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[ "<p>이 장에서는 기수의 공리론적 개념을 소개하고 기수의 연산(덧셈, 곱셈)과 기수의 다양한 성질, 연속체 가설에 관하여 알아본다.", "</p><h1>5.1 기수의 개념</h1><p>인류의 역사와 더불어 수의 크기에 관한 개념은 우리 생활 속에서 밀접하게 관련되어 있다.", "이를테면, \\[ 2+3=5,4<7,5 \\times 7=35 \\] 등이다.", "</p><p>앞에서 언급했듯이 집합에서 대등관계는 동치관계임을 알았다.", "이 관계에 의하여 “집합들의 모임”을 동치류로 분할할 수 있다.", "즉, 같은 동치류에 속하는 모든 집합들은 원소의 개수가 같다.", "그런데 유한집합 \\( X \\) 인 경우에는 그 집합에 상응하는 자연수의 부분집합 \\( \\mathbb{N}_{k}=\\{1,2,3, \\cdots, k\\} \\) 와 대등하므로 쉽게 그 집합 \\( X \\) 의 원소의 개수의 크기를 \\( k \\) 라고 쉽게 정의할 수 있다.", "그러나 무한집합인 경우에는 유한한 자연수 부분집합 범위 내에서 주어진 집합의 크기를 정의할 수 없어서 수의 확장이 필요하다.", "따라서 모든 집합에 사용할 수 있도록 대등관계에 의해 생성된 동치류가 공통으로 지니고 있는 성질을 기수(cardinal number) 또는 농도(cardinality)라고 부르고 임의의 집합 \\( X \\) 에 대한 기수를 \\( \\operatorname{card} X \\) 로 표현한다.", "즉, 집합 \\( A \\) 의 기수를 \\( A \\) 와 대등한 모든 집합들이 공통으로 가지는 성질이라고 알아두자.", "</p><p>한편 기수에 관한 다음의 공리(axiom)를 공준(公準)으로 하여 기수를 이해하면 매우 편리하다.", "</p><p>[기수의 공리(axiom of Cardinality)] \\( C \\)-\\(1\\).", "각 집합 \\( X \\) 에 대하여 \\( \\operatorname{card} X \\) 로 표시된 하나의 기수가 정해지고 각 기수 \\( \\alpha \\) 에 대하여 \\( \\alpha \\) 의 크기를 갖는 하나의 집합 \\( X \\) 가 존재한다. \\", "( C \\)-\\(2\\). \\", "( X=\\phi \\) 이면, 그리고 그때에만 \\( \\operatorname{card} X=0 \\) 이다. \\", "( C \\)-\\(3\\).", "유한집합 \\( X(\\neq \\phi) \\) 에 대하여 어떤 \\( k(\\in N) \\) 에 대하여 \\( X \\sim \\mathbb{N}_{k} \\) 이면 \\( \\operatorname{card} X =k \\) 이다. \\", "( C \\)-\\(4\\).", "임의의 두 집합 \\( X, Y \\) 에 대하여 \\( X \\sim Y \\) 이면, 그리고 그때에만 \\( \\operatorname{card} X = \\operatorname{card} Y \\) 이다.", "여기서 공리 \\(C\\)-\\(2\\), \\(C\\)-\\(3\\) 는 유한집합에 관한 기수의 정의에 필요한 공리이고 \\(C\\)-\\(1 \\) 과 \\( C\\)-\\(4 \\) 는 무한집합에 관한 기수의 정의에 필요한 공리이다.", "즉, 집합의 기수란 그 집합과 대등한 모든 집합이 공동으로 갖는 성질이다.", "</p><p>예제 \\(1\\) 다음 집합의 기수를 구하여라. \\", "[ X=\\{1,2,3\\}, Y=\\{\\phi,\\{3,4\\}\\}, Z=\\{\\phi, 1,2,3,4\\} \\]</p><p>풀이 \\( \\operatorname{card} X=3 \\), card \\( Y=2 \\), card \\( Z=5 \\).", "</p><h2>연습문제 \\( 5.1 \\)</h2><ol type=1 start=1><li>\\( A=\\{a, b, c\\}, B=\\{1,2\\} \\) 일 때 \\( \\operatorname{card} B^{A} \\) 및 \\( \\operatorname{card}(A \\times B) \\) 를 구하여라.", "</li><li>다음 집합의 기수를 구하여라.", "<ol type=1 start=1><li>\\( X=\\{\\phi,\\{\\phi,\\{1\\}\\},\\{3,4,5\\}\\} \\)</li><li>\\( \\{\\phi,\\{\\phi,\\{\\phi\\}\\}\\} \\)</li></ol></li><li>기수의 공리를 이용하여 임의의 자연수는 모두 기수임을 보여라.", "</li></ol> <h1>5.2 기수의 비교</h1><p>유한집합의 기수를 유한기수(finite cardinal number)라 하고 무한집합의 기수를 초한기수(transfinite cardinal number) 또는 무한기수(infinite cardinal number)라고 부른다.", "</p><p>이 절에서는 주로 초한기수의 성질과 연산을 심도 있게 다루는데 초한기수는 유한기수의 확대로 볼 수 있기 때문에 유한기수의 성질을 잘 연구하여 확장적 사고에 의하여 초한기수를 다루면 훨씬 쉽게 초한기수를 이해할 수 있다.", "</p><p>\\(5.1\\)절의 기수공리에서 \\(C\\)-\\(2\\), \\(C\\)-\\(3\\) 은 유한기수가 음이 아닌 정수임을 알 수 있다.", "유한기수는 자연스럽게 크기를 다음과 같이 비교할 수 있다.", "</p><p>\\( 0<1<2<3<\\cdots<n<n+1<\\cdots . \\)", "</p><p>한편 임의의 두 초한기수에 대해서는 공리 \\( C-4 \\) 에 의하여 그들이 같을 때와 같지 않을 때를 판정할 수 있지만 두 초한기수의 크기에 의한 대소(大, 小)의 구별은 쉽지 않다.", "그러므로 유한집합에서 기수의 크기를 비교하는 방법을 익혀서 점진적으로 초한기수의 크기를 비교하는 방법을 터득하도록 한다.", "</p><p>정리 \\(1\\) 두 개의 유한집합 \\( X, Y \\) 에 대하여 \\( X \\) 가 \\( Y \\) 의 어떤 진부분집합과 대등하면 \\( \\operatorname{card} X< \\) \\( \\operatorname{card} Y \\) 이다.", "</p><p>증명 \\( X \\) 와 \\( Y \\) 는 유한집합이므로 자연수 \\( n, m \\) 이 존재하여 각각 \\[ X \\sim\\{1,2, \\cdots, m\\}, Y \\sim\\{1,2,3, \\cdots, n\\} \\] 이 성립한다.", "그런데 \\( X \\) 는 \\( Y \\) 의 진부분집합과 대등이므로 \\( m<n \\) 이 된다.", "즉, \\( \\operatorname{card} X<\\operatorname{card} Y \\) 이다.", "그러나 무한집합의 경우에 기수의 비교는 정리 \\(1\\) 의 방법을 택할 수 없다.", "왜냐하면, 무한집합의 경우는 데데킨트의 무한집합의 정의 “무한집합은 그 진부분집합과 대등하다\"는 것이 성립하기 때문이다.", "그래서 유한기수의 크기의 비교도 가능함과 동시에 무한기수의 크기를 비교할 수 있는 더욱 포괄적인 정의가 필요하다.", "</p><p>정의 \\(1\\) 집합 \\( X, Y \\) 에 대하여 \\( X \\) 가 \\( Y \\) 의 어떤 부분집합과 대등하지만 \\( Y \\) 는 \\( X \\) 의 어떤 부분집합과도 대등하지 않을 때 \\( \\operatorname{card} X \\) 는 \\( \\operatorname{card} Y \\) 보다 작다라고 말하고 \\( \\operatorname{card} X<\\operatorname{card} Y \\) 로 표시한다.", "</p><p>예제 \\(2\\) \\( \\operatorname{card} \\mathbb{N}<\\operatorname{card} \\mathbb{R} \\) 이다.", "</p><p>풀이 집합 \\( \\mathbb{N} \\) 은 \\( \\mathbb{R} \\) 의 부분집합 \\( \\mathbb{N} \\) 과 대등하고, \\( \\mathbb{R} \\) 은 비가부번집합이고 \\( \\mathbb{N} \\) 은 가부번집합이므로 \\( \\mathbb{N} \\) 의 어떤 부분집합이 \\( \\mathbb{R} \\) 와 대등할 수는 없는 것이다.", "따라서 \\( \\operatorname{card} \\mathbb{N}< \\operatorname{card} \\mathbb{R} \\) 이다.", "위에서 언급했듯이 집합 \\( X \\) 가 집합 \\( Y \\) 의 부분집합과 대등하고 \\( Y \\) 가 \\( X \\) 의 부분집합과 대등할 때 두 기수 \\( \\operatorname{card} X \\) 와 \\( \\operatorname{card} Y \\) 를 비교할 수 있는 방법이 분명하지 않다.", "이 경우 칸토어(G.", "Cantor)는 \\( \\operatorname{card} X \\) 와 \\( \\operatorname{card} Y \\) 는 같아야 한다고 예측하였다.", "그 후 \\(1890\\)년대에 그 예측을 칸토어의 세미나에서 베른슈타인(F. Bernstein)과 슈뢰더(E.", "Schröder)가 제각기 논리적 증명을 하였으나 \\(1902\\)년 알원 코르세(Alwin Korset)는 슈뢰더의 증명이 틀렸음을 지적하였다.", "그래서 오늘날 그 결과(정리 \\(2\\))를 칸토어-베른슈타인의 정리로 부른다.", "</p><p>정리 \\(2\\) 칸토어-베른슈타인의 정리</p><p>임의의 집합 \\( X, Y \\) 에 대하여 \\( X \\) 가 \\( Y \\) 의 부분집합과 대등하고 \\( Y \\) 가 \\( X \\) 의 부분집합과 대등하면 \\( X \\) 와 \\( Y \\) 는 대등하다.", "</p><p>먼저 정리 \\(2\\) 의 특별한 경우에 해당되는 다음 보조정리를 증명하면 정리 \\(2\\) 는 이 보조정리로부터 쉽게 유도된다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "410", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "집합론_기수와 그 연산", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-4a39-4c29-96ee-5087e2b83155", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961059909", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2016", "doc_author": [ "한상언" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>14-1 행렬의 정의와 연산</h1><ul><li>행렬 : 수나 문자를 소괄호( )나 대괄호[ ] 안에 직사각형 형태로 배열한 것을 행렬이라하고, \\( i \\) 행 \\( j \\) 열의 원소를 ( \\( i, j) \\) 원소라 한다.", "행이 \\( m \\) 개, 열이 \\( n \\) 개인 행렬을 \\( m \\times n \\) 행렬이라 한다.", "</li><li>행렬의 상등 \\[ \\begin{aligned} A=\\left[\\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\\\ a_{21} & a_{22} \\end{array}\\right], B=\\left[\\begin{array}{ll} b_{11} & b_{12} \\\\ b_{21} & b_{22} \\end{array}\\right] \\text { 에 대해 } \\\\ A=B \\Leftrightarrow \\quad a_{11}=b_{11}, a_{12}=b_{12}, a_{21}=b_{21}, a_{22}=b_{22} \\end{aligned} \\]</li><li>행렬의 실수배 \\[ A=\\left[\\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\\\ a_{21} & a_{22} \\end{array}\\right], k \\text { 가 실수일 때, } k A=\\left[\\begin{array}{ll} k a_{11} & k a_{12} \\\\ k a_{21} & k a_{22} \\end{array}\\right] \\]</li><li>행렬의 합과 차 \\[ \\begin{array}{c} A=\\left[\\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\\\ a_{21} & a_{22} \\end{array}\\right], B=\\left[\\begin{array}{ll} b_{11} & b_{12} \\\\ b_{21} & b_{22} \\end{array}\\right] \\text { 에 대해 } \\\\ A \\pm B=\\left[\\begin{array}{ll} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\\\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \\end{array}\\right] \\end{array} \\]</li></ul><p>연습 \\(14-1\\) \\( A=\\left[\\begin{array}{rr}2 & 1 \\\\ -1 & 0\\end{array}\\right], B=\\left[\\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 & 2\\end{array}\\right] \\) 일 때, 다음을 계산하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( A+B \\)</li><li>\\( A-B \\)</li><li>\\( 2 A \\)</li><li>\\( 2 A-B \\)</li></ol><h1>14-2 행렬의 곱셈</h1><p>행렬 \\( A B \\) 는 \\( A \\) 의 열의 수와 \\( B \\) 의 행의 수가 같을 때에만 정의되며 다음과 같이 계산한다.", "</p><p>특히 \\( A=\\left[\\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\\\ a_{21} & a_{22}\\end{array}\\right], B=\\left[\\begin{array}{ll}b_{11} & b_{12} \\\\ b_{21} & b_{22}\\end{array}\\right] \\) 에 대해 \\[ A B=\\left[\\begin{array}{ll} a_{11} b_{11}+a_{12} b_{21} & a_{11} b_{12}+a_{12} b_{22} \\\\ a_{21} b_{11}+a_{22} b_{21} & a_{21} b_{12}+a_{22} b_{22} \\end{array}\\right] \\]</p><p>연습 14-2 다음 행렬의 곱셈을 계산하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\left[\\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 0\\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\\\ 2 & -1 & 0\\end{array}\\right] \\)</li><li>\\( \\left[\\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{ll}4 & 3 \\\\ 2 & 1\\end{array}\\right] \\)</li></ol><h1>14-3 항등행렬과 영행렬</h1><ul><li>\\( n \\times n \\) 행렬을 \\( n \\) 차 정사각행렬이라 한다.", "</li><li>정사각형렬에서 \\( (i, i) \\) 성분을 주대각선 성분이라 한다.", "</li><li>주대각선 성분이 \\(1\\) 이고 나머지 성분은 \\(0\\) 인 행렬을 단위행렬 또는 항등행렬이라 한다. \\", "[ I_{2}=\\left[\\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{array}\\right] I_{3}=\\left[\\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end{array}\\right] \\ldots \\]</li><li>모든 성분이 \\(0\\) 인 행렬을 영행렬이라 한다. \\", "[ O=\\left[\\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\end{array}\\right] \\ldots \\]</li></ul><p>연습 \\(14-3\\) 다음 행렬의 곱셈을 계산하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\left[\\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\\end{array}\\right] \\)</li><li>\\( \\left[\\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 0\\end{array}\\right] \\)</li><li>\\( \\left[\\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 5\\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{rr}-5 & 2 \\\\ 3 & -1\\end{array}\\right] \\)</li></ol><h1>14-4 전치행렬</h1><p>행렬의 \\( i \\) 행을 \\( i \\) 열로 교환하여 얻은 행렬을 전치행렬이라 하고 \\( A \\) 의 전치행렬을 \\( A^{T} \\) 로 쓴다.", "예를 들어 \\( A=\\left[\\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\\end{array}\\right] \\Rightarrow A^{T}=\\left[\\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 2 & 4\\end{array}\\right], B=\\left[\\begin{array}{lll}a & b & c \\\\ d & e & f\\end{array}\\right] \\Rightarrow B^{T}=\\left[\\begin{array}{ll}a & d \\\\ b & e \\\\ c & f\\end{array}\\right] \\) 이다.", "</p><p>연습 \\(14-4\\) 다음 행렬의 곱셈을 계산하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\left[\\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 0\\end{array}\\right]^{T}\\left[\\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\\\ 2 & -1 & 0\\end{array}\\right] \\)</li><li>\\( \\left[\\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{ll}4 & 3 \\\\ 2 & 1\\end{array}\\right]^{T} \\)</li></ol><h1>14-5 행렬식</h1><ul><li>\\( A=\\left[\\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\\\ a_{21} & a_{22}\\end{array}\\right] \\) 일 때, \\( A \\) 의 행렬식 \\( \\operatorname{det} A \\) 는 다음과 같이 정의한다. \\", "[ \\operatorname{det} A=|A|=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} \\]</li><li>\\(2\\) 차 정사각행렬 \\( A, B \\) 에 대해 \\( \\operatorname{det}(A B)=\\operatorname{det}(A) \\operatorname{det}(B) \\)</li></ul><p>연습 \\(14-5\\) 다음 행렬의 행렬식을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\left[\\begin{array}{ll}5 & 2 \\\\ 7 & 3\\end{array}\\right] \\)</li><li>\\( \\left[\\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 5\\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{ll}5 & 3 \\\\ 2 & 2\\end{array}\\right] \\)</li></ol><h1>14-6 크래머 공식</h1><ul><li>연립방정식의 행렬 표현 \\[ \\left\\{\\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}=b_{1} \\\\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}=b_{2} \\end{array} \\Rightarrow\\left[\\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\\\ a_{21} & a_{22} \\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{l} x \\\\ y \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{l} b_{1} \\\\ b_{2} \\end{array}\\right]\\right. \\]", "</li><li>연립방정식의 크래머 공식 \\( \\left\\{\\begin{array}{l}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}=b_{1} \\\\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}=b_{2}\\end{array}\\right. \\)", "계수행렬을 \\( A=\\left[\\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\\\ a_{21} & a_{22}\\end{array}\\right] \\) 라고 하면 \\[ x=\\frac{1}{\\operatorname{det}(A)} \\operatorname{det}\\left[\\begin{array}{ll} b_{1} & a_{12} \\\\ b_{2} & a_{22} \\end{array}\\right], y=\\frac{1}{\\operatorname{det}(A)} \\operatorname{det}\\left[\\begin{array}{ll} a_{11} & b_{1} \\\\ a_{21} & b_{2} \\end{array}\\right] \\]</li></ul><p>연습 \\(14-6\\) 크래머 공식을 이용하여 다음 연립방정식의 해를 구하여라. \\", "[ \\left\\{\\begin{array}{l} 3 x+4 y=11 \\\\ 2 x+3 y=8 \\end{array}\\right. \\]", "</p><h1>14-7 역행렬</h1><ul><li>항등행렬 \\( I \\) 와 정사각행렬 \\( A \\) 와 \\( B \\) 가 \\( A B=B A=I \\) 이면 \\( B \\) 를 \\( A \\) 의 역행렬이라 하고 \\( B=A^{-1} \\) 로 표현한다.", "</li><li>\\( A=\\left[\\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\\\ a_{21} & a_{22}\\end{array}\\right] \\) 의 역행렬은 \\[ A^{-1}=\\frac{1}{\\operatorname{det}(A)}\\left[\\begin{array}{rr} a_{22} & -a_{12} \\\\ -a_{21} & a_{11} \\end{array}\\right] \\]</li></ul><p>연습 \\(14-7\\) 다음 행렬의 역행렬을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\left[\\begin{array}{ll}5 & 2 \\\\ 7 & 3\\end{array}\\right] \\)</li><li>\\( \\left[\\begin{array}{ll}4 & 3 \\\\ 3 & 2\\end{array}\\right] \\)</li></ol>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "411", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "기초미적분학_행렬", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-004b-45ac-8246-e4a4c0f07ed6", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160730579", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2017", "doc_author": [ "전춘배" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>8.1 극소 곡면</h1><p>정의 \\( 8.1 \\) 정칙곡면 \\( M \\)의 평균곡률이 \\( H=0 \\)일 때, \\( M \\)을 극소곡면(minimal surface)이라 하고 Gauss 곡률이 \\( K=0 \\)일 때 평탄곡면(flat surface)이라 한다.", "</p><p>예제 \\( 8.2 \\) (\\( 1 \\)) 평면은 극소곡면이다.", "왜나하면 예제 \\( 7.4 \\)로부터 모양연산자는 \\( S=0 \\)이다.", "따라서 평균곡률은 \\( H=\\frac{1}{2} \\operatorname{tr} S=0 \\)이다.", "</p><p>(\\( 2 \\)) 현수면(catenoid)은 극소곡면이다.", "즉, 현수면의 좌표조각사상(예제 \\(6.16 \\))은 \\[X(u, v)=(a u, a \\cosh u \\cos v, a \\cosh u \\sin v)\\]이므로 \\[\\begin{array}{l} X_{u}=(a, a \\sinh u \\cos v, a \\sinh u \\sin v), \\\\ X_{v}=(0,-a \\cosh u \\sin v, a \\cosh u \\cos v), \\\\ X_{u u}=(0, a \\cosh u \\cos v, a \\cosh u \\sin v), \\\\ X_{u v}=(0,-a \\sinh u \\sin v, a \\sinh u \\cos v), \\\\ X_{v v}=(0,-a \\cosh u \\cos v,-a \\cosh u \\sin v)\\end{array}\\]이다.", "그러므로 \\( X_{u} \\times X_{v}=\\left(a^{2} \\cosh u \\sinh u,-a^{2} \\cosh u \\cos v,-a^{2} \\cosh u \\sin v\\right) \\)이고 \\( \\left\\|X_{u} \\times X_{v}\\right\\|=a^{2} \\cosh ^{2} u \\) 이다.", "따라서 \\( n=\\frac{1}{\\cosh u}(\\sinh u,-\\cos v,-\\sin v) \\). \\", "( E=a^{2} \\cosh ^{2} u, \\quad F=0, \\quad G=a^{2} \\cosh ^{2} u, \\quad e=-a, f=0, g=a \\)이다.", "그러므로 \\[K=\\frac{e g-f^{2}}{E G-F^{2}}=-\\frac{1}{a^{2} \\cosh ^{4} u}, \\quad H=\\frac{E g+G e}{2\\left(E G-F^{2}\\right)}=0 .\\] 즉, 현수면은 극소곡면이다.", "</p><p>(\\( 3 \\)) 나선면(helicoid)은 극소곡면이다(예제 \\(6.15 \\)).", "</p><p>참고 극소곡면의 기하학적 의미를 알아보자.", "우선 단순곡면 \\( M \\)의 좌표조각사상을 \\( X: U \\) \\( \\rightarrow R^{3} \\)라 하고 \\( \\Omega \\subset U \\)를 유계영역(bounded domain)이라 하자.", "이때 임의의 미분 가능한 함수 \\( \\phi: \\Omega \\rightarrow R \\)에 대하여 좌표조각사상 \\( X^{t}: \\Omega \\rightarrow R^{3}, t \\in(-\\epsilon, \\epsilon) \\)를 \\[X^{t}(u, v)=X(u, v)+t \\phi(u, v) n\\]<caption>(8.1)</caption>으로 정의할 때, \\( X^{t} \\)를 \\( \\phi \\)에 의해 결정된 \\( X \\)의 변분(normal variation)이라고 한다.", "</p> <h1>8.3 Gauss-Bonnet 정리</h1><p>정칙곡면 \\( M \\)상으로의 연속함수 \\( \\alpha:[a, b] \\rightarrow M \\)에 대하여 폐구간 \\( [a, b] \\)의 분할 \\[a=t_{0}<t_{1}<\\cdots<t_{n}=b\\]가 존재하여 \\( \\left.\\", "alpha\\right|_{\\left[t_{i}, t_{i+1}\\right]}(i=0, \\cdots, n-1) \\)가 정칙곡선일 때 \\( \\alpha \\)를 조각별 정칙곡선 (piecewise regular curve)이라 하고 \\( \\alpha\\left(t_{i}\\right)(i=0,1, \\cdots, n) \\) 를 곡선의 꼭지점 (vertex), \\( \\alpha\\left(\\left[t_{i}, t_{i+1}\\right]\\right) \\)을 곡선의 변 또는 모서리(edge)라 한다.", "</p><p>참고 조각별 정칙곡선 \\( \\alpha:[a, c] \\rightarrow M \\)에 대하여 \\( b \\in[a, c] \\) 가 존재하여 꼭지점 \\( p=\\alpha(b) \\)일 때 꼭지점 \\( p \\)에서의 회전각 \\( \\theta \\)는 \\[\\theta=\\angle(v, w)\\]으로 정의한다.", "여기서 \\( v=\\lim _{t \\rightarrow b-} \\alpha^{\\prime}(t) \\)와 \\( w=\\lim _{t \\rightarrow b+} \\alpha^{\\prime}(t) \\)이다.", "즉,</p><p>정의 \\( 8.15 \\) 조각별 정칙곡선 \\( \\alpha:[a, b] \\rightarrow M \\)에서 꼭지점 \\( p \\)의 외각(exterior angle) \\( \\epsilon_{p} \\)는 그 꼭지점에서의 회전각이다.", "또 내각(interior angle) \\( i_{p} \\)는 \\( i_{p}=\\pi-\\epsilon_{p} \\)이다.", "</p><p>참고 \\(1.\\) 정칙곡면 \\( X: U \\rightarrow M \\) 위의 정칙곡선 \\( \\alpha:[a, b] \\rightarrow X(U) \\)에 대하여 \\[\\theta(t)=\\angle\\left(\\alpha^{\\prime}, X_{u}\\right)\\] 라 할 때 \\( \\theta(b)-\\theta(a)=\\int_{a}^{b} \\theta^{\\prime}(t) d t \\)를 곡선 \\( \\alpha \\)의 회전각이라 한다.", "</p><p>\\(2.\\) 정칙곡면 \\( X: U \\rightarrow M \\)위의 조각별 정칙곡선 \\( \\alpha:[a, b] \\rightarrow X(U) \\)에 대하여 곡선 \\( \\alpha_{i}:\\left[t_{i-1}, t_{i}\\right] \\rightarrow X(U)(i=1, \\cdots n) \\)가 \\( \\alpha_{i}=\\left.\\", "alpha\\right|_{\\left[t_{i-1}, t_{i}\\right]} \\) 라 할 때, 곡선 \\( \\alpha_{i} \\)의 회전각은 \\( \\int_{a_{i}} \\theta_{i}^{\\prime}(t) d t \\)이고 따라서 곡선 \\( \\alpha \\)의 회전각은 \\[\\sum_{i=1}^{n} \\int_{a_{t}} \\theta_{i}^{\\prime}(t) d t \\]이다.", "</p><p>\\(3.\\) 조각별 단순폐곡선에서 꼭지점의 회전각(즉, 외각)의 합과 곡선의 회전각의 합은 항상 \\( 2 \\pi \\)이다.", "즉, 조각별 단순폐곡선 \\( \\alpha:[a, b] \\rightarrow M \\)에 대하여 \\( \\alpha_{i}:\\left[t_{i-1}, t_{i}\\right] \\rightarrow M(i=1, \\cdots, n) \\)가 정칙일 때 \\[\\sum_{i=1}^{n} \\int_{a_{t}} \\theta_{i}^{\\prime}(t) d t+\\sum_{i=1}^{n} \\epsilon_{i}=2 \\pi \\]<caption>(8.2)</caption>이다.", "여기서 \\( \\epsilon_{i} \\)는 꼭지점 \\( \\alpha\\left(t_{i}\\right) \\)에서의 외각이다.", "</p><p>예제 \\( 8.16 \\) 평면상에서 삼각형의 각변의 회전각은 \\( 0^{\\circ} \\)이고 각 꼭지점의 외각의 합은 \\( 2 \\pi \\)이다.", "</p> <h1>8.2 회전면</h1><p>\\( R^{3} \\)상에서 주어진 정칙곡선 \\( \\alpha(u)=(r(u), h(u), 0), h>0 \\)를 \\( x \\)축으로 회전한 곡면의 좌표 조각사상은 \\[X(u, v)=(r(u), h(u) \\cos v, h(u) \\sin v)\\] 이다(정리 \\( 5.25 \\)).", "회전면이 극소곡면이 될 조건을 찾아보자.", "미분하면 \\[\\begin{array}{l}X_{u}=\\left(r^{\\prime}, h^{\\prime} \\cos v, h^{\\prime} \\sin v\\right) \\\\ X_{v}=(0,-h \\sin v, h \\cos v) \\\\X_{u u}=\\left(r^{\\prime \\prime}, h^{\\prime \\prime} \\cos v, h^{\\prime \\prime} \\sin v\\right) \\\\X_{u v}=\\left(0,-h^{\\prime} \\sin v, h^{\\prime} \\cos v\\right) \\\\X_{v v}=(0,-h \\cos v,-h \\sin v)\\end{array}\\]이다.", "따라서 \\( X_{u} \\times X_{v}=\\left(h h^{\\prime},-r^{\\prime} h \\cos v,-r^{\\prime} h \\sin v\\right) \\)이고, 또한 \\( \\left\\|X_{u} \\times X_{v}\\right\\|=h \\sqrt{h^{\\prime 2}+r^{\\prime 2}} \\)이기 때문에 \\[n=\\frac{1}{\\sqrt{h^{\\prime 2}+r^{\\prime 2}}}\\left(h^{\\prime},-r^{\\prime} \\cos v,-r^{\\prime} \\sin v\\right) .\\]", "그러므로 \\[E=r^{\\prime 2}+h^{\\prime 2}, \\quad F=0, \\quad G=h^{2}, e=\\frac{h^{\\prime} r^{\\prime \\prime}-r^{\\prime} h^{\\prime \\prime}}{\\sqrt{h^{\\prime 2}+r^{\\prime 2}}}, f=0, g=\\frac{r^{\\prime} h}{\\sqrt{h^{\\prime 2}+r^{\\prime 2}}} . \\]", "따라서 \\( H=0 \\Leftrightarrow g E-2 f F+e G=0 \\)이다.", "그러므로 \\( H=0 \\)일 필요충분조건은 \\[r^{\\prime}\\left(h^{\\prime 2}+r^{\\prime 2}\\right)+h\\left(h^{\\prime} r^{\\prime \\prime}-r^{\\prime} h^{\\prime \\prime}\\right)=0\\]이다.", "그러므로 다음 정리를 얻는다.", "</p><p>정리 \\( 8.11 \\) \\( R^{3} \\)상에서 주어진 정칙곡선 \\( \\alpha(u)=(r(u), h(u), 0), h>0 \\) 를 \\( x \\) 축으로 회전한 회전면 \\( X(u, v)=(r(u), h(u) \\cos v, h(u) \\sin v) \\)가 극소곡면일 필요충분조건은 \\[r^{\\prime}\\left(h^{\\prime 2}+r^{\\prime 2}\\right)+h\\left(h^{\\prime} r^{\\prime \\prime}-r^{\\prime} h^{\\prime \\prime}\\right)=0\\]를 만족할 때이다.", "</p><p>예제 \\( 8.12 \\) 예제 \\( 8.2 \\)의 현수면은 \\( r(u)=a u, h(u)=a \\cosh u \\)인 회전면이다.", "따라서 \\( r^{\\prime}=a, r^{\\prime \\prime}=0, h^{\\prime}=a \\sinh u, h^{\\prime \\prime}=a \\cosh u \\)이다.", "따라서 \\[r^{\\prime}\\left(h^{\\prime 2}+r^{\\prime 2}\\right)-h r^{\\prime} h^{\\prime \\prime}=0\\]이다.", "즉, 현수면은 극소곡면이다.", "</p><p>정리 \\( 8.13 \\) \\( R^{3} \\)상에서 회전면 \\( M \\)이 극소곡면이면 \\( M \\)은 평면 또는 현수면이다.", "</p><p>증명 정리 \\( 8.11 \\)의 미분방정식을 풀어보자.", "(1) \\( r^{\\prime}=0 \\), 즉 \\( r= \\) 상수일 때는 회전면이 평면이다.", "(2) \\( r^{\\prime} \\neq 0 \\)일 때, 적당한 변수변환에 의해 \\( r(u)=u \\)로 둘 수 있다.", "따라서 미분방정식은 \\[h^{\\prime 2}+1-h h^{\\prime \\prime}=0 \\]과 같다.", "따라서 \\( \\left(\\frac{h}{\\sqrt{1+h^{\\prime 2}}}\\right)^{\\prime}=0 \\Leftrightarrow h=a \\sqrt{1+h^{\\prime 2}} \\Leftrightarrow\\left(\\frac{h}{a}\\right)^{2}-h^{\\prime 2}=1 \\) 이고.", "이것을 풀면 \\( \\frac{h}{a}=\\cosh \\left(\\frac{u}{a}\\right) \\), 즉 \\[h(u)=a \\cosh \\left(\\frac{u}{a}\\right)\\]이다.", "따라서 회전면은 현수면이 된다.", "</p> <p>정리 \\( 8.77 \\) (Gauss-Bonnet 정리 II) \\( M \\)이 가항폐곡면이면 \\[\\iint_{M} K d A=2 \\pi \\chi(M)\\]이 성립한다.", "</p><p>증명 가향폐곡면 \\( M \\)의 삼각분할을 \\( \\Gamma=\\left\\{\\Delta_{i} \\mid i=1, \\cdots, n\\right\\} \\)라 하자.", "그러면 GaussBonnet 정리 I (정리 \\( 8.17 \\))에 의해 임의의 삼각형 \\( \\Delta_{i} \\)상에서 \\[\\iint_{\\Delta_{t}} K d A+\\int_{\\partial \\Delta_{t}} \\kappa_{g} d s+\\sum_{j=1}^{3} \\epsilon_{i j}=2 \\pi\\]가 성립한다.", "여기서 \\( \\epsilon_{i j} \\)는 삼각형 \\( \\Delta_{i} \\)의 외각이다.", "따라서 각각을 합을 하면 \\[\\iint_{M} K d A+\\sum_{i=1}^{n} \\int_{\\partial \\Delta_{i}} \\kappa_{g} d s+\\sum_{i=1}^{n} \\sum_{j=1}^{3} \\epsilon_{i j}=2 \\pi n\\]<caption>(\\(8.3 \\))</caption>이다.", "더구나 각 꼭지점에서 내각과 외각의 합이 \\( \\pi \\), 즉 \\(\\epsilon_{j}+\\iota_{j}=\\pi \\)이므로 삼각형 \\( \\Delta_{i} \\)에서 \\[\\sum_{j=1}^{3} \\epsilon_{i j}=3 \\pi-\\sum_{j=1}^{3} \\iota_{i j}\\]이다.", "따라서 꼭지점의 개수를 \\( v \\) 라고.", "하면 각 꼭지점에서의 내각의 합은 \\( 2 \\pi \\) 이고. \\", "( \\sum_{i=1}^{n} \\sum_{j=1}^{3} \\iota_{i j} \\)는 전체 내각의 합이므로 \\[\\sum_{i=1}^{n} \\sum_{j=1}^{3} \\epsilon_{i j}=3 n \\pi-\\sum_{i=1}^{n} \\sum_{j=1}^{3} \\iota_{i j}=3 n \\pi-2 \\pi v\\]이다.", "한편 삼각형분할에서 면의 수를 \\( f \\), 모서리의 수를 \\( e \\) 라 하면 \\( 3 f=2 e \\) 이다.", "왜냐하면 한 면이 3개의 꼭지점을 가지고 있고 한 모서리는 두 개의 꼭지점을 가지기 때문이다.", "따라서 면의 수는 \\( f=n \\)이므로 (\\( 8.3 \\))식에 대입하면 \\[\\iint_{M} K d A+\\sum_{i=1}^{n} \\int_{\\partial \\Delta_{t}} \\kappa_{g} d s=-f \\pi+2 \\pi v=2 \\pi(f-e)+2 \\pi v=2 \\pi \\chi(M)\\]이다.", "한편 모든 삼각형에서 모든 모서리의 전측지곡률은 \\( \\int_{C} \\kappa_{g} d s \\) 와 \\( \\int_{-C} \\kappa_{g} d s \\)를 포함하고 있으므로 \\( \\sum_{i=1}^{n} \\int_{\\partial \\Delta_{t}} \\kappa_{g} d s=0 \\)이다.", "따라서 \\[ \\iint_{M} K d A=2 \\pi \\chi(M)\\]이 성립한다.", "</p><h1>제\\( 8 \\)장 연습문제</h1><p>\\( 01 \\) 접곡면, 일반원기둥면, 일반원뿔의 Gauss 곡를은 0 이다.", "즉, 평탄면이다.", "</p><p>\\( 02 \\) (Enneper's surface) 다음 좌표조각사상이 극소곡면임을 보여라. \\", "[X(u, v)=\\left(u-\\frac{u^{3}}{3}+u v^{2}, v-\\frac{v^{3}}{3}+v u^{2}, u^{2}-v^{2}\\right) . \\]", "</p><p>\\( 03 \\) 등온좌표함수 \\( X, Y \\)가 다음 조건 \\[X_{u}=Y_{v}, \\quad X_{v}=-Y_{u} \\text { (Cauchy-Riemann equation) }\\] 만족할 때, \\( X, Y \\) 는 공액극소곡면(conjugate minimal surface)라 한다.", "<ol type=i start=1><li>공액극소곡면 \\( X, Y \\) 가 주어질 때, \\( Z=\\cos t X+\\sin t Y(t \\in R) \\) 도 극소곡면임을 증명하여라.", "</li><li>나선면(helicoid)과 현수면(catenoid)은 공액극소곡면임을 증명하여라.", "</li></ol></p><p>\\( 04 \\) 반지름이 \\( r \\)인 구면 \\( S^{2}(r) \\)상의 측지삼각형 \\( \\triangle A B C \\)의 세 내각의 합은 \\[\\angle A+\\angle B+\\angle C=\\pi+\\frac{A(\\Delta)}{r^{2}}\\]임을 증명하여라.", "여기서 \\( A(\\Delta) \\)는 삼각형의 면적이다.", "</p><p>\\( 05 \\) 원환면(torus)의 오일러표수를 구하여라.", "(Gauss-Bonnet 정리를 이용하여라.)", "</p> <p>정의 \\( 8.20 \\) 정칙곡면 \\( M \\)상에서 삼각형들의 집합 \\( \\Gamma=\\left\\{\\Delta_{j} \\subset M \\mid j=1, \\cdots, m\\right\\} \\)가 두 조건 \"(i) \\( M=U_{j} \\Delta_{j} \\), (ii) \\( \\Delta_{i j}=\\Delta_{i} \\cap \\Delta_{j} \\neq \\varnothing \\)이면 \\( \\Delta_{i j} \\)는 두 삼각형의 변 또는 꼭지점\"를 만족할 때, \\( \\Gamma \\) 를 \\( M \\)의 삼각분할(triangulation)이라 한다.", "</p><p>정의 \\(8.21 \\) \\( M \\)을 폐곡면이라 하고 \\( \\Gamma \\)를 \\( M \\)의 삼각분할이라 할 때, \\( v=\\Gamma \\)의 꼭지점의 개수, \\( e=\\Gamma \\)의 변의 개수, \\( f=\\Gamma \\)의 면의 개수 라 하자.", "이때 \\[\\chi(M)=v-e+f\\]를 곡면 \\( M \\)의 오일러표수(Euler characteristic)이라 한다.", "</p><p>예제 \\( 8.22 \\)구면 \\( S^{2} \\)의 오일러표수는 \\( \\chi\\left(S^{2}\\right)=2 \\)이다.", "</p><p>정의 \\( 8.23 \\) 곡면 \\( M \\)상의 모든 점에서 연속인 법벡터장 \\( n \\)이 존재할 때, \\( M \\)을 가향곡면 (orientable surface)이라 한다.", "</p><p>예제 \\( 8.24 \\) 구면, 원환면은 가향곡면이고 뫼비우스 띠(Möbius band)나 클라인 병(Klein bottle)은 가향곡면이 아니다.", "</p><p>예제 \\( 8.25 \\) 정칙인 등위곡면 \\( M_{c}=\\left\\{(x, y, z) \\in R^{3} \\mid g(x, y, z)=c\\right\\} \\)는 항상 가향곡면이다.", "왜나하면 \\( n(p)=\\frac{\\nabla g(p)}{\\|\\nabla g(p)\\|} \\)는 연속함수이다(정리 \\( 5.20 \\)).", "</p><p>정리 \\(8.26 \\)<ol type=1 start=1><li>\\( M \\)이 가향폐곡면이면 항상 삼각분할가능하다.", "</li><li>폐곡면에서 오일러표수 \\( \\chi(M) \\)은 삼각분할에 독립이다.", "</li><li>두 곡면이 위상동형(homeomorphic)이면 오일러표수는 같다.", "</li></ol></p> <p>정의 \\( 8.6 \\) 좌표조각사상 \\( X: U \\rightarrow M \\)가 다음 조건들 \\[\\left\\langle X_{u}, X_{u}\\right\\rangle=\\left\\langle X_{v}, X_{v}\\right\\rangle, \\quad\\left\\langle X_{u}, X_{v}\\right\\rangle=0\\]를 만족할 때 \\( X \\) 를 등온좌표함수(isothermal coordinate)라 한다.", "</p><p>정리 \\(8.7 \\) 좌표조각사상 \\( X: U \\rightarrow M \\)가 등온좌표함수이면 \\[X_{u u}+X_{v v}=2 E H n=2 G H n\\]이 성립한다.", "</p><p>증명 \\( X \\)가 등온좌표이니까 \\( \\left\\langle X_{u}, X_{u}\\right\\rangle=\\left\\langle X_{v}, X_{v}\\right\\rangle,\\left\\langle X_{u}, X_{v}\\right\\rangle=0 \\)이다.", "따라서 미분하면 \\[\\left\\langle X_{u u}, X_{u}\\right\\rangle=\\left\\langle X_{v u}, X_{v}\\right\\rangle=\\left\\langle X_{v v}, X_{v}\\right\\rangle=-\\left\\langle X_{v v}, X_{u}\\right\\rangle .\\]", "그러므로 \\[\\left\\langle X_{u u}+X_{v v}, X_{u}\\right\\rangle=0 . \\]같은 방법으로 \\[\\left\\langle X_{u u}+X_{v v}, X_{v}\\right\\rangle=0 .\\] 따라서 \\( X_{u u}+X_{v v}=\\left\\langle X_{u u}+X_{v v}, n\\right\\rangle n=(e+g) n \\) 이다.", "한편 \\( F=0 \\) 이니까\\[H=\\frac{E g+G e}{2 E G}=\\frac{e+g}{2 E}=\\frac{e+g}{2 G}\\]이다.", "</p><p>참고 \\( \\Delta=\\frac{\\partial^{2}}{\\partial u^{2}}+\\frac{\\partial^{2}}{\\partial v^{2}} \\)을 라플라시안(Laplacian), 또는 라플라스 연산자(Laplace operator)라 한다.", "</p><p>정의 \\( 8.8 \\) 미분가능한 함수 \\( h: U \\rightarrow R \\)가 \\[\\Delta h=0\\] 를 만족할 때, \\( h \\)를 조화함수(harmonic function)라 한다.", "</p><p>따름정리 \\( 8.9\\) 등온좌표함수 \\( X: U \\rightarrow M \\)가 극소일 필요충분조건은 \\[X_{u u}+X_{v v}=0 .\\]즉, \\( X(u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \\)라 할 때, \\( X \\)가 극소곡면일 필요충분조건은 \\( x, y, z \\)가 조화함수이다.", "</p><p>예제 \\( 8.10 \\) 예제 \\( 8.2 \\)의 현수면의 좌표함수는 등온좌표함수이다.", "더구나 \\[\\Delta x=x_{u u}+x_{v v}=0, \\quad \\Delta y=\\Delta z=0\\]이므로 현수면은 극소곡면이다.", "</p> <p>정리 \\( 8.3 \\) 좌표조각사상 \\( X: U \\rightarrow R^{3} \\)와 유계영역 \\( \\Omega \\subset U \\)가 주어질 때, 변분 \\( X^{t} \\)의 면적 \\( A(t) \\) 는 \\[A(t)=\\iint_{\\Omega}\\left\\{\\sqrt{E G-F^{2}}(1-2 t \\phi H)+O\\left(t^{2}\\right)\\right\\} d u d v\\]이다.", "여기서 \\( \\lim _{t \\rightarrow 0} \\frac{O\\left(t^{2}\\right)}{t}=0 \\)이다.", "</p><p>증명 식 \\( 8.1 \\)로부터 \\[\\begin{aligned}X_{u}^{t} &=X_{u}+t \\phi_{u} n+t \\phi n_{u}, \\\\X_{v}^{t} &=X_{v}+t \\phi_{v} n+t \\phi n_{v} .\\end{aligned}\\]", "따라서 직접적인 계산에 의해 \\[\\begin{array}{l}E^{t}=E+2 t \\phi\\left\\langle X_{u}, n_{u}\\right\\rangle+t^{2} \\phi^{2}\\left\\langle n_{u}, n_{u}\\right\\rangle+t^{2} \\phi_{u}^{2}, \\\\ F^{t}=F+t \\phi\\left(\\left\\langle X_{u}, n_{v}\\right\\rangle+\\left\\langle X_{v}, n_{u}\\right\\rangle\\right)+t^{2} \\phi^{2}\\left\\langle n_{u}, n_{v}\\right\\rangle+t^{2} \\phi_{u} \\phi_{v}, \\\\G^{t}=G+2 t \\phi\\left\\langle X_{v}, n_{v}\\right\\rangle+t^{2} \\phi^{2}\\left\\langle n_{v}, n_{v}\\right\\rangle+t^{2} \\phi_{v}^{2} .\\", "end{array} \\]이므로\\[\\begin{aligned}E^{t} G^{t}-\\left(F^{t}\\right)^{2}=& E G-F^{2}+2 t \\phi E\\left\\langle X_{v}, n_{v}\\right\\rangle+2 t \\phi G\\left\\langle X_{u}, n_{v}\\right\\rangle \\\\ &-2 t \\phi F\\left\\{\\left\\langle X_{u}, n_{v}\\right\\rangle+\\left\\langle X_{v}, n_{u}\\right\\rangle\\right\\}+O\\left(t^{2}\\right)\\end{aligned}\\] \\[\\begin{array}{l} =E G-F^{2}-2 t \\phi(e G-2 f F+g E)+O\\left(t^{2}\\right) \\\\ =E G-F^{2}-4 t \\phi H\\left(E G-F^{2}\\right)+O\\left(t^{2}\\right) \\\\ =\\left(E G-F^{2}\\right)(1-4 t \\phi H)+O\\left(t^{2}\\right) . \\", "end{array}\\]따라서 \\( \\lim _{t \\rightarrow 0} \\frac{O\\left(t^{2}\\right)}{t}=0 \\)이기 때문에 \\[\\begin{aligned}A(t) &=\\iint_{\\Omega} \\sqrt{E^{t} G^{t}-F^{t^{2}}} d u d v=\\iint_{\\Omega} \\sqrt{E G-F^{2}} \\sqrt{1-4 t \\phi H+O\\left(t^{2}\\right)} d u d v \\\\ &=\\iint_{\\Omega}\\left\\{\\sqrt{E G-F^{2}}(1-2 t \\phi H)+O\\left(t^{2}\\right)\\right\\} d u d v \\end{aligned}\\]이다.", "</p><p>정리 \\( 8.4 \\) 좌표조각사상 \\( X: U \\rightarrow R^{3} \\)와 유계영역 \\( \\Omega \\subset U \\)가 주어질 때, 변분 \\( X^{t} \\)의 면적 \\( A(t) \\)는 \\[A^{\\prime}(0)=-2 \\iint_{\\Omega} \\phi H \\sqrt{E G-F^{2}} d u d v\\]이다.", "여기서 \\( H \\)는 \\( X \\)의 평균곡률이다.", "</p><p>증명 정리 \\( 8.3 \\)으로부터 금방 증명된다.", "</p><p>정리 \\( 8.5 \\) 좌표조각사상 \\( X: U \\rightarrow R^{3} \\)와 유계영역 \\( \\Omega \\)에 대하여 \\( X(\\Omega) \\)가 극소곡면일 필요충분조건은 임의의 변분에 대하여 \\( A^{\\prime}(0)=0 \\) 이다.", "</p><p>증명 (⭢) 정리 \\( 8.4 \\)로부터 분명하다.", "</p><p>(⭠) 만약 \\( X(\\Omega) \\) 가 극소곡면이 아니라고 하자.", "즉, \\( H(q) \\neq 0 \\) 인 점 \\( q \\in \\Omega \\) 가 존재한다.", "이때 함수 \\( \\phi: \\Omega \\rightarrow R \\) 를 \\( \\phi(q)=H(q) \\) 이고 \\( q \\) 의 근방밖에서는 \\( \\phi \\equiv 0 \\) 인것으로 잡으면 정리 \\( 8.4 \\)로부터 \\( A^{\\prime}(0)<0 \\)이다.", "따라서 모순이다.", "따라서 \\( X(\\Omega) \\)는 극소곡면이다.", "</p> <p>정리 \\(8.17 \\) (Gauss-Bonnet 정리 I) 단순곡면 \\( M \\)상에서 조각별 단순폐곡선 \\( \\alpha:\\left[t_{i-1}, t_{i}\\right] \\rightarrow M(i=1, \\cdots, n) \\)에 의해 둘러싸인 영역을 \\( \\Omega \\subset M \\) 라 하면 \\[\\int_{\\Omega} K d A+\\int_{a} \\kappa_{g} d s+\\sum_{i=1}^{n} \\epsilon_{i}=2 \\pi\\]이다.", "여기서 \\( \\epsilon_{i} \\)는 꼭지점 \\( \\alpha\\left(t_{i}\\right) \\)의 외각이다.", "</p><p>증명 일반성을 잃지 않고 단순곡면 \\( M \\)의 좌표조각사상 \\( X: U \\rightarrow M \\)가 \\( F=0 \\)을 만족한다고 하자.", "정리 \\( 7.56 \\)으로부터 임의의 단위속력곡선 \\( \\alpha \\)에 대해 \\[\\int_{a} \\kappa_{g} d s=\\int_{a} \\frac{d \\theta}{d s} d s+\\int_{a}\\left\\{\\left(\\kappa_{g}\\right)_{1} \\cos \\theta+\\left(\\kappa_{g}\\right)_{2} \\sin \\theta\\right\\} d s\\]<caption>(8.3)</caption>이다.", "여기서 \\( \\theta=\\angle\\left(\\alpha^{\\prime}, X_{u}\\right) \\)이다.", "한편 \\( \\alpha(t)=X(u(t), v(t)) \\)의 속도벡터는 \\( \\alpha^{\\prime}(t)=u^{\\prime} X_{u}+v^{\\prime} X_{v} \\)이고 \\( F=0 \\)이기 때문에 \\[\\cos \\theta=u^{\\prime} \\sqrt{E}, \\quad \\sin \\theta=v^{\\prime} \\sqrt{G}\\]이다.", "지금 \\( \\alpha \\)를 조각별 단순폐곡선이라 하자. \\", "( \\partial \\Omega=\\alpha \\)이므로 Green 정리에 의해 \\[\\begin{array}{l} \\int_{a}\\left[\\left(\\kappa_{g}\\right)_{1} \\sqrt{E} \\frac{d u}{d s}+\\left(\\kappa_{g}\\right)_{2} \\sqrt{G} \\frac{d v}{d s}\\right] d s \\\\ =\\iint_{\\Omega} \\frac{1}{\\sqrt{E G}}\\left[\\frac{\\partial}{\\partial u}\\left(\\frac{1}{\\sqrt{E}} \\frac{\\partial \\sqrt{G}}{\\partial u}\\right)+\\frac{\\partial}{\\partial v}\\left(\\frac{1}{\\sqrt{G}} \\frac{\\partial \\sqrt{E}}{\\partial v}\\right)\\right] \\sqrt{E G} d u d v\\end{array}\\]<caption>(8.4)</caption>가 성립한다.", "한편 Gauss 곡률 \\( K \\)는 연습문제 \\( 7.12 \\)에 의해 \\[K=\\frac{-1}{\\sqrt{E G}}\\left[\\frac{\\partial}{\\partial u}\\left(\\frac{1}{\\sqrt{E}} \\frac{\\partial \\sqrt{G}}{\\partial u}\\right)+\\frac{\\partial}{\\partial v}\\left(\\frac{1}{\\sqrt{G}} \\frac{\\partial \\sqrt{E}}{\\partial v}\\right)\\right] \\]<caption>(8.5)</caption>이고 \\( d A=\\sqrt{E G-F^{2}} d u d v=\\sqrt{E G} d u d v \\) 이므로 (\\( 8.3 \\)) ~ (\\( 8.5\\))로부터 \\[\\int_{a} \\kappa_{g} d s=\\int_{a} \\theta^{\\prime}(s) d s-\\iint_{\\Omega} \\ Kd A .\\]", "한편 \\( \\alpha_{i}=\\left.\\", "alpha\\right|_{\\left[t_{t-1}, t_{t}\\right]} \\) 이기 때문에 \\( \\int_{a} \\theta^{\\prime}(s) d s=\\sum_{i=1}^{n} \\int_{a_{i}} \\theta_{i}^{\\prime}(s) d s \\) 이다.", "따라서 \\( (8.2) \\) 로 부터 Gauss-Bonnet 정리가 증명된다.", "</p><p>참고 곡면상에서 세 꼭지점이 정칙곡선으로 연결된 곡선을 삼각형이라 하고, 특히 꼭지점을 연결한 곡선이 측지선일 때, 측지삼각형이라 한다.", "</p><p>정리 \\( 8.18 \\) 정칙곡면 \\( M \\)상에서 측지삼각형 \\( \\triangle A B C \\)의 세 내각의 합은 \\[\\angle A+\\angle B+\\angle C=\\pi+\\iint_{\\Delta} K d A .\\]이다.", "여기서 \\( K \\)는 Gauss 곡률이다.", "</p><p>증명 정칙곡면 \\( M \\)상에서의 꼭지점이 \\( A, B, C \\)인 측지삼각형을 \\( \\triangle A B C \\)라 할 때, \\( \\kappa_g=0 \\)이고 \\( \\epsilon_{A}=\\pi-\\angle A, \\epsilon_{B}=\\pi-\\angle B, \\epsilon_{C}=\\pi-\\angle C \\)이기 때문에 정리 \\( 8.17 \\)로부터 증명된다.", "</p><p>예제 \\(8.19 \\) \\(R^{2} \\) 상의 삼각형, 즉 유클리드 삼각형 \\( \\triangle A B C \\)의 세 내각의 합은 \\[\\angle A+\\angle B+\\angle C=\\pi\\]이다.", "왜나하면 평면상에서 직선은 측지선이고. \\", "( K=0 \\)이므로 정리 \\( 8.18 \\)로부터 알 수 있다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "415", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "곡선과 곡면의 미분기하학_극소 곡면과 Gauss-Bonnet 정리", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-0b03-4df4-8c4e-01312c1fd52f", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961057868", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2014", "doc_author": [ "정승달" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>8-1 평균변화율</h1><p>\\(\\cdot\\) 함수 \\( y=f(x) \\)에 대해 \\( x \\)의 증가량 \\( \\Delta x \\)에 대한 \\( y \\)의 증가량 \\( \\Delta y \\)의 비율 \\[\\begin{aligned}\\frac{\\Delta y}{\\Delta x}=\\frac{f(b)-f(a)}{b-a} &=\\frac{f(a+\\Delta x)-f(a)}{\\Delta x} \\\\&=\\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\\end{aligned}\\]을 구간 \\( [a, b] \\) 에서 \\( y=f(x) \\)의 평균변화율이라고 한다.", "<p>\\(\\cdot\\) 평균변화율은 기하학적으로 위의 그림에서 \\( P Q \\)의 기울기를 의미한다.", "</p><p>연습 \\( 8-1 \\) 다음 함수의 주어진 구간에서의 평균변화율을 구하여라.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=2 x+3, \\quad[1,3] \\)</li><li>\\( g(x)=x^{2}-2 x,[1,2] \\)</li></ol></p><h1>8-2 순간변화율, 미분계수</h1><p>\\(\\cdot\\) 함수 \\( y=f(x) \\)에 대해 \\( x \\)가 \\( a \\)에서 \\( a+\\Delta x \\)까지 변할 때의 평균변화율의 \\( \\Delta x \\rightarrow 0 \\)일 때의 극한값 \\[\\begin{aligned}\\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{\\Delta y}{\\Delta x} &=\\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{f(a+\\Delta x)-f(a)}{\\Delta x} \\\\&=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\\\&=\\lim _{b \\rightarrow a} \\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\\end{aligned}\\] 을 \\( x=a \\)에서 \\( y=f(x) \\)의 순간변화율 또는 미분계수라고 하고 \\( f^{\\prime}(a) \\)로 나타낸다.", "즉, \\[f^{\\prime}(a)=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\\]</p><p>\\(\\cdot\\) \\( f^{\\prime}(a) \\)가 존재하면 \\( f(x) \\)는 \\( x=a \\)에서 미분가능하다고 한다.", "</p><p>\\(\\cdot\\) \\( f^{\\prime}(a) \\)는 \\( \\left.y^{\\prime}\\right|_{x=a},\\left.f^{\\prime}(x)\\right|_{x=a},\\left.\\frac{d y}{d x}\\right|_{x=a} \\)", "등으로도 나타낸다.", "</p><p>\\(\\cdot\\) 순간변화율은 기하학적으로 위의 그림에서 \\( P \\)에서의 접선 \\( T \\)의 기울기를 의미한다.", "</p><p>연습 \\( 8-2 \\) 함수 \\( f(x)=x^{2} \\)의 \\( x=2 \\)에서의 미분계수를 구하여라.", "</p><h1>8-3 도함수의 정의</h1><p>\\(\\cdot\\) \\( y=f(x) \\)가 미분가능할 때, \\( x \\)에 대해 \\( f^{\\prime}(x) \\)를 대응시키는 함수를 \\( y=f(x) \\)의 도함수라 하고 \\( y^{\\prime}, f^{\\prime}(x), \\frac{d y}{d x}, \\frac{d}{d x} f(x) \\)등으로 나타낸다.", "즉 \\[f^{\\prime}(x)=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\\lim _{b \\rightarrow x} \\frac{f(b)-f(x)}{b-x}\\]</p><p>\\(\\cdot\\) \\( f(x) \\)의 도함수 \\( f^{\\prime}(x) \\)를 구하는 것을 미분한다 하고 그 계산법을 미분법이라 한다.", "</p><p>연습 \\( 8-3 \\) 다음 함수의 도함수를 구하여라.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=3 x+1 \\)</li><li>\\( f(x)=x^{2} \\)</li></ol></p><h1>8-4 도함수의 기본 성질</h1><p>\\(\\cdot\\) \\( f(x) \\)와 \\( g(x) \\)의 도함수가 존재하면 다음이 성립한다.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( (c)^{\\prime}=0(c \\)는 상수)</li><li>\\( \\left(x^{n}\\right)^{\\prime}=n x^{n-1} \\)</li><li>\\( (c f(x))^{\\prime}=c f^{\\prime}(x)(c \\) 는 상수 \\( ) \\)</li><li>\\( (f(x) \\pm g(x))^{\\prime}=f^{\\prime}(x) \\pm g^{\\prime}(x) \\)</li><li>\\( (f(x) g(x))^{\\prime}=f^{\\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\\prime}(x) \\)</li><li>\\( \\left(\\frac{f(x)}{g(x)}\\right)^{\\prime}=\\frac{f^{\\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\\prime}(x)}{g^{2}(x)}(g(x) \\neq 0) \\)</li></ol></p><p>연습 \\( 8-4 \\) 다음 함수를 미분하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=3^{-1} \\)</li><li>\\( g(x)=x^{7} \\)</li><li>\\( h(x)=x^{15} \\)</li><li>\\( i(x)=x^{2017} \\)</li><li>\\( j(x)=x^{2}+2 x \\)</li><li>\\( k(x)=\\frac{1}{3} x^{3}-x^{2} \\)</li><li>\\( l(x)=\\left(x^{2}+x\\right)\\left(x^{2}-2 x+3\\right) \\)</li><li>\\( m(x)=\\frac{x^{2}+1}{3 x-1} \\)</li></ol><h1>8-5 합성함수의 미분법</h1><p>\\(\\cdot\\) \\( f(g(x)) \\)가 미분가능하면 \\( f(g(x))^{\\prime}=f^{\\prime}(g(x)) g^{\\prime}(x) \\)</p><p>\\(\\cdot\\) \\( f(x) \\)가 미분가능하면 \\( \\left(\\{f(x)\\}^{n}\\right)^{\\prime}=n\\{f(x)\\}^{n-1} \\cdot f^{\\prime}(x) \\)</p><p>\\(\\cdot\\) \\( (\\sqrt{f(x)})^{\\prime}=\\left((f(x))^{\\frac{1}{2}}\\right)^{\\prime}=\\frac{1}{2} f(x)^{-\\frac{1}{2}} \\cdot f^{\\prime}(x)=\\frac{f^{\\prime}(x)}{2 \\sqrt{f(x)}} \\)</p><p>연습 \\( 8-5 \\) 다음 함수를 미분하여라.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( y=(3 x-2)^{3} \\)</li><li>\\( y=\\left(x^{2}+3 x\\right)^{3} \\)</li><li>\\( y=\\sqrt{x^{2}+x} \\)</li></ol></p><p>\\( 8-6\\) 접선의 방정식</p><p>\\(\\cdot\\)곡선 \\( y=f(x) \\) 위의 한 점 \\( P(a, f(a)) \\)에서의 접선의 방정식은 \\( y=f^{\\prime}(a)(x-a)+f(a) \\)이다.", "</p><p>연습 \\( 8-6 \\) 다음 곡선의 주어진 점 위에서의 접선의 방정식을 구하여라.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( y=x^{2}-3 x,(2,-2) \\)</li><li>\\( y=\\frac{1}{x},\\left(2, \\frac{1}{2}\\right) \\)</li></ol></p><h1>8-7 평균값의 정리</h1><p>\\(\\cdot\\) 함수 \\( f(x) \\) 가 \\( [a, b] \\)에서 연속이고 개구간 \\( (a, b) \\)에서 미분가능하면 \\( \\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\\prime}(c) \\)인 \\( c \\)가 \\( (a, b) \\)에 존재한다.", "</p><p>연습 \\( 8-7 \\) 다음 함수의 주어진 구간에 대해 평균값의 정리를 만족하는 실수 \\( c \\)를 구하여라.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=x^{2}-3 x,[1,2] \\)</li><li>\\( f(x)=x^{2}-2 x+5 .[-1,2] \\)</li></ol></p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "411", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "기초미적분학_미분계수와 도함수", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-3104-4341-a532-490623f80a05", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160730579", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2017", "doc_author": [ "전춘배" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h2>A-\\(4\\) 분수의 입력과 계산</h2><ul><li>\\( \\frac{2}{3}+\\frac{1}{2}, 4-3 \\frac{1}{2}, \\frac{1}{2+3}+4 \\) 의 입력 예</li><li>분수의 대분수 변환</li></ul><p>보기 A-\\(4\\) 다음을 풀어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\frac{30}{8} \\) 를 약분하고 그 결과를 대분수로 바꾸어라.", "</li><li>\\( \\left(2-\\frac{7}{3}\\right)-\\frac{5}{4} \\div \\frac{9}{7} \\) 을 계산하여 소수로 나타내어라.", "</li></ol><h2>A-\\(5\\) 제곱근의 입력</h2><p>제곱근 입력 방법</p><p>보기 A-\\(5\\) 다음을 계산하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 3 \\sqrt{2}+5 \\sqrt{8} \\)</li><li>\\( \\frac{\\sqrt{5}-\\sqrt{2}}{\\sqrt{5}+\\sqrt{2}} \\)</li><li>\\( \\frac{\\frac{1}{\\sqrt{2}}}{\\frac{2}{\\sqrt{3}}} \\)</li></ol><h2>A-\\(6\\) 수식의 수정</h2><ul><li>삭제 : 졈 (삭제하고자 하는 문자 바로 오른쪽으로 이동 후)</li><li>삽입 : 입력하고자 하는 위치로 커서를 이동시킨 후 입력</li><li>이미 입력한 값 또는 식을 함수의 일부로 사용 [예] \\( \\frac{7}{6} \\) 을 입력 후 이것을 이용해 \\( \\sqrt{\\frac{7}{6}} \\) 계산하기.", "</li></ul><p>보기A-\\(6\\) \\( \\frac{1}{2}+\\frac{3}{5} \\) 와 \\( \\sqrt{\\frac{1}{2}}+\\sqrt{\\frac{3}{5}} \\) 을 계산하고 \\( \\sqrt{\\frac{1}{2}}+\\sqrt{\\frac{3}{5}} \\) 을 소수로 나타내어라.", "</p><h2>A-\\(7\\) 백분율 계산</h2><ul><li>백분율 : 비율에 100 을 곱한 수로 전체가 100 인 비율</li></ul><p>보기A-\\(7\\) 2700에서 \\( 15 \\% \\) 가 증가된 총 양을 구하여라.", "</p><h2>A-\\(8\\) 수의 대소 비교</h2><p>실수의 대소 비교: \\[ A-B>0 \\Leftrightarrow A>B, \\quad A-B<0 \\Leftrightarrow A<B, \\quad A-B=0 \\Leftrightarrow A=B \\]</p><p>보기 A-\\(8\\) 다음 두 수의 대소를 비교하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 1+\\sqrt{2}, \\sqrt{5} \\)</li><li>\\( \\sqrt{2}-1,2-\\sqrt{2} \\)</li></ol><h2>A-\\(9\\) 주요 상수</h2><p>보기A-\\(9\\) 다음을 계산하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\frac{1}{2} \\pi \\cdot 5^{2} \\)</li><li>\\( \\frac{e^{2}-e^{-2}}{2} \\)</li></ol><h2>A-\\(10\\) 변수에 값을 저장하여 식의 값 계산하기</h2><ul><li>계산기 변수의 종류 : \\( X, Y, A, B, C, D, E, F \\)</li><li>변수 명 : 대체 기능의 (녹색 괄호 안)에 빨간색으로 표기됨</li></ul><p>보기 A-\\(10\\) \\( x=2, y=-3 \\) 일 때 식 \\( x^{3}-3 x^{2} y-2 x y^{3} \\) 의 값을 구하여라.", "</p><h2>A-\\(11\\) 식을 입력하고 변수에 값을 입력하여 식의 값 계산</h2><p>보기 A-\\(11\\) \\( 3 A^{2} B+2 B A^{2}-A^{3} \\) 를 입력 후 \\( (A, B)=(5,10),(7,20) \\) 의 경우의 값을 구하여라.", "</p><h2>A-\\(12\\) 결과 메모리</h2><ul><li>결과 메모리 : 마지막 계산 결과는 결과 메모리 \\( \\operatorname{Ans} \\)에 저장됨</li><li>독립 메모리 특징 : 최근에 얻은 결과 값으로 업데이트됨.", "전원을 끄면 가장 마지막 계산 결과를 저장함.", "</li><li>결과 메모리 활용 방법(예)</li></ul><p>보기 A-\\(12\\) 다음을 계산하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\frac{1}{10}+\\frac{1}{5}+\\frac{1}{4} \\) 를 구하여라.", "</li><li>\\(1\\)의 역수를 구하여라.", "즉 \\( \\frac{1}{((1) \\text { 의 결과 })} \\) 를 구하여라.", "(이 식의 결과는 \\( \\frac{1}{\\frac{1}{10}+\\frac{1}{5}+\\frac{1}{4}} \\) 와 같다.)", "</li></ol> <h2>A-\\(13\\) 다중 계산</h2><p>보기 A-\\(13\\) 세 변의 길이가 \\( a, b, c \\) 인 삼각형의 넓이는 \\( S=\\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\) 이다.", "단, \\( s=\\frac{1}{2}(a+b+c) \\).", "다음 세 변의 길이를 갖는 삼각형의 넓이를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( a=1, b=2, c=2 \\)</li><li>\\( a=4, b=5, c=6 \\)</li></ol><h2>A-\\(14\\) 방정식의 풀이</h2><p>보기A-\\(14\\) 다음 방정식을 풀어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 2(x+1)=x+1 \\)</li><li>\\( \\frac{v-50}{5}+\\frac{v}{10}+\\frac{v}{40}-3=0 \\)</li></ol><p>보기 A-\\(15\\) 다음 이차방정식의 해를 구하여라. \\", "[ x^{2}-x-1=0 \\]</p><p>보기 A-\\(16\\) 다음 방정식을 풀어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 2 x^{3}-1=x^{2}-2 x \\)</li><li>\\( x^{3}-3 x^{2}+1=0 \\)</li></ol><p>보기 A-\\(17\\) \\( x, y \\) 에 관한 연립 일차방정식 \\( \\left\\{\\begin{array}{l}y=2 x+1 \\\\ x+3 y=10\\end{array}\\right. \\) 을 풀어라.", "(참고: 계수는 \\( \\left\\{\\begin{aligned}-2 x+y &=1 \\\\ x+3 y &=10 \\end{aligned}\\right. \\) 의 형태로 정리하여 입력)</p><p>보기 A-\\(180) 연립 일차방정식의 해를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\left\\{\\begin{array}{l}x+3 y-2 z=5 \\\\ 3 x+5 y+6 z=7 \\\\ 2 x+4 y+3 z=8\\end{array}\\right. \\)", "</li><li>\\( \\left\\{\\begin{array}{l}T+C+R=141.0 \\\\ T+0.9 C+4 R=424.4 \\\\ \\left(\\frac{3}{5}+\\frac{3}{4}-\\frac{11}{20}\\right) T+\\frac{7}{10} C+\\left(\\frac{8}{54}-\\frac{5}{12}+\\frac{83}{108}\\right) R=82.7\\end{array}\\right. \\)", "</li></ol><p>보기A-\\(21\\) 방정식 \\( \\log _{3}(3 x-2)=\\log _{3} 2+\\log _{3}(x+2) \\) 을 풀어라.", "</p><p>보기 A-\\(22\\) \\( 12 \\times \\frac{\\sin (58)}{\\cos (51)} \\) 를 계산하여라.", "</p><p>보기 A-\\(24\\) \\( \\sin \\left(\\frac{\\pi}{4}\\right)+\\cos \\left(\\frac{\\pi}{3}\\right) \\) 를 계산하여라.", "단, 각의 단위는 라디안이다.", "</p><p>보기A-\\(25\\) 다음 \\(60\\) 분법의 각은 호도법으로, 호도법의 각은 \\(60\\) 분법으로 전환하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 60^{\\circ} \\)</li><li>\\( 315^{\\circ} \\)</li><li>\\( 720^{\\circ} \\)</li><li>\\( \\frac{\\pi}{4} r \\)</li><li>\\( \\frac{5 \\pi}{3} r \\)</li><li>\\( 2 \\mathrm{r} \\)</li></ol> <h1>부록: 공학용 계산기 사용법</h1><p>학습목표</p><ol type= start=1><li>공학용 계산기의 모드와 설정 변경을 할 수 있다</li><li>식을 입력하고 계산할 수 있다.", "</li><li>변수를 활용하여 문자식의 값을 계산할 수 있다.", "</li></ol><h2>A-\\(1\\) 계산기 시작</h2><ul><li>계산기 모델 : \\( \\mathrm{fx}-570 \\) 또는 \\( \\mathrm{fx}-991 \\) 기준</li><li>전원 켜기</li><li>전원 끄기</li><li>전체 초기화</li><li>계산모드</li><li>계산 시행 : 식 입력 후</li><li>화면 초기화</li></ul><p>보기 A-\\(1\\) 다음을 계산하여라.", "계산 후 화면을 초기화하여라.", "</p><p>\\( 122 \\times 56+42 \\times(-57) \\)</p><h2>A-\\(2\\) 수식 입력 기본 규칙 및 표시 전환</h2><ul><li>계산 순서 : 괄호 \\( >\\) 함수 \\( >\\) 거듭제곱 \\( >\\) 분수 \\( >\\) 곱셈 \\( >\\) 나눗셈</li><li>괄호 계산 순서 : 가장 안쪽에 있는 괄호부터 (별도의 괄호 구분이 없음)</li><li>공학용 계산기는 사칙연산 및 괄호 계산 순서를 자동으로 판단</li><li>함수 입력 마침 : 오른쪽 괄호</li><li>소수 표현과 수식 표현 상호 전환</li></ul><p>보기A-\\(2\\) 다음을 계산하고 소수로 나타내어라.", "</p><p>\\( 4 \\times \\sin 60 \\)</p><h2>A-\\(3\\) 기본 수식 입력</h2><p>기본 수식 입력 방법</p><p>보기 A-\\(3\\) 계산기를 초기화하고 다음을 계산하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\frac{1+\\sqrt{2}}{2+\\sqrt{2}} \\)</li><li>\\( \\frac{1}{2} \\times(-1)+4 \\times(-1)^{3}-3 \\)</li><li>\\( -2^{2} \\times\\left[-2 \\div 6+\\frac{5}{2} \\times\\left(-2-(-4)^{2}\\right)\\right] \\)</li><li>\\( |\\sqrt{5}-1|+|\\sqrt{5}-2|+|\\sqrt{5}-3|+|\\sqrt{5}-4| \\)</li></ol>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "411", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "대학기초수학_부록(공학용 계산기 사용법)", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-44ce-47aa-abd0-c1180961e0c2", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160730524", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2017", "doc_author": [ "전춘배" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>연 ·습 · 문 · 제 2.1</h1><p>\\( 1 \\).", "함수 \\( f(x)=3 x^{2}+2 x-1 \\) 의 구간 \\( [1,3] \\)에서의 평균변화율을 구하여라.", "</p><p>\\( 2 \\).", "곡선 \\( y=3 x^{2}-5 x \\) 위의 점 \\( (2,2) \\)에서의 접선과 법선의 방정식을 구하여라.", "</p><p>3. 다음 함수에 대하여 \\( x=2 \\)에서의 미분계수를 구하여라.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=5-3 x+4 x^{2} \\)</li><li>\\( f(x)=\\frac{1}{\\sqrt{x+2}} \\)</li><li>\\( f(x)=\\frac{1}{x} \\)</li><li>\\( f(x)=\\frac{2 x+1}{x+3} \\)</li></ol></p><p>\\( 4 \\).", "함수 \\( f(x)=x|x| \\)에 대하여 \\( f^{\\prime}(0) \\)이 존재하는지를 결정하여라.", "</p><p>\\( 5 \\).", "함수 \\( f(x)=[x] \\) (단, \\( [x] \\) 는 \\( x \\)을 넘지 않는 최대 정수)의 \\( x=n \\) (단, \\( n \\)은 정수)에서의 미분계수가 존재하는지를 말하여라.", "</p><p>\\( 6 \\).", "함수 \\( f(x)=x^{2}-3|x|+2 \\)가 \\( x=0 \\)에서 미분가능한지를 결정하여라.", "</p><p>\\( 7 \\).", "함수 \\( f(x) \\)가 \\( x=a \\)에서 미분가능할 때, 다음 극한값을 \\( f(a) \\)와 \\( f^{\\prime}(a) \\)로 나타내어라.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+2 h)-f(a+h)}{h} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{x f(a)-a f(x)}{x-a} \\)</li></ol></p><p>\\( 8 \\).", "함수 \\( f(x) \\)가 다음과 같이 정의될 때, \\( f(x) \\)는 \\( x=0 \\)에서 미분가능함을 보여라.", "</p><p>\\( f(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}x^{2} \\sin \\frac{1}{x}, & x \\neq 0 \\\\ 0, & x=0\\end{array}\\right. \\)", "</p><p>\\( 9 \\).", "함수 \\[f(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}a x^{2}, & x \\geq 1 \\\\ (x-2)^{2}+b, & x<1\\end{array}\\right.\\]가 \\( x=1 \\)에서 미분가능할 때, \\( a \\)와 \\( b \\)의 값을 구하여라.", "</p> <p>수학에서 미분학은 하나의 양이 또 다른 양에 관하여 어떻게 변하는가에 관심을 가지는 분야이다.", "미분학의 체계는 물체의 운동 속도와 가속도를 구하는 과정에서 미적분을 발견한 뉴턴(\\( 1642 \\)~\\( 1727 \\))과 평면곡선의 접선과 법선에서 미분을 생각한 라이프니츠(\\( 1646 \\)~\\( 1716 \\))에 의해 거의 같은 시대에 이루어졌다.", "계산 기술로써만 발전하던 미적분학은 코시(\\( 1789 \\)~\\( 1857 \\))에 의해 명확해지고 데데킨트(\\( 1831 \\)~\\( 1916 \\))와 칸토르(\\( 1845 \\)~\\( 1918 \\))가 실수에 대한 이론을 엄밀하게 체계화한 \\( 19 \\)세기 이후에 와서야 현재와 같은 형태를 갖추게 되었다.", "</p><p>이 장에서는 도함수의 정의, 여러 형태의 함수와 기본적인 초월함수들의 도함수 공식, 그리고 중요한 다섯 가지 미분법을 소개한다.", "변화율과 함수의 근삿값, 그래프 그리기, 최대·최소 문제, 부정형의 극한값 구하기 등 여러 가지 문제를 해결하는데 도함수를 이용한다.", "</p><h1>2.1 미분계수</h1><p>함수 \\( y=f(x) \\)에서 구간 \\( [a, a+\\Delta x] \\)에서의 평균변화율은 \\( y \\)의 변화량 \\( \\Delta y= \\) \\( f(a+\\Delta x)-f(a) \\)을 \\( x \\)의 변화량 \\( \\Delta x=(a+\\Delta x)-(a) \\) 으로 나눈 몫, 즉 \\( \\frac{\\Delta y}{\\Delta x} \\)로 정의한다.", "이것은 기하학적으로 곡선 위의 두 점 \\( P(a, f(a)), Q(a+\\Delta x \\), \\( f(a+\\Delta x)) \\)을 지나는 직선의 기울기를 나타낸다.", "이제 우리는 점 \\( P \\)을 지나는 순간의 변화율을 알기를 원하며 이것은 \\( \\Delta x \\)을 \\( 0 \\)에 접근하도록 함으로써 얻을 수 있다.", "</p><p>정의 \\( 2.1.1 \\) 극한값 \\( \\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{\\Delta y}{\\Delta x}=\\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{f(a+\\Delta x)-f(a)}{\\Delta x}=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\)가 존재하면, 이 극한값을 \\( x=a \\)에서 함수 \\( f \\)의 미분계수 또는 순간변화율이라 하고 \\( f^{\\prime}(a) \\)로 나타낸다. \\", "( x=a \\)에서 \\( f \\)의 미분계수 \\( f^{\\prime}(a) \\)가 존재할 때 함수 \\( f \\)는 \\( x=a \\)에서 미분가능하다고 말한다.", "</p><p>함수 \\( y=f(x) \\)의 그래프를 그려보면 \\( x=a \\)에서의 순간변화율은 \\( x=a \\)인 곡선 위의 점 \\( P \\)에서의 접선 \\( T \\)의 기울기와 같다.", "이것은 미분계수가 크면(따라서 곡선이 가파르면), \\( y \\)값들은 빠르게 변하고 미분계수가 작을 때는 곡선은 상대적으로 평편하고 \\( y \\)값들은 느리게 변한다는 것을 의미한다.", "미분계수 \\( f^{\\prime}(a) \\)는 곡선 \\( y=f(x) \\) 위의 점 \\( P(a, f(a)) \\)에서의 접선의 기울기와 같으므로 다음의 정리를 얻을 수 있다.", "</p><p>정리 \\( 2.1.1 \\) 곡선 \\( y=f(x) \\) 위의 점 \\( P(a, f(a)) \\)에서의 접선의 방정식은 \\[y-f(a)=f^{\\prime}(a)(x-a)\\]이고, 점 \\( P \\)에서의 법선(접선에 수직인 직선)의 방정식은 기울기가 \\( -\\frac{1}{f^{\\prime}(a)} \\)이므로 \\[y-f(a)=-\\frac{1}{f^{\\prime}(a)}(x-a) \\]이다.", "</p><p>이제 \\( x=a+h \\)로 놓으면, \\( h=x-a \\)이고 \\( h \\rightarrow 0 \\)일 필요충분조건은 \\( x \\rightarrow a \\)이므로 미분계수의 정의는 다음과 같이 나타낼 수도 있다.", "</p><p>\\( f^{\\prime}(a)=\\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \\)</p><p>예제 \\( 2.1.1 \\) \\( f(x)=3 x^{2} \\)일 때 \\( f^{\\prime}(1) \\)을 구하고, 이것을 이용해 포물선 \\( y=3 x^{2} \\) 위의 점 \\( (1,3) \\)에서의 접선과 법선의 방정식을 구하여라.", "</p><p>풀이 정의로부터 \\[\\begin{aligned}f^{\\prime}(1) &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{3(1+h)^{2}-3}{h} \\\\ &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{6 h+3 h^{2}}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0}(6+3 h)=6 \\end{aligned}\\]이다.", "주어진 점 \\( (1,3) \\)에서의 접선의 기울기가 \\( 6 \\) 이므로 접선의 방정식은 \\( y-3=6(x-1) \\) 또는 \\( y=6 x-3 \\)이다.", "한편, 법선의 방정식은 \\( y-3=-\\frac{1}{6}(x-1) \\)에서 \\( y=-\\frac{1}{6} x+\\frac{19}{6} \\)이다.", "</p><p>풀이 정의로부터 \\[\\begin{aligned}f^{\\prime}(1) &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{3(1+h)^{2}-3}{h} \\\\&=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{6 h+3 h^{2}}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0}(6+3 h)=6\\end{aligned}\\]이다.", "주어진 점 \\( (1,3) \\)에서의 접선의 기울기가 \\( 6 \\)이므로 접선의 방정식은 \\( y-3=6(x-1) \\) 또는 \\( y=6 x-3 \\)이다.", "한편, 법선의 방정식은 \\( y-3=-\\frac{1}{6}(x-1) \\)에서 \\( y=-\\frac{1}{6} x+\\frac{19}{6} \\) 이다.", "</p><p>예제 \\( 2.1.2\\) 함수 \\( f(x)=\\sqrt{x-2} \\)에 대하여 \\( x=3 \\)에서의 미분계수를 구하여라.", "</p><p>풀이 \\[\\begin{aligned}f^{\\prime}(3) &=\\lim _{x \\rightarrow 3} \\frac{f(x)-f(3)}{x-3} \\\\ &=\\lim _{x \\rightarrow 3} \\frac{\\sqrt{x-2}-1}{x-3} \\\\&=\\lim _{x \\rightarrow 3} \\frac{x-3}{(x-3)(\\sqrt{x-2}+1)} \\\\&=\\lim _{x \\rightarrow 3} \\frac{1}{\\sqrt{x-2}+1}=\\frac{1}{2} \\end{aligned}\\]</p><p>이제 함수의 미분가능성과 연속성과의 관계를 알아보자.", "</p><p>정리 \\( 2.1.2 \\) 함수 \\( f(x) \\)가 \\( x=a \\)에서 미분가능하면, \\( f(x) \\)는 \\( x=a \\)에서 연속이다.", "</p><p>증명 \\( f \\)가 \\( a \\)에서 연속임을 보이기 위해 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=f(a) \\)임을 보이면 충분하다. \\", "[\\lim _{x \\rightarrow a}(f(x)-f(a))=\\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a)=f^{\\prime}(a) \\times 0=0\\]이므로, \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=f(a) \\)이다.", "따라서 \\( f(x) \\)는 \\( x=a \\)에서 연속이다.", "</p><p>위의 사실로부터 함수가 불연속인 점에서는 미분계수를 구할 수 없음을 알 수 있다.", "정리 \\( 2.1.2 \\)의 역은 일반적으로 성립하지 않는다.", "예를 들면 \\( f(x)=|x| \\)는 \\( 0 \\)에서 연속이지만 \\( 0 \\)에서 미분가능하지는 않다.", "</p><p>예제 \\( 2.1.3 \\) 함수 \\( f(x)=|x| \\)는 \\( x=0 \\)에서 미분가능하지 않음을 보여라.", "</p><p>풀이 \\( \\quad f^{\\prime}(0)=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{|h|-0}{h}=\\left\\{\\begin{aligned} 1, & h>0 \\\\-1, & h<0 \\end{aligned}\\right. \\)", "즉, \\( h \\)가 \\( 0 \\)에 가까이 갈 때 평균변화율의 극한값이 존재하지 않으므로 \\( f^{\\prime}(0) \\)은 존재하지 않는다.", "</p><p>다만 위의 예제 \\( 2.1.3 \\)에서 본 바와 같이, 함수 \\( f(x)=|x| \\)에 대해서는 \\( x \\rightarrow 0^{+} \\)일때와 \\( x \\rightarrow 0^{-} \\)일 때 \\( \\frac{f(x)-f(0)}{x-0} \\)의 극한값 각각은 모두 존재한다.", "</p><p>일반적으로 함수 \\( f(x) \\)의 정의역에 속하는 \\( a \\)에 대하여 극한값 \\[\\lim _{h \\rightarrow 0^{+}} \\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\\lim _{x \\rightarrow a^{+}} \\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\\]가 존재할 때, \\( f(x) \\)는 \\( x=a \\)에서 우측 미분가능하다 하고, 이 극한값을 \\( x=a \\)에서의 우측 미분계수라고 한다.", "비슷하게 좌측 미분계수도 정의할 수 있다.", "</p><p>함수 \\( f(x)=|x| \\)는 \\( x=0 \\)에서 미분가능하지 않지만 우측으로부터 또는 좌측으로부터는 미분가능하며, 우측 미분계수는 \\( 1 \\), 좌측 미분계수는 \\( -1 \\)이다.", "</p><p>일반적으로 함수 \\( f(x) \\)가 \\( x=a \\)에서 미분가능하다는 것은 양쪽으로부터 미분가능하며, 우측 미분계수와 좌측 미분계수가 일치한다는 것이다.", "</p><p>예제 \\( 2.1.4 \\) 함수 \\( f(x)=\\left|x^{2}-x\\right| \\)가 \\( x=0 \\)에서 미분가능한가를 결정하여라.", "</p><p>풀이 \\[\\begin{aligned}f^{\\prime}(0) &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{\\left|h^{2}-h\\right|}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{|h(h-1)|}{h} \\\\&=\\left\\{\\begin{array}{l}\\lim _{h \\rightarrow 0^{+}} \\frac{-h(h-1)}{h}=1 \\\\\\lim _{h \\rightarrow 0^{-}} \\frac{h(h-1)}{h}=-1\\end{array}\\right.\\end{aligned}\\]", "로 우측 미분계수는 \\( 1 \\) , 좌측 미분계수는 \\( -1 \\)로 각각 존재하지만 같지 않으므로 \\( x=0 \\)에서 미분가능하지 않다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "공학도를 위한 기초미적분학_미분법", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-0001-46c8-a2a7-4b2a0c5f3591", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961055246", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2011", "doc_author": [ "박정준", "신현혜", "이혜경", "정계선", "최건돈" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h3>(4) 행렬곱셈 (matrix multiplication)</h3><p>두 \\( n \\)차원 벡터 \\( \\mathbf{a}=\\left(a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}\\right) \\)과 \\(\\mathbf{b}=\\left(b_{1}, b_{2}, \\cdots, b_{n}\\right) \\)의 내적 \\[\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}=a_{1} b_{1}+\\cdots+a_{n} b_{n}\\]의 정의를 행렬기호를 이용하면, \\( 1 \\times n \\) 행렬 \\( A \\)와 \\( n \\times 1 \\) 행렬 \\( B \\)의 곱은 \\[ A B=\\left[\\begin{array}{llll} a_{1} & a_{2} & \\cdots & a_{n} \\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{c} b_{1} \\\\ b_{2} \\\\ \\vdots \\\\ b_{n} \\end{array}\\right]=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\\cdots+a_{n} b_{n}=\\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i} \\] 로 정의된다.", "따라서 행렬의 각 행은 이러한 벡터들로 구성되므로 행렬의 곱의 정의로 일반화할 수 있다.", "</p><p>예 10<ol type=1 start=1><li>\\( \\left[\\begin{array}{lll}1 & 2 & 2\\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{r}3 \\\\ 1 \\\\ -2\\end{array}\\right]=1 \\times 3+(-2) \\times 1+2 \\times(-2)=-3 \\)</li><li>일차방정식 \\( a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+\\cdots+a_{n} x_{n}=b \\) 는 \\[ \\left[\\begin{array}{llll} a_{1} & a_{2} & \\cdots & a_{n} \\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{c} x_{1} \\\\ x_{2} \\\\ \\vdots \\\\ x_{n} \\end{array}\\right]=b \\]로 표기된다.", "</li></ol><p><p>다음 행렬의 곱셈연산은 케일리가 제시하였다.", "케일리는 1855년 합성함수와 선형변환을 연구하면서 행렬간의 곱셈을 정의하였고, 행렬들의 집합 안에 수학적 구조를 주는 행렬대수 (matrix algebra)에 대한 연구를 시작하게 되었다.", "</p><p>정의 8 두 행렬의 곱 두 행렬 \\( A=\\left[a_{i k}\\right]_{m \\times p} \\)와 \\( B=\\left[b_{k j}\\right]_{p \\times n} \\)에 대하여, \\( A \\)와 \\( B \\)의 곱 \\( A B \\)는 \\[c_{i j}=\\sum_{k=1}^{p} a_{i k} b_{k j}(\\text { 단, } i=1,2, \\cdots, m ; j=1,2, \\cdots, p ) \\]일 때 행렬 \\( C=\\left[c_{i j}\\right]_{m \\times n} \\) 로 정의된다.", "여기서 \\[c_{i j}=a_{i 1} b_{1 j}+a_{i 2} b_{2 j}+\\cdots+a_{i p} b_{p j}=\\sum_{k=1}^{p} a_{i k} b_{k j}\\]이다.", "</p><p>두 행렬 \\( A=\\left[a_{i k}\\right]_{m \\times p} \\)와 \\( B=\\left[b_{k j}\\right]_{p \\times n} \\)에 대하여, \\( A \\)의 \\( i \\)번째 행을 \\( A_{(i)}, B \\)의 \\( j \\)번째 열을 \\( B^{(j)} \\)로 표기하면 \\[ \\begin{aligned} C=A B &=\\left[\\begin{array}{c} A_{(1)} \\\\ A_{(2)} \\\\ \\vdots \\\\ A_{(m)} \\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{llllc} B^{(1)} & B^{(2)} & \\cdots & B^{(n)} \\end{array}\\right] \\\\ &=\\left[\\begin{array}{cccc} A_{(1)} B^{(1)} & A_{(1)} B^{(2)} & \\cdots & A_{(1)} B^{(n)} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots \\\\ A_{(m)} B^{(1)} & A_{(m)} B^{(2)} & \\cdots & A_{(m)} B^{(n)} \\end{array}\\right] \\end{aligned} \\]으로 나타낼 수 있다.", "여기서 \\[ c_{i j}=A_{(i)} B^{(j)}=\\left[\\begin{array}{lll} a_{i 1} & \\cdots & a_{i n} \\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{c} b_{1 j} \\\\ \\vdots \\\\ b_{n j} \\end{array}\\right]=\\sum_{k=1}^{n} a_{i k} b_{k j} \\]이다.", "</p><p>예 11 두 행렬 \\( A=\\left[\\begin{array}{rr}1 & 1 \\\\ 2 & -3 \\\\ 4 & 1\\end{array}\\right] \\)과 \\( B=\\left[\\begin{array}{rr}3 & 2 \\\\ 4 & -1\\end{array}\\right] \\)에 대하여, \\( A B \\)를 구해보자. \\", "( A \\)의 크기가 \\( 3 \\times 2 \\)이고 \\( B \\)의 크기가 \\( 2 \\times 2 \\)이므로 \\( A B \\)는 정의되고, 크기는 \\( 3 \\times 2 \\)가 된다.", "이때 성분들을 계산하면 다음과 같다. \\", "[ A B=\\left[\\begin{array}{cc} 1 \\times 3+1 \\times 4 & 1 \\times 2+1 \\times(-1) \\\\ 2 \\times 3+(-3) \\times 4 & 2 \\times 2+(-3) \\times(-1) \\\\ 4 \\times 3+1 \\times 4 & 4 \\times 2+1 \\times(-1) \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{rc} 7 & 1 \\\\ -6 & 7 \\\\ 6 & 7 \\end{array}\\right] \\]</p><p>예제 1 \\( A, B \\)가 \\( n \\)차 하삼각행렬일 때, \\( A \\)와 \\( B \\)의 곱 \\( A B \\)는 \\( n \\)차 하삼각행렬이 된다.", "</p><p>증명 \\( A B=C \\)라 하면, \\( c_{i j}=\\sum_{k=1}^{n} a_{i k} b_{k j} \\) (단, \\( 1 \\leq i, k \\leq n \\) )이다.", "여기서 \\( i<j \\) 이면 \\( a_{i k}=0 \\) 또는 \\( b_{k j}=0 \\) 으로 주어진다.", "따라서 \\( c_{i j}=0 \\) (단, \\( i<j \\) )이 된다.", "그러므로 \\( C \\)는 하삼각행렬이다.", "</p><p>행렬곱셈에서는 결합법칙과 덧셈에 대해 배분법칙이 성립되지만, 교환법칙은 성립하지 않는다.", "그러나 두 행렬이 역행렬 관계이거나 두 행렬 중 한 행렬이 단위행렬의 \\( k \\) (단, \\( k \\) 는 실수 )배, 즉 스칼라행렬이면 행렬의 곱셈에서 교환법칙이 성립한다.", "</p><p>예제 2 두 행렬 \\( A=\\left[\\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\\\ 3 & 3 & 0\\end{array}\\right]\\), \\(B=\\left[\\begin{array}{ll}3 & 1 \\\\ 0 & 2 \\\\ 2 & 4\\end{array}\\right] \\)에 대하여, \\( A B \\)와 \\( B A \\)를 구하시오.", "</p><p>풀이 \\( A \\)는 \\( 2 \\times 3 \\) 행렬이고 \\( B \\)는 \\( 3 \\times 2 \\) 행렬이므로, \\( A B \\)는 존재하고 \\( 2 \\times 2 \\) 행렬이다. \\", "( A B \\)를 구하면 \\[A B=\\left[\\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\\\ 3 & 3 & 0 \\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{ll} 3 & 1 \\\\ 0 & 2 \\\\ 2 & 4 \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{ll} 6+0+2 & 2+2+4 \\\\ 9+0+0 & 3+6+0 \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{ll} 8 & 8 \\\\ 9 & 9 \\end{array}\\right]\\] 이다.", "한편 \\( B \\)는 \\( 3 \\times 2 \\) 행렬이고 \\( A \\)는 \\( 2 \\times 3 \\) 행렬이므로, \\( B A \\)는 정의되고 \\( 3 \\times 3 \\) 행렬이다.", "이때 \\( B A \\)를 구하면 \\[ B A=\\left[\\begin{array}{ll} 3 & 1 \\\\ 0 & 2 \\\\ 2 & 4 \\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{lll} 2 & 1 & 1 \\\\ 3 & 3 & 0 \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{ccc} 6+3 & 3+3 & 3+0 \\\\ 0+6 & 0+6 & 0+0 \\\\ 4+12 & 2+12 & 2+0 \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{ccc} 9 & 6 & 3 \\\\ 6 & 6 & 0 \\\\ 16 & 14 & 2 \\end{array}\\right] \\] 가 된다.", "여기서 \\( A B \\)와 \\( B A \\)가 둘 다 정의되지만 크기는 다르다는 것을 알 수 있다.", "</p><p>참고 \\( n \\)차 대각행렬 \\( D \\)와 일반적인 \\( n \\)차 정사각행렬 \\( A \\)에 대하여 \\( D A \\)와 \\( A D \\)를 각각 계산하면 \\( D A \\)는 \\( A \\)의 각 행에 \\( D \\)에 대각성분을 곱한 결과와 같고, \\( A D \\)는 \\( A \\)의 열에 \\( D \\)의 대응하는 대각성분을 곱한 결과와 같다.", "</p> <h2>2. 행렬의 연산</h2><p>행렬의 연산에는 행렬덧셈, 스칼라배와 행렬곱셈이 있다.", "행렬연산의 대수적 성질 중 많은 부분은 실수 연산과 일치하지만, 일부 성질은 일치하지 않는다.", "사실 행렬연산은 실수연산의 일반화된 모습이다.", "</p><h3>(1) 행렬의 상등</h3><p>정의 4 행렬의 상등 두 \\( m \\times n \\) 행렬 \\( A=\\left[a_{i j}\\right]_{m \\times n}, B=\\left[b_{i j}\\right]_{m \\times n} \\)가 모든 \\( i, j \\)에 대하여 \\( a_{i j}=b_{i j} \\)를 만족하면 \\( A \\)와 \\( B \\)는 '서로 같다 (equal)' 또는 '상등'이라 하고 \\( A=B \\)로 나타낸다.", "</p><p>예 6 두 3차 정사각행렬 \\[ A=\\left[\\begin{array}{rrr} x & 1 & y \\\\ 3 & -2 & 4 \\\\ 0 & -3 & 4 \\end{array}\\right], B=\\left[\\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 2 \\\\ z & -2 & 4 \\\\ 0 & w & 4 \\end{array}\\right] \\]에 대하여, \\( A=B \\)가 성립하기 위한 필요충분조건은 \\[x=1, y=2, z=3, w=-3\\]이다.", "</p><h3>(2) 행렬덧셈 (matrix addition)</h3><p>정의 5 두 행렬의 합 \\( A \\)와 \\( B \\)가 같은 크기의 행렬이면 합(sum) \\( A+B \\)는 \\( A \\)와 \\( B \\)의 대응하는 원소를 더하여 얻어지는 행렬이다.", "즉 두 \\( m \\times n \\) 행렬 \\( A=\\left[a_{i j}\\right]_{m \\times n} \\)과 \\( B=\\left[b_{i j}\\right]_{m \\times n} \\)에 대하여, \\( A \\)와 \\( B \\)의 합 \\( A+B \\)는\\[A+B=\\left[a_{i j}+b_{i j}\\right]_{m \\times n}\\]로 정의한다.", "</p><p>\\( A \\)와 \\( B \\)가 같은 크기의 행렬이 아니라면 그들의 합은 정의되지 않는다.", "덧셈은 결합법칙과 교환법칙이 성립한다.", "</p><p>예 7 세 행렬 \\[ A=\\left[\\begin{array}{rrr} 3 & -2 & 4 \\\\ 0 & -3 & -1 \\end{array}\\right], \\quad B=\\left[\\begin{array}{lll} 2 & 4 & 6 \\\\ 0 & 1 & 3 \\end{array}\\right], \\quad C=\\left[\\begin{array}{ll} 1 & 3 \\\\ 2 & 4 \\end{array}\\right] \\]에 대하여 \\[ A+B=\\left[\\begin{array}{rrr} 3+2 & -2+4 & 4+6 \\\\ 0+0 & -3+1 & -1+3 \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{rrr} 5 & 2 & 10 \\\\ 0 & -2 & 2 \\end{array}\\right] \\]이다.", "그러나 \\( A \\)와 \\( C\\), \\(B \\)와 \\( C \\)는 크기가 다르므로, \\( A+C \\)와 \\( B+C \\)는 정의되지 않는다.", "</p><h3>(3) 스칼라배 (scalar multiplication)</h3><p>정의 6 스칼라배 \\( A \\)가 행렬이고 \\( \\lambda \\)가 실수라면 스칼라배 \\( \\lambda A \\)는 \\( A \\)의 각 원소에 \\( \\lambda \\)를 곱하여 얻어진 행렬이다.", "즉 \\( m \\times n \\) 행렬 \\( A=\\left[a_{i j}\\right]_{m \\times n} \\)와 스칼라 (실수) \\( \\lambda \\)에 대하여, 스칼라배 (실수배 ) \\( \\lambda A \\) 는\\[\\lambda A=\\left[\\lambda a_{i j}\\right]_{m \\times n}\\]로 정의한다.", "일반적으로 \\( A \\)의 덧셈의 역원 \\( (-1) A \\)를 간단히 \\( -A \\)로 정의한다.", "</p><p>예 8 \\( 2 \\times 3 \\) 행렬 \\(A=\\left[\\begin{array}{rrr}3 & -2 & 4 \\\\0 & -3 & -1\\end{array}\\right] \\)에 대하여 \\(2 A=\\left[\\begin{array}{rrr}6 & -4 & 8 \\\\0 & -6 & -2\\end{array}\\right]\\), \\((-1) A=\\left[\\begin{array}{rrr}-3 & 2 & -4 \\\\0 & 3 & 1\\end{array}\\right]\\)로 주어진다.", "</p><p>참고 두 행렬 \\( A \\)와 \\( B \\)가 같은 크기이고 정확히 같은 방법으로 분할되었다면 통상적인 두 행렬의 합 \\( A+B \\)에 같은 분할을 적용하는 것은 당연하다.", "이 경우에 \\( A+B \\)의 각 블록은 \\( A \\)와 \\( B \\)의 대응하는 블록의 합이다.", "분할된 행렬의 스칼라배는 또한 블록별로 계산된다.", "</p><p>정의 7 영행렬 모든 성분이 0인 행렬을 영행렬 (zero matrix)이라 하고, \\( O \\)로 나타낸다.", "특히 \\( m \\times n \\) 행렬에서 크기의 구분이 필요할 때는 \\( O_{m \\times n} \\)로 표기한다.", "</p><p>임의의 행렬 \\( A \\)에 대하여, \\( O \\)가 \\( A \\)와 크기가 같은 영행렬이면 \\[A+O=O+A=A\\]가 성립한다.", "즉 영행렬 \\( O \\)가 행렬의 합에 대한 항등원이다.", "</p><p>예 9 다음 행렬은 모두 영행렬이다. \\", "(\\left[\\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\\\0 & 0 & 0 \\\\0 & 0 & 0\\end{array}\\right]\\), \\(\\left[\\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\\\0 & 0 & 0\\end{array}\\right]\\), \\(\\left[\\begin{array}{l}0 \\\\0 \\\\0\\end{array}\\right]\\), \\(\\left[\\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\\end{array}\\right]\\)</p> <h1>2.1 행렬과 행렬대수</h1><p>연립일차방정식의 일반적인 해법이 연구되면서 행렬의 개념이 나타났다.", "코시가 1821년 'tableau'란 이름으로 행렬의 개념을 처음으로 소개하였다.", "'행렬'이란 용어는 1850년 영국의 수학자 실베스터 (Sylvester)가 직사각형 모양의 수의 배열에 붙인 이름이며, 1858년에 영국의 케일리 (Cayley)가 '행렬론'을 출판함으로써 행렬의 이론이 학문적인 체계를 갖추게 되었다.", "행렬의 개념은 실생활뿐만 아니라, 수학적 문제를 해결하는 데도 유용하게 이용되는 개념으로서, 오늘날에는 사회의 모든 영역에서 중요하게 사용되고 있다.", "</p><p>참고 케일리는 행렬의 대수학, 비유클리드 기하학, \\( n \\)차원 기하학, 불변식의 이론, 행렬식, 군론 등에 현저한 업적을 남겼다.", "</p><h2>1. 행렬</h2><p>이미 제 1장에서 행렬에 대하여 간단히 언급하였지만. 여기서는 행렬에 대한 구체적인 내용을 소개한다.", "</p><p>정의 1 행렬 \\( m n \\)개의 실수 (또는 복소수) \\( a_{i j} \\) (단, \\( i=1,2, \\cdots, m ; j=1,2, \\cdots, n \\) )를 직사각형 모양 \\[ A=\\left[\\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \\cdots & a_{1 n} \\\\ a_{21} & a_{22} & \\cdots & a_{2 n} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots \\\\ a_{m 1} & a_{m 2} & \\cdots & a_{m n} \\end{array}\\right] \\]으로 배열한 것을 \\( m \\times n \\) 행렬 (matrix)이라 하고, 행렬 \\( A \\) 의 수평선을 행 (row), 수직선을 열(column)이라 부른다.", "이때 \\( a_{i j} \\) 를 행렬 \\( A \\)의 \\( i \\)행, \\( j \\)열의 성분 (entry), 간단히 \\( i j \\) 성분 또는 \\( i j \\) 원소 (element)라 한다.", "</p><p>행렬 \\( A \\)의 모든 성분이 실수인 경우를 실행렬 (real matrix)이라 하고, 복소수인 경우를 복소행렬 (complex matrix)이라고 한다.", "행렬의 크기는 행과 열의 개수에 의하여 기술되며, 벡터는 오직 한 개의 행이나 열을 갖는 행렬이 된다.", "행렬은 알파벳의 대문자로 나타내고, 행렬의 성분은 소문자를 이용한다.", "이 책을 서술함에 있어서 특별한 언급이 없는 한, 행렬의 성분은 항상 실수로 가정한다.", "</p><p>예 1 \\( m \\times n \\) 행렬 \\( A \\) 에서 \\[\\left[\\begin{array}{llll}a_{i 1} & a_{i 2} & \\cdots & a_{i n}\\end{array}\\right](\\text { 단, } 1 \\leq i \\leq m)\\]을 \\( A \\)의 \\( i \\)행 ( \\( i \\)th row)이라 하고 \\[\\left[\\begin{array}{c}a_{1 j} \\\\a_{2 j} \\\\\\vdots \\\\a_{m j}\\end{array}\\right] \\quad(\\text { 단, } 1 \\leq j \\leq n)\\]을 \\( A \\)의 \\( j \\)열( \\( j \\)th column)이라고 한다.", "때로는 \\( A_{(i)} \\)를 \\( A \\)의 \\( i \\)행, \\( A^{(j)} \\)를 \\( A \\)의 \\( j \\)행으로 표기하며, 이때 \\[A=\\left[\\begin{array}{c}A_{(1)} \\\\A_{(2)} \\\\\\vdots \\\\A_{(m)}\\end{array}\\right]=\\left[A^{(1)} A^{(2)} \\cdots A^{(n)}\\right]\\] 으로 나타낸다.", "</p><p>일반적으로 \\( m \\)개의 행과 \\( n \\)개의 열을 갖는, 즉 크기가 \\( m \\times n \\)인 행렬 \\( A \\)를 간단히 \\[A=\\left[a_{i j}\\right]_{m \\times n}\\]로 표기한다.", "단, 행렬의 크기가 내용으로부터 명백하면 첨자는 생략하고 \\[A=\\left[a_{i j}\\right]\\]로 표기한다.", "특히 \\( m=n \\)인 행렬을 \\( n \\)차 정사각행렬 (square matrix)이라 하며, \\( n \\)차 정사각행렬 \\( A \\)의 대각선상에 위치해 있는 성분들 \\( a_{i j} \\) (단, \\( i=j \\) ), 즉 행과 열의 첨자가 같은 \\( a_{11}, a_{22}, \\cdots, a_{n n} \\)을 \\( A \\)의 주대각성분 (main diagonal entry), 간단히 대각성분 (diagonal entry) 또는 대각요소라고 한다.", "</p><p>정의 2 대각행렬 정사각행렬 \\( A \\)의 주대각성분 이외의 모든 성분이 0일 때 ( 0 아닌 성분은 대각선에만 있는 경우), \\( A \\)를 대각행렬(diagonal matrix)이라 하고, 보통 \\( D \\)로 표기한다.", "</p><p>주대각성분이 \\( a_{11}, a_{22}, \\cdots, a_{n n} \\)인 대각행렬 \\( A \\)를 \\[\\operatorname{diag}\\left[a_{11}, a_{22}, \\cdots, a_{n n}\\right]\\]으로 나타내기도 한다.", "특히 주대각성분이 모두 같은 대각행렬을 스칼라행렬 (scalar matrix)이라고 한다.", "</p><p>예 2 다음 3차 정사각행렬 \\[H=\\left[\\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\\\0 & 2 & 0 \\\\0 & 0 & 1\\end{array}\\right], \\quad I=\\left[\\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\0 & 1 & 0 \\\\0 & 0 & 1\\end{array}\\right]\\]은 모두 대각행렬이다.", "특히 \\( I \\)는 스칼라행렬이다.", "</p><p>정의 3 삼각행렬 대각성분보다 위에 놓여 있는 성분이 모두 0인 정사각행렬을 하삼각행렬 (lower triangular matrix)이라 하고, 대각성분보다 아래에 놓여 있는 성분이 모두 0인 정사각행렬을 상삼각행렬 (upper triangular matrix)이라 한다.", "하삼각 또는 상삼각행렬을 통틀어 삼각행렬 (triangular matrix)이라 한다.", "</p><p>일반적으로 3차 상삼각행렬은 \\[\\left[\\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\\0 & a_{22} & a_{23} \\\\0 & 0 & a_{33}\\end{array}\\right]\\]이고, 3차 하삼각행렬은 \\[\\left[\\begin{array}{ccc}a_{11} & 0 & 0 \\\\a_{21} & a_{22} & 0 \\\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\\end{array}\\right]\\]과 같은 형태로 주어진다.", "</p><p>예 3 행렬 \\( D\\), \\(L \\), \\(U \\), \\(R \\), \\(C \\), \\(A \\)가 각각 \\[\\begin{aligned} D=\\left[\\begin{array}{lll} 4 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 \\end{array}\\right], L=\\left[\\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 0 & 0 \\\\ 4 & 3 & 2 \\end{array}\\right], \\quad U=\\left[\\begin{array}{lll} 2 & 1 & 2 \\\\ 0 & 3 & 2 \\\\ 0 & 0 & 4 \\end{array}\\right], \\\\ R=\\left[\\begin{array}{lll}1 & 2 & 3\\end{array}\\right], \\quad C=\\left[\\begin{array}{l}2 \\\\ 4 \\\\ 3\\end{array}\\right], \\quad A=\\left[\\begin{array}{ccc}0 & 1 & 2 \\\\ 3 & 0 & 4 \\\\ 2 & 1 & 0\\end{array}\\right] \\end{aligned} \\] 으로 주어질 때<ol type=1 start=1><li>\\( D \\)는 대각행렬이다.", "</li><li>\\( L \\)은 하삼각행렬이고 \\( U \\)는 상삼각행렬이다.", "</li><li>\\( R \\)은 행 행렬 \\( (m=1) \\)이고 \\( C \\)는 열 행렬 \\( (n=1) \\)이다.", "</li><li>\\( D, L, U, A \\)는 정사각행렬이지만 \\( R, C \\)는 정사각행렬이 아니다.", "</li></ol></p> <p>종종 주어진 행렬 \\( A \\)의 부분행렬을 고려해야 할 필요가 있다.", "부분행렬이란 \\( A \\)의 일부 행과 열들을 제거하여 얻어진 행렬을 뜻한다.", "특별히 관심을 갖는 것은 행렬을 다른 부분행렬들로 분할하여 얻어진 부분행렬들이다.", "</p><p>예 4 행렬 \\[A=\\left[\\begin{array}{rrr:rr:r} 3 & 0 & 2 & 5 & 4 & -2 \\\\ -5 & 2 & 4 & 0 & 2 & 2 \\\\ \\hdashline-6 & -8 & 3 & 1 & 7 & -4 \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{lll} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\\\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\end{array}\\right]\\]에 대하여, \\( A_{11}=\\left[\\begin{array}{rrr}3 & 0 & 2 \\\\ -5 & 2 & 4\\end{array}\\right] \\)는 \\( A \\)의 \\( 2 \\times 3 \\) 부분행렬이고 \\( A_{12}=\\left[\\begin{array}{ll}5 & 4 \\\\ 0 & 2\\end{array}\\right] \\)는 \\( A \\)의 \\( 2 \\times 2 \\) 부분행렬이다.", "</p><p>참고 \\( m \\times n \\) 행렬 \\( A \\)의 부분행렬에 대하여 다음 표기법을 사용한다. \\", "[A^{(j)}=\\left[\\begin{array}{c} a_{1 j} \\\\ a_{2 j} \\\\ \\vdots \\\\ a_{m j} \\end{array}\\right] \\quad(\\text { 단, } 1 \\leq j \\leq n) \\] 는 \\( A \\)의 \\( j \\)번째 열이고, \\( A_{(i)}=\\left[\\begin{array}{ll}a_{i 1} & a_{i 2} \\cdots a_{i n}\\end{array}\\right] \\) (단, \\( 1 \\leq i \\leq m \\) )은 \\( A \\)의 \\( i \\)번째 행이다.", "</p><p>예 5 \\( m \\times n \\) 행렬 \\[ A=\\left[\\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \\cdots & a_{1 n} \\\\ a_{21} & a_{22} & \\cdots & a_{2 n} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots \\\\ a_{m 1} & a_{m 2} & \\cdots & a_{m n} \\end{array}\\right] \\]을 \\[ \\left[\\begin{array}{c}A_{(1)} \\\\ A_{(2)} \\\\ \\vdots \\\\ A_{(m)}\\end{array}\\right] \\text{ 또는 } \\left[ \\begin{array}{cccc}A^{(1)} &A^{(2)} &\\cdots &A^{(n)} \\end{array}\\right] \\]으로 표기한다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "412", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "선형대수학 입문_행렬", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-03e9-4f5e-be07-450ca87793b7", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961057219", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2013", "doc_author": [ "이병무" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>1.2 변수와 출력</h1><p>명령창 >>옆에 명령문을 입력하고 Enter를 치면 명령문이 수행되며 결과가 나타난다. 작업을 끝내려면 >>다음에 exit (", "또는 quit)을 친다.", "또한 프로그램이 실행 중에 중지하려면 Ctrl/c 를 누른다.", "명령문에서 \\( \\% \\) 다음에 있는 내용은 오직 설명문의 역할을 한다.", "명령문 끝에 쌍반점 ; 이 붙으면 변수의 값은 저장만 되고 출력되지 않는다.", "그러므로 프로그램 안에서 특별히 내용을 볼 필요가 없는 한 변수 끝에 쌍반점 ;를 붙여 변수의 값이 출력되지 않게 하는 것을 권장한다.", "</p><p>변수는 문자로 시작하며 문자, 숫자 그리고_로 구성한다.", "대문자와 소문자는 구별되며 미리 내장되어 있는 변수의 이름은 사용하지 않는 것이 바람직하다.", "사용된 변수와 함수는 새로 정의하지 않는 한 그대로 기억된다.", "clear 을 사용하면 정의된 내용이 모두 없어진다.", "현재까지 사용된 변수와 함수는 그대로 두고 현재 작업 중인 창을 깨끗이 비우려면 clc를 사용한다.", "</p><p>앞으로 계속 나오는 다음과 같이 상자 안에 있는 명령문에서 %이하는 설명을 위해 적은 것이니 직접 실행할 때는 입력할 필요가 없다.", "</p><p>가장 간단한 출력은 인용부호 ''를 이용하는 것이다.", "'' 안에 있는 문자를 있는 그대로 출력한다.", "형식을 갖추어서 출력하려면 fprintf()를 사용한다.", "() 안에 다음과 같은 선택사항을 사용하여 출력의 형태를 꾸밀 수 있다.", "</p><p>i, f, %n.m, \\n, \\t</p><p>여기서 i는 정수, f는 소수를 표현하는 기호이다. \\%", "ni은 대응하는 정수를 n자리수로 나타내고, \\%n.mf은 대응하는 실수를 전체 n자리수로 표현하되 이중 m개의 소수점 자리수를 갖게 한다. \\", "n은 다음 줄로 이동하여 출력하고, \\t는 탭만큼 간격을 주어 출력하게 한다.", "</p> <h1>1.9 그래프 그리기</h1><p>그래프를 그리는 명령어 중 직교좌표와 극좌표에 대한 것은 다음과 같다.", "</p><p>plot, polar</p><p>같은 크기의 벡터 \\( x=\\left(x_{i}\\right), y=\\left(y_{i}\\right) \\) 일 때 \\( \\operatorname{plot}(x, y) \\) 는 직교좌표에서 점 \\( \\left(x_{i}, y_{i}\\right) \\) 을 직선으로 연결한 그래프이다.", "마찬가지로 \\( t=\\left(t_{i}\\right), r=\\left(r_{i}\\right) \\) 일 때 \\( \\operatorname{polar}(t, r) \\) 는 사잇각이 \\( \\mathrm{t} \\) 이고 크기가 \\( r \\) 인 극좌표 그래프이다.", "</p><p>\\( [a, b] \\) 위에서 \\( y=f(x) \\) 의 그래프를 그리려면, \\( [a, b] \\) 를 균등하게 나눈 점을 \\( x \\) 에 저장하고 \\( y=f(x) \\) 로 정의한 후 \\( \\operatorname{plot}(x, y) \\) 하면 된다.", "</p><p>그래프를 꾸미는 명령어와 선택사항은 다음과 같다.", "</p><p>axis, grid, xlabel, ylabel, title, text</p><p>axis는 축에 관련된 선택사항으로 axis([xmin xmax ymin ymax]) 은 \\( \\mathrm{x} \\) 축과 \\( \\mathrm{y} \\) 축의 범위, axis auto(square, equal)은 \\( x \\) 축과 \\( y \\) 축의 비율, axis on(off)은 축을 나타내는지의 여부를 나타낸다.", "grid off(on)는 격자선, xlabel('\\( 0 \\) \\leq \\{\\itt\\} \\leq \\( 2 \\) \\pi')과 ylabel('sin(\\(x\\))')은 축의 이름, title('y=sin(x)의 그래프', 'FontSize', \\( 12 \\))은 그림의 이름을 나타내며 그림 안에 설명문을 넣을 때는 text( \\(1\\), \\(-0.2\\), '{주기는 \\( 2\\) \\pi}')를 이용한다. \\", "leq는 \\( \\leq\\), \\it는 이태릭체. \\", "pi는 \\( \\pi \\) 를 뜻한다. \\", "( 1,-0.2 \\) 는 \\( (1,-0.2) \\) 에서부터 설명문을 시작한다는 뜻이다.", "</p><p>두 개 이상의 그래프를 함께 그릴 수 있고 각 그래프의 범례를 legend를 이용하여 만들 수 있다.", "</p><p>그래프 \\( \\operatorname{plot}(\\mathrm{x}, \\mathrm{y} \\), '속성')의 속성을 나타내는 선택사항은 다음과 같다.", "</p><p>색상 'c', 'm', 'y', 'r', 'g', 'b', 'w', 'k'</p><p>선 '-', '-_', ':', '-.' , :</p><p>표시 '+', 'o', '*', 'x', 's', 'd', '^', 'v', '〉', '〈', 'p', 'h'</p><p>hold on은 그림을 한 창에 계속 겹치게 한다.", "끝내려면 hold off를 한다.", "</p><p>\\( y=f(x), x \\in[a, b] \\) 의 그래프를 \\( \\mathrm{x} \\) 와 \\( \\mathrm{y} \\) 벡터를 만들지 않고 다음 명령어를 이용하여 바로 그릴 수 있다.", "fplot('함수’, '범위’, '속성')와 같이 사용한다.", "</p><p>화면을 새로 만들거나 분할하는 명령어는 다음과 같다.", "</p><p>figure, subplot</p><p>figure는 새로운 화면을 추가한다.", "figure(n)은 만들어진 화면 중 Figure n 화면을 활성화한다.", "subplot( \\( (\\mathrm{m}, \\mathrm{n}, \\mathrm{p}) \\) 은 현 화면을 \\( \\mathrm{mx} \\mathrm{n} \\) 으로 분할하여 \\( \\mathrm{p} \\) 번째 화면에 그래프를 삽입한다.", "</p><p>\\( z=f(x, y) \\) 와 같은 \\( 3 \\) 차원의 그래프는 다음 명령어로 그릴 수 있다.", "</p><p>plot3, mesh, surf</p><p>영역 \\( [a, b] \\times[c, d] \\) 를 \\( 0.1 \\) 의 간격으로 잘게 나눈 결과는 \\( [x, y]=\\operatorname{meshgrid}(\\mathrm{a}: 0.1: \\mathrm{b} \\), c: 0.1: d)로 \\( [x, y] \\) 에 저장한 후 \\( z=f(x, y) \\) 를 구하여 위 명령어에 입력하면 된다.", "예를들어 \\( z=x^{2}+y^{2},-5 \\leq x \\leq 5, \\quad-5 \\) ley \\( \\leq 5 \\) 의 그래프는 다음과 같이 그릴 수 있다.", "</p> <h1>1.3 연산자와 자릿수 표현</h1><p>사칙 및 거듭제곱의 연산은 차례로 기호 \\( +, -, *, /,^ \\)를 사용한다.", "변수로 지정되지 않은 결과는 ans에 저장되어 출력된다.", "</p><p>크기를 나타내는 관계연산자는 \\( \\langle, \\langle= ,\\rangle,\\rangle=,==, \\sim= \\) '그리고, 또는, 부정'을 나타내는 논리연산자는 각각 \\( &, |, ~ \\)을 사용한다.", "출력에서 \\( 1 \\)은 참, \\( 0 \\)은 거짓을 대신한다.", "</p><p>수의 자릿수를 조절하기 위하여 format을 사용하며 short, long과 함께 사용한다.", "format 또는 format short는 일반적으로 소수점을 포함하여 \\( 6 \\)자리를 표현(일배정도, single precision)하며, format long은 \\( 14 \\)자리로 나타낸다(이배정도, double precision).", "</p><h1>1.4 수학함수</h1><p>옥타브에는 다음과 같은 기호가 내장되어 있다.", "</p><p>e, pi, lnf, i, NaN</p><p>e는 무리수 \\( 2.718281828459045 \\cdots,\\)pi 는 원주율 \\( \\pi, \\operatorname{Inf} \\) 는 무한대 \\( \\infty\\), i는 복소수 \\( \\sqrt{-1} \\) 이며, NaN는 값이 결정되지 않은 부정이나 불능을 나타낸다.", "내장된 오차에 관련한 함수는 다음과 같다.", "</p><p>fix, floor, ceil, round</p><p>fix()는 수의 소수점 이하를 절단하고, floor()은 바로 아래 정수, ceil()은 바로 위 정수가 되며, round()는 반올림한다.", "</p><p>지수와 로그 그리고 제곱근 등에 관련된 함수는 다음과 같다.", "함수 이름 다음에는 반드시 \\( 0 \\)을 사용하여 그 안에 변수를 입력한다.", "</p><p>exp, log, log\\(10\\),log\\(2\\), sqrt, factorial</p><p>exp()는 밑수를 e로 하는 지수함수, log()는 밑수를 e로 하는 자연로그함수 log(),log\\(10\\)()은 밑수를 \\( 10 \\) 으로 하는 상용로그함수, log\\(2 \\) 는 밑수를 \\( 2 \\) 로 하는 로그함수이다.", "sqrt는 제곱근을 나타내며 factorial(n)은 계승 n!을 나타낸다.", "</p><p>삼각함수와 쌍곡선함수에 관련된 함수는 다음과 같다.", "</p><p>cos, sin, tan, sec, csc, cot</p><p>acos, asin, atan, asec, acsc, acot</p><p>cosh, sinh, tanh, sech, csch, coth</p><p>acosh, asinh, atanh, asech, acsch, acoth</p><p>앞에 a가 있는 함수는 역함수이며 뒤에 h가 있는 함수는 쌍곡선함수이다.", "</p><p>복소수에 관련된 함수는 다음과 같다.", "</p><p>abs, real, imag, angle, conj</p><p>abs()는 복소수의 크기, real()은 실수부분, imag()은 허수부분, angle()은 편각, conj()은 켤레복소수를 나타낸다.", "즉 \\( z=a+b i \\) 이면 \\( \\operatorname{abs}(\\mathrm{z})=\\sqrt{a^{2}+b^{2}}, \\operatorname{real}(\\mathrm{z})=a, \\operatorname{imag}(\\mathrm{z})=b \\), angle \\( (\\mathrm{z})=\\tan ^{-1}(b / a), \\operatorname{conj}(\\mathrm{z})=a-b i \\) 가 된다.", "</p> <h1>1.7 조건문과 반복문</h1><p>조건을 만족하면 실행하는 명령문의 가장 간단한 형태는 if/ end이며 일반형은 if/ else/ end이다.", "중첩될 경우 elseif를 추가한다.", "구문이 끝날 때는 반드시 end를 사용하여 문장이 끝났음을 알려준다.", "</p><p>조건을 만족하면 반복하여 실행하는 반복문은 for/ end와 while/ end가 있다.", "</p><p>다음은 벡터 \\( x, y \\in R^{n} \\) 의 곱 \\( \\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i} \\) 을 출력하는 명령문이다.", "</p><h1>1.8 M-파일 함수문</h1><p>M-파일 함수문이란 C 의 서브루틴과 같은 프로그램으로 독립된 파일이며 확장자를 .m을 갖는다.", "함수문에서 파일의 내용을 알려주거나 대화를 통한 명령어는 다음과 같다.", "</p><p>disp, input, error</p><p>disp는 ans을 출력하지 않고, input은 사용자의 입력을 기다리며, error은 실행을 정지한다.", "</p><p>M-파일을 만들려면 우선 창 위에 있는 메뉴의 File-New-New Function을 클릭한다.", "새로 만들 파일의 이름, 예를 들어 'func_exam\\(1\\)'을 주면 다음과 같은 창이 뜬다.", "</p><p>이 창에 프로그램을 작성한다.", "func_exam\\(1\\)은 이미 정의한 함수 이름이자 파일 이름이니 건드리지 말고 출력 retval과 입력 input\\(1\\), input\\(2\\)의 이름은 변수의 의미를 가능한 표현하는 단어로 정하면 된다.", "프로그램을 완성했으면 저장하고 명령창에서 실행하면 된다.", "</p><p>예를 들면 위 상단에 보듯이 옥타브 프로그램 저장을 위한 디랙토리를 아래와 같이 설정하여 Octave 아래에 저장한다.", "자신의 컴퓨터의 설정에 따라 다를 수 있으나 옥타브만을 위한 별도의 디랙토리를 만들어 좋기를 권장한다.", "</p><p>C:Users \\USER\\Octave</p><p>위 Current Directory: 옆에 C:\\Users\\USER\\Octave이 된 상태의 명령창에서 실행해야 한다.", "</p><p>예제 \\( 1.1 \\)</p><p>\\( 100 \\)점 만점에 \\( 80 \\)점 이상이면 'Exellent', 그렇지 않으면 'Need Effort'를 함수문 안에서 출력하는 함수문 grade\\(1\\).m을 작성하라.", "</p><p>프로그램 아래와 같은 M-파일문을 grade\\(1\\).m으로 \\Octave 디렉토리에 저장하고 명령창에서 입력값을 준 후 실행한다.", "</p><p>입력을 생략하고 함수문 안에서 직접 점수를 입력 받으려면 input () 을 이용한다.", "</p><p>예제 \\( 1.2 \\)</p><p>\\( \\mathrm{n} 1 \\) 에서 \\( \\mathrm{n} 2 \\) 까지 k의 간격으로 모두 합한 값을 출력하는 함수문 sum_n\\( 1 \\)_n\\( 2 \\).m을 작성하라. 단 \\( \\mathrm{n} 1>", "\\mathrm{n} 2 \\) 이고 \\( \\mathrm{k} \\) 는 양의 정수이다.", "</p><p>예제 \\( 1.3 \\)</p><p>벡터 \\( x \\in R^{n} \\) 의 성분의 합 \\( \\sum_{i=1}^{n} x_{i} \\) 을 출력하는 함수문 sum_vctor.m을 작성하자.", "</p><p>예제 \\( 1.4 \\)</p><p>벡터 \\( x, y \\in R^{n} \\) 의 내적 \\( x \\cdot y=\\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i} \\) 을 출력하는 함수문 xdoty.m을 작성하자.", "여기서 함수문을 사용하지 않고도 함수를 정의할 수 있다.", "</p><p>수식', eval, inline, feval</p><p>함수의 정의는 간단히 f_name = '수식'처럼 정의한 후 변수의 값을 정하고 eval(f)로 함수 그 변수의 'f'의 값을 출력할 수 있다. 또는 변수를 함께 주는 f-name = inline('수식' ' \\( x1',..., 'xn' \\))으로 정의하고 특정한 값 \\(x1,..., xn\\)에서의 함숫값은 f-name (\\(\\mathrm{x} 1, \\ldots, \\mathrm{xn}\\)) 또는 feval(f_name, \\( x1, ..., xn \\))로 출력할 수 있다.", "</p> <h1>1.6 행렬방정식에 필요한 명령어</h1><p>행렬방정식에서 주로 다루는 주제는 연립방정식 \\( A x=b \\) 의 해와 고유치방정식 \\( A x=\\lambda x \\) 의 고유치와 고유벡터를 구하는 것이다.", "이것을 위하여 행렬을 분해한다.", "기본적인 명령어는 다음과 같다.", "</p><p>inv, det, norm, eig, hillo, rosser</p><p>inv() 는 역행렬을 나타낸다.", "따라서 \\( A x=b \\) 의 해는 \\( x=A^{-1} b \\) 이므로 \\( \\mathrm{x}=\\operatorname{inv}(A) * \\mathrm{~b} \\) 또는 \\( \\mathrm{x}=A \\backslash \\mathrm{b} \\) 가 된다.", "det 는 행렬식, norm은 행렬(또는 벡터)의 노름을 나타낸다.", "norm(\\(A\\)) 는 \\( 2 \\)-노름이며 그 외 norm(\\(A\\),\\(1\\)), norm(\\(A\\),inf), norm(\\(A\\),\bp) norm(\\(A\\),'fro')이 있다.", "hilb()는 \\(i\\)행 \\(j\\)열의 성분이 \\( \\frac{1}{i+j-1} \\) 인 힐버트 행렬이다.", "eig0은 고유치와 고유벡터를 알려준다.", "rosser는 크기가 \\( 8 \\) 인 시험용 대칭행렬이다.", "</p><p>선형대수학에서 사용되는 중요한 명령어는 다음과 같다.", "</p><p>trace, cond, null, orth, poly, rank, rref, chol, lu, qr</p><p>trace(\\( A \\))는 행렬 \\( A \\) 의 대각성분의 합이고, cond(\\(A\\))는 조건상수 \\( \\|A\\| /\\left\\|A^{-1}\\right\\| \\) 이다.", "null(A) 는 \\( A \\) 의 영공간 \\( \\{x \\mid A x=0\\}\\), orth(\\(A\\)) 는 \\( A \\) 의 열벡터로 생성된 직교행렬이다.", "poly(\\(A\\)) \\(A\\)의 특성다항식의 계수를 내림차순으로 나열한 것이며 rank(\\(A\\)) 는 \\( A \\) 의 일차독립인 열벡터의 수이다.", "rref(\\(A\\)) 는 \\( A \\) 의 축소된 사다리꼴 형태이다.", "chol(\\(A\\)) 의 솔레스키 분해이며, lu(\\(A\\))는 \\( A \\) 의 LU 분해 그리고 qr(\\(A\\)) 는 \\( A \\) 의 QR분해이다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "410", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "옥타브로 배우는 인공지능을 위한 기초수학_옥타브 사용하기", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-10e1-4719-b42d-4ca18313e55f", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160734089", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2020", "doc_author": [ "이규봉" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h2>연 습 문 제 10.1</h2><p>\\(1\\).", "다음 반복적분의 값을 구하여라.", "<ol type=1 start=1><li>\\( \\int_{0}^{1} \\int_{0}^{1} e^{x+y} d x d y \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{1} \\int_{1}^{5} \\frac{1}{r} d r d s \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{\\pi} \\int_{0}^{x} x \\sin y d y d x \\)</li><li>\\( \\int_{1}^{3} \\int_{0}^{x} \\frac{2}{x^{2}+y^{2}} d y d x \\)</li></ol></p><p>\\(2\\).", "다음 반복적분의 값을 구하여라.", "<ol type=1 start=1><li>\\( \\int_{0}^{3} \\int_{0}^{3} \\int_{0}^{3}(y-x z) d z d y d x \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\int_{0}^{1} \\int_{0}^{\\sqrt{1-x^{2}}} x \\cos z d y d x d z \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{\\ln 3} \\int_{0}^{1} \\int_{0}^{y}\\left(z^{2}+1\\right) e^{y^{2}} d x d z d y \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\int_{0}^{z} \\int_{0}^{y} \\sin (x+y+z) d x d y d z \\)</li></ol></p><p>\\(3\\).", "다음 이중적분을 반복적분으로 표현하고, 값을 구하여라.", "<ol type=1 start=1><li>\\( R \\) 이 네 개의 직선 \\( x=2, x=3, y=4, y=6 \\) 으로 둘러싸인 직사각형 영역일 때 \\( \\iint_{R}(x+y) d A \\)</li><li>\\( R \\) 이 세 개의 직선 \\( y=2 x, x=0, y=4 \\) 로 둘러싸인 삼각형 영역일 때 \\( \\iint_{R}(x+y) d A \\)</li><li>\\( R \\) 이 \\( [-1,1] \\) 위의 \\( x \\) 축과 포물선 \\( y=4-x^{2} \\) 사이의 영역일 때 \\( \\iint_{R} x y^{2} d A \\)</li><li>\\( R \\) 이 원 \\( x^{2}+y^{2}=1 \\) 의 내부에서 직선 \\( y=1-x \\) 위쪽부분 영역일 때 \\( \\iint_{R} x y^{2} d A \\)</li></ol></p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "미적분학_다중적분", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-0ba8-487f-8e33-4b613e68eb5e", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961052009", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2009", "doc_author": [ "강윤수", "김권욱", "송영무", "신향근", "양기열", "정권수" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h2>4.3 \\(\\chi^{2} \\)-분포, \\( t \\)-분포, \\( F \\)-분포</h2><p>이 절에서는 표본분포로서 자주 나오는 몇가지 분포를 소개한다.", "특히, 이 표본분포는 통계추정과 가걸검정론의 핵심적인 역할을 한다.", "첫 번째로 \\( \\chi^{2} \\)-분포, 두 번째로 Student의 \\( t \\)-분포, 마지막으로 Snedecor의 \\( F \\)-분포를 소개한다.", "먼저 \\( \\chi^{2} \\)-분포를 설명한다. \\", "( \\chi^{2} \\)-분포는 이미 앞에서 설명하였으므로 다시 정리하면, \\( \\chi^{2} \\)-분포는 다음과 같다.", "</p><p>定義 \\(4.15\\) 확률변수 \\( X \\)의 확률밀도함수가 \\( f(x ; \\nu)=\\left\\{\\begin{array}{ll}\\frac{1}{\\Gamma\\left(\\frac{\\nu}{2}\\right) 2^{\\frac{1}{2}}} x^{\\frac{\\nu}{2}-1} e^{-\\frac{x}{2}}, & 0<x<\\infty \\\\ 0, & -\\infty<x<0\\end{array}\\right. \\)이면, \\( X \\)는 자유도 \\( \\nu \\)를 갖는 \\( \\chi^{2} \\)-분포에 따른다고 하고, 기호로 \\( X \\sim \\chi^{2}(\\nu) \\)라 쓰기로 한다.", "</p><p>\\( \\chi^{2} \\)-분포의 평균, 분산 및 적률모함수는 유도하여 보자.", "평균, 분산 및 적률모함수는 이미 앞에서 증명하였으므로 여기에서는 \\( X \\)의 제 \\( n \\)차 적률 \\( E\\left(X^{n}\\right) \\)을 구해 보자.", "</p><p>定理 \\(4.7\\) \\( X \\sim \\chi^{2}(\\nu) \\)라 하면,<ol type=1 start=1><li>\\( E(X)=\\nu \\)</li><li>\\( \\operatorname{Var}(X)=2 \\nu \\)</li><li>\\( X \\)의 적률모함수는 \\( M_{X}(t)=(1-2 t)^{-\\frac{v}{2}} \\)이다.", "</li><li>\\( X \\)의 제 \\( n \\)차 적률모함수는 \\( E\\left(X^{n}\\right)=2^{n} \\frac{\\Gamma\\left(\\frac{\\nu}{2}+n\\right)}{\\Gamma\\left(\\frac{\\nu}{2}\\right)} \\)이다.", "</li></ol></p><p>登明 \\((4)\\)번만 증명하기로 한다.", "<p>\\( \\begin{aligned} E\\left(X^{n}\\right) &=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} x^{n} f(x ; \\nu) d x \\\\ &=\\int_{0}^{+\\infty} x^{n} \\frac{1}{\\Gamma\\left(\\frac{\\nu}{2}\\right) 2^{\\frac{1}{2}}} x^{\\frac{\\nu}{2}-1} e^{-\\frac{x}{2}} d x \\end{aligned} \\)이다.", "여기서 변수변환 \\( z=\\frac{\\nu}{2} \\)을 이용하면, 위의 적분은 \\( \\begin{aligned} E\\left(X^{n}\\right) &=\\frac{1}{\\Gamma\\left(\\frac{\\nu}{2}\\right) 2^{\\frac{\\nu}{2}}} \\int_{0}^{+\\infty}(2 z)^{n}(2 z)^{\\frac{\\nu}{2}-1} e^{-z} 2 d z \\\\ &=\\frac{2^{n}}{\\Gamma\\left(\\frac{\\nu}{2}\\right)} \\int_{0}^{+\\infty} z^{\\left(\\frac{\\nu}{2}+n\\right)-1} e^{-z} d z \\\\ &=2^{n} \\frac{\\Gamma\\left(\\frac{\\nu}{2}+n\\right)}{\\Gamma\\left(\\frac{\\nu}{2}\\right)} \\end{aligned} \\)이다.", "</p> <p>이 정리로부터 정규모집단에서 추출한 확률표본들의 일차결합된 확률변수 \\( Y \\)의 확률분포는 다시 정규분포에 따른다는 것을 알 수 있다.", "이때, 일차결합된 확률변수 \\( Y \\)의 평균과 분산은 각각의 확률표본의 평균과 분산의 합으로 표시된다는 것이다.", "더욱이, 이 정리에서 확률표본의 평균이 모두 같은 \\( \\mu \\)이고, 또한 분산 모두 같은 \\( \\sigma^{2} \\)이면, 일차결합된 확률변수 \\( Y \\)의 확률분포는 정리 \\( 4.6 \\)의 특별한 경우가 되는데, 그 결과는 다음과 같다.", "</p><p>系 \\(4.3\\) \\( X_{i}(i=1,2, \\cdots, n) \\)는 평균이 \\( \\mu<\\infty \\)이고 분산이 \\( \\sigma^{2}<\\infty \\)인 분포에 따르는 정규모집단 \\( N\\left(\\mu, \\sigma^{2}\\right) \\)에서 추출한 크기 \\( n \\)인 확률표본이라 하자.", "이때, 확률변수 \\( Y \\)를 \\( Y=\\sum_{i=1}^{n} a_{i} X_{i} \\)라 하면, \\( Y \\)의 확률분포는 \\( Y=\\sum_{i=1}^{n} a_{i} X_{i} \\sim N\\left(\\mu \\sum_{i=1}^{n} a_{i}, \\sigma^{2} \\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}\\right) \\)이다.", "</p><p>登明 앞의 정리 \\( 4.6 \\)에 의하면, \\( \\mu_{i}=\\mu \\)이고 \\( \\sigma_{i}^{2}=\\sigma^{2} \\)인 경우이므로, 이 식을 정리의 결과에 대입하면 쉽게 증명이 된다.", "</p><p>이제 위의 계를 이용하여, 표본평균에 적용하여 보자.", "</p><p>系 \\(4.4\\) \\( X_{i}(i=1,2, \\cdots, n) \\)는 평균이 \\( \\mu<+\\infty \\)이고 분산이 \\( \\sigma^{2}<+\\infty \\)인 분포에 따르는 정규모집단 \\( N\\left(\\mu, \\sigma^{2}\\right) \\)에서 추출한 크기 \\( n \\)인 학률표본이라 하자.", "이때, 표본 평균을 \\( \\bar{X} \\)라 하면, \\( \\bar{X} \\)의 학률분포는 다음과 같다.", "</p><p>\\( \\bar{X} \\sim N\\left(\\mu, \\frac{\\sigma^{2}}{n}\\right) \\)</p><p>證明 \\( \\bar{X} \\)의 적률모함수를 이용하여 증명하면, \\( \\begin{aligned} M_{\\bar{X}}(t) &=E\\left(e^{t \\bar{X}}\\right) \\\\ &=E\\left(\\exp \\left\\{\\frac{t}{n} \\sum_{i=1}^{n} X_{i}\\right\\}\\right) \\\\ &=\\prod_{i=1}^{n} E\\left(e^{\\frac{x_{i}}{n} t}\\right) \\\\ &=\\prod_{i=1}^{n} M_{X_{i}}\\left(\\frac{t}{n}\\right) \\\\ &=\\prod_{i=1}^{n} e^{\\mu \\frac{t}{n}+\\frac{1}{2} \\sigma^{2} \\frac{t^{2}}{n^{2}}} \\\\ &=e^{\\mu t+\\frac{1}{2}\\left(\\frac{\\sigma^{2}}{n}\\right) t^{2}} \\end{aligned} \\)이다.", "이로부터, \\( \\bar{X} \\)의 확률분포는 평균이 \\( \\mu \\)이고 분산이 \\( \\frac{\\sigma^{2}}{n} \\)인 정규분포 즉, \\( \\bar{X} \\sim N\\left(\\mu, \\frac{\\sigma^{2}}{n}\\right) \\)임을 알 수 있다.", "</p> <p>定義 \\(4.8\\) \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)은 같은 확률밀도함수 \\( f(x) \\)를 갖는모집단에서 추출한 크기 \\( n \\)인 확률표본이라 하자.", "확률표본 \\( X_{1}, X_{2}, X_{3}, \\cdots, X_{n} \\)의 관찰값을 각각 \\( x_{1} \\), \\( x_{2}, x_{3}, \\cdots, x_{n} \\)이라 하면 이 관찰값의 분산은 기호로 \\( s^{2} \\)으로 나타내고 \\( s^{2}=\\frac{1}{n-1} \\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2} \\)이다.", "또한 관찰값의 표본표준편차 \\( s \\)는 \\( s=\\sqrt{s^{2}}=\\sqrt{\\frac{1}{n-1} \\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}} \\)로 정의한다.", "</p><p>問题 \\( 1\\) \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)은 같은 확률밀도함수 \\( f(x) \\)를 갖는 모집단에서 추출한 크기 \\( n \\)인 확률표본이라 하면, 표본평균 \\( \\bar{X}=\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} X_{i} \\)는 통계량이다.", "</p><p>여기서 주의하여야할 것은 표본분산의 정의에서 확률표본의 개수는 분명히 \\( n \\)개여서 분모가 \\( n \\)이 되어야 할 것 같지만 분명히 분모는 \\( n-1 \\)이 된다는 사실이다.", "이러한 이유는 바로 자유도(degree of freedom) 개념 때문이다.", "자유도란, 말 그대로 자유롭게 움직일 수 있는 변수의 개수를 뜻한다.", "이 자유도 개념을 이용하여 표본분산의 분모가 \\( n-1 \\)이 되는 이유를 밝혀보자.", "확률표본 \\( X_{1}, X_{2}, X_{3}, \\cdots, X_{n} \\)의 관찰값을 각각 \\( x_{1}, x_{2}, x_{3}, \\cdots, x_{n} \\)이라 하고, 관찰값의 표본평균을 \\( \\bar{x}=\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} x_{i} \\)라 하자.", "그런데, 각 관찰값에서 표본평균을 때주고 합한 값은 항상 영(zero)이다.", "즉, \\( \\begin{aligned}\\left(x_{1}-\\bar{x}\\right)+\\left(x_{2}-\\bar{x}\\right)+\\cdots+\\left(x_{n}-\\bar{x}\\right) &=\\sum_{i=1}^{n} x_{i}-n \\bar{x} \\\\ &=n \\bar{x}-n \\bar{x} \\\\ &=0 \\end{aligned} \\)이다.", "이 결과를 이용하면, \\( n \\)개의 각 요소 \\( x_{i}-\\bar{x} \\)의 값을 모두 다 알 필요가 없다.", "왜냐하면, \\( n \\)개 중에서 어느 하나의 요소값을 모른다면 즉, \\( k \\)-번째 값을 모른다면, 위의 성질에 의해서 \\( -\\left(x_{k}-\\bar{x}\\right)=\\left(x_{1}-\\bar{x}\\right)+\\cdots+\\left(x_{k-1}-\\bar{x}\\right)+\\left(x_{k+1}-\\bar{x}\\right)+\\cdots+\\left(x_{n}-\\bar{x}\\right) \\)이고 이식의 우변의 값은 이미 알고 있으므로 좌변의 값도 알 수 있다.", "따라서, \\( n \\)개의 값중 적어도 \\( n-1 \\)의 값을 알면 나머지 한개의 값은 자연스럽게 결정되므로 이런 이유로 표본분산을 정의 할때 분모가 \\( n \\)이 되지 않고 \\( n-1 \\)이 된다는 사실이다.", "</p><p>표본분산을 간단히 계산하면</p><p>\\( \\begin{aligned} S^{2} &=\\frac{1}{n-1} \\sum_{i=1}^{n}\\left(X_{i}-\\bar{X}\\right)^{2} \\\\ &=\\frac{1}{n-1} \\sum_{i=1}^{n}\\left(X_{i}^{2}-2 X_{i} \\bar{X}+\\bar{X}^{2}\\right) \\\\ &=\\frac{1}{n-1}\\left(\\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}-2 \\bar{X} \\sum_{i=1}^{n} X_{i}+\\sum_{i=1}^{n} \\bar{X}^{2}\\right) \\\\ &=\\frac{1}{n-1}\\left(\\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}-2 n \\bar{X}\\left(\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} X_{i}\\right)+n \\bar{X}^{2}\\right) \\\\ &=\\frac{1}{n-1}\\left(\\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}-n \\bar{X}^{2}\\right) \\end{aligned} \\)</p><p>이다.", "또한, 확률변수와 관찰값에 대한 표본표준편차는 각각 \\( S=\\sqrt{\\frac{1}{n-1}\\left(\\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}-n \\bar{X}^{2}\\right)} \\) \\( s=\\sqrt{\\frac{1}{n-1}\\left(\\sum_{i=1}^{n} s_{i}^{2}-n \\bar{s}^{2}\\right)} \\)이다.", "이제 불편분산을 정의하여 보자.", "</p><p>定義 \\(4.9\\) \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)은 같은 확률밀도함수 \\( f(x) \\)를 갖는 모집단에서 추출한 크기 \\( n \\)인 확률표본이라 하자.", "이때, 불편분산(unbiased deviation) \\( U^{2} \\)을 \\( U^{2}=\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n}\\left(X_{i}-\\bar{X}\\right)^{2} \\)으로, 확률표본의 불편표준편차(unbiased standard deviation) \\( U \\)는 \\( U=\\sqrt{U^{2}}=\\sqrt{\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n}\\left(X_{i}-\\bar{X}\\right)^{2}} \\)로 정의한다.", "</p><p>定義 \\(4.10\\) \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)은 같은 확률밀도함수 \\( f(x) \\)를 갖는 모집단에서 추출한 크기 \\( n \\)인 확률표본이라 하자.", "확률표본 \\( X_{1}, X_{2}, X_{3}, \\cdots, X_{n} \\)의 관찰값을 각각 \\( x_{1}, x_{2}, x_{3}, \\cdots, x_{n} \\)이라 하면 이 관찰값의 불편분산 \\( u^{2} \\)을 \\( u^{2}=\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2} \\)으로, 관찰값의 불편표준편차 \\( u \\)는 \\( u=\\sqrt{u^{2}}=\\sqrt{\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}} \\)로 정의한다.", "</p><p>표본분산과 마찬가지로 불편분산을 전개하여 간단히 정리하면, 다음과 같다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} U &=\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}-\\bar{X}^{2} \\\\ u &=\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-\\bar{x}^{2} \\end{aligned} \\)</p><p>표본평균의 평균과 분산, 그리고 표본분산의 평균과 분산을 구해보자.", "</p> <p>定理 \\(4.1\\) 확률밀도함수 \\( f(x) \\)와 평균 \\( \\mu \\), 분산 \\( \\sigma^{2} \\)을 갖는 모집단에서 추출한 크기 \\( n \\)인 확률표본을 \\( X_{1}, X_{2}, X_{3}, \\cdots, X_{n} \\)이라 하면, \\( X \\)의 기댓값 \\( E(\\bar{X}) \\)와 분산 \\( \\operatorname{Var}(\\bar{X}) \\)는 각각 \\( E(\\bar{X})=\\mu \\)이고 \\( \\operatorname{Var}(\\bar{X})=\\frac{\\sigma^{2}}{n} \\)이다.", "</p><p>먼저 표본평균의 평균은 \\( \\begin{aligned} E(\\bar{X}) &=E\\left(\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} X_{i}\\right) \\\\ &=\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} E\\left(X_{i}\\right) \\\\ &=\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} \\mu \\\\ &=\\mu \\end{aligned} \\)이고, 표본분산의 분산은 \\( \\begin{aligned} \\operatorname{Var}(\\bar{X}) &=\\operatorname{Var}\\left(\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} X_{i}\\right) \\\\ &=\\frac{1}{n^{2}} \\operatorname{Var}\\left(\\sum_{i=1}^{n} X_{i}\\right) \\\\ &=\\frac{1}{n^{2}} \\sum_{i=1}^{n} \\operatorname{Var}\\left(X_{i}\\right) \\\\ &=\\frac{1}{n^{2}} \\sum_{i=1}^{n} \\sigma^{2} \\\\ &=\\frac{\\sigma^{2}}{n} \\end{aligned} \\)이다.", "</p><p>問題 \\( 2\\) \\(X_{i} \\sim \\operatorname{BIN}(1, p)(i=1,2, \\cdots, n) \\)인 확률표본이라 하자.", "그러면, \\( E\\left(X_{i}\\right)=p \\), \\( \\operatorname{Var}\\left(X_{i}\\right)=p q \\)이다.", "이 경우, 표본평균 \\( \\bar{X} \\)은 표본비율 \\( \\hat{p}=\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} X_{i} \\)이다.", "여기서 표본비율의 평균과 분산을 구하여라.", "</p><p>解答 표본비율의 평균은 \\( \\begin{aligned} E(\\hat{p}) &=E\\left(\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} X_{i}\\right) \\\\ &=\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} E\\left(X_{i}\\right) \\\\ &=\\frac{1}{n}(n p) \\\\ &=p \\end{aligned} \\)이다.", "또한 표본비율 \\( \\hat{p} \\)의 분산은 다음과 같다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} \\operatorname{Var}(\\hat{p}) &=\\operatorname{Var}\\left(\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} X_{i}\\right) \\\\ &=\\frac{1}{n^{2}} \\sum_{i=1}^{n} \\operatorname{Var}\\left(X_{i}\\right) \\\\ &=\\frac{1}{n^{2}}(n p q) \\\\ &=\\frac{p q}{n} \\end{aligned} \\).", "</p> <h1>제 4 장 표본분포와 중심극한정리</h1><h2>4.1 표본분포</h2><p>이 장에서는 극한분포와 관련있는 여러가지 정리, 표본의 확률분포, 통계적 추정과 가설검정에서 많이 사용하는 \\( \\chi^{2} \\)-분포, \\( t \\)-분포, \\( F \\)-분포 등을 소개한다.", "주어진 확률변수열이 특정 분포에 따른다는 가정 하에서 극한분포를 구하는 문제는 확률변수들을 적당히 변형하여 극한을 취했을 때, 궁극적으로 어떤 확률분포로 수렴하는가를 밝히는 과정이다.", "이러한 조작을 가하기 위해서는 주어진 확률변수열에 대한 중요한 몇가지 가정이 필요하다.", "특히, 극한분포 중에서도 중심극한정리는 표본의 극한분포를 추정할 때 가장 많이 쓰이는 이론이며 이것에 대하여 살펴 보기로 한다.", "통계적 추론이 필요한 이유는 사회현상이나 자연현상에서 얻어진 자료를 바탕으로 이것이 귀납적 분석방법을 제공해 주고, 여기서 발생하는 불확실성에 대한 정보를 확률적 모형으로 변환하고 분석하여 이를 기초로 미래를 예측하거나 의사결정을 하는 데 도움을 주기 때문일 것이다.", "여기서 귀납적 추론이란 특수한 상황이나 조건 하에서 얻은 결론을 좀 더 일반적인 상황으로 확대해 가는 추론방법을 말한다.", "귀납적 추론은 수학의 논리적 증명에서 사용하는 연역적인 추론과 함께 중요한 추론 방법 중의 하나이다.", "연역적인 추론과는 달리 귀납적 추론 결과는 항상 참이 아닐 수도 있다는 위험성을 내포하고 있는 사실에 유의하여야 한다.", "이 말은 귀납적 추론에 의한 결과는 절대적인 일반화가 가능하지 않다는 뜻이기도 하다.", "통계적 추론은 통계분석에서 표본에 내포된 여러가지 정보를 이용하여 모집단 전체에 숨겨진 확률적 정보를 획득하 는데 있다고 볼 수 있다.", "여기서 모집단(population)은 직관적으로 말하면, 통계분석을 목적으로 조사된 자료나 수집된 자료를 모두 모아 놓는 집합을 말한다.", "또한 표본(sample)은 모집단에서 무작위로 추출한 자료들을 말한다.", "통계분석을 할 때 모집단 전체를 조사해서 통계분석을 하면 그것보다 더 좋은 방법이 없다.", "경우에 따라서 분석 대상인 모집단의 자료가 비교적 적으면 전체분석이 가능한 전수조사방법을 선택하지만, 자료의 수가 대단히 많으면 모집단 전체를 조사, 분석하는 일이란 상당히 번거롭고 어려운 일이고 더욱이 시간적으로도 큰 낭비일 수 있다.", "그러므로 통계학의 기본목적 중의 하나가 바로 모집단으로부터 확률표본(random samples)을 추줄하여 이 확률표본을 분석, 추정 및 검정하여 원래의 모집단이 갖는 여러가지 통계적 특성을 여러 가지 다양한 확률적 기법으로 분석하여 미래를 예측하고 의사결정 등에 반영하는 것이다.", "</p><p>먼저, 확률표본에 대한 정의를 내려 보자.", "일반적인 가정은 확률변수가 독립이고 항등적으로 같은 분포를 가질 경우이다.", "</p><p>定義 \\(4.1\\) \\( n \\)개의 확률변수 \\( X_{1}, X_{2}, X_{3}, \\cdots, X_{n} \\)이 서로 독립이고 같은 확률밀도 함수 \\( f(x) \\)를 가지면, \\( X_{1}, X_{2}, X_{3}, \\cdots, X_{n} \\)은 독립이고 항등적으로 같은 분포를 가지는 확률변수(independent and identically distributed random variables)라 한다.", "이 경우, 모집단을 표본모집단(sampled popupation)이라 한다.", "</p><p>통계학의 관점에서 귀납적 추론의 문제점으로 모집단의 자료가 방대할 경우, 모집단 전체를 조사한다는 것은 불가능하거나 실용적이지 않기 때문에 모집단으로부터 추줄한 일부의 자료들를 조사하므로 제한된 자료분석을 바탕으로 전체 모집단에 대한 추론을 하게 된다.", "따라서, 모집단으로부터 추출한 자료들을 어떻게 추론할 것인가에 문제가 발생하게 되므로 표본 추론방법에서 가장 많이 사용하고 방법이 확률표본이라는 단순무작위 추출법이다.", "</p> <h2>4.2 중심극한정리</h2><p>이 절에서 설명할 핵심내용은 중심극한정리이다.", "중심극한정리는 앞절에서도 언급 했드시 주어진 확률변수열을 표준화 시켜 표준정규분포로 수렴하게 만드는 과정이다.", "이 정리의 증명은 미적분학에서의 Taylor의 정리와 Taylor의 급수식을 알고 있으면 어렵지 않다.", "그런데 이 중심극한정리를 증명하기 위하여, 몇가지 기본적인 사실을 이해하여야 하므로, 이를 먼저 살펴보고 다음에 중심극한정리를 증명하여 보자.", "</p><p>定義 \\(4.11\\) 확률변수열 \\( \\left\\{X_{n}\\right\\} \\)의 분포함수열을 \\( \\left\\{F_{n}\\right\\} \\)이라 하고, \\( F(x) \\)를 어떤 확률 변수 \\( X \\)의 분포함수라 하자.", "이 경우, \\( F_{n}(x)=P\\left\\{X_{n} \\leqslant x\\right\\} \\) 인 관계가 성립하고, \\(\\lim _{n \\rightarrow \\infty} F_{n}(x)=F(x)\\), (\\( F(x) \\)는 모든 실수 \\(x\\)에 대하여 연속)이면, 확률변수열 \\( \\left\\{X_{n}\\right\\} \\)은 확률변수 \\( X \\)로 분포수렴한다고 말하고 기호로,\\(X_{n} \\stackrel{d}{\\rightarrow} X\\)로 쓰기로 한다.", "또한, 함수 \\( F(x) \\)를 확률변수열 \\( \\left\\{X_{n}\\right\\} \\)의 극한분포(limiting distribution)라 한다.", "</p><p>다음에 확률변수의 분포가 어떤 특정 값에 집중되는있는 분포가 있는데 그 분포는 다음과 같다.", "</p><p>定義 \\( 4.12 \\) 분포함수 \\( F(x) \\)가 임의의 상수 \\( c \\)에 대하여, \\( F(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}0, & x<c \\\\ 1, & x \\geqslant c\\end{array}\\right. \\)이면, \\( F(x) \\)는 점 \\( c \\)에서의 퇴화분포(degenerate distribution)의 분포함수라 한다.", "</p><p>위의 정의와 관련하여 확률수렴(stochastic convergence)을 소개한다.", "</p><p>定義 \\( 4.13 \\) 확률변수열 \\( \\left\\{X_{n}\\right\\} \\)에 대응하는 분포함수열 \\( \\left\\{F_{n}(x)\\right\\} \\)이 임의의 점 \\( c \\)에서 퇴화하는 극한분포 \\( F(x) \\)를 가지면, 확률변수열 \\( \\left\\{X_{n}\\right\\} \\)은 상수 \\( c \\)로 확률수렴(stochastic convergence)한다고 말한다.", "</p><p>定義 \\(4.14\\) \\( \\left\\{X_{n}\\right\\} \\)을 확률변수열, \\( c \\)를 임의의 상수라 하자. 모든 \\( \\epsilon>", "0 \\)에 대하여, \\(\\lim _{n \\rightarrow \\infty} P\\left\\{\\left|X_{n}-c\\right|<\\epsilon\\right\\}=1\\)이면 확률변수열 \\( \\left\\{X_{n}\\right\\} \\)은 상수 \\( c \\)로 확률수렴(stochastic convergence)한다고 말한다.", "</p><p>확률수렴과 관련이 있는 흥미있는 문제가 대수의 법칙(law of large numbers)이다.", "이 대수의 법칙은 확률변수들이 주어졌을 때 궁극적으로 어떤 값으로 수렴하는지(확률적으로)를 밝히는 문제이다.", "이와 관련된 예는 중심극한정리를 먼저 이해하여야 하므로 중심극한정리를 증명한 다음에 소개한다.", "</p><p>중심극한정리를 증명하기 전에 다음 공식을 소개한다.", "이 공식은 아래 문제와 주심극한정리를 증명할 때 이용할 것이다.", "</p><p>\\((1)\\) 수열 \\( \\left\\{\\epsilon_{n}\\right\\} \\)에 대하여 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\epsilon_{n}=c \\) ( \\( c \\)는 상수)이면, \\(\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(1+\\frac{\\epsilon_{n}}{n}\\right)^{n}=e^{c},\\)</p><p>\\((2)\\) 수열 \\( \\left\\{\\epsilon_{n}\\right\\} \\)에 대하여 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\epsilon_{n}=0 \\)이면, 다음이 성립한다.", "</p><p>\\(\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(1+\\frac{c}{n}+\\frac{\\epsilon_{n}}{n}\\right)^{n}=e^{c} .\\)", "</p>" ]

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[ "<h1>13.1. 영역의 넓이</h1><p>함수 \\( f(x) \\)가 구간 \\( [a, b] \\)에서 연속일 때 \\( y=f(x) \\)와 \\( x \\)축 및 두 직선 \\( x=a, x=b \\)로 둘러싸인 영역의 넓이 \\( S \\)를 구하여 보자.", "</p><ol type=1 start=1><li>구간 \\( [a, b] \\)에서 \\( f(x) \\geq 0 \\)인 경우 정적분의 정의에 의하여 \\[ S=\\int_{a}^{b} f(x) d x \\] 임을 알고 있다.", "</li><li>구간 \\( [a, b] \\)에서 \\( f(x) \\leq 0 \\)인 경우 곡선 \\( y=f(x) \\)는 곡선 \\( y=-f(x) \\)와 \\( x \\)축에 관하여 대칭이므로 \\( y=f(x) \\)와 \\( x \\)축 및 두 직선 \\( x=a, x=b \\)로 둘러싸인 영역의 넓이는 \\( y=-f(x) \\)와 \\( x \\)축 및 두 직선 \\( x=a \\), \\( x=b \\)로 둘러싸인 영역의 넓이와 같다.", "따라서 \\( -f(x) \\geq 0 \\)이므로 넓이 \\( S \\)는 \\[ S=\\int_{a}^{b}\\{-f(x)\\} d x=\\int_{a}^{b}|f(x)| d x \\]</li><li>구간 \\( [a, c) \\)에서 \\( f(x) \\geq 0,[c, b) \\)에서 \\( f(x) \\leq 0 \\)인 경우 \\[ \\begin{aligned} S &=\\int_{a}^{c} f(x) d x+\\int_{c}^{b}\\{-f(x)\\} d x \\\\ &=\\int_{a}^{c}|f(x)| d x+\\int_{c}^{b}|f(x)| d x \\\\ &=\\int_{a}^{b}|f(x)| d x \\end{aligned} \\] 따라서 다음 정리를 얻는다.", "</li></ol><p>정리 \\( 13.1.1 \\) 함수 \\( f(x) \\)가 구간 \\( [a, b] \\)에서 연속일 때, 곡선 \\( y=f(x) \\)와 \\( x \\)축 및 두 직선 \\( x=a \\), \\( x=b \\)로 둘러싸인 영역의 넓이 \\( S \\) 는 다음과 같다. \\", "[ S=\\int_{a}^{b}|f(x)| d x \\]</p><p>예제 \\( 13.1.1 \\) 곡선 \\( y=x^{2}-x-2 \\)와 \\( x \\)축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하여라.", "</p><p>풀이 주어진 곡선과 \\( x \\)축과의 교점의 좌표는 \\( x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)=0 \\)에서 \\( x=-1 \\), \\( x=2 \\)이고 구간 \\( [-1,2] \\)에서 \\( f(x) \\leq 0 \\)이므로 구하는 넓이 \\( S \\)는 \\[ S=\\int_{-1}^{2}-\\left(x^{2}-x-2\\right) d x=\\left[-\\frac{1}{3} x^{3}+\\frac{1}{2} x^{2}+2 x\\right]_{-1}^{2}=\\frac{9}{2} . \\]", "</p><p>유제 \\( 13.1.1 \\) 곡선 \\( y=-x^{2}+4 \\)와 \\( x \\)축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하여라.", "</p><p>예제 \\( 13.1.2 \\) 다음에 주어진 영역의 넓이를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>곡선 \\( y=-x^{2}-3 x-2 \\)와 \\( x \\)축 및 \\( y \\)축으로 둘러싸인 영역</li><li>곡선 \\( y=\\ln x \\)와 \\( x \\)축 및 두 직선 \\( x=\\frac{1}{e}, x=e \\)로 둘러싸인 영역</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>부등식 \\( -x^{2}-3 x-2 \\geq 0 \\)의 해는 \\( -2 \\leq x \\leq-1 \\)이므로 구하는 넓이 \\( S \\)는 다음과 같다. \\", "[ \\begin{aligned} S &=\\int_{-2}^{-1}\\left(-x^{2}-3 x-2\\right) d x+\\int_{-1}^{0}\\left(x^{2}+3 x+2\\right) d x \\\\ &=\\left[-\\frac{1}{3} x^{3}-\\frac{3}{2} x^{2}-2 x\\right]_{-2}^{-1}+\\left[\\frac{1}{3} x^{3}+\\frac{3}{2} x^{2}+2 x\\right]_{-1}^{0} \\\\ &=\\frac{1}{6}+\\frac{5}{6}=1 \\end{aligned} \\]</li><li>\\( \\left[\\frac{1}{e}, 1\\right] \\)에서 \\( f(x)=\\ln x \\leq 0 \\)이고 \\( [1, e] \\)에서 \\( f(x)=\\ln x \\geq 0 \\)이므로 구하는 넓이 \\( S \\)는 다음과 같다. \\", "[ \\begin{aligned} S &=\\int_{\\frac{1}{e}}^{1}(-\\ln x) d x+\\int_{1}^{e} \\ln x d x \\\\ &=-[x \\ln x-x]_{\\frac{1}{e}}^{1}+[x \\ln x-x]_{1}^{e} \\\\ &=2-\\frac{2}{e} \\end{aligned} \\]</li></ol><p>유제 \\( 13.1.2 \\) 다음에 주어진 영역의 넓이를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>곡선 \\( y=x^{2}-4 x+3 \\)과 \\( x \\)축 및 \\( y \\)축으로 둘러싸인 영역</li><li>곡선 \\( y=\\sin x \\)와 구간 \\( [0,2 \\pi] \\)에서 \\( x \\)축으로 둘러싸인 영역</li></ol><p>이제 두 함수 \\( y=f(x), y=g(x) \\)가 구간 \\( [a, b] \\)에서 연속일 때, 두 곡선 \\( y=f(x), y=g(x) \\)와 두 직선 \\( x=a, x=b \\)로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하여 보자.", "</p><ol type=i start=1><li>구간 \\( [a, b] \\)에서 \\( 0 \\leq g(x) \\leq f(x) \\)일 때 구하는 넓이 \\( S \\)는 다음과 같다(그림 \\( 13.1.4 \\)). \\", "[ \\begin{aligned} S &=\\int_{a}^{b} f(x) d x-\\int_{a}^{b} g(x) d x \\\\ &=\\int_{a}^{b}(f(x)-g(x)) d x \\end{aligned} \\]</li><li>구간 \\( [a, b] \\)에서 \\( g(x) \\leq f(x) \\)이고, \\( f(x) \\)또는 \\( g(x) \\)의 값이 음수인 경우가 있을 때, 다음 그림과 같이 두 곡선은 \\( y \\)축의 방향으로 적당히 평행이동하여 \\( 0 \\leq g(x)+k \\leq f(x)+k \\)이 되도록 할 수 있다(그림 \\( 13.1.5 \\)).", "이때 평행이동한 넓이는 변하지 않으므로 구하는 넓이는 다음과 같다. \\", "[ \\begin{aligned} S &=\\int_{a}^{b}(f(x)+k) d x-\\int_{a}^{b}(g(x)+k) d x \\\\ &=\\int_{a}^{b}(f(x)-g(x)) d x \\end{aligned} \\]</li></ol><p>따라서 (i), (ii)에 의하여 두 곡선 \\( y=f(x), y=g(x) \\)와 두 직선 \\( x=a, x=b \\)로 둘러싸인 영역의 넓이는 위 곡선의 방정식에서 아래 곡선의 방정식을 뺀 식을 \\( a \\)에서부터 \\( b \\)까지 정적분한 값이 된다.", "</p><p>정리 \\( 13.1.2 \\) 두 함수 \\( f(x), g(x) \\)가 구간 \\( [a, b] \\)에서 연속일 때, 두 곡선 \\( y=f(x), y=g(x) \\)와 두 직선 \\( x=a, x=b \\)로 둘러싸인 영역의 넓이 \\( S \\)는 다음과 같다. \\", "[ S=\\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)| d x \\]</p><p>예제 \\( 13.1.3 \\) 다음 두 곡선 또는 직선으로 둘러싸인 영역의 면적을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=x^{2}-1, g(x)=-x^{2}+1 \\)</li><li>\\( f(x)=x^{2}-2 x, g(x)=-x+2 \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=x^{2}-1 \\)과 \\( g(x)=-x^{2}+1 \\)로 둘러싸인 영역은 오른쪽 그림과 같다.", "두 곡선의 교점의 \\( x \\)좌표는 \\( x^{2}-1=-x^{2}+1 \\)의 해 \\( x=1, x=-1 \\)이다.", "따라서 구간 \\( [-1,1] \\)에서 \\( 0 \\leq f(x) \\leq g(x) \\) 이므로 구하고자 하는 넓이 \\( S \\)는 다음과 같다. \\", "[ \\begin{aligned} S &=\\int_{-1}^{1}\\left[\\left(-x^{2}+1\\right)-\\left(x^{2}-1\\right)\\right] d x \\\\ &=\\int_{-1}^{1}\\left(-2 x^{2}+2\\right) d x=2 \\int_{0}^{1}\\left(-2 x^{2}+2\\right) d x \\\\ &=2\\left[-\\frac{2}{3} x^{3}+2 x\\right]_{0}^{1}=\\frac{8}{3} \\end{aligned} \\]</li><li>\\( f(x)=x^{2}-2 x \\)와 \\( g(x)=-x+2 \\)로 둘러싸인 영역은 오른쪽 그림과 같다.", "두 그래프의 교점의 \\( x \\)좌표는 \\( x^{2}-2 x=-x+2 \\)의 해 \\( x=-1, x=2 \\)이다.", "따라서 구간 \\( [-1,2] \\)에서 구하고자 하는 넓이 \\( S \\)는 \\( x^{2}-2 x \\leq-x+2 \\)이므로 다음과 같다. \\", "[ \\begin{aligned} S &=\\int_{-1}^{2}\\left[(-x+2)-\\left(x^{2}-2 x\\right)\\right] d x \\\\ &=\\int_{-1}^{2}\\left(x^{2}+x+2\\right) d x \\\\ &=\\left[\\frac{1}{3} x^{3}+\\frac{1}{2} x^{2}+2 x\\right]_{-1}^{2}=\\frac{21}{2} \\end{aligned} \\]</li></ol> <h1>13.3. 호의 길이</h1><p>먼저 원둘레의 길이는 그림 \\( 13.3.1 \\)과 같이 원에 내접하는 다각형을 그려서 내접하는 다각형의 길이의 극한으로 생각할 수 있다.", "</p><p>이와 같이 어떤 곡선의 길이를 구하기 위해 곡선을 부분 구간으로 나누고 각 구간의 곡선을 선분으로 연결하면 열린 다각형을 얻는다.", "이 열린 다각형의 길이로 곡선의 길이를 근사시켜 열린 다각형의 극한으로 곡선의 길이를 정의한다.", "이렇게 곡선의 길이를 정의하여 계산하는 방법을 알아보자.", "</p><p>정리 \\( 13.3.1 \\) 함수 \\( f(x) \\)가 구간 \\( [a, b] \\)에서 미분가능하고 그 도함수 \\( f^{\\prime}(x) \\)가 연속이면 구간 \\( [a, b] \\)에서 곡선 \\( y=f(x) \\)의 길이 \\( l \\)은 다음과 같다. \\", "[ l=\\int_{a}^{b} \\sqrt{1+\\left\\{f^{\\prime}(x)\\right\\}^{2}} d x=\\int_{a}^{b} \\sqrt{1+\\left(\\frac{d y}{d x}\\right)^{2}} d x \\]</p><p>그림 \\( 13.3.3 \\)과 같이 구간 \\( [a, b] \\)를 \\( n \\)개의 소구간으로 나누어 그 \\( x \\)좌표를 \\[ a=x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \\cdots, x_{n-1}, x_{n}=b \\] 이라 하고 각 소구간에 대한 곡선 위의 점을 \\[ A=P_{0}, P_{1}, P_{2}, \\cdots, P_{n}=B \\] 이라 하자.", "그러면 선분의 길이는 \\[ P_{i-1} P_{i}=\\sqrt{\\left(x_{i}-x_{i-1}\\right)^{2}+\\left(f\\left(x_{i}\\right)-f\\left(x_{i-1}\\right)\\right)^{2}} \\] 이다.", "정리 \\( 10.1.2 \\)(평균값 정리)에 의하여 \\[ f\\left(x_{i}\\right)-f\\left(x_{i-1}\\right)=f^{\\prime}\\left(x_{i}^{*}\\right)\\left(x_{i}-x_{i-1}\\right) \\] 인 \\( x_{i}^{*} \\in\\left(x_{i-1}, x_{i}\\right) \\)가 존재한다. \\", "( \\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1} \\)이라면 \\[ \\begin{aligned} P_{i-1} P_{i} &=\\sqrt{\\left(\\Delta x_{i}\\right)^{2}+\\left\\{f^{\\prime}\\left(x_{i}^{*}\\right)\\right\\}^{2}\\left(\\Delta x_{i}\\right)^{2}} \\\\ &=\\sqrt{1+\\left(f^{\\prime}\\left(x_{i}^{*}\\right)\\right)^{2}} \\Delta x_{i} \\end{aligned} \\] 이다.", "따라서 \\( A \\)에서 \\( B \\)까지 소구간으로 나눈 선분들의 길이 \\( l_{n} \\)은 \\[ l_{n}=\\sum_{i=1}^{n} \\sqrt{1+\\left\\{f^{\\prime}\\left(x_{i}^{*}\\right)\\right\\}^{2}} \\Delta x_{i} \\] 이고 우리가 구하고자 하는 곡선의 길이 \\( l \\)은 다음과 같다. \\", "[ l=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} l_{n}=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{i=1}^{n} \\sqrt{1+\\left\\{f^{\\prime}\\left(x_{i}^{*}\\right)\\right\\}^{2}} \\Delta x_{i}=\\int_{a}^{b} \\sqrt{1+\\left\\{f^{\\prime}(x)\\right\\}^{2}} d x \\]</p><p>예제 \\( 13.3.1 \\) 주어진 구간에서 곡선의 길이를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=2 x+1 \\quad[1,2] \\)</li><li>\\( y=\\frac{2}{3} x \\sqrt{x} \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>\\( l=\\int_{1}^{2} \\sqrt{1+\\left(y^{\\prime}\\right)^{2}} d x=\\int_{1}^{2} \\sqrt{1+2^{2}} d x=\\sqrt{5} \\int_{1}^{2} d x=\\sqrt{5} \\)</li><li>\\[ l=\\int_{0}^{1} \\sqrt{1+\\left(y^{\\prime}\\right)^{2}} d x=\\int_{0}^{1} \\sqrt{1+(\\sqrt{x})^{2}} d x=\\int_{0}^{1} \\sqrt{1+x} d x \\] \\( 1+x=t \\)로 치환하면 \\( x=0 \\)일 때 \\( t=1, x=1 \\)일 때 \\( t=2 \\)이고, \\( d x=d t \\)이므로 \\[ l=\\int_{0}^{1} \\sqrt{1+x} d x=\\int_{1}^{2} \\sqrt{t} d t=\\left[\\frac{2}{3} t^{\\frac{3}{2}}\\right]_{1}^{2}=\\frac{2}{3}(2 \\sqrt{2}-1) \\]</li></ol><p>유제 \\( 13.3.1 \\) 주어진 구간에서 다음 곡선의 길이를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 3 y=2(x-1)^{\\frac{3}{2}} \\)</li><li>\\( y=\\frac{1}{2}\\left(e^{x}+e^{-x}\\right) \\quad[-1,1] \\)</li></ol><p>정리 \\( 13.3.2 \\) 매개방정식 \\( x=f(t), y=g(t)(\\alpha \\leq t \\leq \\beta) \\)으로 정의된 곡선의 길이 \\( l \\)은 다음과 같다. \\", "[ l=\\int_{\\alpha}^{\\beta} \\sqrt{\\left(\\frac{d x}{d t}\\right)^{2}+\\left(\\frac{d y}{d t}\\right)^{2}} d t=\\int_{\\alpha}^{\\beta} \\sqrt{\\left\\{f^{\\prime}(t)\\right\\}^{2}+\\left\\{g^{\\prime}(t)\\right\\}^{2}} d t \\]</p><p>증명 \\( d x=f^{\\prime}(t) d t \\)이고 \\[ \\frac{d y}{d x}=\\frac{\\frac{d y}{d t}}{\\frac{d x}{d t}}=\\frac{g^{\\prime}(t)}{f^{\\prime}(t)} \\] 이므로 \\( f(\\alpha)=a, f(\\beta)=b \\)라 하면 곡선의 길이 \\( l \\)은 다음과 같다. \\", "[ \\begin{aligned} l=\\int_{a}^{b} \\sqrt{1+\\left(\\frac{d y}{d x}\\right)^{2}} d x &=\\int_{\\alpha}^{\\beta} \\sqrt{1+\\left\\{\\frac{g^{\\prime}(t)}{f^{\\prime}(t)}\\right\\}^{2}} f^{\\prime}(t) d t \\\\ &=\\int_{\\alpha}^{\\beta} \\sqrt{\\left\\{f^{\\prime}(t)\\right\\}^{2}+\\left\\{g^{\\prime}(t)\\right\\}^{2}} d t \\\\ &=\\int_{\\alpha}^{\\beta} \\sqrt{\\left(\\frac{d x}{d t}\\right)^{2}+\\left(\\frac{d y}{d t}\\right)^{2}} d t \\end{aligned} \\]</p><p>예제 \\( 13.3.2 \\) 주어진 구간에서 다음 곡선의 길이를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( x=t^{2}, \\quad y=\\frac{1}{3} t^{3}-t \\quad(0 \\leq t \\leq 1) \\)</li><li>\\( x=a \\operatorname{cost}, y=a \\sin t \\quad( \\) 단, \\( a>0,0 \\leq t \\leq 2 \\pi) \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\begin{aligned} l=\\int_{0}^{1} \\sqrt{\\left(\\frac{d x}{d t}\\right)^{2}+\\left(\\frac{d y}{d t}\\right)^{2}} d t &=\\int_{0}^{1} \\sqrt{(2 t)^{2}+\\left(t^{2}-1\\right)^{2}} d t \\\\ &=\\int_{0}^{1} \\sqrt{\\left(t^{2}+1\\right)^{2}} d t \\\\ &=\\int_{0}^{1}\\left(t^{2}+1\\right) d t=\\left[\\frac{1}{3} t^{3}+t\\right]_{0}^{1}=\\frac{4}{3} \\end{aligned} \\)</li><li>\\( \\begin{aligned} l=\\int_{0}^{2 \\pi} \\sqrt{\\left(\\frac{d x}{d t}\\right)^{2}+\\left(\\frac{d y}{d t}\\right)^{2}} d t &=\\int_{0}^{2 \\pi} \\sqrt{(-a \\sin t)^{2}+(a \\cos t)^{2}} d t \\\\ &=\\int_{0}^{2 \\pi} \\sqrt{a^{2}\\left(\\sin ^{2} t+\\cos ^{2} t\\right)} d t \\\\ &=\\int_{0}^{2 \\pi} a d t=2 \\pi a \\end{aligned} \\)</li></ol><p>유제 \\( 13.3.2 \\) 다음 매개방정식으로 주어진 곡선의 길이를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( x=t^{2}, y=t^{3} \\quad(1 \\leq t \\leq 2) \\)</li><li>\\( x=e^{t} \\cos t, y=e^{t} \\sin t \\quad(0 \\leq t \\leq \\pi) \\)</li></ol><h1>13장 연습문제</h1><p>\\( 01 \\) 다음 곡선이나 직선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=2 x-x^{2}, y=0 \\)</li><li>\\( y=2-x^{2}, y=-x \\)</li><li>\\( y=x^{3}+2 x, y=4 x^{2}-x \\)</li><li>\\( x=y^{2}-y^{3}, x=0 \\)</li><li>\\( x=1-y^{2}, x=y^{2}-1 \\)</li><li>\\( y=\\sqrt{x}, y=-x+6, y=1 \\)</li><li>\\( y=\\sin x, y=e^{x}, x=0, x=\\frac{\\pi}{2} \\)</li><li>\\( y=\\ln x, y=-1, y=1 \\)</li></ol><p>\\( 02 \\) 다음 주어진 곡선이나 직선으로 둘러싸인 영역을 주어진 축으로 회전하여 생긴 입체의 부피를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=\\frac{1}{x}, x=1, x=2, y=0 \\quad \\)(\\( x \\) 축 중심으로 회전)</li><li>\\( x=2 \\sqrt{y}, x=0, y=9 \\quad \\) (\\( y \\) 축 중심으로 회전)</li><li>\\( y=e^{-x}, y=0, x=0, x=1 \\quad \\) (\\( x \\) 축 중심으로 회전)</li><li>\\( y=\\tan x, y=0, x=\\frac{\\pi}{4} \\quad \\) (\\( x \\)축 중심으로 회전)</li><li>\\( y^{2}=x, x=2 y \\) (\\( y \\)축 중심으로 회전)</li><li>\\( y=\\frac{1}{2} x^{2}, y=0, y=2 \\quad \\) (\\( y \\)축 중심으로 회전)</li><li>\\( y=x^{2}+1, y=3-x \\) (\\( x \\) 축 중심으로 회전)</li><li>\\( y=x^{3}, y=x \\) (\\( y \\) 축 중심으로 회전)</li></ol><p>\\( 03 \\) 주어진 구간에서 다음 곡선의 길이를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=\\frac{2}{3}(x-1)^{\\frac{3}{2}} \\quad(1 \\leq x \\leq 4) \\)</li><li>\\( y=\\frac{1}{3} x \\sqrt{x}-\\sqrt{x} \\quad(0 \\leq x \\leq 1) \\)</li><li>\\( x=y^{\\frac{3}{2}} \\quad(0 \\leq y \\leq 1) \\)</li><li>\\( x=1+3 t^{2}, y=4+2 t^{2}(0 \\leq t \\leq 1) \\)</li><li>\\( x=\\sin ^{2} t, y=\\cos ^{2} t \\quad\\left(0 \\leq t \\leq \\frac{\\pi}{2}\\right) \\)</li><li>\\( x=e^{t}+e^{-t}, y=3-2 t \\quad(0 \\leq t \\leq 1) \\)</li></ol><p>\\( 04 \\) 다음 그림과 같이 밑면은 반지름이 \\( r \\)인 원이고, 이 원의 지름에 수직으로 자른 단면이 정사각형인 입체도형의 부피를 구하여라.", "</p> <p>유제 \\( 13.1.3 \\) 다음 두 곡선으로 둘러싸인 영역의 면적을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=x^{2}-2 x-1, y=-2 x^{2}+4 x-1 \\)</li><li>\\( y=\\sqrt{x}, y=x^{2} \\)</li></ol><p>\\( y \\)축과 곡선 \\( x=f(y) \\)로 둘러싸인 영역의 넓이도 \\( x \\)축과 곡선 \\( y=f(x) \\)로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하는 같은 방법으로 구한다.", "</p><ol type=1 start=1><li>구간 \\( [c, d] \\) 에서 \\( f(y) \\geq 0 \\)인 경우 곡선 \\( x=f(y) \\)와 두 직선 \\( y=c, y=d \\)로 둘러싸인 영역의 넓이 \\( S \\)는 다음과 같다(그림 \\( 13.1.6 \\)). \\", "[ S=\\int_{c}^{d} f(y) d y=\\int_{c}^{d} x d y \\]</li><li>구간 \\( [c, d] \\) 에서 \\( f(y) \\leq 0 \\)인 경우 곡선 \\( x=f(y) \\)와 두 직선 \\( y=c, y=d \\)로 둘러싸인 영역의 넓이 \\( S \\)는 다음과 같다(그림 \\( 13.1.7 \\)). \\", "[ S=\\int_{c}^{d}-f(y) d y=\\int_{c}^{d}-x d y \\]</li><li>구간 \\( [c, d] \\)에서 \\( f(y) \\)가 양의 값과 음의 값을 갖는 경우 곡선 \\( x=f(y) \\)와 두 직선 \\( y=c, y=d \\)로 둘러싸인 영역의 넓이 \\( S \\)는 다음과 같다(그림 \\( 13.1.8 \\)). \\", "[ S=\\int_{c}^{d}|f(y)| d y \\]</li><li>곡선 \\( x=f(y), x=g(y) \\)와 두 직선 \\( y=c, y=d \\)로 둘러싸인 영역의 넓이 \\( S \\)는 다음과 같다(그림 \\( 13.1.9 \\)). \\", "[ S=\\int_{c}^{d}|f(y)-g(y)| d y \\]</li></ol><p>예제 \\( 13.1.4 \\) 직선 \\( y=x-1 \\)과 포물선 \\( y^{2}=2 x+6 \\)으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하여라.", "</p><p>풀이 두 식을 연립하여 풀면 포물선과 직선의 교점의 좌표는 \\( (-1,-2) \\)와 \\( (5,4) \\)를 얻는다.", "따라서 구하고자 하는 영역의 넓이 \\( S \\)는 다음과 같다. \\", "[ \\begin{array}{l} S=\\int_{-2}^{4}\\left[(y+1)-\\left(\\frac{1}{2} y^{2}-3\\right)\\right] d y \\\\ =\\int_{-2}^{4}\\left(-\\frac{1}{2} y^{2}+y+4\\right) d y \\\\ =\\left[-\\frac{1}{6} y^{3}+\\frac{1}{2} y^{2}+4 y\\right]_{-2}^{4} \\\\ =18 \\end{array} \\]</p><p>위의 예제에서 \\( y \\)대신 \\( x \\)에 대하여 적분하여 넓이를 구할 수도 있다.", "그러나 이런 경우 영역을 두 부분으로 나누어야 하고 계산도 훨씬 복잡하다.", "실제 \\( x \\)에 대하여 적분하여 넓이를 구해보고 \\( y \\)에 대하여 적분하는 것이 얼마나 더 간편한 것인지 확인해보아라.", "</p><p>유제 \\( 13.1.4 \\) 다음 곡선 및 직선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하여라. \\", "[ y^{2}=x+1, \\quad y=2, \\quad y=0 \\]</p>" ]

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[ "<p>정리 \\( 3.42\\) \\( R^{3} \\)상의 단위속력곡선 \\( \\alpha:(a, b) \\rightarrow R^{3}(\\kappa \\neq 0) \\)가 원(circle)일 필요충분조건은 곡률 \\( \\kappa=a( \\) 상수 \\( ) \\)이고 비틀림율 \\( \\tau=0 \\)이다.", "</p><p>증명 ⭢ 분명하다.", "</p><p>⭠ 비틀림율 \\( \\tau=0 \\)이면 평면곡선(정리 \\(3.41\\))이고.", "정리 \\( 3.35 \\) 로부터 \\( \\kappa=a \\)가 상수 이면 \\( \\kappa_{2}= \\)상수이다.", "따라서 정리 \\( 3.30 \\)으로부터 \\( \\alpha \\)는 원이다.", "</p><p>정리 \\( 3.43\\) \\( R^{3} \\)상의 단위속력곡선의 곡률 \\( \\kappa= \\) 상수 \\( (\\neq 0) \\), 비틀림율 \\( \\tau= \\)상수 \\( (\\neq 0) \\)이면 곡선은 나선(helix)이다.", "</p><p>증명 단위속력곡선 \\( \\alpha: I \\rightarrow R^{3}, \\alpha(s)=(x(s), y(s), z(s)) \\)의 곡률 \\( \\kappa=a \\)(상수), 비틀림 \\", "( \\tau=b \\)(상수)라 하자.", "그러면 \\( \\frac{\\tau}{\\kappa}=\\frac{b}{a}= \\) 상수이므로 상수 \\( \\theta \\) 에 대하여\\[\\frac{b}{a}=\\cot \\theta \\]로 둘 수 있다.", "그러므로\\[\\sin \\theta=\\frac{a}{c}, \\quad \\cos \\theta=\\frac{b}{c}, \\quad c=\\sqrt{a^{2}+b^{2}}\\]이다.", "한편 \\( u=\\cos \\theta T+\\sin \\theta B \\)라 두면 \\( \\theta \\) 가 상수이므로 \\( u^{\\prime}=0 \\)이다.", "따라서 \\( u \\)는 상수인 단위벡터이다.", "더구나 \\[ \\langle T, u\\rangle=\\cos \\theta\\]이다.", "따라서 상수벡터 \\( u \\)를 \\( u=(0,0,1) \\)로 선택하면 \\( T=\\left(x^{\\prime}(s), y^{\\prime}(s), z^{\\prime}(s)\\right) \\)이므로\\[z^{\\prime}(s)=\\langle T, u\\rangle=\\cos \\theta=\\frac{b}{c}\\]가 된다.", "따라서 초기조건 \\( z(0)=0 \\)을 잡으면,\\[z(s)=\\frac{b}{c} s\\]<caption>(\\( 3.4\\))</caption>이다.", "한편, \\( \\left\\|\\alpha^{\\prime}(s)\\right\\|=1 \\)로부터 \\( x^{\\prime}(s)^{2}+y^{\\prime}(s)^{2}+z^{\\prime}(s)^{2}=1 \\)이므로\\[x^{\\prime 2}+y^{\\prime 2}=1-z^{\\prime 2}=\\sin ^{2} \\theta=\\left(\\frac{a}{c}\\right)^{2}\\]이다.", "따라서 어떤 함수 \\( \\phi(s) \\)에 의해\\[x^{\\prime}(s)=\\frac{a}{c} \\cos \\phi(s), \\quad y^{\\prime}(s)=\\frac{a}{c} \\sin \\phi(s)\\]<caption>(\\( 3.5\\))</caption>으로 표현되고 \\( x^{\\prime \\prime}(s)=-\\frac{a}{c} \\phi^{\\prime}(s) \\sin \\phi(s), y^{\\prime \\prime}(s)=\\frac{a}{c} \\phi^{\\prime}(s) \\cos \\phi(s) \\)이다.", "한편 \\( a=\\kappa=\\left\\|\\alpha^{\\prime \\prime}(s)\\right\\|=\\left|\\frac{a}{c} \\phi^{\\prime}(s)\\right| \\)이기 때문에\\[\\phi^{\\prime}(s)=\\pm c \\text {. 즉, } \\phi(s)=\\pm c s+d_{1}\\]", "<caption>(\\( 3.6\\))</caption>이다.", "따라서 (\\( 3.5\\))와 (\\( 3.6\\))으로부터\\[x^{\\prime}(s)=\\frac{a}{c} \\cos \\left(\\pm c s+d_{1}\\right), \\quad y^{\\prime}(s)=\\frac{a}{c} \\sin \\left(\\pm c s+d_{1}\\right)\\]이기 때문에\\[x(s)=\\pm \\frac{a}{c^{2}} \\sin \\left(\\pm c s+d_{1}\\right), \\quad y(s)=\\mp \\frac{a}{c^{2}} \\cos \\left(\\pm c s+d_{1}\\right)\\]<caption>(\\( 3.7\\))</caption>이 된다.", "만약 초기조건을 \\( x^{\\prime}(0)=\\frac{a}{c}, y^{\\prime}(0)=0 \\) 으로 하면, \\( d_{1}=0 \\)이다.", "따라서 (\\( 3.7\\))로부터<p>\\[x(s)=\\frac{a}{c^{2}} \\sin (c s), \\quad y(s)=\\mp \\frac{a}{c^{2}} \\cos (c s)\\]<caption>(\\( 3.8\\))</caption>가 된다.", "그러므로 (\\( 3.4\\))와 (\\(3.8\\))로부터 \\[\\alpha(s)=\\left(\\frac{a}{c^{2}} \\sin (c s), \\mp \\frac{a}{c^{2}} \\cos (c s), \\frac{b}{c} s\\right)\\]이다.", "즉, \\( \\alpha \\)는 나선(helix)이다.", "</p><p>정의 \\( 3.44\\) 정칙곡선 \\( \\alpha \\)가 어떤 상수벡터 \\( u \\)에 대하여\\[\\langle T, u\\rangle=\\text { 상수 }\\]일 때, 곡선 \\( \\alpha \\)를 일반나선(general helix)이라 한다.", "</p><p>정리 \\(3.45\\) \\( R^{3} \\)상에서의 단위속력곡선 \\( \\alpha(\\kappa \\neq 0) \\)가 일반나선(general helix)일 필요충분조건은 \\( \\frac{\\tau}{\\kappa}= \\)상수이다.", "</p><p>증명 ⭢ 곡선 \\( \\alpha \\) 를 일반나선이라고 하자.", "그러면 적당한 상수각 \\( \\theta(s)(= \\) 상수)와 상수인 단위벡터 \\( u(= \\) 상수 \\( ) \\)가 있어서 \\[\\langle T(s), u\\rangle=\\cos \\theta\\]이다.", "위 식을 미분하면 \\[0=\\left\\langle T^{\\prime}(s), u\\right\\rangle=\\kappa\\langle N(s), u\\rangle\\]이다.", "따라서 \\( \\kappa \\neq 0 \\)이므로 \\[\\langle N(s), u\\rangle=0\\]이다.", "즉, \\( u \\)가 \\( N \\)에 수직인 단위벡터이다.", "그러므로 단위벡터 \\( u \\)는 \\[u=\\cos \\theta T+\\sin \\theta B\\]로 표현된다.", "이 식을 다시 미분하면 \\[(\\kappa \\cos \\theta-\\tau \\sin \\theta) N=0 \\text {, 즉, } \\kappa \\cos \\theta=\\tau \\sin \\theta\\]<caption>(\\( 3.9\\))</caption>이다.", "한편 \\( \\sin \\theta \\neq 0 \\)이다.", "왜나하면, 만약 \\( \\theta=0, \\pi \\)이라면 \\( T(s)=\\pm u \\)이고, \\( \\kappa=T^{\\prime}(s)=0 \\)이 되어서 \\( \\kappa \\neq 0 \\)라는 가정에 모순이다.", "따라서 (\\( 3.9\\))로부터\\[\\frac{\\tau}{\\kappa}=\\frac{\\cos \\theta}{\\sin \\theta}=\\text { 상수 }\\]이다.", "</p><p>⭠ 만약 \"\\( \\frac{\\tau}{\\kappa}= \\) 상수\"라고 가정하자.", "즉, 적당한 상수 \\( 0<\\theta<\\pi \\)가 존재하여 \\[\\frac{\\tau}{\\kappa}=\\cot \\theta\\] 로 표현할 수 있다.", "만약 단위벡터 \\( u \\) 를\\[u=\\cos \\theta T+\\sin \\theta B\\] 로 정의하면 위 식으로 부터 \\[u^{\\prime}=\\kappa \\cos \\theta N-\\tau \\sin \\theta N=0\\] 이다.", "즉, \\( u \\)는 상수벡터이고 \\[\\langle T, u\\rangle=\\cos \\theta\\]이다.", "한편 \\( \\theta \\)가 상수이니까 \\( \\langle T, u\\rangle= \\) 상수, 즉 \\( \\alpha \\)는 일반나선이다.", "</p> <h1>3.4 임의 속력 곡선</h1><p>임의의 정칙곡선 \\( \\alpha:(a, b) \\rightarrow R^{3} \\)에 대하여 \\( v(t)=\\left\\|\\alpha^{\\prime}(t)\\right\\| \\) 라 하자.", "</p><p>정의 \\(3.46 \\) 임의의 정칙곡선 \\( \\alpha:(a, b) \\rightarrow R^{3} \\)에 대하여 \\( \\beta:(c, d) \\rightarrow R^{3} \\)를 단위속력을 갖는 재매개화곡선이라 하자.", "즉, \\( \\alpha(t)=\\beta(s(t)) \\)이다.", "이때 임의 곡선 \\( \\alpha \\) 의 곡률 \\( \\kappa_{\\alpha} \\), 비틀림율 \\( \\tau_{\\alpha} \\)는 다음과 같이 정의된다.", "즉,\\[\\begin{array}{c}\\kappa_{a}(t):=\\kappa_{\\beta}(s(t)), \\quad \\tau_{a}(t):=\\tau_{\\beta}(s(t)) \\\\T_{a}(t):=T_{\\beta}(s(t)), \\quad N_{a}(t):=N_{\\beta}(s(t)), \\quad B_{a}(t):=B_{\\beta}(s(t))\\end{array}\\]로 정의된다.", "여기서 \\( s:(a, b) \\rightarrow(c, d) \\)는 호길이 함수이다.", "</p><p>정리 \\( 3.47\\) 임의의 정칙곡선 \\( \\alpha:(a, b) \\rightarrow R^{3}(\\kappa \\neq 0) \\) 에 대하여 Frenet 공식은 \\[\\left(\\begin{array}{l}T^{\\prime}(t) \\\\N^{\\prime}(t) \\\\B^{\\prime}(t) \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{ccc}0 & v k(t) & 0 \\\\-v k(t) & 0 & v \\tau(t) \\\\ 0 & -v \\tau(t) & 0\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{l}T(t) \\\\N(t) \\\\B(t) \\end{array}\\right)\\]으로 표현된다.", "</p><p>증명 곡선 \\( \\beta \\)를 곡선 \\( \\alpha \\)의 단위속력을 갖는 재매개화곡선이라 하자.", "그러면\\[T_{a}^{\\prime}(t)=\\frac{d s}{d t} T_{\\beta}^{\\prime}(s)=v T_{\\beta}^{\\prime}(s)=v \\kappa_{\\beta}(s) N_{\\beta}(s)=v \\kappa_{\\alpha}(t) N_{\\alpha}(t)\\]이 성립한다.", "다른 공식들도 유사하게 중명된다.", "</p><p>보조정리 \\(3.48\\) 임의의 정칙곡선 \\( \\alpha:(a, b) \\rightarrow R^{3}(\\kappa \\neq 0) \\)에 대하여 다음 등식들\\[\\begin{array}{l}\\alpha^{\\prime}(t)=v T, \\quad \\alpha^{\\prime \\prime}(t)=v^{\\prime} T+\\kappa v^{2} N, \\\\\\alpha^{\\prime \\prime \\prime}(t)=\\left(v^{\\prime \\prime}-\\kappa^{2} v^{3}\\right) T+\\left(\\kappa v v^{\\prime}+\\left(k v^{2}\\right)^{\\prime}\\right) N+\\kappa \\tau v^{3} B\\end{array}\\]이 성립한다.", "</p><p>증명 단위속력벡터 \\( T=\\frac{\\alpha^{\\prime}(t)}{\\left\\|\\alpha^{\\prime}(t)\\right\\|} \\)와 일반적인 Frenet 공식(정리 \\( 3.47\\))으로부터 처음 두 등식이 성립한다.", "세 번째도 두 번째 등식과 정리 \\( 3.47 \\)로부터 따른다.", "즉, 두 번째 등식을 미분하면 \\[\\begin{aligned}\\alpha^{\\prime \\prime \\prime}(t) &=v^{\\prime \\prime} T+v^{\\prime} T^{\\prime}+\\left(\\kappa v^{2}\\right)^{\\prime} N+\\kappa v^{2} N^{\\prime} \\\\ &=v^{\\prime \\prime} T+\\left(\\kappa v v^{\\prime}+\\left(k v^{2}\\right)^{\\prime}\\right) N+k v^{3}(-\\kappa T+\\tau B) \\\\&=\\left(v^{\\prime \\prime}-\\kappa^{2} v^{3}\\right) T+\\left(\\kappa v v^{\\prime}+\\left(k v^{2}\\right)^{\\prime}\\right) N+\\kappa \\tau v^{3} B\\end{aligned}\\]이다.", "</p><p>정리 \\( 3.49\\) 임의의 정칙곡선 \\( \\alpha:(a, b) \\rightarrow R^{3}(\\kappa \\neq 0) \\)에 대하여\\[\\begin{array}{c}T(t)=\\frac{\\alpha^{\\prime}(t)}{\\left\\|\\alpha^{\\prime}(t)\\right\\|}, \\quad B=\\frac{\\alpha^{\\prime}(t) \\times \\alpha^{\\prime \\prime}(t)}{\\left\\|\\alpha^{\\prime}(t) \\times \\alpha^{\\prime \\prime}(t)\\right\\|}, \\quad N=B \\times T . \\\\ \\kappa(t)=\\frac{\\left\\|\\alpha^{\\prime}(t) \\times \\alpha^{\\prime \\prime}(t)\\right\\|}{\\left\\|\\alpha^{\\prime}(t)\\right\\|^{3}}, \\quad \\tau(t)=\\frac{\\left\\langle\\alpha^{\\prime}(t) \\times \\alpha^{\\prime \\prime}(t), \\alpha^{\\prime \\prime \\prime}(t)\\right\\rangle}{\\left\\|\\alpha^{\\prime}(t) \\times \\alpha^{\\prime \\prime}(t)\\right\\|^{2}}\\end{array}\\]", "이 성립한다.", "</p><p>증명 보조정리 \\(3.48\\)로부터 \\[\\alpha^{\\prime}(t) \\times \\alpha^{\\prime \\prime}(t)=v T \\times\\left(v^{\\prime} T+\\kappa v^{2} N\\right)=k v^{3} T \\times N=k v^{3} B\\]<caption>(\\(3.10\\))</caption>이므로 \\[\\left\\|\\alpha^{\\prime}(t) \\times \\alpha^{\\prime \\prime}(t)\\right\\|=\\kappa v^{3}, \\text { 즉, } \\kappa(t)=\\frac{\\left\\|\\alpha^{\\prime}(t) \\times \\alpha^{\\prime \\prime}(t)\\right\\|}{\\left\\|\\alpha^{\\prime}(t)\\right\\|^{3}}\\]임을 알 수 있다.", "또한 (\\(3.10\\))으로부터\\[B=\\frac{\\alpha^{\\prime}(t) \\times \\alpha^{\\prime \\prime}(t)}{\\left\\|\\alpha^{\\prime}(t) \\times \\alpha^{\\prime \\prime}(t)\\right\\|}\\] 를 얻는다.", "더구나 보조정리 \\( 3.48 \\)로부터 〈 \\( \\left.\\", "alpha^{\\prime}(t) \\times \\alpha^{\\prime \\prime}(t), \\alpha^{\\prime \\prime \\prime}(t)\\right\\rangle=\\tau \\kappa^{2} v^{6} \\)이므로\\[\\tau(t)=\\frac{\\left\\langle\\alpha^{\\prime}(t) \\times \\alpha^{\\prime \\prime}(t), \\alpha^{\\prime \\prime \\prime}(t)\\right\\rangle}{\\left\\|\\alpha^{\\prime}(t) \\times \\alpha^{\\prime \\prime}(t)\\right\\|^{2}}\\]가 성립한다.", "</p><p>문제 \\( 3.50\\) 곡선 \\( \\alpha(t)=\\left(e^{0.07 t} \\cos t, e^{0.07 t} \\sin t, \\frac{t}{2}\\right) \\)의 곡률 \\( \\kappa \\)과 비틀림율 \\( \\tau \\)을 구하여라.", "</p><p>정리 \\(3.51\\) \\( R^{3} \\)상에서 곡선의 호길이, 곡률, 비틀림율의 절대값은 등장사상에 의해 불변이다.", "</p><p>증명 함수 \\( F: R^{3} \\rightarrow R^{3} \\) 를 등장사상(isometry)이라 하자.", "그러면 정리 \\( 1.51 \\)에 의해 \\( F=T_{v} \\circ A \\quad(v=F(0)) \\)이다.", "여기서 \\( T_{v} \\)는 평행이동, \\( A \\)는 직교변환이다.", "따라서 모든 \\( p \\in R^{3} \\)에 대하여 \\( F(p)=A(p)+F(0) \\)로 표현된다.", "따라서 임의의 정칙곡선 \\( \\alpha:(a, b) \\rightarrow R^{3} \\) 에 대하여 \\( \\beta(t)=F(\\alpha(t)) \\quad(a<t<b) \\)라 두면 \\[\\beta(t)=A(\\alpha(t))+F(0)\\] 이다.", "따라서 정리 \\( 1.52 \\)로부터 \\[\\beta^{\\prime}(t)=A \\alpha^{\\prime}(t), \\quad \\beta^{\\prime \\prime}(t)=A \\alpha^{\\prime \\prime}(t), \\quad \\beta^{\\prime \\prime \\prime}(t)=A \\alpha^{\\prime \\prime \\prime}(t)\\]이다.", "더구나 \\( A \\)가 직교변환이기 때문에 \\[\\left\\|\\beta^{\\prime}(t)\\right\\|=\\left\\|A \\alpha^{\\prime}(t)\\right\\|=\\left\\|\\alpha^{\\prime}(t)\\right\\|\\]가 성립한다.", "따라서 \\( L[\\alpha]=L[\\beta] \\) 이다.", "한편 정리 \\( 3.48\\)로부터 \\[\\kappa_{\\beta}(t)=\\frac{\\left\\|\\beta^{\\prime}(t) \\times \\beta^{\\prime \\prime}(t)\\right\\|}{\\left\\|\\beta^{\\prime}(t)\\right\\|^{3}}=\\frac{\\left\\|A \\alpha^{\\prime}(t) \\times A \\alpha^{\\prime \\prime}(t)\\right\\|}{\\left\\|A \\alpha^{\\prime}(t)\\right\\|^{3}}\\]이고. \\", "( A \\)가 직교변환 \\( (\\|Av\\|=\\|v\\|) \\)이기 때문에 \\[\\begin{aligned}\\left\\|A \\alpha^{\\prime}(t) \\times A \\alpha^{\\prime \\prime}(t)\\right\\| &=\\sqrt{\\left\\|A \\alpha^{\\prime}(t)\\right\\|^{2}\\left\\|A \\alpha^{\\prime \\prime}(t)\\right\\|^{2}-\\left\\langle A \\alpha^{\\prime}(t), A \\alpha^{\\prime \\prime}(t)\\right\\rangle^{2}} \\\\&=\\sqrt{\\left\\|\\alpha^{\\prime}(t)\\right\\|^{2}\\left\\|\\alpha^{\\prime \\prime}(t)\\right\\|^{2}-\\left\\langle\\alpha^{\\prime}(t), \\alpha^{\\prime \\prime}(t)\\right\\rangle^{2}} \\\\&=\\left\\|\\alpha^{\\prime}(t) \\times \\alpha^{\\prime \\prime}(t)\\right\\|\\end{aligned}\\]이 성립한다.", "따라서 \\( \\kappa_{\\beta}(t)=\\kappa_{a}(t) \\) 이다.", "유사하게, \\( \\operatorname{det} A=\\pm 1 \\)이기 때문에 정리 \\( 1.36 \\)을 이용하여 계산하면 \\[\\begin{aligned}\\tau_{\\beta}(t) &=\\frac{\\left\\langle\\beta^{\\prime}(t), \\beta^{\\prime \\prime}(t) \\times \\beta^{\\prime \\prime \\prime}(t)\\right\\rangle}{\\left\\|\\beta^{\\prime}(t) \\times \\beta^{\\prime \\prime}(t)\\right\\|^{2}} \\\\ &=\\frac{\\left\\langle A \\alpha^{\\prime}(t), A \\alpha^{\\prime \\prime}(t) \\times A \\alpha^{\\prime \\prime \\prime}(t)\\right\\rangle}{\\left\\|A \\alpha^{\\prime}(t) \\times A \\alpha^{\\prime \\prime}(t)\\right\\|^{2}} \\\\ &=\\frac{\\operatorname{det} A\\left\\langle\\alpha^{\\prime}(t), \\alpha^{\\prime \\prime}(t) \\times \\alpha^{\\prime \\prime \\prime}(t)\\right\\rangle}{\\left\\|\\alpha^{\\prime}(t) \\times \\alpha^{\\prime \\prime}(t)\\right\\|^{2}} \\\\ &=(\\operatorname{det} A) \\tau_{a}(t)=\\pm \\tau_{a}(t)\\end{aligned}\\] 임을 알 수 있다.", "</p><p>정리 \\( 3.52\\) (공간곡선의 기본정리) 단위속력곡선 \\( \\alpha, \\beta:(a, b) \\rightarrow R^{3} \\)가 \\[\\kappa_{\\alpha}=\\kappa_{\\beta}, \\quad \\tau_{\\alpha}=\\tau_{\\beta}\\]를 만족하면, 등장사상 \\( F: R^{3} \\rightarrow R^{3} \\)가 존재해서 \\( F \\circ \\alpha=\\beta \\)이다.", "</p><p>증명 한 점 \\( s_{0} \\in(a, b) \\)를 잡자.", "이 때 \\( \\left\\{T_{a}, N_{\\alpha}, B_{a}\\right\\} \\)와 \\( \\left\\{T_{\\beta}, N_{\\beta}, B_{\\beta}\\right\\} \\)는 Frenet 표구니까 직교변환 \\( A: R^{3} \\rightarrow R^{3} \\)가 존재하여 \\[A T_{\\alpha}\\left(s_{0}\\right)=T_{\\beta}\\left(s_{0}\\right), \\quad A N_{\\alpha}\\left(s_{0}\\right)=N_{\\beta}\\left(s_{0}\\right), \\quad A B_{\\alpha}\\left(s_{0}\\right)=B_{g}\\left(s_{0}\\right)\\] 이다.", "또한 \\( v=\\beta\\left(s_{0}\\right)-A \\alpha\\left(s_{0}\\right) \\)라 두고 \\( F: R^{3} \\rightarrow R^{3} \\)를 \\[F(p)=\\left(T_{v} \\circ A\\right)(p)\\]으로 정의하면 \\( F\\left(\\alpha\\left(s_{0}\\right)\\right)=\\beta\\left(s_{0}\\right) \\)인 등장사상이다.", "지금 함수 \\( f \\)를 \\[f(s)=\\left\\|A T_{\\alpha}(s)-T_{\\beta}(s)\\right\\|^{2}+\\left\\|A N_{\\alpha}(s)-N_{\\beta}(s)\\right\\|^{2}+\\left\\|A B_{\\alpha}(s)-B_{\\beta}(s)\\right\\|^{2}\\] 으로 정의하면 Frenet 공식, \\( \\kappa_{\\alpha}=\\kappa_{\\beta} \\)과 \\( \\tau_{\\alpha}=\\tau_{g} \\)를 이용하면 \\[f^{\\prime}(s)=0\\]임을 알 수 있다.", "더구나 \\( f\\left(s_{0}\\right)=0 \\)이기 때문에 모든 \\( s \\)에 대하여 \\( f(s)=0 \\) 이다.", "그러므로 위 식으로부터 모든 \\( s \\)에 대하여 \\[A T_{\\alpha}(s)=T_{g}(s)\\]이다.", "따라서 \\( (F \\circ \\alpha)(s)=A(\\alpha(s))+v \\)이므로 \\[(F \\circ \\alpha)^{\\prime}(s)=A \\alpha^{\\prime}(s)=A T_{\\alpha}(s)=T_{\\beta}(s)=\\beta^{\\prime}(s) \\]이다.", "그러므로 적분하면 \\[(F \\circ \\alpha)(s)=\\beta(s)+c\\] 가 되고. \\", "( F\\left(\\alpha\\left(s_{0}\\right)\\right)=\\beta\\left(s_{0}\\right) \\)이기 때문에 \\( c=0 \\)이다.", "그러므로 \\( (F \\circ \\alpha)(s)=\\beta(s) \\)이다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "415", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "곡선과 곡면의 미분기하학_곡선론", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-1602-40aa-876c-b4f65f09b73b", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961057868", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2014", "doc_author": [ "정승달" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>예 \\(6.4.15\\) [(내부)직합]가환환 \\( \\mathbb{Z}_{12} \\)에서 서로소인 두 원소 \\(3,4\\)에 대하여 \\( \\mathbb{Z}_{12} \\)는 아이디얼 \\( \\langle 3\\rangle^{\\prime} \\) 와 \\( \\langle 4\\rangle^{\\prime} \\)의 내부직합이다.", "즉, \\[ \\mathbb{Z}_{12}=\\langle 3\\rangle^{\\prime} \\oplus^{\\prime}\\langle 4\\rangle^{\\prime}=\\{0,3,6,9\\} \\oplus^{\\prime}\\{0,4,8\\} \\] 실제로 \\( \\mathbb{Z}_{12} \\)의 모든 원소는 다음과 같이 \\( \\langle 3\\rangle^{\\prime} \\)와 \\( \\langle 4\\rangle^{\\prime} \\)의 원소의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다. \\", "( 0=0+0, \\quad 1=9+4, \\quad 2=6+8, \\quad 3=3+0, \\quad 4=0+4, \\quad 5=9+8, \\quad 6=6+0, \\quad 7=3+4, \\quad 8=0+8, \\quad 9=9+0, \\quad 10=6+4, \\quad 11=3+8 \\)</p><p>정리 \\(6.4.16\\) (중국인의 나머지 정리) 환 \\( R \\)의 두 아이디얼 \\( I, J \\)에 대하여 \\( R=I+J \\)이라 할 때, 다음이 성립한다. \\", "[ R / I \\cap J \\cong R / I \\times R / J \\]</p><p>(증명) 다음 함수 \\[ f: R \\longrightarrow R / I \\times R / J, \\quad f(a)=(a+I, a+J) \\] 가 전사 환 준동형사상임을 보이자.", "임의의 원소 \\( a, b \\in R \\)에 대하여 \\[ \\begin{aligned} f(a+b) &=(a+b+I, a+b+J)=(a+I, a+J)+(b+I, b+J)=f(a)+f(b) \\\\ f(a b) &=(a b+I, a b+J)=(a+I, a+J)(b+I, b+J)=f(a) f(b) \\end{aligned} \\] 이므로 환 준동형사상이다.", "</p><p>다음에 \\( f \\)가 전사함수임을 보이자.", "임의의 원소 \\( (a+I, b+J) \\in R / I \\times R / J \\)에 대하여 \\( a-b \\in R=I+J \\)이므로 적당한 \\( x \\in I, y \\in J \\)가 존재하여 \\[ a-b=x+y \\quad \\Longrightarrow \\quad a=b+x+y \\] 이다.", "또한 정리 \\(3.1.7\\)에 의하여 \\[ I=x+I, \\quad J=y+J \\] 이다.", "따라서 \\[ \\begin{array}{l} a+I=b+x+y+I=b+y+I \\\\ b+J=b+y+J \\end{array} \\]이다.", "그러므로 \\[ f(b+y)=(b+y+I, b+y+J)=(a+I, b+J) \\] 이므로 \\( f \\)는 전사함수이다.", "따라서 \\( f \\)는 전사 환 준동형사상이다.", "한편 \\[ \\operatorname{ker}(f)=\\{a \\in R \\mid(0+I, 0+J)=f(a)=(a+I, a+J)\\}=\\{a \\in R \\mid a \\in I \\cap J\\}=I \\cap J \\] 이다.", "그러면 환 제\\(1\\)동형정리(정리 \\(6.2.4\\))에 의하여 \\( R / I \\cap J \\cong R / I \\times R / J \\)이다.", "</p> <p>연 습 문 제 (\\(6.4\\))</p><p>\\(1\\).", "환 \\( \\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Q} \\times \\mathbb{Z} \\)의 모든 가역원(단원)을 구하라.", "</p><p>\\(2\\).", "영환이 아닌 환 \\( R \\)에 대하여 \\( R \\times R \\)은 항상 정역이 아님을 보여라.", "</p><p>\\(3\\).", "두 환 \\( R, R^{\\prime} \\)이 단위원을 가진 환일 때, \\( J \\)가 \\( R \\times R^{\\prime} \\)의 아이디얼이면, \\( R, R^{\\prime} \\)의 적당한 아이디얼 \\( I, I^{\\prime} \\)에 대하여 \\( J=I \\times I^{\\prime} \\)임을 보여라.", "</p><p>\\(4\\).", "다음 가환환의 아이디얼을 모두 구하라.", "<ol type=1 start=1><li>\\( \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\)</li><li>\\( \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{6} \\)</li><li>\\( \\mathbb{Z}_{3} \\times \\mathbb{Z}_{3} \\)</li></ol></p><p>\\(5\\).", "단위원 \\(1\\)을 가진 가환환 \\( R \\)에서 \\( e \\in R \\)가 멱등원일 때, \\( f=1-e \\)이라고 하면, 다음이 성립함을 보여라.", "<ol type=1 start=1><li>\\( f \\)는 멱등원이고 \\( e+f=1, e f=0 \\)이다.", "</li><li>\\( R \\)는 두 아이디얼 \\( e R, f R \\)의 직합이다.", "즉, \\( R=e R \\oplus^{\\prime} f R \\)이다.", "</li></ol></p><h1>6.5 소 아이디얼과 극대 아이디얼</h1><p>이 절에서는 특벌한 아이디얼에 관하여 다룬다.", "</p><p>예 \\(6.5.1\\) 정수환(정역) \\( \\mathbb{Z} \\)의 아이디얼의 잉여환에 대한 성질을 알아보자.", "<ol type=1 start=1><li>소수 \\( p \\)에 대하여 \\( \\mathbb{Z} / p \\mathbb{Z} \\cong \\mathbb{Z}_{p} \\)는 체이다.", "</li><li>\\( \\mathbb{Z} /\\{0\\} \\cong \\mathbb{Z} \\)는 체가 아닌 정역이다.", "</li><li>\\( \\mathbb{Z} / 6 \\mathbb{Z} \\cong \\mathbb{Z}_{6} \\)은 정역이 아닌 가환환이다.", "</li></ol></p><p>위의 예처럼 잉여환은 주어진 환보다 성질이 좋아질 수도 있고 안 좋아질 수도 있다.", "이는 아이디얼의 구조와 관계가 있다.", "</p><p>정의 \\( 6.5 .2 \\) [극대 아이디얼(maximal ideal)] 환 \\( R \\)의 아이디얼 \\( M \\)에 대하여 \\( M \\)이 \\( R \\)의 극대 아이디얼 \\(\\Leftrightarrow\\) 정의<ol type=1 start=1><li>\\( M \\neq R \\)</li><li>\\( \\exists N \\triangleleft R, M<N<R \\Longrightarrow M=N \\) 또는 \\( N=R \\)</li></ol></p><p>정의 \\(6.5.3\\) [소 아이디얼(prime ideal)] 환 \\( R \\)의 아이디얼 \\( P \\)에 대하여 \\(P\\)가 \\(R\\)의 소 아이디얼 \\(\\Leftrightarrow\\) 정의<ol type=1 start=1><li>\\( P \\neq R \\)</li><li>\\( a b \\in P \\Longrightarrow a \\in P \\) 또는 \\( b \\in P \\)</li></ol></p> <p>예 \\(6.5.4\\) 정수환(PID) \\( \\mathbb{Z} \\)에서 극대 아이디얼과 소 아이디얼을 구하자. \\", "( \\mathbb{Z} \\)의 아이디얼은 모두 \\( m \\mathbb{Z}(m \\geq 0) \\)인 형태이다.", "</p><p>\\((1)\\) 소수 \\( p \\)일 때, 아이디얼 \\( p \\mathbb{Z} \\)가 \\( \\mathbb{Z} \\)의 극대 아이디얼임을 보이자.", "</p><p>아이디얼 \\( m \\mathbb{Z} \\)이 존재하여 \\[ p \\mathbb{Z}<m \\mathbb{Z}<\\mathbb{Z} \\] 이라 하자.", "그러면 \\( p=m a \\)이다. \\", "( p \\)가 소수이므로 \\( p=m \\)이거나 \\( p=a \\)이어야 한다.", "먼저 \\( p=m \\)이면 \\( p \\mathbb{Z}=m \\mathbb{Z} \\)이다.", "다음에 \\( p=a \\)인 경우에는 \\( m=1 \\)이다.", "그러므로 \\( m \\mathbb{Z}=\\mathbb{Z} \\)이다.", "따라서 \\( p \\mathbb{Z} \\) 는 \\( \\mathbb{Z} \\)의 극대 아이디얼이다.", "</p><p>\\((2)\\) 소수 \\( p \\)일 때, 아이디얼 \\( p \\mathbb{Z} \\)가 \\( \\mathbb{Z} \\)의 소 아이디얼임을 보이자.", "</p><p>정수 \\( a, b \\in \\mathbb{Z} \\)가 존재하여 \\( a b \\in p \\mathbb{Z} \\)이라 하자.", "그러면 적당한 정수 \\( c \\)에 대하여 \\( a b=p c \\)이다. \\", "( p \\) 가 소수이므로 \\( p \\mid a \\)이거나 \\( p \\mid b \\)이어야 한다.", "먼저 \\( p \\mid a \\)이면 \\[ a \\in p \\mathbb{Z} \\] 이다.", "다음에 \\( p \\mid b \\)인 경우에는 \\[ b \\in p \\mathbb{Z} \\] 이다.", "따라서 \\( p \\mathbb{Z} \\)는 \\( \\mathbb{Z} \\)의 소 아이디얼이다.", "</p><p>\\((3)\\) 영아이디얼 \\( \\{0\\} \\)은 극대 아이디얼이 아니지만 \\( \\mathbb{Z} \\)의 소 아이디얼임을 보이자.", "</p><p>\\( 2 \\mathbb{Z} \\)는 \\((1)\\)에 의해 \\( \\mathbb{Z} \\)의 극대 아이디얼이다. \\", "[ \\{0\\}<2 \\mathbb{Z}<\\mathbb{Z} \\] 이므로 영아이디얼 \\( \\{0\\} \\)은 극대 아이디얼이 아니다.", "다음에 \\[ a b \\in\\{0\\} \\quad \\Longrightarrow a b=0 \\quad \\Longrightarrow \\quad a=0 \\text { 또는 } b=0 \\quad \\Longrightarrow \\quad a \\in\\{0\\} \\text { 또는 } b \\in\\{0\\} \\] 이므로 \\( \\{0\\} \\)은 소 아이디얼이다.", "</p><p>\\((4)\\) 아이디얼 \\( 6 \\mathbb{Z} \\)는 \\( \\mathbb{Z} \\)의 소 아이디얼도 아니고 극대 아이디얼도 아님을 보이자.", "</p><p>\\[ 6 \\mathbb{Z}<2 \\mathbb{Z}<\\mathbb{Z} \\] 이므로 \\( 6 \\mathbb{Z} \\)는 극대 아이디얼이 아니다.", "</p><p>그리고 \\[ 2 \\cdot 3=6 \\in 6 \\mathbb{Z} \\text { 이지만 } 2 \\notin 6 \\mathbb{Z} \\text { 이고 } 3 \\notin 6 \\mathbb{Z} \\] 이므로 \\( 6 \\mathbb{Z} \\)는 소 아이디얼도 아니다.", "</p> <p>따름정리 \\(6.4.17\\) (중국인의 나머지 정리) 가환환 \\( \\mathbb{Z}_{m}, \\mathbb{Z}_{n} \\)에 대하여 다음은 동치이다. \\", "[ \\mathbb{Z}_{m} \\times \\mathbb{Z}_{n} \\cong \\mathbb{Z}_{m n} \\quad \\Longleftrightarrow \\quad \\operatorname{gcd}(m, n)=1 \\]</p><p>(증명) \\( (\\Rightarrow) \\) 군으로서도 동형이므로 정리 \\(3.4.6\\)에 의하여 성립한다. \\", "( (\\Leftarrow) \\operatorname{gcd}(m, n)=1 \\)이라 하자.", "그러면 \\[ m \\mathbb{Z}+n \\mathbb{Z}=\\mathbb{Z}, \\quad m \\mathbb{Z} \\cap n \\mathbb{Z}=m n \\mathbb{Z} \\] 이다(문제 \\(2.3.7\\)).", "한편 정리 \\(6.4.16\\)에서 \\( R=\\mathbb{Z}, I=m \\mathbb{Z}, J=n \\mathbb{Z} \\)이라 하면, 정리 \\(6.4.16\\)의 가정을 만족하므로 \\[ \\mathbb{Z} / m \\mathbb{Z} \\cap n \\mathbb{Z} \\cong \\mathbb{Z} / m \\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z} / n \\mathbb{Z} \\Longrightarrow \\mathbb{Z} / m n \\mathbb{Z} \\cong \\mathbb{Z} / m \\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z} / n \\mathbb{Z} \\quad \\Longrightarrow \\quad \\mathbb{Z}_{m n} \\cong \\mathbb{Z}_{m} \\times \\mathbb{Z}_{n} \\] 이다(예 \\(6.1.26\\)).", "</p><p>\\(3\\)개 이상의 순환환의 직합에 대해서도 위 따름정리 \\(6.4.17\\)와 비슷한 방법으로 다음 정리를 증명할 수 있다.", "</p><p>다름정리 \\( 6.4 .18 \\) 가환환 \\( \\mathbb{Z}_{n_{1}}, \\cdots, \\mathbb{Z}_{n_{r}} \\)에 대하여 다음은 동치이다. \\", "[ \\mathbb{Z}_{n_{1}} \\times \\cdots \\times \\mathbb{Z}_{n_{r}} \\cong \\mathbb{Z}_{n_{1} \\cdots n_{r}} \\Longleftrightarrow n_{i}, n_{j}(1 \\leq i \\neq j \\leq r) \\] 는 쌍마다 서로소</p><p>예 \\(6.4.19\\) 다음 함수는 환 동형사상이다. \\", "[ f: \\mathbb{Z}_{6} \\longrightarrow \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{3}, \\quad f(a)=\\left([a]_{2},[a]_{3}\\right) \\] 실제로 함수의 대응을 살펴보면 다음과 같다. \\", "[ f(0)=(0,0), \\quad f(1)=(1,1), \\quad f(2)=(0,2), \\quad f(3)=(1,0), \\quad f(4)=(0,1), \\quad f(5)=(1,2) \\]</p><p>임용시험 출제 \\( \\mathbf{6 . 4 . 2 0} \\) [\\(2017\\)학년도] 환 \\( \\mathbb{Z}_{60} \\)의 잉여환(factor ring, quotient ring)으로 나타나는 모든 체(field)의 직접곱(직적, direct product)을 \\( R \\)이라 하자.", "환 \\( R \\)의 표수(characteristic)를 구하라.", "</p> <h1>6.2 환의 동형정리</h1><p>이 절에서는 환에 대한 동형정리와 그에 대한 응용을 다룬다.", "</p><p>정리 \\(6.2.1\\) 함수 \\( f: R \\longrightarrow R^{\\prime} \\)가 환 준동형사상일 때 다음이 성립한다.", "<ol type=1 start=1><li>\\( H \\)가 \\( R \\)의 아이디얼이면, \\( f(H) \\)는 환 \\( f(R) \\)의 아이디얼이다.", "</li><li>\\( \\operatorname{ker}(f) \\)는 \\( R \\)의 아이디얼이다.", "</li><li>\\( S^{\\prime} \\)가 \\( R^{\\prime} \\)의 아이디얼이면, \\( S^{\\prime} \\)의 역상 \\( f^{-1}\\left(S^{\\prime}\\right) \\)는 \\( R \\)의 아이디얼이다.", "</li></ol></p><p>(증명) \\((1)\\) 정리 \\(5.3.7\\)에 의하여 \\( f(H) \\)는 환 \\( R^{\\prime} \\)의 부분환이다.", "그러므로 \\( f(H) \\)는 환 \\( f(R) \\)의 부분환이다.", "임의의 원소 \\( a \\in H, r \\in R \\)에 대하여 \\( a r, r a \\in H \\)이므로 \\[ \\begin{array}{l} f(r) f(a)=f(r a) \\in f(H) \\\\ f(a) f(r)=f(a r) \\in f(H) \\end{array} \\] 이므로 \\( f(H) \\)는 환 \\( f(R) \\)의 아이디얼이다.", "</p><p>\\((2)\\) 정리 \\(5.3.7\\)에 의하여 \\( \\operatorname{ker}(f) \\)는 \\( R \\)의 부분환이다.", "임의의 원소 \\( a \\in \\operatorname{ker}(f), r \\in R \\)에 대하여 \\[ \\begin{array}{l} f(r a)=f(r) f(a)=f(r) 0^{\\prime}=0^{\\prime} \\\\ f(a r)=f(a) f(r)=0^{\\prime} f(r)=0^{\\prime} \\end{array} \\]이므로 \\( a r, r a \\in \\operatorname{ker}(f) \\)이다.", "따라서 \\( \\operatorname{ker}(f) \\)는 \\( R \\)의 아이디얼이다.", "</p><p>\\((3)\\) 정리 \\(5.3.7\\)에 의하여 \\( f^{-1}\\left(S^{\\prime}\\right) \\)는 \\( R \\)의 부분환이다.", "임의의 원소 \\( a \\in f^{-1}\\left(S^{\\prime}\\right), r \\in R \\)에 대하여 \\( f(a) \\in S^{\\prime} \\)이므로 \\[ \\begin{array}{l} f(r a)=f(r) f(a) \\in S^{\\prime} \\\\ f(a r)=f(a) f(r) \\in S^{\\prime} \\end{array} \\] 이므로 \\( r a, a r \\in f^{-1}\\left(S^{\\prime}\\right) \\)이다.", "따라서 \\( f^{-1}\\left(S^{\\prime}\\right) \\)는 \\( R \\)의 아이디얼이다.", "</p><p>예 \\(6.2.2\\) 환 준동형사상 \\( f: \\mathbb{Z} \\longrightarrow \\mathbb{Q}, f(n)=n \\)에서 \\( f(\\mathbb{Z})=\\mathbb{Z} \\) 는 \\( \\mathbb{Q} \\)의 부분환이지만 아이디얼이 아니다(예 \\(6.1.4\\)).", "</p><p>또한 \\( 2 \\mathbb{Z} \\)는 \\( \\mathbb{Z} \\)의 아이디얼이고 \\( f(\\mathbb{Z})=\\mathbb{Z} \\)의 아이디얼이지만, \\( \\mathbb{Q} \\)의 아이디얼이 아니다.", "</p> <h1>6.1 아이디얼과 잉여환</h1><p>이 절에서는 잉여군에 대응하는 환의 구조에 대해 알아 본다.", "</p><p>정의 \\( 6.1 .1 \\) [아이디얼(ideal)] 환 \\( R \\)의 부분집합 \\( H(\\neq \\varnothing) \\)에 대하여 \\( H \\)가 \\( R \\)의 아이디얼 (ideal)⭤ 정의<ol type=1 start=1><li>\\( (H,+)<(R,+) \\) 즉, \\( \\forall a, b \\in H, a-b \\in H \\)</li><li>\\( \\forall a \\in R, a H \\subset H, H a \\subset H \\)</li></ol>※ 아이디얼은 정의에 의하여 \\( R \\)의 부분환이 되며, H◁R이라 표기한다.", "</p><p>예 \\(6.1.2\\) [아이디얼] 환 \\( R \\)에서 \\( \\{0\\} \\)과 \\( R \\)은 \\( R \\)의 아이디얼이다.", "이때 \\( \\{0\\} \\)을 영아이디얼(zero ideal)이라고 한다.", "</p><p>예 \\(6.1.3\\) [아이디얼] 정수환 \\( \\mathbb{Z} \\)에서 부분환은 모두 \\[ n \\mathbb{Z}=\\{n x \\mid x \\in \\mathbb{Z}\\}, \\quad n \\geq 0 \\] 형태(따름정리 \\(2.3.6\\))인데 이는 \\( \\mathbb{Z} \\)의 아이디얼도 된다.", "실제로 임의의 \\( x, y \\in \\mathbb{Z} \\)에 대하여 \\[ y(n x)=n(x y) \\in n \\mathbb{Z} \\] 이므로 \\( n \\mathbb{Z} \\triangleleft \\mathbb{Z} \\)이다.", "</p><p>예 \\(6.1.4\\) [아이디얼이 아닌 예] 유리수체 \\( \\mathbb{Q} \\)의 부분환 \\[ \\mathbb{Z}=\\{x \\mid x \\in \\mathbb{Z}\\} \\] 은 \\( \\mathbb{Q} \\)의 아이디얼이 아니다.", "왜냐하면 \\( \\frac{1}{2} \\in \\mathbb{Q} \\)과 \\( 1 \\in \\mathbb{Z} \\)에 대하여 \\[ \\frac{1}{2} \\cdot 1=\\frac{1}{2} \\notin \\mathbb{Z} \\] 이기 때문이다.", "</p><p>예 \\(6.1.5\\) [아이디얼이 아닌 예] 실수 \\( \\mathbb{R} \\) 위의 실가함수 집합을 \\[ F=\\{f \\mid f: \\mathbb{R} \\longrightarrow \\mathbb{R} \\text { 은 실가함수 }\\} \\]라 하면, \\( (F,+, \\cdot) \\) 은 단위원 \\( (f(x)=1) \\) 을 갖는 가환환이다(예 5.1.9). \\", "( F \\) 에서 모든 상수함수들의 집합을 \\[ C=\\{f \\mid f(\\mathbb{R})=a, \\exists a \\in \\mathbb{R}\\} \\] 라 하면 \\( F \\)의 부분환이지만 아이디얼이 아니다.", "실제로 영함수 \\( 0 \\in C \\)이다.", "또한 임의의 상수함수 \\( f, g \\in C \\)에 대하여 \\( f(\\mathbb{R})=a, f(\\mathbb{R})=b \\)라 하면 \\[ \\begin{aligned} (f-g)(\\mathbb{R}) &=f(\\mathbb{R})-g(\\mathbb{R})=a-b \\\\ (f \\cdot g)(\\mathbb{R}) &=f(\\mathbb{R}) \\cdot g(\\mathbb{R})=a b \\end{aligned} \\] 가 되어 \\( f-g, f \\cdot g \\in C \\)이므로 \\( C \\)는 \\( F \\)의 부분환이다(정리 \\(5.2.12\\)).", "하지만 상수함수 \\( 2 \\in C \\)와 함수 \\( f(x)=x^{2} \\) 에 대하여 \\( 2 \\cdot f(x)=2 x^{2} \\)은 상수함수가 아니다.", "따라서 \\( C \\)는 \\( F \\)의 아이디얼이 아니다.", "</p> <p>정리 \\( 6.5.8 \\) 단위원 \\(1\\)을 가진 가환환 \\( R \\)의 아이디얼 \\( M(\\neq R) \\)에 대하여 다음은 동치이다. \\", "[ M \\text { 이 } R \\text {의 극대 아이디얼 } \\Longleftrightarrow \\text { 잉여환 } R / M \\text {이 체 } \\]</p><p>(증명) \\( (\\Rightarrow) M \\)이 \\( R \\)의 극대 아이디얼이라 하자. \\", "( R \\)이 단위원 \\(1\\)을 가진 가환환이고 \\( M \\neq R \\)이므로 \\( R / M \\)은 영환이 아닌 단위원 \\( 1+M(\\neq 0+M) \\)을 가진 가환환이다.", "</p><p>임의의 원소 \\( a+M(\\neq 0+M) \\in R / M \\)에 대하여 \\[ \\langle a\\rangle^{\\prime}+M=a R+M=\\{a r+m \\mid r \\in R, m \\in M\\} \\] 은 \\( R \\)의 아이디얼임을 쉽게 증명할 수 있다(문제 \\(6.5.9\\)).", "한편 \\( a \\notin M \\)이지만 \\( a=a 1+0 \\in a R+M \\)이므로 \\[ M \\supsetneqq a R+M<R \\] 이다.", "그러면 \\( M \\)이 \\( R \\)의 극대 아이디얼이므로 \\( a R+M=R \\)이어야 한다.", "따라서 적당한 원소 \\( r \\in R, m \\in M \\)이 존재하여 \\( a r+m=1 \\)이다.", "즉, \\( a r=1-m \\)이다.", "그러면 다음이 성립한다. \\", "[ (a+M)(r+M)=a r+M=1-m+M=1+M(\\because m \\in M) \\] 따라서 \\( (r+M)=(a+M)^{-1} \\)이므로 \\( R / M \\)은 체이다.", "</p><p>\\( (\\Leftarrow) \\) 잉여환 \\( R / M \\)을 체라 하자. \\", "( R \\)의 아이디얼 \\( N \\)에 대하여 \\( M \\varsubsetneqq N<R \\)이라 하자.", "그러면 적당한 원소 \\( a \\in N-M(\\because M \\subsetneq N) \\)이 존재하여 \\( a+M \\neq 0+M \\)이다.", "그러면 \\( R / M \\)이 체이므로 적당 한 원소 \\( r+M \\in R / M \\)이 존재하여 다음이 성립한다. \\", "[ (a+M)(r+M)=1+M \\quad \\Longrightarrow \\quad a r+M=1+M \\quad \\Longrightarrow \\quad 1-a r \\in M \\subset N \\quad \\Longrightarrow \\quad 1-a r \\in N \\] 따라서 \\( a \\in N \\)이므로 \\( 1 \\in N \\)이다.", "그러면 정리 \\(6.1.6\\)에 의하여 \\( N=R \\)이다.", "그러므로 \\( M \\)은 \\( R \\)의 극대 아이디얼이다.", "</p> <p>정의 \\(6.1.11\\) [인수(factor), 배수(multiple)] 단위원 \\(1\\)을 가진 가환환 \\( R \\)의 원소 \\( a, b, c \\in R \\)에 대하여 \\( a \\)는 \\( c \\)의 인수(factor), 약수(divisor), \\( c \\)는 \\( a \\)의 배수(multiple), 정의 c=ab ※이때 기호로 \\( a \\mid c \\)라 표기. \\", "( a \\mid c \\)가 아니면, \\( a \\nmid c \\)라 나타낸다.", "</p><p>정리 \\( 6.1 .12 \\) 단위원 \\(1\\)을 가진 가환환 \\( R \\)의 원소 \\( a, b \\in R \\)에 대하여 다음이 성립한다.", "<ol type=1 start=1><li>\\( a|a, \\quad a| 0, \\quad 1 \\mid a \\)</li><li>\\( a|b, b| c \\Longrightarrow a \\mid c \\)</li><li>\\( \\langle a\\rangle^{\\prime} \\subset\\langle b\\rangle^{\\prime} \\Longleftrightarrow a \\in\\langle b\\rangle^{\\prime} \\Longleftrightarrow b \\mid a \\)</li><li>\\(a\\)가 영인자가 아니면, \\( \\langle a\\rangle^{\\prime}=\\langle b\\rangle^{\\prime} \\Longleftrightarrow a|b, b| a \\Longleftrightarrow a \\)와 \\( b \\)는 동반원</li><li>\\(\\langle a\\rangle^{\\prime}=R \\quad \\Longleftrightarrow a \\mid 1 \\Longleftrightarrow a \\)와 \\(1\\)은 동반원 (\\( a \\)는 단원)</li></ol><p>(증명) \\((1)\\)과 \\((2)\\)는 약수의 정의에 의하여 성립한다. \\", "((3)\\) 먼저 \\( a \\in\\langle b\\rangle^{\\prime} \\Longleftrightarrow b \\mid a \\)는 분명히 성립한다.", "다음에 \\( \\langle a\\rangle^{\\prime} \\subset\\langle b\\rangle^{\\prime} \\)이면, \\( a \\in\\langle a\\rangle^{\\prime} \\subset\\langle b\\rangle^{\\prime} \\)이다.", "역으로 \\( a \\in\\langle b\\rangle^{\\prime} \\)이면, 적당한 \\( c \\in R \\)에 대하여 \\( a=b c \\)이다.", "그러면 임의의 원소 \\( a x \\in\\langle a\\rangle^{\\prime} \\)에 대하여 \\[ a x=(b c) x=b(c x) \\in\\langle b\\rangle^{\\prime} \\] 이므로 \\( \\langle a\\rangle^{\\prime} \\subset\\langle b\\rangle^{\\prime} \\)이다.", "따라서 \\( \\langle a\\rangle^{\\prime} \\subset\\langle b\\rangle^{\\prime} \\Longleftrightarrow a \\in\\langle b\\rangle^{\\prime} \\)이 성립한다. \\", "((4)\\ 앞의 \\((3)\\)에 의하여 \\( \\langle a\\rangle^{\\prime}=\\langle b\\rangle^{\\prime} \\Longleftrightarrow a|b, b| a \\)이다.", "다음에 \\( a|b, b| a \\)라 하자.", "그러면 적당한 원소 \\( x, y \\in R \\) 에 대하여 \\( a=b x, b=a y \\)이다.", "이때 \\( a=0 \\)이면, \\( b=0 \\)이 되어 \\( a=b=b 1 \\)이 되어 \\( a \\)와 \\( b \\)는 동반원이다.", "한편 \\( a \\neq 0 \\)이면, 다음 식을 생각하자. \\", "[ a=b x=(a y) x=a(y x) \\quad \\Longrightarrow \\quad a(1-y x)=0 \\] \\( a \\)가 영인자가 아니므로 \\( y x=1 \\)이어야 한다.", "따라서 \\( x \\)와 \\( y \\)는 단원이 되어 \\( a \\)와 \\( b \\)는 동반원이다.", "역으로 \\( a \\)와 \\( b \\)가 동반원이라고 하자.", "그러면 적당한 원소 \\( u \\in R \\)이 존재하여 \\( a=b u \\)이므로 \\( b=a u^{-1} \\)이다.", "따라서 \\( a|b, b| a \\)이다. \\", "((5)\\) 위의 \\((3)\\)과 \\((4)\\)에 의하여 성립한다.", "</p> <p>\\(8\\). \\", "( F \\)가 체일 때, \\( M_{2}(F) \\)의 부분집합 \\[ S=\\left\\{\\left(\\begin{array}{ll} a & b \\\\ 0 & 0 \\end{array}\\right) \\mid a, b \\in F\\right\\} \\]는 \\( M_{2}(F) \\)의 우 아이디얼(right ideal)은 되지만 좌 아이디얼(left ideal)이 아님을 보여라.", "</p><p>즉, \\( S \\)는 부분환이고 \\( M_{2}(F) \\)의 원소를 오른쪽에서 \\( S \\)의 원소에 곱하면 다시 \\( S \\)의 원소이나 왼쪽에서 곱하면 \\( S \\)에 속하지 않을 수도 있음을 보이면 된다.", "</p><p>\\(9\\). \\", "( F \\)는 체이고 \\( f(x), g(x) \\in F[x] \\)이다.", "집합 \\[ N=\\{r(x) f(x)+s(x) g(x) \\mid r(x), s(x) \\in F[x]\\} \\] 은 \\( F[x] \\)의 아이디얼임을 보여라.", "또 \\( f(x) \\)와 \\( g(x) \\)의 차수가 다르고 \\( N \\neq F[x] \\)이면, \\( f(x) \\)와 \\( g(x) \\)는 둘 다 \\( F \\) 위에서 기약일 수는 없음을 보여라.", "</p><p>\\(10\\).", "환 \\( R \\)의 아이디얼 \\( A \\)와 \\( B \\)에 대하여, 집합곱(set product) \\( A B \\)는 다음과 같이 정의한다. \\", "[ A B=\\left\\{\\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i} \\mid a_{i} \\in A, b_{i} \\in B, n \\in \\mathbb{N}\\right\\} \\]<ol type=1 start=1><li>\\( A B \\)는 \\( R \\)의 아이디얼임을 보여라.", "</li><li>\\( A B \\subseteq(A \\cap B) \\)임을 보여라.", "</li></ol></p><p>\\(11\\).", "만약 \\( A \\)와 \\( B \\)가 환 \\( R \\)의 아이디얼이면, (\\( A \\)를 \\( B \\)로 나눈) 몫(quotient) \\( (A: B) \\)는 다음과 같이 정의 한다. \\", "[ (A: B)=\\{r \\in R \\mid r B \\subset A\\} \\] 몫 \\( (A: B) \\)는 \\( R \\)의 아이디얼임을 보여라.", "</p><p>\\(12\\). \\", "( R \\)이 가환환일 때, 다음 물음에 답하라. \\", "((1)\\) 원소 \\( x \\in R \\)에 대하여 \\( \\operatorname{Ann}(x)=\\{r \\in R \\mid r x=0\\} \\)은 \\( R \\)의 아이디얼임을 보여라.", "이때 \\( \\operatorname{Ann}(x) \\)를 \\( x \\)의 영화군(annihilator)이라 한다. \\", "((2)\\) 부분집합 \\( X \\subset R \\)에 대하여 \\( \\operatorname{Ann}(X)=\\{r \\in R \\mid r X=\\{0\\}\\} \\)은 \\( R \\)의 아이디얼임을 보여라. \\", "((3)\\) \\( R=\\mathbb{Z}_{12} \\)일 때 \\( \\operatorname{Ann}(2) \\)와 \\( \\operatorname{Ann}(\\{2,3\\}) \\)을 구하라.", "</p><p>\\(13\\).", "가환환 \\( R \\)의 닐래디칼 \\( N(R) \\)에 의한 잉여환 \\( R / N(R) \\)은 \\( \\overline{0}(=0+N(R)) \\)이외의 멱영원이 없음을 보여라.", "</p><p>\\(14\\). \\", "( R \\)이 가환환이고 \\( N \\)은 \\( R \\)의 아이디얼이다.", "이때 \\[ \\sqrt{N}=\\left\\{a \\in R \\mid a^{n} \\in N, \\exists n \\in \\mathbb{N}\\right\\} \\] 은 \\( R \\)의 아이디얼임을 보여라.", "이 아이디얼 \\( \\sqrt{N} \\)을 \\( N \\)의 래디칼(radical)이라 한다.", "</p><p>\\(15\\).", "잉여환 \\( \\mathbb{Z} / 18 \\mathbb{Z} \\)의 아이디얼을 모두 구하라.", "</p><p>\\(16\\).", "체 \\( F \\)의 잉여환은 원소가 하나인 영환이거나 그 체와 동형임을 보여라.", "</p><p>\\(17\\). \\", "( N \\)과 \\( N^{\\prime} \\)이 각각 환 \\( R \\)과 \\( R^{\\prime} \\)의 아이디얼이라 하자.", "이때 환준동형사상 \\( \\phi: R \\rightarrow R^{\\prime} \\)이 \\( \\phi(N) \\subseteq N^{\\prime} \\)을 만족하면, \\( \\phi \\)는 환준동형사상 \\( \\phi^{\\prime}: R / N \\rightarrow R^{\\prime} / N^{\\prime} \\)을 유도함을 보여라.", "</p> <p>정리 \\(6.3.8\\) 체 \\( F \\)에 대하여 다음이 성립한다.", "<ol type=1 start=1><li>\\( \\operatorname{char} F=0 \\)이면, 유리수체 \\( \\mathbb{Q} \\)와 동형인 부분체를 포함한다.", "</li><li>\\( \\operatorname{char} F=p \\)(소수)이면, 체 \\( \\mathbb{Z}_{p} \\)와 동형인 부분체를 포함한다.", "</li></ol>※char \\(F=0 \\)인 경우 \\( \\mathbb{Q} \\subset F \\)라 간주하고 유리수체 \\( \\mathbb{Q} \\)를 \\( F \\)의 소체(prime field)라 한다.", "※char \\(F=p \\)인 경우 \\( \\mathbb{Z}_{p} \\subset F \\)라 간주하고 체 \\( \\mathbb{Z}_{p} \\)를 \\( F \\)의 소체 (prime field)라 한다.", "</p><p>(증명) 체의 표수는 \\(0\\) 또는 소수 \\( p \\)이다(정리 \\(6.3.6\\)).", "</p><p>\\((1)\\) char \\( F=0 \\)이면, 정리 \\(6.3.7\\)의 증명에 의하여 \\( F \\)는 정수환(정역) \\( \\mathbb{Z} \\)와 동형인 부분환 \\( S= \\{a \\cdot 1 \\mid a \\in \\mathbb{Z}\\} \\)를 포함한다.", "한편 정수환 \\( \\mathbb{Z} \\)의 분수체는 유리수체 \\( \\mathbb{Q} \\)이고, 또 \\( F \\)안에서 \\( S \\)의 분수체는 \\[ Q(S)=\\left\\{\\frac{a \\cdot 1}{b \\cdot 1} \\mid a, b \\in \\mathbb{Z}, b \\neq 0\\right\\} \\] 이므로, 다음 함수 \\[ f: \\mathbb{Q} \\longrightarrow Q(S), \\quad f\\left(\\frac{a}{b}\\right)=\\frac{a \\cdot 1}{b \\cdot 1} \\] 는 환 동형사상이다.", "따라서 \\( \\mathbb{Q} \\cong Q(S) \\)이다.", "</p><p>\\((2)\\) char \\( F=p \\)이면, 정리 \\(6.3.7\\)에 의하여 체 \\( \\mathbb{Z}_{p} \\)와 동형인 부분체를 포함한다.", "</p><p>예 \\( 6.3 .9 \\) 단위원 \\(1\\)을 가진 영환이 아닌 유한환 \\( R \\)에 대하여 다음이 성립한다.", "</p><p>\\((1)\\) \\( R \\)의 위수 \\( |R| \\)가 소수 \\( p \\)이면, \\( R \\cong \\mathbb{Z}_{p} \\)이다.", "왜냐하면, 문제 \\(6.3.4\\)에 의하여 \\( R \\)의 표수는 \\( |R| \\)의 약수이므로 \\( \\operatorname{char} R=p \\)이고, 정리 \\( 6.3 .8 \\)에 의하여 \\( R \\cong \\mathbb{Z}_{p} \\) 이다.", "</p><p>\\((2)\\) \\( R \\)의 위수 \\( |R| \\)가 \\(6\\)이면, \\( R \\cong \\mathbb{Z}_{6} \\)이다(유한생성 가환군의 기본정리).", "따라서 위수 \\(6\\)인 체는 존재하지 않는다.", "실제로 체의 표수는 항상 \\(0\\) 또는 소수이다(정리 \\(6.3.6\\)).", "</p><p>예 \\(6.3.10\\) 유한체 \\( F \\)에 대하여 다음이 성립한다.", "<ol type=1 start=1><li>\\( F \\)의 표수는 소수 \\( p \\) (정리 \\(6.3.6\\))이며, \\( F \\)의 소체는 \\( \\mathbb{Z}_{p} \\)이다(정리 \\(6.3.8\\)).", "</li><li>체 \\( \\mathbb{Z}_{p}=\\{0,1, \\cdots, p-1\\} \\)위의 유리식체 \\( \\mathbb{Z}_{p}(x)=\\left\\{\\frac{f(x)}{g(x)} \\mid f(x), g(x) \\in \\mathbb{Z}_{p}[x]\\right\\} \\)는 표수 \\( p \\)인 무한체이고 그 소체는 \\( \\mathbb{Z}_{p} \\)이다.", "</li><ol></p> <h1>아이디얼과 잉여환, 환 동형정리</h1><p>환론에서, 아이디얼(ideal) 또는 이데알(독일어: Ideal)은 특정한 조건을 만족시키는 환의 부분집합이다.", "이는 군론에서 정규부분군에 대하여 잉여군을 구성하는 것과 유사한 개념으로 아이디얼을 이용하여 잉여환을 만들 수 있다.", "</p><p>아이디얼을 사용하여 수론적 개념을 보다 일반적인 환들에 대하여 확장시킬 수 있다.", "예를 들어, 소수의 개념을 확장한 소 아이디얼 및 서로소인 수의 개념을 확장한 서로소 아이디얼을 정의하면, 일반화된 중국인의 나머지 정리를 증명할 수 있다.", "</p><p>독일 수학자 쿠머(독: E. E. Kummer, \\( 1810-1893) \\)는 환에서 유일한 소인수분해의 성질을 갖고 있는 수라는 '이상적인 수(ideale Zahlen)'를 정의하여, 페르마(프: P. Fermat, \\(1601\\)-\\(1665\\))의 마지막 정리를 증명하는 데 사용하고자 했다.", "</p><p>아이디얼은 힐베르트(독: D. Hilbert, \\(1862\\-\\(1943\\)와 뇌터(독: A. E. Noether, \\(1882\\-\\(1935\\)에 의해 많이 연구되었다.", "</p><p>특히, 뇌터는 \\(1921\\)년 평생 동안 자신을 믿고 지원해 주었던 아버지가 사망하자, 아버지의 영전에 「가환환의 이데알 이론(Theory of Ideals in Rings)」이라는 논문을 바쳤다.", "여기서 그녀는 이데알들이 오름사슬 조건(ascending chain condition)을 만족하는 환을 정식화했는데, 그것은 오늘날 '뇌터 환(Noetherian ring)'으로 불린다.", "</p><p>추상대수학에서, 준동형 사상(homomorphism, 準同型寫像)은 두 구조 사이의, 모든 연산 및 관계를 보존하는 함수이다.", "이들은 범주(Category, 範㿧)의 사상을 이룬다.", "여기서 '동형(Isomorphism)'은 '똑같은 형태'를 의미하는 그리스어이고, '사상(Morphism)'은 변환(함수 등)에서 수학적 구조를 그대로 보존함을 추상화한 것을 의미한다.", "</p><p>두 개 이상의 수학적 대상물들이 동형(isomorphic, 同型)이라는 것은 표현 방법이 다를지라도 대수적 구조상 동일한 형태를 갖고 있음을 의미한다.", "</p> <p>[다름정리 \\(6.5.13\\) 단위원 \\(1\\)을 가진 가환환 \\( R \\)에 대하여 다음이 성립한다.", "<ol type=1 start=1><li>\\( M \\)이 \\( R \\)의 극대 아이디얼 \\( \\Longrightarrow M \\)이 \\( R \\)의 소 아이디얼</li><li>\\( R \\)이 유한환이면, \\( R \\)의 극대 아이디얼과 소 아이디얼은 일치한다.", "</li><li>\\( R \\)이 Boole 환이면, \\( R \\)의 극대 아이디얼과 소 아이디얼은 일치한다.", "</li></ol></p><p>(증명) \\((1)\\) \\( M \\)이 \\( R \\)의 극대 아이디얼이라 하자.", "정리 \\( 6.5 .8 \\)에 의하여 \\( R / M \\)은 체이다.", "그러면 \\( R/ M \\)는 정역이다(정리 \\(5.1.15\\)).", "따라서 정리 \\(6.5.12\\)에 의하여 \\( M \\)이 \\( R \\)의 소 아이디얼이다.", "</p><p>\\((2)\\) \\( P \\)가 \\( R \\)의 소 아이디얼이라 하자.", "그러면 \\( R / P \\)는 유한 정역이므로 \\( R / P \\)는 체이다(정리 \\(5.2.9\\)).", "따라서 정리 \\( 6.5 .8 \\)에 의하여 \\( P \\)는 \\( R \\)의 극대 아이디얼이다.", "</p><p>한편 \\((1)\\)에 의하여 극대 아이디얼이면 소 아이디얼이므로 \\((2)\\)가 성립한다.", "</p><p>\\((3)\\) \\( P \\)가 Boole 환 \\( R \\)의 소 아이디얼이라고 하자.", "그러면 정리 \\(6.5.12\\)에 의하여 \\( R / P \\)는 정역이다.", "그러면 임의의 원소 \\( a+P(\\neq 0+P=P) \\in R / P \\)에 대하여 \\[ 0+P=\\left(a-a^{2}\\right)+P=(a+P)(1-a+P) \\Longrightarrow 1-a+P=0+P \\Longrightarrow a+P=1+P(\\text { 단원 }) \\]이다.", "그러므로 \\( R / P \\)는 체가 된다.", "따라서 정리 \\(6.5.8\\)에 의하여 \\( P \\)는 \\( R \\)의 극대 아이디얼이다.", "</p><p>한편 \\((1)\\)에 의하여 극대 아이디얼이면 소 아이디얼이므로 \\((2)\\)가 성립한다.", "</p><p>예 \\(6.5.14\\) 정수환(PID) \\( \\mathbb{Z} \\)와 정수 \\( p \\geq 2 \\)에 대하여 다음 다섯 조건은 서로 동치이다.", "따라서 \\( \\mathbb{Z} \\)에서 \\( \\{0\\} \\)을 제외한 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다.", "<ol type=1 start=1><li>정수 \\( p \\)는 소수이다.", "</li><li>\\( p \\mathbb{Z} \\)는 \\( \\mathbb{Z} \\)의 극대 아이디얼이다.", "</li><li>\\( \\mathbb{Z} / p \\mathbb{Z}=\\{\\overline{0}, \\overline{1}, \\cdots, \\overline{p-1}\\} \\)은 체이다.", "</li><li>\\( \\mathbb{Z} / p \\mathbb{Z}=\\{\\overline{0}, \\overline{1}, \\cdots, \\overline{p-1}\\} \\)은 정역이다.", "</li><li>\\( p \\mathbb{Z} \\)는 \\( \\mathbb{Z} \\)의 소 아이디얼이다.", "</li></ol>(증명) 예 \\( 6.5 .4 \\), 문제 \\( 6.5 .5 \\), 정리 \\( 6.5 .8 \\), 정리 \\( 5.1 .15 \\), 정리 \\( 6.5 .12 \\)에 의하여 성립한다.", "</p> <p>예 \\(6.5.15\\) 가환환 \\( \\mathbb{Z}_{n},(n \\geq 2) \\)의 소 아이디얼과 극대 아이디얼은 일치한다(따름정리 \\(6.5.13\\)).", "</p><p>\\((1)\\) \\( p \\)가 소수이면, \\( \\mathbb{Z}_{p} \\)는 체이므로 \\( \\mathbb{Z}_{p} \\)의 극대 아이디얼과 소 아이디얼은 \\( \\{0\\} \\)뿐이다.", "</p><p>\\((2)\\) \\( p \\)가 소수이면, \\( \\mathbb{Z}_{p^{k}},(k \\geq 2) \\)의 극대 아이디얼과 소아이디얼은 \\( \\langle p\\rangle^{\\prime}=p \\mathbb{Z}_{p^{k}} \\)뿐이다(예 \\(6.1.17\\)).", "</p><p>\\((3)\\) 정수 \\( n \\)의 표준분해가 \\( n=p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \\cdots p_{r}^{a_{r}}(r \\geq 2) \\)이면, \\( \\mathbb{Z}_{n} \\)의 극대 아이디얼과 소 아이디얼은 \\( \\left\\langle p_{1}\\right\\rangle^{\\prime}=p_{1} \\mathbb{Z}_{n}, \\quad\\left\\langle p_{2}\\right\\rangle^{\\prime}=p_{2} \\mathbb{Z}_{n}, \\quad \\cdots, \\quad\\left\\langle p_{r}\\right\\rangle^{\\prime}=p_{r} \\mathbb{Z}_{n} \\) 뿐이다.", "</p><p>예를 들면, 가환환 \\( \\mathbb{Z}_{12}, 12=2^{2} \\cdot 3 \\)의 극대 아이디얼과 소 아이디얼은 \\( \\langle 2\\rangle^{\\prime}=\\{0,2,4,6,8,10\\}, \\quad\\langle 3\\rangle^{\\prime}=\\{0,3,6,9\\} \\) 뿐이다.", "</p><p>문제 \\(6.5.16\\) 다항식환에서의 극대 아이디얼과 소 아이디얼에 대하여 알아보자.", "<ol type=1 start=1><li>체 \\( F \\) 위의 다항식환 \\( F[x] \\)와 \\( a \\in F \\)에 대하여 \\[ \\langle x-a\\rangle^{\\prime}=\\{(x-a) f(x) \\mid f(x) \\in F[x]\\} \\] 는 \\( F[x] \\)의 극대 아이디얼임을 보여라.", "</li><li>정역 \\( D \\) 위의 다항식환 \\( D[x] \\)와 \\( a \\in D \\)에 대하여 \\[ \\langle x-a\\rangle^{\\prime}=\\{(x-a) f(x) \\mid f(x) \\in D[x]\\} \\] 는 \\( D[x] \\)의 소 아이디얼임을 보여라.", "</li></ol>[참조: \\( a \\)에서 대입 준동형사상 \\( \\phi_{a} \\) (정리 \\(5.4.4\\))와 제 \\(1\\)동형정리를 이용.]