\\) 의 특성방정식은 \\(r^{5}+2 r^{4}-3 r^{3}-4 r^{2}+4 r=0\\) 이고, 근을 구하면 1 (중근), \\( -2 \\) (중근)와 0 이다.", "그러므로 일반해는<p>\\(\\begin{aligned} y &=e^{x}\\left(c_{1}+c_{2} x\\right)+e^{-2 x}\\left(c_{3}+c_{4} x\\right) \\mid c_{5} e^{0 x} \\\\&=e^{x}\\left(c_{1}+c_{2} x\\right)+e^{-2 x}\\left(c_{3}+c_{4} x\\right)+c_{5}\\end{aligned}\\)</p>가 된다.", "</p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "공업수학", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "772a8b07-c17e8ac8-b03b-4293-b327-8263074a6995", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961051446", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2022", "doc_author": [ "이만근", " 김익성" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }
118	<h1>4.14 DEFINITION(박제남, 2006)</h1><p>두 정사각형을 변(모서리)끼리 붙여 직사각형을 만들자. 다음 그림은 두 번의 붙이기를 보여준다. 한 변의 길이가 \( n \) 인 정사각형에 붙일 수 있는 정사각형은 크기가 같은 것 밖에 없다. 따라서 아래 마지막 그림에서와 같이, 두 번째 붙인 정사각형의 폭은 \( 2n \) 이다.</p><p>한편, 분할에서 사용한 기호를 마지막 사각형에 적용하면 \(<1,2>\) 이다.</p><p>다시 (4.9) IN YOUR OWN WORDS의 이야기로 돌아가자. 표에 (2)는 “붙이기"가 된다. 위 두 단계 붙이기에서 마지막 사각형은 \(<1,2>\) 이고, 이를 연분수로 바꾸면 \( 1+\frac{1}{2} \) 이다. 따라서 3 번째 붙이기 결과가 \(<1,2,2>\) 이고, 네 번째 붙이기 결과가 \(<1,2,2,2>\) 가 되도록 붙 이면 된다. \(<1,2,2>\) 를 그리면 오른쪽과 같다.</p><p>독자들은 \( \langle 1,2,2,2\rangle \) 를 쉽게 그릴 수 있다. 이와 같이 무한히 붙이기를 한 것이 무리수 \( \sqrt{2} \) 이다. 다음 표를 홀가분하게 완성하자. 조합론(도미노와 타일)입장에서 무한개의 받침대의 최대 층수는 첫 번째 받침대부터 \( 1,2,2,2, \cdots \) 이다.</p><table border><tbody><tr><td></td><td>유리수</td><td>무리수</td></tr><tr><td>예</td><td>유리수 37/16</td><td>무리수 \( \sqrt{2} \)</td></tr><tr><td>유클리디안 알고리즘</td><td>정수</td><td>다항식</td></tr><tr><td>도형</td><td>분할</td><td>붙이기</td></tr><tr><td>연분수</td><td>유한연분수</td><td>무한연분수</td></tr><tr><td>조합론</td><td>유한개의 방</td><td>무한개의 방</td></tr></tbody></table> <h1>4.16 \( \sqrt{2} \) 의 근삿값</h1><p>(1) 고대 바빌로니아(B.C. 1900 -B.C. 1600)인들은 주로 60 진법을 사용하였으며 기록에 의하여 \( \sqrt{2} \) 를 \[ \sqrt{2}=1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^{2}}+\frac{10}{60^{3}} \] 로 사용하였다. 즉, \[( \sqrt{2}=1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^{2}}+\frac{10}{60^{3}}=\frac{577}{408} \]</p><p>그 이유에 대한 가장 신뢰성 높은 추정은 다음과 같은 두 단계 접근법에 두고 있다.</p><ol type=1 start=1><li>\( x<\sqrt{2} \) 이면 \( \frac{2}{x}>\sqrt{2} \) 이고</li><li>두 수 \( x \) 와 \( \frac{2}{x} \) 의 산술평균 \( \frac{1}{2}\left(x+\frac{2}{x}\right) \) 은 \( x \) 나 \( \frac{2}{x} \) 보다 \( \sqrt{2} \) 에 가깝다.</li></ol><p>따라서, 수열 \[ x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{2}{x_{n}}\right)(n=1,2,3, \cdots) \] 을 얻는다. 이때 \( x_{1}=\frac{3}{2} \) 으로 시작할 때 \( x_{3}=577 / 408 \) 이다.</p><table border><tbody><tr><td>단계</td><td>\( x_{i} \)</td><td>\( 2 / x_{i} \)</td></tr><tr><td>1</td><td>3/2</td><td>4/3</td></tr><tr><td>2</td><td>1712</td><td>24/17</td></tr><tr><td>3</td><td>5777408</td><td>816/577</td></tr><tr><td>4</td><td>66S8577470832</td><td>941664/66S857</td></tr><tr><td>5</td><td>88673108889762701356608</td><td></td></tr></tbody></table><p>한편, \( x_{n}>\sqrt{2} \) 이고 감소하는 수열 이다. 즉, \[x_{n}-x_{n+1}>0(n=1,2,3, \cdots) .\] 이다. 그 이유를 살펴보면 식(4-3)에서</p><ol type=1 start=1><li>\( \frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{2}{x_{n}}\right)>\sqrt{x_{n} \frac{2}{x_{n}}}=\sqrt{2} \) (산술평균과 기하평균의 비교),</li><li>\( x_{n}-x_{n+1}=x_{n}-\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{2}{x_{n}}\right)=\frac{1}{2} \frac{\left(x_{n}^{2}-2\right)}{x_{n}} \)</li><li>\( x_{n}^{2}-\left(2 x_{n+1}\right) x_{n}+2=0 \)</li></ol><p>이다. 그러므로 \[x_{n}-x_{n+1}=x_{n}-\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{2}{x_{n}}\right)=\frac{1}{2} \frac{\left(x_{n}^{2}-2\right)}{x_{n}} \geq 0 . \]</p><p>(2) (Āryabhata(476-550), Brahmagupta(598-6ú5)) \( )^{92)} \) 방정식 \( X^{2}-N Y^{2}= \) \(m (m \neq 0) \)</p><p>을 만족하는 양의 정수해를 \( (x, y) \) 라 하자. \[\begin{aligned} \frac{-\sqrt{N}}{y} &=\frac{1}{y} \frac{(x-y \vee \bar{N})(x+y \sqrt{N})}{x+y \sqrt{N}} \\ &=\frac{1}{y} \frac{x^{2}-N y^{2}}{x+y \sqrt{N}}=\frac{1}{y} \frac{m}{x+y \sqrt{N}} \end{aligned}\] 이다. 따라서 두 양의 정수 \( x, y \) 가 \( m \) 보다 충분히 크면 클수록 유리수 \( \frac{x}{y} \) 는 \( \sqrt{N} \) 의 좋 은 근삿값이 된다. 방정식 \( x^{2}-2 y^{2}=1 \) 의 양의 겅수해를 구하여보자. 먼저, \[x^{2}-2 y^{2}=(x+y \sqrt{2})(x-y \sqrt{2})\] 이고, 방정식 \( x^{2}-2 y^{2}=1 \) 에서 양의 정수해 \( (x, y)=(3,2) \) 를 십게 구할 수 있다. 이때 \[1=3^{2}-2 \cdot 2^{2}=(\dot{\jmath}+2 \sqrt{2})(3-2 \sqrt{2}) .\] 양쪽 끝 변에 제곱을 시행하면 \[\begin{aligned}1=1^{2} &=(3+2 \sqrt{2})^{2}(3-2 \sqrt{2})^{2}=(1 \gamma+12 \sqrt{2} !(17-12 \sqrt{ } 2)\\ &=1 \gamma^{2}-2 \cdot 12^{2}\end{aligned}\] 따라서 새로운 양의 정수해 \( (x, y)=(17,12) \) 를 얻는다. 이를 반복해 보자.</p><p>\[\begin{aligned} 1=1^{2} &=(3+2 \sqrt{2})^{2}(3-2 \sqrt{2})^{2} \\ &=(17+12 \sqrt{2})(17-12 \sqrt{2})\end{aligned}\] 이고 \[\begin{aligned}1=1^{4} &=(3+2 \sqrt{2})^{4}(3-2 \sqrt{2})^{4} \\&=(077+408 \sqrt{2})(577-408 \sqrt{2}) \\&=577^{2}-2 \cdot 408^{2}\end{aligned}\] 이다. 따라서 \( \frac{577}{408} \) 은 \( \sqrt{2} \) 의 (좋은) 근삿값이다.</p><p>(3) 수학(2)에서 학습량감축으로 근삿값을 다루지 않는다.</p><p>(2009 개정 교육과정) 현행 중학교 2 학년의 근삿값 내용의 지도 목표는 눈금으로 읽거나 반올림하여 구한 값은 참값이 아니라는 것과 참값이 아닌 근삿값이 참값과 얼마나 가까운지, 근삿값의 숫자 중 믿을 수 있는 숫자는 무엇인지를 수학적으로 아는 능력을 기르는데 있다. 근삿값은 일상생활에서 쓰이는 내용임에도 불구하고 학생들은 근삿값을 계산하는 것에 치중하며 그 계산을 어려워하고 있는 실정이다. 중학교 과정에서 근삿값 내용은 다른 단원과 연계성이 부족하다. 또한, 현재 중학교 2학년에서 다루는 근삿값은 일상생활에서의 활용도와 거리가 멀고, 가르치기에 많은 어려움을 주는 단원이다.</p><p>\( \sqrt{2} \) 의 근삿값을 어떻게 지도했는지 되돌아보자. 다른 단원과의 연계성이나 실생활에 활용은 미적분을 활용한 근삿값의 영역이다. 중학교에서 근삿값을 다룬다는 것은 미적분을 쓰지 않고 어떻게 근삿값을 다룰 것인가로 문제가 요약된다. 근삿값을 우리 인류는 어떻게 구했는지 알아보자. 이를 바탕으로 근삿값 지도 방법을 생각해 보자. 참고로《고급 수학 II》에서 테일러 다항식을 이용하여 근삿값을 구한다.</p> <h1>4.9 IN YOUR OWN WORDS</h1> <p>두 정수(예를 들어 37,16 을 마음 속에 고정해 놓고)에 대하여<ol type=1 start=1><li>유리수를 하나 결정한다(즉, \( 37 / 16) \).</li> <li>두 정수의 몫과 나머지를 거듭 시행한다.</li> <li>최소정사각형분할을 한다.</li> <li>유한연분수로 본다.</li> <li>받침대가 유한개인 도미노와 타일쌓기로 본다.</li></ol>는 동일선상에 있다는 것을 지금까지 자세히 알아보았다. 수업을 위한 지도안을 작성해 보자.</p> <p>한편, 유리수를 \( \sqrt{2} \) 와 같은 무리수로 바꾸면 아래 표에서 (2), (3), (4), (5)는 어떻게 변할까 생각해 보자. 지금 이 순간 너무 행복하지 않은가?</p> <table border><tbody><tr><td></td><td>유리수</td><td>무리수</td></tr><tr><td>분류</td><td>유리수 37/16</td><td>무리수 \( \sqrt{2} \)</td></tr><tr><td>유클리디안 알고리즘</td><td>두 정수의 몫과 나머지</td><td>(2)</td></tr><tr><td>도형</td><td>분할</td><td>(3)</td></tr><tr><td>연분수</td><td>유한연분수</td><td>(4)</td></tr><tr><td>조합론</td><td>유한개의 방</td><td>(5)</td></tr></tbody></table> <p>이제 화제를 유리수 \( 37 / 16 \) 에서 무리수 \( \sqrt{2} \) 로 옮겨가 보자.</p>	대수학	[ "<h1>4.14 DEFINITION(박제남, 2006)</h1><p>두 정사각형을 변(모서리)끼리 붙여 직사각형을 만들자.", "다음 그림은 두 번의 붙이기를 보여준다.", "한 변의 길이가 \\( n \\) 인 정사각형에 붙일 수 있는 정사각형은 크기가 같은 것 밖에 없다.", "따라서 아래 마지막 그림에서와 같이, 두 번째 붙인 정사각형의 폭은 \\( 2n \\) 이다.", "</p><p>한편, 분할에서 사용한 기호를 마지막 사각형에 적용하면 \\(<1,2>\\) 이다.", "</p><p>다시 (4.9) IN YOUR OWN WORDS의 이야기로 돌아가자.", "표에 (2)는 “붙이기\"가 된다.", "위 두 단계 붙이기에서 마지막 사각형은 \\(<1,2>\\) 이고, 이를 연분수로 바꾸면 \\( 1+\\frac{1}{2} \\) 이다.", "따라서 3 번째 붙이기 결과가 \\(<1,2,2>\\) 이고, 네 번째 붙이기 결과가 \\(<1,2,2,2>\\) 가 되도록 붙 이면 된다. \\", "(<1,2,2>\\) 를 그리면 오른쪽과 같다.", "</p><p>독자들은 \\( \\langle 1,2,2,2\\rangle \\) 를 쉽게 그릴 수 있다.", "이와 같이 무한히 붙이기를 한 것이 무리수 \\( \\sqrt{2} \\) 이다.", "다음 표를 홀가분하게 완성하자.", "조합론(도미노와 타일)입장에서 무한개의 받침대의 최대 층수는 첫 번째 받침대부터 \\( 1,2,2,2, \\cdots \\) 이다.", "</p><table border><tbody><tr><td></td><td>유리수</td><td>무리수</td></tr><tr><td>예</td><td>유리수 37/16</td><td>무리수 \\( \\sqrt{2} \\)</td></tr><tr><td>유클리디안 알고리즘</td><td>정수</td><td>다항식</td></tr><tr><td>도형</td><td>분할</td><td>붙이기</td></tr><tr><td>연분수</td><td>유한연분수</td><td>무한연분수</td></tr><tr><td>조합론</td><td>유한개의 방</td><td>무한개의 방</td></tr></tbody></table> <h1>4.16 \\( \\sqrt{2} \\) 의 근삿값</h1><p>(1) 고대 바빌로니아(B.C. 1900 -B.C. 1600)인들은 주로 60 진법을 사용하였으며 기록에 의하여 \\( \\sqrt{2} \\) 를 \\[ \\sqrt{2}=1+\\frac{24}{60}+\\frac{51}{60^{2}}+\\frac{10}{60^{3}} \\] 로 사용하였다.", "즉, \\[( \\sqrt{2}=1+\\frac{24}{60}+\\frac{51}{60^{2}}+\\frac{10}{60^{3}}=\\frac{577}{408} \\]</p><p>그 이유에 대한 가장 신뢰성 높은 추정은 다음과 같은 두 단계 접근법에 두고 있다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( x<\\sqrt{2} \\) 이면 \\( \\frac{2}{x}>\\sqrt{2} \\) 이고</li><li>두 수 \\( x \\) 와 \\( \\frac{2}{x} \\) 의 산술평균 \\( \\frac{1}{2}\\left(x+\\frac{2}{x}\\right) \\) 은 \\( x \\) 나 \\( \\frac{2}{x} \\) 보다 \\( \\sqrt{2} \\) 에 가깝다.", "</li></ol><p>따라서, 수열 \\[ x_{n+1}=\\frac{1}{2}\\left(x_{n}+\\frac{2}{x_{n}}\\right)(n=1,2,3, \\cdots) \\] 을 얻는다.", "이때 \\( x_{1}=\\frac{3}{2} \\) 으로 시작할 때 \\( x_{3}=577 / 408 \\) 이다.", "</p><table border><tbody><tr><td>단계</td><td>\\( x_{i} \\)</td><td>\\( 2 / x_{i} \\)</td></tr><tr><td>1</td><td>3/2</td><td>4/3</td></tr><tr><td>2</td><td>1712</td><td>24/17</td></tr><tr><td>3</td><td>5777408</td><td>816/577</td></tr><tr><td>4</td><td>66S8577470832</td><td>941664/66S857</td></tr><tr><td>5</td><td>88673108889762701356608</td><td></td></tr></tbody></table><p>한편, \\( x_{n}>\\sqrt{2} \\) 이고 감소하는 수열 이다. 즉, \\[x_{n}-x_{n+1}>", "0(n=1,2,3, \\cdots) .\\] 이다.", "그 이유를 살펴보면 식(4-3)에서</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\frac{1}{2}\\left(x_{n}+\\frac{2}{x_{n}}\\right)>\\sqrt{x_{n} \\frac{2}{x_{n}}}=\\sqrt{2} \\) (산술평균과 기하평균의 비교),</li><li>\\( x_{n}-x_{n+1}=x_{n}-\\frac{1}{2}\\left(x_{n}+\\frac{2}{x_{n}}\\right)=\\frac{1}{2} \\frac{\\left(x_{n}^{2}-2\\right)}{x_{n}} \\)</li><li>\\( x_{n}^{2}-\\left(2 x_{n+1}\\right) x_{n}+2=0 \\)</li></ol><p>이다.", "그러므로 \\[x_{n}-x_{n+1}=x_{n}-\\frac{1}{2}\\left(x_{n}+\\frac{2}{x_{n}}\\right)=\\frac{1}{2} \\frac{\\left(x_{n}^{2}-2\\right)}{x_{n}} \\geq 0 . \\]</p><p>(2) (Āryabhata(476-550), Brahmagupta(598-6ú5)) \\( )^{92)} \\) 방정식 \\( X^{2}-N Y^{2}= \\) \\(m (m \\neq 0) \\)</p><p>을 만족하는 양의 정수해를 \\( (x, y) \\) 라 하자. \\", "[\\begin{aligned} \\frac{-\\sqrt{N}}{y} &=\\frac{1}{y} \\frac{(x-y \\vee \\bar{N})(x+y \\sqrt{N})}{x+y \\sqrt{N}} \\\\ &=\\frac{1}{y} \\frac{x^{2}-N y^{2}}{x+y \\sqrt{N}}=\\frac{1}{y} \\frac{m}{x+y \\sqrt{N}} \\end{aligned}\\] 이다.", "따라서 두 양의 정수 \\( x, y \\) 가 \\( m \\) 보다 충분히 크면 클수록 유리수 \\( \\frac{x}{y} \\) 는 \\( \\sqrt{N} \\) 의 좋 은 근삿값이 된다.", "방정식 \\( x^{2}-2 y^{2}=1 \\) 의 양의 겅수해를 구하여보자.", "먼저, \\[x^{2}-2 y^{2}=(x+y \\sqrt{2})(x-y \\sqrt{2})\\] 이고, 방정식 \\( x^{2}-2 y^{2}=1 \\) 에서 양의 정수해 \\( (x, y)=(3,2) \\) 를 십게 구할 수 있다.", "이때 \\[1=3^{2}-2 \\cdot 2^{2}=(\\dot{\\jmath}+2 \\sqrt{2})(3-2 \\sqrt{2}) .\\]", "양쪽 끝 변에 제곱을 시행하면 \\[\\begin{aligned}1=1^{2} &=(3+2 \\sqrt{2})^{2}(3-2 \\sqrt{2})^{2}=(1 \\gamma+12 \\sqrt{2} !(17-12 \\sqrt{ } 2)\\\\ &=1 \\gamma^{2}-2 \\cdot 12^{2}\\end{aligned}\\]", "따라서 새로운 양의 정수해 \\( (x, y)=(17,12) \\) 를 얻는다.", "이를 반복해 보자.", "</p><p>\\[\\begin{aligned} 1=1^{2} &=(3+2 \\sqrt{2})^{2}(3-2 \\sqrt{2})^{2} \\\\ &=(17+12 \\sqrt{2})(17-12 \\sqrt{2})\\end{aligned}\\] 이고 \\[\\begin{aligned}1=1^{4} &=(3+2 \\sqrt{2})^{4}(3-2 \\sqrt{2})^{4} \\\\&=(077+408 \\sqrt{2})(577-408 \\sqrt{2}) \\\\&=577^{2}-2 \\cdot 408^{2}\\end{aligned}\\] 이다.", "따라서 \\( \\frac{577}{408} \\) 은 \\( \\sqrt{2} \\) 의 (좋은) 근삿값이다.", "</p><p>(3) 수학(2)에서 학습량감축으로 근삿값을 다루지 않는다.", "</p><p>(2009 개정 교육과정) 현행 중학교 2 학년의 근삿값 내용의 지도 목표는 눈금으로 읽거나 반올림하여 구한 값은 참값이 아니라는 것과 참값이 아닌 근삿값이 참값과 얼마나 가까운지, 근삿값의 숫자 중 믿을 수 있는 숫자는 무엇인지를 수학적으로 아는 능력을 기르는데 있다.", "근삿값은 일상생활에서 쓰이는 내용임에도 불구하고 학생들은 근삿값을 계산하는 것에 치중하며 그 계산을 어려워하고 있는 실정이다.", "중학교 과정에서 근삿값 내용은 다른 단원과 연계성이 부족하다.", "또한, 현재 중학교 2학년에서 다루는 근삿값은 일상생활에서의 활용도와 거리가 멀고, 가르치기에 많은 어려움을 주는 단원이다.", "</p><p>\\( \\sqrt{2} \\) 의 근삿값을 어떻게 지도했는지 되돌아보자.", "다른 단원과의 연계성이나 실생활에 활용은 미적분을 활용한 근삿값의 영역이다.", "중학교에서 근삿값을 다룬다는 것은 미적분을 쓰지 않고 어떻게 근삿값을 다룰 것인가로 문제가 요약된다.", "근삿값을 우리 인류는 어떻게 구했는지 알아보자.", "이를 바탕으로 근삿값 지도 방법을 생각해 보자.", "참고로《고급 수학 II》에서 테일러 다항식을 이용하여 근삿값을 구한다.", "</p> <h1>4.9 IN YOUR OWN WORDS</h1> <p>두 정수(예를 들어 37,16 을 마음 속에 고정해 놓고)에 대하여<ol type=1 start=1><li>유리수를 하나 결정한다(즉, \\( 37 / 16) \\).", "</li> <li>두 정수의 몫과 나머지를 거듭 시행한다.", "</li> <li>최소정사각형분할을 한다.", "</li> <li>유한연분수로 본다.", "</li> <li>받침대가 유한개인 도미노와 타일쌓기로 본다.", "</li></ol>는 동일선상에 있다는 것을 지금까지 자세히 알아보았다.", "수업을 위한 지도안을 작성해 보자.", "</p> <p>한편, 유리수를 \\( \\sqrt{2} \\) 와 같은 무리수로 바꾸면 아래 표에서 (2), (3), (4), (5)는 어떻게 변할까 생각해 보자.", "지금 이 순간 너무 행복하지 않은가?", "</p> <table border><tbody><tr><td></td><td>유리수</td><td>무리수</td></tr><tr><td>분류</td><td>유리수 37/16</td><td>무리수 \\( \\sqrt{2} \\)</td></tr><tr><td>유클리디안 알고리즘</td><td>두 정수의 몫과 나머지</td><td>(2)</td></tr><tr><td>도형</td><td>분할</td><td>(3)</td></tr><tr><td>연분수</td><td>유한연분수</td><td>(4)</td></tr><tr><td>조합론</td><td>유한개의 방</td><td>(5)</td></tr></tbody></table> <p>이제 화제를 유리수 \\( 37 / 16 \\) 에서 무리수 \\( \\sqrt{2} \\) 로 옮겨가 보자.", "</p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "412", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "M657-(사범대생을 위한) 형대대수학", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "96aba9d6-b92f5041-9287-4879-95d4-a8e5feb1e028", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961056571", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2013", "doc_author": [ "박제남" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }
119	<h1>4.1 유리식</h1><p>두 다항식의 몫을 유리식(rational expression)이라 한다. 다음은 유리식에 대한 몇 가지 예다.</ol><ol type=a start=1><li>\( \frac{x^{2}+1}{x} \)</li><li>\( \frac{3 x^{2}+x+1}{x^{2}+2} \)</li><li>\( \frac{2 x}{x^{2}-4} \)</li><li>\( \frac{x^{2} y}{(x-y)^{2}} \)</li></ol><p>식 (a), (b)와 (c)는 한 변수 \( x \) 의 유리식이고, 반면에 (d)는 두 변수 \( x \) 와 \( y \) 의 유리식이다.</p></p><p>유리식은 유리수와 같은 방법으로 설명된다. 식 (a)에서, \( x^{2}+1 \) 은 분자(numerator), \( x \) 는 분모 (denominator)라 한다. 어떤 유리식의 분자와 분모가 (1과 -1을 제외한) 공퉁인수를 갖지 않을 때, 그 유리식은 간단하게 된다(To be simplified) 또는 약분되었다(서로소)라 말한다.</p><p>0으로 나누는 것은 정의 되지 않으므로, 유리식의 분모에 있는 다항식은 0과 같을 수 없다. 예로써, 유리식 (a)에 대하여, \( x \) 는 값 0을 취할 수 없다. 즉, 변수 \( x \)의 정의역은 \( \{x: x \neq 0\} \) 이다.</p><h2>4.1.1 유리식을 간단하게 하기</h2><p>유리식은 분자와 분모를 인수분해 하여 다음의 정리 4.1.1을 사용하여 임의의 공봉인수를 소거함으로서 간단하게 된다.</p><p>정리 4.1.1 소거 성질 \( a, b \) 와 \( c \) 는 임의의 유리식이 고 \( b \neq 0, c \neq 0 \) 라 하자. 그러면 \( \frac{a c}{b c}=\frac{a}{b} \).</p><p>보기 4.1.2 유리식을 간단하게 하기 \( \frac{x^{2}+4 x+4}{x^{2}+3 x+2} \) 를 간단히 하라.</p><p>풀이 먼저 분자와 분모를 인수분해 한다. 그러면 \( x^{2}+4 x+4=(x+2)(x+2) \),\( x^{2}+3 x+2=(x+2)(x+1) \). \( x+2 \)는 공통인수이므로, 주어진 유리식은 간단하게 되어 있지 않다. 이 유리식을 간단하게 하기 위하여, 정리 4.1.1을 사용한다. 그러면, \( \frac{x^{2}+4 x+4}{x^{2}+3 x+2}=\frac{(x+2)(x+2)}{(x+2)(x+1)}=\frac{x+2}{x+1}, \quad x \neq-2,-1 \).<p>주목 인수분해 된 꼴로 쓴 유리식에만 정리 4.1.1을 적용하라. 반드시 공통인수만을 소거하라!</p></p><h2>4.1.2 유리식의 곱셈과 나눗셈</h2><p>유리식을 곱하고 나누는 규칙은 유리수를 곱하고 나누는 규칙과 같다. 이 규칙은 다음의 결과다.</p><p>정리 4.1.3 유리식의 곱셈과 나눗셈 \( \frac{a}{b} \) 와 \( \frac{c}{d} \quad(b \neq 0, d \neq 0) \) 는 임의의 두 유리식이라 하자.<ol type=1 start=1><li>유리식의 곱셈 \(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a c}{b d} .\)</li><li>유리식의 나눗셈 \(\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}=\frac{a d}{b c} \quad(c \neq 0) .\)</li></ol></p><p>정리 4.1.3를 유리식에 사용함에 있어서, 먼저 공통인수들이 소거될 수 있도록, 유리식에 있는 분모와 분자를 반드시 인수분해 하라. 답은 인수분해된 꼴로 남겨두라.</p><p>보기 4.1.4 유리식의 곱셈과 나눗셈 지적한 연산을 실행하고 이 결과를 간단히 하라. 답은 인수분해 된 꼴로 남겨두라.</p><ol type=a start=1><li>\( \frac{x^{2}-2 x+1}{x^{3}+x} \cdot \frac{4 x^{2}+4}{x^{2}+x-2} \)</li><li>\( \frac{\frac{x+3}{x^{2}-4}}{\frac{x^{2}-x-12}{x^{3}-8}} \)</li></ol></p><p>풀이<ol type=a start=1><li>\( \frac{x^{2}-2 x+1}{x^{3}+x} \cdot \frac{4 x^{2}+4}{x^{2}+x-2}=\frac{(x-1)^{2}}{x\left(x^{2}+1\right)} \cdot \frac{4\left(x^{2}+1\right)}{(x+2)(x-1)} \)\( =\frac{(x-1)^{2}(4)\left(x^{2}+1\right)}{x\left(x^{2}+1\right)(x+2)(x-1)} \) \( =\frac{4(x-1)}{x(x+2)}, \quad x \neq-2,0,1 \).</li><li>\( \frac{\frac{x+3}{x^{2}-4}}{\frac{x^{2}-x-12}{x^{3}-8}}=\frac{x+3}{x^{2}-4} \cdot \frac{x^{3}-8}{x^{2}-x-12} \)\( =\frac{x+3}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{(x-2)\left(x^{2}+2 x+4\right)}{(x-4)(x+3)} \)\( =\frac{(x+3)(x-2)\left(x^{2}+2 x+4\right)}{(x-2)(x+2)(x-4)(x+3)} \)\( =\frac{x^{2}+2 x+4}{(x+2)(x-4)}, \quad x \neq-3,-2,2,4 \).</li></ol></p> <h2>4.1.4 최소공배수(LCM)</h2><p>더하게 될 (또는 빼게 될) 두 유리식의 분모가 공통인수를 갖지 않으면, 즉, 분모가 갖지 않으면, 우리는 보통 정리 4.1.7의 (1)과 (2)에 의해서 주어지는 일반적인 규칙을 사용하지 않는다. 분수와 꼭 마찬가지로, 우리는 최소공배수(LCM)방법(least common multiple method)을 적용한다.</p><p>LCM방법은 각 분모를 인수로 갖는 최저차 다항식을 사용한다.</p><p>유리식을 더하거나 뺄 때의 LCM방법 LCM 방법은 다음의 네 단계를 필요로 한다.<p>단계 1 : 각 유리식의 분모를 인수분해 한다.</p><p>단계 2 : 분모의 LCM을 구한다. 실로, 분모의 LCM은 각 분모에 나타나는 공통의 인수들 중 최고차의 인수들, 공통이 아닌 인수들과 계수들의 LCM의 곱이다.</p><p>단계 3 : 단계 2에서 구한 LCM을 공통의 분모로 사용해서 각 유리식을 쓴다.</p><p>단계 4 : 정리 0.4.3을 사용하여 단계 3의 유리식을 더하거나 뺀다.</p></p><p>단계 1 과 2 만 필요한 보기를 다루어 보자.</p><p>보기 4.1.9 최소공배수 구하기 다음 두 다항식의 최소공배수를 구하라.<p>\( 6 x(x-1)(x+1)^{3} \) 과 \( 4(x-1)^{2}(x+1) \)</p></p><p>풀이 단계 1 : 각 다항식은 이미 다음과 같이 인수분해 되어 있다. 즉,\( 6 x(x-1)(x+1)^{3} \) 과 \( 4(x-1)^{2}(x+1) \).<p>단계 2 : 공통의 인수는 \( x-1 \) 과 \( x+1 \) 이므로, 각각의 최고차 인수를 택하여 곱한다. 그러면 \( (x-1)^{2}(x+1)^{3} \). 한편 계수는 6과 4이므로, 이들의 LCM은 12 다. 그런데 \( x \) 는 공퉁인수가 아니다. 그러므로 LCM은 \( 12 x(x-1)^{2}(x+1)^{3} \)</p></p><p>실제 LCM은 인수로써 \( 6 x(x-1)(x+1)^{3} \) 과 \( 4(x-1)^{2}(x+1) \) 을 포함하는 최저차의 다항식임에 주목하라.</p><p>보기 4.1.10 LCM을 사용하여 유리식을 더하기 지적된 연산을 실행하고 이 결과를 간단히 하라. 답은 인수분해 된 꼴로 그대로 두라.<p>\( \frac{x}{x^{2}+3 x+2}+\frac{2 x-3}{x^{2}-1}, x \neq-2,-1,1 \)</p></p><p>풀이 단계 1 : 각 분모를 인수분해 한다.<p>\( x^{2}+3 x+2=(x+2)(x+1), \)\( x^{2}-1=(x-1)(x+1). \)</p><p>단계 2: LCM=\((x+2)(x+1)(x-1) \), 여러분은 그 이유를 아는가?</p><p>단계 3: LCM을 분모로 사용하여 각 유리식을 쓴다.<p>\( \frac{x}{x^{2}+3 x+2}=\frac{x}{(x+2)(x+1)}=\frac{x}{(x+2)(x+1)} \cdot \frac{x-1}{x-1}=\frac{x(x-1)}{(x+2)(x+1)(x-1)} \)</p><p>\( \frac{2 x-3}{x^{2}-1}=\frac{2 x-3}{(x-1)(x+1)}=\frac{2 x-3}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{x+2}{x+2}=\frac{(2 x-3)(x+2)}{(x-1)(x+1)(x+2)} \)</p></p><p>단계 4 : 이제 우리는 성질 0.4.3을 사용하여 두 유리식을 더 할 수 있다.<p>\( \frac{x}{x^{2}+3 x+2}+\frac{2 x-3}{x^{2}-1}=\frac{x(x-1)}{(x+2)(x+1)(x-1)}+\frac{(2 x-3)(x+2)}{(x+2)(x+1)(x-1)} \)\( =\frac{x(x-1)+(2 x-3)(x+2)}{(x+2)(x+1)(x-1)}=\frac{x^{2}-x+2 x^{2}+x-6}{(x+2)(x+1)(x-1)} \)\( =\frac{3 x^{2}-6}{(x+2)(x+1)(x-1)}=\frac{3\left(x^{2}-2\right)}{(x+2)(x+1)(x-1)} \).</p></p></p><h2>4.1.5 번분수식</h2><p>유리식의 합과 (또는) 차가 어떤 몫의 분자와 (또는) 분모로 나타날 때, 이 몫을 번분수식(complex fraction) 또는 혼합된 몫(mixed quotient)이라 한다. 예로써, \( \frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}} \) 과 \( \frac{\frac{x-3}{x+2}-3}{\frac{x^{2}}{x^{2}-4}-1} \)은 번분수식이다. 번분수식을 간단하게 한다는 것은 이 식을 간단하게 된 유리식으로 쓰는 것을 의미한다. 이 일은 두 가지 방법 중 어느 하나로 완성될 수 있다.</p><p>보기 4.1.11 번분수식을 간단하게 하기 간단히 하라. \( \frac{\frac{1}{2}+\frac{3}{x}}{\frac{x+3}{4}}, \quad x \neq-3, \quad 0 \).</p><p>풀이 방법 1: 먼저, 분자에 지적된 연산을 실행한 후에 나눈다.<p>\( \frac{\frac{1}{2}+\frac{3}{x}}{\frac{x+3}{4}}=\frac{\frac{1 \cdot x+2 \cdot 3}{2 \cdot x}}{\frac{x+3}{4}}=\frac{\frac{x+6}{2 x}}{\frac{x+3}{4}}=\frac{x+6}{2 x} \cdot \frac{4}{x+3} \)</p><p>방법 2 : 번분수식에 나타나는 유리식은 다음과 같다.</p><p>\( \frac{1}{2}, \frac{3}{x}, \frac{x+3}{4} \)</p><p>우리는 번분수식의 분자와 분모에 \( 4 x \) 를 곱한 후에 간단히 한다.</p><p>\( \frac{\frac{1}{2}+\frac{3}{x}}{\frac{x+3}{4}}=\frac{4 x \cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{x}\right)}{4 x \cdot\left(\frac{x+3}{4}\right)}=\frac{4 x \cdot \frac{1}{2}+4 x \cdot \frac{3}{x}}{\frac{4 x \cdot(x+3)}{4}} \)\( =\frac{2 \cdot 2 x \cdot \frac{1}{2}+4 x \cdot \frac{3}{x}}{\frac{4 x \cdot(x+3)}{4}}=\frac{2 x+12}{x(x+3)}=\frac{2(x+6)}{x(x+3)} \).</p></p> <h2>4.2.2 거듭제곱근을 간단하게 하기</h2><p>근호와 관련하여 다룰 때, "간단히 한다"는 문제는 인수로 나타나는 임의의 완전제곱근들을 근호에서 없앤다는 것을 의미한다. 앞에서 소개한 세 정리 4.2.1, 4.2.3, 4.2.4이 근호를 간단하게 하기 위하여 어떻게 적용되는지를 몇 가지 보기로 알아보자.</p><p>보기 4.2.5 근호를 간단하게 하기<ol type=a start=1><li>\( \sqrt{32}=\sqrt{16 \cdot 2}=\sqrt{16} \cdot \sqrt{2}=4 \sqrt{2} \)</li><li>\( \sqrt[3]{81}=\sqrt[3]{27 \cdot 3}=\sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{3}=3 \sqrt[3]{3} \)</li></ol><p>묷의 분모를 유리화함에 있어서, 반드시 분자와 분모에 동시에 같은 식을 곱한다.</p></p><p>보기 4.2.6 분모유리화 각 식의 분모를 유리화하라.<ol type=a start=1><li>\( \frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{6 \sqrt{3}}{(\sqrt{3})^{2}}=\frac{6 \sqrt{3}}{3}=2 \sqrt{3} \)</li><li>\( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}}=\frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{4}}{2} \)</li><li>\( \sqrt[3]{-16 x^{4}}=\sqrt[3]{-8 \cdot 2 \cdot x^{3} \cdot x}=\sqrt[3]{\left(-8 x^{3}\right)(2 x)} \)\( =\sqrt[3]{(-2 x)^{3} \cdot 2 x}=\sqrt[3]{(-2 x)^{3}} \sqrt[3]{2 x} \)\( =-2 x \sqrt[3]{2 x} \)</li></ol></p><p>보기 4.2.7 같은 근호를 결합하기<ol type=a start=1><li>\( -6 \sqrt{12}+2 \sqrt{3}=-6 \sqrt{4 \cdot 3}+2 \sqrt{3}=-6 \cdot \sqrt{4} \sqrt{3}+2 \sqrt{3} \)\( =-12 \sqrt{3}+2 \sqrt{3}=-10 \sqrt{3} \).</li><li>\( \sqrt[3]{8 x^{4}}+2 \sqrt[3]{-x}+5 \sqrt[3]{27 x}=\sqrt[3]{(2 x)^{3} \cdot x}+2 \sqrt[3]{-1 \cdot x}+5 \sqrt[3]{3^{3} x} \)\( =\sqrt[3]{(2 x)^{3}} \sqrt[3]{x}+2 \cdot \sqrt[3]{-1} \cdot \sqrt[3]{x}+5 \cdot \sqrt[3]{3^{3}} \cdot \sqrt[3]{x} \)\( =2 x \sqrt[3]{x}-2 \sqrt[3]{x}+15 \sqrt[3]{x} \)\( =(2 x+13) \sqrt[3]{x} \)</li></ol></p><h2>4.2.3 유리화하기</h2><p>근호가 몫에 나타날 때, 분모가 근호를 포함하지 않도록 몫을 다시 쓰는 것이 습관이다. 이 과정을 분모유리화(rationalizing the deno-minator)라 한다. 이 생각은 새로운 근호를 포함하지 않도록 적당한 식을 곱하는 것이다. 예로써 분모가 다음의 인수를 포함하면 다음을 곱한다 근호가 없는 분모를 얻는다<p>\( \begin{array}{lll}\sqrt{2} & \sqrt{2} & (\sqrt{2})^{2}=2 \\ \sqrt{2}+1 & \sqrt{2}-1 & (\sqrt{2})^{2}-1^{2}=2-1=1 \\ \sqrt{3}-2 & \sqrt{3}+2 & (\sqrt{3})^{2}-2^{2}=3-4=-1 \\ \sqrt{5}-\sqrt{2} & \sqrt{5}+\sqrt{2} & (\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{2})^{2}=5-3=2 \\ \sqrt[3]{9} & \sqrt[3]{3} & \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{27}=3\end{array} \)</p><p>\( \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2} \cdot \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}=\frac{(\sqrt{x}+2)^{2}}{(\sqrt{x})^{2}-2^{2}} \)\( =\frac{(\sqrt{x})^{2}+4 \sqrt{x}+4}{x-4}=\frac{x+4 \sqrt{x}+4}{x-4} \).</p></p><h2>4.2.4 유리수 지수</h2><p>근호는 유리수지수를 정의하는데 사용된다.</p><p>정의 4.2.8 \( a^{\frac{1}{n}} \) 의 정의 \( a \) 는 실수, \( n \geq 2 \) 는 정수고 \( \sqrt[n]{a} \) 가 존재한다고 하자. 그러면 \( a^{1 / n} \) 은 다음과 같이 정의한다.<p>\( a^{1 / n}=\sqrt[n]{a} \)</p></p><p>보기 4.2.9 정의 4.2.8의 사용<ol type=a start=1><li>\( 9^{1 / 2}=\sqrt{9}=3 \)</li><li>\( (-8)^{1 / 3}=\sqrt[3]{-8}=-2 \)</li><li>\( 27^{1 / 2}=\sqrt{29}=\sqrt[3]{3} \)</li><li>\( 16^{1 / 3}=\sqrt[3]{16}=2 \sqrt[3]{2} \)</li></ol></p><p>정의 4.2.10 유리수지수 \( a \)는 실수, \( m \)과 \( n \)은 \( n \geq 2 \)인 공통인수가 없는 정수고 \( \sqrt{a} \)가 존재한다고 하자. 그러면 \( a^{m / n} \)은 다음과 같이 정의한다.<p>\( a^{m / n}=\sqrt[n]{a^{m}}=(\sqrt[n]{a})^{m} \)</p></p><p>정의 4.2.10에 대하여 두 가지 언급을 한다.<ol type=1 start=1><li>지수 \( m / n \) 은 간단한 꼴(서로소)이고 \( n \) 은 양이어야만 한다.</li><li>\( a^{m / n} \) 을 간단히 함에 있어서, \( \sqrt[n]{a^{m}} \) 또는 \( (\sqrt[n]{a})^{m} \) 이 사용될 수 있다.</li></ol></p><p>보기 4.2.11 정의 4.2.10의 사용<ol type=a start=1><li>\( 27^{2 / 3}=(\sqrt[3]{27})^{2}=3^{2}=9 \)</li><li>\( (-8)^{4 / 3}=(\sqrt[3]{-8})^{4}=(-2)^{4}=16 \)</li><li>\( (81)^{-3 / 4}=(\sqrt[4]{81})^{-3}=3^{-3}=\frac{1}{27} \)</li></ol></p><p>지수법칙이 유리수지수에 대해서도 성립한다는 것이 증명될 수 있다.</p><p>보기 4.2.12 유리수지수를 갖는 식을 간단하게 하기 각 식을 간단히 하라. 양의 지수만 나타나도록 답을 써라. 각 변수는 양이라 가정한다.<ol type=a start=1><li>\( \left(\frac{2 x^{1 / 3}}{y^{2 / 3}}\right)^{-3} \)</li><li>\( \left(x^{2 / 3} y\right)\left(x^{-2} y\right)^{1 / 2} \)</li></ol></p><p>풀이<ol type=a start=1><li>\( \left(\frac{2 x^{1 / 3}}{y^{2 / 3}}\right)^{-3}=\left(\frac{y^{2 / 3}}{2 x^{1 / 3}}\right)^{3}=\frac{\left(y^{2 / 3}\right)^{3}}{\left(2 x^{1 / 3}\right)^{3}}=\frac{y^{2}}{2^{3}\left(x^{1 / 3}\right)^{3}}=\frac{y^{2}}{8 x} \).</li><li>\( \left(x^{2 / 3} y\right)\left(x^{-2} y\right)^{1 / 2}=\left(x^{2 / 3} y\right)\left[\left(x^{-2}\right)^{1 / 2} y^{1 / 2}\right] \)\( =x^{2 / 3} y x^{-1} y^{1 / 2}=\left(x^{2 / 3} x^{-1}\right)\left(y y^{1 / 2}\right) \)\( =x^{-1 / 3} y^{3 / 2}=\frac{y^{2 / 3}}{x^{1 / 3}} \)</li></ol></p><p>다음의 두 보기는 어떤 미분적분학의 문제에 대하여 알아야 할 필요가 있을 몇 가지 대수학의 문제 를 설명 한다.</p><p>보기 4.2.13 어떤 식을 하나의 분수식으로 쓰기 다음의 식을 오직 양의 지수만 나타나는 하나의 분수식으로 써라.<p>\( \left(x^{2}+1\right)^{-1 / 2}+x \cdot \frac{1}{2}\left(x^{2}+1\right)^{-1 / 2} \cdot 2 x \).</p></p><p>풀이 \( \left(x^{2}+1\right)^{-1 / 2}+x \cdot \frac{1}{2}\left(x^{2}+1\right)^{-1 / 2} \cdot 2 x=\left(x^{2}+1\right)^{1 / 2}+\frac{x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{1 / 2}} \)\( =\frac{\left(x^{2}+1\right)^{1 / 2}\left(x^{2}+1\right)^{1 / 2}+x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{1 / 2}} \)\( =\frac{\left(x^{2}+1\right)+x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{1 / 2}} \)\( =\frac{2 x^{2}+1}{\left(x^{2}+1\right)^{1 / 2}} \)</p><p>보기 4.2.14 유리수지수를 포함하는 식을 인수분해하기 인수분해 하라. \( \frac{4}{3} x^{1 / 3}(2 x+1)+2 x^{4 / 3} \).</p><p>풀이 우리는 두 항에 공통인 인수를 찾음으로써 시작한다. 2와 \( x^{1 / 3} \)은 공통인수임에 주목하라. 그러면 \( \frac{4}{3} x^{1 / 3}(2 x+1)+2 x^{4 / 3}=2 x^{1 / 3}\left[\frac{2}{3}(2 x+1)+x\right] \)\( =\frac{2}{3} x^{1 / 3}(7 x+2) \)</p> <h1>4.2 제곱근, 거듭제곱근</h1><p>정의 4.2.1 n 제곱근 수 \( a \) 의 주 \( n \) 제곱근(principal \( n \)th root of a number \( a \) )은 기호 \( \sqrt{a} \) 로 쓰고, 다음과 같이 정의된다.<p>\( \sqrt[n]{a}=b \Leftrightarrow a=b^{n} \).</p><p>여기서 \( n \geq 2 \) 은 정수다. 특히, \( n \geq 2 \) 가 짝수면 \( a \geq 0 \) 이고 \( b \geq 0 \) 이고, \( n \geq 3 \) 이 흘수면 \( a \) 와 \( b \) 는 임의 의 실수다.</p></p><p>\( a<0 \) 이고 \( n \) 이 짝수면 \( \sqrt[n]{a} \) 는 정의되지 않음에 주목하라. \( \sqrt[n]{a} \) 가 정의될 때, \( \sqrt[n]{a} \) 는 유일하다.</p><h2>4.2.1 거듭제곱근</h2><p>\( a \) 의 주 \( n \) 제곱근 \( \sqrt{a} \) 를 때때로 거듭제곱근(radical); 정수 \( n \) 을 지수(index); \( a \) 를 근호속수 또는 식(radicand)이라 한다. 근호의 지수가 2 이면, 우리는 \( \sqrt[2]{a} \) 를 \( a \) 의 제곱근(square root)라 하고 지수 2 를 생략하고 간단하게 \( \sqrt{a} \) 로 쓴다. 근호의 지수가 3 이면, 우리는 \( \sqrt[3]{a} \) 를 \( a \) 의 세제곱근(cube root)이 라 한다.</p><p>보기 4.2.2 주 \( n \) 제곱근의 값 구하기<ol type=a start=1><li>\( \sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^{3}}=3 \)</li><li>\( \sqrt[3]{-8}=\sqrt[3]{(-2)^{3}}=-2 \)</li><li>\( \sqrt[4]{\frac{1}{81}}=\sqrt[4]{\left(\frac{1}{3}\right)^{4}}=\frac{1}{3} \)</li><li>(d) \( \sqrt[6]{(-3)^{6}}=\|-3\|=3 \)</li></ol></p><p>위의 보기들은 완전제곱근(perfect root)들의 예다. 보기 4.2.2 (d)에서 절대 값에 주목하라. \( n \)이 짝수면, 주 \( n \)제곱근은 0보다 크거나 같아야만 한다. 따라서 우리는 다음의 결과를 쉽게 얻는다.</p><p>정리 4.2.3 완전제곱수의 주 \( n \) 제곱근 \( n \geq 2 \) 는 양의 정수고 \( a \) 는 임의의 실수라 하자. 그러면<ol type=1 start=1><li>\( \sqrt[n]{a^{n}}=a \)( \( n \geq 3 \) 은 홀수).</li><li>\( \sqrt[n]{a^{n}}=\|a\| \)( \( n \geq 2 \) 은 짝수).</li></ol></p><p>정리 4.2.4 근호의 성질<p>\( n \geq 2 \)와 \( m \geq 2 \)은 양의 정수, \( a \)와 \( b \)는 임의의 실수이고 모든 \( n \)제곱근이 정의된다고 가정하자. 그러면<ol type=1 start=1><li>\( \sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \)</li><li>\( \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \)</li><li>\( \sqrt[n]{a^{m}}=(\sqrt[n]{a})^{m} \)</li></ol></p></p>	대수학	[ "<h1>4.1 유리식</h1><p>두 다항식의 몫을 유리식(rational expression)이라 한다.", "다음은 유리식에 대한 몇 가지 예다.", "</ol><ol type=a start=1><li>\\( \\frac{x^{2}+1}{x} \\)</li><li>\\( \\frac{3 x^{2}+x+1}{x^{2}+2} \\)</li><li>\\( \\frac{2 x}{x^{2}-4} \\)</li><li>\\( \\frac{x^{2} y}{(x-y)^{2}} \\)</li></ol><p>식 (a), (b)와 (c)는 한 변수 \\( x \\) 의 유리식이고, 반면에 (d)는 두 변수 \\( x \\) 와 \\( y \\) 의 유리식이다.", "</p></p><p>유리식은 유리수와 같은 방법으로 설명된다.", "식 (a)에서, \\( x^{2}+1 \\) 은 분자(numerator), \\( x \\) 는 분모 (denominator)라 한다.", "어떤 유리식의 분자와 분모가 (1과 -1을 제외한) 공퉁인수를 갖지 않을 때, 그 유리식은 간단하게 된다(To be simplified) 또는 약분되었다(서로소)라 말한다.", "</p><p>0으로 나누는 것은 정의 되지 않으므로, 유리식의 분모에 있는 다항식은 0과 같을 수 없다.", "예로써, 유리식 (a)에 대하여, \\( x \\) 는 값 0을 취할 수 없다.", "즉, 변수 \\( x \\)의 정의역은 \\( \\{x: x \\neq 0\\} \\) 이다.", "</p><h2>4.1.1 유리식을 간단하게 하기</h2><p>유리식은 분자와 분모를 인수분해 하여 다음의 정리 4.1.1을 사용하여 임의의 공봉인수를 소거함으로서 간단하게 된다.", "</p><p>정리 4.1.1 소거 성질 \\( a, b \\) 와 \\( c \\) 는 임의의 유리식이 고 \\( b \\neq 0, c \\neq 0 \\) 라 하자.", "그러면 \\( \\frac{a c}{b c}=\\frac{a}{b} \\).", "</p><p>보기 4.1.2 유리식을 간단하게 하기 \\( \\frac{x^{2}+4 x+4}{x^{2}+3 x+2} \\) 를 간단히 하라.", "</p><p>풀이 먼저 분자와 분모를 인수분해 한다.", "그러면 \\( x^{2}+4 x+4=(x+2)(x+2) \\),\\( x^{2}+3 x+2=(x+2)(x+1) \\). \\", "( x+2 \\)는 공통인수이므로, 주어진 유리식은 간단하게 되어 있지 않다.", "이 유리식을 간단하게 하기 위하여, 정리 4.1.1을 사용한다.", "그러면, \\( \\frac{x^{2}+4 x+4}{x^{2}+3 x+2}=\\frac{(x+2)(x+2)}{(x+2)(x+1)}=\\frac{x+2}{x+1}, \\quad x \\neq-2,-1 \\).", "<p>주목 인수분해 된 꼴로 쓴 유리식에만 정리 4.1.1을 적용하라.", "반드시 공통인수만을 소거하라!", "</p></p><h2>4.1.2 유리식의 곱셈과 나눗셈</h2><p>유리식을 곱하고 나누는 규칙은 유리수를 곱하고 나누는 규칙과 같다.", "이 규칙은 다음의 결과다.", "</p><p>정리 4.1.3 유리식의 곱셈과 나눗셈 \\( \\frac{a}{b} \\) 와 \\( \\frac{c}{d} \\quad(b \\neq 0, d \\neq 0) \\) 는 임의의 두 유리식이라 하자.", "<ol type=1 start=1><li>유리식의 곱셈 \\(\\frac{a}{b} \\cdot \\frac{c}{d}=\\frac{a c}{b d} .\\)", "</li><li>유리식의 나눗셈 \\(\\frac{\\frac{a}{b}}{\\frac{c}{d}}=\\frac{a}{b} \\cdot \\frac{d}{c}=\\frac{a d}{b c} \\quad(c \\neq 0) .\\)", "</li></ol></p><p>정리 4.1.3를 유리식에 사용함에 있어서, 먼저 공통인수들이 소거될 수 있도록, 유리식에 있는 분모와 분자를 반드시 인수분해 하라.", "답은 인수분해된 꼴로 남겨두라.", "</p><p>보기 4.1.4 유리식의 곱셈과 나눗셈 지적한 연산을 실행하고 이 결과를 간단히 하라.", "답은 인수분해 된 꼴로 남겨두라.", "</p><ol type=a start=1><li>\\( \\frac{x^{2}-2 x+1}{x^{3}+x} \\cdot \\frac{4 x^{2}+4}{x^{2}+x-2} \\)</li><li>\\( \\frac{\\frac{x+3}{x^{2}-4}}{\\frac{x^{2}-x-12}{x^{3}-8}} \\)</li></ol></p><p>풀이<ol type=a start=1><li>\\( \\frac{x^{2}-2 x+1}{x^{3}+x} \\cdot \\frac{4 x^{2}+4}{x^{2}+x-2}=\\frac{(x-1)^{2}}{x\\left(x^{2}+1\\right)} \\cdot \\frac{4\\left(x^{2}+1\\right)}{(x+2)(x-1)} \\)\\( =\\frac{(x-1)^{2}(4)\\left(x^{2}+1\\right)}{x\\left(x^{2}+1\\right)(x+2)(x-1)} \\) \\( =\\frac{4(x-1)}{x(x+2)}, \\quad x \\neq-2,0,1 \\).", "</li><li>\\( \\frac{\\frac{x+3}{x^{2}-4}}{\\frac{x^{2}-x-12}{x^{3}-8}}=\\frac{x+3}{x^{2}-4} \\cdot \\frac{x^{3}-8}{x^{2}-x-12} \\)\\( =\\frac{x+3}{(x-2)(x+2)} \\cdot \\frac{(x-2)\\left(x^{2}+2 x+4\\right)}{(x-4)(x+3)} \\)\\( =\\frac{(x+3)(x-2)\\left(x^{2}+2 x+4\\right)}{(x-2)(x+2)(x-4)(x+3)} \\)\\( =\\frac{x^{2}+2 x+4}{(x+2)(x-4)}, \\quad x \\neq-3,-2,2,4 \\).", "</li></ol></p> <h2>4.1.4 최소공배수(LCM)</h2><p>더하게 될 (또는 빼게 될) 두 유리식의 분모가 공통인수를 갖지 않으면, 즉, 분모가 갖지 않으면, 우리는 보통 정리 4.1.7의 (1)과 (2)에 의해서 주어지는 일반적인 규칙을 사용하지 않는다.", "분수와 꼭 마찬가지로, 우리는 최소공배수(LCM)방법(least common multiple method)을 적용한다.", "</p><p>LCM방법은 각 분모를 인수로 갖는 최저차 다항식을 사용한다.", "</p><p>유리식을 더하거나 뺄 때의 LCM방법 LCM 방법은 다음의 네 단계를 필요로 한다.", "<p>단계 1 : 각 유리식의 분모를 인수분해 한다.", "</p><p>단계 2 : 분모의 LCM을 구한다.", "실로, 분모의 LCM은 각 분모에 나타나는 공통의 인수들 중 최고차의 인수들, 공통이 아닌 인수들과 계수들의 LCM의 곱이다.", "</p><p>단계 3 : 단계 2에서 구한 LCM을 공통의 분모로 사용해서 각 유리식을 쓴다.", "</p><p>단계 4 : 정리 0.4.3을 사용하여 단계 3의 유리식을 더하거나 뺀다.", "</p></p><p>단계 1 과 2 만 필요한 보기를 다루어 보자.", "</p><p>보기 4.1.9 최소공배수 구하기 다음 두 다항식의 최소공배수를 구하라.", "<p>\\( 6 x(x-1)(x+1)^{3} \\) 과 \\( 4(x-1)^{2}(x+1) \\)</p></p><p>풀이 단계 1 : 각 다항식은 이미 다음과 같이 인수분해 되어 있다.", "즉,\\( 6 x(x-1)(x+1)^{3} \\) 과 \\( 4(x-1)^{2}(x+1) \\).", "<p>단계 2 : 공통의 인수는 \\( x-1 \\) 과 \\( x+1 \\) 이므로, 각각의 최고차 인수를 택하여 곱한다.", "그러면 \\( (x-1)^{2}(x+1)^{3} \\).", "한편 계수는 6과 4이므로, 이들의 LCM은 12 다. 그런데 \\( x \\) 는 공퉁인수가 아니다.", "그러므로 LCM은 \\( 12 x(x-1)^{2}(x+1)^{3} \\)</p></p><p>실제 LCM은 인수로써 \\( 6 x(x-1)(x+1)^{3} \\) 과 \\( 4(x-1)^{2}(x+1) \\) 을 포함하는 최저차의 다항식임에 주목하라.", "</p><p>보기 4.1.10 LCM을 사용하여 유리식을 더하기 지적된 연산을 실행하고 이 결과를 간단히 하라.", "답은 인수분해 된 꼴로 그대로 두라.", "<p>\\( \\frac{x}{x^{2}+3 x+2}+\\frac{2 x-3}{x^{2}-1}, x \\neq-2,-1,1 \\)</p></p><p>풀이 단계 1 : 각 분모를 인수분해 한다.", "<p>\\( x^{2}+3 x+2=(x+2)(x+1), \\)\\( x^{2}-1=(x-1)(x+1). \\)", "</p><p>단계 2: LCM=\\((x+2)(x+1)(x-1) \\), 여러분은 그 이유를 아는가?", "</p><p>단계 3: LCM을 분모로 사용하여 각 유리식을 쓴다.", "<p>\\( \\frac{x}{x^{2}+3 x+2}=\\frac{x}{(x+2)(x+1)}=\\frac{x}{(x+2)(x+1)} \\cdot \\frac{x-1}{x-1}=\\frac{x(x-1)}{(x+2)(x+1)(x-1)} \\)</p><p>\\( \\frac{2 x-3}{x^{2}-1}=\\frac{2 x-3}{(x-1)(x+1)}=\\frac{2 x-3}{(x-1)(x+1)} \\cdot \\frac{x+2}{x+2}=\\frac{(2 x-3)(x+2)}{(x-1)(x+1)(x+2)} \\)</p></p><p>단계 4 : 이제 우리는 성질 0.4.3을 사용하여 두 유리식을 더 할 수 있다.", "<p>\\( \\frac{x}{x^{2}+3 x+2}+\\frac{2 x-3}{x^{2}-1}=\\frac{x(x-1)}{(x+2)(x+1)(x-1)}+\\frac{(2 x-3)(x+2)}{(x+2)(x+1)(x-1)} \\)\\( =\\frac{x(x-1)+(2 x-3)(x+2)}{(x+2)(x+1)(x-1)}=\\frac{x^{2}-x+2 x^{2}+x-6}{(x+2)(x+1)(x-1)} \\)\\( =\\frac{3 x^{2}-6}{(x+2)(x+1)(x-1)}=\\frac{3\\left(x^{2}-2\\right)}{(x+2)(x+1)(x-1)} \\).", "</p></p></p><h2>4.1.5 번분수식</h2><p>유리식의 합과 (또는) 차가 어떤 몫의 분자와 (또는) 분모로 나타날 때, 이 몫을 번분수식(complex fraction) 또는 혼합된 몫(mixed quotient)이라 한다.", "예로써, \\( \\frac{1-\\frac{1}{x}}{1+\\frac{1}{x}} \\) 과 \\( \\frac{\\frac{x-3}{x+2}-3}{\\frac{x^{2}}{x^{2}-4}-1} \\)은 번분수식이다.", "번분수식을 간단하게 한다는 것은 이 식을 간단하게 된 유리식으로 쓰는 것을 의미한다.", "이 일은 두 가지 방법 중 어느 하나로 완성될 수 있다.", "</p><p>보기 4.1.11 번분수식을 간단하게 하기 간단히 하라. \\", "( \\frac{\\frac{1}{2}+\\frac{3}{x}}{\\frac{x+3}{4}}, \\quad x \\neq-3, \\quad 0 \\).", "</p><p>풀이 방법 1: 먼저, 분자에 지적된 연산을 실행한 후에 나눈다.", "<p>\\( \\frac{\\frac{1}{2}+\\frac{3}{x}}{\\frac{x+3}{4}}=\\frac{\\frac{1 \\cdot x+2 \\cdot 3}{2 \\cdot x}}{\\frac{x+3}{4}}=\\frac{\\frac{x+6}{2 x}}{\\frac{x+3}{4}}=\\frac{x+6}{2 x} \\cdot \\frac{4}{x+3} \\)</p><p>방법 2 : 번분수식에 나타나는 유리식은 다음과 같다.", "</p><p>\\( \\frac{1}{2}, \\frac{3}{x}, \\frac{x+3}{4} \\)</p><p>우리는 번분수식의 분자와 분모에 \\( 4 x \\) 를 곱한 후에 간단히 한다.", "</p><p>\\( \\frac{\\frac{1}{2}+\\frac{3}{x}}{\\frac{x+3}{4}}=\\frac{4 x \\cdot\\left(\\frac{1}{2}+\\frac{3}{x}\\right)}{4 x \\cdot\\left(\\frac{x+3}{4}\\right)}=\\frac{4 x \\cdot \\frac{1}{2}+4 x \\cdot \\frac{3}{x}}{\\frac{4 x \\cdot(x+3)}{4}} \\)\\( =\\frac{2 \\cdot 2 x \\cdot \\frac{1}{2}+4 x \\cdot \\frac{3}{x}}{\\frac{4 x \\cdot(x+3)}{4}}=\\frac{2 x+12}{x(x+3)}=\\frac{2(x+6)}{x(x+3)} \\).", "</p></p> <h2>4.2.2 거듭제곱근을 간단하게 하기</h2><p>근호와 관련하여 다룰 때, \"간단히 한다\"는 문제는 인수로 나타나는 임의의 완전제곱근들을 근호에서 없앤다는 것을 의미한다.", "앞에서 소개한 세 정리 4.2.1, 4.2.3, 4.2.4이 근호를 간단하게 하기 위하여 어떻게 적용되는지를 몇 가지 보기로 알아보자.", "</p><p>보기 4.2.5 근호를 간단하게 하기<ol type=a start=1><li>\\( \\sqrt{32}=\\sqrt{16 \\cdot 2}=\\sqrt{16} \\cdot \\sqrt{2}=4 \\sqrt{2} \\)</li><li>\\( \\sqrt[3]{81}=\\sqrt[3]{27 \\cdot 3}=\\sqrt[3]{27} \\cdot \\sqrt[3]{3}=3 \\sqrt[3]{3} \\)</li></ol><p>묷의 분모를 유리화함에 있어서, 반드시 분자와 분모에 동시에 같은 식을 곱한다.", "</p></p><p>보기 4.2.6 분모유리화 각 식의 분모를 유리화하라.", "<ol type=a start=1><li>\\( \\frac{6}{\\sqrt{3}}=\\frac{6}{\\sqrt{3}} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}=\\frac{6 \\sqrt{3}}{(\\sqrt{3})^{2}}=\\frac{6 \\sqrt{3}}{3}=2 \\sqrt{3} \\)</li><li>\\( \\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt[3]{2}}=\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt[3]{2}} \\cdot \\frac{\\sqrt[3]{4}}{\\sqrt[3]{4}}=\\frac{\\sqrt{3} \\sqrt[3]{4}}{\\sqrt[3]{8}}=\\frac{\\sqrt{3} \\sqrt[3]{4}}{2} \\)</li><li>\\( \\sqrt[3]{-16 x^{4}}=\\sqrt[3]{-8 \\cdot 2 \\cdot x^{3} \\cdot x}=\\sqrt[3]{\\left(-8 x^{3}\\right)(2 x)} \\)\\( =\\sqrt[3]{(-2 x)^{3} \\cdot 2 x}=\\sqrt[3]{(-2 x)^{3}} \\sqrt[3]{2 x} \\)\\( =-2 x \\sqrt[3]{2 x} \\)</li></ol></p><p>보기 4.2.7 같은 근호를 결합하기<ol type=a start=1><li>\\( -6 \\sqrt{12}+2 \\sqrt{3}=-6 \\sqrt{4 \\cdot 3}+2 \\sqrt{3}=-6 \\cdot \\sqrt{4} \\sqrt{3}+2 \\sqrt{3} \\)\\( =-12 \\sqrt{3}+2 \\sqrt{3}=-10 \\sqrt{3} \\).", "</li><li>\\( \\sqrt[3]{8 x^{4}}+2 \\sqrt[3]{-x}+5 \\sqrt[3]{27 x}=\\sqrt[3]{(2 x)^{3} \\cdot x}+2 \\sqrt[3]{-1 \\cdot x}+5 \\sqrt[3]{3^{3} x} \\)\\( =\\sqrt[3]{(2 x)^{3}} \\sqrt[3]{x}+2 \\cdot \\sqrt[3]{-1} \\cdot \\sqrt[3]{x}+5 \\cdot \\sqrt[3]{3^{3}} \\cdot \\sqrt[3]{x} \\)\\( =2 x \\sqrt[3]{x}-2 \\sqrt[3]{x}+15 \\sqrt[3]{x} \\)\\( =(2 x+13) \\sqrt[3]{x} \\)</li></ol></p><h2>4.2.3 유리화하기</h2><p>근호가 몫에 나타날 때, 분모가 근호를 포함하지 않도록 몫을 다시 쓰는 것이 습관이다.", "이 과정을 분모유리화(rationalizing the deno-minator)라 한다.", "이 생각은 새로운 근호를 포함하지 않도록 적당한 식을 곱하는 것이다.", "예로써 분모가 다음의 인수를 포함하면 다음을 곱한다 근호가 없는 분모를 얻는다<p>\\( \\begin{array}{lll}\\sqrt{2} & \\sqrt{2} & (\\sqrt{2})^{2}=2 \\\\ \\sqrt{2}+1 & \\sqrt{2}-1 & (\\sqrt{2})^{2}-1^{2}=2-1=1 \\\\ \\sqrt{3}-2 & \\sqrt{3}+2 & (\\sqrt{3})^{2}-2^{2}=3-4=-1 \\\\ \\sqrt{5}-\\sqrt{2} & \\sqrt{5}+\\sqrt{2} & (\\sqrt{5})^{2}-(\\sqrt{2})^{2}=5-3=2 \\\\ \\sqrt[3]{9} & \\sqrt[3]{3} & \\sqrt[3]{9} \\cdot \\sqrt[3]{3}=\\sqrt[3]{27}=3\\end{array} \\)</p><p>\\( \\frac{\\sqrt{x}+2}{\\sqrt{x}-2}=\\frac{\\sqrt{x}+2}{\\sqrt{x}-2} \\cdot \\frac{\\sqrt{x}+2}{\\sqrt{x}+2}=\\frac{(\\sqrt{x}+2)^{2}}{(\\sqrt{x})^{2}-2^{2}} \\)\\( =\\frac{(\\sqrt{x})^{2}+4 \\sqrt{x}+4}{x-4}=\\frac{x+4 \\sqrt{x}+4}{x-4} \\).", "</p></p><h2>4.2.4 유리수 지수</h2><p>근호는 유리수지수를 정의하는데 사용된다.", "</p><p>정의 4.2.8 \\( a^{\\frac{1}{n}} \\) 의 정의 \\( a \\) 는 실수, \\( n \\geq 2 \\) 는 정수고 \\( \\sqrt[n]{a} \\) 가 존재한다고 하자.", "그러면 \\( a^{1 / n} \\) 은 다음과 같이 정의한다.", "<p>\\( a^{1 / n}=\\sqrt[n]{a} \\)</p></p><p>보기 4.2.9 정의 4.2.8의 사용<ol type=a start=1><li>\\( 9^{1 / 2}=\\sqrt{9}=3 \\)</li><li>\\( (-8)^{1 / 3}=\\sqrt[3]{-8}=-2 \\)</li><li>\\( 27^{1 / 2}=\\sqrt{29}=\\sqrt[3]{3} \\)</li><li>\\( 16^{1 / 3}=\\sqrt[3]{16}=2 \\sqrt[3]{2} \\)</li></ol></p><p>정의 4.2.10 유리수지수 \\( a \\)는 실수, \\( m \\)과 \\( n \\)은 \\( n \\geq 2 \\)인 공통인수가 없는 정수고 \\( \\sqrt{a} \\)가 존재한다고 하자.", "그러면 \\( a^{m / n} \\)은 다음과 같이 정의한다.", "<p>\\( a^{m / n}=\\sqrt[n]{a^{m}}=(\\sqrt[n]{a})^{m} \\)</p></p><p>정의 4.2.10에 대하여 두 가지 언급을 한다.", "<ol type=1 start=1><li>지수 \\( m / n \\) 은 간단한 꼴(서로소)이고 \\( n \\) 은 양이어야만 한다.", "</li><li>\\( a^{m / n} \\) 을 간단히 함에 있어서, \\( \\sqrt[n]{a^{m}} \\) 또는 \\( (\\sqrt[n]{a})^{m} \\) 이 사용될 수 있다.", "</li></ol></p><p>보기 4.2.11 정의 4.2.10의 사용<ol type=a start=1><li>\\( 27^{2 / 3}=(\\sqrt[3]{27})^{2}=3^{2}=9 \\)</li><li>\\( (-8)^{4 / 3}=(\\sqrt[3]{-8})^{4}=(-2)^{4}=16 \\)</li><li>\\( (81)^{-3 / 4}=(\\sqrt[4]{81})^{-3}=3^{-3}=\\frac{1}{27} \\)</li></ol></p><p>지수법칙이 유리수지수에 대해서도 성립한다는 것이 증명될 수 있다.", "</p><p>보기 4.2.12 유리수지수를 갖는 식을 간단하게 하기 각 식을 간단히 하라.", "양의 지수만 나타나도록 답을 써라.", "각 변수는 양이라 가정한다.", "<ol type=a start=1><li>\\( \\left(\\frac{2 x^{1 / 3}}{y^{2 / 3}}\\right)^{-3} \\)</li><li>\\( \\left(x^{2 / 3} y\\right)\\left(x^{-2} y\\right)^{1 / 2} \\)</li></ol></p><p>풀이<ol type=a start=1><li>\\( \\left(\\frac{2 x^{1 / 3}}{y^{2 / 3}}\\right)^{-3}=\\left(\\frac{y^{2 / 3}}{2 x^{1 / 3}}\\right)^{3}=\\frac{\\left(y^{2 / 3}\\right)^{3}}{\\left(2 x^{1 / 3}\\right)^{3}}=\\frac{y^{2}}{2^{3}\\left(x^{1 / 3}\\right)^{3}}=\\frac{y^{2}}{8 x} \\).", "</li><li>\\( \\left(x^{2 / 3} y\\right)\\left(x^{-2} y\\right)^{1 / 2}=\\left(x^{2 / 3} y\\right)\\left[\\left(x^{-2}\\right)^{1 / 2} y^{1 / 2}\\right] \\)\\( =x^{2 / 3} y x^{-1} y^{1 / 2}=\\left(x^{2 / 3} x^{-1}\\right)\\left(y y^{1 / 2}\\right) \\)\\( =x^{-1 / 3} y^{3 / 2}=\\frac{y^{2 / 3}}{x^{1 / 3}} \\)</li></ol></p><p>다음의 두 보기는 어떤 미분적분학의 문제에 대하여 알아야 할 필요가 있을 몇 가지 대수학의 문제 를 설명 한다.", "</p><p>보기 4.2.13 어떤 식을 하나의 분수식으로 쓰기 다음의 식을 오직 양의 지수만 나타나는 하나의 분수식으로 써라.", "<p>\\( \\left(x^{2}+1\\right)^{-1 / 2}+x \\cdot \\frac{1}{2}\\left(x^{2}+1\\right)^{-1 / 2} \\cdot 2 x \\).", "</p></p><p>풀이 \\( \\left(x^{2}+1\\right)^{-1 / 2}+x \\cdot \\frac{1}{2}\\left(x^{2}+1\\right)^{-1 / 2} \\cdot 2 x=\\left(x^{2}+1\\right)^{1 / 2}+\\frac{x^{2}}{\\left(x^{2}+1\\right)^{1 / 2}} \\)\\( =\\frac{\\left(x^{2}+1\\right)^{1 / 2}\\left(x^{2}+1\\right)^{1 / 2}+x^{2}}{\\left(x^{2}+1\\right)^{1 / 2}} \\)\\( =\\frac{\\left(x^{2}+1\\right)+x^{2}}{\\left(x^{2}+1\\right)^{1 / 2}} \\)\\( =\\frac{2 x^{2}+1}{\\left(x^{2}+1\\right)^{1 / 2}} \\)</p><p>보기 4.2.14 유리수지수를 포함하는 식을 인수분해하기 인수분해 하라. \\", "( \\frac{4}{3} x^{1 / 3}(2 x+1)+2 x^{4 / 3} \\).", "</p><p>풀이 우리는 두 항에 공통인 인수를 찾음으로써 시작한다.", "2와 \\( x^{1 / 3} \\)은 공통인수임에 주목하라.", "그러면 \\( \\frac{4}{3} x^{1 / 3}(2 x+1)+2 x^{4 / 3}=2 x^{1 / 3}\\left[\\frac{2}{3}(2 x+1)+x\\right] \\)\\( =\\frac{2}{3} x^{1 / 3}(7 x+2) \\)</p> <h1>4.2 제곱근, 거듭제곱근</h1><p>정의 4.2.1 n 제곱근 수 \\( a \\) 의 주 \\( n \\) 제곱근(principal \\( n \\)th root of a number \\( a \\) )은 기호 \\( \\sqrt{a} \\) 로 쓰고, 다음과 같이 정의된다.", "<p>\\( \\sqrt[n]{a}=b \\Leftrightarrow a=b^{n} \\).", "</p><p>여기서 \\( n \\geq 2 \\) 은 정수다.", "특히, \\( n \\geq 2 \\) 가 짝수면 \\( a \\geq 0 \\) 이고 \\( b \\geq 0 \\) 이고, \\( n \\geq 3 \\) 이 흘수면 \\( a \\) 와 \\( b \\) 는 임의 의 실수다.", "</p></p><p>\\( a<0 \\) 이고 \\( n \\) 이 짝수면 \\( \\sqrt[n]{a} \\) 는 정의되지 않음에 주목하라. \\", "( \\sqrt[n]{a} \\) 가 정의될 때, \\( \\sqrt[n]{a} \\) 는 유일하다.", "</p><h2>4.2.1 거듭제곱근</h2><p>\\( a \\) 의 주 \\( n \\) 제곱근 \\( \\sqrt{a} \\) 를 때때로 거듭제곱근(radical); 정수 \\( n \\) 을 지수(index); \\( a \\) 를 근호속수 또는 식(radicand)이라 한다.", "근호의 지수가 2 이면, 우리는 \\( \\sqrt[2]{a} \\) 를 \\( a \\) 의 제곱근(square root)라 하고 지수 2 를 생략하고 간단하게 \\( \\sqrt{a} \\) 로 쓴다.", "근호의 지수가 3 이면, 우리는 \\( \\sqrt[3]{a} \\) 를 \\( a \\) 의 세제곱근(cube root)이 라 한다.", "</p><p>보기 4.2.2 주 \\( n \\) 제곱근의 값 구하기<ol type=a start=1><li>\\( \\sqrt[3]{27}=\\sqrt[3]{3^{3}}=3 \\)</li><li>\\( \\sqrt[3]{-8}=\\sqrt[3]{(-2)^{3}}=-2 \\)</li><li>\\( \\sqrt[4]{\\frac{1}{81}}=\\sqrt[4]{\\left(\\frac{1}{3}\\right)^{4}}=\\frac{1}{3} \\)</li><li>(d) \\( \\sqrt[6]{(-3)^{6}}=\|-3\|=3 \\)</li></ol></p><p>위의 보기들은 완전제곱근(perfect root)들의 예다.", "보기 4.2.2 (d)에서 절대 값에 주목하라. \\", "( n \\)이 짝수면, 주 \\( n \\)제곱근은 0보다 크거나 같아야만 한다.", "따라서 우리는 다음의 결과를 쉽게 얻는다.", "</p><p>정리 4.2.3 완전제곱수의 주 \\( n \\) 제곱근 \\( n \\geq 2 \\) 는 양의 정수고 \\( a \\) 는 임의의 실수라 하자.", "그러면<ol type=1 start=1><li>\\( \\sqrt[n]{a^{n}}=a \\)( \\( n \\geq 3 \\) 은 홀수).", "</li><li>\\( \\sqrt[n]{a^{n}}=\|a\| \\)( \\( n \\geq 2 \\) 은 짝수).", "</li></ol></p><p>정리 4.2.4 근호의 성질<p>\\( n \\geq 2 \\)와 \\( m \\geq 2 \\)은 양의 정수, \\( a \\)와 \\( b \\)는 임의의 실수이고 모든 \\( n \\)제곱근이 정의된다고 가정하자.", "그러면<ol type=1 start=1><li>\\( \\sqrt[n]{a b}=\\sqrt[n]{a} \\sqrt[n]{b} \\)</li><li>\\( \\sqrt[n]{\\frac{a}{b}}=\\frac{\\sqrt[n]{a}}{\\sqrt[n]{b}} \\)</li><li>\\( \\sqrt[n]{a^{m}}=(\\sqrt[n]{a})^{m} \\)</li></ol></p></p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "412", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "기초수학", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "772a8b07-dca4cad3-302f-4f74-9ff6-19f898c62cda", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961054669", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2011", "doc_author": [ "허걸" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }
120	<h1>5.1 정언명제의 벤 다이어그램</h1><p>정언명제의 네 가지 형식을 벤 다이어그램(venn diagram)에 의해 표현할 수 있다. 우리는 이미 고등학교 교육과정에서 집합을 배웠다. 어떤 집합이 원소를 가지고 있다는 것은 논리학에서 어떤 개념에 외연이 존재하여 그 개념의 속성을 가진 사물이 있다는 것을 의미한다. 그런 의미에서 명제는 집합들의 관계를 그림으로 나타낸 벤 다이어그램으로 표현할 수 있다. 그러므로 두 개념(주개념, 빈개념)에 해당하는 두 개의 중첩된 원으로 정언명제를 표현한다.</p><p>이 밖에도 직사각형을 사용하여 정언명제를 표현한 루이스 캐럴의 사각형과 라이프니츠의 원이 있다.</p><p>아래 그림은 집합의 구성원에 대해 어떤 것도 말하지 않기 때문에, 아직 '명제'가 아니며, 따라서 구성원들을 긍정하지도 부정하지도 않은 단지 '개념'을 표현한 것이다.</p><p>두 개의 가장 간단한 명제는 "그 개념(집합)이 구성원을 가지는지"와 "그 개념(집합)이 구성원을 가지고 있지 않는지"이다. 왼쪽 그림은 개념 S에 구성원이 적어도 하나 포함하고 있음을 표시한 것이고, 오른쪽 그림은 개념 S에 구성원이 전혀 포함하고 있지 않음을 표시한 것으로 원 내부를 음영으로 나타냈다.</p><p>벤 다이어그램 그리기<ul><li>(가) 두 원을 서로 중첩되게 그린다.</li><li>(나) 왼쪽 원은 주개념을 나타낸 것이고 오른쪽 원은 빈개념을 나타낸 것이다.</li><li>(다) 주개념은 원 S에 의해 표현되고, 빈개념은 원 P에 의해 표현된다.</li></ul></p><p><ol type=A start=1><li>1 영역 : P가 아니면서 S인 모든 것</li><li>2 영역 : S이면서 P인 모든 것</li><li>3 영역 : S는 아니면서 P인 모든 것</li><li>1, 2, 3 밖의 영역 : S도 P도 아닌 모든 것</li></ol></p><p>예제 명제 "약간의 우주 비행선은 사람에 의해 만들어겼다."를 벤 다이어그램으로 나타내시오.</p><h2>1) A 명제</h2><p>"모든 S는 P이다."</p><p>주개념은 전칭이고, 빈개념은 특칭이다. S이면서 P가 아닌 것이 하나도 없다. \( \mathrm{S} \cap \sim \mathrm{P}=\Phi \) 즉 \( \mathrm{S} \subset \mathrm{P} \)</p><p>예제 A 명제 "모든 사람은 동물이다."를 벤 다이어그램으로 나타내시오.</p><p>풀이 위의 명제는 정언명제의 형식으로 잘 변형된 문장이다. 그래서 개념 S를 사람, 개념 P를 동물이라고 할 때 개념 S가 모두 개념 P에 속해야 하므로 개념 P에 속하지 않은 부분을 음영으로 칠하면 될 것이다. 벤 다이어그램은 아래 그림과 같다.</p><p>A명제를 다른 두 가지 방법으로 나타낼 수도 있다. 하나는 라이프니츠의 원이며 다른 하나는 루이스 캐럴의 사각형 그림이다. 라이프니츠는 A명제의 경우 개념S의 원이 개념P의 원 속에 완전히 들어가도록 그렸다. 사실 벤의 그림과 다를 것이 없다. 벤의 그림에서는 개념P속에 들어가지 않는 개념 S의 일부분을 음영으로 없앤 것이다.</p><p>두 번째 루이스 캐럴의 사각형은 음영 대신에 0(영)을 기입하는 방식이다. A명제 "모든 사람은 동물이다."에 대한 루이스 캐럴의 사각형은 아래 그림과 같이 나타낸다.</p><h2>2) E명제</h2><p>"모든 S는 P가 아니다."</p><p>주개념과 빈개념 모두 전칭이다. S이면서 P인 것이 하나도 없다. \( \mathrm{S} \cap \mathrm{P}=\Phi \)</p><p>예제 E명제 “모든 정치인은 의인이 아니다."를 벤 다이어그램으로 나타내시오.</p><p>풀이 위의 명제를 정언명제의 형식으로 변형하면 "모든 정치인은 의인인 사람이 아니다."이다. 그래서 개념S는 정치인이고, 개념P는 의인인 사람이라고 할 때, 벤 다이어그램은 아래 그림과 같이 나타낼 수 있다. 즉 정치인이면서 의인인 사람이 없다는 의미이므로 개념S와 개념P의 공통부분을 음영으로 칠한 그림이 될 것이다.</p><h2>3) I명제</h2><p>"약간의 S는 P이다."</p><p>주개념, 빈개념 모두 특칭이다. S이면서 P인 것이 약간은 존재한다. 즉 S이면서 P인 것이 적어도 하나는 있다. \( \mathrm{S} \cap \mathrm{P} \neq \Phi \)</p><p>예제 I명제 "약간의 휴대폰은 수입되었다."를 벤 다이어그램으로 나타내시오.</p><p>풀이 위의 명제를 정언명제의 형식으로 변형하면 "약간의 휴대폰은 수입된 물건이다."이다. 그래서 개념S는 휴대폰이고, 개념P는 수입된 물건이라고 할 때, 휴대폰의 일부분이 수입된 것이므로 개념S이면서 개념P인 부분, 즉 공통인 부분에 \( \mathrm{x} \)라는 원소를 기입하면 될 것이다.</p><h2>4) 0명제</h2><p>"약간의 S는 P가 아니다."</p><p>주개념은 특칭, 빈개념은 전칭이다. S이면서 P가 아닌 것이 약간 있다. 즉 S이면서 P가 아닌 것이 적어도 하나 존재한다. \( (\mathrm{S} \cap \sim \mathrm{P} \neq \Phi) \)</p><p>예제 O명제 “약간의 뱀은 독이 있지 않다."를 벤 다이어그램으로 나타내시오.</p><p>풀이 위의 명게를 정언명제의 형식으로 변형하면 “약간의 뱀은 독이 있는 동물이 아니다."이다. 그래서 개념S는 뱀이고, 개념P는 독이 있는 동물이라고 할 때, 휴대폰의 일부분이 수입된 것이므로 개념S이면서 개념P인 부분, 즉 공통인 부분에 \( \mathrm{x} \) 라는 원소를 기입하면 될 것이다.</p> <h1>5.2 명제의 변형</h1> <p>명제의 변형을 통하여 환위, 부분환질환위 그리고 완전환질환위 하여 진리값이 참인 명제로 바꿀 수 있다.</p> <h2>1) 환위와 환질</h2> <p>환위(conversion)는 정언명제의 주개념(주어)과 빈개념(술어)의 위치를 서로 바꾸는 것을 말한다. 환위할 명제를 '환위하는 명제'라고 말하고, 환위에 의해 변형된 명제를 '환위된 명제' 또는 '환위문'이라고 말한다.</p> <p>환위의 규칙</p> <ul> <li>(규칙1) 두 개념의 외연이 같은 경우에만 환위할 수 있다.</li> <li>(규칙2) 명제의 양과 질은 바뀌지 않는다.</li> <li>(규칙3) 개념의 외연을 확장시키지 않는다.</li></ul> <p>다음 표는 정언명제의 표준형식을 환위한 것이다.<table border><caption></caption> <tbody><tr><td>명제 형식</td><td>환위하는 명제</td><td>환위된 명제</td></tr><tr><td>I</td><td>어떤 S는 P이다.</td><td>어떤 P는 S이다.</td></tr><tr><td>E</td><td>모든 S는 P가 아니다.</td><td>모든 P는 S가 아니다.</td></tr></tbody></table></p> <p>환질(obversion)은 명제의 양은 그대로 둔 채 명제를 이루는 계사(명제의 질)를 변형한 후에 술어를 부정하는 것이다. 여기서 환질한 명제를 ‘환질하는 명제'라고 말하고, 환질에 의해 변형된 명제를 '환질된 명제' 또는 '환질문'이라고 말한다.</p> <p>예를 들어, "모든 사람은 여자이다."에서 술어를 부정하면 "모든 사람은 여자가 아니다."가 될 것이다. 즉 “모든 사람은 비여자이다."이며, “모든 사람은 남자이다."로 다시 쓸 수 있다.</p> <p>환질의 규칙<ul> <li>(규칙1) 두 개념의 외연이 다른 경우에도 환질할 수 있다.</li> <li>(규칙2) 명제의 양은 바뀌지 않는다.</li> <li>(규칙3) 빈개념의 외연이 반대가 되도록 바꾸지만, 그 의미는 동일하게 한다.</li></ul></p> <p>예제 명제 “토끼는 당근을 먹는다."를 환위하시오.</p> <p>풀이 위의 명제를 정언명제로 변형하면 "약간의 토끼는 당근을 먹는 동물이다."이다. 그래서 환위하면 "약간의 당근을 먹는 동물은 토끼다."가 된다.</p> <p>예제 명제 “어떤 논리적이지 않은 사람은 인간적인 사람이 아니다."를 환질하시오.</p> <p>풀이 환질된 명제는 "어떤 논리적이지 않은 사람은 비인간적 사람이다."가 된다.</p> <p>다음 표는 정언명제의 표준형식을 환질한 것이다.<table border><caption></caption> <tbody><tr><td>명제 형식</td><td>환질하는 명제</td><td>환질된 명제</td></tr><tr><td>A</td><td>모든 S는 P이다.</td><td>모든 S는 P가 아닌 것이 아니다. (모든 S는 비P가 아니다.)</td></tr><tr><td>I</td><td>어떤 S는 P이다.</td><td>어떤 S는 P가 아닌 것이 아니다. (어떤 S는 비P가 아니다.)</td></tr><tr><td>E</td><td>모든 S는 p가 아니다.</td><td>모든 S는 P가 아닌 것이 아니다. (모든 S는 비P이다.)</td></tr><tr><td>O</td><td>어떤 S는 P가 아니다.</td><td>어떤 S는 P가 아닌 것이 아니다. (어떤 S는 비P이다.)</td></tr></tbody></table></p> <p>다음 정언명제들을 기호화하여 간단한 형태로 표현할 수 있다.<ul> <li>A명제 : "모든 S는 P이다." \( \Rightarrow \) (S A P)</li> <li>E명제 : “모든 S는 P가 아니다.” \( \Rightarrow \) (S E P)</li> <li>I명제 : "약간의 S는 P이다." \( \Rightarrow \) (S I P)</li> <li>O명제 : “약간의 S는 P가 아니다." \( \Rightarrow \) (S O P)</li></ul></p> <p>예제 다음 기호화된 명제를 정언명제의 표준형식으로 나타내시오.<ul> <li>(ㄱ) (P I ~S)</li> <li>(ㄴ) (~S O ~ ~P)</li> <li>(ㄷ) (~S E P)</li></ul></p> <p>풀이<ul> <li>(ㄱ) "약간의 P는 비 S이다."</li> <li>(ㄴ) "약간의 비 S는 P가 아니다."</li> <li>(ㄷ) “모든 비S는 P가 아니다.”</li></ul></p> <h2>2) 명제의 환위</h2> <h3>(1) E명제</h3> <p>환위하는 명제 : “모든 S는 P가 아니다." (S E P) 환위된 명제 : “모든 P는 S가 아니다." (P E S)</p> <p>예제 다음 명제의 진리값은 참이다. 이 명제를 환위하고 환위된 명제의 진리값을 말하시오. "모든 논리학자는 무지한 사람이 아니다."</p> <p>풀이 환위된 명체는 “모든 무지한 사람은 논리학자가 아니다."이며, 참인 진리값을 가진다.</p> <h3>(2) I명제</h3> <p>환위하는 명제 : "약간의 S는 P이다." (S I P) 환위된 명제 : "약간의 P는 S이다." (P I S)</p> <p>예제 다음 명제를 환위하시오. "약간의 자아 중심적인 사람은 편견이 있다."</p> <p>풀이 환위된 명게는 “약간의 편견이 있는 사람은 자아 증심적이다."이다.</p> <h3>(3) A명제</h3> <p>A명제의 주개념은 외연이 전칭이고, 빈개념은 외연이 특칭이기 때문에 환위가 불가능하다.</p> <p>예를 들어, 명제 "모든 장미는 꽃이다."(T)는 환위할 수 없다. 만일 A명제를 환위하게 되면, "모든 꽃은 장미이다."가 된다. 그러나 꽃 중에는 장미가 아닌 꽃이 존재하기 때문에, 환위된 명제의 진리값은 거짓이다.</p> <h3>(4) O명제</h3> <p>O명제의 주개념은 외연이 특칭이고, 빈개념은 외연이 전칭이기 때문에 환위가 불가능하다.</p>	수학	[ "<h1>5.1 정언명제의 벤 다이어그램</h1><p>정언명제의 네 가지 형식을 벤 다이어그램(venn diagram)에 의해 표현할 수 있다.", "우리는 이미 고등학교 교육과정에서 집합을 배웠다.", "어떤 집합이 원소를 가지고 있다는 것은 논리학에서 어떤 개념에 외연이 존재하여 그 개념의 속성을 가진 사물이 있다는 것을 의미한다.", "그런 의미에서 명제는 집합들의 관계를 그림으로 나타낸 벤 다이어그램으로 표현할 수 있다.", "그러므로 두 개념(주개념, 빈개념)에 해당하는 두 개의 중첩된 원으로 정언명제를 표현한다.", "</p><p>이 밖에도 직사각형을 사용하여 정언명제를 표현한 루이스 캐럴의 사각형과 라이프니츠의 원이 있다.", "</p><p>아래 그림은 집합의 구성원에 대해 어떤 것도 말하지 않기 때문에, 아직 '명제'가 아니며, 따라서 구성원들을 긍정하지도 부정하지도 않은 단지 '개념'을 표현한 것이다.", "</p><p>두 개의 가장 간단한 명제는 \"그 개념(집합)이 구성원을 가지는지\"와 \"그 개념(집합)이 구성원을 가지고 있지 않는지\"이다.", "왼쪽 그림은 개념 S에 구성원이 적어도 하나 포함하고 있음을 표시한 것이고, 오른쪽 그림은 개념 S에 구성원이 전혀 포함하고 있지 않음을 표시한 것으로 원 내부를 음영으로 나타냈다.", "</p><p>벤 다이어그램 그리기<ul><li>(가) 두 원을 서로 중첩되게 그린다.</li><li>(나)", "왼쪽 원은 주개념을 나타낸 것이고 오른쪽 원은 빈개념을 나타낸 것이다.</li><li>(다)", "주개념은 원 S에 의해 표현되고, 빈개념은 원 P에 의해 표현된다.</li></ul></p><p><ol type=A start=1><li>1 영역 : P가 아니면서 S인 모든 것</li><li>2 영역 : S이면서 P인 모든 것</li><li>3 영역 : S는 아니면서 P인 모든 것</li><li>1, 2, 3 밖의 영역 : S도 P도 아닌 모든 것</li></ol></p><p>예제 명제 \"약간의 우주 비행선은 사람에 의해 만들어겼다.\"를 벤 다이어그램으로 나타내시오.</p><h2>1)", "A 명제</h2><p>\"모든 S는 P이다.\"", "</p><p>주개념은 전칭이고, 빈개념은 특칭이다.", "S이면서 P가 아닌 것이 하나도 없다. \\", "( \\mathrm{S} \\cap \\sim \\mathrm{P}=\\Phi \\) 즉 \\( \\mathrm{S} \\subset \\mathrm{P} \\)</p><p>예제 A 명제 \"모든 사람은 동물이다.\"를 벤 다이어그램으로 나타내시오.</p><p>풀이 위의 명제는 정언명제의 형식으로 잘 변형된 문장이다. 그래서 개념 S를 사람, 개념 P를 동물이라고 할 때 개념 S가 모두 개념 P에 속해야 하므로 개념 P에 속하지 않은 부분을 음영으로 칠하면 될 것이다. 벤 다이어그램은 아래 그림과 같다.</p><p>A명제를 다른 두 가지 방법으로 나타낼 수도 있다. 하나는 라이프니츠의 원이며 다른 하나는 루이스 캐럴의 사각형 그림이다. 라이프니츠는 A명제의 경우 개념S의 원이 개념P의 원 속에 완전히 들어가도록 그렸다. 사실 벤의 그림과 다를 것이 없다. 벤의 그림에서는 개념P속에 들어가지 않는 개념 S의 일부분을 음영으로 없앤 것이다.</p><p>두 번째 루이스 캐럴의 사각형은 음영 대신에 0(영)을 기입하는 방식이다. A명제 \"모든 사람은 동물이다.\"에 대한 루이스 캐럴의 사각형은 아래 그림과 같이 나타낸다.</p><h2>2)", "E명제</h2><p>\"모든 S는 P가 아니다.\"", "</p><p>주개념과 빈개념 모두 전칭이다.", "S이면서 P인 것이 하나도 없다. \\", "( \\mathrm{S} \\cap \\mathrm{P}=\\Phi \\)</p><p>예제 E명제 “모든 정치인은 의인이 아니다.\"를 벤 다이어그램으로 나타내시오.</p><p>풀이 위의 명제를 정언명제의 형식으로 변형하면 \"모든 정치인은 의인인 사람이 아니다.\"이다. 그래서 개념S는 정치인이고, 개념P는 의인인 사람이라고 할 때, 벤 다이어그램은 아래 그림과 같이 나타낼 수 있다. 즉 정치인이면서 의인인 사람이 없다는 의미이므로 개념S와 개념P의 공통부분을 음영으로 칠한 그림이 될 것이다.</p><h2>3)", "I명제</h2><p>\"약간의 S는 P이다.", "\"</p><p>주개념, 빈개념 모두 특칭이다. S이면서 P인 것이 약간은 존재한다. 즉 S이면서 P인 것이 적어도 하나는 있다. \\( \\mathrm{S} \\cap \\mathrm{P} \\neq \\Phi \\)</p><p>예제 I명제 \"약간의 휴대폰은 수입되었다.", "\"를 벤 다이어그램으로 나타내시오.</p><p>풀이 위의 명제를 정언명제의 형식으로 변형하면 \"약간의 휴대폰은 수입된 물건이다.", "\"이다. 그래서 개념S는 휴대폰이고, 개념P는 수입된 물건이라고 할 때, 휴대폰의 일부분이 수입된 것이므로 개념S이면서 개념P인 부분, 즉 공통인 부분에 \\( \\mathrm{x} \\)라는 원소를 기입하면 될 것이다.</p><h2>4) 0명제</h2><p>\"약간의 S는 P가 아니다.", "\"</p><p>주개념은 특칭, 빈개념은 전칭이다. S이면서 P가 아닌 것이 약간 있다. 즉 S이면서 P가 아닌 것이 적어도 하나 존재한다. \\( (\\mathrm{S} \\cap \\sim \\mathrm{P} \\neq \\Phi) \\)</p><p>예제 O명제 “약간의 뱀은 독이 있지 않다.\"를 벤 다이어그램으로 나타내시오.", "</p><p>풀이 위의 명게를 정언명제의 형식으로 변형하면 “약간의 뱀은 독이 있는 동물이 아니다.", "\"이다.", "그래서 개념S는 뱀이고, 개념P는 독이 있는 동물이라고 할 때, 휴대폰의 일부분이 수입된 것이므로 개념S이면서 개념P인 부분, 즉 공통인 부분에 \\( \\mathrm{x} \\) 라는 원소를 기입하면 될 것이다.", "</p> <h1>5.2 명제의 변형</h1> <p>명제의 변형을 통하여 환위, 부분환질환위 그리고 완전환질환위 하여 진리값이 참인 명제로 바꿀 수 있다.", "</p> <h2>1) 환위와 환질</h2> <p>환위(conversion)는 정언명제의 주개념(주어)과 빈개념(술어)의 위치를 서로 바꾸는 것을 말한다.", "환위할 명제를 '환위하는 명제'라고 말하고, 환위에 의해 변형된 명제를 '환위된 명제' 또는 '환위문'이라고 말한다.", "</p> <p>환위의 규칙</p> <ul> <li>(규칙1) 두 개념의 외연이 같은 경우에만 환위할 수 있다.", "</li> <li>(규칙2) 명제의 양과 질은 바뀌지 않는다.", "</li> <li>(규칙3) 개념의 외연을 확장시키지 않는다.", "</li></ul> <p>다음 표는 정언명제의 표준형식을 환위한 것이다.", "<table border><caption></caption> <tbody><tr><td>명제 형식</td><td>환위하는 명제</td><td>환위된 명제</td></tr><tr><td>I</td><td>어떤 S는 P이다.", "</td><td>어떤 P는 S이다.", "</td></tr><tr><td>E</td><td>모든 S는 P가 아니다.", "</td><td>모든 P는 S가 아니다.", "</td></tr></tbody></table></p> <p>환질(obversion)은 명제의 양은 그대로 둔 채 명제를 이루는 계사(명제의 질)를 변형한 후에 술어를 부정하는 것이다.", "여기서 환질한 명제를 ‘환질하는 명제'라고 말하고, 환질에 의해 변형된 명제를 '환질된 명제' 또는 '환질문'이라고 말한다.", "</p> <p>예를 들어, \"모든 사람은 여자이다.\"에서 술어를 부정하면 \"모든 사람은 여자가 아니다.\"가 될 것이다.", "즉 “모든 사람은 비여자이다.", "\"이며, “모든 사람은 남자이다.\"로 다시 쓸 수 있다.", "</p> <p>환질의 규칙<ul> <li>(규칙1) 두 개념의 외연이 다른 경우에도 환질할 수 있다.", "</li> <li>(규칙2) 명제의 양은 바뀌지 않는다.", "</li> <li>(규칙3) 빈개념의 외연이 반대가 되도록 바꾸지만, 그 의미는 동일하게 한다.", "</li></ul></p> <p>예제 명제 “토끼는 당근을 먹는다.", "\"를 환위하시오.</p> <p>풀이 위의 명제를 정언명제로 변형하면 \"약간의 토끼는 당근을 먹는 동물이다.", "\"이다. 그래서 환위하면 \"약간의 당근을 먹는 동물은 토끼다.", "\"가 된다.</p> <p>예제 명제 “어떤 논리적이지 않은 사람은 인간적인 사람이 아니다.\"를 환질하시오.", "</p> <p>풀이 환질된 명제는 \"어떤 논리적이지 않은 사람은 비인간적 사람이다.\"가 된다.", "</p> <p>다음 표는 정언명제의 표준형식을 환질한 것이다.", "<table border><caption></caption> <tbody><tr><td>명제 형식</td><td>환질하는 명제</td><td>환질된 명제</td></tr><tr><td>A</td><td>모든 S는 P이다.", "</td><td>모든 S는 P가 아닌 것이 아니다.", "(모든 S는 비P가 아니다.)", "</td></tr><tr><td>I</td><td>어떤 S는 P이다.", "</td><td>어떤 S는 P가 아닌 것이 아니다.", "(어떤 S는 비P가 아니다.)", "</td></tr><tr><td>E</td><td>모든 S는 p가 아니다.", "</td><td>모든 S는 P가 아닌 것이 아니다.", "(모든 S는 비P이다.)", "</td></tr><tr><td>O</td><td>어떤 S는 P가 아니다.", "</td><td>어떤 S는 P가 아닌 것이 아니다.", "(어떤 S는 비P이다.)", "</td></tr></tbody></table></p> <p>다음 정언명제들을 기호화하여 간단한 형태로 표현할 수 있다.", "<ul> <li>A명제 : \"모든 S는 P이다.\"", "\\( \\Rightarrow \\) (S A P)</li> <li>E명제 : “모든 S는 P가 아니다.” \\", "( \\Rightarrow \\) (S E P)</li> <li>I명제 : \"약간의 S는 P이다.\"", "\\( \\Rightarrow \\) (S I P)</li> <li>O명제 : “약간의 S는 P가 아니다.", "\" \\( \\Rightarrow \\) (S O P)</li></ul></p> <p>예제 다음 기호화된 명제를 정언명제의 표준형식으로 나타내시오.<ul> <li>(ㄱ) (P I ~S)</li> <li>(ㄴ) (~S O ~ ~P)</li> <li>(ㄷ) (~S E P)</li></ul></p> <p>풀이<ul> <li>(ㄱ) \"약간의 P는 비 S이다.", "\"</li> <li>(ㄴ) \"약간의 비 S는 P가 아니다.", "\"</li> <li>(ㄷ) “모든 비S는 P가 아니다.”</li></ul></p> <h2>2) 명제의 환위</h2> <h3>(1) E명제</h3> <p>환위하는 명제 : “모든 S는 P가 아니다.\"", "(S E P) 환위된 명제 : “모든 P는 S가 아니다.", "\" (P E S)</p> <p>예제 다음 명제의 진리값은 참이다. 이 명제를 환위하고 환위된 명제의 진리값을 말하시오. \"", "모든 논리학자는 무지한 사람이 아니다.", "\"</p> <p>풀이 환위된 명체는 “모든 무지한 사람은 논리학자가 아니다.\"이며, 참인 진리값을 가진다.", "</p> <h3>(2) I명제</h3> <p>환위하는 명제 : \"약간의 S는 P이다.\"", "(S I P) 환위된 명제 : \"약간의 P는 S이다.\"", "(P I S)</p> <p>예제 다음 명제를 환위하시오.", "\"약간의 자아 중심적인 사람은 편견이 있다.\"", "</p> <p>풀이 환위된 명게는 “약간의 편견이 있는 사람은 자아 증심적이다.", "\"이다.</p> <h3>(3) A명제</h3> <p>A명제의 주개념은 외연이 전칭이고, 빈개념은 외연이 특칭이기 때문에 환위가 불가능하다.</p> <p>예를 들어, 명제 \"모든 장미는 꽃이다.", "\"(T)는 환위할 수 없다. 만일 A명제를 환위하게 되면, \"모든 꽃은 장미이다.\"가 된다.", "그러나 꽃 중에는 장미가 아닌 꽃이 존재하기 때문에, 환위된 명제의 진리값은 거짓이다.", "</p> <h3>(4) O명제</h3> <p>O명제의 주개념은 외연이 특칭이고, 빈개념은 외연이 전칭이기 때문에 환위가 불가능하다.", "</p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "410.1", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "m812-논리와 사고", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "96aba9d6-2d46094e-40e8-458a-9d3b-d519f2471b14", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961058124", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2014", "doc_author": [ "김동건" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }
121	<h2>오류발견코드</h2> <p>메시지를 이진코드벡터의 집합으로 이미 부호화했다고 가정하자. 이제 이진코드벡터를 채널(channel, 라디오 송신기, 전화선, 광학섬유케이블, 또는 CD레이저)을 통해 송신하고자 한다. 불행하게도 채널은 잡음(noisy, 전자전기장치의 소음)이 있을 수 있다. 결과적으로 오류가 발생할 수 있다. 몇 개의 0들이 1 들로 바뀔 수 있다. 이런 문제를 어떻게 보호할 수 있을까?</p> <p>간단한 예제 단어 '위', '아래', '왼쪽' 또는 '오른쪽' 중 하나로 구성하는 메시지를 부호화하여 전달하고자 한다. 아래 표와 같이 이진코드를 \( \mathbb{Z}_{2}^{2} \)에 있는 4개의 벡터를 사용하기로 결정한다. 수신자가 이 표를 가지고 있고, 부호화된 메시지를 오류가 없이 전달받았다면 디코딩은 쉽다. 그러나 하나의 오류가 발생하였다고 가정하자. (오류에 의해 코드벡터의 한 성분이 변했다는 것을 뜻한다.) 예를 들면, 매시지 '아래'를 \( \left[\begin{array}{ll}0 & 1\end{array}\right]^{T} \)로 부호화했다고 가정하자. 그러나 전달하는 과정에서 오류가 발생하여 0이 1로 변했다. 따라서 수신자는 대신에 \( \left[\begin{array}{ll}1 & 1\end{array}\right]^{T} \)으로 볼 것이고 메시지를 '오른쪽’으로 디코딩할 것이다. (수신자가 오류라는 것을 알았을지라도 그는 옳은 코드벡터가 \( \left[\begin{array}{ll}0 & 1\end{array}\right]^{T} \)인지 또는 \( \left[\begin{array}{ll}1 & 0\end{array}\right]^{T} \)이었는지 모를 것이다.)</p> <table border><caption></caption> <tbody><tr><td>메시지</td><td>위</td><td>아래</td><td>왼쪽</td><td>오른쪽</td></tr><tr><td>코드</td><td>\( \left[\begin{array}{ll}0 & 0\end{array}\right]^{T} \)</td><td>\( \left[\begin{array}{ll}0 & 1\end{array}\right]^{T} \)</td><td>\( \left[\begin{array}{ll}1 & 0\end{array}\right]^{T} \)</td><td>\( \left[\begin{array}{ll}1 & 1\end{array}\right]^{T} \)</td></tr></tbody></table> <p>그러나 \( \mathbb{Z}_{2}^{3} \)의 부분집합인 코드를 사용하는 메시지를 보냈다고 가정하자. 즉 길이 3의 이진코드이다.</p> <table border><caption></caption> <tbody><tr><td>메시지</td><td>위</td><td>아래</td><td>왼쪽</td><td>오른쪽</td></tr><tr><td>코드</td><td>\( \left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right]^{T} \)</td><td>\( \left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T} \)</td><td>\( \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1\end{array}\right]^{T} \)</td><td>\( \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0\end{array}\right]^{T} \)</td></tr></tbody></table> <p>이 코드는 모든 단일오류를 발견할 수 있다. 예를 들면 '아래'를 \( \left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1\end{array}\right] \)으로 보냈고 한 성분에 오류가 발생해서 수신자는 \( \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1\end{array}\right]^{T} \), \( \left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1\end{array}\right]^{T} \) 또는 \( \left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0\end{array}\right]^{T} \) 을 받을 것이다. 이 중 어느 것도 코드벡터가 아니다. 따라서 수신자는 오류가 발생했다는 것을 알았을 것이고(그러나 어느 것인지는 모른다.), 부호화된 메시지를 재전송하라고 요청할 수 있다.(수신자가 오류가 발생한 곳을 모르는 이유는?)</p> <p>위의 표는 오류발견코드의 예이다. 1940년대까지는 이것이 성취할 수 있는 최선이었다. 디지털컴퓨터의 도래는 오류발견 뿐만 아니라 수정 할 수 있는 코드의 발전으로 이끌었다. 전달될 메시지는 이진벡터로 구성될 수 있다. 이 경우에 단순하지만 유효한 오류발견코드는 홀짝성 확인코드(parity check code)라 하는데 이것은 확인숫자라는 부가적인 성분을 홀짝성이 짝수가 되도록 각 벡터에 첨가하여 만든다.</p> <p>예제 2 보내진 메시지가 이진벡터 \( \left[\begin{array}{llllll}1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]^{T} \)라면 1의 개수가 홀수이므로 확인 숫자는 1이 될 것이고 코드 벡터는 \( \left[\begin{array}{llllll}1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T} \)이다. 코드벡터의 홀짝성이 짝수에서 홀수로 변할 수 있으므로 단일오류가 발견될 것임에 유의하라. 예를 들면 3째 성분에서 오류가 발생했다면 코드벡터는 \( \left[\begin{array}{llllll}1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T} \)이고, 이것의 홀짝성은 홀수이다.</p> <p>이 개념을 좀 더 공식적으로 들여다보자. 메시지가 \( \mathbb{Z}_{2}^{n} \)의 이진코드 \( \mathrm{b}=\left[\begin{array}{llll}b_{1} & b_{2} & \cdots & b_{n}\end{array}\right]^{T} \)라 가정하자. 그러면 홀짝성확인코드벡터는 \( \mathbf{v}=\left[\begin{array}{lllll}b_{1} & b_{2} & \cdots & b_{n} & d\end{array}\right] \in \mathbb{Z}_{2}^{n+1} \). 여기서 확인 숫자는 \( b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}+d=0 \in \mathbb{Z}_{2} \) 또는 \( \mathbf{1} \cdot \mathbf{v}=0 \)이 되도록 선택되었다. 여기서 \( 1=\left[\begin{array}{llll}1 & 1 & \cdots & 1\end{array}\right] \)이다. 벡터 1을 확인벡터라 한다. 벡터 \( v^{1} \)을 받았고 \( 1 \cdot v^{1}=1 \)이라면 오류가 발생했다는 것을 확신할 수 있다. 홀짝성확인코드는 더 일반적인 확인숫자코드의 특별한 경우이다. 뒤에서 이 아이디어를 더 일반적인 경우로 확장할 것이다.</p>	물리학	[ "<h2>오류발견코드</h2> <p>메시지를 이진코드벡터의 집합으로 이미 부호화했다고 가정하자.", "이제 이진코드벡터를 채널(channel, 라디오 송신기, 전화선, 광학섬유케이블, 또는 CD레이저)을 통해 송신하고자 한다.", "불행하게도 채널은 잡음(noisy, 전자전기장치의 소음)이 있을 수 있다.", "결과적으로 오류가 발생할 수 있다.", "몇 개의 0들이 1 들로 바뀔 수 있다.", "이런 문제를 어떻게 보호할 수 있을까?", "</p> <p>간단한 예제 단어 '위', '아래', '왼쪽' 또는 '오른쪽' 중 하나로 구성하는 메시지를 부호화하여 전달하고자 한다.", "아래 표와 같이 이진코드를 \\( \\mathbb{Z}_{2}^{2} \\)에 있는 4개의 벡터를 사용하기로 결정한다.", "수신자가 이 표를 가지고 있고, 부호화된 메시지를 오류가 없이 전달받았다면 디코딩은 쉽다.", "그러나 하나의 오류가 발생하였다고 가정하자.", "(오류에 의해 코드벡터의 한 성분이 변했다는 것을 뜻한다.)", "예를 들면, 매시지 '아래'를 \\( \\left[\\begin{array}{ll}0 & 1\\end{array}\\right]^{T} \\)로 부호화했다고 가정하자.", "그러나 전달하는 과정에서 오류가 발생하여 0이 1로 변했다.", "따라서 수신자는 대신에 \\( \\left[\\begin{array}{ll}1 & 1\\end{array}\\right]^{T} \\)으로 볼 것이고 메시지를 '오른쪽’으로 디코딩할 것이다. (수신자가 오류라는 것을 알았을지라도 그는 옳은 코드벡터가 \\( \\left[\\begin{array}{ll}0 & 1\\end{array}\\right]^{T} \\)인지 또는 \\( \\left[\\begin{array}{ll}1 & 0\\end{array}\\right]^{T} \\)이었는지 모를 것이다.)</p> <table border><caption></caption> <tbody><tr><td>메시지</td><td>위</td><td>아래</td><td>왼쪽</td><td>오른쪽</td></tr><tr><td>코드</td><td>\\( \\left[\\begin{array}{ll}0 & 0\\end{array}\\right]^{T} \\)</td><td>\\( \\left[\\begin{array}{ll}0 & 1\\end{array}\\right]^{T} \\)</td><td>\\( \\left[\\begin{array}{ll}1 & 0\\end{array}\\right]^{T} \\)</td><td>\\( \\left[\\begin{array}{ll}1 & 1\\end{array}\\right]^{T} \\)</td></tr></tbody></table> <p>그러나 \\( \\mathbb{Z}_{2}^{3} \\)의 부분집합인 코드를 사용하는 메시지를 보냈다고 가정하자. 즉 길이 3의 이진코드이다.</p> <table border><caption></caption> <tbody><tr><td>메시지</td><td>위</td><td>아래</td><td>왼쪽</td><td>오른쪽</td></tr><tr><td>코드</td><td>\\( \\left[\\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\\end{array}\\right]^{T} \\)</td><td>\\( \\left[\\begin{array}{lll}0 & 1 & 1\\end{array}\\right]^{T} \\)</td><td>\\( \\left[\\begin{array}{lll}1 & 0 & 1\\end{array}\\right]^{T} \\)</td><td>\\( \\left[\\begin{array}{lll}1 & 1 & 0\\end{array}\\right]^{T} \\)</td></tr></tbody></table> <p>이 코드는 모든 단일오류를 발견할 수 있다. 예를 들면 '아래'를 \\( \\left[\\begin{array}{lll}0 & 1 & 1\\end{array}\\right] \\)으로 보냈고 한 성분에 오류가 발생해서 수신자는 \\( \\left[\\begin{array}{lll}1 & 1 & 1\\end{array}\\right]^{T} \\), \\( \\left[\\begin{array}{lll}0 & 0 & 1\\end{array}\\right]^{T} \\) 또는 \\( \\left[\\begin{array}{lll}0 & 1 & 0\\end{array}\\right]^{T} \\) 을 받을 것이다.", "이 중 어느 것도 코드벡터가 아니다.", "따라서 수신자는 오류가 발생했다는 것을 알았을 것이고(그러나 어느 것인지는 모른다.), 부호화된 메시지를 재전송하라고 요청할 수 있다.", "(수신자가 오류가 발생한 곳을 모르는 이유는?)</p> <p>위의 표는 오류발견코드의 예이다.", "1940년대까지는 이것이 성취할 수 있는 최선이었다.", "디지털컴퓨터의 도래는 오류발견 뿐만 아니라 수정 할 수 있는 코드의 발전으로 이끌었다.", "전달될 메시지는 이진벡터로 구성될 수 있다.", "이 경우에 단순하지만 유효한 오류발견코드는 홀짝성 확인코드(parity check code)라 하는데 이것은 확인숫자라는 부가적인 성분을 홀짝성이 짝수가 되도록 각 벡터에 첨가하여 만든다.", "</p> <p>예제 2 보내진 메시지가 이진벡터 \\( \\left[\\begin{array}{llllll}1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\end{array}\\right]^{T} \\)라면 1의 개수가 홀수이므로 확인 숫자는 1이 될 것이고 코드 벡터는 \\( \\left[\\begin{array}{llllll}1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\end{array}\\right]^{T} \\)이다.", "코드벡터의 홀짝성이 짝수에서 홀수로 변할 수 있으므로 단일오류가 발견될 것임에 유의하라.", "예를 들면 3째 성분에서 오류가 발생했다면 코드벡터는 \\( \\left[\\begin{array}{llllll}1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1\\end{array}\\right]^{T} \\)이고, 이것의 홀짝성은 홀수이다.", "</p> <p>이 개념을 좀 더 공식적으로 들여다보자.", "메시지가 \\( \\mathbb{Z}_{2}^{n} \\)의 이진코드 \\( \\mathrm{b}=\\left[\\begin{array}{llll}b_{1} & b_{2} & \\cdots & b_{n}\\end{array}\\right]^{T} \\)라 가정하자.", "그러면 홀짝성확인코드벡터는 \\( \\mathbf{v}=\\left[\\begin{array}{lllll}b_{1} & b_{2} & \\cdots & b_{n} & d\\end{array}\\right] \\in \\mathbb{Z}_{2}^{n+1} \\).", "여기서 확인 숫자는 \\( b_{1}+b_{2}+\\cdots+b_{n}+d=0 \\in \\mathbb{Z}_{2} \\) 또는 \\( \\mathbf{1} \\cdot \\mathbf{v}=0 \\)이 되도록 선택되었다.", "여기서 \\( 1=\\left[\\begin{array}{llll}1 & 1 & \\cdots & 1\\end{array}\\right] \\)이다.", "벡터 1을 확인벡터라 한다.", "벡터 \\( v^{1} \\)을 받았고 \\( 1 \\cdot v^{1}=1 \\)이라면 오류가 발생했다는 것을 확신할 수 있다.", "홀짝성확인코드는 더 일반적인 확인숫자코드의 특별한 경우이다.", "뒤에서 이 아이디어를 더 일반적인 경우로 확장할 것이다.", "</p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "420", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "M237-선형대수학", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "96aba9d6-46b05f61-1b10-4c1e-bcd2-3ecaf7084494", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961052375", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2011", "doc_author": [ "심재동", "하준홍" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }
122	<p>참고 수학적 확률은 상대빈도로 계산한다.</p> <p>자연현상 또는 사회현상에서 발생하는 사건의 여러 가지 확률은 수학적 확률로 설명할 수 없는 경우가 있다. 예를 들어, 동전이나 주사위와 다르게 윷이나 압정을 던지는 시행에서는 각 근원사건이 같은 정도로 발생하지 않는다. 이런 경우에는 시행을 무한히 반복하여 얻은 상대빈도를 그 사건의 확률로 정의한다.</p> <p>정의 10 통계적 확률 같은 시행을 \( n \)번 반복한 사건 \( A \)의 빈도가 \( r_{n} \)이라 할 때, \( n \) 한없이 커짐에 따라 비율 \( \frac{r_{n}}{n} \)이 일정한 값 \( p \)에 가까워지면, 즉 \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{r_{n}}{n}=p \)이면 \( p \)를 사건 \( A \)의 통계적 확률(또는 경험적 확률)이라고 한다.</p> <p>통계적 확률은 실제로 시행을 무한히 반복할 수 없으므로 그 값이 존재하는지를 알 수 없다는 단점이 있다. 그러므로 통계적 확률은 적당한 수만큼의 시행에서 사건이 발생하는 빈도의 근사값으로 계산한다. 통계적 확률은 수학적 확률과 같이 표본공간의 각 근원사건이 같은 정도로 발생할 때에도 정의할 수 있어서 이 경우에 두 확률은 같아진다.</p> <p>예제8 한 개의 윶가락을 \( n \)번 반복하여 던지는 시행을 하여 윗면이 나온 횟수의 결과를 다음과 같이 조사하였다. 이 윶가락의 윗면이 나올 확률을 구하시오.</p> <table border><caption></caption> <tbody><tr><td>시행 횟수(회)</td><td>100</td><td>200</td><td>400</td><td>800</td></tr><tr><td>윗면이 나온 횟수(회)</td><td>29</td><td>54</td><td>128</td><td>248</td></tr></tbody></table> <p>풀이 횟수에 대한 상대빈도를 각각 구하면 \( \frac{29}{100}, \frac{54}{200}, \frac{128}{400}, \frac{248}{800} \) 이다. 즉, 0.29, 0.27, 0.32, 0.31이므로 상대빈도는 0.3에 가까워짐을 알 수 있다. 따라서 확률은 0.3이다.</p> <p>예제9 어떤 대학교 내에 마련된 헌혈버스에서는 한 달 동안 학생들의 헌혈 참여도를 다음과 같이 조사하였다. 이 중에서 한 명의 학생을 임의로 선택할 때, 이 학생이 3학년 학생일 확률을 구하시오.</p> <table border><caption></caption> <tbody><tr><td>학년</td><td>1학년</td><td>2학년</td><td>3학년</td><td>4학년</td><td>합계</td></tr><tr><td>학생 수(명)</td><td>210</td><td>185</td><td>140</td><td>165</td><td>700</td></tr></tbody></table> <p>풀이 3학년 학생에 대한 상대빈도를 구하면 \( \frac{140}{700} \)이다. 따라서 확률은 0.2이다.</p> <p>예제 10 어떤 보건소에서는 금연을 희망하는 100명의 성인을 대상으로 금연기간에 대한 금연에 성공한 대상자의 수를 다음과 같이 조사하였다. 이때, 7일 동안 금연에 성공한 대상자가 3일 이내에 흡연을 하게 될 확률을 구하시오.</p> <table border><caption></caption> <tbody><tr><td>기간(일)</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td><td>11</td><td>12</td></tr><tr><td>금연 성공 대상자 수(명)</td><td>85</td><td>61</td><td>48</td><td>34</td><td>22</td><td>10</td></tr></tbody></table> <p>풀이 7일 동안 금연에 성공한 대상자는 85명이고 3일 후인 10일까지 금연에 성공한 대상자는 34명이므로 7일 이후 금연에 실패한 대상자는 51명이다. 상대빈도를 구하면 \( \frac{51}{85} \)이다. 따라서 확률은 0.6이다.</p> <p>참고 실험에 대한 자료가 주어지는 확률 문제는 통계적 확률로 계산한다.</p>	통계학	[ "<p>참고 수학적 확률은 상대빈도로 계산한다.", "</p> <p>자연현상 또는 사회현상에서 발생하는 사건의 여러 가지 확률은 수학적 확률로 설명할 수 없는 경우가 있다.", "예를 들어, 동전이나 주사위와 다르게 윷이나 압정을 던지는 시행에서는 각 근원사건이 같은 정도로 발생하지 않는다.", "이런 경우에는 시행을 무한히 반복하여 얻은 상대빈도를 그 사건의 확률로 정의한다.", "</p> <p>정의 10 통계적 확률 같은 시행을 \\( n \\)번 반복한 사건 \\( A \\)의 빈도가 \\( r_{n} \\)이라 할 때, \\( n \\) 한없이 커짐에 따라 비율 \\( \\frac{r_{n}}{n} \\)이 일정한 값 \\( p \\)에 가까워지면, 즉 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r_{n}}{n}=p \\)이면 \\( p \\)를 사건 \\( A \\)의 통계적 확률(또는 경험적 확률)이라고 한다.", "</p> <p>통계적 확률은 실제로 시행을 무한히 반복할 수 없으므로 그 값이 존재하는지를 알 수 없다는 단점이 있다.", "그러므로 통계적 확률은 적당한 수만큼의 시행에서 사건이 발생하는 빈도의 근사값으로 계산한다.", "통계적 확률은 수학적 확률과 같이 표본공간의 각 근원사건이 같은 정도로 발생할 때에도 정의할 수 있어서 이 경우에 두 확률은 같아진다.", "</p> <p>예제8 한 개의 윶가락을 \\( n \\)번 반복하여 던지는 시행을 하여 윗면이 나온 횟수의 결과를 다음과 같이 조사하였다.", "이 윶가락의 윗면이 나올 확률을 구하시오.", "</p> <table border><caption></caption> <tbody><tr><td>시행 횟수(회)</td><td>100</td><td>200</td><td>400</td><td>800</td></tr><tr><td>윗면이 나온 횟수(회)</td><td>29</td><td>54</td><td>128</td><td>248</td></tr></tbody></table> <p>풀이 횟수에 대한 상대빈도를 각각 구하면 \\( \\frac{29}{100}, \\frac{54}{200}, \\frac{128}{400}, \\frac{248}{800} \\) 이다.", "즉, 0.29, 0.27, 0.32, 0.31이므로 상대빈도는 0.3에 가까워짐을 알 수 있다.", "따라서 확률은 0.3이다.", "</p> <p>예제9 어떤 대학교 내에 마련된 헌혈버스에서는 한 달 동안 학생들의 헌혈 참여도를 다음과 같이 조사하였다.", "이 중에서 한 명의 학생을 임의로 선택할 때, 이 학생이 3학년 학생일 확률을 구하시오.", "</p> <table border><caption></caption> <tbody><tr><td>학년</td><td>1학년</td><td>2학년</td><td>3학년</td><td>4학년</td><td>합계</td></tr><tr><td>학생 수(명)</td><td>210</td><td>185</td><td>140</td><td>165</td><td>700</td></tr></tbody></table> <p>풀이 3학년 학생에 대한 상대빈도를 구하면 \\( \\frac{140}{700} \\)이다.", "따라서 확률은 0.2이다.", "</p> <p>예제 10 어떤 보건소에서는 금연을 희망하는 100명의 성인을 대상으로 금연기간에 대한 금연에 성공한 대상자의 수를 다음과 같이 조사하였다.", "이때, 7일 동안 금연에 성공한 대상자가 3일 이내에 흡연을 하게 될 확률을 구하시오.", "</p> <table border><caption></caption> <tbody><tr><td>기간(일)</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td><td>11</td><td>12</td></tr><tr><td>금연 성공 대상자 수(명)</td><td>85</td><td>61</td><td>48</td><td>34</td><td>22</td><td>10</td></tr></tbody></table> <p>풀이 7일 동안 금연에 성공한 대상자는 85명이고 3일 후인 10일까지 금연에 성공한 대상자는 34명이므로 7일 이후 금연에 실패한 대상자는 51명이다.", "상대빈도를 구하면 \\( \\frac{51}{85} \\)이다.", "따라서 확률은 0.6이다.", "</p> <p>참고 실험에 대한 자료가 주어지는 확률 문제는 통계적 확률로 계산한다.", "</p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "413", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "m604-(사범대생을 위한) 확률과 통계", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "96aba9d6-ef2ec499-e19c-4e46-970c-43f6be8e937c", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961056045", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2012", "doc_author": [ "장세경" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }
123	<h1>8.1 행렬의 정의</h1><p>어떤 것들이 가로와 세로로 나열되어 사각형의 형태를 이루고 있는 것을 행렬(matrix)이라고 한다. 일반적으로는 무엇이든지 나열하여 행렬을 만들 수 있으나, 앞으로는 특별한 언급이 없을 때에는 실수들이 나열된 행렬을 다룰 것이다.</p><p>행렬에서 가로줄을 행(row), 세로줄을 열(column)이라고 하며, 행이 \( n \) 개, 열이 \( m \) 개인 행렬을 \( n \times m \) 크기의 행렬이라고 한다. 또 \( i \) 째 행과 \( j \) 째 열이 교차하는 곳에는 한 실수가 정해지는데, 이 경우 이 실수를 \( i \) 행 \( j \) 열의 요소(entry)라고 한다. 일반적으로 영어 알파벳 \( A, B, C \) 등을 써서 행렬을 나타내며, 행렬 \( A \) 의 \( i \) 행 \( j \) 열의 요소는 \( A_{i j} \) 로 표시한다.</p><p>행의 개수와 열이 개수가 같은 행렬을 정방행렬(square matrix)이라고 한다. 이 경우에는 요소들이 나열된 모습이 정사각형이다.</p><p>행렬 \( A \) 와 \( B \) 의 크기가 같고 모든 \( i, j \) 에 대하여 \( A_{i j}=B_{i j} \) 인 경우에 두 행렬 \( A \) 와 \( B \) 는 같다(equal)고 하며, \( A=B \) 로 나타낸다</p><p>행렬 \( A \) 와 \( B \) 가 같은 크기의 행렬일 때 \( A_{i j}+B_{i j} \) 를 \( i \) 행 \( j \) 열의 요소로 갖는 행렬을 두 행렬 \( A \) 와 \( B \) 의 합(sum)이라 하고 \( A+B \) 로 나타낸다. 그러므로 크기가 같은 두 행렬은 각각 대응하는 요소를 더하여 행렬의 덧셈을 할 수 있고, 크기가 다를 때는 대응하는 요소가 없으므로 더할 수 없다.</p><p>\( a \) 가 한 실수이고 \( A \) 가 한 행렬일 때 \( a A_{i j} \) 를 \( i \) 행 \( j \) 열의 요소로 갖는 행렬로서 \( a \) 와 \( A \)의 곱(scalar multiplication)을 정의하고 \( a A \) 로 나타낸다.</p><p>\( A \) 가 \( n \times r \) 크기의 행렬이고 \( B \) 가 \( r \times m \) 크기의 행렬일 때 \( A_{i 1} B_{1 j}+A_{i 2} B_{2 j}+\cdots+A_{i r} B_{r j} \) 를 \( i \) 행 \( j \) 열의 요소를 갖는 \( n \times m \) 크기의 행렬을 \( A \) 와 \( B \) 의 곱(product)이라 하고 \( A B \) 로 나타낸다. 더욱 간략하게 표현하면 \( (A B)_{i j}=\sum_{k=1}^{r} A_{i k} B_{k j} \) 가 \( A B \) 의 \( i \) 행 \( j \) 열의 요소이며, 구체적으로 살펴보면, \( A B \) 가 정의되는 경우에도 \( B A \) 는 정 의되지 않을 수 있다. 또 \( A B \) 와 \( B A \) 가 각각 정의되어도 다를 수 있다.</p> <p>예제 1</p><p>\[ \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 2 & 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}1 \cdot 1+3 \cdot 2 & 1 \cdot 1+3 \cdot 1 & 1 \cdot 3+3 \cdot 4 \\ 2 \cdot 1+5 \cdot 2 & 2 \cdot 1+5 \cdot 1 & 2 \cdot 3+5 \cdot 4\end{array}\right] \]\[ =\left[\begin{array}{ccc}7 & 4 & 15 \\ 12 & 7 & 26\end{array}\right] \]이지만 \[ \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 2 & 5\end{array}\right] \]는 정의되지 않는다.</p><p>예제 2</p><p>\[ \left[\begin{array}{llll}1 & 1 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & 6 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}-1 & 8 \\ 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ 12 & 6\end{array}\right] \] \[ =\left[\begin{array}{ll}1 \cdot(-1)+1 \cdot 2+2 \cdot 1+1 \cdot 12 & 1 \cdot 8+1 \cdot 1+2 \cdot 1+1 \cdot 6 \\ 4 \cdot(-1)+1 \cdot 2+6 \cdot 1+2 \cdot 12 & 4 \cdot 8+1 \cdot 1+6 \cdot 1+2 \cdot 6\end{array}\right] \] \[ =\left[\begin{array}{ll}15 & 17 \\ 28 & 51\end{array}\right] \] 이지만 \[ {\left[\begin{array}{rr}-1 & 8 \\ 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ 12 & 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{llrr}1 & 1 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & 6 & 2\end{array}\right] } \] \[ =\left[\begin{array}{rrrr}-1 \cdot 1+8 \cdot 4 & -1 \cdot 1+8 \cdot 1 & -1 \cdot 2+8 \cdot 6 & -1 \cdot 1+8 \cdot 2 \\ 2 \cdot 1+1 \cdot 4 & 2 \cdot 1+1 \cdot 1 & 2 \cdot 2+1 \cdot 6 & 2 \cdot 1+1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 1+1 \cdot 4 & 1 \cdot 1+1 \cdot 1 & 1 \cdot 2+1 \cdot 6 & 1 \cdot 1+1 \cdot 2 \\ 12 \cdot 1+6 \cdot 4 & 12 \cdot 1+6 \cdot 1 & 12 \cdot 2+6 \cdot 6 & 12 \cdot 1+6 \cdot 2\end{array}\right] \]\[ =\left[\begin{array}{rrrr}31 & 7 & 46 & 15 \\ 6 & 3 & 10 & 4 \\ 5 & 2 & 8 & 3 \\ 36 & 18 & 60 & 24\end{array}\right] \]이다.</p><p>예제 3</p><p>행렬의 곱을 이용하면 일차연립방정식을 간단히 나타낼 수 있다. 예를 들어 \( m \)개의 미지수를 갖는 \( n \) 개의 일차방정식으로 된 연립방정식\[a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 m} x_{m}=b_{1} \] \[ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 m} x_{m}=b_{2} \] \[ \vdots \] \[ a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n m} x_{m}=b_{n} \]은 행렬의 곱을 써서 \[ \left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 m} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n m}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{m}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n}\end{array}\right] \] 과 같이 나타낼 수 있으며 \( A \) 는 \( a_{i j} \) 를 \( i \) 행 \( j \) 열의 요소로 갖는 행렬, \[ X=\left[\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{m}\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{c}b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n}\end{array}\right] \]으로 하면, 위의 연립방정식은 간단하게 \( A X=B \) 가 된다.</p><p>\( A \) 가 정방행렬일 때는 \( A A \) 도 같은 크기의 정방행렬이 되고, 마찬가지로 \( A(A A) \), \( A(A(A A)), \cdots \) 등은 같은 크기의 정방행렬이 되므로, 실수에서의 지수와 같이 \( A A=A^{2} \), \( A A^{2}=A^{3}, A A^{k-1}=A^{k} \) 로 정의하자.</p><p>행렬의 합과 곱에 대해서는 다음과 같은 성질이 있다.</p><p>정리 8.1</p><p>\( A, B, C \) 가 임의의 행렬이라고 하자.<ol type=1 start=1><li>\( A \) 와 \( B \) 가 같은 크기의 행렬일 때는 \( A+B=B+A \) 이다.</li><li>\( A \) 의 크기는 \( n \times k \) 이고, \( B \) 와 \( C \) 의 크기는 \( k \times m \) 이면 \[ A(B+C)=A B+A C \] 이다.</li><li>\( A \) 의 크기는 \( k \times m \) 이고, \( B \) 와 \( C \) 의 크기는 \( n \times k \) 이면 \[ (B+C) A=B A+C A \] 이다.</li><li>\( A \) 의 크기는 \( n \times m, B \) 는 \( m \times k \) 그리고 \( C \) 는 \( k \times r \) 크기의 행렬이면 \[ A(B C)=(A B) C \] 이다.</li></ol></p><p>[증명]</p><p>(1), (2), (3)은 명백하므로 (4)만을 증명해 보자. 우선 크기를 살펴보면 모두 \( n \times r \) 로 같은 것을 쉽게 확인할 수 있다. 다음은 \( i \) 행 \( j \) 열의 요소를 구해보면\( A(B C) \) 의 \( i \) 행 \( j \) 열의 요소 \( =\sum_{q=1}^{k}\left(\sum_{p=1}^{m} a_{i p} b_{\not q}\right) c_{q j}=\sum_{p=1}^{m} \sum_{q=1}^{k} a_{i p} b_{\not q} c_{q j} \) \( (A B) C \) 의 \( i \) 행 \( j \) 열의 요소 \( =\sum_{b=1}^{m} a_{i p}\left(\sum_{q=1}^{k} b_{p q} c_{q j}\right)=\sum_{p=1}^{m} \sum_{q=1}^{k} a_{i p} b_{p a} c_{q j} \)이므로 서로 같다. 그러므로 크기가 같고 대응하는 요소가 같으므로 (4)는 증명이 되었다.</p><p>임의의 실수 \( x \) 에 0 을 더하면 \( x+0=0+x=x \) 가 되는 것과 비슷한 성질을 행렬에서도 가질 수 있다. 즉, 모든 요소가 0 인 \( n \times m \) 크기의 영행렬은 \( O_{n m} \) 으로 나타낸다.</p><p>\( B \) 가 임의의 행렬일 때 \( B \) 의 각 요소의 반대부호로 된 (즉, 각 요소에 (-1 )을 곱해준) 행렬을 \( -B \) 로 나타낸다. 그러면 \( B \) 와 \( (-B) \) 의 합은 영행렬이 되므로 실수에서의 양수와 음수 와의 관계와 같다.</p> <h1>8.7 역행렬</h1><p>정방행렬에서는 단위행렬이 실수에서의 1 과 같은 성질을 갖는다. 즉 \( A \) 가 \( n \times n \) 크기인 행렬 일 때, \( A I_{n}=I_{n} A=A \) 가 된다. 그러면 자연스럽게 \( A B=B A=I_{n} \) 이 되도록 하는 행렬 \( B \) 의 존재에 관심을 가질 수 있다. 이런 행렬 \( B \) 를 \( A \) 의 역행렬(inverse matrix)이라고 하며 \( A^{-1} \)로 나타낸다. 다음의 예제에 의해 역행렬의 존재성이 단순하지 않음을 알 수 있다.</p><p>예제 1</p><p>행렬 \[ \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \] 의 역행렬을 구하는 것은 \[ \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \] 을 만족한 \( a, b, c, d \) 를 정하는 것이다. 그런데 윗식의 좌변을 계산하면 \[ \left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \] 이 되는데, 윗식의 양변의 2행 2 열의 요소를 비교하여 \( 0=1 \) 인 관계를 갖게 되므로 모순이다. 그러므로 주어진 행렬의 역행렬은 없다.</p><p>한편 \[ \left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 1 & 4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{rr} \frac{4}{7} & -\frac{1}{7} \\ -\frac{1}{7} & \frac{2}{7} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr} \frac{4}{7} & -\frac{1}{7} \\ -\frac{1}{7} & \frac{2}{7} \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 1 & 4 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \] 이므로 윗식의 좌변에 곱해진 두 행렬은 서로 역행렬의 관계이다. 역행렬을 갖는 행렬을 정칙행렬(nonsingular matrix)이라고 하며, 그렇지 않은 행렬을 특이행렬(singular matrix)이라고 부른다. 그러므로 \[ \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \] 은 특이행렬이고, \[ \left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 1 & 4 \end{array}\right] \] 는 정칙행렬이다.</p><p>정리 8.14</p>정칙행렬은 오직 한 개의 역행렬을 갖는다.</p><p>[증명]</p><p>\( B \) 와 \( C \) 는 정칙행렬 \( A \) 의 역행렬이라고 해보자. 그러면 \( A B=B A=I_{n}, A C=C A=I_{n} \) 이다. 따라서 \[ B=B I_{n}=B(A C)=(B A) C=I_{n} C=C \] 이므로 \( B \) 와 \( C \) 는 같다.</p><p>정리 8.15</p><p>역행렬에 관해서는 다음의 성질이 있다.</p><ol type=1 start=1><li>\( I_{n} \) 은 정칙행렬이다.</li><li>\( A \) 와 \( B \) 가 정칙행렬이면 \( A B \) 도 정칙행렬이고 \( (A B)^{1}=B^{-1} A^{-1} \) 이다.</li><li>\( A \) 가 정칙행렬이면 \( A^{-1} \) 도 정칙행렬이고 \( \left(A^{-1}\right)^{-1}=A \) 이다.</li><li>\( A \) 가 정칙행렬이면 \( A^{t} \) 도 정칙행렬이고 \( \left(A^{t}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{t} \) 이다.</li><li>\( A \) 와 \( B \) 가 같은 크기의 정방행렬로서 \( A \) 또는 \( B \) 가 특이행렬이면 \( A B \) 와 \( B A \) 도 특 이행렬이 된다.</li></ol><p>[증명]</p><p>(1)은 \( I_{n} \cdot I_{n}=I_{n} \) 이므로 보여졌고, (2)는 \[ (A B)\left(B^{-1} A^{-1}\right)=A\left(B B^{-1}\right) A^{-1}=A I_{n} A^{-1}=A A^{-1}=I_{n} \] 이고, 마찬가지로 \[ \left(B^{-1} A^{-1}\right)(A B)=I_{n} \] 이 됨을 보일 수 있으므로 증명되었다. 또 (3)은 \( A^{-1} A=A A^{-1}=I_{n} \) 이므로 \( A^{-1} \) 이 정칙행렬 이고 \( \left(A^{-1}\right)^{-1}=A \) 임이 증명되었다. 한편 (4)는 연습문제로 남기겠고, (5)는 뒤에 행렬식을 배운 후에 쉽게 보일 수 있으므로, 여기서는 하지 않겠다.</p><p>정리 8.16</p><p>\( n \times n \) 크기의 행렬 \( A \) 가 정칙행렬이기 위한 필요충분조건은 \( \operatorname{rank}(A)=n \) 이다.</p><p>[증명]</p><p>\( A B=I_{n} \) 이 되도록 하는 \( n \times n \) 개 미지수로 된 행렬 \( B \) 를 생각해 보자. 이때 \( A B \) 의 \( j \) 째 열은 \( A \) 와 \( B \) 의 \( j \) 째 열과의 곱이기도 하고, 또 \( I_{n} \) 의 \( j \) 째 열이어야 하므로 일차연립방정식 \[ A\left[\begin{array}{c} b_{1 j} \\ b_{2 j} \\ \vdots \\ b_{n j} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right] \] 을 얻는다. 이 경우에 \( \operatorname{rank}(A)=n \) 이면, 앞절의 정리 8.13에 의해 위의 연립방정식이 유일한 해를 갖게 된다. 그러므로 \( A B=I_{n} \) 이 되는 \( B \) 의 각 열이 정해져서 \( A \) 는 역행렬을 갖고, 따라서 \( A \) 는 정칙행렬이 된다.</p><p>역으로 \( A \) 가 정칙행렬이면 \( j=1,2, \cdots, n \) 에 대하여 \( A^{-1} \) 의 \( j \) 째 열이 위의 연립방정식이 해를 갖게 된다. 그러므로 앞절의 정리 \( 8.13 \) 에 의해 \( \operatorname{rank}(A)=n \) 이 된다.</p><p>다음은 앞에서 익힌 행변환을 통하여 주어진 행렬의 역행렬을 구하거나 또는 특이행렬임을 밝히는 방법을 살펴보자.</p><p>\( A \) 가 \( n \times n \) 크기의 행렬이라고 하자.</p><p>1 단계: \( A \) 의 왼쪽에 아래와 같이 \( I_{n} \) 을 놓아 \( 2 \times 2 n \) 크기의 행렬 \( \left[\begin{array}{ccccc:ccccc}1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & A_{11} & A_{12} & A_{13} & \cdots & A_{1 n} \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & A_{21} & A_{22} & A_{23} & \cdots & A_{2 n} \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & A_{31} & A_{32} & A_{33} & \cdots & A_{3 n} \\ \vdots & & & & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & A_{n 1} & A_{n 2} & A_{n 3} & \cdots & A_{n n}\end{array}\right] \) 을 만든다. 이 행렬을 \( \left[I_{n}: A\right] \) 라고 하자.</p><p>2단계: 행변환을 통하여 \( A \) 를 축소행렬 \( A_{R} \) 로 고친다. 이때, 쓰이는 행변환을 똑같이 \( I_{n} \)에도 취한다. 그러면 결과적으로 \( \left[\begin{array}{l:l}C & A_{R}\end{array}\right] \) 형태를 갖게 된다.</p><p>3단계: \( A_{R}=I_{n} \) 이면 \( A^{-1} \) 는 \( C \) 이고, 그렇지 않으면 \( A^{-1} \) 은 없다.</p> <h1>8.0 머리말</h1><p>우리는 이미 중학교 과정에서 일차연립방정식에서 변수를 차례로 줄여가는 소거법에 의하여 해를 구해 보았었다. 또 고등학교 과정에서는 일차연립방정식의 계수들을 사각형 모양으로 놓아 행렬을 소개하여 간단한 형태의 행렬의 덧셈, 뺄셈, 실수배, 곱셈 등을 익혔고, 역행렬을 통하여 일차연립방정식의 해를 구하는 것을 살펴 보았었다. 이 장에서는 일반적인 행렬의 성질과 연산을 익히고 행렬식을 정의하여 연립방정식의 해를 구하는 법을 살필 것이다. 이런 결과는 전기회로이론, 결정물리학 또는 연립미분방정식의 해를 구하는 것 등에 유용하게 쓰인다.</p> <h1>8.5 일차연립방정식의 해: 제차인 경우</h1><p>이 절에서는 행렬이 일차연립방정식의 해를 구하는데 어떻게 이용되는지를 살펴보자. 아래와 같은 \[ \begin{array}{c} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 m} x_{m}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 m} x_{m}=b_{2} \\ \vdots \\ \vdots \\ a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n m} x_{m}=b_{n} \end{array} \] 형태의 일차연립방정식을 생각해 보자. 위에서 미지수는 \( m \) 개이고 방정식은 \( n \) 개이다. 이때 상수 \( a_{11}, \cdots, a_{1 m}, \cdots, a_{n 1}, \cdots, a_{n m}, b_{1}, \cdots, b_{n} \) 들이 주어졌을 때 \( n \)개의 방정식을 동시에 만족시키는 모든 \( x_{1}, \cdots, x_{m} \) 을 구하려고 한다. 위의 일차연립방정식의 계수들을 요소로 갖는 \( n \times m \) 크기의 행렬 \[ A=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 m} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n m} \end{array}\right] \] 을 계수의 행렬(matrix of cofficients)이라고 부르는데, \[ X=\left[\begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{m} \end{array}\right] \text {, 또는 } B=\left[\begin{array}{c} b_{1} \\ \vdots \\ b_{m} \end{array}\right] \] 으로 하면, 일차연립방정식은 간단히 \( A X=B \) 로 나타낼 수 있다. 이와 같이 행렬을 써서 일차 연립방정식을 다룰 경우에는 일차연립방정식의 해 \( x_{1}=\alpha_{1}, x_{2}=\alpha_{2}, \cdots, x_{m}=\alpha_{m} \) 을 \( m \times 1 \) 크기의 행렬로 \[\left[\begin{array}{c} \alpha_{1} \\ \alpha_{2} \\ \vdots \\ \alpha_{m} \end{array}\right] \] 과 같이 나타내기도 한다.</p><p>예제 1</p><p>일차연립방정식 \[ \begin{array}{l} x_{1}-2 x_{2}=3, \\ 4 x_{1}+6 x_{2}=-5 \end{array} \] 를 행렬을 써서 나타내면 \[ \left[\begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 4 & 6 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} 3 \\ -5 \end{array}\right] \] 가 된다. 이때 연립방정식의 해를 구하면 \( x_{1}=\frac{8}{14}, x_{2}=-\frac{17}{14} \) 인데, 행렬을 써서 나타내면 \[ \left[\begin{array}{r} \frac{8}{14} \\ -\frac{17}{14} \end{array}\right] \] 이 된다.</p><p>위의 예제와 같은 작은 크기의 연립방정식을 다루어서는 행렬의 편리함을 잘 모른다. 다음은 보다 큰(미지수가 많거나 방정식의 개수가 많은 경우) 일차연립방정식을 살펴보자. 일차연립방정식 \( A X=B \) 에서 \[ b_{1}=b_{2}=\cdots=b_{n}=0 \] 인 경우를 제차(homogeneous)라 하고, 그러지 않은 경우를 비제차(nonhomogeneous)라고 한다. 예를 들어 \[ \left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 6 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} -4 \\ 0 \end{array}\right] \] 은 비제차인 일차연립방정식이다. 지금부터 제차인 일차연립방정식을 살펴보자. \( A \) 가 \( n \times m \) 크기의 행렬이고 \[ 0=\left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right] \] 일 때, 제차인 일차연립방정식 \( A X=0 \) 의 해는 다음과 같이 네 개의 단계를 거쳐 해를 구할 수 있다. 이런 방법을 가우스-조단 줄임법(Gauss-Jordan reduction method)이라고 한다.</p><p>1 단계: \( A \) 를 축소행렬 \( A_{R} \) 로 고친다.</p><p>2 단계: \( A_{R} \) 의 \( j \) 째 열이 \( A \) 의 임의의 행의 선두요소를 가지고 있으면 \( x_{j} \) 를 종속미지수로, 그렇지 않으면 \( x_{j} \) 를 독립미지수로 한다.</p><p>3단계: 종속미지수를 독립미지수로 표현한다.</p><p>4단계: 독립미지수에 임의의 값을 주고, 이것에 의해 3단계에서 표현한 종속미지수를 결정한다.</p><p>위의 방법의 내용은 주어진 제차인 일차연립방정식을 미지수들 사이의 관계를 살펴서 식의 개수를 줄인 후에, 이것으로 다른 미지수를 결정하는 과정을 뜻한다.</p><p>예제 2</p><p>제차인 일차연립방정식 \[ \begin{array}{r} x_{1}-3 x_{2}+2 x_{3}=0 \\ -2 x_{1}+x_{2}-3 x_{3}=0 \end{array} \] 은 \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 1 & -3 & 2 \\ -2 & 1 & -3 \end{array}\right], \quad X=\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right], \quad 0=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right] \] 으로 하여 \( A X=0 \) 으로 나타낼 수 있다. 해를 구하려면, 1 단계로 \( A \) 의 축소행렬을 구하면 \[ \left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & \frac{7}{5} \\ 0 & 1 & -\frac{1}{5} \end{array}\right] \] 을 얻고, 다음은 2 단계로 1 열과 2 열은 각각 1 행과 2 행에 선두요소를 가지므로 \( x_{1} \) 과 \( x_{2} \) 는 종속미지수이고, \( x_{3} \) 는 독립미지수이다. 3 단계로 위의 \( A_{R} X=0 \) 에서 \( x_{1}+\frac{7}{5} x_{3}=0 \) 이므로 \( x_{1}= \) \( -\frac{7}{5} x_{3} \) 이고, \( x_{2}-\frac{1}{5} x_{3}=0 \) 이므로 \( x_{2}=\frac{1}{5} x_{3} \) 을 얻고, 4 단계로 \( x_{3} \) 값으로 임의의 실수 \( \alpha \) 를 주면 \( x_{1}=-\frac{7}{5} \alpha \) 와 \( x_{2}=\frac{1}{5} \alpha \) 가 된다. 이것을 행렬로 표현하면 \[ \left[\begin{array}{rr} -\frac{7}{5} \alpha \\ \frac{1}{3} \alpha \\ \alpha \end{array}\right], \quad \alpha\left[\begin{array}{r} -\frac{7}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}\right] \] 이 된다. 여기서 \( \alpha \) 가 임의의 실수이므로 주어진 제차인 일차연립방정식은 무한히 많은 해를 가진다.</p><p>예제 3</p><p>제차인 일차연립방정식 \[ \begin{aligned} x_{1}-3 x_{2}+x_{3}-7 x_{4}+4 x_{5} &=0 \\ x_{1}+2 x_{2}-3 x_{3} &=0 \\ x_{2}-4 x_{3}+x_{5} &=0 \end{aligned} \] 에서는 \[ A=\left[\begin{array}{rrrrr} 1 & -3 & 1 & -7 & 4 \\ 1 & 2 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 0 & 1 \end{array}\right] \] 일 때 \( A X=0 \) 으로 표현된다. 여기서 \[ A_{R}=\left[\begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 0 & -\frac{35}{16} & \frac{13}{16} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{28}{16} & -\frac{20}{16} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{7}{16} & -\frac{9}{16} \end{array}\right] \] 이므로 \( x_{1}, x_{2}, x_{3} \) 는 종속미지수이고 \( x_{4} \) 와 \( x_{5} \) 는 독립미지수이다. 해를 구하면 임의의 \( x_{4} \) 와 \( x_{5} \) 에 대하여 \[ \begin{array}{l} x_{1}=\frac{35}{16} x_{4}-\frac{13}{16} x_{5} \\ x_{2}=-\frac{28}{16} x_{4}+\frac{20}{16} x_{5} \end{array} \] \[ x_{3}=-\frac{7}{16} x_{4}+\frac{9}{16} x_{5} \] 이므로 행렬로 나타내면 \[ \left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \frac{35}{16} x_{4}-\frac{13}{16} x_{5} \\ -\frac{28}{16} x_{4}+\frac{20}{16} x_{5} \\ -\frac{7}{16} x_{4}+\frac{9}{16} x_{5} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{array}\right]=x_{4}\left[\begin{array}{c} \frac{35}{16} \\ -\frac{28}{16} \\ -\frac{7}{16} \\ 1 \\ 0 \end{array}\right]+x_{5}\left[\begin{array}{c} -\frac{13}{16} \\ \frac{20}{16} \\ \frac{9}{16} \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] \] 이 되고, \( x_{4} \) 와 \( x_{5} \) 의 값으로 각각 \( \alpha \) 와 \( \beta \) 를 주면 해는 \[ \alpha\left[\begin{array}{c} \frac{35}{16} \\ -\frac{28}{16} \\ -\frac{7}{16} \\ 1 \\ 0 \end{array}\right]+\beta\left[\begin{array}{c} -\frac{13}{16} \\ \frac{20}{16} \\ \frac{9}{16} \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] \] 이 된다. 