</p><p>정리 \\(6.5.17\\) (\\(2000\\)학년도 임용시험 출제) 체 \\( F \\)위의 다항식환 \\( F[x] \\)에 대해 다음이 성립.", "</p><p>\\( F[x] \\)는 주 아이디얼정역 \\( (\\mathrm{PID}) \\)이다.", "</p><p>※ 주 아이디얼 \\( \\langle p(x)\\rangle^{\\prime}\\left(\\neq\\langle 0\\rangle^{\\prime}\\right) \\)의 생성원 \\( p(x) \\)의 최고차 항의 계수를 \\( a \\)라 하면, \\( \\langle p(x)\\rangle^{\\prime}=\\left\\langle a^{-1} p(x)\\right\\rangle^{\\prime} \\)이므로 \\( p(x) \\)를 모닉다항식으로 택할 수 있다.", "</p><p>(증명) \\( F[x] \\)의 아이디얼을 \\( N \\)이라 하자.", "</p><p>먼저 \\( N=\\{0\\} \\)인 경우에는 \\( N=\\langle 0\\rangle^{\\prime} \\)이므로 주 아이디얼이다.", "</p><p>다음에 \\( N \\neq\\{0\\} \\)인 경우에는 \\( N \\)의 원소 중 \\(0\\)이 아닌 차수 중 최소인 원소 \\( p(x) \\in N \\)가 존재한다.", "그러면 \\( \\langle p(x)\\rangle^{\\prime} \\subset N \\) 이다.", "임의의 원소 \\( f(x) \\in N \\)에 대해서, 나눗셈 알고리즘(정리 \\(5.5.1\\))에 의해 다항식 \\( g(x), r(x) \\in F[x] \\)가 존재해서 \\[ f(x)=q(x) p(x)+r(x), \\quad r(x)=0 \\text { 또는 } 0 \\leq \\operatorname{deg}(r(x))<\\operatorname{deg}(p(x)) \\] 이다.", "그러면 \\[ r(x)=f(x)-q(x) p(x) \\in N \\] 이므로 \\( r(x) \\in N \\)이고, \\( p(x) \\)의 차수의 최소성에 의해서 \\( r(x)=0 \\)이어야 한다.", "따라서 \\[ f(x)=q(x) p(x) \\in\\langle p(x)\\rangle^{\\prime} \\] 이고, \\( N \\subset\\langle p(x)\\rangle^{\\prime} \\)이다.", "그러므로 \\( N=\\langle p(x)\\rangle^{\\prime} \\)는 주 아이디얼이다.", "</p> <p>환 \\( R \\)의 두 아이디얼 \\( H, K \\)에 대하여 일반적으로 \\( H \\cup K \\)는 \\( R \\)의 아이디얼이 아니다.", "예를 들어 \\[ 2 \\mathbb{Z} \\triangleleft \\mathbb{Z}, 3 \\mathbb{Z} \\triangleleft \\mathbb{Z} \\quad \\Longrightarrow \\quad 2+3=5 \\notin 2 \\mathbb{Z} \\cup 3 \\mathbb{Z} \\] 이므로 \\( 2 \\mathbb{Z} \\cup 3 \\mathbb{Z} \\ntriangleleft \\mathbb{Z} \\)이다.", "</p><p>정리 \\(6.1.9\\) 단위원 \\(1\\)을 가진 가환환 \\( R \\)의 원소 \\( a \\in R \\)에 대하여 \\[ \\langle a\\rangle^{\\prime}=\\{a r \\mid r \\in R\\} \\] 이라고 하면, 다음이 성립한다.", "<ol type=1 start=1><li>\\( \\langle a\\rangle^{\\prime} \\)는 \\( R \\)의 아이디얼이고, \\( a \\in\\langle a\\rangle^{\\prime} \\)이다.", "</li><li>\\( R \\)의 아이디얼 \\( H \\)에 대하여 \\( a \\in H \\)이면, \\( \\langle a\\rangle^{\\prime} \\subset H \\)이다.", "</li></ol>※\\( \\langle a\\rangle^{\\prime} \\)를 \\( a \\)에 의해 생성된 주 아이디얼(principal ideal) 또는 단항 아이디얼이라 한다. \\", "( \\langle a\\rangle^{\\prime}=a R \\)로 나타내기도 한다.", "</p><p>(증명) \\((1)\\) 임의의 원소 \\( b, c \\in\\langle a\\rangle^{\\prime} \\)이라 하면, 적당한 두 원소 \\( x, y \\in R \\)가 존재하여 \\( b=a x, c= \\) \\( a y \\)이다.", "임의의 원소 \\( r \\in R \\)에 대하여 \\[ \\begin{aligned} b-c &=a x-a y=a(x-y) \\in\\langle a\\rangle^{\\prime} \\\\ r b &=b r=(a x) r=a(x r) \\in\\langle a\\rangle^{\\prime} \\end{aligned} \\] 이므로 \\( \\langle a\\rangle^{\\prime} \\)는 \\( R \\)의 아이디얼이다.", "그리고 \\( a=a 1 \\in\\langle a\\rangle^{\\prime} \\)이다. \\", "((2)\\) \\( a \\in H \\)이면, 임의의 원소 \\( r \\in R \\)에 대하여 \\( a r \\in H \\)이므로 \\( \\langle a\\rangle^{\\prime} \\subset H \\) 이다.", "</p><p>예 \\(6.1.10\\) [순환부분군과 주 아이디얼의 차이] 정수환 \\( (\\mathbb{Z},+, \\cdot) \\)에서 주 아이디얼 \\( \\langle n\\rangle^{\\prime} \\)은 가환군 \\( (\\mathbb{Z},+) \\)에서 순환부분군 \\( \\langle n\\rangle \\)과 일치한다.", "실제로 \\[ \\langle n\\rangle=n \\mathbb{Z}=\\{n x \\mid x \\in \\mathbb{Z}\\}=\\langle n\\rangle^{\\prime} \\] 이 되어 \\( \\langle n\\rangle=\\langle n\\rangle^{\\prime} \\)이다.", "하지만 유리수체 \\( (\\mathbb{Q},+, \\cdot) \\)에서 주 아이디얼 \\( \\langle n\\rangle^{\\prime} \\)은 가환군 \\( (\\mathbb{Q},+) \\)에서 순환부분군 \\( \\langle n\\rangle \\)과 일치하지 않는다.", "예를 들어, \\[ \\begin{aligned} \\langle 2\\rangle=\\{2 x \\mid x \\in \\mathbb{Z}\\} &=2 \\mathbb{Z} \\\\ \\langle 2\\rangle^{\\prime}=\\{2 x \\mid x \\in \\mathbb{Q}\\} &=\\mathbb{Q} \\end{aligned} \\] 이므로 \\( \\langle 2\\rangle \\neq\\langle 2\\rangle^{\\prime} \\)이다.", "</p> <p>정리 \\( 6.1 .13 \\) 단위원 \\(1\\)을 가진 가환환 \\( R \\)의 원소 \\( a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n} \\in R \\)에 대하여 \\[ \\left\\langle a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}\\right\\rangle^{\\prime}=\\left\\{a_{1} r_{1}+a_{2} r_{2}+\\cdots+a_{n} r_{n} \\mid r_{1}, r_{2}, \\cdots, r_{n} \\in R\\right\\} \\] 이라고 하면, 다음이 성립한다.", "<ol type=1 start=1><li>\\( \\left\\langle a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}\\right\\rangle^{\\prime} \\)은 \\( R \\)의 아이디얼이고, \\( a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n} \\in\\langle a\\rangle^{\\prime} \\)이다.", "</li><li>\\( R \\)의 아이디얼 \\( H \\)에 대하여 \\( a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n} \\in H \\)이면, \\( \\left\\langle a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}\\right\\rangle^{\\prime} \\subset H \\)이다.", "</li></ol>※ \\(\\left\\langle a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}\\right\\rangle^{\\prime} \\)를 \\( a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n} \\)에 의해 생성된 아이디얼(ideal)이라 한다.", "</p><p>(증명)<ol type=1 start=1><li>분명히 \\[ \\begin{aligned} \\left\\langle a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}\\right\\rangle^{\\prime} &=\\left\\{a_{1} r_{1}+a_{2} r_{2}+\\cdots+a_{n} r_{n} \\mid r_{1}, r_{2}, \\cdots, r_{n} \\in R\\right\\} \\\\ &=\\left\\langle a_{1}\\right\\rangle^{\\prime}+\\left\\langle a_{2}\\right\\rangle^{\\prime}+\\cdots+\\left\\langle a_{n}\\right\\rangle^{\\prime} \\end{aligned} \\]이므로 정리 \\(6.1.8\\)과 정리 \\(6.1.9\\)에 의하여 정리가 성립한다.", "</li><li>아이디얼의 정의에 의하여 성립한다.", "</li></ol></p><p>정의 \\(6.1.14\\) [주 아이디얼 환(principal ideal ring)] 단위원 \\(1\\)을 가진 가환환 \\( R \\)에 대하여 환 \\( R \\)이 주 아이디얼 환 또는 단항 아이디얼 환 정의\\(\\Longleftrightarrow\\) R의 모든 아이디얼이 주 아이디얼(단항 아이디얼) ※ 정역 D가 주 아이디얼 환일 때 주(단항) 아이디얼 정역(principal ideal domain)이라 하고 PID라 나타낸다.", "</p><p>예 \\(6.1.15\\) [PID] 체 \\( F \\)는 PID이다.", "</p><p>실제로 체 \\( F \\)의 아이디얼은 \\( \\{0\\}=\\langle 0\\rangle^{\\prime} \\)과 \\( F=\\langle 1\\rangle^{\\prime} \\)뿐이다(따름정리 \\(6.1.7\\)).", "</p><p>예 \\(6.1.16\\) [PID] 정수환 \\( \\mathbb{Z} \\)는 PID이다.", "</p><p>실제로 \\( \\mathbb{Z} \\)의 아이디얼은 모두 \\[ \\langle n\\rangle^{\\prime}=n \\mathbb{Z}=\\{n x \\mid x \\in \\mathbb{Z}\\}, \\quad n \\geq 0 \\] 와 같은 형태이다(예 \\(6.1.3\\)).", "</p><p>그리고 두 양의 정수 \\( m, n \\)의 최대공약수와 최소공배수를 각각 \\( d=\\operatorname{gcd}(m, n), s=\\operatorname{lcm}(m, n) \\) 이라 하면 \\[ m \\mathbb{Z}+n \\mathbb{Z}=d \\mathbb{Z}=\\langle d\\rangle^{\\prime}, \\quad m \\mathbb{Z} \\cap n \\mathbb{Z}=s \\mathbb{Z}=\\langle s\\rangle^{\\prime} \\]이다(문제 \\(2.3.7\\)).", "</p> <p>정리 \\( 6.1 .23 \\) (정리 \\( 3.3 .10 \\) 비교) 환 \\( R \\)의 부분환 \\( H \\)에 대하여 \\( H \\)의 덧셈 잉여류 전체 집합을 \\( R / H=\\{a+H \\mid a \\in R\\} \\)이라 할 때, 다음은 동치이다.", "<ol type=1 start=1><li>\\( H \\)의 덧셈 잉여류의 곱셈\\[ (a+H)(b+H)=a b+H \\]이 잘 정의된다.", "</li>\\(\\Leftrightarrow\\)<li>\\[ \\forall a \\in R, a H \\subset H, H a \\subset H . \\", "quad \\text { 즉 } H \\triangleleft R \\]</li></ol></p><p>(증명) \\( (1) \\Rightarrow(2) \\) 임의의 원소 \\( a h \\in a H \\)에 대하여 \\[ a h=(a+0)(0+h) \\in(a+H)(0+H)=a \\cdot 0+H=0+H=H \\] 이므로 \\( a H \\subset H \\)이다.", "또한 임의의 원소 \\( h a \\in H a \\)에 대하여 \\[ h a=(0+h)(a+0) \\in(0+H)(a+H)=0 \\cdot a+H=0+H=H \\] 이므로 \\( H a \\subset H \\)이다. \\", "((2)\\) \\( \\Rightarrow \\) \\((1)\\) 임의의 원소 \\( a \\in R \\)에 대하여 \\( a H \\subset H, H a \\subset H \\)라 하자. \\", "( a+H=a^{\\prime}+H \\)와 \\( b+H= \\) \\( b^{\\prime}+H \\)에 대하여 \\( a b+H=a^{\\prime} b^{\\prime}+H \\)임을 보이면, 연산이 잘 정의된다.", "</p><p>그러면 적당한 원소 \\( h, h^{\\prime} \\in H \\)가 존재하여(정리 \\(3.1.7\\)) \\[ a=a^{\\prime}+h, \\quad b=b^{\\prime}+h^{\\prime} \\] 이다.", "따라서 가정에 의하여 \\[ a b=\\left(a^{\\prime}+h\\right)\\left(b^{\\prime}+h^{\\prime}\\right)=a^{\\prime} b^{\\prime}+a^{\\prime} h^{\\prime}+h b^{\\prime}+h h^{\\prime} \\in a^{\\prime} b^{\\prime}+H \\] 이다.", "그러므로 \\( a b+H=a^{\\prime} b^{\\prime}+H \\)가 되어 곱셈은 잘 정의된다(정리 \\(3.1.7\\)).", "</p><p>정리 \\(6.1.24\\) 환 \\( R \\)의 아이디얼 \\( H \\)에 대하여 집합 \\( R / H=\\{a+H \\mid a \\in R\\} \\)에서 덧셈과 곱셈이 아래와 같이 정의되면, 다음이 성립한다. \\", "[ \\begin{array}{l} (a+H)+(b+H)=(a+b)+H \\\\ (a+H) \\cdot(b+H)=a b+H \\\\ (R / H,+, \\cdot) \\text { 은 환이 된다. } \\end{array} \\]", "※ 환 \\( R / H \\)를 환 \\( R \\)의 아이디얼 \\( H \\)에 의한 잉여환(factor ring) 또는 상환(quotient ring)이라 한다.", "</p><p>(증명) 덧셈과 곱셈은 정리 \\(3.3.10\\)과 정리 \\(6.1.23\\)에 의해서 잘 정의된다.", "또한 정리 \\(3.3.11\\)와 정리 \\(3.3.14\\)에 의하여 \\( (R / H,+) \\)는 덧셈 가환군이 된다.", "따라서 곱셈에 대한 성질만 확인하면 된다.", "</p><p>임의의 원소 \\( a+H, b+H, c+H \\in R / H \\)에 대하여 \\[ \\begin{aligned} ((a+H) \\cdot(b+H)) \\cdot(c+H) &=(a+H) \\cdot((b+H) \\cdot(c+H)) \\\\ (a+H) \\cdot((b+H)+\\cdot(c+H)) &=(a+H) \\cdot(b+H)+(a+H) \\cdot(c+H) \\\\ ((a+H)+(b+H)) \\cdot(c+H) &=(a+H) \\cdot(c+H)+(b+H) \\cdot(c+H) \\end{aligned} \\] 이 성립한다.", "그러므로 \\( (R / H,+, \\cdot) \\)은 환이다.", "</p> <p>정리 \\(6.1.25\\) 환 \\( R \\)의 아이디얼 \\( H \\)에 대하여 다음이 성립한다.", "<ol type=1 start=1><li>\\( R \\)이 가환환이면, 잉여환 \\( R / H \\)도 가환환이다.", "</li><li>\\( R \\)이 단위원 \\(1\\)을 가진 환이고 \\( H \\neq R \\)이면, 잉여환 \\( R / H \\)도 단위원 \\( 1+H \\)을 가진 환이고 \\( 1+H \\neq 0+H \\)이다.", "</li></ol></p><p>(증명) \\((1)\\) 임의의 원소 \\( a+H, b+H \\in R / H \\)에 대하여 \\[ (a+H)(b+H)=a b+H=b a+H=(b+H)(a+H) \\] 이므로 잉여환 \\( R / H \\)도 가환환이다. \\", "((2)\\) \\( H \\neq R \\)이므로 \\( 1 \\notin H \\)이다(정리 \\(6.1.6\\)).", "그러므로 \\( 1+H \\neq 0+H \\)이다.", "다음에 임의의 원소 \\( a+H \\in R / H \\)에 대하여 \\[ (a+H)(1+H)=a+H=(1+H)(a+H) \\] 이므로 잉여환 \\( R / H \\)도 단위원 \\( 1+H \\)을 가진 환이다.", "</p><p>예 \\(6.1.26\\) [예 \\( 3.3 .12 \\) 참조] 양의 정수 \\( n \\)에 대하여 정수환 \\( \\mathbb{Z} \\)의 잉여환은 \\[ \\mathbb{Z} /\\langle n\\rangle^{\\prime}=\\mathbb{Z} / n \\mathbb{Z}=\\{\\overline{0}, \\overline{1}, \\cdots, \\overline{n-1}\\} \\quad(\\bar{a}=a+n \\mathbb{Z}) \\] 이고 가환환 \\( \\mathbb{Z}_{n}=\\{0,1, \\cdots, n-1\\} \\)과 환 동형이다.", "즉, \\( \\mathbb{Z} / n \\mathbb{Z} \\cong \\mathbb{Z}_{n} \\) 이다.", "</p><p>실제로 잉여환 \\( \\mathbb{Z} / n \\mathbb{Z} \\)에서 가환환 \\( \\mathbb{Z}_{n} \\)으로의 함수 \\( f \\)를 \\( f: \\mathbb{Z} / n \\mathbb{Z} \\longrightarrow \\mathbb{Z}_{n}, \\quad f(\\bar{a})=[a]_{n}(n\\)으로 나눈 나머지)라 정의하면 군 동형사상이 된다(예 \\(3.3.12\\)).", "</p><p>마지막으로 \\( f \\)가 곱셈을 보존하는 것을 보이면 된다.", "임의의 \\( \\bar{a}, \\bar{b} \\in \\mathbb{Z} / n \\mathbb{Z} \\)에 대하여 \\[ f(\\bar{a} \\cdot \\bar{b})=f(\\overline{a \\cdot b})=[a \\cdot b]_{n}=[a]_{n} \\cdot[b]_{n}=f(\\bar{a}) \\cdot f(\\bar{b}) \\] 이므로 \\( f \\)는 환 준동형사상이 되어 \\( f \\)는 환 동형사상이다.", "따라서 환으로서 \\( \\mathbb{Z} / n \\mathbb{Z} \\cong \\mathbb{Z}_{n} \\)이다.", "</p><p>임용시험 출제 \\(6.1.27\\) [\\(1998\\)학년도] 가환환 \\( R \\)의 멱영원 전체 집합 \\[ N(R)=\\left\\{a \\in R \\mid a^{n}=0, \\exists n \\in \\mathbb{N}\\right\\} \\] 은 \\( R \\)의 아이디얼임을 보여라.", "아이디얼 \\( N(R) \\)을 닐래디칼(nilradical)이라 한다.", "</p><p>임용시험 출제 \\(6.1.28\\) [\\(2005\\)학년도] 환 준동형사상(ring homomorphism) \\[ f: \\mathbb{Z} \\rightarrow \\mathbb{Z} / 3 \\mathbb{Z} \\oplus \\mathbb{Z} / 5 \\mathbb{Z} \\oplus \\mathbb{Z} / 7 \\mathbb{Z} \\] 는 다음과 같이 정의된다. \\", "[ f(x)=(x+3 \\mathbb{Z}, x+5 \\mathbb{Z}, x+7 \\mathbb{Z}) \\]<ol type=1 start=1><li>\\( f \\)의 핵(kernel)을 구하라.", "</li><li>\\( f(x)=(2+3 \\mathbb{Z}, 3+5 \\mathbb{Z}, 4+7 \\mathbb{Z}) \\)를 만족시키는 정수 \\( x \\)를 구하라.", "</li></ol></p> <p>연 습 문 제 (\\(6.1\\))</p><p>\\(1\\).", "다음 가환환의 아이디얼을 모두 구하라.", "<ol type=1 start=1><li>\\( \\mathbb{Z}_{12}=\\{0,1,2, \\cdots, 11\\} \\)</li><li>\\( \\mathbb{Z}_{30}=\\{0,1,2, \\cdots, 29\\} \\)</li></ol></p><p>\\(2\\). \\", "( \\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z} \\) 에서 \\( \\{(2 a, 3 b) \\mid a, b \\in \\mathbb{Z}\\} \\)는 \\( \\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z} \\)의 아이디얼임을 밝히고, 또 \\( \\{(2 k, 3 k) \\mid k \\in \\mathbb{Z}\\} \\)는 \\( \\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z} \\)의 아이디얼이 아님을 보여라.", "</p><p>\\(3\\). \\", "( \\mathbb{Z}_{3} \\times \\mathbb{Z}_{3} \\)의 부분환은 되지만 아이디얼이 안되는 예를 구하라.", "</p><p>\\(4\\).", "환 \\( R \\)의 부분환 \\( S \\)와 아이디얼 \\( I \\)에 대하여 \\( S+I=\\{s+a \\mid s \\in S, a \\in I\\} \\)이라고 하면, \\( S+I \\) 는 \\( R \\)의 부분환임을 증명하라.", "</p><p>\\(5\\).", "환 \\( R \\)의 두 아이디얼 \\( I, J \\)에 대하여 \\( I \\cap J=\\{0\\} \\)일 때, 모든 원소 \\( a \\in I \\)와 모든 원소 \\( b \\in J \\)에 대하여 \\( a b=0=b a \\)임을 증명하라.", "</p><p>\\(6\\).", "환 \\( R(\\neq\\{0\\}) \\)의 아이디얼이 \\( R \\)과 \\( \\{0\\} \\)뿐일 때, \\( R \\)를 단순환(simple ring)이라고 한다.", "체 \\( F \\) 위의 \\( n(\\geq 2) \\)차 행렬환 \\( M_{n}(F) \\)는 단순환임을 증명하라.", "</p><p>\\(7\\).", "실수체 \\( \\mathbb{R} \\)위의 \\(2\\)차 행렬환 \\( M_{2}(\\mathbb{R}) \\)에서 다음 집합이 부분환을 이룸을 보여라. \\", "[ R=\\left\\{\\left(\\begin{array}{ll} a & b \\\\ 0 & c \\end{array}\\right) \\mid a \\in \\mathbb{Z}, b \\in \\mathbb{R}, c \\in \\mathbb{Q}\\right\\} \\] 그리고 \\[ I=\\left\\{\\left(\\begin{array}{ll} 0 & b \\\\ 0 & 0 \\end{array}\\right) \\mid b \\in \\mathbb{Z}\\right\\}, \\quad J=\\left\\{\\left(\\begin{array}{ll} 0 & b \\\\ 0 & 0 \\end{array}\\right) \\mid b \\in \\mathbb{Q}\\right\\} \\] 이라고 할 때, \\( I \\)는 \\( J \\)의 아이디얼이고 또 \\( J \\)는 \\( R \\)의 아이디얼이지만 \\( I \\)는 \\( R \\)의 아이디얼이 아님을 보여라.", "</p> <p>정리 \\( 6.2 .3 \\) (정리 \\( 3.3 .20 \\) 유사정리) 환 \\( R \\)의 아이디얼 \\( H \\)에 대한 다음 함수 \\[ \\pi: R \\longrightarrow R / H, \\quad \\pi(a)=a+H \\] 와 \\( H<K<R \\)에 대하여 \\( K / H=\\{a+H \\mid a \\in K\\} \\)라 할 때, 다음이 성립한다.", "<ol type=1 start=1><li>\\( \\pi \\)는 환 준동형사상이고, 전사함수이다.", "</li><li>\\( K / H<R / H \\)</li><li>\\( K \\triangleleft R \\quad \\Longleftrightarrow K / H \\triangleleft R / H \\)</li></ol>※ \\( \\pi \\)를 \\( R \\)에서 \\( R / H \\)위로의 자연준동형사상(natural homomorphism)이라 함.", "</p><p>(증명) 정리 \\(3.3.20\\)에서 군에 대한 성질은 모두 만족하므로 환의 곱셈부분만 확인하면 된다.", "</p><p>\\((1)\\) 모든 \\( a, b \\in R \\)에 대하여 \\[ \\pi(a b)=a b+H=(a+H)(b+H)=\\pi(a) \\pi(b) \\] 이므로 \\( \\pi \\)는 환 준동형사상이다.", "또한 정의에 의하여 전사함수이다.", "</p><p>\\((2)\\) \\((3)\\) \\( \\pi \\)는 전사함수이므로, \\[ \\operatorname{Im}(\\pi)=\\pi(R)=R / H, \\quad \\pi(K)=\\{a+H \\mid a \\in K\\}=K / H \\] 이므로, 정리 \\(5.3.7\\)과 정리 \\(6.2.1\\)에 의하여 정리가 성립한다.", "</p><p>정리 \\(6.2.4\\) (정리 \\(3.5.1\\)와 유사정리) (제\\(1\\)동형정리(환)) 환 준동형사상 \\( f: R \\longrightarrow R^{\\prime} \\)에 대하여 다음이 성립한다. \\", "( R / \\operatorname{ker}(f) \\cong \\operatorname{Im}(f) \\)</p><p>(증명) \\( H=\\operatorname{ker}(f) \\)라 하면, 정리 \\(6.2.1\\)에 의하여 \\( H \\)는 \\( R \\)의 아이디얼이므로 잉여환 \\( R / H \\)가 존재한다.", "함수 \\[ \\phi: R / H \\longrightarrow \\operatorname{Im}(f), \\quad \\phi(a+H)=f(a) \\] 라 정의하자.", "그러면 정리 \\(3.5.1\\)에 의하여 \\( \\phi \\)는 군 동형사상이다.", "그러므로 곱셈에 대한 보존성만 보이면, 환 동형사상이 된다.", "임의의 원소 \\( a+H, b+H \\in R / H \\)에 대하여 \\[ \\phi((a+H)(b+H))=\\phi(a b+H)=f(a b)=f(a) f(b)=\\phi(a+H) \\phi(b+H) \\] 이므로 \\( \\phi \\)는 환 동형사상이다.", "그러므로 \\( R / \\operatorname{ker}(f) \\cong \\operatorname{Im}(f) \\)이다.", "</p> <p>예 \\(6.2.5\\) (예 \\(6.1.26\\) 참조) 함수 \\[ \\phi: \\mathbb{Z} \\longrightarrow \\mathbb{Z}_{n}, \\quad \\phi(a)=[a]_{n}\\left([a]_{n} \\text { 은 } a \\text { 를 } n \\text { 으로 나눈 나머지 }\\right) \\] 라 정의하면, 예 \\(3.2.16\\)에서 \\( \\operatorname{ker}(\\phi)=n \\mathbb{Z} \\)이고 \\( \\phi \\)는 전사 군 준동형사상임을 보였다. \\", "( \\phi \\)가 곱셈을 보존함을 보이자.", "임의의 원소 \\( a, b \\in \\mathbb{Z} \\)에 대하여 \\[ \\phi(a b)=[a b]_{n}=[a]_{n}[b]_{n}=\\phi(a) \\phi(b) \\] 이므로 \\( \\phi \\)는 환 준동형사상이다.", "그러므로 환으로서 제\\(1\\)동형정리(정리 6.2.4)에 의하여 \\( \\mathbb{Z} / n \\mathbb{Z} \\cong \\) \\( \\mathbb{Z}_{n} \\)이다.", "</p><p>군에서와 마찬가지로 환으로서 제\\(2\\)동형정리와 제\\(3\\)동형정리를 증명할 수 있으나 학부에서는 거의 사용되지 않는다.", "</p><p>정리 \\(6.2.6\\) (정리 \\(3.5.10\\)와 유사정리) (제\\(2\\)동형정리(환)) 환 \\( R \\)의 아이디얼 \\( H \\)와 부분환 \\( K \\)에 대하여 다음이 성립한다.", "<ol type=1 start=1><li>\\( (H \\cap K) \\triangleleft K \\)</li><li>\\( (H+K) / H \\cong K /(H \\cap K) \\)</li></ol></p><p>(증명) 연습문제로 남긴다.", "</p><p>정리 \\( 6.2 .7 \\) (정리 \\(3.5.12\\)와 유사정리) (제\\(3\\)동형정리(환)) 환 \\( R \\)의 두 아이디얼 \\( H, K \\)가 \\( H<K \\)일 때, 다음이 성립한다.", "<ol type=1 start=1><li>\\( (K / H) \\triangleleft(R / H) \\)</li><li>\\( R / K \\cong(R / H) /(K / H) \\)</li></p><p>(증명) 연습문제로 남긴다.", "</p><p>임용시험 출제 \\( 6.2 .8 \\) [\\(2006\\)학년도] 정수환 \\( \\mathbb{Z} \\)에서 가환환 \\( \\mathbb{Z}_{6} \\)으로 가는 환 준동형사상(rig homomorphism) \\( f: \\mathbb{Z} \\rightarrow \\mathbb{Z}_{6} \\)을 다음과 같이 정의하자. \\", "[ f(n) \\equiv 4 n(\\bmod 6) \\] 위의 \\( f \\)를 이용하여 두 개의 환 \\( \\mathbb{Z} / 3 \\mathbb{Z} \\)와 \\( 2 \\mathbb{Z}_{6} \\)이 동형(isomorphic)임을 보여라.", "(단, \\( \\mathbb{Z}_{6}=\\{0,1,2,3,4,5\\} \\)는 \\(6\\)을 법(modulo)으로 하는 덧셈과 곱셈 연산을 가지는 가환환이다.)", "</p><p>임용시험 출제 \\(6.2.9\\) [\\(2011\\)학년도] \\( \\mathbb{Z} \\)는 정수환이고 \\( \\mathbb{Q} \\)는 유리수환이다.", "환준동형사상(ring homomorphism) \\( g: \\mathbb{Z} \\rightarrow \\mathbb{Q} \\)가 일대일(injective) 사상일 때, 다음에서 옳은 것을 모두 골라라.", "<ol type=1 start=1><li>임의의 정수 \\( n \\)에 대하여 \\( g(n)=n \\)이다.", "</li><li>\\( \\mathbb{Z} \\)의 임의의 아이디얼(ideal) \\( I \\)에 대하여 \\( g(I) \\)는 \\( \\mathbb{Q} \\)의 아이디얼이다.", "</li><li>\\( \\mathbb{Q} \\)의 임의의 아이디얼 \\( J \\)에 대하여 \\( g(I)=J \\)가 성립하는 \\( \\mathbb{Z} \\)의 아이디얼 \\( I \\)가 존재한다.", "</li><ol></p> <h1>6.3 환과 체의 표수</h1><p>이 절에서는 모든 원소가 일정한 횟수를 더하면 \\(0\\) 이 되는 환에 대해 논한다.", "</p><p>정의 \\( 6.3 .1 \\) [표수(characteristic)] 환 \\( R \\)과 정수 \\( n(\\geq 0) \\in \\mathbb{Z} \\)에 대하여 \\( n \\)이 환 \\( R \\)의 표수(characteristic) \\( \\Leftrightarrow \\) 정의 \\( n=\\left\\{\\begin{array}{ll}\\min \\{m \\in \\mathbb{N} \\mid \\forall a \\in R, m a=0\\} \\\\ 0, & \\text { Otherwise }\\end{array}\\right. \\)", "※ 표수의 기호는 \\( \\operatorname{char} R=n \\) 이라 정의한다.", "</p><p>예 \\( 6.3 .2 \\) 다음 표수의 예를 살펴 보자.", "</p><p>\\((1)\\) 자연수 \\( n \\)에 대하여 \\( \\operatorname{char} \\mathbb{Z}_{n}=n \\)이다.", "왜냐하면 임의의 원소 \\( a \\in \\mathbb{Z}_{n} \\)에 대하여 \\[ n \\cdot a=a+a+\\cdot+a=0 \\] 이다.", "하지만 \\( 1 \\leq m<n \\)에 대하여 \\( \\mathbb{Z}_{n} \\)에서 다음이 성립한다. \\", "[ m \\cdot 1=m \\neq 0 \\]</p><p>\\((2)\\) \\( \\operatorname{char} \\mathbb{Z}=0 \\)이다.", "왜냐하면 임의의 자연수 \\( n \\in \\mathbb{N} \\)에 대하여 \\[ n \\cdot 1=n \\neq 0 \\] 이기 때문이다.", "</p><p>\\((3)\\) char \\( \\mathbb{Q}=0, \\quad \\) char \\( \\mathbb{R}=0, \\quad \\) char \\( \\mathbb{C}=0 \\)</p><p>\\((4)\\) 가환환 \\( \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z} \\)의 표수는 \\( \\operatorname{char}\\left(\\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}\\right)=0 \\)이지만 부분환 \\( \\mathbb{Z}_{2} \\times\\{0\\} \\)의 표수는 \\(2\\)이다.", "</p><p>\\((5)\\) 환 \\( R \\)이 영환 \\( \\{0\\} \\)일 필요충분조건은 \\( \\operatorname{char}\\{R\\}=1 \\)이다.", "</p><p>정리 \\(6.3.3\\) 단위원 \\(1\\)을 가진 환 \\( R \\)에 대하여 다음이 성립한다.", "<ol type=1 start=1><li>모든 자연수 \\( m \\in \\mathbb{N} \\)에 대하여 \\( m \\cdot 1 \\neq 0 \\)이면, \\( \\operatorname{char} R=0 \\)이다.", "</li><li>\\( m \\cdot 1=0 \\)인 자연수 \\( m \\in \\mathbb{N} \\)이 존재하면, \\( \\operatorname{char} R=\\min \\{m \\in \\mathbb{N} \\mid m \\cdot 1=0\\} \\)이다.", "</li></ol></p><p>(증명) \\((1)\\) 표수의 정의에 의하여 char \\( R=0 \\)이다. \\", "((2)\\) 가정에 의해 \\( m \\cdot 1=0 \\)이 되는 자연수 \\( m \\) 중에서 가장 작은 자연수 \\( n \\)이 존재한다.", "그러면 \\( n \\cdot 1=0 \\)이다.", "임의의 원소 \\( a \\in R \\)에 대하여 \\[ n \\cdot a=a+a+\\cdots+a=a(1+1+\\cdots+1)=a(n \\cdot 1)=a 0=0 \\] 이므로 \\( \\operatorname{char} R=n \\)이다.", "</p> <p>정리 \\(6.3.11\\) 가환환 \\( R \\)의 표수가 소수 \\( p \\)일 때, 원소 \\( a, b \\in R \\)에 대하여 다음이 성립한다.", "(1) 함수 \\( \\sigma_{p}: R \\longrightarrow R, \\sigma_{p}(a)=a^{p} \\)는 환 준동형사상이다.", "특히, \\( (a+b)^{p}=a^{p}+b^{p} \\) (2) \\( R \\)이 정역이면, \\( \\sigma_{p} \\)는 단사함수이다.", "</p><p>(증명) \\((1)\\) 임의의 원소 \\( a, b \\in R \\)에 대하여 이항정리에 의해 \\[ (a+b)^{p}=a^{p}+\\left(\\begin{array}{l} p \\\\ 1 \\end{array}\\right) a^{p-1} b+\\cdots+\\left(\\begin{array}{c} p \\\\ p-1 \\end{array}\\right) a b^{p-1}+b^{p} \\] 이다.", "여기서 \\( p \\mid\\left(\\begin{array}{c}p \\\\ i\\end{array}\\right), i=1,2, \\cdots, p-1 \\)이다(따름정리 \\(5.6.17\\)).", "또한 char \\( R=p \\)이므로 \\( \\left(\\begin{array}{c}p \\\\ i\\end{array}\\right) a^{p-i} b^{i}=0 \\)이다.", "</p><p>따라서 \\( (a+b)^{p}=a^{p}+b^{p} \\)이다.", "그러므로 임의의 원소 \\( a, b \\in R \\)에 대하여 \\[ \\sigma_{p}(a+b)=(a+b)^{p}=a^{p}+b^{p}=\\sigma_{p}(a)+\\sigma_{p}(b) \\] \\[ \\sigma_{p}(a b)=(a b)^{p}=a^{p} b^{p}=\\sigma_{p}(a) \\sigma_{p}(b) \\] 이므로 \\( \\sigma_{p} \\)는 환 준동형사상이다.", "</p><p>\\((2)\\) \\( R \\)이 정역이면, \\[ \\operatorname{ker}\\left(\\sigma_{p}\\right)=\\left\\{a \\in R \\mid 0=\\sigma_{p}(a)=a^{p}\\right\\}=\\{0\\} \\] 이므로 \\( \\sigma_{p} \\)는 단사함수이다.", "</p><p>정리 \\(6.3.12\\) 유한체 \\( F \\)의 표수가 소수 \\( p \\)일 때, 다음이 성립한다.", "<ol type=1 start=1><li>함수 \\( \\sigma_{p}: F \\longrightarrow F, \\sigma_{p}(a)=a^{p} \\)는 환 동형사상이다.", "</li><li>\\( \\left\\{a^{p} \\mid a \\in F\\right\\}=F \\)이고, 모든 \\( a \\in \\mathbb{Z}_{p} \\)에 대하여 \\( \\sigma_{p}(a)=a \\)이다.", "즉, \\( a^{p}=a \\)이다.", "</li></ol>※ 환 동형사상 \\( \\sigma_{p} \\)를 유한체 \\( F \\)의 Frobenius 동형사상이라 한다.", "</p><p>(증명) \\((1)\\) 정리 \\(6.3.11\\)에 의하여 \\( \\sigma_{p} \\)는 단사 환 준동형사상이고, \\( F \\)가 유한체이므로 정리 \\(1.4.5\\)에 의하여 \\( \\sigma_{p} \\)는 전사함수이다.", "따라서 \\( \\sigma_{p} \\)는 환 동형사상이다.", "</p><p>\\((2)\\) \\((1)\\)에 의하여 \\( \\left\\{a^{p} \\mid a \\in F\\right\\}=F \\)이고, 모든 \\( \\mathbb{Z}_{p} \\)의 원소 \\( a=1+1+\\cdots+1(a \\)개)에 대하여 \\( \\sigma_{p}(a)=\\sigma_{p}(1+1+\\cdots+1)=\\sigma_{p}(1)+\\sigma_{p}(1)+\\cdots+\\sigma_{p}(1)=1+1+\\cdots+1=a \\)이므로 \\( \\sigma_{p}(a)=a \\)이다.", "</p> <p>연 습 문 제 \\((6.3)\\)</p><p>\\(1\\).", "다음 환의 표수를 구하라.", "<ol type=1 start=1><li>\\( \\mathbb{Z}_{4} \\)</li><li>\\( \\mathbb{Z}_{4}[x] \\)</li><li>\\( \\mathbb{Q}(x) \\)</li><li>\\( M_{n}(\\mathbb{R}) \\)</li></ol></p><p>\\(2\\).", "다음 환의 표수를 구하라.", "<ol type=1 start=1><li>\\( \\mathbb{Z}_{3} \\times 3 \\mathbb{Z} \\)</li><li>\\( \\mathbb{Z}_{3} \\times \\mathbb{Z}_{3} \\)</li><li>\\( \\mathbb{Z}_{3} \\times 3 \\mathbb{Z}_{4} \\)</li></ol></p><p>\\(3\\).", "환 \\( \\mathbb{Z}_{5} \\times \\mathbb{Z}_{6} \\)의 표수를 구하고, 단원과 영인자를 모두 구하라.", "</p><p>\\(4\\).", "환 \\( R \\)의 표수가 \\( p \\)이면 \\( R[x] \\)의 표수도 \\( p \\)임을 보여라.", "</p><p>\\(5\\).", "정역 \\( D \\)의 부분정역 \\( S \\)에 대하여 다음을 증명하라.", "<ol type=1 start=1><li>\\( 1_{S}=1_{D} \\)임을 보여라.", "</li><li>\\( \\operatorname{char}(S)=\\operatorname{char}(D) \\)임을 보여라.", "</li></ol></p><p>\\(6\\).", "체 \\( \\mathbb{Z}_{p}=\\{0,1, \\cdots, p-1\\} \\) 위에서 다음 다항식을 간단히 하라.", "<ol type=1 start=1><li>\\( (a x+b)^{p} \\)</li><li>\\( \\left(x^{2}+x+1\\right)^{p} \\)</li><li>\\( (x-1)^{p^{2}} \\)</li></ol></p><p>\\(7\\).", "환 \\( R \\)의 표수가 \\(0\\)이면 \\( S=R \\times \\mathbb{Z} \\)로, \\( R \\)의 표수가 \\( n \\)이면 \\( S=R \\times \\mathbb{Z}_{n} \\)이라 하고, \\( S \\)에서 덧셈과 곱셈을 아래와 정의할 때, 다음 물음에 답하라.", "(정수곱 \\( a \\cdot r^{\\prime} \\)은 정의 \\( 5.1 .2 \\)를 참조) \\[ \\begin{aligned} (r, a)+\\left(r^{\\prime}, a^{\\prime}\\right) &=\\left(r+r^{\\prime}, a+a^{\\prime}\\right) \\\\ (r, a)\\left(r^{\\prime}, a^{\\prime}\\right) &=\\left(r r^{\\prime}+a \\cdot r^{\\prime}+a^{\\prime} \\cdot r, a a^{\\prime}\\right) \\end{aligned} \\] \\((1)\\) \\( S \\)는 환임을 보여라. \\", "((2)\\) \\( S \\)는 곱셈항등원을 가짐을 보여라. \\", "((3)\\) \\( S \\)와 \\( R \\)은 표수가 같음을 보여라. \\", "((4)\\) 함수 \\( f: R \\longrightarrow S \\)를 \\( f(r)=(r, 0) \\)으로 정의하면 \\( f \\)는 단사 준동형사상임을 보여라.", "즉, \\( R \\)은 \\( S \\)의 부분환과 동형임을 보여라.", "※ 위 연습문제는 모든 환 \\( R \\)은 같은 표수를 가지며 곱셈항등원을 갖는 환 \\( S \\)로 확장될 수 있음을 보여준다.", "</p><p>\\(8\\).", "표수가 \\(3\\)인 체 \\( F \\)의 소체 \\( \\mathbb{Z}_{3} \\)위의 다항식 \\( f(x)=x^{3}-x+1 \\in \\mathbb{Z}_{2}[x] \\)에 대하여 원소 \\( \\alpha \\in F \\)가 \\( f(x) \\)의 근일 때, \\( F \\)에서 \\( f(x) \\)를 인수분해하라.", "</p> <p>정의 \\(6.4.12\\) [직합(internal direct sum)] 환 \\( R \\)의 두 아이디얼 \\( I, J \\)에 대하여 환 \\( R \\)은 \\( I, J \\)의 (내부)직합 (internal direct sum) \\(\\Leftrightarrow\\) 정의 \\( \\quad R=I+J, \\quad I \\cap J=\\{0\\} \\) ※ 환 \\( R \\)은 \\( I, J \\)의 (내부)직합을 \\( R=I \\oplus^{\\prime} J \\)라 나타낸다.", "이때 ' \\( R \\)은 \\( I, J \\)의 직합으로 분해된다'라고 하고, \\( I, J \\)를 \\( R \\)의 직합인자(direct summand)라고 한다.", "</p><p>예 \\(6.4.13\\) [직합] 환 \\( R \\)의 아이디얼 \\( I, J \\)에 대하여 다음은 직합이다. \\", "[ R=\\{0\\} \\oplus^{\\prime} R=R \\oplus^{\\prime}\\{0\\} \\] 이고 다음이 성립한다. \\", "[ R=I \\oplus^{\\prime} J \\quad \\Longrightarrow \\quad R=J \\oplus^{\\prime} I \\]</p><p>정리 \\(6.4.14\\) 환 \\( R \\)의 두 아이디얼 \\( I, J \\)에 대하여 다음은 동치명제이다.", "</p><p>\\((1)\\) \\( R=I \\oplus^{\\prime} J \\), 즉 \\( R=I+J, \\quad I \\cap J=\\{0\\} \\)</p><p>\\( \\Leftrightarrow \\) \\((2)\\) 각 원소 \\( x \\in R \\)에 대하여 다음과 같은 단 한 가지 방법으로 표현된다. \\", "( x=a+b \\quad(a \\in I, b \\in J) \\)</p><p>\\( \\Leftrightarrow \\) \\((3)\\) \\( R=I+J \\)이고, 또 다음이 성립한다. \\", "[ a+b=0(a \\in I, b \\in J) \\quad \\Longrightarrow \\quad a=b=0 \\]</p><p>(증명) \\((1) \\Rightarrow(2) R=I+J \\)이므로, 각 원소 \\( x \\in R \\)에 대하여 적당한 \\( a \\in I, b \\in J \\)가 존재하여 \\( x=a+b \\)이다.", "유일성을 증명하자.", "원소 \\( a, a^{\\prime} \\in I, b, b^{\\prime} \\in J \\) 에 대하여 \\( x=a+b=a^{\\prime}+b^{\\prime} \\)이라고 하자.", "그러면 \\[ a-a^{\\prime}=b^{\\prime}-b \\in I \\cap J=\\{0\\} \\] 이므로 \\( a=a^{\\prime} \\)이고 \\( b^{\\prime}=b \\)이다.", "</p><p>\\((2) \\Rightarrow(3) (2)\\)가 성립하면 \\( R=I+J \\)이다.", "그리고 \\( a+b=0(a \\in I, b \\in J) \\)이면 \\[ a+b=0=0+0 \\] 이므로 가정에 의해서 한 가지 방법으로만 표현되므로 \\( a=b=0 \\)이여야 한다.", "</p><p>\\((3) \\Rightarrow(1) (3)\\)이 성립하면 \\( R=I+J \\)이다.", "다음에 \\( a \\in I \\cap J \\)라 하자.", "그러면 \\[ a+(-a)=0(a \\in I,-a \\in J) \\quad \\Longrightarrow \\quad a=(-a)=0 \\] 이다.", "그러므로 \\( I \\cap J=\\{0\\} \\)이다.", "</p> <p>연 습 문 제 \\((6.2)\\)</p><p>\\(1\\).", "(환의 제\\(2\\)동형정리) 환 \\( R \\)의 아이디얼 \\( H \\)와 부분환 \\( K \\)에 대하여 다음을 증명하라.", "<ol type=1 start=1><li>\\( (H \\cap K) \\triangleleft K \\)</li><li>\\( (H+K) / H \\cong K /(H \\cap K) \\)</li></ol></p><p>\\(2\\).", "(환의 제\\(3\\)동형정리) 환 \\( R \\)의 두 아이디얼 \\( H, K \\)가 \\( H<K \\)일 때, 다음을 증명하라.", "<ol type=1 start=1><li>\\( (K / H) \\triangleleft(R / H) \\)</li><li>\\( R / K \\cong(R / H) /(K / H) \\)</li></ol></p><p>\\(3\\).", "환 준동형사상 \\( \\phi: \\mathbb{Z} \\rightarrow \\mathbb{Z}, \\phi(x)=5 x \\)에 대하여 \\( \\mathbb{Z} / \\operatorname{Im}(\\phi) \\)는 체가 됨을 보여라.", "</p><p>\\(4\\).", "복소수체 \\( \\mathbb{C}=\\{a+b i \\mid a, b \\in \\mathbb{Q}\\} \\)에 대하여 사상 \\[ f: \\mathbb{C} \\longrightarrow M_{2}(\\mathbb{R}), \\quad f(a+b i)=\\left(\\begin{array}{cc} a & -b \\\\ b & a \\end{array}\\right) \\]가 환 준동형사상임을 밝히고, 제\\(1\\)동형정리를 적용한 결과를 말하라.", "</p><p>\\(5\\).", "유한환 \\( R \\)에서 환 \\( R^{\\prime} \\)으로의 사상 \\( f: R \\longrightarrow R^{\\prime} \\)가 환 준동형사상일 때, \\[ |\\operatorname{ker}(f)||\\operatorname{Im}(f)|=|R| \\] 임을 보여라.", "</p><p>\\(6\\).", "다항식환 \\( \\mathbb{Z}[x] \\)와 \\( \\mathbb{Z}_{2}=\\{0,1\\} \\)에 대하여 사상 \\[ \\phi: \\mathbb{Z}[x] \\longrightarrow \\mathbb{Z}_{2}, \\quad \\phi(f(x))=f(0) \\] 는 환 준동형사상임을 보여라.", "그리고 \\[ \\operatorname{ker}(\\boldsymbol{\\phi})=\\{2 a+x g(x) \\mid a \\in \\mathbb{Z}, g(x) \\in \\mathbb{Z}[x]\\}, \\quad \\operatorname{Im}(\\phi)=\\mathbb{Z}_{2} \\] 임을 밝히고, 제\\(1\\)동형정리를 적용한 결과를 말하라.", "</p> <p>임용시험 출제 \\(6.5.21\\) [\\(2011\\)학년도] 환 \\( \\mathbb{Z}_{24} \\) 위의 다항식환(polynomial ring) \\( R=\\mathbb{Z}_{24}[x] \\) 에 대하여 옳은 것은?", "<ol type=1 start=1><li>\\( R \\)은 정역(integral domain)이다.", "</li><li>\\( R \\)은 \\(8\\)개 이상의 단원(unit)을 갖는다.", "</li><li>\\( R \\)은 환 \\( \\mathbb{Z}_{4}[x] \\times \\mathbb{Z}_{6}[x] \\)와 동형이다.", "</li><li>다항식 \\( f(x)=x^{3}-6 x^{2}+11 x-6 \\) 은 \\( \\mathbb{Z}_{24} \\)에서 오직 \\(3\\)개의 근을 갖는다.", "</li><li>주 아이디얼(principal ideal) \\( I=\\left\\langle x^{2}+12\\right\\rangle \\)에 대하여 잉여환(factor ring, quotient ring) \\( R / I \\)는 체이다.", "</li></ol></p><p>임용시험 출제 \\(6.5.22\\) [\\(2012\\)학년도 \\(2\\)차] 다음은 대수학 강의 시간에 박 교수와 학생이 나눈 대화의 일부분이다.", "다음을 읽고 물음에 답하시오.", "[논술형]</p><p>박교수: 지금까지 다항식 환에 대한 다음 정리를 증명하였습니다.", "</p><p><정리〉\\( F \\)가 체이면 다항식 환 \\( F[x] \\)가 주 아이디얼 정역(principal ideal domain)이다.", "</p><p>학생 A: 네.", "체 위에서의 다항식 환이 주 아이디얼 정역임을 이해하였습니다.", "</p><p>박교수: 이정리를 출발점으로 하여 (\\(1\\))브라운(S. Brown)과 월터(M.", "Walter)가 제시한 '만약 그렇지 않다면 어떻게 될까(What if not)' 전략에 따라 수업을 진행하고자 합니다.", "그럼, 이 전략에 따라 새로운 문제를 만드는 단계까지 진행하고 그 결과를 발표해 봅시다.", "</p><p>학생 B: 앞의 정리를 바탕으로 다음과 같은 새로운 명제를 만들었습니다.", "</p><p><명제>다항식 환 \\( R[x] \\)가 주 아이디얼이면 다항식 \\( R \\)은 체이다.", "</p><p>박 교수: 참 잘 만든 명제입니다.", "사실 이 명제는 참입니다.", "이제 이 명제를 증명해 봅시다.", "</p><p>\\((1)\\) 문제해결 과정에서 문제제기(문제설정, problem posing) 활동의 중요성을 \\(3\\)가지만 제시하시오.", "그리고 아래의 정리를 출발점으로 하여, (\\(1\\))의 단계에 따라 이 정리가 \\( n \\)차 방정식인 경우로 일반화될 수 있음을 구체적으로 설명하시오(단, 모든 근의 합과 모든 근의 곱에 대한 성질만 유도하시오.)", "[\\(10\\)점]</p><p><정리>이차방정식 \\( a x^{2}+b x+c=0 \\)의 두 근을 \\( \\alpha_{1} \\)과 \\( \\alpha_{2} \\)라 하면 \\( \\alpha_{1}+\\alpha_{2}=-\\frac{b}{a} \\) 이고 \\( \\alpha_{1} \\alpha_{2}=\\frac{c}{a} \\)이다.", "</p><p>\\((2)\\) 학생 \\( \\mathrm{B} \\)가 만든<명제>가 참임을 증명하라.", "[\\(20\\)점]</p><p>임용시험 출제 \\(6.5.23\\) [\\(2018\\)학년도] 다음 두 조건을 만족시키는 유한체(finite field) \\( \\mathbb{Z}_{5} \\) 위의 다항식환(polynomial ring) \\( \\mathbb{Z}_{5}[x] \\)의 아이디얼(ideal) \\( I \\)의 개수를 풀이 과정과 함께 쓰시오.", "</p><p>(가) 잉여환(factor ring, quotient ring) \\( \\mathbb{Z}_{5}[x] / I \\)의 위수(order)는 \\(25\\)이다.", "</p><p>(나) \\( \\mathbb{Z}_{5}[x] / I \\)의 극대 아이디얼(maximal ideal)의 개수는 \\(2\\)이다.", "</p> <p>문제 \\(6.4.6\\) 임의의 환 \\( R \\)에 대하여, 다음이 성립함을 보여라. \\", "[ R /\\{e\\} \\cong R, \\quad R / R \\cong\\{e\\}, \\quad R \\times\\{e\\} \\cong R \\]</p><p>정리 \\(6.4.7\\) 환 \\( R_{1}, \\cdots, R_{n} \\)의 각 아이디얼 \\( N_{1} \\triangleleft R_{1}, \\cdots, N_{n} \\triangleleft R_{n} \\)에 대하여 다음이 성립한다.", "<ol type=1 start=1><li>\\( \\left(N_{1} \\times \\cdots \\times N_{n}\\right) \\triangleleft\\left(R_{1} \\times \\cdots \\times R_{n}\\right) \\)</li><li>\\( \\left(R_{1} \\times \\cdots \\times R_{n}\\right) /\\left(N_{1} \\times \\cdots \\times N_{n}\\right) \\cong\\left(R_{1} / N_{1}\\right) \\times \\cdots \\times\\left(R_{n} / N_{n}\\right) \\)</li></ol></p><p>(증명) \\((1)\\) 정리 \\(6.4.2(4)\\)에 의하여 성립한다. \\", "((2)\\) 함수 \\( f: R_{1} \\times \\cdots \\times R_{n} \\longrightarrow\\left(R_{1} / N_{1}\\right) \\times \\cdots \\times\\left(R_{n} / N_{n}\\right), \\quad f\\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right)=\\left(a_{1} N_{1}, \\cdots, a_{n} N_{n}\\right) \\)라 정의하자.", "그러면 정리 3.5.6에서 \\( f \\)는 군 준동형사상이고, 군으로서 \\( \\left(R_{1} \\times \\cdots \\times R_{n}\\right) /\\left(N_{1} \\times \\cdots \\times N_{n}\\right) \\cong\\left(R_{1} / N_{1}\\right) \\times \\cdots \\times\\left(R_{n} / N_{n}\\right) \\)이다. \\", "( f \\)가 곱셈을 보존함을 보이자.", "임의의 \\( \\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right),\\left(b_{1}, \\cdots, b_{n}\\right) \\in R_{1} \\times \\cdots \\times R_{n} \\)에 대하여 \\( f\\left(\\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right)\\left(b_{1}, \\cdots, b_{n}\\right)\\right)=f\\left(a_{1} b_{1}, \\cdots, a_{n} b_{n}\\right)=\\left(a_{1} b_{1} N_{1}, \\cdots, a_{n} b_{n} N_{n}\\right) \\) \\( =\\left(\\left(a_{1} N_{1}\\right)\\left(b_{1} N_{1}\\right), \\cdots,\\left(a_{n} N_{n}\\right)\\left(b_{n} N_{n}\\right)\\right) \\) \\( =\\left(a_{1} N_{1}, \\cdots, a_{n} N_{n}\\right)\\left(b_{1} N_{1}, \\cdots, b_{n} N_{n}\\right)=f\\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right) f\\left(b_{1}, \\cdots, b_{n}\\right) \\) 이므로 \\( f \\)는 환 준동형사상이다.", "그러므로 환으로서 \\[ \\left(R_{1} \\times \\cdots \\times R_{n}\\right) /\\left(N_{1} \\times \\cdots \\times N_{n}\\right) \\cong\\left(R_{1} / N_{1}\\right) \\times \\cdots \\times\\left(R_{n} / N_{n}\\right) \\] 이다.", "</p><p>따름정리 \\( 6.4 .8 \\) 환 \\( R, S \\)의 직합 \\( R \\times S \\)에 대하여 다음이 성립한다.", "<ol type=1 start=1><li>\\( (R \\times\\{e\\}) \\triangleleft(R \\times S), \\quad(\\{e\\} \\times S) \\triangleleft(R \\times S) \\)</li><li>\\( (R \\times S) /(R \\times\\{e\\}) \\cong S, \\quad(R \\times S) /(\\{e\\} \\times S) \\cong R \\)</li></ol></p><p>(증명) \\( \\{e\\} \\triangleleft R, R \\triangleleft R \\)이고 \\( \\{e\\} \\triangleleft S, S \\triangleleft S \\)이므로, 정리 \\(6.4.7(1)\\)에 의하여 \\( (R \\times\\{e\\}) \\triangleleft(R \\times S), \\quad(\\{e\\} \\times S) \\triangleleft(R \\times S) \\)이다.", "또한 정리 \\( 6.4 .7(2) \\)와 문제 \\(6.4.6\\)에 의하여 \\[ \\begin{array}{l} (R \\times S) /(R \\times\\{e\\}) \\cong(R / R) \\times(S /\\{e\\}) \\cong\\{e\\} \\times S \\cong S \\\\ (R \\times S) /(\\{e\\} \\times S) \\cong(R /\\{e\\}) \\times(S / S) \\cong R \\times\\{e\\} \\cong R \\end{array} \\] 이다.", "</p> <p>정리 \\( 6.1 .6 \\) 단위원 \\(1\\)을 가진 환 \\( R \\)의 아이디얼 \\( H \\)에 대하여 다음이 성립한다.", "<ol type=1 start=1><li>\\( 1 \\in H \\quad \\Longrightarrow \\quad H=R \\)</li><li>단원 \\( u \\in R \\) 에 대하여, \\( u \\in H \\quad \\Longrightarrow H=R \\)</li></ol></p><p>(증명) \\((1)\\) 임의의 원소 \\( a \\in R \\)에 대하여 \\( a=a 1 \\in H \\)이므로 \\( H=R \\)이다. \\", "((2)\\) \\( u \\in H \\)가 단원이면 \\( u^{-1} \\in R \\)이다.", "따라서 \\( 1=u^{-1} u \\in H \\)이므로 \\((1)\\)에 의하여 \\( H=R \\)이다.", "</p><p>다름정리 \\( 6.1 .7 \\) 체 \\( F \\)에 대하여 다음이 성립한다. \\", "( F \\)의 아이디얼은 \\( \\{0\\} \\)과 \\( F \\)뿐이다.", "</p><p>(증명) \\( F \\)의 아이디얼 \\( H \\)가 영아이디얼이 아니면 \\( H \\)가 단원을 포함하므로 정리 \\(6.1.6\\)에 의하여 \\( H=F \\)이다.", "</p><p>정리 \\(6.1.8\\) 환 \\( R \\)의 두 아이디얼 \\( H, K \\)에 대하여 \\[ H \\cap K=\\{a \\mid a \\in H, a \\in K\\}, \\quad H+K=\\{a+b \\mid a \\in H, b \\in K\\} \\] 이라고 하면, 다음이 성립한다.", "<ol type=1 start=1><li>\\( H \\cap K \\)와 \\( H+K \\)는 \\( R \\)의 아이디얼이다.", "</li><li>\\( H \\cap K \\subset H, \\quad H \\cap K \\subset K, \\quad H \\subset H+K, \\quad K \\subset H+K \\)</li></ol></p><p>(증명) \\((1)\\) 분명히 \\( 0 \\in H \\cap K \\)이다.", "임의의 원소 \\( a, b \\in H \\cap K \\)와 \\( r \\in R \\)라 하면, \\( a, b \\in H \\)이고 \\( a, b \\in K \\)이다.", "따라서 \\( a-b \\in H, \\quad a r, r a \\in H \\)이고 \\( a-b \\in K, \\quad a r, r a \\in K \\)이다.", "따라서 \\( a-b \\in H \\cap K, \\quad a r, r a \\in H \\cap K \\)이므로 \\( H \\cap K \\)는 \\( R \\)의 아이디얼이다.", "다음에 \\( 0=0+0 \\in H+K \\)이다.", "임의의 원소 \\( a+b, a^{\\prime}+b^{\\prime} \\in H+K, a, a^{\\prime} \\in H, b, b^{\\prime} \\in K \\)와 \\( r \\in R \\)에 대하여 다음이 성립한다. \\", "[ (a+b)-\\left(a^{\\prime}+b^{\\prime}\\right)=\\left(a-a^{\\prime}\\right)+\\left(b-b^{\\prime}\\right) \\in H+K \\] 이고, \\[ r(a+b)=r a+r b \\in H+K, \\quad(a+b) r=a r+b r \\in H+K \\] 이다.", "따라서 \\( H+K \\)는 \\( R \\)의 아이디얼이다. \\", "((2)\\) 분명히 \\( H \\cap K \\subset H, \\quad H \\cap K \\subset K \\)이다.", "임의의 원소 \\( a \\in H, b \\in K \\)에 대하여 \\[ a=a+0 \\in H+K, \\quad b=0+b \\in H+K \\] 이므로 \\( H \\subset H+K, \\quad K \\subset H+K \\)이다.", "</p> <p>정리 \\( 6.5.18 \\) (\\(2003\\)학년도 임용시험출제) 체 \\( F \\)위의 다항식환 \\( F[x] \\)의 다항식 \\( 0 \\neq p(x) \\in F[x] \\)에 대하여 다음은 동치이다.", "</p><p>\\( \\langle p(x)\\rangle^{\\prime} \\)가 \\( F[x] \\)의 극대 아이디얼 \\( \\Longleftrightarrow p(x) \\)가 \\( F \\)위에서 기약</p><p>(증명) \\( (\\Rightarrow)\\langle p(x)\\rangle^{\\prime} \\)를 \\( F[x] \\)의 극대 아이디얼이라 하자.", "그리고 \\( p(x)=f(x) g(x), f(x), g(x) \\in F[x] \\)라 하자.", "그러면 \\( \\langle p(x)\\rangle^{\\prime} \\)가 극대 아이디얼이므로 소 아이디얼이다(따름정리 \\(6.5.13\\)).", "따라서 \\[ f(x) g(x)=p(x) \\in\\langle p(x)\\rangle^{\\prime} \\Longrightarrow f(x) \\in\\langle p(x)\\rangle^{\\prime} \\text { 이거나 } g(x) \\in\\langle p(x)\\rangle^{\\prime} \\] 이다.", "</p><p>먼저 \\( f(x) \\in\\langle p(x)\\rangle^{\\prime} \\)인 경우에는 \\( f(x)=h(x) p(x), h(x) \\in F[x] \\)이다.", "그러면 \\( p(x) \\neq 0 \\) 이므로 \\[ p(x)=h(x) p(x) g(x) \\quad \\Longrightarrow h(x) \\cdot g(x)=1 \\quad \\Longrightarrow \\quad g(x) \\text { 가 단원 } \\] 이다.", "</p><p>다음에 \\( g(x) \\in\\langle p(x)\\rangle^{\\prime} \\)인 경우에도 같은 방법으로 하면 \\( f(x) \\)가 단원임을 증명할 수 있다.", "따라서 \\( p(x) \\)는 \\( F \\) 위에서 기약이다.", "</p><p>\\( (\\Leftarrow) p(x) \\)가 \\( F \\) 위에서 기약이라 하자.", "그러면 \\( F[x] \\)의 아이디얼 \\( N \\)에 대해서 \\[ \\langle p(x)\\rangle^{\\prime}<N<F[x] \\] 라 하자. \\", "( F[x] \\)는 PID이므로 적당한 다항식 \\( r(x) \\in F[x] \\)가 존재해서 \\( N=\\langle r(x)\\rangle^{\\prime} \\)이다.", "따라서 \\( p(x) \\)가 기약이므로 적당한 다항식 \\( h(x) \\in F[x] \\)가 존재해서 \\( p(x) \\in\\langle p(x)\\rangle^{\\prime}<\\langle r(x)\\rangle^{\\prime} \\quad \\Longrightarrow \\quad p(x)=h(x) r(x) \\quad \\Longrightarrow \\quad h(x) \\)가 단원 또는 \\( r(x) \\)가 단원이다.", "</p><p>먼저 \\( h(x) \\)가 단원 인 경우에는 \\( h(x)=a(\\neq 0) \\in F \\)이므로 \\[ p(x)=\\operatorname{ar}(x) \\quad \\Longrightarrow \\quad r(x)=a^{-1} p(x) \\in\\langle p(x)\\rangle^{\\prime} \\] 이다.", "따라서 \\( \\langle r(x)\\rangle^{\\prime}\\left\\langle\\langle p(x)\\rangle^{\\prime}\\right. \\)이고 \\( \\langle p(x)\\rangle^{\\prime}=\\langle r(x)\\rangle=N \\)이다.", "</p><p>다음에 \\( r(x) \\)가 단원인 경우에는 정리 \\( 6.1 .6 \\)에 의하여 \\( N=\\langle r(x)\\rangle^{\\prime}=F[x] \\)이다.", "그러므로 \\( \\langle p(x)\\rangle^{\\prime} \\)는 \\( F[x] \\)의 극대 아이디얼이다.", "</p> <p>문제 \\( 6.5.9 \\) 단위원 \\(1\\)을 가진 가환환 \\( R \\)의 아이디얼 \\( M \\)과 원소 \\( a \\in R \\)에 대하여 \\[ \\langle a\\rangle^{\\prime}+M=a R+M=\\{a r+m \\mid r \\in R, m \\in M\\} \\] 은 \\( R \\)의 아이디얼임을 보여라.", "</p><p>따름정리 \\( 6.5.10 \\) 단위원 \\(1\\)을 가진 가환환 \\( R \\)에 대하여 다음은 동치이다. \\", "[ R \\text {이 체 } \\Longleftrightarrow R \\text {의 아이디얼은 }\\{0\\} \\text {과 } R \\text {뿐이다. } \\]", "</p><p>(증명) \\( (\\Rightarrow) \\) 따름정리 \\(6.1.7\\)에 의하여 성립한다.", "</p><p>\\( (\\Leftarrow) \\) 환 \\( R \\)의 아이디얼은 \\( \\{0\\} \\)과 \\( R \\)뿐이면, \\( \\{0\\} \\)이 \\( R \\)의 극대 아이디얼이다.", "그러면 정리 \\( 6.5 .8 \\)에 의하여 \\[ R \\cong R /\\{0\\} \\] 이 체가 된다.", "</p><p>예 \\(6.5.11\\) 정리 \\(6.5.8\\)에서 \\( R \\)이 단위원 \\(1\\)을 가진 가환환이 아니면 정리가 성립하지 않는다.", "</p><p>예를 들어 실수 성분 \\(2\\)차 행렬환 \\( M_{2}(\\mathbb{R}) \\)의 아이디얼은 \\(2\\)개 \\( \\{\\mathbb{O}\\} \\)와 \\( M_{2}(\\mathbb{R}) \\)뿐이다(\\(6.1\\)절 연습문제 \\(6\\)번)이다.", "따라서 영 아이디얼 \\( \\{\\mathbb{O}\\} \\)는 극대 아이디얼이다.", "하지만 \\[ M_{2}(\\mathbb{R}) \\cong M_{2}(\\mathbb{R}) /\\{\\mathbb{O}\\} \\] 은 체가 아니다.", "</p><p>정리 \\(6.5.12\\) 단위원 \\(1\\)을 가진 가환환 \\( R \\)의 아이디얼 \\( P(\\neq R) \\)에 대하여 다음은 동치이다. \\", "( P \\)가 \\( R \\)의 소 아이디얼 \\( \\Longleftrightarrow \\)잉여환 \\( R / P \\)가 정역</p><p>(증명) \\( (\\Rightarrow) P \\)가 \\( R \\)의 소 아이디얼이라 하자.", "그러면 \\( R / P \\)는 단위원을 가진 가환환이다.", "다음에 원소 \\( a+P, b+P \\in R / P \\)에 대하여 \\( P \\)가 소 아이디얼이므로 다음이 성립한다. \\", "[ (a+P)(b+P)=0+P \\quad \\Longrightarrow a b+P=P \\quad \\Longrightarrow a b \\in P \\quad \\Longrightarrow a \\in P \\text { 또는 } b \\in P \\] 그러므로 \\( a+P=0+P \\) 또는 \\( b+P=0+P \\)가 되어 \\( R / P \\)는 정역이다. \\", "( (\\Leftarrow) R / P \\)가 정역이라 하자.", "원소 \\( a, b \\in R \\)에 대하여 \\[ a b \\in P \\quad \\Longrightarrow \\quad a b+P=0+P \\] 이다.", "그러면 \\( R / P \\)가 정역이므로 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( 0+P=a b+P=(a+P)(b+P) \\quad \\Longrightarrow \\quad a+P=0+P \\) 또는 \\( b+P=0+P \\quad \\Longrightarrow \\quad a \\in P \\) 또는 \\( b \\in P \\)</p><p>따라서 \\( P \\)는 \\( R \\)의 소 아이디얼이다.", "</p> <p>예 \\(6.1.17\\) [주 아이디얼 환]가환환 \\( \\mathbb{Z}_{n}, n \\geq 2 \\)은 주 아이디얼 환이다 \\((n \\)이 합성수이면 PID가 아님).", "</p><p>실제로 \\( \\mathbb{Z}_{n} \\)의 아이디얼은 모두 \\( n \\)의 양의 약수 \\( d(n=d m) \\)를 위수로 갖는 순환부분군이 유일하게 존재(정리 \\(2.3.11\\))하므로 \\[ \\langle m\\rangle^{\\prime}=m \\mathbb{Z}_{n}=\\{0, m, 2 m, \\cdots,(d-1) m\\} \\] 인 형태 또는 \\( \\langle 0\\rangle^{\\prime} \\)인 형태이다(따름정리 \\(2.3.13\\)).", "</p><p>예를 들어, 가환환 \\( \\mathbb{Z}_{6} \\)의 아이디얼은 다음과 같은 \\(4\\)가지뿐이다. \\", "[ \\langle 1\\rangle^{\\prime}=\\mathbb{Z}_{6}, \\quad\\langle 2\\rangle^{\\prime}=\\{0,2,4\\}, \\quad\\langle 3\\rangle^{\\prime}=\\{0,3\\}, \\quad\\langle 0\\rangle^{\\prime}=\\{0\\} \\]</p><p>문제 \\(6.1.18\\) 정역 \\( \\mathbb{Z}[x] \\)는 주 아이디얼 정역이 아님을 보여라.", "즉, \\[ \\langle 2, x\\rangle^{\\prime}=\\{2 f(x)+x g(x) \\mid f(x), g(x) \\in \\mathbb{Z}[x]\\} \\] 은 \\( \\mathbb{Z}[x] \\)의 아이디얼이지만 주 아이디얼이 아님을 보여라.", "</p><p>정의 \\(6.1 .19\\) [멱영원(nilpotent element)] 환 \\( R \\)의 원소 \\( a \\in R \\)에 대하여 환 \\( a \\)가 \\( R \\)의 멱영원(nilpotent element) \\(\\Leftrightarrow\\)정의 적당한 양의 정수 \\( n \\)에 대하여 \\( a^{n}=0 \\)</p><p>정리 \\(6.1.20\\) (\\(1998\\)학년도 임용시험 출제) 가환환 \\( R \\)의 멱영원 전체 집합을 \\( N(R) \\)이라 하면, 다음이 성립한다. \\", "[ N(R) \\text { 은 } R \\text { 의 아이디얼이다. } \\]", "</p><p>(증명) 연습문제로 남긴다.", "</p><p>예 \\(6.1.21\\) [멱영원] 환 \\( R \\)이 정역이면 멱영원은 \\(0\\)뿐이다.", "</p><p>\\((1)\\) 가환환 \\( \\mathbb{Z}_{8}=\\{0,1,2,3,4,5,6,7\\} \\)의 멱영원은 다음과 같다. \\", "( \\langle 2\\rangle^{\\prime}=\\{0,2,4,6\\} \\)</p><p>\\((2)\\) 가환환 \\( \\mathbb{Z}_{12}=\\{0,1,2, \\cdots, 11\\} \\)의 멱영원은 다음과 같다. \\", "( \\langle 2 \\cdot 3\\rangle^{\\prime}=\\{0,6\\} \\)</p><p>문제 \\(6.1.22\\) 양의 정수 \\( n(\\geq 2) \\)의 표준분해가 \\( n=p_{1}^{a_{1}} \\cdots p_{r}^{a_{r}} \\)일 때, 가환환 \\( \\mathbb{Z}_{n} \\)의 멱영원 전체로 이루어진 아이디얼은 \\( \\left\\langle p_{1} \\cdots p_{r}\\right\\rangle^{\\prime} \\)임을 보여라.", "</p> <p>문제 \\(6.3.4\\) 영환이 아닌 유한환 \\( R \\)의 표수는 \\( \\operatorname{char} R \\geq 2 \\)이고 \\( R \\)의 위수 \\( |R| \\)의 약수 임을 보여라.", "[참조: Lagrange 정리 \\(3.1.10\\)와 유한생성 가환군의 정리 \\(3.4.12\\) 이용]</p><p>예 \\(6.3.5\\) 표수가 \\(0\\)이 아닌 무한환의 예를 살펴 보자.", "예 \\(6.3.2\\)에서 char \\( \\mathbb{Z}_{2}=2 \\)임을 알 수 있다. \\", "( \\mathbb{Z}_{2} \\)위의 다항식환 \\[ \\mathbb{Z}_{2}[x]=\\left\\{a_{0}+a_{1} x+\\cdots+a_{n} x^{n} \\mid a_{0}, a_{1}, \\cdots, a_{n} \\in \\mathbb{Z}_{2}\\right\\} \\] 은 무환환이고, 표수는 \\( \\operatorname{char} \\mathbb{Z}_{2}[x]=2 \\)이다.", "</p><p>정리 \\(6.3.6\\) 정역 \\( D \\)에 대하여 다음이 성립한다. \\", "( D \\)의 표수 \\( \\operatorname{char} D \\)는 \\(0\\)이거나 소수이다.", "특히, 체의 표수는 \\(0\\) 또는 소수이다.", "</p><p>(증명) 정역 \\( D \\)의 표수 \\( n=\\operatorname{char} D \\neq 0 \\)이 합성수라 하자.", "이때 \\( n=d e, 1<d \\leq e<n \\)이라 하면, 정리 \\( 6.3 .3 \\) (2)에 의하여 \\( d \\cdot 1 \\neq 0, e \\cdot 1 \\neq 0 \\) 이고 \\[ 0=n \\cdot 1=(d \\cdot 1)(e \\cdot 1) \\] 이므로 \\( D \\)가 정역이라는데 모순이다.", "따라서 \\( D \\)의 표수는 \\(0\\)이거나 소수이다.", "</p><p>정리 \\(6.3.7\\) 단위원 \\(1\\)을 가진 환 \\( R \\)에 대하여 다음이 성립한다.", "<ol type=1 start=1><li>char \\( R=0 \\)이면, 정수환(정역) \\( \\mathbb{Z} \\)와 동형인 부분환을 포함한다.", "</li><li>char \\( R=n(\\geq 2) \\)이면, \\( \\mathbb{Z}_{n} \\)과 동형인 부분환을 포함한다.", "</li></ol></p><p>(증명) 다음과 같은 함수 \\[ f: \\mathbb{Z} \\longrightarrow R, \\quad f(a)=a \\cdot 1 \\] 를 생각하자.", "그러면 임의의 \\( a, b \\in \\mathbb{Z} \\)에 대하여 \\[ \\begin{array}{c} f(a+b)=(a+b) \\cdot 1=a \\cdot 1+b \\cdot 1=f(a)+f(b) \\\\ f(a b)=(a b) \\cdot 1=(a \\cdot 1)(b \\cdot 1)=f(a) f(b) \\end{array} \\] 이므로 \\( f \\)는 환 준동형사상이고, \\( \\operatorname{Im}(f)=\\{a \\cdot 1 \\mid a \\in \\mathbb{Z}\\} \\)는 \\( R \\)의 부분환이다.", "또한 환의 제\\(1\\)동형 정리(정리 \\(6.2.4\\))에 의하여 \\( \\mathbb{Z} / \\operatorname{ker}(f) \\cong \\operatorname{Im}(f) \\)이다.", "</p><p>\\((1)\\) char \\( R=0 \\)이면, \\[ \\operatorname{ker}(f)=\\{a \\in \\mathbb{Z} \\mid 0=f(a)=a \\cdot 1\\}=\\{0\\} \\] 이다.", "따라서 \\[ \\operatorname{Im}(f) \\cong \\mathbb{Z} / \\operatorname{ker}(f) \\cong \\mathbb{Z} /\\{0\\} \\cong \\mathbb{Z} \\]는 \\( R \\)의 부분환이다.", "</p><p>\\((2)\\) char \\( R=n \\)이면, \\[ \\operatorname{ker}(f)=\\{a \\in \\mathbb{Z} \\mid 0=f(a)=a \\cdot 1\\}=\\{n a \\mid a \\in \\mathbb{Z}\\}=n \\mathbb{Z} \\] 이다.", "따라서 \\[ \\operatorname{Im}(f) \\cong \\mathbb{Z} / \\operatorname{ker}(f) \\cong \\mathbb{Z} / n \\mathbb{Z} \\cong \\mathbb{Z}_{n} \\] 는 \\( R \\)의 부분환이다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "412", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "사범대생을 위한 대수학_아이디얼과 잉여환, 환 동형정리", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-1ba8-440d-ad31-622e391b648a", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160731088", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2018", "doc_author": [ "정상조" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>확인 \\(5-1\\) 일반항이 다음과 같은 수열의 극한을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( a_{n}=\\frac{2}{n} \\)</li><li>\\( a_{n}=1+\\frac{1}{n} \\)</li><li>\\( a_{n}=1-\\frac{1}{n} \\)</li><li>\\( a_{n}=2+\\frac{2}{n} \\)</li></ol><p>확인 \\(5-2\\) 일반항이 다음과 같은 수열의 극한을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( a_{n}=\\frac{n}{n-1} \\)</li><li>\\( a_{n}=\\frac{2 n}{n-1} \\)</li><li>\\( a_{n}=\\frac{3 n}{n-1} \\)</li><li>\\( a_{n}=\\frac{-2 n+1}{n-1} \\)</li></ol><p>확인 \\(5-3\\) 일반항이 다음과 같은 수열의 극한을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( a_{n}=\\frac{n}{2 n-1} \\)</li><li>\\( a_{n}=\\frac{2 n}{2 n-1} \\)</li><li>\\( a_{n}=\\frac{3 n}{2 n-1} \\)</li><li>\\( a_{n}=\\frac{-2 n+1}{2 n-1} \\)</li></ol><p>확인 \\(5-4\\) 일반항이 다음과 같은 수열의 극한을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( a_{n}=1+2 n \\)</li><li>\\( a_{n}=n+\\frac{1}{n} \\)</li><li>\\( a_{n}=1-n \\)</li><li>\\( a_{n}=1-n^{2} \\)</li></ol><p>확인 \\(5-5\\) 다음 극한을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{2 n-1}{n} \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{2 n^{2}+n}{1-n^{2}} \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{4 n^{2}-2 n+1}{2 n^{2}-3 n+10} \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{-3 n^{3}+1}{2 n^{3}+2 n-3} \\)</li></ol><p>확인 \\(5-6\\) 다음 극한을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{2 n+1}{n^{2}} \\)</li><li>( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{2 n+4}{1-n^{2}} \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{3 n^{2}-n+2}{2 n^{3}+2 n-5} \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{-n^{2}+1}{n^{3}+n-1} \\)</li></ol><p>확인 \\(5-7\\) 다음 극한을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{2 n^{2}+1}{n} \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{2 n^{2}+2 n+1}{1-n} \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{3 n^{3}-n^{2}+2 n-4}{2 n^{2}+2 n-5} \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{-n^{3}+1}{n^{2}+n-1} \\)</li></ol><p>확인 \\(5-8\\) 다음 극한을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}(\\sqrt{n+2}-\\sqrt{n}) \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\sqrt{n^{2}+1}-n\\right) \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\sqrt{n^{2}+2 n}-n\\right) \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\sqrt{n^{2}-3 n}-n\\right) \\)</li></ol><p>확인 \\(5-9\\) 일반항이 다음과 같은 수열의 극한을 구하여라.", "(단, 각의 단위는 라디안이다.)", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( a_{n}=\\frac{1}{n} \\cos n \\)</li><li>\\( a_{n}=\\frac{1}{n^{2}} \\sin n \\)</li><li>\\( a_{n}=\\frac{2}{n} \\sin n \\)</li><li>\\( a_{n}=1-\\frac{1}{n} \\cos n \\)</li></ol><p>확인 \\(5-10\\) 다음 극한을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{2^{n}}{5^{n}} \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{(-1)^{n}}{3^{n}} \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{3^{n}+2^{n}}{3^{n}-2^{n}} \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{5^{n}}{1+3^{n}} \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{3^{n+1}+4^{n+1}}{3^{n}+4^{n}} \\)</li></ol><p>확인 \\(5-11\\) 일반항이 다음과 같은 수열의 극한을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( a_{n}=\\left(1+\\frac{1}{n}\\right)^{2 n} \\)</li><li>\\( a_{n}=3\\left(1+\\frac{1}{n}\\right)^{2 n} \\)</li><li>\\( a_{n}=\\left(1+\\frac{3}{n}\\right)^{n} \\)</li><li>\\( a_{n}=-2\\left(1+\\frac{3}{n}\\right)^{n} \\)</li></ol> <p>※ \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n} \\)의 극한은 \\( 10^{10} \\)번째 항, 즉 \\( a_{10000000000} \\)으로 추정한다. \\", "( a_{n} \\)에 지수항이 있는 경우 \\( 10^{2} \\)번째 항, 즉 \\( a_{100} \\)으로 추정한다.", "</p><p>문제 \\(5-1\\) 다음 수열의 극한을 추정하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( a_{n}=\\frac{2 n^{2}-3 n+8}{-3 n^{2}+5} \\)</li><li>\\( a_{n}=\\frac{\\sqrt{3 n^{2}+6 n}}{5-2 n} \\)</li></ol><p>문제 \\(5-2\\) 다음 수열의 극한을 추정하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( a_{n}=\\frac{n^{6}-x^{4}+n^{2}+1}{7 n^{6}-4 n^{2}+10} \\)</li><li>\\( a_{n}=\\frac{2 n+8}{\\sqrt{3 n^{2}+4}} \\)</li></ol><p>문제 \\(5-3\\) 다음 극한을 추정하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{8 n}{\\sqrt{n}+n} \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{3 n}{\\sqrt{n^{2}+n}} \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\sqrt{n^{2}+2 n-1}-n\\right) \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\sqrt{n^{2}+n}-n}{2} \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\sqrt{6 n^{2}+3}}{\\sqrt{2 n^{2}+n}+n} \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\sqrt{n+1}-\\sqrt{n}}{\\sqrt{n+3}-\\sqrt{n}} \\)</li></ol><p>문제 \\(5-4\\) 다음 극한을 추정하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(1+\\frac{2}{n}\\right)^{2 n} \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(1-\\frac{1}{n}\\right)^{2 n} \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}(1+n)^{\\frac{1}{n}} \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}(1+3 n)^{\\frac{2}{n}} \\)</li></ol><p>문제 \\(5-5\\) 다음 극한을 추정하여라.", "(단, 각의 단위는 라디안이다.)", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} 2 n \\ln \\left(1+\\frac{1}{n}\\right) \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n \\sin \\left(\\frac{1}{n}\\right) \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(1-\\frac{\\sin n}{1+n^{2}}\\right)\\) (\\(100000 \\)번째 항으로 추정)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(2-\\frac{1}{n+1} \\cos \\frac{n \\pi}{3}\\right)\\)(\\(100000 \\)) 번째 항으로 추정)</li></ol><p>문제 \\(5-6\\) 다음 수열의 극한을 추정하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( a_{n}=\\frac{5^{n}}{5^{n}+3^{n}} \\)</li><li>\\( a_{n}=\\frac{3^{n}-5^{n}}{3^{n}+5^{n}} \\)</li><li>\\( a_{n}=\\frac{5^{n+1}+3^{n+1}}{5^{n}+3^{n}} \\)</li><li>\\( a_{n}=\\frac{2 \\cdot 3^{n}}{2^{n+1}-3^{n}} \\)</li></ol><p>문제 \\(5-7\\) 다음 극한을 추정하여라.", "(\\( 10^{10}\\)번째 항으로 추정)</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left\\{10^{2 \\log n-\\log \\left(2 n^{2}+1\\right)}\\right\\} \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left\\{\\log _{2}\\left(2 n^{2}+1\\right)-\\log _{2}\\left(n^{2}-1\\right)\\right\\} \\)</li></ol><p>문제 \\(5-8\\) 다음 극한을 추정하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} e^{\\frac{2}{1+2 n}}\\left(10^{10}\\right. \\)", "번째 항으로 추정 \\( ) \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{4 e^{4 n}+2 e^{-3 n}}{7 e^{4 n}+6 e^{-3 n}} \\) (\\(10\\)번째 항으로 추정)</li></ol><p>문제 \\(5-9\\) 다음 극한을 추정하여라.", "(단, 각의 단위는 라디안이다.)", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\tan ^{-1}\\left(n^{2}-n\\right) \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\tan ^{-1}\\left(\\frac{n^{2}}{n^{2}+1}\\right) \\)</li></ol><p>문제 \\(5-10\\) 다음 극한을 추정하여라.", "(단, 각의 단위는 라디안이다.)", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n \\sin \\left(\\frac{2}{n}\\right) \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n \\sin \\left(\\frac{3}{n}\\right) \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} 3 n \\tan \\left(\\frac{-2}{n}\\right) \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{n}{2} \\tan \\left(\\frac{5}{3 n}\\right) \\)</li></ol>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "411", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "기초미적분학_수열의 극한", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-1254-4d1c-a304-c77bc2d9b674", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160730579", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2017", "doc_author": [ "전춘배" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>정리 \\(2\\) 하우스도르프 극대원리</p><p>반순서집합 \\( (A, \\leq) \\) 에 대하여 \\( A \\) 의 모든 전순서부분집합의 집합을 \\( \\rho \\) 라고 할 때 포함관계에 의한 반순서집합 \\( (\\rho, \\subset) \\) 는 극대원을 갖는다.", "</p><p>증명</p><p>귀류법을 사용하여, 결론을 부정하자.", "즉, \\( \\rho \\) 에는 극대원이 존재하지 않는다고 가정하자.", "그러면 각 \\( T \\in \\rho \\) 에 대하여 공집합이 아닌 집합 \\( T^{*}=\\left\\{T^{\\prime} \\in \\rho \\mid T \\subset T^{\\prime}\\right\\} \\) 의 짝을 만들 수 있다.", "선택공리에 의하여 정의역이 \\( \\left\\{T^{*} \\mid T \\in \\rho\\right\\} \\) 인 함수로서 \\( g\\left(T^{*}\\right) \\in T^{*} \\) 인 \\( g \\) 가 존재한다.", "따라서 각 \\( T \\in \\rho \\) 에 대하여 \\( f(T)=g\\left(T^{*}\\right) \\supset T \\)로 정의된 함수 \\( f: \\rho \\rightarrow \\rho \\) 가 존재한다.", "여기서 \\( (\\rho, \\subseteq) \\) 는 함수 \\( f \\) 와 더불어 정리 \\(1\\) 의 가정을 모두 만족시킨다.", "그러나 즉 \\( T \\in \\rho \\) 에 대하여 \\( T \\subset f(T) \\) 인데 이것은 정리 \\(1\\) 의 결론에 모순된다.", "이로써 배리법에 따라 정리 \\(2\\) 는 증명되었다.", "</p><p>선택공리와 동치인 명제 중에서 가장 널리 이용되는 것이 바로 1914 년 조른 (Zorn)에 의하여 소개된 조른의 보조정리(Zorn's Lemma)인데 그것을 구체적으로 알아보자.", "</p><p>정리 \\(3\\) 조른의 보조정리</p><p>반순서집합 \\( (A, \\leq) \\) 에 대하여 \\( A \\) 의 각 전순서부분집합이 상계를 가지면 \\( A \\) 의 극대원이 존재한다.", "</p><p>증명</p><p>하우스도르프 원리에 의하여 \\( (A, \\leq) \\) 는 집합의 포함관계 \\( (\\subseteq) \\) 에 의하여 극대원인 전순서부분집합 \\( B \\) 를 갖는다. \\", "( B \\) 의 상계를 \\( u \\) 라고 할 때 \\( u \\) 는 \\( A \\) 의 극대원임을 증명하자.", "만약 \\( x \\in A \\) 가 존재하여 \\( x \\geq u \\) 이면 \\( B \\cup\\{x\\} \\) 는 \\( (A, \\leq) \\) 의 전순서부분집합으로서 \\( B \\) 를 포함한다.", "그러면 \\( x \\leq u \\) 이므로 \\( B \\cup\\{x\\}=B \\) 이다.", "결국 \\( x=u \\) 이므로 \\( u \\) 는 \\( (A, \\leq) \\) 의 극대원이다.", "</p><p>즉 정리 \\(3\\)은 어떤 반순서집합에서의 극대원의 존재를 주장하는 전형적인 정리이다.", "</p><p>정리 \\(1\\) , 정리 \\(2\\) , 정리 \\(3\\) 등은 동치인데 참고문헌 [3]의 제 \\(7\\) 장을 통해서 보다 다양한 내용을 접하기를 추천한다.", "</p><p>여기서 조른의 보조정리를 이용하여 체르멜로의 정렬원리(well ordering principle)를 소개한다.", "집합 \\( A \\) 위의 정렬순서관계가 존재하면 \\( A \\) 는 정렬가능하다고 말한다.", "</p> <p>선택공리(axiom of choice) 및 그와 동치인 원리로서 흔히 이용되고 있는 하우스도르프의 극대원리(Hausdorff maximality principle), 조른의 보조정리(Zorn's lemma), 체르멜로의 정렬원리(Well-ordering principle of Zermelo)를 소개한다.", "이 세 원리는 선택공리와 논리적으로 동치임이 증명된다.", "</p><h1>7.1 선택공리(axiom of choice)</h1><p>임의의 두 순서수 \\( \\sigma, \\tau \\) 의 크기는 항상 비교가능하다. 즉, \\( \\sigma=\\tau \\), 혹은 \\( \\sigma>", "\\tau \\) 또는 \\( \\sigma<\\tau \\)이다.", "바꾸어 말하면, 두 개의 정렬집합들은 동형이든지 한쪽이 다른 쪽의 진절편과 동형이다.", "</p><p>\\( (X ; \\leq),\\left(Y ; \\leq^{\\prime}\\right) \\) 를 정렬집합이라 하고 \\( \\operatorname{ord}(X ; \\leq)=\\sigma, \\operatorname{ord}\\left(Y ; \\leq^{\\prime}\\right)=\\tau \\) 라 하고 \\( \\operatorname{card} X=\\alpha, \\operatorname{card} Y=\\beta \\) 라 하면 \\[ \\begin{array}{l} \\sigma=\\tau \\Rightarrow \\alpha=\\beta \\\\ \\sigma<\\tau \\Rightarrow \\alpha \\leq \\beta(\\because X \\text { 가 } Y \\text { 의 어떤 절편에 동형이다. }) \\end{array} \\]", "</<p>따라서 두 정렬집합의 기수는 항상 비교가능하다.", "그러나 \"임의의 두 집합의 기수가 비교가능한가?\"", "에 대해서는 좀더 연구가 필요하다.", "그러나 정렬집합의 기수는 비교가능하므로 임의의 집합은 정렬집합이 되게 할 수 있다면 문제는 쉽게 해결될 것이다.", "그 가능성은 칸토어(G. Cantor)에 의하여 예상은 되었지만 증명은 하지 못했다.", "즉, “임의의 집합은 그것에 적당한 순서를 주어서 정렬집합이 되게 할 수 있다(정렬가능정리)\"." ]

{ "doc_category": { "KDC": "410", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "집합론_선택공리 및 그와 동치인 정리", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-268f-45cd-8dcb-9896e5f9c58c", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961059909", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2016", "doc_author": [ "한상언" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>정리 \\(5.25\\) \\( R^{3} \\)상에서 주어진 정칙곡선 \\( \\alpha(u)=(g(u), h(u), 0)(h>0) \\)를 \\( x \\) 축으로 회전한 회전면은 정칙곡면이고 조각사상은 \\[X(u, v)=(g(u), h(u) \\cos v, h(u) \\sin v)\\]이다.", "이때 \\( u \\)-곡선을 경도선(meridian), \\( v \\)-곡선을 위도선(parallel)이라 한다.", "</p><p>증명 연습문제.", "</p><h1>5.4 곡면들의 예</h1><p>예제 \\(5.26\\) (구면, sphere) 구면 \\( S^{2}(r)=\\left\\{(x, y, z) \\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\\right\\} \\)은 정칙곡면이다 (예제 \\(5.8\\), 예제 \\(5.19\\)참조).", "</p><p>풀이 \\( g(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} \\)이라 두면 \\( \\nabla g=(2 x, 2 y, 2 z)=0 \\)을 만족하는 점은 \\( p= \\) \\( (0,0,0) \\)이다.", "그러나 \\( p \\notin S^{2}(r) \\)이므로 정리 \\( 5.19 \\) 에 의해 \\( S^{2}(r) \\)은 정칙곡면이다.", "</p><p>예제 \\( 5.27 \\) (원기둥, cylinder) 원기둥 \\( M=\\left\\{(x, y, z) \\mid x^{2}+y^{2}=r^{2}, 0<z<1\\right\\} \\)은 정칙곡면이다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} \\ln [11]:=& \\text { ParameticPlot3D }[\\{\\operatorname{Cos}[u], \\text { Sin }[u], v\\},\\{u, 0,2 \\mathrm{Pi}\\},\\{\\mathrm{v}, 0,1.2\\} .\\\\\\text { AspectRatio } \\rightarrow \\text { Automatic, Axes } \\rightarrow \\text { None, Boxed } \\rightarrow \\text { False }]", "\\end{aligned} \\)</p><p>풀이 \\( g(x, y, z)=x^{2}+y^{2} \\) 으로 두면 \\( \\nabla g=(2 x, 2 y, 0)=0 \\)을 만족하는 점은 \\( p=(0 \\), \\( 0,0) \\)이다.", "하지만 \\( p \\notin M \\)이니까 원기둥은 정칙곡면이다.", "한편 원기둥의 좌표조각사상은 \\( 0<u<2 \\pi, 0<v<1 \\) 인 \\( u, v \\) 에 대하여 \\[X(u, v)=(r \\cos u, r \\sin u, v)\\]으로 표현된다.", "</p><p>예제 \\( 5.28 \\) (원환면, torus) 원환면의 좌표조각사상은 다음과 같이 주어진다.", "즉, 양의 실수 \\( 0<r<R \\) 과 \\( 0<u, v<2 \\pi \\) 인 \\( u, v \\)에 대하여 \\[X(u, v)=((R+r \\cos u) \\cos v,(R+r \\cos u) \\sin v, r \\sin u)\\]이다.", "그러므로 \\[\\begin{array}{l}X_{u}=(-r \\sin u \\cos v,-r \\sin u \\sin v, r \\cos u) \\\\X_{v}=(-(R+r \\cos u) \\sin v,(R+r \\cos u) \\cos v, 0) \\end{array}\\]이므로 \\( X_{u} \\times X_{v}=-r(R+r \\cos u)(\\cos u \\cos v, \\cos u \\sin v, \\sin u) \\)이다.", "따라서 \\( \\left\\|X_{u} \\times X_{v}\\right\\|=r(R+r \\cos u) \\neq 0 \\)이므로 \\( X \\)는 좌표조각사상이다.", "</p> <h1>5.3 선직면과 회전면</h1><p>정의 \\(5.22 \\) 정칙곡선 \\( \\alpha:(a, b) \\rightarrow R^{3} \\) 와 곡선 \\( \\gamma:(a, b) \\rightarrow R^{3} \\)가 주어질 때, 조각사상이\\[X(u, v)=\\alpha(u)+v \\gamma(u)\\]으로 표현되는 곡면을 선직면(ruled surface)이라고 한다.", "이때, \\( \\alpha \\)를 기저곡선(base curve), \\( \\gamma \\)를 방향곡선(director curve)이라고 한다.", "특히 \\( \\gamma(u)=\\alpha^{\\prime}(u) \\)일 때, \\( X \\)를 기저곡선 \\( \\alpha \\)의 접곡면(tangent surface), \\( \\gamma^{\\prime}(u)=0 \\)일 때, \\( X \\)를 일반원기둥면(generalized cylinder), 그리고 \\( \\alpha^{\\prime}(u)=0 \\)일 때, \\( X \\)를 일반원뿔(generalized cone)이라 한다.", "</p><p>참고 선직면 \\( X(u, v)=\\alpha(u)+v \\gamma(u) \\)에서 \\( v \\)-곡선은 직선이다.", "여기서 \\( v \\)-곡선을 선직면의 모선(ruling)이라 한다.", "</p><p>정리 \\(5.23\\) 선직면이 정칙곡면이 될 필요충분조건은 \\( \\left(\\alpha^{\\prime}+v \\gamma^{\\prime}\\right) \\times \\gamma \\neq 0 \\)이다.", "특히<ol type=1 start=1> <li>접곡면이 정칙곡면일 조건은 \\( \\kappa_{\\alpha} \\neq 0 \\), 즉, \\( \\alpha^{\\prime} \\times \\alpha^{\\prime \\prime} \\neq 0, v \\neq 0 \\)이다.", "</li> <li>일반원기둥면이 정칙일 필요충분조건은 \\( \\alpha^{\\prime} \\times \\gamma \\neq 0 \\)이다.", "</li> <li>일반원뿔이 정칙일 필요충분조건은 \\( \\gamma \\times \\gamma^{\\prime} \\neq 0, v \\neq 0 \\) 이다.", "</li></ol></p><p>증명 정칙일 조건 \\( X_{u} \\times X_{v}=\\left(\\alpha^{\\prime}+v \\gamma^{\\prime}\\right) \\times \\gamma \\neq 0 \\)으로부터 분명하다.", "</p><p>정의 \\(5.24\\) 평면상의 정칙곡선 \\( \\alpha \\)를 그 평면상의 직선 \\( l \\)을 축으로 회전하여 얻어진 곡면을 회전면(surface of revolution)이라 한다.", "여기서 곡선 \\( \\alpha \\)를 윤곽선(profile curve)이라 한다.", "</p><p>정리 \\(5.25\\) \\( R^{3} \\)상에서 주어진 정칙곡선 \\( \\alpha(u)=(g(u), h(u), 0)(h>0) \\)를 \\( x \\) 축으로 회전한 회전면은 정칙곡면이고 조각사상은 \\[X(u, v)=(g(u), h(u) \\cos v, h(u) \\sin v)\\]이다.", "이때 \\( u \\)-곡선을 경도선(meridian), \\( v \\)-곡선을 위도선(parallel)이라 한다.", "</p><p>증명 연습문제.", "</p> <p>제 \\(5\\)장 연습문제</p><p>\\(01\\) 선직면 \\( X(u, v)=\\alpha(u)+v \\gamma(u) \\) 가 \\( \\gamma^{\\prime} \\neq 0 \\)일 때, 비원기둥(noncylindrical) 선직면이라 한다.", "비원기등 선직면은 다음과 같이 표현될 수 있음을 증명하여라. \\", "[Y(s, t)=\\sigma(s)+t \\tilde{\\gamma}(s,\\left\\langle\\sigma^{\\prime}, \\tilde{\\gamma}^{\\prime}\\right\\rangle=0, \\quad\\|\\tilde{\\gamma}\\|=1 .\\] 여기서 \\( \\sigma \\) 를 선직면 \\( X \\) 의 압축곡선(striction curve)라 한다.", "다음의 순서로 증명하자.", "<ol type=i start=1> <li>우선 \\( \\tilde{\\gamma}=\\frac{\\gamma}{\\|\\gamma\\|}, \\sigma(u)=\\alpha(u)+f(u) \\tilde{\\gamma}(u), f(u)=-\\frac{\\left\\langle\\alpha^{\\prime}, \\tilde{\\gamma^{\\prime}}\\right\\rangle}{\\left\\langle\\tilde{\\gamma}^{\\prime}, \\tilde{\\gamma}^{\\prime}\\right\\rangle} \\)라 두자.", "</li> <li>\\( \\|\\tilde{\\gamma}\\|=1 \\)이기 때문에 \\( \\left\\langle\\tilde{\\gamma}^{\\prime}, \\tilde{\\gamma}\\right\\rangle=0 \\)이므로 \\( \\left\\langle\\sigma^{\\prime}, \\tilde{\\gamma}^{\\prime}\\right\\rangle=0 \\)이다.", "</li> <li>따라서 \\( s=u, t=v\\|\\gamma(u)\\|-f(u) \\)로 두면 \\( X(u, v)=Y(s, t) \\)이다.", "</li></ol></p><p>\\(02 \\) 예제 \\(5.32\\), 예제 \\(5.33\\), 예제 \\(5.34\\)에서의 곡선이 비원기둥 선직면임을 보이고 압축곡선을 찾아라.", "</p><p>\\(03\\) 정리 \\( 5.25 \\)를 증명하여라.", "</p><p>\\(04\\) 구면(sphere), 원환면(torus), 원기등(cylinder)은 회전면임을 증명하여라.", "</p><p>\\(05\\) 다음 곡면의 주어진 점에서의 접평면의 방정식을 구하여라.", "<ol type=1 start=1> <li>\\( M=\\left\\{(x, y, z) \\mid x^{2}+(y-2)^{2}+(z+1)^{2}=1\\right\\}, p=(0,2,0) \\)</li> <li>\\( M: X(u, v)=(u+v, u-v, 4 u v), p=X(0,1) \\)</ol></p> <h1>5.1 좌표조각사상</h1><p>이 장에서는 \\( R^{3} \\)상에서의 곡면을 다룬다.", "먼저 \\( U \\subset R^{2} \\)를 열린집합(open set)이라 한다.", "이때 함수 \\( X: U \\rightarrow R^{3} \\)는\\[X(u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \\]로 표현가능하다.", "여기서 \\( (u, v) \\)는 \\( R^{2} \\)의 좌표함수(coordinate function)이다.", "</p><p>정의 \\(5.1 \\) 미분가능함수 \\( X: U \\subset R^{2} \\rightarrow R^{3} \\)를 조각사상( \\( \\left.\\mathrm{patch}\\right) \\)이라고 한다.", "</p><p>참고 임의의 부분집합 \\( \\bar{U} \\subset R^{2} \\)상에서 \\( X: \\bar{U} \\rightarrow R^{3} \\)가 조각사상이란 \\( \\bar{U} \\)를 포함하는 열린집합 \\( U \\)상에서의 조각사상 \\( Y: U \\rightarrow R^{3} \\)가 존재하여 \\( \\left.Y\\right|_{\\bar{U}}=X \\)를 만족할 때이다.", "그러므로 임의의 집합에서 조각사상을 정의할 수 있다.", "</p><p>보조정리 \\(5.2 \\) 조각사상 \\( X: U \\rightarrow R^{3} \\)가 주어질 때, 임의의 점 \\( p \\in U \\)에 대하여 미분사상 \\( d X_{p} \\)는\\[d X_{p}\\left(E_{1}(p)\\right)=X_{u}(p), \\quad d X_{p}\\left(E_{2}(p)\\right)=X_{v}(p)\\]을 만족한다.", "여기서 \\( X_{u}=\\left(x_{u}, y_{u}, z_{u}\\right), X_{v}=\\left(x_{v}, y_{v}, z_{v}\\right) \\)이다.", "</p><p>증명 조각사상 \\( X(u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \\)에 대하여 정리 \\(2.22\\)에 의해 \\[\\begin{aligned}d X_{p}\\left(E_{1}(p)\\right) &=\\left(E_{1}[x], E_{1}[y], E_{1}[z]\\right)(p) \\\\ &=\\left(\\frac{\\partial x}{\\partial u}(p), \\frac{\\partial y}{\\partial u}(p), \\frac{\\partial z}{\\partial u}(p)\\right) \\\\&=X_{u}(p)\\end{aligned}\\]이다.", "두 번째 등식도 유사하게 증명된다.", "</p><p>정리 \\(5.3 \\) 조각사상 \\( X: U \\rightarrow R^{3} \\)에 대하여 다음 사실들이 동치이다.", "임의의 점 \\( p \\in U \\) 에 대하여<ol type=1 start=1> <li>\\( \\left\\{X_{u}(p), X_{v}(p)\\right\\} \\)는 일차독립(linearly independent)이다.", "</li> <li>\\( \\left\\|X_{u} \\times X_{v}\\right\\|(p) \\neq 0 \\) 이다.", "</li> <li>\\( \\operatorname{rank} \\Im X(p)=2 \\) 이다.", "</li> <li>미분사상 \\( d X_{p}: T_{p} R^{2} \\rightarrow T_{X(p)} R^{3} \\) 는 단사함수(injective)이다.", "</li></ol></p><p>증명 정리 \\(2.28 \\)로부터 쉽게 증명된다.", "실제로\\[X(u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v))\\]이므로\\[ \\Im X(p)=\\left(\\begin{array}{ll}x_{u} & x_{v} \\\\y_{u} & y_{v} \\\\z_{u} & z_{v}\\end{array}\\right)(p)\\]이다.", "따라서 (\\(1 \\)) \\( \\Leftrightarrow \\) (\\(2 \\))는 벡터의 성질로부터 분명하다.", "(\\(3 \\)) \\( \\Leftrightarrow \\) (\\(4 \\))는 정리 \\(2.28 \\)로 부터 증명된다.", "(\\(1 \\)) \\( \\Leftrightarrow \\) (\\(3 \\))은 행렬의 성질로부터 증명된다.", "</p> <p>예제 \\( 5.8 \\) (구면, sphere) 반지름 \\( r \\)인 구면 \\( S^{2}(r) \\)상의 구면좌표함수는 좌표조각사상이다.", "즉, \\( U=\\left\\{(u, v) \\in R^{2} \\mid 0<u<2 \\pi,-\\frac{\\pi}{2}<v<\\frac{\\pi}{2}\\right\\} \\) 일 때, 구면좌표함수 \\( X: U \\rightarrow S^{2}(r) \\)는 \\[X(u, v)=(r \\cos v \\cos u, r \\cos v \\sin u, r \\sin v)\\]이므로 \\( X \\)는 좌표조각사상이다.", "</p><p>풀이 \\( \\left\\|X_{u} \\times X_{v}\\right\\| \\neq 0 \\)임을 쉽게 증명할 수 있다.", "실제로, \\[\\begin{array}{l}X_{u}=(-r \\cos v \\sin u, r \\cos v \\cos u, 0) \\\\X_{v}=(-r \\sin v \\cos u,-r \\sin v \\sin u, r \\cos v) \\\\X_{u} \\times X_{v}=r^{2} \\cos v(\\cos v \\cos u, \\cos v \\sin u, \\sin v)\\end{array}\\]이고 따라서 \\( \\left\\|X_{u} \\times X_{v}\\right\\|=r^{2} \\cos v \\neq 0 \\) 이므로 좌표조각사상이다.", "</p><p>정리 \\(5.9 \\) 미분가능함수 \\( f: U \\subset R^{2} \\rightarrow R \\)에 대하여 함수 \\( X: U \\rightarrow R^{3} \\)가 \\[X(u, v)=(u, v, f(u, v))\\]으로 정의되면, \\( X: U \\rightarrow R^{3} \\) 는 항상 좌표조각사상이다.", "이것을 Monge 조각사상이라 하고 \\( X(U) \\)를 Monge 곡면이라 한다.", "</p><p>증명 함수 \\( f \\)가 미분가능이기 때문에 \\( X \\)는 미분가능이다.", "더구나 \\[X_{u} \\times X_{v}=\\left(-f_{u},-f_{v}, 1\\right) \\neq 0\\]이므로 \\( X \\)는 좌표조각사상이다.", "</p><p>예제 \\( 5.10 \\) 예제 \\( 5.5 \\)에서의 \\( X \\)는 Monge 조각사상이다.", "</p><p>보조정리 \\(5.11 \\) 좌표조각사상 \\( X: U \\rightarrow R^{3} \\) 위의 임의의 정칙곡선 \\( \\alpha:(a, b) \\rightarrow X(U) \\subset R^{3} \\)는 어떤 미분가능한 함수 \\( u, v:(a, b) \\rightarrow R \\)가 존재하여 \\( \\alpha(t)=X(u(t), v(t)) \\)로 표현된다.", "</p><p>증명 \\( X: U \\rightarrow X(U) \\)는 전단사함수이기 때문에 \\( X^{-1} \\)가 존재하고 \\( X^{-1} \\)는 역함수정리에 의해 미분가능하므로 \\( X^{-1} \\circ \\alpha \\)는 미분가능하다.", "따라서 미분가능한 함수 \\( u, v \\)가 존재하여\\[\\left(X^{-1} \\circ \\alpha\\right)(t)=(u(t), v(t)) \\]을 만족한다.", "</p><p>정의 \\(5.12\\) 좌표조각사상 \\( X: U \\rightarrow R^{3} \\) 위의 한 점 \\( p=\\left(u_{0}, v_{0}\\right) \\)에 대하여 \\[\\alpha(u)=X\\left(u, v_{0}\\right), \\quad \\beta(v)=X\\left(u_{0}, v\\right)\\]를 각각 \\( p \\) 점을 지나는 \\( u \\)-곡선( \\( u \\)-curve \\( ), v \\)-곡선 \\( (v \\)-curve \\( ) \\) 이라 한다.", "</p> <p>예제 \\( 5.29 \\) (포물면, paraboloid) 포물면 \\( M_{a} = \\left\\{(x, y, z) \\mid z = a \\left(x^{2} + y^{2} \\right) \\right\\} \\)은 Monge 곡면이다.", "</p><p>예제 \\( 5.30 \\) (안장곡면, saddle surface) 곡면 \\( M = \\left\\{(x, y, z) \\mid z = x^{3} - 3 x y^{2}\\right\\} \\)은 Monge 곡면이다.", "</p><p>예제 \\( 5.31 \\) (현수면, catenoid) 현수면의 좌표조각사상은 \\[X(u, v) = \\left(u, a \\cosh \\left(\\frac{u}{a}\\right) \\cos v, a \\cosh \\left(\\frac{u}{a}\\right) \\sin v\\right), \\quad( 0<v<2 \\pi) .\\]이다. 여기서 \\( a>", "0 \\)인 상수이다.", "더구나 \\( g(u) = u, h(u) = a \\cosh \\left(\\frac{u}{a}\\right) \\)이므로 회전면이다.", "</p><p>예제 \\( 5.32 \\) (나선면, helicoid) 나선면의 좌표조각사상은 \\[X(u, v)=(v \\cos u, v \\sin u, b u) \\]이다.", "여기서 \\( b \\)는 양의 실수이다.", "실제로 나선면은 선직면이다.", "즉, \\[ X(u, v)=(0,0, b u)+v(\\cos u, \\sin u, 0)\\]이고 \\( \\left\\|X_{u} \\times X_{v}\\right\\|^{2}=b^{2}+v^{2} \\neq 0 \\) 이다.", "</p><p>예제 \\( 5.33 \\) (쌍곡포물면) 곡면 \\( M=\\left\\{(x, y, z) \\mid z=\\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}\\right\\} \\)은 선직면이다.", "왜나하면 곡면 \\( M \\)의 좌표조각사상은 \\( X(u, v)=\\left(a u, 0, u^{2}\\right)+v(a, b, 2 u) \\)으로 표현된다.", "</p><p>예제 \\(5.34 \\) (쌍곡면, hyperboloid) 곡면 \\( M=\\left\\{(x, y, z) \\mid \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}-\\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\\right\\} \\)은 선직면이다.", "왜나하면 \\( M \\)의 좌표조각사상은\\[X(u, v)=(a \\cos u, b \\sin u, 0)+v(-a \\sin u, b \\cos u, c)\\] 으로 표현된다.", "</p> <p>정의 \\(5.13\\) 좌표조각사상 \\( X: U \\rightarrow R^{3} \\) 위의 임의의 점 \\( p \\in X(U) \\)에서 벡터 \\( v_{p} \\)가 어떤 곡선 \\( \\alpha:(a, b) \\rightarrow X(U) \\)에 대하여 \\[\\alpha^{\\prime}(0)=v_{p}, \\quad \\alpha(0)=p\\]를 만족할 때, 벡터 \\( v_{p} \\)를 점 \\( p \\)에서 접벡터(tangent vector)라 하고.\\", "[T_{p} X=\\left\\{v_{p} \\in T_{p} R^{3} \\mid v_{p}=\\alpha^{\\prime}(0), \\alpha(0)=p, \\forall \\alpha \\subset X(U)\\right\\}\\]를 점 \\( p \\) 에서의 접평면(tangent plane)이라 한다.", "</p><p>참고 \\( X_{u} \\) 와 \\( X_{v} \\)는 \\( u \\)-곡선과 \\( v \\)-곡선의 속도벡터이므로 \\( X_{u} \\)와 \\( X_{v} \\) 는 \\( X \\)의 접벡터이다.", "</p><p>정리 \\(5.14 \\) 좌표조각사상 \\( X: U \\rightarrow R^{3} \\) 위의 점 \\( p \\in X(U) \\)에서의 접평면 \\( T_{p} X \\) 는 벡터공간 (vector space)이고. \\", "( \\left\\{X_{u}, X_{v}\\right\\} \\) 는 기저(basis)이다.", "</p><p>증명<ol type=i start=1><li>우선 \\( T_{p} X \\) 가 벡터공간임을 증명하자.", "점 \\( p \\)에서의 두 접벡터 \\( v_{p}, w_{p} \\in T_{p} X \\) \\( \\left(p=X\\left(u_{0}, v_{0}\\right)\\right) \\)에 대하여 두 곡선 \\( \\alpha, \\beta:(a, b) \\rightarrow X(U) \\)가 \\[\\alpha^{\\prime}(0)=v_{p}, \\quad \\beta^{\\prime}(0)=w_{p}, \\quad p=\\alpha(0)=\\beta(0)\\]을 만족한다고.", "하자.", "그러면 \\( \\alpha, \\beta \\) 는 미분가능한 함수 \\( u, v, \\tilde{u}, \\tilde{v}:(a, b) \\rightarrow R \\) 에 대하여 \\[\\alpha(t)=X(u(t), v(t)), \\quad \\beta(t)=X(\\tilde{u}(t), \\tilde{v}(t))\\]로 표현된다.", "그러므로 합성함수의 미분에 의해\\[v_{p}=\\alpha^{\\prime}(0)=u^{\\prime}(0) X_{u}+v^{\\prime}(0) X_{v}, \\quad w_{p}=\\beta^{\\prime}(0)=\\tilde{u}^{\\prime}(0) X_{u}+\\tilde{v}^{\\prime}(0) X_{v}\\]이다.", "따라서 임의의 실수 \\( a, b \\in R \\) 에 대하여 곡선 \\( \\gamma \\) 를\\[ \\gamma(t)=X\\left(u_{0}+t\\left\\{a u^{\\prime}(0)+b \\tilde{u}^{\\prime}(0)\\right\\}, v_{0}+t\\left\\{a v^{\\prime}(0)+b \\tilde{v}^{\\prime}(0)\\right\\}\\right)\\]으로 정의하면 \\( \\gamma \\) 는 \\( X(U) \\)상의 곡선으로 \\[\\gamma(0)=X\\left(u_{0}, v_{0}\\right)=p, \\quad \\gamma^{\\prime}(0)=a v_{p}+b w_{p}\\]를 만족한다.", "따라서 \\( a v_{p}+b w_{p} \\in T_{p} X \\) 이므로 \\( T_{p} X \\)는 벡터공간이다.", "</li><li>정리 \\(5.3 \\)으로부터 \\( \\left\\{X_{u}, X_{v}\\right\\} \\)가 일차독립임은 분명하다.", "또한 임의의 접벡터 \\( v_{p} \\in T_{p} X \\)가 \\( X_{u} \\) 와 \\( X_{v} \\)의 일차결합으로 표현됨은 합성함수의 미분으로부터 알 수 있다.", "따라서 \\( \\left\\{X_{u}, X_{v}\\right\\} \\)는 기저이다.", "</li></ol></p> <p>정의 \\(5.15\\) 좌표조각사상 \\( X: U \\rightarrow R^{3} \\) 위의 임의의 점 \\( p \\in X(U) \\)에서 \\[N_{p} X=\\left\\{z_{p} \\in T_{p} R^{3} \\mid\\left\\langle z_{p}, v_{p}\\right\\rangle=0, \\forall v_{p} \\in T_{p} X\\right\\}\\]를 점 \\( p \\) 에서의 법공간(normal space)이라 하고 원소 \\( z_{p} \\in N_{p} X \\)를 법벡터(normal vector)라 한다.", "</p><p>참고 좌표조각사상 \\( X: U \\rightarrow R^{3} \\) 위의 임의의 점 \\( p \\in X(U) \\)에서 \\[ T_{p} R^{3}=T_{p} X \\oplus N_{p} X\\]이 성립한다.", "</p><p>정의 \\(5.16\\) 좌표조각사상 \\( X: U \\rightarrow R^{3} \\)에 대해서 벡터값을 갖는 함수 \\[V: X(U) \\rightarrow \\bigcup_{p \\in X(U)} T_{p} R^{3}, \\quad V(q) \\in T_{X(q)} R^{3} \\]를 \\( X(U) \\)상에서의 벡터장(vector field)이라 한다.", "특히 \\( V(q) \\in T_{X(q)} X \\) 일 때 \\( V \\)를 \\( X \\) 의 접벡터장(tangent vector field)이라 하고. \\", "( V(q) \\in N_{X(q)} X \\) 일 때, \\( V \\)를 \\( X \\)의 법벡터장(normal vector field)이라 한다.", "</p><p>정리 \\(5.17\\) 좌표조각사상 \\( X: U \\rightarrow R^{3} \\)가 주어질 때, \\( X_{u} \\times X_{v} \\) 는 \\( X \\)의 법벡버장이다.", "즉, 임의의 \\( p \\in X(U) \\)에 대하여 \\( \\left(X_{u} \\times X_{v}\\right)(p) \\in N_{p} X \\)이다.", "</p><p>증명 임의의 점 \\( p \\in X(U) \\)에 대하여 \\( \\left(X_{u} \\times X_{v}\\right)(p) \\)는 \\( X_{u}(p) \\) 와 \\( X_{v}(p) \\)에 수직이다.", "한편 \\( \\left\\{X_{u}, X_{v}\\right\\} \\)는 \\( T_{p} X \\)의 기저이기 때문에\\[\\left\\langle\\left(X_{u} \\times X_{v}\\right)(p), v_{p}\\right\\rangle=0, \\quad \\forall v_{p} \\in T_{p} X\\]이다.", "</p><p>기호 좌표조각사상 \\( X: U \\rightarrow R^{3} \\)의 단위법벡터장을 \\( n \\)이라 하자.", "즉 \\( n \\)은 \\[n=\\frac{X_{u} \\times X_{v}}{\\left\\|X_{u} \\times X_{v}\\right\\|} .\\]", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "415", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "곡선과 곡면의 미분기하학_곡면론", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-5490-43f9-97f1-f72b007e96f3", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961057868", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2014", "doc_author": [ "정승달" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>함수는 수학에서 두 개체를 관계 짓는 가장 중요한 개념이라 할 수 있다.", "함수 없이는 수학을 이야기하기가 어려울 정도이다.", "함수란 한 개체에 속하는 모든 것에 대응하는 것이 다른 개체에 반드시 있고, 그것은 단 하나뿐이라는 뜻이다.", "함수를 통하여 주변에서 일어나는 생활현상이나 자연현상도 설명할 수 있다.", "수를 나열한 수열도 함수의 일종이다.", "인공지능 자체도 입력으로 데이터가 들어가면 출력이 나오는 거대한 함수이다.", "입력은 같은데 때에 따라 다른 결과가 나온다면 이는 함수가 아니다.", "상호간의 관계를 통하여 함수가 무엇인지 살펴본다.", "이 단원에서 다루는 내용은 다음과 같다.", "</p>

<h1>3.1 대응과 함수</h1> <p>신입생인 층헌이는 지금부터 대학 졸업할 때까지 4년 동안 일본, 중국, 러시아, 독일, 프랑스, 영국에 배낭여행하기로 계획하고, 그 나라의 중심이 되는 도시인 수도를 알아보아 다음과 같은 관계를 얻었다.", "</p> <table border><caption></caption> <tbody><tr><td>나라</td><td>독일</td><td>일본</td><td>중국</td><td>러시아</td><td>영국</td><td>프랑스</td></tr><tr><td>수도</td><td>베를린</td><td>도쿄</td><td>베이징</td><td>모스코바</td><td>런던</td><td>파리</td></tr></tbody></table> <p>위 표에 의하면 독일의 수도는 베를린이고 영국의 수도는 런던이 된다.", "여기서 대응한다는 말을 써보자.", "독일의 수도에 대응하는 도시는 베를린, 일본의 수도에 대응하는 도시는 도쿄, ...", "프랑스의 수도에 대응하는 도시는 파리.", "나라의 수도에 관하여 이야기 한다면 단순히 한국에 대응하는 것은 서울, 영국에 대응하는 것은 런던, 중국에 대응하는 것은 베이징이 된다.", "이와 같이 나라를 도시에 대응시킬 수 있다.", "대응하는 것을 화살표 기호를 사용하여 다음과 같이 나타낸다.", "</p>

<p>독일 \\( \\rightarrow \\) 베를린, 일본 \\( \\rightarrow \\) 도교, 중국 \\( \\rightarrow \\) 베이징</p> <p>러시아 \\( \\rightarrow \\) 모스코바, 영국 \\( \\rightarrow \\) 런던, 프랑스 \\( \\rightarrow \\) 파리</p> <p>나라의 집합을 \\( S=\\{ \\) 일본, 증국, 러시아, 영국, 프랑스, 독일}, 수도의 집합을 \\( C=\\{ \\) 도쿄, 베이징, 베를린, 모스코바, 런던, 파리}라고 하자.", "그러면 나라에서 수도로 대응하는 것은 이제 집합 \\( S \\) 에서 집합 \\( C \\) 로 대응하는 것으로 볼 수 있다.", "</p> <p>이와 같이 집합 ' \\( S \\) 의 모든 나라에 대응하는 수도는 \\( C \\) 에 반드시 있고, 또한 그 수도는 단 하나뿐인 관계'를 \\( S \\) 에서 \\( C \\) 로 가는 함수라고 한다. \\", "( C \\) 에 대응관계가 없는 '로마'를 추가해도 역시 이 관계는 성립한다.", "</p>
<p>정의 \\( 3.1 \\) 집합 \\( X \\) 의 원소에 대응하는 원소가 집합 \\( Y \\) 에 단 하나 있는 관계를 \\( X \\) 에서 \\( Y \\) 로 가는 (function, map)라고 한다.", "이때 \\( X \\) 의 원소를 독립변수라 하고 그것에 대응하는 \\( Y \\) 의 원소를 종속변수라 한다.", "</p> <p>관계를 \\( f: X \\rightarrow Y \\) 로 나타내고 \\( X \\) 의 원소 \\( x \\) 를 입력이라 하며, 대응하는 \\( Y \\) 에 있는 원소 \\( y \\) 를 출력이라 한다.", "이때 출력은 \\( y=f(x) \\) 라고 나타낸다.", "여기서 입력인 \\( x \\) 는 독립변수 그리고 그에 따른 출력인 \\( y \\) 는 종속변수이다.", "</p>

<p>함수의 입력과 출력의 관계는 반드시 다음을 만족해야 한다.", "</p> <p>\\( X \\) 에 속하는 모든 원소 \\( x \\) 에 대하여 \\( f(x) \\) 는 \\( Y \\) 에 단 하나 있다.", "[즉 \\( x \\in X \\) 이면 \\( f(x) \\in Y \\) 이고, \\( x_{1}=x_{2} \\) 이면 \\( f\\left(x_{1}\\right)=f\\left(x_{2}\\right) \\) 이다.]", "</p> <p>여기서 \" \\( f\\left(x_{1}\\right) \\neq f\\left(x_{2}\\right) \\) 이면 \\( x_{1} \\neq x_{2} \\) 이다\"는 “ \\( x_{1}=x_{2} \\) 이면 \\( f\\left(x_{1}\\right)=f\\left(x_{2}\\right) \\) 이다\"와 같은 뜻으로 대신해도 된다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "410", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "옥타브로 배우는 인공지능을 위한 기초수학_함수와 수열", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-2b39-4686-888c-da074133bf49", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160734089", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2020", "doc_author": [ "이규봉" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h2>8-5 \\(3\\)원 일차 연립방정식</h2><p>미지수가 \\(3\\) 개인 일차 연립방정식을 \\(3\\) 원 일차 연립방정식이라고 하며 가감법, 대입법 등을 통해 미지수의 개수를 줄여 푼다. \\", "[ \\left\\{\\begin{array}{l} a_{1} x+b_{1} y+c_{1} z=d_{1} \\\\ a_{2} x+b_{2} y+c_{2} z=d_{2} \\\\ a_{3} x+b_{3} y+c_{3} z=d_{3} \\end{array}\\right. \\]", "</p><p>연습 \\(8\\)-\\(5\\) 다음 연립방정식을 풀어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\left\\{\\begin{array}{l}x+y+z= \\\\ y-z=-1 \\\\ z=3\\end{array}\\right. \\)", "</li><li>\\( \\left\\{\\begin{array}{l}x+y+z=6 \\\\ x-y+z=2 \\\\ x+y-z=0\\end{array}\\right. \\)", "</li></ol><h2>8-6 항등식의 미정계수법</h2><ul><li>항등식 : 식에 포함된 문자에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식</li><li>다항식 \\( P \\) 와 \\( Q \\) 에 대해 \\( P=Q \\) 가 항등식일 때, \\( P \\) 와 \\( Q \\) 의 같은 차수의 항의 계수가 서로 같도록 하여 얻은 연립방정식을 풀어 미정계수를 정하는 것을 항등식의 미정계수법이라고 한다.", "</li></ul><p>연습 \\(8\\)-\\(6\\) 다음 식이 \\( x \\) 에 관한 항등식이 되도록 하는 \\( a, b, c \\) 를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( a x-2=-2 x+b \\)</li><li>\\( a x^{2}+b x+c=0 \\)</li><li>\\( x^{2}+5 x-2=a(x-1)^{2}+b(x-1)+c \\)</li></ol><h2>8-7 부분분수</h2><ul><li>\\( \\frac{1}{A B}=\\frac{1}{B-A}\\left(\\frac{1}{A}-\\frac{1}{B}\\right) \\)</li><li>일반적으로 부분분수로 변형할 때의 분자는 분모보다 차수가 1 만큼 작음과 다시 통분 했을 때의 분자에 대한 항등식의 미정계수법을 이용한다. \\", "[ \\begin{array}{l} \\frac{e x+f}{(a x+b)(c x+d)}=\\frac{A}{a x+b}+\\frac{B}{c x+d} \\\\ \\frac{g x+h}{(a x+b)(c x+d)(e x+f)}=\\frac{A}{a x+b}+\\frac{B}{c x+d}+\\frac{C}{e x+f} \\end{array} \\]</li></ul><p>연습 \\(8\\)-\\(7\\) 다음을 부분분수로 분해하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\frac{1}{(x+2)(x+3)} \\)</li><li>\\( \\frac{2 x-3}{x(x+1)} \\)</li><li>\\( \\frac{1}{(x+1)(x-1)(x+2)} \\)</li></ol><h2>8-8 두 직선의 교점</h2><p>두 직선 \\( y=a x+b \\) 와 \\( y=a^{\\prime} x+b^{\\prime} \\) 의 교점은 연립방정식 \\( \\left\\{\\begin{array}{l}y=a x+b \\\\ y=a^{\\prime} x+b^{\\prime}\\end{array}\\right. \\) 의 해와 같다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( a \\neq a^{\\prime} \\) 이면 교점은 1개이다.", "</li><li>\\( a=a^{\\prime} \\) 이고 \\( b=b^{\\prime} \\) 이면 교점은 무수히 많다. (부정)", "</li><li>\\( a=a^{\\prime} \\) 이고 \\( b \\neq b^{\\prime} \\) 이면 교점은 하나도 없다. (불능)", "</li></ol><p>연습 \\(8\\)-\\(8\\) 두 직선 \\( y=-x+5, y=2 x-4 \\) 의 교점을 구하여라.", "</p> <h1>8 연립방정식</h1><p>학습 목표</p><ol type=1 start=1><li>연립 일차방정식을 풀 수 있다.", "</li><li>항등식의 미정계수를 계수비교법으로 구할 수 있다.", "</li><li>두 직선의 교점을 구할 수 있다.", "</li></ol><h2>8-1 연립방정식</h2><ul><li>두 개 이상의 미지수와 이 미지수들을 포함하는 두 개 이상의 방정식을 연립방정식이라고 한다.", "</li><li>연립방정식의 미지수의 개수가 \\( n \\) 개이고, 방정식들의 최고 차수가 \\( m \\) 일 때 \\( n \\) 원 \\( m \\) 차 연립방정식이라고 한다.", "</li><li>연립방정식의 모든 방정식을 만족하는 각 미지수의 값을 연립방정식의 해라 하고, 연립방정식의 해를 구하는 것을 연립방정식을 푼다고 한다.", "</li><li>연립방정식은 일반적으로 특겅 문자(미지수)들을 소거하여 해롤 구하며 가감법, 대입법 등의 풀이법이 있다.", "</li></ul><p>연습 \\(8\\)-\\(1\\) 다음 연립방정식을 풀어라.", "</p><p>\\( \\left\\{\\begin{array}{l}x+y=6 \\\\ x-y=4\\end{array}\\right. \\)", "</p><h2>8-2 대입법</h2><p>대입법이란 연립방정식의 한 식에 포함된 미지수를 다른 미지수로 나타낸 다음, 그 미지수를 다른 방정식에 대입하여 푸는 방법이다. \\", "[ \\left\\{\\begin{array} { l } { P ( x , y ) = 0 } \\\\ { Q ( x , y ) = 0 } \\end{array} \\Rightarrow \\left\\{\\begin{array} { l } { y = R ( x ) } \\\\ { Q ( x , y ) = 0 } \\end{array} \\Rightarrow \\left\\{\\begin{array}{l} y=R(x) \\\\ Q(x, R(x))=0 \\end{array}\\right.\\right.\\right. \\]", "</p><p>연습 \\(8\\)-\\(2\\) 다음 연립방정식을 풀어라. \\", "[ \\left\\{\\begin{aligned} -2 x+y &=1 \\\\ x+3 y &=10 \\end{aligned}\\right. \\]", "</p><h2>8-3 가감법</h2><p>가감법이란 연립방정식의 한 식에 적당한 수를 곱하고 다른 식과 더하거나 빼어 미지수를 소거해 연립방정식을 푸는 방법이다. \\", "[ \\left\\{\\begin{array} { l } { P ( x , y ) = 0 } \\\\ { Q ( x , y ) = 0 } \\end{array} \\Rightarrow \\left\\{\\begin{array}{l} P(x, y)=0 \\\\ Q(x, y)+k P(x, y)=0 \\end{array}\\right.\\right. \\]", "</p><p>연습 \\(8\\)-\\(3\\) 다음 연립방정식을 풀어라. \\", "[ \\left\\{\\begin{array}{r} x+y=2 \\\\ 2 x-3 y=1 \\end{array}\\right. \\]", "</p><h2>8-4 연립 일차방정식의 해의 개수</h2><p>연립 일차방정식의 해의 개수는 보통은 하나이지만 무수히 많은 경우(부정)와 하나도 없는 경우(불능)가 있다.", "</p><p>연습 \\(8\\)-\\(4\\) 다음 연립방정식을 풀어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\left\\{\\begin{array}{r}x+y=2 \\\\ 3 x+3 y=6\\end{array}\\right. \\)", "</li><li>\\( \\left\\{\\begin{array}{r}x+y=2 \\\\ 2 x+2 y=5\\end{array}\\right. \\)", "</li><li>\\( \\left\\{\\begin{array}{l}x+y=2 \\\\ x-y=5\\end{array}\\right. \\)", "</li></ol> <p>문제 \\(8\\)-\\(1\\) 다음 연립방정식을 풀어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\left\\{\\begin{array}{l}y=2 x+1 \\\\ x+3 y=10\\end{array}\\right. \\)", "</li><li>\\( \\left\\{\\begin{array}{l}3 x+2 y=1 \\\\ x-4 y=5\\end{array}\\right. \\)", "</li><li>\\( \\left\\{\\begin{array}{l}3 x-2 y=4 \\\\ -6 x+4 y=7\\end{array}\\right. \\)", "</li></ol><p>문제 \\(8\\)-\\(2\\) 다음 연립방정식을 풀어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\left\\{\\begin{array}{l}8 s-3 t=51 \\\\ 3 s+4 t=14\\end{array}\\right. \\)", "</li><li>\\( \\left\\{\\begin{array}{l}4.0 T_{1}-3.5 T_{2}=1.5 \\\\ 0.7 T_{1}+0.1 T_{2}=0.5\\end{array}\\right. \\)", "</li><li>\\( \\left\\{\\begin{aligned} \\frac{3}{4} u-0.67 v &=5.9 \\\\ 2.1 u-3.9 v &=\\frac{24}{5} \\end{aligned}\\right. \\)", "</li></ol><p>문제 \\(8\\)-\\(3\\) 다음 연립방정식을 풀어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\left\\{\\begin{array}{l}x+2 y+2 z=5 \\\\ x-2 y+4 z=6 \\\\ 2 x+y-2 z=0\\end{array}\\right. \\)", "</li><li>\\( \\left\\{\\begin{array}{l}x+3 y-2 z=5 \\\\ 3 x+5 y+6 z=7 \\\\ 2 x+4 y+3 z=8\\end{array}\\right. \\)", "</li><li>\\( \\left\\{\\begin{array}{l}3 x+2 y-z=1 \\\\ 2 x-2 y+4 z=-2 \\\\ -x+\\frac{1}{2} y-z=0\\end{array}\\right. \\)", "</li></ol><p>문제 \\(8\\)-\\(4\\) 다음 연립방정식을 풀어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\left\\{\\begin{array}{l}A+60=0.8 T \\\\ B=0.6 T \\\\ 8 A+6 B+80=5 T\\end{array}\\right. \\)", "</li><li>\\( \\left\\{\\begin{array}{l}0.707 F_{1}-0.800 F_{2}=0 \\\\ 0.707 F_{1}+0.600 F_{2}-F_{3}=10.0 \\\\ 3.00 F_{2}-3.00 F_{3}=20.0\\end{array}\\right. \\)", "</li></ol><p>문제 \\(8\\)-\\(5\\) 다음 두 식 \\(1\\), \\(2\\)를 모두 만족하는 \\( x \\) 와 \\( y \\) 를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\frac{1}{3} x+\\frac{1}{5} y=\\frac{1}{3}-\\frac{2}{5}+\\frac{2}{15} \\)</li><li>\\( \\left(\\frac{2}{3}-\\frac{1}{6}\\right) x+\\left(\\frac{2}{5}-\\frac{3}{10}\\right) y=\\frac{5}{6}-\\frac{1}{6}-\\frac{5}{2} \\)</li></ol><p>문제 \\(8\\)-\\(6\\) 다음 두 식 \\(1\\), \\(2\\)를 모두 만족하는 \\( I_{1} \\) 과 \\( I_{2} \\) 를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 1.5 I_{1}+8\\left(I_{2}-I_{1}\\right)=27 \\)</li><li>\\( 2 I_{2}-8\\left(I_{1}-I_{2}\\right)=-26 \\)</li></ol><p>문제 \\(8\\)-\\(7\\) 다음 각 식이 항등식이 되도록 \\( a, b, c \\) 의 값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( x^{2}-2 x+3=a(x-1)^{2}+b(x-1)+c \\)</li><li>\\( x^{3}+3 x^{2}+4 x+6=a(x+1)^{3}+b(x+1)+c \\)</li></ol><p>문제 \\(8\\)-\\(8\\) 다음 각 식이 항등식이 되도록 \\( a, b, c \\) 의 값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\frac{7 x-1}{x^{2}+x-2}=\\frac{a}{x-1}+\\frac{b}{x+2} \\)</li><li>\\( \\frac{7 x+3}{x(x-1)(x-3)}=\\frac{a}{x}+\\frac{b}{x-1}+\\frac{c}{x-3} \\)</li></ol><p>문제 \\(8\\)-\\(9\\) 다음 세 식 \\(1\\), \\(2\\), \\(3\\)을 모두 만족하는 \\( I_{1}, I_{2}, I_{3} \\) 를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( I_{1}+I_{2}-I_{3}=-\\frac{3}{2} \\)</li><li>\\( 0.5 I_{1}-3.6 I_{2}+1.2 I_{3}=-5.28 \\)</li><li>\\( \\left(\\frac{1}{2}+\\frac{5}{8}-\\frac{5}{16}\\right) I_{1}+\\left(\\frac{13}{5}+\\frac{7}{20}\\right) I_{2}+\\frac{5}{16} I_{3}=14.21625 \\)</li></ol><p>문제 \\(8\\)-\\(10\\) 다음 세 식 \\(1\\), \\(2\\), \\(3\\)을 모두 만족하는 \\( T, C, R \\) 을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( T+C+R=141.0 \\)</li><li>\\( T+0.9 C+4 R=424.4 \\)</li><li>\\( \\left(\\frac{3}{5}+\\frac{3}{4}-\\frac{11}{20}\\right) T+\\frac{7}{10} C+\\left(\\frac{8}{54}-\\frac{5}{12}+\\frac{83}{108}\\right) R=82.7 \\)</li></ol><p>문제 \\(8\\)-\\(11\\) 다음 두 직선의 교점을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 3 x-5 y+9=0,-x-2 y+6=0 \\)</li><li>\\( y=0.75 x-0.89, y=-0.46 x+1.03 \\)</li><li>\\( 10.0 x+y=1200,50.0 x+y=1280 \\)</li><li>\\( 0.80 x+0.50 y=50,0.60 x-0.87 y=12 \\)</li></ol> <p>확인 \\(8\\)-\\(1\\) 다음 연립방정식을 풀어라. \\", "[ \\left\\{\\begin{array}{l} x-y=6 \\\\ x+y=4 \\end{array}\\right. \\]", "</p><p>확인 \\(8\\)-\\(2\\) 다음 연립방정식을 풀어라. \\", "[ \\left\\{\\begin{aligned} -2 x+y &=-1 \\\\ x-3 y &=-7 \\end{aligned}\\right. \\]", "</p><p>확인 \\(8\\)-\\(3\\) 다음 연립방정식을 풀어라. \\", "[ \\left\\{\\begin{array}{l} 3 x+2 y=1 \\\\ 2 x-3 y=5 \\end{array}\\right. \\]", "</p><p>확인 \\(8\\)-\\(4\\) 다음 연립방정식을 풀어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\left\\{\\begin{aligned} x+y &=-2 \\\\-2 x-2 y &=4 \\end{aligned}\\right. \\)", "</li><li>\\( \\left\\{\\begin{array}{r}3 x+4 y=2 \\\\ -6 x-8 y=10\\end{array}\\right. \\)", "</li><li>\\( \\left\\{\\begin{array}{l}x+y=3 \\\\ x-y=-5\\end{array}\\right. \\)", "</li></ol><p>확인 \\(8\\)-\\(5\\) 다음 연립방정식을 풀어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\left\\{\\begin{array}{l}x+y+z=6 \\\\ y-z=1 \\\\ z=1\\end{array}\\right. \\)", "</li><li>\\( \\left\\{\\begin{array}{l}x+y+z=6 \\\\ x-y+z=2 \\\\ x+y-z=4\\end{array}\\right. \\)", "</li></ol><p>확인 \\(8\\)-\\(6\\) 다음 식이 \\( x \\) 에 관한 항등식이 되도록 하는 \\( a, b, c \\) 를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 2-a x=5 x-b \\)</li><li>\\( a x^{2}-2 x+3=2 x^{2}+b x-c \\)</li><li>\\( x^{2}+5 x-2=a(x+1)^{2}+b(x+1)+c \\)</li></ol><p>확인 \\(8\\)-\\(7\\) 다음을 부분분수로 분해하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\frac{1}{(x-1)(x-2)} \\)</li><li>\\( \\frac{3 x+2}{x(x-1)} \\)</li></ol><p>확인 8-8 다음 두 직선의 교점을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=-2 x+3, y=x-9 \\)</li><li>\\( 3 x+4 y+1=0, x+y+1=0 \\)</li><li>\\( x+2 y=2,2 x+4 y=4 \\)</li><li>\\( y=\\frac{1}{2} x+2, y=\\frac{1}{2} x+3 \\)</li></ol>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "411", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "대학기초수학_연립방정식", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-222f-4e2b-95e9-ccb678af1cf8", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160730524", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2017", "doc_author": [ "전춘배" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>기계학습(Machine Learning)은 인공지능의 한 분야로 “컴퓨터를 인간처럼 학습시켜 스스로 규칙을 만들 수 있도록 하는 알고리즘과 기술을 개발하는 분야\"라고 말한다. 지금까지는 인간이 시키는 대로 했으나 이제는 학습하여 스스로 만들 수 있다는 것이다. 무엇을 통해 학습하는가? 이는 바로 방대한 데이터이다. 1959년 사무엘(Samuel)은 \"기계가 일일이 코드로 명시하지 않은 동작을 데이터로부터 학습하여 실행할 수 있도록 하는 알고리즘을 개발하는 연구 분야\"라고 했으며, 미첼은 기계학습을 “컴퓨터 프로그램이 경험을 통해 자동으로 개선될 수 있도록 하는 알고리즘에 대한 연구\"라고 했다.", "즉 컴퓨터가 경험을 통한 학습으로 스스로 변수를 만들어 제공하는 것으로 기계학습은 프로그래밍이 되는 것이라기보다는 훈련되어지는 것으로 많은 데이터를 제공하면 통계적인 구조를 찾아 작업을 자동화 할 수 있는 규칙을 만드는 것이다.", "전통적인 알고리즘은 규칙과 데이터를 제공하면 답을 내 놓으나, 기계학습은 데이터와 알고 있는 답(답이 없는 경우도 있음)을 '학습 데이터'와 '시험용 데이터'로 구분하여 규칙을 만들어 확률로 답을 한다.", "이는 \\( 1990 \\)년대에 들어와 고성능의 하드웨어로 처리속도가 빨라지고 폭발적으로 늘어난 대량의 데이터 공급이 저렴한 클라우드 서비스로 가능해지며 각광을 받게 되었다.", "</p><p>전통적인 프로그래밍은 규칙을 주고 여기에 데이터를 주면 결과가 나온다.", "예를 들면 연립 방정식의 해를 구하는 문제에서 방정식을 구성하는 계수를 입력하여 알고리즘을 실행하면 답이 나오는 것처럼 많은 수학문제가 다 입력을 주고 결과를 받는다.", "그러나 기계학습에서는 조금 다르다.", "예를 들어 데이터가 있고 이 데이터에 가중치를 곱해서 입력을 한다고 하자.", "전통적인 프로그램은 데이터와 가중치를 사람이 정해서 입력하면 그 결과를 기계가 내놓으나, 기계학습은 답이 있는 샘플을 통한 학습으로 좀 더 나은 가중치를 스스로 계산해 입력한다.", "이 과정을 훈련한다(training)고 한다.", "즉 많은 데이터를 제공하면 여기에서 규칙을 찾아 자동화할 수 있다.", "</p><p>컴퓨터는 수의 계산처럼 사람이 어려워하는 일을 아주 쉽게 하는 반면, 패턴을 인식하는 것처럼 사람이 쉽게 할 수 있는 일을 어려워한다.", "예를 들면 컴퓨터는 수학적인 계산은 잘 하지만 사람이 쉽게 알 수 있는 개와 고양이를 구별하는 패턴 인식은 잘 하지 못한다.", "사물의 특징을 잘 설명한다는 것이 사실이기도 하지만 동시에 거짓이 될 수도 있기 때문에 지식기반으로 사물의 특징의 패턴을 인식시키는 것에는 한계가 있다.", "따라서 기계학습은 얼굴 인식이라든가 글씨체의 인식 그리고 문서 분류나 영상 분류 등 여러 패턴을 인식하는 분야에서 수많은 데이터를 이용하여 스스로 학습하며 높은 성능을 보장하는 프로그램을 자동으로 만든다.", "</p><p>따라서 기계학습에서는 ‘입력 데이터’, '기대 출력', ‘알고리즘 성능 측정’이 필수적으로 필요하다.", "</p> <p>이는 퍼셉트론 \\( 3 \\)개가 결합된 이층 퍼셉트론이다.", "이와 같은 논리로 층을 늘릴 수가 있다.", "이러한 퍼셉트론을 다층 퍼셉트론이라고 한다.", "</p><p>퍼셉트론에서는 가중치에 따라 주어진 데이터가 분류될 수 있었다.", "이 가중치를 기계가 스스로 학습하여 만들어내는 것을 기계학습이라고 하였다.", "즉 답이 있는 학습데이터를 제공하여 가중치를 만들고 이 가중치로 테스트하여 오차가 발생하면 다시 조정해 피드백하여 다시 가중치를 개선한다.", "</p><p>딥러닝은 사람의 뇌를 흉내 낸 인공신경망을 몇 개의 층으로 분리해서 학습하는 기계학습의 한 방법으로 연속된 층에서 학습을 통해 가중치를 찾는 것을 의미한다.", "출력이 기대한 것에서 얼마나 벗어났는지를 측정해 이 측정치를 피드백하여 현재 샘플의 손실이 감소되는 방향으로 가중치를 조금씩 수정하는 방법이다.", "</p><p>아래 그림처럼 데이터에 가중치를 넣어 층을 통과한 후 예측된 결과와 참인 결과의 차이를 고려하여 다시 가중치를 개선하는 과정을 보여준다.", "이처럼 기계학습은 사람이 직접 가중치를 제공하는 것이 아니라 기계가 스스로 학습해 개선된 가중치를 제공하여 정확도가 높은 결과를 제공한다.", "</p><p>한마디로 인공지능 알고리즘은 수많은 실험 결과를 분석하여 왜 그렇게 나오는지 규칙을 만드는 것이라 볼 수 있다.", "예를 들면, 주사위를 수없이 많이 던져보고 그 확률을 계산해 본 결과 각 숫자가 나올 확률은 모두 \\( \\frac{1}{6} \\) 에 가까운 것을 확인하고 각 숫자가 나올 확률은 \\( \\frac{1}{6} \\) 이라는 결과를 만드는 것이며, 동전을 수없이 많이 던져 앞면이나 뒷면이 나올 확률이 \\( \\frac{1}{2} \\) 에 가까운 것을 확인하고 앞면이나 뒷면이 나올 확률은 \\( \\frac{1}{2} \\) 이라 단정하는 것이다.", "이것을 통계학에서는 대수의 법칙이라고 한다.", "또한 직삼각형에 있어서 빗변의 제곱이 밑변의 제곱 더하기 높이의 제곱이라는 수많은 사례를 보고 추측하여 피타고라스 정리인 ‘밑변의 제곱 \\(+\\) 높이의 제곱은 빗변의 제곱'을 만들어내는 것과 같다. 그래서 수많은 데이터가 필요하다. 방대하고 진실한 데이터가 뒷받침하지 않는 한 인공지능은 의미가 없다.</p> <p>사람들은 강렬한 인상을 주기 위해 수학 공식을 의도적으로 이용하며 그 결과를 맹신하는 경향이 있다. 수학의 탈을 쓴 좋지 않은 가정들이 제대로 된 검증 과정을 거치지도 않고 무조건 받아들여진다. 실무자들은 알고리즘의 작동 원리를 잘 모르면서 기계의 판단에 전적으로 의존하여 이 알고리즘이 제시하는 기준에 맞춰 일하고 규칙을 준수하고 평가할 뿐 평가 결과에 대한 의문이나 이의 제기도 매우 어려워진다. 따라서 다양성이 상실되고 알고리즘이 의도하는 대로 인간성이 획일화될 가능성이 높다.</p><h1>7.2 인공지능과 기계학습</h1><p>인공지능(Artificial Inteligence)의 역사는 \\( 1950 \\)년대 초까지 거슬러 올라간다. “컴퓨터가 생각할 수 있는가?\"라는 질문으로 시작되어 이에 대한 다양한 의견들이 제시되었다. 프랑소와 숄레는 “보통의 사람이 수행하는 지능적인 작업을 자동화하는 연구 활동”, 보덴(Boden)은 “인간이 머리를 써서 해야 할 일을 기계가 하도록 하는 것\", 앤드류 무어(Andrew Moore)는 \"우리가 생각하는 방식으로 컴퓨터가 행동하도록 만드는 과학 및 공학\" 등. 일본의 인공지능 학회에서는 인간의 지능 그 자체를 가지는 기계를 '강한 AI'라 하고, 인간이 지능을 사용해서 하는 일의 일부를 기계에 맡기는 것을 '약한 AI' 라고 했다.", "한마디로 인공지능은 기계가 잘 구성된 각본에 의해 사람이 시키는 대로 하기보다는 경험을 학습해 사람처럼 스스로 일을 하는 지능적인 일을 할 수 있게 하는 연구분야라 할 수 있다.", "</p><p>처음 이를 제시한 사람은 영국의 수학자 튜링(Allan Turing)이다.", "튜링의 테스트 또는 모방 게임(Turing imagination game)은 \"기계가 지능을 측정하는 행동 시험을 통과할 수 있는가?\"", "즉 질문자가 질문에 대한 답변을 보고 답변자가 인간인지 기계인지 구별하지 못한다면 컴퓨터는 이 시험을 통과하는 것으로 보았다.", "만일 기계가 이 시험을 통과한다면 기계나 인간의 행동이 구별하기 어려운 결과를 가져온다는 것이다.", "</p><p>\\( 1980 \\) 년대까지 학습과정이 없이 전통적인 프로그래밍 규칙에 의해서 처리되는 코딩을 하다 \\( 1980 \\)년대에 전문가 시스템(expert system)으로 호황을 누렸으며 명확한 규칙을 찾기 어려운 곳에 새로운 방법으로 기계학습이 등장하며 다시 재조명 받게 되었다.", "</p> <p>현대의 시대는 알고리즘의 시대라 해도 과언이 아니다.", "사회관계망서비스(Social Network Service)를 하다보면 우리도 모르게 우리가 관심을 가진 상품들이 자주 광고로 뜨는 것을 볼 수 있다.", "처음에는 이상했고, 무척 신기했고 또한 편리함을 느겼다.", "그러나 곧 우리 정보가 우리도 모르는 사이에 노출된 것에 두려움을 느꼈다.", "그럼에도 이젠 너무 익숙해져 우리 정보가 마구 새 나가는 것에 무관심해졌다.", "이것이 어떻게 가능한가?", "우리가 의식적이든 무의식적이든 자발적으로 재미로 또는 놀이로 SNS 에서 선택한 행동 또는 취향에 관련된 데이터를 알고리즘이 무작위로 수집하여 분석하여 보여주는 것이다.", "내 얼굴이 곳곳에 깔린 CCTV 카메라를 통해서 누구인지 확인되는 것 역시 알고리즘에 의해서이다.", "내가 어떤 범죄자하고 비슷하게 생겼다면 요주의 인물이 되어 감시받게 된다.", "면접을 볼 때 나의 모습이나 SNS에서 어떤 글을 썼고 어떤 댓글을 달았는지 등 과거의 행적도 당락에 영향을 미칠 수 있다.", "어떻게 알고 어떻게 판단했을까?", "무심코 뿌린 우리의 습관이 데이터로 수집되어 관련된 알고리즘에 의해 모두 판별된다.", "여기서 옳고 그름은 거의 문제가 되지 않는다.", "이러한 알고리즘은 ‘빅데이터’라고 부르는 엄청난 데이터를 분석하여 예측한다.", "엄청난 데이터는 지금도 곳곳에서 수집되고 있다.", "이 마지막 단원에서는 인공지능에 관련된 다음과 같은 내용을 다룬다.", "</p><p>알고리즘, 인공지능, 기계학습, 퍼셉트론, 딥러닝</p><h1>7.1 알고리즘은 무엇인가?", "</h1><p>컴퓨터는 전기로 작동되며 전기는 들어오고 나간다.", "이 두 가지를 수치화한 것이 \\( 2 \\) 진법이다.", "즉 \\( 0 \\) 과 \\( 1 \\) 로만 연산을 하는 것이다.", "컴퓨터는 \\( 2 \\) 진법을 엄청 빨리 계산할 수 있는 기계이다.", "따라서 컴퓨터에 입력하는 것은 무엇이든지 수치화되어야 한다.", "복잡한 수학식도 문서를 읽고 분류하는 것도 모두 사칙연산을 수없이 반복해서 그 해를 구할 수 있게 한다.", "즉 알고리즘(algorithm)은 인간이 하고자 하는 일을 컴퓨터가 인식하여 여러 단계의 반복적인 절차를 걸쳐 원하는 결과를 내게 할 수 있는 매우 중요한 도구이다.", "</p><p>좋은 알고리즘은 첫째가 그 정확도에 있다.", "둘째는 그 결과를 얻어내는 실행속도에 있고, 셋째는 데이터를 저장하고 계산하는 저장공간의 최소화에 있다.", "즉 가능한 적은 저장공간을 이용하여 아주 빠른 시간 안에 매우 정확한 답을 줄 수 있어야 좋은 알고리즘이다.", "한 문제에 대한 알고리즘은 그 문제의 배경과 요구에 따라 다양하다.", "그러므로 알고리즘의 성격을 명확히 알고 그 알고리즘에 의한 소프트웨어를 사용하여야 한다.", "“모로 가도 서울만 가면 되는 세상\"이 아니라 가장 빨리 가든지, 가장 싸게 가든지 원하는 길을 택해서 가야되는 세상이 되었다.</p><p>컴퓨터 하드웨어의 발달로 저장공간은 상대적으로 가격이 떨어져 저장공간이 매우 큰 컴퓨터가 저렴하게 많이 보급되었다. 그 결과 SNS를 통해 들어오는 엄청나게 많은 자료, 즉 빅데이터를 저장하고 처리할 수 있게 되었다. 개인의 예를 들면 홍길동이란 사람의 개인 데이터가 엄청 많아 그것을 분석하면 홍길동의 성향을 알 수 있게 되어 그가 무엇을 원하는지 추측이 충분한 오차 범위로 가능해진다. 이어지는 데이터가 계속 활용되면서 인공지능이라는 알고리즘은 점점 더 그 오차의 범위를 줄일 수 있어 자신의 생각을 거의 정확히 예측하여 우리 자신은 온라인에서 완전히 발가벗겨져 현실세계에서 누군가에 의해 조종되어지는 느낌을 받게 될 것이다.</p><p>그뿐만이 아니다. 동영상을 보여주는 유튜브의 출현으로 필요한 여러 정보를 영상으로 획득할 수 있게 되었다. 몇 건을 접속하다 보면 필요한 것만 알아서 제시해주는 것에 놀란 기억이 있다. 이는 개인의 소비 패턴과 누적 기록을 분석하여 개별 취향에 맞는 콘텐츠를 소비하도록 하는 것이다. 이러한 제시가 고맙기도 했지만 이는 자신을 우물 안에 가두는 효과를 발생한다. 자신의 관심 대상 밖의 것을 그만큼 접하기 어렵기 때문이다.</p><p>과거의 전통적인 알고리즘은 사람이 미리 정해놓은 것으로 입력을 주면 결과를 주었다. 이것을 규칙에 기반한 알고리즘이라 하여 인간이 사용하는 명령에 대해서만 효과를 발휘했다. 그러나 요즈음 인공지능이란 분야에서 사용하는 인공지능 알고리즘은 다양한 사례들을 살펴보고 패턴을 구별할 수 있도록 통계와 확률의 규칙을 이용해 무엇을 할지 스스로 배운다. 전통적인 알고리즘에 비해 확실성보다는 확률을 더 중시한다. 이것을 경험에 기반한 알고리즘이라 하여 경험을 피드백으로 제공받아 스스로 학습하여 입력을 개선해 더 좋은 결과를 얻는다. 즉 기계가 점점 똑똑해진다. 그래서 인간의 지능에 빗대어 인공지능이라고 한다.</p><p>우리는 국가부도사태(IMF)를 맞은 적이 있고 미국도 금융이 붕괴된 적이 있다. 금융은 실질적으로 현금이 오고가는 것이 아니다. 거의 다 디지털로 온라인에서 숫자만 계좌에서 계좌로 움직이는 수조 달러의 흐름이다. 캐시 오닐은 “금융을 숫자라는 악기로 연주하는 음악\"이라고 했다.", "그 음악이 아름다운 소리를 줄 때는 그것에 취해 기분이 좋았다가 갑자기 시끄러운 소리를 내면 우리는 깜작 놀란다.", "그렇다.", "금융이 순리적으로 움직이면 우리는 그 속에서 안전하게 거래를 하며 삶의 질을 높일 수 있다.", "그러나 인간의 탐욕이 개입되면 언젠가 불안하게 되고 어느 순간 그 부작용이 터져버린다.", "이것이 금융붕괴이다.", "우리가 맞은 IMF도, 미국의 서브프라임 모기지 붕괴도 다 그런 것이다.", "</p><p>주택시장이 붕괴되어 금융기관이 파산하고, 그 결과 실업률이 급등하는 등 이러한 재앙에는 바로 그 금융 알고리즘에 개입된 수학자들의 원조와 사주가 있다.", "엄청 복잡한 금융수학은 바로 매우 똑똑한 수학자들이 개발한 알고리즘에 의해 돌아간다.", "이 알고리즘을 이해하는 사람은 매우 극소수이고 그들은 유혹에 빠질 수 있다.", "이러한 알고리즘이 만인에게 공정하게 만들어졌고 오류가 없다면 좋으련만 인간의 작품치고 완전한 것이 있겠는가?", "</p><p>금융붕괴는 시간이 흐르면서 극복할 수 있다, 그러나 만일 알고리즘의 오류로 핵전쟁이 우발적으로 터지면 어찌할 것인가? \\", "( 1983 \\)년 \\( 9 \\)월 \\( 26 \\)일 소련의 조기경보 시스템이 적국의 미사일이 날아옴을 감지했을 때 당시 담당자인 페트로프는 이것을 믿지 않고 \\( 1 \\) 초가 급한 상황에서도 기다렸다.", "엄청난 긴장 속의 \\( 23 \\) 분이 지나고 오보임이 확인되었다고 한다.", "만일 알고리즘이 자동으로 작동했다면 핵전쟁이 일어날 수도 있었던 것이다.", "</p><p>이젠 금융시장의 동향을 분석하던 수학의 기법들이 인간을 분석하는데 쓰이기 시작하며 큰 문제가 발생할 여지가 매우 커졌다.", "이름하여 빅데이터 경제이다.", "물론 빅데이터 경제는 생활을 편하게 해준다.", "그러나 알고리즘에 의한 대다수 모형들은 그것을 만든 인간의 편견이나 오해, 편향성 등이 코드화되어 주입되는데 그들이 성인군자가 아니기 때문이다.", "이러한 알고리즘은 잘못된 결정을 내려도 반박이 거의 불가능하며 수정 또한 어렵다.", "그 알고리즘을 이해할 수 있는 사람은 매우 드물기 때문이다.", "이러한 알고리즘은 사회적 약자와 가난한 사람들을 차별하고 부자는 더욱더 부자로 만들어주는 경향이 있다.", "그래서 캐시 오닐은 수학을 “대량살상 무기”라고 했다.", "</p><p>알고리즘은 처음 고안될 때는 좋은 목표를 갖고 출발한다고 본다.", "그러나 하다보면 인간의 탐욕이 스며들고 그 결과는 잘못된 길로 점차 들어설 수 있다.", "좋은 의도를 갖고 개인들의 신용을 평가하는 점수를 만들었겠으나 고용주들은 각종 청구서를 제때 납부하거나 빚을 제 날짜에 갚는 사람은 정시에 출근하고 규칙을 따를 가능성이 더 높다는 추측에서 지원자들의 신용평가점수를 참고할 수 있다.", "그 결과 실제로 책임감 있고 유능함에도 각종 생활고로 신용평가점수가 하락한 지원자는 불이익을 받을 수 있다.", "즉 신용평가점수가 업무 능력과 관련 있다는 믿음으로 점수가 낮으면 일자리 구하기가 더 어려워져 그 결과 가난한 사람은 더 가난해지고, 이는 다시 점수를 더욱 떨어뜨리는 하향식 악순환이 반복될 수 있고, 고용주 역시 신용평가점수에 초점을 맞추느라 잠재적인 인재를 놓칠 수 있다.", "이처럼 알고리즘은 잘못된 결과를 줄 수 있다.", "이에 따른 최종 책임은 누가 질 것인가?", "프로그램 제작자?", "데이터 과학자?", "프로그램을 상업에 이용한 자?", "</p> <h1>7.3 퍼셉트론과 딥러닝</h1><p>주어진 데이터를 특징에 따라 분류하고자 한다.", "가장 기초적인 논리합과 논리곱 그리고 배타적 논리합의 선형분리가 가능한지 살펴본다.", "참을 \\( 1 \\) , 거짓을 \\( 0 \\)으로 표현하였을 때 논리합 (OR, \\(\\vee \\)) 과 논리곱 (AND, \\(\\wedge\\)) 그리고 배타적 논리합 (XOR,\\( \\underline{\\vee}\\)) 은 다음과 같다.", "</p><p>즉 배타적 논리합은 서로 다를 때만 참이나 배타적 논리합을 명제를 이용하여 표현하면 \\( P \\underline{\\vee} Q=(P \\vee Q) \\wedge \\sim(P \\wedge Q) \\) 이고, 집합을 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} A \\oplus B &=(A \\backslash B) \\cup(B \\backslash A) \\\\ &=\\left(A \\cap B^{c}\\right) \\cup\\left(B \\cap A^{c}\\right) \\\\ &=(A \\cup B) \\cap(A \\cap B)^{c} \\end{aligned} \\)</p><p>퍼셉트론(perceptron)은 입력 데이터를 두 개의 부류 중 하나로 분류하는 분류기 (classifier)로 다음 그림과 같이 입력층과 출력층이 있는 단순한 구조이다.", "여기서 입력층은 말 그대로 입력만 하므로 실질적인 층은 출력층 하나만 있으므로 \\( 1 \\) 층이나 다름없다.", "</p><p>여기서 \\( x_{i} \\) 들을 노들 (nod)라 하며 \\( x_{0} \\) 를 포함해 모두 \\( n+1 \\) 개가 있다.", "이 노드에 가중치 (weight) \\( w_{i} \\) 를 곱하면 \\[ s=w_{0}+w_{1} x_{1}+\\cdots+w_{n} x_{n} \\] 으로 이 값은 \\( w_{i} \\) 의 값에 따라 달라진다.", "노드와 가중치를 벡터 \\( x=\\left(1, x_{1}, \\cdots, x_{n}\\right)^{T} \\) 와 \\( w=\\left(w_{0}, w_{1}, \\cdots, w_{n}\\right)^{T} \\) 으로 나타내면 \\[ s=w^{T} x=w_{0}+\\sum_{i=1}^{n} w_{i} x_{i} \\] 이다. \\", "( w_{0} \\) 는 \\( w_{0} \\) 을 제외한 다른 가중치가 모두 \\( 0 \\) 일 때 기본으로 출력되는 값으로 가중치는 \\( 0 \\) 부터 벗어난 정도를 나타낸다.", "활성함수 중 하나인 계단함수를 이용하여 출력을 \\[ y=\\tau(s)=\\left\\{\\begin{array}{r}1, s \\geq T \\\\ -1, s<T\\end{array}\\right. \\]", "으로 하면 주어진 데이터의 출력은 가중치의 값에 따라 \\( 1 \\) 또는 \\( -1 \\)로 분리된다.", "따라서 데이터를 두 분류로 나눌 수 있다.", "</p><p>여기서 분류기 \\( y=\\tau(s) \\) 에서 \\( s=T \\), 즉 \\( w^{T} x=T \\) 는 \\( w=\\left(\\begin{array}{l}w_{1} \\\\ w_{2}\\end{array}\\right) \\) 에 수직이다.", "예를 들어, \\( w=\\left(\\begin{array}{l}2 \\\\ 1\\end{array}\\right) \\) 이고 \\( T=2 \\) 이라고 하자.", "그러면 \\( w^{T} x=T \\) 는 \\( 2 x_{1}+x_{2}=2 \\) 로 이 직선은 \\( w \\) 와 수직으로 만난다.", "</p><p>\\( x=\\left(\\begin{array}{l}x_{1} \\\\ x_{2}\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{l}1 \\\\ 2\\end{array}\\right) \\) 이면 \\( s=w^{T} x=4>T \\) 이므로 \\( y=\\tau(4)=1 \\) 이다.", "</p><p>\\( x=\\left(\\begin{array}{l}x_{1} \\\\ x_{2}\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{r}-1 \\\\ 4\\end{array}\\right) \\) 이면 \\( s=w^{T} x=2=T \\) 이므로 \\( y=\\tau(2)=1 \\) 이다.", "</p><p>\\( x=\\left(\\begin{array}{l}x_{1} \\\\ x_{2}\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{r}-2 \\\\ 1\\end{array}\\right) \\) 이면 \\( s=w^{T} x=-3<T \\) 이므로 \\( y=\\tau(-3)=-1 \\)</p><p>따라서 직선 \\( w^{T} x=T \\) 이래에 있는 벡터 \\( x \\) 는 \\( \\tau\\left(w^{T} x\\right)=-1 \\) 로, 위에 있는 \\( x \\) 는 \\( \\tau\\left(w^{T} x\\right)=1 \\) 로 분류된다.", "</p><p>퍼셉트론에서 입력은 노드 \\( x_{i} \\) 들이고 여기에 가중치 \\( w_{i} \\) 를 곱하여 합한 \\( s \\) 에 대한 활성함수의 값 \\( y \\) 가 출력이 된다.", "따라서 층이 하나인 단층 퍼셉트론이다.", "이 가중치를 인위적으로 제공하면 전통적인 프로그램이고 기계가 학습을 통해서 결정하면 새로운 프로그램인 기계학습, 즉 머신러닝이 된다.", "즉 기계학습은 특징벡터 \\( x \\) 와 분류정보 \\( y \\) 가 주어겼을 때 샘플을 제대로 분류하는 가중치 \\( w \\) 를 구하는 것이다.", "</p><p>다음 예는 기계학습 \\( 139 \\)쪽에 제시된 것으로 이를 보다 쉽게 설명하면 다음과 같다.", "학습 샘플 \\( X=\\left\\{x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\\right\\} \\) 와 \\( Y=\\left\\{y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}\\right\\} \\) 가 있고, \\( y_{k} \\) 는 \\( x_{k} \\) 에 대응하는 특징이 다.", "평면 위의 네 점 데이터 \\( x_{1}=\\left(\\begin{array}{l}0 \\\\ 0\\end{array}\\right), x_{2}=\\left(\\begin{array}{l}1 \\\\ 0\\end{array}\\right), x_{3}=\\left(\\begin{array}{l}0 \\\\ 1\\end{array}\\right), x_{4}=\\left(\\begin{array}{l}1 \\\\ 1\\end{array}\\right) \\) 과 이에 대응하는 특징 \\( y_{1}=-1, y_{2}=y_{3}=y_{4}=1 \\) 이라고 하자.", "이 데이터를 \\( y_{k} \\) 값에 따른 두 개로 분류하고자 한다.", "즉 \\( x_{1} \\) 과 \\( x_{2}, x_{3}, x_{4} \\) 로 분류하려는 것이다.", "즉 OR분류이다.", "데이터를 구성하는 성분이 둘 \\( (n=2) \\) 이므로 가중치 \\( w_{1}=(-0.5,1,1) \\) 가 잘 분류하는지 살펴보자.", "왼쪽 그림은 훈련집합이고, 오른쪽 그림은 퍼셉트론이다.", "</p><p>첫 성분에 \\( 1 \\) 을 첨가한 각 데이터 \\( x_{1}=\\left(\\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0\\end{array}\\right), x_{2}=\\left(\\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0\\end{array}\\right), x_{3}=\\left(\\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 1\\end{array}\\right), x_{4}=\\left(\\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\\end{array}\\right) \\) 에 대한 가중치 \\( w_{1} \\) 과의 곱의 합 \\( s \\) 는 \\( w_{1}^{T} x_{1}=-0.5, w_{1}^{T} x_{2}=w_{1}^{T} x_{3}=w_{1}^{T} x_{4}=0.5 \\) 이다.", "따라서 활성함수로 계단함수를 사용하면 출력 \\( y=\\tau(s) \\) 는 각각 \\( -1,1,1,1 \\) 로 \\( 100 \\% \\) 완벽하게 맞추어 잘 분류가 되었다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "410", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "옥타브로 배우는 인공지능을 위한 기초수학_인공지능", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-15fa-486f-bc80-b86c31b8fab6", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160734089", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2020", "doc_author": [ "이규봉" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>5.5 유한체</h1><p>유한체는 사영기하, 조합, 실험설계, 그리고 암호작성술을 포함한 많은 분야에서 응용된다.", "이 절에서는 유한체를 체의 확대 그리고 분해체의 관점에서 다룬다.", "몇 가지 필요한 정의와 체나 심지어는 환에 적용되는 결과들로 이 절을 시작한다.", "그 결과들은 유한체를 공부하는데 도움이 될 것이다. \\", "( R \\) 을 항등원을 가지는 환이라 하자.", "양의 정수 \\( m \\) 과 \\( c \\in R \\) 에 대하여 \\( m c=c+c+\\cdots+c(m \\) 개의 합)라는 것을 기억하자.", "환 \\( R \\) 이 모든 양의 정수 \\( m \\) 에 대하여 \\( m 1_{R} \\neq 0_{R} \\) 이라면 특성 \\(0\\) (characteristic 0 )이라고 배웠다.", "반면에, 만약 어떤 양의 정수 \\( m \\) 에 대하여 \\( m 1_{R}=0_{R} \\) 라면 정수의 정렬성에 의하여 \\( m 1_{R}=0_{R} \\) 를 만족하는 양의 정수들 중에 가장 작은 \\( m \\) 이 존재한다.", "만약 \\( n \\) 이 \\( n 1_{R}=0_{R} \\) 를 만족하는 가장 작은 양의 정수라면 우리는 \\( R \\) 이 특성 \\( n \\) (characteristic \\( n \\) )을 가진다고 하였다.", "예를 들어, \\( \\mathbb{Q} \\) 는 특성 0 을 가지고 \\( \\mathrm{Z}_{3} \\) 는 특성 \\(3\\) 을 가진다.", "</p><p>보조정리 \\(5.5.1\\) 만약 \\( R \\) 이 정역이라면 \\( R \\) 의 특성은 0 이거나 양의 소수이다.", "</p><p>만약 \\( R \\) 의 특성이 \\(0\\) 이라면, 증명할 게 없다. 그래서 \\( R \\) 이 특성 \\( n>", "0 \\) 을 가진다고 해보자.", "만약 \\( n \\) 이 소수가 아니라면 \\( n=k t, k<n, t<n \\) 을 만족하는 \\( k, t \\in \\mathrm{N} \\) 존재한다.", "그러면 분배법칙에 의하여 \\[ \\begin{aligned} \\left(k 1_{R}\\right)\\left(t 1_{R}\\right) &=\\underbrace{\\left(1_{R}+\\cdots+1_{R}\\right)}_{k \\text { 개 }} \\underbrace{\\left(1_{R}+\\cdots+1_{R}\\right)}_{t \\text { ㄱ }} \\\\ &=1_{R} 1_{R}+\\cdots+1_{R} 1_{R} \\\\ &=\\underbrace{1_{R}+\\cdots+1_{R}}_{k t \\text { 개 }} \\\\ &=(k t) 1_{R}=n 1_{R}=0_{R} \\end{aligned} \\] 이 성립한다.", "이때 \\( R \\) 이 정역이므로 \\( k 1_{R}=0_{R} \\) 이거나 \\( t 1_{R}=0_{R} \\) 이다.", "이는 \\( n \\)</p><p>이 \\( n 1_{R}=0_{R} \\) 을 만족하는 가장 작은 양의 정수라는. 것에 모순이 된다.", "그러므로 \\( n \\) 은 소수이다.", "</p> <p>정리 \\(5.5.3\\)에 따르면 특성 \\(0\\) 인 체는 \\( \\mathrm{Z} \\) 와 동형인 부분환을 가지고 있다.", "따라서 그러한 체는 반드시 무한이다.", "이러한 결과를 바탕으로 보조정리 \\(5.5.1\\)에 의하여 다음과 같은 정리를 얻는다.", "</p><p>정리 \\(5.5.4\\) 모든 유한체는 어떤 소수 \\( p \\) 에 대하여 특성 \\( p \\) 를 가진다.", "</p><p>정리 \\(5.5.4\\)의 역은 성립하지 않는다.", "특성 \\( p \\) 를 가지는 무한체가 있기 때문이다.", "(연습문제 \\(8\\)) \\( K \\) 가 소수인 특성 \\( p \\) 를 가지는 체라고 하자(특히 \\( K \\) 가 유한인 경우).", "그러면 정리 \\(5.5.3\\)으로부터 \\( K \\) 가 \\( \\mathrm{Z}_{p} \\) 와 동형인 부분체 \\( P \\) 를 포함한다는 것을 알 수 있다.", "이 부분체 \\( P \\) 는 \\( K \\) 의 소 부분체(prime subfield)라 불리고 \\( K \\) 의 모든 부분체들을 포함한다.", "(왜냐하면 모든 부분체들은 \\( 1_{K} \\) 를 포함하고 따라서 모든 정수 \\( t \\) 에 관하여 \\( t 1_{K} \\) 를 포함하기 때문이다.) \\", "( P \\) 에 관한 다른 설명은 연습문제 \\(4\\) 를 통하여 알아보자.", "우리는 이제 소 부분체 \\( P \\) 를 그의 동형인 \\( \\mathrm{Z}_{p} \\) 와 동일시할 것이다.", "그러면 모든 특성 \\( p \\) 인 체들은 \\( \\mathrm{Z}_{p} \\) 를 포함한다고 할 수 있다.", "유한체 \\( K \\) 의 원소의 수를 우리는 \\( K \\) 의 위수(order of \\( K \\) )라고 한다.", "특성이 \\( p \\) 인 유한체의 위수를 결정하기 위하여 \\( K \\) 를 그의 소 부분체 \\( \\mathrm{Z}_{p} \\) 의 확대체라고 간주하자.", "</p><p>정리 \\(5.5.5\\) 유한체 \\( K \\) 가 특성 \\( p \\) 이고 \\( n=\\left[K: Z_{p}\\right] \\) 이면 \\( K \\) 의 위수는 \\( p^{n} \\) 이다.", "</p><p>증명 \\( \\quad \\mathrm{Z}_{p} \\) 상에서 \\( I \\) 를 생성하는 원소들로 이루어진 집합은 반드시 유한이다.", "( \\( I \\) 그 자체가 이미 유한이기 때문이다.)", "결과적으로, \\( K \\) 는 \\( \\mathrm{Z}_{p} \\) 상에서 유한 기저 \\( \\left\\{u_{1}, u_{2}, \\cdots, u_{n}\\right\\} \\) 을 갖는다. \\", "( K \\) 의 모든 원소들은 어떤 \\( c_{i} \\in Z_{p} \\) 에 대하여 (*) \\( \\quad c_{1} u_{1}+c_{2} u_{2}+\\cdots+c_{n} u_{n} \\) 의 형태로 일의적으로 표현된다.", "각 \\( c_{i} \\) 에 대하여 정확하게 \\( p \\) 개의 가능한 선택</p><p>이 있으므로, 정확하게 \\( p^{n} \\) 개의 서로 다른 \\( (*) \\) 형태의 선형결합이 있다.", "그래서 \\( K \\) 는 \\( n \\) 이 기저에 있는 원소의 수, 즉 \\( \\left[K: \\mathbb{Z}_{p}\\right] \\) 일 때 위수가 \\( p^{n} \\) 이다.", "</p> <p>보조정리 \\(5.5.2\\) \\( R \\) 을 특성이 \\( n>0 \\) 인 항등원을 가진 환이라고 하자.", "그러면 \\( k 1_{R}=0_{R} \\) 일 필요충분조건은 \\( n \\mid k \\) 이다.", "</p><p>증명 \\( n \\mid k \\) 라 하자.", "그러면 \\( k=n d \\) 를 만족하는 \\( d \\in R \\) 이 있다.", "그래서 \\[ k 1_{R}=n d 1_{R}=\\left(n 1_{R}\\right)\\left(d 1_{R}\\right)=0_{R}\\left(d 1_{R}\\right)=0_{R} \\] 이다.", "역으로 \\( k 1_{R}=0_{R} \\) 라 하자.", "그러면 나눗셈 정리에 의하여 \\( k=n q+r \\), \\( 0 \\leq r<n \\) 인 \\( q, r \\in \\mathbb{Z} \\) 가 있다.", "그러면 \\( n 1_{R}=0_{R} \\) 이므로 \\[ r 1_{R}=r 1_{R}+0_{R}=r 1_{R}+n q 1_{R}=(r+n q) 1_{R}=k 1_{R}=0_{R} \\] 이다. \\", "( r<n \\) 이고 특성의 정의에 의하여 \\( n \\) 이 \\( n 1_{R}=0_{R} \\) 을 만족하는 가장 작은 양의 정수이기 때문에 \\( r=0 \\) 이어야 한다.", "그러므로 \\( k=n q \\) 이고, \\( n \\mid k \\) 이다.", "</p><p>정리 \\(5.5.3\\) \\( R \\) 을 항등원을 가지는 환이라고 하자.", "그러면</p><ol type=1 start=1><li>집합 \\( P=\\left\\{k 1_{R} \\mid k \\in \\mathbb{Z}\\right\\} \\) 는 \\( R \\) 의 부분환이다.", "</li><li>만약 \\( R \\) 의 특성이 0 이면, \\( P \\cong \\mathbb{Z} \\) 이다.", "</li><li>만약 \\( R \\) 의 특성이 \\( n>0 \\) 이면, \\( P \\cong Z_{n} \\) 이다.", "</li></ol><p>증명 \\( \\quad f: \\mathrm{Z} \\rightarrow R \\) 이 \\( f(k)=k 1_{R} \\) 으로 정의되었다고 하자. 그러면 \\[ f(k+t)=(k+t) 1_{R}=k 1_{R}+t 1_{R}=f(k)+f(t) \\] 이다. 또한, (보조정리 5.5.1의 증명에서처럼) 분배법칙에 의하여 \\[ f(k t)=(k t) 1_{R}=\\left(k 1_{R}\\right)\\left(t 1_{R}\\right)=f(k) f(t) \\] 이 성립한다. 따라서 \\( f \\) 는 환 준동형사상이다. \\( f \\) 의 상은 정확하게 집합 \\( P \\) 이다. 그래서 \\( P \\) 는 부분환(criterion)에 의하여 환이다. 결과적으로 \\( f \\) 는 \\( \\mathrm{Z} \\) 에서 \\( P \\) 로의 전사 준동형사상이라고 간주할 수 있다. 그러면 제 \\(1\\) 동형사상에 의하여 \\( P \\cong \\mathrm{Z} /(\\operatorname{Ker} f) \\) 이다. 만약 \\( R \\) 이 특성 \\(0\\) 을 가지고 있다면 \\( k 1_{R}=0 \\) 를 만족하는 유일한 정수 \\( k \\) 는 \\( k=0 \\) 이다. 그래서 \\( f \\) 의 핵은 이데알 \\( (0) \\subset \\mathrm{Z} \\) 이고 \\( P \\cong \\mathrm{Z} /(0) \\cong \\mathrm{Z} \\) 이다. 만약 \\( R \\) 이 특성 \\( n>", "0 \\) 을 가지고 있다면 보조정리 \\(5.5.2\\)에 의하여 \\( f \\) 의 핵은 \\( n \\) 의 모든 배수들로 이루어진 주 이데알 \\( (n) \\) 이다.", "따라서 \\( P \\cong \\mathbb{Z} /(n) \\cong \\mathbb{Z}_{n} \\) 이다.", "</p> <p>정의 \\( E \\) 를 체 \\( F \\) 의 확대체라 할 때, \\( E \\) 가 다음 두 조건을 만족하는 \\( E \\) 를 \\( F \\) 의 정규확대 체(normal extension of \\( F \\) )라 한다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( E \\) 는 \\( F \\) 의 대수적 확대체이다.", "</li><li>\\( F[x] \\) 에서의 기약다항식인 \\( f(x) \\in F[x] \\) 가 \\( E \\) 에서 한 근을 가지면 \\( f(x) \\) 는 \\( E \\) 위에서 분해된다.", "</li></ol><p>보기 \\(2\\) 체 \\( R \\) 은 \\( Q \\) 의 정규 확대체가 아니다.", "다항식 \\( x^{3}+1 \\) 은 근 \\( -1 \\) 은 \\( Q \\) 의 원소나 \\( R[x] \\) 에서 일차인수로 분해되지는 않는다.", "또 \\( Q(\\sqrt[3]{2}) \\) 는 \\( Q \\) 의 비정규확대체이다.", "그러나 \\( Q(\\sqrt[3]{2}, \\epsilon) \\) 은 \\( Q \\) 의 정규확대체이다.", "</p><p>정리 5.4.3 체 \\( F \\) 의 유한확대체 \\( K \\) 에 대하여 다음은 동치이다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( I \\) 가 \\( F \\) 의 정규확대체이다.", "</li><li>\\( I \\) 가 \\( F \\) 위의 한 다항식의 분해체이다.", "</li></ol><p>증명 \\( K \\) 가 \\( F \\) 의 정규 확대체이고 \\( [K: F]=n \\) 이라 하자. \\", "( F \\) 위의 벡터공간 \\( K \\) 의 기저를 \\( \\left\\{\\alpha_{1}, \\cdots, \\alpha_{n}\\right\\} \\) 이라 하면 \\( K=F\\left(\\alpha_{1}, \\cdots, \\alpha_{n}\\right) \\) 이다.", "유한확대체 \\( K \\) 는 대수적 확대체이므로 모든 \\( \\alpha_{i}(1 \\leq i \\leq n) \\) 는 \\( F \\) 위에서 대수적이다. \\", "( \\operatorname{irr}\\left(\\alpha_{i}, F\\right)=p_{i}(x) \\) 는 \\( \\alpha_{i} \\in K \\) 를 한 근으로 가지므로 정의에 의하여 \\( K[x] \\) 내에서 일차인수로 분해된다. \\", "( f(x)=p_{1}(x) \\cdots p_{n}(x) \\) 라 놓으면 \\[ f(x)=\\left(x-\\beta_{1}\\right)\\left(x-\\beta_{2}\\right) \\cdots\\left(x-\\beta_{m}\\right), \\beta_{j} \\in K, j=1, \\cdots, m \\] 으로 표시된다.", "이때 \\( \\beta_{j} \\) 는 \\( K \\) 내에 속하고 적당한 \\( p_{i}(x) \\) 의 근이다.", "그러므로 \\( F\\left(\\beta_{1}, \\cdots, \\beta_{m}\\right)=F\\left(\\alpha_{1}, \\cdots, \\alpha_{n}\\right)=K \\) 이다.", "따라서 \\( K \\) 는 \\( f(x) \\in F[x] \\) 의 분해체이다.", "역으로 \\( K \\) 가 \\( F \\) 위의 다항식 \\( f(x) \\) 의 분해체라 하고 \\( p(x) \\) 가 \\( \\alpha \\in K \\) 를 한 근으로 갖는 \\( F \\) 위의 기약다항식이라 하자.", "또 \\( E \\) 를 \\( K \\) 위에서의 \\( p(x) \\) 의 분해체라 하고 \\( \\beta \\) 를 \\( E \\) 내의 \\( p(x) \\) 의 한 근이라 하자.", "정리 \\(5.3.4\\)에 의하여 \\( \\tau \\tau_{F}=1_{F}, \\tau(\\alpha)=\\beta \\) 인 동형사상 \\( \\tau: F(\\alpha) \\rightarrow F(\\beta) \\) 가 존재한다.", "따라서 \\( [F(\\alpha): F]=[F(\\beta): F] \\) 이다. \\", "( K \\) 는 \\( F(\\alpha) \\) 위에서의 \\( f(x) \\in F(\\alpha)[x] \\) 의 분해체이고 \\( K^{\\prime}=K(\\beta) \\) 는 \\( F(\\beta) \\) 위에서의 \\( \\tau(f(x)) \\in F(\\beta)[x] \\) 의 분해체이다.", "그런데 \\( \\tau_{F}=1_{F} \\) 이므로 \\( \\tau(f(x)) \\) \\( =f(x) \\) 이다.", "정리 \\( 5.3 .7 \\) 에 의하여 \\( \\left.\\", "sigma\\right|_{F(\\alpha)}=\\sigma \\) 인 동형사상 \\( \\sigma: K \\rightarrow K^{\\prime} \\) 가 존재한다.", "그림의 \\( \\tau, \\sigma \\) 에 대하여 \\( [K: F(\\alpha)]=\\left[K^{\\prime}: F(\\beta)\\right] \\) 가 성립한다.", "그런데 \\( \\left[\\Pi^{\\prime}: F\\right]=\\left[\\Pi^{\\prime}: F(\\beta)\\right][F(\\beta): F]=[K: F(\\alpha)][F(\\alpha): F]=[K: F], \\quad\\left[\\Pi^{\\prime}: F\\right]= \\) \\( [K(\\beta): F]=[K(\\beta): K][K: F] \\) 에서 \\( [K(\\beta): K]=1 \\).", "그러므로 \\( \\beta \\in K \\) 이다. \\", "( K \\) 위에서의 \\( p(x) \\in F[x] \\) 의 분해체 \\( E \\) 내의 근이 모두 \\( K \\) 에 속하므로 \\( K=E \\) 이다.", "따라서 \\( p(x) \\) 는 \\( K[x] \\) 내에서 일차인수의 곱으로 분해된다. \\", "( K \\) 는 \\( F \\) 위에서 대수적이므로 \\( K \\) 는 \\( F \\) 의 정규확대체이다.", "</p><p>다음 장의 갈루아 이론을 설명하는 데 필요한 원시원(primitive element)에 대하여 살펴보자.", "</p> <p>단위선분의 길이를 \\(1\\) 이라 하고 직선 \\( O_{x} \\) (또는 \\( \\left.O_{y}\\right) \\) 위에 점 \\( O \\) 를 기준으로 하여 \\(1\\) 만큼씩 잘라가며 정수 \\( \\cdots,-1,0,1,2, \\cdots \\) 을 길이로 갖는 정수점 \\( (a, b) \\) 를 작도할 수 있다.</p><p>정의 좌표가 정수인 점들로부터 작도가능한 실수점 \\( (c, 0) \\) 을 작도가능한 점 (constructable point)이라 한다. 이때 실수 \\( c \\) 를 작도가능한 실수라 한다. 실수점 \\( (a, b) \\) 가 작도가능할 필요충분조건은 점 \\( (a, 0) \\) 과 \\( (b, 0) \\) 이 작도가능한 점인 것이다.</p><p>평면 위의 점 \\( (c, d) \\) 가 작도가능하기 위한 필요충분조건은 실수 \\( c, d \\) 가 작도 가능한 것이다. 점 \\( (c, d) \\) 가 작도가능하면 점 \\( (c, 0) \\) 과 점 \\( (0, d) \\) 도 작도가능하고, 점 \\( (c, 0) \\) 과 점 \\( (0, d) \\) 가 작도가능하며 직사각형의 대각선이 이루는 꼭지점 \\( (c, d) \\) 도 작도가능하기 때문이다.</p><p>정리 \\(5.6.2\\) 작도가능한 실수 전체의 집합은 실수체 \\( R \\) 의 부분체이다. 또 모든 유리수는 작도가능하다.</p><p>증명 \\( a, b \\) 가 작도가능하면 \\( a+b, a-b, a b, \\frac{a}{b}(b \\neq 0) \\) 도 작도가능함을 보이자. \\( a, b \\) 가 작도가능하면 길이가 \\( |a|,|b| \\) 인 선분이 작도가능하다. \\( a>0, b>0 \\) 라 하면 \\( a+b, a-b \\) 는 다음 그림으로 작도가능하다. 길이가 \\( a \\) 인 선분의 한 낕점에서 이 선분의 연장선상에 길이가 \\( b \\) 인 선분을 컴퍼스로 작도하면 위 그림의 (i), (ii)가 된다. \\( a>0, b>0 \\)", "일 때 \\( a b, \\frac{a}{b}(b \\neq 0) \\) 는 다음 그림으로 작도가능하다.", "(iii) 점 \\( O \\) 를 지나는 직선 \\( O A \\) 와 다른 직선 \\( O M \\) 을 긋고 \\( \\overline{O B}=1 \\) 인 점 \\( B \\) 를 이 직선 위에 잡는다.", "직선 \\( O M \\) 위에 \\( \\overline{O C}=b \\) 인 점 \\( C \\) 를 잡는다.", "점 \\( C \\) 를 지나 직선 \\( A B \\) 와 평행한 직선 \\( C D \\) 가 직선 \\( O A \\) 와 만나는 점을 \\( D \\) 라 하자. \\", "( \\triangle A B O \\) 와 \\( \\triangle D C O \\) 의 닮음의 성질에 의하여 \\( O D \\) 는 길이가 \\( a b \\) 인 선분이다.", "(iv) \\( \\overline{O A}=a, \\overline{O C}=b \\) 인 점 \\( A, C \\) 를 잇고 \\( A C \\nmid D U \\) 인 점 \\( D \\) 를 \\( O A \\) 위에 잡으면 \\( \\overline{O D}=\\frac{a}{b} \\) 이다.", "또한 유리체 \\( Q \\) 는 \\( R \\) 의 최소부분체이므로 \\( Q \\) 는 작도가능한 실수전체로 이루어진 체의 부분체이다.", "그러므로 모든 유리수는 작도가능하다.", "</p><p>보기 \\(2\\) 실수 \\( c \\geq 0 \\) 가 작도가능하면 \\( \\sqrt{c} \\) 도 작도가능하다.", "아래 그림에서 \\( \\overline{O Q}=\\sqrt{c} \\) 이다.", "</p> <h1>연습문제 \\( 5.4 \\)</h1><p>\\(1\\) \\( K \\) 가 \\( F \\) 의 유한차원확대체이고 정규확대체이면, \\( K \\) 가 \\( F \\) 위의 한 다항식의 분해체임을 보여라.", "</p><p>\\(2\\) 특성이 \\(0\\) 인 체 \\( F \\) 의 모든 기약다항식은 분리다항식임을 보여라.", "</p><p>\\( 3 \\quad K \\) 가 \\( x^{5}-7 \\in Q[x] \\) 의 분해체이면 \\( [K: Q]=20 \\) 임을 보여라.", "</p><p>\\(4\\) 특성이 \\(0\\) 인 체 \\( F \\) 의 대수적 확대체 \\( K \\) 는 \\( F \\) 의 분리확대체임을 보여라.", "[문제 \\(2\\) 참조]</p><p>\\( 5 \\quad K \\) 를 체 \\( F \\) 의 확대체라 하고 \\( [K: F]=2 \\) 라 하자.", "그러면 \\( K \\) 는 체 \\( F \\) 의 정규 확대체임을 증명하여라.", "</p><p>\\(6\\) 체 \\( F \\) 의 유한확대체 \\( K \\) 에 대하여 다음사실이 동치개념임을 보여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( K \\) 가 \\( F \\) 의 정규 확대체이다.", "</li><li>\\( K \\) 가 \\( F \\) 위의 한 다항식의 분해체이다.", "</li></ol><p>\\(7\\) 특성이 \\(0\\) 인 체 \\( F \\) 의 유한차원확대체 \\( K \\) 는 단순확대체임을 증명하여라.", "</p><p>\\( 8 p \\) 를 소수라 하고 \\( f(x) \\) 를 \\( Z_{p}[x] \\) 에서 차수가 \\(2\\) 인 기약다항식이라 하자. \\", "( K \\) 가 \\( Z_{p} \\) 의 확대체이고 위수가 \\( p^{3} \\) 이라 하면 \\( f(x) \\) 가 \\( K[x] \\) 에서 기약이라는 것을 보여라.", "</p><p>\\(9\\) 특성이 \\(0\\) 인 체 \\( F \\) 는 무한체임을 증명하여라.", "</p><p>\\(10\\) 체 \\( F \\) 위의 다항식 \\( f(x) \\in F[x] \\) 와 \\( f^{\\prime}(x) \\) 가 서로소일 때, \\( f(x) \\) 는 분리다항식임을 보여라.", "</p><p>\\(11\\) 무한체 \\( F \\) 의 유한차원분리확대체 \\( K \\) 는 단순확대체, 즉 \\( K=F(\\alpha) \\) 임을 증명하여라.", "</p> <h1>5.4 분리확대체, 정규확대체</h1><p>먼저 체 \\( F \\) 에 대하여 \\( F \\) 의 분리확대체 및 정규확대체의 개념에 대하여 공부한다.", "그 후 유한분리확대체는 단순확대체이고, 여기서 원시원도 찾아보며, 차원이 \\(2\\) 인 유한차원확대체가 정규확대체임을 알아본다.", "</p><p>정의 \\( K \\) 가 체 \\( F \\) 의 확대체이고 \\( \\alpha \\in K \\) 가 다항식 \\( f(x) \\in F[x], \\operatorname{deg} f(x) \\geq 1 \\) 의 근이라하자. 다음 조건을 만족하는 최대 양의 정수 \\( m \\) 을 \\( f(x) \\) 의 근 \\( \\alpha \\) 의 중복도 (multiplicity of root)라 한다. \\[ f(x)=(x-\\alpha)^{m} g(x), \\quad g(x) \\in K[x], g(\\alpha) \\neq 0 \\] \\( m>", "1 \\) 일 때 \\( \\alpha \\) 를 \\( f(x) \\) 의 중근(multiple root), \\( m=1 \\) 일 때 \\( \\alpha \\) 를 \\( f(x) \\) 의 단근 (simple root)이라 한다.", "다항식의 근의 중복도를 조사하는 데 다항식의 형식적 미분(formal derivation)이 이용된다.", "체 \\( F \\) 위의 다항식 \\( f(x)=\\sum_{i=0}^{n} a_{i} x^{i}=a_{0}+a_{1} x+\\cdots+a_{n} x^{n} \\) 에 대하여 \\( f^{\\prime}(x)=\\sum_{i=1}^{n} i a_{i} x^{i-1}=a_{1}+2 a_{2} x+\\cdots+n a_{n} x^{n-1} \\in F[x] \\) 를 \\( \\quad f(x) \\) 의 미분(derivation)이라고 한다.", "</p><p>정리 5.4.1 \\( \\quad K \\) 는 체 \\( F \\) 의 확대체이고 \\( f(x) \\in F[x] \\) 이다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\alpha \\in K \\) 가 \\( f(x) \\) 의 중근이기 위한 필요충분조건은 \\( f(\\alpha)=0, f^{\\prime}(\\alpha)=0 \\) 인 것이다.", "</li><li>\\( \\alpha \\in I \\) 가 기약다항식 \\( f(x) \\in F[x] \\) 의 단근이기 위한 필요충분조건은 \\( f(\\alpha)=0, f^{\\prime}(\\alpha) \\neq 0 \\) 인 것이다.", "</li></ol><p>증명</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\alpha \\in K \\) 가 \\( f(x) \\) 의 \\( m(\\geq 2) \\) 중근이라 하면 \\( f(x)=(x-\\alpha)^{m} g(x), g(\\alpha) \\neq 0 \\) 인 \\( g(x) \\in F[x] \\) 가 존재한다.", "그러면 \\( \\quad f^{\\prime}(x)=m(x-\\alpha)^{m-1} g(x)+ \\) \\( (x-\\alpha)^{m} g^{\\prime}(x) \\) 에서 \\( f^{\\prime}(\\alpha)=0 \\) 이다.", "</p><p>역으로, \\( f(\\alpha)=0, f^{\\prime}(\\alpha)=0 \\) 일 때 \\( m=1 \\) 이라 가정하자.", "그러면 \\( f(x)=(x-\\alpha) g(x), \\quad f^{\\prime}(x)=g(x)+(x-\\alpha) g^{\\prime}(x) \\) 에서 \\( \\quad 0=f(\\alpha)= \\) \\( f^{\\prime}(\\alpha)=g(\\alpha) \\).", "이는 \\( g(\\alpha) \\neq 0 \\) 라는 조건에 어긋난다.", "따라서 \\( 0=f(\\alpha)= \\) \\( f^{\\prime}(\\alpha) \\) 이면 \\( m \\geq 2 \\) 이다.", "</li><li>\\( f(x) \\neq 0 \\) 이면 \\( \\operatorname{deg} f^{\\prime}(x)<\\operatorname{deg} f(x) \\) 이고 \\( f(x) \\) 가 기약다항식이므로 \\( f(x) \\) 와 \\( f^{\\prime}(x) \\) 는 서로소이다.", "그러면 \\( h(x), l(x) \\in F[x] \\) 가 존재하여 \\[ f(x) h(x)+f^{\\prime}(x) l(x)=1 \\] \\( \\alpha \\in K \\) 가 \\( f(x) \\) 의 중근이라 가정하면 (1)에 의하여 \\( f(\\alpha)=f^{\\prime}(\\alpha)=0 \\).", "결과적으로 \\( 0=1 \\) 이 되어 모순이다.", "그러므로 \\( \\alpha \\in K \\) 는 \\( f(x) \\) 의 단근이다.", "역으로 \\( f^{\\prime}(x)=0 \\) 이라 하자.", "그러면 \\( f^{\\prime}(x)=0 \\) 이므로 \\( f^{\\prime}(\\alpha)=0=f(\\alpha) \\) 이다. \\", "(1\\)에 의하여 \\( \\alpha \\) 는 \\( f(x) \\) 의 중근이다.", "이의 대우는 \" \\( \\alpha \\) 가 \\( f(x) \\) 의 단근 이면 \\( f^{\\prime}(x) \\neq 0 \\) 이다.\"가 된다.", "</li></ol><p>정의 체 \\( F \\) 위의 기약다항식 \\( f(x) \\) 의 모든 근이 그 분해체 내에서 단근일 때 \\( f(x) \\) 를 분리다항식(separable polynomial)이라 한다. \\", "( K \\) 가 체 \\( F \\) 의 확대체이고 \\( \\alpha \\) 의 기약다항식이 \\( F \\) 위에서 분리다항식일 때 \\( \\alpha \\in K \\) 를 \\( F \\) 위에서의 분리원(separable element)이라 한다. \\", "( K \\) 의 모든 원소가 \\( F \\) 위에서 분리원인 체 \\( F \\) 의 대수적 확대체 \\( K \\) 를 체 \\( F \\) 의 분리확대체(separable extension field)라 한다.", "</p><p>보기 \\(1\\) 다항식 \\( x^{2}+1 \\in Q[x] \\) 는 \\( C[x] \\) 에서 분리가능하다. \\", "( x^{2}+1=(x+1)^{2} \\in Z_{2}[x] \\) 는 기약다항식이 아니고 \\( Z_{2} \\) 위에서 단근을 갖지 않는다.", "</p><p>정리 \\(5.4.2\\) 특성이 \\(0\\) 인 체 \\( F \\) 의 대수적 확대체 \\( K \\) 는 \\( F \\) 의 분리확대체이다.", "또 \\( \\operatorname{char} F=p, \\quad[K: F]=n, p \\nmid n \\) 이면 \\( K \\) 는 \\( F \\) 의 분리확대체이다.", "</p><p>기약다항식 \\( \\operatorname{irr}(\\alpha, F)=f(x) \\) 에 대하여 \\( \\operatorname{deg} f^{\\prime}(x) \\geq 0 \\) 이므로 \\( f^{\\prime}(x) \\neq 0 \\).", "정리 \\(5.4.1(2)\\)에 의하여 \\( f(x) \\) 는 \\( K \\) 내에 단근만을 갖는다.", "따라서 \\( K \\) 는 \\( F \\) 의 분리확대체이다. \\", "( \\alpha \\in K, \\operatorname{irr}(\\alpha, F)=f(x)=x^{m}+\\cdots+a_{1} x+a_{0}(m \\geq 1) \\) 에 대하여 \\( F \\leq F(\\alpha) \\leq K,[F(\\alpha): F][K: F(\\alpha)]=[K: F] \\) 가 성립한다. \\", "( [F(\\alpha): F]=m,[K: F]=n \\) 이므로 \\( m \\mid n \\) 이다. \\", "( p \\nmid n \\) 이므로 \\( p \\nmid m \\) 이다.", "그러므로 \\( f^{\\prime}(x)=m x^{m-1}+\\cdots+a_{1} \\neq 0 \\).", "정리 \\(5.4.1(2)\\)에 의하여 \\( f(x) \\) 의 분해체 내의 근은 단근뿐이다.", "그러므로 \\( \\alpha \\) 는 \\( F \\) 위에서의 분리원이다.", "모든 \\( K \\) 의 원소에 대하여 이 성질이 성립하므로 \\( K \\) 는 \\( F \\) 의 분리확대체이다.", "</p> <p>정리 \\(5.1.6\\) \\( \\quad \\) 가 체 \\( F \\) 의 확대체이고 \\( \\alpha \\in K \\) 가 \\( F \\) 위에서 초월적이면 \\( F \\) 위에서 고정된 체동형사상 \\( F(\\alpha) \\cong F(x) \\) 가 존재한다.", "</p><p>증명 \\( \\quad \\alpha \\) 가 초월원이며 영이 아닌 모든 다항식 \\( f(x), g(x) \\) 에 대하여 \\( f(\\alpha) \\neq 0 \\), \\( g(\\alpha) \\neq 0 \\) 이다. \\", "( f(x) / g(x) \\mapsto f(\\alpha) / g(\\alpha) \\) 로 주어진 사상 \\( \\varphi: F(x) \\rightarrow F(\\alpha) \\) 는 \\( \\varphi(a)=a, a \\in F \\) 인 단사 체 준동형사상이다.", "정리 \\( 5.1 .4 \\) (2)에 의하여 \\( \\operatorname{Im} \\varphi=F(\\alpha) \\) 이므로 \\( F(x) \\cong F(\\alpha) \\) 이다.", "</p><p>정리 \\(5.1.6\\)과 연습문제 \\(5.1.2\\)를 종합하면 \\( \\alpha \\in K \\) 가 체 \\( F \\) 위에서 초월적이면 \\( F[\\alpha] \\cong F[x], F(\\alpha) \\cong F(x) \\) 임을 알 수 있다.", "</p><p>\\( \\alpha \\) 가 초월원이며 영이 아닌 모든 다항식 \\( f(x), g(x) \\) 에 대하여 \\( f(\\alpha) \\neq 0 \\), \\( g(\\alpha) \\neq 0 \\) 이다. \\", "( f(x) / g(x) \\mapsto f(\\alpha) / g(\\alpha) \\) 로 주어진 사상 \\( \\varphi: F(x) \\rightarrow F(\\alpha) \\) 는 \\( \\varphi(a)=a, a \\in F \\) 인 단사 체 준동형사상이다.", "정리 \\(5.1.4 (2)\\)에 의하여 \\( \\operatorname{Im} \\varphi=F(\\alpha) \\) 이므로 \\( F(x) \\cong F(\\alpha) \\) 이다.", "</p><p>정리 \\(5.1.6\\)과 연습문제 \\(5.1.2\\)를 종합하면 \\( \\alpha \\in K \\) 가 체 \\( F \\) 위에서 초월적이면 \\( F[\\alpha] \\cong F[x], F(\\alpha) \\cong F(x) \\) 임을 알 수 있다.", "</p><p>정리 \\(5.1.7\\) 체 \\( K \\) 가 체 \\( F \\) 의 확대체이고 \\( \\alpha \\in K \\) 가 \\( F \\) 위에서 대수적이면 다음 사실이 성립한다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( F(\\alpha)=F[\\alpha] \\)</li><li>\\( F[x] /(f(x)) \\cong F(\\alpha) \\) 이고, \\( \\alpha \\) 를 근으로 갖는 모닉 기약다항식 \\( f(x) \\) \\( \\in F[x], \\operatorname{deg} f(x) \\geq 1 \\) 가 단 하나 존재하여 \\( f(x) \\mid g(x) \\Leftrightarrow g(\\alpha)=0 \\) 이다.", "</li></ol><p>증명</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\varphi: F[x] \\rightarrow F[\\alpha], g(x) \\mapsto g(\\alpha) \\) 는 전사인 군 준동형사상이다. \\", "( F[x] \\) 가 주 이데알정역이므로 \\( \\operatorname{ker} \\varphi=(f(x)), f(x) \\in F[x], f(\\alpha)=0 \\).", "그런데 \\( \\alpha \\) 가 대수적이므로 \\( f(x) \\neq 0, \\operatorname{ker} \\varphi \\neq\\{0\\} \\).", "또한 \\( \\varphi \\neq 0 \\) 이므로 \\( \\operatorname{ker} \\varphi \\neq F[x] \\).", "그러므로 \\( f(x) \\neq 0, \\quad \\operatorname{deg} f(x) \\geq 1 . \\quad f(x) \\) 의 최고차항의 계수가 \\( a \\) 이면 \\( a^{-1} \\in F \\subset F[x] \\) 이므로 \\( a^{-1} f(x) \\) 는 모닉 다항식으로 \\( (f(x))=\\left(a^{-1} f(x)\\right) \\).", "따라서 \\( f(x) \\) 를 모닉 다항식으로 가정하여도 무방하다. \\", "( \\varphi \\) 는 전사이므로 제 \\(1\\) 동형정리에 의하여 \\[ F[x] / \\operatorname{ker} \\varphi=F[x] /(f(x)) \\cong \\operatorname{Im} \\varphi=F[\\alpha] \\] 그런데 \\( F[\\alpha] \\) 가 정역이므로 이데알 \\( (f(x)) \\) 는 소이데알이다.", "그러므로 \\( f(x) \\) 는 기약이고 \\( (f(x)) \\) 는 극대이데알이다.", "따라서 \\( F[x] /(f(x)) \\) 는 체이다. \\", "( F(\\alpha) \\) 는 \\( F \\) 와 \\( \\alpha \\) 를 포함하고 있는 최소체이고 \\( F(\\alpha) \\supseteq F[\\alpha] \\cong \\) \\( F[x] /(f(x)) \\).", "그러므로 \\( F(\\alpha)=F[\\alpha] \\).", "</li><li>\\( f(x) \\) 가 모닉이므로 이러한 다항식 \\( f(x) \\) 는 유일하다.", "또한 \\[ g(\\alpha)=0 \\Leftrightarrow g(x) \\in \\operatorname{ker} \\varphi \\Leftrightarrow f(x) \\mid g(x) \\] 이다.", "</li></ol><p>정리 \\(5.1.8\\) \\( I \\) 가 체 \\( F \\) 의 확대체이고 \\( \\alpha \\in K \\) 는 \\( F \\) 위에서 대수적이다. \\", "( f(\\alpha)=0 \\) 이고 기약인 모닉 다항식 \\( f(x) \\in F[x] \\) 의 차수를 \\( n(\\geq 1) \\) 이라 하면 다음이 성립한다.", "</p><ol type=1 start=1><li>집합 \\( \\left\\{1, a, \\cdots, a^{n-1}\\right\\} \\) 은 \\( F \\) 위의 벡터공간 \\( F(\\alpha) \\) 의 기저이다.", "즉 \\( [F(\\alpha): F]=n \\) 이다.", "</li><li>\\( F(\\alpha) \\) 의 각 원소는 \\( a_{0}+a_{1} \\alpha+\\cdots+a_{n-1} \\alpha^{n-1}\\left(a_{i} \\in F\\right) \\) 의 꼴로 일의적으로 표시된다.", "</li></ol><p>증명</p><ol type=1 start=1><li>(1) \\( F(\\alpha)=F[\\alpha] \\) 의 각 원소는 \\( g(\\alpha), g(x) \\in F[x] \\) 의 꼴로 표시된다.", "다항식의 나눗셈 정리에 의해서 \\( q(x), r(x) \\in F[x] \\) 가 존재하여 \\[ g(x)=q(x) f(x)+r(x), \\operatorname{deg} r(x)<\\operatorname{deg} f(x), r(x)=0 \\] 을 만족한다.", "그러면 \\[ g(\\alpha)=q(\\alpha) f(\\alpha)+r(\\alpha)=0+r(\\alpha) \\] \\( r(x)=b_{0}+b_{1} x+\\cdots+b_{m} x^{m}, b_{i} \\in F, m<n \\) 이라 하면 \\( g(\\alpha)=b_{0}+b_{1} \\alpha \\) \\( +\\cdots+b_{m} \\alpha^{m} \\).", "그러므로 \\( 1, \\alpha, \\cdots, \\alpha^{n-1} \\) 은 \\( F(\\alpha) \\) 를 생성한다.", "즉 \\( \\left\\{1, \\alpha, \\cdots, \\alpha^{n-1}\\right\\} \\) 은 \\( F \\)-벡터공간 \\( F(\\alpha) \\) 를 생성한다.", "이 집합이 일차독립임을 보이기 위해 \\[ a_{0}+a_{1} \\alpha+\\cdots+a_{n-1} \\alpha^{n-1}=0, a_{i} \\in F \\] 으로 가정하자. \\", "( g(x)=a_{0}+a_{1} x+\\cdots+a_{n-1} x^{n-1} \\in F[x] \\) 는 \\( \\alpha \\) 를 근으로 갖고 \\( \\operatorname{deg} g(x) \\leq n-1 \\) 이다.", "정리 \\( 5.1 .7 \\) 에 의하여 \\( f(x) \\mid g(x) \\).", "그런데 \\( \\operatorname{deg} f(x)=n \\) 이므로 \\( g(x)=0 \\) 이다.", "그러므로 \\( a_{i}=0 \\).", "따라서 \\( \\{1, \\alpha, \\cdots \\), \\( \\left.\\alpha^{n-1}\\right\\} \\)", "은 일차독립이다.", "이로써 \\( \\left\\{1, \\alpha, \\cdots, \\alpha^{n-1}\\right\\} \\) 은 \\( F= \\) 벡터공간 \\( F(\\alpha) \\) 의 기저이다.", "또 \\( [F(\\alpha), F]=\\operatorname{dim}_{F} F(\\alpha)=n \\) 이다.", "</li><li>벡터공간의 기저의 성질에 의하여 임의의 \\( g(\\alpha) \\in F(\\alpha) \\) 는 \\( 1, \\alpha, \\cdots, \\alpha^{n-1} \\) 의 일차결합으로 유일하게 표시된다.", "</li></ol><p>정의 \\( K \\) 가 체 \\( F \\) 의 확대체이고 \\( \\alpha \\in K \\) 가 \\( F \\) 위에서 대수적일 때 정리 \\(5.1.7\\)의 기약 모닉다항식 \\( f(x) \\in F[x] \\) 를 \\( \\alpha \\) 의 \\( F \\) 위의 기약다항식(irreducible polynomial of \\( \\alpha \\) over F) 또는 최소다항식(minimal polynomial)라 하고, \\( \\operatorname{irr}(\\alpha, F) \\) 혹은 \\( \\min _{F}(\\alpha) \\) 로 나타낸다.", "다항식 \\( \\operatorname{irr}(\\alpha, F) \\) 의 차수를 \\( F \\) 위의 \\( \\alpha \\) 의 차수(degree of \\( \\alpha \\) over \\( F \\) )라 하고 \\( [\\alpha: F] \\) 로 나타낸다.", "</p><p>정리 \\(2.5.8\\)에 의하여 \\( [F(\\alpha): F]=[\\alpha: F] \\) 임을 알 수 있다.", "</p> <p>보기 \\( 5 \\quad \\sqrt[3]{7} \\) 의 \\( \\mathbb{Q} \\) 위의 최소다항식은 \\( x^{3}-7 \\) 이므로 \\( [\\sqrt[3]{7}: \\mathbb{Q}]=3 . \\sqrt{2}+\\sqrt{3} \\) 의 \\( \\mathbb{Q} \\) 위의 최소다항식은 \\( x^{4}-10 x^{2}+1 \\) 이므로 \\[ [(\\sqrt{2}+\\sqrt{3}): \\mathbb{Q}]=[Q(\\sqrt{2}+\\sqrt{3}): \\mathbb{Q}]=4 \\]</p><h1>연습문제 \\( 5.1 \\)</h1><p>\\(1\\) 체 \\( K \\leq F \\), 미지수 \\( x \\) 에 대하여 \\( F(x)=\\{f(x) / g(x) \\mid f(x), g(x) \\in F[x], g(x) \\neq 0\\} \\) 임을 보여라.", "</p><p>\\( 2 \\quad K \\) 가 \\( F \\) 의 확대체이고 \\( \\alpha \\in K \\) 가 \\( F \\) 위에서 초월적이면 \\( F[\\alpha] \\cong F[x] \\) 임을 보여라.", "</p><p>\\( 3 \\quad[\\mathbb{C}: \\mathbb{R}],[\\mathbb{Q}(\\sqrt{3}): \\mathbb{Q}],[\\mathbb{R}: \\mathbb{R}] \\) 의 값을 구하여라.", "</p><p>\\(4\\) 체 \\( F \\leq K \\leq L \\) 에서 \\( [K: F]=\\infty \\) 일 때 \\( [L: F] \\) 의 값을 구하여라.", "</p><p>\\(5\\) 유리수체 \\( \\mathbb{Q} \\) 위에서의 \\( \\sqrt[5]{7} \\) 의 차수와 \\( \\sqrt{2}+\\sqrt{3} \\) 의 차수를 구하여라.", "</p><p>\\(6\\) \\( e^{2 \\pi i / 5} \\) 의 \\( \\mathbb{Q}, \\mathbb{R} \\) 위에서의 차수를 구하여라.", "</p><p>\\(7\\) 유리수체 \\( \\mathbb{Q} \\) 위에서의 초월수가 이루는 체 \\( F \\leq \\mathbb{C} \\) 는 \\( \\mathbb{Q} \\) 의 유한차원확대체가 아님을 보여라.", "</p><p>\\( 8 e, \\pi, e+\\pi \\) 의 초월수에 관한 연구의 역사를 알아보아라.", "</p><p>\\(9\\) 실수체 \\( \\mathbb{R} \\) 위의 벡터공간 \\( \\mathbb{C} \\) 의 기저 \\( \\{1, i\\} \\) 를 이용하여 \\( \\mathbb{R} \\) 위에서의 다항식 \\( 2+3 i \\) 의 최소 다항식을 구하여라.", "</p><p>\\(10\\) 만약 \\( K \\) 가 \\( \\mathrm{F} \\) 의 유한차원확대체이고 \\( L \\) 이 \\( K \\) 의 유한차원확대체이면, \\( L \\) 은 \\( F \\) 의 유한차 원 확대체임을 밝혀라.", "</p><p>\\( 11 \\sqrt{2}+\\sqrt{3} \\) 의 \\( \\mathbb{Q} \\) 위의 최소다항식은 \\( x^{4}-10 x^{2}+1 \\) 임을 밝혀라.", "</p><p>\\(12\\) 특성이 0 인 체 \\( K \\) 의 소체는 \\( \\mathbb{Q} \\) 와 동형임을 보여라.", "</p><p>\\( 13 K \\) 가 체 \\( F \\) 의 확대체이고 \\( \\alpha \\in K \\) 가 \\( F \\) 위에서 초월적이면, \\( F(\\alpha) \\cong F(x), F[x] \\cong F[\\alpha] \\) 임을 보여라.", "</p><p>\\(14\\) 체 \\( K \\) 가 체 \\( F \\) 의 확대체이고 \\( \\alpha \\in K \\) 가 \\( F \\) 위에서 대수적이면, \\( F(\\alpha)=F[\\alpha] \\) 임을 밝혀 라.", "</p><p>\\( 15 \\mathbb{Q}(1+i) \\) 에서 곱셈에 대하여 닫혀있음을 묘사하여라.", "</p><p>\\(16\\) I가 체 \\( F \\) 의 확대체라 할 때, 다음을 밝혀라. \\", "[ [K: F]=1 \\Leftrightarrow K=F \\]</p> <p>정리 \\(5.3.12\\) \\( F \\) 가 유한체이면 \\( F \\) 의 특성은 소수 \\( p \\) 이고 \\( |F|=p^{n}, n>0 \\) 이다.", "</p><p>증명 모든 유한체 \\( \\mathrm{Z}_{p} \\) 와 동형인 소체의 유한확대체이므로 앞의 언급에 따른다.", "</p><p>정리 \\(5.3.13\\) 위수가 \\( p^{n} \\) 인 유한체 \\( F \\), 동형관계에 의한 \\( F \\) 의 소체를 \\( \\mathrm{Z}_{p} \\) 라 하면 \\( F \\) 는 \\( \\mathrm{Z}_{p} \\) 위에서 다항식 \\( x^{p^{n}}-x \\) 의 분해체이다.", "</p><p>증명 \\( \\operatorname{char} F=p,|F|=p^{n} \\) 이라 하자.", "곱셈군 \\( F^{*}=F-\\{0\\} \\) 의 위수는 \\( p^{n}-1 \\) 이다.", "임의의 \\( \\alpha \\in F^{*} \\) 의 위수는 \\( p^{n}-1 \\) 의 약수이므로 \\( \\alpha^{p^{n}}=\\alpha \\) 이다.", "즉 모든 \\( \\alpha \\in F^{*} \\) 는 다항식 \\( x^{p^{n}}-x=0 \\) 의 근이다.", "그런데 \\( x^{p^{n}}-x \\) 의 근의 개수는 \\( p^{n} \\) 이하이므로 \\( \\mathrm{Z}_{p} \\) 위에서의 \\( x^{p^{n}}-x \\) 의 근은 모두 \\( F \\) 내에 존재한다.", "따라서 \\( F \\) 는 \\( Z_{p} \\) 위에서 \\( x^{p^{n}}-x \\) 의 분해체이다.", "</p><p>정리 \\(5.3.14\\) 체 \\( F \\) 의 곱셈군 \\( F^{*}=F-\\{0\\} \\) 의 임의의 유한부분군 \\( G \\) 는 순환군이다.", "또 \\( F \\) 가 유한체이면 곱셈군 \\( F^{*} \\) 는 유한순환군이다.", "</p><p>증명 정리 \\( 3.1.11 \\) 에 의하여 유한가환군 \\( G \\) 는 순환군 \\( \\mathrm{Z}_{m_{i}}(1 \\leq i \\leq r) \\) 의 직적 \\( \\mathrm{Z}_{m_{1}} \\times \\cdots \\times \\mathrm{Z}_{m_{r}} \\) 과 동형이다.", "이때 \\( m_{i}\\left|m_{i+1},\\right| Z_{m_{i}} \\mid=m_{i} \\) 이다.", "모든 \\( a_{i} \\in Z_{m_{i}} \\) 에 대하여 \\( a_{i}^{m_{i}}=1 \\) 이다.", "그러므로 \\( G \\) 의 모든 원소는 다항식 \\( x^{m_{r}}-1 \\) 의 근이다. \\", "( |G|=\\left|Z_{m_{1}}\\right| \\cdots\\left|Z_{m_{r}}\\right|=m_{1} \\cdots m_{r} \\) 이고 \\( x^{m_{r}}-1 \\) 의 근은 \\( m_{r} \\) 개 이하이므로 \\( r=1 \\) 이다.", "즉 \\( G \\cong \\mathrm{Z}_{m_{1}} \\).", "따라서 \\( G \\) 는 순환군이다. \\", "( F \\) 가 유한체이면 \\( F^{*}=F-\\{0\\} \\) 는 유한곱셉군으로 순환군이다.", "</p><p>정리 \\(5.3.15\\) 유한체 \\( F \\) 의 유한확대체 \\( K \\) 는 단순확대체이다.", "즉 \\( K=F(\\alpha) \\) 인 원시원 \\( \\alpha \\in I \\) 가 존재한다.", "</p><p>증명 정리 \\(5.3.14\\)에 의하여 \\( K^{*}=K-\\{0\\} \\) 은 순환군이다.", "따라서 \\( K=F(\\alpha), \\alpha \\in K \\) 이다.", "</p> <h1>연습문제 \\( 5.3 \\)</h1><p>\\(1\\) 유리수체 \\( \\mathbb{Q} \\) 위에서의 \\( x^{3}-8, x^{3}+x^{2}+x+1 \\) 의 분해체를 구하여라.", "</p><p>\\(2\\) 유리수체 \\( \\mathbb{Q} \\) 위에서의 \\( x^{4}-2 \\) 의 분해체 \\( K \\) 의 차수를 구하여라.", "</p><p>\\(3\\) 다항식 \\( p(x) \\in \\mathbb{R}[x] \\) 의 분해체는 \\( \\mathbb{R} \\) 또는 \\( \\mathbb{C} \\) 임을 보여라.", "또한 모든 삼차방정식 \\( p(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d \\in \\mathbb{R}[x] \\) 는 적어도 하나의 근을 가짐을 보여라.", "</p><p>\\( 4 \\quad \\sigma: F \\rightarrow F^{\\prime} \\) 가 체동형사상일 때 다음으로 정의된 사상 \\( \\sigma^{*}: F[x] \\rightarrow F[x] \\) 는 \\( \\left.\\sigma^{*}\\right|_{F}=\\sigma \\)", "을 만족하는 환동형사상이다.", "이를 밝혀라. \\", "[ \\sigma^{*}(f(x))=\\sigma^{*}\\left(a_{0}+a_{1} x+\\cdots+a_{n} x^{n}\\right)=\\sigma\\left(a_{0}\\right)+\\sigma\\left(a_{1}\\right) x+\\cdots+\\sigma\\left(a_{n}\\right) x^{n} \\]</p><p>\\( 5 \\quad \\sigma: F \\rightarrow F^{\\prime} \\) 가 체동형사상이고 \\( \\alpha \\) 가 \\( F \\) 의 확대체 \\( E \\) 의 원소, \\( \\beta \\) 가 \\( F^{\\prime} \\) 의 확대체 \\( E^{\\prime} \\) 의 원소라 하자. \\", "( \\alpha \\) 가 기약다항식 \\( p(x) \\in F[x] \\) 의 근이고 \\( \\beta \\) 가 다항식 \\( \\sigma(p(x)) \\) 의 근이면 \\( \\tau(\\alpha)=\\beta,\\left.\\", "tau\\right|_{F}=\\sigma \\) 가 되는 동형사상 \\( \\tau: F(\\alpha) \\rightarrow F^{\\prime}(\\beta) \\) 가 존재한다.", "이를 증명하여라.", "</p><p>\\(6\\) 체 \\( \\mathbb{Q} \\) 에 대하여 \\( f(x)=3 x^{2}+4 x+5 \\in \\mathbb{Q}[x] \\) 일 때 \\( \\mathbb{Q} \\) 위에서 \\( f(x) \\) 의 분해체 \\( K \\) 를 구하고 \\( [I: \\mathbb{Q}] \\) 를 구하여라.", "</p><p>\\(7\\) 체 \\( \\mathbb{Q} \\) 위에서 \\( x^{3}-2 \\) 의 분해체 \\( K \\) 를 구하고 \\( [K: \\mathbb{Q}] \\) 를 구하여라.", "</p><p>\\(8\\) 체 \\( F \\) 위에서 다음 조건은 서로 동치관계에 있음을 보여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>상수가 아닌 모든 다항식 \\( f(x) \\in F[x] \\) 는 \\( F \\) 내에 있는 근을 갖는다.", "</li><li>상수가 아닌 모든 다항식 \\( f(x) \\in F[x] \\) 는 \\( F \\) 위에서 일차인수로 분해된다.", "</li><li>\\( F[x] \\) 의 모든 기약다항식의 차수는 1 이다.", "</li><li>\\( F \\) 자신 이외에 \\( F \\) 의 대수적 확대체는 존재하지 않는다.", "</li></ol><p>\\(9\\) 차수가 \\(1\\) 차 이상인 다항식 \\( f(x) \\in F[x] \\) 의 분해체는 동형관계에 의하여 일의적으로 존재함을 설명하여라.", "</p><p>\\(10\\) 다음 사실을 증명하여라.", "임의의 다항식 \\( f(x) \\in \\mathbb{C}[x], \\operatorname{deg} f(x) \\geq 1 \\) 은 \\( \\mathbb{C} \\) 자신을 분해체로 갖는다.", "</p> <p>정리 \\(5.2.5\\) \\( K \\) 가 체 \\( F \\) 의 확대체이면 \\( F \\) 위에서 대수적인 \\( K \\) 의 원소 전체의 집합 \\( E \\) 는 \\( K \\) 의 부분체이다.", "이 체 \\( E \\) 는 \\( K \\) 에 포함되는 \\( F \\) 의 대수적 확대체로서 극대체이다.", "</p><p>wmd명 정리 \\( 5.2 .3 \\) 에 의하여 \\( \\alpha, \\beta \\in E \\) 이면 \\( F(\\alpha, \\beta) \\) 는 \\( F \\) 의 유한확대체이다.", "정리 \\( 5.2 .2 \\) 에 의하여 \\( F(\\alpha, \\beta) \\) 는 \\( F \\) 의 대수적 확대체이다. \\", "[ \\alpha-\\beta, \\alpha \\beta^{-1}(\\beta \\neq 0) \\text { 은 } F(\\alpha, \\beta) \\text { 의 원소이므로 } \\alpha-\\beta \\in E, \\alpha \\beta^{-1} \\in E \\text { 이다. } \\]", "따라서 \\( E \\) 는 하나의 체이다.", "</p><h1>연습문제 \\( 5.2 \\)</h1><p>\\( 1 \\quad K \\) 가 체 \\( F \\) 의 대수적 확대체이고 \\( T \\) 가 \\( F \\leq T \\leq K \\) 인 정역이면 \\( T \\) 는 체임을 보여라.", "</p><p>\\(2\\) 모든 유한차원 확대체는 유한생성확대체이다.", "</p><p>\\(3\\) 특성이 \\(0\\) 인 체 \\( K \\) 의 소체는 \\( Q \\) 와 동형임을 보여라.", "</p><p>\\(4\\) 체 \\( F \\leq K \\leq L \\) 에서 \\( L \\) 이 \\( F \\) 상에서 대수적일 때 \\( L \\) 이 \\( K \\) 상에서도 대수적임을 보여라.", "</p><p>\\(5\\) 문제 \\(2\\) 의 역은 성립하는가?", "</p><p>\\( 6 \\quad[(\\sqrt{2}+\\sqrt{3}): Q]=[Q(\\sqrt{2}+\\sqrt{3}): Q]=4 \\) 을 밝혀라.", "</p><p>\\( 7 \\quad Q \\leq R \\) 이고, \\( \\sqrt{5} \\in R \\) 일 때, 다항식 \\( x^{2}-5 \\in Q[x] \\) 는 \\( Q \\) 위에서 대수적임을 증명하여 라.", "</p><p>\\( 8 \\quad Q(\\sqrt{2}, \\sqrt{3}, \\sqrt{5}, \\sqrt{7}, \\cdots) \\) 은 \\( Q \\) 위에서 대수적 확대체임을 보여라.", "</p><p>\\(9\\) \\( [\\mathbb{C}: 1 \\mathbb{R}]=2 \\) 임을 밝혀라.", "</p><p>\\( 10 \\quad[\\mathbb{R}: \\mathbb{Q}]=\\infty \\) 임을 보여라.", "</p> <p>정리 \\(5.6.1\\) 실수체 \\( R \\) 의 부분체 \\( F \\) 위의 평행하지 않은 두 직선 \\( L_{1}, L_{2} \\) 과 같지 않은 두 원 \\( O_{1}, O_{2} \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( L_{1}, L_{2} \\) 의 교점은 \\( F \\) 위의 점이다.", "</li><li>\\( L_{1} \\cap O_{1} \\) 은 \\( \\varnothing \\) 이거나 적당한 \\( \\alpha \\in F(\\alpha \\geq 0) \\) 가 존재하여 \\( F(\\sqrt{\\alpha}) \\) 위의 한 점 또는 두 점이다.", "</li><li>\\( O_{1} \\cap O_{2} \\) 는 \\( \\varnothing \\) 이거나 적당한 \\( \\alpha \\in F(\\alpha \\geq 0) \\) 가 존재하여 \\( F(\\sqrt{\\alpha}) \\) 위의 한 점 또는 두 점이다.", "</li></ol><p>증명</p><ol type=1 start=1><li>직선 \\( L_{1}: a x+b y+c=0, L_{2}: a^{\\prime} x+b^{\\prime} y+c^{\\prime}=0 \\) 의 교점은 \\( x=\\frac{b c^{\\prime}-b^{\\prime} c}{a b^{\\prime}-a^{\\prime} b} \\), \\( y=\\frac{a c^{\\prime}-a^{\\prime} c}{a b^{\\prime}-a^{\\prime} b} \\).", "계수 \\( a, a^{\\prime}, b, b^{\\prime}, c, c^{\\prime} \\) 는 모두 체 \\( F \\) 의 원소이므로 \\( x, y \\in F \\).", "따라서 \\( L_{1} \\cap L_{2} \\in F \\times F \\) 이다.", "</li><li>\\( L_{1} \\) 과 \\( O_{1} \\) 의 교점 \\( (x, y) \\) 는 다음 방정식을 만족한다. \\", "[ \\begin{array}{l} L_{1}: d x+e y+f=0, d, e \\in F \\\\ O_{1}: x^{2}+y^{2}+a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0, a_{1}, b_{1}, c_{1} \\in F \\end{array} \\] \\( d=0 \\) 일 때 \\( e \\neq 0 \\) 이므로 \\( y=-\\frac{f}{e} \\in F \\).", "이를 \\( O_{1} \\) 의 식에 대입하면 \\[ \\begin{array}{l} x^{2}+y^{2}+a_{1} x+b_{1}\\left(-\\frac{f}{e}\\right)^{2}+c_{1}=0 \\\\ \\left(x+\\frac{a_{1}}{2}\\right)^{2}+\\left\\{\\left(-\\frac{f}{e}\\right)^{2}+b_{1}\\left(-\\frac{f}{e}\\right)+c_{1}-\\frac{a_{1}^{2}}{4}\\right\\}=0 \\end{array} \\] 이 식에서 \\( \\alpha=-\\left(-\\frac{f}{e}\\right)^{2}-b_{1}\\left(-\\frac{f}{e}\\right)-c_{1}+\\frac{a_{1}^{2}}{2} \\) 이라 놓으면 \\( \\alpha \\in F \\) 이다. \\", "( \\alpha<0 \\) 이면 \\( L_{1} \\cap O_{1}=\\varnothing \\) 이고 \\( \\alpha \\geq 0 \\) 이면 \\( \\left(x+\\frac{a_{1}}{2}\\right)^{2}=\\alpha, x=\\pm \\sqrt{\\alpha}- \\) \\( \\frac{a_{1}}{2} \\in F(\\sqrt{\\alpha}) \\). 따라서 \\( (x, y) \\in F(\\sqrt{\\alpha}) \\times F \\subseteq F(\\sqrt{\\alpha}) \\times F(\\sqrt{\\alpha}) \\). 이는 \\( L_{1} \\cap O_{1}=\\varnothing \\) 또는 \\( F(\\sqrt{\\alpha})(\\alpha \\geq 0) \\) 위의 점임을 뜻한다. \\( d \\neq 0 \\) 일 때 \\( x+\\frac{e}{d} y+\\frac{f}{d}=0, \\frac{e}{d}, \\frac{f}{d} \\in F . \\frac{e}{d}=e^{\\prime} \\mathrm{m} \\frac{f}{d}=f^{\\prime} \\) 라 놓으면 \\( L_{1} \\) 의 식은 \\( x+e^{\\prime} y+f^{\\prime}=0 \\). 이 \\( x \\) 를 \\( O_{1} \\) 의 식에 대입하면 \\[ \\left(-e^{\\prime} y-f^{\\prime}\\right)^{2}+y^{2}+a_{1}\\left(-e^{\\prime} y-f^{\\prime}\\right)+b_{1} y+c_{1}=0 \\] \\[ \\left(e^{\\prime 2}+1\\right) y^{2}+\\left(2 e^{\\prime} f-a_{1} e^{\\prime}+b^{1}\\right) y+f^{\\prime 2}-a_{1} f^{\\prime}+c_{1}=0 \\] 이때 \\( A=e^{\\prime 2}+1, B=2 e^{\\prime} f-a_{1} e^{\\prime}+b_{1}, C=f^{\\prime 2}-a_{1} f^{\\prime}+c_{1} \\) 이라 하면 \\( A, B, C \\in F \\). 그런데 \\( A>", "1 \\) 이므로 \\[ \\begin{array}{l} y^{2}+\\frac{B}{A} y+\\frac{C}{A}=0, \\frac{B}{A}, \\frac{C}{A} \\in F, \\\\ \\left(y+\\frac{B}{2 A}\\right)^{2}+\\left\\{\\frac{C}{A}-\\frac{1}{4}\\left(\\frac{B}{A}\\right)^{2}\\right\\}=0 \\end{array} \\] \\( \\alpha=\\frac{1}{4}\\left(\\frac{B}{A}\\right)^{2}-\\frac{C}{A} \\) 라 놓으면 \\( \\quad \\alpha \\in F . \\", "quad \\alpha<0 \\) 이면 \\( \\quad L_{1} \\cap O_{1}=\\varnothing \\) 이고 \\( \\alpha \\geq 0 \\) 이면 \\( y \\in F(\\sqrt{\\alpha}) \\).", "또 \\( x=-e^{\\prime} f-f^{\\prime} \\in F(\\sqrt{\\alpha}) \\).", "그러므로 \\( (x, y) \\in \\) \\( F(\\sqrt{\\alpha}) \\times F(\\sqrt{\\alpha}) \\)</li><li>원 \\( O_{2} \\) 의 방정식을 \\( x^{2}+y^{2}+a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0, a_{2}, b_{2}, c_{2} \\in F \\) 라 하면 \\( O_{1} \\) 과 \\( O_{2} \\) 의 교점은 직선 \\( L:\\left(a_{1}-a_{2}\\right) x+\\left(b_{1}-b_{2}\\right) y+\\left(c_{1}-c_{2}\\right)=0 \\) 과 \\( O_{1}\\left(\\right. \\)", "또는 \\( \\left.O_{2}\\right) \\) 의 교점이다.", "이는 \\(2\\)의 경우로 환원된다.", "</li></ol> <p>정리 \\(5.5.7\\) \\( \\Pi \\) 를 \\( Z_{p} \\) 의 확대체라 하고 \\( n \\) 을 양의 정수라고 하자.", "그러면 \\( K \\) 가 위수 \\( p^{n} \\) 을 가질 필요충분조건은 \\( K \\) 가 \\( \\mathbb{Z}_{p} \\) 상에서 \\( x^{p^{n}}-x \\) 의 분해체인 것이다.", "</p><p>증명 \\( \\quad \\Gamma \\) 가 \\( f(x)=x^{p^{n}}-x \\in \\mathbb{Z}_{p}[x] \\) 의 분해체라 하자. \\", "( f^{\\prime}(x)=p^{n} x^{p^{n}-1}-1=0 x^{p^{n}-1} \\) \\( -1=0 x^{p^{n}-1}-1=-1 \\) 이기 때문에 정리 \\(5.4.1(2)\\)에 의하여 \\( f(x) \\) 는 분리가능하다. \\", "( E \\) 를 \\( x^{p^{n}}-x \\) 의 서로 다른 \\( p^{n} \\) 개 근을 포함하는 \\( K \\) 의 부분집합이라 하자. \\", "( c \\in E \\) 일 필요충분조건이 \\( c^{p^{n}}=c \\) 라는 것을 주목하라.", "이제 우리는 \\( E \\) 가 사실 \\( I \\) 의 부분체라는 것을 보일 것이다.", "만약 \\( a, b \\in E \\) 라면 보조정리 \\(5.5.6\\)에 의하여 \\[ (a+b)^{p^{n}}=a^{p^{n}}+b^{p^{n}}=a+b \\] 이다.", "그러므로 \\( a+b \\in E \\) 이고 \\( E \\) 는 덧셈에 대하여 닫혀있다. \\", "( (a b)^{p^{n}}=a^{p^{n}} b^{p^{n}}=a b \\) 이므로 집합 \\( E \\) 는 곱셈에 대하여 닫혀있다.", "명백하게, \\( 0_{K} \\in E \\) 이고 \\( 1_{K} \\in E \\) 이다.", "만약 \\( a \\in E \\) 가 영이 아닌 원소라고 하면 \\( -a \\in E \\) 이고 \\( a^{-1} \\in E \\) 이다.", "왜나하면 예를 들어 \\[ \\left(a^{-1}\\right)^{p^{n}}=a^{-p^{n}}=\\left(a^{p^{n}}\\right)^{-1}=a^{-1} \\] 이기 때문이다. \\", "( -a \\) 에 대한 논의도 비슷하다(연습문제 7).", "그러므로 \\( E \\) 는 \\( K \\) 의 부분체이다.", "분해체 \\( K \\) 가 근의 집합 \\( E \\) 를 포함하는 가장 작은 부분체이기 때문에, \\( K=E \\) 이다.", "그러므로 \\( K \\) 는 위수 \\( p^{n} \\) 을 가진다.", "역으로 \\( K \\) 의 위수가 \\( p^{n} \\) 이라 하자.", "우리는 모든 \\( K \\) 의 원소가 \\( x^{p^{n}}-x \\) 의 근이라는 것을 보이기만 하면 된다.", "왜냐하면 그렇게 되면 \\( K \\) 의 서로 다른 \\( p^{n} \\) 개의 원소가 모두 가능한 근들이고 \\( K \\) 는 \\( x^{p^{n}}-x \\) 의 분해체가 된다. \\", "( 0_{K} \\) 는 명백하게 근이 된다.", "그러므로 영이 아닌 \\( c \\in K \\) 를 가지고 오자.", "또한 \\( c_{1}, c_{2}, \\cdots, c_{k} \\) 를 모두 \\( K \\) 의 영이 아닌 원소들이라 하자.", "여기서 \\( k=p^{n}-1 \\) 이고 \\( c \\) 를 \\( c_{i} \\) 중 하나라고 하자.", "그리고 \\( u=c_{1} c_{2} \\cdots c_{k} \\) 라 두자. \\", "( c c_{i}=c c_{j} \\) 가 \\( c_{i}=c_{j} \\) 를 의미하므로 \\( k \\) 개의 원소 \\( c c_{1}, c c_{2}, \\cdots, c c_{k} \\) 는 모두 서로 다른 원소들이다.", "그러므로 그들은 그저 \\( K \\) 의 영이 아닌 원소들의 다른 순서이다.", "그리고 그들의 곱은 원소 \\( u \\) 이다.", "그러므로 \\[ u=\\left(c c_{1}\\right)\\left(c c_{2}\\right) \\cdots\\left(c c_{k}\\right)=c^{k}\\left(c_{1} c_{2} \\cdots c_{k}\\right)=c^{k} u \\] 이다.", "양변에서 \\( u \\) 를 소거하면 \\( c^{k}=1_{K} \\) 이다.", "그래서 \\( c^{k+1}=c \\) 이다.", "즉, \\( c^{k+1}-c=0_{K} \\) 이다. \\", "( k+1=p^{n} \\) 이므로 \\( c \\) 는 \\( x^{p^{n}}-x \\) 의 근이다.", "</p> <h1>5.6 작도가능성</h1><p>눈금이 새겨지지 않는 자(straightedge)와 컴퍼스(compass)만을 이용하여 어떤 각의 \\(3\\) 등분을 작도, 어떤 도형의 넓이와 같은 다른 도형 넓이의 작도 또는 어떤 정육면체의 부피의 두 배를 갖는 새로운 정다면체를 만들 수 있는가 하는 기하학적 문제를 살펴보자.", "평면 \\( R^{2}=R \\times R \\) 상의 어떤 점들의 집합 \\( I \\) 에 대한 다음의 두 작용을 생각 하여 보자.", "</p><ol type=1 start=1><li>자의 작용(ruler operation): \\( \\% \\) 의 어떤 지점 \\( A, B \\) 를 지나는 직선을 그린다.", "</li><li>컴퍼스의 작용(compass operation): 주어진 세 점 \\( A, B, C \\in \\Pi \\) 에 대하여 선분 \\( A B \\) 의 길이를 반지름으로 하고 \\( C \\) 를 중심으로 하는 원을 그린다.", "</li></ol><p>정의 직선과 직선, 직선과 원, 원과 원이 \\((1), (2)\\)로부터 작도되어, 두 도형의 교점을 \\( K \\) 로부터 \\(1\\)단계로 작도가능하다(constructible)라고 한다.", "점 \\( P_{1} \\) 이 \\( K \\) 로부터의\\(1\\) 단계 작도가능하고, \\( P_{2} \\) 가 \\( K \\cup\\left\\{P_{1}\\right\\} \\) 으로부터 \\(1\\) 단계 작도가능, \\( \\cdots, P_{i} \\) 가 \\( \\Pi \\cup\\left\\{P_{1}, \\cdots, P_{i-1}\\right\\} \\) 로부터 1 단계 작도가능한 점 \\( P_{1}, \\cdots, P_{n}=P \\) 가 존재할 때 점 \\( P \\) 를 \\( I \\) 로부터 작도가능한 점(constructable point)이라고 한다.", "</p><p>보기 \\(1\\) 두 점 \\( A, B \\in K \\) 를 잊는 선분 \\( A B \\) 의 중점 \\( M \\) 은 작도가능하다.", "점 \\( A \\) 를 중심, \\( \\overline{A B} \\) 를 반지름으로 하는 원과 점 \\( B \\) 를 중심, \\( \\overline{A B} \\) 를 반지름으로 하는 원의 교점을 \\( C, D \\) 라 하면 이들은 \\( \\{A, B\\} \\) 로부터 \\(1\\) 단계작용으로 작도가능하다.", "다음으로 \\( C, D \\) 을 잊는다.", "이 직선과 직선 \\( A B \\) 의 교점이 구하려는 중점이다.", "따라서 \\( \\overline{A B} \\) 의 중점 \\( M \\) 은 \\( \\{A, B\\} \\) 로부터 작도가능하다.", "실수체 \\( R \\) 의 부분체 \\( F \\) 의 원소 \\( a, b \\) 를 좌표로 하는 점들의 집합 \\( F \\times F \\) 를 \\( F \\) 위의 평면이라 한다.", "두 점 \\( P, Q \\in F \\times F \\) 를 지나는 직선을 \\( F \\) 위의 직선, \\( P \\) 를 중심으로 하고 선분 \\( P Q \\) 를 반지름으로 원을 \\( F \\) 위의 원이라 한다.", "이들 도형은 \\( a, b, c \\in F \\) 에 대하여 다음으로 표시된다.", "직선 : \\( a x+b y+c=0 \\), 원 : \\( x^{2}+y^{2}+a x+b y+c=0 \\)</p> <p>정리 \\(5.5.7\\)은 몇 가지 중요한 결과들을 가지고 온다.", "또한 이로써 우리는 유한체를 동형관계까지 완전히 결정할 수 있다.", "</p><p>따름정리 \\(5.5.8\\) 각각의 양의 소수 \\( p \\) 와 양의 정수 \\( n \\) 에 대하여 위수가 \\( p^{n} \\) 인 체가 존재한다.", "증명 정리 \\(5.3.6\\)에 의하여 \\( \\mathbb{Z}_{p} \\) 위의 \\( x^{p^{n}}-x \\) 에 대한 분해체가 존재한다.", "그리고 이 체는 정리 \\(5.5.7\\)에 의하여 위수 \\( p^{n} \\) 을 가진다.", "</p><p>따름정리 \\(5.5.9\\) 두 개의 위수가 같은 유한체는 동형이다.", "증명 \\( \\quad K \\) 와 \\( L \\) 을 위수가 \\( p^{n} \\) 인 체라고 하자.", "그러면 정리 \\( 5.5 .8 \\) 에 의하여 둘 다 \\( \\mathrm{Z}_{p} \\) 위의 \\( x^{p^{n}}-x \\) 에 대한 분해체이다.", "그러므로 둘은 정리 \\(5.3.7\\)에 의하여 동형이다.", "(정리 \\(5.3.7\\)을 쓸 때, \\( \\sigma \\) 를 \\( \\mathrm{Z}_{p} \\) 에서 \\( \\mathrm{Z}_{p} \\) 로의 항등 사상으로 두면 된다.)", "</p><p>따름정리 \\(5.5.9\\)에 의하여 위수가 \\( p^{n} \\) 인 (동형관계를 따지면) 유일한 체가 있다.", "이러한 체를 위수가 \\( p^{n} \\) 인 갈루아 체 (Galois field of order \\( \\left.p^{n}\\right) \\) 라고 한다.", "이제, 군 이론을 이용하여 증명할 수 있는 두 개의 결론과 함께 이 유한체에 대한 절을 마무리하자.", "</p><p>정리 \\(5.5.10\\) \\( K \\) 를 유한체라 하고 \\( F \\) 를 그의 부분체라 하자.", "그러면 \\( K \\) 는 \\( F \\) 의 단순확대이다.", "증명 정리 \\(5.3.14\\)에 의하여 \\( K \\) 의 영이 아닌 원소들로 이루어진 곱셈군은 순환군이다. \\", "( u \\) 가 이 군의 생성원이라 하면 부분체 \\( F(u) \\) 는 \\( 0_{F} \\) 와 모든 \\( u \\) 의 거듭제곱들을 포함한다.", "따라서 \\( K \\) 의 모든 원소를 포함한다.", "그러므로 \\( K=F(u) \\) 이다.", "</p><p>따름정리 \\(5.5.11\\) \\( p \\) 를 양의 소수라 하자.", "모든 양의 정수 \\( n \\) 에 대하여 \\( \\mathrm{Z}_{p}[x] \\) 에 차수가 \\( n \\) 인 기약다항식이 존재한다.", "증명 따름정리 \\(5.5.8\\)에 의하여 위수가 \\( p^{n} \\) 인 \\( K \\) 가 \\( \\mathrm{Z}_{p} \\) 의 확대체로서 존재한다.", "그리고 정리 \\(5.5.10\\)에 의하여 어떤 \\( u \\in K \\) 에 대하여 \\( K=\\mathrm{Z}_{p}(u) \\) 이다.", "정리 \\(5.1.8\\)에 의 하여 \\( \\mathrm{Z}_{p}[x] \\) 에서 \\( u \\) 의 최소다항식은 차수 \\( \\left[K: \\mathbb{Z}_{p}\\right] \\) 인 기약다항식이며, 정리 \\(5.5.5\\)로부터 \\( \\left[K: \\mathbb{Z}_{p}\\right]=n \\) 이다.", "</p> <p>정리 \\(5.6.5\\) 한 변의 길이가 \\(1\\) 인 정육면체의 부피의 두 배를 부피로 갖는 정육면체는 자와 컴퍼스만으로 작도불가능하다.", "</p><p>증명 실수 \\( c=\\sqrt[3]{2} \\) 는 작도불가능함을 보이자. \\", "( c^{3}-2=0 \\) 이므로 \\( c \\) 는 다항식 \\[ p(x)=x^{3}-2 \\in Q[x] \\text { 의 근이다. }", "p(x) \\text { 는 } Q \\text { 위에서 기약이므로 }[Q(\\sqrt[3]{2}): Q] \\] \\( =3 \\).", "그러므로 \\( [\\sqrt[3]{2}: Q] \\) 는 \\(2\\) 의 거듭제곱이 아니다.", "따라서 실수 \\( \\sqrt[3]{2} \\) 는 작도 불가능하다.", "</p><p>정리 \\(5.6.6\\) 주어진 원과 같은 면적을 갖는 정사각형을 자와 컴퍼스만으로 작도하는 것은 불가능하다.", "</p><p>증명 반지름의 길이가 \\(1\\) 인 원의 면적은 \\( \\pi \\) 이다.", "이와 같은 면적을 갖는 정사각형의 한변의 길이는 \\( \\sqrt{\\pi} \\) 이다. \\", "( \\pi \\) 와 \\( \\quad \\sqrt{\\pi} \\) 는 초월수이므로 \\( [Q(\\sqrt{\\pi}): Q]=\\infty \\). \\", "( [\\sqrt{\\pi}: Q] \\) 는 \\(2\\) 의 거듭제곱이 아니다.", "따라서 \\( \\sqrt{\\pi} \\) 는 작도불가능이다.", "</p><p>정 \\( n \\) 다각형의 작도가능성에 대하여 살펴보기로 하자.", "정 \\( n \\) 다각형의 작도는 점 \\( \\left(\\cos \\frac{2 \\pi}{n}, \\sin \\frac{2 \\pi}{n}\\right) \\) 의 작도 여부에 달려 있다.", "복소평면에서는 \\( r=e^{\\frac{2 \\pi i}{n}} \\) 의 작도가능성에 따른다. \\", "( r \\) 를 근으로 갖는 \\( Q \\) 위의 최소 기약다항식은 \\( \\Phi_{n}(z)=(z-r) \\cdots\\left(z-r^{k}\\right) \\cdots \\) \\( \\left(z-r^{n-1}\\right) \\) 인 것을 잘 알려진 사실이다.", "또한 \\( \\Phi_{n}(z) \\) 의 차수는 오일러의 파이- 함수 \\( \\varnothing(n) \\) 이다.", "가우스는 1826년 \\( n=2^{k}+1 \\) 꼴의 소수인 정다각형은 작도가능함을 보였다.", "가우스는 실제로 정 \\(17\\) 다각형을 작도한 바 있다. \\", "( n=2^{k}, 3 \\cdot 2^{k}, 5 \\cdot 2^{k} \\) 인 정 \\( n \\) 다각형은 오래전에 그리스인들에 의하여 작도가능함이 증명되었다. \\", "(1837\\)년 방첼(Pierre L.", "Wantzel)은 정 \\( n \\) 다각형이 작도가능할 필요충분조건은 \\( 2^{n}+1 \\) 꼴의 서로 다른 소수 \\( p_{i} \\) 에 대하여 \\( n=2^{k} p_{1} p_{2} \\cdots p_{i} \\) 이 되는 것을 증명하 였다.", "</p><h1>연습문제 \\( 5.6 \\)</h1><p>\\(1\\) \\( \\alpha \\) 가 작도가능하면 \\( \\sqrt{|\\alpha|} \\) 도 작도가능함을 도형으로 보여라.", "</p><p>\\(2\\) \\( p=2^{n}+1 \\) 인 소수 \\( p \\) 에 대하여 정 \\( p \\) 각형은 작도가능함을 보여라.", "</p><p>\\(3\\) 자와 컴퍼스만을 이용하여 모든 각을 3등분할 수 있는가?", "</p><p>\\(4\\) 실수 전체의 집합은 작도가능하는가?", "</p><p>\\(5\\) 주어진 원과 같은 면적을 갖는 정사각형을 자와 컴퍼스만으로 작도가능하는가?", "</p><p>\\(6\\) 한 변의 길이가 \\(1\\) 인 정육면체의 부피의 두 배를 부피로 갖는 정육면체는 자와 컴퍼스만으로 작도가능하는가?", "</p><p>\\(7\\) 실수가 \\( c \\) 가 작도가능하면 \\( c \\) 는 유리수체 \\( Q \\) 위에서 대수적이고, \\( [c: Q]=2^{r}, r \\geq 0 \\) 이다.", "</p><p>\\(8\\) 정 \\( n \\) 다각형의 작도는 점 \\( \\left(\\cos \\frac{2 \\pi}{n}, \\sin \\frac{2 \\pi}{n}\\right) \\) 의 작도 여부에 달려 있음을 보여라.", "</p> <p>정리 \\(5.5.5\\)는 유한체의 가능한 크기를 제한한다.", "예를 들어, 위수를 \\(6\\) 으로 가지는 체는 존재하지 않는다.", "왜냐하면 \\(6\\) 은 어떤 소수의 거듭제곱으로 나타낼 수 없기 때문이다.", "이것은 그 역에 관한 몇 가지 궁금점을 자아낸다.", "모든 소수 \\( p \\) 와 정수 \\( n \\) 에 대하여 \\( p^{n} \\) 을 위수로 가지는 체가 존재하는가?", "위수가 \\( p^{n} \\) 인 두 체 사이에는 어떤 관계가 있는가?", "이 질문들에 대한 답을 하기 위하여 정리 \\( 5.5 .7 \\) 과 그의 따름정리들을 살펴보자.", "우선, 우리는 기술적인 보조정리가 필요하다.", "</p><p>보조정리 \\(5.5.6\\) The Freshman's Dream \\( p \\) 를 소수라 하고 \\( R \\) 을 특성이 \\( p \\) 인 항등원을 가지는 가환환이라 하자.", "그러면 모든 \\( a, b \\in R \\) 과 모든 양의 정수 \\( n \\) 에 대하여 \\[ (a+b)^{p^{n}}=a^{p^{n}}+b^{p^{n}} \\] 이 성립한다.", "</p><p>증명 \\( \\quad n \\) 에 관한 수학적 귀납법을 통해 증명하자. \\", "( n=1 \\) 일 때, 이항정리에 의하여 \\[ (a+b)^{p}=a^{p}+\\left(\\begin{array}{l} p \\\\ 1 \\end{array}\\right) a^{p-1} b+\\cdots+\\left(\\begin{array}{l} p \\\\ r \\end{array}\\right) a^{p-r} b^{r}+\\cdots+\\left(\\begin{array}{c} p \\\\ p-1 \\end{array}\\right) a b^{p-1}+b^{p} \\] 이다.", "이때, 정수론의 결과로부터 각 중간의 계수 \\( \\left(\\begin{array}{l}p \\\\ r\\end{array}\\right)=\\frac{p !}{r !(p-r) !}", "\\) 가 정수라는 것을 알고 있다.", "또한, 이의 모든 항의 분모가 소수 \\( p \\) 보다 작기 때문에 분자에 있는 인수 \\( p \\) 는 상쇄되지 않는다.", "그러므로 \\( p \\) 가 \\( \\left(\\begin{array}{l}p \\\\ r\\end{array}\\right) \\) 를 나눈다.", "즉, \\( \\left(\\begin{array}{l}p \\\\ r\\end{array}\\right)=t p \\) 이다.", "환 \\( R \\) 의 특성이 \\( p \\) 이기 때문에, \\[ \\left(\\begin{array}{l} p \\\\ r \\end{array}\\right) a^{p-r} b^{r}=t p 1_{R} a^{p-r} b^{r}=t\\left(p 1_{R}\\right) a^{p-r} b^{r}=t 0_{R} a^{p-r} b^{r}=0_{R} \\] 이다.", "그러므로 모든 중간 항들은 모두 영이고 \\( (a+b)^{n}=a^{n}+b^{n} \\) 이다.", "그러므로 이 정리는 \\( n=1 \\) 일 때 성립한다.", "이 정리가 \\( n=k \\) 일 때 성립한다고 가정하 자.", "이 가정과 \\( n=1 \\) 일 때의 경우를 이용하여 \\[ (a+b)^{p^{k+1}}=\\left((a+b)^{p^{k}}\\right)^{p}=\\left(a^{p^{k}}+b^{p^{k}}\\right)^{p}=\\left(a^{p^{k}}\\right)^{p}+\\left(b^{p^{k}}\\right)^{p}=a^{p^{k+1}}+b^{p^{k+1}} \\] 임을 보일 수 있다.", "그러므로 이 정리는 \\( n=k+1 \\) 인 경우에도 성립하고, 수학적 귀납법에 의하여 모든 양의 정수 \\( n \\) 에 대하여 성립한다.", "</p> <p>정리 \\(5.6.3\\) 실수가 \\( c \\) 가 작도가능하면 \\( c \\) 는 유리수체 \\( Q \\) 위에서 대수적이고 차수는 \\(2\\) 의 거듭제곱이다.", "</p><p>증명 실수 \\( c \\) 가 작도가능하면 정수점들로 부터 정리 5.6.1의 작업을 유한번 시행하여 점 \\( (c, 0) \\) 을 작도할 수 있다.", "유리수체 \\( Q \\) 에 이러한 작업을 한 번 시행하면 정리 \\(5.6.1\\)에 의하여 적당한 \\( a_{1} \\in Q, a_{1} \\geq 0 \\) 이 존재하여 작도가능한 체 \\( Q\\left(\\sqrt{a_{1}}\\right) \\) 이 생긴다.", "이 체 \\( Q\\left(\\sqrt{a_{1}}\\right) \\) 에 같은 작업을 다시 시행하면 적당한 \\( a_{2} \\in Q\\left(\\sqrt{a_{1}}\\right) \\), \\( a_{2} \\geq 0 \\) 이 존재하여 작도가능한 체 \\( \\left(Q\\left(\\sqrt{a_{1}}\\right)\\right)\\left(\\sqrt{a_{2}}\\right)=Q\\left(\\sqrt{a_{1}}, \\sqrt{a_{2}}\\right) \\) 가 생긴다. \\", "( c \\) 가 작도가능하면 이러한 작업을 유한번 \\( (n \\) 번) 시행하여 \\[ c \\in Q\\left(\\sqrt{a_{1}}, \\cdots, \\sqrt{a_{n}}\\right), a_{n} \\geq 0, a_{n} \\in Q\\left(\\sqrt{a_{1}}, \\cdots, \\sqrt{a_{n-1}}\\right) \\] 이 되는 체 \\( Q\\left(\\sqrt{a_{1}}, \\cdots, \\sqrt{a_{n}}\\right)=\\left(Q\\left(\\sqrt{a_{1}}, \\cdots, \\sqrt{a_{n-1}}\\right)\\right)\\left(\\sqrt{a_{n}}\\right) \\) 이 존재한다.", "즉 \\[ \\begin{array}{l} Q \\leq Q\\left(\\sqrt{a_{1}}\\right) \\leq \\cdots \\leq Q\\left(\\sqrt{a_{1}}, \\cdots, \\sqrt{a_{n}}\\right) \\\\ a_{1} \\in Q, a_{i} \\in Q\\left(\\sqrt{a_{1}}, \\cdots, \\sqrt{a_{i-1}}\\right)(2 \\leq i \\leq n) \\end{array} \\] 따름정리 \\(5.1.4\\)에 의하여 \\[ \\begin{array}{l} {\\left[Q\\left(\\sqrt{a_{1}}, \\cdots, \\sqrt{a_{n}}\\right): Q\\right]} \\\\ \\quad=\\left[Q\\left(\\sqrt{a_{1}}, \\cdots, \\sqrt{a_{n}}\\right): Q\\left(\\sqrt{a_{1}}, \\cdots, \\sqrt{a_{n-1}}\\right)\\right] \\cdots\\left[Q\\left(\\sqrt{a_{1}}\\right): Q\\right] \\end{array} \\] 그런데 \\( \\left[Q\\left(\\sqrt{a_{1}}, \\cdots, \\sqrt{a_{i}}\\right): Q\\left(\\sqrt{a_{1}}, \\cdots, \\sqrt{a_{i-1}}\\right)\\right]=1 \\) 또는 \\(2\\) 이므로 \\[ \\left[Q\\left(\\sqrt{a_{1}}, \\cdots, \\sqrt{a_{n}}\\right): Q\\right]=2^{m}, \\quad M \\geq 0 \\] \\( F=Q\\left(\\sqrt{a_{1}}, \\cdots, \\sqrt{a_{n}}\\right) \\) 이라 하면 \\( c \\in F \\) 이므로 \\( Q(c) \\) 는 \\( F \\) 의 부분체이고 \\( [Q(c): Q] \\mid[F: Q] \\).", "그러므로 \\( [c: Q]=[Q(c): Q] \\mid 2^{l} \\).", "따라서 \\( [c: Q]=2^{r} \\), \\( r \\geq 0 \\)</p><p>위의 정리에서 \\( [c: Q] \\) 가 \\(2\\) 의 거듭제곱이 아니면 \\( c \\) 는 작도가능하지 않음을 알 수 있다.", "작도불가능한 세 가지 유형의 문제를 생각하여 보자.", "</p><p>정리 \\(5.6.4\\) 자와 컴퍼스만을 이용하여 모든 각을 \\(3\\) 등분할 수는 없다.", "</p><p>크기가 \\( 60^{\\circ} \\) 인 각을 \\(3\\) 등분하는 작도는 불가능함을 보이자. \\", "( 60^{\\circ} \\) 인 각을 \\(3\\) 등분한다는 것은 실수 \\( \\cos 20^{\\circ} \\) 를 작도할 수 있다는 뜻이다.", "각 \\( \\theta \\) 에 관한 드무아브르의 공식에 의하면 \\( \\cos 3 \\theta=4 \\cos ^{3} \\theta-3 \\cos \\theta \\) 가 성립한다. \\", "( \\theta=20^{\\circ} \\), \\( c=\\cos 20^{\\circ} \\) 라 하면 \\( \\frac{1}{2}=4 c^{3}-3 c, 8 c^{3}-6 c-1=0 \\).", "이는 \\( c=\\cos 20^{\\circ} \\) 가 다항식 \\( p(x)=8 x^{3}-6 x-1 \\in Q[x] \\) 의 근임을 뜻한다. \\", "( p(x) \\) 는 \\( Q \\) 위에서 기약다항식이므로 \\( [c: Q]=[Q[c]: Q]=3 \\) 이다.", "이것은 \\(2\\) 의 거듭제곱이 아니므로 정리 \\( 2.5 .8 \\) 에 의하여 \\( c \\) 는 작도 불가능하다.", "따라서 크기가 \\( 20^{\\circ} \\) 인 각은 작도불가능하다.", "</p>" ]

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[ "<h1>2.3 확률과정의 분포</h1><p>하나의 확률변수 \\( X \\)의 분포는 분포함수 \\( P(X \\leq x) \\)에 의하여 정해진다는 것을 상기하자.", "확률과정은 확률변수들의 모임이므로 \\( X \\) 의 분포를 알기 위해서는 확률변수들의 모임 \\( \\{X(t), t \\in T\\} \\)에 속한 모든 확률변수 \\( X(t) \\)들 사이의 결합분포를 알아야 한다. \\", "( T=\\{1 \\), \\( 2, \\cdots, n\\} \\)과 같이 유한집합인 경우에는 결합분포함수 \\( P\\left(X_{1} \\leq x_{1}, \\cdots, X_{n} \\leq x_{n}\\right) \\)에 의하여 \\( X \\)의 분포가 정해진다.", "일반적으로 임의의 자연수 \\( n \\) 과 \\( \\left\\{t_{1}, t_{2}, \\cdots, t_{n}\\right\\} \\subset T \\)에 대하여 결합확률분포 \\( P\\left(X\\left(t_{1}\\right) \\leq x_{1}, \\cdots, X\\left(t_{n}\\right) \\leq x_{n}\\right) \\)<caption>(2.1)</caption>이 정해지면 확률과정 \\( X \\)의 분포가 정해진다는 것이 알려져 있다.", "</p><p>일반적인 확률과정의 분포 \\((2.1)\\)을 구하는 것은 쉽지 않으나 확률과정을 구성하는 확률변수들 사이에 특수한 확률적 종속성(dependence) 등이 있는 경우에는 그 분포를 구할 수 있는 경우가 있다.", "</p><p>정의 \\( 2.1 \\) 독립증분</p><p>모든 시각 \\( 0 \\leq t_{0}<t_{1}<\\cdots<t_{n} \\) 에 대하여 \\[X\\left(t_{1}\\right)-X\\left(t_{0}\\right), X\\left(t_{2}\\right)-X\\left(t_{1}\\right), \\cdots, X\\left(t_{n}\\right)-X\\left(t_{n-1}\\right)\\]이 서로 독립일 때 \\( X=\\{X(t), t \\in T\\} \\)는 독립증분(independent increments)을 갖는다고 한다.", "</p><p>확률과정 \\( X \\)가 독립증분을 갖는다는 것은 서로 겹치지 않는 시간구간에서 확률과정의 변화량이 서로 독립이라는 것을 의미한다.", "</p><p>예제 \\(2.10\\)</p><p>\\( X_{n} \\)을 주식시장 개장 후 \\( n \\)거래일의 종합주가지수를 나타낸다고 하자. \\", "( X_{17}-X_{10} \\)은 \\(10\\)거래일부터 \\(7\\)거래일 동안의 종합주가지수 변동량을 나타내고 \\( X_{23}-X_{20} \\)은 \\(20\\)거래일 이후 \\(3\\)일간의 종합주가지수 변동량을 나타낸다.", "이때 \\( \\left\\{X_{n}, n=0,1,2, \\cdots\\right\\} \\)가 독립증분을 갖는다고 가정하면 \\( X_{17}-X_{10} \\)과 \\( X_{23}-X_{20} \\)은 서로 겹치지 않는 거래일 사이의 변동량이므로 서로 독립이다.", "</p><p>예제 \\( 2.11 \\)</p><p>\\( N(t) \\)를 어느 도시에서 \\( [0, t) \\)동안 발생한 교통사고 수를 나타낸다고 하자. \\( N= \\) \\( \\{N(t), t \\geq 0\\} \\)가 독립증분을 가지면 오늘 저녁 오후 \\(7\\)시부터 오후 \\(12\\)시 사이에 발생 하는 교통사고 수와 내일 오전 \\(9\\)시부터 \\(10\\)시 사이에 발생하는 교통사고 수는 서로 독립이다.</p><p>정의 \\( 2.2 \\) 정상증분</p><p>모든 \\( t \\in T \\)에 대하여 \\( X(t+s)-X(t) \\)가 같은 분포를 가질 때 \\( X=\\{X(t), t \\in T\\} \\)는 정상증분(stationary increments)을 갖는다고 한다.</p><p>정상증분을 갖는다는 것은 구간 \\( (t, s+t]", "\\)에서 확률과정의 변화량 \\( X(t+s)-X(t) \\)의 분포가 오직 구간의 길이 \\( s \\)에만 의존하고 시작 시점 \\( t \\)에는 의존하지 않는다는 것을 의미 한다.", "</p><p>예제 \\(2.12\\)</p><p>예제 \\( 2.10 \\)에서 \\( X=\\left\\{X_{n}, n=0,1,2, \\cdots\\right\\} \\)가 정상증분을 갖는다면 어느 시점부터 시작하든 \\(3\\)일간의 거래일 동안의 종합주가지수 번동량은 같은 분포를 따른다.", "예를 들어 \\(100\\) 거래일이 지난 날부터 \\(3\\)일간의 주가지수 변동량 \\( X_{103}-X_{100} \\)과 \\(101\\)일 거래일이 지난 날부터 \\(3\\)거래일 동안의 종합주가지수 변동량 \\( X_{104}-X_{101} \\)은 같은 분포를 따른다.", "</p><p>예제 \\(2.13\\)</p><p>예제 \\(2.11\\)에서 \\( N=\\{N(t), t \\geq 0\\} \\)가 정상증분을 가지면 오늘 저녁 오후 \\(7\\)시부터 오후 \\(12\\)시까지 \\(5\\)시간 동안 발생하는 교통사고 수는 오후 \\(10\\)시부터 \\(5\\)시간 동안 발생하는 교통사고 수와 같은분포를 따른다.", "</p><p>정리 \\( 2.1 \\)</p><p>\\( Y_{1}, Y_{2}, \\cdots \\)가 서로 독립이며 같은 분포를 따를 때 \\[X_{n}=\\sum_{k=1}^{n} Y_{k}, \\quad n \\geq 1\\]이라 하면 \\( X=\\left\\{X_{n}, n=0,1,2, \\cdots\\right\\}\\left(X_{0}=0\\right) \\)는 독립증분과 정상증분을 갖는다.", "</p><p>\\[X_{n_{i}}-X_{n_{i},}=\\sum_{j=n_{i, 1}+1}^{n_{i}} Y_{j}, \\quad i=1,2, \\cdots, k\\]이고 \\( Y_{1}, Y_{2}, \\cdots \\)는 서로 독립이므로 \\( X_{n_{i}}-X_{n_{i} i}, i=1, \\cdots, k \\) 는 서로 독립이다.", "따라서 \\( \\boldsymbol{X} \\)는 독립증분을 갖는다.", "</p><p>예제 \\(2.14\\)</p><p>예제 \\( 2.6 \\)의 단순확률보행 \\( X \\)는 서로 독립이며 같은 분포를 따르는 확률변수들의 부분 합으로 이루어지므로 독립증분과 정상증분을 갖는다.", "</p><p>정리 \\(2.2\\)</p><p>확률과정 \\( X=\\left\\{X_{n}, n=1,2, \\cdots\\right\\} \\)가 독립증분을 가지면, \\( X_{n+1}-X_{n} \\)은 \\( \\left\\{X_{1}\\right. \\)", ", \\( \\left.X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right\\} \\)과 서로 독립이다.", "</p><p>증명 \\( Y_{n+1}=X_{n+1}-X_{n}(n=0,1,2, \\cdots)\\left(X_{0}=0\\right) \\)이라 하자. \\", "( X \\) 가 독립증분을 가지므로 \\( Y_{1}, Y_{2}, \\cdots, Y_{n+1} \\)은 서로 독립이다.", "따라서 \\( Y_{n+1} \\)은 \\( \\left\\{Y_{1}, \\cdots, Y_{n}\\right\\} \\)과 서로 독립이다.", "따라서 \\( Y_{n+1}=X_{n+1}-X_{n} \\)은 \\( X_{1}=Y_{1}, X_{2}=Y_{1}+Y_{2}, \\cdots \\), \\( X_{n}=Y_{1}+\\cdots+Y_{n} \\)과 서로 독립이다.", "</p> <h1>2.1 도입</h1><p>주사위를 한 번 던질 때 나오는 눈의 수나 특정한 시점에서 임의로 한 사람을 선택할 때 그 사람의 키나 몸무게 등에 대한 확률적 특성을 알아보기 위해서는 한 개 또는 유한 개의 확률변수만으로 충분할 수 있다.", "그러나 무한히 반복되는 게임에서 얻는 점수 변화, 물가 추이, 고속도로의 특징 지점에서 발생하는 교통사고 수 등과 같이 시간이나 위치가 변함에 따라 확률적 특성이 변하는 현상을 나타내기 위해서는 여러 개의 확률변수들을 필요로 한다.", "몇 가지 예를 생각해보자.", "</p><p>예제 \\( 2.1 \\) 동전던지기</p><p>연속해서 동전을 던질 때 \\( X_{n} \\)을 \\( n \\)번째 시행에서 앞면이 나오면 \\(1\\), 뒷면이 나오면 \\(0\\)의 값을 갖는 확률변수라 하자.", "이때 특정한 시점, 예를 들어 세 번째 실험의 결과만 기술하기 위해서는 확률변수 \\( X_{3} \\) 하나면 충분하다.", "그러나 무한히 반복되는 실험을 나타내기 위해서는 확률변수들 \\( \\left\\{X_{n}, n=1,2, \\cdots\\right\\} \\)을 필요로 한다.", "</p><p>예제 \\( 2.2 \\) 사회계층이동</p><p>사회 구성원의 계층을 상류, 중류, 하류 등과 같이 몇 개의 단계로 나눌 때 세대가 진행됨에 따라 계층간의 이동이 일어나게 된다.", "계층의 이동은 개인의 능력이나 노력뿐만 아니라 여러 가지 사회환경에도 영항을 받게 된다.", "따라서 계층의 구성과 이동은 결정직이기보다는 확률적인 특성을 가지고 있다고 보는 것이 적합할 것이다. \\", "( X_{n} \\)을 \\( n \\)번째 세대의 계층 구조를 나타내는 확률변수라 할 때 확률변수들의 모임 \\( \\left\\{X_{n}, n=1\\right. \\), \\( 2, \\cdots\\}", "\\)은 계층이동 추이를 나타낸다.", "</p><p>예제 \\( 2.3 \\) 종합주가지수</p><p>\\( X_{0} \\)를 전년도 주식시장이 폐장될 때의 종합주가지수라 하고, \\( X_{n} \\)을 올해 \\( n \\)번째 거래일 마감시점의 종합주가지수라고 하면 \\( \\left\\{X_{n}, n=0,1,2, \\cdots\\right\\} \\)은 매일 마감시간에 관측된 종합주가지수의 추이를 나타낸다.", "또한 \\( X(0) \\)을 특정한 시점(예를 들어 올해 처음 개장할 시점)의 종합주가지수라 하고 \\( X(t) \\)를 그때부터 \\( t \\)시간이 지난 후의 지수라고 하면 \\( \\{X(t), t \\geq 0\\} \\)는 주가지수의 연속적인 변화 추이를 나타낸다.", "</p><p>예제 \\(2.4\\) 종의 수 추이</p><p>어떤 동물의 개체 수는 기후, 환경, 먹이의 공급상태 등 주변 환경에 많은 영항을 받는다.", "따라서 그 종의 개체 수의 변화 주이는 확률적인 특성을 지니게 된다. \\", "( X(t) \\)를 \\( t \\) 시각에 그 종의 개체 수라 하면 확률변수들의 모임 \\( \\{X(t), t \\geq 0\\} \\)는 개체 수의 변화 추이를 나타낸다.", "</p><p>예제 \\( 2.5 \\)</p><p>확률변수 \\( X(t, u) \\)를 \\( t \\) 시각에 \\( u \\)에서의 온도라고 하면 \\( \\left\\{X(t, u),(t, u) \\in[0, \\infty) \\times \\mathbf{R}^{3}\\right\\} \\)는 시간과 위치의 변화에 따른 온도변화를 나타낸다.", "</p><p>위에서 언급한 예 이외에도 여러 개의 확률변수에 의하여 기술되는 실제 현상들을 쉽게 접할 수 있다.", "이와 같이 관측하는 시점이나 장소에 따라 확률분포가 변하는 확률현상을 모형화하기 위하여 관측시점이나 위치 등을 매개변수로 하는 확률변수들의 모임을 확률과정이라 한다.", "</p><p>실제 자연현상이나 사회현상에서 나타나는 확률적 현상을 수학적으로 모형화하고 적용하기 위해서는 보통 다음의 단계를 거친다.", "먼저 현상에 대한 충분한 이해를 바탕으로 그 현상을 특징짓는 요소를 발췌하여 모형을 단순화하고 추상화한다.", "그 다음에는 단순화된 모형을 기술하기 위한 확률과정을 구성한다.", "이를 위해서는 현장에서 자료를 수집한 후 그 현상을 기술하는 확률변수들의 분포와 상호간의 확률적 종속성 등을 결정하기 위한 통계적 절차가 필요하다.", "끝으로 구성된 확률과정의 확률적 특성과 모형을 설명하기 위한 특성값들을 분석한다.", "분석결과가 실제 현상을 잘 설명하는지 확인하고 그렇지 않은 경우에는 모형 및 분석방법에 대한 수정-보완작업을 수행하여 위의 과정을 반복한다.", "</p><p>이 책에서는 통계적 추론에 대한 논의는 생략하고 경제학-사회학·공학-생명과학 등에서 나타나는 현상들을 모형화하는 데 자주 사용되는 몇몇 확률과정에 대하여 살펴본다.", "</p> <h1>\\(2\\)장 연습문제</h1><p>\\(1\\).", "다음과 같은 상태를 모형화하기 위한 확률과정의 시간공간과 상태공간을 결정하라.", "</p><ol type=1 start=1><li>어떤 도시에서의 일별 교통사고 수의 추이</li><li>특정 지역에서의 월별 강우량의 추이</li><li>특정한 톨게이트를 통과한 자동차 수의 추이</li><li>특정 지역에서 오존 농도의 변화</li><li>시간 변화에 따른 어떤 댐의 수위 변화</li></ol><p>\\(2\\).", "두 대의 주유기가 있는 주유소를 생각하자.", "고객이 도착했을 때 다른 고객이 두 대의 주유기를 모두 사용하고 있으면 그 고객은 그 주유소에서 기름 넣기를 포기하고 떠난다. \\", "( X(t) \\)를 \\( t \\) 시각에 사용 중인 주유기 수라 할 때, \\( \\{X(t), t \\geq 0\\} \\)의 표본경로를 그려라.", "</p><p>\\(3\\).", "확률과정 \\( X=\\left\\{X_{n}, n=0,1,2, \\cdots\\right\\} \\)(단 \\( X_{0}=0 \\) )가 정상증분을 갖고 \\( E\\left[X_{1}\\right]=\\mu \\)일 때, \\( E\\left[X_{n}\\right]=n \\mu \\)가 됨을 보여라.", "</p><p>\\(4\\).", "확롤과정 \\( X=\\left\\{X_{n}, n=0,1,2, \\cdots\\right\\} \\)(단 \\( X_{0}=0 \\) )가 정상증분과 독립증분을 가지며 \\( \\operatorname{Var}\\left[X_{1}\\right]=\\sigma^{2} \\)일 때, \\( \\operatorname{Var}\\left[X_{n}\\right]=n \\sigma^{2} \\)이 됨을 보여라.", "</p><p>\\(5\\).", "확률과정 \\( X=\\left\\{X_{n}, n=1,2, \\cdots\\right\\} \\)가 독립증분을 가지면 \\( X \\)는 마르코프과정이 됨을 보여라.", "</p><p>\\(6\\).", "서로 독립인 확률변수 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots \\)에 대하여 \\( S_{n}=\\sum_{k=1}^{n} X_{k} \\)라 하자. \\", "( E\\left[\\left|X_{n}\\right|\\right]<\\infty \\)이고 \\( E\\left[X_{n}\\right]=0 \\)일 때, \\( \\left\\{S_{n}, n=1,2, \\cdots\\right\\} \\)는 마팅게일이 됨을 보여라.", "</p><p>\\(7\\).", "다음은 어떤 대기행렬시스템을 나타내는지 설명하라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( M / M / 1 \\)</li><li>\\( M / G / \\infty \\)</li><li>\\( G I / M / 5 / 9 \\)</li><li>\\( M / E_{3} / 4 / 5 /{LSFS}\\)</li></ol> <h1>2.2 확률과정의 정의</h1><p>확률변수들의 모임 \\( X=\\{X(t), t \\in T\\} \\)를 확률과정(stochastic process 또는 random process)이라 한다.", "즉 각각의 \\( t \\in T \\) 에 대하여 \\( X(t) \\)는 확률변수이다.", "이때 매개변수집합 \\( T \\)는 시스템을 관측하는 시점에 따라 \\( T=\\{0,1,2, \\cdots\\} \\)와 같이 이산적일 수도 있고 \\( [0, \\infty) \\)와 같이 연속적일 수도 있다.", "이와 같이 \\( T \\)가 가산집합일 때 확률과정 \\( X \\)를 이산시간 확률과정(discrete-time stochastic process)이라 한다.", "한편 \\( T \\)가 \\( \\mathrm{R}^{+}=[0, \\infty) \\) 또는 \\( \\mathrm{R}=(-\\infty, \\infty) \\)와 같이 구간으로 정해질 때 \\( \\boldsymbol{X} \\)를 연속시간 확률과정(continuous-time stochastic process)이라 한다. 앞으로 이산시간 확률과정은 \\( n \\)과 아래첨자를 사용하여 \\( \\left\\{X_{n}\\right\\} \\) 또는 \\( \\left\\{X_{n}, n=0,1,2, \\cdots\\right\\} \\)과 같이 나타내기로 한다.</p><p>예제 \\( 2.5 \\)와 같이 \\( T \\)는 일차원이 아닌 복잡한 형태를 지닐 수도 있다. 또한 \\( X(t) \\)를 경부고속도로에서 서울기점 \\( t \\)만큼 떨어진 지점까지 교통사고 수를 나타내면 확률과정 \\( \\{X(t), t \\in T\\} \\)에서 \\( T \\)는 거리를 나타낸다. 이와 같이 매개변수집합 \\( T \\)는 여러 가지 의미를 지닐 수 있다. 그러나 여기서 다루는 대부분의 문제에서 사용되는 \\( T \\)는 시간을 나타내므로, 앞으로 여기서는 매개변수집합을 대표하는 의미에서 \\( T \\)를 시간공간(time space)이라 부르고 각 \\( t \\in T \\)를 시점 또는 시각이라고 한다.</p><p>확률과정 \\( X=\\{X(t), t \\in T\\} \\)에서 확률변수 \\( X(t) \\)들이 취하는 값을 상태(state)라 하며 상태 전체 집합을 확률과정 \\( X \\)의 상태공간(state space)이라 한다. 일반적으로 \\( X(t) \\)가 이산확률변수일 때 확률과정 \\( X \\)는 이산상태공간을 갖는다고 하고, 연속확률변수일 때 연속상태공간을 갖는다고 한다. 확률변수들 \\( X(t) \\)가 표본공간 \\( \\Omega \\)에서 정의되었다면 확률과정 \\( X \\)는 \\( \\omega \\in \\Omega \\)와 \\( t \\in T \\)에 대한 이변수함수 \\( X(t, \\omega) \\)이다. 이때 고정된 \\( \\omega \\in \\Omega \\)에 대하여 \\( t \\in T \\)만의 함수로 보았을 때 함수 \\( X(\\cdot, \\omega) \\)를 확률과정 \\( X \\)의 표본경로(sample path) 또는 자취 또는 궤적(trajectory)이라고 한다.</p><p>확률과정은 시간공간과 상태공간에 따라 표 \\(1.1\\)과 같이 분류한다.</p> <p>예제 \\( 2.6\\) 단순확률보행</p><p>앞면이 나올 확률이 \\( p(0<p<1) \\)이고 뒷면이 나올 확률이 \\( q=1-p \\)인 동전을 던지는 실험에서 \\( Y_{n} \\) 을 \\[Y_{n}=\\left\\{\\begin{array}{ll}1, & n \\text { 번째 시행 결과가 앞면 }(H) \\text { 인 경우 } \\\\-1, & n \\text { 번째 시행 결과가 뒷면 }(T) \\text { 인 경우 } \\end{array}\\right.\\]라 하고\\[X_{n}=X_{n-1}+Y_{n}=Y_{1}+Y_{2}+\\cdots+Y_{n}, n=1,2, \\cdots \\quad\\left(\\text { 단 } X_{0}=0\\right. \\text { ) }\\]이라 하면 \\( X_{n} \\)은 원점에서 출발하여 \\( n \\)번 움직였을 때 수직선상의 위치로 생각할 수 있다. 이때 확률과정 \\( X=\\left\\{X_{0}, X_{1}, \\cdots\\right\\} \\)을 단순확률보행(simple random walk)이라 한다. 확률과정 \\( X \\)의 상태공간은 \\( \\angle=\\{\\cdots,-2,-1,0,1,2, \\cdots\\} \\)이므로 \\( X \\)는 이산시간 이산상태공간을 갖는 확률과정이다. 그림 \\(2.1\\)은 실험 결과가 \\[\\begin{array}{l} \\omega_{1}=(H, T, H, T, H, T, T, H, H, H, T, H, \\cdots), \\\\\\omega_{2}=(T, H, H, H, T, H, T, H, T, T, H, H, \\cdots)\\end{array}\\]", "일 때 각각의 경우에 대하여 점 \\( \\left(n, X_{n}\\right) \\)을 차례로 연결한 것이다.</p><p>예제 \\( 2.7 \\) 기계수리모형</p><p>컴퓨터센터의 메인 서버는 중단없이 지속적으로 작동되어야 한다. 그러나 바이러스에 의한 감염이나 고장 혹은 자료의 수정과 보완, 점검을 위하여 시스템을 중단하여야 할 필요가 있다. 수리나 점검이 완료되면 시스템이 재가동된다. 이와 같은 과정이 반복된다고 할 때 컴퓨터 설치를 완료한 후 처음으로 가동되는 시점을 \\(0\\)이라 두고 \\( X(t) \\)를 다음과 같이 정의하자.</p><p>\\( X(t)=\\left\\{\\begin{array}{ll}0, & t \\text { 시각에 시스템이 작동 중 } \\\\ 1, & t \\text { 시각에 시스템이 수리 중 }\\end{array}\\right. \\)</p><p>그러면 \\( X=\\{X(t), t \\geq 0\\} \\)는 시간의 변화에 따른 시스템의 작동상태를 나타내며 상태 공간이 \\( \\{0,1\\} \\)이고 시간공간이 \\( [0, \\infty) \\)인 연속시간 이산상태공간 확률과정이다. 또한 \\( (0, t] \\)동안 시스템이 수리 중인 상태에 있는 시간 \\( Y(t) \\)는 \\[Y(t)=\\int_{0}^{t} X(s) d s, \\quad t \\geq 0\\]로 나타낼 수 있으며", "\\( Y=\\{Y(t), t \\geq 0\\} \\)는 연속시간 연속상태공간 확률과정이다. 그림 \\(2.2\\)는 확률과정 \\( X \\) 와 \\( Y \\)의 표본경로를 나타낸 것이다.</p><p>예제 \\( 2.8 \\) 계수과정</p><p>어떤 도시에서 \\( (0, t]", "\\)시간 동안 발생한 교틍사고 수를 \\( N(t) \\)라 하면 확롤과정 \\( N= \\) \\( \\{N(t), t \\geq 0\\} \\)는 시간공긴이 \\( T=[0, \\infty) \\)이고 상태공간이 \\( S=\\{0,1,2, \\cdots\\} \\)인 확률과정이다.", "교통사고가 발생한 시점이 \\( t_{1}<t_{2}<\\cdots \\)일 때 \\( N \\)의 표본겅로는 그림 \\( 2.3 \\) 과 같은 계단모양의 증가하는 함수이다.", "이와 같이 음이 아닌 정수값을 가지며 표본경로가 계단모양인 확률과정을 계수과정(counting process)이라 한다.", "</p><p>예제 \\( 2.9 \\) 대기행렬시스템</p><p>한 명의 이발사가 근무하는 이발소를 생각하자.", "고객들이 도착 순서에 따라 이발을 하고 이발을 마친 후에는 즉시 이발소를 떠난다.", "만약 어뗜 고객이 도착하였을 때 이발 하고 있는 고객이 없다면 그 고객은 도착 즉시 이발하기 시작한다.", "이발소에서 한 번에 수용할 수 있는 최대인원은 이발하는 고객과 대기 중인 고객을 포함하여 \\(5\\)명이라고 하자.", "이발소에 \\(5\\)명의 고객이 있을 때 도착한 고객은 이발소에 들어가지 못하고 되돌아가야 한다.", "이와 같이 작동하는 시스템을 대기행렬시스템(queueing system) 또는 대기체계라 한다.", "</p><p>대기행렬시스템은 일반적으로 다음과 같이 작동한다(그림 \\(2.4\\)).", "고객들이 서비스를 받기 위하여 서비스 시설에 도착하였을 때 모든 서버가 서비스 중이면 대기행렬에서 기다리다가 자신의 순서가 되었을 때 서비스를 받기 시작한다.", "서비스를 마친 고객은 시스템을 떠난다.", "기본적인 대기행렬시스템은 고객의 도착 간격, 서버 수, 서비스 시간, 서비스 규칙, 대기실 크기 등에 의하여 설명된다.", "이발소의 예에서 이발사는 서버에 해당되며, 이발하는 데 걸리는 시간은 서비스 시간, 이발하는 순서는 서비스 규칙에 해당된다.", "이때 이발소에서 수용할 수 있는 최대인원 \\(5\\)명이 시스템 용량이 된다.", "</p><p>대기행렬시스템은 일반적으로 다음과 같은 기호를 사용하여 나타낸다.", "</p><p>\\( A / B / c / K / Z \\)</p><p>여기서 \\( A \\)는 도착과정(도착시간 간격), \\( B \\)는 서비스 시간, \\( c \\)는 서버 수, \\( K \\)는 시스템 용 량, \\( Z \\)는 서비스 규칙을 나타내며 \\( K=\\infty \\)일 경우 \\( K \\)를 생략하기도 한다.", "또한 시스템의 특성값에 영항을 미치지 않을 경우 서비스 규칙을 생략하기도한다.", "대기행렬시스템에서 도착과정 또는 서비스 시간, 서비스 규칙을 나타내기 위하여 일반적으로 다음과 같은 기호가 사용된다.", "</p><ul><li>\\( M \\) : 도착시간 간격을 나타낼 때는 도착시간 간격이 서로 독립이고 지수분포를 따르는 것을 나타내고, 서비스 시간을 나타낼 때는 각 서버의 서비스 시간이 지수분포를 따른다는 것을 나타낸다.", "</li><li>\\( E_{k} \\) : 얼랑- \\( k \\) 분포를 나타낸다.", "</li><li>\\( H_k\\) : \\(k\\)차 초지수분포(hyperexponential distribution)를 나타낸다.", "</li><li>\\( G \\) : 분포가 특정되지 않은 일반적인 분포(general distribution)를 의미한다.", "도착시간 간격이 서로 독립이라는 것을 나타내기 위하여 \\( G I \\)(general and independent)로 나타내기도 한다.", "</li><li>\\(FCFS\\): First Come First Served의 약자로 도착순서대로 서비스하는 규칙을 의미한다. \\", "( F I F O \\)(First In First Out)로 나타내기도 한다.", "</li><li>\\(LCFS\\) : Last Come First Served의 약자로 도착순서의 역순으로 서비스하는 규칙을 의미한다. \\", "( L I F O \\)(Last In First Out)로 나타내기도 한다.", "</li></ul><p>예를 들어 \\( M / G / 3 / 5 \\) 대기행렬시스템은 도착시간 간격이 지수분포를 따르며, 서비스 시간은 일반적인 분포를 따르고 서버 수가 \\(3\\)명이며 서버를 포함한 대기실 크기는 \\(5\\)인 대기행렬시스템을 나타낸다.", "</p><p>시스템 내에 있는 고객 수와 서비스받을 때까지 기다리는 시간, 시스템 내에서 체류하는 시간 등이 대기체계를 설명하는 중요한 특성값들이다. \\", "( X(t) \\)를 \\( t \\) 시각에 시스템에 있는 고객 수라 하자.", "그러면 확률과정 \\( X=\\{X(t), t \\geq 0\\} \\)는 상태공간이 \\( S=\\{0,1 \\),\\( \\cdots, K \\} \\)인 연속시간 확률과정이다. \\", "( n \\)번째 고객의 서비스 시간을 \\( S_{n} \\)이라 하고, \\( V(t) \\)를 \\( t \\) 시각에 시스템 안에 있는 고객을 모두 서비스하는 데 걸리는 시간이라고 하면 \\( S=\\left\\{S_{n}\\right. \\)", ", \\( n=1,2, \\cdots\\} \\)는 이산시간 연속상태공간을 갖는 확률과정이고 \\( V=\\{V(t), t \\geq 0\\} \\)는 연속시간 연속상태공간을 갖는 확률과정이다.", "또한 \\( T_{n} \\)을 \\( n \\)번째 고객이 시스템에 도착하는 시각, \\( A(t) \\)를 \\( t \\) 시각까지 도착한 고객 수라 하면 \\( \\left\\{T_{n}, n=1,2, \\cdots\\right\\} \\)는 이산시간 연속상태공간을 갖는 확률과정이고 \\( \\{A(t), t \\geq 0\\} \\)는 연속시간 이산상태공간을 갖는 확률과정이다.", "그림 \\( 2.5 \\)는 \\( K=\\infty \\)일 때 \\( S \\)와 \\( V, X \\)의 표본경로를 나타낸 것이다.", "</p>" ]

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[ "<p>정의 \\( 6.11 \\)<p>\\( p>0 \\)일 때 다음 급수를 \\( p- \\) 급수( \\( p \\)-series)라 부른다.", "</p><p>\\(\\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{1}{k^{p}}=1+\\frac{1}{2^{p}}+\\frac{1}{3^{p}}+\\cdots+\\frac{1}{k^{\\phi}}+\\cdots\\)</p><p>예제 \\( 2.9 \\)<p>\\( p- \\)급수의 예<ul><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{1}{k}=1+\\frac{1}{2}+\\frac{1}{3}+\\cdots+\\frac{1}{k}+\\cdots \\quad(p=1) \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{1}{k^{2}}=1+\\frac{1}{2^{2}}+\\frac{1}{3^{2}}+\\cdots+\\frac{1}{k^{2}}+\\cdots \\quad(p=2) \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{1}{\\sqrt{k}}=1+\\frac{1}{\\sqrt{2}}+\\frac{1}{\\sqrt{3}}+\\cdots+\\frac{1}{\\sqrt{k}}+\\cdots \\quad\\left(p=\\frac{1}{2}\\right) \\)</li></ul></p></p><p>\\( p \\)-급수에 대한 수렴여부를 판정하는 정리를 소개하고자 한다.", "</p><p>정리 \\( 6.12\\) \\(p \\)-급수의 수렴판정<p>\\( p \\)-급수 \\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{1}{k^{\\phi}}=1+\\frac{1}{2^{p}}+\\frac{1}{3^{p}}+\\cdots+\\frac{1}{k^{p}}+\\cdots \\)이 주어져 있다 하자. 만약 \\( p>", "1 \\)이면 주어진 급수는 수렴하고 만약 \\( 0<p \\leq 1 \\)이면 주어진 급수는 발산한다.", "</p><p>증명<p>\\( p \\neq 1 \\)일 때 적분판정법을 쓰기 위하여 다음 이상적분을 계산한다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} \\int_{1}^{+\\infty} \\frac{1}{x^{p}} d x &=\\lim _{l \\rightarrow+\\infty} \\int^{l} x^{-p} d x \\\\ &=\\lim _{l \\rightarrow+\\infty}\\left[\\frac{x^{1-p}}{1-p}\\right]_{1}^{l} \\\\ &=\\lim _{l \\rightarrow+\\infty}\\left[\\frac{l^{1-p}}{1-p}-\\frac{1}{1-p}\\right] \\end{aligned} \\)</p><p>\\( p>1 \\)이면 \\( \\lim _{l \\rightarrow \\infty} l^{1-p}=0 \\)이므로 적분판정법에 의해서 주어진 \\( p- \\)급수는 수렴한다.", "만약 \\( 0<p<1 \\)이면 \\( \\lim _{l+\\infty} l^{1-p}=\\infty \\)이므로 적분판정법에 의해서 주어진 \\( p \\)-급수는 발산한다. \\", "( p=1 \\)이면 주어진 급수는 조화급수이므로 발산한다.", "</p></p></p><p>정리 \\( 6.13 \\) 비교판정법(comparison test)<p>\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n} \\)과 \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n} \\)을 양항급수라 하자.", "모든 자연수 \\( n \\)에 대해서 \\( a_{n} \\leq b_{n} \\)이라 하자.", "<ol type=1 start=1><li>\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n} \\)이 수렴하면 \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n} \\)이 수렴한다.", "</li><li>\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n} \\)이 발산하면 \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n} \\)도 발산한다.", "</li></ol></p><p>증명<p>\\( n \\geq 1, \\quad a_{1}+a_{2}+\\cdots+a_{n} \\leq b_{1}+b_{2}+\\cdots+b_{n} \\)이므로 정리 \\( 6.9 \\)에 의해서 수렴 또는 발산의 판정이 명백하다.", "</p></p><p>예제 \\( 2.10 \\)<p>다음 양항급수의 수렴여부를 조사하라.", "</p><p>\\(\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{3}{4^{n}+1}\\)</p><p>풀이<p>\\( n \\geq 1, \\frac{3}{4^{n}+1}<\\frac{3}{4^{n}} \\)이고 \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{3}{4^{n}} \\)이 수렴하므로 주어진 양항급수는 정리 \\( 6.13 \\)에 의해서 수렴한다.", "</p></p></p><p>예제 \\( 2.11 \\)<p>다음 양항급수의 수렴여부를 조사하라.", "</p><p>\\(\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{3 n+2}\\)</p><p>풀이<p>\\(n \\geq 1, \\quad b_{n}=\\frac{1}{4 n}\\)이라 하자. \\", "(\\quad \\frac{1}{3 n+2} \\geq \\frac{1}{3 n+n}=\\frac{1}{4 n}=b_{n}(n \\geq 2)\\)이고 \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{4 n}=\\sum_{n=1}^{\\infty}\\left(\\frac{1}{4}\\right)\\left(\\frac{1}{n}\\right) \\)이므로 주어진 양항급수는 발산한다.", "</p></p></p></p><p>정리 \\( 6.14 \\) 비판정(ratio test)<p>\\(\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}\\)을 양항급수라 하고 \\(\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=l\\)이라 하자.", "</p><ol type=1 start=1><li>만약 \\( l<1 \\)이면 \\( \\sum a_{n} \\)은 수렴한다.", "</li><li>만약 \\( l>1 \\)이면 \\( \\sum a_{n} \\)은 발산한다.", "</li><li>만약 \\( l=1 \\)이면 급수의 수렴 또는 발산을 말할 수 없다.", "</li></ol><p>증명<p>\\((1)\\) \\( l<r<1 \\)인 \\( r \\)에 대해서 다음 부등식을 만족하는 자연수 \\( n_{0} \\)가 있다.", "<p>\\(n \\geq n_{0}, \\quad \\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \\leq r\\)</p><p>\\((i) k \\in \\mathrm{N}, \\quad a_{n_{0}+1} \\leq r a_{n_{0}}, \\quad a_{n_{0}+2} \\leq r a_{n_{0}+1} \\leq r^{2} a_{n_{0}}, \\cdots, a_{n_{0}+k} \\leq r^{k} a_{n_{0}} \\)</p><p>\\((ii)\\) \\( r<1 \\)이므로 기하급수 \\( \\sum_{m=0}^{\\infty} a_{n_{0}} r^{m} \\)은 수렴한다.", "</p>따라서 (ii)와 정리 \\( 6.13 \\)에 의해서 \\( \\sum a_{n} \\) 은 수렴한다.", "</p><p>\\((2)\\) \\( 1<s<l \\)인 \\( s \\)에 대해서 다음 부등식을 만족하는 \\( n_{1} \\)가 있다.<p>\\(n \\geq n_{1}, \\quad \\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \\geq s\\)</p>", "따라서 \\( a_{n_{1}+1} \\geq s a_{n_{1}} \\)이다. \\((1)\\)에서와 같이 \\( m \\in \\mathrm{N}, a_{n_{1}+m}>s^{m} a_{n_{1}} \\)이다. \\( s>", "1 \\)이므로 \\( s^{m} a_{n_{1}} \\rightarrow \\infty(m \\rightarrow \\infty) \\).", "따라서 \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n} \\)은 발산한다.", "</p><p>\\((3)\\) \\( p \\)-급수 \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^{p}} \\)에서 \\( \\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\\left(\\frac{n}{n+1}\\right)^{p} \\)이므로 다음이 성립한다.", "<p>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\frac{1}{1+\\frac{1}{n}}\\right)^{p}=1 \\)</p>\\( 0\\langle p \\leq 1 \\)일 때 이 급수는 발산하고 \\( p\\rangle 1 \\)일 때 이 급수는 수렴함을 안다.", "따라서 \\( l=1 \\)이면 급수의 수렴 또는 발산을 말할 수 없다.", "</p></p><p>예제 \\( 2.12 \\)<p>다음 급수의 수렴여부를 조사하라.", "</p><p>\\(\\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{1}{k !}\\)</p><p>풀이<p>\\(l=\\lim _{k \\rightarrow \\infty} \\frac{a_{k+1}}{a_{k}}=\\lim _{k \\rightarrow \\infty} \\frac{1 /(k+1) !}{1 / k !}=\\lim _{k \\rightarrow \\infty} \\frac{k !}{(k+1) !}=\\lim _{k \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{k+1}=0<1\\)이므로 정리 \\(6.14\\)에 의해서 주어진 급수는 수렴한다.", "</p></p></p><p>예제 \\( 2.13 \\)<p>다음 급수의 수렴여부를 조사하라.", "</p><p>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{k^{k}}{k !} \\)</p><p>풀이 \\(\\begin{aligned} l=\\lim _{k \\rightarrow \\infty} \\frac{a_{k+1}}{a_{k}} &=\\lim _{k \\rightarrow \\infty} \\frac{k^{k}}{k !} \\\\ &=\\lim _{k \\rightarrow \\infty} \\frac{(k+1)^{k+1}}{(k+1) !} \\frac{k !}{k^{k}} \\\\ &=\\lim _{k \\rightarrow \\infty}\\left(1+\\frac{1}{k}\\right)^{k}=e>1 \\end{aligned}\\)</p><p>따라서 정리 \\( 6.14 \\) 에 의해서 주어진 급수는 발산한다.", "</p></p><p>예제 \\( 2.14 \\) ( \\(2005\\).", "임용고사 )<p>무한급수 \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n !}{(n+1)^{n}} \\)의 수렴, 발산을 판정하시오.", "</p><p>풀이<p>\\(\\begin{aligned} l &=\\lim _{k \\rightarrow \\infty} \\frac{a_{k+1}}{a_{k}}=\\lim _{k \\rightarrow \\infty} \\frac{(k+1) !}{(k+2)^{k+1}} \\frac{(k+1)^{k}}{k !}=\\lim _{k \\rightarrow \\infty}\\left(\\frac{k+1}{k+2}\\right)^{k+1} \\\\ &=\\lim _{k \\rightarrow \\infty}\\left(\\frac{1}{1+\\frac{1}{k+1}}\\right)^{k+1}=\\frac{1}{e}<1 \\end{aligned}\\)</p><p>따라서 정리 \\( 6.14 \\)에 의해서 수렴한다.", "</p></p><p>예제 \\( 2.15 \\)<p>다음 급수의 수렴여부를 조사하라.", "</p><p>\\( 1+\\frac{1}{3}+\\frac{1}{5}+\\frac{1}{7}+\\cdots+\\frac{1}{2 k-1}+\\cdots \\)</p><p>풀이<p>\\( l=\\lim _{k \\rightarrow \\infty} \\frac{a_{k+1}}{a_{k}}=\\lim _{k \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{2(k+1)-1} \\frac{2 k-1}{1}=\\lim _{k \\rightarrow \\infty} \\frac{2 k-1}{2 k+1}=1 \\)</p><p>따라서 정리 \\(6.14\\)로는 주어진 급수의 수렴여부를 말할 수 없다.", "그러나 \\(\\int_{1}^{\\infty} \\frac{1}{2 x-1} d x=\\lim _{b \\rightarrow \\infty} \\int \\frac{1}{2 x-1} d x=\\lim _{b \\rightarrow \\infty}\\left[\\frac{1}{2} \\ln (2 x-1)\\right]_{1}^{b}=\\infty \\)이므로 적분판정법에 의해서 주어진 급수는 발산한다.", "</p></p></p><p>예제 \\( 2.16 \\)<p>다음 급수의 수렴여부를 조사하라.", "</p><p>\\(\\frac{2 !}{4}+\\frac{4 !}{4^{2}}+\\frac{6 !}{4^{3}}+\\cdots+\\frac{(2 k) !}{4^{k}}+\\cdots\\)</p><p>풀이<p>\\(\\begin{aligned} l=\\lim _{k \\rightarrow \\infty} \\frac{a_{k+1}}{a_{k}} &=\\lim _{k \\rightarrow \\infty} \\frac{[2(k+1)] !}{4^{k+1}} \\frac{4^{k}}{(2 k) !} \\\\ &=\\lim _{k \\rightarrow \\infty}\\left(\\frac{(2 k+2) !}{2 k !} \\frac{1}{4}\\right) \\\\ &=\\frac{1}{4} \\lim _{k \\rightarrow \\infty}(2 k+1)(2 k+2)=\\infty \\end{aligned}\\)</p><p>따라서 주어진 급수는 정리 \\( 6.14 \\)에 의해서 발산한다.", "</p></p></p> <h1>6.2 수렴판정</h1><p>무한급수의 수렴여부를 판정하는데 부분합의 극한값을 구할 수 없을 때가 많다.", "이 절에서는 급수의 수렴여부를 판정하는 방법 중의 하나인 적분판정을 소개하겠다.", "</p><p>정리 \\( 6.5 \\)<p>급수 \\( \\sum_{k=1}^{\\infty} a_{k} \\)가 수렴하면 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=0 \\)이다.", "</p><p>증명 \\(a_{n}=s_{n}-s_{n-1}(n \\geq 2)\\)이고 \\(\\quad \\lim _{n \\rightarrow \\infty} s_{n}=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} s_{n-1}\\)이므로 \\(\\quad \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=0\\)이다.", "</p><p>정리 \\(6.5\\)의 대우가 유용하므로 정리로 밝혀 두겠다.", "</p></p><p>정리 \\( 6.6 \\) \\( \\lim _{k \\rightarrow \\infty} a_{k} \\neq 0 \\)이면 급수 \\( \\sum_{k=1}^{\\infty} a_{k} \\)은 발산한다.", "</p><p>예제 \\( 2.1 \\)<p>다음 급수의 수렴여부를 판정하라.", "</p><p>\\(\\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{k}{k+1}=\\frac{1}{2}+\\frac{2}{3}+\\frac{3}{4}+\\cdots+\\frac{k}{k+1}+\\cdots\\)</p><p>풀이<p>\\( \\lim _{k \\rightarrow+\\infty} \\frac{k}{k+1}=\\lim _{k \\rightarrow+\\infty} \\frac{1}{1+1 / k}=1 \\neq 0 \\)이므로 정리 \\( 6.6 \\)에 의해서 주어진 급수는 발산한다.", "</p><p>무한 급수의 부분합의 수열에 정리 \\( 2.6 \\) 을 응용하여 증명할 수 있는 정리를 소개하겠다.", "</p></p></p><p>정리 \\( 6.7 \\)<p>\\((1)\\) 만약 \\( \\sum_{k=1}^{\\infty} a_{k} \\) 그리고 \\( \\sum_{k=1}^{\\infty} b_{k} \\)가 수렴하면 다음이 성립한다.", "</p><p>\\(\\begin{array}{l} \\sum_{k=1}^{\\infty}\\left(a_{k}+b_{k}\\right)=\\sum_{k=1}^{\\infty} a_{k}+\\sum_{k=1}^{\\infty} b_{k} \\\\ \\sum_{k=1}^{\\infty}\\left(a_{k}-b_{k}\\right)=\\sum_{k=1}^{\\infty} a_{k}-\\sum_{k=1}^{\\infty} b_{k} \\end{array}\\)</p><p>\\((2)\\) \\( c \\)가 \\(0\\)이 아닌 상수일 때 \\( \\sum_{k=1}^{\\infty} a_{k} \\)가 수렴할 필요충분조건은 \\( \\sum_{k=1}^{\\infty} c a_{k} \\)가 수렴한다.", "이 경우 \\( \\sum_{k=1}^{\\infty} a_{k} \\)가 수렴하면 \\( \\sum_{k=1}^{\\infty} c a_{k}=c \\sum_{k=1}^{\\infty} a_{k} \\)이다.", "</p><p>\\((3)\\) \\( n \\)을 임의의 자연수라 할 때 \\( \\sum_{k=1}^{\\infty} a_{k}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\\cdots \\)가 수렴할 필요충분조건은 \\( \\sum_{k=n}^{\\infty} a_{k}=a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}+\\cdots \\)가 수렴한다.", "</p></p><p>예제 \\( 2.2 \\)<p>다음 급수의 합을 구하라.", "</p><p>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty}\\left(\\frac{3}{4^{k}}-\\frac{2}{5^{k-1}}\\right) \\)</p><p>풀이<p>급수 \\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{3}{4^{k}}=\\frac{3}{4}+\\frac{3}{4^{2}}+\\frac{3}{4^{3}}+\\cdots \\)은 초항이 \\( \\frac{3}{4} \\), 공비가 \\( \\frac{1}{4} \\)인 기하급수이므로 \\(1\\)에 수렴하고 급수 \\(\\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{2}{5^{k-1}}=2+\\frac{2}{5}+\\frac{2}{5^{2}}+\\frac{2}{5^{3}}+\\cdots\\)은 초항이 \\(2\\), 공비가 \\( \\frac{1}{5} \\)인 기하급수이므로 \\( \\frac{5}{2} \\)에 수렴한다.", "정리 \\( 6.7 \\) \\((1)\\)에 의해서 주어진 급수는 \\( 1-\\frac{5}{2}=-\\frac{3}{2} \\)에 수렴한다.", "</p></p></p><p>예제 \\( 2.3 \\)<p>다음 급수의 수렴여부를 말하라.", "</p><p>\\(\\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{5}{k}=5+\\frac{5}{2}+\\frac{5}{3}+\\cdots+\\frac{5}{k}+\\cdots\\)</p><p>풀이<p>\\( \\quad \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{5}{k}=\\sum_{k=1}^{\\infty} 5\\left(\\frac{1}{k}\\right) \\)이고 \\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{1}{k} \\)는 발산하므로 정리 \\( 6.7 \\) \\((2)\\)에 의해서 주어진 급수는 발산한다.", "</p></p></p><p>예제 \\( 2.4 \\)<p>정리 \\( 6.7 \\) \\((3)\\)에 의해서 다음 급수는 발산한다.", "<p>\\(\\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{1}{k}=\\frac{1}{10}+\\frac{1}{11}+\\frac{1}{12}+\\cdots\\)</p></p></p><p>정의 \\( 6.8 \\)<p>모든 \\( k \\)에 대해서 \\( a_{k}>0 \\)일 때 \\( \\sum_{k=1}^{\\infty} a_{k} \\)은 양항급수(series of positive terms)라고 부른다.", "</p></p><p>다음 정리의 증명은 단조수열의 수렴판정으로부터 섭게 얻을 수 있으므로 증명은 생략하겠다.", "</p><p>정리 \\( 6.9 \\)<p>양항급수 \\( \\sum_{k=1}^{\\infty} a_{k} \\)이 수렴할 필요충분조건은 그 부분합으로 이루어진 수열 \\( \\left\\{s_{n}\\right\\} \\)이 유계인 것이다.", "</p><p>양항급수 \\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{1}{k^{2}} \\)과 이상적분 \\( \\int_{1}^{+\\infty} \\frac{1}{x^{2}} d x \\)을 생각할 때 양항급수의 수렴과 이상적분의 존재 사이에는 밀접한 관계가 있다.", "이 관계를 다음에 소개한다.", "</p></p><p>정리 \\( 6.10 \\) 적분판정(integral test)<p>함수 \\( f:\\left[n_{0}, \\infty\\right) \\rightarrow[0, \\infty) \\)가 연속이고 감소함수라 하자.", "여기서 \\( n_{0} \\)는 자연수이다.", "만약 \\( f(n)=a_{n}\\left(n \\geq n_{0}\\right) \\)이면 무한급수 \\( \\sum_{n=n_{0}}^{\\infty} a_{n} \\)이 수렴할 필요충분조건은 \\( \\int_{n_{0}}^{\\infty} f(x) d x<\\infty \\)이다.", "</p><p>증명<p>정리 \\( 6.7(3) \\)에 의해서 \\( n_{0}=1 \\)일 때를 증명하면 충분하다. \\", "( f \\)는 연속이고 감소하므로 \\( m \\leq x \\leq m+1 \\)일 때, 다음이 성립한다.", "</p><p>\\(a_{m+1}=f(m+1) \\leq f(x) \\leq f(m)=a_{m}(m=1,2,3 \\cdots)\\)</p><p>따라서 \\( a_{m+1} \\leq \\int_{m}^{m+1} f(x) d x \\leq a_{m}(m=1,2,3, \\cdots) \\)이다.", "그러므로 다음식을 얻는다.", "</p><p>\\( \\int_{1}^{n+1} f(x) d x \\leq s_{n} \\leq a_{1}+\\int_{1}^{n} f(x) d x \\quad \\cdots \\cdots \\)<caption>(1)</caption></p><p>만약 \\( \\int_{1}^{\\infty} f(x) d x=l<\\infty \\)이면, \\((1)\\)에 의하여 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( n \\in \\mathrm{N}, \\quad s_{n} \\leq a_{1}+\\int_{1}^{n} f(x) d x \\leq a_{1}+\\int_{1}^{\\infty} f(x) d x=a_{1}+l \\)</p><p>\\( n=1,2, \\cdots \\)에 대하여 \\( 0 \\leq f(n) \\)이므로 정리 \\( 6.9 \\)에 의하여 \\( \\sum_{k=1}^{\\infty} a_{k} \\)은 수렴한다.", "한편 \\( \\int_{1}^{\\infty} f(x) d x=\\infty \\)이면 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\int_{1}^{n+1} f(x) d x=\\infty \\)이므로 \\((1)\\)에 의해서 \\( s_{n} \\rightarrow \\infty(n \\rightarrow \\infty) \\)이다.", "따라서 \\( \\sum_{k=1}^{\\infty} a_{k} \\)은 발산한다.", "</p></p><p><p>예제 \\( 2.5 \\)<p>다음 급수의 수렴여부를 말하라.", "</p><p>\\(\\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{1}{k^{2}}\\)</p><p>풀이<p>\\( f(x)=\\frac{1}{x^{2}}(x \\geq 1) \\)라 할 때 적분판정법의 조건을 만족하고 다음이 성립하므로 주어진 급수는 수렴한다.", "</p><p>\\(\\int_{1}^{+\\infty} \\frac{1}{x^{2}} d x=\\lim _{b \\rightarrow+\\infty} \\int \\frac{1}{x^{2}} d x=\\lim _{b \\rightarrow+\\infty}\\left[-\\frac{1}{x}\\right]_{1}^{b}=\\lim _{b \\rightarrow+\\infty}\\left[1-\\frac{1}{b}\\right]=1\\)</p></p><p>주의<p>예제 \\( 2.5 \\) 에서 \\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{1}{k^{2}}=1+\\frac{1}{4}+\\frac{1}{9}+\\cdots>1 \\)이므로 다음 사실에 주의하자.", "</p><p>\\(\\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{1}{k^{2}} \\neq \\int_{1}^{+\\infty} \\frac{1}{x^{2}} d x\\)</p></p></p><p>예제 \\( 2.6 \\)<p>적분판정법을 이용하여 조화급수가 발산함을 보여라.", "</p><p>풀이<p>\\( f(x)=\\frac{1}{x}(x \\geq 1) \\)라 할 때 이 함수는 적분판정법의 조건을 만족하고 다음 사실이 성립하므로 조화 급수는 발산한다. \\", "( \\int_{1}^{+\\infty} \\frac{1}{x} d x=\\lim _{l \\rightarrow+\\infty} \\int_{l}^{\\frac{1}{x}} d x=\\lim _{l \\rightarrow+\\infty}[\\ln l-\\ln 1]=+\\infty \\)</p></p></p><p>예제 \\( 2.7 \\)<p>다음 급수의 수렴여부를 말하라.", "</p><p>\\(\\frac{1}{e}+\\frac{2}{e^{4}}+\\frac{3}{e^{9}}+\\cdots+\\frac{k}{e^{k^{2}}}+\\cdots\\)</p><p>풀이<p>\\( f(x)=\\frac{x}{e^{x^{2}}}=x e^{-x^{2}} \\)라 하면 \\( x \\geq 1, f(x)>0 \\)이고 연속이다. \\", "( x \\geq 1, f^{\\prime}(x)=e^{-x^{2}}-2 x^{2} e^{-x^{2}}=e^{-x^{2}}\\left(1-2 x^{2}\\right)<0 \\)이므로 \\( \\quad f(x) \\)는 감소함수이다.", "따라서 \\( f(x) \\)는 적분판정법의 조건을 만족한다.", "</p><p>\\( \\int_{1}^{+\\infty} x e^{-x^{2}} d x=\\lim _{l \\rightarrow+\\infty} \\int_{1}^{k} x e^{-x^{2}} d x \\) \\( =\\lim _{l \\rightarrow+\\infty}\\left[-\\frac{1}{2} e^{-x^{2}}\\right]_{1}^{l} \\) \\( =\\left(-\\frac{1}{2}\\right) \\lim _{l \\rightarrow+\\infty}\\left[e^{-l^{2}} -e^{-1}\\right]=\\frac{1}{2 e}<\\infty \\)</p><p>따라서 주어진 급수는 수렴한다.", "</p></p></p><p>예제 \\( 2.8 \\) ( \\(1997\\). 임용고사 )", "<p>다음 급수의 수렴, 발산을 판정하시오.", "<p>\\(\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{e^{-\\sqrt{n}}}{\\sqrt{n}}\\)</p><p>풀이<p>함수 \\( f:[1, \\infty) \\rightarrow[0, \\infty) \\)를 다음과 같이 정의한다.", "</p><p>\\(x \\in[1, \\infty), \\quad f(x)=\\frac{1}{\\sqrt{x} e^{\\sqrt{x}}}\\)</p><p>이때 \\( f(x) \\)는 연속이고 감소함수이다 \\( \\left(f^{\\prime}(x)=\\frac{-1}{2 e^{\\sqrt{x}}}\\left(1+\\frac{1}{\\sqrt{x}}\\right)<0\\right) \\). \\", "( \\int_{1}^{\\infty} \\frac{1}{\\sqrt{x} e^{\\sqrt{x}}} d x=\\frac{2}{e}<\\infty \\)이므로 정리 \\( 6.10 \\)에 의하여 주어진 급수는 수렴한다.", "</p></p></p></p> <p>예제 \\( 1.2 \\)<p>다음 무한급수의 합을 구하라.", "</p><p>\\( \\frac{3}{10}+\\frac{3}{10^{2}}+\\frac{3}{10^{3}}+\\cdots+\\frac{3}{10^{n}}+\\cdots \\)</p><p>풀이<p>주어진 무한급수의 \\( n \\)째 부분합은 다음과 같다.", "</p><p>\\( s_{n}=\\frac{3}{10}+\\frac{3}{10^{2}}+\\frac{3}{10^{3}}+\\cdots+\\frac{3}{10^{n}} \\)</p><p>\\( \\frac{1}{10} s_{n}=\\frac{3}{10^{2}}+\\frac{3}{10^{3}}+\\cdots+\\frac{3}{10^{n}}+\\frac{3}{10^{n+1}} \\)이므로 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( s_{n}-\\frac{1}{10} s_{n}=\\frac{3}{10}-\\frac{3}{10^{n+1}} \\)</p><p>즉, \\( \\frac{9}{10} s_{n}=\\frac{3}{10}\\left(1-\\frac{1}{10^{n}}\\right) \\)이다.", "이 때 \\( s_{n}=\\frac{1}{3}\\left(1-\\frac{1}{10^{n}}\\right) \\)이고 \\( \\frac{1}{10^{n}} \\rightarrow 0(n \\rightarrow \\infty) \\)이므로 \\( s_{n} \\rightarrow \\frac{1}{3}(n \\rightarrow \\infty) \\)이다.", "따라서 주어진 무한급수의 합은 \\( \\frac{1}{3} \\)이다.", "즉</p><p>\\( \\frac{1}{3}=\\frac{3}{10}+\\frac{3}{10^{2}}+\\frac{3}{10^{3}}+\\cdots+\\frac{3}{10^{n}}+\\cdots \\)</p></p></p><p>예제 \\( 1.3 \\)<p>다음 무한급수의 수렴 여부를 말하라.", "</p><p>\\(1-1+1-1+1-1+\\cdots\\)</p><p>풀이 부분합이므로 수열 \\( \\left\\{s_{n}\\right\\} \\)은 발산한다.", "따라서 주어진 급수는 발산한다.", "</p><p>\\(s_{1}=1, s_{2}=1-1=0, s_{3}=1-1+1=1, s_{4}=1-1+1-1=0, \\cdots\\)</p></p><p>정의 \\(6.3\\)<p>\\( a+a r+a r^{2}+a r^{3}+\\cdots+a r^{k-1}+\\cdots(a \\neq 0) \\) 이와 같은 무한급수를 기하급수(geometric series)라 부르고 여기서 \\( r \\)을 주어진 급수의 공비(common ratio)라 부른다.", "</p></p><p>예제 \\( 1.4 \\)<p>기하급수의 예</p><p>\\( \\begin{array}{ll}1+2+4+8+\\cdots+2^{k-1}+\\cdots & (a=1, r=2) \\\\ 1+1+1+\\cdots+1+\\cdots & (a=1, r=1) \\\\ 1-1+1-1+\\cdots+(-1)^{k+1}+\\cdots & (a=1, r=-1) \\\\ 3+\\frac{3}{10}+\\frac{3}{10^{2}}+\\cdots+\\frac{3}{10^{k-1}}+\\cdots & \\left(a=3, r=\\frac{1}{10}\\right) \\\\ \\frac{1}{2}-\\frac{1}{4}+\\frac{1}{8}-\\frac{1}{16}+(-1)^{k+1} \\frac{1}{2^{k}}+\\cdots+ & \\left(a=\\frac{1}{2}, r=-\\frac{1}{2}\\right)\\end{array} \\)</p><p>기하급수의 수렴판정을 다음 정리에서 말하겠다.", "</p><p>정리 \\( 6.4 \\)<p>기하급수 \\( a+a r+a r^{2}+a r^{3}+\\cdots+a r^{k-1}+\\cdots(a \\neq 0) \\)는 \\( |\\gamma|<1 \\)이면 수렴하고 \\( |\\gamma| \\geq 1 \\)이면 발산한다.", "</p></p><p>증명<p>\\( r=1 \\)이면 주어진 급수는 \\( a+a+a+\\cdots+a+\\cdots \\)이다. 따라서 \\( s_{n}=n a \\)이고 \\( \\lim _{n \\rightarrow+\\infty} s_{n}=\\lim _{n>", "+\\infty} n a=\\pm \\infty(\\pm \\)는 \\( a \\)의 음양에 의해서 결정된다). \\", "( r=-1 \\)이면 주어진 급수는 \\( a-a+a-a+\\cdots \\), 부분합의 수열은 \\( a, 0, a, 0, \\cdots \\)이므로 주어진 기하급수는 발산한다. \\", "( r \\neq 1 \\)이라고 가정하자.", "이 때 주어진 급수의 \\( n \\)째 부분합을 \\( s_{n} \\)이라 하면 \\( s_{n}=a+a r+a r^{2}+\\cdots+a r^{n-1} \\)이다. \\", "( \\quad r s_{n}=a r+a r^{2}+\\cdots+a r^{n-1}+a r^{n} \\)이므로 \\( s_{n}-r s_{n}=a-a r^{n} \\) 또는 \\( \\quad(1-r) s_{n}=a-a r^{n} \\)이다. \\", "( r \\neq 1 \\)이므로 \\( s_{n}=\\frac{a-a r^{n}}{1-r}=\\frac{a}{1-r}-\\frac{a r^{n}}{1-r} \\)이다.", "만약 \\( \\quad|r|<1 \\)이면 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} r^{n}=0 \\)이므로 \\( \\left.\\quad \\lim _{n \\rightarrow \\infty} s_{n}=\\frac{a}{1-r} . \\quad r\\right\\rangle 1 \\)이면 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} r^{n}=\\infty \\)이다. \\( \\quad r s_{n}-s_{n}=(r-1) s_{n}=a r^{n}-a \\)이므로 \\( s_{n}=\\frac{a r^{n}-a}{r-1} \\)이다. \\( a>", "0 \\)이면 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} s_{n}=\\infty, a<0 \\)이면 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} s_{n}=-\\infty \\)이다. \\", "( r<-1 \\)이면 \\( r^{n} \\)의 값이 음양을 교대로 취하므로 수열 \\( \\left\\{s_{n}\\right\\} \\)은 발산한다.", "</p></p> <p>정리 \\( 6.24 \\) 근판정(root test)<p>무한급수 \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n} \\)에 대해서 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sqrt[n]{\\left|a_{n}\\right|}=l \\)이라 하면 다음이 성립한다.", "</p><ol type=1 start=1><li>만약 \\( 0 \\leq l<1 \\)이면 \\( \\sum_{n=1}^{\\infty}\\left|a_{n}\\right| \\)은 수렴한다.", "</li><li>만약 \\( l>1 \\)이거나 \\( l=\\infty \\)이면 \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n} \\)은 발산한다.", "</li><li>만약 \\( l=1 \\) 이면 급수의 수렴 또는 발산을 말할 수 없다.", "</li></ol><p>증명<p>\\((1)\\) \\( \\left|a_{n}\\right| \\geq 0 \\)이므로 정리 \\( 6.15 \\) \\((1)\\)과 같다.", "</p><p>\\((2)\\) \\( l>1 \\)이므로 무한히 많은 양의 정수 \\( n \\)에 대하여 \\( \\left|a_{n}\\right|^{\\frac{1}{n}}>1 \\)이다. 따라서 무한히 많은 양의 정수 \\( n \\)에 대해서 \\( \\left|a_{n}\\right|>", "1 \\)이다.", "그러므로 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n} \\neq 0 \\)이다.", "따라서 \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n} \\)는 발산한다.", "</p><p>\\((3)\\) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\frac{1}{n}\\right)^{\\frac{1}{n}}=1=\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\frac{1}{n^{2}}\\right)^{\\frac{1}{n}} \\)이지만 \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n} \\)은 발산하고 \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^{2}} \\)은 수렴한다.", "</p></p><p>예제 \\(2.29\\)<p>다음 급수의 수렴여부를 밝혀라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{\\left(2 n^{3}-1\\right)^{n}}{n^{3 n}} \\)</li><li>\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^{n}}{3^{n^{2}}} \\)</li></ol><p>풀이<p>\\((1)\\) \\( \\sqrt[n]{\\left|a_{n}\\right|}=2-\\frac{1}{n^{3}} \\)이므로 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sqrt[n]{\\left|a_{n}\\right|}=2>1 \\)이다.", "정리 \\( 6.24 \\) \\((2)\\)에 의해서 주어진 급수는 발산한다.", "</p><p>\\((2)\\) \\( \\sqrt[n]{\\left|a_{n}\\right|}=\\frac{n}{3^{n}} \\)이므로 L'Hopital의 정리를 사용하면 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sqrt[n]{\\left|a_{n}\\right|}=0 \\)<1이다.", "정리 \\( 6.24 \\) \\((1)\\)에 의해서 주어진 급수는 수렴 한다.", "</p></p></p><p>예제 \\(2.30\\) ( \\(1992\\). 임용고사 )", "<p>다음 중 수렴하지 않는 무한급수는?", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^{2}+1} \\)</li><li>\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n !}{(n+2) !} \\)</li><li>\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n}{e^{n}} \\)</li><li>\\( \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{\\log n}{n} \\)</li></ol><p>풀이<p>정리 \\( 6.23 \\)에 의하여 \\((1), (2), (3)\\)은 수렴한다.", "</p></p></p></p><p>연습문제 \\(6.2\\)</p><p>\\(1\\).", "다음 급수의 수렴여부를 판정하고, 수렴하면 수렴 값을 구하라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty}\\left[\\frac{1}{2^{k}}+\\frac{1}{4^{k}}\\right] \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty}\\left[\\frac{1}{5^{k}}-\\frac{1}{k(k+1)}\\right] \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty}\\left[\\frac{1}{k^{2}-1}-\\frac{7}{10^{k-1}}\\right] \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{1}{k+6} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{1}{5 k+2} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{k}{1+k^{2}} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{1}{1+9 k^{2}} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{1}{\\sqrt{k+5}} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{1}{\\sqrt[k]{e}} \\)</li></ol><p>다음 급수의 수렴여부를 말하라. \\", "((1)\\)~\\((4)\\) : 비에 의한 판정법, \\((5)\\)~\\((7)\\) : \\( n \\)승근 판정법, \\((8)\\)~\\((15)\\) : 비교 판정법, \\((16)\\)~\\((18)\\) : 비교극한 판정법</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{3^{k}}{k !} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{1}{5 k} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{1}{k^{2}} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{k !}{k^{3}} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty}\\left(\\frac{3 k+2}{2 k-1}\\right)^{k} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{k}{5^{k}} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty}\\left(\\frac{k}{100}\\right)^{k} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{1}{3^{k}+5} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{1}{5 k^{2}-k} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{2^{k}-1}{3^{k}+2 k} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{5 \\sin ^{2} k}{k !} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{3}{k-\\frac{1}{4}} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{9}{\\sqrt{k}+1} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{k+1}{k^{2}-k} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{\\sqrt{k}}{2+\\sin ^{2} k} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{5}{3^{k}+1} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{k(k+3)}{(k+1)(k+2)(k+5)} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{1}{\\sqrt[3]{8 k^{2}-3 k}} \\)</li></ol><p>\\(3\\).", "만약 \\( \\sum_{k=1}^{\\infty} a_{k} \\)가 수렴하고 \\( \\sum_{k=1}^{\\infty} b_{k} \\)가 발산하면 \\( \\sum_{k=1}^{\\infty}\\left(a_{k}+b_{k}\\right) \\)와 \\( \\sum_{k=1}^{\\infty}\\left(a_{k}-b_{k}\\right) \\)가 발산함을 증명하라.", "</p><p>\\(4\\). \\", "(3\\)번을 사용하여 다음 급수의 수렴여부를 판정하라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty}\\left[\\left(\\frac{2}{3}\\right)^{k-1}+\\frac{1}{k}\\right] \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty}\\left[\\frac{k^{2}}{1+k^{2}}+\\frac{1}{k(k+1)}\\right] \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty}\\left[\\frac{1}{3 k+2}+\\frac{1}{k^{3 / 2}}\\right] \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty}\\left[\\frac{1}{k(\\ln k)^{2}}-\\frac{1}{k^{2}}\\right] \\)</li></ol><p>\\(5\\).", "다음 급수의 절대수렴, 수렴조건, 혹은 발산을 말하라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty}\\left(-\\frac{3}{5}\\right)^{k} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty}(-1)^{k+1} \\frac{2^{k}}{k !} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty}(-1)^{k}\\left(\\frac{k}{5^{k}}\\right) \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty}(-1)^{k}\\left(\\frac{k^{3}}{e^{k}}\\right) \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^{k+1}}{3 k} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^{k+1}}{k !} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty}(-1)^{k+1}\\left(\\frac{k+2}{3 k-1}\\right)^{k} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty}(-1)^{k+1} \\frac{k+2}{k(k+3)} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=2}^{\\infty} \\frac{(-1)^{k}}{k \\ln k} \\)</li></ol><p>연습문제 풀이 및 해답</p><p>\\(1\\).", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\frac{4}{3} \\)</li><li>\\( -\\frac{3}{4} \\)</li><li>\\( -\\frac{1}{36} \\)</li><li>발산</li><li>발산</li><li>발산</li><li>수렴</li><li>발산</li><li>발산</li></ol><p>\\(2\\).", "</p><ol type=1 start=1><li>수렴</li><li>발산</li><li>수렴</li><li>발산</li><li>발산</li><li>수렴</li><li>발산</li><li>수렴</li><li>수렴</li><li>수렴</li><li>수렴</li><li>발산</li><li>수렴</li><li>발산</li><li>발산</li><li>수렴</li><li>발산</li><li>발산</li></ol><p>\\(4\\).", "</p><ol type=1 start=1><li>발산</li><li>발산</li><li>발산</li><li>발산</li></ol><p>\\(5\\).", "</p><ol type=1 start=1><li>절대수렴</li><li>절대수렴</li><li>절대수렴</li><li>절대수렴</li><li>조건수렴</li><li>절대수렴</li><li>절대수렴</li><li>조건수렴</li><li>조건수렴</li></ol> <p>정리 \\( 6.38 \\)<p>함수 \\( f(x) \\)가 \\( a \\)를 포함하는 개구간 \\( I \\) 상에서 무한 번 미분가능이고 어떤 실수 \\( b \\)와 모든 자연수 \\( n \\)에 대해서 \\( \\left|f^{(n+1)}(x)\\right| \\leq b(x \\in I) \\)라 하자.", "그러면 \\( x=a \\)에서 \\( f(x) \\)의 Taylor 급수는 \\( I \\) 상에서 \\( f(x) \\)에 수렴한다.", "</p></p><p>증명<p>정리 \\( 6.33 \\)에 의해서 \\( \\left|r_{n}(x)\\right| \\leq \\frac{b}{(n+1) !}|x-a|^{n+1} \\)이므로 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left|r_{n}(x)\\right| \\leq b \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1) !} \\)</p><p>멱급수 \\( \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1) !} \\)이 모든 실수 \\( x \\)에 대해서 수렴하므로 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1) !}=0 \\)이다.", "따라서 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left|r_{n}(x)\\right|=0 \\)이다. \\", "( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} r_{n}(x)=0 \\)이므로 정리 \\( 6.37 \\) 에 의해 \\( x=a \\)에서 \\( f(x) \\)의 Taylor 급수는 \\( I \\) 상에서 \\( f(x) \\)에 수렴한다.", "</p></p><p>예제 \\( 4.11 \\)<p>다음 함수의 \\( a=\\frac{\\pi}{3} \\)에서 Taylor 급수가 모든 실수 \\( x \\)에 대해서 \\( f(x) \\)에 수렴함을 보여라.", "</p><p>\\( f(x)=\\cos x \\)</p><p>풀이<p>\\(f^{(2 n)}\\left(\\frac{\\pi}{3}\\right)=(-1)^{n} \\frac{1}{2}, f^{(2 n-1)}\\left(\\frac{\\pi}{3}\\right)=(-1)^{n} \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\)이고 \\(\\left|f^{(n)}(x)\\right| \\leq 1\\)이므로 정리 \\( 6.38 \\)에 의해 모든 실수 \\( x \\)에 대한 \\( f(x) \\)의 Taylor 급수는 \\( f(x) \\)에 수렴한다.", "</p><p>중요한 몇 가지 Maclaurin 급수와 수렴구간을 증명없이 나열하겠다.", "</p></p></p><p>예제 \\( 4.12 \\)<p>다음 함수의 Maclaurin 급수와 수렴구간을 구하라.", "</p><p>\\( f(x)=\\frac{1}{1-2 x^{2}} \\)</p><p>풀이<p>위 표에서 \\( \\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+\\cdots,-1<x<1 \\)이므로 \\( \\quad x \\)를 \\( 2 x^{2} \\)으로 바꾸어 넣으면 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} \\frac{1}{1-2 x^{2}} &=1+\\left(2 x^{2}\\right)+\\left(2 x^{2}\\right)^{2}+\\left(2 x^{2}\\right)^{3}+\\cdots \\\\ &=1+2 x^{2}+4 x^{4}+8 x^{6}+\\cdots=\\sum_{k=0}^{\\infty} 2^{k} x^{2 k}, \\quad-1<2 x^{2}<1 \\end{aligned} \\)</p><p>모든 실수 \\( x \\)에 대해서 \\( 2 x^{2} \\geq 0 \\)이므로 \\( -1<2 x^{2}<1 \\)은 \\( 0 \\leq 2 x^{2}<1 \\) 혹은 \\( 0 \\leq x^{2}<\\frac{1}{2} \\) 혹은 \\( -\\frac{1}{\\sqrt{2}}<x<\\frac{1}{\\sqrt{2}} \\)로 바꿀 수 있다.", "</p></p></p><p>예제 \\( 4.13 \\) ( \\(1992\\). 임용고사 )", "<p>Taylor급수를 이용하여 다음 무한급수의 합을 구하라.", "</p><p>\\( 1+2+\\frac{2^{2}}{2 !}+\\frac{2^{3}}{3 !}+\\cdots+\\frac{2^{n}}{n !}+\\cdots \\)</p><p>풀이<p>위 표에서 \\( e^{2}=1+2+\\frac{2^{2}}{2 !}+\\frac{2^{3}}{3 !}+\\cdots+\\frac{2^{n}}{n !}+\\cdots \\)이다.", "</p></p></p><p>연습문제 \\( 6.4 \\)</p><p>\\(1\\).", "다음 함수의 Maclaurin 다항식 \\( P_{4} \\)를 구하라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( e^{-2 x} \\)</li><li>\\( \\frac{1}{x+1} \\)</li><li>\\( \\sin 2 x \\)</li><li>\\( e^{x} \\cos x \\)</li><li>\\( \\tan x \\)</li><li>\\( x e^{x} \\)</li><li>\\( \\sqrt{1+x} \\)</li><li>\\( \\ln (3+2 x) \\)</li></ol><p>\\(2\\).", "다음 함수의 지정한 \\( x=a \\) 에서 Taylor 다항식 \\( P_{3} \\)를 구하라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( e^{x} ; a=1 \\)</li><li>\\( \\ln x: a=1 \\)</li><li>\\( \\sqrt{x} ; a=4 \\)</li><li>\\( x^{4}+x-3 ; a=-2 \\)</li><li>\\( x^{4}+x-3 ; a=-2 \\)</li><li>\\( \\tan x ; \\quad a=\\frac{\\pi}{3} \\)</li></ol><p>\\(3\\).", "다음 함수의 Maclaurin 급수를 구하라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( e^{x} \\)</li><li>\\( \\frac{1}{x+1} \\)</li><li>\\( x e^{x} \\)</li><li>\\( \\ln (1+x) \\)</li><li>\\( \\sin \\pi x \\)</li><li>\\( \\cos \\left(\\frac{x}{2}\\right) \\)</li></ol><p>\\(4\\).", "다음 함수의 지정한 \\( x=a \\)에서 Taylor 급수를 구하라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\frac{1}{x} \\quad ; \\quad a=-1 \\)</li><li>\\( \\ln x ; a=1 \\)</li><li>\\( e^{x} ; a=2 \\)</li><li>\\( \\sin \\pi x ; a=\\frac{1}{2} \\)</li><li>\\( \\cos x ; a=\\frac{\\pi}{2} \\)</li><li>\\( \\frac{1}{x+2} ; a=3 \\)</li></ol><p>\\(5\\).", "다음 함수의 주어진 \\( x=a \\)와 \\( n \\)에 대해서</p><ol type=i start=1><li>Lagrange의 나머지 공식을 구하라.", "</li><li>나머지 공식이 성립하는 가장 큰 개구간을 구하라.", "</li></ol><ol type=1 start=1><li>\\( e^{2 x} ; a=0 ; n=5 \\)</li><li>\\( \\cos x ; a=0 ; n=8 \\)</li><li>\\( \\frac{1}{x+1} ; a=0 ; n=4 \\)</li><li>\\( x e^{x} ; a=0 ; n=3 \\)</li><li>\\( \\ln (1+x) ; a=0 ; n=5 \\)</li><li>\\( \\sinh x ; a=0 ; n=6 \\)</li><li>\\( \\sqrt{x} ; a=4 ; n=3 \\)</li><li>\\( \\frac{1}{x} ; a=1 ; n=5 \\)</li><li>\\( \\sin x ; a=\\frac{\\pi}{6} \\quad ; \\quad n=4 \\)</li><li>\\( \\frac{1}{(1+x)^{2}} ; a=-2 ; n=5 \\)</li></ol><p>\\(6\\).", "함수 \\( e^{x}, \\sin x, \\cos x \\) 그리고 \\( \\frac{1}{1-x} \\)의 Maclaurin 급수를 이용하여 다음 함수의 Maclaurin 급수와 수렴구간을 구하라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( e^{-2 x} \\)</li><li>\\( x e^{x} \\)</li><li>\\( \\frac{1}{1+x} \\)</li><li>\\( e^{x^{2}} \\)</li><li>\\( \\frac{x^{2}}{1+3 x} \\)</li><li>\\( \\frac{1}{1-4 x^{2}} \\)</li><li>\\( \\cos ^{2} x\\left(\\right. \\)", "힌트 \\( \\left.\\", "cos ^{2} x=\\frac{1}{2}(1+\\cos 2 x)\\right) \\)</li><li>\\( \\sin ^{2} x\\left(\\right. \\)", "힌트 \\( \\left.\\", "cos ^{2} x=\\frac{1}{2}(1-\\cos 2 x)\\right) \\)</li></ol><p>연습문제 풀이 및 해답</p><p>\\(1\\).", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 1-2 x+2 x^{2}-\\frac{4}{3} x^{3}+\\frac{2}{3} x^{4} \\)</li><li>\\( 1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4} \\)</li><li>\\( 2 x-\\frac{4}{3} x^{3} \\)</li><li>\\( 1+x+2 x^{2}-\\frac{1}{3} x^{3}-\\frac{1}{6} x^{4} \\)</li><li>\\( x+\\frac{1}{3} x^{2} \\)</li><li>\\( x+x^{2}+\\frac{1}{2 !} x^{3}+\\frac{1}{3 !} x^{4} \\)</li><li>\\( 1+\\frac{1}{2} x-\\frac{1}{8} x^{2}+\\frac{1}{16} x^{3}-\\frac{5}{64} x^{4} \\)</li><li>\\( \\ln 3+\\frac{2}{3} x-\\frac{2}{9} x^{2}+\\frac{8}{81} x^{3}-\\frac{4}{81} x^{4} \\)</li></ol><p>\\(2\\).", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( e+e(x-1)+\\frac{e}{2 !}(x-1)^{2}+\\frac{e}{3 !}(x-1)^{3} \\)</li><li>\\( (x-1)-\\frac{1}{2}(x-1)^{2}+\\frac{1}{3}(x-1)^{3}-\\frac{1}{4}(x-1)^{4} \\)</li><li>\\( 2+\\frac{1}{4}(x-4)-\\frac{1}{64}(x-4)^{2}+\\frac{1}{512}(x-4)^{3} \\)</li><li>\\( 13-31(x+2)+24(x+2)^{2}-8(x+2)^{3} \\)</li><li>\\( \\frac{\\sqrt{2}}{2}-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\left(x-\\frac{\\pi}{4}\\right)-\\frac{\\sqrt{2}}{4}\\left(x-\\frac{\\pi}{4}\\right)^{2}+\\frac{\\sqrt{2}}{12}\\left(x-\\frac{\\pi}{4}\\right)^{3} \\)</li><li>\\( \\sqrt{3}+4\\left(x-\\frac{\\pi}{3}\\right)+4 \\sqrt{3}\\left(x-\\frac{\\pi}{3}\\right)^{2}+\\frac{40}{3}\\left(x-\\frac{\\pi}{3}\\right)^{3} \\)</li></ol><p>\\(3\\).", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sum_{k=0}^{\\infty} \\frac{x^{k}}{k !} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=0}^{\\infty}(-1)^{k} x^{k} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{\\left(1+e^{k}\\right)}{(k-1) !} x^{k} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=0}^{\\infty}(-1)^{k+1} \\frac{x^{k}}{k} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty}(-1)^{k+1} \\frac{\\pi^{2 k-1}}{(2 k-1) !} x^{2 k-1} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=0}^{\\infty}(-1)^{k+1} \\frac{x^{2 k}}{r^{k}(2 k) !} \\)</li></ol><p>\\(4\\).", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sum_{k=0}^{\\infty}-(x+1)^{k} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty}(-1)^{k+1} \\frac{1}{k}(x-1)^{k} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=0}^{\\infty} e^{2}(x-2)^{k} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=0}^{\\infty}(-1)^{k} \\frac{\\pi^{2 k}}{2 k !}\\left(x-\\frac{1}{2}\\right)^{2 k} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^{k}}{(2 k-1) !