또 \( \alpha=\frac{1}{16} \alpha \) 와 \( b=\frac{1}{16} \beta \) 로 하면 위의 해는 간단히 \[ a\left[\begin{array}{r} 35 \\ -28 \\ -7 \\ 16 \\ 0 \end{array}\right]+b\left[\begin{array}{r} -13 \\ 20 \\ 9 \\ 0 \\ 16 \end{array}\right] \] 으로 나타낼 수 있다.</p> <h1>8.3 기본행연산과 기본행렬</h1><p>여기서는 행렬을 활용하는 데 매우 중요한 세 가지 행조작을 다루려고 한다. 한 행렬이 있을 때 다음과 같은 세 개의 행에 관한 조작을 기본행연산(elementary row operation)이라고 한다.</p><ol type= start=1><li>두 행을 서로 바꾼다.</li><li>한 행에 0이 아닌 실수를 곱해 준다.</li><li>한 행의 실수배를 다른 행에 더해 준다.</li></ol><p>예제 1</p><p>\[A=\left[\begin{array}{rrr}-2 & 1 & 6 \\1 & 1 & 2 \\0 & 1 & 3 \\2 & -3 & 4\end{array}\right]\]에서는, \( A \) 의 첫째 행과 셋째 행을 서로 바꾸면 \[\left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & 3 \\1 & 1 & 2 \\-2 & 1 & 6 \\2 & -3 & 4\end{array}\right]\]가 얻어지고, \( A \) 의 넷째 행에 \( \sqrt{3} \) 을 곱해 주면 \[\left[\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 6 \\1 & 1 & 2 \\0 & 1 & 3 \\2 \sqrt{3} & -3 \sqrt{3} & 4 \sqrt{3}\end{array}\right]\]이 되고, \( A \) 의 셋째 행의 \( \sqrt{5} \) 배를 둘째 행에 더해 주면\[\left[\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 6 \\1 & 1+\sqrt{5} & 2+3 \sqrt{5} \\0 & 1 & 3 \\2 & -3 & 4\end{array}\right]\]가 된다.</p><p>일련의 행연산을 행렬 \( A \) 에 행하여 행렬 \( B \) 를 얻게 되는 경.우에 \( A \) 는 \( B \) 와 행동치관계를갖는다(row equvalent)고 한다.</p><p>\( A \) 는 \( n \times m \) 크기의 행렬로서 다음과 같은 조건을 갖는다고 하자.</p><ol type= start=1><li>각 행에서 첫번째로 0 이 아닌 요소는 1 이다.</li><li>\( r \) 번째 행에서 처음으로 0 이 아닌 요소는 \( c \) 번째 열에 있고, \( c \) 열의 모든 다른 요소는 0 이다.</li><li>요소들이 모두 0 인 행은 그렇지 않은 행보다 아래쪽에 놓인다.</li><li>\( r_{1}<r_{2} \) 일 때, \( r_{1} \) 번째 행에서 처음으로 0이 아닌 요소는 \( c_{1} \) 번째 열에 있고, \( r_{2} \) 번째 행 에서 처음으로 0 이 아닌 요소는 \( c_{2} \) 번째 열에 있으면 \( c_{1}<c_{2} \) 이다.</li></ol><p>위와 같은 조건을 갖는 행렬을 축소행렬(reduced matrix)이라고 하며, 또 한 행에서 처음으로 0이 아닌 요소를 선두요소(leading entry)라고 부른다. 그러므로 위의 조건을 달리 설명하면 (1)은 각 행에서 선두요소는 1 이어야 한다는 것이고, (2)는 각 선두요소의 위와 아래의 요소는 0이어야 한다는 것이고, (3)는 행의 번호가 커지면 선두요소는 오른쪽으로 움직여야 한다는 뜻이다.</p><p>예제 2</p><p>다음 네 개의 행렬은 모두 축소행렬이다. \[\begin{array}{l}{\left[\begin{array}{lllll}0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 &0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{rrrrr}1 & 0 & 0 & 3 & 1 \\0 & 1 & 0 & -2 & 4 \\0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]}\\ {\left[\begin{array}{lllll}0 & 1 & 3 & 2 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{rrrr}1 & -4 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]}\end{array}\] 그러나 행렬\[\left[\begin{array}{lllll}0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]\] 은 1행 3열의 요소가 2 이므로 조건 (2)에 위배되어 축소행렬이 아니다. 하지만 2행에 (-2)를 곱하여 1행에 더해주면 축소행렬이 되므로 주어진 행렬은 축소행렬과 행동치관계를 갖는다. 또 행렬\[\left[\begin{array}{lllll}0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\]은 조건 (4)에 위배되어 축소행렬이 아니지만, 1행과 2행을 바꾸면 축소행렬이 되므로 축소행렬과 행동치관계를 갖는다. 마지막으로 행렬\[\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\1 & 0 &1\end{array}\right]\]은 1행의 선두요소가 2 이므로 조건 (1)에 위배되고, 3행에 1열의 요소가 0이 아닌 것은 조건 (2)에 위배되어 축소행렬이 아니다. 그러나 1 행에 \( 1 / 2 \) 을 곱해주고, 또 그런 후에 1행에 (-1) 을 곱하여 3행에 더해주면 축소행렬이 되므로 위의 행렬도 축소행렬과 행동치관계를 갖는다. \[\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right]\]</p><p>위의 예에서 살핀 것과 같이 축소행렬이 아닌 행렬이라도 기본행연산에 의해 축소행렬을 들 수 있으므로 다음의 정리를 생각할 수 있다.</p> <p>지금까지 행렬의 여러 성질을 살피면서 실수와 유사한 것을 알게 되었는데, 다음은 행렬이 실수와는 다른 세 가지 성질을 갖는 것을 살펴보자. 그래서 행렬의 곱은 조심하여 다루어야 한다.</p><p>(1) 행렬의 곱셈에서 교환법칙은 성립하지 않는다. 우선 앞에서 살핀 것과 같이 \( A B \) 는 정의 되더라도 \( B A \) 는 정의되지 않을 수도 있고, 또 \( A B \) 와 \( B A \) 가 각각 정의되더라도 크기가 다를 수 있다. 더욱이나 위의 두 경우가 아니더라도 아래의 예와 같이, 행렬의 곱을 순서를 바꾸면 다른 값을 갖는다.</p><p>예제 4</p><p>\[A=\left[\begin{array}{rr}1 & 0 \\-2 & 4\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{rr}-2 & 6 \\1 & 3\end{array}\right]\]일 때\[A B=\left[\begin{array}{rr}-2 & 6 \\8 & 0\end{array}\right], \quad B A=\left[\begin{array}{rr}-14 & 24 \\-5 & 12\end{array}\right]\]이므로 교환법칙이 성립하지 않는다.</p><p>(2) \( A \) 가 영헹렬이 아니고 \( B \neq C \) 이지만 \( A B=A C \) 일 수 있다. 그러므로 행렬로 된 방정식 \( A B=A C \) 에서 \( A \) 가 영행렬이 아니라도 \( A \) 를 소거할 수 없다.</p><p>예제 5</p><p>\[\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\3 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}4 & 2 \\3 & 16\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\3 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}2 & 7 \\5 & 11\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}7 & 18 \\21 & 54\end{array}\right]\]이지만\[\left[\begin{array}{rr}4 & 2 \\3 & 16\end{array}\right] \neq\left[\begin{array}{rr}2 & 7 \\5 & 11\end{array}\right]\] 이다.</p><p>(3) \( A \) 와 \( B \) 가 영행렬이 아니라도 \( A B \) 는 영행렬이 되기도 한다.</p><p>예제 6</p><p>\[\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}6 & 4 \\-3 & -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\0 & 0\end{array}\right]\] 과 \[\left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\2 & 8\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}8 & -2 \\-2 & 1 / 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\0 & 0\end{array}\right]\]에서 볼 수 있는 것과 같이 위의 (3)과 같은 경우가 생긴다.</p> <p>정리 8.17</p><p>\( A \) 를 \( n \times n \) 크기의 행렬이라고 하자.</p><ol type=1 start=1><li>비제차인 일차연립방정식 \( A X=B \) 가 유일한 해를 갖기 위한 필요충분조건은 \( A \) 가 정칙행렬인 것이며, 이 경우 \( X=A^{-1} B \) 이다.</li><li>\( A X=0 \) 이 명백한 해 이외의 해를 갖기 위한 필요충분조건은 \( A \) 가 특이행렬인 것 이다.</li></ol><p>[증명]</p><p>(1) 앞절의 정리 8.13에 의해, \( A X=B \) 가 유일한 해를 갖기 위한 필요충분조건은 \( \operatorname{rank}(A)=n \) 인데, 바로 앞의 정리 8.16에 의해, 이것은 다시 \( A^{-1} \) 의 존재성과 일치하므로, 결국 \( A X=B \) 가 유일한 해를 갖기 위한 필요충분조건은 \( A \) 가 정칙행렬인 것이 된다.</p><p>(2) 8.5절의 따름정리에 의하면, \( A X=0 \) 이 명백한 해 이외의 해를 갖기 위한 필요충분조건은 \( \operatorname{rank}(A)<n \) 인데, 정리 8.16에 의하면, 이것은 \( A \) 가 특이행렬이라는 사실과 일치하므로 증명 되었다.</p><p>예제 4</p><p>비제차인 일차연립방정식 \[ \begin{array}{r} 2 x_{1}-x_{2}+3 x_{3}=4 \\ x_{1}+9 x_{2}-2 x_{3}=-8 \\ 4 x_{1}-8 x_{2}+11 x_{3}=15 \end{array} \] 의 해를 구하면 \[ \left[\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 9 & -2 \\ 4 & -8 & 11 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} 4 \\ -8 \\ 15 \end{array}\right] \] 는 \[ A^{-1}=\frac{1}{53}\left[\begin{array}{rrr} 83 & -13 & -25 \\ -19 & 10 & 7 \\ -44 & 12 & 19 \end{array}\right] \] 이므로 해는 \[ X=A^{-1} B=\left[\begin{array}{r} \frac{61}{53} \\ -\frac{51}{53} \\ \frac{13}{53} \end{array}\right] \] 이 된다.</p> <p>정리 8.13</p><p>\( A \) 가 \( n \times n \) 크기의 정방행렬일 때, 비제차인 일차연립방정식 \( A X=B \) 가 유일한 해를 갖기 위한 필요충분조건은 \( \operatorname{rank}(A)=n \) 이다.</p><p>[증명]</p><p>우선 \( \operatorname{rank}(A)=n \) 이면 8.3절의 보조정리에 의해, \( A_{R}=I_{n} \) 인데, 이 경우 [A:B]\( ]_{R} \)은 \( \left[I_{n}: C\right] \) 형태가 되므로 \( x_{1}=C_{1}, x_{2}=C_{2}, \cdots, x_{n}=C_{n} \) 이 주어진 비제차인 연립방정식의 유일한 해이다.</p><p>다음은 역으로 비제차인 연립방정식 \( A X=B \) 가 단 하나의 해 \( U \) 를 갖는다고 하자. 이때 제차인 연립방정식 \( A X=0 \) 이 한 해 \( H \) 를 갖는다고 하면 정리 8.13에 의해 \( U+H \) 도 비제차인 연립방정식 \( A X=B \) 의 해가 된다. 그런데 \( U \) 가 유일하므로 \( U=U+H \) 이고, \( H=0 \) 이 된다. 그러므로 제차인 연립방정식 \( A X=0 \) 은 명백한 해를 가지므로, 정리 8.9에 의해 \( \operatorname{rank}(A) \) \( =n \) 이 된다.</p><p>예제 5</p>비제차인 연립방정식 \[ \left[\begin{array}{rr} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} -1 \\ 4 \end{array}\right] \] 에서는 \[ A=\left[\begin{array}{rr} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{array}\right], \quad A_{R}=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \] 인데, \( \operatorname{rank}(A)=2 \) 이므로 유일한 해를 갖는다. 해는 \[ \left[\begin{array}{l} \frac{1}{6} \\ \frac{4}{3} \end{array}\right] \] 이다.</p> <p>예제 2</p><p>행렬 \[A=\left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 3 \\1 & 0 & -2 \\4 & 0 & 2\end{array}\right]\] 의 역행렬을 찾아보자. 우선 \[\left[\begin{array}{rrr:rrr}1 & 0 & 0 & 2 & -1 & 3 \\0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -2 \\0 & 0 & 1 & 4 & 0 & 2\end{array}\right]\] 로 놓아 \( 3 \times 6 \) 크기의 \( \left[\begin{array}{l:l}I_{3} & A\end{array}\right] \) 를 만들고 \( A \) 의 축소행렬을 구해보자. 우선 1 행에 \( 1 / 2 \) 을 곱해 주면 \[ \left[\begin{array}{rrr:rrr}\frac{1}{2} & 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 0 & 2\end{array}\right] \] 가 되고, 위의 행렬에서 1행의 (-1) 배를 2행에 더해 주고 또 1행의 (-4) 배를 3행에 더해 주면 \[\left[\begin{array}{rrr:rrrr}\frac{1}{2} & 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\-\frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{2}{7} \\-2 & 0 & 1 & 0 & 2 & -4\end{array}\right]\] 가 된다. 또 위의 행렬에서 2행에 2 를 곱해 주면 \[\left[\begin{array}{ccc:crr}\frac{1}{2} & 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\-1 & 2 & 0 & 0 & 1 & -7 \\-2 & 0 & 1 & 0 & 2 & -4\end{array}\right]\] 가 되고, 다음은 위의 행렬에서 2행의 \((1/2)\)배를 1행에 더해 주고 또 2행의 (-2)배를 3행 에 더해 주면 행렬 \[\left[\begin{array}{rrr:rrr}0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -2 \\-1 & 2 & 0 & 0 & 1 & -7 \\0 & -4 & 1 & 0 & 0 & 10\end{array}\right]\] 을 얻는다. 위의 행렬의 3행에 \( 1 / 10 \) 을 곱해 주면 행렬 \[\left[\begin{array}{rrr:rrr}0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -2 \\-1 & 2 & 0 & 0 & 1 & -7 \\0 & -\frac{4}{10} & \frac{1}{10} & 0 & 0 & 1\end{array}\right]\] 이 생기고, 이 행렬에서 3 행의 2 배를 1 행에 더해 주고 또 3 행의 7 배를 2행에 더해 주면 행렬 \[\left[\begin{array}{rrr:rrr}0 & \frac{2}{10} & \frac{2}{10} & 1 & 0 & 0 \\-1 & -\frac{8}{10} & \frac{7}{10} & 0 & 1 & 0 \\0 & -\frac{4}{10} & \frac{1}{10} & 0 & 0 & 1\end{array}\right]\] 이 얻어진다. 이때 위의 행렬의 오른쪽이 \( I_{3} \) 이므로 주어진 행렬은 정칙행렬이고, 위의 행렬의 왼쪽이 역행렬이다. 즉, \[A^{-1}=\left[\begin{array}{rrr}0 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\-1 & -\frac{4}{5} & \frac{7}{10} \\0 & -\frac{2}{5} & \frac{1}{10}\end{array}\right]\] 이 된다.</p><p>예제 3</p><p>행렬 \[A=\left[\begin{array}{rrr}-3 & 1 & -1 \\1 & 0 & 1 \\-2 & 2 & 2\end{array}\right]\] 의 역행렬을 살펴보자. \[\left[\begin{array}{lll:rrr}1 & 0 & 0 & -3 & 1 & -1 \\0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\0 & 0 & 1 & -2 & 2 & 2\end{array}\right]\] 에서 1행에 \( (-1 / 3) \) 을 곱해 주면 \[ \left[\begin{array}{rrr:rrr} -\frac{1}{3} & 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 2 & 2 \end{array}\right] \] 가 되고, 이 행렬의 1행의 (-1)배를 2행에, 1행의 2배를 3행에 더해 주면 을 얻는다. 또 위의 행렬의 2행에 3을 곱해 주면 행렬 \[ \left[\begin{array}{rrr:rrr} -\frac{1}{3} & 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ -\frac{2}{3} & 0 & 1 & 0 & \frac{4}{3} & \frac{8}{3} \end{array}\right] \] 이 생기고, 다시 위의 행렬의 2행의 \( (1 / 3) \) 배를 1행에, 2행의 \( (-4 / 3) \) 배를 3행에 더해 주면 행렬 \[ \left[\begin{array}{rrr:rrr} 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ -\frac{6}{3} & -4 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \] 을 얻게 되는데, 위의 행렬의 오른쪽은 \( A \) 의 축소행렬이나 \( I_{3} \) 이 아니므로, \( A \) 는 특이행렬로서 역행렬이 없다. 역행렬에 의해 다음과 같이 연립방정식의 해에 관한 성질을 얻는다. \[ \left[\begin{array}{rrr:rrr} -\frac{1}{3} & 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 2 & 2 \end{array}\right] \] 가 되고, 이 행렬의 1행의 (-1)배를 2행에, 1행의 2배를 3행에 더해 주면 을 얻는다. 또 위의 행렬의 2행에 3을 곱해 주면 행렬 \[ \left[\begin{array}{rrr:rrr} -\frac{1}{3} & 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ -\frac{2}{3} & 0 & 1 & 0 & \frac{4}{3} & \frac{8}{3} \end{array}\right] \] 이 생기고, 다시 위의 행렬의 2행의 \( (1 / 3) \) 배를 1행에, 2행의 \( (-4 / 3) \) 배를 3행에 더해 주면 행렬 \[ \left[\begin{array}{rrr:rrr} 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ -\frac{6}{3} & -4 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \] 을 얻게 되는데, 위의 행렬의 오른쪽은 \( A \) 의 축소행렬이나 \( I_{3} \) 이 아니므로, \( A \) 는 특이행렬로서 역행렬이 없다. 역행렬에 의해 다음과 같이 연립방정식의 해에 관한 성질을 얻는다.</p> <p>다음 정리에 의해 비제차인 일차연립방정식 \( A X=B \) 의 해를 찾을 수 있다.</p><p>정리 8.12</p>\( H \) 가 제차인 일차연립방정식 \( A X=0 \) 의 해이고 \( U \) 는 비제차인 일차연립방정식 \( A X=B \) 의 해이면, \( A X=B \) 의 임의의 해는 \( U+H \) 의 형태이다.</p><p>[증명]</p><p>\( W \) 를 비제차인 일차연립방정식 \( A X=B \) 의 해라고 하자. 그러면 \[ A(W-U)=A W-A U=B-B=0 \] 이므로 \( W-U \) 는 제차인 연립방정식 \( A X=0 \) 의 한 해이다. 이때 \( H=W-U \) 로 놓으면 \( H \) 는 \( A X=0 \) 의 한 해이고 \( W=U+H \) 이다.</p><p>위의 정리에 의해 비제차인 일차연립방정식의 해는 제차인 일차연립방정식의 일반해와 비제차인 일차연립방정식의 한 해를 구하면 된다. 이것을 몇 단계로 나누어 요약하면 다음과 같다.</p><p>1단계: 확대계수행렬 \( [A: B] \) 의 축소행렬 \( [A: B]_{R}=\left[A_{R}: C\right] \) 를 구한다. 이때 \( C \) 는 \( n \times 1 \) 크기의 행렬이다. 그런 후에 주어진 연립방정식보다 간단해진 연립방정식\( A_{R} X=C \) 를 구한다.</p><p>2단계: \( \quad \operatorname{rank}\left[\begin{array}{l:l}A & B\end{array}\right] \operatorname{rank}(A) \) 이면 해가 없으므로 그만 둔다.</p><p>3 단계: \( j \) 열이 \( i \) 행에 선두요소를 가지면 \( i \) 째 방정식을 이용하여 종속미지수 \( x_{j} \) 를 독립미지수와 \( C_{i} \) 로 나타낸다.</p><p>4단계: 위의 결과를 \[ \left[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{m} \end{array}\right] \] 형태의 열벡터로 나타낸다.</p><p>5 단계: 위의 열을 독립미지수인 \( x_{k} \) 들이 곱해진 열과 종속미지수를 표시하는데 쓰인 \( C_{i} \) 들을 포함하는 열의 합으로 나타낸다. 그러면 이 상수로 된 열이 비제차인 연립방정식의 한 해이고 독립미지수인 \( x_{k} \) 들을 \( \alpha, \beta, \cdots \), 등으로 바꾼 것이 제차인 연립방정식의 일반해이므로 이들을 합하면 비제차인 연립방정식의 해가 구해진다.</p><p>예제 2</p><p>위의 단계를 따라서 비제차인 일차연립방정식 \[ -x_{1}+x_{2}+3 x_{3}=-2 \] \[ x_{2}+2 x_{3}=4 \] 의 해를 살펴보자. 우선 1 단계로 \[ \left[\begin{array}{l:l} A & B \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr:r} -1 & 1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \end{array}\right] \] \[ \left[\begin{array}{l:l} A & B \end{array}\right]_{R}=\left[\begin{array}{rrr:r} 1 & 0 & -1 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \end{array}\right] \] 인데, 이것은 \[ A_{R}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{l} 6 \\ 4 \end{array}\right] \] 일 때 \( \left[A_{R}: C\right] \) 형태이다. 2 단계로 위수를 살펴보면 \[ \operatorname{rank}(A)=2=\operatorname{rank}\left[\begin{array}{l:l} A & C \end{array}\right] \] 이므로 주어진 비제차 연립방정식은 해를 가지므로 구해야 겠다. 3단계로 종속미지수와 독립미 지수를 판별하면 \( A_{R} \) 로부터 \( x_{1}, x_{2} \) 는 종속이고 \( x_{3} \) 는 독립이다. 또 \( [A: B]_{R} \) 로부터 간단해 진 연립방정식 \[ \begin{array}{r} x_{1}-x_{3}=6 \\ x_{2}+2 x_{3}=4 \end{array} \] 또는 \[ \begin{array}{l} x_{1}=6+x_{3} \\ x_{2}=4-2 x_{3} \end{array} \] 을 얻는다. 4단계로 위의 결과를 열벡터로 나타내면 \[ \left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} 6+x_{3} \\ 4-2 x_{3} \\ x_{3} \end{array}\right] \] 로 나타내고, 5 단계로 위의 열벡터를 \[ \left[\begin{array}{l} 6 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right]+x_{3}\left[\begin{array}{r} 1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right] \] 로 나타낼 수 있으므로 주어진 연립방정식의 해는, \( \alpha \) 가 임의의 실수일 때, \[ \left[\begin{array}{l} 6 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right]+\alpha\left[\begin{array}{r} 1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right] \] 이 된다. 여기서 \[ \left[\begin{array}{l} 6 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right] \] 이 비제차인 연립방정식 \( A X=B \) 인 한 특수해이고 \[ \alpha\left[\begin{array}{r} 1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right] \] 은 제차인 연립방정식 \( A X=0 \) 의 일반해임을 알 수 있다.</p><p>예제 3</p><p>비제차인 일차연립방정식 \[ \begin{aligned} x_{1}-x_{2}+2 x_{3} &=-1 \\ x_{3} &=0 \\ 3 x_{1}-3 x_{2}+7 x_{3} &=1 \\ 10 x_{1}-10 x_{2}+24 x_{3} &=-2 \end{aligned} \] 의 해를 살펴보자. 여기서는 \[ \left[\begin{array}{l:l} A & B \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr:r} 1 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & -3 & 7 & 1 \\ 10 & -10 & 24 & -2 \end{array}\right] \] 이고 \[ \left[\begin{array}{l:l} A & B \end{array}\right]_{R}=\left[\begin{array}{ccc:c} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \] 인데, \( \operatorname{rank}[A: B]=3 \) 이나 \( \operatorname{rank}(A)=2 \) 이므로 해는 없다.</p><p>예제 4</p><p>비제차인 일차연립방정식 \[ \begin{array}{rlr} x_{1}-x_{3} & +x_{5}+6 x_{6}=-3 \\ x_{2}+x_{3}+3 x_{4}+2 x_{5}+4 x_{6}= & 1 \\ x_{1}-4 x_{2}+3 x_{3}+x_{4} & +2 x_{6}=0 \end{array} \] 의 해를 살펴보자. 위의 연립방정식에서는 \[ \left[\begin{array}{ll} A & B \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrrrrr:r} 1 & 0 & -1 & 2 & 1 & 6 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & 3 & 2 & 4 & 1 \\ 1 & -4 & 3 & 1 & 0 & 2 & 0 \end{array}\right] \] 이고 \[ \left[\begin{array}{l:l} A & B \end{array}\right]_{R}=\left[\begin{array}{llllll:r} 1 & 0 & 0 & \frac{27}{8} & \frac{15}{8} & \frac{60}{8} & -\frac{17}{8} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{13}{8} & \frac{9}{8} & \frac{20}{8} & \frac{1}{8} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{11}{8} & \frac{7}{8} & \frac{12}{8} & \frac{7}{8} \end{array}\right] \] 인데, \( \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A: B])=3 \) 이므로 해가 존재한다. 한편 \( [A: B]_{R} \) 로부터, \( x_{1}, x_{2} \), \( x_{3} \) 는 종속미지수이고 \( x_{4}, x_{5}, x_{6} \) 는 독립미지수임을 알 수 있다. 또한 \( [A: B]_{R} \) 로부터 간단 해진 연립방정식 \[ x_{1}+\frac{27}{8} x_{4}+\frac{15}{8} x_{5}+\frac{60}{8} x_{6}=-\frac{17}{8} \] 을 얻게 되고 따라서 \[ \begin{array}{l} x_{1}=-\frac{17}{8}-\frac{27}{8} x_{4}-\frac{15}{8} x_{5}-\frac{60}{8} x_{6} \\ x_{2}=\frac{1}{8}-\frac{13}{8} x_{4}-\frac{9}{8} x_{5}-\frac{20}{8} x_{6} \\ x_{3}=\frac{7}{8}-\frac{11}{8} x_{4}-\frac{7}{8} x_{5}-\frac{12}{8} x_{6} \end{array} \] 을 얻을 수 있으므로 열벡터 \[ \begin{aligned} {\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6} \end{array}\right]=} & {\left[\begin{array}{c} -\frac{17}{8}-\frac{27}{8} x_{4}-\frac{15}{8} x_{5}-\frac{60}{8} x_{6} \\ \frac{1}{8}-\frac{13}{8} x_{4}-\frac{9}{8} x_{5}-\frac{20}{8} x_{6} \\ \frac{7}{8}-\frac{11}{8} x_{4}-\frac{7}{8} x_{5}-\frac{12}{8} x_{6} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} -\frac{17}{8} \\ \frac{1}{8} \\ \frac{7}{8} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]+x_{4}\left[\begin{array}{c} -\frac{27}{8} \\ -\frac{13}{8} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]+x_{5}\left[\begin{array}{c} -\frac{15}{8} \\ -\frac{9}{8} \\ -\frac{7}{8} \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right]+x_{6}\left[\begin{array}{c} -\frac{12}{8} \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] } \end{aligned} \] 이 얻게 되므로 해는 \( \alpha, \beta, \gamma \) 가 임의의 실수일 때 \[ \frac{1}{8}\left[\begin{array}{c} -17 \\ 1 \\ 7 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]+\alpha\left[\begin{array}{c} -27 \\ -13 \\ -11 \\ 8 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]+\beta\left[\begin{array}{c} -15 \\ -9 \\ -7 \\ 0 \\ 8 \\ 0 \end{array}\right]+\gamma\left[\begin{array}{c} -60 \\ -20 \\ -12 \\ 0 \\ 0 \\ 8 \end{array}\right] \] 이 된다.</p> <h1>8.6 일차연립방정식의 해: 비제차인 경우</h1><p>여기서는 \( A \) 는 \( n \times m \) 크기의 행렬이고, \( B \) 는 \( n \times 1 \) 크기의 행렬로서 적어도 한 개의 요소가 0이 아닌 경우인 비제차 일차연립방정식 \( A X=B \) 의 해를 구하려고 한다. 연립방정식의 계수와 마찬가지로 \( B \) 의 요소를 활용하기 위하여, 행렬 \( A \) 의 오른쪽 끝에 \( B \) 를 덧붙여 만든 \( n \times(m+1) \) 크기의 행렬을 확대계수행렬(augmented coefficient matrix)이라고 하며, 마지막 열이 연립방정식의 우변으로 된 것을 강조하기 위하여 \( \left[\begin{array}{l:l}A & B\end{array}\right] \) 와 같이 점선을 넣어 구분하여 나타낸다. 예를 들어 연립방정식 \[ \begin{array}{r} 2 x_{1}-x_{2}+3 x_{3}=4 \\ x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=-2 \end{array} \] 의 확대계수행렬은 \[ \left[\begin{array}{l:l} A & B \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr:r} 2 & -1 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & -1 & -2 \end{array}\right] \] 형태의 \( 2 \times 4 \) 크기의 행렬이다. 제차인 일차연립방정식과 비제차인 일차연립방정식의 인상적인 차이는, 제차인 일차연립방정 식은 적어도 한 개의 해(명백한 해)를 가질 수 있지만, 비제차인 일차연립방정식은 해가 없을수도 있다. 예를 들어 \[ \begin{array}{l} 2 x_{1}-3 x_{2}=6 \\ 4 x_{1}-6 x_{2}=18 \end{array} \] 은 해가 없다. 그러므로 비제차인 경우에는 해를 구하기 앞서 해의 존재성에 관한 생각을 먼저 해야겠다.</p><p>예제 1</p><p>비제차인 일차연립방정식 \[ \left[\begin{array}{ll} 2 & -3 \\ 4 & -6 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} 6 \\ 18 \end{array}\right] \] 에서는 \[ A=\left[\begin{array}{rr} 2 & -3 \\ 4 & 6 \end{array}\right], A_{R}=\left[\begin{array}{rr} 1 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 0 \end{array}\right] \] 이다. 여기서 \( \operatorname{rank}(A)=1 \) 이지만 \[ \left[\begin{array}{l:l} A & B \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll:c} 2 & -3 & 6 \\ 4 & -6 & 18 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l:l} A & B \end{array}\right]_{R}=\left[\begin{array}{cc:c} 1 & -\frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \] 이므로 \( [A: B] \) 의 위수는 2 이고, 위의 축소행렬을 다시 연립방정식으로 고치면 \[ \begin{array}{l} x_{1}-\frac{3}{2} x_{2}=0 \\ 0 x_{1}+0 x_{2}=1 \end{array} \] 이 된다. 이때 위의 둘째 방정식은 어떤 \( x_{1}, x_{2} \) 에 대해서도 성립하지 않으므로 주어진 연립방정식의 해는 없다.</p><p>다음의 정리는 비제차인 일차연립방정식의 해의 존재에 관한 중요한 내용이다.</p><p>정리 8.11</p><p>비제차인 일차연립방정식 \( A X=B \) 가 해를 갖기 위한 필요충분조건은 계수의 행렬 \( A \) 와 확대계수행렬 \( \left[\begin{array}{l:l}A & B\end{array}\right] \) 가 같은 위수를 갖는 것이다.</p><p>[증명]</p><p>\( A \) 가 \( n \times m \) 크기의 행렬일 때 \( \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}\left[\begin{array}{l:l}A & B\end{array}\right]=r \) 이라고 하자. 그러면, 정리 8.7에 의해, \( [A: B] \) 의 열공간의 차원은 \( r \) 이다. 이때 \( r \leq m \) 이므로 [ \( A: B] \) 의 \( (m+1) \) 째 열은 1 열부터 \( m \) 열까지의 일차결합 \[ B=\alpha_{1}\left[\begin{array}{c} A_{11} \\ A_{21} \\ \vdots \\ A_{n 1} \end{array}\right]+\alpha_{2}\left[\begin{array}{c} A_{12} \\ A_{22} \\ \vdots \\ A_{n 2} \end{array}\right]+\cdots+\alpha_{m}\left[\begin{array}{c} A_{1 m} \\ A_{2 m} \\ \vdots \\ A_{n m} \end{array}\right] \] 과 같이 나타낼 수 있다. 그런데 윗식은 바로 \[ A\left[\begin{array}{c} \alpha_{1} \\ \vdots \\ \alpha_{m} \end{array}\right]=B \] 이므로, 연립방정식 \( A X=B \) 가 해 \( \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} \) 을 갖는 것을 의미한다. 다음은 역으로 연립방정식 \( A X=B \) 가 해 \[ X=\left[\begin{array}{c} \alpha_{1} \\ \vdots \\ \alpha_{m} \end{array}\right] \] 을 갖는다고 해보자. 그러면 \[ B=\alpha_{1}\left[\begin{array}{c} A_{11} \\ A_{21} \\ \vdots \\ A_{n 1} \end{array}\right]+\alpha_{2}\left[\begin{array}{c} A_{12} \\ A_{22} \\ \vdots \\ A_{n 2} \end{array}\right]+\cdots+\alpha_{m}\left[\begin{array}{c} A_{1 m} \\ A_{2 m} \\ \vdots \\ A_{n m} \end{array}\right] \] 이므로 \( B \) 는 행렬 \( A \) 의 열들의 일차결합으로 나타내어 진다. 그러므로 \( A \) 와 \( [A: B] \) 의 열 공간이 같아지므로, 이들의 차원이 같고, 따라서 이들의 위수도 같아지므로 정리가 증명되었다.</p> <p>예제 4</p><p>제차인 일차연립방정식 \[ \begin{array}{r} -x_{2}+2 x_{3}+4 x_{4}=0 \\ -x_{3}+3 x_{4}=0 \\ 2 x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+7 x_{4}=0 \\ 6 x_{1}+2 x_{2}+10 x_{3}+28 x_{4}=0 \end{array} \] 의 해를 구해보자. \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 0 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 10 & 28 \end{array}\right] \] 일 때 \( A X=0 \) 으로 표시할 수 있고, 이때 \[ A_{R}=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 13 \\ 0 & 1 & 0 & -10 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \] 이므로 \( x_{1}, x_{2}, x_{3} \) 는 종속미지수이고 \( x_{4} \) 는 독립미지수이다. 그러므로 \[ x_{1}=-13 x_{4} \] \[ \begin{array}{l} x_{2}=10 x_{4} \\ x_{3}=3 x_{4} \end{array} \] 에서 \( x_{4}=\alpha \) 로 하면 해는 \[ \alpha\left[\begin{array}{r} -13 \\ 10 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right] \] 이 된다.</p><p>다음의 정리는 제차인 일차연립방정식의 해에서의 독립미지수의 개수와 계수의 행렬의 위수 사이의 관계이다. 증명은 연습문제로 돌리겠다.</p><p>정리 \( 8.8 \) \( A \) 가 \( n \times m \) 크기의 행렬일 때, 제차인 일차연립방정식 \( A X=0 \) 의 해에서 임의의 상수의 개수는 \( m-\operatorname{rank}(A) \) 와 같다.</p><p>위의 결과를 벡터공간의 관점에서 살펴보자. \( A X=0 \) 의 해를 \( \mathbf{R}^{m} \) 의 벡터로 보자. 이때 \( X_{1} \) 과 \( X_{2} \) 가 \( A X=0 \) 의 해이고 \( \alpha \) 와 \( \beta \) 가 임의의 상수일 때 \[ A\left(X_{1}+X_{2}\right)=A X_{1}+A X_{2}=0+0=0 \] 이므로 \( A X=0 \) 의 해들은 \( \mathbf{R}^{m} \) 의 한 부분공간을 이룬다. 그러므로 위의 정리의 내용은 \( A X=0 \) 의 해들로 된 공간의 차원이 \( m-\operatorname{rank}(A) \) 가 된다는 것이다. 예를 들어 예제 3 에서는 해로 된 공간이 \( a \) 와 \( b \) 가 임의의 상수일 때 \[ a\left[\begin{array}{r} 35 \\ -28 \\ -7 \\ 16 \\ 0 \end{array}\right]+b\left[\begin{array}{r} -13 \\ 20 \\ 9 \\ 0 \\ 16 \end{array}\right] \] 으로 구성되어 있으므로 \[ \left[\begin{array}{r} 35 \\ -28 \\ -7 \\ 16 \\ 0 \end{array}\right], \quad\left[\begin{array}{r} -13 \\ 20 \\ 9 \\ 0 \\ 16 \end{array}\right] \] 이 연립방정식 \( A X=0 \) 의 해로 된 공간의 바탕을 이루고 차원은 2이다.</p><p>예제 5</p><p>제차인 일차연립방정식 \[ \begin{aligned} -x_{1}+x_{3}+x_{4}+2 x_{5} &=0 \\ x_{2}+3 x_{3}+4 x_{5} &=0 \\ x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5} &=0 \\ -3 x_{1}+x_{2}+4 x_{5} &=0 \end{aligned} \] 에서는 \[ A=\left[\begin{array}{rrrrr} -1 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 4 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ -3 & 1 & 0 & 0 & 4 \end{array}\right] \] 이고 \[ A_{R}=\left[\begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & -\frac{9}{8} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{5}{8} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{9}{8} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{2}{8} \end{array}\right] \] 인데, \( m=5 \) 이고 \( \operatorname{rank}(A)=4 \) 이므로 해로 된 공간의 차원은 1 이다. 그러므로 한 개의 임의의 상수를 가지고 해를 나타낼 수 있는데, \( A_{R} \) 의 1행에서 4 행까지로부터 \[ \begin{array}{l} x_{1}=\frac{9}{8} x_{5} \\ x_{2}=-\frac{5}{8} x_{5} \\ x_{3}=-\frac{9}{8} x_{5} \\ x_{4}=\frac{2}{8} x_{5} \end{array} \] 이므로 \( x_{5}=\alpha \) 로 놓으면 주어진 연립방정식의 해는 \[ \alpha\left[\begin{array}{r} \frac{9}{8} \\ -\frac{5}{8} \\ -\frac{9}{8} \\ \frac{2}{8} \\ 1 \end{array}\right] \] 이다.</p><p>제차인 일차연립방정식은 적어도 한 개의 해 \( x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{m}=0 \) 을 갖는데, 이런 해를 명백한 해(trivial solution)라기 한다. 앞의 예들은 녕백한 해가 아닌 해를 갖는 경우였다. 다음 정리는 제차인 일차연립방정식이 명백한 해를 갖는 경우를 보인다.</p><p>정리 8.9</p><p>\( A \) 가 \( n \times n \) 크기의 정방행렬일 때, 제차인 일차연립방정식 \( A X=0 \) 이 명백한 해만을 갖 기 위한 필요충분조건은 \( \operatorname{rank}(A)=n \) 이다.</p><p>[증명]</p><p>\( \operatorname{rank}(A)=n \) 이면, 앞절의 보조정리에 의해, \( A_{R}=I_{n} \) 이므로 주어진 연립방정식은 \( I_{n} X=0 \) 이 된다. 그러므로 \( X=0 \), 즉 명백한 해를 얻는다. 역으로 연립방정식 \( A X=0 \) 이 단지 명백한 해만을 가지면 연립방정식의 해는 임의의 상수를 갖지 않는다. 그런데 정리 \( 8.8 \) 에의하면, \( m-\operatorname{rank}(A)=0 \) 이어야 하므로 정리가 증명되었다.</p><p>위의 결과로 다음의 사실을 쉽게 보일 수 있다.</p><p>따름정리</p><p>\( A \) 가 \( n \times n \) 크기의 정방행렬일 때, 제차인 일차연립방정식 \( A X=0 \) 이 명백한 해가 아닌 해를 갖기 위한 필요충분조건은 \( \operatorname{rank}(A)<n \) 이다.</p><p>예제 6</p><p>제차인 일차연립방정식 \[ \begin{array}{l} 3 x_{1}-11 x_{2}+5 x_{3}=0 \\ 4 x_{1}+x_{2}-10 x_{3}=0 \\ 4 x_{1}+9 x_{2}-6 x_{3}=0 \end{array} \] 에서는 \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 3 & -11 & 5 \\ 4 & 1 & -10 \\ 4 & 9 & -6 \end{array}\right], A_{R}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \]이므로 \( A_{R} \) 로부터 \( x_{1}=x_{2}=x_{3}=0 \) 이고, 일차연립방정식은 단지 해로서 명백한 해를 갖는다. 이때 물론 \( n=3=\operatorname{rank}(A) \) 이다.</p><p>다음은 제차인 일차연립방정식이 명백한 해 이외의 해를 갖는 경우를 설명하는 중요한 정리이다. 증명은 어렵지 않으므로 생략하겠다.</p><p>정리 \( 8.10 \) 제차인 일차연립방정식에서 방정식의 개수보다 미지수의 개수가 많으면 명백한 해 이외의 해를 갖는다.</p> <p>정리 8.5</p><p>모든 행렬은 적당한 형태의 축소행렬과 행동치관계를 갖는다.</p><p>[증명]</p><p>임의의 행렬 \( A \) 가 축소행렬이 아니라고 하자. \( A \) 의 요소를 왼쪽에서 오른쪽으로 읽을때 0 이 아닌 요소를 갖는 첫번째 열을 \( c_{1} \) 이라고 하자. 또 이 열의 0 이 아닌 요소 중에서 맨위의 요소 \( \left(r_{1}\right. \) 행에 있는 요소)를 \( \alpha \) 라고 하자. 이때 \( r_{1} \) 행에 \( 1 / \alpha \) 을 곱하여 얻어지는 행렬을 \( B \) 라고 하자. 여기서 \( r_{1} \) 을 택하는 과정에 의하여 \( B \) 의 \( r_{1} \) 행 \( c_{1} \) 열의 요소는 1 이고, \( c_{1} \) 열의 이 요소의 위쪽에 있는 요소는 모두 0이다. 만일 \( c_{1} \) 열에서 \( r_{1} \) 행의 아래쪽에 0 이 아닌 요소\( \beta \) 가 있으면, \( r_{1} \) 행에 \( (-\beta) \) 를 곱하여 그 행에 더해 주면 그 요소는 0 이 된다. 이런 연산을 필요한 만큼 반복하면 \( r_{1} \) 행에 \( (-\beta) \) 를 곱하여 그 행에 더해 주면 그 요소는 0 이 된다. 이런 연산을 필요한 만큼 반복하면 \( r_{1} \) 행 \( c_{1} \) 열은 1 이고 다른 \( c_{1} \) 열의 요소는 0 인 행렬을 얻는다. 이 행렬을 \( C \) 라고 하고, \( C \) 의 1행과 \( r_{1} \) 행을 바꾸면, 1 행, \( c_{1} \) 열의 요소는 1 이고, 그리고 1 아래의 모든 요소는 0 이고, \( c_{1} \) 앞의 어떤 열도 0 이외의 요소를 갖지 않는 행렬을 얻는다. 이 행렬을 \( D \) 라 하여 \( D \) 가 축소행렬이면 원하는 결과를 얻었으므로 정리가 증명되었고, 그렇지 않으면 다시 \( D \) 의 \( c_{1} \) 열의 1 행 아래의 오른쪽의 요소를 살펴 0 이 아닌 요소가 있는 행과 열을 찾아 위에서 시행한 것과 마찬가지의 방법으로 하여 행렬을 얻고, 얻어진 행렬이 축소행렬이면 행연산을 멈추고, 그렇지 않으면 다시 또 위의 방법을 계속하면 결국에는 축소행렬이 얻어진다. 여기서 위의 과정에서 쓰인 기술이 기본행연산이므로 \( A \) 와 행동치관계를 갖는 행렬을 구한 것이 된다.</p><p>위의 정리의 증명 내용을 예제를 통하여 익혀 보자.</p><p>예제 3</p><p>행렬\[A=\left[\begin{array}{rrr}-2 & 1 & 3 \\0 & 1 & 1 \\2 & 0 & 1\end{array}\right]\] 과 행동치관계를 갖는 축소행렬을 구해보자. 우선 1 행 1 열의 요소가 -2로서 0 이 아니다. 1 행에 \( -1 / 2 \) 를 곱해주면 행렬 \[ \left[\begin{array}{rrr} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}\right] \] 을 얻는데, 1열의 3행 요소가 2 로서 0 이 아니므로 1 행의 (-2) 배를 3행에 더해주면 행렬 \[ \left[\begin{array}{rrr} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{array}\right] \] 가 생긴다. 다시 위의 행렬에서 2 열의 이후에는 2 행 2 열의 요소가 1 로서 0 이 아니므로, 2행의 \( 1 / 2 \) 배를 1행에 더해주고 또 2행의 (-1)배를 3행에 더해주면 행렬 \[ \left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right] \] 을 얻는다. 위의 행렬의 3행에 \( 1 / 3 \) 을 곱해주면 행렬 \[ \left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \] 을 얻고, 다시 위의 행렬의 3행을 1행에 더해주고 또 3행의 (-1)배를 2행에 더해주면, \[ \left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \] 결국 \( A \) 와 행동치관계를 갖는 축소행렬이 구해진다.</p><p>예제 4</p><p>행렬 \[ B=\left[\begin{array}{lllll} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 3 & 4 & 0 \end{array}\right] \] 와 행동치관계를 갖는 축소행렬을 구해보자. 우선 왼쪽으로부터 처음으로 0이 아닌 요소는 3행 2열의 1이다. 3행에 (-4)배를 하여 4행에 더해주면 행렬 \[ \left[\begin{array}{rrrrr} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & -4 \end{array}\right] \] 를 얻고, 이 행렬의 1행과 3행을 서로 바꾸면 행렬 \[ \left[\begin{array}{rrrrr} 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & -4 \end{array}\right] \] 가 생긴다. 다음으로 3 열 이후에 처음으로 0 이 아닌 요소는 2 행 3 열의 2 이므로 위의 행렬의 2 행에 \( 1 / 2 \) 을 곱해주면 행렬 \[ \left[\begin{array}{rrrrr} 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & -4 \end{array}\right] \] 를 얻고, 다시 이 행렬의 2행의 (-3)배를 4 행에 더해주면 행렬 \[ \left[\begin{array}{rrrrr} 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -4 \end{array}\right] \] 가 생긴다. 이 행렬에서 4 열의 2행 아래의 요소는 모두 0 이므로 5 열을 살피면 4 행 5 열의 요소 가 -4로서 0이 아니다. 이 행렬의 4행에 \( -1 / 4 \) 을 곱해주고, 그런 후에 이 행렬의 4 행에 (-1)배를 1행에 더해주고 또 3행과 4행을 서로 바꾸면 행렬 \[ \left[\begin{array}{lllll} 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \] 을 얻는데, 이 행렬이 바로 원래 주어진 행렬 \( B \) 와 행동치관계를 갖는 축소행렬이다.</p><p>앞의 예제 3에서와 같은 행연산을 통하여 축소행렬을 구할 수 있으나 다른 행연산에 의해서도 같은 축소행렬을 얻을 수 있다. 예를 들어 앞의 예제 2 의 행렬 \( A \) 에서 1행을 3행에 더해주면 행렬 \[ \left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}\right] \] 을 얻고, 이 행렬의 2행에 (-1)배를 하여 1행에 더해주면 행렬 \[ \left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\2 & 0 & 1 \end{array}\right] \] 이 생긴다. 또 위의 행렬의 1 행에 \( 1 / 3 \) 을 곱해주면 행렬 \[ \left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}\right] \]을 얻고, 다시 이 행렬의 1 행에 (-1)배를 하여 각각 2 행과 3 행에 더해주면 행렬 \[ \left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}\right] \] 을 얻는다. 이제 위의 행렬에서 1행과 3행을 바꾸면 행렬 \[ \left[\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \] 이 생기는데, 이 행렬의 1 행에 \( 1 / 2 \) 을 곱해주면 예제 2 에서와 같은 축소행렬을 얻는다. 위의 예제 4 에서 확인한 결과에 의해 다음의 정리를 갖는다. 증명은 생략하겠다.</p><p>정리 8.6</p><p>\( A^{\prime} \) 과 \( A^{\prime \prime} \) 이 모두 \( A \) 와 행동치관계인 축소행렬이면 \( A^{\prime}=A^{\prime \prime} \) 이다.</p> <h1>8.4 행렬의 위수</h1><p>앞절의 정리 8.6에 의하면 행연산의 방법에는 무관하게 임의의 행렬 \( A \) 는 오직 한 형태의 축소행렬과 행동치관계를 갖는지 알 수 있다. 이 경우에 단 한 개의 형태로정해지는 축소행렬을 \( A_{R} \) 로 나타낸다. 예를 들어 앞절의 예제 3 와 예제 4 에서 살핀 결과에 의하면 \[ A=\left[\begin{array}{rrr} -2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}\right] \] 일 때는 \[ A_{R}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \] 이고 \[ B=\left[\begin{array}{lllll} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 3 & 4 & 0 \end{array}\right] \] 일 때는 \[ B_{R}=\left[\begin{array}{lllll} 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \]이다.</p><p>임의의 행렬 \( A \) 와 행동치관계를 갖는 유일한 축소행렬 \( A_{R} \) 에서 모든 요소가 0 이 아닌 행의 개수는 중요한 수학적 의미를 갖는다. 그래서 이 숫자를 행렬 \( A \) 의 위수(rank)라고 하며 \( \operatorname{rank}(A) \) 로 나타낸다. 예를 들어 앞의 행렬에서는 \( \operatorname{rank}(A)=3 \) 이고 또 \( \operatorname{rank}(B)=3 \) 이다. 한 행렬의 위수는 주어진 행렬의 행의 개수를 넘지 않는 것을 쉽게 알 수 있다.</p><p>다음의 보조정리는 역행렬을 다룰 때 또는 연립방정식의 해를 구할 때 쓰이는 중요한 정리이다.</p><p>보조정리 \( A \) 가 \( n \times n \) 크기의 행렬일 때, \( \operatorname{rank}(A)=n \) 이기 위한 필요충분조건은 \( A_{R}=I_{n} \) 이다.</p><p>[증명]</p><p>우선 \( A_{R}=I_{n} \) 이면, \( A_{R} \) 의 모든 행은 0 이 아닌 요소를 가지므로 \( \operatorname{rank}(A)=n \) 이 성립한다.</p><p>다음에 역으로 \( \operatorname{rank}(A)=n \) 이라고 해보자. 그러면 \( A_{R} \) 의 각 행은 선두요소 1 을 갖는다. 그러므로 축소행렬의 정의에 의해, \( A_{R} \) 의 주대각선의 요소는 모두 1이고, 그렇지 않은 요소들은 모두 0 이어야 하므로 \( A_{R}=I_{n} \) 이 된다.</p><p>행렬의 위수는 벡터공간의 개념으로도 정의될 수 있다. 예를 들어 행렬 \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & -1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 15 & 8 \end{array}\right] \] 에서 각각의 행 \[ (1,-1,4,2),(0,1,3,2),(3,-2,15,8) \] 을 \( \mathrm{R}^{4} \) 의 벡터로 생각하여 \( \alpha, \beta, \gamma \) 가 임의의 실수일 때 위의 세 개의 행으로 된 세 벡터의 일차결합 \[ \alpha(1,-1,4,2)+\beta(0,1,3,2)+\gamma(3,-2,15,8) \] 들로 된 \( \mathrm{R}^{4} \) 의 부분공간을 생각하자. 이와 같이 한 행렬의 행으로 만들어지는 부분공간을 행렬의 행공간(row space)이라고 한다. 위의 예에서는 \[ (3,-2,15,8)=3(1,-1,4,2)+(0,1,3,2) \] 인데, \( (1,-1,4,2) \) 와 \( (0,1,3,2) \) 는 일차독립이므로 \( A \) 의 행공간의 차원은 2 이다. 또 위의 \( A \) 와 행동치관계를 갖는 축소행렬을 구하면 \[ A_{R}=\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 7 & 4 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \]이므로 \( \operatorname{rank}(A)=2 \) 이다. 따라서 \( A \) 의 위수와 행공간의 차원이 같다.</p><p>일반적으로 \( A \) 가 \( n \times m \) 크기의 행렬일 때, \( A \) 의 \( n \) 개의 행을 각각 \( \mathbf{R}^{m} \) 의 벡터로 보아, 이들의 일차결합에 의해 만들어지는 부분공간을 행렬 \( A \) 의 행공간이라고 부르며 다음의 정리를 가질 수 있다.</p><p>정리 8.7</p><p>임의의 행렬 \( A \) 에 대하여, \( A \) 의 위수와 행공간의 차원은 같다.</p><p>[증명]</p><p>\( A \) 가 \( n \times m \) 크기의 행렬일 때, \( A \) 의 기본행연산과 \( A \) 의 행으로 된 \( n \) 개의 벡터 \( \mathbf{F}_{1}, \mathbf{F}_{2}, \cdots, \mathbf{F}_{n} \) 들의 연산의 상관관계를 살펴보자.</p><p>유형 1: \( A \) 의 \( i \) 행과 \( j \) 행을 서로 바꾸는 것은 행벡터 \( \mathbf{F}_{i} \) 와 \( \mathbf{F}_{j} \) 를 서로 바꾸는 것이고,</p><p>유형 2: \( i \) 행에 0이 아닌 실수 \( \alpha \) 를 곱해 주는 것은 \( i \) 째 벡터 \( \mathbf{F}_{i} \) 대신에 \( \alpha \mathbf{F}_{i} \) 를 넣는 것이며,</p><p>유형 3: \( i \) 행의 \( \alpha \) 배를 \( j \) 행에 더해 주는 것은 \( \mathbf{F}_{j} \) 대신에 \( \alpha \mathbf{F}_{i}+\mathbf{F}_{j} \) 를 넣는 것이다. 그런데 \( A \) 의 행공간은 \( \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m} \) 이 임의의 실수일 때, \[ \alpha_{1} \mathbf{F}_{1}+\alpha_{2} \mathbf{F}_{2}+\cdots+\alpha_{m} \mathbf{F}_{m} \] 형태의 \( \mathbf{R}^{m} \) 의 벡터로 되어 있으므로, 위의 세 가지 행연산 중에서 앞의 두 연산에 의해서는 아무런 영향을 받지 않는 것을 알 수 있다. 그러므로 행공간의 차원과 행렬의 위수는 같아진다. \( A \) 를 축소행렬로 만들 때, 모든 행의 요소가 0 이 되는 경우는 바로 어떤 행벡터 \( \mathrm{F}_{j} \) 가 다른 행벡터 \( \mathbf{F}_{i}{ }_{i} \) 들에 의해 일차결합으로 표현될 때이다. 예를 들어 \( \mathbf{F}_{n} \) 이 \( \mathbf{F}_{1}, \cdots, \mathbf{F}_{n-1} \) 의 일차 결합으로 나타내어지는 경우는, \( \mathrm{F}_{1}, \cdots, \mathrm{F}_{n} \) 의 일차결합은 단지 \( \mathrm{F}_{1}, \cdots, \mathbf{F}_{n-1} \) 의 일차결합이 되기 때문이다. 이런 이유로 \( A_{R} \) 에서 모든 요소가 0 인 행을 갖는 경우는 \( \mathrm{F}_{1}, \cdots, \mathrm{F}_{n} \) 에서 적당한 \( \mathrm{F}_{j} \) 를 빠뜨리는 것과 같다. 그러므로 \( A_{R} \) 에서 모든 요소가 0 이 아닌 각 행에 대하여 서로 일차독립인 행벡터 \( \mathrm{F}_{i} \) 를 갖게 되므로, 행공간의 차원과 \( A_{R} \) 에서 모든 요소가 0 이 아닌 행의 개수는 같다.</p><p>위의 증명의 내용을 예를 통하여 확인해 보자.</p><p>예제 1</p><p>행렬 \[ A=\left[\begin{array}{ccccc} -1 & 4 & 0 & 1 & 6 \\ -2 & 8 & 0 & 2 & 12 \end{array}\right] \] 의 행공간은 \( \alpha, \beta \) 가 임의의 실수일 때 \[ \alpha(-1,4,0,16)+\beta(-2,8,0,2,12) \] 형태의 일차결합으로 된 \( \mathrm{R}^{5} \) 의 부분공간이다. 우선 \( A \) 와 행동치관계를 갖는 축소행렬을 구해보면, 1 행의 (-1) 배한 것을 2행에 더해주면 행렬 \[ \left[\begin{array}{rrrrr} -1 & 4 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \] 이 되고, 또 이 행렬의 1 행에 (-1) 을 곱해주면 축소행렬 \[ \left[\begin{array}{rrrrr} 1 & -4 & 0 & -1 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \]을 얻는다.</p><p>다음은 \( A \) 의 행벡터 \[ \mathbf{F}_{1}=(-1,4,0,1,6), \quad \mathbf{F}_{2}=(-2,8,0,2,12) \] 에서 위의 첫번째 행연산에 의해 \( \mathbf{F}_{2} \) 는 \( \mathbf{F}_{2}^{\prime}=(0,0,0,0,0) \) 로 바뀌는데, \( \alpha \mathbf{F}_{1}+\beta \mathbf{F}_{2}^{\prime} \) 는 단지 \( \alpha \mathbf{F}_{1} \) 이므로 행공간의 차원은 1 로 \( A \) 의 위수와 같다.</p>	해석학	[ "<h1>8.1 행렬의 정의</h1><p>어떤 것들이 가로와 세로로 나열되어 사각형의 형태를 이루고 있는 것을 행렬(matrix)이라고 한다.", "일반적으로는 무엇이든지 나열하여 행렬을 만들 수 있으나, 앞으로는 특별한 언급이 없을 때에는 실수들이 나열된 행렬을 다룰 것이다.", "</p><p>행렬에서 가로줄을 행(row), 세로줄을 열(column)이라고 하며, 행이 \\( n \\) 개, 열이 \\( m \\) 개인 행렬을 \\( n \\times m \\) 크기의 행렬이라고 한다.", "또 \\( i \\) 째 행과 \\( j \\) 째", "열이 교차하는 곳에는 한 실수가 정해지는데, 이 경우 이 실수를 \\( i \\) 행 \\( j \\) 열의 요소(entry)라고 한다.", "일반적으로 영어 알파벳 \\( A, B, C \\) 등을 써서 행렬을 나타내며, 행렬 \\( A \\) 의 \\( i \\) 행 \\( j \\) 열의 요소는 \\( A_{i j} \\) 로 표시한다.", "</p><p>행의 개수와 열이 개수가 같은 행렬을 정방행렬(square matrix)이라고 한다.", "이 경우에는 요소들이 나열된 모습이 정사각형이다.", "</p><p>행렬 \\( A \\) 와 \\( B \\) 의 크기가 같고 모든 \\( i, j \\) 에 대하여 \\( A_{i j}=B_{i j} \\) 인 경우에 두 행렬 \\( A \\) 와 \\( B \\) 는 같다(equal)고 하며, \\( A=B \\) 로 나타낸다</p><p>행렬 \\( A \\) 와 \\( B \\) 가 같은 크기의 행렬일 때 \\( A_{i j}+B_{i j} \\) 를 \\( i \\) 행 \\( j \\) 열의 요소로 갖는 행렬을 두 행렬 \\( A \\) 와 \\( B \\) 의 합(sum)이라 하고 \\( A+B \\) 로 나타낸다.", "그러므로 크기가 같은 두 행렬은 각각 대응하는 요소를 더하여 행렬의 덧셈을 할 수 있고, 크기가 다를 때는 대응하는 요소가 없으므로 더할 수 없다.", "</p><p>\\( a \\) 가 한 실수이고 \\( A \\) 가 한 행렬일 때 \\( a A_{i j} \\) 를 \\( i \\) 행 \\( j \\) 열의 요소로 갖는 행렬로서 \\( a \\) 와 \\( A \\)의 곱(scalar multiplication)을 정의하고 \\( a A \\) 로 나타낸다.", "</p><p>\\( A \\) 가 \\( n \\times r \\) 크기의 행렬이고 \\( B \\) 가 \\( r \\times m \\) 크기의 행렬일 때 \\( A_{i 1} B_{1 j}+A_{i 2} B_{2 j}+\\cdots+A_{i r} B_{r j} \\) 를 \\( i \\) 행 \\( j \\) 열의 요소를 갖는 \\( n \\times m \\) 크기의 행렬을 \\( A \\) 와 \\( B \\) 의 곱(product)이라 하고 \\( A B \\) 로 나타낸다.", "더욱 간략하게 표현하면 \\( (A B)_{i j}=\\sum_{k=1}^{r} A_{i k} B_{k j} \\) 가 \\( A B \\) 의 \\( i \\) 행 \\( j \\) 열의 요소이며, 구체적으로 살펴보면, \\( A B \\) 가 정의되는 경우에도 \\( B A \\) 는 정 의되지 않을 수 있다.", "또 \\( A B \\) 와 \\( B A \\) 가 각각 정의되어도 다를 수 있다.", "</p> <p>예제 1</p><p>\\[ \\left[\\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 2 & 5\\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{lll}1 & 1 & 3 \\\\ 2 & 1 & 4\\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{lll}1 \\cdot 1+3 \\cdot 2 & 1 \\cdot 1+3 \\cdot 1 & 1 \\cdot 3+3 \\cdot 4 \\\\ 2 \\cdot 1+5 \\cdot 2 & 2 \\cdot 1+5 \\cdot 1 & 2 \\cdot 3+5 \\cdot 4\\end{array}\\right] \\]\\[ =\\left[\\begin{array}{ccc}7 & 4 & 15 \\\\ 12 & 7 & 26\\end{array}\\right] \\]이지만 \\[ \\left[\\begin{array}{lll}1 & 1 & 3 \\\\ 2 & 1 & 4\\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 2 & 5\\end{array}\\right] \\]는 정의되지 않는다.", "</p><p>예제 2</p><p>\\[ \\left[\\begin{array}{llll}1 & 1 & 2 & 1 \\\\ 4 & 1 & 6 & 2\\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{rr}-1 & 8 \\\\ 2 & 1 \\\\ 1 & 1 \\\\ 12 & 6\\end{array}\\right] \\] \\[ =\\left[\\begin{array}{ll}1 \\cdot(-1)+1 \\cdot 2+2 \\cdot 1+1 \\cdot 12 & 1 \\cdot 8+1 \\cdot 1+2 \\cdot 1+1 \\cdot 6 \\\\ 4 \\cdot(-1)+1 \\cdot 2+6 \\cdot 1+2 \\cdot 12 & 4 \\cdot 8+1 \\cdot 1+6 \\cdot 1+2 \\cdot 6\\end{array}\\right] \\] \\[ =\\left[\\begin{array}{ll}15 & 17 \\\\ 28 & 51\\end{array}\\right] \\] 이지만 \\[ {\\left[\\begin{array}{rr}-1 & 8 \\\\ 2 & 1 \\\\ 1 & 1 \\\\ 12 & 6\\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{llrr}1 & 1 & 2 & 1 \\\\ 4 & 1 & 6 & 2\\end{array}\\right] } \\] \\[ =\\left[\\begin{array}{rrrr}-1 \\cdot 1+8 \\cdot 4 & -1 \\cdot 1+8 \\cdot 1 & -1 \\cdot 2+8 \\cdot 6 & -1 \\cdot 1+8 \\cdot 2 \\\\ 2 \\cdot 1+1 \\cdot 4 & 2 \\cdot 1+1 \\cdot 1 & 2 \\cdot 2+1 \\cdot 6 & 2 \\cdot 1+1 \\cdot 2 \\\\ 1 \\cdot 1+1 \\cdot 4 & 1 \\cdot 1+1 \\cdot 1 & 1 \\cdot 2+1 \\cdot 6 & 1 \\cdot 1+1 \\cdot 2 \\\\ 12 \\cdot 1+6 \\cdot 4 & 12 \\cdot 1+6 \\cdot 1 & 12 \\cdot 2+6 \\cdot 6 & 12 \\cdot 1+6 \\cdot 2\\end{array}\\right] \\]\\[ =\\left[\\begin{array}{rrrr}31 & 7 & 46 & 15 \\\\ 6 & 3 & 10 & 4 \\\\ 5 & 2 & 8 & 3 \\\\ 36 & 18 & 60 & 24\\end{array}\\right] \\]이다.", "</p><p>예제 3</p><p>행렬의 곱을 이용하면 일차연립방정식을 간단히 나타낼 수 있다.", "예를 들어 \\( m \\)개의 미지수를 갖는 \\( n \\) 개의 일차방정식으로 된 연립방정식\\[a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\\cdots+a_{1 m} x_{m}=b_{1} \\] \\[ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\\cdots+a_{2 m} x_{m}=b_{2} \\] \\[ \\vdots \\] \\[ a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\\cdots+a_{n m} x_{m}=b_{n} \\]은 행렬의 곱을 써서 \\[ \\left[\\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \\cdots & a_{1 m} \\\\ a_{21} & a_{22} & \\cdots & a_{2 m} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\cdots & \\vdots \\\\ a_{n 1} & a_{n 2} & \\cdots & a_{n m}\\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{c}x_{1} \\\\ x_{2} \\\\ \\vdots \\\\ x_{m}\\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{c}b_{1} \\\\ b_{2} \\\\ \\vdots \\\\ b_{n}\\end{array}\\right] \\] 과 같이 나타낼 수 있으며 \\( A \\) 는 \\( a_{i j} \\) 를 \\( i \\) 행 \\( j \\) 열의 요소로 갖는 행렬, \\[ X=\\left[\\begin{array}{c}x_{1} \\\\ x_{2} \\\\ \\vdots \\\\ x_{m}\\end{array}\\right], \\quad B=\\left[\\begin{array}{c}b_{1} \\\\ b_{2} \\\\ \\vdots \\\\ b_{n}\\end{array}\\right] \\]으로 하면, 위의 연립방정식은 간단하게 \\( A X=B \\) 가 된다.", "</p><p>\\( A \\) 가 정방행렬일 때는 \\( A A \\) 도 같은 크기의 정방행렬이 되고, 마찬가지로 \\( A(A A) \\), \\( A(A(A A)), \\cdots \\) 등은 같은 크기의 정방행렬이 되므로, 실수에서의 지수와 같이 \\( A A=A^{2} \\), \\( A A^{2}=A^{3}, A A^{k-1}=A^{k} \\) 로 정의하자.", "</p><p>행렬의 합과 곱에 대해서는 다음과 같은 성질이 있다.", "</p><p>정리 8.1</p><p>\\( A, B, C \\) 가 임의의 행렬이라고 하자.", "<ol type=1 start=1><li>\\( A \\) 와 \\( B \\) 가 같은 크기의 행렬일 때는 \\( A+B=B+A \\) 이다.", "</li><li>\\( A \\) 의 크기는 \\( n \\times k \\) 이고, \\( B \\) 와 \\( C \\) 의 크기는 \\( k \\times m \\) 이면 \\[ A(B+C)=A B+A C \\] 이다.", "</li><li>\\( A \\) 의 크기는 \\( k \\times m \\) 이고, \\( B \\) 와 \\( C \\) 의 크기는 \\( n \\times k \\) 이면 \\[ (B+C) A=B A+C A \\] 이다.", "</li><li>\\( A \\) 의 크기는 \\( n \\times m, B \\) 는 \\( m \\times k \\) 그리고 \\( C \\) 는 \\( k \\times r \\) 크기의 행렬이면 \\[ A(B C)=(A B) C \\] 이다.", "</li></ol></p><p>[증명]</p><p>(1), (2), (3)은 명백하므로 (4)만을 증명해 보자.", "우선 크기를 살펴보면 모두 \\( n \\times r \\) 로 같은 것을 쉽게 확인할 수 있다.", "다음은 \\( i \\) 행 \\( j \\) 열의 요소를 구해보면\\( A(B C) \\) 의 \\( i \\) 행 \\( j \\) 열의 요소 \\( =\\sum_{q=1}^{k}\\left(\\sum_{p=1}^{m} a_{i p} b_{\\not q}\\right) c_{q j}=\\sum_{p=1}^{m} \\sum_{q=1}^{k} a_{i p} b_{\\not q} c_{q j} \\) \\( (A B) C \\) 의 \\( i \\) 행 \\( j \\) 열의 요소 \\( =\\sum_{b=1}^{m} a_{i p}\\left(\\sum_{q=1}^{k} b_{p q} c_{q j}\\right)=\\sum_{p=1}^{m} \\sum_{q=1}^{k} a_{i p} b_{p a} c_{q j} \\)이므로 서로 같다.", "그러므로 크기가 같고 대응하는 요소가 같으므로 (4)는 증명이 되었다.", "</p><p>임의의 실수 \\( x \\) 에 0 을 더하면 \\( x+0=0+x=x \\) 가 되는 것과 비슷한 성질을 행렬에서도 가질 수 있다.", "즉, 모든 요소가 0 인 \\( n \\times m \\) 크기의 영행렬은 \\( O_{n m} \\) 으로 나타낸다.", "</p><p>\\( B \\) 가 임의의 행렬일 때 \\( B \\) 의 각 요소의 반대부호로 된 (즉, 각 요소에 (-1 )을 곱해준) 행렬을 \\( -B \\) 로 나타낸다.", "그러면 \\( B \\) 와 \\( (-B) \\) 의 합은 영행렬이 되므로 실수에서의 양수와 음수 와의 관계와 같다.", "</p> <h1>8.7 역행렬</h1><p>정방행렬에서는 단위행렬이 실수에서의 1 과 같은 성질을 갖는다.", "즉 \\( A \\) 가 \\( n \\times n \\) 크기인 행렬 일 때, \\( A I_{n}=I_{n} A=A \\) 가 된다.", "그러면 자연스럽게 \\( A B=B A=I_{n} \\) 이 되도록 하는 행렬 \\( B \\) 의 존재에 관심을 가질 수 있다.", "이런 행렬 \\( B \\) 를 \\( A \\) 의 역행렬(inverse matrix)이라고 하며 \\( A^{-1} \\)로 나타낸다.", "다음의 예제에 의해 역행렬의 존재성이 단순하지 않음을 알 수 있다.", "</p><p>예제 1</p><p>행렬 \\[ \\left[\\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{array}\\right] \\] 의 역행렬을 구하는 것은 \\[ \\left[\\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{ll} a & b \\\\ c & d \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{array}\\right] \\] 을 만족한 \\( a, b, c, d \\) 를 정하는 것이다.", "그런데 윗식의 좌변을 계산하면 \\[ \\left[\\begin{array}{ll} a & b \\\\ c & d \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{array}\\right] \\] 이 되는데, 윗식의 양변의 2행 2 열의 요소를 비교하여 \\( 0=1 \\) 인 관계를 갖게 되므로 모순이다.", "그러므로 주어진 행렬의 역행렬은 없다.", "</p><p>한편 \\[ \\left[\\begin{array}{ll} 2 & 1 \\\\ 1 & 4 \\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{rr} \\frac{4}{7} & -\\frac{1}{7} \\\\ -\\frac{1}{7} & \\frac{2}{7} \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{rr} \\frac{4}{7} & -\\frac{1}{7} \\\\ -\\frac{1}{7} & \\frac{2}{7} \\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{ll} 2 & 1 \\\\ 1 & 4 \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{array}\\right] \\] 이므로 윗식의 좌변에 곱해진 두 행렬은 서로 역행렬의 관계이다.", "역행렬을 갖는 행렬을 정칙행렬(nonsingular matrix)이라고 하며, 그렇지 않은 행렬을 특이행렬(singular matrix)이라고 부른다.", "그러므로 \\[ \\left[\\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{array}\\right] \\] 은 특이행렬이고, \\[ \\left[\\begin{array}{ll} 2 & 1 \\\\ 1 & 4 \\end{array}\\right] \\] 는 정칙행렬이다.", "</p><p>정리 8.14</p>정칙행렬은 오직 한 개의 역행렬을 갖는다.", "</p><p>[증명]</p><p>\\( B \\) 와 \\( C \\) 는 정칙행렬 \\( A \\) 의 역행렬이라고 해보자.", "그러면 \\( A B=B A=I_{n}, A C=C A=I_{n} \\) 이다.", "따라서 \\[ B=B I_{n}=B(A C)=(B A) C=I_{n} C=C \\] 이므로 \\( B \\) 와 \\( C \\) 는 같다.", "</p><p>정리 8.15</p><p>역행렬에 관해서는 다음의 성질이 있다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( I_{n} \\) 은 정칙행렬이다.", "</li><li>\\( A \\) 와 \\( B \\) 가 정칙행렬이면 \\( A B \\) 도 정칙행렬이고 \\( (A B)^{1}=B^{-1} A^{-1} \\) 이다.", "</li><li>\\( A \\) 가 정칙행렬이면 \\( A^{-1} \\) 도 정칙행렬이고 \\( \\left(A^{-1}\\right)^{-1}=A \\) 이다.", "</li><li>\\( A \\) 가 정칙행렬이면 \\( A^{t} \\) 도 정칙행렬이고 \\( \\left(A^{t}\\right)^{-1}=\\left(A^{-1}\\right)^{t} \\) 이다.", "</li><li>\\( A \\) 와 \\( B \\) 가 같은 크기의 정방행렬로서 \\( A \\) 또는 \\( B \\) 가 특이행렬이면 \\( A B \\) 와 \\( B A \\) 도 특 이행렬이 된다.", "</li></ol><p>[증명]</p><p>(1)은 \\( I_{n} \\cdot I_{n}=I_{n} \\) 이므로 보여졌고, (2)는 \\[ (A B)\\left(B^{-1} A^{-1}\\right)=A\\left(B B^{-1}\\right) A^{-1}=A I_{n} A^{-1}=A A^{-1}=I_{n} \\] 이고, 마찬가지로 \\[ \\left(B^{-1} A^{-1}\\right)(A B)=I_{n} \\] 이 됨을 보일 수 있으므로 증명되었다.", "또 (3)은 \\( A^{-1} A=A A^{-1}=I_{n} \\) 이므로 \\( A^{-1} \\) 이 정칙행렬 이고 \\( \\left(A^{-1}\\right)^{-1}=A \\) 임이 증명되었다.", "한편 (4)는 연습문제로 남기겠고, (5)는 뒤에 행렬식을 배운 후에 쉽게 보일 수 있으므로, 여기서는 하지 않겠다.", "</p><p>정리 8.16</p><p>\\( n \\times n \\) 크기의 행렬 \\( A \\) 가 정칙행렬이기 위한 필요충분조건은 \\( \\operatorname{rank}(A)=n \\) 이다.", "</p><p>[증명]</p><p>\\( A B=I_{n} \\) 이 되도록 하는 \\( n \\times n \\) 개 미지수로 된 행렬 \\( B \\) 를 생각해 보자.", "이때 \\( A B \\) 의 \\( j \\) 째 열은 \\( A \\) 와 \\( B \\) 의 \\( j \\) 째 열과의 곱이기도 하고, 또 \\( I_{n} \\) 의 \\( j \\) 째 열이어야 하므로 일차연립방정식 \\[ A\\left[\\begin{array}{c} b_{1 j} \\\\ b_{2 j} \\\\ \\vdots \\\\ b_{n j} \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ \\vdots \\\\ 1 \\\\ \\vdots \\\\ 0 \\end{array}\\right] \\] 을 얻는다.", "이 경우에 \\( \\operatorname{rank}(A)=n \\) 이면, 앞절의 정리 8.13에 의해 위의 연립방정식이 유일한 해를 갖게 된다.", "그러므로 \\( A B=I_{n} \\) 이 되는 \\( B \\) 의 각 열이 정해져서 \\( A \\) 는 역행렬을 갖고, 따라서 \\( A \\) 는 정칙행렬이 된다.", "</p><p>역으로 \\( A \\) 가 정칙행렬이면 \\( j=1,2, \\cdots, n \\) 에 대하여 \\( A^{-1} \\) 의 \\( j \\) 째", "열이 위의 연립방정식이 해를 갖게 된다.", "그러므로 앞절의 정리 \\( 8.13 \\) 에 의해 \\( \\operatorname{rank}(A)=n \\) 이 된다.", "</p><p>다음은 앞에서 익힌 행변환을 통하여 주어진 행렬의 역행렬을 구하거나 또는 특이행렬임을 밝히는 방법을 살펴보자.", "</p><p>\\( A \\) 가 \\( n \\times n \\) 크기의 행렬이라고 하자.", "</p><p>1 단계: \\( A \\) 의 왼쪽에 아래와 같이 \\( I_{n} \\) 을 놓아 \\( 2 \\times 2 n \\) 크기의 행렬 \\( \\left[\\begin{array}{ccccc:ccccc}1 & 0 & 0 & \\cdots & 0 & A_{11} & A_{12} & A_{13} & \\cdots & A_{1 n} \\\\ 0 & 1 & 0 & \\cdots & 0 & A_{21} & A_{22} & A_{23} & \\cdots & A_{2 n} \\\\ 0 & 0 & 1 & \\cdots & 0 & A_{31} & A_{32} & A_{33} & \\cdots & A_{3 n} \\\\ \\vdots & & & & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ 0 & 0 & 0 & \\cdots & 1 & A_{n 1} & A_{n 2} & A_{n 3} & \\cdots & A_{n n}\\end{array}\\right] \\) 을 만든다.", "이 행렬을 \\( \\left[I_{n}: A\\right] \\) 라고 하자.", "</p><p>2단계: 행변환을 통하여 \\( A \\) 를 축소행렬 \\( A_{R} \\) 로 고친다.", "이때, 쓰이는 행변환을 똑같이 \\( I_{n} \\)에도 취한다.", "그러면 결과적으로 \\( \\left[\\begin{array}{l:l}C & A_{R}\\end{array}\\right] \\) 형태를 갖게 된다.", "</p><p>3단계: \\( A_{R}=I_{n} \\) 이면 \\( A^{-1} \\) 는 \\( C \\) 이고, 그렇지 않으면 \\( A^{-1} \\) 은 없다.", "</p> <h1>8.0 머리말</h1><p>우리는 이미 중학교 과정에서 일차연립방정식에서 변수를 차례로 줄여가는 소거법에 의하여 해를 구해 보았었다.", "또 고등학교 과정에서는 일차연립방정식의 계수들을 사각형 모양으로 놓아 행렬을 소개하여 간단한 형태의 행렬의 덧셈, 뺄셈, 실수배, 곱셈 등을 익혔고, 역행렬을 통하여 일차연립방정식의 해를 구하는 것을 살펴 보았었다.", "이 장에서는 일반적인 행렬의 성질과 연산을 익히고 행렬식을 정의하여 연립방정식의 해를 구하는 법을 살필 것이다.", "이런 결과는 전기회로이론, 결정물리학 또는 연립미분방정식의 해를 구하는 것 등에 유용하게 쓰인다.", "</p> <h1>8.5 일차연립방정식의 해: 제차인 경우</h1><p>이 절에서는 행렬이 일차연립방정식의 해를 구하는데 어떻게 이용되는지를 살펴보자.", "아래와 같은 \\[ \\begin{array}{c} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\\cdots+a_{1 m} x_{m}=b_{1} \\\\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\\cdots+a_{2 m} x_{m}=b_{2} \\\\ \\vdots \\\\ \\vdots \\\\ a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\\cdots+a_{n m} x_{m}=b_{n} \\end{array} \\] 형태의 일차연립방정식을 생각해 보자.", "위에서 미지수는 \\( m \\) 개이고 방정식은 \\( n \\) 개이다.", "이때 상수 \\( a_{11}, \\cdots, a_{1 m}, \\cdots, a_{n 1}, \\cdots, a_{n m}, b_{1}, \\cdots, b_{n} \\) 들이 주어졌을 때 \\( n \\)개의 방정식을 동시에 만족시키는 모든 \\( x_{1}, \\cdots, x_{m} \\) 을 구하려고 한다.", "위의 일차연립방정식의 계수들을 요소로 갖는 \\( n \\times m \\) 크기의 행렬 \\[ A=\\left[\\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \\cdots & a_{1 m} \\\\ a_{21} & a_{22} & \\cdots & a_{2 m} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a_{n 1} & a_{n 2} & \\cdots & a_{n m} \\end{array}\\right] \\] 을 계수의 행렬(matrix of cofficients)이라고 부르는데, \\[ X=\\left[\\begin{array}{c} x_{1} \\\\ \\vdots \\\\ x_{m} \\end{array}\\right] \\text {, 또는 } B=\\left[\\begin{array}{c} b_{1} \\\\ \\vdots \\\\ b_{m} \\end{array}\\right] \\] 으로 하면, 일차연립방정식은 간단히 \\( A X=B \\) 로 나타낼 수 있다.", "이와 같이 행렬을 써서 일차 연립방정식을 다룰 경우에는 일차연립방정식의 해 \\( x_{1}=\\alpha_{1}, x_{2}=\\alpha_{2}, \\cdots, x_{m}=\\alpha_{m} \\) 을 \\( m \\times 1 \\) 크기의 행렬로 \\[\\left[\\begin{array}{c} \\alpha_{1} \\\\ \\alpha_{2} \\\\ \\vdots \\\\ \\alpha_{m} \\end{array}\\right] \\] 과 같이 나타내기도 한다.", "</p><p>예제 1</p><p>일차연립방정식 \\[ \\begin{array}{l} x_{1}-2 x_{2}=3, \\\\ 4 x_{1}+6 x_{2}=-5 \\end{array} \\] 를 행렬을 써서 나타내면 \\[ \\left[\\begin{array}{rr} 1 & -2 \\\\ 4 & 6 \\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{l} x_{1} \\\\ x_{2} \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{r} 3 \\\\ -5 \\end{array}\\right] \\] 가 된다.", "이때 연립방정식의 해를 구하면 \\( x_{1}=\\frac{8}{14}, x_{2}=-\\frac{17}{14} \\) 인데, 행렬을 써서 나타내면 \\[ \\left[\\begin{array}{r} \\frac{8}{14} \\\\ -\\frac{17}{14} \\end{array}\\right] \\] 이 된다.", "</p><p>위의 예제와 같은 작은 크기의 연립방정식을 다루어서는 행렬의 편리함을 잘 모른다.", "다음은 보다 큰(미지수가 많거나 방정식의 개수가 많은 경우) 일차연립방정식을 살펴보자.", "일차연립방정식 \\( A X=B \\) 에서 \\[ b_{1}=b_{2}=\\cdots=b_{n}=0 \\] 인 경우를 제차(homogeneous)라 하고, 그러지 않은 경우를 비제차(nonhomogeneous)라고 한다.", "예를 들어 \\[ \\left[\\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 6 \\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{l} x_{1} \\\\ x_{2} \\\\ x_{3} \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{r} -4 \\\\ 0 \\end{array}\\right] \\] 은 비제차인 일차연립방정식이다.", "지금부터 제차인 일차연립방정식을 살펴보자. \\", "( A \\) 가 \\( n \\times m \\) 크기의 행렬이고 \\[ 0=\\left[\\begin{array}{c} 0 \\\\ 0 \\\\ \\vdots \\\\ 0 \\end{array}\\right] \\] 일 때, 제차인 일차연립방정식 \\( A X=0 \\) 의 해는 다음과 같이 네 개의 단계를 거쳐 해를 구할 수 있다.", "이런 방법을 가우스-조단 줄임법(Gauss-Jordan reduction method)이라고 한다.", "</p><p>1 단계: \\( A \\) 를 축소행렬 \\( A_{R} \\) 로 고친다.", "</p><p>2 단계: \\( A_{R} \\) 의 \\( j \\) 째", "열이 \\( A \\) 의 임의의 행의 선두요소를 가지고 있으면 \\( x_{j} \\) 를 종속미지수로, 그렇지 않으면 \\( x_{j} \\) 를 독립미지수로 한다.", "</p><p>3단계: 종속미지수를 독립미지수로 표현한다.", "</p><p>4단계: 독립미지수에 임의의 값을 주고, 이것에 의해 3단계에서 표현한 종속미지수를 결정한다.", "</p><p>위의 방법의 내용은 주어진 제차인 일차연립방정식을 미지수들 사이의 관계를 살펴서 식의 개수를 줄인 후에, 이것으로 다른 미지수를 결정하는 과정을 뜻한다.", "</p><p>예제 2</p><p>제차인 일차연립방정식 \\[ \\begin{array}{r} x_{1}-3 x_{2}+2 x_{3}=0 \\\\ -2 x_{1}+x_{2}-3 x_{3}=0 \\end{array} \\] 은 \\[ A=\\left[\\begin{array}{rrr} 1 & -3 & 2 \\\\ -2 & 1 & -3 \\end{array}\\right], \\quad X=\\left[\\begin{array}{l} x_{1} \\\\ x_{2} \\\\ x_{3} \\end{array}\\right], \\quad 0=\\left[\\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \\end{array}\\right] \\] 으로 하여 \\( A X=0 \\) 으로 나타낼 수 있다.", "해를 구하려면, 1 단계로 \\( A \\) 의 축소행렬을 구하면 \\[ \\left[\\begin{array}{rrr} 1 & 0 & \\frac{7}{5} \\\\ 0 & 1 & -\\frac{1}{5} \\end{array}\\right] \\] 을 얻고, 다음은 2 단계로 1 열과 2 열은 각각 1 행과 2 행에 선두요소를 가지므로 \\( x_{1} \\) 과 \\( x_{2} \\) 는 종속미지수이고, \\( x_{3} \\) 는 독립미지수이다.", "3 단계로 위의 \\( A_{R} X=0 \\) 에서 \\( x_{1}+\\frac{7}{5} x_{3}=0 \\) 이므로 \\( x_{1}= \\) \\( -\\frac{7}{5} x_{3} \\) 이고, \\( x_{2}-\\frac{1}{5} x_{3}=0 \\) 이므로 \\( x_{2}=\\frac{1}{5} x_{3} \\) 을 얻고, 4 단계로 \\( x_{3} \\) 값으로 임의의 실수 \\( \\alpha \\) 를 주면 \\( x_{1}=-\\frac{7}{5} \\alpha \\) 와 \\( x_{2}=\\frac{1}{5} \\alpha \\) 가 된다.", "이것을 행렬로 표현하면 \\[ \\left[\\begin{array}{rr} -\\frac{7}{5} \\alpha \\\\ \\frac{1}{3} \\alpha \\\\ \\alpha \\end{array}\\right], \\quad \\alpha\\left[\\begin{array}{r} -\\frac{7}{5} \\\\ \\frac{1}{5} \\\\ 1 \\end{array}\\right] \\] 이 된다.", "여기서 \\( \\alpha \\) 가 임의의 실수이므로 주어진 제차인 일차연립방정식은 무한히 많은 해를 가진다.", "</p><p>예제 3</p><p>제차인 일차연립방정식 \\[ \\begin{aligned} x_{1}-3 x_{2}+x_{3}-7 x_{4}+4 x_{5} &=0 \\\\ x_{1}+2 x_{2}-3 x_{3} &=0 \\\\ x_{2}-4 x_{3}+x_{5} &=0 \\end{aligned} \\] 에서는 \\[ A=\\left[\\begin{array}{rrrrr} 1 & -3 & 1 & -7 & 4 \\\\ 1 & 2 & -3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & -4 & 0 & 1 \\end{array}\\right] \\] 일 때 \\( A X=0 \\) 으로 표현된다.", "여기서 \\[ A_{R}=\\left[\\begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 0 & -\\frac{35}{16} & \\frac{13}{16} \\\\ 0 & 1 & 0 & \\frac{28}{16} & -\\frac{20}{16} \\\\ 0 & 0 & 1 & \\frac{7}{16} & -\\frac{9}{16} \\end{array}\\right] \\] 이므로 \\( x_{1}, x_{2}, x_{3} \\) 는 종속미지수이고 \\( x_{4} \\) 와 \\( x_{5} \\) 는 독립미지수이다.", "해를 구하면 임의의 \\( x_{4} \\) 와 \\( x_{5} \\) 에 대하여 \\[ \\begin{array}{l} x_{1}=\\frac{35}{16} x_{4}-\\frac{13}{16} x_{5} \\\\ x_{2}=-\\frac{28}{16} x_{4}+\\frac{20}{16} x_{5} \\end{array} \\] \\[ x_{3}=-\\frac{7}{16} x_{4}+\\frac{9}{16} x_{5} \\] 이므로 행렬로 나타내면 \\[ \\left[\\begin{array}{l} x_{1} \\\\ x_{2} \\\\ x_{3} \\\\ x_{4} \\\\ x_{5} \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{c} \\frac{35}{16} x_{4}-\\frac{13}{16} x_{5} \\\\ -\\frac{28}{16} x_{4}+\\frac{20}{16} x_{5} \\\\ -\\frac{7}{16} x_{4}+\\frac{9}{16} x_{5} \\\\ x_{4} \\\\ x_{5} \\end{array}\\right]=x_{4}\\left[\\begin{array}{c} \\frac{35}{16} \\\\ -\\frac{28}{16} \\\\ -\\frac{7}{16} \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{array}\\right]+x_{5}\\left[\\begin{array}{c} -\\frac{13}{16} \\\\ \\frac{20}{16} \\\\ \\frac{9}{16} \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{array}\\right] \\] 이 되고, \\( x_{4} \\) 와 \\( x_{5} \\) 의 값으로 각각 \\( \\alpha \\) 와 \\( \\beta \\) 를 주면 해는 \\[ \\alpha\\left[\\begin{array}{c} \\frac{35}{16} \\\\ -\\frac{28}{16} \\\\ -\\frac{7}{16} \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{array}\\right]+\\beta\\left[\\begin{array}{c} -\\frac{13}{16} \\\\ \\frac{20}{16} \\\\ \\frac{9}{16} \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{array}\\right] \\] 이 된다.", "또 \\( \\alpha=\\frac{1}{16} \\alpha \\) 와 \\( b=\\frac{1}{16} \\beta \\) 로 하면 위의 해는 간단히 \\[ a\\left[\\begin{array}{r} 35 \\\\ -28 \\\\ -7 \\\\ 16 \\\\ 0 \\end{array}\\right]+b\\left[\\begin{array}{r} -13 \\\\ 20 \\\\ 9 \\\\ 0 \\\\ 16 \\end{array}\\right] \\] 으로 나타낼 수 있다.", "</p> <h1>8.3 기본행연산과 기본행렬</h1><p>여기서는 행렬을 활용하는 데 매우 중요한 세 가지 행조작을 다루려고 한다.", "한 행렬이 있을 때 다음과 같은 세 개의 행에 관한 조작을 기본행연산(elementary row operation)이라고 한다.", "</p><ol type= start=1><li>두 행을 서로 바꾼다.", "</li><li>한 행에 0이 아닌 실수를 곱해 준다.", "</li><li>한 행의 실수배를 다른 행에 더해 준다.", "</li></ol><p>예제 1</p><p>\\[A=\\left[\\begin{array}{rrr}-2 & 1 & 6 \\\\1 & 1 & 2 \\\\0 & 1 & 3 \\\\2 & -3 & 4\\end{array}\\right]\\]에서는, \\( A \\) 의 첫째 행과 셋째 행을 서로 바꾸면 \\[\\left[\\begin{array}{rrr}0 & 1 & 3 \\\\1 & 1 & 2 \\\\-2 & 1 & 6 \\\\2 & -3 & 4\\end{array}\\right]\\]가 얻어지고, \\( A \\) 의 넷째 행에 \\( \\sqrt{3} \\) 을 곱해 주면 \\[\\left[\\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 6 \\\\1 & 1 & 2 \\\\0 & 1 & 3 \\\\2 \\sqrt{3} & -3 \\sqrt{3} & 4 \\sqrt{3}\\end{array}\\right]\\]이 되고, \\( A \\) 의 셋째 행의 \\( \\sqrt{5} \\) 배를 둘째 행에 더해 주면\\[\\left[\\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 6 \\\\1 & 1+\\sqrt{5} & 2+3 \\sqrt{5} \\\\0 & 1 & 3 \\\\2 & -3 & 4\\end{array}\\right]\\]가 된다.", "</p><p>일련의 행연산을 행렬 \\( A \\) 에 행하여 행렬 \\( B \\) 를 얻게 되는 경.우에 \\( A \\) 는 \\( B \\) 와 행동치관계를갖는다(row equvalent)고 한다.", "</p><p>\\( A \\) 는 \\( n \\times m \\) 크기의 행렬로서 다음과 같은 조건을 갖는다고 하자.", "</p><ol type= start=1><li>각 행에서 첫번째로 0 이 아닌 요소는 1 이다.", "</li><li>\\( r \\) 번째 행에서 처음으로 0 이 아닌 요소는 \\( c \\) 번째 열에 있고, \\( c \\) 열의 모든 다른 요소는 0 이다.", "</li><li>요소들이 모두 0 인 행은 그렇지 않은 행보다 아래쪽에 놓인다.", "</li><li>\\( r_{1}<r_{2} \\) 일 때, \\( r_{1} \\) 번째 행에서 처음으로 0이 아닌 요소는 \\( c_{1} \\) 번째 열에 있고, \\( r_{2} \\) 번째 행 에서 처음으로 0 이 아닌 요소는 \\( c_{2} \\) 번째 열에 있으면 \\( c_{1}<c_{2} \\) 이다.", "</li></ol><p>위와 같은 조건을 갖는 행렬을 축소행렬(reduced matrix)이라고 하며, 또 한 행에서 처음으로 0이 아닌 요소를 선두요소(leading entry)라고 부른다.", "그러므로 위의 조건을 달리 설명하면 (1)은 각 행에서 선두요소는 1 이어야 한다는 것이고, (2)는 각 선두요소의 위와 아래의 요소는 0이어야 한다는 것이고, (3)는 행의 번호가 커지면 선두요소는 오른쪽으로 움직여야 한다는 뜻이다.", "</p><p>예제 2</p><p>다음 네 개의 행렬은 모두 축소행렬이다. \\", "[\\begin{array}{l}{\\left[\\begin{array}{lllll}0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\0 & 0 & 0 & 0 &0 \\\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\end{array}\\right],\\left[\\begin{array}{rrrrr}1 & 0 & 0 & 3 & 1 \\\\0 & 1 & 0 & -2 & 4 \\\\0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\end{array}\\right]}\\\\ {\\left[\\begin{array}{lllll}0 & 1 & 3 & 2 & 0 \\\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\end{array}\\right],\\left[\\begin{array}{rrrr}1 & -4 & 1 & 0 \\\\0 & 0 & 0 & 1\\end{array}\\right]}\\end{array}\\] 그러나 행렬\\[\\left[\\begin{array}{lllll}0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\\end{array}\\right]\\] 은 1행 3열의 요소가 2 이므로 조건 (2)에 위배되어 축소행렬이 아니다.", "하지만 2행에 (-2)를 곱하여 1행에 더해주면 축소행렬이 되므로 주어진 행렬은 축소행렬과 행동치관계를 갖는다.", "또 행렬\\[\\left[\\begin{array}{lllll}0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\end{array}\\right]\\]은 조건 (4)에 위배되어 축소행렬이 아니지만, 1행과 2행을 바꾸면 축소행렬이 되므로 축소행렬과 행동치관계를 갖는다.", "마지막으로 행렬\\[\\left[\\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\\\0 & 1 & 0 \\\\1 & 0 &1\\end{array}\\right]\\]은 1행의 선두요소가 2 이므로 조건 (1)에 위배되고, 3행에 1열의 요소가 0이 아닌 것은 조건 (2)에 위배되어 축소행렬이 아니다.", "그러나 1 행에 \\( 1 / 2 \\) 을 곱해주고, 또 그런 후에 1행에 (-1) 을 곱하여 3행에 더해주면 축소행렬이 되므로 위의 행렬도 축소행렬과 행동치관계를 갖는다. \\", "[\\left[\\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\0 & 1 & 0 \\\\0 & 0 & 1\\end{array}\\right]\\]</p><p>위의 예에서 살핀 것과 같이 축소행렬이 아닌 행렬이라도 기본행연산에 의해 축소행렬을 들 수 있으므로 다음의 정리를 생각할 수 있다.", "</p> <p>지금까지 행렬의 여러 성질을 살피면서 실수와 유사한 것을 알게 되었는데, 다음은 행렬이 실수와는 다른 세 가지 성질을 갖는 것을 살펴보자.", "그래서 행렬의 곱은 조심하여 다루어야 한다.", "</p><p>(1) 행렬의 곱셈에서 교환법칙은 성립하지 않는다.", "우선 앞에서 살핀 것과 같이 \\( A B \\) 는 정의 되더라도 \\( B A \\) 는 정의되지 않을 수도 있고, 또 \\( A B \\) 와 \\( B A \\) 가 각각 정의되더라도 크기가 다를 수 있다.", "더욱이나 위의 두 경우가 아니더라도 아래의 예와 같이, 행렬의 곱을 순서를 바꾸면 다른 값을 갖는다.", "</p><p>예제 4</p><p>\\[A=\\left[\\begin{array}{rr}1 & 0 \\\\-2 & 4\\end{array}\\right], \\quad B=\\left[\\begin{array}{rr}-2 & 6 \\\\1 & 3\\end{array}\\right]\\]일 때\\[A B=\\left[\\begin{array}{rr}-2 & 6 \\\\8 & 0\\end{array}\\right], \\quad B A=\\left[\\begin{array}{rr}-14 & 24 \\\\-5 & 12\\end{array}\\right]\\]이므로 교환법칙이 성립하지 않는다.", "</p><p>(2) \\( A \\) 가 영헹렬이 아니고 \\( B \\neq C \\) 이지만 \\( A B=A C \\) 일 수 있다.", "그러므로 행렬로 된 방정식 \\( A B=A C \\) 에서 \\( A \\) 가 영행렬이 아니라도 \\( A \\) 를 소거할 수 없다.", "</p><p>예제 5</p><p>\\[\\left[\\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\3 & 3\\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{rr}4 & 2 \\\\3 & 16\\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\3 & 3\\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{rr}2 & 7 \\\\5 & 11\\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{rr}7 & 18 \\\\21 & 54\\end{array}\\right]\\]이지만\\[\\left[\\begin{array}{rr}4 & 2 \\\\3 & 16\\end{array}\\right] \\neq\\left[\\begin{array}{rr}2 & 7 \\\\5 & 11\\end{array}\\right]\\] 이다.", "</p><p>(3) \\( A \\) 와 \\( B \\) 가 영행렬이 아니라도 \\( A B \\) 는 영행렬이 되기도 한다.", "</p><p>예제 6</p><p>\\[\\left[\\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\0 & 0\\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{rr}6 & 4 \\\\-3 & -2\\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\0 & 0\\end{array}\\right]\\] 과 \\[\\left[\\begin{array}{ll}1 & 4 \\\\2 & 8\\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{rr}8 & -2 \\\\-2 & 1 / 2\\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\0 & 0\\end{array}\\right]\\]에서 볼 수 있는 것과 같이 위의 (3)과 같은 경우가 생긴다.", "</p> <p>정리 8.17</p><p>\\( A \\) 를 \\( n \\times n \\) 크기의 행렬이라고 하자.", "</p><ol type=1 start=1><li>비제차인 일차연립방정식 \\( A X=B \\) 가 유일한 해를 갖기 위한 필요충분조건은 \\( A \\) 가 정칙행렬인 것이며, 이 경우 \\( X=A^{-1} B \\) 이다.", "</li><li>\\( A X=0 \\) 이 명백한 해 이외의 해를 갖기 위한 필요충분조건은 \\( A \\) 가 특이행렬인 것 이다.", "</li></ol><p>[증명]</p><p>(1) 앞절의 정리 8.13에 의해, \\( A X=B \\) 가 유일한 해를 갖기 위한 필요충분조건은 \\( \\operatorname{rank}(A)=n \\) 인데, 바로 앞의 정리 8.16에 의해, 이것은 다시 \\( A^{-1} \\) 의 존재성과 일치하므로, 결국 \\( A X=B \\) 가 유일한 해를 갖기 위한 필요충분조건은 \\( A \\) 가 정칙행렬인 것이 된다.", "</p><p>(2) 8.5절의 따름정리에 의하면, \\( A X=0 \\) 이 명백한 해 이외의 해를 갖기 위한 필요충분조건은 \\( \\operatorname{rank}(A)<n \\) 인데, 정리 8.16에 의하면, 이것은 \\( A \\) 가 특이행렬이라는 사실과 일치하므로 증명 되었다.", "</p><p>예제 4</p><p>비제차인 일차연립방정식 \\[ \\begin{array}{r} 2 x_{1}-x_{2}+3 x_{3}=4 \\\\ x_{1}+9 x_{2}-2 x_{3}=-8 \\\\ 4 x_{1}-8 x_{2}+11 x_{3}=15 \\end{array} \\] 의 해를 구하면 \\[ \\left[\\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 3 \\\\ 1 & 9 & -2 \\\\ 4 & -8 & 11 \\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{l} x_{1} \\\\ x_{2} \\\\ x_{3} \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{r} 4 \\\\ -8 \\\\ 15 \\end{array}\\right] \\] 는 \\[ A^{-1}=\\frac{1}{53}\\left[\\begin{array}{rrr} 83 & -13 & -25 \\\\ -19 & 10 & 7 \\\\ -44 & 12 & 19 \\end{array}\\right] \\] 이므로 해는 \\[ X=A^{-1} B=\\left[\\begin{array}{r} \\frac{61}{53} \\\\ -\\frac{51}{53} \\\\ \\frac{13}{53} \\end{array}\\right] \\] 이 된다.", "</p> <p>정리 8.13</p><p>\\( A \\) 가 \\( n \\times n \\) 크기의 정방행렬일 때, 비제차인 일차연립방정식 \\( A X=B \\) 가 유일한 해를 갖기 위한 필요충분조건은 \\( \\operatorname{rank}(A)=n \\) 이다.", "</p><p>[증명]</p><p>우선 \\( \\operatorname{rank}(A)=n \\) 이면 8.3절의 보조정리에 의해, \\( A_{R}=I_{n} \\) 인데, 이 경우 [A:B]\\( ]_{R} \\)은 \\( \\left[I_{n}: C\\right] \\) 형태가 되므로 \\( x_{1}=C_{1}, x_{2}=C_{2}, \\cdots, x_{n}=C_{n} \\) 이 주어진 비제차인 연립방정식의 유일한 해이다.", "</p><p>다음은 역으로 비제차인 연립방정식 \\( A X=B \\) 가 단 하나의 해 \\( U \\) 를 갖는다고 하자.", "이때 제차인 연립방정식 \\( A X=0 \\) 이 한 해 \\( H \\) 를 갖는다고 하면 정리 8.13에 의해 \\( U+H \\) 도 비제차인 연립방정식 \\( A X=B \\) 의 해가 된다.", "그런데 \\( U \\) 가 유일하므로 \\( U=U+H \\) 이고, \\( H=0 \\) 이 된다.", "그러므로 제차인 연립방정식 \\( A X=0 \\) 은 명백한 해를 가지므로, 정리 8.9에 의해 \\( \\operatorname{rank}(A) \\) \\( =n \\) 이 된다.", "</p><p>예제 5</p>비제차인 연립방정식 \\[ \\left[\\begin{array}{rr} 2 & -1 \\\\ 0 & 3 \\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{l} x_{1} \\\\ x_{2} \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{r} -1 \\\\ 4 \\end{array}\\right] \\] 에서는 \\[ A=\\left[\\begin{array}{rr} 2 & -1 \\\\ 0 & 3 \\end{array}\\right], \\quad A_{R}=\\left[\\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{array}\\right] \\] 인데, \\( \\operatorname{rank}(A)=2 \\) 이므로 유일한 해를 갖는다.", "해는 \\[ \\left[\\begin{array}{l} \\frac{1}{6} \\\\ \\frac{4}{3} \\end{array}\\right] \\] 이다.", "</p> <p>예제 2</p><p>행렬 \\[A=\\left[\\begin{array}{rrr}2 & -1 & 3 \\\\1 & 0 & -2 \\\\4 & 0 & 2\\end{array}\\right]\\] 의 역행렬을 찾아보자.", "우선 \\[\\left[\\begin{array}{rrr:rrr}1 & 0 & 0 & 2 & -1 & 3 \\\\0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -2 \\\\0 & 0 & 1 & 4 & 0 & 2\\end{array}\\right]\\] 로 놓아 \\( 3 \\times 6 \\) 크기의 \\( \\left[\\begin{array}{l:l}I_{3} & A\\end{array}\\right] \\) 를 만들고 \\( A \\) 의 축소행렬을 구해보자.", "우선 1 행에 \\( 1 / 2 \\) 을 곱해 주면 \\[ \\left[\\begin{array}{rrr:rrr}\\frac{1}{2} & 0 & 0 & 1 & -\\frac{1}{2} & \\frac{3}{2} \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 4 & 0 & 2\\end{array}\\right] \\] 가 되고, 위의 행렬에서 1행의 (-1) 배를 2행에 더해 주고 또 1행의 (-4) 배를 3행에 더해 주면 \\[\\left[\\begin{array}{rrr:rrrr}\\frac{1}{2} & 0 & 0 & 1 & -\\frac{1}{2} & \\frac{3}{2} \\\\-\\frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 & \\frac{1}{2} & -\\frac{2}{7} \\\\-2 & 0 & 1 & 0 & 2 & -4\\end{array}\\right]\\] 가 된다.", "또 위의 행렬에서 2행에 2 를 곱해 주면 \\[\\left[\\begin{array}{ccc:crr}\\frac{1}{2} & 0 & 0 & 1 & -\\frac{1}{2} & \\frac{3}{2} \\\\-1 & 2 & 0 & 0 & 1 & -7 \\\\-2 & 0 & 1 & 0 & 2 & -4\\end{array}\\right]\\] 가 되고, 다음은 위의 행렬에서 2행의 \\((1/2)\\)배를 1행에 더해 주고 또 2행의 (-2)배를 3행 에 더해 주면 행렬 \\[\\left[\\begin{array}{rrr:rrr}0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -2 \\\\-1 & 2 & 0 & 0 & 1 & -7 \\\\0 & -4 & 1 & 0 & 0 & 10\\end{array}\\right]\\] 을 얻는다.", "위의 행렬의 3행에 \\( 1 / 10 \\) 을 곱해 주면 행렬 \\[\\left[\\begin{array}{rrr:rrr}0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -2 \\\\-1 & 2 & 0 & 0 & 1 & -7 \\\\0 & -\\frac{4}{10} & \\frac{1}{10} & 0 & 0 & 1\\end{array}\\right]\\] 이 생기고, 이 행렬에서 3 행의 2 배를 1 행에 더해 주고 또 3 행의 7 배를 2행에 더해 주면 행렬 \\[\\left[\\begin{array}{rrr:rrr}0 & \\frac{2}{10} & \\frac{2}{10} & 1 & 0 & 0 \\\\-1 & -\\frac{8}{10} & \\frac{7}{10} & 0 & 1 & 0 \\\\0 & -\\frac{4}{10} & \\frac{1}{10} & 0 & 0 & 1\\end{array}\\right]\\] 이 얻어진다.", "이때 위의 행렬의 오른쪽이 \\( I_{3} \\) 이므로 주어진 행렬은 정칙행렬이고, 위의 행렬의 왼쪽이 역행렬이다.", "즉, \\[A^{-1}=\\left[\\begin{array}{rrr}0 & \\frac{1}{5} & \\frac{1}{5} \\\\-1 & -\\frac{4}{5} & \\frac{7}{10} \\\\0 & -\\frac{2}{5} & \\frac{1}{10}\\end{array}\\right]\\] 이 된다.", "</p><p>예제 3</p><p>행렬 \\[A=\\left[\\begin{array}{rrr}-3 & 1 & -1 \\\\1 & 0 & 1 \\\\-2 & 2 & 2\\end{array}\\right]\\] 의 역행렬을 살펴보자. \\", "[\\left[\\begin{array}{lll:rrr}1 & 0 & 0 & -3 & 1 & -1 \\\\0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\\\0 & 0 & 1 & -2 & 2 & 2\\end{array}\\right]\\] 에서 1행에 \\( (-1 / 3) \\) 을 곱해 주면 \\[ \\left[\\begin{array}{rrr:rrr} -\\frac{1}{3} & 0 & 0 & 1 & -\\frac{1}{3} & \\frac{1}{3} \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & -2 & 2 & 2 \\end{array}\\right] \\] 가 되고, 이 행렬의 1행의 (-1)배를 2행에, 1행의 2배를 3행에 더해 주면 을 얻는다.", "또 위의 행렬의 2행에 3을 곱해 주면 행렬 \\[ \\left[\\begin{array}{rrr:rrr} -\\frac{1}{3} & 0 & 0 & 1 & -\\frac{1}{3} & \\frac{1}{3} \\\\ 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 2 \\\\ -\\frac{2}{3} & 0 & 1 & 0 & \\frac{4}{3} & \\frac{8}{3} \\end{array}\\right] \\] 이 생기고, 다시 위의 행렬의 2행의 \\( (1 / 3) \\) 배를 1행에, 2행의 \\( (-4 / 3) \\) 배를 3행에 더해 주면 행렬 \\[ \\left[\\begin{array}{rrr:rrr} 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 2 \\\\ -\\frac{6}{3} & -4 & 1 & 0 & 0 & 0 \\end{array}\\right] \\] 을 얻게 되는데, 위의 행렬의 오른쪽은 \\( A \\) 의 축소행렬이나 \\( I_{3} \\) 이 아니므로, \\( A \\) 는 특이행렬로서 역행렬이 없다.", "역행렬에 의해 다음과 같이 연립방정식의 해에 관한 성질을 얻는다. \\", "[ \\left[\\begin{array}{rrr:rrr} -\\frac{1}{3} & 0 & 0 & 1 & -\\frac{1}{3} & \\frac{1}{3} \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & -2 & 2 & 2 \\end{array}\\right] \\] 가 되고, 이 행렬의 1행의 (-1)배를 2행에, 1행의 2배를 3행에 더해 주면 을 얻는다.", "또 위의 행렬의 2행에 3을 곱해 주면 행렬 \\[ \\left[\\begin{array}{rrr:rrr} -\\frac{1}{3} & 0 & 0 & 1 & -\\frac{1}{3} & \\frac{1}{3} \\\\ 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 2 \\\\ -\\frac{2}{3} & 0 & 1 & 0 & \\frac{4}{3} & \\frac{8}{3} \\end{array}\\right] \\] 이 생기고, 다시 위의 행렬의 2행의 \\( (1 / 3) \\) 배를 1행에, 2행의 \\( (-4 / 3) \\) 배를 3행에 더해 주면 행렬 \\[ \\left[\\begin{array}{rrr:rrr} 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 2 \\\\ -\\frac{6}{3} & -4 & 1 & 0 & 0 & 0 \\end{array}\\right] \\] 을 얻게 되는데, 위의 행렬의 오른쪽은 \\( A \\) 의 축소행렬이나 \\( I_{3} \\) 이 아니므로, \\( A \\) 는 특이행렬로서 역행렬이 없다.", "역행렬에 의해 다음과 같이 연립방정식의 해에 관한 성질을 얻는다.", "</p> <p>다음 정리에 의해 비제차인 일차연립방정식 \\( A X=B \\) 의 해를 찾을 수 있다.", "</p><p>정리 8.12</p>\\( H \\) 가 제차인 일차연립방정식 \\( A X=0 \\) 의 해이고 \\( U \\) 는 비제차인 일차연립방정식 \\( A X=B \\) 의 해이면, \\( A X=B \\) 의 임의의 해는 \\( U+H \\) 의 형태이다.", "</p><p>[증명]</p><p>\\( W \\) 를 비제차인 일차연립방정식 \\( A X=B \\) 의 해라고 하자.", "그러면 \\[ A(W-U)=A W-A U=B-B=0 \\] 이므로 \\( W-U \\) 는 제차인 연립방정식 \\( A X=0 \\) 의 한 해이다.", "이때 \\( H=W-U \\) 로 놓으면 \\( H \\) 는 \\( A X=0 \\) 의 한 해이고 \\( W=U+H \\) 이다.", "</p><p>위의 정리에 의해 비제차인 일차연립방정식의 해는 제차인 일차연립방정식의 일반해와 비제차인 일차연립방정식의 한 해를 구하면 된다.", "이것을 몇 단계로 나누어 요약하면 다음과 같다.", "</p><p>1단계: 확대계수행렬 \\( [A: B] \\) 의 축소행렬 \\( [A: B]_{R}=\\left[A_{R}: C\\right] \\) 를 구한다.", "이때 \\( C \\) 는 \\( n \\times 1 \\) 크기의 행렬이다.", "그런 후에 주어진 연립방정식보다 간단해진 연립방정식\\( A_{R} X=C \\) 를 구한다.", "</p><p>2단계: \\( \\quad \\operatorname{rank}\\left[\\begin{array}{l:l}A & B\\end{array}\\right] \\operatorname{rank}(A) \\) 이면 해가 없으므로 그만 둔다.", "</p><p>3 단계: \\( j \\) 열이 \\( i \\) 행에 선두요소를 가지면 \\( i \\) 째 방정식을 이용하여 종속미지수 \\( x_{j} \\) 를 독립미지수와 \\( C_{i} \\) 로 나타낸다.", "</p><p>4단계: 위의 결과를 \\[ \\left[\\begin{array}{c} x_{1} \\\\ x_{2} \\\\ \\vdots \\\\ x_{m} \\end{array}\\right] \\] 형태의 열벡터로 나타낸다.", "</p><p>5 단계: 위의 열을 독립미지수인 \\( x_{k} \\) 들이 곱해진 열과 종속미지수를 표시하는데 쓰인 \\( C_{i} \\) 들을 포함하는 열의 합으로 나타낸다.", "그러면 이 상수로 된 열이 비제차인 연립방정식의 한 해이고 독립미지수인 \\( x_{k} \\) 들을 \\( \\alpha, \\beta, \\cdots \\), 등으로 바꾼 것이 제차인 연립방정식의 일반해이므로 이들을 합하면 비제차인 연립방정식의 해가 구해진다.", "</p><p>예제 2</p><p>위의 단계를 따라서 비제차인 일차연립방정식 \\[ -x_{1}+x_{2}+3 x_{3}=-2 \\] \\[ x_{2}+2 x_{3}=4 \\] 의 해를 살펴보자.", "우선 1 단계로 \\[ \\left[\\begin{array}{l:l} A & B \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{rrr:r} -1 & 1 & 3 & -2 \\\\ 0 & 1 & 2 & 4 \\end{array}\\right] \\] \\[ \\left[\\begin{array}{l:l} A & B \\end{array}\\right]_{R}=\\left[\\begin{array}{rrr:r} 1 & 0 & -1 & 6 \\\\ 0 & 1 & 2 & 4 \\end{array}\\right] \\] 인데, 이것은 \\[ A_{R}=\\left[\\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & 2 \\end{array}\\right], \\quad C=\\left[\\begin{array}{l} 6 \\\\ 4 \\end{array}\\right] \\] 일 때 \\( \\left[A_{R}: C\\right] \\) 형태이다.", "2 단계로 위수를 살펴보면 \\[ \\operatorname{rank}(A)=2=\\operatorname{rank}\\left[\\begin{array}{l:l} A & C \\end{array}\\right] \\] 이므로 주어진 비제차 연립방정식은 해를 가지므로 구해야 겠다.", "3단계로 종속미지수와 독립미 지수를 판별하면 \\( A_{R} \\) 로부터 \\( x_{1}, x_{2} \\) 는 종속이고 \\( x_{3} \\) 는 독립이다.", "또 \\( [A: B]_{R} \\) 로부터 간단해 진 연립방정식 \\[ \\begin{array}{r} x_{1}-x_{3}=6 \\\\ x_{2}+2 x_{3}=4 \\end{array} \\] 또는 \\[ \\begin{array}{l} x_{1}=6+x_{3} \\\\ x_{2}=4-2 x_{3} \\end{array} \\] 을 얻는다.", "4단계로 위의 결과를 열벡터로 나타내면 \\[ \\left[\\begin{array}{l} x_{1} \\\\ x_{2} \\\\ x_{3} \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{r} 6+x_{3} \\\\ 4-2 x_{3} \\\\ x_{3} \\end{array}\\right] \\] 로 나타내고, 5 단계로 위의 열벡터를 \\[ \\left[\\begin{array}{l} 6 \\\\ 4 \\\\ 0 \\end{array}\\right]+x_{3}\\left[\\begin{array}{r} 1 \\\\ -2 \\\\ 1 \\end{array}\\right] \\] 로 나타낼 수 있으므로 주어진 연립방정식의 해는, \\( \\alpha \\) 가 임의의 실수일 때, \\[ \\left[\\begin{array}{l} 6 \\\\ 4 \\\\ 0 \\end{array}\\right]+\\alpha\\left[\\begin{array}{r} 1 \\\\ -2 \\\\ 1 \\end{array}\\right] \\] 이 된다.", "여기서 \\[ \\left[\\begin{array}{l} 6 \\\\ 4 \\\\ 0 \\end{array}\\right] \\] 이 비제차인 연립방정식 \\( A X=B \\) 인 한 특수해이고 \\[ \\alpha\\left[\\begin{array}{r} 1 \\\\ -2 \\\\ 1 \\end{array}\\right] \\] 은 제차인 연립방정식 \\( A X=0 \\) 의 일반해임을 알 수 있다.", "</p><p>예제 3</p><p>비제차인 일차연립방정식 \\[ \\begin{aligned} x_{1}-x_{2}+2 x_{3} &=-1 \\\\ x_{3} &=0 \\\\ 3 x_{1}-3 x_{2}+7 x_{3} &=1 \\\\ 10 x_{1}-10 x_{2}+24 x_{3} &=-2 \\end{aligned} \\] 의 해를 살펴보자.", "여기서는 \\[ \\left[\\begin{array}{l:l} A & B \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{rrr:r} 1 & -1 & 2 & -1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 3 & -3 & 7 & 1 \\\\ 10 & -10 & 24 & -2 \\end{array}\\right] \\] 이고 \\[ \\left[\\begin{array}{l:l} A & B \\end{array}\\right]_{R}=\\left[\\begin{array}{ccc:c} 1 & -1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\end{array}\\right] \\] 인데, \\( \\operatorname{rank}[A: B]=3 \\) 이나 \\( \\operatorname{rank}(A)=2 \\) 이므로 해는 없다.", "</p><p>예제 4</p><p>비제차인 일차연립방정식 \\[ \\begin{array}{rlr} x_{1}-x_{3} & +x_{5}+6 x_{6}=-3 \\\\ x_{2}+x_{3}+3 x_{4}+2 x_{5}+4 x_{6}= & 1 \\\\ x_{1}-4 x_{2}+3 x_{3}+x_{4} & +2 x_{6}=0 \\end{array} \\] 의 해를 살펴보자.", "위의 연립방정식에서는 \\[ \\left[\\begin{array}{ll} A & B \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{rrrrrr:r} 1 & 0 & -1 & 2 & 1 & 6 & -3 \\\\ 0 & 1 & 1 & 3 & 2 & 4 & 1 \\\\ 1 & -4 & 3 & 1 & 0 & 2 & 0 \\end{array}\\right] \\] 이고 \\[ \\left[\\begin{array}{l:l} A & B \\end{array}\\right]_{R}=\\left[\\begin{array}{llllll:r} 1 & 0 & 0 & \\frac{27}{8} & \\frac{15}{8} & \\frac{60}{8} & -\\frac{17}{8} \\\\ 0 & 1 & 0 & \\frac{13}{8} & \\frac{9}{8} & \\frac{20}{8} & \\frac{1}{8} \\\\ 0 & 0 & 1 & \\frac{11}{8} & \\frac{7}{8} & \\frac{12}{8} & \\frac{7}{8} \\end{array}\\right] \\] 인데, \\( \\operatorname{rank}(A)=\\operatorname{rank}([A: B])=3 \\) 이므로 해가 존재한다.", "한편 \\( [A: B]_{R} \\) 로부터, \\( x_{1}, x_{2} \\), \\( x_{3} \\) 는 종속미지수이고 \\( x_{4}, x_{5}, x_{6} \\) 는 독립미지수임을 알 수 있다.", "또한 \\( [A: B]_{R} \\) 로부터 간단 해진 연립방정식 \\[ x_{1}+\\frac{27}{8} x_{4}+\\frac{15}{8} x_{5}+\\frac{60}{8} x_{6}=-\\frac{17}{8} \\] 을 얻게 되고 따라서 \\[ \\begin{array}{l} x_{1}=-\\frac{17}{8}-\\frac{27}{8} x_{4}-\\frac{15}{8} x_{5}-\\frac{60}{8} x_{6} \\\\ x_{2}=\\frac{1}{8}-\\frac{13}{8} x_{4}-\\frac{9}{8} x_{5}-\\frac{20}{8} x_{6} \\\\ x_{3}=\\frac{7}{8}-\\frac{11}{8} x_{4}-\\frac{7}{8} x_{5}-\\frac{12}{8} x_{6} \\end{array} \\] 을 얻을 수 있으므로 열벡터 \\[ \\begin{aligned} {\\left[\\begin{array}{l} x_{1} \\\\ x_{2} \\\\ x_{3} \\\\ x_{4} \\\\ x_{5} \\\\ x_{6} \\end{array}\\right]=} & {\\left[\\begin{array}{c} -\\frac{17}{8}-\\frac{27}{8} x_{4}-\\frac{15}{8} x_{5}-\\frac{60}{8} x_{6} \\\\ \\frac{1}{8}-\\frac{13}{8} x_{4}-\\frac{9}{8} x_{5}-\\frac{20}{8} x_{6} \\\\ \\frac{7}{8}-\\frac{11}{8} x_{4}-\\frac{7}{8} x_{5}-\\frac{12}{8} x_{6} \\\\ x_{4} \\\\ x_{5} \\\\ x_{6} \\end{array}\\right]+\\left[\\begin{array}{c} -\\frac{17}{8} \\\\ \\frac{1}{8} \\\\ \\frac{7}{8} \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{array}\\right]+x_{4}\\left[\\begin{array}{c} -\\frac{27}{8} \\\\ -\\frac{13}{8} \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{array}\\right]+x_{5}\\left[\\begin{array}{c} -\\frac{15}{8} \\\\ -\\frac{9}{8} \\\\ -\\frac{7}{8} \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{array}\\right]+x_{6}\\left[\\begin{array}{c} -\\frac{12}{8} \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{array}\\right] } \\end{aligned} \\] 이 얻게 되므로 해는 \\( \\alpha, \\beta, \\gamma \\) 가 임의의 실수일 때 \\[ \\frac{1}{8}\\left[\\begin{array}{c} -17 \\\\ 1 \\\\ 7 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{array}\\right]+\\alpha\\left[\\begin{array}{c} -27 \\\\ -13 \\\\ -11 \\\\ 8 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{array}\\right]+\\beta\\left[\\begin{array}{c} -15 \\\\ -9 \\\\ -7 \\\\ 0 \\\\ 8 \\\\ 0 \\end{array}\\right]+\\gamma\\left[\\begin{array}{c} -60 \\\\ -20 \\\\ -12 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 8 \\end{array}\\right] \\] 이 된다.", "</p> <h1>8.6 일차연립방정식의 해: 비제차인 경우</h1><p>여기서는 \\( A \\) 는 \\( n \\times m \\) 크기의 행렬이고, \\( B \\) 는 \\( n \\times 1 \\) 크기의 행렬로서 적어도 한 개의 요소가 0이 아닌 경우인 비제차 일차연립방정식 \\( A X=B \\) 의 해를 구하려고 한다.", "연립방정식의 계수와 마찬가지로 \\( B \\) 의 요소를 활용하기 위하여, 행렬 \\( A \\) 의 오른쪽 끝에 \\( B \\) 를 덧붙여 만든 \\( n \\times(m+1) \\) 크기의 행렬을 확대계수행렬(augmented coefficient matrix)이라고 하며, 마지막 열이 연립방정식의 우변으로 된 것을 강조하기 위하여 \\( \\left[\\begin{array}{l:l}A & B\\end{array}\\right] \\) 와 같이 점선을 넣어 구분하여 나타낸다.", "예를 들어 연립방정식 \\[ \\begin{array}{r} 2 x_{1}-x_{2}+3 x_{3}=4 \\\\ x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=-2 \\end{array} \\] 의 확대계수행렬은 \\[ \\left[\\begin{array}{l:l} A & B \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{rrr:r} 2 & -1 & 3 & 4 \\\\ 1 & 3 & -1 & -2 \\end{array}\\right] \\] 형태의 \\( 2 \\times 4 \\) 크기의 행렬이다.", "제차인 일차연립방정식과 비제차인 일차연립방정식의 인상적인 차이는, 제차인 일차연립방정 식은 적어도 한 개의 해(명백한 해)를 가질 수 있지만, 비제차인 일차연립방정식은 해가 없을수도 있다.", "예를 들어 \\[ \\begin{array}{l} 2 x_{1}-3 x_{2}=6 \\\\ 4 x_{1}-6 x_{2}=18 \\end{array} \\] 은 해가 없다.", "그러므로 비제차인 경우에는 해를 구하기 앞서 해의 존재성에 관한 생각을 먼저 해야겠다.", "</p><p>예제 1</p><p>비제차인 일차연립방정식 \\[ \\left[\\begin{array}{ll} 2 & -3 \\\\ 4 & -6 \\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{l} x_{1} \\\\ x_{2} \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{r} 6 \\\\ 18 \\end{array}\\right] \\] 에서는 \\[ A=\\left[\\begin{array}{rr} 2 & -3 \\\\ 4 & 6 \\end{array}\\right], A_{R}=\\left[\\begin{array}{rr} 1 & -\\frac{3}{2} \\\\ 0 & 0 \\end{array}\\right] \\] 이다.", "여기서 \\( \\operatorname{rank}(A)=1 \\) 이지만 \\[ \\left[\\begin{array}{l:l} A & B \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{ll:c} 2 & -3 & 6 \\\\ 4 & -6 & 18 \\end{array}\\right],\\left[\\begin{array}{l:l} A & B \\end{array}\\right]_{R}=\\left[\\begin{array}{cc:c} 1 & -\\frac{3}{2} & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end{array}\\right] \\] 이므로 \\( [A: B] \\) 의 위수는 2 이고, 위의 축소행렬을 다시 연립방정식으로 고치면 \\[ \\begin{array}{l} x_{1}-\\frac{3}{2} x_{2}=0 \\\\ 0 x_{1}+0 x_{2}=1 \\end{array} \\] 이 된다.", "이때 위의 둘째 방정식은 어떤 \\( x_{1}, x_{2} \\) 에 대해서도 성립하지 않으므로 주어진 연립방정식의 해는 없다.", "</p><p>다음의 정리는 비제차인 일차연립방정식의 해의 존재에 관한 중요한 내용이다.", "</p><p>정리 8.11</p><p>비제차인 일차연립방정식 \\( A X=B \\) 가 해를 갖기 위한 필요충분조건은 계수의 행렬 \\( A \\) 와 확대계수행렬 \\( \\left[\\begin{array}{l:l}A & B\\end{array}\\right] \\) 가 같은 위수를 갖는 것이다.", "</p><p>[증명]</p><p>\\( A \\) 가 \\( n \\times m \\) 크기의 행렬일 때 \\( \\operatorname{rank}(A)=\\operatorname{rank}\\left[\\begin{array}{l:l}A & B\\end{array}\\right]=r \\) 이라고 하자.", "그러면, 정리 8.7에 의해, \\( [A: B] \\) 의 열공간의 차원은 \\( r \\) 이다.", "이때 \\( r \\leq m \\) 이므로 [ \\( A: B] \\) 의 \\( (m+1) \\) 째 열은 1 열부터 \\( m \\) 열까지의 일차결합 \\[ B=\\alpha_{1}\\left[\\begin{array}{c} A_{11} \\\\ A_{21} \\\\ \\vdots \\\\ A_{n 1} \\end{array}\\right]+\\alpha_{2}\\left[\\begin{array}{c} A_{12} \\\\ A_{22} \\\\ \\vdots \\\\ A_{n 2} \\end{array}\\right]+\\cdots+\\alpha_{m}\\left[\\begin{array}{c} A_{1 m} \\\\ A_{2 m} \\\\ \\vdots \\\\ A_{n m} \\end{array}\\right] \\] 과 같이 나타낼 수 있다.", "그런데 윗식은 바로 \\[ A\\left[\\begin{array}{c} \\alpha_{1} \\\\ \\vdots \\\\ \\alpha_{m} \\end{array}\\right]=B \\] 이므로, 연립방정식 \\( A X=B \\) 가 해 \\( \\alpha_{1}, \\alpha_{2}, \\cdots, \\alpha_{m} \\) 을 갖는 것을 의미한다.", "다음은 역으로 연립방정식 \\( A X=B \\) 가 해 \\[ X=\\left[\\begin{array}{c} \\alpha_{1} \\\\ \\vdots \\\\ \\alpha_{m} \\end{array}\\right] \\] 을 갖는다고 해보자.", "그러면 \\[ B=\\alpha_{1}\\left[\\begin{array}{c} A_{11} \\\\ A_{21} \\\\ \\vdots \\\\ A_{n 1} \\end{array}\\right]+\\alpha_{2}\\left[\\begin{array}{c} A_{12} \\\\ A_{22} \\\\ \\vdots \\\\ A_{n 2} \\end{array}\\right]+\\cdots+\\alpha_{m}\\left[\\begin{array}{c} A_{1 m} \\\\ A_{2 m} \\\\ \\vdots \\\\ A_{n m} \\end{array}\\right] \\] 이므로 \\( B \\) 는 행렬 \\( A \\) 의 열들의 일차결합으로 나타내어 진다.", "그러므로 \\( A \\) 와 \\( [A: B] \\) 의 열 공간이 같아지므로, 이들의 차원이 같고, 따라서 이들의 위수도 같아지므로 정리가 증명되었다.", "</p> <p>예제 4</p><p>제차인 일차연립방정식 \\[ \\begin{array}{r} -x_{2}+2 x_{3}+4 x_{4}=0 \\\\ -x_{3}+3 x_{4}=0 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+7 x_{4}=0 \\\\ 6 x_{1}+2 x_{2}+10 x_{3}+28 x_{4}=0 \\end{array} \\] 의 해를 구해보자. \\", "[ A=\\left[\\begin{array}{rrrr} 0 & -1 & 2 & 4 \\\\ 0 & 0 & -1 & 3 \\\\ 2 & 1 & 3 & 7 \\\\ 6 & 2 & 10 & 28 \\end{array}\\right] \\] 일 때 \\( A X=0 \\) 으로 표시할 수 있고, 이때 \\[ A_{R}=\\left[\\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 13 \\\\ 0 & 1 & 0 & -10 \\\\ 0 & 0 & 1 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\end{array}\\right] \\] 이므로 \\( x_{1}, x_{2}, x_{3} \\) 는 종속미지수이고 \\( x_{4} \\) 는 독립미지수이다.", "그러므로 \\[ x_{1}=-13 x_{4} \\] \\[ \\begin{array}{l} x_{2}=10 x_{4} \\\\ x_{3}=3 x_{4} \\end{array} \\] 에서 \\( x_{4}=\\alpha \\) 로 하면 해는 \\[ \\alpha\\left[\\begin{array}{r} -13 \\\\ 10 \\\\ 3 \\\\ 1 \\end{array}\\right] \\] 이 된다.", "</p><p>다음의 정리는 제차인 일차연립방정식의 해에서의 독립미지수의 개수와 계수의 행렬의 위수 사이의 관계이다.", "증명은 연습문제로 돌리겠다.", "</p><p>정리 \\( 8.8 \\) \\( A \\) 가 \\( n \\times m \\) 크기의 행렬일 때, 제차인 일차연립방정식 \\( A X=0 \\) 의 해에서 임의의 상수의 개수는 \\( m-\\operatorname{rank}(A) \\) 와 같다.", "</p><p>위의 결과를 벡터공간의 관점에서 살펴보자. \\", "( A X=0 \\) 의 해를 \\( \\mathbf{R}^{m} \\) 의 벡터로 보자.", "이때 \\( X_{1} \\) 과 \\( X_{2} \\) 가 \\( A X=0 \\) 의 해이고 \\( \\alpha \\) 와 \\( \\beta \\) 가 임의의 상수일 때 \\[ A\\left(X_{1}+X_{2}\\right)=A X_{1}+A X_{2}=0+0=0 \\] 이므로 \\( A X=0 \\) 의 해들은 \\( \\mathbf{R}^{m} \\) 의 한 부분공간을 이룬다.", "그러므로 위의 정리의 내용은 \\( A X=0 \\) 의 해들로 된 공간의 차원이 \\( m-\\operatorname{rank}(A) \\) 가 된다는 것이다.", "예를 들어 예제 3 에서는 해로 된 공간이 \\( a \\) 와 \\( b \\) 가 임의의 상수일 때 \\[ a\\left[\\begin{array}{r} 35 \\\\ -28 \\\\ -7 \\\\ 16 \\\\ 0 \\end{array}\\right]+b\\left[\\begin{array}{r} -13 \\\\ 20 \\\\ 9 \\\\ 0 \\\\ 16 \\end{array}\\right] \\] 으로 구성되어 있으므로 \\[ \\left[\\begin{array}{r} 35 \\\\ -28 \\\\ -7 \\\\ 16 \\\\ 0 \\end{array}\\right], \\quad\\left[\\begin{array}{r} -13 \\\\ 20 \\\\ 9 \\\\ 0 \\\\ 16 \\end{array}\\right] \\] 이 연립방정식 \\( A X=0 \\) 의 해로 된 공간의 바탕을 이루고 차원은 2이다.", "</p><p>예제 5</p><p>제차인 일차연립방정식 \\[ \\begin{aligned} -x_{1}+x_{3}+x_{4}+2 x_{5} &=0 \\\\ x_{2}+3 x_{3}+4 x_{5} &=0 \\\\ x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5} &=0 \\\\ -3 x_{1}+x_{2}+4 x_{5} &=0 \\end{aligned} \\] 에서는 \\[ A=\\left[\\begin{array}{rrrrr} -1 & 0 & 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 3 & 0 & 4 \\\\ 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\\\ -3 & 1 & 0 & 0 & 4 \\end{array}\\right] \\] 이고 \\[ A_{R}=\\left[\\begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & -\\frac{9}{8} \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & \\frac{5}{8} \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & \\frac{9}{8} \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -\\frac{2}{8} \\end{array}\\right] \\] 인데, \\( m=5 \\) 이고 \\( \\operatorname{rank}(A)=4 \\) 이므로 해로 된 공간의 차원은 1 이다.", "그러므로 한 개의 임의의 상수를 가지고 해를 나타낼 수 있는데, \\( A_{R} \\) 의 1행에서 4 행까지로부터 \\[ \\begin{array}{l} x_{1}=\\frac{9}{8} x_{5} \\\\ x_{2}=-\\frac{5}{8} x_{5} \\\\ x_{3}=-\\frac{9}{8} x_{5} \\\\ x_{4}=\\frac{2}{8} x_{5} \\end{array} \\] 이므로 \\( x_{5}=\\alpha \\) 로 놓으면 주어진 연립방정식의 해는 \\[ \\alpha\\left[\\begin{array}{r} \\frac{9}{8} \\\\ -\\frac{5}{8} \\\\ -\\frac{9}{8} \\\\ \\frac{2}{8} \\\\ 1 \\end{array}\\right] \\] 이다.", "</p><p>제차인 일차연립방정식은 적어도 한 개의 해 \\( x_{1}=x_{2}=\\cdots=x_{m}=0 \\) 을 갖는데, 이런 해를 명백한 해(trivial solution)라기 한다.", "앞의 예들은 녕백한 해가 아닌 해를 갖는 경우였다.", "다음 정리는 제차인 일차연립방정식이 명백한 해를 갖는 경우를 보인다.", "</p><p>정리 8.9</p><p>\\( A \\) 가 \\( n \\times n \\) 크기의 정방행렬일 때, 제차인 일차연립방정식 \\( A X=0 \\) 이 명백한 해만을 갖 기 위한 필요충분조건은 \\( \\operatorname{rank}(A)=n \\) 이다.", "</p><p>[증명]</p><p>\\( \\operatorname{rank}(A)=n \\) 이면, 앞절의 보조정리에 의해, \\( A_{R}=I_{n} \\) 이므로 주어진 연립방정식은 \\( I_{n} X=0 \\) 이 된다.", "그러므로 \\( X=0 \\), 즉 명백한 해를 얻는다.", "역으로 연립방정식 \\( A X=0 \\) 이 단지 명백한 해만을 가지면 연립방정식의 해는 임의의 상수를 갖지 않는다.", "그런데 정리 \\( 8.8 \\) 에의하면, \\( m-\\operatorname{rank}(A)=0 \\) 이어야 하므로 정리가 증명되었다.", "</p><p>위의 결과로 다음의 사실을 쉽게 보일 수 있다.", "</p><p>따름정리</p><p>\\( A \\) 가 \\( n \\times n \\) 크기의 정방행렬일 때, 제차인 일차연립방정식 \\( A X=0 \\) 이 명백한 해가 아닌 해를 갖기 위한 필요충분조건은 \\( \\operatorname{rank}(A)<n \\) 이다.", "</p><p>예제 6</p><p>제차인 일차연립방정식 \\[ \\begin{array}{l} 3 x_{1}-11 x_{2}+5 x_{3}=0 \\\\ 4 x_{1}+x_{2}-10 x_{3}=0 \\\\ 4 x_{1}+9 x_{2}-6 x_{3}=0 \\end{array} \\] 에서는 \\[ A=\\left[\\begin{array}{rrr} 3 & -11 & 5 \\\\ 4 & 1 & -10 \\\\ 4 & 9 & -6 \\end{array}\\right], A_{R}=\\left[\\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end{array}\\right] \\]이므로 \\( A_{R} \\) 로부터 \\( x_{1}=x_{2}=x_{3}=0 \\) 이고, 일차연립방정식은 단지 해로서 명백한 해를 갖는다.", "이때 물론 \\( n=3=\\operatorname{rank}(A) \\) 이다.", "</p><p>다음은 제차인 일차연립방정식이 명백한 해 이외의 해를 갖는 경우를 설명하는 중요한 정리이다.", "증명은 어렵지 않으므로 생략하겠다.", "</p><p>정리 \\( 8.10 \\) 제차인 일차연립방정식에서 방정식의 개수보다 미지수의 개수가 많으면 명백한 해 이외의 해를 갖는다.", "</p> <p>정리 8.5</p><p>모든 행렬은 적당한 형태의 축소행렬과 행동치관계를 갖는다.", "</p><p>[증명]</p><p>임의의 행렬 \\( A \\) 가 축소행렬이 아니라고 하자. \\", "( A \\) 의 요소를 왼쪽에서 오른쪽으로 읽을때 0 이 아닌 요소를 갖는 첫번째 열을 \\( c_{1} \\) 이라고 하자.", "또 이 열의 0 이 아닌 요소 중에서 맨위의 요소 \\( \\left(r_{1}\\right. \\)", "행에 있는 요소)를 \\( \\alpha \\) 라고 하자.", "이때 \\( r_{1} \\) 행에 \\( 1 / \\alpha \\) 을 곱하여 얻어지는 행렬을 \\( B \\) 라고 하자.", "여기서 \\( r_{1} \\) 을 택하는 과정에 의하여 \\( B \\) 의 \\( r_{1} \\) 행 \\( c_{1} \\) 열의 요소는 1 이고, \\( c_{1} \\) 열의 이 요소의 위쪽에 있는 요소는 모두 0이다.", "만일 \\( c_{1} \\) 열에서 \\( r_{1} \\) 행의 아래쪽에 0 이 아닌 요소\\( \\beta \\) 가 있으면, \\( r_{1} \\) 행에 \\( (-\\beta) \\) 를 곱하여 그 행에 더해 주면 그 요소는 0 이 된다.", "이런 연산을 필요한 만큼 반복하면 \\( r_{1} \\) 행에 \\( (-\\beta) \\) 를 곱하여 그 행에 더해 주면 그 요소는 0 이 된다.", "이런 연산을 필요한 만큼 반복하면 \\( r_{1} \\) 행 \\( c_{1} \\) 열은 1 이고 다른 \\( c_{1} \\) 열의 요소는 0 인 행렬을 얻는다.", "이 행렬을 \\( C \\) 라고 하고, \\( C \\) 의 1행과 \\( r_{1} \\) 행을 바꾸면, 1 행, \\( c_{1} \\) 열의 요소는 1 이고, 그리고 1 아래의 모든 요소는 0 이고, \\( c_{1} \\) 앞의 어떤 열도 0 이외의 요소를 갖지 않는 행렬을 얻는다.", "이 행렬을 \\( D \\) 라 하여 \\( D \\) 가 축소행렬이면 원하는 결과를 얻었으므로 정리가 증명되었고, 그렇지 않으면 다시 \\( D \\) 의 \\( c_{1} \\) 열의 1 행 아래의 오른쪽의 요소를 살펴 0 이 아닌 요소가 있는 행과 열을 찾아 위에서 시행한 것과 마찬가지의 방법으로 하여 행렬을 얻고, 얻어진 행렬이 축소행렬이면 행연산을 멈추고, 그렇지 않으면 다시 또 위의 방법을 계속하면 결국에는 축소행렬이 얻어진다.", "여기서 위의 과정에서 쓰인 기술이 기본행연산이므로 \\( A \\) 와 행동치관계를 갖는 행렬을 구한 것이 된다.", "</p><p>위의 정리의 증명 내용을 예제를 통하여 익혀 보자.", "</p><p>예제 3</p><p>행렬\\[A=\\left[\\begin{array}{rrr}-2 & 1 & 3 \\\\0 & 1 & 1 \\\\2 & 0 & 1\\end{array}\\right]\\] 과 행동치관계를 갖는 축소행렬을 구해보자.", "우선 1 행 1 열의 요소가 -2로서 0 이 아니다.", "1 행에 \\( -1 / 2 \\) 를 곱해주면 행렬 \\[ \\left[\\begin{array}{rrr} 1 & -\\frac{1}{2} & -\\frac{3}{2} \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 2 & 0 & 1 \\end{array}\\right] \\] 을 얻는데, 1열의 3행 요소가 2 로서 0 이 아니므로 1 행의 (-2) 배를 3행에 더해주면 행렬 \\[ \\left[\\begin{array}{rrr} 1 & -\\frac{1}{2} & -\\frac{3}{2} \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 4 \\end{array}\\right] \\] 가 생긴다.", "다시 위의 행렬에서 2 열의 이후에는 2 행 2 열의 요소가 1 로서 0 이 아니므로, 2행의 \\( 1 / 2 \\) 배를 1행에 더해주고 또 2행의 (-1)배를 3행에 더해주면 행렬 \\[ \\left[\\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 3 \\end{array}\\right] \\] 을 얻는다.", "위의 행렬의 3행에 \\( 1 / 3 \\) 을 곱해주면 행렬 \\[ \\left[\\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end{array}\\right] \\] 을 얻고, 다시 위의 행렬의 3행을 1행에 더해주고 또 3행의 (-1)배를 2행에 더해주면, \\[ \\left[\\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end{array}\\right] \\] 결국 \\( A \\) 와 행동치관계를 갖는 축소행렬이 구해진다.", "</p><p>예제 4</p><p>행렬 \\[ B=\\left[\\begin{array}{lllll} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 4 & 3 & 4 & 0 \\end{array}\\right] \\] 와 행동치관계를 갖는 축소행렬을 구해보자.", "우선 왼쪽으로부터 처음으로 0이 아닌 요소는 3행 2열의 1이다.", "3행에 (-4)배를 하여 4행에 더해주면 행렬 \\[ \\left[\\begin{array}{rrrrr} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 3 & 0 & -4 \\end{array}\\right] \\] 를 얻고, 이 행렬의 1행과 3행을 서로 바꾸면 행렬 \\[ \\left[\\begin{array}{rrrrr} 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3 & 0 & -4 \\end{array}\\right] \\] 가 생긴다.", "다음으로 3 열 이후에 처음으로 0 이 아닌 요소는 2 행 3 열의 2 이므로 위의 행렬의 2 행에 \\( 1 / 2 \\) 을 곱해주면 행렬 \\[ \\left[\\begin{array}{rrrrr} 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3 & 0 & -4 \\end{array}\\right] \\] 를 얻고, 다시 이 행렬의 2행의 (-3)배를 4 행에 더해주면 행렬 \\[ \\left[\\begin{array}{rrrrr} 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -4 \\end{array}\\right] \\] 가 생긴다.", "이 행렬에서 4 열의 2행 아래의 요소는 모두 0 이므로 5 열을 살피면 4 행 5 열의 요소 가 -4로서 0이 아니다.", "이 행렬의 4행에 \\( -1 / 4 \\) 을 곱해주고, 그런 후에 이 행렬의 4 행에 (-1)배를 1행에 더해주고 또 3행과 4행을 서로 바꾸면 행렬 \\[ \\left[\\begin{array}{lllll} 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\end{array}\\right] \\] 을 얻는데, 이 행렬이 바로 원래 주어진 행렬 \\( B \\) 와 행동치관계를 갖는 축소행렬이다.", "</p><p>앞의 예제 3에서와 같은 행연산을 통하여 축소행렬을 구할 수 있으나 다른 행연산에 의해서도 같은 축소행렬을 얻을 수 있다.", "예를 들어 앞의 예제 2 의 행렬 \\( A \\) 에서 1행을 3행에 더해주면 행렬 \\[ \\left[\\begin{array}{lll} 0 & 1 & 4 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 2 & 0 & 1 \\end{array}\\right] \\] 을 얻고, 이 행렬의 2행에 (-1)배를 하여 1행에 더해주면 행렬 \\[ \\left[\\begin{array}{lll} 0 & 0 & 3 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\2 & 0 & 1 \\end{array}\\right] \\] 이 생긴다.", "또 위의 행렬의 1 행에 \\( 1 / 3 \\) 을 곱해주면 행렬 \\[ \\left[\\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 2 & 0 & 1 \\end{array}\\right] \\]을 얻고, 다시 이 행렬의 1 행에 (-1)배를 하여 각각 2 행과 3 행에 더해주면 행렬 \\[ \\left[\\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 0 \\end{array}\\right] \\] 을 얻는다.", "이제 위의 행렬에서 1행과 3행을 바꾸면 행렬 \\[ \\left[\\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end{array}\\right] \\] 이 생기는데, 이 행렬의 1 행에 \\( 1 / 2 \\) 을 곱해주면 예제 2 에서와 같은 축소행렬을 얻는다.", "위의 예제 4 에서 확인한 결과에 의해 다음의 정리를 갖는다.", "증명은 생략하겠다.", "</p><p>정리 8.6</p><p>\\( A^{\\prime} \\) 과 \\( A^{\\prime \\prime} \\) 이 모두 \\( A \\) 와 행동치관계인 축소행렬이면 \\( A^{\\prime}=A^{\\prime \\prime} \\) 이다.", "</p> <h1>8.4 행렬의 위수</h1><p>앞절의 정리 8.6에 의하면 행연산의 방법에는 무관하게 임의의 행렬 \\( A \\) 는 오직 한 형태의 축소행렬과 행동치관계를 갖는지 알 수 있다.", "이 경우에 단 한 개의 형태로정해지는 축소행렬을 \\( A_{R} \\) 로 나타낸다.", "예를 들어 앞절의 예제 3 와 예제 4 에서 살핀 결과에 의하면 \\[ A=\\left[\\begin{array}{rrr} -2 & 1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 2 & 0 & 1 \\end{array}\\right] \\] 일 때는 \\[ A_{R}=\\left[\\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end{array}\\right] \\] 이고 \\[ B=\\left[\\begin{array}{lllll} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 4 & 3 & 4 & 0 \\end{array}\\right] \\] 일 때는 \\[ B_{R}=\\left[\\begin{array}{lllll} 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\end{array}\\right] \\]이다.", "</p><p>임의의 행렬 \\( A \\) 와 행동치관계를 갖는 유일한 축소행렬 \\( A_{R} \\) 에서 모든 요소가 0 이 아닌 행의 개수는 중요한 수학적 의미를 갖는다.", "그래서 이 숫자를 행렬 \\( A \\) 의 위수(rank)라고 하며 \\( \\operatorname{rank}(A) \\) 로 나타낸다.", "예를 들어 앞의 행렬에서는 \\( \\operatorname{rank}(A)=3 \\) 이고 또 \\( \\operatorname{rank}(B)=3 \\) 이다.", "한 행렬의 위수는 주어진 행렬의 행의 개수를 넘지 않는 것을 쉽게 알 수 있다.", "</p><p>다음의 보조정리는 역행렬을 다룰 때 또는 연립방정식의 해를 구할 때 쓰이는 중요한 정리이다.", "</p><p>보조정리 \\( A \\) 가 \\( n \\times n \\) 크기의 행렬일 때, \\( \\operatorname{rank}(A)=n \\) 이기 위한 필요충분조건은 \\( A_{R}=I_{n} \\) 이다.", "</p><p>[증명]</p><p>우선 \\( A_{R}=I_{n} \\) 이면, \\( A_{R} \\) 의 모든 행은 0 이 아닌 요소를 가지므로 \\( \\operatorname{rank}(A)=n \\) 이 성립한다.", "</p><p>다음에 역으로 \\( \\operatorname{rank}(A)=n \\) 이라고 해보자.", "그러면 \\( A_{R} \\) 의 각 행은 선두요소 1 을 갖는다.", "그러므로 축소행렬의 정의에 의해, \\( A_{R} \\) 의 주대각선의 요소는 모두 1이고, 그렇지 않은 요소들은 모두 0 이어야 하므로 \\( A_{R}=I_{n} \\) 이 된다.", "</p><p>행렬의 위수는 벡터공간의 개념으로도 정의될 수 있다.", "예를 들어 행렬 \\[ A=\\left[\\begin{array}{rrrr} 1 & -1 & 4 & 2 \\\\ 0 & 1 & 3 & 2 \\\\ 3 & -2 & 15 & 8 \\end{array}\\right] \\] 에서 각각의 행 \\[ (1,-1,4,2),(0,1,3,2),(3,-2,15,8) \\] 을 \\( \\mathrm{R}^{4} \\) 의 벡터로 생각하여 \\( \\alpha, \\beta, \\gamma \\) 가 임의의 실수일 때 위의 세 개의 행으로 된 세 벡터의 일차결합 \\[ \\alpha(1,-1,4,2)+\\beta(0,1,3,2)+\\gamma(3,-2,15,8) \\] 들로 된 \\( \\mathrm{R}^{4} \\) 의 부분공간을 생각하자.", "이와 같이 한 행렬의 행으로 만들어지는 부분공간을 행렬의 행공간(row space)이라고 한다.", "위의 예에서는 \\[ (3,-2,15,8)=3(1,-1,4,2)+(0,1,3,2) \\] 인데, \\( (1,-1,4,2) \\) 와 \\( (0,1,3,2) \\) 는 일차독립이므로 \\( A \\) 의 행공간의 차원은 2 이다.", "또 위의 \\( A \\) 와 행동치관계를 갖는 축소행렬을 구하면 \\[ A_{R}=\\left[\\begin{array}{llll} 1 & 0 & 7 & 4 \\\\ 0 & 1 & 3 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\end{array}\\right] \\]이므로 \\( \\operatorname{rank}(A)=2 \\) 이다.", "따라서 \\( A \\) 의 위수와 행공간의 차원이 같다.", "</p><p>일반적으로 \\( A \\) 가 \\( n \\times m \\) 크기의 행렬일 때, \\( A \\) 의 \\( n \\) 개의 행을 각각 \\( \\mathbf{R}^{m} \\) 의 벡터로 보아, 이들의 일차결합에 의해 만들어지는 부분공간을 행렬 \\( A \\) 의 행공간이라고 부르며 다음의 정리를 가질 수 있다.", "</p><p>정리 8.7</p><p>임의의 행렬 \\( A \\) 에 대하여, \\( A \\) 의 위수와 행공간의 차원은 같다.", "</p><p>[증명]</p><p>\\( A \\) 가 \\( n \\times m \\) 크기의 행렬일 때, \\( A \\) 의 기본행연산과 \\( A \\) 의 행으로 된 \\( n \\) 개의 벡터 \\( \\mathbf{F}_{1}, \\mathbf{F}_{2}, \\cdots, \\mathbf{F}_{n} \\) 들의 연산의 상관관계를 살펴보자.", "</p><p>유형 1: \\( A \\) 의 \\( i \\) 행과 \\( j \\) 행을 서로 바꾸는 것은 행벡터 \\( \\mathbf{F}_{i} \\) 와 \\( \\mathbf{F}_{j} \\) 를 서로 바꾸는 것이고,</p><p>유형 2: \\( i \\) 행에 0이 아닌 실수 \\( \\alpha \\) 를 곱해 주는 것은 \\( i \\) 째 벡터 \\( \\mathbf{F}_{i} \\) 대신에 \\( \\alpha \\mathbf{F}_{i} \\) 를 넣는 것이며,</p><p>유형 3: \\( i \\) 행의 \\( \\alpha \\) 배를 \\( j \\) 행에 더해 주는 것은 \\( \\mathbf{F}_{j} \\) 대신에 \\( \\alpha \\mathbf{F}_{i}+\\mathbf{F}_{j} \\) 를 넣는 것이다.", "그런데 \\( A \\) 의 행공간은 \\( \\alpha_{1}, \\cdots, \\alpha_{m} \\) 이 임의의 실수일 때, \\[ \\alpha_{1} \\mathbf{F}_{1}+\\alpha_{2} \\mathbf{F}_{2}+\\cdots+\\alpha_{m} \\mathbf{F}_{m} \\] 형태의 \\( \\mathbf{R}^{m} \\) 의 벡터로 되어 있으므로, 위의 세 가지 행연산 중에서 앞의 두 연산에 의해서는 아무런 영향을 받지 않는 것을 알 수 있다.", "그러므로 행공간의 차원과 행렬의 위수는 같아진다. \\", "( A \\) 를 축소행렬로 만들 때, 모든 행의 요소가 0 이 되는 경우는 바로 어떤 행벡터 \\( \\mathrm{F}_{j} \\) 가 다른 행벡터 \\( \\mathbf{F}_{i}{ }_{i} \\) 들에 의해 일차결합으로 표현될 때이다.", "예를 들어 \\( \\mathbf{F}_{n} \\) 이 \\( \\mathbf{F}_{1}, \\cdots, \\mathbf{F}_{n-1} \\) 의 일차 결합으로 나타내어지는 경우는, \\( \\mathrm{F}_{1}, \\cdots, \\mathrm{F}_{n} \\) 의 일차결합은 단지 \\( \\mathrm{F}_{1}, \\cdots, \\mathbf{F}_{n-1} \\) 의 일차결합이 되기 때문이다.", "이런 이유로 \\( A_{R} \\) 에서 모든 요소가 0 인 행을 갖는 경우는 \\( \\mathrm{F}_{1}, \\cdots, \\mathrm{F}_{n} \\) 에서 적당한 \\( \\mathrm{F}_{j} \\) 를 빠뜨리는 것과 같다.", "그러므로 \\( A_{R} \\) 에서 모든 요소가 0 이 아닌 각 행에 대하여 서로 일차독립인 행벡터 \\( \\mathrm{F}_{i} \\) 를 갖게 되므로, 행공간의 차원과 \\( A_{R} \\) 에서 모든 요소가 0 이 아닌 행의 개수는 같다.", "</p><p>위의 증명의 내용을 예를 통하여 확인해 보자.", "</p><p>예제 1</p><p>행렬 \\[ A=\\left[\\begin{array}{ccccc} -1 & 4 & 0 & 1 & 6 \\\\ -2 & 8 & 0 & 2 & 12 \\end{array}\\right] \\] 의 행공간은 \\( \\alpha, \\beta \\) 가 임의의 실수일 때 \\[ \\alpha(-1,4,0,16)+\\beta(-2,8,0,2,12) \\] 형태의 일차결합으로 된 \\( \\mathrm{R}^{5} \\) 의 부분공간이다.", "우선 \\( A \\) 와 행동치관계를 갖는 축소행렬을 구해보면, 1 행의 (-1) 배한 것을 2행에 더해주면 행렬 \\[ \\left[\\begin{array}{rrrrr} -1 & 4 & 0 & 1 & 6 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\end{array}\\right] \\] 이 되고, 또 이 행렬의 1 행에 (-1) 을 곱해주면 축소행렬 \\[ \\left[\\begin{array}{rrrrr} 1 & -4 & 0 & -1 & -6 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\end{array}\\right] \\]을 얻는다.", "</p><p>다음은 \\( A \\) 의 행벡터 \\[ \\mathbf{F}_{1}=(-1,4,0,1,6), \\quad \\mathbf{F}_{2}=(-2,8,0,2,12) \\] 에서 위의 첫번째 행연산에 의해 \\( \\mathbf{F}_{2} \\) 는 \\( \\mathbf{F}_{2}^{\\prime}=(0,0,0,0,0) \\) 로 바뀌는데, \\( \\alpha \\mathbf{F}_{1}+\\beta \\mathbf{F}_{2}^{\\prime} \\) 는 단지 \\( \\alpha \\mathbf{F}_{1} \\) 이므로 행공간의 차원은 1 로 \\( A \\) 의 위수와 같다.", "</p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "공업수학", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "772a8b07-def80688-a133-4804-9b09-a7c20bc880f5", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961051446", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2022", "doc_author": [ "이만근", "김익성" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }
124	<p>단위행렬 \( I \) 에 기본행연산을 실시하여 기본행렬 \( E \) 가 얻어졌다 하면 역으로 \( E \) 를\( I \) 로 환원시키는 기본행연산이 존재함을 곧 알 수 있다. 예컨대 \( E \) 가 \( I \) 의 제 \( i \) 행을 영이 아닌 상수 \( a \neq 0 \) 배해서 얻어졌다고 하면 \( E \) 의 제 \( i \) 행을 \( \frac{1}{a} \) 배하면 \( I \) 가 얻어진다. 표 2.1은 이런 뜻에서 기본행연산의 역변형에 대하여 요약한 것이다.</p></p><p>표 2.1의 우측 세 가지 형태의 연산을 각각 좌측 대응연산의 역연산 (inverse operation)이라 부른다. 한편 기호로 표시하면, \[\begin{array}{l}\left(R_{i} \leftrightarrow R_{j}\right)^{-1}=\left(R_{i} \leftrightarrow R_{j}\right) \\\left(\text { a } R_{i}\rightarrow R_{i}\right)^{-1}=\left(\frac{1}{a} R_{i} \rightarrow R_{i}\right), \quad a \neq 0 \\\left(\text { a } R_{i}+R_{j} \rightarrow R_{j}\right)^{-1}=\left((-a) R_{i}+R_{j} \rightarrow R_{j}\right)\end{array}\]</p><p>정리 2 \( A \) 를 체 \( F \) 위의 \( m \times n \) 행렬이라 하자. 기본행연산 ( I ), (II), (III)중의 하나를 \( e \) 라 할 때,\[e^{-1(e(A))=A=e\left(e^{-1}(A)\right)\]를 만족시키는 기본행연산 \( e^{-1} \) 가 존재한다.</p><p>증명 연습문제로 남긴다.</p><p>정리 3 모든 기본행렬은 가역이고, 이 때 그 역행렬도 또한 기본행렬이다.</p><p>증명 \( E \) 를 주어진 기본행렬이라 하자. 그러면 \( E \) 는 \( I \) 에 어떤 기본행연산 \( e \) 를 취하여 얻어진 것이다. 즉 \( E=e(I) \). 이제 \( e \) 의 역연산 \( e^{-1} \) 도 기본행연산이기 때문에 \( e^{-1}(I) \) 도 기본행렬이다. 만약 \( E^{\prime}=e^{-1}(I) \) 라고 두면 정리 1 과 2 에 의하여,\[\begin{aligned}E E^{\prime} &=e(I) e^{-1}(I)=e\left(e^{-1}(I)\right)=I \\E^{\prime} E &=e^{-1}(I) e(I)=e^{-1}(e(I))=I\end{aligned}\]이므로 \( E \) 는 가역행렬이고, \( E^{\prime}=e^{-1}(I) \) 는 기본행렬이다.</p>	대수학	[ "<p>단위행렬 \\( I \\) 에 기본행연산을 실시하여 기본행렬 \\( E \\) 가 얻어졌다 하면 역으로 \\( E \\) 를\\( I \\) 로 환원시키는 기본행연산이 존재함을 곧 알 수 있다.", "예컨대 \\( E \\) 가 \\( I \\) 의 제 \\( i \\) 행을 영이 아닌 상수 \\( a \\neq 0 \\) 배해서 얻어졌다고 하면 \\( E \\) 의 제 \\( i \\) 행을 \\( \\frac{1}{a} \\) 배하면 \\( I \\) 가 얻어진다.", "표 2.1은 이런 뜻에서 기본행연산의 역변형에 대하여 요약한 것이다.", "</p></p><p>표 2.1의 우측 세 가지 형태의 연산을 각각 좌측 대응연산의 역연산 (inverse operation)이라 부른다.", "한편 기호로 표시하면, \\[\\begin{array}{l}\\left(R_{i} \\leftrightarrow R_{j}\\right)^{-1}=\\left(R_{i} \\leftrightarrow R_{j}\\right) \\\\\\left(\\text { a } R_{i}\\rightarrow R_{i}\\right)^{-1}=\\left(\\frac{1}{a} R_{i} \\rightarrow R_{i}\\right), \\quad a \\neq 0 \\\\\\left(\\text { a } R_{i}+R_{j} \\rightarrow R_{j}\\right)^{-1}=\\left((-a) R_{i}+R_{j} \\rightarrow R_{j}\\right)\\end{array}\\]</p><p>정리 2 \\( A \\) 를 체 \\( F \\) 위의 \\( m \\times n \\) 행렬이라 하자.", "기본행연산 ( I ), (II), (III)중의 하나를 \\( e \\) 라 할 때,\\[e^{-1(e(A))=A=e\\left(e^{-1}(A)\\right)\\]를 만족시키는 기본행연산 \\( e^{-1} \\) 가 존재한다.", "</p><p>증명 연습문제로 남긴다.", "</p><p>정리 3 모든 기본행렬은 가역이고, 이 때 그 역행렬도 또한 기본행렬이다.", "</p><p>증명 \\( E \\) 를 주어진 기본행렬이라 하자.", "그러면 \\( E \\) 는 \\( I \\) 에 어떤 기본행연산 \\( e \\) 를 취하여 얻어진 것이다.", "즉 \\( E=e(I) \\).", "이제 \\( e \\) 의 역연산 \\( e^{-1} \\) 도 기본행연산이기 때문에 \\( e^{-1}(I) \\) 도 기본행렬이다.", "만약 \\( E^{\\prime}=e^{-1}(I) \\) 라고 두면 정리 1 과 2 에 의하여,\\[\\begin{aligned}E E^{\\prime} &=e(I) e^{-1}(I)=e\\left(e^{-1}(I)\\right)=I \\\\E^{\\prime} E &=e^{-1}(I) e(I)=e^{-1}(e(I))=I\\end{aligned}\\]이므로 \\( E \\) 는 가역행렬이고, \\( E^{\\prime}=e^{-1}(I) \\) 는 기본행렬이다.", "</p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "412", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "알기 쉬운 선형대수학과 응용", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "772a8b07-f2ad4d15-634b-4286-81b4-dbc097a7c225", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961050173", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2007", "doc_author": [ "조용욱" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }
125	<p>예제 3 타원 포물면(elliptic paraboloids)<p>\[ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{z}{c} \]</p>을 그려보아라.</p><p>풀이 \( c>0 \) 일 때, \( z \)-좌표축과 수직인 평면 \( (z \geq 0) \) 으로 자를 때 나타나는 단면은 타원이 된다는 것을 알 수 있고, \( x \)-좌표축이나 \( y \)-좌표축과 수직인 평면으로 자를 때는 포물선이 나타난다. 예를 들어, \( x=k, k \) 상수인 평면으로 자르게 되면 단면의 식은 포물선 \( k_{1} x^{2}+k_{2}=z \) ( \( k_{1} \) 과 \( k_{2} \) 는 상수 \( ) \) 이 된다. 또한 원점이 유일한 절편이다.</p><p>Maple의 명령어 implicitplot3d을 이용하면 이차곡면의 그래프를 쉽게 그릴 수 있다. 위 그림 2.3은 \( a=1, b=2, c=2 \) 일 때의 타원 포물면이고, 이는 다음과 같이 얻어진다.</p><p>\( [>\) with(plots):</p><p>\( \left[>\right. \) implicitplot3d \( \left(\mathrm{x}^{\wedge} 2+\mathrm{y}^{\wedge} 2 / 4=\mathrm{z} / 2, \mathrm{x}=-2 . .2, \mathrm{y}=-2 . .2, \mathrm{z}=-2 . .2\right. \), grid \( \left.=[15,15,15]\right) \);</p><p>에제 4 타원뿔 (elliptic cones)<p>\[ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{z^{2}}{c^{2}} \]</p>을 그려보아라.</p><p>풀이 \( z \)-좌표축과 수직인 평면으로 자를 때 나타나는 단면은 타원이 된다는 것을 알 수 있으며, \( x=0 \) 인 평면으로 자르게 되면 단면의 식이 직선 \( \frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1 \) 이 되고, \( y=0 \) 인 평면으로 자르게 되면 단면의 식은 직선 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1 \) 이 된다. 또한 \( z=0 \)인 평면은 원점 \( (0,0,0) \) 에서 만난다. 다음 그림은 Maplet을 이용하여 \( a=1 \), \( b=2, c=1 \) 일 때의 타원뿔의 그래프이다.</p><p>예제 5 일엽 쌍곡면(hyperboloids of one sheet)<p>\[ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \]</p>을 그려보아라.</p><p>풀이 \( z \)-좌표축과 수직인 평면으로 자를 때 나타나는 단면은 타원이 된다는 것을 알 수 있고, \( x \)-좌표축이나 \( y \)-좌표축과 수직인 평면으로 자를 때는 쌍곡선이 나타난다. 예를 들어, \( x=0 \)인 평면으로 자르게 되면 단면의 식은 쌍곡선 \( \frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \) 이 되고, \( y=0 \) 인 평면으로 자르게 되면 단면의 식은 쌍곡선 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \) 이 된다.</p><p>다음 그림은 Maplet을 이용하여 \( a=3, b=2, c=4 \) 일 때의 일엽 쌍곡면의 그래프이다.</p> <p>예제 16 크기가 일정한 벡터함수 \( \mathrm{r}(t) \) 는 모든 \( t \) 에 대하여 \( \mathrm{r}(t) \) 와 \( \mathrm{r}^{\prime}(t) \) 은 서로 수직임을 보여라.</p><p>풀이 \( \|\mathbf{r}(t)\| \)이 상수이기 때문에 내적 \( (\mathbf{r}(t), \mathbf{r}(t))=\|\mathbf{r}(t)\|^{2} \)도 상수가 된다. 미분법에 의하여 양변을 \( t \) 에 대하여 미분하면<p>\[ 0=\frac{d}{d t}[\mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{r}(t)]=\mathbf{r}^{\prime}(t) \cdot \mathbf{r}(t)+\mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{r}^{\prime}(t)=2 \mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{r}(t) \]</p>이 된다. 따라서 \( \mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{r}(t)=0 \) 즉, \( \mathbf{r}(t) \)와 \( \mathbf{r}^{\prime}(t) \)은 서로 수직이다.</p><p>그림 그림 2.14에서 보듯이 물리적으로 곡선 \( \mathrm{r}(t) \)를 따라서 움직이는 물체를 생각하자. 물체가 \( t \)에서 \( t+\Delta t \)로 움직일 때 위치는 \( \mathrm{r}(t) \)에서 \( \mathrm{r}(t+\Delta t) \)로 변하게 된다. 따라서 물체의 속도는 변한 위치의 거리의 변화량을 변화된 시간으로 나눈 값이기 때문에 \( \frac{\mathrm{r}(t+\Delta t)-\mathrm{r}(t)}{\Delta t} \)이 된다. \( \triangle t \)은 스칼라이기 때문에 속도는 벡터 \( \mathbf{r}(t+\Delta t)-\mathrm{r}(t) \)와 같은 방향임을 알 수 있다. 벡터함수 \( \mathrm{r}(t) \)가 부드러우면, 속도는 영이 되지 않는 것을 알 수 있다. 즉, 물체는 정지하거나 방향을 바꾸지 않는다.</p><p>속도, 방향, 속력, 가속도</p><p>물체가 공간위에서 부드러운 곡선 \( \mathbf{r}(t) \) 를 따라서 움직인다고 하자.<p>\[ \mathbf{v}(t)=\frac{d \mathbf{r}}{d t} \]</p>를 그 물체의 속도(velocity)라 한다. 시간 \( t \)에서 벡터 \( \mathbf{v}(t) \)의 방향을 물체의 방향(direction)이라하고, 벡터 \( \mathbf{v}(t) \)의 크기를 속력(speed)이라 하며, 벡터 \( \mathbf{v}(t) \)의 도함수가 존재하면 이를 물체의 가속도 벡터(acceleration)라 하고 \( \mathrm{a}(t) \)로 쓴다. 이를 정리하면<p>\[ \mathbf{v}(t)=\frac{d \mathbf{r}}{d t}, \quad \text { 속력 }=\|\mathbf{v}(t)\|, \quad \mathbf{a}(t)=\frac{d \mathbf{v}}{d t}=\frac{d^{2} \mathbf{r}}{d t^{2}}, \quad \text { 물체의 방향 }=\frac{\mathbf{v}(t)}{\|\mathbf{v}(t)\|} \]</p>이다.</p><p>예제 17 원형나선(circular helix) \( (\cos t, \sin t, t) \) 을 따라 움직이는 물체에 대하여 속도, 가속도, 속력, 그리고 \( t=\pi / 4 \) 에서 접선의 방정식을 구하라.</p><p>풀이 우선 물체의 위치벡터를 \( \mathrm{r}(t)=\cos t \mathbf{i}+\sin t \mathbf{j}+t \mathbf{k} \) 라 하자. 그러면 속도는 \( \mathbf{r}^{\prime}(t)=-\sin t \mathbf{i}+\cos t \mathbf{j}+\mathbf{k} \) 이고, 가속도는 \( \mathbf{r}^{\prime \prime}(t)=-(\cos t) \mathbf{i}-(\sin t) \mathbf{j} \) 가 된다. 속력은 속도의 크기이므로<p>\[ v=\left\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\|=\sqrt{(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}+1^{2}}=\sqrt{2} \]</p>가 된다. 마지막으로 접선의 매개방정식은 주어진 점이<p>\[ \left.\mathrm{r}(t)\right\|_{t=\pi / 4}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\pi}{4}\right) \]</p>이고 방향은 \( t=\pi / 4 \) 에서의 속도 \( \mathbf{r}^{\prime}(t)=(-\sqrt{2} / 2,+\sqrt{2} / 2,1) \) 인 것을 이용하면, \( x= \) \( \sqrt{2} / 2-(\sqrt{2} / 2) t, y=\sqrt{2} / 2+(\sqrt{2} / 2) t, z=\pi / 4+t \) 가 된다. 다른 방법으로는 접선의 벡터방정식을 이용할 수 있다. 즉<p>\[ \mathbf{r}(\pi / 4)+\operatorname{tr}^{\prime}(\pi / 4)=\frac{1-t}{\sqrt{2}} \mathbf{i}+\frac{1+t}{\sqrt{2}} \mathbf{j}+(\pi / 4+t) \mathbf{k}.\]</p></p> <h2>4 호의 길이와 곡률</h2><p>이 절에서는 곡선의 호의 길이를 구하는 방법과 곡선의 곡률에 대하여 다룬다.</p><h3>(1) 호의 길이</h3><p>먼저 벡터함수의 부정적분과 정적분에 대하여 정의하자.</p><p>벡터함수의 부정적분과 정적분<p><p>\( \frac{d \mathbf{R}(t)}{d t}=\mathrm{r}(t) \)가 되는 벡터함수 \( \mathbf{R}(t) \)을 \( \mathrm{r}(t) \)의 부정적분(antiderivative)라 한다. 이를<p>\[ \int \mathbf{r}(t) d t=\mathbf{R}(t)+\mathbf{C} \]</p>로 표시한다. 여기서 \( \mathrm{C} \) 는 상수벡터이다.</p><p>\( \mathbf{r}(t)=f(t) \mathbf{i}+g(t) \mathbf{j}+h(t) \mathbf{k} \)이라 하고, 각 성분 \( f, g, h \)가 구간 \( [a, b] \)에서 적분가능하다고 하면, \( \mathrm{r}(t) \)도 적분가능하고, \( a \)로 부터 \( b \)까지의 \( \mathrm{r} \)의 정적분은 다음과 같다.</p><p>\[ \int_{a}^{b} \mathbf{r}(t) d t=\left(\int_{a}^{b} f(t) d t\right) \mathbf{i}+\left(\int_{a}^{b} g(t) d t\right) \mathbf{j}+\left(\int_{a}^{b} h(t) d t\right) \mathbf{k} \]</p><p>우리는 일변수 미분적분학에서 매개방정식으로 주어진 곡선의 길이에 대한 공식을 알고 있다. \( f(t) \)와 \( g(t) \)가 구간 \( [a, b] \)에서 적분가능하고, 곡선을 매개방정식의 표현이 \( (x, y)=(f(t), g(t)) \)라 하면 \( t=a \)로 부터 \( t=b \)까지의 곡선의 길이 \( \mathbf{L} \)은<p>\[ \mathbf{L}=\int_{a}^{b} \sqrt{\left(f^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(\left(g^{\prime}(t)\right)^{2}\right.} d t=\int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{d}{d t} f(t)\right)^{2}+\left(\frac{d}{d t} g(t)\right)^{2}} d t \]</p>이다. 같은 방법으로 삼차원 곡선의 경우를 다룰 수 있다.</p><p>호의 길이</p><p>\( (x, y, z)=(f(t), g(t), h(t)) \)이 삼차원 곡선의 매개방정식 표현이라 하고, \( f(t), g(t) \), \( h(t) \)가 구간 \( [a, b] \)에서 적분가능할 때 \( t=a \)로 부터 \( t=b \)까지의 곡선의 길이 \( \mathbf{L} \)은 다음과 같다.</p><p>\[ \begin{aligned} \mathbf{L} &=\int_{a}^{b} \sqrt{\left(f^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(\left(g^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(\left(h^{\prime}(t)\right)^{2}\right.\right.} d t \\ &=\int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{d}{d t} f(t)\right)^{2}+\left(\frac{d}{d t} g(t)\right)^{2}+\left(\frac{d}{d t} h(t)\right)^{2}} d t . \\ &=\int_{a}^{b}\left\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\| d t \\ &=\int_{a}^{b}\|\mathbf{v}(t)\| d t \end{aligned} \]</p><p>곡선위의 주어진 점 \( P_{0}\left(t_{0}\right) \)으로 부터 곡선위의 임의의 점 \( P(t)=(x(t), y(t), z(t)) \)까지의 호의 길이를<p>\[ s(t)=\int_{t_{0}}^{t}\|\mathbf{v}(\tau)\| d \tau \]</p>로 나타내고, 이 때 \( s \)를 곡선의 호의 길이된 매개변수라 한다. 또한 미분적분학의 기본정리에 의하여<p>\[ \frac{d s}{d t}=\|\mathbf{v}(t)\| \]</p>이 된다.</p> <h3>(2) 곡선의 곡률</h3><p>부드러운 곡선 \( \mathbf{r}(t) \)를 따라서 움직이는 물체의 속도는 \( \mathbf{v}(t)=\frac{d \mathbf{r}}{d t} \)이고 이 벡터는 이 곡선의 접선 벡터가 되는 것을 알고 있다. 또한 벡터<p>\[ \mathbf{T}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} \]</p>은 단위벡터가 된다. 역함수의 도함수에 의하여<p>\[ \frac{d t}{d s}=\frac{1}{d s / d t}=\frac{1}{\|\mathbf{v}\|} \]</p>가 됨으로 \( \mathrm{r} \)은 \( s \)에 대하여 미분가능하게 되고, 연쇄법칙에 의하여<p>\[ \frac{d \mathbf{r}}{d s}=\frac{d \mathbf{r}}{d t} \frac{d t}{d s}=\mathbf{v} \frac{1}{\|\mathbf{v}\|}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=\mathbf{T} \]</p>가 된다. 즉, \( \mathrm{dr} / d s \)는 \( \mathrm{v} \)방향의 단위벡터가 된다.</p><p>단위 접선벡터(unit tangent vector)의 정의</p><p>부드러운 곡선 \( \mathrm{r}(t) \) 의 단위 접선벡터는<p>\[ \mathbf{T}=\frac{d \mathbf{r}}{d s}=\frac{d \mathbf{r}}{d t} / \frac{d s}{d t}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} \]</p>이다.</p><p>예제 21 곡선 \( \mathrm{r}(t)=(3 \cos t) \mathbf{i}+(3 \sin t) \mathbf{j}+t^{2} \mathbf{k} \)의 단위접선벡터를 찾아라.</p><p>풀이 \( \mathbf{v}=\frac{d \mathbf{r}}{d t}=-(3 \sin t) \mathbf{i}+(3 \cos t) \mathbf{j}+2 t \mathbf{k} \)이고, \( \|\mathbf{v}\|=\sqrt{9+4 t^{2}} \)이므로<p>\[ \mathbf{T}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=-\frac{3 \sin t}{\sqrt{9+4 t^{2}}} \mathbf{i}+\frac{3 \cos t}{\sqrt{9+4 t^{2}}} \mathrm{j} \frac{2 t}{\sqrt{9+4 t^{2}}}+2 t \mathbf{k} \]</p>가 된다.</p></p>곡선을 따라서 단위 길이당 \( \mathbf{T} \)가 변화하는 비율을 그 곡선의 곡률이라 한다.</p><p>곡률의 정의</p><p>부드러운 곡선 \( \mathrm{r}(t) \)의 단위 접선벡터를 \( \mathrm{T} \)라 할 때, 그 곡선의 곡률(curvature)함수는<p>\[ \kappa=\left\|\frac{d \mathbf{T}}{d s}\right\| \]</p>이다. 여기서 \( \kappa \)는 "kappa"라 불리는 그리스 문자이다. 또한 \( \kappa \neq 0 \)일 때,<p>\[ \mathbf{N}=\frac{1}{\kappa} \frac{d \mathbf{T}}{d s} \]</p>를 단위 법선벡터(unit normal vector)라 한다.</p><p>우리는 여기서 \( \kappa=\|d \mathbf{T} / d s\| \)가 커진다는 것은 곡선이 매우 가파르게 돌고, 0 에 가까와진다는 것은 곡선은 매우 천천히 돈다는 것을 알 수 있다. 실제로 주어진 곡선 \( \mathrm{r}(t) \)로 부터 곡률을 직접 구하기는 어럽기 때문에 우리는 보다 계산이 편리한 식이 필요하다.<p>\[ \begin{aligned} \kappa &=\left\|\frac{d \mathbf{T}}{d s}\right\|=\left\|\frac{d \mathbf{T}}{d t} \frac{d t}{d s}\right\| \\ &=\frac{1}{\|d s / d t\|}\left\|\frac{d \mathbf{T}}{d t}\right\| \\ &=\frac{1}{\|\mathbf{v}\|}\left\|\frac{d \mathbf{T}}{d t}\right\| \end{aligned} \]</p>이므로 우리는 이 식을 이용하여 곡률 \( \kappa \)를 계산할 수 있다. 또한 단위 법선벡터는<p>\[ \begin{aligned} \mathbf{N} &==\frac{1}{\kappa} \frac{d \mathbf{T}}{d s}=\frac{d \mathbf{T} / d s}{\|d \mathbf{T} / d s\|} \\ &=\frac{(d \mathbf{T} / d t)(d t / d s)}{\|d \mathbf{T} / d t\|\|d t / d s\|} \\ &=\frac{d \mathbf{T} / d t}{\|d \mathbf{T} / d t\|} \end{aligned} \]</p>가 된다.</p> <h2>3 공간 곡선</h2><p>이 절에서는 공간에서 곡선의 표현법과 곡선의 접선과 도함수를 다룬다.</p><p>먼저 공간 곡선을 다루기 전에 이차원 곡선을 먼저 살펴보자. 이미 일변수 미분적분학에서 다루었듯이 이차원 곡선은 매개방정식으로 표현하는 것이 다루기 수월하다. 즉, 곡선위의 점 \( (x, y) \) 을 매개변수 \( t \) 와 주어진 함수 \( f(t) \) 와 \( g(t) \) 를 이용하여 \( (x, y)=(f(t), g(t)) \) 로 나타낸다. 이 곡선을 매개곡선(parametric curve)예를 들면, \( 0 \leq t \leq 2 \pi \)일 때 점 \( (2 \sin t, \cos t) \)들은 \( x \)-축과 \( y \)-축 절편이 각각 1 과 2 가 되는 타원을 나타낸다.</p><p>삼차원 공간에서의 매개곡선은 이차원 곡선과 같이 주어진 \( t \) 의 구간에서 주어진 함수 \( f(t), g(t), h(t) \) 에 대하여 점 \( (x, y, z)=(f(t), g(t), h(t)) \) 들의 자취로 나타낸다.</p><p>예제 12 \( 0 \leq t \leq 2 \pi \) 일 때, \( (\sin t, 2 \cos t) \) 의 자취는 어떤 곡선인가?</p><p>풀이 \( x=\sin t, y=2 \cos t \) 로 부터<p>\[ \sin ^{t}+\cos ^{2} t=x^{2}+\left(\frac{y}{2}\right)^{2}=1\]</p>의 관계식을 얻는다. 이것으로부터 \( t \) 가 0에서 \( 2 \pi \)까지 움직일 때, 우리는 시계 방향으로 움직이는 타원을 얻을 수 있다. 이 곡선은 Maple을 통해서 다음과 같이 그릴 수 있다.<p>\( \left[>\operatorname{plot}\left(\left[\sin (\mathrm{t}), 2^{} \cos (\mathrm{t}), \mathrm{t}=0 . .2^{} \operatorname{Pi}\right]\right.\right. \), scaling \( = \) constrained \( ) \);</p></p><p>예제 13 다음 매개곡선의 그래프를 그리고 곡선을 설명하라.</p><ol type=a start=1><li>\( (x, y, z)=(3 t+2,8 t-1, t) \).</li><li>\( x=3 t^{3}+2, \quad y=t^{3}-8, \quad z=4 t^{3} \)</li></ol><p>풀이 먼저 각 매개함수들의 특징을 살펴보자.</p><p><ol type=a start=1><li>\( (x, y, z)=(3 t+2,8 t-1, t) \) 의 경우는 각 변수가 \( t \) 의 일차함수이므로 직선의 매개방정식이다. 따라서 그레프는 \( (2,-1,0) \) 을 지나는 직선이 됨을 알 수 있다.</li><li>\( x=3 t^{3}+2, y=t^{3}-8, \quad z=4 t^{3} \) 의 경우에는 \[ \begin{aligned}(x, y, z) &=\left(3 t^{3}+2, t^{3}-8,4 t^{3}\right) \\ &=(2,-8,3)+t^{3}(3,1,4) \end{aligned} \]</li></ol>가 된다. 이는 직선의 벡터방정식이므로 그래프는 직선이 된다.</p><p>예제 14 다음 매개곡선의 그래프를 그려라.<ol type=a start=1><li>\( (x, y, z)=(\cos t, 2 \sin t, 2 t) \)</li><li>\( (x, y, z)=(t, 2 t, \cos t) \)</li></ol></p><p>풀이 먼저 각 매개함수들의 특징을 살펴보자.<ol type=a start=1><li>\( x=\cos t, y=2 \sin t \) 이므로 곡선을 \( x y \)-평면으로 사영시킨 곡선은 타원 \( x^{2}+ \) \( (y / 2)^{2}=\cos ^{2} t+\sin ^{2} t=1 \) 을 그리고, \( z=2 t \) 로부터 곡선은 \( z \)-축을 따라 점점 위로 올라가는 곡선이 된다.</li><li>\( x=t, y=2 t \) 로부터 곡선을 \( x y \)-평면으로 사영시킨 곡선은 직선 \( y=2 x \) 이 되며, \( z \)-축을 방향으로 \( \cos t \) 곡선을 그린다.</li></ol></p><p>공간 곡선은 벡터 형태로 나타내는 것이 편리할 때가 있다. 원점으로 부터 곡선위의 임의 점 \( P(x, y, z)=(f(t), g(t), h(t) \) 로의 벡터를<p>\[ \mathbf{r}(t)=\overrightarrow{O P}=f(t) \mathbf{i}+g(t) \mathbf{j}+h(t) \mathbf{k} \]</p>로 나타내고 이를 위치벡터라 하고 \( f(t), g(t), h(t) \) 를 성분함수라고 한다. 이와같이 치역이 이차원 이상의 공간의 부분집합인 함수를 일반적으로 벡터함수라고 말한다. 벡터함수의 자세한 내용은 6 장에서 다루기로 한다.</p> <p>예제 19 \( 0 \leq t \leq \pi \) 에 대하여 원형나선 \( (\cos t, \sin t, t) \)의 호의 길이를 구하라.</p><p>풀이 \( f^{\prime}(t)=-\sin t, g^{\prime}(t)=\cos t, h^{\prime}(t)=1 \)이므로 구하고자 하는 값은<p>\[ \mathbf{L}=\int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin ^{2} t+\cos ^{2} t+1} d t=\int_{0}^{\pi} \sqrt{2} /, d t=\pi \sqrt{2} \]</p>이 된다.</p><p>예제 20 \( 0 \leq t \leq 1 \) 에 대하여 곡선 \( \left(e^{t}, t, e^{t}\right) \)의 호의 길이를 구하라.</p><p>풀이 \( \mathbf{r}(t)=\left(e^{t}, t, e^{t}\right) \)라 하자. 그러면 \( \mathbf{r}^{\prime}(t)=\mathbf{v}(t)=\left(e^{t}, 1, e^{t}\right) \)가 된다. 따라서 \( \|\mathbf{v}(t)\|= \) \( \sqrt{1+2 e^{2 t}} \)가 되고, 따라서<p>\[ \mathbf{L}=\int_{0}^{1} \sqrt{1+2 e^{2 t}} d t \]</p>가 된다. \( u=\sqrt{1+2 e^{2 t}} \) 라 하면,<p>\[ \begin{aligned} \int \sqrt{1+2 e^{2 t}} d t &=\int u \frac{u d u}{u^{2}-1} \\ &=\int\left[1+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{u-1}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{u+1}\right)\right] d u \\ &=u+\frac{1}{2} \ln (u-1)-\frac{1}{2} \ln (u+1)+C \\ &=\sqrt{1+2 e^{2 t}}+\frac{1}{2} \ln \frac{\sqrt{1+2 e^{2 t}}-1}{\sqrt{1+2 e^{2 t}}+1}+C \end{aligned} \]</p>가 된다. 여기서 두 번째 줄은 부분분수 분해법을 이용하였다. 따라서 구하는 길이는<p>\[ \int_{0}^{1} \sqrt{1+2 e^{2 t}} d t=\sqrt{1+2 e^{2}}+\frac{1}{2} \ln \frac{\sqrt{1+2 e^{2}}-1}{\sqrt{1+2 e^{2}}+1}-\sqrt{3}-\frac{1}{2} \ln \sqrt{3}-1 \sqrt{3}+1 \]</p>이 된다.</p> <h2>2 주면좌표계와 구면좌표계</h2><p>이 절에서는 삼차원 공간의 점을 나타내는 두 가지의 새로운 좌표계에 대하여 알아 본다.</p><p>주면좌표계</p><p>공간 위의 점 \( (x, y, z) \) 을 주면좌표계(cylinderical coordinates) \( (r, \theta, z) \) 로 나타내면 다음과 같다.</p><p>\[ x=r \cos \theta, \quad y=r \sin \theta, \quad z=z \]</p>여기서 \( (r, \theta) \) 는 평면위의 점 \( (x, y) \) 의 극좌표에 해당된다. 그림 2.8 참고. 직교좌표계와 주면좌표계 사이의 관계식은 다음과 같다.<p>\[ x^{2}+y^{2}=r^{2}\left(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta\right)=r^{2}, 따라서 r=\pm \sqrt{x^{2}+y^{2}} \]</p>또 한<p>\[ \frac{y}{x}=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\tan \theta \]</p>가 된다.</p><p>주면좌표계에서 표현되는 대표적인 곡면은 \( r=k, \theta=k, z=k \) ( \( k \) 는 임의의 상수)이며 이들은 각각 반지름이 \( k \) 인 원기둥, \( z \)-축을 포함하고 \( z \)-축으로 부터 뺃어 나가는 반평면, \( x y \)-평면과 평행한 평면이 된다. 따라서 주면좌표계는 실린더 형태의 곡면을 다루는데 잘 적용이 된다.</p><p>예제 8 주면좌표계로 나타낸 식 \( z=r \) 의 곡면을 설명하라.</p><p>풀이 주면좌표계에서 \( r^{2}=x^{2}+y^{2} \) 이므로 양변을 제곱한 후에 이것을 대입하면<p>\[ z^{2}=r^{2}=x^{2}+y^{2} \]</p>이 된다. \( r \) 을 모든 실수라 하면 이 식은 \( z=r \) 과 동치이다. 따라서 주어진 식은 원뿔을 나타낸다. Maple로 다음과 같이 확인할 수 있다.</p><p>예제 9 타원면 \( 4 x^{2}+4 y^{2}+z^{2}=1 \) 을 주면좌표계의 식으로 나타내어라.</p><p>풀이 주면좌표계에서 \( r^{2}=x^{2}+y^{2} \) 이므로 \( 4 x^{2}+4 y^{2}=4 r^{2} \) 이 된다. 따라서 \( 4 x^{2}+4 y^{2}+ \) \( z^{2}=4 r^{2}+z^{2}=1 \) 또는 \( z^{2}=1-4 r^{2} \) 이 찾고자 하는 식이 된다.</p><p>구면좌표계</p><p>공간 위의 점 \( (x, y, z) \) 을 구면좌표계(spherical coordinates) \( (\rho, \theta, \phi) \) 로 나타내면 다음과 같다. 여기서<ul><li>\(\rho= \) 점 \( (x, y, z) \) 과 원점과의 거리</li><li>\( \theta= \) 주면좌표계의 \( \theta \) 와 같다</li><li>\( \phi= \) 양의 \( z \)-축과 원점에서 점 \( (x, y, z) \) 을 연결하는 직선 사이의 각</li></ul>이고, 이것으로 부터<p>\[x=r \cos \theta=\rho \sin \phi \cos \theta, \quad y=r \sin \theta=\rho \sin \phi \sin \theta, \quad z=\rho \cos \phi \]</p>가 된다. 그림 2.10 참고. 직교좌표계와 주면좌표계 사이의 관계식은 다음과 같다.<p>\[x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}, \quad \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \quad \frac{y}{x}=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\tan \theta, \quad \phi=\cos ^{-1} \frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z}} .\]</p></p><p>구면좌표계에서 표현되는 대표적인 곡면은 \( \rho=k, \quad \theta=k, \phi=k(k= \) 임의의 상수)이며 이들은 각각 반지름이 \( k \) 인 구(sphere), \( z \)-축을 포함하고 \( z \)-축으로부터 뺃어 나가는 반평면, \( z \)-축으로 부터 각이 \( \phi \) 만큼 벌어진 원뿔이 된다. 따라서 구면좌표계는 구나 원뿔 형태의 곡면을 다루는데 잘 적용이 된다.</p><p>예제 10 이엽쌍곡면 \( x^{2}-y^{2}-z^{2}=1 \) 을 구면좌표계의 식으로 나타내어라.</p><p>풀이 구면좌표계와 직교좌표계의 관계식으로부터<p>\[ \begin{aligned} \rho^{2} \sin ^{2} \phi \cos ^{2} \theta-\rho^{2} \sin ^{2} \phi \sin ^{2} \theta-\rho^{2} \cos ^{2} \phi &=1 \\ \rho^{2}\left[\sin ^{2} \phi\left(\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta\right)-\cos ^{2} \phi\right] &=1 \\ \rho^{2}\left(\sin ^{2} \phi \cos 2 \theta-\cos ^{2} \phi\right) &=1 \end{aligned} \]</p>을 얻는다.</p><p>예제 11 구면좌표계로 나타낸 식 \( \rho=\sin \phi \sin \theta \) 을 주직교좌표계의 식으로 나타네어라.</p><p>풀이 식의 양변에 \( \rho \) 를 곱하면 \( \rho^{2}=\rho \sin \phi \sin \theta \) 가 된다. 구면좌표계와 직교좌표계의 관계식으로부터 우리는 \( x^{2}+y^{2}+z^{2}=y \) 또는 \( x^{2}+(y-1 / 2)^{2}+z^{2}=1 / 4 \) 를 얻는다.</p> <p>벡터함수의 극한의 정의</p><p>\( \mathbf{r}(t)=f(t) \mathbf{i}+g(t) \mathbf{j}+h(t) \mathbf{k} \) 이 벡터함수이고 \( \mathbf{L} \) 이 한 벡터라 하자. 임의의 양수 \( \varepsilon \) 에 대하여 대응하는 \( \delta>0 \) 가 있어서<p>\[0<\left\|t-t_{0}\right\|<\delta \text { 인 모든 } t \text { 에 대하여 }\|\mathbf{r}-\mathbf{L}\|<\varepsilon\]</p>를 만족하면 \( t \) 가 \( t_{0} \) 에 가까이 갈 때 벡터함수 \( \mathbf{r}(t) \) 가 극한값(limit) \( \mathbf{L} \) 을 갖는다고 한다. 이를<p>\[ \lim _{t \rightarrow t_{0}} \mathbf{r}(t)=\mathbf{L} \]</p>이라 쓴다.</p><p>여기서 \( \mathbf{L}=\left(L_{1}, L_{2}, L_{3}\right) \) 라 하고\[\lim _{t \rightarrow t_{0}} f(t)=L_{1}, \quad \lim _{t \rightarrow t_{0}} g(t)=L_{2}, \quad \lim _{t \rightarrow t_{0}} h(t)=L_{3}\]</p>이면 \( \lim _{t \rightarrow t_{0}} \mathbf{r}(t)=\mathbf{L} \) 가 됨을 알 수 있다. 이것은 실제로 계산할 때 편리하게 쓰인다.</p><p>예제 15 \( t \rightarrow \pi / 2 \) 인 때 벡터함수 \( \mathbf{r}(t)=\sin t \mathbf{i}+\cos t \mathbf{j}+t^{2} \mathbf{k} \) 의 극한값을 구하라.</p><p>풀이 벡터함수의 극한은 각 성분의 극한으로 구할 수 있으므로 극한값은 \[ \begin{aligned} \lim _{t \rightarrow \pi / 2} \mathbf{r}(t) &=\left(\lim _{t \rightarrow \pi / 2} \sin t\right) \mathbf{i}+\left(\lim _{t \rightarrow \mathrm{\pi} / 2} \cos t\right) \mathbf{j}+\left(\lim _{t \rightarrow \mathrm{\pi} / 2} t^{2}\right) \mathbf{k} \\ &=\mathbf{i}+\frac{\pi^{2}}{4} \mathbf{k} \end{aligned} \]</p>이 된다.</p><p>벡터함수의 연속의 정의</p><p>\( \lim _{t \rightarrow t_{0}} \mathrm{r}(t)=\mathrm{r}\left(t_{0}\right) \) 일 때, 벡터함수 \( \mathrm{r}(t) \) 는 \( t_{0} \) 에서 연속이라고 한다. 또한 벡터함수가 정의역에 있는 모든 \( t \) 에서 연속이면 연속이다(continous)고 한다.</p><p>벡터함수의 도함수와 속도</p><p>벡터함수 \( \mathbf{r}(t)=f(t) \mathbf{i}+g(t) \mathbf{j}+h(t) \mathbf{k} \) 에서 \( f, g, h \) 가 \( t \) 에 대하여 미분가능한 함수라 하자. 또한<p>\[\Delta \mathbf{r}=\mathbf{r}(t+\Delta t)-\mathbf{r}(t) \]</p>를 \( t \) 에서 \( t+\Delta t \) 까지의 위치벡터 \( \mathrm{r}(t) \) 의 차라고 하자. 이를 성분으로 나타내면<p>\[ \begin{aligned} \Delta \mathbf{r}=& \mathbf{r}(t+\Delta t)-\mathbf{r}(t) \\ =& {[f(t+\Delta t) \mathbf{i}+g(t+\Delta t) \mathbf{j}+h(t+\Delta t) \mathbf{k}] } \\ & \quad-[f(t) \mathbf{i}+g(t) \mathbf{j}+h(t) \mathbf{k}] \\ =& {[f(t+\Delta t)-f(t)] \mathbf{i}+[g(t+\Delta t)-g(t)] \mathbf{j}+[h(t+\Delta t)-h(t)] \mathbf{k} } \end{aligned} \]</p>가 된다. 이제 \( \triangle t \) 를 0 에 접근시켜 보자. 극한의 정의에 따라서 우리는<p>\[ \begin{aligned} \lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t} &=\left[\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}\right] \mathbf{i}+\left[\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{g(t+\Delta t)-g(t)}{\Delta t}\right] \mathbf{j} \\ &=+\left[\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{h(t+\Delta t)-h(t)}{\Delta t}\right] \mathbf{k} \\ &=\left(\frac{d f}{d t}\right) \mathbf{i}+\left(\frac{d g}{d t}\right) \mathbf{j}+\left(\frac{d h}{d t}\right) \mathbf{k} \end{aligned} \]</p>을 얻는다.</p> <p>벡터함수의 도함수의 정의</p><p>\( f, g, h \) 가 \( t \) 에 대하여 미분가능한 함수라 하면 벡터함수는 도함수를 갖고, 또는 \( t \) 에서 미분가능하고, 도함수는 벡터함수<p>\[ \mathbf{r}^{\prime}(t)=\frac{d \mathbf{r}}{d t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\mathbf{r}(t+\Delta t)-\mathbf{r}(t)}{d t}=\frac{d f}{d t} \mathbf{i}+\frac{d g}{d t} \mathbf{j}+\frac{d h}{d t} \mathbf{k} \]</p>이다. 이를 \( \mathrm{r}(t) \) 의 접선벡터(tangent vector)라 한다. 그림 \( 2.14 \) 을 참고하자.</p><p>정의역에 있는 모든 \( t \) 에 대하여 미분가능한 벡터함수는 미분가능하다고 하고, \( \frac{d \mathrm{r}}{d t} \) 가 연속이고 0 이 아니면 이 벡터함수는 매끄럽다(smooth)고 한다.</p><p>벡터함수의 미분법</p><p>벡터함수 \( \mathrm{r}(t), \mathrm{r}_{1}(t), \mathrm{r}_{2}(t) \)과 스칼라 함수 \( f(t) \)가 \( t \) 에 대하여 미분가능하다고 하고, \( c \) 를 상수라하자. 그러면<ol type=1 start=1><li>합의 법칙 \( \quad \quad \quad\frac{d}{d f}\left[\mathbf{r}_{1}(t)+\mathbf{r}_{2}(t)\right]=\mathbf{r}_{1}^{\prime}(t)+\mathbf{r}_{2}^{\prime}(t) \)</li><li>스칼라곱의 법칙 \( \quad\frac{d}{d t}[c \mathbf{r}(t)]=c \mathbf{r}^{\prime}(t), \quad \frac{d}{d t}[f(t) \mathbf{r}(t)]=f^{\prime}(t) \mathbf{r}(t)+f(t) \mathbf{r}^{\prime}(t) \)</li><li>내적의 법칙 \( \quad ~~\quad \frac{d}{d t}\left[\mathbf{r}_{1}(t) \cdot \mathbf{r}_{2}(t)\right]=\mathbf{r}_{1}^{\prime}(t) \cdot \mathbf{r}_{2}(t)+\mathbf{r}_{1}(t) \cdot \mathbf{r}_{2}^{\prime}(t) \)</li><li>벡터곱의법칙 \( \quad \quad \frac{d}{d f}\left[\mathbf{r}_{1}(t) \times \mathbf{r}_{2}(t)\right]=\mathbf{r}_{1}^{\prime}(t) \times \mathbf{r}_{2}(t)+\mathbf{r}_{1}(t) \times \mathbf{r}_{2}^{\prime}(t) \)</li><li>연쇄법칙 \( \quad \quad \quad ~~\frac{d}{d t}[\mathbf{r}(f(t))]=f^{\prime}(t) \mathbf{r}^{\prime}(f(t)) \)</p></li></ol>이 성립한다.</p><p>이들 중에서 몇 개만 증명하자. 먼저 내적의 법칙을 증명하자. \( \mathbf{r}_{1}(t)=f_{1}(t) \mathbf{i}+g_{1}(t) \mathbf{j}+ \) \( h_{1}(t) \mathbf{k}, \mathbf{r}_{2}(t)=f_{2}(t) \mathbf{i}+g_{2}(t) \mathbf{j}+h_{2}(t) \mathbf{k} \) 라 하자. 그러면<p>\[ \mathbf{r}_{1}(t) \cdot \mathbf{r}_{2}(t)=f_{1}(t) f_{2}(t)+g_{1}(t) g_{2}(t)+h_{1}(t) h_{2}(t) \]</p>가 된다. 일변수 함수의 미분법 곱의법칙을 이용하면<p>\[ \begin{aligned} \frac{d}{d t}\left[\mathbf{r}_{1}(t) \cdot \mathbf{r}_{2}(t)\right]=& {\left[f_{1}^{\prime}(t) f_{2}(t)+f_{1}(t) f_{2}^{\prime}(t)\right]+\left[g_{1}^{\prime}(t) g_{2}(t)+g_{1}(t) g_{2}^{\prime}(t)\right] } \\ & \quad+\left[h_{1}^{\prime}(t) h_{2}(t)+h_{1}(t) h_{2}^{\prime}(t)\right] \\ =& {\left[f_{1}^{\prime}(t) \mathbf{i}+g_{1}^{\prime}(t) \mathbf{j}+h^{\prime}(t){ }_{1} \mathbf{k}\right] \cdot\left[f_{1}(t) \mathbf{i}+g_{1}(t) \mathbf{j}+h(t)_{1} \mathbf{k}\right] } \\ & \quad+\left[f_{2}^{\prime}(t) \mathbf{i}+g_{2}^{\prime}(t) \mathbf{j}+h_{2}^{\prime}(t) \mathbf{k}\right] \cdot\left[f_{2}(t) \mathbf{i}+g_{2}(t) \mathbf{j}+h_{2}(t) \mathbf{k}\right] \\ =& \mathbf{r}_{1}^{\prime}(t) \cdot \mathbf{r}_{2}(t)+\mathbf{r}_{1}(t) \cdot \mathbf{r}_{2}^{\prime}(t) \end{aligned}\]</p>이 된다. 다음으로 연쇄법칙을 증명하자. \( s=f(t) \)라 두면, \( \mathbf{r}(f(t))=\mathrm{r}(s) \)가 된다. 이제 \( \mathbf{r}(s)=a(s) \mathbf{i}+b(s) \mathbf{j}+c(s) \mathbf{k} \) 라 하면,<p>\[ \begin{aligned} \frac{d}{d t} \mathbf{r}(s) &=\frac{d a}{d t} \mathbf{i}+\frac{d b}{d t} \mathbf{j}+\frac{d c}{d t} \mathbf{k} \\ &=\frac{d a}{d s} \frac{d s}{d t} \mathbf{i}+\frac{d b}{d s} \frac{d s}{d t} \mathbf{j}+\frac{d c}{d s} \frac{d s}{d t} \mathbf{k} \\ &=\left(\frac{d a}{d s} \mathbf{i}+\frac{d b}{d s} \mathbf{j}+\frac{d c}{d s} \mathbf{k}\right) \frac{d s}{d t} \\ & \frac{d \mathbf{r}(s)}{d s} \frac{d s}{d t} \\ & f^{\prime}(t) \mathbf{r}^{\prime}(f(t)) \end{aligned} \]</p>이 된다.</p> <h1>2 선과 곡면</h1><p>이 장에서는 삼차원 공간의 곡면에 대하여 다루고, 또한 공간 곡선에 대하여 간단하게 다루고자 한다.</p><h2>1 실린더와 이차곡면</h2><h3>(1) 실린더</h3><p>실린더(cylinder)란 공간에서 주어진 곡선을 따라서 한 직선을 평행으로 움직임으로 나타나는 곡면을 말한다. 원기둥이 실린더의 한 예가 된다.</p><p>예제 1 포물 실린더 \( z=x^{2} \) 를 그려라.</p><p>풀이 이 식의 그래프는 식에 \( y \) 의 값이 없기 때문에 \( x z \)-평면 위에 포물선 \( z=x^{2} \) 을 따라 \( y \)-축과 나란한 직선을 움직일 때 나타나는 실린더가 된다. 이 곡면은 손으로도 쉽게 그릴 수 있다. 여기서는 CAS능력을 지넌 Maple의 도움을 받기로 하자.</p><p>먼저 Maple의 창에 다음과 같이 명령어를 작성하면, 간단하게 원하는 그래프를 그림 2.1과 같이 얻게 된다.</p><p>\( \left[>\operatorname{plot} 3 \mathrm{~d}\left(\left\{\mathrm{x}^{\wedge} 2\right\}, \mathrm{x}=-2 . .2, \mathrm{y}=-2 . .2\right);\right. \)</p><p>이 예제에서 보는 것과 같이 \( x y \)-평면에 \( f(x, y)=0 \) 과 같이 주어진 곡선에 대하여 \( z \)-축과 나란한 직선을 곡선 \( f(x, y)=0 \) 을 따라 움직임으로 우리는 공간 위에 실린더를 얻을 수 있다. 예를 들면, \( x^{2}+y^{2}=1 \) 은 \( x y \)-평면에서 반지름이 1 인 원을 나타내지만, 공간에서는 이 곡선을 지나고 \( z \)-축과 나란한 원기둥이 되는 것을 알 수 있다. 방정식 \( g(y, z)=0 \) 과 \( h(x, z)=0 \) 로 나타나는 실린더도 비슷한 방법으로 그릴 수 있다.</p><h3>(2) 이차곡면</h3><p>이 절에서는 타원, 쌍곡선, 포물선과 대응되는 삼차원 곡면인 이차곡면에 대하여 알아보자.</p><p>이차곡면(quadratic surfaces)이란 이차방정식<p>\[A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}+D x y+E y z+F x z+G x+H y+J z+K=0\]</p>으로 나타내는 공간 위의 곡면을 말한다. 이차곡면으로는 타원면(ellipsoids),포물면(paraboloids), 타원뿔(elliptical cones), 쌍곡면(hyperboloids) 등이 있다. 이들 곡면을 그리기 위헤서는 각 좌표축과 수직인 평면으로 곡면을 자를 때 나타나는 단면(cross section)을 이용하여 개락직으로 그릴 수 있다. 그러나 컴퓨터를 이용하면 보다 간단하게 곡면을 얻을 수 있다.</p><p>예제 2 타원 면(ellipsoids)<p>\[ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \]</p>을 그려보아라.</p><p>풀이 먼저 이 식으로 부터 각 좌표축과 만나는 절편은 각각 \( (a, 0,0),(0, b, 0) \), \( (0,0, c) \) 가 됨을 알 수 있다. 또한<p>\[ \frac{x^{2}}{a^{2}} \leq 1, \quad \frac{y^{2}}{b^{2}} \leq 1, \quad \frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1 \]</p>이어야 함으로 우리는 \( \|x\| \leq\|a\|,\|y\| \leq\|b\|,\|z\| \leq\|c\| \) 를 얻는다. 또한 각 좌표축과 수직인 평면으로 자를 때 나타나는 단면은 타원이 된다는 것을 알 수 있다. 예를 들어, \( z= \) 상수인 평면으로 자르게 되면 단면의 식은 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=k, k= \) 상수가 된다. 이것은 타원을 나타낸다.</p><p>다음의 Maplet을 이용하면 \( a, b, c \) 의 값을 선택하여 타원면과 각 축에 대한 단면등 여러가지를 알아볼 수 있다. 아래 그림은 \( a=1, b=2, c=1 \) 일 때의 그래프이다.</p> <p>예제 6 이엽 쌍곡면(hyperboloids of two sheets)<p>\[ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1 \]</p>을 그려보아라.</p><p>풀이 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \geq 0 \) 이기 때문에 \( \frac{z^{2}}{c^{2}}-1 \geq 0 \), 즉 \( \|z\| \geq c \) 이어야 한다. \( \|z\| \geq c \) 일 때, \( z \)-좌표축과 수직인 평면으로 자를 때 나타나는 단면은 타원이 된다는 것을 알 수 있고, \( x \)-좌표축이나 \( y \)-좌표축과 수직인 평면으로 자를 때는 쌍곡선이 나타난다. 예를 들어, \( x=0 \) 인 평면으로 자르게 되면 단면의 식은 쌍곡선 \( \frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1 \) 이 되고, \( y=0 \) 인 평면으로 자르게 되면 단면의 식은 쌍곡선 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1 \) 이 된다.</p><p>다음 그림은 Maplet을 이용하여 \( a=2, b=2, c=5 \) 일 때의 이엽 쌍곡면의 그래프이다.</p><p>예제 7 쌍곡 포물면(hyperbolic paraboloids)<p>\[ \frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=\frac{z}{c} \quad c>0 \]</p>을 그려보아라.</p><p>풀이 \( x=0 \) 인 평면으로 자르게 되면 단면의 식은 포물선 \( z=\frac{c}{b^{2}} y^{2} \) 이 되고, \( y=0 \) 인 평면으로 자르게 되면 단면의 식은 포물선 \( z=-\frac{c}{a^{2}} x^{2} \) 이 된다. \( z>0 \) 일 때 \( z \)-좌표축과 수직인 평면으로 자를 때 나타나는 단면은 쌍곡선이 \( z<0 \) 일 때 \( z \)-좌표축과 수직인 평면으로 자를 때 나타나는 단면은 \( z>0 \) 일 때와 다른 축으로 놓이는 쌍곡선이 된다는 것을 알 수 있다. 이 곡면은 손으로 그리기가 매우 어려우며 그래픽을 다룰 수 있는 소프트웨어의 도움으로 간단히 그릴 수 있다. 다음 그림은 \( a=1, b=2, c=2 \) 일 때의 쌍곡 포물 면이다.</p> <p>예제 22 원형나선 \( (\cos t, \sin t, t) \) 의 곡률과 단위법선벡터를 찾아라.</p><p>풀이 우리는 예제 19 로부터<p>\[ \mathbf{v}=-(\sin t) \mathbf{i}+\cos t \mathbf{j}+\mathbf{k} \]</p>이고, \( \|\mathbf{v}\|=\sqrt{\left.\sin ^{2} t\right)+\cos ^{2} t+1}=\sqrt{2} \) 가 되므로<p>\[ \begin{aligned} \mathbf{T} &=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} \\ &=-\frac{\sin t}{\sqrt{2}} \mathbf{i}+\frac{\cos t}{\sqrt{2}} \mathbf{j}+\frac{1}{\sqrt{2}} \mathbf{k} \end{aligned} \]</p>가 된다. 따라서 곡률은<p>\[ \begin{aligned} \frac{1}{\|\mathbf{v}\|}\left\|\frac{d \mathbf{T}}{d t}\right\| &=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left\|-\frac{\cos t}{\sqrt{2}} \mathbf{i}-\frac{\sin t}{\sqrt{2}} \mathrm{j}\right\| \\ &=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\sqrt{\frac{\cos ^{2} t}{2}+\frac{\sin ^{2} t}{2}}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{2} \end{aligned} \]</p>가 된다. 또한 단위법선벡터는<p>\[ \begin{aligned} \mathbf{N} &=\frac{d \mathbf{T} / d t}{\|d \mathbf{T} / d t\|}=\sqrt{2}\left(-\frac{\cos t}{\sqrt{2}} \mathbf{i}-\frac{\sin t}{\sqrt{2}} \mathbf{j}\right) \\ &=-(\cos t) \mathbf{i}-(\sin t) \mathbf{j} \end{aligned} \]</p>가 된다.	해석학	[ "<p>예제 3 타원 포물면(elliptic paraboloids)<p>\\[ \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=\\frac{z}{c} \\]</p>을 그려보아라.", "</p><p>풀이 \\( c>0 \\) 일 때, \\( z \\)-좌표축과 수직인 평면 \\( (z \\geq 0) \\) 으로 자를 때 나타나는 단면은 타원이 된다는 것을 알 수 있고, \\( x \\)-좌표축이나 \\( y \\)-좌표축과 수직인 평면으로 자를 때는 포물선이 나타난다.", "예를 들어, \\( x=k, k \\) 상수인 평면으로 자르게 되면 단면의 식은 포물선 \\( k_{1} x^{2}+k_{2}=z \\) ( \\( k_{1} \\) 과 \\( k_{2} \\) 는 상수 \\( ) \\) 이 된다.", "또한 원점이 유일한 절편이다.", "</p><p>Maple의 명령어 implicitplot3d을 이용하면 이차곡면의 그래프를 쉽게 그릴 수 있다.", "위 그림 2.3은 \\( a=1, b=2, c=2 \\) 일 때의 타원 포물면이고, 이는 다음과 같이 얻어진다.", "</p><p>\\( [>\\) with(plots):</p><p>\\( \\left[>\\right. \\)", "implicitplot3d \\( \\left(\\mathrm{x}^{\\wedge} 2+\\mathrm{y}^{\\wedge} 2 / 4=\\mathrm{z} / 2, \\mathrm{x}=-2 . .2, \\mathrm{y}=-2 . .2, \\mathrm{z}=-2 . .2\\right. \\)", ", grid \\( \\left.=[15,15,15]", "\\right) \\);</p><p>에제 4 타원뿔 (elliptic cones)<p>\\[ \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=\\frac{z^{2}}{c^{2}} \\]</p>을 그려보아라.", "</p><p>풀이 \\( z \\)-좌표축과 수직인 평면으로 자를 때 나타나는 단면은 타원이 된다는 것을 알 수 있으며, \\( x=0 \\) 인 평면으로 자르게 되면 단면의 식이 직선 \\( \\frac{y^{2}}{b^{2}}-\\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1 \\) 이 되고, \\( y=0 \\) 인 평면으로 자르게 되면 단면의 식은 직선 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1 \\) 이 된다.", "또한 \\( z=0 \\)인 평면은 원점 \\( (0,0,0) \\) 에서 만난다.", "다음 그림은 Maplet을 이용하여 \\( a=1 \\), \\( b=2, c=1 \\) 일 때의 타원뿔의 그래프이다.", "</p><p>예제 5 일엽 쌍곡면(hyperboloids of one sheet)<p>\\[ \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}-\\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \\]</p>을 그려보아라.", "</p><p>풀이 \\( z \\)-좌표축과 수직인 평면으로 자를 때 나타나는 단면은 타원이 된다는 것을 알 수 있고, \\( x \\)-좌표축이나 \\( y \\)-좌표축과 수직인 평면으로 자를 때는 쌍곡선이 나타난다.", "예를 들어, \\( x=0 \\)인 평면으로 자르게 되면 단면의 식은 쌍곡선 \\( \\frac{y^{2}}{b^{2}}-\\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \\) 이 되고, \\( y=0 \\) 인 평면으로 자르게 되면 단면의 식은 쌍곡선 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \\) 이 된다.", "</p><p>다음 그림은 Maplet을 이용하여 \\( a=3, b=2, c=4 \\) 일 때의 일엽 쌍곡면의 그래프이다.", "</p> <p>예제 16 크기가 일정한 벡터함수 \\( \\mathrm{r}(t) \\) 는 모든 \\( t \\) 에 대하여 \\( \\mathrm{r}(t) \\) 와 \\( \\mathrm{r}^{\\prime}(t) \\) 은 서로 수직임을 보여라.", "</p><p>풀이 \\( \|\\mathbf{r}(t)\| \\)이 상수이기 때문에 내적 \\( (\\mathbf{r}(t), \\mathbf{r}(t))=\|\\mathbf{r}(t)\|^{2} \\)도 상수가 된다.", "미분법에 의하여 양변을 \\( t \\) 에 대하여 미분하면<p>\\[ 0=\\frac{d}{d t}[\\mathbf{r}(t) \\cdot \\mathbf{r}(t)]=\\mathbf{r}^{\\prime}(t) \\cdot \\mathbf{r}(t)+\\mathbf{r}(t) \\cdot \\mathbf{r}^{\\prime}(t)=2 \\mathbf{r}(t) \\cdot \\mathbf{r}(t) \\]</p>이 된다.", "따라서 \\( \\mathbf{r}(t) \\cdot \\mathbf{r}(t)=0 \\) 즉, \\( \\mathbf{r}(t) \\)와 \\( \\mathbf{r}^{\\prime}(t) \\)은 서로 수직이다.", "</p><p>그림 그림 2.14에서 보듯이 물리적으로 곡선 \\( \\mathrm{r}(t) \\)를 따라서 움직이는 물체를 생각하자.", "물체가 \\( t \\)에서 \\( t+\\Delta t \\)로 움직일 때 위치는 \\( \\mathrm{r}(t) \\)에서 \\( \\mathrm{r}(t+\\Delta t) \\)로 변하게 된다.", "따라서 물체의 속도는 변한 위치의 거리의 변화량을 변화된 시간으로 나눈 값이기 때문에 \\( \\frac{\\mathrm{r}(t+\\Delta t)-\\mathrm{r}(t)}{\\Delta t} \\)이 된다. \\", "( \\triangle t \\)은 스칼라이기 때문에 속도는 벡터 \\( \\mathbf{r}(t+\\Delta t)-\\mathrm{r}(t) \\)와 같은 방향임을 알 수 있다.", "벡터함수 \\( \\mathrm{r}(t) \\)가 부드러우면, 속도는 영이 되지 않는 것을 알 수 있다.", "즉, 물체는 정지하거나 방향을 바꾸지 않는다.", "</p><p>속도, 방향, 속력, 가속도</p><p>물체가 공간위에서 부드러운 곡선 \\( \\mathbf{r}(t) \\) 를 따라서 움직인다고 하자.", "<p>\\[ \\mathbf{v}(t)=\\frac{d \\mathbf{r}}{d t} \\]</p>를 그 물체의 속도(velocity)라 한다.", "시간 \\( t \\)에서 벡터 \\( \\mathbf{v}(t) \\)의 방향을 물체의 방향(direction)이라하고, 벡터 \\( \\mathbf{v}(t) \\)의 크기를 속력(speed)이라 하며, 벡터 \\( \\mathbf{v}(t) \\)의 도함수가 존재하면 이를 물체의 가속도 벡터(acceleration)라 하고 \\( \\mathrm{a}(t) \\)로 쓴다.", "이를 정리하면<p>\\[ \\mathbf{v}(t)=\\frac{d \\mathbf{r}}{d t}, \\quad \\text { 속력 }=\|\\mathbf{v}(t)\|, \\quad \\mathbf{a}(t)=\\frac{d \\mathbf{v}}{d t}=\\frac{d^{2} \\mathbf{r}}{d t^{2}}, \\quad \\text { 물체의 방향 }=\\frac{\\mathbf{v}(t)}{\|\\mathbf{v}(t)\|} \\]</p>이다.", "</p><p>예제 17 원형나선(circular helix) \\( (\\cos t, \\sin t, t) \\) 을 따라 움직이는 물체에 대하여 속도, 가속도, 속력, 그리고 \\( t=\\pi / 4 \\) 에서 접선의 방정식을 구하라.", "</p><p>풀이 우선 물체의 위치벡터를 \\( \\mathrm{r}(t)=\\cos t \\mathbf{i}+\\sin t \\mathbf{j}+t \\mathbf{k} \\) 라 하자.", "그러면 속도는 \\( \\mathbf{r}^{\\prime}(t)=-\\sin t \\mathbf{i}+\\cos t \\mathbf{j}+\\mathbf{k} \\) 이고, 가속도는 \\( \\mathbf{r}^{\\prime \\prime}(t)=-(\\cos t) \\mathbf{i}-(\\sin t) \\mathbf{j} \\) 가 된다.", "속력은 속도의 크기이므로<p>\\[ v=\\left\|\\mathbf{r}^{\\prime}(t)\\right\|=\\sqrt{(-\\sin t)^{2}+(\\cos t)^{2}+1^{2}}=\\sqrt{2} \\]</p>가 된다.", "마지막으로 접선의 매개방정식은 주어진 점이<p>\\[ \\left.\\mathrm{r}(t)\\right\|_{t=\\pi / 4}=\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}, \\frac{\\sqrt{2}}{2}, \\frac{\\pi}{4}\\right) \\]", "</p>이고 방향은 \\( t=\\pi / 4 \\) 에서의 속도 \\( \\mathbf{r}^{\\prime}(t)=(-\\sqrt{2} / 2,+\\sqrt{2} / 2,1) \\) 인 것을 이용하면, \\( x= \\) \\( \\sqrt{2} / 2-(\\sqrt{2} / 2) t, y=\\sqrt{2} / 2+(\\sqrt{2} / 2) t, z=\\pi / 4+t \\) 가 된다.", "다른 방법으로는 접선의 벡터방정식을 이용할 수 있다.", "즉<p>\\[ \\mathbf{r}(\\pi / 4)+\\operatorname{tr}^{\\prime}(\\pi / 4)=\\frac{1-t}{\\sqrt{2}} \\mathbf{i}+\\frac{1+t}{\\sqrt{2}} \\mathbf{j}+(\\pi / 4+t) \\mathbf{k}.\\]", "</p></p> <h2>4 호의 길이와 곡률</h2><p>이 절에서는 곡선의 호의 길이를 구하는 방법과 곡선의 곡률에 대하여 다룬다.", "</p><h3>(1) 호의 길이</h3><p>먼저 벡터함수의 부정적분과 정적분에 대하여 정의하자.", "</p><p>벡터함수의 부정적분과 정적분<p><p>\\( \\frac{d \\mathbf{R}(t)}{d t}=\\mathrm{r}(t) \\)가 되는 벡터함수 \\( \\mathbf{R}(t) \\)을 \\( \\mathrm{r}(t) \\)의 부정적분(antiderivative)라 한다.", "이를<p>\\[ \\int \\mathbf{r}(t) d t=\\mathbf{R}(t)+\\mathbf{C} \\]</p>로 표시한다.", "여기서 \\( \\mathrm{C} \\) 는 상수벡터이다.", "</p><p>\\( \\mathbf{r}(t)=f(t) \\mathbf{i}+g(t) \\mathbf{j}+h(t) \\mathbf{k} \\)이라 하고, 각 성분 \\( f, g, h \\)가 구간 \\( [a, b] \\)에서 적분가능하다고 하면, \\( \\mathrm{r}(t) \\)도 적분가능하고, \\( a \\)로 부터 \\( b \\)까지의 \\( \\mathrm{r} \\)의 정적분은 다음과 같다.", "</p><p>\\[ \\int_{a}^{b} \\mathbf{r}(t) d t=\\left(\\int_{a}^{b} f(t) d t\\right) \\mathbf{i}+\\left(\\int_{a}^{b} g(t) d t\\right) \\mathbf{j}+\\left(\\int_{a}^{b} h(t) d t\\right) \\mathbf{k} \\]</p><p>우리는 일변수 미분적분학에서 매개방정식으로 주어진 곡선의 길이에 대한 공식을 알고 있다. \\", "( f(t) \\)와 \\( g(t) \\)가 구간 \\( [a, b] \\)에서 적분가능하고, 곡선을 매개방정식의 표현이 \\( (x, y)=(f(t), g(t)) \\)라 하면 \\( t=a \\)로 부터 \\( t=b \\)까지의 곡선의 길이 \\( \\mathbf{L} \\)은<p>\\[ \\mathbf{L}=\\int_{a}^{b} \\sqrt{\\left(f^{\\prime}(t)\\right)^{2}+\\left(\\left(g^{\\prime}(t)\\right)^{2}\\right.} d t=\\int_{a}^{b} \\sqrt{\\left(\\frac{d}{d t} f(t)\\right)^{2}+\\left(\\frac{d}{d t} g(t)\\right)^{2}} d t \\]</p>이다.", "같은 방법으로 삼차원 곡선의 경우를 다룰 수 있다.", "</p><p>호의 길이</p><p>\\( (x, y, z)=(f(t), g(t), h(t)) \\)이 삼차원 곡선의 매개방정식 표현이라 하고, \\( f(t), g(t) \\), \\( h(t) \\)가 구간 \\( [a, b] \\)에서 적분가능할 때 \\( t=a \\)로 부터 \\( t=b \\)까지의 곡선의 길이 \\( \\mathbf{L} \\)은 다음과 같다.", "</p><p>\\[ \\begin{aligned} \\mathbf{L} &=\\int_{a}^{b} \\sqrt{\\left(f^{\\prime}(t)\\right)^{2}+\\left(\\left(g^{\\prime}(t)\\right)^{2}+\\left(\\left(h^{\\prime}(t)\\right)^{2}\\right.\\", "right.} d t \\\\ &=\\int_{a}^{b} \\sqrt{\\left(\\frac{d}{d t} f(t)\\right)^{2}+\\left(\\frac{d}{d t} g(t)\\right)^{2}+\\left(\\frac{d}{d t} h(t)\\right)^{2}} d t . \\\\ &=\\", "int_{a}^{b}\\left\|\\mathbf{r}^{\\prime}(t)\\right\| d t \\\\ &=\\int_{a}^{b}\|\\mathbf{v}(t)\| d t \\end{aligned} \\]</p><p>곡선위의 주어진 점 \\( P_{0}\\left(t_{0}\\right) \\)으로 부터 곡선위의 임의의 점 \\( P(t)=(x(t), y(t), z(t)) \\)까지의 호의 길이를<p>\\[ s(t)=\\int_{t_{0}}^{t}\|\\mathbf{v}(\\tau)\| d \\tau \\]</p>로 나타내고, 이 때 \\( s \\)를 곡선의 호의 길이된 매개변수라 한다.", "또한 미분적분학의 기본정리에 의하여<p>\\[ \\frac{d s}{d t}=\|\\mathbf{v}(t)\| \\]</p>이 된다.", "</p> <h3>(2) 곡선의 곡률</h3><p>부드러운 곡선 \\( \\mathbf{r}(t) \\)를 따라서 움직이는 물체의 속도는 \\( \\mathbf{v}(t)=\\frac{d \\mathbf{r}}{d t} \\)이고 이 벡터는 이 곡선의 접선 벡터가 되는 것을 알고 있다.", "또한 벡터<p>\\[ \\mathbf{T}=\\frac{\\mathbf{v}}{\|\\mathbf{v}\|} \\]</p>은 단위벡터가 된다.", "역함수의 도함수에 의하여<p>\\[ \\frac{d t}{d s}=\\frac{1}{d s / d t}=\\frac{1}{\|\\mathbf{v}\|} \\]</p>가 됨으로 \\( \\mathrm{r} \\)은 \\( s \\)에 대하여 미분가능하게 되고, 연쇄법칙에 의하여<p>\\[ \\frac{d \\mathbf{r}}{d s}=\\frac{d \\mathbf{r}}{d t} \\frac{d t}{d s}=\\mathbf{v} \\frac{1}{\|\\mathbf{v}\|}=\\frac{\\mathbf{v}}{\|\\mathbf{v}\|}=\\mathbf{T} \\]</p>가 된다.", "즉, \\( \\mathrm{dr} / d s \\)는 \\( \\mathrm{v} \\)방향의 단위벡터가 된다.", "</p><p>단위 접선벡터(unit tangent vector)의 정의</p><p>부드러운 곡선 \\( \\mathrm{r}(t) \\) 의 단위 접선벡터는<p>\\[ \\mathbf{T}=\\frac{d \\mathbf{r}}{d s}=\\frac{d \\mathbf{r}}{d t} / \\frac{d s}{d t}=\\frac{\\mathbf{v}}{\|\\mathbf{v}\|} \\]</p>이다.", "</p><p>예제 21 곡선 \\( \\mathrm{r}(t)=(3 \\cos t) \\mathbf{i}+(3 \\sin t) \\mathbf{j}+t^{2} \\mathbf{k} \\)의 단위접선벡터를 찾아라.", "</p><p>풀이 \\( \\mathbf{v}=\\frac{d \\mathbf{r}}{d t}=-(3 \\sin t) \\mathbf{i}+(3 \\cos t) \\mathbf{j}+2 t \\mathbf{k} \\)이고, \\( \|\\mathbf{v}\|=\\sqrt{9+4 t^{2}} \\)이므로<p>\\[ \\mathbf{T}=\\frac{\\mathbf{v}}{\|\\mathbf{v}\|}=-\\frac{3 \\sin t}{\\sqrt{9+4 t^{2}}} \\mathbf{i}+\\frac{3 \\cos t}{\\sqrt{9+4 t^{2}}} \\mathrm{j} \\frac{2 t}{\\sqrt{9+4 t^{2}}}+2 t \\mathbf{k} \\]</p>가 된다.", "</p></p>곡선을 따라서 단위 길이당 \\( \\mathbf{T} \\)가 변화하는 비율을 그 곡선의 곡률이라 한다.", "</p><p>곡률의 정의</p><p>부드러운 곡선 \\( \\mathrm{r}(t) \\)의 단위 접선벡터를 \\( \\mathrm{T} \\)라 할 때, 그 곡선의 곡률(curvature)함수는<p>\\[ \\kappa=\\left\|\\frac{d \\mathbf{T}}{d s}\\right\| \\]</p>이다.", "여기서 \\( \\kappa \\)는 \"kappa\"라 불리는 그리스 문자이다.", "또한 \\( \\kappa \\neq 0 \\)일 때,<p>\\[ \\mathbf{N}=\\frac{1}{\\kappa} \\frac{d \\mathbf{T}}{d s} \\]</p>를 단위 법선벡터(unit normal vector)라 한다.", "</p><p>우리는 여기서 \\( \\kappa=\|d \\mathbf{T} / d s\| \\)가 커진다는 것은 곡선이 매우 가파르게 돌고, 0 에 가까와진다는 것은 곡선은 매우 천천히 돈다는 것을 알 수 있다.", "실제로 주어진 곡선 \\( \\mathrm{r}(t) \\)로 부터 곡률을 직접 구하기는 어럽기 때문에 우리는 보다 계산이 편리한 식이 필요하다.", "<p>\\[ \\begin{aligned} \\kappa &=\\left\|\\frac{d \\mathbf{T}}{d s}\\right\|=\\left\|\\frac{d \\mathbf{T}}{d t} \\frac{d t}{d s}\\right\| \\\\ &=\\frac{1}{\|d s / d t\|}\\left\|\\frac{d \\mathbf{T}}{d t}\\right\| \\\\ &=\\frac{1}{\|\\mathbf{v}\|}\\left\|\\frac{d \\mathbf{T}}{d t}\\right\| \\end{aligned} \\]</p>이므로 우리는 이 식을 이용하여 곡률 \\( \\kappa \\)를 계산할 수 있다.", "또한 단위 법선벡터는<p>\\[ \\begin{aligned} \\mathbf{N} &==\\frac{1}{\\kappa} \\frac{d \\mathbf{T}}{d s}=\\frac{d \\mathbf{T} / d s}{\|d \\mathbf{T} / d s\|} \\\\ &=\\frac{(d \\mathbf{T} / d t)(d t / d s)}{\|d \\mathbf{T} / d t\|\|d t / d s\|} \\\\ &=\\frac{d \\mathbf{T} / d t}{\|d \\mathbf{T} / d t\|} \\end{aligned} \\]</p>가 된다.", "</p> <h2>3 공간 곡선</h2><p>이 절에서는 공간에서 곡선의 표현법과 곡선의 접선과 도함수를 다룬다.", "</p><p>먼저 공간 곡선을 다루기 전에 이차원 곡선을 먼저 살펴보자.", "이미 일변수 미분적분학에서 다루었듯이 이차원 곡선은 매개방정식으로 표현하는 것이 다루기 수월하다.", "즉, 곡선위의 점 \\( (x, y) \\) 을 매개변수 \\( t \\) 와 주어진 함수 \\( f(t) \\) 와 \\( g(t) \\) 를 이용하여 \\( (x, y)=(f(t), g(t)) \\) 로 나타낸다.", "이 곡선을 매개곡선(parametric curve)예를 들면, \\( 0 \\leq t \\leq 2 \\pi \\)일 때 점 \\( (2 \\sin t, \\cos t) \\)들은 \\( x \\)-축과 \\( y \\)-축 절편이 각각 1 과 2 가 되는 타원을 나타낸다.", "</p><p>삼차원 공간에서의 매개곡선은 이차원 곡선과 같이 주어진 \\( t \\) 의 구간에서 주어진 함수 \\( f(t), g(t), h(t) \\) 에 대하여 점 \\( (x, y, z)=(f(t), g(t), h(t)) \\) 들의 자취로 나타낸다.", "</p><p>예제 12 \\( 0 \\leq t \\leq 2 \\pi \\) 일 때, \\( (\\sin t, 2 \\cos t) \\) 의 자취는 어떤 곡선인가?", "</p><p>풀이 \\( x=\\sin t, y=2 \\cos t \\) 로 부터<p>\\[ \\sin ^{t}+\\cos ^{2} t=x^{2}+\\left(\\frac{y}{2}\\right)^{2}=1\\]</p>의 관계식을 얻는다.", "이것으로부터 \\( t \\) 가 0에서 \\( 2 \\pi \\)까지 움직일 때, 우리는 시계 방향으로 움직이는 타원을 얻을 수 있다.", "이 곡선은 Maple을 통해서 다음과 같이 그릴 수 있다.", "<p>\\( \\left[>\\operatorname{plot}\\left(\\left[\\sin (\\mathrm{t}), 2^{} \\cos (\\mathrm{t}), \\mathrm{t}=0 . .2^{} \\operatorname{Pi}\\right]\\right.\\right. \\)", ", scaling \\( = \\) constrained \\( ) \\);</p></p><p>예제 13 다음 매개곡선의 그래프를 그리고 곡선을 설명하라.", "</p><ol type=a start=1><li>\\( (x, y, z)=(3 t+2,8 t-1, t) \\).", "</li><li>\\( x=3 t^{3}+2, \\quad y=t^{3}-8, \\quad z=4 t^{3} \\)</li></ol><p>풀이 먼저 각 매개함수들의 특징을 살펴보자.", "</p><p><ol type=a start=1><li>\\( (x, y, z)=(3 t+2,8 t-1, t) \\) 의 경우는 각 변수가 \\( t \\) 의 일차함수이므로 직선의 매개방정식이다.", "따라서 그레프는 \\( (2,-1,0) \\) 을 지나는 직선이 됨을 알 수 있다.", "</li><li>\\( x=3 t^{3}+2, y=t^{3}-8, \\quad z=4 t^{3} \\) 의 경우에는 \\[ \\begin{aligned}(x, y, z) &=\\left(3 t^{3}+2, t^{3}-8,4 t^{3}\\right) \\\\ &=(2,-8,3)+t^{3}(3,1,4) \\end{aligned} \\]</li></ol>가 된다.", "이는 직선의 벡터방정식이므로 그래프는 직선이 된다.", "</p><p>예제 14 다음 매개곡선의 그래프를 그려라.", "<ol type=a start=1><li>\\( (x, y, z)=(\\cos t, 2 \\sin t, 2 t) \\)</li><li>\\( (x, y, z)=(t, 2 t, \\cos t) \\)</li></ol></p><p>풀이 먼저 각 매개함수들의 특징을 살펴보자.", "<ol type=a start=1><li>\\( x=\\cos t, y=2 \\sin t \\) 이므로 곡선을 \\( x y \\)-평면으로 사영시킨 곡선은 타원 \\( x^{2}+ \\) \\( (y / 2)^{2}=\\cos ^{2} t+\\sin ^{2} t=1 \\) 을 그리고, \\( z=2 t \\) 로부터 곡선은 \\( z \\)-축을 따라 점점 위로 올라가는 곡선이 된다.", "</li><li>\\( x=t, y=2 t \\) 로부터 곡선을 \\( x y \\)-평면으로 사영시킨 곡선은 직선 \\( y=2 x \\) 이 되며, \\( z \\)-축을 방향으로 \\( \\cos t \\) 곡선을 그린다.", "</li></ol></p><p>공간 곡선은 벡터 형태로 나타내는 것이 편리할 때가 있다.", "원점으로 부터 곡선위의 임의 점 \\( P(x, y, z)=(f(t), g(t), h(t) \\) 로의 벡터를<p>\\[ \\mathbf{r}(t)=\\overrightarrow{O P}=f(t) \\mathbf{i}+g(t) \\mathbf{j}+h(t) \\mathbf{k} \\]</p>로 나타내고 이를 위치벡터라 하고 \\( f(t), g(t), h(t) \\) 를 성분함수라고 한다.", "이와같이 치역이 이차원 이상의 공간의 부분집합인 함수를 일반적으로 벡터함수라고 말한다.", "벡터함수의 자세한 내용은 6 장에서 다루기로 한다.", "</p> <p>예제 19 \\( 0 \\leq t \\leq \\pi \\) 에 대하여 원형나선 \\( (\\cos t, \\sin t, t) \\)의 호의 길이를 구하라.", "</p><p>풀이 \\( f^{\\prime}(t)=-\\sin t, g^{\\prime}(t)=\\cos t, h^{\\prime}(t)=1 \\)이므로 구하고자 하는 값은<p>\\[ \\mathbf{L}=\\int_{0}^{\\pi} \\sqrt{\\sin ^{2} t+\\cos ^{2} t+1} d t=\\int_{0}^{\\pi} \\sqrt{2} /, d t=\\pi \\sqrt{2} \\]</p>이 된다.", "</p><p>예제 20 \\( 0 \\leq t \\leq 1 \\) 에 대하여 곡선 \\( \\left(e^{t}, t, e^{t}\\right) \\)의 호의 길이를 구하라.", "</p><p>풀이 \\( \\mathbf{r}(t)=\\left(e^{t}, t, e^{t}\\right) \\)라 하자.", "그러면 \\( \\mathbf{r}^{\\prime}(t)=\\mathbf{v}(t)=\\left(e^{t}, 1, e^{t}\\right) \\)가 된다.", "따라서 \\( \|\\mathbf{v}(t)\|= \\) \\( \\sqrt{1+2 e^{2 t}} \\)가 되고, 따라서<p>\\[ \\mathbf{L}=\\int_{0}^{1} \\sqrt{1+2 e^{2 t}} d t \\]</p>가 된다. \\", "( u=\\sqrt{1+2 e^{2 t}} \\) 라 하면,<p>\\[ \\begin{aligned} \\int \\sqrt{1+2 e^{2 t}} d t &=\\int u \\frac{u d u}{u^{2}-1} \\\\ &=\\int\\left[1+\\frac{1}{2}\\left(\\frac{1}{u-1}\\right)-\\frac{1}{2}\\left(\\frac{1}{u+1}\\right)\\right] d u \\\\ &=u+\\frac{1}{2} \\ln (u-1)-\\frac{1}{2} \\ln (u+1)+C \\\\ &=\\sqrt{1+2 e^{2 t}}+\\frac{1}{2} \\ln \\frac{\\sqrt{1+2 e^{2 t}}-1}{\\sqrt{1+2 e^{2 t}}+1}+C \\end{aligned} \\]</p>가 된다.", "여기서 두 번째 줄은 부분분수 분해법을 이용하였다.", "따라서 구하는 길이는<p>\\[ \\int_{0}^{1} \\sqrt{1+2 e^{2 t}} d t=\\sqrt{1+2 e^{2}}+\\frac{1}{2} \\ln \\frac{\\sqrt{1+2 e^{2}}-1}{\\sqrt{1+2 e^{2}}+1}-\\sqrt{3}-\\frac{1}{2} \\ln \\sqrt{3}-1 \\sqrt{3}+1 \\]</p>이 된다.", "</p> <h2>2 주면좌표계와 구면좌표계</h2><p>이 절에서는 삼차원 공간의 점을 나타내는 두 가지의 새로운 좌표계에 대하여 알아 본다.", "</p><p>주면좌표계</p><p>공간 위의 점 \\( (x, y, z) \\) 을 주면좌표계(cylinderical coordinates) \\( (r, \\theta, z) \\) 로 나타내면 다음과 같다.", "</p><p>\\[ x=r \\cos \\theta, \\quad y=r \\sin \\theta, \\quad z=z \\]</p>여기서 \\( (r, \\theta) \\) 는 평면위의 점 \\( (x, y) \\) 의 극좌표에 해당된다.", "그림 2.8 참고.", "직교좌표계와 주면좌표계 사이의 관계식은 다음과 같다.", "<p>\\[ x^{2}+y^{2}=r^{2}\\left(\\cos ^{2} \\theta+\\sin ^{2} \\theta\\right)=r^{2}, 따라서 r=\\pm \\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\]</p>또 한<p>\\[ \\frac{y}{x}=\\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}=\\tan \\theta \\]</p>가 된다.", "</p><p>주면좌표계에서 표현되는 대표적인 곡면은 \\( r=k, \\theta=k, z=k \\) ( \\( k \\) 는 임의의 상수)이며 이들은 각각 반지름이 \\( k \\) 인 원기둥, \\( z \\)-축을 포함하고 \\( z \\)-축으로 부터 뺃어 나가는 반평면, \\( x y \\)-평면과 평행한 평면이 된다.", "따라서 주면좌표계는 실린더 형태의 곡면을 다루는데 잘 적용이 된다.", "</p><p>예제 8 주면좌표계로 나타낸 식 \\( z=r \\) 의 곡면을 설명하라.", "</p><p>풀이 주면좌표계에서 \\( r^{2}=x^{2}+y^{2} \\) 이므로 양변을 제곱한 후에 이것을 대입하면<p>\\[ z^{2}=r^{2}=x^{2}+y^{2} \\]</p>이 된다. \\", "( r \\) 을 모든 실수라 하면 이 식은 \\( z=r \\) 과 동치이다.", "따라서 주어진 식은 원뿔을 나타낸다.", "Maple로 다음과 같이 확인할 수 있다.", "</p><p>예제 9 타원면 \\( 4 x^{2}+4 y^{2}+z^{2}=1 \\) 을 주면좌표계의 식으로 나타내어라.", "</p><p>풀이 주면좌표계에서 \\( r^{2}=x^{2}+y^{2} \\) 이므로 \\( 4 x^{2}+4 y^{2}=4 r^{2} \\) 이 된다.", "따라서 \\( 4 x^{2}+4 y^{2}+ \\) \\( z^{2}=4 r^{2}+z^{2}=1 \\) 또는 \\( z^{2}=1-4 r^{2} \\) 이 찾고자 하는 식이 된다.", "</p><p>구면좌표계</p><p>공간 위의 점 \\( (x, y, z) \\) 을 구면좌표계(spherical coordinates) \\( (\\rho, \\theta, \\phi) \\) 로 나타내면 다음과 같다.", "여기서<ul><li>\\(\\rho= \\) 점 \\( (x, y, z) \\) 과 원점과의 거리</li><li>\\( \\theta= \\) 주면좌표계의 \\( \\theta \\) 와 같다</li><li>\\( \\phi= \\) 양의 \\( z \\)-축과 원점에서 점 \\( (x, y, z) \\) 을 연결하는 직선 사이의 각</li></ul>이고, 이것으로 부터<p>\\[x=r \\cos \\theta=\\rho \\sin \\phi \\cos \\theta, \\quad y=r \\sin \\theta=\\rho \\sin \\phi \\sin \\theta, \\quad z=\\rho \\cos \\phi \\]</p>가 된다.", "그림 2.10 참고.", "직교좌표계와 주면좌표계 사이의 관계식은 다음과 같다.", "<p>\\[x^{2}+y^{2}+z^{2}=\\rho^{2}, \\quad \\rho=\\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \\quad \\frac{y}{x}=\\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}=\\tan \\theta, \\quad \\phi=\\cos ^{-1} \\frac{z}{\\sqrt{x^{2}+y^{2}+z}} .\\]", "</p></p><p>구면좌표계에서 표현되는 대표적인 곡면은 \\( \\rho=k, \\quad \\theta=k, \\phi=k(k= \\) 임의의 상수)이며 이들은 각각 반지름이 \\( k \\) 인 구(sphere), \\( z \\)-축을 포함하고 \\( z \\)-축으로부터 뺃어 나가는 반평면, \\( z \\)-축으로 부터 각이 \\( \\phi \\) 만큼 벌어진 원뿔이 된다.", "따라서 구면좌표계는 구나 원뿔 형태의 곡면을 다루는데 잘 적용이 된다.", "</p><p>예제 10 이엽쌍곡면 \\( x^{2}-y^{2}-z^{2}=1 \\) 을 구면좌표계의 식으로 나타내어라.", "</p><p>풀이 구면좌표계와 직교좌표계의 관계식으로부터<p>\\[ \\begin{aligned} \\rho^{2} \\sin ^{2} \\phi \\cos ^{2} \\theta-\\rho^{2} \\sin ^{2} \\phi \\sin ^{2} \\theta-\\rho^{2} \\cos ^{2} \\phi &=1 \\\\ \\rho^{2}\\left[\\sin ^{2} \\phi\\left(\\cos ^{2} \\theta-\\sin ^{2} \\theta\\right)-\\cos ^{2} \\phi\\right] &=1 \\\\ \\rho^{2}\\left(\\sin ^{2} \\phi \\cos 2 \\theta-\\cos ^{2} \\phi\\right) &=1 \\end{aligned} \\]</p>을 얻는다.", "</p><p>예제 11 구면좌표계로 나타낸 식 \\( \\rho=\\sin \\phi \\sin \\theta \\) 을 주직교좌표계의 식으로 나타네", "어라.", "</p><p>풀이 식의 양변에 \\( \\rho \\) 를 곱하면 \\( \\rho^{2}=\\rho \\sin \\phi \\sin \\theta \\) 가 된다.", "구면좌표계와 직교좌표계의 관계식으로부터 우리는 \\( x^{2}+y^{2}+z^{2}=y \\) 또는 \\( x^{2}+(y-1 / 2)^{2}+z^{2}=1 / 4 \\) 를 얻는다.", "</p> <p>벡터함수의 극한의 정의</p><p>\\( \\mathbf{r}(t)=f(t) \\mathbf{i}+g(t) \\mathbf{j}+h(t) \\mathbf{k} \\) 이 벡터함수이고 \\( \\mathbf{L} \\) 이 한 벡터라 하자.", "임의의 양수 \\( \\varepsilon \\) 에 대하여 대응하는 \\( \\delta>0 \\) 가 있어서<p>\\[0<\\left\|t-t_{0}\\right\|<\\delta \\text { 인 모든 } t \\text { 에 대하여 }\|\\mathbf{r}-\\mathbf{L}\|<\\varepsilon\\]</p>를 만족하면 \\( t \\) 가 \\( t_{0} \\) 에 가까이 갈 때 벡터함수 \\( \\mathbf{r}(t) \\) 가 극한값(limit) \\( \\mathbf{L} \\) 을 갖는다고 한다.", "이를<p>\\[ \\lim _{t \\rightarrow t_{0}} \\mathbf{r}(t)=\\mathbf{L} \\]</p>이라 쓴다.", "</p><p>여기서 \\( \\mathbf{L}=\\left(L_{1}, L_{2}, L_{3}\\right) \\) 라 하고\\[\\lim _{t \\rightarrow t_{0}} f(t)=L_{1}, \\quad \\lim _{t \\rightarrow t_{0}} g(t)=L_{2}, \\quad \\lim _{t \\rightarrow t_{0}} h(t)=L_{3}\\]</p>이면 \\( \\lim _{t \\rightarrow t_{0}} \\mathbf{r}(t)=\\mathbf{L} \\) 가 됨을 알 수 있다.", "이것은 실제로 계산할 때 편리하게 쓰인다.", "</p><p>예제 15 \\( t \\rightarrow \\pi / 2 \\) 인 때 벡터함수 \\( \\mathbf{r}(t)=\\sin t \\mathbf{i}+\\cos t \\mathbf{j}+t^{2} \\mathbf{k} \\) 의 극한값을 구하라.", "</p><p>풀이 벡터함수의 극한은 각 성분의 극한으로 구할 수 있으므로 극한값은 \\[ \\begin{aligned} \\lim _{t \\rightarrow \\pi / 2} \\mathbf{r}(t) &=\\left(\\lim _{t \\rightarrow \\pi / 2} \\sin t\\right) \\mathbf{i}+\\left(\\lim _{t \\rightarrow \\mathrm{\\pi} / 2} \\cos t\\right) \\mathbf{j}+\\left(\\lim _{t \\rightarrow \\mathrm{\\pi} / 2} t^{2}\\right) \\mathbf{k} \\\\ &=\\mathbf{i}+\\frac{\\pi^{2}}{4} \\mathbf{k} \\end{aligned} \\]</p>이 된다.", "</p><p>벡터함수의 연속의 정의</p><p>\\( \\lim _{t \\rightarrow t_{0}} \\mathrm{r}(t)=\\mathrm{r}\\left(t_{0}\\right) \\) 일 때, 벡터함수 \\( \\mathrm{r}(t) \\) 는 \\( t_{0} \\) 에서 연속이라고 한다.", "또한 벡터함수가 정의역에 있는 모든 \\( t \\) 에서 연속이면 연속이다(continous)고 한다.", "</p><p>벡터함수의 도함수와 속도</p><p>벡터함수 \\( \\mathbf{r}(t)=f(t) \\mathbf{i}+g(t) \\mathbf{j}+h(t) \\mathbf{k} \\) 에서 \\( f, g, h \\) 가 \\( t \\) 에 대하여 미분가능한 함수라 하자.", "또한<p>\\[\\Delta \\mathbf{r}=\\mathbf{r}(t+\\Delta t)-\\mathbf{r}(t) \\]</p>를 \\( t \\) 에서 \\( t+\\Delta t \\) 까지의 위치벡터 \\( \\mathrm{r}(t) \\) 의 차라고 하자.", "이를 성분으로 나타내면<p>\\[ \\begin{aligned} \\Delta \\mathbf{r}=& \\mathbf{r}(t+\\Delta t)-\\mathbf{r}(t) \\\\ =& {[f(t+\\Delta t) \\mathbf{i}+g(t+\\Delta t) \\mathbf{j}+h(t+\\Delta t) \\mathbf{k}] } \\\\ & \\quad-[f(t) \\mathbf{i}+g(t) \\mathbf{j}+h(t) \\mathbf{k}] \\\\ =& {[f(t+\\Delta t)-f(t)] \\mathbf{i}+[g(t+\\Delta t)-g(t)] \\mathbf{j}+[h(t+\\Delta t)-h(t)] \\mathbf{k} } \\end{aligned} \\]</p>가 된다.", "이제 \\( \\triangle t \\) 를 0 에 접근시켜 보자.", "극한의 정의에 따라서 우리는<p>\\[ \\begin{aligned} \\lim _{\\Delta t \\rightarrow 0} \\frac{\\Delta \\mathbf{r}}{\\Delta t} &=\\left[\\lim _{\\Delta t \\rightarrow 0} \\frac{f(t+\\Delta t)-f(t)}{\\Delta t}\\right] \\mathbf{i}+\\left[\\lim _{\\Delta t \\rightarrow 0} \\frac{g(t+\\Delta t)-g(t)}{\\Delta t}\\right] \\mathbf{j} \\\\ &=+\\left[\\lim _{\\Delta t \\rightarrow 0} \\frac{h(t+\\Delta t)-h(t)}{\\Delta t}\\right] \\mathbf{k} \\\\ &=\\left(\\frac{d f}{d t}\\right) \\mathbf{i}+\\left(\\frac{d g}{d t}\\right) \\mathbf{j}+\\left(\\frac{d h}{d t}\\right) \\mathbf{k} \\end{aligned} \\]</p>을 얻는다.", "</p> <p>벡터함수의 도함수의 정의</p><p>\\( f, g, h \\) 가 \\( t \\) 에 대하여 미분가능한 함수라 하면 벡터함수는 도함수를 갖고, 또는 \\( t \\) 에서 미분가능하고, 도함수는 벡터함수<p>\\[ \\mathbf{r}^{\\prime}(t)=\\frac{d \\mathbf{r}}{d t}=\\lim _{\\Delta t \\rightarrow 0} \\frac{\\mathbf{r}(t+\\Delta t)-\\mathbf{r}(t)}{d t}=\\frac{d f}{d t} \\mathbf{i}+\\frac{d g}{d t} \\mathbf{j}+\\frac{d h}{d t} \\mathbf{k} \\]</p>이다.", "이를 \\( \\mathrm{r}(t) \\) 의 접선벡터(tangent vector)라 한다.", "그림 \\( 2.14 \\) 을 참고하자.", "</p><p>정의역에 있는 모든 \\( t \\) 에 대하여 미분가능한 벡터함수는 미분가능하다고 하고, \\( \\frac{d \\mathrm{r}}{d t} \\) 가 연속이고 0 이 아니면 이 벡터함수는 매끄럽다(smooth)고 한다.", "</p><p>벡터함수의 미분법</p><p>벡터함수 \\( \\mathrm{r}(t), \\mathrm{r}_{1}(t), \\mathrm{r}_{2}(t) \\)과 스칼라 함수 \\( f(t) \\)가 \\( t \\) 에 대하여 미분가능하다고 하고, \\( c \\) 를 상수라하자.", "그러면<ol type=1 start=1><li>합의 법칙 \\( \\quad \\quad \\quad\\frac{d}{d f}\\left[\\mathbf{r}_{1}(t)+\\mathbf{r}_{2}(t)\\right]=\\mathbf{r}_{1}^{\\prime}(t)+\\mathbf{r}_{2}^{\\prime}(t) \\)</li><li>스칼라곱의 법칙 \\( \\quad\\frac{d}{d t}[c \\mathbf{r}(t)]=c \\mathbf{r}^{\\prime}(t), \\quad \\frac{d}{d t}[f(t) \\mathbf{r}(t)]=f^{\\prime}(t) \\mathbf{r}(t)+f(t) \\mathbf{r}^{\\prime}(t) \\)</li><li>내적의 법칙 \\( \\quad ~~\\quad \\frac{d}{d t}\\left[\\mathbf{r}_{1}(t) \\cdot \\mathbf{r}_{2}(t)\\right]=\\mathbf{r}_{1}^{\\prime}(t) \\cdot \\mathbf{r}_{2}(t)+\\mathbf{r}_{1}(t) \\cdot \\mathbf{r}_{2}^{\\prime}(t) \\)</li><li>벡터곱의법칙 \\( \\quad \\quad \\frac{d}{d f}\\left[\\mathbf{r}_{1}(t) \\times \\mathbf{r}_{2}(t)\\right]=\\mathbf{r}_{1}^{\\prime}(t) \\times \\mathbf{r}_{2}(t)+\\mathbf{r}_{1}(t) \\times \\mathbf{r}_{2}^{\\prime}(t) \\)</li><li>연쇄법칙 \\( \\quad \\quad \\quad ~~\\frac{d}{d t}[\\mathbf{r}(f(t))]=f^{\\prime}(t) \\mathbf{r}^{\\prime}(f(t)) \\)</p></li></ol>이 성립한다.", "</p><p>이들 중에서 몇 개만 증명하자.", "먼저 내적의 법칙을 증명하자. \\", "( \\mathbf{r}_{1}(t)=f_{1}(t) \\mathbf{i}+g_{1}(t) \\mathbf{j}+ \\) \\( h_{1}(t) \\mathbf{k}, \\mathbf{r}_{2}(t)=f_{2}(t) \\mathbf{i}+g_{2}(t) \\mathbf{j}+h_{2}(t) \\mathbf{k} \\) 라 하자.", "그러면<p>\\[ \\mathbf{r}_{1}(t) \\cdot \\mathbf{r}_{2}(t)=f_{1}(t) f_{2}(t)+g_{1}(t) g_{2}(t)+h_{1}(t) h_{2}(t) \\]</p>가 된다.", "일변수 함수의 미분법 곱의법칙을 이용하면<p>\\[ \\begin{aligned} \\frac{d}{d t}\\left[\\mathbf{r}_{1}(t) \\cdot \\mathbf{r}_{2}(t)\\right]=& {\\left[f_{1}^{\\prime}(t) f_{2}(t)+f_{1}(t) f_{2}^{\\prime}(t)\\right]+\\left[g_{1}^{\\prime}(t) g_{2}(t)+g_{1}(t) g_{2}^{\\prime}(t)\\right] } \\\\ & \\quad+\\left[h_{1}^{\\prime}(t) h_{2}(t)+h_{1}(t) h_{2}^{\\prime}(t)\\right] \\\\ =& {\\left[f_{1}^{\\prime}(t) \\mathbf{i}+g_{1}^{\\prime}(t) \\mathbf{j}+h^{\\prime}(t){ }_{1} \\mathbf{k}\\right] \\cdot\\left[f_{1}(t) \\mathbf{i}+g_{1}(t) \\mathbf{j}+h(t)_{1} \\mathbf{k}\\right] } \\\\ & \\quad+\\left[f_{2}^{\\prime}(t) \\mathbf{i}+g_{2}^{\\prime}(t) \\mathbf{j}+h_{2}^{\\prime}(t) \\mathbf{k}\\right] \\cdot\\left[f_{2}(t) \\mathbf{i}+g_{2}(t) \\mathbf{j}+h_{2}(t) \\mathbf{k}\\right] \\\\ =& \\mathbf{r}_{1}^{\\prime}(t) \\cdot \\mathbf{r}_{2}(t)+\\mathbf{r}_{1}(t) \\cdot \\mathbf{r}_{2}^{\\prime}(t) \\end{aligned}\\]</p>이 된다.", "다음으로 연쇄법칙을 증명하자. \\", "( s=f(t) \\)라 두면, \\( \\mathbf{r}(f(t))=\\mathrm{r}(s) \\)가 된다.", "이제 \\( \\mathbf{r}(s)=a(s) \\mathbf{i}+b(s) \\mathbf{j}+c(s) \\mathbf{k} \\) 라 하면,<p>\\[ \\begin{aligned} \\frac{d}{d t} \\mathbf{r}(s) &=\\frac{d a}{d t} \\mathbf{i}+\\frac{d b}{d t} \\mathbf{j}+\\frac{d c}{d t} \\mathbf{k} \\\\ &=\\frac{d a}{d s} \\frac{d s}{d t} \\mathbf{i}+\\frac{d b}{d s} \\frac{d s}{d t} \\mathbf{j}+\\frac{d c}{d s} \\frac{d s}{d t} \\mathbf{k} \\\\ &=\\left(\\frac{d a}{d s} \\mathbf{i}+\\frac{d b}{d s} \\mathbf{j}+\\frac{d c}{d s} \\mathbf{k}\\right) \\frac{d s}{d t} \\\\ & \\frac{d \\mathbf{r}(s)}{d s} \\frac{d s}{d t} \\\\ & f^{\\prime}(t) \\mathbf{r}^{\\prime}(f(t)) \\end{aligned} \\]</p>이 된다.", "</p> <h1>2 선과 곡면</h1><p>이 장에서는 삼차원 공간의 곡면에 대하여 다루고, 또한 공간 곡선에 대하여 간단하게 다루고자 한다.", "</p><h2>1 실린더와 이차곡면</h2><h3>(1) 실린더</h3><p>실린더(cylinder)란 공간에서 주어진 곡선을 따라서 한 직선을 평행으로 움직임으로 나타나는 곡면을 말한다.", "원기둥이 실린더의 한 예가 된다.", "</p><p>예제 1 포물 실린더 \\( z=x^{2} \\) 를 그려라.", "</p><p>풀이 이 식의 그래프는 식에 \\( y \\) 의 값이 없기 때문에 \\( x z \\)-평면 위에 포물선 \\( z=x^{2} \\) 을 따라 \\( y \\)-축과 나란한 직선을 움직일 때 나타나는 실린더가 된다.", "이 곡면은 손으로도 쉽게 그릴 수 있다.", "여기서는 CAS능력을 지넌 Maple의 도움을 받기로 하자.", "</p><p>먼저 Maple의 창에 다음과 같이 명령어를 작성하면, 간단하게 원하는 그래프를 그림 2.1과 같이 얻게 된다.", "</p><p>\\( \\left[>\\operatorname{plot} 3 \\mathrm{~d}\\left(\\left\\{\\mathrm{x}^{\\wedge} 2\\right\\}, \\mathrm{x}=-2 . .2, \\mathrm{y}=-2 . .2\\right);\\right. \\)", "</p><p>이 예제에서 보는 것과 같이 \\( x y \\)-평면에 \\( f(x, y)=0 \\) 과 같이 주어진 곡선에 대하여 \\( z \\)-축과 나란한 직선을 곡선 \\( f(x, y)=0 \\) 을 따라 움직임으로 우리는 공간 위에 실린더를 얻을 수 있다.", "예를 들면, \\( x^{2}+y^{2}=1 \\) 은 \\( x y \\)-평면에서 반지름이 1 인 원을 나타내지만, 공간에서는 이 곡선을 지나고 \\( z \\)-축과 나란한 원기둥이 되는 것을 알 수 있다.", "방정식 \\( g(y, z)=0 \\) 과 \\( h(x, z)=0 \\) 로 나타나는 실린더도 비슷한 방법으로 그릴 수 있다.", "</p><h3>(2) 이차곡면</h3><p>이 절에서는 타원, 쌍곡선, 포물선과 대응되는 삼차원 곡면인 이차곡면에 대하여 알아보자.", "</p><p>이차곡면(quadratic surfaces)이란 이차방정식<p>\\[A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}+D x y+E y z+F x z+G x+H y+J z+K=0\\]</p>으로 나타내는 공간 위의 곡면을 말한다.", "이차곡면으로는 타원면(ellipsoids),포물면(paraboloids), 타원뿔(elliptical cones), 쌍곡면(hyperboloids) 등이 있다.", "이들 곡면을 그리기 위헤서는 각 좌표축과 수직인 평면으로 곡면을 자를 때 나타나는 단면(cross section)을 이용하여 개락직으로 그릴 수 있다.", "그러나 컴퓨터를 이용하면 보다 간단하게 곡면을 얻을 수 있다.", "</p><p>예제 2 타원 면(ellipsoids)<p>\\[ \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}+\\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \\]</p>을 그려보아라.", "</p><p>풀이 먼저 이 식으로 부터 각 좌표축과 만나는 절편은 각각 \\( (a, 0,0),(0, b, 0) \\), \\( (0,0, c) \\) 가 됨을 알 수 있다.", "또한<p>\\[ \\frac{x^{2}}{a^{2}} \\leq 1, \\quad \\frac{y^{2}}{b^{2}} \\leq 1, \\quad \\frac{z^{2}}{c^{2}} \\leq 1 \\]</p>이어야 함으로 우리는 \\( \|x\| \\leq\|a\|,\|y\| \\leq\|b\|,\|z\| \\leq\|c\| \\) 를 얻는다.", "또한 각 좌표축과 수직인 평면으로 자를 때 나타나는 단면은 타원이 된다는 것을 알 수 있다.", "예를 들어, \\( z= \\) 상수인 평면으로 자르게 되면 단면의 식은 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=k, k= \\) 상수가 된다.", "이것은 타원을 나타낸다.", "</p><p>다음의 Maplet을 이용하면 \\( a, b, c \\) 의 값을 선택하여 타원면과 각 축에 대한 단면등 여러가지를 알아볼 수 있다.", "아래 그림은 \\( a=1, b=2, c=1 \\) 일 때의 그래프이다.", "</p> <p>예제 6 이엽 쌍곡면(hyperboloids of two sheets)<p>\\[ \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}-\\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1 \\]</p>을 그려보아라.", "</p><p>풀이 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}} \\geq 0 \\) 이기 때문에 \\( \\frac{z^{2}}{c^{2}}-1 \\geq 0 \\), 즉 \\( \|z\| \\geq c \\) 이어야 한다. \\", "( \|z\| \\geq c \\) 일 때, \\( z \\)-좌표축과 수직인 평면으로 자를 때 나타나는 단면은 타원이 된다는 것을 알 수 있고, \\( x \\)-좌표축이나 \\( y \\)-좌표축과 수직인 평면으로 자를 때는 쌍곡선이 나타난다.", "예를 들어, \\( x=0 \\) 인 평면으로 자르게 되면 단면의 식은 쌍곡선 \\( \\frac{y^{2}}{b^{2}}-\\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1 \\) 이 되고, \\( y=0 \\) 인 평면으로 자르게 되면 단면의 식은 쌍곡선 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1 \\) 이 된다.", "</p><p>다음 그림은 Maplet을 이용하여 \\( a=2, b=2, c=5 \\) 일 때의 이엽 쌍곡면의 그래프이다.", "</p><p>예제 7 쌍곡 포물면(hyperbolic paraboloids)<p>\\[ \\frac{y^{2}}{b^{2}}-\\frac{x^{2}}{a^{2}}=\\frac{z}{c} \\quad c>0 \\]</p>을 그려보아라.", "</p><p>풀이 \\( x=0 \\) 인 평면으로 자르게 되면 단면의 식은 포물선 \\( z=\\frac{c}{b^{2}} y^{2} \\) 이 되고, \\( y=0 \\) 인 평면으로 자르게 되면 단면의 식은 포물선 \\( z=-\\frac{c}{a^{2}} x^{2} \\) 이 된다. \\", "( z>0 \\) 일 때 \\( z \\)-좌표축과 수직인 평면으로 자를 때 나타나는 단면은 쌍곡선이 \\( z<0 \\) 일 때 \\( z \\)-좌표축과 수직인 평면으로 자를 때 나타나는 단면은 \\( z>0 \\) 일 때와 다른 축으로 놓이는 쌍곡선이 된다는 것을 알 수 있다.", "이 곡면은 손으로 그리기가 매우 어려우며 그래픽을 다룰 수 있는 소프트웨어의 도움으로 간단히 그릴 수 있다.", "다음 그림은 \\( a=1, b=2, c=2 \\) 일 때의 쌍곡 포물 면이다.", "</p> <p>예제 22 원형나선 \\( (\\cos t, \\sin t, t) \\) 의 곡률과 단위법선벡터를 찾아라.", "</p><p>풀이 우리는 예제 19 로부터<p>\\[ \\mathbf{v}=-(\\sin t) \\mathbf{i}+\\cos t \\mathbf{j}+\\mathbf{k} \\]</p>이고, \\( \|\\mathbf{v}\|=\\sqrt{\\left.\\sin ^{2} t\\right)+\\cos ^{2} t+1}=\\sqrt{2} \\)", "가 되므로<p>\\[ \\begin{aligned} \\mathbf{T} &=\\frac{\\mathbf{v}}{\|\\mathbf{v}\|} \\\\ &=-\\frac{\\sin t}{\\sqrt{2}} \\mathbf{i}+\\frac{\\cos t}{\\sqrt{2}} \\mathbf{j}+\\frac{1}{\\sqrt{2}} \\mathbf{k} \\end{aligned} \\]</p>가 된다.", "따라서 곡률은<p>\\[ \\begin{aligned} \\frac{1}{\|\\mathbf{v}\|}\\left\|\\frac{d \\mathbf{T}}{d t}\\right\| &=\\left(\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\right)\\left\|-\\frac{\\cos t}{\\sqrt{2}} \\mathbf{i}-\\frac{\\sin t}{\\sqrt{2}} \\mathrm{j}\\right\| \\\\ &=\\left(\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\right)\\left(\\sqrt{\\frac{\\cos ^{2} t}{2}+\\frac{\\sin ^{2} t}{2}}\\right)=\\left(\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\right)\\left(\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\right)=\\frac{1}{2} \\end{aligned} \\]</p>가 된다.", "또한 단위법선벡터는<p>\\[ \\begin{aligned} \\mathbf{N} &=\\frac{d \\mathbf{T} / d t}{\|d \\mathbf{T} / d t\|}=\\sqrt{2}\\left(-\\frac{\\cos t}{\\sqrt{2}} \\mathbf{i}-\\frac{\\sin t}{\\sqrt{2}} \\mathbf{j}\\right) \\\\ &=-(\\cos t) \\mathbf{i}-(\\sin t) \\mathbf{j} \\end{aligned} \\]</p>가 된다." ]	{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "다변수미적분학", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "772a8b07-a6a182d6-3fe9-4512-8064-7dfa3a2b6517", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961052597", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2009", "doc_author": [ "강성주" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }
126	<p>우리는 5장에서 행렬의 탄생에 대하여 알아보았고, 행렬 \( \operatorname{Mat}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \) 을 복소수의 일반화로 소개하였다.</p><p>《수학 \( \mathrm{I} 》(7차)에서 행렬은 연립일차방정식의 풀이를 간단히 하기 위하여 도입 도구이다. 우리는 역행렬을 구하여 방정식을 푸는 것보다는 직접 연립방정식을 푸는 것이 훨씬 경제적(?)이라는 것을 알고 있으나 대학에서 본 것처럼 연립(미분)방정식의 미지수의 개수가 4정도만 되어도 행렬의 기법(예를 들면, 불록 대각화)없이 풀기란 거의 불가능하다. 2009 개정 교육과정에 따른 수학과 교육과정에서 바라보는 행렬(《고급수학 I》)은 다음 세 가지 영역으로 구별한다.</p><table border><caption>《고급수학 I》</caption><tbody><tr><td>영역</td><td>내용</td></tr><tr><td rowspan=2>벡터와 행렬</td><td>벡터</td></tr><tr><td>행렬과 연립방정식</td></tr><tr><td rowspan=2>일차변환</td><td>일차변환과 행렬</td></tr><tr><td>고윳값과 행렬의 거듭제곱</td></tr><tr><td rowspan=3>그래프</td><td>그래프의 뜻</td></tr><tr><td>여러 가지 그래프</td></tr><tr><td>그래프의 활용</td></tr></tbody></table><p>주요 용어는 다음과 같다.</p><table border><caption>주요 용어</caption><tbody><tr><td>영역</td><td>주요 용어</td></tr><tr><td>벡터와 행렬</td><td>벡터공간, 일차독립, 일차종속, 외적, 기저, 가우스 소거법, 크래머의 공식</td></tr><tr><td>일차변환</td><td>일차변환, 역변환, 고윳값, 고유벡터, 특성다항식, 대각화, 케일리-해밀턴공식</td></tr><tr><td>그래프</td><td>그래프, 경로, 인접행렬</td></tr></tbody></table><p>교과서에서는 행렬의 크기를 \( 2 \times 2,2 \times 3 \) 정도로 다룰 수밖에 없다. 따라서 의미 있는 행렬의 활용문제를 다루기가 불가능하다. 교과서에서 다루는 내용을 포함하여 행렬의 용도를 11가지로 알아볼 것이다. 먼저, 다음 질문을 생각해 보자.</p><ul><li>질문 27 행렬식(determinant)은 무엇을 결정하는가? 올바른 번역인가?</li><li>질문 28 행렬을 왜 선형변환(linear transformation)이라 부르는가?</li><li>질문 29 고윳값과 고유벡터는 무엇인가?</li><li>질문 30 영종대교처럼 상판을 지지하는 주 케이블의 측면모양은 포물선인가?</li></ul><p>행렬은 다음 세 가지로 바라볼 수 있다.</p><ul><li>[행렬의 본질1] 실수, 복소수, 사차원수를 일반화한 수체계이다((5.5) 행렬의 도입 참고).</li><li>[행렬의 본질2] 벡터공간에서 벡터공간으로 가는 어떤 함수이다.</li><li>[행렬의 본질3] 어떤 분야에서 어떻게 활용할 것인가?</li></ul><p>먼저, 두 번째 본질을 알아보기 위하여 정의가 필요하다(《고급수학 I》).</p><h1>7.1 DEFINITION(일차변환)</h1><p>\( V, W \) 를 \( \mathbb{R} \)-벡터공간이라 하자. \( u, v \in V, k \in \mathbb{R} \) 에 대하여 (1) \( f(u+v)=f(u)+f(v) \), (2) \( f(k u)=k f(u) \)를 만족하는 함수 \( f: V \rightarrow W \) 를 선형변환(일차변환, linear transformation)이라 한다. 위 정의가 얼마나 자연스런 것인가를 확인해보자.</p>	대수학	[ "<p>우리는 5장에서 행렬의 탄생에 대하여 알아보았고, 행렬 \\( \\operatorname{Mat}_{2 \\times 2}(\\mathbb{R}) \\) 을 복소수의 일반화로 소개하였다.", "</p><p>《수학 \\( \\mathrm{I} 》(7차)에서 행렬은 연립일차방정식의 풀이를 간단히 하기 위하여 도입 도구이다.", "우리는 역행렬을 구하여 방정식을 푸는 것보다는 직접 연립방정식을 푸는 것이 훨씬 경제적(?)이라는 것을 알고 있으나 대학에서 본 것처럼 연립(미분)방정식의 미지수의 개수가 4정도만 되어도 행렬의 기법(예를 들면, 불록 대각화)없이 풀기란 거의 불가능하다.", "2009 개정 교육과정에 따른 수학과 교육과정에서 바라보는 행렬(《고급수학 I》)은 다음 세 가지 영역으로 구별한다.", "</p><table border><caption>《고급수학 I》</caption><tbody><tr><td>영역</td><td>내용</td></tr><tr><td rowspan=2>벡터와 행렬</td><td>벡터</td></tr><tr><td>행렬과 연립방정식</td></tr><tr><td rowspan=2>일차변환</td><td>일차변환과 행렬</td></tr><tr><td>고윳값과 행렬의 거듭제곱</td></tr><tr><td rowspan=3>그래프</td><td>그래프의 뜻</td></tr><tr><td>여러 가지 그래프</td></tr><tr><td>그래프의 활용</td></tr></tbody></table><p>주요 용어는 다음과 같다.", "</p><table border><caption>주요 용어</caption><tbody><tr><td>영역</td><td>주요 용어</td></tr><tr><td>벡터와 행렬</td><td>벡터공간, 일차독립, 일차종속, 외적, 기저, 가우스 소거법, 크래머의 공식</td></tr><tr><td>일차변환</td><td>일차변환, 역변환, 고윳값, 고유벡터, 특성다항식, 대각화, 케일리-해밀턴공식</td></tr><tr><td>그래프</td><td>그래프, 경로, 인접행렬</td></tr></tbody></table><p>교과서에서는 행렬의 크기를 \\( 2 \\times 2,2 \\times 3 \\) 정도로 다룰 수밖에 없다.", "따라서 의미 있는 행렬의 활용문제를 다루기가 불가능하다.", "교과서에서 다루는 내용을 포함하여 행렬의 용도를 11가지로 알아볼 것이다.", "먼저, 다음 질문을 생각해 보자.", "</p><ul><li>질문 27 행렬식(determinant)은 무엇을 결정하는가?", "올바른 번역인가?", "</li><li>질문 28 행렬을 왜 선형변환(linear transformation)이라 부르는가?", "</li><li>질문 29 고윳값과 고유벡터는 무엇인가?", "</li><li>질문 30 영종대교처럼 상판을 지지하는 주 케이블의 측면모양은 포물선인가?", "</li></ul><p>행렬은 다음 세 가지로 바라볼 수 있다.", "</p><ul><li>[행렬의 본질1] 실수, 복소수, 사차원수를 일반화한 수체계이다((5.5) 행렬의 도입 참고).", "</li><li>[행렬의 본질2] 벡터공간에서 벡터공간으로 가는 어떤 함수이다.", "</li><li>[행렬의 본질3] 어떤 분야에서 어떻게 활용할 것인가?", "</li></ul><p>먼저, 두 번째 본질을 알아보기 위하여 정의가 필요하다(《고급수학 I》).", "</p><h1>7.1 DEFINITION(일차변환)</h1><p>\\( V, W \\) 를 \\( \\mathbb{R} \\)-벡터공간이라 하자. \\", "( u, v \\in V, k \\in \\mathbb{R} \\) 에 대하여 (1) \\( f(u+v)=f(u)+f(v) \\), (2) \\( f(k u)=k f(u) \\)를 만족하는 함수 \\( f: V \\rightarrow W \\) 를 선형변환(일차변환, linear transformation)이라 한다.", "위 정의가 얼마나 자연스런 것인가를 확인해보자.", "</p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "412", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "M657-(사범대생을 위한) 형대대수학", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "96aba9d6-569ee6bc-896e-4b8e-b7ca-37c52c8d4314", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961056571", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2013", "doc_author": [ "박제남" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }
127	<p>Calculus의 초기 업적 중의 하나는 어떤 물체의 초기 위치와 속도함수를 통하여 움직이는 물체의 미래위치를 예측하는 것이었다. 오늘날 우리가 볼 수 있는 Calculus의 활용 중의 하나는 미분에 관한 정보로부터 원래의 함수를 발견하는 것이다. 즉, 도함수에 관한 정보만으로 원함수를 복구시켜야 할 경우가 있다. 예를 들어, 현재의 인구수와 그 증가율로부터 미래의 인구의 규모를 계산할 수 있고, 방사능 쓰레기의 자연붕괴 비율로부터 얼마 후에 이 물질이 무해하게 되는가를 계산할 수 있다. 이처럼, 알고 있는 도함수로부터 원함수를 찾는 이론이 적분학(integral calculus)이다. 단순히 말해서, 함수를 적분한다는 것은 주어진 함수의 역도함수를 구하는 것이다. 사실 적분(integrate)의 본래 '어떤 것의 합(sum) 또는 합계(total)를 구하는'이라는 뜻이 있다. 이런 의미에서 적분은 곡선들로 경계된 영역의 면적을 계산할 수 있는 수학적 과정이다. 이 장에서 적분의 체계적인 방법 그리고 부정적분과 정적분 사이의 관계를 설명하는 뉴턴과 라이프니츠의 기본정리를 배운다.</p><h1>4-1 부정적분</h1><h2>1. 역도함수(부정적분)</h2><p>속도와 가속도의 관계를 살펴보면 가속도는 속도를 시간으로 미분함으로써 얻어진다. 이와 반대로 미분의 역산에 의하여 가속도로부터 속도를 구할 수 있는데, 여기서는 이와 같은 미분의 역연산인 역도함수에 대하여 알아본다. 또한 역도함수를 구하기 위한 방법은 매우 다양하다. 그 중에서 어떤 변수의 변환에 의하여 종종 복잡한 식의 적분을 쉽고 간단한 적분의 형태로 변형시켜줄 수 있는 치환적분법에 대하여 살펴본다.</p><h3>역도함수와 부정적분</h3><p>함수 \( f(x) \)에 대해서 \[F^{\prime}(x)=f(x)\]를 만족하는 \( F(x) \)를 \( f(x) \)의 역도함수(anti-derivative) 또는 원시함수 (primitive)라 한다. 만약 \( F(x) \)와 \( G(x) \)가 모두 \( f(x) \)의 역도함수라 하면 이들은 \[F(x)-G(x)=C \text {, 즉 } G(x)=F(x)+C, C \text {는 상수 }\]의 관계를 갖는다. 결국 역도함수가 존재한다면 무수히 많이 존재할 것인데, 이와 같은 \( f(x) \)의 모든 역도함수들의 집합을 \[\int f(x) d x\]라 쓰고, 이를 \( x \)에 관한 \( f(x) \)의 부정적분(indefinite integral)이라 한다. 즉, \[\int f(x) d x=F(x)+C .\] 이때, \( \int \)는 적분기호로 인티그럴(integral)이라 읽고, \( f(x) \)를 피적분함수, \( x \)를 적분변수라 한다. 미분과 적분의 관계로부터 \[\frac{d}{d x}\left(\int f(x) d x\right)=f(x), \quad \int\left(\frac{d}{d x} f(x)\right) dx=f(x)+C\]임을 알 수 있다. 또한 적분은 미분의 역연산이므로 이미 알고있는 간단한 미분공식과 비교하여 살펴보면 매우 유용하다.</p><p>보기(1) \( F(x)=x^{3} \)이라 할 때, \( \frac{d F}{d x}=3 x^{2} \)이므로 \( F(x) \)는 \( f(x)=3 x^{2} \)의 하나의 역도함수이고, 따라서 \( f(x) \)의 부정적분은 \( \int 3 x^{2} d x=x^{3}+C \)이다.</p><p>정리 4-1-1 적분공식 적분과 대응미분<ol type= start=1><li>\( \int u^{\prime}(x) d x=u(x)+C \Leftrightarrow \frac{d}{d x}(u(x)+C)=u^{\prime}(x) \)</li><li>\( \int a u(x) d x=a \int u(x) d x \Leftrightarrow\{a u(x)\}^{\prime}=a u^{\prime}(x),(a \) 는 상수 \( ) \)</li><li>\( \int\{u(x)+v(x)\} d x=\int u(x) d x+\int v(x) d x \Leftrightarrow\{u(x)+v(x)\}^{\prime}=u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x) \)</li><li>\( \int a d x=a \int d x=a x+C,(a \) 는 상수 )</li><li>\( \int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \Leftrightarrow\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=x^{n}(n \neq-1) \)</li><li>\( \int \frac{1}{x} d x=\ln \|x\|+C \Leftrightarrow(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x} \)</li><li>\( \int\{f(x)\}^{n} f^{\prime}(x) d x=\frac{\{f(x)\}^{n+1}}{n+1}+C, \quad(n \neq-1) \Leftrightarrow \frac{d}{d x}\{f(x)\}^{n+1}=(n+1)\{f(x)\}^{n} f^{\prime}(x) \)</li></ol></p><p>예제 1 다음 부정적분을 구하여라.<ol type= start=1><li>\( \int\left(x^{2}-3 x+2\right) d x \)</li><li>\( \int\left(x \sqrt{x}-x^{-1}+x^{-2}\right) d x \)</li><li>\( \int\left(x^{3}+2 x\right)^{5}\left(3 x^{2}+2\right) d x \)</li></ol></p><p>풀이<ol type= start=1><li>\( \int\left(x^{3}+2 x\right)^{5}\left(3 x^{2}+2\right) dx =\frac{1}{3} x^{3}-\frac{3}{2} x^{2}+2 x+C \)</li><li>\( \int\left(x \sqrt{x}-x^{-1}+x^{-2}\right) d x=\int x^{\frac{3}{2}} d x-\int \frac{1}{x} d x+\int x^{-2} d x \)\( =\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}-\log x-\frac{1}{x}+C \)</li><li>\( f(x)=x^{3}+2 x \)라면 \( f^{\prime}(x)=3 x^{2}+2 \)이므로 \( \int\left(x^{3}+2 x\right)^{5}\left(3 x^{2}+2\right) d x=\frac{\left(x^{3}+2 x\right)^{6}}{6}+C \)</li></ol></p> <h1>4-2 정적분</h1><h2>1. 정적분</h2><p>정적분은 이전까지 계산했던 부정적분과는 완전히 구별되어 역도함수 족이 아니라 수의 극한(numerical limits)이다(정의 참조). 하지만 왜 둘 모두 '적분'이라는 표현을 쓰고있는가 또 그들간에는 어떤 연관성이 있는가 하는 의문을 가질 수 있는데 그 이유는 바로 라이프니츠와 뉴턴에 의해서 발견되고 공식화된 미적분학의 기본정리라는 아주 유명한 정리의 영향 때문이다. 여기서는 정적분의 계산법과 특이적분에 대해 소개한다.</p><h3>면적</h3><p>함수 \( y=f(x) \)가 폐구간 \( [a, b] \)에서 연속이고 음이 아닐 때 직선 \( x=a, x=b \)와 \( x \)축 그리고 곡선 \( y=f(x) \)로 둘러싸인 영역의 면적 \( A \)를 계산하여 보자. 구간 \( [a, b] \)를 \( n \) 등분한 \( (n-1) \)개의 점을 크기순으로 \( x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n-1} \)이라 하면 각 부분구간의 길이는 \( \Delta x=(b-a) / n \)이다. 이때 영역 \( A \)의 면적은 각 부분구간 \( \left[x_{k-1}, x_{k}\right] \)에서 함수의 최솟값 \( f\left(\xi_{k}\right) \)에 대하여</p><p>\( A=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f\left(\xi_{1}\right) \Delta x+f\left(\xi_{2}\right) \Delta x+\cdots+f\left(\xi_{n}\right) \Delta x\right) =\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\xi_{k}\right) \cdot \Delta x \)<caption>(1)</caption></p><p>이다.</p><p>예제 \(1\) 구간 \( [0,2] \)에서 함수 \( f(x)=x^{2} \)에 의한 영역의 면적을 구하여라.</p><p>풀이 구간 \( [0,2] \)를 \( n \)등분하는 \( n-1 \)개의 점은 \( x_{k}=\frac{2 k}{n} \)이고 각각의 부분구간의 길이는 \( \frac{2}{n} \)이다. 또한 주어진 함수는 구간 \( [0,2] \)에서 증가함수이므로 각 부분구간에서의 최솟값은 \( f\left(\frac{2(k-1)}{n}\right) \)이므로 구하고자 하는 면적은</p><p>\( A=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{2(k-1)}{n}\right) \cdot \frac{2}{n} \)\( =\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{4(k-1)^{2}}{n^{2}} \cdot \frac{2}{n} \)\( =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{8}{n^{3}} \sum_{k=1}^{n}\left(k^{2}-2 k+1\right) \)\( =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{8}{n^{3}}\left(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}-n(n+1)+n\right) \)\( =\frac{8}{3} \)</p><p>이와 같은 맥락에서, 구간 \( [a, b] \)에서 정의된 함수 \( y=f(x) \)에 대해서 다음과 같은 과정을 거쳐 정적분을 정의한다.</p> <p>[형태 \(3\)] \( \int \tan ^{n} x d x \) (또는 \( \left.\int \cot ^{n} x d x\right) \)<p>(\(1\)) \( \tan ^{n} x \)인 경우: \( \tan ^{2} x=\sec ^{2} x-1 \)을 적용한다.</p><p>(\(2\)) \( \cot ^{n} x \)인 경우: \( \cot ^{2} x=\csc ^{2} x-1 \)을 적용한다.</p></p><p>예제 \(8\) 다음의 부정적분을 구하여라.<ol type= start=1><li>\( \int \tan ^{3} x d x \)</li><li>\( \int \cot ^{2} x d x \)</li></ol></p><p>풀이 (\(1\)) \( \tan ^{2} x=\sec ^{2} x-1 \)이므로 \[\int \tan ^{3} x d x=\int\left(\sec ^{2} x-1\right) \tan x d x=\int \sec ^{2} x \tan x d x-\int \tan x d x =\frac{1}{2} \tan ^{2} x+\log \|\sec x\|+C \] (\(2\)) \( \cot ^{2} x=\csc ^{2} x-1 \)이므로 \[\int \cot ^{2} x d x=\int\left(\csc ^{2} x-1\right) d x=-\cot x-x+C\]</p><p>[형태 \(4\)] \( \int \tan ^{m} x \sec ^{n} x d x \) (또는 \( \int \cot ^{m} x \csc ^{n} x d x \) )<p>(\(1\)) \( m \)은 홀수, \( n \) 임의의 수일 경우: \( \tan ^{m-1} x \)는 \( \sec ^{2} x \)의 식으로 바꾸고 \( \sec x \)를 치환한다.</p><p>(\(2\)) \( n \)은 짝수, \( m \) 임의의 수일 경우: \( \sec ^{n-2} x \)는 \( \tan ^{2} x \)의 식으로 바꾸고 \( \tan x \)를 치환한다.</p></p><p>예제 \(9\) 다음의 부정적분을 구하여라.<ol type= start=1><li>\( \int \tan ^{3} x \sec ^{1 / 2} x d x \)</li><li>\( \int \tan ^{-1 / 2} x \sec ^{4} x d x \)</li></ol></p><p>풀이<p>(\(1\)) \( \tan ^{3} x \sec ^{1 / 2} x=\tan ^{2} x \sec ^{-1 / 2} x(\sec x \tan x) =\left(\sec ^{2} x-1\right) \sec ^{-1 / 2} x(\sec x \tan x) \)이고 \( \sec x=v \)라 놓으면 \( \sec x \tan x d x=d v \)이므로 \[\int \tan ^{3} x \sec ^{1 / 2} x dx=\int\left(\sec ^{2} x-1\right) \sec ^{-1 / 2} x(\sec x \tan x) d x =\int\left(v^{2}-1\right) v^{-1 / 2} dv =\frac{2}{5} v^{5 / 2}-2 v^{1 / 2}+C =\frac{2}{5} \sec ^{5 / 2} x-2 \sec ^{1 / 2} x+C \]</p><p>(\(2\)) \( \tan ^{-1 / 2} x \sec ^{4} x=\tan ^{-1 / 2} x\left(1+\tan ^{2} x\right) \sec ^{2} x \)이고 \( \tan x=v \)라 놓으면 \( \sec ^{2} x d x=d v \) 이므로 \[\int \tan ^{-1 / 2} x \sec ^{4} x d x=\int \tan ^{-1 / 2} x\left(1+\tan ^{2} x\right) \sec ^{2} x d x =\int v^{-1 / 2}\left(1+v^{2}\right) d v =2 v^{1 / 2}+\frac{2}{5} v^{5 / 2}+C =2 \tan ^{1 / 2} x+\frac{2}{5} \tan ^{5 / 2} x+C \]</p></p><p>[형태 \(5\)] \( \int \sin m x \cos n x d x \) (또는 \( \int \sin m x \sin n x d x, \int \cos m x \cos n x d x \) ) 이런 형태의 적분은 교류이론, 열전도 문제, 광선의 굴절, 현수교 케이블의 압력분석, 그 밖의 삼각함수의 급수가 쓰이는 수학, 과학, 공학의 많은 분야에서 나타난다. 이것은 부분적분을 통하여 계산할 수 있지만 다음과 같이 삼각함수의 곱을 합, 차로 바꾸는 공식을 이용하면 간편하게 계산된다.<ol type= start=1><li>\( \sin m x \sin n x=-\frac{1}{2}[\cos (m+n) x-\cos (m-n) x] \)</li><li>\( \sin m x \cos n x=\frac{1}{2}[\sin (m+n) x+\sin (m-n) x] \)</li><li>\( \cos m x \cos n x=\frac{1}{2}[\cos (m+n) x+\cos (m-n) x] \)</li></ol></p><p>예제 \(10\) 다음의 부정적분을 구하여라.<ol type= start=1><li>\( \int \sin 5x \cos 3 x d x \)</li><li>\( \int \sin 2y \sin 3 y d y \)</li><li>\( \int \cos ^{2} x \cos 3 x d x \)</li></ol></p><p>풀이 (\(1\)) \( \int \sin 5 x \cos 3 x d x=\frac{1}{2} \int[\sin 8 x+\sin 2 x] d x =-\frac{1}{16} \cos 8 x-\frac{1}{4} \cos 2 x+C \) (\(2\)) \( \int \sin 2 y \sin 3 y d y=-\frac{1}{2} \int[\cos 5 y-\cos (-y)] d y =\frac{1}{2} \sin y-\frac{1}{10} \sin 5 y+C \) (\(3\)) \( \cos ^{2} x=\frac{1+\cos 2 x}{2} \)이므로 \[\int \cos ^{2} x \cos 3 x d x=\frac{1}{2} \int(1+\cos 2 x) \cos 3 x d x =\frac{1}{2} \int[\cos 3 x+\cos 2 x \cos 3 x] d x =\frac{1}{2} \int\left[\cos 3 x+\frac{1}{2}(\cos 5 x+\cos (-x))\right] dx =\frac{1}{6} \sin 3 x+\frac{1}{20} \sin 5 x+\frac{1}{4} \sin x+C \]</p> <h2>연습문제 (\(4-1-2 \))</h2><p>\(1 \). 다음의 부정적분을 구하여라.<ol type= start=1><li>\( \int \cos (2 x-3) d x \)</li><li>\( \int \sin 2 x d x \)</li><li>\( \int 2 x \sin \left(x^{2}\right) d x \)</li><li>\( \int \frac{\cos x}{\sin ^{2} x} d x \)</li><li>\( \int \frac{\sec ^{2} x}{\tan ^{2} x} d x \)</li><li>\( \int e^{-2 x} d x \)</li><li>\( \int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x \)</li><li>\( \int \frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}} d x \)</li></ol></p><p>\(2 \). 다음의 부정적분을 구하여라.<ol type= start=1><li>\( \int \frac{3}{1+9 x^{2}} d x \)</li><li>\( \int \frac{1}{\sqrt{3+2 x-x^{2}}} d x \)</li><li>\( \int \frac{\cos x}{10-\cos ^{2} x} d x \)</li><li>\( \int \frac{1}{\sqrt{1+4 x^{2}}} d x \)</li></ol></p><p>\(3 \). 다음의 부정적분을 구하여라.<ol type= start=1><li>\( \int \sin x \cos ^{2} x d x \)</li><li>\( \int \sin x \cos 3 x d x \)</li></ol></p><p>\(4 \). \( \int \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x=\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}+C,(a>0) \)임을 증명하여라.</p><p>\(5 \). 부정적분 \( \int\left[\sqrt{2+\sin ^{3}(2 x-3)} \sin ^{2}(2 x-3) \cos (2 x-3)\right] d x \)를 다음의 방법으로 각각 계산하여라.<p>(\(1 \)) \( u=2 x-3, v=\sin u, w=2+v^{3} \)로 치환</p><p>(\(2 \)) \( u=\sin (2 x-3), v=2+u^{2} \)로 치환</p><p>(\(3 \)) \( u=2+\sin ^{3}(2 x-3), v=\sqrt{u} \)로 치환</p></p> <h3>치환적분법</h3><p>어떤 변수의 변환에 의하여 종종 복잡한 식의 적분을 쉽고 간단한 적분의 형태로 변형시켜줄 수 있다. 이와 같은 방법을 치환적분법이라 하는데 그 과정을 살펴보면 다음과 같다. 예를 들어, 적분 \( \int\left(x^{4}-3\right)^{5} \cdot 4 x^{3} d x \)를 계산하기 위하여 \( \left(x^{4}-3\right)^{5} \)을 전개하는 것은 어리석은 것이며 그렇게 해서는 적분을 원활하게 할 수 없다. 이때, 다음과 같은 과정을 따라 계산하면 적분은 매우 쉽게 해결될 수 있다.</p><p>\( \int\left(x^{4}-3\right)^{5} \cdot 4 x^{3} d x=\int u^{5} d u \quad\left(u=x^{4}-3 \Rightarrow d u=4 x^{3} d x\right) \)</p><p>\( =\frac{u^{6}}{6}+C \quad(u \)의 식을 적분 \( ) \)</p><p>\( =\frac{\left(x^{4}-3\right)^{6}}{6}+C \quad\left(u=x^{4}-3\right. \)을 대입 \( ) \)</p><p>위 과정을 요약하면 다음과 같은 적분 단계를 얻을 수 있다. 즉, 두 함수 \( f \) 와 \( g^{\prime} \) 이 연속일 때 적분 \(\int f(g(x)) g^{\prime}(x) d x\)은 다음과 같은 단계에 의해 변환시켜 계산한다.</p><p>[단계\(1\)] \( g(x)=t \)라 치환하여 \( g^{\prime}(x) d x=d t \) 를 주어진 식에 대입한다.<p>[단계\(2\)] \( x \)에 관한 적분은 \( t \)에 관한 적분\(\int f(t) d t\)으로 변환된다.<p>[단계\(3\)] 위의 \( t \)에 관한 식을 적분하여 \( t=g(x) \)를 다시 대입한다.</p><p>예제 \(2\) 다음의 부정적분을 구하여라.<ol type= start=1><li>\( \int 2 x \sqrt{1+x^{2}} d x \)</li><li>\( \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x \)</li><li>\( \int(3 x-2)^{10} d x \)</li><li>\( \int \frac{x}{\sqrt{x-1}} d x \)</li></ol></p><p>풀이 (\(1\)) \( 1+x^{2}=v \)라 놓으면 \( 2 x d x=d v \)이므로 \[\int 2 x \sqrt{1+x^{2}} d x=\int \sqrt{v} d v=\frac{2}{3} v^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}\left(1+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}+C\] (\(2\)) \( \sqrt{x}=v \)라 놓으면 \( \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x=d v \)이므로 \[\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x=2 \int e^{v} d v=2 e^{v}+C=2 e^{\sqrt{x}}+C\] (\(3\)) \( 3 x-2=v \)라 놓으면 \( 3 d x=d v \)이므로 \[\int(3 x-2)^{10} d x=\frac{1}{3} \int v^{10} d v=\frac{1}{33} v^{11}+C=\frac{1}{33}(3 x-2)^{11}+C\] (\(4\)) \( x-1=v \)라 놓으면 \( d x=d v \)이므로 \[\int \frac{x}{\sqrt{x-1}} d x=\int \frac{v+1}{\sqrt{v}} d v=\int \sqrt{v} d v+\int \frac{1}{\sqrt{v}} d v =\frac{2}{3} v^{\frac{3}{2}}+2 \sqrt{v}+C=\frac{2}{3}(x-1)^{\frac{3}{2}}+2 \sqrt{x-1}+C \]</p><p>예제 \(3\) 다음의 부정적분을 구하여라.<ol type= start=1><li>\( \int x \sqrt{2 x-1} d x \)</li><li>\( \int x^{3} \sqrt{4-x^{2}} d x \)</li><li>\( \int \frac{2 x}{\sqrt{4-9 x^{2}}} d x \)</li></ol></p><p>풀이 (\(1\)) \( 2 x-1=v \)라 놓으면 \( x=\frac{v+1}{2} \)이고 \( 2 d x=d v \)이므로 \[\int x \sqrt{2 x-1} d x=\frac{1}{4} \int(v+1) \sqrt{v} d v=\frac{1}{4}\left\{\frac{2}{5} v^{\frac{5}{2}}+\frac{2}{3} v^{\frac{3}{2}}\right\}+C=\frac{1}{10}(2 x-1)^{\frac{5}{2}}+\frac{1}{6}(2 x-1)^{\frac{3}{2}}+C \] (\(2\)) \( 4-x^{2}=v \)라 놓으면 \( -2 x d x=d v \)이므로 \[\int x^{3} \sqrt{4-x^{2}} d x=-\frac{1}{2} \int(4-v) \sqrt{v} d v=-\frac{1}{2}\left\{\frac{8}{3} v^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5} v^{\frac{5}{2}}\right\}+C=-\frac{4}{3}\left(4-x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{5}\left(4-x^{2}\right)^{\frac{5}{2}}+C \] (\(3\)) \( 4-9 x^{2}=v \) 라 치환하면 \( -18 x d x=d v \), 즉 \( 2 x d x=-\frac{1}{9} d v \) 이므로 \[\int \frac{2 x}{\sqrt{4-9 x^{2}}} d x=-\frac{1}{9} \int \frac{-18 x}{\sqrt{4-9 x^{2}}} d x=-\frac{1}{9} \int \frac{1}{\sqrt{v}} d v =-\frac{2}{9} \sqrt{v}+C=-\frac{2}{9} \sqrt{4-9 x^{2}}+C \]</p><h2>연습문제 (\(4-1-1\))</h2><p>\(1\). 다음의 부정적분을 구하여라.</p><ol type= start=1><li>\( \int(2 x+3) d x \)</li><li>\( \int\left(x^{5}-3 x^{2}\right) d x \)</li><li>\( \int \frac{1}{x^{4}} d x \)</li><li>\( \int(2 x-1)^{2} d x \)</li></ol><p>\(2\). 치환적분법에 의해서 다음을 구하여라.<ol type= start=1><li>\( \int 5(x-1)^{4} d x \)</li><li>\( \int\left(2 x^{3}+1\right)^{4} \cdot x^{2} d x \)</li><li>\( \int x \cdot \sqrt{x^{2}+1} d x \)</li><li>\( \int \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^{2}} d x \)</li></ol></p><p>\(3\). 다음의 역도함수를 구하라.<ol type= start=1><li>\( f(x)=2 \)</li><li>\( f(x)=x-\sqrt{3} \)</li><li>\( f(x)=x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}} \)</li><li>\( f(x)=\frac{2}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}} \)</li></ol></p><p>\(4\). \( f(x)=\sqrt{x^{2}+1} \)일 때, \( \int f^{\prime}(x) d x \)와 \( \int f^{\prime \prime}(x) d x \)를 각각 구하여라.</p><p>\(5\). 다음 공식 \[\begin{array}{l} \int f^{(m-1)}(x) g^{(n-1)}(x)\left[n f(x) g^{\prime}(x)+m f^{\prime}(x) g(x)\right] d x \\ =f^{(m)}(x) g^{(n)}(x)+C\end{array}\] 을 증명하여라.</p> <h3>점화공식</h3><p>부분적분을 통한 함수 \( \phi(x) \)의 \( n \)-제곱 \( \phi^{n}(x) \)의 적분과정에서 적당한 함수 \(\psi(x) \)와 적당한 상수 \( 0<r<n, k \) 에 대해서 \[\int \phi^{n}(x) d x=\psi(x)+k \int \phi^{n-r}(x) d x\] 으로 표현될 때가 있는데, 이 공식을 점화공식(reduction formula)이라 한다.</p><p>예제 \(4\) 점화공식 \[\int x^{n} e^{x} d x=x^{n} e^{x}-n \int x^{n-1} e^{x} d x\] 을 유도하고 이를 이용하여 \( \int x^{5} e^{x} d x \)를 구하여라.</p><p>풀이 \( f(x)=x^{n} \)라 하고 \( g^{\prime}(x)=e^{x} \)하면 \( f^{\prime}(x)=n x^{n-1} \)이고 \( g(x)=e^{x} \)이므로 부분적분법에 의하여 다음의 점화공식이 유도된다. \[\int x^{n} e^{x} d x=x^{n} e^{x}-n \int x^{n-1} e^{x} d x\] 이 점화공식에서 지수와 계수를 비교하여 반복적으로 적용하면 \[\int x^{5} e^{x} d x=x^{5} e^{x}-5 \int x^{4} e^{x} d x =x^{5} e^{x}-5\left(x^{4} e^{x}-4 \int x^{3} e^{x} d x\right) =x^{5} e^{x}-5 x^{4} e^{x}+20\left(x^{3} e^{x}-3 \int x^{2} e^{x} d x\right) =x^{5} e^{x}-5 x^{4} e^{x}+20 x^{3} e^{x}-60\left(x^{2} e^{x}-2 \int x e^{x} d x\right) =x^{5} e^{x}-5 x^{4} e^{x}+20 x^{3} e^{x}-60 x^{2} e^{x}+120\left(x e^{x}-\int e^{x} d x\right) =x^{5} e^{x}-5 x^{4} e^{x}+20 x^{3} e^{x}-60 x^{2} e^{x}+120 x e^{x}-120 e^{x}+C \]</p><p>예제 \(5\) 임의의 자연수 \( n \)에 대해서 \( \int \sin ^{n} x d x \)를 구하는 식을 유도하여라.</p><p>풀이 \( f(x)=\sin ^{n-1}(x), g^{\prime}(x)=\sin x \)라 하면 부분적분에 의하여 \[\int \sin ^{n} x d x=-\sin ^{n-1} x \cos x+(n-1) \int \sin ^{n-2} x \cos ^{2} x d x\] 이므로 \( \cos ^{2} x=1-\sin ^{2} x \)를 대입하여 식을 정리하면 \[\int \sin ^{n} x d x=-\frac{\sin ^{n-1} x \cos x}{n}+\frac{(n-1)}{n} \int \sin ^{n-2} x d x\] 을 얻는다.</p><h2>연습문제 (\(4-1-3\))</h2><p>\(1.\) 다음의 부정적분을 구하여라.<ol type= start=1><li>\( \int x \cos x d x \)</li><li>\( \int x \sin 2 x d x \)</li><li>\( \int x^{2} e^{-x} d x \)</li><li>\( \int 2 x^{3} e^{x^{2}} d x \)</li></ol></p><p>2. \( \int \frac{\log x}{x} d x \)를 부분적분과 치환적분법으로 각각 구하여라.</p><p>3. \( \log x=u \)이면 \( x=e^{u} \)임을 이용하여 \( \int \sin (\log x) d x \)를 구하여라.</p><p>4. \( \int \cos ^{n} x d x \)를 구하는 식을 유도하여라.</p><p>5. 점화공식 \( \int x^{n} e^{x} d x=x^{n} e^{x}-n \int x^{n-1} e^{x} d x \)를 유도하고 \( \int x^{3} e^{x} d x \)를 구하여라.</p> <h3>분할</h3><p>구간 \( [a, b] \)에 \( a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b \)인 \( n-1 \)개의 임의의 점 \( x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n-1} \)을 취하여 \( n \)개의 부분구간으로 나눈다. 이때, \[P=\left\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b\right\}\] 를 구간 \( [a, b] \)의 분할(partition)이라 하고 각 부분구간 \( \left[x_{k-1}, x_{k}\right] \)의 길이를 \( \Delta x_{k}= x_{k}-x_{k-1} \)로 나타낼 때 \[\\|P\\|=\max _{k}\left\{\Delta x_{k}: 1 \leq k \leq n\right\}\] 을 분할 \( P \)의 크기(norm)라 한다. 각각의 소구간의 길이는 \( \\|P\\| \)를 넘지 않으므로 \( \\|P\\| \)의 크기를 아주 작게 하면 할수록 분할 \( P \)는 세분(refinement)된다고 말한다.</p><h3>리만(Riemann) 합</h3><p>각각의 소구간 \( \left[x_{k-1}, x_{k}\right] \)에서 임의로 한 표본점(samlpe point) \( \xi_{k} \)을 선정하여 만든 합 \( R(f \), \( P)=\sum_{k=1}^{n} f\left(\xi_{k}\right) \Delta x_{k} \)을 구간 \( [a, b] \) 위에서 함수 \( f \)의 분할 \( P \)에 대한 리만 합이라 한다.</p><h3>적분가능</h3><p>분할 \( P \)를 한없이 세분할 때, 즉 \( \\|P\\| \rightarrow 0 \)으로 할 때 표본점 \( \xi_{k} \)의 선택에 관계없이 리만 합 \( R(f, P) \)가 어떤 일정한 값 \( A \)에 한없이 가까워진다면 함수 \( f(x) \)는 구간 \( [a, b] \)에서 적분가능(integrable)하다고 하며, 이 일정한 값 \( A \)를 \( a \)에서 \( b \)까지의 함수 \( y=f(x) \)의 정적분(또는 리만 적분)이라 하고 \( A=\int_{a}^{b} f(x) d x \ 로 나타낸다. 즉,</p><p>\( \lim _{\\|P\\| \rightarrow 0} R(f, P)=\lim _{\\|P\\| \rightarrow 0} \sum_{k=1}^{n} f\left(\xi_{k}\right) \Delta x_{k}=\int_{a}^{b} f(x) dx \)<caption>\( (2) \)</caption></p><p>또한 다음의 관계를 정의한다.<ol type= start=1><li>\( \int_{a}^{a} f(x) d x=0 \)</li><li>\( \int_{b}^{a} f(x) d x=-\int_{a}^{b} f(x) d x \)</li></ol></p> <h2>2. 초월함수의 적분법</h2><p>여기서는 미분의 역연산과 치환적분법을 이용하여 간단한 초월함수의 적분법과 부정적분이 역삼각함수로 얻어지는 복잡한 대수함수의 적분법을 살펴본다. 또한 여러 가지 형태의 삼각함수에 대한 적분법을 유형별로 살펴본다.</p><p>초월함수의 적분도 우선 이미 알고 있는 간단한 미분공식을 통한 그 역연산의 이해로부터 시작한다.</p><p>정리 4-1-2 삼각함수의 적분 적분과 대응미분<ol type= start=8><li>\( \int \sin x d x=-\cos x+C \Leftrightarrow \frac{d}{d x} \cos x=-\sin x \)</li><li>\( \int \cos x d x=\sin x+C \Leftrightarrow \frac{d}{d x} \sin x=\cos x \)</li><li>\( \int \sec ^{2} x d x=\tan x+C \Leftrightarrow \frac{d}{d x} \tan x=\sec ^{2} x \)</li><li>\( \int \csc ^{2} x d x=-\cot x+C \Leftrightarrow \frac{d}{d x} \cot x=-\csc ^{2} x \)</li><li>\( \int \sec x \tan x d x=\sec x+C \Leftrightarrow \frac{d}{d x} \sec x=\sec x \tan x \)</li><li>\( \int \csc x \cot x d x=-\csc x+C \Leftrightarrow \frac{d}{d x} \csc x=-\csc x \cot x \)</li></ol></p><p>예제 \(1\) 다음의 부정적분을 구하여라.<ol type= start=1><li>\( \int \tan x d x \)</li><li>\( \int \cos 3 x d x \)</li><li>\( \int \sin (2 x+3) d x \)</li></ol></p><p>풀이 (\(1\)) \( \cos x=v \)라 놓으면 \( \sin x d x=-d v \)이므로 \[\int \tan x d x=\int \frac{\sin x}{\cos x} d x=-\int \frac{1}{v} d v=-\log \|v\|+C =-\log \|\cos x\|+C=\log \|\sec x\|+C \] (\(2\)) \( 3 x=v \)라 놓으면 \( 3 d x=d v \)이므로 \[\int \cos 3 x d x=\frac{1}{3} \int \cos v d v =\frac{1}{3} \sin v+C=\frac{1}{3} \sin 3 x+C \] (\(3\)) \( 2 x+3=v \)라 놓으면 \( 2 d x=d v \)이므로 \[\int \sin (2 x+3) d x=\frac{1}{2} \int \sin v d v( =-\frac{1}{2} \cos v+C=-\frac{1}{2} \cos (2 x+3)+C \]</p><p>예제 \(2\) 다음의 부정적분을 구하여라.<ol type= start=1><li>\( \int \frac{\cos 3 x}{\sin ^{2} 3 x} d x \)</li><li>\( \int \tan ^{2} x \sec ^{2} x d x \)</li><li>\( \int \tan ^{2} x d x \)</li></ol></p><p>풀이 (\(1\)) \( \sin 3 x=v \)라 놓으면 \( 3 \cos 3 x d x=d v \)이므로 \[\int \frac{\cos 3 x}{\sin ^{2} 3 x} d x=\frac{1}{3} \int \frac{1}{v^{2}} d v=-\frac{1}{3 v}+C=-\frac{1}{3 \sin 3 x}+C\] (\(2 \)) \( \tan x=v \)라 놓으면 \( \sec ^{2} x d x=d v \)이므로 \[\int \tan ^{2} x \sec ^{2} x d x=\int v^{2} d v=\frac{1}{3} v^{3}+C=\frac{1}{3} \tan ^{3} x+C\] (\(3\)) \( \tan ^{2} x=\sec ^{2} x-1 \)이므로 \[\int \tan ^{2} x d x=\int\left(\sec ^{2} x-1\right) d x=\tan x-x+C\]</p><p>정리 \(4-1-3\) 지수함수의 적분 적분과 대응미분<ol type= start=14><li>\( \int e^{x} d x=e^{x}+C \Leftrightarrow \frac{d}{d x} e^{x}=e^{x} \)</li><li>\( \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\log a}+C \Leftrightarrow \frac{d}{d x} a^{x}=a^{x} \log a, a>0 \)</li></ol></p><p>예제 \(3\) 다음의 부정적분을 구하여라.<ol type= start=1><li>\( \int x e^{x^{2}} d x \)</li><li>\( \int 2^{x+1} d x \)</li><li>\( \int e^{\sin x} \cos x d x \)</li></ol></p><p>풀이 (\(1\)) \( x^{2}=v \)라 놓으면 \( 2 x d x=d v \)이므로 \[\int x e^{x^{2}} d x=\frac{1}{2} \int e^{v} d v =\frac{1}{2} e^{v}+C=\frac{1}{2} e^{x^{2}}+C \] (\(2\)) \( x+1=v \)라 놓으면 \( d x=d v \)이므로 \[\int 2^{x+1} d x=\int 2^{v} d v =\frac{2^{v}}{\log 2}+C=\frac{2^{x+1}}{\log 2}+C \] (\(3\)) \( \sin x=v \)라 놓으면 \( \cos x d x=d v \)이므로 \[\int e^{\sin x} \cos x d x=\int e^{v} d v =e^{v}+C=e^{\sin x}+C \]</p><p>정리 \(4-1-4\) 대수함수의 적분 Ⅰ 적분과 대응미분<p>\(16\). \( \int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=\sin ^{-1} x+C \)</p><p>\(16(\mathrm{a})\). \( \int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} d x=\sin ^{-1} \frac{x}{a}+C \Leftrightarrow \frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \)</p><p>\(17\). \( \int \frac{1}{1+x^{2}} d x=\tan ^{-1} x+C \)</p>\( 17(\mathrm{a}) . \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}} d x=\frac{1}{a} \tan ^{-1} \frac{x}{a}+C \Leftrightarrow \frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} x\right)=\frac{1}{1+x^{2}} \)</p><p>\(18\). \( \int \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} d x=\sec ^{-1}\|x\|+C \Leftrightarrow \frac{d}{d x}\left(\sec ^{-1} x\right)=\frac{1}{\|x\| \sqrt{x^{2}-1}},\|x\|>1 \)</p></p><p>예제 \(4\) 다음의 부정적분을 구하여라.<ol type= start=1><li>\( \int \frac{x}{\sqrt{9-4 x^{4}}} d x \)</li><li>\( \int \frac{1}{25+x^{2}} d x \)</li><li>\( \int \frac{1}{\sqrt{9-4 x^{2}}} d x \)</li><li>\( \int \frac{\cos x}{16+\sin ^{2} x} d x \)</li></ol></p><p>풀이 (\(1\)) \( 2 x^{2}=v \)라 놓으면 \( 4 x d x=d v \)이므로 \[\int \frac{x}{\sqrt{9-4 x^{4}}} d x=\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{3^{2}-v^{2}}} d v =\frac{1}{4}\left(\sin ^{-1} \frac{v}{3}+C_{1}\right)=\frac{1}{4} \sin ^{-1} \frac{2 x^{2}}{3}+C \] (\(2\)) 공식 \( 17(\mathrm{a}) \)에 의하여 \[\int \frac{1}{25+x^{2}} d x=\frac{1}{5} \tan ^{-1} \frac{x}{5}+C\] (\(3\)) 피적분함수를 변형하면 \( \frac{1}{\sqrt{9-4 x^{2}}}=\frac{1}{3 \sqrt{1-(2 x / 3)^{2}}} \)이다. 이때 \( \frac{2 x}{3}=v \)로 치환하면 \( d x=\frac{3}{2} d v \)이고, 따라서 \[\int \frac{1}{\sqrt{9-4 x^{2}}} d x=\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1-v^{2}}} d v =\frac{1}{2} \sin ^{-1} v+C=\frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{2}{3} x+C \] (\(4\)) \( \sin x=v \)로 치환하면 \( \cos d x=d v \)이므로 주어진 적분은 \[\int \frac{\cos x}{16+\sin ^{2} x} d x=\int \frac{1}{4^{2}+v^{2}} d v =\frac{1}{4} \tan ^{-1} \frac{v}{4}+C=\frac{1}{4} \tan ^{-1}\left(\frac{\sin x}{4}\right)+C \]</p><p>정리 \(4-1-5\) 대수함수의 적분 \( \mathrm{II} \) 적분과 대응미분<p>\(19\). \( \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} d x=\sinh ^{-1} x+C \Leftrightarrow \frac{d}{d x} \sinh ^{-1} x=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} \)</p><p>\(20\). \( \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} d x=\cosh ^{-1} x+C \Leftrightarrow \frac{d}{d x} \cosh ^{-1} x=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}, x>1 \)</p><p>\(21\). \( \int \frac{1}{1-x^{2}} d x=\tanh ^{-1} x+C \Leftrightarrow \frac{d}{d x} \tanh ^{-1} x=\frac{1}{1-x^{2}},-1<x<1 \)</p><p>\(22\). \( \int \frac{-1}{x \sqrt{1-x^{2}}} d x=\operatorname{sech}^{-1} x+C \Leftrightarrow \frac{d}{d x} \operatorname{sech}^{-1} x=\frac{-1}{x \sqrt{1-x^{2}}}, 0<x<1 \)</p></p><p>예제 \(5\) 다음의 부정적분을 구하여라.<ol type= start=1><li>\( \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+2 x-3}} d x \)</li><li>\( \int \frac{1}{\sqrt{4 x^{2}+4 x}} d x \)</li></ol></p><p>풀이 (\(1\)) 식을 변형하면 \[\sqrt{x^{2}+2 x-3}=\sqrt{(x+1)^{2}-2^{2}}=2 \sqrt{\left(\frac{x+1}{2}\right)^{2}-1}\] 이고, \( \frac{x+1}{2}=v \)라 놓으면 \( d x=2 d v \)이므로 \[\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+2 x-3}} d x=\int \frac{1}{\sqrt{v^{2}-1}} d v =\cosh ^{-1} v+C=\cosh ^{-1}\left(\frac{x+1}{2}\right)+C \] (\(2\)) \( \sqrt{4 x^{2}+4 x}=\sqrt{(2 x+1)^{2}-1} \)이므로 \( 2 x+1=t \)로 치환하면 \( d x=\frac{1}{2} d t \)이므로 \[\int \frac{1}{\sqrt{4 x^{2}+4 x}} d x=\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t^{2}-1}} d t=\frac{1}{2} \cosh ^{-1} t+C =\frac{1}{2} \cosh ^{-1}(2 x+1)+C \]</p> <h3>구분구적법</h3><p>폐구간 \( [a, b] \)에서 앞의 정리를 만족하는 함수 \( f \)는 항상 적분가능하므로, 정적분값은 구간 \( [a, b] \)의 분할 \( P \)와 소구간에서의 대표점들을 어떻게 선택하느냐에 관계없이 일정하다. 따라서 정적분을 계산할 때 보통 분할은 소구간의 길이를 같게 하는 균등분할을 택하며 소구간의 대표점은 끝점을 택한다. 즉, 구간의 길이와 대표점은<p>\(\Delta x_{k}=\frac{b-a}{n}, \quad \xi_{k}=a+\frac{b-a}{n} k\)</p>이고, 따라서<p>\(\int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(a+\frac{b-a}{n} k\right) \frac{b-a}{n}\)<caption>(5)</caption></p>이다. 이와 같은 정적분 계산법을 구분구적법이라고 한다.</p><p>예제 \(3\) 정적분의 정의에 의해서 다음 적분값을 구하여라.<ol type= start=1><li>\( \int_{-3}^{1}(2-x) d x \)</li><li>\( \int_{-2}^{1}\left(x^{2}-4 x\right) d x \)</li></ol></p><p>풀이<p>(\(1\)) 구간 \( [-3,1] \)을 \( n \)등분하면 소구간의 길이는 모두 \( \frac{4}{n} \)이고, 각 소구간 \( \left[x_{k-1}, x_{k}\right] \)에서의 대표점을 \( \xi_{k}=-3+\frac{4}{n} k \)로 택하면 \( f\left(\xi_{k}\right)=2-\left(-3+\frac{4}{n} k\right)=5-\frac{4}{n} k f\left(\xi_{k}\right)=2-\left(-3+\frac{4}{n} k\right)=5-\frac{4}{n} k\)이다. 따라서 구하는 정적분은 \( \int_{-3}^{1}(2-x) d x=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}\left(5-\frac{4}{n} k\right) \frac{4}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{20}{n}-\frac{16}{n^{2}} k\right) =\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{20}{n} \times n-\frac{16}{n^{2}} \times \frac{n(n+1)}{2}\right] =20-8=12 \)</p><p>(\(2\)) 구간 \( [-2,1] \)을 \( n \)등분하면 소구간의 길이는 모두 \( \frac{3}{n} \)이고, 각 소구간 \( \left[x_{k-1}, x_{k}\right] \)에서의 대표점을 \( \xi_{k}=-2+\frac{3}{n} k \)로 택하면 \(f\left(\xi_{k}\right)=\left(-2+\frac{3}{n} k\right)^{2}-4\left(-2+\frac{3}{n} k\right)=12-\frac{24}{n} k+\frac{9}{n^{2}} k^{2}\) 이다. 따라서 구하는 정적분은 \[ \int_{-2}^{1}\left(x^{2}-4 x\right) d x=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}\left(12-\frac{24}{n} k+\frac{9}{n^{2}} k^{2}\right) \frac{3}{n} =\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{36}{n}-\frac{72}{n^{2}} k+\frac{27}{n^{3}} k^{2}\right) =\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{36}{n} \cdot n-\frac{72}{n^{2}} \cdot \frac{n(n+1)}{2}+\frac{27}{n^{3}} \cdot \frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\right] =36-36+9=9 \]</p><p>주의 기억해야 할 점은 정적분은 어떤 구간에서 리만 합의 극한으로 정의된 값(숫자)이라는 것이다. 또한, 함수 \(f\)가 주어진 구간 \( [a, b] \)에서 음이 아니면 정적분 \( \int_{a}^{b} f(x) d x \) 값은 바로 함수의 그래프가 \( x- \)축과 이룬 영역의 면적과 같다는 것은 자명하다. 따라서 정의에서 볼 수 있듯이 정적분은 부정적분과 달리 적분변수를 달리해도 단지 축의 또 다른 표현일 뿐 정적분값은 언제나 같다. 즉, 임의의 변수 \( u \)에 대해서 \( \int_{a}^{b} f(u) d u=\int_{a}^{b} f(x) d x \)이다.</p> <p>다음은 역도함수를 이용해서 정적분을 계산하는 방법을 제시하는 매우 유용한 정리이다. 따라서 이제부터는 정적분을 극한으로 계산하지 않고 대부분 미적분학의 제 \(2\) 기본정리라 불리는 이 정리를 사용할 것인데, 이 정리가 보통 말하는 미적분학의 기본정리이다.</p><p>정리 \(4-2-6\) 미적분학의 제 \(2\)기본정리 함수 \( y=f(x) \)가 구간 \( [a, b] \)에서 연속이고, \( F \)가 \( [a, b] \) 에서 \( f \)의 역도함수라면<p>\(\int_{a}^{b} f(x) d x=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)\)<caption>(7)</caption></p>가 성립한다.</p><p>증명 구간 \( [a, b] \)의 임의의 분할을 \( P=\left\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b\right\} \)라 놓으면 다음 등식이 성립한다.<p>\( F(b)-F(a)=F\left(x_{n}\right)-F\left(x_{0}\right) =\left\{F\left(x_{n}\right)-F\left(x_{n-1}\right)\right\}+\left\{F\left(x_{n-1}\right)-F\left(x_{n-2}\right)\right\} +\cdots+\left\{F\left(x_{1}\right)-F\left(x_{0}\right)\right\} =\sum_{k=1}^{n}\left\{F\left(x_{k}\right)-F\left(x_{k-1}\right)\right\} \)</p>이때, 각각의 소구간 \( \left[x_{k-1}, x_{k}\right] \)에서 함수 \( f(x) \)의 미분에 관한 평균값 정리를 적용하면 각각의 \( k \)에 대해서 적당한 \( \xi_{k} \in\left[x_{k-1}, x_{k}\right] \)이 존재하여 \[ F\left(x_{k}\right)-F\left(x_{k-1}\right)=F^{\prime}\left(\xi_{k}\right)\left(x_{k}-x_{k-1}\right)=f\left(\xi_{k}\right) \Delta x_{k} \] 가 성립한다. 따라서 \[ F(b)-F(a)=\sum_{k=1}^{n} f\left(\xi_{k}\right) \Delta x_{k} \] 이고 이것은 임의의 모든 분할 \( P \)에 대해서 항상 성립하므로 \[ F(b)-F(a)=\lim _{\\|P\\| \rightarrow 0} \sum_{k=1}^{n} f\left(\xi_{k}\right) \Delta x_{k}=\int_{a}^{b} f(x) d x \] 을 만족한다.</p><p>위의 미적분학의 기본정리를 이용하면 다음 정적분은 매우 쉽고 간단하게 구할 수 있다.</p><p>예제 \(8\) 다음 정적분값을 구하여라.<ol type= start=1><li>\( \int_{-3}^{1}(2-x) d x \)</li><li>\( \int_{-2}^{1}\left(x^{2}-4 x\right) d x \)</li><li>\( \int_{0}^{1} x e^{x} d x \)</li><li>\( \int_{0}^{\pi / 4} \sin ^{3} 3 x \cos 3 x d x \)</li></ol></p><p>풀이 (1) \( F(x)=2 x-\frac{1}{2} x^{2} \) 은 \( f(x)=2-x \) 의 하나의 역도함수이므로 구하는 정적분은 \[ \begin{aligned} \int_{-3}^{1}(2-x) d x &=F(1)-F(-3) \\ &=\left(2-\frac{1}{2}\right)-\left(-6-\frac{9}{2}\right)=12 \end{aligned} \] (2) \( F(x)=\frac{x^{3}}{3}-2 x^{2} \) 은 \( f(x)=x^{2}-4 x \) 의 하나의 역도함수이므로 구하는 정적분은 \[ \begin{aligned} \int_{-2}^{1}\left(x^{2}-4 x\right) d x &=F(1)-F(-2) \\ &=\left(\frac{1}{3}-2\right)-\left(-\frac{8}{3}-8\right)=9 \end{aligned} \] (3) 부분적분에 의하여 \[ \begin{aligned} \int_{0}^{1} x e^{x} d x &=\left[x e^{x}\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1} e^{x} d x \\ &=\left[x e^{x}\right]_{0}^{1}-\left[e^{x}\right]_{0}^{1}=e-(e-1)=1 \end{aligned} \] (4) 치환에 의하여 함수 \( f(x)=\sin ^{3} 3 x \cos 3 x \) 의 부정적분을 구하자. 이제 \( \sin 3 x \) \( =v \) 라 놓으면 \( 3 \cos 3 x d x=d v \) 이므로 \[ \begin{aligned} \int \sin ^{3} 3 x \cos 3 x d x &=\frac{1}{3} \int v^{3} d v \\ &=\frac{1}{12} v^{4}+C=\frac{1}{12} \sin ^{4} 3 x+C \end{aligned} \] 이다. 그러므로 구하는 정적분은 \[ \int_{0}^{\pi / 4} \sin ^{3} 3 x \cos 3 x d x=\left[\frac{1}{12} \sin ^{4} 3 x\right]_{0}^{\pi / 4}=\frac{1}{48} \]</p> <p>정리 \(4-2-11\) 주기함수의 정적분 함수 \( f \)가 주기가 \( p \)인 주기함수이면<p>\(\int_{a+p}^{b+p} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(x) d x\)<caption>\( (12) \)</caption></p>를 만족한다.</p><p>증명 함수 \( f \)가 주기가 \( p \)인 주기함수라는 조건과 \( x+p=t \)로 치환하면 정적분의 추이성(따름정리 \(4-2-9\))에 의하여 \[\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a+p}^{b+p} f(t-p) d t=\int_{a+p}^{b+p} f(t) d t=\int_{a+p}^{b+p} f(x) d x\] 를 만족한다.</p><p>예제 \(13\) 정적분 \( \int_{0}^{2 \pi}\|\sin x\| d x \)의 값을 구하여라.</p><p>풀이 \( f(x)=\|\sin x\| \)는 주기가 \( \pi \)인 주기함수이므로 위의 정리에 의하여 \(\int_{0}^{2 \pi}\|\sin x\| d x=\int_{0}^{\pi}\|\sin x\| d x+\int_{0+\pi}^{\pi+\pi}\|\sin x\| d x\) \( =\int_{0}^{\pi}\|\sin x\| d x+\int_{0}^{\pi}\|\sin x\| d x \) \( \left.=2 \int_{0}^{\pi} \sin x d x=-2 \cos x\right]_{0}^{\pi}=4 \)</p><p>정적분의 계산에 미적분학의 기본정리를 이용할 수 있는 필요조건은 적분구간(폐구간)에서 피적분함수가 연속인 것이다. 예를 들어, \( \int_{0}^{1} 1 / x d x \)에서 피적분함수 \( f(x)=\frac{1}{x} \)이 \( x=0 \)에서 연속이 아니므로 역도함수에 양 끝점을 대입하여 정적분을 계산하는 과정에서 문제가 발생한다. 즉, \( f(x) \)의 역도함수인 \( F(x)=\ln x \) 에서 \( F(0) \)는 정의되지 않는다. 이와 같은 경우는 다음과 같이 정적분에 대한 극한으로 계산해야 한다.</p><h3>특이적분</h3><p>정적분 \( \int_{a}^{b} f(x) d x \)가 다음 중 적어도 하나의 경우에 해당될 때, 이를 특이적분 (improper integral)이라 한다. (A) 양 끝점을 포함한 적분구간 내에서 \( f \)의 값이 무한대가 되는 점이 적어도 하나 존재하는 경우 (B) \( a=-\infty \)이거나 \( b=\infty \) (또는 양쪽 모두 무한대)인 경우 위에서 언급한 두 가지 경우의 특이적분은 다음과 같은 방법에 의해서 계산한다. (A) 구간 내의 한 점 \( c \in(a, b) \)에서 \( f(c)=\infty \)인 경우는<p>\(\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{b} f(x) d x\) \( =\lim _{s \rightarrow c^{-}}\left[\int_{a}^{s} f(x) d x\right]+\lim _{t \rightarrow c^{+}}\left[\int_{t}^{b} f(x) d x\right] \)<caption>\( (13) \)</caption></p>(B) \( a=-\infty \) 이거나 \( b=\infty \)인 경우는 \(\int_{-\infty}^{b} f(x) d x=\lim _{s \rightarrow-\infty}\left[\int_{s}^{b} f(x) d x\right] \int_{a}^{\infty} f(x) d x=\lim _{t \rightarrow \infty}\left[\int_{a}^{t} f(x) d x\right] \)<caption>\( (14) \)</caption></p><p>예제 \(14\) 다음의 적분을 계산하여라.<ol type= start=1><li>\( \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x \)</li><li>\( \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x \)</li><li>\( \int_{-1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x \)</li></ol></p><p>풀이<p>(\(1\)) \( f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} \)이라 하면 \( f(x) \)는 \( x=0 \)에서 정의되지 않으므로 미적분학의 기본 정리를 직접 사용할 수 없는 특이적분이다. 그러므로 다음의 방법에 의하여 계산한다. \[\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x=\lim _{k \rightarrow 0^{+}}\left[\int_{k}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x\right]\] \( =\lim _{k \rightarrow 0^{+}}\left[2 x^{\frac{1}{2}}\right]_{k}^{1} \) \( =\lim _{k \rightarrow \infty}\left(-\frac{1}{k}+1\right)=1 \)</p><p>(\(2\)) 무한대까지의 적분이므로 특이적분법을 사용하여 다음과 같이 계산한다. \(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x=\lim _{k \rightarrow \infty}\left[\int_{1}^{k} \frac{1}{x^{2}} d x\right]\) \( =\lim _{k \rightarrow \infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{k} \) \( =\lim _{k \rightarrow \infty}\left(-\frac{1}{k}+1\right)=1 \)</p><p>(\(3\)) \( f(x)=\frac{1}{x^{2}} \)이라 하면 적분구간 \( [-1,2] \) 안에 \( f(x) \)의 값이 무한대가 되는 점 \(0\)이 있다. 그러므로 특이적분 계산법에 의하여 \(\int_{-1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x=\int_{-1}^{0} \frac{1}{x^{2}} d x+\int_{0}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x\) \( =\lim _{s \rightarrow 0^{-}}\left[\int_{-1}^{s} \frac{1}{x^{2}} d x\right]+\lim _{t \rightarrow 0^{+}}\left[\int_{t}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x\right] \) \( =\lim _{s \rightarrow 0^{-}}\left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{s}+\lim _{t \rightarrow 0^{+}}\left[-\frac{1}{x}\right]_{t}^{2} \) \( =\lim _{s \rightarrow 0^{-}}\left[-\frac{1}{s}-1\right]+\lim _{t \rightarrow 0^{+}}\left[-\frac{1}{2}+\frac{1}{t}\right]_{t}^{2} \) \( =\infty+\infty=\infty \)</p></p><h2>연습문제 (\(4-2-1\))</h2><p>\(1\). \( f(x)=x^{2}+2 \)에 대하여 구간 \( [-1,2] \)를 \(3\)개의 소구간과 \(6\)개의 소구간으로 균등분할하고 각 소구간의 중점을 표본으로 하여 리만 합을 각각 구하여라.</p><p>\(2\). 정의에 의하여 (균등분할) 다음의 정적분을 구하여라.<ol type= start=1><li>\( \int_{-1}^{2}\left(x^{2}-1\right) d x \)</li><li>\( \int_{0}^{4}\left(x^{2}-2 x\right) d x \)</li></ol></p><p>\(3\). 미적분학의 기본정리를 이용하여 다음을 구하여라.<ol type= start=1><li>\( \int_{0}^{2} x^{4} d x \)</li><li>\( \int_{0}^{4} \sqrt{x} d x \)</li><li>\( \int_{5}^{8} \sqrt{3 x+1} d x \)</li><li>\( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(2 x+\cos x) d x \)</li></ol></p><p>\(4\). 대칭성과 주기를 이용하여 다음의 정적분을 구하여라.<ol type= start=1><li>\( \int_{-\pi}^{\pi}(\sin x+\cos x) d x \)</li><li>\( \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos x} d x \)</li><li>\( \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{5 \pi}{8}} \sin x d x \)</li><li>\( \int_{0}^{4 \pi}\|\cos x\| d x \)</li></ol></p><p>\(5\). 특이적분 \( \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}} d x \)를 구하고 \( p \)의 값에 따른 수렴성을 판정하여라.</p> <p>따름정리 \(4-2-9\) 추이성 함수 \( f \)가 연속일 때<p>\(\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a-c}^{b-c} f(x+c) dx\)<caption>\( (10) \)</caption></p>을 만족한다.</p><p>증명 \( \quad x+c=t \)라 놓으면 위의 치환정리에 의하여 증명이 된다.</p><p>예제 \(11\) 정적분 \( \int_{-1}^{0} x(x+1)^{7} d x \)의 값을 구하여라.</p><p>풀이 \( f(x)=x(x+1)^{7} \)이라면 \( f(x-1)=x^{7}(x-1) \) 이므로 주어진 적분은 \(\int_{-1}^{0} x(x+1)^{7} d x=\int_{-1+1}^{0+1} x^{7}(x-1) d x( =\int_{0}^{1}\left(x^{8}-x^{7}\right) d x=\left[\frac{x^{9}}{9}-\frac{x^{8}}{8}\right]_{0}^{1}=-\frac{1}{72} \)</p><p>정리\(4-2-10\) 대칭정리 구간 \( [-a, a] \)에서 적분가능한 함수 \( f \)에 대해서<p>\( \int_{-a}^{a} f(x) d x=\left\{\begin{array}{cc} 0, & f(x) \text {는 기함수} \\ 2 \int_{0}^{a} f(x) d x, & f(x) \text {는 우함수} \end{array}\right.\)<caption>(11)</caption></p>을 만족한다.</p><p>증명 정적분의 성질에 의하여 \[\int_{-a}^{a} f(x) d x=\int_{-a}^{0} f(x) d x+\int_{0}^{a} f(x) d x\] 이므로 ⅰ) \( f(x) \)가 기함수인 경우 구간 내의 모든 \( x \)에 대해서 \( f(-x)=-f(x) \)를 만족하므로 \(\int_{-a}^{0} f(x) d x=\int_{a}^{0} f(-t)(-d t)=\int_{a}^{0} f(t) d t( =-\int_{0}^{a} f(t) d t=-\int_{0}^{a} f(x) d x \)가 되어 \( \int_{-a}^{a} f(x) d x=0 \)이다. ⅱ) \( f(x) \)가 우함수인 경우 구간 내의 모든 \( x \)에 대해서 \( f(-x)=f(x) \)를 만족하므로 \( \int_{-a}^{0} f(x) d x=\int_{a}^{0} f(-t)(-d t)=-\int_{a}^{0} f(t) d t \) \( =\int_{0}^{a} f(t) d t=\int_{0}^{a} f(x) d x \)가 되어 \( \int_{-a}^{a} f(x) d x=2 \int_{0}^{a} f(x) d x \) 이다.</p><p>예제 \(12\) 다음의 정적분을 구하여라.<ol type= start=1><li>\( \int_{-\pi}^{\pi}(\sin x+\cos x)^{2} d x \)</li><li>\( \int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} \frac{\sin x}{1+\cos x} d x \)</li></ol></p><p>풀이 (\(1\)) \( (\sin x+\cos x)^{2}=1+2 \sin x \cos x \)이고 \( f(x)=\sin x \cos x \)는 기함수이므로 대칭구간에서의 정적분은 \(0 \)이다. 따라서 \[\int_{-\pi}^{\pi}(\sin x+\cos x)^{2} d x=\int_{-\pi}^{\pi}(1+2 \sin x \cos x) dx =\int_{-\pi}^{\pi} d x+2 \int_{-\pi}^{\pi} \sin x \cos x d x =2 \pi \] 이다. (\(2\)) \( f(x)=\frac{\sin x}{1+\cos x} \)는 기함수이므로 대칭구간에서의 정적분값은 \(0\)이다. 즉, \[\int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} \frac{\sin x}{1+\cos x} dx=0.\]</p> <h2>3. 부분적분법</h2><p>피적분함수가 두 함수의 곱으로 표현되어 있는 경우에 적용할 수 있는 적분법의 하나인 부분적분(integration by parts)을 소개한다. 이것은 두 함수의 곱의 미분을 역으로 이용한 것으로 다음과 같다.</p><h3>부분적분법</h3><p>두 함수 \( f(x) \)와 \( g(x) \)의 곱을 미분하면 \[\{f(x) g(x)\}^{\prime}=f(x) g^{\prime}(x)+f^{\prime}(x) g(x)\] 이므로 \[f(x) g^{\prime}(x)=\{f(x) g(x)\}^{\prime}-f^{\prime}(x) g(x)\] 이고 양변 적분에 의해서 다음 관계식을 얻는다. \[\int f(x) g^{\prime}(x) d x=f(x) g(x)-\int f^{\prime}(x) g(x) d x\] 여기서 \( u=f(x), v=g(x) \)라 하면 \( d u=f^{\prime}(x) d x, d v=g^{\prime}(x) d x \)이므로 위의 관계식을 보통 다음과 같이 간단히 쓴다. \[\int u d v=u v-\int v d u\]</p><p>예제 \(1\) 다음의 부정적분을 구하여라.<ol type= start=1><li>\( \int x e^{x} d x \)</li><li>\( \int x \sin x d x \)</li></ol></p><p>풀이 (\(1 \)) \( f(x)=x, g^{\prime}(x)=e^{x} \)라 하면 \( f^{\prime}(x)=1, g(x)=e^{x} \)이므로 \[\int x e^{x} d x=x e^{x}-\int e^{x} d x=x e^{x}-e^{x}+C\] (\(2 \)) \( f(x)=x, g^{\prime}(x)=\sin x \)라 하면 \( f^{\prime}(x)=1, g(x)=-\cos x \)이므로\[ \int x \sin x d x=-x \cos x+\int \cos x d x=-x \cos x+\sin x+C \]</p><p>예제 \(2\) 다음의 부정적분을 구하여라.<ol type= start=1><li>\( \int \log x d x \)</li><li>\( \int \sin ^{-1} x d x \)</li></ol></p><p>풀이 (\(1\)) \( f(x)=\log x, g^{\prime}(x)=1 \)이라 하면 \( f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}, g(x)=x \)이므로 \[ \int \log x d x=x \log x-\int d x=x \log x-x+C \] (\(2\)) \( f(x)=\sin ^{-1} x, g^{\prime}(x)=1 \)이라 하면 \( f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}, g(x)=x \)이므로 \[\int \sin ^{-1} x d x=x \sin ^{-1} x-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x\] 이 되고, 우변의 적분은 \( 1-x^{2} \)을 치환하여 풀면 \[\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=-\sqrt{1-x^{2}}+C\] 이므로 주어진 적분은 \[\int \sin ^{-1} x d x=x \sin ^{-1} x+\sqrt{1-x^{2}}+C\]</p><p>경우에 따라서는 부분적분을 한 번 적용해서 결과를 얻을 수 없고 여러 번 반복해야 할 경우가 있다. 또한, 부분적분법을 반복적용한 결과에 다시 원래의 문제형태가 나타나는 경우가 있는데, 다음 예제를 통하여 이런 경우의 해결법을 살펴보자.</p><p>예제 \(3 \) 다음의 부정적분을 구하여라.<ol type= start=1><li>\( \int x^{2} \cos x d x \)</li><li>\( \int e^{x} \sin x d x \)</li></ol></p><p>풀이 (\(1\)) \( f(x)=x^{2}, g^{\prime}(x)=\cos x \)라 하면 \( f^{\prime}(x)=2 x, g(x)=\sin x \)이므로 부분적분법에 의해서 \[\int x^{2} \cos x d x=x^{2} \sin x-\int 2 x \sin x d x\] 을 얻을 수 있는데, 우변의 적분식은 다시 한번 부분적분법을 적용하여야 한다. 실제로 \[\int 2 x \sin x d x=-2 x \cos x+2 \sin x+C\] 이므로 결과는 \[\int x^{2} \cos x d x=x^{2} \sin x+2[x \cos x-\sin x]+C\] (\(2\)) \( f(x)=\sin x, g^{\prime}(x)=e^{x} \)라 하면 \( f^{\prime}(x)=\cos x, g(x)=e^{x} \) 이므로 부분적분법에 의하여 \[\int e^{x} \sin x d x=e^{x} \sin x-\int e^{x} \cos x d x\] 를 얻는다. 우변의 적분식에 다시 부분적분법을 적용하여 보자. 즉, \( p(x)= \) \( \cos x, q^{\prime}(x)=e^{x} \)라 하면 \( f^{\prime}(x)=\cos x, g(x)=e^{x} \) 이므로 \[\int e^{x} \cos x d x=e^{x} \cos x+\int e^{x} \sin x d x\] 이다. 여기서 주어진 적분을 \( \int e^{x} \sin x d x=A \)라 하면 \[A=e^{x} \sin x-\left(e^{x} \cos x+A\right)\] 이므로 우변의 \( A \)를 좌변으로 이항하여 정리하면 다음의 결론을 얻는다. 즉, \[\int e^{x} \sin x d x=\frac{1}{2}\left(e^{x} \sin x-e^{x} \cos x\right)+C\]</p> <h2>\(2\). 정적분 근사해법과 함수의 평균값</h2><p>정해진 구간에서 연속함수이지만 역도함수의 형태를 찾을 수 없을 경우 사다리꼴 법칙이나 심프슨 법칙(Simpson's Rule)과 같은 수치적인 방법이 매우 용이하게 사용된다. 여기서는 정적분의 근사해법과 함수의 평균값에 대하여 소개한다.</p><h3>사다리꼴 법칙</h3><p>구간 \( [a, b] \)의 균등분할점 \( a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b \)에 대하여 \[y_{0}=f(a), y_{1}=f\left(x_{1}\right), \cdots, y_{n-1}=f\left(x_{n-1}\right), y_{n}=f(b)\] 라 할 때, 정적분 \( \int_{a}^{b} f(x) d x \)를 추정하기 위해서<p>\(T=\frac{h}{2}\left(y_{0}+2 y_{1}+2 y_{2}+\cdots+2 y_{n-1}+y_{n}\right)\)<caption>(15)</caption></p>을 이용한다. 이때, \( h=\frac{b-a}{n} \)이다.</p><p>예제 \(1\) 정적분 \( \int_{0}^{1} x^{2} d x \)의 값을 \( n=5 \)인 사다리꼴 법칙을 이용하여 추정하여라.</p><p>풀이 \( x_{k}=\frac{k}{5}, k=0,1, \cdots, 5 \)이므로 \( y_{k}=\left(\frac{k}{5}\right)^{2} \)이고, 따라서 \[T=\frac{1}{10}\left(0+2\left(\frac{1}{25}+\frac{4}{25}+\frac{9}{25}+\frac{16}{25}\right)+1\right) =\frac{85}{250}=0.34\] 이다.</p><p>정리 \(4-2-12\) 사다리꼴 법칙에 대한 오차의 한정 \( f^{\prime \prime} \)이 연속이고 \( M \)이 \( [a, b] \) 상에서 \( \left\|f^{\prime \prime}\right\| \)의 하나의 상계라면, 사다리꼴 법칙을 이용한 정적분 \( \int_{a}^{b} f(x) d x \) 계산에서의 오차 \( E_{T} \)는 다음 부등식을 만족한다.<p>\(\left\|E_{T}\right\| \leq \frac{b-a}{12} h^{2} M \)<caption>(16)</caption></p></p><p>예제 \(2\) 예제 \(1\)에서 얻어진 근삿값의 오차의 상계를 구하여라.</p><p>풀이 \( f^{\prime \prime}=2 \)이므로 \( M=2 \)라 할 수 있으며 \( b-a=1 \)이고 \( h=\frac{1}{5} \)이므로 \[\left\|E_{T}\right\| \leq \frac{1}{12}\left(\frac{1}{5}\right)^{2}(2)=\frac{1}{150}\] 이다.</p><p>실제로 정적분 \( \int_{0}^{1} x^{2} d x=\frac{1}{3} \)이므로 오차 \( E_{T} \)는 \( \frac{17}{50}-\frac{1}{3}=\frac{1}{150} \)인데, 이것이 위에서 계산한 오차의 상계와 정확히 일치하는 이유는 \( f^{\prime \prime} \)이 상수함수이기 때문이다. 일직선상에 있지 않는 세 점은 하나의 포물선을 형성하는데 심프슨 법칙은 사다리꼴 대신에 이 포물선의 근삿값을 구하는 데 사용한다.</p><h3>심프슨 법칙</h3><p>구간 \( [a, b] \)의 균등분할점 \( a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b \)에 대하여 \[y_{0}=f(a), y_{1}=f\left(x_{1}\right), \cdots, y_{n-1}=f\left(x_{n-1}\right), y_{n}=f(b)\] 라 할 때, 정적분 \( \int_{a}^{b} f(x) d x \)를 추정하기 위해서<p>\(S=\frac{h}{3}\left(y_{0}+4 y_{1}+2 y_{2}+4 y_{3}+2 y_{2}+\cdots+2 y_{n-2}+4 y_{n-1}+y_{n}\right)\)<caption>(17)</caption></p>을 이용한다. 이때, \( n \)은 짝수이고 \( h=\frac{b-a}{n} \)이다.</p><p>정리 \(4-2-13\) 심프슨 법칙에 대한 오차의 한정 \( f^{(4)} \)이 연속이고 \( M \)이 \( [a, b] \) 상에서 \( \left\|f^{(4)}\right\| \)의 하나의 상계라면, 심프슨 법칙을 이용한 정적분 \( \int_{a}^{b} f(x) d x \) 계산에서의 오차 \( E_{S} \)는 다음 부등식을 만족한다.<p>\(\left\|E_{S}\right\| \leq \frac{b-a}{180} h^{4} M\)<caption>(18)</caption></p></p><p>예제 \( 3 n=4 \)일 때 심프슨 법칙을 이용하여 \( \int_{0}^{1} 10 x^{4} d x \)의 근삿값을 추정하고 오차의 상계를 구하여라. \[f(x)=10 x^{4}, \quad h=\frac{1}{4}, \quad y_{k}=10\left(\frac{k}{4}\right)^{4}, \quad k=0,1,2,3,4\] \[S=\frac{1}{12}\left(0+4\left(\frac{10}{256}\right)+2\left(\frac{160}{256}\right)+4\left(\frac{810}{256}\right)+10\right)=2.005208 \dot{3} \] \( f^{(4)}=240 \)이므로 \( M=240 \)으로 놓을 수 있다. 따라서 오차는 \[\left\|E_{S}\right\| \leq \frac{1}{180}\left(\frac{1}{4}\right)^{4}(240)=0.005208 \dot{3}\]</p> <h3>여러형태의 삼각함수 적분법</h3><p>삼각공식의 이용과 적절한 치환에 의하여 다음 여러 가지의 형태의 삼각함수의 부정적분을 구할 수 있다.</p><p>[형태 \(1\)] \( \int \sin ^{n} x d x \) (또는 \( \left.\int \cos ^{n} x d x\right) \)<p>(\(1\)) \( n \)이 홀수인 경우: \( \sin ^{n} x=\sin ^{n-1} x \sin x \)에서 \( \sin ^{n-1} x \)를 \( \cos x \)의 식으로 변환하고 \( \cos x=v \)로 치환한다. (또는 \( \cos ^{n} x=\cos ^{n-1} x \cos x \)에서 \( \cos ^{n-1} x \)를 \( \sin x \)의 식으로 변환하고 \( \sin x=v \)로 치환)<p>(\(2\)) \( n \)이 짝수인 경우: 배각공식을 사용하여 \( \sin ^{n} x \) (또는 \( \cos ^{n} x \) )를 코사인의 \(1\)차식으로 변환한다.</p></p><p>예제 \(6\) 다음의 부정적분을 구하여라.<ol type= start=1><li>\( \int \sin ^{2} x d x \)</li><li>\( \int \sin ^{3} x d x \)</li><li>\( \int \cos ^{4} x d x \)</li></ol></p><p>풀이 (\(1\)) \( n \)이 짝수이므로 배각으로 변형하면 \[\int \sin ^{2} x d x=\int \frac{1-\cos 2 x}{2} d x=\frac{1}{2} x-\frac{1}{4} \sin 2 x+C \] (\(2\)) \( n \)이 홀수이므로 치환할 수 있는 형태로 변형시키면 \( \sin ^{3} x=\sin ^{2} x \sin x=\left(1-\cos ^{2} x\right) \sin x \)이므로 \( \cos x=v \)라 놓으면 \[\int \sin ^{3} x d x=\int\left(1-v^{2}\right)(-d v) =\frac{1}{3} v^{3}-v+C=\frac{1}{3} \cos ^{3} x-\cos x+C \] (\(3\)) \( \cos ^{4} x=\left(\frac{1+\cos 2 x}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}\left(1+2 \cos 2 x+\frac{1+\cos 4 x}{2}\right) \)이므로 \[\int \cos ^{4} x d x=\int \frac{1}{4}\left(1+2 \cos 2 x+\frac{1+\cos 4 x}{2}\right) d x =\frac{1}{4}\left[x+\sin 2 x+\frac{1}{2} x+\frac{1}{8} \sin 4 x\right]+C =\frac{3}{8} x+\frac{1}{4} \sin 2 x+\frac{1}{32} \sin 4 x+C \]</p><p>[형태 \(2\)] \( \int \sin ^{m} x \cos ^{n} x d x \)<p>(\(1\)) \( m, n \) 중 적어도 하나가 홀수인 경우는 형태 \(1\)의 (\(1\))과 같은 방법으로 치환한다.</p><p>(\(2\)) \( m, n \) 모두 짝수일 경우는 형태 \(1\)의 (\(2\))와 같은 방법으로 각각을 모두 배각으로 변형하여 식을 전개한 후 다시 곱을 합, 차로 바꾸는 삼각공식을 이용하여 피적분함수를 사인, 코사인의 \(1\)차식으로 변형한다.</p></p><p>예제 \(7\) 다음의 부정적분을 구하여라.<ol type= start=1><li>\( \int \sin ^{2} x \cos ^{3} x d x \)</li><li>\( \int \sin ^{2} x \cos ^{2} x d x \)</li></ol></p><p>풀이 (\(1\)) \( \sin ^{2} x \cos ^{3} x=\sin ^{2} x\left(1-\sin ^{2} x\right) \cos x \)이므로 \( \sin x=v \)라 놓으면 \( \cos x d x=d v \)이고, 따라서 주어진 적분은 \[\int \sin ^{2} x \cos ^{3} x d x=\int v^{2}\left(1-v^{2}\right) d v=\frac{1}{3} v^{3}-\frac{1}{5} v^{5}+C =\frac{1}{3} \sin ^{3} x-\frac{1}{5} \sin ^{5} x+C \] (\(2\)) 지수가 모두 짝수이므로 배각으로 변형하면 \[\sin ^{2} x \cos ^{2} x=\frac{(1-\cos 2 x)}{2} \cdot \frac{(1+\cos 2 x)}{2}=\frac{1-\cos ^{2} 2 x}{4} =\frac{1}{4}\left\{1-\frac{1+\cos 4 x}{2}\right\}=\frac{1}{8}-\frac{\cos 4 x}{8} \] 이므로 주어진 적분은 \[\int \sin ^{2} x \cos ^{2} x d x=\int\left(\frac{1}{8}-\frac{\cos 4 x}{8}\right) d x=\frac{1}{8} x-\frac{1}{32} \sin 4 x+C \]</p> <h3>함수의 평균값</h3><p>구간 \( [a, b] \)의 균등분할점 \( a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b \)에 대하여 함숫값 \[y_{1}=f\left(x_{1}\right), y_{2}=f\left(x_{2}\right), \cdots, y_{n}=f\left(x_{n}\right)\] 의 평균을 구하면 \[\frac{y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n}}{n}=\frac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+\cdots+f\left(x_{n}\right)}{n}\] 이다. 또한, \[x_{2}-x_{1}=x_{3}-x_{2}=\cdots=x_{n}-x_{n-1}=\Delta x\] 이고 \( \Delta x=\frac{b-a}{n} \)이다. 따라서 \( n=\frac{b-a}{\Delta x} \)을 위 식에 대입하여 \[\frac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+\cdots+f\left(x_{n}\right)}{(b-a) / \Delta x}=\frac{1}{b-a} \sum_{k=1}^{n} f\left(x_{k}\right) \Delta x\] 을 얻고, 이때 \( n \)을 충분히 크게 하면(상대적으로 \( \Delta x \)는 아주 작아진다) \( \sum_{k=1}^{n} f\left(x_{k}\right) \Delta x \)는 정적분 \( \int_{a}^{b} f(x) d x \)에 근접한다. 따라서 \( n \rightarrow \infty \)인 극한을 취하면 \[\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{b-a} \sum_{k=1}^{n} f\left(x_{k}\right) \Delta x=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) d x\]이 된다. 따라서 함수 \( y=f(x) \) 의 구간 \( [a, b] \) 에서의 \( x \) 에 관한 평균값은 \[y_{a v}=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) d x\] 이다.</p><p>보기(\(1\)) \( x=0 \)에서 \( x=4 \)까지 \( x \)에 관한 \( y=\sqrt{x} \)의 평균값을 구하여라.</p><p>풀이 \( y_{a v}=\frac{1}{4} \int_{0}^{4} \sqrt{x} d x=\frac{1}{4}\left[\frac{2}{3} x^{3 / 2}\right]_{0}^{4}=\frac{4}{3} \)</p><p>보기(\(2\)) \( \|v(t)\| \)의 속력으로 직선운동을 하는 물체의 시간 \( t=a \)에서 \( t=b \) 사이의 실제 운동 거리는 \[\text { 운동거리 }=\int_{a}^{b}\|v(t)\| d t\] 이다. 그러므로 운동의 평균속력은 \[\text { 평균속력 }=\frac{\text { 운동거리 }}{b-a}=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b}\|v(t)\| d t\] 이다.</p><p>전기회로에서의 유효 전압과 전류의 계산에서 평균값을 이용한다.</p><p>예제 \(4\) 우리 가정에서의 전원공급 회로는 전류의 흐름이 함수 \[i=I \sin w t\] 으로 모형된 교류장치이다. \( i \)는 시간 \( t \)에 대한 함수로서 단위는 암페어이고 진폭 \( I \)는 최상승점이고 주기는 \( 2 \pi / w \)이다. 반 주기 동안의 \( i \)의 평균값 \( i_{a v} \)을 구하여라.</p><p>풀이<p>\( \quad i_{a v}=\frac{1}{\pi / w} \int_{0}^{\pi / w} I \sin w t d t \) \( =\frac{I w}{\pi} \int_{0}^{\pi / w} \sin w t d t \) \( =\frac{I w}{\pi}\left[-\frac{\cos w t}{w}\right]_{0}^{\pi / w}=\frac{2 I}{\pi} \)</p><p>한 주기 동안의 \( i \)의 평균값 \( i_{a v} \)은 \[i_{a v}=\frac{2}{2 \pi / w} \int_{0}^{\pi / w} I \sin w t d t=0\]</p>전류가 표준 이동 코일 검류계로 측정된다면 계량기는 \(0\)을 가리킨다.</p><p>참고 전류를 효과적으로 측정하기 위하여 전류의 제곱의 평균값의 제곱근을 측정하는 장치 \( I_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\left(i^{2}\right)_{a v}} \)를 이용한다. 한 주기 동안의 \( i^{2} \)의 평균값 \( i_{a v}^{2} \)은 \[\left(i^{2}\right)_{a v}=\frac{w}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi / w} I^{2} \sin ^{2} w t d t=\frac{I^{2}}{2}\] 이므로 \( \operatorname{rms}( \) root mean square) 전류는 \[I_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{I^{2}}{2}}=\frac{I}{\sqrt{2}}\] 같은 방법으로 사인곡선(sinusoidal) 전압 \( \nu=V \sin w t \)의 \( \mathrm{rms} \) 값은 \[V_{\mathrm{rms}}=\frac{\mathrm{V}}{\sqrt{2}}\] 가정용 전압과 전류의 값은 항상 \( \mathrm{rms} \) 값이다. 따라서 ' \(115\) volts ac'는 rms 전압이 115 볼트라는 것을 의미한다. 따라서 위의 식에 의하여 전압의 피크는 \[ V=\sqrt{2} V_{\mathrm{s}}=\sqrt{2} \cdot 115 \fallingdotseq 163 \text { 볼트 } \] 이다.</p>	해석학	[ "<p>Calculus의 초기 업적 중의 하나는 어떤 물체의 초기 위치와 속도함수를 통하여 움직이는 물체의 미래위치를 예측하는 것이었다.", "오늘날 우리가 볼 수 있는 Calculus의 활용 중의 하나는 미분에 관한 정보로부터 원래의 함수를 발견하는 것이다.", "즉, 도함수에 관한 정보만으로 원함수를 복구시켜야 할 경우가 있다.", "예를 들어, 현재의 인구수와 그 증가율로부터 미래의 인구의 규모를 계산할 수 있고, 방사능 쓰레기의 자연붕괴 비율로부터 얼마 후에 이 물질이 무해하게 되는가를 계산할 수 있다.", "이처럼, 알고 있는 도함수로부터 원함수를 찾는 이론이 적분학(integral calculus)이다.", "단순히 말해서, 함수를 적분한다는 것은 주어진 함수의 역도함수를 구하는 것이다.", "사실 적분(integrate)의 본래 '어떤 것의 합(sum) 또는 합계(total)를 구하는'이라는 뜻이 있다.", "이런 의미에서 적분은 곡선들로 경계된 영역의 면적을 계산할 수 있는 수학적 과정이다.", "이 장에서 적분의 체계적인 방법 그리고 부정적분과 정적분 사이의 관계를 설명하는 뉴턴과 라이프니츠의 기본정리를 배운다.", "</p><h1>4-1 부정적분</h1><h2>1. 역도함수(부정적분)</h2><p>속도와 가속도의 관계를 살펴보면 가속도는 속도를 시간으로 미분함으로써 얻어진다.", "이와 반대로 미분의 역산에 의하여 가속도로부터 속도를 구할 수 있는데, 여기서는 이와 같은 미분의 역연산인 역도함수에 대하여 알아본다.", "또한 역도함수를 구하기 위한 방법은 매우 다양하다.", "그 중에서 어떤 변수의 변환에 의하여 종종 복잡한 식의 적분을 쉽고 간단한 적분의 형태로 변형시켜줄 수 있는 치환적분법에 대하여 살펴본다.", "</p><h3>역도함수와 부정적분</h3><p>함수 \\( f(x) \\)에 대해서 \\[F^{\\prime}(x)=f(x)\\]를 만족하는 \\( F(x) \\)를 \\( f(x) \\)의 역도함수(anti-derivative) 또는 원시함수 (primitive)라 한다.", "만약 \\( F(x) \\)와 \\( G(x) \\)가 모두 \\( f(x) \\)의 역도함수라 하면 이들은 \\[F(x)-G(x)=C \\text {, 즉 } G(x)=F(x)+C, C \\text {는 상수 }\\]의 관계를 갖는다.", "결국 역도함수가 존재한다면 무수히 많이 존재할 것인데, 이와 같은 \\( f(x) \\)의 모든 역도함수들의 집합을 \\[\\int f(x) d x\\]라 쓰고, 이를 \\( x \\)에 관한 \\( f(x) \\)의 부정적분(indefinite integral)이라 한다.", "즉, \\[\\int f(x) d x=F(x)+C .\\]", "이때, \\( \\int \\)는 적분기호로 인티그럴(integral)이라 읽고, \\( f(x) \\)를 피적분함수, \\( x \\)를 적분변수라 한다.", "미분과 적분의 관계로부터 \\[\\frac{d}{d x}\\left(\\int f(x) d x\\right)=f(x), \\quad \\int\\left(\\frac{d}{d x} f(x)\\right) dx=f(x)+C\\]임을 알 수 있다.", "또한 적분은 미분의 역연산이므로 이미 알고있는 간단한 미분공식과 비교하여 살펴보면 매우 유용하다.", "</p><p>보기(1) \\( F(x)=x^{3} \\)이라 할 때, \\( \\frac{d F}{d x}=3 x^{2} \\)이므로 \\( F(x) \\)는 \\( f(x)=3 x^{2} \\)의 하나의 역도함수이고, 따라서 \\( f(x) \\)의 부정적분은 \\( \\int 3 x^{2} d x=x^{3}+C \\)이다.", "</p><p>정리 4-1-1 적분공식 적분과 대응미분<ol type= start=1><li>\\( \\int u^{\\prime}(x) d x=u(x)+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x}(u(x)+C)=u^{\\prime}(x) \\)</li><li>\\( \\int a u(x) d x=a \\int u(x) d x \\Leftrightarrow\\{a u(x)\\}^{\\prime}=a u^{\\prime}(x),(a \\) 는 상수 \\( ) \\)</li><li>\\( \\int\\{u(x)+v(x)\\} d x=\\int u(x) d x+\\int v(x) d x \\Leftrightarrow\\{u(x)+v(x)\\}^{\\prime}=u^{\\prime}(x)+v^{\\prime}(x) \\)</li><li>\\( \\int a d x=a \\int d x=a x+C,(a \\) 는 상수 )</li><li>\\( \\int x^{n} d x=\\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \\Leftrightarrow\\left(\\frac{x^{n+1}}{n+1}\\right)=x^{n}(n \\neq-1) \\)</li><li>\\( \\int \\frac{1}{x} d x=\\ln \|x\|+C \\Leftrightarrow(\\ln x)^{\\prime}=\\frac{1}{x} \\)</li><li>\\( \\int\\{f(x)\\}^{n} f^{\\prime}(x) d x=\\frac{\\{f(x)\\}^{n+1}}{n+1}+C, \\quad(n \\neq-1) \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x}\\{f(x)\\}^{n+1}=(n+1)\\{f(x)\\}^{n} f^{\\prime}(x) \\)</li></ol></p><p>예제 1 다음 부정적분을 구하여라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\int\\left(x^{2}-3 x+2\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int\\left(x \\sqrt{x}-x^{-1}+x^{-2}\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int\\left(x^{3}+2 x\\right)^{5}\\left(3 x^{2}+2\\right) d x \\)</li></ol></p><p>풀이<ol type= start=1><li>\\( \\int\\left(x^{3}+2 x\\right)^{5}\\left(3 x^{2}+2\\right) dx =\\frac{1}{3} x^{3}-\\frac{3}{2} x^{2}+2 x+C \\)</li><li>\\( \\int\\left(x \\sqrt{x}-x^{-1}+x^{-2}\\right) d x=\\int x^{\\frac{3}{2}} d x-\\int \\frac{1}{x} d x+\\int x^{-2} d x \\)\\( =\\frac{2}{5} x^{\\frac{5}{2}}-\\log x-\\frac{1}{x}+C \\)</li><li>\\( f(x)=x^{3}+2 x \\)라면 \\( f^{\\prime}(x)=3 x^{2}+2 \\)이므로 \\( \\int\\left(x^{3}+2 x\\right)^{5}\\left(3 x^{2}+2\\right) d x=\\frac{\\left(x^{3}+2 x\\right)^{6}}{6}+C \\)</li></ol></p> <h1>4-2 정적분</h1><h2>1. 정적분</h2><p>정적분은 이전까지 계산했던 부정적분과는 완전히 구별되어 역도함수 족이 아니라 수의 극한(numerical limits)이다(정의 참조).", "하지만 왜 둘 모두 '적분'이라는 표현을 쓰고있는가 또 그들간에는 어떤 연관성이 있는가 하는 의문을 가질 수 있는데 그 이유는 바로 라이프니츠와 뉴턴에 의해서 발견되고 공식화된 미적분학의 기본정리라는 아주 유명한 정리의 영향 때문이다.", "여기서는 정적분의 계산법과 특이적분에 대해 소개한다.", "</p><h3>면적</h3><p>함수 \\( y=f(x) \\)가 폐구간 \\( [a, b] \\)에서 연속이고 음이 아닐 때 직선 \\( x=a, x=b \\)와 \\( x \\)축 그리고 곡선 \\( y=f(x) \\)로 둘러싸인 영역의 면적 \\( A \\)를 계산하여 보자.", "구간 \\( [a, b] \\)를 \\( n \\) 등분한 \\( (n-1) \\)개의 점을 크기순으로 \\( x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n-1} \\)이라 하면 각 부분구간의 길이는 \\( \\Delta x=(b-a) / n \\)이다.", "이때 영역 \\( A \\)의 면적은 각 부분구간 \\( \\left[x_{k-1}, x_{k}\\right] \\)에서 함수의 최솟값 \\( f\\left(\\xi_{k}\\right) \\)에 대하여</p><p>\\( A=\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(f\\left(\\xi_{1}\\right) \\Delta x+f\\left(\\xi_{2}\\right) \\Delta x+\\cdots+f\\left(\\xi_{n}\\right) \\Delta x\\right) =\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n} f\\left(\\xi_{k}\\right) \\cdot \\Delta x \\)<caption>(1)</caption></p><p>이다.", "</p><p>예제 \\(1\\) 구간 \\( [0,2] \\)에서 함수 \\( f(x)=x^{2} \\)에 의한 영역의 면적을 구하여라.", "</p><p>풀이 구간 \\( [0,2] \\)를 \\( n \\)등분하는 \\( n-1 \\)개의 점은 \\( x_{k}=\\frac{2 k}{n} \\)이고 각각의 부분구간의 길이는 \\( \\frac{2}{n} \\)이다.", "또한 주어진 함수는 구간 \\( [0,2] \\)에서 증가함수이므로 각 부분구간에서의 최솟값은 \\( f\\left(\\frac{2(k-1)}{n}\\right) \\)이므로 구하고자 하는 면적은</p><p>\\( A=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n} f\\left(\\frac{2(k-1)}{n}\\right) \\cdot \\frac{2}{n} \\)\\( =\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n} \\frac{4(k-1)^{2}}{n^{2}} \\cdot \\frac{2}{n} \\)\\( =\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{8}{n^{3}} \\sum_{k=1}^{n}\\left(k^{2}-2 k+1\\right) \\)\\( =\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{8}{n^{3}}\\left(\\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}-n(n+1)+n\\right) \\)\\( =\\frac{8}{3} \\)</p><p>이와 같은 맥락에서, 구간 \\( [a, b] \\)에서 정의된 함수 \\( y=f(x) \\)에 대해서 다음과 같은 과정을 거쳐 정적분을 정의한다.", "</p> <p>[형태 \\(3\\)] \\( \\int \\tan ^{n} x d x \\) (또는 \\( \\left.\\", "int \\cot ^{n} x d x\\right) \\)<p>(\\(1\\)) \\( \\tan ^{n} x \\)인 경우: \\( \\tan ^{2} x=\\sec ^{2} x-1 \\)을 적용한다.", "</p><p>(\\(2\\)) \\( \\cot ^{n} x \\)인 경우: \\( \\cot ^{2} x=\\csc ^{2} x-1 \\)을 적용한다.", "</p></p><p>예제 \\(8\\) 다음의 부정적분을 구하여라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\int \\tan ^{3} x d x \\)</li><li>\\( \\int \\cot ^{2} x d x \\)</li></ol></p><p>풀이 (\\(1\\)) \\( \\tan ^{2} x=\\sec ^{2} x-1 \\)이므로 \\[\\int \\tan ^{3} x d x=\\int\\left(\\sec ^{2} x-1\\right) \\tan x d x=\\int \\sec ^{2} x \\tan x d x-\\int \\tan x d x =\\frac{1}{2} \\tan ^{2} x+\\log \|\\sec x\|+C \\] (\\(2\\)) \\( \\cot ^{2} x=\\csc ^{2} x-1 \\)이므로 \\[\\int \\cot ^{2} x d x=\\int\\left(\\csc ^{2} x-1\\right) d x=-\\cot x-x+C\\]</p><p>[형태 \\(4\\)] \\( \\int \\tan ^{m} x \\sec ^{n} x d x \\) (또는 \\( \\int \\cot ^{m} x \\csc ^{n} x d x \\) )<p>(\\(1\\)) \\( m \\)은 홀수, \\( n \\) 임의의 수일 경우: \\( \\tan ^{m-1} x \\)는 \\( \\sec ^{2} x \\)의 식으로 바꾸고 \\( \\sec x \\)를 치환한다.", "</p><p>(\\(2\\)) \\( n \\)은 짝수, \\( m \\) 임의의 수일 경우: \\( \\sec ^{n-2} x \\)는 \\( \\tan ^{2} x \\)의 식으로 바꾸고 \\( \\tan x \\)를 치환한다.", "</p></p><p>예제 \\(9\\) 다음의 부정적분을 구하여라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\int \\tan ^{3} x \\sec ^{1 / 2} x d x \\)</li><li>\\( \\int \\tan ^{-1 / 2} x \\sec ^{4} x d x \\)</li></ol></p><p>풀이<p>(\\(1\\)) \\( \\tan ^{3} x \\sec ^{1 / 2} x=\\tan ^{2} x \\sec ^{-1 / 2} x(\\sec x \\tan x) =\\left(\\sec ^{2} x-1\\right) \\sec ^{-1 / 2} x(\\sec x \\tan x) \\)이고 \\( \\sec x=v \\)라 놓으면 \\( \\sec x \\tan x d x=d v \\)이므로 \\[\\int \\tan ^{3} x \\sec ^{1 / 2} x dx=\\int\\left(\\sec ^{2} x-1\\right) \\sec ^{-1 / 2} x(\\sec x \\tan x) d x =\\int\\left(v^{2}-1\\right) v^{-1 / 2} dv =\\frac{2}{5} v^{5 / 2}-2 v^{1 / 2}+C =\\frac{2}{5} \\sec ^{5 / 2} x-2 \\sec ^{1 / 2} x+C \\]</p><p>(\\(2\\)) \\( \\tan ^{-1 / 2} x \\sec ^{4} x=\\tan ^{-1 / 2} x\\left(1+\\tan ^{2} x\\right) \\sec ^{2} x \\)이고 \\( \\tan x=v \\)라 놓으면 \\( \\sec ^{2} x d x=d v \\) 이므로 \\[\\int \\tan ^{-1 / 2} x \\sec ^{4} x d x=\\int \\tan ^{-1 / 2} x\\left(1+\\tan ^{2} x\\right) \\sec ^{2} x d x =\\int v^{-1 / 2}\\left(1+v^{2}\\right) d v =2 v^{1 / 2}+\\frac{2}{5} v^{5 / 2}+C =2 \\tan ^{1 / 2} x+\\frac{2}{5} \\tan ^{5 / 2} x+C \\]</p></p><p>[형태 \\(5\\)] \\( \\int \\sin m x \\cos n x d x \\) (또는 \\( \\int \\sin m x \\sin n x d x, \\int \\cos m x \\cos n x d x \\) ) 이런 형태의 적분은 교류이론, 열전도 문제, 광선의 굴절, 현수교 케이블의 압력분석, 그 밖의 삼각함수의 급수가 쓰이는 수학, 과학, 공학의 많은 분야에서 나타난다.", "이것은 부분적분을 통하여 계산할 수 있지만 다음과 같이 삼각함수의 곱을 합, 차로 바꾸는 공식을 이용하면 간편하게 계산된다.", "<ol type= start=1><li>\\( \\sin m x \\sin n x=-\\frac{1}{2}[\\cos (m+n) x-\\cos (m-n) x] \\)</li><li>\\( \\sin m x \\cos n x=\\frac{1}{2}[\\sin (m+n) x+\\sin (m-n) x] \\)</li><li>\\( \\cos m x \\cos n x=\\frac{1}{2}[\\cos (m+n) x+\\cos (m-n) x] \\)</li></ol></p><p>예제 \\(10\\) 다음의 부정적분을 구하여라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\int \\sin 5x \\cos 3 x d x \\)</li><li>\\( \\int \\sin 2y \\sin 3 y d y \\)</li><li>\\( \\int \\cos ^{2} x \\cos 3 x d x \\)</li></ol></p><p>풀이 (\\(1\\)) \\( \\int \\sin 5 x \\cos 3 x d x=\\frac{1}{2} \\int[\\sin 8 x+\\sin 2 x] d x =-\\frac{1}{16} \\cos 8 x-\\frac{1}{4} \\cos 2 x+C \\) (\\(2\\)) \\( \\int \\sin 2 y \\sin 3 y d y=-\\frac{1}{2} \\int[\\cos 5 y-\\cos (-y)] d y =\\frac{1}{2} \\sin y-\\frac{1}{10} \\sin 5 y+C \\) (\\(3\\)) \\( \\cos ^{2} x=\\frac{1+\\cos 2 x}{2} \\)이므로 \\[\\int \\cos ^{2} x \\cos 3 x d x=\\frac{1}{2} \\int(1+\\cos 2 x) \\cos 3 x d x =\\frac{1}{2} \\int[\\cos 3 x+\\cos 2 x \\cos 3 x] d x =\\frac{1}{2} \\int\\left[\\cos 3 x+\\frac{1}{2}(\\cos 5 x+\\cos (-x))\\right] dx =\\frac{1}{6} \\sin 3 x+\\frac{1}{20} \\sin 5 x+\\frac{1}{4} \\sin x+C \\]</p> <h2>연습문제 (\\(4-1-2 \\))</h2><p>\\(1 \\).", "다음의 부정적분을 구하여라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\int \\cos (2 x-3) d x \\)</li><li>\\( \\int \\sin 2 x d x \\)</li><li>\\( \\int 2 x \\sin \\left(x^{2}\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{\\cos x}{\\sin ^{2} x} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{\\sec ^{2} x}{\\tan ^{2} x} d x \\)</li><li>\\( \\int e^{-2 x} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{e^{\\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{1}{\\sqrt{4-x^{2}}} d x \\)</li></ol></p><p>\\(2 \\).", "다음의 부정적분을 구하여라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\int \\frac{3}{1+9 x^{2}} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{1}{\\sqrt{3+2 x-x^{2}}} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{\\cos x}{10-\\cos ^{2} x} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{1}{\\sqrt{1+4 x^{2}}} d x \\)</li></ol></p><p>\\(3 \\).", "다음의 부정적분을 구하여라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\int \\sin x \\cos ^{2} x d x \\)</li><li>\\( \\int \\sin x \\cos 3 x d x \\)</li></ol></p><p>\\(4 \\). \\( \\int \\sqrt{a^{2}-x^{2}} d x=\\frac{x}{2} \\sqrt{a^{2}-x^{2}}+\\frac{a^{2}}{2} \\sin ^{-1} \\frac{x}{a}+C,(a>", "0) \\)임을 증명하여라.", "</p><p>\\(5 \\).", "부정적분 \\( \\int\\left[\\sqrt{2+\\sin ^{3}(2 x-3)} \\sin ^{2}(2 x-3) \\cos (2 x-3)\\right] d x \\)를 다음의 방법으로 각각 계산하여라.", "<p>(\\(1 \\)) \\( u=2 x-3, v=\\sin u, w=2+v^{3} \\)로 치환</p><p>(\\(2 \\)) \\( u=\\sin (2 x-3), v=2+u^{2} \\)로 치환</p><p>(\\(3 \\)) \\( u=2+\\sin ^{3}(2 x-3), v=\\sqrt{u} \\)로 치환</p></p> <h3>치환적분법</h3><p>어떤 변수의 변환에 의하여 종종 복잡한 식의 적분을 쉽고 간단한 적분의 형태로 변형시켜줄 수 있다.", "이와 같은 방법을 치환적분법이라 하는데 그 과정을 살펴보면 다음과 같다.", "예를 들어, 적분 \\( \\int\\left(x^{4}-3\\right)^{5} \\cdot 4 x^{3} d x \\)를 계산하기 위하여 \\( \\left(x^{4}-3\\right)^{5} \\)을 전개하는 것은 어리석은 것이며 그렇게 해서는 적분을 원활하게 할 수 없다.", "이때, 다음과 같은 과정을 따라 계산하면 적분은 매우 쉽게 해결될 수 있다.", "</p><p>\\( \\int\\left(x^{4}-3\\right)^{5} \\cdot 4 x^{3} d x=\\int u^{5} d u \\quad\\left(u=x^{4}-3 \\Rightarrow d u=4 x^{3} d x\\right) \\)</p><p>\\( =\\frac{u^{6}}{6}+C \\quad(u \\)의 식을 적분 \\( ) \\)</p><p>\\( =\\frac{\\left(x^{4}-3\\right)^{6}}{6}+C \\quad\\left(u=x^{4}-3\\right. \\)을 대입 \\( ) \\)</p><p>위 과정을 요약하면 다음과 같은 적분 단계를 얻을 수 있다.", "즉, 두 함수 \\( f \\) 와 \\( g^{\\prime} \\) 이 연속일 때 적분 \\(\\int f(g(x)) g^{\\prime}(x) d x\\)은 다음과 같은 단계에 의해 변환시켜 계산한다.", "</p><p>[단계\\(1\\)] \\( g(x)=t \\)라 치환하여 \\( g^{\\prime}(x) d x=d t \\) 를 주어진 식에 대입한다.", "<p>[단계\\(2\\)] \\( x \\)에 관한 적분은 \\( t \\)에 관한 적분\\(\\int f(t) d t\\)으로 변환된다.", "<p>[단계\\(3\\)] 위의 \\( t \\)에 관한 식을 적분하여 \\( t=g(x) \\)를 다시 대입한다.", "</p><p>예제 \\(2\\) 다음의 부정적분을 구하여라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\int 2 x \\sqrt{1+x^{2}} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{e^{\\sqrt{x}}}{\\sqrt{x}} d x \\)</li><li>\\( \\int(3 x-2)^{10} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{x}{\\sqrt{x-1}} d x \\)</li></ol></p><p>풀이 (\\(1\\)) \\( 1+x^{2}=v \\)라 놓으면 \\( 2 x d x=d v \\)이므로 \\[\\int 2 x \\sqrt{1+x^{2}} d x=\\int \\sqrt{v} d v=\\frac{2}{3} v^{\\frac{3}{2}}+C=\\frac{2}{3}\\left(1+x^{2}\\right)^{\\frac{3}{2}}+C\\] (\\(2\\)) \\( \\sqrt{x}=v \\)라 놓으면 \\( \\frac{1}{2 \\sqrt{x}} d x=d v \\)이므로 \\[\\int \\frac{e^{\\sqrt{x}}}{\\sqrt{x}} d x=2 \\int e^{v} d v=2 e^{v}+C=2 e^{\\sqrt{x}}+C\\] (\\(3\\)) \\( 3 x-2=v \\)라 놓으면 \\( 3 d x=d v \\)이므로 \\[\\int(3 x-2)^{10} d x=\\frac{1}{3} \\int v^{10} d v=\\frac{1}{33} v^{11}+C=\\frac{1}{33}(3 x-2)^{11}+C\\] (\\(4\\)) \\( x-1=v \\)라 놓으면 \\( d x=d v \\)이므로 \\[\\int \\frac{x}{\\sqrt{x-1}} d x=\\int \\frac{v+1}{\\sqrt{v}} d v=\\int \\sqrt{v} d v+\\int \\frac{1}{\\sqrt{v}} d v =\\frac{2}{3} v^{\\frac{3}{2}}+2 \\sqrt{v}+C=\\frac{2}{3}(x-1)^{\\frac{3}{2}}+2 \\sqrt{x-1}+C \\]</p><p>예제 \\(3\\) 다음의 부정적분을 구하여라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\int x \\sqrt{2 x-1} d x \\)</li><li>\\( \\int x^{3} \\sqrt{4-x^{2}} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{2 x}{\\sqrt{4-9 x^{2}}} d x \\)</li></ol></p><p>풀이 (\\(1\\)) \\( 2 x-1=v \\)라 놓으면 \\( x=\\frac{v+1}{2} \\)이고 \\( 2 d x=d v \\)이므로 \\[\\int x \\sqrt{2 x-1} d x=\\frac{1}{4} \\int(v+1) \\sqrt{v} d v=\\frac{1}{4}\\left\\{\\frac{2}{5} v^{\\frac{5}{2}}+\\frac{2}{3} v^{\\frac{3}{2}}\\right\\}+C=\\frac{1}{10}(2 x-1)^{\\frac{5}{2}}+\\frac{1}{6}(2 x-1)^{\\frac{3}{2}}+C \\] (\\(2\\)) \\( 4-x^{2}=v \\)라 놓으면 \\( -2 x d x=d v \\)이므로 \\[\\int x^{3} \\sqrt{4-x^{2}} d x=-\\frac{1}{2} \\int(4-v) \\sqrt{v} d v=-\\frac{1}{2}\\left\\{\\frac{8}{3} v^{\\frac{3}{2}}-\\frac{2}{5} v^{\\frac{5}{2}}\\right\\}+C=-\\frac{4}{3}\\left(4-x^{2}\\right)^{\\frac{3}{2}}+\\frac{1}{5}\\left(4-x^{2}\\right)^{\\frac{5}{2}}+C \\] (\\(3\\)) \\( 4-9 x^{2}=v \\) 라 치환하면 \\( -18 x d x=d v \\), 즉 \\( 2 x d x=-\\frac{1}{9} d v \\) 이므로 \\[\\int \\frac{2 x}{\\sqrt{4-9 x^{2}}} d x=-\\frac{1}{9} \\int \\frac{-18 x}{\\sqrt{4-9 x^{2}}} d x=-\\frac{1}{9} \\int \\frac{1}{\\sqrt{v}} d v =-\\frac{2}{9} \\sqrt{v}+C=-\\frac{2}{9} \\sqrt{4-9 x^{2}}+C \\]</p><h2>연습문제 (\\(4-1-1\\))</h2><p>\\(1\\).", "다음의 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\int(2 x+3) d x \\)</li><li>\\( \\int\\left(x^{5}-3 x^{2}\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{1}{x^{4}} d x \\)</li><li>\\( \\int(2 x-1)^{2} d x \\)</li></ol><p>\\(2\\).", "치환적분법에 의해서 다음을 구하여라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\int 5(x-1)^{4} d x \\)</li><li>\\( \\int\\left(2 x^{3}+1\\right)^{4} \\cdot x^{2} d x \\)</li><li>\\( \\int x \\cdot \\sqrt{x^{2}+1} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{1}{\\sqrt{x}(1+\\sqrt{x})^{2}} d x \\)</li></ol></p><p>\\(3\\).", "다음의 역도함수를 구하라.", "<ol type= start=1><li>\\( f(x)=2 \\)</li><li>\\( f(x)=x-\\sqrt{3} \\)</li><li>\\( f(x)=x^{\\frac{1}{2}}+x^{-\\frac{1}{2}} \\)</li><li>\\( f(x)=\\frac{2}{x^{2}}-\\frac{1}{x^{3}} \\)</li></ol></p><p>\\(4\\). \\", "( f(x)=\\sqrt{x^{2}+1} \\)일 때, \\( \\int f^{\\prime}(x) d x \\)와 \\( \\int f^{\\prime \\prime}(x) d x \\)를 각각 구하여라.", "</p><p>\\(5\\).", "다음 공식 \\[\\begin{array}{l} \\int f^{(m-1)}(x) g^{(n-1)}(x)\\left[n f(x) g^{\\prime}(x)+m f^{\\prime}(x) g(x)\\right] d x \\\\ =f^{(m)}(x) g^{(n)}(x)+C\\end{array}\\] 을 증명하여라.", "</p> <h3>점화공식</h3><p>부분적분을 통한 함수 \\( \\phi(x) \\)의 \\( n \\)-제곱 \\( \\phi^{n}(x) \\)의 적분과정에서 적당한 함수 \\(\\psi(x) \\)와 적당한 상수 \\( 0<r<n, k \\) 에 대해서 \\[\\int \\phi^{n}(x) d x=\\psi(x)+k \\int \\phi^{n-r}(x) d x\\] 으로 표현될 때가 있는데, 이 공식을 점화공식(reduction formula)이라 한다.", "</p><p>예제 \\(4\\) 점화공식 \\[\\int x^{n} e^{x} d x=x^{n} e^{x}-n \\int x^{n-1} e^{x} d x\\] 을 유도하고 이를 이용하여 \\( \\int x^{5} e^{x} d x \\)를 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( f(x)=x^{n} \\)라 하고 \\( g^{\\prime}(x)=e^{x} \\)하면 \\( f^{\\prime}(x)=n x^{n-1} \\)이고 \\( g(x)=e^{x} \\)이므로 부분적분법에 의하여 다음의 점화공식이 유도된다. \\", "[\\int x^{n} e^{x} d x=x^{n} e^{x}-n \\int x^{n-1} e^{x} d x\\] 이 점화공식에서 지수와 계수를 비교하여 반복적으로 적용하면 \\[\\int x^{5} e^{x} d x=x^{5} e^{x}-5 \\int x^{4} e^{x} d x =x^{5} e^{x}-5\\left(x^{4} e^{x}-4 \\int x^{3} e^{x} d x\\right) =x^{5} e^{x}-5 x^{4} e^{x}+20\\left(x^{3} e^{x}-3 \\int x^{2} e^{x} d x\\right) =x^{5} e^{x}-5 x^{4} e^{x}+20 x^{3} e^{x}-60\\left(x^{2} e^{x}-2 \\int x e^{x} d x\\right) =x^{5} e^{x}-5 x^{4} e^{x}+20 x^{3} e^{x}-60 x^{2} e^{x}+120\\left(x e^{x}-\\int e^{x} d x\\right) =x^{5} e^{x}-5 x^{4} e^{x}+20 x^{3} e^{x}-60 x^{2} e^{x}+120 x e^{x}-120 e^{x}+C \\]</p><p>예제 \\(5\\) 임의의 자연수 \\( n \\)에 대해서 \\( \\int \\sin ^{n} x d x \\)를 구하는 식을 유도하여라.", "</p><p>풀이 \\( f(x)=\\sin ^{n-1}(x), g^{\\prime}(x)=\\sin x \\)라 하면 부분적분에 의하여 \\[\\int \\sin ^{n} x d x=-\\sin ^{n-1} x \\cos x+(n-1) \\int \\sin ^{n-2} x \\cos ^{2} x d x\\] 이므로 \\( \\cos ^{2} x=1-\\sin ^{2} x \\)를 대입하여 식을 정리하면 \\[\\int \\sin ^{n} x d x=-\\frac{\\sin ^{n-1} x \\cos x}{n}+\\frac{(n-1)}{n} \\int \\sin ^{n-2} x d x\\] 을 얻는다.", "</p><h2>연습문제 (\\(4-1-3\\))</h2><p>\\(1.\\) 다음의 부정적분을 구하여라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\int x \\cos x d x \\)</li><li>\\( \\int x \\sin 2 x d x \\)</li><li>\\( \\int x^{2} e^{-x} d x \\)</li><li>\\( \\int 2 x^{3} e^{x^{2}} d x \\)</li></ol></p><p>2. \\( \\int \\frac{\\log x}{x} d x \\)를 부분적분과 치환적분법으로 각각 구하여라.", "</p><p>3. \\( \\log x=u \\)이면 \\( x=e^{u} \\)임을 이용하여 \\( \\int \\sin (\\log x) d x \\)를 구하여라.", "</p><p>4. \\( \\int \\cos ^{n} x d x \\)를 구하는 식을 유도하여라.", "</p><p>5. 점화공식 \\( \\int x^{n} e^{x} d x=x^{n} e^{x}-n \\int x^{n-1} e^{x} d x \\)를 유도하고 \\( \\int x^{3} e^{x} d x \\)를 구하여라.", "</p> <h3>분할</h3><p>구간 \\( [a, b] \\)에 \\( a=x_{0}<x_{1}<\\cdots<x_{n}=b \\)인 \\( n-1 \\)개의 임의의 점 \\( x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n-1} \\)을 취하여 \\( n \\)개의 부분구간으로 나눈다.", "이때, \\[P=\\left\\{a=x_{0}<x_{1}<\\cdots<x_{n}=b\\right\\}\\] 를 구간 \\( [a, b] \\)의 분할(partition)이라 하고 각 부분구간 \\( \\left[x_{k-1}, x_{k}\\right] \\)의 길이를 \\( \\Delta x_{k}= x_{k}-x_{k-1} \\)로 나타낼 때 \\[\\\|P\\\|=\\max _{k}\\left\\{\\Delta x_{k}: 1 \\leq k \\leq n\\right\\}\\] 을 분할 \\( P \\)의 크기(norm)라 한다.", "각각의 소구간의 길이는 \\( \\\|P\\\| \\)를 넘지 않으므로 \\( \\\|P\\\| \\)의 크기를 아주 작게 하면 할수록 분할 \\( P \\)는 세분(refinement)된다고 말한다.", "</p><h3>리만(Riemann) 합</h3><p>각각의 소구간 \\( \\left[x_{k-1}, x_{k}\\right] \\)에서 임의로 한 표본점(samlpe point) \\( \\xi_{k} \\)을 선정하여 만든 합 \\( R(f \\), \\( P)=\\sum_{k=1}^{n} f\\left(\\xi_{k}\\right) \\Delta x_{k} \\)을 구간 \\( [a, b] \\) 위에서 함수 \\( f \\)의 분할 \\( P \\)에 대한 리만 합이라 한다.", "</p><h3>적분가능</h3><p>분할 \\( P \\)를 한없이 세분할 때, 즉 \\( \\\|P\\\| \\rightarrow 0 \\)으로 할 때 표본점 \\( \\xi_{k} \\)의 선택에 관계없이 리만 합 \\( R(f, P) \\)가 어떤 일정한 값 \\( A \\)에 한없이 가까워진다면 함수 \\( f(x) \\)는 구간 \\( [a, b] \\)에서 적분가능(integrable)하다고 하며, 이 일정한 값 \\( A \\)를 \\( a \\)에서 \\( b \\)까지의 함수 \\( y=f(x) \\)의 정적분(또는 리만 적분)이라 하고 \\( A=\\int_{a}^{b} f(x) d x \\ 로 나타낸다.", "즉,</p><p>\\( \\lim _{\\\|P\\\| \\rightarrow 0} R(f, P)=\\lim _{\\\|P\\\| \\rightarrow 0} \\sum_{k=1}^{n} f\\left(\\xi_{k}\\right) \\Delta x_{k}=\\int_{a}^{b} f(x) dx \\)<caption>\\( (2) \\)</caption></p><p>또한 다음의 관계를 정의한다.", "<ol type= start=1><li>\\( \\int_{a}^{a} f(x) d x=0 \\)</li><li>\\( \\int_{b}^{a} f(x) d x=-\\int_{a}^{b} f(x) d x \\)</li></ol></p> <h2>2. 초월함수의 적분법</h2><p>여기서는 미분의 역연산과 치환적분법을 이용하여 간단한 초월함수의 적분법과 부정적분이 역삼각함수로 얻어지는 복잡한 대수함수의 적분법을 살펴본다.", "또한 여러 가지 형태의 삼각함수에 대한 적분법을 유형별로 살펴본다.", "</p><p>초월함수의 적분도 우선 이미 알고 있는 간단한 미분공식을 통한 그 역연산의 이해로부터 시작한다.", "</p><p>정리 4-1-2 삼각함수의 적분 적분과 대응미분<ol type= start=8><li>\\( \\int \\sin x d x=-\\cos x+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x} \\cos x=-\\sin x \\)</li><li>\\( \\int \\cos x d x=\\sin x+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x} \\sin x=\\cos x \\)</li><li>\\( \\int \\sec ^{2} x d x=\\tan x+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x} \\tan x=\\sec ^{2} x \\)</li><li>\\( \\int \\csc ^{2} x d x=-\\cot x+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x} \\cot x=-\\csc ^{2} x \\)</li><li>\\( \\int \\sec x \\tan x d x=\\sec x+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x} \\sec x=\\sec x \\tan x \\)</li><li>\\( \\int \\csc x \\cot x d x=-\\csc x+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x} \\csc x=-\\csc x \\cot x \\)</li></ol></p><p>예제 \\(1\\) 다음의 부정적분을 구하여라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\int \\tan x d x \\)</li><li>\\( \\int \\cos 3 x d x \\)</li><li>\\( \\int \\sin (2 x+3) d x \\)</li></ol></p><p>풀이 (\\(1\\)) \\( \\cos x=v \\)라 놓으면 \\( \\sin x d x=-d v \\)이므로 \\[\\int \\tan x d x=\\int \\frac{\\sin x}{\\cos x} d x=-\\int \\frac{1}{v} d v=-\\log \|v\|+C =-\\log \|\\cos x\|+C=\\log \|\\sec x\|+C \\] (\\(2\\)) \\( 3 x=v \\)라 놓으면 \\( 3 d x=d v \\)이므로 \\[\\int \\cos 3 x d x=\\frac{1}{3} \\int \\cos v d v =\\frac{1}{3} \\sin v+C=\\frac{1}{3} \\sin 3 x+C \\] (\\(3\\)) \\( 2 x+3=v \\)라 놓으면 \\( 2 d x=d v \\)이므로 \\[\\int \\sin (2 x+3) d x=\\frac{1}{2} \\int \\sin v d v( =-\\frac{1}{2} \\cos v+C=-\\frac{1}{2} \\cos (2 x+3)+C \\]</p><p>예제 \\(2\\) 다음의 부정적분을 구하여라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\int \\frac{\\cos 3 x}{\\sin ^{2} 3 x} d x \\)</li><li>\\( \\int \\tan ^{2} x \\sec ^{2} x d x \\)</li><li>\\( \\int \\tan ^{2} x d x \\)</li></ol></p><p>풀이 (\\(1\\)) \\( \\sin 3 x=v \\)라 놓으면 \\( 3 \\cos 3 x d x=d v \\)이므로 \\[\\int \\frac{\\cos 3 x}{\\sin ^{2} 3 x} d x=\\frac{1}{3} \\int \\frac{1}{v^{2}} d v=-\\frac{1}{3 v}+C=-\\frac{1}{3 \\sin 3 x}+C\\] (\\(2 \\)) \\( \\tan x=v \\)라 놓으면 \\( \\sec ^{2} x d x=d v \\)이므로 \\[\\int \\tan ^{2} x \\sec ^{2} x d x=\\int v^{2} d v=\\frac{1}{3} v^{3}+C=\\frac{1}{3} \\tan ^{3} x+C\\] (\\(3\\)) \\( \\tan ^{2} x=\\sec ^{2} x-1 \\)이므로 \\[\\int \\tan ^{2} x d x=\\int\\left(\\sec ^{2} x-1\\right) d x=\\tan x-x+C\\]</p><p>정리 \\(4-1-3\\) 지수함수의 적분 적분과 대응미분<ol type= start=14><li>\\( \\int e^{x} d x=e^{x}+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x} e^{x}=e^{x} \\)</li><li>\\( \\int a^{x} d x=\\frac{a^{x}}{\\log a}+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x} a^{x}=a^{x} \\log a, a>0 \\)</li></ol></p><p>예제 \\(3\\) 다음의 부정적분을 구하여라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\int x e^{x^{2}} d x \\)</li><li>\\( \\int 2^{x+1} d x \\)</li><li>\\( \\int e^{\\sin x} \\cos x d x \\)</li></ol></p><p>풀이 (\\(1\\)) \\( x^{2}=v \\)라 놓으면 \\( 2 x d x=d v \\)이므로 \\[\\int x e^{x^{2}} d x=\\frac{1}{2} \\int e^{v} d v =\\frac{1}{2} e^{v}+C=\\frac{1}{2} e^{x^{2}}+C \\] (\\(2\\)) \\( x+1=v \\)라 놓으면 \\( d x=d v \\)이므로 \\[\\int 2^{x+1} d x=\\int 2^{v} d v =\\frac{2^{v}}{\\log 2}+C=\\frac{2^{x+1}}{\\log 2}+C \\] (\\(3\\)) \\( \\sin x=v \\)라 놓으면 \\( \\cos x d x=d v \\)이므로 \\[\\int e^{\\sin x} \\cos x d x=\\int e^{v} d v =e^{v}+C=e^{\\sin x}+C \\]</p><p>정리 \\(4-1-4\\) 대수함수의 적분 Ⅰ 적분과 대응미분<p>\\(16\\). \\", "( \\int \\frac{1}{\\sqrt{1-x^{2}}} d x=\\sin ^{-1} x+C \\)</p><p>\\(16(\\mathrm{a})\\). \\", "( \\int \\frac{1}{\\sqrt{a^{2}-x^{2}}} d x=\\sin ^{-1} \\frac{x}{a}+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x}\\left(\\sin ^{-1} x\\right)=\\frac{1}{\\sqrt{1-x^{2}}} \\)</p><p>\\(17\\). \\", "( \\int \\frac{1}{1+x^{2}} d x=\\tan ^{-1} x+C \\)</p>\\( 17(\\mathrm{a}) . \\", "int \\frac{1}{a^{2}+x^{2}} d x=\\frac{1}{a} \\tan ^{-1} \\frac{x}{a}+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x}\\left(\\tan ^{-1} x\\right)=\\frac{1}{1+x^{2}} \\)</p><p>\\(18\\). \\", "( \\int \\frac{1}{x \\sqrt{x^{2}-1}} d x=\\sec ^{-1}\|x\|+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x}\\left(\\sec ^{-1} x\\right)=\\frac{1}{\|x\| \\sqrt{x^{2}-1}},\|x\|>1 \\)</p></p><p>예제 \\(4\\) 다음의 부정적분을 구하여라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\int \\frac{x}{\\sqrt{9-4 x^{4}}} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{1}{25+x^{2}} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{1}{\\sqrt{9-4 x^{2}}} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{\\cos x}{16+\\sin ^{2} x} d x \\)</li></ol></p><p>풀이 (\\(1\\)) \\( 2 x^{2}=v \\)라 놓으면 \\( 4 x d x=d v \\)이므로 \\[\\int \\frac{x}{\\sqrt{9-4 x^{4}}} d x=\\frac{1}{4} \\int \\frac{1}{\\sqrt{3^{2}-v^{2}}} d v =\\frac{1}{4}\\left(\\sin ^{-1} \\frac{v}{3}+C_{1}\\right)=\\frac{1}{4} \\sin ^{-1} \\frac{2 x^{2}}{3}+C \\] (\\(2\\)) 공식 \\( 17(\\mathrm{a}) \\)에 의하여 \\[\\int \\frac{1}{25+x^{2}} d x=\\frac{1}{5} \\tan ^{-1} \\frac{x}{5}+C\\] (\\(3\\)) 피적분함수를 변형하면 \\( \\frac{1}{\\sqrt{9-4 x^{2}}}=\\frac{1}{3 \\sqrt{1-(2 x / 3)^{2}}} \\)이다.", "이때 \\( \\frac{2 x}{3}=v \\)로 치환하면 \\( d x=\\frac{3}{2} d v \\)이고, 따라서 \\[\\int \\frac{1}{\\sqrt{9-4 x^{2}}} d x=\\frac{1}{2} \\int \\frac{1}{\\sqrt{1-v^{2}}} d v =\\frac{1}{2} \\sin ^{-1} v+C=\\frac{1}{2} \\sin ^{-1} \\frac{2}{3} x+C \\] (\\(4\\)) \\( \\sin x=v \\)로 치환하면 \\( \\cos d x=d v \\)이므로 주어진 적분은 \\[\\int \\frac{\\cos x}{16+\\sin ^{2} x} d x=\\int \\frac{1}{4^{2}+v^{2}} d v =\\frac{1}{4} \\tan ^{-1} \\frac{v}{4}+C=\\frac{1}{4} \\tan ^{-1}\\left(\\frac{\\sin x}{4}\\right)+C \\]</p><p>정리 \\(4-1-5\\) 대수함수의 적분 \\( \\mathrm{II} \\) 적분과 대응미분<p>\\(19\\). \\", "( \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x=\\sinh ^{-1} x+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x} \\sinh ^{-1} x=\\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} \\)</p><p>\\(20\\). \\", "( \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}-1}} d x=\\cosh ^{-1} x+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x} \\cosh ^{-1} x=\\frac{1}{\\sqrt{x^{2}-1}}, x>1 \\)</p><p>\\(21\\). \\", "( \\int \\frac{1}{1-x^{2}} d x=\\tanh ^{-1} x+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x} \\tanh ^{-1} x=\\frac{1}{1-x^{2}},-1<x<1 \\)</p><p>\\(22\\). \\", "( \\int \\frac{-1}{x \\sqrt{1-x^{2}}} d x=\\operatorname{sech}^{-1} x+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x} \\operatorname{sech}^{-1} x=\\frac{-1}{x \\sqrt{1-x^{2}}}, 0<x<1 \\)</p></p><p>예제 \\(5\\) 다음의 부정적분을 구하여라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+2 x-3}} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{1}{\\sqrt{4 x^{2}+4 x}} d x \\)</li></ol></p><p>풀이 (\\(1\\)) 식을 변형하면 \\[\\sqrt{x^{2}+2 x-3}=\\sqrt{(x+1)^{2}-2^{2}}=2 \\sqrt{\\left(\\frac{x+1}{2}\\right)^{2}-1}\\] 이고, \\( \\frac{x+1}{2}=v \\)라 놓으면 \\( d x=2 d v \\)이므로 \\[\\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+2 x-3}} d x=\\int \\frac{1}{\\sqrt{v^{2}-1}} d v =\\cosh ^{-1} v+C=\\cosh ^{-1}\\left(\\frac{x+1}{2}\\right)+C \\] (\\(2\\)) \\( \\sqrt{4 x^{2}+4 x}=\\sqrt{(2 x+1)^{2}-1} \\)이므로 \\( 2 x+1=t \\)로 치환하면 \\( d x=\\frac{1}{2} d t \\)이므로 \\[\\int \\frac{1}{\\sqrt{4 x^{2}+4 x}} d x=\\frac{1}{2} \\int \\frac{1}{\\sqrt{t^{2}-1}} d t=\\frac{1}{2} \\cosh ^{-1} t+C =\\frac{1}{2} \\cosh ^{-1}(2 x+1)+C \\]</p> <h3>구분구적법</h3><p>폐구간 \\( [a, b] \\)에서 앞의 정리를 만족하는 함수 \\( f \\)는 항상 적분가능하므로, 정적분값은 구간 \\( [a, b] \\)의 분할 \\( P \\)와 소구간에서의 대표점들을 어떻게 선택하느냐에 관계없이 일정하다.", "따라서 정적분을 계산할 때 보통 분할은 소구간의 길이를 같게 하는 균등분할을 택하며 소구간의 대표점은 끝점을 택한다.", "즉, 구간의 길이와 대표점은<p>\\(\\Delta x_{k}=\\frac{b-a}{n}, \\quad \\xi_{k}=a+\\frac{b-a}{n} k\\)</p>이고, 따라서<p>\\(\\int_{a}^{b} f(x) d x=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n} f\\left(a+\\frac{b-a}{n} k\\right) \\frac{b-a}{n}\\)<caption>(5)</caption></p>이다.", "이와 같은 정적분 계산법을 구분구적법이라고 한다.", "</p><p>예제 \\(3\\) 정적분의 정의에 의해서 다음 적분값을 구하여라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\int_{-3}^{1}(2-x) d x \\)</li><li>\\( \\int_{-2}^{1}\\left(x^{2}-4 x\\right) d x \\)</li></ol></p><p>풀이<p>(\\(1\\)) 구간 \\( [-3,1] \\)을 \\( n \\)등분하면 소구간의 길이는 모두 \\( \\frac{4}{n} \\)이고, 각 소구간 \\( \\left[x_{k-1}, x_{k}\\right] \\)에서의 대표점을 \\( \\xi_{k}=-3+\\frac{4}{n} k \\)로 택하면 \\( f\\left(\\xi_{k}\\right)=2-\\left(-3+\\frac{4}{n} k\\right)=5-\\frac{4}{n} k f\\left(\\xi_{k}\\right)=2-\\left(-3+\\frac{4}{n} k\\right)=5-\\frac{4}{n} k\\)이다.", "따라서 구하는 정적분은 \\( \\int_{-3}^{1}(2-x) d x=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n}\\left(5-\\frac{4}{n} k\\right) \\frac{4}{n}=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n}\\left(\\frac{20}{n}-\\frac{16}{n^{2}} k\\right) =\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left[\\frac{20}{n} \\times n-\\frac{16}{n^{2}} \\times \\frac{n(n+1)}{2}\\right] =20-8=12 \\)</p><p>(\\(2\\)) 구간 \\( [-2,1] \\)을 \\( n \\)등분하면 소구간의 길이는 모두 \\( \\frac{3}{n} \\)이고, 각 소구간 \\( \\left[x_{k-1}, x_{k}\\right] \\)에서의 대표점을 \\( \\xi_{k}=-2+\\frac{3}{n} k \\)로 택하면 \\(f\\left(\\xi_{k}\\right)=\\left(-2+\\frac{3}{n} k\\right)^{2}-4\\left(-2+\\frac{3}{n} k\\right)=12-\\frac{24}{n} k+\\frac{9}{n^{2}} k^{2}\\) 이다.", "따라서 구하는 정적분은 \\[ \\int_{-2}^{1}\\left(x^{2}-4 x\\right) d x=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n}\\left(12-\\frac{24}{n} k+\\frac{9}{n^{2}} k^{2}\\right) \\frac{3}{n} =\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n}\\left(\\frac{36}{n}-\\frac{72}{n^{2}} k+\\frac{27}{n^{3}} k^{2}\\right) =\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left[\\frac{36}{n} \\cdot n-\\frac{72}{n^{2}} \\cdot \\frac{n(n+1)}{2}+\\frac{27}{n^{3}} \\cdot \\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\\right] =36-36+9=9 \\]</p><p>주의 기억해야 할 점은 정적분은 어떤 구간에서 리만 합의 극한으로 정의된 값(숫자)이라는 것이다.", "또한, 함수 \\(f\\)가 주어진 구간 \\( [a, b] \\)에서 음이 아니면 정적분 \\( \\int_{a}^{b} f(x) d x \\) 값은 바로 함수의 그래프가 \\( x- \\)축과 이룬 영역의 면적과 같다는 것은 자명하다.", "따라서 정의에서 볼 수 있듯이 정적분은 부정적분과 달리 적분변수를 달리해도 단지 축의 또 다른 표현일 뿐 정적분값은 언제나 같다.", "즉, 임의의 변수 \\( u \\)에 대해서 \\( \\int_{a}^{b} f(u) d u=\\int_{a}^{b} f(x) d x \\)이다.", "</p> <p>다음은 역도함수를 이용해서 정적분을 계산하는 방법을 제시하는 매우 유용한 정리이다.", "따라서 이제부터는 정적분을 극한으로 계산하지 않고 대부분 미적분학의 제 \\(2\\) 기본정리라 불리는 이 정리를 사용할 것인데, 이 정리가 보통 말하는 미적분학의 기본정리이다.", "</p><p>정리 \\(4-2-6\\) 미적분학의 제 \\(2\\)기본정리 함수 \\( y=f(x) \\)가 구간 \\( [a, b] \\)에서 연속이고, \\( F \\)가 \\( [a, b] \\) 에서 \\( f \\)의 역도함수라면<p>\\(\\int_{a}^{b} f(x) d x=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)\\)<caption>(7)</caption></p>가 성립한다.", "</p><p>증명 구간 \\( [a, b] \\)의 임의의 분할을 \\( P=\\left\\{a=x_{0}<x_{1}<\\cdots<x_{n}=b\\right\\} \\)라 놓으면 다음 등식이 성립한다.", "<p>\\( F(b)-F(a)=F\\left(x_{n}\\right)-F\\left(x_{0}\\right) =\\left\\{F\\left(x_{n}\\right)-F\\left(x_{n-1}\\right)\\right\\}+\\left\\{F\\left(x_{n-1}\\right)-F\\left(x_{n-2}\\right)\\right\\} +\\cdots+\\left\\{F\\left(x_{1}\\right)-F\\left(x_{0}\\right)\\right\\} =\\sum_{k=1}^{n}\\left\\{F\\left(x_{k}\\right)-F\\left(x_{k-1}\\right)\\right\\} \\)</p>이때, 각각의 소구간 \\( \\left[x_{k-1}, x_{k}\\right] \\)에서 함수 \\( f(x) \\)의 미분에 관한 평균값 정리를 적용하면 각각의 \\( k \\)에 대해서 적당한 \\( \\xi_{k} \\in\\left[x_{k-1}, x_{k}\\right] \\)이 존재하여 \\[ F\\left(x_{k}\\right)-F\\left(x_{k-1}\\right)=F^{\\prime}\\left(\\xi_{k}\\right)\\left(x_{k}-x_{k-1}\\right)=f\\left(\\xi_{k}\\right) \\Delta x_{k} \\] 가 성립한다.", "따라서 \\[ F(b)-F(a)=\\sum_{k=1}^{n} f\\left(\\xi_{k}\\right) \\Delta x_{k} \\] 이고 이것은 임의의 모든 분할 \\( P \\)에 대해서 항상 성립하므로 \\[ F(b)-F(a)=\\lim _{\\\|P\\\| \\rightarrow 0} \\sum_{k=1}^{n} f\\left(\\xi_{k}\\right) \\Delta x_{k}=\\int_{a}^{b} f(x) d x \\] 을 만족한다.", "</p><p>위의 미적분학의 기본정리를 이용하면 다음 정적분은 매우 쉽고 간단하게 구할 수 있다.", "</p><p>예제 \\(8\\) 다음 정적분값을 구하여라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\int_{-3}^{1}(2-x) d x \\)</li><li>\\( \\int_{-2}^{1}\\left(x^{2}-4 x\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{1} x e^{x} d x \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{\\pi / 4} \\sin ^{3} 3 x \\cos 3 x d x \\)</li></ol></p><p>풀이 (1) \\( F(x)=2 x-\\frac{1}{2} x^{2} \\) 은 \\( f(x)=2-x \\) 의 하나의 역도함수이므로 구하는 정적분은 \\[ \\begin{aligned} \\int_{-3}^{1}(2-x) d x &=F(1)-F(-3) \\\\ &=\\left(2-\\frac{1}{2}\\right)-\\left(-6-\\frac{9}{2}\\right)=12 \\end{aligned} \\] (2) \\( F(x)=\\frac{x^{3}}{3}-2 x^{2} \\) 은 \\( f(x)=x^{2}-4 x \\) 의 하나의 역도함수이므로 구하는 정적분은 \\[ \\begin{aligned} \\int_{-2}^{1}\\left(x^{2}-4 x\\right) d x &=F(1)-F(-2) \\\\ &=\\left(\\frac{1}{3}-2\\right)-\\left(-\\frac{8}{3}-8\\right)=9 \\end{aligned} \\] (3) 부분적분에 의하여 \\[ \\begin{aligned} \\int_{0}^{1} x e^{x} d x &=\\left[x e^{x}\\right]_{0}^{1}-\\int_{0}^{1} e^{x} d x \\\\ &=\\left[x e^{x}\\right]_{0}^{1}-\\left[e^{x}\\right]_{0}^{1}=e-(e-1)=1 \\end{aligned} \\] (4) 치환에 의하여 함수 \\( f(x)=\\sin ^{3} 3 x \\cos 3 x \\) 의 부정적분을 구하자.", "이제 \\( \\sin 3 x \\) \\( =v \\) 라 놓으면 \\( 3 \\cos 3 x d x=d v \\) 이므로 \\[ \\begin{aligned} \\int \\sin ^{3} 3 x \\cos 3 x d x &=\\frac{1}{3} \\int v^{3} d v \\\\ &=\\frac{1}{12} v^{4}+C=\\frac{1}{12} \\sin ^{4} 3 x+C \\end{aligned} \\] 이다.", "그러므로 구하는 정적분은 \\[ \\int_{0}^{\\pi / 4} \\sin ^{3} 3 x \\cos 3 x d x=\\left[\\frac{1}{12} \\sin ^{4} 3 x\\right]_{0}^{\\pi / 4}=\\frac{1}{48} \\]</p> <p>정리 \\(4-2-11\\) 주기함수의 정적분 함수 \\( f \\)가 주기가 \\( p \\)인 주기함수이면<p>\\(\\int_{a+p}^{b+p} f(x) d x=\\int_{a}^{b} f(x) d x\\)<caption>\\( (12) \\)</caption></p>를 만족한다.</p><p>증명 함수 \\( f \\)가 주기가 \\( p \\)인 주기함수라는 조건과 \\( x+p=t \\)로 치환하면 정적분의 추이성(따름정리 \\(4-2-9\\))에 의하여 \\[\\int_{a}^{b} f(x) d x=\\int_{a+p}^{b+p} f(t-p) d t=\\int_{a+p}^{b+p} f(t) d t=\\int_{a+p}^{b+p} f(x) d x\\]", "를 만족한다.</p><p>예제 \\(13\\) 정적분 \\( \\int_{0}^{2 \\pi}\|\\sin x\| d x \\)의 값을 구하여라.</p><p>풀이 \\( f(x)=\|\\sin x\| \\)는 주기가 \\( \\pi \\)인 주기함수이므로 위의 정리에 의하여 \\(\\int_{0}^{2 \\pi}\|\\sin x\| d x=\\int_{0}^{\\pi}\|\\sin x\| d x+\\int_{0+\\pi}^{\\pi+\\pi}\|\\sin x\| d x\\) \\( =\\int_{0}^{\\pi}\|\\sin x\| d x+\\int_{0}^{\\pi}\|\\sin x\| d x \\) \\( \\left.=2 \\int_{0}^{\\pi} \\sin x d x=-2 \\cos x\\right]", "_{0}^{\\pi}=4 \\)</p><p>정적분의 계산에 미적분학의 기본정리를 이용할 수 있는 필요조건은 적분구간(폐구간)에서 피적분함수가 연속인 것이다.", "예를 들어, \\( \\int_{0}^{1} 1 / x d x \\)에서 피적분함수 \\( f(x)=\\frac{1}{x} \\)이 \\( x=0 \\)에서 연속이 아니므로 역도함수에 양 끝점을 대입하여 정적분을 계산하는 과정에서 문제가 발생한다.", "즉, \\( f(x) \\)의 역도함수인 \\( F(x)=\\ln x \\) 에서 \\( F(0) \\)는 정의되지 않는다.", "이와 같은 경우는 다음과 같이 정적분에 대한 극한으로 계산해야 한다.", "</p><h3>특이적분</h3><p>정적분 \\( \\int_{a}^{b} f(x) d x \\)가 다음 중 적어도 하나의 경우에 해당될 때, 이를 특이적분 (improper integral)이라 한다.", "(A) 양 끝점을 포함한 적분구간 내에서 \\( f \\)의 값이 무한대가 되는 점이 적어도 하나 존재하는 경우 (B) \\( a=-\\infty \\)이거나 \\( b=\\infty \\) (또는 양쪽 모두 무한대)인 경우 위에서 언급한 두 가지 경우의 특이적분은 다음과 같은 방법에 의해서 계산한다.", "(A) 구간 내의 한 점 \\( c \\in(a, b) \\)에서 \\( f(c)=\\infty \\)인 경우는<p>\\(\\int_{a}^{b} f(x) d x=\\int_{a}^{c} f(x) d x+\\int_{c}^{b} f(x) d x\\) \\( =\\lim _{s \\rightarrow c^{-}}\\left[\\int_{a}^{s} f(x) d x\\right]+\\lim _{t \\rightarrow c^{+}}\\left[\\int_{t}^{b} f(x) d x\\right] \\)<caption>\\( (13) \\)</caption></p>(B) \\( a=-\\infty \\) 이거나 \\( b=\\infty \\)인 경우는 \\(\\int_{-\\infty}^{b} f(x) d x=\\lim _{s \\rightarrow-\\infty}\\left[\\int_{s}^{b} f(x) d x\\right] \\int_{a}^{\\infty} f(x) d x=\\lim _{t \\rightarrow \\infty}\\left[\\int_{a}^{t} f(x) d x\\right] \\)<caption>\\( (14) \\)</caption></p><p>예제 \\(14\\) 다음의 적분을 계산하여라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\int_{0}^{1} \\frac{1}{\\sqrt{x}} d x \\)</li><li>\\( \\int_{1}^{\\infty} \\frac{1}{x^{2}} d x \\)</li><li>\\( \\int_{-1}^{2} \\frac{1}{x^{2}} d x \\)</li></ol></p><p>풀이<p>(\\(1\\)) \\( f(x)=\\frac{1}{\\sqrt{x}} \\)이라 하면 \\( f(x) \\)는 \\( x=0 \\)에서 정의되지 않으므로 미적분학의 기본 정리를 직접 사용할 수 없는 특이적분이다.", "그러므로 다음의 방법에 의하여 계산한다. \\", "[\\int_{0}^{1} \\frac{1}{\\sqrt{x}} d x=\\lim _{k \\rightarrow 0^{+}}\\left[\\int_{k}^{1} \\frac{1}{\\sqrt{x}} d x\\right]\\] \\( =\\lim _{k \\rightarrow 0^{+}}\\left[2 x^{\\frac{1}{2}}\\right]_{k}^{1} \\) \\( =\\lim _{k \\rightarrow \\infty}\\left(-\\frac{1}{k}+1\\right)=1 \\)</p><p>(\\(2\\)) 무한대까지의 적분이므로 특이적분법을 사용하여 다음과 같이 계산한다. \\", "(\\int_{1}^{\\infty} \\frac{1}{x^{2}} d x=\\lim _{k \\rightarrow \\infty}\\left[\\int_{1}^{k} \\frac{1}{x^{2}} d x\\right]\\) \\( =\\lim _{k \\rightarrow \\infty}\\left[-\\frac{1}{x}\\right]_{1}^{k} \\) \\( =\\lim _{k \\rightarrow \\infty}\\left(-\\frac{1}{k}+1\\right)=1 \\)</p><p>(\\(3\\)) \\( f(x)=\\frac{1}{x^{2}} \\)이라 하면 적분구간 \\( [-1,2] \\) 안에 \\( f(x) \\)의 값이 무한대가 되는 점 \\(0\\)이 있다.", "그러므로 특이적분 계산법에 의하여 \\(\\int_{-1}^{2} \\frac{1}{x^{2}} d x=\\int_{-1}^{0} \\frac{1}{x^{2}} d x+\\int_{0}^{2} \\frac{1}{x^{2}} d x\\) \\( =\\lim _{s \\rightarrow 0^{-}}\\left[\\int_{-1}^{s} \\frac{1}{x^{2}} d x\\right]+\\lim _{t \\rightarrow 0^{+}}\\left[\\int_{t}^{2} \\frac{1}{x^{2}} d x\\right] \\) \\( =\\lim _{s \\rightarrow 0^{-}}\\left[-\\frac{1}{x}\\right]_{-1}^{s}+\\lim _{t \\rightarrow 0^{+}}\\left[-\\frac{1}{x}\\right]_{t}^{2} \\) \\( =\\lim _{s \\rightarrow 0^{-}}\\left[-\\frac{1}{s}-1\\right]+\\lim _{t \\rightarrow 0^{+}}\\left[-\\frac{1}{2}+\\frac{1}{t}\\right]_{t}^{2} \\) \\( =\\infty+\\infty=\\infty \\)</p></p><h2>연습문제 (\\(4-2-1\\))</h2><p>\\(1\\). \\", "( f(x)=x^{2}+2 \\)에 대하여 구간 \\( [-1,2] \\)를 \\(3\\)개의 소구간과 \\(6\\)개의 소구간으로 균등분할하고 각 소구간의 중점을 표본으로 하여 리만 합을 각각 구하여라.", "</p><p>\\(2\\).", "정의에 의하여 (균등분할) 다음의 정적분을 구하여라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\int_{-1}^{2}\\left(x^{2}-1\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{4}\\left(x^{2}-2 x\\right) d x \\)</li></ol></p><p>\\(3\\).", "미적분학의 기본정리를 이용하여 다음을 구하여라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\int_{0}^{2} x^{4} d x \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{4} \\sqrt{x} d x \\)</li><li>\\( \\int_{5}^{8} \\sqrt{3 x+1} d x \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}(2 x+\\cos x) d x \\)</li></ol></p><p>\\(4\\).", "대칭성과 주기를 이용하여 다음의 정적분을 구하여라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\int_{-\\pi}^{\\pi}(\\sin x+\\cos x) d x \\)</li><li>\\( \\int_{-\\frac{\\pi}{2}}^{\\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\sin x}{1+\\cos x} d x \\)</li><li>\\( \\int_{\\frac{\\pi}{8}}^{\\frac{5 \\pi}{8}} \\sin x d x \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{4 \\pi}\|\\cos x\| d x \\)</li></ol></p><p>\\(5\\).", "특이적분 \\( \\int_{1}^{\\infty} \\frac{1}{x^{p}} d x \\)를 구하고 \\( p \\)의 값에 따른 수렴성을 판정하여라.", "</p> <p>따름정리 \\(4-2-9\\) 추이성 함수 \\( f \\)가 연속일 때<p>\\(\\int_{a}^{b} f(x) d x=\\int_{a-c}^{b-c} f(x+c) dx\\)<caption>\\( (10) \\)</caption></p>을 만족한다.", "</p><p>증명 \\( \\quad x+c=t \\)라 놓으면 위의 치환정리에 의하여 증명이 된다.", "</p><p>예제 \\(11\\) 정적분 \\( \\int_{-1}^{0} x(x+1)^{7} d x \\)의 값을 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( f(x)=x(x+1)^{7} \\)이라면 \\( f(x-1)=x^{7}(x-1) \\) 이므로 주어진 적분은 \\(\\int_{-1}^{0} x(x+1)^{7} d x=\\int_{-1+1}^{0+1} x^{7}(x-1) d x( =\\int_{0}^{1}\\left(x^{8}-x^{7}\\right) d x=\\left[\\frac{x^{9}}{9}-\\frac{x^{8}}{8}\\right]_{0}^{1}=-\\frac{1}{72} \\)</p><p>정리\\(4-2-10\\) 대칭정리 구간 \\( [-a, a] \\)에서 적분가능한 함수 \\( f \\)에 대해서<p>\\( \\int_{-a}^{a} f(x) d x=\\left\\{\\begin{array}{cc} 0, & f(x) \\text {는 기함수} \\\\ 2 \\int_{0}^{a} f(x) d x, & f(x) \\text {는 우함수} \\end{array}\\right.\\)", "<caption>(11)</caption></p>을 만족한다.", "</p><p>증명 정적분의 성질에 의하여 \\[\\int_{-a}^{a} f(x) d x=\\int_{-a}^{0} f(x) d x+\\int_{0}^{a} f(x) d x\\] 이므로 ⅰ) \\( f(x) \\)가 기함수인 경우 구간 내의 모든 \\( x \\)에 대해서 \\( f(-x)=-f(x) \\)를 만족하므로 \\(\\int_{-a}^{0} f(x) d x=\\int_{a}^{0} f(-t)(-d t)=\\int_{a}^{0} f(t) d t( =-\\int_{0}^{a} f(t) d t=-\\int_{0}^{a} f(x) d x \\)가 되어 \\( \\int_{-a}^{a} f(x) d x=0 \\)이다.", "ⅱ) \\( f(x) \\)가 우함수인 경우 구간 내의 모든 \\( x \\)에 대해서 \\( f(-x)=f(x) \\)를 만족하므로 \\( \\int_{-a}^{0} f(x) d x=\\int_{a}^{0} f(-t)(-d t)=-\\int_{a}^{0} f(t) d t \\) \\( =\\int_{0}^{a} f(t) d t=\\int_{0}^{a} f(x) d x \\)가 되어 \\( \\int_{-a}^{a} f(x) d x=2 \\int_{0}^{a} f(x) d x \\) 이다.", "</p><p>예제 \\(12\\) 다음의 정적분을 구하여라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\int_{-\\pi}^{\\pi}(\\sin x+\\cos x)^{2} d x \\)</li><li>\\( \\int_{-\\pi / 4}^{\\pi / 4} \\frac{\\sin x}{1+\\cos x} d x \\)</li></ol></p><p>풀이 (\\(1\\)) \\( (\\sin x+\\cos x)^{2}=1+2 \\sin x \\cos x \\)이고 \\( f(x)=\\sin x \\cos x \\)는 기함수이므로 대칭구간에서의 정적분은 \\(0 \\)이다.", "따라서 \\[\\int_{-\\pi}^{\\pi}(\\sin x+\\cos x)^{2} d x=\\int_{-\\pi}^{\\pi}(1+2 \\sin x \\cos x) dx =\\int_{-\\pi}^{\\pi} d x+2 \\int_{-\\pi}^{\\pi} \\sin x \\cos x d x =2 \\pi \\] 이다.", "(\\(2\\)) \\( f(x)=\\frac{\\sin x}{1+\\cos x} \\)는 기함수이므로 대칭구간에서의 정적분값은 \\(0\\)이다.", "즉, \\[\\int_{-\\pi / 4}^{\\pi / 4} \\frac{\\sin x}{1+\\cos x} dx=0.\\]</p> <h2>3. 부분적분법</h2><p>피적분함수가 두 함수의 곱으로 표현되어 있는 경우에 적용할 수 있는 적분법의 하나인 부분적분(integration by parts)을 소개한다.", "이것은 두 함수의 곱의 미분을 역으로 이용한 것으로 다음과 같다.", "</p><h3>부분적분법</h3><p>두 함수 \\( f(x) \\)와 \\( g(x) \\)의 곱을 미분하면 \\[\\{f(x) g(x)\\}^{\\prime}=f(x) g^{\\prime}(x)+f^{\\prime}(x) g(x)\\] 이므로 \\[f(x) g^{\\prime}(x)=\\{f(x) g(x)\\}^{\\prime}-f^{\\prime}(x) g(x)\\] 이고 양변 적분에 의해서 다음 관계식을 얻는다. \\", "[\\int f(x) g^{\\prime}(x) d x=f(x) g(x)-\\int f^{\\prime}(x) g(x) d x\\] 여기서 \\( u=f(x), v=g(x) \\)라 하면 \\( d u=f^{\\prime}(x) d x, d v=g^{\\prime}(x) d x \\)이므로 위의 관계식을 보통 다음과 같이 간단히 쓴다. \\", "[\\int u d v=u v-\\int v d u\\]</p><p>예제 \\(1\\) 다음의 부정적분을 구하여라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\int x e^{x} d x \\)</li><li>\\( \\int x \\sin x d x \\)</li></ol></p><p>풀이 (\\(1 \\)) \\( f(x)=x, g^{\\prime}(x)=e^{x} \\)라 하면 \\( f^{\\prime}(x)=1, g(x)=e^{x} \\)이므로 \\[\\int x e^{x} d x=x e^{x}-\\int e^{x} d x=x e^{x}-e^{x}+C\\] (\\(2 \\)) \\( f(x)=x, g^{\\prime}(x)=\\sin x \\)라 하면 \\( f^{\\prime}(x)=1, g(x)=-\\cos x \\)이므로\\[ \\int x \\sin x d x=-x \\cos x+\\int \\cos x d x=-x \\cos x+\\sin x+C \\]</p><p>예제 \\(2\\) 다음의 부정적분을 구하여라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\int \\log x d x \\)</li><li>\\( \\int \\sin ^{-1} x d x \\)</li></ol></p><p>풀이 (\\(1\\)) \\( f(x)=\\log x, g^{\\prime}(x)=1 \\)이라 하면 \\( f^{\\prime}(x)=\\frac{1}{x}, g(x)=x \\)이므로 \\[ \\int \\log x d x=x \\log x-\\int d x=x \\log x-x+C \\] (\\(2\\)) \\( f(x)=\\sin ^{-1} x, g^{\\prime}(x)=1 \\)이라 하면 \\( f^{\\prime}(x)=\\frac{1}{\\sqrt{1-x^{2}}}, g(x)=x \\)이므로 \\[\\int \\sin ^{-1} x d x=x \\sin ^{-1} x-\\int \\frac{x}{\\sqrt{1-x^{2}}} d x\\] 이 되고, 우변의 적분은 \\( 1-x^{2} \\)을 치환하여 풀면 \\[\\int \\frac{x}{\\sqrt{1-x^{2}}} d x=-\\sqrt{1-x^{2}}+C\\] 이므로 주어진 적분은 \\[\\int \\sin ^{-1} x d x=x \\sin ^{-1} x+\\sqrt{1-x^{2}}+C\\]</p><p>경우에 따라서는 부분적분을 한 번 적용해서 결과를 얻을 수 없고 여러 번 반복해야 할 경우가 있다.", "또한, 부분적분법을 반복적용한 결과에 다시 원래의 문제형태가 나타나는 경우가 있는데, 다음 예제를 통하여 이런 경우의 해결법을 살펴보자.", "</p><p>예제 \\(3 \\) 다음의 부정적분을 구하여라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\int x^{2} \\cos x d x \\)</li><li>\\( \\int e^{x} \\sin x d x \\)</li></ol></p><p>풀이 (\\(1\\)) \\( f(x)=x^{2}, g^{\\prime}(x)=\\cos x \\)라 하면 \\( f^{\\prime}(x)=2 x, g(x)=\\sin x \\)이므로 부분적분법에 의해서 \\[\\int x^{2} \\cos x d x=x^{2} \\sin x-\\int 2 x \\sin x d x\\] 을 얻을 수 있는데, 우변의 적분식은 다시 한번 부분적분법을 적용하여야 한다.", "실제로 \\[\\int 2 x \\sin x d x=-2 x \\cos x+2 \\sin x+C\\] 이므로 결과는 \\[\\int x^{2} \\cos x d x=x^{2} \\sin x+2[x \\cos x-\\sin x]+C\\] (\\(2\\)) \\( f(x)=\\sin x, g^{\\prime}(x)=e^{x} \\)라 하면 \\( f^{\\prime}(x)=\\cos x, g(x)=e^{x} \\) 이므로 부분적분법에 의하여 \\[\\int e^{x} \\sin x d x=e^{x} \\sin x-\\int e^{x} \\cos x d x\\] 를 얻는다.", "우변의 적분식에 다시 부분적분법을 적용하여 보자.", "즉, \\( p(x)= \\) \\( \\cos x, q^{\\prime}(x)=e^{x} \\)라 하면 \\( f^{\\prime}(x)=\\cos x, g(x)=e^{x} \\) 이므로 \\[\\int e^{x} \\cos x d x=e^{x} \\cos x+\\int e^{x} \\sin x d x\\] 이다.", "여기서 주어진 적분을 \\( \\int e^{x} \\sin x d x=A \\)라 하면 \\[A=e^{x} \\sin x-\\left(e^{x} \\cos x+A\\right)\\] 이므로 우변의 \\( A \\)를 좌변으로 이항하여 정리하면 다음의 결론을 얻는다.", "즉, \\[\\int e^{x} \\sin x d x=\\frac{1}{2}\\left(e^{x} \\sin x-e^{x} \\cos x\\right)+C\\]</p> <h2>\\(2\\).", "정적분 근사해법과 함수의 평균값</h2><p>정해진 구간에서 연속함수이지만 역도함수의 형태를 찾을 수 없을 경우 사다리꼴 법칙이나 심프슨 법칙(Simpson's Rule)과 같은 수치적인 방법이 매우 용이하게 사용된다.", "여기서는 정적분의 근사해법과 함수의 평균값에 대하여 소개한다.", "</p><h3>사다리꼴 법칙</h3><p>구간 \\( [a, b] \\)의 균등분할점 \\( a=x_{0}<x_{1}<\\cdots<x_{n}=b \\)에 대하여 \\[y_{0}=f(a), y_{1}=f\\left(x_{1}\\right), \\cdots, y_{n-1}=f\\left(x_{n-1}\\right), y_{n}=f(b)\\] 라 할 때, 정적분 \\( \\int_{a}^{b} f(x) d x \\)를 추정하기 위해서<p>\\(T=\\frac{h}{2}\\left(y_{0}+2 y_{1}+2 y_{2}+\\cdots+2 y_{n-1}+y_{n}\\right)\\)<caption>(15)</caption></p>을 이용한다.", "이때, \\( h=\\frac{b-a}{n} \\)이다.", "</p><p>예제 \\(1\\) 정적분 \\( \\int_{0}^{1} x^{2} d x \\)의 값을 \\( n=5 \\)인 사다리꼴 법칙을 이용하여 추정하여라.", "</p><p>풀이 \\( x_{k}=\\frac{k}{5}, k=0,1, \\cdots, 5 \\)이므로 \\( y_{k}=\\left(\\frac{k}{5}\\right)^{2} \\)이고, 따라서 \\[T=\\frac{1}{10}\\left(0+2\\left(\\frac{1}{25}+\\frac{4}{25}+\\frac{9}{25}+\\frac{16}{25}\\right)+1\\right) =\\frac{85}{250}=0.34\\] 이다.", "</p><p>정리 \\(4-2-12\\) 사다리꼴 법칙에 대한 오차의 한정 \\( f^{\\prime \\prime} \\)이 연속이고 \\( M \\)이 \\( [a, b] \\) 상에서 \\( \\left\|f^{\\prime \\prime}\\right\| \\)의 하나의 상계라면, 사다리꼴 법칙을 이용한 정적분 \\( \\int_{a}^{b} f(x) d x \\) 계산에서의 오차 \\( E_{T} \\)는 다음 부등식을 만족한다.", "<p>\\(\\left\|E_{T}\\right\| \\leq \\frac{b-a}{12} h^{2} M \\)<caption>(16)</caption></p></p><p>예제 \\(2\\) 예제 \\(1\\)에서 얻어진 근삿값의 오차의 상계를 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( f^{\\prime \\prime}=2 \\)이므로 \\( M=2 \\)라 할 수 있으며 \\( b-a=1 \\)이고 \\( h=\\frac{1}{5} \\)이므로 \\[\\left\|E_{T}\\right\| \\leq \\frac{1}{12}\\left(\\frac{1}{5}\\right)^{2}(2)=\\frac{1}{150}\\] 이다.", "</p><p>실제로 정적분 \\( \\int_{0}^{1} x^{2} d x=\\frac{1}{3} \\)이므로 오차 \\( E_{T} \\)는 \\( \\frac{17}{50}-\\frac{1}{3}=\\frac{1}{150} \\)인데, 이것이 위에서 계산한 오차의 상계와 정확히 일치하는 이유는 \\( f^{\\prime \\prime} \\)이 상수함수이기 때문이다.", "일직선상에 있지 않는 세 점은 하나의 포물선을 형성하는데 심프슨 법칙은 사다리꼴 대신에 이 포물선의 근삿값을 구하는 데 사용한다.", "</p><h3>심프슨 법칙</h3><p>구간 \\( [a, b] \\)의 균등분할점 \\( a=x_{0}<x_{1}<\\cdots<x_{n}=b \\)에 대하여 \\[y_{0}=f(a), y_{1}=f\\left(x_{1}\\right), \\cdots, y_{n-1}=f\\left(x_{n-1}\\right), y_{n}=f(b)\\] 라 할 때, 정적분 \\( \\int_{a}^{b} f(x) d x \\)를 추정하기 위해서<p>\\(S=\\frac{h}{3}\\left(y_{0}+4 y_{1}+2 y_{2}+4 y_{3}+2 y_{2}+\\cdots+2 y_{n-2}+4 y_{n-1}+y_{n}\\right)\\)<caption>(17)</caption></p>을 이용한다.", "이때, \\( n \\)은 짝수이고 \\( h=\\frac{b-a}{n} \\)이다.", "</p><p>정리 \\(4-2-13\\) 심프슨 법칙에 대한 오차의 한정 \\( f^{(4)} \\)이 연속이고 \\( M \\)이 \\( [a, b] \\) 상에서 \\( \\left\|f^{(4)}\\right\| \\)의 하나의 상계라면, 심프슨 법칙을 이용한 정적분 \\( \\int_{a}^{b} f(x) d x \\) 계산에서의 오차 \\( E_{S} \\)는 다음 부등식을 만족한다.", "<p>\\(\\left\|E_{S}\\right\| \\leq \\frac{b-a}{180} h^{4} M\\)<caption>(18)</caption></p></p><p>예제 \\( 3 n=4 \\)일 때 심프슨 법칙을 이용하여 \\( \\int_{0}^{1} 10 x^{4} d x \\)의 근삿값을 추정하고 오차의 상계를 구하여라. \\", "[f(x)=10 x^{4}, \\quad h=\\frac{1}{4}, \\quad y_{k}=10\\left(\\frac{k}{4}\\right)^{4}, \\quad k=0,1,2,3,4\\] \\[S=\\frac{1}{12}\\left(0+4\\left(\\frac{10}{256}\\right)+2\\left(\\frac{160}{256}\\right)+4\\left(\\frac{810}{256}\\right)+10\\right)=2.005208 \\dot{3} \\] \\( f^{(4)}=240 \\)이므로 \\( M=240 \\)으로 놓을 수 있다.", "따라서 오차는 \\[\\left\|E_{S}\\right\| \\leq \\frac{1}{180}\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{4}(240)=0.005208 \\dot{3}\\]</p> <h3>여러형태의 삼각함수 적분법</h3><p>삼각공식의 이용과 적절한 치환에 의하여 다음 여러 가지의 형태의 삼각함수의 부정적분을 구할 수 있다.", "</p><p>[형태 \\(1\\)] \\( \\int \\sin ^{n} x d x \\) (또는 \\( \\left.\\", "int \\cos ^{n} x d x\\right) \\)<p>(\\(1\\)) \\( n \\)이 홀수인 경우: \\( \\sin ^{n} x=\\sin ^{n-1} x \\sin x \\)에서 \\( \\sin ^{n-1} x \\)를 \\( \\cos x \\)의 식으로 변환하고 \\( \\cos x=v \\)로 치환한다.", "(또는 \\( \\cos ^{n} x=\\cos ^{n-1} x \\cos x \\)에서 \\( \\cos ^{n-1} x \\)를 \\( \\sin x \\)의 식으로 변환하고 \\( \\sin x=v \\)로 치환)<p>(\\(2\\)) \\( n \\)이 짝수인 경우: 배각공식을 사용하여 \\( \\sin ^{n} x \\) (또는 \\( \\cos ^{n} x \\) )를 코사인의 \\(1\\)차식으로 변환한다.", "</p></p><p>예제 \\(6\\) 다음의 부정적분을 구하여라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\int \\sin ^{2} x d x \\)</li><li>\\( \\int \\sin ^{3} x d x \\)</li><li>\\( \\int \\cos ^{4} x d x \\)</li></ol></p><p>풀이 (\\(1\\)) \\( n \\)이 짝수이므로 배각으로 변형하면 \\[\\int \\sin ^{2} x d x=\\int \\frac{1-\\cos 2 x}{2} d x=\\frac{1}{2} x-\\frac{1}{4} \\sin 2 x+C \\] (\\(2\\)) \\( n \\)이 홀수이므로 치환할 수 있는 형태로 변형시키면 \\( \\sin ^{3} x=\\sin ^{2} x \\sin x=\\left(1-\\cos ^{2} x\\right) \\sin x \\)이므로 \\( \\cos x=v \\)라 놓으면 \\[\\int \\sin ^{3} x d x=\\int\\left(1-v^{2}\\right)(-d v) =\\frac{1}{3} v^{3}-v+C=\\frac{1}{3} \\cos ^{3} x-\\cos x+C \\] (\\(3\\)) \\( \\cos ^{4} x=\\left(\\frac{1+\\cos 2 x}{2}\\right)^{2}=\\frac{1}{4}\\left(1+2 \\cos 2 x+\\frac{1+\\cos 4 x}{2}\\right) \\)이므로 \\[\\int \\cos ^{4} x d x=\\int \\frac{1}{4}\\left(1+2 \\cos 2 x+\\frac{1+\\cos 4 x}{2}\\right) d x =\\frac{1}{4}\\left[x+\\sin 2 x+\\frac{1}{2} x+\\frac{1}{8} \\sin 4 x\\right]+C =\\frac{3}{8} x+\\frac{1}{4} \\sin 2 x+\\frac{1}{32} \\sin 4 x+C \\]</p><p>[형태 \\(2\\)] \\( \\int \\sin ^{m} x \\cos ^{n} x d x \\)<p>(\\(1\\)) \\( m, n \\) 중 적어도 하나가 홀수인 경우는 형태 \\(1\\)의 (\\(1\\))과 같은 방법으로 치환한다.", "</p><p>(\\(2\\)) \\( m, n \\) 모두 짝수일 경우는 형태 \\(1\\)의 (\\(2\\))와 같은 방법으로 각각을 모두 배각으로 변형하여 식을 전개한 후 다시 곱을 합, 차로 바꾸는 삼각공식을 이용하여 피적분함수를 사인, 코사인의 \\(1\\)차식으로 변형한다.", "</p></p><p>예제 \\(7\\) 다음의 부정적분을 구하여라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\int \\sin ^{2} x \\cos ^{3} x d x \\)</li><li>\\( \\int \\sin ^{2} x \\cos ^{2} x d x \\)</li></ol></p><p>풀이 (\\(1\\)) \\( \\sin ^{2} x \\cos ^{3} x=\\sin ^{2} x\\left(1-\\sin ^{2} x\\right) \\cos x \\)이므로 \\( \\sin x=v \\)라 놓으면 \\( \\cos x d x=d v \\)이고, 따라서 주어진 적분은 \\[\\int \\sin ^{2} x \\cos ^{3} x d x=\\int v^{2}\\left(1-v^{2}\\right) d v=\\frac{1}{3} v^{3}-\\frac{1}{5} v^{5}+C =\\frac{1}{3} \\sin ^{3} x-\\frac{1}{5} \\sin ^{5} x+C \\] (\\(2\\)) 지수가 모두 짝수이므로 배각으로 변형하면 \\[\\sin ^{2} x \\cos ^{2} x=\\frac{(1-\\cos 2 x)}{2} \\cdot \\frac{(1+\\cos 2 x)}{2}=\\frac{1-\\cos ^{2} 2 x}{4} =\\frac{1}{4}\\left\\{1-\\frac{1+\\cos 4 x}{2}\\right\\}=\\frac{1}{8}-\\frac{\\cos 4 x}{8} \\] 이므로 주어진 적분은 \\[\\int \\sin ^{2} x \\cos ^{2} x d x=\\int\\left(\\frac{1}{8}-\\frac{\\cos 4 x}{8}\\right) d x=\\frac{1}{8} x-\\frac{1}{32} \\sin 4 x+C \\]</p> <h3>함수의 평균값</h3><p>구간 \\( [a, b] \\)의 균등분할점 \\( a=x_{0}<x_{1}<\\cdots<x_{n}=b \\)에 대하여 함숫값 \\[y_{1}=f\\left(x_{1}\\right), y_{2}=f\\left(x_{2}\\right), \\cdots, y_{n}=f\\left(x_{n}\\right)\\] 의 평균을 구하면 \\[\\frac{y_{1}+y_{2}+\\cdots+y_{n}}{n}=\\frac{f\\left(x_{1}\\right)+f\\left(x_{2}\\right)+\\cdots+f\\left(x_{n}\\right)}{n}\\] 이다.", "또한, \\[x_{2}-x_{1}=x_{3}-x_{2}=\\cdots=x_{n}-x_{n-1}=\\Delta x\\] 이고 \\( \\Delta x=\\frac{b-a}{n} \\)이다.", "따라서 \\( n=\\frac{b-a}{\\Delta x} \\)을 위 식에 대입하여 \\[\\frac{f\\left(x_{1}\\right)+f\\left(x_{2}\\right)+\\cdots+f\\left(x_{n}\\right)}{(b-a) / \\Delta x}=\\frac{1}{b-a} \\sum_{k=1}^{n} f\\left(x_{k}\\right) \\Delta x\\] 을 얻고, 이때 \\( n \\)을 충분히 크게 하면(상대적으로 \\( \\Delta x \\)는 아주 작아진다) \\", "( \\sum_{k=1}^{n} f\\left(x_{k}\\right) \\Delta x \\)는 정적분 \\( \\int_{a}^{b} f(x) d x \\)에 근접한다.", "따라서 \\( n \\rightarrow \\infty \\)인 극한을 취하면 \\[\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{b-a} \\sum_{k=1}^{n} f\\left(x_{k}\\right) \\Delta x=\\frac{1}{b-a} \\int_{a}^{b} f(x) d x\\]이 된다.", "따라서 함수 \\( y=f(x) \\) 의 구간 \\( [a, b] \\) 에서의 \\( x \\) 에 관한 평균값은 \\[y_{a v}=\\frac{1}{b-a} \\int_{a}^{b} f(x) d x\\] 이다.", "</p><p>보기(\\(1\\)) \\( x=0 \\)에서 \\( x=4 \\)까지 \\( x \\)에 관한 \\( y=\\sqrt{x} \\)의 평균값을 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( y_{a v}=\\frac{1}{4} \\int_{0}^{4} \\sqrt{x} d x=\\frac{1}{4}\\left[\\frac{2}{3} x^{3 / 2}\\right]_{0}^{4}=\\frac{4}{3} \\)</p><p>보기(\\(2\\)) \\( \|v(t)\| \\)의 속력으로 직선운동을 하는 물체의 시간 \\( t=a \\)에서 \\( t=b \\) 사이의 실제 운동 거리는 \\[\\text { 운동거리 }=\\int_{a}^{b}\|v(t)\| d t\\] 이다.", "그러므로 운동의 평균속력은 \\[\\text { 평균속력 }=\\frac{\\text { 운동거리 }}{b-a}=\\frac{1}{b-a} \\int_{a}^{b}\|v(t)\| d t\\] 이다.", "</p><p>전기회로에서의 유효 전압과 전류의 계산에서 평균값을 이용한다.", "</p><p>예제 \\(4\\) 우리 가정에서의 전원공급 회로는 전류의 흐름이 함수 \\[i=I \\sin w t\\] 으로 모형된 교류장치이다. \\", "( i \\)는 시간 \\( t \\)에 대한 함수로서 단위는 암페어이고 진폭 \\( I \\)는 최상승점이고 주기는 \\( 2 \\pi / w \\)이다.", "반 주기 동안의 \\( i \\)의 평균값 \\( i_{a v} \\)을 구하여라.", "</p><p>풀이<p>\\( \\quad i_{a v}=\\frac{1}{\\pi / w} \\int_{0}^{\\pi / w} I \\sin w t d t \\) \\( =\\frac{I w}{\\pi} \\int_{0}^{\\pi / w} \\sin w t d t \\) \\( =\\frac{I w}{\\pi}\\left[-\\frac{\\cos w t}{w}\\right]_{0}^{\\pi / w}=\\frac{2 I}{\\pi} \\)</p><p>한 주기 동안의 \\( i \\)의 평균값 \\( i_{a v} \\)은 \\[i_{a v}=\\frac{2}{2 \\pi / w} \\int_{0}^{\\pi / w} I \\sin w t d t=0\\]</p>전류가 표준 이동 코일 검류계로 측정된다면 계량기는 \\(0\\)을 가리킨다.", "</p><p>참고 전류를 효과적으로 측정하기 위하여 전류의 제곱의 평균값의 제곱근을 측정하는 장치 \\( I_{\\mathrm{rms}}=\\sqrt{\\left(i^{2}\\right)_{a v}} \\)를 이용한다.", "한 주기 동안의 \\( i^{2} \\)의 평균값 \\( i_{a v}^{2} \\)은 \\[\\left(i^{2}\\right)_{a v}=\\frac{w}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi / w} I^{2} \\sin ^{2} w t d t=\\frac{I^{2}}{2}\\] 이므로 \\( \\operatorname{rms}( \\) root mean square) 전류는 \\[I_{\\mathrm{rms}}=\\sqrt{\\frac{I^{2}}{2}}=\\frac{I}{\\sqrt{2}}\\] 같은 방법으로 사인곡선(sinusoidal) 전압 \\( \\nu=V \\sin w t \\)의 \\( \\mathrm{rms} \\) 값은 \\[V_{\\mathrm{rms}}=\\frac{\\mathrm{V}}{\\sqrt{2}}\\] 가정용 전압과 전류의 값은 항상 \\( \\mathrm{rms} \\) 값이다.", "따라서 ' \\(115\\) volts ac'는 rms 전압이 115 볼트라는 것을 의미한다.", "따라서 위의 식에 의하여 전압의 피크는 \\[ V=\\sqrt{2} V_{\\mathrm{s}}=\\sqrt{2} \\cdot 115 \\fallingdotseq 163 \\text { 볼트 } \\] 이다.", "</p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "미분적분학_적분법", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-e957-437b-aad7-8435dc39b319", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961059435", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2015", "doc_author": [ "양정모" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }
128	<h2>벡터</h2><p>벡터(vector)는 크기와 방향을 갖는 양이다. 직관적으로 벡터는 유향선분이고 흔히 화살표로 나타낸다(그림2.1-7).</p><p>그림2.1-7과 같이 벡터는 점 \( A \)로부터 점 \( B \)로의 방향과 선분 \( A B \) 로 주어진다. 이 때 \( A \)를 시점 (initial point), \( B \)를 종점(terminal point)이라 부른다. 그리고 이 벡터를 선분과 구별하기 위해 \( \overrightarrow{A B} \)로 나타낸다. 점 \( A \)가 원점일 때, 즉 시점이 원점인 벡터 \( \overrightarrow{O B} \)를 점 \( B \)의 위치벡터(position vector)라고 부른다(그림2.1-7).</p><p>그림2.1-8에서의 벡터들처럼, 공간에서도 같은 크기와 같은 방향을 가지는 벡터를 동일한 벡터로 간주한다. 이들 유향선분은 시점을 원점으로 평행이동하면 하나의 위치벡터와 같고 그러한 위치벡터의 종점은 \( \mathbb{R}^{3} \)의 한 점을 나타내므로 \( \mathbb{R}^{3} \)의 한 점을 벡터로 간주한다. 그러므로 \( \mathbb{R}^{3} \)의 벡터들의 전체 집합은 \( \mathbb{R}^{3} \)과 일치하게 된다.</p><p>이런 관점에서 앞으로는 위치벡터와 \( \mathbb{R}^{3} \)의 점의 표기를 구별하지 않고 때로는 점, 때로는 벡터라고 부르기로 한다.</p><p>시점이 \( A\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) \)이고 종점이 \( B\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) \)인 위치벡터는 \[ \overrightarrow{A B}=B-A=\left(b_{1}-a_{1}, b_{2}-a_{2}, b_{3}-a_{3}\right) \] 가 된다. 그러므로 임의의 두 벡터 \( \overrightarrow{A B} \)와 \( \overrightarrow{C D} \)가 같을 필요충분조건은 \( B-A=D-C \) 이다.</p><p>예제 2.1.10 삼차원 공간의 네 개의 점 \( A=(1,3,7) \), \( B=(-1,0,6) \), \( C= (0,-1,-2) \) 및 \( D=(-2,-4,-3) \)에 대하여 \( \overrightarrow{A B} \)와 \( \overrightarrow{C D} \)가 같은 벡터임을 보여라.</p><p>풀이. \( \overrightarrow{A B}=B-A=(-2,-3,-1)=D-C=\overrightarrow{C D} \).</p><h2>벡터의 크기</h2><p>이제 벡터의 크기를 생각해 보자. 유향선분 \( \overrightarrow{A B} \)의 크기(또는 길이)는 \[ \|\overrightarrow{A B}\|=\|B-A\| \] 로 정의한다. 특히, 크기가 1 인 벡터를 단위벡터(unit vector)라고 부른다.</p><p>예컨데, 삼차원 공간의 단위구면 \[ \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\} \] 위의 모든 점은 단위벡터인 셈이다.</p><h2>표준기저벡터</h2><p>이제 벡터를 나타내고 계산하는데 도움을 주는 세 개의 특별한 단위벡터 \[ \mathbf{i}=(1,0,0), \mathbf{j}=(0,1,0), \mathbf{k}=(0,0,1) \text {. } \] 가 있다. 즉 \( \mathrm{i}, \mathrm{j}, \mathrm{k} \)는 길이가 1 이고 양의 \( x \)-축, \( y \)-축, \( z \)-축 방향을 각각 가리키는 벡터들이다(그림2.1-9). 이러한 벡터 \( \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} \)를 삼차원 공간의 표준기저(standard basis)벡터라고 부른다.</p><p>이들 벡터의 중요성은 3차원 공간의 임의의 벡터를 \( \mathrm{i}, \mathrm{j}, \mathrm{k} \)으로 나타낼 수 있다는 데 있다. 즉, 3차원 공간의 임의의 벡터 \( A=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) \)는 \[ A=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)=a_{1} \mathbf{i}+a_{2} \mathbf{j}+a_{3} \mathbf{k} \] 로 쓸 수 있다. 왜냐하면 \[ \begin{aligned} A=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) &=\left(a_{1}, 0,0\right)+\left(0, a_{2}, 0\right)+\left(0,0, a_{3}\right) \\ &=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1) \\ &=a_{1} \mathbf{i}+a_{2} \mathbf{j}+a_{3} \mathbf{k} \end{aligned} \] 이기 때문이다(그림2.1-10).</p><p>이 때 벡터 \( A \)는 세 개의 벡터 \( \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathrm{k} \)의 일차결합(linear combination)으로 표현되었다고 말한다.</p><p>예를 들면, 벡터 \( A(3,2,5) \)는 \( x \)-축의 양의 방향으로 \( \mathrm{i} \)를 3배, \( y \)-축의 양의 방향으로 \( \mathrm{j} \)를 2배, \( z \)-축의 양의 방향으로 \( \mathrm{k} \)를 5배하여 얻은 벡터이다. 그러므로, 벡터 \( A(3,2,5) \)는 \( A=(3,2,5) \), 또는 \( A=3 \mathbf{i}+2 \mathbf{j}+5 \mathbf{k} \)로 표현된다.</p> <h1>2.4 벡터의 내적과 외적</h1><p>벡터공간의 연산에서 우리는 두 벡터 사이의 합과 벡터에 실수배를 하는 스칼라 곱을 살펴보았다. 이제 두 벡터 사이의 곱의 연산을 정의하자. 한 가지 가능한 방법은 합에서처럼 곱을 각 벡터의 성분별로 곱하는 경우이다. 하지만 불행하게도 그러한 곱은 물리학적인 의미가 없을 뿐만 아니라 여러 응용분야에서도 거의 나타나지 않는다. 따라서 우리는 실제적인 의미를 갖는 곱 중에서 가장 널리 사용되는 두 가지 형태의 곱을 살펴보고자 한다.</p><h2>벡터의 내적</h2><p>두 벡터 \( A=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) \)와 \( B=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) \)의 내적(inner product) \( A \cdot B \)를 다음과 같이 정의한다. \[ A \cdot B=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3} . \]</p><p>평면에서는 두 벡터 \( A\left(a_{1}, a_{2}\right) \)와 \( B\left(b_{1}, b_{2}\right) \)에 대한 내적은 \( A \cdot B=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2} \)로 정의된다. 제 2장 1절에서 정의된 벡터 \( A \)의 크기로부터 \[ \|A\|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}=\sqrt{A \cdot A} \] 임을 알 수 있다.</p><p>예제 2.4.1<p>(1) \( (2,4) \cdot(3,-1)=(2)(3)+(4)(-1)=2 \).</p><p>(2) \( (-1,7,4) \cdot\left(6,2,-\frac{1}{2}\right)=(-1)(6)+(7)(2)+(4)\left(-\frac{1}{2}\right)=6 \).</p><p>(3) \( (\mathbf{i}+2 \mathbf{j}-3 \mathbf{k}) \cdot(2 \mathbf{j}-\mathbf{k})=(1)(0)+(2)(2)+(-3)(-1)=7 \).</p><p>이렇게 정의된 내적은 다음의 성질을 가지고 있다.</p><h2>내적의 기본성질</h2><p>\( A, B, C \in \mathbb{R}^{3} \) (또는 \( \in \mathbb{R}^{2} \) ), \( t \in \mathbb{R} \)에 대하여</p><p>가. \( A \cdot A=\|A\|^{2} \geq 0 \)이고, \( A \cdot A=0 \)이기 위한 필요충분조건은 \( A=0 \)</p><p>나. \( A \cdot B=B \cdot A \)</p><p>다. \( (t A) \cdot B=t(A \cdot B)=A \cdot(t B) \)</p><p>라. \( (A+B) \cdot C=A \cdot C+B \cdot C \)</p><p>위의 성질의 증명은 내적의 정의에 의하여 간단히 증명된다.</p><h2>두 벡터의 사이각</h2><p>내적의 기본성질과 제 2코사인 법칙을 이용하여 두 벡터의 내적과 사이각과의 관계식을 구할 수 있다.</p><p>정리 \( \mathbf{2 . 4 . 2} \) 두 벡터 \( A \)와 \( B \)의 사이각을 \( \theta, 0 \leq \theta \leq \pi \)라 하면 \[ A \cdot B=\|A\|\|B\| \cos \theta \] 이다.</p><p>증명. 그림2.4-42에서처럼 제 2코사인 법칙에 의하여 \[ \|B-A\|^{2}=\|A\|^{2}+\|B\|^{2}-2\|A\|\|B\| \cos \theta \] 이다. 한편, \[ \|B-A\|^{2}=(B-A) \cdot(B-A)=\|B\|^{2}-2 A \cdot B+\|A\|^{2} \] 이므로 위 두 식으로부터 \[ A \cdot B=\|A\|\|B\| \cos \theta \] 이다. 위의 정리로부터 임의의 두 벡터 \( A \)와 \( B \)사이각은 \[ \theta=\cos ^{-1}\left(\frac{A \cdot B}{\|A\|\|B\|}\right) \] 임을 알 수 있다.</p><p>따름정리 2.4.3 두 개의 영이 아닌 벡터 \( A \)와 \( B \)가 서로 직교할 필요충분조건은 \( A \cdot B=0 \)이다.</p><p>예제 2.4.4 벡터 \( A=2 \mathrm{i}-\mathrm{j}+2 \mathrm{k} \)와 \( B=\mathbf{i}-\mathrm{j} \)의 사이각을 구하여라.</p><p>풀이. \[ \begin{array}{c} A \cdot B=(2)(1)+(-1)(-1)+(2)(0)=3 \\ \|A\|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=3 \\ \|B\|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+0^{2}}=\sqrt{2} \end{array} \] 으로부터 \[ \theta=\cos ^{-1}\left(\frac{3}{3 \sqrt{2}}\right)=\cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{\pi}{4} \] 이다.</p> <h2>벡터의 외적</h2><p>이제 벡터공간의 곱의 연산 중에서 내적과 다른 곱의 연산에 대하여 살펴보자.</p><p>\( A=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), B=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} \)에 대하여 외적(벡터곱)(cross product, vector product) \( A \times B \)를 다음과 같이 정의한다. \[ A \times B=\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1}-a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right) \]</p><p>위의 외적의 정의는 이상한 방법처럼 보이지만 이와 같은 독특한 형태로 정의된 벡터곱이 많은 유용한 특성을 가지고 있음을 알게 될 것이다. 또한, 내적은 실수이지만 외적은 벡터이므로 벡터공간 \( \mathbb{R}^{3} \)에 닫혀있는 연산이다. 먼저, 외적의 정의를 쉽게 기억하기 위해 행렬식의 표현법을 이용해 보자.</p><p>\( \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} \)를 삼차원 표준기저 벡터를 \( \mathbf{i}=(1,0,0), \mathbf{j}=(0,1,0), \mathbf{k}=(0,0,1) \)라 하면 외적 \( A \times B \)는 행렬식을 사용하면 \[ \begin{aligned} A \times B &=\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}\right) \mathbf{i}-\left(a_{1} b_{3}-a_{3} b_{1}\right) \mathbf{j}+\left(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right) \mathbf{k} \\ &=\left\|\begin{array}{ll} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{array}\right\| \mathbf{i}-\left\|\begin{array}{ll} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{array}\right\| \mathbf{j}+\left\|\begin{array}{cc} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{array}\right\| \mathbf{k} \end{aligned} \] 라 쓸 수 있다. 또는 마치 \( \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} \)를 실수처럼 생각하여 다음과 같이 형식적인 행렬식으로도 쓸 수 있다. \[ A \times B=\left\|\begin{array}{ccc}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\end{array}\right\|. \]</p><p>예제 2.4.12 벡터 \( A=(2,-1,3) \)와 \( B=(1,1,2) \)에 대하여 외적 \( A \times B \)를 구하여라.</p><p>풀이. \[ \begin{aligned} A \times B &=\left\|\begin{array}{ccc}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right\| \\ &=\left\|\begin{array}{cc}-1 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right\| \mathbf{i}-\left\|\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right\| \mathbf{j}+\left\|\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right\| \mathbf{k} \\ &=-5 \mathbf{i}-\mathbf{j}+3 \mathbf{k}=(-5,-1,3) . \end{aligned} \]</p><h2>외적의 기본성질</h2><p>임의의 벡터 \( A, B, C \)와 실수 \( t \)에 대하여 다음이 성립한다.<p>가. \( A \times B=-B \times A \)</p><p>나. \( A \times(B+C)=A \times B+A \times C \)</p><p>다. \( A \times A=0 \)</p><p>라. \( (t A) \times B=t(A \times B)=A \times(t B) \)</p></p><p>위의 증명은 행렬식의 성질로부터 쉽게 증명된다.</p><p>외적의 방향</p><p>이제 외적 \( A \times B \)는 벡터이므로 그의 방향을 생각해 보자.</p><p>정리 2.4.13 \( A \times B \)는 \( A, B \) 모두와 직교한다. 즉, \[ (A \times B) \cdot A=(A \times B) \cdot B=0 . \]</p><p>증명. \[ \begin{aligned} (A \times B) \cdot A &=\left(\left\|\begin{array}{ll} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{array}\right\| \mathbf{i}-\left\|\begin{array}{cc} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{array}\right\| \mathbf{j}+\left\|\begin{array}{cc} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{array}\right\| \mathbf{k}\right) \cdot\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) \\ &=\left(\left\|\begin{array}{ll} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{array}\right\|,-\left\|\begin{array}{cc} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{array}\right\|,\left\|\begin{array}{cc} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{array}\right\|\right) \cdot\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) \\ &=\left\|\begin{array}{ll} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{array}\right\| a_{1}-\left\|\begin{array}{cc} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{array}\right\| a_{2}+\left\|\begin{array}{cc} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{array}\right\| a_{3} \\ &=a_{1}\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}\right)-a_{2}\left(a_{1} b_{3}-a_{3} b_{1}\right)+a_{3}\left(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right) \\ &=0 . \\ \end{aligned} \] 마찬가지로, \((A \times B) \cdot B=0 \)임을 보일 수 있다.</p><p>위의 정리에 의하면 \( A \times B \)는 \( A \)와 \( B \)에 수직이다. 따라서, 서로 평행하지 않는 두 벡터 \( A \)와 \( B \)를 포함하는 평면 \( S \)에도 수직이다(그림2.4-47). 즉, \[ (A \times B) \cdot(\alpha A+\beta B)=0 \] 이다. 그러므로 \( A \times B \)는 평면 \( S \)에 대한 하나의 법선벡터이다(그림2.4-48).</p><p>이제, 두 벡터 \( A \)와 \( B \)에 의해서 생성된 평면 \( S \)에 수직인 벡터 \( A \times B \)의 방향을 알아보자. \( \theta \)를 \( A \)와 \( B \)의 사이각이라고 하면 그림2.4-49에서처럼 오른손의 세 손가락 중 검지방향 \( A \)에서 중지방향 \( B \)로의 방향으로 회전시킬 때 엄지손가락이 \( A \times B \)의 방항을 가리킨다. 예를 들면, \( \mathrm{i} \times \mathrm{j}=\mathrm{k} \)인 경우이다. 이렇게 \( A \times B \)의 방향을 결정하는 방법을 오른손 법칙(right-hand rule)이라고 한다.</p><p>예제 2.4.14 점 \( A(1,0,2), B(3,-1,6) \) 및 \( C(5,2,4) \)를 지나는 평면 \( S \)의 방정식을 구하여라.</p><p>풀이. 그림2.4-50에서처럼 벡터 \( B-A=(2,-1,4) \)와 \( C-A=(4,2,2) \)는 평면 \( S \)와 평행하므로 이들의 외적 \[ (B-A) \times(C-A) \] 는 하나의 법선벡터이다. 그런데 \[ \begin{aligned} (B-A) \times(C-A) &=\left\|\begin{array}{ccc} \mathrm{i} & \mathrm{j} & \mathrm{k} \\ 2 & -1 & 4 \\ 4 & 2 & 2 \end{array}\right\| \\ &=\left\|\begin{array}{cc} -1 & 4 \\ 2 & 2 \end{array}\right\| \mathrm{i}-\left\|\begin{array}{ll} 2 & 4 \\ 4 & 2 \end{array}\right\| \mathbf{j}+\left\|\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 4 & 2 \end{array}\right\| \mathbf{k} \\ &=(-10,12,8) \end{aligned} \] 이므로 점 \( A(1,0,2) \)를 지나고 법선벡터가 \( N(-10,12,8) \)인 평면의 방정식은 \[ (-10,12,8) \cdot(X-(1,0,2))=0 \] 가 된다. 이 식을 간단히 하면 \[ 5 x-6 y-4 z+3=0 \] 이 구하는 \( S \)의 방정식이다.</p> <h2>행렬의 합과 스칼라 곱</h2><p>이제 모든 \( m \times n \) 행렬들의 집합을 \[ M_{m \times n}(\mathbb{R}) \] 로 표시하자. \( M_{m \times n}(\mathbb{R}) \)의 임의의 두 행렬 \( A=\left(a_{i j}\right) \)와 \( B=\left(b_{i j}\right) \)에 대하여 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의한다.</p><p>임의의 \( k \in \mathbb{R} \)와 \( 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n \)에 대하여<p>(1) 합 : \( A+B=\left(a_{i j}+b_{i j}\right) \)</p><p>(2) 스칼라 곱 : \( k A=\left(k a_{i j}\right) \)</p></p><p>예제 \( 2.3 .2 A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right) \)이고, \( B=\left(\begin{array}{ccc}3 & 1 & 4 \\ -2 & 5 & 2\end{array}\right) \)일 때 \( A+B \)와 \( 3 A \)를 구하여라.</p><p>풀이. \[ A+B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 4 \\ -2 & 5 & 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 4 & 1 & 7 \\ -1 & 4 & 4 \end{array}\right) \] 이고 \[ 3 A=3\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 9 \\ 3 & -3 & 6 \end{array}\right) \] 이다.</p><p>그러면 2.1절의 좌표공간이 점들의 합과 스칼라 곱에 대하여 8가지 성질을 만족하는 것처럼 집합 \( M_{m \times n}(\mathbb{R}) \)에서도 행렬들의 합과 스칼라 곱에 대하여 8가지 성질을 만족함을 알 수 있다. 그러므로 \( M_{m \times n}(\mathbb{R}) \)도 벡터공간이고 따라서 \( m \times n \) 행렬도 역시 하나의 벡터이다. 특히, 하나의 행을 행벡터(row vector), 하나의 열을 열벡터(column vector)라 부르기도 한다. 따라서 행벡터와 열벡터를 이용하여 행렬을 다음과 같이 표현하기도 한다.</p><p>\( m \times n \) 행렬 \( A=\left(a_{i j}\right) \)는 \[ A=\left(\begin{array}{c} A_{1} \\ A_{2} \\ \vdots \\ A_{m} \end{array}\right) \] 으로 나타내며, 여기서 \( A_{i}=\left(a_{i 1} a_{i 2} \cdots a_{i n}\right) \)은 \( i \) 번째 행벡터이다. 또한, \( n \times p \) 행렬 \( B=\left(b_{j k}\right) \)는 \[ B=\left(B^{1} B^{2} \cdots B^{p}\right) \] 으로 나타내며, 이 때 \( B^{j}=\left(\begin{array}{c}b_{1 j} \\ b_{2 j} \\ \vdots \\ b_{n j}\end{array}\right) \)는 \( j \) 번째 열벡터이다.</p><h2>행렬의 곱</h2><p>이제 두 행렬의 곱에 대하여 정의하자. 곱이 정의되기 위한 조건은 곱해지는 앞 행렬의 열의 개수와 곱하는 뒤 행렬의 행의 개수가 같아야 한다.</p><p>주어진 두 행렬 \( A=\left(a_{i j}\right) \)와 \( B=\left(b_{j k}\right), 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n, 1 \leq k \leq p \)의 곱은 \[ A B=\left(\begin{array}{c} A_{1} \\ A_{2} \\ \vdots \\ A_{m} \end{array}\right)\left(\begin{array}{llll} B^{1} & B^{2} & \cdots & \left.B^{p}\right) \end{array}\right. \] \[ =\left(\begin{array}{cccc} A_{1} \cdot{ }^{t} B^{1} & A_{1} \cdot{ }^{t} B^{2} & \cdots & A_{1} \cdot{ }^{t} B^{p} \\ A_{2} \cdot{ }^{t} B^{1} & A_{2} \cdot{ }^{t} B^{2} & \ldots & A_{2} \cdot{ }^{t} B^{p} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{m} \cdot{ }^{t} B^{1} & A_{m} \cdot{ }^{t} B^{2} & \ldots & A_{m} \cdot{ }^{t} B^{p} \end{array}\right) \] 로 정의한다. 그러므로 \( A B=\left(A_{i} \cdot{ }^{t} B^{j}\right) 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq p \)이고 이 때 \( A_{i} \cdot{ }^{t} B^{j}=a_{i 1} b_{1 j}+a_{i 2} b_{2 j}+\cdots+a_{i n} b_{n j} \)이다.</p><p>예제 2.3.3 \( A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & 2\end{array}\right) \)이고 \( B=\left(\begin{array}{cc}-2 & 3 \\ 0 & 5 \\ -1 & 2\end{array}\right) \)일 때 \( A B \)를 구하여라.</p><p>풀이. \( A B=\left(\begin{array}{cc}-2+0+1 & 3+10-2 \\ -6+0-2 & 9+0+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1 & 11 \\ -8 & 13\end{array}\right) \)이다.</p><p>한편, \( n \times n \) 행렬을 \( n \)차 정방행렬(square matrix)이라 부르고 \( M_{n}(\mathbb{R}) \)을 모든 \( n \)차 정방행렬들의 집합으로 표시한다. 특히, \( n \)차 정방행렬 \( \left(a_{i j}\right) \)의 대각성분 \( a_{i i}= \) 1이고 \( a_{i j}=0(i \neq j) \)이면 이 행렬을 \( n \)차 항등행렬(identity matrix) 또는 \( n \)차 단위행렬(unit matrix)이라 부르고 \( I_{n} \)으로 표시한다. 즉, \[ I_{n}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{array}\right) \] 이다. 그러므로 임의의 \( A \in M_{n}(\mathbb{R}) \)에 대하여 식 \[ A I_{n}=A=I_{n} A \] 를 만족한다. 또한, \( A B=I_{n}=B A \)를 만족하는 행렬 \( B \in M_{n}(\mathbb{R}) \)가 존재하면 \( A \)를 정칙행렬 (invertible matrix)이라 하고 \( B \)를 \( A \)의 역행렬(inverse matrix)이라 부른다. 이 때 \( B=A^{-1} \)로 표시한다. 마찬가지로, \( A \)는 \( B \)의 역행렬이고 \( A=B^{-1} \)로 표시한다.</p><p>예제 2.3.4 다음 두 행렬 \[ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & -1 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{rrr} \frac{9}{5} & -\frac{2}{5} & -\frac{6}{5} \\ -\frac{2}{5} & \frac{1}{5} & \frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5} \end{array}\right) \] 는 서로 역행렬 관계임을 보여라.</p><p>풀이. \( A B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\frac{9}{5} & -\frac{2}{5} & -\frac{6}{5} \\ -\frac{2}{5} & \frac{1}{5} & \frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)=I_{3} \) 임을 알 수 있다. 또한 \( B A=I_{3} \) 도 성립한다. 특히, 주의할 사항은 다음 예제에서와 같이 일반적으로 두 행렬 \( A \)와 \( B \)에 대하여 \[ A B \neq B A \] 이다.</p><p>예제 2.3.5 두 행렬 \( A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -2 & 1\end{array}\right) \)와 \( B=\left(\begin{array}{cc}-1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right) \)에 대하여 \( A B \)와 \( B A \)을 계산하여라.</p><p>풀이. \[ \begin{array}{c} A B=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} -1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} -1 & 5 \\ 2 & -5 \end{array}\right), \\ B A=\left(\begin{array}{cc} -1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} -7 & 1 \\ -2 & 1 \end{array}\right) . \end{array} \]</p> <h1>2.3 행렬과 행렬식</h1><p>기원전 4세기경에 바빌로니아인들은 연립 일차방정식에 대한 연구를 점토판에 남겨 놓았다. 또한 중국 한왕조 때인 B.C. 200년에서 B.C. 100년 사이에 쓰여진 "구장산술"이라는 수학책에서 바빌로니아인들보다 행렬의 개념에 더 가깝게 다음과 같은 문제를 해결하고 있다.</p><p>세 가지 종류의 옥수수 다발들이 있다. 첫째유형 3 다발, 둘째유형 2 다발, 셋째유형 1 다발을 모으면 전체는 39 단위량이 된다. 또한 첫째유형 2 다발, 둘째유형 3 다발, 셋째유형 1 다발은 34 단위량이 된다. 그리고 첫째유형 1 다발, 둘째유형 2 다발, 셋째유형 3 다발은 26 단위량이 될 때 각 유형의 1 다발에 속해있는 옥수수의 단위량은 각각 얼마인가?</p><p>여기서 해답은 중국식 배열 방법으로 오른쪽에서 시작하여 왼쪽으로 내려쓰기를 하여 다음과 같이 미지수가 3개인 일차연립방정식의 계수로 표를 만들었다. \[ \begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \\ 26 & 34 & 39\end{array} \] 오른쪽 첫 번째 열을 \( C_{1} \), 둘째 열을 \( C_{2} \), 그리고 왼쪽 열을 \( C_{3} \)로 표시하면, \( 3 C_{3}-C_{1} \)을 \( C_{3} \)로 대치하고 \( 3 C_{2}-2 C_{1} \)을 \( C_{2} \)로 대치하여 다음과 같은 식을 얻었다. \[ \begin{array}{ccc}0 & 0 & 3 \\ 4 & 5 & 2 \\ 8 & 1 & 1 \\ 39 & 24 & 39\end{array} \] 또한, \( 5 C_{3}-4 C_{2} \)를 \( C_{3} \)로 대치하여 다음과 같은 식을 얻었다. \[ \begin{array}{ccc}0 & 0 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ 36 & 1 & 1 \\ 99 & 24 & 39\end{array} \] 이렇게 하여 각 유형의 1 다발에 속해있는 옥수수 단위량을 쉽게 계산하였다. 셋째유형의 1 다발은 \( \frac{99}{36}=2.75 \), 둘째유형의 1 다발은 \( \frac{1}{5}(24-2.75)=4.25 \), 첫째유형의 1 다발은 \( \frac{1}{3}(39-2.75-2(4.25))=9.25 \)이다. 놀랍게도 이 방법은 Gauss가 1803년 에서 1809년 사이에 행해진 한 소행성을 연구하면서 그 궤도의 관찰 기록을 이용하 여 미지수가 6개인 연립일차방정식을 만든 후에 이와 같이 계수행렬을 이용하여 주어진 연립방정식을 풀었다고 한다. 현재 이 방법을 “가우스 소거법”이라 부른다.</p><h2>행렬</h2><p>행렬 (matrix)은 수를 사각형 모양으로 늘어놓은 배열이다. 가로줄을 행(row)이라 하고 세로줄을 열(column)이라 부른다. 예컨데, 행렬들은 \[ \left(\begin{array}{l} 1 \\ 3 \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{lll} -2 & 5 & 1 \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right),\left(\begin{array}{llll} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{array}\right) \] 들로 표현되며 첫 번째를 \( 2 \times 1 \) 행렬, 두 번째를 \( 1 \times 3 \) 행렬, 세 번째를 \( 2 \times 2 \) 행렬, 네 번째를 \( 3 \times 4 \) 행렬이라 부른다. 그러므로 벡터들도 행렬의 한 종류로 간주한다. 이제 일반적인 \( m \times n \) 행렬은 \[ \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right) \] 으로 표현되며 간단히 \( \left(a_{i j}\right), 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n \)으로 쓰기도 한다. 또한, 모든 성분이 0인 행렬을 영행렬(zero matrix)이라 부른다. 예를 들면, \[ \left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \] 과 같은 행렬이다. 또한, 주어진 행렬 \( A \)에서 행을 열로 열을 행으로 바꾼 행렬(예를 들면, 2행 1열의 원소를 1행 2열의 위치로 옮긴다.)을 \( A \)의 전치행렬(transpose matrix)이라 부르고 \( { }^{t} A \)로 표시한다.</p><p>예제 2.3.1 \( A=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0\end{array}\right) \)의 전치행렬은 \( { }^{t} A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 0\end{array}\right) \)이다.</p> <h2>일변수 삼차원 벡터값 함수의 그래프</h2><p>일반적으로 삼차원 벡터값 함수(곡선)의 그래프는 사차원 공간의 부분집합이다. 그렇지만 그 곡선의 그림은 삼차원 공간의 치역을 나타내는 것이다.</p><p>예제 2.2.13 함수 \[ X(t)=\cos t \mathbf{i}+\cos t \mathbf{j}+\sqrt{2} \sin t \mathbf{k}, t \in[0,2 \pi] \] 가 나타내는 곡선을 그려라.</p><p>풀이. \( X(t) \)의 성분함수는 \[ x=\cos t, y=\cos t, z=\sqrt{2} \sin t \] 이고 \[ x^{2}+y^{2}+z^{2}=\cos ^{2} t+\cos ^{2} t+2 \sin ^{2} t=2\left(\cos ^{2} t+\sin ^{2} t\right)=2 \] 이므로 치역 \( R=\{X(t) \mid t \in[0,2 \pi]\} \)에 속하는 임의의 점은 반지름이 \( \sqrt{2} \)인 삼차원 공간 안의 구면 위에 놓여 있다.<p>한편, \( y=\cos t=x \)이므로, 평면 \( y=x \)와 구면 \( x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 \)가 만나는 곡선(즉, 원)이 바로 주어진 벡터함수의 치역에 해당된다. 그러나, 구면 \( x^{2}+y^{2}+z^{2}= 2\)의 중심인 원점 \( (0,0,0) \)은 평면 \( y=x \)위에 있으므로 주어진 함수가 그리는 곡선은 대원이 된다(그림2.2-26).</p></p><h2>등고선과 등위집합</h2><p>이변수 함수 \( f \)의 그래프를 그리기 위해서는 \( f \)의 그래프와 평면 \( z=c \)의 교선을 찾는 것이 좋을 때가 많다. 그러한 각각의 교선을 평면 \( z=c \)에서 \( f \)의 그래프에 대한 자국(trace)이라고 한다. 그러므로 평면 \( z=c \)에서 \( f \)의 그래프에 대한 자국은 \( f(x, y)=c \)를 만족하는 점 \( (x, y, c) \)의 집합이다. 예를 들어, \( f \)의 그래프를 산의 표면이라 하면 평면 \( z=c \)의 자국은 등고선이 된다. 그러한 자국을 따라 걸어가는 등산객은 올라가지도 내려가지도 않는 셈이다.</p><p>그림2.2-27에서는 함수 \( f(x, y)=-x^{2}-x y-y^{2}+5 \)의 그래프와 평면 \( z=4.5 \)의 교선, 즉 자국을 나타내고 있으며 그림2.2-28에서는 그 교선을 위에서 아래로 내려다본 모습이다.</p><p>함수의 그래프를 그리는 또 하나의 방법을 소개해 보자. 그림 2.2-29은 미국 플로리다주의 마이애미에서 작성한 허리케인의 등압선 지도이다. 여기서 등압선은 같은 기압을 갖는 지점을 의미한다. 이 그림에서 실제적인 입체 모형이 아닐지라도 등압선을 활용하여 어떤 지점의 기압을 알 수가 있다.</p><p>이제 이것을 수학적인 용어를 사용하여 정의하여 보자. 함수 \( f: D \longrightarrow \mathbb{R} \)가 주어지고, \( c \in \mathbb{R} \)일 때 함수 \( f \)에 대한 \( c \)의 역원 집합 \[ f^{-1}(c)=\{x \in D \mid f(x)=c\} \] 를 함수 \( f \)의 \( c \)에 대한 등위집합(level set)이라고 한다. 함수 \( f: D \longrightarrow \mathbb{R} \)에 대하여 \( f \)의 등위집합 \( f^{-1}(c) \)가 \( \mathbb{R}^{2} \)의 부분집합, 즉 \( f \)가 이변수 함수이면 \( f^{-1}(c) \)를 등위곡선(level curve), \( \mathbb{R}^{3} \)의 부분집합, 즉 \( f \)가 삼변수 함수이면 등위곡면(level surface)이라 부른다.</p><p>함수 \( f \)의 등위곡선은 \( f \)의 그래프에 대해서 등고선과 등압선 같은 의미 있는 자료를 제공해 준다. 예를 들면 그림2.2-31은 이변수 함수 \( f(x, y)=-x y e^{-x^{2}-y^{2}} \)의 그래프를 의미하고 그림2.2-31에서는 이 함수의 등위곡선이 그려져 있다. 그림2.2-31에서 겹겹히 쌓인 원들은 그림2.2-30의 언덕과 관계되고 색이 진해짐에 따라 언덕의 높이가 올라가고, 연해짐에 따라 아래로의 깊이가 더해진다. 이와같이 이차원 평면의 등위곡선을 유추해 보면 삼차원 곡면에 대한 정보를 얻을 수 있다.</p><p>예제 2.2 .14 이변수 함수의 그래프는 하나의 등위곡면임을 보여라.</p><p>풀이. \( f \)를 이변수 함수라고 하자. 그 때 \( f \)의 그래프는 \[ G_{f}=\{(x, y, z) \mid z=f(x, y)\} \] 이다. 한편 삼변수 함수 \( h \)를 \[ h(x, y, z)=z-f(x, y) \] 로 정의하면 \[ G_{f}=\{(x, y, z) \mid h(x, y, z)=0\} \] 이므로 \( G_{f}=h^{-1}(0) \)인 등위집합, 즉 등위곡면이 된다.</p><p>예제 2.2.15 \( c=-6,0,6,12 \)일 때 함수 \( f(x, y)=6-3 x-2 y \)의 \( c \)에 관한 등위곡선을 그려라.</p><p>풀이. \( f(x, y)=c \)는 \( 6-3 x-2 y=c \) 또는 \( 3 x+2 y+(c-6)=0 \)를 만족하므로 기울기가 \( -\frac{3}{2} \)이고 \( y \)절편이 \( \frac{6-c}{2} \)인 직선들이다(그림2.2-33, 그림2.2-32).</p><p>예제 2.2.16 \( c=1, \sqrt{2}, \sqrt{3} \)일 때, 함수 \( f(x, y)=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}} \)의 \( c \)에 관한 등위곡선을 구하여라.</p><p>\[ f^{-1}(c)=\left\{(x, y) \mid 4-x^{2}-y^{2}=c^{2}\right\}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}=4-c^{2}\right\} \] 로 \( f^{-1}(c) \)는 중심이 \( (0,0) \)이고 반경이 \( \sqrt{4-c^{2}} \)인 원이다(그림2.2-34,2.2-35).</p><p>예제 2.2.17 삼변수 함수 \( f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} \)의 등위곡면은 \( c=1,4,9 \)일 때 그림2.2-36와 같다.</p> <h2>행렬식의 성질</h2><p>3차행렬식 \( \|A\|=\left\|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right\| \)을 다음과 같이 6가지 형태로 표현할 수 있다.</p><p>(1) \( \begin{aligned}\|A\| &=a_{11}\left(a_{22} a_{33}-a_{32} a_{23}\right)-a_{12}\left(a_{21} a_{33}-a_{31} a_{23}\right)+a_{13}\left(a_{21} a_{32}-a_{31} a_{22}\right) \\ &=a_{11}\left\|\begin{array}{ll}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\end{array}\right\|-a_{12}\left\|\begin{array}{cc}a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}\end{array}\right\|+a_{13}\left\|\begin{array}{cc}a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{array}\right\| \end{aligned} \)</p><p>마찬가지 방법으로</p><p>(2) \( \|A\|=-a_{21}\left\|\begin{array}{ll}a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33}\end{array}\right\|+a_{22}\left\|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33}\end{array}\right\|-a_{23}\left\|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32}\end{array}\right\| \)</p><p>(3) \( \|A\|=a_{31}\left\|\begin{array}{ll}a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23}\end{array}\right\|-a_{32}\left\|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23}\end{array}\right\|+a_{33}\left\|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right\| \)</p><p>(4) \( \|A\|=a_{11}\left\|\begin{array}{ll}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\end{array}\right\|-a_{21}\left\|\begin{array}{ll}a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33}\end{array}\right\|+a_{31}\left\|\begin{array}{ll}a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23}\end{array}\right\| \)</p><p>(5) \( \|A\|=-a_{12}\left\|\begin{array}{ll}a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}\end{array}\right\|+a_{22}\left\|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33}\end{array}\right\|-a_{32}\left\|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23}\end{array}\right\| \)</p><p>(6) \( \|A\|=a_{13}\left\|\begin{array}{ll}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\end{array}\right\|-a_{23}\left\|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32}\end{array}\right\|+a_{33}\left\|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right\| \)</p><p>위의 6가지 형태를 살펴보면, \( \|A\| \)는 한 행(또는 열)의 각 원소와 그 원소를 포함하는 행과 열을 제외한 나머지 2차 행렬식과의 일차 결합으로 전개되고 있다. 특히, 이 전개식의 각 항의 부호는 각 항의 원소의 위치가 행렬 \( A \)에서 \( i \)행 \( j \)열의 원소일 때 \( i+j \)가 짝수이면 양의 부호 \( + \)이고, 홀수이면 음의 부호 -이다.</p><p>그러므로 4차 행렬식도 한 행이나 열로 전개하여 계산할 수 있다.</p><p>특히, 한 행이나 열의 원소에 0이 많을수록 행렬식의 값을 계산하기가 쉬워진다. 따라서 주어진 행렬의 행렬식의 값이 변하지 않으면서 한 행이나 열에 0을 만들 수 있는 방법으로 다음 행렬식의 4가지 성질을 이용한다.</p><p>정리 2.3.8 (1) 각 열(행)에 대하여 선형이다.<p>(2) 서로 다른 두 열(행)의 위치를 바꾸면 행렬식의 부호가 바뀐다.</p><p>(3) 서로 다른 위치의 두 열(행)이 일치하면 행렬식은 0이다.</p><p>(4) 어떤 열(행)에 다른 열(행)을 실수배하여 더해도 행렬식은 변함이 없다.</p></p><p>증명. 2차 행렬식인 경우는 쉽게 증명되므로 3차 행렬식인 경우에만 증명한다. 3차 행렬식 \( \|A\| \)를 3차 행렬 \( A \)의 열벡터 \( A^{1}, A^{2}, A^{3} \)를 이용하여 \( \|A\|=\left\|A^{1}, A^{2}, A^{3}\right\| \)로 표시하자. 여기서는 (4)만 증명하고 나머지는 연습문제로 남긴다.<p>(4) 제 3열 \( A^{3} \)에 상수 \( k \)를 곱한 후 제 2열 \( A^{2} \)에 더하자. 그리고 1 열에 대하여 2차 여인수로 전개하면 \( \left\|A^{1}, A^{2}+k A^{3}, A^{3}\right\|=\left\|\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12}+k a_{13} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22}+k a_{23} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32}+k a_{33} & a_{33}\end{array}\right\| \) \( =a_{11}\left\|\begin{array}{ll}a_{22}+k a_{23} & a_{23} \\ a_{32}+k a_{33} & a_{33}\end{array}\right\|-a_{21}\left\|\begin{array}{ll}a_{12}+k a_{13} & a_{13} \\ a_{32}+k a_{33} & a_{33}\end{array}\right\|+a_{31}\left\|\begin{array}{ll}a_{12}+k a_{13} & a_{13} \\ a_{22}+k a_{23} & a_{23}\end{array}\right\| \) \( =a_{11}\left(\left\|\begin{array}{ll}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\end{array}\right\|+\left\|\begin{array}{ll}k a_{23} & a_{23} \\ k a_{33} & a_{33}\end{array}\right\|\right)-a_{21}\left(\left\|\begin{array}{cc}a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33}\end{array}\right\|+\left\|\begin{array}{ll}k a_{13} & a_{13} \\ k a_{33} & a_{33}\end{array}\right\|\right) \) \( +a_{31}\left(\left\|\begin{array}{ll}a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23}\end{array}\right\|+\left\|\begin{array}{ll}k a_{13} & a_{13} \\ k a_{23} & a_{23}\end{array}\right\|\right) \) \( =a_{11}\left\|\begin{array}{ll}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\end{array}\right\|-a_{21}\left\|\begin{array}{ll}a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33}\end{array}\right\|+a_{31}\left\|\begin{array}{ll}a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23}\end{array}\right\| \) \( =\left\|A^{1}, A^{2}, A^{3}\right\| \)</p><p>이다. 나머지 다른 열이나 행에 대해서도 마찬가지로 증명된다.</p></p><p>예제 2.3.9 행렬 \( A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ -1 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 3 & 1\end{array}\right) \)의 행렬식을 구하여라.</p><p>풀이. \[ \begin{aligned} \|A\| &=\left\|\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ -1 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 3 & 1 \end{array}\right\|=\left\|\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 1 & 4 \\ 0 & -3 & 4 & -2 \end{array}\right\| \\ &=\left\|\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 4 \\ 5 & 1 & 4 \\ -3 & 4 & -2 \end{array}\right\|=\left\|\begin{array}{ccc} -5 & 11 & 0 \\ -1 & 9 & 0 \\ -3 & 4 & -2 \end{array}\right\|=-2\left\|\begin{array}{cc} -5 & 11 \\ -1 & 9 \end{array}\right\| \\ &=-2(-45+11)=68 \end{aligned} \] 이다. 칫째 등식은 1행을 3행에 더하였고, 1행에 \( -1 \)배하여 4행에 더하였다. 둘째 등식은 1행에 대하여 전개하였다. 셋째 등식은 3행에 2배하여 1행과 2행에 차례로 더하였다. 넷째 등식은 3열에 대하여 전개하였다.</p><p>마지막으로, 이 책에서는 2차 정방행렬의 역행렬을 구하는 내용만을 소개한다. 3차 이상의 정방행렬의 역행렬에 대한 내용은 선형대수학에서 자세허 공부한다.</p><p>행렬 \( A=\left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right) \)의 역행렬 \( A^{-1} \)를 구하기 위하여 \( A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}x & y \\ z & w\end{array}\right) \)라 하면 \( A A^{-1}=I \)이므로 \[ \left(\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} x & y \\ z & w \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \] 이다. 따라서 4개의 연립방정식 \[ \begin{array}{l} a_{11} x+a_{12} z=1 \\ a_{21} x+a_{22} z=0 \\ a_{11} y+a_{12} w=0 \\ a_{21} y+a_{22} w=1 \end{array} \] 로부터 \( x, y, z, w \)를 구하면 \[ A^{-1}=\left(\begin{array}{ll} x & y \\ z & w \end{array}\right)=\frac{1}{\|A\|}\left(\begin{array}{cc} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{array}\right) \] 임을 알 수 있다.</p> <h2>회전사상</h2><p>평면 \( \mathbb{R}^{2} \) 위에서 각 점이 원점을 중심으로 \( \theta \)만큼 회전한 점에 대응하는 함수 \( T_{\theta} \)를 회전사상(rotation)이라 한다.</p><p>그림2.3-40에서 \( A \)와 \( B \)를 \( \theta \)만큼 회전하여 얻은 점을 \( A^{\prime} \)과 \( B^{\prime} \)이라 하면 \( A+B \)는 \( A^{\prime}+B^{\prime} \)으로 \( \theta \)만큼 회전하고 실수 \( t \in \mathbb{R} \)에 대하여 \( t A \)는 \( t A^{\prime} \)으로 \( \theta \)만큼 회전한다. 그러므로 \[ T_{\theta}(A+B)=A^{\prime}+B^{\prime}=T_{\theta}(A)+T_{\theta}(B) \] 이고 \[ T_{\theta}(t A)=t A^{\prime}=t T_{\theta}(A) \] 이다. 그러므로 회전사상 \( T_{\theta}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \)은 선형사상이다.</p><p>예제 2.3.7 회전사상 \( T_{\theta} \)의 대응행렬을 구하여라.</p><p>풀이. 평면 \( \mathbb{R}^{2} \)의 표준기저는 \( \{\mathbf{i}, \mathbf{j}\} \)이므로 그림2.3-41에서와 같이 \[ T_{\theta}(\mathbf{i})=(\cos \theta, \sin \theta), T_{\theta}(\mathbf{j})=(-\sin \theta, \cos \theta) \] 이다. 그러므로 위에서 대응행렬을 구하는 방법에 따라 \( T_{\theta} \)의 대응행렬은 \[ \left(\begin{array}{rr} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right) \] 이다.</p><h2>행렬식</h2><p>\( n \)차 정방행렬 \( A=\left(a_{i j}\right) \)의 행렬식은 \[ \|A\|=\left\|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right\| \] 으로 표시한다. 그러나 일반적인 행렬식의 정의는 이 책의 범위를 넘는다. 자세한 정의는 선형대수학 과목에서 배우게 된다. 여기서는 이 책에서 주로 이용하는 2차, 3차 정방행렬에 대한 행렬식을 주로 다룬다. 필요하면 4차 정방행렬의 행렬식의 계산도 시도한다.</p><p>먼저 2차 정방행렬과 3차 정방행렬의 행렬식을 다음과 같이 정의한다. \[ \left\|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right\|=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} . \] \[ \begin{aligned} \left\|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right\| &=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{21} a_{32} a_{13}+a_{31} a_{12} a_{23} \\ &-a_{21} a_{12} a_{33}-a_{31} a_{22} a_{13}-a_{11} a_{32} a_{23} . \end{aligned} \]</p> <h2>점들의 합과 실수곱</h2><p>실수에서와 같이 \( \mathbb{R}^{2} \)와 \( \mathbb{R}^{3} \)위의 두 점간의 연산, 합(addition)과 스칼라 곱(scalar multiplication)을 다음과 같이 정의한다.<p>정의 2.1.6 \( t \in \mathbb{R} \) 에 대하여<p>\( \left(a_{1}, a_{2}\right)+\left(b_{1}, b_{2}\right)=\left(a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2}\right) \)<caption>(2.1.1)</caption></p><p>\( \left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)+\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)=\left(a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2}, a_{3}+b_{3}\right) \)<caption>(2.1.2)</caption></p><p>\( t\left(a_{1}, a_{2}\right)=\left(t a_{1}, t a_{2}\right) \)<caption>(2.1.3)</caption></p><p>\( t\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)=\left(t a_{1}, t a_{2}, t a_{3}\right) \)<caption>(2.1.4)</caption></p>이렇게 정의한 연산, 합과 실수곱은 다음의 기본 성질을 만족한다.</p><p>정리 2.1.7 \( A, B, C \in \mathbb{R}^{2}\left(\right. \) 또는 \( \left.\mathbb{R}^{3}\right) \)이고 \( t_{1}, t_{2}, t \in \mathbb{R} \)일 때<p>가. \( (A+B)+C=A+(B+C) \)</p><p>나. \( A+B=B+A \)</p><p>다. \( A+O=A \)</p><p>라. \( A+((-1) A)=O \)</p><p>마. \( \left(t_{1} t_{2}\right) A=t_{1}\left(t_{2} A\right)=t_{2}\left(t_{1} A\right) \)</p><p>바. \( t(A+B)=t A+t B \)</p><p>사. \( \left(t_{1}+t_{2}\right) A=t_{1} A+t_{2} A \)</p><p>아. \( 1 A=A \)</p></p><p>증명. 여기서는 (바)를 증명하고 나머지 증명은 생략한다. 만일 \( A=\left(a_{1}, a_{2}\right) \), \( B= \left(b_{1}, b_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \)이고 \( t \in \mathbb{R} \)일 때, \[ \begin{aligned} t(A+B) &=t\left(a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2}\right) ~~~~~~~~~~~~ (식 2.1.1의 성질)\\ &=\left(t\left(a_{1}+b_{1}\right), t\left(a_{2}+b_{2}\right)\right)~~~~ (식 2.1.3의 성질) \\ &=\left(t a_{1}+t b_{1}, t a_{2}+t b_{2}\right)~~~~~~~~~~~~~~ (실수의 성질) \\ &=\left(t a_{1}, t a_{2}\right)+\left(t b_{1}, t b_{2}\right) ~~~~~~~~~~ (식 2.1.1의 성질) \\ &=t\left(a_{1}, a_{2}\right)+t\left(b_{1}, b_{2}\right)~~~~~~~~~~~~ (식 2.1.3의 성질) \\ &=t A+t B \end{aligned} \]</p><p>(라)번 성질, 즉 \( (-1) A \)는 덧셈 \( + \)에 대한 \( A \)의 역원으로서 \( -A \)로 나타내고 \( A+(-B) \)를 \( A-B \)로 쓰기로 약속한다. 기하학적으로 \( t A \)는 원점과 점 \( A \)를 지나는 직선 위의 한 점으로 \( t>0 \)일 때는 원점으로부터 \( A \)의 방향이고, \( t<0 \)일 때는 \( A \)의 반대 방향이다.</p><p>예를 들면, \( A \)가 \( (2,1) \)일 때 \( 3 A=(3 \cdot 2,3 \cdot 1)=(6,3) \)이고 \( -3 A=((-3) \cdot 2,(-3) \cdot 1)=(-6,-3) \)이다(그림2.1-6). 그러므로, \( 3 A \)와 \( -3 A \)는 반대 방향 위에 놓여있다.</p><h2>두 점 사이의 거리</h2><p>3차원 공간의 점 \( A\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) \)에 대하여 \( A \)의 크기(norm) \( \|A\| \)를 원점과 \( A \) 사이의 거리로 정의한다. 즉, \[ \|A\|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}} . \] 두 점 \( A\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) \)와 \( B\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) \) 사이의 거리(distance)는 \[ \|A-B\|=\sqrt{\left(a_{1}-b_{1}\right)^{2}+\left(a_{2}-b_{2}\right)^{2}+\left(a_{3}-b_{3}\right)^{2}} \] 으로 주어진다. 마찬가지로, 평면 위의 두 점 \( A\left(a_{1}, a_{2}\right) \)와 \( B\left(b_{1}, b_{2}\right) \)가 주어질 때, \[ \|A\|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}} \] 이고 \[ \|A-B\|=\sqrt{\left(a_{1}-b_{1}\right)^{2}+\left(a_{2}-b_{2}\right)^{2}} \] 으로 주어진다.</p><p>예제 2.1.8 \( A(-1,2,7) \)에서 \( B(-3,1,5) \)까지의 거리는 \[ \|A-B\|=\sqrt{(-3+1)^{2}+(1-2)^{2}+(5-7)^{2}}=\sqrt{4+1+4}=3 \] 이다.</p><p>예제 2.1.9 \( t \in \mathbb{R} \)이고 \( A\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} \)일 때 \( \|t A\|=\|t\|\|A\| \)임을 보여라.</p><p>풀이. \[ \begin{aligned} \|t A\| &=\left\|\left(t a_{1}, t a_{2}, t a_{3}\right)\right\| \\ &=\sqrt{\left(t a_{1}\right)^{2}+\left(t a_{2}\right)^{2}+\left(t a_{3}\right)^{2}} \\ &=\sqrt{t^{2} a_{1}^{2}+t^{2} a_{2}^{2}+t^{2} a_{3}^{2}} \\ &=\sqrt{t^{2}\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}\right)} \\ &=\sqrt{t^{2}} \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}=\|t\|\|A\| . \end{aligned} \]</p> <h2>실수의 완비성</h2><p>다음은 실수 집합 \( \mathbb{R} \)의 중요한 성질로서 유리수 집합 \( \mathbb{Q} \)와 구별되는 것이다.</p><p>정리 2.1.4 (실수의 완비성) 위로(아래로) 유계인 단조증가(단조감소)수열은 수렴하고 그것의 극한은 실수이다.</p><p>최소 상계공리에 의하여 유계인 단조증가 수열집합의 상한이 존재하고, 그 상한은 실수이다. 더 나아가서 그 상한이 바로 수열의 극한임을 보일 수 있다. 증명은 부록에 남긴다.</p><p>그러나 유리수는 완비성을 만족하지 않는다. 유리수의 집합은 극한에 대해서 닫혀있지 않기 때문이다. 예를 들어, \( \sqrt{2} \)로 수렴하는 유리수 수열 \( x_{1}=1.4, x_{2}=1.41, x_{3}=1.414, x_{4}=1.4142, x_{5}=1.41421, x_{6}=1.414213, \cdots \)을 생각해 보자. 이 유리수 수열은 분명히 증가수열이면서 유계이다. 그러나 그것의 극한인 \( \sqrt{2} \)는 유리수가 아니다.</p><p>예제 2.1.5 수열 \( \left\{a_{n}\right\} \)이 \( a_{1}=2, a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+6\right) \)을 만족하는 수열일 때 이 수열이 수렴함을 보이고 그 극한을 구하여라.</p><p>풀이.<p>\( a_{1}=2, \quad a_{2}=\frac{1}{2}(2+6)=4, \quad a_{3}=\frac{1}{2}(4+6)=5, \quad a_{4}=\frac{1}{2}(5+6)=5.5, \quad a_{5}=5.75, \quad a_{6}=5.875, \quad a_{7}=5.9375, \quad a_{8}=5.96875, \quad a_{9}=5.984375 \).</p><p>이 수열의 앞 몇 항들은 증가하면서 그림2.1-4에서처럼 6에 접근하고 있음을 볼 수 있다. 이제 모든 항들이 증가하고 있음을 보이기 위하여 수학적 귀납법을 이용하였다.</p><p>\( n=1 \)일 때 \( a_{1}<a_{2} \)이므로 명백하다.</p><p>\( n=k \)일 때 \( a_{k}<a_{k+1} \)이 성립한다고 가정하면 \( a_{k}+6<a_{k+1}+6 \)이고 따라서 \[ \frac{1}{2}\left(a_{k}+6\right)<\frac{1}{2}\left(a_{k+1}+6\right) \] 이다.</p><p>그러므로 \( n=k+1 \)일 때 \( a_{k+1}<a_{k+2} \)가 성립하므로 모든 자연수 \( n \)에 대해서 \( a_{n}<a_{n+1} \)이 성립한다.</p><p>마찬가지로 수학적 귀납법에 의하여 모든 \( a_{n}<6 \)임을 보일 수 있다. 그러므로 실수의 완비성에 의하여 이 수열은 극한을 갖는다. 이제 그 극한을 찾아보자. \[ L=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} \] 이라 하자. 그러면 \[ L=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n+1}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2}\left(a_{n}+6\right)=\frac{1}{2}\left(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}+6\right) \] 이므로 \[ L=\frac{1}{2}(L+6) \] 임을 알 수 있다. 따라서 \( \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=6 \)이다.</p></p><h2>좌표공간</h2><p>앞에서 언급하였듯이 직선에서 원점과 단위길이가 정해지면 이 직선 위의 한 점은 하나의 실수로 대응된다. 이렇게 해서 직선과 실수의 집합 \( \mathbb{R} \)간에는 일대일 대응 관계가 이루어진다. 평면 위의 점의 집합 또한 그림2.1-5에서처럼 모든 실수의 순서쌍과 일대일 대응을 이룬다. 이런 이유로 좌표평면의 집합을 \[ \mathbb{R}^{2}=\{(x, y) \mid x, y \in \mathbb{R}\} \] 으로 나타낸다.</p><p>이와 마찬가지로 그림2.1-5에서처럼 공간 속의 한 점 \( P \)에 대해서도 직교좌표계를 도입하여 \( x \)-축, \( y \)-축, \( z \)-축에 대응하는 세 실수의 순서쌍 \( (a, b, c) \)로 표시할 수 있고, 공간의 진체 집합을 \[ \mathbb{R}^{3}=\{(x, y, z) \mid x, y, z \in \mathbb{R}\} \] 로 표시한다. 또한, 원점을 \( O=(0,0,0) \)으로 표시한다.</p> <p>중세 신학교의 교과과목을 보면 수학과 기하학이 구별되어 있었다. 이 때 수학이란 정수론을 위주로 하는 대수학이었으며 기하학은 단지 눈금 없는 직선자와 컴퍼스만을 이용하여 설명하는 유클리드 기하학이 전부였다. 그러다가 실수의 개념이 정립되면서 데카르트는 직선 위에 실수를 대응시키고 평면 위의 점을 두 실수의 순서쌍으로 대응시키면서 평면도형을 좌표들로 표현하게 되었다. 이러한 방법으로 공간도형까지도 3차원 공간의 좌표로 표현하고 해석기하학으로 발전하여 기하학은 수학 속에 편입되었다. 실수는 수학을 발전시킨 근원의 샘이다. 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 포함한 연산에서 대수학의 기초가 생겨났으며, 실수의 부분집합들 간의 합집합과 공통집합의 연산에 의한 열린집합과 닫힌집합으로부터 위상수학이 탄생하였다. 더 나아가서, 평면과 공간의 좌표 표현으로부터 미분적분을 이용하여 해석학과 기하학의 성질들이 연구되고 있다. 자연현상에서 길이, 질량, 시간, 전기량, 밀도, 에너지, 온도 등은 실수값으로 표현되며 이것들을 스칼라량이라 부른다. 반면 힘, 속도, 가속도, 전자기장 등은 크기와 방향에 의하여 공간좌표로 표현되며 벡터량이라 부른다.</p> <h1>2.2 극함수와 벡터함수</h1><p>이제까지 함수를 \( y=f(x) \) 꼴로 표현해 왔다. 그러나 이러한 형태의 함수는 모든 곡선을 나타내는데 불편한 점이 많다. 예컨대, 원점을 중심으로 반지름이 1인 원의 방정식은 \( x \)와 \( y \)에 의하여 \[ x^{2}+y^{2}=1 \] 로 나타낸다. 이 방정식은 하나의 함수 \( y=f(x) \) 꼴은 아니지만 두 개의 함수 \[ y=\sqrt{1-x^{2}} \text { 과 } y=-\sqrt{1-x^{2}} \] 의 그래프로 나누어 나타낼 수 있다. 일반적으로 방정식 \[ F(x, y)=C(C \text { 는 상수 }) \] 의 그래프의 일부분을 함수 \( y=f(x) \) 꼴로 나타낼 수 있을 때 이 방정식이 함수 \( f \)를 음함수적(implicitly)으로 정의한다고 한다. 이 때, 음함수적으로 나타내는 방정식과 구별하기 위하여 함수 \( y=f(x) \)를 양함수(explicit function)라 부르기도 한다. 또한, 이 원을 구간 \( I=[0,2 \pi] \) 위의 점 \( t \)에 대하여 \[ x=\cos t, y=\sin t, \quad t \in I \] 로 표현할 수 있다. 일반적으로 \[ x=g(t), y=h(t), \quad t \in I \] 로 표현하는 함수를 매개함수(parametric function)라 부르고, 주어진 변수 \( t \)를 매개변수(parameter)라 부른다. 또한, 그래프 \[ \{(g(t), h(t)) \mid t \in I\} \] 로 나타나는 곡선을 매개곡선(parametric curve)이라 한다.</p><h2>극좌표</h2><p>직교좌표계는 평면의 한 점을 두 수직 축에 대한 위치로서 표현한다. 이제 다른 좌표계로 표현해 보자. 하나의 기점 \( O \)와 기선 \( l \)이 주어지면 기점으로부터 점의 위치 까지의 거리 \( r \)과 기선으로부터 점까지의 회전각 \( \theta \)를 이용하여 그 점의 위치를 표현하는 방법으로 다음과 같은 극좌표 \( (r, \theta) \)가 있다.</p><p>평면 위의 한 점 \( O \)를 잡는다. 그 다음에 \( O \)에서 시작하는 반 직선 \( l \)를 그린다. 이 때 \( O \)를 기점(pole), 반 직선 \( l \)을 기선(polar axis)이라고 한다. 기점 \( O \)를 직교좌표계의 원점과 일치시키고 이 기선을 항상 오른쪽으로 수평하게 그리고 직교좌표에서 양의 \( x \)-축과 일치시키자. \( P \)가 평면 안의 임의의 점이면 \( r \)을 \( O \)에서 \( P \)까지의 거리라 하고 그림2.2-13에서처럼 \( \theta \)를 기선과 직선 \( O P \) 사이의 각이라 하자. 이 때 순서쌍 \( (r, \theta) \)를 점 \( P \)의 극좌표(polar coordinates)라 한다.</p><p>\( \theta \)가 기선으로부터 반시계 방향으로 측정되면 \( \theta \)는 양이고 시계방향으로 측정되면 음으로 한다. \( P=(0,0) \)이면 \( r=0 \)이고 \( (0, \theta) \)는 임의의 값 \( \theta \)에 대한 기점을 나타내는 것으로 한다.</p><p>극좌표 \( (r, \theta) \)의 의미를 \( r \)이 음인 경우에 다음과 같이 확장한다. 점 \( (r, \theta) \)와 점 \( (-r, \theta) \)는 그림2.2-14에서와 같이 \( O \)를 지나는 같은 직선 위에 놓여 있고 \( O \)로부터 똑같은 거리 \( \|r\| \)에 있으며 \( O \)의 반대편 위에 있는 것으로 한다. \( r<0 \)이면 \( (\|r\|, \theta) \)의 기점에 대하여 대칭인 점을 나타낸다. 따라서, \( (r, \theta+\pi) \)와 \( (-r, \theta) \)는 똑같은 점을 의미한다.</p><p>직교좌표계에서 각 점은 오직 하나의 표현을 갖지만 극좌표계에서는 하나의 점은 여러 개의 표현을 갖는다.</p> <h2>두 벡터의 평행</h2><p>다음으로 벡터의 방향을 구체적으로 생각해 보자. 벡터 \( A(2,3) \)를 포함하는 직선 \( l \)의 기울기는 \( m=\frac{3}{2} \)이다. 한편 벡터 \( 5 A=(5 \cdot 2,5 \cdot 3) \)를 포함하는 직선의 기울기도 \( m=\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2}=\frac{3}{2} \)이다. 이러한 기하학적인 의미에서 두 벡터 \( A \)와 \( 5 A \)는 평행하다고 말한다.</p><p>일반적으로 두 벡터 \( A \)와 \( B \)에 대하여 \[ B=t A \] 인 실수 \( t \)가 존재하면 \( A \)와 \( B \)는 서로 평행(parallel)하다고 한다(그림2.1-11). 이 때 \( t>0 \)이면 \( A \)와 \( B \)는 같은 방향이라고 하고 \( t<0 \)이면 \( A \)와 \( B \)는 반대 방향이라고 한다.</p><p>정리 2.1.11 벡터 \( A(\neq 0) \)와 같은 방향의 단위벡터는 \( \frac{A}{\|A\|} \)이다.</p><p>증명. 어떤 양의 실수 \( t \)에 대하여 \( B=t A \)라 하자. \( \|B\|=1 \)이어야 하므로, 예제 2.1.9에 의하여 \[ 1=\|B\|=\|t A\|=\|t\|\|A\|=t\|A\| \] 이다. \( t=\frac{1}{\|A\|}>0 \)이므로 \( B=\frac{A}{\|A\|} \)는 \( A \)와 같은 방향의 단위벡터이다.</p><p>예제 2.1.12 벡터 \( A=(1,2,3) \)과 같은 방향의 단위벡터를 구하여라.</p><p>풀이. 벡터 \( A \)의 크기는 \( \|A\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}=\sqrt{14} \)이므로 벡터 \( V=\frac{A}{\|A\|}=\left(\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}\right) \)이 \( A \)와 같은 방향을 갖는 단위 벡터이다.</p><h2>벡터의 합에 대한 기하학적 의미</h2><p>벡터 \( A+B \)는 \( A \)의 종점에 \( B \)의 시점을 놓음으로써 얻을 수 있다. 즉, 벡터 \( A=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) \)의 종점에 벡터 \( B=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) \)의 시점을 일치시키면 결과적으로 벡터 \( A+B \)의 종점이 \( \left(a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2}, a_{3}+b_{3}\right) \)인 벡터가 된다. 마찬가지로, 두 벡터의 차 \( A-B \)는 합 \( A+(-B) \)로 생각할 수 있으므로 \( A \)의 종점에 \( -B \)의 시점을 놓음으로써 벡터 \( A-B \)를 나타낸다.</p><p>즉, \( A-B \)의 종점이 \( \left(a_{1}-b_{1}, a_{2}-b_{2}, a_{3}-b_{3}\right) \)인 벡터이다. 그러므로 \( A, B \)가 0이 아닌 벡터이고 서로 평행이 아니라면 \( A+B \) (또는 \( A-B) \)는 두 벡터 \( A \)와 \( B( \) 또는 \( -B) \)에 의하여 결정되는 평행사변형의 대각선 방향과 길이로 결정한다(그림2.1-12).</p> <h2>유계집합</h2><p>\( S \)를 공집합이 아닌 \( \mathbb{R} \)의 부분집합이라 하자. 집합 \( S \)의 모든 원소 \( x \)에 대하여 \( x \leq u \)인 실수 \( u \)가 존재할 때 \( S \)는 위로 유계(bounded above)이다라고 하고 \( u \)를 집합 \( S \)의 상계(upper bound)라 부른다.</p><p>마찬가지로 \( S \)의 모든 원소 \( x \)에 대하여 \( x \geq l \)인 실수 \( l \)이 존재할 때 \( S \)는 아래로 유계(bounded below)이다라고 한다. 이 때 \( l \)을 집합 \( S \)의 하계(lower bound)라 부른다.</p><p>특히 \( S \)가 위로 유계이고 동시에 아래로 유계일 때 \( S \)를 유계집합(bounded set) 또는 유계(bounded)이다라고 한다. 이 경우 \( \|u\| \)와 \( \|l\| \) 중에서 큰 수를 \( M \)이라고 하면 \( S \)의 모든 원소 \( x \)에 대하여 \( \|x\| \leq M \), 즉 \[ S \subset[-M, M] \] 을 만족한다.</p><p>예제 2.1.2 (1) 자연수 집합 \( \mathbb{N} \)은 \( 0,1,-10 \)에 의하여 아래로 유계이므로 \( 0,1,-10 \) 등은 하계들이다. 따라서 상계나 하계는 유일하지 않다. 그러나 \( \mathbb{N} \)은 위로 유계는 아니다. 왜냐하면 어떠한 자연수 \( n \)을 택하더라도 \( n \)보다 큰 수, 예를 들면 \( n+1 \)이 있기 때문이다.<p>(2) \( S=(1,5]=\{x \in \mathbb{R} \mid 1<x \leq 5\} \)일 때 \( S \)의 모든 원소는 \( 1<x \leq 5 \)를 만족하므로 5는 \( S \)의 상계이고 1은 \( S \)의 하계이다. 즉 \( S \)는 유계이고 \( S \subset[-5,5] \)이다.</p></p><h2>상한과 하한</h2><p>집합 \( A=\{1,2,3,4,5\} \) 의 최대값은 5이고, 집합 \[ B=\left\{\frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\}=\left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \cdots\right\} \] 의 최대값은 1이다. 그러나 집합 \[ C=\left\{1-\frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\}=\left\{0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \cdots\right\} \] 의 최대값은 존재하지 않는다. 그렇지만 1은 집합 \( C \)의 상계이고 또 어떠한 다른 상계보다도 작은 수이다. 이와 같이 일반적으로 집합 \( S \)의 상계 중에서 가장 작은 수를 상한(least upper bound, supremum)이라 하고 \[ \sup S \] 로 표시한다.</p><p>위의 예에서 집합 \( C \)의 상한은 1, 즉 \( \sup C=1 \)이다. 마찬가지로 하계 중에서 가장 큰 수를 집합 \( S \)의 하한(greatest lower bound, infimum)이라 하고 \[ \inf S \] 로 표시한다. 만일 집합 \( S \)가 위로 유계가 아니면 \[ \sup S=+\infty \] 라고 쓴다.</p><p>이제 유리수 집합 \( \mathbb{Q} \)의 부분집합 \[ X=\left\{q \in \mathbb{Q} \mid q^{2}<2\right\}=(-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \cap \mathbb{Q} \] 를 생각해 보자. \( X \)는 분명히 유계인 집합이지만 \( X \)의 상한인 \( \sqrt{2} \)는 유리수가 아니다. 하지만 실수의 집합에서는 그러한 현상은 일어나지 않는다. 실수는 다음과 같은 성질이 있기 때문이다. 증명은 부록에 남긴다.</p><p>정리 2.1.3 (최소 상계공리) 위로(아래로) 유계이고 공집합이 아닌 실수의 부분 집합은 실수인 상한(하한)을 갖는다.</p> <h2>일변수 이차원 벡터값 함수의 그래프</h2><p>\( D \)가 실수의 한 구간이고 일변수 벡터값 함수 \( X: D \longrightarrow E \subset \mathbb{R}^{2} \) (또는 \( E \subset \) \( \mathbb{R}^{3} \) )가 \( D \)에서 연속이면 \( X \)를 곡선(curve)이라고 한다. 이 때 \( E \subset \mathbb{R}^{2} \)이면 \( X \)를 평면곡선(plane curve) \( \left(E \subset \mathbb{R}^{3}\right. \)이면 공간곡선(space curve))이라고 부른다. 만약 \( X \) 의 성분함수를 \( f_{1}, f_{2} \)이라 할 때 \[ x=f_{1}(t), y=f_{2}(t), a \leq t \leq b \] 라고 쓰고 이것을 곡선 \( X \)의 매개함수(parametric function)이라고 부른다. 이 때 변수 \( t \)를 매개변수(parameter)라고 한다.</p><p>예제 2.2.9 한 직선을 따라 반지름이 \( r \)인 원 모양의 바퀴가 굴러갈 때 원주 위의 한 점 \( P \)가 그리는 자취(곡선)를 사이클로이드(cycloid)라 한다. 이 매개함수를 구하고, 이 곡선을 그려라.</p><p>풀이. 그림2.2-21에서처럼 원주 위의 주어진 점 \( P \)가 시점 \( (0,0) \)이 되도록 좌표계를 도입한다. 바퀴가 굴러감에 따라 호 \( \widehat{P Q} \)의 길이는 그림2.2-21에서처럼 \( r \theta \)가 되고, \( \theta \)를 매개변수라 하면 \( P(x, y) \)의 위치는 \[ x=r \theta-r \sin \theta, y=r-r \cos \theta \] 를 만족한다. 또는, 호 \( \overparen{A B} \)의 길이를 매개변수 \( t \)로 나타내면 \[ r \theta=t \] 이므로 \( \theta \)를 \( t \)로 풀어 위의 식에 대입하면 \[ x=t-r \sin \left(\frac{t}{r}\right), y=r-r \cos \left(\frac{t}{r}\right) \] 도 같은 곡선의 매개함수이다. 이 사이클로이드의 곡선은 그림2.2-22과 같다.</p><p>예제 2.2.10 곡선 \[ x=2 t-1, y=t+1, \quad 0 \leq t \leq 2 \] 를 그려라.</p><p>풀이. 방정식 \( y=t+1 \)에서 \( t=y-1 \)이다. \[ x=2 t-1=2(y-1)-1=2 y-3 \] 이므로 직선의 식 \( x-2 y+3=0 \)을 만족한다. \( 0 \leq t \leq 2 \)이므로 \[ -1 \leq x=2 t-1 \leq 3, \quad 1 \leq y=t+1 \leq 3 \] 이다. 따라서, 이 곡선은 두 점 \( (-1,1) \)과 \( (3,3) \)를 잇는 선분이다(그림 2.2-23).</p><p>예제 2.2.11 포물선 \( y=x^{2} \)을 따라 점 \( (2,4) \)에서 점 \( (0,0) \)에 이르는 곡선의 매개함수를 구하여라.</p><p>풀이. 먼저 \( (0,0) \)에서 \( (2,4) \)에 이르는 곡선의 매개함수는 \[ x=t, y=t^{2}, \quad 0 \leq t \leq 2 \] 로 나타낼 수 있다. 이제 \( t=2-s \)라 하면 \( s=0 \)일 때 \( t=2 \)이고, \( s=2 \)일 때 \( t=0 \)이다. 그러므로 \[ x=t=2-s, y=t^{2}=(2-s)^{2}, 0 \leq s \leq 2 \] 이고, \( s \)를 \( t \)로 다시 바꾸어 쓰면 \[ x=2-t, y=(2-t)^{2}, \quad 0 \leq t \leq 2 \] 이다(그림2.2-24).</p><p>예제 2.2.12 이차원 벡터값 함수 \[ X(t)=\cos t \mathbf{i}+\sin t \mathbf{j}, \quad t \in[0,2 \pi] \] 가 나타내는 곡선을 그려라.</p><p>풀이. 임의의 \( t \in[0,2 \pi] \)에 대하여 평면의 점 \( X(t) \)의 크기는 \[ \|X(t)\|=\sqrt{\cos ^{2} t+\sin ^{2} t}=1 \] 이다. 따라서 함수 \( X \)의 치역은 원점이 중심이고 길이가 1인 단위원이다. 또한 \( t \)가 증가함에 따라 \( X(t) \)는 반시계 방향으로 원을 그린다(그림 2.2-25).</p> <h2>공간 속의 직선</h2><p>이제 두 벡터의 내적을 이용하여 공간의 직선에 대한 성질들을 알아보자. \( \mathbb{R}^{3} \)내의 한 점 \( P \)를 지나고 방향이 벡터 \( A(\neq 0) \)인 직선 \( l \) 위의 임의의 한 점을 \( X \)라 하면 벡터 \( X-P \)는 \( A \)와 평행하므로 적당한 상수 \( t \in \mathbb{R} \)에 대하여 \( X-P=t A \)가 성립한다(그림2.4-44). 그러므로 \( X=P+t A \)가 된다. 임의의 실수 \( t \in \mathbb{R} \)에 대하여 \( X=P+t A \)는 \( X-P=t A \)를 만족하므로 직선 \( l \) 위의 점이다. 이것은 3차원 공간의 부분집합 \( \{P+t A \mid t \in \mathbb{R}\} \)가 직선 \( l \)과 일치함을 의미한다. 따라서 \( \mathbb{R}^{3} \)내의 한 점 \( P \)를 지나고 방향이 \( A(\neq 0) \)인 직선의 방정식은 \[ X=X(t)=P+t A, t \in \mathbb{R} \] 로 주어진다. 이 때 \( t \)를 직선 \( l \)의 매개변수(parameter)라고 한다. 여기에서 \( X= (x, y, z), P=\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right), A=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) \)라 하면 직선 \( l \)의 식은 \[ l:(x, y, z)=\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)+t\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), t \in \mathbb{R} \] 또는 \[ x=p_{1}+t a_{1}, y=p_{2}+t a_{2}, z=p_{3}+t a_{3} \] 로 쓸 수 있다. 또한, 매개변수 \( t \)를 소거하면 \[ \frac{x-p_{1}}{a_{1}}=\frac{y-p_{2}}{a_{2}}=\frac{z-p_{3}}{a_{3}} \] 가 된다. 이 때 분모가 0이 되는 항은 분자도 0이어야 한다.</p><p>예제 2.4.9 두 점 \( (1,2,3) \)과 \( (4,5,6) \)을 지나는 직선의 방정식을 구하여라.</p><p>풀이. 점 \( P(1,2,3) \)은 주어진 직선 위에 있다. 그리고 이 직선의 방향은 \( A=(4,5,6)-(1,2,3)=(3,3,3) \)이므로 구하는 직선의 식은 \[ (x, y, z)=P+t A=(1,2,3)+t(3,3,3) \] 또는 \[ x-1=y-2=z-3 \] 이다.</p><p>예제 2.4.10 일변수 삼차원 벡터값함수 \[ X(t)=(2+3 t) \mathbf{i}+(-1+t) \mathbf{j}-2 t \mathbf{k}, t \in \mathbb{R} \] 가 나타내는 곡선을 그려라.</p><p>풀이. \( X \)의 성분함수는 \[ \begin{array}{l} x=x(t)=2+3 t \\ y=y(t)=-1+t \\ z=z(t)=-2 t \end{array} \] 이다. 이 때 \[ (x, y, z)=(2,-1,0)+t(3,1,-2) \] 가 성립하므로 \[ X=P+t A \] 의 꼴이 되어 이것은 점 \( P(2,-1,0) \)를 지나고 벡터 \( A(3,1,-2) \)와 평행인 직선의 방정식이다(그림2.4-45).</p><h2>공간 속의 평면</h2><p>한 직선은 두 점에 의하여 완전히 결정되는 것처럼 공간 속의 평면은 그 평면 위의 한 점과 그 평면에 수직인 벡터 \( (\neq 0) \)에 의해서 결정된다. 이제 \( \mathbb{R}^{3} \)의 한 점 \( P=\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) \)를 지나고 벡터 \( N=\left(n_{1}, n_{2}, n_{3}\right)(\neq 0) \)에 수직인 평면을 \( S \)라 하면, \( S \) 위의 임의의 점 \( X=(x, y, z) \)에 대해서 벡터 \( X-P \)는 \( N \)과 직교한다. 따라서 \( N \cdot(X-P)=0 \)을 만족한다. 그러므로 다음과 같이 평면의 방정식을 정의한다 (그림2.4-46).</p><p>점 \( P=\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) \)을 지나고 벡터 \( N=\left(n_{1}, n_{2}, n_{3}\right) \)에 수직인 평면 \( S \)의 방정식은 \[ (X-P) \cdot N=0 \] 으로 주어진다. 이 때 벡터 \( N \)을 평면 \( S \)의 법선벡터(normal vector)라 한다.</p><p>만일 \( X=(x, y, z), N=\left(n_{1}, n_{2}, n_{3}\right) \)이라 하면 위의 식은 \[ n_{1}\left(x-p_{1}\right)+n_{2}\left(y-p_{2}\right)+n_{3}\left(z-p_{3}\right)=0 \] 또는 \[ n_{1} x+n_{2} y+n_{3} z=d, \] 단, \( d=n_{1} p_{1}+n_{2} p_{2}+n_{3} p_{3} \) 이다.</p><p>예제 2.4.11 점 \( (-2,4,5) \)를 지나고 \( N=7 \mathrm{i}-6 \mathrm{k} \)를 법선벡터로 갖는 평면의 방정식을 구하여라.</p><p>풀이. \[ ((x, y, z)-(-2,4,5)) \cdot(7,0,-6)=0 \] 으로부터 \[ 7 x-6 z=-44 . \]</p> <h2>코시-슈바르츠 부등식</h2><p>다음의 부등식은 자주 인용이 되는 부등식으로서 두 벡터의 내적의 크기는 각각의 크기의 곱보다는 클 수 없음을 말해 준다.</p><p>정리 2.4.5 (코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz inequality)) 임의의 두 벡터 \( A, B \)에 대하여 \[ \|A \cdot B\| \leq\|A\|\|B\| \] 이 성립하고 등호가 성립할 필요충분조건은 \( A \)와 \( B \)가 서로 평행할 때이다.</p><p>증명.<p>만일 \( A \)와 \( B \)중의 하나가 영벡터이면 위의 부등식의 양변이 모두 0이므로 성립한다.</p><p>만일 \( A \)와 \( B \)가 모두 영벡터가 아니면, \( \|\cos \theta\| \leq 1 \)이므로 정리 \( 2.4 .2 \)에 의하여 \[ \|A \cdot B\|=\|A\|\|B\|\|\cos \theta\| \leq\|A\|\|B\| \] 이 성립한다.</p><p>이제 등식이 성립할 필요충분조건을 찾아보자. \( \|A \cdot B\|=\|A\|\|B\| \)이라 하면 \[ \|\cos \theta\|=\frac{\|A \cdot B\|}{\|A\|\|B\|}=1 \] 이 되어 \( \theta=0 \) 또는 \( \pi \)이다. 따라서 \( A \)와 \( B \)는 서로 평행이다.</p><p>역으로, \( A \)와 \( B \)가 서로 펑행이라고 하자. 그 때 적당한 실수 \( t \)가 존재하여 \( B= \) \( t A \)이다. 그러면 내적의 기본성질에 의하여 \[ \begin{aligned} \|A \cdot B\| &=\|A \cdot(t A)\|=\|t(A \cdot A)\| \\ &=\|t\|(A \cdot A)=\|t\|\|A\|^{2} \\ &=\|A\|(\|t\|\|A\|)=\|A\|\|t A\|=\|A\|\|B\| \end{aligned} \] 가 성립한다.</p></p><p>예제 2.4.6 두 벡터 \( A=(1,3,2) \)와 \( B=(-1,1,0) \)에 대하여 코시-슈바르츠 부등식이 성립함을 확인해 보아라.</p><p>풀이. \( A \cdot B=-1+3=2,\|A\|=\sqrt{1+9+4}=\sqrt{14},\|B\|=\sqrt{2} \)이므로 \[ A \cdot B=2 \leq 2 \sqrt{7}=\|A\|\|B\| \] 가 되어 성립한다.</p><p>다음 정리는 삼각형에서 한변의 길이는 다른 두 변의 길이의 합보다 작다는 것을 말해 준다.</p><p>정리 2.4.7 (삼각부등식(triangle inequality)) 임의의 두 벡터 \( A, B \)에 대하여 \[ \|A+B\| \leq\|A\|+\|B\| \] 가 성립하고 등호가 성립하기 위한 필요충분조건은 \( A \)와 \( B \)가 같은 방향으로 나란할 때이다.</p><p>증명.<p>내적의 기본성질에 의하여 \( \|A+B\|^{2}=(A+B) \cdot(A+B)=\|A\|^{2}+2 A \cdot B+\|B\|^{2} \)이다. 코시-슈바르츠 부등식을 여기에 적용하면 \[ \|A+B\|^{2} \leq\|A\|^{2}+2\|A\|\|B\|+\|B\|^{2}=(\|A\|+\|B\|)^{2} \] 가 성립한다.</p><p>한편, 등호가 성립하면 위에서 \( A \cdot B=\|A\|\|B\| \)인 경우이므로 \( \cos \theta=1 \)일 때이다. 즉, \( \theta \)는 0 이고 \( A \)와 \( B \)는 같은 방향으로 나란할 때이다. 그 역도 쉽게 증명되므로 생략한다.</p></p><h2>정사영</h2><p>이제 벡터의 내적에 대한 기하학적인 의미를 알아보기 위해 먼저 두 벡터 \( X, Y \neq 0 \)에 대하여, \( Y \)와 나란한 벡터 중에서 \( X \)와의 거리가 가장 가까운 벡터 \( Z \)를 구해보자(그림2.4-43).</p><p>이제 벡터 \( Z \)가 \( Y \)와 나란하다는 가정으로부터 적당한 \( t \in \mathbb{R} \)에 대하여 \( Z=t Y \)이므로 \( Z \)와 \( X \)의 거리 \[ \|t Y-X\| \] 의 값이 최소인 \( Z=t Y \)를 구하면 된다.</p><p>한편 \( f(t) \)를 \( Z \)와 \( X \)의 거리의 제곱이라 하면, 내적의 기본성질에 의해서 \[ \begin{aligned} f(t) &=\|t Y-X\|^{2} \\ &=(t Y-X) \cdot(t Y-X) \\ &=(Y \cdot Y) t^{2}-2(Y \cdot X) t+(X \cdot X) \end{aligned} \] 를 얻는다.</p><p>위의 \( f(t) \)는 \( t \)에 관한 2차 다항식이고 최고차 항의 계수 \( Y \cdot Y \)는 양수이므로 \( f^{\prime}(t)=0 \)일 때 최소값을 가진다. 그러므로, \( 2(Y \cdot Y) t-2(Y \cdot X)=0 \), 또는 \( t=\frac{Y \cdot X}{Y \cdot Y} \)일 때 \( f(t) \)는 최소가 되며 따라서 \[ Z=t Y=\frac{Y \cdot X}{Y \cdot Y} Y \] 이다.</p><p>이렇게 얻어진 벡터 \[ Z=\frac{Y \cdot X}{Y \cdot Y} Y \] 를 \( X \)의 \( Y \)에 대한 정사영(orthogonal projection)이라고 하고 \[ P_{Y}(X)=\frac{Y \cdot X}{Y \cdot Y} Y \] 라 쓴다.</p><p>예제 2.4.8 \( X=(2,1,-1), Y=(1,3,4) \)일 때 정사영 \( P_{Y}(X) \)를 구하여라.</p><p>풀이. \( Y \cdot X=2+3-4=1 \)이고 \( Y \cdot Y=1+9+16=26 \)이므로 \( P_{Y}(X)=\frac{1}{26} Y= \frac{1}{26}(1,3,4) \)를 얻는다.</p> <h1>2.1 실수와 좌표공간</h1><p>흔히 수(number)라고 하면 자연수(natural number) 혹은 정수(integer)를 떠올린다. 그러나 인류의 문화가 발달해 감에 따라 정수들의 비(ratio)를 계산하게 되면서 분수(fraction)를 생각하고 유리수(rational number)의 개념이 생겨나게 되었다. 유리수는 \( m, n \)이 정수이고 \( n \neq 0 \)일 때 \[ r=\frac{m}{n} \] 의 꼴로 표현되는 수이다. 예를 들면, \[ \frac{1}{2},-\frac{3}{7}, 46=\frac{46}{1}, 0.17=\frac{17}{100} \] 들과 같은 형태의 수이다. 또한, 순환하는 무한소수는 유리수이고(예제 5.1.8), 역으로 유리수는 순환하는 무한소수로 표현된다(연습문제 4). 그러나 \( \sqrt{2} \)가 방정식 \[ x^{2}=2 \] 를 만족하는 수이지만 두 정수의 분수로는 표현할 수 없는 수라는 사실이 그리스 수학자들에게 알려지게 되면서 수에 대한 개념이 확장되었다. 예컨데, 그림2.1-1처럼 한 변이 1인 정사각형의 대각선의 길이가 \( \sqrt{2} \)이다. 이 \( \sqrt{2} \)가 유리수가 아니라는 증명은 이미 고등학교 수학과정에서 잘 알려져 있다. 그러므로, 분수의 형태인 유리수와는 다른 수가 분명히 존재함을 보여주고 있다. 따라서 \( \sqrt{2} \) 처럼 더 이상 유리수가 아닌 수들, 예를 들면, \[ \sqrt{3}, \sqrt[3]{2}, \pi, \sin 1^{\circ}, \log _{10} 2, e \] 등을 무리수(irratioal number)라 지칭하였으며, 이 무리수들은 순환하지 않는 무한소수이다. 모든 유리수와 무리수를 합하여 실수(real number)라 부르게 되었다.</p><p>이들의 집합을 일반적으로 다음과 같은 기호로 표시한다.</p><p>\( \mathbb{N} \) : 자연수(natural number) 집합</p><p>\( \mathbb{Z} \) : 정수(integer) 집합</p><p>\( \mathbb{Q} \) : 유리수(rational number) 집합</p><p>\( \mathbb{R} \) : 실수 (real number) 집합</p><h2>실선</h2><p>직선 위에 실수를 다음과 같이 대응시킨다. 먼저 실수 0을 좌측에서 우측으로 그려진 직선 위의 고정된 한 점에 대응시키고 원점이라 부르자. 음의 실수를 원점의 왼쪽의 점들에 양의 실수를 원점의 오른쪽의 점들에 대응시킨다. 이렇게 실수를 일대 일 대응시킨 직선을 실선(real line)이라 부른다.</p><p>이제 실선 위의 두 점의 순서는 두 점에 대응한 두 실수 \( x \)와 \( y \)의 크기로 결정한다. 즉, 두 실수 \( x \)와 \( y \)에 대해서 \[ x<y \] 는 실선에서 \( x \)에 대응한 점이 \( y \)에 대응하는 점의 왼쪽에 위치한다는 뜻이다. 앞으로는 실선의 점을 그 점에 대응하는 실수로 표시한다.</p><h2>아르키메데스 공리</h2><p>중세의 유클리드 기하학에서 직선이 눈금을 갖지 않았기 때문에 주어진 선분의 길이를 측량하지는 않았으나 단지 컴퍼스의 두 발이 지정하는 단위를 가지고 원을 정의하고 선분을 분할하기도 하였다. 따라서 컴퍼스에 의하여 결정된 단위에 적당한 정수 배를 하였을 때, 주어진 한 선분을 덮을 수 있다는 내용이 원래의 아르키메데스 공리였다. 이제 단위를 1로 주어 이를 실선에 대응시켜 보자.</p><p>아르키메데스 공리(Archimedes Axiom): 임의의 양의 실수 \( r \)에 대하여 \( r<n \)인 양의 정수 \( n \)이 존재한다.</p><p>위의 아르키메데스 공리는 음의 실수에 대해서도 음의 정수의 존재를 쌍대적으로 말할 수 있다.</p><h2>유리수의 조밀성</h2><p>한편, 유리수 집합이 조밀하다 함은 임의의 실수와 유리수 사이의 거리가 아주 가깝다는 뜻이다. 따라서 아르키메데스 공리를 이용하여 증명되는 다음 정리는 유리수 집합과 무리수 집합의 조밀성을 보여준다.</p><p>정리 2.1.1 (유리수와 무리수의 조밀성) 임의의 두 실수 \( a \)와 \( b \)사이에는 항상 유리수와 무리수가 존재한다(그림2.1-2).</p><p>증명. 임의의 실수구간 \( (a, b) \) 를 생각하자. \( x=\frac{a+b}{2} \)라 하면 \( b-x>0 \)이다. \( \frac{1}{b-x}>0 \)이므로 아르키메데스 공리에 의하여 \[ \frac{1}{b-x}<k<10^{m} \] 을 만족하는 양의 정수 \( k \)와 \( m \)이 존재한다. 따라서 \[ x-a=b-x>10^{-m} \] 이다. 만약 \( x \)의 소수점 이하 \( m+1 \)번째부터는 모두 0인 수를 \( p \)라 정의하면 \[ \|x-p\|<10^{-m} \] 이므로 \( p \)는 \( a \)와 \( b \)사이의 유리수이다.</p><p>위의 결과로부터 두 실수 \( \sqrt{2} a \)와 \( \sqrt{2} b \)사이에 유리수 \( r \)이 존재하므로 \( a<\frac{r}{\sqrt{2}}< b \)이다. 따라서, \( \frac{r}{\sqrt{2}} \)는 구간 \( (a, b) \)안의 무리수이다.</p><p>그러므로 임의의 두 실수 \( a \)와 \( b \)사이에는 항상 유리수와 무리수가 존재한다. 따라서 유리수 집합과 무리수 집합은 모두 조밀함을 알 수 있다.</p><p>임의의 실수 \( r \)과 아주 작은 양수 \( \epsilon>0 \)이 주어지더라도 구간 \( (r-\epsilon, r+\epsilon) \)에는 유리수가 존재한다. 이제 \( r \)이 임의로 주어진 실수라고 하자. 그러면 \( r \)을 중심으로 하는 각 구간에 대해서<p>\( (r-1, r+1) \)에는 적어도 하나의 유리수가 존재하고 그 수를 \( a_{1} \)이라 하자.</p><p>\( \left(r-\frac{1}{2}, r+\frac{1}{2}\right) \)에도 적어도 하나의 유리수가 존재하고 그 수를 \( a_{2} \)라 하자.</p><p>\( \left(r-\frac{1}{3}, r+\frac{1}{3}\right) \)에도 적어도 하나의 유리수가 존재하고 그 수를 \( a_{3} \)라 하자.</p><p>이러한 과정을 계속하면 우리는 그 유리수들로 이루어진 수열 \[ \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} \] 을 얻는다(그림 2.1-3). 이 때 유리수 \( a_{n} \)은 구간 \( \left(r-\frac{1}{n}, r+\frac{1}{n}\right) \)에 들어 있으므로 \( r \)과의 거리가 \( \frac{1}{n} \)보다 작다. 따라서 \( n \)이 증가함에 따라 \( a_{n} \)은 \( r \)로 점점 접근하므로 결국 수열 \( \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} \)은 \( r \)로 수렴하게 된다.</p></p><p>요약하면 어떠한 실수 \( r \)도 유리수 수열의 극한으로 쓸 수 있다.</p> <h2>직교좌표와 극좌표의 관계</h2><p>직교좌표와 극좌표사이의 관계는 무엇일까? 평면 위의 점 \( P \)가 극좌표 \( (r, \theta) \)와 직교좌표 \( (x, y) \)를 갖는다고 가정하자. 삼각함수의 정의로부터 \[ \begin{array}{ll} x=r \cos \theta, & y=r \sin \theta, \\ r^{2}=x^{2}+y^{2}, & \tan \theta=\frac{y}{x}, x \neq 0 . \end{array} \]</p><p>예제 2.2.1 극좌표가 \( \left(3, \frac{23 \pi}{6}\right) \)인 점 \( P \)의 직교좌표를 구하여라.</p><p>풀이. 직교좌표와 극좌표 사이의 관계식으로부터 \[ \begin{array}{l} x=r \cos \theta=3 \cos \frac{23 \pi}{6}=3 \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)=3 \cos \frac{\pi}{6}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}, \\ y=r \sin \theta=3 \sin \frac{23 \pi}{6}=3 \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)=-3 \sin \frac{\pi}{6}=-\frac{3}{2} \end{array} \] 이다. 그러므로 \( P \)의 직교좌표는 \( P(x, y)=P\left(\frac{3 \sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right) \)이다.</p><p>예제 2.2.2 직교좌표가 \( (-5,5 \sqrt{3}) \)인 점 \( P \)의 극좌표를 모두 구하여라.</p><p>풀이. 먼저 \( r>0 \)이고 \( 0 \leq \theta \leq 2 \pi \)인 \( P \)에 대한 극좌표 \( (r, \theta) \)를 구한다. \[ r^{2}=x^{2}+y^{2}=(-5)^{2}+(5 \sqrt{3})^{2}=25+75=100 \] 이다. 그러므로 \[ r=10, \tan \theta=\frac{y}{x}=\frac{5 \sqrt{3}}{-5}=-\sqrt{3} . \] 그런데 점 \( (-5,5 \sqrt{3}) \)은 제 2사분면에 있으므로 \( \theta=\frac{2 \pi}{3} \)를 얻는다. 그러므로 \( P \)에 대한 하나의 극좌표는 \( \left(10, \frac{2 \pi}{3}\right) \)이다. 따라서 모든 정수 \( n \)에 대하여 \[ \left(10, \frac{2 \pi}{3}+2 n \pi\right) \] 또는 \[ \left(-10, \frac{2 \pi}{3}+2 n \pi+\pi\right)=\left(-10, \frac{5 \pi}{3}+2 n \pi\right) \] 가 모두 가능한 \( P \)의 극좌표 표현이다.</p><h2>극그래프</h2><p>원점으로부터의 거리 \( r \)과 양의 \( x \)-축과의 각 \( \theta \)로 표현되는 식을 극방정식(polar equation)이라고 하고 그 방정식을 만족하는 극좌표 \( (r, \theta) \)의 집합을 평면 위에 그려놓은 것을 극그래프(polar graph)라고 한다.</p><p>예제 2.2.3 \( a>0 \)일 때 원 \( x^{2}+y^{2}=a^{2} \)의 극방정식을 구하여라.</p><p>풀이. \( r^{2}=x^{2}+y^{2}=a^{2} \)이므로 \( r=a \)가 원의 방정식이다.</p><p>예제 2.2.4 원 \( x^{2}+y^{2}=a x, a>0 \)의 극방정식을 구하여라.</p><p>풀이. \( r^{2}=x^{2}+y^{2}=a r \cos \theta \)이므로 \( r=a \cos \theta \)이다.</p><p>극함수 \( r=f(\theta) \)의 그래프를 그릴 때 다음과 같은 대칭성을 이용하면 쉽게 그릴 수 있다.<p>가. \( (r, \theta) \)가 방정식 \( r=f(\theta) \)를 만족할 때, \( (r,-\theta) \)도 만족하면 극그래프는 \( x \)-축에 대칭이다.</p><p>나. \( (r, \theta) \)가 방정식 \( r=f(\theta) \)를 만족할 때, \( (r, \pi-\theta) \)도 만족하면 극그래프는 \( y \)-축에 대칭이다.</p><p>다. \( (r, \theta) \)가 방정식 \( r=f(\theta) \)를 만족할 때, \( (r, \pi+\theta) \)도 만족하면 극그래프는 원점에 대칭이다.</p></p><p>예제 2.2.5 (심장형 (cardioid)) \( r=1+\sin \theta \)를 그려라.</p><p>만일 \( (r, \theta) \)가 \( r=1+\sin \theta \)를 만족하면 \( (r, \pi-\theta) \)도 만족하므로 주어진 곡선은 \( y \)-축에 대칭이다. 따라서 \( \theta \)가 \( -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \)의 범위에서만 그려도 된다. 그림2.2-15의 표는 \( \theta \)가 특수각일 때 대응되는 \( r \)의 값을 적어 놓았다.</p><p>\( \theta \)가 \( -\frac{\pi}{2} \)에서 \( \frac{\pi}{2} \)까지 증가할 때 \( \sin \theta \)는 \( -1 \)에서 1까지 증가하고 따라서 \( r \)은 0에서 2까지 증가한다. 따라서 \( \theta \)가 \( -\frac{\pi}{2} \)에서 \( \frac{\pi}{2} \)까지의 그래프는 그림 2.2-16의 왼쪽과 같이 되고 \( y \)-축에 대칭이므로 이것을 이용하면 그림2.2-16의 오른쪽과 같다.</p> <h2>점과 직선과의 거리</h2><p>두 벡터의 외적을 사용하여 한 점과 직선의 거리도 구할 수 있다.</p><p>정리 2.4.19 직선 \( l \)이 벡터 \( A(\neq 0) \)방향을 가지고 있고 \( P_{0} \)을 \( l \)위에 있지 않은 점이라고 하면 \( P_{0} \)와 직선 \( l \)사이의 거리 \( d \)는 \[ d=\frac{\left\|A \times \overrightarrow{P P_{0}}\right\|}{\|A\|} \] 로 주어진다. 단, \( P \)는 \( l \) 위의 임의의 점이다.</p><p>증명. 그림2.4-52에서와 같이 \( \theta \)를 \( A \)와 \( \overrightarrow{P P_{0}} \) 사이의 각이라 하면 \( d=\left\|\overrightarrow{P P_{0}}\right\| \sin \theta \)이다. 그런데 \( \left\|A \times \overrightarrow{P P_{0}}\right\|=\|A\|\left\|\overrightarrow{P P_{0}}\right\| \sin \theta \)이므로 \[ d=\left\|\overrightarrow{P P_{0}}\right\| \sin \theta=\left\|\overrightarrow{P P_{0}}\right\| \frac{\left\|A \times \overrightarrow{P P_{0}}\right\|}{\|A\|\left\|\overrightarrow{P P_{0}}\right\|}=\frac{\left\|A \times \overrightarrow{P P_{0}}\right\|}{\|A\|} \] 를 얻는다.</p><p>예제 2.4.20 점 \( P_{0}(2,1,-1) \)에서 직선 \[ l: x=3 t, y=1+2 t, z=-5-t \] 까지의 거리 \( d \)를 구하여라.</p><p>풀이. 위의 직선 \( l \)은 \[ (x, y, z)=(0,1,-5)+t(3,2,-1) \] 을 만족하므로 벡터 \( A=(3,2,-1) \)은 직선과 평행이다. 또, \( t=0 \)을 위의 식에 대입하면 \( P=(0,1,-5) \)은 직선 위에 있는 점이므로 위의 정리를 이용하여 \[ d=\frac{\left\|A \times \overrightarrow{P P_{0}}\right\|}{\|A\|}=\frac{\|(3,2,-1) \times(2,0,4)\|}{\|(3,2,-1)\|} \] 을 계산하면 된다. 그런데 \( \|(3,2,-1)\|=\sqrt{3^{2}+2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{14} \)이고 \[ (3,2,-1) \times(2,0,4)=\left\|\begin{array}{rrr} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 4 \end{array}\right\|=(8,-14,-4) \] 이므로 \[ \|(3,2,-1) \times(2,0,4)\|=\sqrt{8^{2}+(-14)^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{276} \] 이다. 따라서 구하고자 하는 거리는 \[ d=\frac{\sqrt{276}}{\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{138}}{\sqrt{7}} . \]</p>	해석학	[ "<h2>벡터</h2><p>벡터(vector)는 크기와 방향을 갖는 양이다.", "직관적으로 벡터는 유향선분이고 흔히 화살표로 나타낸다(그림2.1-7).", "</p><p>그림2.1-7과 같이 벡터는 점 \\( A \\)로부터 점 \\( B \\)로의 방향과 선분 \\( A B \\) 로 주어진다.", "이 때 \\( A \\)를 시점 (initial point), \\( B \\)를 종점(terminal point)이라 부른다.", "그리고 이 벡터를 선분과 구별하기 위해 \\( \\overrightarrow{A B} \\)로 나타낸다.", "점 \\( A \\)가 원점일 때, 즉 시점이 원점인 벡터 \\( \\overrightarrow{O B} \\)를 점 \\( B \\)의 위치벡터(position vector)라고 부른다(그림2.1-7).", "</p><p>그림2.1-8에서의 벡터들처럼, 공간에서도 같은 크기와 같은 방향을 가지는 벡터를 동일한 벡터로 간주한다.", "이들 유향선분은 시점을 원점으로 평행이동하면 하나의 위치벡터와 같고 그러한 위치벡터의 종점은 \\( \\mathbb{R}^{3} \\)의 한 점을 나타내므로 \\( \\mathbb{R}^{3} \\)의 한 점을 벡터로 간주한다.", "그러므로 \\( \\mathbb{R}^{3} \\)의 벡터들의 전체 집합은 \\( \\mathbb{R}^{3} \\)과 일치하게 된다.", "</p><p>이런 관점에서 앞으로는 위치벡터와 \\( \\mathbb{R}^{3} \\)의 점의 표기를 구별하지 않고 때로는 점, 때로는 벡터라고 부르기로 한다.", "</p><p>시점이 \\( A\\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right) \\)이고 종점이 \\( B\\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\\right) \\)인 위치벡터는 \\[ \\overrightarrow{A B}=B-A=\\left(b_{1}-a_{1}, b_{2}-a_{2}, b_{3}-a_{3}\\right) \\] 가 된다.", "그러므로 임의의 두 벡터 \\( \\overrightarrow{A B} \\)와 \\( \\overrightarrow{C D} \\)가 같을 필요충분조건은 \\( B-A=D-C \\) 이다.", "</p><p>예제 2.1.10 삼차원 공간의 네 개의 점 \\( A=(1,3,7) \\), \\( B=(-1,0,6) \\), \\( C= (0,-1,-2) \\) 및 \\( D=(-2,-4,-3) \\)에 대하여 \\( \\overrightarrow{A B} \\)와 \\( \\overrightarrow{C D} \\)가 같은 벡터임을 보여라.", "</p><p>풀이. \\", "( \\overrightarrow{A B}=B-A=(-2,-3,-1)=D-C=\\overrightarrow{C D} \\).", "</p><h2>벡터의 크기</h2><p>이제 벡터의 크기를 생각해 보자.", "유향선분 \\( \\overrightarrow{A B} \\)의 크기(또는 길이)는 \\[ \|\\overrightarrow{A B}\|=\|B-A\| \\] 로 정의한다.", "특히, 크기가 1 인 벡터를 단위벡터(unit vector)라고 부른다.", "</p><p>예컨데, 삼차원 공간의 단위구면 \\[ \\left\\{(x, y, z) \\in \\mathbb{R}^{3} \\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\\right\\} \\] 위의 모든 점은 단위벡터인 셈이다.", "</p><h2>표준기저벡터</h2><p>이제 벡터를 나타내고 계산하는데 도움을 주는 세 개의 특별한 단위벡터 \\[ \\mathbf{i}=(1,0,0), \\mathbf{j}=(0,1,0), \\mathbf{k}=(0,0,1) \\text {. } \\]", "가 있다.", "즉 \\( \\mathrm{i}, \\mathrm{j}, \\mathrm{k} \\)는 길이가 1 이고 양의 \\( x \\)-축, \\( y \\)-축, \\( z \\)-축 방향을 각각 가리키는 벡터들이다(그림2.1-9).", "이러한 벡터 \\( \\mathbf{i}, \\mathbf{j}, \\mathbf{k} \\)를 삼차원 공간의 표준기저(standard basis)벡터라고 부른다.", "</p><p>이들 벡터의 중요성은 3차원 공간의 임의의 벡터를 \\( \\mathrm{i}, \\mathrm{j}, \\mathrm{k} \\)으로 나타낼 수 있다는 데 있다.", "즉, 3차원 공간의 임의의 벡터 \\( A=\\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right) \\)는 \\[ A=\\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right)=a_{1} \\mathbf{i}+a_{2} \\mathbf{j}+a_{3} \\mathbf{k} \\] 로 쓸 수 있다.", "왜냐하면 \\[ \\begin{aligned} A=\\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right) &=\\left(a_{1}, 0,0\\right)+\\left(0, a_{2}, 0\\right)+\\left(0,0, a_{3}\\right) \\\\ &=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1) \\\\ &=a_{1} \\mathbf{i}+a_{2} \\mathbf{j}+a_{3} \\mathbf{k} \\end{aligned} \\] 이기 때문이다(그림2.1-10).", "</p><p>이 때 벡터 \\( A \\)는 세 개의 벡터 \\( \\mathbf{i}, \\mathbf{j}, \\mathrm{k} \\)의 일차결합(linear combination)으로 표현되었다고 말한다.", "</p><p>예를 들면, 벡터 \\( A(3,2,5) \\)는 \\( x \\)-축의 양의 방향으로 \\( \\mathrm{i} \\)를 3배, \\( y \\)-축의 양의 방향으로 \\( \\mathrm{j} \\)를 2배, \\( z \\)-축의 양의 방향으로 \\( \\mathrm{k} \\)를 5배하여 얻은 벡터이다.", "그러므로, 벡터 \\( A(3,2,5) \\)는 \\( A=(3,2,5) \\), 또는 \\( A=3 \\mathbf{i}+2 \\mathbf{j}+5 \\mathbf{k} \\)로 표현된다.", "</p> <h1>2.4 벡터의 내적과 외적</h1><p>벡터공간의 연산에서 우리는 두 벡터 사이의 합과 벡터에 실수배를 하는 스칼라 곱을 살펴보았다.", "이제 두 벡터 사이의 곱의 연산을 정의하자.", "한 가지 가능한 방법은 합에서처럼 곱을 각 벡터의 성분별로 곱하는 경우이다.", "하지만 불행하게도 그러한 곱은 물리학적인 의미가 없을 뿐만 아니라 여러 응용분야에서도 거의 나타나지 않는다.", "따라서 우리는 실제적인 의미를 갖는 곱 중에서 가장 널리 사용되는 두 가지 형태의 곱을 살펴보고자 한다.", "</p><h2>벡터의 내적</h2><p>두 벡터 \\( A=\\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right) \\)와 \\( B=\\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\\right) \\)의 내적(inner product) \\( A \\cdot B \\)를 다음과 같이 정의한다. \\", "[ A \\cdot B=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3} . \\]", "</p><p>평면에서는 두 벡터 \\( A\\left(a_{1}, a_{2}\\right) \\)와 \\( B\\left(b_{1}, b_{2}\\right) \\)에 대한 내적은 \\( A \\cdot B=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2} \\)로 정의된다.", "제 2장 1절에서 정의된 벡터 \\( A \\)의 크기로부터 \\[ \|A\|=\\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}=\\sqrt{A \\cdot A} \\] 임을 알 수 있다.", "</p><p>예제 2.4.1<p>(1) \\( (2,4) \\cdot(3,-1)=(2)(3)+(4)(-1)=2 \\).", "</p><p>(2) \\( (-1,7,4) \\cdot\\left(6,2,-\\frac{1}{2}\\right)=(-1)(6)+(7)(2)+(4)\\left(-\\frac{1}{2}\\right)=6 \\).", "</p><p>(3) \\( (\\mathbf{i}+2 \\mathbf{j}-3 \\mathbf{k}) \\cdot(2 \\mathbf{j}-\\mathbf{k})=(1)(0)+(2)(2)+(-3)(-1)=7 \\).", "</p><p>이렇게 정의된 내적은 다음의 성질을 가지고 있다.", "</p><h2>내적의 기본성질</h2><p>\\( A, B, C \\in \\mathbb{R}^{3} \\) (또는 \\( \\in \\mathbb{R}^{2} \\) ), \\( t \\in \\mathbb{R} \\)에 대하여</p><p>가. \\", "( A \\cdot A=\|A\|^{2} \\geq 0 \\)이고, \\( A \\cdot A=0 \\)이기 위한 필요충분조건은 \\( A=0 \\)</p><p>나. \\", "( A \\cdot B=B \\cdot A \\)</p><p>다. \\", "( (t A) \\cdot B=t(A \\cdot B)=A \\cdot(t B) \\)</p><p>라. \\", "( (A+B) \\cdot C=A \\cdot C+B \\cdot C \\)</p><p>위의 성질의 증명은 내적의 정의에 의하여 간단히 증명된다.", "</p><h2>두 벡터의 사이각</h2><p>내적의 기본성질과 제 2코사인 법칙을 이용하여 두 벡터의 내적과 사이각과의 관계식을 구할 수 있다.", "</p><p>정리 \\( \\mathbf{2 . 4 . 