}\\left(x-\\frac{\\pi}{2}\\right)^{2 k-1} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=0}^{\\infty} \\frac{(-1)^{k}}{5^{k+1}}(x-3)^{k} \\)</li></ol><p>\\(5\\).", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\frac{2^{6} e^{2 c}}{6 !} x^{6},(-\\infty, \\infty) \\)</li><li>\\( \\frac{-\\sin c}{9 !} x^{9},(-\\infty, \\infty) \\)</li><li>\\( -\\frac{x^{5}}{(c+1)^{6}},(-1, \\infty) \\)</li><li>\\( \\frac{4 e^{c}+c e^{c}}{4 !} x^{4},(-\\infty, \\infty) \\)</li><li>\\( -\\frac{x^{6}}{6(1+c)^{6}},(-\\infty, \\infty) \\)</li><li>\\( \\frac{e^{c}+e^{-c}}{2 \\cdot 7 !},(-\\infty, \\infty) \\)</li><li>\\( -\\frac{5}{128 c^{\\frac{7}{2}}}(x-4)^{4},(0, \\infty) \\)</li><li>\\( \\frac{(x-1)^{6}}{6 c^{7}},(0, \\infty) \\)</li><li>\\( \\frac{\\cos c}{5 !}\\left(x-\\frac{\\pi}{6}\\right)^{5},(-\\infty, \\infty) \\)</li><li>\\( \\frac{7}{(1+c)^{8}}(x+2)^{6},(-\\infty,-1) \\)</li></ol><p>\\(6\\).", "</p><p>(\\(1\\)) \\( \\sum_{k=0}^{\\infty}(-1)^{k} \\frac{2^{k} x^{k}}{k !},(-\\infty, \\infty) \\)</p><p>(\\(3\\)) \\( \\sum_{k=1}^{\\infty}(-1)^{k} x^{k}, \\quad(-1,1) \\)</p><p>(\\(5\\)) \\( \\sum_{k=1}^{\\infty}(-1)^{k} 3^{k} x^{k+2}, \\quad\\left(-\\frac{1}{3}, \\frac{1}{3}\\right) \\)</p><p>(\\(7\\)) \\( 1+\\sum_{k=1}^{\\infty}(-1)^{k} \\frac{2^{2 k-1}}{(2 k) !} x^{2 k}, \\quad(-\\infty, \\infty) \\)</p> <p>정의 \\( 6.31 \\)<p>\\( p_{n}(x) \\)를 함수 \\( f(x) \\)의 \\( n \\)번째 Taylor 다항식이라 하자. \\", "( f(x)-p_{n}(x) \\)를 \\( f(x) \\)의 \\( n \\)번째 나머지( \\( n \\)th remainder)라 부르고 \\( r_{n}(x) \\)로 나타낸다.", "즉</p><p>\\( r_{n}(x)=f(x)-p_{n}(x) \\)</p></p><p>정리 \\( 6.32 \\) Cauchy의 나머지 공식<p>함수 \\( f \\)가 실수 \\( a \\)를 포함하는 개구간 \\( I \\)상에서 적어도 \\( n+1 \\)번 미분가능이고 \\( f^{(n+1)}(x) \\)이 연속일 때, 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( x \\in I, \\quad r_{n}(x)=\\frac{1}{n !} \\int_{a}^{x}(x-t)^{n} f^{(n+1)}(t) d t \\)</p></p><p>증명<p>\\( n \\)에 대한 수학적 귀납법으로 증명하겠다. \\", "( n=1 \\)이면 다음 식을 얻는다.", "</p><p>\\( \\int_{a}^{x}(x-t) f^{\\prime \\prime}(t) d t=f(x)-f(a)-f^{\\prime}(a)(x-a)=r_{1}(x) \\)</p><p>\\( n=k \\)에 대하여 다음이 성립한다고 가정하자.", "</p><p>\\( r_{k}(x)=\\frac{1}{k !} \\int_{a}^{x}(x-t)^{k} f^{(k+1)}(t) d t \\)</p><p>\\( n=k+1 \\)에 대하여 다음 식을 얻을 수 있다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} \\frac{1}{(k+1) !} & \\int_{a}^{x}(x-t)^{k+1} f^{(k+2)}(t) d t \\\\ &=-\\frac{1}{(k+1) !}(x-a)^{k+1} f^{(k+1)}(a)+\\frac{1}{k !} \\int_{a}^{x}(x-t)^{k} f^{(k+1)}(t) d t \\\\ &=-\\frac{1}{(k+1) !}(x-a)^{k+1} f^{(k+1)}(a)+r_{k}(x) \\quad(\\text { 귀납법 가정) }\\\\ &=f(x)-p_{k}(x)-\\frac{f^{(k+1)}(a)}{(k+1) !}(x-a)^{k+1} \\\\ &=f(x)-p_{k+1}(x)=r_{k+1}(x) \\end{aligned} \\)</p><p>따라서 정리가 성립한다.", "</p></p><p>정리 \\( 6.33 \\)<p>실수 \\( a \\)를 포함하는 개구간 \\( I \\)상에서 \\( b \\)가 \\( f^{(n+1)}(x) \\)의 상계라 하면 \\( \\left(x \\in I,\\left|f^{(n+1)}(x)\\right| \\leq b\\right) \\) 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( x \\in I, \\quad\\left|r_{n}(x)\\right| \\leq \\frac{b}{(n+1) !}|x-a|^{n+1} \\)</p></p><p>증명<p>\\( x>a \\)인 경우만 증명하겠다.", "정리 \\( 6.32 \\)에 의하여 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned}\\left|r_{n}(x)\\right| &=\\frac{1}{n !}\\left|\\int_{a}^{x}(x-t)^{n} f^{(n+1)}(t) d t\\right| \\\\ & \\leq \\frac{1}{n !} \\int_{a}^{x}\\left|(x-t)^{n} f^{(n+1)}(t)\\right| d t \\\\ & \\leq \\frac{b}{n !} \\int_{a}^{x}(x-t)^{n} d t \\\\ &=\\frac{b}{n !}\\left[\\frac{(x-t)^{n+1}}{n+1}\\right]_{t=a}^{t=x}=\\frac{b}{(n+1) !}|x-a|^{n+1} \\end{aligned} \\)</p></p><p>정리 \\(6.33\\)으로부터 다음 정리를 쉽게 증명할 수 있다.", "</p><p>정리 \\( 6.34 \\)<p>실수 \\( a \\)를 포함하는 개구간 \\( I \\)상에서 \\( b \\)가 \\( f^{(n+1)}(x) \\)의 상계라 하면 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{r_{n}(x)}{(x-a)^{n}}=0 \\)</p></p><p>정리 \\( 6.35 \\) Lagrange 나머지 공식<p>실수 \\( a \\)를 포함하는 개구간 \\( I \\)상에서 \\( f^{(n+1)}(x) \\)가 연속이면 다음을 만족하는 \\( c \\)가 \\( x \\)와 \\( a \\) 사이에 존재한다.", "</p><p>\\( x \\in I, \\quad r_{n}(x)=\\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1) !}(x-a)^{n+1} \\)</p></p><p>증명<p>\\( x \\geq a \\)인 경우만 증명하겠다. \\", "( x=a \\)이면 \\( \\quad r_{n}(a)=f(a)-p_{n}(a)=0 \\)이므로 정리가 성립한다. \\", "( a<x \\)라 하자. \\", "( g(t)=(x-t)^{n} \\)이라 하면 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( t<x, \\quad g(t)>0 \\)</p><p>\\( b=\\frac{x-a}{2}, k=\\frac{x+a}{2} \\)라 두면 \\( b>0, k>a \\)이고 \\( [a, k] \\) 위에서 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} g(t) \\geq\\left(x-\\frac{a+x}{2}\\right)^{n}=\\left(\\frac{x-a}{2}\\right)^{n}=b^{n}>0 \\\\ \\int_{a}^{x} g(t) d t &=\\int_{a}^{k} g(t) d t+\\int_{k}^{x} g(t) d t \\\\ & \\geq \\int_{a}^{k} g(t) d t \\\\ & \\geq \\int_{a}^{k} b^{n} d t=b^{n}(k-a)>0 \\end{aligned} \\)</p><p>따라서 정리 \\( 5.24 \\)에 의하여 \\( a \\)와 \\( x \\)사이의 적당한 \\( c \\)에 대해서 다음 식이 성립한다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} \\int_{a}^{x} f^{(n+1)}(t)(x-t)^{n} d t &=\\int_{a}^{x} f^{(n+1)}(t) g(t) d t \\\\ &=f^{(n+1)}(c) \\int_{a}^{x} g(t) d t \\\\ &=f^{(n+1)}(c) \\int_{a}^{x}(x-t)^{n} d t \\\\ &=f^{(n+1)}(c)\\left[-\\frac{(x-t)^{n+1}}{n+1}\\right]_{a}^{x} \\\\ &=\\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)}(x-a)^{n+1} \\end{aligned} \\)</p><p>정리 \\( 6.32 \\)에 의해서 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( r_{n}(x)=\\frac{1}{n !} \\int_{a}^{x} f^{(n+1)}(t)(x-t)^{n} d t=\\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1) !}(x-a)^{n+1} \\)</p></p><p>정의 \\( 6.36 \\)<p>정리 \\(6. 35\\)의 \\( r_{n}(x)=\\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1) !}(x-a)^{n+1} \\)을 Lagrange의 나머지라 부르고 다음 식을 나머지를 \\( r_{n}(x) \\)로 가지는 Taylor 공식이라 부른다.", "</p><p>\\( f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+\\frac{f^{\\prime \\prime}(a)}{2 !}(x-a)^{2}+\\cdots +\\frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n}+\\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1) !}(x-a)^{n+1} \\)</p></p><p>예제 \\( 4.8 \\)<p>다음 함수의 나머지를 \\( r_{n}(x) \\)로 가지는 Taylor 공식을 구하라.", "</p><p>\\( f(x)=e^{x} \\)</p><p>풀이<p>\\( f(x)=e^{x} \\)의 \\( n \\)째 Maclaurin 다항식은 다음과 같다.", "</p><p>\\( 1+x+\\frac{x^{2}}{2 !}+\\cdots+\\frac{x^{n}}{n !} \\)</p><p>\\(f^{(n+1)}(x)=e^{x} \\)이므로 \\(f^{(n+1)}(c)=e^{c} \\)이다.", "따라서 나머지를 \\( r_{n}(x)=\\frac{e^{c}}{(n+1) !}(x-a)^{n+1} \\) 로 가지는 Taylor 공식은 다음과 같다.", "</p><p>\\( e^{x}=1+x+\\frac{x^{2}}{2 !}+\\cdots+\\frac{x^{n}}{n !}+\\frac{e^{c}}{(n+1) !} x^{n+1} \\)</p><p>여기서 \\( c \\) 는 \\(0\\)과 \\( x \\) 사이에 있다.", "</p></p></p><p>정리 \\( 6.37 \\)<p>함수 \\( f \\)가 \\( a \\)를 포함하는 개구간 \\( I \\)상에서 무한 번 미분가능이라 하자. \\", "( x=a \\)에서 \\( f \\)의 Taylor 급수가 \\( I \\)상에서 \\( f(x) \\)에 수렴할 필요충분조건은 다음과 같다.", "</p><p>\\( x \\in I, \\quad \\lim _{n \\rightarrow \\infty} r_{n}(x)=0 \\)</p></p><p>증명<p>\\( p_{n}(x) \\)를 \\( x=a \\)에서 \\( f \\)의 \\( n \\)째 Taylor 다항식이라 하면 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} \\lim _{n \\rightarrow \\infty} p_{n}(x)=f(x) & \\Leftrightarrow f(x)-\\lim _{n \\rightarrow \\infty} p_{n}(x)=0 \\\\ & \\Leftrightarrow \\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(f(x)-p_{n}(x)\\right)=0 \\\\ & \\Leftrightarrow \\lim _{n \\rightarrow \\infty} r_{n}(x)=0 \\end{aligned} \\)</p><p>여기서 \\( \\Leftrightarrow \\)은 필요충분조건을 의미한다.", "</p></p><p>예제 \\( 4.9 \\)<p>다음 함수의 Maclaurin 급수는 모든 \\( x \\)에 대해서 \\( e^{x} \\)에 수렴함을 보여라.", "</p><p>\\( f(x)=e^{x} \\)</p><p>풀이<p>모든 \\( x \\)에 대해서 \\( r_{n}(x) \\)를 다음과 같이 두자.", "</p><p>\\( r_{n}(x)=\\frac{e^{c}}{(n+1) !} x^{n+1} \\)</p><p>그러면 \\( e^{x}=1+x+\\frac{x^{2}}{2 !}+\\cdots+\\frac{x^{n}}{n !}+r_{n}(x) \\)이다.", "여기서 \\( c \\)는 \\(0\\)과 \\( x \\) 사이에 있다.", "따라서 정리 \\( 6.37 \\)에 의하여 다음 식을 보이면 된다.", "</p><p>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} r_{n}(x)=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{e^{c}}{(n+1) !} x^{n+1}=0 \\)</p><p>제\\(6\\)장 예제 \\( 3.2 \\) \\((2)\\)에 의해서 모든 \\( x \\)에 대해서 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{x^{n+1}}{(n+1) !}=0 \\)</p><p>그러므로 함수 \\( e^{x} \\)의 Maclaurin 급수는 모든 \\( x \\)에 대해서 \\( e^{x} \\)에 수렴한다.", "</p></p></p><p>예제 \\( 4.10 \\)<p>다음 함수의 Maclaurin 급수는 모든 실수 \\( x \\)에 대해서 \\( \\sin x \\)에 수렴함을 보여라.", "</p><p>\\( f(x)=\\sin x \\)</p><p>풀이<p>모든 실수 \\( x \\)에 대해서 \\( f^{(n+1)}(x)=\\pm \\cos x \\) 혹은 \\( f^{(n+1)}(x)=\\pm \\sin x \\)이므로 \\( \\left|f^{(n+1)}(x)\\right| \\leq 1 \\)이다.", "따라서 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( 0 \\leq\\left|r_{n}(x)\\right|=\\left|\\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1) !} x^{n+1}\\right| \\leq \\frac{|x|^{n+1}}{(n+1) !} \\)</p><p>제 \\(6\\)장 예제 \\( 3.2 \\) \\((2)\\)에 의해서 모든 실수 \\( x \\)에 대해서 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{|x|^{n+1}}{(n+1) !}=0 \\)</p><p>따라서 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left|r_{n}(x)\\right|=0 \\)이다.", "그러므로 함수 \\( f(x)=\\sin x \\)의 Maclaurin 급수는 모든 실수 \\( x \\)에 대해서 \\( \\sin x \\)에 수렴한다.", "</p></p></p> <h1>6.1 무한급수</h1><p>이 절에서는 무한히 많은 항을 포함하는 합 \\( a_{1}+a_{2}+a_{3}+\\cdots+a_{k}+\\cdots \\)에 관해서 공부하고자 한다.", "이와 같은 합에 대해서는 \\( \\frac{1}{3} \\)을 십진법을 써서 나타내는 다음 예에서 볼 수 있다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} \\frac{1}{3} &=0.3+0.03+0.003+0.0003+\\cdots \\\\ &=\\frac{3}{10}+\\frac{3}{10^{2}}+\\frac{3}{10^{3}}+\\frac{3}{10^{4}}+\\cdots \\end{aligned} \\)</p><p>무한히 많은 수를 다 더한다는 깃은 불가능하므로 수열의 극한을 이용해서 무한히 많은 항의 합을 정의하고 성질들을 공부하고자 한다.", "</p><p>정의 \\( 6.1 \\) 무한급수(infinite series) 또는 급수(series)는 무한히 많은 수의 형식직 합 \\( a_{1}+a_{2}+a_{3}+\\cdots+a_{k}+\\cdots \\)을 말하고 \\( \\sum_{k=1}^{\\infty} a_{k}=\\sum a_{k} \\)로 나타낸다. \\", "( a_{1}, a_{2}, a_{3}, \\cdots \\)을 급수 \\( \\sum_{k=1}^{\\infty} a_{k} \\)의 항들이라 부른다.", "</p><p>\\[ \\begin{array}{l} s_{1}=a_{1} \\\\ s_{2}=a_{1}+a_{2} \\\\ s_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3} \\end{array} \\] \\( \\cdots \\) \\[ s_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\\cdots+a_{n}=\\sum_{k=1}^{n} a_{k} \\]</p><p>\\( s_{n} \\)을 급수 \\( \\sum_{k=1}^{\\infty} a_{k} \\) 의 \\( n \\)째 부분합 \\( (\\mathrm{n} \\)-th partial sum)이라 부르고 수열 \\( \\left\\{s_{n}\\right\\} \\)을 급수 \\( \\sum_{k=1}^{\\infty} a_{k} \\)의 부분합의 수열이라 부른다.", "</p><p>예제 \\( 1.1 \\)<p>다음 무한급수의 부분합을 구하라.", "</p><p>\\(\\frac{3}{10}+\\frac{3}{10^{2}}+\\frac{3}{10^{3}}+\\frac{3}{10^{4}}+\\cdots\\)</p><p>풀이<p>\\(\\begin{aligned} s_{1} &=\\frac{3}{10} \\\\ s_{2} &=\\frac{3}{10}+\\frac{3}{10^{2}}=\\frac{33}{100} \\\\ s_{3} &=\\frac{3}{10}+\\frac{3}{10^{2}}+\\frac{3}{10^{3}}=\\frac{333}{1000} \\\\ s_{4} &=\\frac{3}{10}+\\frac{3}{10^{2}}+\\frac{3}{10^{3}}+\\frac{3}{10^{4}}=\\frac{3333}{10000} \\end{aligned} \\)</p><p>예제 \\( 1.1 \\)에서 볼 때 \\( n \\)이 증가할 때 \\( s_{n} \\)이 점점 커지고 있으므로 만약 수열 \\( \\left\\{s_{n}\\right\\} \\)이 극한값을 가지면 이 극한값을 급수의 각 항의 합으로 보는 것이 합리적일 것이다.", "이 사실이 다음의 정의를 암시한다.", "</p></p><p>정의 \\( 6.2 \\)<p>\\( \\left\\{s_{n}\\right\\} \\)을 급수 \\( \\sum_{k=1}^{\\infty} a_{k} \\)의 부분합의 수열이라 하자.", "수열 \\( \\left\\{s_{n}\\right\\} \\)이 \\( s \\)에 수렴할 때 급수 \\( \\sum_{k=1}^{\\infty} a_{k} \\)가 수렴한다(converge)고 말하고 \\( s \\)를 급수의 합(sum)이라 부른다.", "이 경우 \\( s=\\sum_{k=1}^{\\infty} a_{k} \\) 라 쓴다.", "수열 \\( \\left\\{s_{n}\\right\\} \\)이 발산할 때 급수 \\( \\sum_{k=1}^{\\infty} a_{k} \\)는 발산한다(diverge)고 말한다.", "</p></p></p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "해석학_급수", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-1f28-47ab-87b0-2f4705238edf", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961050036", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2007", "doc_author": [ "조영수", "강주호", "박동완" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>정리 \\(9.1.2\\) 삼각함수 미분공식<ol type=1 start=1><li>\\( \\frac{d}{d x} \\sin u=\\cos u \\frac{d u}{d x} \\)</li><li>\\( \\frac{d}{d x} \\cos u=-\\sin u \\frac{d u}{d x} \\)</li><li>\\( \\frac{d}{d x} \\tan u=\\sec ^{2} u \\frac{d u}{d x} \\)</li><li>\\( \\frac{d}{d x} \\sec u=\\sec u \\tan u \\frac{d u}{d x} \\)</li><li>\\( \\frac{d}{d x}(\\cot u)=-\\csc ^{2} u \\frac{d u}{d x} \\)</li><li>\\( \\frac{d}{d x} \\csc u=-\\csc u \\cot u \\frac{d u}{d x} \\)</li></ol></p><p>\\( (1) \\) 도함수 정의에 의하여 \\( y=\\sin x \\) 의 도함수는 \\( \\begin{aligned} y^{\\prime} &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\\\ &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{\\sin (x+h)-\\sin x}{h} \\\\ &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{2 \\cos \\left(x+\\frac{h}{2}\\right) \\sin \\frac{h}{2}}{h} \\\\ &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\cos \\left(x+\\frac{h}{2}\\right) \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{\\sin \\frac{h}{2}}{\\frac{h}{2}} \\end{aligned} \\) 이다.", "여기서 \\( \\cos x \\) 는 연속함수이므로 \\( h \\rightarrow 0 \\) 일 때 \\( \\cos \\left(x+\\frac{h}{2}\\right)=\\cos x \\) 이고 \\( \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{\\sin \\frac{h}{2}}{\\frac{h}{2}} \\) 는 \\( \\frac{h}{2}=t \\) 로 놓으면 \\( h \\rightarrow 0 \\) 일 때 \\( t \\rightarrow 0 \\) 이므로 \\( \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{\\sin \\frac{h}{2}}{\\frac{h}{2}}=\\lim _{t \\rightarrow 0} \\frac{\\sin t}{t}=1 \\) 이 되어 \\( y=\\sin x \\) 의 도함수 \\( y^{\\prime}=\\cos x \\) 이다.", "따라서 \\( y=\\sin u \\) 의 도함수는 합성함수 미분법에 의하여 \\( \\frac{d y}{d x}=\\frac{d y}{d u} \\frac{d u}{d x}=\\cos u \\frac{d u}{d x} \\) 이다.", "</p><p>\\( (2) \\) \\( y=\\cos x \\) 일 때 \\( y=\\cos x=\\sin \\left(\\frac{\\pi}{2}+x\\right) \\) 이므로 \\( u=\\frac{\\pi}{2}+x \\) 로 놓으면 \\( y=\\sin u \\) 이고 \\( \\frac{d y}{d x}=\\frac{d y}{d u} \\frac{d u}{d x}=\\cos u \\cdot 1=\\cos \\left(\\frac{\\pi}{2}+x\\right)=-\\sin x \\) 이므로 \\( y=\\cos x \\) 의 도함수 \\( y^{\\prime}=-\\sin x \\) 이다.", "따라서 \\( y=\\cos u \\) 의 도함수는 합성함수 미분법에 의하여 \\( \\frac{d y}{d x}=\\frac{d y}{d u} \\frac{d u}{d x}=-\\sin u \\frac{d u}{d x} \\)이다.", "</p><p>\\( (3) \\) \\( \\begin{aligned} \\frac{d}{d x}(\\tan x)=\\frac{d}{d x}\\left(\\frac{\\sin x}{\\cos x}\\right) &=\\frac{(\\sin x)^{\\prime} \\cos x-(\\cos x)^{\\prime} \\sin x}{\\cos ^{2} x} \\\\ &=\\frac{\\cos x \\cdot \\cos x-(-\\sin x) \\sin x}{\\cos ^{2} x} \\\\ &=\\frac{\\cos ^{2} x+\\sin ^{2} x}{\\cos ^{2} x}=\\frac{1}{\\cos ^{2} x}=\\sec ^{2} x \\end{aligned} \\) 이므로 \\( y=\\tan u \\) 의 도함수는 합성함수 미분법에 의하여 \\( \\frac{d y}{d x}=\\frac{d y}{d u} \\frac{d u}{d x}=\\sec ^{2} u \\frac{d u}{d x} \\)이다.", "</p><p>\\( (4) \\) \\( \\begin{aligned} \\frac{d}{d x}(\\sec x)=\\frac{d}{d x}\\left(\\frac{1}{\\cos x}\\right) &=\\frac{(1)^{\\prime} \\cos x-(\\cos x)^{\\prime} \\cdot 1}{\\cos ^{2} x} \\\\ &=\\frac{0 \\cdot \\cos x+\\sin x \\cdot 1}{\\cos ^{2} x}=\\frac{1}{\\cos x} \\cdot \\frac{\\sin x}{\\cos x} \\\\ &=\\sec x \\tan x \\end{aligned} \\) 이므로 \\( y=\\sec u \\) 의 도함수는 합성함수 미분법에 의하여 \\( \\frac{d y}{d x}=\\frac{d y}{d u} \\frac{d u}{d x}=\\sec u \\tan u \\frac{d u}{d x} \\)이다.", "</p><p>\\( (5) \\) \\( \\begin{aligned} \\frac{d}{d x}(\\cot x)=\\frac{d}{d x}\\left(\\frac{\\cos x}{\\sin x}\\right) &=\\frac{(\\cos x)^{\\prime} \\sin x-(\\sin x)^{\\prime} \\cos x}{\\sin ^{2} x} \\\\ &=\\frac{-\\left(\\sin ^{2} x+\\cos ^{2} x\\right)}{\\sin ^{2} x}=-\\left(\\frac{1}{\\sin x}\\right)^{2}=-\\csc ^{2} x \\end{aligned} \\) 이므로 \\( y=\\cot u \\) 의 도함수는 합성함수 미분법에 의하여 \\( \\frac{d y}{d x}=\\frac{d y}{d u} \\frac{d u}{d x}=-\\csc ^{2} u \\frac{d u}{d x} \\)이다.", "</p><p>\\( (6) \\) \\( \\begin{aligned} \\frac{d}{d x}(\\csc x)=\\frac{d}{d x}\\left(\\frac{1}{\\sin x}\\right) &=\\frac{(1)^{\\prime} \\sin x-(\\sin x)^{\\prime} \\cdot 1}{\\sin ^{2} x} \\\\ &=\\frac{0 \\cdot \\sin x-\\cos x \\cdot 1}{\\sin ^{2} x} \\\\ &=\\frac{-\\cos x}{\\sin ^{2} x} \\\\ &=-\\frac{1}{\\sin x} \\cdot \\frac{\\cos x}{\\sin x}=-\\csc x \\cot x \\end{aligned} \\) 이므로 \\( y=\\csc \\) 의 도함수는 합성함수 미분법에 의하여 \\( \\frac{d y}{d x}=\\frac{d y}{d u} \\frac{d u}{d x}=-\\csc u \\cot u \\frac{d u}{d x} \\) 이다.", "</p> <p>예제 \\( 9.1.3 \\) 다음 각 함수의 도함수를 구하여라.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( y=\\sin 3 x \\)</li><li>\\( y=\\sin ^{3} x \\)</li><li>\\( y=\\sin x^{3} \\)</li><li>\\( y=\\tan \\sqrt{x^{2}+1} \\)</li><li>\\( y=\\sec (5 x+2) \\)</li><li>\\( y=\\sin (\\tan 3 x) \\)</li><li>\\( y=\\cos 5 x \\sin ^{5} x \\)</li><li>\\( y=\\frac{1+\\sin x}{\\cos x} \\)</li></ol></p><p>풀이</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( u=3 x \\) 로 놓으면 \\( y=\\sin u \\) 이므로 \\( y^{\\prime}=\\frac{d y}{d x}=\\frac{d y}{d u} \\frac{d u}{d x}=\\cos u \\cdot 3=3 \\cos 3 x \\)</li><li>\\( u=\\sin x \\) 로 놓으면 \\( y=\\sin ^{3} x=u^{3} \\) 이므로 \\( \\begin{aligned} y^{\\prime}=\\frac{d y}{d x}=\\frac{d y}{d u} \\frac{d u}{d x}=\\frac{d}{d u} u^{3} \\frac{d}{d x} \\sin x &=3 u^{2} \\cdot \\cos x \\\\ &=3 \\sin ^{2} x \\cos x \\end{aligned} \\)</li><li>\\( u=x^{3} \\) 로 놓으면 \\( y=\\sin x^{3}=\\sin u \\) 이므로 \\( \\begin{aligned} y^{\\prime}=\\frac{d y}{d x}=\\frac{d y}{d u} \\frac{d u}{d x}=\\frac{d}{d u} \\sin u \\frac{d}{d x} x^{3} &=\\cos u \\cdot 3 x^{2} \\\\ &=3 x^{2} \\cos x^{3} \\end{aligned} \\)</li><li>\\( u=\\sqrt{x^{2}+1} \\) 로 놓으면 \\( y=\\tan \\sqrt{x^{2}+1}=\\tan u \\) 이므로 \\( \\begin{aligned} y^{\\prime}=\\frac{d y}{d x}=\\frac{d y}{d u} \\frac{d u}{d x} &=\\frac{d}{d u} \\tan u \\frac{d}{d x} \\sqrt{x^{2}+1} \\\\ &=\\sec ^{2} \\sqrt{x^{2}+1} \\cdot \\frac{2 x}{2 \\sqrt{x^{2}+1}} \\\\ &=\\frac{x}{\\sqrt{x^{2}+1}} \\cdot \\sec ^{2} \\sqrt{x^{2}+1} \\end{aligned} \\)</li><li>\\( u=5 x+2 \\) 로 놓으면 \\( y=\\sec (5 x+2)=\\sec u \\) 이므로 \\( \\begin{aligned} y^{\\prime}=\\frac{d y}{d x}=\\frac{d y}{d u} \\frac{d u}{d x} &=\\frac{d}{d u} \\sec u \\frac{d}{d x}(5 x+2) \\\\ &=\\sec u \\tan u \\cdot 5 \\\\ &=5 \\sec (5 x+2) \\tan (5 x+2) . \\", "end{aligned} \\)</li><li>\\( u=\\tan 3 x \\) 로 놓으면 \\( y=\\sin (\\tan 3 x)=\\sin u \\) 이므로 \\( \\begin{aligned} y^{\\prime}=\\frac{d y}{d x}=\\frac{d y}{d u} \\frac{d u}{d x} &=\\frac{d}{d u} \\sin u \\frac{d}{d x} \\tan 3 x \\\\ &=\\cos u \\sec ^{2} 3 x \\cdot(3 x)^{\\prime} \\\\ &=3 \\cos (\\tan 3 x) \\cdot \\sec ^{2} 3 x \\end{aligned} \\)</li><li>\\( y=\\cos 5 x \\sin ^{5} x \\) 일 때 \\( \\begin{aligned} y^{\\prime} &=(\\cos 5 x)^{\\prime} \\sin ^{5} x+\\cos 5 x \\cdot\\left(\\sin ^{5} x\\right)^{\\prime} \\\\ &=-\\sin 5 x \\cdot(5 x)^{\\prime} \\cdot \\sin ^{5} x+\\cos 5 x\\left(5 \\sin ^{4} x\\right) \\cdot(\\sin x)^{\\prime} \\\\ &=-5 \\sin 5 x \\cdot \\sin ^{5} x+5 \\cos 5 x \\cdot \\sin ^{4} x \\cdot \\cos x \\end{aligned} \\)</li><li>\\( \\begin{aligned} y^{\\prime} &=\\frac{(1+\\sin x)^{\\prime} \\cos x-(\\cos x)^{\\prime}(1+\\sin x)}{\\cos ^{2} x} \\\\ &=\\frac{\\cos x \\cdot \\cos x+\\sin x(1+\\sin x)}{\\cos ^{2} x} \\\\ &=\\frac{1+\\sin x}{1-\\sin ^{2} x}=\\frac{1}{1-\\sin x} \\end{aligned} \\)</li></ol></p><p>유제 \\( 9.1.3 \\) 다음 함수를 미분하여라.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( y=3 x-3 \\cos 3 x \\)</li><li>\\( y=\\sec x-\\csc x \\)</li><li>\\( y=\\cos (\\sin 3 x) \\)</li><li>\\( y=\\sec x \\tan x \\)</li><li>\\( y=\\frac{\\sin x}{1+\\cos x} \\)</li><li>\\( y=\\sqrt{3+\\sin 3 x} \\)</li></ol></p><p>예제\\( 9.1.4 \\) 다음 식에서 \\( \\frac{d y}{d x} \\) 를 구하여라.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( \\cos x+\\sin y=x y \\)</li><li>\\( x=y^{2}+\\cot y^{3} \\)</li><li>\\( x=\\theta^{2}-\\cos \\theta, y=\\theta+\\sin \\theta \\)</li></ol></p><p>풀이</p><p><ol type=1 start=1><li>양변을 \\( x \\) 에 관하여 미분하면 \\( -\\sin x+\\cos y \\cdot \\frac{d y}{d x}=(x)^{\\prime} y+x \\frac{d}{d x} y \\) \\( (x-\\cos y) \\frac{d y}{d x}=-(y+\\sin x) \\) \\( \\therefore \\frac{d y}{d x}=-\\frac{y+\\sin x}{x-\\cos y} \\)</li><li>\\( \\frac{d y}{d x}=\\frac{1}{\\frac{d x}{d y}}=\\frac{1}{2 y-\\csc ^{2} y^{3} \\cdot\\left(y^{3}\\right)^{\\prime}}=\\frac{1}{2 y-3 y^{2} \\csc ^{2} y^{3}} \\)</li><li>\\( \\frac{d y}{d x}=\\frac{\\frac{d y}{d \\theta}}{\\frac{d x}{d \\theta}}=\\frac{1+\\cos \\theta}{2 \\theta+\\sin \\theta} \\)</li></ol></p><p>유제 \\( 9.1.4 \\) 다음 식에서 \\( \\frac{d y}{d x} \\) 를 구하여라.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sin x+\\sin y=x y \\)</li><li>\\( x=\\sec y \\)</li><li>\\( x=t^{2}-\\sin 2, y=t-\\cos t^{2} \\)</li></ol></p> <h1>9.3. 로그함수 미분법</h1><p>수열의 극한에서 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(1+\\frac{1}{n}\\right)^{n}=e=2.7182818 \\cdots \\) 입을 다루었다.", "여기에서 \\( n \\) 은 자연수로서 한없이 커질 때 수열 \\( \\left(1+\\frac{1}{n}\\right)^{n} \\) 의 극한값이 \\( e \\) 라는 것을 의미하지만, 실제로는 \\( x \\) 가 실수로서 한없이 커질 때 함수 \\( \\left(1+\\frac{1}{x}\\right)^{x} \\) 의 극한값도 \\( e \\) 라는 사실이 잘 알려겨", "있다.", "즉, \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)^{x}=e \\) 또는 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0}(1+x)^{\\frac{1}{x}}=e \\) 이 성립한다.", "</p><p>수학에서는 두 종류의 로그가 많이 사용되는데, 그 중의 하나는 \\( 10 \\) 을 밑으로 하는 상용로그이고 다른 하나는 \\( e \\) 를 밑으로 하는 자연로그이다.", "상용로그 \\( \\log _{10} x \\) 는 \\( \\log _{x} \\) 로, 자연로그 \\( \\log _{e} x \\) 는 \\( \\ln x \\) 로 나타낸다.", "</p><p>정리 \\( 9.3.1 \\) 로그함수 미분공식 \\( \\frac{d}{d x} \\log _{a} u=\\frac{1}{u} \\log _{a} e \\frac{d u}{d x} \\) 특히 \\( \\frac{d}{d x} \\ln u=\\frac{1}{u} \\frac{d u}{d x} \\) 이다.", "</p><p>증명</p><p>\\( y=\\log _{a} x \\) 일 때 \\( \\begin{aligned} \\frac{d y}{d x} &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{\\log _{a}(x+h)-\\log _{a} x}{h} \\\\ &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{1}{h} \\log _{a}\\left(1+\\frac{h}{x}\\right) \\\\ &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{1}{x} \\cdot \\frac{x}{h} \\log _{a}\\left(1+\\frac{h}{x}\\right) \\\\ &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{1}{x} \\log _{a}\\left(1+\\frac{h}{x}\\right)^{\\frac{x}{h}} \\end{aligned} \\) 이다.", "여기서 \\( \\frac{h}{x}=z \\) 라 하면 \\( h \\rightarrow 0 \\) 일 때 \\( z \\rightarrow 0 \\) 이므로 \\( \\frac{d y}{d x}=\\lim _{z \\rightarrow 0} \\frac{1}{x} \\log _{a}(1+z)^{\\frac{1}{z}}=\\frac{1}{x} \\log _{a} e \\) 이다.", "특히 \\( y=\\ln x \\) 의 도함수는 \\( \\frac{d y}{d x}=\\frac{1}{x} \\log _{e} e=\\frac{1}{x} \\) 이다.", "따라서 합성함수 미분법에 의하여 \\( \\frac{d}{d x} \\log _{a} u=\\frac{1}{u} \\log _{a} e \\frac{d u}{d x} \\) \\( \\frac{d}{d x} \\ln u=\\frac{1}{u} \\frac{d u}{d x} \\)이다.", "</p> <p>예제 \\( 9.3.1 \\) 다음 함수를 미분하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=\\log _{2}(3 x+2) \\)</li><li>\\( y=\\log \\sqrt{1+x^{2}} \\)</li><li>\\( y=\\ln \\cos x \\)</li><li>\\( y=\\sin ^{-1}(\\ln x\\} \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>\\( u=3 x+2 \\) 로 놓으면 \\( \\frac{d u}{d x}=3 \\) 이므로 \\( \\frac{d y}{d x}=\\frac{d}{d x} \\log _{2} u=\\frac{d}{d u} \\log _{2} u \\frac{d u}{d x}=\\frac{1}{u} \\log _{2} e \\cdot 3=\\frac{3}{3 x+2} \\log _{2} e \\)</li><li>\\( u=\\sqrt{1+x^{2}} \\) 로 놓으면 \\( \\frac{d u}{d x}=\\frac{x}{\\sqrt{1+x^{2}}} \\) 이므로 \\( \\frac{d y}{d x}=\\frac{d}{d x} \\log u=\\frac{d}{d u} \\log u \\frac{d u}{d x}=\\frac{1}{u} \\log e \\cdot \\frac{x}{\\sqrt{1+x^{2}}}=\\frac{x}{1+x^{2}} \\log e . \\)", "</li><li>\\( u=\\cos x \\) 로 놓으면 \\( \\frac{d u}{d x}=-\\sin x \\) 이므로 \\( \\frac{d y}{d x}=\\frac{d}{d u} \\ln u \\frac{d u}{d x}=\\frac{1}{u} \\cdot(-\\sin x)=-\\frac{\\sin x}{\\cos x}=-\\tan x . \\)", "</li><li>\\( u=\\ln x \\) 로 놓으면 \\( \\frac{d u}{d x}=\\frac{1}{x} \\) 이므로 \\( \\frac{d y}{d x}=\\frac{d}{d u} \\sin ^{-1} u \\frac{d u}{d x}=\\frac{1}{\\sqrt{1-u^{2}}} \\cdot \\frac{1}{x}=\\frac{1}{x \\sqrt{1-(\\ln x)^{2}}} . \\)", "</li></ol><p>유제 \\( 9.3.1 \\) 다음 함수를 미분하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=\\log _{\\frac{1}{2}} 2 x \\)</li><li>\\( y=\\ln \\sqrt{x^{4}+2 x} \\)</li><li>\\( y=\\ln \\sin x \\)</li><li>\\( y=\\ln (\\ln x) \\)</li></ol><p>예제 \\( 9.3.2 \\) 로그함수를 이용하여 \\( y=\\sqrt{\\frac{x+1}{x-1}} \\) 의 도함수를 구하여라.", "</p><p>풀이</p><p>\\( y=\\sqrt{\\frac{x+1}{x-1}} \\) 의 양변에 자연로그를 취하면 \\( \\ln y=\\frac{1}{2}[\\ln (x+1)-\\ln (x-1)] \\)이다.", "음함수 미분법을 사용하여 양변을 미분하면 \\( \\frac{1}{y} \\cdot y^{\\prime}=\\frac{1}{2}\\left[\\frac{1}{x+1}-\\frac{1}{x-1}\\right]=\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{-2}{x^{2}-1}=\\frac{1}{1-x^{2}} \\) 이다.", "따라서 \\( y^{\\prime}=y \\cdot \\frac{1}{1-x^{2}}=\\sqrt{\\frac{x+1}{x-1}} \\cdot \\frac{1}{1-x^{2}} . \\)", "</p><p>유제 \\( 9.3.2 \\) \\( y=\\sqrt[4]{\\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}} \\) 의 도함수를 구하여라.", "</p> <h1>9.2. 역삼각함수 미분법</h1><p>정리 \\( 9.2.1 \\) 역삼각함수 미분공식<ol type=1 start=1><li>\\( \\frac{d}{d x} \\sin ^{-1} u=\\frac{1}{\\sqrt{1-u^{2}}} \\frac{d u}{d x}(|u|<1) \\)</li><li>\\( \\frac{d}{d x} \\cos ^{-1} u=-\\frac{1}{\\sqrt{1-u^{2}}} \\frac{d u}{d x}(|u|<1) \\)</li><li>\\( \\frac{d}{d x} \\tan ^{-1} u=\\frac{1}{1+u^{2}} \\frac{d u}{d x} \\)</li><li>\\( \\frac{d}{d x} \\cot ^{-1} u=-\\frac{1}{1+u^{2}} \\frac{d u}{d x} \\)</li><li>\\( \\frac{d}{d x} \\sec ^{-1} u=\\frac{1}{|u| \\sqrt{u^{2}-1}} \\frac{d u}{d x}(|u|>1) \\)</li><li>\\( \\frac{d}{d x} \\csc ^{-1} u=-\\frac{1}{|u| \\sqrt{u^{2}-1}} \\frac{d u}{d x}(|u|>1) \\)</li></ol></p><p>증명</p><p>\\( (1) \\) \\( y=\\sin ^{-1} x \\) 라 하면 \\( \\sin y=x,-\\frac{\\pi}{2}<y<\\frac{\\pi}{2} \\) 이다. \\", "( \\sin y=x \\) 의 양변을 \\( x \\) 에 대하여 미분하면 \\( \\cos y \\frac{d y}{d x}=1 \\) 이므로 \\( \\frac{d y}{d x}=\\frac{1}{\\cos y} \\) 이다. \\", "( -\\frac{\\pi}{2}<y<\\frac{\\pi}{2} \\) 이므로 \\( \\cos y>0 \\) 이고 \\( \\cos y=\\sqrt{1-\\sin ^{2} y}=\\sqrt{1-x^{2}} \\) 이다.", "따라서 \\( \\frac{d y}{d x}=\\frac{1}{\\cos y}=\\frac{1}{\\sqrt{1-x^{2}}},-1<x<1 \\).", "</p><p>\\( (2) \\) \\( y=\\cos ^{-1} x \\) 라 하면 \\( \\cos y=x, 0<y<\\pi \\) 이다. \\", "( \\cos y=x \\) 의 양변을 \\( x \\) 에 대하여 미분하면 \\( -\\sin y \\frac{d y}{d x}=1 \\) 이므로 \\( \\frac{d y}{d x}=-\\frac{1}{\\sin y} \\) 이다.", "그런데 \\( 0<y<\\pi \\) 이므로 \\( \\sin y>0 \\) 가 되어 \\( \\sin y=\\sqrt{1-\\cos ^{2} y}=\\sqrt{1-x^{2}} \\) 이다.", "따라서 \\( \\frac{d y}{d x}=-\\frac{1}{\\sin y}=-\\frac{1}{\\sqrt{1-x^{2}}},-1<x<1 \\).", "</p><p>\\( (3) \\) \\( y=\\tan ^{-1} x \\) 라 하면 \\( \\tan y=x \\) 이다. \\", "( \\tan y=x \\) 의 양변을 \\( x \\) 에 대하여 미분하면 \\( \\sec ^{2} y \\frac{d y}{d x}=1 \\) 이므로 \\( \\frac{d y}{d x}=\\frac{1}{\\sec ^{2} y}=\\frac{1}{1+\\tan ^{2} y}=\\frac{1}{1+x^{2}} \\) 이다.", "</p><p>\\( (4) \\) \\( y=\\cot ^{-1} x \\) 라 하면 \\( \\cot y=x \\) 이다. \\", "( \\cot y=x \\) 의 양변을 \\( x \\) 에 대하여 미분하면 \\( -\\csc ^{2} y \\frac{d y}{d x}=1 \\) 이므로 \\( \\frac{d y}{d x}=-\\frac{1}{\\csc ^{2} y}=-\\frac{1}{1+\\cot ^{2} y}=-\\frac{1}{1+x^{2}} \\).", "</p><p>\\( (5) \\) \\( y=\\sec ^{-1} x \\) 로 놓으면 \\( \\sec y=x \\) 이고 \\( 0<y<\\frac{\\pi}{2} \\) 또는 \\( \\frac{\\pi}{2}<y<\\pi \\) 이다. \\", "( \\sec y=x \\) 의 양변을 \\( x \\) 에 대하여 미분하면 \\( \\sec y \\tan y \\frac{d y}{d x}=1 \\) 이므로 \\( \\frac{d y}{d x}=\\frac{1}{\\sec y \\tan y} \\) 이다.", "여기서 \\( \\tan y=\\left\\{\\begin{array}{ll}\\sqrt{\\sec ^{2} y-1}=\\sqrt{x^{2}-1} & \\left(0<y<\\frac{\\pi}{2}, \\text { 즉 } x>1 \\text { 일 때 }\\right) \\\\ -\\sqrt{\\sec ^{2} y-1}=-\\sqrt{x^{2}-1} & \\left(\\frac{\\pi}{2}<y<\\pi, \\text { 즉 } x<-1 \\text { 일 때 }\\right)\\end{array}\\right. \\)이므로 \\( \\frac{d y}{d x}=\\frac{1}{\\sin y \\tan y}=\\left\\{\\begin{array}{ll}\\frac{1}{x \\sqrt{x^{2}-1}} & (x>", "1) \\\\ -\\frac{1}{x \\sqrt{x^{2}-1}} & (x<-1)\\end{array}\\right. \\)이다.", "</p><p>\\( (6) \\) \\( y=\\csc ^{-1} x \\) 로 놓으면 \\( \\csc y=x \\) 이고 \\( -\\frac{\\pi}{2}<y<0 \\) 또는 \\( 0<y<\\frac{\\pi}{2} \\) 이다. \\", "( \\csc y=x \\) 에서 \\( \\frac{d y}{d x}=\\frac{1}{\\frac{d x}{d y}}=\\frac{1}{-\\csc y \\cot y} \\) 이다.", "그런데 \\( \\cot y=\\left\\{\\begin{array}{ll}\\sqrt{\\csc ^{2} y-1}=\\sqrt{x^{2}-1} & \\left(0<y<\\frac{\\pi}{2}, \\text { 즉 } x>1\\right) \\\\ -\\sqrt{\\csc ^{2} y-1}=-\\sqrt{x^{2}-1} & \\left(-\\frac{\\pi}{2}<y<0, \\text { 즉 } x<-1\\right)\\end{array}\\right. \\) 이므로 따라서 \\( \\frac{d y}{d x}=\\left\\{\\begin{array}{ll}\\frac{1}{-x \\sqrt{x^{2}-1}} & (x>", "1) \\\\ \\frac{1}{x \\sqrt{x^{2}-1}} & (x<1)\\end{array}\\right. \\)이다.", "</p> <p>예제 \\( 9.2.1 \\) 다음 함수의 도함수를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=\\sin ^{-1} \\frac{x}{2} \\)</li><li>\\( y=\\cos ^{-1}(1-x) \\)</li><li>\\( y=\\tan ^{-1}(\\cot x) \\)</li><li>\\( y=\\sec ^{-1} \\sqrt{1+x^{2}} \\quad(x>0) \\)</li><li>\\( y=x^{2} \\tan ^{-1} \\sqrt{x} \\)</li><li>\\( y=\\left(\\sin ^{-1} 4 x\\right)^{2} \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\frac{x}{2}=u \\) 로 놓으면 \\( \\frac{d u}{d x}=\\frac{1}{2} \\) 이므로 \\( \\begin{aligned} \\frac{d y}{d x}=\\frac{d}{d u} \\sin ^{-1} u \\frac{d u}{d x} &=\\frac{1}{\\sqrt{1-u^{2}}} \\cdot \\frac{1}{2} \\\\ &=\\frac{1}{\\sqrt{4-x^{2}}} \\end{aligned}. \\)", "</li><li>\\( u=1-x \\) 로 놓으면 \\( \\frac{d u}{d x}=-1 \\) 이므로 \\( \\frac{d y}{d x}=\\frac{d}{d u} \\cos ^{-1} u \\frac{d u}{d x}=-\\frac{1}{\\sqrt{1-(1-x)^{2}}} \\cdot(-1)=\\frac{1}{\\sqrt{2 x-x^{2}}} \\).", "</li><li>\\( u=\\cot x \\) 로 놓으면 \\( \\frac{d u}{d x}=-\\csc ^{2} x \\) 이므로 \\( \\begin{aligned} \\frac{d y}{d x}=\\frac{d}{d u} \\tan ^{-1} u \\frac{d u}{d x} &=\\frac{1}{1+u^{2}} \\cdot\\left(-\\csc ^{2} x\\right) \\\\ &=\\frac{1}{1+\\cot ^{2} x}\\left(-\\csc ^{2} x\\right) \\\\ &=-\\frac{\\csc ^{2} x}{\\csc ^{2} x}=-1 \\end{aligned} \\)</li><li>\\( u=\\sqrt{1+x^{2}} \\) 로 놓으면 \\( \\frac{d u}{d x}=\\frac{x}{\\sqrt{1+x^{2}}} \\) 이므로 \\( \\begin{aligned} \\frac{d y}{d x}=\\frac{d}{d u} \\sec ^{-1} u \\frac{d u}{d x} &=\\frac{1}{u \\sqrt{u^{2}-1}} \\cdot \\frac{x}{\\sqrt{1+x^{2}}} \\\\ &=\\frac{1}{\\sqrt{1+x^{2}} \\sqrt{\\left(\\sqrt{1+x^{2}}\\right)^{2}-1}} \\cdot \\frac{x}{\\sqrt{1+x^{2}}} \\\\ &=\\frac{1}{x \\sqrt{1+x^{2}}} \\cdot \\frac{x}{\\sqrt{1+x^{2}}}=\\frac{1}{1+x^{2}} \\end{aligned} \\)</li><li>\\( \\begin{aligned} \\frac{d y}{d x} &=\\left(x^{2}\\right)^{\\prime} \\tan ^{-1} \\sqrt{x}+x^{2}\\left(\\tan ^{-1} \\sqrt{x}\\right)^{\\prime} \\\\ &=2 x \\tan ^{-1} \\sqrt{x}+x^{2} \\cdot \\frac{1}{1+(\\sqrt{x})^{2}} \\cdot \\frac{1}{2 \\sqrt{x}} \\\\ &=2 x \\tan ^{-1} \\sqrt{x}+\\frac{x^{2}}{2 \\sqrt{x}(1+x)} \\end{aligned} \\)</li><li>\\( u=\\sin ^{-1} 4 x \\) 로 놓으면 \\( y=\\left(\\sin ^{-1} 4 x\\right)^{2}=u^{2} \\) 이므로 \\( \\frac{d y}{d x}=\\frac{d}{d u} u^{2} \\frac{d u}{d x}=2 u \\frac{d u}{d x}=2 \\sin ^{-1} 4 x \\frac{d u}{d x} .\\)", "이제 \\( \\frac{d u}{d x} \\) 를 구하기 위하여 \\( v=4 x \\) 로 놓으면 \\( \\frac{d u}{d x}=\\frac{d}{d v} \\sin ^{-1} v \\frac{d v}{d x}=\\frac{1}{\\sqrt{1-v^{2}}} \\cdot 4=\\frac{4}{\\sqrt{1-16 x^{2}}} \\) 이다.", "따라서 \\( \\frac{d y}{d x}=2 \\sin ^{-1} 4 x \\cdot \\frac{4}{\\sqrt{1-16 x^{2}}}=\\frac{8 \\sin ^{-1} 4 x}{\\sqrt{1-16 x^{2}}} . \\)", "</li></ol><p>유제 \\( 9.2 .1 \\) 다음 함수의 도함수를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=\\sin ^{-1} \\frac{2}{x} \\)</li><li>\\( y=\\tan ^{-1} 2 x \\)</li><li>\\( y=\\frac{1}{\\tan ^{-1} x} \\)</li><li>\\( y=\\cos ^{-1} x^{2} \\)</li><li>\\( y=\\tan ^{-1}(\\cos x) \\)</li><li>\\( y=x \\sin ^{-1} x+\\sqrt{1-x^{2}} \\)</li></ol> <h1>9.5. 고계도함수</h1><p>함수 \\( f(x)=x^{3} \\) 의 도함수는 \\( f^{\\prime}(x)=3 x^{2} \\) 이다.", "이때 \\( f^{\\prime}(x) \\) 는 미분가능한 함수이므로 다시 \\( f^{\\prime}(x)=3 x^{2} \\) 의 도함수 \\( \\left\\{f^{\\prime}(x)\\right\\}^{\\prime} \\) 을 \\( \\left\\{f^{\\prime}(x)\\right\\}^{\\prime}=\\left(3 x^{2}\\right)^{\\prime}=6 x \\) 와 같이 구할 수 있다.", "이와 같이 함수 \\( y=f(x) \\) 의 도함수 \\( f^{\\prime}(x) \\) 가 미분가능할 때 \\( f^{\\prime}(x) \\) 의 도함수 \\( \\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{f^{\\prime}(x+\\Delta x)-f^{\\prime}(x)}{\\Delta x} \\) 를 \\( y=f(x) \\) 의 \\( 2 \\) 계도함수라 하고, 이것을 \\( f^{\\prime \\prime}(x), \\quad y^{\\prime \\prime}, \\quad \\frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \\quad \\frac{d^{2}}{d x^{2}} f(x), \\quad \\frac{d}{d x}\\left(\\frac{d y}{d x}\\right) \\) 와 같이 나타낸다.", "</p><p>예제 \\( 9.5 .1 \\) 다음 함수의 \\( 2 \\) 계도함수를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=x^{5} \\)</li><li>\\( y=\\sin 2 x \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>\\( y^{\\prime}=5 x^{4} \\) 이므로 \\( y^{\\prime \\prime}=20 x^{3} \\) 이다.", "</li><li>\\( y^{\\prime}=2 \\cos 2 x \\) 이므로 \\( y^{\\prime \\prime}=-4 \\sin 2 x \\) 이다.", "</li></ol><p>유제 \\( 9.5.1 \\) 다음 함수의 \\( 2 \\) 계도함수를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=x^{4}-3 x^{2} \\)</li><li>\\( y=e^{2 x} \\)</li></ol><p>마찬가지로 \\( 2 \\) 계도함수 \\( y^{\\prime \\prime}=f^{\\prime \\prime}(x) \\) 의 도함수가 존재할 때 \\( \\left(y^{\\prime \\prime}\\right)^{\\prime}=\\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{f^{\\prime \\prime}(x+\\Delta x)-f^{\\prime \\prime}(x)}{\\Delta x} \\) 를 \\( y=f(x) \\) 의 \\( 3 \\) 계도함수라 하고, 기호로 \\( y^{\\prime \\prime \\prime}, \\quad y^{(3)}, \\quad f^{(3)}(x), \\quad \\frac{d^{3} y}{d x^{3}}, \\quad \\frac{d^{3}}{d x^{3}} f(x) \\) 와 같이 나타낸다.", "이것을 계속하면 함수 \\( f^{\\prime}(x), \\quad f^{\\prime \\prime}(x), \\quad f^{(3)}(x), \\quad f^{(4)}(x), \\cdots, f^{(n)}(x) \\) 를 얻는데 \\( f^{(n)}(x) \\) 는 \\( f^{(n-1)}(x) \\) 의 도함수이다.", "이때 \\( f^{(n)}(x) \\) 를 함수 \\( y=f(x) \\) 의 \\( n \\) 계도함수 라 하고 기호로 \\( y^{(n)}, \\quad f^{(n)}(x), \\quad \\frac{d^{n} y}{d x^{n}}, \\quad \\frac{d^{n}}{d x^{n}} f(x) \\) 와 같이 나타내고 \\( 2 \\) 계도함수 이상을 고계도함수라 한다.", "</p><p>예제 \\( 9.5 .2 \\) 다음 함수의 \\( n \\) 계도함수를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=e^{3 x} \\)</li><li>\\( y=x^{n} \\)</li><li>\\( y=\\ln x \\quad(x>0) \\)</li><li>\\( y=\\sin x \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>\\( y^{\\prime}=3 e^{3 x}, y^{\\prime \\prime}=3^{2} e^{3 x}, y^{\\prime \\prime \\prime}=3^{3} e^{3 x}, \\cdots, y^{(n)}=3^{n} e^{3 x} \\)</li><li>\\( y^{\\prime}=n x^{n-1}, y=n(n-1) x^{n-2}, y^{\\prime \\prime \\prime}=n(n-1)(n-2) x^{n-3}, \\cdots, \\) \\( y^{(n)}=n(n-1)(n-2) \\cdots 2 \\cdot 1 x^{n-n}=n ! \\)", "</li><li>\\( y^{\\prime}=\\frac{1}{x}=x^{-1}, y^{\\prime \\prime}=-\\frac{1}{x^{2}}=-x^{-2}, y^{\\prime \\prime \\prime}=2 \\cdot 1 x^{-3}, \\cdots \\) \\( y^{(n)}=(-1)^{n-1}(n-1) !", "x^{-n}=\\frac{(-1)^{n-1}(n-1) !}{x^{n}} \\)</li><li>\\( y^{\\prime}=\\cos x=\\sin \\left(x+\\frac{\\pi}{2}\\right) \\) \\( y^{\\prime \\prime}=\\cos \\left(x+\\frac{\\pi}{2}\\right)=\\sin \\left(x+2 \\cdot \\frac{\\pi}{2}\\right) \\) \\( y^{\\prime \\prime \\prime}=\\cos \\left(x+2 \\cdot \\frac{\\pi}{2}\\right)=\\sin \\left(x+3 \\cdot \\frac{\\pi}{2}\\right) \\) \\( \\quad \\vdots \\) \\( y^{(n)}=\\cos \\left(x+(n-1) \\frac{\\pi}{2}\\right)=\\sin \\left(x+\\frac{n \\pi}{2}\\right) \\)</li></ol><p>유제 \\( 9.5.2 \\) 다음 함수의 \\( n \\) 계도함수를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=2^{x} \\)</li><li>\\( y=\\frac{1}{x+1} \\)</li><li>\\( y=\\cos x \\)</li></ol><p>매개변수 함수가 \\( x=f(t), y=g(t) \\) 일 때 \\( 1 \\) 계도함수는 \\( \\frac{d y}{d x}=\\frac{\\frac{d y}{d t}}{\\frac{d x}{d t}}=\\frac{g^{\\prime}(t)}{f^{\\prime}(t)} \\) 임을 알고 있다.", "이때 \\( 2 \\) 계도함수는 \\( \\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\\frac{d}{d x}\\left(\\frac{d y}{d x}\\right)=\\frac{d}{d t}\\left(\\frac{d y}{d x}\\right) \\frac{d t}{d x}=\\frac{\\frac{d}{d t}\\left(\\frac{d y}{d x}\\right)}{\\frac{d x}{d t}} \\) 이다.", "</p><p>예제 \\( 9.5.3 \\) \\( \\left\\{\\begin{array}{l}x=3 \\sin \\theta \\\\ y=2-9 \\cos \\theta\\end{array}\\right. \\)", "일 때 \\( 2 \\) 계도함수 \\( \\frac{d^{2} y}{d x^{2}} \\) 을 구하여라.", "</p><p>풀이</p><p>\\( \\frac{d y}{d x}=\\frac{\\frac{d y}{d \\theta}}{\\frac{d x}{d \\theta}}=\\frac{9 \\sin \\theta}{3 \\cos \\theta}=3 \\tan \\theta \\) \\( \\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\\frac{d}{d x}\\left(\\frac{d y}{d x}\\right)=\\frac{\\frac{d}{d \\theta}\\left(\\frac{d y}{d x}\\right)}{\\frac{d x}{d \\theta}}=\\frac{\\frac{d}{d \\theta}(3 \\tan \\theta)}{\\frac{d}{d \\theta}(3 \\sin \\theta)}=\\frac{3 \\sec ^{2} \\theta}{3 \\cos \\theta}=\\sec ^{3} \\theta \\)</p><p>유제 \\( 9.5.3 \\) \\( x=3 t^{2}-1, y=9 t^{3} \\) 일 때 \\( \\frac{d^{2} y}{d x^{2}} \\) 을 구하여라.", "</p> <p>예제 \\( 9.4.1 \\) 다음 함수를 미분하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=2^{3 x+1} \\)</li><li>\\( y=3^{\\ln x^{2}} \\)</li><li>\\( y=e^{\\tan ^{-1} x} \\)</li><li>\\( y=e^{a x} \\sin b x \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>\\( y^{\\prime}=2^{3 x+1} \\cdot \\ln 2 \\cdot(3 x+1)^{\\prime}=3 \\ln 2 \\cdot 2^{3 x+1} \\)</li><li>\\( \\begin{aligned} y^{\\prime}=3^{\\ln x^{2}} \\cdot \\ln 3 \\cdot\\left(\\ln x^{2}\\right)^{\\prime} &=3^{\\ln x^{2}} \\cdot \\ln 3 \\cdot \\frac{1}{x^{2}} \\cdot\\left(x^{2}\\right)^{\\prime} \\\\ &=3^{\\ln x^{2}} \\cdot \\ln 3 \\cdot \\frac{2}{x} \\end{aligned} \\)</li><li>\\( y^{\\prime}=e^{\\tan ^{-1} x} \\cdot\\left(\\tan ^{-1} x\\right)^{\\prime}=\\frac{e^{\\tan ^{-1} x}}{1+x^{2}} \\)</li><li>\\( \\begin{aligned} y^{\\prime} &=\\left(e^{a x}\\right)^{\\prime} \\sin b x+e^{a x} \\cdot(\\sin b x)^{\\prime} \\\\ &=e^{a x} \\cdot(a x)^{\\prime} \\cdot \\sin b x+e^{a x} \\cdot \\cos b x \\cdot(b x)^{\\prime} \\\\ &=a e^{a x} \\sin b x+b e^{a x} \\cos b x=e^{a x}(a \\sin b x+b \\cos b x) \\end{aligned} \\)</li></ol><p>유제 \\( 9.4.1 \\) 다음 함수를 미분하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=e^{x^{2}} \\)</li><li>\\( y=a^{\\sin x} \\)</li><li>\\( y=e^{x} \\ln (\\sin x) \\)</li><li>\\( y=\\ln \\left(\\frac{1+e^{x}}{e^{x}}\\right) \\)</li></ol><p>예제 \\( 9.4.2 \\) 다음 함수의 도함수를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=x^{x} \\)</li><li>\\( y=(\\tan x)^{\\sin x} \\)</li></ol><p>풀이</p><p>\\( (1) \\) \\( y=x^{x} \\) 은 지수함수가 아니므로 정리 \\( 9.4.1 \\)를 사용할 수 없음에 유의해야 한다.", "양변에 \\( \\ln \\) 을 취하면 \\( \\ln y=x \\ln x \\) 이므로 양변을 \\( x \\) 에 대하여 미분하면 \\( \\frac{1}{y} y^{\\prime}=(x)^{\\prime} \\ln x+x \\cdot(\\ln x)^{\\prime}=\\ln x+1 \\) 이다.", "따라서 \\( y^{\\prime}=y(\\ln x+1)=x^{x}(\\ln x+1) \\).", "</p><p>\\( (2) \\) 마찬가지로 양변에 \\( \\ln \\) 을 취하면 \\( \\ln y=\\sin x \\ln (\\tan x) \\) 이고, 양변을 \\( x \\) 에 대하여 미분하면 \\( \\begin{aligned} \\frac{1}{y} y^{\\prime} &=(\\sin x)^{\\prime} \\ln (\\tan x)+\\sin x\\{\\ln (\\tan x)\\}^{\\prime} \\\\ &=\\cos x \\cdot \\ln (\\tan x)+\\sin x \\cdot \\frac{1}{\\tan x}(\\tan x)^{\\prime} \\\\ &=\\cos x \\cdot \\ln (\\tan x)+\\frac{\\sin x \\cdot \\sec ^{2} x}{\\tan x} \\end{aligned} \\) 이다.", "따라서 \\( y^{\\prime}=(\\tan x)^{\\sin x}\\left[\\cos x \\cdot \\ln (\\tan x)+\\cos x \\cdot \\sec ^{2} x\\right] . \\)", "</p><p>유제 \\( 9.4.2 \\) 다음 함수의 도함수 \\( y^{\\prime}=\\frac{d y}{d x} \\) 를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=x^{\\ln x} \\)</li><li>\\( x^{y}=y^{x} \\)</li></ol> <p>다음 정리는 정리 \\( 8.4.2 \\)에서 지수를 실수로 확장한 것이다.", "</p><p>정리 \\( 9.3.2 \\) \\( n \\) 이 임의의 실수일 때 \\( y=x^{n} \\quad(x>0) \\) 의 도함수는 \\( y^{\\prime}=n x^{n-1} \\) 이다.", "</p><p>증명</p><p>\\( y=x^{n} \\) 의 양변에 자연로그 \\( \\ln \\) 을 취하면 \\( \\ln y=n \\ln x \\) 이다.", "양변을 \\( x \\) 에 관하여 미분하면 \\( \\frac{1}{y} \\cdot y^{\\prime}=\\frac{n}{x} \\) 이다.", "따라서 \\( y^{\\prime}=\\frac{n}{x} \\cdot y=\\frac{n}{x} \\cdot x^{n}=n x^{n-1} \\) 이 성립한다.", "</p><p>예제 \\( 9.3.3 \\) 다음 함수의 도함수를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=x^{\\pi-2} \\)</li><li>\\( y=\\ln \\left(x^{2}+x^{\\sqrt{3}}+1\\right) \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>\\( y^{\\prime}=(\\pi-2) x^{\\pi-3} \\)</li><li>\\( y^{\\prime}=\\frac{1}{x^{2}+x^{\\sqrt{3}}+1}\\left(x^{2}+x^{\\sqrt{3}}+1\\right)^{\\prime}=\\frac{2 x+\\sqrt{3} x^{\\sqrt{3}-1}}{x^{2}+x^{\\sqrt{3}}+1} \\)</li></ol><p>유제 \\( 9.3.3 \\) 다음 함수의 도함수를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=\\sin \\left(x^{e}+1\\right) \\)</li><li>\\( y=\\ln \\left(x^{\\sqrt{2}}+\\sqrt{2}\\right) \\)</li></ol><h1>9.4. 지수함수 미분법</h1><p>정리 \\( 9.4.1 \\) 지수함수 미분공식 \\( \\frac{d}{d x} a^{u}=a^{u} \\ln a \\frac{d u}{d x} \\) 특히 \\( \\frac{d}{d x} e^{u}=e^{u} \\frac{d u}{d x} . \\)", "</p><p>증명</p><p>\\( y=a^{x} \\) 의 양변에 자연로고 \\( \\ln \\) 을 취하면 \\( \\ln y=x \\ln a \\) 이다.", "양변올 \\( x \\) 에 관하여 미분하면 \\( \\frac{1}{y} \\cdot y^{\\prime}=\\ln a \\) 즉 \\( y^{\\prime}=y \\cdot \\ln a=a^{x} \\ln a \\) 이다.", "따라서 합성함수 미분법에 의하여 \\( \\frac{d}{d x} a^{u}=\\frac{d}{d u} a^{u} \\frac{d u}{d x}=a^{u} \\ln a \\frac{d u}{d x} .\\)", "</p> <h1>\\( 9 \\) 장 연습문제</h1><p>\\( 01 \\) 다음 극한값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x \\sin \\frac{1}{x} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} x \\sin \\frac{1}{x} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tan (\\tan x)}{x} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin 3 x+\\tan 5 x}{2 x} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos 2 x}{x^{2}} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{\\cos \\frac{\\pi}{2} x}{x-1} \\)</li></ol><p>\\( 02 \\) 다음 식에서 \\( \\frac{d y}{d x} \\) 를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=\\cos 3 x+\\sin \\left(x^{2}+1\\right) \\)</li><li>\\( y=\\cos 3 x \\sin x^{2} \\)</li><li>\\( y=\\tan ^{5} x \\)</li><li>\\( y=\\sin (\\sin x) \\)</li><li>\\( y=\\frac{1+\\cos x}{1-\\sin x} \\)</li><li>\\( y=\\cos \\sqrt{\\left(x^{2}+1\\right)^{3}-5} \\)</li><li>\\( x=\\cos y \\)</li><li>\\( x=y^{2}+\\cot y \\)</li><li>\\( \\sin x+\\cos y=1 \\)</li><li>\\( y \\sin x+x \\cos y=1 \\)</li><li>\\( x=2 \\cos ^{3} \\theta, \\quad y=2 \\sin ^{3} \\theta \\)</li><li>\\( x=2 \\theta+\\cos \\theta, y=1+2 \\tan \\theta \\)</li></ol><p>\\( 03 \\) 다음 역삼각함수의 도함수를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=\\sin ^{-1} x^{2} \\)</li><li>\\( y=\\cos ^{-1} \\frac{1}{x} \\)</li><li>\\( y=\\sec ^{-1} 3 x \\)</li><li>\\( y=\\sin ^{-1}(2 x+1) \\)</li><li>\\( y=\\tan ^{-1} \\sqrt{x+1} \\)</li><li>\\( y=\\sec ^{-1} 5 x \\)</li><li>\\( y=\\tan ^{-1} \\frac{x-1}{x+1} \\)</li><li>\\( y=\\tan ^{-1} \\frac{x}{a}+\\tan ^{-1} \\frac{a}{x} \\)</li></ol><p>\\( 04 \\) 다음 로그함수를 미분하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=\\log _{3} x \\)</li><li>\\( y=\\ln \\frac{x}{1+x} \\)</li><li>\\( y=\\ln \\sqrt[3]{2 x^{3}-5} \\)</li><li>\\( y=\\sin \\ln x \\)</li><li>\\( y=\\sqrt{\\ln x} \\)</li><li>\\( y=\\log \\left(3+\\cos x^{2}\\right) \\)</li></ol><p>\\( 05 \\) 다음 지수함수를 미분하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=3^{x^{2}} \\)</li><li>\\( y=3^{\\ln x} \\)</li><li>\\( y=a^{\\cos x} \\)</li><li>\\( y=\\cos 3^{x} \\)</li><li>\\( y=e^{\\sin \\sqrt{x}} \\)</li><li>\\( y=e^{\\sin ^{-1} x} \\)</li></ol><p>\\( 06 \\) 로그함수 미분법과 음함수 미분법을 사용하여 다음 함수를 미분하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=x^{\\cos x} \\)</li><li>\\( y=(\\cos x)^{x} \\)</li><li>\\( y=\\left(\\frac{1}{x}\\right)^{x} \\)</li><li>\\( y=\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)^{x} \\)</li><li>\\( y=(\\sin x)^{\\ln x} \\)</li><li>\\( y=(\\sqrt{x})^{x} \\)</li></ol><p>\\( 07 \\) \\( f(x)=\\csc \\frac{1}{x} \\) 일 때, \\( f^{\\prime}\\left(\\frac{2}{\\pi}\\right) \\) 의 값을 구하여라.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "기초미적분학_초월함수 미분법", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-29b8-40e3-8596-bdde3e8545e0", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160733600", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2020", "doc_author": [ "김대식", "김윤경" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h2>3. 피적분함수가 \\( \\sqrt{x^{2}-a^{2}} \\)의 형태를 포함하는 경우</h2><p>이 경우도 항등식 \\( \\sec ^{2}-1=\\tan ^{2} t \\)을 이용한다. \\", "( x=a \\sec t \\)로 치환하면, \\( \\sqrt{x^{2}-a^{2}}=\\sqrt{a^{2} \\sec ^{2} t-a^{2}}=\\sqrt{a^{2}\\left(\\sec ^{2} t-1\\right)}=\\sqrt{a^{2} \\tan ^{2} t}=|a \\tan t| \\)를 얻는다.", "이때 치환은 \\( x=a \\sec t \\)가 일대일이 되는 \\( t \\)의 범위 \\( 0 \\leq t<\\frac{\\pi}{2} \\)와 \\( \\pi \\leq \\)\\( t<\\frac{3 \\pi}{2} \\)에서만 생각하기로 하자.", "그러므로 \\( |a \\tan t|=a \\tan t \\)가 된다.", "</p><p>또한 \\( d x=a \\sec t \\tan t d t \\)가 되기 때문에 근호 안의 이차식이 있는 적분이 근호가 없는 삼각함수의 적분으로 바뀌게 된다.", "다음의 예를 살펴보자.", "</p><p>예제 \\( 5.2.4 \\) \\( \\int_{\\sqrt{3}}^{2} \\frac{\\sqrt{x^{2}-3}}{x} d x \\)의 값을 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( x=\\sqrt{3} \\sec t \\)라 하면 \\( d x=\\sqrt{3} \\sec t \\tan t d t \\)이고, \\( x=\\sqrt{3}=\\sqrt{3} \\sec t \\)로부터 \\( t=0 \\) 과 \\( x=2=\\sqrt{3} \\sec t \\)로부터 \\( t=\\frac{\\pi}{6} \\)을 얻는다.", "대입하여 정리하면 \\[\\begin{aligned}\\int_{\\sqrt{3}}^{2} \\frac{\\sqrt{x^{2}-3}}{x} d x &=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{6}} \\frac{\\sqrt{3} \\tan t}{\\sqrt{3} \\sec t} \\sqrt{3} \\sec t \\tan t d t \\\\ &=\\sqrt{3} \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{6}} \\tan ^{2} t d t\\end{aligned}\\]이다.", "그러므로 \\( \\tan ^{2} t=\\sec ^{2} t-1 \\)로 바꾸어 적분하면 \\[\\begin{aligned}\\int_{\\sqrt{3}}^{2} \\frac{\\sqrt{x^{2}-3}}{x} d x &=\\sqrt{3} \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{6}} \\tan ^{2} t d t \\\\&=\\sqrt{3} \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{6}}\\left(\\sec ^{2} t-1\\right) d t \\\\&=\\sqrt{3}[\\tan t-t]_{0}^{\\frac{\\pi}{6}}=1-\\frac{\\sqrt{3} \\pi}{6} .\\end{aligned}\\]", "</p><p>다음의 예제는 근호 안의 식이 이차식은 아니지만 삼각치환을 사용하여 적분하는 방법을 보여준다.", "</p><p>예제 \\( 5.2.5 \\) \\( \\int_{\\sqrt{2}}^{2} \\frac{1}{x \\sqrt{x^{4}-4}} d x \\)의 값을 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( \\quad x^{2}=2 \\sec t \\)라 하면 \\( \\quad 2 x d x=2 \\sec t \\tan t d t \\)이고 \\( \\quad \\sqrt{x^{4}-4}= \\) \\( \\sqrt{4 \\sec ^{2} t-4}=\\sqrt{4 \\tan ^{2} t}=2 \\tan t \\)이고 \\( x d x=\\sec t \\tan t d t \\)이다.", "또한 \\( x^{2}=2=2 \\sec t \\)로부터 \\( t=0 \\)과 \\( x^{2}=4=2 \\sec t \\)로부터 \\( t=\\frac{\\pi}{3} \\)를 얻는다.", "대입하고 정리하면\\( \\begin{aligned} \\int_{\\sqrt{2}}^{2} \\frac{1}{x \\sqrt{x^{4}-4}} d x &=\\int_{\\sqrt{2}}^{2} \\frac{x d x}{x^{2} \\sqrt{x^{4}-4}}=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{3}} \\frac{\\sec t \\tan t d t}{2 \\sec t \\cdot 2 \\tan t} \\\\ &=\\frac{1}{4} \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{3}} d t=\\frac{1}{4}[t]_{0}^{\\frac{\\pi}{3}}=\\frac{\\pi}{12} \\end{aligned} \\)</p><p>다음은 근호 안에 일차항이 있는 이차식이 들어 있을 경우에 삼각치환을 이용하여 적분하는 방법이다.", "</p><p>예제 \\( 5.2.6 \\) \\( \\int_{-1}^{1} \\frac{x}{\\sqrt{3-2 x-x^{2}}} d x \\)의 값을 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( 3-2 x-x^{2}=4-(x+1)^{2} \\)이다. \\", "( x+1=2 \\sin t \\)로 치환하면 \\( d x= \\) \\( 2 \\cos t d t \\)이고 \\( x=-1 \\) 일 때 \\( 2 \\sin t=0 \\)인 \\( t=0 \\)을 얻고, \\( x=1 \\)일 때 \\( 2 \\sin t=2 \\), 즉 \\( t=\\frac{\\pi}{2} \\)를 얻는다.", "따라서 \\( \\sqrt{3-2 x-x^{2}}=\\sqrt{4-(x+1)^{2}}=\\sqrt{4-4 \\sin ^{2} t}=\\sqrt{4 \\cos ^{2} t}= \\) \\( 2 \\cos t \\)이고 \\( x=2 \\sin t-1 \\)이므로 \\[\\int_{-1}^{1} \\frac{x}{\\sqrt{3-2 x-x^{2}}} d x=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\frac{2 \\sin t-1}{2 \\cos t} 2 \\cos t d t\\] \\[=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}(2 \\sin t-1) d t \\]\\[=[-2 \\cos t-t]_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}=2-\\frac{\\pi}{2} .\\]", "</p><p>예제 \\( 5.2.6 \\)과 같이 이차식을 일차식의 완전제곱과 상수의 합의형태로 바꾸어 피적분함수를 삼각치환하기에 적당한 모양으로 표현하는 것이 좋다.", "그리고 일차식 전체를 삼각함수로 치환하면 근호 안에 임의의 음이 아닌 이차식이 있을 경우의 적분이 가능하다.", "</p><h1>연 ·습 ·문 ·제 5.2</h1><p>\\( 1 \\).", "다음 적분을 계산하여라.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int_{0}^{2} x \\sqrt{16-4 x^{2}} d x \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{\\frac{\\sqrt{3}}{2}} \\frac{1}{\\left(1-t^{2}\\right)^{5 / 2}} d t \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{\\frac{5}{3}} \\sqrt{25-9 x^{2}} d x \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{\\frac{1}{2}} \\frac{t}{\\left(1-t^{2}\\right)^{3 / 2}} d t \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{2} \\frac{1}{\\left(x^{2}+4\\right)^{3 / 2}} d x \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{1} \\frac{1}{\\left(3 x^{2}+2\\right)^{5 / 2}} d x \\)</li><li>\\( \\int_{\\sqrt{3}}^{2} \\frac{\\sqrt{x^{2}-3}}{x} d x \\)</li><li>\\( \\int_{-6}^{-3} \\frac{\\sqrt{x^{2}-9}}{x} d x \\)</li></ol></p><p>\\( 2 \\).", "삼각치환을 사용하여 다음을 증명하여라.", "</p><p>\\( \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+a^{2}}} d x=\\ln \\left(x+\\sqrt{x^{2}+a^{2}}\\right)+C . \\)", "</p><p>\\( 3 \\). \\", "( 1 \\leq x \\leq 2 \\) 일 때 함수 \\( f(x)=\\frac{\\sqrt{x^{2}-1}}{x} \\)의 평균값을 구하여라.", "</p> <h1>5.3 유리함수의 적분</h1><p>다항식(또는 정식) \\( f(x) \\)와 \\( g(x) \\)가 분수의 형태 \\( \\frac{f(x)}{g(x)} \\)를 갖는 식을 유리식 또는 유리함수라 한다.", "이 절에서는 유리함수의 적분에 대하여 다루어보기로 하자.", "유리함수의 적분은 분모 \\( g(x) \\)가 어떻게 인수분해되는 가에 따라 적분의 기법이 달라진다.", "우선 모든 실수를 계수로 갖는 다항식은 일차식 또는 이차식으로 완전히 인수분해된다.", "사실은 쉽게 증명할 수는 있지만 여기서는 다루지 않기로 하고 필요하다면 스스로 확인해보기 바란다.", "</p><p>유리함수는 우선 분자의 차수가 분모의 차수보다 작을 경우만 다루면 된다.", "분자의 차수가 분모의 차수보다 같거나 클 경우는 나눗셈을 통하여 다항식과 분자의 차수가 분모의 차수보다 작은 유리식의 합으로 바꿀 수 있다.", "</p><p>예제 \\( 5.3.1 \\) 유리식 \\( \\frac{x^{3}-2 x^{2}+2 x}{x^{2}+1} \\)를 다항식과 분자의 차수가 분모의 차수보다 작은 유리식의 합으로 표현하여라.", "</p><p>풀이 다음과 같이 나눗셈을 행할 수 있다.", "</p><p>그러므로 \\[\\frac{x^{3}-2 x^{2}+2 x}{x^{2}+1}=\\frac{\\left(x^{2}+1\\right)(x-2)+x+2}{x^{2}+1}=x-2+\\frac{x+2}{x^{2}+1} .\\]", "</p><p>예제와 같이 나눗셈을 거치면 분자의 차수가 분모의 차수보다 작은 유리함수의 적분만 해결하면 된다.", "이제 이런 유리함수의 적분법에 대하여 알아보자.", "</p><p>앞에서 언급한 바와 같이 분모를 일차식 또는 이차식으로 인수분해되는 상황에 따라 네 가지의 형태로 나누어 설명하기로 하자.", "즉,<ol type=1 start=1><li>서로 다른 일차식으로 인수분해되는 경우</li><li>중복된 일차식을 인수로 갖는 경우</li><li>서로 다른 이차인수를 갖는 경우</li><li>중복된 이차식을 인수로 갖는 경우</li></ol></p><p>각 경우에 따라 주어진 유리함수를 적분하기 좋은 쉬운 함수의 합으로 바꾸어 적분하는데 이와 같이 더 쉬운 형태의 분수의 합의 형태를 부분분수라 한다.", "</p><h2>1. 서로 다른 일차식으로 인수분해되는 경우</h2><p>분모 \\( g(x) \\) 가 \\( g(x)=\\left(a_{1} x+b_{1}\\right)\\left(a_{2} x+b_{2}\\right) \\cdots\\left(a_{n} x+b_{n}\\right) \\)와 같이 서로 다른 일차식으로 인수분해될 경우 다음과 같이 부분분수로 표현한다.", "</p><p>\\( \\frac{f(x)}{g(x)}=\\frac{A_{1}}{a_{1} x+b_{1}}+\\frac{A_{2}}{a_{2} x+b_{2}}+\\cdots+\\frac{A_{n}}{a_{n} x+b_{n}} . \\)", "</p><p>이 경우 상수 \\( A_{1}, A_{2}, \\cdots, A_{n} \\)은 통분하여 계수비교를 통하여 구할 수 있다.", "</p><p>예제 \\( 5.3.2 \\) 유리식 \\( \\frac{2 x+3}{x^{3}+3 x^{2}+2 x} \\)를 부분분수로 나타내어라.", "</p><p>풀이 분모를 인수분해하여 표현하면 \\[\\frac{2 x+3}{x^{3}+3 x^{2}+2 x}=\\frac{2 x+3}{x(x+1)(x+2)}=\\frac{A_{1}}{x}+\\frac{A_{2}}{x+1}+\\frac{A_{3}}{x+2}\\]이다.", "마지막 항을 통분하면 \\[\\frac{A_{1}(x+1)(x+2)+A_{2} x(x+2)+A_{3} x(x+1)}{x(x+1)(x+2)}\\]이다. \\", "( A_{1}, A_{2}, A_{3} \\) 의 값을 결정하기 위하여 이 등식의 양변에 \\( x(x+1)(x+2) \\)를 곱해주면 \\[ 2 x+3=A_{1}(x+1)(x+2)+A_{2} x(x+2)+A_{3} x(x+1)\\]이다.", "</p><p>식을 전개한 다음 내림차순으로 정리하여 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( 2 x+3=\\left(A_{1}+A_{2}+A_{3}\\right) x^{2}+\\left(3 A_{1}+2 A_{2}+A_{3}\\right) x+2 A_{1} \\)</p><p>양변의 계수를 비교하면 \\[\\begin{array}{c}A_{1}+A_{2}+A_{3}=0 \\\\3 A_{1}+2 A_{2}+A_{3}=2 \\\\2 A_{1}=3 \\end{array}\\] 따라서 \\( A_{1}=\\frac{3}{2}, A_{2}=-1, A_{3}=-\\frac{1}{2} \\)를 얻는다.", "</p><p>그러므로 다음과 같이 표현할 수 있다.", "즉, \\[\\frac{2 x+3}{x^{3}+3 x^{2}+2 x}=\\frac{3}{2 x}-\\frac{1}{x+1}-\\frac{1}{2(x+2)} .\\]", "</p><p>예제 \\( 5.3.3 \\) \\( \\int \\frac{2 x+3}{x^{3}+3 x^{2}+2 x} d x \\)를 구하여라.", "</p><p>풀이 예제 \\( 5.3.2 \\)와 같이 부분분수로 바꾸어 적분하면 된다.", "즉, \\[\\begin{aligned}\\int \\frac{2 x+3}{x^{3}+3 x^{2}+2 x} d x &=\\frac{3}{2} \\int \\frac{1}{x} d x-\\int \\frac{1}{x+1} d x-\\frac{1}{2} \\int \\frac{1}{x+2} d x \\\\ &=\\frac{3}{2} \\ln |x|-\\ln |x+1|-\\frac{1}{2} \\ln |x+2|+C .\\end{aligned}\\]", "</p><p>예제와 같이 부분분수로 바꾸어 표현하면 손쉽게 적분할 수 있다.", "</p><h2>2. 중복된 일차식을 인수로 갖는 경우</h2><p>분모 \\( g(x) \\)가 \\( (a x+b)^{k}(k>1) \\)인 인수를 포함하며 인수분해될 경우 \\( k=1 \\)일 때 \\( \\frac{A}{a x+b} \\) 항을 다음 식으로 대치한다.", "</p><p>\\( \\frac{A_{1}}{a x+b}+\\frac{A_{2}}{(a x+b)^{2}}+\\cdots+\\frac{A_{k}}{(a x+b)^{k}} . \\)", "</p><p>이 경우 상수 \\( A_{1}, A_{2}, \\cdots, A_{k} \\)은 통분하여 계수비교를 통하여 구할 수 있다.", "다음의 간단한 예제를 통해서 알아보자.", "</p><p>예제 \\( 5.3.4 \\) 유리식 \\( \\frac{2 x-1}{x(x+1)^{2}} \\)을 부분분수로 표현하여라.", "</p><p>풀이 반복이 없는 일차인수 \\( x \\)는 경우 \\( 1 \\)(서로 다른 일차식으로 인수분해되는 경우)과 같이 표현하고 인수 \\( x+1 \\)는 반복된 일차인수이기 때문에 일차식 \\( x+1 \\)이 두 번 중복되므로, 이 유리식은 다음과 같이 부분분수로 분해된다.", "</p><p>\\( \\frac{2 x-1}{x(x+1)^{2}}=\\frac{A}{x}+\\frac{B_{1}}{x+1}+\\frac{B_{2}}{(x+1)^{2}} . \\)", "</p><p>우변을 통분하면 \\[\\frac{A(x+1)^{2}+B_{1} x(x+1)+B_{2} x}{x(x+1)^{2}}\\]이고 양변에 \\( x(x+1)^{2} \\)를 곱하면 \\[\\begin{aligned}2 x-1 &=A(x+1)^{2}+B_{1} x(x+1)+B_{2} x \\\\&=\\left(A+B_{1}\\right) x^{2}+\\left(2 A+B_{1}+B_{2}\\right) x+A\\end{aligned}\\]이고, 계수를 비교하면 \\[\\begin{array}{c}A+B_{1}=0 \\\\2 A+B_{1}+B_{2}=2\\end{array}\\] \\[A=-1\\] 연립방정식을 풀면 \\( A=-1, B_{1}=1, B_{2}=3 \\)을 얻는다.", "그러므로 \\[\\frac{2 x-1}{x(x+1)^{2}}=-\\frac{1}{x}+\\frac{1}{x+1}+\\frac{3}{(x+1)^{2}}\\] 이다.", "</p><p>예제 \\( 5.3.5 \\) \\( \\int \\frac{2 x-1}{x(x+1)^{2}} d x \\)를 구하여라.", "</p><p>풀이 예제 \\( 5.3.4 \\)에서와 같이 부분분수로 바꾸어 표현하면 \\[\\int \\frac{2 x-1}{x(x+1)^{2}} d x=-\\int \\frac{1}{x} d x+\\int \\frac{1}{x+1} d x+3 \\int \\frac{1}{(x+1)^{2}} d x\\]이다.", "우변을 적분하면 \\[\\int \\frac{2 x-1}{x(x+1)^{2}} d x=-\\ln |x|+\\ln |x+1|-\\frac{3}{x+1}+C\\]이다.", "</p><p>이제 이차인수를 포함하는 경우의 부분분수에 대하여 알아보자.", "</p> <h2>2. \\( \\int \\sec ^{m} x \\tan ^{n} x d x \\)의 계산법</h2><h3>(1) \\( m \\)이 짝수인 경우</h3><p>치환적분을 하기 위해 피적분함수를 변형하면 \\[\\begin{aligned}\\int \\sec ^{m} x \\tan ^{n} x d x &=\\int \\sec ^{m-2} x \\tan ^{n} x \\sec ^{2} x d x \\\\&=\\int\\left(1+\\tan ^{2} x\\right)^{\\frac{m-2}{2}} \\tan ^{n} x \\sec ^{2} x d x \\\\&=\\int\\left(1+u^{2}\\right)^{\\frac{m-2}{2}} u^{n} d u\\end{aligned}\\]로 쓸 수 있다.", "이때 \\( \\tan x \\)를 \\( u \\)로 치환하고 \\( 1+\\tan ^{2} x=\\sec ^{2} \\)과 \\( (\\tan x)^{\\prime}=\\sec ^{2} x \\)을 사용하였다. \\", "( n \\)이 짝수이므로 \\( \\frac{n-2}{2} \\)는 정수이다.", "</p><p>예제 \\( 5.1.6 \\) \\( \\int \\sec ^{4} x \\tan ^{3} x d x \\)를 구하여라.", "</p><p>\\( \\sec ^{2} x \\)를 하나 분리하고 남아있는 \\( \\sec ^{2} x=1+\\tan ^{2} x \\)로 바꾸고 \\( \\tan x \\)를 \\( u \\)로 치환하면 \\[\\begin{aligned}\\int \\sec ^{4} x \\tan ^{3} x d x &=\\int\\left(1+\\tan ^{2} x\\right) \\tan ^{3} x \\sec ^{2} x d x \\\\ &=\\int\\left(u^{3}+u^{5}\\right) d u=\\frac{1}{4} u^{4}+\\frac{1}{6} u^{6}+C \\end{aligned}\\]이다.", "위 식의 결과에 \\( u=\\tan x \\)를 대입하면 다음을 얻는다. \\", "[\\int \\sec ^{4} x \\tan ^{3} x d x=\\frac{1}{4} \\tan ^{4} x+\\frac{1}{6} \\tan ^{6} x+C .\\]", "</p><h3>(2) \\( n \\)이 홀수인 경우</h3><p>이 경우는 \\( \\sec x \\)를 \\( u \\)로 치환할 수 있다. \\", "[\\begin{aligned}\\int \\sec ^{m} x \\tan ^{n} x d x &=\\int \\sec ^{m-1} x \\tan ^{n-1} x \\sec x \\tan x d x \\\\&=\\int \\sec ^{m-1} x\\left(\\sec ^{2} x-1\\right)^{\\frac{n-1}{2}} \\sec x \\tan x d x \\\\&=\\int u^{m-1}\\left(u^{2}-1\\right)^{\\frac{n-1}{2}} d u\\end{aligned}\\]이고 (\\( 1 \\))의 경우와 같이 \\( n \\)이 홀수이므로 \\( \\frac{n-1}{2} \\)는 정수이다.", "</p><p>예제 \\( 5.1.7 \\) \\( \\int \\sec ^{4} x \\tan ^{3} x d x \\)를 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( \\sec x \\tan x \\)를 분리하고 \\( \\tan ^{2} x=\\sec ^{2} x-1 \\)로 바꾸고 \\( \\sec x \\) 를 \\( u \\)로 치환하면 \\[\\begin{aligned}\\int \\sec ^{4} x \\tan ^{3} x d x &=\\int \\sec ^{3} x\\left(\\sec ^{2} x-1\\right) \\sec x \\tan x d x \\\\&=\\int\\left(u^{5}-u^{3}\\right) d u=\\frac{1}{6} u^{6}-\\frac{1}{4} u^{4}+C\\end{aligned}\\]이다. \\", "( u=\\sec x \\)를 대입하면 다음을 얻는다. \\", "[\\int \\sec ^{4} x \\tan ^{3} x d x=\\frac{1}{6} \\sec ^{6} x-\\frac{1}{4} \\sec ^{4} x+C . \\]", "</p><p>예제 \\( 5.1.6 \\)과 \\( 5.1.7 \\)은 같은 문제이다.", "하지만 풀이에 따라서 그 답의 형태가 달라질 수 있음에 주의하라.", "하지만 두 답은 삼각함수의 항등식을 이용하면 기껏해야 상수만큼의 차이를 가짐을 알 수 있다.", "</p><h3>(3) \\( m \\)이 홀수이고 \\( n \\)이 짝수인 경우</h3><p>이 경우도 \\( \\int \\sin ^{m} x \\cos ^{n} x d x \\)의 계산법 (\\( 2 \\))와 같이 특별한 치환법이 없다.", "다만 계산을 용이하게 하기 위해 거듭제곱의 차수를 낮추는 방법밖에 없다.", "하지만 이 경우는 \\( \\int \\sin ^{m} x \\cos ^{n} x d x \\)의 경우와 같이 반각공식을 쓰기 힘들기 때문에 많은 고민을 해야 한다.", "</p><p>예제 \\( 5.1.8 \\) 가장 쉽게 계산되는 경우가 \\( \\int \\tan ^{2} x d x \\)와 \\( \\int \\sec x d x \\)이다. \\", "( \\int \\tan ^{2} x d x \\)는 \\[\\int \\tan ^{2} x d x=\\int\\left(\\sec ^{2} x-1\\right) d x=\\tan x-x+C\\]으로 해결할 수 있고 \\( \\int \\sec x d x \\)의 경우는 정리 \\( 4.4.2 \\)의 (\\( 3 \\))에서 설명한 바 있다.", "</p><p>예제 \\( 5.1.9 \\) \\( \\int \\sec ^{3} x d x \\)를 구하여라.", "</p><p>풀이 부분적분을 사용하기 위해 피적분함수를 변형시키고 \\( f^{\\prime}(x)=\\sec ^{2} x \\)와 \\( g(x)=\\sec x \\)라 두면 \\( f(x)=\\tan x \\)이고 \\( g^{\\prime}(x)=\\sec x \\tan x \\)이므로 \\[\\begin{array}{l}\\int \\sec ^{3} x d x=\\int \\sec x \\sec ^{2} x d x \\\\ \\quad=\\sec x \\tan x-\\int \\sec x \\tan x \\tan x d x \\\\ =\\sec x \\tan x-\\int \\sec x \\tan ^{2} x d x \\\\ =\\sec x \\tan x-\\int \\sec x\\left(\\sec ^{2} x-1\\right) d x \\\\ =\\sec x \\tan x-\\int \\sec ^{3} x d x+\\int \\sec x d x \\\\ \\quad=\\sec x \\tan x+\\ln |\\sec x+\\tan x|-\\int \\sec ^{3} x d x\\end{array}\\]이다.", "우변의 \\( \\int \\sec ^{3} x d x \\)를 좌변으로 이항하고 양변을 \\( 2 \\)로 나누면 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( \\int \\sec ^{3} x d x=\\frac{1}{2}(\\sec x \\tan x+\\ln |\\sec x+\\tan x|)+C .\\)", "</p><p>예제 \\( 5.1.10 \\) \\( \\int \\tan ^{3} x d x \\)를 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( 1 \\) (\\( 2 \\))의 방법을 쓰기 위해 피적분함수를 변형하면 \\[\\begin{aligned}\\int \\tan ^{3} x d x &=\\int \\frac{\\tan ^{2} x}{\\sec x} \\sec x \\tan x d x \\\\&=\\int \\frac{\\sec ^{2} x-1}{\\sec x} \\sec x \\tan x d x\\end{aligned}\\] 이고 \\( \\sec x \\)를 \\( u \\)로 치환하고 적분하면 \\[\\int \\tan ^{3} x d x=\\int\\left(u-\\frac{1}{u}\\right) d u=\\frac{1}{2} \\sec ^{2} x-\\ln |\\sec x|+C\\]이다.", "</p><p>풀이 \\( 2 \\) \\( \\int \\tan ^{3} x d x=\\int\\left(\\sec ^{2} x-1\\right) \\tan x d x \\) \\( =\\int \\sec ^{2} x \\tan x d x-\\int \\tan x d x \\)이고 우변을 적분하면 \\[\\int \\tan ^{3} x d x=\\frac{1}{2} \\tan ^{2} x-\\ln |\\sec x|+C\\]를 얻는다.", "</p><p>예제 \\( 5.1.10 \\)에서는 여기에서 제시된 방법으로 적분이 가능하지만 더 편리한 방법으로 풀 수도 있음을 보여준다.", "이런 방법들은 많은 연습을 통해 스스로 터득할 수 있다.", "</p> <h2>3. 서로 다른 기약 이차인수를 갖는 경우</h2><p>분모 \\( g(x) \\)가 \\( g(x)=\\left(a_{1} x^{2}+b_{1} x+c_{1}\\right)\\left(a_{2} x^{2}+b_{2} x+c_{2}\\right) \\cdots\\left(a_{n} x^{2}+b_{n} x+c_{n}\\right) \\)와 같이 서로 다른 기약 이차식으로 인수분해될 경우 다음과 같은 부분분수로 분해한다.", "</p><p>\\( \\frac{f(x)}{g(x)}=\\frac{A_{1} x+B_{1}}{a_{1} x^{2}+b_{1} x+c_{1}}+\\frac{A_{2} x+B_{2}}{a_{2} x^{2}+b_{2} x+c_{2}}+\\cdots+\\frac{A_{n} x+B_{n}}{a_{n} x^{2}+b_{n} x+c_{n}} . \\)", "</p><p>이 경우 상수 \\( A_{1}, A_{2}, \\cdots, A_{n} \\) 과 \\( B_{1}, B_{2}, \\cdots, B_{n} \\)은 통분과 계수비교를 통하여 구할 수 있다.", "다음 예제를 살펴보자.", "</p><p>예제 \\( 5.3.6 \\) 유리식 \\( \\frac{x^{2}+2 x+7}{x^{3}+x^{2}-2} \\)를 부분분수로 표현하여라.", "</p><p>풀이 분모를 인수분해하면 \\( x^{3}+x^{2}-2=(x-1)\\left(x^{2}+2 x+2\\right) \\)이다. \\", "( x^{2}+2 x+2 \\)는 \\( b^{2}-4 a c=-4<0 \\)이므로 실수 범위에서 더 이상 분해되지 않는 기약 이차식이다.", "경우 \\( 1 \\)에서처럼 반복되지 않는 식 \\( x-1 \\)을 함께 고려하여 부분분수로 분해하면 \\[\\frac{x^{2}+2 x+7}{x^{3}+x^{2}-2}=\\frac{A}{x-1}+\\frac{B x+C}{x^{2}+2 x+2}\\]으로 나타낼 수 있다.", "통분하면 \\[\\frac{A\\left(x^{2}+2 x+2\\right)+(B x+C)(x-1)}{x^{2}+2 x+2}\\]으로 쓸 수 있고 양변에 \\( x^{3}+x^{2}-2 \\)를 곱하면 \\[\\begin{aligned}x^{2}+2 x+7 &=A\\left(x^{2}+2 x+2\\right)+(B x+C)(x-1) \\\\&=(A+B) x^{2}+(2 A-B+C) x+2 A-C\\end{aligned}\\]이고 계수를 비교하면 \\[\\begin{array}{c}A+B=1 \\\\2 A-B+C=2 \\\\2 A-C=7\\end{array}\\]이므로 \\( A=2, B=-1, C=-3 \\)이다.", "그러므로 \\[\\frac{x^{2}+2 x+7}{x^{3}+x^{2}-2}=\\frac{2}{x-1}-\\frac{x+3}{x^{2}+2 x+2}\\] 을 얻는다.", "</p><p>예제 \\( 5.3.7 \\) \\( \\int_{-1}^{0} \\frac{x^{2}+2 x+7}{x^{3}+x^{2}-2} d x \\)의 값을 구하여라.", "</p><p>풀이 예제 \\( 5.3.6 \\)으로부터 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( \\int_{-1}^{0} \\frac{x^{2}+2 x+7}{x^{3}+x^{2}-2} d x=2 \\int_{-1}^{0} \\frac{1}{x-1} d x-\\int_{-1}^{0} \\frac{x+3}{x^{2}+2 x+2} d x \\)</p><p>우변의 첫 번째 항은 다음과 같이 쉽게 적분할 수 있다.", "</p><p>\\( 2 \\int_{-1}^{0} \\frac{1}{x-1} d x=2[\\ln |x-1|]_{-1}^{0}=-2 \\ln 2 . \\)</p><p>우변의 두 번째 적분을 계산하기 위하여 분자 \\( x+3 \\)을 \\( \\frac{1}{2}(2 x+2)+2 \\)로 나타내어 두 부분으로 나누어서 적분한다.", "이때 분모 \\( \\left(x^{2}+2 x+2\\right)^{\\prime} \\)\\( =2 x+2 \\)항을 포함하도록 나눈 것이다.", "즉, \\[\\frac{x+3}{x^{2}+2 x+2}=\\frac{1}{2} \\frac{2 x+2}{x^{2}+2 x+2}+\\frac{2}{x^{2}+2 x+2}\\] 으로 표현할 수 있다.", "그러므로 \\[\\int_{-1}^{0} \\frac{x+3}{x^{2}+2 x+2} d x=\\frac{1}{2} \\int_{-1}^{0} \\frac{2 x+2}{x^{2}+2 x+2} d x+2 \\int_{-1}^{0} \\frac{1}{x^{2}+2 x+2} d x \\]이다.", "우선 우변의 첫 번째 항은 다음과 같이 적분할 수 있다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} \\frac{1}{2} \\int_{-1}^{0} \\frac{2 x+x}{x^{2}+2 x+2} d x &=\\frac{1}{2}\\left[\\ln \\left|x^{2}+2 x+2\\right|\\right]_{-1}^{0} \\\\ &=\\frac{1}{2} \\ln 2 . \\end{aligned} \\)</p><p>두 번째 항의 적분은 근호를 가지고 있지 않지만 분모를 완전제곱의 형태로 바꾸어 삼각치환을 하면 된다.", "즉, \\[\\int_{-1}^{0} \\frac{1}{x^{2}+2 x+2} d x=\\int_{-1}^{0} \\frac{1}{(x+1)^{2}+1} d x\\]로 바꾸고 \\( x+1=\\tan t \\)로 치환하면 \\( d x=\\sec ^{2} t d t \\)이므로 \\[2 \\int_{-1}^{0} \\frac{1}{(x+1)^{2}+1} d x=2 \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\frac{1}{\\sec ^{2} t} \\sec ^{2} t d t\\] \\[=2 \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} 1 d t=2 \\frac{\\pi}{4}=\\frac{\\pi}{2}\\] 를 얻는다.", "위의 결과를 종합하면 다음과 같다. \\", "[\\int_{-1}^{0} \\frac{x^{2}+2 x+7}{x^{3}+x^{2}-2} d x=-2 \\ln 2-\\frac{1}{2} \\ln 2-\\frac{\\pi}{2}=-\\frac{5}{2} \\ln 2-\\frac{\\pi}{2} .\\]", "</p><p>마지막으로 분모가 중복되는 이차인수를 포함하는 경우를 살펴보자.", "</p><h2>4. 중복된 이차식을 인수로 갖는 경우</h2><p>분모 \\( g(x) \\)가 \\( \\left(a x^{2}+b x+c\\right)^{k} \\quad(k>1) \\)인 인수를 포함하며 인수분해될 경우 \\( k=1 \\) 일 때 \\( \\frac{A x+B}{a x^{2}+b x+c} \\)항을 다음 식으로 대치한다.", "</p><p>\\( \\frac{A_{1} x+B_{1}}{a x^{2}+b x+c}+\\frac{A_{2} x+B_{2}}{\\left(a x^{2}+b x+c\\right)^{2}}+\\cdots+\\frac{A_{k} x+B_{k}}{\\left(a x^{2}+b x+c\\right)^{k}} . \\)", "</p><p>이 경우 상수 \\( A_{1}, A_{2}, \\cdots, A_{k} \\) 및 \\( B_{1}, B_{2}, \\cdots, B_{k} \\)은 통분과 계수비교를 통하여 구할 수 있다.", "다음의 예제를 통해서 알아보자.", "</p><p>예제 \\( 5.3.8 \\) 유리식 \\( \\frac{1+2 x^{2}-x^{3}}{x\\left(x^{2}+1\\right)^{2}} \\)을 부분분수로 표현하여라.", "</p><p>풀이 중복되지 않는 일차인수 \\( x \\)를 고려하여 부분분수의 형태로 표현하면 \\[\\frac{1+2 x^{2}-x^{3}}{x\\left(x^{2}+1\\right)^{2}}=\\frac{A}{x}+\\frac{B_{1} x+C_{1}}{x^{2}+1}+\\frac{B_{2} x+C_{2}}{\\left(x^{2}+1\\right)^{2}}\\]으로 쓸 수 있다.", "</p><p>\\[\\begin{aligned}-x^{3}+2 x^{2}+1 &=A\\left(x^{2}+1\\right)^{2}+x\\left(B_{1} x+C_{1}\\right)\\left(x^{2}+1\\right)+x\\left(B_{2} x+C_{2}\\right) \\\\ &=\\left(A+B_{1}\\right) x^{4}+C_{1} x^{3}+\\left(2 A+B_{1}+B_{2}\\right) x^{2}+\\left(C_{1}+C_{2}\\right) x+A\\end{aligned}\\]이므로 \\[\\begin{array}{l}A+B_{1}=0, \\quad C_{1}=-1,2 A+B_{1}+B_{2}=2 \\\\C_{1}+C_{2}=0, \\quad A=1 \\end{array}\\]이 성립한다.", "따라서 \\( A=1, B_{1}=-1, C_{1}=-1, B_{2}=1, C_{2}=1 \\) 이다.", "그러므로 다음과 같이 부분분수로 나타낼 수 있다. \\", "[\\frac{1+2 x^{2}-x^{3}}{x\\left(x^{2}+1\\right)^{2}}=\\frac{1}{x}-\\frac{x+1}{x^{2}+1}+\\frac{x+1}{\\left(x^{2}+1\\right)^{2}} .\\]", "</p><p>예제 \\( 5.3.9 \\) \\( \\int_{1}^{\\sqrt{3}} \\frac{1+2 x^{2}-x^{3}}{x\\left(x^{2}+1\\right)^{2}} d x \\)의 값을 구하여라.", "</p><p>풀이 예제 \\( 5.3.8 \\)을 사용하여 적분을 바꾸어 쓰면 \\[\\begin{array}{l}\\int_{1}^{\\sqrt{3}} \\frac{1+2 x^{2}-x^{3}}{x\\left(x^{2}+1\\right)^{2}} d x \\\\=\\int_{1}^{\\sqrt{3}} \\frac{1}{x} d x-\\int_{1}^{\\sqrt{3}} \\frac{x+1}{x^{2}+1} d x+\\int_{1}^{\\sqrt{3}} \\frac{x+1}{\\left(x^{2}+1\\right)^{2}} d x\\end{array}\\]이다.", "우변의 두 번째 항은 예제 \\( 5.3.7 \\)과 같이 \\[\\int_{1}^{\\sqrt{3}} \\frac{x+1}{x^{2}+1} d x=\\frac{1}{2} \\int_{1}^{\\sqrt{3}} \\frac{2 x}{x^{2}+1} d x+\\int_{1}^{\\sqrt{3}} \\frac{1}{x^{2}+1} d x \\]으로 바꾸고 적분하면 \\[\\frac{1}{2} \\int_{1}^{\\sqrt{3}} \\frac{2 x}{x^{2}+1} d x+\\int_{1}^{\\sqrt{3}} \\frac{1}{x^{2}+1} d x\\] \\[\\begin{array}{l}=\\frac{1}{2}\\left[\\ln \\left(x^{2}+1\\right)\\right]_{1}^{\\sqrt{3}}+\\int_{\\frac{\\pi}{4}}^{\\frac{\\pi}{3}} 1 d \\theta \\\\=\\frac{1}{2} \\ln 2+\\frac{\\pi}{12}\\end{array}\\]이다.", "우변의 세 번째 항은 피적분함수를 \\( \\frac{x}{\\left(x^{2}+1\\right)^{2}} \\)과 \\( \\frac{1}{\\left(x^{2}+1\\right)^{2}} \\)로 나누고, \\( \\frac{x}{\\left(x^{2}+1\\right)^{2}} \\)의 적분은 \\( x^{2}+1=u \\)로 치환하면 \\( 2 x d x=d u \\)이므로 다음과 같이 적분할 수 있다. \\", "[\\begin{aligned}\\int_{1}^{\\sqrt{3}} \\frac{x}{\\left(x^{2}+1\\right)^{2}} d x &=\\frac{1}{2} \\int_{1}^{\\sqrt{3}} \\frac{2 x}{\\left(x^{2}+1\\right)^{2}} d x=\\frac{1}{2} \\int_{2}^{4} \\frac{1}{u^{2}} d u \\\\&=-\\frac{1}{2}\\left[\\frac{1}{u}\\right]_{2}^{4}=\\frac{1}{8} . \\", "end{aligned}\\]</p><p>\\( \\frac{1}{\\left(x^{2}+1\\right)^{2}} \\)의 적분은 \\( x=\\tan t \\)로 치환하여 적분하면 \\[\\begin{aligned}\\int_{1}^{\\sqrt{3}} \\frac{1}{\\left(x^{2}+1\\right)^{2}} d x &=\\int_{\\frac{\\pi}{4}}^{\\frac{\\pi}{3}} \\frac{\\sec ^{2} t}{\\sec ^{4} t} d t=\\int_{\\frac{\\pi}{4}}^{\\frac{\\pi}{3}} \\cos ^{2} t d t \\\\ &=\\frac{1}{2} \\int_{\\frac{\\pi}{4}}^{\\frac{\\pi}{3}}(1+\\cos 2 t) d t \\\\ &=\\frac{1}{2}\\left[t+\\frac{\\sin 2 t}{2}\\right]_{\\frac{\\pi}{4}}^{\\frac{\\pi}{3}}=\\frac{1}{2}\\left(\\frac{\\pi}{12}+\\frac{1}{2}\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}-1\\right)\\right) \\\\ &=\\frac{\\pi}{24}+\\frac{\\sqrt{3}}{8}-\\frac{1}{4}\\end{aligned}\\]를 얻는다.", "</p><p>위의 결과들을 정리하면 \\[\\begin{aligned}\\int_{1}^{\\sqrt{3}} \\frac{1+2 x^{2}-x^{3}}{x\\left(x^{2}+1\\right)^{2}} d x &=\\frac{1}{2} \\ln 3-\\frac{1}{2} \\ln 2-\\frac{\\pi}{12}+\\frac{1}{8}+\\frac{\\pi}{24}+\\frac{\\sqrt{3}}{8}-\\frac{1}{4} \\\\&=\\frac{1}{2} \\ln \\frac{3}{2}-\\frac{\\pi}{24}-\\frac{1}{8}+\\frac{\\sqrt{3}}{8}\\end{aligned}\\]이다.", "</p><p>분모가 이차인수를 갖는 경우는 정적분만을 다루었다.", "부정적분의 경우는 역삼각함수의 개념이 필요하기 때문에 여기서는 다루지 않겠다.", "물론 유리함수가 더 복잡해지는 경우는 계산이 매우 복잡하거나 불가능할 수도 있다.", "여기에서는 유리함수의 적분을 어떻게 다루는지를 알게 하는 것이 목적이며 매우 복잡한 적분의 경우는 다양한 소프트웨어를 가지고 컴퓨터로 해결할 수 있다.", "</p><h1>연 ·습 ·문 ·제 5.3</h1><p>\\( 1 \\).", "예제 \\( 5.3.8 \\)의 유리식을 부분분수로 나타내어라.", "</p><p>\\( 2 \\).", "다음 적분을 구하여라.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int \\frac{1}{x^{2}-5 x+6} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{1}{4 x^{2}-9} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{1}{(x+1)^{2}(x-2)} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{3 x^{2}-7 x-2}{x^{3}-x} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{x^{3}-x+3}{x^{2}+x-2} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{x^{3}-6 x^{2}-12}{\\left(x^{2}-3 x\\right)\\left(x^{2}+4\\right)} d x \\)</li></ol></p><p>\\( 3 \\).", "주어진 치환을 사용하여 다음 적분을 구하여라.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int_{1}^{2} \\frac{1}{x \\sqrt{x-1}} d x, u=\\sqrt{x-1} \\)</li><li>\\( \\int \\frac{\\sin ^{2} x \\cos x}{\\sin x+1} d x, \\quad u=\\sin x \\)</li></ol></p> <h1>5.2 삼각치환</h1><p>삼각치환은 기본적으로는 근호 안에 이차다항식이 있을 경우 삼각함수의 항등식을 이용하여 근호가 없는 삼각함수의 적분으로 바꾸는 적분 기법이다.", "익숙해지면 더 많은 적분에 활용할 수 있는 효과적인 방법이다.", "삼각함수의 역함수에 대한 학습이 되면 부정적분을 다룰 수 있지만 여기에서는 삼각함수의 역함수에 대한 학습을 하지 않았기 때문에 정적분에 대한 학습만 하기로 한다.", "</p><p>우선 일차항이 없는 이차식에 대한 삼각치환을 알아보자.", "삼각치환은 근호 안의 이차식의 형태에 따라 세 가지 형태로 나눈다.", "즉,<ol type=1 start=1><li>피적분함수가 \\( \\sqrt{a^{2}-x^{2}} \\)의 형태를 포함하는 경우</li><li>피적분함수가 \\( \\sqrt{a^{2}+x^{2}} \\)의 형태를 포함하는 경우</li><li>피적분함수가 \\( \\sqrt{x^{2}-a^{2}} \\)의 형태를 포함하는 경우</li></ol></p><p>위의 세 가지 경우만 생각하면 근호 안에 일차항이 없는 이차식이 있는 모든 경우의 적분이 가능하다. 또한 \\( a>0 \\)이라 하자. 예를 들어 \\( \\sqrt{9-x^{2}} \\)등의 적분을 해야 할 텐데 이때 \\( 9 \\)를 굳이 \\( (-3)^{2} \\)으로 계산할 필요는 없기 때문에 \\( a>", "0 \\)으로 가정하여도 수학적으로 이상이 없다.", "</p><h2>1. 피적분함수가 \\( \\sqrt{a^{2}-x^{2}} \\)의 형태를 포함하는 경우</h2><p>이 경우는 항등식 \\( \\sin ^{2} t+\\cos ^{2} t=1 \\)을 이용한다. \\", "( x=a \\sin t \\)로 치환하면,\\[\\sqrt{a^{2}-x^{2}}=\\sqrt{a^{2}-a^{2} \\sin ^{2} t}=\\sqrt{a^{2}\\left(1-\\sin ^{2} t\\right)}=\\sqrt{a^{2} \\cos ^{2} t}=|a \\cos t|\\]를 얻는다.", "이때 치환은 \\( x=a \\sin t \\)가 일대일이 되는 \\( t \\)의 범위 \\( -\\frac{\\pi}{2} \\leq t \\leq \\frac{\\pi}{2} \\)에서만 생각하기로 한다.", "그러므로 \\( |a \\cos t|=a \\cos t \\)가 된다.", "</p><p>또한 \\( d x=a \\cos t d t \\)가 되기 때문에 근호 안의 이차식이 있는 적분이 근호가 없는 삼각함수의 적분으로 바뀌게 된다.", "다음의 예를 살펴보자.", "</p><p>예제 \\( 5.2.1 \\) \\( x^{2}+\\frac{y^{2}}{4}=1 \\)로 주어지는 타원 내부의 넓이를 구하여라.", "</p><p>풀이 위의 음함수 형태를 양함수의 형태로 바꾸면 \\[ y=\\pm 2 \\sqrt{1-x^{2}}\\] 타원은 두 좌표축과 원점에 대하여 대칭이므로 넓이는 제\\( 1 \\)사분면에 있는 넓이의 \\( 4 \\)배이다.", "제\\( 1 \\)사분면의 타원부분은 \\( y=2 \\sqrt{1-x^{2}} \\)으로 주어지는 함수의 그래프 아래쪽과 두 좌표축에 의해 둘러싸인 부분의 넓이이다.", "그러므로 타원의 넓이를 \\( A \\)라 하면, \\[A=4 \\int_{0}^{1} 2 \\sqrt{1-x^{2}} d x=8 \\int_{0}^{1} \\sqrt{1-x^{2}} d x\\]이다. \\", "( x=\\sin t \\)라 하면 \\( d x=\\cos t d t \\)이고 \\( x=0 \\)이면 \\( t=0 \\)이며 \\( x=1 \\)이면 \\( t=\\frac{\\pi}{2} \\)가 된다.", "그러므로 \\[A=8 \\int_{0}^{1} \\sqrt{1-x^{2}} d x=8 \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\cos ^{2} t d t=4 \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}(1+\\cos 2 t) d t\\]\\( =4\\left[t+\\frac{\\cos 2 t}{2}\\right]_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}=4 \\frac{\\pi}{2}=2 \\pi .\\)", "</p><p>여기서 \\( \\sin t=0 \\) 또는 \\( \\sin t=1 \\)이 되는 \\( t \\)는 무수히 많다.", "하지만 \\( t \\)의 범위를 \\( -\\frac{\\pi}{2} \\leq t \\leq \\frac{\\pi}{2} \\)로 제한했기 때문에 \\( \\sin t=0 \\)인 \\( t=0, \\sin t=1 \\)인 \\( t=\\frac{\\pi}{2} \\) 밖에 없다는 사실을 기억하자.", "</p><p>예제 \\( 5.2.2 \\) \\( \\int_{0}^{\\frac{3}{2}} \\frac{x^{2}}{\\sqrt{9-x^{2}}} d x \\)의 값을 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( x=3 \\sin t \\)라 하면 \\( d x=3 \\cos t d t \\)이고 \\( x=0=3 \\sin t \\)로부터 \\( t=0 \\)과 \\( x=\\frac{3}{2}=3 \\sin t \\)로부터 \\( t=\\frac{\\pi}{6} \\)을 얻는다.", "따라서 \\[\\begin{aligned}\\int_{0}^{\\frac{3}{2}} \\frac{x^{2}}{\\sqrt{9-x^{2}}} d x &=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{6}} \\frac{9 \\sin ^{2} t \\cdot 3 \\cos t}{3 \\cos t} d t=9 \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{6}} \\sin ^{2} t d t \\\\&=\\frac{9}{2} \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{6}}(1-\\cos 2 t) d t=\\frac{9}{2}\\left[t-\\frac{\\sin 2 t}{2}\\right]_{0}^{\\frac{\\pi}{6}} \\\\ &=\\frac{9 \\pi}{12}-\\frac{9 \\sqrt{3}}{8}\\end{aligned}\\]</p><h2>2. 피적분함수가 \\( \\sqrt{a^{2}+x^{2}} \\)의 형태를 포함하는 경우</h2><p>이 경우는 항등식 \\( 1+\\tan ^{2} t=\\sec ^{2} t \\)을 이용한다. \\", "( x=a \\tan t \\)로 치환하면, \\( \\sqrt{a^{2}+x^{2}}=\\sqrt{a^{2}+a^{2} \\tan ^{2} t}=\\sqrt{a^{2}\\left(1+\\tan ^{2} t\\right)}=\\sqrt{a^{2} \\sec ^{2} t}=|a \\sec t| \\)를 얻는다.", "이때 치환은 \\( x=a \\tan t \\) 가 일대일이 되는 \\( t \\)의 범위 \\( -\\frac{\\pi}{2}<t<\\frac{\\pi}{2} \\)에서만 생각하기로 하자.", "그러므로 \\( |a \\sec t|=a \\sec t \\)가 된다.", "</p><p>또한 \\( d x=a \\sec ^{2} t d t \\)가 되기 때문에 근호 안의 이차식이 있는 적분이 근호가 없는 삼각함수의 적분으로 바뀌게 된다.", "다음의 예를 살펴보자.", "</p><p>예제 \\( 5.2.3 \\) \\( \\int_{\\sqrt{3}}^{3} \\frac{1}{x^{2} \\sqrt{x^{2}+9}} d x \\)의 값을 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( x=3 \\tan t \\)라 하면 \\( d x=3 \\sec ^{2} t d t \\)가 되고 \\( x=\\sqrt{3}=3 \\tan t \\)로부터 \\( t=\\frac{\\pi}{6} \\)와 \\( x=3=3 \\tan t \\)로부터 \\( t=\\frac{\\pi}{4} \\)를 얻는다.", "이를 대입하여 변형하면 \\[\\int_{0}^{3} \\frac{1}{x^{2} \\sqrt{x^{2}+9}} d x=\\int_{\\frac{\\pi}{6}}^{\\frac{\\pi}{4}} \\frac{3 \\sec ^{2} t}{9 \\tan ^{2} t \\cdot 3 \\sec t} d t=\\frac{1}{9} \\int_{\\frac{\\pi}{6}}^{\\frac{\\pi}{4}} \\frac{\\sec t}{\\tan ^{2} t} d t\\]이다. \\", "( \\tan t \\)와 \\( \\sec t \\)를 각각 \\( \\frac{\\sin t}{\\cos t} \\)와 \\( \\frac{1}{\\cos t} \\)로 바꾸어 쓰면 \\[\\frac{1}{9} \\int_{\\frac{\\pi}{6}}^{\\frac{\\pi}{4}} \\frac{\\sec t}{\\tan ^{2} t} d t=\\frac{1}{9} \\int_{\\frac{\\pi}{6}}^{\\frac{\\pi}{4}} \\frac{\\cos t}{\\sin ^{2} t} d t\\] 를 얻는다. \\", "( \\sin t=u \\)로 치환하면 \\[\\begin{aligned}\\int_{\\sqrt{3}}^{3} \\frac{1}{x^{2} \\sqrt{x^{2}+9}} d x &=\\frac{1}{9} \\int_{\\frac{\\pi}{6}}^{\\frac{\\pi}{4}} \\frac{\\cos t}{\\sin ^{2} t} d t=\\frac{1}{9} \\int_{\\frac{1}{2}}^{\\frac{1}{\\sqrt{2}}} \\frac{1}{u^{2}} d u \\\\ &=\\frac{1}{9}\\left[-\\frac{1}{u}\\right]_{\\frac{1}{2}}^{\\frac{1}{\\sqrt{2}}}=\\frac{1}{9}(2-\\sqrt{2}) .\\end{aligned}\\]", "</p> <h3>(2) \\( m \\)과 \\( n \\)이 모두 짝수인 경우</h3><p>\\( m \\)과 \\( n \\)이 모두 짝수인 경우는 특별한 치환법이 없다.", "다만 \\( m \\)과 \\( n \\)이 클수록 적분이 어려워지기 때문에 거듭제곱의 차수를 낮추는 것이 필요하다.", "예를 들어 정리 \\( 1.4.6 \\)의 반각공식이 도움이 될 수 있다.", "</p><p>예제 \\( 5.1.3 \\) \\( \\int \\sin ^{2} x \\cos ^{4} x d x \\)를 구하여라.", "</p><p>적분식을 변형하고 반각공식을 사용하면 \\[\\begin{aligned}\\int \\sin ^{2} x \\cos ^{4} x d x &=\\int \\sin ^{2} x\\left(\\cos ^{2} x\\right)^{2} d x \\\\&=\\int\\left(\\frac{1-\\cos 2 x}{2}\\right)\\left(\\frac{1+\\cos 2 x}{2}\\right)^{2} d x \\\\&=\\frac{1}{8} \\int(1-\\cos 2 x)\\left(1+2 \\cos 2 x+\\cos ^{2} 2 x\\right) d x \\\\&=\\frac{1}{8} \\int\\left(1+\\cos 2 x-\\cos ^{2} 2 x-\\cos ^{3} 2 x\\right) d x \\end{aligned}\\] \\( \\cos ^{2} 2 x \\)를 계산하기 위해서 반각공식을 한 번 더 사용하면 \\[\\int \\cos ^{2} 2 x d x=\\frac{1}{2} \\int 1+\\cos 4 x d x=\\frac{1}{2}\\left(x+\\frac{\\sin 4 x}{4}\\right)+C\\]이고 \\( \\cos ^{3} 2 x \\)은 거듭제곱이 홀수인 경우이기 때문에 앞에서 설명한 방법을 사용하고 \\( \\sin 2 x=u, 2 \\cos 2 x d x=d u \\)로 치환하면, \\[\\begin{aligned}\\int \\cos ^{3} 2 x d x &=\\frac{1}{2} \\int\\left(1-\\sin ^{2} 2 x\\right)(2 \\cos 2 x) d x \\\\&=\\frac{1}{2} \\int\\left(1-u^{2}\\right) d u \\\\ &=\\frac{1}{2}\\left(u-\\frac{1}{3} u^{3}\\right)+C\\end{aligned}\\] \\[=\\frac{1}{2}\\left(\\sin 2 x-\\frac{\\sin ^{3} 2 x}{3}\\right)+C\\]이다.", "이것을 대입하여 정리하면 \\[\\int \\sin ^{2} x \\cos ^{4} x d x\\] \\[=\\frac{1}{8}\\left(x+\\frac{\\sin 2 x}{2}-\\frac{1}{2}\\left(x+\\frac{\\sin 4 x}{4}\\right)-\\frac{1}{2}\\left(\\sin 2 x-\\frac{\\sin ^{3} 2 x}{3}\\right)\\right)+C\\] \\[=\\frac{1}{16} x-\\frac{1}{64} \\sin 4 x+\\frac{1}{48} \\sin ^{3} 2 x+C \\]이다.", "</p><p>주어진 거듭제곱의 차수를 낮추어 적분이 가능한 상태로 변형하고자 할 때 다음과 같은 점화 공식은 유용한 방법을 제공한다.", "</p><p>예제 \\( 5.1.4 \\) \\( n \\geq 2 \\)인 정수 \\( n \\)에 대하여 다음의 점화공식을 증명하여라. \\", "[\\int \\sin ^{n} x d x=-\\frac{1}{n} \\cos x \\sin ^{n-1} x+\\frac{n-1}{n} \\int \\sin ^{n-2} x d x\\]</p><p>풀이 부분적분법을 사용하여 주어진 피적분함수를 다음과 같이 나누고 \\( f^{\\prime}(x)=\\sin x, g(x)=\\sin ^{n-1} x \\) 라 하고 계산하면 \\[\\begin{array}{l}\\int \\sin ^{n} x d x=\\int \\sin x \\sin ^{n-1} x d x \\\\ =-\\cos x \\sin ^{n-1} x+\\int \\cos x\\left((n-1) \\sin ^{n-2} x \\cos x\\right) d x \\\\ =-\\cos x \\sin ^{n-1} x+(n-1) \\int \\sin ^{n-2} x \\cos ^{2} x d x \\\\ =-\\cos x \\sin ^{n-1} x+(n-1) \\int \\sin ^{n-2} x\\left(1-\\sin ^{2} x\\right) d x \\\\ =-\\cos x \\sin ^{n-1} x+(n-1) \\int \\sin ^{n-2} x d x-(n-1) \\int \\sin ^{n} x d x \\end{array}\\] 마지막항 \\( \\int \\sin ^{n} x d x \\)를 좌변으로 이항하여 양변을 \\( n \\)으로 나누면 \\[\\int \\sin ^{n} x d x=-\\frac{1}{n} \\cos x \\sin ^{n-1} x+\\frac{n-1}{n} \\int \\sin ^{n-2} x d x\\]를 얻는다.", "</p><p>이와 비슷하게 \\( \\int \\cos ^{n} x d x \\)의 점화공식도 유도가능한데 이는 연습문제로 남겨 둔다.", "</p><p>예제 \\( 5.1.5 \\) \\( \\int \\sin ^{4} x d x \\)를 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( 1 \\) 반각공식을 사용하면 \\[\\begin{aligned}\\int \\sin ^{4} x d x &=\\int\\left(\\frac{1-\\cos 2 x}{2}\\right)^{2} d x \\\\ &=\\frac{1}{4} \\int\\left(1-2 \\cos 2 x+\\cos ^{2} 2 x\\right) d x \\\\&=\\frac{1}{4}\\left(x-\\sin 2 x+\\int \\frac{1+\\cos 4 x}{2} d x\\right) \\\\&=\\frac{1}{4}\\left(x-\\sin 2 x+\\frac{1}{2} x+\\frac{1}{8} \\sin 4 x\\right)+C \\\\&=\\frac{3}{8} x-\\frac{1}{4} \\sin 2 x+\\frac{1}{32} \\sin 4 x+C\\end{aligned}\\]</p><p>풀이 \\( 2 \\) 예제 \\( 5.1.4 \\)의 점화공식을 사용하면 \\[\\begin{aligned}\\int \\sin ^{4} x d x &=-\\cos x \\sin ^{3} x+\\frac{3}{4} \\int \\sin ^{2} x d x \\\\&=-\\cos x \\sin ^{3} x+\\frac{3}{4}\\left(-\\frac{1}{2} \\cos x \\sin x+\\frac{1}{2} \\int 1 d x\\right) \\\\&=-\\cos x \\sin ^{3} x-\\frac{3}{4} \\cos x \\sin x+\\frac{3}{8} x+C \\\\ &=-\\cos x \\sin ^{3} x-\\frac{3}{8} \\cos x \\sin x+\\frac{3}{8} x+c\\end{aligned}\\]</p><p>두 풀이에 등장하는 답의 형태는 다르지만 삼각함수의 항등식을 사용하면 두 적분의 결과가 같음을 알 수 있다.", "하지만 위의 예제의 풀이에서 보면 풀이 \\( 2 \\)의 점화공식을 이용하는 경우 점화식을 외우거나 유도하고 다시 점화식에 대입하여 적분계산을 하게 되므로 더 간단한 방법은 반각공식을 이용하는 것이다.", "</p><p>이제까지의 적분 계산에는 \\( \\cos ^{2} x+\\sin ^{2} x=1 \\)이라는 항등식과 \\( (\\sin x)^{\\prime}=\\cos x \\) 및 \\( (\\cos x)^{\\prime}=-\\sin x \\)의 미분공식을 필수적으로 사용하였다.", "이와 비슷한 관계를 \\( \\tan x \\) 와 \\( \\sec x \\)에서 찾아 볼 수 있다. \\", "( 1+\\tan ^{2} x=\\sec ^{2} \\) 과 \\( (\\tan x)^{\\prime}=\\sec ^{2} x \\) 및 \\( (\\sec x)^{\\prime}=\\sec x \\tan x \\)를 생각하면 다음의 적분이 가능하다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "공학도를 위한 기초미적분학_여러 가지 함수의 적분법", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-4b95-4e02-bcdf-93d3509eed96", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961055246", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2011", "doc_author": [ "박정준", "신현혜", "이혜경", "정계선", "최건돈" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>예제 \\( 4 \\) 그림 \\( 1-24 \\)의 그래프에서 함수의 연속성을 말하여라.", "</p><p>풀이 함수 \\( f \\)는 \\( (-\\infty, 0),(0,3) \\) 그리고 \\( (5, \\infty) \\)에서 연속이고 폐구간 \\( [3,5] \\)에서도 연속이다.", "</p><p>정리 \\( 1-2-10 \\) 중간값 정리 함수 \\( y=f(x) \\)가 구간 \\( [a, b] \\)에서 연속이라 하자. \\", "( k \\)가 \\( f(a) \\)와 \\( f(b) \\)사이의 수라 하면 \\( f(c)=k \\)인 \\( c \\)가 구간 \\( (a, b) \\) 사이에 적어도 하나 존재한다.", "(단, 여기서 \\( f(a) \\neq f(b) \\)이다.)", "</p><p>증명 증명은 고급해석학에서 다루고 여기서는 그 활용에 중점을 두어 생략한다.</p><p>", "일양연속 어떤 구간 \\( I \\)에서 정의된 함수 \\( f(x) \\)가 다음 조건을 만족할 때 \\( f(x) \\)는 \\( I \\)상에서 일양연속(uniformly continuous)이라 한다. [조건] 임의의 \\( \\varepsilon>0 \\)에 대하여 적당한 \\( \\delta>0 \\)가 존재해서 \\( \\left|x_{1", "}-x_{2}\\right|<\\delta \\)일 때 \\( \\mid f\\left(x_{1}\\right)-f\\left(x_{2}\\right) \\mid<\\varepsilon \\)이다(단, \\( \\left.x_{1}, x_{2} \\in I\\right) \\).", "구간 \\( I \\)에서 \\( f(x) \\)가 일양연속인 경우 \\( x_{2}(\\in I) \\)를 고정하면 이는 \\( f(x) \\)가 \\( x_{2}(E I) \\)에서 연속임을 뜻하며, \\( x_{2} \\) 는 \\( I \\)에서 움직이므로 결국은 \\( f(x) \\)가 \\( I \\)에서 연속이 된다.", "그러나 \\( f(x) \\)가 \\( x_{2}(\\in I) \\)에서 연속이라 해서 \\( f(x) \\)가 \\( x_{2}(\\in I) \\)에서 일양연속은 아니다.", "</p><p>참고 \\( f(x)=\\frac{1}{x} \\)은 \\( 0<x<1 \\)에서 연속인 함수이다.", "그러나 일양연속은 아니다. \\", "( [a, b] \\)상에서 정의된 연속함수는 일양연속이 된다.", "</p><p>연습문제 (\\( 1-2-2 \\))</p><p>\\( 1 \\).", "다음 함수의 연속성을 조사하여라.", "불연속인 경우에는 그 이유를 말하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=x^{2}-4 x+5 \\)</li><li>\\( g(x)=\\frac{x^{2}}{x-2} \\)</li><li>\\( h(x)=[x] \\)</li><li>\\( f(t)=\\frac{t^{3}-27}{t-3} \\)</li></ol><p>\\( 2 \\).", "다음 함수는 어떤 점에서 정의되지 않는다.", "그 점에서 연속이 되게 하려면 어떻게 정의하여야 하는가?", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=\\frac{x^{2}-16}{x-4} \\)</li><li>\\( g(x)=\\frac{x^{4}+3 x^{2}-4}{x+1} \\)</li></ol><p>\\( 3 \\). \\", "( f(x)=x \\sin \\frac{1}{x} \\)의 연속성을 판별하여라.", "</p><p>\\( 4 \\).", "중간값 정리를 이용하여 \\( x^{3}+3 x-1=0 \\)의 근이 \\( 0 \\)과 \\( 1 \\)사이에 존재함을 증명하여라.", "</p><p>요약 (\\( 1-2 \\))</p><p>\\( 1 \\).", "함수의 극한 함수 \\( y=f(x) \\)에 있어서 변수 \\( x \\)가 어떤 값 \\( a \\)에 한없이 가까이 갈 때 그 가까워지는 방법에 관계없이 \\( f(x) \\)의 값이 일정한 값 \\( b \\)에 한없이 가까워지면 \\( x \\)가 \\( a \\)에 가까워질 때 \\( f(x) \\)는 \\( b \\)에 수렴한다고 말하고 \\( b \\)를 \\( f(x) \\)의 극한값이라 한다.", "이것을 기호로는 \\[ \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=b \\] 로 나타낸다.", "</p><p>\\( 2 \\).", "치환정리 \\( f \\)가 다항식함수 또는 유리함수이면 \\[ \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=f(a) \\] 이다.", "단, 유리함수의 경우 분모는 \\( x=a \\)에서 \\( 0 \\)이 아니다.", "</p><p>\\( 3 \\).", "짜내기 정리 \\( f, g \\)및 \\( h \\)가 \\( a \\)의 근방의 \\( x \\)에 대하여 항상 \\( f(x) \\leqq h(x) \\leqq g(x) \\)이고 \\[ \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=\\lim _{x \\rightarrow a} g(x)=b \\text { 이면 } \\lim _{x \\rightarrow a} h(x)=b \\] 이다.", "</p><p>\\( 4 \\).", "함수의 연속 \\( y=f(x) \\)가 \\( x=a \\)에서 그의 극한값과 함숫값이 존재하여 같아지면 \\( y=f(x) \\)는 \\( x=a \\)에서 연속이라 한다.", "즉, \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=f(a) \\)이다.", "</p><p>\\( 5 \\).", "연속성에 관한 정리<ol type=1 start=1><li>\\( f(x) \\)가 \\( x=a \\)에서 연속이고, \\( f(a)>0 \\)이면 \\( a \\)의 근방에서 \\( f(x)>0 \\)이다. 즉, \\( x \\in(a-\\delta\\),\\( a+\\delta) \\)이면 \\( f(x)>", "0 \\)인 양수 \\( \\delta \\)가 존재한다.", "</li><li>\\( f(x) \\)가 \\( x=a \\)에서 연속이고, \\( f(a)<0 \\)이면 \\( a \\)의 근방에서 \\( f(x)<0 \\)이다.", "즉, \\( x \\in(a-\\delta \\), \\( a+\\delta) \\)이면 \\( f(x)<0 \\)인 양수 \\( \\delta \\)가 존재한다.", "</li><li>\\( x=a \\)에서 두 함수 \\( f(x), g(x) \\)가 모두 연속일 때 다음 함수는 모두 \\( x=a \\)에서 연속이다.", "① \\( f(x) \\pm g(x) \\) ② \\( f(x) \\cdot g(x) \\) ③ \\( \\frac{f(x)}{g(x)}(g(a) \\neq 0) \\)</li><li>함수 \\( u=g(x) \\)가 \\( x=a \\)에서 연속이고 함수 \\( f(u) \\)가 \\( u=g(a) \\)에서 연속이면 합성함수 \\( f(g(x)) \\)도 \\( x=a \\)에서 연속이다.", "</li><li>연속함수의 합성함수는 또한 연속함수이다.", "</li><li>(중간값 정리) 함수 \\( y=f(x) \\)가 \\( [a, b] \\)에서 연속이라 하자. \\", "( k \\)가 \\( f(a) \\)와 \\( f(b) \\)사이의 수라 하면 \\( f(c)=k \\)인 \\( c \\)가 \\( a, b \\)사이에 적어도 하나 존재한다(단, \\( f(a) \\neq f(b) \\) ).", "</li></ol><p>\\( 8 \\). 일양연속 어떤 구간 \\( I \\)에서 정의된 함수 \\( f(x) \\)가 다음 조건을 만족할 때 \\( f(x) \\)는 \\( I \\)위에서 일양연속이라 한다. 조건: 임의의 \\( \\varepsilon>0 \\)에 대하여 적당한 \\( \\delta>", "0 \\)가 존재하여 \\( \\left|x_{1}-x_{2}\\right|<\\delta \\)일 때 \\( \\mid f\\left(x_{1}\\right)-f\\left(x_{2}\\right) \\mid<\\varepsilon \\)이다(단, \\( \\left.x_{1}, x_{2} \\in I\\right) \\).", "</p> <p>극한의 정리 다음 극한의 정리들은 \\( \\varepsilon-\\delta \\)방법을 사용하지 않고 극한값이 존재하는 것을 증명하는 데 도움이 될 것이다.", "거의 모든 극한에 관한 문제는 이 정리들을 사용하여 증명할 수 있다.", "</p><p>정리 \\( 1-2-1 \\) \\( n \\)은 양의 정수, \\( k \\)는 상수 그리고 \\( f, g \\)는 \\( x \\rightarrow a \\) 또는 \\( x \\rightarrow b \\)일 때 극한값이 존재하는 함수라 하자.", "그러면</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} k=k \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} x=a \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} k f(x)=k \\lim _{x \\rightarrow a} f(x) \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow a}[f(x) \\pm g(x)]=\\lim _{x \\rightarrow a} f(x) \\pm \\lim _{x \\rightarrow a} g(x) \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow a}[f(x) \\cdot g(x)]=\\lim _{x \\rightarrow a} f(x) \\cdot \\lim _{x \\rightarrow a} g(x) \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f(x)}{g(x)}=\\frac{\\lim _{x \\rightarrow a} f(x)}{\\lim _{x \\rightarrow a} g(x)}\\left(\\right. \\)", "단, \\( \\left.\\", "lim _{x \\rightarrow a} g(x) \\neq 0\\right) \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow a}\\{f(x)\\}^{n}=\\left[\\lim _{x \\rightarrow a} f(x)\\right]^{n} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} \\sqrt[n]{f(x)}=\\sqrt[n]{\\lim _{x \\rightarrow a} f(x)}\\left(\\right. \\)", "단, \\( \\left.\\", "lim _{x \\rightarrow a} f(x)>0, n=2 m\\right) \\)</li><li>\\( f(x) \\geqq g(x) \\Rightarrow \\lim _{x \\rightarrow a} f(x) \\geqq \\lim _{x \\rightarrow a} g(x) \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=b, \\lim _{x \\rightarrow b} g(x)=c \\Rightarrow \\lim _{x \\rightarrow a} g(f(x))=c \\)</li></ol><p>정리 \\( 1-2-2 \\) 치환정리 \\( f \\)가 다항식함수 또는 유리함수이면 \\[ \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=f(a) \\] 이다.", "단, 유리함수의 경우 분모는 \\( x=a \\)에서 \\( 0 \\)이 아니다.", "</p><p>정리 \\( 1-2-2 \\)는 정리 \\( 1-2-1 \\)을 여러 번 응용하면 증명된다.", "여기서는 모두 증명을 생략하기로 하고 그 응용에 중점을 두겠다.", "</p><p>예제 \\( 4 \\) \\( a>0, n \\)이 양의 정수일 때, \\( \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{x^{n}-a^{n}}{x-a} \\)를 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{x^{n}-a^{n}}{x-a}=\\lim _{x \\rightarrow a}\\left(x^{n-1}+a x^{n-2}+\\cdots+a^{n-2} x+a^{n-1}\\right)=n a^{n-1} \\)</p><p>예제 \\( 5 \\) \\( \\lim _{x \\rightarrow 2} \\frac{x^{2}+3 x-10}{x^{2}+x-6} \\)을 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( \\lim _{x \\rightarrow 2} \\frac{x^{2}+3 x-10}{x^{2}+x-6}=\\lim _{x \\rightarrow 2} \\frac{(x-2)(x+5)}{(x-2)(x+3)}=\\lim _{x \\rightarrow 2} \\frac{x+5}{x+3}=\\frac{7}{5} \\)</p><p>정리 \\( 1-2-3 \\) 짜내기 정리 \\( f, g \\) 및 \\( h \\)가 \\( a \\)의 근방의 \\( x \\)에 대하여 항상 \\( f(x) \\leqq h(x) \\leqq g(x) \\)이고 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=\\lim _{x \\rightarrow a} g(x)=b \\)이면 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} h(x)=b \\)이다.", "</p><p>증명 \\( \\varepsilon>0 \\)이 정해졌다고 하자. \\", "( \\delta_{1}>0 \\)을 택하여 \\[ 0<|x-a|<\\delta_{1} \\Rightarrow|f(x)-b|<\\varepsilon \\Leftrightarrow b-\\varepsilon \\leqq f(x) \\leqq b+\\varepsilon \\] 이고 \\( \\delta_{2}>0 \\)를 택하여 \\[ 0<|x-a|<\\delta_{2} \\Rightarrow|g(x)-b|<\\varepsilon \\Leftrightarrow b-\\varepsilon \\leqq g(x) \\leqq b+\\varepsilon \\] 이고 \\( \\delta_{3}>0 \\)를 택하여 \\[ 0<|x-a|<\\delta_{3} \\Rightarrow f(x) \\leqq h(x) \\leqq g(x) \\] 가 되게 할 수 있다.", "여기서 \\( \\delta=\\min \\left\\{\\delta_{1}, \\delta_{2}, \\delta_{3}\\right\\} \\)이라 하자.", "그러면 \\[ 0<|x-a|<\\delta \\Longrightarrow b-\\varepsilon<f(x) \\leqq h(x) \\leqq g(x)<b+\\varepsilon \\] 이다.", "따라서 \\[ \\lim _{x \\rightarrow a} h(x)=b . \\]", "</p><p>초월함수의 극한 이제 초월함수로 이루어진 형태의 극한값 계산에 대해서 알아보자.", "다음 정리는 초월함수에 관련된 극한값 계산에 도움을 줄 것이다.", "</p><p>정리 \\( 1-2-4 \\) \\( x \\)가 라디안이고, \\( \\log x \\)는 자연로기일 때,</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin x}{x}=1 \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin (\\sin x)}{x}=1 \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tan (\\tan x)}{x}=1 \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0+} \\frac{\\log (\\sin x)}{\\log x}=1 \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} a^{x}=\\left\\{\\begin{array}{ll}\\infty & (a>1) \\\\ 1 & (a=1) \\\\ 0 & (0<a<1)\\end{array}\\right. \\)", "</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow-\\infty} a^{x}=\\left\\{\\begin{array}{ll}0 & (a>1) \\\\ 1 & (a=1) \\\\ \\infty & (0<a<1)\\end{array}\\right. \\)", "</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\log _{a} x=\\left\\{\\begin{aligned}-\\infty &(a>1) \\\\ \\infty &(0<a<1) \\end{aligned}\\right. \\)", "</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)^{x}=\\lim _{x \\rightarrow 0}(1+x)^{\\frac{1}{x}}=e \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\log (x+1)}{x}=1 \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{e^{x}-1}{x}=1 \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos x}{x}=0 \\)</li></ol><p>증명 (\\( 1 \\)) \\( 0<x<\\frac{\\pi}{2} \\)로 하고 그림 \\( 1-20 \\)과 같이 직각삼각형 \\( O C B \\)를 \\( \\angle B O C=x \\)(radian)가 되게 그린다.", "꼭짓점 \\( O \\)로부터 반지름 \\( m(\\overline{O C})=r \\)이 되게 원을 그려 \\( O B \\)와 만난 점을 \\( A \\)라 하면 다음과 같은 관계가 성립한다. \\", "[ m(\\triangle O A C)=\\frac{1}{2} m(\\overline{O C}) \\cdot m(\\overline{O A}) \\cdot \\sin x=\\frac{1}{2} r^{2} \\sin x \\] \\[ \\begin{array}{l} m(\\text { 부채꼴 } O A C)=\\frac{1}{2} m(\\overline{O A}) \\cdot m(\\overline{O C}) \\cdot x=\\frac{1}{2} r^{2} x \\\\ m(\\triangle O C B)=\\frac{1}{2} m(\\overline{O C}) \\cdot m(\\overline{B C})=\\frac{1}{2} r^{2} \\tan x \\\\ \\therefore \\frac{1}{2} r^{2} \\sin x<\\frac{1}{2} r^{2} x<\\frac{1}{2} r^{2} \\tan x \\end{array} \\] 이 부등식의 각 변을 \\( \\frac{1}{2} r^{2} \\sin x \\)로 나누면 \\( 1<\\frac{x}{\\sin x}<\\frac{1}{\\cos x} \\)이고, 위 식으로부터 \\[ 1>\\frac{\\sin x}{x}>\\cos x \\] 와 같은 관계식을 얻는다.", "따라서 \\[ \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} 1 \\geqq \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\frac{\\sin x}{x} \\geqq \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\cos x \\Leftrightarrow 1 \\geqq \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\frac{\\sin x}{x} \\geqq 1 . \\] 그러므로 짜내기 정리에 의해 \\[ \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\frac{\\sin x}{x}=1 . \\] 이것은 \\( 0<x<\\frac{\\pi}{2} \\)라는 조건 밑에서 얻어진 우극한값이지만 \\( 0>x>-\\frac{\\pi}{2} \\)일 경우도 역시 성립한다.", "왜냐하면 \\( x=-x^{\\prime} \\)로 놓으면 \\[ \\frac{\\sin x}{x}=\\frac{\\sin \\left(-x^{\\prime}\\right)}{-x^{\\prime}}=\\frac{\\sin x^{\\prime}}{x^{\\prime}} \\] 로 되어 \\( x^{\\prime} \\)에 대해서도 (\\( 1 \\))식은 성립하기 때문이다.", "결국 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0^{-}} \\frac{\\sin x}{x}=1 \\)이 되어 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\frac{\\sin x}{x}=\\lim _{x \\rightarrow 0^{-}} \\frac{\\sin x}{x}=1 \\)이므로 \\[ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin x}{x}=1 . \\] 정리 \\( 1-2-4 \\)의 (\\( 5 \\)), (\\( 6 \\)), (\\( 7 \\)), (\\( 8 \\))은 지수, 로그함수의 도함수편에서 설명이 되겠지만 그래프를 그려서 생각해보면 금방 알 수 있다.", "(\\( 2 \\)), (\\( 3 \\)), (\\( 4 \\)), (\\( 9 \\)), (\\( 10 \\)), (\\( 11 \\))은 정리 \\( 1-2-4 \\)의 (\\( 1 \\))과 (\\( 8 \\))을 이용하면 증명할 수 있으므로, 연습문제로 남기겠다.", "</p> <p>예제 \\( 6 \\) 정리 \\( 1-2-4 \\)의 (\\( 3 \\))과 (\\( 9 \\))를 증명하여라.", "</p><p>증명 (\\( 3 \\)) \\( \\begin{aligned} \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tan (\\tan x)}{x} &=\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tan (\\tan x)}{\\tan x} \\cdot \\frac{\\tan x}{x} \\\\ &=\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tan (\\tan x)}{\\tan x} \\cdot \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tan x}{x} \\end{aligned} \\) \\( \\tan x=t \\)라 놓으면, \\( x \\rightarrow 0 \\)일 때, \\( t \\rightarrow 0 \\)이므로 \\[ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tan (\\tan x)}{\\tan x}=\\lim _{t \\rightarrow 0} \\frac{\\tan (t)}{t}=\\lim _{t \\rightarrow 0} \\frac{\\sin t}{t} \\cdot \\frac{1}{\\cos t}=1 . \\] 따라서 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tan x}{x}=1 \\)이므로 준 식은 극한값이 \\( 1 \\)이다.", "(\\( 9 \\)) \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\log (x+1)}{x}=\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1}{x} \\log (x+1)=\\lim _{x \\rightarrow 0} \\log (x+1)^{\\frac{1}{x}} \\) \\[ =\\log \\left(\\lim _{x \\rightarrow 0}(x+1)^{\\frac{1}{x}}\\right)=\\log e=1 \\]</p><p>예제 \\( 7 \\) \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos x}{x^{2}} \\)를 구하여라.", "</p><p>풀이 \\[ \\begin{aligned} \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos x}{x^{2}} &=\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{(1-\\cos )(1+\\cos x)}{x^{2}(1+\\cos x)}=\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos ^{2} x}{x^{2}(1+\\cos x)} \\\\ &=\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin ^{2} x}{x^{2}(1+\\cos x)}=\\lim _{x \\rightarrow 0}\\left\\{\\left(\\frac{\\sin x}{x}\\right)^{2} \\times \\frac{1}{(1+\\cos x)}\\right\\}=\\frac{1}{2} \\end{aligned} \\]</p><p>참고 부정형의 극한값은 로피탈 법칙을 이용하여 구하는 방법도 있다.", "즉, \\( \\frac{0}{0} \\)꼴이나 \\( \\frac{\\infty}{\\infty} \\)형태의 부정형은 미분을 통해 구하는 경우가 있는데 이는 도함수편에서 다루겠다.", "</p><p>연습문제 (\\( 1-2-1 \\))</p><p>\\( 1 \\).", "다음의 극한값을 \\( \\varepsilon-\\delta \\) 방법으로 증명하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 4}(3 x-7)=5 \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 2} \\frac{2 x^{2}-3 x-2}{x-2}=5 \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} k=k \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} x=a \\)</li></ol><p>\\( 2 \\).", "다음 극한값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{x^{2}+4 x-5}{3 x^{2}+x-4} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin 4 x}{\\sin 3 x} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\pm \\infty} \\frac{3 x^{2}+5}{5 x^{3}+8 x+1} \\)</li><li>\\( \\lim _{\\theta \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos 3 \\theta}{\\theta^{2}} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\pm \\infty} \\frac{3 x^{2}+5}{5 x^{3}+8 x+1} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos 3 x}{x \\sin 2 x} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{1+x+x^{2}}-1}{\\sqrt{1+x}-\\sqrt{1-x}} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 2} \\frac{x^{2}-4}{\\sqrt{x+2}-\\sqrt{3 x-2}} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin ^{2} x}{1-\\cos x} \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow+\\infty} \\frac{1}{n^{3}}\\left(1^{2}+2^{2}+\\cdots+n^{2}\\right) \\)</li></ol><p>\\( 3 \\).", "직각인 두 변의 길이가 \\( 12 \\mathrm{~cm}, 5 \\mathrm{~cm} \\)인 직각삼각형 \\( B A C \\)의 빗변 \\( \\overline{B C} \\)를 \\( n+1 \\)등분하는 점을 각각 \\( M_{1}, M_{2}, \\cdots, M_{n} \\)으로 할 때 \\[ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n}\\left(m\\left(\\overline{A M_{1}}\\right)^{2}+m\\left(\\overline{A M_{2}}\\right)^{2}+\\cdots+m\\left(\\overline{A M_{n}}\\right)^{2}\\right) \\] 을 구하여라.", "</p><p>\\( 4 \\).", "정리 \\( 1-2-4 \\)의 (\\( 4 \\))와 (\\( 10 \\))을 증명하여라.", "</p><p>\\( 5 \\).", "반지름의 길이가 \\( 5 \\)인 원에 내접하는 정다각형의 둘레를 \\( n \\)의 함수로 나타내어라.", "또, \\( n \\rightarrow \\infty \\)일 때 이 함수의 극한값은 얼마인가?", "</p> <p>참고 위 예제에서 알 수 있듯이 일반적으로 다음과 같이 세 함수 \\( f, g, h \\)에 대하여 합성함수가 정의될 때, 합성함수는 다음과 같은 성질을 가지고 있다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f \\circ g \\neq g \\circ f \\)</li><li>\\( (f \\circ g) \\circ h=f \\circ(g \\circ h) \\)</li></ol><h3>연습문제 (\\( 1-1-1 \\))</h3><p>\\( 1 \\). \\", "( \\phi(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}\\frac{1}{x}, & x \\geqq 3 \\\\ 2 x, & x<3\\end{array}\\right. \\)", "일 때 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\phi(2) \\)</li><li>\\( \\phi(+4) \\)</li><li>\\( \\phi(2.9) \\)</li></ol><p>\\( 2 \\).", "다음 주어진 함수의 정의역을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=\\frac{1}{x-3} \\)</li><li>\\( f(x)=\\sqrt{x^{2}-3} \\)</li><li>\\( g(x)=\\sqrt{(x+1)(x-2)} \\)</li><li>\\( g(x)=\\frac{(x-1)(x-3)}{x-3} \\)</li></ol><p>\\( 3 \\). \\", "( f(x)=x^{2}+1 \\)일 때 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(t) \\)</li><li>\\( f\\left(\\frac{1}{x}\\right) \\)</li><li>\\( f(\\sqrt{x}) \\)</li><li>\\( f(x+2) \\)</li><li>\\( f(f(x)) \\)</li><li>\\( f^{2}(x) \\)</li><li>\\( f\\left((x-1)^{2}\\right) \\)</li><li>\\( 3 f(5 x) \\)</li></ol><p>\\( 4 \\). \\", "( h(x)=2 x+5 \\)일 때 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( h \\circ h \\)</li><li>\\( h^{2} \\)</li></ol><p>\\( 5 \\).", "다음 함수들 중 우함수와 기함수를 찾아보아라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=x^{2} \\)</li><li>\\( f(x)=x^{3} \\)</li><li>\\( \\frac{x^{3}-x}{1+x^{2}} \\)</li><li>\\( y=\\cos 3 x \\)</li><li>\\( y=\\sqrt{1-x^{2}} \\)</li></ol><h1>2. 함수의 분류</h1><p>집합 위에서 정의되는 함수들은 미적분학을 공부하는 데 가장 기본적인 소재가 된다.", "이학은 말할 것도 없이 통계학, 공학, 경제학, 경영학, 사회학, 전산학, 정보공학 등 많은 분야에서 다루는 현상들이 모두 하나의 함수식으로 표현되는 경우가 허다하기 때문에 이 단원에서 열거하는 함수들의 정의와 성질들을 잘 숙지하길 바란다.", "우선 함수를 외형상 분류를 하면 크게 대수함수와 초월함수로 나뉜다.", "대수함수에는 유리함수와 무리함수로 분류가 되고 유리함수에는 다항함수와 분수함수로 나닌다.", "그리고 초월함수에는 지수함수, 로그함수, 삼각함수, 쌍곡선함수 등이 있다.", "함수를 내용상으로 분류하면 단사함수, 전사함수, 전단사함수 그리고 항등함수 등이 있다.", "여기서는 함수들의 기본적인 정의 정도만 설명하고 구체적인 성질들은 관련되는 각론에서 다루겠다.", "</p><p>다항함수 집합 \\( R \\)에서 집합 \\( R \\)로의 함수 \\( f \\)에서 \\( f(x) \\)의 값이 다항식의 형태로 나타날 때, 함수 \\( f \\)를 다항함수(polynomial function)라고 한다.", "즉, \\[ f(x)=a_{n} x_{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\\cdots+a_{1} x+a_{0} \\] (단, \\( n \\) 은 음이 아닌 정수, \\( a_{i} \\) 는 상수) 의 형태를 말한다.", "특히, \\( a_{n} \\neq 0 \\)인 경우에 이 함수를 \\( n \\)차 다항함수라 하고 상수다항식 \\[ f(x)=c \\] 에 의하여 정의되는 함수를 상수함수(constant function)라 한다.", "</p><p>유리함수 두 다항식 \\( P(x), Q(x) \\)에서 분수식 \\( \\frac{Q(x)}{P(x)} \\)를 유리식이라고 한다.", "또, 위에서 정의한 함수 \\( f \\)가 유리식에 의하여 정의되는 함수 \\[ f(x)=\\frac{Q(x)}{P(x)} \\text { (단, } P(x) \\neq 0 \\text { ) } \\] 를 유리함수(rational function)라고 한다.", "특히, 두 다항식 \\( P(x), Q(x) \\)가 모두 \\( 1 \\)차 다항식일 때, 즉 \\[ f(x)=\\frac{a x+b}{c x+d}(c \\neq 0, a d-b c \\neq 0) \\] 는 \\( f(x)=\\frac{k}{x-p}+q \\)의 형태로 변형된다.", "이때, 이 함수의 그래프는 그림 \\( 1-2 \\)와 같은 형태로 서 이를 직각쌍곡선(rectangular hyperbola)이라 한다.", "여기서 두 직선 \\( x=p \\)와 \\( y=q \\)를 수직점근선(vertical asymptote)이라 한다.", "</p><p>무리함수 집합 \\( R \\)에서 집합 \\( R \\)로의 함수 \\( f \\)에서 \\( f(x) \\)의 값이 무리식의 형태로 나타날 때, 함수 \\( f \\)를 무리함수(irrational function)라고 한다.", "즉, \\[ f(x)=\\sqrt[n]{P(x)} \\quad(n \\text {은 } 2 \\text {이상의 자연수 }) \\] 의 형태를 말한다.", "특히, 함수 \\( f:[0, \\infty) \\rightarrow R \\) 에서 \\[ f(x)=\\sqrt{x} \\] 제곱근함수(square root function)라 한다.", "이 함수의 그래프는 그림 \\( 1-3 \\)과 같다.", "</p><p>보기 \\( 1 \\) 다음 함수들은 외형상 어떤 함수들인가?", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=x^{4}-4 x^{2}-5 \\)</li><li>\\( y=\\frac{x^{3}-2 x+5}{2 x+3} \\)</li><li>\\( y=\\sqrt{2 x-7} \\)</li><li>\\( y=\\sqrt[3]{2 x^{2}+3 x-4} \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>\\( 4 \\)차 다항함수</li><li>분수함수</li><li>무리함수</li><li>무리함수</li></ol><p>지수함수 집합 \\( R \\)에서 \\( (0, \\infty) \\)로의 함수 \\( f \\)가 \\[ f(x)=a^{p(x)}(\\text { 단 } a>0, a \\neq 0, p(x) \\text {는 다항식) } \\] 의 형태로 정의될 때, 함수 \\( f \\)를 \\( a \\)를 밑(base)으로 하는 지수함수(exponential function)라고 한다. 특히, \\( p(x)=x \\)일 때, 즉 \\[ f(x)=a^{x} \\] 는 \\( a>", "1 \\)이면 단조증가함수이고 \\( 0<a<1 \\)이면 단조감수함수이다.", "</p><p>로그함수 지수함수 \\( f(x)=a^{x} \\)는 \\( R \\)에서 \\( (0, \\infty) \\)로의 전단사함수(전단사함수 정의 참조)이므로 이 지수함수는 역함수를 갖는다. 이 지수함수의 역함수를 \\( a \\)를 밑(base)으로 갖는 로그함수(logarithmic function)라 하고, 이를 \\( \\log _{a} \\)로 나타낸다. 즉, \\( (0, \\infty) \\)에서 \\( R \\)로의 로그함수 \\( \\log _{a} \\)는 \\[ y=\\log _{a} x \\Leftrightarrow x=a^{y} \\] 에 의하여 정의된 함수이다(그림 \\( 1-5 \\) 참조). 일반적으로, 로그함수는 \\[ y=\\log _{a} p(x) \\quad(a>0, a \\neq 0, p(x) \\text {는 다항식 }) \\] 의 형태로 정의되고, \\( p(x)>", "0 \\)을 만족하는 \\( x \\)의 범위가 정의역이 된다.", "</p><p>삼각함수 삼각함수를 정의하기 위해 직교좌표상에서, 중심이 원점이고 반지름이 \\( r \\)인 원을 생각하자.", "이 때, 길이가 \\( r \\)인 반지름이 원점을 중심으로 하여 양의 \\( x \\)축에서 시작(시초선)하여 시계반대방향으로 돌아가면서 생긴 시초선과 반지름 사이의 각을 양의 각(positive angle)이라고 정의하고 시계방향으로 돌아가면서 생긴 시초선과 반지름 사이의 각을 음의 각(negative angle)이라고 정 의하자.", "그림 \\( 1-6 \\)에서 보는 바와 같이 일반각은 완전하게 한 바퀴 이상을 돌아 만들어질 수도 있다.", "</p> <h2>연습문제 (1-1-2)</h2><p>\\( 1 \\).", "다음에서 라디안 각은 \\( 60 \\)분각으로, \\( 60 \\)분각은 라디안 각으로 나타내어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 270^{\\circ} \\)</li><li>\\( 20^{\\circ} \\)</li><li>\\( \\left(\\frac{\\pi}{10}\\right)^{\\circ} \\)</li><li>\\( \\frac{\\pi}{3} \\)</li><li>\\( \\frac{9}{4} \\pi \\)</li><li>\\( 1 \\)</li><li>\\( -\\frac{5}{6} \\pi \\)</li><li>\\( 1^{\\circ} \\)</li></ol><p>\\( 2 \\).", "다음을 만족하는 라디안 각을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sin \\theta=1 \\)</li><li>\\( \\cos \\theta=-\\frac{1}{\\sqrt{2}} \\)</li><li>\\( \\tan \\theta=-\\sqrt{3} \\)</li></ol><p>\\( 3 \\).", "다음 함수들을 내용상 분류하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=3^{x+1} \\)</li><li>\\( g(x)=x^{2}+3 \\quad(x \\geqq 0, y \\geqq 3) \\)</li><li>\\( h(x)=2 x^{3}-1 \\)</li></ol><p>\\( 4 \\).", "다음을 증명하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\triangle A B C \\)의 면적 \\( S=\\frac{1}{2} b c \\sin A \\)</li><li>\\( \\frac{a}{\\sin A}=\\frac{b}{\\sin B}=\\frac{c}{\\sin C} \\)</li><li>\\( \\sin \\left(\\frac{\\pi}{2}-\\alpha\\right)=\\cos \\alpha \\)</li><li>\\( \\frac{\\cos \\theta \\sec \\theta}{1+\\tan ^{2} \\theta}=\\cos ^{2} \\theta \\)</li><li>\\( \\tan \\frac{\\theta}{2}=\\frac{\\sin \\theta}{1+\\cos \\theta} \\)</li><li>\\( \\cos \\left(\\frac{\\pi}{3}+\\theta\\right)+\\cos \\left(\\frac{\\pi}{3}-\\theta\\right)=\\cos \\theta \\)</li></ol><h1>3. 역함수</h1><p>지금까지 설명한 모든 함수들은 독립변수가 하나인 일변수함수에 대해서만 언급하였다.", "여기서는 이러한 여러가지 형태의 일변수함수들의 그래프를 좌표평면에 그려보도록 하자.", "또, 여기서 가장 중요한 부분인 다양한 함수들 의 역함수의 개념과 성질을 소개한다.", "</p><p>일변수함수 집합 \\( R \\)에서 집합 \\( R \\)로의 함수 \\( f \\)에서 각 실수 \\( x \\in R \\)에 대하여 \\( x \\)의 \\( f \\)에 의한 함숫값을 \\( y \\)로 나타내면 \\( y=f(x) \\)가 된다.", "이때, \\( x \\)가 \\( R \\)의 모든 원소를 택하면서 변하면 이 \\( x \\)값에 따라 \\( y \\)의 값이 변한다.", "이러한 의미에서 \\( x \\)를 독립변수(independent variable)라 하고 \\( y \\)를 \\( f \\)의 종속변수(dependent variable)라 하며, \\( f \\)를 한 개의 독립변수 \\( x \\)를 가진 일변수함수(one variable function)라고 한다.", "이 함수를 간단히 함수 \\( f(x) \\)또는 함수 \\( y=f(x) \\)와 같이 나타낸다.", "앞에서 언급한 함수들은 이러한 의미에서 일변수함수라 할 수 있다.", "</p><p>보기 \\( 1 \\) 앞의 '\\( 2 \\). 함수의 분류'의 보기 \\( 1,2 \\) 에 열거한 함수들은 모두 일변수함수이다.", "</p><p>함수의 그래프 방정식이나 부등식에서 그래프를 정의한 것과 마찬가지로 함수에 있어서도 그래프의 개념을 생각할 수 있다. 함수 \\( f: X \\rightarrow Y(X, Y \\subset R) \\)에 대하여 집합 \\[ G_{f}=\\{(x, f(x)) \\mid x \\in X\\} \\] 가 주어진다. 이 집합 \\( G_{f} \\)를 함수 \\( f \\)의 그래프(graph)라 한다. 그래프를 나타내는 집합 \\( G_{f} \\)는 곱집합 \\( X \\times Y \\)의 부분집합임을 알 수 있다. 일변수함수의 모든 그래프는 반드시 존재하며 그릴 수만 있다면 좌표평면에 나타낼 수가 있다. 그러나 실제로는 그릴 수도 없고 상상하기 곤란한 경우의 함수도 있다. 이를테면 디리클레의 함수는 비록 그릴 수는 있지만 하나의 곡선으로 연결되지 않는다. 또, \\[ \\operatorname{sgn} x=\\left\\{\\begin{aligned} 1, & x>", "0 \\\\ 0, & x=0 \\\\ -1, & x<0 \\end{aligned}\\right. \\]", "으로 정의되는 함수 \\( y=\\operatorname{sgn} x \\)의 그래프는 그림 \\( 1-13 \\)과 같이 서로 떨어져 있는 경우도 있음을 알아 두어야 한다.", "</p><p>예제 \\( 1 \\) 다음 함수의 그래프를 그려라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=|x| \\)</li><li>\\( y=[x] \\), ([ ]는 가우스 기호임)</li><li>\\( y=x-[x] \\)</li><li>\\( y=x+\\frac{1}{x} \\)</li></ol><p>역함수 \\( f \\)가 집합 \\( X \\)에서 집합 \\( Y \\)로의 전단사함수(\\( 1 \\)대\\( 1 \\)대응)일 때, 그의 역대응 \\( g: Y \\rightarrow X \\)를 \\( f \\)의 역함수(inverse function)라 하고 \\( g \\equiv f^{-1} \\)로 나타낸다.", "이때, \\( f(x)=y \\)이면 \\( f^{-1}(y)=x \\)가 되고 보통 \\( x \\)와 \\( y \\)를 교환한 \\( y=f^{-1}(x) \\)를 생각하여 원함수 \\( f(x) \\)의 역함수로 취급한다. \\", "( y=f(x) \\) 와 \\( x=f^{-1}(y) \\)가 동일하나 \\( y=f(x) \\)와 \\( y=f^{-1}(x) \\)는 직선 \\( y=x \\)에 관하여 대칭이 된다.", "모든 함수의 역함수가 반드시 존재하는 것은 아니다.", "이때에는 정의역과 공변역을 적당히 제한하여 주어진 함수가 전단사함수가 되게 하고 나서 역함수를 구하면 된다.", "역함수를 구하는 방법은 먼저 주어진 함수를 \\( x \\)에 관하여 정리한 다음 \\( x \\)와 \\( y \\)를 교환하면 된다.", "그러면 자연스럽게 역함수의 정의역은 원함수의 치역이 되고 역함수의 치역은 원함수의 정의역이 된다.", "</p><p>보기 \\( 2 \\) \\( f(x)=x^{2}(x \\geqq 0) \\)의 역함수를 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( f \\)는 \\( x \\geqq 0 \\)에서 전단사함수이므로 \\( f^{-1} \\)가 존재한다.", "따라서 \\[ y=x^{2} \\Leftrightarrow x=\\pm \\sqrt{y} . \\] \\", "( x \\geqq 0 \\)이므로 \\( x=\\sqrt{y} \\)이고 \\( x \\)와 \\( y \\)를 교환하면 \\[ y=\\sqrt{x} . \\]", "즉, \\( f^{-1}(x)=\\sqrt{x} \\)가 되고 원함수 \\( f \\)의 치역이 \\( f^{-1} \\)의 정의역이 된다.", "</p><p>정리 \\( 1-1-1 \\) \\( f \\)가 \\( X \\)에서 \\( Y \\)로의 전단사함수일 때, 다음 성질들이 성립한다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\left(f^{-1}\\right)^{-1}=f \\)</li><li>\\( f^{-1}(f(x))=x, x \\in X \\)</li><li>\\( f\\left(f^{-1}(y)\\right)=y, y \\in Y \\)</li></ol><p>증명</p><ol type=1 start=1><li>\\( f \\)의 치역은 \\( f^{-1} \\)의 정의역이고 \\( f \\)의 정의역은 \\( f^{-1} \\)의 치역이므로 \\[ f^{-1}(y)=x \\Leftrightarrow f(x)=y \\] 이다.", "따라서 \\( f \\)는 \\( f^{-1} \\)의 역함수이다.", "</li><li>\\( f(x)=y \\)이므로 \\( f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y)=x \\)이다.", "</li><li>\\( f^{-1}(y)=x \\)이므로 \\( f\\left(f^{-1}(y)\\right)=f(x)=y \\)이다.", "</li></ol><p>역함수들 중에서 역삼각함수와 역쌍곡선함수가 많이 활용되므로 여기에서 소개한다.", "</p><p>역삼각함수 앞에서 언급한 삼각함수들은 모두가 전단사함수가 아니기 때문에 사실 역함수가 존재하지 않는다.", "그러나 정의역과 공변역을 적당히 제한하면 그의 역함수를 생각할 수 있다.", "먼저, \\( y=\\sin x \\)는 \\( R \\)에서 \\( R \\)로의 삼각함수 중의 하나이다.", "이 함수의 정의역을 \\( \\left[-\\frac{\\pi}{2}, \\frac{\\pi}{2}\\right] \\), 공변역을 \\( [-1,1] \\)로 제한하면 \\( y=\\sin x \\)는 전단사함수가 되기 때문에 그의 역함수가 존재한다.", "이 역함수를 \\( y=\\sin ^{-1} x \\)또는 \\( y=\\arcsin x \\)로 나타내기로 한다.", "이때, \\( y=\\sin ^{-1} x \\)의 치역 \\( \\left[-\\frac{\\pi}{2}, \\frac{\\pi}{2}\\right] \\)를 주치(principle value)라고 한다.", "즉, \\( -\\frac{\\pi}{2} \\leqq \\sin ^{-1} x \\leqq \\frac{\\pi}{2} \\)이다(그림 \\( 1-16 \\) 참조).", "같은 방법으로 다른 삼각함수들의 역삼각함수를 구할 수 있다.", "</p><p>역삼각함수의 주치 역삼각함수의 주치를 요약하면 다음과 같다.", "그래프는 부록 \\( 1 \\)을 참조하기 바란다. \\", "[ \\begin{array}{l} y=\\sin ^{-1} x \\quad\\left(-\\frac{\\pi}{2} \\leqq y \\leqq \\frac{\\pi}{2},-1 \\leqq x \\leqq 1\\right) \\\\ y=\\cos ^{-1} x \\quad(0 \\leqq y \\leqq \\pi,-1 \\leqq x \\leqq 1) \\\\ y=\\tan ^{-1} x \\quad\\left(-\\frac{\\pi}{2}<y<\\frac{\\pi}{2},-\\infty<x<\\infty\\right) \\\\ y=\\csc ^{-1} x \\quad\\left(-\\frac{\\pi}{2} \\leqq y \\leqq \\frac{\\pi}{2},|x| \\geqq 1\\right) \\\\ y=\\sec ^{-1} x \\quad(0 \\leqq y \\leqq \\pi,|x| \\geqq 1) \\\\ y=\\cot ^{-1} x \\quad(0 \\leqq y \\leqq \\pi,-\\infty<x<\\infty) \\end{array} \\]</p><p>참고 보통 역삼각함수에서는 그 주치만을 생각한다.", "</p> <p>호의 길이와 면적 반지름의 길이가 \\( r \\), 중심각의 크기가 \\( \\theta \\)(라디안)인 부채꼴의 호의 길이를 \\( l \\), 면적을 \\( S \\)라 하면 호의 길이는 중심각의 크기에 비례하므로 \\( l: \\theta=2 \\pi r: 2 \\pi \\)에서 호의 길이는 \\[ l=r \\theta \\] 에 의해 구한다.", "또, 부채꼴의 면적도 중심각에 비례하므로 \\( S: \\theta=\\pi r^{2}: 2 \\pi \\)로부터 \\[ S=\\frac{1}{2} r^{2} \\theta \\] 에 의해 구할 수 있다.", "</p><p>예제 \\( 2 \\) 다음 각들 중 \\( 60 \\)분각은 라디안 각으로, 라디안 각은 \\( 60 \\)분각으로 나타내어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 36^{\\circ} \\)</li><li>\\( \\frac{73}{90} \\pi \\)</li><li>\\( 3 \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>반지름이 \\( r \\)인 부채꼴에서 \\( 36^{\\circ} \\)에 해당되는 호의 길이 \\( s \\)는 \\[ s=\\pi r \\times \\frac{36^{\\circ}}{180^{\\circ}}=\\frac{1}{5} \\pi r \\] 이다.", "이때 해당되는 라디안각을 \\( \\theta \\)라 하면, \\[ \\theta=\\frac{\\frac{\\pi r}{5}}{r}=\\frac{\\pi}{5} \\]</li><li>구하려는 \\( 60 \\)분각을 \\( \\theta \\)라 놓자. \\", "( \\pi \\)가 \\( 180^{\\circ} \\)이므로 비례식 \\( 180^{\\circ}: \\pi=\\theta: \\frac{73}{90} \\pi \\)에서 \\[ \\theta=\\frac{73}{90} \\pi \\times \\frac{180^{\\circ}}{\\pi}=146^{\\circ} \\]</li><li>(\\( 2 \\))와 같이 하면 \\[ \\theta=3 \\times \\frac{180^{\\circ}}{\\pi}=\\frac{540^{\\circ}}{\\pi} \\]</li></ol><p>예제 \\( 3 \\) 반지름의 길이가 \\( 3 \\mathrm{~cm} \\), 중심각의 크기가 \\( 150^{\\circ} \\)인 부채꼴의 호의 길이와 면적을 구하여라.", "</p><p>풀이 먼저 \\( 150^{\\circ} \\)를 라디안으로 표시하면 \\( \\frac{\\pi}{180^{\\circ}} \\times 150^{\\circ}=\\frac{5}{6} \\pi \\)(라디안)이므로 호의 길이 \\( l \\)은 \\[ l=3 \\times \\frac{5}{6} \\pi=\\frac{5}{2} \\pi(\\mathrm{cm}) \\] 이다.", "또, 이때 면적 \\( S=\\frac{1}{2} r^{2} \\theta \\)이므로 다음과 같다. \\", "[ S=\\frac{1}{2} \\times 3^{2} \\times \\frac{5}{6} \\pi=\\frac{15}{4} \\pi\\left(\\mathrm{cm}^{2}\\right) \\]</p><p>쌍곡선함수 다양한 함수들의 미적분을 원활히 하기 위해서는 지수식에 기초를 둔 쌍곡선 함수를 정의할 필요가 있다.", "즉, 쌍곡선 sine(hyperbolic sine), 쌍곡선 cosine(hyperbolic cosine), 쌍곡선 tangent(hyperbolic tangent), 쌍곡선 cosecant, 쌍곡선 secant, 쌍곡선 cotangent를 다음과 같이 정의한다. \\", "[ \\begin{array}{ll} \\sinh x=\\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} & \\cosh x=\\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \\\\ \\tanh x=\\frac{\\sinh x}{\\cosh x}=\\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} \\quad \\operatorname{csch} x=\\frac{1}{\\sinh x}=\\frac{2}{e^{x}-e^{-x}} \\\\ \\operatorname{sech} x=\\frac{1}{\\cosh x}=\\frac{2}{e^{x}+e^{-x}} \\quad \\operatorname{coth} x=\\frac{1}{\\tanh x}=\\frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}} \\end{array} \\] 이 함수들의 정의역은 분모를 \\( 0 \\)이 되게 하는 \\( x \\)값을 제외한 실수이고 다음과 같은 관계식이 성립한다.", "다음 예제를 통해 증명해 보고 나머지는 연습문제로 남겨둔다.", "</p><ul><li>\\( \\cosh ^{2} x-\\sinh ^{2} x=1 \\quad \\)</li><li>\\(1-\\tanh ^{2} x=\\operatorname{sech}^{2} x \\quad \\)</li><li>\\( \\operatorname{coth}^{2} x-1=\\operatorname{csch}^{2} x \\)</li><li>\\( \\sinh (x \\pm y)=\\sinh x \\cosh y \\pm \\cosh x \\sinh y \\)</li><li>\\( \\cosh (x \\pm y)=\\cosh x \\cosh y \\pm \\sinh x \\sinh y \\)</li><li>\\( \\tanh (x \\pm y)=\\frac{\\tanh x \\pm \\tanh y}{1 \\pm \\tanh x \\tanh y} \\)</li></ul><p>예제 \\( 4 \\) 다음 관계식을 증명하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\cosh ^{2} x-\\sinh ^{2} x=1 \\)</li><li>\\( \\sinh (x \\pm y)=\\sinh x \\cosh y \\pm \\cosh x \\sinh y \\)</li></ol><p>증명</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\begin{aligned} \\cosh ^{2} x-\\sinh ^{2} x &=\\left(\\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\\right)^{2}-\\left(\\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\\right)^{2} \\\\ &=\\frac{e^{2 x}+2+e^{-2 x}}{4}-\\frac{e^{2 x}-2+e^{-2 x}}{4}=1 \\end{aligned} \\)</li><li>\\( \\sinh x \\cosh y+\\cosh x \\sinh y \\) \\[ \\begin{array}{l} =\\left(\\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\\right)\\left(\\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}\\right)+\\left(\\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\\right)\\left(\\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}\\right) \\\\ =\\frac{e^{x+y}+e^{x-y}-e^{-x+y}-e^{-x-y}}{4}+\\frac{e^{x+y}-e^{x-y}+e^{-x+y}-e^{-x-y}}{4} \\\\ =\\frac{2 e^{x+y}-2 e^{-x-y}}{4}=\\frac{2\\left(e^{x+y}-e^{-(x+y)}\\right)}{4}=\\frac{e^{x+y}-e^{-(x+y)}}{2} \\\\ =\\sinh (x+y) \\end{array} \\]</li></ol><p>부호가 음일 때도 위와 같이 증명하면 쉽게 증명할 수 있으므로 생략한다.", "</p><p>단사·전사함수 \\( f \\)가 집합 \\( X \\)에서 집합 \\( Y \\)로의 함수일 때, 임의의 \\( x_{1}, x_{2} \\in X \\)에 대하여 \\( x_{1} \\neq x_{2} \\)이면 \\( f\\left(x_{1}\\right) \\neq f\\left(x_{2}\\right) \\)를 만족하는 함수 \\( f \\)를 집합 \\( X \\)에서 집합 \\( Y \\)로의 단사함수(injective function) 또는 \\( 1 \\)대\\( 1 \\)함수(one to one function)라 한다.", "또, 임의의 \\( y \\in Y \\)에 대하여 \\( f(x)=y \\)인 \\( x \\)가 \\( X \\)안에 적어도 하나 이상 존재할 때, \\( f \\)를 집합 \\( X \\)에서 집합 \\( Y \\)로의 전사함수(surjective function)라 한다.", "즉, \\( f(X)=Y \\)인 함수를 말한다.", "</p><p>전단사·항등함수 함수 \\( f \\)가 전사이면서 단사일 때, \\( f \\)를 전단사함수(bijective function) 또는 \\( 1 \\)대\\( 1 \\)대응(one to one correspondence)이라 한다. \\", "( f \\)가 집합 \\( X \\)에서 집합 \\( X \\)로의 함수일 때, 임의의 \\( x \\in X \\)에 대하여 \\( f(x)=x \\)를 만족하는 함수 \\( f \\)를 집합 \\( X \\)에서 집합 \\( X \\)로의 항등함수(identity function)라 하고 \\( f \\equiv I_{X} \\)로 나타낸다.", "일반적으로 항등함수는 모두 전단사함수가 되지만 전단사함수라고 해서 항등함수가 되는 것은 아니다.", "한편, 내용상 분류한 위의 함수들은 정의역과 공변역을 어떻게 제한하느냐에 따라 성격이 다른 함수가 될 수도 있다.", "</p><p>예제 \\( 5 \\) 다음 함수들은 내용상 어떤 함수인가?", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f: R \\rightarrow R, f(x)=2 x+1 \\)</li><li>\\( g: R \\rightarrow[0, \\infty), g(x)=x^{2} \\)</li><li>\\( h: R \\rightarrow R, h(x)=x \\)</li><li>\\( p: R^{+} \\rightarrow R, p(x)=\\log x \\)</li><li>\\( \\exp : R \\rightarrow R, \\exp (x)=e^{x} \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>임의의 \\( x_{1}, x_{2} \\in R \\)에 대하여 \\( f\\left(x_{1}\\right)=f\\left(x_{2}\\right) \\)이면, \\( 2 x_{1}+1=2 x_{2}+1 \\)이 되어 정리하면 \\( x_{1}=x_{2} \\)이므로 함수 \\( f \\)는 단사함수이다.", "또, \\( f(R)=R \\)이므로 함수 \\( f \\)는 전사함수도 된다.", "그러므로 함수 \\( f \\)는 전단사함수이다.", "</li><li>임의의 \\( x_{1}, x_{2} \\in R \\)에 대하여 \\( f\\left(x_{1}\\right)=f\\left(x_{2}\\right) \\)이면, \\( x_{1}^{2}=x_{2}^{2} \\)이 되어 정리하면 \\( x_{1}=\\pm x_{2} \\)이므로 함수 \\( f \\)는 단사함수가 될 수 없다.", "그러나 \\( f(R)=\\{y \\mid y \\geqq 0\\} \\)이므로 치역과 공변역이 같다.", "따라서 함수 \\( f \\)는 전사함수이다.", "</li><li>항등함수</li><li>임의의 \\( x_{1}, x_{2} \\in R^{+} \\)에 대하여 \\( p\\left(x_{1}\\right)=p\\left(x_{2}\\right) \\)이면, \\( \\log x_{1}=\\log x_{2} \\)가 되어 정리하면 \\( x_{1}=x_{2} \\)이므로 함수 \\( f \\)는 단사함수이다.", "또, \\( f\\left(R^{+}\\right)=R \\)이므로 함수 \\( f \\)는 전사함수도 된다.", "그러므로 함수 \\( f \\) 는 전단사함수이다.", "</li><li>임의의 \\( x_{1}, x_{2} \\in R \\)에 대하여 \\( f\\left(x_{1}\\right)=f\\left(x_{2}\\right) \\)이면, \\( e_{1}^{x}=e_{2}^{x} \\)이고 양변을 \\( e_{2}^{x} \\)으로 나누면 \\( e^{x_{1}-x_{2}}=1 \\)이 되어 정리하면 \\( x_{1}=x_{2} \\)이므로 함수 \\( f \\)는 단사함수이다. 그러나 \\( f(R)=\\{y \\mid y>", "0\\} \\subset R \\)이므로 함수 \\( f \\)는 전사함수는 될 수 없다.", "그러므로 함수 \\( f \\)는 단사함수이다.", "</li></ol> <h2>2. 함수의 연속</h2><p>우리가 살아가고 있는 이 세계에는 모든 것들이 끊임없이 움직이고 변화하고 있다.", "이런 움직임, 즉 운동 중에는 상당히 많은 부분은 규칙성을 띠고 있다.", "이런 규칙성은 수학적인 연구의 대상이 될 수 있는 또는 적어도 그래야만 하는 종류의 규칙적인 양식을 보여준다.", "미적분학의 기본적인 대상은 함수이다.", "함수는 규칙적인 양식을 표현하는 언어로서 좌표평면에 시각적으로 나타낼 수가 있다.", "이러한 함수들의 연속성에 대한 개념을 소개한다.", "</p><p>함수의 연속 함수 \\( y=f(x) \\)가 다음 세 조건을 만족할 때, 함수 \\( f(x) \\)는 \\( x=a \\)에서 연속(continuous)이라고 한다.", "즉,</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x) \\) 가 존재</li><li>\\( f(a) \\) 가 존재</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=f(a) \\)</li></ol><p>이들 중 하나라도 만족하지 않으면 함수 \\( f(x) \\)는 \\( x=a \\)에서 불연속(discontinuous)이라고 한다.", "연속의 정의는 \\( \\varepsilon-\\delta \\)방법으로 정의하면 임의의 양수 \\( \\varepsilon \\)에 대하여 적당한 양수 \\( \\delta \\)를 취하면 \\( |x-a|<\\delta \\)와 같이 되는 모든 \\( x \\)에 대하여 \\( |f(x)-f(a)|<\\varepsilon \\)가 성립할 때 \\( f(x) \\)는 \\( x=a \\)에서 연속이라 한다.", "즉, \\[ \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=f(a) \\text { (유한 확정값) } \\]</p><p>참고 \\( y=f(x) \\)가 \\( x=a \\)에서 연속, 곧 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=f(a) \\)(단, \\( f(a) \\) 는 유한 확정값)는 다음과 같이 말할 수도 있다. \\", "[ \\lim _{h \\rightarrow 0} f(a+h)=f(a) \\] 또는 \\[ \\lim _{h \\rightarrow 0}\\{f(a+h)-f(a)\\}=0 \\] 일 때 \\( f(x) \\)는 \\( x=a \\)에서 연속이라고 한다. \\", "( f(x) \\)의 한 정의역 내의 모든 값에 대하여 \\( f(x) \\)가 연속일 때는 \\( f(x) \\)는 이 정의역 안에서 연속이라고 한다.", "또 단지 \\[ \\lim _{x \\rightarrow a+0} f(x)=f(a) \\] 이면 \\( f(x) \\)는 \\( a \\)에서 우방연속이라고 하며, 또 \\[ \\lim _{x \\rightarrow a-0} f(x)=f(a) \\] 이면 \\( f(x) \\)는 \\( a \\)에서 좌방연속이라고 한다. \\", "( f(x) \\)의 극한값이 (\\( 1 \\)) 무한대일 때, (\\( 2 \\)) 부정일 때, (\\( 3 \\)) \\( f(a) \\)가 유한확정값을 가져도 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x) \\neq f(a) \\) 일 때, (\\( 4 \\)) \\( f(a) \\)가 존재하지 않을 때의 모든 경우는 \\( f(x) \\)가 \\( x=a \\)에서 불연속(discontinuous)이라고 한다.", "예컨대 \\( \\frac{1}{x-1} \\)은 \\( x=1 \\)에서 불연속이다.", "지금까지 설명한 내용을 그림 \\( 1-21 \\)을 참고하면서 이해하기 바란다.", "</p><p>예제 \\( 1 \\) \\(f(x)=\\frac{x^{2}-4}{x-2}(x \\neq 2) \\)라 하자. \\", "( f(x) \\)를 \\( x=2 \\)에서 정의하여 연속이 되려면 \\( f(2) \\)를 어떻게 정의하여야 될까?", "</p><p>풀이 \\( \\quad \\lim _{x \\rightarrow 2} \\frac{x^{2}-4}{x-2}=\\lim _{x \\rightarrow 2} \\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=\\lim _{x \\rightarrow 2}(x+2)=4 \\) 따라서 \\( f(2)=4 \\)로 정의하면 된다.", "</p><p>예제 \\( 2 \\) \\( f(x)=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{x^{n+1}}{1+x^{n}} \\)일 때 \\( y=f(x) \\)의 그래프를 그리고 연속성을 판별하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( |x|>1 ; f(x)=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{x}{\\frac{1}{x^{n}}+1}=x \\)</li><li>\\( |x|<1 ; f(x)=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{x^{n+1}}{1+x^{n}}=0 \\)</li><li>\\( x=1 ; f(x)=\\frac{1}{2} \\)</li><li>\\( x=-1 ; f(x) \\)는 존재하지 않음", "</li></ol><p>따라서 \\( x=1,-1 \\)에서 불연속이다.", "</p><p>연속성에 관한 정리 함수의 연속성에 관한 정리는 다음과 같은 몇 가지 성질들이 있다.", "</p><p>정리 \\( 1-2-5 \\) \\( f(x) \\)가 \\( x=a \\)에서 연속이고, \\( f(a)>0 \\)이면 \\( a \\)의 근방에서 \\( f(x)>0 \\)이다. 즉, \\( x \\in(a-\\delta \\), \\( a+\\delta) \\)이면 \\( f(x)>", "0 \\)인 양수 \\( \\delta \\)가 존재한다.", "</p><p>증명 \\( f(x) \\)는 \\( x=a \\)에서 연속이므로 \\( \\varepsilon=\\frac{f(a)}{2}>0 \\)에 대하여, 적당한 양수 \\( \\delta \\)를 택하여 \\( |x-a|<\\delta \\) 이면 \\( |f(x)-f(a)|<\\frac{f(a)}{2} \\)가 되게 할 수 있다.", "즉, \\[ f(a)-\\frac{f(a)}{2}<f(x)<f(a)+\\frac{f(a)}{2} \\] 따라서 \\[ 0<\\frac{f(a)}{2}<f(x) \\]</p><p>마찬가지 방법으로 다음 정리도 증명된다.", "</p><p>정리 \\( 1-2-6 \\) \\( f(x) \\)가 \\( x=a \\)에서 연속이고, \\( f(a)<0 \\)이면 \\( a \\)의 근방에서 \\( f(x)<0 \\)이다.", "즉 \\( x \\in(a-\\delta \\), \\( a+\\delta) \\)이면 \\( f(x)<0 \\)인 양수 \\( \\delta \\)가 존재한다.", "</p><p>정리 \\( 1-2-7 \\) \\( x=a \\)에서 두 함수 \\( f(x), g(x) \\)가 모두 연속일 때 다음 함수는 모두 \\( x=a \\)에서 연속이다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x) \\pm g(x) \\)</li><li>\\( f(x) \\cdot g(x) \\)</li><li>\\( \\frac{f(x)}{g(x)}(g(a) \\neq 0) \\)</li></ol><p>증명 (\\( 1 \\)) \\( f(x), g(x) \\)는 \\( x=a \\)에서 연속이므로 \\[ \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=f(a), \\quad \\lim _{x \\rightarrow a} g(x)=g(a) \\] 이다.", "또한 극한의 성질에 의하여 \\[ \\lim _{x \\rightarrow a}\\{f(x) \\pm g(x)\\}=f(a) \\pm g(a) \\] 가 되어 연속의 정의에 의하여 \\( f(x) \\pm g(x) \\)는 \\( x=a \\)에서 연속이다.", "(\\( 2 \\)), (\\( 3 \\))도 마찬가지로 증명된다.", "</p><p>정리 \\( 1-2-8 \\) 함수 \\( u=g(x) \\)가 \\( x=a \\)에서 연속이고 함수 \\( f(u) \\)가 \\( u=g(a) \\)에서 연속이면 합성함수 \\( f(g(x)) \\)도 \\( x=a \\)에서 연속이다.", "</p><p>\\[ |x-a|<\\delta \\Rightarrow|g(x)-g(a)|<\\varepsilon \\] 인 양수 \\( \\delta \\)가 존재한다.", "따라서 \\( \\varepsilon^{*}=\\delta^{*} \\)로 잡으면 임의의 양수 \\( \\varepsilon \\)에 대하여 \\[ |x-a|<\\delta \\Rightarrow|g(x)-g(a)|<\\varepsilon^{*}=\\delta^{*} \\Rightarrow|f(g(x))-f(g(a))|<\\varepsilon \\] 인 양수 \\( \\delta \\)가 존재한다.", "따라서 함수 \\( f(g(x)) \\)는 \\( x=a \\)에서 연속이다.", "</p><p>정리 \\( 1-2-8 \\)을 이용하면 바로 다음 정리가 증명된다.", "</p><p>정리 \\( 1-2-9 \\) 연속함수의 합성함수는 또한 연속함수이다.", "</p><p>예제 \\( 3 \\) \\( h(x)=\\left|x^{2}-2 x+3\\right| \\)은 모든 실수점에서 연속임을 보여라.", "</p><p>풀이 \\( h(x)=|x|, g(x)=x^{2}-2 x+3 \\)이라고 하면 \\( f(x), g(x) \\)모두 모든 실수점에서 연속이다.", "따라서 정리 \\( 1-2-9 \\)에 의하여 \\[ h(x)=f(g(x))=\\left|x^{2}-2 x+3\\right| \\] 도 모든 실수점에서 연속이다.", "</p><p>구간에서의 연속성 지금까지는 어떤 점에서의 연속성에 대해 논의하였다.", "이제 한 구간에서의 연속성에 대해서 논하여 보자.", "구간에서의 연속성이란 구간의 각 점에서 연속인 것을 의미한다.", "이 경우 개구간 \\( (a, b) \\)를 구간으로 택한다.", "함수 \\( y=f(x) \\)가 구간 \\( [a, b] \\)에서 연속이라 함은 \\( y=f(x) \\)가 구간 \\( (a, b) \\)에서 연속이고 \\[ \\lim _{x \\rightarrow a^{+}} f(x)=f(a), \\quad \\lim _{x \\rightarrow b^{-}} f(x)=f(b) \\] 일 때를 의미한다.", "(여기서 \\( f(x) \\)를 각각 \\( a \\)에서 우연속, \\( b \\)에서 좌연속이라 한다.)", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "미분적분학_함수와 극한", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-01f0-4b93-b2eb-ec7d55819bef", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160733563", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2020", "doc_author": [ "양정모" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>확인 문제를 풀어봅시다!", "</p><p>확인 \\(9-1\\) 다음을 만족하는 \\( x \\) 의 범위를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( x+3>2 \\)</li><li>\\( x-3 \\leq 2 \\)</li></ol><p>확인 \\(9-2\\) \\( 6<x<18 \\) 일 때 다음의 범위를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 2 x \\)</li><li>\\( -3 x \\)</li></ol><p>확인 \\(9-3\\) 다음을 풀어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>부등식 \\( -x \\geq 4 \\) 을 풀고 그 해를 수직선 위에 나타내어라.", "</li><li>\\( x-2<3 x-4 \\) 를 풀고 그 해를 수직선 위에 나타내어라.", "</li></ol><p>확인 \\(9-4\\) 다음 일차부등식을 풀어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( -3 x+2 \\geq 4 \\)</li><li>\\( 2 x+2<2 x+4-(x+2) \\)</li></ol><p>확인 \\(9-5\\) 다음 이차부등식을 풀어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( (x-2)(x+3) \\leq 0 \\)</li><li>\\( -(x-1)(x-2)<0 \\)</li></ol><p>확인 \\(9-6\\) 다음 이차부등식을 풀어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( (x-3)^{2} \\geq 0 \\)</li><li>\\( (x+2)^{2}<0 \\)</li><li>\\( x^{2}+x+1>0 \\)</li><li>\\( -x^{2}+2 x-3 \\geq 0 \\)</li></ol><p>확인 \\(9-7\\) 다음 연립부등식을 풀어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\left\\{\\begin{array}{l}2 x-2<4 \\\\ x+2 \\geq 1\\end{array}\\right. \\)", "</li><li>\\( -6 x-4<x+3 \\leq 8-4 x \\)</li></ol><p>확인 \\(9-8\\) 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( x>0 \\) 일 때 \\( x+\\frac{4}{x} \\) 의 최솟값을 구하여라.", "</li><li>\\( x^{2}+y^{2}=1 \\) 일 때 \\( 3 x+4 y \\) 의 범위를 구하여라.", "</li></ol><p>계산기 활용 문제</p><p>문제 \\(9-1\\) 다음 일차부등식을 풀어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 2 x+1>3 x+2 \\)</li><li>\\( 2 x-4 \\leq 3(x-2) \\)</li><li>\\( \\frac{1}{2} x-5<\\frac{1}{5}(2 x-3) \\)</li><li>\\( \\frac{x+1}{5}-\\frac{x-1}{3} \\geq 1 \\)</li></ol><p>문제 \\(9-2\\) 다음 일차부등식을 풀어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 5(h-2)-3(2 h+4)+15 \\geq 0 \\)</li><li>\\( \\frac{2 y}{5}+\\frac{3}{4}+5>\\frac{1}{20}-\\frac{3 y}{2} \\)</li><li>\\( 2.6 x-1.5 \\leq 0.8 x+1.4 \\)</li><li>\\( 0.948 \\alpha<0.15+(0.8) \\alpha \\)</li></ol><p>문제 \\(9-3\\) \\( 3 x+5 y-28 \\geq 0 \\) 에서 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( x \\) 의 값이 5 일 때, \\( y \\) 의 범위</li><li>\\( x \\) 의 값이 25 일 때, \\( y \\) 의 범위</li><li>\\( x \\) 의 값이 50 일 때, \\( y \\) 의 범위</li></ol><p>문제 \\(9-4\\) 다음 이차부등식을 풀어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 3 x^{2}-4>0 \\)</li><li>\\( x^{2}+2 x-8<0 \\)</li><li>\\( 3 x^{2}-11 x-4 \\leq 0 \\)</li></ol><p>문제 \\(9-5\\) 다음 이차부등식을 풀어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( x^{2}+2 x-8 \\geq 0 \\)</li><li>\\( x^{2}-x-1<0 \\)</li><li>\\( x^{2}+2.1 x-4.5>0 \\)</li></ol><p>문제 \\(9-6\\) 다음 이차부등식을 풀어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( r^{2}+0.82 r-\\frac{1}{\\pi}<0 \\)</li><li>\\( 9.50 \\geq 8 t+4 t^{2} \\)</li></ol><p>문제 \\(9-7\\) 다음 이차부등식을 풀어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( x^{2}-2 x+2<0 \\)</li><li>\\( -x^{2}+2 x-3 \\leq 0 \\)</li><li>\\( 0.7 x^{2}-1.4 x+2.8 \\leq 0 \\)</li><li>\\( \\sqrt{5} x^{2}-\\sqrt{3} x+\\sqrt{7}<0 \\)</li></ol><p>문제 \\(9-8\\) 다음 연립부등식을 풀어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\left\\{\\begin{array}{l}3.99 x-2.88 \\leq 4.42 \\\\ 5.23 x+2.92>4.29\\end{array}\\right. \\)", "</li><li>\\( -4.23 x-2.83<1.3 x+2.93 \\leq 55.23-5.23 x \\)</li></ol><p>문제 \\(9-9\\) 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( x>0 \\) 일 때 \\( 3.8 x+\\frac{4.5}{x} \\) 의 최솟값을 구하여라.", "</li><li>\\( x^{2}+y^{2}=1 \\) 일 때 \\( 7 \\sqrt{2} x+4 \\sqrt{5} y \\) 의 범위를 구하여라", "</li></ol>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "411", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "대학기초수학_부등식", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-1d61-441c-9fba-f700a3c085f1", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160730524", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2017", "doc_author": [ "전춘배" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>정의 \\( 5.35 \\) 곡선의 길이(arc length) \\( f \\) 가 \\( [a, b] \\) 에서 연속인 도함수를 가지면 곡선 \\( y=f(x)(a \\leq x \\leq b) \\) 의 길이를 다음과 같이 정의한다. \\", "( L=\\int_{a}^{b} \\sqrt{1+\\left[f^{\\prime}(x)\\right]^{2}} d x \\)</p><p>예제 \\( 4.1 \\)</p><p>\\( f(x)=\\sqrt{1-x^{2}}, 0 \\leq x \\leq 1 \\) 로 주어지는 곡선의 길이를 구하여라.", "</p><p>풀이</p><p>\\( f(x)=\\sqrt{1-x^{2}}, 0 \\leq x \\leq 1 \\) 로 주어지는 곡선의 길이를 구하여라. \\", "( f^{\\prime}(x)=\\frac{-2 x}{2 \\sqrt{1-x^{2}}}=\\frac{-x}{\\sqrt{1-x^{2}}} \\) 이므로 \\( \\quad \\sqrt{1+\\left[f^{\\prime}(x)\\right]^{2}}=\\frac{1}{\\sqrt{1-x^{2}}} \\) 이다.", "따라서 \\( L=\\int_{0}^{1} \\frac{d x}{\\sqrt{1-x^{2}}}=\\left.\\sin ^{-1} x\\right|_{0} ^{1}=\\sin ^{-1} 1=\\frac{\\pi}{2} \\) 이다.", "실제로 이 곡선은 단위원의 \\( \\frac{1}{4} \\) 에 해당하므로 그 길이는 \\( \\frac{\\pi}{2} \\) 이다.", "</p><p>정의 \\( 5.35 \\)에서 \\( y=f(x) \\) 이면 \\( \\frac{d y}{d x}=f^{\\prime}(x) \\) 이므로 \\( \\sqrt{1+\\left[f^{\\prime}(x)\\right]^{2}} d x=\\sqrt{1+\\left(\\frac{d y}{d x}\\right)^{2}} d x=\\sqrt{d x^{2}+d y^{2}} \\) 로 나타내어 곡선의 길이를 다음과 같이 쓰기도 한다.", "</p><p>\\( L=\\int_{a}^{b} \\sqrt{d x^{2}+d y^{2}} \\)</p><p>곡선이 매개변수 \\( t \\) 의 함수로 다음과 같이 주어진다고 하자.", "</p><p>\\( t \\in[\\alpha, \\beta], \\quad x=x(t), \\quad y=y(t) \\)</p><p>그러면 \\( \\sqrt{d x^{2}+d y^{2}}=\\sqrt{\\left(\\frac{d x}{d t}\\right)^{2}+\\left(\\frac{d y}{d t}\\right)^{2}} d t \\) 이므로 곡선의 길이는 다음과 같이 된다.", "</p><p>\\( L=\\int_{\\alpha}^{\\beta} \\sqrt{\\left(\\frac{d x}{d t}\\right)^{2}+\\left(\\frac{d y}{d t}\\right)^{2}} d t \\)</p><p>예제 \\( 4.2 \\) ( \\( 1993. \\) 임용고사 )</p><p>곡선 \\( x=e^{-t} \\cos t, y=e^{-t} \\sin t(0 \\leq t \\leq \\theta) \\) 의 길이를 \\( L(\\theta) \\) 라고 할때, \\( \\lim _{\\theta \\rightarrow \\infty} L(\\theta) \\) 의 값을 구하여라.", "</p><p>풀이</p><p>\\( \\frac{d x}{d t}=-e^{-t} \\cos t-e^{-t} \\sin t \\) 이고 \\(\\frac{d y}{d t}=-e^{-t} \\sin t+e^{-t} \\cos t \\) 이므로 \\( \\left(\\frac{d x}{d t}\\right)^{2}+\\left(\\frac{d y}{d t}\\right)^{2}=2 e^{-2 t} \\) 이다.", "그러므로 곡선의 길이는 다음과 같다.", "</p><p>\\( L(\\theta)=\\int_{0}^{\\theta} \\sqrt{\\left(\\frac{d x}{d t}\\right)^{2}+\\left(\\frac{d y}{d t}\\right)^{2}} d t=\\sqrt{2} \\int_{0}^{\\theta} e^{-t} d t=\\sqrt{2}\\left(1-e^{-\\theta}\\right) \\)</p><p>따라서 \\( \\lim _{\\theta \\rightarrow \\infty} L(\\theta)=\\lim _{\\theta \\rightarrow \\infty} \\sqrt{2}\\left(1-e^{-\\theta}\\right)=\\sqrt{2} \\) 이다.", "</p> <p>정리 \\( 5.41 \\) (리만 판정법) 구간 \\( [a, b] \\) 에서 \\( a \\) 가 증가함수이고, \\( f \\) 가 유계함수라 하면 \\( f \\) 가 \\( [a, b] \\) 에서 \\( \\mathrm{a} \\) 에 관하여 리만-스틸체스 적분가능할 필요충분조건은 임의의 양수 \\( \\varepsilon \\) 에 대하여 다음을 만족하는 분할 \\( P \\) 가 존재하는 것이다. \\", "( U(f, P, a)-L(f, P, a)<\\varepsilon \\)</p><p>증명</p><p>보조정리 \\( 5.38 \\) 을 이용하고, 정리 \\( 5.8 \\) 의 증명에서 \\( d x \\) 를 \\( d a \\) 로 바꾸는 등 필요한 변경을 가하면 된다.", "</p><p>예제 \\( 5.4 \\) ( \\( 2007. \\) 임용고사)</p><p>구간 \\( [0,2] \\) 에서 정의된 두 함수 \\( f \\) 와 \\( \\mathrm{a} \\) 가 다음과 같을 때, \\( f \\) 는 \\( a \\) 에 관하여 리만스틸체스 적분가능함을 보이고, \\( \\int_{0}^{2} f d a \\) 의 값을 구하라.", "</p><p>\\( f(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}x, & 0 \\leq x<1 \\\\ 2 x, & 1 \\leq x \\leq 2,\\end{array} \\quad a(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}1, & 0 \\leq x \\leq 1 \\\\ 2, & 1<x \\leq 2\\end{array}\\right.\\right. \\)", "</p><p>풀이</p><p>\\( P=\\left\\{x_{0}=0, x_{1}, x_{2}=1, x_{3}, 2\\right\\} \\) 를 구간 \\( [0,2] \\) 의 분할이라 하자.", "이 분할에 대한 리만-스틸체스 하합과 상합은 다음과 같다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} L(f, P, a)=& m_{1}\\left(a\\left(x_{1}\\right)-a(0)\\right)+m_{2}\\left(a(1)-a\\left(x_{1}\\right)\\right) \\\\ &+m_{3}\\left(a\\left(x_{3}\\right)-a(1)\\right)+m_{1}\\left(a(2)-a\\left(x_{3}\\right)\\right) \\\\=& m_{1}(1-1)+m_{2}(1-1)+m_{3}(2-1)+m_{1}(2-2) \\\\=& m_{3} \\\\=& \\inf \\left\\{f(x) \\mid 1 \\leq x \\leq x_{3}\\right\\}=2, \\\\ U(f, P, a)=& M_{1}\\left(a\\left(x_{1}\\right)-a(0)\\right)+M_{2}\\left(a(1)-a\\left(x_{1}\\right)\\right) \\\\ &+M_{3}\\left(a\\left(x_{3}\\right)-a(1)\\right)+M_{4}\\left(a(2)-a\\left(x_{3}\\right)\\right) \\\\=& M_{3} \\\\=& \\sup \\left\\{f(x) \\mid 1 \\leq x \\leq x_{3}\\right\\}=2 x_{3} . \\end{aligned} \\)", "</p><p>따라서 다음 식을 얻는다.", "</p><p>\\( U(f, P, a)-L(f, P, a)=2\\left(x_{3}-1\\right) . \\)", "</p><p>이 식은 \\( 1\\left\\langle x_{3}<2\\right. \\) 인 모든 \\( x_{3} \\) 에 대하여 성립하므로 임의의 \\( \\varepsilon>", "0 \\) 에 대하여 \\( 1<x_{3}<1+\\min \\left\\{\\frac{\\varepsilon}{2}, 1\\right\\} \\) 인 \\( x_{3} \\) 을 택하면 \\( U(f, P, a)-L(f, P, a)<\\varepsilon \\) 이다.", "그러므로 정리 \\( 5.41 \\) (리만 판정법) 에 의하여 \\( f \\) 는 \\( a \\) 에 관하여 \\( [0,2] \\) 에서 리만-스틸체스 적분가능하다.", "그리고 \\( 2=L(f, P, a) \\leq \\underline{\\int_{0}^{2}} f d a=\\int_{0}^{2} f d a \\) 이다.", "</p><p>\\( \\int_{0}^{2} f d a=\\overline{\\int_{0}^{2}} f d a \\leq U(f, P, a)=2 x_{3}, 1<x_{3}<2 \\) 이므로 \\( \\int_{0}^{2} f d a \\leq \\inf \\left\\{2 x_{3} \\mid 1<x_{3}<2\\right\\}=2 \\) 이다.", "따라서 \\( \\int_{0}^{2} f d a=2 \\) 이다.", "</p><p>연속함수는 리만-스틸체스 적분가능하다.", "다음 정리는 정리 \\( 5.10 \\) 의 확장인데 정리 \\( 5.41 \\) 을 이용하여 증명할 수 있다.", "</p> <p>정리 \\( 5.8 \\) (리만 판정법) 구간 \\( [a, b] \\) 에서 유계인 함수 \\( f \\) 가 적분가능할 필요충분조건은 임의의 양수 \\( \\varepsilon \\) 에 대하여 다음을 만족하는 분할 \\( P \\) 가 존재하는 것이다. \\", "( U(f, P)-L(f, P)<\\varepsilon \\)</p><p>증명</p><p>(충분조건) 양수 \\( \\varepsilon \\) 이 임의로 주어졌다고 하고 \\( P \\) 가 \\( [a, b] \\) 의 분할로 \\( U(f, P)-L(f, P)<\\varepsilon \\) 를 만족한다고 하자.", "보조정리 \\( 5.3 \\), 보조정리 \\( 5.5 \\) 와 정의 \\( 5.6 \\) 으로부터 \\( L(f, P) \\leq \\underline{\\int_{a}^{b}} f(x) d x \\leq \\overline{\\int_{a}^{b}} f(x) d x \\leq U(f, P) . \\)", "</p><p>따라서 \\( 0 \\leq \\overline{\\int_{a}^{b}} f(x) d x-\\underline{\\int_{a}^{b}} f(x) d x \\leq U(f, P)-L(f, P)<\\varepsilon \\) 이다. 임의의 \\( \\varepsilon>", "0 \\) 에 대해서 \\( 0 \\leq \\overline{\\int_{a}^{b}} f(x) d x-\\underline{\\int_{a}^{b}} f(x) d x<\\varepsilon \\) 이므로 \\( 0 \\leq \\overline{\\int_{a}^{b}} f(x) d x-\\underline{\\int_{a}^{b}} f(x) d x \\)이다.", "그러므로 \\( f \\)는 \\( [a, b] \\) 에서 적분가능하다.", "</p><p>(필요조건) \\( f \\) 가 \\( [a, b] \\) 에서 적분가능하다고 가정하고 \\( \\varepsilon>0 \\) 이 임의로 주어졌다고 하자.", "최소상계(sup)의 정의에 의해서 다음을 만족하는 분할 \\( P_{1} \\) 이 존재한다.", "</p><p>\\( \\underline{\\int_{a}^{b}} f(x) d x-L\\left(f, P_{1}\\right)<\\frac{\\varepsilon}{2} \\)</p><p>마찬가지로 최대하계의 정의로부터 다음을 만족하는 분할 \\( P_{2} \\) 가 존재한다.", "</p><p>\\( U(f, P_2 ) - \\overline{\\int_{a}^{b}} f(x) d x<\\frac{\\varepsilon}{2} . \\)", "</p><p>\\( f \\) 가 \\( [a, b] \\) 에서 적분가능하므로 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( \\underline{\\int_{a}^{b}} f(x) d x=\\overline{\\int_{a}^{b}} f(x) d x=\\int_{a}^{b} f(x) d x . \\)", "</p><p>따라서 \\( \\int_{a}^{b} f(x) d x-L\\left(f, P_{1}\\right)<\\frac{\\varepsilon}{2}, U\\left(f, P_{2}\\right)-\\int_{a}^{b} f(x) d x<\\frac{\\varepsilon}{2} \\) 이 다.", "</p><p>여기서 \\( P=P_{1} \\cup P_{2} \\) 로 두면 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( L\\left(f, P_{1}\\right) \\leq L(f, P) \\leq \\int_{0}^{b} f(x) d x \\leq U(f, P) \\leq U\\left(f, P_{2}\\right) \\)</p><p>그러므로 다음 식을 얻는다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} U(f, P)-L(f, P) & \\leq U\\left(f, P_{2}\\right)-L\\left(f, P_{1}\\right) \\\\ &<\\left(\\int_{a}^{b} f(x) d x+\\frac{\\varepsilon}{2}\\right)-\\left(\\int_{a}^{b} f(x) d x-\\frac{\\varepsilon}{2}\\right)=\\varepsilon \\end{aligned} \\)</p> <p>정리 \\( 5.22 \\) 함수 \\( f \\) 가 구간 \\( [a, b] \\) 에서 적분가능하면, \\( f^{+} \\)와 \\( f^{-} \\)도 \\( [a, b] \\) 에서 적분가능하다.", "</p><p>증명</p><p>\\( f \\) 가 적분가능이므로 임의의 \\(\\varepsilon>0 \\) 에 대하여 \\( U(f, P)-L(f, P)<\\varepsilon \\) 인 \\( [a, b] \\) 의 분할 \\( P=\\left\\{x_{0}, x_{1}, \\cdots, x_{n}\\right\\} \\) 이 존재한다.", "</p><p>\\( M_{k}^{+}=\\sup _{x_{k-1} \\leq x \\leq x_{k}} f^{+}(x), m_{k}^{+}=\\inf _{x_{k-1} \\leq x \\leq x_{k}} f^{+}(x) \\) 로 두면, \\( M_{k}^{+}-m_{k}^{+} \\leq M_{k}-m_{k}(k=1,2, \\cdots, n) \\) 이다.", "그러므로 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} U\\left(f^{+}, P\\right)-L\\left(f^{+}, P\\right) &=\\sum_{k=1}^{n} M_{k}^{+} \\Delta x_{k}-\\sum_{k=1}^{n} m_{k}^{+} \\Delta x_{k}=\\sum_{k=1}^{n}\\left(M_{k}+-m_{k}^{+}\\right) \\Delta x_{k} \\\\ & \\leq \\sum_{k=1}^{n}\\left(M_{k}-m_{k}\\right) \\Delta x_{k}=\\sum_{k=1}^{n} M_{k} \\Delta x_{k}-\\sum_{k=1}^{n} m_{k} \\Delta x_{k} \\\\ &=U(f, P)-L(f, P)<\\varepsilon \\end{aligned} \\)</p><p>따라서 정리 \\( 5.8 \\) 에 의하여 \\( f^{+} \\)는 \\( [a, b] \\) 에서 적분가능하다.", "</p><p>\\( f^{-}=f^{+}-f \\) 이므로 따름정리 \\( 5.18 \\) 에 의하여 \\( f^{-} \\)도 \\( [a, b] \\) 에서 적분가능하다.", "</p><p>정리 \\( 5.23 \\) 함수 \\( f \\) 가 구간 \\( [a, b] \\) 에서 적분가능하면, \\( |f| \\) 도 \\( [a, b] \\) 에서 적분 가능하고 다음이 성립한다. \\", "( \\left|\\int_{a}^{b} f\\right| \\leq \\int_{a}^{b}|f| \\)</p><p>증명</p><p>\\( f \\) 가 \\( [a, b] \\) 에서 적분가능하면 정리 \\( 5.22 \\)에 의하여 \\( f^{+} \\)와 \\( f^{-} \\)도 \\( [a, b] \\) 에서 적분가능하므로 \\( |f|=f^{+}+f^{-} \\)도 적분가능하고 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( \\int_{a}^{b}|f|=\\int_{a}^{b} f^{+}+\\int_{a}^{b} f^{-} \\)</p><p>모든 \\( x \\in[a, b] \\) 에 대하여 \\( f^{+}(x) \\geq 0, f^{-}(x) \\geq 0 \\) 이므로 정리 \\( 5.20 \\) 에 의해서 \\( \\int_{a}^{b} f^{+} \\geq 0, \\quad \\int_{a}^{b} f^{-} \\geq 0 \\) 이다.", "</p><p>그러므로 다음이 성립한다.", "</p><p>\\[ \\int_{a}^{b}|f| \\geq \\int_{a}^{b}|f|-2 \\int_{a}^{b} f^{-}=\\int_{a}^{b} f^{+}-\\int_{a}^{b} f^{-}=\\int_{a}^{b} f \\] \\[ \\int_{a}^{b}|f| \\geq \\int_{a}^{b}|f|-2 \\int_{a}^{b} f^{+}=\\int_{a}^{b} f^{-}-\\int_{a}^{b} f^{+}=-\\int_{a}^{b} f \\]</p><p>따라서 \\( \\left|\\int_{a}^{b} f\\right| \\leq \\int_{a}^{b}|f| \\) 이다.", "</p><h1>연습문제 \\( 5.2 \\)</h1><ol type=1 start=1><li>정리 \\( 5.13 \\)을 증명하여라.", "</li><li>\\( f \\) 와 \\( g \\) 가 \\( [a, b] \\) 에서 적분가능하면, \\( f g \\) 도 \\( [a, b] \\) 에서 적분가능함을 보여라.", "</li><li>\\( f \\) 가 \\( [a, b] \\) 에서 연속이고, \\( [a, b] \\) 에서 연속인 임의의 함수 \\( g \\) 에 대해 \\( \\int_{a}^{b} f g=0 \\) 이면, \\( f(x) \\equiv 0, x \\in[a, b] \\) 임을 보여라.", "</li><li>다음 명제의 반례를 들어라. \\", "( |f| \\) 가 \\( [a, b] \\) 에서 적분가능하면, \\( f \\) 도 \\( [a, b] \\) 에서 적분가능하다.", "</li></ol><h2>연습문제 풀이 및 해답</h2><p>\\( 2. \\) 먼저 \\( f \\) 와 \\( g \\) 가 음이 아닌 함수일 때 증명하고 다음 식을 이용하라.", "</p><p>\\( f g=\\left(f^{+}-f^{-}\\right)\\left(g^{+}-g^{-}\\right)=f^{+} g^{+}-f^{+} g^{-}-f^{-} g^{+}+f^{-} g^{-} \\)</p><p>\\( 4. \\) \\( f(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}1, & x \\in[a, b] \\cap \\mathbb{Q} \\\\ -1, & x \\in[a, b] \\backslash \\mathbb{Q}\\end{array}\\right. \\)", "</p> <p>정리 \\( 5.13 \\) 함수 \\( f \\) 가 구간 \\( [a, b] \\) 에서 유계이면, 임의의 \\( \\varepsilon>0 \\) 에 대하여 다음을 만족하는 \\( \\delta>0 \\) 가 존재한다. \\", "( P \\) 가 \\( [a, b] \\) 의 분할이고 \\( \\|P\\|<\\delta \\) 이면, \\( \\underline{\\int_{a}^{b}} f(x) d x-\\varepsilon<L(f, P) \\leq U(f, P)<\\overline{\\int_{a}^{b}} f(x) d x+\\varepsilon \\)</p><p>정의 \\( 5.14 \\) \\( f \\) 가 구간 \\( [a, b] \\) 에서 정의된 유계함수이고 \\( P=\\left\\{x_{0}, x_{1}, \\cdots, x_{n}\\right\\} \\) 가 \\( [a, b] \\) 의 분할일 때, 분할 \\( P \\) 에 대한 \\( f \\) 의 리만 합(Riemann sum)을 다음과 같이 정의한다. \\", "( S(f, P, \\xi) \\equiv \\sum_{k=1}^{n} f\\left(\\xi_{k}\\right) \\Delta x_{k} \\) 여기서 \\( \\xi=\\left(\\xi_{1}, \\xi_{2}, \\cdots, \\xi_{n}\\right) \\) 이고, \\( \\xi_{k} \\) 는 부분구간 \\( \\left[x_{k-1}, x_{k}\\right] \\) 에서 임의로 선택한 점이다.", "이 장에서 \\( \\xi \\) 의 표현은 계속해서 쓰겠다.", "</p><p>분할 \\( P \\) 에 대해서 \\( \\xi \\) 의 선택에 관계없이 다음이 성립함에 주목하자.", "</p><p>\\( L(f, P) \\leq S(f, P, \\xi) \\leq U(f, P) \\)</p><p>이제부터 \\( \\|P\\| \\rightarrow 0 \\) 일 때 리만 합 \\( S(f, P, \\xi) \\) 의 “극한”을 생각해 보자.", "</p><p>정의 \\( 5.15 \\) \\( J \\) 가 실수이고, 임의의 \\( \\varepsilon>0 \\) 이 주어질 때, \\( \\|P\\|<\\delta \\) 인 모든 분할 \\( P \\) 에 대하여 \\( \\mid S(f, P, \\xi)-J|<\\varepsilon \\) 를 만족하는 \\( \\delta>0 \\) 가 존재하면 \\( J \\) 를 \\( \\|P\\| \\rightarrow 0 \\) 일 때 리만 합의 극한(limit of Riemann sum)이라고 하고 다음과 같이 나타낸다. \\", "( \\lim _{\\|P\\| \\rightarrow 0} S(f, P, \\xi)=J \\)</p><p>다음 정리는 리만 합의 극한과 정적분을 연결하는데 이로 인하여 정적분을 리만적분(Riemann integral)이라고도 한다.", "</p> <p>정리 \\( 5.11 \\) \\( f \\) 가 \\( [a, b] \\) 에서 단조증가 (또는 단조감소)이면 \\( f \\) 는 \\( [a, b] \\) 에서 적분가능하다.", "</p><p>증명</p><p>\\( f \\) 가 \\( [a, b] \\) 에서 단조증가이고 \\( f(a)<f(b) \\) 라고 가정하자. 임의의 \\( \\varepsilon>", "0 \\) 에 대해서 \\( U(f, P)-L(f, P)<\\varepsilon \\) 인 분할 \\( P \\) 가 존재함을 보이면 된다. \\", "( P=\\left\\{a=x_{0}, x_{1}, \\cdots, x_{n}=b\\right\\} \\) 가 \\( [a, b] \\) 의 분할로서 다음 조건을 만족한다고 하자.", "</p><p>\\( \\|P\\|<\\frac{\\varepsilon}{f(b)-f(a)} \\).", "</p><p>\\( f \\) 가 \\( [a, b] \\) 에서 증가이므로 각 \\( k=1,2, \\cdots, n \\) 에 대해서 \\( M_{k}=f\\left(x_{k}\\right), \\quad m_{k}=f\\left(x_{k-1}\\right) . \\)", "</p><p>따라서 \\( \\begin{aligned} U(f, P)-L(f, P) &=\\sum_{k=1}^{n} M_{k} \\Delta x_{k}-\\sum_{k=1}^{n} m_{k} \\Delta x_{k} \\\\ &=\\sum_{k=1}^{n}\\left(M_{k}-m_{k}\\right) \\Delta x_{k}=\\sum_{k=1}^{n}\\left(f\\left(x_{k}\\right)-f\\left(x_{k-1}\\right)\\right) \\Delta x_{k} \\\\ &<\\frac{\\varepsilon}{f(b)-f(a)} \\sum_{k=1}^{n}\\left(f\\left(x_{k}\\right)-f\\left(x_{k-1}\\right)\\right) \\\\ &=\\frac{\\varepsilon}{f(b)-f(a)}\\left(f\\left(x_{n}\\right)-f\\left(x_{0}\\right)\\right)=\\varepsilon . \\", "end{aligned} \\)</p><p>\\( f \\) 가 단조감소일 때도 비슷한 방법으로 증명할 수 있다.", "</p><p>예제 \\( 1.6 \\)</p><p>\\( f(x)=[x] \\) 는 구간 \\( [0,3] \\) 에서 단조증가이다.", "따라서 정리 \\( 5.11 \\) 에 의하여 \\( [0,3] \\) 에서 적분가능하다.", "</p><h1>연습문제 \\( 5.1 \\)</h1><ol type=1 start=1><li>\\( f \\) 가 단조감소함수일 때 정리 \\( 5.11 \\) 을 증명하라.", "</li><li>다음 함수가 \\( [0,1] \\) 에서 적분가능한지 결정하여라. \\", "( f(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}x \\sin \\frac{1}{x}, & x \\neq 0 \\\\ 0, & x=0\\end{array}\\right. \\)", "</li><li>\\( f(x)=x \\) 이고 구간 \\( [0,1] \\) 을 \\( n \\) 등분한 분할을 \\( P_{n} \\) 이라 할 때 \\( L\\left(f, P_{n}\\right) \\) 와 \\( U\\left(f, P_{n}\\right) \\) 를 구하라.", "</li><li>구간 \\( [a, b] \\) 에서 연속인 함수 \\( f(x) \\) 가 이 구간에서 음이 아니라고 하자.", "만약 \\( U(f, P)=L(f, P) \\) 인 \\( [a, b] \\) 의 분할 \\( P \\) 가 존재하면 \\( f(x) \\) 는 \\( [a, b] \\) 에서 상수 함수임을 보여라.", "</li></ol><h2>연습문제 풀이 및 해답</h2><p>\\( 1. \\) \\( \\|P\\|<\\frac{\\varepsilon}{f(a)-f(b)} \\) 인 분할 \\( P \\) 를 생각하라.", "</p><p>\\( 2. \\) \\( f \\) 가 \\( [0,1] \\) 에서 연속이므로 적분가능</p><p>\\( 3. \\) \\( L\\left(f, P_{n}\\right)=\\frac{n-1}{2 n}, \\quad U\\left(f, P_{n}\\right)=\\frac{n+1}{2 n} \\)</p><p>\\( 4. \\) 분할 \\( P \\) 를 \\( \\left\\{a=x_{0}<x_{1}<\\cdots<x_{k-1}<x_{k}<\\cdots<x_{n}=b\\right\\} \\) 라 하자. \\", "( k=1, \\cdots, n \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( 0=U(f, P)-L(f, P)=\\sum_{k=1}^{n}\\left(M_{k}-m_{k}\\right) \\Delta x_{k} \\geq\\left(M_{k}-m_{k}\\right) \\Delta x_{k} \\)</p><p>\\( \\Delta x_{k}>0 \\) 이므로 \\( M_{k}-m_{k}=0 \\) 이다.", "부분구간 \\( \\left[x_{k-1}, x_{k}\\right] \\) 에서 \\( f \\) 가 연속이므로 \\( M_{k}, m_{k} \\) 는 이 구간에서 최대값, 최소값이다.", "그런데, \\( M_{k}=m_{k} \\) 이므로 \\( f \\) 는 이구간에서 상수함수이다. \\", "( k=1, \\cdots, n-1 \\) 에 대하여 각 분할점 \\( x_{k} \\) 에서 함수값 \\( f\\left(x_{k}\\right) \\) 는 앙쪽 부분구간의 공통 함수값이므로 \\( f \\) 는 구간 \\( [a, b] \\) 에서 상수함수이다.", "</p> <h2>이상적분</h2><p>구간 \\( [a, b] \\) 가 유계구간이 아니거나, 함수 \\( f \\) 가 구간 \\( [a, b] \\) 의 한 점 또는 여러 점에서 정의되지 않거나, 유계가 아닐 때 정적분 \\( \\int_{a}^{b} f(x) d x \\) 는 일반적으로 정의되지 않는다.", "이런 경우에 정상적인 정적분의 극한을 적절하게 계산함으로써 이상적분을 정의할 수 있다.", "</p><p>정의 \\( 5.36 \\) 이상적분(improper integral) 함수 \\( f \\) 가 임의의 유한구간 \\( [a, b] \\) 에서 유계이고 적분가능할 때 무한구간에서 이상적분(improper integral)을 다음과 같이 정의한다. \\", "( \\int_{a}^{\\infty} f(x) d x=\\lim _{b \\rightarrow \\infty} \\int_{a}^{b} f(x) d x \\) \\( \\int_{-\\infty}^{b} f(x) d x=\\lim _{a \\rightarrow-\\infty} \\int_{a} f(x) d x \\) \\( \\int_{-\\infty}^{\\infty} f(x) d x=\\int_{-\\infty}^{c} f(x) d x+\\int_{c}^{\\infty} f(x) d x \\), ( \\( c \\) 는 실수 \\( ) \\) 우변의 극한이 존재하면 이상적분이 수렴한다(converge)고 하고 극한이 존재하지 않으면 이상적분이 발산한다(diverge)고 말한다.", "적분가능한 함수 \\( f \\) 가 구간 \\( [a, b] \\) 의 끝점에서만 유계가 아닐 때는 다음과 같이 이상적분을 정의한다. \\", "( \\int_{a}^{b} f(x) d x=\\lim _{\\varepsilon \\rightarrow 0+} \\int_{a+\\varepsilon}^{b} f(x) d x, \\int_{a}^{b} f(x) d x=\\lim _{\\varepsilon \\rightarrow 0+} \\int_{a}^{b-\\varepsilon} f(x) d x \\)</p><p>예제 \\( 4.3 \\)</p><p>\\( I_{1}=\\int_{0}^{\\infty} \\frac{d x}{1+x^{2}} \\) 를 계산하라(적분구간이 유계 아니다).", "</p><p>풀이</p><p>\\( I_{1}=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\int_{0}^{b} \\frac{d x}{1+x^{2}}=\\lim _{b \\rightarrow \\infty}\\left[\\tan ^{-1} x\\right]_{0}^{b}=\\lim _{b \\rightarrow \\infty} \\tan ^{-1} b=\\frac{\\pi}{2} \\)</p><p>예제 \\( 4.4 \\)</p><p>\\( I_{2}=\\int_{0}^{1} \\frac{d x}{\\sqrt{x}} \\) 를 계산하라(피적분함수가 유계 아니다).", "</p><p>풀이</p><p>\\( I_{2}=\\lim _{\\varepsilon \\rightarrow 0+} \\int_{\\varepsilon}^{1} \\frac{d x}{\\sqrt{x}}=\\left.\\", "lim _{\\varepsilon \\rightarrow 0+} 2 \\sqrt{x}\\right|_{\\varepsilon} ^{1}=\\lim _{\\varepsilon \\rightarrow 0+}(2-2 \\sqrt{\\varepsilon})=2 \\)</p><p>예제 \\( 4.5 \\)</p><p>\\( I_{3}=\\int_{0}^{1} \\frac{d x}{x} \\) 를 계산하라(피적분함수가 유계 아니다).", "</p><h1>연습문제 \\( 5.4 \\)</h1><p>\\( 1. \\) 다음 곡선의 길이를 구하라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=2 x+1, \\quad 1 \\leq x \\leq 4 \\)</li><li>\\( x=\\cos t, y=\\sin t, 0 \\leq t \\leq \\pi \\)</li></ol><p>\\( 2. \\) 다음 적분이 이상적분인지 밝히고, 이상적분일 때는 그 이유를 설명하라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int_{-1}^{1} \\frac{d x}{x+1} \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{\\infty} \\frac{d x}{1+\\tan x} \\)</li><li>\\( \\int_{3}^{10} \\frac{x d x}{(x-2)^{2}} \\)</li><li>\\( \\int_{-\\infty}^{\\infty} \\frac{x^{2} d x}{x^{3}+x+1} \\)</li></ol><p>\\( 3. \\) 다음 이상적분의 수렴여부를 결정하고, 수렴하면 그 값을 구하라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int_{1}^{\\infty} \\frac{d x}{x^{2}} \\)</li><li>\\( \\int_{-\\infty}^{0} \\frac{d x}{x^{2}} \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{\\infty} e^{x} d x \\)</li><li>\\( \\int_{-\\infty}^{1} \\cos x d x \\)</li></ol><p>\\( 4. \\) 다음 이상적분을 계산하라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int_{0}^{1} \\frac{d x}{\\sqrt{1-x^{2}}} \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{8} \\frac{d x}{\\sqrt[3]{x}} \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{4} \\frac{d x}{\\sqrt{4-x}} \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{\\infty} \\frac{d x}{1+x^{3}} \\)</li></ol><h2>연습문제 풀이 및 해답</h2><p>\\( 1 . \\)</p><ol type=1 start=1><li>\\( 3 \\sqrt{5} \\)</li><li>\\( \\pi \\)</li></ol><p>\\( 2 . \\)</p><p>\\( (1) \\) 이상적분, \\( x=-1 \\) 에서 피적분함수가 비유계</p><p>\\( (2) \\) 이상적분, 적분구간이 비유계이고, \\( \\tan x=-1 \\) 인 점에서 피적분함수가 비유계</p><p>\\( (3) \\) 정상적인 정적분임", "</p><p>\\( (2) \\) 이상적분, 적분구간이 비유계이고, \\( x^{3}+x+1=0 \\) 인 점에서 피적분함수가 비유계</p><p>\\( 3 . \\)</p><ol type=1 start=1><li>\\( 1 \\)</li><li>발산</li><li>발산</li><li>발산</li></ol><p>\\( 4 . \\)</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{\\varepsilon \\rightarrow 0+} \\int_{0}^{1-\\varepsilon} \\frac{d x}{\\sqrt{1-x^{2}}}=\\lim _{\\varepsilon \\rightarrow 0+}\\left(\\sin ^{-1}(1-\\varepsilon)-\\sin ^{-1} 0\\right)=\\frac{\\pi}{2} \\)</li><li>\\( 6 \\)</li><li>\\( 4 \\)</li><li>\\( \\frac{2 \\pi}{3 \\sqrt{3}} \\), 먼저 \\( \\frac{1}{1+x^{3}} \\) 을 부분분수로 고칠것.", "</li></ol> <p>보조정리 \\( 5.4 \\) 함수 \\( f \\) 가 구간 \\( [a, b] \\) 에서 유계라 하자. \\", "( P \\) 와 \\( P^{\\prime} \\) 가 \\( [a, b] \\) 의 분할이고 \\( P^{\\prime} \\) 이 \\( P \\) 의 세분할이면 다음이 성립한다. \\", "( L(f, P) \\leq L\\left(f, P^{\\prime}\\right), U\\left(f, P^{\\prime}\\right) \\leq U(f, P) \\)</p><p>증명</p><p>구간 \\( [a, b] \\) 의 가장 간단한 분할인 \\( P=\\{a, b\\} \\) 와 세분할 \\( P^{\\prime}=\\{a, y, b\\} \\) 에 대해 보조정리를 증명하고 자세한 증명은 생략한다.", "우선 \\( m_{1}=\\inf _{a \\leq x \\leq b} f(x), \\quad m_{1}^{\\prime}=\\inf _{a \\leq x \\leq y} f(x), m_{2}^{\\prime}=\\inf _{y \\leq x \\leq b} f(x) \\) 라 하면 \\( \\quad[a, y] \\subset[a, b] \\) 이고 \\( \\quad[y, b] \\subset[a, b] \\) 이므로 \\( \\quad m_{1} \\leq m_{1}^{\\prime} \\) 이고 \\( m_{1} \\leq m_{2}^{\\prime} \\) 이다.", "따라서 \\( \\begin{aligned} L(f, P) &=m_{1}(b-a) \\\\ &=m_{1}(y-a)+m_{1}(b-y) \\\\ & \\leq m_{1}^{\\prime}(y-a)+m_{2}^{\\prime}(b-y)=L\\left(f, P^{\\prime}\\right) \\end{aligned} \\)</p><p>마찬가지로 \\( M_{1}=\\sup _{a \\leq x \\leq b} f(x), M_{1}^{\\prime}=\\sup_{a \\leq x \\leq y} f(x), \\quad M_{2}^{\\prime}=\\sup _{y \\leq x \\leq b} f(x) \\)라 하면 \\( M_{1} \\geq M_{1}^{\\prime} \\) 이고 \\( M_{2} \\geq M_{2}^{\\prime} \\) 이다.", "그러므로 \\( \\begin{aligned} U(f, P) &=M_{1}(b-a) \\\\ &=M_{1}(y-a)+M_{1}(b-y) \\\\ & \\geq M_{1}^{\\prime}(y-a)+M_{2}^{\\prime}(b-y)=U\\left(f, P^{\\prime}\\right) \\end{aligned} \\)</p><p>보조정리 \\( 5.5 \\) 함수 \\( f \\) 가 구간 \\( [a, b] \\) 에서 유계라 하자. \\", "( P \\) 와 \\( Q \\) 가 \\( [a, b] \\) 의 분할이면 다음이 성립한다. \\", "( L(f, P) \\leq U(f, Q) \\)</p><p>증명</p><p>\\( P \\cup Q \\) 가 \\( P \\) 와 \\( Q \\) 의 세분할이므로 보조정리 \\( 5.3 \\)과 보조정리 \\( 5.4 \\)에 의하여 \\( L(f, P) \\leq L(f, P \\cup Q) \\leq U(f, P \\cup Q) \\leq U(f, Q) \\).", "</p><p>위의 보조정리들에 의해서 분할점이 많아질수록 하합은 증가하고, 상합은 감소하며, 하합의 집합은 위로 유계이고 상합의 집합은 아래로 유계임을 알 수 있다.", "</p> <h1>\\( 5.3 \\) 미적분학의 기본정리</h1><p>정리 \\( 5.24 \\) 적분에 관한 평균값정리 \\( f \\) 가 구간 \\( [a, b] \\) 에서 연속이면 다음 식을 만족하는 실수 \\( c \\in(a, b) \\) 가 있다. \\", "( \\int_{a}^{b} f(x) d x=f(c)(b-a) \\)</p><p>증명</p><p>\\( f \\) 가 \\( [a, b] \\) 에서 연속이면 정리 \\( 3.21 \\) (최대 최소값 정리)에 의하여 상수 \\( M \\) 과 \\( m \\) 이 존재하여 다음을 만족한다.", "</p><p>\\( x \\in[a, b], \\quad m \\leq f(x) \\leq M \\)</p><p>따름정리 \\( 5.21 \\) 에 의하여 \\( m(b-a) \\leq \\int_{a}^{b} f(x) d x \\leq M(b-a) \\).", "</p><p>만약 \\( a=b \\) 이면 정리는 자명하므로 \\( a<b \\) 라고 가정하자.", "그러면 \\( m \\leq \\frac{1}{b-a} \\int_{a}^{b} f(x) d x \\leq M \\).", "</p><p>다시 정리 \\( 3.21 \\) 에 의하여 \\( f\\left(x_{1}\\right)=m, f\\left(x_{2}\\right)=M \\) 인 \\( x_{1}, x_{2} \\in[a, b] \\) 가 있다.", "즉, \\( f\\left(x_{1}\\right) \\leq \\frac{1}{b-a} \\int_{a}^{b} f(x) d x \\leq f\\left(x_{2}\\right) \\).", "</p><p>\\( f \\) 가 \\( [a, b] \\) 에서 연속이므로 \\( \\left[x_{1}, x_{2}\\right] \\) (또는\\( \\left[x_{2}, x_{1}\\right]) \\)) 에서 연속이고, 중간값정리를 적용하면 \\( \\frac{1}{b-a} \\int_{a}^{b} f(x) d x=f(c) \\) 를 만족하는 수 \\( c \\) 가 \\( x_{1} \\) 과 \\( x_{2} \\) 사이에 존재한다.", "따라서 \\( c \\in(a, b) \\) 이고 \\( \\int_{a}^{b} f(x) d x=f(c)(b-a) \\) 이다.", "</p><p>정리 \\( 5.24 \\)의 \\( \\frac{1}{b-a} \\int_{a}^{b} f(x) d x \\) 를 구간 \\( [a, b] \\) 에서 함수 \\( f \\) 의 평균값(mean)이라고 한다.", "</p><p>예제 \\( 3.1 \\)</p><p>구간 \\( [1,3] \\)에서 함수 \\( f(x)=x^{2} \\) 에 대하여 적분에 관한 평균값정리를 만족하는 수 \\( c \\) 를 구하여라.", "</p><p>풀이</p><p>\\( a=1, b=3 \\) 이고 \\( \\int_{1}^{3} f(x) d x=\\int_{1}^{3} x^{2} d x=\\frac{1}{3}\\left(3^{3}-1^{3}\\right)=\\frac{26}{3} \\) 이므로 \\( f(c)=c^{2}=\\frac{1}{3-1} \\int_{1}^{3} f(x) d x=\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{26}{3}=\\frac{13}{3} \\text {. 즉, } c=\\pm \\sqrt{\\frac{13}{3}} \\) 이다.", "그런데 \\( c \\in[1,3] \\) 이어야 하므로 \\( c=\\sqrt{\\frac{13}{3}} \\) 이다.", "</p><p>함수 \\( f \\) 가 \\( [a, b] \\) 에서 적분가능하면 정리 \\( 5.12 \\)에 의해 모든 \\( x \\in \\) \\( [a, b] \\) 에 대해 \\( f \\) 는 \\( [a, x] \\) 에서 적분가능하다.", "따라서 \\( F(x)=\\int_{a}^{x} f(t) d t \\) 는 \\( [a, b] \\) 에서 정의되는 함수이다.", "특히 \\( F(a)=0 \\), \\( F(b)=\\int_{a}^{b} f(t) d t \\) 이다.", "</p> <p>정의 \\( 5.9 \\) \\( P=\\left\\{x_{0}, x_{1}, \\cdots, x_{n}\\right\\} \\) 가 \\([a, b]\\) 의 분할일 때 가장 긴 부분구간의 길이를 \\( \\|P\\| \\) 로 쓰고 \\( P \\) 의 노음(norm)이라 한다.", "즉, \\( \\|P\\|=\\max { }_{1 \\leq k \\leq n} \\Delta x_{k} \\)</p><p>정리 \\( 5.8 \\)을 이용하여 유계인 연속함수와 단조함수(또는 단조증가함수)가 적분가능함을 보일 수 있다.", "</p><p>정리 \\( 5.10 \\) \\( f \\) 가 \\( [a, b] \\) 에서 연속이면, \\( f \\) 는 \\( [a, b] \\) 에서 적분가능하다.", "</p><p>증명</p><p>\\( f \\) 가 \\( [a, b] \\) 에서 연속이라 가정하고, \\( \\varepsilon>0 \\) 이 주어졌다고 하자.", "정리 \\( 5.8 \\)에 의하여 \\( U(f, P)-L(f, P)<\\varepsilon \\) 을 만족하는 분할 \\( P \\) 가 존재함을 보이면 된다.", "</p><p>\\( f \\) 가 유계인 폐구간 \\( [a, b] \\) 에서 연속이므로 정리 \\( 3. 24 \\) 에 의하여 \\( f \\) 는 \\( [a, b] \\) 에서 균등연속이다. 그러므로 다음을 만족하는 \\( \\delta>", "0 \\) 가 존재한다.", "</p><p>\\( s, t \\in[a, b],|s-t|<\\delta \\) 이면 \\( |f(s)-f(t)|<\\frac{\\varepsilon}{b-a} \\)</p><p>\\( P=\\left\\{x_{0}, x_{1}, \\cdots, x_{n}\\right\\} \\) 을 \\( \\|P\\|<\\delta \\) 인(구간 \\( [a, b] \\) 의) 임의의 분할이라 하자.", "각 부분구간 \\( \\left[x_{k-1}, x_{k}\\right](k=1,2, \\cdots, n) \\) 에서 \\( f \\) 가 연속이므로 정리 \\( 3.21 \\) (최대 - 최소값 정리)에 의하여 \\( f\\left(y_{k}\\right)=M_{k}, f\\left(z_{k}\\right)=m_{k} \\) 를 만족하는 \\( y_{k}, z_{k} \\in\\left[x_{k-1}, x_{k}\\right] \\) 인 \\( y_{k}, z_{k} \\) 가 존재한다.", "따라서 \\( \\left|y_{k}-z_{k}\\right| \\leq x_{k}-x_{k-1}=\\Delta x_{k} \\leq\\|P\\|<\\delta \\) 이므로 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( M_{k}-m_{k}=\\left|f\\left(y_{k}\\right)-f\\left(z_{k}\\right)\\right|<\\frac{\\varepsilon}{b-a} \\)</p><p>따라서 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} U(f, P)-L(f, P) &=\\sum_{k=1}^{n} M_{k} \\Delta x_{k}-\\sum_{k=1}^{n} m_{k} \\Delta x_{k} \\\\ &=\\sum_{k=1}^{n}\\left(M_{k}-m_{k}\\right) \\Delta x_{k} \\\\ &<\\frac{\\varepsilon}{b-a} \\sum_{k=1}^{n} \\Delta x_{k}=\\frac{\\varepsilon}{b-a}(b-a)=\\varepsilon \\end{aligned} \\)</p><p>예제 \\( 1.5 \\)</p><p>\\( f(x)=x^{2} \\) 는 임의의 구간 \\( [a, b] \\) 에서 연속이다.", "따라서 정리 \\( 5.10 \\) 에 의하여 \\( [a, b] \\) 에서 적분가능하다.", "</p> <p>정리 \\( 5.42 \\) 구간 \\( [a, b] \\) 에서 \\( f \\) 가 연속함수이고, \\( a \\) 가 증가함수이면 \\( f \\) 는 \\( [a, b] \\) 에서 \\( a \\) 에 관하여 리만-스틸체스 적분가능하다.", "</p><p>\\( 5.1 \\) 절의 정리 \\( 5.17,5.21,5.23 \\) 을 확장하여 다음 정리를 얻는다.", "</p><p>정리 \\( 5.43 \\) \\( \\mathrm{a} \\) 가 구간 \\( [a, b] \\) 에서 증가하는 함수라 하자. \\", "( f \\) 와 \\( g \\) 가 \\( [a, b] \\) 에서 \\( \\mathrm{a} \\) 에 관하여 리만-스틸체스 적분가능하고 \\( k \\) 가 상수이면, \\( k f \\), \\( f+g,|f| \\) 도 \\( [a, b] \\) 에서 \\( a \\) 에 관하여 리만-스틸체스 적분가능하고 다음이 성립한다.", "<ol type=1 start=1><li>\\( \\int_{a}^{b} k f d a=k \\int_{a}^{b} f d a \\)</li><li>\\( \\int_{a}^{b}(f+g) d a=\\int_{a}^{b} f d a+\\int_{a}^{b} g d a \\)</li><li>\\( \\left|\\int_{a}^{b} f d a\\right| \\leq \\int_{a}^{b}|f| d a \\)</li><li>모든 \\( \\quad x \\in[a, b] \\) 에 대하여 \\( f(x) \\leq g(x) \\) 이면 \\( \\int_{a}^{b} f d a \\leq \\int_{a}^{b} g d a .\\)", "</li></ol></p><p>정리 \\( 5.12 \\)와 정리 \\( 5.19 \\)도 다음과 같이 확장할 수 있다.", "</p><p>정리 \\( 5.44 \\) \\( a \\) 가 구간 \\( [a, b] \\) 에서 증가한다고 하자. \\", "( f \\) 가 \\( a \\) 에 관하여 \\( [a, b] \\) 에서 리만-스틸체스 적분가능하고 \\( [c, d] \\subset[a, b] \\) 이면, \\( f \\) 는 \\( [c, d] \\) 에서 \\( \\mathrm{a} \\) 에 관하여 리만-스틸체스 적분가능하다.", "그리고 임의의 \\( c \\in(a, b) \\) 에 대하여 다음이 성립한다. \\", "( \\int_{a}^{b} f d a=\\int_{a}^{c} f d a+\\int_{c}^{b} f d a . \\)", "</p> <p>적분에 관한 평균값정리도 리만-스틸체스적분으로 확장할 수 있음을 이야기하고 이 절을 마치기로 한다.", "</p><p>정리 \\( 5.45 \\) 리만-스틸체스적분에 관한 평균값정리 구간 \\( [a, b] \\) 에서 \\( f \\) 가 연속이고, \\( a \\) 가 증가함수이면 다음 식을 만족하는 실수 \\( c \\in(a, b) \\) 가 있다. \\", "( \\int_{a}^{b} f d a=f(c)[a(b)-a(a)] \\)</p><p>증명</p><p>만약 \\( a(a)=a(b) \\) 이면 정리는 자명하므로 \\( a(a)<a(b) \\) 라고 가정하자. \\", "( f \\) 가 \\( [a, b] \\) 에서 연속이면 \\( \\int_{a}^{b} f d a \\) 가 존재하고, \\( [a, b] \\) 에서 최대값 \\( M \\) 과 최소값 \\( m \\) 이 존재한다.", "구간 \\( [a, b] \\) 의 분할 \\( p=\\{a, b\\} \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} m\\{a(b)-a(a)\\}=L(f, P, a) & \\leq \\int_{a}^{b} f d a \\\\ & \\leq U(f, P, a)=M\\{a(b)-a(a)\\} . \\", "end{aligned} \\)</p><p>따라서 \\( m \\leq \\frac{1}{a(b)-a(a)} \\int_{a}^{b} f d a \\leq M \\) 이므로 정리 \\( 5.24 \\) 의 증명에서처럼 중간값정리를 적용하면 \\( f(c)=\\frac{1}{a(b)-a(a)} \\int_{a}^{b} f d a \\) 인 \\( c \\in(a, b) \\) 가 존재함을 알 수 있다.", "</p><h1>연습문제 \\( 5.5 \\)</h1><ol type=1 start=1><li>함수 \\( f \\) 가 구간 \\( [0,2] \\) 에서 연속이면 다음 \\( a \\) 에 관하여 \\( [0,2] \\) 에서 리만-스틸체스 적분가능함을 보이고, \\( \\int_{0}^{2} f d a \\) 를 구하라. \\", "( a(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}1, & 0 \\leq x<1 \\\\ 3, & 1 \\leq x \\leq 2\\end{array}\\right. \\)", "</li><li>\\( a(x)=x+2 \\) 에 관한 리만-스틸체스적분 \\( \\int_{0}^{1} x d a(x) \\) 를 구하라.", "</li><li>정리 \\( 5.41 \\)을 증명하라.", "</li></ol><h2>연습문제 풀이 및 해답</h2><ol type=1 start=1><li>\\( 2 f(1) \\).", "분할 \\( P=\\left\\{0, x_{1}, x_{2}, 2\\right\\},\\left(x_{1}<1<x_{2}\\right) \\) 를 고려하라.", "</li><li>\\( \\frac{1}{2} \\)</li><li>\\( a(a)<a(b) \\) 라 가정하고 정리 \\( 5.10 \\) 의 증명에서 \\( \\frac{\\varepsilon}{b-a} \\) 을 \\( \\frac{\\varepsilon}{a(b)-a(a)} \\) 로 바꾸어 써보라.", "</li></ol> <h1>5.5 리만-스틸체스적분</h1><p>이 절에서는 정적분(리만적분)의 개념을 확장한 리만-스틸체스적분(Riemann-Stieltjes integral)을 소개한다.", "</p><p>정의 \\( 5.37 \\) \\( f \\) 가 구간 \\( [a, b] \\) 에서 정의된 유계함수이고, \\( a \\) 가 \\( [a, b] \\) 에서 정의된 단조증가함수라고 하자. \\( P=\\left\\{x_{0}, x_{1}, \\cdots, x_{n}\\right\\} \\) 가 \\( [a, b] \\) 의 분할일 때, 분할 \\( P \\) 와 함수 \\( a \\) 에 관한 \\( f \\) 의 하합(lower sum) \\( L(f, P, a) \\) 와 상합(upper sum) \\( U(f, P, a) \\) 를 다음과 같이 정의한다. \\( L(f, P, a)=\\sum_{k=1}^{n} m_{k} \\Delta a_{k} \\) \\( U(f, P, a)=\\sum_{k=1}^{n} M_{k} \\Delta a_{k} \\)여기서 \\( \\triangle a_{k}=a\\left(x_{k}\\right)-a\\left(x_{k-1}\\right), k=1,2, \\cdots, n \\) 이고, \\( m_{k} \\) 와 \\( M_{k} \\) 는 \\( 5.1 \\)절과 마찬가지로 \\( m_{k}=\\inf \\left\\{f(x) \\mid x_{k-1} \\leq x \\leq x_{k}\\right\\} \\), \\( M_{k}=\\sup \\left\\{f(x) \\mid x_{k-1} \\leq x \\leq x_{k}\\right\\} \\).</p><p>위의 정의에서 \\( a(x)=x \\) 로 두면 상합 및 하합은 각각 정의 \\( 5.2 \\) 의 상합 및 하합과 같게 됨을 주목하자. \\( a(x) \\) 가 \\( [a, b] \\) 에서 단조증가함수이므로 \\( \\triangle a_{k} \\geq 0, k=1,2, \\cdots, n \\) 임에 유의하면 보조정리 \\( 5.3,5.4,5.5 \\) 는 다음과 같이 확장된다.</p><p>보조정리 \\( 5.38 \\) 구간 \\( [a, b] \\) 에서 함수 \\( f \\) 가 유계이고, \\( a \\) 가 증가함수일 때, \\( P, Q \\) 가 \\( [a, b] \\) 의 분할이고, \\( P^{\\prime} \\) 가 \\( P", "\\) 의 세분할이라 하면 다음이 성립한다.<ol type=i start=1><li>\\( L(f, P, a) \\leq U(f, P, a) \\)</li><li>\\( L(f, P, a) \\leq L\\left(f, P^{\\prime}, a\\right), U\\left(f, P^{\\prime}, a\\right) \\leq U(f, P, a) \\)</li><li>\\( L(f, P, a) \\leq U(f, Q, a) \\)</li></ol></p> <p>따름정리 \\( 5.29 \\) 함수 \\( f \\) 가 구간 \\( [a, b] \\) 에서 적분가능이고, \\( F \\) 가 \\( f \\) 의 부정적분이면, 다음이 성립한다. \\( \\int_{a}^{b} f(x) d x=F(b)-F(a) \\)</p><p>따름정리 \\( 5.29 \\)는 연속이 아닌 함수라도 적분가능일 수 있고 부정적분을 가지면 미적분학의 기본정리 공식을 사용할 수 있음을 뜻한다.</p><p>예제 \\( 3.4 \\)</p><p>\\( \\int_{0}^{1}\\left(2 x \\sin \\frac{1}{x}-\\cos \\frac{1}{x}\\right) d x=\\sin 1 \\) 임을 보여라.</p><p>풀이</p><p>다음 함수 \\( f(x) \\) 는 \\( [0,1] \\) 에서 연속이 아니다.</p><p>\\( f(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}2 x \\sin \\frac{1}{x}-\\cos \\frac{1}{x}, & x \\neq 0 \\\\ 0, & x=0\\end{array}\\right. \\)</p><p>따라서 미적분학의 기본정리를 적용할 수 없다. 그러나 \\( f \\) 는 유계이고 \\( (0,1] \\) 에서 연속이므로 \\( [0,1] \\) 에서 적분가능하다.</p><p>다음 함수", "\\( g(x) \\) 는 미분가능하고 모든 \\( x \\in[0,1]", "\\) 에 대하여 \\( g^{\\prime}(x)=f(x) \\) 이다.</p><p>\\( g(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}x^{2} \\sin \\frac{1}{x}, & x \\in(0,1]", "\\\\ 0, & x=0\\end{array}\\right. \\)", "</p><p>그러므로 따름정리 \\( 5.29 \\) 에 의하여 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( \\int_{0}^{1}\\left(2 x \\sin \\frac{1}{x}-\\cos \\frac{1}{x}\\right) d x=g(1)-g(0)=\\sin 1 . \\)</p><p>함수 \\( f \\) 가 연속이거나, 적분가능하면서 부정적분을 가지면 미분적분학의 기본정리를 써서 정적분을 비교적 쉽게 계산할 수 있다.", "</p><p>정리 \\( 5.30 \\) 부정적분의 성질 함수 \\( f \\) 와 \\( g \\) 가 부정적분을 가지고 \\( k \\) 가 상수일 때 다음 식이 성립한다.", "<ol type=1 start=1><li>\\( \\int k f(x) d x=k \\int f(x) d x \\)</li><li>\\( \\int\\{f(x) \\pm g(x)\\} d x=\\int f(x) d x \\pm \\int g(x) d x \\)</li></ol></p><p>증명</p><p>정리 \\( 4.6 \\) 에 의하여 명백하다.", "</p> <p>정리 \\( 5.31 \\) 치환적분(substitution) 함수 \\( f, g, g \\circ f, f^{\\prime} \\) 이 연속이고 \\( G \\) 가 \\( g \\) 의 부정적분이면, 다음이 성립한다. \\", "( \\int g(f(x)) f^{\\prime}(x) d x=G(f(x))+C \\)</p><p>증명</p><p>\\( G \\) 가 \\( g \\) 의 부정적분이므로 \\( G^{\\prime}(x)=g(x) \\) 이다.", "연쇄율에 의하여 \\( \\frac{d}{d x} G(f(x))=G^{\\prime}(f(x)) f^{\\prime}(x)=g(f(x)) f^{\\prime}(x) \\).", "</p><p>따라서 \\( \\int g(f(x)) f^{\\prime}(x) d x=G(f(x))+C \\) 이다.", "</p><p>따름정리 \\( 5.32 \\) 치환적분 함수 \\( f, g \\circ f, f^{\\prime} \\) 이 구간 \\( [a, b] \\) 에서 연속이고 \\( g \\) 가 구간 \\( [f(a), f(b)] \\) 에서 연속이면 다음이 성립한다. \\", "( \\int_{a}^{b} g(f(x)) f^{\\prime}(x) d x=\\int_{f(a)}^{f(b)} g(u) d u \\)</p><p>증명</p><p>정리 \\( 5.31 \\) 과 미적분학의 기본정리로부터 명백하다.", "</p><p>정리 \\( 4.6 \\)의 \\( (4) \\)에서 \\( (f g)^{\\prime}=f g^{\\prime}+f^{\\prime} g \\) 이므로 이를 적분하여 다음 공식을 얻는다.", "</p><p>정리 \\( 5.33 \\) 부분적분(integration by parts) 구간 \\( [a, b] \\) 에서 \\( f \\) 와 \\( g \\) 가 미분가능하고, \\( f^{\\prime} \\) 과 \\( g^{\\prime} \\) 이 적분가능하면, 다음이 성립한다. \\", "( \\int_{a}^{b} f(x) g^{\\prime}(x) d x=\\left.f(x) g(x)\\right|_{a} ^{b}-\\int_{a}^{b} g(x) f^{\\prime}(x) d x \\)</p><p>예제 \\( 3.5 \\)</p><p>\\( \\int_{1}^{2} \\ln x d x \\) 를 구하라.", "</p><p>풀이</p><p>\\( f(x)=\\ln x, g(x)=x \\) 라 두면 정리 \\( 5.33 \\) 에 의해 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( \\int_{1}^{2} \\ln x d x=\\left.x \\ln x\\right|_{1} ^{2}-\\int_{1}^{2} x \\frac{1}{x} d x=\\ln 4-1 \\).", "</p><p>다음에는 적분에 관한 평균값정리(정리 \\( 5.24 \\))의 확장을 하나 소개한다.", "</p> <p>정리 \\( 5.16 \\) 유계함수 \\( f \\) 가 구간 \\( [a, b] \\) 에서 적분가능하고 \\( \\int_{a}^{b} f(x) d x=J \\) 일 필요충분조건은 \\( \\lim _{\\|P\\| \\rightarrow 0} S(f, P, \\xi)=J \\) 이다.", "</p><p>증명</p><p>(필요조건) 먼저 \\( f \\) 가 적분가능하고 적분이 \\( \\int_{a}^{b} f(x) d x=J \\) 라고 하자. 정리 \\( 5.13 \\) 에 의하여, 임의의 \\( \\varepsilon>0 \\) 에 대하여 \\( \\delta>", "0 \\) 이 존재하여 \\( P \\) 가 \\( [a, b] \\) 의 분할이고 \\( \\|P\\|<\\delta \\) 이면 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( J-\\varepsilon<L(f, P) \\leq U(f, P)<J+\\varepsilon \\)</p><p>이와 같은 분할 \\( P \\) 와 임의로 택한 \\( \\xi \\)에 대하여 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( J-\\varepsilon<L(f, P) \\leq S(f, P, \\xi) \\leq U(f, P)<J+\\varepsilon \\)</p><p>따라서, \\( \\|P\\|<\\delta \\) 이면 \\( |S(f, P, \\xi)-J|<\\varepsilon \\) 이다.", "</p><p>(충분조건) \\( \\lim _{\\|P\\| \\rightarrow 0} S(f, P, \\xi)=J \\) 라 하면, 임의의 \\( \\varepsilon>0 \\) 에 대하여\\( \\delta>0 \\) 가 존재하여, 임의로 선택한 \\( \\xi \\) 에 대하여 \\( \\| P \\mid<\\delta \\) 이면, \\( \\xi \\) 의 선택에 관계없이 \\( J-\\varepsilon<S(f, P, \\xi)<J+\\varepsilon \\) 이다.", "</p><p>분할 \\( P=\\left\\{x_{0}, x_{1}, \\cdots, x_{n}\\right\\} \\) 에 의한 \\( [a, b] \\) 의 각 부분구간 \\( \\left[x_{k-1}, x_{k}\\right] \\) 에서 다음을 만족하는 \\( \\xi_{k} \\) 를 하나씩 택하자.", "</p><p>\\( M_{k}-\\frac{\\varepsilon}{b-a}<f\\left(\\xi_{k}\\right) \\)</p><p>그러면 \\( \\sum_{k=1}^{n} M_{k} \\Delta x_{k}-\\varepsilon<\\sum_{k=1}^{n} f\\left(\\xi_{k}\\right) \\Delta x_{k}=S(f, P, \\xi) \\) 이다.", "</p><p>따라서 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( \\overline{\\int_{a}^{b}} f(x) d x-\\varepsilon<U(f, P)-\\varepsilon<S(f, P, \\xi)<J+\\varepsilon \\)</p><p>즉, \\( \\overline{\\int_{a}^{b}} f(x) d x-2 \\varepsilon<J \\) 이다.", "</p><p>그런데 \\( \\varepsilon>0 \\) 은 임의로 주어지므로 \\( \\overline{\\int_{a}^{b}} f(x) d x \\leq J \\) 이다.", "</p><p>비슷한 방법으로 \\( J \\leq \\underline{\\int_{a}^{b}} f(x) d x \\) 임을 보일 수 있다.", "따라서 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( \\overline{\\int_{a}^{b}} f(x) d x \\leq J \\leq \\underline{\\int_{a}^{b}} f(x) d x \\leq \\overline{\\int_{a}^{b}} f(x) d x \\)</p><p>구간 \\( [a, b] \\) 에서 적분가능한 함수는 상적분과 하적분을 계산하는 대신 리만 합의 극한으로 정적분을 구할 수 있다.", "</p><p>예제 \\( 2.1 \\)</p><p>유계 폐구간 \\( [a, b] \\) 에서 \\( f(x)=x \\) 의 정적분을 구하라.", "</p><p>풀이</p><p>\\( f \\) 는 \\( [a, b] \\) 에서 연속이므로 적분가능하다. \\", "( P=\\left\\{x_{0}, x_{1}, \\cdots, x_{n}\\right\\} \\)이 \\( [a, b] \\) 의 분할일 때, \\( \\xi_{k}=\\frac{1}{2}\\left(x_{k}+x_{k-1}\\right)(k=1,2, \\cdots, n) \\) 으로 택하면, \\( \\begin{aligned} S(f, P, \\xi) &=\\sum_{k=1}^{n} f\\left(\\xi_{k}\\right) \\Delta x_{k}=\\sum_{k=1}^{n} \\frac{1}{2}\\left(x_{k}+x_{k-1}\\right)\\left(x_{k}-x_{k-1}\\right) \\\\ &=\\frac{1}{2} \\sum_{k=1}^{n}\\left(x_{k}^{2}-x_{k-1}^{2}\\right)=\\frac{1}{2}\\left(x_{n}^{2}-x_{0}^{2}\\right)=\\frac{1}{2}\\left(b^{2}-a^{2}\\right) \\end{aligned} \\)</p><p>\\( f \\) 가 적분가능하므로 정리 \\( 5.16 \\) 에 의하여 \\( \\lim _{\\|P\\| \\rightarrow 0} S(f, P, \\xi) \\) 가 존재한다.", "그런데 위의 계산 결과는 임의의 분할 \\( P \\) 에 대하여 \\( \\xi \\)를 적당히 선택해서 리만 합 \\( S(f, P, \\xi) \\) 가 \\( \\frac{1}{2}\\left(b^{2}-a^{2}\\right) \\) 이 되도록 할 수 있음을 뜻한다.", "즉, 다음이 성립한다.", "</p><p>따라서 \\( \\lim _{\\|P\\| \\rightarrow 0} S(f, P, \\xi)=\\frac{1}{2}\\left(b^{2}-a^{2}\\right) \\) \\( \\int_{a}^{b} f(x) d x=\\int_{a}^{b} x d x=\\frac{1}{2}\\left(b^{2}-a^{2}\\right) . \\)", "</p><p>예제 \\( 2.2 \\) ( \\(2001\\).", "임용고사)</p><p>함수 \\( f:[0,1] \\rightarrow \\mathbb{R} \\) 이 연속일 때 정적분의 정의를 이용하여 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n} \\sum_{k=1}^{n} f\\left(\\frac{k}{n}\\right) \\) 가 존재함을 보여라.", "</p><p>풀이</p><p>\\( f \\) 는 \\( [0,1] \\) 에서 연속이면 정리 \\( 5.10 \\) 에 의하여 \\( f \\) 는 \\( [0,1] \\) 에서 적분가능하다. 따라서 정리 \\( 5.16 \\) 에 의하여 임의의 \\( \\varepsilon>0 \\) 에 대하여 다음을 만족하는 \\( \\delta>", "0 \\) 가 존재한다.", "</p><p>\\( \\|P\\|<\\delta \\Rightarrow\\left|S(f, P, \\xi)-\\int_{0}^{1} f(x) d x\\right|<\\varepsilon \\)<caption>(1)</caption></p><p>이제 \\( \\varepsilon>0 \\) 이 임의로 주어졌다고 하자. 위의 식을 만족하는 \\( \\delta \\) 에 대해 \\( \\frac{1}{N}\\langle\\delta \\) 를 만족하는 자연수 \\( N \\) 을 선택하고, \\( n>", "N \\) 인 자연수 \\( n \\) 에 대해 구간 \\( [0,1] \\) 의 \\( n \\) 등분할 \\( P_{n}=\\left\\{0<\\frac{1}{n}<\\cdots<\\frac{n-1}{n}<1\\right\\} \\) 을 생각하자.", "각 부분구간에서 \\( \\xi_{k}=\\frac{k}{n}(k=1,2, \\cdots, n) \\) 으로 잡으면 리만 합은 다음과 같다.", "</p><p>\\( S\\left(f, P_{n}, \\xi\\right)=\\sum_{k=1}^{n} f\\left(\\xi_{k}\\right) \\Delta x_{k}=\\frac{1}{n} \\sum_{k=1}^{n} f\\left(\\frac{k}{n}\\right) \\)</p><p>\\( \\|P\\|=\\frac{1}{n}<\\frac{1}{N}<\\delta \\) 이므로 \\( (1) \\)에 의하여 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( \\left|\\frac{1}{n} \\sum_{k=1}^{n} f\\left(\\frac{k}{n}\\right)-\\int_{0}^{1} f(x) d x\\right|<\\varepsilon . \\)", "</p><p>즉, \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n} \\sum_{k=1}^{n} f\\left(\\frac{k}{n}\\right)=\\int_{0}^{1} f(x) d x \\) 이다.", "</p><p>예제 \\( 2.3 \\)</p><p>정적분의 정의를 이용하여 다음 수열의 극한을 구하여라.", "</p><p>\\( s_{n}=\\frac{\\sqrt{n+1}+\\sqrt{n+2}+\\cdots+\\sqrt{2 n}}{n^{3 / 2}}, n=1,2, \\cdots \\)</p><p>풀이</p><p>\\( s_{n}=\\frac{1}{n} \\frac{\\sqrt{n+1}+\\sqrt{n+2}+\\cdots+\\sqrt{2 n}}{\\sqrt{n}}=\\frac{1}{n} \\sum_{k=1}^{n} \\sqrt{1+\\frac{k}{n}} \\) 이므로 \\( f(x)=\\sqrt{1+x} \\) 로 두면 \\( f(x) \\) 는 구간 \\( [0,1] \\) 에서 연속이고, \\( s_{n}=\\frac{1}{n} \\sum_{k=1}^{n} f\\left(\\frac{k}{n}\\right) \\) 이다.", "따라서 예제 \\( 2.2 \\) 의 풀이처럼 다음과 같이 계산할 수 있다.", "</p><p>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} S_{n}=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n} \\sum_{k=1}^{n} f\\left(\\frac{k}{n}\\right)=\\int_{0}^{1} f(x) d x=\\int_{0}^{1} \\sqrt{1+x} d x=\\frac{2}{3}(2 \\sqrt{2}-1) \\)</p><p>예제 \\( 2.4 \\) ( \\( 2000.\\) 임용고사)</p><p>정적분을 이용하여 다음 극한을 구하여라.", "</p><p>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\sqrt{n+1}+\\sqrt{n+2}+\\cdots+\\sqrt{2 n}}{\\sqrt{1}+\\sqrt{2}+\\cdots+\\sqrt{n}} \\)</p><p>풀이</p><p>각 항을 다시 쓰면 다음과 같다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} \\frac{\\sqrt{n+1}+\\sqrt{n+2}+\\cdots+\\sqrt{2 n}}{\\sqrt{1}+\\sqrt{2}+\\cdots+\\sqrt{n}} &=\\frac{\\sqrt{n+1}+\\sqrt{n+2}+\\cdots+\\sqrt{2 n}}{n^{3 / 2}} \\frac{n^{3 / 2}}{\\sqrt{1}+\\sqrt{2}+\\cdots+\\sqrt{n}} \\\\ &=\\left(\\frac{1}{n} \\sum_{k=1}^{n} \\sqrt{1+\\frac{k}{n}}\\right) \\left/ \\left(\\frac{1}{n} \\sum_{k=1}^{n} \\sqrt{\\frac{k}{n}}\\right)\\right. \\", "end{aligned} \\)</p><p>예제 \\( 2.3 \\) 에서 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n} \\sum_{k=1}^{n} \\sqrt{1+\\frac{k}{n}}=\\int_{0}^{1} \\sqrt{1+x} d x=\\frac{2}{3}(2 \\sqrt{2}-1) \\) 이고, 같은 방법으로 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n} \\sum_{k=1}^{n} \\sqrt{\\frac{k}{n}}=\\int_{0}^{1} \\sqrt{x} d x=\\frac{2}{3} \\) 이므로 구하는 극한은 \\( \\frac{2}{3}(2 \\sqrt{2}-1) / \\frac{2}{3}=2 \\sqrt{2}-1 \\) 이다.", "</p> <h1>5.2 적분의 성질</h1><p>\\( f \\) 가 \\( [a, b] \\) 에서 적분가능할 때 다음과 같이 정의한다.", "</p><p>\\( \\int_{a}^{a} f(x) d x=0, \\quad \\int_{b}^{a} f(x) d x=-\\int_{a}^{b} f(x) d x . \\)", "</p><p>정리 \\( 5.12 \\) \\( f \\) 가 \\( [a, b] \\) 에서 적분가능하고, \\( [c, d] \\subset[a, b] \\) 이면 \\( f \\) 가 \\( [c, d] \\) 에서 적분가능하다.", "</p><p>증명</p><p>\\( \\varepsilon>0 \\) 이 주어졌다고 하자. \\", "( f \\) 가 \\( [a, b] \\) 에서 적분가능하면 정리 \\( 5.8 \\)에 의하여 구간 \\( [a, b] \\) 의 분할 \\( P \\) 가 존재하여 다음을 만족한다.", "</p><p>\\( U(f, P)-L(f, P)<\\varepsilon \\)</p><p>\\( P \\) 에 분할점 \\( c, d \\) 를 추가한 세분할을 \\( P^{\\prime}=P \\bigcup\\{c, d\\} \\) 라 하면 보조정리 \\( 5.4 \\) 에 의하여 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( L(f, P) \\leq L\\left(f, P^{\\prime}\\right) \\leq U\\left(f, P^{\\prime}\\right) \\leq U(f, P) \\)</p><p>따라서 \\( U\\left(f, P^{\\prime}\\right)-L\\left(f, P^{\\prime}\\right)<\\varepsilon \\) 이다.", "</p><p>다음으로 \\( P^{*}=P^{\\prime} \\bigcap[c, d] \\) 로 두면 \\( P^{*} \\) 는 구간 \\( [c, d] \\) 의 분할이 된다.", "구간 \\( [c, d] \\) 의 분할 \\( P^{*} \\) 에 대한 상합과 하합을 각각 \\( U_{c}^{d}\\left(f, P^{*}\\right) \\) 와 \\( L_{c}^{d}\\left(f, P^{*}\\right) \\) 로 나타내면 다음 부등식을 얻는다.", "</p><p>\\( U_{c}^{d}\\left(f, P^{*}\\right)-L_{c}^{d}\\left(f, P^{*}\\right) \\leq U\\left(f, P^{\\prime}\\right)-L\\left(f, P^{\\prime}\\right) \\)</p><p>위 부등식은 우변에 \\( \\left(M_{k}-m_{k}\\right) \\triangle x_{k} \\) 의 모양의 합이 더 많이 있기 때문에 성립한다.", "따라서 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( U_{c}^{d}\\left(f, P^{*}\\right)-L_{c}^{d}\\left(f, P^{*}\\right)<\\varepsilon \\)</p><p>따라서 정리 \\( 5.8 \\) 에 의하여 \\( f \\) 는 \\( [c, d] \\) 에서 적분가능하다.", "</p><p>다음 보조정리는 유계 함수의 적분가능성을 증명하는데 요긴하게 쓰이는 정리인데 그 증명은 독자에게 남긴다.", "</p> <p>따름정리 \\( 5.18 \\) 함수 \\( f \\) 와 \\( g \\) 가 \\( [a, b] \\) 에서 적분가능하면 다음이 성립한다. \\", "( \\int_{a}^{b}\\{f(x)-g(x)\\} d x=\\int_{a}^{b} f(x) d x-\\int_{a}^{b} g(x) d x \\)</p><p>증명</p><p>\\( f(x)-g(x)=f(x)+(-1) g(x) \\) 이므로 정리 \\( 5.17 \\)에 의해서 따름정리가 성립한다.", "</p><p>정리 \\( 5.16 \\)과 정리 \\( 5.12 \\) 로부터 다음 정리를 얻는다.", "</p><p>정리 \\( 5.19 \\) 함수 \\( f \\) 가 \\( [a, b] \\) 에서 적분가능하고, \\( c \\in(a, b) \\) 이면, 다음이 성립한다. \\", "( \\int_{a}^{b} f(x) d x=\\int_{a}^{c} f(x) d x+\\int_{c}^{b} f(x) d x \\)</p><p>\\( c \\) 가 임의의 실수일 때도 각 적분이 존재하면 정리 \\( 5.19 \\) 가 성립한다.", "</p><p>정리 \\( 5.20 \\) 함수 \\( f \\) 가 \\( [a, b] \\) 에서 적분가능하고, \\( f(x) \\geq 0 \\) 이면, 다음이 성립한다. \\", "( \\int_{a}^{b} f(x) d x \\geq 0 \\)</p><p>증명</p><p>\\( [a, b] \\) 의 임의의 분할 \\( P=\\left\\{x_{0}, x_{1}, \\cdots, x_{n}\\right\\} \\) 에 대하여 중간점 \\( \\xi_{k} \\in\\left[x_{k-1}, x_{k}\\right] \\) 의 선택에 관계없이 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( S(f, P, \\xi)=\\sum_{k=1}^{n} f\\left(\\xi_{k}\\right) \\Delta x_{k} \\geq 0 \\)</p><p>따라서 \\( \\int_{a}^{b} f(x) d x=\\lim _{\\|P\\| \\rightarrow 0} S(f, P, \\xi) \\geq 0 \\) 이다.", "</p><p>정리 \\( 5.21 \\) 함수 \\( f \\) 와 \\( g \\) 가 구간 \\( [a, b] \\) 에서 적분가능하고, 모든 \\( x \\in[a, b] \\) 에 대하여 \\( f(x) \\leq g(x) \\) 이면, 다음이 성립한다. \\", "( \\int_{a}^{b} f(x) d x \\leq \\int_{a}^{b} g(x) d x \\)</p><p>증명</p><p>\\( 0 \\leq g(x)-f(x) \\) 이므로 정리 \\( 5.20 \\) 과 따름정리 \\( 5.18 \\) 에 의하여 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( 0 \\leq \\int_{a}^{b}\\{g(x)-f(x)\\} d x=\\int_{a}^{b} g(x) d x-\\int_{a}^{b} f(x) d x \\)</p><p>따라서 \\( \\int_{a}^{b} g(x) d x \\geq \\int_{a}^{b} f(x) d x \\) 이다.", "</p><p>\\( f \\) 가 실함수일 때 음이 아닌 함수 \\( f^{+} \\)와 \\( f^{-} \\)를 다음과 같이 정의한다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} f^{+}(x) &=\\left\\{\\begin{array}{ll}f(x), & f(x) \\geq 0 \\\\ 0, & f(x)<0\\end{array}\\right.\\\\ f^{-}(x) &=\\left\\{\\begin{array}{ll}-f(x), & f(x) \\leq 0 \\\\ 0, & f(x)>", "0\\end{array}\\right.\\", "end{aligned} \\)</p><p>그러면 \\( f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x),|f(x)|=f^{+}(x)+f^{-}(x) \\) 이다. \\", "( f \\) 가 구간 \\( [a, b] \\) 에서 유계이면, \\( f^{+} \\)와 \\( f^{-} \\)도 \\( [a, b] \\) 에서 유계이다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "해석학_리만적분", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-3b7b-42c8-9168-f64226bf2625", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961050036", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2007", "doc_author": [ "조영수", "강주호", "박동완" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>\\( 39 \\). \\", "( 12 \\) 명의 사람을 각각 \\( 4 \\)명씩 세 그룹으로 나누는데 특별히 두 사람 \\( A, B \\) 가 같은 그룹에 있는 경우의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(1575\\)</p><p>\\( 40 \\).", "방정식 \\( 2 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=8 \\) 의 음이 아닌 정수해의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(175\\)</p><p>\\( 41 \\).", "원 위에 \\( n \\) 개의 점이 있다.", "이 중에서 연속되지 않은 \\( k \\) 개의 점을 선택하는 방법의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\( \\frac{n}{n-k}\\left(\\begin{array}{c}n-k \\\\ k\\end{array}\\right) \\)</p><p>\\( 42 \\). \\", "( \\left(1+x+x^{2}+\\cdots+x^{n}\\right)^{3} \\) 의 전개식에서 \\( x^{2 n} \\) 의 계수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\( \\left(\\begin{array}{c}2 n+2 \\\\ 2\\end{array}\\right)-3\\left(\\begin{array}{c}n+1 \\\\ 2\\end{array}\\right) \\)</p><p>참고로, \\( \\left(1+x+x^{2}+\\cdots+x^{10}\\right)^{3} \\) 의 전개식에서 \\( x^{20} \\) 의 계수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(66\\)</p><p>\\( 43 \\).", "숫자 \\( 1,2,3 \\) 으로 이루어진 \\( n \\) 자리 수 중에서 정확히 \\( 1 \\) 이 \\( k \\) 번 나오는 수의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\( \\left(\\begin{array}{l}n \\\\ k\\end{array}\\right) 2^{n-k} \\)</p><p>참고로, 숫자 \\( 1,2,3 \\) 으로 이루어진 \\( 6 \\) 자리 수 중에서 정확히 \\( 1 \\)이 홀수번 나오는 수의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(364\\)</p><p>\\( 44 \\).", "학생 \\( 8 \\) 명을 세 개의 방에 \\( 2 \\) 명, \\( 3 \\)명, \\( 3 \\)명으로 나누어 투숙시키려고 한다.", "이때 \\( 8 \\) 명 중 주어진 \\( 2 \\)명을 같은 방에 배정하는 방법의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(420\\)</p> <p>예제 \\(4\\).", "아버지가 \\(3\\) 명의 아들에게 모양과 크기가 같은 \\(10\\) 개의 사과를 나누어 주려고 한다.", "한 개도 못 받는 아들이 없도록 하면서 사과를 나누어 주는 방법의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이 \\(1\\)) \\(3\\)명의 아들에게 나누어 주는 사과의 개수를 각각 \\( x, y, z \\) 라 하면 \\[ x+y+z=10 \\text { (단, } x, y, z \\geqq 1 \\text { ) } \\] \\( x=1 \\) 일 때 \\( (y, z)=(1,8),(2,7), \\cdots,(8,1) \\) 의 \\(8\\)가지 \\( x=2 \\) 일 때 \\( (y, z)=(1,7),(2,6), \\cdots,(7,1) \\) 의 \\(7\\)가지</p><p>\\( x=8 \\) 일 때 \\( (y, z)=(1,1) \\) 의 \\(1\\)가지 따라서 구하는 경우의 수는 \\( 1+2+\\cdots+8=\\frac{8 \\cdot 9}{2}=36 \\)</p><p>(풀이2) 사과를 한 개도 못 받는 아들이 없어야 하므로 \\( 3 \\) 명의 아들에게 미리 사과를 \\(1\\) 개씩 나누어 준 후 \\(7\\)개의 사과를 \\( 3 \\)명의 아들에게 나누어 주는 방법의 수와 같으므로 구하는 경우의 수는 \\[ { }_{3} \\mathrm{H}_{7}={ }_{3+7-1} \\mathrm{C}_{7}={ }_{9} \\mathrm{C}_{7}={ }_{9} \\mathrm{C}_{2}=36 \\]</p><p>예제 \\( 5 \\).", "어느 상담 교사는 월요일, 화요일, 수요일 \\( 3 \\)일 동안 학생 \\( 9 \\) 명과 상담하기 위하여 상담계획표를 작성하려고 한다.", "</p><p>상담 교사는 각 학생과 한 번만 상담하고, 요일별로 적어도 한 명의 학생과 상담한다.", "상담계획표에 학생 수만을 기록할 때, 작성할 수 있는 상담계획표의 가짓수를 구하시오.", "(단, \\( a, b, c \\) 는 자연수이다.)", "</p><p>(풀이) \\( a+b+c=9 \\) (단, \\( a, b, c \\geqq 1 \\) )에서 \\( a-1=x, b-1=y, c-1=z \\) 로 놓으면 구하는 가짓수는 \\( x+y+z=6 \\) 의 음이 아닌 정수해의 개수와 같다. \\", "[ \\therefore{ }_{3} \\mathrm{H}_{6}={ }_{8} \\mathrm{C}_{6}={ }_{8} \\mathrm{C}_{2}=\\frac{8 \\times 7}{2}=28 \\]</p><p>예제 \\( 6 \\).", "방정식 \\( x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=20 \\) 에서 \\( x_{1} \\geqq 3, x_{2} \\geqq 1, x_{3} \\geqq 0, x_{4} \\geqq 5 \\) 을 만족하는 정수해의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\( y_{1}=x_{1}-3, y_{2}=x_{2}-1, y_{3}=x_{3}, y_{4}=x_{4}-5 \\) 로 놓으면, 구하는 답은 방정식 \\( y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}=11 \\) 의 음이 아닌 정수해의 개수와 같다.", "따라서 답은 \\[ 11+4-{ }_{1} C_{11}={ }_{14} C_{11}={ }_{14} C_{3}=364 \\]</p> <p>\\(18\\). \\", "( a, b, c, d, e \\) 의 문자를 중복사용하여 \\(5\\) 개의 문자를 택해 일렬로 나열할 때, 사용된 문자의 종류가 \\(3\\) 가지인 경우의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(1500\\)</p><p>\\(19\\).", "서로 다른 \\(5\\) 개의 사탕을 \\( A, B, C \\) 세 사람에게 각 사람이 적어도 한 개씩 받도록 남김없이 나누어 줄 때, \\( A \\) 가 받은 사탕의 개수가 \\( B, C \\) 가 받은 사탕의 개수보다 많거나 같은 경우의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(80\\)</p><p>\\(20\\).", "같은 종류의 주스 \\(4 \\)병, 같은 종류의 생수 \\(2\\) 병, 우유 \\(1\\) 병을 \\(3\\) 명에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는?", "(단, \\(1\\) 병도 받지 못하는 사람이 있을 수 있다.)", "</p><ol type=1 start=1><li>\\(330\\)</li><li>\\(315\\)</li><li>\\(300\\)</li><li>\\(285\\)</li><li>\\(270\\)</li></ol><p>(풀이) 답은 (\\(5\\))</p><p>\\( 21 \\).", "학생 \\( A \\) 가 \\( 1,2,3,4,5 \\) 중 중복을 허락하여 \\(3\\) 개의 수를 택하고, 학생 \\( B \\) 도 \\( 1,2,3,4,5 \\) 중 중복을 허락하여 \\(3\\) 개의 수를 택할 때, 두 학생 \\( A \\) 와 \\( B \\) 가 택한 \\(6\\) 개의 수가 짝수 \\(2\\) 개, 홀수 \\(4\\) 개인 경우의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(324\\)</p><p>\\( 22 \\).", "같은 종류의 모자 \\(10\\) 개, 같은 종류의 티셔츠 \\(5\\)벌을 \\( A, B, C \\) 세 모둠에게 남김없이 나누어 주려고 한다.", "각 모둠은 모자 \\(2\\) 개 이상, 티셔츠 \\(1\\) 벌 이상씩 받는다고 할 때, 나누어 주는 경우의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(90\\)</p><p>\\( 23 \\).", "다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 \\( a, b, c, d, e \\) 의 모든 순서쌍 \\( (a, b, c, d, e) \\) 의 개수를 구하시오.", "</p><p>(가) \\( a+b+c=3(d+e) \\)<p>(나) \\( 0<a+b+c+d+e \\leqq 10 \\)</p></p><p>(풀이) \\(104\\)</p><p>\\( 24 \\).", "다음 조건을 만족시키는 자연수 \\( a, b, c \\) 의 모든 순서쌍 \\( (a, b, c) \\) 의 개수를 구하시오.", "</p><p>(가) \\( a \\times b \\times c \\) 는 짝수이다.", "<p>(나) \\( a \\leqq b \\leqq c \\leqq 15 \\)</p></p><p>(풀이) \\(560\\)</p> <p>\\(9\\).", "같은 종류의 딸기맛 사탕 \\(5\\)개와 같은 종류의 포도맛 사탕 \\(5\\)개를 세 명에게 남김없이 나누어 주려고 할 때, 포도맛 사탕은 각 사람이 적어도 \\(1\\) 개씩 받도록 나누어 주는 경우의 수를 구하시오.", "(단, 딸기맛 사탕을 받지 않은 사람이 있을 수 있다.)", "</p><p>(풀이) \\(126\\)</p><p>\\(10\\).", "전체 회원이 \\(10\\) 명인 어느 동호회에서 회장을 선출하는데 \\(3\\) 명의 후보가 나왔다고 한다.", "한 명의 후보를 선택하여 무기명으로 투표한다고 할 때, 가능한 득표 결과의 경우의 수를 구하시오.", "(단, 기권과 무효표는 없고, 후보인 회원도 투표를 한다.)", "</p><p>(풀이) \\(66\\)</p><p>11. \\( (a+b+c)^{4}(d+e)^{4} \\) 의 전개식에서 서로 다른 항의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(75\\)</p><p>\\(12\\).", "집합 \\( S=\\{x \\mid x \\) 는 \\(10\\) 이하의 자연수 \\( \\} \\) 의 부분집합 중 원소의 개수가 \\(3\\) 이고 이 세 원소의 합이 홀수인 집합의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(60\\)</p><p>\\(13\\).", "한 개의 주사위를 \\(5\\) 번 던질 때, \\( k \\) 번째 나타나는 눈의 수를 \\( a_{k} \\) 라 하자. \\", "( a_{1} \\leqq a_{2} \\leqq a_{3} \\leqq a_{4} \\leqq a_{5} \\) 를 만족시키는 경우의 수를 \\( p, a_{1} \\leqq a_{2}<a_{3} \\leqq a_{4} \\leqq a_{5} \\) 를 만족시키는 경우의 수를 \\( q \\) 라 할 때, \\( p+q \\) 의 값을 구하시오.", "(단, \\( k=1,2,3,4,5 \\) )</p><p>(풀이) \\(378\\)</p><p>\\(14\\).", "집합 \\( X=\\{1,2,3,4,5\\} \\) 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 \\( f: X \\rightarrow X \\) 의 개수를 구하시오.", "</p><p>(가) \\( f(1)<f(2)<f(3) \\)<p>(나) \\( f(4) \\leqq f(5) \\)</p></p><p>(풀이) \\(150\\)</p><p>\\(15\\).", "서로 다른 영화 \\(5\\) 편 가운데 \\( A \\) 는 영화를 \\(3\\) 편, \\( B \\) 는 영화를 \\(2\\) 편 선택하려고 한다. \\", "( A \\) 와 \\( B \\) 가 같은 영화를 \\(1\\) 편만 선택하는 경우의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(60\\)</p><p>\\(16\\).", "방정식 \\( (a+b)(c+d+e)=35 \\) 를 만족시키는 자연수 \\( a, b, c, d, e \\) 의 모든 순서쌍 \\( (a, b, c, d, e) \\) 의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(96\\)</p><p>\\(17\\).", "장미, 튤립, 국화 세 종류의 꽃 중에서 \\(10\\)송이를 선택하여 꽃다발을 만들려고 한다.", "장미는 \\(4\\)송이 이상, 튤립은 \\(2\\) 송이 이상, 국화는 \\(1\\) 송이 이상을 선택하여 만들 때, 서로 다른 종류의 꽃다발의 개수를 구하시오.", "(단, 세 종류의 꽃은 각각 충분히 있고, 꽃다발의 꽃의 위치는 고려하지 않는다.)", "</p><p>(풀이) \\(10\\)</p> <p>\\(25\\).", "서로 다른 \\(4\\) 개의 주사위 \\( A, B, C, D \\) 를 동시에 던져 나온 눈의 수를 각각 \\( a, b, c, d \\) 라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 순서쌍 \\( (a, b, c, d) \\) 의 개수를 구하시오.", "</p><p>(가) \\( a<b+1<c+2 \\)<p>(나) \\( c<d \\)</p></p><p>(풀이) \\(70\\)</p><p>\\(26\\).", "그림과 같이 합동인 여섯 개의 정사각형을 이어 붙인 도형 위에 \\(14\\) 개의 점이 놓여 있다.", "이 중에서 세 점을 택하여 만들 수 있는 삼각형의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(332\\)</p><p>\\(27\\).", "방정식 \\( a+b+c+d=12 \\) 의 자연수인 해 중에서 \\(2\\) 개는 짝수이고 \\(2\\)개는 홀수인 해의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(120\\)</p><p>\\(28\\). \\", "(1000\\)보다 작은 자연수 중에서 \\(112\\) 도는 \\(333\\) 과 같이 각 자리에 사용된 숫자가 \\(2\\)개 이하인 자연수의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(351\\)</p><p>\\(29\\). \\", "(1\\) 부터 \\( 30 \\) 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 \\( 30 \\)장의 카드가 주머니에 들어 있다.", "이 주머니에서 \\( A, B, C \\) 의 세 사람이 차례대로 \\( 10 \\) 장씩의 카드를 뽑을 때, \\( A \\) 가 뽑은 카드에 적힌 수의 최솟값이 \\( 8, B \\) 가 뽑은 카드에 적힌 수의 최솟값이 \\( 19 \\) 가 되는 경우의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\( 55 \\times 220=110^{2} \\)</p><p>\\( 30 \\).", "그림과 같이 한 변의 길이가 \\( 1 \\) 인 정사각형 \\( 28 \\) 개를 이어 붙인 도형이 있다.", "이 도형의 선분을 변으로 하는 사각형 중에서 정사각형이 아닌 것의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(220\\)</p><p>\\(31\\).", "네 개의 숫자 \\( 0,1,2,3 \\) 을 중복 사용하여 만들 수 있는 네 자리의 자연수 중에서 \\(0\\) 또는 \\( 1 \\)이 들어 있는 자연수의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(176\\)</p><p>\\(32\\).", "정의역이 \\( X=\\{x|| x \\mid \\leqq 2, x \\) 는 정수 \\( \\} \\) 이고 공역이 \\( Y=\\{y|| y \\mid \\leqq 5, y \\) 는 정수 \\( \\} \\) 인 함수 \\( f \\) 가 다음 조건을 만족시킨다.", "</p><p>(가) 모든 \\( x \\) 에 대하여 \\( f(-x)=-f(x) \\)<p>(나) \\( a<b \\) 이면 \\( f(a) \\leqq f(b) \\) 이다.", "</p></p><p>함수 \\( f \\) 의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(21\\)</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "412", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "수학교재연구:이산수학_조합", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-4284-4ba1-9ae7-5e1883ab4437", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788988615591", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2019", "doc_author": [ "윤영진" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>확인 \\(9-1\\) 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\operatorname{cosec}\\left(\\frac{\\pi}{4}\\right) \\)</li><li>\\( \\sec \\left(\\frac{\\pi}{6}\\right) \\)</li><li>\\( \\cot \\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right) \\)</li></ol><p>확인 \\(9-2\\) 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\operatorname{cosec}\\left(\\frac{\\pi}{6}\\right) \\)</li><li>\\( \\sec \\left(\\frac{\\pi}{4}\\right) \\)</li><li>\\( \\cot \\left(-\\frac{\\pi}{3}\\right) \\)</li></ol><p>확인 \\(9-3\\) 다음을 미분하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=\\sin (-2 x+1) \\)</li><li>\\( y=\\cos (-3 x+1) \\)</li><li>\\( y=\\tan (2 x) \\)</li></ol><p>확인 \\(9-4\\) 다음을 미분하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=\\sec (3 x+2) \\)</li><li>\\( y=\\operatorname{cosec}(4 x+2) \\)</li><li>\\( y=\\cot (5 x-3) \\)</li></ol><p>확인 \\(9-5\\) 다음을 간단히 하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\ln \\sqrt{e}-\\ln \\frac{1}{e} \\)</li><li>\\( \\ln e^{3}+\\ln e^{5}-\\ln \\sqrt{e} \\)</li></ol><p>확인 \\(9-6\\) 다음을 미분하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=3^{x}+e^{x} \\)</li><li>\\( y=x^{2} e^{x} \\)</li><li>\\( y=3^{2 x+1} \\)</li><li>\\( y=(2 x+1) e^{2 x} \\)</li></ol><p>확인 \\(9-7\\) 다음을 미분하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=\\log _{3}(3 x+2) \\)</li><li>\\( y=\\ln (-2 x+3) \\)</li><li>\\( y=\\ln \\left(x^{2}-1\\right) \\)</li><li>\\( y=x^{2} \\ln x \\)</li></ol><p>확인 \\(9-8\\) 다음을 미분하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=(2 x+1)^{x} \\)을 미분하여라.", "</li><li>\\( y=(2 x+1)^{\\cos x} \\)을 미분하여라.", "</li><li></li><li></li></ol><p>확인 \\(9-9\\) 다음 함수를 미분하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=\\sinh (2 x)-\\cosh (3 x) \\)</li><li>\\( y=e^{x} \\tanh (2 x) \\)</li></ol><p>확인 \\(9-10\\) 다음 극한을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{x-1}{x^{2}-4 x+3} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{\\sqrt{x+3}-2}{x-1} \\)</li></ol> <h1>9-1 삼각함수의 역수</h1><ul><li>\\( \\frac{1}{\\sin x}=\\operatorname{cosec} x \\) 또는 \\( \\csc x \\)(코시컨트)</li><li>\\( \\frac{1}{\\cos x}=\\sec x \\) (시컨트)</li><li>\\( \\frac{1}{\\tan x}=\\cot x \\) (코탄젠트)</li></ul><p>연습 \\(9-1\\) 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\operatorname{cosec}\\left(\\frac{\\pi}{3}\\right) \\)</li><li>\\( \\sec \\left(\\frac{\\pi}{3}\\right) \\)</li><li>\\( \\cot \\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right) \\)</li></ol><h1>9-2 삼각함수의 미분법</h1><p>\\( x \\)가 라디안의 각도일 때 \\[ \\begin{array}{l} (\\sin x)^{\\prime}=\\cos x,(\\cos x)^{\\prime}=-\\sin x \\\\ (\\tan x)^{\\prime}=\\sec ^{2} x,(\\cot x)^{\\prime}=-\\operatorname{cosec}^{2} x \\\\ (\\sec x)^{\\prime}=\\sec x \\tan x,(\\operatorname{cosec} x)^{\\prime}=-\\operatorname{cosec} x \\cot x \\end{array} \\]</p><p>연습 \\(9-8\\) 다음 극한을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=\\sin (2 x+1) \\)</li><li>\\( y=\\cos (3 x+1) \\)</li><li>\\( y=\\tan (-4 x) \\)</li><li>\\( y=\\sec (5 x) \\)</li></ol><h1>9-3 자연로그</h1><ul><li>\\( e=\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(1+\\frac{1}{n}\\right)^{n} \\approx 2.71828182846 \\)이며 자연상수라고 한다.", "</li><li>밑이 \\( e \\)인 로그 \\( \\log _{e} x \\)를 자연로그라고 하고 \\( \\ln x \\)로 나타낸다.", "</li><li>\\( \\ln e=1 \\)</li></ul><p>연습 \\(9-3\\) 다음을 간단히 하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\ln \\sqrt{e} \\)</li><li>\\( \\ln \\frac{1}{e} \\)</li><li>\\( \\ln e^{e} \\)</li><li>\\( \\ln \\left(e^{3} \\cdot e^{5}\\right) \\)</li></ol><h1>9-4 지수함수의 미분</h1><ul><li>\\( \\left(a^{x}\\right)^{\\prime}=a^{x} \\cdot \\ln a(a>0, a \\neq 1) \\)</li><li>\\( \\left(e^{x}\\right)^{\\prime}=e^{x} \\)</li><li>\\( \\left(a^{f(x)}\\right)^{\\prime}=a^{f(x)} \\cdot \\ln a \\cdot f^{\\prime}(x) \\)</li><li>\\( \\left(e^{f(x)}\\right)^{\\prime}=e^{f(x)} \\cdot f^{\\prime}(x) \\)</li></ul><p>연습 \\(9-4\\) 다음을 미분하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=3^{x}-e^{x} \\)</li><li>\\( y=x e^{x} \\)</li><li>\\( y=2^{3 x+1} \\)</li><li>\\( y=x e^{2 x} \\)</li></ol><h1>9-5 로그함수의 미분</h1>\\( \\left(\\log _{a} x\\right)^{\\prime}=\\frac{1}{x} \\cdot \\frac{1}{\\ln a} \\) \\( (\\ln x)^{\\prime}=\\frac{1}{x} \\) \\( \\left(\\log _{a} f(x)\\right)^{\\prime}=\\frac{f^{\\prime}(x)}{f(x)} \\cdot \\frac{1}{\\ln a} \\) \\( (\\ln f(x))^{\\prime}=\\frac{f^{\\prime}(x)}{f(x)} \\)<ul><li>\\( \\left(\\log _{a} x\\right)^{\\prime}=\\frac{1}{x} \\cdot \\frac{1}{\\ln a} \\)</li><li>\\( (\\ln x)^{\\prime}=\\frac{1}{x} \\)</li><li>\\( \\left(\\log _{a} f(x)\\right)^{\\prime}=\\frac{f^{\\prime}(x)}{f(x)} \\cdot \\frac{1}{\\ln a} \\)</li><li>\\( (\\ln f(x))^{\\prime}=\\frac{f^{\\prime}(x)}{f(x)} \\)</li></ul><p>연습 \\(9-5\\) 다음을 미분하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=\\log _{2}(3 x+2) \\)</li><li>\\( y=\\ln (5 x+2) \\)</li><li>\\( y=\\ln \\left(x^{2}+1\\right) \\)</li><li>\\( y=x^{3} \\ln x \\)</li></ol><h1>9-6 로그미분법</h1><ul><li>로그는 곱셈을 덧셈으로, 나눗셈을 뺄셈으로 바꾸어 주며, 이 성질을 미분법에 적용한 것 을 로그미분법이라고 한다.", "</li><li>\\( x^{x} \\)와 같이 지수에 변수가 있거나 곱셈이나 나눗셈으로 연결된 복잡한 함수의 미분은 로그 미분법을 사용한다.", "</li><li>\\[ \\begin{aligned} y=\\frac{f(x) g(x)}{h(x)} & \\Leftrightarrow \\ln y=\\ln \\left(\\frac{f(x) g(x)}{h(x)}\\right) \\\\ & \\Leftrightarrow \\ln y=\\ln f(x)+\\ln g(x)-\\ln h(x) \\\\ &\\Leftrightarrow \\frac{y^{\\prime}}{y}=\\frac{f^{\\prime}(x)}{f(x)}+\\frac{g^{\\prime}(x)}{g(x)}-\\frac{h^{\\prime}(x)}{h(x)} \\text { (로그미분법) } \\\\ & \\Leftrightarrow y^{\\prime}=y\\left(\\frac{f^{\\prime}(x)}{f(x)}+\\frac{g^{\\prime}(x)}{g(x)}-\\frac{h^{\\prime}(x)}{h(x)}\\right) \\\\ & \\Leftrightarrow y^{\\prime}=\\frac{f(x) g(x)}{h(x)}\\left(\\frac{f^{\\prime}(x)}{f(x)}+\\frac{g^{\\prime}(x)}{g(x)}-\\frac{h^{\\prime}(x)}{h(x)}\\right) \\end{aligned} \\]</li></ul><p>연습 \\(9-6\\)</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=x^{x} \\)을 미분하여라.", "</li><li>\\( y=(2 x+1)^{\\sin x} \\)을 미분하여라.", "</li></ol><h1>9-7 쌍곡선함수</h1><ul><li>\\( \\sinh x=\\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\\)(쌍곡사인함수)</li><li>\\( \\cosh x=\\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\\)(쌍곡코사인함수)</li><li>\\( \\tanh x=\\frac{\\sinh x}{\\cosh x}=\\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} \\)(쌍곡탄젠트함수)</li><li>\\( (\\sinh x)^{\\prime}=\\cosh x,(\\cosh x)^{\\prime}=\\sinh x, \\quad(\\tanh x)^{\\prime}=\\operatorname{sech}^{2} x \\)</li></ul><p>연습 \\(9-7\\) 다음 함수를 미분하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=\\sinh (3 x)+\\cosh (2 x) \\)</li><li>\\( y=e^{x} \\tanh x \\)</li></ol><h1>9-8 (참고) 부정꼴과 로피탈의 정리</h1><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=0 \\)이고 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} g(x)=0 \\)이면 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f(x)}{g(x)} \\)을 \\( \\frac{0}{0} \\)부정꼴이라 한다.", "</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=\\pm \\infty \\)이고 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} g(x)=\\pm \\infty \\)이면 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f(x)}{g(x)} \\)을 \\( \\frac{\\infty}{\\infty} \\)부정꼴이라 한다.", "</li></ol><p>(로피탈의 정리) \\( f(x) \\)와 \\( g(x) \\)가 미분가능하고 \\( a \\)근처에서 \\( g^{\\prime}(x) \\neq 0 \\)이라 가정하자. \\", "( \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f(x)}{g(x)} \\)가 \\( \\frac{0}{0} \\)또는 \\( \\frac{\\infty}{\\infty} \\)부정꼴이고 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f^{\\prime}(x)}{g^{\\prime}(x)} \\)이 존재하면 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f(x)}{g(x)}=\\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f^{\\prime}(x)}{g^{\\prime}(x)} \\)이다.", "</p><p>연습 \\(9-8\\) 다음 극한을 구하여라", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 3} \\frac{x-3}{x^{2}-4 x+3} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 2} \\frac{\\sqrt{x+2}-2}{x-2} \\)</li></ol>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "411", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "기초미적분학_지수, 로그, 삼각함수의 도함수", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-4bb5-4d7c-a285-a149799c888a", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160730579", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2017", "doc_author": [ "전춘배" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>問題 1 \\(4 \\)개의 자동차 부품으로 구성된 시스템이 서로 독립적으로 작동한다고 한다.", "각 부품을 \\(50 \\)회 작동시켜 정상적으로 작동한 횟수를 관찰하였더니 각각 \\( 40,48,45,40 \\)이었다. \\", "( p_ { i } \\) 를 \\( i \\) 번째 부품이 정상적으로 작동할 확률이라고 할 때, 귀무가설 \\[ H_ { 0 } : p_ { 1 } =0.90, p_ { 2 } =0.90, p_ { 3 } =0.80, p_ { 4 } =0.80 \\] 을 유의수준 \\( \\alpha=0.05 \\) 로 검정하여라.", "</p> <p>解答 각 관찰도수와 귀무가설하에서의 기대도수를 구하여 괄호 ( )속에 나타내고, 표로 정리하면 다음과 같다.", "<table border><caption>표 7.3</caption> <tbody><tr><td rowspan=2></td><td colspan=3>관측결과</td></tr><tr><td>정상</td><td>불량</td><td>합계</td></tr><tr><td>부품 1</td><td>\\(40 (45) \\)</td><td>\\(10(5) \\)</td><td>\\(50 \\)</td></tr><tr><td>부품 2</td><td>\\(48(45) \\)</td><td>\\(2(5) \\)</td><td>\\(50 \\)</td></tr><tr><td>부품 3</td><td>\\(45(40) \\)</td><td>\\(5(10) \\)</td><td>\\(50 \\)</td></tr><tr><td>부품 4</td><td>\\(40(4) \\)</td><td>\\(10(10) \\)</td><td>\\(50 \\)</td></tr></tbody></table>위의 표에서 검정통계량의 값은 \\[ \\begin {aligned} \\chi ^ { 2 } &= \\sum_ { i=1 } ^ { 4 } \\sum_ { j=1 } ^ { 2 } \\frac {\\left (X_ { i j } -e_ { i j } \\right ) ^ { 2 } } { e_ { i j } } \\\\ &= \\frac { (40-45) ^ { 2 } } { 45 } + \\frac { (10-5) ^ { 2 } } { 5 } + \\frac { (48-45) ^ { 2 } } { 45 } + \\frac { (2-5) ^ { 2 } } { 5 } + \\frac { (45-40) ^ { 2 } } { 40 } \\\\ & \\quad + \\frac { (5-10) ^ { 2 } } { 10 } + \\frac { (40-40) ^ { 2 } } { 40 } + \\frac { (10-10) ^ { 2 } } { 10 } \\\\ &=10.59 \\end {aligned} \\]이므로 근사 \\( \\chi ^ { 2 } \\) 제곱분포의 자유도는 \\(4 \\) 가 된다. 따라서, \\( P \\left \\{\\chi ^ { 2 } >", "9.49 \\right \\} =0.05 \\) 이므로 귀무가설 \\( H_ { 0 } \\) 를 기각한다.", "</p> <li>출현확률이 각각 \\( \\frac { 1 } { 9 } , \\frac { 4 } { 9 } , \\frac { 4 } { 9 } \\) 라는 가설을 유의수준 \\( \\alpha=0.10 \\) 으로 검정하여라.", "</li></ol> <p>5. 구간 \\( \\{ x \\mid 0<x<2 \\} \\) 에서 하나의 수를 랜덤하게 택하는 확률과정에서 \\[ A_ { - } = \\left .x \\mid \\frac { i-1 } { 2 }<x \\leqslant \\frac { i } { 2 } \\right \\} , i=1,2,3, \\quad A_ { 4 } = \\left \\{ x \\mid \\frac { 3 } { 2 }<x<2 \\right \\} \\] 에 대응되는 확률을 \\[ p_ { i 0 } = \\int_ { A_ { i } } \\frac { 2-x } { 2 } d x, i=1,2,3,4 \\] 로 가정한다. \\", "(80 \\)번의 시행에서 집합 \\( A_ { i } (i=1,2,3,4) \\) 의 관찰도수가 각각 \\(30,30,10,10 \\) 일 때, 유의수준 \\( \\alpha=0.05 \\) 로 귀무가설 \\( H_ { 0 } : p_ { i } =p_ { i 0 } (i=1,2,3,4) \\) 를 검정하여라.", "</p> <p>6. 집합 \\( A_ { 1 } = \\{ x \\mid- \\infty<x<0 \\} \\) 와 \\( A_ { 2 } = \\{ x \\mid 6<x< + \\infty \\} \\) 에 대응되는 확률을 \\[ p_ { i 0 } = \\int_ { A_ { i } } \\frac { 1 } { 2 \\sqrt { 2 \\pi } } e ^ { - \\frac { (x-3) ^ { 2 } } { 2(4) } } d x, i=1,2,3,4,5,6,7,8 \\] 로 가정한다. \\", "(1000 \\)회의 시행에서 집합 \\( A_ { i } (i=1,2,3,4,5,6,7,8) \\) 의 관찰돗수가 각각 \\( 60,96,140,210,172,160,88,74 \\) 일 때, 유의수준 \\( \\alpha=0.05 \\) 귀무가설 \\( H_ { 0 } : p_ { i } =p_ { i 0 } (i=1,2,3,4) \\) 를 검정하여라.", "</p> <p>7. 검은 공 \\(5 \\)개, 흰 공 \\(10 \\)개가 들어있는 상자에서 김씨와 이씨 두 사람이 각각 세 개의 공을 꺼내고, 관측된 검은 공의 수를 기록하였다.", "두 사람이 각각 \\(100 \\)회씩 시행하여 얻은 결과가 다음과 같았다.", "</p> <table border><caption></caption> <tbody><tr><td>관찰값</td><td>\\(0 \\)</td><td>\\(1 \\)</td><td>\\(2 \\)</td><td>\\(3 \\)</td></tr><tr><td>김씨</td><td>\\(25 \\)</td><td>\\(40 \\)</td><td>\\(25 \\)</td><td>\\(10 \\)</td></tr><tr><td>이씨</td><td>\\(40 \\)</td><td>\\(40 \\)</td><td>\\(15 \\)</td><td>\\(5 \\)</td></tr></tbody></table>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "413", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "확률과 통계_적합도검정", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-4544-4024-b179-ee75ef339b77", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961059053", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2015", "doc_author": [ "김원배" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>13-1 벡터</h1><ul><li>크기와 방향을 가진 양을 벡터라 한다.", "벡터는 화살표가 있는 유향선분으로 표시하며 유향 선분의 방향이 벡터의 방향, 유향선분의 길이가 벡터의 크기를 타나낸다.", "</li><li>벡터는 \\( A, a, \\vec{a}, \\overrightarrow{A B}, \\overrightarrow{O A} \\) 등으로 표시한다.", "</li><li>시점과 종점의 위치와 관계없이, 두 벡터 \\( \\overrightarrow{A B}, \\overrightarrow{C D} \\) 의 크기와 방향이 같을 때, 두 벡터는 서로 같다고 하고 \\( \\overrightarrow{A B}=\\overrightarrow{C D} \\) 라고 쓴다.", "벡터 \\( \\overrightarrow{A B} \\) 의 시점과 종점을 바꾼 벡터를 \\( -\\overrightarrow{A B} \\) 로 쓴다.", "</li></ul><p>연습 \\(13-1\\) 다음 직육면체에서 주어진 벡터와 같은 벡터를 모두 찾으시오.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\overrightarrow{A C} \\)</li><li>\\( \\overrightarrow{A F} \\)</li></ol><h1>13-2 벡터의 크기</h1><ul><li>벡터 \\( \\overrightarrow{A B} \\) 의 크기를 \\( |\\overrightarrow{A B}| \\) 로 나타내며, 벡터 \\( \\overrightarrow{A B} \\) 를 유향선분으로 나타냈을 때의 선분의 길이이다.", "</li></ul><p>연습 \\(13-2\\) 좌표평면 위의 시점이 \\( A \\) 이고 종점이 \\( B \\) 인 벡터의 크기를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( A=(1,1), B=(2,3) \\)</li><li>\\( A=(0,0), B=(-1,2) \\)</li></ol><h1>13-3 벡터의 연산</h1><ul><li>벡터 \\( \\overrightarrow{A B} \\) 와 \\( \\overrightarrow{B C} \\) 의 덧셈은 \\( \\overrightarrow{A B}+\\overrightarrow{B C}=\\overrightarrow{A C} \\) 이다.", "</li><li>벡터 \\( \\overrightarrow{A B} \\) 와 \\( \\overrightarrow{A C} \\) 의 뺄셈은 \\( \\overrightarrow{A B}-\\overrightarrow{A C}=\\overrightarrow{C B} \\) 이다.", "</li><li>임의의 실수 \\( k \\) 와 벡터 \\( \\overrightarrow{A B} \\) 의 곱 \\( k \\overrightarrow{A B} \\) 는<ol type=1 start=1><li>\\( k>0 \\) 이면 \\( k \\overrightarrow{A B} \\) 의 크기는 \\( k|\\overrightarrow{A B}| \\) 이고 방향은 \\( \\overrightarrow{A B} \\) 와 같다.", "</li><li>\\( k<0 \\) 이면 \\( k \\overrightarrow{A B} \\) 의 크기는 \\( |k \\| \\overrightarrow{A B}| \\) 이고 방향은 \\( \\overrightarrow{A B} \\) 와 반대방향이다.", "</li><li>\\( k=0 \\) 이면 \\( k \\overrightarrow{A B}=\\overrightarrow{0} \\) 이다.", "영벡터 \\( \\overrightarrow{0} \\) 은 크기가 0 인 벡터로 방향은 생각하지 않는다.", "</li></ol></li><li>벡터의 연산 법칙<ol type=1 start=1><li>\\( \\vec{a}+\\vec{b}=\\vec{b}+\\vec{a} \\)</li><li>\\( \\vec{a}+\\overrightarrow{0}=\\overrightarrow{0}+\\vec{a}=\\vec{a} \\)</li><li>\\( (k l) \\vec{a}=k(\\vec{a}) \\) 단, \\( k \\) 는 실수</li><li>\\( (\\vec{a}+\\vec{b})+\\vec{c}=\\vec{a}+(\\vec{b}+\\vec{c}) \\)</li><li>\\( \\vec{a}+\\vec{x}=\\overrightarrow{0} \\) 이면 \\( \\vec{x}=-\\vec{a} \\)</li><li>\\( (k+l) \\vec{a}=k \\vec{a}+\\vec{a} \\) 단, \\( k \\) 와 \\( l \\) 은 실수</li></ol></li></ul><p>연습 \\(13-3\\) 다음을 계산하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\vec{a}+2 \\vec{a}-4 \\vec{a}+2 \\vec{a} \\)</li><li>\\( 2(\\vec{a}+2 \\vec{b})+4(\\vec{a}-2 \\vec{b}) \\)</li></ol><h1>13-4 벡터의 성분표시</h1><ul><li>원점 \\( O \\) 를 시점으로 하는 벡터 \\( \\overrightarrow{O A} \\) 를 위치벡터라고 한다.", "</li><li>\\( A=\\left(a_{1}, a_{2}\\right) \\) 에 대해 위치벡터 \\( \\overrightarrow{O A} \\) 를 \\( \\left(a_{1}, a_{2}\\right) \\) 로 나타내는 것을 벡터 \\( \\overrightarrow{O A} \\) 의 성분표시라 하고 \\( a_{1} \\) 을 \\( \\overrightarrow{O A} \\) 의 \\( x \\) 성분, \\( a_{2} \\) 를 \\( \\overrightarrow{O A} \\) 의 \\( y \\) 성분이라 한다.", "</li><li>\\( \\vec{a}=\\left(a_{1}, a_{2}\\right), \\vec{b}=\\left(b_{1}, b_{2}\\right) \\) 일 때,<ol type=1 start=1><li>\\( \\vec{a}=\\vec{b} \\Leftrightarrow a_{1}=b_{1}, a_{2}=b_{2} \\)</li><li>\\( |\\vec{a}|=\\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}} \\)</li><li>\\( \\vec{a} \\pm \\vec{b}=\\left(a_{1} \\pm b_{2}, a_{2} \\pm b_{2}\\right) \\)</li><li>\\( k \\vec{a}=\\left(k a_{1}, k a_{2}\\right) \\)</li></ol></li></ul><p>연습 \\(13-4\\) \\( \\vec{a}=(1,2), \\vec{b}=(-1,3) \\) 일 때, 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 3 \\vec{a} \\)</li><li>\\( \\vec{a}+\\vec{b} \\)</li><li>\\( 3 \\vec{a}-2 \\vec{b} \\)</li><li>\\( \\frac{1}{|\\vec{a}|} \\vec{a} \\)</li></ol> <p>문제 \\(13-1\\) 벡터 \\( \\vec{a} \\) 가 \\( (1,2) \\) 이고 벡터 \\( \\vec{b} \\) 가 \\( (3,4) \\) 일 때, 다음을 계산하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( -2.5 \\vec{a} \\)</li><li>\\( 3.2 \\vec{a}+2.1 \\vec{b} \\)</li><li>\\( 5.3 \\vec{a}-3.6 \\vec{b} \\)</li></ol><p>문제 \\(13-2\\) \\( \\vec{a}=(1,-4,2), \\vec{b}=(2,7,-1) \\) 일 때, 다음을 계산하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( -2.5 \\vec{a} \\)</li><li>\\( 3.2 \\vec{a}+2.1 \\vec{b} \\)</li><li>\\( 5.3 \\vec{a}-3.6 \\vec{b} \\)</li></ol><p>문제 \\(13-3\\) 두 벡터 \\( \\vec{a}=(2,7), \\vec{b}=(-2,6) \\) 에 대해 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>두 벡터의 내적</li><li>두 벡터의 사이각의 코사인</li><li>두 벡터의 사이각</li></ol><p>문제 \\(13-4\\) 두 벡터 \\( \\vec{a}=(1.2,-4.2), \\vec{b}=(-2.3,-1.2) \\) 에 대해 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>두 벡터의 내적</li><li>두 벡터의 사이각의 코사인</li><li>두 벡터의 사이</li></ol><p>문제 \\(13-5\\) 두 공간벡터 \\( \\vec{a}=(1,4,2), \\vec{b}=(5,-2,8) \\) 에 대해 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>두 벡터의 내적</li><li>두 벡터의 사이각의 코사인</li><li>두 벡터의 사이각</li></ol><p>문제 \\(13-6\\) 두 공간벡터 \\( \\vec{a}=(5.2,-4.8,1.2), \\vec{b}=(-3.8,-2.1,0.1) \\) 에 대해 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>두 벡터의 내적</li><li>두 벡터의 사이각의 코사인</li><li>두 벡터의 사이각</li></ol><p>문제 \\(13-7\\) 공간벡터 \\( \\vec{a}=(2,1,-3) \\) 과 \\( \\vec{b}=(2,-3,7) \\) 에 대해 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>외적 \\( \\vec{a} \\times \\vec{b} \\)</li><li>외적의 크기 \\( |\\vec{a} \\times \\vec{b}| \\)</li><li>\\( \\vec{a} \\) 와 \\( \\vec{b} \\) 를 두 변으로 하는 삼각형의 넓이</li></ol><p>문제 \\(13-8\\) 공간벡터 \\( \\vec{a}=(1.2,-3.2,5.7), \\vec{b}=(-2.1,3.4,-2.2) \\) 에 대해 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>외적 \\( \\vec{a} \\times \\vec{b} \\)</li><li>외적의 크기 \\( |\\vec{a} \\times \\vec{b}| \\)</li><li>\\( \\vec{a} \\) 와 \\( \\vec{b} \\) 를 두 변으로 하는 삼각형의 넓이</li></ol><p>문제 \\(13-9\\) 다음 두 벡터 \\( \\vec{a}, \\vec{b} \\) 에 대해 물음에 답하여라. \\", "[ \\vec{a}=(1,2-k, 2), \\vec{b}=(1,-3, k-3) \\]</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\vec{a}, \\vec{b} \\) 가 평행하기 위한 \\( k \\) 의 조건은?", "</li><li>\\( \\vec{a}, \\vec{b} \\) 가 수직이기 위한 \\( k \\) 의 조건은?", "</li></ol><p>문제 \\(13-10\\) \\( \\triangle O A B \\) 에서 \\( \\overrightarrow{O A}=\\vec{a}, \\overrightarrow{O B}=\\vec{b} \\) 일 때, \\( \\triangle O A B \\) 의 넓이 \\( S \\) 는 \\( S=\\frac{1}{2}|\\vec{a} \\times \\vec{b}| \\) 이다.", "</p><ol type=1 start=1><li>좌표평면 위의 세 점 \\( O(0,0), A(3,2), B(1,4) \\) 에 대하여 \\( \\triangle O A B \\) 의 넓이를 구하여라.", "</li><li>좌표공간의 세 점 \\( O(0,0,0), A(2,3,3), B(1,1,1) \\) 에 대하여 \\( \\triangle O A B \\) 의 넓이를 구하여라.", "</li></ol> <p>확인 \\(13-1\\) 다음 직육면체에서 주어진 벡터와 같은 벡터를 모두 찾으시오.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\overrightarrow{B D} \\)</li><li>\\( \\overrightarrow{H D} \\)</li><li>\\( \\overrightarrow{H F} \\)</li></ol><p>확인 \\(13-2\\) 좌표평면 위의 시점이 \\( A \\) 이고 종점이 \\( B \\) 인 벡터의 크기를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( A=(-1,1), B=(2,5) \\)</li><li>\\( A=(0,1), B=(1,-2) \\)</li><li>\\( A=(-1,2), B=(-2,3) \\)</li></ol><p>확인 \\(13-3\\) 다음을 계산하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\vec{a}+2 \\vec{a}-4 \\vec{a} \\)</li><li>\\( 2(\\vec{a}+2 \\vec{b})-4(\\vec{a}-2 \\vec{b}) \\)</li><li>\\( -2(2 \\vec{a}-3 \\vec{b})-2(3 \\vec{a}+2 \\vec{b}) \\)</li><li>\\( \\frac{s}{2} \\vec{a}+\\left(\\frac{1-s}{2}\\right) \\vec{a} \\) (s는 실수 \\( ) \\)</li></ol><p>확인 \\(13-4\\) \\( \\vec{a}=(1,-2), \\vec{b}=(2,3) \\) 일 때, 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 3 \\vec{a} \\)</li><li>\\( \\vec{a}+\\vec{b} \\)</li><li>\\( 3 \\vec{a}-2 \\vec{b} \\)</li><li>\\( \\frac{1}{|\\vec{a}|} \\vec{a} \\)</li></ol><p>확인 \\(13-5\\) 정사각형 \\( O A C B \\) 에서 \\( \\overrightarrow{O A}=(1,0), \\overrightarrow{O B}=(0,1) \\) 일 때, 다음 벡터를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 2 \\overrightarrow{O C} \\)</li><li>\\( \\overrightarrow{A B}+2 \\overrightarrow{A C} \\)</li></ol><p>확인 \\(13-6\\) 두 벡터 \\( \\vec{a}=(1,1), \\vec{b}=(-1,1) \\) 의 내적과 두 벡터가 이루는 각의 크기를 구하시오.", "</p><ol type=1 start=1><li>내적</li><li>두 벡터가 이루는 각의 크기의 코사인</li></ol><p>확인 \\(13-7\\) 다음 두 벡터 \\( \\vec{a}, \\vec{b} \\) 에 대해 물음에 답하여라. \\", "[ \\vec{a}=(1,-1), \\vec{b}=(2 k, 4) \\]</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\vec{a}, \\vec{b} \\) 가 평행하기 위한 \\( k \\) 의 조건은?", "</li><li>\\( \\vec{a}, \\vec{b} \\) 가 수직이기 위한 \\( k \\) 의 조건은?", "</li></ol><p>확인 \\(13-8\\) 두 벡터 \\( \\vec{a}=(1,1,1), \\vec{b}=(2,3,1) \\) 일 때, 두 벡터의 외적 \\( \\vec{a} \\times \\vec{b} \\) 를 구하여라.", "</p><p>확인 \\(13-9\\) 두 벡터 \\( \\vec{a}=(1,1,1), \\vec{b}=(1,0,-1) \\) 일 때, 두 벡터의 외적 \\( \\vec{a} \\times \\vec{b} \\) 를 구하여라.", "</p><p>확인 \\(13-10\\) 다음 두 벡터를 변으로 하는 평행사변형과 삼각형의 넓이를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\vec{a}=(1,1,1), \\vec{b}=(2,3,1) \\)</li><li>\\( \\vec{a}=(1,1,1), \\vec{b}=(1,0,-1) \\)</li></ol>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "411", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "기초미적분학_벡터", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-7c9d-438b-9a5a-9fdc6888d19c", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160730579", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2017", "doc_author": [ "전춘배" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>예제| \\( 2.15 \\)</p><p>다음 방정식의 해를 가우스 소거법으로 구하여 보자. \\", "[ \\left(\\begin{array}{lll} 1 & 2 & 1 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 4 & 2 & 2 \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{l} x \\\\ y \\\\ z \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{l} 4 \\\\ 3 \\\\ 8 \\end{array}\\right) \\]</p><p>풀이</p><p>이 연립방정식의 덧붙인 행렬은 \\[ (A \\mid b)=\\left(\\begin{array}{llll} 1 & 2 & 1 & 4 \\\\ 2 & 1 & 0 & 3 \\\\ 4 & 2 & 2 & 8 \\end{array}\\right) \\] 이다.", "이 행렬의 \\(1\\)행 \\( \\times(-2) \\) 을 \\(2\\)행에 더하고, \\(1\\)행 \\( \\times(-4) \\)을 \\(3\\)행에 더하면 \\[ \\left(\\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 & 4 \\\\ 0 & -3 & -2 & -5 \\\\ 0 & -6 & -2 & -8 \\end{array}\\right) \\] 을 얻고, 다시 이 행렬의 \\(2\\) 행 \\( \\times(-2) \\) 을 \\(3\\)행에 더하면 \\[ \\left(\\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 & 4 \\\\ 0 & -3 & -2 & -5 \\\\ 0 & 0 & 2 & 2 \\end{array}\\right) \\] 을 얻는다.", "역으로 구하면 해는 \\[ \\begin{array}{l} z=\\frac{2}{2}=1 \\\\ y=\\frac{(-5+2 z)}{(-3)}=1 \\\\ x=4-z-2 y=1 \\end{array} \\] 이 된다.", "</p><p>예제| \\( 2.16 \\)</p><p>다음 연립방정식의 해가 없음을 소거법으로 살펴보자. \\", "[ \\begin{array}{r} 8 y-4 z=4 \\\\ 2 x-3 y+2 z=2 \\\\ 5 x-8 y+7 z=2 \\end{array} \\]</p><p>풀이</p><p>덧붙인 행렬은 다음과 같다. \\", "[ \\left(\\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & -4 & 4 \\\\ 2 & -3 & 2 & 2 \\\\ 5 & -8 & 7 & 2 \\end{array}\\right) \\] 이 해열의 첫 행과 두 번째 행을 교환하면 \\[ \\left(\\begin{array}{rrrr} 2 & -3 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & -4 & 4 \\\\ 5 & -8 & 7 & 2 \\end{array}\\right) \\] 이다.", "이 행렬의 첫 행에 \\( -\\frac{5}{2} \\) 를 곱하여 세 번째 행에 더하면 \\[ \\left(\\begin{array}{rrrr} 2 & -3 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & -4 & 4 \\\\ 0 & -1 / 2 & 2 & -3 \\end{array}\\right) \\] 이다.", "이 행렬의 세 번째 행에 \\( -2 \\) 를 곱하면 \\[ \\left(\\begin{array}{rrrr} 2 & -3 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & -4 & 4 \\\\ 0 & 1 & -4 & 6 \\end{array}\\right) \\] 이다.", "이 행렬의 두 번째 행에 \\( -1 \\) 를 곱하여 세 번째 행에 더하면 \\[ \\left(\\begin{array}{rrrr} 2 & -3 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & -4 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 \\end{array}\\right) \\] 이 되어 이 방정식을 만족하는 해는 없다.", "</p><p>\\( A x=b \\) 의 해를 구하는 가우스 소거법의 알고리즘은 다음과 같다.", "</p><ul><li>\\( A=[A b] ; \\% \\) 덧붙인 행렬</li><li>\\( A \\) 를 동치인 위삼각행렬 \\( \\left[U b^{\\prime}\\right] \\) 로 변환</li><li>\\( U x=b^{\\prime} \\) 의 해를 구함", "</li></ul><p>기본행 연산을 더 반복하면 정칙행렬의 경우 대각성분이 모두 \\(1\\)이고 나머지 성분은 모두 \\(0\\)인 항등행렬로 만들 수 있다.", "이럴 경우 오른쪽의 벡터가 해가 된다.", "이러한 방법을 가우스 조르당 방법이라고 한다.", "옥타브 명령어 rref는 가우스 조르당 방법을 적용한다.", "정칙행렬이 아니면 해가 없을 수도 또는 많을 수도 있다.", "rref의 결과를 보고 해를 판단할 수 있다.", "</p> <p>\\(14\\) 다음 행렬은 직교행렬인지 아닌지 설명하라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\left(\\begin{array}{rr}1 & 1 \\\\ -1 & 1\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( \\left(\\begin{array}{rr}\\frac{3}{5} & -\\frac{4}{5} \\\\ \\frac{4}{5} & \\frac{3}{5}\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( \\left(\\begin{array}{rr}\\cos x & -\\sin x \\\\ \\sin x & \\cos x\\end{array}\\right) \\)</li></ol><p>\\(15\\) 다음 연립방정식의 해를 가우스 소거법으로 구하라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\begin{aligned} 2x+y &=3 \\\\ 4x+3y &=5 \\end{aligned} \\)</li><li>\\( \\begin{aligned} -2x+y &=3 \\\\ x+3y &=2 \\end{aligned} \\)</li><li>\\( \\begin{aligned} y+z &=1 \\\\ x+y-z &=0 \\\\-2 x-y+z &=-1 \\end{aligned} \\)</li><li>\\( \\begin{aligned} x+y+z &=1 \\\\ x+y-z &=1 \\\\ 2 x+3 z &=8 \\end{aligned} \\)</li><li>\\( \\begin{aligned} x+2 y+3 z &=1 \\\\ 2 x+y-3 z &=2 \\\\ 3 x-3 y+z &=3 \\end{aligned} \\)</li><li>\\( \\begin{aligned} x+2 y+4 z &=6 \\\\ x+2 y+2 z &=2 \\\\ x+3 y+7 z &=10 \\end{aligned} \\)</li></ol><p>\\(16\\) 소행렬식을 이용하여 다음 행렬의 행렬식을 구하라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\left(\\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 2 & 1\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( \\left(\\begin{array}{ll}7 & 6 \\\\ 6 & 5\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( \\left(\\begin{array}{rr}2 & -3 \\\\ 3 & 4\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( \\left(\\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 0 & 3 \\\\ 2 & 1 & 1\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( \\left(\\begin{array}{rrr}2 & -1 & 2 \\\\ -1 & 2 & 1 \\\\ 2 & 1 & 2\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( \\left(\\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 3 \\\\ 2 & 1 & 1\\end{array}\\right) \\)</li></ol><p>\\(17\\) 기본행 연산을 이용하여 다음 행렬의 행렬식을 구하라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\left(\\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 0 & 3 \\\\ 2 & 1 & 1\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( \\left(\\begin{array}{rrr}2 & -1 & 2 \\\\ -1 & 2 & 1 \\\\ 2 & 1 & 2\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( \\left(\\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 3 \\\\ 2 & 1 & 1\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( \\left(\\begin{array}{rrrr}2 & 1 & -1 & 2 \\\\ 2 & 0 & 0 & 1 \\\\ 2 & 1 & 2 & 0 \\\\ 3 & 1 & 1 & 2\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( \\left(\\begin{array}{llll}2 & 0 & 2 & 0 \\\\ 1 & 3 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 & 0 \\\\ 3 & 0 & 1 & 2\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( \\left(\\begin{array}{rrrr}-1 & 1 & -1 & 3 \\\\ 2 & 1 & 0 & 1 \\\\ 2 & -1 & 2 & 0 \\\\ 3 & 1 & -1 & 2\\end{array}\\right) \\)</li></ol><p>\\(18\\) 다음 행렬의 고유치와 고유벡터를 구하라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\left(\\begin{array}{rr}1 & -2 \\\\ 1 & 4\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( \\left(\\begin{array}{rr}1 & -2 \\\\ -2 & 4\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( \\left(\\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 1\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( \\left(\\begin{array}{rr}1 & -1 \\\\ 1 & 3\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( \\left(\\begin{array}{rr}1 & -1 \\\\ 1 & 1\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( \\left(\\begin{array}{rr}2 & 4 \\\\ -2 & 2\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( \\left(\\begin{array}{rrr}4 & -1 & 1 \\\\ -1 & 3 & -2 \\\\ 1 & -2 & 3\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( \\left(\\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\\\ 2 & 2 & 4 \\\\ 0 & 1 & 3\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( \\left(\\begin{array}{rrr}1 & 3 & -2 \\\\ 4 & -3 & 1 \\\\ 2 & 1 & 1\\end{array}\\right) \\)</li></ol><p>\\(19\\) 다음 \\( T: R^{2 \\times 2} \\rightarrow R \\) 이 선형변환인지 아닌지 설명하라.", "여기서 \\( A=\\left(\\begin{array}{ll}a & b \\\\ c & d\\end{array}\\right) \\) 이다.", "</p><ol type= start=1><li>\\( T(A)=a+d \\)</li><li>\\( T(A)=\\operatorname{det}(A) \\)</li><li>\\( T(A)=\\left(\\begin{array}{l}a+d \\\\ b-c\\end{array}\\right) \\)</li></ol><p>\\(20\\) 다음 집합이 벡터공간이 되는지 안되는지 설명하라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\left\\{x \\in R^{3} \\mid x_{1}+x_{2}=0\\right\\} \\)</li><li>\\( \\left\\{x \\in R^{3} \\mid x_{2}+x_{3}=1\\right\\} \\)</li><li>\\( \\left\\{x \\in R^{3} \\mid x_{1}=x_{2}=x_{3}\\right\\} \\)</li><li>\\( \\left\\{x \\in R^{3} \\mid x_{1}+x_{2}+x_{3}=1\\right\\} \\)</li><li>\\( \\left\\{A \\in R^{2 \\times 2} \\mid a_{12}=0\\right\\} \\)</li><li>\\( \\left\\{A \\in R^{2 \\times 2} \\mid a_{11}+a_{22}=0\\right\\} \\)</li></ol><p>\\(21\\) 변환 \\( T: R^{n} \\rightarrow W \\) 에서 \\( v \\in R^{n} \\) 를 \\( W \\) 에 내린 직교투영 \\( T(v) \\) 를 구하라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( R^{2}, \\quad W=\\left\\{\\left(\\begin{array}{l}1 \\\\ 2\\end{array}\\right) t \\mid t \\in R\\right\\}, v=\\left(\\begin{array}{l}2 \\\\ 1\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( R^{3}, W=\\left\\{\\left(\\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0\\end{array}\\right) s+\\left(\\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 1\\end{array}\\right) t s, t \\in R\\right\\}, v=\\left(\\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( R^{3}, W=\\left\\{\\left(\\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0\\end{array}\\right) s+\\left(\\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0\\end{array}\\right) t s, t \\in R\\right\\}, v=\\left(\\begin{array}{l}2 \\\\ 1 \\\\ 1\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( R^{4}, W=\\left\\{\\left(\\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 2\\end{array}\\right) s+\\left(\\begin{array}{l}2 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 2\\end{array}\\right) t s, t \\in R\\right\\}, v=\\left(\\begin{array}{r}1 \\\\ -1 \\\\ 0 \\\\ 1\\end{array}\\right) \\)</li></ol> <p>정의 \\( 2.8 \\)</p><p>벡터 \\( x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{k} \\in R^{n} \\) 과 상수 \\( \\alpha_{1}, \\alpha_{2}, \\cdots, \\alpha_{k} \\) 에 대하여</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\alpha_{1} x_{1}+\\alpha_{2} x_{2}+\\cdots+\\alpha_{k} x_{k} \\) 을 \\( x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{k} \\) 의 일차결합(linear combination)이라고 한다.", "</li><li>벡터의 일차결합이 영벡터 \\(0\\) 이면 반드시 모든 계수가 \\(0\\) 이 될 때, 즉 \\[ \\alpha_{1} x_{1}+\\alpha_{2} x_{2}+\\cdots+\\alpha_{n} x_{n}=0 \\Rightarrow \\alpha_{1}=\\cdots=\\alpha_{n}=0 \\] 벡터 \\( x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{k} \\) 을 일차독립(linearly independent)이라고 한다.", "</li><li>적어도 0 이 아닌 상수 \\( \\alpha_{i} \\) 가 존재하여, 일차결합 \\( \\alpha_{1} x_{1}+\\alpha_{2} x_{2}+\\cdots+\\alpha_{k} x_{k}=0 \\) 이 되면 벡터 \\( x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{k} \\) 을 일차종속(linearly dependent)이라고 한다.", "</li></ol><p>벡터들이 일차종속이면 그 벡터들은 자신을 제외한 다른 벡터들의 일차결합으로 만들 수 있다.", "그러한 벡터를 모두 배제하면 남아있는 벡터들은 일차독립이 된다.", "</p><p>예제| \\( 2.9 \\)</p><p>(\\(1\\)) \\( \\left\\{e_{1}, e_{2}, \\cdots, e_{n}\\right\\} \\) 은 일차독립이다.", "여기서 \\( e_{i} \\in R^{n} \\) 는 \\( i \\) 번째 성분만 \\(1\\) 이고 나머지 성분은 모두 \\(0\\) 인 표준단위벡터이다.", "</p><p>(\\(2\\))\\( \\left\\{\\left(\\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 0\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 1\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{l}4 \\\\ 3 \\\\ 2 \\\\ 1\\end{array}\\right)\\right\\} \\) 은 일차종속이다.", "왜냐하면 \\( \\left(\\begin{array}{l}4 \\\\ 3 \\\\ 2 \\\\ 1\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\\end{array}\\right)+\\left(\\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0\\end{array}\\right)+\\left(\\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 0\\end{array}\\right)+\\left(\\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 1\\end{array}\\right) \\) 이기 때문이다.", "이 벡터를 제외한 \\( \\left\\{\\left(\\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 0\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 1\\end{array}\\right)\\right\\} \\) 은 일차독립이다.", "</p><p>정리 \\( 2.2 \\)</p><p>\\( A \\) 가 정칙행렬이면 \\( A \\) 의 열(또는 행)벡터는 일차독립이며 역도 성립한다.", "</p><p>상수의 크기는 절대값을 사용하는 것처럼 벡터 \\( u \\in R^{n} \\) 의 크기를 나타내는 척도로 절대값을 일반화한 노름이라는 용어를 사용한다.", "</p><p>정의 \\( 2.9 \\)</p><p>다음을 벡터 \\( u \\in R^{n} \\) 의 노름(norm)이라 한다.", "</p><ol type=1 start=1><li>L\\(1\\) 노름 : \\( \\|u\\|_{1}=\\left|u_{1}\\right|+\\left|u_{2}\\right|+\\cdots+\\left|u_{n}\\right| \\)</li><li>L\\(2\\) 노름 : \\( \\|u\\|_{2}=\\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+\\cdots+u_{n}^{2}} \\)</li><li>최대 노름 : \\( \\|u\\|_{\\infty}=\\max \\left\\{\\left|u_{1}\\right|,\\left|u_{2}\\right|, \\cdots,\\left|u_{n}\\right|\\right\\} \\)</li></ol><p>예를 들면 \\( u=\\left(\\begin{array}{r}3 \\\\ -4\\end{array}\\right) \\) 의 노름은 각각 \\( \\|u\\|_{1}=7,\\|u\\|_{2}=5,\\|u\\|_{\\infty}=4 \\) 가 된다.", "</p><p>두 수의 거리(또는 차)는 절대값을 이용하는 것처럼 두 벡터 사이의 거리는 노름을 이용하여 정의한다.", "</p><p>정의 \\( 2.10 \\)</p><p>벡터 \\( u \\in R^{n} \\) 와 \\( v \\in R^{n} \\) 의 거리는 \\( \\|u-v\\| \\) 이다.", "</p><p>\\( n=1 \\) 인 경우 노름은 절대값과 같다.", "노름은 벡터의 길이가 되고, 벡터 간의 거리는 두 벡터의 차의 크기로 한 벡터의 끝에서 다른 벡터의 끝까지 잇는 벡터의 길이가 된다.", "두 상수 \\( \\alpha \\) 와 \\( \\beta \\) 의 거리 \\( |\\alpha-\\beta| \\) 가 작으면 작을수록 \\( \\alpha \\) 와 \\( \\beta \\) 는 가깝다고 하는 것처럼 벡터 간의 거리 \\( \\|u-v\\| \\)가 작으면 작을수록 벡터 \\( u \\) 와 \\( v \\) 는 가깝다고 한다.", "</p><p>예제| \\( 2.10 \\)</p><p>\\( u=\\left(\\begin{array}{r}1 \\\\ 4 \\\\ -6\\end{array}\\right), v=\\left(\\begin{array}{r}-2 \\\\ 1 \\\\ 1\\end{array}\\right) \\) 이면 \\( u-v=\\left(\\begin{array}{r}3 \\\\ 3 \\\\ -7\\end{array}\\right) \\) 이고 노름은 각각 다음과 같다.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\|u-v\\|_{1}=17 \\)</li><li>\\( \\|u-v\\|_{2}=\\sqrt{9+9+49}=\\sqrt{67} \\)</li><li>\\( \\|u-v\\|_{\\infty}=7 \\)</li></ol><p>\\( \\langle u, u\\rangle=u^{T} u=\\|u\\|_{2}^{2} \\) 이므로 L\\(2\\) 노름은 \\( \\|u\\|_{2}=\\sqrt{u^{T} u} \\) 로 나타낼 수 있다.", "두 벡터 \\( u, v \\in R^{n} \\) 의 사잇각을 \\( \\theta \\) 라고 하면 내적은 두 벡터의 노름의 곱으로 다음과 같다. \\", "[ \\langle u, v\\rangle=\\|u\\|_{2}\\|v\\|_{2} \\cos \\theta \\] 따라서 \\[ |<u, v>| \\leq\\|u\\|_{2}\\|v\\|_{2} \\] 이 성립하다.", "따라서 두 벡터의 내적을 알면 그 사잇각을 알 수 있다.", "사잇각은 유사도라고도 하며 벡터 간의 거리가 얼마나 가까운지 알 수 있다. \\", "[ \\cos \\theta=\\frac{\\langle u, v\\rangle}{\\|u\\|_{2}\\|v\\|_{2}} \\] 의 값이 예각이면 \\( \\langle u, v\\rangle \\) 는 양수이고, 둔각이면 \\( \\langle u, v\\rangle \\) 이 음수가 된다.", "벡터 \\( u \\) 와 \\( v \\) 가 수직으로 만나면 두 벡터의 내적은 0 이고, 또한 내적이 0 이면 \\( \\theta=\\frac{\\pi}{2} \\) 로 두 벡터는 수직으로 만난다. \\", "( -1 \\) 이면 \\( \\theta=\\pi \\) 로 두 벡터 \\( u, v \\) 는 서로 반대 방향이고, \\(1\\) 이면 \\( \\theta=0 \\) 으로 같은 방향이다.", "두 벡터 \\( u \\) 와 \\( v \\) 의 사잇각이 \\(0\\) 에 가까울수록 두 벡터는 가까움을 알 수 있다.", "</p><p>정리 \\( 2.3 \\)</p><p>\\( u \\) 와 \\( v \\) 가 직교하기 위한 필요층분조건은 \\( \\langle u, v\\rangle=0 \\) 이다.", "</p><p>예제| \\( 2.11 \\)</p><p>각 벡터의 사잇각이 예각, 직각, 둔각인지 알아보자.", "</p><ol type= start=1><li>\\( (2, \\sqrt{2}, 4) \\) 와 \\( (1,-\\sqrt{2}, 1) \\) 의 내적은 양수이므로 예각이다.", "</li><li>\\( (-1,2,3) \\) 와 \\( (2,1-2) \\) 의 내적은 음수이므로 둔각이다.", "</li><li>\\( (1-2,1) \\) 와 \\( (1,1,1) \\) 의 내적은 \\(0\\)이므로 직각이다.", "</li></ol><p>정리 \\(2.4\\) 코시-슈바르츠 부등식</p><p>임의의 벡버 \\( u, v \\in R^{n} \\) 에 대하여 다읍이 성립한다. \\", "[ |\\langle u, v\\rangle| \\leq\\|u\\|_{2}\\|v\\|_{2} \\]</p><p>예제 \\( 2.12 \\)</p><p>\\( u=\\left(\\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \\end{array}\\right), v=\\left(\\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \\end{array}\\right) \\)이라고 하자.", "그러면 \\(\\langle u, v\\rangle=1\\)이고 \\(\\|u\\|_{2}=1,\\|v\\|_{2}=\\sqrt{2} \\)이다.", "따라서 \\( |<u, v>| \\leq\\|u\\|_{2}\\|v\\|_{2} \\) 이며, 사잇각이 \\( \\frac{\\pi}{4} \\) 이므로 \\( \\langle u, v\\rangle= \\|u\\|_{2}\\|v\\|_{2} \\cos \\frac{\\pi}{4} \\)이다.", "</p><p>예제 \\( 2.13 \\)</p><p>\\( u=\\left(\\begin{array}{l}2 \\\\ 3\\end{array}\\right), v=\\left(\\begin{array}{r}-3 \\\\ 2\\end{array}\\right) \\) 이면 \\( \\langle u, v\\rangle=0 \\) 이므로 두 벡터는 직교한다.", "</p><p>정의 \\( 2.11 \\)</p><p>정사각행혈 \\( A \\) 에 대하여 \\( A^{T} A=I \\) 이면 \\( A \\) 를 직교행렬(orthogonal matrix)이라 한다.", "</p><p>만일 \\( A \\) 가 직교행혈이면 \\( A^{T}=A^{-1} \\) 이고 \\( \\|A x\\|_{2}=\\|x\\|_{2} \\) 이다.", "왜나하면 \\[ \\|A\\|_{2}^{2}=(A x)^{T}(A x)=x^{T}\\left(A^{T} A\\right) x=x^{T} I x=\\|x\\|_{2}^{2} \\] 이기 때문이다.", "또한 행베터들은 모두 크기가 \\(1\\) 이고 서로 직교한다.", "</p><p>예제| \\( 2.14 \\)</p><p>\\( A=\\left(\\begin{array}{cc} \\frac{1}{2} & -\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\\\ \\frac{\\sqrt{3}}{2} & \\frac{1}{2} \\end{array}\\right)\\) 는 직교행렬이다.", "왜나하면 \\[A^{T} A=\\left(\\begin{array}{cc} \\frac{1}{2} & \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\\\ -\\frac{\\sqrt{3}}{2} & \\frac{1}{2} \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{cc} \\frac{1}{2} & -\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\\\ \\frac{\\sqrt{3}}{2} & \\frac{1}{2} \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{array}\\right)=I \\] 이기 때문이다.", "그리고 \\( \\left(\\begin{array}{rr}\\frac{1}{2} & -\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\\\ \\frac{\\sqrt{3}}{2} & \\frac{1}{2}\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{l}2 \\\\ 2\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c}1-\\sqrt{3} \\\\ \\sqrt{3}+1\\end{array}\\right) \\) 이고 \\( \\left\\|\\left(\\begin{array}{l} 2 \\\\ 2 \\end{array}\\right)\\right\\|=\\left\\|\\left(\\begin{array}{c} 1-\\sqrt{3} \\\\ \\sqrt{3}+1 \\end{array}\\right)\\right\\|=2 \\sqrt{2} \\text { 로 }\\|A x\\|_{2}=\\|x\\|_{2}=\\)이다.", "</p> <p>정리 \\( 2.16 \\)</p><p>비슷한 행렬의 고유치는 서로 같다.", "</p><p>행렬의 고유치는 이론적으로 그 행렬의 특성방정식의 근이다.", "그러나 실질적으로 특성방정 식의 근을 구하는 것은 좋은 방법이라 할 수 없다.", "실제 문제에 있어서 주로 필요한 절대값이 가장 큰 고유치를 구하는 방법에 대하여 알아본다.", "</p><p>행렬 \\( A=\\left(\\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 0 & 2\\end{array}\\right) \\) 의 절대값이 가장 큰 고유치는 \\(2\\) 이고 그에 대응하는 고유벡터는 \\( \\left(\\begin{array}{l}3 \\\\ 1\\end{array}\\right) \\) 이다.", "초기벡터 \\( x_{0}=\\left(\\begin{array}{l}1 \\\\ 1\\end{array}\\right) \\) 가 주어졌을 때 \\( A^{k} x_{0}, k=1,2,3,4 \\) 을 구하여보자. \\", "[ \\begin{array}{c} A x_{0}=\\left(\\begin{array}{ll} 1 & 3 \\\\ 0 & 2 \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{l} 4 \\\\ 2 \\end{array}\\right)=2\\left(\\begin{array}{l} 2 \\\\ 1 \\end{array}\\right) \\\\ A^{2} x_{0}=A\\left(A x_{0}\\right)=\\left(\\begin{array}{ll} 1 & 3 \\\\ 0 & 2 \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{l} 4 \\\\ 2 \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c} 10 \\\\ 4 \\end{array}\\right)=4\\left(\\begin{array}{c} 2.5 \\\\ 1 \\end{array}\\right) \\\\ A^{3} x_{0}=A\\left(A^{2} x_{0}\\right)=\\left(\\begin{array}{ll} 1 & 3 \\\\ 0 & 2 \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{c} 10 \\\\ 4 \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c} 22 \\\\ 8 \\end{array}\\right)=8\\left(\\begin{array}{c} 2.75 \\\\ 1 \\end{array}\\right) \\\\ A^{4} x_{0}=A\\left(A^{3} x_{0}\\right)=\\left(\\begin{array}{ll} 1 & 3 \\\\ 0 & 2 \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{c} 22 \\\\ 8 \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c} 46 \\\\ 16 \\end{array}\\right)=16\\left(\\begin{array}{c} 2.875 \\\\ 1 \\end{array}\\right) \\end{array} \\] 이므로 \\( A^{k} x_{0}\\)은 반복할수록 점점\\(\\left(\\begin{array}{l} 3 \\\\ 1 \\end{array}\\right)\\)의 상수 배인, 즉 고유치 \\(2\\)에 대응하는 고유벡터에 가까워짐을 알 수 있다.", "</p><p>한편 \\( A x=\\lambda x, x \\neq 0 \\) 이면 \\[ \\frac{x^{T} A x}{x^{T} x}=\\frac{\\lambda x^{T} x}{x^{T} x}=\\lambda \\] 이므로 만일 \\( \\tilde{x} \\) 가 절대값이 가장 큰 고유치 \\( \\tilde{\\lambda} \\) 에 대응하는 고유벡터의 근사벡터라면 \\( \\frac{\\tilde{x}^{T} A \\tilde{x}}{\\tilde{x}^{T} \\tilde{x}} \\)은 \\( \\tilde{\\lambda} \\) 의 근사값이 될 것이다.", "즉 위의 예에서 \\[ \\begin{array}{l} \\frac{x_{1}^{T} A x_{1}}{x_{1}^{T} x_{1}}=\\frac{48}{20}=2.4 \\\\ \\frac{x_{2}^{T} A x_{2}}{x_{2}^{T} x_{2}}=\\frac{252}{116}=2.1724 \\\\ \\frac{x_{3}^{T} A x_{3}}{x_{3}^{T} x_{3}}=\\frac{1140}{548}=2.0803 \\\\ \\frac{x_{4}^{T} A x_{4}}{x_{4}^{T} x_{4}}=\\frac{4836}{2372}=2.0388 \\end{array} \\] 이 되어 이 값은 점점 고유치 \\(2\\)에 수렴함을 알 수 있다.", "이와 같은 방법을 거듭제곱방법(power method)이라 하며 이것을 정리하면 다음 알고리즘과 같다.", "</p><p>행렬 \\( A \\) 와 초기벡터 \\( x_{0} \\) 그리고 최대 반복 횟수 kmax가 주어지면 \\( \\beta_{k} \\) 는 절대값이 가장 큰 고유치로 수렴하고 \\( x_{k} \\) 는 그에 대응하는 고유벡터로 수렴한다.", "</p><p>절대값이 가장 큰 고유치를 구할 수 있는 거듭제곱방법을 이용하면 임의의 상수에 가장 가까운 고유치도 역행렬을 이용하여 구할 수 있다.", "</p><p>상수 \\( \\alpha \\) 에 대하여 \\( A x=\\lambda x \\) 이면 \\( (A-\\alpha I) x=(\\lambda-\\alpha) x \\) 가 된다.", "즉, \\( A \\) 의 고유치가 \\( \\lambda \\) 이면 행렬 \\( A-\\alpha I \\) 의 고유치는 \\( \\lambda-\\alpha \\) 가 되고 대응하는 고유벡터는 \\( \\lambda \\) 에 대응하는 \\( A \\) 의 고유벡터와 같다. \\", "( \\alpha \\) 가 \\( A \\) 의 고유치가 아니면 행렬 \\( A-\\alpha I \\) 의 역행렬이 존재하여 \\[ (A-\\alpha I)^{-1} x=\\frac{1}{(\\lambda-\\alpha)} x \\] 이다.", "따라서 역행렬 \\( (A-\\alpha I)^{-1} \\) 의 고유치는 \\( (\\lambda-\\alpha)^{-1} \\) 가 되고 대응하는 고유벡터는 \\( \\lambda \\) 에 대응하는 \\( A \\) 의 고유벡터와 같다.", "따라서 행렬 \\( B=(A-\\lambda I)^{-1} \\) 에 거듭제곱방법을 적용하면 \\( x_{k}=\\frac{B^{k} x_{0}}{\\left\\|B^{k} x_{0}\\right\\|_{2}} \\) 는 \\( B \\) 의 고유치 중 절대값이 가장 큰 고유치에 대응하는 고유벡터로 수렴하므로 \\( \\beta_{k}=x_{k}^{T} A x_{k} \\) 는 \\( \\alpha \\) 에 가장 가까운 \\( A \\) 의 고유치로 수렴한다.", "이와 같은 방법을 역거듭제곱방법(inverse power method)이라 하며 \\( (A-\\alpha I)^{-1} x_{k}=x_{k+1} \\) 은 역행렬 \\( (A-\\alpha I)^{-1} \\) 을 직접 구할 필요는 없고 동치인 연립방정식을 풀면 된다.", "즉, \\[ (A-\\alpha I)^{-1} x_{k}=x_{k+1} \\Leftrightarrow(A-\\alpha I) x_{k+1}=x_{k} \\] 따라서 역거듭제곱방법의 알고리즘은 다음과 같다.", "</p> <h1>2.3 가우스 소거법</h1><p>다음과 같은 연립방정식은 행렬을 이용하면 연립방정식을 쉽게 나타낼 수 있다.", "</p><p>\\[ \\begin{array}{c} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\\ldots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\\\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\\ldots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\\\ \\vdots \\\\ a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\\ldots+a_{m n} x_{n}=b_{m} \\end{array} \\]</p><p>\\( A=\\left(a_{i j}\\right)_{m \\times n}, x=\\left(x_{j}\\right)_{n \\times 1} \\) 이고 \\( b=\\left(b_{j}\\right)_{m \\times 1} \\) 로 놓으면 이 방정식은 \\( A x=b \\) 가 된다.", "즉 연립방정식 \\[ \\begin{array}{r} x+2 y+3 z=6 \\\\ 3 x+2 y+z=0 \\\\ x-y+z=1 \\end{array} \\] 온 \\( A=\\left(\\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3 \\\\ 3 & 2 & 1 \\\\ 1 & -1 & 1\\end{array}\\right), x=\\left(\\begin{array}{l}x \\\\ y \\\\ z\\end{array}\\right) \\) 이고 \\( b=\\left(\\begin{array}{l}6 \\\\ 6 \\\\ 1\\end{array}\\right) \\) 라 놓으면 \\( A x=b \\) 가 된다.", "따라서 연립방정식의 해는 행렬의 성질을 이영하여 구할 수 있다.", "</p><p>연립방정식 \\( A x=b \\) 의 해를 구하기 위해서 행혈 \\( A \\) 와 벡터 \\( b \\) 를 같이 다루는 것이 편리한 경우가 있다.", "즉 \\( A \\) 옆에 \\( b \\) 를 덧붙인다.", "</p><p>정의 \\( 2.12 \\)</p><p>뱅렬 \\( A=\\left(a_{i j}\\right)_{m \\times n} \\) 에 베터 \\( b=\\left(b_{1}, b_{2}, \\cdots, b_{m}\\right)^{T} \\) 를 아래와 같이 덧붙인 행렬을 \\( (A \\mid b) \\)로 나타내며 이 행렬을 \\( A \\) 에 \\( b \\) 를 덧붙인 행렬(augmented matrix)이라 한다.", "</p><p>\\( (A \\mid b)=\\left(\\begin{array}{ccccc}a_{11} & a_{12} & \\ldots & a_{1 n} & b_{1} \\\\ a_{21} & a_{22} & \\ldots & a_{2 n} & b_{2} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots & \\vdots \\\\ a_{m 1} & a_{m 2} & \\ldots & a_{m n} & b_{m}\\end{array}\\right) \\)</p><p>예를 들면 \\( A=\\left(\\begin{array}{lll}2 & 3 & 0 \\\\ 4 & 3 & 2\\end{array}\\right) \\) 에다 \\( b=\\left(\\begin{array}{l}1 \\\\ 4\\end{array}\\right) \\) 을 덧불이면 \\( (A \\mid b)=\\left(\\begin{array}{llll}2 & 3 & 0 & 1 \\\\ 4 & 3 & 2 & 4\\end{array}\\right) \\) 이고 \\( \\left(\\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 3 & 2 & 2\\end{array}\\right) \\)에 \\( \\left(\\begin{array}{l}4 \\\\ 3 \\\\ 7\\end{array}\\right) \\) 을 덧붙이면 \\( \\left(\\begin{array}{llll}1 & 2 & 1 & 4 \\\\ 2 & 1 & 0 & 3 \\\\ 3 & 2 & 2 & 7\\end{array}\\right) \\) 이 된다. \\", "( \\left(\\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 3 & 2 & 2\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{l}x \\\\ y \\\\ z\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{l}4 \\\\ 3 \\\\ 7\\end{array}\\right) \\) 에서 \\( A \\) 에 b를 덧봍인 행렬은 \\( (A \\mid b)=\\left(\\begin{array}{llll}1 & 2 & 1 & 4 \\\\ 2 & 1 & 0 & 3 \\\\ 4 & 2 & 2 & 8\\end{array}\\right) \\) 이다.", "이 덧붙인 행렬의 처읍 두 행을 교환하고, 한 행에 \\(0\\) 이 아닌 상수 곱하며, 한 행에 상수를 곱하여 다른 행에 더해도 해는 같다.", "이와 같은 과정을 기본행 연산(elementary row operations)이라 하며 이 과정을 거쳐 나온 연립방정식의 해는 모두 같다.", "</p><p>기본행 연산</p><ol type= start=1><li>행과 행을 바꾼다.", "</li><li>한 행에 \\(0\\) 이 아닌 상수를 곱한다.", "</li><li>한 행에 상수를 곱하여 다른 행에 더한다.", "</li></ol><p>연립방정식 \\[ \\begin{array}{c} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\\ldots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\\\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\\ldots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\\\ \\vdots \\quad \\vdots \\qquad \\vdots\\\\ a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\\ldots+a_{m n} x_{n}=b_{m} \\end{array} \\] 의 덧붙인 행렬은 \\[ (A \\mid b)=\\left(\\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & \\ldots & a_{1 n} & b_{1} \\\\ a_{21} & a_{22} & \\ldots & a_{2 n} & b_{2} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots & \\vdots \\\\ a_{m 1} & a_{m 2} & \\ldots & a_{m n} & b_{m} \\end{array}\\right) \\] 이 된다.", "덧붙인 행렬에 기본행 연산을 반복하여 수행하면 계수행렬 \\( A \\) 를 위삼각행렬 \\( U \\) 로 변환하여 동치인 연립방정식으로 만들 수 있다. \\", "( U \\) 의 맨 옆에 있는 벡터는 \\( b \\) 에 대응하는 벡터 \\( b^{\\prime} \\) 이다.", "위삼각행렬 방정식 \\( U x=b^{\\prime} \\) 의 해는 역으로 쉽게 구할 수 있다.", "이와 같은 방법을 가우스 소거법(Gauss elimination method)이라 한다.", "</p> <p>선형대수학은 대부분의 수학과에서 필수로 지정할 만큼 매우 중요한 분야로 자연과학과 공학은 물론 경제학, 경영학, 사회학 등 인문사회학 분야에서도 필요한 분야이다.", "선형대수학에서 주로 다루는 것은 행렬과 벡터이다.", "이를 이용하여 연립방정식과 고유치방정식의 해를 구하고, 공간과 공간 사이의 변환을 설명한다.", "인공지능에서 반드시 필요한 빅데이터도 행렬과 벡터로 처리하며, 음성 인식이나 문자 인식을 위한 단어도 벡터로 변형하여 사용한다.", "또한 알고리즘의 수많은 과정은 거의 필수적으로 행렬과 벡터의 연산이다.", "이 단원에서 다루는 내용은 다음과 같다.", "</p><p>연립방정식, 행렬과 벡터, 가우스 소거법 행렬식, 고유치방정식, 거듭제곱방법, 선형변환</p><h1>2.1 연립방정식</h1><p>미지수 \\( x \\)와 \\( y \\)에 대하여 방정식 \\( x+2 y=10 \\)을 만족하는 \\( x=4 \\)와 \\( y=3 \\)을 이 방정식의 해라고 하며 미지수가 두 개이고 식이 하나인 이러한 방정식의 해는 무수히 많다.", "구하고자 하는 미지수 \\( x_{i} \\)들을 임의의 \\( n \\)개로 확대하면 \\[ a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+\\ldots+a_{n} x_{n}=b \\]</p><p>와 같이 나타낼 수 있다.", "여기서 \\( a_{i} \\)들과 \\( b \\)는 이미 주어진 수 또는 정해진 수라 해서 상수라고 한다.", "이러한 방정식이 여러 개 모인 방정식을 선형연립방정식(system of linear equations) 또는 단순히 연립방정식이라 하며 다음과 같이 표현한다.", "</p><p>\\[ \\begin{array}{ccc}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\\cdots+a_{1 n} x_{n} b_{1} \\\\ a_{21} x_{1}+ a_{22} x_{2}+\\cdots+a_{2 n} x_{n} b_{2} \\\\ \\vdots \\quad \\vdots \\quad \\vdots \\\\ \\vdots \\quad \\vdots \\quad \\vdots \\\\ a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\\ldots+a_{m n} x_{n} b_{\\pi}\\end{array} \\]</p><p>여기서 \\( a_{i j} \\)들과 \\( b_{i} \\)들은 상수이고 \\( x_{j} \\)들은 미지수로 구해야 할 수이다.", "특정한 \\( x_{j} \\) 들이 이 식을 만족하면 이들을 이 방정식의 해(solution)라고 하는데 해가 반드시 있는 것은 아니고 없을 수도 있다.", "그러나 해가 있다면, 그 경우 단 하나이거나 아니면 무한히 많다.", "일반적으로 미지수의 개수 \\( (n) \\)가 방정식의 개수 \\( (m) \\)보다 많으면 해는 무한히 많고, 적으면 해가 없을 수도 있다.", "미지수와 방정식의 개수가 같으면 계수에 따라 단 하나의 해가 있을 수도 있고, 없을 수도 있고 그리고 무한히 많을 수도 있다.", "각각의 경우를 예를 들어 살펴보자.", "</p><p>예제 | \\(2.1\\)</p><p>미지수가 두 개이고 방정식이 두 개인 연립방정식의 해는 다음과 같다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\left\\{\\begin{array}{l}x+y=3 \\\\ x-y=1\\end{array}\\right. \\) 의 해는 \\( x=2, y=1 \\) 단 하나뿐이다.", "</li><li>\\( \\left\\{\\begin{array}{c}x+y=1 \\\\ 2 x+2 y=2\\end{array}\\right. \\) 의 해는 \\( x=t, y=1-t, t \\in R \\) 로 무수히 많다.", "</li><li>\\( \\left\\{\\begin{array}{c}x+y=3 \\\\ 2 x+2 y=2\\end{array}\\right. \\) 의 해는 없다.", "</li></ol><p>위의 그림은 다음과 같이 옥타브를 이용하여 구할 수 있다.", "</p><p>다음 연립방정식을 살펴보자.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} x+2 y+z &=4 \\\\ 2 x+y &=3 \\\\ 4 x+y+2 z &=7 \\end{aligned} \\)</p><p>이 방정식의 해는 \\( x=1, y=1, z=1 \\) 이다.", "이 방정식의 처음 두 식을 교환하여 얻은</p><p>\\( \\begin{aligned} 2 x+y &=3 \\\\ x+2 y+z &=4 \\\\ 4 x+y+2 z &=7 \\end{aligned} \\)</p><p>의 해도 역시 \\( x=1, y=1, z=1 \\) 으로 변함이 없다.", "즉 연립방정식에 있는 각 방정식의 순서를 바꾸어도 해는 변하지 않는다.", "또한 이 방정식의 첫 번째 식의 양변에 \\(0\\) 이 아닌 상수 예를 들어 \\(2\\)를 곱하여 만든 방정식</p><p>\\( 2 x+4 y+2 z=8 \\) \\( 2 x+y=3 \\) \\( 4 x+y+2 z=7 \\)</p><p>의 해도 변함이 없다.", "즉, 연립방정식에 있는 한 방정식의 양변에 \\(0\\) 이 아닌 상수를 곱하여도 그 연립방정식의 해는 변하지 않는다.", "이번에는 이 방정식에 있는 처음 식의 양변에 \\( -2 \\) 를 곱하여 두 번째 식에 더하여 만든 방정식</p><p>\\( \\begin{aligned} x+2 y+z &=4 \\\\-3 y-2 z &=-5 \\\\ 4 x+2 y+2 z &=8 \\end{aligned} \\)</p><p>의 해도 역시 \\( x=1, y=1, z=1 \\) 이다.", "이처럼 연립방정식에 있는 한 방정식의 양변에 상수를 곱하여 그 결과를 다른 방정식에 더하여 얻은 방정식의 해도 변함이 없다.", "</p><p>이와 같이 두 연립방정식의 계수는 다를 수 있으나 해가 같은 경우 두 식은 동치라고 한다.", "위와 같이 동치가 되는 방법을 반복하여 이용해 주어진 연립방정식의 계수를 소거하여 풀기 쉬운 방정식으로 만들어 해를 구하는 것을 소거법이라 한다.", "</p><p>동치인 기본 방정식 연산</p><ol type=1 start=1><li>두 방정식을 바꾼다.", "</li><li>한 방정식에 \\(0\\) 이 아닌 상수를 곱한다.", "</li><li>한 방정식에 상수를 곱하여 다른 방정식에 더한다.", "</li></ol>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "410", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "옥타브로 배우는 인공지능을 위한 기초수학_선형대수", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-3d5e-436b-aceb-9820cdc95d2b", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160734089", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2020", "doc_author": [ "이규봉" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>한 제작회사가 하나에 대하여 \\( p \\)달러로 생산하는 품목들을 모두 팔 수 있다면 전체수입 \\( R(x) \\)는 \\[ R(x)=p x \\] 이고 그의 전체수익 \\( P(x) \\)는 \\[ P(x)=R(x)-C(x)=p x-C(x) \\] 가 될 것이다.", "따라서 비용함수가 위와 같이 \\[ C(x)=a+b x+c x^{2} \\] 으로 주어졌다면 전체수익 \\( P(x) \\)는 \\[ P(x)=p x-\\left(a+b x+c x^{2}\\right) \\] 이다.", "고용자 수, 쓸모있는 기계의 양, 경제조건, 그리고 경쟁력과 같은 요인에 의존한다면 제작자는 생산과 판매를 감당할 수 있는 항목의 수에 어떤 상한 \\( l \\)이 존재할 것이다.", "따라서 한정된 시간 주기 동안 위 식의 변수 \\( x \\)는 \\( 0 \\leqq x \\leqq l \\)을 만족할 것이다.", "따라서 구간 \\( [0, l] \\)에서 전체 수익 \\( P(x) \\)를 극대화하는 \\( x \\)의 가격을 결정함으로써 회사는 최대수익을 내기 위해 얼마나 많은 단위의 생산품을 제작해야만 하고 판매해야만 하는지를 결정할 수 있다.", "</p><p>예제 \\( 9 \\) 제약회사에서 만들어지는 액체형태의 페니실린은 한 묶음당 \\( 200 \\) 달러의 가격으로 대량 판매되고 있다. \\", "( x \\)묶음당 총 생산비용(달러)이 \\[ C(x)=500,000+80 x+0.003 x^{2} \\] 으로 주어진다고 가정하자.", "그리고 이 회사의 생산능력은 지정된 시간 내에 기껏해야 \\( 30,000 \\) 묶음이라면 이익을 극대화하기 위해 지정된 시간 안에 얼마나 많은 묶음의 페니실린을 팔이야만 하는가?", "</p><p>풀이 \\( x \\)묶음을 팔기위한 총 수입은 \\( R(x)=200 x \\)이기 때문에 \\( x \\)묶음에서 발생하는 수익금 \\( P(x) \\)는 \\[ P(x)=R(x)-C(x)=200 x-\\left(500,000+80 x+0.003 x^{2}\\right) \\]<caption>①</caption>이다.", "생산능력은 기껏해야 \\( 30,000 \\)묶음이기 때문에 \\( x \\)는 구간 \\( [0,30,000] \\) 내에 놓여 야 한다.", "식 ①로부터 \\[ \\frac{d P}{d x}=200-(80+0.006 x)=120-0.006 x \\] 이다. \\", "( \\frac{d P}{d x}=0 \\)으로 놓으면 \\[ 120-0.006 x=0 \\] 또는 \\[ x=20,000 \\] 이다.", "이 임계값은 구간 \\( [0,30,000] \\)안에 있으므로 최대이익은 \\[ x=0, x=20,000, x=30,000 \\] 중의 한 점에서 발생하여야만 한다.", "이 세 점의 값을 각각 식 ①에 대입하여 증감표를 만들면 최대이익은 \\( x=20,000 \\)묶음을 제작하여 지정된 시간에 팔 때 \\( P=700,000 \\)달러를 얻는다.", "</p><table border><tbody><tr><td>\\( x \\)</td><td>\\( 0 \\)</td><td>\\( \\cdots \\)</td><td>\\( 20,000 \\)</td><td>\\( \\cdots \\)</td><td>\\( 30,000 \\)</td></tr><tr><td>\\( \\frac{d P}{d x} \\)</td><td></td><td>+</td><td>\\( 0 \\)</td><td>-</td><td></td></tr><tr><td>\\( P \\)</td><td></td><td>증가</td><td>\\( 700,000 \\)</td><td>감소</td><td>\\( 0 \\)</td></tr></tbody></table><h3>연습문제 (3-2-3)</h3><p>\\( 1 \\).", "다음 함수들에서 임계점을 구하고 미분 불가능한 점, 정점을 찾아라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=x^{2}-5 x+6 \\)</li><li>\\( f(x)=\\sqrt[3]{x^{2}} \\)</li><li>\\( f(x)=\\frac{x}{x^{2}+2} \\)</li><li>\\( f(x)=\\cos 3 x \\)</li><li>\\( f(x)=\\sin ^{2} 2 x, 0<x<2 \\pi \\)</li><li>\\( f(x)=x \\tan x,-\\frac{\\pi}{2}<x<\\frac{\\pi}{2} \\)</li></ol><p>\\( 2 \\).", "다음 함수들에서 주어진 구간 내에서 극대, 극솟값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=8 x-x^{2} ;[0,6] \\)</li><li>\\( y=2 x^{3}-3 x^{2}-12 x ;[-2,3] \\)</li><li>\\( y=\\frac{x}{x^{2}+2} ;[-1,4] \\)</li><li>\\( y=\\frac{3 x}{\\sqrt{4 x^{2}+1}} ;[-1,1] \\)</li><li>\\( y=\\sqrt[3]{x^{2}}(20-x) ;[-1,20] \\)</li><li>\\( y=x-\\tan x ;\\left[-\\frac{\\pi}{4}, \\frac{\\pi}{4}\\right] \\)</li></ol><p>\\( 3 \\). \\", "( f(x)=3 \\cos \\frac{x}{3}+2 \\cos \\frac{x}{2} \\)의 극대, 극솟값을 구하여라.", "</p><p>\\( 4 \\). \\", "( [0,2 \\pi] \\)에서 \\( 1-\\frac{x^{2}}{2} \\leqq \\cos x \\)임을 증명하여라.", "</p><p>\\( 5 \\).", "음이 아닌 두 수의 합이 \\( 10 \\)일 때 곱이 최대가 되는 두 수를 구하여라.", "</p><p>\\( 6 \\).", "반지름이 \\( R \\)인 반원 안에 내접하는 직사각형의 최대면적을 구하여라.", "</p><p>\\( 7 \\).", "매주 생산되는 일용품 \\( x \\)단위의 총 비용은 \\[ C(x)=200+4 x+0.1 x^{2} \\] 으로 주어진다고 하자.", "</p><ol type=1 start=1><li>생산수준이 \\( 100 \\)단위일 때 한계비용을 구하여라.", "</li><li>\\( 101 \\)번째 단위를 생산하는 비용에 근사하는 한계비용을 구하여라.", "</li><li>\\( 101 \\)번째 단위를 생산하는 정확한 비용을 구하여라.", "</li></ol> <p>극값의 응용 이제 앞에서 논의했던 극값판정법들에 의해 각 분야에서 응용되는 최적화 문제들을 다루어 보자.", "</p><p>예제 \\( 4 \\) 가로 30cm, 세로 16cm인 직사각형 모양의 도화지를 가지고 네 귀퉁이를 똑같은 크기의 정사각형으로 잘라내어 그림 \\( 3 \\)-\\( 27 \\)과 같이 접어 올려서 직육면체 모양의 상자를 만들려고 한다.", "이 상자의 부피를 가장 크게 하려면 잘라내는 정사각형의 한 변의 길이를 얼마로 하면 좋겠는가?", "</p><p>풀이 잘라내는 정사각형의 한 변의 길이를 \\( x \\)라 하고 구하려는 상자의 부피를 \\( V \\)라 하자.", "그러면 상자의 부피 \\[ V=(16-2 x)(30-2 x) x=480 x-92 x^{2}+4 x^{3} \\]<caption>①</caption>의 식으로 나타낼 수 있다.", "여기서 \\( 0 \\leqq x \\leqq 8 \\)이어야 한다.", "결국 이것은 변수 \\( x \\)가 구간 \\( [0,8] \\)에서 움직일 때 \\( V \\)의 최댓값을 구하는 문제이다. \\", "( V \\)는 \\( x \\)의 \\( 3 \\)차 다항함수이고 \\( [0,8] \\)에서 연속이며 미분가능하므로 극값판정법에 의하여 \\( V \\)가 \\( [0,8] \\)내에 서 최대가 되는 \\( x \\)값을 구하면 된다.", "따라서 \\[ \\frac{d V}{d x}=480-184 x+12 x^{2}=4\\left(120-46+3 x^{2}\\right) \\]<caption>②</caption>를 얻는다.", "여기에서 \\( \\frac{d V}{d x}=0 \\)으로 놓으면 \\( 120-46 x+3 x^{2}=0 \\)이 되어 \\( x=\\frac{10}{3} \\), \\( x=12 \\)를 얻는다.", "그런데 \\( x=12 \\)는 구간 밖의 값이므로 버린다.", "따라서 함수의 증감표를 그리면 \\( x=\\frac{10}{3} \\)에서 부피 \\( V \\)의 최댓값(국소극댓값)이 된다.", "</p><table border><tbody><tr><td>\\( x \\)</td><td>\\( 0 \\)</td><td>\\( \\cdots \\)</td><td>\\( \\frac{10}{3} \\)</td><td>\\( \\cdots \\)</td><td>\\( 8 \\)</td></tr><tr><td>\\( 3 x-10 \\)</td><td>\\( -10 \\)</td><td>-</td><td>\\( 0 \\)</td><td>+</td><td>\\( 14 \\)</td></tr><tr><td>\\( x-12 \\)</td><td>\\( -12 \\)</td><td>-</td><td>\\( -\\frac{26}{3} \\)</td><td>-</td><td>\\( -4 \\)</td></tr><tr><td>\\( \\frac{d V}{d x} \\)</td><td></td><td>+</td><td>\\( 0 \\)</td><td>-</td><td></td></tr><tr><td>\\( V \\)</td><td>\\( 0 \\)</td><td>증가</td><td>\\( \\frac{19600}{27} \\)</td><td>감소</td><td>\\( 0 \\)</td></tr></tbody></table><p>그러므로 \\( x=\\frac{10}{3} \\)cm를 ①에 대입하면 최대부피 \\[ \\begin{aligned} V &=\\left(16-2 \\times \\frac{10}{3}\\right)\\left(30-2 \\times \\frac{10}{3}\\right) \\frac{10}{3} \\\\ &=\\frac{28}{3} \\times \\frac{70}{3} \\times \\frac{10}{3}=\\frac{19600}{27} \\\\ \\end{aligned} \\] 즉, \\( V=\\frac{19600}{27} \\mathrm{~cm}^{3} \\)이다.", "</p><p>예제 \\( 5 \\) 앞바다의 기름샘이 직선 해안선에 가장 가까운 해안점 \\( A \\)로부터 \\( 5 \\mathrm{~km} \\)떨어진 바다 위의 점 \\( W \\)에 위치해 있다(그림 \\( 3 \\)-\\( 28 \\)).", "기름은 \\( W \\)에서 \\( A \\)와 \\( B \\)사이의 해안점 \\( P \\)와 점 \\( A \\)로부터 \\( 8 \\mathrm{~km} \\)떨어진 해안점 \\( B \\)로 파이프를 통하여 운반되고 있다.", "물론 \\( P \\)에서 \\( B \\)까지도 직선 해안선을 따라가는 파이프로 연결되어 있다.", "파이프를 설치하는 비용은 해저 \\( 1 \\mathrm{~km} \\)당 \\( 10 \\)만 달러이고 육지에서는 \\( 1 \\mathrm{~km} \\)당 \\( 75 \\),\\( 000 \\)달러가 소요된다면 파이프를 설치하는 비용을 최소화하려면 점 \\( P \\)의 위치를 어떻게 설정하면 되는가?", "</p><p>풀이 \\( A \\)에서 \\( P \\)까지의 거리를 \\( x \\)라 하고 설치하는 데 필요한 파이프라인의 총 비용을 \\( c \\)라 하자.", "그림 \\( 3 \\)-\\( 28 \\)로부터 해저파이프의 길이는 \\( W \\)와 \\( P \\)사이의 거리이다.", "따라서 피타고라스의 정리에 의해 \\[ W P=\\sqrt{x^{2}+25} \\]<caption>①</caption>이다.", "또, 육지에서의 파이프의 길이는 \\( P \\)와 \\( B \\)사이의 거리이므로 \\[ P B=8-x \\]<caption>②</caption>이다.", "여기서 \\( A \\)와 \\( P \\)사이의 거리 \\( x \\)는 \\( 0 \\leqq x \\leqq 8 \\)이어야 한다.", "따라서 ①과 ②로 부터 파이프라인의 총 비용 \\( c \\)는 \\[ c=100 \\sqrt{x^{2}+25}+75(8-x) \\]<caption>③</caption>이다.", "이것은 구간 \\( [0,8] \\)에서 ③의 최솟값이 되는 \\( x \\)의 값을 구하는 문제로 귀착된다. \\", "( c \\)는 구간 \\( [0,8] \\)에서 \\( x \\)에 관한 연속이고 미분가능한 함수이므로 앞에서 언급한 극값판정법에 의해 최솟값을 구하면 된다.", "즉, ③으로부터 \\[ \\frac{d c}{d x}=\\frac{100 x}{\\sqrt{x^{2}+25}}-75=25\\left(\\frac{4 x}{\\sqrt{x^{2}+25}}-3\\right) \\] 이 되어 \\( \\frac{d c}{d x}=0 \\)이 되는 \\( x \\)값은 \\[ \\frac{4 x}{\\sqrt{x^{2}+25}}-3=0 \\]<caption>④</caption>을 풀면 된다.", "정리하면 \\[ \\begin{aligned} 4 x=3 \\sqrt{x^{2}+25} & \\Leftrightarrow 16 x^{2}=9\\left(x^{2}+25\\right) \\\\ & \\Leftrightarrow 7 x^{2}=125 \\end{aligned} \\] 따라서 \\[ x=\\pm \\frac{15}{\\sqrt{7}} \\] 이다.", "여기서 \\( -\\frac{15}{\\sqrt{7}} \\)는 ④의 근이 아니므로 버리고 \\( x=\\frac{15}{\\sqrt{7}} \\)만 임계점으로 채택한다.", "따라서 최솟값은 \\( x=0, x=\\frac{15}{\\sqrt{7}}, x=8 \\) 중 한 점에서 발생한다.", "이 값들을 식 ③에 대입하면 다음과 같은 증감표를 얻는다.", "</p><table border><tbody><tr><td>\\( x \\)</td><td>\\( 0 \\)</td><td>\\( \\ldots \\)</td><td>\\( \\frac{15}{\\sqrt{7}} \\)</td><td>\\( \\ldots \\)</td><td>\\( 8 \\)</td></tr><tr><td>\\( \\frac{d c}{d x} \\)</td><td></td><td>-</td><td>\\( 0 \\)</td><td>+</td><td></td></tr><tr><td>\\( c \\)</td><td>\\( 1100 \\)</td><td>감소</td><td>\\( 600+125 \\sqrt{7} \\) \\( \\fallingdotseq 930.719 \\)</td><td>증가</td><td>\\( 100 \\sqrt{89} \\) \\( \\fallingdotseq 943.398 \\)</td></tr></tbody></table><p>따라서 \\( x=\\frac{15}{\\sqrt{7}} \\)일 때 극소이자 최솟값 \\( c \\fallingdotseq 930.719 \\)달러가 소요된다.", "즉, 점 \\( P \\)가 \\( A \\)로부터 \\( \\frac{15}{\\sqrt{7}} \\fallingdotseq 5.67(\\mathrm{~km}) \\) 위치해 있을 때 최소경비가 소요된다.", "</p><p>예제 \\( 6 \\) 직사각형의 둘레가 \\( P \\)일 때 최대면적이 되려면 가로, 세로를 얼마로 하면 되는가?", "</p><p>풀이 직사각형의 세로를 \\( x \\), 가로를 \\( y \\)라 놓고 면적을 \\( A \\)라 하자.", "그러면 \\[ A=x y \\]<caption>①</caption>이고 \\[ P=2 x+2 y \\Leftrightarrow y=\\frac{1}{2} P-x \\]<caption>②</caption>이다(그림 \\( 3 \\)-\\( 29 \\)).", "</p><p>식 ②를 식 ①에 대입하면 \\[ A=\\frac{1}{2} P x-x^{2} \\]<caption>③</caption>한편, \\( 0 \\leqq x \\leqq \\frac{P}{2} \\)이므로 구간 \\( \\left[0, \\frac{P}{2}\\right] \\)에서 식 ③이 최대가 되는 \\( x \\)의 값을 구하는 문제가 된다.", "식 ③으로부터 \\[ \\frac{d A}{d x}=\\frac{1}{2} P-2 x=0 \\] 인 \\( x \\)값은 \\( x=\\frac{P}{4} \\)이다.", "이 값은 \\( \\left[0, \\frac{P}{2}\\right] \\)안에 존재하므로 \\( A \\)의 최댓값은 \\( x=0 \\), \\( x=\\frac{P}{4}, x=\\frac{P}{2} \\) 중 한 점에서 발생한다.", "이 세 점의 값을 ③에 대입하면 다음 증감표를 얻는다.", "즉,</p><table border><tbody><tr><td>\\( x \\)</td><td>\\( 0 \\)</td><td>\\( \\cdots \\)</td><td>\\( \\frac{P}{4} \\)</td><td>\\( \\cdots \\)</td><td>\\( \\frac{P}{2} \\)</td></tr><tr><td>\\( \\frac{d A}{d x} \\)</td><td></td><td>+</td><td>\\( 0 \\)</td><td>-</td><td></td></tr><tr><td>\\( A \\)</td><td>\\( 0 \\)</td><td>증가</td><td>\\( \\frac{P^{2}}{16} \\)</td><td>감소</td><td>\\( 0 \\)</td></tr></tbody></table><p>따라서 \\( x=\\frac{P}{4}, y=\\frac{P}{4} \\)에서 최대면적 \\( A=\\frac{P^{2}}{16} \\)을 얻는다.", "즉, 둘레가 일정할 때는 정사각형일 때 최대면적이 된다.", "</p> <p>정리 \\( 3 \\)-\\( 2 \\)-\\( 8 \\) \\( 1 \\)계도함수에 의한 극값판정법 Ⅰ 함수 \\( f(x) \\)가 \\( x=c \\)근방에서 연속이고 \\( x=c \\)를 제외한 다른 점에서 미분가능하다고 하자.", "</p><ol type=1 start=1><li>만일 \\( x \\)의 값이 증가하면서 \\( c \\)를 지날 때, \\( f^{\\prime}(x) \\)의 부호가 +에서 -로 변하면 \\( f(c) \\)는 극댓값이다.", "</li><li>만일 \\( x \\)의 값이 증가하면서 \\( c \\)를 지날 때, \\( f^{\\prime}(x) \\)의 부호가 -에서 +로 변하면 \\( f(c) \\)는 극솟값이다.", "</li><li>\\( x \\)의 값이 증가하면서 \\( c \\)를 지날 때, \\( f^{\\prime}(x) \\)의 부호가 변하지 않는다면 \\( f(c) \\)는 극값이 아니다.", "</li></ol><p>증명</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x) \\)가 \\( x=c \\)의 바로 앞에서 \\( f^{\\prime}(x)>0 \\), 바로 뒤에서 \\( f^{\\prime}(x)<0 \\)이라 하고 양수 \\( h \\)를 충분히 작게 잡으면 \\[ \\begin{array}{l} f(c)-f(c-h)=h f^{\\prime}(\\xi)>0, \\quad(c-h<\\xi<c) \\\\ f(c+h)-f(c)=h f^{\\prime}(\\eta)<0, \\quad(c<\\eta<c+h) \\end{array} \\] 이다. 따라서 \\( h \\)가 충분히 작으면 \\[ f(c)>", "f(c \\pm h) \\] 로 되어 \\( f(c) \\)는 극대가 된다.", "</li><li>극소에 대해서도 마찬가지로 증명된다.", "</li><li>극대, 극소의 정의에 의하여 당연하다.", "</li></ol><p>예제 \\( 1 \\) 함수 \\( f(x)=x^{3}-12 x^{2}+36 x+10 \\)의 극값을 구하고 그래프를 그려라.", "</p><p>풀이 함수 \\( f(x)=x^{3}-12 x^{2}+36 x+10 \\)에서 \\( x \\)에 관하여 미분하면, \\[ f^{\\prime}(x)=3 x^{2}-24 x+36=3(x-2)(x-6) \\] 이다.", "이제 \\( f^{\\prime}(x)=0 \\)으로 놓고 임계점을 구하면 \\( x=2 \\)또는 \\( x=6 \\)이다.", "이 임계점을 기준으로 함수의 증감표를 만들어 보면</p><table border><tbody><tr><td>\\( x \\)</td><td>\\( \\ldots \\)</td><td>2</td><td>\\( \\ldots \\)</td><td>6</td><td>\\( \\ldots \\)</td></tr><tr><td>\\( x-2 \\)</td><td>-</td><td>0</td><td>+</td><td>4</td><td>+</td></tr><tr><td>\\( x-6 \\)</td><td>-</td><td>\\( -4 \\)</td><td>-</td><td>0</td><td>+</td></tr><tr><td>\\( f^{\\prime}(x) \\)</td><td>+</td><td>0</td><td>-</td><td>0</td><td>+</td></tr><tr><td>\\( f(x) \\)</td><td>증가</td><td>42</td><td>감소</td><td>10</td><td>증가</td></tr></tbody></table><p>이다.", "따라서 \\( f(2)=42 \\)은 극댓값이고, \\( f(6)=10 \\)이 극솟값이 된다.", "이 증감표를 토대로 그래프를 그리면 그림 \\( 3 \\)-\\( 25 \\)와 같다.", "</p><p>위 정리에 의하면 함수의 증감상태는 그의 도함수 \\( f^{\\prime}(x) \\)의 부호에 따라 정해짐을 알 수 있다.", "또, \\( f^{\\prime}(x) \\)의 증감상태는 \\( f^{\\prime}(x) \\)를 다시 한번 미분한 \\( f^{\\prime \\prime}(x) \\)의 값의 부호에 의해 정해진다.", "즉, \\( x \\)값이 증가함에 따라 \\( f^{\\prime}(x) \\)의 값이 감소하는 경우에는 \\( f^{\\prime \\prime}(x)<0 \\)이고 증가하는 경우에는 \\( f^{\\prime \\prime}(x)>0 \\)이다.", "따라서 도함수만을 이용하여 극값을 판정하는 방법 이외에 다음 정리와 같이 \\( 2 \\)계도함수에 의해 함수의 극값을 판정할 수 있다.", "</p><p>정리 \\( 3 \\)-\\( 2 \\)-\\( 9 \\) \\( 2 \\)계도함수에 의한 극값판정법 Ⅱ 함수 \\( f(x) \\)가 \\( x=c \\)근방에서 \\( C^{2} \\)-급이고 \\( f^{\\prime}(c)=0 \\)라 하자.", "이때,</p><ol type=1 start=1><li>만약 \\( f^{\\prime \\prime}(c)<0 \\)이면 \\( f(c) \\)는 극댓값이고</li><li>만약 \\( f^{\\prime \\prime}(c)>0 \\)이면 \\( f(c) \\)는 극솟값이다.", "</li></ol><p>보기 \\( 3 \\) 예제 \\( 1 \\)에서 정리 \\( 3 \\)-\\( 2 \\)-\\( 9 \\)를 이용하여 극값을 구하면 \\( f^{\\prime \\prime}(2)=-12<0 \\)이므로, \\( f(2)=42 \\)은 극댓값이고 \\( f^{\\prime \\prime}(6)=12>0 \\)이므로 \\( f(6)=10 \\)이 극솟값이다.", "</p><p>예제 \\( 2 \\) \\( f(x)=\\frac{x}{1+x^{2}} \\)의 극값을 구하여라.", "</p><p>풀이 주어진 함수의 도함수를 구하면 \\( f^{\\prime}(x)=\\frac{1-x^{2}}{\\left(1+x^{2}\\right)^{2}} \\)이므로 \\( f^{\\prime}(x)=0 \\)인 \\( x \\)값을 구 하면 \\( x=\\pm 1 \\)을 얻는다.", "한편, \\( f^{\\prime \\prime}(x)=\\frac{2 x\\left(x^{2}-3\\right)}{\\left(1+x^{2}\\right)^{3}} \\)이므로 \\( x=\\pm 1 \\)을 \\( f^{\\prime \\prime}(x) \\)에 대입하면 \\[ f^{\\prime \\prime}(1)=-\\frac{1}{2}<0, \\quad f^{\\prime \\prime}(-1)=\\frac{1}{2}>0 \\] 이다.", "따라서 극댓값은 \\( f(1)=\\frac{1}{2} \\)이고 극솟값은 \\( f(-1)=-\\frac{1}{2} \\)이다.", "</p><p>정리 \\( 3 \\)-\\( 2 \\)-\\( 9 \\)를 일반화하면 다음 정리를 얻는다.", "</p><p>\\( 3 \\)-\\( 2 \\)-\\( 10 \\) 고계도함수에 의한 극값판정법 함수 \\( f(x) \\)가 \\( x=c \\)근방에서 \\( C^{n} \\)-급이고 \\( f^{\\prime}(c)=f^{\\prime \\prime}(c)=\\cdots=f^{(n-1)}(c)=0 \\), \\( f^{(n)}(c) \\neq 0 \\)일 때,</p><ol type=1 start=1><li>\\( n \\)이 짝수이고 \\( f^{(n)}(c)<0 \\)이면, \\( f(c) \\)는 극댓값이다.", "</li><li>\\( n \\)이 짝수이고 \\( f^{(n)}(c)>0 \\)이면, \\( f(c) \\)는 극솟값이다.", "</li><li>\\( n \\)이 홀수이면 점 \\( (c, f(c)) \\)는 곡선 \\( y=f(x) \\)의 변곡점이다.", "</li></ol><p>예제 \\( 3 \\) 다음 함수들의 극값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=x^{x}(x>0) \\)</li><li>\\( f(x)=e^{x}+e^{-x}+2 \\cos x \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>\\( f^{\\prime}(x)=x^{x}(\\ln x+1)=f(x)(\\ln x+1) \\)이 되어 \\( f^{\\prime}(x)=0 \\)인 \\( x \\)값을 구하면 \\( \\ln x+1=0 \\)에서 \\( x=\\frac{1}{e} \\) 이다. 한편, \\( 2 \\)계도함수에 의한 극값을 구하기 위해 \\( f^{\\prime}(x) \\)의 도함수를 구하면 \\[ f^{\\prime \\prime}(x)=f^{\\prime}(x)(\\ln x+1)+f(x) \\cdot \\frac{1}{x} \\] 이므로 \\( f^{\\prime \\prime}\\left(\\frac{1}{e}\\right)=f\\left(\\frac{1}{e}\\right) \\cdot e>", "0 \\)이다.", "따라서 \\( f(x) \\)는 \\( x=\\frac{1}{e} \\)에서 극소가 되고 극솟값은 \\( f\\left(\\frac{1}{e}\\right)=\\left(\\frac{1}{e}\\right)^{\\frac{1}{e}} \\)이다.", "</li><li>주어진 함수를 \\( x \\)에 관해 미분하면 \\( f^{\\prime}(x)=e^{x}-e^{-x}-2 \\sin x \\)이다. 여기서 \\( f^{\\prime}(x)=0 \\)인 \\( x \\)값을 구하면 \\( x=0 \\)이다. 한편, 이 문제는 고계도함수에 의한 극값판정법에 의해 극값을 구하는 것이 간편하다. 따라서 \\( f^{\\prime}(x) \\)의 도함수를 구하면 \\[ f^{\\prime \\prime}(x)=e^{x}+e^{-x}-2 \\cos x \\] 이므로 \\( f^{\\prime \\prime}(0)=0 \\)이다. 다시 \\( f^{\\prime \\prime}(x) \\)의 도함수를 구하면 \\[ f^{\\prime \\prime \\prime}(x)=e^{x}-e^{-x}+2 \\sin x \\] 이므로 \\( f^{\\prime \\prime \\prime}(0)=0 \\)이다. 같은 방법으로 하면 \\[ f^{(4)}(x)=e^{x}+e^{-x}+2 \\cos x \\] 이고 \\( f^{(4)}(0)=4>", "0 \\)이므로 정리 \\( 3 \\)-\\( 2 \\)-\\( 10 \\)에 의하여 \\( n \\)은 짝수가 되어 극솟값 \\( f(0)=4 \\)를 갖는다.", "</li></ol> <p>그림 \\( 3 \\)-\\( 1 \\)에서 점 \\( P \\)와 \\( Q \\)를 잇는 직선의 기울기는 \\( \\frac{\\Delta y}{\\Delta x} \\)이다.", "여기서 \\( \\Delta x \\rightarrow 0 \\)이면 점 \\( Q \\)는 곡선 \\( y=f(x) \\)를 따라 점 \\( P \\)에 접근해 가고 직선 \\( P Q \\)의 기울기는 결국 점 \\( P \\)에서의 접선의 기울기에 접근해 간다.", "즉, 점 \\( P \\)에서의 접선의 기울기는 \\[ \\frac{d y}{d x}=\\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{\\Delta y}{\\Delta x}=\\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{f(x+\\Delta x)-f(x)}{\\Delta x} \\]<caption>(1)</caption>이다.", "종속변수 \\( y \\) 대신 \\( f \\)를 사용하여 \\( \\Delta f=f(x+\\Delta x)-f(x) \\)로 쓰고 \\[ f^{\\prime}(x)=\\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{\\Delta f}{\\Delta x} \\]<caption>(2)</caption>로 나태내기도 한다.", "위의 표현들은 도함수의 정의를 나타낼 때 이미 도함수편에서 다루었다.", "지금까지는 함수 \\( y=f(x) \\)의 도함수를 라이프니츠의 표기법인 \\( \\frac{d y}{d x} \\)로, 하나의 기호로써 사용하여 왔다.", "이것에 대해 \\( d y \\)와 \\( d x \\)를 미분(differentials)이라고 말한다.", "이것들은 그 자체로서는 의미가 없다. \\", "( \\frac{d y}{d x} \\)가 \\( d y \\)와 \\( d x \\)의 비로서 간주될 수 있도록 이 기호들에 대하여 살펴보자.", "</p><p>그림 \\( 3 \\)-\\( 2 \\)에서 곡선 \\( y=f(x) \\)위의 고정점을 \\( P(x, y) \\)라 하고 점 \\( P \\)를 원점으로 하고 이 점에서 \\( x, y \\)축과 평행한 직선을 각각 \\( d x, d y \\)축이 되는 새로운 직교좌표를 \\( (d x-d y) \\)-좌표라고 하자.", "그러면 \\( y=f(x) \\) 위의 점 \\( P \\)에서의 접선의 방정식은 기울기를 \\( m \\)이라 할 때 \\[ d y=m d x \\]<caption>(3)</caption>이다.", "</p><p>한편, \\( x y \\)-좌표축과 \\( (d x-d y) \\)-좌표축은 평행하기 때문에 어느 좌표계에서도 접선은 같은 크기의 경사각 \\( \\theta \\)를 가지고 있으므로 기울기는 같다.", "따라서 (\\( 3 \\))은 \\[ d y=f^{\\prime}(x) d x \\]<caption>(4)</caption>로 다시 나타낼 수 있다.", "그러므로 \\( d x \\neq 0 \\)이면 (\\( 4 \\))의 양변을 \\( d x \\)로 나누어 \\[ \\frac{d y}{d x}=f^{\\prime}(x) \\]<caption>(5)</caption>로 나타낼 수 있다.", "즉, 도함수를 두 미분의 분수로 생각하여도 좋다.", "이것으로 \\( x \\)에 관한 \\( y \\)의 도함수를 \\( \\frac{d y}{d x} \\)라 쓰는 이유를 알게 될 것이다.", "기하학적으로 (\\( 4 \\))에서 미분 \\( d y \\)는 점 \\( P(x, y) \\)에서 출발했을 때 발생하는 \\( y \\)에서의 변화를 나타내고 \\( x \\)에서 \\( d x \\)만큼 변화할 때까지 점 \\( P \\)에서의 접선을 따라 움직인다(그림 \\( 3 \\)-\\( 3 \\) 참조).", "</p><p>반면에 \\( \\Delta y \\)는 점 \\( P(x, y) \\)에서 출발했을 때 발생하는 \\( y \\)의 변화를 나타내되 \\( x \\)에서 \\( d x \\)만큼 변화할 때까지 \\( y=f(x) \\)를 따라 움직인다(그림 \\( 3 \\)-\\( 4 \\) 참조).", "그림 \\( 3 \\)-\\( 4 \\)는 \\( d x=\\Delta x \\)인 경우 \\( d y \\)와 \\( \\Delta y \\)의 값을 잘 비교하여 표현해 놓은 것이다.", "</p><table border><tbody><tr><td>도함수의 법칙</td><td>미분의 법칙</td></tr><tr><td>1. \\( \\frac{d k}{d x}=0 \\) 2. \\( \\frac{d}{d x}(k f)=k \\frac{d f}{d x} \\) 3. \\( \\frac{d}{d x}(f+g)=\\frac{d f}{d x}+\\frac{d g}{d x} \\) 4. \\( \\frac{d}{d x}(f \\times g)=f \\frac{d g}{d x}+g \\frac{d f}{d x} \\) 5. \\( \\frac{d}{d x}\\left(\\frac{f}{g}\\right)=\\frac{g \\frac{d f}{d x}-f \\frac{d g}{d x}}{g^{2}} \\) 6. \\( \\frac{d}{d x}\\left(f^{n}\\right)=n f^{n-1} \\frac{d f}{d x} \\)</td><td>1. \\( d k=0 \\) 2. \\( d(k f)=k d f \\) 3. \\( d(f+g)=d f+d g \\) 4. \\( d(f \\times g)=f d g+g d f \\) 5. \\( d\\left(\\frac{f}{g}\\right)=\\frac{g d f-f d g}{g^{2}} \\) 6. \\( d\\left(f^{n}\\right)=n f^{n-1} d f \\)</td></tr></tbody></table><p>앞의 개념들은 다음에 나오는 근삿값 계산에 유용하게 활용되니 잘 이해해 두어야 한다.", "표 \\( 3 \\)-\\( 1 \\)에서 도함수의 법칙과 미분의 법칙을 잘 대비시켜 놓았다.", "이것은 도함수의 법칙에 대응되는 미분의 법칙은 각 도함수의 법칙에 '\\( d x \\)'를 곱하여 얻을 수 있음을 알 수 있다.", "</p><p>예제 \\( 3 \\) 다음 함수들의 미분 \\( d y \\)를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=x^{n} \\)</li><li>\\( y=x \\sin x \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>\\( d y=d\\left(x^{n}\\right)=n x^{n-1} d x \\)</li><li>\\( \\begin{aligned} d y &=d(x \\sin x)=x d(\\sin x)+(\\sin x) d(x) \\\\ &=x(\\cos x) d x+(\\sin x) 1 d x=x(\\cos x) d x+(\\sin x) d x \\\\ &=(x \\cos x+\\sin x) d x \\end{aligned} \\)</li></ol><p>근삿값 미분은 이 교재에서 여러가지 역할을 한다.", "그러나 여기서는 주로 근삿값을 계산하는 데 사용하려고 한다.", "그림 \\( 3 \\)-\\( 4 \\)의 함수에서 \\( \\Delta x \\)는 \\( x \\)의 증분이고 여기에 대응하는 \\( y \\)의 증분을 \\( \\Delta y \\)라 할 때 \\( \\Delta y \\)를 \\( d y \\)로 근사시킬 수 있다.", "즉, \\( \\Delta y=f(x+\\Delta x)-f(x) \\) 이므로 \\[ f(x+\\Delta x)=\\Delta y+f(x) \\fallingdotseq f(x)+d y \\] 이다.", "따라서 \\[ f(x+\\Delta x) \\fallingdotseq f(x)+d y=f(x)+f^{\\prime}(x) \\Delta x \\]<caption>(6)</caption>로 근사시킬 수 있다.", "다음 예제들을 풀어보자.", "</p><p>예제 \\( 4 \\) 계산기를 사용하지 않고 다음 식의 근삿값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sqrt{4.6} \\)</li><li>\\( \\sqrt{8.3} \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=f(x)=\\sqrt{x} \\)라 놓자.", "이때 \\( x=4, \\Delta x=0.6 \\)이라 놓으면 \\[ f(x+\\Delta x)=f(4.6)=\\sqrt{4.6} \\] 이므로 위의 공식 (\\( 6 \\))을 사용한다.", "한편, \\[ d y=\\frac{1}{2 \\sqrt{x}} d x=\\frac{1}{2 \\sqrt{x}} \\Delta x \\] 이므로 \\[ d y=\\frac{1}{2 \\sqrt{4}}(0.6)=\\frac{0.6}{4}=0.15 . \\] 따라서 \\[ \\sqrt{4.6}=f(4+0.6) \\fallingdotseq f(4)+d y=\\sqrt{4}+0.15=2.15 \\] 그러므로 \\[ \\sqrt{4.6} \\fallingdotseq 2.15 \\]</li><li>(\\( 1 \\))과 같은 방법으로 \\( y=f(x)=\\sqrt{x} \\)라 놓고 \\( x=9, \\Delta x=-0.7 \\)이라 하면 \\[ d y=\\frac{1}{2 \\sqrt{9}}(-0.7)=-\\frac{0.7}{6} \\fallingdotseq-0.117 . \\] 따라서 \\[ \\sqrt{8.3} \\fallingdotseq f(9)+d y=3-0.117=2.883 . \\]</li></ol><p>주의 예제 \\( 4 \\)의 (\\( 2 \\))에서는 \\( d x \\)와 \\( d y \\)가 모두 음수임을 주의하라.", "실제로 계산기에 의한 \\( \\sqrt{4.6} \\)과 \\( \\sqrt{8.3} \\) 의 값은 각각 \\( 2.1448 \\)과 \\( 2.8636 \\)이다. \\", "( \\Delta x \\)가 작으면 작을수록 \\( \\Delta y-d y \\)는 거의 \\( 0 \\)으로 접근해 간다.", "즉, \\( \\Delta y \\fallingdotseq d y \\)이다.", "</p> <h2>4. 함수의 그래프</h2><p>여기서는 대수함수의 그래프를 추적하기 위해 앞에서 공부한 내용들을 어떻게 이용하는지를 보여줄 것이다.", "특히, 유리함수의 그래프를 추적할 때는 점근선의 유무가 중요하므로 무한대와 극한의 개념에 대한 내용도 곁들여 소개한다.", "마지막으로 무리함수의 그래프 추적을 예제를 통해 설명한다.", "</p><p>다항함수의 그래프 함수들 중 가장 간단한 형태의 함수가 다항함수이다.", "함수 \\( y=f(x) \\)가 다항함수라고 하자.", "다항함수의 그래프 개형을 추적하는 방법은 다음 단계의 과정을 거치면 충분하다. \\", "( 1 \\)단계 \\( f^{\\prime}(x) \\)와 \\( f^{\\prime \\prime}(x) \\)를 구한다. \\", "( 2 \\)단계 \\( f^{\\prime}(x) \\)로부터 극점을 구하고 함수의 증가, 감소구간을 구한다. \\", "( 3 \\)단계 \\( f^{\\prime \\prime}(x) \\)로부터 변곡점을 구하고 함수의 오목볼록한 구간을 구한다. \\", "( 4 \\)단계 그래프의 형태를 완성하기 위해 필요로 하는 부가적인 정보를 제공하도록 잘 선택된 점(절편)들을 표시한다.", "</p><p>보기 \\( 1 \\) \\( y=x^{3}-3 x+2 \\)의 그래프 개형을 그려라.", "</p><p>풀이 \\( \\frac{d y}{d x}=3 x^{2}-3=3(x+1)(x-1), \\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=6 x \\)이므로 \\( x=1 \\)과 \\( x=-1 \\)에서 정점이 있다.", "즉, \\( x<-1 \\)일 때 \\( \\frac{d y}{d x}>0 \\)이므로 주어진 함수의 그래프는 증가하고 \\( -1<x<1 \\)일 때 \\( \\frac{d y}{d x}<0 \\)이므로 감소한다. 또, \\( x>1 \\)일 때 \\( \\frac{d y}{d x}>0 \\)이므로 다시 증가한다. 한편, \\( x>0 \\)일 때 \\( \\frac{d^{2} y}{d x^{2}}>", "0 \\)이므로 아래로 볼록하고 \\( x<0 \\)일 때 \\( \\frac{d^{2} y}{d x^{2}}<0 \\)이기 때문에 위로 볼록하다.", "또 \\( \\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=6 x=0 \\)인 \\( x \\)값을 구하면 \\( x=0 \\)이고 \\( x<0 \\)에서 \\( \\frac{d^{2} y}{d x^{2}}<0 \\)이고 \\( x>0 \\)에서 \\( \\frac{d^{2} y}{d x^{2}}>0 \\)이므로 \\( x=0 \\)에서 변곡점이 존재한다.", "이러한 정도의 정보로부터 그래프 기본개형을 그리면 그림 \\( 3-32 \\)와 같다.", "마지막으로 정확한 그래프를 완성하기 위해 정점(극점), 변곡점, 그리고 \\( x, y \\) 절편과 간단한 점에서의 함숫값을 구하여 그래프를 그려보면 그림 \\( 3-33 \\)과 같은 형태임을 알 수 있다.", "</p><p>유리함수의 그래프 \\( P(x) \\) 와 \\( Q(x) \\)가 다항식이라고 할 때 그들의 비 \\[ f(x)=\\frac{P(x)}{Q(x)} \\] 를 유리함수라고 한다는 것은 \\( 1 \\)장에서 다루었다.", "이 유리함수를 추적할 때 \\( Q(x)=0 \\) 인 점에서 불연속점이 생긴다는 사실에 주의해야 한다.", "예를 들어, 유리함수 \\( f(x)=\\frac{x}{x-2} \\)의 그래프를 그려보면 그림 \\( 3-34 \\)와 같다.", "이것은 유리함수의 가장 전형적인 형태를 나타내주고 있다. \\", "( x=2 \\)에서 \\( f(x) \\)의 분모가 \\( 0 \\)이므로 이 점에서 불연속성이 나타난다.", "따라서 \\[ \\lim _{x \\rightarrow 2^{+}} \\frac{x}{x-2}=+\\infty, \\quad \\lim _{x \\rightarrow 2^{-}} \\frac{x}{x-2}=-\\infty \\] 이다.", "여기서 직선 \\( x=2 \\)를 이 그래프의 수직점근선(vertical asymptote)이라 한다.", "또, \\[ \\lim _{x \\rightarrow+\\infty} \\frac{x}{x-2}=1, \\quad \\lim _{x \\rightarrow-\\infty} \\frac{x}{x-2}=1 \\] 이므로 직선 \\( y=1 \\)을 이 그래프의 수평점근선(horizontal asymptote)이라 부른다.", "이 사실을 일반화하면 다음과 같이 정의할 수 있다.", "</p><p>정의 \\( 3-2-11 \\) \\( x \\)가 오른쪽 또는 왼쪽으로부터 \\( x_{0} \\)에 접근해 감에 따라 \\( f(x) \\rightarrow+\\infty \\)또는 \\( f(x) \\rightarrow-\\infty \\)이라면 \\( x=x_{0} \\)를 함수 \\( f(x) \\)의 수직점근선(vertical asymptote)이라 한다.", "또, \\( x \\rightarrow+\\infty \\) 또는 \\( x \\rightarrow-\\infty \\)일 때 \\( f(x) \\rightarrow L \\)이라면 직선 \\( y=L \\)을 함수 \\( f(x) \\)의 수평점근선(horizontal asymptote)이라 한다.", "</p><p>유리함수 \\( f(x)=\\frac{P(x)}{Q(x)} \\)의 그래프를 추적하는 방법은 다음의 단계에 의해 얻는 정보로서 충분하다. \\", "( 1 \\)단계 이 그래프가 \\( x \\)축과 만나는 \\( x \\)절편 \\( (f(x)=0 \\) )을 찾기 위해 \\( P(x)=0 \\)인 \\( x \\)값을 찾는다. \\", "( 2 \\)단계 그래프의 수직점근선을 찾기 위해 \\( Q(x)=0 \\)인 \\( x \\)값을 구한다. \\", "( 3 \\)단계 \\( \\lim _{x \\rightarrow+\\infty} f(x) \\)와 \\( \\lim _{x \\rightarrow-\\infty} f(x) \\)를 계산한다.", "만약 어느 하나가 유한극한값 \\( L \\)을 갖는다면 직선 \\( y=L \\)은 수평점근선이다. \\", "( 4 \\)단계 \\( f(x) \\)가 부호를 변화시킬 수 있는 유일한 곳은 그래프가 \\( x \\)축과 만나거나 수직점근선을 가지고 있는 점들에서이다.", "이러한 점들로 결정되는 개구간의 각각에서 이 그래프가 \\( x \\) 축 위 또는 이래에 존재하는지를 보이기 위해 \\( f(x) \\)의 몇몇 표본값을 계산한다. \\", "( 5 \\)단계 \\( f^{\\prime}(x) \\)와 \\( f^{\\prime \\prime}(x) \\)로부터 정점, 변곡점, 증가구간, 감소구간, 그리고 오목, 볼록성을 조사 한다. \\", "( 6 \\)단계 필요하다면 잘 선택된 점들을 나타내고 그래프가 수평점근선들의 어떤 것과 교차한다면 위치를 결정한다.", "</p><p>예제 \\( 1 \\) \\( f(x)=\\frac{x^{2}-1}{x^{3}} \\)의 그래프를 그려라.", "</p><p>풀이 \\( P(x)=x^{2}-1=0 \\)인 \\( x \\)값을 구하면 \\( x=\\pm 1 \\)이다.", "이것은 \\( x \\)절편이다. \\", "( Q(x)=x^{3}=0 \\)인 \\( x \\)값은 수직점근선으로서 \\( x=0 \\)이다.", "또, 극한으로부터 \\[ \\lim _{x \\rightarrow+\\infty} \\frac{x^{2}-1}{x^{3}}=\\lim _{x \\rightarrow+\\infty}\\left(\\frac{1}{x}-\\frac{1}{x^{3}}\\right)=0 \\] 이고 \\[ \\lim _{x \\rightarrow-\\infty} \\frac{x^{2}-1}{x^{3}}=\\lim _{x \\rightarrow-\\infty}\\left(\\frac{1}{x}-\\frac{1}{x^{3}}\\right)=0 \\] 이므로 \\( y=0 \\)이 수평점근선이 된다.", "이러한 사실로부터 \\( x \\)축은 다음과 같은 \\( 4 \\)가지의 개구간으로 분류된다.", "즉, \\[ (-\\infty,-1)(-1,0)(0,1)(1,+\\infty) \\] 각 구간상에 주어진 그래프는 \\( x \\)축 위 또는 아래에 존재한다.", "이것은 각 구간 안에 임의의 표본점에서 \\( f(x) \\)의 부호를 찾아내어 결정할 수 있다.", "다음 표는 대강의 그래프를 추적할 수 있는 근거가 된다.", "</p><table border><tbody><tr><td>구간</td><td>표본점</td><td>\\( f(x) \\)</td><td>그래프의 존재영역</td></tr><tr><td>\\( (-\\infty,-1) \\)</td><td>\\( x=-2 \\)</td><td>\\( f(-2)=-\\frac{3}{8}<0 \\)</td><td>\\( x \\)축 아래</td></tr><tr><td>\\( (-1,0) \\)</td><td>\\( x=-\\frac{1}{2} \\)</td><td>\\( f\\left(-\\frac{1}{2}\\right)=6>0 \\)</td><td>\\( x \\)축 위</td></tr><tr><td>\\( (0,1) \\)</td><td>\\( x=\\frac{1}{2} \\)</td><td>\\( f\\left(\\frac{1}{2}\\right)=-6<0 \\)</td><td>\\( x \\)축 아래</td></tr><tr><td>\\( (1,+\\infty) \\)</td><td>\\( x=2 \\)</td><td>\\( f(2)=\\frac{3}{8}>0 \\)</td><td>\\( x \\)축 위</td></tr></tbody></table><p>좀 더 정밀한 그래프를 추적하기 위해 주어진 함수의 \\( 1 \\)계, \\( 2 \\)계도함수를 구해보자.", "즉, \\[ f^{\\prime}(x)=\\frac{x^{3}(2 x)-\\left(x^{2}-1\\right)\\left(3 x^{2}\\right)}{\\left(x^{3}\\right)^{2}}=\\frac{3-x^{2}}{x^{4}}, \\] \\[ f^{\\prime \\prime}(x)=\\frac{x^{4}(-2 x)-\\left(3-x^{2}\\right)\\left(4 x^{3}\\right)}{\\left(x^{4}\\right)^{2}}=\\frac{2\\left(x^{2}-6\\right)}{x^{5}} \\] 이므로 \\( f^{\\prime}(x)=0, f^{\\prime \\prime}(x)=0 \\)인 \\( x \\)값을 구하여 함수의 증감표를 만들어 보면 다음과 같다.", "</p><p>앞의 표와 증감표에 의해 주어진 함수의 그래프를 그리면 그림 \\( 3-35 \\)와 같다.", "</p><p>이 밖에도 다항함수와 유리함수의 그래프에서 찾아볼 수 없는 특성을 가지고 있는 함수의 그래프를 추적하는 방법에 대해 생각해보자.", "</p><p>정의 \\( 3-2-12 \\) 함수 \\( f(x) \\)가 만약 \\( x_{0} \\)에서 연속이고 \\( \\left|f^{\\prime}(x)\\right| \\)가 \\( x \\rightarrow x_{0} \\)일 때 \\( +\\infty \\)로 접근한다면 \\( x_{0} \\)에서 수직접선(vertical tangent line)을 갖는다고 한다.", "</p> <h3>연습문제 (\\( 3 \\)-\\( 1 \\)-\\( 2 \\))</h3><p>\\( 1 \\). \\", "( y=\\frac{1}{x^{2}+1} \\)에서 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( x \\) 가 \\( -1 \\) 에서 2 까지 변할 때 \\( y \\) 의 평균변회율</li><li>\\( x=-1 \\) 에서 \\( y \\) 의 순간변화율</li></ol><p>\\( 2 \\).", "한 변의 길이가 \\( x \\)인 정사각형의 면적을 \\( A \\)라 하자.", "그리고 \\( x \\)는 시간 \\( t \\)에 의해 변한다고 가정하자.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\frac{d A}{d t} \\)와 \\( \\frac{d x}{d t} \\)는 어떤 관련이 있나?", "</li><li>어떤 순간에 한 변의 길이가 \\( 3 \\)cm이고 길이가 \\( 2 \\)cm/min의 속도로 증가할 때 그 순간 증가하는 면적의 변화율을 구하여라.", "</li></ol><p>\\( 3 \\).", "반지름이 \\( r \\)인 원의 면적을 \\( A \\)라 하자.", "그리고 \\( r \\)은 시간 \\( t \\)에 의해 변한다고 하자.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\frac{d A}{d t} \\)와 \\( \\frac{d r}{d t} \\)는 어떤 관련이 있나?", "</li><li>어떤 순간에 반지름이 \\( 5 \\)cm이고 매초당 반지름의 길이가 \\( 2 \\)cm/min의 속도로 증가할 때 그 순간 원의 면적의 변화율을 구하여라.", "</li></ol><p>\\( 4 \\).", "어떤 한 분자가 방정식 \\( \\frac{x y^{3}}{1+y^{2}}=\\frac{8}{5} \\)인 곡선을 따라 움직이고 있다. \\", "( x \\)축은 분자가 점 \\( (1,2) \\)에 있을 때 \\( 6 \\)unit/sec의 속도로 증가하고 있다.", "</p><ol type=1 start=1><li>그 순간 이 점에서의 \\( y \\)축의 순간속도를 구하여라.", "</li><li>그 순간 분자는 증가하는가, 감소하는가?", "</li></ol><h2>요약 (\\( 3 \\)-\\( 1 \\))</h2><p>\\( 1 \\). \\", "( n \\)계도함수 주어진 함수 \\( y=f(x) \\)가 \\( n \\)번 미분가능하면 \\( f^{(n)}(x) \\)를 \\( y=f(x) \\)의 \\( n \\)계도함수라 하고 다음과 같이 나타낸다.", "즉, \\[ f^{(n)}(x)=\\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{f^{(n-1)}(x+\\Delta x)-f^{(n-1)}(x)}{\\Delta x} \\]</p><p>\\( 2 \\).", "라이프니츠 정리 두 함수 \\( y=f(x), y=g(x) \\)가 \\( n \\)번 미분가능하다면 그의 곱 \\[ f(x)=f(x) \\cdot g(x) \\] 도 역시 \\( n \\)번 미분가능하고 다음 식이 성립한다. \\", "( F^{(n)}(x)=\\sum_{r=0}^{n}{ }_{n} C_{r} \\cdot f^{(n-r)}(x) \\cdot g^{(r)}(x) \\) 단, \\( { }_{n} C_{r}=\\frac{n !}{r !(n-r) !}", "\\)</p><p>\\( 3 \\).", "도함수와 미분의 법칙</p><table border><tbody><tr><td>도함수의 법칙</td><td>미분의 법칙</td></tr><tr><td>1. \\( \\frac{d k}{d x}=0 \\)</td><td>1. \\( d k=0 \\)</td></tr><tr><td>2. \\( \\frac{d}{d x}(k f)=k \\frac{d f}{d x} \\) </td><td>2. \\( d(k f)=k d f \\)</td></tr><tr><td>3. \\( \\frac{d}{d x}(f+g)=\\frac{d f}{d x}+\\frac{d g}{d x} \\) </td><td>3. \\( d(f+g)=d f+d g \\) </td></tr><tr><td>4. \\( \\frac{d}{d x}(f \\times g)=f \\frac{d g}{d x}+g \\frac{d f}{d x} \\) </td><td>4. \\( \\quad d(f \\times g)=f d g+g d f \\)</td></tr><tr><td>5. \\( \\frac{d}{d x}\\left(\\frac{f}{g}\\right)=\\frac{g \\frac{d f}{d x}-f \\frac{d g}{d x}}{g^{2}} \\)</td><td>5. \\( d\\left(\\frac{f}{g}\\right)=\\frac{g d f-f d g}{g^{2}} \\)</td></tr><tr><td>6. \\( \\frac{d}{d x}\\left(f^{n}\\right)=n f^{n-1} \\frac{d f}{d x} \\)</td><td>6. \\( d\\left(f^{n}\\right)=n f^{n-1} d f \\)</td></tr></tbody></table><p>\\( 4 \\).", "관련된 변화율 문제를 해결하는 단계는 다음과 같다.", "[\\( 1 \\)단계] 변하는 양을 적당한 미지수로 설정한다.", "[\\( 2 \\)단계] 알려지지 않은 변화율을 갖는 양에서 알려진 변화율을 갖는 양과의 관계식을 찾는다.", "[\\( 3 \\)단계] 시간에 대해 이 방정식의 양변을 미분하고 구하고자 하는 변화율에 대한 도함수를 구 한다.", "[\\( 4 \\)단계] 주어진 점에서 이 도함수를 계산한다.", "</p><h2>종합문제 (\\( 3 \\)-\\( 1 \\))</h2><p>\\( 1 \\).", "다음 함수의 \\( 3 \\)계도함수까지 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=x^{4}-2 x^{2}+5 \\)</li><li>\\( y=(2 x+1)^{3} \\)</li><li>\\( y=\\frac{1}{x}\\left(x^{2}-3 x\\right)^{3} \\)</li><li>\\( y=x^{2}-\\frac{2}{x} \\)</li></ol><p>\\( 2 \\).", "다음 함수의 미분 \\( d y \\)를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=3 x+2 \\)</li><li>\\( y=x^{2}+4 \\)</li><li>\\( y=a x^{n}+\\frac{b}{x^{n}} \\)</li><li>\\( y=3 x^{2.7} \\)</li></ol><p>\\( 3 \\).", "다음 함수의 \\( \\Delta y, d y, \\Delta y-d y \\)를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=\\frac{1}{2} x^{2}+x, x=2 ; \\Delta x=\\frac{1}{2} \\)</li><li>\\( y=\\frac{1}{2 x^{3}}, x=\\frac{1}{3} ; \\Delta x=\\frac{1}{4} \\)</li><li>\\( y=\\sqrt{x}, x=4 ; \\Delta x=0.3 \\)</li></ol><p>\\( 4 \\).", "정사각형의 한 변의 길이 \\( s \\)가 \\( \\Delta s \\)만큼 증가했을 때 그 넓이의 증분을 구하고 넓이의 미분과 비교하여라.", "</p><p>\\( 5 \\). \\", "( \\sqrt{100.1} \\)의 근삿값을 구하고 오차의 한계를 구하여라.", "</p><p>\\( 6 \\).", "어떤 시계의 분침은 \\( 4 \\)cm이고 시침은 \\( 3 \\)cm이다.", "정각 \\( 9 \\)시에 시침과 분침 사이의 거리의 순간 변화율을 구하여라.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "미분적분학_도함수의 응용", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-2e9d-4c5c-a9f4-de693da7ee01", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160733563", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2020", "doc_author": [ "양정모" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>표본 또는 자료로부터 얻어진 어떤 강력한 증거에 의해서, 미리 설정된 가설을 받아들이거나 그렇지 못할 경우가 생기는데, 가설을 받아 들이는 경우는 이 가설을 채택 (accept)한다고 하고, 그렇지 않은 경우를 기각(reject)한다고 말한다.", "그런데 여기서 조심스럽게 살펴보아야 할 것은, 설정된 가설을 채택하느냐 기각하느냐 하는 문제는 어떤 판단기준에 의해서 결정을 내려야 한다는 것이다.", "따라서, 가설을 채택하거나 기각하는 판단 증거에 대한 엄밀한 정의가 필요하다.", "</p><p>定義 \\( 6.3 \\) 가설을 채택할 것인가 또는 기각할 것인가를 판정할 수 있는 규칙이나 규정을 검정(test)이라고 한다.", "이로부터, 귀무가설 또는 대립가설 중 어느 하나 채택하는데 사용되는 통계량을 검정통계량(test statistic)이라고 한다.", "</p><p>위의 정의로부터도 아직도 무엇인가 부족한 부분이 있다고 생각할 것이다.", "그렇다면 두가지 가설 즉, 귀무가설 \\( H_{0} \\)와 대립가설 \\( H_{1} \\)이 존재하는데 채택 또는 기각 기준을 어떤 가설에 둘 것인가 하는 문제이다.", "다시말하면, \\( H_{0} \\)를 기준으로 두어 검정통계량에 의해서 \\( H_{0} \\) 을 채택할 것인지(이 경우, \\( H_{1} \\)은 기각) 또는 \\( H_{0} \\)를 기각할 것인지(이 경우, \\( H_{1} \\) 을 채택)하는 문제와, 다른 하나는 \\( H_{1} \\)를 기준으로 두어 검정통계량에 의해서 \\( H_{0} \\)을 채택할 것인지(이 경우, \\( H_{1} \\)은 기각) 또는 \\( H_{0} \\)를 기각할 것인지(이 경우, \\( H_{1} \\)을 채택)하는 문제가 발생하게 될 것이다.", "이 사실에 근거를 두어 다음 정의를 살펴 보기로 하자.", "</p><p>定義 \\( 6.4 \\) 검정통계량에 의하여 귀무가설 \\( H_{0} \\)를 기각하게 하는 검정통계량의 관찰값의 집합 \\( C_{r} \\) 을 기각역(critical region, rejection region)이라고 한다.", "</p> <p>최량기각역을 조금 더 쉽게 결정할 수 있는 방법이 있다.", "다음의 네이만-피어슨(Neyman-Pearson)의 정리를 이용하면 위의 문제 \\(1\\)에서와 같이 어렵게 최량기각역을 구할 필요가 없다.", "</p><p>定理 \\( 6.1 \\) [Neyman-Pearson의 정리] 모수공간을 \\( \\Theta=\\left\\{\\theta: \\theta=\\theta_{0}, \\theta_{1}\\right\\} \\)이라 하자. 모집단 확률밀도함수가 \\( f(x ; \\theta) \\)인 모집단으로부터 추출한 크기 \\( n \\)인 확률표본을 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)에 의하여 단순귀무가설 \\( H_{0}: \\theta=\\theta_{0}, \\quad \\) 단순대립가설 \\( H_{1}: \\theta=\\theta_{1} \\)을 검정하고자 한다. 여기서 확률표본 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)의 결합확률밀도함수를 \\( L\\left(\\theta ; x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right)=\\prod_{i=1}^{n} f\\left(x_{i} ; \\theta\\right) \\)이라 하자. 임의의 상수 \\( k>", "0 \\)에 대하여, 표본공간 \\( S \\)의 부분집합 \\( C_{r} \\)이 다음 조건을 만족하면, 이 부분집합 \\( C_{r} \\)은 대립가설 \\( H_{1} \\)에 대하여 귀무가설 \\( H_{0} \\)를 검정하는 크기 \\( \\alpha \\)인 최량기각역(best critical region of size \\( \\boldsymbol{n} \\) )이다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\frac{L\\left(\\theta_{0} ; x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right)}{L\\left(\\theta_{1} ; x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right)} \\leq k, \\quad \\forall\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\in C_{r}, \\)</li><li>\\( \\frac{L\\left(\\theta_{0} ; x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right)}{L\\left(\\theta_{1} ; x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right)} \\geq k, \\quad \\forall\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\in C_{r}^{c} \\),</li><li>\\( \\alpha=P\\left\\{\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\in C_{r} \\mid H_{0}\\right\\} \\)</li></ol> <p>위의 정리 \\( 6.4 \\)에서 정의한 통계량 \\( Q_{k-1} \\)을 이용하여 \\( \\chi^{2} \\)검정을 개괄적으로 살펴 보자.", "어떤 실험의 결과 이 표본공간이 \\( k \\)개의 부분집합 \\( A_{1}, A_{2}, \\cdots, A_{k} \\)로 분할된다고 하고, 이 시행의 결과가 집합 \\( A_{i} \\)의 원소일 확률을 \\(P\\left(A_{i}\\right)=p_{i}(i=1,2, \\cdots, k) \\)라 하자.", "여기서 \\( p_{k}=1-p_{1}-p_{2}-\\cdots-p_{k-1} \\)이다.", "이러한 시행을 \\( n \\)회 반복하는 독립시행에서 집합 \\( A_{i} \\)에 속하는 것이 \\( X_{i} \\)회가 나타났다면 \\( k-1 \\)개의 확률변수 \\( \\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{k-1}\\right) \\)의 확률분포는 다항분포 \\[ f\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{k-1}\\right)=\\frac{n !}{x_{1} ! x_{2} ! \\cdots x_{k} !} p_{1}^{x_{1}} p_{2}^{x_{2}} \\cdots p_{k}^{x_{k}} \\] 로 된다.", "단, \\( X_{k}=n-X_{1}-X_{2}-\\cdots-X_{k-1} \\)이다.", "이제 \\( n \\)회의 독립시행에서 확률변수 \\( \\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{k-1}\\right) \\)의 관찰값을 각각 \\( X_{1}=x_{1}, X_{2}=x_{2}, \\cdots, X_{k-1}=x_{k-1} \\)라 했을 때, 이 관찰값에 의하여 다음 가설 \\[ H_{0}: p_{i}=p_{i 0},(i=1,2, \\cdots, k), p_{k 0}=1-p_{10}-p_{20}-\\cdots-p_{k-1,0} \\] 을 검정하고자 한다.", "이때, 모수공간 \\( \\Theta \\)는 \\[ \\Theta=\\left\\{\\left(p_{1}, p_{2}, \\cdots, p_{k}\\right) \\mid 0<p_{i}<1, p_{k}=1-p_{1}-p_{2}-\\cdots-p_{k-1}\\right\\}, i=1,2, \\cdots, k \\] 이고, \\( \\Theta \\)의 부분집합 \\( \\omega \\)는 \\[ \\begin{array}{c} \\omega=\\left\\{\\left(p_{1}, p_{2}, \\cdots, p_{k}\\right) \\mid 0<p_{i}=p_{i 0}<1, p_{k, 0}=1-p_{1,0}-p_{2,0}-\\cdots\\right. \\\\ \\", "left.", "-p_{k-1,0}\\right\\}, i=1,2, \\cdots, k \\end{array} \\] 라 하면, 검정하고자 하는 가설은 \\[ H_{0}:\\left(p_{1}, p_{2}, \\cdots, p_{k}\\right) \\in \\omega, \\quad H_{1}:\\left(p_{1}, p_{2}, \\cdots, p_{k}\\right) \\notin \\omega \\] 이다.", "모수공간 \\( \\Theta \\)에 있어서 우도함수 \\( L(\\Theta) \\)는 \\[ \\begin{aligned} L(\\Theta) &=L\\left(p_{1}, p_{2}, \\cdots, p_{k-1}\\right) \\\\ &=p_{1}^{x_{1}} p_{2}^{x_{2}} \\cdots p_{k-1}^{x_{k-1}} p_{k}^{x_{k}} \\\\ &=p_{1}^{x_{1}} p_{2}^{x_{2}} \\cdots p_{k-1}^{x_{k-1}}\\left(1-p_{1}-p_{2}-\\cdots-p_{k-1}\\right)^{x_{k}} \\end{aligned} \\] 이다.", "이 우도함수의 최대값을 구하기 위하여 먼저, 이 식의 양변에 자연대수를 취하면, \\( \\ln L(\\Theta)=x_{1} \\ln p_{1}+x_{2} \\ln p_{2}+\\cdots+x_{k-1} \\ln p_{k-1}+x_{k} \\ln \\left(1-p_{1}-p_{2}-\\cdots-p_{k-1}\\right) \\) 이고, 미분하면 \\[ \\frac{\\partial}{\\partial p_{1}} \\ln L(\\Theta)=\\frac{x_{1}}{p_{1}}-\\frac{x_{k}}{1-p_{1}-p_{2}-\\cdots-p_{k-1}}=\\frac{x_{1}}{p_{1}}-\\frac{x_{k}}{p_{k}}=0 \\] \\[ \\frac{\\partial}{\\partial p_{2}} \\ln L(\\Theta)=\\frac{x_{2}}{p_{2}}-\\frac{x_{k}}{p_{k}}=0 \\] \\[ \\begin{aligned} \\vdots & \\vdots \\\\ \\frac{\\partial}{\\partial p_{k-1}} \\ln L(\\Theta)=\\frac{x_{k-1}}{p_{k-1}}-\\frac{x_{k}}{p_{k}}=0 \\end{aligned} \\] 이므로, 이 방정식을 연립하여 풀면, \\( \\begin{aligned} p_{1} &=\\frac{x_{1}}{n}, \\\\ p_{2} &=\\frac{x_{2}}{n}, \\\\ & \\vdots \\\\ p_{k} &=\\frac{x_{k}}{n} \\end{aligned} \\) 이다.", "따라서 우도함수 \\( L(\\Theta) \\)의 최대값 \\( L(\\hat{\\Theta}) \\)는 \\[ L(\\hat{\\Theta})=L\\left(\\frac{x_{1}}{n}, \\frac{x_{2}}{n}, \\cdots, \\frac{x_{k-1}}{n}\\right) \\] \\[ =\\prod_{i=1}^{n}\\left(\\frac{x_{i}}{n}\\right)^{x_{i}} \\] 이다.", "비슷한 방법으로 우도함수 \\( L(\\omega) \\)의 최대값 \\( L(\\hat{\\omega}) \\)를 구하면, \\[ \\begin{aligned} L(\\hat{\\Omega}) &=L\\left(p_{10}, p_{20}, \\cdots, p_{k-1,0}\\right) \\\\ &=\\prod_{i=1}^{n}\\left(p_{i 0}\\right)^{x_{i}} \\end{aligned} \\] 이다.", "따라서, 우도비는 \\[ \\begin{aligned} \\lambda &=\\frac{L(\\hat{\\omega})}{L(\\hat{\\Omega})} \\\\ &=\\prod_{i=1}^{k}\\left(\\frac{n p_{i 0}}{x_{i}}\\right) \\end{aligned} \\] 이다.", "여기서 \\( 0<\\lambda_{0}<1 \\)를 만족하는 임의의 상수 \\( \\lambda_{0} \\)에 대하여, \\[ \\prod_{i=1}^{k}\\left(\\frac{n p_{i 0}}{x_{i}}\\right) \\leq \\lambda_{0} \\] 이라 하고, 자연대수를 취하고 정리하면, \\[ \\sum_{i=1}^{k} x_{i} \\ln \\left(\\frac{n p_{i 0}}{x_{i}}\\right)^{x_{i}} \\leq \\lambda_{0} \\] 이고, 다시 정리하면, \\[ \\sum_{i=1}^{k} x_{i} \\ln \\left(\\frac{x_{i}}{n p_{i 0}}\\right)^{x_{i}} \\leq-\\ln \\lambda_{0} \\] 이다.", "그런데, \\[ \\begin{aligned} \\sum_{i=1}^{k} x_{i} \\ln \\left(\\frac{x_{i}}{n p_{i 0}}\\right)^{x_{i}}=& \\sum_{i=1}^{k}\\left\\{\\left(x_{i}-n p_{i 0}\\right)+n p_{i 0}\\right\\} \\ln \\left(1+\\frac{x_{i}-n p_{i 0}}{n p_{i 0}}\\right) \\\\ =& \\sum_{i=1}^{k}\\left[( x _ { i } - n p _ { i 0 } ) \\left\\{\\frac{x_{i}-n p_{i 0}}{n p_{i 0}}-\\frac{1}{2}\\left(\\frac{x_{i}-n p_{i 0}}{n p_{i 0}}\\right)^{2}\\right.\\right.\\\\ &\\left.+\\frac{1}{3}\\left(\\frac{x_{i}-n p_{i 0}}{n p_{i 0}}\\right)^{3}-\\cdots\\right\\}+n p_{i 0}\\left\\{\\frac{x_{i}-n p_{i 0}}{n p_{i 0}}\\right.\\\\ &\\left.\\left.-\\frac{1}{2}\\left(\\frac{x_{i}-n p_{i 0}}{n p_{i 0}}\\right)^{2}+\\frac{1}{3}\\left(\\frac{x_{i}-n p_{i 0}}{n p_{i 0}}\\right)^{3}-\\cdots\\right\\}\\right] \\\\ =& \\sum_{i=1}^{k} \\frac{\\left(x_{i}-n p_{i 0}\\right)^{2}}{n p_{i 0}}\\left\\{1-\\frac{1}{2} \\frac{x_{i}-n p_{i 0}}{n p_{i 0}}+\\frac{1}{3}\\left(\\frac{x_{i}-n p_{i 0}}{n p_{i 0}}\\right)^{3}+\\cdots\\right.\\\\ &\\left.-\\frac{1}{2}+\\frac{1}{3} \\frac{x_{i}-n p_{i 0}}{n p_{i 0}}-\\cdots\\right\\}+\\sum_{i=1}^{k}\\left(x_{i}-n p_{i 0}\\right) \\\\ =& \\sum_{i=1}^{k} \\frac{\\left(x_{i}-n p_{i 0}\\right)^{2}}{n p_{i 0}}\\left\\{\\frac{1}{2}-\\left(\\frac{1}{2}-\\frac{1}{3}\\right) \\frac{x_{i}-n p_{i 0}}{n p_{i 0}}+\\cdots\\right\\} \\\\ &+\\left(\\sum_{i=1}^{k} x_{i}-n \\sum_{i=1}^{k} p_{i 0}\\right) \\end{aligned} \\] 이다.", "이 식의 마지막항을 살펴보면, \\( \\sum_{i=1}^{k} x_{i}=n \\) 이고 \\( \\sum_{i=1}^{k} p_{i 0}=1 \\)이므로 \\[ \\sum_{i=1}^{k} x_{i} \\ln \\left(\\frac{x_{i}}{n p_{i 0}}\\right)^{x_{i}}=\\sum_{i=1}^{k} \\frac{\\left(x_{i}-n p_{i 0}\\right)^{2}}{n p_{i 0}}\\left\\{\\frac{1}{2}-\\left(\\frac{1}{2}-\\frac{1}{3}\\right) \\frac{x_{i}-n p_{i 0}}{n p_{i 0}}+\\cdots\\right\\} \\] 이다.", "또한, 위의 식에서 \\[ \\frac{x_{i}-n p_{i 0}}{n p_{i 0}}=\\frac{\\frac{x_{1}}{n}}{p_{i 0}}-1 \\] 이고 이때, \\( n \\rightarrow+\\infty \\)이면, \\( \\frac{x_{i}}{n} \\rightarrow p_{i 0} \\)로 확률수렴 하므로, 위의 식의 두 번째 항 이후는 모두 \\( n \\rightarrow+\\infty \\)일 때 확률적으로 모두 \\(0\\)으로 수렴한다.", "따라서, \\( n \\rightarrow+\\infty \\)일 때 위의 식은 \\[ \\frac{1}{2} \\sum_{i=1}^{k} \\frac{\\left(x_{i}-n p_{i 0}\\right)^{2}}{n p_{i 0}}=\\frac{1}{2} Q_{k-1} \\] 로 확률수렴한다.", "다시 위로부터 \\( n \\rightarrow+\\infty \\)인 조건하에서 \\[ \\frac{1}{2} Q_{k-1} \\geq-\\ln \\lambda_{0} \\] 이므로 \\[ Q_{k-1} \\geq-2 \\ln \\lambda_{0}=l^{*} \\] 라 하면, 기각역은 근사적으로 \\[ Q_{k-1}=\\frac{1}{2} \\sum_{i=1}^{k} \\frac{\\left(x_{i}-n p_{i 0}\\right)^{2}}{n p_{i 0}} \\geq l^{*} \\] 이다.", "따라서, 통계량 \\( Q_{k-1} \\)은 자유도 \\( k-1 \\)인 \\( \\chi^{2} \\)에 따르므로 유의수준 \\( \\alpha \\)의 값에 따라 상수 \\( l^{*} \\)를 결정하면 된다.", "</p> <p>\\(21\\).", "정규분포 \\( B\\left(\\mu, \\sigma^{2}\\right) \\)에서 추출한 크기 \\(20\\)인 확률표본에서 \\( \\bar{x}=10 \\)이고 \\( s^{2}=16 \\)이다.", "<ol type=a start=1><li>\\( \\sigma^{2}=4 \\)로 알고 있다면 \\( H_{0} \\) : \\( \\geqslant 12 \\)에 대한 \\( H_{1}:<12 \\)를 유의수준 \\( \\alpha=0.01 \\)로 검정하여라.", "</li><li>\\( \\mu=10.5 \\)라면, 제 \\(2\\)종의 오류의 확률을 구하여라.", "</li><li>대립가설값 \\( \\mu=10.5 \\)에 대한 검정력이 \\( 0.90 \\)이 되기 위한 표본의 크기를 구하여라.", "</li><li>\\( \\sigma^{2} \\)이 미지의 모수라 가정하고 \\( (a) \\)의 가설을 증명하여라.", "</li><li>\\( H_{0}: \\sigma^{2} \\leqslant 9 \\)에 대한 \\( H_{1}: \\sigma^{2}>9 \\)를 유의수준 \\( \\alpha=0.01 \\)로 검정하여라.", "</li></ol></p><p>\\(22\\).", "지역 \\( \\mathrm{A} \\)에서 출생하는 신생아의 몸무게는 평균이 \\( \\mu=3315 \\mathrm{~g} \\)이고 표준편차가 \\( \\sigma=575 \\mathrm{~g} \\)이다.", "이제 \\( X \\)를 지역 \\( \\mathrm{B} \\)에서 출생하는 신생아의 몸무게이며 \\( X \\)의 분포가 \\( N\\left(\\mu, \\sigma^{2}\\right) \\)이라 한다. \\", "( H_{0}: \\mu \\geqslant 3315 \\)에 대한 \\( H_{1}: \\mu<3315 \\) 가설을 표본크기 \\( n=30 \\)인 확률표본을 이용하여 검정하려고 한다.", "<ol type=a start=1><li>크기가 \\( alpha=0.05 \\)인 검정의 기각역을 구하여라.", "</li><li>\\( n=30 \\) 의 확률표본에서 \\( \\bar{x}=3189, s=488 \\)이었을 때, 어떤 결론이 도출 되겠는가?", "</li><li>대립가설값 \\( \\mu=10.5 \\)에 대한 검정력이 \\( 0.90 \\)이 되기 위한 표본의 크기를 구하여라.", "</li><li>(b)에서 검정의 근사적인 \\( p \\)-값을 구하여라.", "</li></ol></p><p>\\(23\\).", "위의 문제 \\( [22] \\)번에서 \\( H_{0}: \\sigma \\geqslant 575 \\)에 대한 \\( H_{1}: \\sigma<575 \\)의 크기 \\( \\alpha=0.10 \\)인 검정을 하려고 한다.", "이때 \\( X \\)는 지역 \\( \\mathrm{C} \\)에서 출생하는 신생아의 몸무게이며 \\( X \\)의 분포가 \\( N\\left(\\mu, \\sigma^{2}\\right) \\)이다.", "<ol type=a start=1><li>\\( n=81 \\)의 확률표본에서 \\( \\bar{x}=2819, s=496 \\)이라면, 어떤 결론이 도출 되겠는가?", "</li><li>이 검정의 근사적인 \\( p \\)-값을 구하여라.", "</li></ol></p><p>\\(24\\). \\", "( X \\sim N\\left(\\mu, \\sigma^{2}\\right) \\)이라 하자.", "<ol type=a start=1><li>\\( H_{0}: \\sigma^{2}=0.04 \\)에 대한 \\( H_{1}: \\sigma^{2} \\neq 0.04 \\)의 크기 \\( \\alpha=0.05 \\)인 검정을 하기 위해 표본크기 \\( n=13 \\)의 확률표본에서 \\( s^{2}=0.058 \\)이었다면, 귀무가설 \\( H_{0} \\)를 기각 할 것인가를 판단하여라.", "</li><li>\\( \\sigma^{2}=0.04 \\)가 \\( \\sigma^{2} \\)의 \\( 95 \\% \\) 신뢰구간에 포함되는지 확인하여라.", "</li></ol></p> <h1>6.1 검정의 원리</h1><p>표본의 정보를 기초로 하여 모집단의 여러 통계적 특성을 파악하는 절차인 통계적 추론은 선택하는 기본형태에 따라 추론과 가설검정으로 분류된다.", "추론에 관한 내용은 앞장에서 다루었고 여기에서는 가설에 관한 검정법을 소개한다.", "가설검정에서는 모집단에 관한 가설을 미리 설정하고 이 가설이 표본의 정보에 의해 채택이 될 것인지 아닌지를 확인하는 방법과 절차를 다룬다.", "특히 모집단의 확률분포의 함수 형태는 결정되어 있으나 모수는 미지의 수로 남아 있어 모집단의 확률적 특성들이 제대로 설명되지 않는 경우에는 모수적 검정법을 사용한다.", "대부분의 통계학 관련 연구에서는 모수의 추정이 주된 목적일 수 있다.", "하지만 좀 더 좋은 실험결과를 얻기 위해서는 분석된 추정값을 이용하여, 검증하고 적당한 판단과 의사결정을 함으로서 실험의 오류를 되도록 많이 줄이는 것이라고 하겠다.", "통계적 가설이란 모집단 또는 표본으로부터 주어지는 정보를 이용하여 모수에 대한 예상, 주장, 추측 등의 참, 거짓을 판정하는 일련의 과정을 말한다.", "여기서 추측이란 막연한 추상적인 추측을 말하는 것이 아니라 통계적인 엄밀한 판단기준을 두고 이 판단기준에 의해서 추측한다는 의미이다.", "다시 말하면, 가설검정은 기본적으로 모집단에 관한 가설, 이 가설의 진위를 판정하는데 기초가 되고 이를 요약하는 표본과 통계량, 그리고 요약된 정보를 기초로 하여 가설의 채택 여부를 결정하는 검정규칙으로 구성되어 결론의 정확성에 대한 확률적 설명이 부가되는 귀납적인 절차라고 말할 수 있다.", "</p><p>먼저, 가설과 관련된 여러가지 용어에 대하여 살펴보고 이와 관련된 기본개념에 대하여 알아 보자.", "</p><p>定義 \\(6.1\\) 모수공간을 \\( \\Theta \\)라 하고 \\( \\Theta \\)의 임의의 부분집합을 \\( \\Omega_{0} \\)라 하였을 때, 모수 \\( \\theta \\)에 대하여 \\( \\theta \\in \\omega \\)라 가정하면, 이것을 통계적 가설(statistical hypothesis)이라 한다.", "다시 말하면, \\( \\boldsymbol{X}=\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\)은 결합분포함수가 \\( F(\\boldsymbol{x} ; \\theta)\\left(\\theta \\in \\Theta_{0}\\right) \\)인 확률벡터이고 \\( \\{F(\\boldsymbol{x} ; \\theta) \\mid \\theta \\in \\Theta\\} \\)는 모수를 포함하는 분포족이라 할 때, 결합분포함수 \\( \\{F(\\boldsymbol{x} ; \\theta) \\mid \\theta \\in \\Theta\\} \\)에 관한 가정를 통계적 가설이라 한다.", "모수공간의 부분집합 \\( \\Omega_{0} \\)가 한 개의 원소로 구성되어 있으면 단순가설(simple hypothesis)이라 하고, 두 개 이상의 원소로 구성되어 있으면 복합가설(composite hypothesis)이라 한다.", "</p><p>\\( H: F(x ; \\theta) \\in\\left\\{F(x ; \\theta) \\mid \\theta \\in \\Theta_{0}\\right\\}, \\forall \\Theta_{0} \\in \\Theta \\)<caption>(6.1)</caption></p><p>가설을 검정하는 문제를 취급할 때에는 보통 두 종류의 가설이 있는데 귀무가설과 대립가설이 바로 그것이다.", "이 용어에 대한 정의는 다음과 같다.", "</p><p>定義 \\(6.2\\) 표본 또는 통계자료로부터 어떤 증거에 의하여 입증하고자 하는 가설을 귀무가설(null hypothesis)이라 하고, 이에 상반되는 가설을 대립가설(alternative nypothesis)이라 한다.", "일반적으로 귀무가설을 기호 \\( H_{0} \\) 로, 대립가설을 기호 \\( H_{1} \\) 으로 나타낸다.", "</p> <p>기각역을 이론적으로 설명하면 다음과 같다.", "모집단으로부터 추출한 크기 \\( n \\)인 확률 표본을 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)이라 하고, 이 확률표본의 한 관찰값 또는 표본값 \\( X_{1}=x_{1} \\), \\( X_{2}=x_{2}, \\cdots, X_{n}=x_{n} \\)의 집합을 \\( C_{r}=\\left\\{\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\mid X_{1}=x_{1}, X_{2}=x_{2}, \\cdots, X_{n}=x_{n}\\right\\} \\)이라 하자.", "이때, 관찰점이 \\( \\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\in C_{r} \\) 이면 귀무가설 \\( H_{0} \\)를 기각 (이 경우, \\( H_{1} \\)을 채택)하고, 관찰점이 \\( \\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\in C_{r}^{c} \\)이면 귀무가설 \\( H_{0} \\)를 채택 (이 경우, \\( H_{1} \\)을 기각)한다.", "여기서 \\(C_{r}^{c} \\) 는 \\( C_{r} \\)의 여집합(complement)이다.", "따라서, 이 조건을 만족시키는 집합 \\( C_{r} \\)을 기각역이라 부르는 것이다.", "위의 사실을 종합하면, 가설의 검정방법은 바로 검정통계량과 기각역에 의해서 결정되는 것임을 알 수 있을 것이다.", "여기서 또 하나 짚고 넘어야 할 문제가 있다.", "위에서도 언급 했지만 가설의 종류에는 두가지 즉, 귀무가설과 대립가설이 있어서 검정결과에 따라 두가지 오류가 있을 수 있다는 것이다.", "쉽게 설명하면, 다음의 네가지 중에 두가지 오류가 있다.", "</p><ol type=1 start=1><li>귀무가설 \\( H_{0} \\)가 참일 때, 귀무가설 \\( H_{0} \\)를 채택하는 방법 : 올바른 결정</li><li>귀무가설 \\( H_{0} \\)가 참일 때, 귀무가설 \\( H_{0} \\)를 기각하는 방법 : 틀린 결정</li><li>대립가설 \\( H_{1} \\)이 참일 때, 귀무가설 \\( H_{0} \\)를 채택하는 방법 : 틀린 결정</li><li>대립가설 \\( H_{1} \\)이 참일 때, 귀무가설 \\( H_{0} \\)를 기각하는 방법 : 올바른 결정</li></ol><p>따라서 이와 같은 오류를 가능한 한 작게 해 주는 것이 바람직한 검정법이 될 것이다.", "이 중에서 \\((2)\\)번과 \\((3)\\)번에 대하여 정의를 내려 보자.", "참고로, 이 두가지 오류를 범할 확률을 동시에 최소로 하여 주는 검정법은 존재하지 않는 것이 밝혀져 있다.", "</p> <p>定義 \\(6.5\\) 귀무가설 \\( H_{0} \\)가 참인데 귀무가설 \\( H_{0} \\)를 기각하는(대립가설 \\( H_{1} \\)을 채택하는) 오류를 제 \\(1\\)종의 오류(error of type I)라고 하고, 대립가설 \\( H_{1} \\) 이 참인데 귀무가설 \\( H_{0} \\)를 채택하는(대립가설 \\( H_{1} \\) 을 채택하는) 오류를 제 \\(2\\)종의 오류(error of type Ⅱ)라고 한다.", "</p><p>경우에 따라 귀무가설 또는 대립가설의 채택여부가 중요한 의미를 지닐 때가 있는데, 범할 수 있는 오류의 확률을 미리 지정된 값 이하로 하여 주는 검정법을 이용하는 것이 통상적인 방법이다.", "보통 대립가설 \\( H_{1} \\)을 택하는 경우가 실제적으로 중요한 의미를 많이 주는데 따라서, 다시 말하면, 제 \\(1\\)종의 오류를 범할 확률을 미리 지정된 확률이하로 계산하여 주는 검정법을 찾는 것이 핵심인 것이다.", "이것이 바로 유의수준(significance level)의 개념이다.", "유의수준이란 제 \\(1\\)종의 오류를 범할 확률의 최대 허용한계를 말하는 것이다.", "</p><p>定義 \\( 6.6 \\) 제 \\(1\\)종의 오류를 범할 확률을 \\( \\alpha \\)라 하면, \\( \\alpha=P\\left\\{\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\in C_{r} \\mid H_{0}\\right\\} \\)을 제 \\(1\\)종의 오류의 크기(size of error of type Ⅰ)라 하고, 도한 제 \\(2\\)종의 오류를 범할 확률을 \\( \\beta \\)라 하면, \\( \\beta=P\\left\\{\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\in C_{r}^{c} \\mid H_{1}\\right\\} \\)을 제 \\(2\\)종의 오류의 크기(size of error of type Ⅱ)라고 한다.", "</p><p>다음은 유의수준에 엄밀한 정의이다.", "</p><p>定義 \\(6.7\\) 대립가설 \\( H_{1} \\)에 대한 귀무가설 \\( H_{0} \\)의 검정에서, 귀무가설 \\( H_{0} \\)가 참일 때 검정에 대한 검정력함수의 최대값을 그 검정의 유의수준(significance level) 또는 기각역의 크기(size of critical region)라고 한다.", "</p><p>검정의 유의수준 \\( \\alpha \\)의 선택은 임의적인 것이므로 엄밀하게 말하면, 통계적인 문제는 아니다. \\", "( H_{0} \\)를 잘못 기각함으로서 발생할 수 있는 문제의 심각성, \\( H_{0} \\)를 기각하는 실제적 의미 등이 유의수준 \\( \\alpha \\)의 선택에 영향을 주게 된다.", "따라서 주어진 관찰값에 의하여 \\( H_{0} \\)를 기각할 수 있는 유의수준이 얼마나 작아도 되는가를 표시하는 방법을 고려해 볼 수 있다.", "작은 유의수준에서 \\( H_{0} \\)를 기각할 수 있을수록 그 관찰값은 \\( H_{0} \\)에 대한 더욱 명백한 증거로 몰 수 있기 때문에, 표본의 관찰값에 의하여 \\( H_{0} \\)를 기각할 수 있는 최소의 유의수준을 구하여 관찰값의 유의성의 지표로 사용하는데 이를 유의확률 또는 \\( p \\)-값이라 한다.", "</p> <p>問题 \\(2\\) 모집단의 분포가 정규분포 \\( N(\\theta, 1) \\)인 \\( f(x ; \\theta)=\\frac{1}{\\sqrt{2 \\pi}} e^{-\\frac{(x-\\theta)^{2}}{2}},-\\infty<x<+\\infty \\)에 따를 때, 이 모집단으로부터 크기 \\( n \\)인 확률표본 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)에 의하여 대립가설 \\( H_{1}: \\theta=\\theta_{1}=1 \\) 에 대한 귀무가설 \\( H_{0}: \\theta=\\theta_{0}=0 \\)을 검정하는 최량기각역을 구하여라.", "</p><p>解答 Neyman-Pearson의 정리에 의하여 \\( \\frac{L\\left(\\theta_{0} ; x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right)}{L\\left(\\theta_{1} ; x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right)}=\\frac{\\left(\\frac{1}{\\sqrt{2 \\pi}}\\right)^{2} \\exp \\left(-\\frac{\\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}}{2}\\right)}{\\left(\\frac{1}{\\sqrt{2 \\pi}}\\right)^{2} \\exp \\left(-\\frac{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-1\\right)^{2}}{2}\\right)} =\\exp \\left(-\\sum_{i=1}^{n} x_{i}+\\frac{n}{2}\\right) \\)이다. 따라서, 임의의 상수 \\( k>", "0 \\)에 대하여 부등식 \\( \\exp \\left(-\\sum_{i=1}^{n} x_{i}+\\frac{n}{2}\\right) \\leq k \\)를 만족하는 관찰값의 집합 \\( \\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\)이 최량기각역이다.", "이 부등식을 풀면, \\( \\sum_{i=1}^{n} x_{i} \\geq \\frac{n}{2}-\\ln k=l \\)이다.", "이 식의 양변에 \\( \\frac{1}{n} \\)을 곱하면 \\( \\bar{x}=\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} x_{i} \\geq \\frac{l}{n}=l^{*} \\)이므로, 최량기각역은 \\( C_{r}=\\left\\{\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\mid \\bar{x} \\geq l^{*}\\right\\} \\)이고 이것을 통계량을 사용하여 나타내면 최량기각역은 \\( \\bar{X} \\geq l^{*} \\)이다.", "</p> <p>問題 \\(3\\) 위의 [문제 2\\( ] \\)에서 표본의 크기 \\( n=25 \\)일 때 유의수준 \\( \\alpha=0.05 \\)인 최량기각역과 검정력을 구하여라.", "</p><p>解答 유의수준이 \\( \\alpha=0.05 \\)가 되게 하려면 \\( \\alpha=P\\left\\{\\bar{X} \\geq l^{*} \\mid H_{0}\\right\\}=0.05 \\)를 만족하도록 상수 \\( l^{*} \\)를 구하면 된다.", "그런데 표본평균 \\( \\bar{X} \\)의 분포는 귀무가설 \\( H_{0} \\) : \\( \\theta=\\theta_{0}=0 \\)가 참일 때 \\( N\\left(0, \\frac{1}{25}\\right) \\)이므로, 이것을 표준정규화 하면 \\( Z=\\frac{\\bar{X}}{\\sqrt{\\frac{1}{25}}} \\sim N(0,1) \\)이므로 \\( P\\left\\{\\bar{X} \\geq l^{*} \\mid H_{0}\\right\\}=\\left\\{Z \\geq \\frac{l^{*}}{\\sqrt{\\frac{1}{25}}}\\right\\} =0.05\\)이다.", "표준정규분포 표로부터 \\( \\frac{l^{*}}{\\sqrt{\\frac{1}{25}}} \\doteq 1.645 \\)이므로 \\( l^{*}=0.329 \\)이다.", "따라서, 유의수준 \\( \\alpha=0.05 \\)인 최량기각역을 통계량 \\( \\bar{X} \\)를 이용하여 나타내면, \\( \\bar{X} \\geq 0.329 \\)이고 또한, 검정력은 \\( P\\left\\{\\bar{X} \\geq 0.33 \\mid H_{1}\\right\\} =P\\left\\{Z \\geq \\frac{0.33-1}{\\sqrt{\\frac{1}{25}}}\\right\\} =P\\{Z \\geq-3.355\\} =0.999\\)이다.", "</p><p>Neyman-Pearson의 정리는 또 하나의 의미가 있다. 증명과정을 자세히 살펴보면 하나의 모수만 있고, 이 모수가 하나라는 조건은 어디에도 없다. 다시 말하면 결합확률밀도함수에는 여러개의 모수가 포함될 수도 있다는 사실이며, 여기서 단지 필요한 조건은 귀무가설과 대립가설이 모두 단순가설로서 이 가설에 의해서 분포가 유일하게 결정된다는 것이므로 단순가설 \\( H_{0} \\)와 \\( H_{1} \\)이 이 분포의 모수에 대한 가설일 필요가 없다는 것이다. 더욱이, 확률변수 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)이 독립일 필요도 없다. 이러한 사실로부터, Neyman-Pearson의 정리는 다음과 같이 변형할 수 있다. 즉, \\( H_{0} \\) 는 결합확률밀도함수가 \\( g\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\)인 단순가설이고, \\( H_{1} \\)는 결합확률밀도함수가 \\( h\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\)인 단순가설이라 할 때, 임의의 상수 \\( k>", "0 \\)에 대하여, 다음 조건을 만족하면, \\( C_{r} \\)은 대립가설 \\( H_{1} \\)에 대하여 귀무가설 \\( H_{0} \\)를 검정하는 크기 \\( \\alpha \\)인 최량기각역이다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\frac{g\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right)}{h\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right)} \\leq k, \\quad \\forall\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\in C_{r}, \\)</li><li>\\( \\frac{g\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right)}{h\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right)} \\geq k, \\quad \\forall\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\in C_{r}^{c}, \\)</li><li>\\( \\alpha=P\\left\\{\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\in C_{r} \\mid H_{0}\\right\\} \\)</li></ol> <h1>6.4 우도비검정</h1><p>앞 절에서 이미 살펴 보았듯이 단순 또는 복합귀무가설에 대하여 복합대립가설이 주어진 경우에 있어서 일양최강력 기각역이 반드시 존재하는 것은 아니다.", "이 절에서는 어떠한 경우든 가설검정에 있어서 사용할 수 있는 일반적인 방법을 소개한다.", "이 방법이 바로 우도비 검정법이다.", "앞 절에서의 검정법을 다시 생각해 보면 최강력 검정이나 일양최강력 검정의 경우, 기각역을 설정하기 위하여 주어진 두 확률밀도함수의 비(ratio)를 사용하였다.", "이 방법을 약간 변형한 것이 우도비 검정법이다.", "그러면, 우도비 검정의 정의를 살펴보자.", "</p><p>定義 \\(6.1\\) 모수공간을 \\( \\Theta, \\Theta \\)의 한 부분집합을 \\( \\omega \\)라 하자.", "모집단 분포의 모집단 확률밀도함수를 \\( f\\left(x ; \\theta_{1}, \\theta_{2}, \\cdots, \\theta_{k}\\right) \\)라 할 때, \\( k \\)개의 모수 \\( \\theta_{1}, \\theta_{2}, \\cdots, \\theta_{k} \\)은 모두 알려져 있지 않다고 가정하자.", "이제, 이 모집단으로부터 추출한 크기 \\( k \\) 인 확률표본을 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{k} \\)라 하고, 이 확률표본의 관찰값을 \\( X_{1}=x_{1}, X_{2}=x_{2}, \\cdots \\), \\( X_{k}=x_{k} \\)라 하자.", "이때, 우도함수 \\( L=L\\left(\\theta_{1}, \\theta_{2}, \\cdots, \\theta_{k} ; x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{k}\\right) =\\prod_{i=1}^{k} f\\left(x_{i} ; \\theta_{1}, \\theta_{2}, \\cdots, \\theta_{k}\\right) \\)에 있어서, \\( \\omega \\)의 최대값을 \\( L(\\hat{\\omega}) \\)로, \\( \\Theta \\)의 최대값을 \\( L(\\hat{\\Theta}) \\)이라 할 때, 비(ratio) \\( \\lambda=\\lambda\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{k}\\right)=\\frac{L(\\hat{\\omega})}{L(\\hat{\\Theta})} \\)를 우도비(likelihood ratio)라 한다.", "이 경우, 가설 귀무가설 \\( H_{0}:\\left(\\theta_{1}, \\theta_{2}, \\cdots, \\theta_{k}\\right) \\in \\omega \\), 대립가설 \\( H_{1}:\\left(\\theta_{1}, \\theta_{2}, \\cdots, \\theta_{k}\\right) \\notin \\omega \\)을 검정함에 있어서, \\( 0<\\lambda_{0}<1 \\)를 만족시키는 임의의 상수 \\( \\lambda \\)에 대하여 \\( \\lambda \\leq \\lambda_{0} \\)이면, 귀무가설 \\( H_{0} \\)가 기각되도록(이 경우, \\( H_{1} \\)이 채택되도록) 기각역을 설정하는 검정법을 우도비검정(likelihood ratio test)이라고 한다.", "이 경우, 함수 \\( \\lambda \\)는 확률변수 \\( \\lambda\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{k}\\right) \\)을 정의하므로, 이 우도비검정의 유의수준 \\( \\alpha \\)는 \\( \\alpha=P\\left\\{\\lambda\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{k}\\right) \\leq \\lambda_{0} \\mid H_{0}\\right\\} \\)이다.", "</p> <h1>6.5 \\(\\chi^{2} \\) 검정</h1><p>이 절에서는 \\( \\chi^{2} \\) 분포를 이용하는 가설검정에 대하여 알아본다.", "먼저, 다음 정리를 살펴 보자.", "</p><p>定義 \\( 6.2 \\) 확률변수 \\( X \\sim \\operatorname{BIN}(n ; p) \\)이면, \\[ Z=\\frac{(X-n p)^{2}}{n p(1-p)} \\] 의 극한분포는 자유도 \\(1\\)인 \\( \\chi^{2} \\)분포에 따른다.", "</p><p>證明 중심극한정리에 의하여 \\[ Y=\\frac{X-n p}{\\sqrt{n p(1-p)}} \\] 의 극한분포는 표준정규분포 \\( N(0,1) \\)에 따른다.", "따라서, 표준정규 확률변수를 제곱하면 \\[ Z=Y^{2}=\\frac{(X-n p)^{2}}{\\sqrt{n p(1-p)}} \\] 은 자유도 \\(1\\)인 \\( \\chi^{2} \\)분포에 따른다.", "</p><p>위의 정리를 이용하면 다음이 성립한다.", "</p><p>定義 \\( 6.3 \\) 확률변수 \\( X_{1} \\)이 \\( X_{1} \\sim \\operatorname{BIN}\\left(n ; p_{1}\\right) \\)이고 \\( X_{2}=n-X_{1}, p_{2}=1-p_{1} \\)이라하면, 다음과 같이 정의된 통계량 \\[ Q_{1}=\\frac{\\left(X_{1}-n p_{1}\\right)^{2}}{n p_{1}}+\\frac{\\left(X_{2}-n p_{2}\\right)^{2}}{n p_{2}} \\] 의 극한분포는 자유도 \\(1\\)인 \\( \\chi^{2} \\)분포에 따른다.", "</p><p>證明 [정리 \\(9.15\\)]에 의하여 다음 통계량의 극한분포는 \\[ \\frac{\\left(X_{1}-n p_{1}\\right)^{2}}{n p_{1}\\left(1-p_{1}\\right)} \\sim \\chi^{2}(1) \\] 이다.", "그런데, \\[ \\begin{aligned} Q_{1} &=\\frac{\\left(X_{1}-n p_{1}\\right)^{2}}{n p_{1}}+\\frac{\\left(X_{2}-n p_{2}\\right)^{2}}{n p_{2}} \\\\ &=\\frac{\\left(X_{1}-n p_{1}\\right)^{2}}{n p_{1}}+\\frac{\\left\\{\\left(n-X_{1}\\right)-n\\left(1-p_{1}\\right)\\right\\}^{2}}{n p_{2}} \\\\ &=\\frac{\\left(X_{1}-n p_{1}\\right)^{2}}{n p_{1}}+\\frac{\\left(X_{1}-n p_{1}\\right)^{2}}{n\\left(1-p_{1}\\right)} \\\\ &=\\frac{\\left(X_{1}-n p_{1}\\right)^{2}}{n p_{1}\\left(1-p_{1}\\right)} \\end{aligned} \\] 이므로 \\( Q_{1} \\)의 극한분포는 자유도 \\(1\\)인 \\( \\chi^{2} \\)분포에 따른다.", "</p><p>이 정리를 일반화하면 다음과 같다.", "</p><p>定義 \\(6.4\\) \\( k-1 \\)차원 확률벡터 \\( X=\\left(X_{1}, X_{2}, \\ldots, X_{k-1}\\right) \\)의 결합확률밀도함수가 \\[ f\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{k-1}\\right)=\\frac{n !}{x_{1} ! x_{2} ! \\cdots x_{k} !} p_{1}^{x_{1}} p_{2}^{x_{2}} \\cdots p_{k}^{x_{k}} \\] 라 하자.", "이때, \\( X_{k}=n-X_{1}-X_{2}-\\cdots-X_{k-1}, p_{k}=1-p_{1}-p_{2}-\\cdots-p_{k-1} \\)이라고 하면, 다음 통계량 \\[ \\begin{aligned} Q_{k-1} &=\\sum_{i=1}^{k} \\frac{\\left(X_{i}-n p_{i}\\right)^{2}}{n p_{i}} \\\\ &=\\sum_{i=1}^{k} \\frac{\\left(X_{i}-e_{i}\\right)^{2}}{e_{i}} \\end{aligned} \\] 의 극한분포는 자유도 \\( k-1 \\)인 \\( \\chi^{2} \\)분포에 따른다.", "</p> <p>\\(9\\).", "동전의 앞 면이 나올 확률 \\( p \\)가 \\( 0.20,0.30,0.80 \\) 중의 한 값인 동전을 독립적으로 반복하여 던지는 실험에서 처음으로 앞 면이 나올 때까지의 시행횟수를 \\( X \\)라 할 때, \\( X \\geqslant 13 \\)이면 귀무가설 \\( H_{0}: p=0.20 \\)을 기각하기로 하였다.", "<ol type=a start=1><li>제 \\(1\\)종의 오류를 범할 확률 \\( \\alpha \\)를 구하여라.", "</li><li>다른 두 \\( p \\)의 값에 대한 \\( \\beta \\)를 구하여라.", "</li><li>\\( H_{0}: p=0.30 \\)의 검정에서 기각역을 \\( \\{13,14,15, \\cdots\\} \\)이라 할 때, \\( \\alpha \\)와 다른 두 \\( p \\)의 값에 대한 \\( \\beta \\)를 구하여라.", "</li></ol></p><p>\\(10\\). 정규분포 \\( N(\\theta, 4) \\)로부터 크기 \\(25\\)인 확률표본의 표본평균을 \\( \\bar{X} \\)라 할 때, \\( \\bar{X} \\)의 관찰값 \\( \\bar{x} \\)가 \\( \\frac{3}{5} \\)이면, 단순귀무가설 \\( H_{0}: \\theta=0 \\)를 기각하고 복합대립가설 \\( H_{1}: \\theta>", "0 \\)을 채택하는 검정의 검정력함수 \\( \\gamma(\\theta)(\\theta \\geqslant 0) \\)을 구하여라.", "</p><p>\\(11\\). \\", "( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)은 정규분포 \\( N(\\theta, 16) \\)으로부터 추출한 크기 \\( n \\)인 확률표본이다. \\", "( H_{1}: \\theta<25 \\) 에 대한 \\( H_{0}: \\theta=25 \\)의 검정에서 검정력함수를 \\( \\tau(\\theta) \\)라 할 때, 근사적으로 \\( \\gamma(25)=0.10, \\gamma(23)=0.90 \\)이 되는 \\( n \\)과 일양최강력검정을 구하여라.", "</p><p>\\(12\\). \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)은 베르누이분포 \\( \\operatorname{BERN}(1, \\theta) \\)로부터 추출한 크기 \\( n \\)인 확률표본이다. \\( H_{1}: \\theta>", "\\frac{1}{20} \\)에 대한 \\( H_{0}: \\frac{1}{20} \\)의 검정에서 검정력함수를 \\( \\gamma(\\theta) \\)라 할 때, 중심극한정리를 이용하여 근사적으로 \\( \\gamma\\left(\\frac{1}{20}\\right)=0.05, \\gamma\\left(\\frac{1}{10}\\right)=0.90 \\)이 되는 표본의 크기 \\( n \\)과 일양최 강력검정을 구하여라.", "</p><p>\\(13\\). \\", "( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)은 베르누이분포 \\( \\operatorname{BERN}(1, \\theta) \\)로부터 크기 \\(5\\)인 확률표본이다. \\", "( H_{1}: \\theta<\\frac{1}{2} \\)에 대한 \\( H_{0}: \\frac{1}{2}=\\theta \\)의 검정에서 \\( X_{1}+X_{2}+\\cdots+X_{n} \\leqslant c \\)이면 \\( H_{0} \\)를 기각할 때,<ol type=a start=1><li>이 검정은 일양최강력검정임을 보여라.", "</li><li>\\( c=1 \\)일 때 유의수준을 구하여라.", "</li><li>\\( c=0 \\)일 때 유의수준을 구하여라.", "</li></ol></p> <p>\\(14\\). \\", "( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)은 정규분포 \\( N(\\mu, 1) \\)로부터 추출한 크기 \\( n \\)인 확률표본이다.", "<ol type=a start=1><li>\\( H_{1}: \\mu<\\mu_{0} \\)에 대한 \\( H_{0}: \\mu=\\mu_{0} \\)의 일양최강력검정을 구하여라.", "</li><li>\\( H_{1}: \\mu>\\mu_{0} \\)에 대한 \\( H_{0}: \\mu=\\mu_{0} \\)의 일양최강력검정을 구하여라.", "</li><li>\\((1)\\), \\((2)\\)를 참고하여 \\( H_{1}: \\mu \\neq \\mu_{0} \\)에 대한 \\( H_{0}: \\mu=\\mu_{0} \\)의 일양최강력검정이 존재하지 않음을 보여라.", "</li></ol></p><p>\\(15\\). \\", "( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)은 지수분포 \\( \\operatorname{EXP}(\\theta) \\)로부터 추출한 크기 \\( n \\)인 확률표본이다.", "<ol type=a start=1><li>\\( H_{1}: \\theta \\neq \\theta_{0} \\)에 대한 \\( H_{0}: \\theta=\\theta_{0} \\)의 우도비검정을 유도하고 \\( \\chi^{2} \\)-분포를 이용하여 근사적으로 크기 \\( \\alpha \\)인 기각역을 구하여라.", "</li><li>\\( H_{1}: \\theta>\\theta_{0} \\)에 대한 \\( H_{0}: \\theta=\\theta_{0} \\)의 우도비검정을 유도하여라.", "</li></ol></p><p>\\(16\\). \\", "( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)은 균등분포 \\( \\operatorname{UNIF}(0, \\theta) \\)로부터 추출한 크기 \\( n \\)인 확률표본이라 할 때, \\( H_{1}: \\theta \\neq \\theta_{0} \\)에 대한 \\( H_{0}: \\theta=\\theta_{0} \\)의 우도비검정을 유도하여라.", "</p><p>\\(17\\). \\", "( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)은 확률밀도함수 \\[ f(x ; \\theta)=\\theta x^{\\theta-1}, x \\in(0,1) \\] 인 분포에서 추출한 크기 \\( n \\)인 확률표본이다. \\", "( H_{1}: \\theta \\neq \\theta_{0} \\)에 대한 \\( H_{0}: \\theta=\\theta \\)의 우도비검정을 유도하고 대표본근사에 의하여 크기 \\( \\alpha \\)인 겁정의 근사적인 기각역을 구하여라.", "</p><p>\\(18\\).", "두 갱의 독립인 정규분포 \\( N\\left(\\mu_{1}, \\sigma^{2}\\right) \\)과 \\( N\\left(\\mu_{1}, \\sigma^{2}\\right) \\)에서 추출한 크기가 각각 \\(10\\)인 확률표본으로부터 \\( \\bar{x}=4.8, s_{1}^{2}=8.64, \\bar{y}=5.6, s_{2}^{2}=7.88 \\)이다. \\", "( H_{0}: \\mu_{2}-\\mu_{1}=2.0 \\) vs. \\", "( H_{1}: \\mu_{1}-\\mu_{1} \\neq 2.0 \\)을 유의수준 \\( \\alpha=0.05 \\)로 검정하여라.", "</p><p>\\(19\\). \\", "( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)은 서로 독립이고 \\( X_{i} \\sim N\\left(\\beta x_{i}, \\sigma^{2}\\right) \\)이다. \\", "( \\sigma^{2} \\)이 알려져 있다고 할 때, \\( H_{1}: \\beta \\neq \\beta_{0} \\)에 대한 \\( H_{0}: \\beta=\\beta_{0} \\)의 우도비검정을 유도하여라.", "</p><p>\\(20\\). \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)은 확률밀도함수가 \\[ f(x ; \\theta)=\\frac{1}{\\theta+1}\\left(\\frac{\\theta}{\\theta+1}\\right)^{x}, \\quad x=0,1,2,3, \\cdots, \\theta>0 \\] 인 분포로부터 추출한 크기 \\( n \\)인 확률표본이다. \\( H_{1}: \\theta>", "\\theta_{0} \\)에 대한 \\( H_{0}: \\theta=\\theta_{0} \\)의 일양최강력검정을 구하여라.", "</p> <p>\\(3\\). 정규모집단 \\( N\\left(\\theta_{1}, \\theta_{2}\\right) \\)로부터 추출된 크기 \\( n \\)인 확률표본을 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)이라하자. 가설 귀무가설 \\( H_{0}: \\theta=75, \\quad \\) 대립가설 \\( H_{1}: \\theta>", "75 \\)의 검정에서 유의수준 \\( \\alpha=0.10 \\)인 일양최강력 기각역을 구하여라.", "</p><p>\\(4\\). 확률밀도함수가 \\[ f(x ; \\theta)=\\left\\{\\begin{array}{ll} \\theta^{x}(1-\\theta)^{1-x}, & x=0,1 \\\\ 0, & \\text { 그 외의 경우 } \\end{array}\\right. \\] 인 분포에 대하여 가설 귀무가설 \\( H_{0}: \\theta=\\frac{1}{20}, \\quad \\) 대립가설 \\( H_{1}: \\theta>", "\\frac{1}{20} \\)을 검정하고자 한다.", "일양최강력 검정에 대하여, 검정력함수 \\( K(\\theta) \\)의 값이 근사적으로 \\( K\\left(\\frac{1}{20}\\right)=0.05 \\)와 \\( K\\left(\\frac{1}{10}\\right)=0.90 \\)이 되도록 하는 표본 수 \\( n \\)을 중심극한정리를 이용하여 구하여라.", "</p><p>\\(5\\).", "확률밀도함수가 \\[ f\\left(x ; \\theta_{1}, \\theta_{2}\\right)=\\left\\{\\begin{array}{ll} \\theta_{2} e^{-\\theta_{2}\\left(x-\\theta_{1}\\right)}, & \\theta_{1} \\leq x<+\\infty \\\\ 0, & \\text { 그 외의 경우 } \\end{array}\\right. \\]", "인 모집단으로부터 크기 \\( n \\)인 확률표본을 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)이라 하자.", "가설 귀무가설 \\( H_{0}: \\theta_{1}=\\theta_{1}^{\\prime}, \\theta_{2}=\\theta_{2}^{\\prime}>0, \\quad \\) 대립가설 \\( H_{1}: \\theta_{1}<\\theta_{1}^{\\prime}, \\theta_{2}>\\theta_{2}^{\\prime} \\)을 검정하고자 할 때 일양최강력 기각역을 구하여라.", "</p><p>\\(6\\).", "어떤 표(table)의 한 줄(line)에 숫자가 \\(0\\)부터 \\(9\\)까지 \\(10\\)개씩 기록이 되어 있었다.", "이 표에서 \\(100\\)줄을 선정하여 각 줄에 포함되어 있는 숫자 \\(0\\)의 개수를 세어, 이 \\(0\\)의 개수를 \\( X \\)라 했을 때, 얻어진 표는 다음과 같았다.", "이때, \\( X \\)는 이항분포에 따르고 있는지를 유의수준 \\( 5 \\% \\)로 검정하여라.", "</p><p>\\(7\\).", "어떤 꽃씨를 \\(96\\)개 뿌렸더니 \\( A, B, C, D \\)가지 유형의 꽃이 각각 \\( 45,27,16,6 \\)포기 씩 피었다.", "그런데 유전 법칙에 의하면, 이 꽃은 \\( 9: 3: 3: 1 \\)의 비율로 핀다고 알려져 있다고 한다.", "이 실험결과는 유전법칙에 위배되는지를 유의수준 \\( 0.05 \\)로 검정하여라.", "</p><p>\\(8\\).", "흰 공 \\( \\theta \\)개 와 검은 공 \\( 4-\\theta \\)개가 들어 있는 항아리에서 두 갱의 공을 복원추출하여 같은 색이면 귀무가설 \\( H_{0}: \\theta=2 \\)를 기각하고 그렇지 않으면 대립가설 \\( H_{1}: \\theta \\neq 2 \\)를 기각하기로 하였다.", "<ol type=a start=1><li>제 \\(1\\)종의 오류를 범할 확률 \\( \\alpha \\)를 구하여라.", "</li><li>모든 가능한 상황에 대하여 제 \\(2\\)를 범활 확률 \\( \\beta \\)를 구하여라.", "</li></ol></p> <p>問題 \\(1\\) 주사위 \\(60\\)개를 동시에 던져서 다음과 같은 표를 얻었다.", "이 주사위가 옳바르게 만들어졌는지 유의수준 \\( 5 \\% \\)로 검정하여라.", "</p><p>解答 검정하고자 하는 가설을 귀무가설 \\( H_{0}: p_{i}=\\frac{1}{6}, i=1,2, \\cdots, 6, \\quad \\) 귀무가설 \\( H_{1}: p_{i} \\neq \\frac{1}{6}, i=1,2, \\cdots, 6 \\)이라 하자. 그러면, 통계량 \\( Q_{5} \\)는 \\[ \\begin{aligned} Q_{5} &=\\sum_{i=1}^{6} \\frac{\\left(x_{i}-e_{i}\\right)^{2}}{e_{i}} \\\\ &=\\frac{56}{10} \\\\ &=5.6 \\end{aligned} \\] 이다. 그런데 \\( \\chi^{2} \\)표에서 자유도 \\(5\\)의 \\( 5 \\% \\)점은 \\( \\chi_{0.05}^{2}(5)=11.0705>", "Q_{5}=5.6 \\)이다.", "따라서, 귀무가설 \\( H_{0} \\)는 기각되지 않는다.", "즉, 주사위는 옳지 않다고 말할 수 없다.", "</p><p>問題 \\(2\\) \\(100\\)의 소비자들에게 \\(5\\)종류의 상품을 보이고, 그 중 가장 품질이 좋은 것이 어떤 것인지를 조사하여 다음과 같은 표를 얻었다.", "이 결과를 이용하여 \\(5\\)종류의 상품이 품질의 차가 있다고 할 수 있는지를 유의수준 \\( 5 \\% \\)로 검정하여라.", "</p><p>解答 귀무가설을 \\( H_{0}: p_{i}=\\frac{1}{5} \\)라 하면, \\( e_{i}=100 \\times \\frac{1}{5}=20 \\)이고 \\[ Q_{4}=\\sum_{i=1}^{5} \\frac{\\left(x_{i}-e_{i}\\right)^{2}}{e_{i}}=17.5 \\] 이다. 그런데, \\( \\chi_{0.05}^{2}(4)=9.48773 \\)이다. 따라서, \\( Q_{4}=17.5>", "9.48773=\\chi_{0.05}^{2}(4) \\)이므로 \\( H_{0} \\)는 기각된다.", "즉, \\( 5 \\% \\)로 품질의 차이가 있다고 볼 수 있다.", "</p><p>練習問題</p><p>\\(1\\).", "모수공간을 \\( \\Omega=\\{\\theta \\mid \\theta=1,2\\} \\)이라 하자.", "모집단 분포가 \\[ f(x ; \\theta)=\\left\\{\\begin{array}{ll} \\frac{1}{\\theta} e^{-\\frac{x}{0}}, & 0<x<+\\infty \\\\ 0, & \\text { 그 외의 경우 } \\end{array}\\right. \\]", "에 따를 때, 이 모집단으로부터 크기 \\(2\\)인 확률표본 \\( X_{1}, X_{2} \\)에 의하여 가설 귀무가설 \\( H_{0}: \\theta=2, \\quad \\) 대립가설 \\( H_{1}: \\theta=1 \\)을 검정하고자 한다.", "확률표본의 관찰값 \\( X_{1}=x_{1}, X_{2}=x_{2} \\)에 대하여 \\[ \\frac{f\\left(x_{1} ; 2\\right) f\\left(x_{2} ; 2\\right)}{f\\left(x_{1} ; 1\\right) f\\left(x_{2} ; 1\\right)} \\leq \\frac{1}{2} \\] 이면, 귀무가설 \\( H_{0} \\)를 기각한다고 할 때, 기각역, 유의수준 및 검정력을 구하여라.", "</p><p>\\(2\\).", "정규모집단 \\( N(\\theta, 100) \\)로부터 추출된 크기 \\(25\\)인 확률표본을 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{25} \\)이라하자.", "가설 귀무가설 \\( H_{0}: \\theta_{1}=0, \\theta_{2}=1, \\quad \\) 대립가설 \\( H_{1}: \\theta_{1}=1, \\theta_{2}=4 \\)의 검정에서 최량기각역을 구하여라.", "</p> <p>\\(25\\).", "두 정규분포 \\[ \\begin{aligned} X_{i} & \\sim N\\left(\\mu_{1}, \\sigma_{1}^{2}\\right), \\quad 1=1,2, \\ldots, n_{1} \\\\ Y_{j} & \\sim N\\left(\\mu_{2}, \\sigma_{2}^{2}\\right), \\quad j=1,2, \\ldots, n_{2} \\end{aligned} \\] 으로부터 추출한 독립인 확률표본이라 한다.", "이때 \\( n_{1}=n_{2}=9, \\bar{x}=16, \\bar{y}=10 \\), \\( s_{1}^{2}=36, s_{2}^{2}=45 \\)라 하자.", "<ol type=a start=1><li>두 분산이 같다고 가정하에 \\( H_{0}: \\mu_{1}=\\mu_{2} \\)에 대한 \\( H_{1}: \\mu_{1} \\neq \\mu_{2} \\) 가설을 크기 \\( \\alpha=0.10 \\)로 검정하여라.", "</li><li>순서쌍으로 표현된 표본에서 관찰된 자료로부터 \\( s_{D}^{2}=81 \\)이었다면 유의수준 \\( \\alpha=0.10 \\)에서 가설을 검정하여라.", "</li><li>\\( H_{0}: \\sigma_{1}^{2} / \\sigma_{2}^{2} \\leqslant 1 \\)에 대한 \\( H_{1}: \\sigma_{2}^{2} / \\sigma_{1}^{2}>1 \\)을 \\( \\alpha=0.01 \\)로 검정하여라.", "</li></ol></p><p>\\(26\\).", "한 개의 동전을 \\(20\\)회 던져 \\( x=6 \\)번 앞면이 나왔다. \\", "( p=P(H) \\)일 때, \\( H_{0}: p \\geqslant \\) \\( 0.5 \\)에 대한 \\( H_{1}: p<0.5 \\)의 크기가 기껏해야 \\( 0.10 \\)인 검정을 하고자 한다.", "<ol type=a start=1><li>대표본 정규근사로 검정하여라.", "</li><li>대립값 \\( p=0.2 \\)에 대하여 \\( H_{0}: p \\geqslant 0.5 \\)의 크기 \\( \\alpha=0.0577 \\)인 검정을 구하여라.", "</li><li>(b)에서 검정의 \\( p \\)-값을 구하여라.", "</li></ol></p><p>\\(27\\). 확률질량함수가 \\( f(x ; \\theta)=p^{x}(1-p)^{x},(x=0,1) \\)인 분포를 생각해 보자. \\( H_{0}: \\theta= \\) \\( \\frac{1}{20}, H_{9}: \\theta>", "\\frac{1}{20} \\)이라 하고 중심극한정리를 이용하여 \\( H_{1} \\)에 대한 \\( H_{0} \\)의 일양최강력검정이 근사적으로 \\( K\\left(\\frac{1}{20}\\right)=0.05 \\)와 \\( K\\left(\\frac{1}{10}\\right)=0.90 \\)인 검정력함수 \\( k(\\theta) \\)를 가지는 표본의 크기 \\( n \\)을 구하여라.", "</p> <h1>6.2 최강력 검정</h1><p>이 절에서는 귀무가설 \\( H_{0} \\)와 대립가설 \\( H_{1} \\)이 모두 다 단순가설인 경우에 가설을 검정하는 방법을 소개할 것이다.", "이 경우 모수공간 \\( \\Omega \\) 는 두 개의 점만으로 이루어지는 집합이 될 것이다.", "또한, 앞 절의 결과에 의해서, 가설을 검정하는 방법은 결국 기각역을 적당하게 설정하는 것이라고 보아도 좋을 것이다.", "따라서, 다음 두가지를 염두에 두고 가설검정 방법을 살펴 보기로 한다.", "첫 번째로, 대립가설 \\( H_{1} \\)에 대하여 귀무가설 \\( H_{0} \\)를 검정하기 위한 최강력검정(most powerful test)을 소개 하고 다음에, 일반적으로 최강력검정을 구할 수 있는 방법을 제시해 주는 정리, 이 두가지에 대해서 자세히 다룰 것이다.", "먼저 최강력검정의 정의는 다음과 같다.", "</p><p>定義 \\(6.11\\) 모수공간을 \\( \\Theta=\\left\\{\\theta: \\theta=\\theta_{0}, \\theta_{1}\\right\\} \\)이라 하자.", "또한, 모집단 확률밀도함수가 \\( f(x ; \\theta) \\)인 모집단으로부터 추출한 크기 \\( n \\)인 확률표본 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)에 의하여 모수 \\( \\theta \\)에 대한 가설 즉, 귀무가설 \\( H_{0}: \\theta=\\theta_{0} \\), 대립가설 \\( H_{1}: \\theta=\\theta_{1} \\)을 검정하는 경우 표본공간의 부분집합 \\( C_{r} \\)이, 다음 두 조건을 만족하는 영역으로 \\( C_{r} \\)을 설정하면, 이 기각역 \\( C_{r} \\)을 대립가설 \\( H_{1} \\)에 대하여 귀무 가설 \\( H_{0} \\)를 검정하는 크기 \\( \\alpha \\)인(또는 유의수준 \\( \\alpha \\) 인) 최량기각역(best critical region of size \\( n \\) )이라고 한다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\alpha=P\\left\\{\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\in C_{r} \\mid H_{0}\\right\\} \\)</li><li>\\( \\alpha=P\\left\\{\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\in C^{*} \\mid H_{0}\\right\\} \\) 인 표본공간의 임의의 부분집합 \\( C^{*} \\) 에 대하여, \\( P\\left\\{\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\in C_{r} \\mid H_{1}\\right\\} \\geq P\\left\\{\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\in C^{*} \\mid H_{1}\\right\\} \\)</li></ol><p>위의 정의에 의하면 크기가 \\( \\alpha \\)인 최량기각역이란 크기가 \\( \\alpha \\) 인 모든 기각역 중에서도 대립가설 \\( H_{1} \\)이 참일 때, 검정력이 가장 큰 기각역이라고 볼 수 있다.", "</p> <p>問題 \\(1\\) 모집단의 분포가 이항분포 \\( f(x ; \\theta)=\\left(\\begin{array}{l}5 \\\\ x\\end{array}\\right) \\theta^{x}(1-\\theta)^{5-x}, \\quad x=0,1,2,3,4,5 \\)에 따를 때, 이 모집단으로부터 크기 \\(1\\)인 확률표본 \\( X_{1} \\)에 의하여 귀무가설 \\( H_{0}: \\theta=\\frac{1}{2} \\), 대립가설 \\( H_{1}: \\theta=\\frac{3}{4} \\)을 검정하고자 한다.", "유의수준 \\( \\alpha=0.03125 \\)수준에서 최량기각역을 구하여라.", "</p><p>解答 \\( H_{0} \\)가 참일 때의 표본 \\( X_{1} \\)의 확률밀도함수 값 \\( f\\left(x_{1} ; \\frac{1}{2}\\right) \\)과 \\( H_{1} \\)이 참일 때의 표본 \\( X_{1} \\)의 확률밀도함수 값 \\( f\\left(x_{1} ; \\frac{3}{4}\\right) \\)을 표로 만들면<table border><caption>표 6.1</caption><tbody><tr><td>\\( X_{1}=x_{1} \\)</td><td>\\(0\\)</td><td>\\(1\\)</td><td>\\(2\\)</td><td>\\(3\\)</td><td>\\(4\\)</td><td>\\(5\\)</td></tr><tr><td>\\( H_{0}: f\\left(x_{1} ; \\frac{1}{2}\\right) \\)</td><td>\\( \\frac{1}{32} \\)</td><td>\\( \\frac{5}{32} \\)</td><td>\\( \\frac{10}{32} \\)</td><td>\\( \\frac{10}{32} \\)</td><td>\\( \\frac{5}{32} \\)</td><td>\\( \\frac{1}{32} \\)</td></tr><tr><td>\\( H_{1}: f\\left(x_{1} ; \\frac{3}{4}\\right) \\)</td><td>\\( \\frac{1}{1024} \\)</td><td>\\( \\frac{15}{1024} \\)</td><td>\\( \\frac{80}{1024} \\)</td><td>\\( \\frac{270}{1024} \\)</td><td>\\( \\frac{400}{1024} \\)</td><td>\\( \\frac{243}{1024} \\)</td></tr><tr><td>\\( \\frac{f\\left(x_{1} ; \\frac{1}{2}\\right)}{f\\left(x_{1} ; \\frac{3}{4}\\right)} \\)</td><td>\\(32\\)</td><td>\\( \\frac{32}{3} \\)</td><td>\\( \\frac{32}{9} \\)</td><td>\\( \\frac{23}{27} \\)</td><td>\\( \\frac{32}{81} \\)</td><td>\\( \\frac{32}{243} \\)</td></tr></tbody></table>이다.", "위의 표로부터, 표본공간 \\( S=\\left\\{x_{1} \\mid x_{1}=0,1,2,3,4,5\\right\\} \\)의 부분집합으로서 \\( A_{1}=\\left\\{x_{1} \\mid x_{1}=0\\right\\} \\)과 \\( A_{2}=\\left\\{x_{1} \\mid x_{1}=5\\right\\} \\)를 취하면 \\( P\\left\\{x_{1} \\in A_{1} \\mid H_{0}\\right\\}=f(0 ; 0.500)=0.03125 \\) \\( P\\left\\{x_{1} \\in A_{2} \\mid H_{0}\\right\\}=f(5 ; 0.500)=0.03125 \\)이므로 유의수준 \\( \\alpha=0.03125 \\)인 기각역은 부분집합 \\( A_{1} \\)과 \\( A_{2} \\)이다.", "따라서, 각각의 경우 검정력은 \\( P\\left\\{x_{1} \\in A_{1} \\mid H_{1}\\right\\}=f(0 ; 0.750)=0.00097 \\) \\( P\\left\\{x_{1} \\in A_{2} \\mid H_{1}\\right\\}=f(5 ; 0.750)=0.23730 \\)이다.", "그런데, \\( A_{2} \\) 를 기각역으로 하는 값이 더 크므로, 유의수준 \\( \\alpha=0.03125 \\) 인 최량기각역은 \\( A_{2}=\\left\\{x_{1} \\mid x_{1}=5\\right\\} \\)이다.", "또한, 크기 \\( \\alpha=\\frac{1}{32} \\)인 최량기각역 \\( A_{2} \\) 는 \\( f\\left(x ; \\frac{1}{2}\\right) \\)가 \\( f\\left(x ; \\frac{3}{4}\\right) \\)보다 작은 값을 갖는 점의 집합으로, 이 점 \\( x_{1}=5 \\)에서 비(ratio) \\( \\frac{f\\left(x_{1} ; \\frac{1}{2}\\right)}{f\\left(x_{1} ; \\frac{3}{4}\\right)} \\)의 값이 최소가 된다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "413", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "확률과 통계_가설검정론", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-5479-4d76-95c1-76cfa5da16d1", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961059053", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2015", "doc_author": [ "김원배" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>정의 고정된 어떤 전체집합(universal set) \\( U \\) 의 두 부분집합 \\( A, B \\) 에 대하여 다음과 같이 자주 쓰이는 집합의 연산을 소개한다.", "</p><ul><li>\\( A \\cup B=\\{x \\mid x \\in A \\) 또는 \\( x \\in B\\} \\)</li><li>\\( A \\cap B=\\{x \\mid x \\in A \\) 그리고 \\( x \\in B\\} \\)</li><li>\\( A-B=\\{x \\mid x \\in A \\) 그러나 \\( x \\notin B\\} \\)</li><li>\\( A \\times B=\\{(a, b) \\mid a \\in A \\) 그리고 \\( b \\in B\\} \\)</li><li>\\( U-A=\\{x \\mid x \\notin A\\} \\)</li></ul><p>위의 집합을 각각 \\( A \\) 와 \\( B \\) 의 합집합(union), 교집합(intersection), 차집합(difference) 혹은 \\( A \\) 에 관한 \\( B \\) 의 여집합(complement), 데카르트 곱집합(cartesian product)이라 한다.", "한편, \\( U-A \\) 를 \\( A^{c} \\) 라 표시하고, 이를 \\( A \\) 의 여집합(complement)라 부른다.", "여기서 \\( A \\cap B=\\phi \\) 일 때 \\( A \\) 와 \\( B \\) 는 서로소(disjoint)라고 한다.", "</p><p>집합기호 \\( \\mathbb{Z}, \\mathbb{N}, \\mathbb{Q}, \\mathbb{R}, \\mathbb{C} \\) 는 다음과 같은 집합을 의미한다.", "</p><ul><li>\\( \\mathbb{Z}=\\{0, \\pm 1, \\pm 2, \\pm 3, \\cdots\\}=\\{x \\mid x \\) 는 정수 \\( \\} \\)</li><li>\\( \\mathbb{N}=Z^{+}=\\{1,2,3, \\cdots\\}=\\{x \\mid x \\) 는 자연수 \\( \\} \\)</li><li>\\( \\mathbb{Q}=\\left\\{\\frac{a}{b} \\mid a, b \\in \\mathbb{Z}, b \\neq 0\\right\\}=\\{x \\mid x \\) 는 유리수 \\( \\} \\)</li><li>\\( \\mathbb{R}=\\{x \\mid x \\) 는 실수 \\( \\} \\)</li><li>\\( \\mathbb{C}=\\left\\{a+b i \\mid a, b \\in R, i^{2}=-1\\right\\}=\\{x \\mid x \\) 는 복소수 \\( \\} \\)</li></ul><p>이들을 각각 정수의 집합, 자연수의 집합, 유리수의 집합, 실수의 집합, 복소수의 집합이라고 한다.", "</p><p>보기 \\(2\\) \\( A=\\{2,4,6,8\\} \\) 와 \\( B=\\{1,3,5,7\\} \\) 는 서로소이다.", "집합 \\( \\mathbb{Z}, \\mathbb{N}, \\mathbb{Q}, \\mathbb{R}, \\mathbb{C} \\) 에서 서로소인 부분집합 들을 구성하여 보아라.", "</p><p>예제 \\(3\\) 두 개의 집합 \\( A=\\{a, b, c\\}, B=\\{c, d, e\\} \\) 가 전체집합 \\( U=\\{a, b, c, d, e, f\\} \\) 의 부분집합 일 때, \\( A^{c}, A \\cup A^{c}=U, A \\cap A^{c}=\\varnothing, A \\cup B, A \\cap B=B \\cap A \\) 를 구하고, \\( A \\times B \\) 및 \\( A-B \\) 를 조사하여라.", "</p><p>풀이 \\( A^{c}=U-A=\\{d, e, f\\}, A \\cup A^{c}=\\{a, b, c, d, e, f\\}=U, A \\cap A^{c}=\\phi \\) \\( A \\cup B=\\{a, b, c, d, e\\}=B \\cup A, A \\cap B=\\{c\\}=B \\cap A \\) \\( A \\times B=\\{(a, c),(a, d),(a, e),(b, c),(b, d),(b, e),(c, c),(c, d),(c, e)\\} \\), \\( A-B=\\{a, b\\} \\)</p><p>정리 \\(1.1.1\\) 두 집합 \\( A, B \\) 에 대하여, 다음이 성립함을 증명하여라.", "</p><ol type=i start=1><li>\\( A \\cup B=B \\cup A \\)</li><li>\\( A \\cap B=B \\cap A \\)</li></ol><p>증명</p><ol type=i start=1><li>\\( \\begin{aligned} x \\in A \\cup B & \\Leftrightarrow x \\in A \\text { or } x \\in B \\\\ & \\Leftrightarrow x \\in B \\text { or } x \\in A \\\\ & \\Leftrightarrow x \\in B \\cup A \\end{aligned} \\)</li><li>\\( x \\in A \\cap B \\Leftrightarrow x \\in A \\) and \\( x \\in B \\) \\( \\Leftrightarrow x \\in B \\) and \\( x \\in A \\) \\( \\Leftrightarrow x \\in B \\cap A \\)</li></ol><p>예제 \\(4\\) 두 개의 집합 \\( A=\\{a, b, c\\}, B=\\{c, d, e\\} \\) 에 대하여 \\[ A \\times B, A-B, B \\times A, B-A \\] 를 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( A \\times B=\\{(a, c),(a, d),(a, e),(b, c),(b, d),(b, e),(c, c),(c, d),(c, e)\\} \\) \\( A-B=\\{a, b\\} \\) \\( B \\times A=\\{(c, a),(d, a),(e, a),(c, b),(d, b),(e, b),(c, c),(d, c),(e, c)\\} \\) \\( B-A=\\{d, e\\} \\)</p><p>정리\\( 1.1.2\\) 두 집합 \\( A, B \\) 가 전체집합 \\( U \\) 의 부분집합일 때 다음 사실이 성립한다.", "</p><ol type=i start=1><li>\\( (A \\cup B)^{c}=A^{c} \\cap B^{c} \\)</li><li>\\( (A \\cap B)^{c}=A^{c} \\cup B^{c} \\)</li></ol><p>증명</p><ol type=i start=1><li>\\( \\begin{aligned} x \\in(A \\cup B)^{c} & \\Leftrightarrow x \\notin A \\cup B \\\\ & \\Leftrightarrow x \\notin A \\text { and } x \\notin B \\\\ & \\Leftrightarrow x \\in A^{c} \\text { and } x \\in B^{c} \\end{aligned} \\)</li><li>\\( \\begin{aligned} x \\in(A \\cap B)^{c} & \\Leftrightarrow x \\notin A \\cap B \\\\ & \\Leftrightarrow x \\notin A \\text { or } x \\notin B \\\\ & \\Leftrightarrow x \\in A^{c} \\text { or } x \\in B^{c} \\\\ & \\Leftrightarrow x \\in A^{c} \\cup B^{c} \\end{aligned} \\)</li></ol> <p>정리 \\( 1.1.2 \\)의 \\( (1) \\), \\( (2) \\)를 드 모르간의 법칙(De Morgan's Law)이라고 부른다.", "</p><p>정의 집합 \\( A \\) 의 모든 부분집합을 원소로 갖는 집합을 \\( A \\) 의 멱집합(power set)이라 하 며, 이를 \\( P(A) \\) 로 나타낸다, 즉 \\( P(A) = \\{X \\mid X \\subseteq A\\} \\) 이다.", "</p><p>예제 \\(5\\) 집합 \\( A = \\{a, b, c\\} \\) 에 대하여 \\( P(A) \\) 를 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( P(A) = \\{\\varnothing , \\{a\\} , \\{b\\} , \\{c\\} , \\{a, b\\} , \\{a, c\\} , \\{b, c\\} , A\\} \\)</p><p>정의 집합 \\( A \\) 에 대하여 \\( R \\subseteq A \\times A \\) 를 만족하는 \\( R \\) 을 \\( A \\) 위의 관계(relation on \\( A) \\) 라고 한다. \\", "( (a, b) \\in R \\) 일 때, \\( a \\) 는 \\( b \\) 와 관계가 있다 \\( (a \\) is related to \\( b) \\) 라 하고 \\( a R b \\) 또는 \\( a \\sim b \\) 로 표시한다.", "또한 \\( (a, b) \\notin R \\) 일 때, \\( a \\) 는 \\( b \\) 와 관계가 없다 \\( (a \\) is not related to \\( b) \\) 라 하고 \\( a \\not R b \\) 또는 \\( a \\nsim b \\) 로 표시한다.", "</p><p>\\( R \\) 을 \\( A \\) 위의 관계라 하자. \\", "( A \\) 의 각 원소 \\( a \\) 에 대하여 \\( a R a \\) 이면 \\( R \\) 은 반사적 (reflexive)이라 한다. \\", "( a R b \\) 이면 \\( b R a \\) 일 때, \\( R \\) 은 대칭적(symmetric)이라 한다. \\", "( a R b \\) 이고 \\( b R c \\) 이면 \\( a R c \\) 일 때, \\( R \\) 은 추이적(transitive)이라 한다.", "한편, \\( R \\) 이 반사적, 대칭적, 추이적일 때 \\( R \\) 을 \\( A \\) 위의 동치관계(equivalence relation on \\( A \\) )라고 부른다.", "</p> <h1>연습문제 \\( 1.2 \\)</h1><ol type=1 start=1><li>실수 위에서 정의된 아래 함수 의 정의역과 치역을 구하여라.", "<ol type=1 start=1><li>\\( y=\\sqrt{10^{2}-x^{2}} \\)</li><li>\\( y=\\left\\{\\begin{aligned} 2, & x \\geq 0 \\\\-2, & x<0 \\end{aligned}\\right. \\)", "</li></ol></li><li>다음 함수(사상)의 예를 보여라.", "<ol type=1 start=1><li>단사사상</li><li>전사사상</li><li>전단사사상</li><li>단사가 아닌 전사사상</li><li>전사가 아닌 단사사상</li><li>전단사가 아닌 사상</li></ol></li><li>다음 함수의 역함수를 구하여라.", "<ol type=1 start=1><li>\\( y=2 x^{2}+3 \\quad(x \\geq 0) \\)</li><li>\\( y=5 x+7 \\)</li><li>\\( y=x^{3}-2 \\)</li><li>\\( y=\\sqrt{x-4} \\)</li></ol></li><li>\\( f: A \\rightarrow B \\) 와 \\( g: B \\rightarrow C \\) 가 전단사사상이라면 \\( g \\circ f \\) 의 역사상은 \\( f^{-1} \\circ g^{-1} \\) 임을 밝혀라.", "</li><li>사상 \\( f: A \\rightarrow B \\) 가 주어졌을 때, \\( A_{1}, A_{2} \\subseteq A, B_{1}, B_{2} \\subseteq B \\) 에 대하여 다음을 증명하여라.", "<ol type=1 start=1><li>\\( f\\left(A_{1} \\cap A_{2}\\right) \\subseteq f\\left(A_{1}\\right) \\cap f\\left(A_{2}\\right) \\)</li><li>\\( f^{-1}\\left(B_{1} \\cap B_{2}\\right)=f^{-1}\\left(B_{1}\\right) \\cap f^{-1}\\left(B_{2}\\right) \\)</li><li>\\( f^{-1}\\left(B_{1} \\cup B_{2}\\right)=f^{-1}\\left(B_{1}\\right) \\cup f^{-1}\\left(B_{2}\\right) \\)</li></ol></li><li>함수 \\( f: A \\rightarrow B \\) 가 주어겼을 때, 지금까지는 \\( a \\mapsto f(a) \\) 라는 함수의 왼쪽표기법(left hand side function)을 사용해 왔다.", "마찬가지로 \\( a \\mapsto a f \\) 처럼 함수의 오른쪽 표기법 (right hand side function)으로 나타낼 수 있다.", "두 함수 \\( f: A \\rightarrow B, g: B \\rightarrow C \\) 가 함수의 오른쪽표기법으로 주어졌다면 모든 \\( a \\in A \\) 에 대하여 \\( a h=a(f g)=(a f) g \\) 로 정의하면 \\( h \\) 는 \\( A \\) 로부터 \\( C \\) 로의 함수가 되는데, 이 함수 \\( h=f g \\) 를 \\( f \\) 와 \\( g \\) 의 곱 함수(product function)라 한다.", "이때, 두 함수 \\( f: A \\rightarrow B \\) 와 \\( g: B \\rightarrow C \\) 에 대하여, 함수의 왼쪽표기법의 합성함수 \\( g \\circ f \\) 는 함수의 오른쪽표기법의 곱 함수 \\( f g \\) 와 같음을 보여라.", "</li><li>정리 \\( 1.2 .3 \\) 의 \\((1)\\), \\((2)\\), \\((3)\\), \\((6)\\)을 증명하여라.", "</li><li>\\( f(x)=12 x-14 \\) 의 역함수를 구하여라.", "</li></ol> <p>보기 \\(6\\) 집합 \\( A=\\{a, b, c\\} \\) 에 대하여, \\( A \\) 위의 관계 \\[R=\\{(a, a),(b, b),(c, c),(a, b),(b, a),(b, c),(c, b),(a, c),(c, a)\\} \\] 는 동치관계이다.", "</p><p>집합 \\( A \\) 위의 동치관계 \\( R \\) 에서 원소 \\( a \\in A \\) 와 동치관계가 있는 \\( A \\) 의 원소 전체의 집합 \\( \\bar{a}=\\{x \\in A \\mid a \\sim x\\} \\) 를 \\( a \\) 의 동치류(equivalence class)라 한다.", "각 \\( a \\in A \\) 에 대하여, \\( a \\in \\bar{a} \\) 임을 알 수 있다.", "</p><p>정의 주어진 집합 \\( A \\) 의 공집합이 아닌 부분집합의 모임 \\( \\left\\{A_{i} \\mid i \\in I\\right\\} \\) 가</p><ol type=1 start=1><li>임의의 \\( i, j \\in I \\) 에 대하여, \\( A_{i} \\cap A_{j}=\\phi \\) 혹은 \\( A_{i}=A_{j} \\)</li><li>\\( A=\\bigcup_{i \\equiv I} A_{i} \\)</li></ol><p>를 만족할 때 우리는 \\( \\left\\{A_{i} \\mid i \\in I\\right\\} \\) 를 \\( A \\) 의 분할(partition)이라 한다.", "</p><h1>연습문제 \\( 1.1 \\)</h1><ol type=1 start=1><li>두 명제 \\( p, q \\) 에 대하여, \\( \\sim p, p \\wedge q, p \\vee q, p \\Rightarrow q, p \\Leftrightarrow q \\) 의 진리표를 만돌어 보아라.", "</li><li>두 집합 \\( A=\\{2,3,4\\} \\) 와 \\( B=\\{3,4,7,8,9\\} \\) 에 대하여 \\( A \\cup B, A \\cap B, B-A \\), \\( A \\times B \\) 를 구하여라.", "</li><li>집합 \\( A \\) 와 전체집합 \\( U \\) 에 대하여, 다음이 성립함을 증명하라.", "<ol type=1 start=1><li>\\( A \\cup A=A \\)</li><li>\\( A \\cap A=A \\)</li><li>\\( A \\cup U=U \\)</li><li>\\( A \\cap U=A \\)</li><li>\\( A \\cup \\varnothing=A \\)</li><li>\\( A \\cap \\varnothing=\\varnothing \\)</li></ol></li><li>집합 \\( A \\) 가 전체집합 \\( U \\) 의 부분집합 일 때 다음을 밝혀라.", "<ol type=1 start=1><li>\\( \\left(A^{c}\\right)^{c}=A \\)</li><li>\\( A \\cap A^{c}=\\varnothing \\)</li><li>\\( A \\cup A^{c}=U \\)</li></ol></li><li>집합 \\( A, B, C \\) 에 대하여, 다음이 성립함을 증명하라.", "<ol type=1 start=1><li>\\( (A \\cup B) \\cup C=A \\cup(B \\cup C) \\)</li><li>\\( (A \\cap B) \\cap C=A \\cap(B \\cap C) \\)</li><li>\\( A \\cup(B \\cap C)=(A \\cup B) \\cap(A \\cup C) \\)</li><li>\\( A \\cap(B \\cup C)=(A \\cap B) \\cup(A \\cap C) \\)</li><li>\\( A \\times(B \\cup C)=(A \\times B) \\cup(A \\times C) \\)</li><li>\\( A \\times(B \\cap C)=(A \\times B) \\cap(A \\times C) \\)</li><li>\\( A-(B \\cup C)=(A-B) \\cap(A-C) \\)</li><li>\\( A-(B \\cap C)=(A-B) \\cup(A-C) \\)</li></ol></li><li>집합 \\( A \\) 의 원소의 개수가 \\( n \\) 일 때, \\( P(A) \\) 의 원소의 개수는 \\( 2^{n} \\) 임을 보여라.", "</li><li>집합 \\( A=\\{1,2,3,4\\} \\) 에 대하여 동치관계의 예를 보여라.", "</li><li>\\( R \\) 을 집합 \\( A \\) 위의 동치관계라고 할 때, 다음 사실이 성립함을 조사하여라.", "<ol type=1 start=1><li>\\( a R b \\Leftrightarrow \\bar{a}=\\bar{b} \\)</li><li>\\( a \\in \\bar{b} \\Leftrightarrow \\bar{a}=\\bar{b} \\Leftrightarrow b \\in \\bar{a} \\)</li><li>\\( \\forall a, b \\in A \\) 에 대하여, (i) \\( \\bar{a} \\cap \\bar{b}=\\phi \\) 와 (ii) \\( \\bar{a}=\\bar{b} \\) 중 하나가 성립한다.", "</li></ol></li></ol> <p>정리 \\(1.2.5\\) 사상 \\( f: A \\rightarrow B \\) 가 전단사사상일 필요충분조건은 \\( g \\circ f=1_{A} \\) 와 \\( f \\circ g=1_{B} \\) 를 만족하는 사상 \\( g: B \\rightarrow A \\) 가 유일하게 하나 존재하는 것이다.", "</p><p>증명</p><p>먼저, 필요조건을 증명해보자. \\", "( f \\) 가 전단사사상이라 하자.", "정리 \\( 1.2 .4 \\) 를 이용하 면, \\( g \\circ f=1_{A}, f \\circ h=1_{B} \\) 를 만족하는 사상 \\( g, h: B \\rightarrow A \\) 가 존재한다.", "그리 고 임의의 \\( y \\in B \\) 에 대하여 \\( f(x)=y \\) 인 \\( x \\in A \\) 가 오직 하나 존재한다.", "합성함수의 정의에 의하여 \\[ g(y)=g(f(x))=g \\circ f(x)=1_{A}(x)=x \\] 이고, \\[ f(h(y))=f \\circ h(y)=1_{B}(y)=y \\]이다.", "</p><p>또한, \\( f \\) 가 단사사상이므로 \\( f(h(y))=f(x) \\) 에서 \\( h(y)=x \\) 이다.", "따라서 \\( g=h \\) 임을 알 수 있다.", "이제 유일성을 증명해보자. \\", "( g^{\\prime} \\circ f=1_{A}, f \\circ g^{\\prime}=1_{B} \\) 를 만족하는 사상 \\( g^{\\prime}: B \\rightarrow A \\) 가 존재한다고 가정하면, 모든 \\( y \\in B \\) 에 대하여 \\[ \\begin{aligned} g^{\\prime}(y) &=\\left(1_{A} \\circ g^{\\prime}\\right)(y)=\\left[(g \\circ f) \\circ g^{\\prime}\\right](y) \\\\ &=\\left[g \\circ\\left(f \\circ g^{\\prime}\\right)\\right](y)=\\left(g \\circ 1_{B}\\right)(y)=g(y) \\end{aligned} \\] 이다.", "따라서 \\( g=g^{\\prime} \\) 이다.", "다음으로 충분조건은 정리 \\(1.2.4\\)에 의하여 증명된다.", "</p><p>\\( f: A \\rightarrow B \\) 가 전단사사상이라 하면 정리 \\(1.2.5\\)에 의하여 \\( g \\circ f=1_{A} \\), \\( f \\circ g=1_{B} \\) 를 만족하는 사상 \\( g: B \\rightarrow A \\) 가 유일하게 존재한다.", "이 유일한 사상 \\( g \\) 를 \\( f \\) 의 역사상(inverse mapping) 또는 \\( f \\) 의 역함수(inverse function)이라 하고 \\( f^{-1} \\) 로 표시한다.", "따라서 \\( f^{-1} \\circ f=1_{A}, f \\circ f^{-1}=1_{B} \\) 이고, 정리 \\( 1.2 .5 \\) 의 증명 과정에서 \\[ f(x)=y \\Leftrightarrow f^{-1}(y)=x,\\left(f^{-1}\\right)^{-1}=f \\] 임을 알 수 있다.", "</p><p>예제 \\(2\\) \\( f(x)=5 x-2 \\) 의 역함수를 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( y=f(x)=5 x-2 \\) 를 \\( x \\) 에 관하여 풀면, \\( x=\\frac{y+2}{5} \\) 이다.", "이 등식에서 변수 \\( x \\) 와 \\( y \\) 를 교환하면 \\( y=\\frac{x+2}{5} \\) 이다.", "따라서 \\( f(x) \\) 의 역함수는 \\( f^{-1}(x)=\\frac{y+2}{5} \\) 이다.", "이는 원래 함수 \\( f(x)=5 x-2 \\) 이 \\( y=x \\) 에 관하여 대칭임을 알 수 있다.", "</p> <h1>1.2 함수의 개념</h1><p>이 절에서는 제 \\(1\\) 절에서 공부한 명제와 집합을 바탕으로 두 집합 사이의 관계, 특히 함수의 개념을 정의하고, 함수의 종류 및 성질을 공부함을 학습목표로 한다.", "우리는 일상생활에서 매일 함수와 함께 생활하고 있음을 깨달아야 한다.", "예를 들면, 아침에 일어나면 시계를 본다.", "시간을 보면서 어떤 일이나 행동을 시작한다.", "이는 시계 속의 숫자와 일이나 행동의 대응관계, 현대대수학 수강학생 들의 성적배열순, 신체의 크기 순, 몸무게 순서 등은 함수, 또는 사상관계이다.", "시장에서 물건을 사고파는 과정, 남여학생들의 미팅하는 과정 등도 함수관계이다.", "따라서 우리는 함수들 공간에서 살아가고 있음을 알 수 있다.", "</p><p>\\(1\\)차적 정의 공집합이 아닌 두 집합 \\( A \\) 와 \\( B \\) 에 대하여, \\( A \\) 의 각 원소 \\( x \\) 에 대하여 \\( f \\) 가 매개체로서, \\( B \\) 의 원소 \\( y \\) 가 오직 한 개만 대응되는 관계 \\( f \\) 를 \\( A \\) 로부터 \\( B \\) 에로의 함수(function) 또는 사상(map)이라고 하고, \\( y=f(x), \\forall x \\in A \\), 또는 \\( f: A \\rightarrow B \\) 로 표시한다.", "</p><p>여기서, \\( y=f(x) \\) 는 함수의 원소표시법이고, \\( f: A \\rightarrow B \\) 는 함수의 집합표시법이다.", "</p><p>\\(2\\)차적 정의 \\( A \\) 와 \\( B \\) 를 두 집합이라 하고 \\( f \\) 를 \\( A \\times B \\) 의 부분집합이라 하자. \\", "( f \\) 가 다음 두 조건 \\((1)\\), \\((2)\\)를 만족할 때, \\( f \\) 를 \\( A \\) 로부터 \\( B \\) 로의 사상(mapping) 또는 함수 (function)라 하고 \\( x \\in A f: A \\rightarrow B, x \\mapsto f(x) \\) 로 나타내고, 이를 간단히 \\( f: A \\rightarrow B \\) 또는 \\( y=f(x)(x \\in A) \\) 로 표시하기도 한다.", "</p><ol type= start=1><li>각 원소 에 대하여 \\( y=f(x) \\) 를 만족하는 원소 \\( y \\in B \\) 가 적어도 하나 존재한다.", "</li><li>\\( y_{1}=f(x), y_{2}=f(x) \\) 이면 \\( y_{1}=y_{2} \\) 이다.", "</li></ol><p>다시 말하면, 두 집합 \\( A \\) 와 \\( B \\) 가 주어진 경우, \\( A \\) 의 각 원소에 대하여 \\( B \\) 의 원소가 꼭 하나씩 대응되는 관계를 \\( A \\) 에서 \\( B \\) 로의 함수라고 한다.", "</p><p>함수 \\( f: A \\rightarrow B \\) 에서 \\( A \\) 를 \\( f \\) 의 정의역(domain), \\( B \\) 를 \\( f \\) 의 공역(co-domain)이 라 한다.", "위에서 \\( y=f(x) \\) 는 \\( (x, y) \\in f \\) 를 의미하고, 이때 \\( y \\) 를 \\( f \\) 에 의한 \\( x \\) 의 상 (image) 또는 함숫값(value of function)이라 한다.", "(1)은 \\( A \\) 의 각 원소 \\( x \\) 가 반드시 상을 갖는다는 의미이고, \\((2)\\)는 상은 오직 하나만을 갖는다는 뜻이다.", "</p><p>\\( f \\) 를 \\( A \\) 로부터 \\( B \\) 로의 사상이라 하고 \\( C \\subseteq A, D \\subseteq B \\) 라 하자.", "이때 집합 \\[ f(C)=\\{f(x) \\in B \\mid x \\in C\\} \\] 를 \\( f \\) 에 의한 \\( C \\) 의 상(image)이라 한다.", "그리고 \\[ f^{-1}(D)=\\{x \\in A \\mid f(x) \\in D\\} \\] 를 \\( f \\) 에 의한 \\( D \\) 의 원상(pre-image) 또는 역상(inverse image)이라 한다.", "특히 \\( f(A)=\\{f(x) \\in B \\mid x \\in A\\} \\) 를 \\( f \\) 의 상(image) 또는 \\( f \\) 의 치역(range)이라 하고, \\( \\operatorname{Im} f \\) 로 표시한다.", "</p><p>한편 \\( f^{-1}(b)=\\{a \\in A \\mid f(a)=b\\} \\) 를 \\( b \\) 의 원상이라 한다.", "</p> <p>예제 \\(1\\) 실수 위에서 정의된 함수 \\( f(x)=\\sqrt{5^{2}-x^{2}} \\) 의 정의역과 치역을 구하여라.", "</p><p>풀이 위 함수가 의미를 가지려면 \\( 5^{2}-x^{2} \\geq 0 \\) 이므로 \\( -\\left(5^{2}-x^{2}\\right) \\leq 0 \\) 이다.", "따라서 정의역은 \\( -5 \\leq x \\leq 5 \\) 이고 치역은 \\( 0 \\leq f(x) \\leq 5 \\) 임을 알 수 있다.", "</p><p>정의 두 사상 \\( f, g: A \\rightarrow B \\) 에서 모든 \\( x \\in A \\) 에 대하여 \\( f(x)=g(x) \\) 일 때, \\( f \\) 와 \\( g \\) 는 같다(equal)라고 하고, \\( f=g \\) 로 표시한다.", "</p><p>사상 \\( f: A \\rightarrow B, g: B \\rightarrow C \\) 에서 모든 \\( x \\in A \\) 에 대하여 \\( h(x)=g(f(x)) \\) 로 주어진 사상 \\( h: A \\rightarrow C \\) 를 \\( f \\) 와 \\( g \\) 의 합성(composition)이라 하고, \\( h=g \\circ f \\) 로 표시한다.", "</p><p>집합 \\( A \\) 에서 모든 원소 \\( x \\in A \\) 에 대하여 \\( f(x)=x \\) 인 사상 \\( f: A \\rightarrow A \\) 를 \\( A \\) 위에서 항등사상(identity mapping)이라 하고, 이를 \\( 1_{A} \\) 로 표시한다.", "</p><p>정리 \\(1.2.1\\) 주어진 함수 \\( f: A \\rightarrow B, g: B \\rightarrow C, h: C \\rightarrow D \\) 에 대하여, 다음 등식이 성립한다.", "</p><ol type= start=1><li>\\( h \\circ(g \\circ f)=(h \\circ g) \\circ f \\)</li><li>\\( 1_{B} \\circ f=f, f \\circ 1_{A}=f \\)</li></ol><p>증명</p><ol type= start=1><li>모든 \\( x \\in A \\) 에 대하여 \\( (h \\circ(g \\circ f))(x)=h\\{(g \\circ f)(x)\\}=h\\{g(f(x))\\}=h(g(f(x))) \\) \\( ((h \\circ g) \\circ f)(x)=(h \\circ g)(f(x))=h\\{g(f(x))\\}=h(g(f(x))) \\)이다.", "따라서 \\( h \\circ(g \\circ f)=(h \\circ g) \\circ f \\) 임을 알 수 있다.", "</li><li>모든 \\( x \\in A \\) 에 대하여, 적당한 \\( y \\in B \\) 가 존재하여 \\( f(x)=y \\) 라고 하면 \\( \\left(1_{B} \\circ f\\right)(x)=1_{B}(f(x))=1_{B}(y)=y=f(x) \\) 이다.", "따라서 \\( 1_{B} \\circ f=f \\) 이다.", "같은 방법으로 \\( f \\circ 1_{A}=f \\) 도 증명된다.", "</li></ol><p>정의 사상 \\( f: A \\rightarrow B \\) 가 주어겼다고 가정하자. \\", "( x_{1}, x_{2} \\in A \\) 에 대하여 \\( f\\left(x_{1}\\right)=f\\left(x_{2}\\right) \\) 일 때 \\( x_{1}=x_{2} \\) 가 성립하면 \\( f \\) 는 단사(injective, 또는 one-to-one)사상이라 한다.", "</p><p>또, \\( B \\) 의 각 원소 \\( y \\) 에 대하여 \\( f(x)=y \\) 를 만족하는 \\( A \\) 의 원소 \\( x \\) 가 적어도 하나 존재하면 \\( f \\) 는 전사(surjective 또는 onto)사상이라고 한다.", "</p><p>끝으로, \\( f \\) 가 단사사상인 동시에 전사사상일 때, \\( f \\) 를 전단사(bijective 또는 one-to-one correspondence)사상이라 한다.", "</p><p>주어진 집합 \\( A \\) 에 대하여 항등함수(identity function) \\( 1_{A} \\) 는 항상 전단사 사상임을 쉽게 알 수 있다.", "</p><p>아래 나오는 정리들은 유용하므로 내용은 꼭 익히기 바란다.", "이 책의 내용을 처음 대하는 경우에는 증명을 생략하여도 무방하다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "412", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "알기 쉬운 현대대수학_기초사항", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-4c25-42da-8a26-b7421d156812", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961059442", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2015", "doc_author": [ "조용욱" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>이산확률분포와 통계</h1> <p>동전 던지기에서 앞면 또는 뒷면이 나올 확률은 \\( \\frac{1}{2} \\) 이고 주사위 던지기에서는 \\(1\\) 에서 \\(6\\) 까지 각 수가 나올 확률이 \\( \\frac{1}{6} \\) 이다.", "이처럼 앞면이나 딋면, 그리고 \\(1\\) 에서 \\(6\\)까지의 수가 나오는 것을 확률변수(random variable)라 한다.", "이처럼 셀 수 있게 나오는 확률변수를 이산확률변수(discrete random variable)라 한다.", "</p> <p>주사위를 예를 들면, 한 번 던졌을 때 나올 수 있는 확률변수 \\( X \\equiv\\{1,2,3,4,5,6\\} \\) 이고, 두 번 던졌을 때 그 합이 나올 수 있는 확률변수 \\( T \\notin\\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\\} \\) 이다.", "한 번 던진 경우 어떤 확률변수도 나올 확률 \\( p(X) \\) 은 모두 \\( \\frac{1}{6} \\) 로 같다.", "그러나 두 번 던진 경우는 그렇지 않다.", "즉 \\(2\\) 가 나을 확률은 전체 \\(36\\) 가지 중 둘 다 \\(1\\)이 나오는 단 한 가지 경우뿐이므로 \\( \\frac{1}{36} \\) 이나. \\", "(3\\) 이 나올 확률은 \\(1\\) 과 \\(2\\), 그리고 \\(2\\) 와 \\(1\\)이 있으므로 \\( \\frac{1}{18} \\) 이 된다.", "이처럼 확률변수에 따라 확률이 달라질 수 있는데 이러한 이산확률변수의 확률값을 이산확률분포(discrete probability distribution)라 한다.", "</p> <p>주사위를 한 번 던졌을 때와 두 번 던졌을 때의 이산확률분포는 다음과 같다. \\", "( x \\) 는 한 번 뎐졌을 때 나타난 수이며, \\( t \\) 는 두 번 던졌을 때 나타난 수의 합이다.", "</p> <table border><caption></caption> <tbody><tr><td>\\( x \\)</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td></tr><tr><td>\\( p(X=x) \\)</td><td>\\( \\frac{1}{6} \\)</td><td>\\( \\frac{1}{6} \\)</td><td>\\( \\frac{1}{6} \\)</td><td>\\( \\frac{1}{6} \\)</td><td>\\( \\frac{1}{6} \\)</td><td>\\( \\frac{1}{6} \\)</td></tr></tbody></table> <p>이산확률분포는 두 번 던졌을 때 나타난 수의 합처럼 발생하는 모든 경우의 확률을 더하는 것으로 나타낸다.", "즉 이산확률변수 \\( X \\) 에 \\( p(X=x) \\) 가 이산확률분포이면</p> <p>\\( p(a \\leq X \\leq b)=\\sum_{z=a}^{b} p(X=x) \\)</p> <p>이다.", "동전 던지기를 하는데 앞면이 나오면 만 원을 받고 됫면이 나오면 한 푼도 못 받는다고 하자.", "그러면 우리가 매번 동전을 던질 때마다 기대할 수 있는 금액은 5천원이다.", "왜나하면 앞면이 나올 확률이 \\( 50 \\% \\) 이기 때문이다.", "따라서 판돈으로 만 원을 내고 하면 손해 볼 것이 예상된다.", "이처럼 어떤 사건이 발생했을 때 기대되는 값을 기댓값이라고 한다.", "</p> <p>정의 \\( 5.6 \\)</p> <p>이산확률변수 \\( X \\) 에 대한 기댓값은 \\( E(X)=\\sum x p(x) \\) 이다.", "</p> <p>예를 들어 주사위를 한 번 던졌을 때 나오는 수의 확률분포는 다읍과 같았다.", "</p> <table border><caption></caption> <tbody><tr><td>\\( x \\)</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td></tr><tr><td>\\( p(x) \\)</td><td>\\( \\frac{1}{6} \\)</td><td>\\( \\frac{1}{6} \\)</td><td>\\( \\frac{1}{6} \\)</td><td>\\( \\frac{1}{6} \\)</td><td>\\( \\frac{1}{6} \\)</td><td>\\( \\frac{1}{6} \\)</td></tr></tbody></table> <p>따라서 기댓값 \\( E(X)=\\sum x p(x)=\\frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6)=3.5 \\) 가 된다.", "또 다른 예로 동전을 두 번 던지는데 둘 다 앞면이면 만 원을, 둘 다 둿면이면 2 만원을, 하나는 앞면 다른 하나는 뒷면이면 4 만원을 준다고 하자.", "그러면 기대할 수 있는 값은 둘 다 앞면이거나 뒷면이 나올 확률은 각각 \\( \\frac{1}{4} \\) 이고, 하나는 앞면 다른 하나는 뒷면이 나올 확률은 \\( \\frac{1}{2} \\) 이므로 \\( 10000 \\times \\frac{1}{4}+20000 \\times \\frac{1}{4}+40000 \\times \\frac{1}{2}=35000 \\) 원이 된다.", "모든 변수에 대한 확률이 같다면 그 기댓값을 평균이라고 한다.", "</p> <p>정의 \\( 5.7 \\)</p> <p>확률변수 \\( x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n} \\) 에 대한 평균(mean)은 \\( \\bar{x}=\\frac{1}{n} \\sum_{k=1}^{n} x_{k} \\) 라고 정의한다.", "</p> <p>정의 \\( 5.8 \\)</p> <p>확률변수 \\( x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n} \\) 의 평균값이 \\( \\bar{x} \\) 이면 분산 \\( \\sigma^{2} \\) 와 표준편차 \\( \\sigma \\) 는 다음과 같이 정의한다.", "</p> <p>\\( \\sigma^{2}=\\frac{1}{n} \\sum_{k=1}^{n}\\left(x_{k}-\\bar{x}\\right)^{2}, \\sigma=\\sqrt{\\frac{1}{n} \\sum_{k=1}^{n}\\left(x_{k}-\\bar{x}\\right)^{2}} \\)</p> <p>주사위를 한 번 던졌을 때 평균은 기댓값으로 \\( \\bar{x}=3.5 \\) 이고</p> <p>\\( \\sigma^{2}=\\frac{1}{6} \\sum_{k=1}^{6}(k-3 \\cdot 5)^{2}=2.9167, \\sigma=\\sqrt{2.9167}=1.7078 \\)</p> <p>이다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "410", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "옥타브로 배우는 인공지능을 위한 기초수학_확률과 통계", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-5142-40d7-865b-01cb940458f3", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160734089", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2020", "doc_author": [ "이규봉" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>6.1 고유값과 고유벡터</h1><p>정사각행렬에 관련된 대표적인 값은 행렬식 determinant 임을 알고 있다.", "여기서는 행렬의 고유값 eigenvalue 이라 하는 다른 종류의 값을 배운다.", "벡터 \\( X \\in R^{n} \\) 에 대하여 정사각행렬 \\( A \\in M_{n} \\) 의 곱 \\( A X \\in R^{n} \\) 은 \\( R^{n} \\) 벡터가 되는데, 특별히 스칼라배의 관계를 갖는 벡터 \\( X \\neq O \\), 즉 \\[ A X=\\lambda X \\text {, 즉 }\\left(A-\\lambda I_{n}\\right) X=0 \\] 가 되는.", "벡터 \\( X \\neq O \\) 의 존재하기 위한 정사각행렬 \\( A-\\lambda I_{n} \\) 에 관련한 조건을 생각하여보자.", "여기서 우리는 정사각행렬 \\( A \\) 에 대하여 고유값 \\( \\lambda \\) 와 고유벡터 \\( X \\) 를 정의하게 된다.", "이러한 벡터는 선형변환의 특징을 이용하는 경우에 중요하다.", "</p><p>정의 고유값, 고유벡터 \\( n \\) 차 정사각행렬 \\( A \\) 에 대하여 벡터 \\( X \\neq O \\) 가 적당한 \\( \\lambda \\) 에 대하여 \\( A X=\\lambda X \\) 를 만족할 때, \\( \\lambda \\) 를 행렬 \\( A \\) 의 고유값 eigenvalue 이라 하고, \\( X \\) 를 고유값 \\( \\lambda \\) 에 속하는 고유벡터 eigenvector 라 한다.", "</p><p>고유값 \\( \\lambda \\) 에 속하는 고유벡터의 집합에 \\( O \\) 을 포함시키면 벡터공간임을 알 수 있다.", "</p><p>정리 \\[ V=\\left\\{X \\mid\\left(A-\\lambda I_{n}\\right) X=O\\right\\} \\text { 는 벡터공간. } \\]", "</p><p>증명</p><ol type=1 start=1><li>\\( X_{1}, X_{2} \\neq O \\) 를 \\( A X_{1}=\\lambda X_{1}, A X_{2}=\\lambda X_{2} \\) 일 때 \\( A\\left(X_{1}+X_{2}\\right)=A X_{1}+A X_{2}=\\lambda\\left(X_{1}+X_{2}\\right) \\), 즉 \\( X_{1}+X_{2} \\in V \\)</li><li>\\( X \\neq O, A X=\\lambda X \\) 일 때 스칼라 \\( k \\) 에 대하여, \\( A(k X)=k A X=k(\\lambda X)=\\lambda(k X)\\), 즉 \\(k X \\in V \\)</li></ol><p>\\( k X \\) 형태는 모두 \\( \\lambda \\) 에 속하는 고유벡터이므로 고유값 \\( \\lambda \\) 에 속하는 고유벡터는 무수히 많음을 알았다.", "고유값 \\( \\lambda \\) 에 속하는 고유벡터의 집합에 \\( O \\) 을 포함시키면 벡터공간이 되므로, 이것을 고유값 \\( \\lambda \\) 에 대응하는 \\( A \\) 의 고유공간 Eigen-space 이라 한다.", "</p><p>정의 \\( \\left\\{X \\mid\\left(A-\\lambda I_{n}\\right) X=O\\right\\} \\) 을 고유값 \\( \\lambda \\) 에 대응하는 \\( A \\) 의 고유공간이라 한다.", "</p><p>고안기호 앞으로 고유값 \\( \\lambda \\) 에 속하는 행렬 \\( A \\) 의 고유공간을 기호로 \\( E_{\\lambda} \\) 로 쓰기로 하자.", "즉, \\( E_{\\lambda} \\) \\( =\\left\\{X \\mid\\left(A-\\lambda I_{n}\\right) X=O\\right\\} \\)</p><p>이제 행렬 \\( A \\) 의 고유값을 구하는 일반적으로 방법을 알아보자. \\", "( \\lambda \\) 를 \\( A \\) 의 고유값이라고 하면 \\[ \\begin{array}{l} A X=\\lambda X \\\\ \\Leftrightarrow A X=\\lambda I_{n} X \\\\ \\Leftrightarrow\\left(A-\\lambda I_{n}\\right) X=O \\end{array} \\] 이 비자명해 nontrivial solution \\( X \\neq O \\) 을 가지므로 행렬 \\( \\left(A-\\lambda I_{n}\\right) \\) 은 비가역 non-invertible 이다.", "따라서 \\[ |A-\\lambda I|=0 \\] 이것을 행렬 \\( A \\) 의 특성방정식 characteristic equation (또는 고유방정식)이라 한다.", "실제로 \\( P_{n}(\\lambda)=\\left|A-\\lambda I_{n}\\right| \\) 은 \\( \\lambda \\) 에 관한 \\( n \\) 차 다항식 polynomial 이 되어, 특성방정식은 다항방정 식이므로 그 해인 고유값 \\( \\lambda \\) 는 실수, 복소수(켤레)이다. \\", "( P_{n}(\\lambda)=\\left|A-\\lambda I_{n}\\right| \\) 를 행렬 \\( A \\) 의 특성다항식 characteristic polynomial (또는 고유다항식) 이라 한다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "412", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "행렬과 대수_고유값과 행렬대각화", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-7908-4b43-b4d7-c3f384ddfef5", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160730111", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2017", "doc_author": [ "석용징" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>2.2 벡터장의 미분</h1><p>정의 \\(2.8 \\) 열린 부분집합 \\( U \\subset R^{n} \\)상의 임의의 점 \\( p \\)를 접벡터에 대응시키는 함수 \\( Y: U \\rightarrow T R^{n}=U_{p} T_{p} R^{n}, Y(p) \\equiv T_{p} R^{n} \\)를 U상에서의 벡터장(vector field)이라 한다.", "</p><p>정의 \\(2.9 \\) \\( R^{n} \\)상의 벡터장 \\( E_{j} \\)를 다음과 같이 정의하자.", "즉,\\[ E_{j}(p)=\\left(0, \\cdots, 1_{(j-t h)}, \\cdots, 0\\right)_{p} .\\]", "이때, \\( \\left\\{E_{1}, \\cdots, E_{n}\\right\\} \\)을 표준표구장(standard frame field)이라 한다.", "</p><p>참고<ol type=1 start=1><li>임의의 벡터장 \\( Y \\)의 미분가능함수 \\( f: R^{n} \\rightarrow R \\)에 대하여 \\( Y[f] \\)를 \\[Y[f](p):=v_{p}[f], \\quad v_{p}=Y(p)\\]로 정의하면 \\( Y[f]: R^{n} \\rightarrow R \\)는 미분가능한 함수이다.", "</li><li>임의의 미분가능한 합수 \\( f: R^{n} \\rightarrow R \\)에 대하여 \\[E_{j}[f]=\\frac{\\partial f}{\\partial x_{j}} .\\]", "</li><li>\\( R^{n} \\)상의 임의의 벡터장 \\( Y \\)는 다음과 같이 표현할 수 있다.", "즉,\\[Y=\\sum_{j=1}^{n} f_{j} E_{j}\\] 여기서 \\( f_{j}: R^{n} \\rightarrow R \\)는 함수이다.", "만약 \\( f_{j} \\)가 미분가능할 때, 벡터장 \\( Y \\) 가 미분 가능이라 한다.", "</li></ol></p><p>정의 \\( 2.10\\) 미분가능함수 \\( f: R^{n} \\rightarrow R \\)에 대하여 기울기벡터장(gradient vector field) \\( \\nabla f \\) (또는 \\( \\operatorname{grad}(f)) \\)는 \\[\\nabla f=\\sum_{j=1}^{n} \\frac{\\partial f}{\\partial x_{j}} E_{j}\\]으로 정의된다.", "</p><p>정리 \\( 2.11\\) 미분가능함수 \\( f: R^{n} \\rightarrow R \\)에 대하여 기울기벡터장 \\( \\nabla f \\)는 임의의 벡터장 \\( Y \\)에 대해 \\[\\langle\\nabla f, Y\\rangle=Y[f] .\\]", "</p><p>증명 임의의 벡터장 \\( Y=\\left(V_{1}, \\cdots, V_{n}\\right) \\)에 대하여 \\[\\langle\\nabla f, Y\\rangle=\\sum_{j=1}^{n} \\frac{\\partial f}{\\partial x_{j}} V_{j}=Y[f]\\]이 성립한다.", "</p> <h1>2.3 미분사상</h1><p>정의 \\(2.20 \\) 미분가능함수 \\( F: U \\subset R^{n} \\rightarrow R^{m} \\)에 대하여 \\( d F_{p}: T_{p} R^{n} \\rightarrow T_{F(p)} R^{m} \\)을 \\[dF_{p}\\left(v_{p}\\right)=\\left.\\frac{d}{d t} F(p+t v)\\right|_{t}=0\\]으로 정의할 때, \\( d F_{p} \\)를 함수 \\( F \\)의 점 \\( p \\)에서의 미분사상(differential), 또는 접사상(tangent map)이라 한다.", "</p><p>예제 \\( 2.21 \\) 함수 \\( F: R^{3} \\rightarrow R^{2} \\)가 \\( F(x, y, z)=\\left(y z, x^{2}\\right) \\)일 때, 점 \\( p=(1,0,2) \\), 벡버 \\( v=(1,3,-2) \\)에 대하여 \\( d F_{p}\\left(v_{p}\\right) \\)를 구하여라.", "</p><p>풀이 먼저 \\( p+t v=(1+t, 3 t, 2-2 t) \\)이므로 \\( F(p+t v)=\\left(3 t(2-2 t),(1+t)^{2}\\right) \\)이다.", "따라서 미분하면 \\( d F_{p}\\left(v_{p}\\right)=\\left.\\", "frac{d}{d t} F(p+t v)\\right|_{t=0}=(6,2)_{F(p)} \\)이다.", "</p><p>정리 \\( 2.22 \\) 미분가능함수 \\( F: U \\subset R^{n} \\rightarrow R^{m} \\)의 미분사상 \\( d F_{p} \\)는 \\[d F_{p}\\left(v_{p}\\right)=\\left(v_{p}\\left[f_{1}\\right], \\cdots, v_{p}\\left[f_{m}\\right]\\right)_{F(p)}\\]이다.", "여기서 \\( F=\\left(f_{1}, \\cdots, f_{m}\\right), f_{j}: U \\rightarrow R \\)은 미분가능함수이다.", "</p><p>증명 정의 \\( 2.1 \\)과 정의 \\( 2.20 \\)에 의해 \\[F(p+t v)^{\\prime}(0)=\\left(f_{1}(p+t v)^{\\prime}, \\cdots, f_{m}(p+t v)^{\\prime}\\right)(0)=\\left(v_{p}\\left[f_{1}\\right], \\cdots, v_{p}\\left[f_{m}\\right]\\right)\\]이 성립한다.", "</p><p>정리 \\( 2.23 \\) 미분가능함수 \\( F: U \\subset R^{n} \\rightarrow R^{m} \\)의 미분사상 \\( d F_{p} \\)는 선형사상이다.", "</p><p>증명 미분가능함수 \\( F \\)를 \\( F=\\left(f_{1}, \\cdots, f_{m}\\right) \\)이라 하자.", "임의의 접벡터 \\( v_{p}, w_{p} \\) 와 실수 \\( a, b \\)에 대하여, 따름정리 \\( 2.5 \\)를 이용하면 \\[\\begin{aligned}d F_{p}\\left(a v_{p}+b w_{p}\\right) &=\\left(\\left(a v_{p}+b w_{p}\\right)\\left[f_{1}\\right], \\cdots,\\left(a v_{p}+bw_{p}\\right)\\left[f_{m}\\right]\\right) \\\\&=\\left(a v_{p}\\left[f_{1}\\right]+b w_{p}\\left[f_{1}\\right], \\cdots, a v_{p}\\left[f_{m}\\right]+b w_{p}\\left[f_{m}\\right]\\right) \\\\&=a\\left(v_{p}\\left[f_{1}\\right], \\cdots,v_{p}\\left[f_{m}\\right]\\right)+b\\left(w_{p}\\left[f_{1}\\right], \\cdots, w_{p}\\left[f_{m}\\right]\\right) \\\\&=a d F_{p}\\left(v_{p}\\right)+b d F_{p}\\left(w_{p}\\right) \\end{aligned}\\]이다.", "</p><p>따름정리 \\( 2.24 \\) 미분가능함수 \\( \\alpha:(a, b) \\rightarrow R^{n} \\)가 주어질 때, 임의의 \\( t_{0} \\in(a, b) \\)에 대하여 \\[d\\alpha_{t_{0}}\\left(1_{t_{0}}\\right)=\\alpha^{\\prime}\\left(t_{0}\\right)\\] 이다.", "여기서 \\( 1_{t_{0}}=\\left(\\frac{d}{d t}\\right)_{t_{0}} \\)는 점 \\( t_{0} \\)에서의 접벡터이다.", "</p><p>증명 함수 \\( \\alpha(t)=\\left(\\alpha_{1}(t), \\cdots, \\alpha_{n}(t)\\right) \\)에 정리 \\( 2.22 \\)를 적용하면 \\[d \\alpha_{t_{0}}\\left(1_{t_{0}}\\right)=\\left(1_{t_{0}}\\left[\\alpha_{1}\\right], \\cdots, 1_{t_{0}}\\left[\\alpha_{n}\\right]\\right)=\\left(\\alpha_{1}^{\\prime}\\left(t_{0}\\right), \\cdots, \\alpha_{n}^{\\prime}\\left(t_{0}\\right)\\right)=\\alpha^{\\prime}\\left(t_{0}\\right) \\]이다.", "</p><p>문제 \\(2.25 \\) 미분가능함수 \\( F: U \\subset R^{n} \\rightarrow R^{m} \\)에 대해서 미분사상 \\( d F_{p}\\left(v_{p}\\right) \\)는 \\[d F_{p}\\left(v_{p}\\right)=(F \\circ \\alpha)^{\\prime}(0)\\]임을 증명하여라.", "여기서 \\( \\alpha:(a, b) \\rightarrow U \\)는 \\( \\alpha^{\\prime}(0)=v_{p}, \\alpha(0)=p \\)를 만족하는 미분가능한 함수이다.", "</p><p>정의 \\( 2.26 \\) 미분가능함수 \\( F: U \\subset R^{l} \\rightarrow \\tilde{U} \\subset R^{m} \\)와 \\( G: \\tilde{U} \\rightarrow R^{n} \\)에 대해서\\[d(G \\circ F)_{p}=d G_{F(p)} \\circ d F_{p}\\]이 성립한다.", "</p><p>증명 임의의 벡터 \\( v_{p} \\in T_{p} R^{l} \\)에 대하여 함수 \\( \\alpha:(a, b) \\rightarrow R^{l} \\) 를 \\( \\alpha(0)=p, \\alpha^{\\prime}(0)=v_{p} \\)라 하고 함수 \\( \\beta:(a, b) \\rightarrow R^{m} \\) 를 \\( \\beta(t)=(F \\circ \\alpha)(t) \\)라 하자.", "그러면 \\( q=\\beta(0)= \\) \\( F(p) \\)이고 \\( \\beta^{\\prime}(0)=(F \\circ \\alpha)^{\\prime}(0)=d F_{p}\\left(v_{p}\\right) \\)이다.", "따라서 \\[\\begin{aligned}d(G \\circ F)_{p}\\left(v_{p}\\right) &=\\left.\\frac{d}{d t}(G \\circ F \\circ \\alpha)(t)\\right|_{t=0}=\\left.\\frac{d}{d t}(G \\circ \\beta)(t)\\right|_{t}=0 \\\\ &=d G_{q}\\left(\\beta^{\\prime}(0)\\right)=d G_{q}\\left(d F_{p}\\left(v_{p}\\right)\\right) \\\\ &=\\left(d G_{F(p)} \\circ d F_{p}\\right)\\left(v_{p}\\right)\\end{aligned}\\]이다.", "</p><p>정의 \\( 2.27 \\) 미분가능한 함수 \\( F: U\\left(\\subset R^{n}\\right) \\rightarrow R^{m} \\) 에 대하여 점 \\( p \\)에서의 행렬 \\[\\Im F(p)=\\left(\\begin{array}{cc} \\frac{\\partial f_{1}}{\\partial x_{1}}(p) & \\cdots & \\frac{\\partial f_{1}}{\\partial x_{n}}(p) \\\\ {} & \\cdots & {} \\\\ \\frac{\\partial f_{m}}{\\partial x_{1}}(p) & \\cdots & \\frac{\\partial f_{m}}{\\partial x_{n}}(p)\\end{array}\\right)\\]를 Jacobi행렬(Jacobian matrix)이라 한다.", "여기서 \\( F=\\left(f_{1}, \\cdots, f_{m}\\right) \\)이다.", "</p><p>참고 미분가능함수 \\( F: R^{n} \\rightarrow R^{m} \\)의 미분사상 \\( d F_{p}: T_{p} R^{n} \\rightarrow T_{F(p)} R^{m} \\)은 선형사상이므로 \\( d F_{p} \\)를 행렬로 표현할 수 있다.", "특히 표준기저 \\( E_{j} \\)를 사용하면 \\[d F_{p}\\left(E_{j}(p)\\right)=\\left(\\frac{\\partial f_{1}}{\\partial x_{j}}, \\cdots, \\frac{\\partial f_{m}}{\\partial x_{j}}\\right)(p)\\]이므로, \\( d F_{p}\\left(v_{p}\\right)=\\sum_{j=1}^{n} v_{j} d F_{p}\\left(E_{j}\\right)=\\left(\\sum_{j} v_{j} \\frac{\\partial f_{1}}{\\partial x_{j}}, \\cdots, \\sum_{j} v_{j} \\frac{\\partial f_{m}}{\\partial x_{j}}\\right)^{t}=\\Im F(p) v_{p}^{t} \\)이다.", "여기서 \\( v^{t}=\\left(v_{1} \\cdots v_{n}\\right)^{t} \\)이다.", "</p><p>정리 \\( 2.28 \\) 함수 \\( F: U\\left(\\subset R^{n}\\right) \\rightarrow R^{m} \\)가 미분가능이라 하자.", "이때 임의의 \\( p \\in U \\)에 대하여 다음 (i)과 (ii)는 동치이다.", "즉,<ol type=i start=1><li>미분사상 \\( d F_{p}: T_{p} R^{n} \\rightarrow T_{F(p)} R^{m} \\)는 단사함수(injective map)이다.", "</li><li>Jacobi 행렬 \\( \\Im F(p) \\)의 계수\\( (\\operatorname{rank}) \\)는 \\( \\operatorname{rank}(\\Im F)=\\min \\{n, m\\} \\)이다.", "</li></ol></p><p>증명 \\( d F_{p} \\)는 단사함수이다 \\( \\Leftrightarrow d F_{p}\\left(v_{p}\\right)=0 \\)이면 \\( v_{p}=0 \\)이다 \\(\\Im F(p) v_{p}=0 \\)을 만족하는 해가 \\( v_{p}=0 \\)뿐이다 \\( \\Leftrightarrow \\operatorname{rank}({\\Im} F)=\\min \\{m, n\\} \\)이다.", "</p><p>다음 역함수정리(inverse function theorem)와 음함수정리(implicit function theorem)를 증명없이 서술한다.", "</p><p>역함수 정리 함수 \\( F: U\\left(\\subset R^{n}\\right) \\rightarrow R^{n} \\) 가 미분가능이라 하자.", "이때 점 \\( p \\in U \\) 에서 \\( \\operatorname{det}( \\Im F(p)) \\neq 0 \\) 이면 점 \\( p \\)의 어떤 근방 \\( \\tilde{U} \\) 에서 \\( F \\)의 역함수가 존재하고 미분가능하다.", "즉, \\( \\left.F\\right|_{\\tilde{U}}: \\tilde{U} \\rightarrow F(\\tilde{U}) \\)는 미분동형사상(diffeomorphism)이다.", "</p><p>예제 \\( 2.29 \\) 함수 \\( F(x)=x^{2} \\)에서 \\( \\Im F(x)=2 x \\)이므로 \\( x=0 \\)을 제외한 모든 점 근방에서는 역함수가 존재하고 미분가능이다.", "한편 함수 \\( F(x)=x^{3} \\)은 역함수가 \\( F^{-1}(x)=x^{\\frac{1}{3}} \\)으로 존재한다.", "그러나 \\( x=0 \\) 에서 \\( F^{-1} \\)는 미분불가능이다.", "실제로 \\( \\Im F(0)=0 \\)이다.", "그러나 \\( x=0 \\) 이외의 모든 점 근방에서는 역함수가 모두 미분가능이다.", "</p><p>음함수 정리 미분가능함수 \\( f: U\\left(\\subset R^{n}\\right) \\rightarrow R \\)에 대하여 만약 어떤 점 \\( p=\\left(p_{1}, \\cdots, p_{n}\\right) \\in U \\)에서 \\( f(p)=0, \\frac{\\partial f}{\\partial x_{j}}(p) \\neq 0(j=1, \\cdots, n) \\)일 때 점 \\( \\left(p_{1}, \\cdots, \\hat{p}_{j}, \\cdots, p_{n}\\right) \\in R^{n-1} \\)의 어떤 근방 \\( \\tilde{U} \\subset R^{n-1} \\)에서 미분가능한 함수 \\( g: \\tilde{U} \\rightarrow R \\)가 존재하여 \\( f\\left(x_{1}, \\cdots, x_{j-1}, g\\left(x_{1}, \\cdots, \\widehat{x}_{j}, \\cdots, x_{n}\\right), x_{j+1}, \\cdots\\right. \\)", ", \\( \\left.x_{n}\\right)=0 \\)을 만족한다.", "<p>예제 \\( 2.30 \\) 집합 \\( S^{1}=\\left\\{(x, y) \\in R^{2} \\mid x^{2}+y^{2}=1\\right\\} \\)에서 \\( y \\)를 \\( x \\)의 함수로 표현할 수 있는가?", "</p><p>풀이 함수 \\( f(x, y)=x^{2}+y^{2}-1 \\)은 \\( S^{1} \\)상의 모든 점에서 0이다.", "즉, 임의의 \\( \\left(p_{1}, p_{2}\\right) \\in S^{1} \\)에 대하여 \\( f\\left(p_{1}, p_{2}\\right)=0 \\)이다.", "더구나 \\( f_{y}(x, y)=2 y \\)이므로 점 \\( (\\pm 1,0) \\in S^{1} \\)을 제외한 모든 \\( S^{1} \\) 상의 점, 다시 말하면 \\( -1<x<1 \\)인 모든 점 근방에서는 미분가능한 함수 \\( g(x) \\)가 존재하여 \\( f(x, g(x))=0 \\)을 만족한다.", "실제로 \\( -1<x<1 \\) 상에서 \\( y=\\pm \\sqrt{1-x^{2}} \\)로 표현할 수 있다.", "</p> <p>다음 역함수정리(inverse function theorem)와 음함수정리(implicit function theorem)를 증명없이 서술한다.", "</p><p>역함수 정리 함수 \\( F: U\\left(\\subset R^{n}\\right) \\rightarrow R^{n} \\) 가 미분가능이라 하자.", "이때 점 \\( p \\in U \\) 에서 \\( \\operatorname{det}( \\Im F(p)) \\neq 0 \\) 이면 점 \\( p \\)의 어떤 근방 \\( \\tilde{U} \\) 에서 \\( F \\)의 역함수가 존재하고 미분가능하다.", "즉, \\( \\left.F\\right|_{\\tilde{U}}: \\tilde{U} \\rightarrow F(\\tilde{U}) \\)는 미분동형사상(diffeomorphism)이다.", "</p><p>예제 \\( 2.29 \\) 함수 \\( F(x)=x^{2} \\)에서 \\( \\Im F(x)=2 x \\)이므로 \\( x=0 \\)을 제외한 모든 점 근방에서는 역함수가 존재하고 미분가능이다.", "한편 함수 \\( F(x)=x^{3} \\)은 역함수가 \\( F^{-1}(x)=x^{\\frac{1}{3}} \\)으로 존재한다.", "그러나 \\( x=0 \\) 에서 \\( F^{-1} \\)는 미분불가능이다.", "실제로 \\( \\Im F(0)=0 \\)이다.", "그러나 \\( x=0 \\) 이외의 모든 점 근방에서는 역함수가 모두 미분가능이다.", "</p><p>음함수 정리 미분가능함수 \\( f: U\\left(\\subset R^{n}\\right) \\rightarrow R \\)에 대하여 만약 어떤 점 \\( p=\\left(p_{1}, \\cdots, p_{n}\\right) \\in U \\)에서 \\( f(p)=0, \\frac{\\partial f}{\\partial x_{j}}(p) \\neq 0(j=1, \\cdots, n) \\)일 때 점 \\( \\left(p_{1}, \\cdots, \\hat{p}_{j}, \\cdots, p_{n}\\right) \\in R^{n-1} \\)의 어떤 근방 \\( \\tilde{U} \\subset R^{n-1} \\)에서 미분가능한 함수 \\( g: \\tilde{U} \\rightarrow R \\)가 존재하여 \\( f\\left(x_{1}, \\cdots, x_{j-1}, g\\left(x_{1}, \\cdots, \\widehat{x}_{j}, \\cdots, x_{n}\\right), x_{j+1}, \\cdots\\right. \\)", ", \\( \\left.x_{n}\\right)=0 \\)을 만족한다.", "<p>예제 \\( 2.30 \\) 집합 \\( S^{1}=\\left\\{(x, y) \\in R^{2} \\mid x^{2}+y^{2}=1\\right\\} \\)에서 \\( y \\)를 \\( x \\)의 함수로 표현할 수 있는가?", "</p><p>풀이 함수 \\( f(x, y)=x^{2}+y^{2}-1 \\)은 \\( S^{1} \\)상의 모든 점에서 0이다.", "즉, 임의의 \\( \\left(p_{1}, p_{2}\\right) \\in S^{1} \\)에 대하여 \\( f\\left(p_{1}, p_{2}\\right)=0 \\)이다.", "더구나 \\( f_{y}(x, y)=2 y \\)이므로 점 \\( (\\pm 1,0) \\in S^{1} \\)을 제외한 모든 \\( S^{1} \\) 상의 점, 다시 말하면 \\( -1<x<1 \\)인 모든 점 근방에서는 미분가능한 함수 \\( g(x) \\)가 존재하여 \\( f(x, g(x))=0 \\)을 만족한다.", "실제로 \\( -1<x<1 \\) 상에서 \\( y=\\pm \\sqrt{1-x^{2}} \\)로 표현할 수 있다.", "</p> <h1>2.1 방향 미분</h1><p>임의의 점 \\( p \\in R^{n} \\)과 벡터 \\( v \\)에 대하여 \\( v_{p} \\) 를 \\( v_{p}=\\overrightarrow{p(p+v)} \\) 로 표현하자.", "이 \\( v_{p} \\)는 시점이 점 \\( p \\), 방향이 \\( v \\)인 벡터이다.", "이 벡터를 \\( p \\)에서의 접벡터(tangent vector)라 한다.", "점 \\( p \\)에서의 모든 접벡터들의 집합 \\( T_{p} R^{n} \\)을 접공간(tangent space)이라 한다.", "즉,\\[T_{p} R^{n}=\\left\\{v_{p} \\mid v \\in R^{n}\\right\\} .\\]", "</p><p>참고<ol type=i start=1><li>접벡터 \\( v_{g} \\)와 \\( w_{q} \\)에 대하여 \\( v_{g}=w_{q} \\)를 다음과 같이 정의한다.", "즉,\\[ v_{p}=w_{q}: \\Leftrightarrow v=w, p=q .\\]", "</li><li>접공간 \\( T_{y} R^{n} \\)은 벡터공간이다.", "즉, 임의의 접벡터 \\( v_{p}, w_{y} \\in T_{y} R^{n} \\) 과 실수 \\( \\lambda \\in R \\)에 대하여 벡터합 \\( + \\)과 스칼라곱 ·을\\[v_{p}+w_{p}=(v+\\omega)_{p}, \\quad \\lambda v_{p}=(\\lambda v)_{p}\\]으로 정의하면 \\( T_{p} R^{n} \\)은 벡터공간이다.", "더구나 \\( T_{p} R^{n} \\)상에 내적과 외적도 다음과 같이 정의할 수 있다.\\", "[\\left\\langle v_{p}, w_{p}\\right\\rangle=\\langle v, w\\rangle, \\quad v_{p} \\times w_{p}=(v \\times w)_{p} .\\]", "</li></ol></p><p>정의 \\(2.1\\) 미분가능함수 \\( f: R^{n} \\rightarrow R \\)와 접벡터 \\( v_{p} \\)에 대하여 \\( v_{p}[f] \\) 를\\[v_{p}[f]=\\left.\\frac{d}{d t} f(p+t v)\\right|_{t=0}\\]", "로 정의하고, 함수 \\( f \\) 의 \\( v_{p} \\) 방향으로의 방향미문(directional derivative)이라 한다.", "</p><p>참고 방향미분 \\( v_{p}[f] \\)는 \\( v_{p}[f]=\\lim _{t \\rightarrow 0} \\frac{f(p+t v)-f(p)}{t} \\), 즉 함수 \\( f \\)가 직선 \\( p+t v \\)를 따라 움직일 때의 점 \\( p \\)에서의 \\( f \\)의 변화량이다.", "</p><p>예제 \\( 2.2 \\) \\( R^{3} \\)상에서 벡터 \\( v=(1,-1,2) \\), 점 \\( p=(0,2,1) \\)가 주어질 때, 함수 \\( f(x, y, z)=x y^{3} z \\)의 방향미분 \\( v_{p}[f] \\)를 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( p+t v=(t, 2-t, 1+2 t) \\)이므로 \\( f(p+t v)=t(1+2 t)(2-t)^{3} \\)이다.", "미분하면 \\[ f^{\\prime}(p+t v)=(1+2 t)(2-t)^{3}+2 t(2-t)^{3}-3 t(1+2 t)(2-t)^{2}\\]이다.", "따라서 \\( v_{p}[f]=8 \\)이다.", "</p><p>정리 \\(2.3 \\) \\( R^{n} \\)상에서 접벡터 \\( v_{p}=\\left(v_{1}, \\cdots, v_{n}\\right)_{p} \\)에 대하여 \\( f \\)의 방향미분 \\( v_{p}[f] \\)는 \\[v_{p}[f]=\\sum_{j=1}^{n} v_{j} \\frac{\\partial f}{\\partial x_{j}}(p) \\]이다.", "</p><p>증명 미분의 연쇄법칙에 의해 \\[\\frac{d}{d t} f(p+t v)=\\sum_{j=1}^{n} \\frac{\\partial f}{\\partial x_{j}} \\frac{d}{d t}\\left(p_{j}+t v_{j}\\right)\\]이므로 성립한다.", "</p><p>예제 \\( 2.4 \\) 예제 \\( 2.2 \\)에서 \\( \\frac{\\partial f}{\\partial x}(p)=8, \\frac{\\partial f}{\\partial y}(p)=\\frac{\\partial f}{\\partial z}(p)=0 \\)이므로 정리 \\( 2.3 \\)으로부터\\[v_{p}[f]=v_{1} \\frac{\\partial f}{\\partial x}(p)+v_{2} \\frac{\\partial f}{\\partial y}(p)+v_{3} \\frac{\\partial f}{\\partial z}(p)=1 \\times 8=8 \\text { 이다. }\\]", "</p><p>따름정리 \\( 2.5 \\)임의의 미분가능함수 \\( f, g: R^{n} \\rightarrow R \\)와 접벡터 \\( v_{p}, w_{p} \\)에 대하여<ol type=1 start=1><li>\\( \\left(a v_{p}+b w_{p}\\right)[f]=a v_{p}[f]+b w_{p}[f](a, b \\in R) \\)</li><li>\\( v_{p}[a f+b g]=a v_{p}[f]+b v_{p}[g] \\quad(a, b \\in R) \\)</li><li>\\( v_{p}[f g]=f(p) v_{p}[g]+g(p) v_{p}[f] \\) (Leibniz rule)</li></ol>가 성립한다.", "</p><p>증명 연습문제.", "</p><p>정리 \\( 2.6\\) 두 미분가능함수 \\( f: R^{n} \\rightarrow R \\)와 \\( \\alpha:(a, b) \\rightarrow R^{n} \\)에 대하여 다음 등식\\[\\alpha^{\\prime}(t)[f]=(f \\circ \\alpha)^{\\prime}(t)\\]이 성립한다.", "</p><p>증명 임의의 \\( t \\) 에 대해서 \\( \\alpha \\)는 \\( \\alpha(t)=\\left(\\alpha_{1}, \\cdots, \\alpha_{n}\\right) \\in R^{n} \\)로 표현할 수 있으므로 \\( \\alpha^{\\prime}(t)= \\) \\( \\left(\\alpha_{1}^{\\prime}(t), \\cdots, \\alpha_{n}^{\\prime}(t)\\right) \\in T_{0}(t) R^{n} \\)이다.", "따라서 정리 \\( 2.3 \\)으로부터 \\[\\alpha^{\\prime}(t)[f]=\\sum_{i=1}^{n} \\alpha_{i}^{\\prime}(t) \\frac{\\partial f}{\\partial x_{i}} \\]이다.", "한편 \\( (f \\circ \\alpha)(t)=f\\left(\\alpha_{1}(t), \\cdots, \\alpha_{n}(t)\\right) \\)이기 때문에, 연쇄법칙에 의해\\[(f \\circ \\alpha)^{\\prime}(t)=\\sum_{i=1}^{n} \\frac{\\partial f}{\\partial x_{i}} \\frac{d \\alpha_{i}}{d t}=\\sum_{i=1}^{n} \\frac{\\partial f}{\\partial x_{i}} \\alpha_{i}^{\\prime}(t)\\] 이다.", "따라서 위의 두 식으로부터 정리가 증명된다.", "</p><p>정리 \\( 2.7\\) 두 미분가능함수 \\( G: R^{n} \\rightarrow R^{k} \\)와 \\( F: R^{k} \\rightarrow R \\)에 대하여 \\( F \\circ G: R^{n} \\rightarrow R \\)의 방향미분 \\( v_{p}[F \\circ G] \\)는 \\[v_{p}[F \\circ G]=\\sum_{j=1}^{k} \\frac{\\partial F}{\\partial x_{j}}(G(p)) v_{p}\\left[g_{j}\\right]\\]이다.", "여기서 \\( G=\\left(g_{1}, \\cdots, g_{k}\\right) \\)이다.", "</p><p>증명 \\( (F \\circ G)(p+t v)=F\\left(g_{1}(p+t v), \\cdots, g_{k}(p+t v)\\right) \\)이므로 연쇄법칙에 의해 \\[\\begin{aligned}\\left.\\", "frac{d}{d t}(F \\circ G)(p+t v)\\right|_{t=0} &=\\left.\\", "sum_{j=1}^{k} \\frac{\\partial F}{\\partial x_{j}}(G(p+t v)) \\frac{d}{d t}\\left(g_{j}(p+t v)\\right)\\right|_{t=0} \\\\ &=\\sum_{j=1}^{k} \\frac{\\partial F}{\\partial x_{j}}(G(p)) v_{p}\\left[g_{j}\\right]\\end{aligned}\\] 이다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "415", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "곡선과 곡면의 미분기하학_\\(R_n\\)상의 기본정리", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-546b-4ce5-abc9-418ed5fb1762", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961057868", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2014", "doc_author": [ "정승달" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>준마르코프연쇄 상태공간이 \\( \\{1, \\cdots, m\\} \\)인 확률과정 \\( Y=\\{Y(t), t \\geq 0\\} \\)를 생각하자. \\", "( Y \\)가 상태 \\( i \\)를 방문할 때 \\( i \\)에서 \\( W_{i} \\)동안 머문 후 \\( p_{i j} \\)의 확률로 상태 \\( j \\)로 전이가 일어난다고 하자.", "이때 전이확률 \\( p_{i j} \\)는 \\( i \\)에 머무는 시간이나 과거에 방문했던 상태에는 의존하지 않고 오직 현재 머물렀던 상태 \\( i \\)에만 의존한다고 하자.", "이와 같은 확률과정 \\( Y \\)를 준마르코프연쇄(semi-Markov chain)라고 한다. \\", "( Y_{n} \\)을 \\( n \\)번째 전이가 발생한 직후 \\( Y \\)가 방문한 상태라고 하면 \\( \\hat{Y}=\\left\\{Y_{n}, n=0,1,2, \\cdots\\right\\} \\)는 전이확률행렬이 \\( P=\\left(p_{i j}\\right) \\)인 이산시간 마르코프연쇄가 된다.", "이때 \\( \\hat{Y} \\)를 \\( Y \\)에 매장된 마르코프연쇄라 한다.", "</p><p>정리 \\( 7.34 \\) 준마르코프연쇄 \\( Y \\)에 매장된 마르코프연쇄 \\( \\hat{Y} \\)가 에르고딕이고 \\( E\\left[W_{i}\\right]<\\infty \\) \\( (i=1,2, \\cdots, m) \\)일 때 다음이 성립한다.", "<p>\\( \\lim _{t \\rightarrow \\infty} P(Y(t)=j)=\\frac{\\pi_{j} E\\left[W_{j}\\right]}{\\sum_{i=1}^{m} \\pi_{i} E\\left[W_{i}\\right]}, \\quad j=1,2, \\cdots, m \\)<caption>(7.39)</caption></p><p>단 \\( \\pi_{j}, j=1,2, \\cdots, m \\)은 \\( \\widehat{Y} \\)의 정상분포이다.", "</p></p><p>증명 \\( Y(0)=i \\)라고 하자. \\", "( S_{n} \\)을 \\( Y \\)가 상태 \\( i \\)로 \\( n \\)번째 되돌아올 때까지 걸리는 시간이라 하면 \\( Y \\)는 재생성시각의 열이 \\( \\left\\{S_{n}\\right\\} \\)인 재생성과정이 됨을 알 수 있다.", "한편 정리 \\( 5.20 \\)으로부터 \\( \\pi_{j} \\)는 \\( \\hat{Y} \\)가 처음 출발한 상태로 되돌아오는 동안 상태 \\( j \\)를 방문한 횟수의 비율임을 알 수 있다.", "따라서 \\( Y(0)=i \\)에서 출발하여 다시 \\( i \\)로 되돌아오는 동안 발생한 전이의 평균 수를 \\( m_{i} \\)라 하고, 그동안 \\( j \\)를 방문한 횟수를 \\( M_{j} \\)라고 하면 \\( E\\left[M_{j}\\right]=m_{i} \\pi_{j} \\)이다.", "따라서 한 사이클 동안 상태 \\( j \\)에 머무는 시간의 평균은 \\( m_{i} \\pi_{j} E\\left[W_{j}\\right] \\)이고 사이클 길이의 평균은 \\[E\\left[S_{1}\\right]=\\sum_{k=1}^{m} E\\left[M_{k}\\right] E\\left[W_{k}\\right]=m_{i} \\sum_{k=1}^{m} \\pi_{k} E\\left[W_{k}\\right]\\]이므로 재생성정리에 의하여 \\((7.39)\\)가 증명된다.", "</p><p>예제 \\(7.20\\)</p><p>방문판매원인 갑돌이는 \\( 1,2,3 \\) 세 지역을 다니며 판매활동을 한다.", "각 지역을 한 번 방문할 때 평균 \\( \\mu_{i}, i=1,2,3 \\) 동안 머문다고 하자.", "한 지역에서 일을 마치면 다음과 같은 전이확률을 따라서 다른 지역으로 이동한다.", "</p><p>\\( P=\\left(\\begin{array}{lll}0 & 0.5 & 0.5 \\\\ 0.6 & 0 & 0.4 \\\\ 0 & 1.0 & 0\\end{array}\\right) \\)</p><p>갑돌이가 판매활동을 위하여 각 지역에 머물러있는 시간의 비율 \\( P_{i}, i=1,2,3 \\)을 구하라.", "</p><p>풀이 \\( P \\)의 정상분포 \\( \\pi \\) 는 \\( \\pi P=\\pi, \\pi \\mathrm{e}=1 \\)로부터 다음과 같음을 알 수 있다.", "</p><p>\\( \\pi_{1}=\\frac{6}{23}, \\quad \\pi_{2}=\\frac{10}{23}, \\quad \\pi_{3}=\\frac{7}{23} \\)</p><p>따라서 각 지역에 머물러있는 시간의 비율은 다음과 같다.", "</p><p>\\( P_{1}=\\frac{6 \\mu_{1}}{6 \\mu_{1}+10 \\mu_{2}+7 \\mu_{3}} \\), \\( P_{2}=\\frac{10 \\mu_{1}}{6 \\mu_{1}+10 \\mu_{2}+7 \\mu_{3}} \\), \\( P_{3}=\\frac{7 \\mu_{1}}{6 \\mu_{1}+10 \\mu_{2}+7 \\mu_{3}} \\)</p> <h2>7.3 갱신함수와 갱신방정식</h2><p>\\( M(t)=E[N(t)] \\)를 갱신함수(renewal function)라고 한다.", "기댓값 성질(정리 \\(1.2\\))로부터 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} M(t) &=\\sum_{n=1}^{\\infty} P(N(t) \\geq n)=\\sum_{n=1}^{\\infty} P\\left(S_{n} \\leq t\\right) \\\\ &=\\sum_{n=1}^{\\infty} F_{n}(t) \\end{aligned} \\)<caption>(7.3)</caption></p><p>\\( F_{n}(t) \\)의 확률밀도함수 \\( f_{n}(t) \\)가 존재하면 다음이 성립함을 알 수 있다.", "</p><p>\\( m(t)=\\frac{d}{d t} M(t)=\\sum_{n=1}^{\\infty} f_{n}(t) \\)</p><p>이때 함수 \\( m(t) \\)를 갱신밀도함수(renewal density function)라고 한다. \\", "( M(t) \\)가 분포함수가 아니므로 \\( m(t) \\)는 확률밀도함수가 아니다.", "그러나 \\( f_{n}(t) \\Delta t \\approx P\\left(S_{n} \\in(t, t+\\Delta t)\\right) \\)이므로 \\( m(t) \\Delta t \\)는 \\( (t, t+\\Delta t) \\)동안 갱신이 일어날 확률을 의미한다.", "</p><p>식 \\((7.1)\\)과 \\((7.3)\\)으로부터 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( M^{*}(s)=\\frac{F^{*}(s)}{1-F^{*}(s)} \\)<caption>(7.4)</caption></p><p>또한 \\( F_{n}(t)=F_{n-1} * F(t) \\)이므로 \\[\\begin{aligned}M(t) &=F(t)+\\sum_{n=2}^{\\infty} F_{n}(t)=F(t)+\\left(\\sum_{n=1}^{\\infty} F_{n}\\right) * F(t) \\\\&=F(t)+M * F(t) .\\end{aligned}\\]", "</p><p>즉 갱신함수 \\( M(t) \\)는 다음의 합성곱 방정식을 만족한다.", "</p><p>\\( M(t)=F(t)+\\int_{0}^{t} M(t-x) d F(x) \\)<caption>(7.5)</caption></p><p>예제 \\( 7.3 \\)</p><p>\\( X_{n} \\sim \\operatorname{Exp}(\\lambda) \\)일 때 \\( M(t) \\)를 구하라.", "</p><p>풀이 \\( F^{*}(s)=\\frac{\\lambda}{s+\\lambda} \\)이므로 \\((7.4)\\)로부터 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( M^{*}(s)=\\frac{\\lambda}{s} \\)</p><p>따라서 \\( M(t)=\\lambda t \\)이다.", "이것은 푸아송과정의 결과와 일치한다.", "</p><p>예제 \\( 7.4 \\)</p><p>\\( X_{n} \\sim \\mathrm{U}(0,1) \\)일 때 \\( M(t)(0 \\leq t \\leq 1) \\)를 구하라.", "</p><p>풀이 \\( 0 \\leq t \\leq 1 \\) 일 때, \\( F(t)=t \\)이므로 \\( M(t) \\)는 다음을 만족한다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} M(t) &=t+\\int_{0}^{t} M(t-x) d x \\\\ &=t+\\int_{0}^{t} M(y) d y \\end{aligned} \\)</p><p>위 식의 양변을 \\( t \\)로 미분하면 다음 미분방정식을 얻는다.", "</p><p>\\( M^{\\prime}(t)=1+M(t) \\)</p><p>위 미분방정식을 다시 쓰면 \\[\\frac{\\frac{d}{d t}(1+M(t))}{1+M(t)}=1\\]이므로 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( \\log (1+M(t))=t+C \\)</p><p>여기서 \\( C \\)는 적분상수이다. \\", "( M(0)=0 \\)이므로 \\( C=0 \\)이 되어 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( M(t)=e^{t-1}, \\quad 0 \\leq t \\leq 1 \\)</p><p>정리 \\( 7.6 \\) \\( M(t) \\)는 단조증가함수이며 우연속이고 각각의 \\( t \\geq 0 \\)에 대하여 \\( M(t)<\\infty \\)이다.", "</p><p>증명 증명은 제\\( 7.10 \\)절에서 제시한다.", "</p> <p>갱신방정식 \\( \\quad[0, \\infty) \\)에서 정의된 함수 \\( K(t) \\)가 주어졌을 때 함수 \\( H(t) \\)에 대한 다음과 같은 형태의 합성곱 방정식을 갱신방정식(renewal equation)이라 한다.", "</p><p>\\( H(t)=K(t)+\\int_{0}^{t} H(t-u) d F(u), \\quad t \\geq 0 \\)<caption>(7.6)</caption></p><p>\\( M(t) \\)에 대한 방정식 \\( (7.5) \\)는 \\( K(t)=F(t) \\)인 갱신방정식이다.", "</p><p>정리 \\( 7.7 \\) 갱신방정식의 해 각각의 \\( t \\geq 0 \\)에 대하여 \\( \\sup _{0 \\leq x \\leq t}|K(x)|<\\infty \\)일 때 갱신방정식 \\((7.6)\\)에 대하여 \\[\\sup _{0 \\leq x \\leq t}|H(x)|<\\infty\\]<caption>(7.7)</caption>를 만족하는 유일한 해가 존재한다.", "이때 방정식의 해는 다음과 같이 나타낼 수 있다.", "<p>\\( H(t)=K(t)+\\int_{0}^{t} K(t-x) d M(x) \\)<caption>(7.8)</caption></p></p><p>증명 \\((7.8)\\)을 \\((7.6)\\)의 우변에 대입하면 \\( F+M * F=M \\)이므로 \\[\\begin{aligned}K+H * F &=K+(K+K * M) * F \\\\ &=K+K *(F+M * F) \\\\&=K+K * M=H\\end{aligned}\\]가 되어 \\((7.8)\\)은 갱신방정식 \\((7.6)\\)의 해가 된다.", "</p><p>해의 유일성을 보이기 위하여 \\( H_{1} \\)과 \\( H_{2} \\) 를 \\((7.7)\\)을 만족하는 방정식 \\((7.6)\\)의 두 해라 하고 그 차를 \\( D(t)=H_{1}(t)-H_{2}(t) \\)라 하자. 그러면 \\[D=H_{1}-H_{2}=H_{1} * F-H_{2} * F=D * F\\]이므로 \\( D=D * F_{n}(n \\geq 1) \\) 이 성립함을 알 수 있다. 이제 임의로 한 점 \\( t>", "0 \\)를 고정하자. \\", "( H_{1} \\) 과 \\( H_{2} \\)가 \\((7.7)\\)을 만족하므로 \\( c=\\sup _{0 \\leq u \\leq t}|D(u)|<\\infty \\)이다.", "따라서 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( |D(t)| \\leq \\int_{0}^{t}|D(t-u)| d F_{n}(u) \\leq c P\\left(S_{n} \\leq t\\right) \\)</p><p>한편 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} P\\left(S_{n} \\leq t\\right)=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} P(N(t) \\geq n)=P(N(t)=\\infty)=0 \\)이므로 \\( |D(t)|=0 \\)이다.", "따라서 유일성이 증명되었다.", "</p><p>끝으로 \\((7.8)\\)에 주어진 \\( H(t) \\)가 \\((7.7)\\)을 만족함을 보이자. \\", "( a=\\sup _{0 \\leq x \\leq t}|K(x)|< \\) \\( \\infty \\) 라 하자. \\", "( M(t) \\)가 단조증가함수이고 \\( M(t)<\\infty \\)이므로 \\( 0 \\leq x \\leq t \\)에 대하여 \\[\\begin{aligned} |H(x)| & \\leq|K(x)|+\\int_{0}^{x}|K(x-y)| d M(y) \\\\& \\leq a+a M(x) \\\\& \\leq a+a M(t)<\\infty\\end{aligned}\\]가 되어 \\((7.7)\\)이 증명된다.", "</p> <p>\\(26\\).", "하나의 기계로 가동하는 공장을 생각하자.", "그 공장에서는 기계의 중요한 부품을 하나 여분으로 남겨 두고 사용한다.", "그 부품이 고장나면 새 부품으로 교체하고 고장난 부품을 수리하기 시작한다.", "부품의 수리는 고장 난 순서대로 한다.", "고장 난 부품을 수리하는 데 걸리는 시간을 \\( R \\)이라 하고 한 번 작동되기 시작한 부품이 고장 날 때까지 걸리는 시간을 \\( X \\)라 하자. \\", "( X(t) \\)를 \\( t \\)시각에 고장 난 부품 수라 할 때 다음 물음에 답하라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( P_{i}=\\lim P(X(t)=i)(i=0,1,2) \\)를 \\( R \\)과 \\( X \\)를 이용하여 나타내어라.", "</li><li>\\( R \\sim \\operatorname{Exp}(\\mu), X \\sim \\operatorname{Exp}(\\lambda) \\)일 때 \\( P_{i}(i=1,2,3) \\)를 구하라.", "</li></ol><p>\\(27\\). \\", "( n \\)명의 어린이들이 서로 독립적으로 정글짐을 오르내리기를 반복하며 놀고 있다.", "어 린이 \\( i \\)가 올라가는 데 걸리는 시간의 분포는 \\( F_{i} \\)이고 내려오는 데 걸리는 시간의 분포는 \\( G_{i} \\)이다.", "각 어린이들이 정글짐 위로 올라가는 시간과 내려오는 시간은 서로 독립이라고 하자. \\", "( N(t) \\)를 \\( t \\)시간 동안 어린이들이 정글짐에 올라갔다가 내려온 횟수의 총합이라 하자.", "또한 \\( U(t) \\)를 \\( t \\)시각에 올라가고 있는 어린이 수라 하자.", "다음을 구하라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{t \\rightarrow \\infty} \\frac{N(t)}{t} \\)</li><li>\\( \\lim _{t \\rightarrow \\infty} E[U(t)] \\)</li><li>\\( F_{i}=F, G_{i}=G \\)일 때 \\( \\lim _{t \\rightarrow \\infty} P(U(t)=k) \\)</li></ol><p>\\(28\\).", "[정지시각] \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots \\)를 확률변수열이라 하고 \\( T \\)를 음이 아닌 정수값을 갖는 확률 변수라 하자. \\", "( n=1,2, \\cdots \\)에 대하여 \\( \\{T=n\\} \\)이 \\( X_{n+1}, X_{n+2}, \\cdots \\)와 독립일 때 \\( T \\)를 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots \\)의 정지시각(stopping time)이라 한다.", "다음 각각에 대하여 \\( T \\)가 \\( X_{1}, X_{2} \\), \\( \\cdots \\)의 정지시각이 됨을 보여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( X_{1}, X_{2}, \\cdots \\)가 서로 독립이고 \\( P\\left(X_{n}=0\\right)=\\frac{1}{2}=P\\left(X_{n}=1\\right), n=1,2, \\cdots \\)일 때 \\( T=\\min \\left\\{n: X_{1}+\\cdots+X_{n}=10\\right\\} \\)</li><li>(2) \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots \\)가 서로 독립이고 \\( P\\left(X_{n}=-1\\right)=\\frac{1}{2}=P\\left(X_{n}=1\\right), n=1,2, \\cdots \\)일 때 \\( T=\\min \\left\\{n: X_{1}+\\cdots+X_{n}=1\\right\\} \\)</li></ol><p>\\(29\\).", "[왈드의 방정식(Wald's equation)] \\( \\left\\{X_{n}\\right\\} \\)이 서로 독립이고 같은 분포를 따르며 \\( E\\left[\\left|X_{1}\\right|\\right]<\\infty \\)인 확률변수열이라 하자. \\", "( T \\)가 \\( \\left\\{X_{n}\\right\\} \\)의 정지시각이고 \\( E[T]<\\infty \\)일 때 다음이 성립함을 보여라.", "</p><p>\\( E\\left[\\sum_{n=1}^{T} X_{n}\\right]=E[T] E\\left[X_{1}\\right] \\)</p><p>\\(30\\). \\", "( \\{N(t)\\} \\)를 갱신발생시간 간격이 \\( \\left\\{X_{n}\\right\\} \\)인 갱신과정이라 할 때 다음 물음에 답하라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( N(t) \\)는 \\( \\left\\{X_{n}\\right\\} \\)의 정지시각이 되지 않지만 \\( N(t)+1 \\)은 정지시각이 됨을 보여라.", "</li><li>위의 \\((1)\\)의 결과와 왈드의 방정식(위의 연습문제 \\(29\\))을 이용하여 보조정리 \\(7.8\\)을 증명하라.", "</li></ol> <p>정리 \\( 7.25 \\)<ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{t \\rightarrow \\infty} \\frac{M_{G}(t)}{t}=\\frac{1}{\\mu} \\)</li><li>\\( K(t) \\)가 직접 리만적분가능하고 \\( F \\)가 비격자형 분포일 때 \\[\\lim _{t \\rightarrow \\infty} \\int_{0}^{t} K(t-u) d M_{G}(u)=\\frac{1}{\\mu} \\int_{0}^{\\infty} K(t) d t .\\]", "</li></ol></p><p>증명 \\((1)\\) \\((7.27)\\)에 의하여 \\[M_{G}(t)=G(t)+\\int_{0}^{\\infty} M(t-x) 1_{\\{t \\geq x\\}} d G(x)\\]이고 기본갱신정리에 의하여 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( \\lim _{t \\rightarrow \\infty} \\frac{M(t-x) 1_{\\{t \\geq x\\}}}{t}=\\frac{1}{\\mu} \\)</p><p>\\( \\frac{M(t)}{t} \\)는 \\( \\frac{1}{\\mu} \\)에 수렴하므로 \\( \\frac{M(t)}{t} \\)는 유계이고 \\( \\frac{M(t-x) 1_{\\{t \\geq x\\}}}{t} \\leq \\frac{M(t)}{t} \\)이므로 \\( \\frac{M(t-x) 1_{\\{t \\geq x\\}}}{t} \\)도 유계이다.", "유계수렴정리에 의하여 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} \\lim _{t \\rightarrow \\infty} \\frac{M_{G}}{t} &=\\lim _{t \\rightarrow \\infty} \\frac{G(t)}{t}+\\int_{0}^{\\infty} \\lim _{t \\rightarrow \\infty} \\frac{M(t-x) 1_{\\{t \\geq x\\}}}{t} d G(x) \\\\ &=\\frac{1}{\\mu} \\end{aligned} \\)</p><p>\\((2)\\) \\( K * M_{G}=K * G+(K * G) * M \\)이다. \\", "( K \\)가 직접 리만적분가능이고 \\( G \\)는 확률분포함수이므로 따름정리 \\(7.12\\)에 의하여 \\( K * G \\)는 직접 리만적분가능하다. \\", "( \\lim _{t \\rightarrow \\infty} K * G(t)=0 \\)이므로 핵심갱신정리에 의하여 \\( \\lim _{t \\rightarrow \\infty} M_{G}(t)=\\frac{1}{\\mu} \\int_{0}^{\\infty} K * G(t) d t \\) \\( =\\frac{1}{\\mu} \\int_{0}^{\\infty} \\int_{0}^{t} K(t-u) d G(u) d t \\) \\( =\\frac{1}{\\mu} \\int_{u=0}^{\\infty} \\int_{t=u}^{\\infty} K(t-u) d t d G(u) \\) \\( =\\frac{1}{\\mu} \\int_{0}^{\\infty} \\int_{0}^{\\infty} K(x) d x d G(u) \\) \\( =\\frac{1}{\\mu} \\int_{0}^{\\infty} K(x) d x . \\)", "</p><p>보조정리 \\( 7.26 \\) \\( B_{G}(t) \\)를 시각 \\( t \\)에서 \\( N_{G} \\)의 잔여시간이라 하고 \\( x \\geq 0 \\)를 고정하자. \\", "( H(t)=P\\left(B_{G}(t)\\right. \\) \\", "( \\leq x) \\)는 다음과 같다.", "<p>\\( H(t)=G(t+x)-G(t)+K * M_{G}(t), t \\geq 0 \\)<caption>(7.30)</caption></p><p>단 \\( K(t)=F(t+x)-F(t) \\)이다.", "</p></p><p>증명 \\( t \\)시각에 순수갱신과정의 잔여수명을 \\( B_{t} \\)라 하고 \\( Z(t)=P\\left(B_{t} \\leq x\\right) \\)로 두자.", "그러면 \\[P\\left(B_{G}(t) \\leq x \\mid X_{1}=u\\right)=\\left\\{\\begin{array}{ll}0, & t+x<u \\\\1, & t<u<t+x \\\\P\\left(B_{t-u} \\leq x\\right), & u \\leq t\\end{array}\\right.\\]이므로 \\[\\begin{aligned}H(t) &=\\int_{t}^{t+x} d G(u)+\\int_{0}^{t} P\\left(B_{t-u} \\leq x\\right) d G(u) \\\\&=G(t+x)-G(t)+Z * G(t)\\end{aligned}\\]</p><p>보조정리 \\( 7.15 \\)에 의하여 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} H(t) &=G(t+x)-G(t)+K * G(t)+K * M * G(t) \\\\ &=G(t+x)-G(t)+K * M_{G}(t) \\end{aligned} \\)</p><p>정리 \\( 7.27 \\) \\( E\\left[X_{2}\\right]=\\mu<\\infty \\)이고 \\( F \\)가 비격자형 분포일 때 다음이 성립한다.", "<p>\\( \\lim _{t \\rightarrow \\infty} P\\left(B_{G}(t) \\leq x\\right)=\\frac{1}{\\mu} \\int_{0}^{x}(1-F(t)) d t \\)<caption>(7.31)</caption></p><p>증명 보조정리 \\(7.26\\)과 정리 \\( 7.25 \\)에 의하여 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} \\lim _{t \\rightarrow \\infty} P\\left(B_{G}(t) \\leq x\\right) &=\\lim _{t \\rightarrow \\infty}(G(t+x)-G(t))+\\lim _{t \\rightarrow \\infty} K * M_{G}(t) \\\\ &=\\frac{1}{\\mu} \\int_{0}^{\\infty}(F(t+x)-F(t)) d t \\\\ &=\\frac{1}{\\mu} \\int_{0}^{x}(1-F(t)) d t \\end{aligned} \\)</p><p>위의 셋째 등식은 정리 \\(7.16\\)의 증명에서 보였다.", "</p><p>\\( \\mu<\\infty \\)일 때 \\( X_{1} \\)의 분포함수가 \\[F_{e}(x)=\\frac{1}{\\mu} \\int_{0}^{x}(1-F(t)) d t\\]인 지연갱신과정을 평형갱신과정(equilibrium renewal process)이라고 한다.", "평형갱신과정을 \\( N_{e}=\\left\\{N_{e}(t), t \\geq 0\\right\\} \\)로 나타내고 \\( N_{e} \\)의 갱신함수와 잔여시간을 각각 \\( M_{e}(t)= \\) \\( E\\left[N_{e}(t)\\right] \\)와 \\( B_{e}(t) \\)로 나타내기로 한다.", "</p><p>따름정리 \\( 7.28 \\)<ol type=1 start=1><li>\\( M_{e}(t)=\\frac{t}{\\mu} \\)</li><li>\\( P\\left(B_{e}(t) \\leq x\\right)=F_{e}(x) \\)</li></ol></p><p>증명 \\((1)\\) 부분적분법에 의하여 \\( F_{e} \\)의 라플라스-스틸체스변환 \\( F_{e}^{*}(s) \\)가 다음과 같음을 알 수 있다.", "</p><p>\\( F_{e}^{*}(s)=\\frac{1}{\\mu} \\int_{0}^{\\infty} e^{-s t}(1-F(t)) d t=\\frac{1}{\\mu s}\\left(1-F^{*}(s)\\right) \\)</p><p>따라서 \\((7.28)\\)에 의하여 \\( M_{e}^{*}(s)=\\frac{F_{e}^{*}(s)}{1-F^{*}(s)}=\\frac{1}{\\mu s} \\)이므로 \\( M_{e}(t)=\\frac{t}{\\mu} \\)이다.", "</p><p>\\((2)\\) 위의 \\((1)\\)로부터 \\( \\frac{d}{d t} M_{e}(t)=\\frac{1}{\\mu} \\)이므로 \\[\\begin{aligned}K * M_{e}(t) &=\\frac{1}{\\mu} \\int_{0}^{t}(F(t+x-u)-F(t-u)) d u \\\\&=\\frac{1}{\\mu} \\int_{0}^{t}(1-F(u)) d u-\\frac{1}{\\mu} \\int_{x}^{t+x}(1-F(u)) d u \\\\&=F_{e}(t)-\\left(F_{e}(t+x)-F_{e}(t)\\right) .\\end{aligned}\\]", "</p><p>보조정리 \\( 7.26 \\)에 의하여 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( P\\left(B_{e}(t) \\leq x\\right)=F_{e}(t+x)-F_{e}(t)+K * M_{e}(t)=F_{e}(t) \\)</p><p>정리 \\( 7.29 \\) \\( N_{e}=\\left\\{N_{e}(t), t \\geq 0\\right\\} \\)는 정상증분을 갖는다.", "</p><p>증명 \\( s>0 \\)를 고정하고 \\( \\tilde{N}_{e}(t)=N_{e}(t+s)-N_{e}(s) \\)라 하면 \\( \\widetilde{N}_{e}=\\left\\{\\tilde{N}_{e}(t), t \\geq 0\\right\\} \\)는 갱신이 처음 발생할 때까지 걸리는 시간이 \\( B_{e}(s) \\)인 지연갱신과정이다.", "따름정리 \\(7.28\\)에 의하여 \\( B_{e}(s) \\)의 분포는 \\( F_{e}(x) \\)로 \\( s \\)에 의존하지 않으므로 \\( N_{e}(t+s)- \\) \\( N_{e}(s) \\)의 분포는 \\( s \\)에 의존하지 않는다.", "따라서 \\( \\boldsymbol{N}_{e} \\)는 정상증분을 갖는다.", "</p><p>정리 \\( 7.30 \\) \\( F(x) \\)가 비격자형 분포일 때 \\[\\lim _{t \\rightarrow \\infty} P\\left(B_{t} \\leq x\\right)=F_{e}(x) \\]<caption>(7.32)</caption>는 핵심갱신정리와 동치이다.", "</p><p>증명 핵심정리로부터 \\((7.32)\\)가 성립한다는 것은 정리 \\(7.16\\)에서 보였다.", "여기서는 \\((7.32)\\)가 성립하면 블랙웰의 갱신정리(정리 \\(7.10\\))가 성립함을 보인다.", "</p><p>\\( F_{t}(x)=P\\left(B_{t} \\leq x\\right) \\)라 하자. \\( B_{t}>", "a \\)이면 \\( N(t+a)-N(t)=0 \\)이고 \\( B_{t} \\leq a \\)이면 \\( N(t+a)-N(t) \\)는 \\( 1+N\\left(a-B_{t}\\right) \\)와 같은 분포를 따르므로 \\[\\begin{aligned}M(t+a)-M(a) &=\\int_{0}^{a} E\\left[N(t+a)-N(t) \\mid B_{t}=x\\right] d F_{t}(x) \\\\&=\\int_{0}^{a}(1+E[N(a-x)]) d F_{t}(x) \\\\&=\\int_{0}^{a}(1+M(a-x)) d F_{t}(x).\\end{aligned}\\]", "</p><p>\\( K(x)=M(a-x)(0 \\leq x \\leq a) \\)는 유계이고 우연속이며 \\( \\lim _{t \\rightarrow \\infty} F_{t}(x)=F_{e}(x) \\)이므로 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} \\lim _{t \\rightarrow \\infty}(M(t+a)-M(a)) &=\\int_{0}^{a}(1+M(a-x)) d F_{e}(x) \\\\ &=F_{e}(a)+M * F_{e}(a)=M_{e}(a) \\\\ &=\\frac{a}{\\mu} \\end{aligned} \\)</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "413", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "확률과정입문_갱신과정", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-51c7-410c-a2fb-8b9882edeb24", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961054034", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2011", "doc_author": [ "신양우" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h3>(2) 정규직교화과정</h3><p>그람-슈미트의 정규직교화과정 (Gram - Schmidt orthonormalization process)은 \\( R^{n} \\) 의 모든 기저는 정규직교기저로 변형할 수 있음을 보여준다.", "이 방법은 \\( R^{2} \\) 과 \\( R^{3} \\) 에서의 정사영의 개념을 일반화한 것이다.", "</p><p>정리 25 그람-슈미트의 정규직교화 \\( H \\) 가 \\( R^{n} \\) 의 \\( m \\) 차 부분공간일 때, \\( S=\\left\\{\\mathbf{v}_{1}, \\mathbf{v}_{2}, \\cdots, \\mathbf{v}_{m}\\right\\} \\) 를 \\( H \\) 의 임의의 기저라 하면 \\( S \\) 로부터 얻어지는 정규직교기저 \\[ Z=\\left\\{\\mathbf{z}_{1}, \\mathbf{z}_{2}, \\cdots, \\mathbf{z}_{m}\\right\\} \\] 가 존재한다.", "즉 각 \\( 1 \\leq k \\leq m \\) 에 대해 \\( H_{k}=\\operatorname{span}\\left\\{\\mathbf{v}_{1}, \\mathbf{v}_{2}, \\cdots, \\mathbf{v}_{k}\\right\\} \\) 라 하면 \\[ H_{k}=\\operatorname{span}\\left\\{\\mathbf{z}_{1}, \\mathbf{z}_{2}, \\cdots, \\mathbf{z}_{k}\\right\\} \\] 를 만족하는 \\( H \\) 의 정규직교기저 \\( Z=\\left\\{\\mathbf{z}_{1}, \\mathbf{z}_{2}, \\cdots, \\mathbf{z}_{m}\\right\\} \\) 가 존재한다.", "</p><p>증명 먼저 \\( H \\) 의 임의의 기저 \\( S=\\left\\{\\mathbf{v}_{1}, \\mathbf{v}_{2}, \\cdots, \\mathbf{v}_{m}\\right\\} \\) 로부터 다음과 같은 단계로 직교집합 \\( T=\\left\\{\\mathbf{u}_{1}, \\mathbf{u}_{2}, \\cdots, \\mathbf{u}_{m}\\right\\} \\) 를 만듦으로써 증명을 시작한다.", "</p><p>단계 1: \\( \\mathbf{u}_{1}=\\mathbf{v}_{1} \\) 이라 한다.", "</p><p>단계 2: \\( \\mathbf{u}_{1} \\) 에 의하여 생성되는 부분공간을 \\( W_{1} \\) 이라 하고 \\[ \\mathbf{u}_{2}=\\mathbf{v}_{2}-\\operatorname{proj}_{W_{1}} \\mathbf{v}_{2}=\\mathbf{v}_{2}-\\frac{\\left(\\mathbf{v}_{2} \\cdot \\mathbf{u}_{1}\\right)}{\\left\\|\\mathbf{u}_{1}\\right\\|^{2}} \\mathbf{u}_{1} \\] 으로 놓는다.", "</p><p>단계 3: \\( \\mathbf{u}_{1}, \\mathbf{u}_{2} \\) 에 의하여 생성되는 부분공간을 \\( W_{2} \\) 라 하고 \\[ \\mathbf{u}_{3}=\\mathbf{v}_{3}-\\operatorname{proj}_{W_{2}} \\mathbf{v}_{3}=\\mathbf{v}_{3}-\\left(\\frac{\\mathbf{v}_{3} \\cdot \\mathbf{u}_{1}}{\\left\\|\\mathbf{u}_{1}\\right\\|^{2}} \\mathbf{u}_{1}+\\frac{\\mathbf{v}_{3} \\cdot \\mathbf{u}_{2}}{\\left\\|\\mathbf{u}_{2}\\right\\|^{2}} \\mathbf{u}_{2}\\right) \\] 으로 놓는다.", "</p><p>단계 4 부터 단계 \\( m \\) 까지는 같은 방법으로 \\[ \\begin{aligned} \\mathbf{u}_{k} &=\\mathbf{v}_{k}-\\operatorname{proj}_{W_{k-1}} \\mathbf{v}_{k}(\\text { 단, } k=4,5, \\cdots, m) \\\\ &=\\mathbf{v}_{k}-\\left(\\frac{\\mathbf{v}_{k} \\cdot \\mathbf{u}_{1}}{\\left\\|\\mathbf{u}_{1}\\right\\|^{2}} \\mathbf{u}_{1}+\\frac{\\mathbf{v}_{k} \\cdot \\mathbf{u}_{2}}{\\left\\|\\mathbf{u}_{2}\\right\\|^{2}} \\mathbf{u}_{2}+\\cdots+\\frac{\\mathbf{v}_{k} \\cdot \\mathbf{u}_{k-1}}{\\left\\|\\mathbf{u}_{k-1}\\right\\|^{2}} \\mathbf{u}_{k-1}\\right) \\end{aligned} \\] 으로 놓는다.", "</p><p>위의 단계로부터 얻어지는 \\( T=\\left\\{\\mathbf{u}_{1}, \\mathbf{u}_{2}, \\cdots, \\mathbf{u}_{m}\\right\\} \\) 는 서로 수직인 직교집합이다.", "이제 각각의 크기, 즉 \\( \\mathbf{z}_{k}=\\frac{\\mathbf{u}_{k}}{\\left\\|\\mathbf{u}_{k}\\right\\|} \\) ( 단, \\( k=1,2, \\cdots, m \\) )로 정의하면 집합 \\[ Z=\\left\\{\\mathbf{z}_{1}, \\mathbf{z}_{2}, \\cdots, \\mathbf{z}_{m}\\right\\} \\] 는 \\( H \\) 의 정규직교기저가 된다.", "</p><p>예 39 \\( \\mathbf{v}_{1}=(1,1,0), \\mathbf{v}_{2}=(0,1,1) \\) 이 \\( R^{3} \\) 의 두 벡터일 때, 그람-슈미트의 정규직교화과정을 이용하여 집합 \\( S=\\left\\{\\mathbf{v}_{1}, \\mathbf{v}_{2}\\right\\}=\\{(1,1,0),(0,1,1)\\} \\) 를 기저로 갖는 \\( R^{3} \\) 의 부분공간 \\( W \\) 의 정규직교기저 \\( Z=\\left\\{\\mathbf{z}_{1}, \\mathbf{z}_{2}\\right\\} \\) 를 구해보자.", "정규직교화과정을 이용하면 \\[ \\begin{array}{l} \\mathbf{u}_{1}=(1,1,0) \\\\ \\mathbf{u}_{2}=\\mathbf{v}_{2}-\\operatorname{proj}_{W_{1}} \\mathbf{v}_{2}=\\mathbf{v}_{2}-\\frac{\\left(\\mathbf{v}_{2} \\cdot \\mathbf{u}_{1}\\right)}{\\left\\|\\mathbf{u}_{1}\\right\\|^{2}} \\mathbf{u}_{1}=\\left(-\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2}, 1\\right) \\end{array} \\] 을 얻는다.", "따라서 \\( \\mathbf{u}_{1}, \\mathbf{u}_{2} \\) 를 각각 정규화하면 \\[ \\mathbf{z}_{1}=\\left(\\frac{1}{\\sqrt{2}}, \\frac{1}{\\sqrt{2}}, 0\\right),\\quad \\mathbf{z}_{2}=\\left(-\\frac{1}{\\sqrt{6}}, \\frac{1}{\\sqrt{6}}, \\frac{2}{\\sqrt{6}}\\right) \\] 이므로, 정규직교기저는 \\[ Z=\\left\\{\\mathbf{z}_{1}, \\mathbf{z}_{2}\\right\\}=\\left\\{\\left(\\frac{1}{\\sqrt{2}}, \\frac{1}{\\sqrt{2}}, 0\\right),\\left(-\\frac{1}{\\sqrt{6}}, \\frac{1}{\\sqrt{6}}, \\frac{2}{\\sqrt{6}}\\right)\\right\\} \\] 로 주어진다.", "</p><p>참고 집합 \\( S=\\left\\{\\mathbf{v}_{1}, \\mathbf{v}_{2}, \\cdots, \\mathbf{v}_{n}\\right\\} \\) 가 \\( R^{n} \\) 의 임의의 기저일 때, \\( S \\) 로부터 얻어지는 정규직교기저가 존재한다.", "</p><p>예제 4 \\( \\mathbf{v}_{1}=(1,2,1), \\mathbf{v}_{2}=(1,0,1), \\mathbf{v}_{3}=(3,1,0) \\) 일 때, 그람 - 슈미트의 정규직교화과정을 이용하여 \\( R^{3} \\) 의 기저 \\( S=\\left\\{\\mathbf{v}_{1}, \\mathbf{v}_{2}, \\mathbf{v}_{3}\\right\\} \\) 로부터 \\( R^{3} \\) 의 정규직교기저 \\( Z=\\left\\{\\mathbf{z}_{1}, \\mathbf{z}_{2}, \\mathbf{z}_{3}\\right\\} \\) 를 구하시오.", "</p><p>풀이 정규직교화과정를 이용하면 \\[ \\begin{array}{l} \\mathbf{u}_{1}=(1,2,1) \\\\ \\mathbf{u}_{2}=\\mathbf{v}_{2}-\\operatorname{proj}_{W_{1}} \\mathbf{v}_{2}=\\mathbf{v}_{2}-\\frac{\\left(\\mathbf{v}_{2} \\cdot \\mathbf{u}_{1}\\right)}{\\left\\|\\mathbf{u}_{1}\\right\\|^{2}} \\mathbf{u}_{1}=\\left(\\frac{2}{3},-\\frac{2}{3}, \\frac{2}{3}\\right) \\\\ \\mathbf{u}_{3}=\\mathbf{v}_{3}-\\operatorname{proj}_{W_{2}} \\mathbf{v}_{3}=\\mathbf{v}_{3}-\\left(\\frac{\\mathbf{v}_{3} \\cdot \\mathbf{u}_{1}}{\\left\\|\\mathbf{u}_{1}\\right\\|^{2}} \\mathbf{u}_{1}+\\frac{\\mathbf{v}_{3} \\cdot \\mathbf{u}_{2}}{\\left\\|\\mathbf{u}_{2}\\right\\|^{2}} \\mathbf{u}_{2}\\right)=\\left(\\frac{3}{2}, 0,-\\frac{3}{2}\\right) \\end{array} \\] 을 얻는다.", "따라서 \\( \\mathbf{u}_{1}, \\mathbf{u}_{2}, \\mathbf{u}_{3} \\) 를 각각 정규화하면 \\[ \\mathbf{z}_{1}=\\left(\\frac{1}{\\sqrt{6}}, \\frac{2}{\\sqrt{6}}, \\frac{1}{\\sqrt{6}}\\right), \\mathbf{z}_{2}=\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{3},-\\frac{\\sqrt{3}}{3}, \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\right), \\mathbf{z}_{3}=\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}, 0, \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right) \\] 이므로, 정규직교기저는 \\[ \\begin{aligned} Z &=\\left\\{\\mathbf{z}_{1}, \\mathbf{z}_{2}, \\mathbf{z}_{3}\\right\\} \\\\ &=\\left\\{\\left(\\frac{1}{\\sqrt{6}}, \\frac{2}{\\sqrt{6}}, \\frac{1}{\\sqrt{6}}\\right),\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{3},-\\frac{\\sqrt{3}}{3}, \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\right),\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}, 0, \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)\\right\\} \\end{aligned} \\] 로 주어진다.", "</p><p>정의 26 직교보충공간 \\( R^{n} \\) 의 부분공간 \\( W \\) 에 대하여, \\( W \\) 의 직교보충공간(orthogonal complement) \\( W^{\\perp} \\) 을 \\[ W^{\\perp}=\\left\\{\\mathbf{v} \\in R^{n} \\mid \\mathbf{v} \\perp \\mathbf{w} \\quad{ }^{\\forall} \\mathbf{w} \\in W\\right\\} \\] 로 정의한다.", "</p><p>그람 - 슈미트의 정규직교화과정를 이용하여, \\( W \\) 가 \\( R^{n} \\) 의 부분공간일 때 \\( R^{n}=W \\oplus W^{\\perp} \\), 즉 \\( R^{n} \\) 의 모든 벡터는 \\( W \\) 의 벡터와 \\( W^{\\perp} \\) 의 벡터의 합으로 유일하게 표현됨을 보일 수 있다.", "</p><p>예 40 \\( R^{3} \\) 의 벡터 \\( \\mathbf{v}_{1}=(1,-1,0), \\mathbf{v}_{2}=(1,1,1), \\mathbf{v}_{3}=(-1,2,1) \\) 에 대하여 \\[ W=\\operatorname{span}\\left\\{\\mathbf{v}_{1}, \\mathbf{v}_{2}, \\mathbf{v}_{3}\\right\\} \\] 라 하면, \\( \\left\\{\\mathbf{v}_{1}, \\mathbf{v}_{2}\\right\\} \\) 는 일차독립이고 \\( \\left\\{\\mathbf{v}_{1}, \\mathbf{v}_{2}, \\mathbf{v}_{3}\\right\\} \\) 는 일차종속이므로 \\[ W=\\operatorname{span}\\left\\{\\mathbf{v}_{1}, \\mathbf{v}_{2}, \\mathbf{v}_{3}\\right\\}=\\operatorname{span}\\left\\{\\mathbf{v}_{1}, \\mathbf{v}_{2}\\right\\} \\] 이고, \\( \\left\\{\\mathbf{v}_{1}, \\mathbf{v}_{2}\\right\\} \\) 는 \\( W \\) 의 기저가 된다.", "이때 \\( W \\) 의 직교보충공간 \\( W^{\\perp} \\) 을 구해보자.", "만약 \\( \\mathbf{u}=(a, b, c) \\in W^{\\perp} \\) 라 하면 \\( \\mathbf{u} \\perp \\mathbf{v}_{1} \\) 이고 \\( \\mathbf{u} \\perp \\mathbf{v}_{2} \\) 이므로, \\( \\mathbf{u} \\cdot \\mathbf{v}_{1}=0 \\) 이고 \\( \\mathbf{u} \\cdot \\mathbf{v}_{2}=0 \\) 이다.", "즉 \\( a-b=0 \\) 이고 \\( a+b+2 c=0 \\) 이다.", "따라서 \\( a=b=t \\) 로 놓으면 \\( c=-t \\) 이므로, \\( \\mathbf{u}=(t, t,-t) \\) 임을 알 수 있다.", "그러므로 \\( W \\) 의 직교보충공간은 \\[ W^{\\perp}=\\{(t, t,-t) \\mid t \\in R\\}=\\operatorname{span}\\{(1,1,-1)\\} \\] 이다.", "</p><p>참고 \\( m \\times n \\) 행렬 \\( A \\) 의 행공간을 \\( U \\) 라 하고 동차선형연립방정식 \\( A \\mathbf{x}=0 \\) 의 해공간을 \\( W \\) 라 하면 \\( W=\\left(U^{\\perp}\\right)^{T} \\) 이므로, \\( A \\mathbf{x}=0 \\) 의 해공간의 차원은 \\( n-\\operatorname{rank}(A) \\) 이다.", "따라서 \\( P, Q \\) 가 가역행렬이고 곱셈이 잘 정의되었다면, 행렬 \\( A \\) 에 대하여 \\[ \\operatorname{rank}(P A)=\\operatorname{rank}(A)=\\operatorname{rank}(A Q) \\] 가 성립한다.", "</p> <h3>(2) 복소내적공간</h3><p>스칼라를 복소수로 확장하면 복소수 \\( C \\) 위의 벡터공간, 즉 복소벡터공간을 정의할 수 있으며, 여기에 내적을 정의하면 복소내적공간을 얻게 된다.", "</p><p>참고 복소벡터공간에서 부분공간, 일차독립과 일차종속, 기저와 차원, 그람 - 슈미트 정규직교화과정 등은 실벡터공간에서와 마찬가지로 정의된다.", "</p><p>정의 31 \\( V \\) 가 복소벡터공간일 때, \\( \\mathbf{u}, \\mathbf{v} \\in V \\) 에 대하여 스칼라 \\(<\\mathbf{u}, \\mathbf{v}>\\) 를 대응시키는 함수 \\(<,>: V \\times V \\rightarrow C \\) 가 다음 네 조건, 즉 \\( \\mathbf{u}, \\mathbf{v}, \\mathbf{w} \\in V \\) 와 \\( \\alpha \\in C \\) 에 대하여</p><ol type=1 start=1><li>\\(<\\mathbf{u}, \\mathbf{v}>=<\\overline{\\mathbf{v}, \\mathbf{u}}>\\)</li><li>\\(<\\mathbf{u}+\\mathbf{v}, \\mathbf{w}>=<\\mathbf{u}, \\mathbf{w}>+<\\mathbf{v}, \\mathbf{w}>\\)</li><li>\\(<\\alpha \\mathbf{u}, \\mathbf{v}>=\\alpha<\\mathbf{u}, \\mathbf{v}>\\)</li><li>\\(<\\mathbf{u}, \\mathbf{u}>\\geq 0 . \\) 특히 \\(<\\mathbf{u}, \\mathbf{u}>=0 \\Leftrightarrow \\mathbf{u}=\\mathbf{0} \\)</li></ol><p>를 만족하면 함수 \\(<,>\\) 를 \\( V \\) 위에서의 내적( 또는 Hermitian 내적 )이라 하고, 이와 같은 내적을 갖는 복소벡터공간을 복소내적공간(complex inner product space) 또는 유니타리 공간(unitary space)이라 한다.", "</p><p>\\(\\mathbf{0}\\) 아닌 두 벡터 \\( \\mathbf{u}, \\mathbf{v} \\) 에 대하여, \\(<\\mathbf{u}, \\mathbf{v}>=0 \\) 이면 \\( \\mathbf{u} \\) 와 \\( \\mathbf{v} \\) 는 직교한다고 한다.", "</p><p>참고 복소벡터공간 \\( V \\) 에 대하여, \\( \\mathbf{u}, \\mathbf{v}, \\mathbf{w} \\in V \\) 와 \\( \\alpha \\in C \\) 일 때 다음이 성립한다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\(<\\mathbf{0}, \\mathbf{v}>=0=<\\mathbf{v}, \\mathbf{0}>\\)</li><li>\\(<\\mathbf{u}, \\mathbf{v}+\\mathbf{w}>=<\\mathbf{u}, \\mathbf{v}>+<\\mathbf{u}, \\mathbf{w}>\\)</li><li>\\(<\\mathbf{u}, \\alpha \\mathbf{v}>=\\bar{\\alpha}<\\mathbf{u}, \\mathbf{v}>\\)</li></ol><p>예 46 \\( C^{n}=\\left\\{\\mathbf{x} \\mid \\mathbf{x}=\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right), x_{i} \\text {는 복소수}\\right\\} \\) 에서, \\( \\mathbf{x}, \\mathbf{y} \\in C^{n} \\) 와 스칼라 \\( \\alpha \\in C \\) 에 대하여 덧셈과 스칼라배를 각각 \\[ \\mathbf{x}+\\mathbf{y}=\\left(x_{1}+y_{1}, x_{2}+y_{2}, \\cdots, x_{n}+y_{n}\\right), \\quad \\alpha \\mathbf{x}=\\left(\\alpha x_{1}, \\alpha x_{2}, \\cdots, \\alpha x_{n}\\right) \\] 으로 정의하면 \\( C^{n} \\) 은 벡터공간이 된다.", "이때 \\( C^{n} \\) 의 두 벡터 \\( \\mathbf{u}=\\left(u_{1}, u_{2}, \\cdots, u_{n}\\right) \\), \\( \\mathbf{v}=\\left(v_{1}, v_{2}, \\cdots, v_{n}\\right) \\) 에 대하여, 내적 (유클리드 내적 )은 \\[ \\mathbf{u} \\cdot \\mathbf{v}=\\bar{v}_{1} u_{1}+\\bar{v}_{2} u_{2}+\\cdots+\\bar{v}_{n} u_{n} \\] 으로 주어진다.", "</p><p>예 47 \\( \\mathscr{C}([a, b], C) \\) 를 닫힌구간 \\( [a, b] \\) 에서 복소수 \\( C \\) 로의 연속함수 전체의 집합이라 할 때, \\( f(x), g(x) \\in \\mathscr{C}([a, b], C) \\) 와 \\( \\alpha \\in C \\) 에 대하여 덧셈과 스칼라배를 각각 \\[ (f+g)(x)=f(x)+g(x),(\\alpha f)(x)=\\alpha f(x) \\] 로 정의하면 \\( \\mathscr{C}([a, b], C) \\) 는 복소벡터공간을 이룬다.", "여기서 벡터는 \\[ f(x)=f_{1}(x)+i f_{2}(x) \\] 와 같은 형태의 함수이고, \\( f_{1}(x), f_{2}(x) \\) 는 \\( [a, b] \\) 에서 \\( R \\) 로의 연속함수이다.", "이때 \\( f(x), g(x) \\in \\mathscr{C}([a, b], C) \\) 에 대하여 내적을 \\[<f(x), g(x)>=\\int_{a}^{b} \\overline{g(x)} f(x) d x \\] 로 정의하면, \\( \\mathscr{C}([a, b], C) \\) 는 복소내적공간이 된다.", "</p><p>복소내적공간 \\( V \\) 에서 벡터 \\( \\mathbf{u} \\) 의 노름을 \\[ \\|\\mathbf{u}\\|=\\sqrt{<\\mathbf{u}, \\mathbf{u}>} \\] 로 정의한다.", "</p><p>정리 32 복소벡터공간 \\( V \\) 에 대하여, \\( \\mathbf{u}, \\mathbf{v} \\in V \\) 일 때 다음이 성립한다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( |<\\mathbf{u}, \\mathbf{v}>| \\leq\\|\\mathbf{u}\\|\\|\\mathbf{v}\\| \\quad \\)(코시 - 슈바르츠 부등식)</li><li>\\( \\|\\mathbf{u}+\\mathbf{v}\\| \\leq\\|\\mathbf{u}\\|+\\|\\mathbf{v}\\| \\quad \\)(삼각부등식)</li></ol><p>유클리드 내적이 정의되어 있는 복소내적공간 \\( C^{n} \\) 의 두 벡터 \\[ \\mathbf{u}=\\left(a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}\\right), \\mathbf{v}=\\left(b_{1}, b_{2}, \\cdots, b_{n}\\right) \\in C^{n} \\] 에 대하여, 코시-슈바르츠 부등식 \\[ |\\mathbf{u} \\cdot \\mathbf{v}|=\\left|\\sum_{i=i}^{n} a_{i} \\bar{b}_{i}\\right| \\leq\\left(\\sum_{i=i}^{n}\\left|a_{i}\\right|^{2}\\right)^{\\frac{1}{2}}\\left(\\sum_{i=i}^{n}\\left|b_{i}\\right|^{2}\\right)^{\\frac{1}{2}}=\\|\\mathbf{u}\\|\\|\\mathbf{v}\\| \\] 과 삼각부등식 \\[ \\begin{aligned} \\|\\mathbf{u}+\\mathbf{v}\\| &=\\left(\\sum_{i=i}^{n}\\left|a_{i}+b_{i}\\right|^{2}\\right)^{\\frac{1}{2}} \\leq\\left(\\sum_{i=i}^{n}\\left|a_{i}\\right|^{2}\\right)^{\\frac{1}{2}}+\\left(\\sum_{i=i}^{n}\\left|b_{i}\\right|^{2}\\right)^{\\frac{1}{2}} \\\\ &=\\|\\mathbf{u}\\|+\\|\\mathbf{v}\\| \\end{aligned} \\] 이 성립한다.", "</p><p>예 48 유클리드 내적이 정의되어 있는 복소내적공간 \\( C^{n} \\) 에 대하여 \\[ \\mathbf{u}=(i, i, i), \\quad \\mathbf{v}=(i,-i, i) \\] 일 때, \\( \\mathbf{u} \\cdot \\mathbf{v}=1 \\) 이므로 \\[ |<\\mathbf{u}, \\mathbf{v}>|=1 \\leq 3=\\|\\mathbf{u}\\|\\|\\mathbf{v}\\| \\] 즉 코시 - 슈바르츠 부등식이 성립함을 확인할 수 있다.", "</p><p>\\(f(x), g(x) \\in \\mathscr{C}([a, b], C)\\) 라 하고, 내적을 \\[<f(x), g(x)>=\\int_{a}^{b} f(x) \\overline{g(x)} d x \\] 로 정의하면, 코시-슈바르츠 부등식 \\[ \\begin{aligned}|<\\mathbf{u}, \\mathbf{v}>| &=\\left|\\int_{a}^{b} f(x) \\overline{g(x)} d x\\right| \\leq\\left(\\int_{a}^{b} f(x) d x\\right)^{\\frac{1}{2}}\\left(\\int_{a}^{b} g(x) d x\\right)^{\\frac{1}{2}} \\\\ &=\\|\\mathbf{u}\\|\\|\\mathbf{v}\\| \\end{aligned} \\] 와 삼각부등식 \\[ \\begin{aligned} \\|\\mathbf{u}+\\mathbf{v}\\| &=\\left(\\int_{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{2}\\right)^{\\frac{1}{2}} \\leq\\left(\\int_{a}^{b}|f(x)|^{2}\\right)^{\\frac{1}{2}}+\\left(\\int_{a}^{b}|g(x)|^{2}\\right)^{\\frac{1}{2}} \\\\ &=\\|\\mathbf{u}\\|+\\|\\mathbf{v}\\| \\end{aligned} \\] 이 성립한다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "412", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "선형대수학 입문_벡터공간", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-4751-4662-81ab-ed8493cb05dd", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961057219", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2013", "doc_author": [ "이병무" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>일반적으로 실수 \\( a, b \\) 에 관하여 \\( a<b \\) 라 할 때 \\[ \\{x \\mid a \\leq x \\leq b\\}=[a, b] \\text { : 폐구간 (닫힌구간) } \\\\ \\{x \\mid a \\leq x<b\\}=[a, b) \\text { : 폐개구간 (닫힌 열린구간) } \\] \\[ \\{x \\mid a<x \\leq b\\}=(a, b] \\text { : 개폐구간 (열린 닫힌구간) } \\\\ \\{x \\mid a<x<b\\}=(a, b) \\text { : 개구간 (열린구간) } \\] 를 어느 것이나 \\( a, b \\) 를 양 끝점으로 하는 구간이라 한다. 구간 \\[ \\begin{array}{l} \\{x \\mid x \\geq a\\}=[a, \\infty), \\quad\\{x \\mid x>", "a\\}=(a, \\infty) \\\\ \\{x \\mid x \\leq a\\}=(-\\infty, a], \\quad\\{x \\mid x<a\\}=(-\\infty, a) \\end{array} \\] 도 미적분학에서 자주 쓰인다.", "</p><p>한편 집합의 원소 개수관점에서 집합을 분류해 보면 유한개 원소를 갖는 집합을 유한집합(finite set)이라 하고, 유합집합이 아닌 집합을 무한집합(infinite set)이라고 한다.", "특히 단 한 개의 원소로 이루어진 집합을 한원소집합(singleton)이라고 한다.", "원소를 하나도 포함하지 않은 집합을 공집합(empty set)이라고 하고 { } 또는 \\( \\phi \\) 로 표시한다.", "</p><p>앞으로 자주 사용되는 몇 개의 집합의 표시법을 익혀두자.", "</p><ul><li>\\( \\mathbb{N}= \\) 자연수(natural number) 전체의 집합</li><li>\\( \\mathbb{Z}= \\) 정수(integer) 전체의 집합</li><li>\\( \\mathbb{N}_{0}=\\{2 n \\mid n \\in \\mathbb{N}\\} \\)</li><li>\\( \\mathbb{N}_{1}=\\{2 n-1 \\mid n \\in \\mathbb{N}\\} \\)</li><li>\\( \\mathbb{Q}= \\) 유리수(rational number) 전체의 집합</li><li>\\( \\mathbb{Q}_{+}=\\{x \\in \\mathbb{Q} \\mid x>0\\} \\)</li><li>\\( \\mathbb{R}= \\) 실수 전체의 집합</li><li>\\( \\mathbb{R}_{+}=\\{x \\in \\mathbb{R} \\mid x>0\\} \\)</li><li>\\( I=[0,1] \\quad \\) (단위구간)</li></ul><p>집합론의 증명과정에서 자주 사용되는 몇 가지 용어를 축약해 둔다.", "즉,<ul><li>존재한다(Exist): \" \\( \\exists \\)\"</li><li>대하여(For):</li><li>임의의(모든)(All 혹은 Arbitrary): \" \\( \\forall \\) \"</li><li>필요충분조건(if and only if): \"\\(\\leftrightarrow \\)\"</li></ul>을 기억하자.", "</p><p>연습문제 \\( 2.1 \\)</p><p>\\(1\\).", "다음의 모임을 집합이라고 할 수 있겠는가?", "집합이라고 할 수 없을 때는 그 이유를 설명하여라.", "</p><ol type= start=1><li>문자 \\( a, b, c, d \\) 의 모임</li><li>서로 다른 실수 \\( a, b \\) 에 대하여 \\( a \\) 와 \\( b \\) 사이에 있는 모든 실수의 모임</li><li>제곱하여 \\(3\\)이 되는 유리수의 모임</li><li>아름다운 여자의 모임</li><li>몸이 튼튼하고 마음이 곧은 남자의 모임</li></ol><p>\\(2\\).", "다음 집합을 원소나열법으로 표시하여라. \\", "[ \\begin{aligned} X &=\\{x \\in \\mathbb{N} \\mid x<10\\}, & Y=\\left\\{x \\in \\mathbb{Z} \\mid x^{2} \\leq 36\\right\\} \\\\ T &=\\left\\{x \\in \\mathbb{Q} \\mid 10 x^{2}+3 x-1=0\\right\\}, & W=\\left\\{x \\in \\mathbb{R} \\mid x^{3}+1=0\\right\\} \\end{aligned} \\]</p><p>\\(3\\).", "다음 집합을 조건제시법으로 나타내어라. \\", "[ \\begin{array}{ll} X=\\{3,4,5,6\\}, & Y=\\{1,3,5,7,9, \\cdots\\} \\\\ T=\\{1-\\sqrt{3}, 1+\\sqrt{3}\\}, & W=\\{-\\sqrt{2}, \\sqrt{2}\\} \\end{array} \\]</p> <h1>2.1 집합</h1><p>집합에 관한 정의는 칸토어(George Cantor, 1845 1918)가 1895년에 발표한 논문 \"Beiträge zur Begründung der ransfiniten Mengenlehre(초한 집합론 설립에의 기여)\"에서 다음과 같이 직관적으로 정의하였다.", "</p><p>\"직관 또는 사고의 대상으로서 내용규정이 명확하고 내용물들이 뚜렷이 구분 되는 소위 원소(element)들의 모임을 집합(set)이라고 한다\"</p><p>집합을 이루고 있는 내용물 각각을 원소(element)라 한다.", "</p><p>위의 집합의 정의에서 내용규정이 명확하다는 것은 임의의 것을 취했을 때 그것이 그 집합의 원소인지 아닌지를 판정할 수 있음을 의미하고, 내용물이 뚜렷이 구분된다는 것은 취급하고 있는 대상의 임의의 두 개를 취해도 그것들이 같든가 또는 다르다든가를 판정할 수 있음을 의미한다.", "</p><p>예를 들면, \"착한 사람들의 모임\"은 어떤 사람이 착한 사람인지 혹은 아닌지 의 규명이 명확하지 않아서 집합이라고 볼 수 없다.", "</p><p>다음은 집합의 예이다.", "</p><ol type=a start=1><li>A 대학의 수학과 학생들의 모임</li><li>모든 자연수의 모임</li><li>\\(0\\) 과 \\(1\\) 사이의 유리수들의 모임</li></ol><p>집합은 보통 영문 대문자 \\( A, B, \\cdots \\) 로 표시하고 원소는 보통 영문 소문자 \\( a, b, c, \\cdots \\) 로 표시한다. \\", "( x \\) 가 집합 \\( X \\) 의 원소임을 \\( x \\in X \\) 또는 \\( X \\ni x \\) 로 표시하고 \"\\( x \\) 는 \\( X \\) 에 속한다\" 또는 \" \\( X \\) 는 \\( x \\) 를 품는다\"라고 말한다.", "</p><p>한편 \\( y \\) 가 집합 \\( X \\) 의 원소가 아님을 \\( y \\notin X \\) 또는 \\( X \\notni y \\) 로 표시하고, \" \\( y \\) 는 \\( X \\) 에 속하지 않는다\" 또는 \" \\( X \\) 는 \\( y \\) 를 품지 않는다\"라고 말 한다.", "</p><p>집합의 표시 방법으로 두 가지를 소개한다.", "즉, 모든 원소를 열거하여 집합을 정의하는 것을 집합의 원소나열법 또는 외연적 정리라고 하고 집합의 원소의 성질을 기술하여 집합을 정의하는 것을 조건제시법(builder notation) 또는 집합의 내포적 정의라고 한다.", "예를 들면, 1 에서 10 까지 짝수들의 모임을 집합 \\( X \\) 로 표시하는 방법을 알아보자.", "즉</p><p>\\((1)\\) 집합 \\( X \\) 의 원소는 \\( 2,4,6,8,10 \\) 이므로 \\[ X=\\{2,4,6,8,10\\} \\] 으로 표시하면 원소나열법으로 집합 \\( X \\) 를 표현하는 것이고</p><p>\\((2)\\) \\( X=\\{x \\mid x \\) 는 짝수이다, \\( 1 \\leq x \\leq 10\\} \\) 으로 표시하면 조건제시법에 의하여 집합 \\( X \\) 를 표현한 것이다.", "</p><p>예제 \\(1\\)</p><p>\\(3\\)차원 직교좌표계에서 단위구(unit sphere)를 다음과 같이 조건제시법에 의하여 표시한다.", "즉 \\[ S=\\left\\{(x, y, z) \\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\\right\\} \\] 이다.", "</p><p>예제 \\(2\\)</p><p>\\(3\\)차원 직교좌표계에서 \\( a x+b y+c z=0 \\) 을 만족하는 원점을 지나는 점들의 집합인 한 평면을 다음과 같이 조건제시법으로 표시한다.", "즉 \\[ P=\\{(x, y, z) \\mid a x+b y+c z=0\\} \\] 이다.", "</p> <p>정리 \\(1\\)</p><p>공집합은 모든 집합의 부분집합이다.", "</p><p>증명</p><p>\\((1)\\) 위 명제 “임의의 집합 \\( A \\) 에 대하여 \\( \\phi \\subset A \\) 이다\"의 대우명제를 생각하자. 즉, '임의의 \\( x \\notin A, x \\notin \\phi \\) 이다'는 자명한 명제이다. 그러므로 대우명제와 명제는 진리표가 같으므로 정리는 증명된다.</p><p>\\((2)\\) 또 다른 방법으로, 임의의 집합 \\( A \\) 에 대하여, 임의의 \\( x \\in \\phi \\) 이면 \\( x \\in A \\) 임을 보이면 되는데 가정 “ \\( x \\in \\phi \\) \"이 거짓이므로 합성명제 \" \\( x \\in \\phi \\) 이면 \\( x \\in A \\) \"은 항진명제이다.", "</p><p>정리 \\(2\\)</p><ol type= start=1><li>\\( A \\subset A \\)</li><li>\\( A \\subset B \\subset A \\Leftrightarrow A=B \\)</li><li>\\( A \\subset B \\subset C \\Rightarrow A \\subset C \\)</li></ol><p>증명</p><p>\\((3)\\)의 증명만 하겠다.", "임의의 \\( x \\in A \\) 이면 \\( x \\in B \\) 이다 \\( (\\because A \\subset B) \\).", "그리고 임의의 \\( x \\in B \\) 이면 \\( x \\in C \\) 이다 \\( (\\because B \\subset C) \\).", "그러므로 임의의 \\( x \\in A \\) 이면 \\( x \\in C \\) 이므로 \\( A \\subset C \\) 이다.", "</p><p>어떤 집합 \\( X \\) 의 모든 부분집합들로써 이루어진 집합은 한 집합족을 형성하는데 이것을 \\( X \\) 의 멱집합(power set)이라 하고 \\( P(X) \\) 혹은 \\( 2^{X} \\) 으로 표시한다.", "</p><p>예제 \\(1\\)</p><p>집합 \\( X=\\left\\{x_{1}, x_{2}, x_{3}, \\cdots, x_{n}\\right\\} \\) 의 멱집합의 원소의 개수를 구하여라.", "</p><p>풀이</p><p>\\( r \\) 개의 원소를 갖는 \\( X \\) 의 부분집합의 개수는 \\( n \\) 개의 원소 \\( x_{1}, x_{2}, x_{3}, \\cdots, x_{n} \\) 에서 \\( r \\) 개의 원소를 취한 조합(combination) \\( { }_{n} C_{r} \\) 이므로 \\( P(X) \\) 의 원소의 개수는 \\[ { }_{n} C_{0}+{ }_{n} C_{1}+{ }_{n} C_{2}+\\cdots+{ }_{n} C_{n}=(1+1)^{n}=2^{n} \\] 이다.", "</p><h2>연습문제 2.2</h2><p>\\(1\\).", "집합 \\( A \\) 의 부분집합 \\( B \\) 에 대하여 \\( P(A: B)=\\{X \\in P(A) \\mid X \\supseteq B\\} \\) 라고 놓는다. \\", "( A= \\{x, y, z, w\\}, B=\\{x, y\\} \\) 일 때 집합 \\( P(A: B) \\) 를 원소나열법으로 나타내어라.", "아울러 \\( P(A: B) \\) 의 원소의 개수를 밝혀라.", "</p><p>\\(2\\).", "집합 \\( A, B \\) 가 \\( A \\subseteq B \\) 이면 \\( P(A) \\subseteq P(B) \\) 임을 증명하여라.", "</p> <h1>2.3 합집합, 교집합, 여집합</h1><p>집합의 여러 가지 연산과 성질을 알아보자.", "</p><p>정의 \\(3\\)</p><p>임의의 두 집합 \\( X, Y \\) 에 대하여 \\( X \\) 또는 \\( Y \\) 에 속하는 모든 원소로 이루어진 집합을 \\( X \\) 와 \\( Y \\) 의 합집합(union)이라 하고 \\( X \\cup Y \\) 로 표시한다.", "즉, \\[ X \\cup Y=\\{x \\mid x \\in X \\text { 혹은 } x \\in Y\\} \\] 이다.", "</p><p>정의 \\(4\\)</p><p>임의의 두 집합 \\( X \\) 와 \\( Y \\) 에 대하여 \\( X \\) 와 \\( Y \\) 에 동시에 속하는 원소로 이루어진 집합을 \\( X \\) 와 \\( Y \\) 의 교집합(intersection)이라 하고 \\( X \\cap Y \\) 로 표시한다.", "즉, \\[ X \\cap Y=\\{x \\mid x \\in X, x \\in Y\\} \\] 이다.", "</p><p>특히, \\( X \\cap Y=\\phi \\) 이면 집합 \\( X, Y \\) 는 서로소(disjoint)인 집합이라고 한다.", "예를 들면, \\[ X=\\{a, b, c, d\\}, \\quad Y=\\{e, f, g\\} \\] 이면 그 \\( X \\) 와 \\( Y \\) 는 서로소인 집합이다.", "</p><p>정의 \\(5\\)</p><p>두 집합 \\( X, Y \\) 에 대하여 \\( X \\) 의 원소들 중에서 \\( Y \\) 와 공통인 원소를 제외한 \\( X \\) 의 나머지 원소들로 이루어진 집합을 \\( X \\) 에 대한 \\( Y \\) 의 차집합 또는 \\( X \\) 에 관한 \\( Y \\) 의 여집합(complement of \\( Y \\) over \\( X \\) )이라고 하고 \\( X-Y \\) 로 표시한다.", "</p><p>예제 \\(4\\)</p><p>\\( X=\\{a, b, c, d\\}, Y=\\{c, d, e, f\\} \\) 라고 할 때 \\( X-Y=\\{a, b\\} \\) 이다.", "</p><p>수학적 문제상황에서 사고의 최대한 영역이 설정되어 있다.", "즉, 입체기하학에서는 \\( \\mathbb{R}^{3} \\) 공간, 평면기하학에서는 평면 \\( \\mathbb{R}^{2} \\), 실수의 고찰에서는 실수 전체의 집합을 예로 들 수 있다.", "이와 같은 영역을 그 문제상황에서 전체집합(universal set) 혹은 모집합(母集合)이라 하고 \\( U \\) 로 표시한다.", "</p><p>여기서 전체집합에 관한 집합 \\( A \\) 의 여집합, \\( U-A \\) 를 \\( A \\) 의 여집합이라 하고 \\( A^{C} \\) 로 표시한다.", "</p><p>예제 \\(5\\)</p><p>전체집합으로서 자연수 전체집합을 설정할 때 짝수들의 집합 \\( \\mathbb{N}_{0} \\) 의 여집합은 홀수들의 집합 \\( \\mathbb{N}_{1} \\) 이 됨을 쉽게 알 수 있다. \\", "[ \\text { 즉, } \\mathbb{N}_{0}^{C} \\equiv \\mathbb{N}-\\mathbb{N}_{0}=\\mathbb{N}_{1} \\]</p> <p>정리 \\(5\\)</p><p>집합 \\( A, B \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "</p><ol type= start=1><li>\\( A \\subset B \\Leftrightarrow B^{C} \\subset A^{C} \\)</li><li>\\( A, B \\subset C \\Leftrightarrow A \\cup B \\subset C \\)</li><li>\\( C \\subset A, C \\subset B \\Leftrightarrow C \\subset A \\cap B \\)</li></ol><p>증명</p><p>\\((1)\\), \\((2)\\)는 독자에게 연습문제로 남긴다. \\", "((3)\\)을 증명한다. \\", "( (\\Rightarrow) \\) 임의의 \\( x \\in C \\Rightarrow x \\in A, x \\in B \\Rightarrow x \\in A \\cap B \\) 이다. \\", "( (\\Leftarrow) \\) 임의의 \\( x \\in C \\Longrightarrow x \\in A, x \\in B(\\because C \\subset A \\cap B) \\Rightarrow C \\subset A, C \\subset B \\) 이다.", "더 나아가 \\( A \\subset C, B \\subset D \\) 이면 \\( A \\cup B \\subset C \\cup D \\) 이고 \\( A \\cap B \\subset C \\cap D \\) 도 성립한다.", "</p><p>정리 \\(6\\)</p><p>다음 명제들은 서로 동치이다.", "</p><ol type= start=1><li>\\( A \\subset B \\)</li><li>\\( A=A \\cap B \\)</li><li>\\( B=A \\cup B \\)</li></ol><p>증명</p><p>생략</p><p>집합에 관한 어떤 명제에서 합집합 \\( \\cup \\) 와 교집합 \\( \\cap \\) 을 서로 바꾸고 전체집합 \\( U \\) 와 공집합 \\( \\phi \\) 를 서로 바꾼 명제를 쌍대(duality)라 한다.", "</p><p>예제 \\(7\\)</p><p>명제 \\( (\\phi \\cap B) \\cup(A \\cap U)=A \\) 의 쌍대는 \\( (U \\cup B) \\cap(A \\cup \\phi)=A \\) 이다.", "</p><h2>연습문제 2.3</h2><p>\\(1\\). \\", "( A-B=A \\cap B^{C} \\) 임을 증명하라.", "</p><p>\\(2\\).", "정리 \\(3\\) 의 \\((1)\\)~\\((7)\\)을 차례로 증명하여라.", "</p><p>\\(3\\).", "정리 \\(5\\) 의 \\((1)\\)~ \\((2)\\)를 차례로 증명하여라.", "</p><p>\\(4\\).", "정리 \\(6\\)을 증명하여라.", "</p><p>\\(5\\).", "임의의 세 집합 \\( A, B, C \\) 에 대하여 다음이 성립함을 증명하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( (A \\cap B \\cap C)^{C}=A^{C} \\cup B^{C} \\cup C^{C} \\)</li><li>\\( (A \\cup B \\cup C)^{C}=A^{C} \\cap B^{C} \\cap C^{C} \\)</li></ol><p>\\(6\\).", "임의의 두 집합 \\( A, B \\) 에 대하여 다음이 성립함을 증명하여라. \\", "[ (A-B) \\cup(B-A)=(A \\cup B)-(A \\cap B) \\]</p> <p>정리 \\(3\\)</p><p>집합 \\( A, B, C \\) 에 관하여 다음과 같은 집합의 연산이 성립한다.", "</p><ol type= start=1><li>\\( A-B=A \\cap B^{C} \\)</li><li>\\( \\phi^{C}=U, \\quad U^{C}=\\phi \\)</li><li>\\( \\left(A^{C}\\right)^{C}=A \\)</li><li>\\( \\left(\\begin{array}{l}A \\cup \\phi=A \\\\ A \\cap U=A\\end{array}\\right) \\) (항등법칙: identity law)</li><li>\\( \\left(\\begin{array}{l}A \\cup A=A \\\\ A \\cap A=A\\end{array}\\right) \\) (멱등법칙: idempotent law)</li><li>\\( \\left(\\begin{array}{c}A \\cup B=B \\cup A \\\\ A \\cap B=B \\cap A\\end{array}\\right) \\) (교환법칙: commutative law)</li><li>\\( \\left(\\begin{array}{l}A \\cup(B \\cup C)=(A \\cup B) \\cup C \\\\ A \\cap(B \\cap C)=(A \\cap B) \\cap C\\end{array}\\right) \\) (결합법칙: associative law)</li><li>\\( \\left(\\begin{array}{l}A \\cap(B \\cup C)=(A \\cap B) \\cup(A \\cap C) \\\\ A \\cup(B \\cap C)=(A \\cup B) \\cap(A \\cup C)\\end{array}\\right) \\) (분배법칙: distributive law)</li></ol><p>증명</p><p>\\((1) (7)\\)의 증명은 독자의 연습문제로 남긴다. \\", "((8)\\)을 증명한다.", "</p><p>임의의 \\( x \\in A \\cap(B \\cup C) \\Leftrightarrow x \\in A, x \\in B \\cup C \\\\ \\Leftrightarrow x \\in A, \\quad(x \\in B \\) 혹은 \\( x \\in C) \\\\ \\Leftrightarrow x \\in A, x \\in B \\) 혹은 \\( x \\in A, x \\in C \\\\ \\Leftrightarrow x \\in A \\cap B \\) 혹은 \\( x \\in A \\cap C \\\\ \\Leftrightarrow x \\in(A \\cap B) \\cup(A \\cap C) \\)</p><p>정리 \\(4\\) 드 모르간 법칙(De Morgan law)</p><ol type= start=1><li>\\( (A \\cup B)^{C}=A^{C} \\cap B^{C} \\)</li><li>\\( (A \\cap B)^{C}=A^{C} \\cup B^{C} \\)</li></ol><p>증명</p><p>\\((1)\\) 임의의 \\[ \\begin{aligned} x \\in(A \\cup B)^{C} & \\Leftrightarrow x \\notin A \\cup B \\\\ & \\Leftrightarrow x \\notin A, x \\notin B \\\\ & \\Leftrightarrow x \\in A^{C}, x \\in B^{C} \\\\ & \\Leftrightarrow x \\in A^{C} \\cap B^{C} \\end{aligned} \\]</p><p>\\((2)\\) \\((1)\\)의 \\( A, B \\) 대신에 \\( A^{C}, B^{C} \\) 를 대입하면 \\( \\left(A^{C} \\cup B^{C}\\right)^{C}=\\left(A^{C}\\right)^{C} \\cap\\left(B^{C}\\right)^{C} =A \\cap B \\) 이다.", "양변에 여집합을 취하면 \\( A^{C} \\cup B^{C}=(A \\cap B)^{C} \\).", "</p><p>예제 \\(6\\)</p><p>임의의 집합 \\( A, B \\) 에 대하여 \\( A-B=A-(A \\cap B) \\) 임을 보여라.", "</p><p>풀이</p><p>\\( \\begin{aligned} A-(A \\cap B) &=A \\cap(A \\cap B)^{C} \\\\ &=A \\cap\\left(A^{C} \\cup B^{C}\\right) \\\\ &=\\left(A \\cap A^{C}\\right) \\cup\\left(A \\cap B^{C}\\right) \\\\ &=\\phi \\cup\\left(A \\cap B^{C}\\right) \\\\ &=A-B \\end{aligned} \\)</p> <h1>2.2 부분집합, 집합의 상등</h1><p>두 집합 \\( X \\) 와 \\( Y \\) 가 같다", "혹은 상등(相等)하다는 것은 같은 내용규정이 주어진 것으로 생각할 수 있다.", "즉,</p><p>정의 \\(1\\)</p><p>두 집합 \\( X, Y \\) 에 대하여 “ \\( X \\) 와 \\( Y \\) 는 같다\"라는 것은 \\( X \\) 의 원소와 \\( Y \\) 의 원소가 같음을 의미한다.", "즉, \\( X=Y \\) 의 의미는 임의의 \\( x \\in X \\Rightarrow x \\in Y \\) 이고 임의의 \\( y \\in Y \\Rightarrow y \\in X \\) 임을 뜻한다.", "</p><p>한편 \\( X \\) 와 \\( Y \\) 가 같지 않을 때 \\( X \\neq Y \\) 로 표현한다.", "집합의 원소를 표시할 때 그 순서는 개의치 않는다.", "즉, \\( \\{x, y, z\\} \\) 나 \\( \\{y, z, x\\} \\) 는 같은 집합이다.", "</p><p>집합의 정의에서 언급했듯이 집합의 원소들은 서로 상이(相異)하여야 하므로 \\( \\{x, x, y\\} \\) 는 집합으로서 부적절한 표현이다.", "즉, 집합 \\( \\{x, x, y\\} \\) 는 \\( \\{x, y\\} \\) 로 표현해야 한다.", "</p><p>집합을 원소로 하는 집합을 집합족(family of set)이라 한다.", "예를 들면, A대학교 수학과 학생회는 학술부, 섭외부, 홍보부, 총무부로 이루어져 있다고 가정하자.", "각 부서는 여러 학생들로 구성된 집합이다.", "그러므로 수학과 학생회는 집합 학술부, 섭외부, 홍보부, 총무부를 원소로 갖는 집합족인 것이다.", "집합족의 개념과 집합의 개념과의 구별성을 생각해 본다.", "즉 \\( \\{a\\} \\) 와 \\( a \\) 는 같지 않고 집합 \\( \\mathrm{A} \\) 와 집합족 \\( \\{A\\} \\) 는 다른 것이다.", "</p><p>정의 2</p><p>집합 \\( A \\) 의 모든 원소가 집합 \\( B \\) 의 원소일 때 \\( A \\) 는 \\( B \\) 의 부분집합(subset)이라고 한다.", "또는 \\( A \\) 는 \\( B \\) 에 포함된다, 혹은 집합 \\( B \\) 는 집합 \\( A \\) 를 포함한다, 혹은 \\( B \\) 는 \\( A \\) 의 초집합(super set)이라 하고 \\[ A \\subset B \\text { 또는 } B \\supset A \\] 로 표시한다.", "</p><p>예를 들면, \\( \\{a, b\\} \\subset\\{a, b, c\\} \\) 이고 홀수 전체의 집합 \\( \\{2 n-1 \\mid n \\in \\mathbb{N}\\} \\) 는 자연수 전체의 집합 \\( \\mathbb{N}=\\{1,2,3, \\cdots\\} \\) 의 부분집합이다.", "</p><p>부분집합의 정의에 의하여 모든 집합 \\( A \\) 에 대하여 \\( A \\subset A \\) 이다. \\", "( A \\subset B \\) 이면서 \\( A \\neq B \\) 일 때 \\( A \\) 는 \\( B \\) 의 진부분집합(proper subset)이라 하고 역시 \\( A \\subset B \\) 로 표시하거나 \\( A \\) 가 \\( B \\) 의 진부분집합임을 강조하기 위하여 \\( A \\subsetneq B \\) 로 표시하기도 한다.", "</p><p>여기서 정의 \\(1\\) 에서 언급한 두 집합의 상등 \\[ A=B \\Leftrightarrow A \\subset B, B \\subset A \\] 임을 쉽게 이해할 수 있다.", "</p>" ]

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[ "<h2>3. 집합의 분할</h2><p>원소가 유한개인 집합을 공집합이 아닌 몇 개의 서로소인 부분집합으로 나누는 것을 집합의 분할이라고 한다.", "원소가 \\( n \\) 개인 집합을 \\( k(1 \\leq k \\leq n) \\) 개의 부분집합으로 분할하는 경우의 수를 기호로 \\( S(n, k) \\) 와 같이 나타낸다.", "예를 들어, 원소가 \\( n \\) 개인 집합을 원소의 개수가 \\( p, q, r(p+q+r=n) \\) 인 3개의 집합으로 분할하는 경우의 수는<ol type=i start=1><li>\\( p, q, r \\) 가 모두 다른 수일 때, \\( { }_{n} \\mathrm{C}_{p} \\times{ }_{n-p} \\mathrm{C}_{q} \\times{ }_{r} \\mathrm{C}_{r} \\)</li><li>\\( p, q, r \\) 중 어느 두 수가 서로 같을 때, \\( { }_{n} \\mathrm{C}_{p} \\times{ }_{n-p} \\mathrm{C}_{q} \\times{ }_{r} \\mathrm{C}_{r} \\times \\frac{1}{2 !} \\)</li><li>\\( p, q, r \\) 의 세 수가 모두 같을 때, \\( { }_{n} \\mathrm{C}_{p} \\times{ }_{n-p} \\mathrm{C}_{q} \\times{ }_{r} \\mathrm{C}_{r} \\times \\frac{1}{3 !} \\)</li></ol></p><p>참고로, (1) \\( n \\geq 1 \\) 일 때, \\( S(n, 1)=1, S(n, n)=1, S(n, n-1)={ }_{n} \\mathrm{C}_{2} \\) \\( n \\geq 2 \\) 일 때, \\( S(n, 2)=2^{n-1}-1 \\) \\( 1 \\leq k \\leq n-1 \\) 일 때, \\[ S(n, k)=k S(n-1, k)+S(n-1, k-1) \\] (2) \\( S(n, k) \\) 에서 \\( S \\) 는 Stirling number (스털링의 수)의 첫 글자이다. \\", "( S(n, k) \\) 를 제2종 스털링수라고 부른다.", "(3) 서로 다른 공 \\( n \\) 개를 같은 종류의 상자 \\( k \\) 개에 넣을 때, 빈 상자가 없도록 넣는 경우의 수는 원소의 개수가 \\( n \\) 인 집합을 \\( k \\) 개의 부분집합으로 분할하는 경우의 수 \\( S(n, k) \\) 와 같다.", "(4) 원소의 개수가 \\( n \\) 인 집합의 분할의 수는 집합을 \\( n \\) 개 이하의 부분집합으로 분할하는 경우의 수이므로 다음과 같다. \\", "[ \\sum_{k=1}^{n} S(n, k) \\] (5) 원소가 \\( n \\) 개인 집합을 \\( k(1 \\leq k \\leq n) \\) 개의 원순열로 분할하는 경우의 수를 기호로 \\( c(n, k) \\) 와 같이 나타낸다. \\", "( n \\geq 1 \\) 일 때, \\( S(n, 1)=(n-1) !, S(n, n)=1, S(n, n-1)={ }_{n} \\mathrm{C}_{2} \\) \\( 1 \\leq k \\leq n-1 \\) 일 때, \\[ c(n, k)=(n-1) c(n-1, k)+c(n-1, k-1) \\] 예를 들어, \\( S(6,3)=90, c(6,3)=225 \\)</p> <h2>2. 이항계수의 성질</h2><p>자연수 \\( n, k(n \\geq k) \\) 에 대하여 \\( \\left(\\begin{array}{l}n \\\\ k\\end{array}\\right)=\\frac{n !}{k !", "(n-k) !} \\) 이고 \\( \\left(\\begin{array}{l}n \\\\ 0\\end{array}\\right)=1 \\) 만약 \\( n<k \\) 이거나 \\( k<0 \\) 이면 \\( \\left(\\begin{array}{l}n \\\\ k\\end{array}\\right)=0 \\) 이항계수의 성질은 다음과 같다.", "(1) \\( \\left(\\begin{array}{l}n \\\\ k\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c}n \\\\ n-k\\end{array}\\right) \\) (대칭성) (2) \\( \\left(\\begin{array}{l}n \\\\ k\\end{array}\\right)+\\left(\\begin{array}{c}n \\\\ k+1\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{l}n+1 \\\\ k+1\\end{array}\\right)( \\) 파스칼의 공식 \\( ) \\) \\( \\because \\) 집합 \\( \\left\\{x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}, x_{n+1}\\right\\} \\) 에서 \\( k+1 \\) 개를 뽑을 때, \\( x_{n+1} \\) 을 포함하고 \\( k+1 \\) 개를 뽑는 경우의 수는 \\( \\left(\\begin{array}{l}n \\\\ k\\end{array}\\right) \\) 이고 \\( x_{n+1} \\) 을 포함하지 않고 \\( k+1 \\) 개를 뽑는 경우의 수는 \\( \\left(\\begin{array}{c}n \\\\ k+1\\end{array}\\right) \\) (3) \\( \\left(\\begin{array}{l}n \\\\ k\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{l}k \\\\ m\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ m\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{l}n-m \\\\ k-m\\end{array}\\right) \\) 특히 \\( k\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ k\\end{array}\\right)=n\\left(\\begin{array}{l}n-1 \\\\ k-1\\end{array}\\right) \\) \\( \\because \\) 좌변은 \\( n \\) 명의 사람 중에서 \\( k \\) 명의 위원을 뽑고, 선택한 \\( k \\) 명의 위원 중에서 \\( m \\) 명의 지도자를 뽑는 방법의 수를 나타낸다.", "그리고 우변은 \\( n \\) 명의 사람 중에서 \\( m \\) 명의 지도자를 먼저 선택하고 남은 \\( n-m \\) 명 중 \\( k-m \\) 명의 위원을 뽑는 방법의 수이다.", "</p><p>(4) \\( \\left(\\begin{array}{l}n \\\\ 0\\end{array}\\right)+\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ 1\\end{array}\\right)+\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ 2\\end{array}\\right)+\\cdots+\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ n\\end{array}\\right)=2^{n} \\) \\[ \\left(\\begin{array}{l} n \\\\ 0 \\end{array}\\right)-\\left(\\begin{array}{l} n \\\\ 1 \\end{array}\\right)+\\left(\\begin{array}{l} n \\\\ 2 \\end{array}\\right)-\\cdots+(-1)^{n}\\left(\\begin{array}{l} n \\\\ n \\end{array}\\right)=0 \\text { 즉 }\\left(\\begin{array}{l} n \\\\ 0 \\end{array}\\right)+\\left(\\begin{array}{l} n \\\\ 2 \\end{array}\\right)+\\left(\\begin{array}{l} n \\\\ 4 \\end{array}\\right)+\\cdots=\\left(\\begin{array}{l} n \\\\ 1 \\end{array}\\right)+\\left(\\begin{array}{l} n \\\\ 3 \\end{array}\\right)+\\left(\\begin{array}{l} n \\\\ 5 \\end{array}\\right)+\\cdots \\] \\( \\because(1+x)^{n}=\\sum_{k=0}^{n}\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ k\\end{array}\\right)x^{k} \\) 에서 \\( x=1, x=-1 \\) 을 대입하면 된다.", "(5) \\( \\left(\\begin{array}{l}n \\\\ 1\\end{array}\\right)+2\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ 2\\end{array}\\right)+3\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ 3\\end{array}\\right)+\\cdots+n\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ n\\end{array}\\right)=n \\cdot 2^{n-1} \\) \\( \\because(1+x)^{n}=\\sum_{k=0}^{n}\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ k\\end{array}\\right) x^{k} \\) 의 양변을 \\( x \\) 에 관해 미분하면 \\( n(1+x)^{n-1}=\\sum_{k=1}^{n} k\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ k\\end{array}\\right)x^{k-1} \\) 을 얻고, \\( x=1 \\) 을 대입하면 된다.", "또는 식 (\\(2\\))를 이용하면 된다. \\", "[ \\sum_{k=1}^{n} k\\left(\\begin{array}{l} n \\\\ k \\end{array}\\right)=\\sum_{k=1}^{n} n\\left(\\begin{array}{l} n-1 \\\\ k-1 \\end{array}\\right)=n \\sum_{k=0}^{n-1}\\left(\\begin{array}{c} n-1 \\\\ k \\end{array}\\right)=n 2^{n-1} \\]</p> <h2>4. 자연수의 분할</h2><p>자연수 \\( n \\)을 자신보다 크지 않은 자연수 \\( n_{1}, n_{2}, \\cdots, n_{k} \\) 의 합으로 \\[ n=n_{1}+n_{2}+\\cdots+n_{k}\\left(n \\geq n_{1} \\geq n_{2} \\geq \\cdots \\geq n_{k}\\right) \\] 와 같이 나타내는 것을 자연수의 분할이라고 한다.", "</p><p>자연수 \\( n \\) 을 \\( k(1 \\leqq k \\leq n) \\) 개의 자연수로 분할하는 경우의 수를 기호로 \\( P(n, k) \\) 와 같이 나타낸다.", "</p><p>참고로, (\\(1\\)) \\( n \\geq 1 \\) 일 때, \\( P(n, 1)=1, P(n, n)=1 \\) (\\(2\\)) \\( P(n, k) \\) 에서 \\( P \\) 는 분할을 뜻하는 Partition의 첫 글자이다.", "(\\(3\\)) 같은 종류의 공 \\( n \\) 개를 같은 종류의 상자 \\( k \\) 개에 넣을 때, 빈 상자가 없도록 넣는 경우의 수는 자연수 \\( n \\) 을 \\( k \\) 개의 자연수로 분할하는 경우의 수 \\( P(n, k) \\) 와 같다.", "(\\(4\\)) 자연수 \\( n \\) 의 분할의 수는 자연수 \\( n \\) 을 \\( n \\) 개 이하의 자연수로 분할하는 경우의 수 이므로 다음과 같다. \\", "[ \\sum_{k=1}^{n} P(n, k) \\]</p><p>참고로, (\\(1\\)) 서로 다른 공 \\( n \\) 개를 서로 다른 상자 \\( k \\) 개에 넣는 경우의 수는 중복순열의 수 \\( { }_{k} \\Pi_{n}=k^{n} \\) 과 같다.", "(\\(2\\)) 같은 종류의 공 \\( n \\) 개를 서로 다른 상자 \\( k \\) 개에 넣는 경우의 수는 중복조합의 수 \\( { }_{k} H_{n} \\) 과 같다.", "(\\(3\\)) 서로 다른 공 \\( n \\) 개를 같은 종류의 상자 \\( k \\) 개에 넣을 때, 빈 상자가 없도록 넣는 경우의 수는 원소의 개수가 \\( n \\) 인 집합을 \\( k \\) 개의 부분집합으로 분할하는 경우의 수 \\( S(n, k) \\) 와 같다.", "(\\(4\\)) 같은 종류의 공 \\( n \\) 개를 같은 종류의 상자 \\( k \\) 개에 넣을 때, 빈 상자가 없도록 넣는 경우의 수는 자연수 \\( n \\) 을 \\( k \\) 개의 자연수로 분할하는 경우의 수 \\( P(n, k) \\) 와 같다.", "</p> <p>(6) \\( \\left(\\begin{array}{l}n \\\\ 0\\end{array}\\right)+\\frac{1}{2}\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ 1\\end{array}\\right)+\\frac{1}{3}\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ 2\\end{array}\\right)+\\cdots+\\frac{1}{n+1}\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ n\\end{array}\\right)=\\frac{2^{n+1}-1}{n+1} \\) \\( \\because(1+x)^{n}=\\sum_{k=0}^{n}\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ k\\end{array}\\right)x^{k} \\) 의 양변을 \\( x \\) 에 관해 구간 \\( [0,1] \\) 에서 적분하면 \\( \\sum_{k=0}^{n} \\frac{1}{k+1}\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ k\\end{array}\\right)=\\frac{2^{n+1}-1}{n+1} \\) 또는 식 (\\(2\\))를 이용하면 된다. \\", "[ \\sum_{k=0}^{n} \\frac{1}{k+1}\\left(\\begin{array}{l} n \\\\ k \\end{array}\\right)=\\sum_{k=0}^{n} \\frac{1}{n+1}\\left(\\begin{array}{l} n+1 \\\\ k+1 \\end{array}\\right)=\\sum_{k=1}^{n+1} \\frac{1}{n+1}\\left(\\begin{array}{c} n+1 \\\\ k \\end{array}\\right)=\\frac{2^{n+1}-1}{n+1} \\]</p><p>(7) \\( \\left(\\begin{array}{l}n \\\\ n\\end{array}\\right)+\\left(\\begin{array}{c}n+1 \\\\ n\\end{array}\\right)+\\left(\\begin{array}{c}n+2 \\\\ n\\end{array}\\right)+\\cdots+\\left(\\begin{array}{l}m \\\\ n\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c}m+1 \\\\ n+1\\end{array}\\right) \\) \\( \\because \\) 집합 \\( \\{1,2, \\cdots, m+1\\} \\) 에서 \\( n+1 \\) 개를 뽑는 방법의 수는 \\( \\left(\\begin{array}{l}m+1 \\\\ n+1\\end{array}\\right) \\) 이다.", "이를 다른 방법으로 구해보자. \\", "( \\{1,2, \\cdots, m+1\\} \\) 에서 \\( n+1 \\) 개를 뽑는데 최대 원소가 \\( n+1 \\) 인 경우는 \\( \\left(\\begin{array}{l}n \\\\ n\\end{array}\\right) \\) 가지이고, 최대 원소가 \\( n+2 \\) 인 경우는 \\( \\left(\\begin{array}{c}n+1 \\\\ n\\end{array}\\right) \\) 가지이고, \\( \\cdots \\), 최대 원소가 \\( m+1 \\) 인 경우는 \\( \\left(\\begin{array}{l}m \\\\ n\\end{array}\\right) \\) 가지 이다.", "조합수학적 방법에 의해 증명 끝.", "</p><p>(8) \\( \\left(\\begin{array}{l}n \\\\ 0\\end{array}\\right)+\\left(\\begin{array}{c}n+1 \\\\ 1\\end{array}\\right)+\\left(\\begin{array}{c}n+2 \\\\ 2\\end{array}\\right)+\\cdots+\\left(\\begin{array}{c}n+m \\\\ m\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c}n+m+1 \\\\ m\\end{array}\\right) \\) \\( \\because \\) (\\(7\\))을 이용하자. \\", "[ \\sum_{k=0}^{m}\\left(\\begin{array}{c} n+k \\\\ k \\end{array}\\right)=\\sum_{k=-n}^{m}\\left(\\begin{array}{c} n+k \\\\ k \\end{array}\\right)=\\sum_{k=-n}^{m}\\left(\\begin{array}{c} n+k \\\\ n \\end{array}\\right)=\\sum_{k=0}^{n+m}\\left(\\begin{array}{c} k \\\\ n \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c} n+m+1 \\\\ n+1 \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c} n+m+1 \\\\ m \\end{array}\\right) \\]</p><p>(9) \\( \\sum_{k=0}^{n}\\left(\\begin{array}{c}r \\\\ k\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{c}s \\\\ n-k\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c}r+s \\\\ n\\end{array}\\right) \\) \\( \\because \\) 우변의 \\( \\left(\\begin{array}{c}r+s \\\\ n\\end{array}\\right) \\) 은 \\( r \\) 명의 남자와 \\( s \\) 명의 여자 증에서 \\( n \\) 명을 뽑는 경우의 수이고, 좌변은 \\( k \\) 명의 남자와 \\( n-k \\) 명의 여자를 뽑는 경우의 수를 \\( k=0,1,2, \\cdots, n \\) 에 대하여 모두 더한 것이다.", "따라서 우변과 좌변은 같다.", "물론 생성함수를 이용한 별해도 가능하다.", "즉, \\( \\sum_{n=0}^{r+s}\\left(\\begin{array}{c}r+s \\\\ n\\end{array}\\right) x^{n}=(1+x)^{r+s}=(1+x)^{r}(1+x)^{s} \\) \\( =\\left[\\sum_{n=0}^{r}\\left(\\begin{array}{l}r \\\\ n\\end{array}\\right) x^{n}\\right]\\left[\\sum_{n=0}^{s}\\left(\\begin{array}{l}s \\\\ n\\end{array}\\right) x^{n}\\right] \\) \\( =\\sum_{n=0}^{r+s}\\left[\\sum_{k=0}^{n}\\left(\\begin{array}{l}r \\\\ k\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{c}s \\\\ n-k\\end{array}\\right)\\right] x^{n} \\)</p> <p>예제 \\( 5 . \\) 자연수 \\(11\\)의 분할 중에서 숫자 \\(3\\)이 두 개 이상 포함된 서로 다른 분할의 수를 구하시오. (풀이) \\", "( 11=3+3+5 \\) 이므로 숫자 \\(3\\)이 두 개 이상 포함된 자연수 \\(11\\)의 분할은 자연수 \\(5\\)의 분할에 \\( 3+3 \\) 을 더한 것과 같다. \\", "[ 5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1 \\] 이므로 숫자 \\(3\\)이 두 개 이상 포함된 자연수 \\(11\\)의 서로 다른 분할의 수는 \\(7\\)이다.", "</p><p>예제 \\( 6 . \\) 다음 뉴턴의 이항정리(Newton's Binomial Theorem)를 보이시오.", "</p><p>실수 \\(\\alpha\\)와 \\(0 \\leqq|x|<|y|\\)인 임의의 \\(x, y\\)에 대하여 \\[(x+y)^{\\alpha}=\\sum_{k=0}^{\\infty}\\left(\\begin{array}{l} \\alpha \\\\ k \\end{array}\\right) x^{k} y^{\\alpha-k} \\] 여기서, \\(\\left(\\begin{array}{l} \\alpha \\\\ k \\end{array}\\right)=\\frac{\\alpha(\\alpha-1) \\cdots(\\alpha-k+1)}{k !} \\)</p><p>(증명) 실수 \\( \\alpha \\) 와 \\( |z|<1 \\) 인 임의의 \\( z \\) 에 대하여 \\[ (1+z)^{a}=\\sum_{k=0}^{\\infty}\\left(\\begin{array}{l} \\alpha \\\\ k \\end{array}\\right) z^{k} \\] 을 증명하면 된다.", "식의 우변을 \\( f_{a}(z) \\) 라 놓자.", "그러면 \\[ f_{\\alpha}^{\\prime}(z)=\\sum_{k=1}^{\\infty} k\\left(\\begin{array}{l} \\alpha \\\\ k \\end{array}\\right) z^{k-1} \\] \\[ \\begin{array}{l} =\\sum_{k=0}^{\\infty}(k+1)\\left(\\begin{array}{c} a \\\\ k+1 \\end{array}\\right) z^{k} \\\\ =\\alpha \\sum_{k=0}^{\\infty}\\left(\\begin{array}{c} \\alpha-1 \\\\ k \\end{array}\\right) z^{k} \\\\ =\\alpha f_{a-1}(z) \\end{array} \\] 이고 \\((1+z) f_{a-1}(z)=(1+z) \\sum_{k=0}^{\\infty}\\left(\\begin{array}{c} \\alpha-1 \\\\ k \\end{array}\\right) z^{k} \\) \\[ =1+\\sum_{k=1}^{\\infty}\\left[\\left(\\begin{array}{c} \\alpha-1 \\\\ k \\end{array}\\right)+\\left(\\begin{array}{l} \\alpha-1 \\\\ k-1 \\end{array}\\right)\\right] z^{k} \\] \\[ \\begin{array}{l} =\\sum_{k=0}^{\\infty}\\left(\\begin{array}{l} \\alpha \\\\ k \\end{array}\\right) z^{k} \\\\ =f_{a}(z) \\end{array} \\] 이다.", "즉 \\( (1+z) f_{a}^{\\prime}(z)-\\alpha f_{a}(z)=0 \\) 따라서 \\( \\frac{d}{d x}\\left[\\frac{f_{a}(z)}{(1+z)^{\\alpha}}\\right]=\\frac{1}{(1+z)^{\\alpha+1}}\\left[(1+z) f_{\\alpha}^{\\prime}(z)-\\alpha f_{\\alpha}(z)\\right]=0 \\) 이므로 \\( \\frac{f_{a}(z)}{(1+z)^{a}} \\) 는 상수이다.", "그런데 \\( z=0 \\) 일 때 1 이므로 \\( f_{a}(z)=(1+z)^{a} \\)</p><p>예제 \\( 7 . \\) 자연수 \\( n \\) 에 대하여 \\( \\frac{1}{(1-z)^{n}}=\\sum_{k=0}^{\\infty}\\left(\\begin{array}{c}n+k-1 \\\\ k\\end{array}\\right) z^{k} \\) 를 보이시오.", "(풀이\\(1\\)) 조합론적인 증명을 이용하자.", "무한등비급수 \\( \\frac{1}{1-z}=\\sum_{k=0}^{\\infty} z^{k} \\) 로 시작하여 다음과 같이 쓸 수 있다. \\", "( \\frac{1}{(1-z)^{n}}=\\left(1+z+z^{2}+\\cdots\\right) \\cdots \\quad\\left(1+z+z^{2}+\\cdots\\right) \\quad\\)<caption>[n개의인자]</caption>이 \\( n \\)개의 인자의 곱에서 처음 인자에서 \\( z^{k_{1}} \\) 을 선택하고, 두 번째 인자에서 \\( z^{k_{2}} \\) 을 선택하고, \\( \\cdots, n \\) 번째 인자로부터 \\( z^{k_{n}} \\) 을 선택하여 \\( z^{k} \\) 항을 만든다고 하자.", "여기서 \\( k_{1}, k_{2}, \\cdots, k_{n} \\) 은 음이 아닌 정수이며 \\( k_{1}+k_{2}+\\cdots+k_{n}=k \\) 이다. \\", "[ z^{k_{1}} z^{k_{2}} \\cdots z^{k_{n}}=z^{k_{1}+k_{2}+\\cdots+k_{n}}=z^{k} \\] 그러므로 \\( z^{k} \\) 을 구하는 방법의 수, 즉 \\( z^{k} \\) 의 계수는 다음 방정식의 음이 아닌 정수해의 개수 와 같다. \\", "[ k_{1}+k_{2}+\\cdots+k_{n}=k \\] 우리는 이 방정식의 해가 \\( \\left(\\begin{array}{c}n+k-1 \\\\ k\\end{array}\\right) \\) 개임을 이미 알고 있다.", "<p>\\(29\\).", "집합 \\( A=\\left\\{\\frac{1}{3}, \\frac{2}{3}, \\frac{3}{3}, \\frac{4}{3}, \\frac{5}{3}, \\frac{6}{3}, \\frac{7}{3}\\right\\} \\) 의 서로 다른 세 원소를 동시에 택할 때, 세 원소의 합이 자연수가 되는 경우의 수를 구하시오. (풀이) \\", "(13\\)</p><p>\\(30\\). \\", "( \\log _{2}\\left(\\frac{{ }_{15} \\mathrm{C}_{0}}{1}+\\frac{{ }_{15} \\mathrm{C}_{1}}{2}+\\frac{{ }_{15} \\mathrm{C}_{2}}{3}+\\cdots+\\frac{{ }_{16} \\mathrm{C}_{15}}{16}+\\frac{1}{16}\\right) \\) 의 값을 구하시오. (풀이) \\", "(12\\)</p><p>\\(31\\). \\", "( \\left(1+x^{2}\\right)^{2}+\\left(1+x^{2}\\right)^{3}+\\left(1+x^{2}\\right)^{4}+\\cdots+\\left(1+x^{2}\\right)^{10} \\) 의 전개식에서 \\( x^{4} \\) 의 계수는?", "<ol type=1 start=1><li>\\( { }_{10} \\mathrm{C}_{2} \\)</li><li>\\( { }_{10} \\mathrm{C}_{3} \\)</li><li>\\( { }_{10} \\mathrm{C}_{4} \\)</li><li>\\( { }_{11} \\mathrm{C}_{3} \\)</li><li>\\( { }_{11} \\mathrm{C}_{4} \\)</li></ol>(풀이) 답은 ④</p><p>\\(32\\). \\", "( P(n, 3)=\\left\\{\\frac{n^{2}}{12}\\right\\} \\) 임을 보이시오.", "(단, \\( \\{x\\} \\) 는 \\( x \\) 에 가장 가까운 정수.)</p><p>\\(33\\).", "다음 식을 간단히 하시오.", "<ol type=1 start=1><li>\\( \\sum_{k=1}^{n} k^{2}\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ k\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( \\sum_{k=2}^{n} k(k-1)\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ k\\end{array}\\right) \\)</li></ol>(풀이)<ol type=1 start=1><li>\\(n(n+1) 2^{n-2} \\)</li><li>\\( n(n-1) 2^{n-2} \\)</li></ol></p><p>\\(34\\).", "다음을 보이시오.", "<ol type=1 start=1><li>\\( c(n, 2)=\\sum_{k=1}^{n-1} \\frac{(n-1) !}{k} \\)</li><li>\\( c(n, n-2)=\\frac{1}{24} n(n-1)(n-2)(3 n-1) \\)</li></ol></p><p>\\(35\\). \\", "( (a+b+c+d)^{6} \\) 의 전개식에서 서로 다른 항의 개수를 구하시오. (풀이) \\", "(84\\) 참고로,\\( \\left(x_{1}+x_{2}+\\cdots+x_{k}\\right)^{n} \\) 의 전개식에서 서로 다른 항의 개수를 구하시오. (풀이) \\", "( \\left(\\begin{array}{c}k+n-1 \\\\ n\\end{array}\\right) \\)</p><p>\\(36\\). \\", "( (a+b+c+d)^{7} \\) 의 전개식에서 \\( a^{2} b^{3} c d \\) 의 계수를 구하시오. (풀이) \\", "(420\\)</p><p>\\(37\\). \\", "( \\left(1+x^{2}+x^{7}\\right)^{11} \\) 의 전개식에서 \\( x^{16} \\) 의 계수를 구하시오. (풀이) \\", "(660\\)</p><p>\\(38\\). \\", "( \\left(1+x+x^{2}+\\cdots\\right)^{n} \\) 의 전개식에서 \\( x^{k} \\) 의 계수를 구하시오. (풀이) \\", "( \\left(\\begin{array}{c}n+k-1 \\\\ k\\end{array}\\right) \\)</p><p>\\(39\\).", "자연수 \\( m, n(m \\leq n) \\) 에 대하여 다음을 보이시오. \\", "[ \\sum_{k=0}^{m}\\left(\\begin{array}{l} n \\\\ k \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{l} n-k \\\\ m-k \\end{array}\\right)=2^{m}\\left(\\begin{array}{l} n \\\\ m \\end{array}\\right) \\]</p><p>\\(40\\).", "다음을 보이시오. \\", "[ \\sum_{k=0}^{m}(-1)^{k}\\left(\\begin{array}{l} n \\\\ k \\end{array}\\right)=(-1)^{m}\\left(\\begin{array}{c} n-1 \\\\ m \\end{array}\\right) \\]</p><p>\\(41\\). \\", "( X=\\{1,2,3,4,5,6\\} \\) 일 때, \\( A, B, C \\subseteq X \\) 이고 \\( A \\cap B=\\varnothing, B \\cap C=\\varnothing, C \\cap A=\\varnothing \\) 인 \\( A, B, C \\) 를 뽑는 방법의 수를 구하시오. (풀이) \\", "( 4^{6} \\)</p><p>\\(42\\).", "다항식 \\( \\left(1+x+x^{2}\\right)^{8} \\) 을 전개할 때, \\( x^{5} \\) 의 계수를 구하시오. (풀이) \\", "(504\\)</p><p>\\(43\\). \\", "( (1+\\sqrt{2})^{7} \\) 을 전개할 때 \\( \\sqrt{2} \\) 의 계수를 구하시오. (풀이) \\", "(169\\)</p> <p>(풀이\\(2\\)) 뉴턴의 이항정리를 이용하자. \\", "( (1+z)^{a}=\\sum_{k=0}^{\\infty}\\left(\\begin{array}{l}\\alpha \\\\ k\\end{array}\\right) z^{k} \\) 에서 \\( n \\) 이 양의 정수이고 \\( \\alpha=-n \\) 이면 \\( \\left(\\begin{array}{l}\\alpha \\\\ k\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c}-n \\\\ k\\end{array}\\right)=\\frac{-n(-n-1) \\cdots(-n-k+1)}{k !} \\) \\( =(-1)^{k} \\frac{n(n+1) \\cdots(n+k-1)}{k !} \\) \\( =(-1)^{k}\\left(\\begin{array}{c}n+k-1 \\\\ k\\end{array}\\right) \\) 를 만족한다.", "그러므로 \\( |z|<1 \\) 에 대하여 \\( (1+z)^{-n}=\\frac{1}{(1+z)^{n}}=\\sum_{k=0}^{\\infty}(-1)^{k}\\left(\\begin{array}{c}n+k-1 \\\\ k\\end{array}\\right) z^{k} \\) 이다. \\", "( z \\) 대신 \\( -z \\) 를 대입하면 \\( \\frac{1}{(1-z)^{n}}=\\sum_{k=0}^{\\infty}\\left(\\begin{array}{c}n+k-1 \\\\ k\\end{array}\\right) z^{k} \\)</p><p>(풀이\\(3\\)) 미분을 이용하자.", "무한번 미분가능한 함수 \\( f(z) \\) 의 Maclaurin급수는 다음과 같다. \\", "( f(z)=\\sum_{k=0}^{\\infty} \\frac{f^{(k)}(0)}{k !} z^{k} \\) \\( f(z)=(1-z)^{-n} \\) 에서 \\( f^{\\prime}(z)=n(1-z)^{-n-1} \\) \\( f^{\\prime \\prime}(z)=n(n+1)(1-z)^{-n-2} \\) \\( \\quad \\vdots \\) \\( f^{(k)}(z)=n(n+1) \\cdots(n+k-1)(1-z)^{-n-k} \\) 이므로 \\( f^{(k)}(0)=n(n+1) \\cdots(n+k-1) \\) 따라서 \\( f(z)(1-z)^{-n}=f(z)=\\sum_{k=0}^{\\infty} \\frac{(n+k-1) \\cdots(n+1) n}{k !} z^{k} \\) \\[ =\\sum_{k=0}^{\\infty} \\frac{(n+k-1) !}{k !(n-1) !} z^{k}=\\sum_{k=0}^{\\infty}\\left(\\begin{array}{c} n+k-1 \\\\ k \\end{array}\\right) z^{k} \\]", "</p><p>이항계수의 확장인 다항계수(multinomial coefficient)의 정의는 다음과 같다. \\", "[ \\left(\\begin{array}{c}n \\\\ n_{1} n_{2} \\cdots n_{t}\\end{array}\\right)=\\frac{n !}{n_{1} ! n_{2} ! \\cdots n_{t} !} \\]", "\\( \\left[n_{1}, \\cdots, n_{t}\\right. \\) 는 음이 아닌 정수, \\( \\left.n_{1}+\\cdots+n_{t}=n\\right]", "\\)</p><p>예제 \\( 8 . \\) 다음 다항정리(Multinomial Theorem)를 보이시오.", "자연수 \\( n \\) 과 임의의 \\( x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{t} \\) 에 대하여 \\[ \\left(x_{1}+x_{2}+\\cdots+x_{t}\\right)^{n}=\\sum\\left(\\begin{array}{c} n \\\\ n_{1} n_{2} \\cdots n_{t} \\end{array}\\right) x_{1}^{n_{1}} x_{2}^{n_{2}} \\cdots x_{t}^{n_{t}} \\] [여기서, 우변의 합은 \\( n_{1}+n_{2}+\\cdots+n_{t}=n \\) 의 모든 음이 아닌 정수해 \\( n_{1}, n_{2}, \\cdots, n_{t} \\) 에 대한 합이다.]", "</p><p>(증명) 좌변을 전개할 때, 항 \\( x_{1}^{n_{1}} x_{2}^{n_{4}} \\cdots x_{t}^{n_{t}} \\) 를 얻기 위해, \\( n \\) 개의 \\( \\left(x_{1}+x_{2}+\\cdots+x_{t}\\right) \\) 중 \\( n_{1} \\) 개에서 \\( x_{1} \\) 을 뽑고, \\( n-n_{1} \\) 개의 \\( \\left(x_{1}+x_{2}+\\cdots+x_{t}\\right) \\) 중 \\( n_{2} \\) 개에서 \\( x_{2} \\) 을 뽑고, \\( \\cdots, n-n_{1}-\\cdots-n_{t-1} \\) 개의 \\( \\left(x_{1}+x_{2}+\\cdots+x_{t}\\right) \\) 중 \\( n_{t} \\) 개에서 \\( x_{t} \\) 을 뽑는다.", "곱의 법칙에 의해, 항 \\( x_{1}^{n_{1}} x_{2}^{n_{2}} \\cdots x_{t}^{n} \\) 의 계수는 \\[ \\left(\\begin{array}{l} n \\\\ n_{1} \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{c} n-n_{1} \\\\ n_{2} \\end{array}\\right) \\cdots\\left(\\begin{array}{c} n-n_{1}-\\cdots-n_{t-1} \\\\ n_{t} \\end{array}\\right)=\\frac{n !}{n_{1} ! n_{2} ! \\cdots n_{t} !}=\\left(\\begin{array}{c} n \\\\ n_{1} n_{2} \\cdots n_{t} \\end{array}\\right) \\]", "</p><p>예제 \\( 9 . \\) \\( \\left(1+x^{2}+x^{6}\\right)^{11} \\) 의 전개식에서 \\( x^{14} \\) 의 계수를 구하시오. (풀이)", "다항정리에 의하여 \\[ \\left(1+x^{2}+x^{6}\\right)^{11}=\\sum_{a+b+c=11}\\left(\\begin{array}{c} 11 \\\\ a b c \\end{array}\\right)1^{a}\\left(x^{2}\\right)^{b}\\left(x^{6}\\right)^{c} \\] \\( 1^{4}\\left(x^{2}\\right)^{7}\\left(x^{6}\\right)^{0} \\) 의 계수는 \\( \\frac{11 !}{4 ! 7 !}=330 \\) 이고 \\( 1^{6}\\left(x^{2}\\right)^{4}\\left(x^{6}\\right)^{1} \\) 의 계수는 \\( \\frac{11 !}{4 ! 6 !}=2310 \\) 이다.", "따라서 구하는 \\( x^{5} \\) 의 계수는 \\[ 330+2310=2640 \\]</p> <p>\\(48\\).", "<ol type=1 start=1><li>자연수 \\( n \\) 을 \\( k \\) 개의 자연수의 합으로 순서를 고려하며 표현할 수 있는 경우의 수를 구하시오.", "</li><li>자연수 \\( n \\) 을 자연수의 합으로 순서를 고려하며 표현할 수 있는 경우의 수를 구하시오.", "</li></ol>(풀이) (\\(1\\)) \\( \\left(\\begin{array}{l}n-1 \\\\ k-1\\end{array}\\right) \\) (\\(2\\)) \\( 2^{n-1} \\)</p><p>\\(49\\).", "세 문자 \\( a, b, c \\) 로 이루어진 길이가 \\(5\\)인 단어 중에서 각 문자를 적어도 하나씩 포함하는 단어의 개수를 구하시오. (풀이) \\", "(150\\) 참고로, 세 문자 \\( a, b, c \\) 로 이루어진 길이가 \\(6\\)인 단어 중에서 각 문자를 적어도 하나씩 포함하는 단어의 개수를 구하시오. (풀이) \\", "(540\\)</p><p>\\(50\\).", "자연수 \\( n, k \\) 가 \\( k \\leq n \\) 를 만족할 때 다음을 보이시오. \\", "[ k^{n-k} \\leq S(n, k) \\leq\\left(\\begin{array}{l} n-1 \\\\ k-1 \\end{array}\\right) k^{n-k} \\]</p><p>\\(51\\).", "자연수 \\( n \\) 에 대하여 \\( \\sum_{k=0}^{n} 2^{2 k}\\left(\\begin{array}{c}2 n \\\\ 2 k\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{c}2 n-2 k \\\\ n-k\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{l}4 n \\\\ 2 n\\end{array}\\right) \\) 을 보이시오.", "</p><p>\\(52\\). \\", "( \\sum_{k=0}^{49}(-1)^{k}\\left(\\begin{array}{l}99 \\\\ 2 k\\end{array}\\right) \\) 의 값을 구하시오. (풀이) \\", "( -2^{49} \\)</p><p>\\(53\\). \\", "( 6^{31}+8^{31} \\) 을 \\(49\\)로 나눈 나머지를 구하시오. (풀이) \\", "(42\\)</p><p>\\(54\\). \\", "( \\sum_{i=0}^{8} \\sum_{j=0}^{6}\\left(\\begin{array}{l}i \\\\ j\\end{array}\\right) \\) 의 값을 구하시오. (풀이) \\", "(501\\)</p><p>\\(55\\). \\", "( \\left(\\begin{array}{l}n \\\\ 0\\end{array}\\right)+\\left(\\begin{array}{c}n-1 \\\\ 1\\end{array}\\right)+\\left(\\begin{array}{c}n-2 \\\\ 2\\end{array}\\right)+\\cdots+\\left(\\begin{array}{c}1 \\\\ n-1\\end{array}\\right)+\\left(\\begin{array}{l}0 \\\\ n\\end{array}\\right)=a_{n} \\) 으로 늫을 때, 다음을 보이시오. \\", "[ a_{0}=a_{1}=1, a_{n-1}+a_{n-2}=a_{n}(n \\geq 2) \\]</p><p>\\(56\\).", "다음 등식을 보이시오. \\", "[ \\left(\\begin{array}{l} r \\\\ r \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{c} m+n-r \\\\ s \\end{array}\\right)+\\left(\\begin{array}{c} r+1 \\\\ r \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{c} m+n-r-1 \\\\ s \\end{array}\\right)+\\cdots+\\left(\\begin{array}{c} m+n-s \\\\ r \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{l} s \\\\ s \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c} m+n+1 \\\\ r+s+1 \\end{array}\\right) \\]</p> <h1>제3장 이항정리(Binomial Theorem)와 분할(Partition)</h1><p>이 장에서는 이항계수의 성질과 관련 항등식을 살펴보고 집합의 분할과 수의 분할을 살펴본다.", "</p><h2>1. 이항정리</h2><p>\\( n \\) 이 양의 정수일 때, \\[ (x+y)^{n}=\\sum_{k=0}^{n}{ }_{n} \\mathrm{C}_{k} x^{n-k} y^{k} \\] [이 전개식에서 각 항의 계수 \\( { }_{n} \\mathrm{C}_{0},{ }_{n} \\mathrm{C}_{1}, \\cdots,{ }_{n} \\mathrm{C}_{n} \\) 을 이항계수라 한다.]", "</p><p>(증명\\(1\\)) \\( n \\) 에 관한 수학적 귀납법으로 증명하자. \\", "( n=1 \\) 일 때, \\[ x+y=\\left(\\begin{array}{l} n \\\\ 0 \\end{array}\\right) x^{1} y^{0}+\\left(\\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \\end{array}\\right) x^{0} y^{1} \\] 이므로 성립한다.", "</p><p>\\( n \\) 일 때 성립한다고 가정하고 \\( n+1 \\) 일 때 증명하면 된다. \\", "[(x+y)^{n+1}=(x+y) \\sum_{k=0}^{n}\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ k\\end{array}\\right) x^{n-k} y^{k} \\] \\[ =\\sum_{k=0}^{n}\\left(\\begin{array}{l} n \\\\ k \\end{array}\\right) x^{n+1-k} y^{k}+\\sum_{k=0}^{n}\\left(\\begin{array}{l} n \\\\ k \\end{array}\\right) x^{n-k} y^{k+1} \\] \\[ \\begin{array}{l} =x^{n+1}+y^{n+1}+\\sum_{k=1}^{n}\\left(\\begin{array}{l} n \\\\ k \\end{array}\\right) x^{n+1-k} y^{k}+\\sum_{k=0}^{n-1}\\left(\\begin{array}{l} n \\\\ k \\end{array}\\right) x^{n-k} y^{k+1}\\\\ =x^{n+1}+y^{n+1}+\\sum_{k=1}^{n}\\left(\\begin{array}{l} n \\\\ k \\end{array}\\right) x^{n+1-k} y^{k}+\\sum_{k=1}^{n}\\left(\\begin{array}{c} n \\\\ k-1 \\end{array}\\right) x^{n-k+1} y^{k} \\\\ =x^{n+1}+y^{n+1}+\\sum_{k=1}^{n}\\left(\\begin{array}{c} n+1 \\\\ k \\end{array}\\right) x^{n+1-k} y^{k} \\quad(\\because \\text { 식 (1)) } \\end{array} \\] \\[ =\\sum_{k=0}^{n+1}\\left(\\begin{array}{c} n+1 \\\\ k \\end{array}\\right) x^{n+1-k} y^{k} \\]</p><p>(증명\\(2\\)) \\( (x+y)^{n}=(x+y)(x+y) \\cdots(x+y) \\) 을 전개할 때 \\( x^{n-k} y^{k} \\) 의 계수는 \\( n \\) 개의 인수 \\( (x+y) \\) 중 \\( n-k \\) 개의 인수에서 \\( x \\) 를 택하고 나머지 \\( k \\) 개의 인수에서 \\( y \\) 를 택하는 경우의 수이다. \\", "( n \\) 개 중에서 \\( n-k \\) 개를 선택하는 방법의 수가 \\( \\left(\\begin{array}{c}n \\\\ n-k\\end{array}\\right) \\) 이고, 이어서 나머지 \\( k \\) 개를 선택하는 방법의 수가 \\( \\left(\\begin{array}{l}k \\\\ k\\end{array}\\right) \\) 이므로, 곱의 법칙에 의해서 \\( x^{n-k} y^{k} \\) 의 계수는 \\( \\left(\\begin{array}{c}n \\\\ n-k\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{l}k \\\\ k\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ k\\end{array}\\right) \\) 이다.", "따라서 \\( (x+y)^{n}=\\sum_{k=0}^{n}\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ k\\end{array}\\right) x^{n-k} y^{k} \\)</p> <p>\\(44\\).", "다음 식을 간단히 하시오.", "<ol type=1 start=1><li>\\( \\sum_{k=1}^{n} k(k-1)\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ k\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{n} k^{2}\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ k\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{n}(k+1) k(k-1) \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{n}\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ k\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{c}n \\\\ k-1\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{n} k 3^{k}\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ k\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( \\left(\\begin{array}{l}n \\\\ 0\\end{array}\\right)+2\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ 1\\end{array}\\right)+\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ 2\\end{array}\\right)+2\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ 3\\end{array}\\right)+\\cdots \\)</li><li>\\( \\sum_{k=0}^{n} \\frac{(-1)^{k}}{k+1}\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ k\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( \\sum_{k=0}^{n}\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ k\\end{array}\\right)^{2} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=0}^{n}\\left(\\begin{array}{c}2 k \\\\ k\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{c}2 n-2 k \\\\ n-k\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( \\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}\\left(\\begin{array}{c}n \\\\ k+1\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( \\sum_{j=0}^{n} \\sum_{i=j}^{n}\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ i\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{l}i \\\\ j\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( \\sum_{k=0}^{n}\\left(\\begin{array}{l}n \\\\ k\\end{array}\\right)^{2}\\left(\\begin{array}{c}k \\\\ n-m\\end{array}\\right) \\)</li></ol>(풀이)<ol type=1 start=1><li>\\( n(n-1) 2^{n-2} \\)</li><li>\\( n(n+1) 2^{n-2} \\)</li><li>\\( 3 ! \\sum_{k=1}^{n}\\left(\\begin{array}{c}k+1 \\\\ 3\\end{array}\\right)=3 !\\left(\\begin{array}{c}n+2 \\\\ 4\\end{array}\\right)=\\frac{1}{4}(n+2)(n+1) n(n-1) \\)</li><li>\\( \\left(\\begin{array}{c}2 n \\\\ n-1\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( 3 n \\cdot 4^{n-1} \\)</li><li>\\( 3 \\cdot 2^{n-1} \\)</li><li>\\( \\frac{1}{n+1} \\)</li><li>\\( \\left(\\begin{array}{c}2 n \\\\ n\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( 4^{n} \\)</li><li>\\(1\\)</li><li>\\( 3^{n} \\)</li><li>\\( \\left(\\begin{array}{c}n \\\\ m\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{c}n+m \\\\ m\\end{array}\\right) \\)</li></ol></p>\\(45\\). \\", "( \\sum_{k=0}^{\\infty}\\left(\\begin{array}{c}k+4 \\\\ 4\\end{array}\\right)\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{k} \\) 의 값을 구하시오. (풀이) \\", "(32\\) 참고로, \\( \\sum_{k=0}^{\\infty} \\frac{(k+4)(k+3)(k+2)(k+1)}{2^{k}} \\) 의 값을 구하시오. (풀이) \\", "(768\\)</p><p>\\(46\\).", "집합 \\( \\{1,2,3,4\\} \\) 는 \\( \\{1,2,3\\} \\cup\\{4\\} \\) 로 쓸 수 있다.", "이처럼 \\( \\{1,2,3,4\\} \\) 를 서로소인 \\(1\\) 개 이상의 부분집합의 합집합으로 나타내는 방법의 수를 구하시오.", "단, 부분집합의 순서는 고려하지 않는다.", "즉 \\( \\{1,2,3\\} \\cup\\{4\\} \\) 와 \\( \\{4\\} \\cup\\{1,2,3\\} \\) 은 같은 것으로 본다. (풀이) \\", "(15\\) 참고로, 집합 \\( \\{1,2,3,4,5\\} \\) 는 \\( \\{1,2,3\\} \\cup\\{4,5\\} \\) 로 쓸 수 있다.", "이처럼 \\( \\{1,2,3,4,5\\} \\) 를 서로소 인 \\(1\\)개 이상의 부분집합의 합집합으로 나타내는 방법의 수를 구하시오.", "단, 부분집합의 순서는 고려하지 않는다.", "즉 \\( \\{1,2,3\\} \\cup\\{4,5\\} \\) 와 \\( \\{4,5\\} \\cup\\{1,2,3\\} \\) 은 같은 것으로 본다. (풀이) \\", "(52\\)</p><p>\\(47\\).", "(1)<ol type=1 start=1><li>\\( 2310=2 \\times 3 \\times 5 \\times 7 \\times 11 \\) 을 \\(1\\)보다 큰 세 자연수의 곱으로 나타내는 방법의 수를 구하시오.", "(단, 곱하는 순서는 무시한다.)", "</li><li>\\( 2310=2 \\times 3 \\times 5 \\times 7 \\times 11 \\) 을 세 자연수의 곱으로 나타내는 방법의 수를 구하시오.", "(단, 곱하는 순서는 무시한다.)", "</li></ol>(풀이) (\\(1\\)) \\(25\\) (\\(2\\)) \\(41\\)</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "412", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "수학교재연구:이산수학_이항정리와 분할", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-54ae-43ec-9227-3e8fbc36259b", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788988615591", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2019", "doc_author": [ "윤영진" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>확인 \\(10-1\\) 다음 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int 7 d x \\)</li><li>\\( \\int-7 d x \\)</li><li>\\( \\int 2020 d x \\)</li><li>\\( \\int-2020 d x \\)</li></ol><p>확인 \\(10-2\\) 다음 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int x^{3} d x \\)</li><li>\\( \\int x^{5} d x \\)</li><li>\\( \\int x^{100} d x \\)</li><li>\\( \\int x^{2018} d x \\)</li></ol><p>확인 \\(10-3\\) 다음을 계산하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int(2 x-3) d x \\)</li><li>\\( \\int\\left(x^{2}+2 x+1\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int\\left(8 x^{3}+6 x^{2}-2 x+1\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int(x+1)(x-1) d x \\)</li></ol><p>확인 \\(10-4\\) 다음 부정적분을 계산하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int 2 d t \\)</li><li>\\( \\int\\left(w^{2}+2 w-1\\right) d w \\)</li></ol><p>확인 \\(10-5\\) 다음 정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int_{0}^{2} x^{2} d x \\)</li><li>\\( \\int_{1}^{2}\\left(-4 x^{3}+2 x\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int_{-1}^{2}(4 x-2) d x \\)</li><li>\\( \\int_{1}^{2}\\left(x^{2}-2 x+1\\right) d x \\)</li></ol><p>확인 \\(10-6\\) 다음을 계산하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int_{1}^{2}\\left(1-x^{2}\\right) d x+\\int_{2}^{3}\\left(1-x^{2}\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{1}\\left(x^{3}-2 x+1\\right) d x-\\int_{0}^{1}\\left(x^{3}-2 x-1\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int_{5}^{5}\\left(8 x^{3}+6 x^{2}-2 x+1\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int_{7}^{7}(\\sin x+\\cos x+\\tan x) d x \\)</li></ol><p>확인 10-7 다음 정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int_{-1}^{1}\\left(8 x^{3}-3 x^{2}+7 x-2\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int_{-2}^{2} 3 x^{2} d x \\)</li><li>\\( \\int_{-\\pi}^{\\pi} \\sin x d x \\)</li><li>\\( \\int_{-0.5}^{0.5} \\tan x d x \\)</li></ol><p>확인 \\(10-8\\) 다음 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int(3 x-2)^{3} d x \\)</li><li>\\( \\int(-2 x+3)^{5} d x \\)</li></ol><p>확인 \\(10-9\\) 다음 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int\\left(\\frac{2}{x^{2}}-\\frac{4}{x^{3}}\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int\\left(\\sqrt{x}+\\frac{1}{x^{2}}\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int\\left(\\frac{1}{x}+\\frac{1}{x^{2}}\\right) d x \\)</li></ol> <h1>10-1 부정적분</h1><ul><li>함수 \\( F(x) \\) 의 도함수가 \\( f(x) \\) 이면 \\( F(x) \\)를 \\( f(x) \\)의 부정적분 또는 원시함수라고 하고 \\( F(x)=\\int f(x) d x \\)로 나타낸다</li><li>\\( F(x) \\)가 \\( f(x) \\)의 한 부정적분일 때, \\( f(x) \\)의 임의의 부정적분은 \\( \\int f(x) d x=F(x)+C \\)로 나타낸다.", "이 때, \\( C \\) 를 적분상수라고 한다.", "</li><li>\\( f(x) \\)의 부정적분을 구하는 것을 적분한다고 한다.", "</li></ul><p>연습 \\(10-1\\) 다음 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int 2 x d x \\)</li><li>\\( \\int\\left(3 x^{2}+2 x\\right) d x \\)</li></ol><h1>10-2 \\( x^{n} \\) 의 부정적분</h1><ul><li>\\( \\int x^{n} d x=\\frac{1}{n+1} x^{n+1}+C(n \\neq-1) \\)</li><li>\\( \\int k d x=k x+C, k \\) 는 상수</li></ul><p>연습 \\(10-2\\) 다음 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int 5 d x \\)</li><li>\\( \\int -3 d x \\)</li><li>\\( \\int x^{4} d x \\)</li><li>\\( \\int x^{7} d x \\)</li></ol><h1>10-3 부정적분의 성질</h1><ul><li>두 함수 \\( f, g \\) 의 부정적분이 존재하면 다음이 성립한다.", "</li><ol type=1 start=1><li>\\( \\int c f(x) d x=c \\int f(x) d x, c \\) 는 상수</li><li>\\( \\int(f(x) \\pm g(x)) d x=\\int f(x) d x \\pm \\int g(x) d x \\)</li></ol></ul><p>연습 \\(10-3\\) 다음을 계산하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int c f(x) d x=c \\int f(x) d x, c \\) 는 상수</li><li>\\( \\int(f(x) \\pm g(x)) d x=\\int f(x) d x \\pm \\int g(x) d x \\)</li></ol><h1>10-4 정적분의 정의와 기본 정리</h1><ul><li>함수 \\( f(x) \\) 가 구간 \\( [a, b] \\) 에서 연속일 때, 구간 \\( [a, b] \\) 에서 \\( f(x) \\) 의 정적분을 \\[ \\begin{aligned} \\int_{a}^{b} f(x) d x &=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=0}^{n-1} f\\left(a+\\frac{b-a}{n} k\\right) \\frac{b-a}{n} \\\\ &=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n} f\\left(a+\\frac{b-a}{n} k\\right) \\frac{b-a}{n} \\end{aligned} \\] 으로 정의하고 \\( a \\) 를 정적분의 아래끝, \\( b \\) 를 정적분의 위끝이라고 한다.", "</li><li>\\( \\int_{a}^{b} f(x) d x \\) 는 곡선 \\( y=f(x) \\) 와 \\( x=a, x=b, x \\) 축으로 둘러싸인 영역의 부호를 갖는 넓 이이며, \\( x \\) 축 위의 넓이는 양수이고 \\( x \\) 축 밑의 넓이는 음수가 된다.", "</li><li>(미적분학의 기본 정리) \\( f(x) \\) 가 구간 \\( [a, b] \\) 에서 연속이고 \\( F^{\\prime}(x)=f(x) \\) 이면 \\[ \\int_{a}^{b} f(x) d x=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a) \\text { 이다. } \\]", "</li></ul><p>연습 \\(10-4\\) 다음 정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int_{0}^{1} x^{2} d x \\)</li><li>\\( \\int_{1}^{2}\\left(4 x^{3}-2 x\\right) d x \\)</li></ol><h1>10-5 정적분의 기본 성질</h1><ul><li>\\( \\int_{a}^{a} f(x) d x=0 \\)</li><li>\\( \\int_{a}^{b} f(x) d x=-\\int_{b}^{a} f(x) d x \\)</li><li>\\( \\int_{a}^{b} kf(x) d x=-\\int_{b}^{a} f(x) d x \\) (단, \\( k \\)는 상수)</li><li>\\( \\int_{a}^{b}\\{f(x) \\pm g(x)\\} d x=\\int_{a}^{b} f(x) d x \\pm \\int_{a}^{b} g(x) d x \\)</li><li>\\( \\int_{a}^{b} f(x) d x=\\int_{a}^{c} f(x) d x+\\int_{c}^{b} f(x) d x \\) (단, \\( c \\) 는 임의의 실수)</li></ul><p>연습 \\(10-5\\) 정적분 \\( \\int_{1}^{2}\\left(1-3 x^{2}\\right) d x+\\int_{2}^{3}\\left(1-3 x^{2}\\right) d x \\) 의 값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int_{-1}^{1}\\left(4 x^{3}+3 x^{2}-7 x+2\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int_{-2}^{2} \\sin x d x \\)</li></ol><h1>10-6) 우함수와 기함수의 정적분</h1><ul><li>\\( f(x) \\) 가 우함수이면 \\( \\int_{-a}^{a} f(x) d x=2 \\int_{0}^{a} f(x) d x \\)</li><li>\\( f(x) \\) 가 기함수이면 \\( \\int_{-a}^{a} f(x) d x=0 \\)</li></ul><p>연습 \\(10-6\\) 다음 정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int_{-1}^{1}\\left(4 x^{3}+3 x^{2}-7 x+2\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int_{-2}^{2} \\sin x d x \\)</li><li></li></ol><h1>10-7 \\( (a x+b)^{n} \\) 의 부정적분</h1><ul><li>\\( \\int(a x+b)^{n} d x=\\frac{1}{a(n+1)}(a x+b)^{n+1}+C \\)</li></ul><p>연습 \\(10-7\\) 다음 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int(2 x-3)^{4} d x \\)</li><li>\\( \\int(3 x-2)^{7} d x \\)</li></ol><h1>10-8) \\( \\sqrt[n]{x^{m}} \\) 와 \\( \\frac{1}{x^{n}} \\) 의 부정적분</h1><ul><li>\\( \\begin{aligned} \\int \\sqrt[n]{x^{m}} d x &=\\int x^{\\frac{m}{n}} d x=\\frac{1}{\\frac{m}{n}+1} x^{\\frac{m}{n}+1}+C \\\\ &=\\frac{1}{\\frac{m+n}{n}} x^{\\frac{m+n}{n}}+C=\\frac{n}{m+n} x^{\\frac{m+n}{n}}+C \\end{aligned} \\)</li><li>\\( \\int \\frac{1}{x^{n}} d x=\\int x^{-n} d x=\\frac{1}{-n+1} x^{-n+1}+C(n \\neq 1) \\)</li><li>\\( \\int \\frac{1}{x} d x=\\ln x+C \\)</li></ul><p>연습 \\(10-8\\) 다음 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int \\sqrt{x} d x \\)</li><li>\\( \\int \\sqrt[3]{x} d x \\)</li><li>\\( \\int \\sqrt[4]{x^{3}} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{1}{x^{3}} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{2}{x} d x \\)</li></ol> <p>문제 \\(10-1\\) 다음 정적분을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\int_{0}^{2}\\left(x^{2}+1\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int_{2}^{0}\\left(x^{2}+1\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{2}\\left(5 x^{2}+5\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{2}\\left(y^{2}+1\\right) d y \\)</li></ol><p>문제 \\(10-2\\)다음 정적분을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\int_{1}^{5}\\left(x^{2}+2 x+2\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int_{1}^{2} \\frac{1}{x^{5}} d x \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{2} x \\sqrt{x} d x \\)</li><li>\\( \\int_{-2}^{2} \\sqrt{4-x^{2}} d x \\)</li></ol><p>문제 \\(10-3\\)다음 정적분을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\int_{1}^{3} \\frac{1}{x}\\left(x-x^{3}\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{1} x(\\sqrt{x}-x) d x \\)</li><li>\\( \\int_{-1}^{1}(x+1)^{4} d x \\)</li><li>\\( \\int_{-2}^{2} \\sqrt{4-x^{2}} d x \\)</li></ol><p>문제 \\(10-4\\)다음 정적분을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\int_{-2}^{5}\\left(x^{3}-5 x-7\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int_{1}^{3}\\left|x^{2}-x-2\\right| d x \\)</li><li>\\( \\int_{1}^{5} \\frac{1}{x} d x \\)</li><li>\\( \\int_{-2}^{2} \\sqrt{4-x^{2}} d x \\)</li></ol><p>문제 \\(10-5\\)다음 정적분을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\int_{0}^{1}(2 x-3)\\left(3 x^{2}-1\\right)^{3} d x \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{1} 5(x-4) \\sqrt[3]{x^{2}-8 x} d x \\)</li></ol><p>문제 \\(10-6\\) 다음 넓이를 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( y=x^{2} \\) 의 그래프와 \\( x=0, x=1, x \\) 축으로 둘러싸인 영역의 넓이</li><li>\\( y=\\sqrt{x} \\) 의 그래프와 \\( x=0, x=1, x \\) 축으로 둘러싸인 영역의 넓이</li><li>\\( y=\\frac{1}{x} \\) 의 그래프와 \\( x=1, x=2, x \\) 축으로 둘러싸인 영역의 넓이</li><li>\\( y=\\frac{x}{1+x} \\) 의 그래프와 \\( x=0, x=1, x \\) 축으로 둘러싸인 영역의 넓이</li></ol>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "411", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "기초미적분학_부정적분과 정적분", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-582f-475f-8996-827463eaef3f", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160730579", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2017", "doc_author": [ "전춘배" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>1-3 일반각의 표시</h1><ul><li>움직이는 축 \\( \\overrightarrow{O P} \\) 가 기준선인 \\( x \\) 축 \\( \\overrightarrow{O X} \\) 에서 시작하여 원점 \\( O \\) 를 중심으로 움직일 때, 반 시계 방향이면 양 \\( (+) \\) 의 방향, 시계방향이면 음 \\( (-) \\) 의 방향으로 움직인다고 한다.", "</li><li>\\( \\angle P O X \\) 가 \\( \\theta \\) 라 하면 \\( \\overrightarrow{O P} \\) 와 \\( \\overrightarrow{O X} \\) 가 이루는 각의 크기는 \\( 360^{\\circ} \\times n+\\theta \\) 또는 \\( 2 \\pi n+\\theta \\) 이다.", "여기서 \\( n \\) 은 정수이며 \\( \\overrightarrow{O P} \\) 가 \\( \\pm 360^{\\circ}, \\pm 2 \\pi \\) 만큼 회전한 회수이다.", "</li><li>축 \\( \\overrightarrow{O P} \\) 의 위치에 따라 제 \\(1\\) 사분면의 각, 제 \\(2\\) 사분면의 각, 제 \\(3\\) 사분면의 각, 제 \\(4\\) 사분면의 각 이라고 부른다.", "</li></ul><p>연습 \\(1-3\\) 다음 각은 몇 사분면의 각인가?", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\frac{19}{6} \\pi \\)</li><li>\\( -320^{\\circ} \\)</li></ol><h1>1-4 삼각함수의 정의</h1><ul><li>반지름이 \\( r \\) 인 원 위의 점 \\( P(x, y) \\) 와 원점을 잇는 동경이 이루는 각 \\( \\theta \\) 에 대하여 \\( \\sin \\), \\( \\cos , \\tan \\) 를 각각 \\( \\sin \\theta=\\frac{y}{r}, \\cos \\theta=\\frac{x}{r}, \\tan \\theta=\\frac{y}{x} \\) 로 정의한다.", "</li><li>특수각의 삼각함수</li></ul><table border><tbody><tr><td>삼각함수\\ \\( \\theta \\)</td><td>\\( 0^{\\circ} \\)</td><td>\\( 30^{\\circ} \\)</td><td>\\( 45^{\\circ} \\)</td><td>\\( 60^{\\circ} \\)</td><td>\\( 90^{\\circ} \\)</td></tr><tr><td>\\( \\sin \\theta \\)</td><td>\\( 0 \\)</td><td>\\( \\frac{1}{2} \\)</td><td>\\( \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\)</td><td>\\( \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\)</td><td>\\( 1 \\)</td></tr><tr><td>\\( \\cos \\theta \\)</td><td>\\( 1 \\)</td><td>\\( \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\)</td><td>\\( \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\)</td><td>\\( \\frac{1}{2} \\)</td><td>\\( 0 \\)</td></tr><tr><td>\\( \\tan \\theta \\)</td><td>\\( 0 \\)</td><td>\\( \\frac{\\sqrt{3}}{3} \\)</td><td>\\( 1 \\)</td><td>\\( \\sqrt{3} \\)</td><td>없음(\\( \\infty \\))</td></tr></tbody></table><p>연습 \\(1-4\\) 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sin 120^{\\circ} \\)</li><li>\\( \\cos \\frac{5 \\pi}{6} \\)</li><li>\\( \\tan 225^{\\circ} \\)</li></ol> <h1>1-1 \\(60\\)분법</h1><ul><li>\\(60\\) 분법의 단위는 도 \\( \\left({ }^{\\circ}\\right) \\) 이며, 원의 둘레를 \\(360\\) 등분할 때 그 한 호에 대한 중심각의 크기를 \\(1\\) 도로 정한 것이다.", "</li><li>한 바퀴 도는 각의 크기는 \\( 360^{\\circ} \\) 이고, 평각의 크기는 \\( 180^{\\circ} \\) 이며 직각은 \\( 90^{\\circ} \\) 이다.", "</li></ul><p>연습 \\(1-1\\) 다음 각도를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>평각의 \\( \\frac{1}{2} \\) 배</li><li>직각의 \\( \\frac{1}{3} \\) 배</li><li>평각의 \\( \\frac{5}{6} \\) 배</li><li>직각의 3 배</li></ol><h1>1-2 호도법</h1><ul><li>호도법이란 부채꼴에서 반지름에 대한 호의 길이의 비로 각의 크기를 나타내는 것으로 단위는 라디안(rad)이다.", "</li><li>부채꼴에서 반지름이 \\( r \\) 이고 호의 길이가 \\( l \\) 인 부채꼴의 중심각의 크기는 \\( \\theta=\\frac{l}{r} \\) 라디안이다.", "</li><li>반지름이 \\(1\\) 이고, 호의 길이도 \\(1\\) 인 부채꼴의 각도는 \\(1\\) 라디안이며 약 \\( 57^{\\circ} \\) 이다.", "반지름이 \\(1\\) 인 원의 둘레의 길이가 \\( 2 \\pi \\) 이므로 \\( 360^{\\circ}=2 \\pi \\) 라디안이고 \\( 180^{\\circ}=\\pi \\) 이다.", "</li></ul><p>연습 \\(1-2\\) 도( \\( \\left.{ }^{\\circ}\\right) \\)", "로 표시된 각도는 라디안으로, 라디안으로 표시된 각도 도( \\( \\left.{ }^{\\circ}\\right) \\) 로 바꾸어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 50^{\\circ} \\)</li><li>\\( 130^{\\circ} \\)</li><li>\\( \\frac{3}{5} \\pi \\)</li><li>\\( 3 \\pi \\)</li></ol> <p>문제 \\(1-1\\) 다음 60 분법의 각은 호도법으로, 호도법의 각은 60 분법으로 전환하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 48^{\\circ} \\)</li><li>\\( 525^{\\circ} \\)</li><li>\\( -820^{\\circ} \\)</li><li>\\( \\frac{5 \\pi}{12} \\)</li><li>\\( \\frac{4 \\pi}{1.2} \\)</li><li>\\( \\frac{1}{2} \\)</li></ol><p>문제 \\(1-2\\) 다음을 구하여라.", "단, 각도의 단위는 도이다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sin (120) \\)</li><li>\\( \\cos (-225) \\)</li><li>\\( \\tan (-220) \\)</li></ol><p>문제 \\(1-3\\) 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sin \\frac{11}{6} \\pi \\)</li><li>\\( \\cos \\left(-\\frac{9}{4} \\pi\\right) \\)</li><li>\\( \\tan \\frac{17}{4} \\pi \\)</li></ol><p>문제 \\(1-5\\) 다음 라디안으로 주어진 각도 \\( \\theta \\) 에 대하여 \\( \\sin \\theta, \\cos \\theta, \\tan \\theta \\) 의 부호를 말하 여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\theta=\\frac{5 \\pi}{3} \\)</li><li>\\( \\theta=-\\frac{13}{5} \\pi \\)</li></ol><p>문제 \\(1-6\\) 다음을 계산하여라.", "단, 각도의 단위는 도이다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sin (30) \\cos (45)+\\tan (30) \\sin (60) \\)</li><li>\\( \\sin (15)+\\sin (75)+\\cos \\)</li></ol><p>문제 \\(1-7\\) 다음 삼각함수의 값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sin 15^{\\circ} \\)</li><li>\\( \\cos 15^{\\circ} \\)</li><li>\\( \\tan 15^{\\circ} \\)</li></ol><p>문제 \\(1-8\\) 다음 식의 값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sin 15^{\\circ} \\times \\cos 75^{\\circ} \\)</li><li>\\( \\cos 15^{\\circ} \\times \\sin 75^{\\circ} \\)</li><li>\\( \\sin 80^{\\circ}-\\sin 100^{\\circ} \\)</li><li>\\( \\cos 20^{\\circ}-\\cos 40^{\\circ}-\\cos 80^{\\circ} \\)</li></ol><p>문제 \\(1-9\\) 다음 식의 값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sin 10^{\\circ} \\sin 50^{\\circ} \\sin 70^{\\circ} \\)</li><li>\\( \\cos 55^{\\circ}+\\cos 65^{\\circ}+\\cos 175^{\\circ} \\)</li></ol><p>문제 \\(1-10\\) 다음을 계산하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\cos 1770^{\\circ} \\cdot \\tan 1110^{\\circ}-\\sin \\left(1560^{\\circ}\\right) \\cdot \\frac{1}{\\tan \\left(495^{\\circ}\\right)} \\)</li><li>\\( \\frac{\\sin 510^{\\circ}-\\cos 480^{\\circ}}{\\sin 120^{\\circ}-\\cos 150^{\\circ}} \\)</li><li>\\( \\cot 10^{\\circ}+\\tan 190^{\\circ}+\\tan 100^{\\circ}+\\tan 350^{\\circ}\\left(\\right. \\)", "단, \\( \\cot A=\\frac{1}{\\tan A} \\) 임을 이용하여 \\( \\cot 10^{\\circ}= \\) \\( \\frac{1}{\\tan 10^{\\circ}} \\) 로 입력)</li></ol><p>문제 \\(1-11\\) 다음을 구하여라.", "단, 각의 단위는 도이다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sin ^{-1}\\left(\\frac{1}{2}\\right) \\)</li><li>\\( \\sin ^{-1}\\left(-\\frac{1}{2}\\right) \\)</li><li>\\( \\cos ^{-1}\\left(\\frac{1}{2}\\right) \\)</li><li>\\( \\cos ^{-1}\\left(-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right) \\)</li><li>\\( \\tan ^{-1}(\\sqrt{3}) \\)</li><li>\\( \\tan ^{-1}(-1) \\)</li></ol><p>문제 \\(1-12\\) 다음을 계산하여라.", "단, 각도의 단위는 도이다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sin ^{-1}(0.7)+\\cos ^{-1}(0.4) \\)</li><li>\\( 1+\\tan ^{-1}(1.5) \\)</li><li>\\( \\sin ^{-1}(0.2)+\\cos ^{-1}(0.8)+\\tan ^{-1}(0.5) \\)</li></ol> <h1>1-5 삼각함수의 부호</h1><table border><tbody><tr><td>사분면</td><td>좌표부호 \\( (x, y) \\)</td><td>\\( \\sin \\theta=\\frac{y}{r} \\)</td><td>\\( \\cos \\theta=\\frac{x}{r} \\)</td><td>\\( \\tan \\theta=\\frac{y}{x} \\)</td></tr><tr><td>제1사분면</td><td>\\( (+,+) \\)</td><td>\\( + \\)</td><td>\\( + \\)</td><td>\\( + \\)</td></tr><tr><td>제2사분면</td><td>\\( (+,+) \\)</td><td>\\( + \\)</td><td>\\( - \\)</td><td>\\( - \\)</td></tr><tr><td>제3사분면</td><td>\\( (+,+) \\)</td><td>\\( - \\)</td><td>\\( - \\)</td><td>\\( - \\)</td></tr><tr><td>제4사분면</td><td>\\( (+,+) \\)</td><td>\\( -\\)</td><td>\\( + \\)</td><td>\\( - \\)</td></tr></tbody></table><p>연습 \\(1-5\\) 다음 삼각함수의 값의 부호를 결정하여라.", "</p><table border><ol type=1 start=1><li>\\( \\sin \\frac{19 \\pi}{6} \\)</li><li>\\( \\cos \\left(-520^{\\circ}\\right) \\)</li><li>\\( \\tan \\frac{7 \\pi}{3} \\)</li></ol><h1>1-6 삼각함수의 기본 공식</h1><ul><li>\\( \\tan \\theta=\\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta} \\)</li><li>\\( \\sin ^{2} \\theta+\\cos ^{2} \\theta=1 \\)</li><li>\\( 1+\\tan ^{2} \\theta=\\frac{1}{\\cos ^{2} \\theta} \\)</li></ul><p>연습 \\(1-6\\) 다음을 증명하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( (\\sin \\theta+\\cos \\theta)^{2}=1+2 \\sin \\theta \\cos \\theta \\)</li><li>\\( (\\sin \\theta+\\cos \\theta)(\\sin \\theta-\\cos \\theta)=1-2 \\cos ^{2} \\theta \\)</li></ol><h1>1-7 일반각의 삼각함수의 값</h1><ul><li>일반각의 삼각함수의 값을 구하는 경우<ol type=1 start=1><li>주어진 일반각을 \\( 90^{\\circ} n \\pm \\theta \\) 또는 \\( \\frac{\\pi}{2} n \\pm \\theta \\) 꼴로 변형한다.", "</li><li>\\( n \\) 이 짝수이면 구하는 삼각함수는 그대로, \\( n \\) 이 홀수이면 \\( \\sin \\Leftrightarrow \\cos , \\cos \\Leftrightarrow \\sin \\), \\( \\tan \\Leftrightarrow \\frac{1}{\\tan } \\) 로 바꾼다.", "</li></ol></li><li>각 \\( \\theta \\) 의 삼각함수 값을 구한 뒤 부호는 원래 일반각이 놓인 사분면의 위치에 따라 정한다.", "</li></ul><p>연습 \\(1-7\\) 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\cos 120^{\\circ} \\)</li><li>\\( \\sin \\frac{5 \\pi}{6} \\)</li><li>\\( \\tan 315^{\\circ} \\)</li></ol>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "411", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "기초미적분학_삼각함수", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-56b3-41ac-b467-c37503ddcd40", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160730579", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2017", "doc_author": [ "전춘배" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>정의 \\( 6.1 \\) \\( \\nabla f(x) h<0 \\) 를 만족하는 \b벡터 \\( h \\) 를 \\( x \\) 에서 하강방향(descent direction)이라 한다.", "</p> <p>예제 | \\( 6.2 \\) \\( f(x, y)=\\frac{e^{2} x y}{e^{x^{2}+y^{2}}} \\) 이고 \\( x_{0}=\\left(\\begin{array}{l}1 \\\\ 1\\end{array}\\right) \\) 이라고 하자.", "그러면 \\( f\\left(x_{0}\\right)=1 \\) 이고 \\[ f_{x}=\\frac{e^{2}\\left(y-2 x^{2} y\\right)}{e^{z^{2}+y^{2}}}, f_{y}=\\frac{e^{2}\\left(x-2 x y^{2}\\right)}{e^{x^{2}+y^{2}}} \\] 이므로 \\( \\nabla f\\left(x_{0}\\right)=(-1,-1) \\) 이다. \\", "( h_{1}=\\left(\\begin{array}{l}2 \\\\ 3\\end{array}\\right) \\) 롤 택하면 \\( \\nabla f\\left(x_{0}\\right) h_{1}=-5<0 \\) 이므로 \\( h_{1} \\) 는 하강방향이다.", "또한 \\( h_{2}=-\\nabla f\\left(x_{0}\\right)^{T}=\\left(\\begin{array}{l}1 \\\\ 1\\end{array}\\right) \\) 도 하강방향이다.", "다양한 보폭 크기 \\( t \\) 에 대해 첫 번째 근사해 \\( x_{0}+t h_{1} \\) 과 \\( x_{0}+t h_{2} \\) 에서 함숫값을 gdm.m 올 이용하여 계산하면 다음과 같이 \\( f\\left(x_{0}\\right)=1 \\) 보다 작은 값이 나오므로 \\( h_{1} \\) 과 \\( h_{2} \\) 하강방향이 맞다.", "</p> <table border><caption>보폭 크기 \\(t\\)에 따른 하강방향</caption> <tbody><tr><td>\\( t \\)</td><td>\\( f\\left(x_{0}+t h_{1}\\right) \\)</td><td>\\( f\\left(x_{0}+t h_{2}\\right) \\)</td></tr><tr><td>\\( 2 \\)</td><td>\\( 1.8831 \\mathrm{e}-30 \\ \\)</td><td>\\( 0.0000010128 \\)</td></tr><tr><td>\\( 1 \\)</td><td>\\( 1.2314 \\mathrm{e}-09 \\)</td><td>\\( 0.0099150087 \\)</td></tr><tr><td>\\( 0.5 \\)</td><td>\\( 1.3063 \\mathrm{e}-03 \\)</td><td>\\( 0.1846912469 \\)</td></tr><tr><td>\\( 0.2 \\)</td><td>\\( 1.8023 \\mathrm{e}-01 \\)</td><td>\\( 0.5972873928 \\)</td></tr><tr><td>\\( 0.1 \\)</td><td>\\( 5.0393 \\mathrm{e}-01 \\)</td><td>\\( 0.7950266520 \\)</td></tr></tbody></table> <p>\\( h_{1}, h_{2} \\) 가 하강방향이면 \\( \\alpha_{1}, \\alpha_{2}>0 \\) 에 대해 \\[ \\nabla f(x)\\left(\\alpha_{1} h_{1}+\\alpha_{2} h_{2}\\right)=\\alpha_{1} \\nabla f(x) h_{1}+\\alpha_{2} \\nabla f(x) h_{2}<0 \\] 이므로 \\( \\alpha_{1} h_{1}+\\alpha_{2} h_{2} \\) 도 하강방향이다.", "</p> <p>함수 \\( f: R^{n} \\rightarrow R \\) 의 최솟값을 찾기 위하여 초기값 \\( x_{0} \\) 를 주고 순차적으로 함숫값이 점점 작아지도록 반복해, 즉 \\( f\\left(x_{0}\\right)>f\\left(x_{1}\\right)>\\cdots>f\\left(x^{*}\\right) \\) 이 되도록 최소자 \\( x^{*} \\) 를 찾는 법을 경사하강법(Gradient Descent Method)이라고 하다.", "</p> <p>\\( \\alpha_{0}(t)=x_{0}+t u \\) 는 \\( x_{0} \\) 를 지나고 방향이 \\( u \\) 인 직선이다. \\( \\phi_{0}(t)=f\\left(\\alpha_{0}(t)\\right) \\) 라고 하자. 그러면 \\( \\phi_{0}(t)=f\\left(x_{0}+t u\\right) \\) 는 \\( \\phi_{0}: R \\rightarrow R \\) 인 함수로 \\( x_{0} \\) 에서 감소함수가 되어야 한다. 적당한 \\( t_{0} \\) 에 대하여 \\( x_{1}=x_{0}+t_{0} u \\) 가 \\( f\\left(x_{0}\\right)>", "f\\left(x_{1}\\right) \\) 가 되어야 하므로 \\( \\phi_{0}^{\\prime}(0)<0 \\) 이 되는 \\( u \\) 를 찾아야 한다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "410", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "옥타브로 배우는 인공지능을 위한 기초수학_최소제곱법과 경사하강법", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-7db3-4ba9-bcc5-f18a0bf62b62", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160734089", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2020", "doc_author": [ "이규봉" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>문제 \\(3-1\\) 다음을 계산하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sin \\left(-\\frac{7 \\pi}{3}\\right) \\)</li><li>\\( \\cos \\left(-135^{\\circ}\\right) \\)</li><li>\\( \\tan \\left(-\\frac{3 \\pi}{4}\\right) \\)</li></ol><p>문제 \\(3-2\\) 다음을 계산하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sin \\left(\\frac{\\pi}{3}+\\frac{\\pi}{4}\\right) \\)</li><li>\\( \\cos \\left(\\frac{\\pi}{3}-\\frac{\\pi}{4}\\right) \\)</li><li>\\( \\tan \\left(\\frac{\\pi}{3}+\\frac{\\pi}{4}\\right) \\)</li><li>\\( \\tan \\left(\\frac{\\pi}{3}-\\frac{\\pi}{4}\\right) \\)</li></ol><p>문제 \\(3-3\\) 다음을 계산하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sin \\frac{7 \\pi}{4}-\\cos \\frac{7 \\pi}{4} \\)</li><li>\\( \\sin \\frac{7 \\pi}{4}+\\sqrt{3} \\cos \\frac{7 \\pi}{4} \\)</li></ol><p>문제 \\(3-4\\) 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sin \\left(\\frac{\\pi}{8}\\right) \\)</li><li>\\( \\cos \\left(\\frac{\\pi}{8}\\right) \\)</li><li>\\( \\tan \\left(\\frac{\\pi}{8}\\right) \\)</li></ol><p>문제 \\(3-5\\) 다음을 계산하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sin \\frac{7 \\pi}{4} \\cos \\frac{\\pi}{4} \\)</li><li>\\( \\cos \\frac{7 \\pi}{4} \\sin \\frac{\\pi}{4} \\)</li><li>\\( \\cos \\frac{7 \\pi}{4} \\cos \\frac{\\pi}{4} \\)</li><li>\\( \\sin \\frac{7 \\pi}{4} \\sin \\frac{\\pi}{4} \\)</li></ol><p>문제 \\(3-6\\) 다음을 계산하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sin \\frac{7 \\pi}{12}+\\sin \\frac{\\pi}{12} \\)</li><li>\\( \\sin \\frac{7 \\pi}{12}-\\sin \\frac{\\pi}{12} \\)</li><li>\\( \\cos \\frac{7 \\pi}{12}+\\cos \\frac{\\pi}{12} \\)</li><li>\\( \\cos \\frac{7 \\pi}{12}-\\cos \\frac{\\pi}{12} \\)</li></ol><p>문제 \\(3-7\\) 삼각형 \\( A B C \\)의 외접원의 반지름을 \\( R \\)이라고 하면 다음이 성립한다. \\", "[ \\frac{a}{\\sin A}=\\frac{b}{\\sin B}=\\frac{c}{\\sin C}=2 R \\]</p><ol type=1 start=1><li>\\( A=30^{\\circ}, R=4 \\)일 때, \\( B C \\)의 길이 \\( a \\)를 구하여라.", "</li><li>\\( A=75^{\\circ}, \\overline{B C}=a=4 \\)일 때, 외접원의 반지름 \\( R \\)을 구하여라.", "</li></ol><p>문제 \\(3-8\\) \\( \\angle C=90^{\\circ} \\)인 직각삼각형에서 \\( \\overline{A B}=5 \\), \\( \\angle B=45^{\\circ} \\)일 때,</p><ol type=1 start=1><li>\\( A C \\)의 길이를 구하여라.", "</li><li>\\( B C \\)의 길이를 구하여라.", "</li></ol><p>문제 \\(3-9\\) 삼각형 \\( A B C \\)의 \\( b, c \\)와 그 끼인각 \\( A \\)의 크기를 알 때, 이 삼각형의 넓이 \\( S \\)는 \\( S=\\frac{1}{2} b c \\sin A \\)이다.", "다음 삼각형의 넓이를 구하여라.", "</p> <p>확인 \\(3-1\\) 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sin \\left(-\\frac{\\pi}{3}\\right) \\)</li><li>\\( \\cos \\left(-30^{\\circ}\\right) \\)</li><li>\\( \\tan \\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right) \\)</li></ol><p>확인 \\(3-2\\) 다음을 \\( \\sin x, \\cos x, \\tan x \\)를 포함한 식으로 나타내어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sin \\left(x-\\frac{\\pi}{3}\\right) \\)</li><li>\\( \\cos \\left(x-\\frac{\\pi}{6}\\right) \\)</li><li>\\( \\tan \\left(\\frac{\\pi}{4}+x\\right) \\)</li></ol><p>확인 \\(3-3\\) 다음을 \\( r \\sin (x+\\alpha) \\)의 형태로 합성하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sin x+\\sqrt{3} \\cos x \\)</li><li>\\( \\sin x-\\cos x \\)</li></ol><p>확인 \\(3-4\\) \\( x \\)가 \\(2\\)사분면의 각이고 \\( \\sin x=\\frac{1}{2} \\)일 때, 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\cos x \\)</li><li>\\( \\tan x \\)</li><li>\\( \\sin 2 x \\)</li><li>\\( \\cos 2 x \\)</li><li>\\( \\tan 2 x \\)</li></ol><p>확인 \\(3-5\\) 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sin \\left(\\frac{\\pi}{12}\\right) \\)</li><li>\\( \\cos \\left(\\frac{\\pi}{12}\\right) \\)</li><li>\\( \\tan \\left(\\frac{\\pi}{12}\\right) \\)</li></ol><p>확인 \\(3-6\\) 다음을 계산하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\cos \\frac{5 \\pi}{12} \\sin \\frac{\\pi}{12} \\)</li><li>\\( \\sin \\frac{5 \\pi}{12} \\sin \\frac{\\pi}{12} \\)</li></ol><p>확인 \\(3-7\\) 다음을 계산하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sin \\frac{\\pi}{12}-\\sin \\frac{5 \\pi}{12} \\)</li><li>\\( \\cos \\frac{\\pi}{12}+\\cos \\frac{5 \\pi}{12} \\)</li></ol><p>확인 \\(3-8\\) 삼각형 \\( A B C \\)에서 \\( A=\\frac{\\pi}{6}, R=10 \\)일 때, \\( B C \\)의 길이를 구하여라.", "</p><p>확인 \\(3-9\\) 삼각형 \\( A B C \\)에서 \\( A=\\frac{\\pi}{3}, b=3, c=4 \\)일 때, \\( a \\)의 값을 구하여라.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "411", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "기초미적분학_삼각함수의 공식", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-5560-442b-8e4c-ffa3ef8ef448", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160730579", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2017", "doc_author": [ "전춘배" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h2>13-8 로그 방정식</h2><ul><li>로그에 미지수를 포함한 방정식을 로그방정식이라고 하며 푸는 방법은 다음 세 가지 유형이 있다.", "<ol type=1 start=1><li>밑이 같은 경우 : \\( a>0,\\quad a \\neq 1 \\)일 때, \\( \\log _{a} f(x)=\\log _{a} g(x) \\Leftrightarrow f(x)=g(x)\\) (단, \\(f(x)>0\\)이고 \\(g(x)>0\\) )</li><li>지수에 미지수가 있는 경우 : \\( a>0, \\quad b>0,\\quad a \\neq 1,\\quad b \\neq 1 \\)일 때, \\( a^{f(x)}=b^{g(x)} \\Leftrightarrow f(x) \\log a=g(x) \\log b \\)</li><li>\\( \\log _{a} x \\)가 반복되는 경우 : \\( \\log _{a} x=t \\)로 치환한다. \\", "( A\\left(\\log _{a} x\\right)^{2}+B \\log _{a} x+C=0 \\Leftrightarrow A t^{2}+B t+C=0 \\)</li></ol></li></ul><p>연습 \\(13-8\\) 다음 방정식을 풀어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\log _{3}(2 x-4)=\\log _{3}(x+5) \\)</li><li>\\( 2^{2 x-1}=5 \\)</li><li>\\( \\left(\\log _{3} x\\right)^{2}=2 \\log _{3} x \\)</li></ol><p>확인 \\(13-1\\) 다음 지수의 식을 로그의 식으로 표현하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 3^{4}=81 \\)</li><li>\\( 5^{0}=1 \\)</li><li>\\( 10^{5}=100000 \\)</li><li>\\( 4^{-3}=\\frac{1}{64} \\)</li><li>\\( 81^{\\frac{1}{4}}=3 \\)</li><li>\\( 2^{-\\frac{1}{3}}=\\frac{1}{\\sqrt[3]{2}} \\)</li></ol><p>확인 \\(13-2\\) 다음 로그의 식을 지수의 식으로 표현하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\log _{3} 81=4 \\)</li><li>\\( \\log _{7} 1=0 \\)</li><li>\\( \\log _{3}\\left(\\frac{1}{9}\\right)=-2 \\)</li><li>\\( \\log _{10} 1000000=6 \\)</li><li>\\( \\log _{10} 0.00001=-5 \\)</li><li>\\( \\log _{3} \\sqrt{27}=\\frac{3}{2} \\)</li></ol><p>확인 \\(13-3\\) 다음을 간단히 하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\log _{4} 1 \\)</li><li>\\( \\log _{7} 1 \\)</li><li>\\( \\log _{6} 6 \\)</li><li>\\( \\log _{\\frac{1}{5}} \\frac{1}{5} \\)</li><li>\\( \\log _{2} 32 \\)</li><li>\\( 4^{\\log _{4} 12} \\)</li></ol><p>확인 \\(13-4\\) 다음을 계산하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\log _{3} 9+\\log _{3} 27 \\)</li><li>\\( \\log _{2} 64-\\log _{2} 8 \\)</li><li>\\( \\log _{2} \\frac{1}{2}+\\log _{2} \\sqrt{2^{3}} \\)</li><li>\\( 3 \\log _{10} 2+2 \\log _{10} 3-2 \\log _{10} 6 \\)</li><li>\\( \\log _{2} 5+\\log _{4} 25 \\)</li></ol><p>확인 \\(13-5\\) 다음을 계산하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\frac{\\log _{3} 8}{\\log _{3} 2} \\)</li><li>\\( \\log _{5} 10 \\cdot \\log _{10} 5 \\)</li><li>\\( \\log _{2} 8-\\frac{1}{\\log _{4} 2} \\)</li></ol><p>확인 \\(13-6\\) 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\log A=7.99 \\)일 때, \\( A \\)의 정수 부분은 몇 자리의 수인가?", "</li><li>\\( \\log B=12.48 \\)일 때, \\( B \\)의 정수 부분은 몇 자리의 수인가?", "</li><li>\\( \\log C=0.99 \\)일 때, \\( C \\)의 정수 부분은 몇 자리의 수인가?", "</li><li>\\( \\log D=-12.48 \\)일 때, \\( D \\)는 소수점 이하 몇 번째 자리에서 처음으로 \\(0\\)이 아닌 숫자가 나타나는가?", "</li></ol><p>확인 \\(13-7 \\quad y=\\log _{\\frac{1}{2}} x \\)의 그래프를 다음의 변환에 의해 이동한 그래프의 식을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( x \\)축으로 \\( -2 \\)만큼, \\( y \\)축으로 \\(3\\)만큼 평행이동</li><li>\\( x \\)축 대칭이동</li><li>\\( y=x \\)에 대해 대칭이동</li></ol><p>확인 \\(13-8\\) 다음 방정식을 풀어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\log _{3} x=-4 \\)</li><li>\\( \\log _{2}(3 x-5)=\\log _{2}(2 x+4) \\)</li><li>\\( 3^{x-1}=6 \\)</li><li>\\( \\left(\\log _{2} x\\right)^{2}=2 \\log _{2} x \\)</li></ol><p>문제 \\(13-1\\) 다음 값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\log _{2} 64 \\)</li><li>\\( \\log _{\\frac{1}{3}} 27 \\)</li><li>\\( \\log _{7} \\frac{1}{16807} \\)</li></ol><p>문제 \\(13-2\\) 다음 값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\log 0.001 \\)</li><li>\\( \\log 30 \\)</li><li>\\( \\log 450 \\)</li></ol><p>문제 \\(13-3\\) 밑이 \\( e \\)인 로그 \\( \\log _{e} x \\)를 \\( \\ln x \\)로 쓴다.", "다음 값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\ln e^{1.5} \\)</li><li>\\( \\ln e^{3} \\)</li><li>\\( \\ln 3.14 \\)</li><li>\\( \\ln 0.178 \\)</li></ol><p>문제 \\(13-4\\) 다음을 계산하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\log _{2} 64-\\log _{2} 128+\\log _{2} 32 \\)</li><li>\\( \\log _{2} \\frac{2}{3}-\\log _{2} \\frac{4}{3}+\\log _{2} 32 \\)</li><li>\\( \\frac{\\log 25-\\log 125+\\frac{1}{4} \\log 625}{3 \\log 5} \\)</li><li>\\( \\log _{2}(1+\\sqrt{2}+\\sqrt{3})+\\log _{2}(1+\\sqrt{2}-\\sqrt{3}) \\)</li><li>\\( \\log _{2}(1-\\sqrt{2}+\\sqrt{3})+\\log _{2}(1+\\sqrt{2}+\\sqrt{3}) \\)</li><li>\\( \\log _{7} 7+\\log _{5} 1+3^{\\log _{3} 12} \\)</li><li>\\( \\log _{7} \\frac{1}{7}+\\log _{5} 25+4^{\\log _{4} 16} \\)</li><li>\\( \\ln \\left(\\frac{e^{3}-e^{-3}}{2}\\right)+\\ln \\left(\\frac{e^{3}+e^{-3}}{2}\\right) \\)</li></ol><p>문제 \\(13-5\\) 다음을 계산하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\left(\\log _{2} 3+\\log _{4} 9\\right)\\left(\\log _{3} 2+\\log _{9} 4\\right) \\)</li><li>\\( \\left(\\log _{2} 18+2 \\log _{4} 7\\right) \\log _{126} 8 \\)</li><li>\\( 3 \\log _{27} 70-\\log _{3} 231-4 \\log _{3} 5-2 \\log _{9} 22+4 \\log _{3} 55 \\)</li></ol><p>문제 \\(13-6\\) 다음을 풀어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( x=\\sqrt{10}+\\sqrt{2},\\quad y=\\sqrt{10}-\\sqrt{2} \\)일 때, \\( \\log _{64}\\left(x^{2}+x y+y^{2}\\right) \\)의 값을 구하여라.", "</li><li>\\( a=\\log _{2} 3,\\quad b=\\log _{3} 4,\\quad c=\\log _{4} 2 \\)일 때, \\( \\frac{a}{a b+a+1}+\\frac{b}{b c+b+1}+\\frac{c}{c a+c+1} \\)의 값을 구하여라.", "</li></ol><p>문제 \\(13-7\\) 다음 수의 정수 부분의 자리수를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 5^{100} \\)</li><li>\\( 1.25^{100} \\)</li><li>\\( 45^{25} \\)</li></ol><p>문제 \\(13-8\\) 다음 수는 소수점 이하 몇 번째 자리에서 처음으로 \\(0\\)이 아닌 숫자가 나타나는가?", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\left(\\frac{1}{2}\\right)^{30} \\)</li><li>\\( 5^{-40} \\)</li><li>\\( \\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^{30} \\)</li></ol><p>문제 \\(13-9\\) 다음 방정식을 풀어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\log _{3} x=-4 \\)</li><li>\\( \\log _{2}(3 x+5)=\\log _{2}(2 x+4) \\)</li><li>\\( 3^{x-1}=6 \\)</li><li>\\( \\left(\\log _{2} x\\right)^{2}=2 \\log _{2} x \\)</li></ol><p>문제 \\(13-10\\) 다음 방정식을 풀어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\log _{3}(x+2)=12 \\)</li><li>\\( \\log _{2}(3 x-4)=\\frac{3}{4} \\)</li><li>\\( 2.83 \\ln \\left(\\frac{1.28}{x}\\right)=1.25 \\)</li><li>\\( 3.23 \\ln \\left(\\frac{x}{1.28}\\right)=3.28 \\)</li><li>\\( \\ln \\left(\\frac{x}{3.43}\\right)=4.53 \\)</li><li>\\( \\ln (x+3)=1+\\ln x \\)</li></ol><p></p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "411", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "대학기초수학_로그와 로그함수", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-69e0-40aa-b5bf-7e5f4a4997e9", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160730524", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2017", "doc_author": [ "전춘배" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>7.1 매개변수방정식의 미분 : 접선의 방정식과 곡선의 개형</h1><p>\\( x \\)와 \\( y \\)가 매개변수라 불리는 제 \\( 3 \\)의 변수 \\( t \\)의 연속함수로서 방정식 \\( x=f(t) \\), \\( y=g(t) \\)로 주어졌을 때, 이 방정식을 매개변수방정식이라고 부른다. \\", "( t \\)가 변할 때, 점 \\( (x, y)=(f(t), g(t)) \\)도 변하고 그 자취를 따라 곡선 \\( C \\)가 형성되는데, 우리는 이것을 매개변수곡선이라 부른다.", "매개변수 \\( t \\)는 반드시 시간을 의미하는 것만은 아니다.", "변수도 \\( t \\) 이외의 다른 문자를 써도 된다.", "그러나 많은 매개변수곡선의 응용에 있어서 \\( t \\)는 시간을 나타낸다.", "그러므로 \\( (x, y)=(f(t), g(t)) \\)를 시간 \\( t \\)에 있어서 질점의 위치로 간주할 수 있다.", "</p><p>매개변수로 표시된 곡선의 그래프를 그리는 방법은 \\( t \\)값을 변화시킬 때마다 결정되는 \\( x \\)와 \\( y \\)의 값을 찾아 그것들을 연결하여 곡선을 그리는 방법과 매개변수 \\( t \\)를 소거하여 우리가 알고 있는 직교방정식으로 고쳐서 그리는 방법이 있다.", "단, 이때 제한변역이 생기는가 확인한다.", "</p><p>예제 \\( 7.1.1 \\) 모든 \\( t \\)에 대하여 \\( x=1-2 t \\)와 \\( y=-3+4 t \\)에 의해 매개변수화된 곡선 \\( C \\)를 그리고 \\( t \\)가 증가함에 따라 움직이는 방향을 나타내어라.", "</p><p>풀이 \\( 1\\) t의 값이 증가할 때의 \\( x, y \\) 값을 구하여 곡선 \\( C \\) 를 구해보면<table border><tbody><tr><td>\\( t \\)</td><td>\\( x \\)</td><td>\\( y \\)</td></tr><tr><td>\\( -2 \\)</td><td>\\( 5 \\)</td><td>\\( -11 \\)</td></tr><tr><td>\\( -1 \\)</td><td>\\( 3 \\)</td><td>\\( -7 \\)</td></tr><tr><td>\\( 0 \\)</td><td>\\( 1 \\)</td><td>\\( -3 \\)</td></tr><tr><td>\\( 1 \\)</td><td>\\( -1 \\)</td><td>\\( 1 \\)</td></tr><tr><td>\\( 2 \\)</td><td>\\( -3 \\)</td><td>\\( 5 \\)</td></tr></tbody></table>앞의 그림과 같은 직선으로 방향은 위 왼쪽을 향한다.", "</p><p>풀이 \\( 2 \\) \\( t \\)를 포함하지 않는 직교방정식으로 고치기 위해 첫 번째 매개변수방정식을 \\( t \\)에 대해 풀면 \\( t=\\frac{1-x}{2} \\)을 얻는다.", "두 번째 매개변수방정식에 \\( t \\)를 대입하여 \\( y=-3+4\\left(\\frac{1-x}{2}\\right)=-1-2 x \\)를 얻는다.", "따라서 곡선 \\( C \\)는 기울기 \\( -2, y \\) 절편 \\( -1 \\)인 직선을 나타낸다. \\", "( t \\)가 증가하면 질점은 곡선 \\( C \\) 상의 위 왼쪽으로 움직인다.", "</p><p>예제 \\( 7.1.2 \\) \\( a>0 \\)이라 하자. \\", "( 0 \\leq t \\leq 2 \\pi \\)에 대해 \\( x=a \\cos t, y=a \\sin t \\)인 매개 변수방정식을 갖는 곡선 \\( C \\)는 무엇인가?", "</p><p>풀이 \\( x^{2}+y^{2}=a^{2}\\left(\\cos ^{2} t+\\sin ^{2} t\\right)=a^{2} \\)으로 \\( t \\)를 소거할 수 있다.", "</p><p>\\( t=0 \\)일 때 원 위의 점 \\( (a, 0), t=\\frac{\\pi}{2} \\)일 때 \\( (0, a) \\) \\( t=\\pi \\)일 때 \\( (-a, 0), t=\\frac{3 \\pi}{2} \\)일 때 \\( (0,-a) \\) \\( t=2 \\pi \\)일 때 \\( (a, 0) \\)이므로 곡선 \\( C \\)는 반지름이 \\( a \\)인 원을 시계 반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선이다.", "</p><p>예제 \\( 7.1.3 \\) 매개변수방정식 \\( x=\\sin t, y=\\sin ^{2} t \\)을 갖는 곡선을 그려라.", "</p><p>풀이 매개변수 \\( t \\)를 소거하면 \\( y=x^{2} \\)인 직교방정식을 얻는다. \\", "( -1 \\leq \\sin t \\leq 1 \\)이므로 \\( -1 \\leq x \\leq 1 \\)이고 매개변수방정식은 \\( -1 \\leq x \\leq 1 \\)에 대한 포물선 \\( y=x^{2} \\)의 일부분만을 나타낸다. \\", "( \\sin t \\)는 주기적이므로 점 \\( (x, y)=\\left(\\sin t, \\sin ^{2} t\\right) \\)는 \\( (-1,1) \\)에서 \\( (1,1) \\)까지 포물선을 따라 앞뒤로 무한히 움직인다.", "</p><p>매개변수방정식 \\( x=f(t), y=g(t) \\)로 정의된 곡선은 매개변수를 소거하여 \\( y= \\) \\( F(x) \\) 형으로 나타낼 수 있다.", "방정식 \\( y=F(x) \\)에 \\( x=f(t) \\)와 \\( y=g(t) \\)를 대입하면, \\( g(t)=F(f(t)) \\)가 되고, \\( g, F, f \\)가 미분가능하면, 연쇄법칙에 의하여 \\[g^{\\prime}(t)=F^{\\prime}(f(t)) f^{\\prime}(t)=F^{\\prime}(x) f^{\\prime}(t)\\]를 얻는다. \\", "( f^{\\prime}(t) \\neq 0 \\)이면 \\( F^{\\prime}(x) \\)에 대하여 풀 수 있다.", "즉, \\[F^{\\prime}(x)=\\frac{g^{\\prime}(t)}{f^{\\prime}(t)}\\]</p><p>곡선 \\( y=F(x) \\) 위의 점 \\( (x, F(x)) \\)에서의 접선의 기울기가 \\( F^{\\prime}(x) \\)이기 때문에 위의 방정식은 매개변수를 제거하여 구체적인 \\( F(x) \\)를 구하지 않아도 매개변수곡선에 대한 접선을 구할 수 있다는 것을 뜻한다.", "라이프니츠 표기법을 사용하여 쓰면, 다음과 같은 매개변수 미분법을 얻는다.", "</p><p>정리 \\( 7.1.1 \\) \\( x=f(t), y=g(t) \\)가 미분가능하고, \\( f^{\\prime}(t) \\neq 0 \\)이면 \\[\\frac{d y}{d x}=\\frac{g^{\\prime}(t)}{f^{\\prime}(t)}=\\frac{\\frac{d y}{d t}}{\\frac{d x}{d t}}\\]</p><p>예제 \\( 7.1.4 \\) 매개변수방정식 \\( x=\\frac{1-t}{1+t}, y=\\frac{2 t}{1+t} \\)에서 \\( \\frac{d y}{d x} \\)을 \\( t \\)에 대한 식으로 나타내어라.", "</p><p>풀이 \\( 1\\) \\(\\quad x=\\frac{1-t}{1+t} \\) 에서 \\( \\frac{d x}{d t}=\\frac{-(1+t)-(1-t)}{(1+t)^{2}}=\\frac{-2}{(1+t)^{2}} \\)\\( y=\\frac{2 t}{1+t} \\) 에서 \\( \\frac{d y}{d t}=\\frac{2(1+t)-2 t}{(1+t)^{2}}=\\frac{2}{(1+t)^{2}} \\)그러므로 \\( \\frac{d y}{d x}=\\frac{\\frac{d y}{d t}}{\\frac{d x}{d t}}=\\frac{\\frac{2}{(1+t)^{2}}}{\\frac{-2}{(1+t)^{2}}}=-1 \\) 이다.", "</p><p>풀이 \\( 2\\) \\(x=\\frac{1-t}{1+t} \\) 에서 \\( t=\\frac{1-x}{1+x} \\)이므로 \\( y=\\frac{2 \\frac{1-x}{1+x}}{1+\\frac{1-x}{1+x}}=\\frac{\\frac{2(1-x)}{1+x}}{\\frac{2}{1+x}}=1-x \\) 그러므로 \\( \\frac{d y}{d x}=-1 \\)이다.", "</p><p>곡선의 오목, 볼록성을 판정하기 위해 \\( \\frac{d^{2} y}{d x^{2}} \\)을 구해보는 것이 유용한데, 이것은 은 다음과 같이 주어진다.", "</p><p>정리 \\( 7.1.2\\) \\[\\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\\frac{d}{d x}\\left(\\frac{d y}{d x}\\right)=\\frac{d}{d t}\\left(\\frac{d y}{d x}\\right) \\frac{d t}{d x}=\\frac{\\frac{d}{d t}\\left(\\frac{d y}{d x}\\right)}{\\frac{d x}{d t}}\\]</p><p>위의 식에서 두 번째 등호에서는 연쇄법칙이, 세 번째 등호에서는 역함수 미분법이 각각 적용되었다.", "</p>예제 \\( 7.1.5 \\) 매개변수방정식 \\( x=\\cos t, y=2 \\sin t\\left(0<t<\\frac{\\pi}{2}\\right) \\)에서 \\( \\frac{d y}{d x}, \\frac{d^{2} y}{d x^{2}} \\)을 구하여라.", "<p>풀이 \\( \\frac{d y}{d x}=\\frac{\\frac{d y}{d t}}{\\frac{d x}{d t}}=\\frac{2 \\cos t}{-\\sin t}=-2 \\cot t \\)이고 \\[\\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\\frac{d}{d x}\\left(\\frac{d y}{d x}\\right)=\\frac{\\frac{d}{d t}\\left(\\frac{d y}{d x}\\right)}{\\frac{d x}{d t}}=\\frac{2 \\csc ^{2} t}{-\\sin t}=-2 \\csc ^{3} t\\]이다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "공학도를 위한 기초미적분학_매개변수방정식의 미적분", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-6cc8-48b7-85ed-7e45a425c861", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961055246", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2011", "doc_author": [ "박정준", "신현혜", "이혜경", "정계선", "최건돈" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>7.6 측지선 및 측지곡률</h1><p>정칙곡면 \\( M \\)상의 단위속력곡선 \\( \\gamma: I \\rightarrow M \\)에 대하여 \\( \\{T, N, B, \\kappa, \\tau\\} \\)과 곡면의 법벡터 \\( n \\)에 대하여 새로운 벡터 \\( D \\)를 \\[D=n \\times T\\]라 두면 \\( \\{n, T, D\\} \\)은 새로운 틀장(frame field)을 형성한다.", "</p><p>정의 \\( 7.46 \\) 정칙곡면 \\( M \\)상의 단위속력곡선 \\( \\gamma \\)에 대하여 \\[\\kappa_{g}(\\gamma)=\\left\\langle\\gamma^{\\prime \\prime}, D\\right\\rangle\\] 라 할 때, \\( \\kappa_{g}(\\gamma) \\)를 \\( \\gamma \\)의 측지곡률(geodesic curvature)이라 한다.", "</p><p>문제 \\( 7.47 \\) 단위속력곡선 \\( \\gamma \\)의 측지곡률은 \\[k_{g}(\\gamma)=\\left\\langle n, \\gamma^{\\prime} \\times \\gamma^{\\prime \\prime}\\right\\rangle \\]이고 임의의 속력곡선 \\( \\gamma \\)의 측지곡률 \\( \\kappa_{g} \\)는 \\[ \\kappa_{g}(\\gamma)=\\frac{1}{\\left\\|\\gamma^{\\prime}\\right\\|^{3}}\\left\\langle n, \\gamma^{\\prime} \\times \\gamma^{\\prime \\prime}\\right\\rangle\\] 임을 증명하여라.", "</p><p>보조정리 \\(7.48 \\) 정칙곡면 \\( M \\)상의 단위속력곡선 \\( \\gamma \\)에 대한 가속도벡터 \\( \\gamma^{\\prime \\prime}(s) \\)는 \\[\\gamma^{\\prime \\prime}(s)=\\kappa_{g}(\\gamma) D+\\kappa_{n}(\\gamma) n\\]로 표현된다.", "여기서 \\( \\kappa_{n}(\\gamma)=\\kappa_{n}\\left(\\gamma^{\\prime}\\right) \\)이다.", "</p><p>증명 단위속력곡선 \\( \\gamma \\)에 대해 \\( \\left\\langle\\gamma^{\\prime \\prime}(s), T\\right\\rangle=0 \\)이기 때문에 \\[\\gamma^{\\prime \\prime}(s)=\\left\\langle\\gamma^{\\prime \\prime}(s), D\\right\\rangle D+\\left\\langle\\gamma^{\\prime \\prime}(s), n\\right\\rangle n\\] 이다.", "따라서 정리 \\( 7.14 \\)와 정의 \\( 7.46 \\)에 의해 증명된다.", "</p><p>정리 \\( 7.49 \\) 정칙곡면 \\( M \\)상의 단위속력곡선 \\( \\gamma \\)의 곡률 \\( \\kappa \\), 측지곡률 \\( \\kappa_{g} \\), 법곡률 \\( \\kappa_{n} \\)은 다음과 같은 관계식 \\[ \\kappa^{2}=\\kappa_{g}^{2}+\\kappa_{n}^{2}\\]을 만족한다.", "</p><p>증명 단위속력곡선 \\( \\gamma \\)의 곡률은 \\( \\kappa^{2}=\\left\\|\\gamma^{\\prime \\prime}(s)\\right\\|^{2} \\)을 만족하기 때문에 보조정리 \\( 7.48 \\)로부터 성립한다.", "</p><p>정의 \\(7.50 \\) 정칙곡면 \\( M \\)상의 단위속력곡선 \\( \\gamma \\)의 측지곡률이 \\( \\kappa_{g}=0 \\)일 때, 곡선 \\( \\gamma \\)를 측지선 (geodesic curve)이라 한다.", "</p><p>정리 \\(7.51 \\) 정칙곡면 \\( M \\)상의 단위속력곡선 \\( \\gamma \\)가 측지선일 필요충분조건은 (1) \\( \\left\\langle\\gamma^{\\prime} \\times \\gamma^{\\prime \\prime}, n\\right\\rangle=0 \\), 또는 (2) \\( \\gamma^{\\prime \\prime}(s) \\)이 곡면에 수직일 때이다.", "즉, \\( \\gamma^{\\prime \\prime}(s) \\)이 \\( n \\)과 평행할 때이다.", "</p> <p>예제 \\( 7.41 \\) 구면 \\( S^{2}(r)=\\left\\{(x, y, z) \\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\\right\\} \\)의 Gauss 곡률과 평균곡률을 구하여라.", "</p><p>풀이 예제 \\( 7.5 \\)로부터 구면위의 임의의 점 \\( \\mathrm{x}=(x, y, z) \\)에서의 법벡터는 \\( n=\\frac{x}{r} \\)이고 임의의 접벡터 \\( v \\)에 대하여 모양연산자는 \\( S(v)=-\\frac{1}{r} v \\)이다.", "따라서 \\( S(v) \\times S(w)= \\) \\( \\frac{1}{r^{2}} v \\times w \\)이고, 따름정리 \\( 7.40 \\)으로부터 Gauss 곡률 \\( K=\\frac{1}{r^{2}} \\)이다.", "평균곡률도 쉽게 구할 수 있다.", "</p><p>예제 \\( 7.42 \\) 타원면 \\( M=\\left\\{(x, y, z) \\mid \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}+\\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\\right\\} \\)의 Gauss 곡률 \\( K \\)와 평균곡률 \\( H \\)를 구하여라.", "</p><p>풀이 함수 \\( g(x, y, z)=\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}+\\frac{z^{2}}{c^{2}} \\)라 두면 기울기벡터 \\( \\nabla g \\)는 \\[\\nabla g=2\\left(\\frac{x}{a^{2}}, \\frac{y}{b^{2}}, \\frac{z}{c^{2}}\\right)\\]이다.", "만약 함수 \\( h(x, y, z)=\\left(\\frac{x^{2}}{a^{4}}+\\frac{y^{2}}{b^{4}}+\\frac{z^{2}}{c^{4}}\\right)^{-\\frac{1}{2}} \\)라 두면 단위법벡터 \\( n \\)은 \\[n=\\frac{\\nabla g}{\\|\\nabla g\\|}=h\\left(\\frac{x}{a^{2}}, \\frac{y}{b^{2}}, \\frac{z}{c^{2}}\\right)\\]으로 주어진다.", "따라서 벡터 \\( \\{v, w\\} \\)를 정규직교기로서 \\( n=v \\times w \\)를 만족하도록 잡자.", "그러면 \\[\\begin{array}{l}\\nabla_{v} n=v[h] h^{-1} n+h \\nabla_{v}\\left(\\frac{x}{a^{2}}, \\frac{y}{b^{2}}, \\frac{z}{c^{2}}\\right)=v[h] h^{-1} n+h\\left(\\frac{v_{1}}{a^{2}}, \\frac{v_{2}}{b^{2}}, \\frac{v_{3}}{c^{2}}\\right), \\\\ \\nabla_{\\omega} n=w[h] h^{-1} n+h\\left(\\frac{w_{1}}{a^{2}}, \\frac{w_{2}}{b^{2}}, \\frac{w_{3}}{c^{2}}\\right)\\end{array}\\]이 된다.", "그러므로 \\[\\begin{aligned} \\langle S(v) \\times S(w), n\\rangle &=\\left\\langle\\nabla_{v} n \\times \\nabla_{w} n, n\\right\\rangle=\\frac{h^{3}}{a^{2} b^{2} c^{2}}\\left|\\begin{array}{ccc} v_{1} & v_{2} & v_{3} \\\\w_{1} & w_{2} & w_{3} \\\\x & y & z \\end{array}\\right| \\\\&=\\frac{h^{3}}{a^{2} b^{2} c^{2}}\\langle v \\times w, \\mathrm{x}\\rangle \\\\&=\\frac{h^{4}}{a^{2} b^{2} c^{2}}\\end{aligned}\\]이다.", "따라서 따름정리 \\( 7.40 \\)으로부터 Gauss 곡률은 \\[K(p)=\\frac{\\langle S(v) \\times S(w), v \\times w\\rangle}{\\|v \\times w\\|^{2}}=\\langle S(v) \\times S(w), n\\rangle=\\frac{h^{4}}{a^{2} b^{2} c^{2}}\\] 이다.", "만약 \\( a=b=c=r \\)이면 \\( h(x, y, z)=r \\)이다.", "평균곡률도 유사하게 계산할 수 있다.", "</p> <p>예제 \\( 7.11 \\) 원기둥의 모양연산자 \\( S \\)를 정리 \\( 7.8 \\)을 이용하여 구하여라.", "그리고 예제 \\( 7.6 \\)과 비교하여라.", "</p><p>풀이 원기둥의 좌표조각사상은 \\( X(u, v)=(r \\cos u, r \\sin u, v) \\)이다.", "그러므로 \\[\\begin{array}{c}X_{u}=(-r \\sin u, r \\cos u, 0), \\quad X_{v}=(0,0,1), \\\\ X_{u u}=(-r \\cos u,-r \\sin u, 0), \\quad X_{u v}=(0,0,0), \\quad X_{v v}=(0,0,0), \\\\ n=\\frac{X_{u} \\times X_{v}}{\\left\\|X_{u} \\times X_{v}\\right\\|}=(\\cos u, \\sin u, 0) \\end{array}\\]이다.", "그러므로 \\( E=r^{2}, F=0, G=1, e=-r, f=0, g=0 \\)이다.", "따라서 \\[\\left(\\begin{array}{c}S\\left(X_{u}\\right) \\\\S\\left(X_{v}\\right) \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{cc}-\\frac{1}{r} & 0 \\\\0 & 0 \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{c}X_{u} \\\\X_{v}\\end{array}\\right) \\]가 얻어진다.", "</p><p>예제 \\( 7.12 \\) 원환면(torus)의 모양연산자 \\( \\mathrm{S} \\)를 구하여라.", "</p><p>풀이 원환면의 좌표조각사상은 \\[X(u, v)=((R+r \\cos u) \\cos v,(R+r \\cos u) \\sin v, r \\sin u), \\quad(0<u, v<2 \\pi)\\]으로 주어진다.", "그러므로 \\[ \\begin{array}{l}X_{u}=(-r \\sin u \\cos v,-r \\sin u \\sin v, r \\cos u), \\\\X_{v}=(-(R+r \\cos u) \\sin v,(R+r \\cos u) \\cos v, 0), \\\\n=-(\\cos u \\cos v, \\cos u \\sin v, \\sin u) \\end{array}\\]이다.", "그러므로 예제 \\( 6.9 \\)와 예제 \\( 6.14 \\)로부터 \\[\\begin{array}{l} E=r^{2}, \\quad F=0, \\quad G=(R+r \\cos u)^{2}, \\\\e=r, \\quad f=0, \\quad g=(R+r \\cos u) \\cos u \\end{array}\\]를 얻는다.", "따라서 정리 \\( 7.8 \\)로부터 \\( S\\left(X_{u}\\right)=\\frac{e}{E} X_{u}, S\\left(X_{v}\\right)=\\frac{g}{G} X_{v} \\)이다.", "즉,\\[\\left(\\begin{array}{l} S\\left(X_{u}\\right) \\\\S\\left(X_{v}\\right)\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{cc} \\frac{1}{r} & 0 \\\\0 & \\frac{\\cos u}{R+r \\cos u}\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{c} X_{u} \\\\X_{v}\\end{array}\\right)\\]이다.", "</p> <p>정리 \\(7.19 \\) 정칙곡면 \\( M \\)상의 임의의 점 \\( p \\in M \\)서 주곡률 \\( \\kappa_{i}(i=1,2) \\)는 모양연산자 \\( S \\)의 고유치이다.", "즉, \\( S e_{i}=\\kappa_{i} e_{i}(i=1,2) \\)이다.", "또한 점 \\( p \\)에서 주벡터 \\( e_{1}, e_{2} \\)는 서로 직교한다.", "</p><p>증명 (\\(1 \\)단계) 단위 접벡터 \\( e_{1} \\in S_{p}^{1} \\)을 주벡터라 하자.", "즉, \\( \\kappa_{n}\\left(e_{1}\\right)=\\kappa_{1} \\)이라 하자.", "왜나하면 \\( \\kappa_{n}: S_{p}^{1} \\rightarrow R \\) 은 연속함수이니까 원 \\( S_{p}^{1} \\)상에서 최대값이 존재한다.", "따라서 \\( \\kappa_{1}=\\left\\langle S e_{1}, e_{1}\\right\\rangle \\)이다.", "</p><p>(\\(2 \\)단계) 단위 접벡터 \\( e_{2} \\in S_{p}^{1} \\) 는 \\( \\left\\langle e_{1}, e_{2}\\right\\rangle=0 \\)을 만족하는 벡터로 선택한다.", "이때 \\( e_{2} \\)가 주벡터이고 \\( S e_{i}=\\kappa_{i} e_{i}(i=1,2) \\)임을 밝히자.", "우선 \\( \\left\\{e_{1}, e_{2}\\right\\} \\)는 \\( T_{p} M \\)의 정규직교기(orthonormal basis)이기 때문에 \\( S e_{1}=\\left\\langle S e_{1}, e_{1}\\right\\rangle e_{1}+\\left\\langle S e_{1}, e_{2}\\right\\rangle e_{2} \\),<caption>(7.4)</caption>\\( S e_{2}=\\left\\langle S e_{2}, e_{1}\\right\\rangle e_{1}+\\left\\langle S e_{2}, e_{2}\\right\\rangle e_{2} \\)이 성립한다.", "한편 임의의 단위 접벡터 \\( u \\in S_{p}^{1} \\)는 \\( u(\\theta)=\\cos \\theta e_{1}+\\sin \\theta e_{2} \\)로 표현할 수 있다.", "여기서 \\( \\theta=\\angle\\left(e_{1}, u\\right) \\)이다.", "따라서 \\[\\begin{aligned}\\kappa_{n}(\\theta) &:=\\kappa_{n}(u(\\theta))=\\langle S u, u\\rangle \\\\&=\\left\\langle S e_{1}, e_{1}\\right\\rangle \\cos ^{2} \\theta+2\\left\\langle S e_{1}, e_{2}\\right\\rangle \\cos \\theta \\sin \\theta+\\left\\langle S e_{2}, e_{2}\\right\\rangle \\sin ^{2} \\theta\\end{aligned}\\]이고 \\( \\theta=0 \\)에서 최대값을 가지니까 \\( \\kappa_{n}^{\\prime}(0)=0 \\)이다.", "따라서 \\[0=\\kappa_{n}^{\\prime}(0)=2\\left\\langle S e_{1}, e_{2}\\right\\rangle\\]이므로 \\( \\left\\langle S e_{1}, e_{2}\\right\\rangle=0 \\)이다.", "그러므로 \\[\\kappa_{n}(\\theta)=\\left\\langle S e_{1}, e_{1}\\right\\rangle \\cos ^{2} \\theta+\\left\\langle S e_{2}, e_{2}\\right\\rangle \\sin ^{2} \\theta\\]<caption>(7.5)</caption>이 된다.", "위 식 \\( (7.5) \\)를 다시 미분하면 \\[\\kappa_{n}^{\\prime}(\\theta)=\\left(-\\left\\langle S e_{1}, e_{1}\\right\\rangle+\\left\\langle S e_{2}, e_{2}\\right\\rangle\\right) \\sin 2 \\theta\\]가 되고 다음이 성립한다.", "즉,\\( \\kappa_{n}^{\\prime}(\\theta)=0 \\Leftrightarrow\\left\\langle S e_{1}, e_{1}\\right\\rangle=\\left\\langle S e_{2}, e_{2}\\right\\rangle \\), 또는 \\( \\sin 2 \\theta=0 \\) 이다.", "따라서, (i) 만약 \\( \\left\\langle S e_{1}, e_{1}\\right\\rangle=\\left\\langle S e_{2}, e_{2}\\right\\rangle \\) 이면 (\\(7.4\\))로부터 \\( \\kappa_{n}(\\theta)=\\left\\langle S e_{1}, e_{1}\\right\\rangle=\\kappa_{1} \\)이므로 항상 법곡률은 상수이다.", "즉, 모든 벡터가 주벡터이므로 \\( e_{2} \\)도 주벡터이다.", "(ii) 만약 \\( \\sin 2 \\theta=0 \\)이라 하자.", "즉, \\( \\theta=0, \\frac{\\pi}{2} \\)이다.", "따라서 \\( \\kappa_{n} \\) 은 \\( \\theta=0, \\frac{\\pi}{2} \\) 에서 극값(최대, 최소)을 가진다.", "그러므로 \\( \\kappa_{1}=\\kappa_{n}(0), \\kappa_{2}=\\kappa_{n}\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right)= \\) \\( \\left\\langle S e_{2}, e_{2}\\right\\rangle \\)이고 \\( u=e_{2} \\)가 주벡터이다.", "결과적으로 주벡터 \\( e_{1}, e_{2} \\)는 서로 수직이고 \\((7.4\\))로부터 \\[S e_{1}=\\kappa_{1} e_{1}, \\quad S e_{2}=\\kappa_{2} e_{2}\\]이다.", "즉, 주곡률은 모양연산자의 고유치이다.", "</p><p>예제 \\( 7.20 \\)<ol type=1 start=1><li>평면의 주곡률은 \\( \\kappa_{1}=\\kappa_{2}=0 \\)이다 (예제 \\( 7.4 \\)).", "</li><li>구면 \\( S^{2}(r) \\)의 주곡률은 \\( \\kappa_{1}=\\kappa_{2}=-\\frac{1}{r} \\)이다 (예제 \\( 7.10 \\)).", "</li><li>원기등의 주곡률은 \\( \\kappa_{1}=-\\frac{1}{r}, \\kappa_{2}=0 \\)이다 (예제 \\( 7.11\\)).", "</li><li>원환면의 주곡률은 \\( \\kappa_{1}=\\frac{1}{r}, \\kappa_{2}=\\frac{\\cos u}{R+r \\cos u} \\)이다 (예제 \\( 7.12 \\)).", "</li></ol></p> <p>정리 \\(7.56 \\) 좌표조각사상 \\( X: U \\rightarrow M \\)가 \\( F=0 \\)을 만족할 때, \\( M \\)상의 임의의 단위속력곡선 \\( \\gamma \\)의 측지곡률 \\( \\kappa_{g}(\\gamma) \\)는 \\[\\kappa_{g}(\\gamma)=\\theta^{\\prime}(s)+\\left(\\kappa_{g}\\right)_{1} \\cos\\theta+\\left(\\kappa_{g}\\right)_{2} \\sin \\theta\\]이다.", "여기서 \\( \\theta=\\angle\\left(\\gamma^{\\prime}(s), X_{u}\\right),\\left(\\kappa_{g}\\right)_{1} \\)은 \\( u \\)-곡선의 측지곡률이고 \\( \\left(\\kappa_{g}\\right)_{2} \\) 는 \\( v \\)-곡선의 측지곡률이다.", "</p><p>증명 정칙곡면 \\( M \\)상의 단위속력곡선 \\( \\gamma \\)는 \\( \\gamma(s)=X(u(s), v(s)) \\)로 표현된다.", "가정에서 \\( F=0 \\)이니까 \\( e_{1}=\\frac{X_{u}}{\\left\\|X_{u}\\right\\|} \\)와 \\( e_{2}=\\frac{X_{v}}{\\left\\|X_{v}\\right\\|} \\)는 서로 수직인 단위벡터이고 \\( n=e_{1} \\times e_{2} \\)이다.", "그러므로 곡선 \\( \\gamma \\)의 속도벡터 \\( \\gamma^{\\prime}(s) \\)는 \\[\\gamma^{\\prime}(s)=\\cos \\theta e_{1}+\\sin \\theta e_{2} \\]이고 \\( \\gamma^{\\prime \\prime}(s)=-\\theta^{\\prime} \\sin \\theta e_{1}+\\theta^{\\prime} \\cos \\theta e_{2}+\\cos \\theta e_{1}^{\\prime}+\\sin \\theta e_{2}^{\\prime} \\) 이다.", "따라서 \\[\\begin{array}{c}\\gamma^{\\prime} \\times \\gamma^{\\prime \\prime}=\\theta^{\\prime} n+\\cos ^{2} \\theta\\left(e_{1} \\times e_{1}^{\\prime}\\right)+\\sin ^{2} \\theta\\left(e_{2} \\times e_{2}^{\\prime}\\right) \\\\+\\sin \\theta \\cos \\theta\\left(e_{1} \\times e_{2}^{\\prime}+e_{2} \\times e_{1}^{\\prime}\\right)\\end{array}\\]이고 \\[\\begin{array}{c} \\left\\langle n, e_{1} \\times e_{1}^{\\prime}\\right\\rangle=\\left\\langle n, e_{2} \\times e_{2}^{\\prime}\\right\\rangle=\\left\\langle e_{1}{ }^{\\prime}, e_{2}\\right\\rangle, \\\\ \\left\\langle n, e_{1} \\times e_{2}^{\\prime}\\right\\rangle=\\left\\langle n, e_{2} \\times e_{1}^{\\prime}\\right\\rangle=0\\end{array}\\]이므로 \\[\\kappa_{\\vartheta}(\\gamma)=\\left\\langle n, \\gamma^{\\prime} \\times \\gamma^{\\prime \\prime}\\right\\rangle=\\theta^{\\prime}(s)+\\left\\langle e_{1}^{\\prime}, e_{2}\\right\\rangle\\]<caption>(7.8)</caption>가 성립한다.", "따라서 \\( e_{1}{ }^{\\prime}=\\frac{d}{d s}\\left(\\frac{X_{u}}{\\sqrt{E}}\\right)=\\left\\{\\frac{d}{d s}\\left(\\frac{1}{\\sqrt{E}}\\right)\\right\\} X_{u}+\\frac{1}{\\sqrt{E}} \\frac{d}{d s} X_{u} \\)이고 \\[\\begin{aligned}\\frac{d}{d s} & X_{u}=u^{\\prime} X_{u u}+v^{\\prime} X_{u v}이므로 \\\\\\left\\langle e_{1}^{\\prime}, e_{2}\\right\\rangle &=\\frac{1}{\\sqrt{E G}}\\left\\langle u^{\\prime} X_{u u}+v^{\\prime} X_{u v}, X_{v}\\right\\rangle\\end{aligned} \\]이다.", "한편 \\( \\gamma^{\\prime}(s)=u^{\\prime} X_{u}+v^{\\prime} X_{v} \\)이므로 \\[\\cos \\theta=\\left\\langle\\gamma^{\\prime}, e_{1}\\right\\rangle=u^{\\prime}\\left\\|X_{u}\\right\\|, \\quad \\sin \\theta=v^{\\prime}\\left\\|X_{v}\\right\\|\\]이므로 정리 \\( 7.54 \\)로부터 \\[\\begin{aligned}\\left\\langle e_{1}{ }^{\\prime}, e_{2}\\right\\rangle &=\\cos \\theta \\frac{\\left\\langle X_{u u}, X_{v}\\right\\rangle}{\\left\\|X_{u}\\right\\|^{2}\\left\\|X_{v}\\right\\|}+\\sin \\theta-\\frac{\\left\\langle X_{u v}, X_{v}\\right\\rangle}{\\left\\|X_{v}\\right\\|^{2}\\left\\|X_{u}\\right\\|} \\\\ &=\\left(\\kappa_{g}\\right)_{1} \\cos \\theta+\\left(\\kappa_{g}\\right)_{2} \\sin \\theta \\end{aligned}\\]이다.", "따라서 \\(( 7.8 \\))로부터 정리가 증명된다.", "</p><p>정리 \\( 7.57 \\) 정칙곡면 \\( M \\)상의 단위속력곡선 \\( \\gamma \\)가 \\( \\gamma(a)=P \\)와 \\( \\gamma(b)=Q \\)를 만족할 때, 만약 곡선 \\( \\gamma \\)가 두 점 \\( P \\)와 \\( Q \\)를 연결하는 최소의 길이를 가진 곡선이면 \\( \\gamma \\)는 측지선이다.", "</p><p>증명</p><p>정의 \\( 7.58 \\) 좌표조각사상 \\( X: U \\rightarrow R^{3} \\)가 \\( E=1, F=0 \\)을 만족할 때 \\( X \\)를 측지좌표조각사상(geodesic coordinate patch)이라 한다.", "</p><p>정리 \\( 7.59 \\) 정칙곡면 \\( M \\)상의 닫힌곡선이 아닌 단순정칙곡선 \\( \\gamma:[a, b] \\rightarrow M \\)에 대하여, 곡면 \\( M \\)상에 \\( v \\)-곡선이 \\( \\gamma \\)인 측지좌표조각사상 \\( X: U \\rightarrow R^{3} \\)가 존재한다.", "</p><p>증명</p> <p>정의 \\( 7.27 \\) 정칙곡면 \\( M \\)상의 임의의 점 \\( p \\in M \\)에서 접벡터 \\( v_{p} \\in T_{p} M \\)방향으로의 법곡률이 영일 때, 즉, \\[\\kappa_{n}\\left(v_{p}\\right)=0\\] 일 때, \\( v_{p} \\)를 점 \\( p \\)에서 점근벡터(asymptotic vector)라 한다.", "</p><p>정의 \\( 7.28 \\) 정칙곡면 \\( M \\)상의 곡선 \\( \\gamma \\)가 모양연산자 \\( S \\)에 대해 \\[S\\left(\\gamma^{\\prime}(t)\\right)=\\lambda(t) \\gamma^{\\prime}(t), \\quad \\forall t\\] 을 만족할 때, 곡선 \\( \\gamma \\) 를 주곡선(principal curve)이라 한다.", "또한 법곡률 \\( \\kappa_{n}\\left(\\gamma^{\\prime}\\right)=0 \\)일 때, \\( \\gamma \\)를 점근곡선(asymptotic curve)이라 한다.", "</p><p>정리 \\( 7.29 \\) 정칙곡면 \\( M \\)상의 곡선 \\( \\gamma \\)의 가속도 \\( \\gamma^{\\prime \\prime}(t) \\)이 곡면에 접하면, 즉, \\( \\left\\langle n, \\gamma^{\\prime \\prime}\\right\\rangle=0 \\)이면, 곡선 \\( \\gamma \\)는 점근곡선이다.", "</p><p>증명 곡선 \\( \\gamma \\)를 단위속력곡선이라 하자.", "정리 \\( 7.14 \\)에 의해 \\[\\kappa_{n}\\left(\\gamma^{\\prime}\\right)=\\left\\langle S\\left(\\gamma^{\\prime}\\right), \\gamma^{\\prime}\\right\\rangle=-\\left\\langle n^{\\prime}, \\gamma^{\\prime}\\right\\rangle=\\left\\langle n, \\gamma^{\\prime \\prime}\\right\\rangle=0\\] 이다.", "따라서 정리가 증명된다.", "</p><p>정리 \\(7.30 \\) 좌표조각사상 \\( X: U \\rightarrow R^{3} \\) 위의 \\( u \\)-곡선, \\( v \\)-곡선이 점근곡선일 필요충분조건은 \\( e=g=0 \\)이다.", "</p><p>증명 좌표조각사상의 \\( u \\)-곡선은 \\( \\gamma(u)=X\\left(u, v_{0}\\right) \\)로 표현할 수 있다.", "따라서\\[\\kappa_{n}\\left(\\gamma^{\\prime}\\right)=\\frac{\\left\\langle S\\left(\\gamma^{\\prime}(u)\\right), \\gamma^{\\prime}(u)\\right\\rangle}{\\left\\|\\gamma^{\\prime}(u)\\right\\|^{2}}=\\frac{\\left\\langle S\\left(X_{u}\\right), X_{u}\\right\\rangle}{E}=\\frac{e}{E} \\]이다.", "따라서 \\( \\kappa_{n}\\left(\\gamma^{\\prime}\\right)=\\kappa_{n}\\left(X_{u}\\right)=0 \\) 일 필요충분조건은 \\( e=0 \\)이다.", "마찬가지로 \\( v \\)-곡선이 점근곡선, 즉 \\( \\kappa_{n}\\left(X_{v}\\right)=0 \\)일 필요충분조건은 \\( g=0 \\)이다.", "</p><p>정리 \\( 7.31 \\) 좌표조각사상 \\( X: U \\rightarrow R^{3} \\)에서 \\( F=f=0 \\)일 때, \\( u \\)-곡선과 \\( v \\)-곡선은 주곡선이다.", "역으로 \\( u \\)-곡선, \\( v \\)-곡선이 제점이 아닌 주곡선이면 \\( F=f=0 \\) 이다.", "</p><p>증명 연습문제.", "</p> <h1>7.3 Gauss 곡률과 평균곡률</h1><p>정의 \\( 7.32 \\) 정칙곡면 \\( M \\)상의 임의의 점 \\( p \\in M \\)에서 \\[K(p)=\\operatorname{det}(S(p)), \\quad H(p)=\\frac{1}{2} \\operatorname{tr}(S(p)) \\]로 정의할 때, \\( K \\) 를 점 \\( p \\) 에서의 Gauss 곡률(Gaussian curvature), \\( H \\)를 평균곡률(mean curvature)이라 한다.", "</p><p>정리 \\( 7.33 \\) 정칙곡면 \\( M \\)상에서 다음 등식 \\[K=\\kappa_{1} \\kappa_{2}, \\quad H=\\frac{1}{2}\\left(\\kappa_{1}+\\kappa_{2}\\right)\\]이 성립한다.", "여기서 \\( \\kappa_{i}(i=1,2) \\)는 주곡률이다.", "</p><p>증명 선형사상에 대응하는 행렬의 행렬식(determinant)과 대각합(trace)은 기저의 선택에 불변이다(정리 \\( 1.24 \\)).", "따라서 \\( \\left\\{e_{1}, e_{2}\\right\\} \\)를 주벡터라고 하면 \\[S\\left(e_{j}\\right)=\\kappa_{j} e_{j}(j=1,2) \\text { 즉, } S=\\left(\\begin{array}{cc} \\kappa_{1} & 0 \\\\0 & \\kappa_{2}\\end{array}\\right)\\]이므로 \\( \\operatorname{det}(S)=\\kappa_{1} \\kappa_{2}, \\operatorname{tr}(S)=\\kappa_{1}+\\kappa_{2} \\)이다.", "</p><p>따름정리 \\( 7.34 \\) 정칙곡면 \\( M \\)의 주곡률 \\( \\kappa_{1}, \\kappa_{2} \\)는 다음 이차방정식의 근이다.", "즉, \\[x^{2}-2 H x+K=0\\]의 두 근이다.", "</p><p>증명 주곡률 \\( \\kappa_{1}, \\kappa_{2} \\)을 두 근으로 하는 방정식 \\( x^{2}-\\left(\\kappa_{1}+\\kappa_{2}\\right) x+\\kappa_{1} \\kappa_{2}=0 \\)이다.", "따라서 정리 \\( 7.33 \\)으로부터 증명된다.", "</p><p>정리 \\( 7.35 \\) 좌표조각사상 \\( X: U \\rightarrow R^{3} \\)의 Gauss 곡률 \\( K \\), 평균곡률 \\( H \\)는 다음 등식 \\[K=\\frac{e g-f^{2}}{E G-F^{2}}, \\quad H=\\frac{e G-2 f F+g E}{2\\left(E G-F^{2}\\right)}\\]을 만족한다.", "</p><p>증명 정리 \\( 7.8 \\)로부터 기저 \\( \\left\\{X_{u}, X_{v}\\right\\} \\)에 대응하는 모양연산자 \\( S \\)의 행렬은 \\[S=\\frac{1}{E G-F^{2}}\\left(\\begin{array}{ll}e G-f F & f E-e F \\\\ f G-g F & g E-f F\\end{array}\\right)\\]이다.", "그러므로 \\( K=\\operatorname{det} S \\)와 \\( H=\\frac{1}{2} \\operatorname{tr} S \\)로부터 증명된다.", "</p><p>예제 \\( 7.36 \\)<ol type=1 start=1><li>구면 \\( S^{2}(r) \\)에서 \\( K=\\frac{1}{r^{2}}, H=-\\frac{1}{r} \\)이다(예제 \\( 7.10\\)).", "</li><li>원기둥에서 \\( K=0, H=-\\frac{1}{2 r} \\)이다(예제 \\(7.11\\)).", "</li><li>원환면의 Gauss 곡률 \\( K \\)와 평균곡률 \\( H \\)는 예제 \\(7.12\\)로부터 \\[K=\\frac{\\cos u}{r(R+r \\cos u)}, \\quad H=\\frac{R+2 r \\cos u}{2 r(R+r \\cos u)} \\]가 성립한다.", "</li></ol></p><p>정의 \\( 7.37 \\) 정칙곡면 \\( M \\) 위의 점 \\( p \\)에서 만약<ul><li>\\( K(p)>0 \\)일 때, \\( p \\)는 타원점(elliptic point),</li><li>\\( K(p)<0 \\)일 때, \\( p \\)는 쌍곡점(hyperbolic point),</li><li>\\( K(p)=0, H(p) \\neq 0 \\) 일 때, \\( p \\)는 포물점(parabolic point),</li><li>\\( K(p)=0, H(p)=0 \\)일 때, \\( p \\)는 평탄점(planar point)</li></ul>이라고 부른다.", "</p><p>예제 \\( 7.38 \\)<p>(1) 구면위의 모든 점들은 타원점이다.", "</p><p>(2) 원기둥의의 모든 점들은 포물점이다.", "</p><p>(3) 원환면의의 점들은 다음 조건을 만족한다.", "</p><p>(i) \\( K(p)>0 \\Leftrightarrow \\cos u>0 \\Leftrightarrow-\\frac{\\pi}{2}<u<\\frac{\\pi}{2} \\).", "즉 원환면의 바깥쪽 점들은 타원점이다.", "</p><p>(ii) \\( K(p)<0 \\Leftrightarrow \\cos u<0 \\Leftrightarrow \\frac{\\pi}{2}<u<\\frac{3 \\pi}{2} \\).", "즉, 원환면의 안쪽점들은 쌍곡점이다.", "</p><p>(iii) \\( K(p)=0 \\Leftrightarrow u=\\pm \\frac{\\pi}{2} \\).", "그리고 \\( H(p) \\neq 0 \\).", "따라서 \\( X\\left(\\pm \\frac{\\pi}{2}, v\\right) \\)는 포물점이다.", "</p> <h1>7.2 법곡률과 주곡률</h1><p>정의 \\( 7.13 \\) 정칙곡면 \\( M \\)상의 임의의 점 \\( p \\in M \\)의 단위접벡터 \\( u_{p} \\in T_{p} M \\)에 대하여 \\[k_{n}\\left(u_{p}\\right)=\\left\\langle S\\left(u_{p}\\right), u_{p}\\right\\rangle\\]를 \\( u_{p} \\) 방향으로의 법곡률(normal curvature)이라고 한다.", "</p><p>참고 임의의 접벡버 \\( v_{p} \\in T_{p} M \\)에 대하여 \\[ k_{n}\\left(v_{p}\\right):=k_{n}\\left(\\frac{v_{p}}{\\left\\|v_{p}\\right\\|}\\right) \\]로 정의한다.", "그러면 \\[\\kappa_{n}\\left(v_{p}\\right)=\\frac{1}{\\left\\|v_{p}\\right\\|^{2}}\\left\\langle S\\left(v_{p}\\right), v_{p}\\right\\rangle\\]<caption>(7.2)</caption>임을 알 수 있다.", "</p><p>정리 \\( 7.14 \\) 단위속력곡선 \\( \\gamma: I \\rightarrow M \\)에 대하여 \\( \\gamma^{\\prime} \\) 방향으로의 법곡률 \\( \\kappa_{n}\\left(\\gamma^{\\prime}\\right) \\)는 \\[\\kappa_{n}\\left(\\gamma^{\\prime}\\right)=\\left\\langle n, \\gamma^{\\prime \\prime}\\right\\rangle\\]이다.", "</p><p>증명 법곡률의 정의 \\( 7.13 \\)에 의해 \\[\\kappa_{n}\\left(\\gamma^{\\prime}\\right)=\\left\\langle S\\left(\\gamma^{\\prime}\\right), \\gamma^{\\prime}\\right\\rangle=-\\left\\langle n^{\\prime}, \\gamma^{\\prime}\\right\\rangle=\\left\\langle n, \\gamma^{\\prime \\prime}\\right\\rangle . \\]", "</p><p>정리 \\(7.15 \\) 정칙곡면 \\( M \\)상의 임의의 점 \\( p \\in M \\)와 단위벡터 \\( u_{p} \\in T_{p} M \\)에 대하여 \\[\\kappa_{n}\\left(u_{p}\\right)=\\kappa_{\\beta}(0) \\cos \\theta\\]이 성립한다.", "여기서 \\( \\beta:(a, b) \\rightarrow M \\)는 \\( \\beta(0)=p, \\beta^{\\prime}(0)=u_{p} \\)을 만족하는 단위속력곡선이고 \\( \\kappa_{\\beta} \\)는 곡선 \\( \\beta \\)의 곡률, \\( \\theta=\\angle\\left(N_{\\beta}, n\\right) \\)이다.", "</p><p>증명 (ⅰ) 만약 \\( \\kappa_{\\beta}(0) \\neq 0 \\)일 경우; 법곡률은 \\[\\kappa_{n}\\left(u_{p}\\right)=\\left\\langle S\\left(u_{p}\\right), u_{p}\\right\\rangle=\\left\\langle S\\left(\\beta^{\\prime}(0)\\right), \\beta^{\\prime}(0)\\right\\rangle=\\left\\langle n, \\beta^{\\prime \\prime}(0)\\right\\rangle \\]<caption>(7.3)</caption>이다.", "식 \\( 7.3 \\)의 마지막 동식은 연습문제 \\( 7.2 \\)에 의해 증명된다.", "한편 Frenet 공식으로부터 \\( \\beta^{\\prime \\prime}(0)=\\kappa_{\\beta}(0) N_{3} \\)이기 때문에 \\[\\kappa_{n}\\left(u_{p}\\right)=\\left\\langle n, \\kappa_{\\beta}(0) N_{\\beta}\\right\\rangle=\\kappa_{\\beta}(0)\\left\\langle n, N_{\\beta}\\right\\rangle \\]이다.", "따라서 \\( \\cos \\theta=\\left\\langle n, N_{3}\\right\\rangle \\)이므로 정리가 증명된다.", "</p><p>(ⅱ) 만약 \\( \\kappa_{\\beta}(0)=0 \\)일 경우; \\( \\beta^{\\prime \\prime}(0)=0 \\)이다.", "따라서 \\( \\kappa_{n}\\left(u_{p}\\right)=\\left\\langle n, \\beta^{\\prime \\prime}(0)\\right\\rangle=0 \\)이므로 정리의 등식이 성립한다.", "</p> <p>정의 \\(7.16 \\) 정칙곡면 \\( M \\)상의 한 점 \\( p \\in M \\)에서의 접벡터 \\( v_{p} \\in T_{p} M \\)와 법벡터 \\( n_{p} \\)에 의해 생성되는 평면은 \\( P\\left(v_{p}, n_{p}\\right)=\\left\\{a v_{p}+b n_{p} \\mid a, b \\in R\\right\\} \\)이다.", "이때 곡선 \\( C=M \\cap P \\)를 법선절단(normal section)이라 한다.", "</p><p>정리 \\(7.17 \\) 정칙곡면 \\( M \\)상의 한 점 \\( p \\) 에서의 단위접벡터 \\( u_{p} \\)와 \\( \\beta(0)=p, \\beta^{\\prime}(0)=u_{p} \\)를 만족하는 법선절단 \\( C \\)의 단위속력곡선 \\( \\beta \\)에 대해 다음 등식 \\[\\kappa_{n}\\left(u_{p}\\right)=\\pm \\kappa_{g}(0)\\]이 성립한다.", "</p><p>증명 곡선 \\( \\beta \\)는 평면 \\( P\\left(u_{p}, n_{p}\\right) \\) 위에 있으니까 곡선 \\( \\beta \\) 의 법벡터 \\( N_{p} \\) 도 평면 \\( P\\left(u_{p}, n_{p}\\right) \\) 위에 놓여 있다.", "더구나 \\( \\beta^{\\prime}(0) \\perp n_{p}, N_{p} \\)이기 때문에 \\( n_{p}=\\pm N_{p} \\)이다.", "따라서 \\( \\cos \\theta=\\left\\langle N_{p}, n_{p}\\right\\rangle=\\pm 1 \\)이다.", "</p><p>참고 \\( S_{p}^{1}(M)=\\left\\{u_{p} \\in T_{p} M \\mid\\left\\|u_{p}\\right\\|=1\\right\\} \\)는 원이고 법곡률 \\( \\kappa_{n}: S_{p}^{1} \\rightarrow R \\)은 연속함수이다.", "따라서 원 위에서 정의된 연속함수 \\( \\kappa_{n} \\)은 최대값과 최소값을 가진다.", "</p><p>정의 \\(7.18 \\) 정칙곡면 \\( M \\)상의 점 \\( p \\in M \\)에서 법곡률의 최대값 \\( \\kappa_{1} \\), 최소값 \\( \\kappa_{2} \\), 즉,\\[\\kappa_{1}=\\max _{u_{p}} \\kappa_{n}\\left(u_{p}\\right), \\quad \\kappa_{2}=\\min _{u_{p}} \\kappa_{n}\\left(u_{p}\\right)\\]를 주곡률(principal curvature)이라 한다.", "또한 \\( \\kappa_{i}=\\kappa_{n}\\left(e_{i}\\right)(i=1,2) \\) 일 때, \\( e_{i} \\) \\( (i=1,2) \\)를 주벡터(principal vector)라 한다.", "</p><p>참고 경우에 따라서 \\( \\kappa_{1} \\)을 최소값, \\( \\kappa_{2} \\)를 최대값이라 한다.", "</p> <p>정의 7.21 정칙곡면 \\( M \\)상의 점 \\( p \\)가 \\( \\kappa_{1}(p)=\\kappa_{2}(p) \\)일 때, 점 \\( p \\)를 제점(umbilic point)이라 한다.", "</p><p>예제 \\( 7.22 \\) 예제 \\( 7.20 \\)으로부터 평면상의 모든 점은 제점이다.", "또한 구면상의 모든 점도 제점이다.", "</p><p>정리 \\( 7.23 \\) 정칙곡면 \\( M \\)상의 모든 점이 제점이면 주곡률은 상수이다.", "</p><p>증명 함수 \\( k: M \\rightarrow R \\) 을 \\( \\kappa(p)=\\kappa_{1}(p)=\\kappa_{2}(p) \\)로 정의하자.", "임의의 점 \\( p \\) 근방의 좌표조각사상을 \\( X: U \\rightarrow M \\)라 하자.", "그러면 \\[n_{u}=-S\\left(X_{u}\\right)=-\\kappa(u, v) X_{u}, \\quad n_{v}=-S\\left(X_{v}\\right)=-\\kappa(u, v) X_{v}\\]이다.", "위 식으로부터 \\[n_{u v}=-\\kappa_{v} X_{u}-\\kappa X_{u v}, \\quad n_{v u}=-\\kappa_{u} X_{v}-\\kappa X_{v u}\\]이고 \\( n_{u v}=n_{v u}, X_{u v}=X_{v u} \\)이므로 \\[\\kappa_{v} X_{u}=\\kappa_{u} X_{v}\\]이다.", "한편 \\( \\left\\{X_{u}, X_{v}\\right\\} \\)가 일차독립이므로 \\( \\kappa_{u}=\\kappa_{v}=0 \\), 즉 \\( \\kappa \\)는 상수함수이다.", "</p><p>정리 \\( 7.24 \\) 정칙곡면 \\( M \\)상의 모든 점이 제점이면 \\( M \\)은 평면이거나 구면의 일부분이다.", "</p><p>증명 정리 \\( 7.23 \\)으로부터 주곡률합수 \\( \\kappa \\)는 상수이다.", "따라서 \\( \\kappa=0 \\) 이거나 \\( \\kappa=\\lambda(\\neq 0) \\)이다.", "</p><p>(ⅰ) \\( \\kappa=0 \\)인 경우; \\( \\nabla_{v} n=-S(v)=0 \\)이다.", "즉, \\( n \\)은 상수벡터이다.", "따라서 \\( M \\)은 평면의 일부분이다.", "</p><p>(ⅱ) \\( \\kappa(p)=\\lambda(\\neq 0) \\)인 경우; 우선 \\( \\gamma:(a, b) \\rightarrow M \\)를 임의의 곡선이라 하자.", "그리고 \\( \\alpha:(a, b) \\rightarrow R^{3} \\)를\\[ \\alpha(t)=\\gamma(t)+\\frac{1}{\\kappa(\\gamma(t))} n(\\gamma(t))\\]<caption>(7.6)</caption>라 하자. \\", "( \\kappa \\)가 상수함수이고 \\( S\\left(\\gamma^{\\prime}(t)\\right)=\\lambda \\gamma^{\\prime}(t) \\) 이므로 \\[\\alpha^{\\prime}(t)=\\gamma^{\\prime}(t)+\\frac{1}{\\lambda} n^{\\prime}(t)=\\gamma^{\\prime}(t)-\\frac{1}{\\lambda} S\\left(\\gamma^{\\prime}(t)\\right)=0 \\]이다.", "따라서 \\( \\alpha(t)=c \\)는 상수벡터이고 (\\( 7.6 \\))으로부터 \\[\\|\\gamma(t)-c\\|=\\frac{1}{\\lambda}\\]이다.", "즉 \\( M \\)상의 임의의 곡선 \\( \\gamma \\)는 반지름 \\( \\frac{1}{\\lambda} \\)인 구면위에 놓인다.", "따라서 \\( M \\)은 구면의 일부분이다.", "</p><p>정리 \\(7.25 \\) 정칙곡면 \\( M \\) 상의 점 \\( p \\)에서 단위접벡터 \\( u_{p} \\)방향으로의 법곡률 \\( \\kappa_{n}(\\theta) \\)는 \\[\\kappa_{n}(\\theta)=\\kappa_{1} \\cos ^{2} \\theta+\\kappa_{2} \\sin ^{2} \\theta\\]이다.", "여기서 \\( \\theta=\\angle\\left(u, e_{1}\\right), e_{1} \\)은 주벡터이다.", "</p><p>증명 정리 \\( 7.19\\)의 (\\( 7.5 \\))로부터 얻어진다.", "</p><p>문제 \\( 7.26 \\) 좌표조각사상 \\( X: U \\rightarrow R^{3} \\)위의 한 점 \\( p \\)에서의 임의의 접벡터 \\( v_{p}=a X_{u}+ \\) \\( b X_{v} \\)방향으로의 법곡률 \\( \\kappa_{n}\\left(v_{p}\\right) \\)는 \\[\\kappa_{n}\\left(v_{p}\\right)=\\frac{I I\\left(v_{p}, v_{p}\\right)}{I\\left(v_{p}, v_{p}\\right)}=\\frac{e a^{2}+2 f a b+g b^{2}}{E a^{2}+2 F a b+G b^{2}}\\]임을 증명하여라.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "415", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "곡선과 곡면의 미분기하학_곡면의 곡률", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-678f-4f34-838f-49c0e1f6bd85", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961057868", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2014", "doc_author": [ "정승달" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>6.4 호의 길이</h1><p>폐구간 \\( [a, b] \\)에서 정의된 함수의 그래프의 길이 즉, 호의 길이를 구하는 문제를 생각해보자.", "</p><p>\\( [a, b] \\)를 동일한 크기의 부분구간으로 나누고 각 분할점에 대응하는 그래프 위의 점을 선분으로 연결하면 열린 다각형을 얻는다.", "그래프의 길이는 이 열린 다각형의 길이로 근사시킬 수 있고 분할을 크게 잡을수록 그래프에 더 근접하는 열린 다각형이 된다.", "따라서 호의 길이는 이 열린 다각형의 길이의 극한으로 정의한다.", "</p><p>구간 \\( [a, b] \\)를 \\( n \\)개의 동일한 크기의 부분구간으로 나누면, \\( k \\)번째 부분구간 \\( \\left[x_{k-1}, x_{k}\\right] \\)에서 미분가능 함수 \\( y=f(x) \\)의 그래프 위의 두 점 \\( P_{k-1}(x_{k-1}\\), \\( f(x_{k-1})) \\)과 \\( P_{k}(x_{k}, f(x_{k})) \\)를 잇는 선분의 길이는 \\[\\overline{P_{k-1} P_{k}}=\\sqrt{\\left(x_{k}-x_{k-1}\\right)^{2}+\\left(f(x_{k})-f(x_{k-1})\\right)^{2}}\\]이다.", "구간 \\( \\left[x_{k-1}, x_{k}\\right] \\)에 평균값 정리(정리 \\( 3.2.2 \\))를 적용하면 \\[f^{\\prime}(x_{k}^{*})=\\frac{f(x_{k})-f(x_{k-1})}{x_{k}-x_{k-1}}\\]를 만족하는 점 \\( x_{k}^{*} \\)가 존재하고 이 점을 \\( k \\)번째 구간의 표본점으로 택한다.", "</p><p>\\[f(x_{k})-f(x_{k-1})=(x_{k}-x_{k-1})f^{\\prime}(x_{k}^{*})\\]가 되고 \\( \\Delta x=x_{k}-x_{k-1}>0 \\)이므로 \\[\\overline{P_{k-1} P_{k}}=\\sqrt{\\left(x_{k}-x_{k-1}\\right)^{2}+\\left(\\left(x_{k}-x_{k-1}\\right)f^{\\prime}\\left(x_{k}^{*}\\right)\\right)^{2}}=\\sqrt{1+\\left(f^{\\prime}\\left(x_{k}^{*}\\right)\\right)^{2}} \\Delta x\\]이다.", "각 부분구간에서 만들어진 선분의 길이를 모두 더하고 \\( n \\rightarrow \\infty \\)인 극한을 취하면 구간 \\( [a, b] \\)에서 함수의 그래프의 길이를 얻는다.", "즉, \\[\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n} \\overline{P_{k-1} P_{k}}=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n} \\sqrt{1+\\left[f^{\\prime}\\left(x_{k}^{*}\\right)\\right]^{2}} \\Delta x=\\int_{a}^{b} \\sqrt{1+\\left[f^{\\prime}(x)\\right]^{2}} d x\\]이다. \\", "( f \\)가 연속인 도함수를 가질 경우 \\( f \\)를 매끄럽다(smooth)고 하는데 이런 함수의 경우 위의 극한이 존재하고 유일하므로 마지막 등호가 성립한다.", "</p><p>정의 \\( 6.4.1 \\) [호의 길이 공식] 도함수 \\( f^{\\prime} \\)이 구간 \\( [a, b] \\)에서 연속이면, 함수 \\( y=f(x) \\), \\( a \\leq x \\leq b \\)의 그래프의 길이는 \\[L=\\int_{a}^{b} \\sqrt{1+\\left[f^{\\prime}(x)\\right]^{2}} d x\\]이다.", "같은 방법으로 구간 \\( [c, d] \\)에서 \\( g^{\\prime} \\)이 연속인 함수 \\( x=g(y), c \\leq y \\leq d \\)의 그래프의 길이는 \\[L=\\int_{c}^{d} \\sqrt{1+\\left(\\frac{d x}{d y}\\right)^{2}} d y=\\int_{c}^{d} \\sqrt{1+\\left[g^{\\prime}(y)\\right]^{2}} d y\\]이다.", "</p><p>예제 \\( 6.4.1 \\) \\( x \\)의 구간이 \\( [1, ~4] \\)일 때 곡선 \\( 3 y=2(x-1)^{3 / 2} \\)의 길이를 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( y^{\\prime}=(x-1)^{1 / 2} \\)이므로 곡선의 길이는 \\[L=\\int_{1}^{4} \\sqrt{1+(x-1)} d x=\\int_{1}^{4} \\sqrt{x} d x=\\frac{14}{3}\\]</p><p>함수의 그래프 위의 고정된 점에서 임의의 점까지의 호의 길이를 나타내는 함수를 구해보자.", "</p><p>매끄러운 곡선 \\( C: y=f(x), a \\leq x \\leq b \\) 위의 점 \\( P(a, f(a)) \\)에서 \\( Q(x, f(x)) \\)까지 \\( C \\)를 따라 잰 거리 \\( s \\)는 \\( x \\)의 함수가 되고 이 함수를 호의 길이 함수라고 부른다.", "호의 길이 공식으로부터 \\[s(x)=\\int_{a}^{x} \\sqrt{1+[f^{\\prime}(t)]^{2}} d t\\]이다. \\", "( f \\)가 매끄러운 곡선이므로 피적분함수 \\( \\sqrt{1+\\left[f^{\\prime}(t)\\right]^{2}} \\)는 연속이 되고 \\[\\frac{d s}{d x}=\\sqrt{1+\\left[f^{\\prime}(x)\\right]^{2}}=\\sqrt{1+\\left(\\frac{d y}{d x}\\right)^{2}}\\]이 된다.", "따라서 호의 길이의 미분은 \\[d s=\\sqrt{1+\\left(\\frac{d y}{d x}\\right)^{2}} d x \\]이다.", "이 식은 \\( d s^{2}=d x^{2}+d y^{2} \\)으로 쓰기도 하고 \\[d s=\\sqrt{1+\\left(\\frac{d x}{d y}\\right)^{2}} d y\\]로 나타내기도 한다.", "</p><p>호의 길이에 대한 미분(differential) \\( d s \\)를 사용하면 곡선의 길이를 구하는 공식에 도함수가 포함된 표현 대신에 다음과 같이 \\[L=\\int_{a}^{b} \\sqrt{1+\\left(\\frac{d y}{d x}\\right)^{2}} d x=\\int_{C} d s\\] 또는 \\[L=\\int_{c}^{d} \\sqrt{1+\\left(\\frac{d x}{d y}\\right)^{2}} d y=\\int_{C} d s\\]의 간단한 공식을 얻을 수 있다.", "</p><p>예제 \\( 6.4.2 \\) 함수 \\( y=x^{2}-\\frac{1}{8} \\ln x \\) 그래프 위의 점 \\( P_{0}(1,~1) \\)을 시점으로 호의 길이함수를 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( \\quad y^{\\prime}=2 x-\\frac{1}{8 x} \\)이므로 \\[1+\\left[f^{\\prime}(x)\\right]^{2}=1+\\left(2 x-\\frac{1}{8 x}\\right)^{2}=\\left(2 x+\\frac{1}{8 x}\\right)^{2}\\]이고 따라서 \\( \\sqrt{1+\\left[f^{\\prime}(x)\\right]^{2}}=2 x+\\frac{1}{8 x} \\)이다.", "그러므로 구하는 호의 길이 함수는 \\[s(x)=\\int_{1}^{x}\\sqrt{1+\\left[f^{\\prime}(t)\\right]^{2}} d t=\\int_{1}^{x}\\left(2 t+\\frac{1}{8 t}\\right) d t=x^{2}+\\frac{1}{8} \\ln x-1\\]이다.", "</p><p>위의 예에서 보듯이 시점은 호의 길이 함수에서 상수항만 결정하므로 출발점이 다른 호의 길이 함수는 상수차로 모두 같다.", "</p><h2>연 · 습 · 문 · 제 6.4</h2><p>\\( 1 \\).", "주어진 곡선의 길이를 구하여라.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( y=\\ln (\\sec x), ~0 \\leq x \\leq \\frac{\\pi}{4} \\)</li><li>\\( y^{2}=x^{3}, ~1 \\leq x \\leq 4 \\)</li></ol></p><p>\\( 2 \\).", "시점을 \\( P_{0}(1, \\frac{9}{16}) \\)로 하여 곡선 \\( y=\\frac{x^{4}}{16}+\\frac{1}{2 x^{2}} \\)에 대한 호의 길이 함수를 구하여라.", "</p> <h1>6.3 속도, 거리와 적분</h1><h2>1. 직선 위의 운동</h2><p>\\( 3.5 \\)절에서 위치함수가 \\( s(t) \\)인 물체가 직선운동을 할 때 그 물체의 속도는 \\( s^{\\prime}(t) \\) \\( =\\mathrm{v}(t) \\)임을 배웠다.", "따라서 \\( t=a \\)인 지점에서 \\( t=b \\)인 지점까지 \\( P \\)의 위치의 변화량은 미적분학의 기본정리에 의해 \\( \\int_{a}^{b} \\mathrm{v}(t) d t=s(b)-s(a) \\)가 된다.", "이때 전체 이동거리는 \\( \\int_{a}^{b}|\\mathrm{v}(t)| d t \\)이다.", "속도함수의 그래프를 이용해 생각해 보자.", "</p><p>일정한 속도로 움직인 경우 이동거리는 속도에 시간을 곱해주면 된다.", "속도가 시간에 따라 변할 때 \\( \\mathrm{v}=f(t) \\geq 0 \\)인 경우 속도함수의 그래프가 그려진 평면에서 시간 구간 \\( [a, b] \\)를 \\( n \\)개의 등분으로 나눈다. \\", "( k \\)번째 부분구간의 표본점 \\( t_{k}^{*} \\)일 때의 속도 \\(f(t_{k}^{*}\\))에 부분구간의 크기 \\( \\Delta t=\\frac{b-a}{n} \\)를 곱하면 그 구간의 근사적인 이동거리이다.", "이런 부분구간의 거리의 합을 구한 다음 극한을 취하면 전체 이동거리 \\( L \\)이 얻어진다.", "즉, \\[L=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n} f(t_{k}^{*}) \\Delta t=\\int_{a}^{b} f(t) d t\\]이다.", "따라서 전체 이동거리는 속도함수의 그래프와 \\( t \\)축 사이의 영역의 넓이이다.", "또 이 값은 속도가 양수일 때이므로 점 \\( P \\)의 위치의 변화량이기도 하다.", "</p><p>구간 내에서 속도 \\( f(t) \\)가 음수일 때에는 점의 운동이 반대방향이 되므로 위치의 변화량과 이동거리는 같지 않다.", "그 구간에서는 속도함수의 그래프와 \\( t \\)축으로 둘러싸인 영역의 넓이와 정적분 값은 반대가 된다.", "따라서 구간 전체에서 속도함수가 \\( +- \\)로 모두 변할 때 위치의 변화량은 그냥 적분해서 얻지만, 이동거리를 구할때에는 함수에 절댓값을 붙여 양수로 만들어 적분하여 얻는다.", "다음 예를 보자.", "</p><p>예제 \\( 6.3.1 \\) 직선 운동을 하는 점 \\( P \\)의 속도가 \\( \\mathrm{v}=f(t)=6-t \\)일 때 구간 \\( 0 \\leq t \\leq 10 \\)에서 점 \\( P \\)의 위치의 변화량과 이동거리를 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( 0 \\leq t \\leq 6 \\)에서는 속도가 양수이므로 점의 위치는 그림 상의 \\( S_{1} \\)의 넓이만큼 이동한 거리이다. \\", "( 6 \\leq t \\leq 10 \\)에서는 속도가 음수이므로 직선 운동을 하던 점이 반대 방향으로 움직인다.", "따라서 점의 위치의 변화량은 [그림 \\( 6.21 \\)] (\\( 1 \\))에서 보듯이 \\( S_{2} \\)의 넓이만큼 빼야 하므로 \\( \\mathrm{v} \\)를 그냥 적분하고, 이동거리는 \\( S_{2} \\)의 넓이를 더해야 하므로 [그림 \\( 6.21 \\)] (\\( 2 \\))에서 보듯이 \\( |\\mathrm{v}| \\)를 적분하여 \\( S_{2} \\)와 같은 넓이인 \\( S_{2}^{\\prime} \\)의 넓이를 더한다.", "</p><p>예제 \\( 6.3.2\\) \\( x \\)축 위를 움직이는 물체가 있다.", "원점을 출발한 뒤 \\( t \\)초 후의 속도가 \\( \\mathrm{v}=2 t-t^{2} \\)일 때 \\( t \\)초 후의 위치를 구하여라.", "또 \\( 3 \\)초 후의 위치와 \\( 3 \\)초 동안 움직인 거리를 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( t \\)초 후의 위치는 \\[x(t)=\\int_{0}^{t} \\mathrm{v} d t=\\int_{0}^{t}\\left(2 t-t^{2}\\right) d t=t^{2}-\\frac{1}{3} t^{3}\\]이다.", "따라서 \\( 3 \\)초 후의 위치는 위의 식에 \\( t=3 \\)을 대입하면 된다. \\", "[x(3)=3^{2}-\\frac{1}{3} \\cdot 3^{3}=0\\] \\( 3 \\)초 동안 움직인 거리는 \\[\\int_{0}^{3}2 t-t^{2}d t=\\int_{0}^{2}(2 t-t^{2}) d t+\\int_{2}^{3}(-\\left(2 t-t^{2}\\right)) d t=\\frac{8}{3}\\]이다.", "</p><h2>2. 평면 위의 운동</h2><p>평면 위를 움직이는 점 \\( P(x, y) \\)에 대해 \\( x=f(t), ~y=g(t), ~a \\leq t \\leq b \\)로 주어졌을 때 점의 이동거리는 \\[L=\\int_{a}^{b}|\\mathrm{v}| d t=\\int_{a}^{b} \\sqrt{\\left(\\frac{d x}{d t}\\right)^{2}+\\left(\\frac{d y}{d t}\\right)^{2}} d t\\]로 주어진다.", "여기서 \\( |\\mathrm{v}| \\)는 속도 \\( \\mathrm{v}=\\left(\\frac{d x}{d t}, \\frac{d y}{d t}\\right) \\)의 크기이다.", "</p><h2>연 · 습 · 문 · 제 6.3</h2><p>\\( 1 \\).", "지상 \\( 20 \\mathrm{m} \\)의 높이에서 수직으로 발사한 물체의 \\( t \\)초 후의 속도가 \\( \\mathrm{v}=30-10 t \\)일 때 최고점의 위치와 발사 후 \\( 5 \\)초 동안 움직인 거리를 구하여라.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "공학도를 위한 기초미적분학_적분의 응용", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-68ed-4b72-83c5-23baf3f03133", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961055246", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2011", "doc_author": [ "박정준", "신현혜", "이혜경", "정계선", "최건돈" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p><table border><tbody><tr><td>\\( x \\)</td><td>\\( x<-1 \\)</td><td>\\( x=-1 \\)</td><td>\\( -1<x<0 \\)</td><td>\\( x>0 \\)</td></tr><tr><td>\\( f^{\\prime}(x) \\)</td><td>\\( - \\)</td><td>\\( - \\)</td><td>\\( - \\)</td><td>\\( - \\)</td></tr><tr><td>\\( f^{\\prime \\prime}(x) \\)</td><td>\\( - \\)</td><td>\\( 0 \\)</td><td>\\( + \\)</td><td>\\( + \\)</td></tr><tr><td>\\[ f(x) \\text { 의 } \\] 오목성</td><td></td><td>변곡점</td><td></td><td></td></tr></tbody></table></p><p>그러므로 \\( f(x) \\)의 변곡점 \\( \\left(-1, e^{-1}\\right) \\)을 가진다. \\", "( x \\)절편과 \\( y \\)절편은 없고 점근선을 살펴보면 \\[\\begin{array}{l}\\lim _{x \\rightarrow \\infty} e^{\\frac{2}{x}}=1, \\lim _{x \\rightarrow-\\infty} e^{\\frac{2}{x}}=1, \\\\\\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} e^{\\frac{2}{x}}=\\infty, \\lim _{x \\rightarrow 0^{-}} e^{\\frac{2}{x}}=0\\end{array}\\]이므로 \\[\\begin{array}{l}y=1 \\text { 을 수평점근선으로 } \\\\x=0 \\text { 을 수직점근선으로 } \\end{array}\\]갖는다.", "</p><p>따라서 그래프는 [그림 \\( 3.16 \\)]과 같다.", "</p><p>예제 \\( 3.4.7 \\) 함수 \\( f(x)=\\frac{2 x^{2}}{x^{2}-1} \\)의 그래프를 그려라.", "</p><p>풀이 (\\( 1 \\)) 함수 \\( f(x) \\)의 정의역은 \\[\\left\\{x \\mid x^{2}-1 \\neq 0\\right\\}=\\{x \\mid x \\neq \\pm 1\\}\\] 즉 \\( x \\)의 범위는 \\( x=\\pm 1 \\)이 아닌 모든 실수가 된다.", "</p><p>(\\( 2 \\)) 그래프와 좌표축의 교점을 구한다.", "</p><p>\\( x \\)와 \\( y \\)의 절편은 모두 \\( 0 \\)이다.", "</p><p>(\\( 3 \\)) \\( x \\)축, \\( y \\)축, 원점 등에 대한 대칭성을 조사한다.", "</p><p>\\[f(-x)=\\frac{2 x^{2}}{x^{2}-1}=f(x)\\]이므로 \\( f \\)는 \\( y \\)축에 대칭이다.", "</p><p>(\\( 4 \\)) 그래프의 점근선이 있는지 조사한다. \\", "[\\lim _{x \\rightarrow \\pm \\infty} \\frac{2 x^{2}}{x^{2}-1}-\\lim _{x \\rightarrow \\pm \\infty} \\frac{2}{1-\\frac{1}{x^{2}}}=2\\]이다.", "따라서 \\( y=2 \\)가 수평점근선이다.", "</p><p>그리고 \\[\\begin{array}{l}\\lim _{x \\rightarrow 1^{+}} \\frac{2 x^{2}}{x^{2}-1}=\\infty, \\lim _{x \\rightarrow 1^{-}} \\frac{2 x^{2}}{x^{2}-1}=-\\infty \\\\ \\lim _{x \\rightarrow-1^{+}} \\frac{2 x^{2}}{x^{2}-1}=-\\infty, \\lim _{x \\rightarrow-1^{-}} \\frac{2 x^{2}}{x^{2}-1}=\\infty\\end{array}\\]이므로 \\( x=1 \\)과 \\( x=-1 \\)이 수직점근선이다.", "</p><p>(\\( 5 \\)) 도함수를 이용하여 함수의 증감, 극대, 극소를 조사한다.", "함수 \\( f(x)=\\frac{2 x^{2}}{x^{2}-1} \\) 에 대하여 \\[f^{\\prime}(x)=\\frac{4 x\\left(x^{2}-1\\right)-2 x^{2} \\cdot 2 x}{\\left(x^{2}-1\\right)^{2}}=\\frac{-4 x}{\\left(x^{2}-1\\right)^{2}}\\]이므로 임계수는 \\( x=0, \\pm 1 \\)이다.", "</p><p>그러나 \\( x=\\pm 1 \\)은 함수 \\( f \\)의 정의역에 포함되지 않으므로 \\( x=0 \\)만이 임계수이다.", "</p> <p>예제 \\( 3.4.2 \\) 이계도함수를 이용하여 \\( f(x)=2 x^{3}+2 x^{2}-2 x-5 \\)의 상대극값을 구하여라.", "</p><p>풀이 함수 \\( f(x)=2 x^{3}+2 x^{2}-2 x-5 \\)에 대하여 \\[\\begin{array}{l}f^{\\prime}(x)=6 x^{2}+4 x-2=2(3 x-1)(x+1) \\text { 이고 } \\\\ f^{\\prime \\prime}(x)=12 x+4 \\text { 이다. } \\\\", "f^{\\prime}(x)=0 \\text { 인 } x \\text { 는 } x=-1, \\frac{1}{3}\\end{array}\\]이고 \\[f^{\\prime \\prime}(-1)=-8<0, f^{\\prime \\prime}\\left(\\frac{1}{3}\\right)=8>0\\] 이다.", "따라서 정리 \\( 3.4.2 \\)로부터 \\( f(x) \\)는 \\( x=-1 \\)에서 극댓값 \\( f(-1)=-3 \\) \\( x=\\frac{1}{3} \\)에서 극솟값 \\( f\\left(\\frac{1}{3}\\right)=-\\frac{145}{27} \\)를 가진다.", "</p><p>\\( y=f(x) \\)의 그래프가 위로 오목에서 아래로 오목으로 또는 아래로 오목에서 위로 오목으로 바뀌는 점 \\( (a, f(a)) \\)를 변곡점이라고 한다.", "</p><p>이계도함수를 이용한 변곡점 판정법은 다음과 같다.", "</p><p>정리 \\( 3.4.3 \\) [변곡점 판정법] 함수 \\( f \\)가 이계도함수를 가지고 \\( f^{\\prime \\prime}(a)=0 \\)일 때, \\( x=a \\)의 좌우에서 \\( f^{\\prime \\prime}(x) \\)의 부호가 \\( + \\)에서 \\( - \\) 로 또는 \\( - \\)에서 \\( + \\)로 바뀌면 점 \\( (a, f(a)) \\)는 곡선 \\( y=f(x) \\)의 변곡점이다.", "</p><p>참고 [그림 \\( 3.12 \\)]에서 보듯이 \\( f(x)=x^{4} \\)는 \\( f^{\\prime \\prime}(x)=12 x^{2} \\) 이므로 \\( x=0 \\)에서 \\( f(0)=0 \\)이지만, \\( x=0 \\)의 좌우에서 \\( f^{\\prime \\prime}(x) \\) 의 부호가 바뀌지 않음을 볼 수 있다.", "즉 \\( (0,0) \\)은 변곡점이 아니다.", "다시 말해 \\( f^{\\prime \\prime}(a)=0 \\)이라도 점 \\( (a, f(a)) \\)가 변곡점이 아닌 경우도 있음을 간과하지 말자.", "</p><p>예제 \\( 3.4.3 \\) 함수 \\( f(x)=x^{3}-x-1 \\)의 상대극값과 변곡점을 구하고, 그래프를 그려라.", "</p><p>풀이 함수 \\( f(x)=x^{3}-x-1 \\) 에 대하여 \\[\\begin{array}{l}f^{\\prime}(x)=3 x^{2}-1=3\\left(x+\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\right)\\left(x-\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\right), \\\\f^{\\prime \\prime}(x)=6 x\\end{array}\\] 이므로 \\( f^{\\prime}(x)=0 \\)인 \\( x \\)는 \\[x=-\\frac{\\sqrt{3}}{3}, \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]이고 \\( f^{\\prime \\prime}(x)=0 \\)인 \\( x \\) 의 값은 \\( x=0 \\)이다. \\", "( f(x) \\)의 증감표는 다음과 같다.", "</p><p><table border><tbody><tr><td>\\( x \\)</td><td></td><td>\\( x=-\\frac{\\sqrt{3}}{3} \\)</td><td></td><td>\\( x=0 \\)</td><td></td><td>\\( x=\\frac{\\sqrt{3}}{3} \\)</td><td></td></tr><tr><td>\\( f^{\\prime}(x) \\)</td><td>\\( + \\)</td><td>\\( 0 \\)</td><td>\\( - \\)</td><td>\\( - \\)</td><td>\\( - \\)</td><td>\\( 0 \\)</td><td>\\( + \\)</td></tr><tr><td>\\( f^{\\prime \\prime}(x) \\)</td><td>\\( - \\)</td><td>\\( - \\)</td><td>\\( - \\)</td><td>\\( 0 \\)</td><td>\\( + \\)</td><td>\\( + \\)</td><td>\\( + \\)</td></tr><tr><td>\\( f(x) \\)</td><td></td><td>\\[ \\frac{-9+2 \\sqrt{3}}{9} \\] 극댓값</td><td></td><td>변곡점</td><td></td><td>\\[ \\frac{-9-2 \\sqrt{3}}{9} \\]극솟값</td><td></td></tr></tbody></table></p><p>따라서 \\( f(x) \\)는 \\[\\begin{array}{c}x=\\frac{\\sqrt{3}}{3} \\text { 에서 극솟값 } \\frac{-9-2 \\sqrt{3}}{9} \\\\ x=-\\frac{\\sqrt{3}}{3} \\text { 에서 극댓값 } \\frac{-9+2 \\sqrt{3}}{9}\\end{array}\\] 을 갖고, 변곡점은 \\( (0,-1) \\)이다.", "그러므로 그래프는 [그림 \\( 3.13 \\)]과 같다.", "</p> <p>정리 \\( 3.3.3 \\) 미분가능한 함수 \\( f(x) \\)에 대하여 \\( f^{\\prime}(a)=0 \\) 일 때,<ol type= start=1><li>\\( x=a \\)의 좌우에서 \\( f^{\\prime}(x) \\)의 부호가 \\( + \\)에서 \\( - \\)로 바뀌면 \\( f(x) \\)는 \\( x=a \\)에서 극대이다.", "</li><li>\\( x=a \\)의 좌우에서 \\( f^{\\prime}(x) \\)의 부호가 \\( - \\)에서 \\( + \\)로 바뀌면 \\( f(x) \\) 는 \\( x=a \\)에서 극소이다.", "</li></ol></p><p>증명 (\\( 1 \\)) 가정에 의하여 \\( x=a \\)의 왼쪽 근방의 \\( x \\)에 대하여 \\[f^{\\prime}(x)>0\\]이 성립하고, \\( x=a \\)의 오른쪽 근방의 \\( x \\)에 대하여 \\[f^{\\prime}(x)<0\\]이 성립한다.", "따라서 정리 \\( 3.3.1 \\)에 의하여 \\( f \\)는 \\( a \\)의 왼쪽에서 증가하고 \\( a \\)의 오른쪽에서 감소한다.", "</p><p>그러므로 \\( f(x) \\)는 \\( x=a \\)에서 극대이다.", "</p><p>(\\( 2 \\)) (\\( 1 \\))의 증명과 유사한 방법으로 보일 수 있다.", "</p><p>예제 \\( 3.3.5 \\) 다음 함수의 상대극값을 구하여라.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=x+\\sqrt{1-x^{2}} \\)</li><li>\\( f(x)=\\frac{2 x}{x^{2}+1} \\)</li></ol></p><p>풀이 (\\( 1 \\)) 함수 \\( f(x)=x+\\sqrt{1-x^{2}} \\)에 대하여</p><p>\\[f^{\\prime}(x)=1+\\frac{-x}{\\sqrt{1-x^{2}}}, x=1-\\frac{1}{\\sqrt{2}} \\text { 은 무연근 } \\]이고 \\( f(x) \\)의 증감표는 다음과 같다.", "</p><p>따라서 \\( f(x)=x+\\sqrt{1-x^{2}} \\)는 \\[x=\\frac{1}{\\sqrt{2}} \\text { 에서 극댓값 } \\sqrt{2}\\]를 갖는다.", "</p><p>(\\( 2 \\)) 함수 \\( f(x)=\\frac{2 x}{x^{2}+1} \\)에 대하여 \\[f^{\\prime}(x)=\\frac{2\\left(x^{2}+1\\right)-2 x(2 x)}{\\left(x^{2}+1\\right)^{2}}=\\frac{-2(x+1)(x-1)}{\\left(x^{2}+1\\right)^{2}} \\]이고 \\( f(x) \\)의 증감표는 다음과 같다.", "</p><p><table border><tbody><tr><td>\\( x\\)</td><td>\\( x<-1 \\)</td><td>\\( x=-1 \\)</td><td>\\( -1<x<1 \\)</td><td>\\( x=1 \\)</td><td>\\( x>1 \\)</td></tr><tr><td>\\( f^{\\prime}(x) \\)</td><td>\\( - \\)</td><td>\\( 0 \\)</td><td>\\( + \\)</td><td>\\( 0 \\)</td><td>\\( - \\)</td></tr><tr><td>\\( f(x) \\)</td><td>\\( \\nearrow \\)</td><td>\\( -1 \\)</td><td>\\( \\searrow \\)</td><td>\\( 1 \\)</td><td>\\( \\nearrow \\)</td></tr></tbody></table></p><p>따라서 \\( f(x)=\\frac{2 x}{x^{2}+1} \\)는 \\( x=-1 \\)에서 극솟값 \\( f(-1)=-1 \\), \\( x=1 \\)에서 극솟값 \\( f(1)=1 \\)를 갖는다.", "</p><h1>연 ·습 ·문 ·제 3.3</h1><p>\\( 1 \\).", "다음 함수의 증가 또는 감소하는 구간을 구하여라.", "</p><p><ol type= start=1><li>\\( f(x)=x^{4}-2 x^{2}+3 \\)</li><li>\\( f(x)=x-2 \\sin x, \\quad[0,2 \\pi] \\)</li></ol></p><p>\\( 2 \\).", "다음 함수의 상대극값을 구하여라.", "</p><p><ol type= start=1><li>\\( f(x)=x^{3}-9 x^{2}+15 x-5 \\)</li><li>\\( f(x)=x+\\frac{1}{x} \\)</li><li>\\( f(x)=x^{\\frac{1}{5}}(x+1) \\)</li><li>\\( f(x)=x^{2} e^{x} \\)</li></ol></p><p>\\( 3 \\).", "다음 \\( f \\)의 도함수 \\( f^{\\prime} \\)의 그래프가 아래와 같다.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( f \\)가 증가 또는 감소하는 구간을 말하여라.", "</li><li>\\( f \\)가 극댓값, 또는 극솟값을 갖는 점 \\( x \\)의 값을 말하여라.", "</li></ol></p><p>\\( 4 \\).", "함수 \\( f(x)=3 x^{2}+\\frac{2 a}{x} \\)가 \\( x=2 \\)에서 극솟값을 갖도록 \\( a \\)를 구하여라.", "</p><p>\\( 5 \\).", "가로, 세로, 높이의 합이 \\( 12 \\mathrm{~cm} \\)이고, 밑면이 정사각형인 직육면체를 만들려고 한다.", "이때, 부피를 최대로 하려면 밑면의 한 변의 길이는 몇 \\( \\mathrm{cm} \\)로 해야 하는가?", "</p><p>\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \\hline\\( x \\) & \\( -\\infty<x<-1 \\) & \\( -1<x<0 \\) & \\( x=0 \\) & \\( 0<x<1 \\) & \\( 1<x<\\infty \\) \\\\ \\hline\\( f^{\\prime}(x) \\) & \\( + \\) & \\( + \\) & 0 & \\( - \\) & \\( - \\) \\\\ \\hline\\( f^{\\prime \\prime}(x) \\) & \\( + \\) & \\( - \\) & \\( - \\) & \\( - \\) & \\( + \\) \\\\ \\hline\\( f(x) \\) 의 & \\( \\uparrow \\) & & & & \\\\ \\hline 오목성 & & & & \\\\ \\hline \\end{tabular}</p> <p>예제 \\( 3.5.3 \\) 공 안에 공기를 넝을 때, 공의 부피가 \\( 16 \\mathrm{~cm}^{3} / \\mathrm{s} \\)의 비율로 증가한다.", "</p><p>반지름이 \\( 12 \\mathrm{~cm} \\)일 때 이 공의 반지름의 증가 속도를 구하여라.", "</p><p>풀이 공의 부피를 \\( V \\)라고 하고 반지름을 \\( r \\)이라고 하자.", "그러면 \\[V=\\frac{4}{3} \\pi r^{3}\\]이다.", "위 식을 \\( t \\)에 관해 미분하면 공의 부피의 변화율인 \\[\\frac{d V}{d t}=4 \\pi r^{2} \\frac{d r}{d t}\\]를 얻게 된다.", "이때 \\[\\frac{d V}{d t}=16, r=12\\]이므로 \\[16=4 \\pi(12)^{2} \\frac{d r}{d t}\\]이다.", "따라서 공의 반지름의 증가 속도 \\( \\frac{d r}{d t}=\\frac{1}{36} \\mathrm{~cm} / \\mathrm{s} \\)이다.", "</p><p>예제 \\( 3.5.4 \\) \\( x \\)축 위를 움직이는 점 \\( P \\)의 시각 \\( t \\)에서의 위치 \\( x \\)는 다음 식으로 주어진다고 한다.", "</p><p>\\( x=\\frac{2}{3} t^{3}-10 t^{2}+32 t \\)</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( t=2 \\)일 때, 속도와 가속도를 구하여라.", "</li><li>점 \\( P \\)의 진행 방향이 바뀌는 시각 \\( t \\)를 구하여라.", "</li><li>\\( 2 \\leq t \\leq 9 \\)에서의 최대 속력을 구하여라.", "</li></ol></p><p>풀이 (\\( 1 \\)) \\( x=f(t) \\)로 놓으면 \\[\\begin{array}{l}v(t)=f^{\\prime}(t)=2 t^{2}-20 t+32 \\\\a(t)=f^{\\prime \\prime}(t)=4 t-20 \\end{array}\\]이다.", "따라서 \\[\\begin{array}{l}v(2)=8-40+32=0, \\\\a(2)=8-20=-12 \\end{array}\\]이다.", "즉 속도는 \\( 0 \\)이고, 가속도는 \\( -12 \\)이다.", "</p><p>(\\( 2 \\)) \\( v(t)=f^{\\prime}(t)=2(t-2)(t-8)=0 \\)과 다음 표로부터 점 \\( P \\)의 진행 방향이 바뀌는 시각이 \\[t=2, \\quad t=8\\]임을 알 수 있다.", "</p><p><table border><tbody><tr><td>\\( t \\)</td><td>\\( t<2 \\)</td><td>\\( t=2 \\)</td><td>\\( 2<t<8 \\)</td><td>\\( t=8 \\)</td><td>\\( 8<t<9 \\)</td><td>\\( t=9 \\)</td></tr><tr><td>\\( v(t)=f^{\\prime}(t) \\)</td><td>\\( + \\)</td><td>\\( 0 \\)</td><td>\\( - \\)</td><td>\\( 0 \\)</td><td>\\( + \\)</td><td>\\( + \\)</td></tr></tbody></table></p><p>(\\( 3\\)) \\( v(t)=f^{\\prime}(t)=2(t-5)^{2}-18 \\)이고 \\[f^{\\prime}(2)=0, f^{\\prime}(9)=14\\]이다.", "따라서 \\( v(t)=f^{\\prime}(t) \\)의 \\( 2 \\leq t \\leq 9 \\)에서의 최댓값은 \\( f^{\\prime}(9)=14 \\) 이지만 [그림 \\( 3.19 \\)]의 그래프로부터 최대 속력은 \\( |v(t)| \\)값이므로 \\( |v(5)|=\\left|f^{\\prime}(5)\\right|=|-18|=18 \\)이 된다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "공학도를 위한 기초미적분학_도함수의 응용", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-63cd-4841-8a11-f79ee38aa043", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961055246", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2011", "doc_author": [ "박정준", "신현혜", "이혜경", "정계선", "최건돈" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>제\\( 2 \\)장과 \\( 6 \\)장에서 우리는 실수의 수열과 급수의 수렴에 관하여 연구하였다. \\", "( 9 \\)장에서는 실수값 함수의 수열을 생각하고자 한다.", "실수값 함수의 수열은 정의역의 한 점마다 그 실수값에 의해서 수열이 생기므로 수열의 극한으로부터 함수의 수열과 함수의 급수의 극한을 확장하여 생각한다.", "특히 함수들이 특정한 성질을 가질 때 함수의 수열의 극한이 그 성질을 보존할 것인지의 문제를 생각할 것이다.", "</p><h1>9.1 함수열의 점마다 수렴과 균등수렴</h1><p>각 자연수 \\( n \\)에 대하여 집합 \\( X \\)에서 \\( \\mathbf{R} \\)로의 함수 \\( f_{n} \\)들로 이루어진 수열 \\( \\left\\{f_{n}\\right\\}_{n-1}^{\\infty} \\)을 \\( X \\) 위에서 실수값 함수열(scquence of real valucd functions)이라 한다.", "이 장에서는 실수값 함수열을 함수열이라 하겠다.", "여기서 \\( X \\neq \\varnothing \\)이다.", "</p><p>정의 \\( 9.1 \\) \\( \\left\\{f_{n}\\right\\}_{n-1}^{\\infty} \\)은 \\( X \\) 위에서 함수열이라 하고 함수 \\( f: X \\rightarrow \\mathbb{R} \\)이 주어져 있다고 하자. \\( X \\)의 각 점 \\( x \\)에 대해서 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} f_{n}(x)=f(x) \\) 일 때 함수열 \\( \\left\\{f_{n}\\right\\} \\)은 \\( X \\) 위에서 \\( f \\)에 점마다 수렴(converges pointwise)한다고 한다. 각 점 \\( x \\in X \\)에 대해서 실수열 \\( \\left\\{f_{n}(x)\\right\\} \\)가 실수 \\( f(x) \\)에 수렴하는 경우이다. 즉, 임의의 \\( \\varepsilon>", "0 \\)과 각 점 \\( x \\in X \\)에 대해서 자연수 \\( N \\)이 존재하여 다음을 만족하는 것이다. \\", "( n \\geq N, \\left|f_{n}(x)-f(x)\\right|<\\varepsilon \\).", "이 때 \\( N \\)은 \\( \\varepsilon \\)과 \\( x \\)에 의해서 결정된다.", "</p> <p>앞 예제 \\( 1.2 \\)에서 \\( 0 \\leq g_{n}(x)<\\frac{1}{n} \\)이므로, 주어진 \\( \\varepsilon>0 \\)에 대해서 \\( \\frac{1}{\\varepsilon}\\< N \\)되는 자연수 \\( N \\)을 잡으면 모든 \\( x \\in X \\)에 대하여 다음을 만족한다.", "</p><p>\\( x \\in X, \\quad n \\geq N, \\quad g_{n}(x)<\\frac{1}{n} \\leq \\frac{1}{N}<\\varepsilon \\)</p><p>이 때 \\( N \\)은 오직 \\( \\varepsilon \\)에 의해서 결정되고 \\( x \\)와는 무관하다.", "그러므로 \\( \\left\\{g_{n}\\right\\} \\)은 \\( [0, \\infty) \\) 위에서 상수함수 \\( 0 \\)에 균등수렴 한다.", "</p><p>그러나 앞 예제 \\( 1.1 \\)에서 다룬 수열 \\( \\left\\{f_{n}\\right\\} \\)은 \\( [0,1] \\) 위에서 \\( f \\)에 균등수렴하지 않는다.", "왜냐하면, \\( \\varepsilon=\\frac{1}{2} \\)일 때 \\( n \\geq N \\)과 모든 \\( x \\in[0,1] \\)에 대해서 다음을 만족하는 자연수 \\( N \\)을 잡을 수가 없기 때문이다.", "</p><p>\\( \\left|f_{n}(x)-f(x)\\right|<\\frac{1}{2} \\)</p><p>만약 위 식을 만족하는 자연수 \\( N \\)이 존재한다면 다음이 성립해야 한다.", "</p><p>\\( x \\in[0,1), \\quad n \\geq N, \\quad x^{n}<\\frac{1}{2} \\)</p><p>그러나 \\( \\lim _{x \\rightarrow 1} x^{n}=1 \\)이므로 \\( 1 \\leq \\frac{1}{2} \\)되어 모순이다.", "</p><p>함수열이 균등수렴하면 점마다 수렴한다.", "그러나 위의 예제로부터 역은 성립하지 않음을 알 수 있다.", "</p><p>\\( X \\) 위에서 함수열 \\( \\left\\{f_{n}\\right\\} \\)이 \\( X \\)에서 \\( \\mathbb{R} \\)로의 상수함수 \\( 0 \\)에 균등수렴 한다면, 임의의 \\( \\varepsilon>0 \\)에 대해서 자연수 \\( N \\)이 존재해서 다음을 만족한다.", "</p><p>\\( x \\in X, \\quad n \\geq N, \\quad\\left|f_{n}(x)\\right|<\\frac{\\varepsilon}{2} \\)</p><p>그려면 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( n \\geq N, \\quad \\) \\( \\operatorname{lub}_{x \\in X}\\left|f_{n}(x)\\right|<\\varepsilon \\)</p><p>그러므로 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\operatorname{lub}_{x \\in X}\\left|f_{n}(x)\\right|=0 \\)이다.", "그리고 이 역도 성립한다", "이 사실로부터 다음의 정리를 얻는다.", "</p> <p>예제 \\( 1.1 \\) 각 \\( n \\in \\mathrm{N} \\)에 대하여 \\( f_{n}:[0,1] \\rightarrow \\mathrm{R}, f_{n}(x)=x^{n} \\)이고 \\( f:[0,1] \\rightarrow \\mathrm{R} \\)는 다음과 같이 정의된 함수라 하자. \\", "( f(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}0, & x \\in[0,1) \\\\ 1, & x=1\\end{array}\\right. \\)", "함수열 \\( \\left\\{f_{n}\\right\\} \\)은 \\( [0,1] \\) 위에서 함수 \\( f \\)에 점마다 수렴한다.", "</p><p>풀이 \\( x=1 \\)이면 모든 \\( n \\in \\mathrm{N} \\)에 대하여 \\( f_{n}(x)=1 \\)이므로 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} f_{n}(x)=1 = f(x) \\)이다. \\", "( x \\in[0,1) \\)이면 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} x^{n}=0 \\)이므로 \\( \\quad \\lim _{n \\rightarrow \\infty} f_{n}(x)=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} x^{n} \\) \\( =0=f(x) \\)이다.", "</p><p>예제 \\( 1.2 \\) 각 \\( n \\in \\mathrm{N} \\)에 대해서 \\( g_{n}:[0, \\infty) \\rightarrow \\mathrm{R}, g_{n}(x)=\\frac{x}{1+n x} \\)이고 \\( g:[0, \\infty) \\rightarrow \\mathrm{R}, g(x)=0 \\)이라 하면 \\( \\left\\{g_{n}\\right\\} \\)은 \\( [0, \\infty) \\) 위에서 함수 \\( g \\)에 점마다 수렴한다.", "</p><p>풀이 만일 \\( x>0 \\)이면 \\( 0 \\leq g_{n}(x)=\\frac{x}{1+n x}<\\frac{x}{n x}=\\frac{1}{n} \\)이므로 \\( \\quad \\lim _{n \\rightarrow \\infty} g_{n}(x)=0 \\)이다. \\", "( x=0 \\)이면 모든 \\( n \\)에 대해서 \\( g_{n}(x)=0 \\)이다.", "그러므로 \\( \\left\\{g_{n}\\right\\} \\)은 \\( [0, \\infty) \\) 위에서 함수 \\( g \\)에 점마다 수렴한다.", "</p><p>정의 \\( 9.2 \\) \\( \\left\\{f_{n}\\right\\} \\)은 \\( X \\) 위에서 함수열이고 \\( f \\)는 \\( X \\)에서 \\( \\mathrm{R} \\)로의 함수라 하자. 주어진 \\( \\varepsilon>", "0 \\)에 대해서 다음 식을 만족하는 자연수 \\( N \\)이 존재할 때 \\( \\left\\{f_{n}\\right\\} \\)은 \\( X \\) 위에서 \\( f \\)에 균등수렴(converges uniformly)한다고 한다. \\", "( x \\in X, \\quad n \\geq N, \\quad\\left|f_{n}(x)-f(x)\\right|<_{\\varepsilon} \\) 이 경우 \\( N \\)은 \\( \\varepsilon \\)에만 관계되고 \\( x \\in X \\)에는 무관하다.", "</p> <p>연습문제 \\( 9.3 \\)</p><ol type=1 start=1><li>\\( [0, \\infty) \\) 위에서 함수급수 \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^{2}+x^{2}} \\)은 균등수렴함을 증명하라.", "</li><li>멱급수 \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n} x^{*} \\)이 \\( x=a \\)에서 수렴하면 \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n} x^{n} \\)은 [ \\( \\left.-y, y\\right]", "\\)에서 균등수렴한다 \\( (0<y<|a|) \\).", "</li><li>자연수 \\( n \\in \\mathrm{N} \\)과 \\( x \\in X \\) 에 대하여 \\( \\left|f_{n}(x)\\right| \\leq\\left|g_{n}(x)\\right| \\)이고 \\( \\sum_{\\pi=1}^{\\infty}\\left|g_{n}\\right| \\)이 \\( X \\)에서 균등수렴하면 \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} f_{n} \\)도 균등수렴함을 증명하라.", "여기서 \\( X \\subset \\mathrm{R}(X \\neq \\varnothing) \\)이다.", "</li><li>\\( 0<a<\\pi \\) 일 때 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\sin n x}{n x} d x \\)를 계산하라.", "</li><li>급수 \\( \\sum_{n=0}^{\\infty} a_{n} \\)이 절대수렴하면, \\( |x|<1 \\)일 때 \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n} x^{n} \\)은 균등수렴함을 증명하라.", "여기서 \\( X \\subset \\mathrm{R}(X \\neq \\varnothing) \\)이다.", "</li><li>다음 멱급수의 수렴반경을 구하라.", "<ol type=1 start=1><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{2^{n}}{n^{2}} x^{n} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{2^{n}}{n !} x^{n} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{n^{n}}{n !} x^{n} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^{n}} x^{n} \\)</li></ol></li></ol><p>연습문제 풀이 및 해답</p><p>\\( 4 \\). \\( f_{n}(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}\\frac{\\sin n x}{n x} & (x \\neq 0) \\\\ 1 & (x=0)\\end{array} \\quad\\right. \\) 이면 \\( \\quad f_{n}(0)=\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin n x}{n x}=1 \\)이므로 \\( \\quad f_{n} \\)은 \\( x=0 \\)에서 연속함수이다. \\( f(x)=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\sin n x}{n x}=\\left\\{\\begin{array}{ll}0 & (x \\neq 0) \\\\ 1 & (x=0)\\end{array}\\right. \\)이다. \\( \\varepsilon>", "0 \\)에 대해서 \\( \\frac{1}{N a}<\\varepsilon \\)되는 자연수 \\( N \\)을 잡는다.", "그러면 \\[ n \\geq N, \\quad x \\geq a, \\quad\\left|\\frac{\\sin n x}{n x}-0\\right| \\leq \\frac{1}{n x} \\leq \\frac{1}{N a}<\\varepsilon \\] 그러므로 \\( \\left\\{f_{n}\\right\\} \\)은 \\( [a, \\pi] \\)에서 \\( 0 \\)으로 균등수렴한다.", "따라서 \\[ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\int_{a}^{\\pi} \\frac{\\sin n x}{n x} d x=\\int_{a}^{\\pi} 0 d x=0 \\]이다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "해석학_함수열과 함수급수", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-7ef8-4df0-a6e9-4bee46ca318e", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961050036", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2007", "doc_author": [ "조영수", "강주호", "박동완" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h3>예제 7.</h3><p>어느 행사장에는 현수막을 \\(1\\)개씩 설치할 수 있는 장소가 \\(5\\)곳이 있다.", "현수막은 \\( A, B, C \\) 세 종류가 있고, \\( A \\)는 \\(1\\)개, \\( B \\)는 \\(4\\)개, \\( C \\)는 \\(2\\)개가 있다.", "다음 조건을 만족시키도록 현수막 \\(5\\)개를 택하여 \\(5\\)곳에 설치할 때, 그 결과로 나타날 수 있는 경우의 수는?", "(단, 같은 종류의 현수막끼리는 구분하지 않는다.)", "</p><ul><li>(가) \\(A\\)는 반드시 설치한다.", "</li><li>(나) \\(B\\)는 \\(2\\)곳 이상 설치한다.", "</li></ul><ol type=1 start=1><li>\\(55\\)</li><li>\\(65\\)</li><li>\\(75\\)</li><li>\\(85\\)</li><li>\\(95\\)</li></ol><p>(풀이)</p><ol type=i start=1><li>\\( A \\) 는 \\(1\\) 곳, \\( B \\) 는 \\(2\\) 곳, \\( C \\) 는 \\(2\\) 곳에 설치하는 경우의 수는 \\( \\frac{5 !}{2 ! 2 !}=30 \\)</li><li>\\( A \\) 는 \\(1\\) 곳, \\( B \\) 는 \\(3\\) 곳, \\( C \\) 는 \\(1\\) 곳에 설치하는 경우의 수는 \\( \\frac{5 !}{3 !}=20 \\)</li><li>\\( A \\) 는 \\(1\\) 곳, \\( B \\) 는 \\(4\\) 곳에 설치하는 경우의 수는 \\( \\frac{5 !}{4 !}=5 \\)</li></ol><p>따라서 (i), (ii), (iii)에서 구하는 경우의 수는 \\( 30+20+5=55 \\) 답은 \\((1)\\)</p><h3>예제 \\( 8 . \\)</h3><p>문자 \\( a, b, c, d, e, f \\) 중 \\(3\\)개를 선택하여 문자열을 만들려고 한다. \\", "( e \\)를 반드시 포함하고 중복을 허락했을 때.", "만들 수 있는 문자열의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이\\(1\\))</p><ol type=i start=1><li>먼저 첫 번째 자리에 \\( e \\) 가 오는 경우로서, 경우의 수는 \\( 6 \\times 6 \\) 이다.", "</li><li>첫 번째 자리에 \\( e \\) 가 오지 않고 두 번째 자리에 \\( e \\) 가 오는 경우로서, 경우의 수 는 \\( 5 \\times 6 \\) 이다.", "</li><li>첫 번째와 두 번째 자리에 \\( e \\) 가 오지 않고 세 번째 자리에 \\( e \\) 가 오는 경우로서, 경우의 수는 \\( 5 \\times 5 \\) 이다.", "</li></ol><p>따라서 구하는 답은 \\( 6 \\times 6+5 \\times 6+5 \\times 5=91 \\)</p><p>(풀이\\(2\\))</p><ol type=i start=1><li>\\( e \\)의 개수가 \\(3\\)인 경우는 \\(1\\)가지</li><li>\\( e \\)의 개수가 \\(2\\)인 경우는 \\( 3 \\times 5=15 \\) 가지</li><li>\\( e \\)의 개수가 \\(1\\)인 경우는 \\( 3 \\times 5^{2}=75 \\) 가지</li></ol><p>따라서 구하는 답은 \\( 1+3 \\times 5+3 \\times 5^{2}=91 \\)</p><p>(풀이\\(3\\))</p><p>여집합을 이용하자.", "구하는 답은 \\( 6^{3}-5^{3}=91 \\)</p> <p>23. \\( 1,2,3 \\)의 숫자가 하나씩 적힌 공이 들어 있는 주머니에서 한 개의 공을 꺼내어 공에 적힌 수를 학인하고 다시 집어넣는 시행을 \\(5\\)번 반복하였을 때, 공에 적힌 수의 합이 홀수인 경우의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(122\\)</p><p>24. \\( 0,1,2,3,4 \\)의 다섯 개의 숫자 중에서 서로 다른 네 개의 숫자를 사용하여 만틀 수 있는 네 자리의 자연수 중 짝수의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(60\\)</p><p>25. \\(7\\)개의 문자 \\( a, a, a, a, b, b, c \\)중에서 \\(5\\)개의 문자를 뽑아 일렬로 배열할 때, \\( a \\)가 두 개 이상 들어 있는 경우의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(70\\)</p><p>26. \\( A, B, C, D, E, F \\)의 \\(6\\)명의 학생을 일렬로 세울 때, \\( A, B \\)는 이웃하지만 \\( B, C \\)는 이웃하지 않도록 일렬로 셰우는 경우의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(192\\)</p><p>27. \\(6\\)개의 자연수 \\( a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{6} \\)로 이루어진 순서쌍 \\( \\left(a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{6}\\right) \\) 이 다음 조건을 만족시킬 때, 순서쌍 \\( \\left(a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{6}\\right) \\) 의 개수를 구하시오.", "<ul><li>(가) \\(a_{1}=2\\)</li><li>(나) \\(a_{n}+1 \\leqq a_{n+1} \\leqq a_{n}+3 (n=1,2,3,4,5) \\)</li></ul></p><p>(풀이) \\(243\\)</p><p>28. \\(7\\)명이 둥근 식탁에 앉는데 특정한 두 명이 서로 이웃해 앉지 않는다.", "가능한 경우의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(480\\)</p><p>29. \\(300\\)에서 \\(500\\)까지의 자연수 중에서 서로 다른 세 숫자로 된 홀수의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(72\\)</p><p>30. \\(100\\)과 \\(500\\)사이의 흘수 중에서 각 자리의 수가 모두 다른 수는 몇 개인지 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(144\\)</p><p>31. 세 종류의 문자 \\( a, b, c \\)를 사용하여 네 자리의 문자열을 만든다고 할 때, 다음 두 조건을 만족시키는 문자열의 개수를 구하시오.", "<ul><li>(가) a 다음에는 a가 곧바로 올 수 없다.", "</li><li>(나) 적어도 두 종류 이상의 문자를 사용해야 한다.", "</li></ul></p><p>(풀이) \\(58\\)</p><p>32. 집합 \\( U=\\{1,2,3,4,5,6\\} \\)의 서로소인 두 부분집합 \\( A, B \\) 의 순서쌍 \\( (A, B) \\)의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(729\\)</p><p>참고로, 전체집합이 \\( U=\\{1,2,3,4,5,6\\} \\)일 때, \\( A \\cap B=\\{2,3\\} \\) 이 되도록 \\( U \\) 의 두 부분 집합 \\( A, B \\) 를 결정하는 방법의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(81\\)</p> <p>14. 서로 다른 과일 \\(5\\)개를 네 접시 \\( A, B, C, D \\)에 남김없이 담으려고 할 때, 두 접시 \\( A \\) 와 \\( B \\) 에는 과일이 한 개씩만 담기는 경우의 수를 구하시오.", "(단, 빈 접시가 있어도 된다.)", "</p><p>(풀이) \\(160\\)</p><p>15. \\(7\\)개의 문자 \\( a, b, c, c, d, d, d \\)를 일렬로 나열할 때, \\( a \\) 와 \\(b\\)가 서로 이웃하지 않는 경우의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(300\\)</p><p>16. 집합 \\( X=\\{1,2,3,4,5\\} \\) 에 대하여 \\( f(1) \\times f(2) \\times f(3) \\times f(4) \\times f(5)=4 \\) 를 만족시키는 함수 \\( f: X \\rightarrow X \\) 의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(15\\)</p><p>참고로, 집합 \\( \\mathrm{X}=\\{1,2,3,4,8\\} \\) 에 대하여 \\( f(1) \\times f(2) \\times f(3) \\times f(4) \\times f(8)=8 \\) 을 만족시키 는 함수 \\( f: X \\rightarrow X \\) 의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(35\\)</p><p>17. \\( A \\) 가 적혀 있는 카드가 \\(3\\)장, \\( B \\) 가 적혀 있는 카드가 \\(3\\)장, \\( C \\) 가 적혀 있는 카드가 \\(2\\)장 있다. \\", "( A, B, C \\)가 적혀 있는 카드가 각각 적어도 한 장씩 포함되도록 \\(5\\)장의 카드 를 뽑아 나열하는 경우의 수를 구하시오.", "(단, 뽑는 순서는 고려하지 않고, 같은 문자가 적혀 있는 카드끼리는 구별하지 않는다.)", "</p><p>(풀이) \\(130\\)</p><p>18. \\( A, B, C \\)를 포함한 \\(7\\)명을 원형의 탁자에 앉힐 때, \\( A \\)의 양 옆에 \\( B \\) 와 \\( C \\) 가 앉는 경우의 수를 구하시오.", "(단, 회전하여 일치하는 경우는 같은 것으로 본다.)", "</p><p>(풀이) \\(48\\)</p><p>19. \\(1\\)부터 \\(7\\)까지의 자연수가 하나씩 적힌 카드 \\(7\\)장에서 서로 다른 \\(5\\)장의 카드를 택하여 일렬로 나열할 때, 서로 이웃한 두 장의 카드에 적힌 수의 합이 모두 홀수인 경우의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(216\\)</p><p>20. 그림과 같이 직사각형 모양으로 연결된 도로망이 있다.", "이 도로망을 따라 \\( A \\)지점 에서 \\( B \\)지점까지 최단거리로 가는 경우의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(38\\)</p><p>21. 집합 \\( \\mathrm{X}=\\{1,2,3,4,5\\} \\) 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 \\( f: X \\rightarrow X \\) 의 개수를 구하시오.", "<(가) \\( f(1) \\neq f(2) \\) 이고 \\( f(2) \\neq f(3) \\) 이다. (나)", "함수 \\( f \\) 의 치역의 원소의 개수는 \\(3\\) 이다.", "</p><p>(풀이) \\(840\\)</p><p>22. 파란색 의자 \\(4\\)개, 빨간색 의자 \\(3\\)개, 노란색 의자 \\(2\\)개를 일렬로 나열할 때, 노란색 의자 \\(2\\)개는 서로 이웃하지 않으며 노란색 의자 사이에 놓이는 다른 색 의자의 개수가 짝수인 경우의 수를 구하시오.", "(단, 같은 색의 의자끼리는 구별하지 않는다.)", "</p> <h3>예제 \\(11.\\)</h3><p>(1) \\(10\\)원짜리 동전 \\(7\\)개, \\(50\\)원짜리 동전 \\(3\\)개로 지불할 수 있는 금액의 모든 경우의 수를 구하시오.", "(2) \\(10\\)원짜리 동전 \\(7\\)개, \\(50\\)원짜리 동전 \\(3\\)개로 지불할 수 있는 방법의 모든 경우의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) (1) \\(50\\)원짜리 동전을 모두 \\(10\\)원짜리 동전으로 바꾸어 \\(10\\)원짜리 \\(22\\)개로 생각하면 이 동전으로 낼 수 있는 금액의 경우의 수는 \\(22\\) (2) \\(10\\)원짜리 동전을 낼 수 있는 방법은 \\( 0,1,2, \\cdots, 7 \\) 중에 하나이므로 \\(8\\)가지, \\(50\\)원짜리 동전을 낼 수 있는 방법은 \\( 0,1,2,3 \\) 중에 하나이므로 \\(4\\)가지이고 모두 \\(0\\)인 것은 제외해야 하므로 구하는 방법의 수는 \\( 8 \\times 4-1=31 \\)</p><h2>연습문제 \\(1\\)</h2><p>1. \\(1\\)부터 \\(9\\)까지의 자연수 중 서로 다른 세 수를 택하여 나열한 세 자리 자연수 중 \\(300\\)이하의 짝수의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(49\\)</p><p>참고로, \\(1\\)부터 \\(9\\)까지의 자연수 중 서로 다른 세 수를 택하여 나열한 세 자리 자연수 중 \\(300\\)이하의 홀수의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(63\\)</p><p>참고로, \\(1\\)부터 \\(9\\)까지의 자연수 중 서로 다른 세 수를 택하여 나열한 세 자리 자연수 중 \\(300\\)이하의 자연수의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(112\\)</p><p>2. 아래 표는 어느 고등학교에서 개설한 방과 후 수업의 교시별 강좌 수를 나타낸 것이다.", "두 학생 \\( A, B \\)가 모두 \\(1\\)교시와 \\(2\\)교시에 한 강좌씩 두 강좌를 택하여 수강하려고 한다.", "개설한 \\(7\\)개의 강좌가 모두 다른 강좌일 때, 두 학생 \\( A, B \\)가 같은 강좌를 \\(1\\)개만 선택한 경우의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(60\\)</p><p>3. \\( A, B \\)를 포함한 \\(5\\)명을 일렬로 세울 때, \\( A \\)는 맨 앞에서부터 두 번째 이내에 서고 \\( A \\)와 \\( B \\)는 서로 이웃하게 서는 경우의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(18\\)</p><p>4. \\(100\\)원짜리 동전 \\(5\\)개, \\(50\\)원짜리 동전 \\(3\\)개, \\(10\\)원짜리 동전 \\(4\\)개를 사용하여 지불할 수 있는 금액의 수를 구하시오.", "(단, \\(0\\)원을 지불하는 것은 제외한다.)", "</p><p>(풀이) \\(69\\)</p><p>참고로, \\(50\\)원짜리 동전, \\(100\\)원짜리 동전, \\(500\\)원짜리 동전을 사용하여 \\(2000\\)원을 지불 하는 방법의 수를 구하시오.", "(단, 각 동전을 적어도 한 번씩 사용한다.)", "</p><p>(플이) \\(27\\)</p><p>5. 세 사람에게 연필과 노트를 나누어 줄 때, 서로 다른 연필 \\(2\\)개는 세 사람에게 남김없이 나누어 주고 서로 다른 노트 \\(5\\)권은 연필을 받지 않은 사람에게만 \\(1\\)권씩 나누어 주는 경우의 수를 구하시오.", "(단 연필을 \\(2\\)개 받은 사람이 있어도 되고, 나누어 주고 남은 노트가 있다.)", "</p> <p>6. 여섯 개의 알파벳 \\( A, B, C, D, E, F \\) 중에서 알파벳 \\( A \\)는 중복을 허락하지 않고 알파벳 \\( B, C D, E, F \\)는 중복을 허락하여 \\(3\\)개를 택해 일렬로 나열하는 경우의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(200\\)</p><p>7. \\( 1,2,3,4,5 \\)를 중복사용하여 네 개의 수를 택해 일렬로 나열한 네 자리 자연수 중 백의 자리의 수와 일의 자리의 수의 합이 홀수인 것의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(300\\)</p><p>8. 서로 다른 초콜릿 \\(4\\)개와 서로 다른 사탕 \\(3\\)개를 세 사람에게 남김없이 나누어 줄 때, 사탕은 각 사람이 \\(1\\)개씩 받도록 나누어 주는 경우의 수를 구하시오.", "(단, 한 사람이 초콜릿을 여러 개 받을 수 있고 초콜릿을 받지 않는 사람이 있을 수 있다.)", "</p><p>(풀이) \\(486\\)</p><p>9. 각 자리의 수가 \\(0\\)이 아닌 네 자리 자연수 중 각 자리의 수의 합이 \\(6\\)인 자연수의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(10\\)</p><p>참고로, 네 자리 자연수 중 각 자리의 수의 합이 \\(6\\)인 자연수의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(56\\)</p><p>참고로, 네 자리 이하의 자연수 중 각 자리의 수의 합이 \\(6\\)인 자연수의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(84\\)</p><p>10. 갑이 \\(10\\)칸의 계단을 올라가는데 한 번에 \\(2\\)칸, 또는 \\( 3\\)칸, 또는 \\(4\\)칸씩 올라가려 한다.", "갑이 한 번에 올라가는 계단 수를 \\( 3\\)칸, \\(4\\)칸, \\(3\\)칸과 같이 올라가는 순서대로 나열할 때, 갑이 \\(10\\) 칸의 계단을 올라가는 경우의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(17\\)</p><p>11. \\( A, B, C \\)를 포함한 \\(6\\)명을 일렬로 세울 때, \\( A \\)가 \\( B \\)와 \\( C \\) 사이에 있는 경우의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(240\\)</p><p>12. 서로 다른 빵 \\(5\\)개와 같은 종류의 음료수 \\( A \\)가 \\(2\\)개, 같은 종류의 음료수 \\( B \\)가 \\(3\\)개 있다.", "빵과 음료수를 \\(5\\)명에게 남김없이 나누어 주려고 할 때, 각 사람이 빵과 음료 수를 각각 하나씩 받도록 나누어 주는 경우의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(1200\\)</p><p>13. \\( A, B, C, a, b, c, d \\)의 \\(7\\)개의 문자를 원형으로 나열할 때, 대문자 \\( A \\)와 \\( B, B \\)와 \\( C \\), C와 \\( A \\) 사이에는 각각 소문자가 적어도 한 개 있을 경우의 수를 구하시오.", "(단, 회전하여 일치하는 경우는 같은 것으로 본다.)", "</p> <h3>예제 \\( 2 . \\)</h3><p>여학생 \\(3\\)명과 남학생 \\(3\\)명을 일렬로 세울 때, 맨 앞에는 남학생이 서고 남학생끼리는 서로 이웃하지 않는 경우의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이)</p><p>여학생 \\(3\\) 명을 일렬로 세우는 방법의 수는 \\( 3 !=6 \\) 가지</p><p>맨 앞에 남학생을 세우는 방법의 수는 \\(3\\)가지</p><p>나머지 남학생 \\(2\\)명을 □로 표시된 \\(3\\)곳 중 \\(2\\)곳에 배치하는 방법의 수는 \\( { }_{3} \\mathrm{P}_{2}=6 \\) 가지</p><p>따라서 구하는 답은 \\( 6 \\times 3 \\times 6=108 \\)</p><h3>예제 \\( 3 . \\)</h3><p>집합 \\( X=\\{1,2,3,4,5,6\\} \\) 에 대하여 함수 \\( f: X \\rightarrow X \\) 는 다음 조건을 만족시킨다.", "</p><ul><li>(가) \\( f(3) \\)은 짝수이다.", "</li><li>(나) \\( x<3 \\)이면 \\( f(x)<f(3) \\)이다.", "</li><li>(다) \\( x>3 \\)이면 \\( f(x)>f(3) \\)이다.", "</li></ul><p>함수 \\( f \\) 의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이)</p><ol type=i start=1><li>\\( f(3)=2 \\) 이 경우 : \\(1,2\\) 는 모두 \\(1\\) 에 대응되고 \\( 4,5,6 \\) 은 각각 \\( 3,4,5,6 \\) 중 하나에 대응되므로 구하는 함수 \\( f \\) 의 개수는 \\( { }_{1} \\Pi_{2} \\times{ }_{4} \\Pi_{3}=1^{2} \\times 4^{3}=64 \\)</li><li>\\( f(3)=4 \\) 이 경우 : \\(1,2\\) 는 모두 \\( 1,2,3 \\) 중 하나에 대응되고 \\( 4,5,6 \\) 은 각각 \\(5,6\\) 중 하나에 대응되므로 구하는 함수 \\( f \\) 의 개수는 \\( { }_{3} \\Pi_{2} \\times{ }_{2} \\Pi_{3}=3^{2} \\times 2^{3}=72 \\)</li><li>\\( f(3)=6 \\) 이 경우 : 조건 (다)에서 \\( x>3 \\) 이면 \\( f(x)>f(3) \\) 이므로 \\( f(4), f(5), f(6) \\) 의 값이 없다.", "즉, 조건을 만족시키는 함수 \\( f \\) 는 없다.", "따라서 구하는 함수 \\( f \\) 의 개수는 \\( 64+72=136 \\)</li></ol><h3>예제 \\( 4 . \\)</h3><p>남학생 \\(5\\) 명과 여학생 \\(3\\) 명이 원탁에 앉을 때, 여학생끼리 이웃하게 앉는 방법의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이)</p><p>여학생끼리 이웃하므로 여학생 \\(3\\)명을 한 그룹으로 볼 때, 남학생 \\(5\\)명과 한 그룹을 원탁에 앉히는 방법의 수는 \\[ 5 !=120 \\] 그리고 여학생 \\(3\\)명으로 이루어진 그룹 안에서 순서를 바꾸는 방법의 수는 \\[ 3 !=6 \\] 따라서 구하는 방법의 수는 \\( 120 \\times 6=720 \\)</p><h3>참고.", "</h3><p>\\((1)\\) 남학생 \\(5\\)명과 여학생 \\(3\\)명이 원탁에 앉을 때, 어떤 두 여학생도 이웃하지 않게 앉는 방법의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이)</p><p>먼저 남학생 \\(5\\)명을 원탁에 앉히는 방법의 수는 \\[ 4 !=24 \\] 이고 그 다음에 여학생 \\(3\\)명을 그 사이에 앉히는 방법의 수는 \\[ { }_{5} \\mathrm{P}_{3}=5 \\times 4 \\times 3=60 \\] 따라서 구하는 방법의 수는 \\( 24 \\times 60=1440 \\)</p><p>\\((2)\\) 남학생 \\(5\\)명과 여학생 \\(3\\)명이 원탁에 앉을 때, 두 여학생만 이웃하게 앉는 방법의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이\\(1\\))</p><p>먼저 남학생 \\(5\\)명을 원탁에 앉히는 방법의 수는 \\[ 4 !=24 \\] 이고 여학생 \\(2\\)명, \\(1\\)명을 뽑아 그 사이에 앉히는 방법의 수는 \\[ 3 \\times 2 \\times 5 \\times 4=120 \\] 따라서 구하는 방법의 수는 \\( 24 \\times 120=2880 \\)</p><p>(풀이\\(2\\))</p><p>여집합을 이용하자.", "구하는 방법의 수는 \\( 7 !-720-1440=5040-2160=2880 \\)</p> <h2>2. 순열</h2><p>서로 다른 \\( n \\) 개 중에서 중복되지 않게 \\( r(n \\geqq r) \\) 개를 택하여 일렬로 나열하는 것을 \\( n \\)개에서 \\( r \\) 개를 택하는 순열(permutation)이라 하고, 이 순열의 수를 기호로 \\( { }_{n} \\mathrm{P}_{r} \\) 와 같이 나타낸다. \\", "[ { }_{n} \\mathrm{P}_{\\mathrm{r}}=n(n-1)(n-2) \\cdots(n-r+1)(\\text { 단, } 1 \\leqq r \\leqq n) \\] \\( \\because \\) 서로 다른 \\( n \\) 개에서 \\( r \\) 개를 뽑아 일렬로 나열할 때, 첫 번째는 어느 것이라도 올 수 있으므로 \\( n \\) 가지 경우가 있고 두 번째는 첫 번째에 온 것을 제외한 \\( n-1 \\) 가지 경우가 있다.", "일반적으로 \\( i \\) 번째는 첫 번째부터 \\( i-1 \\) 번째까지 온 것을 제외한 \\( n-i+1 \\) 가지 경우가 있다.", "곱의 법칙을 적용하면 된다.", "</p><p>특별히, \\( { }_{n} \\mathrm{P}_{0}=1,{ }_{n} \\mathrm{P}_{\\mathrm{n}}=n \\) !이고, \\( { }_{n} \\mathrm{P}_{r}=\\frac{n !}{(n-r) !} \\) (단, \\( 0 \\leqq r \\leqq n \\) )</p><h2>3. 중복순열</h2><p>서로 다른 \\( n \\)개 중에서 중복을 허락하여 \\( r \\)개를 택하여 일렬로 배열하는 순열을 중복순열이라 하고, 이 중복순열의 수를 기호로 \\( { }_{n} \\Pi_{r} \\) 와 같이 나타낸다. \\", "[ { }_{n} \\Pi_{r}=n^{r} \\] \\( \\because \\) 자연수 \\( 1,2, \\cdots, n \\) 개에서 중복을 허락하여 \\( r \\) 개를 뽑아 일렬로 나열할 때, 각 자리에 \\( 1,2, \\cdots, n \\) 중에서 어떤 수도 올 수 있으므로 \\( n \\) 가지 경우가 있다.", "곱의 법칙을 적용하면 된다.", "</p><p>순열 \\( { }_{n} \\mathrm{P}_{r} \\) 에서는 \\( n \\geqq r \\) 이어야 하지만, 중복순열 \\( { }_{n} \\Pi_{r} \\) 에서는 \\( n<r \\) 인 경우도 가능하다.", "서로 다른 공 \\( r \\)개를 빠짐없이 서로 다른 상자 \\( n \\) 개에 넣는 경우의 수는 중복순열의 수 \\( { }_{n} \\Pi_{r}=n^{\\top} \\) 과 같다.", "</p><h2>4. 원순열</h2><p>서로 다른 \\( n \\)개를 원형으로 배열하는 순열을 원순열이라 하고 이 원순열의 수는 \\[ (n-1)! \\] 이다. \\", "( \\because \\) 서로 다른 \\( n \\) 개를 선형으로 배열하는 순열의 수 \\( n ! \\)", "중에서 \\( n \\)개가 원순열에서는 같은 것으로 취급되므로 구하는 원순열의 수는 \\( \\frac{n !}{n}=(n-1) ! \\)", "</p> <h2>5. 같은 것이 있는 순열</h2><p>\\( n \\)개 중에서 같은 것이 각각 \\( p \\) 개, \\( q \\) 개, \\( \\cdots, r \\) 개 있을 때, 이들 \\( n \\) 개를 모두 일렬로 배열하는 순열의 수는 \\[ \\frac{n !}{p ! q ! \\cdots r !} \\text { (단, } p+q+\\cdots+r=n \\text { ) } \\]", "\\( \\because p \\) 개의 \\( A, q \\) 개의 \\( B, \\cdots, r \\) 개의 \\( C \\) 를 모두 다른 문자 \\( A_{1}, \\cdots, A_{p}, B_{1}, \\cdots, B_{q}, \\cdots \\), \\( C_{1}, \\cdots, C_{r} \\) 로 생각하면 모두 일렬로 배열하는 순열의 수는 \\( n ! \\) 이다.", "이런 순열 중에서 문자 \\( A_{1}, \\cdots, A_{p} \\) 를 서로 바꾸어 만든 \\( p! \\)", "개의 순열은 구하는 순열에서 모두 같게 되므로 나누면 되고 이것은 다른 문자의 경우도 마찬가지이다.", "</p><h3>예제 \\( 1 . \\)</h3><p>다섯 개의 숫자 \\( 0,1,2,3,4 \\)를 사용하여 다음 조건의 자연수를 만드는 방법의 수를 구하시오.", "</p><ol type=1 start=1><li>서로 다른 세 숫자를 사용하여 만든 세 자리 자연수</li><li>서로 다른 세 숫자를 사용하여 만든 세 자리 홀수</li></ol><p>(풀이)</p><p>\\((1)\\) 백의 자리에는 0을 제외한 \\( 1,2,3,4 \\) 증 1 개의 숫자를 택하고, 나머지 십의 자리, 일의 자리에는 백의 자리에서 사용한 숫자를 제외한 나머지 4 개의 숫자 증 2 개를 증복되지 않게 택하여 일렬로 나열하는 것이므로 \\[ 4 \\times{ }_{4} P_{2}=4 \\times 4 \\times 3=48 \\]</p><p>\\((2)\\) 세 자리의 수가 홀수가 되려면 일의 자리의 숫자가 \\(1\\) 또는 \\(3\\) 이어야 한다.", "</p><ol type=i start=1><li>일의 자리의 숫자가 \\(1\\) 인 경우 : 백의 자리에는 \\(0,1\\) 을 제외한 \\( 2,3,4 \\) 중 \\(1\\) 개의 숫자를 택하고, 십의 자리에는 백의 자리에서 사용한 숫자와 \\(1\\) 을 제외한 나머지 \\(3\\) 개의 숫자 중 \\(1\\) 개를 택하여 일렬로 나열하는 것이므로 \\( 3 \\times{ }_{3} P_{1}=3 \\times 3=9 \\)</li><li>일의 자리의 숫자가 \\(3\\) 인 경우 : (i)의 경우와 같이 \\( 3 \\times{ }_{3} \\mathrm{P}_{1}=3 \\times 3=9 \\) 따라서 구하는 방법의 수는 \\( 9+9=18 \\)</li></ol> <h3>예제 \\( 5 . \\)</h3><p>어떤 사회봉사센터에서는 다음과 같은 \\(4\\) 가지 봉사활동 프로그램을 매일 운영하고 있다.", "</p><table border><caption>봉사활동 시간</caption><tbody><tr><td>프로그램</td><td>A</td><td>B</td><td>C</td><td>D</td></tr><tr><td>봉사활동 시간</td><td>\\(1\\)시간</td><td>\\(2\\)시간</td><td>\\(3\\)시간</td><td>\\(4\\)시간</td></tr></tbody></table><p>철수는 이 사회봉사센터에서 \\(5\\)일간 매일 하나씩의 프로그램에 참여하여 다섯 번의 봉사활동 시간 합계가 \\(8\\)시간이 되도록 아래와 같은 봉사활동 계획서를 작성하려고 한다.", "작성할 수 있는 봉사할동 계획서의 가짓수는?", "</p><ol type=1 start=1><li>\\(47\\)</li><li>\\(44\\)</li><li>\\(41\\)</li><li>\\(38\\)</li><li>\\(35\\)</li></ol><p>(풀이)</p><p>\\( 4,1,1,1,1 \\) 의 경우 \\( \\frac{5 !}{4 !}=5 \\)가지</p><p>\\( 3,2,1,1,1 \\) 의 경우 \\( \\frac{5 !}{3 !}=20 \\)가지</p><p>\\( 2,2,2,1,1 \\) 의 경우 \\( \\frac{5 !}{3 ! 2 !}=10 \\)가지</p><p>따라서 구하는 가짓수는 \\( 5+20+10=35 \\) 답은 \\((5)\\)</p><h3>예제 \\( 6 . \\)</h3><p>여섯 개의 문자 \\( A, A, B, B, C, C \\) 를 일렬로 나열할 때, 같은 문자가 이웃하지 않도록 나열하는 방법의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이\\(1\\))</p><p>같은 문자가 이웃하지 않도록 나열하기 위해 첫 번째와 두 번째에 \\( A, B \\) 를 배열하는 경우는 다음과 같이 \\(5\\)가지이다.", "</p><p>\\( A-B-A-C-B-C, A-B-C-A-B-C, A-B-C-A-C-B, A-B-C-B-A-C, A-B-C-C-A\\)</p><p>맨 앞에 놓이는 두 문자를 배열하는 경우의 수는 \\( { }_{3} \\mathrm{P}_{2} \\) 이므로 구하는 경우의 수는 \\[ { }_{3} P_{2} \\times 5=6 \\times 5=30 \\]</p><p>(풀이\\(2\\))</p><p>\\( A, A \\) 가 이웃하는 경우의 집합을 \\( P, B, B \\) 가 이웃하는 경우의 집합을 \\( Q, C, C \\) 가 이웃 하는 경우의 집합을 \\( R \\) 라 하자.", "구하는 경우의 수는 \\[ | P^{c} \\cap Q^{c} \\cap R^{c}|=\\frac{6 !}{2 ! 2 ! 2 !}-\\frac{5 !}{2 ! 2 !} \\times 3+\\frac{4 !}{2 !} \\times 3-3 !=90-90+36-6=30 \\]</p><h3>참고.", "</h3><p>여섯 개의 문자 \\( A, A, B, B, C, D \\) 를 일렬로 나열할 때, 같은 문자가 이웃하지 않도록 나열하는 방법의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이)</p><p>\\( A, A \\) 가 이웃하는 경우의 집합을 \\( P, B, B \\) 가 이웃하는 경우의 집합을 \\( Q \\) 라 하자.", "구하는 경우의 수는 \\[ | P^{c} \\cap Q^{c}|=\\frac{6 !}{2 ! 2 !}-\\frac{5 !}{2 !} \\times 2+4 !=180-120+24=84 \\]</p> <h3>예제 \\(9\\).", "</h3><p>\\(1\\)과 \\(1000\\)사이에 있는 정수로 꼭 한 숫자만 \\(5\\)인 정수의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이\\(1\\))</p><p>조건을 만족하는 집합 \\( S \\)는 다음과 같은 분할 \\( S_{1}, S_{2}, S_{3} \\)을 가진다.", "즉 \\[ \\begin{array}{l} S_{1}=\\{5\\}, \\\\ S_{2}=\\{\\times 5,5 \\times\\}, \\\\ S_{3}=\\{\\times \\times 5, \\times 5 \\times, 5 \\times \\times\\}, \\end{array} \\] 그런데\\[ \\begin{array}{l} \\left|S_{1}\\right|=1 \\\\ \\left|S_{2}\\right|=8+9=17, \\\\ \\left|S_{3}\\right|=8 \\times 9 \\times 2+9^{2}=225, \\end{array} \\] 이므로 구하는 답은 \\[ |S|=\\left|S_{1}\\right|+\\left|S_{2}\\right|+\\left|S_{3}\\right|=243 \\]</p><p>(풀이\\(2\\))</p><p>\\(1\\)과 \\(1000\\)사이에 있는 정수에서 \\(5\\)를 \\(005\\)로, \\(25\\)를 \\(025\\)로 간주하자.", "조건을 만족하는 집합 \\( S \\)의 원소는 모두 세 자리 수로 간주된다. \\", "( S_{i}^{\\prime} \\) 을 \\( i \\) 번째 자리에 \\(5\\)가 있는 \\( S \\)의 부분집합이라 하면, \\( S \\) 는 \\( S_{1}^{\\prime}, S_{2}^{\\prime}, S_{3}^{\\prime} \\) 으로 분할된다.", "각 \\( S_{i}^{\\prime} \\) 은 \\( 9 \\times 9=81 \\) 개의 원소를 가지므로 \\( S\\)에 있는 원소의 개수는 \\(3 \\times 81=243 \\)</p><h3>예제 \\(10\\).", "</h3><p>\\( \\{1,2,3,4,5,6,7\\} \\) 에서 각 자리수가 다르고, \\(5\\)와 \\(6\\)이 이웃하지 않는 \\(4\\)자리의 수의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이\\(1\\))</p><p>\\( \\{1,2, \\cdots, 7\\} \\) 에서 각 자리수가 다른 \\(4\\)자리의 수에 대한 경우의 수는 \\( \\mathrm{P}(7,4) \\) 이다.", "그 중에서 \\(56\\)이나 \\(65\\)가 나타나는 경우의 수를 제외시키면 되므로 \\(5\\)와 \\(6\\)을 제외한 \\(5\\)개의 수에서 \\(2\\)개를 뽑아 나열하고 \\(56\\)이나 \\(65\\)를 그 사이나 가장자리에 늫으면 된다.", "즉, 구하는 답은 \\[ { }_{7} P_{4}-{ }_{5} P_{2} \\times 3 \\times 2=720 \\]</p><p>(풀이\\(2\\))</p><p>다음 세 가지 경우로 나누어 생각하자.", "<ol type=i start=1><li>\\(5\\)와 \\(6\\)이 나타나지 않는 경우 : 구하는 경우의 수는 \\( { }_{5} \\mathrm{P}_{4}=120 \\)</li><li>\\(5\\)나 \\(6\\)중에 하나만 나타나는 경우: 예를 들어, \\(5\\)만 나타나는 경우, \\(5\\)개의 수 에서 \\(3\\)개를 뽑아 나열하고 \\(5\\)를 그 사이나 가장자리에 늫으면 된다.", "따라서 구하는 경우의 수는 \\[ 2 \\times{ }_{5} \\mathrm{P}_{3} \\times 4=480 \\]</li><li>\\(5\\)와 \\(6\\)이 둘 다 나타나는 경우 : 먼저 \\(5\\)와 \\(6\\)을 제외한 \\(5\\)개의 수에서 \\(2\\)개를 뽑아 나열하고 \\(5\\)와 \\(6\\)을 이웃하지 않게 그 사이나 가장자리에 늫으면 된다.", "따라서 구하는 경우의 수는 \\( { }_{5} \\mathrm{P}_{2} \\times 3 \\times 2=120 \\)</li></ol>그러므로 구하는 경우의 수는 \\[ 120+480+120=720\\]</p> <p>44. 자연수 \\( n, k \\) 가 \\( n>k \\) 일 때 다음을 보이시오. \\", "[ { }_{n} \\mathrm{P}_{k}={ }_{n-1} \\mathrm{P}_{k}+k \\times{ }_{n-1} \\mathrm{P}_{k-1} \\]</p><p>45. 세 자리 자연수 중에서 숫자 \\(0\\)과 \\(5\\)를 각각 적어도 하나 포함하는 자연수의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(35\\)</p><p>참고로, 네 자리 자연수 중에서 숫자 \\(0\\)과 \\(5\\)를 각각 적어도 하나 포함하는 자연수의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(703\\)</p><p>46. 같은 숫자가 연속으로 나오지 않는 \\( n \\)자리 자연수의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\( 9^{n} \\)</p><p>47. 동일한 빨간색 공 \\(4\\)개와 동일한 파란색 공 \\(4\\)개를 원형으로 배열하는 경우의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(10\\)</p><p>48. 다음을 만족하는 다섯 자리 자연수의 개수를 구하시오.", "(가) 각 자리수는 \\( 0,1,2,3 \\) 중 하나이다. (나)", "각 자리수의 합이 짝수이다.", "</p><p>(풀이) \\(384\\)</p><p>참고로, 다음을 만족하는 다섯 자리 자연수의 개수를 구하시오.", "(가) 각 자리수는 \\( 0,1,2 \\) 중 하나이다. (나)", "각 자리수의 합이 짝수이다.", "</p><p>(풀이) \\(81\\)</p><p>참고로, 다음을 만족하는 다섯 자리 자연수의 개수를 구하시오.", "(가) 각 자리수는 \\( 0,1,2,3,4 \\) 중 하나이다. (나)", "각 자리수의 합이 짝수이다.", "</p><p>(풀이) \\(1250\\)</p><p>49. \\(8\\)명을 \\(3\\)개의 방 \\( A, B, C \\)에 각각 \\(2\\)명, \\(3\\)명, \\(3\\)명씩 투숙시키는 방법의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(560\\)</p> <p>참고로, 전체집합이 \\( U=\\{1,2,3,4,5,6\\} \\) 일 때, \\( A \\subset B \\) 가 되도록 \\( U \\) 의 두 부분집합 \\( A, B \\) 를 결정하는 방법의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(729\\)</p><p>참고로, 전체집합이 \\( U=\\{1,2,3,4,5,6\\} \\) 일 때, \\( A \\subset B \\) 가 되도록 \\( U \\) 의 서로 다른 두 부분집합 \\( A, B \\) 를 결정하는 방법의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(665\\)</p><p>33. \\(1\\)부터 \\(6\\)까지의 수가 쓰여 있는 한 개의 주사위를 \\(4\\)회 던져서 나오는 숫자를 차례로 \\( a, b, c, d \\)라 할 때, \\( (a-b)(b-c)(c-d)=0 \\)이 되는 경우의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(546\\)</p><p>34. \\( 221,444,135 \\)와 같이 각 자리 수에 짝수는 중복이 허락되지만 홀수는 중복이 허락되지 않는 세 자리의 자연수의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(765\\)</p><p>35. \\( 1,2,3,4,5,6 \\)을 한 번씩만 사용하여 만들 수 있는 여섯 자리 자연수 증에서 일의 자리의 수와 백의 자리의 수가 모두 \\(3\\)의 배수인 자연수의 개수를 구하시오.", "<caption>[2005년 6월 평가원]</caption></p><p>(풀이) \\(48\\)</p><p>36. 다섯 개의 문자 \\( a, b, c, d, e \\)를 사전식으로 배열할 때, 다음 물음에 답하시오.", "(1) bdaec는 몇 번째로 나타나는지 구하시오.", "(2) 100번째 있는 단어는 무엇인지 구하시오.", "</p><p>(풀이) (1) \\(38\\) (2) \\( e a c d b \\)</p><p>37. \\(4\\)명의 사무원이 \\(4\\)대의 컴퓨터를 각각 \\(1\\)대씩 사용하여 작업을 한 다음 서로 자리를 바꾸어 다른 사람이 한 작업을 검증하기로 할 때, 가능한 모든 방법의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(216\\)</p><p>38. 초등학생 \\(2\\)명, 중학생 \\(2\\)명, 고등학생 \\(2\\)명을 일렬로 세울 때, 초등학생 \\(2\\)명은 이웃하고, 중학생 \\(2\\)명은 이웃하지 않도록 세우는 방법의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(144\\)</p><p>39. (1) \\(100\\) 이하의 자연수 중에서 짝수이거나 \\(4\\)로 나누어 나머지가 \\(1\\)인 자연수의 개수를 구하시오.", "(2) \\(100\\)이하의 자연수 중에서 짝수이거나 \\(3\\)으로 나누어 나머지가 \\(1\\)인 자연수의 개수를 구하시오.", "(3) \\(100\\)이하의 자연수 중에서 \\(30\\)과 서로소인 자연수의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) (1) \\( 50+25=75 \\) (2) \\( 50+34-17=67 \\) (3) \\( 100-(50+33+20)+(16+6+10)-3=26 \\)</p><p>40. 문자 \\( a, b, c, d, e \\)를 일렬로 나열할 때 \\( a \\) 와 \\( b \\) 가 서로 이웃하지 않는 경우의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(72\\)</p><p>41. 서로 다른 \\(3\\)개의 주사위를 던질 때 나오는 수 중 가장 큰 수가 가장 작은 수의 두 배가 되는 경우의 수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(36\\)</p><p>42. (1) 숫자 \\( 3,4,4,5,5,6,7,7,7 \\)에서 \\(1\\)개 이상 뽑아 곱할 때 얻어지는 서로 다른 수의 개수를 구하시오.", "(2) 숫자 \\( 1,3,5,10,20,50,90 \\)에서 \\(1\\)개 이상 뽑아 합할 때 얻어지는 서로 다른 수의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) (1) \\(143\\) (2) \\(127\\)</p><p>43. 숫자 \\( 1,2,3,4,5 \\)에서 증복을 허락하여 세 수를 뽑아 세 자리 수를 만들 때, \\(4\\)의 배수의 개수를 구하시오.", "</p><p>(풀이) \\(25\\)</p> <h1>제 \\(1\\) 장 순열(Permutation)</h1><p>이 장에서는 이산수학에서 개수를 세는데 있어 가장 기본이 되는 순열, 중복순열, 원순열, 같은 것이 있는 순열에 대해 알아본다.", "</p><h2>1. 경우의 수</h2><p>같은 조건 아래에서 몇 번이고 반복할 수 있으며 그 결과가 우연에 의하여 결정되는 실험이나 관찰을 시행이라 하고, 이 시행의 결과를 사건이라 한다.", "어떤 사건이 일어날 수 있는 모든 경우의 가지 수를 그 사건의 경우의 수라 하고, 어떤 사건의 경우의 수를 구할 때에는 빠짐없이, 중복되지 않게 구해야 한다.", "</p><p>다음 개념은 전체가 그 부분들의 합과 같다는 사실을 수학적으로 표현한 것이다.", "</p><p>집합 \\( S \\) 의 부분집합 \\( S_{1}, S_{2}, \\cdots, S_{m} \\) 이 다음 세 가지 조건을 만족합 때, \\( S_{1}, S_{2}, \\cdots, S_{m} \\) 을 \\( S \\) 의 분할(partition)이라 한다.", "<ol type=i start=1><li>\\( S \\) 의 각 원소가 단 하나의 \\( S_{i} \\) 에 속한다.", "</li><li>\\( S=S_{1} \\cup \\cdots \\cup S_{m} \\)</li><li>\\( S_{i} \\cap S_{j}=\\varnothing \\quad(i \\neq j) \\)</li></ol>그리고 각각의 \\( S_{i} \\) 는 분할의 부분(parts)이라 한다.", "</p><p>합의 법칙(Addition Principle) :</p><p>집합 \\( S \\) 의 부분집합 \\( S_{1}, S_{2}, \\cdots, S_{m} \\) 이 \\( S \\) 의 분할일 때, \\[ |S|=\\left|S_{1}\\right|+\\left|S_{2}\\right|+\\cdots+\\left|S_{m}\\right| \\]</p><p>다음 법칙은 두 집합에 대해 기술했지만 유한 개의 집합으로 확장될 수 있다.", "</p><p>곱의 법칙(Multiplication Principle):</p><p>\\( S=\\{(a, b): a \\in P, b \\in Q,|P|=p,|Q|=q\\} \\) 일 때, \\[|S|=p q\\]</p><p>참고로, 곱의 법칙은 합의 법칙으로부터 유도된다. \\", "( a_{1}, \\cdots, a_{p} \\) 를 \\( P \\) 의 원소라 하자.", "그리고 \\( S_{i}=\\left\\{\\left(\\mathrm{a}_{\\mathrm{i}}, \\mathrm{b}\\right): \\mathrm{b} \\in \\mathrm{Q}\\right\\} \\) 로 놓으면, \\( S_{1}, \\cdots, S_{p} \\) 는 \\( S \\)의 분할이다.", "따라서 합의 법칙에 의해 \\[ |S|=\\left|S_{1}\\right|+\\cdots+\\left|S_{p}\\right|=p q \\]</p><p>두 사건 \\( A, B \\) 가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 \\( A, B \\) 가 일어나는 경우의 수가 각각 \\( m, n \\) 가지이면, 사건 \\( A \\) 또는 사건 \\( B \\) 가 일어나는 경우의 수는 \\( m+n \\) 가지이다.", "이를 합의 법칙이라 하고, 집합으로 표시하면 \\[ n(A \\cup B)=n(A)+n(B) \\] 일반적으로 \\( n(A \\cup B)=n(A)+n(B)-n(A \\cap B) \\)</p><p>만약 세 사건 \\( A, B, C \\) 에 대하여 어떤 두 사건도 동시에 일어나지 않는 경우, \\[ n(A \\cup B \\cup C)=n(A)+n(B)+n(C) \\] 일반적으로 \\( n(A \\cup B \\cup C)=n(A)+n(B)+n(C) \\) \\[-n(A \\cap B)-n(B \\cap C)-n(C \\cap A)+n(A \\cap B \\cap C) \\]</p><p>두 사건 \\( A, B \\) 에 대하여 사건 \\( A, B \\) 가 일어나는 경우의 수가 각각 \\( m, n \\) 가지이면, 두 사건 \\( A, B \\) 가 잇달아 일어나는 경우의 수는 \\( m \\times n \\) 가지이다.", "이를 곱의 법칙이라 한다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "412", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "수학교재연구:이산수학_순열", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-6aec-4124-a8df-ae3c9aa011a2", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788988615591", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2019", "doc_author": [ "윤영진" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>5.3. 삼각함수의 기본성질</h1><p>정리 5.3.1 임의의 각 \\( \\theta \\) 에 대하여 다음 식이 성립한다.", "<ol type= start=1><li>\\( \\sin ^{2} \\theta+\\cos ^{2} \\theta=1 \\)</li><li>\\( 1+\\tan ^{2} \\theta=\\sec ^{2} \\theta \\)</li><li>\\( 1+\\cot ^{2} \\theta=\\csc ^{2} \\theta \\)</p><ol type= start=1></li></ol><p>증명</p><ol type= start=1><li>\\( \\sin \\theta=\\frac{y}{r}, \\cos \\theta=\\frac{x}{r} \\) 이므로 \\[ \\begin{aligned} \\sin ^{2} \\theta+\\cos ^{2} \\theta &=\\left(\\frac{x}{r}\\right)^{2}+\\left(\\frac{y}{r}\\right)^{2} \\\\ &=\\frac{x^{2}+y^{2}}{r^{2}}=\\frac{r^{2}}{r^{2}}=1 \\end{aligned} \\]</li><li>\\( \\sin ^{2} \\theta+\\cos ^{2} \\theta=1 \\) 의 양변을 \\( \\cos ^{2} \\theta \\) 으로 나누면 \\[ \\frac{\\sin ^{2} \\theta}{\\cos ^{2} \\theta}+1=\\frac{1}{\\cos ^{2} \\theta} \\] 이 되고 \\( 1+\\left(\\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}\\right)^{2}=\\left(\\frac{1}{\\cos \\theta}\\right)^{2} \\), 즉 \\[ 1+\\tan ^{2} \\theta=\\sec ^{2} \\theta \\] 이다.", "</li><li>\\( \\sin ^{2} \\theta+\\cos ^{2} \\theta=1 \\) 의 양변을 \\( \\sin ^{2} \\theta \\) 으로 나누면 \\[ 1+\\frac{\\cos ^{2} \\theta}{\\sin ^{2} \\theta}=\\frac{1}{\\sin ^{2} \\theta} \\] 이 되고 \\( 1+\\left(\\frac{\\cos \\theta}{\\sin \\theta}\\right)^{2}=\\left(\\frac{1}{\\sin \\theta}\\right)^{2} \\), 즉 \\[ 1+\\cot ^{2} \\theta=\\csc ^{2} \\theta \\] 이다.", "</li></ol><p>주의 \\( (\\sin \\theta)^{n} \\) 을 \\( \\sin ^{n} \\theta \\) 으로 표시하고 이는 \\( \\sin \\theta^{n} \\) 과 다르다.", "즉, \\( (\\sin \\theta)^{2}=\\sin ^{2} \\theta \\) 이고 \\( \\sin ^{2} \\theta \\neq \\sin \\theta^{2} \\) 이다.", "</p><p>예제 5.3.1 \\( \\sin \\theta-\\cos \\theta=\\frac{1}{3} \\) 일 때 다음 식의 값을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\tan \\theta+\\cot \\theta \\)</li><li>\\( \\cos ^{3} \\theta-\\sin ^{3} \\theta \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type= start=1><li>\\( \\sin \\theta-\\cos \\theta=\\frac{1}{3} \\) 의 양변을 제곱하면 \\[ \\sin ^{2} \\theta+\\cos ^{2} \\theta-2 \\sin \\theta \\cos \\theta=\\frac{1}{9} \\] 이므로 \\( \\sin \\theta \\cos \\theta=\\frac{4}{9} \\) 이다.", "따라서 \\[ \\tan \\theta+\\cot \\theta=\\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}+\\frac{\\cos \\theta}{\\sin \\theta}=\\frac{\\sin ^{2} \\theta+\\cos ^{2} \\theta}{\\sin \\theta \\cos \\theta}=\\frac{1}{\\sin \\theta \\cos \\theta}=\\frac{9}{4} . \\]", "</li><li>\\( \\begin{aligned} \\cos ^{3} \\theta-\\sin ^{3} \\theta &=-\\left(\\sin ^{3} \\theta-\\cos ^{3} \\theta\\right) \\\\ &=-(\\sin \\theta-\\cos \\theta)\\left(\\sin ^{2} \\theta+\\sin \\theta \\cos \\theta+\\cos ^{2} \\theta\\right) \\\\ &=-\\frac{1}{3} \\times\\left(1+\\frac{4}{9}\\right)=-\\frac{13}{27} \\end{aligned} \\)</li></ol><p>유제 5.3.1 \\( \\tan \\theta+\\cot \\theta=2 \\) 일 때 다음 값을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\sin \\theta \\cos \\theta \\)</li><li>\\( \\frac{\\csc \\theta}{\\sec \\theta-\\tan \\theta}+\\frac{\\csc \\theta}{\\sec \\theta+\\tan \\theta} \\)</li></ol><p>정의 5.3.2 함수 f 가 겅의역 안의 모든 x 에 대하여 \\[ f(x+p)=f(x) \\] 를 만족하는 양수 p 가 존재하면 f 를 주기함수라 하고 이러한 상수 p 의 값 중에서 최소인 양수를 이 함수의 주기라 한다.", "</p><p>삼각함수는 이러한 성질을 만족하는 주기함수이다.", "</p><p>정리 5.3.3 임의의 각 \\( \\theta \\) 와 정수 n 에 대하여 \\[ \\begin{array}{l} \\sin (\\theta+2 n \\pi)=\\sin \\theta \\\\ \\cos (\\theta+2 n \\pi)=\\cos \\theta \\\\ \\tan (\\theta+n \\pi)=\\tan \\theta \\end{array} \\] 이다.", "따라서 사인함수와 코사인함수는 주기가 \\( 2 \\pi \\) 인 주기함수이고 탄젠트함수는 주기가 \\( \\pi \\) 인 주기함수이다.", "</p><p>증명 중심각 \\( \\theta \\) 와 \\( \\theta+2 n \\pi \\) 는 같은 동경을 나타내므로 \\[ \\sin (\\theta+2 n \\pi)=\\sin \\theta, \\quad \\cos (\\theta+2 n \\pi)=\\cos \\theta \\] 이다.", "또한 각 \\( \\theta \\) 가 나타내는 동경 위의 좌표를 \\( (x, y) \\) 라 할 때, 각 \\( \\theta+\\pi \\) 가 나타내는 동경 위의 좌표는 \\( (-x,-y) \\) 이다.", "따라서 \\[ \\tan (\\theta+\\pi)=\\frac{-y}{-x}=\\frac{y}{x}=\\tan \\theta \\] 이다.", "</p><p>정의 5.3.4 함수 \\( f \\) 의 정의역 내의 모든 \\( x \\) 에 대하여 \\[ f(-x)=f(x) \\] 이면 함수 \\( f \\) 를 우함수라 하고, \\[ f(-x)=-f(x) \\] 이면 함수 \\( f \\) 를 기함수라 한다.", "</p><p>우함수는 \\( x \\) 에서의 함숫값과 \\( -x \\) 에서의 함숫값이 같음로 그래프는 \\( y \\) 축에 대하여 대칭이 되고, 기함수는 \\( -x \\) 에서의 함숫값과 \\( x \\) 에서의 함숫값의 부호를 바꾼 것이므로 그래프는 원점에 대하여 대칭이 된다.", "</p><p>정리 5.3.5 임의의 각 \\( \\theta \\) 에 대하여 \\[ \\begin{array}{l} \\sin (-\\theta)=-\\sin \\theta \\\\ \\cos (-\\theta)=\\cos \\theta \\\\ \\tan (-\\theta)=-\\tan \\theta \\end{array} \\] 이다.", "따라서 코사인함수는 우함수이고 사인함수와 탄젠트함수는 기함수이다.", "</p> <p>정리 5.6.3 배각공식<ol type= start=1><li>\\( \\sin 2 \\alpha=2 \\sin \\alpha \\cos \\alpha \\)</li><li>\\( \\cos 2 \\alpha=\\cos ^{2} \\alpha-\\sin ^{2} \\alpha=2 \\cos ^{2} \\alpha-1=1-2 \\sin ^{2} \\alpha \\)</li><li>\\( \\tan 2 \\alpha=\\frac{2 \\tan \\alpha}{1-\\tan ^{2} \\alpha} \\)</li></ol></p><p>예제 5.6 .5 \\( \\frac{\\pi}{2}<x<\\pi \\) 이고 \\( \\sin x=\\frac{2}{3} \\) 일 때, \\( \\sin 2 x, \\cos 2 x, \\tan 2 x \\) 의 값을 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( \\frac{\\pi}{2}<x<\\pi \\) 에서 \\( \\cos x<0 \\) 이므로 \\[ \\cos x=-\\sqrt{1-\\sin ^{2} x}=-\\sqrt{1-\\frac{4}{9}}=-\\frac{\\sqrt{5}}{3} \\] 이다.", "따라서 \\[ \\begin{array}{l} \\sin 2 x=2 \\sin x \\cos x=2 \\cdot \\frac{2}{3} \\cdot\\left(-\\frac{\\sqrt{5}}{3}\\right)=-\\frac{4 \\sqrt{5}}{9}, \\\\ \\cos 2 x=2 \\cos ^{2} x-1=2 \\cdot\\left(-\\frac{\\sqrt{5}}{3}\\right)^{2}-1=\\frac{1}{9}, \\\\ \\tan 2 x=\\frac{\\sin 2 x}{\\cos 2 x}=-4 \\sqrt{5} \\end{array} \\]</p><p>유제 5.6.5 \\( \\frac{\\pi}{2}<x<\\pi \\) 이고 \\( \\sin x=\\frac{4}{5} \\) 일 때, \\( \\sin 2 x, \\cos 2 x, \\tan 2 x \\) 의 값을 구하여라.", "</p><p>예제 5.6.6 다음 식을 증명하여라. \\", "[ \\sin 3 \\alpha=3 \\sin \\alpha-4 \\sin ^{3} \\alpha \\]</p><p>\\( \\begin{aligned}증명 \\sin 3 \\alpha=\\sin (2 \\alpha+\\alpha) &=\\sin 2 \\alpha \\cos \\alpha+\\cos 2 \\alpha \\sin \\alpha \\\\ &=2 \\sin \\alpha \\cos \\alpha \\cdot \\cos \\alpha+\\left(1-2 \\sin ^{2} \\alpha\\right) \\cdot \\sin \\alpha \\\\ &=2 \\sin \\alpha \\cdot\\left(1-\\sin ^{2} \\alpha\\right)+\\left(1-2 \\sin ^{2} \\alpha\\right) \\sin \\alpha \\\\ &=3 \\sin \\alpha-4 \\sin ^{3} \\alpha \\end{aligned} \\)</p><p>유제 5.6.6 다음 식을 증명하여라. \\", "[ \\cos 3 \\alpha=4 \\cos ^{3} \\alpha-3 \\cos \\alpha \\]</p><p>정리 5.6.4 반각공식<ol type= start=1><li>\\( \\sin ^{2} \\frac{\\alpha}{2}=\\frac{1-\\cos \\alpha}{2} \\)</li><li>\\( \\cos ^{2} \\frac{\\alpha}{2}=\\frac{1+\\cos \\alpha}{2} \\)</li><li>\\( \\tan ^{2} \\frac{\\alpha}{2}=\\frac{1-\\cos \\alpha}{1+\\cos \\alpha} \\)</li></ol></p><p>증명</p><ol type= start=1><li>배각공식 \\( \\cos 2 x=1-2 \\sin ^{2} x \\) 에서 \\( 2 x=\\alpha \\) 로 놓으면 \\[ \\cos \\alpha=1-2 \\sin ^{2} \\frac{\\alpha}{2} \\] 을 얻고 따라서 \\[ \\sin ^{2} \\frac{\\alpha}{2}=\\frac{1-\\cos \\alpha}{2} \\]</li><li>배각공식 \\( \\cos 2 x=2 \\cos ^{2} x-1 \\) 에서 \\( 2 x=\\alpha \\) 로 놓으면 \\[ \\cos \\alpha=2 \\cos ^{2} \\frac{\\alpha}{2}-1 \\] 을 얻고 따라서 \\[ \\cos ^{2} \\frac{\\alpha}{2}=\\frac{1+\\cos \\alpha}{2} \\]</li><li>\\( \\tan ^{2} \\frac{\\alpha}{2}=\\frac{\\sin ^{2} \\frac{\\alpha}{2}}{\\cos ^{2} \\frac{\\alpha}{2}}=\\frac{1-\\cos \\alpha}{1+\\cos \\alpha} \\)</li></ol> <table border><tbody><tr><td>삼각함수 \\ 각</td><td>0</td><td>\\( \\frac{\\pi}{6} \\)</td><td>\\( \\frac{\\pi}{4} \\)</td><td>\\( \\frac{\\pi}{3} \\)</td><td>\\( \\frac{\\pi}{2} \\)</td><td>\\( \\frac{2}{3} \\pi \\)</td><td>\\( \\frac{3}{4} \\pi \\)</td><td>\\( \\frac{5}{6} \\pi \\)</td><td>\\( \\pi \\)</td></tr><tr><td>\\( \\sin \\theta \\)</td><td>0</td><td>\\( \\frac{1}{2} \\)</td><td>\\( \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\)</td><td>\\( \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\)</td><td>1</td><td>\\( \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\)</td><td>\\( \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\)</td><td>\\( \\frac{1}{2} \\)</td><td>0</td></tr><tr><td>\\( \\cos \\theta \\)</td><td>1</td><td>\\( \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\)</td><td>\\( \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\)</td><td>\\( \\frac{1}{2} \\)</td><td>0</td><td>\\( -\\frac{1}{2} \\)</td><td>\\( -\\frac{1}{\\sqrt{2}} \\)</td><td>\\( -\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\)</td><td>\\( -1 \\)</td></tr><tr><td>\\( \\tan \\theta \\)</td><td>0</td><td>\\( \\frac{1}{\\sqrt{3}} \\)</td><td>1</td><td>\\( \\sqrt{3} \\)</td><td></td><td>\\( -\\sqrt{3} \\)</td><td>-1</td><td>\\( -\\frac{1}{\\sqrt{3}} \\)</td><td>0</td></tr></tbody></table><p>각 \\( \\theta \\) 를 나타내는 동경 O P에 대하여 P 의 좌표를 \\((x, y), \\overline{O P}=r(r>0) \\) 이라 하면 삼각함수 값의 부호는 동경 O P 의 길이 r 는 양수이므로 각 \\( \\theta \\) 의 동경이 위치하는 사분면에 따라 다음 표의 같이 정해진다.", "</p><table border><tbody><tr><td>삼각함수 \\ 사분면</td><td>제1사분면</td><td>제2사분면</td><td>제3사분면</td><td>제4사분면</td></tr><tr><td>\\( \\sin \\theta=\\frac{y}{r}, \\csc \\theta=\\frac{r}{y} \\)</td><td>+</td><td>+</td><td>-</td><td>-</td></tr><tr><td>\\( \\cos \\theta=\\frac{x}{r}, \\sec \\theta=\\frac{r}{x} \\)</td><td>+</td><td>-</td><td>-</td><td>+</td></tr><tr><td>\\( \\tan \\theta=\\frac{y}{x}, \\cot \\theta=\\frac{z}{y} \\)</td><td>+</td><td>-</td><td>+</td><td>-</td></tr></tbody></table><p>예제 5.2.4다음 부동식을 만족하는 각 \\( \\theta \\) 는 몇 사분면의 각인지 말하여라. \\", "[ \\cos \\theta \\cot \\theta<0 \\]</p><p>풀이 \\( \\cos \\theta \\cot \\theta<0 \\) 인 경우는 \\( \\cos \\theta<0 \\) 이고 \\( \\cot \\theta>0 \\), 또는 \\( \\cos \\theta>0 \\) 이고 \\( \\cot \\theta<0 \\) 일 때이므로 \\( \\theta \\) 는 제 3 사분면 또는 제4 사분면의 각이다.", "</p><p>유제 5.2.4 다음 부등식을 만족하는 각 \\( \\theta \\) 는 몇 사분면의 각인지 말하여라. \\", "[ \\sin \\theta \\cos \\theta>0 \\]</p><p>예제 5.2.5 \\( \\theta \\) 가 제 2 사분면의 각이고, \\( \\sin \\theta=\\frac{3}{5} \\) 일 때, \\( \\cos \\theta, \\tan \\theta \\) 의 값을 구하여라.", "</p><p>위 그림에서 다음과 같음을 알 수 있다. \\", "[ \\cos \\theta=-\\frac{4}{5}, \\quad \\tan \\theta=-\\frac{3}{4} \\]</p><p>유제 5.2.5 \\( \\theta \\) 가 제 3 사분면의 각이고 \\( \\tan \\theta=\\frac{4}{3} \\) 일 때, \\( \\sin \\theta, \\cos \\theta \\) 의 값을 구하여라.", "</p> <h1>5장 연습문제</h1><p>01. 동경 OP에 속하는 하나의 각이 다음과 같을 때, OP에 속하는 모든 각을 \\( 0 \\leq \\theta \\) \\( \\leq 2 \\pi \\) 를 만족하는 \\( \\theta \\) 를 사용하여 \\( \\theta+2 n \\pi(n \\) 은 정수)의 꼴로 써라.", "또 \\( -\\pi \\leq \\theta \\leq \\pi \\) 를 만족하는 \\( \\theta \\) 를 사용하여 \\( \\theta+2 n \\pi \\) ( \\( n \\) 은 정수)의 꼴로 써라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\frac{9}{4} \\pi \\)</li><li>\\( -\\frac{3}{4} \\pi \\)</li><li>\\( -\\frac{13}{2} \\pi \\)</li></ol><p>02 .다음 삼각함수의 값을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\sin 445^{\\circ} \\)</li><li>\\( \\tan 300^{\\circ} \\)</li><li>\\( \\cos 120^{\\circ} \\)</li><li>\\( \\sin \\left(-495^{\\circ}\\right) \\)</li><li>\\( \\cos \\frac{11}{6} \\pi \\)</li><li>\\( \\tan \\left(-\\frac{22}{3} \\pi\\right) \\)</li><li>\\( \\sin \\left(-\\frac{19}{3} \\pi\\right) \\)</li><li>\\( \\cos 51 \\pi \\)</li></ol><p>03 . 다음 식의 값을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\sin 80^{\\circ}+\\tan 110^{\\circ}+\\cos 170^{\\circ}+\\cot 200^{\\circ} \\)</li><li>\\( \\tan \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{6}\\right) \\tan \\left(\\theta-\\frac{\\pi}{3}\\right) \\)</li><li>\\( \\sin \\frac{5}{6} \\pi \\sec \\frac{5}{4} \\pi \\csc \\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right) \\cot \\frac{3}{4} \\pi \\)</li></ol><p>04. \\( \\tan \\theta+\\cot \\theta=4\\left(0^{\\circ}<\\theta<90^{\\circ}\\right) \\) 일 때, 다음 값을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\sin \\theta \\cos \\theta \\)</li><li>\\( \\sin \\theta+\\cos \\theta \\)</li><li>\\( \\sin ^{3} \\theta+\\cos ^{3} \\theta \\)</li><li>\\( \\frac{1}{\\sin ^{2} \\theta}+\\frac{1}{\\cos ^{2} \\theta} \\)</li><li>\\( \\tan \\theta+\\frac{1}{\\tan \\theta} \\)</li></ol><p>05 .다음 함수의 최댓값과 최솟값을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( y=\\sin ^{2} x-\\cos x+2 \\)</li><li>\\( y=\\tan ^{2} x-4 \\tan x+2\\left(-\\frac{\\pi}{4}<x<\\frac{\\pi}{4}\\right) \\)</li><li>\\( y=1-|\\cos x-2| \\)</li></ol><p>06 . 다음 그림과 같은 사각형 ABCD에서 \\[ \\begin{array}{l} \\overline{A B}=2, \\overline{B C}=3, \\overline{A D}=1 . \\\\ \\angle A=60^{\\circ}, \\angle C B D=30^{\\circ} \\end{array} \\] 일 때 다음을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>선분 BD의 길이</li><li>사각형 ABCD의 넓이</li></ol>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "기초미적분학_삼각함수", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-65f7-4fc4-9427-909f2d93dc07", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160733600", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2020", "doc_author": [ "김대식", "김윤경" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h2>연습문제 \\( 6.1 \\)</h2><p>\\(1\\). \\", "( u \\) 가 정의역 \\( D \\) 에서 조화적이고 \\( D \\) 안의 어떤 열린 집합 \\( V \\) 안의 모든 점 \\( x+i y \\) 에 대해 \\( u(x, y)=0 \\) 이라 가정하자. \\", "( D \\) 의 모든 점에서 \\( u=0 \\) 임을 증명하라.", "</p><p>\\(2\\).", "증명하거나 반례를 들어라.", "두 실수값 조화함수 \\( u_{0}(x, y) \\) 와 \\( u_{1}(x, y) \\) 가 공통 정의역 \\( \\Omega \\) 안에 있는 한 곡선에서 일치하면 그들은 \\( \\Omega \\) 의 모든 점에서 일치하는가?", "따름정리 \\( 6.4 \\) 와 이 문제와의 관계는 어떻게 설명할 수 있는가?", "</p><p>\\(3\\). \\", "( \\Phi=u+i v \\) 가 영역 \\( D \\) 에서 \\( \\Omega \\) 로의 상수가 아닌 해석함수라 가정하자. \\", "( f \\) 가 \\( \\Omega \\) 에서 매끄러운(즉, \\( f^{\\prime}(z) \\) 가 존재하고 연속이며 \\( f^{\\prime}(z) \\neq 0 \\) 인) 함수이고 \\( g \\) 는 \\( g(z)= \\) \\( f(\\Phi(z)) \\) 로 정의되었다고 하자.", "연쇄법칙을 직접 사용해 \\[ \\frac{\\partial^{2} g}{\\partial x^{2}}+\\frac{\\partial^{2} g}{\\partial y^{2}}=\\left|\\Phi^{\\prime}(x+i y)\\right|^{2}\\left\\{\\frac{\\partial^{2} f}{\\partial u^{2}}+\\frac{\\partial^{2} f}{\\partial v^{2}}\\right\\} \\] 을 보여라. 이것을 이용해 \\( f \\) 가 \\( \\Omega \\) 에서 조화적이면 \\( g \\) 는 \\( D \\) 에서 조화적임을 증명하라. 또한 정리 \\( 6.1 \\) 을 이용해서 두 번째 사실을 직접 증명하라.</p><p>\\(4\\). 함수 \\( p(u, v) \\) 는 \\( w \\)-평면의 영역 \\( \\Omega \\) 에서 연속인 일계와 이계 편도함수를 가지며 다음 푸아송 방정식(Poisson's equation)을 만족한다. \\[ \\frac{\\partial^{2} p(u, v)}{\\partial u^{2}}+\\frac{\\partial^{2} p(u, v)}{\\partial v^{2}}=K(u, v) \\]", "여기서 \\( K(u, v) \\) 는 지정된 함수이다. 연습문제 3 에서 얻은 등식으로부터 해석함수 \\( w=\\Phi(z)=u(x, y)+i v(x, y) \\) 가 영역 \\( D \\) 를 영역 \\( \\Omega \\) 위로 사상하면, 함수 \\( P(x, y)=p(u(x, y), v(x, y))=P(\\Phi(z)) \\) 는 \\( D \\) 에서 다음 푸아송 방정식을 만족함을 증명하라. \\[ \\frac{\\partial^{2} P(x, y)}{\\partial x^{2}}+\\frac{\\partial^{2} P(x, y)}{\\partial y^{2}}=K(u(x, y), v(x, y))\\left|\\Phi^{\\prime}(z)\\right|^{2} \\]", "</p><p>\\(5\\). 함수 \\( u(z) \\) 가 \\( D \\) 에서 조화적이고 \\( D \\) 의 경계 \\( \\gamma \\) 에서 연속이라 하면, \\( u(z) \\) 는 \\( D \\cup \\gamma \\) 에서 반드시 연속이 되겠는가?</p><p>\\(6\\). 식 \\((6.5)\\)를 이용해 정리 \\( 6.4 \\) 를 만들어라. (도움말: \\( \\left|z-z_{0}\\right|<\\delta \\) 에 대해 \\( \\left|u\\left(z_{0}\\right)\\right| \\) 이 \\( |u(z)| \\) 보다 크다면, \\( 0<r<\\delta \\) 일 때, 다음이 성립한다. 무엇이 잘못되었는가? \\[ \\begin{aligned} \\left|u\\left(z_{0}\\right)\\right| &=\\left|\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} u\\left(z_{0}+r e^{i t}\\right) d t\\right| \\leq \\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi}\\left|u\\left(z_{0}+r e^{i t}\\right)\\right| d t \\\\ &\\left.\\leq \\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi}\\left|u\\left(z_{0}\\right)\\right| d t=\\left|u\\left(z_{0}\\right)\\right|\\right) \\end{aligned} \\]</p><p>\\(7\\). \\( \\varphi(x, y)=\\Re\\left\\{\\frac{i+z}{i-z}\\right\\}(z \\neq i) \\) 라 정의하고 \\( \\varphi(0,1)=0 \\) 이라 하자. \\( \\varphi \\) 가 \\( |z|< 1\\) 에서 조화적이고, \\( |z|=1 \\) 에서 \\(0\\) 이며, \\( |z| \\leq 1 \\) 에서 \\( z \\neq i \\) 이면 연속임을 보여라.</p><p>\\(8\\). \\( u(x, y) \\) 를 조화적이고 \\( y>0 \\) 인 모든 \\( x+i y \\) 에 대해 유계라고 하자. 더욱이, \\( y \\geq 0 \\) 인 모든 \\( x+i y \\) 에 대해 \\( u(x, y) \\) 는 연속이고 모든 \\( x \\) 에 대해 \\( u(x, 0)=0 \\) 이라 가정하자. 모든 \\( x+i y \\) 에 대해 \\( u(x, y)=0 \\) 임을 증명하라. \\( u(x, y) \\) 가 유계라는 것은 제거될 수 없음을 예를 들어 증명하라.</p><p>\\(9\\). \\( u(x, y) \\) 가 조화적이고 원반 \\( \\left|z-x_{0}\\right|<\\delta\\left(x_{0}\\right. \\) : 실수 \\( ) \\) 에서 실수값이라 하고, \\( u(x, 0)=0\\left(x_{0}-\\delta<x<x_{0}+\\delta\\right) \\) 이라고 가정하자. \\( u(x, y) \\) 는 \\( u(x, y)= -u(x,-y)\\left(z=x+i y\\right. \\) 이고 \\( \\left.\\left|z-x_{0}\\right|<\\delta\\right) \\) 를 만족함을 증명하라. (도움말 : \\( f(z) \\) 를 원반 \\( \\left|z-x_{0}\\right|<\\delta \\) 에서 \\( f\\left(x_{0}\\right)=0 \\) 이고 \\( u=\\Re f \\) 인 해석함수라 놓자. \\( f(z) \\) 는 \\( \\overline{f(\\bar{z})}=-f(z) \\) 를 만족함을 보여라.)</p><p>\\(10\\). (a) \\( u \\) 를 전평면에서 위로 유계인 실수값 조화함수라 하자. 즉, 모든 \\( z \\) 에 대해 \\( u(z) \\leq M \\) 이다. \\( u \\) 가 상수임을 증명하라.</p><p>(b) \\( u(z) \\) 가 \\( \\mathbb{R}^{2} \\) 에서 조화적이고 \\( u(z)>0 \\) (모든 \\( z \\in \\mathbb{R}^{2} \\) )이면 상수임을 보여라.</p><p>(c) \\( z \\neq 0 \\) 이면 조화적이 되는 함수 \\( \\log |z| \\) 는 \\( \\mathbb{C} \\backslash\\{0\\} \\) 에서는 조화공액을 갖지 않지만 \\( \\mathbb{C} \\backslash(-\\infty, 0]", "\\) 에서는 조화공액을 가짐을 보여라.", "</p> <h2>6.2 조화함수의 적분표현과 디리클레 문제</h2><h3>6.2.1 조화함수의 적분표현</h3><p>\\( f(z) \\) 가 매개변수로서 \\( z \\) 를 포함하는 표현의 적분과 같다면 함수 \\( f \\) 는 적분표현공식을 갖는다.", "완전한 예는 코시 적분공식이다. \\", "[ f(z)=\\frac{1}{2 \\pi i} \\int_{\\gamma} \\frac{f(\\zeta)}{\\zeta-z} d \\zeta \\] 적분표현공식은 경계값 문제를 푸는데 중요한 도구이다.", "이 절에서는 그러한 공식의 두 개의 특별한 그러나 중요한 경우 즉, 원반 \\( \\{z:|z|<1\\} \\) 과 위반평면 \\( \\{z: \\Im z>0\\} \\) 인 경우를 살펴보겠다.", "</p><p>첫째로 \\( u \\) 는 닫힌원반 \\( \\{z:|z| \\leq 1\\} \\) 을 포함하는 어떤 열린집합에서 조화적인 실수값 함수라 하자. \\", "( x^{2}+y^{2}<1 \\) 일 때 \\( u(x, y) \\) 의 값에 대한 식을 유도할 것인데 이는 단지 \\( x^{2}+y^{2}=1 \\) 일 때 \\( u(x, y) \\) 의 값만 이용한다. \\", "( u \\) 가 원점에 중심을 두고 반지름이 \\(1\\) 보다 큰 어떤 원반에서 조화적이므로 이 같은 원반에서 \\( \\Re f=u \\) 가 되는 해석함수 \\( f \\) 가 존재한다.", "따라서 \\( |z|<1 \\) 인 특별한 \\( z \\) 에 대해 두 공식을 갖는다. \\", "[ f(z)=\\frac{1}{2 \\pi i} \\int_{\\Gamma} \\frac{f(\\zeta)}{\\zeta-z} d \\zeta \\]<caption>(6.6)</caption>와 \\[ 0=\\frac{1}{2 \\pi i} \\int_{\\Gamma} \\frac{f(\\zeta) \\bar{z}}{1-\\bar{z} \\zeta} d \\zeta \\]<caption>(6.7)</caption>식 \\((6.6)\\)은 \\( \\Gamma \\) 를 원 \\( |\\zeta|=1 \\) 로 놓고 양의 방향을 줄 때의 코시 적분공식이다.", "식 (6.7)은 코시 정리 \\( 3.3 \\) 을 함수 \\[ G(\\zeta)=\\frac{f(\\zeta)}{(1 / \\bar{z})-\\zeta}=\\frac{f(\\zeta) \\bar{z}}{1-\\bar{z} \\zeta} \\] 에 적용한 것으로, \\( \\frac{1}{z} \\) 이 \\( |z|=1 \\) 에 관한 \\( z \\) 의 반사점이기 때문에 \\( G(\\zeta) \\) 는 \\( |\\zeta| \\leq 1 \\)을 포함하는 열린집합에서 해석적이다.", "보통처럼 \\( \\zeta=e^{i t}(0 \\leq t \\leq 2 \\pi) \\) 로 놓으면 \\[ f(z)=\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} \\frac{f\\left(e^{i t}\\right)}{1-z e^{-i t}} d t \\]<caption>(6.8)</caption>이고 \\[ 0=\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} \\frac{f\\left(e^{i t}\\right) \\bar{z} e^{i t}}{1-z e^{i t}} d t \\]<caption>(6.9)</caption>를 얻는다.", "그러나 \\[ \\frac{1}{1-z e^{-i t}}+\\frac{\\bar{z} e^{i t}}{1-\\bar{z} e^{i t}}=\\frac{1-|z|^{2}}{\\left|1-\\bar{z} e^{i t}\\right|^{2}} \\] 이다.", "식 \\((6.8)\\)과 식 \\((6.9)\\)를 더하면 \\[ f(z)=\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} f\\left(e^{i t}\\right) \\frac{1-|z|^{2}}{\\left|1-\\bar{z} e^{i t}\\right|^{2}} d t \\] 를 얻는다.", "적분기호 안의 \\( f\\left(e^{i t}\\right) \\) 다음에 나타나는 함수는 특별한 표기를 갖는다. \\", "[ P_{r}(\\vartheta)=\\frac{1-r^{2}}{1-2 r \\cos \\vartheta+r^{2}}=\\Re\\left\\{\\frac{1+z}{1-z}\\right\\}, \\quad\\left(z=r e^{i \\vartheta}\\right) \\]<caption>(6.10)</caption>라 놓자. \\", "( P_{r}(\\vartheta) \\) 는 \\( r \\) 과 \\( \\vartheta \\) 에 관해 푸아송 핵(Poisson kernel)이라 부른다.", "따라서 \\[ f\\left(r e^{i \\vartheta}\\right)=\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} f\\left(e^{i t}\\right) P_{r}(\\vartheta-t) d t \\]<caption>(6.11)</caption>임을 보였다. \\", "( P_{r}(\\vartheta-t) \\) 는 실수이므로, 위의 공식에서 실부를 택할 수 있고 따라서 \\[ u\\left(r e^{i \\vartheta}\\right)=\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} u\\left(e^{i t}\\right) P_{r}(\\vartheta-t) d t \\]<caption>(6.12)</caption>를 얻는다.", "이것이 단위원반 \\( |z|<1 \\) 에서의 푸아송 적분공식(Poisson integral for-mula)이다.", "이것은 원반 \\( |z|<1 \\) 안에서 \\( u\\left(e^{i t}\\right)(0 \\leq t \\leq 2 \\pi) \\) 의 값에 의한 \\( u \\) 의 값을 제공한다.", "즉, 경계에서의 값으로부터 내부에서의 값을 회복시켜 준다.", "</p><p>푸아송 적분공식의 몇 가지 확장이 바로 나온다.", "첫째로 원반이 \\( |z| \\leq 1 \\) 이 아니라 \\( \\left|w-w_{0}\\right| \\leq R \\) 이라면, 변수변환 \\[ z=\\frac{w-w_{0}}{R} \\] 을 이용하면 공식 \\[ u(w)=\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} u\\left(w_{0}+R e^{i t}\\right) \\frac{R^{2}-\\left|w-w_{0}\\right|^{2}}{\\left|R-\\left(\\bar{w}-\\bar{w}_{0}\\right) e^{i t}\\right|^{2}} d t \\]<caption>(6.13)</caption>를 얻는다.", "이 공식은 \\( \\left|w-w_{0}\\right|<R \\) 에서 유효하다.", "</p><p>근본적으로 더 중요한 것은 \\( u \\) 가 원반 \\( |z| \\leq 1 \\) 을 포함하는 열린 집합에서 조화적이라고 가정할 필요가 없다는 것이다.", "실제로 \\( u \\) 는 원 \\( |z|=1 \\) 에서 연속함수라는 것만 가정한다.", "</p><p>\\[ U\\left(r e^{i \\vartheta}\\right)=\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} u\\left(e^{i t}\\right) P_{r}(\\vartheta-t) d t \\]<caption>(6.14)</caption>라 놓자.", "그러면 \\( U(z)\\left(z=r e^{i \\vartheta}\\right) \\) 는 원반 \\( |z|<1 \\) 에서 조화함수이고 원 \\( |\\lambda|=1 \\) 의 모든 점 \\( \\lambda \\) 에서 \\[ \\lim _{z \\rightarrow \\lambda} U(z)=u(\\lambda) \\]<caption>(6.15)</caption>를 만족한다(증명은 연습문제 \\(4\\) 를 보라).", "즉, 함수 \\[ \\left\\{\\begin{array}{lll} U(z) & : & |z|<1 \\\\ u(z) & : & |z|=1 \\end{array}\\right. \\]", "은 닫힌 집합 \\( \\{z:|z| \\leq 1\\} \\) 에서 연속이고 열린 집합 \\( \\{z:|z|<1\\} \\) 에서 조화적이다.", "이 주장의 일부는 쉽다. \\", "( u \\) 가 오직 실수값을 갖는다면 \\[ \\begin{aligned} U(z) &=\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} u\\left(e^{i t}\\right) \\Re\\left(\\frac{e^{i t}+z}{e^{i t}-z}\\right) d t \\\\ &=\\Re\\left\\{\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} u\\left(e^{i t}\\right) \\frac{e^{i t}+z}{e^{i t}-z} d t\\right\\} \\end{aligned} \\] 이다.", "중괄호 안의 표현은 \\( z \\) 에 관한 해석함수이고 따라서 \\( U \\) 는 해석함수의 실부로서 조화적이다.", "일반적으로 \\( u_{1} \\) 과 \\( u_{2} \\) 가 실수일 때 \\( u=u_{1}+i u_{2} \\) 이다.", "그러므로 \\( U_{1} \\) 과 \\( U_{2} \\) 가 모두 조화적일 때 \\( U=U_{1}+i U_{2} \\) 이다.", "따라서 \\( U \\) 도 역시 조화적이다.", "식 (\\( 6.15 \\))가 성립한다는 증명은 좀 더 복잡하다.", "그 증명은 연습문제 \\(4\\) 에 개략적으로 주어져 있다.", "</p><p>식 \\( (6.12) \\) 의 확장이 더 있다.", "원 \\( \\{z:|z|=1\\} \\) 을 서로 만나지 않는 닫힌곡선 \\( I_{1}, \\cdots, I_{N} \\) 으로 자를 수 있고(그림 6.2), 더욱이 각각의 곡선 \\( I_{j} \\) 에서 \\( u\\left(e^{i t}\\right) \\) 가 연속이면 함수 \\( u\\left(e^{i t}\\right) \\) 는 조각별로 연속이라 한다.", "(이것은 곡선의 \\( N \\) 개의 끝점의 각각에서 \\( u \\) 에 두 값을 제공한다. 그러나 이러한 집합은 적분에서 '계산되지 않기' 때문에 문제가되지 않는다.) \\", "( u\\left(e^{i \\vartheta}\\right) \\) 가 조각별로 연속이고 \\( U \\) 가 식 \\( (6.14) \\) 에서처럼 정의되어 있다면 \\( U \\) 는 \\( |z|<1 \\) 에서 조화적이고 곡선 \\( I_{1}, \\cdots, I_{N} \\) 의 끝점인 \\( N \\) 개의 점을 제외한 부분에서 \\[ \\lim _{z \\rightarrow \\lambda} U(z)=u(\\lambda), \\quad \\lambda \\text { 는 } I_{1}, \\cdots, I_{N} \\text { 의 끝점이 아님 } \\] 이 된다.", "</p><p>지금까지 경계값 문제인 디리클레 문제(Dirichlet problem) 즉, 주어진 영역 \\( D \\) 에 대해 경계상에서 연속인 주어진 값을 취하는 \\( \\bar{D} \\) 에서 연속이고 \\( D \\) 에서 조화적인 함수가 존재하는가?에 대한 해(원반에서의 경우)를 구했다.", "이를 정리해 보면 다음과 같다.", "</p> <p>\\(11\\). \\", "( f(z) \\) 가 전해석함수이고, 음이 아닌 실수 \\( \\lambda \\) 에 대해 \\( \\Re f(z) \\leq M r^{\\lambda}(|z|=r \\geq \\left.r_{0}\\right) \\) 라고 가정하면 \\( f(z) \\) 는 기껏해야 \\( \\lambda \\) 차의 다항식임을 증명하라.", "</p><p>\\(12\\).", "평균값 원리[식 \\((6.5)\\)]를 \\( |z| \\leq r<1 \\) 에 대해 \\( \\log |1+z| \\) 에 적용한 후 \\( r \\rightarrow 1 \\) 로 놓아 다음을 보여라. \\", "[ \\int_{0}^{\\pi} \\log \\sin \\vartheta d \\vartheta=-\\pi \\log 2 \\]</p><p>\\(13\\).", "실수값 함수 \\( u(z) \\) 가 구멍똟린 원반 \\( \\left\\{z: 0<\\left|z-z_{0}\\right|<R\\right\\} \\) 에서의 유계 조화함수이면 \\( \\lim _{z \\rightarrow z_{0}} u(z) \\) 가 존재함을 보여라.</p><p>\\(14\\). \\( H \\) 가 \\( D \\) 안의 모든 매끄러우며 \\( D \\) 의 경계 \\( \\Gamma \\) 에서 \\( 0 \\) 이 되는 실수값 함수 \\( v \\) 에 대해 \\( \\iint H v d x d y=0 \\) 이 되는 영역 \\( D \\) 에서의 연속이고 유계인 실수값 함수라 가정하자. \\( D \\) 에서 \\( H=0 \\) 이 됨을 보여라. (도움말 : 어떤 점 \\( z_{0} \\in D \\) 에서 \\( H\\left(z_{0}\\right)>0 \\) 이라고 가정하자. 그러면 \\( \\left|z-z_{0}\\right| \\leq \\varepsilon \\) 일 때 \\( H(z) \\geq \\delta \\) 인 (작은) 양수 \\( \\varepsilon \\) 과 \\( \\delta \\) 가 존재한다(왜?). \\( v \\) 를 다음과 같이 정의하고 \\( \\iint v H d x d y>0 \\) 임을 보여라. \\[ v(z)=\\left\\{\\begin{array}{cl} \\left(\\varepsilon^{2}-\\left|z-z_{0}\\right|^{2}\\right)^{2}, & \\left|z-z_{0}\\right| \\leq \\varepsilon(z \\in D) \\text { 일 때 } \\\\ 0, & \\left|z-z_{0}\\right|>", "\\varepsilon(z \\in D) \\text { 일 때 ) } \\end{array}\\right. \\]", "</p><p>\\(15\\).", "조화함수 \\( \\varphi(x, y) \\) 는 \\( f^{\\prime}(z) \\neq 0 \\) 인 해석함수 \\( f(z)=u+i v \\) 에 의한 변환아래에서 조화성이 변화되지 않음을 보여라.", "일반적으로 \\( \\varphi \\) 가 조화적일 때, 어떤 함수 \\( f \\) 에 대해 \\( f(\\varphi) \\) 가 조화적인가?", "</p><p>\\(16\\).", "복소조화함수의 실부는 조화적임을 증명하라.", "그러나 해석함수의 실부는 해석적이 아니다.", "왜 그런가?", "</p><p>\\(17\\). \\", "( D \\) 에서 조화적인 함수가 항상 조화공액을 가지면 \\( D \\) 는 단순연결영역임을 보여라.", "</p><p>\\(18\\).", "함수 \\( f(z) \\)가 원 \\( \\left\\{z:\\left|z-z_{0}\\right|=R\\right\\} \\) 과 그 내부에서 해석적이고 \\(0\\)이 아니라면 \\[ \\ln \\left|f\\left(z_{0}\\right)\\right|=\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} \\ln \\left|f\\left(z_{0}+R e^{i \\theta}\\right)\\right| d \\theta \\]<caption>(옌센공식)</caption>가 성립함을 증명하라.", "이 등식은 원 \\( \\left\\{z:\\left|z-z_{0}\\right|=R\\right\\} \\) 위에서 \\( f(z)=0 \\) 인 점이 있더라도 원의 내부에서 \\( f(z) \\neq 0 \\) 이면 성립함을 보여라.", "</p><p>\\(19\\).", "방정식 \\( z^{n}=p_{n}+i q_{n}(n=1,2,3,4) \\) 에 의해 정의된 조화다항식 \\( p_{n}(x, y) \\) 와 \\( q_{n}(x, y) \\) 를 계산하여라.", "</p><p>\\(20\\). \\", "( \\varphi(\\alpha) \\) 를 실수값 일편각함수(즉, 편각 \\( \\alpha \\) 가 변수인 함수)로 \\( \\alpha \\) 에 대해 연속이고 \\(2\\)계 연속 편도함수를 갖는다고 하자. \\", "( u(x, y) \\) 가 결코 \\( 0 \\) 이 되지 않는 조화함수이고 \\( u_{x}^{2}+u_{y}^{2} \\neq 0 \\) 이며, \\( v(x, y) \\) 를 정의역 \\( D \\) 에서 \\( u(x, y) \\) 의 조화공액이라 하자. \\", "( \\psi(x, y)=\\varphi(u(x, y) \\cdot v(x, y)) \\) 라 할 때 다음이 성립함을 증명하라.", "</p><ol type=a start=1><li>\\( \\Delta \\psi=\\left[\\left(u v_{x}+v u_{x}\\right)^{2}+\\left(u v_{y}+v u_{y}\\right)^{2}\\right] \\varphi^{\\prime \\prime} \\)</li><li>\\( \\psi \\) 가 조화함수일 필요충분조건은 \\( \\varphi(\\alpha)=a+b \\alpha(a, b \\) 는 실수)인 것이다.", "</li></ol> <h2>\\( 6.2 .2 \\) 위반평면에서의 푸아송 적분</h2><p>\\( w(t) \\) 를 실축 \\( (-\\infty<t<\\infty) \\) 에서 유계이고, 조각별로 연속인 함수라 가정하자. 푸아송 적분공식과 닮은 적분공식이 있는데 이것은 위반평면 \\( \\{\\zeta=\\sigma+i \\tau: \\tau>", "0\\} \\) 에서 유계이며 조화적이고 \\( w(t) \\) 가 연속인 실축 위의 유한개의 점을 제외한 모든 점 \\( s \\) 에 대해 \\[ \\lim _{\\zeta \\rightarrow s} W(\\zeta)=w(s) \\] 를 만족하는 함수 \\( W(\\zeta) \\) 를 생성한다.", "공식은 이렇다. \\", "[ W(\\sigma+i \\tau)=\\frac{1}{\\pi} \\int_{-\\infty}^{\\infty} w(t) \\frac{\\tau}{(\\sigma-t)^{2}+\\tau^{2}} d t, \\tau>0 \\]<caption>(6.16)</caption>이것을 유도하는 것은 간단하다. \\", "[ \\zeta=\\psi(z)=i \\frac{1+z}{1-z} \\] 라 놓자.", "그러면 \\( \\psi \\) 는 원반 \\( \\{z:|z|<1\\} \\) 을 위반평면 위로 옮기는 선형분수변환이고 \\( \\psi \\) 는 원 \\( |z|=1 \\) 을 실축 위로 사상한다.", "따라서 \\[ u\\left(e^{i \\vartheta}\\right)=w\\left(i \\frac{1+e^{i \\vartheta}}{1-e^{i \\vartheta}}\\right) \\] 는 원 \\( \\left\\{e^{i \\vartheta}: 1 \\leq \\vartheta \\leq 2 \\pi\\right\\} \\) 에서 유계이고 조각별로 연속이다.", "결과적으로 함수 \\[ U(z)=\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} u\\left(e^{i \\vartheta}\\right) \\frac{1-r^{2}}{1-2 r \\cos (s-\\vartheta)+r^{2}} d \\vartheta, \\quad\\left(z=r e^{i \\vartheta}\\right) \\] 는 원반 \\( |z|<1 \\) 에서 유계이고 조화적이며 \\( z \\rightarrow e^{i \\vartheta} \\) 이면 \\( U(z) \\rightarrow u\\left(e^{i \\vartheta}\\right) \\) 이다. \\( w(t) \\) 를 실수값 함수라 하자. 그러면 \\( u \\) 도 실수값이고 \\[ U(z)=\\Re\\left\\{\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} u\\left(e^{i \\vartheta}\\right) \\frac{e^{i \\vartheta}+z}{e^{i \\vartheta}-z} d \\vartheta\\right\\} \\] 이다. 이제 \\( z=\\frac{\\zeta-i}{\\zeta+i} \\) 이므로 \\[ W(\\zeta)=U\\left(\\frac{\\zeta-i}{\\zeta+i}\\right) \\] 는 위반평면에서 조화적이다. 그러나 \\( t=i \\frac{1+e^{i \\vartheta}}{1-e^{i \\vartheta}}\\left(=\\frac{\\sin \\vartheta}{\\cos \\vartheta-1}\\right) \\) 이므로 \\( e^{i \\vartheta}=\\frac{t-i}{t+i} \\) 이고 \\( e^{i \\vartheta} d \\vartheta=2(t+i)^{-2} d t \\) 이다. 이 변수변환에 의해 \\[ \\begin{aligned} W(\\zeta) &=\\Re\\left[\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} u\\left(e^{i \\vartheta}\\right) \\frac{e^{i \\vartheta}+z}{e^{i \\vartheta}-z} d \\vartheta\\right] \\\\ &=\\Re\\left[\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{-\\infty}^{\\infty} w(t) \\frac{t \\zeta+1}{i(t-\\zeta)} \\frac{2}{1+t^{2}} d t\\right] \\\\ &=\\frac{1}{\\pi} \\int_{-\\infty}^{\\infty} w(t) \\frac{\\tau}{(t-\\sigma)^{2}+\\tau^{2}} d t \\quad(\\tau>", "0) \\end{aligned} \\] 를 얻는다.", "이것이 구하고자 했던 공식이다.", "이것을 위반평면에서의 푸아송 적분공식이라 부른다.", "</p><p>위반평면에서의 디리클레 경계값 문제의 해는 위반평면에서의 푸아송 적분공식을 이용하여 구할 수 있다.", "</p><p>[예제 \\(6.3\\)] \\( y>0 \\) 일 때 조화적이고 다음을 만족하는 함수 \\( V(x, y) \\) 를 구하라.", "</p><p>\\[ V(x, 0)=\\left\\{\\begin{array}{cc} V_{0}, & -\\sigma<x<\\sigma \\\\ 0, & |x|>\\sigma \\end{array}\\right. \\]", "</p><p>풀이 위반평면에 대한 푸아송 적분공식을 이용해 그러한 조화함수를 구하자. \\", "[ \\begin{aligned} V(x, y) &=\\frac{1}{\\pi} \\int_{-\\infty}^{\\infty} V(t, 0) \\frac{y}{(x-t)^{2}+y^{2}} d t \\\\ &=\\frac{V_{0}}{\\pi} \\int_{-\\sigma}^{\\sigma} \\frac{y}{(t-x)^{2}+y^{2}} d t \\\\ &=\\frac{V_{0}}{\\pi}\\left\\{\\arctan \\left(\\frac{\\sigma-x}{y}\\right)-\\arctan \\left(\\frac{-\\sigma-x}{y}\\right)\\right\\} \\\\ &=\\frac{V_{0}}{\\pi} \\arctan \\left(\\frac{2 \\sigma y}{x^{2}+y^{2}-\\sigma^{2}}\\right) \\end{aligned} \\] 함수 \\( V(x, y) \\) 의 위반평면에서의 조화공액인 함수 \\( U(x, y) \\) 는 \\[ U(x, y)=\\frac{V_{0}}{\\pi} \\log \\left|\\frac{z-\\sigma}{z+\\sigma}\\right| \\] 로 주어진다. \\", "( U(x, y) \\) 의 등위곡선은 전기장의 흐름의 곡선을 나타낸다.", "이 곡선은 정확히 아폴로니우스의 원 \\( \\{|z-\\sigma|=\\varrho|z+\\sigma|(0<\\varrho<\\infty)\\} \\) 인데 이는 실축 위의 열린 구간 \\( (-\\infty,-\\sigma) \\) 또는 \\( (\\sigma, \\infty) \\) 에 중심을 둔다.", "</p><p>전단사 등각사상을 이용하면 한 영역에 대한 디리클레 문제를 다른 영역에 대한 것으로 바꿀 수 있다.", "구체적으로 알아보기 위해, \\( D_{1} \\) 과 \\( D_{2} \\) 를 유계영역이고 \\( f \\) 가 \\( \\overline{D_{1}}= \\) \\( D_{1} \\cup \\partial D_{1} \\) 에서 \\( \\overline{D_{2}}=D_{2} \\cup \\partial D_{2} \\) 로 가는 전단사 연속사상이며, 또한 \\( D_{1} \\) 에서 해석적이라 가정하자.", "그러면 \\( f\\left(D_{1}\\right)=D_{2} \\) 와 \\( f\\left(\\partial D_{1}\\right)=\\partial D_{2} \\) 가 성립하며 \\( f^{-1}: \\overline{D_{2}} \\rightarrow \\overline{D_{1}} \\) 도 전단사 연속사상이고 \\( D_{2} \\) 에서 해석적이다.", "조화함수와 해석함수의 합성은 다시 조화함수가 되므로 \\( U \\) 가 \\( D_{2} \\) 에서 \\( u: \\partial D_{2} \\rightarrow \\mathbb{R} \\) 에 대한 디리클레 문제의 해가 될 필요충분조건은 \\( U \\circ f \\) 가 \\( D_{1} \\) 에서 \\( u \\circ f: \\partial D_{1} \\rightarrow \\mathbb{R} \\) 에 대한 디리클레 문제의 해인 것이다.", "따라서 \\( D_{1} \\) 이 디리클레 영역이면 \\( D_{2} \\) 도 그렇고, 그 역도 성립한다.", "</p><p>[예제 \\(6.4\\)] 앞에서 보았듯이 열린 단위원반 \\( \\Delta=\\{z|| z \\mid<1\\} \\) 은 디리클레 영역이다.", "열린원반 \\( \\left|z-z_{0}\\right|<R \\) 은 \\( \\mathbb{C} \\) 에서 \\( \\mathbb{C} \\) 로 가는 전단사 등각사상인 \\( w=z_{0}+R z \\) 에 의한 열린 단위원반의 상이므로 디리클레 영역이다.", "</p><p>그러나 모든 유계영역이 디리클레 영역인 것은 아니다.", "예를 들어, 구멍뚫린 열린 단위원반 \\( \\{|z|<1\\} \\backslash\\{0\\} \\) 처럼 그 여집합 \\( \\{0\\} \\cup\\{|z| \\geq 1\\} \\) 의 조각 가운데에 한 점으로 이루어진 조각이 있는 경우에는 디리클레 문제가 풀리지 않는다. \\", "( (U:\\{|z| \\leq 1\\} \\rightarrow \\mathbb{R} \\) 이 연속이고 \\( \\{|z| \\leq 1\\} \\backslash\\{0\\} \\) 에서 조화함수라 할 때 \\( \\left.U\\right|_{|z|=1}=0 \\) 이면 \\( U(0)=0 \\) 임을 상기하라.)", "한편 유한개의 단순닫힌곡선으로 둘러싸인 유계영역이 디리클레 영역이라는 사실은 직관적으로 분명하지만 그 증명은 여기서는 어려우므로 생략한다.", "이제 단순닫힌 곡선 한 개로 둘러싸인 유계영역의 경우에 디리클레 문제의 해를 구하는 방법을 알아본다.", "단순닫힌곡선을 조르당 곡선이라 부르기도 하고, 조르당 곡선의 내부를 조르당 영역이라고 한다.", "</p><p>먼저 조르당 영역의 일반적인 성질을 알아보자.", "모든 조르당 영역은 복소평면의 진부분집합이고 단순연결영역이므로 리만 사상정리 \\( 5.21 \\)에 의해 리만사상(즉, 조르당 영역에서 \\( \\Delta \\) 로의 전단사 등각사상)을 갖는다.", "또한 \\( \\Omega \\) 가 조르당 영역이면, 모든 리만사상 \\( f: \\Omega \\rightarrow \\Delta \\) 는 \\( \\bar{\\Omega} \\) 에서 \\( \\bar{\\Delta} \\) 로 가는 전단사 연속사상으로 확장되며, 확장된 사상의 역사상도 연속임이 잘 알려져 있다.", "그러나 증명은 이 책의 수준을 넘으므로 생략한다.", "</p><p>이제 \\( \\Omega \\) 가 조르당 영역이고 \\( u: \\partial \\Omega \\rightarrow \\mathbb{R} \\) 이 연속이라 가정하자. \\", "( \\Omega=\\Delta \\) 이면 디리클레 문제의 해는 \\( u \\) 의 푸아송적분으로 주어짐을 보았다.", "일반적인 경우, 위 논의로부터 전단사 연속사상 \\( f: \\bar{\\Omega} \\rightarrow \\bar{\\Delta} \\) 가 존재하여 그 역사상도 연속이며 \\( f \\) 를 \\( \\Omega \\) 에 제한한 것은 \\( \\Omega \\) 에서 \\( \\Delta \\) 로 가는 전단사 등각사상이 된다.", "따라서 \\( U: \\bar{\\Delta} \\rightarrow \\mathbb{R} \\) 을 \\[ U\\left(r e^{i \\theta}\\right)=\\left\\{\\begin{array}{lc} \\frac{1}{2 \\pi} \\int_{-\\pi}^{\\pi} P_{r}(\\theta-t) u\\left(f^{-1}\\left(e^{i t}\\right)\\right) d t, & 0 \\leq r<1 \\\\ u\\left(f^{-1}\\left(e^{i \\theta}\\right)\\right), & r=1 \\end{array}\\right. \\]", "로 정의하면 \\( U \\circ f \\) 가 주어진 디리클레 문제의 해가 된다.", "말하자면, 조르당 영역에서 디리클레 문제의 해는 리만사상과 푸아송적분으로 표현된다.", "</p><p>한편 조르당 영역의 리만사상을 구하는 것은 그 영역에서 특정 디리클레 문제의 해를 구하는 것과 마찬가지인데, 이에 대한 구체적인 논의는 연습문제로 남긴다.", "</p> <h2>연습문제 \\( 6.3 \\)</h2><p>\\(1\\). \\", "( f(z) \\) 는 \\( |z|<1 \\) 에서 해석적이고 \\( \\Re f(z)>0 \\) 이라고 할 때, \\( f(0)=1 \\) 이면 \\[ |f(z)| \\geq \\frac{1-|z|}{1+|z|} \\] 임을 증명하라.", "</p><p>\\(2\\). \\", "( f(z) \\) 가 \\( |z| \\leq 1 \\) 에서 해석적이고 \\( |f(z)| \\geq 1 \\) 이라 하자. \\", "( f(0)=1 \\) 이라면 \\( f(z) \\) 는 상수임을 보여라.", "</p><p>\\(3\\).", "가령, \\( g(z)=1+\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n} z^{n} \\) 은 \\( |z|<1 \\) 에서 해석적이고, \\( \\Re g(z)>\\alpha(0<\\alpha< 1 )\\) 라고 하면, 모든 \\( n \\) 에 대해 다음 부등식이 성립함을 증명하라. \\", "[ \\left|a_{n}\\right| \\leq 2(1-\\alpha) \\]</p><p>\\(4\\).", "연속인 실함수 \\( u(z) \\) 가 영역 \\( D \\) 안에 포함되는 모든 원반 \\( \\left|z-z_{0}\\right| \\leq r \\) 에 대해 \\[ u\\left(z_{0}\\right) \\leq \\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} u\\left(z_{0}+r e^{i \\vartheta}\\right) d \\vartheta \\] 가 성립하면 \\( u(z) \\) 는 \\( D \\) 에서 열조화적(subharmonic)(또는 열조화함수)이라 한다.", "상수가 아닌 열조화함수는 영역 \\( D \\) 안에서 최대값을 가질 수 없음을 증명하라.", "</p><p>\\(5\\).", "연습문제 \\(4\\) 에서 정의된 열조화함수에 관해 다음을 증명하라.", "</p><p>(a) \\( u \\) 를 임의의 조화함수라 하자. \\", "( u \\) 와 \\( u^{2} \\) 은 열조화적이다.", "</p><p>(b) \\( u(x, y) \\) 가 무한 번 미분가능한 함수라 하면, \\( |\\nabla u|^{2}=u_{x}^{2}+u_{y}^{2} \\) 은 열조화적 이다.", "[여기서 \\( \\nabla u \\) 는 \\( u \\) 의 그래디언트로 \\( \\nabla u=\\left(u_{x}, u_{y}\\right) \\) 임을 기억하라.]", "</p><p>(c) \\( u(z) \\) 와 \\( v(z) \\) 가 열조화적이고 \\( c \\) 가 음이 아닌 상수이면, \\( u(z)+v(z), c u(z) \\) 와 \\( \\max \\{u(z), v(z)\\} \\) 도 각각 열조화적이다.", "</p><p>(d) \\( f: D \\rightarrow \\Omega \\) 가 해석적이고 \\( \\varphi: \\Omega \\rightarrow \\mathbb{R} \\) 이 열조화적이라 하자. \\", "( f \\) 가 \\( 1-1 \\) 이 면, \\( \\varphi \\circ f \\) 는 열조화적임을 증명하라.", "모든 \\( z \\in D \\) 에 대해 \\( f^{\\prime}(z) \\neq 0 \\) 이면 어떤 일이 생기는가?", "</p><p>(e) \\( f(z) \\) 가 해석적이면, \\( |f(z)|, \\ln |f(z)| \\) 와 \\( |f(z)|^{\\lambda}(\\lambda>0) \\) 은 모두 열조화적 이다. 더 일반적으로 \\( u(z) \\) 가 열린집합 \\( \\{z \\mid u(z)>", "-\\infty\\} \\) 에서 조화적이거 나, 또는 단지 열조화적이면 \\( u(z) \\) 는 열조화적이다.", "</p><p>\\(6\\). \\", "( K \\) 를 한 영역 \\( D \\) 의 컴팩트인 부분집합이라 하고, \\( z_{0} \\in D \\) 가 주어졌다고 하자. \\", "( K \\) 안의 모든 \\( z \\) 와 \\( D \\) 에서 조화적인 모든 함수 \\( u(z) \\) 에 대해 \\[ k_{1} \\cdot u\\left(z_{0}\\right) \\leq u(z) \\leq k_{2} \\cdot u\\left(z_{0}\\right) \\] 이 성립하는 두 실수 \\( k_{1} \\) 과 \\( k_{2} \\) 가 존재함을 증명하라.", "</p><p>\\(7\\).", "정리 \\( 6.12 \\) 와 정리 \\( 6.13 \\) 에서 결론의 등호가 성립하는 것은 \\( f(z) \\) 가 다음과 같은 형태의 함수일 때에 한함을 증명하라. \\", "[ f(z)=\\frac{1+e^{i \\vartheta_{0}} z}{1-e^{i \\vartheta_{0}} z}, \\quad\\left(\\vartheta_{0} \\text { 은 실수 }\\right) \\]</p> <p>정리 \\(6.5\\) \\( u(z) \\) 가 영역 \\( D \\) 에서 조화적이고 \\( D \\) 의 어떤 점의 근방에서 상수이면 \\( D \\) 의 전역에서 상수이다.", "</p><p>해석함수의 절대값의 최대값과 실부의 최대값 사이에 다음 정리가 성립한다.", "</p><p>정리 \\(6.6\\) (보렐-카라쎄오도리 정리) \\( f(z) \\) 가 \\( |z| \\leq R \\) 에서 해석적이라 하고 \\( M(r)= \\max _{|z|=r}|f(z)|, A(r)=\\max _{|z|=r} \\Re f(z) \\) 라고 하면 \\( 0<r<R \\) 에 대해 다음이 성립한다. \\", "[ M(r) \\leq \\frac{2 r}{R-r} A(R)+\\frac{R+r}{R-r}|f(0)| \\]<caption>(6.3)</caption></p><p>증명 \\( K \\) 가 상수일 때, \\( f(z)=K \\) 라 하면, 식 \\((6.3)\\)의 우변은 \\[ \\frac{-2 r}{R-r}|K|+\\frac{R+r}{R-r}|K|=|K|=M(r) \\] 에 의해 아래로 유계가 되므로 식 (\\( 6.3 \\))이 성립한다. 따라서 \\( f(z) \\) 는 상수함수가 아니라고 가정하자. \\( f(0)=0 \\) 이면, 정리 \\( 6.3 \\) 에 의해 \\( A(R)>A(0)=0 \\) 이고, \\( |z| \\leq R \\) 에 대해 \\[ \\Re\\{2 A(R)-f(z)\\} \\geq A(R)>0 \\] 이므로 함수 \\[ g(z)=\\frac{f(z)}{2 A(R)-f(z", ")} \\] 는 \\( |z| \\leq R \\) 에서 해석적이다.", "또한 \\( f(z)=u+i v \\) 라 놓으면, \\( |z| \\leq R \\) 에서 \\[ |g(z)|=\\sqrt{\\frac{u^{2}+v^{2}}{(2 A(R)-u)^{2}+v^{2}}} \\leq \\sqrt{\\frac{u^{2}+v^{2}}{u^{2}+v^{2}}}=1 \\] 이므로 슈바르츠 도움정리(정리 \\( 5.16) \\) 에 의해 \\[ \\max _{|z|=r}|g(z)| \\leq \\frac{r}{R} \\] 이다.", "그러나 \\[ |f(z)|=\\left|\\frac{2 A(R) g(z)}{1+g(z)}\\right| \\leq \\frac{2 A(R) \\frac{r}{R}}{1-\\frac{r}{R}}=\\frac{2 r A(R)}{R-r} \\]<caption>(6.4)</caption>이 되어 \\( f(0)=0 \\) 일 때 식 \\( (6.3) \\) 이 증명되었다.", "</p><p>\\( f(0) \\neq 0 \\) 이면, \\( f(z)-f(0) \\) 에 식 \\((6.4)\\)를 적용하여 \\[ \\begin{aligned} |f(z)-f(0)| & \\leq \\frac{2 r}{R-r} \\max _{|z|=r} \\Re\\{f(z)-f(0)\\} \\\\ & \\leq \\frac{2 r}{R-r}[A(R)+|f(0)|] \\end{aligned} \\] 이 되고, 따라서 \\[ \\begin{aligned} |f(z)| & \\leq \\frac{2 r}{R-r}[A(R)+|f(0)|]+|f(0)| \\\\ & \\leq \\frac{2 r}{R-r} A(R)+\\frac{R+r}{R-r}|f(0)| \\end{aligned} \\] 을 얻는다.", "</p><p>조화함수의 또 다른 성질을 살펴보자. \\", "( u \\) 를 영역 \\( D \\) 에서 복소값 조화함수라 하자. \\", "( D \\) 에서 모두 실수값이고 조화적인 \\( u_{1}, u_{2} \\) 에 대해 \\( u=u_{1}+i u_{2} \\) 라 쓸 수 있다.", "따라서, \\( D \\) 안의 원반 \\( \\left\\{z:\\left|z-z_{0}\\right|<R\\right\\} \\) 에 대해 \\( u_{1} \\) 과 \\( u_{2} \\) 는 각각 어떤 해석함수, 예를 들어 \\( f_{1} \\) 과 \\( f_{2} \\) 의 실부임을 안다.", "그러므로 \\( 5.2 \\) 절의 식 \\((5.12)\\)에 의해 임의의 \\( r(0 \\leq r \\leq R) \\) 에 대해서 \\[ \\begin{aligned} u\\left(z_{0}\\right) &=u_{1}\\left(z_{0}\\right)+i u_{2}\\left(z_{0}\\right)=\\Re f_{1}\\left(z_{0}\\right)+i \\Re f_{2}\\left(z_{0}\\right) \\\\ &=\\Re\\left\\{\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} f_{1}\\left(z_{0}+r e^{i t}\\right) d t\\right\\}+i \\Re\\left\\{\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} f_{2}\\left(z_{0}+r e^{i t}\\right) d t\\right\\} \\\\ &=\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi}\\left\\{\\Re f_{1}\\left(z_{0}+r e^{i t}\\right)+i \\Re f_{2}\\left(z_{0}+r e^{i t}\\right)\\right\\} d t \\\\ &=\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} u\\left(z_{0}+r e^{i t}\\right) d t \\end{aligned} \\] 이 성립하는 데 이것을 조화함수의 평균값 성질이라 부른다.", "</p><p>\\[ u\\left(z_{0}\\right)=\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} u\\left(z_{0}+r e^{i t}\\right) d t \\]<caption>(6.5)</caption></p><p>연습문제에서 식 (\\( 6.5 \\))가 정리 6.4를 유도하는데 어떻게 이용되는지를 밝히고자 요구받을 것이다.", "식 \\((6.5)\\)를 만족하는 임의의 연속함수는 반드시 조화적이어야 한다는 의미에서 실제로 성질 \\( (6.5) \\) 는 조화함수를 특성화한다.", "이 사실은 \\( 6.2 \\) 절에서 필요한 개념을 공부한 후 \\( 6.3 \\) 절에서 증명할 것이다.", "</p> <h3>6. 1. 3 조화함수의 합성과 장력에너지</h3><p>함수 \\( u \\) 를 어떤 영역 \\( D \\) 에서 \\( z \\) 에 관한 조화함수라 가정하자. \\", "( \\varphi(\\zeta)=z \\) 가 영역 \\( \\Omega \\) 에서 \\( D \\) 로의 \\( \\zeta \\) 에 관한 해석함수라면 \\[ w(\\zeta)=u(\\varphi(\\zeta)) \\] 는 \\( \\zeta \\) 가 \\( \\Omega \\) 에서 움직일 때 \\( \\zeta \\) 에 관한 조화함수이다.", "이것을 증명하는 한 가지는 다음과 같다. \\", "( \\zeta_{0} \\) 을 \\( \\Omega \\) 의 점이라 하고 \\( z_{0}=\\varphi\\left(\\zeta_{0}\\right) \\) 라 하자. \\", "( W \\) 를 \\( D \\) 안에 \\( z_{0} \\) 에 중심을 둔 작은 원반이라 하고 \\( V \\) 를 모든 \\( \\zeta \\in V \\) 에 대해 \\( \\varphi(\\zeta) \\in W \\) 인 성질을 갖는 \\( \\zeta_{0} \\) 에 중심을 둔 작은 원반이라 하자. \\", "( \\varphi \\) 가 \\( \\zeta_{0} \\) 에서 연속이므로 이것은 가능하다. \\", "( u \\) 를 실수값함수라 가정하자.", "그러면 \\( u=\\Re f \\) 가 되는 해석함수 \\( f \\) 가 원반 \\( W \\) 에 존재한다.", "그러면 함수 \\( g(\\zeta)=f(\\varphi(\\zeta)) \\) 는 원반 \\( V \\) 에서 해석적이고 \\( \\Re g=\\Re(f \\circ \\varphi)=u \\circ \\varphi=w \\) 이며 따라서 \\( w(\\zeta) \\) 는 해석함수 \\( g(\\zeta) \\) 의 실부로서 \\( V \\) 에서 조화적이다.", "</p><p>\\( D \\) 가 유계영역이고 \\( u(x, y) \\) 는 \\( D \\) 의 경계인 \\( \\Gamma \\) 에서의 값이 어떤 고정된 실수값 함수 \\( f \\) 인 연속적으로 미분가능한 실함수라 하자.", "즉, \\( (x, y) \\in \\Gamma \\) 이면, \\( u(x, y)=f(x, y) \\) 이다. \\", "( u \\) 의 에너지 적분은 \\[ E(u)=\\iint_{D}\\left\\{\\left(\\frac{\\partial u}{\\partial x}\\right)^{2}+\\left(\\frac{\\partial u}{\\partial y}\\right)^{2}\\right\\} d x d y \\] 이다.", "이 적분은 함수 \\( u \\) 의 그래프인 \\(3\\) 차원 공간에 있는 면 \\[ S=\\{(x, y, u(x, y)): x+i y \\in D\\} \\] 에서 펼처진 얇은 막의 총장력에너지로서 물리학적으로 설명되어질 수 있다.", "이 공식의 유도는 다음과 같다.", "면의 조그만 조각 안에서의 장력에너지는 비변형 상태로부터 변형상태까지의 표면적의 차이에 비례한다.", "즉, \\[ \\begin{aligned} d E &=(\\text { 새 표면적 })-(\\text { 이전 표면적 }) \\\\ &=\\sqrt{1+\\left(\\frac{\\partial u}{\\partial x}\\right)^{2}+\\left(\\frac{\\partial u}{\\partial y}\\right)^{2}} d A-d A \\\\ & \\approx\\left[1+\\frac{1}{2}\\left\\{\\left(\\frac{\\partial u}{\\partial x}\\right)^{2}+\\left(\\frac{\\partial u}{\\partial y}\\right)^{2}\\right\\}\\right] d A-d A \\\\ &=\\frac{1}{2}\\left\\{\\left(\\frac{\\partial u}{\\partial x}\\right)^{2}+\\left(\\frac{\\partial u}{\\partial y}\\right)^{2}\\right\\} d A \\end{aligned} \\] 모든 장력에너지를 전부 더하면, 적분에 곱해지는 상수만 빼고는 위에 주어진 에너지 적분을 얻는다.", "(두 번째 줄로부터 세 번째로 넘어가는데 있어서 간단한 근사값 \\( \\sqrt{1+s} \\approx 1+\\frac{1}{2} s \\) 를 이용한다.", "이 근사의 정확도는 \\( s \\) 가 감소함에 따라 증가한다.", "따라서 공식은 변형이 작을수록 '좋다'.)</p><p>\\( \\Gamma \\) 에서 \\( u=f \\) 가 되도록 하는 모든 함수 \\( u(x, y) \\) 위에서 \\( E(u) \\) 를 최소화하는 문제, 즉 장력에너지가 최소인 미리 주어진 경계를 가진 면을 찾는 것은 상당히 관심이 있는 문제이다.", "이것을 여기서 다루지는 않겠지만, 비눗방울이 가장 간단한 최소 장력 에너지 표면이다.", "구체적으로 최소의 장력에너지를 가진 얇은 막을 형성하는 예로 면 \\( S=\\left\\{\\left(x, y, x^{3}-3 x y^{2}\\right):-1 \\leq x, y \\leq 1\\right\\} \\) 을 생각해 볼 수 있다.", "</p> <p>\\(21\\). \\", "( v\\left(r e^{i \\vartheta}\\right) \\) 가 원반 \\( \\{z:|z|<1\\} \\) 에서 \\[ v\\left(r e^{i \\vartheta}\\right) \\leq \\frac{1-r^{2}}{1-2 r \\cos \\vartheta+r^{2}}=P_{r}(\\vartheta), 0 \\leq r<1,0 \\leq \\vartheta \\leq 2 \\pi \\] 를 만족하는 음이 아닌 조화함수라면 적당한 \\( \\lambda(0<\\lambda<1) \\) 에 대해 \\( v\\left(r e^{i \\vartheta}\\right)= \\lambda P_{r}(\\vartheta) \\) 임을 논의하라.", "</p><p>\\(22\\). \\( u(z) \\) 가 \\( \\delta>", "0 \\) 인 원반 \\( \\{z:|z|<1+\\delta\\} \\) 에서 실수값인 조화함수라 하자. \\", "( v \\) 는 원점에서 0 인 이 원반에서의 조화공액이라 하자.", "</p><p>\\[ v\\left(r e^{i \\vartheta}\\right)=\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} u\\left(e^{i t}\\right) \\frac{2 r \\sin (\\vartheta-t)}{1-2 r \\cos (\\vartheta-t)+r^{2}} d t \\] 임을 증명하라.", "(도움말 : 함수 \\[ f(z)=\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} u\\left(e^{i t}\\right) \\frac{e^{i t}+z}{e^{i t}-z} d t \\] 는 원반 \\( \\{z:|z|<1\\} \\) 에서 해석적이고 그것의 실부는 식 \\((6.12)\\)에 의해 \\( u(z) \\) 이다.)", "</p><p>\\( 23 \\).", "</p><ol type=a start=1><li>다음을 증명하라. \\", "[ \\int_{0}^{2 \\pi} \\frac{\\sin (\\vartheta-t)}{R^{2}-2 r R \\cos (\\vartheta-t)+r^{2}} d t=0 \\]</li><li>식 \\( (6.10) \\) 을 증명하라.", "</li><li>\\( r<R \\) 이고 \\( \\zeta=R e^{i t}, z=r e^{i \\vartheta} \\) 라 할 때 \\[ P_{\\frac{r}{R}}(\\vartheta-t)=\\frac{R^{2}-r^{2}}{R^{2}-2 r R \\cos (\\vartheta-t)+r^{2}}=\\Re\\left\\{\\frac{\\zeta+z}{\\zeta-z}\\right\\} \\] 임을 증명하라.", "</li><li>(c)에서 \\[ \\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} P_{\\frac{r}{R}}(\\vartheta-t)=1 \\] 임을 증명하라.", "</li></ol><p>\\(24\\).", "조르당 영역에서 디리클레 문제의 해의 논의를 완성하라.", "</p><p>푸리에 급수(Fourier series)와 조화함수 \\( { }^{*}(25 \\sim 32) \\)</p><p>\\(25\\). \\", "( u\\left(e^{i \\vartheta}\\right) \\) 가 원 \\( \\left\\{e^{i \\vartheta}: 0 \\leq \\vartheta \\leq 2 \\pi\\right\\} \\) 에서 조각별로 연속이라 하자. \\", "[ \\hat{u}(n)=\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} u\\left(e^{i \\vartheta}\\right) e^{-i n \\vartheta} d \\vartheta, n=0, \\pm 1, \\pm 2, \\cdots \\] 라 놓자. \\", "( \\hat{u}(n) \\) 은 \\( u \\) 의 \\( n \\) 번째 푸리에 계수(Fourier coefficient)라 부른다. \\", "[ |\\hat{u}(n)| \\leq \\max _{0 \\leq \\vartheta \\leq 2 \\pi}\\left|u\\left(e^{i \\vartheta}\\right)\\right| \\] 임을 보여라.", "</p><p>\\(26\\). \\", "( k \\) 가 정수라 하자.", "</p><p>\\[ \\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} e^{i k \\vartheta} d \\vartheta=\\left\\{\\begin{array}{cc} 1, & k=0 \\\\ 0, & k \\neq 0 \\end{array}\\right. \\]", "임을 보여라.", "</p><p>\\(27\\). \\", "( u\\left(e^{i \\vartheta}\\right)=\\sum_{-\\infty}^{\\infty} a_{n} e^{i n \\vartheta}\\left(\\right. \\)", "단, \\( \\left.\\", "sum_{-\\infty}^{\\infty}\\left|a_{n}\\right|<\\infty\\right) \\) 이면 \\( a_{n}=\\hat{u}(n) \\) 임을 보여라.", "</p> <p>[정리 \\(6.7\\)] (슈바르츠 정리-원반에서의 디리클레 경계값 문제) 함수 \\( u\\left(R e^{i t}\\right. \\) )가 실변수 \\( t(0 \\leq t \\leq 2 \\pi) \\) 에 관한 연속함수이고 \\( u(R)=u\\left(R e^{2 \\pi i}\\right) \\) 라고 하자.", "그러면 식 \\[ U\\left(r e^{i \\vartheta}\\right)=\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} \\frac{R^{2}-r^{2}}{R^{2}-2 r R \\cos (\\vartheta-t)+r^{2}} u\\left(R e^{i t}\\right) d t(r<R) \\] 로 정의된 함수 \\( U(z) \\) 는 다음 조건을 만족한다.", "</p><ol type=i start=1><li>\\( U(z) \\) 는 원반 \\( |z|<R \\) 에서 조화적이다. \\", "( (U(z) \\) 를 \\( u(z) \\) 의 조화확장이라 부른다. \\", "( ) \\)</li><li>각 고정된 \\( \\vartheta(0 \\leq \\vartheta \\leq 2 \\pi) \\) 에 대해 다음이 성립한다. \\", "[ \\lim _{r \\rightarrow R} U\\left(r e^{i \\vartheta}\\right)=u\\left(R e^{i \\vartheta}\\right) \\quad(r<R) \\]</li></ol><p>참고 \\(1\\) : 위의 증명을 약간 변형하면 이 정리의 조건을 만족하는 임의의 함수는 닫힌 원반 \\( |z| \\leq R \\) 에서 연속임을 알 수 있다.", "최대 절대값 정리에 의해 푸아송 적분공식의 함수 \\( u(z) \\) 는 이 정리의 조건을 만족할 수 있는 유일한 함수이다.", "</p><p>참고 \\(2\\) : 정리 \\( 6.7 \\) 에서 함수 \\( u\\left(R e^{i \\vartheta}\\right) \\) 가 조각별로 연속이라고만 가정해도 결론 (ⅰ)은 역시 성립하고 \\( (\\mathrm{ⅱ}) \\) 는 \\( u \\) 가 연속인 점에서만 \\( \\lim _{r \\rightarrow R} U\\left(r e^{i \\vartheta}\\right)=u\\left(R e^{i \\vartheta}\\right) \\) 가 된다는 제한하에 성립한다.", "정리 \\( 6.7 \\) 을 서술하기에 앞서 이것을 증명하였다.", "</p><p>참고 3 : 따름정리 \\( 6.4 \\) 에 의하면 영역이 유계이고 주어진 경계함수가 연속일 때 디리클레 문제의 해가 존재한다면 유일하다.", "디리클레 문제의 해가 존재하는 영역을 디리클레 영역이라 부른다.", "</p><p>[예제 \\(6.1\\)] \\( x^{2}+y^{2}<1 \\) 에서 조화적이고 반원 \\( x^{2}+y^{2}=1(y>0) \\) 에서 값이 \\(1\\) 이며 반원 \\( x^{2}+y^{2}=1(y<0) \\) 에서 값이 \\( -1 \\) 인 함수 \\( u(x, y) \\) 를 구하라.", "</p><p>풀이 푸아송 적분공식 \\((6.12)\\)에 의해 바로 구할 수 있다. \\", "[ u\\left(r e^{i \\vartheta}\\right)=\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{\\pi} \\frac{1-r^{2}}{1-2 r \\cos (\\vartheta-t)+r^{2}} d t-\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{-\\pi}^{0} \\frac{1-r^{2}}{1-2 r \\cos (\\vartheta-t)+r^{2}} d t \\] 적분을 다음과 같이 계산한다. \\", "[ \\Re\\left(\\frac{1+z}{1-z}\\right)=\\frac{1-r^{2}}{1-2 r \\cos \\vartheta+r^{2}} \\quad\\left(z=r e^{i \\vartheta}\\right) \\] 이고 \\[ \\frac{1+z}{1-z}=1+\\frac{2 z}{1-z} \\] 이므로 \\[ \\frac{1+z e^{-i t}}{1-z e^{-i t}}=1+\\frac{2 z e^{-i t}}{1-z e^{-i t}} \\] 를 얻는다.", "따라서 \\( \\begin{aligned} \\int_{0}^{\\pi} \\frac{1+z e^{-i t}}{1-z e^{-i t}} d t &=\\pi+2 z \\overline{\\left(\\int_{0}^{\\pi} \\frac{e^{i t}}{1-\\bar{z} e^{i t}} d t\\right)}=\\pi+\\\\ &=\\pi+2 z(+i)\\left(-\\frac{1}{\\bar{z}} \\int_{\\gamma} \\frac{-\\bar{z}}{1-\\bar{z}} d w\\right) \\end{aligned} \\) \\( =\\pi-i 2 z \\overline{\\frac{1}{z}[\\ln (1-\\bar{z} w)]_{\\gamma}} \\) \\( =\\pi-2 i\\left[\\overline{\\ln |1-\\bar{z} w|+i \\arg (1-\\bar{z} w)]_{1}^{-1}}\\right. \\) \\", "( =\\pi-2 i[\\ln |1-\\bar{z} w|-i \\arg (1-\\bar{z} w)]_{1}^{-1} \\) 이 된다.", "[여기서 \\( \\gamma \\) 는 반원 \\( \\left\\{e^{i t}: 0 \\leq t \\leq \\pi\\right\\} \\) 이고, \\( -\\bar{z}(1-\\bar{z} w)^{-1} \\) 의 \\( w \\) 에 대한 역도 함수는 \\( \\log (1-\\bar{z} w) \\) 인데 \\( \\arg \\frac{z}{\\zeta}=\\arg z-\\arg \\zeta \\) 이고 \\( \\overline{\\arg \\bar{z}}=\\arg \\bar{z}=-\\arg z \\) (연습문 제 \\(1.1\\)의 \\(1.1.1\\)절-\\(1.1.3\\)절 \\(22\\))인 사실을 이용하였다.]", "양변의 실부를 택하면, \\[ \\begin{aligned} \\int_{0}^{\\pi} \\frac{1-r^{2}}{1-2 r \\cos (\\vartheta-t)+r^{2}} d t &=\\Re\\left(\\int_{0}^{\\pi} \\frac{1+z e^{-i t}}{1-z e^{-i t}} d t\\right) \\\\ &=\\pi-2(\\arg (1+\\bar{z})-\\arg (1-\\bar{z})) \\\\ &=\\pi-2 \\arg \\frac{1+z}{1-\\bar{z}} \\frac{1+z}{\\left(\\frac{1+z}{1-z}\\right)} \\\\ &=\\pi-2 \\arg \\\\ &=\\pi+2 \\operatorname{Arg} \\frac{1+z}{1-z} \\end{aligned} \\] 를 얻는다.", "마찬가지로 \\[ \\int_{-\\pi}^{0} \\frac{1-r^{2}}{1-2 r \\cos (\\vartheta-t)+r^{2}} d t=\\pi-2 \\operatorname{Arg}\\left(\\frac{1+z}{1-z}\\right) \\] 이다.", "이 두 식을 첫 번째 식의 우변에 대체시키면 \\[ u(z)=\\frac{2}{\\pi} \\operatorname{Arg}\\left(\\frac{1+z}{1-z}\\right) \\] 를 얻는다.", "</p><p>[예제 \\(6.2\\)] \\( |z|<R \\) 에 대해 다음을 만족하는 조화함수 \\( u(z) \\) 를 구하라. \\", "[ \\lim _{r \\rightarrow R} u\\left(r e^{i \\vartheta}\\right)=\\left\\{\\begin{array}{ll} 1, & 0<\\vartheta<\\pi \\\\ 0, & \\pi<\\vartheta<2 \\pi \\end{array}\\right. \\]", "</p><p>풀이 \\( \\zeta=R e^{i \\varphi}, z=r e^{i \\vartheta} \\) 에 대해 \\[ u(z)=\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{\\pi} \\frac{R^{2}-r^{2}}{R^{2}-2 r R \\cos (\\vartheta-\\varphi)+r^{2}} d \\varphi=\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{\\pi} \\Re \\frac{\\zeta+z}{\\zeta-z} d \\varphi \\] 는 \\( |z|<R \\) 에 대해 조화적이다.", "이를 적분하면 다음과 같다. \\", "[ \\begin{aligned} u(z) &=\\left.\\", "frac{1}{\\pi} \\tan ^{-1}\\left(\\frac{R+r}{R-r} \\tan \\frac{\\varphi-\\vartheta}{2}\\right)\\right|_{0} ^{\\pi} \\\\ &=\\frac{1}{\\pi}\\left[\\tan ^{-1}\\left(\\frac{R+r}{R-r} \\tan \\frac{\\pi-\\vartheta}{2}\\right)-\\tan ^{-1}\\left(\\frac{R+r}{R-r} \\tan \\frac{-\\vartheta}{2}\\right)\\right] \\end{aligned} \\] 삼각항등식 \\( \\tan (\\alpha-\\beta)=\\frac{\\tan \\alpha-\\tan \\beta}{1+\\tan \\alpha \\tan \\beta} \\) \\( \\tan \\left(\\frac{\\pi-\\vartheta}{2}\\right)=\\cot \\frac{\\vartheta}{2} \\) \\( \\tan \\frac{\\vartheta}{2}+\\cot \\frac{\\vartheta}{2}=\\frac{2}{\\sin \\vartheta} \\) 에 의해 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} \\tan \\pi u(z)=& \\frac{\\frac{R+r}{R-r}\\left[\\tan \\frac{\\pi-\\vartheta}{2}-\\tan \\frac{-\\vartheta}{2}\\right]}{1+\\left(\\frac{R+r}{R-r}\\right)^{2} \\tan \\frac{\\pi-\\vartheta}{2} \\tan \\frac{-\\vartheta}{2}} \\\\ &=\\frac{\\frac{R+r}{R-r}\\left(\\cot \\frac{\\vartheta}{2}+\\tan \\frac{\\vartheta}{2}\\right)}{1-\\left(\\frac{R+r}{R-r}\\right)^{2}}=\\frac{R^{2}-r^{2}}{-2 r R \\sin \\vartheta} \\end{aligned} \\) 역 탄젠트 함수의 값이 구간 \\( [0, \\pi] \\) 에 있도록 제한하면 다음을 얻는다. \\", "[ u\\left(r e^{i \\vartheta}\\right)=\\frac{1}{\\pi} \\tan ^{-1} \\frac{R^{2}-r^{2}}{-2 r \\sin \\vartheta} \\] 이 제한에 의해 \\[ \\lim _{r \\rightarrow R} \\tan ^{-1} \\frac{R^{2}-r^{2}}{-2 r R \\sin \\vartheta}=\\left\\{\\begin{array}{ll} \\pi, & 0<\\vartheta<\\pi \\\\ 0, & \\pi<\\vartheta<2 \\pi \\end{array}\\right. \\] 이고, 따라서 다음 경계조건 \\[ \\lim _{r \\rightarrow R} u\\left(r e^{i \\vartheta}\\right)=\\left\\{\\begin{array}{ll} 1, & 0<\\vartheta<\\pi \\\\ 0, & \\pi<\\vartheta<2 \\pi \\end{array}\\right. \\]", "을 만족한다.", "</p> <p>\\(12\\).", "위의 문제를 이용하여 반평면에 대한 디리클레 문제를 공식화하고 풀어라.", "</p><p>\\(13\\). \\", "( U(z) \\) 를 위반평면 \\( \\Im z \\geq 0 \\) 에 대한 디리클레 문제의 해라 가정하자.", "임의의 상수 \\( a \\) 와 \\( b \\) 에 대해 다음 함수도 역시 해임을 증명하라.", "</p><p>\\[ U(z)+a y+b x y, \\quad z=x+i y \\]</p><p>\\(14\\).", "원반 \\( |z|<R \\) 에서 다음 조건을 만족하는 조화함수 \\( u(z) \\) 를 구하라.", "</p><p>\\[ \\lim _{r \\rightarrow R} u\\left(r e^{i \\vartheta}\\right)=\\left\\{\\begin{array}{ll} 0, & 0<\\vartheta<\\pi \\\\ 1, & \\pi<\\vartheta<2 \\pi \\end{array}\\right. \\]", "</p><p>\\(15\\).", "경계값 문제 \\[ \\frac{\\partial^{2} \\Phi}{\\partial x^{2}}+\\frac{\\partial^{2} \\Phi}{\\partial y^{2}}=0, y>0 ; \\lim _{y \\rightarrow 0^{+}} \\Phi(x, y)=F(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll} T_{0}, & x<-1 \\\\ T_{1}, & -1<x<1 \\\\ T_{2}, & x>1 \\end{array}\\right. \\] 을 풀어라(그림 \\(6.5\\)).", "단, \\( T_{0}, T_{1}, T_{2} \\) 는 상수이다.", "</p><p>\\(16\\). \\", "( |z|<1 \\) 에서 조화적이고 \\( |z|=1 \\) 위에서는 \\[ u(1, \\vartheta)=\\left\\{\\begin{array}{ll} 1, & 0<\\vartheta<\\pi \\\\ 0, & \\pi<\\vartheta<2 \\pi \\end{array}\\right. \\]", "에 의해 주어진 값을 갖는 함수 \\( \\varphi(r, \\vartheta) \\) 를 구하라.", "</p><p>\\(17\\).", "<ol type=a start=1><li>\\( z \\)-평면의 위반평면 \\( \\Im z>0 \\) 에서 조화적이고, \\( x \\)-축 위에서는 \\[ u(x)=\\left\\{\\begin{array}{cc} 0, & x>0 \\\\ 1, & x<0 \\end{array}\\right. \\]", "에 의해 주어진 값을 갖는 함수를 찾아라.", "</li><li>(a)를 이용해 \\( |z|<1 \\) 에서 조화적이고 원 \\( |z|=1 \\) 위에서는 \\[ u(z)=\\left\\{\\begin{array}{ll} 0, & \\Re z>0 \\\\ 1, & \\Re z<0 \\end{array}\\right. \\]", "에 의해 주어진 값을 갖는 함수를 찾아라.", "</li></ol></p><p>\\(18\\).", "함수 \\[ u\\left(r e^{i \\vartheta}\\right)=\\frac{2}{\\pi} \\tan ^{-1} \\frac{2 r \\sin \\vartheta}{1-r^{2}} \\quad(r<1) \\] 는 \\( |z|<1 \\) 에서 조화적이고, 다음 경계조건을 만족함을 증명하라.", "</p><p>\\[ \\lim _{r \\rightarrow 1} u\\left(r e^{i \\vartheta}\\right)=\\left\\{\\begin{array}{cl} 1, & 0<\\vartheta<\\pi \\\\ 0, & \\pi<\\vartheta<2 \\pi \\end{array}\\right. \\]", "</p><p>\\(19\\). \\", "( u(z) \\) 가 원 \\( |z|=R \\) 에서 정의된 유한개의 점을 제외한 모든 점에서 연속함수이면 \\( |z|<R \\) 에 대해 \\( z \\) 가 그 경계로 접근할 때 \\( u\\left(R e^{i \\vartheta}\\right) \\) 로 접근하는 유일한 함수가 존재하는가?", "(도움말 : 문제 \\(8\\) 과 연습문제 \\( 6.1 \\) 의 \\(7\\) 을 참조하라.)", "</p><p>\\(20\\).", "함수 \\[ u\\left(r e^{i \\vartheta}\\right)=\\frac{1-r^{2}}{1-2 r \\cos \\vartheta+r^{2}} \\] 은 원반 \\( \\{z:|z|<1\\} \\) 에서 조화적이다. \\", "( 0<|\\vartheta| \\leq \\pi \\) 이면 \\[ \\lim _{r \\rightarrow 1} u\\left(r e^{i \\vartheta}\\right)=0 \\] 임을 증명하라.", "</p> <p>[정리 \\(6.10\\)] \\( \\left\\{u_{n}(z)\\right\\} \\) 는 영역 \\( D \\) 의 모든 컴팩트인 부분집합에서 \\( u(z) \\) 에 균등수렴하는 조화함수들의 수열이라고 하면, \\( u(z) \\) 는 \\( D \\) 안의 모든 점에서 조화적이다.", "</p><p>증명 각 \\( n \\) 에 대해 \\( u_{n}(z) \\) 는 연속이므로 \\( u(z) \\) 도 연속함수다.", "주어진 한 점 \\( z_{0} \\in D \\) 와 \\( D \\) 안에 포함되는 \\( \\left|z-z_{0}\\right| \\leq r \\) 에 대해 \\[ u_{n}\\left(z_{0}\\right)=\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} u_{n}\\left(z_{0}+r e^{i \\vartheta}\\right) d \\vartheta \\] 이므로 균등수렴성에 의해 \\[ \\begin{aligned} u\\left(z_{0}\\right) &=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} u_{n}\\left(z_{0}\\right)=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} u_{n}\\left(z_{0}+r e^{i \\vartheta}\\right) d \\vartheta \\\\ &=\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} u\\left(z_{0}+r e^{i \\vartheta}\\right) d \\vartheta \\end{aligned} \\] 이다.", "따라서 정리 \\( 6.9 \\) 로부터 \\( u(z) \\) 는 \\( z=z_{0} \\) 에서 조화적이고, \\( z_{0} \\) 은 \\( D \\) 의 임의의 점이므로 \\( u(z) \\) 는 \\( D \\) 에서 조화적이다.", "</p><p>[정리 \\(6.11\\)] (하르낙(Harnack)의 원리) \\( \\left\\{u_{n}(z)\\right\\} \\) 는 영역 \\( D \\) 에서 정의된 조화함수들의 수열이고 각 \\( z \\in D \\) 와 각 \\( n \\) 에 대해 \\( u_{n+1}(z) \\geq u_{n}(z) \\) 이라고 하자. \\", "( \\left\\{u_{n}(z)\\right\\} \\) 가 \\( D \\) 안의 적어도 한 점에서 수렴하면, \\( \\left\\{u_{n}(z)\\right\\} \\) 는 \\( D \\) 안의 모든 점에서 수렴한다.", "또한 \\( \\left\\{u_{n}(z)\\right\\} \\) 는 \\( D \\) 의 컴팩트 부분집합에서 균등수렴하고, 극한함수는 \\( D \\) 에서 조화적이다.", "</p><p>증명 \\( \\quad u_{n}(z) \\geq 0 \\) 이라 가정해도 좋다.", "이는 \\( u_{1}(z)<0 \\) 이라 하면, \\( \\left\\{u_{n}(z)-u_{1}(z)\\right\\} \\) 에 대해 정리를 증명할 수 있기 때문이다.", "각 \\( n \\) 에 대해 \\( u_{n}(z) \\leq u_{n+1}(z) \\) 이므로 \\( D \\) 안의 각 \\( z \\) 에 대해 \\( \\left\\{u_{n}(z)\\right\\} \\) 는 수렴하거나 또는 \\( \\infty \\) 에 접근한다.", "이제 \\[ \\begin{array}{l} A=\\left\\{z \\in D: u_{n}(z) \\rightarrow \\infty\\right\\}, \\\\ B=\\left\\{z \\in D: u_{n}(z) \\text { 이 수렴한다 }\\right\\} \\end{array} \\] 로 놓고, 임의의 \\( z_{0} \\in D \\) 에 대해 \\( D \\) 안에 포함되는 원반 \\( \\left|z-z_{0}\\right| \\leq R \\) 을 취한다.", "그러면, \\( \\left|z-z_{0}\\right| \\leq \\frac{R}{2} \\) 을 만족하는 모든 \\( z \\) 에 대해 하르낙의 부등식(정리 \\(6.8\\))에 의해 \\[ \\frac{1}{3} u_{n}\\left(z_{0}\\right)=\\frac{R-\\frac{R}{2}}{R+\\frac{R}{2}} u_{n}\\left(z_{0}\\right) \\leq u_{n}(z) \\leq \\frac{R+\\frac{R}{2}}{R-\\frac{R}{2}} u_{n}\\left(z_{0}\\right)=3 u_{n}\\left(z_{0}\\right) \\]<caption>(6.21)</caption>을 얻는다. \\", "( u_{n}\\left(z_{0}\\right) \\rightarrow \\infty \\) 이면 식 \\((6.21)\\)의 왼쪽 부등식에 의해 \\( \\left|z-z_{0}\\right| \\leq \\frac{R}{2} \\) 에 대해 \\( u_{n}(z) \\rightarrow \\infty \\) 이 된다. \\", "( \\left\\{u_{n}\\left(z_{0}\\right)\\right\\} \\) 이 수렴하면, 식 \\( (6.21) \\) 의 오른쪽 부등식에 의해 \\( \\left|z-z_{0}\\right| \\leq \\frac{R}{2} \\) 에 대해 \\( \\left\\{u_{n}(z)\\right\\} \\) 은 수렴한다.", "따라서 \\( A \\cup B=D \\) 이고 \\( A \\) 와 \\( B \\) 는 둘 다 열린 집합이다.", "그런데 \\( D \\) 는 연결집합이므로 \\( A=\\emptyset \\) 이거나 \\( B=\\emptyset \\) 이어야 한다.", "가정에 의해 \\( B \\) 안에는 적어도 한 점이 있으므로 \\( A=\\emptyset \\) 이 되고, \\( B=D \\) 가 되어 \\( \\left\\{u_{n}(z)\\right\\} \\) 은 \\( D \\) 안의 모든 점에서 수렴한다.", "</p><p>이제 \\( \\left\\{u_{n}(z)\\right\\} \\) 는 \\( D \\) 의 컴팩트 부분집합에서 균등수렴함을 보이자. \\", "( u_{n+p}(z)-u_{n}(z) \\) 에 하르낙의 부등식(정리 \\(6.8\\))을 적용하면, \\( \\left|z-z_{0}\\right| \\leq \\frac{R}{2} \\) 에 대해 \\[ u_{n+p}(z)-u_{n}(z) \\leq 3\\left[u_{n+p}\\left(z_{0}\\right)-u_{n}\\left(z_{0}\\right)\\right], \\quad(p=1,2, \\cdots) \\]<caption>(6.22)</caption>코시 판정법에 의해 \\( n>N(\\varepsilon) \\) 일 때 \\[ u_{n+p}\\left(z_{0}\\right)-u_{n}\\left(z_{0}\\right)<\\varepsilon \\] 이므로, 식 \\((6.22)\\)로부터 \\( \\left\\{u_{n}(z)\\right\\} \\) 는 \\( z_{0} \\) 의 어떤 근방에서 균등수렴한다. \\", "( z_{0} \\) 은 \\( D \\) 의 임의의 점이므로 \\( D \\) 안의 각 점에서 \\( \\left\\{u_{n}(z)\\right\\} \\) 가 균등수렴하는 근방이 대응한다.", "이제 \\( K \\) 를 \\( D \\) 의 컴팩트 부분집합이라 하고, \\( K \\) 의 각 점에 대해 \\( \\left\\{u_{n}(z)\\right\\} \\) 가 균등수렴하는 근방을 그리면, 하이네-보렐 정리(유계이고 닫힌영역은 컴팩트이다)에 의해 유한개의 근방으로 \\( K \\) 를 덮을 수 있다.", "그러나, 유한개의 서로 다른 집합에서 균등수렴하는 수열은 그들의 합집합 위에서 균등수렴하지 않으면 안되므로 \\( \\left\\{u_{n}(z)\\right\\} \\) 는 \\( K \\) 위에서 균등수렴한다.", "한편 정리 \\( 6.10 \\) 에 의해 극한함수는 \\( D \\) 에서 조화적이 됨을 알 수 있다.", "</p><p>하르낙의 부등식(정리 \\(6.8\\))에 따르면, \\( u(z) \\) 가 \\( |z|<1 \\) 에서 조화적이고, \\( u(z)>0 \\) 이 고, 또한 \\( u(0)=1 \\) 이라 하면, \\( |z|<1 \\) 에 대해 다음 부등식이 성립한다.", "</p><p>\\[ u(z) \\leq \\frac{1+|z|}{1-|z|}</p>\\]<p>이와 비슷한 결과가 해석함수에 대해서도 성립한다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "복소해석학개론_조화함수", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-a0df-4dfc-9b1e-48c321f52e3a", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961052481", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2009", "doc_author": [ "고석구" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>정리 \\(7\\)</p><ol type=1 start=1><li>가부번집합 \\( X \\)에 유한개의 원소를 첨가해도, 또는</li><li>\\( X \\)에서 유한개의 원을 덜어내도 여전히 가부번집합이다.", "</li></ol><p>즘명 (1) \\( X=\\left\\{a_{i} \\mid i \\in \\mathbb{N}\\right\\} \\) 에 \\( p \\)개의 원 \\( b_{1}, b_{2}, \\cdots, b_{p} \\)를 첨가한 집합</p><p>\\( X^{\\prime}=\\left\\{b_{1}, b_{2}, \\cdots, b_{p}, a_{1}, a_{2}, \\cdots\\right\\} \\)</p><p>에서 \\( b_{1}=c_{1}, b_{2}=c_{2}, \\cdots, b_{p}=c_{p}, a_{1}=c_{p+1}, \\cdots, a_{n}=c_{p+n}, \\cdots \\)으로 놓으면 \\( X^{\\prime} \\)도 가부번집합이 된다.", "</p><p>\\((2)\\)의 증명도 쉽게 해결된다.", "</p><p>두 개의 가부번집합 \\( X, Y \\)의 합집합도 가부번집합이다.", "예를 들면 정수 전체의 집합 \\( \\mathbb{Z}=\\mathbb{N} \\cup\\{0\\} \\cup\\{-n \\mid n \\in \\mathbb{N}\\} \\)는 가산이다.", "위의 사실을 되풀이하면 유한 개의 가부번집합의 합집합도 가산이다.", "더 나아가 가산개의 가부번집합의 합집합도 가부번집합이 된다.", "</p><p>정리 \\(8\\) \\( \\left\\{X_{n} \\mid n \\in \\mathbb{N}\\right\\} \\)을 가부번집합들의 집합족이라 할 때 \\( \\bigcup_{n \\in \\mathbb{N}} X_{n} \\)은 가부변집합이다.", "</p><p>증명 \\( X_{n} \\) 의 모든 원을 \\( a_{n 1}, a_{n 2}, a_{n 3}, \\cdots, a_{n n}, \\cdots \\) 와 같이 표시하자.", "합집합 \\( \\bigcup_{n \\in \\mathbb{N}} X_{n} \\)의 모든 원은</p><p>\\( \\bigcup_{n \\in \\mathbb{N}} X_{n}=\\left\\{a_{n m} \\mid n, m \\in \\mathbb{N}\\right\\} \\)</p><p>와 같이 이중의 번호를 붙여서 표시한다.", "즉, 자세히 살펴본다.", "</p><p>\\( X_{1}=\\left\\{a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14}, \\cdots\\right\\} \\) \\( X_{2}=\\left\\{a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{24}, \\cdots\\right\\} \\) \\( X_{3}=\\left\\{a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34}, \\cdots\\right\\} \\) \\( X_{4}=\\left\\{a_{41}, a_{42}, a_{43}, a_{44}, \\cdots\\right\\} \\) \\( \\ldots \\ldots \\ldots \\ldots \\)</p><p>위에서 화살표방향으로 \\( a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{13}, \\cdots \\)와 같이 다시 나열하여 다시 번호를 붙여 나아가면 \\( \\bigcup_{n \\in \\mathbb{N}} X_{n} \\)은 가부번집합이다.", "</p><p>정리 \\(9\\) \\( \\left\\{X_{n} \\mid n \\in \\mathbb{N}\\right\\} \\)를 가부번집합들의 집합족이라 할 때 데카르트 곱 \\( \\prod_{n \\in \\mathbb{N}} X_{n} \\)도 가부번집합이다.", "</p><p>증명 정리 \\(8\\)과 비슷한 방법으로 수학젹 귀납법을 활용하여 진행되므로 독자에게 맡긴다.", "</p><p>예제 \\(5\\) \\[ \\mathbb{N}^{2}=\\mathbb{N} \\times \\mathbb{N}=\\{(p, q) \\mid p, q \\in \\mathbb{N}\\} \\text { 은 가부번집합이다. } \\]", "</p><p>풀이 \\( \\mathbb{N}^{2}=\\{(p, q) \\mid p, q \\in \\mathbb{N}\\}=\\bigcup_{\\equiv \\mathbb{N}}\\{(p, q) \\mid q \\in \\mathbb{N}\\} \\) 에서 \\( p \\)를 고정시키면 \\( \\{(p, q) \\mid \\) \\( q \\in \\mathbb{N}\\} \\)은 가부번집합이므로 정리 \\(8\\) 에 의하여 \\( \\bigcup_{p \\in \\mathbb{N}}\\{(p, q) \\mid q \\in \\mathbb{N}\\}=\\mathbb{N}^{2} \\)은 가부번집합이다.", "</p><p>예제 \\(6\\) 유리수 전체의 집합 \\( \\mathbb{Q}=\\{p / q \\mid p \\in \\mathbb{Z}, q \\in \\mathbb{N}\\} \\)은 가부번집합이다.", "</p><p>풀이 \\( \\mathbb{Q}=\\mathbb{Q}_{+} \\cup\\{0\\} \\cup \\mathbb{Q}_{-} \\)이다.(여기서 \\( \\mathbb{Q}_{+}=\\{p / q \\mid p / q>", "0\\}, \\mathbb{Q}_{-}=\\{p / q \\mid p / q<0\\} \\)이다.)", "그런데 \\( \\mathbb{Q}_{+} \\sim \\mathbb{Q}_{-} \\)이므로 \\( \\mathbb{Q} \\) 가 가부번집합입을 보이기 위하여 \\( \\mathbb{Q}_{+} \\)가 가부번집합입을 보이면 된다.", "그래서 \\( f: \\mathbb{Q}_{+} \\rightarrow \\mathbb{N} \\times \\mathbb{N} \\) 를 \\( f(p / q)=(p, q) \\)로 정의하면 \\( p \\) 와 \\( q \\) 의 쵝대공약수 \\( (p, q)=1 \\)이므로 함수 \\( f \\) 는 단사함수이다.", "그러므로 \\( f\\left(\\mathbb{Q}_{+}\\right) \\sim \\mathbb{Q}_{+} \\)이다.", "한편 \\( f\\left(\\mathbb{Q}_{+}\\right) \\subseteq \\mathbb{N} \\times \\mathbb{N} \\)이고 \\( \\mathbb{Q}_{+} \\)는 무한집합이다.", "따라서 \\( f\\left(\\mathbb{Q}_{+}\\right) \\)는 가부번집합 \\( \\mathbb{N} \\times \\mathbb{N} \\)의 무한부분집합이다. \\", "( f\\left(\\mathbb{Q}_{+}\\right) \\)는 가부번집합이므로 \\( \\mathbb{Q}_{+} \\)도 가부번집합이다.", "따라서 정리 \\(7\\)에 의하여 \\( \\mathbb{Q} \\)는 가부번집합이다.", "</p> <h1>4.1 집합의 대등</h1><p>제\\(3\\)장의 정의 \\(8\\)에서 대등(equipotent)을 언급했었다.", "즉, 두 집합 \\( X, Y \\) 에 대하여 전단사함수 \\( f: X \\rightarrow Y \\)가 존재하면 \\( X \\)와 \\( Y \\)는 대등(equipotent)이라고 하고 \\( X \\sim Y \\)로 표시했었다.", "이 절에서는 집합의 대등에 관한 다양한 성질을 알아보고 집합의 원소의 개수를 알아보는 데 중요한 개념이 될 몇 가지 정리를 알아본다.", "</p><p>예제 \\(1\\)</p><ol type=1 start=1><li>개구간 \\( (0,1) \\) 과 \\( (-1,1) \\) 은 대등이다.", "</li><li>개구간 \\( (-1,1) \\sim \\mathbb{R} \\) 이고 \\( (0,1) \\sim \\mathbb{R} \\)이다.", "</li></ol><p>풀이 \\((1)\\) 함수 \\( f:(0,1) \\longrightarrow(-1,1) \\) \\( x \\leadsto f(x)=2 x-1 \\) 로 정의하면 \\( f \\)는 전단사함수이므로 \\( (0,1) \\sim(-1,1) \\)이다.", "</p><p>\\((2)\\) 함수 \\( g:(-1,1) \\longrightarrow \\mathbb{Z} \\) \\( x \\sim \\tan \\frac{\\pi}{2} x \\) 으로 정의하면 \\( g \\) 는 전단사함수이므로 \\( (-1,1) \\sim \\mathbb{R} \\) 이고 전단사함수의 합성함수 성질에 의하여 함수 \\( f:(0,1) \\rightarrow(-1,1) \\) 과 \\( g:(-1,1) \\rightarrow \\mathbb{R} \\) \\( \\left(f(x)=2 x-1, g(x)=\\tan \\frac{\\pi}{2} x\\right) \\)의 합성함수 \\( g \\circ f:(0,1) \\rightarrow \\mathbb{R} \\)은 전단사함수이므로 \\( (0,1) \\sim \\mathbb{R} \\)이다.", "</p><p>정리 \\(1\\) 집합 \\( X, Y, Z, W \\)에 대하여 \\( X \\cap Z=\\phi=Y \\cap W \\) 이고 \\( X \\sim Y, Z \\sim W \\)라 하면 \\( X \\cup Z \\sim Y \\cup W \\)이다.", "</p><p>증명 먼저 함수의 합 \\( f \\cup g: X \\cup Z \\rightarrow Y \\cup W \\) 는 잘 정의된 함수이고 \\( f \\) 와 \\( g \\) 가 전단사함수이므로 \\( f \\cup g \\) 도 조건 \\( (X \\cap Z=\\phi=Y \\cap W) \\) 아래에서는 전단사함수가 되어서 \\( X \\cup Z \\sim Y \\cup W \\)이다.", "</p><p>예제 \\(2\\) 정리 \\(2\\)를 구체적인 집합 \\( X=\\{1,2,3\\}, Y=\\{a, b, c\\}, Z=\\{4,5\\}, W= \\{e, f\\} \\) 를 통하여 \\( X \\times Z \\sim Y \\times W \\)임을 보여라.", "</p><p>풀이 전단사함수 \\( f \\) 와 \\( g \\) 를 다음과 같이 놓자.", "즉,</p><p>이라 할 때</p><p>\\( h=\\underset{U}{X \\times Z \\longrightarrow} \\underset{\\Psi}{Y \\times W} \\) \\( (x, z) \\leadsto(f(x), g(z))=h(x, z) \\)</p><p>로 정의하면 \\( h \\) 는 자연스럽게 전단사함수가 되므로 \\( X \\times Z \\sim Y \\times W \\) 이다.", "</p><p>연습문제 \\( 4.1 \\)</p><p>\\(1.\\) 두 집합 \\( X, Y \\) 에 대하여 \\( X \\times Y \\sim Y \\times X \\)임을 보여라.", "</p><p>\\(2.\\) 집합족 \\( \\left\\{X_{a} \\mid \\alpha \\in M\\right\\},\\left\\{Y_{a} \\mid \\alpha \\in M\\right\\} \\)에 대하여 임의의 \\( \\alpha \\) 에 대하여 \\( X_{a} \\sim Y_{a} \\) 이고 \\( \\bigcap_{\\alpha \\in M} X_{\\alpha}=\\phi, \\bigcap_{\\alpha \\in M} Y_{\\alpha}=\\phi \\) 일 때 \\( \\bigcup_{\\alpha \\in M} X_{\\alpha} \\sim \\bigcup_{\\alpha} Y_{\\alpha} \\)임을 보여라.", "</p><p>\\(3.\\) 두 집합족 \\( \\left\\{X_{\\alpha} \\mid \\alpha \\in M\\right\\},\\left\\{Y_{\\alpha} \\mid \\alpha \\in M\\right\\} \\) 에 대하여 \\( X_{\\alpha} \\sim Y_{\\alpha} \\)이면 데카르토 곱 \\( \\prod_{\\alpha \\in M} X_{\\alpha} \\sim \\prod_{\\alpha \\in M} Y_{\\alpha} \\)임을 증명하여라.", "</p><p>\\(4.\\) \\( (X-Y) \\sim(Y-X) \\)이면 \\( X \\sim Y \\)임을 증명하여라.", "</p> <p>정리 \\(5\\) \\( X \\)가 무한집합이면 \\( x_{0} \\in X \\)에 대하여 \\( X-\\left\\{x_{0}\\right\\} \\)은 무한집합이다.", "</p><p>증명 정의 \\(1\\)에 의하여 단사함수 \\( f: X \\rightarrow X \\)가 존재하여 \\( f(X) \\neq X \\)이다.", "이제 두 가지 경우로 나누어 증명한다.", "</p><p>\\((1)\\) \\( x_{0} \\in f(X) \\)일 때 적당한 \\( x_{1}(\\in X) \\)이 존재하여 \\( f\\left(x_{1}\\right)=x_{0} \\)이다.", "이제 함수 \\( g: X-\\left\\{x_{0}\\right\\} \\) \\( \\rightarrow X-\\left\\{x_{0}\\right\\} \\)를 다음과 같이 정의한다.", "</p><p>\\( g(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}f(x), & x \\neq x_{1} \\\\ x_{2}, & x\\left(=x_{1}\\right) \\in X-\\left\\{x_{0}\\right\\}\\end{array}\\right. \\)", "</p><p>(여기서 \\( x_{2} \\) 는 \\( X-f(X)(\\neq \\phi) \\)의 임의의 원소이다.)", "그러면 함수 \\( g \\)는 단사이고 \\( g\\left(X-\\left\\{x_{0}\\right\\}\\right) \\neq X-\\left\\{x_{0}\\right\\} \\)이므로 \\( X-\\left\\{x_{0}\\right\\} \\)은 무한집합이다.", "</p><p>\\((2)\\) \\( x_{0} \\in X-f(X) \\)일 때,함수 \\( g: X-\\left\\{x_{0}\\right\\} \\rightarrow X-\\left\\{x_{0}\\right\\} \\) 를 다음과 같이 정의한다.", "즉, 임의의 \\( x \\in X-\\left\\{x_{0}\\right\\} \\) 에 대하여 \\( g(x)=f(x) \\).", "여기서 \\( f: X \\rightarrow X \\)가 단사이므로 \\( g: X-\\left\\{x_{0}\\right\\} \\rightarrow X-\\left\\{x_{0}\\right\\} \\)도 단사이다.", "그러면 \\( g\\left(X-\\left\\{x_{0}\\right\\}\\right) \\neq X-\\left\\{x_{0}\\right\\} \\)이므로 \\( X-\\left\\{x_{0}\\right\\} \\)은 무한집합이다.", "</p><p>여기서 \\( \\mathbb{N}_{k} \\)를 약속한다.", "임의의 \\( k(\\in \\mathbb{N}) \\)에 대하여 \\( \\mathbb{N}_{k}=\\{1,2,3, \\cdots, k\\} \\)로 약속한다.", "</p><p>예제 \\(4\\) 임의의 \\( k(\\in \\mathbb{N}) \\) 에 대하여 \\( \\mathbb{N}_{k} \\)는 유한집합이다.", "</p><p>증명 위 명제를 수학적 귀납법으로 증명한다.", "먼저 \\( k=1 \\) 일 때, \\( \\mathbb{N}_{1}=\\{1\\} \\) 즉 \\( \\mathbb{N}_{1} \\) 은 한원소집합이므로 유한집합이다.", "이제 적당한 자연수 \\( k \\) 에 대하여 \\( \\mathbb{N}_{k} \\)는 유한집합이라고 가정하자.", "여기서 \\( \\mathbb{N}_{k+1}= \\) \\( mathbb{N}_{k} \\cup\\{k+1\\} \\) 은 유한집합이다.", "왜나하면 \\( \\mathbb{N}_{k+1} \\) 이 무한집합이라고 하면 정리 \\(5\\)에 의하여 \\( \\mathbb{N}_{k} \\)도 무한집합이 되어 가정에 모순이 된다.", "따라서 \\( \\mathbb{N}_{k} \\)가 유한집합이라면 \\( \\mathbb{N}_{k+1} \\)은 유한집합이다.", "따라서 수학적 귀납법에 의하여 임의의 \\( k(\\in \\mathbb{N}) \\)에 대하여 \\( \\mathbb{N}_{k} \\)는 유한집합이다.", "</p><p>그러므로 집합 \\( X \\)에 대하여 \\( X=\\phi \\) 또는 \\( X \\)와 적당한 \\( \\mathbb{N}_{k} \\)가 대등이뎐 그리고 그때에만 \\( X \\)는 유한집합임을 정리 \\(4\\)의 계에 의하여 쉽게 알 수 있다.", "</p><p>정의 \\(2\\) 자연수집합 \\( \\mathbb{N} \\)과 대등인 집합 \\( X \\)를 가부번집합(denumberable set)이라 하고, 유한집합이거나 가부번집합을 가산집합(countable set)이라고 한다.", "</p><p>정리 \\(6\\) 가부번집합의 부분집합은 가산집합이다.", "</p><p>증명 가부번집합 \\( X \\)의 원을 빠짐없이 번호를 붙여서</p><p>\\( a_{1}, a_{2}, a_{3}, \\cdots, a_{n}, \\cdots \\)</p><p>와 같이 나열해 늫았을 때 \\( X \\)의 부분집합 \\( T(\\neq \\phi) \\)에 속하는 \\( X \\)의 원에 대한 번호의 집합을 생각하면 고것을 \\( \\mathbb{N} \\)의 부분집합이므로 그 가운데에 최소수가 있다.", "그것을 \\( n_{1} \\)이라 한다.", "다음에 \\( T-\\left\\{a_{n_{1}}\\right\\} \\neq \\phi \\)이면 그 가운데 있는 최소수를 \\( n_{2} \\) 라 하면</p><p>\\( n_{1}<n_{2}, \\quad a_{n_{2}} \\in T-\\left\\{a_{n_{1}}\\right\\} \\)</p><p>이다.", "같은 방법으로 \\( T-\\left\\{a_{n_{1}}, a_{n_{2}}\\right\\} \\neq \\phi \\)이면 최소수 \\( n_{3} \\)를 구하여 진행한다.", "이와 같이 하면 어떤 \\( k(\\in \\mathbb{N}) \\)에 대하여</p><p>\\( T-\\left\\{a_{n_{1}}, a_{n_{2}}, \\cdots, a_{n_{k}}\\right\\}=\\phi \\)<caption>(1)</caption></p><p>이든가 또는 임의의 \\( k(\\in \\mathbb{N}) \\)에 대하여</p><p>\\( T-\\left\\{a_{n_{1}}, a_{n_{2}}, \\cdots, a_{n_{k}}\\right\\} \\neq \\varnothing \\)<caption>(2)</caption></p><p>이다. \\", "((1)\\)의 경우는 증명이 끝났고, \\((2)\\)의 경우에는 입의의 \\( k(\\in \\mathbb{N})\\left\\{a_{n_{1}}, a_{n_{2}}\\right. \\)", ", \\( \\left.\\", "cdots, a_{n_{k}}\\right\\} \\subset T \\) 가 되므로 \\( T^{\\prime}=\\left\\{a_{n_{k}} \\mid k \\in \\mathbb{N}\\right\\} \\) 은 \\( T \\)에 포함된다.", "즉 \\( T^{\\prime} \\subset T \\) 이다.", "여기서 \\( T^{\\prime} \\)은 가부번집합이니까 \\( T \\subset T^{\\prime} \\)임을 보이면 \\( T=T^{\\prime} \\)가 되어 \\( T \\)가 가부번집합입을 증명한다.", "</p><p>그런데 위의 \\( \\left\\{a_{n_{k}}\\right. \\)를 정하는 방법에 의하여 다음 명제를 생각한다.", "</p><p>\\( T-\\left\\{a_{n_{1}}, a_{n_{2}}, \\cdots, a_{n_{k}}\\right\\} \\ni a_{m} \\Rightarrow n_{k}<m . \\)", "</p><p>위 명제의 대우를 취하면</p><p>\\( n_{k} \\geq m \\Rightarrow a_{m} \\notin T-\\left\\{a_{n_{1}}, a_{n_{2}}, \\cdots, a_{n_{k}}\\right\\} \\)</p><p>이다.", "그러므로 만약에 \\( a_{m} \\in T \\)라면 \\( m<n_{k} \\)가 되는 어떤 \\( k \\)에 대하여 \\( a_{m} \\in \\) \\( \\left\\{a_{n_{1}}, a_{n_{2}}, \\cdots, a_{n_{k}}\\right\\} \\subset T^{\\prime} \\)가 된다.", "즉 \\( T \\subset T^{\\prime} \\) 이다.", "</p><p>계 가부번집합의 무한부분집합은 또 하나의 가부번집합이다.", "</p><p>증명 생략.", "</p> <h1>4.2 가부번집합</h1><p>앞(\\(2.1\\)절)에서 유한개 원소를 갖는 집합을 유한집합이라고 정의하였다.", "한편 유한집합이 아닌 집합을 무한집합으로 정의하였으나 더욱 업밀한 수학적 정의로서 유한집합과 무한집합을 정리해보자.", "자연수집합 \\( \\mathbb{N} \\)은 무한집합이고 \\( \\mathbb{N} \\)의 부분집합인 짝수들의 집합 \\( \\mathbb{N}_{0}=\\{2,4,6, \\cdots\\} \\) 와 \\( \\mathbb{N} \\)은 대등이다.", "따라서 전체 집합과 그 진부분집합이 원소의 개수가 같을 수 있다는 점에 착안하여 데데킨트(Richard Dedekind, 1813 1916)는 무한집합과 유한집합을 다음과 같이 정의하였다.", "</p><p>정의 \\(1\\) 어떤 집합 \\( X \\)가 무한집합이라 함은 \\( X \\)와 대등인 어떤 진부분집합 \\( Y(\\subsetneq X) \\)가 존재하는 것이고, 무한집합이 아닌 집합을 유한집합이라고 한다.", "즉, 집합 \\( X \\)가 무한집합이라 함은 단사함수 \\( f: X \\rightarrow X \\)가 존재하여 \\( f(X) \\neq X \\)임을 의미한다.", "</p><p>예제 \\(3\\) 자연수집합 \\( \\mathbb{N} \\)이나 실수집합 \\( \\mathbb{R} \\)은 무한집합이다.", "</p><p>풀이 자연수 집합 \\( \\mathbb{N} \\)의 진부분집합 \\( \\mathbb{N}_{0} \\) (짝수들의 집합)가 존재하여 \\( \\mathbb{N}_{0} \\sim \\mathbb{N} \\) 이고 \\( \\mathbb{R} \\)의 진부분집합 \\( (-1,1) \\)이 존재하여 \\( (-1,1) \\sim \\mathbb{R} \\) (예제 \\(1\\) 참조)이기 때문이다.", "</p><p>정리 \\(3\\)</p><ol type=1 start=1><li>임의의 무한집합의 초집합(super set)은 무한집합이다.", "</li><li>임의의 유한집합의 부분집합은 유한집합이다.", "</li></ol><p>\\((1)\\) 임의의 무한집합을 \\( X \\)라 하고 그 초집합을 \\( Y( \\) 즉 \\( X \\subseteq Y) \\)라 할 때 정의 \\(1\\)에 의하여 단사함수 \\( f: X \\rightarrow X \\)가 존재하고 \\( f(X) \\neq X \\)이다.", "여기서 함수 \\( g: Y \\rightarrow Y \\)를</p><p>\\( g(y)=\\left\\{\\begin{array}{ll}f(y), & y \\in X \\\\ y, & y \\in Y-X\\end{array}\\right. \\)", "</p><p>로 정의하면 \\( g \\)는 단사함수이고 \\( g(Y) \\neq Y \\)이다.", "그러므로 \\( X \\)의 초집합 \\( Y \\)는 무한집합이다.", "</p><p>\\((2)\\) 임의의 유한집합 \\( Y \\)에 대하여 \\( \\neg \\mathcal{I} \\) 부분집합을 \\( X(X \\subset Y) \\)라 늫자.", "그 \\( X \\) 가 유한집합입을 보이기 위하여 귀류법을 사용하여 \\( X \\)가 무한집합이라고 가정한다.", "그러면 \\((1)\\)에 의하여 \\( Y \\)는 무한집합이 되어 가정에 모순된다.", "따라서 \\( X \\)는 유한집합이다.", "</p><p>한편 공집합 \\( \\phi \\)과 한원소집합(singleton)은 유한집합이다.", "</p><p>정리 \\(4\\) 집합 \\( X \\)와 \\( Y \\)가 대등일 때 \\( X \\)가 무한집합이면 \\( Y \\)도 무한집합이다.", "</p><p>증명 \\( X \\) 는 무한집합이므로 정의 \\(1\\) 에 의하여 단사함수 \\( f: X \\rightarrow X \\)가 존재하여 \\( f(X) \\) \\( \\neq X \\) 이다. \\", "( g: X \\rightarrow Y \\) 는 전단사함수이므로 \\( g^{-1}: Y \\rightarrow X \\) 도 전단사함수이다.", "여기서 새로운 단사함수 \\( h=g \\circ f \\circ g^{-1}: Y \\rightarrow Y \\) 를 만들 수 있다.", "그러므로</p><p>\\( \\begin{aligned} h(Y) &=\\left(g \\circ f \\circ g^{-1}\\right)(Y) \\\\ &=(g \\circ f)\\left(g^{-1}(Y)\\right) \\\\ &=(g \\circ f)(X)=g(f(X)) \\end{aligned} \\)</p><p>인데 \\( f(X) \\neq X \\)이고 \\( g \\)는 전단사함수이므로 \\( g(f(X)) \\neq Y \\)이다.", "즉 \\( h(Y) \\neq Y \\)이다.", "따라서 \\( h(Y) \\)는 \\( Y \\)의 진부분집합이므로 \\( Y \\)는 무한집합이다.", "</p><p>계 \\( X \\)가 유한집합이고 \\( X \\)와 \\( Y \\)가 대등하면 \\( Y \\)도 유한집합이다.", "</p><p>증명 생략.", "</p> <p>연습문제 \\( 4.2 \\)</p><p>\\(1.\\) 모든 무한집합은 가부번집합을 부분집합으로 포함함을 증명하여라.", "</p><p>\\(2.\\) \\( X \\)가 가부번집합이고 \\( Y \\)가 유한집합이면 \\( X-Y \\)도 가부번집합입을 보여라,</p><p>\\(3.\\) 유리수 집합 \\( \\mathbb{Q} \\) 에 대하여 \\( \\mathbb{Q} \\times \\mathbb{Q} \\)이 가부번집합입을 보여라.", "</p><p>\\(4.\\) \\( X \\)가 가부번집합이고 \\( Y \\subseteq X \\)이며 \\( f: Y \\rightarrow X \\)가 단사함수이면 \\( Y \\)는 가산집합임을 증명하여라.", "</p><h1>4.3 비가부번집합</h1><p>앞 절에서는 가부번집합의 여러 가지 성질을 공부했는데 도대체 “가부번집합이 아닌 무한집합이 있느나?\" 하는 의문을 갖게 된다.", "물론 가부번집합이 아닌 무한집합이 무수히 많이 있다.", "칸토어(G. Cantor)가 집합을 연구하던 중 비가부번집합의 존재성을 증명하면서 자기 자신도 매우 놀랐다고 한다.", "</p><p>정의 \\(3\\) 자연수집합과 일대일 대응이 되지 않는 무한집합을 비가부번집합(non-denumberable set)이라 한다.", "</p><p>참고로 가산집합이 아닌 집합을 비가산집합(uncountable set)이라 한다.", "즉, 비가산집합은 유한집합도 아니고 가부번집합도 아닌 무한집합이다.", "그러므로 비가부번집합은 비가산집합이다.", "</p><p>정리 \\(10\\) 개단위구간 \\( (0,1) \\)은 비가부번집합이다.", "</p><p>증명 귀류법을 사용한다. \\", "( (0,1) \\)의 모든 실수에 빠짐없이 번호를 붙일 수 있다고 가정하자(즉, \\( (0,1) \\)이 유한집합이 아넌 것은 분명하므로 \\( (0,1) \\)을 가부번집합이라 하자).", "</p><p>\\( x_{1}, x_{2}, x_{3}, \\cdots, x_{n}, \\cdots \\)</p><p>의 각 \\( x_{i} \\) 는 무한소수로 표시한다.", "즉 유한소수도 순환하는 무한소수로 표현한다.", "</p><p>\\( x_{1}=0 \\cdot a_{1} a_{2} a_{3} \\cdots \\) \\( x_{2}=0 \\cdot b_{1} b_{2} b_{3} \\cdots \\) \\( x_{3}=0 \\cdot c_{1} c_{2} c_{3} \\cdots \\) \\( \\ldots \\ldots \\ldots \\) \\( \\ldots \\ldots \\)</p><p>여기에서 \\( a_{i}(i \\in \\mathbb{N}), b_{i}(i \\in \\mathbb{N}) \\) 은 \\( 0,1,2, \\cdots, 9 \\) 중의 숫자이다.", "이제 다음과 같은 무한소수를 생각하자.", "즉,</p><p>\\( \\omega=0 \\cdot \\alpha_{1} \\beta_{2} \\gamma_{3} \\cdots \\)</p><p>여기서 \\( \\alpha_{1}(\\neq 0) \\) 은 \\( a_{1} \\) 이 아닌 \\( 1,2, \\cdots, 9 \\) 중의 한 숫자로 택한다.", "다음에 \\( \\beta_{2}(\\neq 0) \\) 은 \\( b_{2} \\) 가 아닌 \\( 1,2, \\cdots, 9 \\) 중의 한 슷자로 택한다.", "</p><p>\\( \\gamma_{3} \\)는 \\( c_{3} \\) 와 다른 숫자 \\( \\left(c_{3} \\in\\{1,2, \\cdots, 9\\}\\right) \\)로 정한다.", "이와 같이 정하여 \\( \\omega \\) 를 만들면 \\( \\omega \\in(0,1) \\) 이고 임의의 \\( x_{i} \\neq \\omega \\)이다.", "그러면 \\( (0,1) \\)이 가부번집합이라는 가정에 모순이 되므로 \\( (0,1) \\)은 비가부번집합이다.", "</p><p>정리 \\(10\\) 의 증명법을 칸토어의 대각선법(diagonal method)이라 부른다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "410", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "집합론_가부번집합과 비가부번집합", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-7cc9-4cc5-84d5-8ba3357fe90c", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961059909", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2016", "doc_author": [ "한상언" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>4.4 치환적분법과 부분적분법</h1><p>지금까지 적분의 정의와 그 의미 및 간단한 계산법에 대하여 알아보았다.", "더 많은 적분을 해결하기 위해서 중요한 두 개의 정리가 있는데 바로 치환적분법과 부분적분법이다.", "이 정리는 적분을 더 다양하게 수행할 수 있도록 한다.", "</p><p>정리 \\( 4.4.1 \\) [치환적분법 \\( ] \\)</p><p><ol type=1 start=1><li>함수 \\( y=f(g(x)) \\)가 연속이고 \\( u=g(x) \\)의 도함수가 연속일 때, \\[ \\int f(g(x)) g^{\\prime}(x) d x=\\int f(u) d u .\\]", "</li><li>\\( f(g(x)) \\)가 구간 \\( [a, b] \\)에서 연속이고 \\( u=g(x) \\)의 도함수가 \\( [a, b] \\) 에서 연속일 때, \\[\\int_{a}^{b} f(g(x)) g^{\\prime}(x) d x=\\int_{g(a)}^{g(b)} f(u) d u .\\]", "</li></ol></p><p>증명 (\\( 1 \\)) 함수 \\( y=F(u) \\)와 \\( u=g(x) \\)가 미분가능하고 \\( f(u) \\)의 역도함수가 \\( F(u) \\)라고 하면, 연쇄법칙에 의하여 \\[\\frac{d}{d x} F(g(x))=F^{\\prime}(g(x)) g^{\\prime}(x)=f(g(x)) g^{\\prime}(x)\\]이다.", "따라서 \\[\\int f(g(x)) g^{\\prime}(x) d x=F(g(x))+C=F(u)+C=\\int f(u) d u\\]</p><p>(\\( 2 \\)) (\\( 1 \\))을 정적분에 이용하면 다음과 같다.", "</p><p>\\[\\int_{a}^{b} f(g(x)) g^{\\prime}(x) d x=F(g(b))-F(g(a))=\\int_{g(a)}^{g(b)} f(u) d u . \\]", "</p><p>이와 같이, 합성함수 \\( f(g(x)) \\)의 \\( g(x) \\)를 \\( u \\)로 바꾸어 적분하는 방법을 치환적분법이라 한다.", "여기서 \\( g(x) \\)가 \\( u \\)로 바꿜 때 \\( g^{\\prime}(x) d x \\)가 \\( d u \\)로 바뀌는 것에 주목하자.", "즉 \\( g^{\\prime}(x) d x=d u \\)이고 이는 제\\( 3 \\)장에서 배운 미분(Differentials)의 개념이다.", "</p><p>실제로 \\( \\triangle x \\)는 \\( d x \\)와 같고 이 값은 독립변수 \\( x \\)의 변화(또는 좁은 직사각형의 밑변의 길이)를 나타낸다.", "치환적분은 \\( x \\)에 관한 적분을 새로운 변수 \\( u \\)에 관한 적분으로 바꾸겠다는 의미이고 \\( u \\)의 변화를 나타내는 \\( d u \\)는 \\( d x \\)와 다르고 비율의 차이를 갖게 되는데 이것이 \\( u^{\\prime}=g^{\\prime}(x) \\)이다.", "</p><p>예제 \\( 4.4.1 \\) 다음 부정적분을 구하여라.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int\\left(x^{3}+2 x+1\\right)^{3}\\left(3 x^{2}+2\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int \\sqrt{4 x+3} d x \\)</li></ol></p><p>풀이 (\\( 1 \\)) \\( u=x^{3}+2 x+1 \\)라 하자. \\", "( d u=\\left(3 x^{2}+2\\right) d x \\)이므로 \\[\\begin{aligned}\\int\\left(x^{3}+2 x+1\\right)^{3}\\left(3 x^{2}+2\\right) d x &=\\int u^{3} d u=\\frac{1}{4} u^{4}+C \\\\&=\\frac{1}{4}\\left(x^{3}+2 x+1\\right)^{4}+C\\end{aligned}\\] 이다.", "</p><p>(\\( 2 \\)) \\( u=4 x+3 \\)이라 두면 \\( d u=4 d x \\)이므로 \\[\\begin{aligned}\\int \\sqrt{4 x+3} d x &=\\frac{1}{4} \\int \\sqrt{4 x+3} 4 d x=\\frac{1}{4} \\int \\sqrt{u} d u \\\\&=\\frac{1}{4} \\frac{2}{3} u^{\\frac{3}{2}}+C=\\frac{1}{6}(4 x+3)^{\\frac{3}{2}}+C\\end{aligned}\\]</p><p>예제 \\( 4.4.1 \\) (\\( 2 \\))의 풀이에서 \\( u=\\sqrt{4 x+3} \\)라 하면 \\( u^{2}=4 x+3 \\)이고 양변을 \\( x \\)에 관해 미분하면 \\( 2 u u^{\\prime}=4 \\)를 얻는다.", "이 식으로부터 \\( u^{\\prime}=\\frac{2}{u}=\\frac{2}{\\sqrt{4 x+3}} \\)이다.", "그러므로 \\[\\int \\sqrt{4 x+3} d x=\\frac{1}{2} \\int(4 x+3) \\frac{2}{\\sqrt{4 x+3}} d x=\\frac{1}{2} \\int u^{2} d u\\]</p><p>\\( =\\frac{1}{2} \\frac{1}{3} u^{3}+C=\\frac{1}{6}(4 x+3)^{\\frac{3}{2}}+C . \\)", "</p><p>이처럼 같은 적분을 계산하더라도 치환하는 방법은 다양하다.", "많은 연습을 통해 더 효율적인 방법을 알 수 있도록 하는 것이 중요하다.", "</p><p>예제 \\( 4.4.2 \\) 다음 적분의 값을 구하여라.", "</p><p>\\( \\int_{0}^{1} \\sqrt{4 x+3} d x .\\)", "</p><p>풀이 \\( u=4 x+3 \\)이라 하면 \\( d u=4 d x \\)이고 \\( u(0)=3 \\) 및 \\( u(1)=7 \\)이다.", "그러므로 \\[\\begin{aligned}\\int_{0}^{1} \\sqrt{4 x+3} d x &=\\frac{1}{4} \\int_{0}^{1} \\sqrt{4 x+3} 4 d x=\\frac{1}{4} \\int_{3}^{7} \\sqrt{u} d u \\\\&=\\frac{1}{4}\\left[\\frac{2}{3} u^{\\frac{3}{2}}\\right]_{3}^{7} \\\\&=\\frac{1}{4} \\frac{2}{3}\\left(7^{\\frac{3}{2}}-3^{\\frac{3}{2}}\\right)=\\frac{1}{6}\\left(7^{\\frac{3}{2}}-3^{\\frac{3}{2}}\\right)\\end{aligned}\\].", "</p><p>예제 \\( 4.4.1 \\)에서 이미 부정적분을 구했기 때문에 \\( \\frac{(4 x+3)^{\\frac{3}{2}}}{6} \\)에 바로 \\( 0 \\)과 \\( 1 \\)을 대입하여 풀어도 된다.", "</p><p>예제 \\( 4.4.3 \\) 다음 부정적분을 구하여라.", "</p><p>\\( \\int \\sqrt{1+x^{3}} x^{5} d x .\\)", "</p><p>풀이 \\( 1\\) \\(u=1+x^{3} \\)이라 하면 \\( d u=3 x^{2} d x \\)이고 \\( x^{3}=u-1 \\)이므로 \\[\\begin{aligned}\\int \\sqrt{1+x^{3}} x^{5} d x &=\\frac{1}{3} \\int \\sqrt{1+x^{3}} x^{3} 3 x^{2} d x \\\\&=\\frac{1}{3} \\int \\sqrt{u}(u-1) d u=\\frac{1}{3} \\int\\left(u^{\\frac{3}{2}}-u^{\\frac{1}{2}}\\right) d u\\end{aligned}\\] \\[\\begin{array}{l}=\\frac{1}{3}\\left(\\frac{2}{5} u^{\\frac{5}{2}}-\\frac{2}{3} u^{\\frac{3}{2}}\\right)+C \\\\=\\frac{2}{15}\\left(1+x^{3}\\right)^{\\frac{5}{2}}-\\frac{2}{9}\\left(1+x^{3}\\right)^{\\frac{3}{2}}+C\\end{array}\\]이다.", "</p><p>풀이 \\( 2 \\) \\(u=\\sqrt{1+x^{3}} \\)이라 하면 \\( u^{2}=1+x^{3} \\)이고 양변을 \\( x \\)에 관해 미분하면 \\( 2 u u^{\\prime}=3 x^{2} \\) 이다.", "그러면 \\( x^{3}=u^{2}-1 \\)이고 \\( u^{\\prime}=\\frac{3 x^{2}}{2 u}=\\frac{3 x^{2}}{2 \\sqrt{1+x^{3}}} \\)이므로 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( \\int \\sqrt{1+x^{3}} x^{5} d x=\\frac{2}{3} \\int\\left(1+x^{3}\\right) x^{3} \\frac{3 x^{2}}{2 \\sqrt{1+x^{3}}} d x \\)\\( =\\frac{2}{3} \\int u^{2}\\left(u^{2}-1\\right) d u \\) \\( =\\frac{2}{3} \\int\\left(u^{4}-u^{2}\\right) d u=\\frac{2}{3}\\left(\\frac{1}{5} u^{5}-\\frac{1}{3} u^{3}\\right)+C \\)\\( =\\frac{2}{15}\\left(1+x^{3}\\right)^{\\frac{5}{2}}-\\frac{2}{9}\\left(1+x^{3}\\right)^{\\frac{3}{2}}+C \\)이다.", "</p><p>예제 \\( 4.4.4 \\) 다음의 부정적분을 구하여라.", "</p><p>\\( \\int(1+\\tan x)^{5} \\sec ^{2} x d x .\\)", "</p><p>풀이 \\( u=1+\\tan x \\) 라 하면 \\( u^{\\prime}=\\sec ^{2} x d x \\)이므로 \\[\\begin{aligned}\\int(1+\\tan x)^{5} \\sec ^{2} x d x &=\\int u^{5} d u=\\frac{1}{6} u^{6}+C \\\\ &=\\frac{1}{6}(1+\\tan x)^{6}+C\\end{aligned}\\]이다.", "</p><p>만약 \\( f \\)가 \\( 0\\) 이 아닌 값을 갖는 미분가능한 함수라 하자.", "치환적분법을 이용하여 다음의 유용한 적분공식을 유도할 수 있다. \\", "( \\int \\frac{f^{\\prime}(x)}{f(x)} d x \\)를 구하기 위해 \\( u=f(x) \\)라 하면 \\( d u=f^{\\prime}(x) d x \\)이고 정리 \\( 4.3.2 \\)의 (\\( 2 \\))를 사용하면 \\[\\int \\frac{f^{\\prime}(x)}{f(x)} d x=\\int \\frac{1}{u} d u=\\ln |u|+C=\\ln |f(x)|+C \\]임을 알 수 있다.", "</p><p>예제 \\( 4.4.5 \\) 다음 부정적분을 구하여라.", "</p><p>\\( \\int \\frac{2 x}{1+x^{2}} d x .\\)", "</p><p>풀이 \\( u=1+x^{2} \\)이라 하면 \\( d u=2 x d x \\)이므로 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( \\int \\frac{2 x}{1+x^{2}} d x=\\int \\frac{1}{u} d u=\\ln |u|+C=\\ln \\left(1+x^{2}\\right)+C . \\)", "</p><p>예제 \\( 4.4.5 \\)에서 \\( 1+x^{2} \\)은 앙상 양수이므로 절댓값 기호를 사용할 필요가 없다.", "</p> <p>예제에서 다룬 \\( y=x^{3} \\)은 간단한 함수지만 그 적분계산은 매우 복잡하다.", "함수중에서 \\( y=x^{3} \\)은 그리 복잡한 함수가 아니다.", "하지만 정의에 의한 적분계산은 연속이 가정된다 하더라도 매우 복잡하다는 사실을 알 수 있었다.", "심지어 \\( y=\\sin x \\)와 같은 함수의 정적분 값을 구하는 것은 거의 불가능한 계산이다.", "다음 절에서는이와 같은 어려운 적분 계산을 매우 간단하게 할 수 있는 기법을 배우게 될 것이다.", "</p><p>다음은 적분의 정의를 사용하여 계산할 수 있는 몇 가지 극한의 예이다.", "</p><p>예제 \\( 4.1.4 \\) 다음 극한값을 정적분을 사용하여 나타내어라.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n}\\left\\{\\left(\\frac{n+1}{n}\\right)^{2}+\\left(\\frac{n+2}{n}\\right)^{2}+\\cdots+\\left(\\frac{2 n}{n}\\right)^{2}\\right\\} \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{i=1}^{n} \\ln \\left(1+\\frac{i}{n}\\right) \\frac{1}{n} \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{3}{n}\\left\\{2^{0}+2^{\\frac{2}{n}}+\\cdots+2^{\\frac{2(n-1)}{n}}\\right\\} \\)</li></ol></p><p>풀이 (\\( 1 \\)) \\( \\left(\\frac{n+i}{n}\\right)^{2}=\\left(1+\\frac{i}{n}\\right)^{2} \\)이므로 \\( f(x)=x^{2} \\)이라 하면 \\[\\frac{1}{n}\\left\\{\\left(\\frac{n+1}{n}\\right)^{2}+\\left(\\frac{n+2}{n}\\right)^{2}+\\cdots+\\left(\\frac{2 n}{n}\\right)^{2}\\right\\}=\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} f\\left(1+\\frac{i}{n}\\right)\\]이다. \\", "( \\Delta x=\\frac{1}{n} \\)이라 하면 \\( b-a=1 \\)이고 \\( a=1 \\)이라 하면 위의 합은 \\( \\int_{1}^{2} x^{2} d x \\)이다.", "그런데 \\( a=0 \\)이라 두면 위의 합은 \\( \\int_{0}^{1}(1+x)^{2} d x \\)로 쓸 수도 있다.", "즉, \\( a \\)의 값을 정하는 방법에 따라 많은 표현이 가능함을 알 수 있다.", "</p><p>(\\( 2 \\)) \\( f(x)=\\ln x \\)라 하면 간단히 \\( \\int_{0}^{1} \\ln (1+x) d x \\) 또는 \\( \\int_{1}^{2} \\ln x d x \\) 등으로 쓸 수 있다.", "</p><p>(\\( 3\\)) \\( f(x)=2^{x} \\)이라 하면 \\[\\frac{3}{n}\\left\\{2^{0}+2^{\\frac{2}{n}}+\\cdots+2^{\\frac{2(n-1)}{n}}\\right\\}=\\frac{3}{2} \\frac{2}{n} \\sum_{i=1}^{n} f\\left(0+\\frac{2}{n}(i-1)\\right)\\]이다. \\", "( \\triangle x=\\frac{2}{n} \\)이라 하면 \\( b-a=2 \\) 이고 \\( a=0 \\)이라 하면 구간 \\( [0,2] \\) 를 \\( n \\)등분한 왼쪽 끝점을 표본점으로 택한 것으로 생각한다면 \\( \\frac{3}{2} \\int_{0}^{2} 2^{x} d x \\)로 쓸 수 있다.", "또한 \\( f(x)=2^{2 x} \\)라 하면 \\[\\frac{3}{n}\\left\\{2^{0}+2^{\\frac{2}{n}}+\\cdots+2^{\\frac{2(n-1)}{n}}\\right\\}=3 \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} f\\left(0+\\frac{i-1}{n}\\right)\\]이다.", "이때 \\( \\triangle x=\\frac{1}{n} \\)이라 하면 \\( b-a=1 \\)이고 \\( a=0 \\)이라 하면 \\( 3 \\int_{0}^{1} 2^{2 x} d x \\) 로 쓸 수도 있다.", "</p><p>이제 정적분의 성질 몇가지를 알아보자.", "</p><p>정리 \\( 4.1.1 \\) \\( f(x) \\)와 \\( g(x) \\)가 연속함수일 때 다음이 성립한다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int_{a}^{a} f(x) d x=0 \\)</li><li>구간 \\( [a, b] \\)에 속하는 모든 \\( x \\)에 대하여 \\( f(x) \\geq 0 \\)이면 \\( \\int_{a}^{b} f(x) d x \\geq 0 \\)이다.", "</li><li>\\( \\int_{a}^{b} f(x) d x=-\\int_{b}^{a} f(x) d x \\)</li><li>\\( \\int_{a}^{b} f(x) d x=\\int_{a}^{c} f(x) d x+\\int_{c}^{b} f(x) d x \\)</li><li>\\( \\int_{a}^{b}(\\alpha f(x)+\\beta g(x)) d x=\\alpha \\int_{a}^{b} f(x) d x+\\beta \\int_{a}^{b} g(x) d x \\)</li><li>\\( f(x) \\leq g(x) \\quad(x \\in[a, b]) \\) 이면 \\( \\int_{a}^{b} f(x) d x \\leq \\int_{a}^{b} g(x) d x \\) 이다.", "</li></ol><p>증명 (\\( 1 \\)) 구간 \\( [a, a] \\)의 길이가 \\( 0 \\)이므로 \\( \\Delta x=0 \\)이다.", "그러므로 리만합은 \\( 0 \\)이고 그 극한도 \\( 0 \\)이다.", "</p><p>(\\( 2 \\)) \\( f(x) \\geq 0 \\)이고 \\( \\triangle x>0 \\)이므로 리만합 \\( \\sum_{i=1}^{n} f\\left(x_{i}^{*}\\right) \\triangle x \\)도 \\( 0 \\)보다 크거나 같다.", "그러므로 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{i=1}^{n} f\\left(x_{i}^{*}\\right) \\Delta x=\\int_{a}^{b} f(x) d x \\geq 0 \\)이다.", "</p><p>(\\( 3 \\)) \\( a<b \\)일 경우를 가정하면 \\( \\int_{a}^{b} f(x) d x \\)를 계산할 때 사용하는 리만합에서 \\( \\triangle x=\\frac{b-a}{n}>0 \\)이고, \\( \\int_{b}^{a} f(x) d x \\)를 계산할 때 사용하는 리만합에서 \\( \\triangle x=\\frac{a-b}{n}<0 \\)이다.", "이때 주어진 함수가 연속이므로 각 부분구간에서의 표본점을 같은 값으로 하면 \\[\\sum_{i=1}^{n} f\\left(x_{i}^{*}\\right)\\left(\\frac{b-a}{n}\\right)=-\\sum_{i=1}^{n} f\\left(x_{i}^{*}\\right)\\left(\\frac{a-b}{n}\\right) \\]이다.", "위 식의 양변에 극한을 취하면 원하는 결과를 얻는다.", "</p><p>(\\( 4 \\)) 정적분을 넓이의 의미로 생각해보면 분명하지만 정적분의 정의에 의하여 증명하기 위해서는 어려운 개념이 필요하기 때문에 여기에서는 생략하기로 한다.", "단, 이 경우 반드시 \\( c \\) 가 \\( a \\) 와 \\( b \\) 사이에 있을 필요는 없다.", "예를 들어 \\( a<b<c \\)라 하면 \\( \\int_{a}^{c} f(x) d x=\\int_{a}^{b} f(x) d x+ \\) \\( \\int_{b}^{c} f(x) d x \\)이고 \\( \\int_{b}^{c} f(x) d x \\)를 우변으로 넘기면 다음을 얻는다.", "즉, \\[ \\int_{a}^{c} f(x) d x-\\int_{b}^{c} f(x) d x=\\int_{a}^{b} f(x) d x .\\]", "여기에 (\\( 3 \\))을 사용하면 원하는 결과를 얻을 수 있다.", "</p><p>(\\( 5 \\)) 좌변의 적분을 구할 때 필요한 리만합에 대한 다음 계산을 생각해 보자. \\", "[\\sum_{i=1}^{n}\\left(\\alpha f\\left(x_{i}^{*}\\right)+\\beta g\\left(x_{i}^{*}\\right)\\right) \\Delta x=\\alpha \\sum_{i=1}^{n} f\\left(x_{i}^{*}\\right) \\Delta x+\\beta \\sum_{i=1}^{n} g\\left(x_{i}^{*}\\right) \\Delta x .\\]", "위 식의 양변에 극한을 취하면 \\[ \\begin{aligned}\\int_{a}^{b}(\\alpha f(x)+\\beta g(x)) d x &=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{i=1}^{n}\\left(\\alpha f\\left(x_{i}^{*}\\right)+\\beta g\\left(x_{i}^{*}\\right)\\right) \\Delta x \\\\&=\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\alpha \\sum_{i=1}^{n} f\\left(x_{i}^{*}\\right) \\Delta x+\\beta \\sum_{i=1}^{n} g\\left(x_{i}^{*}\\right) \\Delta x\\right) \\\\&=\\alpha \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{i=1}^{n} f\\left(x_{i}^{*}\\right) \\Delta x+\\beta \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{i=1}^{n} g\\left(x_{i}^{*}\\right) \\Delta x \\\\&=\\alpha \\int_{a}^{b} f(x) d x+\\beta \\int_{a}^{b} g(x) d x .\\", "end{aligned}\\]</p><p>(\\( 6 \\)) \\( g(x)-f(x) \\geq 0 \\)이므로 (\\( 2 \\))에 의해 \\( \\int_{a}^{b}(g(x)-f(x)) d x \\geq 0 \\)이고 (\\( 5 \\))에 의해 \\[\\int_{a}^{b}(g(x)-f(x)) d x=\\int_{a}^{b} g(x) d x-\\int_{a}^{b} f(x) d x \\geq 0\\]이므로 원하는 결과를 얻는다.", "</p> <h1>4.3 부정적분</h1><p>\\( 4.2 \\)절에서 적분을 쉽게 계산할 수 있는 중요한 방법을 배웠다.", "정적분의 목적은 넓이와 같이 이공학에서 중요하게 생각되는 어떤 크기 \\( \\int_{a}^{b} f(x) d x \\)를 구하는 것이었다.", "그런데 이 값이 어떤 구간 \\( [a, b] \\)에서 정의된 어떤 함수 \\( F(x) \\)의 양끝값에 의해 결정된다는 사실은 매우 놀라운 결과이다.", "주어진 피적분함수가 구간에서 어떤 값을 갖든지 적분값 \\( \\int_{a}^{b} f(x) d x \\)는 역도함수 \\( F(x) \\) 의 양끝값의 차이 \\( F(b)-F(a) \\)에 의해 결정된다는 사실은 인류 역사상 가장 중요한 정리로 인정받는다.", "</p><p>정의 \\( 4.3.1 \\) 함수 \\( f \\)가 구간 \\( I \\)에서 역도함수를 갖는다고 하자. \\", "( f \\)의 역도함수들의 모임을 \\( I \\)에서의 \\( f \\)의 부정적분이라 부르고 \\( \\int f(x) d x \\)로 표시한다.", "즉, \\( F \\)가 구간 \\( I \\)에서의 임의의 역도함수이면 \\[\\int f(x) d x=F(x)+C\\]라는 기호를 쓴다.", "여기서 \\( C \\)는 임의의 실수인데, 이를 적분상수라 부른다.", "</p><p>위 정의에서 역도함수의 모임으로 부정적분을 정의하였으나 하나의 역도함수로서의 부정적분의 기호를 동일하게 사용할 것이다.", "혼동의 여지가 없는 한 같은 기호를 사용하며 주로 하나의 역도함수를 표기할 때 쓴다.", "필요한 경우에는 별도로 언급하도록 하겠다.", "위의 정의를 기호를 사용하여 간략하게 표현하면 다음과 같다.", "</p><p>\\( f(x)=F^{\\prime}(x) \\Leftrightarrow \\int f(x) d x=F(x)+C . \\)", "</p><p>부정적분은 역도함수이고 정적분을 계산하기 위하여 도입된 개념이다. 그런데 정적분의 경우 연속함수일 경우만 정의했기 때문에 부정적분에 의해 정의된 함수도 여전히 연속인 구간에서 의미를 갖는 것으로 하자. 예를 들어 \\( \\int \\frac{1}{x} d x \\)를 생각해 보자. 피적분함수 \\( \\frac{1}{x} \\)는 \\( 0 \\) 에서 정의되지 않는다. \\( \\int \\frac{1}{x} d x \\)를 사용할 때는 \\( x>", "0 \\)인 경우이거나 \\( x<0 \\)인 경우에만 의미를 갖는 것으로 하자.", "다시말해 \\( \\int \\frac{1}{x} d x \\)의 정의역에는 \\( 0 \\)이 포함될 수 없음을 의미한다.", "</p><p>이제 부정적분에 대한 간단하지만 중요한 기본적인 정리를 몇 가지 소개하려고 한다.", "</p><p>정리 \\( 4.3.1 \\) [부정적분의 성질(선형성)] 함수 \\( f, g \\)의 부정적분이 존재할 때,<ol type=1 start=1><li>\\( \\int k f(x) d x=k \\int f(x) d x(k \\) 는 실수 \\( ) \\)</li><li>\\( \\int f(x) \\pm g(x) d x=\\int f(x) d x \\pm \\int g(x) d x( \\) 복호동순)</li></ol>이 성립한다.", "</p><p>증명 \\( f(x) \\)와 \\( g(x) \\)의 부정적분을 각각 \\( F(x) \\)와 \\( G(x) \\)라고 하면 \\( F^{\\prime}(x)=f(x) \\)이고 \\( G^{\\prime}(x)=g(x) \\)이므로, 임의의 상수 \\( k \\)에 대하여, \\[\\begin{array}{l}(k F(x))^{\\prime}=k F^{\\prime}(x)=k f(x) \\\\(F(x) \\pm G(x))^{\\prime}=F^{\\prime}(x) \\pm G^{\\prime}(x)=f(x) \\pm g(x)\\end{array}\\]가 성립한다.", "따라서 \\[\\begin{array}{l}\\int k f(x) d x=k F(x)=k \\int f(x) d x \\\\\\int(f(x) \\pm g(x)) d x=F(x) \\pm G(x) \\\\=\\int f(x) d x \\pm \\int g(x) d x .\\end{array}\\]", "</p><p>정리 \\( 4.3.1 \\)의 증명에서와 같이 부정적분에 대한 정리의 증명은 대부분 미분법칙으로부터 쉽게 얻을 수 있다.", "</p><p>정리 \\( 4.3.2 \\) \\( \\left[x^{n}\\right. \\)의 부정적분 \\( ] \\)</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( n \\neq-1 \\)인 실수일 때 \\[\\int x^{n} d x=\\frac{1}{n+1} x^{n+1}+C\\]</li><li>\\( n=-1 \\)일 때 \\[\\int \\frac{1}{x} d x=\\ln |x|+C\\]</li></ol></p><p>증명 \\( n \\neq-1 \\)인 실수일 때, \\( \\left(x^{n+1}\\right)^{\\prime}=(n+1) x^{n} \\)이므로 \\[\\left(\\frac{1}{n+1} x^{n+1}\\right)^{\\prime}=x^{n} \\Rightarrow \\int x^{n} d x=\\frac{1}{n+1} x^{n+1}+C .\\]", "정리 \\( 2.7.3 \\)에서 \\( (\\ln |x|)^{\\prime}=\\frac{1}{x} \\)임을 보였으므로 \\[\\int \\frac{1}{x} d x=\\ln |x|+C\\]이다.", "</p><p>예제 \\( 4.3.1 \\) \\( \\int_{1}^{9} \\sqrt{x} d x \\)의 값을 구하여라.", "</p><p>풀이 정리 \\( 4.3.2 \\)에 의해 \\( \\sqrt{x}=x^{\\frac{1}{2}} \\)이므로 부정적분을 구하면 \\( \\frac{2}{3} x^{\\frac{3}{2}}+C \\)이다.", "그러므로 미적분학의 기본정리에 의해 \\[\\int_{1}^{9} \\sqrt{x} d x=\\frac{2}{3}\\left[x^{\\frac{3}{2}}\\right]_{1}^{9}=\\frac{2}{3}(9 \\sqrt{9}-1)=\\frac{52}{3} .\\]", "</p><p>다음의 부정적분에 관한 공식은 삼각함수의 미분공식에 의하여 쉽게 증명할 수 있다.", "</p><p>정리 \\( 4.3.3 \\) [삼각함수의 부정적분]</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int \\sin x d x=-\\cos x+C \\)</li><li>\\( \\int \\cos x d x=\\sin x+C \\)</li><li>\\( \\int \\sec ^{2} x d x=\\tan x+C \\)</li><li>\\( \\int \\sec x \\tan x d x=\\sec x+C \\)</li><li>\\( \\int \\csc ^{2} x d x=-\\cot x+C \\)</li><li>\\( \\int \\csc x \\cot x d x=-\\csc x+C \\)</li></ol></p><p>지수함수 \\( y=e^{x} \\)의 도함수 \\( y^{\\prime}=e^{x} \\)이고, \\( y=a^{x}(a>0, a) \\)의 도함수 \\( y^{\\prime}=a^{x} \\ln a \\)이므로 다음의 정리를 얻는다.", "</p><p>정리 \\( 4.3.4 \\) [지수함수의 부정적분]</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int e^{x} d x=e^{x}+C \\)</li><li>\\( \\int a^{x} d x=\\frac{a^{x}}{\\ln a}+C \\)</li></ol></p><p>미분을 통해 부정적분에 대한 많은 정리를 얻을 수 있었고 여기에 정리 \\( 4.3.1 \\)을 사용하면 다양한 함수를 적분할 수 있게 된다.", "</p><p>예제 \\( 4.3.2 \\) 다음 적분의 값을 구하여라.", "</p><p>\\( \\int\\left(5 x^{4}+\\sec ^{2} x\\right) d x .\\)", "</p><p>풀이 정리 \\( 4.3.1 \\)과 다항식 및 삼각함수에 대한 적분을 생각하면 다음을 얻을 수 있다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} \\int\\left(5 x^{4}+\\sec ^{2} x\\right) d x &=5 \\int x^{4} d x+\\int \\sec ^{2} x d x \\\\ &=5 \\frac{x^{5}}{5}+\\tan x+C=x^{5}+\\tan x+C \\end{aligned} \\)</p><h1>연 ·습 ·문 ·제 4.3</h1><p>\\( 1 \\).", "정리 \\( 4.3.3 \\)을 증명하여라.", "</p><p>\\( 2 \\).", "정리 \\( 4.3.4 \\)를 증명하여라.", "</p><p>\\( 3 \\).", "다음 적분의 값을 구하여라.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int_{0}^{1}\\left(\\sqrt{x}-\\frac{1}{\\sqrt{x}}\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int_{1}^{3} \\frac{x+1}{x} d x \\)</li><li>\\( \\int_{1}^{2} \\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}} d x \\)</li><li>\\( \\int_{1}^{2} \\frac{(\\sqrt{x}-1)^{2}}{\\sqrt{x}} d x \\)</li></ol></p><p>\\( 4 \\).", "다음 부정적분을 구하여라.", "</p><p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int \\frac{x^{6}+x^{3}+x^{2}+1}{x^{4}} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{x^{3}+5 \\sqrt{x}}{x^{3} \\sqrt{x}} d x \\)</li><li>\\( \\int(x+3 \\sin x) d x \\)</li><li>\\( \\int\\left(\\csc ^{2} x-\\tan x \\sec x\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int 10^{x} d x \\)</li><li>\\( \\int\\left(e^{x}+e^{-x}\\right) d x \\)</li></ol></p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "공학도를 위한 기초미적분학_적분법", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-831e-40c3-b76b-a7c796ddaeef", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961055246", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2011", "doc_author": [ "박정준", "신현혜", "이혜경", "정계선", "최건돈" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>정리 \\(6.2.3\\) \\( F \\) 는 특성이 \\(0\\) 인 체이고 \\( a \\in F \\) 이다. \\", "( E \\) 가 \\( x^{n}-a \\in F[x] \\) 의 분해체이면 \\( G(E / F) \\) 는 가해군이다.", "</p><p>증명 항등원의 \\( n \\) 제곱근이 \\( F \\) 에 포함되는 경우에는 정리 \\(6.2.2\\)에 의하여 증명되었다.", "항등원의 어느 \\( n \\) 제곱근도 \\( F \\) 에 속하지 않을 때 이 정리가 성립함을 보이자. \\", "( F \\) 의 특성이 \\(0\\) 이므로 항등원 원시 \\( n \\) 제곱근 \\( \\xi \\) 가 존재하여 \\( U_{n}=<\\xi>\\) 이다.", "</p><p>\\( \\beta \\) 가 \\( x^{n}-a \\) 의 한 근이면 \\( \\xi \\beta \\) 도 이 다항식의 근이다.", "그러므로 \\( \\xi=\\frac{\\xi \\beta}{\\beta} \\in E \\) 이다.", "즉 분해체 \\( E \\) 는 항등원의 원시제곱근 \\( \\xi \\) 를 포함하고 있는 체이다. \\", "( F_{1}=F(\\xi) \\) 는 \\( x^{n}=1 \\in F[x] \\) 의 분해체이고 \\( F \\leq F_{1} \\leq E \\) 이다.", "정리\\(6.1.5\\) 에 의하여 \\( F_{1} \\) 은 \\( F \\) 의 유한차원 갈루아 확대체이다.", "</p><p>정리 \\(6.2.2\\)의 증명과정에서 보는 바와 같이 \\( G\\left(F_{1} / F\\right) \\) 는 가환군이므로 가환군이다.", "정리 \\(6.2.1\\) (갈루아 정리)(3)에 의하여 \\( \\{1\\} \\subseteq G\\left(E / F_{1}\\right) \\subseteq G(E / F) \\) 는 군의 가환정규열이다.", "즉 \\( G\\left(E / F_{1}\\right) \\triangleleft G(E / F), G\\left(F_{1} / F\\right) \\cong G(E / F) / G\\left(E / F_{1}\\right) \\) 에서 \\( G(E / F) / G(E / F) \\) 도 가환이다.", "따라서 \\( G(E / F) \\) 는 가해군이다.", "</p><p>다음은 대수적인 방법으로 다항식의 해를 얻을 수 있는가를 판별하는 중요한 정리이다.", "이의 역의 증명은 연습문제로 남긴다.", "</p><p>정리 \\(6.2.4\\) \\(K\\)가 특성이 \\(0\\) 인 체 \\( F \\) 의 갈루아 제곱근 확대체이기 위한 필요충분조건은 갈루아군 \\( G(K / F) \\) 가 가해인 것이다.", "</p><p>증명 \\( K \\) 의 원소 \\( \\alpha_{1}, \\cdots, \\alpha_{r} \\) 와 양의 정수 \\( n_{1}, \\cdots, n_{r} \\) 이 존재하여 \\[ K=F\\left(\\alpha_{1}, \\cdots, \\alpha_{r}\\right), \\alpha_{1}^{n_{1}} \\in F, a_{i}^{n_{i}} \\in F\\left(\\alpha_{1}, \\cdots, \\alpha_{i-1}\\right) \\quad(1 \\leq i \\leq r) \\] 이라 하자. \\", "( F_{0}=F, F_{i}=F\\left(\\alpha_{1}, \\cdots, \\alpha_{r i-1}\\right)(1 \\leq i \\leq r), K=F\\left(\\alpha_{1}, \\cdots, \\alpha_{r}\\right) \\), \\( n=n_{1} \\cdots n_{r} \\) 이라 하자. \\", "( x^{n}-1 \\) 의 원시 \\( n \\) 제곱근이 \\( F \\) 에 포함되는 경우와 그렇지 않은 경우로 나누어 생각하자.", "</p><p>항등원의 원시 \\( n \\) 제곱근이 \\( F \\) 에 속한다고 하자. \\", "( \\xi^{n}=1, \\xi \\in F \\) 일 때, \\( y_{i}=\\xi^{d_{i}}, d_{i}=n_{1} \\cdots n_{i-1} n_{n+1} \\cdots n_{r} \\) 라 놓으면 \\( y_{i} \\) 는 \\( F \\) 에서의 항등원의 원시 \\( n_{i} \\) 제곱근이다.", "또 모든 \\( y_{i} \\in F \\subseteq F_{i} \\) 이다.", "모든 \\( \\alpha_{i} \\) 는 \\( x^{n_{i}}-\\alpha_{i}^{n_{i}} \\) 의 근이고 \\( y_{i}^{0} \\)\\( =1, y_{i}, \\cdots, y_{i}^{d_{i}-1} \\) 은 서로 다르므로 \\( \\alpha_{i}, y_{i} \\alpha_{i}, \\cdots, y_{i}^{d_{i-1}} \\alpha_{i} \\) 는 \\( x^{n_{i}}-\\alpha_{i}^{n_{i}} \\) 의 서로 다른 근이다.", "이들 근은 모두 \\( F_{i-1}\\left(\\alpha_{i}\\right)=F_{i} \\) 에 속하고 서로 다르므로 \\( F_{i} \\) 는 분리 다항식 \\( x^{n_{i}}-\\alpha_{i}^{n_{i}} \\in F_{i-1} \\) 의 갈루아 확대체이다.", "</p><p>한편으로 \\( K \\) 가 \\( F \\) 의 갈루아 확대체이므로 각 \\( K \\) 는 \\( F_{i} \\) 의 갈루아 확대체이기도 하다. \\( H_{i}=G\\left(K / F_{i}\\right) \\) 에 갈루아 정리를 적용할 수 있다. \\( H_{i}=G\\left(K / F_{i}\\right) \\) 라 놓으면 \\( G\\left(K / F_{i}\\right) \\triangleleft G\\left(K / F_{i-1}\\right) \\) 이므로 \\( H_{i} \\triangleleft H_{i-1}, G\\left(K / F_{i-1}\\right) / G\\left(K / F_{i}\\right) \\cong \\) \\( G\\left(F_{i} / F_{i-1}\\right) \\) 에서 모든 \\( H_{i-1} / H_{i} \\) 는 아벨군이다. 그러므로 \\( G(K / F)=H_{0}>\\) \\( H_{1}>H_{2}>\\cdots>H_{r}=\\{1\\} \\) 은 정규열이다.", "따라서 \\( G(K / F) \\) 는 가해군이다.", "</p><p>항등원의 원시 \\( n \\) 제곱근이 \\( F \\) 에 속하지 않는 경우를 생각하자. \\", "( F \\) 의 특성이 \\(0\\) 이므로 항등원의 원시 \\( n \\) 제곱근 \\( \\xi \\) 가 존재한다. \\", "( K(\\xi) \\) 는 \\( x^{n}-1 \\in F[x] \\) 의 분해체이다. \\", "( K \\) 가 \\( F \\) 의 유한차원 갈루아 확대체이므로 \\( K \\) 는 한 분리다항식 \\( h(x) \\in F[x] \\) 의 분해체이다.", "그러므로 \\( K(\\xi) \\) 는 분리다항식 \\( \\left(x^{n}-1\\right) h(x) \\) \\( \\in F[x] \\) 의 분해체이다.", "따라서 \\( K(\\xi) \\) 는 \\( F(\\xi) \\) 의 유한차원 갈루아 확대체이다.", "항등원 원시 \\( n \\) 제곱근 \\( \\xi \\) 는 \\( F(\\xi) \\) 에 속하므로 앞의 경우처럼 증명된다.", "</p><p>보기 \\(6\\) \\( e^{\\frac{2 \\pi i}{n}} \\) 를 \\( Q \\) 위에서의 제곱근으로 나타내어 보자. \\", "( \\epsilon=e^{\\frac{2 \\pi i}{n}} \\) 은 \\( x^{n}-1 \\in Q[x] \\) 의 근이므로 \\( x^{n}-1 \\) 이 제곱근가해임을 보이면 충분하다. \\", "( x^{n}-1 \\) 의 근은 \\( \\epsilon, \\epsilon^{2}, \\cdots, \\epsilon^{n-1}, \\epsilon^{n}=1 \\) 이므로 \\( Q(\\epsilon) \\) 은 \\( Q \\) 위에서의 \\( x^{n}-1 \\) 의 분해체이다.", "이 때 \\( G(Q(\\epsilon) / Q) \\) 가 가해임을 보이자.", "</p><p>\\( Q(\\epsilon) \\) 위의 자기동형사상 \\( \\epsilon \\) 는 \\( \\delta(\\epsilon) \\) 의 값에 따라 결정되므로 \\( \\sigma(\\epsilon)=\\epsilon^{k} \\), \\( (k, n)=1 \\) 이다. \\", "( (k, n) \\neq 1 \\) 이면 \\( \\sigma(\\epsilon) \\) 는 항등원의 원시 \\( n \\) 제곱근이 아니기 때문이다. \\", "( \\sigma, \\delta \\in G(Q(\\epsilon) / Q) \\) 에 대하여 \\( \\sigma(\\epsilon)=\\epsilon^{i}, \\delta(\\epsilon)=\\epsilon^{j} \\) 라 하면 \\[ (\\sigma \\cdot \\delta)(\\epsilon)=\\sigma(\\delta(\\epsilon))=\\sigma\\left(\\epsilon^{j}\\right)=\\epsilon^{i j}=\\delta\\left(\\epsilon^{i}\\right)=(\\delta \\cdot \\sigma)(\\epsilon) \\] 이다.", "그러므로 \\( \\sigma \\cdot \\delta=\\delta \\cdot \\sigma \\).", "즉, \\( G(Q(\\epsilon) / Q) \\) 은 가환이다.", "따라서 \\( G(Q(\\epsilon) / Q) \\) 은 가해군이다.", "</p><p>\\(5\\)차 이상의 정수계수다항식은 일반적으로 거듭제곱근에 의하여 가해하지 않음을 증명하기로 하자.", "</p> <p>보기 \\(8\\) 다항식 \\( f(x)=x^{5}-10 x+2 \\in Q[x] \\) 는 \\( \\sqrt[4]{2} \\) 에서 극소값 \\( -\\sqrt[4]{2} \\) 에서 극대값을 갖는다.", "그러므로 \\( f(x) \\) 는 세 개의 실근과 서로 다른 두 개의 허근을 갖는다.", "따라서 갈루아군 \\( G(K / Q) \\) 는 \\( S_{5} \\) 와 동형이다.", "그런데 \\( S_{5} \\) 는 가해군이 아니므로, \\( G(K / Q) \\) 도 가해군이 아니다.", "</p><p>정리 \\(6.2.7\\) 차수가 \\(5\\) 이상인 유리계수다항식은 일반적으로 거듭제곱근에 의하여 가해가 아니다.", "즉 차수가 \\(5\\) 또는 그 이상인 유리계수다항식의 해집합은 대수적인 방법으로 구하는 일의적인 방법은 없다.", "</p><p>차수가 소수 \\( p(\\geq 5) \\) 인 기약다항식 \\( f(x) \\in Q[x] \\) 의 갈루아군 \\( G(K / Q) \\) 는 정리 \\(6.1.7\\)에 의하여 대칭군 \\( S_{p} \\) 와 동형이다.", "정리 \\(3.4.9\\)에 의하여 \\( S_{p}(p \\geq 5) \\) 는 가해군이 아니다.", "그러므로 \\( G(K / Q) \\) 는 가해군이 아니다.", "정리 \\(6.2.4\\)에 의하여 \\( f(x) \\) 는 거듭제곱근에 의하여 가해하지 않는다.", "</p><h1>연습문제 \\( 6 . 2 \\)</h1><ol type=1 start=1><li>\\( G \\) 가 임의의 유한군이고, \\( Q \\) 의 갈루아 확대체 \\( E \\) 가 존재하여 \\( G(E / Q) \\cong G \\) 가 성립하는가?", "</li><li>다항식 \\( 2 x^{5}-5 x^{4}+5 \\) 는 \\( Q \\) 위에서 제곱근 가해가 아님을 보여라.", "</li><li>체 \\( F \\leq K \\leq L \\) 에서 \\( L \\) 이 \\( F \\) 의 거듭제곱근확대체이면 \\( L \\) 은 \\( K \\) 의 거듭제곱확대체임을 보여라.", "또 \\( K \\) 가 \\( F \\) 의 거듭제곱확대체이고 \\( L \\) 이 \\( K \\) 의 거듭제곱확대체이면 \\( L \\) 은 \\( F \\) 의 거듭제곱확대체임을 보여라.", "</li><li>\\( F \\) 가 원시 \\( n \\) 제곱근 \\( (n \\geq 1) \\xi \\) 를 포함하고 있는 체이면 \\( n \\) 의 약수 \\( d \\) 에 대하여 \\( \\xi^{\\frac{n}{d}} \\) 은 \\( F \\) 에서 항등원의 원시 \\( d \\) 제곱근임을 보여라.", "</li><li>차수가 \\(5\\) 차인 정수계수다항식은 일반적으로 거듭제곱근에 의하여 가해가 아님을 보여라.", "</li><li>군 \\( G \\) 에 대하여, \\( G=H_{0} \\triangleright \\cdots \\triangleright H_{n}=\\{1\\}, H_{i-1} / H_{i}(1 \\leq i \\leq n) \\) 는 아벨군인 가환정 규열 \\( \\left\\{H_{i}\\right\\} \\) 가 존재할 때 \\( G \\) 는 가해군임을 보여라.", "</li><li>대칭군 \\( S_{2}, S_{3}, S_{4} \\) 는 모두 가해군임을 보이고, \\( S_{n}(n \\geq 5) \\) 은 가해군이 아님을 밝혀라.", "</li><li>\\( K=Q(\\sqrt{2}, \\sqrt{3}) \\) 은 \\( Q \\) 위의 분리다항식 \\( \\left(x^{2}-2\\right)\\left(x^{2}-3\\right) \\) 의 분해체임을 증명하여라.", "</li><li>차수가 소수 \\( p \\) 인 기약다항식 \\( f(x) \\in Q[x] \\) 의 유리체 \\( Q \\) 위의 분해체를 \\( K \\) 라 하면 갈루 아군 \\( G(K / Q) \\) 는 대칭군 \\( S_{p} \\) 와 동형임을 증명하여라.", "</li></ol><p>\\(10\\) \\( K \\) 는 체 \\( F \\) 의 유한 갈루아 확대체이다.", "다음 사실을 밝혀라. \\", "( \\phi:\\{E \\mid E \\) 는 \\( F \\leq E \\leq K \\) 의 부분 체 \\( \\} \\rightarrow\\{H \\mid H \\) 는 \\( G(K / F) \\) 의 부분군 \\( \\} \\) 은 일대일 대응이다. \\", "( \\phi(E)=G(K / E) \\cdot \\phi^{-1}(H)=K_{H} \\) 에 대하여, 다음 성질이 성립한다.", "</p><ol type=i start=1><li>체 \\( F \\leq E \\leq K, F \\leq L \\leq K \\) 에 대하여 \\( E \\leq L \\) 일 필요충분조건은 \\( G(K / E) \\supseteq G(K / L) \\) 인 것이다.", "</li><li>부분군 \\( H, J \\subseteq G(K / F) \\) 에 대하여 \\( H \\supseteq J \\) 일 필요충분조건은 \\( K_{H} \\leq K_{J} \\) 인 것이다.", "</li></ol> <p>보기 \\(8\\) 체 \\( Q(\\sqrt{2}, \\sqrt{3}) \\) 은 \\( Q \\) 위의 분리다항식 \\( f(x)=\\left(x^{2}-2\\right)\\left(x^{2}-3\\right) \\) 의 분해체이므로 \\( [Q(\\sqrt{2}, \\sqrt{3}): Q]=|G(Q(\\sqrt{2}, \\sqrt{3}) / Q)|=4 \\) 이다.", "</p><p>정리 \\(6.1.4\\) 체 \\( F \\) 의 유한확대체 \\( K \\) 가 \\( F \\) 의 갈루아 확대체이기 위한 푈요충분조건은 \\( K \\) 가 \\( F \\) 의 정규분리확대체인 것이다.", "또 \\( F \\) 의 특성이 0 이면 \\( K \\) 가 \\( F \\) 의 갈루아 확대체이기 위한 필요충분조건은 \\( I T \\) 가 \\( F \\) 의 정규 확대체인 것이다.", "</p><p>증명 \\( F \\) 의 유한확대체 \\( K \\) 는 \\( F \\) 의 대수적 확대체이다.", "임의의 \\( \\alpha \\in K \\) 의 기약다항식 \\( \\operatorname{irr}(\\alpha, F)=p(x) \\) 의 \\( K \\) 내의 서도 다른 근을 \\( \\alpha_{1}=\\alpha_{1}, \\alpha_{2}, \\cdots, \\alpha_{m} \\) \\( (m \\leq \\operatorname{deg} p(x)) \\) 이라 하자.", "</p><p>정리 \\(5.3.4\\)에 의하여 \\( \\sigma \\in G(K / F) \\) 에 의한 \\( \\sigma\\left(\\alpha_{j}\\right) \\) 는 모두 \\( K \\) 내의 \\( p(x) \\) 의 근이다. \\", "( \\sigma \\) 는 \\( K \\) 위의 치환이므로 \\( \\left\\{\\alpha_{1}, \\cdots, \\alpha_{m}\\right\\}=\\left\\{\\sigma\\left(\\alpha_{1}\\right), \\cdots, \\sigma\\left(\\alpha_{m}\\right)\\right\\} \\) 이다. \\", "( q(x)=\\left(x-\\alpha_{1}\\right) \\cdots\\left(x-\\alpha_{m}\\right), \\sigma(q(x))=\\left(x-\\sigma\\left(\\alpha_{1}\\right)\\right) \\cdots\\left(x-\\sigma\\left(\\alpha_{m}\\right)\\right) \\) 이라 놓 으면 결국 \\( q(x)=\\sigma(q(x)) \\) 가 된다.", "그러므로 \\( q(x) \\) 의 각 계수는 \\( \\sigma \\) 에 의하여 불변인 \\( K \\) 의 원소이다. \\", "( K \\) 가 \\( F \\) 의 갈루아 확대체이면 \\( K_{\\sigma(K / F)}=F \\) 이므로 모든 \\( \\sigma\\left(\\alpha_{j}\\right)=\\alpha_{j} \\) 인 원소 \\( \\alpha_{j} \\) 는 \\( F \\) 의 원소이다.", "즉 \\( q(x) \\in F[x] \\) 이다. \\", "( \\alpha_{1}=\\alpha \\) 는 \\( p(x) \\) 와 \\( q(x) \\) 의 공통근이므로 정리 \\(5.1.7(2)\\)에 의하여 \\( p(x) \\mid q(x) \\) 이다. \\", "( q(x) \\) 의 차수는 \\( p(x) \\) 의 차수 이하이고 최고차항의 계수가 \\(1\\) 인 모닉 다항식이므로 \\( p(x)=q(x) \\) 이다. \\", "( p(x) \\) 의 근은 서로 다르기 모두 \\( K \\) 내에 있으므로 \\( K \\) 는 \\( F \\) 의 분리확대체인 동시에 정규 확대체이다.", "</p><p>역으로, \\( K \\) 가 \\( F \\) 의 유한정규확대체이면 정리 \\(5.4.3\\)에 의하여 \\( K \\) 는 한 다항식 \\( f(x) \\in F[x] \\) 의 분해체이다.", "그런데 \\( K \\) 가 분리확대체이므로 \\( f(x) \\) 는 \\( F \\) 위의 분리다항식이다.", "정리 \\( 6.1 .3 \\) 에 의하여 \\( |G(K / F)|=[K: F] \\) 이다.", "</p><p>\\( F_{0}=K_{G(F / F)} \\) 라 놓으면 정리 \\(6.1.1\\)에 의하여 \\( K \\) 는 \\( F_{0} \\) 의 갈루아 확대체이고 \\( G(K / F)=G\\left(K / F_{0}\\right) \\) 이다. \\", "( K \\) 가 \\( F \\) 의 유한확대체이므로 \\( \\left|G\\left(K / F_{0}\\right)\\right|=\\left[K: F_{0}\\right] \\) 이다.", "그러므로 \\( \\left[K: F_{0}\\right]=\\left|G\\left(K / F_{0}\\right)\\right|=|G(K / F)|=[K: F] \\) 이다.", "그런데 \\( F \\leq F_{0} \\) 이므로 \\( \\left[K: F_{0}\\right]=[K: F] \\) 는 \\( F=F_{0} \\) 를 의미한다.", "따라서 \\( F=K_{G(K / F)} \\).", "즉 \\( K \\) 는 \\( F \\) 의 갈루아 확대체이다.", "</p><p>\\( F \\) 의 특성이 \\(0\\) 이면 모든 기약다항식은 분리다항식이므로 \\( K \\) 가 \\( F \\) 의 갈루아 확대체이기 위한 필요충분조건은 \\( K \\) 가 \\( F \\) 의 정규확대체가 된다.", "</p> <p>\\( H_{i} \\leq G\\left(K_{i} / Q\\right) \\) 에 대한 \\( K_{H_{i}} \\) 를 하나하나 구하면 부분체의 격자는 아래와 같다.", "</p><p>갈루아군 \\( G(K / F) \\) 가 가해군이 되는 경우를 생각하여 보자. \\", "( G=H_{0} \\triangleright \\cdots \\triangleright H_{n}=\\{1\\}, H_{i-1} / H_{i}(1 \\leq i \\leq n) \\) 는 아벨군인 가환정규열 \\( \\left\\{H_{i}\\right\\} \\) 가 존재할 때 \\( G \\) 를 가해군이라 한 바 있다.", "대칭군 \\( S_{2}, S_{3}, S_{4} \\) 는 모두 가해군, \\( S_{n}(n \\geq 5) \\) 은 가해군이 아니다.", "</p><p>다항식 \\( f(x)=a x^{2}+b x+c(a \\neq 0) \\in Q[x] \\) 는 복소수 \\( C \\) 내에서 \\( \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\) 를 근으로 갖는다. \\", "( d=b^{2}-4 a c, \\sqrt{d}=\\alpha \\) 라 하면 \\( a^{2} =d \\in Q \\).", "그러므로 \\( f(x) \\) 의 모든 근은 체 \\( Q(\\alpha) \\) 에 속한다.", "</p><p>\\( f(x) \\) 의 근은 \\( Q \\) 의 원소와 \\( \\alpha \\) (제곱근) 사이에 체의 연산인 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 유한번 시행해서 얻어진다.", "이러한 생각을 체 \\( F \\) 위의 \\( n \\) 차원 다항식에 대해 일반화하여 보자.", "</p><p>정의 다음 조건을 만족하는 \\( \\alpha_{1}, \\cdots, \\alpha_{n} \\in K \\) 가 존재하여 \\( K \\) 를 체 \\( F \\) 의 거듭제곱근 확대체(radical extension field)라 한다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( K=F\\left(\\alpha_{1}, \\cdots, \\alpha_{n}\\right) \\)</li><li>\\( n_{i} \\geq 1 \\) 에 대하여 \\( a_{1}^{n_{1}} \\in F, a_{i}^{n_{i}} \\in F\\left(\\alpha_{1}, \\cdots, \\alpha_{i-1}\\right)(2 \\leq i \\leq n) \\)</li></ol><p>다항식 \\( f(x) \\in F[x] \\) 의 분해체를 포함하는 체 \\( F \\)의 거듭제곱근 확대체가 존재할 때 \\( f(x) \\) 는 \\( F \\) 위에서 거듭제곱근(radicals)에 의하여 가해(solvable)이다 라고 한다.", "</p><p>보기 \\(4\\) 다항식 \\( x^{5}-1 \\) 은 \\( Q \\) 위에서 거듭제곱근 가해이다. \\", "( \\xi^{5}=1 \\) 인 \\( \\xi \\in C \\) 에 대하여 \\( K=Q(\\xi) \\) 는 \\( \\xi^{5}=1 \\in Q \\) 인 분해체이다.", "</p><p>보기 \\(5\\) 다항식 \\( x^{5}-2 \\) 는 \\( Q \\) 위에서 거듭제곱근 가해이다. \\", "( \\xi^{5}=2 \\) 인 \\( \\xi \\in C \\) 에 대하여 \\( Q \\subseteq Q(\\xi) \\subseteq Q(\\xi, \\sqrt[5]{2}), \\xi^{5}=1 \\in Q, (\\sqrt[5]{2})^{5}=2 \\in Q(\\xi) \\).", "그러므로 \\( K= \\) \\( Q(\\xi, \\sqrt[5]{2}) \\) 는 \\( x^{5}-2 \\) 의 분해체이고, \\( Q \\) 의 거듭제곱근 확대체이다.", "</p><p>정리 \\(6.2.2\\) 항등원의 모든 \\( n \\) 제곱근을 포함하고 있는 체 \\( F \\) 위의 다항식 \\( x^{n}-\\alpha \\in F[x] \\) 의 분해체 \\( E \\) 는 \\( F \\) 의 갈루아단순확대체이다.", "또 \\( G(E / F) \\) 는 가해군이다.", "</p><p>증명 항등원의 \\( n \\) 제곱근 전체의 집합 \\( U_{n}=\\left\\{1, \\xi, \\xi^{2}, \\cdots, \\xi^{n-1}\\right\\} \\) 은 항등원의 원시 \\( n \\) 제곱근 \\( \\xi \\) 에 의하여 생성된 순환군이다. \\", "( a=0 \\) 이면 분명하므로 \\( a \\neq 0 \\) 인 경우를 생각하자. \\", "( \\beta \\) 를 \\( x^{n}-a \\) 의 한 근이라 하면 \\( \\beta, \\xi \\beta, \\cdots, \\xi^{n-1} \\beta \\) 는 \\( x^{n}-a \\) 의 서로 다른 근 전체이다.", "이들은 모두 \\( F(\\beta) \\) 에 속하므로 \\( f(\\beta) \\) 는 \\( x^{n}-a \\in F[x] \\) 의 분해체이다.", "또 \\( x^{n}-a \\) 의 근은 모두 다르므로 \\( x^{n}-a \\) 는 \\( F \\) 위의 분리다항식이다.", "따라서 \\( E=F(\\beta) \\) 는 \\( F \\) 의 갈루아 확대체이고 단순확대체이다.", "</p><p>자기동형사상 \\( \\sigma \\in G(E / F) \\) 는 \\( \\sigma(\\beta) \\) 에 값에 따라 결정된다. \\", "( \\sigma(\\beta)=\\xi \\beta \\), \\( \\delta(\\beta)=\\xi^{j} \\beta(1 \\leq i \\leq n-1) \\) 라 놓으면 \\[ (\\sigma \\delta)(\\beta)=\\sigma(\\delta(\\beta))=\\sigma\\left(\\xi^{j} \\beta\\right)=\\sigma\\left(\\xi^{j}\\right) \\sigma(\\beta)=\\xi^{j} \\xi^{i} \\beta \\] \\[ (\\delta \\sigma)(\\beta)=\\delta(\\sigma(\\beta))=\\delta\\left(\\xi^{i} \\beta\\right)=\\delta\\left(\\xi^{i}\\right) \\delta(\\beta)=\\xi^{i} \\xi^{j} \\beta \\] 그러므로 \\( \\sigma \\delta=\\delta \\sigma \\).", "즉 \\( G(E / F) \\) 는 가환군이다.", "따라서 \\( G(E / F) \\) 는 가해군이다.", "</p> <p>정리 \\(6.1.5\\) 체 \\( F \\) 의 유한확대체 \\( K \\) 가 갈루아 확대체이기 위한 필요충분조건은 \\( K \\) 가 한 분리다항식 \\( f(x) \\in F[x] \\) 의 분해체가 되는 것이다.", "</p><p>증명 위 정리의 증명과정에서 정리가 성립함은 분명하다.", "</p><p>정리 \\(6.1.6\\) 특성이 소수 \\( p \\) 인 유한체 \\( F \\) 의 유한확대체 \\( K \\) 는 \\( F \\) 의 갈루아 확대체이다.", "</p><p>증명 \\( \\operatorname{char} F=p,|F|=p^{r},[K: F]=n \\) 이라 하자. \\", "( Z_{p} \\leq F \\leq K \\) 에서 \\( \\left[K: Z_{p}\\right]=[K: F]\\left[F: Z_{p}\\right]=r n \\) 이므로 \\( |K| =p^{r n} \\).", "정리 \\(5.3.13\\)에 의하여 \\( F \\) 는 \\( Z_{p} \\) 위에서의 다항식 \\( x^{p^{p n}}-x \\) 의 분해체이다.", "또 \\( K \\) 는 \\( Z_{p} \\) 위의 다항식 \\( x^{p^{p n}}-x \\) 의 분해체이다.", "그러므로 \\( K \\) 는 \\( F \\) 위의 다항식 \\( x^{p^{r n}}-x \\) 의 분해체이다. \\", "( f(x)=x^{p^{m n}}-x, f^{\\prime}(x)=p^{r n} x^{p^{m n}-1}-1=-1 \\in F[x] \\) 이다.", "정리 \\(5.4.1\\)에 의하여 \\( f(x) \\) 는 \\( K \\) 내의 서로 다른 \\( p^{r n} \\) 개의 근을 갖는다.", "즉 \\( K \\) 는 \\( F \\) 위의 분리다항식 \\( f(x)=x^{p^{p^{n}}}-x \\) 의 분해체이다.", "정리 \\( 6.1 .5 \\) 에 의하여 \\( K \\) 는 \\( F \\) 의 갈루아 확대체이다.", "</p><p>\\( G \\) 가 임의의 군이라 하자.", "이때 \\( G(E / Q) \\) 가 \\( G \\) 와 군동형이 되는 \\( Q \\) 의 갈루아 확대체 \\( E \\) 가 존재하는가 하는 것은 갈루아 이론에서 확인되지 않은 것이다.", "체 \\( K \\) 와 \\( F \\) 의 부분체들과 갈루아군 \\( G(K / F) \\) 의 부분군들 사이의 격자(lattice) 에 관한 갈루아 이론을 살펴보자. \\", "( K \\) 가 체 \\( F \\) 의 유한확대체라 하자. \\", "( K \\) 가 한 다항식 \\( f(x) \\in F[x] \\) 의 분해체이면 \\( K \\) 는 \\( F \\) 의 정규 확대체이다.", "또 \\( K \\) 가 한 분리다항식 \\( f(x) \\in F[x] \\) 의 분해체이면 \\( K \\) 는 갈루아의 확대체이다.", "체 \\( F \\) 의 유한정규 확대체 \\( K \\) 에 대하여 성립하는 갈루아의 기본정리를 증명하기 위하여 몇 가지 사실을 언급하여 보자.", "</p><p>정리 \\(6.1.7\\) \\( K \\) 가 체 \\( F \\) 의 유한확대체이고 \\( E \\) 가 \\( F \\leq E \\leq K \\) 인 임의의 중간체라 하자. \\", "( K \\) 가 \\( F \\) 의 갈루아 확대체이면 \\( K \\) 는 \\( E \\) 의 갈루아 확대체이다.", "</p><p>증명 \\( K \\) 가 \\( F \\) 의 갈루아 확대체이면 \\( K \\) 는 한 분리다항식 \\( f(x) \\in F[x] \\) 의 분해체이다. \\", "( K \\) 는 다항식 \\( f(x) \\in F[x] \\subseteq E[x] \\) 의 분해체이기도 하고 \\( f(x) \\) 는 \\( E \\) 위에서도 분리다항식이다.", "정리 \\(6.1.5\\) 에 의하여 \\( K \\) 는 \\( E \\) 의 갈루아 확대체이다.", "따라서 \\( E=K_{G(K / E)} \\) 이다.", "</p> <p>보기 \\(1\\) \\( K=Q(\\sqrt{2}, \\sqrt{3}) \\) 은 \\( Q \\) 위의 분리다항식 \\( \\left(x^{2}-2\\right)\\left(x^{2}-3\\right) \\) 의 분해체이므로 정리 \\(6.1.3\\) 에 의하여 \\( |G(K / Q)|=4 \\) 이다.", "그러므로 \\( Q \\) 의 모든 원소를 고정시키는 \\( K \\) 위의 동형사상은 네 개뿐이다. \\", "( Q \\) 위의 벡터공간 \\( K \\) 의 기저 \\( \\{1, \\sqrt{2}, \\sqrt{3}, \\sqrt{6}\\} \\) 에 관한 동형사상 \\( 1, \\sigma, \\delta, \\tau \\) 를 다음으로 나타내자.", "</p><p>이 표에서 \\( \\sigma \\delta=\\delta \\sigma, \\sigma^{2}=\\delta^{2}=\\tau^{2}=1 \\) 이다.", "그러므로 \\( G=\\{1, \\sigma, \\delta, \\tau\\} \\) 는 클라인 사원군과 동형으로 \\( G(K / Q) \\cong Z_{2} \\oplus X_{2} \\) 이다.", "</p><p>\\( G(K / Q) \\) 의 부분군은 \\( \\{1, \\sigma, \\delta, \\tau\\},\\{1, \\sigma\\},\\{1, \\delta\\},\\{1, \\tau\\},\\{1\\} \\) 뿐이다. \\", "( Q \\leq E \\leq F=Q(\\sqrt{2}, \\Delta \\sqrt{3}) \\) 인 체 \\( E \\) 는 \\( Q(\\sqrt{2}, \\sqrt{3}), \\Delta Q(\\sqrt{2}) \\), \\( Q(\\sqrt{3}), Q(\\sqrt{6}), Q \\) 뿐이다.", "갈루아 정리의 일대일사상 \\( E \\rightarrow G(K / E) \\) 의 격자는 다음 표가 된다.", "</p><p>여기에서 \\( K_{(1)}=Q(\\sqrt{2}, \\sqrt{3}), K_{(1, \\sigma)}=Q(\\sqrt{3}), K_{(1, \\delta)}=Q(\\sqrt{2}) \\), \\( K_{(1, \\tau)}=Q(\\sqrt{6}), K_{(1, \\sigma, \\delta, \\tau)}=Q \\) 이다.", "</p><p>보기 \\(2\\) 다항식 \\( x^{2}-2 \\) 의 근은 \\( \\sqrt[3]{2}, \\epsilon \\sqrt[3]{2}, \\epsilon^{2} \\sqrt[3]{2}\\left(\\epsilon=e^{\\frac{2 \\pi i}{3}}\\right) \\) 이다. \\", "( Q \\) 의 확대체 \\( Q(\\sqrt[3]{2}, \\epsilon) \\) 의 갈루아군 \\( G(Q(\\sqrt[3]{2}, \\epsilon) / Q) \\) 를 생각하여 보자.", "임의의 \\( \\epsilon \\in G(Q(\\sqrt[3]{2}, \\epsilon) / Q) \\) 은 다음 표의 어느 하나이다.", "</p><p>즉 \\( G(Q(\\sqrt[3]{2}, \\epsilon) / Q)=\\left\\{1, \\sigma_{1}, \\sigma_{2}, \\sigma_{3}, \\sigma_{4}, \\sigma_{5}\\right\\} \\) 이고, 이는 위수가 \\( \\delta \\) 인 비가환군이다.", "위수가 \\(6\\) 인 비가환군은 대칭군 \\( S_{3} \\) 뿐이므로 \\( G(Q(\\sqrt[3]{2}, \\epsilon) / Q) \\cong S_{3} \\) 이다.", "</p><p>\\( Q(\\sqrt[3]{2}, \\epsilon) \\) 의 모든 원소는 \\[ a+a_{2} \\sqrt[3]{2}+a_{3}(\\sqrt[3]{2})^{2}+a_{4} \\epsilon+a_{5} \\epsilon \\sqrt[3]{2}+a_{6} \\epsilon(\\sqrt[3]{2})^{2} \\] 의 꼴로 표시된다.", "모든 \\( \\sigma \\in G(Q(\\sqrt[3]{2}, \\epsilon) / Q) \\) 에 의하여 불변인 원소는 \\( a_{2}=a_{3}=a_{4}=a_{5}=a_{6}=0 \\) 인 경우뿐이다.", "그러므로 군 \\( G(Q(\\sqrt[3]{2}, \\epsilon) / Q) \\) 의 불변체는 \\( Q \\) 이다.", "따라서 \\( Q(\\sqrt[3]{2}, \\epsilon) \\) 은 \\( Q \\) 의 갈루아 확대체이다.", "</p><p>\\( K=Q(\\sqrt[3]{2}, \\epsilon) \\) 과 \\( G=G(K / Q) \\) 의 갈루아격자를 비교하면 다음과 같다.", "여기에서 \\( \\sigma=\\{123\\}, \\delta=\\{13\\} \\) 이다.", "</p><p>보기 \\(3\\) \\( K=Q(\\alpha, i) \\) 는 \\( Q \\) 위의 다항식 \\( x^{4}-2 \\) 의 분해체이다. \\", "( \\alpha=\\sqrt[4]{2}-\\alpha, i \\alpha-i \\alpha \\) \\( \\left(i^{2}=-1\\right) \\) 는 \\( K \\) 내에 있는 \\( x^{4}-2 \\) 의 단근이기 때문이다. \\", "( Q(\\alpha) \\subset R \\) 이므로 \\( K \\neq Q(\\alpha) \\) 이다. \\", "( Q \\leq E \\leq K \\) 인 부분체 \\( E \\) 는 \\( Q, Q(\\alpha), Q(\\alpha, i)=K \\) 뿐이다. \\", "( Q \\) 위의 \\( E=Q(\\alpha) \\) 의 기저 \\( \\left\\{1, \\alpha, \\alpha^{2}, \\alpha^{3}\\right\\}, E \\) 위의 \\( K \\) 의 기저 \\( \\{1, i\\} \\) 에 대하 여 \\( \\left\\{1, \\alpha, \\alpha^{2}, \\alpha^{3}, i, i \\alpha, i \\alpha^{2}, i \\alpha^{3}\\right\\} \\) 은 \\( Q \\) 위의 \\( K \\) 의 기저이다.", "</p><p>\\( [K: Q]=[K: E][E: Q]=2 \\cdot 4=8 \\) 이다.", "정리 \\(6.1.3\\) 에 의하여 \\( |G(K / Q)| \\)\\( =8 \\).", "그러므로 \\( Q \\) 의 모든 원소를 고정하는 \\( K \\) 위의 자기동형사상은 여덟 개가 있다.", "자기동형사상은 \\( Q \\) 위의 벡터공간 \\( K \\) 의 기저 \\( \\left\\{1, \\alpha, \\alpha^{2}, \\alpha^{3}, i, i \\alpha\\right. \\)", ", \\( \\left.i \\alpha^{2}, i \\alpha^{3}\\right\\} \\) 에 대응하는 원소에 의하여 결정된다.", "다음 표는 생성원 \\( \\alpha, i \\) 에 대응방법을 나타낸 것이다.", "</p><p>이때 \\( \\sigma_{1} \\tau_{1}=\\delta_{1}, \\tau_{1} \\sigma_{1}=\\delta_{2} \\) 이므로 \\( \\sigma_{1} \\tau_{1} \\neq \\tau_{1} \\sigma_{1} \\) 이므로 \\( G(K / Q) \\) 는 비가환군이다. \\", "( G(K / Q) \\) 의 여덟 개 부분군의 격자는 다음과 같다.", "</p> <p>정리 \\(6.1.10\\) \\( K \\) 가 체 \\( F \\) 의 유한 갈루아 확대체이고 \\( E \\) 가 \\( F \\leq E \\leq K \\) 인 부분체이면 임의의 부분군 \\( H \\subseteq G(K / F) \\) 에 대하여 \\( H=G\\left(K_{H}\\right) \\) 이다.", "</p><p>증명 \\( H \\subseteq G(K / F) \\) 인 유한군 \\( H \\) 는 \\( H \\subseteq G\\left(K / K_{H}\\right) \\subseteq \\mathrm{Aut}\\left(K\\right) \\) 를 만족하므로 \\( H \\) 가 \\( G\\left(K / K_{H}\\right) \\) 의 진부부군이 아님을 보이면 된다.", "정리 \\(5.3.15\\)와 \\( 5.4 .4 \\) 에 의하여 체 \\( K_{H} \\) 가 유한이든 또는 무한이든 어느 경우에나 \\( K=K_{H}(\\alpha) \\) 인 \\( \\alpha \\in K \\) 가 존재한다.", "</p><p>정리 \\(6.1.1\\)에 의하여 \\( K \\) 는 체 \\( K_{H} \\) 의 갈루아 확대체이다.", "그러므로 정리 \\(6.1.3\\) 에 의하여 \\( \\left|G\\left(K / K_{H}\\right)\\right|=\\left[K: K_{H}\\right]=n \\) 이다. \\", "( |H|=m, H=\\left\\{\\sigma_{1}, \\cdots, \\sigma_{m}\\right\\}, m<n \\) 이라 가정하자.", "</p><p>다항식 \\( f(x)=\\left(x-\\sigma_{1}(\\alpha)\\right) \\cdots\\left(x-\\sigma_{m}(\\alpha)\\right)=\\prod_{i=1}^{m}\\left(x-\\sigma_{i}(\\alpha)\\right) \\) 의 차수는 \\( n \\) 미만이다. \\", "( \\delta \\in H \\) 에 대하여 \\( H=\\left\\{\\sigma_{1}, \\cdots, \\sigma_{m}\\right\\}=\\left\\{\\delta \\sigma_{1}, \\cdots, \\delta \\sigma_{m}\\right\\} \\) 이다.", "이는 \\( \\delta \\) 가 동형사상이기 때문에 가능하다. \\", "( f(x) \\) 의 전개식에서 \\( x \\) 의 누승의 계수는 \\( \\delta \\) 에 의하여 불변이다.", "</p><p>실제로 \\( x^{m-1} \\) 의 계수 \\( -\\sigma_{1}(\\alpha)-\\sigma_{2}(\\alpha)-\\cdots-\\sigma_{m}(\\alpha) \\) 와 \\( -\\left(\\delta \\sigma_{1}\\right)(\\alpha)- \\) \\( \\left(\\delta \\sigma_{2}\\right)(\\alpha)-\\cdots-\\left(\\delta \\sigma_{m}\\right)(\\alpha) \\) 는 더하는 순서만 다를 뿐 그 값은 같다.", "그러므로 \\( f(x) \\in K_{H}[x] \\) 이다. \\", "( \\sigma_{1}, \\cdots, \\sigma_{m} \\) 의 어느 하나는 항등사상이므로</p><p>\\( f(\\alpha)=\\left(\\alpha-\\delta_{1}(\\alpha)\\right) \\cdots\\left(\\alpha-\\delta_{m}(\\alpha)\\right)=0 \\)</p><p>\\( \\operatorname{irr}(\\alpha, H) \\in K_{H}[x] \\) 의 차수를 생각하여 보자.", "</p><p>\\( \\operatorname{deg}\\left(\\alpha, K_{H}\\right) \\leq \\operatorname{deg} f(x)<n=\\left[K: K_{H}\\right]=\\left[K_{H}(\\alpha): K_{H}\\right] \\) 에서 \\( \\operatorname{deg}\\left(\\alpha, K_{H}\\right) \\) \\(<\\left[K_{H}(\\alpha): K_{H}\\right]=\\operatorname{deg}\\left(\\alpha, K_{H}\\right) \\) 라는 모순이 생긴다.", "</p><p>결과적으로 \\( H \\) 는 \\( G\\left(K / K_{H}\\right) \\) 의 진부분군이 될 수 없다.", "따라서 \\( H=G\\left(K / K_{H}\\right) \\) 가 성립한다.", "</p> <p>이때 \\( |G(K / F)|=1 \\leq[K: F] \\) 가 성립한다.", "</p><p>\\( \\operatorname{irr}(\\alpha, F)=p(x) \\) 가 \\( K \\) 내에 서로 다른 두 개 이상의 근을 갖는 \\( \\alpha \\in K \\) 가 존재하는 경우를 생각할 수 있다.", "이때 \\( \\operatorname{irr}(\\alpha, F)=p(x), \\operatorname{deg} p(x) \\geq 2 \\), \\( T=\\left\\{\\alpha_{1}=\\alpha, \\alpha_{2}, \\cdots, \\alpha_{k}\\right\\} \\) 를 \\( p(x) \\in F[x] \\) 의 서로 다른 \\( K \\) 내의 근의 집합이라 하자.", "</p><p>갈루아군 \\( G(K / F(\\alpha)) \\) 는 \\( G(K / F) \\) 의 부분군이다. \\", "( G(K / F(\\alpha))=H \\), \\( S=\\{H \\sigma \\mid \\sigma \\in G\\}, G=G(K / F) \\) 에 연습문제 \\(6.1.2\\)을 적용하면 \\[ |S|=[G: H]=|T|=k \\leq r=\\operatorname{deg} p(x)=[F(\\alpha): F] \\] 이다.", "그런데 \\( [K: F(\\alpha)][F(\\alpha): F]=[K: F] \\) 에서 \\([K: F(\\alpha)]=[K: F] / \\) \\( [F(\\alpha): F]=n / r<n \\) 이다.", "가정에 의하여 \\( |H|=|G(K / F(\\alpha))| \\leq[K: F(\\alpha)] \\) 이므로 \\[ |G(K / F)|=|G|=|H|[G: H] \\leq[K: F(\\alpha)][F(\\alpha): K]=[K: F] \\]</p><p>따라서 모든 \\( n=[K: F] \\) 에 대하여 이 정리가 성립한다.", "</p><p>정리 \\(6.1.3\\) \\( K \\) 가 체 \\( F \\) 의 유한확대체이고 \\( F \\) 위에서의 분리다항식 \\( f(x) \\in F[x] \\) 의 분해체이면 \\( |G(K / F)|=[K: F] \\) 이다.", "</p><p>증명 \\(K\\)가 \\( f(x) \\in F[x] \\) 의 분해체이고 \\( [K: F]=n \\) 이라 하자. \\", "( n \\) 에 관한 귀납법으로 이 정리를 증명하자.", "</p><p>\\( n=1 \\) 이면 분명하므로 \\( n>1 \\) 이라 하자. \\", "( f(x) \\) 는 \\(2\\) 차 이상의 기약인수 \\( p(x) \\in F[x] \\) 를 갖는다. \\", "( f(x) \\) 의 기약인수가 \\(1\\)차식뿐이라면 \\( K=F \\) 이므로 \\( [K: F]=1 \\) 이기 때문이다.", "</p><p>\\( \\operatorname{deg} p(x)=m \\geq 2, \\alpha \\in K, p(\\alpha)=0 \\) 이라 하면 \\( [F(\\alpha): F]=m \\) 이다. \\", "( p(x) \\) 의 \\( K \\) 내의 근 전체의 집합을 \\( T \\) 라 하자. \\", "( p(x) \\) 가 \\( F \\) 위에서 분리다항식이므로 \\( |T|=\\operatorname{deg} p(x)=m=[F(\\alpha): F] \\) 이다.", "연습문제 \\(6.1.2\\)를 적용하면 \\( G=G(K / F), H=G(K / F(\\alpha)), S=\\{H \\sigma \\mid \\sigma \\in G\\} \\) 에 대하여 \\[ [G: H]=|S|=|T|=m=[F(\\alpha): F] \\]</p><p>또 \\( K \\) 는 \\( f(x) \\in F(\\alpha)[x] \\) 의 \\( F(\\alpha) \\) 위에서의 분해체이고 \\( f(x) \\) 는 \\( F(\\alpha) \\)에서의 분리다항식이다. \\", "( [K: F(\\alpha)] \\leq \\frac{n}{m}<n \\) 이므로 귀납법에 의하여 \\( |H|= \\) \\( \\mid G(K / F(\\alpha) \\mid=[F(\\alpha): F] \\)이다.", "따라서 \\( |G(K / F)|=|H|[G: H]=[K: F(\\alpha)] \\) \\( [F(\\alpha): F]=[K: F] \\)이다.", "</p> <h1>연습문제 \\( 6.1 \\)</h1><ol type=1 start=1><li>\\( K \\) 가 체 \\( F \\) 의 유한확대체이고 \\( \\alpha \\in K, \\operatorname{irr}(\\alpha, F)=p(x) \\) 라 하자. \\", "( K \\) 내의 \\( p(x) \\) 의 서로 다른 근 전체의 집합 \\( T=\\left\\{\\alpha=\\alpha_{1}, \\cdots, \\alpha_{k}\\right\\} \\) 와 군 \\( G=G(K / F) \\) 의 부분군 \\( H=G(K / F(\\alpha)) \\) 의 잉여류 전체의 집합 \\( S=\\{H \\sigma \\mid \\sigma \\in G\\} \\) 에 대하여 \\( \\varphi(H \\sigma)=\\sigma(\\alpha) \\) 로 정의된 사상 \\( \\varphi: S \\rightarrow T \\) 는 단사함수임을 보여라.", "</li><li>위의 문제에서 \\( K\\) 가 분리다항식 \\( p(x) \\) 의 분해체이면 \\( \\varphi \\) 는 전단사함수임을 보여라.", "</li><li>\\( K \\) 가 \\( F \\) 의 확대체이고 \\( G(K / F) \\) 가 갈루아군이고 \\( F_{0}=K_{G(K / F)} \\) 이면, \\( G(K / F)= \\) \\( G\\left(K / F_{0}\\right) \\) 임을 보이고, 또 \\( K \\) 는 \\( F_{0} \\) 의 갈루아 확대체임을 보여라.", "</li><li>\\( K \\) 가 체 \\( F \\) 의 확대체이고 \\( E \\) 가 \\( F \\leq E \\leq K \\) 인 중간체라 하자. \\", "( [K: F]=n \\) 양의 정수이 고, \\( K \\) 가 \\( F \\) 의 갈루아 확대체이면 \\( K \\) 는 \\( E \\) 의 갈루아 확대체임을 밝혀라.", "</li><li>유리수체 \\( Q \\) 위의 자기 동형사상은 항등사상뿐임을 보여라.", "</li><li>\\( K \\) 는 체 \\( F \\) 의 갈루아유한확대체이다. \\", "( F \\leq E \\leq K \\) 인 부분체 \\( E \\) 가 \\( F \\) 의 갈루아 확대체 이기 위한 필오충분즈건은 \\( G(K / E) \\) 가 군 \\( G(K / F) \\) 의 정규부분군임을 밝혀라.", "</li><li>체 \\( F \\) 의 유한확대체 \\( K \\) 가 갈루아 확대체이기 위한 필요충분조건은 \\( K \\) 가 한 분리다항식 \\( f(x) \\in F[x] \\) 의 분해체가 됨을 증명하여라.", "</li><li>\\( K \\) 가 체 \\( F \\) 의 유한차원 갈루아 확대체이고 \\( E \\) 가 \\( F \\leq E \\leq K \\) 인 임의의 부분체라 하자. \\", "( E \\) 가 \\( F \\) 의 갈루아 확대체이기 위한 필요충분조건은 모든 \\( \\sigma \\in G(I / F) \\) 에 대하여 \\( \\sigma(E) \\leq E \\) 가 됨을 증명하여라.", "</li></ol> <p>정리 \\(6.2.5\\) 소수 \\( p \\) 에 관한 대칭군 \\( S_{p} \\) 의 부분군 \\( H \\) 가 하나의 호환과 위수가 \\( p \\) 인 하나의 치환을 포함하고 있으면 \\( H=S_{p} \\) 이다.", "</p><p>증명 \\( H \\) 에 속하는 호환을 \\( \\tau=(a b) \\), 길이가 \\( p \\) 인 치환을 \\( \\delta=\\left(i_{1} i_{2} \\cdots i_{p}\\right) \\) 라 하자.", "각 \\( i_{1}, \\cdots, i_{p} \\) 는 \\( 1, \\cdots, p \\) 중의 어느 하나로 서로 다른 것이므로 \\( i_{1}=1, i_{2}=2, \\cdots, i_{p}=p \\) 라 하여도 무방하다.", "같은 이유에서 \\( \\alpha=1, b=2 \\) 라 놓을 수 있다. \\", "( \\tau=(12), \\delta=(12 \\cdots p) \\) 가 모두 \\( H \\) 의 원소이므로 \\( \\tau \\circ \\delta(12)(12 \\cdots p)=(23 \\cdots p \\in H \\) 이다.", "모든 \\( k=1, \\cdots, p-1 \\) 에 대하여 \\[ (2 3 \\cdots p)^{k}(1)(2 3 \\cdots p)^{-k}=(1, k+1) \\] 는 \\( H \\) 의 원소이다.", "즉 모든 \\( (12),(13), \\cdots,(1 p) \\) 는 \\( H \\) 의 원소이다.", "또 \\( (1 i)(1 j)(1 i)=(i j) \\) 이므로 모든 호환은 \\( H \\) 의 원소이다.", "그런데 \\( S_{p} \\) 는 \\( (12),(13), \\cdots,(1 p) \\) 에 의하여 생성되므로 \\( H=S_{p} \\) 이다.", "</p><p>정리 \\(6.2.6\\) 차수가 소수 \\( p \\) 인 기약다항식 \\( f(x) \\in Q[x] \\) 의 유리수체 \\( Q \\) 위의 분해체를 \\( K \\) 라 하면 갈루아군 \\( G(K / Q) \\) 는 대칭군 \\( S_{p} \\) 와 동형이다.", "</p><p>증명 기약다항식 \\( f(x) \\in Q[x] \\) 의 복소수체 \\( C \\) 내의 한 근 \\( \\alpha \\) 에 대하여 \\( [Q(\\alpha): Q]=\\operatorname{deg} f(x)=p \\).", "정리 \\(6.1.9\\) 에 의하여 \\( [G(K / Q): G(K / Q(\\alpha))] \\) \\( =[Q(\\alpha): Q]=p \\) 이다.", "그러므로 \\( p \\) 는 \\( G(K / Q) \\) 의 약수이다.", "따라서 위수가 \\( p \\) 인 \\( G(K / Q) \\) 내의 자기동형사상 \\( \\tau \\) 가 존재한다.", "모든 \\( \\alpha=a+b i(a, b \\in R) \\) 에 대하여 \\( \\tau(\\alpha)=\\bar{\\alpha} \\) 로 정의된 사상 \\( \\tau: C \\rightarrow C \\) 를 생각하자. \\", "( f(x) \\) 의 복소수체 \\( C \\) 내에서의 해 집합 \\( T=\\left\\{\\alpha_{1}, \\alpha_{2}, \\alpha_{3}, \\cdots, \\alpha_{p} \\mid \\alpha_{1} \\neq \\alpha_{2} \\in C, \\alpha_{3}, \\cdots, \\alpha_{p} \\in \\mathbb{R}\\right\\} \\) 에 대하여 \\( \\tau\\left(\\alpha_{1}\\right)=\\alpha_{2}, \\quad \\tau\\left(\\alpha_{2}\\right)=\\alpha_{1}, 0 \\tau\\left(\\alpha_{j}\\right)=\\alpha_{j}(3 \\leq j \\leq p) \\) 가 성립한다.", "</p><p>실제로 \\( \\tau\\left(\\alpha_{1}\\right)=\\overline{\\alpha_{1}}, \\tau\\left(\\alpha_{2}\\right)=\\overline{\\alpha_{2}}, \\tau\\left(\\alpha_{3}\\right)=\\overline{\\alpha_{3}}, \\cdots, \\tau\\left(\\alpha_{p}\\right)=\\overline{\\alpha_{p}} \\) 이다.", "그런데 \\( \\alpha_{1} \\) 이 \\( f(x) \\) 의 허근이므로 \\( \\overline{\\alpha_{1}} \\) 도 \\( f(x) \\) 의 허근이다.", "</p><p>\\( f(x) \\) 의 허근은 단 두 개뿐이므로 \\( \\tau\\left(\\alpha_{1}\\right)=\\overline{\\alpha_{1}} \\neq \\alpha_{1}, \\tau\\left(\\alpha_{2}\\right)=\\overline{\\alpha_{2}} \\neq \\alpha_{2} \\) 에서 \\( \\tau\\left(\\alpha_{1}\\right)=\\alpha_{2}, \\tau\\left(\\alpha_{2}\\right)=\\alpha_{1} \\) 이어야 한다.", "그러므로 \\( G(K / Q) \\) 에는 길이가 \\( p \\) 인 순환치환에 대응하는 원소와 호환에 대응하는 원소가 존재한다.", "따라서 \\( G(K / Q) \\cong S_{p} \\) 이다.", "</p><p>보기 \\(7\\) 다항식 \\( 2 x^{5}-10 x+5 \\) 에 관한 갈루아군은 \\( S_{5} \\) 와 동형이다. \\", "( f(x)=2 x^{5}-10 x+5 \\) 의 근은 세 개의 실근과 서로 다른 두 개의 허근을 갖기 때문이다.", "</p> <p>정리 \\(6.1.2\\) \\( K \\) 가 체 \\( F \\) 의 유한확대체라 하면 \\( G(K / F) \\) 는 유한군이고 \\( |G(K / F)| \\leq \\) \\( [K: F] \\) 이다.", "</p><p>증명 \\( K \\) 가 \\( F \\) 의 유한확대체이므로 \\( K \\) 는 \\( F \\) 의 대수적 확대체이다. \\", "( \\alpha \\in K \\), \\( \\operatorname{irr}(\\alpha, F)=p(x) \\) 의 \\( F(\\alpha) \\) 내의 서로 다른 근 전체의 집합을 \\( \\left\\{\\alpha=\\alpha_{1}, \\alpha_{2}, \\cdots, \\alpha_{k}\\right\\} \\) 라 하자.", "이때 \\( |G(F(\\alpha) / F)|=k \\leq[F(\\alpha): F] \\) 가 성립함을 보이자.", "</p><p>\\( \\operatorname{deg} p(x)=m \\) 이면 정리 \\(5.3.1\\)과 \\(5.3.5\\)에 의하여 \\( k \\leq m=[F(\\alpha): F] \\).", "정리 \\(5.3.5\\)의 증명과정에서 \\( \\left\\{1, \\alpha, \\cdots, \\alpha^{m-1}\\right\\} \\) 은 \\( F \\) 위의 벡터공간 \\( F(\\alpha) \\) 의 기저이다.", "모든 \\( i \\) 에 대하여 \\( F(\\alpha)=F\\left(\\alpha_{i}\\right) \\) 가 성립한다.", "정리 \\(5.3.4\\)에 의하여 \\( \\sigma_{i}(\\alpha)=\\alpha_{i} \\) 인 \\( \\sigma_{i} \\in G(F(\\alpha) / F) \\) 가 존재하여 이들은 서로 다르다.", "이는 \\( \\alpha \\) 와 \\( \\alpha_{i} \\) 가 서로 공액이기 때문이다.", "그러므로 \\[ \\left\\{\\sigma_{1}=1, \\sigma_{2}, \\cdots, \\sigma_{k}\\right\\} \\subseteq G(F(\\alpha) / F) \\]</p><p>정리 \\(5.3.4\\)에 의하며 \\( \\sigma \\in G(K / F) \\) 에 대하여 \\( \\sigma(\\alpha) \\) 도 \\( p(x) \\) 의 근이다.", "그러므로 \\( \\sigma(\\alpha) \\) 는 \\( \\alpha_{1}=1, \\alpha_{2}, \\cdots, \\alpha_{k} \\) 중의 하나이다. \\", "( \\sigma(\\alpha)=\\alpha_{j} \\) 라 놓으면 임의의 \\( u=a_{0}+a_{1} \\alpha+\\cdots+a_{m-1} \\alpha^{m-1} \\in F(\\alpha) \\) 에 대하여 \\[ \\begin{aligned} \\sigma(u) &=a_{0}+a_{1} \\sigma(\\alpha)+\\cdots+a_{m-1}(\\sigma(\\alpha))^{m-1} \\\\ &=a_{0}+a_{1} \\alpha_{j}+\\cdots+a_{m-1} \\alpha_{j}^{m-1} \\\\ &=a_{0}+a_{1} \\sigma_{j}(\\alpha)+\\cdots+a_{m-1}\\left(\\sigma_{j}(\\alpha)\\right)^{m-1} \\\\ &=\\sigma_{j}\\left(a_{0}+a_{1} \\alpha+\\cdots+a_{m-1} \\alpha^{m-1}\\right) \\\\ &=\\sigma_{j}(u) \\end{aligned} \\]</p><p>그러므로 \\( \\sigma=\\sigma_{j}, j=1, \\cdots, k \\) 이다.", "즉 \\( G(K / F) \\subseteq\\left\\{\\sigma_{1}=1, \\sigma_{2}, \\cdots, \\sigma_{k}\\right\\} \\).", "따라서 \\( |G(F(\\alpha) / F)|=k \\leq[F(\\alpha): F] \\).", "즉 \\( G(K / F) \\) 는 유한군이다.", "</p><p>\\( [K: F]=n \\) 에 관한 귀납법으로 증명하자.", "</p><p>\\( n=1 \\) 이면 \\( G(K / F)=\\{1\\},[K: F]=1 \\) 이므로 \\( |G(K / F)|=1=[K: F] \\) 이다. \\( n>", "1 \\) 이고 \\( l<n \\) 인 모든 양의 정수 \\( l \\) 에 대하여 이 정리가 성립한다고 가정하자.", "모든 \\( \\alpha \\in K \\) 의 기약다항식 \\( \\operatorname{irr}(\\alpha, F)=p(x) \\) 가 \\( K \\) 내에 \\( \\alpha \\) 만을 근으로 갖는다고 가정하고, \\( \\sigma \\) 가 \\( G(K / F) \\) 의 임의의 원소라 하자.", "그러면 \\( \\sigma(\\alpha) \\) 도 \\( p(x) \\) 의 근이므로 \\( \\sigma(\\alpha)=\\alpha \\) 이다.", "따라서 \\( \\sigma=1_{K} \\) 이다.", "</p> <h1>6.2 갈루아 이론의 기본정리, 가해성</h1><p>앞 절의 갈루아군 및 갈루아 확대체에 관한 정리를 이용하여 갈루아 이론의 기본정리를 살펴보자.", "</p><p>정리 \\(6.2.1\\) 갈루아 이론의 기본정리 \\( K \\) 는 체 \\( F \\) 의 유한 갈루아 확대체라고 하자.", "다음과 같이 정의된 사상 \\( \\phi:\\{E \\mid E \\) 는 \\( F \\leq E \\leq K \\) 의 부분체 \\( \\} \\rightarrow\\{H \\mid H \\) 는 \\( G(K / F) \\) 의 부분군 \\( \\} \\) 은 일대일 대응이다.", "</p><p>\\( \\phi(E)=G(K / E) \\cdot \\phi^{-1}(H)=K_{H} \\)</p><p>이때 다음 성질이 성립한다.", "</p><ol type=1 start=1><li>체 \\( F \\leq E \\leq K, F \\leq L \\leq K \\) 에 대하여 \\( E \\leq L \\) 일 필오충분조건은 \\( G(K / E) \\supseteq G(K / L) \\) 인 것이다.", "또 \\( [G(K / E): G(K / L)]=[L: E] \\) 이다.", "</li><li>부분군 \\( H, J \\subseteq G(K / F) \\) 에 대하여 \\( H \\supseteq J \\) 일 필요충분조건은 \\( K_{H} \\leq K_{J} \\) 인 것이다.", "또 \\( [H: J]=\\left[K_{H}: K_{J}\\right] \\) 이다.", "</li><li>체 \\( F \\leq E \\leq K \\) 에서 \\( E \\) 가 \\( F \\) 의 갈루아 확대체이면 \\( G(K / E) \\triangleleft \\) \\( G(K / F) \\) 이고 \\( G(E / F) \\cong G(K / F) / G(K / E) \\) 이다.", "</li><li>\\( G(I / F) \\) 의 부분군의 격자와 \\( F \\leq E \\leq K \\) 인 부분체의 격자는 아래의 관계로 표시된다.", "</li></ol><p>증명 우선 \\( \\phi \\) 가 일대일 대응임을 보이자. \\", "( I \\) 가 \\( F \\) 의 갈루아 유한확대체이므로 정리 \\(6.1.7\\) 에 의하여 \\( K \\) 는 \\( E \\) 의 갈루아 확대체이다.", "그러므로 \\( E=K_{G(K / E)} \\) 다. \\( \\phi\\left(E_{1}\\right)=\\phi\\left(E_{2}\\right), G\\left(K_{1} / E_{1}\\right)=G\\left(K / E_{2}\\right) \\) 이면 \\( K_{G\\left(K / E_{1}\\right)}=K_{G\\left(K / E_{2}\\right)} \\) 이다. \\", "( K \\) 가 \\( E_{1}, E_{2} \\) 의 갈루아 확대체이므로 \\( E_{1}=K_{G\\left(K / E_{1}\\right)}=K_{G\\left(K / E_{2}\\right)}=E_{2} \\) 이다.", "그러므로 \\( \\phi \\) 는 일대일사상이다.", "</p><p>정리 \\(6.1.10\\)에 의하여 부분군 \\( H \\subseteq G(I / F) \\) 에 대하여 \\( H=G\\left(K / K_{H}\\right) \\) 이므로 \\( K_{H} \\) 는 \\( F \\leq K_{H} \\leq K\\) 인 부분체이다.", "즉 \\( K_{H} \\) 는 \\( \\phi\\left(K_{H}\\right)=G\\left(K_{1} / K_{H}\\right)=H \\) 인 \\( K \\) 의 부분체이다.", "그러므로 \\( \\phi \\) 는 전사이다.", "이로서 \\( \\phi \\) 가 일대일 대응임이 확인되었다.", "</p><ol type=1 start=1><li>갈루아군과 불변체의 정의에 의하여 \\( E \\leq L \\Leftrightarrow G(K / E) \\geq G(K / L) \\). \\", "( F \\leq E \\leq L \\leq K \\) 이면 \\( K \\) 는 \\( E, L \\) 의 갈루아 확대체이므로 \\[[G(K / E): G(K / L)]=|G(K / E)| /|G(K / L)|=\\frac{[K: E]}{[K: L]}=[L: E] \\]</li><li>\\( H, J \\subseteq G\\left(K^{\\circ} / F\\right) \\) 인 유한군에 대하여 \\( H \\subseteq J \\Leftrightarrow K_{H} \\supseteq K_{J} \\) 이다.", "정리 6.1.10에 의하여 \\( H=K_{G\\left(K / K_{H}\\right)}, \\quad|H|=\\left|K_{G\\left(K / K_{H}\\right)}\\right|=\\left[K_{1}: K_{H}\\right] \\) 이고. \\", "( J=K_{G\\left(K^{\\prime} / K_{j}\\right)},|J|=\\left|K_{G\\left(K^{*} / K_{j}\\right)}\\right|=\\left[K^{*}: K_{J}\\right] \\) 이다. \\", "( H \\subseteq J \\) 이면 \\( [H: J]=\\frac{|H|}{|J|}=\\frac{\\left[K: K_{H}\\right]}{\\left[K: K_{J}\\right]}=\\left[K_{J}: K_{H}\\right] . \\)", "</li><li>정리 \\(6.1.10\\)에 의한다.", "</li><li>일대일 대응 \\( \\phi \\) 와 역사상 \\( \\phi^{-1} \\) 의 상과 원상을 \\((1), (2)\\)에 의하여 그림 \\(6.1\\)과 같이 나타낼 수 있다.", "</li></ol>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "412", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "알기 쉬운 현대대수학_갈루아 이론", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-5c62-4e14-8bde-7c62f42b9f4e", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961059442", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2015", "doc_author": [ "조용욱" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>예제 이차형식의 대각화 과정을 이용하여 이차곡선 \\( 3 x^{2}+2 x y+3 y^{2}-8=0 \\) 의 형태를 알아보자.", "</p><p>풀이 이차방정식을 이차형식으로 정리하면 \\[ X^{T} A X=(x, y)\\left(\\begin{array}{ll} 3 & 1 \\\\ 1 & 3 \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{l} x \\\\ y \\end{array}\\right)=8 \\] \\( A \\) 의 고유값은 \\( \\lambda_{1}=2, \\lambda_{2}=4 \\) 이므로 주축정리에 따라 \\[ 2\\left(x^{\\prime}\\right)^{2}+4\\left(y^{\\prime}\\right)^{2}=8 \\] 따라서 주어진 이차곡선의 그래프는 그림과 같다.", "■</p><p>자세히 살펴보면 고유값 \\( \\lambda_{1}=2, \\lambda_{2}=4 \\) 에 해당하는 고유벡터는 \\[ v_{1}=\\left(\\begin{array}{c} \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\ -\\frac{1}{\\sqrt{2}} \\end{array}\\right) v_{2}=\\left(\\begin{array}{c} \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\ \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\end{array}\\right) \\] 이므로 해당하는 직교행렬 \\( P=\\left(\\begin{array}{cc}\\frac{1}{\\sqrt{2}} & \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\ -\\frac{1}{\\sqrt{2}} & \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\end{array}\\right) \\) 따라서 \\( x^{\\prime} y^{\\prime} \\) 축은 \\( x y \\) 축을 시계반대방향으로 \\( -45^{\\circ} \\) 회전한 축이다.", "</p><p>예제 이차방정식 \\( 2 x^{2}+2 x y+2 y^{2}=9 \\) 이 나타내는 이차곡선의 그래프를 쉽게 그리려면 직교행렬 \\( P=\\left(\\begin{array}{cc}\\frac{1}{\\sqrt{2}} & -\\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\ \\frac{1}{\\sqrt{2}} & \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\end{array}\\right) \\) 를 이용하여 주축정리에 따라 \\[ \\frac{(x)^{2}}{3}+\\frac{(y)^{2}}{9}=1 \\]</p><p>\\( R^{n} \\) 상으로 일반화하면 다음과 같이 정리된다.", "</p><p>정리 주축정리 대칭행렬 \\( A \\in M_{n} \\) 의 고유값을 \\( \\lambda_{1}, \\lambda_{2}, \\cdots, \\lambda_{n} \\) 라 할 때, 이차형식 \\( q(X)=X^{T} A X \\) 는 좌표축의 회전에 의하여 새로운 좌표계 \\( X^{\\prime}=\\left(x_{1}^{\\prime}, x_{2}^{\\prime}, \\cdots, x_{n}{ }^{\\prime}\\right) \\) 에서 \\[ q(X)=\\lambda_{1}\\left(x_{1}^{\\prime}\\right)^{2}+\\lambda_{2}\\left(x_{2}^{\\prime}\\right)^{2}+\\cdots+\\lambda_{n}\\left(x_{n}^{\\prime}\\right)^{2} \\]</p><p>연습문제 \\( 8.2 \\)</p><p>\\(1\\).", "다음 이차곡선에서 직교좌표 변환을 이용하여 \\( x y \\) 항(교차항)을 소거하여 그 그래프를 그려라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 4 x^{2}+6 x y-4 y^{2}=5 \\)</li><li>\\( x^{2}+2 x y+y^{2}+3 x+y-1=0 \\)</li></ol><p>답 \\( (2) 2\\left(y^{\\prime}\\right)^{2}+\\sqrt{2} x+2 \\sqrt{2} y^{\\prime}=1 \\)</p><p>\\(2\\).", "다음 이차곡선에 대한 대칭행렬 \\( A \\) 의 고유값을 이용하여 타원, 쌍곡선, 포물선 중 어떤 것인지 판정하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( x^{2}+5 y^{2}=20 \\)</li><li>\\( x^{2}-y^{2}-10=0 \\)</li><li>\\( x^{2}-3 y=0 \\)</li></ol><p>답 \\((1)\\) \\( \\lambda=1,5 \\) (타원), \\((2)\\) \\( \\lambda=1,-1 \\) (쌍곡선)</p><h1>8.3 이차형식의 부호</h1><p>우선 대표적인 표준형 \\(2\\) 변수 \\(2\\) 차동차식은 다음과 같다.", "</p><p>\\[ q(x, y)=x y \\quad q(x, y)=x^{2}+y^{2} \\quad q(x, y)=-x^{2}-y^{2} \\]</p><p>첫 번째 그래프 곡면과 비슷한 그래프를 갖는 2 차동차식은 \\( q(x, y)=x^{2}-y^{2} \\) 이다.", "그 그래프들은 각각 \\( x y \\)-평면의 위쪽, 아래쪽, 양쪽 모두에 놓여 있다.", "안장 곡면 saddle이라 하는데 원점이 극대도 극소도 아닌 특징이 있다.", "</p><p>다음 도움 정리는 \\(2\\) 변수 \\(2\\) 차동차식의 부호를 판별하는 판별 조건이다.", "이차식을 표준형으로 고쳐 쓰면 알 수 있다. (미적분 도서 참조)", "</p><p>도움 정리: 이차동차식의 부호</p><p>이차동차식 \\( Q(x, y)=a x^{2}+2 b x y+c y^{2} \\)</p><ol type=1 start=1><li>\\( a c-b^{2}>0 \\) 인 경우 \\[ \\begin{array}{l} a>0 \\text { 이면 } Q(x, y) \\geq 0, \\text { 즉 } Q(x, y) \\text { 는 양(부호)곡면 } \\\\ a<0 \\text { 이면 } Q(x, y) \\leq 0, \\text { 즉 } Q(x, y) \\text { 는 음(부호)곡면 } \\end{array} \\]</li><li>\\( a c-b^{2}<0 \\) 인 경우 \\[ Q(x, y) \\text { 는 양곡면도 음곡면도 아니다. 즉, 부정(부호)곡면. } \\]", "</li></ol><p>(이차형식: 이차동차식의 행렬곱 표현) 이 절에서는 판별 조건을 기억하기 쉽게 행렬곱인 이차형식으로 바꾸어 나타내어 보자.", "</p><p>형태적으로 쉽게 배우기 위하여 행렬 표현이 편리하다.", "우선, 이차동차식은 다음과 같이 행렬곱으로 나타낼 수 있다.", "즉, \\[ a x^{2}+2 b x y+c y^{2}=(x, y)\\left[\\begin{array}{ll} a & b \\\\ b & c \\end{array}\\right]\\left(\\begin{array}{l} x \\\\ y \\end{array}\\right) \\] 로 쓸 수 있는데, 대칭행렬 \\( A=\\left(\\begin{array}{ll}a & b \\\\ b & c\\end{array}\\right) \\) 의 행렬식 \\( |A|=b^{2}-a c \\) 의 부호가 앞의 도움 정리의 판정조건에 해당함을 알 수 있다.", "</p><p>정리 \\(2\\) 변수 \\(2\\)차동차식 \\( Q(x, y)=a x^{2}+2 b x y+c y^{2} \\) 을 \\( X^{T} A X=(x, y)\\left[\\begin{array}{ll}a & b \\\\ b & c\\end{array}\\right]\\left(\\begin{array}{l}x \\\\ y\\end{array}\\right) \\) 로 나타낼 때 곡면 \\( z=Q(x, y) \\) 는 대칭행렬 \\( A \\) 에 대하여</p><ol type=1 start=1><li>\\( |A|>0 \\) 인 경우 \\( \\left\\{\\begin{array}{ll}a>0 & 0 \\text { 이면, 양곡면 } \\\\ a<0 \\text { 이면, 음면 }\\end{array}\\right. \\)", "</li><li>\\( |A|<0 \\) 인 경우, 양곡면도 음곡면도 아니다(부정부호 곡면)</li></ol><p>예제 \\( q(x, y)=x^{2}+2 x y-y^{2} \\) 는 부정부호 곡면임을 알아보자.", "</p><p>풀이 \\( \\quad x^{2}+2 x y-y^{2}=x^{2}+\\frac{2}{2} x y+\\frac{2}{2} y x-y^{2} \\) \\[ =(x, y)\\left(\\begin{array}{cc} 1 & \\frac{2}{2} \\\\ \\frac{2}{2} & -1 \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{l} x \\\\ y \\end{array}\\right) \\] 대칭행렬 \\( A=\\left(\\begin{array}{rr}1 & 1 \\\\ 1 & -1\\end{array}\\right) \\) 의 행렬식은 \\( -2(<0) \\) ■</p> <h1>8.2 이차형식의 대각화</h1><p>이변수 이차방정식 \\( a x^{2}+2 b x y+c y^{2}+d x+e y+f=0 \\) 에서 이차항 중 \\( x y \\) 형태의 항을 교차항이라 한다.", "이차방정식의 그래프를 쉽게 그리는 방법은 직교변환에 의하여 교차항을 제거하는 것이다.", "여기서 나타나는 직교변환은 앞에서 배운 평면변환 중 회전변환이기 때문이다.", "우선 이차형식 부분이 주요 부분이므로 이차형식의 대칭행렬의 직교대각화 과정을 살펴보기로 하자.", "</p><p>직교행렬의 대각화를 이용하는 체계적인 방법을 소개하기로 한다.", "이변수 이차형식 \\[ q(x, y)=a x^{2}+2 b x y+c y^{2}=\\left(\\begin{array}{ll} x & y \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{ll} a & b \\\\ b & c \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{l} x \\\\ y \\end{array}\\right) \\] 에서 \\( b \\neq 0 \\) 인 경우 교차항을 가진다.", "이 경우 어떤 좌표계에서는 주어진 이차형식의 교차항 \\( 2 b x y \\) 가 나타나지 않게 할 수 있다.", "</p><p>정리 주축정리, Principle Axis Theorem 대칭행렬 \\( A \\in M_{2} \\) 의 고유값을 \\( \\lambda_{1}, \\lambda_{2} \\) 라 할 때, 이차형식 \\( q(X)=X^{T} A X \\) 는 좌표축의 회전에 의하여 새로운 \\( x^{\\prime}, y^{\\prime} \\) 좌표계에서 \\[ q(X)=\\lambda_{1}\\left(x^{\\prime}\\right)^{2}+\\lambda_{2}\\left(y^{\\prime}\\right)^{2} \\]</p><p>따라서 주어진 이차곡선은 \\( \\lambda \\) 의 부호별 경우로 나누면 새로운 \\( x^{\\prime}, y^{\\prime} \\) 좌표계에서 다음과 같다.", "</p><p>증명 주축정리 증명 대칭행렬 \\( A=\\left(\\begin{array}{ll}a & b \\\\ b & c\\end{array}\\right) \\) 의 고유값 \\( \\lambda_{1}, \\lambda_{2} \\) 에 해당하는 고유벡터 \\( v_{1}, v_{2} \\) 는 직교벡터(앞에서 \\( \\lambda_{1} \\neq \\lambda_{2} \\) 인 경우) 또는 직교화 가능이다.", "따라서 단위화하면 우리는 고유벡터의 정규직교 집합 \\( v_{1}, v_{2} \\) 를 얻는다.", "이제 각각을 열벡터로 하는 행렬 \\( P=\\left(v_{1}, v_{2}\\right) \\) 를 잡으면 직교행렬이 되고, 특히 \\[ P^{T} A P=D=\\left(\\begin{array}{cc} \\lambda_{1} & 0 \\\\ 0 & \\lambda_{2} \\end{array}\\right) \\] 이제 \\( P^{T} X=X^{\\prime} \\) 인 새 좌표 \\( X^{\\prime}=\\left(\\begin{array}{l}x^{\\prime} \\\\ y^{\\prime}\\end{array}\\right) \\) 에 대하여 \\[ \\begin{aligned} q(X) &=X^{T} A X=\\left(P X^{\\prime}\\right)^{T} A\\left(P X^{\\prime}\\right) \\\\ &=\\left(X^{\\prime}\\right)^{T}\\left(P^{T} A P\\right)\\left(X^{\\prime}\\right) \\\\ &=\\left(X^{\\prime}\\right)^{T} D\\left(X^{\\prime}\\right)=\\left(\\begin{array}{ll} x^{\\prime} & y^{\\prime} \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{ll} \\lambda_{1} & 0 \\\\ 0 & \\lambda_{2} \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{l} x^{\\prime} \\\\ y^{\\prime} \\end{array}\\right) \\end{aligned} \\] 정리하면, \\[ \\begin{aligned} q(x, y) &=a x^{2}+2 b x y+c y^{2} \\\\ &=\\lambda_{1}\\left(x^{\\prime}\\right)^{2}+\\lambda_{2}\\left(y^{\\prime}\\right)^{2} \\end{aligned} \\]</p> <p>정의 행렬 \\( A \\in M_{n} \\) 이 대칭행렬일 때, 이차형식 \\( q(X)=X^{T} A X \\) 가 임의의 \\( X \\neq O \\) 에 대하여 \\( q(X)>0 \\) 이면 양의 정부호 positive definite, \\( q(X)<0 \\) 이면 음의 정부호, 또한 어떤 \\( X_{1}, X_{2} \\) 에 대하여 \\( q\\left(X_{1}\\right)>0, q\\left(X_{2}\\right)<0 \\) 이면 \\( q(X) \\) 를 부정부호라 한다.", "한편, 각각의 경우 행렬 \\( A \\in M_{n} \\) 를 양행렬, 음행렬, 그리고 부정행렬이라 부르기도 한다.", "</p><p>정리 \\( A \\in M_{3} \\) 가 대칭행렬일 때, 이차형식 \\( q(X)=X^{T} A X \\) 에 대하여</p><ol type=1 start=1><li>\\( A \\) 의 고유값이 모두 양(음)이면, \\( q(X) \\) 는 양(음)의 정부호</li><li>\\( A \\) 가 양의 고유값과 음의 고유값을 모두 가지면 \\( q(X) \\) 는 부정부호</li></ol><p>증명</p><ol type=1 start=1><li>\\( n=3 \\) 주축정리의 증명과정에서 \\( A \\) 의 고유값을 \\( \\lambda_{1}, \\lambda_{2}, \\lambda_{3} \\) 새로운 좌표 를 \\( X^{\\prime}=\\left(x^{\\prime}, y^{\\prime}, z^{\\prime}\\right) \\) 으로 쓰면 \\[ q(X)=\\lambda_{1}\\left(x^{\\prime}\\right)^{2}+\\lambda_{2}\\left(y^{\\prime}\\right)^{2}+\\lambda_{3}\\left(z^{\\prime}\\right)^{2} \\] 이므로 \\((1)\\)은 직접적인 결과이다.", "</li><li>편의상 \\( \\lambda_{1}>0, \\lambda_{2}<0 \\) 이라 쓰면, \\( \\lambda_{1} \\) 에 속하는 단위고유벡터를 \\( v_{1}, \\lambda_{2} \\) 에 속하는 단위고유벡터를 \\( v_{2} \\) 라 할 때, \\[ q\\left(v_{1}\\right)=v_{1}^{T} A v_{1}=v_{1}^{T}\\left(\\lambda_{1} v_{1}\\right)=\\lambda_{1} v_{1} \\circ v_{1}=\\lambda_{1}(>0) \\] 마찬가지로 하면 \\( q\\left(v_{2}\\right)=\\lambda_{2}(<0) \\)</li></ol><p>■</p><p>예제 다음 이차형식이 양의 정부호인지 보이자.", "<p>\\[ q(x, y, z)=3 x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}-2 x y-2 y z \\]</p></p><p>풀이 \\( A=\\left(\\begin{array}{rrr}3 & -1 & 0 \\\\ -1 & 2 & -1 \\\\ 0 & -1 & 3\\end{array}\\right) \\) 의 특성방정식 \\[ \\left|A-\\lambda I_{3}\\right|=(4-\\lambda)(3-\\lambda)(1-\\lambda)=0 \\] 고유값은 모두 양이므로, \\( q(x, y, z) \\) 는 양의 정부호 ■</p><p>예제 다음 이차형식은 부정부호임을 보이자.", "<p>\\[ q(x, y, z)=6 x y+10 y z \\]</p></p><p>풀이 \\( A=\\left(\\begin{array}{lll}0 & 3 & 0 \\\\ 3 & 0 & 5 \\\\ 0 & 5 & 0\\end{array}\\right) \\) 의 특성방정식 \\( -\\lambda^{3}+34 \\lambda=0 \\) 로부터 \\( \\lambda_{1}=\\sqrt{34}, \\lambda_{2}=0 , \\lambda_{3}=-\\sqrt{34} \\) ■</p><p>\\( A \\in M_{n} \\) 이 대칭행렬일 때 \\( |A|=\\lambda_{1} \\cdots \\lambda_{n} \\) 이므로 주축정리에서 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( A \\in M_{n} \\) 이 대칭행렬일 때 \\( |A|=\\lambda_{1} \\cdots \\lambda_{n} \\) 이므로 주축정리에서 다음을 얻는다.", "</p><p>정리 \\( q(X) \\) 가 양, 음, 또는 부정부호일 필요충분조건은 \\( A \\) 의 고유값이 모두 \\(0\\) 이 아닌 것이다.", "</p> <p>연습문제 \\( 8.3 \\)</p><p>\\(1\\).", "다음 이차동차식이 양의 정부호, 음의 정부호 또는 부정부호인지 판정하라.", "</p><p>답 부정부호, 양의 정부호, 부정부호</p><p>\\(2\\).", "이차형식 \\( X^{T} A X \\) 에서 행렬 \\( A \\) 가 다음과 같을 때 행렬의 부호를 구하라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\left(\\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( \\left(\\begin{array}{rrr}2 & -3 & 0 \\\\ -3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 4\\end{array}\\right) \\)</li><li>\\( \\left(\\begin{array}{rrr}-4 & 7 & 8 \\\\ 7 & -3 & 9 \\\\ 8 & 9 & -1\\end{array}\\right) \\)</li></ol><p>답 \\((1)\\) 양의 정부호, \\((2)\\) 부정부호</p><p>\\(3\\).", "두 양행렬의 합은 양(행렬)임을 보여라.", "</p><p>\\(4\\).", "양행렬의 양의 상수배는 양임을 보여라.", "</p><p>\\(5\\).", "양행렬은 가역행렬임을 보여라.", "또, 양행렬의 역행렬은 양행렬임을 보여라.", "</p><p>\\(6\\). \\(2\\)차 대칭행렬 \\( A=\\left(\\begin{array}{ll}a & b \\\\ c & d\\end{array}\\right) \\) 가 양행렬이기 위한 필요충분조건은 \\[ a>0, \\operatorname{det} A>", "0 \\] 임을 보여라.", "</p><p>\\(7\\). \\", "(2\\) 차 대칭행렬 \\( A=\\left(\\begin{array}{ll}a & b \\\\ b & c\\end{array}\\right) \\) 가 음행렬이기 위한 필요충분조건은 \\[ a<0, \\text{det} A>0 \\] 임을 보여라.", "</p><p>\\(8\\). \\", "(2\\) 차 대칭행렬 \\( A \\) 에 대하여 det \\( A<0 \\) 이면, \\( X^{T} A X>0, Y^{T} A Y>0 \\) 가 되는 \\( X, Y \\in R^{2} \\) 가 각각 존재함을 보여라.", "</p><p>\\(9\\).", "이차방정식 \\( a x^{2}+2 b x y+c y^{2}+d x+e y+f=0 \\) 의 그래프에 대하여 \\( \\Delta=a c-b^{2} \\) 라 할 때 다음을 보여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\Delta>0 \\) 이면 타원이다.", "</li><li>\\( \\Delta<0 \\) 이면 쌍곡선이다.", "</li><li>\\( \\Delta=0 \\) 이면 포물선이다.", "</li></ol><p>\\(10\\).", "대칭행렬 \\( A \\) 가 양의 정부호이면 \\( A^{2}, A^{-1} \\) 도 각각 양의 정부호임을 보여라.", "</p><p>\\(11\\). \\", "( A \\in M_{n} \\) 가 대칭행렬이고, 양의 정부호일 때 \\( \\langle X, Y\\rangle=X^{T} A Y \\) 는 벡터공간 \\( R^{n} \\) 의 내적임을 보여라.", "</p><p>\\(12\\).", "이차형식 \\( q(x, y)=a x^{2}+2 b x y+c y^{2}=X^{T} A X \\) 의 \\( A=\\left(\\begin{array}{ll}a & b \\\\ b & c\\end{array}\\right) \\) 의 고유값을 \\( \\lambda_{1}, \\lambda_{2} \\) 라 할 때, 다음을 보여라.", "</p><p>\\((1)\\) \\( |A|=\\lambda_{1} \\lambda_{2} \\)</p><p>\\((2)\\) \\( \\operatorname{tr}(A)=\\lambda_{1}+\\lambda_{2} \\)</p><p>\\((3)\\) \\( |A|>0 \\) 이면 \\((1), (2)\\)를 이용하여 \\( a, c, \\lambda_{1}, \\lambda_{2} \\) 가 모두 같은 부호임을 보여라. 특히, \\( a>", "0 \\) 이면 \\( \\lambda_{1}, \\lambda_{2} \\) 가 모두 양수임을 보여라.", "(즉, \\( |A|>0, a>0 \\) 은 \\( q(x, y) \\) 가 양의 정부호일 조건)</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "412", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "행렬과 대수_이차형식 대각화와 부호", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-916c-4ded-90a4-8bf3bea303c2", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160730111", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2017", "doc_author": [ "석용징" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>예제 \\(8.1.4\\) 함수 \\( f(x)=[x] \\) ( \\( [x] \\)는 \\( x \\)를 넘지 않는 최대정수) 는 \\( x=2 \\) 에서 미분불가능함을 증명하여라.", "<p>증명</p>\\[ \\begin{array}{l} \\lim _{x \\rightarrow 2^{+}} f(x)=\\lim _{x \\rightarrow 2^{+}}[x]=2 \\\\ \\lim _{x \\rightarrow 2^{-}} f(x)=\\lim _{x \\rightarrow 2^{-}}[x]=1 \\end{array} \\] 이므로 \\( \\lim _{x \\rightarrow 2} f(x) \\) 는 존재하지 않아 \\( f(x)=[x] \\) 는 \\( x=2 \\) 에서 불연속이다.", "따라서 정리 \\(8.1.3\\)에 의하여 \\( f(x)=[x] \\) 는 \\( x=2 \\) 에서 미분불가능하다.", "</p><p>유제 \\(8.1.4\\) 함수 \\( f(x)=|x-2| \\) 의 연속성과 미분가능성을 조사하여라.", "</p><p>함수 \\( y=f(x) \\)가 정의역 안의 모든 \\( x \\)값에 대하여 미분가능일 때, 정의역 안의 모든 \\( x \\)에 대하여 그 미분계수 \\( f^{\\prime}(x) \\)를 대응시키는 새로운 함수 \\( f^{\\prime} \\)을 \\( f \\)의 도함수라 하고 이것을 기호로 \\[f^{\\prime}(x), y^{\\prime}, \\frac{d y}{d x}, \\frac{d}{d x} f(x), D_{x} y, D_{x} f(x)\\]와 같이 나타낸다.", "주어진 함수 \\( f(x) \\)에서 도함수 \\( f^{\\prime}(x) \\)를 구하는 것을 \\( f(x) \\)를 미분한다고 하며 그 계산법을 미분법이라 한다.", "</p><p>또 함수 \\( f(x) \\)의 \\( x=a \\)에서의 미분계수 \\( f^{\\prime}(a) \\)는 도함수 \\( f^{\\prime}(x) \\)의 식에 \\( x=a \\)를 대입한 것이다.", "</p><p>정리 \\(8.1.4\\) 미분가능한 함수 \\( y=f(x) \\)의 도함수 \\( f^{\\prime}(x) \\)는 다음과 같다.", "<p>\\( f^{\\prime}(x)=\\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{f(x+\\Delta x)-f(x)}{\\Delta x} \\)</p></p><p>위 도함수의 정의에서 \\( x \\)의 증분 \\( \\Delta x \\) 대신 보통 \\( h \\)를 사용하여 \\[f^{\\prime}(x)=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\]와 같이 나타내기도 하고, 또 정의에서 \\( z=x+\\Delta x \\) (또는 \\( \\Delta x=z-x \\) )로 놓으면 도함수 \\( f^{\\prime}(x) \\)는 \\[f^{\\prime}(x)=\\lim _{z \\rightarrow x} \\frac{f(z)-f(x)}{z-x}\\]와 같이 나타낼 수도 있다.", "</p><p>예제 \\(8.1.5\\) 도함수의 정의를 사용하여 \\( f(x)=\\frac{1}{x} \\)의 도함수를 구하여라.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} f^{\\prime}(x)=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h)-f(x)}{h} &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{\\frac{1}{x+h}-\\frac{1}{x}}{h} \\\\ &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{x-(x+h)}{h \\cdot x(x+h)} \\\\ &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{-1}{x(x+h)}=-\\frac{1}{x^{2}} \\end{aligned} \\)</p><p>유제 \\(8.1.5\\) 도함수의 정의를 사용하여 다음 함수의 도함수를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=x^{2} \\)</li><li>\\( g(x)=5 x \\)</li><li>\\( h(x)=\\sqrt{x} \\)</li></ol> <h1>8.6. 역함수 미분법</h1><p>간단하게 함수 \\( y=3 x+1 \\)을 생각하자.", "</p><p>\\( y=3 x+1 \\)의 도함수는 \\( \\frac{d y}{d x}=3 \\)이고, \\( y=3 x+1 \\)의 역함수는 \\( x=\\frac{1}{3} y-\\frac{1}{3} \\)이고 \\( \\frac{d x}{d y}=\\frac{1}{3} \\)이다.", "따라서 \\( \\frac{d y}{d x} \\frac{d x}{d y}=1 \\)임을 알 수 있다.", "즉, 함수 \\( y=f(x) \\)의 역함수 \\( x=g(y) \\)에 대하여 \\( f^{\\prime}(x) g^{\\prime}(y)=1 \\)이다.", "</p><p>정리 \\(8.6.1\\) 역함수 미분법 미분가능한 함수 \\( y=f(x) \\)의 역함수 \\( x=g(y) \\)가 존재하고 미분가능할 때 \\[\\frac{d x}{d y}=\\frac{1}{\\frac{d y}{d x}}\\]</p><p>증명 역함수 \\( x=g(y) \\)의 양변을 \\( x \\)에 관하여 미분하면 합성함수 미분법에 의하여 \\[ 1=\\frac{d}{d x} g(y)=\\frac{d}{d y} g(y) \\frac{d y}{d x}=g^{\\prime}(y) \\frac{d y}{d x}\\]이다. \\", "( x=g(y) \\)이므로 \\( g^{\\prime}(y)=\\frac{d x}{d y} \\)이고 따라서 \\[\\frac{d x}{d y} \\frac{d y}{d x}=1, \\quad \\text { 즉 } \\frac{d x}{d y}=\\frac{1}{\\frac{d y}{d x}}\\]로 쓸 수 있다.", "</p><p>예제 \\(8.6.1\\) 역함수 미분법을 사용하여 함수 \\( y=\\sqrt[4]{2 x+5} \\)를 미분하여라.", "</p><p>풀이 \\( y=\\sqrt[4]{2 x+5} \\)를 \\( x \\)에 관하여 풀면 \\( x=\\frac{1}{2}\\left(y^{4}-5\\right) \\).", "양변을 \\( y \\)에 관하여 미분하면 \\( \\frac{d x}{d y} \\) \\( =2 y^{3} \\)이다.", "따라서 \\[ \\frac{d y}{d x}=\\frac{1}{\\frac{d x}{d y}}=\\frac{1}{2 y^{3}}=\\frac{1}{2 \\sqrt[4]{(2 x+5)^{3}}} .\\]", "</p><p>유제 \\(8.6.1\\) 역함수 미분법을 사용하여 함수 \\( y=\\sqrt[3]{x^{2}+2 x+1} \\)를 미분하여라.", "</p><p>예제 \\(8.6.2\\) 다음 방정식에서 \\( \\frac{d y}{d x} \\)를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( x=\\frac{1}{3} y^{3}+2 y \\)</li><li>\\( x=5 \\sqrt{1-y^{3}} \\)</li></ol><p>풀이<ol type=1 start=1><li>\\( \\frac{d y}{d x}=\\frac{1}{\\frac{d x}{d y}}=\\frac{1}{y^{2}+2} \\)</li><li>\\( \\frac{d y}{d x}=\\frac{1}{\\frac{d x}{d y}}=\\frac{1}{5 \\cdot \\frac{-3 y^{2}}{2 \\sqrt{1-y^{3}}}}=-\\frac{2}{15} \\frac{\\sqrt{1-y^{3}}}{y^{2}} \\)</li></ol></p><p>유제 \\(8.6.2\\) 다음 방정식에서 \\( \\frac{d y}{d x} \\)를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( x=\\sqrt{y+1} \\)</li><li>\\( x=\\frac{y-1}{\\sqrt{y}} \\)</li></ol><p>예제 \\(8.6.3\\) 음함수 미분법을 사용하여 \\( x^{3}+x y+y^{3}=3 \\)일 때 \\( \\frac{d y}{d x} \\)를 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( \\frac{d y}{d x} \\)를 구하므로 양변을 \\( x \\)에 관하여 미분하면 \\[\\frac{d}{d x}\\left(x^{3}+x y+y^{3}\\right)=\\frac{d}{d x}(3)=0\\]이다.", "이때 \\[\\begin{array}{l}\\frac{d}{d x} x^{3}=3 x^{2} \\\\\\frac{d}{d x} x y=\\frac{d}{d x} x \\cdot y+x \\frac{d}{d x} y=y+x \\frac{d y}{dx} \\quad(\\text { 곱의 미분법) } \\\\\\frac{d}{d x} y^{3}=\\frac{d}{d y} y^{3} \\frac{d y}{d x}=3 y^{2} \\frac{d y}{d x} \\quad \\text { (합성함수 미분법) }\\end{array}\\]이므로 \\[3 x^{2}+y+x \\frac{d y}{d x}+3 y^{2} \\frac{d y}{d x}=0\\]이고 \\[\\left(x+3 y^{2}\\right) \\frac{d y}{d x}=-\\left(3 x^{2}+y\\right)\\] 따라서 \\[\\frac{d y}{d x}=-\\frac{3 x^{2}+y}{x+3 y^{2}} .\\]", "</p><p>유제 \\(8.6.3\\) 음함수 미분법을 사용하여 \\( x^{3}+x y+y^{3}=3 \\)일 때 \\( \\frac{d x}{d y} \\)를 구하여라.", "또 예제 \\(8.6.3\\)의 결과와 비교하여 보아라.", "</p> <h1>8.2. 미분연산의 규칙</h1><p>함수를 미분할 때마다 도함수 정의를 사용하여 계산하는 것은 매우 힘든 일이다.", "미분을 보다 효율적으로 하기 위하여 미분에 관한 기본 정리들을 익혀서 이를 활용하면 쉽게 미분할 수 있다.", "이제 미분에 관한 기본 정리들을 알아보자.", "</p><p>정리 \\(8.2.1\\)<ol type=1 start=1><li>\\( c \\)가 상수일 때, \\( f(x)=c(f(x) \\)가 상수함수 \\( ) \\)이면 \\( f^{\\prime}(x)=0 \\)이다.", "</li><li>\\( n \\)이 자연수일 때, \\( f(x)=x^{n} \\)이면 \\( f^{\\prime}(x)=n x^{n-1} \\)이다.", "</li><li>\\( c \\)가 상수일 때, \\( (c f(x))^{\\prime}=c f^{\\prime}(x) \\)이다.", "</li></ol></p><p>증명 \\((1)\\) \\( f(x) \\)가 상수함수이므로 임의의 \\( h \\)에 대하여 \\( f(x)=c=f(x+h) \\)이다.", "따라서 \\[\\begin{aligned}f^{\\prime}(x) &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\\\&=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{c-c}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{0}{h}=0\\end{aligned}\\]</p><p>\\((2)\\) \\( n \\)이 자연수이므로 이항정리 \\[(x+h)^{n}=x^{n}+n x^{n-1} h+\\frac{n(n-1)}{2} x^{n-2} h^{2}+\\cdots+h^{n}\\]을 이용하면 \\[\\begin{aligned}f^{\\prime}(x) &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\\\&=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h} \\\\&=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{\\left(x^{n}+n x^{n-1} h+\\frac{n(n-1)}{2} x^{n-2} h^{2}+\\cdots+h^{n}\\right)-x^{n}}{h}\\end{aligned}\\]\\( =\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{h\\left(n x^{n-1}+\\frac{n(n-1)}{2} x^{n-2} h+\\cdots+h^{n-1}\\right)}{h} \\)\\( =\\lim _{h \\rightarrow 0}\\left(n x^{n-1}+\\frac{n(n-1)}{2} x^{n-2} h+\\cdots+h^{n-1}\\right) \\)\\( =n x^{n-1} \\)</p><p>\\((3)\\) \\( \\begin{aligned}(c f(x))^{\\prime} &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{c f(x+h)-c f(x)}{h} \\\\ &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{c(f(x+h)-f(x))}{h} \\\\ &=c \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\\\ &=c f^{\\prime}(x) \\end{aligned} \\)</p><p>예제 \\(8.2.1\\) 다음 함수를 미분하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=3 \\)</li><li>\\( f(x)=x^{10} \\)</li><li>\\( f(x)=5 x^{10} \\)</li></ol><p>풀이<ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=3 \\) 은 상수함수이므로 \\( f^{\\prime}(x)=0 \\).", "</li><li>정리 \\(8.2.1\\)의 \\((2)\\)에 의하여 \\( f^{\\prime}(x)=10 x^{9} \\).", "</li><li>정리 \\(8.2.1\\)의 \\((3)\\)에 의하여 \\( f^{\\prime}(x)=5 \\cdot 10 x^{9}=50 x^{9} \\).", "</li></ol></p><p>유제 \\(8.2.1\\) 다음 함수를 미분하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=\\pi \\)</li><li>\\( g(x)=x^{5} \\)</li><li>\\( h(x)=4 x^{5} \\)</li></ol><p>정리 \\(8.2.2\\) 두 함수 \\( f(x), g(x) \\)가 미분가능할 때, 다음이 성립한다.", "<ol type=1 start=1><li>\\( (f(x)+g(x))^{\\prime}=f^{\\prime}(x)+g^{\\prime}(x) \\)</li><li>\\( (f(x)-g(x))^{\\prime}=f^{\\prime}(x)-g^{\\prime}(x) \\)</li><li>\\( (f(x) g(x))^{\\prime}=f^{\\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\\prime}(x) \\)</li><li>\\( g^{\\prime}(x) \\neq 0 \\) 이면 \\( \\left(\\frac{f(x)}{g(x)}\\right)^{\\prime}=\\frac{f^{\\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\\prime}(x)}{(g(x))^{2}} \\)</li></ol></p><p>증명<ol type=1 start=1><li>\\( \\begin{aligned}(f(x)+g(x))^{\\prime} &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{(f(x+h)+g(x+h))-(f(x)+g(x))}{h} \\\\ &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{(f(x+h)-f(x))+(g(x+h)-g(x))}{h} \\\\ &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{g(x+h)-g(x)}{h} \\end{aligned} =f^{\\prime}(x)+g^{\\prime}(x) \\)</li><li>\\( \\begin{aligned}(f(x)-g(x))^{\\prime} &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{(f(x+h)-g(x+h))-(f(x)-g(x))}{h} \\\\ &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{(f(x+h)-f(x))-(g(x+h)-g(x))}{h} \\\\ &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{g(x+h)-g(x)}{h} \\\\ &=f^{\\prime}(x)-g^{\\prime}(x) \\end{aligned} \\)</li><li>\\( \\begin{aligned}(f(x) g(x))^{\\prime} &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h) g(x+h)-f(x) g(x)}{h} \\\\ &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h) g(x+h)-f(x) g(x+h)+f(x) g(x+h)-f(x) g(x)}{h} \\\\ &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{(f(x+h)-f(x)) g(x+h)+f(x)(g(x+h)-g(x))}{h} \\\\ &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{(f(x+h)-f(x)) g(x+h)}{h}+\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x)(g(x+h)-g(x))}{h} \\\\ &=\\lim _{h \\rightarrow 0}\\left[\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\right] g(x+h)+\\lim _{h \\rightarrow 0} f(x)\\left[\\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\right] \\\\ &=f^{\\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\\prime}(x) \\end{aligned} \\)</li><li>\\( \\begin{aligned}\\left(\\frac{f(x)}{g(x)}\\right)^{\\prime} &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{\\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\\frac{f(x)}{g(x)}}{h} \\\\ &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{\\frac{f(x+h) g(x)-f(x) g(x+h)}{g(x+h) g(x)}}{h} \\\\ &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h) g(x)-f(x) g(x+h)}{g(x+h) g(x) h} \\\\ &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{1}{g(x+h) g(x)} \\frac{f(x+h) g(x)-f(x) g(x+h)}{h} \\\\ &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{1}{g(x+h) g(x)} \\frac{f(x+h) g(x)-f(x) g(x)+f(x) g(x)-f(x) g(x+h)}{h} \\\\ &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{1}{g(x+h) g(x)} \\frac{(f(x+h)-f(x)) g(x)+f(x)(g(x)-g(x+h))}{h} \\\\ &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{1}{g(x+h) g(x)}\\left[\\frac{f(x+h)-f(x)}{h} g(x)+f(x) \\frac{g(x)-g(x+h)}{h}\\right] \\\\ &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{1}{g(x+h) g(x)}\\left[\\frac{f(x+h)-f(x)}{h} g(x)-f(x) \\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\right] \\\\ &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{1}{g(x+h) g(x)} \\lim _{h \\rightarrow 0}\\left[\\frac{f(x+h)-f(x)}{h} g(x)-f(x) \\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\right] \\\\ &=\\frac{1}{(g(x))^{2}}\\left[f^{\\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\\prime}(x)\\right] \\end{aligned} \\)\\( =\\frac{f^{\\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\\prime}(x)}{(g(x))^{2}} \\)</li></ol></p><p>예제 \\(8.2.2\\) 다음 함수들을 미분하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=4 x^{3}-2 x^{2}+4 x+5 \\)</li><li>\\( f(x)=\\left(x^{2}+2\\right)(x-3) \\)</li><li>\\( g(x)=\\frac{2 x-1}{x+3} \\)</li><li>\\( h(x)=4 x^{-5} \\)</li></ol><p>풀이<ol type=1 start=1><li>\\( f^{\\prime}(x)=\\left(4 x^{3}-2 x^{2}+4 x+5\\right)^{\\prime}=\\left(4 x^{3}\\right)^{\\prime}-\\left(2 x^{2}\\right)^{\\prime}+(4 x)^{\\prime}+(5)^{\\prime}=12 x^{2}-4 x+4 \\)</li><li>\\( \\begin{aligned} f^{\\prime}(x) &=\\left(x^{2}+2\\right)^{\\prime}(x-3)+\\left(x^{2}+2\\right)(x-3)^{\\prime} \\\\ &=2 x(x-3)+\\left(x^{2}+2\\right)=3 x^{2}-6 x+2 \\end{aligned} \\)</li><li>\\( \\begin{aligned} g^{\\prime}(x)=\\left(\\frac{2 x-1}{x+3}\\right)^{\\prime} &=\\frac{(2 x-1)^{\\prime}(x+3)-(x+3)^{\\prime}(2 x-1)}{(x+3)^{2}} \\\\ &=\\frac{2(x+3)-1 \\cdot(2 x-1)}{(x+3)^{2}}=\\frac{7}{(x+3)^{2}} \\end{aligned} \\)</li><li>\\( h^{\\prime}(x)=\\left(\\frac{4}{x^{5}}\\right)^{\\prime}=\\frac{(4)^{\\prime} x^{5}-\\left(x^{5}\\right)^{\\prime} \\cdot 4}{\\left(x^{5}\\right)^{2}}=\\frac{0-20 x^{4}}{x^{10}}=-20 x^{-6} \\)</li></ol></p><p>유제 \\(8.2.2\\) 다음 함수들을 미분하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=x^{8}-4 x^{2}+2 \\)</li><li>\\( y=\\left(x^{2}+1\\right)(x-1) \\)</li><li>\\( y=\\frac{x^{2}}{1-x} \\)</li></ol><p>정리 \\(8.2.1\\) \\((2)\\)에서 \\( n \\)이 자연수일 때 \\( \\left(x^{n}\\right)^{\\prime}=n x^{n-1} \\)임을 증명하였다. \\", "( n \\)이 정수인 경우도 마찬가지로 성립함을 다음 정리에서 증명한다.", "</p><p>정리 \\(8.2.3\\) \\( n \\)이 정수일 때, \\( f(x)=x^{n} \\)이면 \\( f^{\\prime}(x)=n x^{n-1} \\)이다.", "</p><p>증명 (ⅰ) \\( n \\)이 양의 정수일 때 정리 \\(8.2.1\\)의 \\((2)\\)에서 증명되었다.", "</p><p>\\((ⅱ)\\) \\( n=0 \\)일 때, \\( f(x)=x^{n}=x^{0}=1 \\)인 상수함수이므로 정리 \\(8.2.1\\)의 \\((1)\\)에 의하여 \\( f^{\\prime}(x)=0 \\)이므로 \\( f^{\\prime}(x)=n x^{n-1} \\)이 성립한다.", "</p><p>(ⅲ) \\( n \\)이 음의 정수일 때, \\( m=-n \\)으로 놓으면 \\( m \\)은 양의 정수이다.", "</p><p>\\[f(x)=x^{n}=x^{-m}=\\frac{1}{x^{m}}\\]이고 정리 \\(8.2.2\\)의 \\((4)\\)에 의하여 \\( \\begin{aligned} f^{\\prime}(x) &=\\frac{(1)^{\\prime} x^{m}-\\left(x^{m}\\right)^{\\prime} \\cdot 1}{\\left(x^{m}\\right)^{2}} \\\\ &=\\frac{-m x^{m-1}}{x^{2 m}} \\\\ &=-m x^{-m-1}=n x^{n-1} \\end{aligned} \\)이다.", "</p> <h1>8.7. 매개변수로 나타내어진 함수의 미분법</h1><p>곡선 위의 점의 좌표 \\( (x, y) \\)가 \\[x=f(t), \\quad y=g(t)\\]와 같이 쓸 수 있을 때, \\(x=f(t), y=g(t) \\)를 이 곡선의 매개방정식이라 하고 변수 \\( t \\)를 매개 변수라 한다.", "매개방정식에서 매개변수 \\( t \\)를 소거하여 그 곡선의 방정식을 얻는다.", "예를 들어, 방정식 \\( x=\\cos \\theta, y=\\sin \\theta \\)에서 매개변수 \\( \\theta \\)를 소거하면 원의 방정식 \\[x^{2}+y^{2}=1\\]을 얻는다.", "</p><p>정리 \\(8.7.1\\) 매개방정식 \\( x=f(t), y=g(t) \\) 가 \\( [a, b] \\)에서 연속이고, \\( (a, b) \\)에서 미분가능하면 \\[\\frac{d y}{d x}=\\frac{\\frac{d y}{d t}}{\\frac{d x}{d t}}=\\frac{g^{\\prime}(t)}{f^{\\prime}(t)}\\left(\\text { 단, } f^{\\prime}(t) \\neq 0\\right)\\]</p><p>증명 \\( x=f(t) \\)에서 역함수 미분법에 의하여 \\[\\frac{d t}{d x}=\\frac{1}{\\frac{d x}{d t}}\\]이다.", "또 합성함수 미분법에 의하여 \\[\\frac{d y}{d x}=\\frac{d y}{d t} \\frac{d t}{d x}=\\frac{d y}{d t} \\cdot \\frac{1}{\\frac{d x}{d t}}=\\frac{\\frac{d y}{d t}}{\\frac{d x}{d t}}=\\frac{g^{\\prime}(t)}{f^{\\prime}(t)} .\\]", "</p><p>예제\\(8.7.1\\) \\( x=t+\\frac{1}{t}, y=t-\\frac{1}{t} \\)일 때 \\( \\frac{d y}{d x} \\)를 구하여라.", "</p><p>풀이 \\[\\frac{d x}{d t}=1-\\frac{1}{t^{2}}, \\quad \\frac{d y}{d t}=1+\\frac{1}{t^{2}} \\]이므로 \\( \\frac{d y}{d x}=\\frac{\\frac{d y}{d t}}{\\frac{d x}{d t}}=\\frac{1+\\frac{1}{t^{2}}}{1-\\frac{1}{t^{2}}}=\\frac{t^{2}+1}{t^{2}-1} \\)이다.", "</p><p>참고 위 예제 \\(8.7.1\\)에서 매개변수 \\( t \\)를 소거하기 위하여 \\[x+y=2 t, \\quad x-y=\\frac{2}{t}\\]이므로 \\( (x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}=4 \\)를 얻는다.", "식 \\( x^{2}-y^{2}=4 \\)를 \\( x \\)에 관하여 미분하면 \\[2 x-2 y \\frac{d y}{d x}=0, \\text { 즉 } \\frac{d y}{d x}=\\frac{x}{y}=\\frac{t^{2}+1}{t^{2}-1}\\]을 얻어 같은 결과를 얻음을 확인할 수 있다.", "</p><p>유제\\(8.7.1\\) 다음 매개방정식에서 \\( \\frac{d y}{d x} \\)를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( x=t+\\frac{1}{t}, y=t^{2}+\\frac{1}{t^{2}} \\)</li><li>\\( x=\\frac{s-1}{s+1}, y=\\frac{s+1}{s-1} \\)</li></ol> <h1>8장 연습문제</h1><p>\\(01\\) 아래와 같은 \\( y=g(x) \\)의 그래프에 대하여 다음 값들을 크기 순으로 배열하여라.", "</p><p>\\( 0, \\quad g^{\\prime}(-2), \\quad g^{\\prime}(0), \\quad g^{\\prime}(2), \\quad g^{\\prime}(4) \\)</p><p>\\(02\\) 다음 함수를 미분하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=(3 x+1)\\left(x^{2}-4\\right) \\)</li><li>\\( y=(x+1)(3 x+4)(2 x-5) \\)</li><li>\\( y=\\frac{x^{2}+1}{1-x} \\)</li><li>\\( y=\\frac{3}{x \\sqrt[3]{x}} \\)</li></ol><p>\\( 03\\) \\(f^{\\prime}(1)=2 \\)인 함수 \\( f(x) \\)에 대하여 다음 극한값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f\\left(1+h^{2}\\right)-f(1)}{h} \\)</li><li>\\( \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(1+2 h)-f(1-3 h)}{h} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{f(x)-f(1)}{x^{2}-1} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{f\\left(x^{2}\\right)-f(1)}{x-1} \\)</li></ol><p>\\(04\\) 미분가능한 함수 \\( f(x) \\)에 대하여 \\[\\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{f(x+1)-2}{x^{2}-1}=4\\]일 때, \\( f(2)+f^{\\prime}(2) \\)의 값을 구하여라.", "</p><p>\\(05\\) 다음 곡선의 주어진 점에서 접선의 방정식과 법선의 방정식을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=\\sqrt{x},(-2,0) \\)</li><li>\\( y=x^{2}-2 x,(0,0) \\)</li><li>\\( x^{2}+y^{2}-x y-4=0. (2,2) \\)</li></ol><p>\\(06\\) 합성함수 미분법을 사용하여 다음 함수를 미분하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=\\left(x^{3}+2 x+1\\right)^{5} \\)</li><li>\\( y=\\left(\\frac{1}{x}-1\\right)^{3} \\)</li><li>\\( y=\\sqrt[3]{(2 x-5)^{2}} \\)</li><li>\\( y=\\sqrt{\\left(x^{2}+2\\right)^{3}+1} \\)</li></ol><p>\\(07\\) 음함수 미분법을 사용하여 다음 식에서 \\( \\frac{d y}{d x} \\)를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( x^{3}+y^{3}=1 \\)</li><li>\\( x^{2} y^{3}=1 \\)</li><li>\\( x^{3}-3 x y+y^{2}=0 \\)</li><li>\\( x y=(x-y)^{2} \\)</li></ol><p>\\(08\\) 물이 가득 채워져 있는 윗면의 지름과 높이가 모두 \\( 10 \\mathrm{~cm} \\)인 원뿔 모양의 종이컵 아래 부분에서 물의 높이가 매초 \\( 1 \\mathrm{~cm} \\)씩 낮아지도록 물을 빼내고 있다.", "다음 물음에 답하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( t \\)초 후의 물의 표면의 반지름의 길이를 \\( t \\)에 관한 식으로 나타내어라.", "</li><li>\\( t \\)초 후에 종이컵에 남아있는 물의 부피를 \\( t \\)에 관한 식으로 나타내어라.", "</li><li>\\(2\\)초 후의 물의 부피의 순간변화율을 구하여라.", "</li></ol>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "기초미적분학_도함수", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-7d88-406c-acff-8a384fe869df", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160733600", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2020", "doc_author": [ "김대식", "김윤경" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>解答 \\( m=8, n=10 \\)이고 혼합표본에서 순위를 구하면 다음과 같다.", "</p> <table border><caption></caption> <tbody><tr><td>회사 A</td><td>\\(2.1\\)</td><td>\\(4.0\\)</td><td>\\(6.3\\)</td><td>\\(5.4\\)</td><td>\\(4.8\\)</td><td>\\(3.7\\)</td><td>\\(6.1\\)</td><td>\\(3.3\\)</td></tr><tr><td>순위</td><td>\\(4\\)</td><td>\\(10.5\\)</td><td>\\(18\\)</td><td>\\(14.5\\)</td><td>\\(13\\)</td><td>\\(9\\)</td><td>\\(16\\)</td><td>\\(8\\)</td></tr><tr><td>회사 B</td><td>\\(4.1\\)</td><td>\\(0.6\\)</td><td>\\(3.1\\)</td><td>\\(2.5\\)</td><td>\\(4.0\\)</td><td>\\(6.2\\)</td><td>\\(1.6\\)</td><td>\\(2.2\\)</td></tr><tr><td>순위</td><td>\\(12\\)</td><td>\\(1\\)</td><td>\\(7\\)</td><td>\\(6\\)</td><td>\\(10.5\\)</td><td>\\(17\\)</td><td>\\(2\\)</td><td>\\(5\\)</td></tr></tbody></table> <p>이로부터 \\[ w_{x}=4+10.5+18+14.5+13+9+16+8=93 \\] 이고 \\[ w_{y}=\\frac{18 \\times 19}{2}-93=78 \\] 이다.", "따라서 \\[ \\begin{array}{l} u_{x}=93-\\frac{8 \\times 9}{2}=57 \\\\ u_{y}=78-\\frac{10 \\times 11}{2}=23 \\end{array} \\] 이므로 \\( u=23 \\)이다.", "기각역은 \\( u \\leqslant u_{0.025}(8.10)=17 \\)이므로 귀무가설 \\( H_{0} \\)를 기각할 수 없다.", "</p> <p>순위합검정에서 \\( m \\)과 \\( n \\)이 충분히 크면 표준정규근사를 이용하여 검정을 한다.", "귀무가설 \\( H_{0} \\)하에서 \\[ \\begin{aligned} E(U) &=E\\left(U_{x}\\right)=E\\left(U_{y}\\right)=\\frac{m n}{2} \\\\ \\operatorname{Var}(U) &=\\frac{m n(m+n+1)}{12} \\end{aligned} \\] 이므로 \\( m \\)과 \\( n \\)이 충분히 크면, 다음 근사식 \\[ Z_{U}=\\frac{U-\\frac{m n}{2}}{\\sqrt{\\frac{m n(m+n+1)}{12}}} \\sim N(0,1) \\] 을 이용하여 정규검정을 한다.", "</p> <h1>8.5 선형순위통계량</h1> <p>앞 절에서 이미 설명한 Mann-Whitney 순위합검정을 일반화한 분포무관통계량에 관한 이론적은 고찰은 다음과 같다. \\", "( V_{1}, V_{2}, \\cdots, V_{N} \\)을 연속인 확률분포로부터 추출한 크기 \\( n \\)인 확률표본이라 하고, \\( R_{i} \\)를 \\( V_{1}, V_{2}, \\cdots, V_{N} \\)에서의 \\( V_{i}(i=1,2,3, \\cdots, N) \\)의 순위, \\( c(i) \\)는 처음 \\( N \\)개의 자연수에서 정의되는 점수함수(score function)로서 적당히 선정된 상수라 할 때, \\[ L=\\sum_{i=1}^{N} a_{i} c_{i}\\left(R_{i}\\right), \\quad a_{i} \\in \\mathbb{R} \\] 를 선형순위통계량(linear rank statistic)이라 한다.", "선형순위통계량 식에서 \\( N=m+n \\)이라 하고 \\[ V_{1}=X_{1}, V_{2}=X_{2}, \\cdots, V_{m}=X_{m}, V_{m+1}=Y_{1}, V_{m+2}=Y_{2}, \\cdots, V_{N}=Y_{n} \\] \\[ c(i)=1,2,3, \\cdots, N, a_{1}=a_{2}=\\cdots=a_{m}=0, a_{m+1}=a_{m+2}=\\cdots=a_{N}=1 \\] 이라 하면, \\[ \\begin{aligned} L &=\\sum_{i=1}^{N} a_{i} c\\left(R_{i}\\right) \\\\ &=\\sum_{i=m+1}^{m+n} R_{i} \\end{aligned} \\] 는 \\( N=m+n \\)개 표본에서의 \\( Y_{1}, Y_{2}, \\cdots ; Y_{n} \\)의 순위들을 합한 것으로, 이것은 앞절에서 제시한 통계량 \\( W \\)가 된다.", "또한 \\( i \\leqslant \\frac{m+n}{2} \\)이면, \\( c(i)=i \\), 그 외의 경우에는 \\( c(i)=0 \\)이라 하고 \\( a_{1}=a_{2}=\\cdots=a_{m}=0, a_{m+1}=a_{m+2}=\\cdots=a_{N}=1 \\)이면 \\[ \\begin{aligned} L &=\\sum_{i=1}^{N} a_{i} c_{i}\\left(R_{i}\\right) \\\\ &=\\sum_{i=1}^{m} c\\left(R_{i}\\right) \\end{aligned} \\] 은 \\( N=m+n \\)개의 결합표본에서 작은 쪽 절반에 속하는 \\( X \\)값들의 개수로 이것은 중앙값검정에서 사용하는 통계량이다.", "이제 \\( L \\)의 평균과 분산을 구하기 위하여 \\( R_{1}, R_{2}, \\cdots, R_{N} \\)의 결합분포와 주변분포를 구해보자.", "순서통계량의 의하여 \\( r_{1}, r_{2}, \\cdots \\, r_{N} \\)을 처음 \\( N \\)개의 자연수들에 대한 임의의 순열이라 하면 \\[ P\\left\\{R_{1}=r_{1}, R_{2}=r_{2}, \\cdots, R_{N}=r_{N}\\right\\}=\\frac{1}{N !} \\] 이고 \\( R_{i}=r_{i} \\)인 순열의 수는 모두 \\( (N-1) ! \\)", "가지이므로 \\[ \\begin{aligned} P\\left\\{R_{i}=r_{i}\\right\\} &={\\sum\\sum}{\\cdots\\sum}_{\\operatorname{all}\\left(r_{1}, r_{2}, \\cdots, r_{i-1}, r_{i}, r_{i+1}, \\cdots, r_{N}\\right)} \\frac{1}{N !} \\\\ &=\\frac{(N-1) !}{N !} \\\\ &=\\frac{1}{N} \\end{aligned} \\] 이다.", "마찬가지로 \\( R_{i}=r_{i}, R_{j}=r_{j}(i \\neq j) \\)인 순열의 수는 \\( (N-2) \\)!이므로 \\[ \\begin{aligned} P\\left\\{R_{i}=r_{i}, R_{j}=r_{j}\\right\\} &=\\frac{(N-2) !}{N !} \\\\ &=\\frac{1}{N(N-1)} \\end{aligned} \\] 이다.", "따라서 \\[ \\begin{aligned} E\\left\\{c\\left(R_{i}\\right)\\right\\} &=\\sum_{r_{i}=1}^{N} c\\left(R_{i}\\right) \\frac{1}{N} \\\\ &=\\frac{1}{N} \\sum_{k=1}^{N} c(k) \\end{aligned} \\] 이다.", "여기서 \\( c(k)=c_{k} \\)라고 하면, 평균은 \\[ \\begin{aligned} E\\left\\{c\\left(R_{i}\\right)\\right\\} &=\\frac{1}{N} \\sum_{k=1}^{N} c_{k} \\\\ &=\\bar{c}, \\quad i=1,2,3, \\cdots, N \\end{aligned} \\] 이고 분산은 \\[ \\begin{aligned} \\operatorname{Var}\\left(c\\left(R_{i}\\right)\\right) &=E\\left\\{\\left(c\\left(R_{i}\\right)-\\bar{c}\\right)^{2}\\right\\} \\\\ &=\\sum_{r_{i}=1}^{N}\\left(c\\left(R_{i}\\right)-\\bar{(c)}\\right)^{2} \\frac{1}{N} \\\\ &=\\frac{1}{N} \\sum_{k=1}^{N}\\left(c_{k}-\\bar{c}\\right)^{2}, \\quad i=1,2,3, \\cdots, N \\end{aligned} \\] 이다.", "그리고 \\( i \\neq j \\)일 때, \\( c\\left(R_{i}\\right) \\)와 \\( c\\left(R_{j}\\right) \\)의 공분산은 \\[ \\operatorname{Cov}\\left(c\\left(R_{i}\\right), c\\left(R_{j}\\right)\\right)={\\sum\\sum}_{k \\neq l}\\frac{\\left(c_{k}-\\bar{c}\\right)\\left(c_{l}-\\bar{c}\\right)}{N(N-1)} \\] 이다.", "여기서 \\[ \\begin{aligned} \\left(\\sum_{k=1}^{N}\\left(c_{k}-\\bar{c}\\right)\\right)^{2} &=\\sum_{k=1}^{N}\\left(c_{k}-\\bar{c}\\right)^{2}+{\\sum\\sum}_{k \\neq l}\\left(c_{k}-\\bar{c}\\right)\\left(c_{k}-\\bar{c}\\right) \\\\ &=0 \\end{aligned} \\] 이므로 \\[ \\operatorname{Cov}\\left(\\left(c\\left(R_{i}\\right), c\\left(R_{j}\\right) \\right.\\right)=-\\frac{1}{N(N-1)} \\sum_{k=1}^{N}\\left(c_{k}-\\bar{c}\\right)^{2} \\]", "으로 쓸 수 있다.", "이상의 결과를 종합하면 \\( \\bar{a}=\\frac{1}{N} \\sum_{i=1}^{N} a_{i} \\)라 할 때, \\( L \\)의 평균은 \\[ \\begin{aligned} \\mu_{L} &=E\\left\\{\\sum_{i=1}^{n} a_{i} c\\left(R_{i}\\right)\\right\\} \\\\ &=\\sum_{i=1}^{n} a_{i} E\\left\\{c\\left(R_{i}\\right)\\right\\} \\\\ &=\\sum_{i=1}^{N} a_{i} \\bar{c} \\\\ &=N \\bar{a} \\bar{c} \\end{aligned} \\] 이고 \\( L \\)의 분산은 \\[ \\begin{aligned} \\sigma_{L}^{2} &=\\operatorname{Var}\\left(\\sum_{i=1}^{n} a_{i} c\\left(R_{i}\\right)\\right) \\\\ &=\\sum_{i=1}^{N} a_{i}^{2} \\operatorname{Var}\\left(c\\left(R_{i}\\right)\\right)+{\\sum\\sum}_{i \\neq j} a_{i} a_{j} \\operatorname{Cov}\\left(c\\left(R_{i}\\right), c\\left(R_{j}\\right)\\right) \\\\ &=\\sum_{i=1}^{n} \\frac{a_{i}^{2}}{N} \\sum_{k=1}^{N}\\left(c_{k}-\\bar{c}\\right)^{2}-{\\sum\\sum}_{i \\neq j}\\frac{a_{j} a_{j}}{N(N-1)} \\sum_{k=1}^{N}\\left(c_{k}-\\bar{c}\\right)^{2} \\\\ &=\\frac{1}{N(N-1)} \\sum_{k=1}^{N}\\left(c_{k}-\\bar{c}\\right)^{2}\\left\\{(N-1) \\sum_{i=1}^{N} a_{i}^{2}-{\\sum\\sum}_{i \\neq j} a_{i} a_{j}\\right\\} \\end{aligned} \\] 이다.", "위의 식의 맨 끝항은 \\[ \\begin{aligned} (N-1) \\sum_{i=1}^{N} a_{i}^{2}-{\\sum\\sum}_{i \\neq j} a_{i} a_{j} &=N \\sum_{i=1}^{N} a_{i}^{2}-\\left\\{\\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}+{\\sum\\sum}_{i \\neq j} a_{i} a_{j}\\right\\} \\\\ &=N \\sum_{i=1}^{N} a_{i}^{2}-\\left(\\sum_{i=1}^{N} a_{i}\\right)^{2} \\\\ &=N \\sum_{i=1}^{N}\\left(a_{i}-\\bar{a}\\right)^{2} \\end{aligned} \\] 이므로 결국 \\( L \\)의 분산은 \\[ \\begin{aligned} \\sigma_{L}^{2} &=\\frac{1}{N(N-1)} \\sum_{k=1}^{N}\\left(c_{k}-\\bar{c}\\right)^{2}\\left\\{N \\sum_{i=1}^{N}\\left(a_{i}-\\bar{a}\\right)^{2}\\right\\} \\\\ &=\\frac{1}{N-1} \\sum_{i=1}^{n}\\left(a_{i}-\\bar{a}\\right)^{2} \\sum_{k=1}^{N}\\left(c_{k}-\\bar{c}\\right)^{2} \\end{aligned} \\] 이다.", "특별한 경우로서 \\( N=m+n \\)이고 \\[ L=\\sum_{i=m+1}^{N} c\\left(R_{i}\\right) \\] 일 때에는 \\( L \\)의 평균과 분산은 각각 \\[ \\begin{aligned} \\mu_{L} &=n \\bar{c} \\\\ \\sigma_{L}^{2} &=\\frac{m n}{N(N-1)} \\sum_{k=1}^{n}\\left(c_{k}-\\bar{c}\\right)^{2} \\end{aligned} \\] <p>12. 다음 자료는 \\(20\\)명의 기술자들이 \\(20\\)일동안 건축물을 완성하는데 걸린 시간이다. (단위: 분 ) \\", "[ \\begin{array}{llllllllll}18.1 & 20.3 & 18.3 & 15.6 & 22.5 & 16.8 & 17.6 & 16.9 & 18.2 & 17.0 \\\\ 19.3 & 16.5 & 19.5 & 18.6 & 20.0 & 18.8 & 19.1 & 17.5 & 18.5 & 18.0\\end{array} \\] 위의 자료가 대칭이며 연속인 모집단에서 추출되었다고 가정하고, 이 모집단의 평균이 \\(19.4\\)인가를 유의수준 \\( \\alpha=0.05 \\)로 부호검정하여라.", "</p> <p>13. 난수발생기를 통하여 다음 \\(20\\)개의 자료를 얻었다. \\", "[ \\begin{array}{llllllllll}0.48 & 0.10 & 0.29 & 0.31 & 0.86 & 0.91 & 0.81 & 0.92 & 0.27 & 0.21 \\\\ 0.31 & 0.39 & 0.39 & 0.47 & 0.84 & 0.81 & 0.97 & 0.51 & 0.59 & 0.70\\end{array} \\]</p> <ol type=a start=1><li>귀무가설 \\( H_{0}: \\mu=0.5 \\)에 대하여 대립가설 \\( H_{1}: \\mu>0.5 \\)를 유의수준 \\( \\alpha= 0.10 \\)으로 검정하여라.", "</li> <li>귀무가설 \\( H_{0}: \\mu=0.25 \\)에 대하여 대립가설 \\( H_{1}: \\mu>0.25 \\)를 유의수준 \\( \\alpha=0.10 \\)으로 검정하여라.", "</li></ol> <p>14. 다음 자료는 두 가지 형태의 소형계산기의 배터리가 방전할 때까지 작동시간을 측정한 것이다. (단위 : 시간)", "</p> <table border><caption></caption> <tbody><tr><td>계산기 A</td><td>\\(5.5\\)</td><td>\\(5.6\\)</td><td>\\(6.3\\)</td><td>\\(4.5\\)</td><td>\\(5.3\\)</td><td>\\(5.0\\)</td><td>\\(6.2\\)</td><td>\\(5.8\\)</td></tr><tr><td>계산기 B</td><td>\\(3.8\\)</td><td>\\(4.8\\)</td><td>\\(4.3\\)</td><td>\\(4.2\\)</td><td>\\(4.0\\)</td><td>\\(4.9\\)</td><td>\\(4.5\\)</td><td>\\(5.2\\)</td></tr></tbody></table> <p>계산기 A가 계산기 B보다 완전 충전된 배터리를 사용하였을 때 더 오래 작동하는지를 검정하기 위해 유의수준 \\( \\alpha=0.01 \\)로 순위합검정을 하여라.", "</p> <p>15. 어떤 공장에서 생산되는 낚시줄이 두 대의 기계에서 생산된다.", "낚시줄의 평균장력에 차이가 있는지를 검정하기 위해 두 대의 기계에서 각각 생산된 제품 \\(10\\)개을 랜던하게 뽑아 장력검사를 실험하여 다음 자료를 얻었다.", "</p> <table border><caption></caption> <tbody><tr><td>과정 1</td><td>\\(10.4\\)</td><td>\\(9.8\\)</td><td>\\(11.5\\)</td><td>\\(10.0\\)</td><td>\\(9.9\\)</td><td>\\(9.6\\)</td><td>\\(10.9\\)</td><td>\\(11.8\\)</td></tr><tr><td>과정 2</td><td>\\(8.7\\)</td><td>\\(11.2\\)</td><td>\\(9.8\\)</td><td>\\(10.1\\)</td><td>\\(10.8\\)</td><td>\\(9.5\\)</td><td>\\(11.0\\)</td><td>\\(9.8\\)</td></tr></tbody></table> <p>두대의 기계에 의해서 생산된 낚시줄이 평균장력의 차이가 있는지를 검정하기 위해 유의수준 \\( \\alpha=0.10 \\)을 순위합검정하여라.", "</p> <p>16. 수년 전에 심은 가로수를 조사하여 건강한 것(H)과 병든 것(D)으로 분류하여 다음과 같은 자료를 얻었다. \\", "[\\begin{array}{llllllllllllllllllllll} H& H &H &H &D &D &D &H &H &H &H &H &H &H &D &D &H &H &D &D &D& D \\end{array}\\] 이 배열이 무작위로 간주할 수 있는지를 유의수준 \\( \\alpha=0.05 \\)로 무작위런검정하여라.", "</p> <p>17. 다음 자료는 연속된 수업일수 \\(24\\)일 동안 결석한 학생들의 수이다. \\", "[ \\begin{array}{llllllllllll}29 & 25 & 31 & 28 & 30 & 28 & 33 & 31 & 35 & 29 & 31 & 33\\\\ 35 & 28 & 36 & 30 & 33 & 26 & 30 & 28 & 32 & 31 & 38 & 27\\end{array} \\] 유의수준 \\( \\alpha=0.05 \\) 로 무작위 검정하여라.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "413", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "확률과 통계_비모수 추정론", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-80a9-4227-b12d-1e7efed58829", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961059053", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2015", "doc_author": [ "김원배" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>정리 \\( 8.1 \\)<ol type=1 start=1><li>\\( P(t) \\)는 확률행렬이다.", "즉 \\[p_{i j}(t) \\geq 0, \\quad \\sum_{j \\in S} p_{i j}(t)=1 .\\]</li><li>(채프만-콜모고로프 방정식(Chapman-Kolmogorov equation))\\[\\begin{array}{l}P(t+s)=P(t) P(s), \\text { 즉 } \\\\p_{i j}(s+t)=\\sum_{k \\in S} p_{i k}(t) p_{k j}(s), s, t>0, \\quad i, j \\in \\mathcal{S} .\\end{array}\\]", "</li></ol></p><p>증명 \\((1)\\)은 자명하므로 \\((2)\\)를 증명한다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} p_{i j}(s+t) &=P(X(s+t)=j \\mid X(0)=i) \\\\ &=\\sum_{k \\in S} P(X(s+t)=j \\mid X(t)=k, X(0)=i) P(X(t)=k \\mid X(0)=i) \\\\ &=\\sum_{k \\in S} p_{i k}(t) p_{k j}(s) \\end{aligned} \\)</p><p>이산시간 마르코프연쇄의 경우와 마찬가지로 \\( X \\)의 결합분포는 다음과 같이 전이확률로 나타낼 수 있다.", "</p><p>정리 \\( 8.2 \\)<ul><li>임의의 \\( 0 \\leq t_{0}<t_{1}<\\cdots<t_{n} \\) 에 대하여\\[\\begin{aligned} P\\left(X\\left(t_{1}\\right)\\right.&\\left.=i_{1}, \\cdots, X\\left(t_{n}\\right)=i_{n} \\mid X\\left(t_{0}\\right)=i_{0}\\right) \\\\ &=p_{i_{0}, i_{1}}\\left(t_{1}-t_{0}\\right) \\cdots p_{i_{n-1}, i_{n}}\\left(t_{n}-t_{n-1}\\right) .\\end{aligned}\\]", "<caption>(8.2)</caption></li><li>또한 \\( p_{i}=P(X(0)=i)(i \\in S) \\) 일 때\\[\\begin{aligned}P\\left(X\\left(t_{0}\\right)\\right.&\\left.=i_{0}, X\\left(t_{1}\\right)=i_{1}, \\cdots, X\\left(t_{n}\\right)=i_{n}\\right) \\\\&=\\sum_{i \\in S} p_{i} p_{i i_{0}}\\left(t_{0}\\right) p_{i_{0}, i_{1}}\\left(t_{1}-t_{0}\\right) \\cdots p_{i_{n-1}, i_{n}}\\left(t_{n}-t_{n-1}\\right)\\end{aligned}\\]", "</li></ul></p><p>정리 \\( 8.3 \\) 상태공간이 \\( S \\)인 확률과정 \\( X=\\{X(t), t \\geq 0\\} \\)가 독립증분을 가지면 \\( X \\)는 마르코프 연쇄가 된다.", "또한 독립증분과 정상증분을 가지면 전이확률이 다음과 같은 시간동질인 마르코프연쇄가 된다.", "<p>\\( p_{i j}(t)=P(X(t)-X(0)=j-i), \\quad i, j \\in \\mathcal{S} \\)</p></p><p>증명 \\( 0 \\leq t_{0}<t_{1}<\\cdots<t_{n}<\\mathcal{S} \\) 와 \\( i_{0}, \\cdots, i_{n} \\in \\mathcal{S} \\)에 대하여 \\( C=\\left\\{X\\left(t_{1}\\right)=i_{1}, X\\left(t_{2}\\right)\\right. \\) \\( \\left.=i_{2}, \\cdots, X\\left(t_{n}\\right)=i_{n}\\right\\} \\)이라 하면 \\( t>", "0 \\)와 \\( i, j \\in \\mathcal{S} \\)에 대하여 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( P(X(t+s)=j \\mid X(s)=i, C) \\) \\( \\quad=\\frac{P(X(t+s)=j, X(s)=i, C)}{P(X(s)=i, C)} \\)\\( \\quad=\\frac{P(X(t+s)-X(s)=j-i, X(s)=i, C)}{P(X(s)=i, C)} \\)</p><p>한편 \\( X \\)가 독립증분을 가지므로 \\( X(t+s)-X(s) \\)는 \\( \\left\\{X(s), X\\left(t_{1}\\right), \\cdots, X\\left(t_{n}\\right)\\right\\} \\)과 독립이다.", "따라서 \\( P(X(t+s)-X(s)=j-i, X(s)=i, C) \\) \\( \\quad=P(X(t+s)-X(s)=j-i) P(X(s)=i, C) \\)이므로 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( P(X(t+s)=j \\mid X(s)=i, C)=P(X(t+s)-X(s)=j-i) \\)</p><p>또한 \\( X \\) 가 독립증분을 가지므로 \\[\\begin{aligned}P(X(t+s)=j \\mid X(s)=i) &=\\frac{P(X(t+s)-X(s)=j-i, X(s)=i)}{P(X(s)=i)} \\\\ &=P(X(t+s)-X(s)=j-i)\\end{aligned}\\]이다.", "따라서 \\( X \\)는 마르코프연쇄이다. \\", "( X \\)가 정상증분을 가지면 \\[\\begin{aligned} P(X(t+s)=j \\mid X(s)=i) &=P(X(t+s)-X(s)=j-i) \\\\&=P(X(t)-X(0)=j-i) \\\\&=P(X(t)=j \\mid X(0)=i)\\end{aligned}\\]이므로 \\( X \\)는 시간동질이다.", "</p><p>예제 \\( 8.1 \\) 푸아송과정</p><p>비율이 \\( \\lambda>0 \\)인 푸아송과정 \\( N=\\{N(t), t \\geq 0\\} \\)은 전이확률이 다음과 같은 연속시간 마르코프연쇄이다.", "</p><p>\\( p_{i j}(t)=\\left\\{\\begin{array}{ll}0, & j<i \\\\ e^{-\\lambda t} \\frac{(\\lambda t)^{j-i}}{(j-i) !}, & j \\geq i\\end{array}\\right. \\)", "</p><p>다음은 전이확률행렬 \\( P(t) \\)의 성질이다.", "증명 없이 언급한다.", "</p><p>정리 \\( 8.4 \\)<ol type=1 start=1><li>전이함수 \\( p_{i j}(t)(i, j \\in S) \\)는 \\( [0, \\infty) \\)에서 연속이다.", "</li><li>모든 \\( t>0 \\)에 대하여 \\( p_{i i}(t)>0(i \\in S) \\)이다.", "</li><li>모든 \\( t>0 \\)에 대하여 \\( p_{i j}(t)>0 \\)이거나 모든 \\( t>0 \\)에 대하여 \\( p_{i j}(t)=0 \\)이다.", "</li></ol></p><p>다음 정리는 \\( p_{i j}(t) \\)가 \\( t=0 \\)에서 미분가능함을 보인다.", "</p><p>정리 \\( 8.5 \\) 다음 극한이 존재한다.", "<ol type=1 start=1><li>\\( p_{i i}^{\\prime}(0)=\\lim _{t \\rightarrow 0} \\frac{p_{i i}(t)-1}{t} \\)<caption>(8.3)</caption></li><li>\\( p_{i j}^{\\prime}(0)=\\lim _{t \\rightarrow 0} \\frac{p_{i j}(t)}{t}, \\quad i \\neq j \\)<caption>(8.4)</caption></li></ol></p><p>참고 일반적으로 \\( 0 \\leq p_{i j}{ }^{\\prime}(0)<\\infty, i \\neq j \\)이고 \\( -\\infty \\leq p_{i i}{ }^{\\prime}(0) \\leq 0 \\)이다.", "그러나 마르코프연쇄가 정칙이면 \\( -\\infty<p_{i i}{ }^{\\prime}(0) \\leq 0 \\)이라는 것이 알려져 있다.", "</p><p>앞으로 \\[q_{i}=-p_{i i}{ }^{\\prime}(0), \\quad q_{i j}=p_{i j}{ }^{\\prime}(0), \\quad i \\neq j\\]로 둔다.", "이때 행렬 \\( P^{\\prime}(0)=Q=\\left(q_{i j}\\right) \\) (단 \\( \\left.q_{i i}=-q_{i}\\right) \\)를 \\( X \\)의 전이율행렬(transition rate matrix) 또는 극소생성자(infinitesimal generator) 또는 간단히 생성자라고 한다.", "</p><p>\\( P(t) \\)는 확률행렬이므로(정리 \\(8.1\\)) \\[\\frac{1-p_{i i}(t)}{t}=\\sum_{j \\in \\mathcal{S}-\\{i\\}} \\frac{p_{i j}(t)}{t}, \\quad i \\in \\mathcal{S}\\]</p><p>여기서 \\( t \\rightarrow 0 \\)하면 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( q_{i}=\\sum_{j \\in S-\\{i\\}} q_{i j} \\)</p><p>따라서 마르코프연쇄의 전이율행렬 \\( Q=\\left(q_{i j}\\right) \\)는 다음을 만족함을 알 수 있다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 0 \\leq q_{i j}<\\infty, \\quad i \\neq j \\)</li><li>\\( 0 \\leq q_{i}=-q_{i i}<\\infty, \\quad i \\in \\mathcal{S} \\)</li><li>\\( \\sum_{j \\in S} q_{i j}=0, \\quad i \\in \\mathcal{S} \\)</li></ol><p>마르코프연쇄에 대한 특별한 언급이 없더라도 일반적으로 위의 세 조건을 만족하는 행렬 \\( Q \\)를 전이율행렬 또는 생성자라고 한다.", "</p> <h1>8.3 예제</h1><p>이 절에서는 여러 확률현상을 연속시간 마르코프연쇄로 모형화하는 예를 살펴본다.", "마르코프연쇄로 모형화하기 위해서는 일반적으로 다음 단계를 거친다.", "</p><ol type=1 start=1><li>확률과정의 상태공간을 구한다.", "</li><li>각 상태에 머무는 시간이 지수분포를 따르는지 확인한다.", "</li><li>상태 \\( i \\) 에서 \\( j \\) 로의 전이가 어떻게 일어나는지 규명한다.", "</li><li>생성자 \\( Q \\) 를 결정한다.", "</li></ol><p>생성자를 구하기 위해서는 이산시간 마르코프연쇄의 경우와 마찬가지로 방향성그래프를 이용하여 전이율을 나타내면 편리하다. 먼저 마르코프연쇄의 상태를 노드(node)로 보고 \\( q_{i j}>", "0 \\)일 때 노드 \\( i \\)와 노드 \\( j \\)를 \\( i \\)에서 \\( j \\)로 가는 화살표로 연결하고 화살표 위에 \\( i \\)에서 \\( j \\)로의 전이율 \\( q_{i j} \\)를 쓰면 연속시간 마르코프연쇄의 전이율을 방향성 그래프(directed graph)로 표현할 수 있다.", "이 그래프를 마르코프연쇄의 전이율그림이라고 한다.", "</p><p>예제 \\( 8.2 \\) \\(2\\)개의 상태를 갖는 마르코프연쇄</p><p>어떤 기계가 한 번 작동하기 시작하면 평균이 \\( \\frac{1}{\\lambda} \\)인 지수분포 시간 동안 고장 없이 작동 한다고 하자.", "고장이 났을 경우 수리하는 데 걸리는 시간이 평균이 \\( \\frac{1}{\\mu} \\)인 지수분포를 따른다고 하자.", "수리를 마친 기계는 다시 평균이 \\( \\frac{1}{\\lambda} \\)인 지수분포 시간 동안 작동한다.", "이와 같이 고장과 수리가 계속된다고 하자. \\", "( X(t) \\) 를 \\( t \\)시각에 기계가 작동 중이면 \\( X(t)=0 \\), 수리 중이면 \\( X(t)=1 \\)이라 하면 확률과정 \\( X=\\{X(t), t \\geq 0\\} \\)의 상태공간은 \\( S= \\) \\( \\{0,1\\} \\)이다.", "가정에 의하여 각 상태에 머무는 시간은 지수분포를 따르고 전이율은 \\( q_{0} \\) \\( =\\lambda \\) 와 \\( q_{1}=\\mu \\)이다.", "상태 \\(0\\)에서 전이가 일어날 경우 반드시 상태 \\(1\\)을 방문하므로 \\( p_{01}=1 \\)이 되어 \\( q_{01}=q_{0} p_{01}=\\lambda \\)이다.", "마찬가지로 \\( q_{10}=\\mu \\)가 됨을 알 수 있다(그림 \\(8.3\\)).", "</p><p>또한 작동시간이나 수리시간은 과거에 고장 난 횟수나 작동시간 또는 수리시간에 의존하지 않고 오직 현재 상태에만 의존하므로 \\( X \\)는 마르코프연쇄가 되며 생성자는 다음과 같다.", "</p><p>\\( Q=\\left(\\begin{array}{cc}-\\lambda & \\lambda \\\\ \\mu & -\\mu\\end{array}\\right) \\)</p><p>예제 \\(8.3\\) 두 대의 기계와 한 명의 수리공이 있는 작업장 모형</p><p>두 대의 기계와 한 명의 수리공이 있는 작업장을 생각하자.", "각 기계는 독립적으로 작동하며 각 기계가 고장 없이 작동하는 시간은 모수가 \\( \\lambda \\)인 지수분포를 따른다.", "기계가 고장 나면 수리공은 즉시 고장 난 기계를 수리하기 시작한다.", "한 대의 기계를 수리하는 데 걸리는 시간은 모수가 \\( \\mu \\)지수분포를 따른다고 하자. \\", "( X(t) \\)를 시각 \\( t \\)에 고장 난 상태로 있는 기계 수라 하자.", "그러면 확률과정 \\( X=\\{X(t), t \\geq 0\\} \\)의 상태공간은 \\( S= \\) \\( \\{0,1,2\\} \\)이다. \\", "( S_{1} \\)과 \\( S_{2} \\)를 각각 기계 \\(1\\)과 \\(2\\)가 고장 날 때까지 작동하는 시간이라 하자.", "가정에 의하여 \\( S_{1}, S_{2} \\)는 서로 독립이고 각각은 \\( S_{i} \\sim \\operatorname{Exp}(\\lambda), i=1,2 \\)이다.", "현재 두 대의 기계가 작동 중이라고 하면 현재의 상태는 \\(0\\)이 되고 둘 중 하나가 고장이 나면 \\( X \\)의 상태가 \\(0\\)에서 \\(1\\)로 바뀐다.", "따라서 상태 \\(0\\)에 머물러있는 시간은 \\( \\min \\left(S_{1}, S_{2}\\right) \\) \\( \\operatorname{Exp}(2 \\lambda) \\)이다.", "그러므로 \\( q_{0}=2 \\lambda \\) 이다.", "한편 \\( p_{01}=1 \\)이고 \\( p_{02}=0 \\)이므로 \\( q_{01}=q_{0} p_{01}= \\) \\( 2 \\lambda, q_{02}=q_{0} p_{02}=0 \\)이다.", "같은 방법으로 한 대가 작동 중이고 한 대가 수리 중이면, 즉 \\( X(t)=1 \\)이면 나머지 한 대가 고장이 나든지 수리를 완료하면 상태 \\(1\\)을 벗어나게 된다.", "수리하는 데 걸리는 시간을 \\( R \\)이라 하면 가정에 의하여 \\( R \\)은 \\( S_{1}, S_{2} \\)와 독립이고 \\( R \\sim \\operatorname{Exp}(\\mu) \\)이다.", "따라서 상태 \\(1\\) 을 벗어나는 데 걸리는 시간은 \\( \\min \\left(S_{i}, R\\right) \\sim \\) \\( \\operatorname{Exp}(\\lambda+\\mu) \\)이다.", "상태 \\(1\\)을 벗어나서 \\(0\\)으로 가기 위해서는 현재 작동 중인 기계가 고장이 나기 전에 수리가 완료되어야 한다.", "이 확률은 다음과 같다.", "</p><p>\\( p_{10}=P\\left(\\min \\left(S_{i}, R\\right)=R\\right)=P\\left(R \\leq S_{i}\\right)=\\frac{\\mu}{\\lambda+\\mu} \\)</p><p>같은 방법으로 다음이 성립함을 알 수 있다.", "</p><p>\\( p_{12}=P\\left(\\min \\left(S_{i}, R\\right)=S_{i}\\right)=P\\left(R>S_{i}\\right)=\\frac{\\lambda}{\\lambda+\\mu} \\)</p><p>따라서 \\( q_{10}=q_{0} p_{10}=\\mu, q_{12}=q_{0} p_{12}=\\lambda \\)이다.", "두 대의 기계 모두 고장이 났을 경우는 (즉 \\( X(t)=2 \\) ) 수리공이 한 명이므로 현재 한 대의 기계만을 수리하고 있다.", "따라서 수리가 완료되는 즉시 상태는 \\(1\\)로 바뀐다.", "따라서 상태 \\(2\\)에 머물러있는 시간은 \\( R \\) \\( \\operatorname{Exp}(\\mu) \\)이다.", "그러므로 \\( q_{2}=\\mu, q_{21}=\\mu, q_{20}=0 \\)이다. \\", "( X \\)의 전이율그림 \\(8.4\\)는 상태 \\(0\\)에서 \\(1\\)로 가는 전이율은 \\( 2 \\lambda, 1 \\)에서 \\(0\\)과 \\(2\\)로 가는 전이율은 각각 \\( \\mu \\)와 \\( \\lambda \\)이고 상태 \\(2\\)에서 \\(1\\)로 가는 전이율은 \\( \\mu \\)가 됨을 나타낸다.", "</p><p>확률과정 \\( X \\)가 한 상태에 머물러있는 시간과 현재 상태에서 전이가 발생할 때 방문할상태는 과거와는 독립이고 오직 현재 상태에만 의존하므로 \\( X \\) 는 마르코프연쇄가 된다.", "마르코프연쇄 \\( X \\) 의 생성자 \\( Q \\) 와 매장된 마르코프연쇄 \\( \\hat{X} \\) 의 일단계 전이행렬 \\( P \\) 는 각각 다음과 같다.", "</p><p>\\[Q=\\left(\\begin{array}{ccc}-2 \\lambda & 2 \\lambda & 0 \\\\\\mu & -(\\lambda+\\mu) & \\lambda \\\\0 & \\mu & -\\mu \\end{array}\\right), \\quad P=\\left(\\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\\\\\frac{\\mu}{\\lambda+\\mu} & 0 & \\frac{\\lambda}{\\lambda+\\mu} \\\\ 0 & 1 & 0\\end{array}\\right)\\]</p><p>예제 \\(8.4\\) 두 대의 기계와 두 명의 수리공이 있는 작업장 모형</p><p>예제 \\(8.3\\)에서 두 명의 수리공이 수리를 한다고 하자.", "각 수리공이 한 대의 기계를 수리 하는 데 걸리는 시간은 모수가 \\( \\mu \\)인 지수분포를 따른다고 하자.", "그러면 두 대의 기계 모두 고장이 났을 때 둘 중 하나를 수리하는 데 걸리는 시간은 모수가 \\( 2 \\mu \\)인 지수분포를 따름을 알 수 있다.", "따라서 \\( X \\)의 전이율그림은 그림 \\( 8.5 \\)와 같고 생성자는 다음과 같다.", "</p><p>\\[Q=\\left(\\begin{array}{ccc}-2 \\lambda & 2 \\lambda & 0 \\\\\\mu & -(\\lambda+\\mu) & \\lambda \\\\0 & 2 \\mu & -2 \\mu \\end{array}\\right)\\]</p> <p>예제 \\( 8.6 \\) 푸아송과정</p><p>\\( X=\\{X(t), t \\geq 0\\} \\)를 비율이 \\( \\lambda \\)인 푸아송과정이라 하자.", "그러면 이미 제\\(6\\)장에서 살펴 본 바와 같이 상태공간은 \\( \\{0,1,2, \\cdots\\} \\)이고 각 상태에서 다음 전이가 일어날 때까지 걸리는 시간은 과거 이력과 상관없이 모수가 \\( \\lambda \\)인 지수분포를 따른다.", "따라서 \\( X \\)는 연속시간 마르코프연쇄이다.", "또한 현재 상태 \\( i \\)에서 전이가 일어났을 때 방문할 상태는</p><p>\\( i+1 \\)이므로 \\( p_{i, i+1}=1 \\)이다.", "따라서 \\( q_{i, i+1}=\\lambda, q_{i j}=0, j \\neq i+1 \\)이고 전이율그림은 그림 \\(8.7\\)과 같다.", "</p><p>또한 \\( X \\)의 생성자는 다음과 같다.", "</p><p>\\[Q=\\left(\\begin{array}{ccccc}-\\lambda & \\lambda & & & \\\\& -\\lambda & \\lambda & & \\\\& & -\\lambda & \\lambda & \\\\ & & & \\ddots & \\ddots\\end{array}\\right)\\]</p><p>단 위의 행렬에서 빈 칸으로 남겨진 부분의 성분은 모두 \\(0\\)이다.", "</p><p>예제 \\(8.7\\) 복합 푸아송과정</p><p>\\( Z=\\{Z(t), t \\geq 0\\} \\)를 다음과 같은 복합 푸아송과정이라 하자.", "</p><p>\\[Z(t)=\\sum_{i=1}^{N(t)} Z_{i}, t \\geq 0\\]</p><p>단 \\( N=\\{N(t), t \\geq 0\\} \\sim P P(\\lambda) \\)이고 \\( Z_{n} \\)의 확률질량함수는 다음과 같다.", "</p><p>\\[P\\left(Z_{n}=k\\right)=a_{k}, \\quad k=1,2, \\cdots\\]</p><p>명백하게 \\( Z \\) 의 상태공간은 \\( \\{0,1,2, \\cdots\\} \\)이다. \\", "( Z(t)=i \\)일 때 전이가 일어날 때까지 걸리는 시간은 푸아송과정의 전이가 일어나는 시간과 동일하므로 과거 이력과 관계없이 모수가 \\( \\lambda \\)인 지수분포를 따른다.", "따라서 \\( Z \\)는 마르코프연쇄이고 각 상태에서의 전이율은 \\( q_{i}=\\lambda(i=0,1,2, \\cdots) \\)이다.", "복합 푸아송과정의 구성에 의하여 상태 \\( i \\)에서 전이가 발생했을 때 \\( j(j<i) \\)로는 전이가 발생하지 않고 \\( i+k(k \\geq 1) \\)로 전이가 일어날 확률은 \\( p_{i, i+k}=a_{k} \\)이다.", "따라서 \\( q_{i, i+k}=\\lambda a_{k} \\) ( \\( k \\geq 1 \\) )이다. \\", "( Z \\)의 생성자는 다음과 같다.", "</p><p>\\[Q=\\left(\\begin{array}{ccccc}-\\lambda & a_{1} \\lambda & a_{2} \\lambda & a_{3} \\lambda & \\cdots \\\\& -\\lambda & a_{1} \\lambda & a_{2} \\lambda & \\cdots \\\\& & -\\lambda & a_{1} \\lambda & \\cdots \\\\& & & \\vdots &\\end{array}\\right)\\]</p> <h1>8.6 P(t)의 계산</h1><p>정리 \\(8.12\\)는 경계조건 \\( P(0)=I \\)하에서 콜모고로프 방정식을 풀면 \\( P(t) \\)를 구할 수 있음을 보여준다.", "그러나 일반적으로 콜모고로프방정식에 대한 해석적인 해를 구하는 것이 쉽지 않아서 많은 수치적 방법이 사용되고 있다.", "이 절에서는 유한의 상태공간을 갖는 마르코프연쇄에서 \\( P(t) \\)를 계산하는 방법에 대하여 살펴본다.", "</p><h2>8.6.1 균일화 기법</h2><p>생성자를 \\( Q \\)로 갖는 연속시간 마르코프연쇄 \\( X \\) 는 \\( X(t)=i \\)일 때 평균이 \\( \\frac{1}{q_{i}} \\)인 지수분포 시간 동안 머물다가 \\( i \\)를 벗어나서 \\( \\frac{q_{i j}}{q_{i}} \\)의 확률로 상태 \\( j \\)로 이동한다는 것을 앞에서 살펴보았다.", "이때 상태에 따라 평균 체제시간 \\( \\frac{1}{q_{i}} \\)은 서로 다른 것이 일반적이다.", "균일화 기법(uniformization technique)은 각 상태에서 서로 다른 평균 체제시간을 갖는 마르코프연쇄를 평균 체제시간이 동일한 마르코프연쇄로 바꾸어 원래의 전이행렬을 계산하는 방법이다.", "</p><p>먼저 \\( \\sup _{i \\in S} q_{i} \\leq q \\)와 \\( 0<q<\\infty \\)를 만족하는 실수 \\( q \\)를 선택한 다음 확률행렬 \\( P^{*} \\)를 다음과 같이 정의하자.", "</p><p>\\( P^{*}=I+\\frac{1}{q} Q, \\quad \\) 즉 \\( \\quad p_{i j}^{*}=\\left\\{\\begin{array}{ll}1-\\frac{q_{i}}{q}, & i=j \\\\ \\frac{q_{i j}}{q}, & i \\neq j\\end{array}\\right. \\)", "</p><p>그러면 \\( X \\)의 전이행렬 \\( P(t) \\)는 다음과 같이 푸아송분포와 \\( P^{*} \\)로 표현된다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} P(t) &=e^{Q t}=e^{-q t\\left(I-P^{*}\\right)}=e^{-q t} e^{q t P^{*}} \\\\ &=\\sum_{n=0}^{\\infty} e^{-q t} \\frac{(q t)^{n}}{n !}\\left[P^{*}\\right]^{n} \\end{aligned} \\)<caption>(8.17)</caption></p><p>또한 \\( p_{j}(t)=P(X(t)=j) \\)라 하면 \\( \\boldsymbol{p}(t)=\\left(p_{j}(t), i \\in S\\right) \\)는 다음과 같다.", "</p><p>\\( \\boldsymbol{p}(t)=\\boldsymbol{p}(0) P(t)=\\sum_{n=0}^{\\infty} e^{-q t} \\frac{(q t)^{n}}{n !} \\boldsymbol{p}^{*(n)} \\)</p><p>단 \\( p^{*(n)}=\\boldsymbol{p}(0)\\left[P^{*}\\right]^{n}(n=0,1,2, \\cdots) \\)이다.", "</p><p>\\((8.17)\\)에 대한 확률적 의미를 살펴보기 위하여 다음을 정의하자.", "전이확률행렬 \\( P^{*} \\)를 갖는 이산시간 마르코프연쇄를 \\( \\hat{Y}=\\left\\{Y_{n}, n=0,1,2, \\cdots\\right\\} \\)라 하고 \\( \\hat{Y} \\)와 서로 독립이며 모수가 \\( q \\)인 푸아송과정을 \\( N=\\{N(t), t \\geq 0\\} \\)라 하자.", "그러면 \\[Y(t)=Y_{N(t)}, \\quad t \\geq 0\\]로 정의되는 확률과정 \\( Y=\\{Y(t), t \\geq 0\\} \\)는 전이행렬이 \\((8.17)\\)과 같은 연속시간 마르코 프연쇄이다.", "마르코프연쇄 \\( Y \\)는 모수가 \\( q \\)인 푸아송과정 \\( N \\)을 따라서 전이가 발생하므로 각 상태에서의 전이율은 \\( q \\)로 동일하다. \\", "( Y \\)의 전이가 발생한 후 방문하는 상태는 마르코프연쇄 \\( \\hat{Y} \\)를 따르므로 상태 \\( i \\)에서 발생한 전이 중 \\( i \\)를 떠나서 상태 \\( j(j \\neq i) \\)를 방문할 확률은 \\( \\frac{q_{i j}}{q} \\)이고 다른 상태로 가지 않고 제자리로 되돌아올 확률은 \\( 1-\\frac{q_{i}}{q} \\)이다.", "따라서 \\( \\boldsymbol{Y} \\)가 상태 \\( i \\)를 벗어나 다른 상태를 방문하는는 실질적인 전이율은 \\[q\\left(\\sum_{j \\neq i} \\frac{q_{i j}}{q}\\right)=q_{i}\\]로 본래의 마르코프연쇄 \\( X \\)와 동일함을 알 수 있다.", "따라서 \\( Y \\)는 본래의 마르코프연쇄 \\( X \\)의 전이율 \\( q_{i} \\)에 자기 자신으로 되돌아오는 가상의 전이율 \\( q-q_{i} \\)를 추가하여 전체 전이율을 \\( q \\)로 균일화한 다음 실질적인 전이율의 변화가 없도록 조정하여 얻어진 마르코프연쇄이다.", "</p><p>\\((8.17)\\)을 이용하여 \\( P(t) \\)를 계산하기 위해서는 일반적으로 \\[P(t) \\approx \\sum_{n=0}^{K} e^{-q t} \\frac{(q t)^{n}}{n !}\\left[P^{*}\\right]^{n}\\]과 같이 무한급수를 적당한 항에서 절단하여야 한다.", "이때 \\( \\left[P^{*}\\right]^{n} \\)이 확률행렬이므로 오차의 한계는 다음과 같다.", "<p>\\[1-\\sum_{n=0}^{K} e^{-q t} \\frac{(q t)^{n}}{n !}\\]</p><p>예제 \\( 8.17 \\)</p><p>\\( X \\)의 생성자 \\( Q \\)가 다음과 같다고 하자.", "</p><p>\\( Q=\\left(\\begin{array}{rrr}-2 & 1 & 1 \\\\ 1 & -3 & 2 \\\\ 1 & 0 & -1\\end{array}\\right) \\)</p><p>그러면 \\( q=\\max \\{2,3,1\\}=3 \\)이고 \\[P^{*}=I+\\frac{1}{q} Q=\\frac{1}{3}\\left(\\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\1 & 0 & 2 \\\\ 1 & 0 & 2\\end{array}\\right) .\\]", "</p><p>따라서 \\[P(t)=\\sum_{n=0}^{\\infty} e^{-3 t} \\frac{(3 t)^{n}}{n !}\\left[P^{*}\\right]^{n} .\\]</p> <p>\\( X(0)=0 \\)일 때 \\( X \\)가 상태 \\(0\\)에 \\( n \\)번째 되돌아온 시각을 \\( S_{n} \\)이라 하면 강마르코프성질에 의하여 \\( X_{n}=S_{n}-S_{n-1}, n=1,2, \\cdots\\left(S_{0}=0\\right) \\)은 서로 독립이고 같은 분포를 따른다. 따라서 \\( X \\) 가 \\( (0, t]", "\\)동안 상태 \\(0\\)을 방문한 횟수 \\( N(t) \\)로 이루어지는 확률과정 \\( \\{N(t) \\), \\( t \\geq 0\\} \\)는 갱신과정이 된다.", "</p><p>\\( X \\)가 시각 \\( t \\)에서 앞으로 전이가 일어날 때까지 걸리는 시간을 \\( V_{t} \\)라 하자.", "즉 \\[V_{t}=\\inf \\{s>0: X(t+s) \\neq X(t)\\}, \\quad t \\geq 0\\]</p><p>만약 \\( X(t)=i \\)이면 \\( V_{t} \\)는 \\( t \\) 시각부터 상태 \\( i \\)를 벗어날 때까지 걸리는 시간이다(그림 \\(8.2\\)). \\", "( X(t)=i \\)일 때 앞으로 전이가 일어날 때까지 상태 \\( i \\)에 머물러있는 시간 \\( V_{t} \\)는 마르코프 성질에 의하여 \\( X \\)가 최근 \\( i \\)를 방문한 때부터 현재까지 상태 \\( i \\)에 머물러있는 시간에는 관계없이 오직 현재 상태 \\( i \\)에만 의존함을 알 수 있다.", "한편 과거 이력을 기억하지 못하는 분포는 지수분포이므로 \\( V_{t} \\)의 분포는 모수가 시각 \\( t \\)에는 의존하지 않고 오직 현재 상태 \\( X(t)=i \\)에만 의존하는 지수분포가 되는 것을 알 수 있다.", "다음 정리는 이 사실뿐만 아니라 지수분포의 모수가 \\( q_{i} \\)라는 것을 보여준다.", "</p><p>정리 \\( 8.7 \\) 각각의 \\( i \\in S \\)와 \\( t \\geq 0 \\)에 대하여 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( P\\left(V_{t}>u \\mid X(t)=i\\right)=e^{-q_{i} u}, \\quad u \\geq 0 \\)</p></p><p>증명 증명은 제\\(8.10\\)절에 제시한다.", "</p><p>정리 \\( 8.8 \\) 양의 정수 \\( n \\)과 \\( j \\in \\mathcal{S}, u>0 \\)에 대하여 다음이 성립한다.", "<p>\\( P\\left(X_{n+1}=j, W_{n}>u \\mid X_{0}, \\cdots, X_{n}=i, T_{0}, \\cdots, T_{n}\\right)=p_{i j} e^{-q_{i} u} \\)<caption>(8.5)</caption></p><p>단 \\( p_{i j}=P\\left(X_{1}=j \\mid X_{0}=i\\right) \\) 는 \\( p_{i i}=0 \\)이고 \\( \\sum_{j \\in S} p_{i j}=1 \\)을 만족한다.", "</p></p><p>증명 증명은 제\\(8.10\\)절에 제시한다.", "</p><p>정리 \\(8.8\\)은 확정된 시각이 아닌 특정한 사건이 발생한 시각 \\( T_{n} \\)까지의 모든 정보가 주어졌다는 가정하에 체류시간 \\( W_{n} \\)의 분포와 \\( (n+1) \\)번째 전이가 일어났을 때 방문할 상태 \\( X_{n+1} \\)은 오직 현재 상태 \\( X_{n} \\)에만 의존한다는 것을 보여준다.", "</p><p>따름정리 \\( 8.9 \\) \\[P\\left(W_{n}>u \\mid X_{n}=i\\right)=e^{-q_{i} u}, \\quad u>0, \\quad i \\in \\mathcal{S}\\]</p><p>증명 정리 \\( 8.8 \\)과 조건부기댓값의 성질(제 \\( 1.6 .2 \\) 절)에 의하여 \\[P\\left(X_{n+1}=j, W_{n}>u \\mid X_{n}=i\\right)=p_{i j} e^{-q_{i} u}\\]이므로 \\[\\begin{aligned}P\\left(W_{n}>u \\mid X_{n}=i\\right) &=\\sum_{j \\in S} P\\left(X_{n+1}=j, W_{n}>u \\mid X_{n}=i\\right) \\\\&=\\sum_{j \\in S} p_{i j} e^{-q_{i} u} \\\\&=e^{-q_{i} u} .\\", "end{aligned}\\]</p><p>따름정리 \\(8.9\\)로부터 \\( X \\)가 상태 \\( i \\)를 방문했을 때 다음 전이가 일어날 때까지 \\( i \\)에 체류 하는 시간은 평균이 \\[E\\left[W_{n} \\mid X_{n}=i\\right]=\\int_{0}^{\\infty} P\\left(W_{n}>u \\mid X_{n}=i\\right) d u=\\frac{1}{q_{i}}\\]인 지수분포를 따른다는 것을 알 수 있다. 그러므로 \\( q_{i} \\)를 \\( X \\)의 상태 \\( i \\)에서의 전이율 (transition rate)이라 하고 행렬 \\( Q \\)를 \\( X \\)의 전이율행렬이라 한다.</p><p>\\( q_{i}=0 \\)이면 모든 \\( u>0 \\)에 대하여 \\[P\\left(W_{n}>", "u \\mid X_{n}=i\\right)=1\\]이므로 상태 \\( i \\)에서 다른 상태로의 전이가 일어나지 않고 \\( i \\)에 영원히 머물러있게 된다. 한편 \\( q_{i}=\\infty \\)이면 모든 \\( u>0 \\)에 대하여 \\[P\\left(W_{n}>u \\mid X_{n}=i\\right)=0 \\]이므로 상태", "\\( i \\)에 체류하는 시간은 \\(0\\)이 된다.", "즉 상태 \\( i \\)를 방문하는 순간 다른 상태로 이동하게 된다.", "만약 \\( 0<q_{i}<\\infty \\)이면 \\[P\\left(0<W_{n}<\\infty \\mid X_{n}=i\\right)=1\\]이 성립함을 알 수 있다.", "</p><p>\\( q_{i}=0 \\)일 때 상태 \\( i \\)를 흡수상태(absorbing state)라고 하고 \\( 0<q_{i}<\\infty \\)일 때 상태 \\( i \\)를 안정상태(stable state)라고 한다.", "또한 \\( q_{i}=\\infty \\)일 때 상태 \\( i \\)를 순간상태(instantaneous state)라고 한다.", "</p> <h1>8.7 극한분포</h1><p>\\( X=\\{X(t), t \\geq 0\\} \\)를 생성자 \\( Q=\\left(q_{i j}\\right) \\)와 전이확률행렬 \\( P(t)=p_{i j}(t) \\)를 갖는 연속시간 마르코프연쇄라 하자.", "이 절에서는 \\( t \\rightarrow \\infty \\)일 때 \\( p_{i j}(t) \\)의 극한에 대하여 살펴본다.", "먼저 몇 가지 예를 생각해보자.", "</p><p>예제 \\( 8.19 \\)</p><p>예제 \\(8.10\\)에서 구한 \\( P(t) \\)에서 \\( t \\rightarrow \\infty \\)하면 \\[\\lim _{t \\rightarrow \\infty} P(t)=\\left(\\begin{array}{cc} \\frac{\\mu}{\\lambda+\\mu} & \\frac{\\lambda}{\\lambda+\\mu} \\\\\\frac{\\mu}{\\lambda+\\mu} & \\frac{\\lambda}{\\lambda+\\mu} \\end{array}\\right)\\]</p><p>이 경우 \\( \\lim _{t \\rightarrow \\infty} p_{i j}(t) \\)는 초기상태 \\( i \\)에 무관하며 모든 극한값이 \\(0\\)보다 크다.", "</p><p>예제 \\(8.20\\)</p><p>비율이 \\( \\lambda \\)인 푸아송과정의 전이확률은 다음과 같다(예제 \\(8.13\\)).", "</p><p>\\( p_{i j}(t)=\\left\\{\\begin{array}{ll}e^{-\\lambda t} \\frac{(\\lambda t)^{j-i}}{(j-i) !} & j \\geq i \\geq 0 \\\\ 0, & j<i\\end{array}\\right. \\)", "</p><p>따라서 각각의 \\( i, j \\geq 0 \\)에 대하여 \\( \\lim _{t \\rightarrow \\infty} p_{i j}(t)=0 \\)이다.", "</p><p>예제 \\(8.21\\)</p><p>생성률과 소멸률이 각각 \\( \\lambda_{n}=n \\lambda, \\mu_{n}=n \\mu(n=0,1,2, \\cdots) \\)인 생성-소멸 과정의 전이확률은 다음과 같음이 알려져 있다.", "</p><p>\\( p_{i 0}(t)=\\left(\\frac{\\mu-\\mu e^{-(\\lambda-\\mu) t}}{\\lambda-\\mu e^{-(\\lambda-\\mu) t}}\\right)^{i}, \\quad i \\geq 0 \\)이므로 \\( \\lim _{t \\rightarrow \\infty} p_{i 0}(t) \\)는 초기상태 \\( i \\)에 의존한다.", "</p><p>위의 예에서 살펴보았듯이 전이함수의 극한이 초기상태에 의존하는 경우도 있고 초기 상태에는 의존하지 않지만 그 극한이 \\(0\\)이 되는 경우도 있다는 것을 살펴보았다.", "이 절의 목적은 다음과 같은 물음에 대한 답을 하는 것이다.", "</p><ol type=1 start=1><li>극한 \\( \\lim _{t \\rightarrow \\infty} p_{i j}(t) \\)가 초기상태 \\( i \\)와 무관하게 존재하며 그 극한이 \\(0\\)보다 클 조건은 무엇인가?", "</li><li>만약 \\( \\lim _{t \\rightarrow \\infty} p_{i j}(t) \\)가 존재한다면 어떠한 방법으로 극한을 구할 것인가?", "</li></ol> <h1>8.2 연속시간 마르코프연쇄의 구조</h1><p>연속시간 확률과정에 의하여 기술되는 어떤 현상이 연속시간 마르코프연쇄가 됨을 보이기 위하여 식 \\((8.1)\\)을 만족한다는 것을 보이는 것은 일반적으로 쉽지 않다.", "그러나 연 속시간 마르코프연쇄의 표본경로에 대한 구조를 이용하면 주어진 확률현상을 마르코프연쇄로 모형화하는 것이 용이한 경우가 많이 있다.", "이 절에서는 마르코프연쇄의 구조에 대하여 알아본다.", "</p><p>\\( n \\geq 1 \\)일 때 \\( X \\) 의 \\( n \\)번째 전이가 일어난 시각을 \\( T_{n}, n \\)번째 전이가 일어난 직후 \\( X \\)의 상태를 \\( X_{n} \\)이라 하자.", "단 \\( T_{0}=0, X_{0}=X(0) \\)이다.", "만약 \\( X_{n}=i \\)이면 구간 \\( \\left[T_{n}, T_{n+1}\\right) \\)은 \\( X \\)가 상태 \\( i \\)를 방문한 때부터 \\( i \\)를 떠날 때까지의 시간을 의미하며 이 구간의 길이 \\( W_{n}=T_{n+1}-T_{n} \\)을 상태 \\( i \\)에 체류하는 시간(sojourn time)이라 한다.", "그림 \\(8.1\\)은 연속시간 마르코프연쇄 \\( X \\)의 표본경로를 나타낸 것이다.", "</p><p>\\( T_{n} \\)은 음이 아닌 확률변수로서 \\( \\left\\{T_{n} \\leq t\\right\\} \\)는 \\( X \\)의 \\( n \\)번째 전이가 시각 \\( t \\) 이전에 일어날 사건을 나타내므로 \\( t \\)이전의 확률과정 \\( \\{X(s), 0 \\leq s \\leq t\\} \\)에 의하여 정해진다.", "또한 \\( X \\)가 상태 \\( j \\)를 \\( k \\)번째 방문하는 시각을 \\( \\tau_{j}(k) \\)라 하면 \\( \\left\\{\\tau_{j}(k) \\leq t\\right\\} \\)는 \\( X \\)가 \\( t \\) 이전에 상태 \\( j \\)를 \\( k \\)번 방문할 사건이므로 \\( \\{X(s), 0 \\leq s \\leq t\\} \\)에 의하여 정해진다.", "이와 같이 음이 아닌 확률변수 \\( T \\geq 0 \\)에 대하여 사건 \\( \\{T \\leq t\\} \\)가 시각 \\( t \\)이전의 확률과정 \\( \\{X(s), 0 \\leq s \\leq t\\} \\)에 의하여 정해질 때 \\( T \\)를 \\( X \\)의 정지시각(stopping time)이라고 한다.", "앞에서 정의한 \\( T_{n} \\)과 \\( \\tau_{k}(j) \\)는 모두 정지시각이 된다.", "</p><p>확률과정 \\( X \\)가 마르코프성질을 만족한다는 것은 시각 \\( t \\)에서 \\( X \\)의 상태 \\( X(t)=i \\)가 주어졌을 때 \\( t \\) 이전의 상태와 \\( t \\) 이후의 상태가 조건부로 독립이라는 것이다.", "정지시각에 대해서도 마르코프성질을 만족할 때 \\( X \\) 는 강마르코프성질(strong Markov property)을 갖는다고 한다. \\", "( X \\)가 강마르코프성질을 가지면 어떤 사건이 발생할 시각 \\( T \\)가 \\( X \\)의 정지시각이라 할 때, 사건이 발생시각에서 \\( X \\)의 상태 \\( X(T) \\)가 주어졌다는 가정하에 그 사건이 발생한 시점 이전의 상태 \\( \\{X(T \\wedge t), t \\geq 0\\} \\) (단, \\( x \\wedge y=\\min (x, y) \\) )와 이후의 상태 \\( \\{X(T+t) \\), \\( t \\geq 0\\} \\)는 조건부로 독립이다.", "또한 \\( \\{X(T+t), t \\geq 0\\} \\) 는 \\( X(T) \\) 에만 의존하므로 이 확률과정은 전이확률행렬이 \\( X \\)와 같은 \\( P(t) \\)인 마르코프연쇄가 된다.", "다음 정리는 정칙인 마르코프연쇄 \\( X \\)가 강마르코프성질을 갖는다는 것을 보여준다.", "</p><p>정리 \\( 8.6 \\) 강마르코프성질 \\( T \\)가 \\( \\boldsymbol{X} \\)의 정지시각일 때 다음이 성립한다.", "<p>\\( P(X(T+t)=j \\mid X(u), u<T, X(T)=i)=p_{i j}(t), \\quad i, j \\in \\mathcal{S} \\)</p></p> <h1>8.1 정의와 기본적인 성질</h1><p>확률과정 \\( X=\\{X(t), t \\geq 0\\} \\)가 각각의 \\( s, t>0 \\)에 대하여 \\( t \\) 시각 이전의 이력 \\( \\{X(u), u \\leq t\\} \\)가 주어졌다는 가정하에 \\( t \\) 시각 이후의 상태 \\( X(t+s) \\)는 오직 최근의 상태 \\( X(t) \\)에만 의존할 때 \\( X \\)는 마르코프성질을 갖는다고 한다.", "마르코프성질은 현재 상태 \\( X(t) \\)가 주어졌다는 가정하에 미래 상태 \\( X(s+t) \\)는 과거 이력 \\( \\{X(u), u<t\\} \\)와 조건부로 독립이라는 것과 동치이다.", "</p><p>이 장 전체를 통하여 다른 언급이 없는 한 연속시간 확률과정 \\( X=\\{X(t), t \\geq 0\\} \\)의 상태공간 \\( \\mathcal{S} \\) 는 \\( \\{0,1,2, \\cdots\\} \\)의 부분집합을 나타낸다.", "</p><p>정의 \\( 8.1 \\) 확률과정 \\( X=\\{X(t), t \\geq 0\\} \\)가 임의의 \\( t_{1}<\\cdots<t_{n}<s<t+s \\)와 \\( i_{1}, \\cdots, i_{n}, i \\), \\( j \\in \\mathcal{S}(n=1,2, \\cdots) \\)에 대하여 \\[\\begin{aligned}P(X(t+s)&\\left.=j \\mid X\\left(t_{1}\\right)=i_{1}, \\cdots, X\\left(t_{n}\\right)=i_{n}, X(s)=i\\right) \\\\&=P(X(t+s)=j \\mid X(s)=i)\\end{aligned}\\]", "<caption>(8.1)</caption>를 만족할 때 \\( X \\)를 연속시간 마르코프연쇄라 한다.", "</p><p>마르코프연쇄 \\( X \\)가 상태 \\( i \\)에서 머물다가 상태 \\( j \\)로 이동하였을 때 \\( i \\)에서 \\( j \\)로 전이 (transition)가 일어났다고 한다.", "조건부확률 \\( P(X(t+s)=j \\mid X(s)=i) \\)를 \\( X \\)의 전이확률 (transition probability)이라 한다.", "전이확률이 시작시점 \\( s \\)에 의존하지 않고 변화한 시간의 길이 \\( t \\)에만 의존할 때 \\( X \\)는 시간동질(time-homogeneous)이라 하고 이때 전이확률을\\[p_{i j}(t)=P(X(t+s)=j \\mid X(s)=i), \\quad i, j \\in S\\]와 같이 나타내기로 한다. \\", "( t \\)의 함수로서 \\( p_{i j}(t) \\)를 전이함수(transition function)라고 한다.", "</p><p>행렬 \\( P(t)=\\left(p_{i j}(t)\\right)_{i, j \\in S} \\) 를 \\( X \\)의 전이확률행렬이라 한다.", "명백하게\\[p_{i j}(0)=\\left\\{\\begin{array}{ll}1, & i=j \\\\0, & i \\neq j\\end{array}\\right.\\]이므로 \\( P(0)=I \\) (단위행렬)이다.", "</p><p>이 장 전체를 통하여 별다른 언급이 없는 한 연속시간 마르코프연쇄 \\( X \\)에 대하여 다음을 가정한다.", "</p><ul><li>가정 \\(1\\).", "시간동질이다.", "</li><li>가정 \\(2\\). \\", "( p_{i j}(t) \\)는 \\( t=0 \\)에서 우연속이다.", "</li><li>가정 \\(3\\).", "유한 시간 내에 발생하는 전이 수는 유한이다.", "</li></ul><p>위의 세 가지 가정을 만족하는 마르코프연쇄를 정칙(regular)이라고 한다.", "정칙인 마르 코프연쇄 \\( X \\)의 표본경로는 우연속이라는 것이 알려져 있다.", "</p> <p>예제 \\( 8.5 \\)</p><p>다음과 같은 방식으로 번식을 하는 미생물체를 생각하자.", "미생물체는 모수가 \\( \\lambda \\)인 지수 분포 동안 생존해있다가 \\( 0.5 \\)의 확률로 소멸하거나 \\( 0.3 \\)의 확률로 두 개의 개체로 번식하고 \\( 0.2 \\)의 확률로 세 개의 개체로 번식한다.", "각 미생물체의 수명은 같은 분포를 따르며 서로 독립적으로 번식한다고 하자. \\", "( X(t) \\)를 \\( t \\)시각에 존재하는 미생물체의 개체 수라 하자.", "현재 \\( n \\)개의 개체가 있다고 할 때 \\( S_{1}, \\cdots, S_{n} \\)을 각 미생물체의 수명이라 하자. \\", "( n \\)개의 개체 중 어느 한 개라도 수명을 다하면 개체 수가 변하게 되므로 상태 \\( n \\)을 벗어나는 데 걸리는 시간은 \\( \\min \\left(S_{1}, \\cdots, S_{n}\\right) \\sim \\operatorname{Exp}(n \\lambda) \\)이다.", "따라서 \\( q_{n}=n \\lambda(n \\geq 1) \\)이다.", "만약 모든 개체가 소멸하여 하나의 개체도 없을 경우에는 상태의 변화가 일어나지 않 으므로 상태 \\(0\\)은 흡수상태가 된다.", "따라서 \\( q_{0}=0 \\)이다.", "한편 상태 \\( n \\)을 벗어났을 때 방문 가능한 상태는 \\( n-1 \\) (개체가 소멸하는 경우), \\( n+1 \\) (두 개체로 분화하는 경우), \\( n+2 \\) (세 개의 개체로 분화하는 경우) 세 가지다.", "따라서 \\[q_{n, n-1}=0.5 n \\lambda, \\quad q_{n, n+1}=0.3 n \\lambda, \\quad q_{n, n+2}=0.2 n \\lambda\\]이고 그 밖의 경우는 모두 \\(0\\)이다(그림 \\(8.6\\)).", "현재 있는 개체는 모두 새로운 개체로서 독립적으로 번식하므로 상태 변화가 발생하는 데 걸리는 시간은 과거 상태와 무관하다.", "따라서 확률과정 \\( X=\\{X(t), t \\geq 0\\} \\)는 상태공간이 \\( \\mathcal{S}=\\{0,1,2, \\cdots\\} \\)이며 다음과 같은 생성자를 갖는 마르코프연쇄가 된다.", "</p><p>\\( Q=\\left(\\begin{array}{cccccc}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \\cdots \\\\ 0.5 \\lambda & -\\lambda & 0.3 \\lambda & 0.2 \\lambda & 0 & \\cdots \\\\ 0 & \\lambda & -2 \\lambda & 0.6 \\lambda & 0.4 \\lambda & \\cdots \\\\ 0 & 0 & 1.5 \\lambda & -3 \\lambda & 0.9 \\lambda & \\cdots \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 \\lambda & -4 \\lambda & \\cdots \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\end{array}\\right) \\)</p> <p>예제 \\(8.29\\) 기계수리모형</p><p>\\( K \\)개의 기계를 가지고 작업을 하는 공장을 생각하자.", "각 기계는 독립적으로 작동하며 한 번 작동되기 시작한 기계는 평균이 \\( \\frac{1}{\\lambda} \\)인 지수분포 동안 작동하다 고장이 난다고 하자.", "이 공장에 기계를 수리하는 수리공은 \\( c \\)명이 있는데 각 수리공이 고장 난 기계를 수리하는 데 걸리는 시간은 평균이 \\( \\frac{1}{\\mu} \\)인 지수분포를 따른 다고 하자. \\", "( X(t) \\)를 \\( t \\) 시각에 고장 난 기계 수라 하면 \\( \\{X(t), t \\geq 0\\} \\)는 상태공간이 \\( \\{0,1, \\cdots, K\\} \\)이고 다음과 같은 생성률과 소멸률을 갖는 생성소멸 과정이다.", "</p><p>\\( \\begin{array}{ll}\\lambda_{n}=(K-n) \\lambda, & 0 \\leq n \\leq K \\\\ \\mu_{n}=\\min (c, n) \\mu, & 1 \\leq n \\leq K\\end{array} \\)</p><p>이때 \\[S=1+\\sum_{n=1}^{K} \\frac{\\lambda_{0} \\lambda_{1} \\cdots \\lambda_{n-1}}{\\mu_{1} \\mu_{2} \\cdots\\mu_{n}}=\\sum_{n=0}^{c-1}\\left(\\begin{array}{l}K \\\\n\\end{array}\\right)\\left(\\frac{\\lambda}{\\mu}\\right)^{n}+\\sum_{n=c}^{K} \\frac{c^{c} n !}{c !}\\left(\\begin{array}{l}K \\\\n\\end{array}\\right)\\left(\\frac{\\lambda}{c \\mu}\\right)^{n}\\]이 되며 안정상태의 분포는 다음과 같다.", "</p><p>예제 \\(8.30\\) 이민이 있는 선형증가모형</p><p>\\( n \\)명이 있는 집단을 생각하자.", "각 개체는 비율 \\( \\mu \\)로 소멸하고 \\( \\lambda \\)로 자손을 생성한다고 하자.", "여기에 \\( \\theta \\)의 비율로 외부로부터의 이민이 발생한다고 하면 총 생성률은 \\( n \\lambda+\\theta \\)이고 총 소멸률은 \\( n \\mu \\)가 된다. \\", "( X(t) \\)를 \\( t \\)시각에 이 집단의 개체 수라 하면 \\( X=\\{X(t) \\), \\( t \\geq 0\\} \\)는 다음과 같은 생성률과 소멸률을 갖는 생성-소멸 과정이다.", "</p><p>\\( \\begin{array}{ll}\\lambda_{n}=n \\lambda+\\theta, & n \\geq 0 \\\\ \\mu_{n}=n \\mu, & n \\geq 1\\end{array} \\)</p><p>이와 같은 생성-소멸 과정을 이민이 있는 선형증가모형(linear growth model with immigration)이라 한다. \\", "( X \\)가 에르고딕일 필요충분조건은 \\[S=1+\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{\\theta(\\theta+\\lambda) \\cdots(\\theta+(n-1) \\lambda)}{n ! \\mu^{n}}<\\infty\\]이다.", "한편 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\theta(\\theta+\\lambda) \\cdots(\\theta+n \\lambda)}{(n+1) ! \\", "mu^{n+1}} \\frac{n ! \\", "mu^{n}}{\\theta(\\theta+\\lambda) \\cdots(\\theta+(n-1) \\lambda)}=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\theta+n \\lambda}{(n+1) \\mu}=\\frac{\\lambda}{\\mu} \\)이므로 \\( \\frac{\\lambda}{\\mu}<1 \\)이면 \\( S<\\infty \\)이다.", "또한 \\( \\frac{\\lambda}{\\mu} \\geq 1 \\)이면 \\[\\frac{\\theta(\\theta+\\lambda) \\cdots(\\theta+(n-1) \\lambda)}{n ! \\mu^{n}} \\geq \\frac{1}{n} \\frac{\\theta}{\\mu}\\left(\\frac{\\lambda}{\\mu}\\right)^{n-1} \\geq \\frac{\\theta}{\\mu} \\frac{1}{n}\\]이고 \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n}=\\infty \\)이므로 \\( S=\\infty \\)이다.", "그러므로 \\( \\{X(t), t \\geq 0\\} \\)가 에르고딕일 필요충분조건은 \\( \\frac{\\lambda}{\\mu}<1 \\)이다.", "</p> <p>예제 \\( 8.8 \\) 생성-소멸 과정</p><p>특정한 모집단에 있는 개체 수에 대하여 생각해보자.", "모집단에 \\( n \\)개의 개체가 있을 때 한 개체가 새로 생성되는 데 걸리는 시간은 모수가 \\( \\lambda_{n} \\)인 지수분포를 따르고 한 개체가 소멸하는 데 걸리는 시간은 모수가 \\( \\mu_{n} \\)인 지수분포를 따른다고 하자.", "단 \\( \\mu_{0}=0 \\)이다.", "생성과 소멸이 각각 독립적으로 일어나며 과거 이력과 관계없이 발생한다고 하자.", "그러면 \\( t \\)시각에 모집단 안에 있는 개체 수 \\( X(t) \\)로 이루어지는 확률과정 \\( X=\\{X(t) \\), \\( t \\geq 0\\} \\)는 상태공간이 \\( \\mathcal{S}=\\{0,1,2, \\cdots\\} \\)인 연속시간 마르코프연쇄가 된다.", "개체 수에 변화가 발생하기 위해서는 새로운 개체가 생성되거나 한 개체가 소멸되어야 한다.", "현재 모집단에 있는 개체 수가 \\( n \\)일 때새로운 개체가 생성되는 데 걸리는 시간을 \\( B_{n} \\)이라 하고 한 개체가 소멸하는 데 걸리는 시간을 \\( D_{n} \\)이라 하자.", "그러면 가정에 의하여 \\( B_{n} \\sim \\) \\( \\operatorname{Exp}\\left(\\lambda_{n}\\right), D_{n} \\sim \\operatorname{Exp}\\left(\\mu_{n}\\right) \\) 이고 각각은 서로 독립이다.", "따라서 \\( X(t)=n \\)일 때 전이가 일어날 때까지 걸리는 시간은 \\( \\min \\left(B_{n}, D_{n}\\right) \\sim \\operatorname{Exp}\\left(\\lambda_{n}+\\mu_{n}\\right) \\)이다.", "한편 \\( X(t)=n \\)일 때 \\( (n+1) \\)로의 전이가 발생하기 위해서는 한 개체가 소멸되기 전에 새로운 개체가 생성되어야 하므로 \\[p_{n, n+1}=P\\left(B_{n}<D_{n}\\right)=\\frac{\\lambda_{n}}{\\lambda_{n}+\\mu_{n}}, \\quad n=0,1,2, \\cdots\\]이다.", "같은 방법으로 \\( n \\)에서 \\( (n-1) \\)로의 전이가 발생할 확률은 다음과 같다.", "</p><p>\\[p_{n, n-1}=P\\left(B_{n}>D_{n}\\right)=\\frac{\\mu_{n}}{\\lambda_{n}+\\mu_{n}}, \\quad n=0,1,2, \\cdots\\]</p><p>생성과 소멸이 동시에 일어나기 위해서는 \\( B_{n}=D_{n} \\)이 되어야 하는데 \\( B_{n} \\)과 \\( D_{n} \\)은 서로 독립이므로 \\( P\\left(B_{n}=D_{n}\\right)=0 \\)이다. 또한 생성과 소멸이 발생한다고 할 때 오직 한 개씩만 발생하므로 \\( |i-j|>", "1 \\)이면 \\( p_{i j}=0 \\)이다.", "따라서 마르코프연쇄 \\( X \\)의 전이율그림은 그림 \\(8.8\\)과 같음을 알 수 있다.", "또한 매장된 마르코프연쇄 \\( \\hat{X} \\)의 일 단계 전이확률행렬 \\( P \\)는 다음과 같다.", "</p><p>\\[P=\\left(\\begin{array}{ccccc}0 & 1 & 0 & 0 & \\cdots \\\\\\frac{\\mu_{1}}{\\lambda_{1}+\\mu_{1}} & 0 & \\frac{\\lambda_{1}}{\\lambda_{1}+\\mu_{1}} & 0 & \\cdots \\\\\\cdots 0 & \\frac{\\mu_{2}}{\\lambda_{2}+\\mu_{2}} & 0 & \\frac{\\lambda_{2}}{\\lambda_{2}+\\mu_{2}} & \\cdots \\\\0 & 0 & \\frac{\\mu_{3}}{\\lambda_{3}+\\mu_{3}} & 0 & \\cdots \\\\\\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots &\\end{array}\\right)\\]</p><p>\\( X \\) 의 생성자 \\( Q \\) 는 다음과 같다.", "</p><p>\\[Q=\\left(\\begin{array}{ccccc}-\\lambda_{0} & \\lambda_{0} & 0 & 0 & \\cdots \\\\\\mu_{1} & -\\left(\\lambda_{1}+\\mu_{1}\\right) & \\lambda_{1} & 0 & \\cdots \\\\0 & \\mu_{2} & -\\left(\\lambda_{2}+\\mu_{2}\\right) & \\lambda_{2} & \\cdots \\\\0 & 0 & \\mu_{3} & -\\left(\\lambda_{3+} \\mu_{3}\\right) & \\cdots \\\\\\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\end{array}\\right)\\]<caption>(8.7)</caption></p><p>상태공간이 \\( \\mathcal{S}=\\{0,1,2, \\cdots\\} \\)이며 생성자 \\( Q=\\left(q_{i j}\\right) \\)가 \\((8.7)\\)과 같이 \\( |i-j|>1 \\)이면 \\( q_{i j}=0 \\)을 만족하는 연속시간 마르코프연쇄를 생성-소멸 과정(birth-and-death process)이라 한다.", "이는 상태 \\( n \\)에서 전이가 한 번 일어났을 때 \\( (n-1) \\)이나 \\( (n+1) \\)이외의 상태로는 갈 수 없음을 의미한다.", "이와 같은 성질을 도약이 없다(skip-free)고 한다.", "이때 수열 \\( \\left\\{\\lambda_{n}\\right\\}_{n=0}^{\\infty} \\)을 생성률(birth rates) 또는 도착률(arrival rates)이라 하고, \\( \\left\\{\\mu_{n}\\right\\}_{n=1}^{\\infty} \\)을 소멸률(death rates) 또는 출발률(departure rates)이라 한다.", "</p><p>소멸률이 모두 \\(0\\) , 즉 \\( \\mu_{n}=0(n=0,1,2, \\cdots) \\)인 생성-소멸 과정을 순수출생과정(pure birth process)이라 한다.", "또한 출생률이 \\( \\lambda_{n}=0(n=0,1,2, \\cdots) \\)이 되는 생성-소멸 과정을 순수소멸과정(pure death process)이라 한다.", "순수소멸과정에서 상태 \\(0\\)은 흡수상태가 됨을 알 수 있다.", "</p><p>예제 \\( 8.9 \\mathrm{M} / M / \\infty \\) 대기체계</p><p>고객이 비율 \\( \\lambda \\)인 푸아송과정을 따라서 도착하고 무한명의 서버가 서비스를 하며 각 서버의 서비스 시간은 모수가 \\( \\mu \\)인 지수분포를 따르는 대기체계에서 \\( t \\)시각에 시스템 내에 있는 고객 수를 \\( X(t) \\)라 하자. \\", "( X(t)=n \\)일 때 상태 \\( n \\)을 벗어나기 위해서는 새로운 고객이 도착하거나 한 고객이 서비스를 받고 시스템을 떠나면 된다.", "이때 \\( n \\)에서 방문할 수 있는 상태는 \\( (n+1) \\)(외부로부터의 도착이 먼저 일어나는 경우)이거나 \\( (n-1) \\(서비스 완료가 먼저 일어나는 경우)이다.", "한편 도착과정이 푸아송과정을 따르므로 도착시간 간격은 모수가 \\( \\lambda \\)인 지수분포를 따른다.", "또한 각 서버는 독립적으로 서비스를 하므로 \\( n \\)명의 고객이 있을 때 \\( n \\)명 중 한 명의 고객이 서비스를 마치고 시스템을 떠날 때까지 걸리는 시간은 모수가 \\( n \\mu \\)인 지수분포를 따른다.", "따라서 \\( X=\\{X(t), t \\geq 0\\} \\) 는 생성률과 소멸률이 각각 \\[\\lambda_{n}=\\lambda, \\quad \\mu_{n}=n \\mu, \\quad n \\geq 0\\]인 생성-소멸 과정이다.", "</p> <h2>8.6.2 대각화를 이용한 방법</h2><p>편의상 \\( X \\)의 상태공간을 \\( S=\\{0,1,2, \\cdots, m\\} \\)이라 하자.", "여기서는 \\( X \\)의 생성자 \\( Q \\)가 대각화 가능한 경우 \\( P(t) \\)를 계산하는 방법을 제시한다. \\", "( Q \\)가 대각화 가능이면 다음을 만족하는 적당한 가역행렬 \\( S \\)와 대각행렬 \\( D \\)가 존재한다.", "</p><p>\\( Q=S D S^{-1} \\)</p><p>이때 \\( D \\)의 대각성분을 \\( \\lambda_{0}, \\lambda_{1}, \\cdots, \\lambda_{m} \\)이라 하고 \\( S \\)의 \\( i \\)번째 열을 \\( \\mathbf{u}_{i}, S^{-1} \\)의 \\( j \\)번째 행을 \\( \\mathbf{v}_{j} \\)이라 하면 행렬 \\( D \\) 와 \\( S, S^{-1} \\)은 다음과 같이 쓸 수 있다.", "</p><p>\\( D=\\left(\\begin{array}{cccc}\\lambda_{0} & & & O \\\\ & \\lambda_{1} & & \\\\ & & \\ddots & \\\\ O & & & \\lambda_{m}\\end{array}\\right), \\quad S=\\left(\\mathbf{u}_{0}, \\mathbf{u}_{1}, \\cdots, \\mathbf{u}_{m}\\right), \\quad S^{-1}=\\left(\\begin{array}{c}\\mathbf{v}_{0} \\\\ \\mathbf{v}_{1} \\\\ \\vdots \\\\ \\mathbf{v}_{m}\\end{array}\\right) \\)</p><p>한편 \\( Q=S D S^{-1} \\)로부터 \\( Q S=S D \\)이므로 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( \\left(\\begin{array}{llll}Q \\mathbf{u}_{0} & Q \\mathbf{u}_{1} \\cdots & Q \\mathbf{u}_{m}\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{lll}\\lambda_{0} \\mathbf{u}_{0} & \\lambda_{1} \\mathbf{u}_{1} \\cdots & \\lambda_{m} \\mathbf{u}_{m}\\end{array}\\right) \\)</p><p>따라서 \\( Q \\mathbf{u}_{i}=\\lambda_{i} \\mathbf{u}_{i} \\)가 되어 \\( S \\)의 \\( i \\)번째 열 \\( \\mathbf{u}_{i} \\)는 고유값 \\( \\lambda_{i} \\)에 대응하는 우측 고유벡터임을 알 수 있다. \\", "( Q \\mathbf{e}=0=0 \\mathbf{e} \\)이므로 \\(0\\) 은 \\( Q \\)의 고유값이 되며 이에 대응하는 고유벡터는 \\( \\mathbf{e} \\)이다. \\", "( \\lambda_{0}=0, \\mathrm{u}_{0}=\\mathrm{e} \\)라 하자. \\", "( S^{-1} Q=D S^{-1} \\), 즉 \\[\\left(\\begin{array}{c}\\mathbf{v}_{0} Q \\\\\\mathbf{v}_{1} Q \\\\\\vdots \\\\\\mathbf{v}_{m} Q\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c}\\lambda_{0} \\mathbf{v}_{0} \\\\\\lambda_{1} \\mathbf{v}_{1} \\\\\\vdots \\\\\\lambda_{m} \\mathbf{v}_{m}\\end{array}\\right)\\]이므로 \\( S^{-1} \\)의 \\( j \\)번째 행 \\( \\mathbf{v}_{j} \\)는 고유값 \\( \\lambda_{j} \\)에 대응하는 행렬 \\( Q \\)의 좌측 고유벡터이다.", "한편 \\[Q^{n}=S D\\left(S^{-1} S\\right) D\\left(S^{-1} S\\right) \\cdots\\left(S^{-1} S\\right) D S^{-1}=S D^{n} S^{-1}, \\quad n \\geq 0\\]이므로 \\( P(t) \\)를 다음과 같이 쓸 수 있다.", "</p><p>\\( P(t)=\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{t^{n}}{n !} Q^{n}=S\\left(\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{t^{n}}{n !} D^{n}\\right) S^{-1}=S e^{t D} S^{-1} . \\)", "</p><p>또한 \\( D^{0}=I, D^{n}=\\operatorname{diag}\\left[0, \\lambda_{1}^{n}, \\cdots, \\lambda_{m}^{n}\\right](n \\geq 1) \\)이므로 \\( e^{D t} \\)는 대각성분이 \\( 1, e^{\\lambda_{1} t}, \\cdots \\) \\( e^{\\lambda_{m} t} \\)인 대각행렬이다.", "따라서 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} S e^{t D} S^{-1} &=\\left(\\begin{array}{lll}\\mathbf{u}_{0} & \\mathbf{u}_{1} \\cdots & \\mathbf{u}_{m}\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{cccc}1 & & & O \\\\ & e^{\\lambda_{1 t}} & & \\\\ & & \\ddots & \\\\ O & & & e^{\\lambda_{m} t}\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{c}\\mathbf{v}_{0} \\\\ \\mathbf{v}_{1} \\\\ \\vdots \\\\ \\mathbf{v}_{m}\\end{array}\\right) \\\\ &=\\mathbf{u}_{0} \\mathbf{v}_{0}+\\sum_{k=1}^{m} \\mathbf{u}_{k} \\mathbf{v}_{k} e^{\\lambda_{k} t} \\end{aligned} \\)</p><p>따라서 \\( P(t) \\)에 대한 다음 결과를 얻는다.", "</p><p>\\( P(t)=\\mathbf{u}_{0} \\mathbf{v}_{0}+\\sum_{k=1}^{m} \\mathbf{u}_{k} \\mathbf{v}_{k} e^{\\lambda_{k} t} \\)<caption>(8.18)<caption></p><p>예제 \\(8.18\\)</p><p>\\( X \\)의 생성자 \\( Q \\)가 다음과 같다고 하자.", "</p><p>\\( Q=\\left(\\begin{array}{rrr}-2 & 1 & 1 \\\\ 1 & -3 & 2 \\\\ 1 & 4 & -5\\end{array}\\right) \\)</p><p>행렬 \\( Q \\)는 서로 다른 세 개의 고유값 \\( \\lambda_{0}=0, \\lambda_{1}=-3, \\lambda_{2}=-7 \\)을 가지므로 대각화 가능이다.", "각각의 고유값에 대응하는 우측 고유벡터는 다음과 같다.", "</p><p>\\( \\mathbf{u}_{0}=\\left(\\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\\end{array}\\right), \\quad \\mathbf{u}_{1}=\\left(\\begin{array}{r}-2 \\\\ 1 \\\\ 1\\end{array}\\right), \\quad \\mathbf{u}_{2}=\\left(\\begin{array}{r}-2 \\\\ -9 \\\\ 19\\end{array}\\right) \\)</p><p>따라서 \\( S \\)와 \\( S^{-1} \\)은 다음과 같다.", "</p><p>\\( S=\\left(\\begin{array}{rrr}1 & -2 & -2 \\\\ 1 & 1 & -9 \\\\ 1 & 1 & 19\\end{array}\\right), \\quad S^{-1}=\\frac{1}{84}\\left(\\begin{array}{rrr}28 & 36 & 20 \\\\ -28 & 21 & 7 \\\\ 0 & -3 & 3\\end{array}\\right) \\)</p><p>\\( P(t) \\)는 다음과 같다.", "</p><p>\\( P(t)=S_{0}+S_{1} e^{-3 t}+S_{2} e^{-7 t} \\)</p><p>단 \\( S_{k}=\\mathbf{u}_{k} \\mathbf{v}_{k}(k=0,1,2) \\)는 다음과 같다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} S_{0} &=\\frac{1}{84}\\left(\\begin{array}{lll}28 & 36 & 20 \\\\ 28 & 36 & 20 \\\\ 28 & 36 & 20\\end{array}\\right), \\quad S_{1}=\\frac{1}{84}\\left(\\begin{array}{rrr}56 & -42 & -14 \\\\ -28 & 21 & 7 \\\\ -28 & 21 & 7\\end{array}\\right), \\\\ S_{2} &=\\frac{1}{84}\\left(\\begin{array}{lrr}0 & 6 & -6 \\\\ 0 & 27 & -27 \\\\ 0 & -57 & 57\\end{array}\\right) \\end{aligned} \\)</p><p>위 식에서 \\( t \\rightarrow \\infty \\)를 취하면 \\[\\lim _{t \\rightarrow \\infty} P(t)=P(\\infty)=S_{0}\\]이고 \\[\\left|p_{i j}(t)-p_{i j}(\\infty)\\right| \\leq e^{-3 t}\\left(\\left|\\left[S_{1}\\right]_{i j}\\right|+\\left|\\left[S_{2}\\right]_{i j}\\right|\\right) \\leq \\frac{2}{3} e^{-3 t} \\]이므로 \\( P(t) \\) 는 \\( P(\\infty)=S_{0} \\)에 지수적으로 빨리 수렴함을 알 수 있다.", "</p> <p>확률분포 \\( \\boldsymbol{p}=\\left(p_{i}, i \\in S\\right) \\)가 식 \\( (8.24) \\)를 만족할 때 \\( \\boldsymbol{p} \\)를 \\( \\boldsymbol{X} \\) 또는 \\( Q \\)의 정상분포라고 한 다.", "따름정리 \\( 8.25 \\)는 에르고딕 마르코프연쇄의 극한분포와 정상분포는 같다는 것을 보여 준다.", "다음 정리는 \\( X \\)의 초기상태 \\( X(0) \\)의 분포가 정상분포이면 \\( X(t) \\)의 분포도 정상분포 가 된다는 것을 보여준다.", "따라서 \\( P(X(t)=i)=p_{i} \\) 일 때 \\( X \\)는 정상상태에 있다고 한다.", "</p><p>정리 \\( 8.26 \\) \\( p=\\left(p_{i}, i \\in S\\right) \\)가 \\( X \\)의 정상분포일 때 \\( P(X(0)=i)=p_{i} \\)이면 \\( P(X(t)=i)=p_{i}(i \\in S) \\) 이다.", "</p><p>증명 \\( p_{j}(t)=P(X(t)=j) \\)라 하고 \\( \\boldsymbol{p}(t)=\\left(p_{j}(t), j \\in S\\right) \\)라 하자.", "전확률공식에 의하여 다음이 성립함을 알 수 있다.", "</p><p>\\( \\boldsymbol{p}(t)=\\boldsymbol{p} P(t), \\quad t \\geq 0 \\)</p><p>위 식을 \\( t \\)에 관하여 미분하면 콜모고로프방정식으로부터 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( \\boldsymbol{p}^{\\prime}(t)=\\boldsymbol{p} P^{\\prime}(t)=\\boldsymbol{p} Q P(t)=0, \\quad t \\geq 0 \\)</p><p>따라서 \\( \\boldsymbol{p}(t)=\\boldsymbol{p}(0)=\\boldsymbol{p} \\)이다.", "</p><p>정리 \\( 8.27 \\) 기약인 마르코프연쇄 \\( X \\)가 에르고딕일 필요충분조건은 \\( X \\)의 정상분포가 존재하는 것이다.", "</p><p>증명 따름정리 \\( 8.25 \\)에 의하여 필요조건은 이미 증명되었다.", "이제 충분조건을 명한다. \\", "( \\boldsymbol{p}=\\left(p_{j}, j \\in \\mathcal{S}\\right) \\)를 \\( X \\)의 정상분포라 하자.", "즉 \\( p Q=0, \\boldsymbol{p e}=1 . \\hat{p}_{j}=q_{j} p_{j}, j \\in \\mathcal{S} \\)라 하면 \\( 0<\\hat{p}_{j}<\\infty \\)이고 \\( \\hat{p}=\\left(\\hat{p}_{j}, j \\in S\\right) \\)는 \\( \\hat{p} P=\\hat{p} \\)를 만족한다.", "정리 \\(8.20\\)에 의하여 \\( m_{j}=\\frac{1}{q_{j} p_{j}}<\\infty \\)이므로 \\( j \\)는 양재귀적이다. \\", "( X \\)가 기약이므로 \\( X \\)는 에르고딕이다.", "</p><p>정리 \\( 8.28 \\) 에르고딕 마르코프연쇄 \\( \\boldsymbol{X} \\)의 극한분포 \\( \\boldsymbol{p}=\\left(p_{j}, j \\in S\\right) \\)에 대하여 다음이 성립한다.", "각각의 \\( i, j \\in S \\)에 대하여 \\[\\lim _{t \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{t} \\int_{0}^{t} 1_{\\{X(s)=j\\}} d s=p_{j}=\\lim _{t \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{t} E\\left[\\int_{0}^{t} 1_{\\{X(s)=j\\}} d s \\mid X(0)=i\\right] .\\]", "</p><p>증명 \\( X(0)=j \\)라 하자. \\", "( \\tau_{j}(n) \\)을 상태 \\( j \\)에 \\( n \\)번째 되돌아오는 시각이라 하면 강마르 코프성질에 의하여 \\( \\xi_{n}=\\tau_{j}(n)-\\tau_{j}(n-1), n=1,2, \\cdots\\left(\\tau_{j}(0)=0\\right) \\)는 서로 독립이며 같은 분포를 따른다.", "따라서 \\( X \\)는 재생성시각의 열이 \\( \\left\\{\\tau_{j}(n), n=1\\right. \\), \\( 2, \\cdots\\}", "\\)인 재생성과정이다.", "한편 \\[\\frac{1}{E\\left[\\tau_{j}(1) \\mid X(0)=j\\right]} E\\left[\\int_{0}^{\\tau_{j}(1)} 1_{\\langle X(s)=j\\}} d s \\mid X(0)=j\\right]=\\frac{1}{q_{j} m_{j}}\\]이므로 정리 \\(7.32\\)와 정리 \\(8.22\\)에 의하여 정리가 증명된다.", "</p>" ]

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[ "<p>예제 \\( 2.8 \\) ( \\(1996\\). 임용고사) 실수 전체의 집합을 \\( \\mathbb{R} \\)이라 할 때 \\( f: \\mathbb{R} \\rightarrow \\mathbb{R} \\)는 연속이고, 가산 개의 점을 제외한 거의 모든 점에서 \\( f=0 \\)이다. 이때 \\( f \\)가 항등적으로 0 임을 보이시오.</p><p>", "풀이 만약 \\( f \\neq 0 \\)이라고 가정하면 적당한 \\( a \\in \\mathbb{R} \\)가 존재해서 \\( f(a) \\neq 0 \\)이다. \\( f(a)>0 \\)이면 \\( x=a \\)에서 연속이므로 다음을 만족하는 \\( \\delta>0 \\)가 존", "재한다. \\", "[ |x-a|<\\delta \\Rightarrow|f(x)-f(a)|<\\frac{f(a)}{2} \\] 따라서 \\( f(x) \\in\\left(f(a)-\\frac{f(a)}{2}, f(a)+\\frac{f(a)}{2}\\right)=\\left(\\frac{f(a)}{2}, \\frac{3}{2} f(a)\\right) \\) 이다. 그러므로 비가산집합 \\( (a-\\delta, a+\\delta) \\) 위에서 \\( f(x)>", "0 \\)이다.", "이것은 가정에 모순이다. \\", "( f(a)<0 \\)인 경우도 같은 모순을 얻을 수 있다.", "</p><p>수열에서 유계인 경우와 마찬가지로 함수의 유계에 관하여 다음과 같이 정의한다.", "</p><p>정의 \\( 3.16 \\) 함수 \\( f: X \\rightarrow \\mathbb{R} \\)가 \\( X \\) 위에서 유계(bounded)라 함은 양의 실수 \\( M \\)이 존재하여 모든 \\( x \\in X \\)에 대하여 \\( |f(x)| \\leq M \\)을 만족하는 것 이다.", "만약 모든 \\( x \\in X \\)에 대하여 \\( f(x) \\leq M \\)이면 \\( f \\)는 위로 유계 (bounded above)라 한다.", "같은 방법으로 아래로 유계(bounded below)를 정의할 수 있다.", "</p><p>예제 \\( 2.9 \\) \\( f(x)=\\sin x \\)는 모든 실수 \\( x \\)에 대하여 \\( |f(x)|=|\\sin x| \\leq 1 \\)이므로 실수 위에서 유계이다. \\", "( g(x)=\\frac{1}{x} \\)은 \\( [1, \\infty) \\) 위에서는 유계이지만 \\( (0, \\infty) \\) 위에서는 유계가 아니다. \\", "( h(x)=x^{2} \\)은 모든 구간 \\( (a, b)(a<b) \\) 위에서는 유계이지만 실수 위에서는 유계가 아니다.", "</p><p>정리 \\( 3.17 \\) 함수 \\( f \\)가 \\( a \\)를 포함하는 개구간 \\( I \\)에서 정의되어 있고 \\( a \\)에서 연속이면 \\( (a-\\delta, a+\\delta) \\) 위에서 \\( f \\)가 유계되는 \\( \\delta \\)가 존재한다.", "</p><p>증명 \\( f \\)가 \\( a \\)에서 연속이면 \\[ x \\in I, \\quad|x-a|<\\delta \\Rightarrow|f(x)-f(a)|<1 \\] 되는 \\( \\delta>0 \\)를 잡을 수 있다. \\", "( x \\in(a-\\delta, a+\\delta) \\subset I \\)라 하자. \\", "[ |f(x)|=|f(x)-f(a)+f(a)| \\leq|f(x)-f(a)|+|f(a)|<1+|f(a)| \\] 이므로 \\( f \\)는 \\( (a-\\delta, a+\\delta) \\) 위에서 유계이다.", "■</p><p>정의 \\( 3.18 \\) \\( X \\subset \\mathbb{R}(X \\neq \\varnothing) \\) 이라 하자. \\", "( X \\subset \\bigcup \\mathcal{U} \\) 를 만족하는 개구간의 집합족 \\( \\mathcal{U} \\) 를 \\( X \\) 의 열린덮개(open cover)라 한다. \\", "( \\mathcal{U} \\)의 부분집합족 \\( \\mathcal{V} \\) 가 \\( X \\subset \\bigcup \\mathcal{V} \\) 를 만족하면 \\( \\mathcal{V} \\) 를 \\( \\mathcal{U} \\)의 부분덮개(subcover)라 한다. \\", "( \\mathcal{V} \\)의 원소의 개수가 유한일 때 \\( \\mathcal{V} \\) 를 유한 부분덮개(finite subcover)라 한다.", "</p><p>정리 \\( 3.19 \\) Heine-Borel 정리 유계인 폐구간 \\( [a, b](a<b) \\)의 임의의 개구간의 덮개는 유한 부분덮개를 가진다.", "</p><p>\\( \\mathcal{U} \\)를 \\( [a, b] \\)의 개구간의 덮개라 하고 \\( X \\)는 \\( [a, x] \\)를 \\( \\mathcal{U} \\)의 유한 부분덮개로 덮을 수 있는 \\( (a, b] \\) 내의 점 \\( x \\)의 집합이라 하자.", "즉 \\( X=\\left\\{x \\in(a, b] \\mid[a, x] \\subset \\bigcup_{i=1}^{n} I_{i}, I_{i} \\in \\mathcal{U}\\right\\} \\). \\", "( a \\in \\bigcup \\mathcal{U} \\)이므로, \\( a \\)를 포함하는 한 개구간 \\( I \\in \\mathcal{U} \\)가 있다. \\", "( I=\\left(a_{0}, b_{0}\\right) \\)라 두자. \\", "( a<x_{0}<b_{0} \\)이고 \\( x_{0} \\leq b \\)인 \\( x_{0} \\)를 택하면 \\( \\left[a, x_{0}\\right] \\subset I \\)이므로 \\( x_{0} \\in X \\)이다. \\", "( X \\)는 공집합 아닌 실수의 부분집합으로 상계 \\( b \\)를 가지므로 상한을 가진다. \\", "( \\sup X=c \\)라 하자. \\", "( x \\in X \\)에 대하여 \\( x \\leq b \\)이므로 \\( a<x_{0} \\leq c \\leq b \\)이므로 \\( a<c \\leq b \\)이다.", "덮개 \\( \\mathcal{U} \\)에서 \\( c \\)를 포함하는 개구간 \\( \\left(a_{1}, b_{1}\\right) \\)을 잡으면 \\( a_{1}<c<b_{1} \\)이므로 \\( a_{1} \\)은 \\( X \\)의 상계가 아니다.", "그러면 \\( a_{1}< x \\leq c \\) 되는 \\( x \\in X \\)가 존재하고, \\( \\mathcal{U} \\)에 속하는 유한 개구간 \\( I_{1}, I_{2}, \\cdots, I_{n} \\)을 가져와서 \\( [a, x] \\)를 덮을 수 있다.", "그러므로 \\[ [a, x] \\subset \\bigcup_{i=1}^{n} I_{i} \\text { 이고 }[a, c] \\subset\\left(\\bigcup_{i=1}^{n} I_{i}\\right) \\cup\\left(a_{1}, b_{1}\\right) \\] 이다.", "그래서 \\( c \\in X \\)이다.", "마지막으로 \\( c=b \\)임을 증명하자. \\", "( c<b \\) 라고 가정하면, \\( c \\in X \\)이므로 유한개의 U의 원소 \\( I_{1}, I_{2}, \\cdots, I_{m} \\)에 대해서 \\( [a, c] \\subset \\bigcup_{i=1}^{m} I_{i} \\)이다. \\", "( I_{1}, I_{2}, \\cdots, I_{m} \\) 가운데 \\( c \\)를 포함하는 구간을 \\( \\left(a_{2}, b_{2}\\right) \\)라 하자. \\", "( c<x<b_{2} \\)이며 \\( x<b \\) 되는 점 \\( x \\)를 택하면 \\( [a, x] \\subset \\bigcup_{i=1}^{m} I_{i} \\)이고 \\( x \\in(a, b] \\)이므로 \\( x \\in X \\)이다.", "이것은 \\( c=\\operatorname{lub} X \\)에 모순이다.", "■</p> <p>연습문제 \\( 3.1 \\)</p><p>\\(1\\). \\", "( 0<\\delta<1 \\)에 대하여 다음을 증명하라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( |x-2|<\\delta \\Rightarrow\\left|x^{2}-4\\right|<5 \\delta \\)</li><li>\\( |x-3|<\\delta \\Rightarrow\\left|x^{2}-x-6\\right|<6 \\delta \\)</li><li>\\( |x+1|<\\delta \\Rightarrow\\left|x^{3}+1\\right|<78 \\)</li></ol><p>\\(2\\).", "극한에 대한 \\( \\varepsilon-\\delta \\) 판정법을 이용하여 다음을 증명하라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 2} x^{2}=4 \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 3}\\left(x^{2}-x\\right)=6 \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow-1} x^{3}=-1 \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{1}{x}=\\frac{1}{a}(a \\neq 0) \\)</li></ol><p>\\(3\\).", "다음을 증명하라.", "</p><p>\\(1)\\) \\( \\lim _{x \\rightarrow a} \\sqrt{x}=\\sqrt{a}(a>0) \\)</p><p>\\(2)\\) \\( \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{1}{x}=\\frac{1}{a}(a \\neq 0) \\)</p><p>\\(3)\\) 실수 \\( x \\)에 대하여 \\( [x] \\)는 \\( x \\)를 넘지 않는 최대 정수라 하자. \\", "( n \\)이 자연수이면 \\( \\lim _{x \\rightarrow n-}[x]=n-1, \\lim _{x \\rightarrow n+}[x]=n \\)이다.", "</p><p>\\(4)\\) 함수 \\( f:[0,1] \\rightarrow \\mathrm{R} \\)은 다음과 같이 정의되었다. \\", "[ f(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll} x & (x \\text { 는 유리수 }) \\\\ 0 & (x \\text { 는 무리수 }) \\end{array}\\right. \\] \\", "( \\lim _{x \\rightarrow 0} f(x)=0 \\)임을 증명하고 0 이 아닌 다른 모든 점에서는 극한을 갖지 않음을 증명하라.", "</p><p>\\(4\\).", "다음 극한값을 구하라. \\", "( n, m \\)은 자연수이다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin 2 x}{x} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos x}{x^{2}} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tan x}{x} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin n x}{\\sin m x} \\)</li></ol><p>\\(5\\). \\", "( a \\)는 \\( X \\)의 집적점이고 두 함수 \\( f, g: X \\rightarrow \\mathrm{R} \\)가 모든 \\( x \\in X \\)에 대해서 \\( f(x) \\leq g(x) \\)이라 하자. \\", "( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x) \\)와 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} g(x) \\)가 존재하면 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x) \\leq \\lim _{x \\rightarrow a} g(x) \\) 이다.", "</p><p>\\(6\\).", "함수 \\( f \\)와 \\( g \\)가 \\( a \\)에서는 극한값을 갖지않으나 \\( f+g, f g \\)는 \\( a \\)에서 극한값을 갖는 \\( f \\)와 \\( g \\)를 구하라.", "</p> <p>예제 \\( 1.2 \\) \\( f(x)=2 x \\)라 하자. \\", "( \\lim _{x \\rightarrow 1} 2 x=2 \\)임을 증명하라.", "</p><p>풀이 \\(1\\)이 \\( \\mathrm{R} \\)의 집적점임을 쉽게 알 수 있다. \\( \\varepsilon>", "0 \\)이 주어져 있다고 하자. \\", "( 0<|x-1|<\\delta \\)일 때 \\( |2 x-2|<\\varepsilon \\)을 만족하는 \\( \\delta \\)를 잡을 수 있음을 보여야 한다. \\", "( |2 x-2|=2|x-1| \\)이므로 \\( \\delta=\\frac{\\varepsilon}{2} \\)이라 두면 다음 식이 성립한다. \\", "[0<|x-1|<\\delta \\Rightarrow|2 x-2|=2|x-1|<2 \\delta=2 \\cdot \\frac{\\varepsilon}{2}=\\varepsilon\\]</p><p>예제 \\( 1.3 \\) \\( f(x)=x^{2}+1 \\) 일 때 \\( \\lim _{x \\rightarrow 1} f(x)=2, \\lim _{x \\rightarrow 3} f(x)=10 \\)을 증명하라.", "</p><p>풀이</p><p>\\(1)\\) (\\(1 \\) 이 \\( \\mathrm{R} \\) 의 집적점임을 안다) \\( \\varepsilon>0 \\)이 주어져 있다. \\", "( 0<|x-1|<\\delta \\) 일 때 \\[\\left|x^{2}+1-2\\right|=\\left|x^{2}-1\\right|=|x-1||x+1|<\\varepsilon\\] 을 만족하는 \\( \\delta \\) 를 찾아보자. \\", "( \\delta \\)를 \\(1\\)보다 작은 수로 잡기로 하자. \\", "( |x-1|<1 \\)이면 \\( 0<x<2 \\)이므로 \\( 1<x+1<3 \\)이다. \\", "( \\delta=\\min \\left\\{\\frac{\\varepsilon}{3}, 1\\right\\} \\)이라 두면 다음이 성립한다. \\", "[ |x-1|<\\delta \\Rightarrow|x-1||x+1|<\\delta \\cdot 3 \\leq \\frac{\\varepsilon}{3} \\cdot 3=\\varepsilon \\] 따라서 \\( \\lim _{x \\rightarrow 1}\\left(x^{2}+1\\right)=2 \\) 이다.", "</p><p>\\(2)\\) \\(3\\)이 \\( \\mathrm{R} \\)의 집적점임을 쉽게 알 수 있다. 임의의 \\( \\varepsilon>", "0 \\)에 대해서 \\( 0<|x-3|<\\delta \\) 일 때 \\[\\left|x^{2}+1-10\\right|=\\left|x^{2}-9\\right|=|x-3||x+3|<\\varepsilon\\] 을 만족하는 \\( \\delta \\)를 찾아야 한다. \\", "( |x-3|<1 \\)이면 \\( 2<x<4 \\)이고 \\( 5<x+3<7 \\)이다. \\", "( \\delta=\\min \\left\\{\\frac{\\varepsilon}{7}, 1\\right\\} \\)이라 두면 다음이 성립한다. \\", "[0<|x-3|<\\delta \\Rightarrow|x-3||x+3|<\\delta \\cdot 7 \\leq \\frac{\\varepsilon}{7} \\cdot 7=\\varepsilon\\] 따라서 \\( \\lim _{x \\rightarrow 3}\\left(x^{2}+1\\right)=10 \\) 임이 증명되었다.", "</p><p>위의 두 예제로부터 \\( \\delta \\)는 \\( \\varepsilon \\)과 \\( x \\)가 접근하는 점에 의해 결정되어 짐을 알 수 있다.", "</p><p>다음은 함수의 극한을 수열의 극한으로 바꾸어 생각할 수 있는 정리이다.", "</p><p>정리 \\( 3.4 \\) \\( X \\subset \\mathrm{R} \\)이고 \\( X \\)의 집적점 \\( a \\)와 함수 \\( f: X \\rightarrow \\mathrm{R} \\)에 대해서 다음은 동치이다.", "</p><ol type=i start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=L \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} x_{n}=a \\) 되는 \\( X \\)의 원소의 모든 수열 \\( \\left\\{x_{n}\\right\\} \\)에 대해서 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} f\\left(x_{n}\\right)=L \\)이다.", "</li></ol><p>증명</p><p>i) \\( \\Rightarrow \\) ii) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} x_{n}=a \\)이라 가정하자. 모든 자연수 \\( n \\)에 대해서 \\( x_{n} \\neq a \\)라 하고 \\( \\varepsilon>0 \\)이 주어졌다고 하자. \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=L \\)이므로 \\( \\delta>", "0 \\)가 존재해서 다음을 만족한다. \\", "[x \\in X, \\quad 0<|x-a|<\\delta \\quad \\Rightarrow \\quad|f(x)-L|<\\varepsilon\\] \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} x_{n}=a \\)이므로, 존재하는 \\( \\delta \\)에 대해서, 적당한 자연수 \\( N \\)이 있어서 \\( N \\)보다 큰 모든 자연수 \\( n \\)에 대해서 \\( 0<\\left|x_{n}-a\\right|<\\delta \\)이다. \\", "( n \\geq N \\)이면 \\( 0<\\left|x_{n}-a\\right|<\\delta \\)이므로 \\(\\left|f\\left(x_{n}\\right)-L\\right|<\\varepsilon \\)이다. \\(\\\\\\) ii) \\( \\Rightarrow \\) i) ii)번을 가정하고 i)번이 성립하지 않는다고 하자. 그러면 한 \\( \\varepsilon>0 \\)이 존재해서 모든 \\( \\delta>0 \\)에 대해서 \\( 0<|x-a|<", "\\delta \\)이지만 \\( |f(x)-L| \\geq \\varepsilon \\) 되는 \\( x \\in X \\)가 존재한다.", "모든 자연수 \\( n \\) 에 대해서, \\( \\delta=\\frac{1}{n} \\)이라고 두면, \\( 0<\\left|x_{n}-a\\right|<\\frac{1}{n} \\)이지만 \\(\\quad\\left|f\\left(x_{n}\\right)-L\\right| \\geq \\varepsilon \\) 되는 \\( x_{n} \\in X \\)이 존재한다. \\", "( \\left\\{x_{n}\\right\\} \\)은 \\( X \\)의 원소의 수열이고 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} x_{n}=a \\)이지만 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f\\left(x_{n}\\right) \\neq L \\)이다.", "■</p><p>예제 \\( 1.4 \\) \\( x \\)가 0으로 가까이 갈 때 \\( \\sin \\frac{1}{x} \\)의 극한이 존재하지 않음을 증명하라.", "</p><p>풀이 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\sin \\frac{1}{x} \\)이 존재한다고 가정하자. \\", "( x_{n}=\\frac{1}{n \\pi} \\)이면 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} x_{n}=0 \\)이고 다음이 성립한다. \\", "( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sin \\frac{1}{x_{n}}=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sin n \\pi=0 \\) \\( y_{n}=\\frac{1}{\\frac{\\pi}{2}+2 n \\pi} \\)이면 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} y_{n}=0 \\)이고 다음이 성립한다. \\", "( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sin \\frac{1}{y_{n}}=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sin \\left(\\frac{\\pi}{2}+2 n \\pi\\right)=1 \\) 그러므로 정리 \\( 3.4 \\)에 의하여 \\( 0=1 \\)이 되어야 하므로 모순이다.", "</p><p>다음은 \\(1\\) 장에서 정의하였지만 여기서 한 번 더 언급한다.", "</p> <p>정의 \\( 3.10 \\) \\( X \\subset \\mathbb{R}(X \\neq \\varnothing) \\)이고 \\( f: X \\rightarrow \\mathbb{R} \\)은 함수라 하자.", "<ol type=i start=1><li>임의의 \\( \\varepsilon>0 \\)에 대해서 실수 \\( M>0 \\)이 존재해서 \\[ x>M(x<-M) \\Rightarrow|f(x)-L|<\\varepsilon \\] 이면 \\( x \\)가 \\( \\infty(-\\infty) \\)로 갈 때 \\( f \\)의 극한이 \\( L \\)임을 의미하고 \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} f(x)=L\\left(\\lim _{x \\rightarrow-\\infty} f(x)=L\\right) \\)로 적는다.", "</li><li>임의로 주어진 실수 \\( M>0 \\)에 대해서 실수 \\( \\delta>0 \\)가 존재해서 \\[ 0<|x-a|<\\delta \\Rightarrow f(x)>M(f(x)<-M) \\] 이면 \\( x \\)가 \\( a \\)에 접근할 때 \\( f(x) \\)는 \\( \\infty(-\\infty) \\)로 접근함을 의미하고 \\[ \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=\\infty\\left(\\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=-\\infty\\right) \\] 로 표기한다.", "</li></ol></p><p>예제 \\( 1.7 \\) \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{x}=0 \\) 임을 보여라.", "</p><p>풀이 \\( \\varepsilon>0 \\)이 주어졌다고 하면 \\( \\frac{1}{\\varepsilon}<N \\) 되는 자연수 \\( N \\)이 있다. 이 때 다음 부등식이 성립한다. \\[ x>", "N, \\quad\\left|\\frac{1}{x}-0\\right|=\\left|\\frac{1}{x}\\right|=\\frac{1}{x}<\\frac{1}{N}<\\varepsilon \\] 그러므로 \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{x}=0 \\) 이다.", "</p><p>예제 \\( 1.8 \\) 다음을 증명하라. \\", "[ \\lim _{x \\rightarrow 0+} \\frac{1}{x}=\\infty, \\quad \\lim _{x \\rightarrow 0-} \\frac{1}{x}=-\\infty \\]</p><p>풀이 임의로 주어진 \\( M>0 \\)에 대해서 \\( 0<\\delta<\\frac{1}{M} \\) 되는 실수 \\( \\delta \\)를 잡으면 다음 식이 성립한다. \\", "[ \\begin{aligned} 0<x<\\delta \\Rightarrow & \\frac{1}{x}>\\frac{1}{\\delta}>M \\\\-\\delta<x<0 \\Rightarrow & \\frac{1}{x}<-\\frac{1}{\\delta}<-M \\end{aligned} \\] 따라서 \\(\\lim _{x \\rightarrow 0+} \\frac{1}{x}=\\infty, \\lim _{x \\rightarrow 0-} \\frac{1}{x}=-\\infty \\) 이다.</p> <p>정의 \\", "( 3.8 \\) \\( X \\subset \\mathbb{R}(X \\neq \\varnothing), ~a \\)를 \\( X \\) 의 집적점이라 하고, \\( f \\)를 \\( X \\)에서 \\( \\mathbb{R} \\)로의 함수라 하자. 임의의 \\( \\varepsilon>0 \\)에 대해서 \\( \\delta>0 \\)가 존재하여 아래 식을 만족", "한다고 하자. \\", "[ x \\in X, \\quad 0<a-x<\\delta \\quad \\Rightarrow \\quad|f(x)-L|<\\varepsilon . \\] 이 때 \" \\( L \\)을 \\( a \\)에서 \\( f \\)의 좌극한(left-hand limit)\"이라 하고 \\( \\lim _{x \\rightarrow a-} f(x)=L \\)이라 적는다. 또한 임의의 \\( \\varepsilon>", "0 \\)에 대해서 \\( \\delta \\)가 존재하여 아래 식을 만족한다고 하자. \\", "[ x \\in X, \\quad 0<x-a<\\delta \\quad \\Rightarrow \\quad|f(x)-L|<\\varepsilon \\text {. } \\]", "이 때 “ \\( L \\)을 \\( a \\)에서 \\( f \\)의 우극한(right-hand limit)\"이라 하고 \\( \\lim _{x \\rightarrow a+} f(x)=L \\)이라 표시한다.", "</p><p>예제 \\( 1.6 \\) \\( f: \\mathrm{R} \\rightarrow \\mathrm{R} \\)을 다음과 같이 정의된 함수라 하자. \\", "[ x \\in \\mathbb{R}, \\quad f(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll} \\frac{|x|}{x}, & (x \\neq 0) \\\\ 0, & (x=0) \\end{array}\\right. \\] \\", "( \\lim _{x \\rightarrow 0-} f(x)=-1, \\quad \\lim _{x \\rightarrow 0+} f(x)=1 \\) 임을 보여라.", "</p><p>풀이 임의로 주어진 \\( \\varepsilon>0 \\)에 대해서 \\[ x<0 \\text { 이면 }|f(x)+1|=\\left|\\frac{|x|}{x}+1\\right|=|-1+1|=0<\\varepsilon \\]</p><p>\\( x>0 \\) 이면 \\( |f(x)-1|=\\left|\\frac{|x|}{x}-1\\right|=|1-1|=0<\\varepsilon \\) 이다.", "그러므로 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0-} f(x)=-1, \\lim _{x \\rightarrow 0+} f(x)=1 \\)이다.", "</p><p>극한의 정의로부터 우리는 다음 사실을 쉽게 얻을 수 있다.", "</p><p>정리 \\( 3.9 \\) \\( X \\subset \\mathrm{R}(X \\neq \\varnothing), ~a \\)를 \\( X \\)의 집적점이라 하고, \\( f \\)를 \\( X \\)에서 \\( \\mathbb{R} \\)로의 함수라 하자.", "다음 식이 성립한다. \\", "[ \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=L \\Leftrightarrow \\lim _{x \\rightarrow a-} f(x)=L=\\lim _{x \\rightarrow a+} f(x) \\]</p><p>증명 \\( (\\Rightarrow) \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=L \\)이라 하면, 임의의 \\( \\varepsilon>0 \\)에 대해서, \\( \\delta>0 \\)가 존재해서 \\( 0<|x-a|<\\delta \\)이면 \\( |f(x)-L|<\\varepsilon \\)이다. \\", "( 0<x-a<\\delta \\)이면 \\( 0<|x-a|<\\delta \\)이므로 \\( |f(x)-L|<\\varepsilon \\)이다. 따라서 \\( \\lim _{x \\rightarrow a+} f(x)=L \\)이다. 같은 방법으로 \\( \\lim _{x \\rightarrow a-} f(x)=L \\)이다. \\( (\\Leftarrow) \\) 임의의 \\( \\varepsilon>0 \\)이 주어졌다고 하자. \\( \\lim _{x \\rightarrow a-} f(x)=L \\)이므로 \\( \\delta_{1}>", "0 \\)이 존재해서 다음이 성립한다. \\", "( x \\in X, 0<a-x<\\delta_{1} \\Rightarrow|f(x)-L|<\\varepsilon \\) \\( \\lim _{x \\rightarrow a+} f(x)=L \\)이므로 \\( \\delta_{2}>0 \\)가 존재해서 다음이 성립한다. \\", "( x \\in X, 0<x-a<\\delta_{2} \\Rightarrow|f(x)-L|<\\varepsilon \\) \\( \\delta=\\min \\left\\{\\delta_{1}, \\delta_{2}\\right\\} \\)라 두면, \\( 0<|x-a|<\\delta \\)일 때 \\( 0<a-x<\\delta \\leq \\delta_{1} \\)이고 \\( 0<x-a<\\delta \\leq \\delta_{2} \\)이므로 \\( |f(x)-L|<\\varepsilon \\)이다.", "그러므로 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=L \\)이다.", "■</p><p>이제 함수의 무한 극한에 대해서 생각해 보자.", "</p> <p>연습문제 \\( 3.3 \\)</p><p>\\(1\\).", "함수 \\( \\int(x)=x^{2} \\) 은 \\( (0,1) \\) 위에서 균등연속임을 증명하라.", "</p><p>\\(2\\).", "함수 \\( f(x)=\\sin x \\) 는 \\( (-\\infty, \\infty) \\) 위에서 균등연속임을 증명하라.", "</p><p>\\(3\\).", "함수 \\( f(x)=\\sqrt{x} \\) 는 \\( [0, \\infty) \\) 위에서 균등연속임을 증명하라.", "</p><p>\\(4\\).", "함수 \\( f, g: X \\rightarrow \\mathrm{R} \\) 이 균등연속이면 \\( c f(c \\) 는 상수 \\( ), f+g \\) 도 균등연속임을 증명하라.", "</p><p>\\(5\\). \\", "( f: X \\rightarrow Y, g: Y \\rightarrow \\mathbb{R} \\) 이 균등연속이면 \\( g \\circ f: X \\rightarrow \\mathbb{R} \\) 이 균등연속임을 증명하라.", "여기서 \\( X, Y \\subset \\mathbf{R}, X \\neq \\varnothing, Y \\neq \\varnothing \\) 이다.", "</p><p>\\(6\\).", "코시 수열의 균등연속함수의 값은 코시 수열임을 증명하라.", "</p><p>\\(7\\).", "함수 \\( f: \\mathrm{R} \\rightarrow \\mathrm{R} \\) 이 0 에서 연속이고, 모든 실수 \\( x, y \\) 에 대하여 \\( f(x+y)=f(x)+f(y) \\) 이면 \\( f \\) 는 \\( \\mathrm{R} \\) 위에서 균등연속임을 증명하라.", "</p><p>연습문제 풀이 및 해답</p><p>\\(1\\). \\( a \\in(0,1) \\) 이라 하고 \\( \\varepsilon>", "0 \\) 이 주어졌다고 하자. \\", "( (0,1) \\) 의 모든 점 \\( x \\) 에 대하여 \\( x+a<2 \\) 이다. \\", "( \\delta=\\frac{\\varepsilon}{2} \\) 으로 잡으면 \\[ |x-a|<\\delta \\Rightarrow\\left|x^{2}-a^{2}\\right|=|x-a||x+a|<2 \\delta=\\varepsilon \\] 이므로 \\( f \\) 는 \\( (0,1) \\) 위에서 균등연속이다.", "</p><p>\\(2\\). 연습문제 \\( 3.2 \\) 의 \\(2\\)번 문제의 풀이를 보면 \\( |\\sin x-\\sin a| \\leq|x-a| \\) 이다.</p><p>\\(6\\", "). \\( f: X \\rightarrow \\mathbb{R} \\) 가 \\( X \\) 위에서 균등연속이라 하고 \\( \\left\\{x_{n}\\right\\} \\) 이 \\( X \\) 의 원소의 코시 수열이라 하자. 임의의 \\( \\varepsilon>0 \\) 에 대해서, \\( f \\) 가 \\( X \\) 위에서 균등연속이므로 다음 식을 만족하는 \\( \\delta>0 \\) 가 존재한다. \\", "[ x, y \\in X,|x-y|<\\delta \\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\\varepsilon \\] \\( \\left\\{x_{n}\\right\\} \\) 은 코시 수열이므로 자연수 \\( N \\) 이 존재하여 다음을 만족한다. \\", "[ m, n \\geq N \\Rightarrow\\left|x_{n}-x_{m}\\right|<\\delta \\] 그러면 \\( n, m \\geq N,\\left|f\\left(x_{n}\\right)-f\\left(x_{m}\\right)\\right|<\\varepsilon \\) 이다.", "그러므로 \\( \\left\\{f\\left(x_{n}\\right)\\right\\} \\) 은 코시 수열이다.", "</p> <h1>3.2 함수의 연속과 중간값 정리</h1><p>이 절에서는 함수의 연속에 대해서 연구한다.", "</p><p>정의 \\( 3.11 \\) \\( X \\subset \\mathrm{R}(X \\neq \\varnothing) \\)이고 \\( f: X \\rightarrow \\mathbb{R} \\)은 함수이며 \\( a \\in X \\)는 \\( X \\)의 집적점이라 하자. 임의의 \\( \\varepsilon>0 \\)에 대해서 실수 \\( \\delta>0 \\)가 존재해서 \\[ x \\in", "X, \\quad|x-a|<\\delta \\Rightarrow|f(x)-f(a)|<\\varepsilon \\]을 만족할 때 \\( f \\)는 \\( a \\)에서 연속(continuous)이라고 한다.", "함수 \\( f \\)가 \\( a \\)에서 연속이 아니면 \\( f \\)는 \\( a \\)에서 불연속(discontinuous)이라고 한다.", "</p><p>정의로부터 \\( f \\)가 \\( a \\)에서 연속일 필요충분조건은 다음과 같다.", "</p><ol type=i start=1><li>\\( f \\)가 \\( a \\)에서의 함수 값 \\( f(a) \\)가 정의되고</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x) \\)가 존재하여</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=f(a) \\)이다.", "</li></ol><p>정의 \\( 3.12 \\) 함수 \\( f: X \\rightarrow \\mathrm{R} \\)이 \\( X \\)의 모든 점에서 연속일 때 \\( f \\)는 \\( X \\)에서 연속(continuous on X)이라 한다.", "</p><p>정리 \\( 3.4 \\) 에 의하면 함수의 연속성을 수열로 나타낼 수 있다.", "</p><p>정리 \\( 3.13 \\) 함수 \\( f: X \\rightarrow \\mathbb{R} \\)와 점 \\( a \\in X \\)에 대해서 다음은 동치이다.", "</p><ol type=i start=1><li>\\( f \\)가 \\( a \\)에서 연속이다.", "</li><li>\\( X \\)의 원소의 수열 \\( \\left\\{x_{n}\\right\\} \\)이 \\( a \\)에 수렴하면 \\( \\left\\{f\\left(x_{n}\\right)\\right\\} \\)은 \\( f(a) \\)에 수렴한다.", "</li></ol><p>예제 \\( 2.1 \\) (\\(1999\\).", "임용고사) 연속함수 \\( f:[a, b] \\rightarrow \\mathrm{R} \\)에 대하여 \\[ L-\\frac{1}{n}<f\\left(x_{n}\\right)<L+\\frac{1}{n^{2}}(n=1,2, \\cdots) \\] 을 만족하는 수열 \\( \\left\\{x_{n}\\right\\} \\)이 있다.", "이때 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} x_{n}=c \\) 라고 하면 \\( f(c)=L \\) 임을 보이시오.", "</p><p>풀이 \\( f \\)가 연속이고 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} x_{n}=c \\)이면 정리 \\( 3.13 \\)에 의하여 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} f\\left(x_{n}\\right)=f(c) . \\", "quad L-\\frac{1}{n}<f\\left(x_{n}\\right)<L+\\frac{1}{n^{2}}(n=1,2, \\cdots) \\), \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n}=0=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n^{2}} \\)이므로, 조임정리(정리 \\( 2.9 \\) )에 의하여 다음이 성립한다. \\", "[ L=\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(L-\\frac{1}{n}\\right) \\leq \\lim _{n \\rightarrow \\infty} f\\left(x_{n}\\right) \\leq \\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(L+\\frac{1}{n^{2}}\\right)=L \\] 따라서 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} f\\left(x_{n}\\right)=L \\)이고, 정리 \\( 2.3 \\)에 의하여 \\( f(c)=L \\)이다.", "</p><p>예제 \\( 2.2 \\)</p><ol type=i start=1><li>모든 상수함수는 연속이다.", "</li><li>\\( f(x)=x \\) 는 \\( \\mathbb{R} \\) 위에서 연속이다.", "</li></ol><p>풀이</p><p>\\( f(x)=c \\)라 하자. 임의의 \\( \\varepsilon>", "0 \\)에 대해서 \\( |f(x)-f(a)|=|c-c|<\\varepsilon \\) 이므로 \\(\\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=c=f(a)\\) 이다.", "</p><p>임의의 \\( \\varepsilon>0 \\)에 대해서 \\( \\delta=\\varepsilon \\)으로 두면 \\[ |x-a|<\\delta \\Rightarrow|f(x)-f(a)|=|x-a|<\\delta=\\varepsilon \\] 이므로 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=f(a) \\)이다.", "</p> <p>예제 \\( 2.3 \\) (Dirichlet 함수)</p><p>\\( f: \\mathbb{R} \\rightarrow \\mathbb{R} \\) 는 다음과 같이 정의된 함수이다. \\", "[ f(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll} 1 & (x \\text { 는 유리수 }) \\\\ 0 & (x \\text { 는 무리수 }) \\end{array}\\right. \\]", "이 함수는 모든 점에서 불연속임을 증명하라.", "</p><p>풀이 \\( \\varepsilon=\\frac{1}{2} \\)로 잡고 \\( \\delta>0 \\)를 임의의 실수라 하자. \\", "( a \\)가 유리수이면 \\( a-\\delta<x<a+\\delta \\) 되는 무리수 \\( x \\)가 있고 다음이 성립한다. \\[ |f(x)-f(a)|=|0-1|=1>", "\\frac{1}{2} . \\] \\", "( a \\)가 무리수이면 \\( a-\\delta<x<a+\\delta \\)되는 유리수 \\( x \\)가 있고 다음이 성립한다. \\[ |f(x)-f(a)|=|1-0|=1>", "\\frac{1}{2} . \\]", "따라서 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x) \\)가 존재하지 않는다.", "그러므로 \\( f \\) 는 모든 점에서 불연속이다.", "</p><p>함수가 정의역에서 연속이 되려면 정의역의 모든 점에서 함수 값이 존재하고 그 값이 극한과 같아야 한다.", "다음의 예제는 함수 값이 존재하지 않는 경우를 보여주고 있다.", "</p><p>예제 \\( 2.4 \\) 함수 \\( f \\)와 \\( g \\)가 다음과 같이 정의되었다고 하자. \\", "[ \\begin{array}{l} f: \\mathbb{R} \\backslash\\{0\\} \\rightarrow \\mathbb{R}, \\quad f(x)=\\frac{\\sin x}{x} \\\\ g: \\mathbb{R} \\rightarrow \\mathbb{R}, \\quad g(x)=\\left\\{\\begin{array}{cc} \\frac{\\sin x}{x} & (x \\neq 0) \\\\ 1 & (x=0) \\end{array}\\right. \\end{array} \\]", "<ol type=i start=1><li>\\( f \\)는 0에서 불연속이고 \\( f \\)는 \\( x=a(a \\neq 0) \\)에서 연속임을 보여라.", "</li><li>\\( g \\)는 \\( \\mathbb{R} \\) 위에서 연속임을 보여라.", "</li></ol></p><p>풀이 ⅰ) \\( f(x)=\\frac{\\sin x}{x} \\)는 \\( x \\neq 0 \\)인 모든 실수 위에서 정의된다. \\", "( \\lim _{x \\rightarrow 0} f(x)=\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin x}{x}=1 \\) (예제 \\(1.5\\))이지만 \\( f(0) \\)가 정의되어지지 않으므로 \\( f \\)는 \\( x=0 \\)에서 불연속이다. \\", "( a \\)를 0 아닌 실수라 하자. \\", "( \\lim _{x \\rightarrow a} \\sin x=\\sin a \\) (연습문제 \\( 3.2, 2 \\)번), \\( \\lim _{x \\rightarrow a} x=a \\)이므로 정리 \\( 3.6 \\)에 의하여 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=f(a) \\)이다.", "따라서 \\( f \\)는 \\( a \\)에서 연속이다.", "</p><p>ⅱ) 함수 \\( g \\)에 대해 예제 \\( 1.5 \\)에 의해서 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin x}{x}=1=g(0) \\)이므로 \\( g \\)는 0에서 연속이다.", "ⅰ)에 의하여, \\( g \\)는 \\( \\mathbb{R} \\) 위에서 연속이다.", "</p> <p>Heine-Borel 정리를 사용하면 \\( [a, b](a<b) \\)에서 \\( \\mathrm{R} \\)로의 연속함수는 유계이고 최대값과 최소값을 가짐을 증명할 수 있다.", "</p><p>정리 \\( 3.20 \\) \\( a, b \\)를 \\( a<b \\)인 실수라 하자. \\", "( [a, b] \\) 위에서 연속인 함수 \\( f \\)는 유계이다.", "</p><p>증명 정리 \\(3.17\\)에 의하여 \\( [a, b] \\) 위의 모든 점 \\( x \\)에 대하여 \\( f \\)가 유계인 개구간 또는 반개구간 \\( I_{x} \\) ( \\( a \\) 또는 \\( b \\)에서 반개구간)를 잡자.", "그러면 \\[ [a, b] \\subset \\bigcup\\left\\{I_{x} \\mid x \\in[a, b]\\right\\} \\] Heine-Borel 정리에 의하여 다음이 성립하는 유한개의 부분구간 \\( I_{x_{1}}, I_{x_{2}}, \\cdots, I_{x_{n}} \\) 을 잡을 수 있다. \\", "[ [a, b] \\subset \\bigcup_{i=1}^{n} I_{x_{i}} \\] \\( f \\)는 각 \\( I_{x_{i}} \\) 위에서 유계이므로 \\( \\bigcup_{i=1}^{n} I_{x_{i}} \\) 위에서 유계이다.", "그러므로 \\( f \\) 는 \\( [a, b] \\) 위에서 유계이다.", "■</p><p>정리 \\( 3.21 \\) 최대·최소값 정리(Maximum·minimum Theorem) 유계인 폐구간 위에서 연속함수는 최대값과 최소값을 가진다.", "</p><p>증명 \\( a, b \\)를 \\( a<b \\)인 실수라 하자. \\", "( f:[a, b] \\rightarrow \\mathbb{R} \\)가 연속함수이면 정리 \\( 3.20 \\)에 의해서 \\( f \\)는 유계이므로 \\( \\{f(x) \\mid x \\in[a, b]\\} \\)는 유계이다.", "완비성공리에 의해서 \\( \\{f(x) \\mid x \\in[a, b]\\} \\)의 상한이 존재한다.", "이 상한을 \\( M \\)이라 하자.", "즉 \\[ M=\\operatorname{lub}\\{f(x) \\mid x \\in[a, b]\\} \\] 이제 \\( [a, b] \\)의 한 점 \\( c \\)가 있어서 \\( f(c)=M \\) 임을 보이겠다.", "만약 위의 사실이 성립하지 않는다면 \\( [a, b] \\)의 모든 점에 대해서 \\( f(x)<M \\)이 된다.", "함수 \\( h:[a, b] \\rightarrow \\mathbb{R} \\)를 \\( h(x)=\\frac{1}{M-f(x)} \\)으로 정의하자.", "그러면 \\( h \\)는 \\( [a, b] \\) 위에서 연속이고, 정리 \\( 3.20 \\)에 의해서 \\( h \\)는 \\( [a, b] \\) 위에서 유계이다.", "그러면 \\( K \\)가 존재하여서 모든 \\( x \\in[a, b] \\)에 대해서 \\( \\frac{1}{M-f(x)} \\leq K \\)이다.", "그러므로 \\( [a, b] \\)의 모든 \\( x \\)에 대해서 \\( f(x) \\leq M-\\frac{1}{K} \\)이다. \\", "( M-\\frac{1}{K} \\)은 상한 \\( M \\)보다 작은 상계이므로 \\( M \\)이 상한이라는 사실에 모순이다.", "그러므로 \\( f(c)=M \\)인 \\( c \\in[a, b] \\)가 있다.", "최소값의 존재에서 대해서도 같은 방법으로 증명할 수 있다.", "■</p><p>정리 \\( 3.22 \\) 중간값 정리(Intermediate value theorem) \\( a, b \\)를 \\( a<b \\)인 실수라 하자. \\", "( f:[a, b] \\rightarrow \\mathbb{R} \\)가 연속함수이며 \\( f(a)<f(b) \\)를 만족한다고 하자. \\", "( f(a)<k<f(b) \\)인 \\( k \\)에 대하여 \\( f(c)=k \\) 되는 \\( c \\in(a, b) \\)가 존재한다.", "</p><p>증명 \\(A=\\{x \\in[a, b] \\mid f(x) \\leq k\\} \\) 이면 \\(a \\in A \\) 이므로 \\(A \\neq \\varnothing \\) 이고 \\(A\\) 는 \\(b\\) 에 의해서 위로 유계이다.", "그러므로 \\( A \\)의 상한이 존재한다. \\", "( \\sup A=c \\)라 하자. \\", "( b \\)는 \\( A \\)의 상계이므로 \\( c \\leq b \\)이다.", "모든 자연수 \\( n \\)에 대해서 \\( x_{n} \\in A \\)이 존재해서 다음을 만족한다. \\", "[ c-\\frac{1}{n}<x_{n} \\leq c \\] 그러면 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} x_{n}=c \\)이며 \\( f \\)가 \\( c \\)에서 연속이므로 \\[ f(c)=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} f\\left(x_{n}\\right) \\leq k \\]이다.", "만약 \\( f(c)<k \\) 라 하면, \\( f \\) 가 \\( c \\)에서 연속이므로 \\[ \\varepsilon=\\frac{1}{2}(k-f(c))>0 \\]에 대해서 \\( \\delta>0 \\)가 존재해서 다음을 만족한다. \\", "[ x \\in[a, b],|x-c|<\\delta \\Rightarrow|f(x)-f(c)|<\\varepsilon \\] 즉 \\( f(c)-\\varepsilon<f(x)<f(c)+\\varepsilon \\)이다. \\( f(c)<k \\)이고 \\( c \\neq b \\)이므로 \\( (c, c+\\delta) \\bigcap(c, b]", "\\neq \\varnothing \\)이다. \\", "( x \\in(c, c+\\delta) \\bigcap(c, b] \\)이면 \\[ \\begin{aligned} f(x)<f(c)+\\varepsilon &=f(c)+\\frac{1}{2} k-\\frac{1}{2} f(c)=\\frac{1}{2} k+\\frac{1}{2} f(c) \\\\ & \\leq \\frac{1}{2} k+\\frac{1}{2} k=k \\end{aligned} \\] 그러므로 \\( x \\in A \\)이고 \\( x>c=\\sup A \\)이다.", "이것은 모순이다.", "그러므로 \\( f(c)=k \\)이다.", "■</p> <p>예제 \\( 2.10 \\) \\( n \\)이 짝수일 때 \\( n \\)차 함수 \\( f(x) \\)가 다음과 같이 주어졌다고 하자. \\[ f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\\cdots+a_{1} x+a_{0} \\] 만약 \\( a_{n} a_{0}<0 \\)이면 방정식 \\( f(x)=0 \\)은 적어도 두 개의 실근을 가짐을 증명하라.</p><p>증명 먼저 \\( a_{n}>0, a_{0}<0", "\\)인 경우를 증명한다. \\( a_{n}>0 \\)이므로 \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} f(x)=\\infty \\)이다. 따라서 \\( f(b)>0 \\)인 \\( b>0 \\)가 존재한다. \\", "( f(0)=a_{0} \\)이므로 \\( f(0)<0 \\)이다.", "즉 \\( f(0)<0<f(b) \\)이므로 정리 \\( 3.22 \\)에 의해서 \\( f\\left(c_{1}\\right)=0 \\)되는 \\( c_{1} \\in(0, b) \\)가 존재한다. \\( c_{1} \\in(0, b) \\)가 존재한다. 한편 \\( \\lim _{x>-\\infty} f(x)=\\infty \\)이므로 \\( f(d)>0 \\)인 \\( d<0 \\)가 존재한다.", "즉 \\( f(0)<0<f(d) \\)이므로 정리 \\( 3.22 \\)에 의해서 \\( f\\left(c_{2}\\right)=0 \\)되는 \\( c_{2} \\in(d, 0) \\)가 존재한다. \\( a_{n}\\left\\langle 0, a_{0}>", "0\\right. \\)이면 방정식 \\( -f(x)=0 \\)에 대하여 위의 과정을 반복하면 된다.", "</p><p>연습문제 \\( 3.2 \\)</p><p>\\(1\\).", "함수 \\( f(x)=x^{2}-3 x+2 \\) 가 정의에 의하여 \\( x=4 \\) 에서 연속임을 증명하라.", "</p><p>\\(2\\).", "함수 \\( f(x)=\\sin x \\) 가 정의에 의하여 \\( \\mathrm{R} \\) 위에서 연속임을 증명하라.", "</p><p>\\(3\\).", "함수 \\( f(x)=x-|x| \\) 는 \\( x=0 \\) 에서 연속임을 증명하라.", "</p><p>\\(4\\).", "함수 \\( f(x)=\\sqrt{x} \\) 는 \\( [0, \\infty) \\) 위에서 연속임을 증명하라.", "</p><p>\\(5\\).", "다음 함수들이 연속되는 점들을 구하여 보라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=\\frac{x}{x^{2}-1} \\)</li><li>\\( f(x)=\\frac{1+\\cos x}{3+\\sin x} \\)</li><li>\\( f(x)=\\frac{x-|x|}{x} \\)</li><li>\\( f(x)=\\frac{1}{\\sqrt{2+x}} \\)</li></ol><p>\\(6\\).", "함수 \\( f, g \\) 가 \\( \\mathrm{R} \\) 상에서 연속함수일 때 모든 유리수 \\( x \\) 에 대하여 \\( f(x)=g(x) \\) 이면 \\( f=g \\) 임을 증명하라.", "</p><p>\\(7\\). \\", "( x^{2}+2 x-2=0 \\) 의 근이 \\(0\\) 과 \\(1\\) 사이에있음을 증명하라.", "</p><p>연습문제 풀이 및 해답</p><p>\\(1\\). \\", "( \\lim _{x \\rightarrow 4}\\left(x^{2}-3 x+2\\right)=6=f(4) \\)</p><p>\\(2\\).", "실수 \\( x, y, z \\) 에 대해서 \\( |\\sin z| \\leq|z|,|\\cos z| \\leq 1 \\) 이고 \\( \\sin x-\\sin y=2 \\sin \\left[\\frac{1}{2}(x-y)\\right] \\cos \\left[\\frac{1}{2}(x-y)\\right] \\) 이다. \\", "( a \\in \\mathrm{R} \\) 이면 \\( |\\sin x-\\sin a| \\leq 2\\left|\\frac{1}{2}(x-a)\\right|=|x-a| \\) 이며 \\( \\lim _{x \\rightarrow a}|x-a|=0 \\) 이다.", "그러므로 \\( \\lim \\sin x=\\sin a \\) 이고 \\( f(x)=\\sin x \\) 는 \\( \\mathbb{R} \\) 위에서 연속이다.", "</p><p>\\(3\\). \\( f(0)=0 \\) 이고 \\( f(x)=x-x=0(x>", "0) \\) 이므로 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0+} f(x)=0 \\) 이다. \\", "( f(x)=x-(-x)=2 x(x<0) \\) 이므로 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0-} f(x)=0 \\) 이다.", "따라서 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} f(x)=0 \\) 이다.", "</p><p>\\(4\\).", "연습문제 \\(3.1\\)의 \\(1\\))에 의하여 \\( f(x)=\\sqrt{x} \\) 이면 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=\\lim _{x \\rightarrow a} \\sqrt{x}=\\sqrt{a}=f(a) \\) 이므로 \\( f(x) \\) 는 \\( [0, \\infty) \\) 위에서 연속이다.", "</p><p>\\(5\\).", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( x=\\pm 1 \\) 을 제외한 모든 점에서 연속이다.", "</li><li>\\( \\mathrm{R} \\) 위의 모든 점에서 연속이다.", "</li><li>\\( x=0 \\) 을 제외한 모든 점에서 연속이다.", "</li><li>\\( x>-2 \\) 되는 모든 점에서 연속이다.", "</li></ol>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "해석학_함수의 극한과 연속성", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-9384-48d5-bd78-2d39c46474a7", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961050036", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2007", "doc_author": [ "조영수", "강주호", "박동완" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>4.1 벡터공간과 바탕</h1><h2>벡터공간</h2><p>앞에서 공간 \\( R^{n} \\)의 기본 성질을 언급하였다.", "이 절에서는 벡터공간의 개념을 일반화하기 위하여 추상적인 벡터공간들을 정의하기로 한다.", "벡터와 벡터공간에 대한 이러한 추상화는 현대수학의 특징이다.", "</p><p>정의 벡터공간</p><p>벡터 \\( a, b, c \\in V \\), 스칼라 \\( \\alpha, \\beta \\in F \\) 에 대하여, 다음을 만족하는 집합 \\( V \\) 를 (스칼라체 \\( F \\) 상의) 벡터공간 Vector Space 이라 한다.", "</p><p>\\((1)\\)\\( a+b \\in V \\)</p><p>\\( a+(b+c)=(a+b)+c \\) \\( a+\\overrightarrow{0}=a \\) \\( a+(-a)=\\overrightarrow{0} \\)</p><p>\\((2)\\) \\( \\alpha a \\in V \\)</p><p>\\( (\\alpha+\\beta) a=\\alpha a+\\beta b \\) \\( (\\alpha \\beta) a=\\alpha(\\beta a) \\) \\( \\alpha(a+b)=\\alpha a+\\alpha b \\) \\( \\alpha \\overrightarrow{0}=\\overrightarrow{0} \\)</p><p>간단히 진술하면</p><p>\\( v_{1}, v_{2} \\in V, \\alpha, \\beta \\in R \\)에 대하여 \\( \\alpha v_{1}+\\beta v_{2} \\in V \\) 일 때 \\( V \\)는 \\( R \\) 상의 벡터공간임을 알 수 있다.", "</p><p>이를테면, \\( R^{2}, R^{3} \\)은 (실수 체 a field상의) 벡터공간이다.", "이 책에서는 특별한 언급이 없는 경우 스칼라를 실수로 하는 \\( R \\) 상의 벡터공간을 다루기로 하는데 (실)벡터공간이라 한다.", "단, 스칼라를 복소수로 확장하는 것이 필요한 경우 \\( C \\) 상의 벡터공간을 다루게 되는데 복소벡터공간이라 한다.", "</p><p>예제 \\( R^{n}, C \\)는 대표적 벡터공간이다.", "</p><p>현대 수학에서는 추상적인 벡터공간을 도입하게 된다.", "이를테면, 함수공간, 행렬공간, 수열공간 등 수많은 벡터공간을 도입하게 되는데, 이를테면 함수공간에서의 하나의 함수는 그 그래프가 아닌 하나의 벡터원소로 보는 것이다.", "</p><p>예제 행렬공간 \\( M_{m \\times n} \\) 연속함수 공간 \\( C[a, b] \\), \\( n \\) 차다항식 공간 \\( P_{n} \\)</p><p>우리는 주로 평면, 공간의 벡터를 다루게 되므로 벡터공간 \\( R^{2}, R^{3} \\)를 생각하기로 한다.", "벡터공간과 그 부분공간의 구조를 이해하기 위하여 벡터공간의 바탕(또는 기저) a basis 을 도입하기로 한다.", "우선, 생성 span의 개념과 일차독립 linearly independent의 개념을 필요로 한다.", "</p><p>정의 일차결합</p><p>\\(3\\)개의 공간벡터 \\( v_{1}, v_{2}, v_{3} \\in R^{3} \\)가 주어지고 \\( c_{i} \\)가 스칼라일 때</p><p>\\( c_{1} v_{1}+c_{2} v_{2}+c_{3} v_{3} \\)</p><p>형태를 \\( v_{1}, v_{2}, v_{3} \\)의 일차결합 a linear combination 이라고 한다.", "</p> <p>예제 행렬 \\( A \\in M_{m, n} \\)에 대하여 (동차)연립일차방정식 \\( A X=O \\)의 벡터해의 집합</p><p>\\( W=\\left\\{X \\in R^{n} \\mid A X=O\\right\\} \\)</p><p>은 \\( R^{n} \\)의 부분공간이다.", "</p><p>정의 \\( A \\in M_{m \\times n} \\)일 때 Null \\( A=\\left\\{X \\in R^{n} \\mid A X=O\\right\\} \\)는 벡터공간을 \\( A \\) 의 영공간 null space 이라 하고, 기호로 Null A.</p><h2>집합의 연산과 부분공간</h2><p>정의 \\( S=\\left\\{v_{1}, v_{2}, \\cdots, v_{k}\\right\\} \\subseteq V \\)에 대하여</p><p>\\( W=\\left\\{c_{1} v_{1}+c_{2} v_{2}+\\cdots+c_{k} v_{k} \\mid c_{1}, c_{2}, \\cdots, c_{k} \\in R\\right\\} \\)</p><p>기호로 \\( W=\\operatorname{span}(S) \\), 또는 간단히 \\( W=\\langle S\\rangle \\)</p><p>정리 벡터공간 \\( V \\) 의 부분공간 \\( W_{1}, W_{2} \\subseteq V \\)에 대하여 집합 연산</p><ol type=1 start=1><li>\\( W_{1}+W_{2} \\)</li><li>\\( W_{1} \\cap W_{2} \\)</li></ol><p>은 벡터공간 \\( V \\)의 부분공간이 된다.", "</p><p>연습문제 \\( 4.3 \\)</p><p>\\(1.\\) 다음은 벡터공간임을 보여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>집합 \\( L_{0}=\\left\\{(x, y) \\equiv R^{2} \\mid x-y=0\\right\\} \\).", "</li><li>\\( m \\times n \\) 행렬의 집합 \\( M_{m, n} \\)</li><li>\\( C=\\{f \\mid f: R \\rightarrow R \\) 연속함수 \\( \\} \\)</li><li>\\( n \\)차 다항식의 집합 \\( P_{n} \\)</li></ol><p>\\(2.\\) 다음 곡선 위의 점의 집합 \\( R^{2} \\)의 부분공간인지 \\( O, X \\)로 답하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>기울기가 \\(3\\)이고 원점을 지나는 직선</li><li>기울기가 \\(3\\)이고 점 \\( (1,1) \\) 을 지나는 직선</li><li>포물선 \\( y=x^{2} \\)</li><li>단위원 \\( x^{2}+y^{2}=1 \\)</li></ol><p>\\(3.\\) 다음 중 \\( R^{n} \\)의 부분공간인 것은?", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( U=\\left\\{X \\in R^{n} \\mid x_{1}=\\cdots=x_{n}\\right\\} \\)</li><li>\\( U=\\left\\{X \\in R^{n} \\mid x_{1}^{2}=x_{2}^{2}\\right\\} \\)</li><li>\\( U=\\left\\{X \\in R^{n} \\mid x_{1}=1\\right\\} \\)</li></ol><p>\\(4.\\) 다음은 각각 \\( P_{2} \\)의 부분공간인지 \\( O, X \\)로 답하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( W_{1}=\\left\\{a_{0}+a_{2} t^{2} \\mid a_{0}, a_{2} \\in R\\right\\} \\)</li><li>\\( W_{2}=\\left\\{a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2} \\mid a_{0}+a_{1}+a_{2}=3, a_{0}, a_{1}, a_{2} \\in R\\right\\} \\)</li></ol><p>\\(5.\\) 다음 집합은 각각 \\( M_{3,2} \\)의 부분공간인지 \\( O, X \\)로 답하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( W_{1}=\\left\\{\\left(\\begin{array}{ll}a & b \\\\ c & d \\\\ e & f\\end{array}\\right) \\mid a=2 b+1, \\quad a, b, c, d, e, f \\in R\\right\\} \\)</li><li>\\( W_{2}=\\left\\{\\left(\\begin{array}{ll}a & 0 \\\\ c & d \\\\ 1 & f\\end{array}\\right) \\mid a, c, d, f \\in R\\right\\} \\)</li></ol><p>\\(6.\\) \\( M_{n} \\)의 다음 조건으로 구성된 부분집합은 각각 \\( M_{n} \\)의 부분공간인지 \\( O, X \\)로 표시하여라.", "</p><p>\\(7.\\) 다음 부분공간 \\( W \\subseteq R^{3} \\)의 차원을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( W=\\{(x, y, z) \\mid \\quad x+y+z=0\\} \\)</li><li>\\( W=\\{(x, y, z) \\mid x=2 t, y=t, z=3 t\\} \\)</li></ol><p>\\(8.\\) 다음에 답하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( M_{n} \\) 의 기저의 개수</li><li>그 부분공간인 대칭행렬 \\( S_{n}\\left(\\subseteq M_{n}\\right) \\) 기저의 개수는 \\( \\frac{n(n+1)}{2} \\) 임을 보여라.", "</li></ol><p>\\(9.\\) 부분공간 \\( W_{1}, W_{2} \\subseteq V \\)에 대하여 다음은 \\( V \\)의 부분공간임을 보여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( W_{1} \\cap W_{2} \\)</li><li>\\( W_{1}+W_{2} \\) 단, \\( W_{1}+W_{2}=\\left\\{w_{1}+w_{2} \\mid w_{1} \\in W_{1}, w_{2} \\in W_{2}\\right\\} \\)</li></ol> <h1>4.3 부분공간</h1><p>벡터공간 안에도 다시 벡터공간들을 생각할 수 있는 데, 이것을 각각에 대한 부분공간 sub-space 이라 한다.", "부분공간은 벡터공간의 기본적 속성만을 정의하면 충분하다.", "</p><p>정의 벡터공간 \\( V \\) 의 부분집합 \\( W \\subseteq V \\)</p><ol type=1 start=1><li>\\( w_{1}, w_{2} \\equiv W \\) 일 때 \\( w_{1}+w_{2} \\in W \\)</li><li>\\( \\alpha \\in R, w \\in W \\) 일 때 \\( \\alpha w \\in W \\)</li></ol><p>를 만족하면 \\( W \\) 는 \\( V \\)의 부분공간 a sub-space이라 한다.", "</p><p>그런데 \\((1)\\), \\((2)\\)를 포함하여 진술하면</p><p>\\( w_{1}, w_{2} \\models W: \\alpha, \\beta \\in R \\) 에 대하여 \\( \\alpha w_{1}+\\beta w_{2} \\in W \\)</p><p>로, 이것은 벡터공간의 공리를 간단히 진술한 것으로 부분집합 W가 독자적으로 벡터공간의 구조를 가진다는 뜻이다.", "</p><p>예제 \\( L_{0}=\\{ \\) 원점을 지나는 직선상의 점집합 \\( \\} \\) \\( L_{1}=\\{ \\) 원점을 지나지 않는 직선상의 점집합 \\( \\} \\) 가 \\( R^{2} \\)의 부분공간인지 알아보자.", "</p><p>풀이 \\[ L_{0}, L_{1} \\subseteq R^{2} . \\]", "한편 벡터의 합성을 그림으로 생각하면</p><p>\\( w_{1}, w_{2} \\in L_{0}: \\alpha, \\beta \\in R \\) 에 대하여 \\( \\alpha w_{1}+\\beta w_{2} \\in L_{0} \\)</p><p>임을 알 수 있다.", "따라서 \\( L_{0} \\) 는 부분공간이다.", "그러나 \\( L_{1} \\) 은 부분공간이 아니다.", "<caption>(6)</caption>특히 \\( O \\nsubseteq L_{1} \\).", "</p><p>\\( \\{O\\} \\) 은 벡터공간임이 자명하다.", "이것을 영벡터 공간이라 한다. \\", "( R^{2} \\) 에는 \\( \\{O\\}, L_{0} \\) 와 같이 원점 지나는 직선들, \\( R^{2} \\) 자신은 모두 \\( R^{2} \\)의 부분공간으로 볼 수 있다.", "다음 예들은 간단하므로 연습으로 남기기로 한다.", "</p><p>예제 \\( S=\\left\\{v_{1}, v_{2}, \\cdots, v_{k}\\right\\} \\subseteq V \\)에 대하여</p><p>\\( C=\\left\\{c_{1} v_{1}+c_{2} v_{2}+\\cdots+c_{k} v_{k} \\mid c_{1}, c_{2}, \\cdots, c_{k} \\in R\\right\\} \\)</p><p>는 벡터공간 \\( V \\)의 부분공간임을 알 수 있다.", "<caption>\\(7) \\)</caption></p><p>예제 \\( n \\)차 다항식의 집합 \\( P_{n} \\)는 연속함수의 공간 \\( C(R) \\)의 부분공간이다.", "</p><p>예제 \\( 2 \\times 2 \\) 정사각행렬의 공간 \\( M_{2} \\)에 대하여</p><ol type=1 start=1><li>대칭행렬의 집합</li><li>대각행렬의 집합</li><li>상(하)삼각행렬의 집합</li></ol><p>은 각각 부분공간이다.", "</p> <p>예제 앞의 예제의 행렬 \\( A=\\left(\\begin{array}{rrrrr}1 & 2 & 1 & 3 & 2 \\\\ 3 & 4 & 9 & 0 & 7 \\\\ 2 & 3 & 5 & 1 & 8 \\\\ 2 & 2 & 8 & -3 & 5\\end{array}\\right) \\)에 대한 영공간의 차원</p><p>풀이 \\[ n u l l i t y(A)=5-\\operatorname{rank}(A)=5-3(=2) \\]</p><p>비동차 연립방정식 \\( A X=B \\)가 해를 가질 필요충분 조건은 다음과 같다.", "</p><p>정리 비동차연립방정식 \\( A X=B \\) 가 해를 가질 필요충분조건은</p><p>\\( \\operatorname{rank}(A)=\\operatorname{rank}[A \\mid B] \\)</p><p>예제 앞의 예제의 행렬 \\( A=\\left(\\begin{array}{rrrrr}1 & 2 & 1 & 3 & 2 \\\\ 3 & 4 & 9 & 0 & 7 \\\\ 2 & 3 & 5 & 1 & 8 \\\\ 2 & 2 & 8 & -3 & 5\\end{array}\\right) \\)에 대한 영공간의 차원</p><p>풀이 \\[ n u l l i t y(A)=5-\\operatorname{rank}(A)=5-3(=2) \\]</p><p>비동차 연립방정식 \\( A X=B \\)가 해를 가질 필요충분 조건은 다음과 같다.", "</p><p>증명 \\( \\quad A X=B \\) 를 좌표성분으로 써보면,</p><p>\\( x_{1}\\left(\\begin{array}{c}a_{11} \\\\ a_{21} \\\\ \\vdots \\\\ a_{m 1}\\end{array}\\right)+x_{2}\\left(\\begin{array}{c}a_{12} \\\\ a_{22} \\\\ \\vdots \\\\ a_{m 2}\\end{array}\\right)+\\cdots+x_{n}\\left(\\begin{array}{c}a_{1 n} \\\\ a_{2 n} \\\\ \\vdots \\\\ a_{m n}\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c}b_{1} \\\\ b_{2} \\\\ \\vdots \\\\ b_{m}\\end{array}\\right) \\)</p><p>즉 \\( B \\in \\operatorname{Col}(A) \\)이므로 결과를 얻는다.", "</p><p>정사각행렬 \\( A \\in M_{n} \\) 일 때 일차 연립방정식 단원에서 정리한 \\((4) (7)\\)에 이어, \\((1) (3)\\)을 추가하여 다음은 모두 동치이다.", "</p><p>정리 정사각행렬 \\( A \\in M_{n} \\) 일 때 \\((1) (7)\\)은 동치.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\operatorname{rank}(A)=n \\)</li><li><\\( n u l l i t y(A)=0 \\)/li><li>\\( A \\)의 모든 행(열)벡터는 일차독립이다.", "</li><li>\\( A X=O \\) 는 자명한 해 \\( X=O \\)만 갖는다.", "</li><li>\\( A X=B \\) 는 유일한 해를 갖는다.", "</li><li>\\( |A| \\neq 0 \\)</li><li>\\( A \\sim I_{n} \\)</li></ol><p>연습문제 \\( 4.5 \\)</p><p>\\(1.\\) \\( R^{2} \\)의 부분공간은 \\( \\{O\\}, R^{2} \\), 원점을 지나는 직선 이외에는 존재하지 않음을 차원\\( (\\operatorname{dim}) \\)을 이용하여 보여라.", "</p><p>\\(2.\\) 행렬 \\( A=\\left(\\begin{array}{rrrr}1 & -1 & 1 & 2 \\\\ 1 & -2 & 0 & -1 \\\\ -2 & 3 & -1 & 0\\end{array}\\right) \\)에 대하여 다음을 각각 구하라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\operatorname{rank} \\) \\( (A) \\)</li><li>nullity \\( (A) \\)</li></ol><p>답 \\((1)\\) \\(3\\), \\((2)\\) \\(1\\)</p> <h1>4.5 영공간의 차원과 행렬 계수 rank</h1><p>앞에서 행렬에 대하여 하나의 실수 값을 주는 방법으로 '행렬식' determinant 을 배웠다.", "여기서는 행렬에 대하여 '계수' rank라는 값을 정의할 수 있음을 배우고, 연립일차방정식 \\( A X=O \\)의 공간의 차원을 계수 행렬 \\( A \\) 의 계수 rank로부터 알 수 있음을 체계적으로 정리하기로 한다.", "우선 간단한 정의와 기호를 소개하기로 한다.", "여기서는 다음과 같은 기호를 사용하기로 한다.", "</p><p>정의 행렬 \\( A \\) 의 행벡터들이 생성하는 벡터공간을 행공간, 기호로 Row \\( (A) \\), 그리고 \\( \\mathrm{dim} \\) \\( \\operatorname{Row}(A) \\)을 행계수라 하고, 기호로 \\( r(A) \\).", "마찬가지로 행렬 \\( A \\) 의 열 벡터들이 생성하 는 벡터공간을 열공간, 기호로 \\( \\operatorname{Col}(A) \\), 그리고 \\( \\operatorname{dim} \\operatorname{Col}(A) \\) 을 열계수라 하고, 기호 로 \\( c(A) \\)</p><p>다음 도움 정리의 논증은 \\(5\\)장의 선형 사상을 이용하여 하기로 한다.", "우선 예제를 통하여 다음을 확인하기로 한다.", "</p><p>도움 정리 행렬 \\( A \\) 의 행계수 \\( r(A) \\)와 열계수 \\( c(A) \\)는 같다.", "</p><p>예제 \\( A=\\left(\\begin{array}{rrrrr}1 & 2 & 1 & 3 & 2 \\\\ 3 & 4 & 9 & 0 & 7 \\\\ 2 & 3 & 5 & 1 & 8 \\\\ 2 & 2 & 8 & -3 & 5\\end{array}\\right) \\) 에 대하여 다음을 알아보자.", "</p><ol type=1 start=1><li>행공간의 기저와 차원</li><li>열공간의 기저와 차원</li></ol><p>풀이 \\( A \\) 의 열공간은 \\( A^{T}=\\left(\\begin{array}{rrrr}1 & 3 & 2 & 2 \\\\ 2 & 4 & 3 & 2 \\\\ 1 & 9 & 5 & 8 \\\\ 3 & 0 & 1 & -3 \\\\ 2 & 7 & 8 & 5\\end{array}\\right) \\) 의 행공간과 같으므로 \\( A^{T} \\) 의 RREF \\( B=\\left(\\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\end{array}\\right) \\) 의 행공간과 같다.", "그러므로 \\( S=\\left\\{\\left[\\begin{array}{r}1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -1\\end{array}\\right],\\left[\\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 1\\end{array}\\right],\\left[\\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0\\end{array}\\right]\\right\\} \\) 가 열공간의 기저입을 알 수 있다.", "따라서</p><p>\\( r(A)=c(A)=3 \\)</p><p>예에서 보듯이 다음과 같이 행렬에 대하여 계수 rank라는 것을 정의할 수 있다.", "</p><p>정의 행계수와 열계수는 같게 되어, 즉 \\( r(A)=c(A) \\), 이 값을 행렬 \\( A \\)의 계수라 하고, 기호로 \\( \\operatorname{rank}(A) \\) 로 쓴다.", "</p><p>이제 앞 절의 결과를 다음과 같이 형식화하여 나타낼 수 있다.", "</p><p>Main 정리 \\[ A \\in M_{m, n} \\text { 일 때 } \\]</p><p>\\( \\operatorname{rank}(A)+n u l l i t y(A)=n \\)</p><p>증명 \\( A \\in M_{m, n} \\)일 때, 앞 절 그림 해설을 보면 \\( A X=O \\)의 \\( A \\)의 \\( R R E F \\) 형태 \\( B \\)가 \\( r \\) 개의 \\( O \\)이 아닌 행을 가질 때 \\( A \\)의 영공간의 차원은 \\( n-r \\)임을 알았다.", "여기서 \\( A \\)의 계수 \\( r \\)이므로 영공간의 차원</p><p>\\( n u \\operatorname{lity}(A)=n-\\operatorname{rank}(A) \\)</p><p>이제 우리는 계수 행렬의 계수를 구하면, 연립방정식의 영공간의 차원을 알 수 있는 것이다.", "</p>" ]

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[ "<h1>4.1 도입 및 정의</h1><p>갱신과정에 대한 정의를 하기 전에 먼저 다음 예를 생각하자.", "</p><p>예제 \\( 4.1 \\)</p><p>어떤 건물의 안전요원은 매 시간마다 비상구 표시등이 제대로 켜져 있는지 점검하고 표시등이 작동하지 않으면 즉시 새로운 전구로 교체한다고 하자.", "전구를 교체할 때 처음 설치한 전구와 같은 종류의 전구로 교체하면 교체되는 전구 수명은 서로 독립이며 같은 분포를 따른다.", "이때 안전요원이 새로운 전구로 교체하는 사건을 \\( A \\)라 하면 \\( A \\)가 발생하는 시간 간격은 서로 독립이며 같은 분포를 따른다.", "</p><p>예제 \\(4.2\\)</p><p>동전을 던져서 앞면이 나오면 \\(1\\)단위의 돈을 따고 뒷면이 나오면 \\(1\\)단위의 돈을 잃게 되는 게임을 생각하자. \\", "( Z_{n} \\)을 \\( n \\)번째 게임이 끝난 후 딴 돈의 액수( \\( n \\)번의 게임에서 앞면 이 나온 횟수에서 뒷면이 나온 횟수를 뺀 값라 하자.", "이 게임에서 본전이 되는 사건을 \\( B \\)라 하자.", "즉 \\( n \\)번째 시행에서 사건 \\( B \\)가 발생하였다면 \\( Z_{n}=0 \\)이다.", "이때 \\( n \\)번째 시행 이후에 진행되는 게임은 처음부터 다시 새롭게 시작하는 것과 같게 된다.", "사건 \\( B \\) 가 \\( (k-1) \\)번째 발생한 후 다시 한 번 더 발생할 때까지 시행한 횟수를 \\( X_{k} \\)라 하면 \\( X_{1} \\), \\( X_{2}, \\cdots \\)는 서로 독립이며 같은 분포를 따른다.", "</p><p>예제 \\(4.3\\)</p><p>어느 제과회사에서는 과자봉지 속에 \\( N \\)종류의 쿠폰 중 한 가지씩 넣어서 판매한다.", "각 과자봉지 속에 특정한 쿠폰이 들어 있을 확률은 동일하다.", "처음에 한 종류의 쿠폰을 가지고 있다고 하자.", "새로운 과자를 샀을 때 과자봉지 속에 들어 있는 쿠폰이 이미 가지고 있는 쿠폰과 같은 종류 중 하나일 때 사건 \\( C \\)가 발생하였다고 하자.", "즉 현재 세 종류의 쿠폰을 가지고 있다고 할 때 새로 산 과자봉지 속에 있는 쿠폰이 세 가지 중 하나이면 사건 \\( C \\)가 발생한 것이고, 세 종류와 다른 종류의 쿠폰이 들어 있으면 사건\\( C \\)가 발생하지 않은 것이다.", "이때 \\( S_{n} \\)을 사건 \\( C \\)가 \\( n \\)번 발생할 때까지 새로 구내한 과자 수(과자봉지 수)라 하고 \\( X_{n}=S_{n}-S_{n-1}\\left(n=1,2, \\cdots, S_{0}=0\\right) \\)이라 하자. \\", "( X_{n} \\)은 이미 가지고 있는 것과 같은 종류의 쿠폰이 나올 때까지 수집한 서로 다른 종류의 쿠폰 수이므로 \\( X_{n} \\)이 클수록 \\( X_{n+1} \\)은 작아질 것이다.", "따라서 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots \\)는 서로 독립이 아니며 같은 분포를 따르지 않는다.", "</p><p>위의 예제 \\( 4.1 \\)의 사건 \\( A \\)와 예제 \\( 4.2 \\)의 사건 \\( B \\)와 같이 같이 서로 독립이며 동일한 확률분포를 따라서 반복적으로 발생하는 사건을 갱신(renewal)이라고 한다.", "갱신(更新)에서 更은 '다시'라는 뜻이고 新은 '새롭다'는 뜻이다.", "갱신은 사건이 한 번 발생하면 그 순간이 서로 독립이 아니므로 갱신이 아니다.", "일반적으로 일정기간 동안 갱신이 발생하는 횟수로 이루어지는 확률과정을 갱신과정(renewal process)이라고 한다.", "</p><p>이제 \\( (n-1) \\)번째와 \\( n \\)번째 갱신이 발생하는 시간 간격을 \\( X_{n}(n=1,2, \\cdots) \\)이라 하고 \\( n \\)번째 갱신이 발생한 시각을 \\( S_{n} \\)이라 하자.", "즉 \\[S_{n}=X_{1}+\\cdots+X_{n}, \\quad n=1,2, \\cdots\\]</p><p>그러면 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots \\)는 서로 독립이며 같은 분포를 따르는 확률변수열이다.", "이 장에서는 특별한 언급이 없는 한 \\( X_{n} \\)은 양의 정수값을 갖는 확률변수로 가정한다.", "즉 \\[ \\sum_{k}^{\\infty} P\\left(X_{n}=k\\right)=1\\]</p><p>시각 \\( k \\)까지 또는 \\( k \\)번의 시행에서 발생한 갱신 수를 \\( N_{k} \\)라고 하면 \\( N_{k} \\)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.", "</p><p>\\( N_{k}=\\sup \\left\\{n: S_{n} \\leq k\\right\\} \\)</p><p>예를 들어 만약 \\( S_{3} \\leq k \\)이고 \\( S_{4}>k \\)이면 세 번째 갱신은 \\( k \\) 또는 그 이전에 발생하고 네 번째 갱신은 \\( k \\) 이후에 발생하게 된다.", "따라서 시각 \\( k \\)까지 발생한 갱신 는 \\( N_{k}=3 \\)이다.", "</p><p>확률과정 \\( S=\\left\\{S_{n}, n=0,1,2, \\cdots\\right\\} \\)를 갱신시각의 열 또는 간단히 갱신열(renewal sequence)이라 하고 \\( N=\\left\\{N_{k}, k=0,1,2, \\cdots\\right\\} \\)를 갱신간격이 \\( \\left\\{X_{n}\\right\\} \\)인 갱신과정 또는 \\( \\left\\{X_{n}\\right\\} \\)에 의하여 생성되는 갱신과정이라고 한다.", "</p><p>앞으로 특별한 언급이 없는한 갱신간격의 분포와 기댓값을 각각 \\[\\begin{array}{l} f_{k}=P\\left(X_{n}=k\\right), \\quad k=1,2, \\cdots \\\\ \\mu=E\\left[X_{n}\\right]=\\sum_{k=1}^{\\infty} k f_{k}\\end{array}\\]로 나타내고 \\( S_{0}=0 \\)으로 둔다.", "</p><p>예제 \\( 4.4 \\)</p><p>성공할 확률이 \\( p \\)인 베르누이시행을 반복할 때 \\( n \\)번째 성공이 일어날 때까지 시행한 횟 수를 \\( S_{n} \\)이라 하면 \\( X_{n}=S_{n}-S_{n-1}, n=1,2, \\cdots \\)은 서로 독립이며 각각은 모수가 \\( p \\)인 기하분포를 따른다.", "즉 \\( f_{k}=p(1-p)^{k-1}(k=1,2, \\cdots) \\)이다.", "따라서 \\( k \\) 번의 시행에서 성공 횟수를 \\( N_{k} \\)라 할 때, 확률과정 \\( \\left\\{N_{k}, k=0,1,2, \\cdots\\right\\} \\)는 갱신간격의 분포가 \\( \\left\\{f_{k}, k=1,2, \\cdots\\right\\} \\)인 갱신과정이다.", "</p><p>예제 \\(4.5\\)</p><p>예제 \\(4.2\\)에서 갱신간격의 분포는 따름정리 \\( 3.13 \\)에 의하여 \\( f_{2 k+1}=0 \\), \\[ f_{2 k}=\\frac{1}{2 k-1}\\left(\\begin{array}{c}2 k \\\\k\\end{array}\\right) 2^{2 k}, \\quad k=1,2, \\cdots\\]이고 따름정리 \\(3.14\\)로부터 \\( \\mu=E\\left[X_{n}\\right]=\\infty \\)임을 알 수 있다.", "</p> <p>예제 \\(4.11\\)</p><p>앞면이 나올 확률이 \\( p(0<p<1) \\)인 동전을 던지는 실험에서 \\( Z_{n} \\)을 \\( n \\)번째 시행에서 얻어지는 앞면의 연(run)의 길이(연속해서 앞면이 나오는 횟수)라 하고 \\( S_{n} \\)을 \\( n \\)번째 뒷면이 나올 때까지 시행한 횟수라 하자.", "다음 표는 \\( Z_{n} \\)과 \\( S_{n} \\)의 예이다.", "단 \\( H \\)는 앞면, \\( T \\)는 뒷면을 나타낸다.", "</p><p>그러면 \\( \\left\\{Z_{n}\\right\\} \\)은 재생성시각의 열이 \\( \\left\\{S_{n}\\right\\} \\)인 재생성과정이고 사이클 길이 \\( X_{n}=S_{n}-S_{n-1} \\)은 모수가 \\( q=1-p \\)인 기하분포를 따른다.", "</p><p>예제 \\(4.12\\) 교대갱신과정</p><p>한 대의 기계로 제품을 생산하는 공장을 생각하자.", "이 기계는 처음에는 작동상태에 있으며 고장이 나면 수리를 한다. \\", "( n \\)번째 작동을 시작헸을 때 고장 없이 작동하는 기간을 \\( U_{n} \\)이라 하고 고장이 났을 때 수리하는 데 걸리는 시간을 \\( V_{n} \\)이라 하자. \\", "( U_{n} \\)과 \\( V_{n} \\)은 양의 정수값을 갖는 확률변수로서 \\( U_{n} \\)은 서로 독립이며 같은 분포를 따르고 \\( V_{n} \\)도 서로 독립이며 같은 분포를 따른다. \\", "( S_{n}=\\sum_{k=1}^{n}\\left(U_{n}+V_{n}\\right)(n=1,2, \\cdots \\), \\( \\left.S_{0}=0\\right) \\)이라 하고 \\( Z_{k} \\) 를 다음과 같이 정의하자.", "</p><p>\\( Z_{k}=\\left\\{\\begin{array}{ll}1, & \\text { 시각 } k \\text {에 기계가 작동 중 } \\\\ 0, & \\text { 시각 } k \\text {에 기계가 수리 중 }\\end{array}\\right. \\)", "</p><p>그러면 \\( \\left\\{Z_{n}\\right\\} \\)은 재생성시각의 열이 \\( \\left\\{S_{n}\\right\\} \\)인 재생성과정이 된다.", "이와 같은 재생성과정을 교대갱신과정(alternating renewal process)이라고 한다.", "</p><p>예제 \\(4.13\\)</p><p>갱신시각의 열이 \\( S=\\left\\{S_{n}, n=0,1,2, \\cdots\\right\\} \\)일 때 후방향재귀시간의 열 \\( \\left\\{A_{n}\\right\\} \\)과 전방향재귀시간의 열 \\( \\left\\{B_{n}\\right\\} \\)은 재생성시각의 열이 \\( S \\)인 재생성과정이지만 갱신과정 \\( \\left\\{N_{n}\\right\\} \\)은 재생성과정이 아니다.", "또한 \\( S_{1} \\)과 \\( S_{n}-S_{n-1}(n \\geq 2) \\)의 분포가 다르면 \\( \\left\\{A_{n}\\right\\} \\)과 \\( \\left\\{B_{n}\\right\\} \\)은 지연재생성과정이 된다.", "</p><p>예제 \\(4.14\\) 이산시간 \\( G I / G / 1 \\) 대기행렬시스템</p><p>한 명의 서버가 서비스하는 대기행렬시스템에서 고객이 도착하는 시간 간격은 \\( \\{1,2 \\), \\( \\ldots\\} \\)에서 값을 갖는 이산확률변수로서 서로 독립이며 같은 분포를 따른다고 하자.", "각 고객의 서비스 시간도 이산확률변수로서 서로 독립이며 같은 분포를 따른다.", "이때 도착 간격의 분포와 서비스 시간의 분포가 같을 필요는 없다.", "이와 같은 대기행렬시스템을 이산시간 \\( G I / G / 1 \\) 대기행렬시스템이라 한다.", "</p><p>이때 \\( Z_{n} \\)을 시각 \\( n \\)에 시스템에 있는 고객 수라 하고 시스템에 고객이 한 명도 없을 때 고객이 도착할 사건을 \\( A \\)라 하자. \\", "( Z_{0}=1 \\)을 가정할 때 고객의 도착시간간격은 서로 독립이고 서비스 시간도 서로 독립이므로 사건 \\( A \\)가 발생하면 그 이후 시스템의 동작과정은 처음부터 시작하는 것과 확률적으로 같다.", "따라서 사건 \\( A \\)가 \\( n \\)번째 발생한 시각을 \\( S_{n} \\)이라 하면 \\( Z=\\left\\{Z_{n}, n=0,1,2, \\cdots\\right\\} \\)는 재생성시각의 열이 \\( \\left\\{S_{n}\\right\\} \\)인 재생성과정이 된다(그림 \\(4.2\\)).", "이때 \\( Z_{0} \\neq 1 \\)이면 \\( Z \\)는 지연재생성과정이 된다.", "</p><p>보조정리 \\( 4.18 \\) \\( A \\subset \\mathbb{R} \\)에 대하여 \\( v_{n}=P\\left(Z_{n} \\in A\\right) \\)이라 하자. \\", "( v=\\left\\{v_{n}\\right\\} \\)은 다음 갱신방정식을 만족한다.", "<p>\\( v=b+f * u \\)<caption>(4.6)</caption></p><p>단 \\( b_{n}=P\\left(Z_{n} \\in A, X_{1}>n\\right)(n=0,1,2, \\cdots) \\)이다.", "</p></p><p>증명 \\( Z_{n}^{(1)}=Z_{X_{1}+n} \\)이라고 두면 \\( Z \\)가 재생성과정이므로 \\( Z^{(1)}=\\left\\{Z_{n}^{(1)}, n=0,1,2, \\cdots\\right\\} \\)는 \\( Z \\)와 같은 분포를 갖는다.", "따라서 \\[\\begin{aligned} P\\left(Z_{n} \\in A, X_{1} \\leq n\\right) &=\\sum_{k=1}^{n} P\\left(Z_{n} \\in A \\mid X_{1}=k\\right) P\\left(X_{1}=k\\right) \\\\&=\\sum_{k=1}^{n} P\\left(Z_{n-k}^{(1)} \\in A\\right) P\\left(X_{1}=k\\right) \\\\&=\\sum_{k=1}^{n} v_{n-k} f_{k} \\end{aligned}\\]</p><p>한편 \\[v_{n}=P\\left(Z_{n} \\in A, X_{1}>n\\right)+P\\left(Z_{n} \\in A, X_{1} \\leq n\\right) \\]이므로 \\((4.6)\\)이 증명된다.", "</p><p>재생성과정 \\( Z \\)와 \\( A \\subset \\mathbb{R} \\)에 대하여 \\( Y_{n} \\)을 다음과 같이 정의하자.", "</p><p>\\( Y_{n}=\\left\\{\\begin{array}{ll}1, & Z_{n} \\in A \\\\ 0, & Z_{n} \\in A\\end{array}\\right. \\)", "<caption>(4.7)</caption><p>그러면 \\[M=Y_{0}+Y_{1}+\\cdots+Y_{X_{1}-1}\\]은 한 사이클 동안 사건 \\( \\left\\{Z_{n} \\in A\\right\\} \\)가 발생한 횟수를 나타낸다.", "</p> <p>정리 \\( 4.19 \\) 재생성정리(Regenerative theorem) \\( \\boldsymbol{f} \\)가 비주기적이고 \\( E[M]<\\infty \\)일 때 다음이 성립한다.", "<p>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} P\\left(Z_{n} \\in A\\right)=\\frac{E[M]}{\\mu} \\)<caption>(4.8)</caption></p></p><p>증명 다음을 주목하자.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} E[M] &=\\sum_{k=1}^{\\infty} \\sum_{n=0}^{k-1} P\\left(Z_{n} \\in A \\mid X_{1}=k\\right) P\\left(X_{1}=k\\right) \\\\ &=\\sum_{n=0}^{\\infty} \\sum_{n=n}^{\\infty} P\\left(Z_{n} \\in A \\mid X_{1}=k\\right) P\\left(X_{1}=k\\right) \\\\ &=\\sum_{n=0}^{\\infty} P\\left(Z_{n} \\in A, X_{1}>n\\right) \\end{aligned} \\)</p><p>보조정리 \\(4.18\\)과 따름정리 \\( 4.10 \\)에 의하여 정리가 증명된다.", "</p><p>예제 \\(4.15\\) 예제 \\(4.11\\)의 연속</p><p>\\( X_{1} \\)은 모수가 \\( 1-p \\)인 기하확률변수이므로 \\( E\\left[X_{1}\\right]=\\frac{1}{1-p} \\)이다. 또한 각 \\( j=0,1, \\ldots \\)에 대하여 한 사이클 동안 \\( Z_{n}=j \\)인 사건은 \\( X_{1}>j \\)인 경우에 단 한 번만 발생하므로 \\( M=1_{\\left\\{X_{1}>j\\right\\}} \\)이다. 정리 \\( 4.19 \\)에 의하여 \\[\\lim _{n \\rightarrow \\infty} P\\left(Z_{n}=j\\right)=\\frac{P\\left(X_{1}>", "j\\right)}{E\\left[X_{1}\\right]}=(1-p) p^{j}, \\quad j=0,1,2, \\cdots \\]이다.", "</p><p>예제 \\(4.16\\) 예제 \\( 4.12 \\) 의 연속</p><p>\\( E\\left[U_{1}+V_{1}\\right]<\\infty \\)일 때, 시간이 충분히 흘렀을 때 임의의 시점에서 시스템이 작동 중일 확률은 \\[\\lim _{n \\rightarrow \\infty} P\\left(Z_{n}=1\\right)=\\frac{E\\left[U_{1}\\right]}{E\\left[U_{1}\\right]+E\\left[V_{1}\\right]}\\]이다.", "즉 사이클 길이의 평균에 대한 작동시간 평균의 비율이 된다.", "</p><p>예제 \\( 4.17 \\) 정리 \\(4.12\\)의 증명</p><p>한 사이클 동안 \\( A_{n}=k \\)인 사건은 \\( X_{1}>k \\)인 경우에 단 한 번만 발생하므로 \\( M= \\) \\( 1_{\\left\\{X_{1}>k\\right\\}} \\)이다. 정리 \\( 4.19 \\) 에 의하여 \\[\\lim _{n \\rightarrow \\infty} P\\left(A_{n}=k\\right)=\\frac{P\\left(X_{1}>", "k\\right)}{E\\left[X_{1}\\right]}, k=0,1,2, \\cdots . \\]\\", "( B_{n} \\) 과 \\( X_{n}^{*} \\)의 극한분포도 유사한 방법으로 보일 수 있다.", "</p><p>\\( Z \\)가 지연재생성과정일 때 \\( g_{k}=P\\left(X_{1}=k\\right), f_{k}=P\\left(X_{2}=k\\right) \\)라 하고 \\((4.7)\\)과 같이 정 한 \\( Y_{n} \\)에 대하여 \\[\\tilde{M}=Y_{X_{1}}+Y_{X_{1}+1}+\\cdots+Y_{X_{1}+X_{2}-1} \\]이라 하면 \\( \\widetilde{M} \\)은 두 번째 사이클 동안 사건 \\( \\left\\{Z_{n} \\in A\\right\\} \\)가 발생한 횟수를 나타낸다.", "</p><p>정리 \\(4.20\\) 지연재생성과정 \\( Z \\)에 대하여 \\( f \\)가 비주기적이고 \\( E[\\widetilde{M}]<\\infty \\)일 때 다음이 성립한다.", "<p>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} P\\left(Z_{n} \\in A\\right)=\\frac{E[\\tilde{M}]}{E\\left[X_{2}\\right]} \\)<caption>(4.9)</caption></p></p><p>증명 다음을 주목하자.", "</p><p>\\[P\\left(Z_{n} \\in A\\right)=P\\left(Z_{n} \\in A, X_{1}>n\\right)+P\\left(Z_{n} \\in A, X_{1} \\leq n\\right)\\]</p><p>이때 \\[\\lim _{n \\rightarrow \\infty} P\\left(Z_{n} \\in A, X_{1}>n\\right) \\leq \\lim _{n \\rightarrow \\infty} P\\left(X_{1}>n\\right)=0\\]이므로 \\[\\lim _{n \\rightarrow \\infty} P\\left(Z_{n} \\in A, X_{1} \\leq n\\right)=\\frac{E[\\widetilde{M}]}{E\\left[X_{2}\\right]}\\]임을 보이면 충분하다.", "</p><p>\\( Z_{n}^{(1)}=Z_{X_{1}+n} \\)이라고 두면 \\( Z^{(1)}=\\left\\{Z_{n}^{(1)}, n=0,1,2, \\cdots\\right\\} \\)는 재생성시각의 열이 \\( \\left\\{S_{n}-X_{1}, n=1,2, \\cdots\\right\\} \\)인 재생성과정이다.", "따라서 \\( \\tilde{v}_{n}=P\\left(Z_{n}^{(1)} \\in A\\right) \\)에 대하여 다음을 얻는다.", "</p><p>\\[P\\left(Z_{n} \\in A, X_{1} \\leq n\\right)=\\sum_{k=1}^{n} P\\left(Z_{n} \\in A \\mid X_{1}=k\\right) g_{k} \\]\\[\\begin{array}{l}=\\sum_{k=1}^{n} P\\left(Z_{n-k}^{(1)} \\in A\\right) g_{k} \\\\ =\\sum_{k=1}^{n} \\tilde{v}_{n-k} g_{k}\\end{array}\\]</p><p>한편 \\( \\sum_{n=0}^{\\infty} g_{n}=1 \\)이므로 정리 \\( 4.19 \\)와 따름정리 \\( 4.10 \\)으로부터 다음이 성립함을 알 수 있다.", "</p><p>\\[\\begin{aligned}\\lim _{n \\rightarrow \\infty} P\\left(Z_{n} \\in A, X_{1} \\leq n\\right) &=\\left(\\lim _{n \\rightarrow \\infty} P\\left(Z_{n}^{(1)} \\in A\\right)\\right)\\left(\\sum_{n=0}^{\\infty} g_{n}\\right) \\\\ &=\\frac{E[\\widetilde{M}]}{E\\left[X_{2}\\right]}\\end{aligned}\\]</p><p>예제 \\(4.18\\)</p><p>앞면 \\( (H) \\)이 나올 확률이 \\( p \\), 뒷면 \\( (T) \\)이 나올 확률이 \\( q=1-p \\)인 동전을 계속해서 던지 는 실험에서 \\(HHTT\\)가 나올 때까지 시행한 횟수와 \\(HTHT\\)가 나올 때까지 시행한 횟수를 각각 \\( N_{H H T T} \\)와 \\( N_{H T H T} \\)라 할 때 다음을 구하라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( E\\left[N_{H H T T}\\right] \\)</li><li>\\( E\\left[N_{H T H T}\\right] \\)</li></ol><p>풀이 \\((1)\\) \\( Y_{n} \\)을 \\( n \\)번째 던진 동전이 앞면이면 \\(1\\) , 뒷면이면 \\(0\\)이라 하고 \\[Z_{n}=\\left\\{\\begin{array}{ll}1, & Y_{n-3}=1, \\\\0, & \\text { 그 밖에 }\\end{array}\\right. \\]이라 하자. \\", "( Z_{n}=1 \\)이 \\( k \\)번째 발생할 때까지 시행 횟수를 \\( S_{k} \\)라 하고 \\( X_{k}= \\) \\( S_{k}-S_{k-1} \\)이라 하면 \\( X_{k}(k \\geq 1) \\)는 서로 독립이며 같은 분포를 따른다.", "한편 \\[\\begin{aligned} P\\left(Z_{n}=1\\right) &=P\\left(Y_{n-3}=1, Y_{n-2}=1, Y_{n-1}=0, Y_{n}=0\\right) \\\\&=p^{2} q^{2}, n \\geq 4 \\end{aligned}\\]이므로 \\[E\\left[N_{H H T T}\\right]=E\\left[X_{1}\\right]=\\frac{1}{\\lim _{n \\rightarrow \\infty} P\\left(Z_{n}=1\\right)}=\\frac{1}{p^{2} q^{2}} .\\]", "</p><p>\\((2)\\) \\( W_{n}=\\left\\{\\begin{array}{ll}1, & Y_{n-3}=1, \\\\ 0, & \\text { 그 밖에 }\\end{array}\\right. \\) 이라 하자. \\", "( W_{n}=1 \\)이 \\( k \\)번째 발생할 때까지 시행한 횟수를 \\( S_{k} \\)라 하고 \\( X_{k}= \\) \\( S_{k}-S_{k-1} \\)이라고 하자.", "예를 들어 처음 \\(6\\)번의 시행에서 \\(HTHTHT\\)가 나왔다면 \\( X_{1}=4 \\)이고 \\( X_{2}=6 \\)이다. \\", "( X_{1} \\)은 \\(HTHT\\)가 처음 발생할 때까지의 시행횟수이지만 \\( X_{2} \\)는 \\(HTHT\\)가 발생한 후에 다시 \\(HTHT\\)가 발생할 때까지의 시행 횟수이므로 \\( X_{1} \\)과 \\( X_{2} \\)의 분포는 같지 않다.", "따라서 \\( \\left\\{W_{n}\\right\\} \\)은 지연재생성과정이다.", "</p><p>\\( P\\left(W_{n}=1\\right)=p^{2} q^{2}(n \\geq 4) \\)이므로 정리 \\( 4.20 \\)에 의하여 다음을 얻는다.", "</p><p>\\[E\\left[X_{2}\\right]=\\frac{1}{p^{2} q^{2}}\\]</p><p>이때 \\( \\frac{1}{p^{2} q^{2}} \\)은 \\(HTHT\\)에서 시작하여 다시 \\(HTHT\\)가 나올 때까지 시행한 횟수의 평균이다.", "그런데 \\( H T H T \\)에서 시작하면 이미 \\( H T \\)는 얻어졌으므로 \\( H T H T \\)가 나올 때까지 필요한 시행 횟수 \\( N_{H T H T} \\)는 \\( H T \\)가 발생할 때까지의 시행 횟수 \\( T_{H T} \\)에 \\( X_{2} \\)를 더한 것과 같다.", "한편 위의 \\((1)\\)과 같은 방법에 의하여 \\[E\\left[N_{H T}\\right]=\\frac{1}{p q}\\]이므로 \\[ E\\left[N_{H T H T}\\right]=E\\left[N_{H T}\\right]+E\\left[X_{2}\\right]=\\frac{1}{p q}+\\frac{1}{p^{2} q^{2}} . \\]", "</p> <p>정리 \\( 4.8 \\) 갱신정리(Renewal theorem) \\( \\boldsymbol{f} \\)가 비주기적일 때 다음이 성립한다.", "<p>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} u_{n}=\\frac{1}{\\mu} \\)<caption>(4.4)</caption></p><p>단 \\( \\mu=\\infty \\)일 때 \\( 1 / \\mu=0 \\)을 의미한다.", "</p></p><p>증명 이 정리의 증명에서 가장 어려운 부분은 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} u_{n} \\)의 존재성에 관한 것이다.", "이에 대한 증명은 제\\(4.7\\)절에서 소개하고 여기서는 극한이 존재할 때 \\((4.4)\\)가 성립함을 보인다.", "</p><p>\\( \\boldsymbol{u} \\)와 \\( \\boldsymbol{f} \\)의 생성함수를 각각 \\( U(z) \\) 와 \\( F(z) \\)라 하면 \\( F^{\\prime}(1)=\\mu \\)이므로 생성함수의 성질 GF2(제\\(1.8\\)절)와 \\((4.2)\\)에 의하여 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} \\lim _{n \\rightarrow \\infty} u_{n} &=\\lim _{z \\rightarrow 1}(1-z) U(z) \\\\ &=\\lim _{z \\rightarrow 1} \\frac{1-z}{1-F(z)}=\\frac{1}{F^{\\prime}(1)}=\\frac{1}{\\mu} \\end{aligned} \\)</p><p>따름정리 \\( 4.9 \\) 기본갱신정리 \\( f \\)가 비주기적일 때 \\[\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{E\\left[N_{n}\\right]}{n}=\\frac{1}{\\mu} .\\]", "</p><p>증명 극한의 성질에서 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=a \\)이면 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n} \\sum_{k}^{n} a_{k}=a \\)이므로 다음을 보이면 충분하다.", "</p><p>\\( E\\left[N_{n}\\right]=u_{1}+u_{2}+\\cdots+u_{n} \\)</p><p>\\( S_{n} \\) 과 \\( N_{n} \\)의 정의로부터 \\( P\\left(N_{n} \\geq k\\right)=P\\left(S_{k} \\leq n\\right) \\)이므로 \\[E\\left[N_{n}\\right]=\\sum_{k=1}^{\\infty} P\\left(N_{n} \\geq k\\right)=\\sum_{k}^{\\infty} P\\left(S_{k} \\leq n\\right)=\\sum_{k}^{\\infty} \\sum_{1}^{n} P\\left(S_{k}=j\\right)\\] \\( =\\sum_{j=1}^{n} \\sum_{k=1}^{\\infty} P\\left(S_{k}=j\\right)=\\sum_{j=1}^{n} u_{j} . \\)", "</p><p>따름정리 \\( 4.10 \\) \\( f \\)가 비주기적이고 \\( \\sum_{n=0}^{\\infty}\\left|b_{n}\\right|<\\infty \\)일 때 \\( v=b * u \\)에 대하여 다음이 성립한다.", "<p>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} v_{n}=\\frac{1}{\\mu} \\sum_{k=0}^{\\infty} b_{k} \\)</p></p><p>증명 \\( B(z)=\\sum_{n=0}^{\\infty} b_{n} z^{n} \\)이라 하면 합성곱의 성질 C\\(1\\)에 의하여 \\( v \\)의 생성함수 \\( V(z) \\)는 \\( V(z)=U(z) B(z) \\)이다.", "따라서 \\( \\mathrm{GF} 1 \\) (제 \\( 1.8 \\) 절)에 의하여 \\[\\begin{aligned}\\lim _{n \\rightarrow \\infty} v_{n} &=\\lim _{z \\rightarrow 1}(1-z) V(z) \\\\ &=\\left(\\lim _{z \\rightarrow 1}(1-z) U(z)\\right)\\left(\\lim _{z \\rightarrow 1} B(z)\\right)=\\frac{B(1)}{\\mu} .\\end{aligned}\\]", "</p><p>따름정리 \\( 4.11 \\) \\( \\boldsymbol{f} \\) 가 비주기적이고 \\( \\sum_{n=0}^{\\infty}\\left|b_{n}\\right|<\\infty \\)일 때 갱신방정식 \\( v=b+f * v \\)의 해 \\( v= \\) \\( \\left\\{v_{n}\\right\\} \\)에 대하여 다음이 성립한다.", "<p>\\[\\lim _{n \\rightarrow \\infty} v_{n}=\\frac{1}{\\mu} \\sum_{k=0}^{\\infty} b_{k}\\]</p></p><p>증명 정리 \\(4.7\\)과 따름정리 \\(4.11\\)에 의하여 자명하다.", "</p> <h1>4.6 재생성과정</h1><p>동전을 던져서 앞면이 나오면 \\(1\\)단위의 돈을 따고 뒷면이 나오면 \\(1\\)단위의 돈을 잃게 되는 게임을 생각하자.", "이때 처음 \\( n \\)번의 게임에서 딴 돈의 누적액수를 \\( Z_{n} \\)이라 하자.", "단 \\( Z_{0}=0 \\)이고 돈을 읺었을 경우 \\( Z_{n} \\)은 음수가 된다.", "또한 게임 시작 후 처음으로 본전이 되는 시각을 \\( X_{1} \\)이라 하자.", "즉 \\[X_{1}=n \\Leftrightarrow Z_{1} \\neq 0, \\cdots, Z_{n-1} \\neq 0, Z_{n}=0\\]</p><p>그러면 \\( Z_{X_{1}+k} \\)는 처음으로 본전이 된 후부터 \\( k \\)번의 게임을 더 헸을 때 딴 돈의 누적액수가 된다.", "이 게임에서 한 번 본전이 되면 그때부터 진행되는 게임은 처음부터 게임을 다시 시작하는 것과 마찬가지이므로 \\( Z^{(1)}=\\left\\{Z_{X_{1}}, Z_{X_{1}+1}, \\cdots\\right\\} \\)과 \\( Z=\\left\\{Z_{0}, Z_{1}, \\cdots\\right\\} \\)은 확률적으로 같음을 알 수 있다.", "즉 임의의 \\( k_{1}, \\cdots, k_{n} \\) 과 \\( j_{1}, \\cdots, j_{n} \\)에 대하여 \\[P\\left(Z_{k_{1}}=j_{1}, \\cdots, Z_{k_{n}}=j_{n}\\right)=P\\left(Z_{X_{1}+k_{1}}=j_{1}, \\cdots, Z_{X_{1}+k_{n}}=j_{n}\\right) .\\]", "</p><p>또한 이 게임에서 한 번 본전이 되면 그때부터 진행되는 게임에서 딴 돈의 누적 액수는 그 이전의 게임에서 딴 돈의 액수와 서로 독립이므로 \\( Z^{(1)} \\)은 \\( \\left\\{Z_{0}, Z_{1}, \\cdots, Z_{X_{1}-1}\\right\\} \\)과 서로 독립임을 알 수 있다.", "마찬가지로 이 게임에서 \\( n \\)번째 본전이 될 때까지 시행된 횟수를 \\( S_{n} \\)이라 하면 \\( S_{n} \\)부터 그 이후로 진행되는 확률과정 \\( \\left\\{Z_{S_{n}}, Z_{S_{n}+1}, \\cdots\\right\\} \\)은 \\( Z \\)와 확률적으로 같고, 그 이전의 게임에서 딴 돈의 액수와는 서로 독립임을 알 수 있다.", "</p><p>이 절에서는 위의 예와 같이 어떤 특정한 사건이 발생하면 그 이후의 과정은 그 이전과 서로 독립이며 확률적으로 동일하게 반복되는 현상을 나타내는 확률과정을 생각한다.", "</p><p>정의 \\( 4.1 \\) 재생성과정 확률과정 \\( Z=\\left\\{Z_{n}, n=0,1,2, \\cdots\\right\\} \\)에 대하여 다음을 만족하는 갱신열 \\( S=\\left\\{S_{n}, n\\right. \\) \\( =0,1,2, \\cdots\\}", "\\)가 존재할 때 \\( Z \\) 를 재생성시각의 열이 \\( S \\)인 재생성과정(regenerative process)이라 한다.", "<ol type=1 start=1><li>\\( \\left\\{Z_{S_{\\mathrm{n}}+k}, k=0,1,2, \\cdots\\right\\} \\) 는 \\( Z \\)와 같은 분포를 따른다.", "</li><li>\\( \\left\\{Z_{S_{\\mathrm{n}}+k}, k=0,1,2, \\cdots\\right\\} \\) 는 \\( \\left\\{Z_{k}, k=0,1,2, \\cdots, S_{n}-1\\right\\} \\)과 독립이다.", "</li></ol></p><p>재생성과정에서 \\( (n-1) \\)번째 재생성이 일어난 시각부터 \\( n \\)번째 재생성이 일어나기 직전까지의 확률과정 \\( \\left\\{Z_{k}, k=S_{n-1}, S_{n-1}+1, \\cdots, S_{n}-1\\right\\} \\)을 \\( n \\)번째 사이클(cycle) 또는 순환마디라고 하고 \\( X_{n}=S_{n}-S_{n-1}\\left(S_{0}=0\\right) \\) 을 사이클의 길이라고 한다.", "재생성과정의 정의로부터 각 사이클은 서로 독립이며 같은 분포를 따르는 것을 알 수 있다.", "또한 사이클의 길이 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots \\)는 서로 독립이며 같은 분포를 따른다.", "</p><p>\\( S \\)가 지연갱신과정의 갱신열일 때, 즉 \\( X_{1} \\)과 \\( X_{n}(n \\geq 2) \\)의 분포가 같지 않을 때, \\( Z \\)를 지연재생성과정(delayed regenerative process)이라고 한다.", "</p><p>참고 \\(1\\).", "재생성시각의 열이 \\( S \\)인 재생성과정에서 \\( N_{k}=\\sup \\left\\{n: S_{n} \\leq k\\right\\} \\)라고 할 때, 확률과정 \\( \\left\\{N_{k}, k=0,1, \\cdots\\right\\} \\)는 갱신과정이 된다.", "이 갱신과정을 재생성과정 \\( Z \\)에 매장된 갱신과정이라고 하기도 한다.", "</p><p>\\(2\\).", "확률과정 \\( Z=\\left\\{Z_{n}, n=0,1,2, \\cdots\\right\\} \\)에 대하여 다음을 만족하는 음이 아닌 확률변수 \\( X_{1} \\)이 존재하면 \\( Z \\)는 재생성과정이 된다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\left\\{Z_{X_{1}+k} k=0,1,2, \\cdots\\right\\} \\) 는 \\( Z \\)와 같은 분포를 따른다.", "</li><li>\\( \\left\\{Z_{X_{1}+k} k=0,1,2, \\cdots\\right\\} \\) 는 \\( \\left\\{Z_{k}, k=0,1,2, \\cdots, X_{1}-1\\right\\} \\)과 독립이다.", "</li></ol><p>이에 대한 설명을 위하여 \\( Z_{k}^{(1)}=Z_{X_{1}+k} \\)라 하면 \\( Z^{(1)}=\\left\\{Z_{0}^{(1)}, Z_{1}^{(1)}, \\ldots\\right\\} \\)과 \\( Z \\)는 확률적으로 같으므로, \\( Z^{(1)} \\)에 대하여 위의 조건 \\((1)\\)과 \\((2)\\)를 만족하며 \\( X_{1} \\)과 같은 분포를 따르는 확률변수 \\( X_{2} \\)가 존재한다.", "따라서 \\( Z_{k}^{(2)}=Z_{X_{1}+k}^{(1)}=Z_{X_{1}+X_{1}+k} \\)라 하면 \\( Z^{(2)}=\\left\\{Z_{0}^{(2)}, Z_{1}^{(2)}\\right. \\)", ", \\( \\cdots) \\)는 \\( Z^{(1)} \\)과 같은 분포를 따르고 \\( \\left\\{Z_{k}^{(1)}, k=0,1, \\cdots, X_{2}-1\\right\\} \\)과 독립이다.", "따라서 \\( Z^{(2)} \\) 는 \\( Z \\)와 같은 분포를 따르고 \\( \\left\\{Z_{X_{1}+k}, k=0,1, \\cdots, X_{2}-1\\right\\} \\) 과 독립이다.", "한편 \\( Z^{(1)} \\) 이 \\( \\left\\{Z_{k}, k=0,1, \\cdots, X_{1}-1\\right\\} \\)과 독립이므로 \\( X_{1} \\) 과 \\( X_{2} \\)는 서로 독립임을 알 수 있다.", "이와 같은 과정을 반복하면 서로 독립이며 같은 분포를 따르는 확률변수열 \\( \\left\\{X_{n}\\right\\} \\)이 존재한다.", "이때 \\( S_{n}=\\sum_{k=1}^{n} X_{k} \\)라 하면 \\( \\left\\{S_{n}\\right\\} \\)이 \\( Z \\)에 대한 재생성시각의 열이 된다.", "</p> <h1>4.3 갱신방정식과 갱신정리</h1><p>갱신간격의 분포 \\( f_{k}=P\\left(X_{1}=k\\right) \\) 에 대하여 \\( f=\\left\\{f_{k}, k=0,1,2, \\cdots\\right\\}\\left(f_{0}=0\\right) \\)라 하자.", "그러면 \\[P\\left(X_{1}+X_{2}=n \\mid X_{1}=k\\right)=P\\left(X_{2}=n-k\\right)=f_{n-k}\\]이므로 \\( S_{2}=X_{1}+X_{2} \\)의 확률질량함수는 \\[\\begin{aligned}P\\left(S_{2}=n\\right) &=\\sum_{k=0}^{n} P\\left(X_{1}+X_{2}=n \\mid X_{1}=k\\right) f_{k} \\\\&=\\sum_{k=0}^{n} f_{k} f_{n-k}, \\quad n=1,2, \\cdots(n \\geq k) \\end{aligned}\\]가 되어 \\( S_{2} \\) 의 분포는 \\( f * f=f^{(2)} \\)임을 알 수 있다.", "일반적으로 \\( n \\)번째 갱신이 발생하는 시각 \\( S_{n}=X_{1}+\\cdots+X_{n} \\)은 서로 독립이며 같은 분포를 따르는 확률변수 \\( n \\)개의 합이므로 \\( S_{n} \\)의 분포는 \\( f^{(n)}=\\left\\{f_{k}^{(n)}, k=0,1, \\cdots\\right\\} \\)됨을 알 수 있다.", "단 \\( f^{(n)}=f^{(n-1)} * \\boldsymbol{f} \\), \\( f^{(0)}=\\delta=\\{1,0,0, \\ldots\\} \\)이다.", "</p><p>또한 시각 \\( k \\)에 갱신이 발생할 확률을 \\( u_{k} \\)라 하고 \\( \\boldsymbol{u}=\\left\\{u_{n}, n=0,1,2, \\cdots\\right\\}\\left(u_{0}=1\\right) \\)라 하자.", "그러면 다음을 쉽게 알 수 있다.", "</p><p>\\( u_{k}=P\\left(\\right. \\)", "적당한 \\( n \\) 에 대하여 \\( S_{n}=k \\) )\\[ =P\\left(\\cup_{n}^{\\infty} 1\\left\\{S_{n}=k\\right\\}\\right)=\\sum_{n=1}^{\\infty} P\\left(S_{n}=k\\right), k=1,2, \\cdots\\]</p><p>정리 \\( 4.4 \\) \\( \\boldsymbol{u}=\\left\\{u_{n}\\right\\} \\)과 \\( \\boldsymbol{f}=\\left\\{f_{n}\\right\\} \\)은 다음을 만족한다.", "<p>\\( \\boldsymbol{u}=\\boldsymbol{\\delta}+\\boldsymbol{f} * \\boldsymbol{u} \\)<caption>(4.1)</caption></p><p>즉 \\( u_{0}=1, u_{k}=f_{k} u_{0}+f_{k-1} u_{1}+\\cdots+f_{1} u_{k-1}(k \\geq 1) . \\)", "</p></p><p>증명 첫째 갱신이 시각 \\( j \\)에 발생하였다면 갱신과정은 \\( j \\)부터 새롭게 시작하는 것과 같으므로 시각 \\( k(k \\geq j) \\)에 갱신이 발생할 확률은 \\( k-j \\) 시각에 갱신이 발생할 확률과 같다.", "즉 \\( P\\left(\\right. \\)", "적당한 \\( n \\)에 대하여 \\( \\left.S_{n}=k \\mid X_{1}=j\\right)=u_{k-j} \\).따라서 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( u_{k}=\\sum_{j=1}^{k} P \\) (적당한 \\( n \\) 에 대하여 \\( \\left.S_{n}=k \\mid X_{1}=j\\right) P\\left(X_{1}=j\\right) \\) \\( =\\sum_{j=1}^{k} f_{j} u_{k} \\)</p><p>예제 \\(4.6\\) \\( \\mathrm{Geo} / G / 1 \\) 대기행렬시스템</p><p>베르누이과정을 따라 고객이 도착하고 한 명의 서버가 서비스를 하는 대기체계를 생각하자.", "즉 시각 \\( n \\)에 고객이 외부로부터 도착할 확률은 \\( p \\)이고 그렇지 않을 확률은 \\( q=1-p \\)이다.", "도착하는 고객은 서버가 서비스 중이면 대기열에서 대기하고 서버가 쉬고 있는 중이면 도착 즉시 서비스를 받기 시작한다.", "또한 시스템 내에 고객이 있을 경우 서버는 쉬지 않고 서비스를 한다고 가정하자. \\", "( n \\)번째 도착한 고객이 받아야 할 서비스 시간 \\( B_{n}(n=1,2, \\cdots) \\)은 서로 독립이며 각각의 확률질량함수를 \\( b_{k}=P\\left(B_{n}=k\\right) \\) \\( (k=1,2, \\cdots) \\)라 하자.", "이 시스템에서 고객이 도착하는 시간 간격은 모수가 \\( p \\)인 기하 분포를 따르고 서비스 시간의 분포는 일반적인 분포를 따르므로 이와 같은 대기행렬시스템을 \\( \\mathrm{Geo} / G / 1 \\) 대기행렬시스템이라 한다.", "</p><p>이때 \\( Z_{n} \\)을 시각 \\( n \\)에 시스템에 있는 고객 수라 하고 \\( Z_{0}=0 \\)을 가정하자.", "시스템의 상태가 \\( n \\)번째 \\(0\\)이 된 후부터 \\( (n+1) \\)번째 \\(0\\)이 될 때까지의 시간 간격을 \\( X_{n+1} \\)이라 하자. \\", "( f_{k}=P\\left(X_{n}=k\\right) \\)와 \\( u_{k}=P\\left(Z_{k}=0\\right) \\)은 다음 식을 만족한다.", "</p><p>\\( u_{n}=f_{1} u_{n-1}+f_{2} u_{n-2}+\\cdots+f_{n} u_{0} \\)</p><p>따름정리 \\( 4.5 \\) \\( u \\)와 \\( f \\)의 생성함수 \\( U(z)=\\sum_{n}^{\\infty} u_{n} z^{n} \\)과 \\( F(z)=\\sum_{n}^{\\infty} f_{n} z^{n} \\)은 다음을 만족한다.", "<p>\\( U(z)=\\frac{1}{1-F(z)} \\)<caption>(4.2)</caption></p></p><p>증명 정리 \\( 4.4 \\)와 합성곱의 성질(제 \\( 1.8 \\) 절 참조)에 의하여 자명하다.", "</p><p>정리 \\( 4.6 \\) \\( m_{n}=E\\left[N_{n}\\right], b_{n}=P\\left(X_{1} \\leq n\\right) \\)이라 할 때, \\( m=\\left\\{m_{n}\\right\\}, b=\\left\\{b_{n}\\right\\} \\)은 다음을 만족 한다.", "<p>\\( m=b+f * m \\)</p></p><p>증명 \\( X_{1}=k \\)이면 시각 \\( k \\)에 갱신이 처음 발생하고 \\( (k+1) \\)번째부터 \\( n \\)번째까지 \\( (n-k) \\)번의 시행에서 발생한 갱신 수는 \\( N_{n-k} \\)와 같은 분포를 따르므로 \\[E\\left[N_{n} \\mid X_{1}=k\\right]=\\left\\{\\begin{array}{ll} 1+E\\left[N_{n-k}\\right], & k \\leq n \\\\0, & k>n\\end{array} .\\right.\\]", "</p><p>따라서 \\[\\begin{aligned}m_{n} &=\\sum_{k}^{n} E\\left[N_{n} \\mid X_{1}=k\\right] f_{k}=\\sum_{k}^{n}\\left(1+m_{n-k}\\right) f_{k} \\\\&=\\sum_{k}^{n} f_{k}+\\sum_{k=1}^{n} m_{n-k} f_{k^{*}} .\\end{aligned}\\]", "</p><p>수열 \\( \\boldsymbol{c}=\\left\\{c_{n}, n=0,1,2, \\cdots\\right\\} \\)가 주어졌을 때 \\( x=\\left\\{x_{n}\\right\\}_{n=0}^{\\infty} \\)에 대한 방정식 \\( x=c+f * x \\)<caption>(4.3)</caption>를 갱신방정식(renewal equation)이라 한다.", "특히 \\( c=\\delta \\)일 때 갱신방정식 \\[x=\\delta+f * x\\]를 기본갱신방정식(basic renewal equation)이라 하고 기본갱신방정식의 해를 갱신방정식의 기본해(fundamental solution)라 한다.", "</p><p>정리 \\( 4.4 \\)로부터 \\( u=\\left\\{u_{n}\\right\\} \\)은 기본갱신방정식을 만족함을 알 수 있다.", "또한 \\( \\boldsymbol{f}=\\left\\{f_{n}\\right\\} \\)이 주어지면 \\( u_{n} \\)은 다음과 같이 유일하게 정해진다.", "</p><p>\\( u_{n}=f_{n} u_{0}+f_{n-1} u_{1}+\\cdots+f_{1} u_{n-1}, n \\geq 1 \\quad\\left(u_{0}=1\\right) \\)</p><p>정리 \\( 4.7 \\) \\( x=c * u \\)는 갱신방정식 \\((4.3)\\)의 유일한 해가 된다.", "</p><p>증명 합성곱의 성질에 의하여 \\( c * \\delta=c \\)이고 \\( c *(f * u)=f *(c * u) \\)이므로 \\[c * u=c *(\\delta+f * u)=c * \\delta+c *(f * u)=c+f *(c * u)\\]가 되어 \\( c * u \\)는 갱신방정식 \\((4.3)\\)의 해가 된다.", "</p><p>해의 유일성을 보이자. \\", "( x=\\left\\{x_{n}\\right\\} \\)과 \\( y=\\left\\{y_{n}\\right\\} \\)을 \\((4.3)\\)의 해라 하고 \\( z=x-y \\)라 두자.", "명백하게 \\( z_{0}=0 \\)이고 \\( z=z * f \\)이다.", "따라서 \\( z=z * f^{(k)}(k=1,2, \\cdots) \\)이다.", "한편 \\( P\\left(\\lim _{n \\rightarrow \\infty} S_{n}=\\infty\\right)=1 \\)이므로 \\[\\lim _{k \\rightarrow \\infty} f_{n}^{(k)}=\\lim _{k \\rightarrow \\infty} P\\left(S_{k}=n\\right)=0, n=0,1,2, \\cdots\\]이다.", "따라서 각각의 \\( n \\geq 1 \\)에 대하여 \\( k \\rightarrow \\infty \\)이면 \\[\\left|z_{n}\\right| \\leq \\sum_{j=0}^{n}\\left|z_{j}\\right| f_{n}^{(k)}{ }_{j} \\longrightarrow 0\\]이므로 유일성이 증명된다.", "</p><p>\\( f \\)에 대하여 다음을 정의하자.", "</p><p>\\( d=\\operatorname{GCD}\\left\\{k \\geq 1: f_{k}>0\\right\\} \\)</p><p>단 \\( \\mathrm{GCD}\\{\\cdot\\} \\)는 집합 \\( \\{\\cdot\\} \\)에 속한 정수의 최대공약수이다. 이때 \\( d>1 \\)이면 \\( f \\)는 주기적 (periodic)이라 하고 \\( d \\)를 \\( f \\)의 주기(period)라 한다. \\( d=1 \\)일 때 \\( f \\)는 비주기적(aperiodic)이라 한다. 만약 \\( f_{k}>0, f_{j}>", "0 \\)이며 서로소인 \\( k \\)와 \\( j \\)가 존재하면 \\( f \\)는 비주기적이다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "413", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "확률과정입문_이산시간 갱신과정", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-7ebf-4b0c-a4e0-ddcf3f1e4f03", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961054034", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2011", "doc_author": [ "신양우" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h2>3.2 벡터의 크기와 표준내적</h2><p>정의 벡터 \\( A=\\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right) \\in R^{3} \\) 의 크기는 기호 \\( \\|A\\| \\) 또는 간단히 | \\( A \\mid \\) 로 나타낸다.", "즉, \\[ \\|A\\|=\\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}} \\]</p><p>기호\\( \\| \\cdot \\|\\)를 노옴 Norm 이라 한다.", "단원의 마지막에 일반적인 정의를 소개하기로 한다.", "</p><p>정의 \\( \\|A\\|=1 \\) 인 벡터를 단위벡터 Unit Vector 라 한다.", "</p><p>즉, 기호 \\( \\frac{A}{\\|A\\|} \\) 는 \\( \\left(\\frac{1}{\\|A\\|}\\right) A \\) 로 \\( A- \\) 방향의 단위벡터를 나타낸다.", "왜냐하면 \\[ \\left\\|\\frac{A}{\\|A\\|}\\right\\|=\\frac{1}{\\|A\\|}\\|A\\|=1 \\] \\( R^{3} \\) 벡터의 (표준)내적 standard inner product 은 다음과 같이 정의한다.", "</p><p>정의 두 벡터 \\( A=\\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right), B=\\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\\right) \\) 에 대하여 \\[ A \\cdot B=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}=\\sum_{i=1}^{3} a_{i} b_{i} \\]</p><p>정리 내적 성질 \\[ \\begin{array}{l} A \\cdot A=\\|A\\|^{2} \\\\ A \\cdot A \\geq 0 \\\\ A \\cdot A=0 \\Leftrightarrow A=0 \\end{array} \\]</p><p>증명 \\( \\quad A \\cdot A=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}=\\|A\\|^{2} \\) 따라서 \\( A \\cdot A \\geq 0 \\) 그리고 \\( A \\cdot A=0 \\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}=a_{3}=0 \\), 즉 \\( A=0 \\) 내적의 정의로부터 직접적인 결과로 다음을 얻는다.", "</p><p>정리</p><p>\\( A \\cdot B=B \\cdot A \\) (교환법칙)</p><p>\\( \\alpha(A \\cdot B)=(\\alpha A) \\cdot B=A \\cdot(\\alpha B) \\quad \\) (스칼라 곱의 배분법칙)</p><p>\\( A \\cdot(B+C)=A \\cdot B+A \\cdot C \\)(배분법칙)</p><p>정리 공간벡터 \\( A, B \\) 의 사잇각이 \\( \\theta \\) 일 때 \\[ A \\cdot B=\\|A\\|\\|B\\| \\cos \\theta \\] 증명 삼각형 코싸인 법칙에 따라 \\[ \\|A-B\\|^{2}=\\|A\\|^{2}+\\|B\\|^{2}-2\\|A\\|\\|B\\| \\cos \\theta \\] 그런데 (좌변)은 \\( \\|A-B\\|^{2}=(A-B) \\cdot(A-B) \\) \\( =A \\cdot A-2 A \\cdot B+B \\cdot B \\) \\( =\\|A\\|^{2}-2 A \\cdot B+\\|B\\|^{2} \\) 정리하면, 결과를 얻는다.", "</p><p>앞 정리의 직접 결과로 다음 부등식을 얻는다.", "단원 마무리에서 우리는 정사영 개념을 이용한 해설을 달기로 한다.", "</p><p>정리 Schwartz2) 공간벡터 \\( A, B \\) 에 대하여 \\[ |A \\cdot B| \\leq\\|A\\|\\|B\\| \\]</p><p>참고 \\( -\\|A\\|\\|B\\| \\leq A \\cdot B \\leq\\|A\\|\\|B\\| \\)</p><p>내적의 최댓값은 \\( \\theta=0 \\), 즉 \\( A, B \\) 가 같은 방향일 때이며 내적의 최솟값은 \\( \\theta=\\pi \\) 일 때, 즉 \\( A, B \\) 가 반대 방향일 때이다.", "</p><p>\\( \\theta=\\frac{\\pi}{2} \\) 일 때, 즉 \\( A, B \\) 가 수직일 때, \\( A \\cdot B=0 \\)</p><p>정의 두 벡터가 수직으로 perpendicular 만날 때, 직교한다 orthogonal 고 하며, 기호로 \\( A \\perp B \\) 로 나타내며 “\\(A\\) perp \\( B \\) ”로 읽는다.", "</p><p>참고 \\( A \\cdot B=0 \\) 일 때</p><ol type=1 start=1><li>두 벡터 중 하나는 영벡터, 아니면</li><li>직교</li></ol><p>예제 \\( A=(1,1) \\) 일 때 \\( \\left\\{X \\in R^{2} \\mid A \\cdot X>0\\right\\} \\) 인 평면 영역을 알아보자.", "</p><p>풀이 영역내의 벡터 \\( X \\) 는 벡터 \\( A \\) 와 이루는 각이 \\( -\\frac{\\pi}{2}<\\theta<\\frac{\\pi}{2} \\) 이어야 하므로 벡터 \\( A \\) 를 수직으로 하는 직선 위 영역으로 (열린)반평면.", "</p> <h2>3.3 정사영 벡터 projection</h2><p>한 점에서 공간 내의 한 평면까지의 거리를 생각하기 위하여 정사영벡터의 개념을 사용하면 이론적으로 나타내기 편리하다.", "</p><p>정리 \\( R^{3} \\) 의 벡터 \\( A \\) 의 벡터 \\( B \\) 위로의 사영벡터 \\[ \\operatorname{Proj}_{B} A=\\left(\\frac{A \\circ B}{B \\circ B}\\right) B \\]</p><p>증명 \\( \\quad R^{3} \\) 의 벡터 \\( A \\) 의 벡터 \\( B \\) 위로의 사영벡터를 기호 \\( \\operatorname{Proj}_{B} A \\) 로 쓰면 그림에서 \\( \\alpha B \\) 형태이고, \\( A-c B \\perp B \\) 이므로 \\[ (A-c B) \\circ B=0 \\text { 즉, } c=\\frac{A \\circ B}{B \\circ B} \\] 앞에서 \\( \\frac{A \\circ B}{B \\circ B} \\) 는 벡터 \\( A \\) 의 \\( B \\)-방향성분을 나타낸다.", "그 부호가 양이면 사영벡터는 \\( B \\)-방향, 음이면 반대방향임을 알 수 있다.", "한편 \\( B \\circ B=\\|B\\|^{2} \\) 이므로, 단위벡터 \\( B \\) 에 대하여는 \\[ \\operatorname{Proj}_{B} A=(A \\circ B) B \\] 로 나타난다.", "일반적으로 벡터공간 \\( R^{n} \\) 에 대하여도 사영벡터를 앞과 같이 정의한다.", "</p><p>임의의 공간벡터 \\( X \\) 를 주어진 공간벡터 \\( Y \\) 에 대하여 두 벡터의 합 \\[ X=\\operatorname{Proj}_{Y} X+\\left(X-\\operatorname{Proj}_{Y} X\\right) \\] 형태로 분해하여 쓸 수 있다.", "벡터공간의 직합 direct sum 개념을 참고하기로 한다.", "</p><p>벡터 \\( A \\) 의 벡터 \\( B \\) 로의 정사영벡터는 \\( \\operatorname{Proj}_{B} A=\\left(\\frac{A \\cdot B}{B \\cdot B}\\right) B \\).", "따라서 \\( \\|B\\|=1 \\) 일때는, \\( |A \\cdot B|=( \\) 정사영벡터의 길이).", "그러므로 \\( A \\) 의 단위벡터 \\( B \\) 로의 수선의 길이= \\( \\|A-(A \\cdot B) B\\| \\) 한편 \\( |A \\cdot U|=\\|A\\||\\cos \\theta| \\leq\\|A\\| \\) 로부터 다음을 얻는다.", "</p><p>도움 정리 \\( A \\) 의 \\( U=\\frac{B}{\\|B\\|}(B \\) 방향 단위벡터 \\( ) \\) 에 대한 성분의 절댓값은 \\( \\|A\\| \\) 보다 같거나 작다.", "</p><p>단원을 마무리하기 위하여 앞에서 소개한 (쉬바르츠)부등식을 정사영벡터를 이용하여 이해하기로 한다.", "정사영 벡터의 개념을 이용한 쉬바르츠 부등식의 기하적 해설은 다음과 같다.", "</p><p>해설 쉬바르츠 Schwartz 부등식 \\[ \\left|A \\cdot\\left(\\frac{B}{\\|B\\|}\\right)\\right| \\leq\\|A\\| \\] 로부터 양변에 \\( \\|B\\| \\) 를 곱하면, 부등식을 얻는다.", "특히, \\( \\|B\\|=0 \\) 일 때는, 양변이 \\(0\\)으로 자명하다.", "</p><h2>연습문제\\( 3.3 \\)</h2><p>1. \\( X, Y \\) 를 \\( n \\times 1 \\) 행렬(또는 열벡터)이라 할 때, 다음을 보여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( X \\circ Y=X^{T} Y \\)</li><li>\\( A \\in M_{n} \\) 에 대하여 \\( A X \\circ Y=X \\circ A^{T} Y=Y^{T} A X \\)</li></ol><p>\\(2\\). \\", "( R^{3} \\) 의 벡터에 대하여 \\( X, Y \\) 가 평행일 필요충분조건은 \\( X \\times Y=O \\) 임을 보여라.", "</p><p>\\(3\\).", "다음 넓이, 부피를 구하라.", "</p><p>힌트 벡터의 외적 (부록 참조)</p><ol type=1 start=1><li>세 점 \\( P(3,2,-1), Q(1,0,-1), R(2,1,3) \\) 에 의하여 결정되는 평면에 수직인 벡터를 구하고, \\( \\triangle P Q R \\) 의 넓이를 구하라.", "또,</li><li>점 \\( S(0,1,6) \\) 에 대하여 선분 \\( P Q, P R, P S \\) 를 이웃하는 세 변으로 하는 평행육면체의 부피를 구하라.", "</li></ol>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "412", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "행렬과 대수_벡터", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-88a1-49b5-9d14-e4ee6703f5b8", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160730111", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2017", "doc_author": [ "석용징" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h3>■ 지수와 로그함수</h3><p>\\( 1.2 \\) 절과 \\( 1.4 \\) 절의 그래프로부터 지수함수 \\( y=a^{x} \\) 는 \\( \\mathbb{R} \\) 에서 연속이고 그 역함수인 \\( y=\\log _{a} x \\) 도 \\( (0, \\infty) \\) 에서 연속임을 알 수 있다.", "따라서 자연 지수함수 \\( y=e^{x} \\) 도 \\( \\mathbb{R} \\) 에서 연속이고 자연로그함수 \\( y=\\ln x \\) 는 \\( (0, \\infty) \\) 에서 연속이다.", "</p><h3>■ 쌍곡선 함수와 역쌍곡선 함수</h3><p>\\( y=e^{x} \\) 와 \\( y=e^{-x} \\) 를 사용한 쌍곡선 함수는 \\( \\mathbb{R} \\) 에서 연속함수이다.", "그러나 역쌍곡선 사인 함수는 \\( \\mathbb{R} \\) 에서 연속이지만 역 쌍곡선 코사인 함수는 \\( [1, \\infty) \\) 에서 연속이고 역 쌍곡선 탄젠트 함수는 \\( (-1,1) \\) 에서 연속이다.", "</p><p>예제 \\(5\\) 극한 \\( \\lim _{x \\rightarrow-2} \\frac{x^{3}+2 x^{2}-1}{5-3 x} \\) 을 구하는데 연속함수의 성질을 이용하면 쉽게 해결된다.", "실제로 \\( f(x)=\\frac{x^{3}+2 x^{2}-1}{5-3 x} \\) 은 유리함수이므로 정리 \\(8\\) 에 의해 정의역 \\( \\left\\{x \\mid x \\neq \\frac{5}{3}\\right\\} \\) 에서 연속이다.", "따라서 \\( x=-2 \\) 에서 연속이므로, 정의에 의해 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( \\lim _{x \\rightarrow-2} f(x)=f(-2)=\\frac{(-2)^{3}+2(-2)^{2}-1}{5-3(-2)}=-\\frac{1}{11} \\)</p><p>또 하나의 연산인 함수의 합성에 대해서도 다음과 같이 연속성이 보장된다.", "</p><p>\\(9\\) 정리 함수 \\( f \\) 가 \\( b \\) 에서 연속이고 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} g(x)=b \\) 이면 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(g(x))= \\) \\( f(b) \\) 이다.", "</p><p>증명 자세한 증명 대신에 직관적으로 이해하기로 한다.", "가정에서 \\( x \\) 가 \\( a \\) 에 접근하면 \\( g(x) \\) 는 \\( b \\) 에 접근함을 안다.", "그런데 \\( f \\) 가 \\( b \\) 에서 연속이므로 \\( b \\) 에 접근하는 \\( g(x) \\) 에 대하여 \\( f(g(x)) \\) 는 \\( f(b) \\) 에 접근하게 됨은 분명하다.", "</p><p>예제 \\(6\\) 역함수 \\( \\arcsin \\) 이 연속함수이므로 정리 9를 사용하면 다음을 얻는데, 여기서는 분자를 유리화 함으로써 극한을 구하였다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} \\lim _{x \\rightarrow 1} \\arcsin \\left(\\frac{1-\\sqrt{x}}{1-x}\\right) &=\\arcsin \\left(\\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{1-\\sqrt{x}}{1-x}\\right) \\\\ &=\\arcsin \\left(\\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{1-\\sqrt{x}}{(1-\\sqrt{x})(1+\\sqrt{x})}\\right) \\\\ &=\\arcsin \\left(\\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{1}{1+\\sqrt{x}}\\right)=\\arcsin \\frac{1}{2}=\\frac{\\pi}{6} . \\", "end{aligned} \\)</p> <p>다음 정리는 연속함수에 관한 중요한 성질인데, 증명없이 소개만 한다 (증명은 미분적분학의 고등과정을 참고하라).", "</p><p>11 중간값정리 (Intermediate Value Theorem, 약자로 IVT) \\( f \\) 가 닫힌구간 \\( [a, b] \\) 에서 연속이고 \\( M \\) 이 \\( f(a) \\) 와 \\( f(b) \\) 사이의 어떤 값일때 \\( f(c)=M \\) 인 \\( c \\) 가 열린구간 \\( (a, b) \\) 내에 존재한다.", "</p><p>IVT는 그림 6에서처럼 연속함수인 경우 함수값 \\( f(a) \\) 와 \\( f(b) \\) 사이에 있는 모든 중간값을 함수값으로 가진다는 것을 말한다. \\", "( M \\) 을 함수값으로 가지는 점 \\( c \\)가 한 번 [그림 (a)] 또는 두 번 이상 [그림 (b)]얻을 수도 있음에 주의하라.", "</p><p>IVT를 적용할 수 있는 가장 손쉬운 예는 방정식의 해의 존재성을 조사할 때인데, 다음 예제를 통하여 알아보기로 하자.", "</p><p>예제 8 방정식 \\( 4 x^{3}-6 x^{2}+3 x-2=0 \\) 의 해가 \\(1\\) 과 \\(2\\) 사이에 존재함을 보이 기 위해 \\( f(x)=4 x^{3}-6 x^{2}+3 x-2 \\) 라 하자.", "주어진 방정식의 해를 \\( c \\) 라 두면 \\( f(c)=0 \\) 라는 의미인데, 이를 만족하는 \\( c \\) 를 \\(1\\) 과 \\(2\\) 사이에서 찾아야 한다.", "이제 IVT를 사용하기 위해 \\( a=1, b=2, M=0 \\) 이라 두자.", "그러면</p><p>\\( f(1)=4-6+3-2=-1<0 \\) 이고 \\( f(2)=32-24+6-2=12>0 \\)</p><p>이므로 \\( f(1)<0<f(2) \\), 즉 \\( M=0 \\) 은 \\( f(1) \\) 과 \\( f(2) \\) 사이의 값이 된다.", "이제 다항함수 \\( f \\) 는 연속함수이므로 IVT에 의해 \\( f(c)=0 \\) 인 \\( c \\) 가 \\(1\\) 과 \\(2\\) 사이에 존재한다는 결론을 내릴 수 있다.", "다시 말해 방정식 \\( 4 x^{3}-6 x^{2}+3 x-2=0 \\) 의 해 \\( c \\)가 구간 \\( (1,2) \\) 안에 적어도 하나 존재함을 알 수 있다.", "</p><p>실제로, IVT를 거듭 사용하면 좀 더 정확한 해의 위치를 찾을 수 있다.", "사실, 예제 \\(8\\)에서 \\( a=1.2, b=1.3 \\) 을 택하면</p><p>\\( f(1.2)=-0.128<0 \\) 이고 \\( f(1.3)=0.548>0 \\)</p><p>이므로 해를 가지는 구간은 \\( (1.2,1.3) \\) 로 더 좁아진다.", "다시 \\( a=1.22, b=1.23 \\) 를 택하면</p><p>\\( f(1.22)=-0.007008<0 \\) 이고 \\( f(1.23)=0.056068>0 \\)</p><p>이므로 해를 가지는 구간은 \\( (1.22,1.23) \\) 로 더 괜찮은 구간이 된다.", "이를 반복 적용하면 해를 가지는 적절한 크기의 구간을 원하는 대로 선택이 가능하다.", "이러한 접근은 실제로 컴퓨터를 통해 함수의 그래프를 그릴 때 유용하게 사용되는데, 더 자세한 것은 수치해석을 참고하도록 하자.", "</p> <p>이제는 이러한 현상을 표현하는 방법과 이들이 그래프에서 어떤 역할을 하는 지에 대하여 공부하고자 한다.", "여기서 우리는 \\( \\pm \\infty \\) 라는 무한대 기호를 사용할 것인데, 위 예는</p><p>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1}{x^{2}}=\\infty \\)</p><p>로 표현하고 극한은 무한대(infinity)라 읽는다.", "여기서 \\( \\pm \\infty \\) 는 단순히 값이 무한히 커지거나 또는 무한히 작아지면서 극한이 존재하지 않는다는 것을 의미하는 상징적인 기호라는 사실에 유의하자.", "</p><p>정의 (무한극한) \\( f \\) 가 \\( a \\) 의 근방에서 정의된 함수(점 \\( a \\) 에서 정의되지 않은 경우도 포함)라 하자.", "</p><p>(a) \\( x \\neq a \\) 인 \\( x \\) 가 \\( a \\) 에 접근할 때 함수값 \\( f(x) \\) 가 한없이 커지면 \\( f(x) \\) 의 극한은 양의 무한대라 하고</p><p>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=\\infty \\), 또는 \\( x \\rightarrow a \\) 일 때 \\( f(x) \\rightarrow \\infty \\)</p><p>라 쓴다.", "</p><p>(b) \\( x \\neq a \\) 인 \\( x \\) 가 \\( a \\) 에 접근할 때 함수값 \\( f(x) \\) 가 한없이 작아지면 \\( f(x) \\) 의 극한은 음의 무한대라 하고</p><p>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=-\\infty \\) 또는 \\( x \\rightarrow a \\) 일 때 \\( f(x) \\rightarrow-\\infty \\)</p><p>로 쓴다.", "</p><p>한쪽에서의 무한극한에 대해서도 정의가 가능하다.", "이미 \\( x \\rightarrow a^{-} \\)는 \\( a \\) 보다 작 은 \\( x \\) 에 대해서만 생각하고 \\( x \\rightarrow a^{+} \\)는 \\( a \\) 보다 큰 \\( x \\) 에 대해서만 생각한다는 것을 배웠다.", "따라서 다음과 같이 네 가지 경우의 정의가 가능하다</p><p>\\( \\lim _{x \\rightarrow a^{-}} f(x)=\\infty, \\quad \\lim _{x \\rightarrow a^{+}} f(x)=\\infty, \\quad \\lim _{x \\rightarrow a^{-}} f(x)=-\\infty, \\quad \\lim _{x \\rightarrow a^{+}} f(x)=-\\infty \\).", "</p><p>정의 다음 명제들 중 적어도 하나가 참이면 직선 \\( x=a \\) 를 곡선 \\( y=f(x) \\)의 수직점근선(vertical asymptote)이라 한다.", "</p><p>\\( \\begin{array}{lll}\\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=\\infty, & \\lim _{x \\rightarrow a^{-}} f(x)=\\infty, & \\lim _{x \\rightarrow a^{+}} f(x)=\\infty \\\\ \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=-\\infty, & \\lim _{x \\rightarrow a^{-}} f(x)=-\\infty, & \\lim _{x \\rightarrow a^{+}} f(x)=-\\infty\\end{array} \\)</p><p>예를 들면, 그림 \\(1\\)에서 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0}\\left(1 / x^{2}\\right)=\\infty \\) 이므로 \\( x=0 \\) 즉 \\( y \\) 축은 곡선 \\( y=1 / x^{2} \\) 의 수직점근선이다.", "다음 그림 \\(4\\) 는 직선 \\( x=a \\) 이 수직점근선이 될 모 든 경우를 다루고 있다.", "</p><p>다항함수와 유리함수는 수직점근선을 가지지 않는다.", "일반적으로 수직점근선은 분수함수에서 분모를 \\(0\\) 으로 하는 값에서 나타난다.", "다음 예제들을 통하여 이를 알아보기로 하자.", "</p> <p>여러 현상을 이해하고 문제를 해결하기 위하여 미분적분학에서는 기본적으로 극한을 이용한다.", "이 장에서는 극한의 정의를 소개하고 그 성질을 바탕으로 여러 가지 극한을 구해 볼 것이다.", "특히 함수의 극한으로 수학 및 응용 전반에 걸쳐 중요한 역할을 하는 연속함수를 정의할 수 있는데, 이들이 수학에서 가지는 의미와 그 성질에 대하여 집중 조사해 보기로 하자.", "</p><h2>2.1 함수의 극한과 성질</h2><h3>■ 극한의 정의</h3><p>이 절에서 배울 중요한 사실은 한 점 근방에서 일어나는 함수의 움직임에 대한 것이다.", "우선 그림 \\(1\\) 의 그래프에서 \\( x \\) 축의 좌표 \\(2\\) 에 충분히 가까운 곳에서 \\( x \\)를 선택하여 점점 더 \\(2\\) 에 (어느 방향이든 상관없이) 가까이 가도록 하면 이에 대응하는 함수값 \\( f(x) \\) 는 4 에 가까워짐을 알 수 있다.", "이것을 \\( x \\) 가 2 에 접근할때 함수 \\( f(x)=x^{2}-x+2 \\) 의 극한(limit)이 \\(4\\) 라고 하는데 간단히</p><p>\\( \\lim _{x \\rightarrow 2}\\left(x^{2}-x+2\\right)=4 \\) 또는 \\( x \\rightarrow 2 \\) 일 때 \\( f(x) \\rightarrow 4 \\)</p><p>로 표기한다.", "</p><p>정의 \\( a \\) 에서의 함수 \\( f \\) 의 극한 (limit)이 실수 \\( L \\) 이라는 것은 \\( a \\) 에 충분히 가까운 \\( x \\) (단 \\( x \\neq a \\) )에 대응하는 \\( f(x) \\) 가 \\( L \\) 에 접근하는 경우를 말하는데, 기호로 다음과 같이 나타내기로 한다.", "</p><p>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=L \\) 또는 \\( x \\rightarrow a \\) 일 때 \\( f(x) \\rightarrow L \\)</p><p>극한의 정의는 \\( x \\neq a \\) 인 \\( x \\) 가 좌.", "우 어느 쪽에서든 상관없이 \\( a \\) 에 접근하면 \\( f(x) \\) 의 값이 \\( L \\) 에 접근한다는 것을 의미한다.", "</p><p>극한의 정의에서 \\( a \\) 근방에서 \\( x \\) 를 택할 때 \\( x=a \\) 를 고려하지 않겠다고 했는데, 이는 \\( f \\) 가 \\( a \\) 의 근방에서 어떻게 정의되어 있느냐에 관심을 둘 뿐 \\( x=a \\) 에서의 함수값에는 크게 문제를 두지 않는다는 것을 말한다.", "그림 2 에서 처럼 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=L \\) 이라 하더라도 (a)에서는 \\( f(a)=L \\), (b)에서는 \\( f(a) \\neq L \\) 이지만, (c)에서는 \\( f(a) \\) 조차 정의되지 않는 경우도 있음에 유 의하자.", "</p><p>예제 1 함수 \\( f(x)=\\frac{x-1}{x^{2}-1} \\) 은 \\( x=1 \\) 에서 정의되지 않지만, \\( x=1 \\) 에서의 극 한값 \\( \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{x-1}{x^{2}-1} \\) 은 \\( 0.5 \\) 로 존재한다(이는 나중에 확인할 것이다).", "이제 \\( f \\) 를 이 용하여 함수 \\( g \\) 를 다음과 같이 정의해보자.", "</p><p>\\( g(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}\\frac{x-1}{x^{2}-1}, & x \\neq 1 \\\\ 2, & x=1\\end{array}\\right. \\)", "</p><p>그러면 함수 \\( g \\) 는 \\( x=1 \\) 에서 \\( f \\) 와 여전히 같은 극한 \\( 0.5 \\) 를 가지는데, 이 극한은 함수값 \\( g(2) \\) 와는 다르다(그림 \\(3\\),\\(4\\) 참조).", "</p> <p>곡선 위의 한 점에서의 접선 기울기를 그 점에서의 곡선의 기울기라고 하기도 한다. 접선의 기울기를 구하는 또 다른 표현을 위해 점 \\( Q \\) 를 택할 때 증가분 \\( h \\) 를 이용하여 보자. 점 \\( Q \\) 의 \\( x \\) 좌표를 \\( x=a+h \\) 라 두는데, \\( h>", "0 \\) 이면 \\( P \\) 의 오른쪽, \\( h<0 \\) 이면 \\( P \\) 의 왼쪽에 있는 점이다.", "그러면 할선 \\( P Q \\) 의 기울기는</p><p>\\( m_{P Q}=\\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\)</p><p>가 되고, \\( x \\) 가 \\( a \\) 에 접근한다는 것은 \\( h \\) 가 0 에 접근한다는 것이므로 접선의 기울기는 다음과 같이 표현된다.", "</p><p>\\( m=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\)</p><p>예제 2 점 \\( (3,1) \\) 에서 쌍곡선 \\( y=3 / x \\) 의 접선의 식을 구하자. \\", "( f(x)=3 / x \\) 이라 두면 점 \\( (3,1) \\) 에서의 접선의 기울기는</p><p>\\( \\begin{aligned} m &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{\\frac{3}{3+h}-1}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{\\frac{3-(3+h)}{3+h}}{h} \\\\ &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{-h}{h(3+h)}=\\lim _{x \\rightarrow 0}-\\frac{1}{3+h}=-\\frac{1}{3} \\end{aligned} \\)</p><p>이므로, 점 \\( (3,1) \\) 을 지나는 접선의 식은 \\( y-1=-\\frac{1}{3}(x-3) \\), 또는 \\( x+3 y-6=0 \\) 이다.", "</p><h3>평균속도와 순간속도</h3><p>어떤 물체가 시간 \\( t \\) 에 따른 운동방정식 \\( s=f(t) \\) 에 따라 움직인다고 하자.", "여기서 \\( s \\) 는 물체가 시간 \\( t \\) 에 따라 원점으로부터 움직인 거리를 나타내는데, 운동을 나타내는 함수 \\( f \\) 를 물체의 위치함수(position function)라고 한다.", "위치함수로부터 \\( t=a \\) 에서의 순간 속도(instantaneous velocity) 또는 속도(velocity)를 정의하여 보자.", "우선 \\( t=a \\) 부터 \\( t=a+h \\) 까지 동안 물체의 위치는 \\( f(a+h)-f(a) \\) 만큼 변한다.", "이 시간 동안의 평균속도(average velocity)는</p><p>\\( 평균속도=\\frac{\\text { 변위 }}{\\text { 시간 }}=\\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\)</p><p>인데, 이는 할선 \\( P Q \\) 의 기울기와 같다(그림 5 참조).", "이들의 극한을 취하면 다음과 같이 속도를 얻는다.", "</p><p>정의 \\( t=a \\) 에서의 속도 (또는 순간속도) \\( v(a) \\) 는 구간 \\( [a, a+h] \\) 에서 \\( h \\) 를 \\(0\\)에 접근시켰을 때의 평균속도의 극한으로 정의한다.", "즉, \\[ v(a)=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\text { 이다. } \\]", "</p> <h3>■ 다항함수</h3><p>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} c_{0}=c_{0} \\) 이고 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} x=a \\) 이므로 상수함수와 항등함수는 모든 실수에서 연속이다.", "또한 정수 \\( m \\) 에 대하여 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} x^{m}=a^{m} \\) 이므로 \\( f_{m}(x)=x^{m} \\) 는 모든 실수에서 연속이다.", "이제 차수가 \\( n \\) 인 다항함수 \\( P \\) 는 상수 \\( c_{0}, c_{1}, \\cdots, c_{n} \\) (단 \\( \\left.c_{n} \\neq 0\\right) \\) 를 가지는</p><p>\\( P(x)=c_{n} x^{n}+c_{n-1} x^{n-1}+\\ldots+c_{1} x+c_{0} \\)</p><p>로 표현된다.", "그런데, 함수 \\( g_{m}(x)=c_{m} x^{m} \\) 은 모든 실수에서 연속이고, \\( P \\) 는 연속인 상수함수와 연속인 \\( g_{m} \\) 들의 합으로 구성되어 있으므로 정리 \\(8\\) 에 의해 다항함수 \\( P \\) 는 \\( \\mathbb{R}=(-\\infty, \\infty) \\) 에서 연속이다.", "</p><h3>■ 유리함수</h3><p>유리함수 \\( f \\) 는 다항함수 \\( P \\) 와 \\( Q \\) 에 의해</p><p>\\( f(x)=\\frac{P(x)}{Q(x)} \\)</p><p>의 형태로 표현되고, \\( f \\) 의 정의역은 \\( D=\\{x \\in \\mathbb{R} \\mid Q(x) \\neq 0\\} \\) 이다.", "다항함수 \\( P \\) 와 \\( Q \\) 는 모든 실수에서 연속이므로, 정리 8 에 의해 \\( f \\) 는 \\( D \\) 의 모든 점에서 연속이 된다.", "</p><h3>■ 제곱근 함수</h3><p>양의 정수 \\( n \\) 에 대하여 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} \\sqrt[n]{x}=\\sqrt[n]{\\lim _{x \\rightarrow a} x}=\\sqrt[n]{a} \\) 이므로 제곱근 함수 \\( f(x)=\\sqrt[n]{x} \\) 는 정의역 \\( [0, \\infty) \\) 에서 연속이다.", "</p><h3>■삼각함수와 역삼각함수</h3><p>\\( 1.2 \\) 절에서 알아본 사인과 코사인 함수의 그래프로부터 \\( \\mathbb{R} \\) 에서 연속임을 알수 있다.", "그러나 탄젠트함수는 분수함수</p><p>\\( \\tan x=\\frac{\\sin x}{\\cos x} \\)</p><p>이므로 \\( \\cos x=0 \\) 인 점 \\( x \\) 을 제외한 모든 점에서 연속이 된다.", "이것은 \\( x \\) 가 \\( \\pi / 2 \\)의 홀수배일 때 나타나므로 \\( y=\\tan x \\) 는 \\( x=\\frac{\\pi}{2}, \\pm \\frac{3 \\pi}{2}, \\pm \\frac{5 \\pi}{2}, \\ldots \\) 에서 불연속이다(그림 \\(5\\) 참조).", "</p><p>연속함수의 역함수는 반드시 연속이다.", "사실, \\( 1.4 \\) 절에서 알아본 바와 같이 역삼각함수의 그래프는 삼각함수의 그래프를 직선 \\( y=x \\) 에 대하여 선대칭한 것이므로 연결되어 있음은 당연하다.", "따라서 역삼각함수들도 주어진 정의역에서 연속이다.", "</p> <p>예제 \\(5\\) 양수 \\( x \\) 가 점점 커지면 \\( 1 / x \\) 은 점점 작아진다.", "예를 들어,</p><p>\\( \\frac{1}{100}=0.01, \\quad \\frac{1}{10,000}=0.0001, \\quad \\frac{1}{1,000,000}=0.000001, \\ldots \\)</p><p>이므로 실제로 양수 \\( x \\) 를 충분히 크게 잡으면 양수인 \\( \\frac{1}{x} \\) 은 점점 더 0 에 가까워진 다. 따라서</p><p>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{x}=0 \\)</p><p>이 된다.", "마찬가지로 음수 \\( x \\) 를 충분히 작게 잡으면 음수인 \\( \\frac{1}{x} \\) 도 점점 더 0 에 가까워진다.", "따라서</p><p>\\( \\lim _{x \\rightarrow-\\infty} \\frac{1}{x}=0 \\)</p><p>을 얻으므로, 따라서 직선 \\( y=0 \\) 즉, \\( x \\) 축은 곡선 \\( y=\\frac{1}{x} \\) 의 수평점근선이다 (그 림 \\(11\\) 참조).", "</p><p>\\(2.2\\)절에서 배운 대부분의 극한성질들은 무한대에서의 극한에 대해서도 성립 한다.", "극한성질들 중 ' \\( x \\rightarrow a^{\\prime} \\) 대신 ' \\( x \\rightarrow \\infty \\) ' 또는 ' \\( x \\rightarrow-\\infty \\) '로 바꾸면 된다.</p><p>예제 \\(6\\) \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{3 x^{2}-x-2}{5 x^{2}+4 x+1} \\) 은 \\( x \\) 가 커짐에 따라 분모와 분자가 동시에 커지 는 것은 분명한데, 이들의 비가 어떤 수로 나타나면서 변하는지 명확하지 않다. 이와 같은 경우는 분모의 최고차항으로 분모와 분자를 나눔으로써 해결이 가능 하다. 우선, 분모 다항식의 최고차항 \\( x^{2} \\) 으로 분모 분자를 나누고 극한법칙을 적 용하면 다음이 구해진다.</p><p>\\( \\begin{aligned} \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{3 x^{2}-x-2}{5 x^{2}+4 x+1} &=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\frac{3 x^{2}-x-2}{x^{2}}}{\\frac{5 x^{2}+4 x+1}{x^{2}}}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{3-\\frac{1}{x}-\\frac{2}{x^{2}}}{5+\\frac{4}{x}+\\frac{1}{x^{2}}} \\\\ &=\\frac{\\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(3-\\frac{1}{x}-\\frac{2}{x^{2}}\\right)}{\\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(5+\\frac{4}{x}+\\frac{1}{x^{2}}\\right)}=\\frac{\\lim _{x \\rightarrow \\infty} 3-\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{x}-2 \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{x^{2}}}{\\lim _{x \\rightarrow \\infty} 5+4 \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{x}+\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{x^{2}}} \\\\ &=\\frac{3-0-0}{5+0+0}=\\frac{3}{5} . \\end{aligned} \\)</p><p>마찬가지 방법으로 \\( x \\rightarrow-\\infty \\) 일 때 극한 역시 \\( \\frac{3}{5} \\) 을 얻을 수 있다.</p><p>예제 \\(7\\) \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(\\sqrt{x^{2}+1}-x\\right) \\) 에서도 \\( x \\) 가 커질 때 \\( \\sqrt{x^{2}+1} \\) 와 \\( x \\) 둘 다 커지는데다 이들의 차가 어떻게 될지 모르기 때문에 극한을 그대로는 구할 수 없다. 예제 \\(6\\)과 마찬가지로 함수를 적절히 고쳐 보도록 하자. 여기서는 주어진 식을 분모가 \\(1\\) 인 분수식으로 생각하고 켤레근호식을 분자와 분모에 곱하면, 이 문제는</p><p>\\( \\begin{aligned} \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(\\sqrt{x^{2}+1}-x\\right) &=\\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(\\sqrt{x^{2}+1}-x\\right) \\frac{\\sqrt{x^{2}+1}+x}{\\sqrt{x^{2}+1}+x} \\\\ &=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\left(x^{2}+1\\right)-x^{2}}{\\sqrt{x^{2}+1}+x}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}+x} \\end{aligned} \\)</p><p>의 극한 문제로 변경된다. 그러면 예제 6 에서와 같이 분모의 최고차 항 \\( x \\) 로 분자와 분모를 나누고 극한성질을 사용하면</p><p>\\( \\begin{aligned} \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}+x} &=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\frac{1}{x}}{\\frac{\\sqrt{x^{2}+1}+x}{x}} \\\\ &=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\frac{1}{x}}{\\sqrt{1+\\frac{1}{x^{2}}}+1}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{0}{\\sqrt{1+0}+1}=0 \\end{aligned} \\)</p><p>을 얻는다. 이를 이용하면 함수 \\( f(x)=\\sqrt{x^{2}+1}-x \\) 은 \\( y=0 \\) 즉, \\( x \\) 축을 수평점근선으로 가진다는 결론을 내릴 수 있다(그림 \\(13\\) 참조).</p> <p>어떤 함수의 극한을 계산할 때 정리 \\(4\\) 의 여섯 개의 법칙을 이용하면 쉽게 해결되는 경우가 허다하다. 이를 이용하여 여러함수들의 극한을 조사할 것인데 다음 함수들로 출발하기로 한다.</p><p>(상수함수 \\( f(x)=c \\) 의 극한) \\( \\lim _{x \\rightarrow a} c=c \\)</p><p>(항등함수 \\( f(x)=x \\) 의 극한) \\( \\lim _{x \\rightarrow a} x=a \\)</p><p>이 두 가지 기본적인 사실에 여러 성질을 적용하면 다양한 극한을 구할 수 있다. 우선 양의 정수 \\( n \\) 에 대하여 성질 6 에 \\( f(x)=x \\) 를 적용하면 다음을 얻는다.</p><p>(거듭제곱함수 \\( f(x)=x^{n} \\) 의 극한) \\( \\lim _{x \\rightarrow a} x^{n}=a^{n} \\)</p><p>예제 \\(7\\) (a) 다항함수의 극한은 성질 \\( 1,2,3 \\) 으로 쉽게 구할 수 있다. 예를 들면</p><p>\\( \\begin{aligned} \\lim _{x \\rightarrow 5}\\left(2 x^{2}-3 x+4\\right) &=\\lim _{x \\rightarrow 5}\\left(2 x^{2}\\right)-\\lim _{x \\rightarrow 5}(3 x)+\\lim _{x \\rightarrow 5} 4 \\\\ &=2 \\lim _{x \\rightarrow 5} x^{2}-3 \\lim _{x \\rightarrow 5} x+4=2\\left(5^{2}\\right)-3(5)+4=39 \\end{aligned} \\)</p><p>이다.</p><p>(b) 유리함수의 극한 \\( \\lim _{x \\rightarrow 2} \\frac{x^{3}+2 x^{2}-1}{5-3 x} \\) 에 성질 5 를 사용하려면 먼저 유리함수에서의 분자와 분모의 극한이 존재하고 분모의 극한이 0 이 아님을 알아야 된다. 실제로 \\( \\lim _{x \\rightarrow 2}(5-3 x)=\\lim _{x \\rightarrow 2} 5-3 \\lim _{x \\rightarrow 2} x=5-3 \\cdot 2=-1 \\neq 0 \\) 이므로 성질 \\(5\\) 에 의해 다음을 얻는다.</p><p>\\( \\begin{aligned} \\lim _{x \\rightarrow-2} \\frac{x^{3}+2 x^{2}-1}{5-3 x} &=\\frac{\\lim _{x \\rightarrow-2}\\left(x^{3}+2 x^{2}-1\\right)}{\\lim _{x \\rightarrow-2}(5-3 x)} \\\\ &=\\frac{\\lim _{x \\rightarrow-2} x^{3}+2 \\lim _{x \\rightarrow-2} x^{2}-\\lim _{x \\rightarrow-2} 1}{\\lim _{x \\rightarrow-2} 5-3 \\lim _{x \\rightarrow-2} x} \\\\ &=\\frac{(-2)^{3}+2(-2)^{2}-1}{5-3(-2)}=\\frac{-1}{11} \\end{aligned} \\)</p><p>예제 \\( 7(\\mathrm{a}) \\) 에서의 극한은 \\( x \\) 대신에 단순히 5 를 대입한 값과 같고, 예제 \\( 2(\\mathrm{b}) \\) 에서의 극한은 \\( x \\) 대신에 단순히 \\( -2 \\) 를 대입한 값과 같은데, 이러한 성질은 나중에 자세히 공부할 것이다.</p><p>5 직접대입성질 \\( f \\) 가 다항함수이거나 유리함수이고 \\( a \\) 가 \\( f \\) 의 정의역에 속하면 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=f(a) \\) 이다.</p><p>이 성질은 다음 예제와 같이 참이 아닌 경우도 있으므로 주의해서 사용해야 한다.</p> <p>10 정리 \\( g \\) 가 \\( a \\) 에서 연속이고 \\( f \\) 가 \\( g(a) \\) 에서 연속이면 \\( (f \\circ g)(x)=f \\) \\( (g(x)) \\) 로 주어진 합성함수 \\( f \\circ g \\) 도 \\( a \\) 에서 연속이다.</p><p>증명 함수 \\( g \\) 가 \\( a \\) 에서 연속이므로 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} g(x)=g(a) \\) 인데, \\( f \\) 는 \\( g(a) \\) 에서 연속이므로 정리 \\(9\\) 에 의해 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(g(x))=f(g(a)) \\) 가 된다. 따라서 합성함수 \\( f \\circ g \\) 는 \\( a \\) 에서 연속이다.</p><p>양의 정수 \\( n \\) 에 대한 연속함수 \\( f(x)=\\sqrt[n]{x} \\) 에 정리 10을 적용하면 \\( f(g(x))=\\sqrt[n]{g(x)} \\) 는 정의역 \\( D=\\{x \\mid g(x) \\geq 0\\} \\) 에서 연속함수이다. 이제 \\( a \\in D \\) 에 정리 \\(10\\)을 적용하면 정리 \\(7\\)의 성질 \\(2\\)는 다음과 같이 얻어진다.</p><p>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} \\sqrt[n]{g(x)}=\\lim _{x \\rightarrow a} f(g(x))=f\\left(\\lim _{x \\rightarrow a}(x)\\right)=\\sqrt[n]{\\lim _{x \\rightarrow a}(x)} \\)</p><p>예제 \\(7\\) (a) 함수 \\( h(x)=\\sin \\left(x^{2}\\right) \\) 의 연속성에 대하여 알아보자. 만약 \\( g(x)=x^{2} \\) 이고 \\( f(x)=\\sin x \\) 라 두면, \\( h(x)=f(g(x)) \\) 가 된다. 이제 \\( g \\) 는 다항함수로 \\( \\mathbb{R} \\) 에서 연속이고 사인함수 \\( f \\) 도 \\( \\mathbb{R} \\) 에서 연속이므로 정리 10 에 의해 \\( h=f \\circ g \\) 는 \\( \\mathbb{R} \\) 에서 연속이다.</p><p>(b) 함수 \\( F(x)=\\ln (1+\\cos x) \\) 는 \\( f(x)=\\ln x \\) 와 \\( g(x)=1+\\cos x \\) 에 의해 \\( F(x)=f(g(x)) \\) 로 표현되고 정의역은 \\( 1+\\cos x>0 \\) 인 경우, 즉 \\( \\cos x>-1 \\) 인 경우에만 해당된다. 따라서 \\( F \\) 의 정의역은 \\( D=\\mathbb{R}-\\{x \\mid \\cos x=-1\\} \\) 이다. 그런데, \\( f(x)=\\ln x \\) 는 구간 \\( (0, \\infty) \\) 에서 연속이고, \\( y=1 \\) 과 \\( y=\\cos x \\) 가 모두 \\( \\mathbb{R} \\) 에서 연속이므로 \\( g(x)=1+\\cos x \\) 도 \\( \\mathbb{R} \\) 에서 연속이다. 따라서 정리 10 에 의해 \\( F \\) 는 정의역 \\( D \\) 에서 연속이다. 사실, \\( \\cos x=-1 \\) 은 \\( x=\\pm \\pi, \\pm 3 \\pi, \\cdots \\) 일 때 해당되므로 \\( F \\) 는 \\( x \\) 가 \\( \\pi \\) 의 홀수배일 때 불연속이고 이 값들 사이의 구간에서는 연속이다.</p> <p>그림 \\(2\\) 에서 곡선 \\( C \\) 가 함수 \\( y=f(x) \\) 의 그래프라 할 때, 점 \\( P(a, f(a)) \\) 에서의 함수의 접선을 구하여 보자.</p><p>한 점 \\( P \\) 만으로 접선의 기울기를 구할 수 없는 이 경우는 극한의 개념으로 접근하면 해결이 가능하다. 먼저 \\( P(a, f(a)) \\) 에서 인접한 점 \\( Q(x, f(x)) \\) 을 택하면(여기서 \\( x \\neq a \\) 이다), 할선 \\( P Q \\) 의 기울기는</p><p>\\( m_{P Q}=\\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \\)</p><p>이 된다. 이제 점 \\( Q \\) 를 곡선 \\( C \\) 를 따라 점 \\( P \\) 에 접근하도록 선택하면, 할선 \\( P Q \\)는 점점 움직여 접선 \\( l \\) 에 도달하게 될 것이다. 다시 말해서 \\( x \\) 를 \\( a \\) 에 접근시키면 할선 \\( P Q \\) 는 접선 \\( l \\) 에 접근한다. 이로부터 \\( x \\) 가 \\( a \\) 에 접근함에 따라 할선의 기울기 \\( m_{P Q} \\) 의 극한 \\( m \\) 이 접선 \\( l \\) 의 기울기라는 결론을 내릴 수 있는데, 이를 기호로 나타내면 다음과 같다.</p><p>\\( \\lim _{Q \\rightarrow P} m_{P Q}=m \\)</p><p>다만 여기서 \\( m_{P Q} \\) 의 극한값이 존재하는 경우에만 해당된다는 데 유의하자. 이상으로부터 접선 \\( l \\) 은 점 \\( P \\) 를 지나고 기울기가 \\( m \\) 인 직선으로 정의가 가능하다.</p><p>정의 점 \\( P(a, f(a)) \\) 에서의 함수 \\( y=f(x) \\) 의 접선은 \\( P \\) 를 지나고 기울기가 \\[ m=\\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \\text { (단, 극한이 존재하는 경우에 국한된다) } \\] 인 직선이다.</p><p>예제 \\(1\\) 점 \\( P(1,1) \\) 에서의 포물선 \\( y=x^{2} \\) 의 접선의 방정식을 구하여 보자. \\( f(x)=x^{2} \\) 라 두면 \\( a=1 \\) 에서의 접선의 기울기는</p><p>\\( \\begin{aligned} m &=\\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{x^{2}-1}{x-1} \\\\ &=\\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\\lim _{x \\rightarrow 1}(x+1)=2 \\end{aligned} \\)</p><p>이다. 접선이 점 \\( P(1,1) \\) 를 지나므로 식은 \\( y-1=2(x-1) \\) 또는 \\( y=2 x-1 \\)이 된다.</p> <p>다음 예제는 다항함수의 그래프가 절편과 무한대에서의 무한극한을 사용하면 대략적으로 예측이 가능하다는 것을 보여 준다.</p><p>예제 \\(12\\) 다항함수 \\( y=(x-2)^{4}(x+1)^{3}(x-1) \\) 에서 \\( y \\) 절편은 \\( f(0)=(-2)^{4} \\) \\( (1)^{3}(-1)=-16 \\) 이고 \\( x \\) 절편은 \\( y=0 \\) 을 만족하는 \\( x=2,-1,1 \\) 이다. \\( x \\) 절편 \\( -1 \\) 과 \\(1\\) 의 양쪽에서 함수값이 양에서 음으로, 음에서 양으로 바뀌므로 그래프가 \\( \\pm 1 \\) 에서 \\( x \\) 축을 가로 지른다는 것을 알 수 있다. 그러나, \\( x \\) 절편 \\(2\\) 의 양쪽에서 는 함수값 모두 양이므로 그래프는 \\(2\\) 에서 \\( x \\) 축을 가로 지르지는 않는다. 또한 \\( x \\) 가 점점 커지면 세 인수 모두 커지므로</p><p>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty}(x-2)^{4}(x+1)^{3}(x-1)=\\infty \\)</p><p>이고, \\( x \\) 가 점점 작아지면 첫째 항은 양으로 커지고 둘째 항과 셋째 항은 모두 음으로 작아지므로</p><p>\\( \\lim _{x \\rightarrow-\\infty}(x-2)^{4}(x+1)^{3}(x-1)=\\infty \\)</p><p>이 된다. 이들을 결합하여 그린 함수의 그래프는 대략 그림 16 과 같다.</p><h2>\\( 2.3 \\) 연습문제</h2><p>\\(1\\). 주어진 함수 \\( f \\) 의 그래프를 이용하여 다음 극한을 구하고, 그 이유를 설명하여라.</p><p>(a) \\( \\lim _{x \\rightarrow-2} f(x) \\) (b) \\( \\lim _{x \\rightarrow-1^{+}} f(x) \\) (c) \\( \\lim _{x \\rightarrow-1^{-}} f(x) \\) (d) \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} f(x) \\) (e) \\( \\lim _{x \\rightarrow-\\infty} f(x) \\) (f) 점근선의 방정식</p><p>※ (\\(2-11\\)) 주어진 점에서의 무한극한을 구하여라.</p><p>\\(2\\). \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{x+4}-2}{x} \\)</p><p>\\(3\\). \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tan 3 x}{\\tan 5 x} \\)</p><p>\\(4\\). \\( \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{x^{6}-1}{x^{10}-1} \\)</p><p>\\(5\\). \\( \\lim _{x \\rightarrow 5^{+}} \\frac{6}{x-5} \\)</p><p>\\(6\\). \\( \\lim _{x \\rightarrow 5^{-}} \\frac{6}{x-5} \\)</p><p>\\(7\\). \\( \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{2-x}{(x-1)^{2}} \\)</p><p>\\(8\\). \\( \\lim _{x \\rightarrow 5^{+}} \\ln (x-5) \\)</p><p>\\(9\\). \\( \\lim _{x \\rightarrow \\pi^{-}} \\csc x \\)</p><p>\\(10\\). \\( \\lim _{x \\rightarrow 5^{+}} \\ln (x-5) \\)</p><p>\\(11\\). \\( \\lim _{x \\rightarrow-2^{+}} \\frac{x-1}{x^{2}(x+2)} \\)</p> <p>예제 \\(4\\) 부산에서 \\(4\\)월 \\(5\\) 일 하루 자정부터 매시간 \\( x \\) 마다 측정한 온도는 표와 같다.</p><p>(a) 정오부터 오후 세시까지 온도의 평균변화율을 구해 보자. 정해진 시간동안 온도는 \\( 14.3^{\\circ} \\) 에서 \\( 18.2^{\\circ} \\) 로 변했으므로 \\( \\Delta x=3 \\) 일 때 \\[ \\Delta T=T(15)-T(12)=18.2-14.3=3.9 \\] 이다. 따라서 시간에 관한 평균변화율은 \\( \\frac{\\Delta T}{\\Delta x}=\\frac{3.9}{3}=1.3 \\) 이다.</p><p>(b) 정오에서의 순간 변화율을 찾기 위해서 표에서 나타난 자료를 통해 온도함수의 그래프를 그림 \\(7\\)에서와 같이 그려보았다.</p><p>\\( x=12 \\) 일 때 점 \\( P \\) 에서의 접선의 기울기가 바로 순간변화율이 된다. 적절히 삼각형 \\( A B C \\) 를 형성한 뒤 이를 통해 기울기를 구하면 \\( \\frac{|B C|}{|A C|}=\\frac{10.3}{5.5}=1.9 \\) 이므로 정오에서의 온도의 순간변화율은 약 \\( 1.9^{\\circ} \\mathrm{C} / \\mathrm{h} \\) 가 됨을 알 수 있다.</p><p>변회율을 다루는 문제는 자연과학, 공학 뿐 아니라 사회과학에서 조차 중요하다. 이상에서 보다시피 변화율에 대한 문제는 접선에 대한 이해를 요구한다. 접선과 관계된 문제는 때에 따라 기하학적인 해석으로 해결되기도 하지만, 다음 장에서 다룰 미분을 이용하면 다양한 문제들이 보다 쉽게 해결이 된다.</p><h2>2.4 연습문제</h2><p>1. \\( f(x)=3 x^{2}-5 x \\) 일때 \\( f^{\\prime}(2) \\) 를 계산하고, 이를 이용하여 \\( (2,2) \\) 에서의 \\( f \\) 의 접선의 식을 구하여라.</p><p>2. \\( g(x)=1-x^{3} \\) 일때 \\( g^{\\prime}(0) \\) 을 계산하고, 이를 이용하여 \\( (0,1) \\) 에서의 \\( g \\) 의 접선의 식을 구하여라.</p><p>3. \\( h(x)=x^{3}-5 x+1 \\) 일때 \\( h^{\\prime}(1) \\) 을 계산하고 이를 이용하여 \\( (1,-3) \\) 에서의 \\( h \\) 의 접선의 식을 구하여라.</p><p>※ (4-9) 주어진 점에서 곡선의 접선방정식을 구하여라.</p><p>4. \\( y=1+2 x-x^{3} \\), \\( (1,2) \\)</p><p>5. \\( y=\\sqrt{2 x+1} \\) \\( (4,3) \\)</p><p>6. \\( y=(x-1) /(x-2) \\), \\( (3,2) \\)</p><p>7. \\( y=2 x /(x+1)^{2} \\), \\( (0,0) \\)</p><p>8. \\( y=9-2 x^{2} \\), \\( (2,1) \\)</p><p>9. \\( y=\\frac{2}{1-3 x} \\), \\( (0,2) \\)</p><p>10. (a) \\( x=a \\) 에서 곡선 \\( y=2 /(x+3) \\) 의 접선의 기울기를 구하여라.</p><p>(b) \\( x \\) 좌표가 (i) \\( -1 \\), (ii) 0 , (iii) 1인 점에서 접선의 기울기를 각각 구하여라.</p> <p>예제 8 예제 1 에서 언급한 \\( \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{x^{2}-1}{x-1} \\) 을 구하여 보자. 우선 \\( f(x)=\\left(x^{2}-1\\right) \\) \\( /(x-1) \\) 이라 하면, \\( f(1) \\) 이 정의되지 않으므로 \\( x=1 \\) 을 대입해서 극한을 구할 수 없다. 대신에 분자를 인수분해하면</p><p>\\( f(x)=\\frac{x^{2}-1}{x-1}=\\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} \\)</p><p>이 되는데, 1 근방의 점 \\( x \\) 에서는 공통인수가 \\( x-1 \\neq 0 \\) 이므로 약분이 가능하다. 따라서 1 근방의 점 \\( x \\) 에서 함수는 \\( f(x)=x+1 \\) 로 간단히 표현되어 극한은 직접대입성질로부터 다음과 같이 구해진다.</p><p>\\( \\lim _{x \\rightarrow 1} f(x)=\\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\\lim _{x \\rightarrow 1}(x+1)=2 \\).</p><p>예제\\(9\\) \\( g(x)=\\left\\{\\begin{aligned} x+1, & x \\neq 1 \\\\ \\pi, & x=1 \\end{aligned}\\right. \\) 일 때 \\( \\lim _{x \\rightarrow 1} g(x) \\) 를 구하여 보자. 여기서 \\( x=1 \\) 에서 함수값은 \\( g(1)=\\pi \\) 이다. 그러나 \\( x \\neq 1 \\) 일 때 \\( g(x)=x+1 \\) 이므로, 1 에서의 \\( g \\) 의 극한값은</p><p>\\( \\lim _{x \\rightarrow 1} g(x)=\\lim _{x \\rightarrow 1}(x+1)=2 \\)</p><p>이 되고, 이는 함수값 \\( g(1)=\\pi \\) 와 다르다.</p><p>예제 \\(8\\) 과 \\(9\\) 를 관찰하면 함수의 극한의 개념이 더 분명해진다. 실제로 예제 \\(8\\) 에서 함수 \\( f(x)=\\left(x^{2}-1\\right) /(x-1) \\) 대신에 \\( h(x)=x+1 \\) 을 택하여 극한을 구하여도 같은 값을 얻는다. 이것은 한 점 \\( x=1 \\) 을 제외하고 \\( f(x)=h(x) \\) 이기 때문인데, \\( x=1 \\) 에서의 함수의 극한은 그 점에서의 함수값과는 상관없다는 것을 말해준다. 또한 예제 9 는 함수값 \\( g(1) \\) 이 존재하지만 \\(1\\)에서의 극한값과는 서로 다른 경우이다(그림 12 참조).</p><p>\\(6\\) 정리 \\( a \\) 근방에서 \\( a \\) 를 제외한 모든 \\( x \\) 에 대하여 \\( f(x)=g(x) \\) 이면</p><p>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=\\lim _{x \\rightarrow a} g(x) \\)</p><p>이 된다.</p><p>마지막으로 제곱근호를 가지는 함수의 극한에 대하여 생각하자. 제곱근호함수는 거듭제곱함수의 역으로 보면 다음을 얻는데 증명은 \\(2.4\\)절의 연습문제 \\(37\\)에서 다룰 것이다.</p><p>\\(7\\) 정리</p><ol type=1 start=1><li>양의 정수 \\( n \\) 에 대하여 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} \\sqrt[n]{x}=\\sqrt[n]{\\lim _{x \\rightarrow a} x} \\)</li><li>\\( f(x) \\geq 0 \\) 이면 양의 정수 \\( n \\) 에 대하여 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} \\sqrt[n]{f(x)}=\\sqrt[n]{\\lim _{x \\rightarrow a} f(x)} \\)</li></ol><p>주 정리 \\(7\\) 의 성질 \\(1\\) 에서 특히 \\( n \\) 이 짝수일 때는 \\( a>0 \\) 인 경우에만 해당된다.</p><p>예제 \\( 10 \\lim _{t \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{t^{2}+9}-3}{t^{2}} \\) 에서 분모의 극한이 \\(0\\) 이므로 성질 \\(5\\) 를 적용할 수 없다. 그러나, 분자를 유리화 하면 다음과 같은 극한을 얻는다.</p><p>\\( \\begin{aligned} \\lim _{t \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{t^{2}+9}-3}{t^{2}} &=\\lim _{t \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{t^{2}+9}-3}{t^{2}} \\cdot \\frac{\\sqrt{t^{2}+9}+3}{\\sqrt{t^{2}+9}+3} \\\\ &=\\lim _{t \\rightarrow 0} \\frac{\\left(t^{2}+9\\right)-9}{t^{2}\\left(\\sqrt{t^{2}+9}+3\\right)}=\\lim _{t \\rightarrow 0} \\frac{t^{2}}{t^{2}\\left(\\sqrt{t^{2}+9}+3\\right)} \\\\ &=\\lim _{t \\rightarrow 0} \\frac{1}{\\sqrt{t^{2}+9}+3}=\\frac{1}{\\sqrt{\\lim _{t \\rightarrow 0}\\left(t^{2}+9\\right)}+3}=\\frac{1}{3+3}=\\frac{1}{6} . \\end{aligned} \\)</p> <p>21. \\( f(x)=x-\\llbracket x \\rrbracket \\) 라 하자.</p><p>(a) \\( f \\) 의 그래프를 그려라.</p><p>(b) \\( n \\) 이 정수일 때 (i) \\( \\lim _{x \\rightarrow n^{-}} f(x) \\) (ii) \\( \\lim _{x \\rightarrow n^{+}} f(x) \\) 를 구하여라.</p><p>(c) \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x) \\) 가 존재하는 \\( a \\) 의 값을 구하여라.</p><p>\\(22\\). \\( \\lim _{x \\rightarrow 2} \\frac{\\sqrt{6-x}-2}{\\sqrt{3-x}-1} \\) 를 구하여라.</p><p>\\(23\\). 디리클레 함수 \\( f(x)=\\left\\{\\begin{array}{l}0, x \\text { 가 유리 수 } \\\\ 1, x \\text { 가 무리수 }\\end{array}\\right. \\) \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} f(x) \\) 가 존재하지 않음을 설명하여라.</p><p>\\(24\\). 디리클레 함수 \\( f(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}x^{2}, & x \\text { 는 유리 수 } \\\\ 0, & x \\text { 는 무리수 }\\end{array}\\right. \\) \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} f(x)=0 \\) 임을 보여라.</p><p>\\(25\\). \\( \\lim _{x \\rightarrow-2} \\frac{3 x^{2}+a x+a+3}{x^{2}+x-2} \\) 이 존재하도록 하는 \\( a \\) 가 있 는가? 있다면 \\( a \\) 를 찾고 그 경우의 극한값을 구하여라.</p><p>\\(26\\). 모든 \\( x \\) 에 대하여 \\( 1 \\leq f(x) \\leq x^{2}+2 x+2 \\) 일 때 \\( \\lim _{x \\rightarrow-1} f(x) \\) 를 구하여라.</p><p>\\(27\\). \\( 0<x<3 \\) 일 때 \\( 2 x-1 \\leq f(x) \\leq x^{2} \\) 이다. \\( \\lim _{x \\rightarrow 1} f(x) \\) 를 구하여라.</p><p>\\(28\\). \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} x^{2} \\cos \\frac{1}{x^{2}}=0 \\) 임을 보여라.</p><h2>2.2 함수의 연속과 성질</h2><p>앞 절에서 \\( a \\) 에서의 함수의 극한이 함수값 \\( f(a) \\) 로 간단하게 구해지는 경우가 있음을 보았다. 이러한 성질을 가지는 “괜찮은” 함수들에 특별한 이름을 붙일 것이데, 우선 그림 \\(1\\)에서 주어진 함수를 관찰해 보자. 이 경우, 곡선 위의 점 \\( (x, f(x)) \\) 가 연결되어 있는 곡선을 따라 점 \\( (a, f(a)) \\) 에 연속적으로 접근함을 알수 있다. 이러한 상황을 함수 \\( f \\) 가 \\( a \\) 에서 연속이라 표현하는데, \\( x \\) 가 \\( a \\) 에 접근하면 \\( f(x) \\) 가 \\( f(a) \\) 에 접근한다는 것을 뜻한다. 이 사실을 풀어 쓰면 다음의 세가지 조건으로 표현될 것이다.</p><ol type=1 start=1><li>함수값 \\( f(a) \\) 가 정의된다(즉 \\( a \\) 는 \\( f \\) 의 정의역 안에 있다).</li><li>극한값 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x) \\) 가 존재한다.</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=f(a) \\) 이다.</li></ol><p>그림 \\(1\\)과 같이 \\( a \\) 에서 \\( f \\) 가 연속이면 \\( a \\) 근방에서 그래프가 끊어져 있지 않다. 그러나 그래프가 연결되어 있지 않다고 해서 반드시 불연속이라고 할 수 없는데, 연습문제 \\(29\\) 에서 이를 확인하여 보아라.</p><p>정의 함수 \\( f \\) 가 점 \\( a \\) 에서 연속(continuous) 이라는 것은 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=f(a) \\) 일 때이다. 그리고 \\( f \\) 가 \\( a \\) 에서 불연속 (discontinuous)이라는 말은 \\( a \\) 에서 연속이 아니라는 것을 뜻한다.</p> <h3>■ 극한의 성질</h3><p>실수의 사칙연산과 같이 극한값을 대상으로 이들 연산을 하면 어떤 현상이 나타날까? 놀랍게도 함수의 연산과 극한을 순서에 관계없이 바꾸어 계산하여도 된다는 아주 편리한 성질이 다음과 같이 얻어진다.</p><p>4 정리 함수 \\( f, g \\) 가 \\( a \\) 에서 극한 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x) \\) 와 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} g(x) \\) 을 가지면 다음이 성립한다.</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow a}[f(x)+g(x)]=\\lim _{x \\rightarrow a} f(x)+\\lim _{x \\rightarrow a} g(x) \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow a}[f(x)-g(x)]=\\lim _{x \\rightarrow a} f(x)-\\lim _{x \\rightarrow a} g(x) \\)</li><li>실수 \\( c \\) 에 대하여 \\( \\lim _{x \\rightarrow a}[c f(x)]=c \\lim _{x \\rightarrow a} f(x) \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow a}[f(x) g(x)]=\\lim _{x \\rightarrow a} f(x) \\cdot \\lim _{x \\rightarrow a} g(x) \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} g(x) \\neq 0 \\) 인 경우에 한하여 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f(x)}{g(x)}=\\frac{\\lim _{x \\rightarrow a} f(x)}{\\lim _{x \\rightarrow a} g(x)} \\)</li><li>양의 정수 \\( n \\) 에 대하여 \\( \\lim _{x \\rightarrow a}[f(x)]^{n}=\\left[\\lim _{x \\rightarrow a} f(x)\\right]^{n} \\)</li></ol><p>성질 \\(6\\) 은 성질 \\(4\\) 에 \\( g(x)=f(x) \\) 라 두고 이를 반복적으로 적용하면 얻을 수 있다.</p><p>예제 \\(6\\) 그림 \\(11\\)은 함수 \\( f \\) 와 \\( g \\) 의 그래프를 나타낸다.</p><p>(a) 극한 \\( \\lim _{x \\rightarrow-2}[f(x)+5 g(x)] \\) 는 그래프에서 \\( \\lim _{x \\rightarrow-2} f(x)=1 \\) 이고 \\( \\lim _{x \\rightarrow-2} g(x) \\) \\( =-1 \\) 임을 알면 다음과 같이 구해진다. \\[ \\begin{aligned} \\lim _{x \\rightarrow-2}[f(x)+5 g(x)] &=\\lim _{x \\rightarrow-2} f(x)+\\lim _{x \\rightarrow-2}[5 g(x)] \\\\ &=\\lim _{x \\rightarrow-2} f(x)+5 \\lim _{x \\rightarrow-2} g(x)=1+5(-1)=-4 \\end{aligned} \\]</p><p>(b) 극한 \\( \\lim _{x \\rightarrow 1}[f(x) g(x)] \\) 을 구하기 위해 성질 4를 사용할 수 없다. 이유는 왼쪽극한 \\( \\lim _{x \\rightarrow 1^{-}} g(x)=-2 \\) 와 오른쪽극한 \\( \\lim _{x \\rightarrow 1^{+}} g(x)=-1 \\) 이 서로 달라, \\( x=1 \\) 에서의 \\( g \\) 의 극한이 존재하지 않기 때문이다. 실제로 함수 \\( f g \\) 의 극한은 왼쪽. 오른쪽극한이 서로 달라 존재하지 않는다.</p><p>(c) 극한 \\( \\lim _{x \\rightarrow 2} \\frac{f(x)}{g(x)} \\) 에서 분모의 극한이 \\( \\lim _{x \\rightarrow 2} g(x)=0 \\) 이므로 성질 \\(5\\) 를 사용할 수 없다. 사실, \\( x=2 \\) 에서 분자는 0 이 아닌 수에 접근하는데도 불구하고 분 모가 \\(0\\) 에 접근하므로 함수 \\( \\frac{f}{g} \\) 의 극한은 존재하지 않는다.</p> <p>예제 3 지상에서 \\( 450 \\mathrm{~m} \\) 높이의 전망대에서 공을 떨어뜨릴때 \\( t \\) 초 후 공이 떨 어진 거리가 \\( s=f(t)=4.9 t^{2}(\\mathrm{~m}) \\) 이라 하자.</p><p>(a) \\( a \\) 초 후의 속도 \\( v(a) \\) 는</p><p>\\( \\begin{aligned} v(a) &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{4.9(a+h)^{2}-4.9 a^{2}}{h} \\\\ &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{4.9\\left(a^{2}+2 a h+h^{2}-a^{2}\\right)}{h} \\\\ &=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{4.9\\left(2 a h+h^{2}\\right)}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0} 4.9(2 a+h)=9.8 a \\end{aligned} \\)</p><p>이 된다. 예를 들면 5 초 후의 공의 속도는 \\( v(5)=(9.8)(5)=49(\\mathrm{~m} / \\mathrm{s}) \\) 이 된다.</p><p>(b) 땅에 떨어지는 순간의 공의 속도를 구하여 보자. 사실 전망대의 높이가 지상에서 \\( 450 \\mathrm{~m} \\) 이므로, \\( s\\left(t_{1}\\right)=450 \\) 이 되는 \\( t_{1} \\) 초에 공은 땅에 떨어진다. 따라서 \\( 4.9 t_{1}^{2}=450 \\) 을 풀면, \\( t_{1}^{2}=\\frac{450}{4.9} \\) 로부터 \\( t_{1}=\\sqrt{\\frac{450}{4.9}} \\approx 9.6 \\) 초가 된다. 따라서 땅에 떨어질 때의 공의 속도는 \\[ v\\left(t_{1}\\right)=9.8 t_{1}=9.8 \\sqrt{\\frac{450}{4.9}} \\approx 94(\\mathrm{~m} / \\mathrm{s}) \\] 이 된다.</p><h3>평균변화율</h3><p>변수 \\( y \\) 와 \\( x \\) 사이에 함수 \\( y=f(x) \\) 인 관계가 있다고 하자. \\( x \\) 가 \\( x_{1} \\) 에서 \\( x_{2} \\) 로 변할 때 \\( x \\) 의 변화량 ( \\( x \\) 의 증분)은 \\( \\Delta x=x_{2}-x_{1} \\) 이고 이에 대응하는 \\( y \\) 의 변화량 \\( \\left(y\\right. \\) 의 증분)은 \\( \\Delta y=f\\left(x_{2}\\right)-f\\left(x_{1}\\right) \\) 이다. 이들 변화량의 비 \\[ \\frac{\\Delta y}{\\Delta x}=\\frac{f\\left(x_{2}\\right)-f\\left(x_{1}\\right)}{x_{2}-x_{1}} \\] 을 구간 \\( \\left[x_{1}, x_{2}\\right] \\) 에서의 \\( x \\) 에 관한 \\( y \\) 의 평균변화율(average rate of changes)이라 하는데, 그림 6 에서 평균변화율은 할선 \\( P Q \\) 의 기울기로 해석된다. 그러면 \\( x_{2} \\) 를 \\( x_{1} \\) 에 접근, 즉 \\( \\Delta x \\) 를 0 에 접근시켜 얻는 평균변화율의 극한을 \\( x=x_{1} \\) 에서 \\( x \\) 에 관한 \\( y \\) 의 순간변화율 또는 변화율(rate of change)이라 한다. 즉, 순간변화율 \\( =\\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{\\Delta y}{\\Delta x}=\\lim _{x_{2} \\rightarrow x_{1}} \\frac{f\\left(x_{2}\\right)-f\\left(x_{1}\\right)}{x_{2}-x_{1}} \\)</p><p>이므로, 순간변화율은 \\( P\\left(x_{1}, f\\left(x_{1}\\right)\\right) \\) 에서 곡선 \\( y=f(x) \\) 의 접선의 기울기로 해석이 된다.</p> <h3>■ 한쪽 극한 (one-sided limits)</h3><p>\\( x \\) 축에서 \\( x \\) 가 점 \\( a \\) 에 접근할 때 두 가지 방향으로 접근이 가능하다는 사실에 주목하자. 이제 \\( x \\) 가 왼쪽에서 \\( a \\) 에 접근하면 \\( x \\rightarrow a^{-} \\)로 나타내는데, 이는 \\( a \\) 보다 작은 값들 중에서 \\( x \\) 를 택하여 \\( a \\) 에 접근시킨다는 것을 의미한다. 마찬가지로 \\( x \\)가 오른쪽에서 \\( a \\) 에 접근하면 \\( x \\rightarrow a^{+} \\)로 나타내는데, 이는 \\( a \\) 보다 큰 값들 중에 서 \\( x \\) 를 택하여 \\( a \\) 에 접근시킨다는 것을 의미한다. 이처럼 접근하는 방향을 제한시켜 함수의 극한을 생각하면 다음의 정의를 얻는다.</p><p>정의 \\( x \\rightarrow a^{-} \\)일 때 \\( f(x) \\) 의 값이 \\( L \\) 에 접근하면, \\( L \\) 을 \\( a \\) 에서의 \\( f(x) \\) 의 왼쪽 극한(left-hand limit)이라 하고</p><p>\\( \\lim _{x \\rightarrow a^{-}} f(x)=L \\)</p><p>로 나타낸다. 마찬가지로 \\( x \\rightarrow a^{+} \\)일 때 \\( f(x) \\) 의 값이 \\( L \\) 에 접근하면, \\( L \\) 을 \\( f(x) \\) 의 오른쪽극한(right-hand limit)이라 하고</p><p>\\( \\lim _{x \\rightarrow a^{+}} f(x)=L \\)</p><p>로 나타낸다(그림 \\(5\\) 참조).</p><p>왼쪽, 오른쪽극한을 통해 함수의 극한의 정의를 다시 쓰면 다음과 같다.</p><p>1. 정리 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=L \\) 이기 위한 필요충분조건은 \\( \\lim _{x \\rightarrow a^{-}} f(x)=L \\) 이고 \\( \\lim _{x \\rightarrow a^{+}} f(x)=L \\) 이다.</p><p>예제 2 함수 \\( g \\) 의 그래프는 그림 \\(6\\)과 같다.</p><p>(a) \\( x \\rightarrow 2^{-} \\)이면 \\( g(x) \\) 의 값은 3 에 접근하므로 \\( \\lim _{x \\rightarrow 2^{-}} g(x)=3 \\) 이지만, \\( x \\rightarrow 2^{-} \\)이면 \\( g(x) \\) 는 1 에 접근하므로 \\( \\lim _{x \\rightarrow 2^{+}} g(x)=1 \\) 이 된다. 즉, 2 에서의 함수의 왼쪽. 오른쪽극한이 다르므로 \\( \\lim _{x \\rightarrow 2} g(x) \\) 는 존재하지 않는다.</p><p>(b) 5 에서의 함수의 왼쪽. 오른쪽극한이 \\( \\lim _{x \\rightarrow 5^{-}} g(x)=2 \\) 와 \\( \\lim _{x \\rightarrow 5^{+}} g(x)=2 \\) 와 같으므로 \\( \\lim _{x \\rightarrow 5} g(x)=2 \\) 를 얻는다. 여기서 \\( g(5) \\neq 2 \\) 임에 주의하자.</p> <p>예제3 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{|x|}{x} \\) 의 극한에 대하여 알아보자. 0 에서의 왼쪽. 오른쪽극한이 다음과 같이</p><p>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\frac{|x|}{x}=\\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\frac{x}{x}=\\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} 1=1 \\),</p><p>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0^{-}} \\frac{|x|}{x}=\\lim _{x \\rightarrow 0^{-}} \\frac{-x}{x}=\\lim _{x \\rightarrow 0^{-}}(-1)=-1 \\)</p><p>이 되어 서로 다르기 때문에, 극한 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{|x|}{x} \\) 은 존재하지 않는다(그림 \\(7\\)참조).</p><p>예제 \\(4\\) 최대정수함수(또는 Gauss 함수)는 \\( [x]=x \\) 보다 작거나 같은 정수 중 가장 큰 수'로 정의한다.", "예를 들면, [4]=4, [4.8]=4, [ \\( \\pi]=3 \\), \\( [\\sqrt{2}]=1,\\left[-\\frac{1}{2}\\right]=-1 \\) 등이다.", "그런데 \\( 3 \\leq x<4 \\) 인 경우 \\( [x]=3 \\)이므로 \\( \\lim _{x \\rightarrow 3^{+}}[x]=\\lim _{x \\rightarrow 3^{+}} 3=3 \\) 인 반면, \\( 2 \\leq x<3 \\) 인 경우는 \\( [x]=2 \\) 이므로 \\( \\lim _{x \\rightarrow 3^{-}}[x]=\\lim _{x \\rightarrow 3^{-}} 2=2 \\) 이 된다.", "즉, 3 에서의 왼쪽.", "오른쪽극한이 같지 않으므로 \\( \\lim _{x \\rightarrow 3}[x] \\) 는 존재하지 않는다.", "실제로 모든 정수에서 함수의 극한은 존재하지 않는다.", "</p><p>이 절을 마치기 전에 극한의 계산에 유용하게 사용할 수 있는 정리 두 개를 증명없이 소개하기로 한다.", "</p><p>\\(2\\) 정리 \\( a \\) 의 근방에 있는 모든 점 \\( x \\) ( \\( a \\) 는 제외할 수 있음)에서 \\( f(x) \\leq g(x) \\) 이고 \\( a \\) 에서의 함수 \\( f \\) 와 \\( g \\) 의 극한이 모두 존재하면, \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x) \\leq \\lim _{x \\rightarrow a} g(x) \\) 이다.", "</p><p>\\(3\\) 압축정리(Squeeze Theorem) \\( a \\) 의 근방에 있는 모든 점 \\( x(a \\) 는 제외할 수 있음)에서 \\( f(x) \\leq g(x) \\leq h(x) \\) 이고 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=\\lim _{x \\rightarrow a} h(x)=L \\)이면, \\( \\lim _{x \\rightarrow a} g(x)=L \\) 이다(그림 \\(9\\) 참조).", "</p><p>예제 \\(5\\) 압축정리는 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} x^{2} \\sin \\frac{1}{x}=0 \\) 과 같은 극한을 구하는데 아주 유용하다.", "먼저 \\( -1 \\leq \\sin \\frac{1}{x} \\leq 1 \\) 이므로, 부등식의 성질로부터 \\( -x^{2} \\leq x^{2} \\sin \\frac{1}{x} \\leq x^{2} \\) 을 얻는다.", "이제 \\( f(x)=-x^{2}, g(x)=x^{2} \\sin (1 / x), h(x)=x^{2} \\) 라 두면 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} f(x) \\) \\( =\\lim _{x \\rightarrow 0} h(x)=0 \\) 이므로 압축정리에 의해 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} x^{2} \\sin \\frac{1}{x}=0 \\) 이 된다(그림 \\(10\\) 참조).", "</p> <p>예제 \\(1\\) 그림 \\(2\\) 에서 나타난 함수 \\( f \\) 의 그래프는 \\( a=1,3,5 \\) 에서 끊겨 있고 여기서 \\( f \\) 는 불연속이다.", "실제로 \\( a=1 \\) 에서는 \\( f(1) \\) 이 정의되어 있지 않아 불연속이고, \\( a=3 \\) 에서는 \\( f(3) \\) 은 정의되어 있지만 \\( \\lim _{x \\rightarrow 3} f(x) \\) 가 존재하지 않아 불연 속이다.", "그러나 \\( a=5 \\) 에서는 \\( f(5) \\) 도 정의되어 있고 \\( \\lim _{x \\rightarrow 5} f(x) \\) 도 존재하지만 \\( \\lim _{x \\rightarrow 5} f(x) \\neq f(5) \\) 이 되어 불연속이다.", "</p><p>예제 (a) \\( f(x)=\\frac{x^{2}-x-2}{x-2} \\) 는 \\( f(2) \\) 가 정의되지 않으므로 2 에서 불연속이다.", "</p><p>(b) \\( f(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}\\frac{1}{x^{2}}, & x \\neq 0 \\\\ 1, & x=0\\end{array}\\right. \\)", "는 \\( f(0)=1 \\) 로 정의되지만 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} f(x)=\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1}{x^{2}} \\) 이 존재하지 않으므로 \\(0\\) 에서 불연속이다.", "</p><p>(c) \\( f(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}\\frac{x^{2}-x-2}{x-2}, & x \\neq 2 \\\\ 1, & x=2\\end{array}\\right. \\) 의 경우는 \\( f(2)=1 \\) 로 정의되고 극한값도 \\( \\lim _{x \\rightarrow 2} f(x)=\\lim _{x \\rightarrow 2} \\frac{x^{2}-x-2}{x-2}=\\lim _{x \\rightarrow 2} \\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}=\\lim _{x \\rightarrow 2}(x+1)=3 \\) 으로 존재하지만 이들이 서로 다르므로 \\(2\\) 에서 연속이 아니다.", "</p><p>(d) 최대 정수함수 \\( f(x)=\\llbracket x \\rrbracket \\) 는 모든 정수 \\( n \\) 에 대하여 \\( \\lim _{x \\rightarrow n}[x \\rrbracket \\) 이 존 재하지 않으므로 모든 정수에서 불연속이다.", "</p><p>예제 \\(2\\) 의 함수들의 그래프를 그림 3 에서 나타내었는데, 특징은 그래프마다 구멍이나, 절단 또는 도약이 생겨 연필을 떼지 않고 그래프를 그릴 수 없다는 점이다.", "그러나 (a)와 (c)에서는 불연속이 일어나는 점 2 에서 \\( f \\) 의 값을 새롭게 정의함으로써 불연속성은 제거될 수 있으므로, 이런 점들은 제거가능한 불연속성(removable discontinuity)을 가진다.", "그러나 (b)는 극한값이 \\( \\pm \\infty \\) 가 되는 점\\(0\\) 에서 어떤 함수값을 주더라도 연속이 될 수 없기 때문에 이와 같은 점은 무한 불연속성(infinite discontinuity)을 가진다.", "또한, (d)와 같은 경우도 불연속이 일어나는 점에 어떤 함수값을 주더라도 연속성을 살릴 수 없는데, 이는 한 값에서 다른 값으로 도약해서 발생한 경우이기 때문에 도약 불연속성(jump discontinuity)을 가진다고 한다.", "</p><p>정의 함수 \\( f \\) 가 \\( a \\) 의 오른쪽으로 연속이라는 것은 \\( \\lim _{x \\rightarrow a^{+}} f(x)=f(a) \\) 일 때 이고, \\( a \\) 의 왼쪽으로 연속이라는 것은 \\( \\lim _{x \\rightarrow a^{-}} f(x)=f(a) \\) 일 때를 말한다.", "</p> <p>예제 \\(3\\) 함수 \\( f(x)=[x] \\) 는 임의의 정수 \\( n \\) 에 대하여</p><p>\\( \\lim _{x \\rightarrow n^{+}} f(x)=\\lim _{x \\rightarrow n^{+}}[x \\rrbracket=n=f(n) \\)</p><p>이고 \\( \\lim _{x \\rightarrow n^{-}} f(x)=\\lim _{x \\rightarrow n^{-}}[x]=n-1 \\neq f(n) \\) 이므로, 정수 \\( n \\) 의 오른쪽에서 연속이고 왼쪽에서는 불연속이다.", "</p><p>정의 함수 \\( f: D \\rightarrow \\mathbb{R} \\) 를 구간 \\( D \\) 에서의 연속함수(continuous function)라 는 것은 모든 점 \\( a \\in D \\) 에서 \\( f \\) 가 연속일 때를 말한다.", "그리고 구간 \\( D \\) 의 어느 한 점에서라도 연속이 아니면 \\( f \\) 는 구간 \\( D \\) 에서 불연속함수 (discontinuous function)라 한다.", "</p><p>\\( f \\) 의 정의역이 구간으로 주어져 있을 때, 구간의 끝점에서 연속이라는 말은 왼쪽 끝점에서는 오른쪽으로 연속, 오른쪽 끝점에서는 왼쪽으로 연속임을 뜻한다.", "</p><p>예제 \\(4\\) 함수 \\( f(x)=1-\\sqrt{1-x^{2}} \\) 는 근호에서 \\( 1-x^{2} \\geq 0 \\) 이어야 하므로, 정의역은 닫힌 구간 \\( [-1,1] \\) 이 된다.", "실제로 \\( f \\) 의 그래프는 그림 4 와 같이 원 \\( x^{2}+(y-1)^{2}=1 \\) 의 아래쪽 반원이다.", "</p><p>먼저 \\( -1<a<1 \\) 인 경우, 극한성질을 사용하면</p><p>\\( \\begin{aligned} \\lim _{x \\rightarrow a} f(x) &=\\lim _{x \\rightarrow a}\\left(1-\\sqrt{1-x^{2}}\\right)=1-\\lim _{x \\rightarrow a} \\sqrt{1-x^{2}} \\\\ &=1-\\sqrt{\\lim _{x \\rightarrow a}\\left(1-x^{2}\\right)}=1-\\sqrt{1-a^{2}}=f(a) \\end{aligned} \\)</p><p>이므로 정의에 의해 \\( f \\) 는 \\( a \\) 에서 연속이다.", "이제 구간의 양 끝점 \\( a=1,-1 \\) 에서는</p><p>\\( \\lim _{x \\rightarrow-1^{+}} f(x)=1=f(-1) \\quad \\) 이고 \\( \\lim _{x \\rightarrow 1^{-}} f(x)=1=f(1) \\)</p><p>을 얻으므로 \\( f \\) 는 \\( -1 \\) 에서는 오른쪽으로 연속, \\(1\\) 에서는 왼쪽으로 연속이다.", "그러므로 정의에 따라 \\( f \\) 는 구간 \\( [-1,1] \\) 에서 연속함수가 된다.", "</p><p>함수의 연속성을 보이기 위해 간단한 연속함수들로부터 복잡한 연속함수를 구성해 가는 방법이 있는데, 이는 극한의 성질로부터 쉽게 유도된다.", "</p><p>8 정리 점 \\( a \\) 에서 함수 \\( f \\) 와 \\( g \\) 가 연속이면, 다음 함수들 역시 \\( a \\) 에서 연속이다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f+g \\)</li><li>\\( f-g \\)</li><li>실수 \\( c \\) 에 대하여 \\( c f \\)</li><li>\\( f g \\)</li><li>\\( g(a) \\neq 0 \\) 일 때 \\( \\frac{f}{g} \\)</li></ol><p>정리 \\(8\\) 을 사용하여 지금까지 배운 함수들 중에서 어떤 함수들이 연속인지 하나하나 찾아보기로 하자.", "</p> <p>자연 지수함수 \\( y=e^{x} \\) 는 그림 14의 그래프로부터</p><p>\\( \\lim _{x \\rightarrow-\\infty} e^{x}=0 \\)</p><p>를 얻으므로, 직선 \\( y=0 \\) 즉 \\( x \\) 축을 수평점근선으로 갖는다. 이 사실은 밑이 \\( a>", "0 \\) 인 지수함수에서도 마찬가지이다.", "</p><p>예제 \\(8\\) \\( \\lim _{x \\rightarrow 0^{-}} e^{\\frac{1}{x}} \\) 을 구하기 위해 \\( t=1 / x \\) 이라 두자.", "그러면 \\( x \\rightarrow 0^{-} \\)일 때 \\( t \\rightarrow-\\infty \\) 가 되므로 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0^{-}} e^{\\frac{1}{x}}=\\lim _{t \\rightarrow-\\infty} e^{t}=0 \\) 을 얻는다.", "</p><p>예제 \\(9\\) \\( x \\) 가 아무리 증가하여도 \\( \\sin x \\) 의 값은 1 과 \\( -1 \\) 사이에서 진동할 뿐 어 떤 수에 접근하지 않는다.", "따라서 \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\sin x \\) 는 존재하지 않는다.", "</p><h3>[III] 무한대에서의 무한극한</h3><p>\\( x \\) 가 커짐에 따라 \\( f(x) \\) 의 값도 커지는 경우 \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} f(x)=\\infty \\) 로 나타내는데, 마찬가지 경우로 \\( \\lim _{x \\rightarrow-\\infty} f(x)=\\infty, \\lim _{x \\rightarrow \\infty} f(x)=-\\infty, \\lim _{x \\rightarrow-\\infty} f(x)=-\\infty \\) 등을 생각할 수 있다.", "이 사실은 수직점근선이나 수평점근선과는 아무 관계도 없지만, 함수의 그래프를 대강 예측하는데 도움이 된다.", "</p><p>예제 \\(10\\) \\(10^{3}=1,000,100^{3}=1,000,000,1000^{3}=1,000,000,000 \\) 에서 보 듯이, \\( x \\) 를 점점 크게 택하면 \\( x^{3} \\) 의 값은 더 크게 변한다.", "따라서 \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x^{3}=\\infty \\) 이 된다.", "마찬가지로 \\( x \\) 가 음수로 점점 작아지면 음수인 \\( x^{3} \\) 도 점점 더 작아지므 로, \\( \\lim _{x \\rightarrow-\\infty} x^{3}=-\\infty \\) 이 된다.", "</p><p>그림 \\(15\\)의 그래프를 통해 이 사실이 그래프에 어떤 작용을 하는지 확인하여 볼 수 있다.", "</p><p>예제 \\(11\\) 극한 \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(x^{2}-x\\right) \\) 는 극한성질을 써서 \\( \\infty-\\infty \\) 로 쓸 수 없음에 주의하자.", "그러나 식을 인수 분해하여 얻은 인자 \\( x \\) 와 \\( x-1 \\) 이 \\( \\infty \\) 의 극한을 가지므로, 이들의 곱 \\( \\infty \\cdot \\infty \\) 도 당연히 \\( \\infty \\) 이 된다.", "즉, \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(x^{2}-x\\right)=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} x(x-1) \\) \\( =\\infty \\) 이다.", "</p> <h3>[II] 수평점근선 (horizontal asymptote)</h3><p>앞에서 무한극한, 즉 한 점 \\( a \\) 근방에서의 함수의 극한이 \\( \\pm \\infty \\) 인 경우 그래프 에서 재미있는 현상이 일어남을 알았다.", "이제 역할을 바꾸어 무한대에서의 함수 의 극한에 대하여 알아보자.", "특히 여기서는 \\( x \\) 가 점점 커지거나 작아질 때, 즉 \\( x \\rightarrow \\pm \\infty \\) 일 때 \\( f(x) \\) 가 하나의 실수 \\( L \\) 로 수렴하는 경우에 초점을 둔다.", "</p><p>정의 (무한대에서의 극한)</p><p>(a) 구간 \\( (a, \\infty) \\) 에서 정의된 함수 \\( f \\) 에 대하여, \\( x \\) 가 무한대로 점점 커질때 \\( f(x) \\) 의 값이 \\( L \\) 에 접근한다는 것은</p><p>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} f(x)=L \\), 또는 \\( x \\rightarrow \\infty \\) 일 때 \\( f(x) \\rightarrow L \\)</p><p>임을 말한다.", "</p><p>(b) 구간 \\( (-\\infty, a) \\) 에서 정의된 함수 \\( f \\) 에 대하여, \\( x \\) 가 무한소로 점점 작 아질 때 \\( f(x) \\) 의 값이 \\( L \\) 에 접근한다는 것은</p><p>\\( \\lim _{x \\rightarrow-\\infty} f(x)=L \\), 또는 \\( x \\rightarrow-\\infty \\) 일 때 \\( f(x) \\rightarrow L \\)</p><p>임을 말한다.", "</p><p>극한 \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} f(x)=L \\) 을 그래프를 통해 이해하여 보자.", "그림 \\(8\\) 에서의 그래프는 오른쪽으로 가면 갈수록 함수값이 직선 \\( y=L \\) 에 접근하고, 그림 9 에서의 그래프는 왼쪽으로 가면 갈수록 함수값이 직선 \\( y=L \\) 에 접근하는 걸 알 수 있는 데, 이를 수평점근선(horizontal asymptote)이라 부른다.", "</p><p>정의 \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} f(x)=L \\) 또는 \\( \\lim _{x \\rightarrow-\\infty} f(x)=L \\) 일 때 직선 \\( y=L \\) 을 함수 \\( y=f(x) \\) 의 수평점근선이라고 한다.", "</p><p>예제 \\(4\\) 함수 \\( f \\) 의 그래프는 그림 \\(10\\) 과 같다.", "</p><p>(a) 두 직선 \\( x=-1 \\) 과 \\( x=2 \\) 는 수직점근선이다.", "우선, \\( x \\rightarrow-1 \\) 일 때 \\( f(x) \\) 의 값은 양쪽에서 동시에 점점 커지므로 \\( \\lim _{x \\rightarrow-1} f(x)=\\infty \\) 이다.", "그러나, \\( x \\) 가 \\(2\\) 의 왼쪽에서 접근할 때는 \\( f(x) \\) 의 극한이 음으로 작아지지만, \\( x \\) 가 \\(2\\) 의 오른쪽에서 접근할 때는 양으로 커지므로,</p><p>\\( \\lim _{x \\rightarrow 2^{-}} f(x)=-\\infty \\) 이고 \\( \\lim _{x \\rightarrow 2^{+}} f(x)=\\infty \\)</p><p>로 구별된다는 사실에 주의하자.", "</p><p>(b) 두 직선 \\( y=4 \\) 와 \\( y=2 \\) 는 수평점근선이다.", "사실, \\( x \\) 가 양으로 점점 증가하면 \\( f(x) \\) 는 \\(4\\) 에 접근하여 \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} f(x)=4 \\) 가 되고, \\( x \\) 가 음으로 점점 감소하 면 \\( f(x) \\) 는 \\(2\\) 에 접근하여 \\( \\lim _{x \\rightarrow-\\infty} f(x)=2 \\) 가 된다.", "</p> <p>\\(11\\).", "(a) \\( x=a \\) 에서 포물선 \\( y=1+x+x^{2} \\) 의 접선의 기울기를 구하여라.", "</p><p>(b) \\( x \\) 좌표가 ( i ) \\( -1 \\), (ii) \\( -\\frac{1}{2} \\), (iii) 1 인 점에서 접선 의 기울기를 각각 구하여라.", "</p><p>\\(12\\).", "달 표면에서 \\( 58 \\mathrm{~m} / \\mathrm{s} \\) 의 속도를 위로 쏘아올린 화살의 \\( t \\)초 후 높이는 \\( h=58 t-0.83 t^{2} \\) 이다.", "</p><p>(a) 다음과 같이 주어진 시간구간에서의 평균속도를 구하여라.", "</p><p>(i) \\( [1,2] \\) (ii) \\( [1,1.5] \\) (iii) \\( [1,1.1] \\) (iv) \\( [1,1.01] \\) (v) \\( [1,1.001] \\)</p><p>(b) 1초 후의 순간속도를 구하여라.", "</p><p>\\(13\\).", "공을 \\( 40 \\mathrm{~m} / \\mathrm{s} \\) 의 속도로 공중에 던졌을 때, \\( t \\) 초 후의 높이 \\( (\\mathrm{m}) \\) 가 \\( y=40 t-16 t^{2} \\) 이 되었다. \\", "( t=2 \\) 일 때 속도를 구 하여라.", "</p><p>\\(14\\).", "달에서 \\( 58 \\mathrm{~m} / \\mathrm{s} \\) 의 속도로 화살을 쏘아 올렸을 때, \\( t \\) 초 후의 높이 \\( (\\mathrm{m}) \\) 가 \\( H=58 t-0.83 t^{2} \\) 으로 주어진다.", "</p><p>\\(15\\).", "직선 위를 움직이는 입자의 위치 \\( (\\mathrm{m}) \\) 는 \\( t \\) 초 후 식 \\( s=4 t^{3}+6 t+2 \\) 로 주어진다. \\", "( t=a, t=1, t=2 \\), \\( t=3 \\) 일 때 입자의 속도를 구하여라.", "</p><p>\\(16\\).", "어떤 연구소의 실험결과 \\( t \\) 시간 후의 박테리아 수는 \\( n=f(t) \\) 이다.", "</p><p>(a) 미분계수 \\( f^{\\prime}(5) \\) 는 무엇을 의미하는가?", "단위를 말하여라.", "(b) 박테리아 증식에 필요한 공간과 영양이 충분하다면 \\( f^{\\prime}(5) \\) 와 \\( f^{\\prime}(10) \\) 중에 어느 것이 더 클까?", "영양이 제한된다면 어떻게 될지 설명해 보아라.", "</p><p>\\(17\\).", "시속 \\( v \\) 마일로 달리고 있는 어떤 차가 시간당 \\( c=f(v) \\) 갤런만큼 연료를 소비한다고 하자.", "</p><p>(a) 도함수 \\( f^{\\prime}(v) \\) 는 무엇을 의미하는가?", "단위를 말하 여라.", "</p><p>(b) \\( f^{\\prime}(20)=-0.05 \\) 의 의미를 설명해 보아라.", "</p><p>\\(18\\).", "어떤 금광에서 금 \\( x \\) 온스를 캐는데 드는 비용이 \\( C=f(x) \\) 원이라고 한다.", "</p><p>(a) 도함수 \\( f^{\\prime}(x) \\) 는 무엇을 의미하는가?", "단위는 무엇인 가?", "</p><p>(b) \\( f^{\\prime}(800)=17 \\) 은 무엇을 의미하는가?", "</p><p>(c) 단기간내에 \\( f^{\\prime}(x) \\) 는 증가할까 감소할까?", "장기간에 걸쳐 \\( f^{\\prime}(x) \\) 는 어떻게 되는지 설명하여라.", "</p><p>※ (\\(19-20\\)) 주어진 조건을 만족하는 그래프를 그려라.", "</p><p>\\(19\\). \\", "( f(0)=0, f^{\\prime}(0)=3, f^{\\prime}(1)=0, f^{\\prime}(2)=-1 \\)</p><p>\\(20\\). \\", "( g(0)=0, g^{\\prime}(0)=3, g^{\\prime}(1)=0, g^{\\prime}(2)=1 \\)</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "이공계를 위한 미분적분학_함수의 극한과 연속", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-776c-4607-a028-ef44f1b61137", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961055734", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2012", "doc_author": [ "홍정희", "배재국", "김익성" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>특이코호몰로지 (Singular Cohomology)</h1><p>특이코호몰로지 이론은 제 3 장의 특이호몰로지 이론의 쌍대(dual) 개념이다.", "즉, 호몰로지는 위상공간의 범주에서 아벨군의 범주로 가는 공변함수자(covariant functor)인 데 반하여, 코호몰로지는 위상공간의 범주에서 아벨군의 범주로 가는 반변함수자(contravariant functor)이다.", "특이코호몰로지 이론도 호몰로지 이론에서 성립한 성질들을 모두 만족한다.", "더 좋은 점은 호몰로지에는 없는 컵곱 (cup product)이 있어 환(ring) 구조를 갖는다.", "</p><p>특이코호몰로지는 정수(integer)계수를 갖는데, 일반적으로 다른 환이나 체 (field)의 계수를 갖도록 하는 범계수정리(universal coefficient theorem)를 다루었다.", "</p><h1>4.1 다양체의 방향(Orientation of Manifold)</h1><p>공간 \\( X \\) 의 각 점이 유클리드 공간 \\( \\mathbb{R}^{n} \\) 의 열린집합과 위상동형인 근방을 가질 때 \\( X \\) 를 \\( n \\) 차원 다양체 \\( (n \\)-dimensional manifold)라 한다.", "</p><p>보조정리 \\(4.1.1\\)</p><p>\\( n \\) 차원 다양체 \\( X \\) 의 각 점 \\( x \\) 에 대하여 \\[ H_{n}(X, X-\\{x\\})=\\mathbb{Z} \\] 이다.", "</p><p>[증명]</p><p>유클리드 공간 \\( \\mathbb{R}^{n} \\) 의 열린단위볼과 위상동형인 \\( x \\) 의 근방을 \\( U \\) 라 하자. \\", "( X \\) 에서 \\( X-U \\) 를 절단하면 \\[ H_{n}(U, U-\\{x\\}) \\rightarrow H_{n}(X, X-\\{x\\}) \\] 는 동형맵이고 \\( U \\) 는 한 점으로 축약(contraction)할 수 있으며, \\( U-\\{x\\} \\) 는 \\( S^{n-1} \\) 과 호모토픽하므로 호몰로지는 \\[ H_{n}(X, X-\\{x\\}) \\simeq H_{n}(U, U-\\{x\\}) \\] \\[ \\begin{array}{l} =H_{n-1}^{\\#}(U-\\{x\\}) \\\\ =H_{n-1}^{\\#}\\left(S^{n-1}\\right) \\\\ =\\mathbb{Z} \\end{array} \\] 이다.", "</p><p>만일 \\( n=1 \\) 이면 \\[ H_{1}(X, X-\\{x\\})=H_{0}^{\\#}\\left(S^{0}\\right)=\\mathbb{Z} \\] 이고, \\( n>1 \\) 이면 \\[ \\begin{aligned} H_{n}(X, X-\\{x\\}) &=H_{n-1}^{\\#}\\left(S^{n-1}\\right) \\\\ &=H_{n-1}\\left(S^{n-1}\\right)=\\mathbb{Z} \\end{aligned} \\] 이므로 \\[ H_{n}(X, X-\\{x\\})=\\mathbb{Z}=\\langle 1\\rangle=\\langle-1\\rangle \\] 은 2 개의 생성원이 있다.", "</p><p>이 생성원 중 하나를 택하는 것은 공간 \\( X \\) 의 \\( x \\) 에서 방향을 정하는 것이라고 할 수 있다.", "</p><p>[주의]</p><p>정수 \\( \\mathbb{Z} \\) 는 \\(2\\) 개의 생성원 \\( \\{+1\\},\\{-1\\} \\) 을 가지지만 \\( \\mathbb{Z}_{2} \\) 는 하나의 생성원 \\( \\{+1\\} \\) 을 갖는다.", "</p><p>정의 \\(4.1.1\\)</p><p>공간 \\( X \\) 의 점 \\( x \\) 에서 국소방향(local orientation)은 \\( H_{n}(X, X-\\{x\\}) \\) 의 한 생성원 \\( \\alpha_{x} \\) 이다.", "생성원 \\( \\alpha_{x} \\in H_{n}(X, X-\\{x\\}) \\) 의 사이클 \\( a \\in S_{n}(X, X-\\{x\\}) \\) 의 경계는 \\[ \\partial a \\subset X-\\{x\\} \\] 이므로 \\( x \\) 의 근방 \\( U=\\stackrel{0}{0} \\) 가 \\( n \\) 차원 열린볼과 위상동형이 되도록 \\( a \\) 를 잡자.", "호몰로지류 \\( \\alpha_{U}=[a] \\in H_{n}(X, X-U) \\) 는 포함맵에 의해 유도된 동형맵 \\[ j_{y}^{U}: H_{n}(X, X-U) \\rightarrow H_{n}(X, X-\\{y\\}), y \\in U \\] 에 의하여 \\( j_{y}^{U}\\left(\\alpha_{U}\\right)=\\alpha_{y} \\) 이다.", "</p><p>정의 \\(4.1.2\\)</p><p>부분집합 \\( U \\subset X \\) 에 대해 각 \\( y \\in U, \\alpha_{U} \\in H_{n}(X, X-U) \\) 가 존재하여 \\[ j_{y}^{U}: H_{n}(X, X-U) \\rightarrow H_{n}(X, X-\\{y\\}), j_{y}^{U}\\left(\\alpha_{U}\\right)=\\alpha_{y} \\] 이면 \\( \\alpha_{U} \\) 를 \\( U \\) 를 따라 \\( X \\) 의 국소방향(local orientation)이라 한다.", "</p><p>[주의]</p><p>국소방향 \\( \\alpha_{U} \\) 는 유일하다. \\", "( x \\in V \\subset U \\subset X \\) 이고 \\( \\alpha_{U} \\) 가 \\( U \\) 를 따라 \\( X \\) 의 국소방향이면 \\[ j_{y}^{V} j_{V}^{U}\\left(\\alpha_{U}\\right)=j_{y}^{V}\\left(\\alpha_{V}\\right)=\\alpha_{y} \\] 가 된다.", "</p> <p>공간 \\( X \\) 전체에서 방향을 정의해보자.", "</p><ol type=a start=1><li>\\( \\left\\{U_{i}\\right\\} \\) 가 \\( X \\) 의 열린피복이라 하자.", "</li><li>각 \\( i \\) 에 대하여 \\( \\alpha_{i} \\in H_{n}\\left(X, X-U_{i}\\right) \\) 가 \\( U_{i} \\) 를 따라 \\( X \\) 의 국소방향이다.", "</li><li>각 점 \\( x \\in U_{i} \\cap U_{j} \\subset X \\) 에 대하여 \\[ j_{x}^{U_{i}}\\left(\\alpha_{i}\\right)=j_{x}^{U_{j}}\\left(\\alpha_{j}\\right)=\\alpha_{x} \\] 이다.", "</li><li>만일 \\( \\left\\{\\left(V_{k}, \\beta_{k}\\right)\\right\\} \\) 가 \\( (\\mathrm{a}),(\\mathrm{b}),(\\mathrm{c}) \\) 를 만족한다면 각 \\( x \\in X \\) 에 대하여 \\( \\alpha_{x}=\\beta_{x} \\) 이다.", "이때 \\( \\left\\{\\left(U_{i}, \\alpha_{i}\\right)\\right\\} \\) 와 \\( \\left\\{\\left(V_{k}, \\beta_{k}\\right)\\right\\} \\) 가 관계가 있다고 하자.", "</li></ol><p>공간 \\( X \\) 에 대하여 \\( (\\mathrm{a}),(\\mathrm{b}),(\\mathrm{c}) \\) 를 만족하는 집합 \\( \\left\\{\\left(U_{i}, \\alpha_{i}\\right)\\right\\} \\) 에서 \\( (\\mathrm{d}) \\) 의 관계는 동치관계이다.", "</p><p>정의 \\(4.1.3\\)</p><p>위의 조건 (a), (b), (c), (d)를 만족하는 동치류 \\( \\left\\{\\left(U_{i}, \\alpha_{i}\\right)\\right\\} \\) 를 \\( X \\) 의 방향 (orientation of \\( X \\) )이라 하고, \\( X \\) 를 방향가 공간(orientable space)이라 한다.", "</p><p>보조정리 \\(4.1.2\\)</p><p>방향가 공간 \\( X \\) 가 연결일 때 \\( X \\) 의 두 방향이 한 점에서 같으면 두 방향은 같다.", "</p><p>[증명]</p><p>\\( \\left(U_{i}, \\alpha_{i}\\right),\\left(V_{k}, \\beta_{k}\\right) \\) 가 \\( X \\) 의 방향으로 한 점 \\( x \\) 에서 \\( \\alpha_{x}=\\beta_{x} \\) 라 하면 \\[ A=\\left\\{x \\in X \\mid \\alpha_{x}=\\beta_{x}\\right\\} \\] 와 \\( X-A \\) 는 \\( X \\) 의 열린집합이다.", "따라서 \\( X=A \\) 이다.", "</p><p>정리 \\(4.1.3\\)</p><p>공간 \\( X \\) 가 연결 방향가 공간이면 \\( X \\) 는 \\(2\\) 개의 방향을 갖는다.", "</p><p>정리 \\(4.1.4\\)</p><p>공간 \\( X \\) 가 연결 방향불가 다양체이면 연결 방향가 이중 피복공간 \\[ p: \\tilde{X} \\rightarrow X \\] 가 존재한다.", "</p><p>계 \\(4.1.5\\)</p><p>공간 \\( X \\) 가 단순연결 다양체이면 \\( X \\) 는 방향가 다양체이다.", "</p><p>[정리 4.1.4 증명]</p><p>\\( \\widetilde{X}:=\\left\\{\\left(x, \\alpha_{x}\\right) \\mid x \\in X, \\alpha_{x}\\right. \\)", "는 \\( H_{n}(X, X-\\{x\\}) \\) 의 생성원 \\( \\} \\) 이라 하고, \\[ p: \\widetilde{X} \\rightarrow X, p\\left(x, \\alpha_{x}\\right)=x \\] 를 사영맵이라 하자. \\", "( \\left(U, \\alpha_{U}\\right) \\) 에 대하여 \\( U \\) 는 \\( X \\) 의 열린집합, \\( \\alpha_{U} \\) 는 \\( U \\) 를 따라 \\( X \\) 의 국소방향이다. \\", "[ \\left\\langle U, \\alpha_{U}\\right\\rangle=\\left\\{\\left(x, \\alpha_{x}\\right) \\mid x \\in U, j_{x}^{U}\\left(\\alpha_{U}\\right)=\\alpha_{x}\\right\\} \\] 이라 하자.", "만일 \\( \\left(x, \\alpha_{x}\\right) \\in\\left\\langle U, \\alpha_{U}\\right\\rangle \\cap\\left\\langle U^{\\prime}, \\alpha_{U^{\\prime}}\\right\\rangle \\) 이면, \\( x \\) 의 근방 \\( U^{\\prime \\prime} \\subset U \\cap U^{\\prime} \\)이 존재하여 \\( j_{x}^{U^{\\prime \\prime}}\\left(\\alpha_{U^{\\prime \\prime}}\\right)=\\alpha_{x} \\) 가 되고, \\[ j_{U^{\\prime \\prime}}^{U^{\\prime \\prime}}\\left(\\alpha_{U}\\right)=\\alpha_{U^{\\prime \\prime}}=j_{U^{\\prime \\prime}}^{U^{\\prime \\prime}}\\left(\\alpha_{U^{\\prime}}\\right) \\] 이므로 \\( \\left\\langle U^{\\prime \\prime}, \\alpha_{U^{\\prime \\prime}}\\right\\rangle \\subset\\left\\langle U, \\alpha_{U}\\right\\rangle \\cap\\left\\langle U^{\\prime}, \\alpha_{U^{\\prime}}\\right\\rangle \\) 이다.", "따라서 \\( \\left\\{\\left\\langle U, \\alpha_{U}\\right\\rangle\\right\\} \\) 가 \\( \\widetilde{X} \\) 의 위상에 대한 기저가 된다.", "이때 \\[ p^{-1}(U)=\\left\\langle U, \\alpha_{U}\\right\\rangle \\mathrm{II}\\left\\langle U,-\\alpha_{U}\\right\\rangle \\] 이고 각 \\( \\pm \\) 에 대하여 \\[ p:\\left\\langle U, \\pm \\alpha_{U}\\right\\rangle \\rightarrow U \\] 는 위상동형맵이다.", "따라서 \\( p: \\widetilde{X} \\rightarrow X \\) 는 이중 피복공간이다.", "각 점 \\( x \\in X \\) 에 대하여 \\( x \\) 의 열린근방 \\( U \\subset V \\) 로서 \\( U \\) 를 작은 \\( n \\) 볼이라 하고, \\[ j_{U}^{V}\\left(\\alpha_{V}\\right)=\\alpha_{U} \\] 이라 하자.", "호몰로지열에 대하여 위 다이어그램이 교환이고 모두 동형맵이므로, 각 \\( y \\in U \\) 에 대하여 \\( j_{\\left(y, \\alpha_{y}\\right)}^{\\left(U, \\alpha_{u}\\right)}: H_{n}\\left(\\widetilde{X}, \\widetilde{X}-\\left\\langle U, \\alpha_{U}\\right\\rangle\\right) \\rightarrow H_{n}\\left(\\widetilde{X}, \\widetilde{X}-\\left(y, \\alpha_{y}\\right)\\right) \\), \\( j_{\\left(y, \\alpha_{y}\\right)}^{\\left(U, \\alpha_{V}\\right)}\\left(\\widetilde{\\alpha_{U}}\\right)=\\tilde{\\alpha}_{y} \\) 로 왼편 맵이 동형맵으로 \\( \\widetilde{X} \\) 가 \\( \\left\\langle U, \\alpha_{U}\\right\\rangle \\) 를 따라 국소방향 \\( \\widetilde{\\alpha_{U}} \\) 가 잘 정의된다.", "따라서 \\( \\tilde{X} \\) 는 방향가 공간이다.", "만일 \\( \\widetilde{X} \\) 가 연결이 아니라면 \\( \\widetilde{X} \\) 의 한 성분 \\( \\widetilde{X}_{1} \\) 에서 \\( p: \\widetilde{X}_{1} \\rightarrow X \\) 는 피복 공간이다. \\", "( p^{-1} \\) (점)는 한 점이므로 \\( p: \\widetilde{X}_{1} \\rightarrow X \\) 는 위상동형맵으로 \\( \\widetilde{X}_{1} \\) 은 방향불가 공간이다.", "이것은 모순이다.", "따라서 \\( \\tilde{X} \\) 는 연결이다.", "</p><p>[주의]</p><p>정리 \\(4.1.4\\)의 대우를 생각해보자.", "만일 \\( \\pi_{1}\\left(X, x_{0}\\right) \\) 가 인덱스(index) 2 인 부분군을 갖지 않으면 \\( X \\) 는 방향가 공간이다.", "그렇지 않으면 \\[ \\pi_{1}\\left(X, x_{0}\\right) / p_{*} \\pi_{1}\\left(\\tilde{X}, \\tilde{x_{0}}\\right) \\] 는 인덱스가 \\(2\\) 이다.", "</p><h1>4.1 연습문제</h1><p>\\(1\\).", "유클리드 공간 \\( \\mathbb{R}^{n} \\) 의 직교정규틀(orthonormal frame)들의 집합 \\( O(n) \\) 에서 \\( F_{1}, F_{2} \\in O(n) \\) 이 동치란, 기호로 \\( F_{1} \\sim F_{2} \\), 동형맵 \\( A: \\mathbb{R}^{n} \\rightarrow \\mathbb{R}^{n} \\), \\( A\\left(f_{1 i}\\right)=f_{2 i}, i=1, \\ldots, n \\), \\[ F_{1}=\\left\\{f_{11}, \\ldots, f_{1 n}\\right\\}, f_{2}=\\left\\{f_{21}, \\ldots, f_{2 n}\\right\\} \\] 이 행렬식 \\( \\operatorname{det}(A)=1 \\) 을 의미한다.", "</p><ol type= start=1><li>\\( O(n) \\) 은 \\(2\\) 개의 동치류를 가짐을 보이시오.", "</li><li>\\( O(n) \\) 의 동치류와 \\( H_{n}\\left(\\mathbb{R}^{n}, \\mathbb{R}^{n}-\\{0\\}\\right) \\) 의 생성원을 일대일 대응이 있음을 보이시오.", "</li></ol><p>\\(2\\). \\", "( X \\) 가 \\( n \\) 차원 미분다양체이면 \\( X \\) 가 방향가일 필요충분조건은 \\( X \\) 의 접벡터번들 \\( T X \\) 가 방향가임을 보이시오.", "</p><p>\\(3\\).", "모든 리군(Lie group)은 방향가임을 보이시오.", "여기서 리군은 다양체이고 군의 구조를 가지며 연산이 미분가능하다.", "</p><p>\\(4\\).", "정리 \\(4.1.3\\)을 증명하시오.", "</p><p>\\(5\\).", "정리 \\(4.1.5\\)를 증명하시오.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "415", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "대수적 위상수학_특이코호몰로지", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-9ae6-4ad5-afcc-169c689746c1", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961053655", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2010", "doc_author": [ "조용승" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>10.5. 극대·극소의 활용</h1><p>지금까지 극한을 구하는 방법을 알아보았다.", "이러한 방법들은 우리 실생활에서 많이 이용된다.", "예를 들어, 사업하는 사람들은 비용을 최소화하고 이윤을 최대화하길 원하고 어떤 경우 시간을 최소화하길 원한다.", "이런 문제를 해결할 때 최대화 또는 최소화하는 함수를 만들어 이 함수의 최댓값, 최솟값을 구함으로써 최적화 문제를 해결할 수 있다.", "이 절에서 몇 가지 예를 들어 최적화 문제를 다루어 보자.", "</p><p>예제\\(10.5.1\\) 반듯한 돌담을 따라 그 담을 한 변으로 하고 \\( 200 \\mathrm{~m} \\) 의 철사를 가지고 나머지 세 변을 울타리로 쳐서 직사각형 모양의 땅에 울타리를 치려고 한다. 이렇게 울타리를 쳐서 만든 땅의 최대 면적을 구하여라.</p><p>", "풀이 돌담에 수직인 울타리의 변을 \\( x \\) 라 하면 울타리로 둘러싸인 직사각형의 면적은 \\[ f(x)=x(200-2 x)=200 x-2 x^{2} \\] 이다. 여기서 \\( x>0,200-2 x>0 \\) 이므로", "\\( 0<x<100 \\) 이다.", "극값을 구하기 위하여 \\[ f^{\\prime}(x)=200-4 x=0 \\] 으로부터 \\( x=50 \\) 이고 \\( f^{\\prime \\prime}(x)=-4<0 \\) 이므로 \\( x=50 \\) 에서 극댓값을 가진다. \\", "( 0<x \\) \\(<100 \\) 에서 극댓값은 최댓값이 되어 이 땅의 최대 면적은 \\( f(50)=5000\\left(\\mathrm{~m}^{2}\\right) \\) 이다.", "</p><p>유제\\(10.5.1\\) 넓이가 \\( 1,000 \\mathrm{~m}^{2} \\) 인 직사각형 중에서 둘레의 길이가 최소가 되는 사각형의 가로, 세로의 길이를 구하여라.", "</p><p>예제\\(10.5.2\\) 반지름이 \\(4\\) 인 반원에 내접하는 사각형의 최대 넓이를 구하여라.", "</p><p>풀이 중심이 \\( O \\) 에 있고 반지름이 \\(4\\) 인 원의 윗부분을 생각하자. \\", "( (x, y) \\) 를 \\(1\\) 사분면에 있는 원 위의 점이라면 내접사각형의 면적은 \\[ A=2 x y \\] 이다. \\", "( (x, y) \\) 는 원 위의 점이므로 \\( x^{2}+y^{2}=4^{2} \\).", "여기서 \\( y=\\sqrt{16-x^{2}} \\) 이다.", "그러므로 내접 사각형의 면적은 \\[ A(x)=2 x y=2 x \\sqrt{16-x^{2}}, 0<x<4 \\] 이다.", "이때 \\[ A^{\\prime}(x)=2 \\sqrt{16-x^{2}}-\\frac{2 x^{2}}{\\sqrt{16-x^{2}}}=\\frac{2\\left(16-2 x^{2}\\right)}{\\sqrt{16-x^{2}}} \\] 이고 \\( A^{\\prime}(x)=0 \\) 인 \\( x=2 \\sqrt{2} \\) 에서 극댓값을 가진다.", "한편 \\( A(0)=0, A(4)=0 \\) 이므로 \\( x=2 \\sqrt{2} \\) 에서 최댓값이 된다.", "따라서 내접하는 사각형의 최대 면적은 \\[ A(2 \\sqrt{2})=16 \\] 이다.", "</p><p>유제\\(10.5.2\\) 밑변의 양 끝점이 \\( x \\) 축 위에 있고 다른 두 점은 포물선 \\( y=8-x^{2} \\) 위에 있는 직사각형의 넓이가 최대가 되는 직사각형의 가로, 세로의 길이를 구하여라.", "</p><p>예제\\(10.5.3\\) 다음 그림과 같이 한 변의 길이가 \\(30\\) 인 정사각형 모양의 골판지가 있다.", "골판지의 네 모퉁이에서 크기가 같은 정사각형을 오려내고, 나머지 부분을 접어서 최대 부피를 가지도록 뚜껑이 없는 직육면체 상자를 만들려고 한다.", "이 상자의 최대 부피를 구하여라.", "</p><p>풀이 잘라내는 정사각형 한 변의 길이를 \\( x \\) 라 하면 \\( 30-2 x>0 \\) 이므로 \\( 0<x<15 \\) 이다.", "상자의 부피를 \\( f(x) \\) 라 하면 \\[ \\begin{aligned} f(x) &=x(30-2 x)^{2} \\\\ &=4 x^{3}-120 x^{2}+900 x \\end{aligned} \\] 이고 \\[ f^{\\prime}(x)=12 x^{2}-240 x+900=12(x-5)(x-15) \\] 이다. \\", "( 0<x<15 \\) 에서 \\( f^{\\prime}(x)=0 \\) 인 \\( x=5 \\) 이다.", "한편 \\( f^{\\prime \\prime}(x)=24 x-240, f^{\\prime \\prime}(5)=-120<0 \\) 이므로 \\( x=5 \\) 일 때 \\( f(x) \\) 는 최댓값을 가진다.", "따라서 한 변의 길이가 \\(5\\) 인 정사각형을 잘라내고 만든 직육면체가 최대 부피가 되고 그때의 부피는 \\( f(5)=2000 \\) 이다.", "</p><p>유제\\(10.5.3\\) 점 \\( (1,4) \\) 에 가장 가까운 포물선 \\( y^{2}=2 x \\) 위의 점을 구하여라.", "</p><p>예제\\(10.5.4\\) 반지름이 \\( r \\), 높이가 \\( h \\) 인 직원뿔에 내접하는 원기둥 가운데 최대 부피를 가진 원기둥의 높이를 구하여라.", "</p><p>풀이 다음 그림과 같이 내접하는 원기둥의 반지름을 \\( x \\), 높이를 \\( y \\) 라 하면 원기둥의 부피는 \\( V=\\pi x^{2} y \\) 이다. \\", "( V \\) 를 하나의 변수로 나타내기 위하여 위 그림에서 삼각형의 닮음비를 이용하면 \\[ \\frac{x}{r}=\\frac{h-y}{h}, \\text { 즉 } y=\\frac{h}{r}(r-x) \\text { 이고 } 0<x<r \\] 이다.", "따라서 \\[ \\begin{array}{c} \\left.V(x)=\\frac{\\pi h}{r}\\left(r x^{2}-x^{3}\\right) \\quad \\text { (단, } 0<x<r\\right) \\\\ V^{\\prime}(x)=\\frac{\\pi h}{r}\\left(2 r x-3 x^{2}\\right)=\\frac{\\pi h}{r} x(2 r-3 x) \\end{array} \\] 이므로 \\( x=\\frac{2}{3} r \\) 에서 \\( V^{\\prime}(x)=0 \\) 이 된다.", "한편 \\( V^{\\prime \\prime}(x)=\\frac{\\pi h}{r}(2 r-6 x) \\) 이고 \\( V^{\\prime \\prime}\\left(\\frac{2}{3} r\\right)=-2 \\pi h<0 \\) 이므로 \\( x=\\frac{2}{3} r \\) 에서 극대점이고 이 점에서 \\( V(x) \\) 의 최댓값을 갖는다.", "따라서 최대 부피를 갖는 원기둥의 높이는 \\( y=\\frac{h}{3} \\) 이다.", "</p><p>유제\\(10.5.4\\) 반지름이 \\( r \\) 인 공에 내접하는 직원뿔 중에서 부피가 최대인 것의 밑면의 반지름과 높이의 비를 구하여라.", "</p><p>예제\\(10.5.5\\) 한 공장에서 어떤 제품을 만드는 데 원가가 \\(1\\) 개당 \\(10,000\\) 원이고, 이 제품이 팔리는 개수는 판매가의 제곱에 반비례한다고 하자.", "이 회사가 최대의 수익을 얻기 위해서는 판매가를 얼마로 정해야 하는가?", "</p><p>풀이 이 제품의 판매가를 \\( x \\) 원이라 하면 판매 개수는 판매가의 제곱에 반비례하므로 \\( \\frac{k}{x^{2}} \\) ( \\( k \\) 는 양의 상수 \\( ) \\) 이다.", "물건 한 개를 팔아서 생기는 이익은 \\( x-10,000 \\) 원이므로 총이익은 \\[ P(x)=\\frac{k}{x^{2}}(x-10,000)=\\frac{k}{x}-\\frac{10,000 k}{x^{2}} \\] 이다. \\", "[ P^{\\prime}(x)=k\\left(-\\frac{1}{x^{2}}+\\frac{20,000}{x^{3}}\\right)=\\frac{k(-x+20,000)}{x^{3}} \\] \\( P^{\\prime}(x)=0 \\) 인 \\( x=20,000 \\) 에서 최댓값을 가지므로 제품의 판매가를 \\(20,000\\) 원으로 정할 때 최대의 수익을 올릴 수 있다.", "</p><p>유제\\(10.5.5\\) 어떤 여객선의 연료비는 속력의 세제곱에 비례하고, 속력이 \\(10\\) 노트일 때 매시 \\(5,000\\) 원의 연료비와, 속력에 관계없는 기타 비용이 \\(1\\) 시간에 \\(8,000\\) 원씩 소요된다고 한다. \\", "(500\\) 해리를 항해할 때 총 경비를 최소로 하려면 속력을 몇 노트로 하면 좋은가?", "</p> <h1>10.4. \\(2\\)계도함수의 활용</h1><p>앞 절에서 함수 \\( f(x) \\) 의 \\(1\\) 계도함수 \\( f^{\\prime}(x) \\) 를 이용하여 곡선의 증가상태, 감소상태를 알아 극댓값, 극솟값을 구할 수 있었다.", "이제 \\( f(x) \\) 의 \\(2\\) 계도함수 \\( f^{\\prime \\prime}(x) \\) 의 기하학적 의미를 알아보자.", "</p><p>함수 \\( f(x) \\) 가 \\( x=a \\) 에서 미분가능할 때, 곡선 \\( y=f(x) \\) 위의 점 \\( P(a, f(a)) \\) 에서의 접선을 생각하여 보자.", "이 곡선과 접선과의 관계를 점 \\( P \\) 의 근방에서 생각하면 다음의 세 가지로 분류할 수 있다.", "</p><ol type=1 start=1><li>그림 \\(10.4.1\\)의 왼쪽 그림과 같이 점 \\( P \\) 에 가까운 곡선 위의 점들이 접선 위쪽에 있을 때, 곡선 \\( y=f(x) \\) 는 \\( x=a \\) 에서 아래로 볼록이라고 한다.", "</li><li>그림 \\(10.4.1\\)의 가운데 그림과 같이 점 \\( P \\) 에 가까운 곡선 위의 점들이 접선 아래쪽에 있을 때, 곡선 \\( y=f(x) \\) 는 \\( x=a \\) 에서 위로 볼록이라고 한다.", "</li><li>그림 \\(10.4 1\\)의 오른쪽 그림과 같이 점 \\( P \\) 에 가까운 곡선 위의 점들이 한쪽은 접선의 위쪽에 있고 다른 한쪽은 접선의 아래쪽에 있을 때, 곡선 \\( y=f(x) \\) 는 \\( x=a \\) 에서 변곡한다고 하며 점 \\( P \\) 를 변곡점이라 한다.", "</li></ol><p>어떤 구간의 모든 점에서 위로 볼록일 때, 곡선은 그 구간에서 위로 볼록이라 하고, 어떤 구간의 모든 점에서 아래로 볼록일 때, 곡선은 그 구간에서 아래로 볼록이라 한다.", "</p><p>정리 \\(10.4.1\\) 한 구간 \\( I \\) 의 모든 점에서 \\( f^{\\prime \\prime}(x)>0 \\) 이면 함수 \\( f(x) \\) 의 그래프는 구간 \\( I \\) 에서 아래로 볼록이고, 한 구간 \\( I \\) 의 모든 점에서 \\( f^{\\prime \\prime}(x)<0 \\) 이면 함수 \\( f(x) \\) 의 그래프는 구간 \\( I \\) 에서 위로 볼록이다.", "</p><p>증명 \\( f^{\\prime \\prime}(x)>0 \\) 인 경우를 생각하자. 한 점 \\( (a, f(a)) \\) 에서 접선을 그어서 구간 \\( I \\) 안의 한 점 \\( b \\) 를 잡아 직선 \\( x=b \\) 와의 교점을 \\( (b, c) \\) 라 할 때 \\[ f(b)-c>", "0 \\] 임을 증명하면 된다.", "두 점 \\( (a, f(a)),(b, c) \\) 를 지나는 직선의 기울기는 \\[ \\frac{c-f(a)}{b-a}=f^{\\prime}(a) \\text {, 즉 } c-f(a)=f^{\\prime}(a)(b-a) \\]<caption>①</caption>이다.", "평균값 정리에 의하여 \\[ \\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\\prime}(m), \\text { 즉 } f(b)-f(a)=f^{\\prime}(m)(b-a) \\]<caption>②</caption>을 만족하는 \\( m \\) 이 \\( a \\) 와 \\( b \\) 사이에 존재한다. 식 ①, ②에서 \\[ f(b)-c=\\left[f^{\\prime}(m)-f^{\\prime}(a)\\right](b-a) \\]<caption>③</caption>이다. \\( f^{\\prime}(x) \\) 에 평균값 정리를 다시 적용하면 \\[ \\frac{f^{\\prime}(m)-f^{\\prime}(a)}{m-a}=f^{\\prime \\prime}(n) \\] 을 만족하는 \\( n \\) 이 \\( a \\) 와 \\( m \\) 사이에 존재한다. 따라서 \\[ f(b)-c=f^{\\prime \\prime}(n)(m-a)(b-a) \\] 이다. 이때 \\( n \\) 은 구간 \\( I \\) 안의 점이므로 가정에 의해 \\( f^{\\prime \\prime}(n)>0 \\) 이고, 또 \\( m \\) 이 \\( a \\) 와 \\( b \\) 사이에 있으므로 \\( a, b \\) 의 크기에 관계없이 \\( (m-a)(b-a)>0 \\) 이다. 따라서 \\( f(b)-c \\) \\( >", "0 \\) 이 증명된다. \\", "( f^{\\prime \\prime}(x)<0 \\) 인 경우도 마찬가지로 증명할 수 있다.", "</p><p>예제\\(10.4.1\\) 다음 곡선의 위로 볼록한 구간과 아래로 볼록한 구간을 찾이라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=x^{3}-3 x^{2} \\)</li><li>\\( y=2^{x} \\)</li></ol><p>풀이 \\((1)\\) \\( f(x)=x^{3}-3 x^{2} \\) 일 때 \\( f^{\\prime}(x)=3 x^{2}-6 x, f^{\\prime \\prime}(x)=6 x-6 \\) 이고 \\( x>1 \\) 일 때 \\( f^{\\prime \\prime}(x)>0 \\) 이고 \\( x<1 \\) 일 때 \\( f^{\\prime \\prime}(x)<0 \\) 이므로 곡선 \\( y=x^{3}-3 x^{2} \\) 은 구간 \\( (-\\infty, 1) \\) 에서 위로 볼록 하고 \\( (1, \\infty) \\) 에서 아래로 볼록하다.", "</p><p>\\((2)\\) \\( f(x)=2^{x} \\) 일 때 \\( f^{\\prime}(x)=2^{x} \\cdot \\ln 2, f^{\\prime \\prime}(x)=2^{x} \\cdot(\\ln 2)^{2} \\) 이다. 모든 실수 \\( x \\) 에 대하여 \\( 2^{x}>0 \\) 이므로 \\( f^{\\prime \\prime}(x)>0 \\) 이다.", "따라서 곡선 \\( y=2^{x} \\) 은 \\( (-\\infty, \\infty) \\) 에서 아래로 볼록하다.", "</p><p>유제\\(10.4.1\\) 다음 곡선의 위로 볼록한 구간과 아래로 볼록한 구간을 찾아라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=x^{3}+3 x+2 \\)</li><li>\\( y=\\cos x(0<x<\\pi) \\)</li></ol> <p>예제\\(10.2.2\\) 다음 극한값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos x}{x^{2}} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{1+x}-1-\\frac{x}{2}}{x^{2}} \\)</li></ol><p>\\((1)\\) \\( \\frac{0}{0} \\) 형태의 부정형이므로 \\[ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos x}{x^{2}}=\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{(1-\\cos x)^{\\prime}}{\\left(x^{2}\\right)^{\\prime}}=\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin x}{2 x} . \\]", "여기서 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin x}{2 x} \\) 는 \\( \\frac{0}{0} \\) 형태의 부정형이므로 다시 로피탈의 정리를 사용하여 \\[ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos x}{x^{2}}=\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin x}{2 x}=\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\cos x}{2}=\\frac{1}{2} . \\]", "</p><p>\\((2)\\) \\( \\frac{0}{0} \\) 형태의 부정형이므로 \\[ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{1+x}-1-\\frac{x}{2}}{x^{2}}=\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\frac{1}{2 \\sqrt{1+x}}-\\frac{1}{2}}{2 x} . \\] 이고 다시 \\( \\frac{0}{0} \\) 형태의 부정형이므로 로피탈의 정리를 다시 적용하면 \\[ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\frac{1}{2 \\sqrt{1+x}}-\\frac{1}{2}}{2 x}=\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{-\\frac{1}{4}(1+x)^{-\\frac{3}{2}}}{2}=-\\frac{1}{8} . \\]", "</p><p>유제\\(10.2.2\\) 다음 극한값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{x-\\sin x}{x^{3}} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\frac{\\pi}{2}} \\frac{(2 x-\\pi)(\\sin x-1)}{\\cos ^{2} x} \\)</li></ol><p>예제\\(10.2.3\\) 다음 중 옳은 것을 찾아라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 2} \\frac{x-2}{x^{2}-2}=\\lim _{x \\rightarrow 2} \\frac{1}{2 x}=\\frac{1}{4} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 2} \\frac{x-2}{x^{2}-2}=\\frac{0}{2}=0 \\)</li></ol><p>풀이 \\( \\lim _{x \\rightarrow 2} \\frac{x-2}{x^{2}-2} \\) 은 \\( \\frac{0}{0}, \\frac{\\infty}{\\infty} \\) 형태의 부정형의 극한이 아니므로 로피탈의 정리를 적용할 수 없으므로 \\((1)\\)은 틀린 식이고 \\((2)\\)가 맞다.", "</p><p>유제\\(10.2.3\\) \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin x}{x^{2}} \\) 의 극한값을 다음과 같이 계산하였다.", "잘못된 부분을 찾아라. \\", "[ \\begin{aligned} \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin x}{x^{2}} &=\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\cos x}{2 x} \\\\ &=\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{-\\sin x}{2} \\\\ &=\\frac{0}{2} \\\\ &=0 \\end{aligned} \\]</p><p>예제\\(10.2.4\\) 다음 극한값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{3 x-2}{2 x^{3}-4 x+1} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\ln x}{x} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0+} \\frac{\\ln x}{\\ln (\\sin x)} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{x^{m}}{e^{x}} \\) (단 \\( m \\) 은 양의 정수)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\frac{\\infty}{\\infty} \\) 형태의 부정형이므로 \\[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{3 x-2}{2 x^{3}-4 x+1}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{3}{6 x^{2}-4}=0 \\]</li><li>\\( \\frac{\\infty}{\\infty} \\) 형태의 부정형이므로 \\[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\ln x}{x}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\frac{1}{x}}{1}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{x}=0 \\]</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\ln x=-\\infty, \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\ln (\\sin x)=-\\infty \\) 이므로 \\[ \\begin{aligned} \\lim _{x \\rightarrow 0+} \\frac{\\ln x}{\\ln (\\sin x)} &=\\lim _{x \\rightarrow 0+} \\frac{\\frac{1}{x}}{\\frac{\\cos x}{\\sin x}}=\\lim _{x \\rightarrow 0+} \\frac{\\sin x}{x \\cos x} \\\\ &=\\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\frac{\\sin x}{x} \\cdot \\frac{1}{\\cos x}=1 \\cdot 1=1 . \\end{aligned} \\]</li><li>로피탈의 정리를 \\( m \\) 번 적용하면 \\[ \\begin{aligned} \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{x^{m}}{e^{x}}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{m x^{m-1}}{e^{x}} &=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{m(m-1) x^{m-2}}{e^{x}} \\\\ &=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{m(m-1)(m-2) \\cdots 2 \\cdot 1 x^{0}}{e^{x}} \\\\ &=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{m !}{e^{x}}=0 . \\end{aligned} \\]</li></ol><p>유제\\(10.2.4\\) 다음 극한값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{2 x^{2}-4 x+1}{3 x-2} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{e^{x}}{\\ln x} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{e^{x}}{x^{2}} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\ln x}{\\sqrt[3]{x}} \\)</li></ol> <h1>10장 연습문제</h1><p>\\(01\\) 다음 극한값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{x^{3}-1}{x-1} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{3+x}-\\sqrt{3-x}}{x} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\ln x}{\\sqrt{x}} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{e^{2 x}}{x^{2}} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{x-\\sin x}{x^{3}} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{x}{\\tan ^{-1} 3 x} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{e^{x}-1-x}{x^{2}} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{e^{x}-e^{-x}}{\\tan x} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\ln (\\ln x)}{x \\ln x} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{(\\ln x)^{2}}{x} \\)</li></ol><p>\\(02\\) 다음 극한값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0}\\left(\\frac{1}{x}-\\frac{1}{x^{2}}\\right) \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(\\sqrt{x^{2}+x}-x\\right) \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0}\\left(\\frac{1}{x}-\\csc x\\right) \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty}(2 x-\\ln x) \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} x\\left(1-\\frac{1}{x}\\right) \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x\\left(1-\\frac{1}{x}\\right) \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0-} \\frac{1}{x}\\left(\\frac{1}{\\sqrt{1-x}}-1\\right) \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} x^{2} \\ln x \\)</li></ol><p>\\(03\\) 다음 극한값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} x^{x^{2}} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0}(\\sin x)^{\\tan x} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0}(1-4 x)^{\\frac{1}{x}} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}}(1+x)^{\\csc x} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0}(1+\\tan x)^{\\frac{1}{x}} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(x+e^{x}\\right)^{\\frac{3}{x}} \\)</li></ol><p>\\(04\\) 주어진 구간에서 다음 함수의 극값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=\\left|4-x^{2}\\right|, \\quad[-3,3] \\)</li><li>\\( f(x)=2 \\sin x+\\sin 2 x, \\quad[0,2 \\pi] \\)</li><li>\\( f(x)=\\frac{2 x-1}{x^{2}+2}, \\quad(-\\infty, \\infty) \\)</li><li>\\( f(x)=x \\ln x, \\quad(-\\infty, \\infty) \\)</li></ol><p>\\(05\\) 주어진 구간에서 다음 함수의 최댓값과 최솟값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=x^{3}-3 x^{2}-9 x+8, \\quad[-2,0] \\)</li><li>\\( f(x)=x^{4}-2 x^{2}-1, \\quad[-2,2] \\)</li><li>\\( f(x)=x^{2} e^{-x}, \\quad[-1,3] \\)</li><li>\\( f(x)=\\frac{\\ln (x+1)}{x+1}, \\quad[0, e] \\)</li></ol><p>\\(06\\) 다음 함수의 그래프 개형을 그려라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=-x^{3}-3 x^{2}+2 \\)</li><li>\\( f(x)=\\ln \\left(x^{2}+1\\right) \\)</li><li>\\( f(x)=e^{-x^{2}} \\)</li></ol><p>\\(07\\) 함수 \\( f(x)=(x-1)^{2}(x-4)+a \\) 의 극솟값이 \\(10\\) 일 때, 상수 \\( a \\) 의 값을 구하여라.", "</p><p>\\(08\\) 겉넓이가 일정한 뚜껑 없는 직원기둥 중에서 부피가 최대인 것의 밑면의 반지름과 높이의 비를 구하여라.", "</p><p>\\(09\\) \\(f(x) \\) 가 양수함수라 하자. \\", "( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=0 \\) 이고 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} g(x)=\\infty \\) 이면 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)^{g(x)}=0 \\) 임을 보여라.", "</p> <h1>10.2. 부정형의 극한값</h1><p>\\( x \\rightarrow a \\) 일 때 \\( f(x) \\rightarrow 0 \\) 이고 \\( g(x) \\rightarrow 0 \\) 인 극한값 \\[ \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f(x)}{g(x)} \\] 은 존재할 수도 있고 존재하지 않을 수도 있는데 이러한 형태의 극한을 \\( \\frac{0}{0} \\) 형태의 부정형이라고 한다.", "지금까지 다루어 왔던 대부분의 \\( \\frac{0}{0} \\) 형태의 부정형 극한값은 식을 약분하거나 유리화하여 극한값을 구할 수 있었으나 \\( \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{\\ln x}{x-1} \\) 와 같은 계산은 약분하거나 유리화하는 방법으로 극한값을 구할 수 없다.", "</p><p>마찬가지로 \\( x \\rightarrow a \\) 일 때 \\( f(x) \\rightarrow \\infty( \\) 혹은 \\( -\\infty) \\) 이고 \\( g(x) \\rightarrow \\infty( \\) 혹은 \\( -\\infty) \\) 인 극한값 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f(x)}{g(x)} \\) 은 존재할 수도 있고 존재하지 않을 수도 있는데 이러한 형태의 극한을 \\( \\frac{\\infty}{\\infty} \\) 형태의 부정형이라고 한다. \\", "( \\frac{\\infty}{\\infty} \\) 형태의 부정형 극한값을 구할 때 분모의 최고차항으로 분모, 분자를 나눔으로써 극한값을 구할 수 있었다.", "하지만 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0+} \\frac{\\ln x}{\\ln (\\sin x)} \\) 와 같은 계산은 이와 같은 방법으로 구할 수 없다.", "</p><p>이런 경우 다음 정리(로피탈의 정리)를 사용하여 극한값을 구할 수 있다.", "로피탈의 정리는 극한값을 구하는 데 아주 유용하게 사용할 수 있는 정리이지만 정확한 증명은 고급해석학 영역이므로 여기서는 증명 없이 그대로 사용하기로 한다.", "</p><p>정리 \\(10.2.1\\) 로피탈의 정리 \\( f(x), g(x) \\) 가 점 \\( a \\) 를 포함하는 구간에서 연속이고, 그 구간(점 \\( a \\) 는 제외될 수도 있음)에서 미분가능하고 \\( g^{\\prime}(x) \\neq 0 \\) 라고 가정하자. \\", "[ \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=0, \\quad \\lim _{x \\rightarrow a} g(x)=0 \\] 이거나 \\[ \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=\\pm \\infty, \\quad \\lim _{x \\rightarrow a} g(x)=\\pm \\infty \\] 이면 \\[ \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f(x)}{g(x)}=\\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f^{\\prime}(x)}{g^{\\prime}(x)} \\] 가 성립한다. \\", "( x \\rightarrow a \\) 대신 \\( x \\rightarrow a^{+}, x \\rightarrow a^{-}, x \\rightarrow \\infty, x \\rightarrow-\\infty \\) 의 어느 하나로 바꾸어도 성립한다.", "</p><p>예제 \\(10.2.1\\) 다음 극한값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 2} \\frac{x^{2}-4}{x-2} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin x}{x} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{\\ln x}{x-1} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin (\\sin x)}{x} \\)</li></ol><p>\\((1)\\) \\( \\lim _{x \\rightarrow 2}(x-2)=0, \\lim _{x \\rightarrow 2}\\left(x^{2}-4\\right)=0 \\) 이므로 \\( \\frac{0}{0} \\) 형태의 부정형이다.", "따라서 로피탈의 정리에 의하여 \\[ \\lim _{x \\rightarrow 2} \\frac{x^{2}-4}{x-2}=\\lim _{x \\rightarrow 2} \\frac{\\frac{d}{d x}\\left(x^{2}-4\\right)}{\\frac{d}{d x}(x-2)}=\\lim _{x \\rightarrow 2} \\frac{2 x}{1}=4 . \\]</p><p>\\((2)\\) \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin x}{x} \\) 은 \\( \\frac{0}{0} \\) 형태의 부정형이므로 \\[ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin x}{x}=\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{(\\sin x)^{\\prime}}{(x)^{\\prime}}=\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\cos x}{1}=1 . \\]</p><p>\\((3)\\) \\( \\lim _{x \\rightarrow 1}(x-1)=0, \\lim _{x \\rightarrow 1} \\ln x=0 \\) 이므로 \\( \\frac{0}{0} \\) 형태의 부정형이다.", "따라서 로피탈의 정리에 의하여 \\[ \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{\\ln x}{x-1}=\\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{\\frac{d}{d x}(\\ln x)}{\\frac{d}{d x}(x-1)}=\\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{\\frac{1}{x}}{1}=\\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{1}{x}=1 . \\]</p><p>\\((4)\\) \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin (\\sin x)}{x} \\) 은 \\( \\frac{0}{0} \\) 형태의 부정형이므로 \\[ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin (\\sin x)}{x}=\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{(\\sin (\\sin x))^{\\prime}}{(x)^{\\prime}}=\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\cos (\\sin x) \\cdot \\cos x}{1}=1 \\text {. } \\]", "</p><p>유제\\(10.2.1\\) 다음 극한값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{x^{2}-4 x+3}{x-1} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tan x}{x} \\)</li><li>\\( \\lim _{t \\rightarrow 0} \\frac{e^{3 t}-1}{t} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos x}{x} \\)</li></ol> <h1>10.3. \\(1\\)계도함수의 활용</h1><p>\\( f^{\\prime}(x) \\) 는 점 \\( (x, f(x)) \\) 에서 곡선 \\( y=f(x) \\) 의 기울기를 나타내므로 \\( f^{\\prime}(x) \\) 의 값에 따라 함수 \\( y=f(x) \\) 의 그래프의 성질을 파악할 수 있다.", "이 절에서는 도함수 \\( f^{\\prime}(x) \\) 를 이용하여 증가상태, 감소상태를 판정하고 또 이를 활용하여 극댓값과 극솟값을 구하는 방법에 대하여 알아보자.", "</p><p>정의 \\(10.3.1\\) 함수 \\( f(x) \\) 가 구간 \\( [a, b] \\) 안에 있는 모든 점 \\( x_{1}, x_{2} \\) 에 대하여 \\[ x_{1}<x_{2} \\text { 일 때 } f\\left(x_{1}\\right)<f\\left(x_{2}\\right) \\] 이면 함수 \\( f(x) \\) 는 그 구간 \\( [a, b] \\) 에서 증가한다고 한다.", "그와 반대로 \\[ x_{1}<x_{2} \\text { 일 때 } f\\left(x_{1}\\right)>f\\left(x_{2}\\right) \\] 이면 함수 \\( f(x) \\) 는 그 구간 \\( [a, b] \\) 에서 감소한다고 한다.", "</p><p>예제\\(10.3.1\\) 함수 \\( f(x)=x^{3} \\) 은 \\( (-\\infty, \\infty) \\) 에서 증가함을 증명하여라.", "</p><p>증명 임의의 두 실수 \\( x_{1}, x_{2} \\) 에 대하여 \\( x_{1}<x_{2} \\) 일 때 \\[ \\begin{aligned} f\\left(x_{1}\\right)-f\\left(x_{2}\\right) &=x_{1}^{3}-x_{2}^{3} \\\\ &=\\left(x_{1}-x_{2}\\right)\\left(x_{1}^{2}+x_{1} x_{2}+x_{2}^{2}\\right)<0 \\end{aligned} \\] 이므로 \\( f\\left(x_{1}\\right)<f\\left(x_{2}\\right) \\) 이다.", "즉 \\( f(x) \\) 는 증가함수이다.", "</p><p>유제\\(10.3.1\\) 함수 \\( f(x)=-x^{2} \\) 은 \\( (0, \\infty) \\) 에서 감소함을 증명하여라.", "</p><p>예제\\(10.3.2\\) 어떤 함수의 도함수 \\( y=f^{\\prime}(x) \\) 의 그래프가 다음 그림과 같고, \\( f(0)=0 \\) 일 때 함수 \\( y=f(x) \\) 의 가능한 그래프의 개형을 그려라.", "</p><p>풀이 그림으로부터 \\( (-1,1) \\) 에서 \\( f^{\\prime}(x)<0 \\) 이므로 \\( f(x) \\) 는 \\( (-1,1) \\) 에서 감소하고, \\( x<-1, x>1 \\) 에서 \\( f^{\\prime}(x)>0 \\) 이므로 \\( f(x) \\) 는 \\( (-\\infty, 1),(1, \\infty) \\) 에서 증가한다.", "또한 \\( x=\\pm 1 \\) 에서 수평접선을 갖는다. \\", "( f(0)=0 \\) 이므로 원점을 지나고, 한편 \\( f^{\\prime}(0)=-1 \\) 이므로 \\( y=f(x) \\) 의 그래프는 원점에서 접선의 기울기가 \\( -1 \\) 이고 \\( x \\rightarrow \\pm \\infty \\) 일 때 \\( f^{\\prime}(x) \\rightarrow 1 \\) 이므로 \\( x \\rightarrow \\pm \\infty \\) 일 때 \\( y=f(x) \\) 의 기울기가 1 에 접근하여 점점 직선에 가까워진다.", "결과적으로 다음과 같은 그래프 개형을 얻는다.", "</p><p>유제 \\(10.3.2\\) 함수 \\( y=f(x) \\) 의 도함수 \\( y=f^{\\prime}(x) \\) 의 그래프가 다음과 같이 주어지고 \\( f(0)=0 \\) 일 때 함수 \\( y=f(x) \\) 의 그래프의 개형을 그려라.", "</p><p>함수의 증가, 감소상태와 도함수의 관계를 직관적으로 그림으로 살펴보자.", "그림 \\(10.3.2\\)의 왼쪽 그림에서 그래프는 정의역 내의 모든 점에서 접선의 기울기(미분계수)가 모두 양의 값을 갖는다.", "이때 \\( x \\) 값이 커질 때 \\( y \\) 값도 커지므로 \\( f(x) \\) 는 증가함수임을 알 수 있다.", "마찬가지로 그림 10.3.2의 오른쪽 그림에서 그래프는 정의역 내의 모든 점에서 접선의 기울기(미분계수)가 모두 음의 값을 갖는다.", "이때 \\( x \\) 값이 커질 때 \\( y \\) 값은 작아지므로 \\( f(x) \\) 는 감소함수임을 알 수 있다.", "</p><p>이제 이 사실을 평균값 정리를 이용하여 증명하여 보자.", "</p><p>정리 \\(10.3.2\\) 함수 \\( f(x) \\) 가 \\( (a, b) \\) 에서 미분가능하고 이 구간에 속하는 임의의 \\( x \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f^{\\prime}(x)>0 \\) 이면 \\( f(x) \\) 는 \\( (a, b) \\) 에서 증가함수이다.", "</li><li>\\( f^{\\prime}(x)<0 \\) 이면 \\( f(x) \\) 는 \\( (a, b) \\) 에서 감소함수이다.", "</li></ol><p>증명 \\((1)\\) \\( (a, b) \\) 에 속하는 임의의 두 실수 \\( x_{1}, x_{2}\\left(x_{1}<x_{2}\\right) \\) 에 대하여 평균값 정리를 적용하면 \\[ \\frac{f\\left(x_{2}\\right)-f\\left(x_{1}\\right)}{x_{2}-x_{1}}=f^{\\prime}(c) \\] 인 \\( c \\) 가 \\( x_{1} \\) 과 \\( x_{2} \\) 사이에 존재한다. 그런데 가정에서 \\( f^{\\prime}(c)>0 \\) 이고 \\( x_{2}-x_{1}>0 \\) 이므 로 \\( f\\left(x_{2}\\right)-f\\left(x_{1}\\right)>0 \\) 이다.", "즉 \\[ f\\left(x_{1}\\right)<f\\left(x_{2}\\right) \\] 이다.", "따라서 함수 \\( f(x) \\) 는 \\( (a, b) \\) 에서 증가한다.", "</p><p>\\((2)\\) \\((1)\\)과 같은 방법으로 증명된다.", "</p><p>어떤 함수의 증가(또는 감소)하는 구간을 구할 때는</p><ol type=1 start=1><li>\\( f^{\\prime}(x)=0 \\) 또는 \\( f^{\\prime}(x) \\) 가 존재하지 않는 \\( x \\) 를 모두 구한다.", "</li><li>①에서 구한 \\( x \\) 를 이용하여 정의역을 소구간으로 나눈다.", "</li><li>각 소구간 안의 한 점을 선택하여 그 점에서 \\( f^{\\prime}(x) \\) 의 값이 양수인지 음수인지를 판정한다.", "</li><li>각 소구간에서 \\( f^{\\prime}(x)>0 \\) 이면 \\( f(x) \\) 는 그 소구간에서 증가하고, 각 소구간에서 \\( f^{\\prime}(x)< \\) 0 이면 \\( f(x) \\) 는 그 소구간에서 감소한다고 판정한다.", "</li></ol> <h1>10.1. 기본정리</h1><p>미적분학에서 중요한 세 가지의 기본적인 정리들을 알아보자.", "</p><p>정리 \\(10.1.1\\) Rolle의 정리 함수 \\( f(x) \\) 가 \\( [a, b] \\) 에서 연속이고, \\( (a, b) \\) 에서 미분가능할 때, \\( f(a)=f(b) \\) 이면 \\[ f^{\\prime}(c)=0 \\quad(a<c<b) \\] 를 만족하는 \\( c \\) 가 \\( a \\) 와 \\( b \\) 사이에 적어도 하나 존재한다.", "</p><p>증명 (i) 함수 \\( f(x) \\) 가 상수함수인 경우 \\( (a, b) \\) 에 속하는 모든 \\( c \\) 에 대하여 \\( f^{\\prime}(c)=0 \\) 이다.", "</p><p>(ii) 함수 \\( f(x) \\) 가 상수함수가 아닌 경우 \\( f(a)=f(b) \\) 이므로 함수 \\( f(x) \\) 는 \\( (a, b) \\) 안에 있는 \\( x=c \\) 에서 최댓값 또는 최솟값을 갖는다.", "함수 \\( f(x) \\) 가 \\( x=c \\) 에서 최솟값을 갖는다면, \\( h \\rightarrow 0 \\) 일 때 \\( f(c+h)- \\) \\( f(c) \\geq 0 \\) 이므로 \\[ \\lim _{h \\rightarrow 0^{-}} \\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \\leq 0 \\] \\[ \\lim _{h \\rightarrow 0^{+}} \\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \\geq 0 \\]이다.", "그런데 가정에서 함수 \\( f(x) \\) 가 \\( x=c \\) 에서 미분가능하므로 좌극한과 우극한이 같다.", "따라서 \\[ 0 \\leq \\lim _{h \\rightarrow 0^{+}} \\frac{f(c+h)-f(c)}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0-} \\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \\leq 0 \\] 이므로 \\[ f^{\\prime}(c)=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(c+h)-f(c)}{h}=0 \\] 이 성립한다.", "마찬가지로 함수 \\( f(x) \\) 가 \\( x=c \\) 에서 최댓값을 갖는 경우도 \\( f^{\\prime}(c)=0 \\) 임을 증명할 수 있다.", "</p><p>Rolle의 정리의 기하학적 의미는 함수 \\( f(x) \\) 가 \\( [a, b] \\) 에서 연속이고, \\( (a, b) \\) 에서 미분가능 할 때, \\( f(a)=f(b) \\) 이면 곡선 위의 한 점에서 접선을 그어 \\( x \\) 축에 평행하게 되는 점이 \\( (a, b) \\) 안에 적어도 하나 존재함을 말한다.", "그림 10.1.3과 같은 경우는 \\[ f^{\\prime}\\left(m_{1}\\right)=0, \\quad f^{\\prime}\\left(m_{2}\\right)=0 \\] 으로 \\( m_{1} \\) 과 \\( m_{2} \\) 두 개가 존재한다.", "</p><p>예제\\(10.1.1\\) 방정식 \\( x^{3}-5 x+1=0 \\) 은 구간 \\( (0,1) \\) 에서 꼭 하나의 해를 가짐을 증명하여라.", "</p><p>풀이 \\( f(x)=x^{3}-5 x+1 \\) 이라 놓으면 함수 \\( f(x) \\) 는 \\( (0,1) \\) 에서 미분가능하고 \\[ f(0)=1>0, \\quad f(1)=-3<0 \\] 이므로 중간값 정리에 의하여 방정식 \\( x^{3}-5 x+1=0 \\) 은 구간 \\( (0,1) \\) 에서 적어도 하나의 해를 가진다.", "즉 \\( f(a)=0 \\) 인 \\( a \\in(0,1) \\) 가 존재한다.", "만약 다른 점 \\( b \\in(0,1) \\) 가 존재해서 \\( f(b)=0 \\) 이라 하자.", "그러면 Rolle의 정리에 의하여 \\( a \\) 와 \\( b \\) 사이에 \\( m \\) 이 존재하여 \\( f^{\\prime}(m)=0 \\) 이다.", "그러나 \\( m \\in(0,1) \\) 이고 \\( (0,1) \\) 에서 \\( f^{\\prime}(x)=3 x^{2}-5<0 \\) 이므로 모순이다.", "따라서 \\( (0,1) \\) 에서 방정식 \\( x^{3}-5 x+1=0 \\) 의 해는 오직 하나뿐이다.", "</p><p>유제\\(10.1.1\\) 함수 \\( f(x)=2 x^{3}-3 x^{2}-12 x-6 \\) 은 구간 \\( (-1,0) \\) 에서 단 하나의 실근을 가짐을 증명하여라.", "</p> <p>로피탈의 정리는 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f(x)}{g(x)} \\) 와 같이 분수식의 형태에만 적용될 수 있다.", "따라서 \\( \\infty-\\infty \\), \\( 0 \\cdot \\infty \\) 형태의 부정형 극한값을 구할 때는 로피탈의 정리를 적용할 수 있도록 적당한 분수식 형태로 바꾸어 극한값을 구한다.", "</p><p>\\((1)\\) \\( 0 \\cdot \\infty \\) 형태의 부정형의 극한값 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=0 \\) 이고 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} g(x)=\\infty \\) 일 때 \\[ \\lim _{x \\rightarrow a} f(x) g(x)=\\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f(x)}{\\frac{1}{g(x)}} \\] 와 같이 \\( \\frac{0}{0} \\) 형태의 부정형으로 변형하거나 \\[ \\lim _{x \\rightarrow a} f(x) g(x)=\\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{g(x)}{\\frac{1}{f(x)}} \\] 와 같이 \\( \\frac{\\infty}{\\infty} \\) 형태의 부정형으로 변형한다.", "</p><p>예제\\(10.2.5\\) 다음 극한값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} x \\ln x \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x \\sin \\frac{1}{x} \\)</li></ol><p>풀이 \\((1)\\) \\( \\lim _{x \\rightarrow 0+} \\ln x=-\\infty \\) 이므로 \\( 0 \\cdot(-\\infty) \\) 형태의 부정형이다. \\[ \\lim _{x \\rightarrow 0+} \\frac{1}{x}=\\infty \\] 이므로 \\[ \\lim _{x \\rightarrow 0+} x \\ln x=\\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\frac{\\ln x}{\\frac{1}{x}} \\] 으로 변형하면 \\( \\frac{-\\infty}{\\infty} \\) 형태의 부정형이므로 로피탈의 정리를 적용할 수 있다. 따라서 \\[ \\lim _{x \\rightarrow>", "0+} x \\ln x=\\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\frac{\\ln x}{\\frac{1}{x}}=\\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\frac{\\frac{1}{x}}{-\\frac{1}{x^{2}}}=\\lim _{x \\rightarrow 0^{+}}(-x)=0 \\] 이다.", "</p><p>참고 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} x \\ln x=\\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\frac{x}{\\frac{1}{\\ln x}} \\) 으로 변형하면 \\( \\frac{0}{0} \\) 형태의 부정형이지만 로피탈의 정리를 적용하면 더 복잡한 식으로 변형된다.", "따라서 부정형의 곱을 다시 쓸 때 더 간단한 표현이 되도록 선택해야 한다.", "</p><p>\\((2)\\) \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x \\sin \\frac{1}{x} \\) 은 \\( \\infty \\cdot 0 \\) 형태의 부정형이다. \\", "( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x \\sin \\frac{1}{x}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\sin \\frac{1}{x}}{\\frac{1}{x}} \\) 으로 변형하면 \\( \\frac{0}{0} \\) 형태의 부정형이므로 \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x \\sin \\frac{1}{x}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\sin \\frac{1}{x}}{\\frac{1}{x}}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\cos \\frac{1}{x} \\cdot\\left(-\\frac{1}{x^{2}}\\right)}{-\\frac{1}{x^{2}}} \\) \\( =\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\cos \\frac{1}{x}=1 \\) 다른 방법으로 \\( \\frac{1}{x}=t \\) 로 놓으면 \\[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x \\sin \\frac{1}{x}=\\lim _{t \\rightarrow 0} \\frac{\\sin t}{t}=1 \\] 임을 쉽게 알 수 있다.", "</p><p>유제\\(10.2.5\\) 다음 극한값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x e^{-x} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} e^{-x} \\ln x \\)</li></ol><p>\\((2)\\) \\( \\infty-\\infty \\) 형태의 부정형의 극한값 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=\\infty \\) 이고 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} g(x)=\\infty \\) 일 때 \\( \\lim _{x \\rightarrow a}(f(x)-g(x)) \\) 의 계산은 \\( f(x)-g(x) \\) 를 하나의 식으로 변형하여 로피탈의 정리를 적용한다.", "</p><p>예제\\(10.2.6\\) 다음 극한값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty}(\\sqrt{x+1}-\\sqrt{x}) \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right){-}}(\\sec x-\\tan x) \\)</li></ol><p>풀이</p><p>\\((1)\\) \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\sqrt{x+1}=\\infty \\) 이고 \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\sqrt{x}=\\infty \\) 이므로 \\( \\infty-\\infty \\) 형태의 부정형이다. \\", "[ \\begin{aligned} \\lim _{x \\rightarrow \\infty}(\\sqrt{x+1}-\\sqrt{x}) &=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{(\\sqrt{x+1}-\\sqrt{x})(\\sqrt{x+}}{\\sqrt{x+1}+\\sqrt{x}} \\\\ &=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{\\sqrt{x+1}+\\sqrt{x}}=0 \\end{aligned} \\]</p><p>\\((2)\\) \\( \\lim _{x \\rightarrow\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right) {-}} \\sec x=\\lim _{x \\rightarrow\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right) {-}} \\frac{1}{\\cos x}=\\infty, \\lim _{x \\rightarrow\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right) {-}} \\tan x=\\infty \\) 이므로 \\( \\infty-\\infty \\) 형태의 부정형이다. \\", "( \\sec x-\\tan x=\\frac{1}{\\cos x}-\\frac{\\sin x}{\\cos x}=\\frac{1-\\sin x}{\\cos x} \\) 에서 \\( \\lim _{x \\rightarrow\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right) {-}} \\cos x=0 \\) 이고 \\( \\lim _{x \\rightarrow\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right) {-}}(1-\\sin x)=0 \\) 이므로 로피탈의 정리를 사용하여 \\( \\begin{aligned} \\lim _{x \\rightarrow\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right) {-}}(\\sec x-\\tan x)=& \\lim _{x \\rightarrow\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right) {-}} \\frac{1-\\sin x}{\\cos x} \\\\=& \\lim _{x \\rightarrow\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right) {-}} \\frac{-\\cos x}{-\\sin x}=0 \\end{aligned} \\)</p><p>유제\\(10.2.6\\) 다음 극한값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty}(\\ln (2 x+1)-\\ln x) \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty}(x-\\ln x) \\)</li></ol><p>\\((3)\\) \\( 0^{0}, \\infty^{0}, 1^{\\infty} \\) 형태의 부정형의 극한값 \\( \\lim _{x \\rightarrow a}[f(x)]^{g(x)} \\) 형태의 지수로 표현된 식의 극한값을 구하고자 할 때 \\( 0^{0}, \\infty^{0}, 1^{\\infty} \\) 꼴의 극한으로 나타날 때가 있다.", "이런 부정형의 극한값을 계산할 때는 \\( y=[f(x)]^{g(x)} \\) 라 놓고 양변에 \\( \\ln \\) 을 취하여 \\[ \\ln y=g(x) \\ln f(x) \\] 의 극한값을 구하여 얻을 수 있다.", "만약 \\( \\lim _{x \\rightarrow a} \\ln y=k \\) 가 되었다면 \\[ \\lim _{x \\rightarrow a}[f(x)]^{g(x)}=\\lim _{x \\rightarrow a} y=e^{k} \\text { 이다. } \\]", "그러나 양수함수이고, \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=0, \\lim _{x \\rightarrow a} g(x)=\\infty \\) 이면 \\[ \\lim _{x \\rightarrow a}[f(x)]^{g(x)}=0 \\] 이 된다.", "즉 \\( 0^{\\infty} \\) 꼴의 극한은 부정형이 아니다. (연습문제 9 번)", "</p><p>예제\\(10.2.7\\) 다음 극한값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0+} x^{x} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x^{\\frac{1}{x}} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0}(\\cos x)^{\\frac{1}{x}} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0+}(\\sin x)^{\\frac{1}{x}} \\)</li></ol><p>풀이 \\((1)\\) \\( y=x^{x} \\) 으로 놓으면 \\( \\ln y=x \\ln x \\) 이므로 \\[ \\lim _{x \\rightarrow 0{+}} \\ln y=\\lim _{x \\rightarrow 0{+}} x \\ln x=\\lim _{x \\rightarrow 0{+}} \\frac{\\ln x}{\\frac{1}{x}}=\\lim _{x \\rightarrow 0{+}} \\frac{\\frac{1}{x}}{-\\frac{1}{x^{2}}}=\\lim _{x \\rightarrow 0+}(-x)=0 \\] 이다.", "따라서 \\[ \\lim _{x \\rightarrow 0+} x^{x}=\\lim _{x \\rightarrow 0+} y=\\lim _{x \\rightarrow 0+} e^{\\ln y}=1 \\]</p><p>\\((2)\\) \\( y=x^{\\frac{1}{x}} \\) 로 놓으면 \\( \\ln y=\\frac{1}{x} \\ln x \\) 이므로 \\[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\ln y=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\ln x}{x}=0 \\] 이다.", "따라서 \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x^{\\frac{1}{x}}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} y=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} e^{\\ln y}=1 \\).", "</p><p>\\((3)\\) \\( y=(\\cos x)^{\\frac{1}{x}} \\) 로 놓으면 \\( \\ln y=\\frac{1}{x} \\ln \\cos x \\) 이므로 \\[ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\ln y=\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\ln \\cos x}{x} \\] \\[ =\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\frac{\\sin x}{\\cos x}}{1}=\\lim _{x \\rightarrow 0} \\tan x=0 \\] 이다.", "따라서 \\[ \\lim _{x \\rightarrow 0}(\\cos x)^{\\frac{1}{x}}=\\lim _{x \\rightarrow 0} y=\\lim _{x \\rightarrow 0} e^{\\ln y}=1 . \\]</p><p>\\((4)\\) \\( y=(\\sin x)^{\\frac{1}{x}} \\) 로 놓으면 \\( \\ln y=\\frac{1}{x} \\ln \\sin x \\) 이므로 \\[ \\lim _{x \\rightarrow 0+} \\ln y=\\lim _{x \\rightarrow 0+} \\frac{\\ln \\sin x}{x}=-\\infty \\] 이다.", "따라서 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0{+}}(\\sin x)^{\\frac{1}{x}}=\\lim _{x \\rightarrow 0{+}} y=\\lim _{x \\rightarrow 0{+}} e^{\\ln y}=0 \\).", "</p><p>유제\\(10.2.7\\) 다음 극한값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0}(\\sin x)^{x} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x^{\\frac{\\ln 3}{1+\\ln x}} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0}(1-2 x)^{\\frac{1}{x}} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} x^{\\ln x} \\)</li></ol> <p>예제\\(10.3.7\\) 함수 \\( f(x)=2 x^{3}+a x^{2}+b x+c \\) 가 \\( x=1 \\) 에서 극댓값 \\( 4, x=2 \\) 에서 극솟값 \\(3\\) 을 가질 때 실수 \\( a, b, c \\) 의 값을 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( f^{\\prime}(x)=6 x^{2}+2 a x+b \\) 이고 \\( x=1, x=2 \\) 에서 극값을 가지므로 \\[ \\begin{array}{c} f^{\\prime}(1)=6+2 a+b=0, \\\\ f^{\\prime}(2)=24+4 a+b=0 \\end{array} \\] 이다.", "이 연립방정식을 풀면 \\( a=-9, b=12 \\) 를 얻어 \\( f(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+12 x+c \\) 이다.", "함수 \\( f(x) \\) 는 \\( x=1 \\) 에서 극댓값 \\(4\\) 를 가지므로 \\( f(1)=2-9+12+c=4 \\) 에서 \\( c=-1 \\) 을 구한다.", "따라서 \\( a=-9, b=12, c=-1 \\) 이다.", "</p><p>유제\\(10.3.7\\) 함수 \\( f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c \\) 가 \\( x=-1 \\) 일 때 극댓값 \\( 9, x=3 \\) 일 때 극솟값 \\( -23 \\) 을 갖는다.", "이때 실수 \\( a, b, c \\) 의 값을 구하여라.", "</p><p>정의 \\(10.3.7\\) 함수 \\( f(x) \\) 가 정의역 안의 모든 점 \\( x \\) 에 대하여 \\[ f(x) \\leq f(a) \\] 이면 함수 \\( f(x) \\) 는 \\( x=a \\) 에서 최댓값 \\( f(a) \\) 를 갖는다고 하고 \\[ f(x) \\geq f(a) \\] 이면 함수 \\( f(x) \\) 는 \\( x=a \\) 에서 최솟값 \\( f(a) \\) 를 갖는다고 한다.", "</p><p>정리 \\(10.3.8\\) 최댓값 - 최솟값의 정리 함수 \\( f(x) \\) 가 폐구간 \\( [a, b] \\) 에서 연속이면 \\( f(x) \\) 는 그 구간에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.", "폐구간 \\( [a, b] \\) 에서 연속인 함수 \\( f(x) \\) 의 최댓값과 최솟값은 그림 \\(10.3.6\\)과 같이 극댓값 또는 극솟값이거나, 구간 양 끝점의 함숫값 중에 있다.", "따라서 폐구간 \\( [a, b] \\) 에서 정의된 연속함수 \\( f(x) \\) 의 최댓값과 최솟값은 다음과 같이 구한다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( (a, b) \\) 에서 \\( f(x) \\) 의 임계점에서 함숫값을 구한다.", "</li><li>구간 \\( [a, b] \\) 의 양 끝점에서 함숫값 \\( f(a), f(b) \\) 를 구한다.", "</li><li>①,②에서 구한 값 중 가장 큰 값이 최댓값이고 가장 작은 값이 최솟값이다.", "</li></ol><p>예제 \\(10.3.8\\)</p><ol type=1 start=1><li>구간 \\( [-3,3] \\) 에서 \\( f(x)=x^{3}-6 x \\) 의 최댓값과 최솟값을 구하여라.", "</li><li>구간 \\( [0,3] \\) 에서 \\( f(x)=x^{3}-6 x \\) 의 최댓값과 최솟값을 구하여라.", "</li></ol><p>풀이 \\((1)\\) \\( f(x) \\) 는 구간 \\( [-3,3] \\) 에서 연속이고 \\( f^{\\prime}(x)=3 x^{2}-6=3\\left(x^{2}-2\\right) \\) 이다.", "그러므로 함수 \\( f(x) \\) 의 임계점은 \\( x=\\sqrt{2},-\\sqrt{2} \\) 이고 \\( \\sqrt{2},-\\sqrt{2} \\) 는 구간 \\( [-3,3] \\) 안에 있다.", "이때 \\( f(-3)=-9, f(-\\sqrt{2})=4 \\sqrt{2} \\), \\( f(\\sqrt{2})=-4 \\sqrt{2}, f(3)=9 \\) 이고 가장 큰 값은 \\(9\\) 이고 가장 작은 값은 \\( -9 \\) 이다.", "따라서 구간 \\( [-3,3] \\) 에서 \\( f(x)=x^{3}-6 x \\) 의 최댓값은 \\( x=3 \\) 일 때 \\(9\\) 이고 최솟값은 \\( x=-3 \\) 일 때 \\( -9 \\) 이다.", "</p><p>\\((2)\\) \\((1)\\)에서 \\( \\sqrt{2} \\in[0,3],-\\sqrt{2} \\notin[0,3] \\) 이므로 \\[ f(0)=0, \\quad f(\\sqrt{2})=-4 \\sqrt{2}, \\quad f(3)=9 \\] 중에서 가장 큰 값은 \\(9\\) 이고 가장 작은 값은 \\( -4 \\sqrt{2} \\) 이다.", "따라서 구간 \\( [0,3] \\) 에서 \\( f(x)=x^{3}-6 x \\) 의 최댓값은 \\( x=3 \\) 일 때 \\(9\\) 이고, 최솟값은 \\( x=\\sqrt{2} \\) 일 때 \\( -4 \\sqrt{2} \\) 이다.", "</p><p>유제\\(10.3.8\\) 다음 함수의 주어진 구간에서 최댓값과 최솟값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=3 x^{2}-12 x+5 \\quad[0,3] \\)</li><li>\\( g(x)=2 x^{3}-3 x^{2}-12 x+1 \\quad[-2,3] \\)</li></ol>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "기초미적분학_도함수의 활용", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-b194-4dbe-9164-5255c89324ec", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160733600", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2020", "doc_author": [ "김대식", "김윤경" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>제\\(1\\)장 쌍곡 기하학</h1><p>역사적으로 유클리드 기하학의 평행공준 \\( \\mathrm{V} \\)(힐베르트의 평행공리)를 다른 공리군을 사용하여 명하고자 시도한 것이 비유클리드 기하학의 연구의 발단이었다.", "평행공리를 부정했을 때 다른 공리군들이 서로 모순 없이 성립하는 기하학 모형을 제시함으로써 평행공리가 다른 공리군들로부터 독립적이라는 것을 알게 되었다.", "이러한 기하학은 유를리드 기하학이 아닌 비유클리드 기하학이다.", "</p><h2>1.1 평행공리</h2><p>유클리드 평행공준 \\( \\mathrm{V} \\)는 다음 힐베르트의 평행공리와 동치이다.", "</p><p>힐베르트 평행공리: 직선 \\( l \\)과 \\( l \\) 위에 있지 않는 점 \\( P \\)가 주어질 때, 점 \\( P \\)를 지나면서 \\( l \\)과 만나지 않는 직선 \\( m \\)은 유일하게 존재한다.", "</p><p>힐베르트의 평행공리의 부정명제는 다음 두 공리 중 하나이다.", "</p><p>타원공리(elliptic axiom): 직선 \\( l \\)과 \\( l \\) 위에 있지 않는 점 \\( P \\)가 주어질 때, 점 \\( P \\)를 지나면서 \\( l \\)과 만나지 않는 직선 \\( m \\)은 존재하지 않는다.", "</p><p>쌍곡공리(hyperbolic axiom): 직선 \\( l \\)과 \\( l \\) 위에 있지 않는 점 \\( P \\)가 주어질 때, 점 \\( P \\)를 지나면서 \\( l \\)과 만나지 않는 직선 \\( m \\)은 \\( 2 \\)개 이상 존재한다.", "</p><p>유클리드 평행공준 \\( \\mathrm{V} \\)를 부정하여 타원공리를 선택한 기하학을 타원기하학(elliptic geometry)이라 하고, 쌍곡공리를 선택한 기하학을 쌍곡기하학(hyperbolic geometry)이라 한다.", "</p><h2>1.2 쌍곡기하학의 모형</h2><p>\\((1)\\) 클라인 모형</p><p>유클리드 평면 안에 하나의 원 \\( \\gamma \\)를 고정하자.", "만일 \\( O \\)가 \\( \\gamma \\)의 중심이고 \\( O R \\)이 반경이면, \\( \\gamma \\)의 내부는 정의에 의하여 \\( \\overline{O X}<\\overline{O R} \\)인 점 \\( X \\)들로 구성된다.", "클라인(Klein) 모형에서 \\( \\gamma \\)의 내부의 점들은 쌍곡평면의 점을 나타낸다.", "</p><p>\\( \\gamma \\)의 한 현은 \\( \\gamma \\) 위의 두 점 \\( A \\)와 \\( B \\)를 연결하는 선분 \\( A B \\)이다.", "이때, 끝점을 포함하지 않는 선분을 열린현(open chord)이라고 하고 이를 \\( A) \\)\\((B\\)로 나타낸다.", "클라인 모형에서 \\( \\gamma \\)의 열린현들은 쌍곡평면의 직선을 나타낸다.", "\"위에 있다\"는 관계는 통상적인 의미로 표현한다.", "즉, 점 \\( P \\)가 직선 \\( A)(B \\) 위에 있다는 것은 \\( P \\)가 유클리드 직선 \\( \\overleftrightarrow{A B} \\)에 있고 \\( P \\)가 \\( A \\)와 \\( B \\) 사이에 있다는 것을 의미한다.", "쌍곡관계 \"사이\"는 통상적인 유클리드 관계 \"사이\"를 말한다.", "\"합동\"에 대한 표현은 다소 복잡한데 이것은 나중에 논할 것이다.", "</p><p>쌍곡공리가 클라인 모형에서 성립한다는 것은 다음 그림으로부터 명백히 알 수 있다.", "</p><p>여기서 \\( P \\)를 지나는 두 개의 열린현 \\( m \\)과 \\( n \\)은 열린현 \\( l \\)과 모두 평행이다.", "'평행'이란 정의는 두 직선이 어떤 공유점도 갖지 않을 때를 말한다.", "클라인 모형에서 \\( 2 \\)개의 열린현이 어떤 공유점도 갖지 않을 때, 그 열린현들은 평행이다.", "</p><p>클라인 모형의 한 가지 홀륭한 점은 극한평행반직선을 보여 주기가 쉽다는 것이다.", "</p><p>\\( P \\)가 \\( \\gamma \\)의 내부에 있으면서 열린현 \\( A)(B \\) 위에 있지 않는 점이라고 하자. \\", "( A \\)와 \\( B \\)는 원 위의 점이므로 그 점들은 쌍곡평면에 있는 점이 아니다.", "이러한 점들을 이상점(ideal point)이라 말하고 열린현 \\( A)(B \\)에 의해 표시된 쌍곡직선의 끝(ends)이라고 한다.", "</p><p>점 \\( P \\)를 지나는 \\( A)(B \\)의 극한평행반직선은 끝점 \\( A \\)와 \\( B \\)가 빠진 선분 \\( P](A \\)와 \\( P](B \\)로 나타낸다.", "이 극한평행반직선 사이의 모든 반직선은 열린현 \\( A)(B \\)와 교차하게 되고, \\( P \\)로부터 방사된 모든 다른 반직선은 분명히 \\( A)(B \\)와 교차하지 않는다.", "클라인 모형에서 극한평행반직선의 대칭성과 추이성은 명백하다.", "또한 클라인 모형에서 모든 각이 폐형선을 갖는다는 사실도는 명백하다.", "즉, \\( \\angle Q P R \\)이 주어졌을 때 \\( A \\)가 \\( \\overrightarrow{P Q} \\)의 끝이고 \\( B \\)가 \\( \\overrightarrow{P R} \\)의 끝이면 \\( A)(B \\)는 \\( \\angle Q P R \\)의 폐형선(line of enclosure)이다.", "</p><p>\\( \\cdot \\) 클라인 모형에서 직선의 수직</p><p>클라인 모형은 등각적이 아니다.", "각의 합동은 통상적인 유클리드 방식과 다르게 해석되는데 그것은 나중에 설명하기로 하자.", "여기서 보각과 합동인 각인 직각만을 설명하기로 한다.", "</p><p>\\( l \\)과 \\( m \\)이 원 \\( \\gamma \\)의 열린현이라고 하자.", "클라인 모형에서 \\( l \\perp m \\)일 때를 설명하기 위해서는 다음 두 가지 경우를 생각해야 한다.", "</p><p>경우 \\( 1 \\). \\", "( l \\)과 \\( m \\) 중 적어도 하나가 직경일 때, 클라인 의미에서 \\( l \\perp m \\)이라는 것은 유클리드 의미에서 \\( l \\perp m \\)인 것을 말한다.", "<p>\\( l \\)이 원 \\( \\gamma \\)의 직경이 아닌 열린현일 때, \\( \\gamma \\)에 대한 \\( l \\)의 극(pole)이란 \\( l \\)의 끝점에서 \\( \\gamma \\)의 접선 \\( t_{1}, t_{2} \\)가 만나는 유일한 점 \\( P(l) \\)을 말한다. \\", "( l \\)이 직경이 아니므로 \\( t_{1} \\)과 \\( t_{2} \\)는 평행이 아니다.", "</p><p>경우 \\( 2 \\). \\", "( l \\)과 \\( m \\)이 모두 원 \\( \\gamma \\)의 직경이 아닌 열린현일 때, 클라인 모형에서 \\( l \\)이 \\( m \\)과 수직이라는 것은 \\( m \\)을 연장한 유클리드 직선이 \\( \\gamma \\)에 대한 \\( l \\)의 극 \\( P(l) \\)을 지날 때를 말한다.", "</p><p>다음 그림은 클라인 모형에서 그러한 공통수선을 찾는 것을 보여주고 있다.", "</p><p>다음 그림은 적어도 \\( 3 \\)개의 직각을 갖는 램버트(Lambert) 사변형을 보여준다.", "</p><p>클라인 모형에서 직선의 쌍에 대한 움직임을 묘사할 수 있는 좋은 용어가 있다.", "</p><p>원 \\( \\gamma \\)의 내부에 있는 점들을 통상점(ordinary point), \\( \\gamma \\) 위의 점들을 이상점(ideal point), \\( \\gamma \\)의 외부에 있는 점들을 초-이상점(ultra-ideal point)이라고 한다.", "마지막으로, \\( \\gamma \\)의 직경에 대하여 이 직경에 대응하는 유클리드 직선은 '무한원점' \\( \\infty \\) 에서 만난다.", "이러한 무한원점도 초-이상점이라고 한다.", "</p><p>그러면 두 클라인 직선이 교차하는지 또는 점근평행인지 또는 발산평행인지에 따라 각각 그들이 통상점, 또는 이상점, 또는 초-이상점에서 \"만난다\"고 말한다.", "</p><p>발산평행인 클라인 직선 \\( l \\)과 \\( m \\)이 '만나는' 초-이상점은 바로 그들의 공통수선 \\( k \\)의 극 \\( P(k) \\)이다.", "</p><p>이 용어는 쌍곡기하학에서의 더 진보된 정리들을 암시해 준다.", "예를 들어, 두 통상점이 유일한 직선을 결정한다는 것을 알고 있다.", "두 초-이상점 또는 서로 다른 종류의 두 점에 관하여 동일한 질문을 던질 수 있다.", "예를 들어, 통상점과 이상점, 또는 통상점과 초-이상점은 항상 유일한 직선을 결정하지만, 두 초-이상점은 그럴 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다.", "</p><p>이 용어로부터 통상점 \\( O \\)와 클라인 직선 \\( l \\)의 극인 초-이상점 \\( P(l) \\)을 \"연결한\" 클라인 직선 \\( m \\)은 클라인 모형의 의미에서 직선 \\( l \\)과 수직인 \\( O \\)를 지나는 유일한 클라인 직선이다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "415", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "기하학 일반_비유클리드 기하학", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-aac5-4c18-b661-3476ca36ce7e", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160732801", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2019", "doc_author": [ "김광회" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>는 다변량정규분포의 결합확률밀도함수이다.", "따라서 \\( Q \\)의 적률모함수 \\( M_{Q}(t) \\)는 \\[ M_{Q}(t)=\\frac{1}{(1-2 t)^{\\frac{n}{2}}}, t<\\frac{1}{2} \\] 로서 \\( \\chi^{2}(n) \\)의 적률모함수와 같아져서 \\( Q \\) 의 분포는 \\( \\chi^{2}(n) \\) 이 된다.", "</p><p>이제 일반적인 경우로서 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)이 \\( N\\left(\\mu, \\sigma^{2}\\right) \\)으로부터의 크기 \\( n \\)인 확률표본일 때, 확률벡터 \\( \\boldsymbol{X}^{t}=\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\)과 임의의 \\( n \\times n \\) 대칭행렬 \\(\\boldsymbol{ A} \\)에 의한 이차형식 \\( \\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{A X} \\)의 분포를 유도해 보자. \\", "( \\boldsymbol{A}=\\boldsymbol{I}_{n} \\)이면 \\[ \\begin{aligned} \\frac{1}{\\sigma^{2}} \\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{A} \\boldsymbol{X} &=\\frac{1}{\\sigma^{2}} \\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X} \\\\ &=\\sum_{i=1}^{n}\\left(\\frac{X_{i}-0}{\\sigma}\\right)^{2} \\sim \\chi^{2}(n) \\end{aligned} \\] 이므로, \\( \\frac{1}{\\sigma^{2}} \\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{A X} \\)의 적률모함수를 구하여 \\( \\frac{1}{\\sigma^{2}} \\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{A X} \\)의 분포가 \\( \\chi^{2} \\)분포이기 위한 대칭행렬 \\( \\boldsymbol{A} \\)의 조건에 대하여 알아 보기로 하자. \\", "( \\frac{1}{\\sigma^{2}} \\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{A X} \\)의 적률모함수는 \\[ \\begin{aligned} M(t) &=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\cdots \\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\left(\\frac{1}{\\sigma \\sqrt{2 \\pi}}\\right)^{n} \\exp \\left\\{\\frac{\\boldsymbol{t} \\boldsymbol{x}^{t} \\boldsymbol{A} \\boldsymbol{x}}{\\sigma^{2}}-\\frac{\\boldsymbol{x}^{t} \\boldsymbol{x}}{2 \\sigma^{2}}\\right\\} d x_{1} d x_{2} \\cdots d x_{n} \\\\ &=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\cdots \\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\left(\\frac{1}{\\sigma \\sqrt{2 \\pi}}\\right)^{n} \\exp \\left\\{-\\frac{\\boldsymbol{x}^{t}\\left(\\boldsymbol{I}_{n}-2 t \\boldsymbol{A}\\right) \\boldsymbol{x}}{2 \\sigma^{2}}\\right\\} d x_{1} d x_{2} \\cdots d x_{n} \\end{aligned} \\] 에 의하여 구해진다.", "그런데 \\( |t|<h(h>0) \\)이 되도록 \\( |t| \\)를 충분히 작게 잡으면, 행렬 \\( \\boldsymbol{I}_{n}-2 t \\boldsymbol{A} \\)는 양정치행렬이 되며 \\[ \\frac{1}{(2 \\pi)^{n / 2} \\sqrt{\\left|\\left(\\boldsymbol{I}_{n}-2 t \\boldsymbol{A}\\right)^{-1} \\sigma^{2}\\right|}} \\exp \\left\\{-\\frac{\\boldsymbol{x}^{t}\\left(\\boldsymbol{I}_{n}-2 t \\boldsymbol{A}\\right) \\boldsymbol{x}}{2 \\sigma^{2}}\\right\\} \\] 은 다변량정규분포의 결합확률밀도함수이고 \\[ \\left|\\left(\\boldsymbol{I}_{n}-2 t \\boldsymbol{A}\\right)^{-1} \\sigma^{2}\\right|^{1 / 2}=\\frac{\\sigma^{n}}{\\left|\\boldsymbol{I}_{n}-2 t \\boldsymbol{A}\\right|} \\] 이다.", "따라서 \\( \\frac{1}{\\sigma^{2}} \\boldsymbol{X}^{t}\\boldsymbol{ A X} \\)의 적률모함수는 \\[ M(t)=\\left|\\boldsymbol{I}_{n}-2 t \\boldsymbol{A}\\right|^{-\\frac{1}{2}},(|t|<h) \\] 가 된다.", "여기서 대칭행렬 \\(\\boldsymbol{ A }\\)의 고유근을 \\( a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n} \\)이라 하고, \\(\\boldsymbol{ P} \\)를 \\[ \\boldsymbol{P}^{t} \\boldsymbol{A} \\boldsymbol{P}=\\operatorname{diag}\\left(a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}\\right) \\] 이 되는 직교행렬이라 하면 \\[ \\boldsymbol{P}^{t}\\left(\\boldsymbol{I}_{n}-2 t \\boldsymbol{A}\\right) \\boldsymbol{P}=\\left(\\begin{array}{ccccc} 1-2 t a_{1} & 0 & 0 & \\cdots & 0 \\\\ 0 & 1-2 t a_{2} & 0 & \\cdots & 0 \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ 0 & 0 & 0 & \\cdots & 1-2 t a_{n} \\end{array}\\right) \\]</p> <p>邆明 \\( Q_{1} / \\sigma^{2} \\)과 \\( Q_{2} / \\sigma^{2} \\)의 결합적률모함수는 \\[ \\begin{aligned} M\\left(t_{1}, t_{2}\\right) &=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\left(\\frac{1}{\\sigma \\sqrt{2 \\pi}}\\right)^{n} \\exp \\left\\{\\frac{\\boldsymbol{t}_{1} \\boldsymbol{x}^{t} \\boldsymbol{A} \\boldsymbol{x}}{\\sigma^{2}}+\\frac{\\boldsymbol{t}_{2} \\boldsymbol{x}^{t} \\boldsymbol{B} \\boldsymbol{x}}{\\sigma^{2}}-\\frac{\\boldsymbol{x}^{t} \\boldsymbol{x}}{2 \\sigma^{2}}\\right\\} d \\boldsymbol{x} \\\\ &=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\left(\\frac{1}{\\sigma \\sqrt{2 \\pi}}\\right)^{n} \\exp \\left\\{-\\frac{\\boldsymbol{x}^{t}\\left(\\boldsymbol{I}_{n}-2 t_{1} \\boldsymbol{A}-2 t_{2} \\boldsymbol{B}\\right) \\boldsymbol{x}}{2 \\sigma^{2}}\\right\\} d \\boldsymbol{x} \\end{aligned} \\] 이고 \\( \\left|t_{1}\\right|<h_{1},\\left|t_{2}\\right|<h_{2},\\left(h_{1}, h_{2}>0\\right. \\)이 되도록 \\( \\left|t_{1}\\right| \\)과 \\( \\left|t_{2}\\right| \\)를 충분히 작게 잡으면 행렬 \\( \\boldsymbol{I}_{n}-2 t_{1} \\boldsymbol{A}-2 t_{2} \\boldsymbol{B} \\)는 양정치행렬이므로, \\( \\frac{1}{\\sigma^{2}} \\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{A X} \\)의 적률모함수를 구할때와 같은 방법에 의하여 \\[ M\\left(t_{1}, t_{2}\\right)=\\left|\\boldsymbol{I}_{n}-2 t_{1} \\boldsymbol{A}-2 t_{2} \\boldsymbol{B}\\right|^{-1 / 2}, \\quad\\left(\\left|t_{1}\\right|<h_{1},\\left|t_{2}\\right|<h_{2}, h_{1}>0, h_{2}>0\\right) \\] 이다.", "만약 \\( \\frac{1}{\\sigma^{2}} Q_{1} \\)과 \\( \\frac{1}{\\sigma^{2}} Q_{2} \\)가 확률적으로 독립이면 \\[ M\\left(t_{1}, t_{2}\\right)=M\\left(t_{1}, 0\\right) M\\left(0, t_{2}\\right),\\left(\\left|t_{1}\\right|<h_{1},\\left|t_{2}\\right|<h_{2}, h_{1}>0, h_{2}>0\\right) \\] 이므로, \\[ \\left|\\boldsymbol{I}_{n}-2 t_{1} \\boldsymbol{A}-2 t_{2} \\boldsymbol{B}\\right|=\\left|\\boldsymbol{I}_{n}-2 t_{1} \\boldsymbol{A}\\right|\\left|\\boldsymbol{I}_{n}-2 t_{2} \\boldsymbol{B}\\right|,\\left(\\left|t_{1}\\right|<h_{1},\\left|t_{2}\\right|<h_{2}, h_{1}>0, h_{2}>0\\right) \\] 가 성립한다.", "그런데 \\( \\boldsymbol{A} \\)의 계수가 \\( r \\)이므로 행렬 \\(\\boldsymbol{ A} \\)의 고유근 중에는 \\(0\\)이 아닌 \\( r \\)개의 고유근 \\( a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{r} \\)이 존재하고 다음을 만족하는 직교행렬 \\( \\boldsymbol{Q} \\)가 존재하여 \\[ \\boldsymbol{Q}^{t} \\boldsymbol{A} \\boldsymbol{Q}=\\left(\\begin{array}{ccccc|c} a_{1} & 0 & 0 & \\cdots & 0 & \\\\ 0 & a_{2} & 0 & \\cdots & 0 & 0 \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots & \\\\ 0 & 0 & 0 & \\cdots & a_{n} & \\\\ \\hline & & 0 & & & 0 \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c|c} C_{11} & 0 \\\\ \\hline 0 & 0 \\end{array}\\right)=C \\] 이 성립한다.", "따라서 \\( \\boldsymbol{Q}^{t} \\boldsymbol{A Q} \\)도 \\[ \\boldsymbol{Q}^{t} \\boldsymbol{A Q}=\\left(\\begin{array}{ll} \\boldsymbol{D}_{11} & \\boldsymbol{D}_{12} \\\\ \\boldsymbol{D}_{21} & \\boldsymbol{D}_{22} \\end{array}\\right)=\\boldsymbol{D} \\] 와 같은 형태로 쓸 수 있다.", "그러므로 \\[ \\left|\\boldsymbol{Q}^{t}\\right|\\left|\\boldsymbol{I}_{n}-2 t_{1} \\boldsymbol{A}-2 t_{2} \\boldsymbol{B}\\right||\\boldsymbol{Q}|=\\left|\\boldsymbol{Q}^{t}\\right|\\left|\\boldsymbol{I}_{n}-2 t_{1} \\boldsymbol{A}\\right||\\boldsymbol{Q}|\\left|\\boldsymbol{Q}^{t}\\right|\\left|\\boldsymbol{I}_{n}-2 t_{2} \\boldsymbol{B}\\right||\\boldsymbol{Q}| \\] 로부터 \\[ \\left|\\boldsymbol{I}_{n}-2 t_{1} \\boldsymbol{C}-2 t_{2} \\boldsymbol{D}\\right|=\\left|\\boldsymbol{I}_{n}-2 t_{1} \\boldsymbol{C}\\right|\\left|\\boldsymbol{I}_{n}-2 t_{2} \\boldsymbol{D}\\right| \\] 가 된다.", "이때, \\[ \\left|\\boldsymbol{I}_{n}-2 t_{1} \\boldsymbol{C}\\right|=\\prod_{i=1}^{r}\\left(1-2 t_{i} a_{i}\\right) \\]</p> <p>이다.", "또한, \\( \\boldsymbol{X} \\) 의 적률모함수 \\( M_{\\boldsymbol{X}}(\\boldsymbol{t}) \\)는 \\[ \\begin{aligned} M_{\\boldsymbol{X}}(\\boldsymbol{t}) &=E\\left[\\exp \\left\\{\\boldsymbol{t}^{t}(\\boldsymbol{A Z}+\\boldsymbol{\\mu})\\right\\}\\right] \\\\ &=E\\left[\\exp \\left(\\boldsymbol{t}^{t} \\boldsymbol{A} \\boldsymbol{Z}\\right) \\exp \\left(\\boldsymbol{t}^{t} \\boldsymbol{\\mu}\\right)\\right] \\\\ &=\\exp \\left(\\boldsymbol{t}^{t} \\boldsymbol{\\mu}\\right) E\\left[\\exp \\left(\\boldsymbol{w}^{t} \\boldsymbol{Z}\\right)\\right],\\left(\\boldsymbol{w}^{t}=\\boldsymbol{t}^{t} \\boldsymbol{A}\\right) \\\\ &=\\exp \\left(\\boldsymbol{t}^{t} \\boldsymbol{\\mu}\\right) E\\left[\\exp \\left(\\sum_{i=1}^{k} w_{i} Z_{i}\\right)\\right] \\\\ &=\\exp \\left(\\boldsymbol{t}^{t} \\boldsymbol{\\mu}\\right) \\prod_{i=1}^{k} M_{Z_{i}}\\left(w_{i}\\right) \\\\ &=\\exp \\left(\\boldsymbol{t}^{t} \\boldsymbol{\\mu}\\right) \\prod_{i=1}^{k} \\exp \\left(\\frac{1}{2} w_{i}^{2}\\right) \\\\ &=\\exp \\left(\\boldsymbol{t}^{t} \\boldsymbol{\\mu}\\right) \\exp \\left(\\frac{1}{2} \\boldsymbol{w}^{t} \\boldsymbol{w}\\right) \\\\ &=\\exp \\left(\\boldsymbol{t}^{t} \\boldsymbol{\\mu}+\\frac{1}{2} \\boldsymbol{t}^{t} \\boldsymbol{A} \\boldsymbol{A}^{t} \\boldsymbol{t}\\right) \\end{aligned} \\] 이므로, 확률벡터 \\(\\boldsymbol{ X} \\)의 분포는 평균벡터가 \\(\\boldsymbol{ \\mu} \\)이고 공분산행렬이 \\( \\Sigma= \\boldsymbol{A A}^{t} \\)인 다변량정규분포이다.", "</p><p>問題 1 \\( n \\times 1 \\) 확률벡터 \\( \\boldsymbol{X} \\)의 분포가 \\( N(\\boldsymbol{\\mu}, \\Sigma) \\)일때, \\( \\boldsymbol{Y}=c^{t} \\boldsymbol{X} \\)의 분포를 구하여라.", "여기서 \\( c^{t}=\\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}, \\cdots, c_{n}\\right) \\)이고 \\( c_{1}, c_{2}, \\cdots, c_{n} \\)들 중의 적어도 하나는 \\(0\\)이 아니다.", "</p><p>解客 \\(\\quad \\boldsymbol{Y} \\)의 적률모함수는 \\[ M_{Y}(\\boldsymbol{t})=E\\left(e^{t Y}\\right)=E\\left(e^{t c^{t} \\boldsymbol{X}}\\right) \\] 이고, \\(\\boldsymbol{ X} \\)의 적률모함수 \\[ M_{\\boldsymbol{X}}(\\boldsymbol{t})=E\\left(e^{\\boldsymbol{t}^{t} \\boldsymbol{X}}\\right)=\\exp \\left(\\boldsymbol{t}^{t} \\boldsymbol{\\mu}+\\frac{1}{2} \\boldsymbol{t}^{t} \\Sigma\\boldsymbol{ t}\\right) \\] 는 임의의 실벡터 \\( \\boldsymbol{t} \\)에 대한 것이므로, 위의 식의 \\(\\boldsymbol{ t} \\)에 \\( t c^{t} \\)를 대입하면 \\[ M_{Y}(t)=\\exp \\left(t c^{t}\\boldsymbol{ \\mu}+\\frac{1}{2} t^{2} c^{t} \\Sigma c\\right) \\] 이다.", "즉, \\( Y \\)의 분포는 \\( N\\left(c^{t} \\boldsymbol{\\mu}, c^{t} \\Sigma c\\right) \\)이다.", "이때, \\( \\boldsymbol{\\mu}=\\left(\\mu_{1}, \\mu_{2}, \\mu_{3}, \\cdots, \\mu_{n}\\right), \\Sigma=\\left(\\sigma_{i j}\\right) \\)라 하면, \\( c^{t}\\boldsymbol{ \\mu }\\)와 \\( c^{t} \\Sigma c \\)는 \\[ \\begin{aligned} c^{t} \\boldsymbol{\\mu} &=\\sum_{i=1}^{n} c_{i} \\mu_{i}, \\\\ c^{t} \\Sigma c &=\\sum_{i=1}^{n} c_{i}^{2} \\sigma_{i j}+\\sum_{1 \\leqslant i<j \\leqslant n} c_{i} c_{j} \\sigma_{i j} \\end{aligned} \\]</p> <p>으로 나타낼 수 있으며, \\( \\boldsymbol{A}_{1}^{2}=\\boldsymbol{A}_{1} \\)이므로 \\[ \\left(\\boldsymbol{Q}^{t} \\boldsymbol{A Q}\\right)^{2}=\\boldsymbol{Q}^{t} \\boldsymbol{A Q}=\\left(\\begin{array}{cc} \\boldsymbol{G}_{r} & \\mathbf{0} \\\\ \\mathbf{0} & \\mathbf{0} \\end{array}\\right) \\] 이 되어, \\( \\boldsymbol{Q}^{t} \\boldsymbol{A Q}=\\boldsymbol{Q}^{t} \\boldsymbol{A}_{1} \\boldsymbol{Q}+\\boldsymbol{Q}^{t} \\boldsymbol{A}_{2} \\boldsymbol{Q} \\)의 양변에 \\( \\boldsymbol{Q}^{t} \\boldsymbol{A}_{1} \\boldsymbol{Q} \\)를 곱하면 \\[ \\left(\\begin{array}{cc} \\boldsymbol{G}_{r} & \\mathbf{0} \\\\ \\mathbf{0} & \\mathbf{0} \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{cc} \\boldsymbol{G}_{r} & \\mathbf{0} \\\\ \\mathbf{0} & \\mathbf{0} \\end{array}\\right)+\\left(\\begin{array}{cc} \\boldsymbol{G}_{r} \\boldsymbol{H}_{r} & \\mathbf{0} \\\\ \\mathbf{0} & \\mathbf{0} \\end{array}\\right) \\] 또는 \\[ \\boldsymbol{Q}^{t} \\boldsymbol{A}_{1} \\boldsymbol{Q}=\\boldsymbol{Q}^{t} \\boldsymbol{A}_{1} \\boldsymbol{Q}+\\left(\\boldsymbol{Q}^{t} \\boldsymbol{A}_{1} \\boldsymbol{Q}\\right)\\left(\\boldsymbol{Q}^{t} \\boldsymbol{A}_{2} \\boldsymbol{Q}\\right) \\] 가 된다. 따라서 \\( \\left(\\boldsymbol{Q}^{t} \\boldsymbol{A}_{1} \\boldsymbol{Q}\\right)\\left(\\boldsymbol{Q}^{t} \\boldsymbol{A}_{2} \\boldsymbol{Q}\\right)=\\mathbf{0} \\) 즉, \\( \\boldsymbol{A}_{1} \\boldsymbol{A}_{2}=\\mathbf{0} \\)이고, 정리 9.2에 의하여 \\( Q_{1} \\) \\( Q_{2} \\)는 확률적으로 독립이고, 이 독립성에 의하여 \\( \\frac{1}{\\sigma^{2}} Q_{2} \\)의 분포는 자유도가 \\( r_{2}=r- r_{1} \\)인 \\( \\chi^{2} \\)분포가 된다. \\( k>", "2 \\)인 경우는 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다.", "여기서는 간단히 \\( k=3 \\)인 경우만 살펴보자. \\", "( Q, Q_{1}, Q_{2} \\)와 \\( Q_{3} \\)의 실대칭행렬들을 각각 \\( \\boldsymbol{A}, \\boldsymbol{A}_{1}, \\boldsymbol{A}_{2}, \\boldsymbol{A}_{3} \\)라 하면, \\( \\boldsymbol{A}^{2}=\\boldsymbol{A}, \\boldsymbol{A}_{1}^{2}=\\boldsymbol{A}_{1}, \\boldsymbol{A}_{2}^{2}=\\boldsymbol{A}_{2}, \\boldsymbol{A}_{3} \\)는 양반정치행렬들이다.", "여기서 \\[ \\boldsymbol{A}=\\boldsymbol{A}_{1}+\\left(\\boldsymbol{A}_{2}+\\boldsymbol{A}_{3}\\right)=\\boldsymbol{A}_{1}+\\boldsymbol{B}_{1} \\] 이라 하면, \\( \\boldsymbol{A}^{2}=\\boldsymbol{A}, \\boldsymbol{A}_{1}^{2}=\\boldsymbol{A}_{1}, \\boldsymbol{B}_{1} \\)도 양반정치행렬이다.", "이제 \\( k=2 \\)인 경우에 의하여 \\( \\boldsymbol{A}_{1} \\boldsymbol{B}_{1}=\\mathbf{0} \\)이므로 \\[ \\boldsymbol{B}_{1}^{2}=\\left(\\boldsymbol{A}_{2}+\\boldsymbol{A}_{3}\\right)^{2}=\\boldsymbol{A}_{2}+\\boldsymbol{A}_{3}=\\boldsymbol{B}_{1} \\] 이어야 한다.", "즉 \\[ \\boldsymbol{B}_{1}=\\boldsymbol{A}_{2}+\\boldsymbol{A}_{3}, \\boldsymbol{B}_{1}^{2}=\\boldsymbol{B}_{1}, \\boldsymbol{A}_{2}^{2}=\\boldsymbol{A}_{2} \\] 이므로 \\( k=2 \\)인 경우로부터 \\( \\boldsymbol{A}_{2} \\boldsymbol{A}_{3}=0, \\boldsymbol{A}_{3}^{2}=\\boldsymbol{A}_{3} \\)가 된다.", "또한, \\[ \\boldsymbol{A}=\\boldsymbol{A}_{2}+\\left(\\boldsymbol{A}_{1}+\\boldsymbol{A}_{2}\\right)=\\boldsymbol{A}_{1}+\\boldsymbol{B}_{2} \\] 라 하면, 마찬가지로 \\( \\boldsymbol{A}_{1} \\boldsymbol{A}_{3}=0, \\boldsymbol{A}_{2}^{2}=\\boldsymbol{A}_{2} \\)가 된다.", "</p><p>정리 9.3와 관련된 예를 들어보자. \\( X \\)의 분포는 \\( N\\left(\\mu, \\sigma^{2}\\right) \\)이고 \\( a>1 \\)와 \\( b>", "1 \\)인 양의 정수라 할 때, 이 분포로부터 추출한 크기 \\( n \\)인 확률표본이 다음과 같다고 하자. \\", "[ \\begin{array}{cccccc} \\boldsymbol{X}_{11}, & \\boldsymbol{X}_{12}, & \\cdots & \\boldsymbol{X}_{1 j}, & \\cdots & \\boldsymbol{X}_{1 b} \\\\ \\boldsymbol{X}_{21}, & \\boldsymbol{X}_{22}, & \\cdots & \\boldsymbol{X}_{2 j}, & \\cdots & \\boldsymbol{X}_{2 b} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ \\boldsymbol{X}_{i 1}, & \\boldsymbol{X}_{i 2}, & \\cdots & \\boldsymbol{X}_{i j}, & \\cdots & \\boldsymbol{X}_{i b} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ \\boldsymbol{X}_{a 1}, & \\boldsymbol{X}_{a 2}, & \\cdots & \\boldsymbol{X}_{a j}, & \\cdots & \\boldsymbol{X}_{a b} \\end{array} \\]</p> 이므로 \\[ \\begin{array}{c} \\frac{\\partial}{\\partial \\mu} \\ln L\\left(\\boldsymbol{\\Theta}_{0} ; \\boldsymbol{x}\\right)=\\frac{1}{\\sigma^{2}} \\sum_{j=1}^{b} \\sum_{i=1}^{a}\\left(x_{i j}-\\mu\\right)=0, \\\\ \\frac{\\partial}{\\partial \\sigma^{2}} \\ln L\\left(\\boldsymbol{\\Theta}_{0} ; \\boldsymbol{x}\\right)=-\\frac{a b}{2 \\sigma^{2}}+\\frac{1}{2 \\sigma^{4}} \\sum_{j=1}^{b} \\sum_{i=1}^{a}\\left(x_{i j}-\\mu\\right)^{2} \\end{array} \\] 을 연립하여 \\( \\mu \\)와 \\( \\sigma^{2} \\)에 대해서 풀면 \\[ \\begin{aligned} \\hat{\\mu} &=\\frac{1}{a b} \\sum_{j=1}^{b} \\sum_{i=1}^{a} x_{i j}=\\bar{x}, \\\\ \\hat{\\sigma}^{2} &=-\\frac{1}{a b} \\sum_{j=1}^{b} \\sum_{i=1}^{a}\\left(x_{i j}-\\bar{x}\\right)^{2}=v \\end{aligned} \\] 가 된다.", "따라서 \\( \\mu=\\bar{x}, \\sigma^{2}=v \\)일 때 \\( L\\left(\\boldsymbol{\\Theta}_{0} ; \\boldsymbol{x}\\right) \\)가 최대로 된다.", "또한, \\[ \\begin{array}{l} \\frac{\\partial}{\\partial \\mu_{j}} \\ln L(\\boldsymbol{\\Theta} ; \\boldsymbol{x})=\\frac{1}{\\sigma^{2}} \\sum_{i=1}^{a} \\sum_{i=1}^{a}\\left(x_{i j}-\\mu_{j}\\right)=0, j=1,2, \\cdots, b \\\\ \\frac{\\partial}{\\partial \\sigma^{2}} \\ln L(\\boldsymbol{\\Theta} ; \\boldsymbol{x})=-\\frac{a b}{2 \\sigma^{2}}+\\frac{1}{2 \\sigma^{4}} \\sum_{j=1}^{b} \\sum_{i=1}^{a}\\left(x_{i j}-\\mu_{j}\\right)^{2} \\end{array} \\] 을 \\( \\mu_{1}, \\mu_{2}, \\cdots, \\mu_{b} \\)와 \\( \\sigma^{2} \\)에 대하여 풀면 \\[ \\begin{aligned} \\hat{\\mu}_{j} &=\\frac{1}{a} \\sum_{i=1}^{a} \\sum_{i=1}^{a} x_{i j}=\\cdot \\bar{j}, j=1,2, \\cdots, b \\\\ \\hat{\\sigma}^{2} &=-\\frac{1}{a b} \\sum_{j=1}^{b} \\sum_{i=1}^{a}\\left(x_{i j}-\\bar{x}_ \\cdot j\\right)^{2}=v \\end{aligned} \\] 이므로 \\( \\mu=\\bar{x}_{\\cdot j}(j=1,2, \\cdots, b), \\sigma^{2}=w \\)일 때 \\( L(\\boldsymbol{\\Theta} ; \\boldsymbol{x}) \\)가 최대로 된다.", "이제 두 우도 함수 \\( L\\left(\\boldsymbol{\\Theta}_{0} ; \\boldsymbol{x}\\right) \\)와 \\( L(\\boldsymbol{\\Theta} ; \\boldsymbol{x}) \\)의 최대값을 구하면 \\[ \\begin{aligned} L\\left(\\widehat{\\boldsymbol{\\Theta}}_{0} ; \\boldsymbol{x}\\right) &=\\left[\\frac{a b}{2 \\pi \\sum_{j=1}^{b} \\sum_{i=1}^{a}\\left(x_{i j}-\\bar{x}\\right)^{2}}\\right]^{a b / 2} \\times \\exp \\left\\{-\\frac{a b \\sum_{j=1}^{b} \\sum_{i=1}^{a}\\left(x_{i j}-\\bar{x}\\right)^{2}}{2 \\sigma^{2} \\sum_{j=1}^{b} \\sum_{i=1}^{a}\\left(x_{i j}-\\bar{x}\\right)^{2}}\\right\\} \\\\ &=\\left[\\frac{a b}{2 \\pi \\sum_{j=1}^{b} \\sum_{i=1}^{a}\\left(x_{i j}-\\bar{x}\\right)^{2}}\\right]^{a b / 2} e^{-\\frac{a b}{2}} \\end{aligned} \\] 이고 비슷한 방법을 이용하면 \\[ L(\\widehat{\\boldsymbol{\\Theta}} ; \\boldsymbol{x})=\\left[\\frac{a b}{2 \\pi \\sum_{j=1}^{b} \\sum_{i=1}^{a}\\left(x_{i j}-\\bar{x}_{\\cdot j}^{2}\\right)}\\right]^{a b / 2} e^{-\\frac{a b}{2}} \\] <p>이므로, \\( \\left|\\boldsymbol{I}_{n}-2 t_{1} \\boldsymbol{C}\\right|\\left|\\boldsymbol{I}_{n}-2 t_{2} \\boldsymbol{D}\\right| \\)에서 \\( \\left(-2 t_{1}\\right)^{-r} \\)의 계수는 \\[ \\prod_{i=1}^{r} a_{i}\\left|\\boldsymbol{I}_{n}-2 t_{2} \\boldsymbol{D}\\right| \\] 이다.", "또한, \\( \\left|\\boldsymbol{I}_{n}-2 t_{1} \\boldsymbol{C}\\right|\\left|\\boldsymbol{I}_{n}-2 t_{2} \\boldsymbol{D}\\right| \\)에서 \\( \\left(-2 t_{1}\\right)^{-r} \\)의 계수는 \\( \\left|t_{2}\\right|<h_{2} \\)인 모든 \\( t_{2} \\)에 대하여 \\[ \\prod_{i=1}^{r} a_{i}\\left|\\boldsymbol{I}_{n-r}-2 t_{2} \\boldsymbol{D}_{22}\\right| \\] 임을 보일 수 있으므로 \\[ \\boldsymbol{I}-2 t_{2} \\boldsymbol{D}=\\left|\\boldsymbol{I}_{n-\\boldsymbol{r}}-2 t_{2} \\boldsymbol{D}_{22}\\right| \\] 이다.", "이 등식에 의하면 행렬 \\( \\boldsymbol{D} \\)와 \\( \\boldsymbol{D}_{22} \\)의 영(zero)이 아닌 고유근은 일치하여야 한다.", "그런데 대칭행렬에서 고유근들의 제곱합은 그 행렬을 구성하고 있는 각 원소의 제곱합과 같으므로, 행렬 \\(\\boldsymbol{ D} \\)의 원소들의 제곱합은 행렬 \\( \\boldsymbol{D}_{22} \\)의 원소들의 제곱합과 같아야 하고, \\( \\boldsymbol{D} \\)의 원소들이 실수이므로 행렬 \\( \\boldsymbol{D}_{11}, \\boldsymbol{D}_{12}, \\boldsymbol{D}_{22} \\)의 각 원소들은 \\(0\\)이어야 한다.", "따라서 행렬 \\( \\boldsymbol{D} \\)는 \\[ \\boldsymbol{D}=\\boldsymbol{Q}^{t} \\boldsymbol{B Q}=\\left(\\begin{array}{cc} 0 & 0 \\\\ 0 & \\boldsymbol{D}_{22} \\end{array}\\right) \\] 로 쓸 수 있으므로 \\[ \\boldsymbol{C D}=\\boldsymbol{Q}^{t} \\boldsymbol{A Q Q}^{t} \\boldsymbol{B Q}=\\boldsymbol{Q}^{t} \\boldsymbol{A B Q} \\] 이고 \\[ \\boldsymbol{C D}=\\left(\\begin{array}{cc} \\boldsymbol{C}_{11} & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{cc} 0 & 0 \\\\ 0 & \\boldsymbol{D}_{22} \\end{array}\\right)=\\boldsymbol{0} \\] 이 되어, \\( \\boldsymbol{A B}=\\boldsymbol{0} \\)이다.", "이제 역으로, \\( \\boldsymbol{A B}=\\boldsymbol{0} \\)일 때, \\( \\frac{1}{\\sigma^{2}} Q_{1} \\)과 \\( \\frac{1}{\\sigma^{2}} Q_{2} \\)가 확률적으로 독립임을 보이자. \\", "( \\boldsymbol{A B}=\\boldsymbol{0} \\)이면 모든 실수 \\( t_{1}, t_{2} \\)에 대하여 \\[ \\left(\\boldsymbol{I}-2 t_{1} \\boldsymbol{A}\\right)\\left(\\boldsymbol{I}-2 t_{2} \\boldsymbol{B}\\right)=\\boldsymbol{I}-2 t_{1} \\boldsymbol{A}-2 t_{2} \\boldsymbol{B} \\] 가 성립하므로 \\[ \\left|\\boldsymbol{I}-2 t_{1} \\boldsymbol{A}-2 t_{2} \\boldsymbol{B}\\right|=\\left|\\boldsymbol{I}-2 t_{1} \\boldsymbol{A}\\right|\\left|\\boldsymbol{I}-2 t_{2} \\boldsymbol{B}\\right| \\] 가 되어야 한다.", "그런데 \\( \\frac{1}{\\sigma^{2}} Q_{1} \\)과 \\( \\frac{1}{\\sigma^{2}} Q_{2} \\)의 결합적률모함수는 \\[ M\\left(t_{1}, t_{2}\\right)=\\left|\\boldsymbol{I}_{n}-2 t_{1} \\boldsymbol{A}-2 t_{2} \\boldsymbol{B}\\right|^{-1 / 2},\\left(\\left|t_{1}\\right|<h_{1},\\left|t_{2}\\right|<h_{2}\\right) \\] 이고, 각각의 적률생성함수는 \\[ \\begin{array}{l} M\\left(t_{1}\\right)=\\left|\\boldsymbol{I}_{n}-2 t_{1} \\boldsymbol{A}\\right|^{-1 / 2}=M\\left(t_{1}, 0\\right), \\quad\\left(\\left|t_{1}\\right|<h_{1}\\right) \\\\ M\\left(t_{2}\\right)=\\left|\\boldsymbol{I}_{n}-2 t_{2} \\boldsymbol{B}\\right|^{-1 / 2}=M\\left(0, t_{2}\\right), \\quad\\left(\\left|t_{2}\\right|<h_{2}\\right) \\end{array} \\]</p> <p>이고, \\( H_{0} \\)의 검정에 대한 유의수준은 \\[ \\begin{aligned} \\alpha &=P\\left\\{\\frac{1}{1+Q_{4} / Q_{3}} \\mid H_{0}\\right\\} \\\\ &=P\\left\\{\\frac{Q_{4} /(b-1)}{Q_{3} / b(a-1)} \\geqslant \\frac{b(a-1)\\left(\\lambda_{0}-1\\right)}{\\left.b-1\\right)}=k_{0} \\mid H_{0}\\right\\} \\end{aligned} \\] 이므로 \\[ F_{0}=\\frac{Q_{4} /(b-1)}{Q_{3} / b(a-1)} \\geqslant k_{0}=F_{1-\\alpha}(b-1, b(a-1)) \\] 이면, 유의수준 \\( \\alpha \\)에서 귀무가설 \\( H_{0} \\)를 기각한다.", "</p><p>\\( b \\)개의 평균 \\( \\mu_{j}(j=1,2, \\cdots) \\)의 동일성검정에서 표본의 크기가 \\( a \\)개로 같아야 할 필요는 없다.", "즉, \\( b \\)개의 정규분포 \\( \\left(\\mu_{j}, \\sigma^{2}\\right) \\)으로부터 추출되는 표본의 크기가 \\( a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{b} \\)로 서로 다를 수가 있으므로 이 문제는 여기에서는 다루지 않는다.", "실험을 통하여 얻어진 자료로부터 어떤 요인이 반응에 유의한 영향을 주고 있는가를 파악하고, 그 영향이 양적으로 어느 정도인가를 알아내고자 하는 문제들을 집중적으로 취급하는 통계학의 한 분야가 실험계획법이다.", "실험계획법에서는 실험에 직접 취급되는 원인을 인자(factor)라 부르며, 실험을 하기위한 인자의 조건을 인자의 수준(level of factor)이라 한다.", "실험계획법에서 가장 많이 사용되는 통계적 추론방법 이 분산분석(analysis of variance : ANOVA)인데, 분산분석이라는 명칭은 관측치들의 산포를 나타내는 총 제곱함을 실험과 관련된 요인마다의 제곱함들로 분해하고, 요인별 제곱함과 오차의 제곱함을 비교하여, 특히 큰 영향을 주고있는 요인이 무엇인가를 찾아내는 분석방법에서 유래되었다.", "앞에서 설명하었던 내용은 어떤 관심있는 특성치에 대한 어떤 한 인자의 영향을 조사하는데 사용되는 일원배치법(one-way factorial design)에서의 분산분석에 관한 것이었다.", "실험계획법에서 사용되는 표현에 의하여 표본의 크기가 각 인자의 수준에서 동일한 일원배치법의 모형을 이용하면, \\[ X_{i j}=\\mu+\\beta_{j}+e_{i j}, i=1,2, \\cdots, a, j=1,2, \\cdots b \\] 의 형태가 되는데 여기서, \\( \\beta_{j}(j=1,2, \\cdots, b) \\)는 분석하고자 하는 인자의 \\( j \\)번째 수준의 효과를 나타내는 양으로 \\[ \\sum_{j=1}^{b} \\beta_{j}=0 \\] 을 만족하며, \\( e_{i j} \\)는 오차항으로 분포가 \\( N\\left(0, \\sigma^{2}\\right) \\)으로 항등적으로 같고 확률적으로 독립인 확률변수들이다.", "또한, \\( \\mu \\)는 실험전체의 모평균을 나타낸다.", "이 모형에서 가설 \\[ H_{0}: \\beta_{1}=\\beta_{2}=\\cdots=\\beta_{b}=0 \\]</p> <p>의 검정은 \\[ E\\left(X_{i j}\\right)=\\mu+\\beta_{j}=\\mu_{j},\\quad j=1,2, \\cdots, b, \\quad i=1,2, \\cdots, a \\] 이므로, 앞에서의 가설 \\[ H_{0}: \\mu_{1}=\\mu_{2}=\\cdots=\\mu_{0}=\\mu \\] 의 검정과 같다.", "</p><h1>9.4 회귀분석</h1><p>사회현상이나 자연현상을 관찰하여 얻은 자료에는 관련 변수들간의 상호연관성을 수학적인 함수로 나타내야 하는 경우가 많이 있다.", "예를 들면, 가구당 평균저축액이 소득에 따라서 어떻게 변화하는지, 어떤 화학반응에서 합성율이 반응온도, 시간 등과 어떤 연관성이 있는가를 알고 싶은 경우 등이다.", "이때, 실험에 의한 특성치를 나타내는 확률변수 \\( Y \\)의 분포는 미지의 모수뿐만 아니라 실험자에 의해 선정된 실험조건을 나타내는 변수 \\( x \\)에 의해 종속되어 있다고 볼 수 있다.", "실험자에 의하여 선정된 \\( n \\)개의 실험조건이 \\( x^{t}=\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\)이고, 확률변수 \\( Y_{i} \\)는 실험조건 \\( x_{i} \\) \\( (i=1,2, \\cdots, n \\)에서의 실험결과를 나타내는 변수라 하면, \\( n \\)개의 각 실험조건에서 실험을 수행하여 \\( \\left(x_{1}, y_{1}\\right),\\left(x_{2}, y_{2}\\right), \\cdots,\\left(x_{n}, y_{n}\\right) \\)과 같이 \\( n \\)개의 순서쌍 형태의 자료를 얻게 된다.", "이러한 자료들은 확률변수 \\( Y \\)의 분포에 포함되어 있는 미지모수를 통계적으로 추론하는데 이용할 수 있다.", "이러한 유형의 문제 분석방법을 회귀분석(regression analysis)이라 하는데, 이 절에서는 \\[ E(\\boldsymbol{Y})=E(\\boldsymbol{Y} \\mid \\boldsymbol{x})=\\beta_{0}+\\sum_{i=1}^{k} \\beta_{i} x_{i} \\] 형태의 선형모형의 통계적 추론에 대하여 알아보고자 한다.", "선형모형에서 나타나는 \\( \\sigma^{2} \\)은 \\( x_{i} \\)의 함수가 아니고 \\( \\operatorname{Var}(\\boldsymbol{Y})=\\operatorname{Var}(\\boldsymbol{Y} \\mid \\boldsymbol{x})=\\sigma^{2} \\)이라고 가정하며, \\( \\boldsymbol{x} \\)가 확률 변수의 관측값이 아니면 \\( E(\\boldsymbol{Y} \\mid \\boldsymbol{x}) \\) 는 조건부기대값이 아니다.", "다음과 같은 식 \\[ E(Y \\mid x)=\\beta_{0}+\\beta_{1} x \\] 으로 표현되는 단순선형모형의 회귀분석에 대하여 알아보자.", "독립변수가 \\( x=x_{i} \\)일 때의 반응변수를 \\( Y_{i}(i=1,2, \\cdots, n) \\)이라 하고, \\( Y_{i} \\)들 사이의 상관관계는 없다고 가정하면, \\[ \\begin{aligned} E\\left(Y_{i}\\right) &=\\beta_{0}+\\beta_{1} x_{i} \\\\ \\operatorname{Var}\\left(Y_{i}\\right) &=\\sigma^{2}, i=1,2, \\cdots, n, \\quad \\operatorname{Cov}\\left(Y_{i}, Y_{j}\\right)=0, i \\neq j \\end{aligned} \\] 로 나타낼 수 있다.", "자주 사용하는 추가가정은 \\( Y_{i} \\sim N\\left(\\beta_{0}+\\beta_{1} x_{i}, \\sigma^{2}\\right) \\)으로 사실상 모수의 추정에서는 분포에 대한 가정이 필요없다.", "그러나 관찰값 \\( y_{i} \\)가 \\( E\\left(Y_{i}\\right) \\)와 일치하</p> <p>이고 \\( \\widehat{\\beta}_{1} \\)의 분산은 \\[ \\begin{aligned} \\operatorname{Var}\\left(\\widehat{\\beta}_{1}\\right) &=\\operatorname{Var}\\left[\\frac{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right) Y_{i}}{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}}\\right] \\\\ &=\\frac{1}{\\left[\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}\\right]^{2}} \\sum_{i=1}^{n} \\operatorname{Var}\\left[\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right) Y_{i}\\right] \\\\ &=\\frac{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2} \\sigma^{2}}{\\left[\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}\\right]^{2}} \\\\ &=\\frac{\\sigma^{2}}{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}} \\end{aligned} \\] 이다.", "</p><p>(2) \\( \\widehat{\\beta}_{0} \\)의 기댓값을 구하면 \\[ \\begin{aligned} E\\left(\\widehat{\\beta}_{0}\\right) &=E\\left(\\bar{Y}-\\widehat{\\beta}_{i} \\bar{x}\\right) \\\\ &=\\frac{\\sum_{i=1}^{n} E\\left(Y_{i}\\right)}{n}-\\beta_{1} \\bar{x} \\\\ &=\\frac{\\sum_{i=1}^{n}\\left(\\beta_{0}+\\beta_{1} x_{i}\\right)}{n}-\\beta_{1} \\bar{x} \\\\ &=\\beta_{0}+\\beta_{1} \\bar{x}-\\beta_{1} \\bar{x} \\\\ &=\\beta_{0} \\end{aligned} \\] 이고 \\( \\widehat{\\beta}_{0} \\)는 \\[ \\begin{aligned} \\widehat{\\beta}_{0} &=\\frac{\\sum_{i=1}^{n} Y_{i}}{n}-\\bar{x} \\frac{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right) Y_{i}}{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}}=\\sum_{i=1}^{n} d_{i} Y_{i} \\\\ d_{i} &=\\frac{1}{n}-\\frac{\\bar{x}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)}{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}}, \\quad i=1,2, \\cdots, n \\end{aligned} \\] 이므로, \\( \\widehat{\\beta}_{0} \\)의 분산은 \\[ \\operatorname{Var}\\left(\\widehat{\\beta}_{0}\\right)=\\sum_{i=1}^{n} d_{i}^{2} \\operatorname{Var}\\left(Y_{i}\\right)=\\sum_{i=1}^{n} d_{i}^{2} \\sigma^{2} \\] 이다.", "그런데 \\[ \\begin{aligned} \\sum_{i=1}^{n} d_{i}^{2} &=\\sum_{i=1}^{n}\\left[\\frac{1}{n}-\\frac{\\bar{x}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)}{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}}\\right] \\\\ &=\\sum_{i=1}^{n}\\left[\\frac{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}-n \\bar{x}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)}{n \\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}}\\right]^{2} \\end{aligned} \\]</p> <p>이므로 \\[ E(\\boldsymbol{Y}-\\boldsymbol{X} \\widehat{\\boldsymbol{\\beta}})^{t}(\\boldsymbol{Y}-\\boldsymbol{X} \\widehat{\\boldsymbol{\\beta}})=(n-k-1) \\sigma^{2} \\] 이다.", "따라서, \\( \\sigma^{2} \\)의 불편추정량은 \\[ \\widehat{\\sigma^{2}}=\\frac{1}{n-k-1}(\\boldsymbol{Y}-\\boldsymbol{X} \\widehat{\\boldsymbol{\\beta}})^{t}(\\boldsymbol{Y}-\\boldsymbol{X} \\widehat{\\boldsymbol{\\beta}}) \\] 이다.", "</p><p>확률벡터 \\( \\boldsymbol{\\epsilon} \\)의 확률분포가 알려져 있지 않을때는 모수의 추정에 최우추정법을 사용할 수 없으므로, 이 경우에는 최소제곱법을 사용한다.", "이미 단순선형모형에서 언급한 바와 같이, 오차제곱합 \\[ A=\\sum_{j=1}^{n} \\epsilon_{j}^{2}=\\boldsymbol{\\epsilon}^{t} \\boldsymbol{\\epsilon}=(\\boldsymbol{Y}-\\boldsymbol{X} \\boldsymbol{\\beta})^{t}(\\boldsymbol{Y}-\\boldsymbol{X} \\boldsymbol{\\beta}) \\] 를 \\( \\boldsymbol{\\beta} \\)에 대하여 편미분해서 영(zero)으로 놓은 다음 방적식 \\[ \\frac{\\partial Q}{\\partial \\boldsymbol{\\beta}}=2\\left(\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{y}-\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X} \\boldsymbol{\\beta}\\right)=\\mathbf{0} \\] 을 만족하는 \\( \\boldsymbol{\\beta} \\)의 값 \\[ \\widehat{\\boldsymbol{\\beta}}=\\left(\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X}\\right)^{-1} \\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{Y} \\] 가 \\( \\boldsymbol{\\beta} \\)의 최소제곱추정량이며, 최소제곱추정량 \\( \\widehat{\\boldsymbol{\\beta}} \\)를 바탕으로한 \\( \\sigma^{2} \\)의 불편추정량은 \\[ \\widehat{\\sigma^{2}}=\\frac{1}{n-k-1}(\\boldsymbol{Y}-\\boldsymbol{X} \\widehat{\\boldsymbol{\\beta}})^{t}(\\boldsymbol{Y}-\\boldsymbol{X} \\widehat{\\boldsymbol{\\beta}}) \\] 이다.", "</p><p>다음은 최소제곱추정량의 성질에 대한 Gauss-Markov의 정리이다.", "</p><p>定理 9.6 완전계수의 중선형회귀모형 \\[ \\boldsymbol{Y}=\\boldsymbol{X} \\boldsymbol{\\beta}+\\boldsymbol{\\epsilon}, \\quad \\operatorname{Var}(\\boldsymbol{Y})=\\sigma^{2} \\boldsymbol{I} \\] 에서 \\( \\widehat{\\boldsymbol{\\beta}}=\\left(\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X}\\right)^{-1} \\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{Y} \\)는 \\( \\boldsymbol{\\beta} \\)의 BLUE0|다.", "</p><p>登明 \\( \\boldsymbol{A} \\)를 임의의 \\( (k+1) \\times n \\) 행렬이라 하면, 일반적인 \\( \\boldsymbol{Y} \\)의 선형함수는 \\[ \\widehat{\\boldsymbol{\\beta}}=\\boldsymbol{A Y} \\]</p> <p>의 분포는 자유도가 \\( (n-2) \\)인 조건부 \\( t \\)분포가 된다.", "여기서 \\[ R_{c}=\\frac{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)\\left(Y_{i}-\\bar{Y}\\right)}{\\sqrt{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2} \\sum_{i=1}^{n}\\left(Y_{i}-\\bar{Y}\\right)^{2}}} \\] 이라 하면 \\[ T=\\frac{W \\sqrt{n-2}}{\\sqrt{U}}=\\frac{R_{c} \\sqrt{n-2}}{\\sqrt{1-R_{c}^{2}}} \\] 이다. \\", "( X_{1}=x_{1}, X_{2}=x_{2}, \\cdots, X_{n}=x_{n} \\)이 주어졌을 때, \\( T \\)의 조건부분포는 자유도 \\( n-2 \\)인 \\( t \\)분포이므로 이 \\( t \\)분포의 확률밀도함수 \\( f_{T}(t) \\)는 \\( x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n} \\)에 종속되지 않는다.", "따라서 \\[ R=\\frac{\\sum_{i=1}^{n}\\left(X_{i}-\\bar{X}\\right)\\left(Y_{i}-\\bar{Y}\\right)}{\\sqrt{\\sum_{i=1}^{n}\\left(X_{i}-\\bar{X}\\right)^{2} \\sum_{i=1}^{n}\\left(Y_{i}-\\bar{Y}\\right)^{2}}} \\] 이라 하면, \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)과 \\( R \\sqrt{n-2} / \\sqrt{1-R^{2}} \\)의 결합확률밀도함수는 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)의 결합확률밀도함수와 \\( f_{T}(t) \\)와의 곱으로 표시되며, 이 결합확률밀도함수를를 \\( x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n} \\)에 대하여 적분하면 \\( R \\sqrt{n-2} / \\sqrt{1-R^{2}} \\)의 주변확률밀도함수를 구할 수 있다.", "그런데 \\( f_{T}(t) \\)는 적분변수 \\( x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n} \\)에에 종속되어 있지 않기 때문에, \\( R \\sqrt{n-2} / \\sqrt{1-R^{2}} \\)의 결합확률밀도함수는 \\( R_{c} \\sqrt{n-2} / \\sqrt{1-R_{c}^{2}} \\)의 조건부확률밀도함수 \\( f_{T}(t) \\)와 일치하므로, 변수변환법을 이용하여 \\( R \\)의 확률밀도함수를 구할 수 있다.", "이제 자유도가 \\( n-2 \\)인 \\( t \\)분포의 확률밀도함수를 \\[ f_{T}(t)=\\frac{\\Gamma\\left(\\frac{n-1}{2}\\right)}{\\Gamma\\left(\\frac{n-2}{2}\\right) \\sqrt{\\pi(n-2)}}\\left(1+\\frac{t^{2}}{n-2}\\right)^{-(n-1) / 2} \\] 라 하면, \\[ \\begin{aligned} t &=\\frac{r \\sqrt{n-2}}{\\sqrt{1-r^{2}}}, \\\\ \\frac{r^{2}}{1-r^{2}} &=\\frac{t^{2}}{n-2}, \\\\ \\frac{d t}{d r} &=\\sqrt{n-2}\\left(1-r^{2}\\right)^{-3 / 2} \\end{aligned} \\] 이므로, \\( R \\)의 확률밀도함수 \\( f_{R}(r) \\)은 \\[ \\begin{aligned} f_{T}(t) &=\\frac{\\Gamma\\left(\\frac{n-1}{2}\\right)}{\\Gamma\\left(\\frac{n-2}{2}\\right) \\sqrt{\\pi(n-2)}}\\left(1+\\frac{t^{2}}{1-r^{2}}\\right)^{-(n-1) / 2} \\sqrt{n-2}\\left(1-r^{2}\\right)^{-3 / 2} \\\\ &=\\frac{\\Gamma\\left(\\frac{n-1}{2}\\right)}{\\Gamma\\left(\\frac{n-2}{2}\\right) \\Gamma\\left(\\frac{1}{2}\\right)}\\left(1-r^{2}\\right)^{(n-4) / 2}, \\quad(-1<r<1) \\end{aligned} \\]</p> 는 전치(transpose) 기호를 사용하여 \\( 1 \\times k \\) 행벡터 \\( \\boldsymbol{X}^{t}=\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{k}\\right) \\)로 나타낼 수 있다.", "따라서 \\( k \\)개의 변량으로 이루어진 관찰값을 \\( k \\) 확률벡터 \\(\\boldsymbol{X} \\)로 경우로 확장하여 나타내면 \\[ (x-\\mu)^{t} \\Sigma^{-1}(x-\\mu) \\] 이다.", "여기서 \\( \\mu \\)는 \\( k \\times 1 \\) 상수벡터, \\( \\sum \\)는 \\( k \\times k \\) 양정치 대칭행렬(positive-definite symmetric matrix)이다.", "이제 다음 \\( k \\)변수 함수 \\[ f_{\\boldsymbol{X}}(x)=C \\exp \\left\\{-\\frac{1}{2}(x-\\mu)^{t} \\Sigma^{-1}(x-\\mu)\\right\\} \\] 가 \\( \\boldsymbol{X}^{t}=\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\)의 결합확률밀도함수가 되도록 양의 상수 \\( A \\)를 결정하여 보자.", "먼저 \\( f_{\\boldsymbol{X}}(x) \\)가 결합확률밀도함수가 되려면 \\[ \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\cdots \\int_{-\\infty}^{+\\infty} C \\exp \\left\\{-\\frac{1}{2}(x-\\mu)^{t} \\Sigma^{-1}(x-\\mu)\\right\\} d x_{1} d x_{2} \\cdots d x_{k}=1 \\] 을 만족해야 하므로 양의 상수 \\( A \\)는 확률벡터 \\( \\boldsymbol{X}^{t}=\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{k}\\right) \\)의 결합적률모함수 \\( M_{\\boldsymbol{X}}(x)=E\\left(e^{t^{t} x}\\right) \\)를 이용하여 다음과 같은 방법으로 구한다.", "먼저 \\( t_{1}, t_{2}, \\cdots \\), \\( t_{k} \\)를 임의의 실수라 하고 \\( t^{t}=\\left(t_{1}, t_{2}, \\cdots, t_{k}\\right) \\)를 \\( k \\times 1 \\) 실벡터라 하면 \\[ \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\cdots \\int_{-\\infty}^{+\\infty} C \\exp \\left\\{t^{t}x-\\frac{1}{2}(x-\\mu)^{t} \\Sigma^{-1}(x-\\mu)\\right\\} d x_{1} d x_{2} \\cdots d x_{k} \\] 를 구하고 \\( t=0 \\)을 대입하여 결합확률밀도함수가 되기 위한 조건을 만들고 이를 풀어서 양의 상수 \\( A \\)를 구한다. \\", "( \\sum \\)는 양정치행렬이므로 \\( \\sum \\)의 고유근(eigenvalue)를 \\( \\lambda_{1} \\), \\( \\lambda_{2}, \\cdots, \\lambda_{k} \\)라 하면, 이 값들은 모두 양수이고 \\[ Q^{t} \\Sigma^{-1} Q=\\left(\\begin{array}{cccc} \\lambda_{1}^{-1} & 0 & \\cdots & 0 \\\\ 0 & \\lambda_{2}^{-1} & \\cdots & 0 \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ 0 & 0 & \\cdots & \\lambda_{k}^{-1} \\end{array}\\right) \\] 이 되는 \\( k \\times k \\) 직교행렬 \\( Q=\\left(q_{i j}\\right) \\)가 존재한다.", "따라서 \\[ y_{j}=\\sum_{j=1}^{k} q_{i j}\\left(x_{j}-\\mu_{j}\\right), i=1,2,3, \\cdots \\] 를 \\( y=Q(x-\\mu) \\)로 변환하여 적분변수 \\( x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{k} \\)를 각각 \\( y_{1}, y_{2}, \\cdots, y_{k} \\)로 바꾸면 \\( x \\)에서 \\( y \\)로의 변환은 일대일변환이고 \\[ x-\\mu=Q^{-1} y=Q^{t} y \\] 로 쓸 수 있다.", "또한, 편미분계수 \\[ \\frac{\\partial y_{i}}{\\partial x_{j}}=q_{i j}, \\quad i .", "j=1,2,3, \\cdots, k \\] <p>이므로 \\[ \\begin{aligned} \\prod_{i=1}^{n}\\left(1-2 t a_{i}\\right) &=\\left|\\boldsymbol{P}^{t}\\left(\\boldsymbol{I}_{n}-2 t \\boldsymbol{A}\\right) \\boldsymbol{P}\\right| \\\\ &=\\left|\\left(\\boldsymbol{I}_{n}-2 t \\boldsymbol{A}\\right)\\right| \\end{aligned} \\] 가 된다.", "따라서 \\( \\frac{1}{\\sigma^{2}} \\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{A X} \\)의 적률모함수는 \\[ \\begin{aligned} M(t) &=\\left|\\left(\\boldsymbol{I}_{n}-2 t \\boldsymbol{A}\\right)\\right|^{-1 / 2} \\\\ &=\\left[\\prod_{i=1}^{n}\\left(1-2 t a_{i}\\right)\\right]^{-1 / 2},(|t|<h) \\end{aligned} \\] 으로 쓸 수 있다.", "이제 행렬 \\( \\boldsymbol{A} \\)의 계수(rank)를 \\( r_{i}\\quad(0<r \\leqslant n) \\)라 하면, \\( \\boldsymbol{A }\\)의 고유근 \\( a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n} \\) 중에서 정확히 \\( r \\)개의 실수, \\( a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{r} \\)은 영이 아니면 나머지 \\( n-r \\)개의 실수 \\( a_{r+1}, a_{r+2}, \\cdots, a_{n} \\) 은 영이므로, \\( \\frac{1}{\\sigma^{2}} \\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{A X} \\)의 분포를 \\( \\chi^{2}(k) \\)라고 가정하면, 그 적률모함수는 \\[ M(t)=\\left[\\prod_{i=1}^{k}\\left(1-2 t a_{i}\\right)\\right]^{-1 / 2}=(1-2 t)^{k / 2},(|t|<h) \\] 가 되어야 한다.", "즉, \\[ \\prod_{i=1}^{k}\\left(1-2 t a_{i}\\right)=(1-2 t)^{k},(|t|<h) \\] 가 성립하여야 하므로, \\( k=r \\)이고 \\( a_{1}=a_{2}=\\cdots=a_{r}=1 \\)이 되어야 한다.", "그런데 대칭행렬의 \\(0\\)이 아닌 고유근이 \\(1\\)이면 그 행렬은 멱등행렬(idempotent matrix)이고 역도 성립한다.", "따라서 \\( \\frac{1}{\\sigma^{2}} \\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{A X} \\)의 분포가 \\( \\chi^{2}(r) \\)이면 \\(\\boldsymbol{ A }\\)의 계수는 \\( r \\)이고 \\( \\boldsymbol{A}^{2}=\\boldsymbol{A} \\)이다.", "역으로, \\( \\boldsymbol{A} \\)의 계수가 \\( r \\)이고 \\( \\boldsymbol{A}^{2}=\\boldsymbol{A} \\)이면, \\( \\boldsymbol{A} \\)의 고유근들 중에서 정확히 \\( r \\)개가 \\(1\\)이고 나머지 \\( n-r \\)개는 \\(0\\)이 되고 \\( \\frac{1}{\\sigma^{2}} \\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{A X} \\) 의 적률모함수는 \\[ (1-2 t)^{-r / 2}, \\quad\\left(t<\\frac{1}{2}\\right) \\] 이 되므로, \\( \\frac{1}{\\sigma^{2}} \\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{A X} \\)의 분포는 \\( \\chi^{2}(r) \\)이 된다.", "따라서 다음 정리가 성립한다.", "</p><p>定理 9.1 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)을 \\( N\\left(0, \\sigma^{2}\\right) \\)으로부터의 크기 \\( n \\)인 확률표본이라 하고, 이 확률표본에 의한 이차형식을 \\( Q=\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{A X}\\), \\(Q \\)의 행렬 \\( \\boldsymbol{A} \\)의 계수가 \\( r \\)인 대칭행렬이라 하면, \\( \\frac{1}{\\sigma^{2}} Q \\)의 분포가 \\( \\chi^{2}(r) \\)이 되기 위한 필요충분조건은 \\( \\boldsymbol{A}^{2}=\\boldsymbol{A} \\)인 것이다.", "</p> <p>는 연속이고 Jacobian은 \\( J=|\\boldsymbol{Q}| \\)이다.", "그런데 직교행렬의 행렬식은 \\( \\pm 1 \\)이므로 \\( J=1 \\)이다.", "이로부터 \\[ \\begin{array}{l} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\cdots \\int_{-\\infty}^{+\\infty} C \\exp \\left\\{\\boldsymbol{t}^{t} \\boldsymbol{x}-\\frac{1}{2}(\\boldsymbol{x}-\\boldsymbol{\\mu})^{t} \\Sigma^{-1}(\\boldsymbol{x}-\\boldsymbol{\\mu})\\right\\} d x_{1} d x_{2} \\cdots d x_{k} \\\\ =C \\exp \\left(\\boldsymbol{t}^{t} \\boldsymbol{\\mu}\\right) \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\cdots \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\exp \\left\\{\\boldsymbol{t}^{t} \\boldsymbol{Q}^{t} \\boldsymbol{y}-\\frac{1}{2} \\boldsymbol{y}^{t} \\boldsymbol{Q} \\Sigma^{-1} \\boldsymbol{Q}^{t} \\boldsymbol{y}\\right\\} d x_{1} d x_{2} \\cdots d x_{k} \\end{array} \\] 이다.", "여기서 \\( \\boldsymbol{t}^{t} \\boldsymbol{Q}^{t}=\\boldsymbol{w}^{t}=\\left(w_{1}, w_{2}, \\cdots, w_{k}\\right) \\)라 하면 \\[ \\exp \\left(\\boldsymbol{t}^{t} \\boldsymbol{Q}^{t} \\boldsymbol{y}\\right)=\\exp \\left(\\boldsymbol{w}^{t} \\boldsymbol{y}\\right)=\\exp \\left(\\sum_{i=1}^{k} w_{i} y_{i}\\right) \\] 이고 \\[ \\left(\\boldsymbol{Q}^{t} \\Sigma^{-1} \\boldsymbol{Q}\\right)^{t}=\\boldsymbol{Q}\\left(\\Sigma^{-1}\\right)^{t} \\boldsymbol{Q}^{t}=\\boldsymbol{Q} \\Sigma^{-1} \\boldsymbol{Q}^{t} \\] 이므로 \\[ \\exp \\left\\{-\\frac{1}{2} \\boldsymbol{y}^{t} \\boldsymbol{Q} \\Sigma^{-1} \\boldsymbol{Q}^{t} y\\right\\}=\\exp \\left(-\\frac{1}{2} \\sum_{i=1}^{k} \\frac{y_{i}^{2}}{\\lambda_{i}}\\right) \\] 이다.", "그러므로 \\[ \\begin{array}{l} C \\exp \\left(\\boldsymbol{t}^{t} \\boldsymbol{\\mu}\\right) \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\cdots \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\exp \\left\\{\\boldsymbol{t}^{t} \\boldsymbol{Q}^{t} \\boldsymbol{y}-\\frac{1}{2} \\boldsymbol{y}^{t} \\boldsymbol{Q} \\Sigma^{-1} \\boldsymbol{Q}^{t} \\boldsymbol{y}\\right\\} d x_{1} d x_{2} \\cdots d x_{k} \\\\ =C \\exp \\left(\\boldsymbol{w}^{t} \\boldsymbol{Q} \\boldsymbol{\\mu}\\right) \\prod_{i=1}^{k}\\left[\\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\exp \\left(w_{i} y_{y}-\\frac{1}{2} \\frac{y_{i}^{2}}{\\lambda_{i}}\\right) d y_{i}\\right] \\\\ =C \\exp \\left(\\boldsymbol{w}^{t} \\boldsymbol{Q} \\boldsymbol{\\mu}\\right) \\prod_{i=1}^{k}\\left[\\sqrt{2 \\pi} \\sqrt{\\lambda_{i}} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\frac{1}{\\sqrt{2 \\pi} \\sqrt{\\lambda_{i}}} \\exp \\left(w_{i} y_{y}-\\frac{1}{2} \\frac{y_{i}^{2}}{\\lambda_{i}}\\right) d y_{i}\\right] \\end{array} \\] 이고 위의 오른쪽 적분에서 \\( w_{i} \\)를 매개변수 \\( t_{i} \\)로 바꾸어 놓으면 정규분포 \\( N\\left(0, \\lambda_{i}\\right) \\)에 대한 적률모함수와 같은 형태이므로 \\[ \\begin{array}{l} C \\exp \\left(\\boldsymbol{w}^{t} \\boldsymbol{Q} \\boldsymbol{\\mu}\\right) \\prod_{i=1}^{k}\\left[\\sqrt{2 \\pi} \\sqrt{\\lambda_{i}} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\frac{1}{\\sqrt{2 \\pi} \\sqrt{\\lambda_{i}}} \\exp \\left(w_{i} y_{y}-\\frac{1}{2} \\frac{y_{i}^{2}}{\\lambda_{i}}\\right) d y_{i}\\right] \\\\ =C \\exp \\left(\\boldsymbol{w}^{t} \\boldsymbol{Q} \\boldsymbol{\\mu}\\right) \\prod_{i=1}^{k}\\left[\\sqrt{2 \\pi} \\exp \\left(\\frac{1}{2} \\lambda_{i} w_{i}^{2}\\right)\\right] \\\\ =C \\exp \\left(\\boldsymbol{w}^{t} \\boldsymbol{Q} \\boldsymbol{\\mu}\\right) \\sqrt{(2 \\pi)^{k} \\prod_{i=1}^{k} \\lambda_{i} \\exp \\left(\\frac{1}{2} \\sum_{i=1}^{k} \\lambda_{i} w_{i}^{2}\\right)} \\end{array} \\]</p> <p>가 된다.", "그리고 \\( \\boldsymbol{Q}^{-1}=\\boldsymbol{Q}^{t} \\)이므로 \\[ \\left(\\boldsymbol{Q}^{t} \\Sigma \\boldsymbol{Q}\\right)^{-1}=\\boldsymbol{Q} \\Sigma \\boldsymbol{Q}^{t}=\\operatorname{diag}\\left[\\lambda_{1}, \\lambda_{2}, \\cdots, \\lambda_{k}\\right] \\] 가 되어 \\[ \\sum_{i=1}^{k} \\lambda_{i} w_{i}^{2}=\\boldsymbol{w}^{t}\\left(\\boldsymbol{Q}\\Sigma \\boldsymbol{Q}^{t}\\right) \\boldsymbol{w}=\\left(\\boldsymbol{w}^{t} \\boldsymbol{Q}\\right) \\Sigma\\left(\\boldsymbol{Q}^{t} \\boldsymbol{w}\\right)=\\boldsymbol{t}^{t} \\Sigma \\boldsymbol{t} \\] 이고, \\( \\Sigma \\) 의 행렬식 \\( |\\Sigma| \\) 는 \\[ |\\Sigma|=\\left|\\boldsymbol{Q} \\Sigma \\boldsymbol{Q}^{t}\\right|=\\prod_{i=1}^{k} \\lambda_{i} \\] 이다.", "따라서, \\[ \\begin{array}{l} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\cdots \\int_{-\\infty}^{+\\infty} C \\exp \\left\\{\\boldsymbol{t}^{t}\\boldsymbol{x}-\\frac{1}{2}(\\boldsymbol{x}-\\boldsymbol{\\mu})^{t} \\Sigma^{-1}(\\boldsymbol{x}-\\boldsymbol{\\mu})\\right\\} d x_{1} d x_{2} \\cdots d x_{k} \\\\ =C \\exp \\left(\\boldsymbol{t}^{t} \\boldsymbol{\\mu}\\right) \\sqrt{(2 \\pi)^{k}|\\Sigma|} \\exp \\left(\\frac{1}{2} \\boldsymbol{t}^{t} \\Sigma \\boldsymbol{t}\\right) \\end{array} \\] 이다.", "이로부터 \\( f_{\\boldsymbol{X}}\\left(\\boldsymbol{x}\\right. \\)가 결합확률밀도함수가 되기 위해서는 위의 식에 \\( t_{1}=t_{2}=\\cdots= \\) \\( t_{k}=0 \\)을 대입한 값이 1이 되어야 한다.", "따라서, \\[ C \\sqrt{(2 \\pi)^{k}\\left|\\Sigma\\right|}=1 \\] 에서 양의 상수 \\( C \\)를 구하면 \\[ C=\\frac{1}{\\sqrt{(2 \\pi)^{k}\\left|\\Sigma\\right|}} \\] 이다.", "이상을 정리하면 \\( k \\)변수 함수 \\[ f_{\\boldsymbol{X}}(\\boldsymbol{x})=\\frac{1}{\\sqrt{(2 \\pi)^{k}\\left|\\Sigma\\right|}} \\exp \\left\\{-\\frac{1}{2}(\\boldsymbol{x}-\\boldsymbol{\\mu})^{t} \\Sigma^{-1}(\\boldsymbol{x}-\\boldsymbol{\\mu})\\right\\} \\] 는 \\( k \\)차원 확률벡터 \\( \\boldsymbol{X} \\) 의 결합확률밀도함수이고, 이 결합확률밀도함수를 다변량정규분포(multivariate normal distribution)라 부른다.", "이 다변량정규분포의 결합적률모함수 \\( M_{\\boldsymbol{X}}(\\boldsymbol{t}) \\)는 위에서 이미 유도한 것 처럼 \\[ M_{\\boldsymbol{X}}(\\boldsymbol{t})=\\exp \\left(\\boldsymbol{t}^{t} \\boldsymbol{\\mu}+\\frac{1}{2} \\boldsymbol{t}^{t} \\Sigma \\boldsymbol{t}\\right) \\] 이다.", "양정치이고 대칭인 실행렬 \\( \\Sigma \\)의 원소를 \\( \\sigma_{i j},(i, j=1,2,3 \\cdots, k) \\)로 나타내면 \\[ M_{\\boldsymbol{X}}\\left(, \\cdots, t_{i}, \\cdots, 0\\right)=\\exp \\left(t_{i} \\mu_{i}+\\frac{1}{2} \\sigma_{i i} t_{i}^{2}\\right) \\]</p> 이다.", "</p><h1>9.2 이차형식의 분포</h1><p>\\( a_{i j} \\)를 임의의 실수라 할 때 다음 식 \\[ f\\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \\cdots, x_{n}\\right)=\\sum_{i=1}^{n} \\sum_{j=1}^{n} a_{i j} \\left.x\\right) j x_{j} \\] 를 \\( n \\)개의 실변수 \\( x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n} \\)에 의한 이차형식(quadratic form)이라 한다.", "여기서는 검정통계량이 위와 같은 이차형식의 함수로 표현되는 경우가 많으므로 이차형식에 대하여 살펴 본다.", "위에서 정의한 이차형식은 \\( A=\\left(a_{i j}\\right) \\)를 \\( n \\times n \\)행렬, \\( \\boldsymbol{x}= \\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\)을 \\( n \\times 1 \\) 벡터라 할 때, \\[ f(x)=\\boldsymbol{x}^{t} A \\boldsymbol{x} \\] 로 나타낼 수 있고, 이때 \\( A \\)를 이차형식의 행렬(matrix)이라 부른다.", "이차형식의 행렬 \\( A \\)는 항상 대칭행렬이 되도록 만들 수 있다.", "예를 들면, \\[ x_{1}^{2}+x_{1} x_{2}+x_{2}^{2}=\\left(\\begin{array}{ll} x_{1} & x_{2} \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{cc} 1 & 1 / 2 \\\\ 1 / 2 & 1 \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{c} x_{1} \\\\ x_{2} \\end{array}\\right) \\] 는 두 실변수 \\( x_{1} \\)과 \\( x_{2} \\)에 의한 이차형식이며, \\[ x_{1}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{1} x_{2}=\\left(\\begin{array}{lll} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{c} x_{1} \\\\ x_{2} \\\\ x_{3} \\end{array}\\right) \\] 는 세 실변수 \\( x_{1}, x_{2}, x_{3} \\)에 의한 이차형식이다.", "그러나 \\[ \\begin{aligned} \\left(x_{1}-1\\right)^{2}+\\left(x_{2}^{2}-2\\right)^{2} &=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2 x_{1}-4 x_{2}+5 \\\\ &=\\left(\\left(x_{1}-1\\right)\\left(x_{2}-2\\right)\\right)\\left(\\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{l} x_{1}-1 \\\\ x_{2}-2 \\end{array}\\right) \\end{aligned} \\] 는 \\( x_{1}-1 \\)과 \\( x_{2}-1 \\)에 의한 이차형식이지만, \\( x_{1} \\)과 \\( x_{2} \\)에 의한 이차형식은 아니다.", "</p><p>이제 확률표본 \\( X_{1}, X_{2}, X_{3} \\cdots, X_{n} \\)의 표본평균과 표본분산을 각각 \\( \\bar{X} \\)와 \\( S^{2} \\)이라 할 때, 이것을 이차형식으로 나타내면, \\[ \\begin{aligned} (n-1) S^{2} &=\\sum_{i=1}^{n}\\left(X_{i}-\\bar{X}\\right)^{2}=\\sum_{i=1}^{n}\\left(X_{i}-\\frac{1}{n}\\left(X_{1}+X_{2}+\\cdots X_{n}\\right)\\right)^{2} \\\\ &=\\frac{n-1}{n} \\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}-\\frac{2}{n} \\sum_{1 \\leqslant i<j \\leqslant n} X_{i} X_{j} \\end{aligned} \\]</p> <p>\\( =\\left(\\begin{array}{llllll}X_{1} & X_{2} & \\cdots X_{n}\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{ccccc}\\frac{n-1}{n} & \\frac{1}{n} & \\frac{1}{n} & \\cdots & \\frac{1}{n} \\\\ \\frac{1}{n} & \\frac{n-1}{n} & \\frac{1}{n} & \\cdots & \\frac{1}{n} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ \\frac{1}{n} & \\frac{1}{n} & \\frac{1}{n} & \\cdots & \\frac{n-1}{n}\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{c}X_{1} \\\\ X_{2} \\\\ \\vdots \\\\ X_{n}\\end{array}\\right) \\)</p><p>이고 이 식은 \\( n \\)개의 확률변수 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)에 의한 이차형식이다.", "만약 \\( n \\)개의 확률변수 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)가 모집단 분포 \\( N\\left(\\mu, \\sigma^{2}\\right) \\)으로부터 추출된 확률표본이면, 이차형식 \\( (n-1) S^{2} / \\sigma^{2} \\)의 확률분포는 모평균 \\( \\mu \\)와 무관하게 \\( \\chi^{2}(n-1) \\)에 따르므로 \\( \\sigma^{2} \\)에 대하 추론이 가능하다. \\", "( n \\)개의 확률변수 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)이 확률적으로 독립이고 \\( X_{i} \\sim N\\left(\\mu_{i}, \\sigma_{i}^{2}\\right) \\)이면 \\[ Q=\\sum_{i=1}^{n}\\left(\\frac{X_{i}-\\mu_{i}}{\\sigma_{i}}\\right)^{2} \\sim \\chi^{2}(n) \\] 이다.", "여기서 \\( Q \\)는 \\( X_{i}-\\mu_{i} \\)들에 의한 이차형식이고 공분산행렬이 \\[ \\Sigma=\\operatorname{diag}\\left(\\sigma_{1}^{2}, \\sigma_{2}^{2}, \\cdots, \\sigma_{n}^{2}\\right) \\] 인 다변량정규분포에서 지수함수 \\( e \\)의 지수성분과 같다.", "이제 이 결과를 일반화하여 확률벡터 \\( \\boldsymbol{X}=\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\)의 결합확률분포가 \\( N(\\boldsymbol{\\mu}, \\Sigma) \\)일 때, \\( X_{i} \\boldsymbol{\\mu}_{i} \\)들에 의한 이차형식 \\( Q \\)의 분포가 \\[ Q=(\\boldsymbol{X}-\\boldsymbol{\\mu})^{t} \\Sigma^{-1}(\\boldsymbol{X}-\\boldsymbol{\\mu}) \\sim \\chi^{2}(n) \\] 임을 보이자.", "먼저 \\( Q \\)의 적률모함수 \\( X_{Q}(t) \\)는 \\[ \\begin{aligned} M_{Q}(t)=& \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\cdots \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\frac{1}{\\sqrt{(2 \\pi)^{n / 2}\\left|\\Sigma\\right|}} \\\\ & \\times \\exp \\left\\{\\boldsymbol{t}(\\boldsymbol{x}-\\boldsymbol{\\mu})^{t} \\Sigma^{-1}(\\boldsymbol{x}-\\boldsymbol{\\mu})-\\frac{1}{2}(\\boldsymbol{x}-\\boldsymbol{\\mu})^{t} \\Sigma^{-1}(\\boldsymbol{x}-\\boldsymbol{\\mu})\\right\\} d x_{1} d x_{2} \\cdots d x_{k} \\\\ =& \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\cdots \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\frac{1}{\\sqrt{(2 \\pi)^{n / 2}\\left|\\Sigma\\right|}} \\\\ & \\times \\exp \\left\\{-\\frac{1-2 t}{2}(\\boldsymbol{x}-\\boldsymbol{\\mu})^{t} \\Sigma^{-1}(\\boldsymbol{x}-\\boldsymbol{\\mu})\\right\\} d x_{1} d x_{2} \\cdots d x_{k} \\end{aligned} \\] 이고 적률모함수 \\( \\Sigma^{-1} \\)는 양정치(positive-definite)이고 위의 적분은 \\( t<\\frac{1}{2} \\)인 모든실수 \\( t \\)에 대하여 존재한다.", "그리고 \\( t<\\frac{1}{2} \\)에서 \\( (1-2 t) \\Sigma^{-1} \\)는 양정치행렬이고 \\[ \\left|(1-2 t) \\Sigma^{-1}\\right|=(1-2 t)^{n}\\left|\\Sigma^{-1}\\right| \\] 이므로, \\[ \\frac{1}{\\sqrt{(2 \\pi)^{n / 2}\\left|\\Sigma\\right| /(1-2 t)^{n}}} \\exp \\left\\{-\\frac{1-2 t}{2}(\\boldsymbol{X}-\\boldsymbol{\\mu})^{t} \\Sigma^{-1}(\\boldsymbol{X}-\\boldsymbol{\\mu})\\right\\} \\]</p> <h1>제 9 장 다변량분석</h1><h2>9.1 다변량정규분포</h2><p>\\(1\\)차원 정규분포 확률밀도함수 \\[ f(x ; \\mu, \\sigma)=\\frac{1}{\\sigma \\sqrt{2 \\pi}} \\exp \\left\\{-\\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}\\right\\},(|x|<+\\infty,|\\mu|<+\\infty, 0<\\sigma<+\\infty) \\] 에서 피적분함수의 지수성분을 살펴보면 \\[ \\left(\\frac{x-\\mu}{\\sigma^{2}}\\right)=(a-\\mu)\\left(\\sigma^{2}\\right)^{-1}(x-\\mu) \\] 으로 나타낼 수 있다.", "이제 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{k} \\)를 \\( k \\)개의 확률변수라 하면, \\( k \\times 1 \\) 열벡터 \\[ \\boldsymbol{X}=\\left(\\begin{array}{c} X_{1} \\\\ X_{2} \\\\ \\vdots \\\\ X_{k} \\end{array}\\right) \\] <p>여 모든 점 \\( \\left(x_{i}, y_{i}\\right) \\)들이 직선위에 놓이게 된다면, 그 직선의 식은 대수적으로 간단히 결정된다.", "하지만 \\( y_{i} \\)는 그 평균을 중심으로 하여 변하기 때문에 \\[ y_{i} \\neq \\beta_{0}+\\beta_{1} x_{i} \\] 가 될 것이다.", "따라서 모형은 \\[ \\begin{aligned} Y_{i} &=E\\left(Y_{i}\\right)+\\epsilon_{i}=\\beta_{0}+\\beta_{1} x_{i}+\\epsilon_{i}, \\\\ E\\left(\\epsilon_{i}\\right) &=0, \\operatorname{Var}\\left(\\epsilon_{i}\\right)=\\sigma^{2}, i=1,2, \\cdots, n \\\\ \\operatorname{Cov}\\left(\\epsilon_{i}, \\epsilon_{i}\\right) &=0, i \\neq j \\end{aligned} \\] 로 나타낼 수 있고 관찰값 \\( y_{i} \\)는 \\[ y_{i}=\\beta_{0}+\\beta_{1} x_{i}+e_{i} \\] 의 식으로 나타낼수 있다.", "가장 이상적인 상황은 모든 점 \\( \\left(x_{i}, y_{i}\\right) \\)들이 직선 \\[ y=\\widehat{\\beta}_{0}+\\widehat{\\beta}_{1} x \\] 위에 놓여 있어서 \\( e_{i}=0(i=1,2, \\cdots, n) \\)이 되는 것인데, 이 때에는 오차없이 \\( y \\)를 예측할 수 있다.", "그러나 일반적으로 그러한 경우를 예상할 수는 없고, 차선책으로 적합 직선에서 관찰되는 \\( y_{i} \\)의 편차들을 최소로하는 직선을 찾아내는 방법을 생각할 수 있다.", "즉, \\[ \\widehat{e}_{i}=y_{i}-\\left(\\widehat{\\beta}_{0}+\\widehat{\\beta}_{1} x_{i}\\right) \\] 의 적절한 함수를 최소로 하는 직선 \\( y=\\widehat{\\beta}_{0}+\\widehat{\\beta}_{1} x \\)를 구하는 것이다.", "적합도의 기준에따라 \\( \\widehat{e}_{i} \\)의 함수가 달라지겠지만, 적합직선으로부터의 편차의 제곱합을 최소로하는 원칙을 이용하여 \\[ Q=\\sum_{i=1}^{n}\\left(y_{i}-\\beta_{0}-\\beta_{1} x_{i}\\right)^{2} \\] 을 최소로하는 \\( \\beta_{0} \\)와 \\( \\beta_{1} \\)의 값 \\( \\widehat{\\beta}_{0} \\)와 \\( \\widehat{\\beta}_{1} \\)을 구하는 것이다.", "이러한 모수의 추정법을 최소제곱추정법(least squares estimation)이라 부른다. \\", "( Q \\)를 최소로하는 \\( \\beta_{0} \\)와 \\( \\beta_{1} \\)의 최소제곱추정값은 \\[ \\begin{array}{l} \\frac{\\partial Q}{\\partial \\beta_{0}}=-2 \\sum_{i=1}^{n}\\left(y_{i}-\\beta_{0}-\\beta_{1} x_{i}\\right)=0 \\\\ \\frac{\\partial Q}{\\partial \\beta_{0}}=-2 \\sum_{i=1}^{n}\\left(y_{i}-\\beta_{0}-\\beta_{1} x_{i}\\right)\\left(x_{i}\\right)=0 \\end{array} \\] 을 연립하여 풀면 \\[ \\begin{array}{l} \\widehat{\\beta}_{1}=\\frac{\\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-\\left(\\sum_{i=1}^{n} x_{i}\\right)\\left(\\sum_{i=1}^{n} y_{i}\\right) / n}{\\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-\\left(\\sum_{i=1}^{n} x_{i}\\right)^{2} / n}=\\frac{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)\\left(y_{i}-\\bar{y}\\right)}{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}} \\\\ \\widehat{\\beta}_{0}=\\bar{y}-\\widehat{\\beta}_{1} \\bar{x} \\end{array} \\]</p> <p>이므로, 우도비는 \\[ \\begin{aligned} \\lambda(x) &=\\frac{L\\left(\\widehat{\\boldsymbol{\\Theta}}_{0} ; \\boldsymbol{x}\\right)}{L(\\widehat{\\boldsymbol{\\Theta}} ; \\boldsymbol{x})} \\\\ &=\\left[\\frac{\\sum_{j=1}^{b} \\sum_{i=1}^{a}\\left(x_{i j}-\\bar{x}_{\\cdot j}^{2}\\right)}{\\sum_{j=1}^{b} \\sum_{i=1}^{a}\\left(x_{i j}-\\bar{x}_{\\cdot . j}^{2}\\right)}\\right]^{a b / 2} \\end{aligned} \\] 이 된다.", "이로부터 함수 \\( \\bar{x} \\)와 \\( v \\)의 식으로 정의되는 통계량은 \\[ \\begin{aligned} \\bar{X} &=\\frac{1}{a b} \\sum_{j=1}^{b} \\sum_{i=1}^{a} X_{i j}, \\\\ \\frac{(a b-1) S^{2}}{a b} &=\\frac{1}{a b} \\sum_{j=1}^{b} \\sum_{i=1}^{a}\\left(X_{i j}-\\bar{X}\\right)^{2}=\\frac{1}{a b} Q \\end{aligned} \\] 이므로 함수 \\( x_{\\cdot j} \\)와 \\( w \\)의 식으로 정의되는 통계량은 각각 \\[ \\begin{aligned} \\bar{X}_{\\cdot j} &=\\frac{1}{a} \\sum_{j=1}^{b} \\sum_{i=1}^{a} X_{i j}, j=1,2, \\cdots, b \\\\ \\frac{1}{a b} &=\\frac{1}{a b} \\sum_{j=1}^{b} \\sum_{i=1}^{a}\\left(X_{i j}-\\bar{X}_{\\cdot j}\\right)^{2}=\\frac{1}{a b} Q_{3} \\end{aligned} \\] 이다.", "따라서 \\[ \\left[\\lambda\\left(\\boldsymbol{X}\\right.\\right]^{2 / a b}=\\frac{Q_{3}}{Q}=\\frac{Q_{3}}{Q_{4}+Q_{5}}=,\\frac{1}{1+Q_{4} / Q_{3}} \\]", "를 검정통계량으로 이용하면 \\( \\lambda^{2 / a b} \\leqslant \\lambda_{0} \\)일 때 귀무가설 \\( H_{0} \\)를 기각한다.", "유의수준이 \\( \\alpha \\)가 되는 \\( \\lambda_{0} \\)를 구하기 위하여, 귀무가설 \\( H_{0} \\)가 참이라고 가정하면 \\[ X_{i j}, i=1,2, \\cdots, a, j=1,2, \\cdots, b \\] 는 \\( N\\left(\\mu, \\sigma^{2}\\right) \\)으로부터의 확률표본이므로 \\[ Q=Q_{3}+Q_{4}, \\quad Q_{4}=a \\sum_{j=1}^{b}\\left(X_{\\cdot j}-\\bar{X}\\right)^{2} \\] 인 경우가 되어 \\( Q_{3} \\)와 \\( Q_{4} \\)는 확률적으로 독립이고, \\( \\frac{1}{\\sigma^{2}} Q_{3} \\)과 \\( \\frac{1}{\\sigma^{2}}Q_{4} \\)의 분포는 각각 자유도가 \\( b(a-1) \\)과 \\( b-1 \\)인 \\( \\chi^{2} \\)분포에 따른다.", "따라서, \\[ \\frac{Q_{4} /(b-1)}{Q_{3} / b(a-1)} \\sim F(b-1, b(a-1)) \\]</p> <p>이고 \\[ Q_{2}=b \\sum_{i=1}^{a}\\left(\\bar{X}_{i \\cdot}-\\bar{X}\\right)^{2} \\geqslant 0 \\] 이므로 정리 9.3에 의하여 \\( Q_{1} \\)과 \\( Q_{2} \\)는 확률적으로 독립이고 \\( \\frac{1}{\\sigma^{2}} Q_{1} \\)의 분포는 자유도가 \\( (a b-1)-a(b-1)=a-1 \\)인 \\( \\chi^{2} \\)분포이다.", "마찬가지 방법으로 \\( (a b-1) S^{2} \\)의 전개에서 \\( X_{i j}-\\bar{X} \\)에 \\( -\\bar{X}_{\\cdot j}+\\bar{X}_{\\cdot j} \\)를 대입하면 \\[ \\begin{aligned} Q &=(a b-1) S^{2} \\\\ &=\\sum_{i=1}^{a} \\sum_{j=1}^{b}\\left(X_{i j}-\\bar{X}\\right)^{2} \\\\ &=\\sum_{i=1}^{a} \\sum_{j=1}^{b}\\left\\{\\left(X_{i j}-\\bar{X}_{\\cdot j}+\\bar{X}_{\\cdot j}-\\bar{X}\\right)\\right\\}^{2} \\\\ &=\\sum_{i=1}^{a} \\sum_{j=1}^{b}\\left(X_{i j}-\\bar{X}_{\\cdot j}\\right)^{2}+a \\sum_{j=1}^{b}\\left(\\bar{X}_{\\cdot j}-\\bar{X}\\right)^{2} \\\\ &=Q_{3}+Q_{4} \\end{aligned} \\] 이다.", "따라서, \\( \\frac{1}{\\sigma^{2}} Q_{3} \\sim \\chi^{2}(b(a-1)) \\)이고 \\( Q_{3} \\)와 \\( Q_{4} \\)는 확률적으로 독립이며 \\( \\frac{1}{\\sigma^{2}} Q_{4} \\) 의 분포는 자유도가 \\( (a b-1)-b(b-1)=b-1 \\)인 \\( \\chi^{2} \\)분포이다.", "그리고 \\( (a b-1) S^{2} \\)의 전개에서 \\( X_{i j}-\\bar{X} \\)에 \\[ X_{i j}-\\bar{X}=\\left(X_{i \\cdot}-\\bar{X}\\right)+\\left(\\bar{X}_{\\cdot j}-\\bar{X}\\right)+\\left(X_{i j}-\\bar{X}_{i \\cdot}-\\bar{X}_{\\cdot j}+\\bar{X}\\right) \\] 을 대입하면 \\[ \\begin{aligned} Q=&(a b-1) S^{2} \\\\ =&b \\sum_{i=1}^{a} \\sum_{j=1}^{b}\\left(X_{i \\cdot}-\\bar{X}\\right)^{2}+a \\sum_{j=1}^{b}\\left(X_{\\cdot j}-\\bar{X}\\right)^{2} \\\\ &+\\sum_{i=1}^{a} \\sum_{j=1}^{b}\\left(X_{i j}-\\bar{X}_{i \\cdot}-\\bar{X}_{\\cdot j}+\\bar{X}\\right)^{2} \\\\ =& Q_{2}+Q_{4}+Q_{5} \\end{aligned} \\] 이므로, 앞에서의 결과에 의하면 \\( \\frac{1}{\\sigma^{2}} Q, \\frac{1}{\\sigma^{2}} Q_{4} \\)의 분포들은 각각 자유도가 \\( a b-1, a-1, b-1 \\)인 \\( \\chi^{2} \\)분포들이고 \\( Q_{5} \\geqslant 0 \\)이므로, 정리 9.3에 의하여 \\( Q_{2}, Q_{4}, Q_{5} \\)는 확률적으로 독립이고, \\( \\frac{1}{\\sigma^{2}} Q_{5} \\)는 자유도가 \\[ (a b-1)-(a-1)-(b-1)=(a-1)(b-1) \\] 인 \\( \\chi^{2} \\)분포에 따른다.", "</p> <p>이다.", "그리고 최소제곱법에 의하여 \\( \\sigma^{2} \\)의 추정량이 제시되지는 않지만, \\[ \\begin{aligned} \\widehat{\\sigma}^{2} &=\\frac{1}{n-2} \\sum_{i=1}^{n} \\widehat{e}_{i j}^{2} \\\\ &=\\frac{1}{n-2} \\sum_{i=1}^{n}\\left(y_{i}-\\widehat{\\beta}_{0}-\\widehat{\\beta}_{1} x_{i}\\right)^{2} \\\\ &=\\frac{1}{n-2} \\sum_{i=1}^{n}\\left(y_{i}-\\widehat{y}_{i}\\right)^{2} \\end{aligned} \\] 이 \\( \\sigma^{2} \\)의 불편추정량이다.", "또한, \\( \\beta_{0} \\)와 \\( \\beta_{1} \\)의 최소제곱추정량들은 \\( Y_{i} \\)들의 선형함수로 표시되는 불편추정량들이며, 모든 선형불편불편추정량들 중에서 분산이 최소인 추정량임을 보일 수 있다.", "이러한 이유로 최소제곱추정량을 최량선형불편추정량(best linear unbiased estimator)이라 하고 BLUE라는 약어로 쓴다.", "</p><p>定理 9.5 선형모형 \\[ \\begin{aligned} E\\left(Y_{i}\\right) &=\\beta_{0}+\\beta_{1} x_{i}, \\\\ \\operatorname{Var}\\left(Y_{i}\\right) &=\\sigma^{2}, i=1,2, \\cdots, n, \\quad \\operatorname{Cov}\\left(Y_{i}, Y_{j}\\right)=0, i \\neq j \\end{aligned} \\] 에서 \\( \\beta_{0} \\)와 \\( \\beta_{1} \\)의 최소제곱추정량을 각각 \\( \\widehat{\\beta}_{0} \\)와 \\( \\widehat{\\beta}_{1} \\)이라 하면 다음 성질을 만족한다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( E\\left(\\widehat{\\beta}_{1}\\right)=\\beta_{1}, \\operatorname{Var}\\left(\\widehat{\\beta}_{1}\\right)=\\frac{\\sigma^{2}}{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}} \\).", "</li><li>\\( E\\left(\\widehat{\\beta}_{0}\\right)=\\beta_{0}, \\operatorname{Var}\\left(\\widehat{\\beta}_{0}\\right)=\\frac{\\sigma^{2} \\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}}{n \\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}} . \\)", "</li><li>\\( c_{0} \\widehat{\\beta}_{0}+c_{1} \\widehat{\\beta}_{1} \\)은 \\( c_{0} \\beta_{0}+c_{1} \\beta_{1} \\)의 BLUE0|다.", "</li></ol><p>發啜 (1) 먼저 다음 식을 구해보자. \\", "[ \\begin{aligned} E\\left[\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)\\left(Y_{i}-\\bar{Y}\\right)\\right] &=E\\left[\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right) Y_{i}-\\bar{Y} \\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)\\right] \\\\ &=\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right) E\\left(Y_{i}\\right)=\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)\\left(\\beta_{0}+\\beta_{1} x_{i}\\right) \\\\ &=\\sum_{i=1}^{n} \\beta_{1}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)=\\beta_{1} \\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2} \\end{aligned} \\] 이므로 \\[ E\\left(\\widehat{\\beta}_{1}\\right)=\\frac{\\beta_{1} \\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}}{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}}=\\beta_{1} \\]</p> <p>이므로 \\[ \\operatorname{Var}\\left(c_{0} \\widehat{\\beta}_{0}+c_{1} \\widehat{\\beta}_{1}+\\sum_{i=1}^{n} a_{i} Y_{i}\\right)=\\operatorname{Var}\\left(c_{0} \\widehat{\\beta}_{0}+c_{1} \\widehat{\\beta}_{1}\\right)+\\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2} \\sigma^{2} \\] 이다.", "이 분산은 \\( \\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}=0 \\)일 때 즉, \\( a_{i}=0(i=1,2, \\cdots, n) \\)일 때 최소가 되므로 \\( c_{0} \\widehat{\\beta}_{0}+c_{1} \\widehat{\\beta}_{1} \\)이 \\( c_{0} \\beta_{0}+c_{1} \\beta_{1} \\)의 BLUE이다.", "</p><p>두 번째로 다음과 같은 선형모형 \\[ \\begin{aligned} E\\left(Y_{i}\\right) &=\\beta_{0}+\\beta_{1} x_{i} \\\\ \\operatorname{Var}\\left(Y_{i}\\right) &=\\sigma^{2}, i=1,2, \\cdots, n, \\operatorname{Cov}\\left(Y_{i}, Y_{i}\\right)=0, i \\neq j \\end{aligned} \\] 에서 \\( Y_{i} \\sim N\\left(\\left(\\beta_{0}+\\beta_{1} x_{i}, \\sigma^{2}\\right)\\right. \\)이라 가정하고, 모수에 대한 통계적 추론을 하여보자.", "우도함수가 \\[ L\\left(\\beta_{0}, \\beta_{1}, \\sigma^{2} ; y_{1}, y_{2}, \\cdots, y_{n}\\right)=\\left(2 \\pi \\sigma^{2}\\right)^{-n / 2} \\exp \\left\\{-\\frac{1}{2 \\sigma^{2}} \\sum_{i=1}^{n}\\left(y_{i}-\\beta_{0}-\\beta_{1} x_{i}\\right)^{2}\\right\\} \\] 이므로 \\[ \\begin{array}{l} \\frac{\\partial}{\\partial \\beta_{0}} \\ln L\\left(\\beta_{0}, \\beta_{1}, \\sigma^{2}\\right)=\\frac{1}{\\sigma^{2}} \\sum_{i=1}^{n}\\left(y_{i}-\\beta_{0}-\\beta_{1} x_{i}\\right)=0, \\\\ \\frac{\\partial}{\\partial \\beta_{1}} \\ln L\\left(\\beta_{0}, \\beta_{1}, \\sigma^{2}\\right)=\\frac{1}{\\sigma^{2}} \\sum_{i=1}^{n}\\left(y_{i}-\\beta_{0}-\\beta_{1} x_{i}\\right) x_{i}=0, \\\\ \\frac{\\partial}{\\partial \\beta_{0}} \\ln L\\left(\\beta_{0}, \\beta_{1}, \\sigma^{2}\\right)=-\\frac{n}{2 \\sigma^{2}}+\\frac{1}{\\sigma^{4}} \\sum_{i=1}^{n}\\left(y_{i}-\\beta_{0}-\\beta_{1} x_{i}\\right)^{2}=0 \\end{array} \\] 을 연립하여 풀면, \\( \\beta_{0} \\)와 \\( \\beta_{1} \\)의 최우추정량은 각각 \\[ \\widehat{\\beta}_{1}=\\frac{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)\\left(y_{i}-\\bar{y}\\right)}{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}}, \\quad \\widehat{\\beta}_{0}=\\bar{y}-\\widehat{\\beta}_{1} \\bar{x} \\] 이다.", "이 식은 앞에서 구한 최소제곱추정량과 일치하며, \\( \\sigma^{2} \\)에 대한 최우추정량은 \\[ \\widetilde{\\sigma}^{2}=\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n}\\left(y_{j}-\\widehat{\\beta}_{0}-\\widehat{\\beta}_{1} x_{i}\\right)^{2} \\] 이다.", "그런데 \\( Y_{i} \\)의 확률밀도함수가 \\[ \\begin{aligned} f_{Y_{i}}\\left(y_{i} ; \\beta_{0}, \\beta_{1}, \\sigma^{2}\\right)=&\\left(2 \\pi \\sigma^{2}\\right)^{-n / 2} \\exp \\left\\{-\\frac{1}{2 \\sigma^{2}} \\sum_{i=1}^{n}\\left(y_{i}-\\beta_{0}-\\beta_{1} x_{i}\\right)^{2}\\right\\} \\\\ =\\left(2 \\pi \\sigma^{2}\\right)^{-n / 2} \\exp \\left\\{-\\frac{1}{2 \\sigma^{2}} \\sum_{i=1}^{n}\\left(\\beta_{0}+\\beta_{1} x_{i}\\right)^{2}\\right\\} \\\\ & \\times \\exp \\left\\{-\\frac{1}{2 \\sigma^{2}} y_{i}^{2}+\\frac{\\beta_{0}}{\\sigma^{2}} y_{i}+\\frac{\\beta_{1}}{\\sigma^{2}} x_{i} y_{i}\\right\\} \\end{aligned} \\]</p> <p>계수라 부르는 다음과 같은 통계량 \\[ R=\\frac{\\sum_{i=1}^{n}\\left(X_{i}-\\bar{X}\\right)\\left(Y_{i}-\\bar{Y}\\right)}{\\sqrt{\\sum_{i=1}^{n}\\left(X_{i}-\\bar{X}\\right)^{2} \\sum_{i=1}^{n}\\left(Y_{i}-\\bar{Y}\\right)^{2}}} \\] 의 함수가 되며, \\( \\lambda \\leqslant \\lambda_{0} \\)이면 귀무가설 \\( H_{0} \\)를 기각하는 우도비검정의 기각역은 \\( |R| \\geqslant c \\)의 형태로 구해진다. 즉, 표본상관계수의 절대값이 아주 크면 분포의 상관계수가 \\(0\\)이라는 가설을 기각한다. 주어진 유의수준하에서 \\( c \\)의 값을 결정하기 위해서는, \\( H_{0} \\)가 참일때 \\( R \\) 또는 \\( R \\)의 함수의 분포를 구하여야 한다. 이제 이 분포를 구하기 위하여 \\( x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n} \\)과 \\( \\bar{x}=\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} \\)는 \\( \\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}>", "0 \\)을 만족하는 고정된 관찰값이라 할 때, \\( X_{1}=x_{1}, X_{2}=x_{2}, \\cdots, X_{n}=x_{n} \\)이 주어졌을 때 \\( Y_{1}, Y_{2}, \\cdots, Y_{n} \\)의 조건부확률밀도함수를 구해 보자. \\", "( Y_{1}, Y_{2}, \\cdots, Y_{n} \\)이 확률적으로 독립이고 상관계수 \\( \\rho=0 \\)이면 \\( Y_{1}, Y_{2}, \\cdots, Y_{n} \\)은 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)과 확률적으로 독립이기 때문에, 구하려는 조건부확률밀도함수는 \\[ \\left(\\frac{1}{\\sigma_{2} \\sqrt{2 \\pi}}\\right)^{2} \\exp \\left\\{\\frac{1}{2 \\sigma_{2}^{2}} \\sum_{i=1}^{n}\\left(y_{i}-\\mu\\right)^{2}\\right\\} \\] 이다.", "그러므로 \\( X_{1}=x_{1}, X_{2}=x_{2}, \\cdots, X_{n} x_{n} \\)이 주어졌을 때, \\[ \\sum_{i=1}^{n} \\frac{\\left(Y_{i}-\\bar{Y}\\right)^{2}}{\\sigma_{2}^{2}} \\] 의 조건부분포는 \\( \\chi^{2}(m-1) \\)이고, \\( Y_{1}, Y_{2}, \\cdots, Y_{n} \\)의 선형함수 \\[ W=\\frac{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)\\left(Y_{i}-\\bar{Y}\\right)}{\\sqrt{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}}}=\\frac{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right) Y_{i}}{\\sqrt{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}}} \\] 의 조건부분포는 \\( N\\left(0, \\sigma_{2}^{2}\\right) \\)이기 때문에 \\( X_{1}=x_{1}, X_{2}=x_{2}, \\cdots, X_{n}=x_{n} \\)이 주어졌을 때 \\( W^{2} / \\sigma_{2}^{2} \\)의 조건부분포는 \\( \\chi^{2}(1) \\)이다.", "그리고 다음 식 \\[ \\sum_{i=1}^{n}\\left(Y_{i}-\\bar{Y}\\right)^{2}=W^{2}+\\sum_{i=1}^{n}\\left\\{\\left(Y_{i}-\\bar{Y}\\right)-\\frac{\\sum_{j=1}^{n}\\left(x_{j}-\\bar{x}\\right)\\left(Y_{j}-\\bar{Y}\\right)}{\\sqrt{\\sum_{j=1}^{n}\\left(x_{j}-\\bar{x}\\right)^{2}}}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)\\right\\}^{2} \\] 이 성립한다.", "여기서 \\( \\sum_{i=1}^{n}\\left(Y_{i}-\\bar{Y}\\right)^{2} / \\sigma_{2}^{2} \\)의 조건부분포는 \\( \\chi^{2}(n-1) \\)이고, \\( W^{2} / \\sigma_{2}^{2} \\)의 조건부분포는 \\( \\chi^{2}(1) \\)이므로, 위의 식에서 오른쪽 두 번째 항을 \\( U \\)라 하면, 정리 9.3에 의하여 \\( U \\)와 \\( W^{2} \\)은 조건부독립이고, \\( U / \\sigma_{2}^{2} \\)의 조건부분포는 \\( \\chi^{2}(n-2) \\)이다.", "그런데 \\( W / \\sigma_{2}^{2} \\)의 분포가 \\( N(0,1) \\)이므로 \\[ \\frac{W / \\sigma_{2}}{\\sqrt{U /\\left\\{(n-2) \\sigma_{2}^{2}\\right\\}}}=\\frac{W \\sqrt{n-2}}{\\sqrt{U}} \\]</p> <p>로 나타낼 수 있다.", "여기서 \\( \\boldsymbol{A}=\\left(\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X}\\right)^{-1} \\boldsymbol{X}^{t}+\\boldsymbol{B} \\)라 놓을 수 있으므로 \\[ \\begin{aligned} E(\\widehat{\\boldsymbol{\\beta}}) &=E(\\boldsymbol{A Y}) \\\\ &=E\\left[\\left(\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X}\\right)^{-1} \\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{Y}+\\boldsymbol{B} \\boldsymbol{Y}\\right] \\\\ &=\\left(\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X}\\right)^{-1} \\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X} \\boldsymbol{\\beta}+\\boldsymbol{B} \\boldsymbol{X} \\boldsymbol{\\beta} \\\\ &=\\boldsymbol{\\beta}+\\boldsymbol{B} \\boldsymbol{X} \\boldsymbol{\\beta} \\end{aligned} \\] 이므로 \\( \\widehat{\\boldsymbol{\\beta}} \\)가 \\( \\boldsymbol{\\beta} \\)의 불편추정량이면 \\( E(\\widetilde{\\boldsymbol{\\beta}})=\\boldsymbol{\\beta} \\)이어야 하므로, 모든 \\( \\boldsymbol{\\beta} \\)에 대하여 \\( \\boldsymbol{B X} \\boldsymbol{\\beta}=\\mathbf{0}\\)이어야 하므로 \\( \\boldsymbol{B X}=\\mathbf{0} \\) 이다.", "그러므로 \\[ \\begin{aligned} \\operatorname{Var}(\\widehat{\\boldsymbol{\\beta}}) &=\\operatorname{Var}\\left[\\left(\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X}\\right)^{-1} \\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{Y}+\\boldsymbol{B} \\boldsymbol{Y}\\right] \\\\ &=\\left[\\left(\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X}\\right)^{-1} \\boldsymbol{X}^{t}+\\boldsymbol{B}\\right] \\operatorname{Var}(\\boldsymbol{Y})\\left[\\left(\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X}\\right)^{-1} \\boldsymbol{X}^{t}+\\boldsymbol{B}\\right]^{t} \\\\ &=\\left[\\left(\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X}\\right)^{-1} \\boldsymbol{X}^{t}+\\boldsymbol{B}\\right] \\boldsymbol{I} \\sigma^{2}\\left[\\left(\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X}^{t}\\right)^{-1} \\boldsymbol{X}^{t}+\\boldsymbol{B}\\right]^{t} \\\\ &=\\left[\\left(\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X}\\right)^{-1} \\boldsymbol{X}^{t}+\\boldsymbol{B} \\boldsymbol{B}^{t}\\right] \\sigma^{2} \\end{aligned} \\] 이다.", "이때, \\( \\boldsymbol{B B}^{t}=\\boldsymbol{G}=\\left(g_{i j}\\right) \\)라 하면 \\( \\operatorname{Var}(\\widetilde{\\boldsymbol{\\beta}}) \\)의 대각선원소들이 \\( \\operatorname{Var}\\left(\\widetilde{\\beta}_{i}\\right) \\)들이므로, \\( \\operatorname{Var}\\left(\\widetilde{\\beta}_{i}\\right) \\)가 최소로 되려면 대각선원소들이 최소가 되어야 한다.", "그런데, 행렬 \\( \\boldsymbol{G}=\\boldsymbol{B B}^{t} \\)는 양반정치행렬이므로 \\( \\operatorname{Var}(\\widetilde{\\boldsymbol{\\beta}}) \\)의 대각선원소들이 최소가 되려면 \\( g_{i j}(i=0,1,2,\\cdots,k) \\)이어야 하고 \\( \\boldsymbol{B}=\\left(g_{i j}\\right) \\)라 하면 \\[ g_{i i}=\\sum_{j=1}^{n} b_{i j}^{2}=0 \\] 이 되고, 모든 \\( i \\)에 대하여 \\( g_{i i}=0 \\)이려면 모든 \\( i, j \\)에 대하여 \\( b_{i j}=0 \\)이 되어야 한다.", "즉, 이것은 \\( \\boldsymbol{B}=\\mathbf{0} \\)이고 이 조건은 \\( \\boldsymbol{B X}=\\mathbf{0} \\)의 조건을 만족한다.", "따라서, \\( \\widehat{\\boldsymbol{\\beta}} \\)가 \\( \\boldsymbol{\\beta} \\)의 BLUE이려면 \\( \\boldsymbol{A}=\\left(\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X}\\right)^{-1} \\boldsymbol{X}^{t} \\)일 때이다.", "</p><h1>9.5 상관계수의 검정</h1><p>두 확률변수 \\( X \\)와 \\( Y \\)의 결합확률분포가 각각의 평균이 \\( \\mu_{1}, \\nu_{2} \\), 분산이 \\( \\sigma_{1}^{2}, \\sigma_{2}^{2} \\), 상관계수가 \\( \\rho \\)인 이변량정규분포일 때, \\( X \\)와 \\( Y \\)가 확률적으로 독립이라는 가설검정에 대하여 알아 보고자 한다.", "이변량정규분포를 따르는 두 확률변수가 확률적으로 독립이기 위한 필요충분조건은 \\( \\rho=0 \\)이므로, 이변량정규분포에 따르는 두 확률변수의 독립성 검정에 대한 문제는 대립가설 \\( H_{1}: \\rho \\neq 0 \\)에 대한 귀무가설 \\( H_{0}: \\rho=0 \\)의 검정문제이다.", "이 검정을 위하여 이변량정규분포로부터 추출한 크기 \\( n>2 \\)인 확률표본을 \\[ \\left(X_{1}, Y_{1}\\right),\\left(X_{2}, Y_{2}\\right), \\cdots,\\left(X_{n}, Y_{n}\\right) \\] 이라 하면, 증명없이 결론적으로는 우도비 \\( \\lambda \\)에 의하여 정의되는 통계량이 표본상관</p> <p>가정에 의하여 \\( n=a b \\)개의 확률변수 \\( X_{i j} \\)들은 확률적으로 독립이며, 각각의 분포는 평균이 \\( \\mu \\), 분산이 \\( \\sigma^{2} \\)인 정규분포로 모두 같다.", "각 행을 주어진 분포로부터의 크기 \\( b \\)인 확률표본, 각 열을 주어진 분포로부터의 크기 \\( a \\)인 확률표본으로 생각하면 \\[ \\begin{aligned} \\bar{X} &=\\frac{1}{a b} \\sum_{i=1}^{a} \\sum_{j=1}^{b} X_{i j}, \\\\ \\bar{X}_{i \\cdot} &=\\frac{1}{b} \\sum_{j=1}^{b} X_{i j}, \\quad i=1,2,3, \\cdots, a \\\\ \\bar{X}_{\\cdot j} &=\\frac{1}{a} \\sum_{i=1}^{a} X_{i j}, \\quad j=1,2,3, \\cdots, b \\end{aligned} \\] 으로 같은 \\( a+b+1 \\)개의 통계량을 정의할 수 있다.", "이제 크기 \\( n=a b \\)인 확률표본의 표본분산을 \\( S^{2} \\)이라 하면 \\[ \\begin{aligned} Q &=(a b-1) S^{2} \\\\ &=\\sum_{i=1}^{a} \\sum_{j=1}^{b}\\left(X_{i j}-\\bar{X}\\right)^{2}\\\\ &=\\sum_{i=1}^{a} \\sum_{j=1}^{b}\\left\\{\\left(X_{i j}-\\bar{X}_{i \\cdot}+\\bar{X}_{i \\cdot}-\\bar{X}\\right)\\right\\}^{2} \\\\ &=\\sum_{i=1}^{a} \\sum_{j=1}^{b}\\left(X_{i j}-\\bar{X}_{i \\cdot}\\right)^{2}+b \\sum_{i=1}^{a}\\left(\\bar{X}_{i \\cdot}-\\bar{X}\\right)^{2} \\\\ &=Q_{1}+Q_{2} \\end{aligned} \\] 로 쓸 수 있다.", "이때 \\( Q, Q_{1}, Q_{2} \\)는 분명히 \\( n=a b \\)개의 \\( X_{i j} \\)에 의한 이차형식들이다.", "또한, \\( (a b-1) S^{2} \\)의 분포는 자유도가 \\( a b-1 \\)인 \\( \\chi^{2} \\)분포이며, \\[ \\frac{1}{b-1} \\sum_{j=1}^{b}\\left(X_{i j}-\\bar{X}_{i} \\cdot\\right)^{2}, \\quad i=1,2,3, \\cdots, a \\] 는 정규분포로부터의 크기 \\( b \\)인 확률표본의 분산이므로 \\[ \\frac{1}{\\sigma^{2}} Q_{i 1}=\\frac{1}{\\sigma^{2}} \\sum_{j=1}^{b}\\left(X_{i j}-\\bar{X}_{i \\cdot}\\right)^{2} \\sim \\chi^{2}(b-1), i=1,2,3, \\cdots, a \\] 이다.", "그런데 \\( X_{i j} \\)들이 확률적으로 독립이므로 \\( Q_{11}, Q_{21}, \\cdots, Q_{a 1} \\)도 확률적으로 독립이고, 분포가 \\( \\chi^{2}(b-1) \\)에 따르는 확률변수들이므로 \\[ \\frac{1}{\\sigma^{2}} Q_{1}=\\sum_{j=1}^{a} \\frac{1}{\\sigma^{2}} Q_{i 1} \\sim \\chi^{2}(a(b-1)) \\]</p> <p>의 해가 \\( \\boldsymbol{\\beta} \\)와 \\( \\sigma^{2} \\)의 최우추정량이 된다. \\", "( \\widehat{\\boldsymbol{\\beta}} \\)와 \\( \\widetilde{\\boldsymbol{\\sigma}}^{2} \\)이 위의 방정식을 만족하는 해이면 \\[ \\begin{aligned} \\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X} \\boldsymbol{\\beta} &=\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{y}, \\\\ \\widehat{\\sigma^{2}} &=\\frac{1}{n}(\\boldsymbol{y}-\\boldsymbol{X} \\widehat{\\boldsymbol{\\beta}})^{t}(\\boldsymbol{y}-\\boldsymbol{X} \\widehat{\\boldsymbol{\\beta}}) \\end{aligned} \\] 이다.", "위의 첫 번째 방정식을 정규방정식(nomal equation)이라 부르고, \\( \\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X} \\)가 역행렬이 존재하는 정칙행렬이므로 \\[ \\widehat{\\boldsymbol{\\beta}}=\\left(\\begin{array}{c} \\widehat{\\boldsymbol{\\beta}}_{0} \\\\ \\widehat{\\boldsymbol{\\beta}}_{1} \\\\ \\widehat{\\boldsymbol{\\beta}}_{2} \\\\ \\vdots \\\\ \\widehat{\\boldsymbol{\\beta}}_{k} \\end{array}\\right)=\\left(\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X}\\right)^{-1} \\boldsymbol{X}^{t}\\boldsymbol{y} \\] 이다. \\", "( \\widehat{\\boldsymbol{\\beta}} \\)의 기댓값을 구하면 \\[ \\begin{aligned} E(\\widehat{\\boldsymbol{\\beta}}) &=E\\left[\\left(\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X}\\right)^{-1} \\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{Y}\\right] \\\\ &=\\left(\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X}\\right)^{-1} \\boldsymbol{X}^{t} E(\\boldsymbol{Y}) \\\\ &=\\left(\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X}\\right)^{-1} \\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X} \\boldsymbol{\\beta} \\\\ &=\\boldsymbol{\\beta} \\end{aligned} \\] 이므로, \\( \\widehat{\\boldsymbol{\\beta}} \\)는 \\( \\boldsymbol{\\beta} \\)의 불편추정량이며, \\( \\widehat{\\boldsymbol{\\beta}} \\)의 분산-공분산행렬은 \\[ \\begin{aligned} \\operatorname{Var}(\\widehat{\\boldsymbol{\\beta}}) &=\\operatorname{Var}\\left(\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X}^{-1} \\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{Y}\\right) \\\\ &=\\left[\\left.\\", "left(\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X}\\right)^{-1} \\boldsymbol{X}\\right)^{t}\\right] \\operatorname{Var}(\\boldsymbol{Y})\\left[\\left(\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X}\\right)^{-1} \\boldsymbol{X}^{t}\\right]^{t} \\\\ &=\\left(\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X}\\right)^{-1} \\boldsymbol{X}\\left(\\sigma^{2} \\boldsymbol{I}\\right) \\boldsymbol{X}\\left(\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X}\\right)^{-1} \\\\ &=\\left(\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X}\\right)^{-1} \\sigma^{2} \\end{aligned} \\] 이다.", "또한, \\[ (\\boldsymbol{y}-\\boldsymbol{X} \\widehat{\\boldsymbol{\\beta}})^{t}(\\boldsymbol{y}-\\boldsymbol{X} \\widehat{\\boldsymbol{\\beta}})=\\boldsymbol{Y}\\left[\\boldsymbol{I}-\\boldsymbol{X}\\left(\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X}\\right)^{-1} \\boldsymbol{X}^{t}\\right] \\boldsymbol{Y} \\] 이고 \\( \\boldsymbol{Y} X \\sim N\\left(\\boldsymbol{X} \\boldsymbol{\\beta}, \\sigma^{2} \\boldsymbol{I}\\right) \\)이므로 \\( \\boldsymbol{B}=\\boldsymbol{I}-\\boldsymbol{X}\\left(\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X}\\right)^{-1} \\boldsymbol{X}^{t} \\)라 하면 \\[ \\begin{aligned} E\\left(\\boldsymbol{Y}^{t} \\boldsymbol{B} \\boldsymbol{X}\\right) &=\\sigma^{2} \\operatorname{trace}(\\boldsymbol{B})+\\left(\\boldsymbol{\\beta}^{t} \\boldsymbol{X}^{t}\\right) \\boldsymbol{B}(\\boldsymbol{X} \\boldsymbol{\\beta}), \\\\ \\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{B} \\boldsymbol{X} &=\\boldsymbol{X}^{t}\\left[\\boldsymbol{I}-\\boldsymbol{X}\\left(\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X}\\right)^{-1} \\boldsymbol{X}^{t}\\right] \\boldsymbol{X}=\\mathbf{0}, \\\\ \\operatorname{trace}(\\boldsymbol{B}) &=\\operatorname{trace}\\left(\\boldsymbol{I}-\\boldsymbol{X}\\left(\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X}\\right)^{-1} \\boldsymbol{X}^{t}\\right) \\\\ &=\\operatorname{trace}(\\boldsymbol{I})-\\operatorname{trace}\\left(\\boldsymbol{X}\\left(\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{X}\\right)^{-1} \\boldsymbol{X}^{t}\\right) \\\\ &=n-(k+1) \\\\ &=n-k-1 \\end{aligned} \\]</p> <p>이므로 \\( f_{Y_{i}}\\left(y_{i} ; \\beta_{0}, \\beta_{1}, \\sigma^{2}\\right) \\)은 지수분포족에 속한다.", "따라서 \\[ \\sum_{i=1}^{n} Y_{i}^{2}, \\quad \\sum_{i=1}^{n} Y_{i}, \\quad \\sum_{i=1}^{n} x_{i} Y_{i} \\] 는 결합완비최소충분통계량들이고 추정량 \\( \\widehat{\\beta}_{0}, \\widehat{\\beta}_{1} \\)과 \\( \\tilde{\\sigma}^{2} \\)은 위의 통계량들의 일대일변환이므로 추정량들도 결합완비최소충분통계량들이다.", "또한, \\( \\widehat{\\beta}_{0} \\)과 \\( \\widehat{\\beta}_{1} \\)은 \\( Y_{1}, Y_{2}, \\cdots, Y_{n} \\)의 선형함수들이므로 각각의 분포는 \\[ \\widehat{\\beta}_{0} \\sim N\\left(\\beta_{0}, \\frac{\\sigma^{2} \\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}}{n \\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}}\\right), \\quad \\widehat{\\beta}_{1} \\sim N\\left(\\beta_{1}, \\frac{\\sigma^{2}}{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}}\\right) \\] 이다.", "또한 \\[ \\begin{aligned} Q &=\\sum_{i=1}^{n}\\left(Y_{i}-\\beta_{0}-\\beta_{1} x_{i}\\right)^{2} \\\\ &=\\sum_{i=1}^{n}\\left[\\left(Y_{i}-\\widehat{\\beta}_{0}-\\widehat{\\beta}_{1} x_{i}\\right)+\\left(\\widehat{\\beta}_{0}-\\widehat{\\beta}_{1} \\bar{x}-\\beta_{0}-\\widehat{\\beta}_{1} \\bar{x}\\right)+\\left(\\widehat{\\beta}_{1}-\\beta_{1}\\right)\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)\\right]^{2} \\\\ &=n\\left(\\widehat{\\beta}_{0}+\\widehat{\\beta}_{1} \\bar{x}-\\widehat{\\beta}_{0}-\\widehat{\\beta}_{1} \\bar{x}\\right)+\\left(\\widehat{\\beta}_{1}-\\beta_{1}\\right)^{2} \\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}+n \\widetilde{\\sigma}^{2} \\\\ &=Q_{1}+Q_{2}+Q_{3} \\end{aligned} \\] 이다.", "여기서 \\( \\frac{1}{\\sigma^{2}} Q, \\frac{1}{\\sigma^{2}} Q_{2}, \\frac{1}{\\sigma^{2}} Q_{3} \\)의 분포는 각각 \\( \\chi^{2}(n), \\chi^{2}(1), \\chi^{1}(1) \\)이며 \\( Q_{3} \\geqslant 0 \\)이므로, 정리 9.3 에 의하여 \\( Q_{1}, Q_{2}, Q_{3} \\)는 확률적으로 독립이고 \\[ \\frac{1}{\\sigma^{2}} Q_{3}=\\frac{n \\widetilde{\\sigma}^{2}}{\\sigma^{2}} \\sim \\chi^{2}(n-2) \\] 이다.", "이 사실로부터 \\( \\sigma^{2} \\)에 대한 신뢰구간을 결정할 수 있으며, 확률변수 \\[ T_{1}=\\frac{\\left(\\widehat{\\beta}_{0}-\\widehat{\\beta}_{0}\\right) / \\sqrt{\\sigma^{2} \\frac{\\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}}{n \\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}}}}{\\sqrt{\\frac{Q_{3}}{\\sigma^{2}(n-2)}}}=\\frac{\\widehat{\\beta}_{0}-\\widehat{\\beta}_{0}}{\\sqrt{\\widetilde{\\sigma}^{2}\\left[\\frac{1}{n}-\\frac{\\bar{x}^{2}}{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}}\\right]}} \\] 과 \\[ T_{2}=\\frac{\\left(\\widehat{\\beta}_{1}-\\widehat{\\beta}_{1}\\right) / \\sqrt{\\frac{\\sigma^{2}}{n \\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}}}}{\\sqrt{\\frac{Q_{3}}{\\sigma^{2}(n-2)}}}=\\frac{\\widehat{\\beta}_{1}-\\widehat{\\beta}_{1}}{\\sqrt{\\left[\\frac{\\widetilde{\\sigma}^{2}}{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}}\\right]}} \\]</p> <p>위의 정리에서 정규분포가 \\( N\\left(\\mu, \\sigma^{2}\\right) \\)이면 \\(\\boldsymbol{ A}^{2}=\\boldsymbol{A} \\)의 조건만으로는 \\( \\frac{1}{\\sigma^{2}} Q \\)의 분포가 \\( \\chi^{2}(r) \\)이 되지 않는다. \\", "( \\boldsymbol{A}^{2}=\\boldsymbol{A} \\)의 조건에 의하여 \\( \\frac{1}{\\sigma^{2}} Q \\)의 적률모함수는 \\[ M(t)=E\\left[\\exp \\left(\\frac{t}{\\sigma^{2}} \\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{A} \\boldsymbol{X}\\right)\\right]=(1-2 t)^{-r / 2} \\exp \\left(\\frac{t}{1-2 t}-\\frac{\\boldsymbol{\\mu}^{t} \\boldsymbol{A} \\boldsymbol{\\mu}}{\\sigma^{2}}\\right) \\] 가 된다.", "적률모함수가 이와같은 분포를 비중심 \\( \\chi^{2} \\)분포(noncentral chi-squared distribution)라 하며, \\[ \\frac{\\boldsymbol{\\mu}^{t} \\boldsymbol{A}^{t} \\boldsymbol{\\mu}}{\\sigma^{2}} \\] 을 비중심모수(noncentral parameter)라 부른다.", "여기서 \\( \\boldsymbol{\\mu}^{t}=(\\mu, \\mu, \\cdots, \\mu) \\)이므로 \\( \\boldsymbol{A}=\\left(a_{i j}\\right) \\)라 하면 \\[ \\boldsymbol{\\mu}^{t} \\boldsymbol{A} \\boldsymbol{\\mu}=\\mu^{2} \\sum_{i} \\sum_{j} a_{i j} \\] 가 된다.", "따라서 \\( \\mu \\neq 0 \\)일때, 이차형식 \\( \\frac{1}{\\sigma^{2}} Q \\)의 분포가 \\( \\chi^{2}(r) \\)이기 위한 필요충분조건은 \\( \\boldsymbol{A}^{2}=\\boldsymbol{A} \\)와 \\( \\sum_{i} \\sum_{j} a_{i j}=0 \\)인 것이다.", "또한, 위의 정리는 확률변수들이 양정치행렬 \\( \\Sigma \\)가 공분산행렬인 다변량정규분포를 따르는 경우로 확장할 수 있다.", "이때, 이차형식 \\( \\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{A X} \\)의 분포가 \\( \\chi^{2} \\)분포이기 위한 필요충분조건은 \\(\\boldsymbol{ A}^{t} \\Sigma \\boldsymbol{A}=\\boldsymbol{A} \\) 이다.", "일반적으로 확률변수 \\( X \\)의 적률모함수가 \\[ M_{X}(t)=(1-2 t)^{-k / 2} \\exp \\left(\\frac{\\phi t}{1-2 t}\\right),\\left(t<\\frac{1}{2}\\right) \\] 이면 \\( X \\)의 확률분포를 자유도가 \\( k \\)이고 비중심모수가 \\( \\phi \\)인 비중심 \\( \\chi^{2} \\)분포라 부른다.", "모수가 \\( k \\)와 \\( \\phi \\)인 비중심 \\( \\chi^{2} \\)분포를 기호로 \\( \\chi^{2}(k, \\phi) \\)로 나타낸다.", "비중심 \\( \\chi^{2} \\)분포의 성질도 \\(1\\)차원 \\( \\chi^{2} \\)분포가 갖는 똑같다.", "예를 들면, 확률변수 \\( V_{1} \\sim \\chi^{2}\\left(k_{1}, \\phi_{1}\\right) \\), 확률변수 \\( V_{2} \\sim \\chi^{2}\\left(k_{2}, \\phi_{2}\\right) \\)라 하고 \\( V_{1} \\)과 \\( V_{2} \\)가 확률적으로 독립이면 \\[ V_{1}+V_{2} \\sim \\chi^{2}\\left(k_{1}+k_{2}, \\phi_{1}+\\phi_{2}\\right) \\] 이다.", "여기서 \\( \\phi_{1}=\\phi, \\phi_{2}=0 \\)이면 \\[ F=\\frac{V_{1} / k_{1}}{V_{2} / k_{2}} \\] 의 확률분포는 분자, 분모의 자유도가 각각 \\( k_{1}, k_{2} \\)이고 비중심모수가 \\( \\phi \\)인 비중심 \\( F \\)분포(noncentral F distribution)라 부른다.", "</p><p>이제 이차형식의 확률적 독립과 관련된 몇가지 정리에 대하여 알아 보자.", "</p><p>定理 9.2 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)을 \\( N\\left(0, \\sigma^{2}\\right) \\)으로부터의 크기 \\( n \\)인 확률표본이라 할 때, 이 확률표본에 의한 두 개의 이차형식을 \\( Q_{1}=\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{A X}, Q_{2}=\\boldsymbol{X}^{t} \\boldsymbol{B X} \\)라 하고, \\( Q_{1} \\)과 \\( Q_{2} \\)의 행렬 \\(\\boldsymbol{ A} \\)와 \\( \\boldsymbol{B} \\)는 계수가 모두 \\( r \\)인 대칭행렬이라 하자.", "이때 확률변수 \\( Q_{1} \\)과 \\( Q_{2} \\)가 확률적으로 독립이기 위한 필요충분조건은 \\( \\boldsymbol{A B}=\\boldsymbol{0} \\) 이다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "413", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "확률과 통계_다변량 분석", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-dd3c-46f1-9e38-13b481c0c4d4", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961059053", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2015", "doc_author": [ "김원배" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>정의 \\( 3.5 \\) \\(\\quad\\boldsymbol{X}=\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\)을 \\( n \\)차원 확률벡터, \\( \\boldsymbol{x}=\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\)을 \\( n \\)차원 실벡터라 하자.", "이때, \\( n \\)변수 \\( x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n} \\)의 함수 \\( f\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\)이 조건 \\( \\left\\{\\begin{array}{l} (1) \\text { 모든 } x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n} \\text { 에 대하여, } \\quad f\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\geqslant 0 \\\\ (2) \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\cdots \\int_{-\\infty}^{+\\infty} f\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) d x_{n} d x_{n-1} \\cdots d x_{1}=1 \\end{array}\\right. \\)", "을 만족하면 함수 \\( f\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\)를 연속결합확률밀도함수(continuous joint probability density function)라 말한다.", "</p><p>연속결합분포함수와 연속결합확률밀도함수 사이에는 다음과 같은 관계식이 성립한다.", "</p><p>정의 \\( 3.6 \\) \\(\\quad X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)을 연속확률변수, \\( \\boldsymbol{X}=\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\)을 \\( n \\)차원 확 률벡터라 하면, \\( \\boldsymbol{X}=\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\)의 결합확률밀도함수 \\( f\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\) 과 결합분포함수 \\( F\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\) 사이에는 모든 실벡터 \\( \\boldsymbol{x}=\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\) 에 대하여, \\( F\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right)=\\int_{-\\infty}^{x_{1}} \\int_{-\\infty}^{x_{2}} \\cdots \\int_{-\\infty}^{x_{n}} f\\left(t_{1}, t_{2}, \\cdots, t_{n}\\right) d t_{n} d t_{n-1} \\cdots d t_{1} \\) 인 관계가 성립한다.", "</p><p>이제, 이산결합확률분포의 예로 확장 초기하분포와 다항분포를 소개한다.", "먼저, 확장 초기하분포는 초기하분포의 개념을 확장한 것이며 다음과 같다.", "</p><p>문제 \\( 1 \\) 어떤 유한모집단이 \\( N \\)-개의 성분으로 구성되어 있다고 하자.", "그런데, 전체 \\( N \\)-개의 성분 중에서도 같은 종류별로 구별 했을 때, 그 종류가 각각 \\( M_{1}, M_{2}, M_{3} , \\cdots, M_{k} \\)개의 형식으로 분류 된다고 하자.", "이제, 이 유한모집단에서 비복원추출로 \\( n\\)-개를 뽑았다고 하자.", "이때, 확률변수 \\( X_{i} \\)를 뽑힌 \\( n \\)-개중 \\( i \\)-개가 \\( M_{i} \\) 라는 형식에서 뽑힌 성분의 수라 정의한다면, 확률벡터 \\( \\boldsymbol{X}=\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{k}\\right) \\)의 확률분포를 구하여라.", "이 다차원 확률분포를 확장 초기하분포(extended hypergeometric distribution)라 한다.", "</p><p>해답 이 확률분포는 \\( \\begin{array}{l} h\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{k}\\right)=\\frac{\\left(\\begin{array}{c} M_{1} \\\\ x_{1} \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{c} M_{2} \\\\ x_{2} \\end{array}\\right) \\cdots\\left(\\begin{array}{l} M_{k} \\\\ x_{k} \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{c} M_{k+1} \\\\ x_{k+1} \\end{array}\\right)}{\\left(\\begin{array}{l} N \\\\ n \\end{array}\\right)} \\\\ \\left(\\text { 단, } 0 \\leqslant x_{i} \\leqslant M_{i}, M_{k+1}=N-\\sum_{i=1}^{k} M_{i}, x_{k+1}=n-\\sum_{i=1}^{k} x_{i}\\right) \\end{array} \\) 이다.", "</p><p>확장 초기하분포에서 \\( k \\)-개의 확률변수만이 존재한다는 사실에 주의하자.", "</p> <p>정의 \\( 3.7 \\) \\( X_{1} \\)과 \\( X_{2} \\)를 확률변수라 하고, \\( x_{1} \\)과 \\( x_{2} \\)를 어떤 평면 상에서 각각 \\( X_{1} \\)과 \\( X_{2} \\)의 연속인 실수치 관찰값이라 하자.", "이때 \\( x_{1} \\)과 \\( x_{2} \\)의 이변수함수 \\( F\\left(x_{1}, x_{2}\\right) \\) 가 다음 조건</p><ol type=1 start=1><li>모든 실수 \\( x_{2} \\)에 대하여, \\( \\lim _{x_{1} \\rightarrow-\\infty} F\\left(x_{1}, x_{2}\\right)=F\\left(-\\infty, x_{2}\\right)=0 \\) 모든 실수 \\( x_{1} \\)에 대하여, \\( \\lim _{x_{2} \\rightarrow-\\infty} F\\left(x_{1}, x_{2}\\right)=F\\left(x_{1},-\\infty\\right)=0 \\),</li><li>\\( \\lim _{\\substack{x_{1} \\rightarrow+\\infty \\\\ x_{2} \\rightarrow+\\infty}} F\\left(x_{1}, x_{2}\\right)=F(+\\infty,+\\infty)=1 \\),</li><li>임의의 상수 \\( a, b\\quad c, d \\)에 대하여, \\( F(b, d)-F(b, c)-F(a, d)+F(a, c) \\geqslant 0 \\),</li><li>\\( \\lim _{h \\rightarrow 0^{+}} F\\left(x_{1}+h, x_{2}\\right)=F\\left(x_{1}, x_{2}\\right), \\quad \\lim _{h \\rightarrow 0^{+}} F\\left(x_{1}, x_{2}+h\\right)=F\\left(x_{1}, x_{2}\\right) \\)</li></ol><p>를 만족하면, 함수 \\( F\\left(x_{1}, x_{2}\\right) \\)를 이변량누적분포함수(bivariate cumulative distribu-tion function) 또는 이변량분포함수(bivariate distribution function) 또는 이차원 연속결합누적분포함수(two dimensional continuous joint cumulative distribution function)라 한다.", "</p><p>정의 \\( 3.8 \\) \\(\\quad X_{1} \\)과 \\( X_{2} \\)를 확률변수라 하고, \\( x_{1} \\) 과 \\( x_{2} \\)를 어떤 평면 상에서 각각 \\( X_{1} \\)과 \\( X_{2} \\)의 연속인 실수치 관찰값이라 하자.", "이때 \\( x_{1} \\)과 \\( x_{2} \\)의 이변수함수 \\( f\\left(x_{1}, x_{2}\\right) \\)가 조건</p><ol type=1 start=1><li>모든 실수 \\( x_{1}, x_{2} \\)에 대하여, \\( f\\left(x_{1}, x_{2}\\right) \\geqslant 0 \\),</li><li>\\( \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} f\\left(x_{1}, x_{2}\\right) d x_{1} d x_{2}=1 \\)</li></ol><p>을 만족하면, 함수 \\( f\\left(x_{1}, x_{2}\\right) \\)를 연속인 이변량확률밀도함수(continuous bivariate probability density function) 또는 이차원 연속결합확률밀도함수(two dimensional continuous joint probability density function)라고 한다.", "</p><p>위의 두 정의에 의하면 이변량분포함수 \\( F\\left(x_{1}, x_{2}\\right) \\)와 연속인 이변량확률밀도함수 \\( f\\left(x_{1}, x_{2}\\right) \\) 사이에는 \\( f\\left(x_{1}, x_{2}\\right)=\\frac{\\partial^{2}}{\\partial x_{2} \\partial x_{1}} F\\left(x_{1}, x_{2}\\right) \\)<caption>3.1</caption>와 \\( F\\left(x_{1}, x_{2}\\right)=\\int_{-\\infty}^{x_{1}} \\int_{-\\infty}^{x_{2}} f\\left(t_{1}, t_{2}\\right) d t_{1} d t_{2} \\)<caption>3.2</caption>인 관계가 성립한다.", "</p><p>이산형인 경우는, 위의 정의에서 적분기호 대신 합기호 \\( \\left(\\sum\\right) \\) 를 사용하면 된다.", "</p> <p>수에 대응하는 관찰값이나 측정값을 실수 \\( x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n} \\)으로 나타낸다면, 이 실수를 성분으로 하는 \\( n \\)차원 벡터는 \\( \\boldsymbol{x}=\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\) 이다.", "</p><p>정의 \\( 3.1 \\) \\(\\quad X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\) 를 \\( n \\)개의 확률변수라 하자.", "이때, \\( n \\)-차원 벡터 \\( \\boldsymbol{X}=\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\) 를 \\( n \\)-차원 확률벡터( \\( n \\)-dimensional random vector)라 한다.", "확률변수 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots \\), \\( X_{n} \\) 이 취하는 실수를 각각 \\( x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n} \\) 이라 한다면, \\( n \\)차원 확률벡터에 대응하는 \\( n \\)차원 실벡터는 \\( \\boldsymbol{x}=\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\) 이다.", "먼저, \\( n \\)차원에서의 분포함수의 정의는 다음과 같다.", "</p><p>정의 \\( 3.2 \\) \\(\\quad X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)을 확률변수라 하고, \\( x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n} \\)을 임의의 실수라 하자.", "이 경우, \\( n \\)개의 확률변수 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)의 결합누적분포함수(joint cumulative distribution function) 또는 결합분포함수(joint distribution function)는 \\( F\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right)=P\\left\\{X_{1} \\leqslant x_{1}, X_{2} \\leqslant x_{2}, \\cdots, X_{n} \\leqslant x_{n}\\right\\} \\) 으로 정의한다.", "특히, \\( \\boldsymbol{X}=\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\)를 \\( n \\)차원 확률벡터라 하고 \\( \\boldsymbol{x}= \\) \\( \\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\) 을 \\( n \\)차원 실벡터(real vector)라 했을 때, 벡터기호를 이용한 결합 분포함수는 \\( \\begin{aligned} F(x) &=P\\{X \\leqslant x\\} \\\\ &=P\\left\\{X_{1} \\leqslant x_{1}, X_{2} \\leqslant x_{2}, \\cdots, X_{n} \\leqslant x_{n}\\right\\} \\end{aligned} \\) 으로 쓰기로 한다.", "</p><p>주의하여야 할 사실은 결합분포함수를 정의할 때 사건 \\( \\left\\{X_{1} \\leqslant x_{1}, X_{2} \\leqslant x_{2}, \\cdots, X_{n} \\leqslant x_{n}\\right\\} \\) 은 \\( \\left\\{X_{1} \\leqslant x_{1}\\right\\} \\cap\\left\\{X_{2} \\leqslant x_{2}\\right\\} \\cap \\cdots \\cap\\left\\{X_{n} \\leqslant x_{n}\\right\\} \\) 을 의미하며, 위에서 실벡터 \\( \\boldsymbol{x} \\)의 성분은 단순히 실수라고 언급 하였지만, 사실상 확률벡터 \\( \\boldsymbol{X} \\)가 취할 수 있는 모든 관찰값이나 측정값으로 생각해도 된다.", "이 책에서는, 확률벡터 \\( \\boldsymbol{X} \\) 의 결합분포함수를 또한, 기호 \\( F_{\\boldsymbol{X}}(\\boldsymbol{x}), F_{X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}}\\left(x_{x}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\) 등으로 표기할 것이다.", "</p> <p>정의 \\( 3.9 \\) \\(\\quad X_{1} \\)과 \\( X_{2} \\)를 확률변수라 하고, \\( x_{1} \\)과 \\( x_{2} \\)를 각각 \\( X_{1} \\)과 \\( X_{2} \\)의 이산인 관찰값이라 하자.", "이때 \\( x_{1} \\)과 \\( x_{2} \\)의 이변수함수 \\( p\\left(x_{1}, x_{2}\\right) \\) 가 조건</p><ol type=1 start=1><li>모든 실수 \\( x_{1}, x_{2} \\)에 대하여, \\( p\\left(x_{1}, x_{2}\\right) \\geqslant 0 \\),</li><li>\\( \\sum_{x_{1}} \\sum_{x_{2}} p\\left(x_{1}, x_{2}\\right)=1 \\)</li></ol><p>을 만족하면, 함수 \\( p\\left(x_{1}, x_{2}\\right) \\)를 이산인 이변량확률질량함수(discrete bivariate probability mass function)라 또는 이차원 이산결합확률질량함수(two dimensional continuous joint probability mass function)라고 한다.", "</p><p>계 \\( 3.1 \\) \\( p\\left(x_{1}, x_{2}\\right) \\)를 이산인 이차원 확률벡터 \\( \\boldsymbol{X}=\\left(X_{1}, X_{2}\\right) \\)의 결합확률질량함수라 하면, 확률변수 \\( X_{1} \\)과 \\( X_{2} \\)의 주변확률질량함수(marginal probability density function) \\( p_{1}\\left(x_{1}\\right) \\)과 \\( p_{2}\\left(x_{2}\\right) \\)는 각각 다음과 같다.", "</p><p>\\( \\begin{array}{ll}p_{1}\\left(x_{1}\\right)=\\sum_{\\text {all } x_{2}} p\\left(x_{1}, x_{2}\\right) & -\\infty<x_{1}<+\\infty \\\\ p_{2}\\left(x_{2}\\right)=\\sum_{\\text {all } x_{1}} p\\left(x_{1}, x_{2}\\right) & -\\infty<x_{2}<+\\infty\\end{array} \\).", "</p><p>또한, 이산확률변수 \\( X_{1} \\)과 \\( X_{2} \\)의 주변분포함수(marginal cumulative distribution function \\( F_{1}\\left(x_{1}\\right) \\)과 \\( F_{2}\\left(x_{2}\\right) \\)는 \\( \\begin{array}{ll} F_{1}\\left(x_{1}\\right)=\\sum_{\\text {all } t_{1} \\leqslant x_{1}-\\infty<x_{2}<+\\infty} p\\left(t_{1}, x_{2}\\right), \\\\ F_{2}\\left(x_{2}\\right)=\\sum_{\\text {all } t_{2} \\leqslant x_{2}-\\infty<x_{1}<+\\infty}p\\left(x_{1}, t_{2}\\right)\\end{array} \\)이다.", "</p> <p>위의 문제를 살펴보면, 연속인 \\( k \\)차원 확률벡터 \\( \\boldsymbol{X}=\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\)이 주어지고 \\( \\boldsymbol{X} \\)의 결합확률밀도함수를 \\( f\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right), \\boldsymbol{X} \\)에 대응하는 사건을 \\( A \\)라고 했을 때, 확률 \\( P\\{\\boldsymbol{X} \\in A\\} \\)는 다음 식 \\( P\\{\\boldsymbol{X} \\in A\\}=\\iint_{A} \\cdots \\int f\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots x_{n}\\right) d x_{1} d x_{2} \\cdots d x_{n} \\) 으로부터 구하면 된다.", "</p><p>이제 이차원 확률벡터 \\( \\boldsymbol{X}=\\left(X_{1}, X_{2}\\right) \\)의 이변량 결합분포함수 \\( F\\left(x_{1}, x_{2}\\right) \\)가 주어졌을 때, \\( X_{1} \\)의 분포함수 \\( F_{1}\\left(x_{1}\\right) \\)을 구해 보자.", "먼저, 이변수함수 \\( f\\left(x_{1}, x_{2}\\right) \\)를 \\( \\boldsymbol{X}= \\) \\( \\left(X_{1}, X_{2}\\right) \\)의 결합확률밀도함수라 하면, \\( \\begin{aligned} F_{1}\\left(x_{1}\\right) &=\\lim _{x_{2} \\rightarrow+\\infty} F\\left(x_{1}, x_{2}\\right) \\\\ &=F\\left(x_{1},+\\infty\\right) \\\\ &=P\\left\\{X \\leqslant x_{1}, X_{2}<+\\infty\\right\\} \\\\ &=\\int_{-\\infty}^{x_{1}}\\left(\\int_{-\\infty}^{+\\infty} f\\left(t_{1}, t_{2}\\right) d t_{2}\\right) d t_{1} \\end{aligned} \\) 이다.", "그런데, 괄호안의 적분을 살펴보면 이차원결합확률밀도함수 \\( f\\left(t_{1}, t_{2}\\right) \\)를 변수 \\( t_{2} \\)에 관해서만 적분하였으므로, 그 결과는 다른 변수 \\( t_{1} \\)만의 함수가 된다.", "이 함수를 \\( f_{1}\\left(t_{1}\\right) \\)이라 하면, \\( f_{1}\\left(t_{1}\\right)=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} f\\left(t_{1}, t_{2}\\right) d t_{2} \\) 이므로, \\( F_{1}\\left(x_{1}\\right)=\\int_{-\\infty}^{x_{1}} f_{1}\\left(t_{1}\\right) d t_{1} \\) 이다.", "위의 식의 양변을 변수 \\( x_{1} \\)에 관하여 적분하면 미적분학의 기본정리(fundamental theorem of calculus)에 의하여, \\( \\begin{aligned} \\frac{d}{d x_{1}} F_{1}\\left(x_{1}\\right) &=\\frac{d}{d x_{1}} \\int_{-\\infty}^{x_{1}} f_{1}\\left(t_{1}\\right) d t_{1} \\\\ &=f_{1}\\left(x_{1}\\right) \\end{aligned} \\)이고, 이 결과를 약간 변형하면, \\( \\begin{aligned} f_{1}\\left(x_{1}\\right) &=\\frac{d}{d x_{1}} F_{1}\\left(x_{1}\\right) \\\\ &=\\frac{d}{d x_{1}} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\int_{-\\infty}^{x_{1}} f\\left(t_{1}, x_{2}\\right) d t_{1} d x_{2} \\\\ &=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\frac{d}{d x_{1}}\\left(\\int_{-\\infty}^{x_{1}} f\\left(t_{1}, x_{2}\\right) d t_{1}\\right) d x_{2} \\\\ &=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} f\\left(x_{1}, x_{2}\\right) d x_{2} \\end{aligned} \\) 임을 알 수 있으며 이 경우, \\( \\int_{-\\infty}^{+\\infty} f_{1}\\left(x_{1}\\right) d x_{1}=1 \\) 이 성립한다.", "확률변수 \\( X_{2} \\) 의 분포함수 \\( F_{2}\\left(x_{2}\\right) \\) 와 확률밀도함수 \\( f_{2}\\left(x_{2}\\right) \\) 는 이와 똑같은 방법으로 구하면 된다.", "이 결과를 종합하면 다음과 같다.", "</p> <p>다음에는 \\( n \\)차원에서의 확률밀도함수의 정의를 알아 보자.", "</p><p>정의 \\( 3.3 \\) \\(\\quad X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)을 확률변수라 하고, \\( x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n} \\)을 임의의 실수라 하자.", "이 경우, \\( n \\)-개의 확률변수 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n} \\)의 결합확률질량함수(joint probability mass function)는 \\( f\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right)=P\\left\\{X_{1}=x_{1}, X_{2}=x_{2}, \\cdots, X_{n}=x_{n}\\right\\} \\) 으로 정의한다.", "또한, \\( \\boldsymbol{X}=\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\)를 \\( n \\)차원 확률벡터라 하고 \\( \\boldsymbol{x}= \\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\)을 \\( n \\)차원 실벡터라 했을 때, 벡터기호를 이용한 결합확률질량함수는 \\( \\begin{aligned} f(x) &=P\\{\\boldsymbol{X}=x\\} \\\\ &=P\\left\\{X_{1}=x_{1}, X_{2}=x_{2}, \\cdots, X_{n}=x_{n}\\right\\} \\end{aligned} \\) 를 의미한다.", "확률벡터 \\( \\boldsymbol{X}=\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\)의 결합확률질량함수를 기호 \\( f_{\\boldsymbol{X}}(\\boldsymbol{x}) \\), \\( f_{X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}}\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\)등으로 쓰기로 한다.", "</p><p>결합분포함수에서의 경우와 마찬가지로 결합확률밀도함수에서의 사건 \\( \\left\\{X_{1}=x_{1}, X_{2}=x_{2}, \\cdots, X_{n}=x_{n}\\right\\} \\) 은 \\( \\left\\{X_{1}=x_{1}\\right\\} \\cap\\left\\{X_{2}=x_{2}\\right\\} \\cap \\cdots \\cap\\left\\{X_{n}=x_{n}\\right\\} \\) 을 의미한다.", "이제 좀더 구체적으로 결합확률밀도함수와 결합분포함수에 관하여 알아보자.", "사실, 결합확률밀도함수가 갖는 성질은 일차원에서의 확률밀도함수가 갖는 성질을 자연스럽게 확장하면 된다.", "</p><p>정의 \\( 3.4 \\) \\(\\quad \\boldsymbol{X}=\\left(X_{1}, X_{2}, \\cdots, X_{n}\\right) \\)을 \\( n \\)차원 확률벡터, \\( \\boldsymbol{x}=\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\)을 \\( n \\)차원 실벡터라 하자.", "이때, \\( n \\)변수 \\( x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n} \\)의 함수 \\( p\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\)이 조건 \\( \\left\\{\\begin{array}{l} (1) \\text { 모든 } x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n} \\text { 에 대하여, } \\quad p\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\geqslant 0 \\\\ \\text { (2) } \\sum_{x_{1}} \\sum_{x_{2}} \\cdots \\sum_{x_{n}} p\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right)=1 \\end{array}\\right. \\)", "을 만족하면, 함수 \\( p\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\)를 이산결합확률질량함수(discrete joint probability mass function)라 말한다.", "연속형의 경우 이산형의 경우와 유사하게 정의할 수 있다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "413", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "확률과 통계_\\(n\\)차원 확률분포와 특성함수", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-bb07-4294-a583-32605c3f0dbf", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961059053", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2015", "doc_author": [ "김원배" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>\\( 31 . \\)</p><ol type=a start=1><li>\\( \\alpha \\)가 복소수라 할 때 \\( \\frac{1}{z-\\alpha} \\)이 \\( \\infty \\)에서 유수 \\( -1 \\)을 가짐을 보여라.", "</li><li>\\( m \\)이 \\(2 \\)이상인 정수라 할 때 \\( \\frac{1}{(z-\\alpha)^{m}} \\)은 \\( \\infty \\)와 모든 복소수에서 유수 \\(0 \\)을 가짐을 보여라.", "</li></ol><p>\\(32\\). \\", "(4.2.3\\)절에서 다룬 형태의 적분을 계산할 때 다음 정리를 이용하면 편리하다.", "이 정리를 증명하라. (조르당의 도움정리)", "다음 조건 \\( (\\mathrm{i}) \\sim(\\mathrm{iii}) \\)을 가정하자.", "<ol type=i start=1><li>함수 \\( f(z) \\)는 원 \\( |z|=R_{0} \\)의 바깥인 위반평면 \\( \\Im z \\geq 0 \\)에 속하는 모든 점 \\( z \\)에서 해석적이다.", "</li><li>\\( R>R_{0} \\)일 때, 반원 \\( z=R e^{i \\vartheta}(0 \\leq \\vartheta \\leq \\pi) \\)을 \\( \\gamma_{R} \\)이라 하자.", "</li><li>\\( \\gamma_{R} \\) 위의 모든 점 \\( z \\)에 대해 \\( \\lim _{R \\rightarrow \\infty} M_{R}=0 \\)을 만족하는 양수 \\( M_{R} \\)이 존재해서 \\( |f(z)| \\leq M_{R} \\)이 성립한다.", "</li></ol>그러면 모든 양수 \\( a \\)에 대해 다음이 성립한다. \\", "( \\lim _{R \\rightarrow \\infty} \\int_{\\gamma_{R}} f(z) e^{i a z} d z=0 \\)</p><p>\\(33\\).", "다음 적분을 증명하라. \\", "( \\int_{-\\infty}^{\\infty} \\frac{\\sin x}{x\\left(\\pi^{2}-x^{2}\\right)} d x=\\frac{2}{\\pi} \\)</p><p>\\(34\\).", "점 \\(-2,-1,0,1,2\\)에서 함수 \\( f(z)=\\sin \\frac{\\pi z}{2} \\)와 같은 값을 갖는 최소 차수의 다항식을 구하라.", "</p><p>\\(35\\).", "임의의 자연수 \\( n=2,3, \\cdots \\)에 대해 적분값을 구하라. \\", "( \\int_{0}^{\\infty} \\frac{1}{x^{n}+1} d x \\)</p><p>\\(36\\). 임의의 실수 \\( a>", "0 \\)에 대해, 다음 적분값을 증명하라. \\", "( \\int_{-\\infty}^{\\infty} \\frac{e^{i a x}}{x^{2}+1} d x=\\pi e^{-a} \\)과 \\( \\quad \\int_{-\\infty}^{\\infty} \\frac{\\cos x}{x^{2}+a^{2}} d x=\\frac{1}{a} \\pi e^{-a} \\)</p><p>\\(37\\). \\", "( n \\)이 짝수일 때 유수의 방법을 이용해 다음 값을 구라하. \\", "( \\int_{0}^{2 \\pi}(\\cos \\vartheta)^{n} d \\vartheta \\)</p> <p>여기서는 함수 \\( f(z) \\)가 해석적이 아닌 점들에 대한 함수의 성질을 조사해 본다.", "해석적이 아닌 점에서는 테일러 급수전개가 불가능하므로 다른 전개(로랑 급수(Laurent Series)전개)를 생각해 본다.", "또한 해석적이 아닌 점(고립특이점)을 가진 함수는 적분값을 \\(0\\)으로 갖지 못한다.", "이것을 이용해 단순닫힌곡선 \\( \\gamma \\)의 내부에 \\( f(z) \\)가 해석적이 아닌 점들이 유한개 있을 때 \\( \\int_{\\gamma} f(z) d z \\)의 값을 구하는 방법을 알아본다.", "</p><h1>4.1 특이점과 로랑 급수</h1><h2>4.1.1 특이점의 분류</h2><p>\\( f \\)가 구멍뚫린 원반 \\( 0<\\left|z-z_{0}\\right|<r(r>0) \\)에서 해석적이라면 해석함수 \\( f \\)는 \\( z_{0} \\)에서 고립특이점을 갖는다고 한다.", "해석함수의 고립특이점은 유체의 흐름과 장(field)의 해석과 유수정리를 이용한 정적분의 계산을 포함하여 복소함수론의 응용에서 커다란 역할을 한다.", "이 절에서 고립특이점을 분석한다.", "응용은 \\( 4.2 \\)절과 이어지는 장에서 유수정리와 함께 다루어진다.", "</p><p>고립특이점에는 다음 세 가지 경우가 존재한다.", "</p><ol type= start=1><li>\\( f(z)=\\frac{z^{2}-z_{0}^{2}}{z-z_{0}} \\)에 대한 고립특이점 \\( z_{0} \\)</li><li>\\( g(z)=7\\left(z-z_{0}\\right)^{-4} \\)에 대한 고립특이점 \\( z_{0} \\)</li><li>\\( h(z)=\\exp \\left(\\frac{1}{z-z_{0}}\\right) \\)에 대한 고립특이점 \\( z_{0} \\)</li></ol><p>이 예들이 보여 주듯이 \\( 0<\\left|z-z_{0}\\right|<r \\) 일 때 \\( |f| \\) 에 대한 행동의 세 가지 가능한 형태는 다음과 같다.", "</p><p>\\( z \\rightarrow z_{0} \\)일 때 \\( |f(z)| \\)가 유계로 남는 경우<caption>(4.1)</caption></p><p>\\(\\lim _{z \\rightarrow z_{0}}|f(z)|=\\infty\\)<caption>(4.2)</caption></p><p>식 (\\(4.1\\))도 식 \\( (4.2) \\)도 아닌 경우<caption>(4.3)</caption></p><p>이 절에서 위의 세 경우에 대하여 자세히 살펴보도록 하겠다.", "세 번째 경우의 고정점의 특성에 대한 하나의 예가 연습문제 \\(13\\)에 주어져 있다.", "</p> <h3>2. 극</h3><p>식 (\\(4.2\\))가 성립한다고 하자. \\", "( r \\)을 \\( 0<\\left|z-z_{0}\\right|<r \\)일 때 \\( |f(z)|>1 \\)이 되는 작은 값으로 택해도 문제가 없다.", "결과적으로 \\( g(z)=\\frac{1}{f(z)} \\)는 구멍뚫린 원반 \\( \\{z: 0< \\)\\( \\left.\\", "left|z-z_{0}\\right|<r\\right\\} \\)에서 해석적이고 거기서 \\( |g(z)|<1 \\)로 유계이다.", "그러나 앞서 논의한 바에 따르면 \\( z_{0} \\)는 \\( g \\)에 대한 없앨 수 있는 특이점이고 \\( g\\left(z_{0}\\right)=0 \\)이다. \\", "( m \\geq 1 \\)을 \\( z_{0} \\)에서 \\( g \\)의 영점의 중복도라 하고 \\[ g(z)=\\left(z-z_{0}\\right)^{m} h(z) \\] 라 놓자.", "여기서 \\( h \\)는 원반 \\( \\left\\{z:\\left|z-z_{0}\\right|<r\\right\\} \\)에서 해석적이고 \\( h\\left(z_{0}\\right) \\neq 0 \\)이다. \\", "( g \\)가 구멍똟린 원반 \\( 0<\\left|z-z_{0}\\right|<r \\)에서 영점을 갖지 않으므로 \\( h \\)도 갖지 못한다.", "따라서 함수 \\( H(z)=\\frac{1}{h(z)} \\)는 원반 \\( \\left\\{z:\\left|z-z_{0}\\right|<r\\right\\} \\)에서 해석적이다.", "그러면 이것은 \\[ f(z)=\\frac{1}{g(z)}=\\frac{1}{\\left(z-z_{0}\\right)^{m} h(z)}=\\frac{H(z)}{\\left(z-z_{0}\\right)^{m}} \\]<caption>(4.4)</caption>가 되고, 여기서 \\( H(z) \\)는 원반 \\( \\left\\{z:\\left|z-z_{0}\\right|<r\\right\\} \\)에서 해석적이고 \\( H\\left(z_{0}\\right) \\neq 0 \\)이다.", "그러므로 식 (\\(4.2\\))가 성립하면 \\( f \\)는 \\( z_{0} \\) 근방에서 예상 가능한 행동을 한다.", "그리고, 특히 \\( \\frac{1}{z-z_{0}} \\)의 어떤 멱처럼 \\( z \\rightarrow z_{0} \\)으로 갈 때 \\( |f| \\)는 무한대로 커진다.", "이 경우 \\( f \\)는 \\( z_{0} \\)에서 극(Pole)을 갖는다고 한다. \\", "( f \\)의 극의 위수는 \\( z_{0} \\)에서 \\(\\frac{1}{f} \\)의 영점의 차수 \\( m \\)이다.", "즉, \\( 0<\\left|z-z_{0}\\right|<r \\)에서 해석적인 함수 \\( f(z) \\)가 식 (\\(4.2\\))를 만족하면 \\[ \\lim _{z \\rightarrow z_{0}}\\left(z-z_{0}\\right)^{m} f(z)=A \\neq 0, \\infty \\] 를 얻게 되고, \\( f(z) \\)는 \\( z_{0} \\)에서 위수 \\( m(m \\in \\mathbb{N}) \\)의 극을 갖는다고 한다 (특히 \\( m=1 \\)이면, \\( z_{0} \\)을 \\( f \\)의 단순극(simple pole)이라고 한다).", "이때 \\( f(z) \\)는 다음과 같이 표현된다. \\", "[f(z)=\\sum_{n=-m}^{\\infty} b_{n}\\left(z-z_{0}\\right)^{n}\\] 역으로 \\( f(z) \\)가 \\( z=z_{0} \\) 에서 극을 가지면 다음 극한을 만족한다. \\", "[\\lim _{z \\rightarrow z_{0}}|f(z)|=\\infty\\]</p><p>[예제 \\(4.2\\)] \\( f(z)=\\frac{\\cos z}{z^{2}} \\)는 \\( z_{0}=0 \\)에서 위수 \\(2\\)의 극을 갖는다.", "</p><p>풀이 \\( \\quad \\lim _{z \\rightarrow 0} z^{2} f(z)=\\lim _{z \\rightarrow 0} \\cos z=1 \\neq 0, \\infty \\)</p> <h1>4.2 유수정리와 정적분의 계산</h1><h2>4.2.1 유수정리</h2><p>우리는 \\(4.1.2\\)절에서 함수의 각각의 특이점에서의 유수의 계산을 살펴 보았다.", "이제 이것을 어떤 영역 전체에서의 함수의 특이점에 대해 확장하자.", "즉 식 \\((4.6)\\)를 일반화하자.", "이 일반화를 유수정리라 부르는데, 유수정리는 이론적으로도 실용적으로도 매우 중요하다.", "첫눈에 매우 어렵고, 초보적인 미적분학의 방법으로는 풀 수 없는 것처럼 보이는 어떤 정적분의 계산을 쉽게 해준다.", "동시에 해석함수의 해를 구하는 비밀을 푸는 실마리를 제공한다.", "이 절에서는 이것을 정적분의 계산에 응용하는데 중점을 둔다.", "</p><p>[정리 \\(4.6\\)] (유수정리) \\(f\\)가 단순연결영역 \\(D \\)에서 유한개의 고립 특이점 \\( z_{1}, \\cdots, z_{N} \\)을 뺀 영역에서 해석적이라 하자. \\", "( \\gamma \\)를 점 \\( z_{1}, \\cdots, z_{N} \\)의 어느 것도 통과하지 않는 \\( D \\) 안에 있는 양의 방향으로 도는 단순닫힌경로라 하자.", "그러면 \\( \\gamma \\) 안에 머무르는 \\( f \\)의 모든 특이점 \\( z_{k} \\)에 대해 합을 취할 때 \\( \\int_{\\gamma} f(z) d z=2 \\pi i \\sum_{z_{k} \\in \\gamma \\text { 의 내부 }} \\operatorname{Res}\\left(f ; z_{k}\\right) \\)이다.", "</p><p>증명 경로 \\( \\gamma_{1}, \\cdots, \\gamma_{N} \\)을 각각 \\( z_{1}, \\cdots, z_{N} \\)에 중심을 둔 서로 만나지 않는 양의 방향으로 도는 원들이라 하자.", "(이 원들이 서로 만나지 않게 작게 잡는다.)", "경계가 경로 \\( \\gamma \\)와 \\( \\gamma_{1}, \\cdots, \\gamma_{N} \\)인 영역 \\( \\Omega \\)에서 함수 \\( f \\)에 그린 정리 \\(3.2\\)(또는 확장된 코시-구르사 정리 \\(3.9\\))를 적용할 수 있다. \\", "( f \\)가 \\( \\Omega \\)에서 해석적이므로 선적분의 값은 \\(0\\)이다.", "따라서 \\( 0=\\int_{\\gamma} f(z) d z-\\sum_{k=1}^{N} \\int_{\\gamma_{k}} f(z) d z \\)이다.", "그런데 \\( \\int_{\\gamma_{k}} f(z) d z=2 \\pi i \\operatorname{Res}\\left(f ; z_{k}\\right) \\)이므로 증명은 끝났다.", "</p><p>[예제 \\(4.15\\)] 여러가지 단순닫힌경로 \\( \\gamma \\)를 따라 다음 적분을 계산하라.", "</p><p>\\( \\int_{\\gamma} \\frac{d z}{z(z-2)} \\)</p><p>풀이 함수 \\( f(z)=\\frac{1}{z(z-2)} \\)은 \\( z=0 \\)과 \\( z=2 \\)에서 단순극(즉, 위수가 \\(1\\)인 극)을 갖는다. \\", "( z=0 \\)에서 \\( f(z) \\)의 유수는 \\( \\lim _{z \\rightarrow 0} z f(z)=\\lim _{z \\rightarrow 0} \\frac{1}{z-2}=-\\frac{1}{2} \\)이고, \\( z=2 \\)에서의 유수는 \\( \\lim _{z \\rightarrow 2}(z-2) f(z)=\\lim _{z \\rightarrow 2} \\frac{1}{z}=\\frac{1}{2} \\)이다.", "따라서 \\( z=0 \\)이 \\( \\gamma \\)의 내부에 있고 \\( z=2 \\)가 \\( \\gamma \\)의 외부에 있으면 \\( \\int_{\\gamma} \\frac{1}{z(z-2)} d z=2 \\pi i\\left(-\\frac{1}{2}\\right)=-\\pi i \\)이다. \\", "( z=0 \\) 이 \\( \\gamma \\)의 외부에 있고 \\( z=2 \\)가 \\( \\gamma \\)의 내부에 있으면 \\( \\int_{\\gamma} \\frac{1}{z(z-2)} d z=2 \\pi i\\left(\\frac{1}{2}\\right)=\\pi i \\)이다. \\", "( z=0 \\) 과 \\( z=2 \\)가 \\( \\gamma \\)의 내부에 있다면 \\( \\int_{\\gamma} \\frac{1}{z(z-2)} d z=2 \\pi i\\left(-\\frac{1}{2}+\\frac{1}{2}\\right)=0 \\)이다.", "</p><p>이제 로랑 급수와 유수정리를 이용한 적분의 계산을 살펴보자.", "</p><p>[예제 \\(4.16\\)] \\( \\gamma \\)가 \\( z=0 \\)을 품는 단순닫힌경로일 때, \\( \\int_{\\gamma} \\sin \\frac{1}{z^{2}} d z \\)의 값을 구하라.", "</p><p>풀이 \\( \\quad z=0 \\)의 한 제거된 근방에서 \\( \\sin \\frac{1}{z^{2}}=\\frac{1}{z^{2}}-\\frac{1}{3 !}\\left(\\frac{1}{z^{2}}\\right)^{3}+\\frac{1}{5 !}\\left(\\frac{1}{z^{2}}\\right)^{5}-\\cdots \\)로 쓸 수 있고, \\( \\frac{1}{z} \\)의 계수는 \\( a_{-1}=0 \\)이므로 \\( \\int_{\\gamma} \\sin \\frac{1}{z^{2}} d z=2 \\pi i \\cdot 0=0 \\)이다.", "</p><p>[예제 \\(4.17\\)] \\( \\gamma \\)가 \\( z=0 \\)을 포함하는 단순닫힌경로일 때, \\( \\int_{\\gamma} z^{2} \\sin \\frac{1}{z} d z \\)의 값을 계산하라.", "</p><p>풀이 \\( z \\neq 0 \\)에 대해 \\( f(z)=z^{2} \\sin \\frac{1}{z}=z^{2}\\left(\\frac{1}{z}-\\frac{1}{3 ! z^{3}}+\\frac{1}{5 ! z^{5}}-\\cdots\\right) \\)\\( =\\quad z-\\frac{1}{6 z}+\\frac{1}{120 z^{3}}-\\cdots \\)이므로 \\( z=0 \\)에서의 \\( f(z) \\)의 유수는 \\( -\\frac{1}{6} \\)이다.", "따라서 \\( \\int_{\\gamma} z^{2} \\sin \\frac{1}{z} d z=2 \\pi i\\left(-\\frac{1}{6}\\right)=-\\frac{\\pi}{3} i \\)이다.", "</p><p>물론 위와 같은 적분은 유수정리 대신 코시 적분공식(정리 \\(3.3\\))을 이용하여 계산할 수도 있다.", "사실 코시 적분공식은 유수정리의 특수한 경우이다. \\", "( f(z) \\)를 \\( z_{0} \\)을 포함하는 단순닫힌경로의 내부와 그 위에서 해석적이라 하자. \\", "( f\\left(z_{0}\\right) \\neq 0 \\)이면 \\( g(z)=\\frac{f(z)}{z-z_{0}} \\)는 \\( z_{0} \\)에서 단순극을 갖는다.", "따라서 \\( z_{0} \\)에서의 \\( g(z) \\)의 유수는 \\( \\lim _{z \\rightarrow z_{0}}\\left(z-z_{0}\\right) g(z)=f\\left(z_{0}\\right) \\)이다.", "그러므로 \\( \\int_{\\gamma} g(z) d z=\\int_{\\gamma} \\frac{f(z)}{z-z_{0}} d z=2 \\pi i f\\left(z_{0}\\right) \\)를 얻는다.", "</p><p>[예제 \\(4.18\\)] \\( \\gamma \\)가 \\( z=1 \\)을 포함하는 단순닫힌경로일 때 \\( \\int_{\\gamma} \\frac{z^{4}-z^{3}-17 z+2}{(z-1)^{3}} d z \\)의 값을 구하라.", "</p><p>풀이 \\( f(z)=z^{4}-z^{3}-17 z+2 \\)라 하면 \\( f(z) \\)는 \\( z=1 \\)에서 해석적이다.", "코시 적분 공식에 의해 주어진 적분값은 \\( \\frac{2 \\pi i}{2 !} f^{\\prime \\prime}(1) \\)이다.", "따라서 \\((준식)=\\frac{f^{\\prime \\prime}(1) 2 \\pi i}{2 !}=\\frac{(12-6) 2 \\pi i}{2}=6 \\pi i \\)가 된다.", "</p><p>유수정리 \\(4.6\\)의 함수 \\(f\\)가 \\( \\gamma \\)의 외부에 있는 유한 평면의 각 점에서 해석적이면, \\( \\gamma \\)위에서의 \\(f\\)의 적분을 계산할 때 어떤 연관된 함수의 단일 유수를 찾는 것이 가끔은 더 효과적이다.", "이 방법을 살펴보자.", "</p><p>[정리 \\(4.7\\)] \\(f\\)가 단순연결영역 \\(D\\)에서 유한개의 고립특이점 \\( z_{1}, \\cdots, z_{N} \\)을 뺀 영역에서 해석적이라 하자. \\", "( \\gamma \\)를 모든 점 \\( z_{1}, \\cdots, z_{N} \\)을 내부에 포함하고 \\( D \\) 안에 있는 양의 방향으로 도는 단순닫힌경로라 하면, \\[ \\int_{\\gamma} f(z) d z=2 \\pi i \\operatorname{Res}_{z=0}\\left[\\frac{1}{z^{2}} f\\left(\\frac{1}{z}\\right)\\right] \\]<caption>(4.13)</caption>이다.", "( \\( \\underset{z=z_{0}}{\\operatorname{Res}} F(z) \\)는 (\\( \\operatorname{Res}\\left(F ; z_{0}\\right) \\)의 다른 표현이다.)", "</p><p>증명 \\( \\quad \\gamma \\)를 \\( |z|=R_{1} \\)을 포함하는 원점에 중심을 둔 원이라 하자. \\", "( \\gamma_{0} \\)이 양의 방향으로 도는 원 \\( |z|=R_{0}\\left(R_{0}>R_{1}\\right) \\)이라면 로랑 정리 \\(4.4\\)에 의해 \\[ f(z)=\\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} c_{n} z^{n} \\quad\\left(R_{1}<|z|<\\infty\\right) \\]<caption>(4.14)</caption>임을 안다.", "여기서 \\[ c_{n}=\\frac{1}{2 \\pi i} \\int_{\\gamma_{0}} \\frac{f(z)}{z^{n+1}} d z \\quad(n=0, \\pm 1, \\pm 2, \\cdots) \\]<caption>(4.15)</caption>이다.", "식 (\\(4.15\\))에서 \\( n=-1 \\)이라면 \\[ \\int_{\\gamma_{0}} f(z) d z=2 \\pi i c_{-1} \\]<caption>(4.16)</caption>임을 안다.", "표현 \\((4.14)\\)의 조건은 \\( 0<|z|<R_{2} \\)의 형태가 아니고, \\( c_{-1} \\)은 \\( z=0 \\)에서의 \\( f \\)의 유수가 아니다.", "더욱이 \\( z=0 \\)은 \\( f \\)의 특이점이 아닐 수도 있다.", "그러나 (\\(4.14\\))에서 \\( z \\)를 \\( \\frac{1}{z} \\)로 바꾸면 \\( \\frac{1}{z^{2}} f\\left(\\frac{1}{z}\\right)=\\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} \\frac{c_{n}}{z^{n+2}}=\\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} \\frac{c_{n-2}}{z^{n}} \\quad\\left(0<|z|<\\frac{1}{R_{1}}\\right) \\)이 되고, 따라서 \\( z=0 \\)은 \\( \\frac{1}{z^{2}} f\\left(\\frac{1}{z}\\right) \\)의 고립특이점이므로 \\[ c_{-1}=\\operatorname{Res}_{z=0}\\left[\\frac{1}{z^{2}} f\\left(\\frac{1}{z}\\right)\\right] \\]<caption>(4.17)</caption>이 된다.", "그러면 (\\( 4.16\\))과 (\\( 4.17\\))을 합해 \\[ \\int_{\\gamma_{0}} f(z) d z=2 \\pi i \\operatorname{Res}_{z=0}\\left[\\frac{1}{z^{2}} f\\left(\\frac{1}{z}\\right)\\right] \\]을 얻는다.", "마지막으로 \\( f \\)가 \\( \\gamma \\)와 \\( \\gamma_{0} \\)에 의해 결정된 닫힌영역에서 해석적이므로, 경로 변형의 원리(정리 \\(3.8\\))에 의해 원하는 결과(식 \\( (4.13)) \\)를 얻는다.", "</p><p>[예제 \\(4.19\\)] 함수 \\( f(z)=\\frac{3 z-5}{z(z-2)} \\)는 \\( \\gamma:|z|=3 \\)의 외부에 있는 모든 점 \\( z \\)에서 해석적이다. \\", "( \\frac{1}{z^{2}} f\\left(\\frac{1}{z}\\right)=\\frac{3-5 z}{z(1-2 z)}=\\frac{3-5 z}{z} \\cdot \\frac{1}{1-2 z} \\)\\( =\\left(\\frac{3}{z}-5\\right)\\left(1+2 z+(2 z)^{2}+(2 z)^{3}+\\cdots\\right) \\)\\( =\\frac{3}{z}+1+2 z+\\cdots \\quad\\left(0<|z|<\\frac{1}{2}\\right) \\)이므로, 식 (\\(4.13\\))의 오른쪽 변의 유수는 \\(3\\)이다.", "따라서 \\( \\int_{\\gamma} \\frac{3 z-5}{z(z-2)} d z=2 \\pi i(3)=6 \\pi i \\)를 얻는다.", "</p><p>이제 유수를 결정하는 여러가지 방법을 가지고 단순닫힌경로를 따라가는 복소적분을 이용해 실적분을 계산하는 중요한 응용을 알아보자.", "통상적인 방법은 실축에서 실함수 가 되는 복소함수와 관계된 것이다.", "따라서 실구간은 우리가 적분하고자 하는 경로를 구성하는 매끄러운 곡선 중의 일부가 된다.", "</p> <p>\\(\\infty\\)에서의 특이점(\\(28\\)~\\(32\\))</p><p>함수 \\(f\\)가 \\( |z|>R \\)에서 해석적이라 하자.", "함수 \\( g(z)=f\\left(\\frac{1}{z}\\right) \\)이라 하면 \\( g \\)는 \\( 0<|z|<\\frac{1}{R} \\)에서 해석적이다. \\", "( \\infty \\)에서 \\( f \\)의 특이점의 성질을 \\( z=0 \\)에서 \\( g \\)의 특이점에 의해 분류한다.", "예를 들어, \\( g \\)가 \\(0\\) 에서 위수 \\( m \\)의 극을 가지면 \\(f\\)가 \\( \\infty \\)에 서 위수 \\( m \\)의 극을 갖는다고 말한다. \\", "( \\infty \\)에서 \\( f \\)의 로랑 급수는 \\( z \\)를 \\( \\frac{1}{z} \\)로 바꾸어 \\(0\\)에서 \\( g(z)=f\\left(\\frac{1}{z}\\right) \\)에 대한 로랑 급수를 구한 것과 같다.", "</p><p>\\(28\\). \\(f\\)가 \\( \\infty \\)에서 없앨 수 있는 특이점을 가질 필요충분조건은 \\( |f(z)| \\)가 \\( |z|>", "R_{0} \\)에서 유계인 것이다.", "</p><p>\\(29\\).", "전해석함수 \\( f \\)가 \\( \\infty \\)에서 없앨 수 있는 특이점을 가질 필요충분조건은 \\( |f(z)| \\)가 상수함수인 것임을 보여라.", "</p><p>\\(30\\). \\", "( f \\)가 \\( \\infty \\)에서 위수 \\(m\\)의 극을 가질 필요충분조건은 \\(h(z)=\\frac{f(z)}{z^{m}}\\)가 \\( \\infty \\)에서 없앨 수 있는 특이점을 갖고 \\( h(\\infty) \\neq 0, \\infty \\)인 것이다.", "</p><p>\\(31\\).", "전해석함수 \\( f \\)가 \\( \\infty \\)에서 위수 \\(m\\)의 극을 가질 필요충분조건은 \\( f(z) \\)가 차수 \\( m \\)의 다항식인 것임을 증명하라.", "</p><p>\\(32\\).", "다음 함수들 각각에 대해 \\(\\infty\\)에서 특이점의 성질을 분류하라.", "(\\(1\\)) 특이점이 없앨 수 있는 특이점이라면 \\( \\infty \\)에서의 값을 구하라.", "(\\( 2 \\)) 특이점이 극이라면 그것의 위수를 밝혀라.", "각각의 경우에 \\(\\infty\\)에서 로랑 급수의 처음 몇 항을 구하라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( 3 z^{2}+4-\\frac{1}{z} \\)</li><li>\\( (1-z)(z-4) \\)</li><li>\\( \\frac{z^{2}}{z-4} \\)</li><li>\\( \\left(-z^{2}-2 z+3\\right)^{-1} \\)</li><li>\\( e^{\\frac{1}{z}} \\)</li><li>\\( e^{-z^{2}} \\)</li><li>\\( \\left(\\frac{1}{z}+z\\right)^{3} \\)</li><li>\\( \\sin \\frac{1}{z} \\)</li><li>\\( \\sum_{n=0}^{\\infty}(-1)^{n} \\frac{z^{-2 n}}{(2 n) !} \\)</li></ol> <h2>4.1.3 로랑 급수와 임의의 특이점에서의 유수</h2><p>함수가 원반 \\( \\left|z-z_{0}\\right|<R \\)에서 해석적이라면 그곳에서 멱급수로 전개될 수 있고, 역으로 함수가 원반 \\( \\left|z-z_{0}\\right|<R \\)에서 성립하는 멱급수를 갖는다면 그 원반에서 해석적이다.", "그러나 함수가 구멍뚫린 원반 \\( 0<\\left|z-z_{0}\\right|<R \\)에서만 해석적이거나 또는 더 나쁘게 원반 영역 \\( 0 \\leq r<\\left|z-z_{0}\\right|<R \\)에서만 해석적이라면 어떻게 되겠는가?", "우리는 이 절에서 \\( f(z) \\)가 \\( r<\\left|z-z_{0}\\right|<R \\)에서 해석적이라도 멱급수처럼 좋은 형태의 어떤 것으로 주어질 수 있음을 보일 것이다.", "즉, 다음을 보인다", ": \\( f_{1} \\)이 원반 \\( \\left|z-z_{0}\\right|<R \\)에서 해석적이고 \\( f_{2} \\)가 \\( \\left(\\infty\\right. \\)를 포함하는) 영역 \\( r<\\left|z-z_{0}\\right| \\)에서 해석적일 때 \\(f(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z), \\quad r<\\left|z-z_{0}\\right|<R\\)로 표시될 수 있다. \\", "( f_{1} \\)은 \\( \\left|z-z_{0}\\right|<R \\)에서 성립하는 변수 \\( z-z_{0} \\)에 대한 멱급수를 갖고 \\( f_{2} \\)는 \\( r<\\left|z-z_{0}\\right| \\)에서 성립하는 변수 \\( \\left(z-z_{0}\\right)^{-1} \\)에 대한 멱급수를 갖는다(연습문제 \\( 3.3 \\)의 \\(26\\)).", "결과적으로 \\( f(z)=\\sum_{k=0}^{\\infty} a_{k}\\left(z-z_{0}\\right)^{k}+\\sum_{k=1}^{\\infty} b_{k}\\left(z-z_{0}\\right)^{-k} \\) 또는 \\(f(z)=\\sum_{-\\infty}^{\\infty} a_{k}\\left(z-z_{0}\\right)^{k}, \\quad a_{-k}=b_{k}, \\quad k=1,2, \\cdots, \\quad r<\\left|z-z_{0}\\right|<R\\)이 된다.", "이 표현을 \\( f \\)의 로랑 급수라 부른다.", "다음 정리에서 계수 \\( a_{k} \\)에 대한 공식을 구한다.", "하나의 특수한 경우에서, 이 계수는 \\( f \\)의 유수에 의해 주어짐을 보인다.", "</p><p>[정리 \\(4.4\\)] (로랑) \\( f(z) \\)가 원환 \\( r<\\left|z-z_{0}\\right|<R \\)에서 해석적이라 하면 식 \\(f(z)=\\sum_{-\\infty}^{\\infty} a_{k}\\left(z-z_{0}\\right)^{k}\\)이 원환의 전역에서 성립한다.", "더욱이, 계수들은 다음에 의해 유일하게 결정된다.", "</p><p>\\(a_{k}=\\frac{1}{2 \\pi i} \\int_{\\gamma} \\frac{f(w)}{\\left(w-z_{0}\\right)^{k+1}} d w\\)</p><p>여기서 \\( \\gamma \\)는 원환에 포함된 임의의 단순닫힌경로로서 점 \\( z_{0} \\)에 관하여 시계 반대방향으로 완전히 일회전한 것이다.", "</p><p>증명 원환 (\\(r=0 \\)인 경우 포함)에서 점 \\( z \\)를 고정하고 \\( r_{1} \\)과 \\( R_{1} \\)이 \\(r<r_{1}<\\left|z-z_{0}\\right|<R_{1}<R\\)이 되게 선택한다. \\", "( \\Gamma \\)를 (반시계방향으로 주어진) 원 \\( \\left|w-z_{0}\\right|=R_{1} \\)이라 하고 \\( \\gamma \\)를 (시계방향으로 주어진) 원 \\( \\left|w-z_{0}\\right|=r_{1} \\)이라 하자(그림 \\(4.2\\)). \\", "( P \\)에서 시작하여 \\( \\Gamma \\), 선분 \\( P Q \\), 곡선 \\( \\gamma \\), 선분 \\( Q P \\)를 따라 이루어지는 닫힌곡선은 \\( z \\)를 감싼다.", "그러므로 코시의 적분공식을 적용하여 \\(f(z)=\\frac{1}{2 \\pi i} \\int_{\\Gamma} \\frac{f(w)}{w-z} d w+\\frac{1}{2 \\pi i} \\int_{\\gamma} \\frac{f(\\zeta)}{\\zeta-z} d \\zeta\\)로 쓸 수 있다. \\", "( w \\in \\Gamma \\)에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.", "</p><p>\\( \\frac{1}{w-z}=\\frac{1}{\\left(w-z_{0}\\right)-\\left(z-z_{0}\\right)}=\\frac{1}{w-z_{0}} \\frac{1}{1-\\frac{z-z_{0}}{w-z_{0}}} \\)\\( =\\sum_{k=0}^{\\infty} \\frac{\\left(z-z_{0}\\right)^{k}}{\\left(w-z_{0}\\right)^{k+1}} \\)</p><p>급수는 \\( \\left|\\frac{z-z_{0}}{w-z_{0}}\\right|<1 \\)이므로 절대수렴한다.", "거의 같은 방법으로 \\( \\zeta \\in \\gamma \\)에 대해 \\(\\frac{1}{\\zeta-z}=-\\sum_{j=0}^{\\infty} \\frac{\\left(\\zeta-z_{0}\\right)^{j}}{\\left(z-z_{0}\\right)^{j+1}}\\)을 얻는다.", "다시 말하면 \\( \\left|\\frac{\\zeta-z_{0}}{z-z_{0}}\\right|<1 \\)이므로 급수는 절대수렴한다.", "전에 주어진 \\( f \\)의 적분표현에서 \\( \\frac{1}{w-z} \\) 와 \\( \\frac{1}{\\zeta-z} \\)을 위에서 얻은 급수로 대체하자.", "합과 적분을 바꾸면 \\( f(z)=\\sum_{k=0}^{\\infty}\\left(z-z_{0}\\right)^{k}\\left\\{\\frac{1}{2 \\pi i} \\int_{\\Gamma} \\frac{f(w)}{\\left(w-z_{0}\\right)^{k+1}} d w\\right\\} \\)\\( +\\sum_{j=0}^{\\infty}\\left(z-z_{0}\\right)^{-j-1}\\left\\{\\frac{-1}{2 \\pi i} \\int_{\\gamma} f(\\zeta)\\left(\\zeta-z_{0}\\right)^{j} d \\zeta\\right\\} \\)\\( =f_{1}(z)+f_{2}(z) \\)를 얻는다.", "적분 \\( \\int_{\\left|w-z_{0}\\right|=s} f(w)\\left(w-z_{0}\\right)^{k} d w, \\quad k=0, \\pm 1, \\pm 2, \\cdots \\)는 \\( s(r<s<R) \\) 에 무관하다.", "이것은 피적분함수가 원환 \\( r<\\left|w-z_{0}\\right|<R \\) 에서 해석적이기 때문이다.", "이제 \\( a_{k}=\\frac{1}{2 \\pi i} \\int_{\\left|w-z_{0}\\right|=s} \\frac{f(w)}{\\left(w-z_{0}\\right)^{k+1}} d w, \\quad k=0, \\pm 1, \\cdots \\)<caption>(4.11)</caption>라 놓자.", "그러면 \\( f_{1}=\\sum_{k=0}^{\\infty} a_{k}\\left(z-z_{0}\\right)^{k}, \\quad f_{2}(z)=\\sum_{k=-\\infty}^{-1} a_{k}\\left(z-z_{0}\\right)^{k} \\)는 집합 \\( \\left\\{z:\\left|z-z_{0}\\right|<R\\right\\} \\)과 \\( \\left\\{z:\\left|z-z_{0}\\right|>r\\right\\} \\)에서 각각 해석적이며 원하던 식 \\( f(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)=\\sum_{-\\infty}^{\\infty} a_{k}\\left(z-z_{0}\\right)^{k}, \\quad r<\\left|z-z_{0}\\right|<R \\)을 얻는다.", "계수 \\( a_{k} \\), 즉 로랑 급수의 유일성의 증명은 독자에게 맡긴다(문제 \\(20\\)).", "</p><p>로랑 급수의 유일성은 중요한 성질이다.", "로랑 급수를 식 (\\(4.11\\))을 이용해 계산할 수 있지만 적어도 한 중요한 경우에 있어서 다른, 일반적으로 더 쉬운, 방법으로 전개할 수 있기 때문이다.", "구체적으로, \\( f \\)가 구멍똟린 원반 \\( 0<\\left|z-z_{0}\\right|<R \\)에서 해석적이고 \\( z_{0} \\)에서 위수 \\( m \\)의 극을 갖는다면 \\( f \\)에 대한 로랑 급수는 식 (\\(4.7\\))에서 계산되었다.", "다르게 표현하면 \\( f(z)=\\frac{c_{0}}{\\left(z-z_{0}\\right)^{m}}+\\cdots+\\frac{c_{m-1}}{z-z_{0}}+c_{m}+c_{m+1}\\left(z-z_{0}\\right)+\\cdots, \\quad 0<\\left|z-z_{0}\\right|<R \\)이고, 여기서 \\( H(z) \\)를 멱급수 \\( H(z)=\\sum_{k=0}^{\\infty} c_{k}\\left(z-z_{0}\\right)^{k} \\)으로 표현했는데 이는 \\( c_{0} \\neq 0 \\)이고 원반 \\( \\left|z-z_{0}\\right|<R \\)에서 성립한다.", "남은 것은 계수를 \\( a_{k}=c_{k+m}(k=-m,-m+1, \\cdots) \\)의 형태로 쓰는 것이다.", "</p><p>\\( f \\)가 \\( z_{0} \\)에서 극을 가질 때 \\( z-z_{0} \\)의 음의 멱을 포함하는 항들의 합은 \\( z_{0} \\) 에서 \\( f \\)의 주부(principal part)라 한다.", "이것은 정확히 \\( p \\)가 상수항이 \\(0\\)인 \\( m \\)차의 다항식일 때 \\( p\\left(\\frac{1}{z-z_{0}}\\right) \\)이다.", "따라서 로랑 급수전개의 주부가 \\(0\\)이 되는 것은 \\( z_{0} \\)이 \\( f(z) \\)의 없앨 수 있는 특이점일 때에 한하고, 주부가 유한개의 항을 갖는 것은 \\( z_{0} \\)이 \\( f(z) \\)의 극일 때이다.", "무한히 많은 항의 합이 주부일 때는 \\( z_{0} \\)이 \\( f(z) \\)의 진성특이점일 경우이다(연습문제 \\(24\\)).", "</p><p>식 (\\(4.9\\)), 식 (\\(4.10\\))과 로랑 정리 \\(4.4\\)을 결합하면 유수를 구하는 일반적인 방법을 얻을 수 있다.", "즉, \\( f