2} \\) 두 벡터 \\( A \\)와 \\( B \\)의 사이각을 \\( \\theta, 0 \\leq \\theta \\leq \\pi \\)라 하면 \\[ A \\cdot B=\|A\|\|B\| \\cos \\theta \\] 이다.", "</p><p>증명.", "그림2.4-42에서처럼 제 2코사인 법칙에 의하여 \\[ \|B-A\|^{2}=\|A\|^{2}+\|B\|^{2}-2\|A\|\|B\| \\cos \\theta \\] 이다.", "한편, \\[ \|B-A\|^{2}=(B-A) \\cdot(B-A)=\|B\|^{2}-2 A \\cdot B+\|A\|^{2} \\] 이므로 위 두 식으로부터 \\[ A \\cdot B=\|A\|\|B\| \\cos \\theta \\] 이다.", "위의 정리로부터 임의의 두 벡터 \\( A \\)와 \\( B \\)사이각은 \\[ \\theta=\\cos ^{-1}\\left(\\frac{A \\cdot B}{\|A\|\|B\|}\\right) \\] 임을 알 수 있다.", "</p><p>따름정리 2.4.3 두 개의 영이 아닌 벡터 \\( A \\)와 \\( B \\)가 서로 직교할 필요충분조건은 \\( A \\cdot B=0 \\)이다.", "</p><p>예제 2.4.4 벡터 \\( A=2 \\mathrm{i}-\\mathrm{j}+2 \\mathrm{k} \\)와 \\( B=\\mathbf{i}-\\mathrm{j} \\)의 사이각을 구하여라.", "</p><p>풀이. \\", "[ \\begin{array}{c} A \\cdot B=(2)(1)+(-1)(-1)+(2)(0)=3 \\\\ \|A\|=\\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=3 \\\\ \|B\|=\\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+0^{2}}=\\sqrt{2} \\end{array} \\] 으로부터 \\[ \\theta=\\cos ^{-1}\\left(\\frac{3}{3 \\sqrt{2}}\\right)=\\cos ^{-1}\\left(\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\right)=\\frac{\\pi}{4} \\] 이다.", "</p> <h2>벡터의 외적</h2><p>이제 벡터공간의 곱의 연산 중에서 내적과 다른 곱의 연산에 대하여 살펴보자.", "</p><p>\\( A=\\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right), B=\\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\\right) \\in \\mathbb{R}^{3} \\)에 대하여 외적(벡터곱)(cross product, vector product) \\( A \\times B \\)를 다음과 같이 정의한다. \\", "[ A \\times B=\\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1}-a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\\right) \\]</p><p>위의 외적의 정의는 이상한 방법처럼 보이지만 이와 같은 독특한 형태로 정의된 벡터곱이 많은 유용한 특성을 가지고 있음을 알게 될 것이다.", "또한, 내적은 실수이지만 외적은 벡터이므로 벡터공간 \\( \\mathbb{R}^{3} \\)에 닫혀있는 연산이다.", "먼저, 외적의 정의를 쉽게 기억하기 위해 행렬식의 표현법을 이용해 보자.", "</p><p>\\( \\mathbf{i}, \\mathbf{j}, \\mathbf{k} \\)를 삼차원 표준기저 벡터를 \\( \\mathbf{i}=(1,0,0), \\mathbf{j}=(0,1,0), \\mathbf{k}=(0,0,1) \\)라 하면 외적 \\( A \\times B \\)는 행렬식을 사용하면 \\[ \\begin{aligned} A \\times B &=\\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}\\right) \\mathbf{i}-\\left(a_{1} b_{3}-a_{3} b_{1}\\right) \\mathbf{j}+\\left(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\\right) \\mathbf{k} \\\\ &=\\left\|\\begin{array}{ll} a_{2} & a_{3} \\\\ b_{2} & b_{3} \\end{array}\\right\| \\mathbf{i}-\\left\|\\begin{array}{ll} a_{1} & a_{3} \\\\ b_{1} & b_{3} \\end{array}\\right\| \\mathbf{j}+\\left\|\\begin{array}{cc} a_{1} & a_{2} \\\\ b_{1} & b_{2} \\end{array}\\right\| \\mathbf{k} \\end{aligned} \\] 라 쓸 수 있다.", "또는 마치 \\( \\mathbf{i}, \\mathbf{j}, \\mathbf{k} \\)를 실수처럼 생각하여 다음과 같이 형식적인 행렬식으로도 쓸 수 있다. \\", "[ A \\times B=\\left\|\\begin{array}{ccc}\\mathbf{i} & \\mathbf{j} & \\mathbf{k} \\\\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\\\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\\end{array}\\right\|. \\]", "</p><p>예제 2.4.12 벡터 \\( A=(2,-1,3) \\)와 \\( B=(1,1,2) \\)에 대하여 외적 \\( A \\times B \\)를 구하여라.", "</p><p>풀이. \\", "[ \\begin{aligned} A \\times B &=\\left\|\\begin{array}{ccc}\\mathbf{i} & \\mathbf{j} & \\mathbf{k} \\\\ 2 & -1 & 3 \\\\ 1 & 1 & 2\\end{array}\\right\| \\\\ &=\\left\|\\begin{array}{cc}-1 & 3 \\\\ 1 & 2\\end{array}\\right\| \\mathbf{i}-\\left\|\\begin{array}{ll}2 & 3 \\\\ 1 & 2\\end{array}\\right\| \\mathbf{j}+\\left\|\\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 1 & 1\\end{array}\\right\| \\mathbf{k} \\\\ &=-5 \\mathbf{i}-\\mathbf{j}+3 \\mathbf{k}=(-5,-1,3) . \\end{aligned} \\]", "</p><h2>외적의 기본성질</h2><p>임의의 벡터 \\( A, B, C \\)와 실수 \\( t \\)에 대하여 다음이 성립한다.", "<p>가. \\", "( A \\times B=-B \\times A \\)</p><p>나. \\", "( A \\times(B+C)=A \\times B+A \\times C \\)</p><p>다. \\", "( A \\times A=0 \\)</p><p>라. \\", "( (t A) \\times B=t(A \\times B)=A \\times(t B) \\)</p></p><p>위의 증명은 행렬식의 성질로부터 쉽게 증명된다.", "</p><p>외적의 방향</p><p>이제 외적 \\( A \\times B \\)는 벡터이므로 그의 방향을 생각해 보자.", "</p><p>정리 2.4.13 \\( A \\times B \\)는 \\( A, B \\) 모두와 직교한다.", "즉, \\[ (A \\times B) \\cdot A=(A \\times B) \\cdot B=0 . \\]</p><p>증명. \\", "[ \\begin{aligned} (A \\times B) \\cdot A &=\\left(\\left\|\\begin{array}{ll} a_{2} & a_{3} \\\\ b_{2} & b_{3} \\end{array}\\right\| \\mathbf{i}-\\left\|\\begin{array}{cc} a_{1} & a_{3} \\\\ b_{1} & b_{3} \\end{array}\\right\| \\mathbf{j}+\\left\|\\begin{array}{cc} a_{1} & a_{2} \\\\ b_{1} & b_{2} \\end{array}\\right\| \\mathbf{k}\\right) \\cdot\\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right) \\\\ &=\\left(\\left\|\\begin{array}{ll} a_{2} & a_{3} \\\\ b_{2} & b_{3} \\end{array}\\right\|,-\\left\|\\begin{array}{cc} a_{1} & a_{3} \\\\ b_{1} & b_{3} \\end{array}\\right\|,\\left\|\\begin{array}{cc} a_{1} & a_{2} \\\\ b_{1} & b_{2} \\end{array}\\right\|\\right) \\cdot\\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right) \\\\ &=\\left\|\\begin{array}{ll} a_{2} & a_{3} \\\\ b_{2} & b_{3} \\end{array}\\right\| a_{1}-\\left\|\\begin{array}{cc} a_{1} & a_{3} \\\\ b_{1} & b_{3} \\end{array}\\right\| a_{2}+\\left\|\\begin{array}{cc} a_{1} & a_{2} \\\\ b_{1} & b_{2} \\end{array}\\right\| a_{3} \\\\ &=a_{1}\\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}\\right)-a_{2}\\left(a_{1} b_{3}-a_{3} b_{1}\\right)+a_{3}\\left(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\\right) \\\\ &=0 . \\\\ \\end{aligned} \\] 마찬가지로, \\((A \\times B) \\cdot B=0 \\)임을 보일 수 있다.", "</p><p>위의 정리에 의하면 \\( A \\times B \\)는 \\( A \\)와 \\( B \\)에 수직이다.", "따라서, 서로 평행하지 않는 두 벡터 \\( A \\)와 \\( B \\)를 포함하는 평면 \\( S \\)에도 수직이다(그림2.4-47).", "즉, \\[ (A \\times B) \\cdot(\\alpha A+\\beta B)=0 \\] 이다.", "그러므로 \\( A \\times B \\)는 평면 \\( S \\)에 대한 하나의 법선벡터이다(그림2.4-48).", "</p><p>이제, 두 벡터 \\( A \\)와 \\( B \\)에 의해서 생성된 평면 \\( S \\)에 수직인 벡터 \\( A \\times B \\)의 방향을 알아보자. \\", "( \\theta \\)를 \\( A \\)와 \\( B \\)의 사이각이라고 하면 그림2.4-49에서처럼 오른손의 세 손가락 중 검지방향 \\( A \\)에서 중지방향 \\( B \\)로의 방향으로 회전시킬 때 엄지손가락이 \\( A \\times B \\)의 방항을 가리킨다.", "예를 들면, \\( \\mathrm{i} \\times \\mathrm{j}=\\mathrm{k} \\)인 경우이다.", "이렇게 \\( A \\times B \\)의 방향을 결정하는 방법을 오른손 법칙(right-hand rule)이라고 한다.", "</p><p>예제 2.4.14 점 \\( A(1,0,2), B(3,-1,6) \\) 및 \\( C(5,2,4) \\)를 지나는 평면 \\( S \\)의 방정식을 구하여라.", "</p><p>풀이.", "그림2.4-50에서처럼 벡터 \\( B-A=(2,-1,4) \\)와 \\( C-A=(4,2,2) \\)는 평면 \\( S \\)와 평행하므로 이들의 외적 \\[ (B-A) \\times(C-A) \\] 는 하나의 법선벡터이다.", "그런데 \\[ \\begin{aligned} (B-A) \\times(C-A) &=\\left\|\\begin{array}{ccc} \\mathrm{i} & \\mathrm{j} & \\mathrm{k} \\\\ 2 & -1 & 4 \\\\ 4 & 2 & 2 \\end{array}\\right\| \\\\ &=\\left\|\\begin{array}{cc} -1 & 4 \\\\ 2 & 2 \\end{array}\\right\| \\mathrm{i}-\\left\|\\begin{array}{ll} 2 & 4 \\\\ 4 & 2 \\end{array}\\right\| \\mathbf{j}+\\left\|\\begin{array}{cc} 2 & -1 \\\\ 4 & 2 \\end{array}\\right\| \\mathbf{k} \\\\ &=(-10,12,8) \\end{aligned} \\] 이므로 점 \\( A(1,0,2) \\)를 지나고 법선벡터가 \\( N(-10,12,8) \\)인 평면의 방정식은 \\[ (-10,12,8) \\cdot(X-(1,0,2))=0 \\] 가 된다.", "이 식을 간단히 하면 \\[ 5 x-6 y-4 z+3=0 \\] 이 구하는 \\( S \\)의 방정식이다.", "</p> <h2>행렬의 합과 스칼라 곱</h2><p>이제 모든 \\( m \\times n \\) 행렬들의 집합을 \\[ M_{m \\times n}(\\mathbb{R}) \\] 로 표시하자. \\", "( M_{m \\times n}(\\mathbb{R}) \\)의 임의의 두 행렬 \\( A=\\left(a_{i j}\\right) \\)와 \\( B=\\left(b_{i j}\\right) \\)에 대하여 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의한다.", "</p><p>임의의 \\( k \\in \\mathbb{R} \\)와 \\( 1 \\leq i \\leq m, 1 \\leq j \\leq n \\)에 대하여<p>(1) 합 : \\( A+B=\\left(a_{i j}+b_{i j}\\right) \\)</p><p>(2) 스칼라 곱 : \\( k A=\\left(k a_{i j}\\right) \\)</p></p><p>예제 \\( 2.3 .2 A=\\left(\\begin{array}{ccc}1 & 0 & 3 \\\\ 1 & -1 & 2\\end{array}\\right) \\)이고, \\( B=\\left(\\begin{array}{ccc}3 & 1 & 4 \\\\ -2 & 5 & 2\\end{array}\\right) \\)일 때 \\( A+B \\)와 \\( 3 A \\)를 구하여라.", "</p><p>풀이. \\", "[ A+B=\\left(\\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 3 \\\\ 1 & -1 & 2 \\end{array}\\right)+\\left(\\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 4 \\\\ -2 & 5 & 2 \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{ccc} 4 & 1 & 7 \\\\ -1 & 4 & 4 \\end{array}\\right) \\] 이고 \\[ 3 A=3\\left(\\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 3 \\\\ 1 & -1 & 2 \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 9 \\\\ 3 & -3 & 6 \\end{array}\\right) \\] 이다.", "</p><p>그러면 2.1절의 좌표공간이 점들의 합과 스칼라 곱에 대하여 8가지 성질을 만족하는 것처럼 집합 \\( M_{m \\times n}(\\mathbb{R}) \\)에서도 행렬들의 합과 스칼라 곱에 대하여 8가지 성질을 만족함을 알 수 있다.", "그러므로 \\( M_{m \\times n}(\\mathbb{R}) \\)도 벡터공간이고 따라서 \\( m \\times n \\) 행렬도 역시 하나의 벡터이다.", "특히, 하나의 행을 행벡터(row vector), 하나의 열을 열벡터(column vector)라 부르기도 한다.", "따라서 행벡터와 열벡터를 이용하여 행렬을 다음과 같이 표현하기도 한다.", "</p><p>\\( m \\times n \\) 행렬 \\( A=\\left(a_{i j}\\right) \\)는 \\[ A=\\left(\\begin{array}{c} A_{1} \\\\ A_{2} \\\\ \\vdots \\\\ A_{m} \\end{array}\\right) \\] 으로 나타내며, 여기서 \\( A_{i}=\\left(a_{i 1} a_{i 2} \\cdots a_{i n}\\right) \\)은 \\( i \\) 번째 행벡터이다.", "또한, \\( n \\times p \\) 행렬 \\( B=\\left(b_{j k}\\right) \\)는 \\[ B=\\left(B^{1} B^{2} \\cdots B^{p}\\right) \\] 으로 나타내며, 이 때 \\( B^{j}=\\left(\\begin{array}{c}b_{1 j} \\\\ b_{2 j} \\\\ \\vdots \\\\ b_{n j}\\end{array}\\right) \\)는 \\( j \\) 번째 열벡터이다.", "</p><h2>행렬의 곱</h2><p>이제 두 행렬의 곱에 대하여 정의하자.", "곱이 정의되기 위한 조건은 곱해지는 앞 행렬의 열의 개수와 곱하는 뒤 행렬의 행의 개수가 같아야 한다.", "</p><p>주어진 두 행렬 \\( A=\\left(a_{i j}\\right) \\)와 \\( B=\\left(b_{j k}\\right), 1 \\leq i \\leq m, 1 \\leq j \\leq n, 1 \\leq k \\leq p \\)의 곱은 \\[ A B=\\left(\\begin{array}{c} A_{1} \\\\ A_{2} \\\\ \\vdots \\\\ A_{m} \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{llll} B^{1} & B^{2} & \\cdots & \\left.B^{p}\\right) \\end{array}\\right. \\] \\", "[ =\\left(\\begin{array}{cccc} A_{1} \\cdot{ }^{t} B^{1} & A_{1} \\cdot{ }^{t} B^{2} & \\cdots & A_{1} \\cdot{ }^{t} B^{p} \\\\ A_{2} \\cdot{ }^{t} B^{1} & A_{2} \\cdot{ }^{t} B^{2} & \\ldots & A_{2} \\cdot{ }^{t} B^{p} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ A_{m} \\cdot{ }^{t} B^{1} & A_{m} \\cdot{ }^{t} B^{2} & \\ldots & A_{m} \\cdot{ }^{t} B^{p} \\end{array}\\right) \\] 로 정의한다.", "그러므로 \\( A B=\\left(A_{i} \\cdot{ }^{t} B^{j}\\right) 1 \\leq i \\leq m, 1 \\leq j \\leq p \\)이고 이 때 \\( A_{i} \\cdot{ }^{t} B^{j}=a_{i 1} b_{1 j}+a_{i 2} b_{2 j}+\\cdots+a_{i n} b_{n j} \\)이다.", "</p><p>예제 2.3.3 \\( A=\\left(\\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\\\ 3 & 0 & 2\\end{array}\\right) \\)이고 \\( B=\\left(\\begin{array}{cc}-2 & 3 \\\\ 0 & 5 \\\\ -1 & 2\\end{array}\\right) \\)일 때 \\( A B \\)를 구하여라.", "</p><p>풀이. \\", "( A B=\\left(\\begin{array}{cc}-2+0+1 & 3+10-2 \\\\ -6+0-2 & 9+0+4\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{cc}-1 & 11 \\\\ -8 & 13\\end{array}\\right) \\)이다.", "</p><p>한편, \\( n \\times n \\) 행렬을 \\( n \\)차 정방행렬(square matrix)이라 부르고 \\( M_{n}(\\mathbb{R}) \\)을 모든 \\( n \\)차 정방행렬들의 집합으로 표시한다.", "특히, \\( n \\)차 정방행렬 \\( \\left(a_{i j}\\right) \\)의 대각성분 \\( a_{i i}= \\) 1이고 \\( a_{i j}=0(i \\neq j) \\)이면 이 행렬을 \\( n \\)차 항등행렬(identity matrix) 또는 \\( n \\)차 단위행렬(unit matrix)이라 부르고 \\( I_{n} \\)으로 표시한다.", "즉, \\[ I_{n}=\\left(\\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \\cdots & 0 \\\\ 0 & 1 & \\cdots & 0 \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ 0 & 0 & \\cdots & 1 \\end{array}\\right) \\] 이다.", "그러므로 임의의 \\( A \\in M_{n}(\\mathbb{R}) \\)에 대하여 식 \\[ A I_{n}=A=I_{n} A \\] 를 만족한다.", "또한, \\( A B=I_{n}=B A \\)를 만족하는 행렬 \\( B \\in M_{n}(\\mathbb{R}) \\)가 존재하면 \\( A \\)를 정칙행렬 (invertible matrix)이라 하고 \\( B \\)를 \\( A \\)의 역행렬(inverse matrix)이라 부른다.", "이 때 \\( B=A^{-1} \\)로 표시한다.", "마찬가지로, \\( A \\)는 \\( B \\)의 역행렬이고 \\( A=B^{-1} \\)로 표시한다.", "</p><p>예제 2.3.4 다음 두 행렬 \\[ A=\\left(\\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\\\ -1 & 0 & 3 \\\\ 1 & 3 & -1 \\end{array}\\right), B=\\left(\\begin{array}{rrr} \\frac{9}{5} & -\\frac{2}{5} & -\\frac{6}{5} \\\\ -\\frac{2}{5} & \\frac{1}{5} & \\frac{3}{5} \\\\ \\frac{3}{5} & \\frac{1}{5} & -\\frac{2}{5} \\end{array}\\right) \\] 는 서로 역행렬 관계임을 보여라.", "</p><p>풀이. \\", "( A B=\\left(\\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\\\ -1 & 0 & 3 \\\\ 1 & 3 & -1\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{ccc}\\frac{9}{5} & -\\frac{2}{5} & -\\frac{6}{5} \\\\ -\\frac{2}{5} & \\frac{1}{5} & \\frac{3}{5} \\\\ \\frac{3}{5} & \\frac{1}{5} & -\\frac{2}{5}\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\\end{array}\\right)=I_{3} \\) 임을 알 수 있다.", "또한 \\( B A=I_{3} \\) 도 성립한다.", "특히, 주의할 사항은 다음 예제에서와 같이 일반적으로 두 행렬 \\( A \\)와 \\( B \\)에 대하여 \\[ A B \\neq B A \\] 이다.", "</p><p>예제 2.3.5 두 행렬 \\( A=\\left(\\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ -2 & 1\\end{array}\\right) \\)와 \\( B=\\left(\\begin{array}{cc}-1 & 3 \\\\ 0 & 1\\end{array}\\right) \\)에 대하여 \\( A B \\)와 \\( B A \\)을 계산하여라.", "</p><p>풀이. \\", "[ \\begin{array}{c} A B=\\left(\\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ -2 & 1 \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{cc} -1 & 3 \\\\ 0 & 1 \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{cc} -1 & 5 \\\\ 2 & -5 \\end{array}\\right), \\\\ B A=\\left(\\begin{array}{cc} -1 & 3 \\\\ 0 & 1 \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ -2 & 1 \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{cc} -7 & 1 \\\\ -2 & 1 \\end{array}\\right) . \\end{array} \\]", "</p> <h1>2.3 행렬과 행렬식</h1><p>기원전 4세기경에 바빌로니아인들은 연립 일차방정식에 대한 연구를 점토판에 남겨 놓았다.", "또한 중국 한왕조 때인 B.C. 200년에서 B.C. 100년 사이에 쓰여진 \"구장산술\"이라는 수학책에서 바빌로니아인들보다 행렬의 개념에 더 가깝게 다음과 같은 문제를 해결하고 있다.", "</p><p>세 가지 종류의 옥수수 다발들이 있다.", "첫째유형 3 다발, 둘째유형 2 다발, 셋째유형 1 다발을 모으면 전체는 39 단위량이 된다.", "또한 첫째유형 2 다발, 둘째유형 3 다발, 셋째유형 1 다발은 34 단위량이 된다.", "그리고 첫째유형 1 다발, 둘째유형 2 다발, 셋째유형 3 다발은 26 단위량이 될 때 각 유형의 1 다발에 속해있는 옥수수의 단위량은 각각 얼마인가?", "</p><p>여기서 해답은 중국식 배열 방법으로 오른쪽에서 시작하여 왼쪽으로 내려쓰기를 하여 다음과 같이 미지수가 3개인 일차연립방정식의 계수로 표를 만들었다. \\", "[ \\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 3 & 2 \\\\ 3 & 1 & 1 \\\\ 26 & 34 & 39\\end{array} \\] 오른쪽 첫 번째 열을 \\( C_{1} \\), 둘째 열을 \\( C_{2} \\), 그리고 왼쪽 열을 \\( C_{3} \\)로 표시하면, \\( 3 C_{3}-C_{1} \\)을 \\( C_{3} \\)로 대치하고 \\( 3 C_{2}-2 C_{1} \\)을 \\( C_{2} \\)로 대치하여 다음과 같은 식을 얻었다. \\", "[ \\begin{array}{ccc}0 & 0 & 3 \\\\ 4 & 5 & 2 \\\\ 8 & 1 & 1 \\\\ 39 & 24 & 39\\end{array} \\] 또한, \\( 5 C_{3}-4 C_{2} \\)를 \\( C_{3} \\)로 대치하여 다음과 같은 식을 얻었다. \\", "[ \\begin{array}{ccc}0 & 0 & 3 \\\\ 0 & 5 & 2 \\\\ 36 & 1 & 1 \\\\ 99 & 24 & 39\\end{array} \\] 이렇게 하여 각 유형의 1 다발에 속해있는 옥수수 단위량을 쉽게 계산하였다.", "셋째유형의 1 다발은 \\( \\frac{99}{36}=2.75 \\), 둘째유형의 1 다발은 \\( \\frac{1}{5}(24-2.75)=4.25 \\), 첫째유형의 1 다발은 \\( \\frac{1}{3}(39-2.75-2(4.25))=9.25 \\)이다.", "놀랍게도 이 방법은 Gauss가 1803년 에서 1809년 사이에 행해진 한 소행성을 연구하면서 그 궤도의 관찰 기록을 이용하 여 미지수가 6개인 연립일차방정식을 만든 후에 이와 같이 계수행렬을 이용하여 주어진 연립방정식을 풀었다고 한다.", "현재 이 방법을 “가우스 소거법”이라 부른다.", "</p><h2>행렬</h2><p>행렬 (matrix)은 수를 사각형 모양으로 늘어놓은 배열이다.", "가로줄을 행(row)이라 하고 세로줄을 열(column)이라 부른다.", "예컨데, 행렬들은 \\[ \\left(\\begin{array}{l} 1 \\\\ 3 \\end{array}\\right), \\quad\\left(\\begin{array}{lll} -2 & 5 & 1 \\end{array}\\right), \\quad\\left(\\begin{array}{ll} a & b \\\\ c & d \\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{llll} 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 & 0 \\end{array}\\right) \\] 들로 표현되며 첫 번째를 \\( 2 \\times 1 \\) 행렬, 두 번째를 \\( 1 \\times 3 \\) 행렬, 세 번째를 \\( 2 \\times 2 \\) 행렬, 네 번째를 \\( 3 \\times 4 \\) 행렬이라 부른다.", "그러므로 벡터들도 행렬의 한 종류로 간주한다.", "이제 일반적인 \\( m \\times n \\) 행렬은 \\[ \\left(\\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \\cdots & a_{1 n} \\\\ a_{21} & a_{22} & \\cdots & a_{2 n} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a_{m 1} & a_{m 2} & \\cdots & a_{m n} \\end{array}\\right) \\] 으로 표현되며 간단히 \\( \\left(a_{i j}\\right), 1 \\leq i \\leq m, 1 \\leq j \\leq n \\)으로 쓰기도 한다.", "또한, 모든 성분이 0인 행렬을 영행렬(zero matrix)이라 부른다.", "예를 들면, \\[ \\left(\\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\end{array}\\right) \\] 과 같은 행렬이다.", "또한, 주어진 행렬 \\( A \\)에서 행을 열로 열을 행으로 바꾼 행렬(예를 들면, 2행 1열의 원소를 1행 2열의 위치로 옮긴다.)을 \\( A \\)의 전치행렬(transpose matrix)이라 부르고 \\( { }^{t} A \\)로 표시한다.", "</p><p>예제 2.3.1 \\( A=\\left(\\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 & 0\\end{array}\\right) \\)의 전치행렬은 \\( { }^{t} A=\\left(\\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 2 & 1 & 2 \\\\ 3 & 0 & 1 \\\\ 4 & 1 & 0\\end{array}\\right) \\)이다.", "</p> <h2>일변수 삼차원 벡터값 함수의 그래프</h2><p>일반적으로 삼차원 벡터값 함수(곡선)의 그래프는 사차원 공간의 부분집합이다.", "그렇지만 그 곡선의 그림은 삼차원 공간의 치역을 나타내는 것이다.", "</p><p>예제 2.2.13 함수 \\[ X(t)=\\cos t \\mathbf{i}+\\cos t \\mathbf{j}+\\sqrt{2} \\sin t \\mathbf{k}, t \\in[0,2 \\pi] \\] 가 나타내는 곡선을 그려라.", "</p><p>풀이. \\", "( X(t) \\)의 성분함수는 \\[ x=\\cos t, y=\\cos t, z=\\sqrt{2} \\sin t \\] 이고 \\[ x^{2}+y^{2}+z^{2}=\\cos ^{2} t+\\cos ^{2} t+2 \\sin ^{2} t=2\\left(\\cos ^{2} t+\\sin ^{2} t\\right)=2 \\] 이므로 치역 \\( R=\\{X(t) \\mid t \\in[0,2 \\pi]\\} \\)에 속하는 임의의 점은 반지름이 \\( \\sqrt{2} \\)인 삼차원 공간 안의 구면 위에 놓여 있다.", "<p>한편, \\( y=\\cos t=x \\)이므로, 평면 \\( y=x \\)와 구면 \\( x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 \\)가 만나는 곡선(즉, 원)이 바로 주어진 벡터함수의 치역에 해당된다.", "그러나, 구면 \\( x^{2}+y^{2}+z^{2}= 2\\)의 중심인 원점 \\( (0,0,0) \\)은 평면 \\( y=x \\)위에 있으므로 주어진 함수가 그리는 곡선은 대원이 된다(그림2.2-26).", "</p></p><h2>등고선과 등위집합</h2><p>이변수 함수 \\( f \\)의 그래프를 그리기 위해서는 \\( f \\)의 그래프와 평면 \\( z=c \\)의 교선을 찾는 것이 좋을 때가 많다.", "그러한 각각의 교선을 평면 \\( z=c \\)에서 \\( f \\)의 그래프에 대한 자국(trace)이라고 한다.", "그러므로 평면 \\( z=c \\)에서 \\( f \\)의 그래프에 대한 자국은 \\( f(x, y)=c \\)를 만족하는 점 \\( (x, y, c) \\)의 집합이다.", "예를 들어, \\( f \\)의 그래프를 산의 표면이라 하면 평면 \\( z=c \\)의 자국은 등고선이 된다.", "그러한 자국을 따라 걸어가는 등산객은 올라가지도 내려가지도 않는 셈이다.", "</p><p>그림2.2-27에서는 함수 \\( f(x, y)=-x^{2}-x y-y^{2}+5 \\)의 그래프와 평면 \\( z=4.5 \\)의 교선, 즉 자국을 나타내고 있으며 그림2.2-28에서는 그 교선을 위에서 아래로 내려다본 모습이다.", "</p><p>함수의 그래프를 그리는 또 하나의 방법을 소개해 보자.", "그림 2.2-29은 미국 플로리다주의 마이애미에서 작성한 허리케인의 등압선 지도이다.", "여기서 등압선은 같은 기압을 갖는 지점을 의미한다.", "이 그림에서 실제적인 입체 모형이 아닐지라도 등압선을 활용하여 어떤 지점의 기압을 알 수가 있다.", "</p><p>이제 이것을 수학적인 용어를 사용하여 정의하여 보자.", "함수 \\( f: D \\longrightarrow \\mathbb{R} \\)가 주어지고, \\( c \\in \\mathbb{R} \\)일 때 함수 \\( f \\)에 대한 \\( c \\)의 역원 집합 \\[ f^{-1}(c)=\\{x \\in D \\mid f(x)=c\\} \\] 를 함수 \\( f \\)의 \\( c \\)에 대한 등위집합(level set)이라고 한다.", "함수 \\( f: D \\longrightarrow \\mathbb{R} \\)에 대하여 \\( f \\)의 등위집합 \\( f^{-1}(c) \\)가 \\( \\mathbb{R}^{2} \\)의 부분집합, 즉 \\( f \\)가 이변수 함수이면 \\( f^{-1}(c) \\)를 등위곡선(level curve), \\( \\mathbb{R}^{3} \\)의 부분집합, 즉 \\( f \\)가 삼변수 함수이면 등위곡면(level surface)이라 부른다.", "</p><p>함수 \\( f \\)의 등위곡선은 \\( f \\)의 그래프에 대해서 등고선과 등압선 같은 의미 있는 자료를 제공해 준다.", "예를 들면 그림2.2-31은 이변수 함수 \\( f(x, y)=-x y e^{-x^{2}-y^{2}} \\)의 그래프를 의미하고 그림2.2-31에서는 이 함수의 등위곡선이 그려져 있다.", "그림2.2-31에서 겹겹히 쌓인 원들은 그림2.2-30의 언덕과 관계되고 색이 진해짐에 따라 언덕의 높이가 올라가고, 연해짐에 따라 아래로의 깊이가 더해진다.", "이와같이 이차원 평면의 등위곡선을 유추해 보면 삼차원 곡면에 대한 정보를 얻을 수 있다.", "</p><p>예제 2.2 .14 이변수 함수의 그래프는 하나의 등위곡면임을 보여라.", "</p><p>풀이. \\", "( f \\)를 이변수 함수라고 하자.", "그 때 \\( f \\)의 그래프는 \\[ G_{f}=\\{(x, y, z) \\mid z=f(x, y)\\} \\] 이다.", "한편 삼변수 함수 \\( h \\)를 \\[ h(x, y, z)=z-f(x, y) \\] 로 정의하면 \\[ G_{f}=\\{(x, y, z) \\mid h(x, y, z)=0\\} \\] 이므로 \\( G_{f}=h^{-1}(0) \\)인 등위집합, 즉 등위곡면이 된다.", "</p><p>예제 2.2.15 \\( c=-6,0,6,12 \\)일 때 함수 \\( f(x, y)=6-3 x-2 y \\)의 \\( c \\)에 관한 등위곡선을 그려라.", "</p><p>풀이. \\", "( f(x, y)=c \\)는 \\( 6-3 x-2 y=c \\) 또는 \\( 3 x+2 y+(c-6)=0 \\)를 만족하므로 기울기가 \\( -\\frac{3}{2} \\)이고 \\( y \\)절편이 \\( \\frac{6-c}{2} \\)인 직선들이다(그림2.2-33, 그림2.2-32).", "</p><p>예제 2.2.16 \\( c=1, \\sqrt{2}, \\sqrt{3} \\)일 때, 함수 \\( f(x, y)=\\sqrt{4-x^{2}-y^{2}} \\)의 \\( c \\)에 관한 등위곡선을 구하여라.", "</p><p>\\[ f^{-1}(c)=\\left\\{(x, y) \\mid 4-x^{2}-y^{2}=c^{2}\\right\\}=\\left\\{(x, y) \\mid x^{2}+y^{2}=4-c^{2}\\right\\} \\] 로 \\( f^{-1}(c) \\)는 중심이 \\( (0,0) \\)이고 반경이 \\( \\sqrt{4-c^{2}} \\)인 원이다(그림2.2-34,2.2-35).", "</p><p>예제 2.2.17 삼변수 함수 \\( f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} \\)의 등위곡면은 \\( c=1,4,9 \\)일 때 그림2.2-36와 같다.", "</p> <h2>행렬식의 성질</h2><p>3차행렬식 \\( \|A\|=\\left\|\\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\end{array}\\right\| \\)을 다음과 같이 6가지 형태로 표현할 수 있다.", "</p><p>(1) \\( \\begin{aligned}\|A\| &=a_{11}\\left(a_{22} a_{33}-a_{32} a_{23}\\right)-a_{12}\\left(a_{21} a_{33}-a_{31} a_{23}\\right)+a_{13}\\left(a_{21} a_{32}-a_{31} a_{22}\\right) \\\\ &=a_{11}\\left\|\\begin{array}{ll}a_{22} & a_{23} \\\\ a_{32} & a_{33}\\end{array}\\right\|-a_{12}\\left\|\\begin{array}{cc}a_{21} & a_{23} \\\\ a_{31} & a_{33}\\end{array}\\right\|+a_{13}\\left\|\\begin{array}{cc}a_{21} & a_{22} \\\\ a_{31} & a_{32}\\end{array}\\right\| \\end{aligned} \\)</p><p>마찬가지 방법으로</p><p>(2) \\( \|A\|=-a_{21}\\left\|\\begin{array}{ll}a_{12} & a_{13} \\\\ a_{32} & a_{33}\\end{array}\\right\|+a_{22}\\left\|\\begin{array}{ll}a_{11} & a_{13} \\\\ a_{31} & a_{33}\\end{array}\\right\|-a_{23}\\left\|\\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\\\ a_{31} & a_{32}\\end{array}\\right\| \\)</p><p>(3) \\( \|A\|=a_{31}\\left\|\\begin{array}{ll}a_{12} & a_{13} \\\\ a_{22} & a_{23}\\end{array}\\right\|-a_{32}\\left\|\\begin{array}{ll}a_{11} & a_{13} \\\\ a_{21} & a_{23}\\end{array}\\right\|+a_{33}\\left\|\\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\\\ a_{21} & a_{22}\\end{array}\\right\| \\)</p><p>(4) \\( \|A\|=a_{11}\\left\|\\begin{array}{ll}a_{22} & a_{23} \\\\ a_{32} & a_{33}\\end{array}\\right\|-a_{21}\\left\|\\begin{array}{ll}a_{12} & a_{13} \\\\ a_{32} & a_{33}\\end{array}\\right\|+a_{31}\\left\|\\begin{array}{ll}a_{12} & a_{13} \\\\ a_{22} & a_{23}\\end{array}\\right\| \\)</p><p>(5) \\( \|A\|=-a_{12}\\left\|\\begin{array}{ll}a_{21} & a_{23} \\\\ a_{31} & a_{33}\\end{array}\\right\|+a_{22}\\left\|\\begin{array}{ll}a_{11} & a_{13} \\\\ a_{31} & a_{33}\\end{array}\\right\|-a_{32}\\left\|\\begin{array}{ll}a_{11} & a_{13} \\\\ a_{21} & a_{23}\\end{array}\\right\| \\)</p><p>(6) \\( \|A\|=a_{13}\\left\|\\begin{array}{ll}a_{22} & a_{23} \\\\ a_{32} & a_{33}\\end{array}\\right\|-a_{23}\\left\|\\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\\\ a_{31} & a_{32}\\end{array}\\right\|+a_{33}\\left\|\\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\\\ a_{21} & a_{22}\\end{array}\\right\| \\)</p><p>위의 6가지 형태를 살펴보면, \\( \|A\| \\)는 한 행(또는 열)의 각 원소와 그 원소를 포함하는 행과 열을 제외한 나머지 2차 행렬식과의 일차 결합으로 전개되고 있다.", "특히, 이 전개식의 각 항의 부호는 각 항의 원소의 위치가 행렬 \\( A \\)에서 \\( i \\)행 \\( j \\)열의 원소일 때 \\( i+j \\)가 짝수이면 양의 부호 \\( + \\)이고, 홀수이면 음의 부호 -이다.", "</p><p>그러므로 4차 행렬식도 한 행이나 열로 전개하여 계산할 수 있다.", "</p><p>특히, 한 행이나 열의 원소에 0이 많을수록 행렬식의 값을 계산하기가 쉬워진다.", "따라서 주어진 행렬의 행렬식의 값이 변하지 않으면서 한 행이나 열에 0을 만들 수 있는 방법으로 다음 행렬식의 4가지 성질을 이용한다.", "</p><p>정리 2.3.8 (1) 각 열(행)에 대하여 선형이다.", "<p>(2) 서로 다른 두 열(행)의 위치를 바꾸면 행렬식의 부호가 바뀐다.", "</p><p>(3) 서로 다른 위치의 두 열(행)이 일치하면 행렬식은 0이다.", "</p><p>(4) 어떤 열(행)에 다른 열(행)을 실수배하여 더해도 행렬식은 변함이 없다.", "</p></p><p>증명.", "2차 행렬식인 경우는 쉽게 증명되므로 3차 행렬식인 경우에만 증명한다.", "3차 행렬식 \\( \|A\| \\)를 3차 행렬 \\( A \\)의 열벡터 \\( A^{1}, A^{2}, A^{3} \\)를 이용하여 \\( \|A\|=\\left\|A^{1}, A^{2}, A^{3}\\right\| \\)로 표시하자.", "여기서는 (4)만 증명하고 나머지는 연습문제로 남긴다.", "<p>(4) 제 3열 \\( A^{3} \\)에 상수 \\( k \\)를 곱한 후 제 2열 \\( A^{2} \\)에 더하자.", "그리고 1 열에 대하여 2차 여인수로 전개하면 \\( \\left\|A^{1}, A^{2}+k A^{3}, A^{3}\\right\|=\\left\|\\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12}+k a_{13} & a_{13} \\\\ a_{21} & a_{22}+k a_{23} & a_{23} \\\\ a_{31} & a_{32}+k a_{33} & a_{33}\\end{array}\\right\| \\) \\( =a_{11}\\left\|\\begin{array}{ll}a_{22}+k a_{23} & a_{23} \\\\ a_{32}+k a_{33} & a_{33}\\end{array}\\right\|-a_{21}\\left\|\\begin{array}{ll}a_{12}+k a_{13} & a_{13} \\\\ a_{32}+k a_{33} & a_{33}\\end{array}\\right\|+a_{31}\\left\|\\begin{array}{ll}a_{12}+k a_{13} & a_{13} \\\\ a_{22}+k a_{23} & a_{23}\\end{array}\\right\| \\) \\( =a_{11}\\left(\\left\|\\begin{array}{ll}a_{22} & a_{23} \\\\ a_{32} & a_{33}\\end{array}\\right\|+\\left\|\\begin{array}{ll}k a_{23} & a_{23} \\\\ k a_{33} & a_{33}\\end{array}\\right\|\\right)-a_{21}\\left(\\left\|\\begin{array}{cc}a_{12} & a_{13} \\\\ a_{32} & a_{33}\\end{array}\\right\|+\\left\|\\begin{array}{ll}k a_{13} & a_{13} \\\\ k a_{33} & a_{33}\\end{array}\\right\|\\right) \\) \\( +a_{31}\\left(\\left\|\\begin{array}{ll}a_{12} & a_{13} \\\\ a_{22} & a_{23}\\end{array}\\right\|+\\left\|\\begin{array}{ll}k a_{13} & a_{13} \\\\ k a_{23} & a_{23}\\end{array}\\right\|\\right) \\) \\( =a_{11}\\left\|\\begin{array}{ll}a_{22} & a_{23} \\\\ a_{32} & a_{33}\\end{array}\\right\|-a_{21}\\left\|\\begin{array}{ll}a_{12} & a_{13} \\\\ a_{32} & a_{33}\\end{array}\\right\|+a_{31}\\left\|\\begin{array}{ll}a_{12} & a_{13} \\\\ a_{22} & a_{23}\\end{array}\\right\| \\) \\( =\\left\|A^{1}, A^{2}, A^{3}\\right\| \\)</p><p>이다.", "나머지 다른 열이나 행에 대해서도 마찬가지로 증명된다.", "</p></p><p>예제 2.3.9 행렬 \\( A=\\left(\\begin{array}{cccc}1 & 2 & -1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 3 & 4 \\\\ -1 & 3 & 2 & 1 \\\\ 1 & -1 & 3 & 1\\end{array}\\right) \\)의 행렬식을 구하여라.", "</p><p>풀이. \\", "[ \\begin{aligned} \|A\| &=\\left\|\\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 3 & 4 \\\\ -1 & 3 & 2 & 1 \\\\ 1 & -1 & 3 & 1 \\end{array}\\right\|=\\left\|\\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 3 & 4 \\\\ 0 & 5 & 1 & 4 \\\\ 0 & -3 & 4 & -2 \\end{array}\\right\| \\\\ &=\\left\|\\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 4 \\\\ 5 & 1 & 4 \\\\ -3 & 4 & -2 \\end{array}\\right\|=\\left\|\\begin{array}{ccc} -5 & 11 & 0 \\\\ -1 & 9 & 0 \\\\ -3 & 4 & -2 \\end{array}\\right\|=-2\\left\|\\begin{array}{cc} -5 & 11 \\\\ -1 & 9 \\end{array}\\right\| \\\\ &=-2(-45+11)=68 \\end{aligned} \\] 이다.", "칫째 등식은 1행을 3행에 더하였고, 1행에 \\( -1 \\)배하여 4행에 더하였다.", "둘째 등식은 1행에 대하여 전개하였다.", "셋째 등식은 3행에 2배하여 1행과 2행에 차례로 더하였다.", "넷째 등식은 3열에 대하여 전개하였다.", "</p><p>마지막으로, 이 책에서는 2차 정방행렬의 역행렬을 구하는 내용만을 소개한다.", "3차 이상의 정방행렬의 역행렬에 대한 내용은 선형대수학에서 자세허 공부한다.", "</p><p>행렬 \\( A=\\left(\\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\\\ a_{21} & a_{22}\\end{array}\\right) \\)의 역행렬 \\( A^{-1} \\)를 구하기 위하여 \\( A^{-1}=\\left(\\begin{array}{cc}x & y \\\\ z & w\\end{array}\\right) \\)라 하면 \\( A A^{-1}=I \\)이므로 \\[ \\left(\\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\\\ a_{21} & a_{22} \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{ll} x & y \\\\ z & w \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{array}\\right) \\] 이다.", "따라서 4개의 연립방정식 \\[ \\begin{array}{l} a_{11} x+a_{12} z=1 \\\\ a_{21} x+a_{22} z=0 \\\\ a_{11} y+a_{12} w=0 \\\\ a_{21} y+a_{22} w=1 \\end{array} \\] 로부터 \\( x, y, z, w \\)를 구하면 \\[ A^{-1}=\\left(\\begin{array}{ll} x & y \\\\ z & w \\end{array}\\right)=\\frac{1}{\|A\|}\\left(\\begin{array}{cc} a_{22} & -a_{12} \\\\ -a_{21} & a_{11} \\end{array}\\right) \\] 임을 알 수 있다.", "</p> <h2>회전사상</h2><p>평면 \\( \\mathbb{R}^{2} \\) 위에서 각 점이 원점을 중심으로 \\( \\theta \\)만큼 회전한 점에 대응하는 함수 \\( T_{\\theta} \\)를 회전사상(rotation)이라 한다.", "</p><p>그림2.3-40에서 \\( A \\)와 \\( B \\)를 \\( \\theta \\)만큼 회전하여 얻은 점을 \\( A^{\\prime} \\)과 \\( B^{\\prime} \\)이라 하면 \\( A+B \\)는 \\( A^{\\prime}+B^{\\prime} \\)으로 \\( \\theta \\)만큼 회전하고 실수 \\( t \\in \\mathbb{R} \\)에 대하여 \\( t A \\)는 \\( t A^{\\prime} \\)으로 \\( \\theta \\)만큼 회전한다.", "그러므로 \\[ T_{\\theta}(A+B)=A^{\\prime}+B^{\\prime}=T_{\\theta}(A)+T_{\\theta}(B) \\] 이고 \\[ T_{\\theta}(t A)=t A^{\\prime}=t T_{\\theta}(A) \\] 이다.", "그러므로 회전사상 \\( T_{\\theta}: \\mathbb{R}^{2} \\rightarrow \\mathbb{R}^{2} \\)은 선형사상이다.", "</p><p>예제 2.3.7 회전사상 \\( T_{\\theta} \\)의 대응행렬을 구하여라.", "</p><p>풀이.", "평면 \\( \\mathbb{R}^{2} \\)의 표준기저는 \\( \\{\\mathbf{i}, \\mathbf{j}\\} \\)이므로 그림2.3-41에서와 같이 \\[ T_{\\theta}(\\mathbf{i})=(\\cos \\theta, \\sin \\theta), T_{\\theta}(\\mathbf{j})=(-\\sin \\theta, \\cos \\theta) \\] 이다.", "그러므로 위에서 대응행렬을 구하는 방법에 따라 \\( T_{\\theta} \\)의 대응행렬은 \\[ \\left(\\begin{array}{rr} \\cos \\theta & -\\sin \\theta \\\\ \\sin \\theta & \\cos \\theta \\end{array}\\right) \\] 이다.", "</p><h2>행렬식</h2><p>\\( n \\)차 정방행렬 \\( A=\\left(a_{i j}\\right) \\)의 행렬식은 \\[ \|A\|=\\left\|\\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \\cdots & a_{1 n} \\\\ a_{21} & a_{22} & \\cdots & a_{2 n} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a_{n 1} & a_{n 2} & \\cdots & a_{n n} \\end{array}\\right\| \\] 으로 표시한다.", "그러나 일반적인 행렬식의 정의는 이 책의 범위를 넘는다.", "자세한 정의는 선형대수학 과목에서 배우게 된다.", "여기서는 이 책에서 주로 이용하는 2차, 3차 정방행렬에 대한 행렬식을 주로 다룬다.", "필요하면 4차 정방행렬의 행렬식의 계산도 시도한다.", "</p><p>먼저 2차 정방행렬과 3차 정방행렬의 행렬식을 다음과 같이 정의한다. \\", "[ \\left\|\\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\\\ a_{21} & a_{22} \\end{array}\\right\|=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} . \\] \\", "[ \\begin{aligned} \\left\|\\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\end{array}\\right\| &=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{21} a_{32} a_{13}+a_{31} a_{12} a_{23} \\\\ &-a_{21} a_{12} a_{33}-a_{31} a_{22} a_{13}-a_{11} a_{32} a_{23} . \\end{aligned} \\]", "</p> <h2>점들의 합과 실수곱</h2><p>실수에서와 같이 \\( \\mathbb{R}^{2} \\)와 \\( \\mathbb{R}^{3} \\)위의 두 점간의 연산, 합(addition)과 스칼라 곱(scalar multiplication)을 다음과 같이 정의한다.", "<p>정의 2.1.6 \\( t \\in \\mathbb{R} \\) 에 대하여<p>\\( \\left(a_{1}, a_{2}\\right)+\\left(b_{1}, b_{2}\\right)=\\left(a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2}\\right) \\)<caption>(2.1.1)</caption></p><p>\\( \\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right)+\\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\\right)=\\left(a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2}, a_{3}+b_{3}\\right) \\)<caption>(2.1.2)</caption></p><p>\\( t\\left(a_{1}, a_{2}\\right)=\\left(t a_{1}, t a_{2}\\right) \\)<caption>(2.1.3)</caption></p><p>\\( t\\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right)=\\left(t a_{1}, t a_{2}, t a_{3}\\right) \\)<caption>(2.1.4)</caption></p>이렇게 정의한 연산, 합과 실수곱은 다음의 기본 성질을 만족한다.", "</p><p>정리 2.1.7 \\( A, B, C \\in \\mathbb{R}^{2}\\left(\\right. \\)", "또는 \\( \\left.\\", "mathbb{R}^{3}\\right) \\)이고 \\( t_{1}, t_{2}, t \\in \\mathbb{R} \\)일 때<p>가. \\", "( (A+B)+C=A+(B+C) \\)</p><p>나. \\", "( A+B=B+A \\)</p><p>다. \\", "( A+O=A \\)</p><p>라. \\", "( A+((-1) A)=O \\)</p><p>마. \\", "( \\left(t_{1} t_{2}\\right) A=t_{1}\\left(t_{2} A\\right)=t_{2}\\left(t_{1} A\\right) \\)</p><p>바. \\", "( t(A+B)=t A+t B \\)</p><p>사. \\", "( \\left(t_{1}+t_{2}\\right) A=t_{1} A+t_{2} A \\)</p><p>아. \\", "( 1 A=A \\)</p></p><p>증명.", "여기서는 (바)를 증명하고 나머지 증명은 생략한다.", "만일 \\( A=\\left(a_{1}, a_{2}\\right) \\), \\( B= \\left(b_{1}, b_{2}\\right) \\in \\mathbb{R}^{2} \\)이고 \\( t \\in \\mathbb{R} \\)일 때, \\[ \\begin{aligned} t(A+B) &=t\\left(a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2}\\right) ~~~~~~~~~~~~ (식 2.1.1의 성질)\\\\ &=\\left(t\\left(a_{1}+b_{1}\\right), t\\left(a_{2}+b_{2}\\right)\\right)~~~~ (식 2.1.3의 성질) \\\\ &=\\left(t a_{1}+t b_{1}, t a_{2}+t b_{2}\\right)~~~~~~~~~~~~~~ (실수의 성질) \\\\ &=\\left(t a_{1}, t a_{2}\\right)+\\left(t b_{1}, t b_{2}\\right) ~~~~~~~~~~ (식 2.1.1의 성질) \\\\ &=t\\left(a_{1}, a_{2}\\right)+t\\left(b_{1}, b_{2}\\right)~~~~~~~~~~~~ (식 2.1.3의 성질) \\\\ &=t A+t B \\end{aligned} \\]</p><p>(라)번 성질, 즉 \\( (-1) A \\)는 덧셈 \\( + \\)에 대한 \\( A \\)의 역원으로서 \\( -A \\)로 나타내고 \\( A+(-B) \\)를 \\( A-B \\)로 쓰기로 약속한다. 기하학적으로 \\( t A \\)는 원점과 점 \\( A \\)를 지나는 직선 위의 한 점으로 \\( t>", "0 \\)일 때는 원점으로부터 \\( A \\)의 방향이고, \\( t<0 \\)일 때는 \\( A \\)의 반대 방향이다.", "</p><p>예를 들면, \\( A \\)가 \\( (2,1) \\)일 때 \\( 3 A=(3 \\cdot 2,3 \\cdot 1)=(6,3) \\)이고 \\( -3 A=((-3) \\cdot 2,(-3) \\cdot 1)=(-6,-3) \\)이다(그림2.1-6).", "그러므로, \\( 3 A \\)와 \\( -3 A \\)는 반대 방향 위에 놓여있다.", "</p><h2>두 점 사이의 거리</h2><p>3차원 공간의 점 \\( A\\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right) \\)에 대하여 \\( A \\)의 크기(norm) \\( \|A\| \\)를 원점과 \\( A \\) 사이의 거리로 정의한다.", "즉, \\[ \|A\|=\\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}} . \\]", "두 점 \\( A\\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right) \\)와 \\( B\\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\\right) \\) 사이의 거리(distance)는 \\[ \|A-B\|=\\sqrt{\\left(a_{1}-b_{1}\\right)^{2}+\\left(a_{2}-b_{2}\\right)^{2}+\\left(a_{3}-b_{3}\\right)^{2}} \\] 으로 주어진다.", "마찬가지로, 평면 위의 두 점 \\( A\\left(a_{1}, a_{2}\\right) \\)와 \\( B\\left(b_{1}, b_{2}\\right) \\)가 주어질 때, \\[ \|A\|=\\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}} \\] 이고 \\[ \|A-B\|=\\sqrt{\\left(a_{1}-b_{1}\\right)^{2}+\\left(a_{2}-b_{2}\\right)^{2}} \\] 으로 주어진다.", "</p><p>예제 2.1.8 \\( A(-1,2,7) \\)에서 \\( B(-3,1,5) \\)까지의 거리는 \\[ \|A-B\|=\\sqrt{(-3+1)^{2}+(1-2)^{2}+(5-7)^{2}}=\\sqrt{4+1+4}=3 \\] 이다.", "</p><p>예제 2.1.9 \\( t \\in \\mathbb{R} \\)이고 \\( A\\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right) \\in \\mathbb{R}^{3} \\)일 때 \\( \|t A\|=\|t\|\|A\| \\)임을 보여라.", "</p><p>풀이. \\", "[ \\begin{aligned} \|t A\| &=\\left\|\\left(t a_{1}, t a_{2}, t a_{3}\\right)\\right\| \\\\ &=\\sqrt{\\left(t a_{1}\\right)^{2}+\\left(t a_{2}\\right)^{2}+\\left(t a_{3}\\right)^{2}} \\\\ &=\\sqrt{t^{2} a_{1}^{2}+t^{2} a_{2}^{2}+t^{2} a_{3}^{2}} \\\\ &=\\sqrt{t^{2}\\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}\\right)} \\\\ &=\\sqrt{t^{2}} \\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}=\|t\|\|A\| . \\end{aligned} \\]", "</p> <h2>실수의 완비성</h2><p>다음은 실수 집합 \\( \\mathbb{R} \\)의 중요한 성질로서 유리수 집합 \\( \\mathbb{Q} \\)와 구별되는 것이다.", "</p><p>정리 2.1.4 (실수의 완비성) 위로(아래로) 유계인 단조증가(단조감소)수열은 수렴하고 그것의 극한은 실수이다.", "</p><p>최소 상계공리에 의하여 유계인 단조증가 수열집합의 상한이 존재하고, 그 상한은 실수이다.", "더 나아가서 그 상한이 바로 수열의 극한임을 보일 수 있다.", "증명은 부록에 남긴다.", "</p><p>그러나 유리수는 완비성을 만족하지 않는다.", "유리수의 집합은 극한에 대해서 닫혀있지 않기 때문이다.", "예를 들어, \\( \\sqrt{2} \\)로 수렴하는 유리수 수열 \\( x_{1}=1.4, x_{2}=1.41, x_{3}=1.414, x_{4}=1.4142, x_{5}=1.41421, x_{6}=1.414213, \\cdots \\)을 생각해 보자.", "이 유리수 수열은 분명히 증가수열이면서 유계이다.", "그러나 그것의 극한인 \\( \\sqrt{2} \\)는 유리수가 아니다.", "</p><p>예제 2.1.5 수열 \\( \\left\\{a_{n}\\right\\} \\)이 \\( a_{1}=2, a_{n+1}=\\frac{1}{2}\\left(a_{n}+6\\right) \\)을 만족하는 수열일 때 이 수열이 수렴함을 보이고 그 극한을 구하여라.", "</p><p>풀이.", "<p>\\( a_{1}=2, \\quad a_{2}=\\frac{1}{2}(2+6)=4, \\quad a_{3}=\\frac{1}{2}(4+6)=5, \\quad a_{4}=\\frac{1}{2}(5+6)=5.5, \\quad a_{5}=5.75, \\quad a_{6}=5.875, \\quad a_{7}=5.9375, \\quad a_{8}=5.96875, \\quad a_{9}=5.984375 \\).", "</p><p>이 수열의 앞 몇 항들은 증가하면서 그림2.1-4에서처럼 6에 접근하고 있음을 볼 수 있다.", "이제 모든 항들이 증가하고 있음을 보이기 위하여 수학적 귀납법을 이용하였다.", "</p><p>\\( n=1 \\)일 때 \\( a_{1}<a_{2} \\)이므로 명백하다.", "</p><p>\\( n=k \\)일 때 \\( a_{k}<a_{k+1} \\)이 성립한다고 가정하면 \\( a_{k}+6<a_{k+1}+6 \\)이고 따라서 \\[ \\frac{1}{2}\\left(a_{k}+6\\right)<\\frac{1}{2}\\left(a_{k+1}+6\\right) \\] 이다.", "</p><p>그러므로 \\( n=k+1 \\)일 때 \\( a_{k+1}<a_{k+2} \\)가 성립하므로 모든 자연수 \\( n \\)에 대해서 \\( a_{n}<a_{n+1} \\)이 성립한다.", "</p><p>마찬가지로 수학적 귀납법에 의하여 모든 \\( a_{n}<6 \\)임을 보일 수 있다.", "그러므로 실수의 완비성에 의하여 이 수열은 극한을 갖는다.", "이제 그 극한을 찾아보자. \\", "[ L=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n} \\] 이라 하자.", "그러면 \\[ L=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n+1}=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{2}\\left(a_{n}+6\\right)=\\frac{1}{2}\\left(\\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}+6\\right) \\] 이므로 \\[ L=\\frac{1}{2}(L+6) \\] 임을 알 수 있다.", "따라서 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=6 \\)이다.", "</p></p><h2>좌표공간</h2><p>앞에서 언급하였듯이 직선에서 원점과 단위길이가 정해지면 이 직선 위의 한 점은 하나의 실수로 대응된다.", "이렇게 해서 직선과 실수의 집합 \\( \\mathbb{R} \\)간에는 일대일 대응 관계가 이루어진다.", "평면 위의 점의 집합 또한 그림2.1-5에서처럼 모든 실수의 순서쌍과 일대일 대응을 이룬다.", "이런 이유로 좌표평면의 집합을 \\[ \\mathbb{R}^{2}=\\{(x, y) \\mid x, y \\in \\mathbb{R}\\} \\] 으로 나타낸다.", "</p><p>이와 마찬가지로 그림2.1-5에서처럼 공간 속의 한 점 \\( P \\)에 대해서도 직교좌표계를 도입하여 \\( x \\)-축, \\( y \\)-축, \\( z \\)-축에 대응하는 세 실수의 순서쌍 \\( (a, b, c) \\)로 표시할 수 있고, 공간의 진체 집합을 \\[ \\mathbb{R}^{3}=\\{(x, y, z) \\mid x, y, z \\in \\mathbb{R}\\} \\] 로 표시한다.", "또한, 원점을 \\( O=(0,0,0) \\)으로 표시한다.", "</p> <p>중세 신학교의 교과과목을 보면 수학과 기하학이 구별되어 있었다.", "이 때 수학이란 정수론을 위주로 하는 대수학이었으며 기하학은 단지 눈금 없는 직선자와 컴퍼스만을 이용하여 설명하는 유클리드 기하학이 전부였다.", "그러다가 실수의 개념이 정립되면서 데카르트는 직선 위에 실수를 대응시키고 평면 위의 점을 두 실수의 순서쌍으로 대응시키면서 평면도형을 좌표들로 표현하게 되었다.", "이러한 방법으로 공간도형까지도 3차원 공간의 좌표로 표현하고 해석기하학으로 발전하여 기하학은 수학 속에 편입되었다.", "실수는 수학을 발전시킨 근원의 샘이다.", "덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 포함한 연산에서 대수학의 기초가 생겨났으며, 실수의 부분집합들 간의 합집합과 공통집합의 연산에 의한 열린집합과 닫힌집합으로부터 위상수학이 탄생하였다.", "더 나아가서, 평면과 공간의 좌표 표현으로부터 미분적분을 이용하여 해석학과 기하학의 성질들이 연구되고 있다.", "자연현상에서 길이, 질량, 시간, 전기량, 밀도, 에너지, 온도 등은 실수값으로 표현되며 이것들을 스칼라량이라 부른다.", "반면 힘, 속도, 가속도, 전자기장 등은 크기와 방향에 의하여 공간좌표로 표현되며 벡터량이라 부른다.", "</p> <h1>2.2 극함수와 벡터함수</h1><p>이제까지 함수를 \\( y=f(x) \\) 꼴로 표현해 왔다.", "그러나 이러한 형태의 함수는 모든 곡선을 나타내는데 불편한 점이 많다.", "예컨대, 원점을 중심으로 반지름이 1인 원의 방정식은 \\( x \\)와 \\( y \\)에 의하여 \\[ x^{2}+y^{2}=1 \\] 로 나타낸다.", "이 방정식은 하나의 함수 \\( y=f(x) \\) 꼴은 아니지만 두 개의 함수 \\[ y=\\sqrt{1-x^{2}} \\text { 과 } y=-\\sqrt{1-x^{2}} \\] 의 그래프로 나누어 나타낼 수 있다.", "일반적으로 방정식 \\[ F(x, y)=C(C \\text { 는 상수 }) \\] 의 그래프의 일부분을 함수 \\( y=f(x) \\) 꼴로 나타낼 수 있을 때 이 방정식이 함수 \\( f \\)를 음함수적(implicitly)으로 정의한다고 한다.", "이 때, 음함수적으로 나타내는 방정식과 구별하기 위하여 함수 \\( y=f(x) \\)를 양함수(explicit function)라 부르기도 한다.", "또한, 이 원을 구간 \\( I=[0,2 \\pi] \\) 위의 점 \\( t \\)에 대하여 \\[ x=\\cos t, y=\\sin t, \\quad t \\in I \\] 로 표현할 수 있다.", "일반적으로 \\[ x=g(t), y=h(t), \\quad t \\in I \\] 로 표현하는 함수를 매개함수(parametric function)라 부르고, 주어진 변수 \\( t \\)를 매개변수(parameter)라 부른다.", "또한, 그래프 \\[ \\{(g(t), h(t)) \\mid t \\in I\\} \\] 로 나타나는 곡선을 매개곡선(parametric curve)이라 한다.", "</p><h2>극좌표</h2><p>직교좌표계는 평면의 한 점을 두 수직 축에 대한 위치로서 표현한다.", "이제 다른 좌표계로 표현해 보자.", "하나의 기점 \\( O \\)와 기선 \\( l \\)이 주어지면 기점으로부터 점의 위치 까지의 거리 \\( r \\)과 기선으로부터 점까지의 회전각 \\( \\theta \\)를 이용하여 그 점의 위치를 표현하는 방법으로 다음과 같은 극좌표 \\( (r, \\theta) \\)가 있다.", "</p><p>평면 위의 한 점 \\( O \\)를 잡는다.", "그 다음에 \\( O \\)에서 시작하는 반 직선 \\( l \\)를 그린다.", "이 때 \\( O \\)를 기점(pole), 반 직선 \\( l \\)을 기선(polar axis)이라고 한다.", "기점 \\( O \\)를 직교좌표계의 원점과 일치시키고 이 기선을 항상 오른쪽으로 수평하게 그리고 직교좌표에서 양의 \\( x \\)-축과 일치시키자. \\", "( P \\)가 평면 안의 임의의 점이면 \\( r \\)을 \\( O \\)에서 \\( P \\)까지의 거리라 하고 그림2.2-13에서처럼 \\( \\theta \\)를 기선과 직선 \\( O P \\) 사이의 각이라 하자.", "이 때 순서쌍 \\( (r, \\theta) \\)를 점 \\( P \\)의 극좌표(polar coordinates)라 한다.", "</p><p>\\( \\theta \\)가 기선으로부터 반시계 방향으로 측정되면 \\( \\theta \\)는 양이고 시계방향으로 측정되면 음으로 한다. \\", "( P=(0,0) \\)이면 \\( r=0 \\)이고 \\( (0, \\theta) \\)는 임의의 값 \\( \\theta \\)에 대한 기점을 나타내는 것으로 한다.", "</p><p>극좌표 \\( (r, \\theta) \\)의 의미를 \\( r \\)이 음인 경우에 다음과 같이 확장한다.", "점 \\( (r, \\theta) \\)와 점 \\( (-r, \\theta) \\)는 그림2.2-14에서와 같이 \\( O \\)를 지나는 같은 직선 위에 놓여 있고 \\( O \\)로부터 똑같은 거리 \\( \|r\| \\)에 있으며 \\( O \\)의 반대편 위에 있는 것으로 한다. \\", "( r<0 \\)이면 \\( (\|r\|, \\theta) \\)의 기점에 대하여 대칭인 점을 나타낸다.", "따라서, \\( (r, \\theta+\\pi) \\)와 \\( (-r, \\theta) \\)는 똑같은 점을 의미한다.", "</p><p>직교좌표계에서 각 점은 오직 하나의 표현을 갖지만 극좌표계에서는 하나의 점은 여러 개의 표현을 갖는다.", "</p> <h2>두 벡터의 평행</h2><p>다음으로 벡터의 방향을 구체적으로 생각해 보자.", "벡터 \\( A(2,3) \\)를 포함하는 직선 \\( l \\)의 기울기는 \\( m=\\frac{3}{2} \\)이다.", "한편 벡터 \\( 5 A=(5 \\cdot 2,5 \\cdot 3) \\)를 포함하는 직선의 기울기도 \\( m=\\frac{5 \\cdot 3}{5 \\cdot 2}=\\frac{3}{2} \\)이다.", "이러한 기하학적인 의미에서 두 벡터 \\( A \\)와 \\( 5 A \\)는 평행하다고 말한다.", "</p><p>일반적으로 두 벡터 \\( A \\)와 \\( B \\)에 대하여 \\[ B=t A \\] 인 실수 \\( t \\)가 존재하면 \\( A \\)와 \\( B \\)는 서로 평행(parallel)하다고 한다(그림2.1-11). 이 때 \\( t>", "0 \\)이면 \\( A \\)와 \\( B \\)는 같은 방향이라고 하고 \\( t<0 \\)이면 \\( A \\)와 \\( B \\)는 반대 방향이라고 한다.", "</p><p>정리 2.1.11 벡터 \\( A(\\neq 0) \\)와 같은 방향의 단위벡터는 \\( \\frac{A}{\|A\|} \\)이다.", "</p><p>증명. 어떤 양의 실수 \\( t \\)에 대하여 \\( B=t A \\)라 하자. \\( \|B\|=1 \\)이어야 하므로, 예제 2.1.9에 의하여 \\[ 1=\|B\|=\|t A\|=\|t\|\|A\|=t\|A\| \\] 이다. \\( t=\\frac{1}{\|A\|}>", "0 \\)이므로 \\( B=\\frac{A}{\|A\|} \\)는 \\( A \\)와 같은 방향의 단위벡터이다.", "</p><p>예제 2.1.12 벡터 \\( A=(1,2,3) \\)과 같은 방향의 단위벡터를 구하여라.", "</p><p>풀이.", "벡터 \\( A \\)의 크기는 \\( \|A\|=\\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}=\\sqrt{14} \\)이므로 벡터 \\( V=\\frac{A}{\|A\|}=\\left(\\frac{1}{\\sqrt{14}}, \\frac{2}{\\sqrt{14}}, \\frac{3}{\\sqrt{14}}\\right) \\)이 \\( A \\)와 같은 방향을 갖는 단위 벡터이다.", "</p><h2>벡터의 합에 대한 기하학적 의미</h2><p>벡터 \\( A+B \\)는 \\( A \\)의 종점에 \\( B \\)의 시점을 놓음으로써 얻을 수 있다.", "즉, 벡터 \\( A=\\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right) \\)의 종점에 벡터 \\( B=\\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\\right) \\)의 시점을 일치시키면 결과적으로 벡터 \\( A+B \\)의 종점이 \\( \\left(a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2}, a_{3}+b_{3}\\right) \\)인 벡터가 된다.", "마찬가지로, 두 벡터의 차 \\( A-B \\)는 합 \\( A+(-B) \\)로 생각할 수 있으므로 \\( A \\)의 종점에 \\( -B \\)의 시점을 놓음으로써 벡터 \\( A-B \\)를 나타낸다.", "</p><p>즉, \\( A-B \\)의 종점이 \\( \\left(a_{1}-b_{1}, a_{2}-b_{2}, a_{3}-b_{3}\\right) \\)인 벡터이다.", "그러므로 \\( A, B \\)가 0이 아닌 벡터이고 서로 평행이 아니라면 \\( A+B \\) (또는 \\( A-B) \\)는 두 벡터 \\( A \\)와 \\( B( \\) 또는 \\( -B) \\)에 의하여 결정되는 평행사변형의 대각선 방향과 길이로 결정한다(그림2.1-12).", "</p> <h2>유계집합</h2><p>\\( S \\)를 공집합이 아닌 \\( \\mathbb{R} \\)의 부분집합이라 하자.", "집합 \\( S \\)의 모든 원소 \\( x \\)에 대하여 \\( x \\leq u \\)인 실수 \\( u \\)가 존재할 때 \\( S \\)는 위로 유계(bounded above)이다라고 하고 \\( u \\)를 집합 \\( S \\)의 상계(upper bound)라 부른다.", "</p><p>마찬가지로 \\( S \\)의 모든 원소 \\( x \\)에 대하여 \\( x \\geq l \\)인 실수 \\( l \\)이 존재할 때 \\( S \\)는 아래로 유계(bounded below)이다라고 한다.", "이 때 \\( l \\)을 집합 \\( S \\)의 하계(lower bound)라 부른다.", "</p><p>특히 \\( S \\)가 위로 유계이고 동시에 아래로 유계일 때 \\( S \\)를 유계집합(bounded set) 또는 유계(bounded)이다라고 한다.", "이 경우 \\( \|u\| \\)와 \\( \|l\| \\) 중에서 큰 수를 \\( M \\)이라고 하면 \\( S \\)의 모든 원소 \\( x \\)에 대하여 \\( \|x\| \\leq M \\), 즉 \\[ S \\subset[-M, M] \\] 을 만족한다.</p><p>예제 2.1.2 (1) 자연수 집합 \\( \\mathbb{N} \\)은 \\( 0,1,-10 \\)에 의하여 아래로 유계이므로 \\( 0,1,-10 \\) 등은 하계들이다. 따라서 상계나 하계는 유일하지 않다. 그러나 \\( \\mathbb{N} \\)은 위로 유계는 아니다. 왜냐하면 어떠한 자연수 \\( n \\)을 택하더라도 \\( n \\)보다 큰 수, 예를 들면 \\( n+1 \\)이 있기 때문이다.<p>(2) \\( S=(1,5]", "=\\{x \\in \\mathbb{R} \\mid 1<x \\leq 5\\} \\)일 때 \\( S \\)의 모든 원소는 \\( 1<x \\leq 5 \\)를 만족하므로 5는 \\( S \\)의 상계이고 1은 \\( S \\)의 하계이다.", "즉 \\( S \\)는 유계이고 \\( S \\subset[-5,5] \\)이다.", "</p></p><h2>상한과 하한</h2><p>집합 \\( A=\\{1,2,3,4,5\\} \\) 의 최대값은 5이고, 집합 \\[ B=\\left\\{\\frac{1}{n} \\mid n \\in \\mathbb{N}\\right\\}=\\left\\{1, \\frac{1}{2}, \\frac{1}{3}, \\frac{1}{4}, \\cdots\\right\\} \\] 의 최대값은 1이다.", "그러나 집합 \\[ C=\\left\\{1-\\frac{1}{n} \\mid n \\in \\mathbb{N}\\right\\}=\\left\\{0, \\frac{1}{2}, \\frac{2}{3}, \\frac{3}{4}, \\cdots\\right\\} \\] 의 최대값은 존재하지 않는다.", "그렇지만 1은 집합 \\( C \\)의 상계이고 또 어떠한 다른 상계보다도 작은 수이다.", "이와 같이 일반적으로 집합 \\( S \\)의 상계 중에서 가장 작은 수를 상한(least upper bound, supremum)이라 하고 \\[ \\sup S \\] 로 표시한다.", "</p><p>위의 예에서 집합 \\( C \\)의 상한은 1, 즉 \\( \\sup C=1 \\)이다.", "마찬가지로 하계 중에서 가장 큰 수를 집합 \\( S \\)의 하한(greatest lower bound, infimum)이라 하고 \\[ \\inf S \\] 로 표시한다.", "만일 집합 \\( S \\)가 위로 유계가 아니면 \\[ \\sup S=+\\infty \\] 라고 쓴다.", "</p><p>이제 유리수 집합 \\( \\mathbb{Q} \\)의 부분집합 \\[ X=\\left\\{q \\in \\mathbb{Q} \\mid q^{2}<2\\right\\}=(-\\sqrt{2}, \\sqrt{2}) \\cap \\mathbb{Q} \\] 를 생각해 보자. \\", "( X \\)는 분명히 유계인 집합이지만 \\( X \\)의 상한인 \\( \\sqrt{2} \\)는 유리수가 아니다.", "하지만 실수의 집합에서는 그러한 현상은 일어나지 않는다.", "실수는 다음과 같은 성질이 있기 때문이다.", "증명은 부록에 남긴다.", "</p><p>정리 2.1.3 (최소 상계공리) 위로(아래로) 유계이고 공집합이 아닌 실수의 부분 집합은 실수인 상한(하한)을 갖는다.", "</p> <h2>일변수 이차원 벡터값 함수의 그래프</h2><p>\\( D \\)가 실수의 한 구간이고 일변수 벡터값 함수 \\( X: D \\longrightarrow E \\subset \\mathbb{R}^{2} \\) (또는 \\( E \\subset \\) \\( \\mathbb{R}^{3} \\) )가 \\( D \\)에서 연속이면 \\( X \\)를 곡선(curve)이라고 한다.", "이 때 \\( E \\subset \\mathbb{R}^{2} \\)이면 \\( X \\)를 평면곡선(plane curve) \\( \\left(E \\subset \\mathbb{R}^{3}\\right. \\)이면 공간곡선(space curve))이라고 부른다.", "만약 \\( X \\) 의 성분함수를 \\( f_{1}, f_{2} \\)이라 할 때 \\[ x=f_{1}(t), y=f_{2}(t), a \\leq t \\leq b \\] 라고 쓰고 이것을 곡선 \\( X \\)의 매개함수(parametric function)이라고 부른다.", "이 때 변수 \\( t \\)를 매개변수(parameter)라고 한다.", "</p><p>예제 2.2.9 한 직선을 따라 반지름이 \\( r \\)인 원 모양의 바퀴가 굴러갈 때 원주 위의 한 점 \\( P \\)가 그리는 자취(곡선)를 사이클로이드(cycloid)라 한다.", "이 매개함수를 구하고, 이 곡선을 그려라.", "</p><p>풀이.", "그림2.2-21에서처럼 원주 위의 주어진 점 \\( P \\)가 시점 \\( (0,0) \\)이 되도록 좌표계를 도입한다.", "바퀴가 굴러감에 따라 호 \\( \\widehat{P Q} \\)의 길이는 그림2.2-21에서처럼 \\( r \\theta \\)가 되고, \\( \\theta \\)를 매개변수라 하면 \\( P(x, y) \\)의 위치는 \\[ x=r \\theta-r \\sin \\theta, y=r-r \\cos \\theta \\] 를 만족한다.", "또는, 호 \\( \\overparen{A B} \\)의 길이를 매개변수 \\( t \\)로 나타내면 \\[ r \\theta=t \\] 이므로 \\( \\theta \\)를 \\( t \\)로 풀어 위의 식에 대입하면 \\[ x=t-r \\sin \\left(\\frac{t}{r}\\right), y=r-r \\cos \\left(\\frac{t}{r}\\right) \\] 도 같은 곡선의 매개함수이다.", "이 사이클로이드의 곡선은 그림2.2-22과 같다.", "</p><p>예제 2.2.10 곡선 \\[ x=2 t-1, y=t+1, \\quad 0 \\leq t \\leq 2 \\] 를 그려라.", "</p><p>풀이.", "방정식 \\( y=t+1 \\)에서 \\( t=y-1 \\)이다. \\", "[ x=2 t-1=2(y-1)-1=2 y-3 \\] 이므로 직선의 식 \\( x-2 y+3=0 \\)을 만족한다. \\", "( 0 \\leq t \\leq 2 \\)이므로 \\[ -1 \\leq x=2 t-1 \\leq 3, \\quad 1 \\leq y=t+1 \\leq 3 \\] 이다.", "따라서, 이 곡선은 두 점 \\( (-1,1) \\)과 \\( (3,3) \\)를 잇는 선분이다(그림 2.2-23).", "</p><p>예제 2.2.11 포물선 \\( y=x^{2} \\)을 따라 점 \\( (2,4) \\)에서 점 \\( (0,0) \\)에 이르는 곡선의 매개함수를 구하여라.", "</p><p>풀이.", "먼저 \\( (0,0) \\)에서 \\( (2,4) \\)에 이르는 곡선의 매개함수는 \\[ x=t, y=t^{2}, \\quad 0 \\leq t \\leq 2 \\] 로 나타낼 수 있다.", "이제 \\( t=2-s \\)라 하면 \\( s=0 \\)일 때 \\( t=2 \\)이고, \\( s=2 \\)일 때 \\( t=0 \\)이다.", "그러므로 \\[ x=t=2-s, y=t^{2}=(2-s)^{2}, 0 \\leq s \\leq 2 \\] 이고, \\( s \\)를 \\( t \\)로 다시 바꾸어 쓰면 \\[ x=2-t, y=(2-t)^{2}, \\quad 0 \\leq t \\leq 2 \\] 이다(그림2.2-24).", "</p><p>예제 2.2.12 이차원 벡터값 함수 \\[ X(t)=\\cos t \\mathbf{i}+\\sin t \\mathbf{j}, \\quad t \\in[0,2 \\pi] \\] 가 나타내는 곡선을 그려라.", "</p><p>풀이.", "임의의 \\( t \\in[0,2 \\pi] \\)에 대하여 평면의 점 \\( X(t) \\)의 크기는 \\[ \|X(t)\|=\\sqrt{\\cos ^{2} t+\\sin ^{2} t}=1 \\] 이다.", "따라서 함수 \\( X \\)의 치역은 원점이 중심이고 길이가 1인 단위원이다.", "또한 \\( t \\)가 증가함에 따라 \\( X(t) \\)는 반시계 방향으로 원을 그린다(그림 2.2-25).", "</p> <h2>공간 속의 직선</h2><p>이제 두 벡터의 내적을 이용하여 공간의 직선에 대한 성질들을 알아보자. \\", "( \\mathbb{R}^{3} \\)내의 한 점 \\( P \\)를 지나고 방향이 벡터 \\( A(\\neq 0) \\)인 직선 \\( l \\) 위의 임의의 한 점을 \\( X \\)라 하면 벡터 \\( X-P \\)는 \\( A \\)와 평행하므로 적당한 상수 \\( t \\in \\mathbb{R} \\)에 대하여 \\( X-P=t A \\)가 성립한다(그림2.4-44).", "그러므로 \\( X=P+t A \\)가 된다.", "임의의 실수 \\( t \\in \\mathbb{R} \\)에 대하여 \\( X=P+t A \\)는 \\( X-P=t A \\)를 만족하므로 직선 \\( l \\) 위의 점이다.", "이것은 3차원 공간의 부분집합 \\( \\{P+t A \\mid t \\in \\mathbb{R}\\} \\)가 직선 \\( l \\)과 일치함을 의미한다.", "따라서 \\( \\mathbb{R}^{3} \\)내의 한 점 \\( P \\)를 지나고 방향이 \\( A(\\neq 0) \\)인 직선의 방정식은 \\[ X=X(t)=P+t A, t \\in \\mathbb{R} \\] 로 주어진다.", "이 때 \\( t \\)를 직선 \\( l \\)의 매개변수(parameter)라고 한다.", "여기에서 \\( X= (x, y, z), P=\\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\\right), A=\\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right) \\)라 하면 직선 \\( l \\)의 식은 \\[ l:(x, y, z)=\\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\\right)+t\\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right), t \\in \\mathbb{R} \\] 또는 \\[ x=p_{1}+t a_{1}, y=p_{2}+t a_{2}, z=p_{3}+t a_{3} \\] 로 쓸 수 있다.", "또한, 매개변수 \\( t \\)를 소거하면 \\[ \\frac{x-p_{1}}{a_{1}}=\\frac{y-p_{2}}{a_{2}}=\\frac{z-p_{3}}{a_{3}} \\] 가 된다.", "이 때 분모가 0이 되는 항은 분자도 0이어야 한다.", "</p><p>예제 2.4.9 두 점 \\( (1,2,3) \\)과 \\( (4,5,6) \\)을 지나는 직선의 방정식을 구하여라.", "</p><p>풀이.", "점 \\( P(1,2,3) \\)은 주어진 직선 위에 있다.", "그리고 이 직선의 방향은 \\( A=(4,5,6)-(1,2,3)=(3,3,3) \\)이므로 구하는 직선의 식은 \\[ (x, y, z)=P+t A=(1,2,3)+t(3,3,3) \\] 또는 \\[ x-1=y-2=z-3 \\] 이다.", "</p><p>예제 2.4.10 일변수 삼차원 벡터값함수 \\[ X(t)=(2+3 t) \\mathbf{i}+(-1+t) \\mathbf{j}-2 t \\mathbf{k}, t \\in \\mathbb{R} \\] 가 나타내는 곡선을 그려라.", "</p><p>풀이. \\", "( X \\)의 성분함수는 \\[ \\begin{array}{l} x=x(t)=2+3 t \\\\ y=y(t)=-1+t \\\\ z=z(t)=-2 t \\end{array} \\] 이다.", "이 때 \\[ (x, y, z)=(2,-1,0)+t(3,1,-2) \\] 가 성립하므로 \\[ X=P+t A \\] 의 꼴이 되어 이것은 점 \\( P(2,-1,0) \\)를 지나고 벡터 \\( A(3,1,-2) \\)와 평행인 직선의 방정식이다(그림2.4-45).", "</p><h2>공간 속의 평면</h2><p>한 직선은 두 점에 의하여 완전히 결정되는 것처럼 공간 속의 평면은 그 평면 위의 한 점과 그 평면에 수직인 벡터 \\( (\\neq 0) \\)에 의해서 결정된다.", "이제 \\( \\mathbb{R}^{3} \\)의 한 점 \\( P=\\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\\right) \\)를 지나고 벡터 \\( N=\\left(n_{1}, n_{2}, n_{3}\\right)(\\neq 0) \\)에 수직인 평면을 \\( S \\)라 하면, \\( S \\) 위의 임의의 점 \\( X=(x, y, z) \\)에 대해서 벡터 \\( X-P \\)는 \\( N \\)과 직교한다.", "따라서 \\( N \\cdot(X-P)=0 \\)을 만족한다.", "그러므로 다음과 같이 평면의 방정식을 정의한다 (그림2.4-46).", "</p><p>점 \\( P=\\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\\right) \\)을 지나고 벡터 \\( N=\\left(n_{1}, n_{2}, n_{3}\\right) \\)에 수직인 평면 \\( S \\)의 방정식은 \\[ (X-P) \\cdot N=0 \\] 으로 주어진다.", "이 때 벡터 \\( N \\)을 평면 \\( S \\)의 법선벡터(normal vector)라 한다.", "</p><p>만일 \\( X=(x, y, z), N=\\left(n_{1}, n_{2}, n_{3}\\right) \\)이라 하면 위의 식은 \\[ n_{1}\\left(x-p_{1}\\right)+n_{2}\\left(y-p_{2}\\right)+n_{3}\\left(z-p_{3}\\right)=0 \\] 또는 \\[ n_{1} x+n_{2} y+n_{3} z=d, \\] 단, \\( d=n_{1} p_{1}+n_{2} p_{2}+n_{3} p_{3} \\) 이다.", "</p><p>예제 2.4.11 점 \\( (-2,4,5) \\)를 지나고 \\( N=7 \\mathrm{i}-6 \\mathrm{k} \\)를 법선벡터로 갖는 평면의 방정식을 구하여라.", "</p><p>풀이. \\", "[ ((x, y, z)-(-2,4,5)) \\cdot(7,0,-6)=0 \\] 으로부터 \\[ 7 x-6 z=-44 . \\]</p> <h2>코시-슈바르츠 부등식</h2><p>다음의 부등식은 자주 인용이 되는 부등식으로서 두 벡터의 내적의 크기는 각각의 크기의 곱보다는 클 수 없음을 말해 준다.", "</p><p>정리 2.4.5 (코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz inequality)) 임의의 두 벡터 \\( A, B \\)에 대하여 \\[ \|A \\cdot B\| \\leq\|A\|\|B\| \\] 이 성립하고 등호가 성립할 필요충분조건은 \\( A \\)와 \\( B \\)가 서로 평행할 때이다.", "</p><p>증명.", "<p>만일 \\( A \\)와 \\( B \\)중의 하나가 영벡터이면 위의 부등식의 양변이 모두 0이므로 성립한다.", "</p><p>만일 \\( A \\)와 \\( B \\)가 모두 영벡터가 아니면, \\( \|\\cos \\theta\| \\leq 1 \\)이므로 정리 \\( 2.4 .2 \\)에 의하여 \\[ \|A \\cdot B\|=\|A\|\|B\|\|\\cos \\theta\| \\leq\|A\|\|B\| \\] 이 성립한다.", "</p><p>이제 등식이 성립할 필요충분조건을 찾아보자. \\", "( \|A \\cdot B\|=\|A\|\|B\| \\)이라 하면 \\[ \|\\cos \\theta\|=\\frac{\|A \\cdot B\|}{\|A\|\|B\|}=1 \\] 이 되어 \\( \\theta=0 \\) 또는 \\( \\pi \\)이다.", "따라서 \\( A \\)와 \\( B \\)는 서로 평행이다.", "</p><p>역으로, \\( A \\)와 \\( B \\)가 서로 펑행이라고 하자.", "그 때 적당한 실수 \\( t \\)가 존재하여 \\( B= \\) \\( t A \\)이다.", "그러면 내적의 기본성질에 의하여 \\[ \\begin{aligned} \|A \\cdot B\| &=\|A \\cdot(t A)\|=\|t(A \\cdot A)\| \\\\ &=\|t\|(A \\cdot A)=\|t\|\|A\|^{2} \\\\ &=\|A\|(\|t\|\|A\|)=\|A\|\|t A\|=\|A\|\|B\| \\end{aligned} \\] 가 성립한다.", "</p></p><p>예제 2.4.6 두 벡터 \\( A=(1,3,2) \\)와 \\( B=(-1,1,0) \\)에 대하여 코시-슈바르츠 부등식이 성립함을 확인해 보아라.", "</p><p>풀이. \\", "( A \\cdot B=-1+3=2,\|A\|=\\sqrt{1+9+4}=\\sqrt{14},\|B\|=\\sqrt{2} \\)이므로 \\[ A \\cdot B=2 \\leq 2 \\sqrt{7}=\|A\|\|B\| \\] 가 되어 성립한다.", "</p><p>다음 정리는 삼각형에서 한변의 길이는 다른 두 변의 길이의 합보다 작다는 것을 말해 준다.", "</p><p>정리 2.4.7 (삼각부등식(triangle inequality)) 임의의 두 벡터 \\( A, B \\)에 대하여 \\[ \|A+B\| \\leq\|A\|+\|B\| \\] 가 성립하고 등호가 성립하기 위한 필요충분조건은 \\( A \\)와 \\( B \\)가 같은 방향으로 나란할 때이다.", "</p><p>증명.", "<p>내적의 기본성질에 의하여 \\( \|A+B\|^{2}=(A+B) \\cdot(A+B)=\|A\|^{2}+2 A \\cdot B+\|B\|^{2} \\)이다.", "코시-슈바르츠 부등식을 여기에 적용하면 \\[ \|A+B\|^{2} \\leq\|A\|^{2}+2\|A\|\|B\|+\|B\|^{2}=(\|A\|+\|B\|)^{2} \\] 가 성립한다.", "</p><p>한편, 등호가 성립하면 위에서 \\( A \\cdot B=\|A\|\|B\| \\)인 경우이므로 \\( \\cos \\theta=1 \\)일 때이다.", "즉, \\( \\theta \\)는 0 이고 \\( A \\)와 \\( B \\)는 같은 방향으로 나란할 때이다.", "그 역도 쉽게 증명되므로 생략한다.", "</p></p><h2>정사영</h2><p>이제 벡터의 내적에 대한 기하학적인 의미를 알아보기 위해 먼저 두 벡터 \\( X, Y \\neq 0 \\)에 대하여, \\( Y \\)와 나란한 벡터 중에서 \\( X \\)와의 거리가 가장 가까운 벡터 \\( Z \\)를 구해보자(그림2.4-43).", "</p><p>이제 벡터 \\( Z \\)가 \\( Y \\)와 나란하다는 가정으로부터 적당한 \\( t \\in \\mathbb{R} \\)에 대하여 \\( Z=t Y \\)이므로 \\( Z \\)와 \\( X \\)의 거리 \\[ \|t Y-X\| \\] 의 값이 최소인 \\( Z=t Y \\)를 구하면 된다.", "</p><p>한편 \\( f(t) \\)를 \\( Z \\)와 \\( X \\)의 거리의 제곱이라 하면, 내적의 기본성질에 의해서 \\[ \\begin{aligned} f(t) &=\|t Y-X\|^{2} \\\\ &=(t Y-X) \\cdot(t Y-X) \\\\ &=(Y \\cdot Y) t^{2}-2(Y \\cdot X) t+(X \\cdot X) \\end{aligned} \\] 를 얻는다.", "</p><p>위의 \\( f(t) \\)는 \\( t \\)에 관한 2차 다항식이고 최고차 항의 계수 \\( Y \\cdot Y \\)는 양수이므로 \\( f^{\\prime}(t)=0 \\)일 때 최소값을 가진다.", "그러므로, \\( 2(Y \\cdot Y) t-2(Y \\cdot X)=0 \\), 또는 \\( t=\\frac{Y \\cdot X}{Y \\cdot Y} \\)일 때 \\( f(t) \\)는 최소가 되며 따라서 \\[ Z=t Y=\\frac{Y \\cdot X}{Y \\cdot Y} Y \\] 이다.", "</p><p>이렇게 얻어진 벡터 \\[ Z=\\frac{Y \\cdot X}{Y \\cdot Y} Y \\] 를 \\( X \\)의 \\( Y \\)에 대한 정사영(orthogonal projection)이라고 하고 \\[ P_{Y}(X)=\\frac{Y \\cdot X}{Y \\cdot Y} Y \\] 라 쓴다.", "</p><p>예제 2.4.8 \\( X=(2,1,-1), Y=(1,3,4) \\)일 때 정사영 \\( P_{Y}(X) \\)를 구하여라.", "</p><p>풀이. \\", "( Y \\cdot X=2+3-4=1 \\)이고 \\( Y \\cdot Y=1+9+16=26 \\)이므로 \\( P_{Y}(X)=\\frac{1}{26} Y= \\frac{1}{26}(1,3,4) \\)를 얻는다.", "</p> <h1>2.1 실수와 좌표공간</h1><p>흔히 수(number)라고 하면 자연수(natural number) 혹은 정수(integer)를 떠올린다.", "그러나 인류의 문화가 발달해 감에 따라 정수들의 비(ratio)를 계산하게 되면서 분수(fraction)를 생각하고 유리수(rational number)의 개념이 생겨나게 되었다.", "유리수는 \\( m, n \\)이 정수이고 \\( n \\neq 0 \\)일 때 \\[ r=\\frac{m}{n} \\] 의 꼴로 표현되는 수이다.", "예를 들면, \\[ \\frac{1}{2},-\\frac{3}{7}, 46=\\frac{46}{1}, 0.17=\\frac{17}{100} \\] 들과 같은 형태의 수이다.", "또한, 순환하는 무한소수는 유리수이고(예제 5.1.8), 역으로 유리수는 순환하는 무한소수로 표현된다(연습문제 4).", "그러나 \\( \\sqrt{2} \\)가 방정식 \\[ x^{2}=2 \\] 를 만족하는 수이지만 두 정수의 분수로는 표현할 수 없는 수라는 사실이 그리스 수학자들에게 알려지게 되면서 수에 대한 개념이 확장되었다.", "예컨데, 그림2.1-1처럼 한 변이 1인 정사각형의 대각선의 길이가 \\( \\sqrt{2} \\)이다.", "이 \\( \\sqrt{2} \\)가 유리수가 아니라는 증명은 이미 고등학교 수학과정에서 잘 알려져 있다.", "그러므로, 분수의 형태인 유리수와는 다른 수가 분명히 존재함을 보여주고 있다.", "따라서 \\( \\sqrt{2} \\) 처럼 더 이상 유리수가 아닌 수들, 예를 들면, \\[ \\sqrt{3}, \\sqrt[3]{2}, \\pi, \\sin 1^{\\circ}, \\log _{10} 2, e \\] 등을 무리수(irratioal number)라 지칭하였으며, 이 무리수들은 순환하지 않는 무한소수이다.", "모든 유리수와 무리수를 합하여 실수(real number)라 부르게 되었다.", "</p><p>이들의 집합을 일반적으로 다음과 같은 기호로 표시한다.", "</p><p>\\( \\mathbb{N} \\) : 자연수(natural number) 집합</p><p>\\( \\mathbb{Z} \\) : 정수(integer) 집합</p><p>\\( \\mathbb{Q} \\) : 유리수(rational number) 집합</p><p>\\( \\mathbb{R} \\) : 실수 (real number) 집합</p><h2>실선</h2><p>직선 위에 실수를 다음과 같이 대응시킨다.", "먼저 실수 0을 좌측에서 우측으로 그려진 직선 위의 고정된 한 점에 대응시키고 원점이라 부르자.", "음의 실수를 원점의 왼쪽의 점들에 양의 실수를 원점의 오른쪽의 점들에 대응시킨다.", "이렇게 실수를 일대 일 대응시킨 직선을 실선(real line)이라 부른다.", "</p><p>이제 실선 위의 두 점의 순서는 두 점에 대응한 두 실수 \\( x \\)와 \\( y \\)의 크기로 결정한다.", "즉, 두 실수 \\( x \\)와 \\( y \\)에 대해서 \\[ x<y \\] 는 실선에서 \\( x \\)에 대응한 점이 \\( y \\)에 대응하는 점의 왼쪽에 위치한다는 뜻이다.", "앞으로는 실선의 점을 그 점에 대응하는 실수로 표시한다.", "</p><h2>아르키메데스 공리</h2><p>중세의 유클리드 기하학에서 직선이 눈금을 갖지 않았기 때문에 주어진 선분의 길이를 측량하지는 않았으나 단지 컴퍼스의 두 발이 지정하는 단위를 가지고 원을 정의하고 선분을 분할하기도 하였다.", "따라서 컴퍼스에 의하여 결정된 단위에 적당한 정수 배를 하였을 때, 주어진 한 선분을 덮을 수 있다는 내용이 원래의 아르키메데스 공리였다.", "이제 단위를 1로 주어 이를 실선에 대응시켜 보자.", "</p><p>아르키메데스 공리(Archimedes Axiom): 임의의 양의 실수 \\( r \\)에 대하여 \\( r<n \\)인 양의 정수 \\( n \\)이 존재한다.", "</p><p>위의 아르키메데스 공리는 음의 실수에 대해서도 음의 정수의 존재를 쌍대적으로 말할 수 있다.", "</p><h2>유리수의 조밀성</h2><p>한편, 유리수 집합이 조밀하다 함은 임의의 실수와 유리수 사이의 거리가 아주 가깝다는 뜻이다.", "따라서 아르키메데스 공리를 이용하여 증명되는 다음 정리는 유리수 집합과 무리수 집합의 조밀성을 보여준다.", "</p><p>정리 2.1.1 (유리수와 무리수의 조밀성) 임의의 두 실수 \\( a \\)와 \\( b \\)사이에는 항상 유리수와 무리수가 존재한다(그림2.1-2).</p><p>", "증명. 임의의 실수구간 \\( (a, b) \\) 를 생각하자. \\( x=\\frac{a+b}{2} \\)라 하면 \\( b-x>0 \\)이다. \\( \\frac{1}{b-x}>", "0 \\)이므로 아르키메데스 공리에 의하여 \\[ \\frac{1}{b-x}<k<10^{m} \\] 을 만족하는 양의 정수 \\( k \\)와 \\( m \\)이 존재한다. 따라서 \\[ x-a=b-x>", "10^{-m} \\] 이다.", "만약 \\( x \\)의 소수점 이하 \\( m+1 \\)번째부터는 모두 0인 수를 \\( p \\)라 정의하면 \\[ \|x-p\|<10^{-m} \\] 이므로 \\( p \\)는 \\( a \\)와 \\( b \\)사이의 유리수이다.", "</p><p>위의 결과로부터 두 실수 \\( \\sqrt{2} a \\)와 \\( \\sqrt{2} b \\)사이에 유리수 \\( r \\)이 존재하므로 \\( a<\\frac{r}{\\sqrt{2}}< b \\)이다.", "따라서, \\( \\frac{r}{\\sqrt{2}} \\)는 구간 \\( (a, b) \\)안의 무리수이다.", "</p><p>그러므로 임의의 두 실수 \\( a \\)와 \\( b \\)사이에는 항상 유리수와 무리수가 존재한다.", "따라서 유리수 집합과 무리수 집합은 모두 조밀함을 알 수 있다.", "</p><p>임의의 실수 \\( r \\)과 아주 작은 양수 \\( \\epsilon>0 \\)이 주어지더라도 구간 \\( (r-\\epsilon, r+\\epsilon) \\)에는 유리수가 존재한다.", "이제 \\( r \\)이 임의로 주어진 실수라고 하자.", "그러면 \\( r \\)을 중심으로 하는 각 구간에 대해서<p>\\( (r-1, r+1) \\)에는 적어도 하나의 유리수가 존재하고 그 수를 \\( a_{1} \\)이라 하자.", "</p><p>\\( \\left(r-\\frac{1}{2}, r+\\frac{1}{2}\\right) \\)에도 적어도 하나의 유리수가 존재하고 그 수를 \\( a_{2} \\)라 하자.", "</p><p>\\( \\left(r-\\frac{1}{3}, r+\\frac{1}{3}\\right) \\)에도 적어도 하나의 유리수가 존재하고 그 수를 \\( a_{3} \\)라 하자.", "</p><p>이러한 과정을 계속하면 우리는 그 유리수들로 이루어진 수열 \\[ \\left\\{a_{n}\\right\\}_{n=1}^{\\infty} \\] 을 얻는다(그림 2.1-3).", "이 때 유리수 \\( a_{n} \\)은 구간 \\( \\left(r-\\frac{1}{n}, r+\\frac{1}{n}\\right) \\)에 들어 있으므로 \\( r \\)과의 거리가 \\( \\frac{1}{n} \\)보다 작다.", "따라서 \\( n \\)이 증가함에 따라 \\( a_{n} \\)은 \\( r \\)로 점점 접근하므로 결국 수열 \\( \\left\\{a_{n}\\right\\}_{n=1}^{\\infty} \\)은 \\( r \\)로 수렴하게 된다.", "</p></p><p>요약하면 어떠한 실수 \\( r \\)도 유리수 수열의 극한으로 쓸 수 있다.", "</p> <h2>직교좌표와 극좌표의 관계</h2><p>직교좌표와 극좌표사이의 관계는 무엇일까?", "평면 위의 점 \\( P \\)가 극좌표 \\( (r, \\theta) \\)와 직교좌표 \\( (x, y) \\)를 갖는다고 가정하자.", "삼각함수의 정의로부터 \\[ \\begin{array}{ll} x=r \\cos \\theta, & y=r \\sin \\theta, \\\\ r^{2}=x^{2}+y^{2}, & \\tan \\theta=\\frac{y}{x}, x \\neq 0 . \\end{array} \\]</p><p>예제 2.2.1 극좌표가 \\( \\left(3, \\frac{23 \\pi}{6}\\right) \\)인 점 \\( P \\)의 직교좌표를 구하여라.", "</p><p>풀이.", "직교좌표와 극좌표 사이의 관계식으로부터 \\[ \\begin{array}{l} x=r \\cos \\theta=3 \\cos \\frac{23 \\pi}{6}=3 \\cos \\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right)=3 \\cos \\frac{\\pi}{6}=\\frac{3 \\sqrt{3}}{2}, \\\\ y=r \\sin \\theta=3 \\sin \\frac{23 \\pi}{6}=3 \\sin \\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right)=-3 \\sin \\frac{\\pi}{6}=-\\frac{3}{2} \\end{array} \\] 이다.", "그러므로 \\( P \\)의 직교좌표는 \\( P(x, y)=P\\left(\\frac{3 \\sqrt{3}}{2},-\\frac{3}{2}\\right) \\)이다.", "</p><p>예제 2.2.2 직교좌표가 \\( (-5,5 \\sqrt{3}) \\)인 점 \\( P \\)의 극좌표를 모두 구하여라.", "</p><p>풀이. 먼저 \\( r>", "0 \\)이고 \\( 0 \\leq \\theta \\leq 2 \\pi \\)인 \\( P \\)에 대한 극좌표 \\( (r, \\theta) \\)를 구한다. \\", "[ r^{2}=x^{2}+y^{2}=(-5)^{2}+(5 \\sqrt{3})^{2}=25+75=100 \\] 이다.", "그러므로 \\[ r=10, \\tan \\theta=\\frac{y}{x}=\\frac{5 \\sqrt{3}}{-5}=-\\sqrt{3} . \\]", "그런데 점 \\( (-5,5 \\sqrt{3}) \\)은 제 2사분면에 있으므로 \\( \\theta=\\frac{2 \\pi}{3} \\)를 얻는다.", "그러므로 \\( P \\)에 대한 하나의 극좌표는 \\( \\left(10, \\frac{2 \\pi}{3}\\right) \\)이다.", "따라서 모든 정수 \\( n \\)에 대하여 \\[ \\left(10, \\frac{2 \\pi}{3}+2 n \\pi\\right) \\] 또는 \\[ \\left(-10, \\frac{2 \\pi}{3}+2 n \\pi+\\pi\\right)=\\left(-10, \\frac{5 \\pi}{3}+2 n \\pi\\right) \\] 가 모두 가능한 \\( P \\)의 극좌표 표현이다.", "</p><h2>극그래프</h2><p>원점으로부터의 거리 \\( r \\)과 양의 \\( x \\)-축과의 각 \\( \\theta \\)로 표현되는 식을 극방정식(polar equation)이라고 하고 그 방정식을 만족하는 극좌표 \\( (r, \\theta) \\)의 집합을 평면 위에 그려놓은 것을 극그래프(polar graph)라고 한다.", "</p><p>예제 2.2.3 \\( a>0 \\)일 때 원 \\( x^{2}+y^{2}=a^{2} \\)의 극방정식을 구하여라.", "</p><p>풀이. \\", "( r^{2}=x^{2}+y^{2}=a^{2} \\)이므로 \\( r=a \\)가 원의 방정식이다.", "</p><p>예제 2.2.4 원 \\( x^{2}+y^{2}=a x, a>0 \\)의 극방정식을 구하여라.", "</p><p>풀이. \\", "( r^{2}=x^{2}+y^{2}=a r \\cos \\theta \\)이므로 \\( r=a \\cos \\theta \\)이다.", "</p><p>극함수 \\( r=f(\\theta) \\)의 그래프를 그릴 때 다음과 같은 대칭성을 이용하면 쉽게 그릴 수 있다.", "<p>가. \\", "( (r, \\theta) \\)가 방정식 \\( r=f(\\theta) \\)를 만족할 때, \\( (r,-\\theta) \\)도 만족하면 극그래프는 \\( x \\)-축에 대칭이다.", "</p><p>나. \\", "( (r, \\theta) \\)가 방정식 \\( r=f(\\theta) \\)를 만족할 때, \\( (r, \\pi-\\theta) \\)도 만족하면 극그래프는 \\( y \\)-축에 대칭이다.", "</p><p>다. \\", "( (r, \\theta) \\)가 방정식 \\( r=f(\\theta) \\)를 만족할 때, \\( (r, \\pi+\\theta) \\)도 만족하면 극그래프는 원점에 대칭이다.", "</p></p><p>예제 2.2.5 (심장형 (cardioid)) \\( r=1+\\sin \\theta \\)를 그려라.", "</p><p>만일 \\( (r, \\theta) \\)가 \\( r=1+\\sin \\theta \\)를 만족하면 \\( (r, \\pi-\\theta) \\)도 만족하므로 주어진 곡선은 \\( y \\)-축에 대칭이다.", "따라서 \\( \\theta \\)가 \\( -\\frac{\\pi}{2} \\leq \\theta \\leq \\frac{\\pi}{2} \\)의 범위에서만 그려도 된다.", "그림2.2-15의 표는 \\( \\theta \\)가 특수각일 때 대응되는 \\( r \\)의 값을 적어 놓았다.", "</p><p>\\( \\theta \\)가 \\( -\\frac{\\pi}{2} \\)에서 \\( \\frac{\\pi}{2} \\)까지 증가할 때 \\( \\sin \\theta \\)는 \\( -1 \\)에서 1까지 증가하고 따라서 \\( r \\)은 0에서 2까지 증가한다.", "따라서 \\( \\theta \\)가 \\( -\\frac{\\pi}{2} \\)에서 \\( \\frac{\\pi}{2} \\)까지의 그래프는 그림 2.2-16의 왼쪽과 같이 되고 \\( y \\)-축에 대칭이므로 이것을 이용하면 그림2.2-16의 오른쪽과 같다.", "</p> <h2>점과 직선과의 거리</h2><p>두 벡터의 외적을 사용하여 한 점과 직선의 거리도 구할 수 있다.", "</p><p>정리 2.4.19 직선 \\( l \\)이 벡터 \\( A(\\neq 0) \\)방향을 가지고 있고 \\( P_{0} \\)을 \\( l \\)위에 있지 않은 점이라고 하면 \\( P_{0} \\)와 직선 \\( l \\)사이의 거리 \\( d \\)는 \\[ d=\\frac{\\left\|A \\times \\overrightarrow{P P_{0}}\\right\|}{\|A\|} \\] 로 주어진다.", "단, \\( P \\)는 \\( l \\) 위의 임의의 점이다.", "</p><p>증명.", "그림2.4-52에서와 같이 \\( \\theta \\)를 \\( A \\)와 \\( \\overrightarrow{P P_{0}} \\) 사이의 각이라 하면 \\( d=\\left\|\\overrightarrow{P P_{0}}\\right\| \\sin \\theta \\)이다.", "그런데 \\( \\left\|A \\times \\overrightarrow{P P_{0}}\\right\|=\|A\|\\left\|\\overrightarrow{P P_{0}}\\right\| \\sin \\theta \\)이므로 \\[ d=\\left\|\\overrightarrow{P P_{0}}\\right\| \\sin \\theta=\\left\|\\overrightarrow{P P_{0}}\\right\| \\frac{\\left\|A \\times \\overrightarrow{P P_{0}}\\right\|}{\|A\|\\left\|\\overrightarrow{P P_{0}}\\right\|}=\\frac{\\left\|A \\times \\overrightarrow{P P_{0}}\\right\|}{\|A\|} \\] 를 얻는다.", "</p><p>예제 2.4.20 점 \\( P_{0}(2,1,-1) \\)에서 직선 \\[ l: x=3 t, y=1+2 t, z=-5-t \\] 까지의 거리 \\( d \\)를 구하여라.", "</p><p>풀이.", "위의 직선 \\( l \\)은 \\[ (x, y, z)=(0,1,-5)+t(3,2,-1) \\] 을 만족하므로 벡터 \\( A=(3,2,-1) \\)은 직선과 평행이다.", "또, \\( t=0 \\)을 위의 식에 대입하면 \\( P=(0,1,-5) \\)은 직선 위에 있는 점이므로 위의 정리를 이용하여 \\[ d=\\frac{\\left\|A \\times \\overrightarrow{P P_{0}}\\right\|}{\|A\|}=\\frac{\|(3,2,-1) \\times(2,0,4)\|}{\|(3,2,-1)\|} \\] 을 계산하면 된다.", "그런데 \\( \|(3,2,-1)\|=\\sqrt{3^{2}+2^{2}+(-1)^{2}}=\\sqrt{14} \\)이고 \\[ (3,2,-1) \\times(2,0,4)=\\left\|\\begin{array}{rrr} \\mathbf{i} & \\mathbf{j} & \\mathbf{k} \\\\ 3 & 2 & -1 \\\\ 2 & 0 & 4 \\end{array}\\right\|=(8,-14,-4) \\] 이므로 \\[ \|(3,2,-1) \\times(2,0,4)\|=\\sqrt{8^{2}+(-14)^{2}+(-4)^{2}}=\\sqrt{276} \\] 이다.", "따라서 구하고자 하는 거리는 \\[ d=\\frac{\\sqrt{276}}{\\sqrt{14}}=\\frac{\\sqrt{138}}{\\sqrt{7}} . \\]", "</p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": 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129	<p>한 바퀴 회전하면 \( 2 \pi \) 라디안이기 때문에 모든 \( \Theta \)에 대해 \( \sin ( \theta + 2 \pi)= \sin \theta \) 이런 성질의 함수를 주기함수(periodic function)라 부른다.</p> <table border><caption>Title</caption> <tbody><tr><td>x</td><td>\( \pi /6 \)</td><td>\( \pi /3 \)</td><td>\( \pi /2 \)</td><td>\( 2 \pi /3 \)</td><td>\( 5 \pi /6 \pi \)</td><td>\( \pi \)</td></tr><tr><td>y= simx</td><td>0.5</td><td>0.87</td><td>1</td><td>0.87</td><td>0.5</td><td>0</td></tr><tr><td>x</td><td>\( 7 \pi \)/6</td><td>\( 4 \pi \)/3</td><td>\( 3 \pi \)/2</td><td>\( 5 \pi \)/3</td><td>\( 11 \pi \)/6</td><td>\( 2 \pi \)</td></tr><tr><td>y= sin x</td><td>-0.5</td><td>-0.87</td><td>-1</td><td>-0.87</td><td>-0.5</td><td>0</td></tr></tbody></table>	해석기하학	[ "<p>한 바퀴 회전하면 \\( 2 \\pi \\) 라디안이기 때문에 모든 \\( \\Theta \\)에 대해 \\( \\sin ( \\theta + 2 \\pi)= \\sin \\theta \\) 이런 성질의 함수를 주기함수(periodic function)라 부른다.", "</p> <table border><caption>Title</caption> <tbody><tr><td>x</td><td>\\( \\pi /6 \\)</td><td>\\( \\pi /3 \\)</td><td>\\( \\pi /2 \\)</td><td>\\( 2 \\pi /3 \\)</td><td>\\( 5 \\pi /6 \\pi \\)</td><td>\\( \\pi \\)</td></tr><tr><td>y= simx</td><td>0.5</td><td>0.87</td><td>1</td><td>0.87</td><td>0.5</td><td>0</td></tr><tr><td>x</td><td>\\( 7 \\pi \\)/6</td><td>\\( 4 \\pi \\)/3</td><td>\\( 3 \\pi \\)/2</td><td>\\( 5 \\pi \\)/3</td><td>\\( 11 \\pi \\)/6</td><td>\\( 2 \\pi \\)</td></tr><tr><td>y= sin x</td><td>-0.5</td><td>-0.87</td><td>-1</td><td>-0.87</td><td>-0.5</td><td>0</td></tr></tbody></table>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "418", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "K430-해석기하학", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "96aba9d6-1b4e2f59-0586-4c13-9861-183274c181d0", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788972824305", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2000", "doc_author": [ "조봉식" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }
130	<p>풀이 : 이 경우 모집단의 개수는 \( N = 5 \), 표본의 개수는 \( n=2 \), 모평균은 \( \mu= \frac { 10 } { 5 } =2 \) 이다.또, 모분산은 \( \sigma ^ { 2 } = \frac { 1 } { 5 } \sum \left (y_ { i } - \mu \right ) ^ { 2 } =2.8 \) 이다.</p> <p>비복원추출의 경우</p> <p>5 가구 중 2 가구를 비복원추출할 경우 방법의 수는 10 가지 \( \left ( { } _ { 5 } C_ { 2 } = \frac { 5 ! } { 3 ! 2 ! } =10 \right ) \) 다. 각각의 경우는 다음과 같다.</p> <table border><caption>Title</caption> <tbody><tr><td>추출된 가구수</td><td>자녀수</td><td>평균</td></tr><tr><td>A, B</td><td>2, 5</td><td>3.5</td></tr><tr><td>A, C</td><td>2, 1</td><td>1.5</td></tr><tr><td>A, D</td><td>2, 2</td><td>2</td></tr><tr><td>A, E</td><td>2, 0</td><td>1</td></tr><tr><td>B, C</td><td>5, 1</td><td>3</td></tr><tr><td>B, D</td><td>5, 2</td><td>3.5</td></tr><tr><td>B, E</td><td>5, 0</td><td>2.5</td></tr><tr><td>C, D</td><td>1, 2</td><td>1.5</td></tr><tr><td>C, E</td><td>1, 0</td><td>0.5</td></tr><tr><td>D, E</td><td>2, 0</td><td>1</td></tr></tbody></table>	연구법, 연구방법 및 교육, 교육자료	[ "<p>풀이 : 이 경우 모집단의 개수는 \\( N = 5 \\), 표본의 개수는 \\( n=2 \\), 모평균은 \\( \\mu= \\frac { 10 } { 5 } =2 \\) 이다.", "또, 모분산은 \\( \\sigma ^ { 2 } = \\frac { 1 } { 5 } \\sum \\left (y_ { i } - \\mu \\right ) ^ { 2 } =2.8 \\) 이다.", "</p> <p>비복원추출의 경우</p> <p>5 가구 중 2 가구를 비복원추출할 경우 방법의 수는 10 가지 \\( \\left ( { } _ { 5 } C_ { 2 } = \\frac { 5 ! } { 3 ! 2 ! } =10 \\right ) \\) 다. 각각의 경우는 다음과 같다.", "</p> <table border><caption>Title</caption> <tbody><tr><td>추출된 가구수</td><td>자녀수</td><td>평균</td></tr><tr><td>A, B</td><td>2, 5</td><td>3.5</td></tr><tr><td>A, C</td><td>2, 1</td><td>1.5</td></tr><tr><td>A, D</td><td>2, 2</td><td>2</td></tr><tr><td>A, E</td><td>2, 0</td><td>1</td></tr><tr><td>B, C</td><td>5, 1</td><td>3</td></tr><tr><td>B, D</td><td>5, 2</td><td>3.5</td></tr><tr><td>B, E</td><td>5, 0</td><td>2.5</td></tr><tr><td>C, D</td><td>1, 2</td><td>1.5</td></tr><tr><td>C, E</td><td>1, 0</td><td>0.5</td></tr><tr><td>D, E</td><td>2, 0</td><td>1</td></tr></tbody></table>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "307.323", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "m831-표본추출방법론", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "96aba9d6-5fef2840-a1a0-4675-b97a-b4e078095726", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961058315", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2014", "doc_author": [ "김호일" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }
131	<h1>14.5 원통좌표계상의 \(3\)중적분</h1> <p>어떤 중적분은 직교좌표계에서보다 극좌표에서 더 쉽게 계산할 수가 있다. 이 절에는 원통 좌표계를 도입하고 이를 이용하여 \(3\)중적분을 계산하도록 한다.</p> <p>원통좌표계</p> <p>\( (x, y, z) \) 가 공간 위의 점 \( P \) 의 직교좌표라고 하자. 만일 \( (r, \theta) \) 가 점 \( (x, y) \) 에 대한 극좌표이면 \( (r, \theta, z) \) 를 \( P \) 에 대한 원통좌표라고 부른다.</p> <p>점 \( P \) 의 직교좌표 \( (x, y, z) \) 가 주어지면, 공식 \( x^{2}+y^{2}=r^{2} \) 과 \( \quad \tan \theta=\frac{y}{x}(x \neq 0) \) 를 이용하여 \( P \) 의 원통좌표를 구할 수 있다.</p> <p>다음 표는 직교좌표와 원통좌표에서 각 곡면의 표현이다.</p> <table border><tbody><tr><td>곡면</td><td>직교좌표</td><td>원통좌표</td></tr><tr><td>원통</td><td>\( x^{2}+y^{2}=a^{2} \)</td><td>\( r=a \)</td></tr><tr><td>구</td><td>\( x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} \)</td><td>\( r^{2}+z^{2}=a^{2} \)</td></tr><tr><td>원뿔</td><td>\( x^{2}+y^{2}=a^{2} z^{2} \)</td><td>\( r=a z \) 또는 \( z=r \cot \phi \)</td></tr><tr><td>포물면</td><td>\( x^{2}+y^{2}=a z \)</td><td>\( r^{2}=a z \)</td></tr></tbody></table> <p>원통좌표계에서의 \(3\)중적분</p> <p>정리 \(14.5\)에 의하면 적당한 조건 아래에서 \( \iiint_{D} f(x, y, z) d V=\iint_{R}\left[\int_{F_{1}(x, y)}^{F_{2}(x, y)} f(x, y) d z\right] d A \)가 성립한다. 그런데 정리 \( 14.4 \) 를 이용하면 \(2\)중적분을 극좌표 위에서 표현이 가능하므로 이것을 결합하면 다음 정리를 얻는다.</p> <p>정리 \( 14.6 \)</p> <p>\( D \) 가 \( R \) 위에서 \( F_{1} \) 과 \( F_{2} \) 의 그래프 사이의 입체영역이고 \( R \) 은 구간 \( [\alpha, \beta](0 \leq \beta-\alpha \leq \) \( 2 \pi) \) 위에서 \( 0 \leq h_{1}(\theta) \leq h_{2}(\theta) \) 를 만족하는 \( h_{1} \) 과 \( h_{2} \) 의 극방정식 그래프 사이의 평면영역이다. 만일 \( f \) 가 \( D \) 에서 연속이면 \( \iiint_{D} f(x, y, z) d V=\int_{\alpha}^{\beta} \int_{h_{1}(\theta)}^{h_{2}(\theta)} \int_{F_{1}(r \cos \theta, r \sin \theta)}^{F_{2}(r \cos \theta, r \sin \theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) r d z d r d \theta \)</p>	해석학	[ "<h1>14.5 원통좌표계상의 \\(3\\)중적분</h1> <p>어떤 중적분은 직교좌표계에서보다 극좌표에서 더 쉽게 계산할 수가 있다.", "이 절에는 원통 좌표계를 도입하고 이를 이용하여 \\(3\\)중적분을 계산하도록 한다.", "</p> <p>원통좌표계</p> <p>\\( (x, y, z) \\) 가 공간 위의 점 \\( P \\) 의 직교좌표라고 하자.", "만일 \\( (r, \\theta) \\) 가 점 \\( (x, y) \\) 에 대한 극좌표이면 \\( (r, \\theta, z) \\) 를 \\( P \\) 에 대한 원통좌표라고 부른다.", "</p> <p>점 \\( P \\) 의 직교좌표 \\( (x, y, z) \\) 가 주어지면, 공식 \\( x^{2}+y^{2}=r^{2} \\) 과 \\( \\quad \\tan \\theta=\\frac{y}{x}(x \\neq 0) \\) 를 이용하여 \\( P \\) 의 원통좌표를 구할 수 있다.", "</p> <p>다음 표는 직교좌표와 원통좌표에서 각 곡면의 표현이다.", "</p> <table border><tbody><tr><td>곡면</td><td>직교좌표</td><td>원통좌표</td></tr><tr><td>원통</td><td>\\( x^{2}+y^{2}=a^{2} \\)</td><td>\\( r=a \\)</td></tr><tr><td>구</td><td>\\( x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} \\)</td><td>\\( r^{2}+z^{2}=a^{2} \\)</td></tr><tr><td>원뿔</td><td>\\( x^{2}+y^{2}=a^{2} z^{2} \\)</td><td>\\( r=a z \\) 또는 \\( z=r \\cot \\phi \\)</td></tr><tr><td>포물면</td><td>\\( x^{2}+y^{2}=a z \\)</td><td>\\( r^{2}=a z \\)</td></tr></tbody></table> <p>원통좌표계에서의 \\(3\\)중적분</p> <p>정리 \\(14.5\\)에 의하면 적당한 조건 아래에서 \\( \\iiint_{D} f(x, y, z) d V=\\iint_{R}\\left[\\int_{F_{1}(x, y)}^{F_{2}(x, y)} f(x, y) d z\\right] d A \\)가 성립한다.", "그런데 정리 \\( 14.4 \\) 를 이용하면 \\(2\\)중적분을 극좌표 위에서 표현이 가능하므로 이것을 결합하면 다음 정리를 얻는다.", "</p> <p>정리 \\( 14.6 \\)</p> <p>\\( D \\) 가 \\( R \\) 위에서 \\( F_{1} \\) 과 \\( F_{2} \\) 의 그래프 사이의 입체영역이고 \\( R \\) 은 구간 \\( [\\alpha, \\beta](0 \\leq \\beta-\\alpha \\leq \\) \\( 2 \\pi) \\) 위에서 \\( 0 \\leq h_{1}(\\theta) \\leq h_{2}(\\theta) \\) 를 만족하는 \\( h_{1} \\) 과 \\( h_{2} \\) 의 극방정식 그래프 사이의 평면영역이다.", "만일 \\( f \\) 가 \\( D \\) 에서 연속이면 \\( \\iiint_{D} f(x, y, z) d V=\\int_{\\alpha}^{\\beta} \\int_{h_{1}(\\theta)}^{h_{2}(\\theta)} \\int_{F_{1}(r \\cos \\theta, r \\sin \\theta)}^{F_{2}(r \\cos \\theta, r \\sin \\theta)} f(r \\cos \\theta, r \\sin \\theta, z) r d z d r d \\theta \\)</p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "414.1", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "m867-미분적분학", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "96aba9d6-6c2fb56e-2c3e-4729-bc90-5e1bd1be2368", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961058674", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2015", "doc_author": [ "이춘호" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }
132	<p>예제 2) 다음과 같은 확률분포를 갖는 모집단으로부터 크기 36인 확률표본을 추출할 때 표본평균의 평균과 분산, 그리고 \( P(3.5<\bar{X} \leq 4.5) \) 을 구하여라.</p> <p>풀이 )모평균과 모분산은\[\] \[ \mu=E(X)=\sum x f(x)=3.3 \]\[\] \[ \sigma^{2}=E\left(X^{2}\right)-E^{2}(X)=14.3-10.89=3.41 \]\[\] 이므로 표본평균은 \( \mu_{\bar{X}}=3.3 \) 이고 표본분산은 \( \operatorname{Var}(\bar{X})=\sigma^{2} / 36=0.095 \) 이다.</p> <p>한편 중심극한정리에 의하여 근사적으로 \( \bar{X} \sim N\left(\mu, \sigma^{2} / n\right) \) 이므로 다음과 같은 확률을 구할 수 있다.</p> <p>\( \begin{aligned} P(3.5<\bar{X} \leq 4.5) & \fallingdotseq P\left(\frac{3.5-3.3}{\frac{\sqrt{3.41}}{6}}<\bar{X} \leq \frac{4.5-3.3}{\frac{\sqrt{3.41}}{6}}\right) \\ &=P(0.649<Z \leq 3.893) \\ &=1-0.7419=0.2581 \end{aligned} \)</p> <p>지금까지 배운 것들과 중심극한정리를 이용하면 [표 4]를 설명할 수 있다. [표 4]에서 보면 첫째 행에서 4개의 서로 다른 모집단의 표본 형태를, 그리고 나머지 행에서는 표본크기가 2,5, 그리고 30일 때 \( \bar{X} \) 의 분포 형태를 보여주고 있다. 첫째 예는 모집단이 정규분포를 따를 때 이로부터 추출한 표본평균 \( \bar{X} \) 도 정규분포를 따른다는 것으로 바로 앞 항에서 밝힌 내용을 보여주고 있다. 둘째 예는 균등분포 (uniform distribution), 셋째 예는 이산확률분포 형태의 한 예로서 쌍봉분포(bimodal distribution), 그리고 마지막 예에서는 지수분포(exponential distribution)를 갖는 모집단에서 추출된 평균이 표본크기가 점점 커짐에 따라 좌우대칭의 정규분포화해가는 과정을 보여준다.</p> <p>이제 표본분산 \( S^{2} \) 에 관한 표본분포는 다음 절에서 살펴보기로 하고 이 절의 끝으로 표본비율에 대하여 알아본다. \( N \) 명이 수강하는 통계학 수업의 결석률이 \( p \) 라 하고 수업에 결석한 학생 수를 \( X \) 라 하면 결석률은 \( p=X / N \) 이고 \( X \sim B(N, p) \) 인 이 항분포를 이룬다. 따라서 \( X \) 는 서로 독립이고 베르누이 분포 \( B(1, p) \) 에 따르는 확 률변수들 \( X_{1}, \cdots, X_{N} \) 에 대하여\[\] \[ X=X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{N} \]\[\] 으로 나타낼 수 있으며 이 결석률, 즉 모집단의 어떤 특성을 갖는 개체수에 대한 비율 \( p \) 를 모비율(population proportion)이라 한다. 이때 크기 \( n \) 인 표본을 택하여\[\] \[ Y=X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n} \]\[\] 이라 하면 \( Y \) 는 표본의 결석자 수를 나타내며 \( Y \sim B(n, p) \) 인 분포를 이룬다. 따 라서 표본크기 \( n \) 이 충분히 클 경우 중심극한정리에 의하여 \( Y \) 는 정규분포\( N(n p, n p(1-p)) \) 에 근사한다. 그러므로 표본의 결석률 \( \hat{p}=Y / n \) 는 \( N(p, p q / n) \), \( q=1-p \) 에 근사하며, 이와 같이 확률표본에서 어떤 특성을 갖는 개체수에 대한 비율을 표본비율(sample proportion)이라 한다.</p> <p>예제 3) 모비율 0.6 인 모집단으로부터 크기 36인 표본을 취했을 때 표본비율 \( \hat{p} \) 가 0.5와 0.7 사이일 확률을 구하여라.</p> <p>풀이) 모비율 \( \hat{p} \) 는 근사적으로 \( N(0.6,(0.6 \times 0.4) / 36) \) 인 정규분포를 이루므로<\[\] \( \begin{aligned} P(0.5<\hat{p}<0.7) &=P\left(\frac{0.5-0.6}{\sqrt{0.6 \times 0.4 / 36}}<\frac{\hat{p}-0.6}{\sqrt{0.6 \times 0.4 / 36}}<\frac{0.7-0.6}{\sqrt{0.6 \times 0.4 / 36}}\right) \\ & \fallingdotseq P(-1.25<Z<1.25) \\ & =2 P(Z<1.25)-1=0.7887 \end{aligned} \)\[\] 이다.</p>	통계학	[ "<p>예제 2) 다음과 같은 확률분포를 갖는 모집단으로부터 크기 36인 확률표본을 추출할 때 표본평균의 평균과 분산, 그리고 \\( P(3.5<\\bar{X} \\leq 4.5) \\) 을 구하여라.", "</p> <p>풀이 )모평균과 모분산은\\[\\] \\[ \\mu=E(X)=\\sum x f(x)=3.3 \\]\\[\\] \\[ \\sigma^{2}=E\\left(X^{2}\\right)-E^{2}(X)=14.3-10.89=3.41 \\]\\[\\] 이므로 표본평균은 \\( \\mu_{\\bar{X}}=3.3 \\) 이고 표본분산은 \\( \\operatorname{Var}(\\bar{X})=\\sigma^{2} / 36=0.095 \\) 이다.", "</p> <p>한편 중심극한정리에 의하여 근사적으로 \\( \\bar{X} \\sim N\\left(\\mu, \\sigma^{2} / n\\right) \\) 이므로 다음과 같은 확률을 구할 수 있다.", "</p> <p>\\( \\begin{aligned} P(3.5<\\bar{X} \\leq 4.5) & \\fallingdotseq P\\left(\\frac{3.5-3.3}{\\frac{\\sqrt{3.41}}{6}}<\\bar{X} \\leq \\frac{4.5-3.3}{\\frac{\\sqrt{3.41}}{6}}\\right) \\\\ &=P(0.649<Z \\leq 3.893) \\\\ &=1-0.7419=0.2581 \\end{aligned} \\)</p> <p>지금까지 배운 것들과 중심극한정리를 이용하면 [표 4]를 설명할 수 있다.", "[표 4]에서 보면 첫째 행에서 4개의 서로 다른 모집단의 표본 형태를, 그리고 나머지 행에서는 표본크기가 2,5, 그리고 30일 때 \\( \\bar{X} \\) 의 분포 형태를 보여주고 있다.", "첫째 예는 모집단이 정규분포를 따를 때 이로부터 추출한 표본평균 \\( \\bar{X} \\) 도 정규분포를 따른다는 것으로 바로 앞 항에서 밝힌 내용을 보여주고 있다.", "둘째 예는 균등분포 (uniform distribution), 셋째 예는 이산확률분포 형태의 한 예로서 쌍봉분포(bimodal distribution), 그리고 마지막 예에서는 지수분포(exponential distribution)를 갖는 모집단에서 추출된 평균이 표본크기가 점점 커짐에 따라 좌우대칭의 정규분포화해가는 과정을 보여준다.", "</p> <p>이제 표본분산 \\( S^{2} \\) 에 관한 표본분포는 다음 절에서 살펴보기로 하고 이 절의 끝으로 표본비율에 대하여 알아본다. \\", "( N \\) 명이 수강하는 통계학 수업의 결석률이 \\( p \\) 라 하고 수업에 결석한 학생 수를 \\( X \\) 라 하면 결석률은 \\( p=X / N \\) 이고 \\( X \\sim B(N, p) \\) 인 이 항분포를 이룬다.", "따라서 \\( X \\) 는 서로 독립이고 베르누이 분포 \\( B(1, p) \\) 에 따르는 확 률변수들 \\( X_{1}, \\cdots, X_{N} \\) 에 대하여\\[\\] \\[ X=X_{1}+X_{2}+\\cdots+X_{N} \\]\\[\\] 으로 나타낼 수 있으며 이 결석률, 즉 모집단의 어떤 특성을 갖는 개체수에 대한 비율 \\( p \\) 를 모비율(population proportion)이라 한다.", "이때 크기 \\( n \\) 인 표본을 택하여\\[\\] \\[ Y=X_{1}+X_{2}+\\cdots+X_{n} \\]\\[\\] 이라 하면 \\( Y \\) 는 표본의 결석자 수를 나타내며 \\( Y \\sim B(n, p) \\) 인 분포를 이룬다.", "따 라서 표본크기 \\( n \\) 이 충분히 클 경우 중심극한정리에 의하여 \\( Y \\) 는 정규분포\\( N(n p, n p(1-p)) \\) 에 근사한다.", "그러므로 표본의 결석률 \\( \\hat{p}=Y / n \\) 는 \\( N(p, p q / n) \\), \\( q=1-p \\) 에 근사하며, 이와 같이 확률표본에서 어떤 특성을 갖는 개체수에 대한 비율을 표본비율(sample proportion)이라 한다.", "</p> <p>예제 3) 모비율 0.6 인 모집단으로부터 크기 36인 표본을 취했을 때 표본비율 \\( \\hat{p} \\) 가 0.5와 0.7 사이일 확률을 구하여라.", "</p> <p>풀이) 모비율 \\( \\hat{p} \\) 는 근사적으로 \\( N(0.6,(0.6 \\times 0.4) / 36) \\) 인 정규분포를 이루므로<\\[\\] \\( \\begin{aligned} P(0.5<\\hat{p}<0.7) &=P\\left(\\frac{0.5-0.6}{\\sqrt{0.6 \\times 0.4 / 36}}<\\frac{\\hat{p}-0.6}{\\sqrt{0.6 \\times 0.4 / 36}}<\\frac{0.7-0.6}{\\sqrt{0.6 \\times 0.4 / 36}}\\right) \\\\ & \\fallingdotseq P(-1.25<Z<1.25) \\\\ & =2 P(Z<1.25)-1=0.7887 \\end{aligned} \\)\\[\\] 이다.", "</p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "413", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "s097-(R과 함께하는) 기초통계학", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "96aba9d6-3cfa2089-dbb1-4598-b075-2834549686b6", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160730975", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2018", "doc_author": [ "김성연" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }
133	<h1>10.1 미분다양체(Differentiable Manifold)</h1><p>\( n \)차원 유클리드 공간 \( \mathbb{R}^{n} \)은 \( n \)개의 일차독립인 벡터를 가지는 벡터공간으로 내적을 가지는 공간이다. 내적은 \( \mathbb{R}^{n} \) 상에 거리를 주며 거리공간을 만든다. 위상공간 \( X \)가 \( X \)의 각 점에서 유클리드 공간 \( \mathbb{R}^{n} \)의 작은 근방과 같은 근방을 가질 때 \( X \)를 \( n \)차원 다양체(manifold)라 한다. 점들은 0차원 다양체이고, 직선, 원, 삼각형이나 루프(loop)는 1차원 다양체이며, 평면, 구, 직육면체나 토러스는 2차원 다양체이다. 이 장에서는 여러 종류의 다양체 중 매끄러운(미분할 수 있는) 미분다양체(differentiable manifold)에 대해서 공부할 것이다.</p><p>수학적인 용어로 다양체를 정의해보자. 함수 \( f \)가 \( \mathbb{R}^{n} \)의 열린집합 \( U \)에서 정의되고 \( \mathbb{R}^{m} \)에서 값을 가진다 하자. \( f \)가 모든 차수의 연속인 도함수를 \( U \)상에서 가질 때 \( f \)를 매끄럽다(smooth)고 한다. 위상공간 \( X \)가 유클리드 공간 \( \mathbb{R}^{n} \) 내에 있다고 하자. 각 점 \( x \in X \)의 \( \mathbb{R}^{n} \) 내의 열린근방 \( U \subset \mathbb{R}^{n} \)이 존재하고 매끄러운 함수 \( F: U \rightarrow \mathbb{R}^{n} \)이 존재하여 \( U \cap X \) 상에서 \( F=f \)일 때 함수 \( f: X \rightarrow \mathbb{R}^{m} \)을 매끄럽다고 한다. 정의로부터 매끄러움은 국소적인 성질이다. 즉 \( f: X \rightarrow \mathbb{R}^{m} \)이 매끄럽다는 것은 \( X \)의 각 점 근방에서 \( f \)가 매끄럽다는 것이다.</p><p>\( X \)와 \( Y \)가 유클리드 공간의 부분집합이라 하자. 매끄러운 함수 \( f: X \rightarrow Y \)가 전단사이며 역함수 \( f^{-1}: Y \rightarrow X \)도 매끄러울 때 \( f \)를 미분동형함수(diffeomorphism)라 한다. 이때 두 공간 \( X \)와 \( Y \)를 미분동형(diffeomorphic)이라 한다. 따라서 탁구공, 농구공, 그리고 럭비공은 미분동형이다. 원은 타원과 미분동형이나 삼각형과는 미분동형이 아니다.</p><p>위상공간 \( X \)가 유클리드 공간 \( \mathbb{R}^{n} \)의 부분공간이라고 하자. 만일 \( X \)의 각 점 \( x \in X \)가 \( \mathbb{R}^{k} \)의 열린집합 \( U \)와 \( X \) 내에 \( x \)의 미분동형인 근방 \( V \)를 가질 때 \( X \)를 \( k \)차원 다양체라 하고, 이때 미분동형함수 \( \phi: U \rightarrow V \)를 근방 \( V \)의 매개변수화(parametrization)라 한다. 역미분동형함수 \( \phi^{-1}: V \rightarrow U \)를 \( V \)상의 좌표계(coordinate system)라 하고, 이때 좌표계를 \( \phi^{-1} \equiv\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right) \)로 나타내며, \( k \)개의 매끄러운 함수 \( x_{1}, \ldots, x_{k} \)를 \( V \)상의 좌표함수(coordinate function)라 한다. 일반적으로 점 \( v \in V \)를 좌표 \( \left(x_{1}(v), \ldots, x_{k}(v)\right) \in U \)로 나타내고, \( X \)의 차원을 \( \operatorname{dim} X=k \) 로 나타낸다.</p> <h1>10.3 몰입(Immersion)과 매장(Imbedding)</h1><p>우리가 연속함수 대신에 매끄러운 함수를 취급한 것은 다양체의 국소부분을 이해하기 위함이며, 국소부분의 성질이 모여 전체 다양체의 위상적 성질을 유도하기 위함이다.</p><p>\( X \)와 \( Y \)를 같은 차원의 다양체라 하자. 함수 \( f: X \rightarrow Y \)가 \( x \in X \)의 근방을 \( y=f(x) \in Y \)의 근방으로 미분동형으로 옮길 때, \( f \)를 \( x \)에서 국소미분동형 함수(local diffeomorphism)라고 한다. 이때 \( x \)에서 \( f \)의 도함수 \( d f_{x}: T_{x} X \rightarrow T_{y} Y \)는 선형동형이며, 그 역도 성립한다.</p><p>정리 10.3.1 (음함수 정리) 만일 \( f: X \rightarrow Y \)가 매끄러운 함수이며 \( x \in X \)에서 도함수 \( d f_{x} \)가 선형동형이면, \( f \)는 \( x \)에서 국소미분동형함수이다.</p><p>증명 증명은 매개변수화와 유클리드 공간에서의 음함수 정리를 이용하면 얻을 수 있다.</p><p>주의<ol type=1 start=1><li>음함수 정리에서 도함수 \( d f_{x} \)가 선형동형일 필요충분조건은 선형함수 \( d f_{x} \)의 행렬식이 0이 아님이며, 이의 필요충분조건이 \( f \)가 \( x \)에서 국소미분동형함수라는 것이다.</li><li>음함수 정리는 함수 \( f \)의 \( x \)에서 국소적인 성질이지 전 다양체상의 성질은 아니다. 즉 모든 점 \( x \in X \)에서 \( d f_{x} \)가 선형동형이라고 해서 \( f \)가 미분동형함수라고 할 수 없다. 함수 \( f: \mathbb{R}^{1} \rightarrow S^{1} \)이 \( f(x)= e^{2 \pi i t} \)라 하면, \( f \)는 모든 점에서 국소미분동형함수이지만 미분동형함수는 아니다.</li></ol></p><p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)에 음함수 정리를 사용하기 위해서는 적어도 \( \operatorname{dim} X =\operatorname{dim} Y \)이어야 한다. 만일 \( \operatorname{dim} X \leq \operatorname{dim} Y \)일 때 우리가 생각할 수 있는 것은 \( d f_{x}: T_{x} X \rightarrow T_{f(x)} Y \)가 단사인 것이다. 이때 \( f \)를 \( x \)에서 몰입(immersion)이라고 하고, \( X \)의 모든 점에서 \( f \)가 몰입일 때 \( f \)를 몰입이라고 한다.</p><p>예를 들면 \( k \leq l \)에 대해 포함함수 \(\\ i: \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R}^{l}, i\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right)=\left(x_{1}, \ldots, \quad x_{k}, 0, \ldots, 0\right) \\\) 은 몰입이다.</p> <h1>10.2 접공간(Tangent Space)</h1><p>먼저 유클리드 공간에서 도함수부터 생각해보자. \( U \)를 \( \mathbb{R}^{n} \)의 열린부분집합이라 하고, \( f: U \rightarrow \mathbb{R}^{m} \)을 매끄러운 함수라 하자. \( U \)상의 점 \( x \in U \)와 벡터 \( h \in \mathbb{R}^{n} \)에 대해서 \( h \)방향으로 \( x \)에서 \( f \)의 도함수(derivative)는 \( \\ d f_{x}(h)=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(x+t h)-f(x)}{t} \in \mathbb{R}^{m} \\ \) 이다.</p><p>도함수 \( d f_{x}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} \)은 선형함수이며 \( f(y)=\left(f_{1}(y), \ldots, f_{m}(y)\right) \)로 쓰면 \( d f_{x} \) 의 야코비행렬(Jacobian matrix)은 \( (m \times n) \) 행렬 \( \\ \left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}(x), & \ldots, & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}(x) \\ \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}}(x), & \ldots, & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}}(x)\end{array}\right) \\ \) 이다.</p><p>정리 10.2.1 \( U \subset \mathbb{R}^{n}, V \subset \mathbb{R}^{m} \)이 열린집합이고 \( f: U \rightarrow V, g: V \rightarrow \mathbb{R}^{l} \)이 매끄러운 함수일 때, 각 점 \( x \in U \)에서 도함수 \( d(g \circ f)_{x}=d g_{f(x)} \circ d f_{x} \)이다.</p><p>주의 위의 법칙을 연쇄법칙(chain rule)이라 한다.</p><p>만일 \( f: U \rightarrow \mathbb{R}^{m} \)이 선형함수이면 \( d f_{x}=f \)이다. 따라서 함수의 도함수는 그 함수에 가장 가까운 선형함수이다.</p><p>\( X \)가 \( \mathbb{R}^{n} \) 내에 있는 \( k \)차원 다양체라 하고, \( \phi: U \rightarrow X \)를 \( x \in X \) 에서 매개변수화라 하자. 여기서 \( U \)는 \( \mathbb{R}^{k} \)의 열린집합이다. \( \phi(0)=x \)라 하자. 도함수 \( d \phi_{0}: \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R}^{n} \)의 상을 \( x \)에서 \( X \)의 접공간(tangent space)이라고 하고, \( \\ T_{x} X \\ \) 로 나타낸다. \( x_{1} \neq x_{2} \)이면 \( T_{x_{1}} X \cap T_{x_{2}} X=\phi \) 이므로 접공간 \( T_{x} X \)는 \( x+T_{x} X \)이다.</p><p>정리 10.2.2 만일 \( \phi: U \rightarrow X \)와 \( \psi: V \rightarrow X \)가 \( x \in X \)에서 두 매개변수화라면 \( d \phi_{0}\left(\mathbb{R}^{k}\right)=d \psi_{0}\left(\mathbb{R}^{k}\right)=T_{x} X \subset \mathbb{R}^{n} \)이다.</p><p>증명 매개변수화의 정의에 따라 \( x \in \phi(U)=\psi(V) \)라고 가정하자. 그러면 합성함수 \( h=\psi^{-1} \circ \phi: U \rightarrow V \)는 미분동형함수이고, \( \phi=\psi \circ\left(\psi^{-1}\right. \circ \phi)=\psi \circ h \) 이며, \( d \phi_{0}=d \psi_{0} \circ d h_{0} \)이다.따라서 \( d \phi_{0}\left(\mathbb{R}^{k}\right) \subset d \psi_{0}\left(\mathbb{R}^{k}\right) \)이다. 역으로 \( h^{-1}=\phi^{-1} \circ \psi \)를 생각하면 \( d \phi_{0}\left(\mathbb{R}^{k}\right) \supset d \psi_{0}\left(\mathbb{R}^{k}\right) \)이다. 접공간 \( d \phi_{0}\left(\mathbb{R}^{k}\right)=d \psi_{0}\left(\mathbb{R}^{k}\right)=T_{x} X \)는 잘 정의된다.</p> <p>계 10.4.3 \( k \)차원 다양체 \( X \) 상에서 정의된 실함수 \( g_{1}, \ldots, g_{l}(k \geq l) \)이 \( Z \bigcap_{i=1}^{l} g_{i}^{-1}(0) \) 상에서 독립이면 \( Z \)는 \( X \)의 \( (k-l) \)차원 부분다양체이다. \( Z \)가 \( X \)의 부분다양체일 때 \( \operatorname{codim} Z=\operatorname{dim} X-\operatorname{dim} Z \)를 \( X \)에서 \( Z \)의 여차원(codimension)이라 한다.</p><p>정리 10.4.4 만일 \( y \in Y \)가 \( f: X \rightarrow Y \)의 정칙값이면 부분다양체 \( f^{-1}(y) \)는 독립인 함수의 공동 0으로 나타난다.</p><p>증명 \( y \)에서 좌표계 \( \phi: W \rightarrow \mathbb{R}^{l}, \phi(y)=0 \)을 생각하자. 함수 \( g=\phi \circ f: f^{-1}(W) \subset X \rightarrow \mathbb{R}^{l} \)은 매끄러운 함수이며 0이 \( y \)의 정칙값이다. 따라서 \( g \)의 좌표함수 \( g_{1}, \ldots, g_{l} \)이 구하는 독립인 함수이다.</p><p>정리 10.4.5 \( X \)의 모든 부분다양체는 국소적으로 독립인 함수의 공동 0으로 나타난다.</p><p>증명 \( Z \)를 \( X \)의 여차원이 \( l \)인 부분다양체라 하자. 국소몰입정리에 의해서 \( z \in Z \subset X \)의 국소매개화 \( \phi: U \subset \mathbb{R}^{k} \rightarrow W(z) \subset X \)를 \( W \cap Z \)의 좌표계 \( \left(x_{1}, \ldots, x_{k-l}, 0, \ldots, 0\right) \)로 잡을 수 있다. 그러면 마지막 \( l \)개의 좌표계가 구하는 \( g_{1}, \ldots, g_{l} \) 함수이다.</p><p>주의 모든 부분다양체는 국소적으로 실함수들의 공동 0으로 나타나지만 전체에서 정의된 실함수의 공동 0으로 나타난다고 할 수는 없다.</p><p>정리 10.4.6 함수 \( f: X \rightarrow Y \)의 정칙값 \( y \in Y \)의 원상을 \( f^{-1}(y)=Z \)라 하면 \( x \in Z \)에서 도함수 \( d f_{x}: T_{x} X \rightarrow T_{y} Y \)의 핵은 \( d f_{x}^{-1}(0)=T_{x} Z \)이다.</p><p>증명 \( y \in Y \)가 \( f \)의 정칙값이므로 \( Z=f^{-1}(y) \)의 \( X \)의 부분다양체이며 \( \operatorname{dim} Z =\operatorname{dim} X-\operatorname{dim} Y \)이다. \( x \in Z \)가 \( d f_{x}: T_{x} X \rightarrow T_{y} Y \)에서 \( \\ d f_{x}^{-1}(0) \supset T_{x} Z \\ \) 이고, \( \\ \begin{aligned} \operatorname{dim} d f_{x}^{-1}(0) &=\operatorname{dim} T_{x} X-\operatorname{dim} T_{y} Y \\ &=\operatorname{dim} X-\operatorname{dim} Y \\ &=\operatorname{dim} Z \\ &=\operatorname{dim} T_{x} Z \end{aligned} \\ \) 이므로 \( \\ d f_{x}^{-1}(0)=T_{x} Z \\ \) 이다.</p> <p>예 10.5.1<ol type=1 start=1><li>함수 \( f: \mathbb{R}^{1} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \)가 \( f(t)=(0, t) \)로 주어지고 \( Z \)를 \( x \)축이라 하면 \( f \)가 \( Z \)를 횡단한다.</li><li>만일 \( g: \mathbb{R}^{1} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \)가 \( g(t)=\left(t, t^{2}\right) \)으로 주어지면 \( g \)는 \( x \)축을 횡단하지 못한다.</li></ol><p>다음은 함수 \( i: X \rightarrow Y \)를 부분다양체 \( X \)의 포함함수라 하고, \( Z \subset Y \)는 다른 부분다양체라 하자. 한 점 \( x \in i^{-1}(Z)=X \cap Z \)에서 도함수 \( d i_{x}: T_{x} X \rightarrow T_{x} Y \)는 포함선형함수이다. 따라서 \( i \)가 \( Z \)를 횡단할 필요충분조건은 각 점 \( x \in X \cap Z \)에서 \( T_{x} X+T_{x} Z=T_{x} Y \)이다. 이때 \( X \)와 \( Z \)는 \( Y \) 내에서 횡단이라 한다.</p><p>정리 10.5.2 두 부분다양체 \( X, Z \subset Y \)가 횡단일 때 \( X \cap Z \)도 \( Y \)의 부분다양체이고 \( \operatorname{codim}(X \cap Z) = \operatorname{codim} X + \operatorname{codim} Z \)가 성립한다.</p><p>주의<ol type=1 start=1><li>부분다양체 \( X \)와 \( Z \)의 횡단성은 다양체 \( Y \)에 따라 달라진다. 예를 들면 \( x \)축과 \( y \)축은 \( \mathbb{R}^{2} \) 내에서는 횡단이지만 \( \mathbb{R}^{3} \) 내에서는 횡단이 아니다. 만일 \( \operatorname{dim} X + \operatorname{dim} Z< \operatorname{dim} Y \)이고 \( X \)와 \( Z \)가 횡단이면 \( X \cap Z=\phi \) 이다.</li><li>\( A: \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R}^{n} \)이 선형함수이고 \( V \)가 \( \mathbb{R}^{n} \)의 부분벡터공간일 때 \( A \)와 \( V \)가 횡단이라는 것은 \( A\left(\mathbb{R}^{k}\right) + V = \mathbb{R}^{n} \)을 의미한다.</li></ol></p> <p>정리 10.3.2 (국소몰입정리) 함수 \( f: X \rightarrow Y \)가 \( x \)에서 몰입이고 \( y=f(x) \)이면, \( \\ f\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right)=\left(x_{1}, \ldots, x_{k}, 0, \ldots, 0\right) \\ \) 이 되는 \( x \)에서 매개화 \( \phi: U \rightarrow X \)와 \( y \)에서 매개화 \( \psi: V \rightarrow Y \)가 존재한다.</p><p>증명 우선 다음 그림이 교환되는 국소매개화를 생각하자. \( \\ \phi(0)=x, \quad \psi(0)=y \\ \) \( f \)가 \( x \)에서 몰입이므로, \( d g_{0}: \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R}^{l} \)이 단사이다. \( \mathbb{R}^{l} \) 내의 기저를 바꾸어 선형함수 \( d g_{0} \)를 \( (l \times k) \) 행렬 \( \left(\begin{array}{c}I_{k} \\ 0\end{array}\right) \)으로 만들 수 있다. 여기서 \( I_{k} \)는 \( (k \times k) \) 단위행렬이다. 함수 \( \\ G: U \times \mathbb{R}^{l-k} \rightarrow \mathbb{R}^{l} \) 을 \( G(x, z)=g(x)+(0, z) \\ \) 로 정의하면, \( d G_{0} \)는 \( (l \times l) \)단위행렬 \( I_{l} \)이 된다. 음함수 정리에 의해서 함수 \( G \)는 \( 0 \in \mathbb{R}^{l} \)에서 국소미분동형함수이다. \( y \)에서 좌표화 \( \psi \)와 \( G \)가 0 에서 국소미분동형이므로, 합성함수 \( \psi \circ G \) 도 \( y \) 에서 매개화이다. 다음 다이어그램 \( \\ V^{\prime} \subset U \times \mathbb{R}^{l-k} \\ \) 은 교환이므로 \( f\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right)=\left(x_{1}, \ldots, x_{k}, 0, \ldots, 0\right) \)이다.</p><p>주의<ol type=1 start=1><li>\( f \)가 \( x \)에서 몰입이면 \( f \)는 \( x \)의 작은 근방에서 몰입이다.</li><li>\( \operatorname{dim} X=\operatorname{dim} Y \)이면 \( f: X \rightarrow Y \)가 \( x \in X \)에서 몰입일 필요충분조건은 \( f \)가 \( x \)에서 국소미분동형함수인 것이다.</li><li>\( f \) 가 모든 \( x \in X \) 에서 국소미분동형함수이고 전단사이면 미분동형함수이다.</li></ol></p><p>매그러운 함수 \( f: X \rightarrow Y \)가 몰입이라고 하자. 국소몰입정리에 의해서 \( x \in X \)의 작은 근방 \( W \)와 상 \( f(W) \subset Y \)는 미분동형이다. 따라서 \( f(X) \)의 각 점은 \( f(X) \)와 \( Y \) 내의 좌표화 내에 있게 할 수 있다. 그러나 \( f(W) \)가 \( f(X) \) 내에서 열린부분집합이 아닐 수 있으므로 \( f(X) \)가 일반적으로 \( Y \)의 부분다양체가 아니다.</p>	기하학	[ "<h1>10.1 미분다양체(Differentiable Manifold)</h1><p>\\( n \\)차원 유클리드 공간 \\( \\mathbb{R}^{n} \\)은 \\( n \\)개의 일차독립인 벡터를 가지는 벡터공간으로 내적을 가지는 공간이다.", "내적은 \\( \\mathbb{R}^{n} \\) 상에 거리를 주며 거리공간을 만든다.", "위상공간 \\( X \\)가 \\( X \\)의 각 점에서 유클리드 공간 \\( \\mathbb{R}^{n} \\)의 작은 근방과 같은 근방을 가질 때 \\( X \\)를 \\( n \\)차원 다양체(manifold)라 한다.", "점들은 0차원 다양체이고, 직선, 원, 삼각형이나 루프(loop)는 1차원 다양체이며, 평면, 구, 직육면체나 토러스는 2차원 다양체이다.", "이 장에서는 여러 종류의 다양체 중 매끄러운(미분할 수 있는) 미분다양체(differentiable manifold)에 대해서 공부할 것이다.", "</p><p>수학적인 용어로 다양체를 정의해보자.", "함수 \\( f \\)가 \\( \\mathbb{R}^{n} \\)의 열린집합 \\( U \\)에서 정의되고 \\( \\mathbb{R}^{m} \\)에서 값을 가진다 하자. \\", "( f \\)가 모든 차수의 연속인 도함수를 \\( U \\)상에서 가질 때 \\( f \\)를 매끄럽다(smooth)고 한다.", "위상공간 \\( X \\)가 유클리드 공간 \\( \\mathbb{R}^{n} \\) 내에 있다고 하자.", "각 점 \\( x \\in X \\)의 \\( \\mathbb{R}^{n} \\) 내의 열린근방 \\( U \\subset \\mathbb{R}^{n} \\)이 존재하고 매끄러운 함수 \\( F: U \\rightarrow \\mathbb{R}^{n} \\)이 존재하여 \\( U \\cap X \\) 상에서 \\( F=f \\)일 때 함수 \\( f: X \\rightarrow \\mathbb{R}^{m} \\)을 매끄럽다고 한다.", "정의로부터 매끄러움은 국소적인 성질이다.", "즉 \\( f: X \\rightarrow \\mathbb{R}^{m} \\)이 매끄럽다는 것은 \\( X \\)의 각 점 근방에서 \\( f \\)가 매끄럽다는 것이다.", "</p><p>\\( X \\)와 \\( Y \\)가 유클리드 공간의 부분집합이라 하자.", "매끄러운 함수 \\( f: X \\rightarrow Y \\)가 전단사이며 역함수 \\( f^{-1}: Y \\rightarrow X \\)도 매끄러울 때 \\( f \\)를 미분동형함수(diffeomorphism)라 한다.", "이때 두 공간 \\( X \\)와 \\( Y \\)를 미분동형(diffeomorphic)이라 한다.", "따라서 탁구공, 농구공, 그리고 럭비공은 미분동형이다.", "원은 타원과 미분동형이나 삼각형과는 미분동형이 아니다.", "</p><p>위상공간 \\( X \\)가 유클리드 공간 \\( \\mathbb{R}^{n} \\)의 부분공간이라고 하자.", "만일 \\( X \\)의 각 점 \\( x \\in X \\)가 \\( \\mathbb{R}^{k} \\)의 열린집합 \\( U \\)와 \\( X \\) 내에 \\( x \\)의 미분동형인 근방 \\( V \\)를 가질 때 \\( X \\)를 \\( k \\)차원 다양체라 하고, 이때 미분동형함수 \\( \\phi: U \\rightarrow V \\)를 근방 \\( V \\)의 매개변수화(parametrization)라 한다.", "역미분동형함수 \\( \\phi^{-1}: V \\rightarrow U \\)를 \\( V \\)상의 좌표계(coordinate system)라 하고, 이때 좌표계를 \\( \\phi^{-1} \\equiv\\left(x_{1}, \\ldots, x_{k}\\right) \\)로 나타내며, \\( k \\)개의 매끄러운 함수 \\( x_{1}, \\ldots, x_{k} \\)를 \\( V \\)상의 좌표함수(coordinate function)라 한다.", "일반적으로 점 \\( v \\in V \\)를 좌표 \\( \\left(x_{1}(v), \\ldots, x_{k}(v)\\right) \\in U \\)로 나타내고, \\( X \\)의 차원을 \\( \\operatorname{dim} X=k \\) 로 나타낸다.", "</p> <h1>10.3 몰입(Immersion)과 매장(Imbedding)</h1><p>우리가 연속함수 대신에 매끄러운 함수를 취급한 것은 다양체의 국소부분을 이해하기 위함이며, 국소부분의 성질이 모여 전체 다양체의 위상적 성질을 유도하기 위함이다.", "</p><p>\\( X \\)와 \\( Y \\)를 같은 차원의 다양체라 하자.", "함수 \\( f: X \\rightarrow Y \\)가 \\( x \\in X \\)의 근방을 \\( y=f(x) \\in Y \\)의 근방으로 미분동형으로 옮길 때, \\( f \\)를 \\( x \\)에서 국소미분동형 함수(local diffeomorphism)라고 한다.", "이때 \\( x \\)에서 \\( f \\)의 도함수 \\( d f_{x}: T_{x} X \\rightarrow T_{y} Y \\)는 선형동형이며, 그 역도 성립한다.", "</p><p>정리 10.3.1 (음함수 정리) 만일 \\( f: X \\rightarrow Y \\)가 매끄러운 함수이며 \\( x \\in X \\)에서 도함수 \\( d f_{x} \\)가 선형동형이면, \\( f \\)는 \\( x \\)에서 국소미분동형함수이다.", "</p><p>증명 증명은 매개변수화와 유클리드 공간에서의 음함수 정리를 이용하면 얻을 수 있다.", "</p><p>주의<ol type=1 start=1><li>음함수 정리에서 도함수 \\( d f_{x} \\)가 선형동형일 필요충분조건은 선형함수 \\( d f_{x} \\)의 행렬식이 0이 아님이며, 이의 필요충분조건이 \\( f \\)가 \\( x \\)에서 국소미분동형함수라는 것이다.", "</li><li>음함수 정리는 함수 \\( f \\)의 \\( x \\)에서 국소적인 성질이지 전 다양체상의 성질은 아니다.", "즉 모든 점 \\( x \\in X \\)에서 \\( d f_{x} \\)가 선형동형이라고 해서 \\( f \\)가 미분동형함수라고 할 수 없다.", "함수 \\( f: \\mathbb{R}^{1} \\rightarrow S^{1} \\)이 \\( f(x)= e^{2 \\pi i t} \\)라 하면, \\( f \\)는 모든 점에서 국소미분동형함수이지만 미분동형함수는 아니다.", "</li></ol></p><p>함수 \\( f: X \\rightarrow Y \\)에 음함수 정리를 사용하기 위해서는 적어도 \\( \\operatorname{dim} X =\\operatorname{dim} Y \\)이어야 한다.", "만일 \\( \\operatorname{dim} X \\leq \\operatorname{dim} Y \\)일 때 우리가 생각할 수 있는 것은 \\( d f_{x}: T_{x} X \\rightarrow T_{f(x)} Y \\)가 단사인 것이다.", "이때 \\( f \\)를 \\( x \\)에서 몰입(immersion)이라고 하고, \\( X \\)의 모든 점에서 \\( f \\)가 몰입일 때 \\( f \\)를 몰입이라고 한다.", "</p><p>예를 들면 \\( k \\leq l \\)에 대해 포함함수 \\(\\\\ i: \\mathbb{R}^{k} \\rightarrow \\mathbb{R}^{l}, i\\left(x_{1}, \\ldots, x_{k}\\right)=\\left(x_{1}, \\ldots, \\quad x_{k}, 0, \\ldots, 0\\right) \\\\\\) 은 몰입이다.", "</p> <h1>10.2 접공간(Tangent Space)</h1><p>먼저 유클리드 공간에서 도함수부터 생각해보자. \\", "( U \\)를 \\( \\mathbb{R}^{n} \\)의 열린부분집합이라 하고, \\( f: U \\rightarrow \\mathbb{R}^{m} \\)을 매끄러운 함수라 하자. \\", "( U \\)상의 점 \\( x \\in U \\)와 벡터 \\( h \\in \\mathbb{R}^{n} \\)에 대해서 \\( h \\)방향으로 \\( x \\)에서 \\( f \\)의 도함수(derivative)는 \\( \\\\ d f_{x}(h)=\\lim _{t \\rightarrow 0} \\frac{f(x+t h)-f(x)}{t} \\in \\mathbb{R}^{m} \\\\ \\) 이다.", "</p><p>도함수 \\( d f_{x}: \\mathbb{R}^{n} \\rightarrow \\mathbb{R}^{m} \\)은 선형함수이며 \\( f(y)=\\left(f_{1}(y), \\ldots, f_{m}(y)\\right) \\)로 쓰면 \\( d f_{x} \\) 의 야코비행렬(Jacobian matrix)은 \\( (m \\times n) \\) 행렬 \\( \\\\ \\left(\\begin{array}{ccc}\\frac{\\partial f_{1}}{\\partial x_{1}}(x), & \\ldots, & \\frac{\\partial f_{1}}{\\partial x_{n}}(x) \\\\ \\vdots & & \\vdots \\\\ \\frac{\\partial f_{m}}{\\partial x_{1}}(x), & \\ldots, & \\frac{\\partial f_{m}}{\\partial x_{n}}(x)\\end{array}\\right) \\\\ \\) 이다.", "</p><p>정리 10.2.1 \\( U \\subset \\mathbb{R}^{n}, V \\subset \\mathbb{R}^{m} \\)이 열린집합이고 \\( f: U \\rightarrow V, g: V \\rightarrow \\mathbb{R}^{l} \\)이 매끄러운 함수일 때, 각 점 \\( x \\in U \\)에서 도함수 \\( d(g \\circ f)_{x}=d g_{f(x)} \\circ d f_{x} \\)이다.", "</p><p>주의 위의 법칙을 연쇄법칙(chain rule)이라 한다.", "</p><p>만일 \\( f: U \\rightarrow \\mathbb{R}^{m} \\)이 선형함수이면 \\( d f_{x}=f \\)이다.", "따라서 함수의 도함수는 그 함수에 가장 가까운 선형함수이다.", "</p><p>\\( X \\)가 \\( \\mathbb{R}^{n} \\) 내에 있는 \\( k \\)차원 다양체라 하고, \\( \\phi: U \\rightarrow X \\)를 \\( x \\in X \\) 에서 매개변수화라 하자.", "여기서 \\( U \\)는 \\( \\mathbb{R}^{k} \\)의 열린집합이다. \\", "( \\phi(0)=x \\)라 하자.", "도함수 \\( d \\phi_{0}: \\mathbb{R}^{k} \\rightarrow \\mathbb{R}^{n} \\)의 상을 \\( x \\)에서 \\( X \\)의 접공간(tangent space)이라고 하고, \\( \\\\ T_{x} X \\\\ \\) 로 나타낸다. \\", "( x_{1} \\neq x_{2} \\)이면 \\( T_{x_{1}} X \\cap T_{x_{2}} X=\\phi \\) 이므로 접공간 \\( T_{x} X \\)는 \\( x+T_{x} X \\)이다.", "</p><p>정리 10.2.2 만일 \\( \\phi: U \\rightarrow X \\)와 \\( \\psi: V \\rightarrow X \\)가 \\( x \\in X \\)에서 두 매개변수화라면 \\( d \\phi_{0}\\left(\\mathbb{R}^{k}\\right)=d \\psi_{0}\\left(\\mathbb{R}^{k}\\right)=T_{x} X \\subset \\mathbb{R}^{n} \\)이다.", "</p><p>증명 매개변수화의 정의에 따라 \\( x \\in \\phi(U)=\\psi(V) \\)라고 가정하자.", "그러면 합성함수 \\( h=\\psi^{-1} \\circ \\phi: U \\rightarrow V \\)는 미분동형함수이고, \\( \\phi=\\psi \\circ\\left(\\psi^{-1}\\right. \\", "circ \\phi)=\\psi \\circ h \\) 이며, \\( d \\phi_{0}=d \\psi_{0} \\circ d h_{0} \\)이다.", "따라서 \\( d \\phi_{0}\\left(\\mathbb{R}^{k}\\right) \\subset d \\psi_{0}\\left(\\mathbb{R}^{k}\\right) \\)이다.", "역으로 \\( h^{-1}=\\phi^{-1} \\circ \\psi \\)를 생각하면 \\( d \\phi_{0}\\left(\\mathbb{R}^{k}\\right) \\supset d \\psi_{0}\\left(\\mathbb{R}^{k}\\right) \\)이다.", "접공간 \\( d \\phi_{0}\\left(\\mathbb{R}^{k}\\right)=d \\psi_{0}\\left(\\mathbb{R}^{k}\\right)=T_{x} X \\)는 잘 정의된다.", "</p> <p>계 10.4.3 \\( k \\)차원 다양체 \\( X \\) 상에서 정의된 실함수 \\( g_{1}, \\ldots, g_{l}(k \\geq l) \\)이 \\( Z \\bigcap_{i=1}^{l} g_{i}^{-1}(0) \\) 상에서 독립이면 \\( Z \\)는 \\( X \\)의 \\( (k-l) \\)차원 부분다양체이다. \\", "( Z \\)가 \\( X \\)의 부분다양체일 때 \\( \\operatorname{codim} Z=\\operatorname{dim} X-\\operatorname{dim} Z \\)를 \\( X \\)에서 \\( Z \\)의 여차원(codimension)이라 한다.", "</p><p>정리 10.4.4 만일 \\( y \\in Y \\)가 \\( f: X \\rightarrow Y \\)의 정칙값이면 부분다양체 \\( f^{-1}(y) \\)는 독립인 함수의 공동 0으로 나타난다.", "</p><p>증명 \\( y \\)에서 좌표계 \\( \\phi: W \\rightarrow \\mathbb{R}^{l}, \\phi(y)=0 \\)을 생각하자.", "함수 \\( g=\\phi \\circ f: f^{-1}(W) \\subset X \\rightarrow \\mathbb{R}^{l} \\)은 매끄러운 함수이며 0이 \\( y \\)의 정칙값이다.", "따라서 \\( g \\)의 좌표함수 \\( g_{1}, \\ldots, g_{l} \\)이 구하는 독립인 함수이다.", "</p><p>정리 10.4.5 \\( X \\)의 모든 부분다양체는 국소적으로 독립인 함수의 공동 0으로 나타난다.", "</p><p>증명 \\( Z \\)를 \\( X \\)의 여차원이 \\( l \\)인 부분다양체라 하자.", "국소몰입정리에 의해서 \\( z \\in Z \\subset X \\)의 국소매개화 \\( \\phi: U \\subset \\mathbb{R}^{k} \\rightarrow W(z) \\subset X \\)를 \\( W \\cap Z \\)의 좌표계 \\( \\left(x_{1}, \\ldots, x_{k-l}, 0, \\ldots, 0\\right) \\)로 잡을 수 있다.", "그러면 마지막 \\( l \\)개의 좌표계가 구하는 \\( g_{1}, \\ldots, g_{l} \\) 함수이다.", "</p><p>주의 모든 부분다양체는 국소적으로 실함수들의 공동 0으로 나타나지만 전체에서 정의된 실함수의 공동 0으로 나타난다고 할 수는 없다.", "</p><p>정리 10.4.6 함수 \\( f: X \\rightarrow Y \\)의 정칙값 \\( y \\in Y \\)의 원상을 \\( f^{-1}(y)=Z \\)라 하면 \\( x \\in Z \\)에서 도함수 \\( d f_{x}: T_{x} X \\rightarrow T_{y} Y \\)의 핵은 \\( d f_{x}^{-1}(0)=T_{x} Z \\)이다.", "</p><p>증명 \\( y \\in Y \\)가 \\( f \\)의 정칙값이므로 \\( Z=f^{-1}(y) \\)의 \\( X \\)의 부분다양체이며 \\( \\operatorname{dim} Z =\\operatorname{dim} X-\\operatorname{dim} Y \\)이다. \\", "( x \\in Z \\)가 \\( d f_{x}: T_{x} X \\rightarrow T_{y} Y \\)에서 \\( \\\\ d f_{x}^{-1}(0) \\supset T_{x} Z \\\\ \\) 이고, \\( \\\\ \\begin{aligned} \\operatorname{dim} d f_{x}^{-1}(0) &=\\operatorname{dim} T_{x} X-\\operatorname{dim} T_{y} Y \\\\ &=\\operatorname{dim} X-\\operatorname{dim} Y \\\\ &=\\operatorname{dim} Z \\\\ &=\\operatorname{dim} T_{x} Z \\end{aligned} \\\\ \\) 이므로 \\( \\\\ d f_{x}^{-1}(0)=T_{x} Z \\\\ \\) 이다.", "</p> <p>예 10.5.1<ol type=1 start=1><li>함수 \\( f: \\mathbb{R}^{1} \\rightarrow \\mathbb{R}^{2} \\)가 \\( f(t)=(0, t) \\)로 주어지고 \\( Z \\)를 \\( x \\)축이라 하면 \\( f \\)가 \\( Z \\)를 횡단한다.", "</li><li>만일 \\( g: \\mathbb{R}^{1} \\rightarrow \\mathbb{R}^{2} \\)가 \\( g(t)=\\left(t, t^{2}\\right) \\)으로 주어지면 \\( g \\)는 \\( x \\)축을 횡단하지 못한다.", "</li></ol><p>다음은 함수 \\( i: X \\rightarrow Y \\)를 부분다양체 \\( X \\)의 포함함수라 하고, \\( Z \\subset Y \\)는 다른 부분다양체라 하자.", "한 점 \\( x \\in i^{-1}(Z)=X \\cap Z \\)에서 도함수 \\( d i_{x}: T_{x} X \\rightarrow T_{x} Y \\)는 포함선형함수이다.", "따라서 \\( i \\)가 \\( Z \\)를 횡단할 필요충분조건은 각 점 \\( x \\in X \\cap Z \\)에서 \\( T_{x} X+T_{x} Z=T_{x} Y \\)이다.", "이때 \\( X \\)와 \\( Z \\)는 \\( Y \\) 내에서 횡단이라 한다.", "</p><p>정리 10.5.2 두 부분다양체 \\( X, Z \\subset Y \\)가 횡단일 때 \\( X \\cap Z \\)도 \\( Y \\)의 부분다양체이고 \\( \\operatorname{codim}(X \\cap Z) = \\operatorname{codim} X + \\operatorname{codim} Z \\)가 성립한다.", "</p><p>주의<ol type=1 start=1><li>부분다양체 \\( X \\)와 \\( Z \\)의 횡단성은 다양체 \\( Y \\)에 따라 달라진다.", "예를 들면 \\( x \\)축과 \\( y \\)축은 \\( \\mathbb{R}^{2} \\) 내에서는 횡단이지만 \\( \\mathbb{R}^{3} \\) 내에서는 횡단이 아니다.", "만일 \\( \\operatorname{dim} X + \\operatorname{dim} Z< \\operatorname{dim} Y \\)이고 \\( X \\)와 \\( Z \\)가 횡단이면 \\( X \\cap Z=\\phi \\) 이다.", "</li><li>\\( A: \\mathbb{R}^{k} \\rightarrow \\mathbb{R}^{n} \\)이 선형함수이고 \\( V \\)가 \\( \\mathbb{R}^{n} \\)의 부분벡터공간일 때 \\( A \\)와 \\( V \\)가 횡단이라는 것은 \\( A\\left(\\mathbb{R}^{k}\\right) + V = \\mathbb{R}^{n} \\)을 의미한다.", "</li></ol></p> <p>정리 10.3.2 (국소몰입정리) 함수 \\( f: X \\rightarrow Y \\)가 \\( x \\)에서 몰입이고 \\( y=f(x) \\)이면, \\( \\\\ f\\left(x_{1}, \\ldots, x_{k}\\right)=\\left(x_{1}, \\ldots, x_{k}, 0, \\ldots, 0\\right) \\\\ \\) 이 되는 \\( x \\)에서 매개화 \\( \\phi: U \\rightarrow X \\)와 \\( y \\)에서 매개화 \\( \\psi: V \\rightarrow Y \\)가 존재한다.", "</p><p>증명 우선 다음 그림이 교환되는 국소매개화를 생각하자. \\", "( \\\\ \\phi(0)=x, \\quad \\psi(0)=y \\\\ \\) \\( f \\)가 \\( x \\)에서 몰입이므로, \\( d g_{0}: \\mathbb{R}^{k} \\rightarrow \\mathbb{R}^{l} \\)이 단사이다. \\", "( \\mathbb{R}^{l} \\) 내의 기저를 바꾸어 선형함수 \\( d g_{0} \\)를 \\( (l \\times k) \\) 행렬 \\( \\left(\\begin{array}{c}I_{k} \\\\ 0\\end{array}\\right) \\)으로 만들 수 있다.", "여기서 \\( I_{k} \\)는 \\( (k \\times k) \\) 단위행렬이다.", "함수 \\( \\\\ G: U \\times \\mathbb{R}^{l-k} \\rightarrow \\mathbb{R}^{l} \\) 을 \\( G(x, z)=g(x)+(0, z) \\\\ \\) 로 정의하면, \\( d G_{0} \\)는 \\( (l \\times l) \\)단위행렬 \\( I_{l} \\)이 된다.", "음함수 정리에 의해서 함수 \\( G \\)는 \\( 0 \\in \\mathbb{R}^{l} \\)에서 국소미분동형함수이다. \\", "( y \\)에서 좌표화 \\( \\psi \\)와 \\( G \\)가 0 에서 국소미분동형이므로, 합성함수 \\( \\psi \\circ G \\) 도 \\( y \\) 에서 매개화이다.", "다음 다이어그램 \\( \\\\ V^{\\prime} \\subset U \\times \\mathbb{R}^{l-k} \\\\ \\) 은 교환이므로 \\( f\\left(x_{1}, \\ldots, x_{k}\\right)=\\left(x_{1}, \\ldots, x_{k}, 0, \\ldots, 0\\right) \\)이다.", "</p><p>주의<ol type=1 start=1><li>\\( f \\)가 \\( x \\)에서 몰입이면 \\( f \\)는 \\( x \\)의 작은 근방에서 몰입이다.", "</li><li>\\( \\operatorname{dim} X=\\operatorname{dim} Y \\)이면 \\( f: X \\rightarrow Y \\)가 \\( x \\in X \\)에서 몰입일 필요충분조건은 \\( f \\)가 \\( x \\)에서 국소미분동형함수인 것이다.", "</li><li>\\( f \\) 가 모든 \\( x \\in X \\) 에서 국소미분동형함수이고 전단사이면 미분동형함수이다.", "</li></ol></p><p>매그러운 함수 \\( f: X \\rightarrow Y \\)가 몰입이라고 하자.", "국소몰입정리에 의해서 \\( x \\in X \\)의 작은 근방 \\( W \\)와 상 \\( f(W) \\subset Y \\)는 미분동형이다.", "따라서 \\( f(X) \\)의 각 점은 \\( f(X) \\)와 \\( Y \\) 내의 좌표화 내에 있게 할 수 있다.", "그러나 \\( f(W) \\)가 \\( f(X) \\) 내에서 열린부분집합이 아닐 수 있으므로 \\( f(X) \\)가 일반적으로 \\( Y \\)의 부분다양체가 아니다.", "</p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "415", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "위상수학", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "772a8b07-1ee50130-ea79-4fae-a7a9-c7846fe71fb5", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961053365", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2010", "doc_author": [ "조용승" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }
134	<h2>3) 표준형식 정언명제</h2> <p>삼단논법은 두 전제로부터 결론이 추리되는 연역논증이다. 정언삼단논법은 세 개의 명제와 세 개의 개념으로 이루어진 논증이다. 결론의 주개념을 소개념(S) 이라고 하고 빈개념을 대개념(P) 이라고 한다. 그리고 전제에서만 등장하는 개념을 매개념(M)이라고 한다.</p> <p>대개념이 등장하는 전제를 대전제라고 하고 소개념이 등장하는 전제를 소전제라고 한다. 정언적 삼단논법의 전제와 결론이 모두 표준형식의 정언명제이고 표준순서로 배열되어 있을 때 표준형식의 정언삼단논법이라고 부른다. 즉 논증에 등장하는 명제가 모두 표준형식의 정언명제이고 명제들의 배열이 대전제 \( \rightarrow \) 소전제 \( \rightarrow \) 결론인 경우를 표준형식의 정언삼단논법이라고 한다.</p> <p>그러나 주의할 점은 대전제가 그 위치에 의해서 결정되는 것이 아니라, 대명사(결론의 빈개념)를 포함하고 있는 전제가 대전제가 된다는 것이다. 또한 소전제도 그 전제의 위치에 의해서 결정되는 것이 아니라 소명사(결론의 주개념)를 가지고 있는 전제가 소전제가 된다.</p> <p>표준형식의 정언명제는 유럽지역에서 다음과 같은 형식으로 나타낸다.</p> <p>"양화사 \(+\) 주어 \(+\) 계사 \(+\) 술어"</p> <p>하지만 우리말에서는</p> <p>"양화사 \(+\) 주어 \(+\) 술어 \(+\) 계사"</p> <p>순서로 배열된다.</p> <p>이러한 표준형식의 정언명제는 명제의 질과 양에 의해서 네 가지로 나누어진다. 즉 A명제, E명제, I명제, O명제이다. AEIO식은 라틴어의 Affimo(나는 긍정한다)와 Nego(나는 부정한다)에서 유래되었다. 표준형식의 정언명제는 다음과 같다.</p> <ol type=1 start=1><li>전칭 긍정명제(A명제) : 모든 S는 P이다.</li> <li>전칭 부정명제(E명제) : 모든 S는 P가 아니다 또는 어떠한 S도 P가 아니다.</li> <li>특칭 긍정명제(I명제) : 어떤 S는 P이다 또는 P인 S가 최소한 하나 이상 있다.</li> <li>특칭 부정명제(O명제) : 어떤 S는 P가 아니다 혹은 P가 아닌 S가 최소한 하나이상 있다.</li></ol> <p>이것을 주연관계로 살펴 볼 수 있다.</p> <p>명제가 주장하는 내용이 주개념(혹은 빈개념) 전체에 미칠 경우 주개념(혹은 빈개념)은 주연 된다. 다시 말해서 어떤 명사의 외연 속에 포함되는 모든 개체에 대해 언급되었을 때, 그 명사는 주연(distribution)되었다고 하고 어떤 명사의 외연(extension)의 일부분에 해당되는 것을 언급되었을 때, 그 명사는 부주연(undistribution)되었다고 말한다. 여기서 외연이란 어떤 명사가 지시하는 전체 범위를 의미한다.</p> <p>모든 남성은 동물이다." (A명제)</p> <p>오일러의 도식으로 아래 그림과 같이 나타낼 수 있다.</p> <p>이 경우 남성이면서 동물이 아닌 경우는 없으므로 주어는 주연되고 있지만, 동물이면서 남성이 아닌 경우는 있으므로 술어는 부주연 되고 있다.</p> <p>“모든 고양이는 참새가 아니다.” (E명제)</p> <p>이 경우는 고양이 전체가 참새가 아니면서 참새 전체가 고양이가 아님을 주장하고 있으므로 주어와 술어는 모두 주연 된다.</p> <p>"어떤 과학자는 여성이다." (I명제)</p> <p>이 경우는 과학자 전체가 여성이라고 주장하고 있는 것도 아니고 여성 모두가 과학자라고 주장하는 것이 아니라 과학자 중 일부가 여성이고 여성 중 일부가 과학자라고 주장하고 있으므로 주어와 술어 모두가 부주연 된다.</p> <p>“어떤 정치가는 거짓말쟁이가 아니다.” (O명제)</p> <p>이 경우는 일부의 정치가가 거짓말쟁이 집합에서 완전히 배제되었음을 주장하므로 빈개념은 주연된다. 그러나 모든 정치가가 거짓말쟁이 집합에서 완전히 배제되었음을 주장하고 있지는 않으므로 주개념은 부주연 된다. 따라서 A명제의 주개념은 주연되고 빈개념은 부주연 된다.</p> <p>E명제는 주개념과 빈개념 모두 주연된다. I명제는 주개념과 빈개념 모두 부주연 된다. 그리고 O명제의 주개념은 부주연이지만 빈개념은 주연된다. 이들이 갖는 성질을 검토해보면 전칭명제는 주개념을 주연시키고 특칭명제는 주개념을 부주연시킨다는 것을 알 수 있다. 그리고 긍정명제는 빈개념을 부주연시키고 부정명제는 빈개념을 주연시킴을 알 수 있다.</p> <p>다시 한 번 정리해보면, 사람들이 모든 S(주개념)에 대해 이야기하느냐 아니면 단지 몇 개의 S(주개념)에 대해서만 이야기하느냐에 따라, 그리고 사람들이 P(빈개념)인 것에 대해 이야기하느냐 아니면 P(빈개념)가 아닌 것에 대해 이야기하느냐에 따라, 여기서 두 가지의 성질에 대한 네 가지의 명제를 얻을 수 있다.</p> <table border><tbody><tr><td>명제의 형식</td><td>예</td><td>일반형</td><td>명제의 부류</td></tr><tr><td>A</td><td>모든 개는 털이 많다.</td><td>모든 S는 P이다.</td><td>전칭 긍정</td></tr><tr><td>E</td><td>모든 개는 털이 많지 않다.</td><td>모든 S는 P가 아니다.</td><td>전칭 부정</td></tr><tr><td>I</td><td>어떤 개는 털이 많다.</td><td>어떤 S는 P이다.</td><td>특칭 긍정</td></tr><tr><td>O</td><td>어떤 개는 털이 많지 않다.</td><td>어떤 S는 P가 아니다.</td><td>특칭 부정</td></tr></tbody></table> <p>대개의 경우 비표준적 정언명제가 등장하기 때문에 비표준적 정언명제를 표준형식 정언명제로 변환하고 난 이후에 타당성 검토를 하게 된다.</p> <p>따라서 정언삼단논법에 대해 이해하기 위해서는 정언면제가 무엇인가와 비표준적 정언명제를 표준형식 정언명제로 변환하는 방법을 알고 있어야 한다.</p> <p> <뱀 그리기></p> <p>옛날 초나라의 어떤 사람이 제사를 지낸 후 일꾼들을 대접하려고 술 한 병을 내놓았다. 일꾼들은 여러 명인데 술이 한 병뿐이라 누가 마실 것인가를 반나절이나 의논해봤지만 뾰족한 수가 나오지 않았다.</p> <p>그런데 누군가 이렇게 제의하는 것이었다.</p> <p>"각자 땅바닥에다 뱀을 그리기로 하고, 그 중 제일 빨리 그린 사람이 그 술을 차지하는 것이 어떻겠소?"</p> <p>그러자 모두들 그 방법이 좋겠다고 찬성했다. 그래서 내기가 시작되었다.</p> <p>한 젊은이는 순식간에 뱀을 다 그렸다. 따라서 술은 그의 차지가 되기 마련이었다. 여유만만한 표정의 젊은이는 옆 사람들을 살펴보았으나 누구도 채 그리지 못한 상태였다. 그래서 그는 왼손에 술병을 거머쥐고 오른손에는 그림을 그리던 나뭇가지를 쥔 채 의기양양하게 말했다.</p> <p>"아니, 뭐가 어렵다고 그렇게들 꾸물대고 있소? 그 사이에 난 또 발까지 몇 개 그려 넣겠소이다."</p> <p>그가 뱀의 발을 그리는 동안 다른 사람이 뱀을 다 그리고는 술병을 슬쩍 빼앗아 쥐면서 말했다.</p> <p>“뱀에게는 발이 없는데 당신은 왜 발을 그렸소! 그러니 제일 먼저 뱀을 그린 사람은 당신이 아니라 바로 나요!"</p> <p>말을 마치자 그 사람은 떳떳이 술병을 들고 말시기 시작했다.</p>	수학	[ "<h2>3) 표준형식 정언명제</h2> <p>삼단논법은 두 전제로부터 결론이 추리되는 연역논증이다.", "정언삼단논법은 세 개의 명제와 세 개의 개념으로 이루어진 논증이다.", "결론의 주개념을 소개념(S) 이라고 하고 빈개념을 대개념(P) 이라고 한다.", "그리고 전제에서만 등장하는 개념을 매개념(M)이라고 한다.", "</p> <p>대개념이 등장하는 전제를 대전제라고 하고 소개념이 등장하는 전제를 소전제라고 한다.", "정언적 삼단논법의 전제와 결론이 모두 표준형식의 정언명제이고 표준순서로 배열되어 있을 때 표준형식의 정언삼단논법이라고 부른다.", "즉 논증에 등장하는 명제가 모두 표준형식의 정언명제이고 명제들의 배열이 대전제 \\( \\rightarrow \\) 소전제 \\( \\rightarrow \\) 결론인 경우를 표준형식의 정언삼단논법이라고 한다.", "</p> <p>그러나 주의할 점은 대전제가 그 위치에 의해서 결정되는 것이 아니라, 대명사(결론의 빈개념)를 포함하고 있는 전제가 대전제가 된다는 것이다.", "또한 소전제도 그 전제의 위치에 의해서 결정되는 것이 아니라 소명사(결론의 주개념)를 가지고 있는 전제가 소전제가 된다.", "</p> <p>표준형식의 정언명제는 유럽지역에서 다음과 같은 형식으로 나타낸다.", "</p> <p>\"양화사 \\(+\\) 주어 \\(+\\) 계사 \\(+\\) 술어\"</p> <p>하지만 우리말에서는</p> <p>\"양화사 \\(+\\) 주어 \\(+\\) 술어 \\(+\\) 계사\"</p> <p>순서로 배열된다.", "</p> <p>이러한 표준형식의 정언명제는 명제의 질과 양에 의해서 네 가지로 나누어진다.", "즉 A명제, E명제, I명제, O명제이다.", "AEIO식은 라틴어의 Affimo(나는 긍정한다)와 Nego(나는 부정한다)에서 유래되었다.", "표준형식의 정언명제는 다음과 같다.", "</p> <ol type=1 start=1><li>전칭 긍정명제(A명제) : 모든 S는 P이다.", "</li> <li>전칭 부정명제(E명제) : 모든 S는 P가 아니다", "또는 어떠한 S도 P가 아니다.", "</li> <li>특칭 긍정명제(I명제) : 어떤 S는 P이다", "또는 P인 S가 최소한 하나 이상 있다.", "</li> <li>특칭 부정명제(O명제) : 어떤 S는 P가 아니다", "혹은 P가 아닌 S가 최소한 하나이상 있다.", "</li></ol> <p>이것을 주연관계로 살펴 볼 수 있다.", "</p> <p>명제가 주장하는 내용이 주개념(혹은 빈개념) 전체에 미칠 경우 주개념(혹은 빈개념)은 주연 된다.", "다시 말해서 어떤 명사의 외연 속에 포함되는 모든 개체에 대해 언급되었을 때, 그 명사는 주연(distribution)되었다고 하고 어떤 명사의 외연(extension)의 일부분에 해당되는 것을 언급되었을 때, 그 명사는 부주연(undistribution)되었다고 말한다.", "여기서 외연이란 어떤 명사가 지시하는 전체 범위를 의미한다.", "</p> <p>모든 남성은 동물이다.", "\" (A명제)</p> <p>오일러의 도식으로 아래 그림과 같이 나타낼 수 있다.</p> <p>이 경우 남성이면서 동물이 아닌 경우는 없으므로 주어는 주연되고 있지만, 동물이면서 남성이 아닌 경우는 있으므로 술어는 부주연 되고 있다.</p> <p>“모든 고양이는 참새가 아니다.” (E명제)</p> <p>이 경우는 고양이 전체가 참새가 아니면서 참새 전체가 고양이가 아님을 주장하고 있으므로 주어와 술어는 모두 주연 된다.</p> <p>\"어떤 과학자는 여성이다.", "\" (I명제)</p> <p>이 경우는 과학자 전체가 여성이라고 주장하고 있는 것도 아니고 여성 모두가 과학자라고 주장하는 것이 아니라 과학자 중 일부가 여성이고 여성 중 일부가 과학자라고 주장하고 있으므로 주어와 술어 모두가 부주연 된다.</p> <p>“어떤 정치가는 거짓말쟁이가 아니다.” (O명제)</p> <p>이 경우는 일부의 정치가가 거짓말쟁이 집합에서 완전히 배제되었음을 주장하므로 빈개념은 주연된다. 그러나 모든 정치가가 거짓말쟁이 집합에서 완전히 배제되었음을 주장하고 있지는 않으므로 주개념은 부주연 된다. 따라서 A명제의 주개념은 주연되고 빈개념은 부주연 된다.</p> <p>E명제는 주개념과 빈개념 모두 주연된다. I명제는 주개념과 빈개념 모두 부주연 된다. 그리고 O명제의 주개념은 부주연이지만 빈개념은 주연된다. 이들이 갖는 성질을 검토해보면 전칭명제는 주개념을 주연시키고 특칭명제는 주개념을 부주연시킨다는 것을 알 수 있다. 그리고 긍정명제는 빈개념을 부주연시키고 부정명제는 빈개념을 주연시킴을 알 수 있다.</p> <p>다시 한 번 정리해보면, 사람들이 모든 S(주개념)에 대해 이야기하느냐 아니면 단지 몇 개의 S(주개념)에 대해서만 이야기하느냐에 따라, 그리고 사람들이 P(빈개념)인 것에 대해 이야기하느냐 아니면 P(빈개념)가 아닌 것에 대해 이야기하느냐에 따라, 여기서 두 가지의 성질에 대한 네 가지의 명제를 얻을 수 있다.</p> <table border><tbody><tr><td>명제의 형식</td><td>예</td><td>일반형</td><td>명제의 부류</td></tr><tr><td>A</td><td>모든 개는 털이 많다.</td><td>모든 S는 P이다.</td><td>전칭 긍정</td></tr><tr><td>E</td><td>모든 개는 털이 많지 않다.</td><td>모든 S는 P가 아니다.</td><td>전칭 부정</td></tr><tr><td>I</td><td>어떤 개는 털이 많다.</td><td>어떤 S는 P이다.</td><td>특칭 긍정</td></tr><tr><td>O</td><td>어떤 개는 털이 많지 않다.</td><td>어떤 S는 P가 아니다.</td><td>특칭 부정</td></tr></tbody></table> <p>대개의 경우 비표준적 정언명제가 등장하기 때문에 비표준적 정언명제를 표준형식 정언명제로 변환하고 난 이후에 타당성 검토를 하게 된다.</p> <p>따라서 정언삼단논법에 대해 이해하기 위해서는 정언면제가 무엇인가와 비표준적 정언명제를 표준형식 정언명제로 변환하는 방법을 알고 있어야 한다.</p> <p> <뱀 그리기></p> <p>옛날 초나라의 어떤 사람이 제사를 지낸 후 일꾼들을 대접하려고 술 한 병을 내놓았다. 일꾼들은 여러 명인데 술이 한 병뿐이라 누가 마실 것인가를 반나절이나 의논해봤지만 뾰족한 수가 나오지 않았다.</p> <p>그런데 누군가 이렇게 제의하는 것이었다.</p> <p>\"각자 땅바닥에다 뱀을 그리기로 하고, 그 중 제일 빨리 그린 사람이 그 술을 차지하는 것이 어떻겠소?", "\"</p> <p>그러자 모두들 그 방법이 좋겠다고 찬성했다. 그래서 내기가 시작되었다.</p> <p>한 젊은이는 순식간에 뱀을 다 그렸다. 따라서 술은 그의 차지가 되기 마련이었다. 여유만만한 표정의 젊은이는 옆 사람들을 살펴보았으나 누구도 채 그리지 못한 상태였다. 그래서 그는 왼손에 술병을 거머쥐고 오른손에는 그림을 그리던 나뭇가지를 쥔 채 의기양양하게 말했다.</p> <p>\"아니, 뭐가 어렵다고 그렇게들 꾸물대고 있소?", "그 사이에 난 또 발까지 몇 개 그려 넣겠소이다.", "\"</p> <p>그가 뱀의 발을 그리는 동안 다른 사람이 뱀을 다 그리고는 술병을 슬쩍 빼앗아 쥐면서 말했다.</p> <p>“뱀에게는 발이 없는데 당신은 왜 발을 그렸소! 그러니 제일 먼저 뱀을 그린 사람은 당신이 아니라 바로 나요!\"", "</p> <p>말을 마치자 그 사람은 떳떳이 술병을 들고 말시기 시작했다.", "</p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "410.1", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "m812-논리와 사고", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "96aba9d6-1cd2ab4c-efec-4a41-9586-0b7d0cd43eaf", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961058124", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2014", "doc_author": [ "김동건" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }
135	<p>\( \sigma ^ { 2 } = \operatorname { Var } (X)=E \left [(X- \mu) ^ { 2 } \right ] \) \( = \left \{\begin {array} { ll } \sum_ { 모든 } (x- \mu) ^ { 2 } f(x), & \text { 이산형인 경우, } \\ \int_ { - \infty } ^ {\infty } (x- \mu) ^ { 2 } f(x) d x, & \text { 연속형인 경우 } \end {array} \right . \) 그러면 기댓값의 성질로부터 다음과 같이 간편한 공식을 얻을 수 있다.</p> <p>\( \sigma ^ { 2 } = \operatorname { Var } (X)=E \left (X ^ { 2 } \right )- \mu ^ { 2 } \)</p> <p>그리고 확률변수 \( X \) 의 표준편차(standard deviation)는 다음과 같이 정의된다.</p> <p>\( \sigma=S D(X)= \sqrt { E \left [(X- \mu) ^ { 2 } \right ] } \)</p> <p>그러면 임의의 상수 \( a, b \) 에 대하여 분산과 표준편차에 대한 다음 성질들을 쉽게 얻을 수 있다.</p> <p>(1) \( \operatorname { Var } (a)=0 \quad S D(a)=0 \)</p> <p>(2) \( \operatorname { Var } (a X)=a ^ { 2 } \operatorname { Var } (X) \quad S D(a X)=\|a\| S D(X) \)</p> <p>(3) \( \operatorname { Var } (a X + b)=a ^ { 2 } \operatorname { Var } (X) \quad S D(a X + b)=\|a\| S D(X) \)</p> <p>예제 1</p> <p>연간 보험금 지급 건수 \( X \) 에 대한 다음 표본에 대하여 \( X \) 와 \( 2 X-1 \) 의 표준편차를 구하여라.</p> <table border><tbody><tr><td>계약자 수의 상대도수</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>합계</td></tr><tr><td>\( \boldsymbol { X } \)</td><td>\( 0.8553 \)</td><td>\( 0.0963 \)</td><td>\( 0.0462 \)</td><td>\( 0.0017 \)</td><td>\( 0.0004 \)</td><td>\( 0.0001 \)</td><td>\( 1.0000 \)</td></tr></tbody></table> <p>예제 2</p> <p>보헙급 지급요청을 최대 두 번까지 신청할 수 있는 보혐증권에 대하여, 보혐 가입자가 보헙금 지급요청을 한 번 신청할 확률이 \( 0.15 \) 이고 두 번 신청할 확률온 \( 0.05 \) 라고 한다. 한편 각 지급요청에 대하여 한 번 신청할 경우에 지급되는 평균 보혐지급금은 \( 1,000 \$ \), 두 번 신청할 경우의 평균 지급금은 \( 2,000 \$ \) 이며, 각각의 경우에 지급된 보헙급의 분산은 \( 25,000 \$ \) 와 \( 10,000 \$ \) 라는 정보를 갖고 있다.</p> <p>(1) 임의로 선정된 보헙 가입자에게 지급될 평균 보헙금을 구하여라.</p> <p>(2) 보험 가입자에게 지급될 보혐급의 표준편차를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>(1) 지급될 보협금액을 \( X \) 라 하고, 보험 가입자에 의하여 신청된 보험금 지급요구 건수를 \( Y \) 라 하자. 그러면 보헙금 지급요청은 많아야 두 번이므로 다음과 같은 \( Y \) 의 확률분포를 얻는다.</p> <table border><tbody><tr><td>\( Y \)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td></tr><tr><td>\( f_ { Y } (y) \)</td><td>0.80</td><td>0.15</td><td>0.05</td></tr></tbody></table> <p>폴이</p> <p>보험금 지급 건수 \( X \) 에 대응하는 상대도수에 의한 확률을 \( f(x) \) 라 하면,</p> <table border><tbody><tr><td>\( x \)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td></tr><tr><td>\( x ^ { 2 } \)</td><td>0</td><td>1</td><td>4</td><td>9</td><td>16</td><td>25</td></tr><tr><td>\( f(x) \)</td><td>\( 0.8553 \)</td><td>\( 0.0963 \)</td><td>\( 0.0462 \)</td><td>\( 0.0017 \)</td><td>\( 0.0004 \)</td><td>\( 0.0001 \)</td></tr><tr><td>\( x f(x) \)</td><td>0</td><td>\( 0.0963 \)</td><td>\( 0.0924 \)</td><td>\( 0.0051 \)</td><td>\( 0.0016 \)</td><td>\( 0.0005 \)</td></tr><tr><td>\( x ^ { 2 } f(x) \)</td><td>0</td><td>\( 0.0963 \)</td><td>\( 0.1848 \)</td><td>\( 0.0153 \)</td><td>\( 0.0064 \)</td><td>\( 0.0025 \)</td></tr></tbody></table>	보험	[ "<p>\\( \\sigma ^ { 2 } = \\operatorname { Var } (X)=E \\left [(X- \\mu) ^ { 2 } \\right ] \\) \\( = \\left \\{\\begin {array} { ll } \\sum_ { 모든 } (x- \\mu) ^ { 2 } f(x), & \\text { 이산형인 경우, } \\\\ \\int_ { - \\infty } ^ {\\infty } (x- \\mu) ^ { 2 } f(x) d x, & \\text { 연속형인 경우 } \\end {array} \\right . \\)", "그러면 기댓값의 성질로부터 다음과 같이 간편한 공식을 얻을 수 있다.", "</p> <p>\\( \\sigma ^ { 2 } = \\operatorname { Var } (X)=E \\left (X ^ { 2 } \\right )- \\mu ^ { 2 } \\)</p> <p>그리고 확률변수 \\( X \\) 의 표준편차(standard deviation)는 다음과 같이 정의된다.", "</p> <p>\\( \\sigma=S D(X)= \\sqrt { E \\left [(X- \\mu) ^ { 2 } \\right ] } \\)</p> <p>그러면 임의의 상수 \\( a, b \\) 에 대하여 분산과 표준편차에 대한 다음 성질들을 쉽게 얻을 수 있다.", "</p> <p>(1) \\( \\operatorname { Var } (a)=0 \\quad S D(a)=0 \\)</p> <p>(2) \\( \\operatorname { Var } (a X)=a ^ { 2 } \\operatorname { Var } (X) \\quad S D(a X)=\|a\| S D(X) \\)</p> <p>(3) \\( \\operatorname { Var } (a X + b)=a ^ { 2 } \\operatorname { Var } (X) \\quad S D(a X + b)=\|a\| S D(X) \\)</p> <p>예제 1</p> <p>연간 보험금 지급 건수 \\( X \\) 에 대한 다음 표본에 대하여 \\( X \\) 와 \\( 2 X-1 \\) 의 표준편차를 구하여라.", "</p> <table border><tbody><tr><td>계약자 수의 상대도수</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>합계</td></tr><tr><td>\\( \\boldsymbol { X } \\)</td><td>\\( 0.8553 \\)</td><td>\\( 0.0963 \\)</td><td>\\( 0.0462 \\)</td><td>\\( 0.0017 \\)</td><td>\\( 0.0004 \\)</td><td>\\( 0.0001 \\)</td><td>\\( 1.0000 \\)</td></tr></tbody></table> <p>예제 2</p> <p>보헙급 지급요청을 최대 두 번까지 신청할 수 있는 보혐증권에 대하여, 보혐 가입자가 보헙금 지급요청을 한 번 신청할 확률이 \\( 0.15 \\) 이고 두 번 신청할 확률온 \\( 0.05 \\) 라고 한다.", "한편 각 지급요청에 대하여 한 번 신청할 경우에 지급되는 평균 보혐지급금은 \\( 1,000 \\$ \\), 두 번 신청할 경우의 평균 지급금은 \\( 2,000 \\$ \\) 이며, 각각의 경우에 지급된 보헙급의 분산은 \\( 25,000 \\$ \\) 와 \\( 10,000 \\$ \\) 라는 정보를 갖고 있다.", "</p> <p>(1) 임의로 선정된 보헙 가입자에게 지급될 평균 보헙금을 구하여라.", "</p> <p>(2) 보험 가입자에게 지급될 보혐급의 표준편차를 구하여라.", "</p> <p>풀이</p> <p>(1) 지급될 보협금액을 \\( X \\) 라 하고, 보험 가입자에 의하여 신청된 보험금 지급요구 건수를 \\( Y \\) 라 하자.", "그러면 보헙금 지급요청은 많아야 두 번이므로 다음과 같은 \\( Y \\) 의 확률분포를 얻는다.", "</p> <table border><tbody><tr><td>\\( Y \\)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td></tr><tr><td>\\( f_ { Y } (y) \\)</td><td>0.80</td><td>0.15</td><td>0.05</td></tr></tbody></table> <p>폴이</p> <p>보험금 지급 건수 \\( X \\) 에 대응하는 상대도수에 의한 확률을 \\( f(x) \\) 라 하면,</p> <table border><tbody><tr><td>\\( x \\)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td></tr><tr><td>\\( x ^ { 2 } \\)</td><td>0</td><td>1</td><td>4</td><td>9</td><td>16</td><td>25</td></tr><tr><td>\\( f(x) \\)</td><td>\\( 0.8553 \\)</td><td>\\( 0.0963 \\)</td><td>\\( 0.0462 \\)</td><td>\\( 0.0017 \\)</td><td>\\( 0.0004 \\)</td><td>\\( 0.0001 \\)</td></tr><tr><td>\\( x f(x) \\)</td><td>0</td><td>\\( 0.0963 \\)</td><td>\\( 0.0924 \\)</td><td>\\( 0.0051 \\)</td><td>\\( 0.0016 \\)</td><td>\\( 0.0005 \\)</td></tr><tr><td>\\( x ^ { 2 } f(x) \\)</td><td>0</td><td>\\( 0.0963 \\)</td><td>\\( 0.1848 \\)</td><td>\\( 0.0153 \\)</td><td>\\( 0.0064 \\)</td><td>\\( 0.0025 \\)</td></tr></tbody></table>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "328.1", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "m530-확률과 보험통계", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "96aba9d6-0fee614e-c700-49f3-8ca9-943d16d058e9", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961055307", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2012", "doc_author": [ "이재원" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }
136	<p>예제 1</p> <p>확률분포가 \( f(x) = 1 / 4(x=0,1,2,3) \) 인 모집단과 크기 2인 확률표 \( \left \{ X_ { 1 } , X_ { 2 } \right \} \) 를 생각하자. 표본평균 \( \bar { X } = \left (X_ { 1 } + X_ { 2 } \right ) / 2 \) 의 분포를 구하고, \( \bar { X } \) 의 평균과 분산을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( X_ { 1 } , X_ { 2 } \) 가 취할 수 있는 값은 각각 \( 0,1,2,3 \) 이므로 \( \bar { X } \) 의 관찰 가능한 값은 \( 0,0.5,1,1.5,2,2.5,3 \) 이다. 먼저 표본평균 \( \bar { X } \) 의 확률분포를 구하기 위하여 \( X_ { 1 } , X_ { 2 } \) 의 결합분포를 생각한다. 그런데 \( X_ { 1 } , X_ { 2 } \) 가 독립이므로 이들의 결합분포 \( P \left (X_ { 1 } =x_ { 1 } , X_ { 2 } =x_ { 2 } \right )=P \left (X_ { 1 } =x_ { 1 } \right ) P \left (X_ { 2 } =x_ { 2 } \right ) \) 는 표 1 과 같다.</p> <p>한편 \( \bar { x } = \left (x_ { 1 } + x_ { 2 } \right ) / 2 \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } =0,1,2,3 \right ) \) 이므로 \( \bar { X } \) 의 관찰 가능한 값과 \( X_ { 1 } , X_ { 2 } \) 사이에는 다음과 같은 관계가 있다. \[ \begin {array} { l } \bar { X } =0 \quad \Leftrightarrow \left (X_ { 1 } , X_ { 2 } \right )=(0,0) \\ \bar { X } =0.5 \Leftrightarrow \left (X_ { 1 } , X_ { 2 } \right )=(0,1),(1,0) \\ \bar { X } =1.0 \Leftrightarrow \left (X_ { 1 } , X_ { 2 } \right )=(0,2),(1,1),(2,0) \\ \bar { X } =1.5 \Leftrightarrow \left (X_ { 1 } , X_ { 2 } \right )=(0,3),(1,2),(2,1),(3,0) \\ \bar { X } =2.0 \Leftrightarrow \left (X_ { 1 } , X_ { 2 } \right )=(1,3),(3,1),(2,2) \\ \bar { X } =2.5 \Leftrightarrow \left (X_ { 1 } , X_ { 2 } \right )=(2,3),(3,2) \\ \bar { X } =3.0 \Leftrightarrow \left (X_ { 1 } , X_ { 2 } \right )=(3,3) \end {array} \] 따라서 \( \bar { X } \) 의 확률분포는 표 2 와 같으며,</p> <table border><caption>표 2</caption> <tbody><tr><td>\( \bar { x } \)</td><td>0</td><td>0.5</td><td>1</td><td>1.5</td><td>2</td><td>2.5</td><td>3</td><td>계</td></tr><tr><td>\( f( \bar { x } ) \)</td><td>1/16</td><td>2/16</td><td>3/16</td><td>4/16</td><td>3/16</td><td>2/16</td><td>1/16</td><td>1</td></tr></tbody></table> <p>성질 1</p> <p>모평균 \( \mu \) 와 모분산 \( \sigma ^ { 2 } \) 인 모집단으로부터 크기 \( n \) 인 확률표본을 복원추출하면 표본평균은 \( \mu_ {\bar { X } } = \mu \) 이고 표본분산은 \( \operatorname { Var } ( \bar { X } )= \sigma ^ { 2 } / n \) 이다.</p> <p>예제 2</p> <p>다음과 같은 확률분포를 갖는 모집단으로부터 크기 36 인 확률표본을 추출할 때 표본평균의 평균과 분산, 그리고 \( P(3.5< \bar { X } \leq 4.5) \) 을 구하여라.</p> <table border><caption>표 3</caption> <tbody><tr><td>\( x \)</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td></tr><tr><td>\( f(x) \)</td><td>0.3</td><td>0.1</td><td>0.1</td><td>0.1</td><td>0.3</td><td>0.1</td></tr></tbody></table>	통계학	[ "<p>예제 1</p> <p>확률분포가 \\( f(x) = 1 / 4(x=0,1,2,3) \\) 인 모집단과 크기 2인 확률표 \\( \\left \\{ X_ { 1 } , X_ { 2 } \\right \\} \\) 를 생각하자.", "표본평균 \\( \\bar { X } = \\left (X_ { 1 } + X_ { 2 } \\right ) / 2 \\) 의 분포를 구하고, \\( \\bar { X } \\) 의 평균과 분산을 구하여라.", "</p> <p>풀이</p> <p>\\( X_ { 1 } , X_ { 2 } \\) 가 취할 수 있는 값은 각각 \\( 0,1,2,3 \\) 이므로 \\( \\bar { X } \\) 의 관찰 가능한 값은 \\( 0,0.5,1,1.5,2,2.5,3 \\) 이다.", "먼저 표본평균 \\( \\bar { X } \\) 의 확률분포를 구하기 위하여 \\( X_ { 1 } , X_ { 2 } \\) 의 결합분포를 생각한다.", "그런데 \\( X_ { 1 } , X_ { 2 } \\) 가 독립이므로 이들의 결합분포 \\( P \\left (X_ { 1 } =x_ { 1 } , X_ { 2 } =x_ { 2 } \\right )=P \\left (X_ { 1 } =x_ { 1 } \\right ) P \\left (X_ { 2 } =x_ { 2 } \\right ) \\) 는 표 1 과 같다.", "</p> <p>한편 \\( \\bar { x } = \\left (x_ { 1 } + x_ { 2 } \\right ) / 2 \\left (x_ { 1 } , x_ { 2 } =0,1,2,3 \\right ) \\) 이므로 \\( \\bar { X } \\) 의 관찰 가능한 값과 \\( X_ { 1 } , X_ { 2 } \\) 사이에는 다음과 같은 관계가 있다. \\", "[ \\begin {array} { l } \\bar { X } =0 \\quad \\Leftrightarrow \\left (X_ { 1 } , X_ { 2 } \\right )=(0,0) \\\\ \\bar { X } =0.5 \\Leftrightarrow \\left (X_ { 1 } , X_ { 2 } \\right )=(0,1),(1,0) \\\\ \\bar { X } =1.0 \\Leftrightarrow \\left (X_ { 1 } , X_ { 2 } \\right )=(0,2),(1,1),(2,0) \\\\ \\bar { X } =1.5 \\Leftrightarrow \\left (X_ { 1 } , X_ { 2 } \\right )=(0,3),(1,2),(2,1),(3,0) \\\\ \\bar { X } =2.0 \\Leftrightarrow \\left (X_ { 1 } , X_ { 2 } \\right )=(1,3),(3,1),(2,2) \\\\ \\bar { X } =2.5 \\Leftrightarrow \\left (X_ { 1 } , X_ { 2 } \\right )=(2,3),(3,2) \\\\ \\bar { X } =3.0 \\Leftrightarrow \\left (X_ { 1 } , X_ { 2 } \\right )=(3,3) \\end {array} \\] 따라서 \\( \\bar { X } \\) 의 확률분포는 표 2 와 같으며,</p> <table border><caption>표 2</caption> <tbody><tr><td>\\( \\bar { x } \\)</td><td>0</td><td>0.5</td><td>1</td><td>1.5</td><td>2</td><td>2.5</td><td>3</td><td>계</td></tr><tr><td>\\( f( \\bar { x } ) \\)</td><td>1/16</td><td>2/16</td><td>3/16</td><td>4/16</td><td>3/16</td><td>2/16</td><td>1/16</td><td>1</td></tr></tbody></table> <p>성질 1</p> <p>모평균 \\( \\mu \\) 와 모분산 \\( \\sigma ^ { 2 } \\) 인 모집단으로부터 크기 \\( n \\) 인 확률표본을 복원추출하면 표본평균은 \\( \\mu_ {\\bar { X } } = \\mu \\) 이고 표본분산은 \\( \\operatorname { Var } ( \\bar { X } )= \\sigma ^ { 2 } / n \\) 이다.", "</p> <p>예제 2</p> <p>다음과 같은 확률분포를 갖는 모집단으로부터 크기 36 인 확률표본을 추출할 때 표본평균의 평균과 분산, 그리고 \\( P(3.5< \\bar { X } \\leq 4.5) \\) 을 구하여라.", "</p> <table border><caption>표 3</caption> <tbody><tr><td>\\( x \\)</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td></tr><tr><td>\\( f(x) \\)</td><td>0.3</td><td>0.1</td><td>0.1</td><td>0.1</td><td>0.3</td><td>0.1</td></tr></tbody></table>" 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137	<h2>3) 방정식의 그래프</h2> <p>가로가 \( x \)이고 세로가 \( y \)인 직사각형의 둘레는 \( L=2(x+y) \)이다. 다음과 같은 문제를 생각하여보자.</p> <p>\( L=100 \)인 각 변의 치수는 얼마인가?</p> <p>이 문제가 해결되려면</p> <p>\[ 2(x+y)=100 \]<caption>②</caption></p> <p>이 만족되는 \( x \)와 \( y \)를 구해야 한다. 식 (2)는 두 개의 변수 \( x \)와 \( y \)가 포함되어 있는 방정식이다. 방정식에서 \( x \)와 \( y \)는 모두 변수이지만, 한 변수의 임의성은 제한된다. 그 이유는 \( x \)의 값이 정해지면, \( x \)의 값과 \( 2(x+y)=100 \)의 관계에 의해 \( y \)의 값은 강제적으로 정해지기 때문이다. 실제로, \( x=5 \)이면</p> <p>\[ \begin{aligned} 2(5+y) &=100 \\ y &=45 \end{aligned} \]</p> <p>따라서 \( y=45 \) 이외 다른 값을 가질 수 없다. 이러한 인과관계로 인해 한 변수를 독립변수라고 하면, 다른 변수는 그 독립변수에 예속되므로 종속변수라고 한다. 보통 \( x \)를 독립변수, \( y \)를 종속변수로 정하는 경향이 있다. 두 개의 변수가 포함되는 방정식을 이변수방정식이라 하고 방정식이 만족되는 변수의 값을 해라고 한다. 그리고 해의 모임을 해집합이라 한다.</p> <p>이변수방정식(이하 방정식이라 함)의 해는 무수히 많을 수 있으므로(항상 그러한 것은 아님), 해집합의 상태를 시각적으로 확인할 수 있는 도구가 있으면 편리할 것이다. 이 도구가 바로 방정식의 그래프이다.</p> <p>방정식의 해집합으로부터 순서쌍으로 구성하여 좌표평면 위에 점을 찍은 것을 방정식의 그래프라고 한다.</p> <p>그래프는 방정식의 해들의 전반적인 흐름을 기하학적(시각적)으로 이해하는 데 매우 유익하다. 방정식 \( x+y=50 \)의 그래프를 좌표평면에 그리면 그림 1.4와 같이 좌표평면 상에 놓인 직선을 얻는다.</p> <p>그래프의 정의로부터 직선 위에 있는 모든 점은 방정식 \( x+y=50 \)의 해가 된다. 그래프로부터 \( x+y=50 \)을 만족하는 해집합의 기하학적 형태는 직선이다. 즉 \( x \)와 \( y \)는 직선적인 관계를 형성한다는 것을 알 수 있다.</p> <p>지금부터 그래프를 그리는 방법에 대해 자세하게 살펴보자.</p> <p>예제 1.1 방정식 \( y=x^{2}-4 \)의 그래프를 그려라.</p> <p>먼저 해집합으로부터 순서쌍을 생성해야 한다. 예를 들어</p> <p>\( x=3 \)일 때, \( y=3^{2}-4=5 \)</p> <p>이므로, 순서쌍 (3,5)를 얻는다. 그래프의 윤곽을 생성하기 위해서는 많은 순서쌍을 구해야 하며, 이를 위해 해들로 구성된 아래의 표를 만든다.</p> <table border><caption></caption> <tbody><tr><td>\(x\)</td><td>-4</td><td>-3</td><td>-2</td><td>-1</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td></tr><tr><td>\(y\)</td><td>12</td><td>5</td><td>0</td><td>-3</td><td>-4</td><td>-3</td><td>0</td><td>5</td><td>12</td></tr></tbody></table> <p>표에 나타난 해를 이용하여 순서쌍을 만들고 이에 대응하는 점을 좌표 평면에 표시하면 그림 1.5와 같다. 순서쌍의 개수가 적어 그래프의 모양이 불분명하다. 그래프의 모양을 자세하게 알기 위해 순서쌍의 개수를 늘린다. 구간 \( [-4,4] \) 에서 해로 만들어진 순서쌍의 집합은 \( \left\{\left(x, x^{2}-4\right):-4 \leq x \leq 4\right\} \)이다. 여기서 \( x=n / 4, n=-16, \cdots, 16 \)으로 택하여 순서쌍의 집합을 좌표축에 표시하면 그림 1.6과 같다. 그래프의 형태를 가늠하기에 충분하지만, 그럼에도 불구하고 점과 점 사이의 빈곳은 어떻게 되는지 알 수 없다. 그래서 순서쌍의 수를 더 늘려본다. 그림 1.7 은 \( x=n / 8, n=-32, \cdots, 32 \)로 택한 경우이다. 빈곳 사이가 매끄럽게 매워져 가고 있음을 관찰할 수 있다. 그럼에도 불구하고 이것이 포물선의 방정식이라는 사실을 알기 전에는 어떠한 결론을 내릴 수 없다(기하학의 도움이 필요함). 실제 \( y=x^{2}-4 \)의 그래프는 그림 1.8과 같다.</p>	해석학	[ "<h2>3) 방정식의 그래프</h2> <p>가로가 \\( x \\)이고 세로가 \\( y \\)인 직사각형의 둘레는 \\( L=2(x+y) \\)이다.", "다음과 같은 문제를 생각하여보자.", "</p> <p>\\( L=100 \\)인 각 변의 치수는 얼마인가?", "</p> <p>이 문제가 해결되려면</p> <p>\\[ 2(x+y)=100 \\]<caption>②</caption></p> <p>이 만족되는 \\( x \\)와 \\( y \\)를 구해야 한다.", "식 (2)는 두 개의 변수 \\( x \\)와 \\( y \\)가 포함되어 있는 방정식이다.", "방정식에서 \\( x \\)와 \\( y \\)는 모두 변수이지만, 한 변수의 임의성은 제한된다.", "그 이유는 \\( x \\)의 값이 정해지면, \\( x \\)의 값과 \\( 2(x+y)=100 \\)의 관계에 의해 \\( y \\)의 값은 강제적으로 정해지기 때문이다.", "실제로, \\( x=5 \\)이면</p> <p>\\[ \\begin{aligned} 2(5+y) &=100 \\\\ y &=45 \\end{aligned} \\]</p> <p>따라서 \\( y=45 \\) 이외 다른 값을 가질 수 없다.", "이러한 인과관계로 인해 한 변수를 독립변수라고 하면, 다른 변수는 그 독립변수에 예속되므로 종속변수라고 한다.", "보통 \\( x \\)를 독립변수, \\( y \\)를 종속변수로 정하는 경향이 있다.", "두 개의 변수가 포함되는 방정식을 이변수방정식이라 하고 방정식이 만족되는 변수의 값을 해라고 한다.", "그리고 해의 모임을 해집합이라 한다.", "</p> <p>이변수방정식(이하 방정식이라 함)의 해는 무수히 많을 수 있으므로(항상 그러한 것은 아님), 해집합의 상태를 시각적으로 확인할 수 있는 도구가 있으면 편리할 것이다.", "이 도구가 바로 방정식의 그래프이다.", "</p> <p>방정식의 해집합으로부터 순서쌍으로 구성하여 좌표평면 위에 점을 찍은 것을 방정식의 그래프라고 한다.", "</p> <p>그래프는 방정식의 해들의 전반적인 흐름을 기하학적(시각적)으로 이해하는 데 매우 유익하다.", "방정식 \\( x+y=50 \\)의 그래프를 좌표평면에 그리면 그림 1.4와 같이 좌표평면 상에 놓인 직선을 얻는다.", "</p> <p>그래프의 정의로부터 직선 위에 있는 모든 점은 방정식 \\( x+y=50 \\)의 해가 된다.", "그래프로부터 \\( x+y=50 \\)을 만족하는 해집합의 기하학적 형태는 직선이다.", "즉 \\( x \\)와 \\( y \\)는 직선적인 관계를 형성한다는 것을 알 수 있다.", "</p> <p>지금부터 그래프를 그리는 방법에 대해 자세하게 살펴보자.", "</p> <p>예제 1.1 방정식 \\( y=x^{2}-4 \\)의 그래프를 그려라.", "</p> <p>먼저 해집합으로부터 순서쌍을 생성해야 한다.", "예를 들어</p> <p>\\( x=3 \\)일 때, \\( y=3^{2}-4=5 \\)</p> <p>이므로, 순서쌍 (3,5)를 얻는다.", "그래프의 윤곽을 생성하기 위해서는 많은 순서쌍을 구해야 하며, 이를 위해 해들로 구성된 아래의 표를 만든다.", "</p> <table border><caption></caption> <tbody><tr><td>\\(x\\)</td><td>-4</td><td>-3</td><td>-2</td><td>-1</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td></tr><tr><td>\\(y\\)</td><td>12</td><td>5</td><td>0</td><td>-3</td><td>-4</td><td>-3</td><td>0</td><td>5</td><td>12</td></tr></tbody></table> <p>표에 나타난 해를 이용하여 순서쌍을 만들고 이에 대응하는 점을 좌표 평면에 표시하면 그림 1.5와 같다.", "순서쌍의 개수가 적어 그래프의 모양이 불분명하다.", "그래프의 모양을 자세하게 알기 위해 순서쌍의 개수를 늘린다.", "구간 \\( [-4,4] \\) 에서 해로 만들어진 순서쌍의 집합은 \\( \\left\\{\\left(x, x^{2}-4\\right):-4 \\leq x \\leq 4\\right\\} \\)이다.", "여기서 \\( x=n / 4, n=-16, \\cdots, 16 \\)으로 택하여 순서쌍의 집합을 좌표축에 표시하면 그림 1.6과 같다.", "그래프의 형태를 가늠하기에 충분하지만, 그럼에도 불구하고 점과 점 사이의 빈곳은 어떻게 되는지 알 수 없다.", "그래서 순서쌍의 수를 더 늘려본다.", "그림 1.7 은 \\( x=n / 8, n=-32, \\cdots, 32 \\)로 택한 경우이다.", "빈곳 사이가 매끄럽게 매워져 가고 있음을 관찰할 수 있다.", "그럼에도 불구하고 이것이 포물선의 방정식이라는 사실을 알기 전에는 어떠한 결론을 내릴 수 없다(기하학의 도움이 필요함).", "실제 \\( y=x^{2}-4 \\)의 그래프는 그림 1.8과 같다.", "</p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "414.1", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "s009-기초미적분학", "eng": "" }, 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138	<h2>4.1 가우스사상 및 곡률</h2><p>3장에 의하면 정칙곡면 \( M \)이 가향일 필요충분조건은 \( M \) 전체에서 정의되는 단위법벡터장 \( Z \)가 존재하는 것이다. 다시 말해서, 곡면 전체에서 정의된 단위법벡터장의 존재성으로 \( M \)에 방향을 줄 수 있다고 말할 수 있다. 그러므로 앞으로는 단위법벡터장의 선택을 \( M \)의 방향이라고 부르기로 한다. \( Z \)가 단위법벡터장이면 \( -Z \)도 또한 단위법벡터장이다. 더욱이, \( \mathbf{x}: D \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow M \)이 좌표함수일 때 단위법벡터장 \( Z \) 는 \( \mathbf{x}(D) \)에서<caption>(4.1.1)</caption>\( Z(\mathrm{p})=\pm \frac{\mathbf{x}_{u} \times \mathbf{x}_{v}}{\left\\|\mathbf{x}_{u} \times \mathbf{x}_{v}\right\\|}(\mathbf{p}), \mathbf{p} \in \mathbf{x}(D) \)로 주어진다 (엄밀히 말하면 식 (4.1.1)에서 점 \( \mathrm{p} \)는 \( \mathrm{x}(\mathrm{q})=\mathrm{p} \in \mathrm{x}(D) \)인 점 \( \mathrm{q} \in D \)를 대입한 값이다). 따라서 유클리드 공간 \( \mathbb{R}^{3} \)에 양의 방향과 음의 방향이 있듯이 곡면에도 두 가지의 방향이 있다.</p><p>지금부터 모든 정칙곡면은 항상 가향이라고 가정하기로 한다. 즉, 곡면 전체에서 정의된 단위벱터장 \( Z \)가 항상 존재하고, 또 좌표함수 \( \mathrm{x} \)가 주어졌을 때, 필요하면 매개변수 \( u, v \)를 바꾸어, \( Z \)가 항상<caption>(4.1.2)</caption>\( Z(\mathbf{p})=\frac{\mathbf{x}_{u} \times \mathbf{x}_{v}}{\left\\|\mathbf{x}_{u} \times \mathbf{x}_{v}\right\\|}(\mathbf{p}), \mathbf{p} \in \mathbf{x}(D) \)라 가정하자.</p><p>정의 4.1.1 \( M \subset \mathbb{R}^{3} \)이 방향이 \( Z \)인 정칙곡면이면 단위법벡터장 \( Z \)는 곡면 \( M \)에서 단위구 \( S^{2} \)로 사상되는 함수로 간주할 수 있다. 이 사상 \( Z: M \rightarrow S^{2} \)을 곡면 \( M \)의 가우스사상(Gauss mapping)이라고 한다(그림 4.1).</p><p>\( M=S^{2} \) 인 경우에 가우스사상 \( Z \) 는 항등사상 또는 음의 항등사상이 됨을 쉽게 알 수 있다. 즉, 모든 점 \( \mathrm{p} \in S^{2} \) 에 대하여 \( Z(\mathrm{p})=\mathrm{p} \) 또는 \( Z(\mathrm{p})=-\mathrm{p} \)이다.</p><p>식 (4.1.2)로부터 가우스사상 \( Z \) 는 미분가능하고 3장 3절에 의해 가우스사상의 미분 사상 \( \mathrm{d} Z_{\mathrm{p}}: T_{\mathrm{p}} M \rightarrow T_{Z(\mathrm{p})} S^{2} \)은 선형사상이다. 더욱이 법벡터 \( Z(\mathrm{p}) \)가 접평면 \( T_{\mathrm{p}} M \)과 \( T_{Z(\mathrm{p})} S^{2} \)에 동시에 수직하므로 \( T_{\mathrm{p}} M \)과 \( T_{Z(\mathrm{p})} S^{2} \)은 평행한 평면이다. 따라서 두 평면을 동일시하면 가우스사상의 미분사상은 접평면 \( T_{\mathrm{p}} M \)에서 자기 자신으로 사상되는 선형 사상으로 생각할 수 있다.</p><p>선형사상 \( d Z \mathrm{p}: T_{\mathrm{p}} M \rightarrow T_{\mathrm{p}} M \)은 접벡터에 대하여 다음과 같이 작용하는 사상으로 생각할 수 있다. \( \alpha \)가 곡면 \( M \)에서 정의된 곡선으로 \( \alpha(0)=\mathrm{p} \)라고 하면 \( Z(t):=Z \circ \alpha(t) \)는 \( S^{2} \) 의 곡선으로 \( Z(0)=Z(\mathrm{p}) \in S^{2} \)이다. 이 합성함수를 \( t \) 에 관해 미분하면 \( Z^{\prime}(0)=d Z_{\mathrm{p}}\left(\alpha^{\prime}(0)\right) \in T_{Z(\mathrm{p})} S^{2} \equiv T_{\mathrm{p}} M \)</p><p>이것은 법벡터장 \( Z \)를 곡선 \( \alpha \)에 제한했을 때 \( t=0 \)에서의 변화율을 나타낸다.</p><p>보기 4.1.2 \( P: a x+b y+c z+d=0 \)이 평면이면 \( \mathrm{d} Z \equiv 0 \)이다. 실제로, \( (a, b, c) \)는 평면 \( P \)에 수직인 벡터이다. 따라서 각각의 점 \( \mathrm{p} \in P \)에서 가우스사상은 \[Z(\mathbf{p})=\frac{(a, b, c)}{\\|(a, b, c)\\|}\] 으로 주어진다. 즉, \( Z \)는 상수인 단위법벡터장이므로 \( \mathrm{d} Z=0 \)이다.</p><p>보기 4.1.3 단위구 \( S^{2} \)에서 \( d Z \)를 구하여라.</p><p>풀이. 단위구 \( S^{2} \)의 법벡터장을 구하기 위해서 접벡터가 어떠한 형태를 갖는지 알아보자. \( \alpha(t)=(x(t), y(t), z(t)) \) 가 구 \( S^{2} \) 의 곡선이면 \( \\|\alpha(t)\\|^{2}=(x(t))^{2}+(y(t))^{2}+(z(t))^{2}=1 \) \( t \) 에 관해 미분하면 \( (x(t), y(t), z(t)) \cdot\left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t)\right)=0 \) 곡선 \( \alpha(t) \) 의 미분인 \( \left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t)\right) \)는 구에 접하는 접벡터를 나타내므로 법벡터는 위치벡터인 \( (x(t), y(t), z(t)) \)가 된다. 따라서 \( Z(t)=Z(\alpha(t)) \)로 정의하면 \( Z(t)=Z(\alpha(t))=(x(t), y(t), z(t)) \)이고 \( Z^{\prime}(t)=Z\left(\alpha^{\prime}(t)\right)=\left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t)\right) \)이다. 그러므로 임의의 접벡터 \( \mathrm{v}_{\mathrm{p}} \in T_{\mathrm{p}} S^{2} \)에 대하여<caption>(4.1.3)</caption>\[dZ_{\mathrm{p}}\left(\mathrm{v}_{\mathrm{p}}\right)=\mathrm{v}_{\mathrm{p}}\] 식 (4.1.3)을 행렬형태로 나타내면 \( dZ_{\mathrm{p}}=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) \)</p><p>보기 4.1.4 원기둥면 \( M_{C}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}=1\right\} \)에 대한 가우스사상의 미분사상 \( d Z \)를 구하여라.</p><p>풀이. 법벡터장을 구하기 위해 \( \alpha(t)=(x(t), y(t), z(t)) \) 를 원기둥면 \( M_{C} \)의 곡선이라고 하자. 그러면 원기둥면의 정의에 의해 \( x(t)^{2}+y(t)^{2}=1 \) 양변을 \( t \)에 관하여 미분하면<caption>(4.1.4)</caption>\[x(t) x^{\prime}(t)+y(t) y^{\prime}(t)=0\] 식 (1.4)은 다음과 같이 \[\left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t)\right) \cdot(x(t), y(t), 0)=0\] 나타낼 수 있다. 따라서 법벡터장은 \[Z(t)=Z(\alpha(t))=(x(t), y(t), 0)\] 으로 주어진다. \( t \)에 관해 미분하면<caption>(4.1.5)</caption>\( \begin{aligned} Z^{\prime}(t) &=\mathrm{d} Z\left(\alpha^{\prime}(t)\right)=\mathrm{d} Z\left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t)\right) \\ &=\left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), 0\right) \end{aligned} \) 한편, 원기둥면의 접벡터 중에 \( z^{\prime}(t)=0 \)인 경우, 즉 \( x y \) 평면에 평행한벡터와 \( z \)축에 평행한 벡터는 서로 수직이면서 원기둥면의 접평면을 생성한다(그림 4.4). \( \mathrm{v}_{\mathrm{p}} \in T_{\mathrm{p}} M_{C} \)가 \( x y \)평면에 평행한 벡터이면 \( \mathrm{v}=\left(v_{1}, v_{2}, 0\right) \) 의 형태이으므로 식 (4.1.5)에 의해 \( d Z\left(\mathrm{v}_{\mathrm{p}}\right)=\mathrm{v}_{\mathrm{p}} \)이다. 또, \( \mathrm{w}_{\mathrm{p}} \) 가 \( z \)축에 평행한 접벡터이면 \( \mathbf{w}=\left(0,0, w_{3}\right) \) 형태이고 식 (4.1.5)에 의해 \( d Z\left(\mathrm{w}_{\mathrm{p}}\right)=0 \) 이다. 따라서 \( d Z \) 를 행렬로 나타내면 \( d Z_{\mathrm{p}}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right) \)</p> <p>좌표평면 \( \mathbb{R}^{2} \) 에서 반지름의 길이가 \( r \) 인 열린원판 \( B_{r} \) 의 넓이 \( \pi r^{2} \) 을 \( A(r) \) 로 나타내자.</p><p>정리 4.2.9 평균값의 정리</p><p>함수 \( h: B \rightarrow \mathbb{R} \) 가 \( C^{1} \) 이면<caption>(4.2.25)</caption>\[\lim _{r \rightarrow 0} \frac{1}{A(r)} \iint_{B_{r}} h d A=h(0)\]</p><p>증명</p><p>함수 \( h \) 가 \( C^{1} \) 이고 \( B_{\frac{1}{2}} \) 의 폐포(closure) \( \overline{B_{\frac{1}{2}}} \) 가 옹골집합이므로 \( \nabla h \) 는 \( B_{\frac{1}{2}} \) 에서 유계이다. 즉, 상수 \( C>0 \) 가 존재하여 모든 점 \( \mathrm{p} \in B_{\frac{1}{2}} \) 에서 \[\|\nabla h(\mathbf{p})\| \leq C\] 임의의 \(\epsilon>0 \) 에 대하여 \( r<\frac{\epsilon}{C} \) 인 \( r>0 \) 를 택하고 \( r \leq \frac{1}{2} \) 이라 가정하자. 도움정리 4.2.8과 코시-슈바르츠 부등식(정리 1.1.4)에 의해 \[ \begin{aligned}\left\|\frac{1}{A(r)} \iint_{B_{r}} h(\mathbf{p}) d A-h(\mathbf{0})\right\| &=\left\|\frac{1}{A(r)} \iint_{B_{r}}(h(\mathbf{p})-h(\mathbf{0})) d A\right\| \\ &=\left\|\frac{1}{A(r)} \iint_{B_{r}}(\nabla h(t \mathbf{p}) \cdot \mathbf{p}) d A\right\| \\ & \leq \frac{1}{A(r)} \iint_{B_{r}}\|\nabla h(\mathbf{t p}) \cdot \mathbf{p}\| d A \\ & \leq \frac{1}{A(r)} \iint_{B_{r}}\\|\nabla h(\mathbf{t p})\\|\\|\mathbf{p}\\| d A \\ & \leq \frac{1}{A(r)} \iint_{B_{r}} C r d A<\epsilon \end{aligned}\] 그러므로 \[\lim _{r \rightarrow 0} \frac{1}{A(r)} \iint_{B_{r}} h d A=h(0)\]</p><p>참고 4.2.10</p><p>도움정리 4.2.9에서 원판 \( B_{r} \) 의 중심을 편의상 원점으로 생각하였다. 같은 증명 방법을 이용하면 중심이 임의의 점인 경우에도 성립함을 보일 수 있다. 즉, \[B_{r}(\mathrm{p})=\left\{\mathrm{q} \in \mathbb{R}^{2} \mid\\|\mathrm{q}-\mathrm{p}\\|<r\right\}\]이고 \( h: B_{r}(\mathbf{p}) \rightarrow \mathbb{R} \) 가 \( C^{1} \) 함수이면 \[\lim _{r \rightarrow 0} \frac{1}{A(r)} \iint_{B_{r}(\mathbf{p})} h d A=h(\mathbf{p})\] 여기서 \( A(r) \) 은 \( B_{r}(\mathrm{p}) \) 의 넓이인 \( \pi r^{2} \) 을 나타낸다.</p><p>\( \mathrm{p} \) 가 정칙곡면 \( M \) 의 한 점이고 가우스곡률이 \( K(\mathrm{p}) \neq 0 \) 라 하자. 그러면 연속성에 의해 점 \( \mathrm{p} \) 를 포함하는 매우 작은 근방 \( V \) 에서 가우스곡률 \( K \) 의 부호가 바뀌지 않는 다. 양의 정수 \( n \) 에 대하여 \[B_{n}=B_{\frac{1}{n}}(\mathrm{p})=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid\\|(x, y, z)-\mathbf{p}\\|<\frac{1}{n}\right\}\]라 하고 \( B_{n} \) 과 \( V \) 의 교집합을 \( R_{n} \) 이라 하자. 즉 \( R_{n}=V \cap B_{n} \) 으로 놓으면 \( n \rightarrow \infty \) 일 때, 집합 \( R_{n} \) 은 점 \( \mathrm{p} \) 로 수렴한다. 또 가우스사상 \( Z: M \rightarrow S^{2} \) 에 대한 집합 \( R_{n} \) 의 치역 \( Z\left(R_{n}\right) \) 은 점 \( Z(\mathrm{p}) \) 로 수렴한다. 이때 다음이 성립한다.</p><p>정리 4.2.11</p><p>\[K(\mathrm{p}) \neq 0 \text { 이면 } \]<caption>(4.2.26)</caption>\[\|K(\mathrm{p})\|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{A\left(Z\left(R_{n}\right)\right)}{A\left(R_{n}\right)}\] 여기서 \( A \) 는 주어진 영역의 넓이를 나타낸다.</p> <p>도움정리 4.2 .4</p><p>\( W \) 가 \( \mathbb{R}^{3} \) 의 벡터장이고 \( \alpha:(a, b) \rightarrow M \) 이 \( \alpha(0)=\mathrm{p} \) 이고 \( \alpha^{\prime} (0)=\mathrm{v} \) 인 곡선이면 \[\nabla_{\mathrm{v}} W=(W \circ \alpha)^{\prime}(0)\]</p><p>증명</p><p>\[ \begin{array}{l} W=\sum_{i=1}^{3} w_{i} U_{i} \text { 로 나타내면 정리 } 2.5 .3 \text { 에 의해 } \\ \qquad \nabla_{\mathrm{v}} W=\sum_{i=1}^{3} \mathrm{v}_{\mathrm{p}}\left[w_{i}\right] U_{i}(\mathrm{p}) \end{array} \] 그런데 따름정리 2.3.9에 의해 \[ \mathrm{v}_{\mathbf{p}}\left[w_{i}\right]=\left.\frac{d}{d t} w_{i}(\mathrm{p}+t \mathbf{v})\right\|_{t=0}=\left(w_{i} \circ \alpha\right)^{\prime}(0) \] 이므로 \[ \nabla_{\mathbf{v}} W=\sum_{i=1}^{3}\left(w_{i} \circ \alpha\right)^{\prime}(0) U_{i}(\mathbf{p})=\sum_{i=1}^{3}\left(w_{i} \circ \alpha\right)^{\prime}(0) U_{i}(\alpha(0))=(W \circ \alpha)^{\prime}(0) \]</p><p>도움정리 4.2 .5</p><p>\( V \) 가 곡면 \( M \) 의 접벡터장이면 \[\mathrm{d} Z(V)=\nabla_{V} Z\] 여기서 \( Z \) 는 곡면 \( M \) 의 가우스사상이다.</p><p>증명</p><p>각 점 \( \mathrm{p} \in M \) 에 대하여 \( d Z(V)(\mathrm{p})=d Z_{\mathrm{p}}(V(\mathrm{p})) \) 이고 \( \left(\nabla_{V} Z\right)(\mathrm{p})=\nabla_{V(\mathrm{P})} Z \) 이다. 따 라서 한 점 \( \mathrm{p} \in M \) 을 고정하고 임의의 접벡터 \( \mathrm{v}_{\mathrm{p}} \in T_{\mathrm{p}} M \) 에 대하여 \( d Z_{\mathrm{p}}\left(\mathrm{v}_{\mathrm{p}}\right)=\nabla_{\mathrm{v}} Z \)임을 보이면 충분하다. \( \alpha:(a, b) \rightarrow M \) 이 \( \alpha(0)=\mathrm{p} \) 이고 \( \alpha^{\prime}(0)=\mathrm{v} \) 인 곡선이면 도움 정리 \( 4.2 .4 \) 에 의해 \[\nabla_{\mathbf{v}} Z=(Z \circ \alpha)^{\prime}(0)=d Z_{\mathrm{p}}\left(\alpha^{\prime}(0)\right)=d Z_{\mathrm{p}}(\mathbf{v})\]</p><p>정리 4.2 .6</p><p>곡면 \( M \) 의 두 접벡터장 \( V \) 와 \( W \) 가 각각의 점에서 일차독립이고 \( V \times W=U \) 로 놓으면 가우스곡률 \( K \) 와 평균곡률 \( H \) 는 각각<caption>(4.2.20)</caption>\[K=\frac{\nabla_{V} U \times \nabla_{W} U \cdot U}{\\|U\\|^{4}}\]이고<caption>(4.2.21)</caption>\[H=U \cdot \frac{\left(\nabla_{V} U \times W+V \times \nabla_{W} U\right)}{4\\|U\\|^{3}}\]</p><p>증명</p><p>두 접벡터 \( V \) 와 \( W \) 가 일차독립이므로 벡터곱 \( U=V \times W \) 는 \( M \) 의 각각의 점에서 0이 아닌 법벡터장이다. 따라서 가우스사상은 \( Z=\frac{U}{\\|U\\|} \) 으로 주어진다. 도움정리\( 4.2 .5 \) 에 의해 \[d Z(V)=\nabla_{V} Z=\nabla_{V}\left(\frac{U}{\\|U\\|}\right)=\frac{1}{\\|U\\|} \nabla_{V} U+V\left[\frac{1}{\\|U\\|}\right] U\]이고 \[d Z(W)=\nabla_{W} Z=\nabla_{W}\left(\frac{U}{\\|U\\|}\right)=\frac{1}{\\|U\\|} \nabla_{W} U+W\left[\frac{1}{\\|U\\|}\right] U\] \( U \) 가 법벡터장이므로 \( \nabla_{V} U \times U \) 와 \( \nabla_{W} U \times U \) 는 \( M \) 의 접벡터장이고 또 \( U \times U=0 \)이므로<caption>(4.2.22)</caption>\[d Z(V) \times d Z(W)=\frac{1}{\\|U\\|^{2}}\left(\nabla_{V} U \times \nabla_{W} U\right)+X\] 여기서 \( X \) 는 \( M \) 의 접벡터장이다. 그러므로 식 (4.2.22)에 법벡터장 \( U \) 를 내적하면 식 (4.2.17)과 \( X \cdot U=0 \) 으로부터 \[K=\frac{\nabla_{V} U \times \nabla_{W} U \cdot U}{\\|U\\|^{4}}\]가 성립한다. 같은 방법으로 식 (4.2.19)를 이용하면 평균곡률에 관한 공식 (4.2.21)도 유도할 수 있다. <p>정의 4.3.6</p><p>곡면 \( M \) 의 곡선 \( \alpha=\alpha(t) \) 와 모든 \( t \) 에 대하여 \( \alpha^{\prime}(t) \) 가 점근방향일 때, 곡선 \( \alpha \) 를 점근곡선 (asymptotic curve)이라고 한다.</p><p>\( \alpha=\alpha(t) \) 가 점근곡선일 필요충분조건은 단위속도벡터 \( \frac{\alpha^{\prime}(t)}{\left\\|\alpha^{\prime}(t)\right\\|} \) 에 대하여 \[ \begin{aligned} 0=\kappa_{n}\left(\frac{\alpha^{\prime}(t)}{\left\\|\alpha^{\prime}(t)\right\\|}\right) &=\mathrm{II}_{\alpha(t)}\left(\frac{\alpha^{\prime}(t)}{\left\\|\alpha^{\prime}(t)\right\\|}\right)=-\left\langle d Z_{\alpha(t)}\left(\frac{\alpha^{\prime}(t)}{\left\\|\alpha^{\prime}(t)\right\\|}\right), \frac{\alpha^{\prime}(t)}{\left\\|\alpha^{\prime}(t)\right\\|}\right\rangle \\ &=-\frac{1}{\left\\|\alpha^{\prime}(t)\right\\|^{2}}\left\langle Z^{\prime}(t), \alpha^{\prime}(t)\right\rangle \end{aligned} \]이다. 즉, \( Z(t)=(Z \circ \alpha)(t) \) 로 놓을 때 곡선 \( \alpha(t) \) 가 점근곡선일 필요충분조건은<caption>(4.3.4)</caption>\[\left\langle Z^{\prime}, \alpha^{\prime}\right\rangle=0\]이다.</p><p>도움정리 4.3 .7</p><p>곡면 \( M \) 의 곡선 \( \alpha \) 에 대하여 \( \alpha^{\prime \prime}(t) \in T_{\alpha(t)} M \) 이면 \( \alpha \) 는 점근곡선이다.</p><p>증명</p><p>가정에 의해 \( \alpha^{\prime}(t), \alpha^{\prime \prime}(t) \in T_{\alpha(t)} M \) 이므로 \( \left\langle\alpha^{\prime}, Z\right\rangle=0=\left\langle\alpha^{\prime \prime}, Z\right\rangle \) 이다. 첫 번째 식을 미분하면 \[0=\left\langle\alpha^{\prime \prime}, Z\right\rangle+\left\langle\alpha^{\prime}, Z^{\prime}\right\rangle=\left\langle\alpha^{\prime}, Z^{\prime}\right\rangle\] 따라서 식 (4.3.4)에 의해 \( \alpha \) 는 점근곡선이다.</p><p>좌표함수의 매개곡선이 점근곡선 또는 주곡률선이 되기 위한 조건에 대하여 알아보 자. \( \mathrm{x}: D \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow M \) 을 \( \mathrm{x}(0,0)=\mathrm{p} \in M \) 인 좌표함수라 하고 \[e(u, v)=e, f(u, v)=f, g(u, v)=g\]를 좌표함수 \( \mathrm{x} \) 에 대한 제 2 기본형식의 계수라고 하자.</p><p>\( \alpha(t)=\mathbf{x}(u(t), v(t)) \) 가 점근곡선이면 식 (4.3.4)에 의해 \( \operatorname{II}\left(\alpha^{\prime}(t)\right)=0 \) 이므로 도움정 리 4.1.8에 의해<caption>(4.3.5)</caption>\[e u^{\prime 2}+2 f u^{\prime} v^{\prime}+g v^{\prime 2}=0\]이 성립한다. 역으로 곡선 \( \alpha(t)=\mathbf{x}(u(t), v(t)) \) 가 미분방정식 (4.3.5)를 만족시키면 \( \mathrm{II}\left(\alpha^{\prime}(t)\right)=0 \) 이므로 \( \alpha(t)=\mathbf{x}(u(t), v(t)) \) 는 점근곡선이다. 이러한 이유로 식 (4.3.5)를 점근곡선에 대한 미분방정식이라고 한다.</p><p>한편, \( \mathrm{p} \) 가 쌍곡점이면 \( K(\mathrm{p})<0 \) 이고 정리 4.2.1과 연속성에 의해 점 \( \mathrm{p} \) 근방에서 \( e g-f^{2}<0 \) 이다. 따라서 이 성질과 식 (4.3.5)로부터 다음 정리가 성립한다.</p><p>정리 4.3 .8</p><p>쌍곡점 근방에서 좌표함수의 매개곡선이 점근곡선일 필요충분조건은 \( e=g=0 \) 이다.</p><p>증명</p><p>\( u \)-매개곡선 \( u=u(t), v=v_{0} \) (단, \( v_{0} \) 는 상수)의 경우 \( v^{\prime}=0 \) 이므로 식 (4.3.5)로부터 \( \left(u^{\prime}\right)^{2} e=0 \) 이다. 따라서 \( e=0 \) 이 성립한다. 또 \( v \)-매개곡선 \( u=u_{0}, v=v(t) \) (단, \( u_{0} \) 는 상수)의 경우에는 \( u^{\prime}=0 \) 이므로 \( g=0 \) 이다. 역으로, \( \mathrm{p} \in M \) 이 쌍곡점이고 점 \( \mathrm{p} \) 근방에서 \( e=g=0 \) 라고 하면 정리 4.2.1에 의해 \[K(\mathbf{p})=\frac{e g-f^{2}}{E G-F^{2}}(\mathbf{p})=\frac{-f^{2}}{E G-F^{2}}(\mathbf{p})<0\] 므로 특히, \( f(\mathrm{p}) \neq 0 \) 이다. \( \alpha(t)=\mathbf{x}(u(t), v(t)) \) 를 좌표함수 \( \mathbf{x} \) 의 매개곡선이라고 하자. 가정과 식 (4.3.5)에 의해 \( f u^{\prime} v^{\prime}=0 \) 이다. 연속성에 의해 쌍곡점 \( \mathrm{p} \) 근방에서 \( f \neq 0 \) 이므로 쌍곡점 \( \mathrm{p} \) 근방에서 \( u^{\prime}=0 \) 또는 \( v^{\prime}=0 \) 이다. 그러므로 \( \alpha \) 는 \( u \)-매개곡 선 또는 \( v \)-매개곡선이다.</p> <p>보기 4.2 .7</p><p>타원체면 \[M: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\]의 가우스곡률을 구하여라. 풀이. 함수 \( h(x, y, z) \) 를 \[h(x, y, z)=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=\sum_{i=1}^{3} \frac{x_{i}^{2}}{a_{i}^{2}}\]로 정의하면 정리 \( 3.3 .8 \) 에 의해 \( h \) 의 그래디언트 \[\nabla h=\sum_{i=1}^{3} \frac{2 x_{i}}{a_{i}^{2}} U_{i}\]는 0 이 아닌 법벡터장이다. 타원체면 \( M \) 의 접벡터장 \( V=\sum_{i=1}^{3} v_{i} U_{i} \) 와 \( W=\sum_{i=1}^{3} w_{i} U_{i} \) 가 일차독립이고 \[V \times W=\frac{1}{2} \nabla h=\sum_{i=1}^{3} \frac{x_{i}}{a_{i}^{2}} U_{i}:=U \] 라 하자. 도움정리 \( 2.4 .4 \) 에 의해 \( V\left[x_{i}\right]=v_{i} \) 이므로 \[\nabla_{V} U=\sum_{i=1}^{3} \frac{V\left[x_{i}\right]}{a_{i}^{2}} U_{i}=\sum_{i=1}^{3} \frac{v_{i}}{a_{i}^{2}} U_{i}\] 같은 방법으로 \[\nabla_{W} U=\sum_{i=1}^{3} \frac{W\left[x_{i}\right]}{a_{i}^{2}} U_{i}=\sum_{i=1}^{3} \frac{w_{i}}{a_{i}^{2}} U_{i}\] 따라서 \[\nabla_{V} U \times \nabla_{W} U \cdot U=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} \frac{v_{1}}{a^{2}} & \frac{v_{2}}{b^{2}} & \frac{v_{3}}{c^{2}} \\ \frac{w_{1}}{a^{2}} & \frac{w_{2}}{b^{2}} & \frac{w_{3}}{c^{2}} \\ \frac{x}{a^{2}} & \frac{y}{b^{2}} & \frac{z}{c^{2}} \end{array}\right)=\frac{1}{a^{2} b^{2} c^{2}} V \times W \cdot X\] 여기서 \( X=\sum_{i=1}^{3} x_{i} U_{i} \) 이다. 끝으로, \( V \times W=U \) 를 만족시키는 접벡터장 \( V \) 와 \( W \) 를 구해야 하지만(이러한 접벡터장은 항상 존재한다) 여기서는 \[V \times W \cdot X=U \cdot X=\sum_{i=1}^{3} \frac{x_{i}^{2}}{a_{i}^{2}}=1\]임을 알 수 있다. 그러므로 \[K=\frac{1}{a^{2} b^{2} c^{2}\\|U\\|^{4}},\\|U\\|^{4}=\left(\sum_{i=1}^{3} \frac{x_{i}^{2}}{a_{i}^{4}}\right)^{2}\]</p><p>참고 4.1.22에서 이차근사곡면을 이용하여 가우스곡률의 부호와 곡면의 국소적 모 양과의 관계에 대하여 알아보았다. 곡면의 넓이를 이용하면 가우스곡률의 기하학적 의미를 나타낼 수 있다.</p><p>\( r>0 \) 에 대하여 \( B_{r} \) 를 중심이 원점 \( (0,0) \) 이고 반지름의 길이가 \( r \) 인 열린원판(open disk)이라고 하자. 즉, \[B_{r}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2}<r\right\}\] 특히, \( r=1 \) 일 때, \( B_{1}=B \) 로 나타내자.</p><p>도움정리 4.2. 5</p><p>\( h: B \rightarrow \mathbb{R} \) 가 미분가능한 함수이면 임의의 점 \( \mathrm{p}=(x, y) \in B \) 에 대하여 \[h(\mathbf{p})-h(\mathbf{0})=\nabla h(t \mathbf{p}) \cdot \mathbf{p}\]을 만족시키는 실수 \( t \) 가 개구간 (0,1) 안에 존재한다.</p><p>증명</p><p>점 \( \mathrm{p}=(x, y) \in B \) 에 대하여 함수 \( \phi \) 를 \( \phi(t)=h(t \mathbf{p}) \) 로 정의하자. 그러면 \( \phi \) 는 구간 \( 0<t<1 \) 에서 미분가능하므로 일변수함수에 대한 평균값의 정리에 의해<caption>(4.2.24)</caption>\[\phi(1)-\phi(0)=\phi^{\prime}(t)\]을 만족시키는 실수 \( t \) 가 개구간 \( (0,1) \) 안에 존재한다. 연쇄법칙에 의해 \( \phi^{\prime}(t)=\nabla h(t \mathbf{p}) \cdot \mathbf{p} \)이므로 이 식을 식 (4.2.24)에 대입하면 식 (4.2.23)을 얻는다.</p> <h2>4.3 주곡률선, 점근곡선 및 측지선</h2><p>곡면은 곡선을 품고 있기 때문에 곡면의 모양은 그 구성원인 곡선의 성질에 의해 영향을 받는다. 곡면이 품고 있는 특별한 형태의 곡선 중에는 주곡률선, 점근곡선 그리고 측지선이 있다. 이러한 곡선은 주어진 곡면의 모양을 결정짓는 중요한 요소이다.</p><p>정의 4.3.1</p><p>곡면 \( M \) 의 곡선 \( \alpha=\alpha(t) \) 와 모든 \( t \) 에 대하여 \( \alpha^{\prime}(t) \) 가 점 \( \alpha(t) \) 에서 주곡률방향일 때, 곡선 \( \alpha \) 를 주곡률선(line of curvature 또는 principal curve)이라고 한다.</p><p>주곡률선의 정의로부터 다음 정리가 성립함을 쉽게 알 수 있다.</p><p>정리 4.3.2로드리게스</p><p>곡면 \( M \) 의 곡선 \( \alpha=\alpha(t) \) 가 주곡률선일 필요충분조건은 단위법벡터장 \( Z \) 에 대하여 \[ Z^{\prime}(t)=\lambda(t) \alpha^{\prime}(t) \]를 만족시키는 미분가능한 함수 \( \lambda=\lambda(t): M \rightarrow \mathbb{R} \) 가 존재한다. 여기서 \( Z(t)=Z \circ \alpha(t) \) 이고 \( -\lambda(t) \) 가 \( \alpha^{\prime}(t) \) 방향의 주곡률이다.</p><p>정리 4.3.3</p><p>곡면 \( M \) 과 평면 \( P \) 의 교선 \( M \cap P \) 을 \( \alpha \) 라 할 때, \( M \) 과 \( P \) 의 사이각이 일정하면 \( \alpha \) 는 \( M \) 의 주곡률선이다.</p><p>증명</p><p>\( Z \) 와 \( W \) 를 각각 곡면 \( M \) 과 평면 \( P \) 의 단위법벡터장이라 하자. \[Z(t)=Z \circ \alpha(t), W(t)=W \circ \alpha(t)\]로 놓으면 가정에 의하여 \( W \) 는 평행하고, 즉 \( W^{\prime}(t)=0 \) 이고 \( \langle Z(t), W(t)\rangle \) 는 상수이다. 따라서<caption>(4.3.1)</caption>\[0=\left\langle Z^{\prime}, W\right\rangle+\left\langle Z, W^{\prime}\right\rangle=\left\langle Z^{\prime}, W\right\rangle\] 또 \[ \\|Z(t)\\|=1 \] 이므로<caption>(4.3.2)</caption>\[ \left\langle Z^{\prime}, Z\right\rangle=0 \]이다. 한편, \( \alpha=M \cap P \) 이므로<caption>(4.3.3)</caption>\[ \left\langle\alpha^{\prime}, Z\right\rangle=0=\left\langle\alpha^{\prime}, W\right\rangle \] \( Z \) 와 \( W \) 가 일차독립이면 식 (4.3.1)-(4.3.3)에 의해 \( Z^{\prime} \) 과 \( \alpha^{\prime} \) 이 평행하다. 따라서 각각의 \( t \) 에 대하여 \( Z^{\prime}(t)=\lambda(t) \alpha^{\prime}(t) \) 를 만족시키는 함수 \( \lambda=\lambda(t) \) 가 존재하므로 정리 4.3.2에 의해 \( \alpha \) 는 주곡률선이다. \( Z \) 와 \( W \) 가 일차종속이면 \( Z=\pm W \) 이고 \( Z^{\prime}=0=0 \cdot \alpha^{\prime} \) 이므로 이 경우도 \( \alpha \) 가 주곡률선이다.</p> <p>정의 4.1.16</p><p>점 \( \mathrm{p} \in M \) 에서 \( \kappa_{1}(\mathrm{p})=\kappa_{2}(\mathrm{p}) \)일 때, 점 \( \mathrm{p} \)를 배꼽점(umbilical point)이라고 한다.</p><p>예를 들어, 평면의 모든 점은 \( \kappa_{1}(\mathbf{p})=\kappa_{2}(\mathrm{p})=0 \)이므로 배꼽점이다. 보기 4.1.3에 의해 단위구의 모든 점 또한 \( \kappa_{1}(\mathrm{p})=\kappa_{2}(\mathrm{p}) \)이므로 배꼽점이다.</p><p>\( \kappa_{1} \) 과 \( \kappa_{2} \) 가 법곡률 중 최댓값과 최솟값이므로 \( \kappa_{1}(\mathrm{p})=\kappa_{2}(\mathrm{p}) \)이면, \( mathrm{v} \in T_{\mathrm{p}} M \), \( \\|\mathrm{v}\\|=1 \)인 모든 접벡터 \( \mathrm{v} \)에 대한 법곡률 \( \kappa_{n}(\mathrm{v}) \)은 상수이다.</p><p>정리 4.1.17</p><p>(1) \( \mathrm{p} \in M \) 가 배꼽점이면 임의의 접벡터 \( \mathrm{v} \) 에 대하여 \( d Z_{\mathrm{p}}(\mathrm{v})=-k \mathrm{v} \) 을 만족시킨 다. 다시 말해서, \( d Z_{\mathrm{p}} \) 는 행렬 \( \left(\begin{array}{rr}-k & 0 \\ 0 & -k\end{array}\right) \) 로 주어진다. 여기서 \( k=\kappa_{1}(\mathbf{p})=\kappa_{2}(\mathbf{p}) \) 이다.</p><p>\( \mathrm{p} \in M \) 가 배꼽점이 아니면 오직 두 가지 주곡률방향이 존재하고 이것은 서로 수직이다. 더욱이, \( \mathrm{e}_{1}, \mathrm{e}_{2} \) 가 주곡률방향을 나타내는 단위벡터이면 \[d Z_{\mathbf{p}}\left(\mathbf{e}_{1}\right)=-\kappa_{1} \mathbf{e}_{1}, dZ_{\mathbf{p}}\left(\mathbf{e}_{2}\right)=-\kappa_{2} \mathbf{e}_{2}\]가 성립한다.</p><p>증명</p><p>법곡률 \( \kappa_{n} \) 이 방향 \( \mathrm{e}_{1} \in T_{\mathrm{p}} M \) 에서 최댓값을 갖는다고 하자. 즉,<caption>(4.1.13)</caption>\[ \kappa_{1}(\mathbf{p})=\kappa_{n}\left(\mathbf{e}_{1}\right)=-\left\langle d Z_{\mathbf{p}}\left(\mathbf{e}_{1}\right), \mathbf{e}_{1}\right\rangle\] 이때 \( \mathbf{e}_{2} \in T_{\mathrm{p}} M \) 을 벡터 \( \mathbf{e}_{1} \) 과 수직인 단위접벡터로 \( \left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right\} \) 가 접평면 \( T_{\mathrm{p}} M \) 의 양의 방향이라고 하면 \( \mathrm{e}_{2} \) 가 또 하나의 주곡률방향임을 보이자. \( \mathrm{v} \in T_{\mathrm{p}} M \) 이 임의의 단위접벡터라 하고 \( \mathrm{e}_{1} \) 과 \( \mathrm{v} \) 의 사이각을 \( \theta \) 라 하면 \( \mathrm{v} \) 를 \[\mathrm{v}=\mathrm{v}(\theta)=\cos \theta \mathbf{e}_{1}+\sin \theta \mathbf{e}_{2}\]로 나타낼 수 있다. 그러면 임의의 방향에 대한 법곡률도 각 \( \theta \) 를 이용하여 나타낼 수 있다. 즉, \[S_{12}=-\left\langle d Z_{\mathrm{p}}\left(\mathbf{e}_{1}\right), \mathbf{e}_{2}\right\rangle=-\left\langle d Z_{\mathrm{p}}\left(\mathbf{e}_{2}\right), \mathbf{e}_{1}\right\rangle, S_{22}=-\left\langle d Z_{\mathrm{p}}\left(\mathbf{e}_{2}\right), \mathbf{e}_{2}\right\rangle \] 로 놓으면 법곡률은 \( \begin{aligned} \kappa_{n}(\mathbf{v})=\kappa_{n}(\theta) &=-\left\langle d Z_{\mathrm{p}}\left(\cos \theta \mathbf{e}_{1}+\sin \theta \mathbf{e}_{2}\right), \cos \theta \mathbf{e}_{1}+\sin \theta \mathbf{e}_{2}\right\rangle \\ &=\kappa_{1} \cos ^{2} \theta+2 \mathrm{~S}_{12} \sin \theta \cos \theta+S_{22} \sin ^{2} \theta \\ \text { 따라서<caption>(4.1.14)</caption>} \end{aligned} \) \( \theta=0 \) 에서 법곡률 \( \kappa_{n} \) 이 최댓값을 가지므로 \( \frac{d \kappa_{n}}{d \theta}(0)=0 \) 즉 \( S_{12}=0 \) 이다. 따라서<caption>(4.1.15)</caption>\[\kappa_{n}(\theta)=\kappa_{1} \cos ^{2} \theta+S_{22} \sin ^{2} \theta\]\( \left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right\} \) 이 정규직교기저이고 \( S_{12}=0 \) 이므로 \( -d Z_{\mathrm{p}}\left(\mathbf{e}_{1}\right) \) 과 \( -d Z_{\mathrm{p}}\left(\mathbf{e}_{2}\right) \) 를 \( \left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right\} \) 의 일차결합으로 나타내면<caption>(4.1.16)</caption>\[ -d Z_{\mathbf{p}}\left(\mathbf{e}_{1}\right)=\kappa_{1} \mathbf{e}_{1},-d Z_{\mathbf{p}}\left(\mathbf{e}_{2}\right)=S_{22} \mathbf{e}_{2} \]이다. 점 \( \mathrm{p} \) 가 배꼽점이면 법곡률이 상수이므로 \[S_{22}=-\left\langle d Z_{\mathbf{p}}\left(\mathbf{e}_{2}\right), \mathbf{e}_{2}\right\rangle=\kappa_{n}\left(\mathbf{e}_{2}\right)=\kappa_{1}=k\] 따라서 \( d Z_{\mathrm{p}}\left(\mathbf{e}_{2}\right)=-k \mathbf{e}_{2} \) 이고 \( \left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right\} \) 가 기저이므로 임의의 접벡터 \( \mathrm{v} \) 에 대하여 \( d Z_{\mathrm{p}}(\mathrm{v})=-k \mathrm{v} \)이 성립한다. 한편, 점 \( \mathrm{p} \) 가 배꼽점이 아니면 \( \kappa_{n}(\theta) \) 는 상수함수가 아니고 \( \kappa_{1} \) 이 최댓값이므로 식 (4.1.15)에 의해 \( \kappa_{1}>S_{22} \) 이고 \( \frac{d \kappa_{n}}{d \theta}=2 \sin \theta \cos \theta\left(S_{22}-\kappa_{1}\right) \) 이다. \( \kappa_{n} \) 이 최솟값을 갖는 경우에도 미분값이 \( \mathrm{O} \) 이므로 \( \theta=\pm \frac{\pi}{2} \) 일 때, 즉 \( \sin \theta=\pm 1 \) 일 때 최솟값을 갖고 이때 \( \kappa_{2}(\mathbf{p})=S_{22} \) 이다.</p> <h1>제 4 장 국소적 곡면 이론</h1><p>1 장에 의하면 곡선의 모양을 결정하는 기하학적 개념으로 곡률과 비틀림이 있다. 곡면의 경우도 곡선과 마찬가지로 그 모양을 결정하는 기하학적 개념이 있다. 곡면에는 정의로부터 국소적으로 단위법벡터장 \( Z \)가 항상 존재한다. 따라서 단위법벡터장이 좌표함수로 주어지는 경우에 좌표함수의 변수로 이 단위법벡터장을 미분한 값은 곡면의 모양에 대한 변화율을 측정해 준다. 단위법벡터장 \( Z \)의 미분사상은 선형사상이고 대수적 방법(행렬식이나 대각합 등등)을 이용하여 기하학적 불변량을 얻을 수 있는데, 이를 가우스곡률(Gaussian curvature)과 평균곡률(mean curvature)이라고 한다. 기하학적으로 곡면의 각 점에서 그 점을 지나는 곡면의 곡선 중 곡률이 가장 큰 값과 가장 작은 값을 구하여 그 두 값을 곱한 것을 가우스곡률이라고 하고, 이 두 값의 평균을 평균곡률이라고 한다.</p><p>곡면 기하학은 곡면을 국소적으로 표현하기 때문에 대부분의 기하학적 개념을 국소적으로 나타낸다(이것이 곡면에서 정의되는 기하학적 개념이 모두 국소적이라는 것을 의미하지는 않는다). 그리고 국소적 성질로부터 주어진 곡면에 대한 기하학적 성질을 이끌어 낼 수도 있다. 이와 같이 국소적 곡면 이론은 곡면 전체의 기하학적 모양이나 특징을 파악하는 대역적 곡면 이론과는 달리 곡면의 한 점 근방의 기하학적 모양을 알아보는 것을 말한다. 4 장에서는 곡면의 국소적 성질을 파악할 수 있는 기하학적 개념인 가우스곡률에 대한 정의와 성질에 대하여 알아보기로 한다.</p><p>1절에서는 단위법벡터장의 성질을 알아보고, 이를 이용하여 가우스곡률을 정의한 다음 가우스곡률과 곡면의 모양과의 관계에 대하여 알아본다. 2절에서는 좌표함수를 이용하여 가우스곡률을 구체적으로 계산할 수 있는 여러 가지 방법에 대하여 알아보고, 3 절에서는 곡면의 국소적 모양을 파악하는데 도움이 되는 곡선인 주곡률선, 측지선, 그리고 점근선의 정의와 성질에 대하여 살펴보기로 한다.</p> <p>정리 4.1.24</p><p>(1) 점 \( \mathrm{p} \in M \) 가 \( ᄐ \) 워원점이면 점 \( \mathrm{p} \) 의 근방 \( V \subset M \) 이 존재하여 \( V \) 의 모든 점이 접평면 \( T_{\mathrm{p}} M \) 의 한쪽에 놓이게 할 수 있다.</p><p>(2) 점 \( \mathrm{p} \in M \) 가 쌍곡점이면 점 \( \mathrm{p} \) 의 임의의 근방 \( V \) 에 대하여 접평면 \( T_{\mathrm{p}} M \) 의 양쪽에 놓이는 점이 각각 존재한다.</p><p>증명</p><p>\( \mathbf{x}=\mathbf{x}(u, v) \) 가 점 \( \mathrm{p} \) 근방의 좌표함수로 \( \mathbf{x}(0,0)=\mathrm{p} \) 라 하자. 벡터 \( \mathbf{x}(u, v)-\mathbf{x}(0,0) \) 과 \( Z(\mathrm{p}) \) 사이의 사이각을 나타내는 함수 \( h \) 를 \[h(u, v)=\langle\mathbf{x}(u, v)-\mathbf{x}(0,0), (\mathrm{p})\rangle\]로 정의하자. 충분히 작은 모든 \( u, v(\neq 0) \) 에 대하여 \( h \) 의 부호가 양수이거나 음수이 면 \( \mathbf{x}(u, v)-\mathbf{x}(0,0) \) 과 \( Z(\mathrm{p}) \) 사이의 사이각이 \( \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \) 또는 \( \left(\frac{3}{2} \pi, 2 \pi\right) \) 이므로 \( \mathbf{p} \) 의 근방 \( V \subset M \) 가 존재하여 \( T_{\mathrm{p}} M \) 의 한쪽에 놓인다는 것을 알 수 있다. \( \mathrm{x} \) 가 미분가능 하므로 테일러의 전개식에 의해<caption>(4.1.22)</catption>\( \quad \mathbf{x}(u, v)=\mathbf{x}(0,0)+u \mathbf{x}_{u}+v \mathbf{x}_{v}+\frac{1}{2}\left\{u^{2} \mathbf{x}_{u u}+2 u v \mathbf{x}_{u v}+v^{2} \mathbf{x}_{v v}\right\}+\mathrm{O}(3) \)으로 주어진다. 여기서 \( \lim _{(u, v) \rightarrow(0,0)} \frac{\mathrm{O}(3)}{u^{2}+v^{2}}=0 \) 식 (4.1.22)를 (4.1.21)에 대입하고 도움정리 4.1.8과 \( \left\langle\mathrm{x}_{\mathrm{u}}, \mathrm{Z}(\mathrm{p})\right\rangle=0=\left\langle\mathrm{x}_{\mathrm{v}}, \mathrm{Z}(\mathrm{p})\right\rangle \)를 이용하면 \( h(u, v)=\frac{1}{2}\left\{u^{2}\left\langle\mathbf{x}_{u u}, Z(\mathbf{p})\right\rangle+2 u v\left\langle\mathbf{x}_{u v}, (\mathbf{p})\right\rangle+v^{2}\left\langle\mathbf{x}_{v v}, Z(\mathrm{p})\right\rangle\right\}+\langle\mathrm{O}(3), Z(\mathrm{p})\rangle \) \[=\frac{1}{2} \Pi_{\mathrm{p}}(\mathrm{v})+\mathrm{O}(3)\] 여기서 \( \mathrm{v}=u \mathbf{x}_{u}+v \mathbf{x}_{v} \) 이고<caption>(4.1.23)</caption>\[\lim _{\mathbf{v} \rightarrow 0} \frac{\mathrm{O}(3)}{\\|\mathbf{v}\\|^{2}}=0\]</p><p>(1) \( \mathrm{p} \) 가 타원점이면 모든 \( \mathrm{w} \in T_{\mathrm{p}} M \) 에 대하여 \( \mathrm{I}_{\mathrm{p}}(\mathrm{w})>0 \) 또는 \( \mathrm{I}_{\mathrm{p}}(\mathrm{w})<0 \) 이므로 식 (4.1.23)에 의해 \( u, v \) 가 충분히 작으면 \( h(u, v)>0 \) 이거나 \( h(u, v)<0 \) 이다. 따라서 정리가 성립한다.</p><p>(2) \( \mathrm{p} \) 가 쌍곡점이면 두 점 \( (u, v) \) 와 \( (\bar{u}, \bar{v}) \) 가 존재하여 \[\Pi_{\mathrm{p}}\left(\frac{\mathrm{v}}{\\|\mathrm{v}\\|}\right)>0, \Pi_{\mathrm{p}}\left(\frac{\overline{\mathrm{v}}}{\\|\overline{\mathrm{v}}\\|}\right)<0\]를 만족시킨다. 여기서 \( \mathbf{v}=u \mathbf{x}_{u}+v \mathbf{x}_{v} \) 이고 \( \overline{\mathbf{v}}=\bar{u} \mathbf{x}_{u}+\bar{v} \mathbf{x}_{v} \) 이다. 그러면 \( h(u, v)>0 \) 이고 \( h(\bar{u}, \bar{v})<0 \) 이므로 \( \mathbf{x}(u, v) \) 와 \( \mathbf{x}(\bar{u}, \bar{v}) \) 는 접평면 \( T_{\mathrm{p}} M \) 의 한 쪽과 다른 쪽에 놓여 있다.</p><p> <p>곡선의 곡률은 \( \mathbb{R}^{3} \) 의 등장사상에 의하여 변하지 않는다. 같은 이유로 가우스곡률은 \( \mathbb{R}^{3} \) 의 등장사상에 의하여 변하지 않는다(6장2절과 7 장7절 참고). 따라서 \( \mathbb{R}^{3} \) 의 좌표 축을 잘 선택하여 \( h(0,0)=0 \) 이고(따라서 \( \mathbf{p}=0 \) ) 점 \( \mathbf{p} \) 에서 곡면 \( M \) 에 수직인 방향이 \( z \) 축과 같다고 가정할 수 있다. 그러면 도움정리 4.1.20에 의해 \[Z(x, y)=\frac{\left(-h_{x},-h_{y}, 1\right)} \sqrt{1+h_{x}^{2}+h_{y}^{2}}}\]이고 가정에 의해 \( Z(0,0)=Z(\mathrm{p})=(0,0,1) \) 이므로 \[h_{x}(0,0)=h_{y}(0,0)=0\]이다. 따라서 점 \( (0,0) \) 에서 함수 \( h \) 의 이차근사는 \[h(x, y) \sim \frac{1}{2}\left(h_{x x}(0,0) x^{2}+2 h_{x y}(0,0) x y+h_{y y}(0,0) y^{2}\right)\]이다. \[\mathrm{e}_{1}=(1,0,0) \text { 과 } \mathrm{e}_{2}=(0,1,0) \text { 이 주곡률방향이라고 가정하면 도움정리 4.1.20에 의해 }\]\[h_{x x}(0,0)=\kappa_{1}, h_{y y}(0,0)=\kappa_{2}, h_{x y}(0,0)=0\]이므로 점 \( \mathrm{p}=0 \in M \) 근방에서<caption>(4.1.19)</caption>\[h(x, y) \sim \frac{1}{2}\left(\kappa_{1} x^{2}+\kappa_{2} y^{2}\right)\]이 성립한다. 곡면<caption>(4.1.20)</caption>\[\widehat{M}: z=\frac{1}{2}\left(\kappa_{1} x^{2}+\kappa_{2} y^{2}\right)\]을 점 \( \mathrm{p} \) 에서 곡면 \( M \) 의 이차근사곡면(quadratic approximation)이라고 한다.</p><p>보기 4.1.21</p><p>곡면 \( M: z=e^{x^{2}+y^{2}}-1 \) 의 원점에서의 이차근사곡면을 구하여라.</p><p>풀이. \( h(x, y)=e^{x^{2}+y^{2}}-1 \) 로 놓으면 함수 \( h \) 는 도움정리 4.1.20의 조건을 모 두 만족시킨다. 특히, \( h_{x y}=4 x y e^{x^{2}+y^{2}} \) 이므로 \( h_{x y}(0,0)=0 \) 이다. 따라서 \( \kappa_{1}(0)=h_{x x}(0,0)=2=h_{y y}(0,0)=\kappa_{2}(0) \)이므로 \( M \) 의 원점에서의 이차근사곡면은 포물면인 \[\widehat{M}: z=x^{2}+y^{2}\]이다.</p><p>참고 4.1.22 가우스곡률의 부호</p><p>(1) 양의 부호: \( \mathrm{p} \in M \) 에서 \( K(\mathrm{p})>0 \) 이면 \[\kappa_{1}(\mathbf{p})>0, \kappa_{2}(\mathbf{p})>0\] 또는 \[ \kappa_{1}(\mathbf{p})<0, \kappa_{2}(\mathbf{p})<0\]이다. 따라서 임의의 접벡터 \( \mathbf{v} \in T_{\mathrm{p}} M,\\|\mathbf{v}\\|=1 \) 에 대하여 \( \kappa_{n}(\mathrm{v})>0 \) 이거나 \( \kappa_{n}(\mathrm{v})<0 \) 이다. 그러므로 \( M \) 은 점 \( \mathrm{p} \) 의 모든 방향에서 접평면 \(T_{\mathrm{p}} M \) 으로부 터 멀어지는 쪽으로 굽어져 있다(그림 4.7(1)). 그리고 점 \( \mathrm{p} \) 에서의 이차근사 곡면은 포물면 \( 2 z=\kappa_{1}(\mathrm{p}) x^{2}+\kappa_{2}(\mathrm{p}) y^{2} \) 으로 주어진다.</p><p>(2) 음의 부호: \( K(\mathrm{p})<0 \) 이면 주곡률 \( \kappa_{1}(\mathrm{p}) \) 와 \( \kappa_{2}(\mathrm{p}) \) 는 서로 다른 부호를 가 진다. 따라서 \( M \) 의 점 \( \mathrm{p} \) 에서의 근사곡면은 쌍곡면이 되고, \( M \) 은 점 \( \mathrm{p} \) 에서 말안장모양을 갖는다(그림 4.7 (2)).</p><p>(3) \( K(p)=0 \)</p><p>(i) \( \kappa_{1}(\mathbf{p}) \neq 0, \kappa_{2}(\mathbf{p})=0 \) (ii) \( \kappa_{1}(\mathbf{p})=\kappa_{2}(\mathbf{p})=0 \) (i)의 경우에 이차근사곡면은 포물기둥 \( 2 z=\kappa_{1}(\mathrm{p}) x^{2} \) 이고, 따라서 점 \( \mathrm{p} \) 근방에서 \( M \) 은 여물통모양이다(그림 \( 4.7 \) (3), \( (i)) \). (ii) 의 경우에 이차근사곡면은 평면 \( z=0 \) 이고, 따라서 점 \( \mathrm{p} \) 근방에서 곡면 \( M \) 의 모양에 대한 정보가 없다.</p><p>정의 \( 4.1 .23 \)</p><p>\[\mathrm{p} \in M \text { 일 때 }\]<ol><li>\( K(\mathrm{p})>0 \) 이면 점 \( \mathrm{p} \) 를 타원점이라고 한다.</li><li>\( K(\mathrm{p})<0 \) 이면 점 \( \mathrm{p} \) 를 쌍곡점이라고 한다.</li><li>\( K(\mathrm{p})=0 \) 이고 \( d Z \mathrm{p} \neq 0 \) 이면 점 \( \mathrm{p} \) 를 포물점이라고 한다.</li><li>\( d Z \mathrm{p}=0 \) 이면 점 \( \mathbf{p} \) 를 평면점이라고 한다.</p><ol type=1 start=1></li></ol><p>예를 들면, 좌표함수 \[\mathbf{x}(u, v)=((a+r \cos u) \cos v,(a+r \cos u) \sin v, r \sin u)(\text { 단, } a>r>0)\]로 주어지는 원환면은 타원점, 쌍곡점, 포물점을 모두 갖고 있다(그림 4.8).</p><p>\( u=\pm \frac{\pi}{2} \) 일 때, 곡선 \( \mathbf{x}\left(\frac{\pi}{2}, v\right)=(a \cos v, a \sin v, \pm r) \) 위의 점은 포물점이고 \( -\frac{\pi}{2}<u<\frac{\pi}{2} \) 인 영역에서는 \( K>0 \) 이고 \( \frac{\pi}{2}<u<\frac{3 \pi}{2} \) 인 영역에서는 \( K<0 \) 이다. 그러나 원환면은 평면점을 갖고 있지는 않다.</p><p>이차근사곡면을 이용하여 가우스곡률의 기하학적 설명을 제시한 참고 \( 4.1 .22 \) 는 해 석학적으로도 엄밀하게 보일 수 있다.</p> <p>한편, \( \alpha(t)=\mathbf{x}(u(t), v(t)) \) 가 주곡률선이면 정리 4.3.2에 의해 \[d Z\left(\alpha^{\prime}(t)\right)=\lambda(t) \alpha^{\prime}(t) \]를 만족시키는 함수 \( \lambda(t) \) 가 존재한다. 따라서 곡률공식(정리 4.2.1)을 구하는 과정에 있는 식 (4.2.5), (4.2.8)과 (4.2.9)에 의해 \( u^{\prime}(t), v^{\prime}(t) \) 는 다음 미분방정식을 만족시킨다. \[\begin{array}{l} \frac{f F-e G}{E G-F^{2}} u^{\prime}+\frac{g F-f G}{E G-F^{2}} v^{\prime}=\lambda u^{\prime} \\ \frac{e F-f E}{E G-F^{2}} u^{\prime}+\frac{f F-g E}{E G-F^{2}} v^{\prime}=\lambda v^{\prime} \end{array} \]</p><p>위의 연립 미분방정식으로부터 \( \lambda \) 를 소거하면(첫째 식에 \( v^{\prime} \) 을 곱하고 둘째 식에 \( u^{\prime} \) 을 곱한 다음 두 식의 뺄셈을 하면) 다음의 주곡률선에 대한 미분방정식을 얻는다.<caption>(4.3.6)</caption>\[(f E-e F) u^{\prime 2}+(g E-e G) u^{\prime} v^{\prime}+(g F-f G) v^{\prime 2}=0\]이 식을 행렬의 행렬식으로 나타내면<caption>(4.3.6)</caption>\[\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc}v^{\prime 2} & -u^{\prime} v^{\prime} & u^{\prime 2} \\E & F & G \\e & f & g\end{array}\right)=0\] 배꼽점이 아닌 점에서의 주곡률방향은 항상 서로 수직이므로 위의 식 (4.3.6) 또는 식 (4.3.7)로부터 다음 정리를 얻는다.</p><p>정리 4.3.9</p><p>점 \( \mathrm{p} \in M \) 이 배꼽점이 아니고 \( \mathrm{x}: D \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow M \) 이 점 \( \mathrm{p} \) 근방의 좌표함수라고 하자.</p><ol type=1 start=1><li>매개곡선 \( \alpha(t)=\mathrm{x}\left(u(t), v_{0}\right), \beta(t)=\mathrm{x}\left(u_{0}, v(t)\right) \) 가 주곡률선이면 \( F=f=0 \) 이다.</li><li>역으로, \( F=f=0 \) 이고 곡선 \( \alpha(t)=\mathbf{x}(u(t), v(t)) \) 가 주곡률선이면 \( \alpha \) 는 \( u \) -매개곡선 또는 \( v \)-매개곡선이다.</li></ol><p>증명</p><p>(1) 점 \( \mathrm{p} \) 가 배꼽점이 아니고 매개곡선 \( \alpha(t)=\mathbf{x}\left(u(t), v_{0}\right), \beta(t)=\mathbf{x}\left(u_{0}, v(t)\right) \) 가 주곡률곡선이라고 하자. 주곡률방향이 서로 수직이므로 \( \alpha^{\prime}(t) \) 와 \( \beta^{\prime}(t) \) 는 각각의 점 에서 수직이다. 즉, \(F=\left\langle\mathbf{x}_{u}, \mathbf{x}_{v}\right\rangle=0 \) 이 성립한다. 또, 곡선 \( \alpha \) 는 미분방정식 (4.3.6)을 만족시키고 \( v^{\prime}=0 \) 이므로 \( f E u^{\prime}=0 \) 이다. 따라서 \( f=0 \) 이다.</p><p>(2) 역으로, \( F=f=0 \) 이고 \( \alpha(t)=\mathbf{x}(u(t), v(t)) \) 가 주곡률선이라고 하면 주곡률선 방정식 (4.3.6)은 \( (g E-e G) u^{\prime} v^{\prime}=0 \)이다. 점 \( \mathrm{p} \) 가 배꼽점이 아니므로 4 장 2 절의 연습문제 3 에 의해 \[\frac{e}{E}(\mathbf{p}) \neq \frac{g}{G}(\mathbf{p}) \Leftrightarrow(g E-e G)(\mathbf{p}) \neq 0\]이다. 따라서, 연속성에 의해 점 \( \mathrm{p} \) 근방에서 \( g E-e G \neq 0 \) 이므로 \( u^{\prime} v^{\prime}=0 \) 이다. 그러므로 점 \( \mathrm{p} \) 근방에서 \( v^{\prime}=0 \) 또는 \( u^{\prime}=0 \) 이므로 \( \alpha(t)=\mathrm{x}(u(t), v(t)) \) 는 주곡률선이다.</p><p></p><p> <p>다음에는 측지선(geodesic)에 대하여 알아보자. 직관적으로 보면 측지선은 곡면의 두 점을 연결하는 곡선 중에서 길이가 가장 짧은 곡선을 나타낸다. 이러한 이유로 측지선의 모양이 곡면의 모양을 결정하는데 매우 중요한 요소이다. 정리 4.3.7에 의해 곡선 \( \alpha \subset M \) 의 가속도벡터 \( \alpha \) "이 곡면 \( M \) 의 접벡터이면 \( \alpha \) 는 점근곡선이다. 이와 반대로 가속도벡터 \( \alpha^{\prime \prime} \) 가 \( M \) 의 법벡터가 되는 경우 \( \alpha \) 를 측지선이라고 한다.</p><p>정의 \( 4.3 .10 \)</p><p>곡선 \( \alpha \subset M \) 의 가속도벡터 \( \alpha \) "이 \( M \) 에 수직일 때, \( \alpha \) 를 측지선(geodesic)이라고 한다.</p><p>곡면에 놓여 있는 곡선의 도함수인 속도벡터는 항상 접벡터이므로 정의로부터 다음 사실을 쉽게 알 수 있다.</p><p>도움정리 4.3.11</p><p>\( \alpha=\alpha(t) \subset M \) 이 \( M \) 의 측지선이면 \( \alpha \) 는 상수속력을 갖는다.</p><p>증명</p><p>속력의 제곱을 미분하면 \[\frac{d}{d t}\left\\|\alpha^{\prime}(t)\right\\|^{2}=2\left\langle\alpha^{\prime}(t), \alpha^{\prime \prime}(t)\right\rangle=0\] 이므로 \( \left\\|\alpha^{\prime}(t)\right\\| \) 는 상수이다.</p><p>직선 \( \alpha(t)=\mathrm{p}+t \mathrm{q} \) 가 곡면 \( M \) 에 놓여 있으면 \( \alpha \) 는 측지선이다. 실제로, \( \alpha^{\prime \prime}=0 \) 이므로 가속도벡터는 항상 곡면에 수직이다. 일반적으로 단위속력을 갖는 곡선 \( \alpha=\alpha(s) \subset M \) 이 곡면 \( M \) 의 측지선이면 \(\alpha^{\prime \prime}=\kappa N \) 이 법벡터이므로 \( \alpha(s) \) 위에서 \( N=\pm Z \) 가 된다. 따라서 프레네 공식에 의해<caption>(4.3.9)</caption>\[ d Z\left(\alpha^{\prime}\right)=Z^{\prime}=\pm N^{\prime}=\pm(-\kappa T+\tau B)\]</p><p>보기 4.3.12</p><p>평면에서 직선만이 측지선이다.</p><p>풀이. 평면 \( P \) 의 법벡터를 \( \mathrm{u} \) 라고 하고 \( \alpha \subset P \) 가 임의의 곡선이면 \( \left\langle\alpha^{\prime}, \mathrm{u}\right\rangle=0 \) 이다. 따라서 한번 더 미분하면<caption>(4.3.10)</caption>\( \left\langle\alpha^{\prime \prime}, \mathrm{u}\right\rangle=0 \) \( \alpha \) 가 측지선이면 \( \alpha^{\prime \prime} \) 는 \( P \) 와 수직이므로 \( \alpha^{\prime \prime} \) 은 \( \mathrm{u} \) 와 평행하다. 따라서 식 (4.3.10)에 의해 \( \alpha^{\prime \prime}=0 \) 이므로 \( \alpha \) 는 직선이다. 그러므로 평면 \( P \) 의 측지선은 모두 직선이다.</p><p>보기 4.3.13</p><p>단위구의 측지선은 대원이나 그것의 일부분이다.</p><p>풀이. \( S^{2} \) 을 단위구라고 하고 \( \alpha=\alpha(s) \subset S^{2} \) 을 단위속력을 갖는 측지선이라고 하자. 식 (4.3.9)에 의해<caption>(4.3.11)</caption>\[d Z\left(\alpha^{\prime}\right)=\pm(-\kappa T+\tau B)\] 한편, 보기 4.1.3에 의해<caption>(4.3.12)</caption>\[d Z\left(\alpha^{\prime}\right)=\alpha^{\prime}=T\] \( \kappa>0 \) 이므로 식 (4.3.11)과 식 (4.3.12)에 의해 \[\kappa=1, \tau=0\] 따라서 정리 \( 1.6 .12 \) 에 의해 곡선 \( \alpha \) 는 반지름의 길이가 1 인 단위원 또는 단위원의 일부를 나타낸다. 즉, \( \alpha \) 는 \( S^{2} \) 의 대원(great circle) 또는 그것의 일부분이다. 역으로, 대원을 따라서 움직이면 상수속력을 갖는 곡선 \( \alpha \) 의 가속도벡터 \( \alpha^{\prime \prime} \) 은 그 원의 중심으로 향한다. 대원의 중심은 곡면 \( S^{2} \) 의 중심인 원점과 일치하므로 \( \alpha^{\prime \prime} \) 은 \( S^{2} \) 에 수직이다. 따라서 구 \( S^{2} \) 의 측지선은 대원을 나타내는 상수속력을 갖는 곡선들이다. <p>증명</p><p>\( n \) 이 충분히 크면 집합 \( R_{n} \) 은 매우 작아지므로 \( R_{n} \) 이 하나의 좌표함수 \( \mathrm{x}: D \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow M \) 로 표현된다고 가정해도 된다. 이때 \( \mathbf{x}(Q)=R_{n}, Q \subset D \) 라 하면 정의에 의해 \( R_{n} \) 의 넓이는 \[A\left(R_{n}\right)=\iint_{Q}\left\\|\mathbf{x}_{u} \times \mathbf{x}_{v}\right\\| d u d v\] 한편, \( K(\mathrm{p}) \neq 0 \) 이고 점 \( \mathrm{p} \) 의 근방에서 가우스곡률 \( K \) 의 부호가 바뀌지 않으므로 \( Z \)는 (국소적)미분동형사상이다. 따라서 \( Z \circ \mathrm{x} \) 는 점 \( Z(\mathrm{p}) \in S^{2} \) 근방의 좌표함수이므로 \( Z\left(R_{n}\right) \) 의 넓이는<caption>(4.2.27)</caption>\[A\left(Z\left(R_{n}\right)\right)=\iint_{Q}\left\\|Z_{u} \times Z_{v}\right\\| d u d v\] 도움정리 4.1.5와 정리 4.2.3에 의해<caption>(4.2.28)</caption>\( \quad Z_{u} \times Z_{v}=d Z\left(\mathbf{x}_{u}\right) \times d Z\left(\mathbf{x}_{v}\right)=I \mathbf{x}_{u} \times \mathbf{x}_{v} \)이므로 이 식을 식 (4.2.27)에 대입하고 도움정리 4.2.9를 적용하면 \[\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{A\left(Z\left(R_{n}\right)\right)}{A\left(R_{n}\right)}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\iint_{Q}\left\\|Z_{u} \times Z_{v}\right\\| d u d v}{\iint_{Q}\left\\|\mathbf{x}_{u} \times \mathbf{x}_{v}\right\\| d u d v}\]<caption>(4.2.29)</caption>\( =\lim _{A\left(R_{n}\right) \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{A\left(R_{n}\right)} \iint_{Q}\|K\|\left\\|\mathbf{x}_{u} \times \mathbf{x}_{v}\right\\| d u d v}{\frac{1}{A\left(R_{n}\right)} \iint_{Q}\left\\|\mathbf{x}_{u} \times \mathbf{x}_{v}\right\\| d u d v} \) \( =\frac{\|K\|\left\\|\mathbf{x}_{u} \times \mathbf{x}_{v}\right\\|}{\left\\|\mathbf{x}_{u} \times \mathbf{x}_{v}\right\\|}(\mathbf{p})=\|K(\mathbf{p})\| \)</p><p>참고 4.2.12</p><p>넓이에 대한 정의를 살펴보면 넓이는 항상 \( \mathrm{O} \) 보다 크거나 같은 실수임을 알 수 있다. 그러나 적분과 유클리드 공간 또는 곡면의 방향을 함께 결부시켜 생각하면 넓이를 양수뿐만 아니라 음수인 수도 사용할 수 있다. \( \Phi: M \rightarrow \bar{M} \) 가 국소적 미분동형사상이고 \( Z \) 와 \( \bar{Z} \) 가 각각 \( M \) 과 \( \bar{M} \) 의 방향이라 하자. \( \mathrm{x}: D \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow M \)가 \( M \) 의 좌표함수이면 \( \mathrm{x}(D) \subset M \) 의 넓이는 \[A(\mathbf{x}(D))=\iint_{\mathbf{x}(D)} d A=\iint_{D}\left\\|\mathbf{x}_{u} \times \mathbf{x}_{v}\right\\| d u d v\]로 주어진다. 한편, \( \phi \) 는 국소적 미분동형사상이므로 \( \bar{x}=Z \circ \mathrm{x} \) 가 \( \bar{M} \) 의 좌표함 수라 가정해도 된다. 더욱이 \[d Z\left(\mathbf{x}_{u}\right) \times d Z\left(\mathbf{x}_{v}\right)=\overline{\mathbf{x}}_{u} \times \overline{\mathbf{x}}_{v}=I \mathbf{x}_{u} \times \mathbf{x}_{v}\] 이므로 영역 \( Z(\mathbf{x}(D)) \) 의 넓이는<caption>(4.2.30)</caption>\[ \iint_{Z(\mathbf{x}(D))} d A=\iint_{D}\|K\|\left\\|\mathbf{x}_{u} \times \mathbf{x}_{v}\right\\| d u d v \] 식 (4.2.30)은 넓이의 정의를 양수로 가정했기 때문에 얻어지는 식이다. 그러나 넓이의 정의를 음수도 허용하고 함수 \( \phi \) 가 방향을 보존하지 않으면 즉, 역방향 사상이면 \( \bar{x} \) 에 의해 만들어지는 방향은 \( \bar{Z} \) 와 반대방향이다. 따라서 이 경우에는 \( Z(\mathbf{x}(D)) \) 의 넓이를<caption>(4.2.31)</caption>\[ \iint_{Z(\mathbf{x}(D))} d A=\iint_{D} K\left\\|\mathbf{x}_{u} \times \mathbf{x}_{v}\right\\| d u d v \] 로 정의하는 것이 더 타당하다. 영역의 넓이를 이와 같이 정의하면 정리 4.2.11 의 식 (4.2.26)은<caption>(4.2.32)</caption>\[K(\mathbf{p})=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{A\left(Z\left(R_{n}\right)\right)}{A\left(R_{n}\right)}\]와 같이 주어진다.</p> <p>주곡률과 주곡률방향을 알면 임의의 방향에 대한 법곡률을 구할 수 있다.</p><p>정리 4.1.18 오일러의 공식</p><p>\[\mathrm{v}_{\mathrm{p}} \in T_{\mathrm{p}} M,\\|\mathrm{v}\\|=1 \text { 이고 점 } \mathrm{p} \in M \text { 에서의 주곡률방향이 } \mathrm{e}_{1} \text { 과 } \mathrm{e}_{2} \text { 라고 하자. } \mathrm{e}_{1}\]과 \( \mathrm{v} \) 의 사이각을 \( \theta \) 라 하면 \( \mathbf{v} \)-방향의 법곡률은<caption>(4.1.17)</caption>\[\kappa_{n}(\mathrm{v})=\kappa_{1} \cos ^{2} \theta+\kappa_{2} \sin ^{2} \theta\]<p>증명</p><p>가정에 의해 \[\mathrm{v}=\mathrm{e}_{1} \cos \theta+\mathrm{e}_{2} \sin ^{2} \theta\]로 나타낼 수 있다. 따라서\[\begin{aligned} k_{n}(\mathrm{v}) &=\Pi_{\mathrm{p}}(\mathrm{v})=-\left\langle d Z_{\mathrm{p}}(\mathrm{v}), \mathrm{v}\right\rangle \\ &=-\left\langle d Z_{\mathrm{p}}\left(\mathbf{e}_{1} \cos \theta+\mathbf{e}_{2} \sin \theta\right), \mathbf{e}_{1} \cos \theta+\mathbf{e}_{2} \sin \theta\right\rangle \\ &=\left\langle\mathbf{e}_{1} \kappa_{1} \cos \theta+\mathbf{e}_{2} \kappa_{2} \sin \theta, \mathbf{e}_{1} \cos \theta+\mathbf{e}_{2} \sin \theta\right\rangle \\ &=\kappa_{1} \cos ^{2} \theta+\kappa_{2} \sin ^{2} \theta \end{aligned}\]</p><p>정의 4.1.19</p><p>\( \mathrm{p} \in M \) 이고 \( d Z_{\mathrm{p}}: T_{\mathrm{p}} M \rightarrow T_{\mathrm{p}} M \) 을 가우스사상의 미분사상이라 하자. \( d Z_{\mathrm{p}} \) 의 행렬식을 점 \( \mathrm{p} \) 에서 곡면 \( M \) 의 가우스곡률(Gaussian curvature)이라 하고 \( K(\mathrm{p}) \)로 나타낸다. 또 \( d Z_{\mathrm{p}} \) 의 대각합(trace)에 \( -\frac{1}{2} \) 을 곱한 값을 평균곡률(mean curvature)이라 하고 \( H(\mathrm{p}) \) 로 나타낸다.</p><p>식 (4.1.12)에 의해 \( d Z_{\mathrm{p}} \) 를 행렬로 나타내면 \[\left(\begin{array}{cc}-\kappa_{1} & 0 \\0 & -\kappa_{2}\end{array}\right)\]이다. 따라서 가우스곡률과 평균곡률을 주곡률 \( \kappa_{1}, \kappa_{2} \) 를 써서 나타내면<caption>(4.1.18)</caption>\[K=\kappa_{1} \kappa_{2}, H=\frac{\kappa_{1}+\kappa_{2}}{2}\]</p><p>끝으로 가우스곡률의 기하학적 의미를 알아보기 위하여 이차근사곡면에 대하여 알아보자. 정리 3.1.15에 의하면 곡면은 국소적으로 그래프로 주어진다. 점 \( \mathrm{p} \in M \) 근방 에서 곡면 \( M \) 이 \( z=h(x, y) \) 의 그래프로 표현되면 함수 \( h \) 의 테일러의 전개식 중에서 이차식까지만을 이용하여 이차근사곡면을 나타낼 수 있다.</p><p>그래프로 주어지는 곡면은 다음과 같은 성질을 갖는다.</p><p>도움정리 4.1.20</p><p>\( M: z=h(x, y) \) 이고 \( h(0,0)=h_{x}(0,0)=h_{y}(0,0)=0 \) 이라 하자.</p><p>(1) \( \mathrm{e}_{1}=(1,0,0), \mathrm{e}_{2}=(0,1,0) \) 은 점 \( \mathrm{p}=0 \) 에서 곡면 \( M \) 에 접하는 단위접벡터이고 \[ Z=\frac{\left(-h_{x},-h_{y}, 1\right)}{\sqrt{1+h_{x}^{2}+h_{y}^{2}}}\]은 \( M \) 의 단위법벡터장이다.</p><p>(2) 가우스사상의 미분사상 \( d Z_{\mathrm{p}} \) 에 대하여 \[\begin{array}{l} d Z_{\mathbf{p}}\left(\mathbf{e}_{1}\right)=-h_{x x x}(0,0) \mathbf{e}_{1}-h_{x y}(0,0) \mathbf{e}_{2} \\ d Z_{\mathbf{p}}\left(\mathbf{e}_{2}\right)=-h_{y x}(0,0) \mathbf{e}_{1}-h_{y y}(0,0) \mathbf{e}_{2}\end{array}\]가 성립한다.</p><p>증명</p><p>(1) \( \mathbf{x}(x, y)=(x, y, h(x, y)) \) 는 \( M \) 의 좌표함수이고 \( \mathbf{x}(0,0)=\mathbf{p}=(0,0,0) \) 이므로 \[\begin{array}{l}\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial x}(0,0)=\left(1,0, h_{x}(0,0)\right)=(1,0,0)=\mathbf{e}_{1} \\\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial y}(0,0)=\left(1,0, h_{y}(0,0)\right)=(0,1,0)=\mathbf{e}_{2}\end{array}\] 따라서 \( \mathrm{e}_{1}, \mathrm{e}_{2} \) 는 접벡터이다. 한편, 직접 계산을 하면 \[Z=\frac{\mathbf{x}_{x} \times \mathbf{x}_{y}}{\left\\|\mathbf{x}_{x} \times \mathbf{x}_{y}\right\\|}=\frac{\left(-h_{x},-h_{y}, 1\right)}{\sqrt{1+h_{x}^{2}+h_{y}^{2}}}\]이 성립한다.</p><p>(2) \( d Z_{\mathrm{p}}\left(\mathbf{e}_{1}\right)=d Z_{\mathrm{p}}\left(\mathbf{x}_{x}(0,0)\right) \) 이고 매개곡선 \( \alpha(x)=\mathbf{x}(x, 0) \) 을 생각하면 \( \alpha(0)=\mathbf{p}=0 \) 이고 \( \alpha^{\prime}(0)=\mathrm{x}_{x}(0,0)=\mathrm{e}_{1} \) 이므로 \[ d Z_{\mathrm{p}}\left(\mathbf{e}_{1}\right)=d Z_{\mathrm{p}}\left(\alpha^{\prime}(0)\right)=(Z \circ \alpha)^{\prime}(0)\] 위의 (1)에서 \[ (Z \circ \alpha)(x)=\frac{\left(-h_{x}(x, 0),-h_{y}(x, 0), 1\right)}{\sqrt{1+h_{x}^{2}(x, 0)+h_{y}^{2}(x, 0)}}\]이므로 가정 \( h_{x}(0,0)=h_{y}(0,0)=0 \) 을 이용하면 \[(Z \circ \alpha)^{\prime}(0)=\left(-h_{x x}(0,0),-h_{y x}(0,0), 0\right)=-h_{x w}(0,0) \mathbf{e}_{1}-h_{y x}(0,0) \mathbf{e}_{2}\] 이다. 같은 방법으로 \[d Z_{\mathbf{p}}\left(\mathbf{e}_{2}\right)=-h_{x y}(0,0) \mathbf{e}_{1}-h_{y y}(0,0) \mathbf{e}_{2}\]이 성립함을 보일 수 있다.</p> <p>1 장에서 정의한 벡터곱의 성질에 의하면 \[e=\left\langle Z, \mathbf{x}_{u u}\right\rangle=\frac{\left\langle\mathbf{x}_{u} \times \mathbf{x}_{v}, \mathbf{x}_{u u}\right\rangle}{\left\\|\mathbf{x}_{u} \times \mathbf{x}_{v}\right\\|}=\frac{\operatorname{det}\left(\mathbf{x}_{u}, \mathbf{x}_{v}, \mathbf{x}_{u u}\right)}{\left\\|\mathbf{x}_{u} \times \mathbf{x}_{v}\right\\|}\] 이고 \[f=\frac{\operatorname{det}\left(\mathbf{x}_{u}, \mathbf{x}_{v}, \mathbf{x}_{u v}\right)}{\left\\|\mathbf{x}_{u} \times \mathbf{x}_{v}\right\\|}, g=\frac{\operatorname{det}\left(\mathbf{x}_{u}, \mathbf{x}_{v}, \mathbf{x}_{v v}\right)}{\left\\|\mathbf{x}_{u} \times \mathbf{x}_{v}\right\\|} \] 이다. 또 \( \left\\|\mathbf{x}_{u} \times \mathbf{x}_{v}\right\\|^{2}=E G-F^{2} \) 이므로 \[K=\frac{\operatorname{det}\left(\mathbf{x}_{u}, \mathbf{x}_{v}, \mathbf{x}_{u u}\right) \operatorname{det}\left(\mathbf{x}_{u}, \mathbf{x}_{v}, \mathbf{x}_{v v}\right)-\operatorname{det}\left(\mathbf{x}_{u}, \mathbf{x}_{v}, \mathbf{x}_{u v}\right)^{2}}{\left\\|\mathbf{x}_{u} \times \mathbf{x}_{v}\right\\|^{4}} \]이다. 평균곡률 \( H \) 도 같은 방법으로 나타내면 \[H=\frac{\left\langle\mathbf{x}_{v}, \mathbf{x}_{v}\right\rangle \operatorname{det}\left(\mathbf{x}_{u}, \mathbf{x}_{v}, \mathbf{x}_{u u}\right)-2\left\langle\mathbf{x}_{u}, \mathbf{x}_{v}\right\rangle \operatorname{det}\left(\mathbf{x}_{u}, \mathbf{x}_{v}, \mathbf{x}_{u v}\right)+\left\langle\mathbf{x}_{u}, \mathbf{x}_{u}\right\rangle \operatorname{det}\left(\mathbf{x}_{u}, \mathbf{x}_{v}, \mathbf{x}_{v v}\right)}{2\left\\|\mathbf{x}_{u} \times \mathbf{x}_{v}\right\\|^{3}} \]이다.</p><p>보기 4.2 .2</p><p>구면좌표계를 이용하여 반지름의 길이가 \( r \) 인 구 \( S^{2}(r) \) 의 가우스곡률과 평균곡률을 구하여라.</p><p>풀이. 구면좌표계 \( \mathbf{x}(u, v)=(r \sin u \cos v, r \sin u \sin v, r \cos u) \) 로 부터 \[\begin{array}{l}\mathbf{x}_{u}=(r \cos u \cos v, r \cos u \sin v,-r \sin u) \\\mathbf{x}_{v}=(-r \sin u \sin v, r \sin u \cos v, 0)\end{array}\] \[\begin{array}{l}\mathbf{x}_{u u}=(-r \sin u \cos v,-r \sin u \sin v,-r \cos u) \\ \mathbf{x}_{u v}=(-r \cos u \sin v, r \cos u \cos v, 0) \\ \mathbf{x}_{v v}=(-r \sin u \cos v,-r \sin u \sin v, 0)\end{array}\] 따라서 \[E=r^{2}, \quad F=0, \quad G=r^{2} \sin ^{2} u\]이고 \[\left\\|\mathbf{x}_{u} \times \mathbf{x}_{v}\right\\|=\sqrt{E G-F^{2}}=r^{2} \sin u \] 또한 가우스사상 \( Z \) 는 \[Z=\frac{\mathbf{x}_{u} \times \mathbf{x}_{v}}{\left\\|\mathbf{x}_{u} \times \mathbf{x}_{v}\right\\|}=(\sin u \cos v, \sin u \sin v, \cos u)\] 끝으로, 제2기본형식의 계수를 구하면 \[e=-r, f=0, g=-r \sin ^{2} u\] 그러므로 \[K=\frac{1}{r^{2}}, H=-\frac{1}{r}\]</p><p>다음 정리에 의하면 가우스사상의 미분사상 \( \mathrm{d} Z \) 에 대한 벡터곱으로부터 가우스곡 률과 평균곡률을 계산할 수도 있다.</p><p>정리 4.2.3</p><p>\( \mathrm{v}, \mathrm{w} \in \mathrm{T}_{\mathrm{p}} M \) 이 일차독립인 두 접벡터이면<caption>(4.2.11)</caption>\( d Z_{\mathbf{p}}(\mathbf{v}) \times d Z_{\mathrm{p}}(\mathbf{w})=K(\mathbf{p}) \mathbf{v} \times \mathbf{w} \)<caption>(4.2.12)</caption>\( d Z_{\mathrm{p}}(\mathrm{v}) \times \mathbf{w}+\mathrm{v} \times d Z_{\mathrm{p}}(\mathbf{w})=-2 H(\mathrm{p}) \mathbf{v} \times \mathbf{w} \)</p><p>증명</p><p>\( \mathrm{v}, \mathrm{w} \) 가 \( T_{\mathrm{p}} M \) 의 기저이므로 \[\begin{array}{r} d Z_{\mathrm{p}}(\mathrm{v})=a \mathbf{v}+b \mathbf{w} \\ d Z_{\mathrm{p}}(\mathbf{w})=c \mathbf{v}+d \mathbf{w} \end{array}\]로 나타낼 수 있다. 따라서 \[\left(\begin{array}{ll} a & c \\b & d\end{array}\right)\]는 기저 \( \mathbf{v}, \mathbf{w} \) 로 선형사상 \( d Z_{\mathrm{p}} \) 를 나타냈을 때의 행렬에 해당한다. 그러므로 \[ K(\mathrm{p})=a d-b c, \quad H(\mathrm{p})=-\frac{a+d}{2}\] 벡터곱의 성질을 이용하면 \[\begin{aligned} d Z_{\mathbf{p}}(\mathbf{v}) \times d Z_{\mathbf{p}}(\mathbf{w}) &=(a \mathbf{v}+b \mathbf{w}) \times(c \mathbf{v}+d \mathbf{w}) \\ &=(a d-b c) \mathbf{v} \times \mathbf{w} \end{aligned}\] 같은 방법으로 계산하면 \[d Z_{\mathbf{p}}(\mathrm{v}) \times \mathbf{w}+\mathbf{v} \times d Z_{\mathbf{p}}(\mathbf{w})=-2 H(\mathrm{p}) \mathrm{v} \times \mathbf{w}\]</p><p></p><p>	해석학	[ "<h2>4.1 가우스사상 및 곡률</h2><p>3장에 의하면 정칙곡면 \\( M \\)이 가향일 필요충분조건은 \\( M \\) 전체에서 정의되는 단위법벡터장 \\( Z \\)가 존재하는 것이다.", "다시 말해서, 곡면 전체에서 정의된 단위법벡터장의 존재성으로 \\( M \\)에 방향을 줄 수 있다고 말할 수 있다.", "그러므로 앞으로는 단위법벡터장의 선택을 \\( M \\)의 방향이라고 부르기로 한다. \\", "( Z \\)가 단위법벡터장이면 \\( -Z \\)도 또한 단위법벡터장이다.", "더욱이, \\( \\mathbf{x}: D \\subset \\mathbb{R}^{2} \\rightarrow M \\)이 좌표함수일 때 단위법벡터장 \\( Z \\) 는 \\( \\mathbf{x}(D) \\)에서<caption>(4.1.1)</caption>\\( Z(\\mathrm{p})=\\pm \\frac{\\mathbf{x}_{u} \\times \\mathbf{x}_{v}}{\\left\\\|\\mathbf{x}_{u} \\times \\mathbf{x}_{v}\\right\\\|}(\\mathbf{p}), \\mathbf{p} \\in \\mathbf{x}(D) \\)로 주어진다 (엄밀히 말하면 식 (4.1.1)에서 점 \\( \\mathrm{p} \\)는 \\( \\mathrm{x}(\\mathrm{q})=\\mathrm{p} \\in \\mathrm{x}(D) \\)인 점 \\( \\mathrm{q} \\in D \\)를 대입한 값이다).", "따라서 유클리드 공간 \\( \\mathbb{R}^{3} \\)에 양의 방향과 음의 방향이 있듯이 곡면에도 두 가지의 방향이 있다.", "</p><p>지금부터 모든 정칙곡면은 항상 가향이라고 가정하기로 한다.", "즉, 곡면 전체에서 정의된 단위벱터장 \\( Z \\)가 항상 존재하고, 또 좌표함수 \\( \\mathrm{x} \\)가 주어졌을 때, 필요하면 매개변수 \\( u, v \\)를 바꾸어, \\( Z \\)가 항상<caption>(4.1.2)</caption>\\( Z(\\mathbf{p})=\\frac{\\mathbf{x}_{u} \\times \\mathbf{x}_{v}}{\\left\\\|\\mathbf{x}_{u} \\times \\mathbf{x}_{v}\\right\\\|}(\\mathbf{p}), \\mathbf{p} \\in \\mathbf{x}(D) \\)라 가정하자.", "</p><p>정의 4.1.1 \\( M \\subset \\mathbb{R}^{3} \\)이 방향이 \\( Z \\)인 정칙곡면이면 단위법벡터장 \\( Z \\)는 곡면 \\( M \\)에서 단위구 \\( S^{2} \\)로 사상되는 함수로 간주할 수 있다.", "이 사상 \\( Z: M \\rightarrow S^{2} \\)을 곡면 \\( M \\)의 가우스사상(Gauss mapping)이라고 한다(그림 4.1).", "</p><p>\\( M=S^{2} \\) 인 경우에 가우스사상 \\( Z \\) 는 항등사상 또는 음의 항등사상이 됨을 쉽게 알 수 있다.", "즉, 모든 점 \\( \\mathrm{p} \\in S^{2} \\) 에 대하여 \\( Z(\\mathrm{p})=\\mathrm{p} \\) 또는 \\( Z(\\mathrm{p})=-\\mathrm{p} \\)이다.", "</p><p>식 (4.1.2)로부터 가우스사상 \\( Z \\) 는 미분가능하고 3장 3절에 의해 가우스사상의 미분 사상 \\( \\mathrm{d} Z_{\\mathrm{p}}: T_{\\mathrm{p}} M \\rightarrow T_{Z(\\mathrm{p})} S^{2} \\)은 선형사상이다.", "더욱이 법벡터 \\( Z(\\mathrm{p}) \\)가 접평면 \\( T_{\\mathrm{p}} M \\)과 \\( T_{Z(\\mathrm{p})} S^{2} \\)에 동시에 수직하므로 \\( T_{\\mathrm{p}} M \\)과 \\( T_{Z(\\mathrm{p})} S^{2} \\)은 평행한 평면이다.", "따라서 두 평면을 동일시하면 가우스사상의 미분사상은 접평면 \\( T_{\\mathrm{p}} M \\)에서 자기 자신으로 사상되는 선형 사상으로 생각할 수 있다.", "</p><p>선형사상 \\( d Z \\mathrm{p}: T_{\\mathrm{p}} M \\rightarrow T_{\\mathrm{p}} M \\)은 접벡터에 대하여 다음과 같이 작용하는 사상으로 생각할 수 있다. \\", "( \\alpha \\)가 곡면 \\( M \\)에서 정의된 곡선으로 \\( \\alpha(0)=\\mathrm{p} \\)라고 하면 \\( Z(t):=Z \\circ \\alpha(t) \\)는 \\( S^{2} \\) 의 곡선으로 \\( Z(0)=Z(\\mathrm{p}) \\in S^{2} \\)이다.", "이 합성함수를 \\( t \\) 에 관해 미분하면 \\( Z^{\\prime}(0)=d Z_{\\mathrm{p}}\\left(\\alpha^{\\prime}(0)\\right) \\in T_{Z(\\mathrm{p})} S^{2} \\equiv T_{\\mathrm{p}} M \\)</p><p>이것은 법벡터장 \\( Z \\)를 곡선 \\( \\alpha \\)에 제한했을 때 \\( t=0 \\)에서의 변화율을 나타낸다.", "</p><p>보기 4.1.2 \\( P: a x+b y+c z+d=0 \\)이 평면이면 \\( \\mathrm{d} Z \\equiv 0 \\)이다.", "실제로, \\( (a, b, c) \\)는 평면 \\( P \\)에 수직인 벡터이다.", "따라서 각각의 점 \\( \\mathrm{p} \\in P \\)에서 가우스사상은 \\[Z(\\mathbf{p})=\\frac{(a, b, c)}{\\\|(a, b, c)\\\|}\\] 으로 주어진다.", "즉, \\( Z \\)는 상수인 단위법벡터장이므로 \\( \\mathrm{d} Z=0 \\)이다.", "</p><p>보기 4.1.3 단위구 \\( S^{2} \\)에서 \\( d Z \\)를 구하여라.", "</p><p>풀이.", "단위구 \\( S^{2} \\)의 법벡터장을 구하기 위해서 접벡터가 어떠한 형태를 갖는지 알아보자. \\", "( \\alpha(t)=(x(t), y(t), z(t)) \\) 가 구 \\( S^{2} \\) 의 곡선이면 \\( \\\|\\alpha(t)\\\|^{2}=(x(t))^{2}+(y(t))^{2}+(z(t))^{2}=1 \\) \\( t \\) 에 관해 미분하면 \\( (x(t), y(t), z(t)) \\cdot\\left(x^{\\prime}(t), y^{\\prime}(t), z^{\\prime}(t)\\right)=0 \\) 곡선 \\( \\alpha(t) \\) 의 미분인 \\( \\left(x^{\\prime}(t), y^{\\prime}(t), z^{\\prime}(t)\\right) \\)는 구에 접하는 접벡터를 나타내므로 법벡터는 위치벡터인 \\( (x(t), y(t), z(t)) \\)가 된다.", "따라서 \\( Z(t)=Z(\\alpha(t)) \\)로 정의하면 \\( Z(t)=Z(\\alpha(t))=(x(t), y(t), z(t)) \\)이고 \\( Z^{\\prime}(t)=Z\\left(\\alpha^{\\prime}(t)\\right)=\\left(x^{\\prime}(t), y^{\\prime}(t), z^{\\prime}(t)\\right) \\)이다.", "그러므로 임의의 접벡터 \\( \\mathrm{v}_{\\mathrm{p}} \\in T_{\\mathrm{p}} S^{2} \\)에 대하여<caption>(4.1.3)</caption>\\[dZ_{\\mathrm{p}}\\left(\\mathrm{v}_{\\mathrm{p}}\\right)=\\mathrm{v}_{\\mathrm{p}}\\] 식 (4.1.3)을 행렬형태로 나타내면 \\( dZ_{\\mathrm{p}}=\\left(\\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 0 & 1\\end{array}\\right) \\)</p><p>보기 4.1.4 원기둥면 \\( M_{C}=\\left\\{(x, y, z) \\in \\mathbb{R}^{3} \\mid x^{2}+y^{2}=1\\right\\} \\)에 대한 가우스사상의 미분사상 \\( d Z \\)를 구하여라.", "</p><p>풀이.", "법벡터장을 구하기 위해 \\( \\alpha(t)=(x(t), y(t), z(t)) \\) 를 원기둥면 \\( M_{C} \\)의 곡선이라고 하자.", "그러면 원기둥면의 정의에 의해 \\( x(t)^{2}+y(t)^{2}=1 \\) 양변을 \\( t \\)에 관하여 미분하면<caption>(4.1.4)</caption>\\[x(t) x^{\\prime}(t)+y(t) y^{\\prime}(t)=0\\] 식 (1.4)은 다음과 같이 \\[\\left(x^{\\prime}(t), y^{\\prime}(t), z^{\\prime}(t)\\right) \\cdot(x(t), y(t), 0)=0\\] 나타낼 수 있다.", "따라서 법벡터장은 \\[Z(t)=Z(\\alpha(t))=(x(t), y(t), 0)\\] 으로 주어진다. \\", "( t \\)에 관해 미분하면<caption>(4.1.5)</caption>\\( \\begin{aligned} Z^{\\prime}(t) &=\\mathrm{d} Z\\left(\\alpha^{\\prime}(t)\\right)=\\mathrm{d} Z\\left(x^{\\prime}(t), y^{\\prime}(t), z^{\\prime}(t)\\right) \\\\ &=\\left(x^{\\prime}(t), y^{\\prime}(t), 0\\right) \\end{aligned} \\) 한편, 원기둥면의 접벡터 중에 \\( z^{\\prime}(t)=0 \\)인 경우, 즉 \\( x y \\) 평면에 평행한벡터와 \\( z \\)축에 평행한 벡터는 서로 수직이면서 원기둥면의 접평면을 생성한다(그림 4.4). \\", "( \\mathrm{v}_{\\mathrm{p}} \\in T_{\\mathrm{p}} M_{C} \\)가 \\( x y \\)평면에 평행한 벡터이면 \\( \\mathrm{v}=\\left(v_{1}, v_{2}, 0\\right) \\) 의 형태이으므로 식 (4.1.5)에 의해 \\( d Z\\left(\\mathrm{v}_{\\mathrm{p}}\\right)=\\mathrm{v}_{\\mathrm{p}} \\)이다.", "또, \\( \\mathrm{w}_{\\mathrm{p}} \\) 가 \\( z \\)축에 평행한 접벡터이면 \\( \\mathbf{w}=\\left(0,0, w_{3}\\right) \\) 형태이고 식 (4.1.5)에 의해 \\( d Z\\left(\\mathrm{w}_{\\mathrm{p}}\\right)=0 \\) 이다.", "따라서 \\( d Z \\) 를 행렬로 나타내면 \\( d Z_{\\mathrm{p}}=\\left(\\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\\end{array}\\right) \\)</p> <p>좌표평면 \\( \\mathbb{R}^{2} \\) 에서 반지름의 길이가 \\( r \\) 인 열린원판 \\( B_{r} \\) 의 넓이 \\( \\pi r^{2} \\) 을 \\( A(r) \\) 로 나타내자.", "</p><p>정리 4.2.9 평균값의 정리</p><p>함수 \\( h: B \\rightarrow \\mathbb{R} \\) 가 \\( C^{1} \\) 이면<caption>(4.2.25)</caption>\\[\\lim _{r \\rightarrow 0} \\frac{1}{A(r)} \\iint_{B_{r}} h d A=h(0)\\]</p><p>증명</p><p>함수 \\( h \\) 가 \\( C^{1} \\) 이고 \\( B_{\\frac{1}{2}} \\) 의 폐포(closure) \\( \\overline{B_{\\frac{1}{2}}} \\) 가 옹골집합이므로 \\( \\nabla h \\) 는 \\( B_{\\frac{1}{2}} \\) 에서 유계이다.", "즉, 상수 \\( C>0 \\) 가 존재하여 모든 점 \\( \\mathrm{p} \\in B_{\\frac{1}{2}} \\) 에서 \\[\|\\nabla h(\\mathbf{p})\| \\leq C\\] 임의의 \\(\\epsilon>0 \\) 에 대하여 \\( r<\\frac{\\epsilon}{C} \\) 인 \\( r>0 \\) 를 택하고 \\( r \\leq \\frac{1}{2} \\) 이라 가정하자.", "도움정리 4.2.8과 코시-슈바르츠 부등식(정리 1.1.4)에 의해 \\[ \\begin{aligned}\\left\|\\frac{1}{A(r)} \\iint_{B_{r}} h(\\mathbf{p}) d A-h(\\mathbf{0})\\right\| &=\\left\|\\frac{1}{A(r)} \\iint_{B_{r}}(h(\\mathbf{p})-h(\\mathbf{0})) d A\\right\| \\\\ &=\\left\|\\frac{1}{A(r)} \\iint_{B_{r}}(\\nabla h(t \\mathbf{p}) \\cdot \\mathbf{p}) d A\\right\| \\\\ & \\leq \\frac{1}{A(r)} \\iint_{B_{r}}\|\\nabla h(\\mathbf{t p}) \\cdot \\mathbf{p}\| d A \\\\ & \\leq \\frac{1}{A(r)} \\iint_{B_{r}}\\\|\\nabla h(\\mathbf{t p})\\\|\\\|\\mathbf{p}\\\| d A \\\\ & \\leq \\frac{1}{A(r)} \\iint_{B_{r}} C r d A<\\epsilon \\end{aligned}\\] 그러므로 \\[\\lim _{r \\rightarrow 0} \\frac{1}{A(r)} \\iint_{B_{r}} h d A=h(0)\\]</p><p>참고 4.2.10</p><p>도움정리 4.2.9에서 원판 \\( B_{r} \\) 의 중심을 편의상 원점으로 생각하였다.", "같은 증명 방법을 이용하면 중심이 임의의 점인 경우에도 성립함을 보일 수 있다.", "즉, \\[B_{r}(\\mathrm{p})=\\left\\{\\mathrm{q} \\in \\mathbb{R}^{2} \\mid\\\|\\mathrm{q}-\\mathrm{p}\\\|<r\\right\\}\\]이고 \\( h: B_{r}(\\mathbf{p}) \\rightarrow \\mathbb{R} \\) 가 \\( C^{1} \\) 함수이면 \\[\\lim _{r \\rightarrow 0} \\frac{1}{A(r)} \\iint_{B_{r}(\\mathbf{p})} h d A=h(\\mathbf{p})\\] 여기서 \\( A(r) \\) 은 \\( B_{r}(\\mathrm{p}) \\) 의 넓이인 \\( \\pi r^{2} \\) 을 나타낸다.", "</p><p>\\( \\mathrm{p} \\) 가 정칙곡면 \\( M \\) 의 한 점이고 가우스곡률이 \\( K(\\mathrm{p}) \\neq 0 \\) 라 하자.", "그러면 연속성에 의해 점 \\( \\mathrm{p} \\) 를 포함하는 매우 작은 근방 \\( V \\) 에서 가우스곡률 \\( K \\) 의 부호가 바뀌지 않는 다. 양의 정수 \\( n \\) 에 대하여 \\[B_{n}=B_{\\frac{1}{n}}(\\mathrm{p})=\\left\\{(x, y, z) \\in \\mathbb{R}^{3} \\mid\\\|(x, y, z)-\\mathbf{p}\\\|<\\frac{1}{n}\\right\\}\\]라 하고 \\( B_{n} \\) 과 \\( V \\) 의 교집합을 \\( R_{n} \\) 이라 하자.", "즉 \\( R_{n}=V \\cap B_{n} \\) 으로 놓으면 \\( n \\rightarrow \\infty \\) 일 때, 집합 \\( R_{n} \\) 은 점 \\( \\mathrm{p} \\) 로 수렴한다.", "또 가우스사상 \\( Z: M \\rightarrow S^{2} \\) 에 대한 집합 \\( R_{n} \\) 의 치역 \\( Z\\left(R_{n}\\right) \\) 은 점 \\( Z(\\mathrm{p}) \\) 로 수렴한다.", "이때 다음이 성립한다.", "</p><p>정리 4.2.11</p><p>\\[K(\\mathrm{p}) \\neq 0 \\text { 이면 } \\]<caption>(4.2.26)</caption>\\[\|K(\\mathrm{p})\|=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{A\\left(Z\\left(R_{n}\\right)\\right)}{A\\left(R_{n}\\right)}\\] 여기서 \\( A \\) 는 주어진 영역의 넓이를 나타낸다.", "</p> <p>도움정리 4.2 .4</p><p>\\( W \\) 가 \\( \\mathbb{R}^{3} \\) 의 벡터장이고 \\( \\alpha:(a, b) \\rightarrow M \\) 이 \\( \\alpha(0)=\\mathrm{p} \\) 이고 \\( \\alpha^{\\prime} (0)=\\mathrm{v} \\) 인 곡선이면 \\[\\nabla_{\\mathrm{v}} W=(W \\circ \\alpha)^{\\prime}(0)\\]</p><p>증명</p><p>\\[ \\begin{array}{l} W=\\sum_{i=1}^{3} w_{i} U_{i} \\text { 로 나타내면 정리 } 2.5 .3 \\text { 에 의해 } \\\\ \\qquad \\nabla_{\\mathrm{v}} W=\\sum_{i=1}^{3} \\mathrm{v}_{\\mathrm{p}}\\left[w_{i}\\right] U_{i}(\\mathrm{p}) \\end{array} \\] 그런데 따름정리 2.3.9에 의해 \\[ \\mathrm{v}_{\\mathbf{p}}\\left[w_{i}\\right]=\\left.\\", "frac{d}{d t} w_{i}(\\mathrm{p}+t \\mathbf{v})\\right\|_{t=0}=\\left(w_{i} \\circ \\alpha\\right)^{\\prime}(0) \\] 이므로 \\[ \\nabla_{\\mathbf{v}} W=\\sum_{i=1}^{3}\\left(w_{i} \\circ \\alpha\\right)^{\\prime}(0) U_{i}(\\mathbf{p})=\\sum_{i=1}^{3}\\left(w_{i} \\circ \\alpha\\right)^{\\prime}(0) U_{i}(\\alpha(0))=(W \\circ \\alpha)^{\\prime}(0) \\]</p><p>도움정리 4.2 .5</p><p>\\( V \\) 가 곡면 \\( M \\) 의 접벡터장이면 \\[\\mathrm{d} Z(V)=\\nabla_{V} Z\\] 여기서 \\( Z \\) 는 곡면 \\( M \\) 의 가우스사상이다.", "</p><p>증명</p><p>각 점 \\( \\mathrm{p} \\in M \\) 에 대하여 \\( d Z(V)(\\mathrm{p})=d Z_{\\mathrm{p}}(V(\\mathrm{p})) \\) 이고 \\( \\left(\\nabla_{V} Z\\right)(\\mathrm{p})=\\nabla_{V(\\mathrm{P})} Z \\) 이다.", "따 라서 한 점 \\( \\mathrm{p} \\in M \\) 을 고정하고 임의의 접벡터 \\( \\mathrm{v}_{\\mathrm{p}} \\in T_{\\mathrm{p}} M \\) 에 대하여 \\( d Z_{\\mathrm{p}}\\left(\\mathrm{v}_{\\mathrm{p}}\\right)=\\nabla_{\\mathrm{v}} Z \\)임을 보이면 충분하다. \\", "( \\alpha:(a, b) \\rightarrow M \\) 이 \\( \\alpha(0)=\\mathrm{p} \\) 이고 \\( \\alpha^{\\prime}(0)=\\mathrm{v} \\) 인 곡선이면 도움 정리 \\( 4.2 .4 \\) 에 의해 \\[\\nabla_{\\mathbf{v}} Z=(Z \\circ \\alpha)^{\\prime}(0)=d Z_{\\mathrm{p}}\\left(\\alpha^{\\prime}(0)\\right)=d Z_{\\mathrm{p}}(\\mathbf{v})\\]</p><p>정리 4.2 .6</p><p>곡면 \\( M \\) 의 두 접벡터장 \\( V \\) 와 \\( W \\) 가 각각의 점에서 일차독립이고 \\( V \\times W=U \\) 로 놓으면 가우스곡률 \\( K \\) 와 평균곡률 \\( H \\) 는 각각<caption>(4.2.20)</caption>\\[K=\\frac{\\nabla_{V} U \\times \\nabla_{W} U \\cdot U}{\\\|U\\\|^{4}}\\]이고<caption>(4.2.21)</caption>\\[H=U \\cdot \\frac{\\left(\\nabla_{V} U \\times W+V \\times \\nabla_{W} U\\right)}{4\\\|U\\\|^{3}}\\]</p><p>증명</p><p>두 접벡터 \\( V \\) 와 \\( W \\) 가 일차독립이므로 벡터곱 \\( U=V \\times W \\) 는 \\( M \\) 의 각각의 점에서 0이 아닌 법벡터장이다.", "따라서 가우스사상은 \\( Z=\\frac{U}{\\\|U\\\|} \\) 으로 주어진다.", "도움정리\\( 4.2 .5 \\) 에 의해 \\[d Z(V)=\\nabla_{V} Z=\\nabla_{V}\\left(\\frac{U}{\\\|U\\\|}\\right)=\\frac{1}{\\\|U\\\|} \\nabla_{V} U+V\\left[\\frac{1}{\\\|U\\\|}\\right] U\\]이고 \\[d Z(W)=\\nabla_{W} Z=\\nabla_{W}\\left(\\frac{U}{\\\|U\\\|}\\right)=\\frac{1}{\\\|U\\\|} \\nabla_{W} U+W\\left[\\frac{1}{\\\|U\\\|}\\right] U\\] \\( U \\) 가 법벡터장이므로 \\( \\nabla_{V} U \\times U \\) 와 \\( \\nabla_{W} U \\times U \\) 는 \\( M \\) 의 접벡터장이고 또 \\( U \\times U=0 \\)이므로<caption>(4.2.22)</caption>\\[d Z(V) \\times d Z(W)=\\frac{1}{\\\|U\\\|^{2}}\\left(\\nabla_{V} U \\times \\nabla_{W} U\\right)+X\\] 여기서 \\( X \\) 는 \\( M \\) 의 접벡터장이다.", "그러므로 식 (4.2.22)에 법벡터장 \\( U \\) 를 내적하면 식 (4.2.17)과 \\( X \\cdot U=0 \\) 으로부터 \\[K=\\frac{\\nabla_{V} U \\times \\nabla_{W} U \\cdot U}{\\\|U\\\|^{4}}\\]가 성립한다.", "같은 방법으로 식 (4.2.19)를 이용하면 평균곡률에 관한 공식 (4.2.21)도 유도할 수 있다.", "<p>정의 4.3.6</p><p>곡면 \\( M \\) 의 곡선 \\( \\alpha=\\alpha(t) \\) 와 모든 \\( t \\) 에 대하여 \\( \\alpha^{\\prime}(t) \\) 가 점근방향일 때, 곡선 \\( \\alpha \\) 를 점근곡선 (asymptotic curve)이라고 한다.", "</p><p>\\( \\alpha=\\alpha(t) \\) 가 점근곡선일 필요충분조건은 단위속도벡터 \\( \\frac{\\alpha^{\\prime}(t)}{\\left\\\|\\alpha^{\\prime}(t)\\right\\\|} \\) 에 대하여 \\[ \\begin{aligned} 0=\\kappa_{n}\\left(\\frac{\\alpha^{\\prime}(t)}{\\left\\\|\\alpha^{\\prime}(t)\\right\\\|}\\right) &=\\mathrm{II}_{\\alpha(t)}\\left(\\frac{\\alpha^{\\prime}(t)}{\\left\\\|\\alpha^{\\prime}(t)\\right\\\|}\\right)=-\\left\\langle d Z_{\\alpha(t)}\\left(\\frac{\\alpha^{\\prime}(t)}{\\left\\\|\\alpha^{\\prime}(t)\\right\\\|}\\right), \\frac{\\alpha^{\\prime}(t)}{\\left\\\|\\alpha^{\\prime}(t)\\right\\\|}\\right\\rangle \\\\ &=-\\frac{1}{\\left\\\|\\alpha^{\\prime}(t)\\right\\\|^{2}}\\left\\langle Z^{\\prime}(t), \\alpha^{\\prime}(t)\\right\\rangle \\end{aligned} \\]이다.", "즉, \\( Z(t)=(Z \\circ \\alpha)(t) \\) 로 놓을 때 곡선 \\( \\alpha(t) \\) 가 점근곡선일 필요충분조건은<caption>(4.3.4)</caption>\\[\\left\\langle Z^{\\prime}, \\alpha^{\\prime}\\right\\rangle=0\\]이다.", "</p><p>도움정리 4.3 .7</p><p>곡면 \\( M \\) 의 곡선 \\( \\alpha \\) 에 대하여 \\( \\alpha^{\\prime \\prime}(t) \\in T_{\\alpha(t)} M \\) 이면 \\( \\alpha \\) 는 점근곡선이다.", "</p><p>증명</p><p>가정에 의해 \\( \\alpha^{\\prime}(t), \\alpha^{\\prime \\prime}(t) \\in T_{\\alpha(t)} M \\) 이므로 \\( \\left\\langle\\alpha^{\\prime}, Z\\right\\rangle=0=\\left\\langle\\alpha^{\\prime \\prime}, Z\\right\\rangle \\) 이다.", "첫 번째 식을 미분하면 \\[0=\\left\\langle\\alpha^{\\prime \\prime}, Z\\right\\rangle+\\left\\langle\\alpha^{\\prime}, Z^{\\prime}\\right\\rangle=\\left\\langle\\alpha^{\\prime}, Z^{\\prime}\\right\\rangle\\] 따라서 식 (4.3.4)에 의해 \\( \\alpha \\) 는 점근곡선이다.", "</p><p>좌표함수의 매개곡선이 점근곡선 또는 주곡률선이 되기 위한 조건에 대하여 알아보 자. \\", "( \\mathrm{x}: D \\subset \\mathbb{R}^{2} \\rightarrow M \\) 을 \\( \\mathrm{x}(0,0)=\\mathrm{p} \\in M \\) 인 좌표함수라 하고 \\[e(u, v)=e, f(u, v)=f, g(u, v)=g\\]를 좌표함수 \\( \\mathrm{x} \\) 에 대한 제 2 기본형식의 계수라고 하자.", "</p><p>\\( \\alpha(t)=\\mathbf{x}(u(t), v(t)) \\) 가 점근곡선이면 식 (4.3.4)에 의해 \\( \\operatorname{II}\\left(\\alpha^{\\prime}(t)\\right)=0 \\) 이므로 도움정 리 4.1.8에 의해<caption>(4.3.5)</caption>\\[e u^{\\prime 2}+2 f u^{\\prime} v^{\\prime}+g v^{\\prime 2}=0\\]이 성립한다.", "역으로 곡선 \\( \\alpha(t)=\\mathbf{x}(u(t), v(t)) \\) 가 미분방정식 (4.3.5)를 만족시키면 \\( \\mathrm{II}\\left(\\alpha^{\\prime}(t)\\right)=0 \\) 이므로 \\( \\alpha(t)=\\mathbf{x}(u(t), v(t)) \\) 는 점근곡선이다.", "이러한 이유로 식 (4.3.5)를 점근곡선에 대한 미분방정식이라고 한다.", "</p><p>한편, \\( \\mathrm{p} \\) 가 쌍곡점이면 \\( K(\\mathrm{p})<0 \\) 이고 정리 4.2.1과 연속성에 의해 점 \\( \\mathrm{p} \\) 근방에서 \\( e g-f^{2}<0 \\) 이다.", "따라서 이 성질과 식 (4.3.5)로부터 다음 정리가 성립한다.", "</p><p>정리 4.3 .8</p><p>쌍곡점 근방에서 좌표함수의 매개곡선이 점근곡선일 필요충분조건은 \\( e=g=0 \\) 이다.", "</p><p>증명</p><p>\\( u \\)-매개곡선 \\( u=u(t), v=v_{0} \\) (단, \\( v_{0} \\) 는 상수)의 경우 \\( v^{\\prime}=0 \\) 이므로 식 (4.3.5)로부터 \\( \\left(u^{\\prime}\\right)^{2} e=0 \\) 이다.", "따라서 \\( e=0 \\) 이 성립한다.", "또 \\( v \\)-매개곡선 \\( u=u_{0}, v=v(t) \\) (단, \\( u_{0} \\) 는 상수)의 경우에는 \\( u^{\\prime}=0 \\) 이므로 \\( g=0 \\) 이다.", "역으로, \\( \\mathrm{p} \\in M \\) 이 쌍곡점이고 점 \\( \\mathrm{p} \\) 근방에서 \\( e=g=0 \\) 라고 하면 정리 4.2.1에 의해 \\[K(\\mathbf{p})=\\frac{e g-f^{2}}{E G-F^{2}}(\\mathbf{p})=\\frac{-f^{2}}{E G-F^{2}}(\\mathbf{p})<0\\] 므로 특히, \\( f(\\mathrm{p}) \\neq 0 \\) 이다. \\", "( \\alpha(t)=\\mathbf{x}(u(t), v(t)) \\) 를 좌표함수 \\( \\mathbf{x} \\) 의 매개곡선이라고 하자.", "가정과 식 (4.3.5)에 의해 \\( f u^{\\prime} v^{\\prime}=0 \\) 이다.", "연속성에 의해 쌍곡점 \\( \\mathrm{p} \\) 근방에서 \\( f \\neq 0 \\) 이므로 쌍곡점 \\( \\mathrm{p} \\) 근방에서 \\( u^{\\prime}=0 \\) 또는 \\( v^{\\prime}=0 \\) 이다.", "그러므로 \\( \\alpha \\) 는 \\( u \\)-매개곡 선 또는 \\( v \\)-매개곡선이다.", "</p> <p>보기 4.2 .7</p><p>타원체면 \\[M: \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}+\\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\\]의 가우스곡률을 구하여라.", "풀이.", "함수 \\( h(x, y, z) \\) 를 \\[h(x, y, z)=\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}+\\frac{z^{2}}{c^{2}}=\\sum_{i=1}^{3} \\frac{x_{i}^{2}}{a_{i}^{2}}\\]로 정의하면 정리 \\( 3.3 .8 \\) 에 의해 \\( h \\) 의 그래디언트 \\[\\nabla h=\\sum_{i=1}^{3} \\frac{2 x_{i}}{a_{i}^{2}} U_{i}\\]는 0 이 아닌 법벡터장이다.", "타원체면 \\( M \\) 의 접벡터장 \\( V=\\sum_{i=1}^{3} v_{i} U_{i} \\) 와 \\( W=\\sum_{i=1}^{3} w_{i} U_{i} \\) 가 일차독립이고 \\[V \\times W=\\frac{1}{2} \\nabla h=\\sum_{i=1}^{3} \\frac{x_{i}}{a_{i}^{2}} U_{i}:=U \\] 라 하자.", "도움정리 \\( 2.4 .4 \\) 에 의해 \\( V\\left[x_{i}\\right]=v_{i} \\) 이므로 \\[\\nabla_{V} U=\\sum_{i=1}^{3} \\frac{V\\left[x_{i}\\right]}{a_{i}^{2}} U_{i}=\\sum_{i=1}^{3} \\frac{v_{i}}{a_{i}^{2}} U_{i}\\] 같은 방법으로 \\[\\nabla_{W} U=\\sum_{i=1}^{3} \\frac{W\\left[x_{i}\\right]}{a_{i}^{2}} U_{i}=\\sum_{i=1}^{3} \\frac{w_{i}}{a_{i}^{2}} U_{i}\\] 따라서 \\[\\nabla_{V} U \\times \\nabla_{W} U \\cdot U=\\operatorname{det}\\left(\\begin{array}{ccc} \\frac{v_{1}}{a^{2}} & \\frac{v_{2}}{b^{2}} & \\frac{v_{3}}{c^{2}} \\\\ \\frac{w_{1}}{a^{2}} & \\frac{w_{2}}{b^{2}} & \\frac{w_{3}}{c^{2}} \\\\ \\frac{x}{a^{2}} & \\frac{y}{b^{2}} & \\frac{z}{c^{2}} \\end{array}\\right)=\\frac{1}{a^{2} b^{2} c^{2}} V \\times W \\cdot X\\] 여기서 \\( X=\\sum_{i=1}^{3} x_{i} U_{i} \\) 이다.", "끝으로, \\( V \\times W=U \\) 를 만족시키는 접벡터장 \\( V \\) 와 \\( W \\) 를 구해야 하지만(이러한 접벡터장은 항상 존재한다) 여기서는 \\[V \\times W \\cdot X=U \\cdot X=\\sum_{i=1}^{3} \\frac{x_{i}^{2}}{a_{i}^{2}}=1\\]임을 알 수 있다.", "그러므로 \\[K=\\frac{1}{a^{2} b^{2} c^{2}\\\|U\\\|^{4}},\\\|U\\\|^{4}=\\left(\\sum_{i=1}^{3} \\frac{x_{i}^{2}}{a_{i}^{4}}\\right)^{2}\\]</p><p>참고 4.1.22에서 이차근사곡면을 이용하여 가우스곡률의 부호와 곡면의 국소적 모 양과의 관계에 대하여 알아보았다.", "곡면의 넓이를 이용하면 가우스곡률의 기하학적 의미를 나타낼 수 있다.", "</p><p>\\( r>0 \\) 에 대하여 \\( B_{r} \\) 를 중심이 원점 \\( (0,0) \\) 이고 반지름의 길이가 \\( r \\) 인 열린원판(open disk)이라고 하자.", "즉, \\[B_{r}=\\left\\{(x, y) \\in \\mathbb{R}^{2} \\mid x^{2}+y^{2}<r\\right\\}\\] 특히, \\( r=1 \\) 일 때, \\( B_{1}=B \\) 로 나타내자.", "</p><p>도움정리 4.2. 5</p><p>\\( h: B \\rightarrow \\mathbb{R} \\) 가 미분가능한 함수이면 임의의 점 \\( \\mathrm{p}=(x, y) \\in B \\) 에 대하여 \\[h(\\mathbf{p})-h(\\mathbf{0})=\\nabla h(t \\mathbf{p}) \\cdot \\mathbf{p}\\]을 만족시키는 실수 \\( t \\) 가 개구간 (0,1) 안에 존재한다.", "</p><p>증명</p><p>점 \\( \\mathrm{p}=(x, y) \\in B \\) 에 대하여 함수 \\( \\phi \\) 를 \\( \\phi(t)=h(t \\mathbf{p}) \\) 로 정의하자.", "그러면 \\( \\phi \\) 는 구간 \\( 0<t<1 \\) 에서 미분가능하므로 일변수함수에 대한 평균값의 정리에 의해<caption>(4.2.24)</caption>\\[\\phi(1)-\\phi(0)=\\phi^{\\prime}(t)\\]을 만족시키는 실수 \\( t \\) 가 개구간 \\( (0,1) \\) 안에 존재한다.", "연쇄법칙에 의해 \\( \\phi^{\\prime}(t)=\\nabla h(t \\mathbf{p}) \\cdot \\mathbf{p} \\)이므로 이 식을 식 (4.2.24)에 대입하면 식 (4.2.23)을 얻는다.", "</p> <h2>4.3 주곡률선, 점근곡선 및 측지선</h2><p>곡면은 곡선을 품고 있기 때문에 곡면의 모양은 그 구성원인 곡선의 성질에 의해 영향을 받는다.", "곡면이 품고 있는 특별한 형태의 곡선 중에는 주곡률선, 점근곡선 그리고 측지선이 있다.", "이러한 곡선은 주어진 곡면의 모양을 결정짓는 중요한 요소이다.", "</p><p>정의 4.3.1</p><p>곡면 \\( M \\) 의 곡선 \\( \\alpha=\\alpha(t) \\) 와 모든 \\( t \\) 에 대하여 \\( \\alpha^{\\prime}(t) \\) 가 점 \\( \\alpha(t) \\) 에서 주곡률방향일 때, 곡선 \\( \\alpha \\) 를 주곡률선(line of curvature 또는 principal curve)이라고 한다.", "</p><p>주곡률선의 정의로부터 다음 정리가 성립함을 쉽게 알 수 있다.", "</p><p>정리 4.3.2로드리게스</p><p>곡면 \\( M \\) 의 곡선 \\( \\alpha=\\alpha(t) \\) 가 주곡률선일 필요충분조건은 단위법벡터장 \\( Z \\) 에 대하여 \\[ Z^{\\prime}(t)=\\lambda(t) \\alpha^{\\prime}(t) \\]를 만족시키는 미분가능한 함수 \\( \\lambda=\\lambda(t): M \\rightarrow \\mathbb{R} \\) 가 존재한다.", "여기서 \\( Z(t)=Z \\circ \\alpha(t) \\) 이고 \\( -\\lambda(t) \\) 가 \\( \\alpha^{\\prime}(t) \\) 방향의 주곡률이다.", "</p><p>정리 4.3.3</p><p>곡면 \\( M \\) 과 평면 \\( P \\) 의 교선 \\( M \\cap P \\) 을 \\( \\alpha \\) 라 할 때, \\( M \\) 과 \\( P \\) 의 사이각이 일정하면 \\( \\alpha \\) 는 \\( M \\) 의 주곡률선이다.", "</p><p>증명</p><p>\\( Z \\) 와 \\( W \\) 를 각각 곡면 \\( M \\) 과 평면 \\( P \\) 의 단위법벡터장이라 하자. \\", "[Z(t)=Z \\circ \\alpha(t), W(t)=W \\circ \\alpha(t)\\]로 놓으면 가정에 의하여 \\( W \\) 는 평행하고, 즉 \\( W^{\\prime}(t)=0 \\) 이고 \\( \\langle Z(t), W(t)\\rangle \\) 는 상수이다.", "따라서<caption>(4.3.1)</caption>\\[0=\\left\\langle Z^{\\prime}, W\\right\\rangle+\\left\\langle Z, W^{\\prime}\\right\\rangle=\\left\\langle Z^{\\prime}, W\\right\\rangle\\] 또 \\[ \\\|Z(t)\\\|=1 \\] 이므로<caption>(4.3.2)</caption>\\[ \\left\\langle Z^{\\prime}, Z\\right\\rangle=0 \\]이다.", "한편, \\( \\alpha=M \\cap P \\) 이므로<caption>(4.3.3)</caption>\\[ \\left\\langle\\alpha^{\\prime}, Z\\right\\rangle=0=\\left\\langle\\alpha^{\\prime}, W\\right\\rangle \\] \\( Z \\) 와 \\( W \\) 가 일차독립이면 식 (4.3.1)-(4.3.3)에 의해 \\( Z^{\\prime} \\) 과 \\( \\alpha^{\\prime} \\) 이 평행하다.", "따라서 각각의 \\( t \\) 에 대하여 \\( Z^{\\prime}(t)=\\lambda(t) \\alpha^{\\prime}(t) \\) 를 만족시키는 함수 \\( \\lambda=\\lambda(t) \\) 가 존재하므로 정리 4.3.2에 의해 \\( \\alpha \\) 는 주곡률선이다. \\", "( Z \\) 와 \\( W \\) 가 일차종속이면 \\( Z=\\pm W \\) 이고 \\( Z^{\\prime}=0=0 \\cdot \\alpha^{\\prime} \\) 이므로 이 경우도 \\( \\alpha \\) 가 주곡률선이다.", "</p> <p>정의 4.1.16</p><p>점 \\( \\mathrm{p} \\in M \\) 에서 \\( \\kappa_{1}(\\mathrm{p})=\\kappa_{2}(\\mathrm{p}) \\)일 때, 점 \\( \\mathrm{p} \\)를 배꼽점(umbilical point)이라고 한다.", "</p><p>예를 들어, 평면의 모든 점은 \\( \\kappa_{1}(\\mathbf{p})=\\kappa_{2}(\\mathrm{p})=0 \\)이므로 배꼽점이다.", "보기 4.1.3에 의해 단위구의 모든 점 또한 \\( \\kappa_{1}(\\mathrm{p})=\\kappa_{2}(\\mathrm{p}) \\)이므로 배꼽점이다.", "</p><p>\\( \\kappa_{1} \\) 과 \\( \\kappa_{2} \\) 가 법곡률 중 최댓값과 최솟값이므로 \\( \\kappa_{1}(\\mathrm{p})=\\kappa_{2}(\\mathrm{p}) \\)이면, \\( mathrm{v} \\in T_{\\mathrm{p}} M \\), \\( \\\|\\mathrm{v}\\\|=1 \\)인 모든 접벡터 \\( \\mathrm{v} \\)에 대한 법곡률 \\( \\kappa_{n}(\\mathrm{v}) \\)은 상수이다.", "</p><p>정리 4.1.17</p><p>(1) \\( \\mathrm{p} \\in M \\) 가 배꼽점이면 임의의 접벡터 \\( \\mathrm{v} \\) 에 대하여 \\( d Z_{\\mathrm{p}}(\\mathrm{v})=-k \\mathrm{v} \\) 을 만족시킨 다.", "다시 말해서, \\( d Z_{\\mathrm{p}} \\) 는 행렬 \\( \\left(\\begin{array}{rr}-k & 0 \\\\ 0 & -k\\end{array}\\right) \\) 로 주어진다.", "여기서 \\( k=\\kappa_{1}(\\mathbf{p})=\\kappa_{2}(\\mathbf{p}) \\) 이다.", "</p><p>\\( \\mathrm{p} \\in M \\) 가 배꼽점이 아니면 오직 두 가지 주곡률방향이 존재하고 이것은 서로 수직이다.", "더욱이, \\( \\mathrm{e}_{1}, \\mathrm{e}_{2} \\) 가 주곡률방향을 나타내는 단위벡터이면 \\[d Z_{\\mathbf{p}}\\left(\\mathbf{e}_{1}\\right)=-\\kappa_{1} \\mathbf{e}_{1}, dZ_{\\mathbf{p}}\\left(\\mathbf{e}_{2}\\right)=-\\kappa_{2} \\mathbf{e}_{2}\\]가 성립한다.", "</p><p>증명</p><p>법곡률 \\( \\kappa_{n} \\) 이 방향 \\( \\mathrm{e}_{1} \\in T_{\\mathrm{p}} M \\) 에서 최댓값을 갖는다고 하자.", "즉,<caption>(4.1.13)</caption>\\[ \\kappa_{1}(\\mathbf{p})=\\kappa_{n}\\left(\\mathbf{e}_{1}\\right)=-\\left\\langle d Z_{\\mathbf{p}}\\left(\\mathbf{e}_{1}\\right), \\mathbf{e}_{1}\\right\\rangle\\] 이때 \\( \\mathbf{e}_{2} \\in T_{\\mathrm{p}} M \\) 을 벡터 \\( \\mathbf{e}_{1} \\) 과 수직인 단위접벡터로 \\( \\left\\{\\mathbf{e}_{1}, \\mathbf{e}_{2}\\right\\} \\) 가 접평면 \\( T_{\\mathrm{p}} M \\) 의 양의 방향이라고 하면 \\( \\mathrm{e}_{2} \\) 가 또 하나의 주곡률방향임을 보이자. \\", "( \\mathrm{v} \\in T_{\\mathrm{p}} M \\) 이 임의의 단위접벡터라 하고 \\( \\mathrm{e}_{1} \\) 과 \\( \\mathrm{v} \\) 의 사이각을 \\( \\theta \\) 라 하면 \\( \\mathrm{v} \\) 를 \\[\\mathrm{v}=\\mathrm{v}(\\theta)=\\cos \\theta \\mathbf{e}_{1}+\\sin \\theta \\mathbf{e}_{2}\\]로 나타낼 수 있다.", "그러면 임의의 방향에 대한 법곡률도 각 \\( \\theta \\) 를 이용하여 나타낼 수 있다.", "즉, \\[S_{12}=-\\left\\langle d Z_{\\mathrm{p}}\\left(\\mathbf{e}_{1}\\right), \\mathbf{e}_{2}\\right\\rangle=-\\left\\langle d Z_{\\mathrm{p}}\\left(\\mathbf{e}_{2}\\right), \\mathbf{e}_{1}\\right\\rangle, S_{22}=-\\left\\langle d Z_{\\mathrm{p}}\\left(\\mathbf{e}_{2}\\right), \\mathbf{e}_{2}\\right\\rangle \\] 로 놓으면 법곡률은 \\( \\begin{aligned} \\kappa_{n}(\\mathbf{v})=\\kappa_{n}(\\theta) &=-\\left\\langle d Z_{\\mathrm{p}}\\left(\\cos \\theta \\mathbf{e}_{1}+\\sin \\theta \\mathbf{e}_{2}\\right), \\cos \\theta \\mathbf{e}_{1}+\\sin \\theta \\mathbf{e}_{2}\\right\\rangle \\\\ &=\\kappa_{1} \\cos ^{2} \\theta+2 \\mathrm{~S}_{12} \\sin \\theta \\cos \\theta+S_{22} \\sin ^{2} \\theta \\\\ \\text { 따라서<caption>(4.1.14)</caption>} \\end{aligned} \\) \\( \\theta=0 \\) 에서 법곡률 \\( \\kappa_{n} \\) 이 최댓값을 가지므로 \\( \\frac{d \\kappa_{n}}{d \\theta}(0)=0 \\) 즉 \\( S_{12}=0 \\) 이다.", "따라서<caption>(4.1.15)</caption>\\[\\kappa_{n}(\\theta)=\\kappa_{1} \\cos ^{2} \\theta+S_{22} \\sin ^{2} \\theta\\]\\( \\left\\{\\mathbf{e}_{1}, \\mathbf{e}_{2}\\right\\} \\) 이 정규직교기저이고 \\( S_{12}=0 \\) 이므로 \\( -d Z_{\\mathrm{p}}\\left(\\mathbf{e}_{1}\\right) \\) 과 \\( -d Z_{\\mathrm{p}}\\left(\\mathbf{e}_{2}\\right) \\) 를 \\( \\left\\{\\mathbf{e}_{1}, \\mathbf{e}_{2}\\right\\} \\) 의 일차결합으로 나타내면<caption>(4.1.16)</caption>\\[ -d Z_{\\mathbf{p}}\\left(\\mathbf{e}_{1}\\right)=\\kappa_{1} \\mathbf{e}_{1},-d Z_{\\mathbf{p}}\\left(\\mathbf{e}_{2}\\right)=S_{22} \\mathbf{e}_{2} \\]이다. 점 \\( \\mathrm{p} \\) 가 배꼽점이면 법곡률이 상수이므로 \\[S_{22}=-\\left\\langle d Z_{\\mathbf{p}}\\left(\\mathbf{e}_{2}\\right), \\mathbf{e}_{2}\\right\\rangle=\\kappa_{n}\\left(\\mathbf{e}_{2}\\right)=\\kappa_{1}=k\\] 따라서 \\( d Z_{\\mathrm{p}}\\left(\\mathbf{e}_{2}\\right)=-k \\mathbf{e}_{2} \\) 이고 \\( \\left\\{\\mathbf{e}_{1}, \\mathbf{e}_{2}\\right\\} \\) 가 기저이므로 임의의 접벡터 \\( \\mathrm{v} \\) 에 대하여 \\( d Z_{\\mathrm{p}}(\\mathrm{v})=-k \\mathrm{v} \\)이 성립한다. 한편, 점 \\( \\mathrm{p} \\) 가 배꼽점이 아니면 \\( \\kappa_{n}(\\theta) \\) 는 상수함수가 아니고 \\( \\kappa_{1} \\) 이 최댓값이므로 식 (4.1.15)에 의해 \\( \\kappa_{1}>", "S_{22} \\) 이고 \\( \\frac{d \\kappa_{n}}{d \\theta}=2 \\sin \\theta \\cos \\theta\\left(S_{22}-\\kappa_{1}\\right) \\) 이다. \\", "( \\kappa_{n} \\) 이 최솟값을 갖는 경우에도 미분값이 \\( \\mathrm{O} \\) 이므로 \\( \\theta=\\pm \\frac{\\pi}{2} \\) 일 때, 즉 \\( \\sin \\theta=\\pm 1 \\) 일 때 최솟값을 갖고 이때 \\( \\kappa_{2}(\\mathbf{p})=S_{22} \\) 이다.", "</p> <h1>제 4 장 국소적 곡면 이론</h1><p>1 장에 의하면 곡선의 모양을 결정하는 기하학적 개념으로 곡률과 비틀림이 있다.", "곡면의 경우도 곡선과 마찬가지로 그 모양을 결정하는 기하학적 개념이 있다.", "곡면에는 정의로부터 국소적으로 단위법벡터장 \\( Z \\)가 항상 존재한다.", "따라서 단위법벡터장이 좌표함수로 주어지는 경우에 좌표함수의 변수로 이 단위법벡터장을 미분한 값은 곡면의 모양에 대한 변화율을 측정해 준다.", "단위법벡터장 \\( Z \\)의 미분사상은 선형사상이고 대수적 방법(행렬식이나 대각합 등등)을 이용하여 기하학적 불변량을 얻을 수 있는데, 이를 가우스곡률(Gaussian curvature)과 평균곡률(mean curvature)이라고 한다.", "기하학적으로 곡면의 각 점에서 그 점을 지나는 곡면의 곡선 중 곡률이 가장 큰 값과 가장 작은 값을 구하여 그 두 값을 곱한 것을 가우스곡률이라고 하고, 이 두 값의 평균을 평균곡률이라고 한다.", "</p><p>곡면 기하학은 곡면을 국소적으로 표현하기 때문에 대부분의 기하학적 개념을 국소적으로 나타낸다(이것이 곡면에서 정의되는 기하학적 개념이 모두 국소적이라는 것을 의미하지는 않는다).", "그리고 국소적 성질로부터 주어진 곡면에 대한 기하학적 성질을 이끌어 낼 수도 있다.", "이와 같이 국소적 곡면 이론은 곡면 전체의 기하학적 모양이나 특징을 파악하는 대역적 곡면 이론과는 달리 곡면의 한 점 근방의 기하학적 모양을 알아보는 것을 말한다.", "4 장에서는 곡면의 국소적 성질을 파악할 수 있는 기하학적 개념인 가우스곡률에 대한 정의와 성질에 대하여 알아보기로 한다.", "</p><p>1절에서는 단위법벡터장의 성질을 알아보고, 이를 이용하여 가우스곡률을 정의한 다음 가우스곡률과 곡면의 모양과의 관계에 대하여 알아본다.", "2절에서는 좌표함수를 이용하여 가우스곡률을 구체적으로 계산할 수 있는 여러 가지 방법에 대하여 알아보고, 3 절에서는 곡면의 국소적 모양을 파악하는데 도움이 되는 곡선인 주곡률선, 측지선, 그리고 점근선의 정의와 성질에 대하여 살펴보기로 한다.", "</p> <p>정리 4.1.24</p><p>(1) 점 \\( \\mathrm{p} \\in M \\) 가 \\( ᄐ \\) 워원점이면 점 \\( \\mathrm{p} \\) 의 근방 \\( V \\subset M \\) 이 존재하여 \\( V \\) 의 모든 점이 접평면 \\( T_{\\mathrm{p}} M \\) 의 한쪽에 놓이게 할 수 있다.", "</p><p>(2) 점 \\( \\mathrm{p} \\in M \\) 가 쌍곡점이면 점 \\( \\mathrm{p} \\) 의 임의의 근방 \\( V \\) 에 대하여 접평면 \\( T_{\\mathrm{p}} M \\) 의 양쪽에 놓이는 점이 각각 존재한다.", "</p><p>증명</p><p>\\( \\mathbf{x}=\\mathbf{x}(u, v) \\) 가 점 \\( \\mathrm{p} \\) 근방의 좌표함수로 \\( \\mathbf{x}(0,0)=\\mathrm{p} \\) 라 하자.", "벡터 \\( \\mathbf{x}(u, v)-\\mathbf{x}(0,0) \\) 과 \\( Z(\\mathrm{p}) \\) 사이의 사이각을 나타내는 함수 \\( h \\) 를 \\[h(u, v)=\\langle\\mathbf{x}(u, v)-\\mathbf{x}(0,0), (\\mathrm{p})\\rangle\\]로 정의하자.", "충분히 작은 모든 \\( u, v(\\neq 0) \\) 에 대하여 \\( h \\) 의 부호가 양수이거나 음수이 면 \\( \\mathbf{x}(u, v)-\\mathbf{x}(0,0) \\) 과 \\( Z(\\mathrm{p}) \\) 사이의 사이각이 \\( \\left(0, \\frac{\\pi}{2}\\right) \\) 또는 \\( \\left(\\frac{3}{2} \\pi, 2 \\pi\\right) \\) 이므로 \\( \\mathbf{p} \\) 의 근방 \\( V \\subset M \\) 가 존재하여 \\( T_{\\mathrm{p}} M \\) 의 한쪽에 놓인다는 것을 알 수 있다. \\", "( \\mathrm{x} \\) 가 미분가능 하므로 테일러의 전개식에 의해<caption>(4.1.22)</catption>\\( \\quad \\mathbf{x}(u, v)=\\mathbf{x}(0,0)+u \\mathbf{x}_{u}+v \\mathbf{x}_{v}+\\frac{1}{2}\\left\\{u^{2} \\mathbf{x}_{u u}+2 u v \\mathbf{x}_{u v}+v^{2} \\mathbf{x}_{v v}\\right\\}+\\mathrm{O}(3) \\)으로 주어진다.", "여기서 \\( \\lim _{(u, v) \\rightarrow(0,0)} \\frac{\\mathrm{O}(3)}{u^{2}+v^{2}}=0 \\) 식 (4.1.22)를 (4.1.21)에 대입하고 도움정리 4.1.8과 \\( \\left\\langle\\mathrm{x}_{\\mathrm{u}}, \\mathrm{Z}(\\mathrm{p})\\right\\rangle=0=\\left\\langle\\mathrm{x}_{\\mathrm{v}}, \\mathrm{Z}(\\mathrm{p})\\right\\rangle \\)를 이용하면 \\( h(u, v)=\\frac{1}{2}\\left\\{u^{2}\\left\\langle\\mathbf{x}_{u u}, Z(\\mathbf{p})\\right\\rangle+2 u v\\left\\langle\\mathbf{x}_{u v}, (\\mathbf{p})\\right\\rangle+v^{2}\\left\\langle\\mathbf{x}_{v v}, Z(\\mathrm{p})\\right\\rangle\\right\\}+\\langle\\mathrm{O}(3), Z(\\mathrm{p})\\rangle \\) \\[=\\frac{1}{2} \\Pi_{\\mathrm{p}}(\\mathrm{v})+\\mathrm{O}(3)\\] 여기서 \\( \\mathrm{v}=u \\mathbf{x}_{u}+v \\mathbf{x}_{v} \\) 이고<caption>(4.1.23)</caption>\\[\\lim _{\\mathbf{v} \\rightarrow 0} \\frac{\\mathrm{O}(3)}{\\\|\\mathbf{v}\\\|^{2}}=0\\]</p><p>(1) \\( \\mathrm{p} \\) 가 타원점이면 모든 \\( \\mathrm{w} \\in T_{\\mathrm{p}} M \\) 에 대하여 \\( \\mathrm{I}_{\\mathrm{p}}(\\mathrm{w})>0 \\) 또는 \\( \\mathrm{I}_{\\mathrm{p}}(\\mathrm{w})<0 \\) 이므로 식 (4.1.23)에 의해 \\( u, v \\) 가 충분히 작으면 \\( h(u, v)>0 \\) 이거나 \\( h(u, v)<0 \\) 이다.", "따라서 정리가 성립한다.", "</p><p>(2) \\( \\mathrm{p} \\) 가 쌍곡점이면 두 점 \\( (u, v) \\) 와 \\( (\\bar{u}, \\bar{v}) \\) 가 존재하여 \\[\\Pi_{\\mathrm{p}}\\left(\\frac{\\mathrm{v}}{\\\|\\mathrm{v}\\\|}\\right)>0, \\Pi_{\\mathrm{p}}\\left(\\frac{\\overline{\\mathrm{v}}}{\\\|\\overline{\\mathrm{v}}\\\|}\\right)<0\\]를 만족시킨다. 여기서 \\( \\mathbf{v}=u \\mathbf{x}_{u}+v \\mathbf{x}_{v} \\) 이고 \\( \\overline{\\mathbf{v}}=\\bar{u} \\mathbf{x}_{u}+\\bar{v} \\mathbf{x}_{v} \\) 이다. 그러면 \\( h(u, v)>", "0 \\) 이고 \\( h(\\bar{u}, \\bar{v})<0 \\) 이므로 \\( \\mathbf{x}(u, v) \\) 와 \\( \\mathbf{x}(\\bar{u}, \\bar{v}) \\) 는 접평면 \\( T_{\\mathrm{p}} M \\) 의 한 쪽과 다른 쪽에 놓여 있다.", "</p><p> <p>곡선의 곡률은 \\( \\mathbb{R}^{3} \\) 의 등장사상에 의하여 변하지 않는다.", "같은 이유로 가우스곡률은 \\( \\mathbb{R}^{3} \\) 의 등장사상에 의하여 변하지 않는다(6장2절과 7 장7절 참고).", "따라서 \\( \\mathbb{R}^{3} \\) 의 좌표 축을 잘 선택하여 \\( h(0,0)=0 \\) 이고(따라서 \\( \\mathbf{p}=0 \\) ) 점 \\( \\mathbf{p} \\) 에서 곡면 \\( M \\) 에 수직인 방향이 \\( z \\) 축과 같다고 가정할 수 있다.", "그러면 도움정리 4.1.20에 의해 \\[Z(x, y)=\\frac{\\left(-h_{x},-h_{y}, 1\\right)} \\sqrt{1+h_{x}^{2}+h_{y}^{2}}}\\]이고 가정에 의해 \\( Z(0,0)=Z(\\mathrm{p})=(0,0,1) \\) 이므로 \\[h_{x}(0,0)=h_{y}(0,0)=0\\]이다.", "따라서 점 \\( (0,0) \\) 에서 함수 \\( h \\) 의 이차근사는 \\[h(x, y) \\sim \\frac{1}{2}\\left(h_{x x}(0,0) x^{2}+2 h_{x y}(0,0) x y+h_{y y}(0,0) y^{2}\\right)\\]이다. \\", "[\\mathrm{e}_{1}=(1,0,0) \\text { 과 } \\mathrm{e}_{2}=(0,1,0) \\text { 이 주곡률방향이라고 가정하면 도움정리 4.1.20에 의해 }\\]\\[h_{x x}(0,0)=\\kappa_{1}, h_{y y}(0,0)=\\kappa_{2}, h_{x y}(0,0)=0\\]이므로 점 \\( \\mathrm{p}=0 \\in M \\) 근방에서<caption>(4.1.19)</caption>\\[h(x, y) \\sim \\frac{1}{2}\\left(\\kappa_{1} x^{2}+\\kappa_{2} y^{2}\\right)\\]이 성립한다.", "곡면<caption>(4.1.20)</caption>\\[\\widehat{M}: z=\\frac{1}{2}\\left(\\kappa_{1} x^{2}+\\kappa_{2} y^{2}\\right)\\]을 점 \\( \\mathrm{p} \\) 에서 곡면 \\( M \\) 의 이차근사곡면(quadratic approximation)이라고 한다.", "</p><p>보기 4.1.21</p><p>곡면 \\( M: z=e^{x^{2}+y^{2}}-1 \\) 의 원점에서의 이차근사곡면을 구하여라.", "</p><p>풀이. \\", "( h(x, y)=e^{x^{2}+y^{2}}-1 \\) 로 놓으면 함수 \\( h \\) 는 도움정리 4.1.20의 조건을 모 두 만족시킨다.", "특히, \\( h_{x y}=4 x y e^{x^{2}+y^{2}} \\) 이므로 \\( h_{x y}(0,0)=0 \\) 이다.", "따라서 \\( \\kappa_{1}(0)=h_{x x}(0,0)=2=h_{y y}(0,0)=\\kappa_{2}(0) \\)이므로 \\( M \\) 의 원점에서의 이차근사곡면은 포물면인 \\[\\widehat{M}: z=x^{2}+y^{2}\\]이다.", "</p><p>참고 4.1.22 가우스곡률의 부호</p><p>(1) 양의 부호: \\( \\mathrm{p} \\in M \\) 에서 \\( K(\\mathrm{p})>0 \\) 이면 \\[\\kappa_{1}(\\mathbf{p})>0, \\kappa_{2}(\\mathbf{p})>0\\] 또는 \\[ \\kappa_{1}(\\mathbf{p})<0, \\kappa_{2}(\\mathbf{p})<0\\]이다. 따라서 임의의 접벡터 \\( \\mathbf{v} \\in T_{\\mathrm{p}} M,\\\|\\mathbf{v}\\\|=1 \\) 에 대하여 \\( \\kappa_{n}(\\mathrm{v})>", "0 \\) 이거나 \\( \\kappa_{n}(\\mathrm{v})<0 \\) 이다.", "그러므로 \\( M \\) 은 점 \\( \\mathrm{p} \\) 의 모든 방향에서 접평면 \\(T_{\\mathrm{p}} M \\) 으로부 터 멀어지는 쪽으로 굽어져 있다(그림 4.7(1)).", "그리고 점 \\( \\mathrm{p} \\) 에서의 이차근사 곡면은 포물면 \\( 2 z=\\kappa_{1}(\\mathrm{p}) x^{2}+\\kappa_{2}(\\mathrm{p}) y^{2} \\) 으로 주어진다.", "</p><p>(2) 음의 부호: \\( K(\\mathrm{p})<0 \\) 이면 주곡률 \\( \\kappa_{1}(\\mathrm{p}) \\) 와 \\( \\kappa_{2}(\\mathrm{p}) \\) 는 서로 다른 부호를 가 진다.", "따라서 \\( M \\) 의 점 \\( \\mathrm{p} \\) 에서의 근사곡면은 쌍곡면이 되고, \\( M \\) 은 점 \\( \\mathrm{p} \\) 에서 말안장모양을 갖는다(그림 4.7 (2)).", "</p><p>(3) \\( K(p)=0 \\)</p><p>(i) \\( \\kappa_{1}(\\mathbf{p}) \\neq 0, \\kappa_{2}(\\mathbf{p})=0 \\) (ii) \\( \\kappa_{1}(\\mathbf{p})=\\kappa_{2}(\\mathbf{p})=0 \\) (i)의 경우에 이차근사곡면은 포물기둥 \\( 2 z=\\kappa_{1}(\\mathrm{p}) x^{2} \\) 이고, 따라서 점 \\( \\mathrm{p} \\) 근방에서 \\( M \\) 은 여물통모양이다(그림 \\( 4.7 \\) (3), \\( (i)) \\).", "(ii) 의 경우에 이차근사곡면은 평면 \\( z=0 \\) 이고, 따라서 점 \\( \\mathrm{p} \\) 근방에서 곡면 \\( M \\) 의 모양에 대한 정보가 없다.", "</p><p>정의 \\( 4.1 .23 \\)</p><p>\\[\\mathrm{p} \\in M \\text { 일 때 }\\]<ol><li>\\( K(\\mathrm{p})>0 \\) 이면 점 \\( \\mathrm{p} \\) 를 타원점이라고 한다.", "</li><li>\\( K(\\mathrm{p})<0 \\) 이면 점 \\( \\mathrm{p} \\) 를 쌍곡점이라고 한다.", "</li><li>\\( K(\\mathrm{p})=0 \\) 이고 \\( d Z \\mathrm{p} \\neq 0 \\) 이면 점 \\( \\mathrm{p} \\) 를 포물점이라고 한다.", "</li><li>\\( d Z \\mathrm{p}=0 \\) 이면 점 \\( \\mathbf{p} \\) 를 평면점이라고 한다.", "</p><ol type=1 start=1></li></ol><p>예를 들면, 좌표함수 \\[\\mathbf{x}(u, v)=((a+r \\cos u) \\cos v,(a+r \\cos u) \\sin v, r \\sin u)(\\text { 단, } a>r>0)\\]로 주어지는 원환면은 타원점, 쌍곡점, 포물점을 모두 갖고 있다(그림 4.8).", "</p><p>\\( u=\\pm \\frac{\\pi}{2} \\) 일 때, 곡선 \\( \\mathbf{x}\\left(\\frac{\\pi}{2}, v\\right)=(a \\cos v, a \\sin v, \\pm r) \\) 위의 점은 포물점이고 \\( -\\frac{\\pi}{2}<u<\\frac{\\pi}{2} \\) 인 영역에서는 \\( K>0 \\) 이고 \\( \\frac{\\pi}{2}<u<\\frac{3 \\pi}{2} \\) 인 영역에서는 \\( K<0 \\) 이다.", "그러나 원환면은 평면점을 갖고 있지는 않다.", "</p><p>이차근사곡면을 이용하여 가우스곡률의 기하학적 설명을 제시한 참고 \\( 4.1 .22 \\) 는 해 석학적으로도 엄밀하게 보일 수 있다.", "</p> <p>한편, \\( \\alpha(t)=\\mathbf{x}(u(t), v(t)) \\) 가 주곡률선이면 정리 4.3.2에 의해 \\[d Z\\left(\\alpha^{\\prime}(t)\\right)=\\lambda(t) \\alpha^{\\prime}(t) \\]를 만족시키는 함수 \\( \\lambda(t) \\) 가 존재한다.", "따라서 곡률공식(정리 4.2.1)을 구하는 과정에 있는 식 (4.2.5), (4.2.8)과 (4.2.9)에 의해 \\( u^{\\prime}(t), v^{\\prime}(t) \\) 는 다음 미분방정식을 만족시킨다. \\", "[\\begin{array}{l} \\frac{f F-e G}{E G-F^{2}} u^{\\prime}+\\frac{g F-f G}{E G-F^{2}} v^{\\prime}=\\lambda u^{\\prime} \\\\ \\frac{e F-f E}{E G-F^{2}} u^{\\prime}+\\frac{f F-g E}{E G-F^{2}} v^{\\prime}=\\lambda v^{\\prime} \\end{array} \\]</p><p>위의 연립 미분방정식으로부터 \\( \\lambda \\) 를 소거하면(첫째 식에 \\( v^{\\prime} \\) 을 곱하고 둘째 식에 \\( u^{\\prime} \\) 을 곱한 다음 두 식의 뺄셈을 하면) 다음의 주곡률선에 대한 미분방정식을 얻는다.", "<caption>(4.3.6)</caption>\\[(f E-e F) u^{\\prime 2}+(g E-e G) u^{\\prime} v^{\\prime}+(g F-f G) v^{\\prime 2}=0\\]이 식을 행렬의 행렬식으로 나타내면<caption>(4.3.6)</caption>\\[\\operatorname{det}\\left(\\begin{array}{ccc}v^{\\prime 2} & -u^{\\prime} v^{\\prime} & u^{\\prime 2} \\\\E & F & G \\\\e & f & g\\end{array}\\right)=0\\] 배꼽점이 아닌 점에서의 주곡률방향은 항상 서로 수직이므로 위의 식 (4.3.6) 또는 식 (4.3.7)로부터 다음 정리를 얻는다.", "</p><p>정리 4.3.9</p><p>점 \\( \\mathrm{p} \\in M \\) 이 배꼽점이 아니고 \\( \\mathrm{x}: D \\subset \\mathbb{R}^{2} \\rightarrow M \\) 이 점 \\( \\mathrm{p} \\) 근방의 좌표함수라고 하자.", "</p><ol type=1 start=1><li>매개곡선 \\( \\alpha(t)=\\mathrm{x}\\left(u(t), v_{0}\\right), \\beta(t)=\\mathrm{x}\\left(u_{0}, v(t)\\right) \\) 가 주곡률선이면 \\( F=f=0 \\) 이다.", "</li><li>역으로, \\( F=f=0 \\) 이고 곡선 \\( \\alpha(t)=\\mathbf{x}(u(t), v(t)) \\) 가 주곡률선이면 \\( \\alpha \\) 는 \\( u \\) -매개곡선 또는 \\( v \\)-매개곡선이다.", "</li></ol><p>증명</p><p>(1) 점 \\( \\mathrm{p} \\) 가 배꼽점이 아니고 매개곡선 \\( \\alpha(t)=\\mathbf{x}\\left(u(t), v_{0}\\right), \\beta(t)=\\mathbf{x}\\left(u_{0}, v(t)\\right) \\) 가 주곡률곡선이라고 하자.", "주곡률방향이 서로 수직이므로 \\( \\alpha^{\\prime}(t) \\) 와 \\( \\beta^{\\prime}(t) \\) 는 각각의 점 에서 수직이다.", "즉, \\(F=\\left\\langle\\mathbf{x}_{u}, \\mathbf{x}_{v}\\right\\rangle=0 \\) 이 성립한다.", "또, 곡선 \\( \\alpha \\) 는 미분방정식 (4.3.6)을 만족시키고 \\( v^{\\prime}=0 \\) 이므로 \\( f E u^{\\prime}=0 \\) 이다.", "따라서 \\( f=0 \\) 이다.", "</p><p>(2) 역으로, \\( F=f=0 \\) 이고 \\( \\alpha(t)=\\mathbf{x}(u(t), v(t)) \\) 가 주곡률선이라고 하면 주곡률선 방정식 (4.3.6)은 \\( (g E-e G) u^{\\prime} v^{\\prime}=0 \\)이다.", "점 \\( \\mathrm{p} \\) 가 배꼽점이 아니므로 4 장 2 절의 연습문제 3 에 의해 \\[\\frac{e}{E}(\\mathbf{p}) \\neq \\frac{g}{G}(\\mathbf{p}) \\Leftrightarrow(g E-e G)(\\mathbf{p}) \\neq 0\\]이다.", "따라서, 연속성에 의해 점 \\( \\mathrm{p} \\) 근방에서 \\( g E-e G \\neq 0 \\) 이므로 \\( u^{\\prime} v^{\\prime}=0 \\) 이다.", "그러므로 점 \\( \\mathrm{p} \\) 근방에서 \\( v^{\\prime}=0 \\) 또는 \\( u^{\\prime}=0 \\) 이므로 \\( \\alpha(t)=\\mathrm{x}(u(t), v(t)) \\) 는 주곡률선이다.", "</p><p></p><p> <p>다음에는 측지선(geodesic)에 대하여 알아보자.", "직관적으로 보면 측지선은 곡면의 두 점을 연결하는 곡선 중에서 길이가 가장 짧은 곡선을 나타낸다.", "이러한 이유로 측지선의 모양이 곡면의 모양을 결정하는데 매우 중요한 요소이다.", "정리 4.3.7에 의해 곡선 \\( \\alpha \\subset M \\) 의 가속도벡터 \\( \\alpha \\) \"이 곡면 \\( M \\) 의 접벡터이면 \\( \\alpha \\) 는 점근곡선이다. 이와 반대로 가속도벡터 \\( \\alpha^{\\prime \\prime} \\) 가 \\( M \\) 의 법벡터가 되는 경우 \\( \\alpha \\) 를 측지선이라고 한다.</p><p>정의 \\( 4.3 .10 \\)</p><p>곡선 \\( \\alpha \\subset M \\) 의 가속도벡터 \\( \\alpha \\) \"이 \\( M \\) 에 수직일 때, \\( \\alpha \\) 를 측지선(geodesic)이라고 한다.", "</p><p>곡면에 놓여 있는 곡선의 도함수인 속도벡터는 항상 접벡터이므로 정의로부터 다음 사실을 쉽게 알 수 있다.", "</p><p>도움정리 4.3.11</p><p>\\( \\alpha=\\alpha(t) \\subset M \\) 이 \\( M \\) 의 측지선이면 \\( \\alpha \\) 는 상수속력을 갖는다.", "</p><p>증명</p><p>속력의 제곱을 미분하면 \\[\\frac{d}{d t}\\left\\\|\\alpha^{\\prime}(t)\\right\\\|^{2}=2\\left\\langle\\alpha^{\\prime}(t), \\alpha^{\\prime \\prime}(t)\\right\\rangle=0\\] 이므로 \\( \\left\\\|\\alpha^{\\prime}(t)\\right\\\| \\) 는 상수이다.", "</p><p>직선 \\( \\alpha(t)=\\mathrm{p}+t \\mathrm{q} \\) 가 곡면 \\( M \\) 에 놓여 있으면 \\( \\alpha \\) 는 측지선이다.", "실제로, \\( \\alpha^{\\prime \\prime}=0 \\) 이므로 가속도벡터는 항상 곡면에 수직이다.", "일반적으로 단위속력을 갖는 곡선 \\( \\alpha=\\alpha(s) \\subset M \\) 이 곡면 \\( M \\) 의 측지선이면 \\(\\alpha^{\\prime \\prime}=\\kappa N \\) 이 법벡터이므로 \\( \\alpha(s) \\) 위에서 \\( N=\\pm Z \\) 가 된다.", "따라서 프레네 공식에 의해<caption>(4.3.9)</caption>\\[ d Z\\left(\\alpha^{\\prime}\\right)=Z^{\\prime}=\\pm N^{\\prime}=\\pm(-\\kappa T+\\tau B)\\]</p><p>보기 4.3.12</p><p>평면에서 직선만이 측지선이다.", "</p><p>풀이.", "평면 \\( P \\) 의 법벡터를 \\( \\mathrm{u} \\) 라고 하고 \\( \\alpha \\subset P \\) 가 임의의 곡선이면 \\( \\left\\langle\\alpha^{\\prime}, \\mathrm{u}\\right\\rangle=0 \\) 이다.", "따라서 한번 더 미분하면<caption>(4.3.10)</caption>\\( \\left\\langle\\alpha^{\\prime \\prime}, \\mathrm{u}\\right\\rangle=0 \\) \\( \\alpha \\) 가 측지선이면 \\( \\alpha^{\\prime \\prime} \\) 는 \\( P \\) 와 수직이므로 \\( \\alpha^{\\prime \\prime} \\) 은 \\( \\mathrm{u} \\) 와 평행하다.", "따라서 식 (4.3.10)에 의해 \\( \\alpha^{\\prime \\prime}=0 \\) 이므로 \\( \\alpha \\) 는 직선이다.", "그러므로 평면 \\( P \\) 의 측지선은 모두 직선이다.", "</p><p>보기 4.3.13</p><p>단위구의 측지선은 대원이나 그것의 일부분이다.", "</p><p>풀이. \\", "( S^{2} \\) 을 단위구라고 하고 \\( \\alpha=\\alpha(s) \\subset S^{2} \\) 을 단위속력을 갖는 측지선이라고 하자.", "식 (4.3.9)에 의해<caption>(4.3.11)</caption>\\[d Z\\left(\\alpha^{\\prime}\\right)=\\pm(-\\kappa T+\\tau B)\\] 한편, 보기 4.1.3에 의해<caption>(4.3.12)</caption>\\[d Z\\left(\\alpha^{\\prime}\\right)=\\alpha^{\\prime}=T\\] \\( \\kappa>0 \\) 이므로 식 (4.3.11)과 식 (4.3.12)에 의해 \\[\\kappa=1, \\tau=0\\] 따라서 정리 \\( 1.6 .12 \\) 에 의해 곡선 \\( \\alpha \\) 는 반지름의 길이가 1 인 단위원 또는 단위원의 일부를 나타낸다.", "즉, \\( \\alpha \\) 는 \\( S^{2} \\) 의 대원(great circle) 또는 그것의 일부분이다.", "역으로, 대원을 따라서 움직이면 상수속력을 갖는 곡선 \\( \\alpha \\) 의 가속도벡터 \\( \\alpha^{\\prime \\prime} \\) 은 그 원의 중심으로 향한다.", "대원의 중심은 곡면 \\( S^{2} \\) 의 중심인 원점과 일치하므로 \\( \\alpha^{\\prime \\prime} \\) 은 \\( S^{2} \\) 에 수직이다.", "따라서 구 \\( S^{2} \\) 의 측지선은 대원을 나타내는 상수속력을 갖는 곡선들이다.", "<p>증명</p><p>\\( n \\) 이 충분히 크면 집합 \\( R_{n} \\) 은 매우 작아지므로 \\( R_{n} \\) 이 하나의 좌표함수 \\( \\mathrm{x}: D \\subset \\mathbb{R}^{2} \\rightarrow M \\) 로 표현된다고 가정해도 된다.", "이때 \\( \\mathbf{x}(Q)=R_{n}, Q \\subset D \\) 라 하면 정의에 의해 \\( R_{n} \\) 의 넓이는 \\[A\\left(R_{n}\\right)=\\iint_{Q}\\left\\\|\\mathbf{x}_{u} \\times \\mathbf{x}_{v}\\right\\\| d u d v\\] 한편, \\( K(\\mathrm{p}) \\neq 0 \\) 이고 점 \\( \\mathrm{p} \\) 의 근방에서 가우스곡률 \\( K \\) 의 부호가 바뀌지 않으므로 \\( Z \\)는 (국소적)미분동형사상이다.", "따라서 \\( Z \\circ \\mathrm{x} \\) 는 점 \\( Z(\\mathrm{p}) \\in S^{2} \\) 근방의 좌표함수이므로 \\( Z\\left(R_{n}\\right) \\) 의 넓이는<caption>(4.2.27)</caption>\\[A\\left(Z\\left(R_{n}\\right)\\right)=\\iint_{Q}\\left\\\|Z_{u} \\times Z_{v}\\right\\\| d u d v\\] 도움정리 4.1.5와 정리 4.2.3에 의해<caption>(4.2.28)</caption>\\( \\quad Z_{u} \\times Z_{v}=d Z\\left(\\mathbf{x}_{u}\\right) \\times d Z\\left(\\mathbf{x}_{v}\\right)=I \\mathbf{x}_{u} \\times \\mathbf{x}_{v} \\)이므로 이 식을 식 (4.2.27)에 대입하고 도움정리 4.2.9를 적용하면 \\[\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{A\\left(Z\\left(R_{n}\\right)\\right)}{A\\left(R_{n}\\right)}=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\iint_{Q}\\left\\\|Z_{u} \\times Z_{v}\\right\\\| d u d v}{\\iint_{Q}\\left\\\|\\mathbf{x}_{u} \\times \\mathbf{x}_{v}\\right\\\| d u d v}\\]<caption>(4.2.29)</caption>\\( =\\lim _{A\\left(R_{n}\\right) \\rightarrow 0} \\frac{\\frac{1}{A\\left(R_{n}\\right)} \\iint_{Q}\|K\|\\left\\\|\\mathbf{x}_{u} \\times \\mathbf{x}_{v}\\right\\\| d u d v}{\\frac{1}{A\\left(R_{n}\\right)} \\iint_{Q}\\left\\\|\\mathbf{x}_{u} \\times \\mathbf{x}_{v}\\right\\\| d u d v} \\) \\( =\\frac{\|K\|\\left\\\|\\mathbf{x}_{u} \\times \\mathbf{x}_{v}\\right\\\|}{\\left\\\|\\mathbf{x}_{u} \\times \\mathbf{x}_{v}\\right\\\|}(\\mathbf{p})=\|K(\\mathbf{p})\| \\)</p><p>참고 4.2.12</p><p>넓이에 대한 정의를 살펴보면 넓이는 항상 \\( \\mathrm{O} \\) 보다 크거나 같은 실수임을 알 수 있다.", "그러나 적분과 유클리드 공간 또는 곡면의 방향을 함께 결부시켜 생각하면 넓이를 양수뿐만 아니라 음수인 수도 사용할 수 있다. \\", "( \\Phi: M \\rightarrow \\bar{M} \\) 가 국소적 미분동형사상이고 \\( Z \\) 와 \\( \\bar{Z} \\) 가 각각 \\( M \\) 과 \\( \\bar{M} \\) 의 방향이라 하자. \\", "( \\mathrm{x}: D \\subset \\mathbb{R}^{2} \\rightarrow M \\)가 \\( M \\) 의 좌표함수이면 \\( \\mathrm{x}(D) \\subset M \\) 의 넓이는 \\[A(\\mathbf{x}(D))=\\iint_{\\mathbf{x}(D)} d A=\\iint_{D}\\left\\\|\\mathbf{x}_{u} \\times \\mathbf{x}_{v}\\right\\\| d u d v\\]로 주어진다.", "한편, \\( \\phi \\) 는 국소적 미분동형사상이므로 \\( \\bar{x}=Z \\circ \\mathrm{x} \\) 가 \\( \\bar{M} \\) 의 좌표함 수라 가정해도 된다.", "더욱이 \\[d Z\\left(\\mathbf{x}_{u}\\right) \\times d Z\\left(\\mathbf{x}_{v}\\right)=\\overline{\\mathbf{x}}_{u} \\times \\overline{\\mathbf{x}}_{v}=I \\mathbf{x}_{u} \\times \\mathbf{x}_{v}\\] 이므로 영역 \\( Z(\\mathbf{x}(D)) \\) 의 넓이는<caption>(4.2.30)</caption>\\[ \\iint_{Z(\\mathbf{x}(D))} d A=\\iint_{D}\|K\|\\left\\\|\\mathbf{x}_{u} \\times \\mathbf{x}_{v}\\right\\\| d u d v \\] 식 (4.2.30)은 넓이의 정의를 양수로 가정했기 때문에 얻어지는 식이다.", "그러나 넓이의 정의를 음수도 허용하고 함수 \\( \\phi \\) 가 방향을 보존하지 않으면 즉, 역방향 사상이면 \\( \\bar{x} \\) 에 의해 만들어지는 방향은 \\( \\bar{Z} \\) 와 반대방향이다.", "따라서 이 경우에는 \\( Z(\\mathbf{x}(D)) \\) 의 넓이를<caption>(4.2.31)</caption>\\[ \\iint_{Z(\\mathbf{x}(D))} d A=\\iint_{D} K\\left\\\|\\mathbf{x}_{u} \\times \\mathbf{x}_{v}\\right\\\| d u d v \\] 로 정의하는 것이 더 타당하다.", "영역의 넓이를 이와 같이 정의하면 정리 4.2.11 의 식 (4.2.26)은<caption>(4.2.32)</caption>\\[K(\\mathbf{p})=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{A\\left(Z\\left(R_{n}\\right)\\right)}{A\\left(R_{n}\\right)}\\]와 같이 주어진다.", "</p> <p>주곡률과 주곡률방향을 알면 임의의 방향에 대한 법곡률을 구할 수 있다.", "</p><p>정리 4.1.18 오일러의 공식</p><p>\\[\\mathrm{v}_{\\mathrm{p}} \\in T_{\\mathrm{p}} M,\\\|\\mathrm{v}\\\|=1 \\text { 이고 점 } \\mathrm{p} \\in M \\text { 에서의 주곡률방향이 } \\mathrm{e}_{1} \\text { 과 } \\mathrm{e}_{2} \\text { 라고 하자. } \\", "mathrm{e}_{1}\\]과 \\( \\mathrm{v} \\) 의 사이각을 \\( \\theta \\) 라 하면 \\( \\mathbf{v} \\)-방향의 법곡률은<caption>(4.1.17)</caption>\\[\\kappa_{n}(\\mathrm{v})=\\kappa_{1} \\cos ^{2} \\theta+\\kappa_{2} \\sin ^{2} \\theta\\]<p>증명</p><p>가정에 의해 \\[\\mathrm{v}=\\mathrm{e}_{1} \\cos \\theta+\\mathrm{e}_{2} \\sin ^{2} \\theta\\]로 나타낼 수 있다.", "따라서\\[\\begin{aligned} k_{n}(\\mathrm{v}) &=\\Pi_{\\mathrm{p}}(\\mathrm{v})=-\\left\\langle d Z_{\\mathrm{p}}(\\mathrm{v}), \\mathrm{v}\\right\\rangle \\\\ &=-\\left\\langle d Z_{\\mathrm{p}}\\left(\\mathbf{e}_{1} \\cos \\theta+\\mathbf{e}_{2} \\sin \\theta\\right), \\mathbf{e}_{1} \\cos \\theta+\\mathbf{e}_{2} \\sin \\theta\\right\\rangle \\\\ &=\\left\\langle\\mathbf{e}_{1} \\kappa_{1} \\cos \\theta+\\mathbf{e}_{2} \\kappa_{2} \\sin \\theta, \\mathbf{e}_{1} \\cos \\theta+\\mathbf{e}_{2} \\sin \\theta\\right\\rangle \\\\ &=\\kappa_{1} \\cos ^{2} \\theta+\\kappa_{2} \\sin ^{2} \\theta \\end{aligned}\\]</p><p>정의 4.1.19</p><p>\\( \\mathrm{p} \\in M \\) 이고 \\( d Z_{\\mathrm{p}}: T_{\\mathrm{p}} M \\rightarrow T_{\\mathrm{p}} M \\) 을 가우스사상의 미분사상이라 하자. \\", "( d Z_{\\mathrm{p}} \\) 의 행렬식을 점 \\( \\mathrm{p} \\) 에서 곡면 \\( M \\) 의 가우스곡률(Gaussian curvature)이라 하고 \\( K(\\mathrm{p}) \\)로 나타낸다.", "또 \\( d Z_{\\mathrm{p}} \\) 의 대각합(trace)에 \\( -\\frac{1}{2} \\) 을 곱한 값을 평균곡률(mean curvature)이라 하고 \\( H(\\mathrm{p}) \\) 로 나타낸다.", "</p><p>식 (4.1.12)에 의해 \\( d Z_{\\mathrm{p}} \\) 를 행렬로 나타내면 \\[\\left(\\begin{array}{cc}-\\kappa_{1} & 0 \\\\0 & -\\kappa_{2}\\end{array}\\right)\\]이다.", "따라서 가우스곡률과 평균곡률을 주곡률 \\( \\kappa_{1}, \\kappa_{2} \\) 를 써서 나타내면<caption>(4.1.18)</caption>\\[K=\\kappa_{1} \\kappa_{2}, H=\\frac{\\kappa_{1}+\\kappa_{2}}{2}\\]</p><p>끝으로 가우스곡률의 기하학적 의미를 알아보기 위하여 이차근사곡면에 대하여 알아보자.", "정리 3.1.15에 의하면 곡면은 국소적으로 그래프로 주어진다.", "점 \\( \\mathrm{p} \\in M \\) 근방 에서 곡면 \\( M \\) 이 \\( z=h(x, y) \\) 의 그래프로 표현되면 함수 \\( h \\) 의 테일러의 전개식 중에서 이차식까지만을 이용하여 이차근사곡면을 나타낼 수 있다.", "</p><p>그래프로 주어지는 곡면은 다음과 같은 성질을 갖는다.", "</p><p>도움정리 4.1.20</p><p>\\( M: z=h(x, y) \\) 이고 \\( h(0,0)=h_{x}(0,0)=h_{y}(0,0)=0 \\) 이라 하자.", "</p><p>(1) \\( \\mathrm{e}_{1}=(1,0,0), \\mathrm{e}_{2}=(0,1,0) \\) 은 점 \\( \\mathrm{p}=0 \\) 에서 곡면 \\( M \\) 에 접하는 단위접벡터이고 \\[ Z=\\frac{\\left(-h_{x},-h_{y}, 1\\right)}{\\sqrt{1+h_{x}^{2}+h_{y}^{2}}}\\]은 \\( M \\) 의 단위법벡터장이다.", "</p><p>(2) 가우스사상의 미분사상 \\( d Z_{\\mathrm{p}} \\) 에 대하여 \\[\\begin{array}{l} d Z_{\\mathbf{p}}\\left(\\mathbf{e}_{1}\\right)=-h_{x x x}(0,0) \\mathbf{e}_{1}-h_{x y}(0,0) \\mathbf{e}_{2} \\\\ d Z_{\\mathbf{p}}\\left(\\mathbf{e}_{2}\\right)=-h_{y x}(0,0) \\mathbf{e}_{1}-h_{y y}(0,0) \\mathbf{e}_{2}\\end{array}\\]가 성립한다.", "</p><p>증명</p><p>(1) \\( \\mathbf{x}(x, y)=(x, y, h(x, y)) \\) 는 \\( M \\) 의 좌표함수이고 \\( \\mathbf{x}(0,0)=\\mathbf{p}=(0,0,0) \\) 이므로 \\[\\begin{array}{l}\\frac{\\partial \\mathbf{x}}{\\partial x}(0,0)=\\left(1,0, h_{x}(0,0)\\right)=(1,0,0)=\\mathbf{e}_{1} \\\\\\frac{\\partial \\mathbf{x}}{\\partial y}(0,0)=\\left(1,0, h_{y}(0,0)\\right)=(0,1,0)=\\mathbf{e}_{2}\\end{array}\\] 따라서 \\( \\mathrm{e}_{1}, \\mathrm{e}_{2} \\) 는 접벡터이다.", "한편, 직접 계산을 하면 \\[Z=\\frac{\\mathbf{x}_{x} \\times \\mathbf{x}_{y}}{\\left\\\|\\mathbf{x}_{x} \\times \\mathbf{x}_{y}\\right\\\|}=\\frac{\\left(-h_{x},-h_{y}, 1\\right)}{\\sqrt{1+h_{x}^{2}+h_{y}^{2}}}\\]이 성립한다.", "</p><p>(2) \\( d Z_{\\mathrm{p}}\\left(\\mathbf{e}_{1}\\right)=d Z_{\\mathrm{p}}\\left(\\mathbf{x}_{x}(0,0)\\right) \\) 이고 매개곡선 \\( \\alpha(x)=\\mathbf{x}(x, 0) \\) 을 생각하면 \\( \\alpha(0)=\\mathbf{p}=0 \\) 이고 \\( \\alpha^{\\prime}(0)=\\mathrm{x}_{x}(0,0)=\\mathrm{e}_{1} \\) 이므로 \\[ d Z_{\\mathrm{p}}\\left(\\mathbf{e}_{1}\\right)=d Z_{\\mathrm{p}}\\left(\\alpha^{\\prime}(0)\\right)=(Z \\circ \\alpha)^{\\prime}(0)\\] 위의 (1)에서 \\[ (Z \\circ \\alpha)(x)=\\frac{\\left(-h_{x}(x, 0),-h_{y}(x, 0), 1\\right)}{\\sqrt{1+h_{x}^{2}(x, 0)+h_{y}^{2}(x, 0)}}\\]이므로 가정 \\( h_{x}(0,0)=h_{y}(0,0)=0 \\) 을 이용하면 \\[(Z \\circ \\alpha)^{\\prime}(0)=\\left(-h_{x x}(0,0),-h_{y x}(0,0), 0\\right)=-h_{x w}(0,0) \\mathbf{e}_{1}-h_{y x}(0,0) \\mathbf{e}_{2}\\] 이다.", "같은 방법으로 \\[d Z_{\\mathbf{p}}\\left(\\mathbf{e}_{2}\\right)=-h_{x y}(0,0) \\mathbf{e}_{1}-h_{y y}(0,0) \\mathbf{e}_{2}\\]이 성립함을 보일 수 있다.", "</p> <p>1 장에서 정의한 벡터곱의 성질에 의하면 \\[e=\\left\\langle Z, \\mathbf{x}_{u u}\\right\\rangle=\\frac{\\left\\langle\\mathbf{x}_{u} \\times \\mathbf{x}_{v}, \\mathbf{x}_{u u}\\right\\rangle}{\\left\\\|\\mathbf{x}_{u} \\times \\mathbf{x}_{v}\\right\\\|}=\\frac{\\operatorname{det}\\left(\\mathbf{x}_{u}, \\mathbf{x}_{v}, \\mathbf{x}_{u u}\\right)}{\\left\\\|\\mathbf{x}_{u} \\times \\mathbf{x}_{v}\\right\\\|}\\] 이고 \\[f=\\frac{\\operatorname{det}\\left(\\mathbf{x}_{u}, \\mathbf{x}_{v}, \\mathbf{x}_{u v}\\right)}{\\left\\\|\\mathbf{x}_{u} \\times \\mathbf{x}_{v}\\right\\\|}, g=\\frac{\\operatorname{det}\\left(\\mathbf{x}_{u}, \\mathbf{x}_{v}, \\mathbf{x}_{v v}\\right)}{\\left\\\|\\mathbf{x}_{u} \\times \\mathbf{x}_{v}\\right\\\|} \\] 이다.", "또 \\( \\left\\\|\\mathbf{x}_{u} \\times \\mathbf{x}_{v}\\right\\\|^{2}=E G-F^{2} \\) 이므로 \\[K=\\frac{\\operatorname{det}\\left(\\mathbf{x}_{u}, \\mathbf{x}_{v}, \\mathbf{x}_{u u}\\right) \\operatorname{det}\\left(\\mathbf{x}_{u}, \\mathbf{x}_{v}, \\mathbf{x}_{v v}\\right)-\\operatorname{det}\\left(\\mathbf{x}_{u}, \\mathbf{x}_{v}, \\mathbf{x}_{u v}\\right)^{2}}{\\left\\\|\\mathbf{x}_{u} \\times \\mathbf{x}_{v}\\right\\\|^{4}} \\]이다.", "평균곡률 \\( H \\) 도 같은 방법으로 나타내면 \\[H=\\frac{\\left\\langle\\mathbf{x}_{v}, \\mathbf{x}_{v}\\right\\rangle \\operatorname{det}\\left(\\mathbf{x}_{u}, \\mathbf{x}_{v}, \\mathbf{x}_{u u}\\right)-2\\left\\langle\\mathbf{x}_{u}, \\mathbf{x}_{v}\\right\\rangle \\operatorname{det}\\left(\\mathbf{x}_{u}, \\mathbf{x}_{v}, \\mathbf{x}_{u v}\\right)+\\left\\langle\\mathbf{x}_{u}, \\mathbf{x}_{u}\\right\\rangle \\operatorname{det}\\left(\\mathbf{x}_{u}, \\mathbf{x}_{v}, \\mathbf{x}_{v v}\\right)}{2\\left\\\|\\mathbf{x}_{u} \\times \\mathbf{x}_{v}\\right\\\|^{3}} \\]이다.", "</p><p>보기 4.2 .2</p><p>구면좌표계를 이용하여 반지름의 길이가 \\( r \\) 인 구 \\( S^{2}(r) \\) 의 가우스곡률과 평균곡률을 구하여라.", "</p><p>풀이.", "구면좌표계 \\( \\mathbf{x}(u, v)=(r \\sin u \\cos v, r \\sin u \\sin v, r \\cos u) \\) 로 부터 \\[\\begin{array}{l}\\mathbf{x}_{u}=(r \\cos u \\cos v, r \\cos u \\sin v,-r \\sin u) \\\\\\mathbf{x}_{v}=(-r \\sin u \\sin v, r \\sin u \\cos v, 0)\\end{array}\\] \\[\\begin{array}{l}\\mathbf{x}_{u u}=(-r \\sin u \\cos v,-r \\sin u \\sin v,-r \\cos u) \\\\ \\mathbf{x}_{u v}=(-r \\cos u \\sin v, r \\cos u \\cos v, 0) \\\\ \\mathbf{x}_{v v}=(-r \\sin u \\cos v,-r \\sin u \\sin v, 0)\\end{array}\\] 따라서 \\[E=r^{2}, \\quad F=0, \\quad G=r^{2} \\sin ^{2} u\\]이고 \\[\\left\\\|\\mathbf{x}_{u} \\times \\mathbf{x}_{v}\\right\\\|=\\sqrt{E G-F^{2}}=r^{2} \\sin u \\] 또한 가우스사상 \\( Z \\) 는 \\[Z=\\frac{\\mathbf{x}_{u} \\times \\mathbf{x}_{v}}{\\left\\\|\\mathbf{x}_{u} \\times \\mathbf{x}_{v}\\right\\\|}=(\\sin u \\cos v, \\sin u \\sin v, \\cos u)\\] 끝으로, 제2기본형식의 계수를 구하면 \\[e=-r, f=0, g=-r \\sin ^{2} u\\] 그러므로 \\[K=\\frac{1}{r^{2}}, H=-\\frac{1}{r}\\]</p><p>다음 정리에 의하면 가우스사상의 미분사상 \\( \\mathrm{d} Z \\) 에 대한 벡터곱으로부터 가우스곡 률과 평균곡률을 계산할 수도 있다.", "</p><p>정리 4.2.3</p><p>\\( \\mathrm{v}, \\mathrm{w} \\in \\mathrm{T}_{\\mathrm{p}} M \\) 이 일차독립인 두 접벡터이면<caption>(4.2.11)</caption>\\( d Z_{\\mathbf{p}}(\\mathbf{v}) \\times d Z_{\\mathrm{p}}(\\mathbf{w})=K(\\mathbf{p}) \\mathbf{v} \\times \\mathbf{w} \\)<caption>(4.2.12)</caption>\\( d Z_{\\mathrm{p}}(\\mathrm{v}) \\times \\mathbf{w}+\\mathrm{v} \\times d Z_{\\mathrm{p}}(\\mathbf{w})=-2 H(\\mathrm{p}) \\mathbf{v} \\times \\mathbf{w} \\)</p><p>증명</p><p>\\( \\mathrm{v}, \\mathrm{w} \\) 가 \\( T_{\\mathrm{p}} M \\) 의 기저이므로 \\[\\begin{array}{r} d Z_{\\mathrm{p}}(\\mathrm{v})=a \\mathbf{v}+b \\mathbf{w} \\\\ d Z_{\\mathrm{p}}(\\mathbf{w})=c \\mathbf{v}+d \\mathbf{w} \\end{array}\\]로 나타낼 수 있다.", "따라서 \\[\\left(\\begin{array}{ll} a & c \\\\b & d\\end{array}\\right)\\]는 기저 \\( \\mathbf{v}, \\mathbf{w} \\) 로 선형사상 \\( d Z_{\\mathrm{p}} \\) 를 나타냈을 때의 행렬에 해당한다.", "그러므로 \\[ K(\\mathrm{p})=a d-b c, \\quad H(\\mathrm{p})=-\\frac{a+d}{2}\\] 벡터곱의 성질을 이용하면 \\[\\begin{aligned} d Z_{\\mathbf{p}}(\\mathbf{v}) \\times d Z_{\\mathbf{p}}(\\mathbf{w}) &=(a \\mathbf{v}+b \\mathbf{w}) \\times(c \\mathbf{v}+d \\mathbf{w}) \\\\ &=(a d-b c) \\mathbf{v} \\times \\mathbf{w} \\end{aligned}\\] 같은 방법으로 계산하면 \\[d Z_{\\mathbf{p}}(\\mathrm{v}) \\times \\mathbf{w}+\\mathbf{v} \\times d Z_{\\mathbf{p}}(\\mathbf{w})=-2 H(\\mathrm{p}) \\mathrm{v} \\times \\mathbf{w}\\]</p><p></p><p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "미분기하학", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "772a8b07-e377fd7d-d3ea-4783-a273-0de545cc3b04", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961050456", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2007", "doc_author": [ "윤갑진" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }
139	<h1>9.2 회귀분석</h1><p>두 개 이상의 변수들 사이의 관련성을 우리가 얻은 자료를 통하여 알 수 있다면 한 변수의 변화에 따른 다른 변수의 변화를 예측할 수 있을 것이다. 이와 같이 두 변수 사이의 관계를 함수관계식으로 나타내고, 이 관계식의 정도(precision) 등을 비롯한 여러 가지 통계적인 사실을 검토하는 통계적 분석방법을 회귀분석 (regression analysis)이라고 한다. 이 때 두 변수들 가운데 다른 변수에 영향을 주는 변수를 독립변수(independent variable) 또는 설명변수(explanatory variable)라고 하며, 영향을 받는 변수를 종속변수(dependent variable) 또는 반응변수(response variable)라고 한다. 예를 들어 상품판매에서 광고액수(설명변수)에 따른 판매고 (반응변수)의 변화 또는 숙성기간(설명변수)에 따른 포도주 질(반응변수)의 변화 들을 생각할 수 있다.</p><p>이러한 설명변수와 반응변수 사이에 \( y=g(x)+\varepsilon \) 와 같은 함수관계가 있으며, 여기서 변수 \( x \) 는 설명변수, 함수 \( g \) 는 설명변수 \( x \) 의 영향을 나타낸다. 그리고 \( \varepsilon \) 은 측정이 불가능하고 무작위하게 반응변수에 영향을 미치는 확률변수를 나타낸다. 예를 들어 광고액수를 늘려서 대대적으로 선전한다면 분명히 판매량이 늘어날 것으로 생각되지만 막대한 자금을 동원한 광고에 소비자들이 어떠한 반응을 보일지는 아무도 모르기 때문에 꼭 판매량이 늘어나는 것은 아니다. 이와 같이 \( \varepsilon \) 은 설명변수와 반응변수 관계에 대한 오차를 나타내는 확률변수이다.</p><p>회귀분석이란 설명변수와 반응변수 사이에 성립하는 구체적인 함수 형태를 찾아내고, 그 함수관계로부터 설명변수에 대한 반응변수를 예측하는 데 그 목적이 있다. 따라서 회귀분석의 주요 내용은 설명변수 \( x \) 와 그에 대한 반응변수 \( y \) 로부터 얻은 관측값 \( \left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots,\left(x_{n}, y_{n}\right) \) 을 관찰하여 함수 \( g(x) \) 에 대한 추정과 검정을 다루는 것이다. 이와 같이 설명변수와 반응변수 사이에 나타나는 함수 관계를 회귀식(regression equation)이라 한다. 그리고 이 회귀식에 대한 그래프가 직선인 경우 이 직선을 회귀직선(regression straight line)이라 하며, 그래프가 곡선인 경우 이 곡선을 회귀곡선(regression curve) 또는 회귀선(regression line)이라 한다.</p><p>설명변수가 하나인 회귀분석을 단순회귀분석(simple regression analysis)이라 하며, 설명변수가 둘 이상인 회귀분석을 중회귀분석(multiple regression analysis) 이라 한다. 회귀방정식의 미지량인 계수를 결정하고 구체적인 회귀선을 도출해내는 것을 회귀선의 추정이라 하며, 회귀선에서 미지계수를 회귀계수라고 한다. 이 절에서는 독립변수가 한 개이고 독립변수와 종속변수의 관계가 직선인 경우의 단순선형회귀분석만을 다루고자 한다.</p><h2>9.2.1 단순선형회귀모형</h2><p>회귀분석을 하기 위한 좋은 방법으로 우선 설명변수 \( X \) 와 반응변수 \( Y \) 의 관계를 대략적으로 파악하기 위해 상관도를 그려본 후, 두 변수 사이의 관계를 설명할 수 있는 적절한 모형인 함수 \( Y=g(X)+\varepsilon \) 을 설정한다. 특히 두 변수가 직선적인 경향을 가질 때 미지의 직선 관계를 \( y=\alpha+\beta x \) 로 나타내고, 산포 정도를 \( \sigma^{2} \) 으로 나타내면 설명변수 \( x \) 에 대한 반응변수 \( y \) 는</p><p>\[ Y=\alpha+\beta x+\varepsilon, \quad \varepsilon \sim N\left(0, \sigma^{2}\right) \]</p><p>으로 정의되는 확률변수 \( Y \) 의 관찰값으로 생각할 수 있으며, 여기서 \( \varepsilon \) 은 평균이 0 , 분산이 \( \sigma^{2} \) 인 오차항을 나타내는 확률변수이다. 따라서 설명변수의 값 \( x_{1}, x_{2} \), \( \cdots, x_{n} \) 에 대응하는 확률변수 \( Y \) 의 관찰값 \( y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n} \) 은 다음과 같은 모형으로부터 관찰되며, 이러한 모형을 단순선형회귀모형(simple linear regression model) 또는 단순회귀모형(simple regression model)이라 한다.</p><p>\[ y_{i}=\alpha+\beta x_{i}+\varepsilon_{i}, \varepsilon_{i} \sim N\left(0, \sigma^{2}\right), i=1,2, \cdots, n \]</p><p>여기서 \( \alpha, \beta \) 는 회귀직선의 절편과 기울기를 나타내는 모회귀계수(population regression coefficients)라 하고, 오차항을 나타내는 확률변수 \( \varepsilon_{i} \) 와 서로 독립이라고 가정한다. 예를 들어 온도(설명변수)에 따른 반응속도(반응변수)를 측정한 다음 자료를 이용하여 단순회귀모형을 살펴보자.</p><table border><caption>표 1</caption><tbody><tr><td>\(x\)</td><td>10</td><td>15</td><td>20</td><td>25</td><td>30</td><td>35</td><td>40</td><td>45</td><td>50</td><td>55</td><td>60</td><td>65</td><td>70</td><td>75</td></tr><tr><td>\(y\)</td><td>24</td><td>29</td><td>50</td><td>60</td><td>55</td><td>68</td><td>70</td><td>80</td><td>77</td><td>81</td><td>90</td><td>104</td><td>120</td><td>112</td></tr></tbody></table><p>온도에 따른 반응속도를 좌표점으로 나타내면</p><p>(10, 24), (15, 29), (20, 50), (25, 60), (30, 55), (35, 68), (40, 70), (45, 80), (50, 77), (55, 81), (60, 90), (65, 104), (70, 120), (75, 112)</p><p>이고, 따라서 이들 관찰값에 대한 상관도는 다음 그림과 같다.</p> <p>예제 1</p><p>어떤 반응 실험에서 원료의 첨가량 \( (X) \) 과 흡수율 \( (Y) \) 의 관계 자료 10개를 임의로 추출하여 얻은 결과가 다음과 같다.</p><table border><caption>표 1</caption><tbody><tr><td>\(X\)</td><td>12</td><td>13</td><td>14</td><td>10</td><td>11</td><td>8</td><td>10</td><td>11</td><td>12</td><td>9</td></tr><tr><td>\(Y\)</td><td>45</td><td>50</td><td>55</td><td>40</td><td>40</td><td>35</td><td>45</td><td>45</td><td>60</td><td>45</td></tr></tbody></table><p>이때 \( X \) 와 \( Y \) 의 상관관계를 알아보아라.</p><p>풀이</p><p>\( X \) 와 \( Y \) 의 합과 제곱합은 표 2 와 같다.</p><p>\[ \begin{array}{l} \bar{x}=\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} x_{i}=11 \\ \bar{y}=\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} y_{i}=46 \\ S_{X Y}=\frac{1}{9} \sum_{i=1}^{10}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)=\frac{90}{9}=10 \\ S_{X}^{2}=\frac{1}{9} \sum_{i=1}^{10}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}=\frac{30}{9} \\ S_{Y}^{2}=\frac{1}{9} \sum_{i=1}^{10}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}=\frac{490}{9} \end{array} \]</p><p>\[ S_{X}=\frac{\sqrt{30}}{3}, \quad S_{Y}=\frac{\sqrt{490}}{3} \]</p><p>그러므로 구하고자 하는 \( X \) 와 \( Y \) 의 표본상관계수는 다음과 같다.</p><p>\[ r=\frac{S_{X Y}}{S_{X} S_{Y}}=\frac{90}{\sqrt{30} \sqrt{490}}=0.742 \]</p><p>그리고 이 결과로부터 \( X \) 와 \( Y \) 는 양의 상관관계가 있음을 알 수 있다.</p><p>특히 앞에서 정의된 상관계수는 이미 살펴본 바와 같이 다음과 같은 성질을 갖는다.</p><p>성질 1</p><p>두 확률변수 \( X \) 와 \( Y \) 사이의 상관계수 \( \rho_{X Y}=\rho(X, Y) \) 는 다음 성질을 만족한다.</p><p><ol type=1 start=1><li>\( \rho_{X Y}=\rho_{Y X} \)</li><li>\( \rho(X, Y)=\left\{\begin{array}{l}\rho(a X+b, c Y+d), a, c \text { 가 같은 부호 } \\ -\rho(a X+b, c Y+d), a, c \text { 가 다른 부호 }\end{array}\right. \)</li><li>\( \rho_{X Y}=1 \) 일 필요충분조건은 \( Y=a X+b(a \neq 0) \) 이다.</li><li>\( X, Y \) 가 독립이면 \( \rho_{X Y}=0 \) 이지만 역은 성립하지 않는다.</li></ol></p><p>예제 2</p><p>예제 1 에 주어진 자료에 대한 \( \rho(X-10,2 Y+5) \) 를 구하여라.</p><p>풀이</p><p>\( \rho_{X Y}=0.742 \) 이므로 \( \rho(X-10,2 Y+5)=\rho_{X Y}=0.742 \) 이다.</p> <h2>9.1.3 상관계수의 검정</h2><h3>(1) 무상관 \( \rho=0 \) 의 검정</h3><p>귀무가설 \( H_{0}: \rho=0 \) 을 검정한다고 할 때, 이 검정을 무상관의 검정(test of no correlation)이라고 한다. 무상관의 검정에는 \( Z \) 검정과 \( t \) 검정 그리고 \( \chi^{2} \) 검정 이외에 백분위수를 이용한 검정 등이 있으며, 각각의 검정은 통계집단의 종류 및 그 크기에 따라서 달리 사용된다. 그러므로 여러 가지 경우에 대한 무상관의 검정을 다루도록 한다.</p><h4>1) \( Z \) 검정</h4><p>모상관계수 \( \rho \) 의 검정에 대한 검정통계량으로 추정에서와 동일하게 표본상관계수 \( r \) 을 이용하며, 특히 \( \rho=0 \) 인 이변량 정규모집단으로부터 얻은 임의의 표본에 대한 표본상관계수는</p><p>\[ r=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}} \]</p><p>와 같이 정의한다. 특히 표본크기 \( n \) 이 크면 표본상관계수 \( r \) 은 근사적으로 정규분포 \( N\left(0, \frac{1}{n-1}\right) \) 에 따른다. 따라서 이것을 표준화한 \( Z \) 통계량</p><p>\[ Z=\frac{r}{1 / \sqrt{n-1}} \]</p><p>은 근사적으로 \( N(0,1) \) 에 따른다. 그러므로 이미 8 장에서 살펴본 바와 같이 귀무가설 \( H_{0}: \rho=0 \) 이 참이라는 가설에 대한 검정은 \( Z \) 검정방법에 따르며, 다음과 같은 순서로 검정을 실시한다.</p><p>정규분포를 이용한 상관관계에 대한 검정</p><p><ol type=1 start=1><li>귀무가설 설정 : \( H_{0}: \rho=0 \)</li><li>검정통계량 : \( Z_{0}=\frac{r}{1 / \sqrt{n-1}} \)</li><li>가설검정 \( : H_{1}: \rho>0 \) 일 때 \( Z_{0} \geq z_{\alpha} \) 이면 \( H_{0} \) 를 기각한다.</p><p>\( H_{1}: \rho<0 \) 일 때 \( Z_{0} \leq-z_{\alpha} \) 이면 \( H_{0} \) 를 기각한다.</p><p>\( H_{1}: \rho \neq 0 \) 일 때 \( \left\|Z_{0}\right\| \geq z_{\alpha / 2} \) 이면 \( H_{0} \) 를 기각한다.</li></ol></p><p>예제 4</p><p>크기 37 인 표본의 표본상관계수가 \( 0.2 \) 일 때 모집단은 무상관이라 할 수 있는지 유의수준 \( 5 \% \) 에서 검정하여라.</p><p>풀이</p><p>위 검정방법을 따라 하면 다음과 같이 요약할 수 있다.</p><p><ol type=1 start=1><li>가설 설정 \( : H_{0}: \rho=0, H_{1}: \rho \neq 0 \)</li><li>검정통계량 : \( Z_{0}=\frac{0.2}{1 / \sqrt{37-1}}=1.2 \)</li><li>\( \alpha=0.05 \) 이므로 \( z_{0.025}=1.96 \) 이다.</li><li>\( Z_{0}=1.2<z_{0.025}=1.96 \) 이므로 \( H_{0} \) 를 기각하지 못한다. 따라서 모집단이 무상관이라 할 수 있다.</li></ol></p><h4>2) 백분위수를 이용한 검정</h4><p>모집단의 분포가 이변량 정규분포라는 가정 아래서 백분위수를 이용한 상관관계의 유무에 관한 가설검정을 요약하면 다음과 같다.</p><p>백분위수를 이용한 상관관계에 관한 검정법</p><p><ol type=1 start=1><li>귀무가설 설정 : \( H_{0}: \rho=0 \)</li><li>검정통계량 : \( r_{0}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}} \)</li><li>가설검정 : \( H_{1}: \rho>0 \) 일 때 \( r_{0} \geq r_{\alpha}(n-2) \) 이면 \( H_{0} \) 를 기각한다.</p><p>\( H_{1}: \rho<0 \) 일 때 \( r_{0} \leq-r_{\alpha}(n-2) \) 이면 \( H_{0} \) 를 기각한다.</p><p>\( H_{1}: \rho \neq 0 \) 일 때 \( \left\|r_{0}\right\| \geq r_{\alpha / 2}(n-2) \) 이면 \( H_{0} \) 를 기각한다.</li></ol></p><p>여기서 \( r_{\alpha}(n-2) \) 는 모상관계수 \( \rho=0 \) 일 때 표본상관계수 \( r \) 의 표본분포의 백분위수를 나타내며, 부록의 표 8 에 주어져 있다.</p><h4>3) \( t \) 검정</h4><p>\( \rho=0 \) 인 이변량 정규모집단으로부터 임의의 표본상관계수 \( r \) 을 변환한 \( t \) 통계량</p><p>\[ T=\frac{r \sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^{2}}} \]</p><p>는 표본크기 \( n \) 에 관계없이 자유도가 \( n-2 \) 인 \( t \) 분포에 따른다. 그러므로 귀무가설 \( H_{0}: \rho=0 \) 이 참이라는 가설 아래서 \( T \) 검정통계량을 이용하여 무상관에 대한 검정을 요약하면 다음과 같다.</p><p>\( t \) 분포를 이용한 상관관계에 대한 검정법</p><p><ol type=1 start=1><li>귀무가설 설정 : \( H_{0}: \rho=0 \)</li><li>검정통계량 : \( T_{0}=\frac{r_{0} \sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r_{0}^{2}}} \)</li><li>가설검정 : \( H_{1}: \rho>0 \) 일 때 \( T_{0} \geq t_{\alpha}(n-2) \) 이면 \( H_{0} \) 를 기각한다.</p><p>\( H_{1}: \rho<0 \) 일 때 \( T_{0} \leq-t_{\alpha}(n-2) \) 이면 \( H_{0} \) 를 기각한다.</p><p>\( H_{1}: \rho \neq 0 \) 일 때 \( \left\|T_{0}\right\| \geq t_{\alpha / 2}(n-2) \) 이면 \( H_{0} \) 를 기각한다.</li></ol></p><p>예제 5</p><p>어느 대학에서 입학성적 \( (X) \) 과 졸업성적 \( (Y) \) 사이의 상관관계를 분석하기 위하여 10 명의 졸업생을 조사한 결과 다음의 자료를 얻었다. 표본상관계수를 구하고, 귀무가설 \( H_{0}: \rho=0 \) 에 대하여 대립가설 \( H_{1}: \rho>0 \)을 유의수준 \( 5 \% \) 에서 검정하여라.</p><table border><caption>표 5</caption><tbody><tr><td>졸업생번호</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td></tr><tr><td>입학성적</td><td>510</td><td>520</td><td>530</td><td>540</td><td>550</td><td>560</td><td>570</td><td>580</td><td>590</td><td>600</td></tr><tr><td>졸업성적</td><td>2.6</td><td>2.9</td><td>2.5</td><td>3.3</td><td>3.0</td><td>3.5</td><td>2.7</td><td>3.4</td><td>3.7</td><td>3.9</td></tr></tbody></table><p>풀이</p><p>\( X \) 와 \( Y \) 의 합과 제곱합은 표 6 과 같다.</p><p>\[ \begin{array}{l} \bar{x}=\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} x_{i}=555 \\ \bar{y}=\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} y_{i}=3.15 \\ S_{X Y}=\frac{1}{9} \sum_{i=1}^{10}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)=\frac{102.5}{9} \\ S_{X}^{2}=\frac{1}{9} \sum_{i=1}^{10}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}=\frac{8250}{9} \\ S_{Y}^{2}=\frac{1}{9} \sum_{i=1}^{10}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}=\frac{2.085}{9} \\ S_{X}=\frac{\sqrt{8250}}{3}, \quad S_{Y}=\frac{\sqrt{2.085}}{3} \end{array} \]</p><p>그러므로 구하고자 하는 \( X \) 와 \( Y \) 의 표본상관계수는 다음과 같다.</p><p>\[ r_{0}=\frac{S_{X Y}}{S_{X} S_{Y}}=\frac{102.5}{\sqrt{8250} \sqrt{2.085}}=0.784 \]</p><p>따라서 \( T \) 통계량 값은</p><p>\[ T_{0}=\frac{0.784 \sqrt{8}}{\sqrt{1-0.784^{2}}}=3.58 . \]</p><p>\( T_{0}=3.58 \geq t_{0.05}(8)=1.86 \) 이므로 \( H_{0}: \rho=\rho_{0} \) 를 기각한다.</p> <h2>9.2.2 회귀직선의 추정</h2><p>단순회귀모형 \( Y=\alpha+\beta x+\varepsilon \) 에 대한 추론을 위해서 회귀계수 \( \alpha, \beta \) 를 추정하는 것이 최우선적인 순서이며, 이러한 회귀계수를 주어진 측정값으로부터 추정하는 방법으로는 여러 가지가 있으나 그 가운데 널리 사용하는 방법이 최소제곱법 (least squares method)이다. 이로부터 얻어진 직선 \( \hat{y}=\hat{\alpha}+\hat{\beta} x \) 를 추정회귀직선 (estimated regression line) 또는 최소제곱회귀직선이라고 한다. 한편 최소제곱법이란 단순회귀모형 \( Y_{i}=\alpha+\beta x_{i}+\varepsilon_{i}(i=1,2, \cdots, n) \) 에서 오차항의 제곱들의 합이 최소가 되도록 \( \alpha \) 와 \( \beta \) 를 추정하는 방법을 말하며, 이 방법에 의한 추정량을 최소제곱추정량(least squares estimator)이라 한다. 이제부터 오차제곱합을 최소화하는 최소제곱법을 이용하여 추정회귀직선을 구체적으로 구해보기로 하자. 단순선형회귀모형에서 \( y_{i}=\alpha+\beta x_{i}+\varepsilon_{i} \) 이므로 오차제곱합</p><p>\[ S=\sum_{i=1}^{n} \varepsilon_{i}^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\alpha-\beta x_{i}\right)^{2} \]</p><p>을 최소로 하는 \( \alpha \) 와 \( \beta \) 를 구하기 위하여 \( S \) 를 \( \alpha \) 와 \( \beta \) 로 각각 편미분하여 다음과 같은 결과를 얻는다.</p><p>\[ \begin{array}{c} \frac{\partial S}{\partial a}=-2 \sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\alpha-\beta x_{i}\right) \\ \frac{\partial S}{\partial b}=-2 \sum_{i=1}^{n} x_{i}\left(y_{i}-\alpha-\beta x_{i}\right) \end{array} \]</p><p>그리고 편미분한 값을 0 으로 만드는 \( \alpha \) 와 \( \beta \) 에 관한 방정식의 해를 구하여 각각 \( \hat{\alpha} \) 와 \( \hat{\beta} \) 로 나타낸다. 다시 말해서 \( \partial S / \partial \alpha=0, \partial S / \partial \beta=0 \) 을 만족하는 방정식을 정리하면</p><p>\[ \begin{array}{l} \sum_{i=1}^{n} y_{i}=n \alpha+\beta \sum_{i=1}^{n} x_{i} \\ \sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}=\alpha \sum_{i=1}^{n} x_{i}+\beta \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} \end{array} \]</p><p>이며, 이 방정식을 정규방정식(normal equation)이라고 한다.</p><p>이제 정규방정식으로 해 \( \hat{\alpha} \) 와 \( \hat{\beta} \) 를 구하면 다음 결과를 얻을 수 있다.</p><p>\[ \hat{\beta}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}=\frac{S_{X Y}}{S_{X}^{2}},\\ \hat{\alpha}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{i}-\hat{\beta} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}=\bar{y}-\hat{\beta} \bar{x} \]</p><p>따라서 최소제곱법에 의하여 얻은 최소제곱추정량을 이용하여 구한 추정회귀직선은 다음과 같이 표현되며, 이 직선을 \( X \) 에 관한 \( Y \) 의 표본회귀직선(regression line of \( Y \) on \( X \) ) 또는 최소제곱회귀직선(least squares regression line)이라고 한다.</p><p>\[ \widehat{Y}=\hat{\alpha}+\hat{\beta} x=\bar{y}+\hat{\beta}(x-\bar{x}) \]</p><p>같은 방법으로 \( Y \) 에 관한 \( X \) 의 표본회귀직선을 구하면 다음과 같다.</p><p>\[ \widehat{X}=\bar{x}+\hat{\beta}(y-\bar{y}) \]</p><p>이때 \( \hat{\beta}=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right) / \sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}=S_{X Y} / S_{Y}^{2} \) 이다. 그리고 이러한 최소제곱추정량 \( \hat{\alpha} \) 와 \( \hat{\beta} \) 는 모든 불편추정량 가운데 최소분산을 갖는 최량선형불편추정량(BLUE; best linear unbiased estimator)이다.</p><p>이와 같은 내용을 요약하면 다음 정리로 나타낼 수 있다.</p><p>성질 1</p><p>단순회귀모형 \( Y_{i}=\alpha+\beta x_{i}+\varepsilon_{i}(i=1,2, \cdots, n) \) 에 대한 \( \alpha, \beta \) 의 최소제곱추정량과 최소제곱회귀직선은</p><p>\[ \begin{array}{c} \hat{\beta}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}=\frac{S_{X Y}}{S_{X}^{2}} \\ \hat{\alpha}=\bar{Y}-\hat{\beta} \bar{x} \\ \hat{Y}=\bar{y}+\hat{\beta}(x-\bar{x}) \end{array} \]</p><p>이다.</p><p>예제 1</p><p>온도에 따른 반응속도를 측정한 다음 자료에 대하여 온도와 반응속도 사이에 선형적 관계가 있다는 조건 아래서 \( \alpha \) 와 \( \beta \) 에 대한 최소제곱추정값과 최소제곱회귀직선을 구하여라.</p><table border><caption>표 2</caption><tbody><tr><td>\(x\)</td><td>10</td><td>15</td><td>20</td><td>25</td><td>30</td><td>35</td><td>40</td><td>45</td><td>50</td><td>55</td><td>60</td><td>65</td><td>70</td><td>75</td></tr><tr><td>\(y\)</td><td>24</td><td>29</td><td>50</td><td>60</td><td>55</td><td>68</td><td>70</td><td>80</td><td>77</td><td>81</td><td>90</td><td>104</td><td>120</td><td>112</td></tr></tbody></table><p>풀이</p><p>우선 \( X \) 와 \( Y \) 의 평균과 분산, 그리고 공분산을 구하기 위하여 표 3 을 작성한다.</p><p>\[ \begin{array}{l} \bar{x}=\frac{1}{14} \sum_{i=1}^{14} x_{i}=42.5 \\ \bar{y}=\frac{1}{14} \sum_{i=1}^{14} y_{i}=72.857 \\ S_{X Y}=\frac{1}{13} \sum_{i=1}^{14}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)=\frac{7520}{13} \\ S_{X}^{2}=\frac{1}{13} \sum_{i=1}^{14}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=\frac{5687.5}{13} \end{array} \] 따라서 \( \alpha \) 와 \( \beta \) 에 대한 최소제곱추정값은</p><p>\[ \begin{array}{l} \hat{\beta}=\frac{S_{X Y}}{S_{X}^{2}}=\frac{7520}{5687.5}=1.27, \\ \hat{\alpha}=\bar{Y}-\hat{\beta} \bar{x}=72.857-1.27 \times 42.5=18.882 \end{array} \]</p><p>이고, 최소제곱회귀직선은</p><p>\[ \widehat{Y}=\bar{y}+\hat{\beta}(x-\bar{x})=1.27 x+18.882 \]</p><p>이다. 그러므로 직선의 방정식에 대한 추정방정식은</p><p>\[ y=1.27 x+18.882 \]</p><p>이다.</p>	통계학	[ "<h1>9.2 회귀분석</h1><p>두 개 이상의 변수들 사이의 관련성을 우리가 얻은 자료를 통하여 알 수 있다면 한 변수의 변화에 따른 다른 변수의 변화를 예측할 수 있을 것이다.", "이와 같이 두 변수 사이의 관계를 함수관계식으로 나타내고, 이 관계식의 정도(precision) 등을 비롯한 여러 가지 통계적인 사실을 검토하는 통계적 분석방법을 회귀분석 (regression analysis)이라고 한다.", "이 때 두 변수들 가운데 다른 변수에 영향을 주는 변수를 독립변수(independent variable) 또는 설명변수(explanatory variable)라고 하며, 영향을 받는 변수를 종속변수(dependent variable) 또는 반응변수(response variable)라고 한다.", "예를 들어 상품판매에서 광고액수(설명변수)에 따른 판매고 (반응변수)의 변화 또는 숙성기간(설명변수)에 따른 포도주 질(반응변수)의 변화 들을 생각할 수 있다.", "</p><p>이러한 설명변수와 반응변수 사이에 \\( y=g(x)+\\varepsilon \\) 와 같은 함수관계가 있으며, 여기서 변수 \\( x \\) 는 설명변수, 함수 \\( g \\) 는 설명변수 \\( x \\) 의 영향을 나타낸다.", "그리고 \\( \\varepsilon \\) 은 측정이 불가능하고 무작위하게 반응변수에 영향을 미치는 확률변수를 나타낸다.", "예를 들어 광고액수를 늘려서 대대적으로 선전한다면 분명히 판매량이 늘어날 것으로 생각되지만 막대한 자금을 동원한 광고에 소비자들이 어떠한 반응을 보일지는 아무도 모르기 때문에 꼭 판매량이 늘어나는 것은 아니다.", "이와 같이 \\( \\varepsilon \\) 은 설명변수와 반응변수 관계에 대한 오차를 나타내는 확률변수이다.", "</p><p>회귀분석이란 설명변수와 반응변수 사이에 성립하는 구체적인 함수 형태를 찾아내고, 그 함수관계로부터 설명변수에 대한 반응변수를 예측하는 데 그 목적이 있다.", "따라서 회귀분석의 주요 내용은 설명변수 \\( x \\) 와 그에 대한 반응변수 \\( y \\) 로부터 얻은 관측값 \\( \\left(x_{1}, y_{1}\\right),\\left(x_{2}, y_{2}\\right), \\cdots,\\left(x_{n}, y_{n}\\right) \\) 을 관찰하여 함수 \\( g(x) \\) 에 대한 추정과 검정을 다루는 것이다.", "이와 같이 설명변수와 반응변수 사이에 나타나는 함수 관계를 회귀식(regression equation)이라 한다.", "그리고 이 회귀식에 대한 그래프가 직선인 경우 이 직선을 회귀직선(regression straight line)이라 하며, 그래프가 곡선인 경우 이 곡선을 회귀곡선(regression curve) 또는 회귀선(regression line)이라 한다.", "</p><p>설명변수가 하나인 회귀분석을 단순회귀분석(simple regression analysis)이라 하며, 설명변수가 둘 이상인 회귀분석을 중회귀분석(multiple regression analysis) 이라 한다.", "회귀방정식의 미지량인 계수를 결정하고 구체적인 회귀선을 도출해내는 것을 회귀선의 추정이라 하며, 회귀선에서 미지계수를 회귀계수라고 한다.", "이 절에서는 독립변수가 한 개이고 독립변수와 종속변수의 관계가 직선인 경우의 단순선형회귀분석만을 다루고자 한다.", "</p><h2>9.2.1 단순선형회귀모형</h2><p>회귀분석을 하기 위한 좋은 방법으로 우선 설명변수 \\( X \\) 와 반응변수 \\( Y \\) 의 관계를 대략적으로 파악하기 위해 상관도를 그려본 후, 두 변수 사이의 관계를 설명할 수 있는 적절한 모형인 함수 \\( Y=g(X)+\\varepsilon \\) 을 설정한다.", "특히 두 변수가 직선적인 경향을 가질 때 미지의 직선 관계를 \\( y=\\alpha+\\beta x \\) 로 나타내고, 산포 정도를 \\( \\sigma^{2} \\) 으로 나타내면 설명변수 \\( x \\) 에 대한 반응변수 \\( y \\) 는</p><p>\\[ Y=\\alpha+\\beta x+\\varepsilon, \\quad \\varepsilon \\sim N\\left(0, \\sigma^{2}\\right) \\]</p><p>으로 정의되는 확률변수 \\( Y \\) 의 관찰값으로 생각할 수 있으며, 여기서 \\( \\varepsilon \\) 은 평균이 0 , 분산이 \\( \\sigma^{2} \\) 인 오차항을 나타내는 확률변수이다.", "따라서 설명변수의 값 \\( x_{1}, x_{2} \\), \\( \\cdots, x_{n} \\) 에 대응하는 확률변수 \\( Y \\) 의 관찰값 \\( y_{1}, y_{2}, \\cdots, y_{n} \\) 은 다음과 같은 모형으로부터 관찰되며, 이러한 모형을 단순선형회귀모형(simple linear regression model) 또는 단순회귀모형(simple regression model)이라 한다.", "</p><p>\\[ y_{i}=\\alpha+\\beta x_{i}+\\varepsilon_{i}, \\varepsilon_{i} \\sim N\\left(0, \\sigma^{2}\\right), i=1,2, \\cdots, n \\]</p><p>여기서 \\( \\alpha, \\beta \\) 는 회귀직선의 절편과 기울기를 나타내는 모회귀계수(population regression coefficients)라 하고, 오차항을 나타내는 확률변수 \\( \\varepsilon_{i} \\) 와 서로 독립이라고 가정한다.", "예를 들어 온도(설명변수)에 따른 반응속도(반응변수)를 측정한 다음 자료를 이용하여 단순회귀모형을 살펴보자.", "</p><table border><caption>표 1</caption><tbody><tr><td>\\(x\\)</td><td>10</td><td>15</td><td>20</td><td>25</td><td>30</td><td>35</td><td>40</td><td>45</td><td>50</td><td>55</td><td>60</td><td>65</td><td>70</td><td>75</td></tr><tr><td>\\(y\\)</td><td>24</td><td>29</td><td>50</td><td>60</td><td>55</td><td>68</td><td>70</td><td>80</td><td>77</td><td>81</td><td>90</td><td>104</td><td>120</td><td>112</td></tr></tbody></table><p>온도에 따른 반응속도를 좌표점으로 나타내면</p><p>(10, 24), (15, 29), (20, 50), (25, 60), (30, 55), (35, 68), (40, 70), (45, 80), (50, 77), (55, 81), (60, 90), (65, 104), (70, 120), (75, 112)</p><p>이고, 따라서 이들 관찰값에 대한 상관도는 다음 그림과 같다.", "</p> <p>예제 1</p><p>어떤 반응 실험에서 원료의 첨가량 \\( (X) \\) 과 흡수율 \\( (Y) \\) 의 관계 자료 10개를 임의로 추출하여 얻은 결과가 다음과 같다.", "</p><table border><caption>표 1</caption><tbody><tr><td>\\(X\\)</td><td>12</td><td>13</td><td>14</td><td>10</td><td>11</td><td>8</td><td>10</td><td>11</td><td>12</td><td>9</td></tr><tr><td>\\(Y\\)</td><td>45</td><td>50</td><td>55</td><td>40</td><td>40</td><td>35</td><td>45</td><td>45</td><td>60</td><td>45</td></tr></tbody></table><p>이때 \\( X \\) 와 \\( Y \\) 의 상관관계를 알아보아라.", "</p><p>풀이</p><p>\\( X \\) 와 \\( Y \\) 의 합과 제곱합은 표 2 와 같다.", "</p><p>\\[ \\begin{array}{l} \\bar{x}=\\frac{1}{10} \\sum_{i=1}^{10} x_{i}=11 \\\\ \\bar{y}=\\frac{1}{10} \\sum_{i=1}^{10} y_{i}=46 \\\\ S_{X Y}=\\frac{1}{9} \\sum_{i=1}^{10}\\left(X_{i}-\\bar{X}\\right)\\left(Y_{i}-\\bar{Y}\\right)=\\frac{90}{9}=10 \\\\ S_{X}^{2}=\\frac{1}{9} \\sum_{i=1}^{10}\\left(X_{i}-\\bar{X}\\right)^{2}=\\frac{30}{9} \\\\ S_{Y}^{2}=\\frac{1}{9} \\sum_{i=1}^{10}\\left(Y_{i}-\\bar{Y}\\right)^{2}=\\frac{490}{9} \\end{array} \\]</p><p>\\[ S_{X}=\\frac{\\sqrt{30}}{3}, \\quad S_{Y}=\\frac{\\sqrt{490}}{3} \\]</p><p>그러므로 구하고자 하는 \\( X \\) 와 \\( Y \\) 의 표본상관계수는 다음과 같다.", "</p><p>\\[ r=\\frac{S_{X Y}}{S_{X} S_{Y}}=\\frac{90}{\\sqrt{30} \\sqrt{490}}=0.742 \\]</p><p>그리고 이 결과로부터 \\( X \\) 와 \\( Y \\) 는 양의 상관관계가 있음을 알 수 있다.", "</p><p>특히 앞에서 정의된 상관계수는 이미 살펴본 바와 같이 다음과 같은 성질을 갖는다.", "</p><p>성질 1</p><p>두 확률변수 \\( X \\) 와 \\( Y \\) 사이의 상관계수 \\( \\rho_{X Y}=\\rho(X, Y) \\) 는 다음 성질을 만족한다.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( \\rho_{X Y}=\\rho_{Y X} \\)</li><li>\\( \\rho(X, Y)=\\left\\{\\begin{array}{l}\\rho(a X+b, c Y+d), a, c \\text { 가 같은 부호 } \\\\ -\\rho(a X+b, c Y+d), a, c \\text { 가 다른 부호 }\\end{array}\\right. \\)", "</li><li>\\( \\rho_{X Y}=1 \\) 일 필요충분조건은 \\( Y=a X+b(a \\neq 0) \\) 이다.", "</li><li>\\( X, Y \\) 가 독립이면 \\( \\rho_{X Y}=0 \\) 이지만 역은 성립하지 않는다.", "</li></ol></p><p>예제 2</p><p>예제 1 에 주어진 자료에 대한 \\( \\rho(X-10,2 Y+5) \\) 를 구하여라.", "</p><p>풀이</p><p>\\( \\rho_{X Y}=0.742 \\) 이므로 \\( \\rho(X-10,2 Y+5)=\\rho_{X Y}=0.742 \\) 이다.", "</p> <h2>9.1.3 상관계수의 검정</h2><h3>(1) 무상관 \\( \\rho=0 \\) 의 검정</h3><p>귀무가설 \\( H_{0}: \\rho=0 \\) 을 검정한다고 할 때, 이 검정을 무상관의 검정(test of no correlation)이라고 한다.", "무상관의 검정에는 \\( Z \\) 검정과 \\( t \\) 검정 그리고 \\( \\chi^{2} \\) 검정 이외에 백분위수를 이용한 검정 등이 있으며, 각각의 검정은 통계집단의 종류 및 그 크기에 따라서 달리 사용된다.", "그러므로 여러 가지 경우에 대한 무상관의 검정을 다루도록 한다.", "</p><h4>1) \\( Z \\) 검정</h4><p>모상관계수 \\( \\rho \\) 의 검정에 대한 검정통계량으로 추정에서와 동일하게 표본상관계수 \\( r \\) 을 이용하며, 특히 \\( \\rho=0 \\) 인 이변량 정규모집단으로부터 얻은 임의의 표본에 대한 표본상관계수는</p><p>\\[ r=\\frac{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)\\left(y_{i}-\\bar{y}\\right)}{\\sqrt{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}} \\sqrt{\\sum_{i=1}^{n}\\left(y_{i}-\\bar{y}\\right)^{2}}} \\]</p><p>와 같이 정의한다.", "특히 표본크기 \\( n \\) 이 크면 표본상관계수 \\( r \\) 은 근사적으로 정규분포 \\( N\\left(0, \\frac{1}{n-1}\\right) \\) 에 따른다.", "따라서 이것을 표준화한 \\( Z \\) 통계량</p><p>\\[ Z=\\frac{r}{1 / \\sqrt{n-1}} \\]</p><p>은 근사적으로 \\( N(0,1) \\) 에 따른다.", "그러므로 이미 8 장에서 살펴본 바와 같이 귀무가설 \\( H_{0}: \\rho=0 \\) 이 참이라는 가설에 대한 검정은 \\( Z \\) 검정방법에 따르며, 다음과 같은 순서로 검정을 실시한다.", "</p><p>정규분포를 이용한 상관관계에 대한 검정</p><p><ol type=1 start=1><li>귀무가설 설정 : \\( H_{0}: \\rho=0 \\)</li><li>검정통계량 : \\( Z_{0}=\\frac{r}{1 / \\sqrt{n-1}} \\)</li><li>가설검정 \\( : H_{1}: \\rho>0 \\) 일 때 \\( Z_{0} \\geq z_{\\alpha} \\) 이면 \\( H_{0} \\) 를 기각한다.", "</p><p>\\( H_{1}: \\rho<0 \\) 일 때 \\( Z_{0} \\leq-z_{\\alpha} \\) 이면 \\( H_{0} \\) 를 기각한다.", "</p><p>\\( H_{1}: \\rho \\neq 0 \\) 일 때 \\( \\left\|Z_{0}\\right\| \\geq z_{\\alpha / 2} \\) 이면 \\( H_{0} \\) 를 기각한다.", "</li></ol></p><p>예제 4</p><p>크기 37 인 표본의 표본상관계수가 \\( 0.2 \\) 일 때 모집단은 무상관이라 할 수 있는지 유의수준 \\( 5 \\% \\) 에서 검정하여라.", "</p><p>풀이</p><p>위 검정방법을 따라 하면 다음과 같이 요약할 수 있다.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>가설 설정 \\( : H_{0}: \\rho=0, H_{1}: \\rho \\neq 0 \\)</li><li>검정통계량 : \\( Z_{0}=\\frac{0.2}{1 / \\sqrt{37-1}}=1.2 \\)</li><li>\\( \\alpha=0.05 \\) 이므로 \\( z_{0.025}=1.96 \\) 이다.", "</li><li>\\( Z_{0}=1.2<z_{0.025}=1.96 \\) 이므로 \\( H_{0} \\) 를 기각하지 못한다. 따라서 모집단이 무상관이라 할 수 있다.</li></ol></p><h4>2)", "백분위수를 이용한 검정</h4><p>모집단의 분포가 이변량 정규분포라는 가정 아래서 백분위수를 이용한 상관관계의 유무에 관한 가설검정을 요약하면 다음과 같다.", "</p><p>백분위수를 이용한 상관관계에 관한 검정법</p><p><ol type=1 start=1><li>귀무가설 설정 : \\( H_{0}: \\rho=0 \\)</li><li>검정통계량 : \\( r_{0}=\\frac{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)\\left(y_{i}-\\bar{y}\\right)}{\\sqrt{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}} \\sqrt{\\sum_{i=1}^{n}\\left(y_{i}-\\bar{y}\\right)^{2}}} \\)</li><li>가설검정 : \\( H_{1}: \\rho>0 \\) 일 때 \\( r_{0} \\geq r_{\\alpha}(n-2) \\) 이면 \\( H_{0} \\) 를 기각한다.", "</p><p>\\( H_{1}: \\rho<0 \\) 일 때 \\( r_{0} \\leq-r_{\\alpha}(n-2) \\) 이면 \\( H_{0} \\) 를 기각한다.", "</p><p>\\( H_{1}: \\rho \\neq 0 \\) 일 때 \\( \\left\|r_{0}\\right\| \\geq r_{\\alpha / 2}(n-2) \\) 이면 \\( H_{0} \\) 를 기각한다.", "</li></ol></p><p>여기서 \\( r_{\\alpha}(n-2) \\) 는 모상관계수 \\( \\rho=0 \\) 일 때 표본상관계수 \\( r \\) 의 표본분포의 백분위수를 나타내며, 부록의 표 8 에 주어져 있다.", "</p><h4>3) \\( t \\) 검정</h4><p>\\( \\rho=0 \\) 인 이변량 정규모집단으로부터 임의의 표본상관계수 \\( r \\) 을 변환한 \\( t \\) 통계량</p><p>\\[ T=\\frac{r \\sqrt{n-2}}{\\sqrt{1-r^{2}}} \\]</p><p>는 표본크기 \\( n \\) 에 관계없이 자유도가 \\( n-2 \\) 인 \\( t \\) 분포에 따른다.", "그러므로 귀무가설 \\( H_{0}: \\rho=0 \\) 이 참이라는 가설 아래서 \\( T \\) 검정통계량을 이용하여 무상관에 대한 검정을 요약하면 다음과 같다.", "</p><p>\\( t \\) 분포를 이용한 상관관계에 대한 검정법</p><p><ol type=1 start=1><li>귀무가설 설정 : \\( H_{0}: \\rho=0 \\)</li><li>검정통계량 : \\( T_{0}=\\frac{r_{0} \\sqrt{n-2}}{\\sqrt{1-r_{0}^{2}}} \\)</li><li>가설검정 : \\( H_{1}: \\rho>0 \\) 일 때 \\( T_{0} \\geq t_{\\alpha}(n-2) \\) 이면 \\( H_{0} \\) 를 기각한다.", "</p><p>\\( H_{1}: \\rho<0 \\) 일 때 \\( T_{0} \\leq-t_{\\alpha}(n-2) \\) 이면 \\( H_{0} \\) 를 기각한다.", "</p><p>\\( H_{1}: \\rho \\neq 0 \\) 일 때 \\( \\left\|T_{0}\\right\| \\geq t_{\\alpha / 2}(n-2) \\) 이면 \\( H_{0} \\) 를 기각한다.", "</li></ol></p><p>예제 5</p><p>어느 대학에서 입학성적 \\( (X) \\) 과 졸업성적 \\( (Y) \\) 사이의 상관관계를 분석하기 위하여 10 명의 졸업생을 조사한 결과 다음의 자료를 얻었다. 표본상관계수를 구하고, 귀무가설 \\( H_{0}: \\rho=0 \\) 에 대하여 대립가설 \\( H_{1}: \\rho>", "0 \\)을 유의수준 \\( 5 \\% \\) 에서 검정하여라.", "</p><table border><caption>표 5</caption><tbody><tr><td>졸업생번호</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td></tr><tr><td>입학성적</td><td>510</td><td>520</td><td>530</td><td>540</td><td>550</td><td>560</td><td>570</td><td>580</td><td>590</td><td>600</td></tr><tr><td>졸업성적</td><td>2.6</td><td>2.9</td><td>2.5</td><td>3.3</td><td>3.0</td><td>3.5</td><td>2.7</td><td>3.4</td><td>3.7</td><td>3.9</td></tr></tbody></table><p>풀이</p><p>\\( X \\) 와 \\( Y \\) 의 합과 제곱합은 표 6 과 같다.", "</p><p>\\[ \\begin{array}{l} \\bar{x}=\\frac{1}{10} \\sum_{i=1}^{10} x_{i}=555 \\\\ \\bar{y}=\\frac{1}{10} \\sum_{i=1}^{10} y_{i}=3.15 \\\\ S_{X Y}=\\frac{1}{9} \\sum_{i=1}^{10}\\left(X_{i}-\\bar{X}\\right)\\left(Y_{i}-\\bar{Y}\\right)=\\frac{102.5}{9} \\\\ S_{X}^{2}=\\frac{1}{9} \\sum_{i=1}^{10}\\left(X_{i}-\\bar{X}\\right)^{2}=\\frac{8250}{9} \\\\ S_{Y}^{2}=\\frac{1}{9} \\sum_{i=1}^{10}\\left(Y_{i}-\\bar{Y}\\right)^{2}=\\frac{2.085}{9} \\\\ S_{X}=\\frac{\\sqrt{8250}}{3}, \\quad S_{Y}=\\frac{\\sqrt{2.085}}{3} \\end{array} \\]</p><p>그러므로 구하고자 하는 \\( X \\) 와 \\( Y \\) 의 표본상관계수는 다음과 같다.", "</p><p>\\[ r_{0}=\\frac{S_{X Y}}{S_{X} S_{Y}}=\\frac{102.5}{\\sqrt{8250} \\sqrt{2.085}}=0.784 \\]</p><p>따라서 \\( T \\) 통계량 값은</p><p>\\[ T_{0}=\\frac{0.784 \\sqrt{8}}{\\sqrt{1-0.784^{2}}}=3.58 . \\]</p><p>\\( T_{0}=3.58 \\geq t_{0.05}(8)=1.86 \\) 이므로 \\( H_{0}: \\rho=\\rho_{0} \\) 를 기각한다.", "</p> <h2>9.2.2 회귀직선의 추정</h2><p>단순회귀모형 \\( Y=\\alpha+\\beta x+\\varepsilon \\) 에 대한 추론을 위해서 회귀계수 \\( \\alpha, \\beta \\) 를 추정하는 것이 최우선적인 순서이며, 이러한 회귀계수를 주어진 측정값으로부터 추정하는 방법으로는 여러 가지가 있으나 그 가운데 널리 사용하는 방법이 최소제곱법 (least squares method)이다.", "이로부터 얻어진 직선 \\( \\hat{y}=\\hat{\\alpha}+\\hat{\\beta} x \\) 를 추정회귀직선 (estimated regression line) 또는 최소제곱회귀직선이라고 한다.", "한편 최소제곱법이란 단순회귀모형 \\( Y_{i}=\\alpha+\\beta x_{i}+\\varepsilon_{i}(i=1,2, \\cdots, n) \\) 에서 오차항의 제곱들의 합이 최소가 되도록 \\( \\alpha \\) 와 \\( \\beta \\) 를 추정하는 방법을 말하며, 이 방법에 의한 추정량을 최소제곱추정량(least squares estimator)이라 한다.", "이제부터 오차제곱합을 최소화하는 최소제곱법을 이용하여 추정회귀직선을 구체적으로 구해보기로 하자.", "단순선형회귀모형에서 \\( y_{i}=\\alpha+\\beta x_{i}+\\varepsilon_{i} \\) 이므로 오차제곱합</p><p>\\[ S=\\sum_{i=1}^{n} \\varepsilon_{i}^{2}=\\sum_{i=1}^{n}\\left(y_{i}-\\alpha-\\beta x_{i}\\right)^{2} \\]</p><p>을 최소로 하는 \\( \\alpha \\) 와 \\( \\beta \\) 를 구하기 위하여 \\( S \\) 를 \\( \\alpha \\) 와 \\( \\beta \\) 로 각각 편미분하여 다음과 같은 결과를 얻는다.", "</p><p>\\[ \\begin{array}{c} \\frac{\\partial S}{\\partial a}=-2 \\sum_{i=1}^{n}\\left(y_{i}-\\alpha-\\beta x_{i}\\right) \\\\ \\frac{\\partial S}{\\partial b}=-2 \\sum_{i=1}^{n} x_{i}\\left(y_{i}-\\alpha-\\beta x_{i}\\right) \\end{array} \\]</p><p>그리고 편미분한 값을 0 으로 만드는 \\( \\alpha \\) 와 \\( \\beta \\) 에 관한 방정식의 해를 구하여 각각 \\( \\hat{\\alpha} \\) 와 \\( \\hat{\\beta} \\) 로 나타낸다.", "다시 말해서 \\( \\partial S / \\partial \\alpha=0, \\partial S / \\partial \\beta=0 \\) 을 만족하는 방정식을 정리하면</p><p>\\[ \\begin{array}{l} \\sum_{i=1}^{n} y_{i}=n \\alpha+\\beta \\sum_{i=1}^{n} x_{i} \\\\ \\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}=\\alpha \\sum_{i=1}^{n} x_{i}+\\beta \\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} \\end{array} \\]</p><p>이며, 이 방정식을 정규방정식(normal equation)이라고 한다.", "</p><p>이제 정규방정식으로 해 \\( \\hat{\\alpha} \\) 와 \\( \\hat{\\beta} \\) 를 구하면 다음 결과를 얻을 수 있다.", "</p><p>\\[ \\hat{\\beta}=\\frac{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)\\left(y_{i}-\\bar{y}\\right)}{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}}=\\frac{S_{X Y}}{S_{X}^{2}},\\\\ \\hat{\\alpha}=\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} y_{i}-\\hat{\\beta} \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} x_{i}=\\bar{y}-\\hat{\\beta} \\bar{x} \\]</p><p>따라서 최소제곱법에 의하여 얻은 최소제곱추정량을 이용하여 구한 추정회귀직선은 다음과 같이 표현되며, 이 직선을 \\( X \\) 에 관한 \\( Y \\) 의 표본회귀직선(regression line of \\( Y \\) on \\( X \\) ) 또는 최소제곱회귀직선(least squares regression line)이라고 한다.", "</p><p>\\[ \\widehat{Y}=\\hat{\\alpha}+\\hat{\\beta} x=\\bar{y}+\\hat{\\beta}(x-\\bar{x}) \\]</p><p>같은 방법으로 \\( Y \\) 에 관한 \\( X \\) 의 표본회귀직선을 구하면 다음과 같다.", "</p><p>\\[ \\widehat{X}=\\bar{x}+\\hat{\\beta}(y-\\bar{y}) \\]</p><p>이때 \\( \\hat{\\beta}=\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)\\left(y_{i}-\\bar{y}\\right) / \\sum_{i=1}^{n}\\left(y_{i}-\\bar{y}\\right)^{2}=S_{X Y} / S_{Y}^{2} \\) 이다.", "그리고 이러한 최소제곱추정량 \\( \\hat{\\alpha} \\) 와 \\( \\hat{\\beta} \\) 는 모든 불편추정량 가운데 최소분산을 갖는 최량선형불편추정량(BLUE; best linear unbiased estimator)이다.", "</p><p>이와 같은 내용을 요약하면 다음 정리로 나타낼 수 있다.", "</p><p>성질 1</p><p>단순회귀모형 \\( Y_{i}=\\alpha+\\beta x_{i}+\\varepsilon_{i}(i=1,2, \\cdots, n) \\) 에 대한 \\( \\alpha, \\beta \\) 의 최소제곱추정량과 최소제곱회귀직선은</p><p>\\[ \\begin{array}{c} \\hat{\\beta}=\\frac{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)\\left(Y_{i}-\\bar{Y}\\right)}{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}}=\\frac{S_{X Y}}{S_{X}^{2}} \\\\ \\hat{\\alpha}=\\bar{Y}-\\hat{\\beta} \\bar{x} \\\\ \\hat{Y}=\\bar{y}+\\hat{\\beta}(x-\\bar{x}) \\end{array} \\]</p><p>이다.", "</p><p>예제 1</p><p>온도에 따른 반응속도를 측정한 다음 자료에 대하여 온도와 반응속도 사이에 선형적 관계가 있다는 조건 아래서 \\( \\alpha \\) 와 \\( \\beta \\) 에 대한 최소제곱추정값과 최소제곱회귀직선을 구하여라.", "</p><table border><caption>표 2</caption><tbody><tr><td>\\(x\\)</td><td>10</td><td>15</td><td>20</td><td>25</td><td>30</td><td>35</td><td>40</td><td>45</td><td>50</td><td>55</td><td>60</td><td>65</td><td>70</td><td>75</td></tr><tr><td>\\(y\\)</td><td>24</td><td>29</td><td>50</td><td>60</td><td>55</td><td>68</td><td>70</td><td>80</td><td>77</td><td>81</td><td>90</td><td>104</td><td>120</td><td>112</td></tr></tbody></table><p>풀이</p><p>우선 \\( X \\) 와 \\( Y \\) 의 평균과 분산, 그리고 공분산을 구하기 위하여 표 3 을 작성한다.", "</p><p>\\[ \\begin{array}{l} \\bar{x}=\\frac{1}{14} \\sum_{i=1}^{14} x_{i}=42.5 \\\\ \\bar{y}=\\frac{1}{14} \\sum_{i=1}^{14} y_{i}=72.857 \\\\ S_{X Y}=\\frac{1}{13} \\sum_{i=1}^{14}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)\\left(y_{i}-\\bar{y}\\right)=\\frac{7520}{13} \\\\ S_{X}^{2}=\\frac{1}{13} \\sum_{i=1}^{14}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}=\\frac{5687.5}{13} \\end{array} \\] 따라서 \\( \\alpha \\) 와 \\( \\beta \\) 에 대한 최소제곱추정값은</p><p>\\[ \\begin{array}{l} \\hat{\\beta}=\\frac{S_{X Y}}{S_{X}^{2}}=\\frac{7520}{5687.5}=1.27, \\\\ \\hat{\\alpha}=\\bar{Y}-\\hat{\\beta} \\bar{x}=72.857-1.27 \\times 42.5=18.882 \\end{array} \\]</p><p>이고, 최소제곱회귀직선은</p><p>\\[ \\widehat{Y}=\\bar{y}+\\hat{\\beta}(x-\\bar{x})=1.27 x+18.882 \\]</p><p>이다.", "그러므로 직선의 방정식에 대한 추정방정식은</p><p>\\[ y=1.27 x+18.882 \\]</p><p>이다.", "</p>" ]	{ "doc_category": { "KDC": "413", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "m960-(알기 쉬운 통계 원리) 기초통계학", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "96aba9d6-4a0dd5f6-a93a-4ea7-babd-dd14d8cdc2cc", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160735406", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2022", "doc_author": [ "최원" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }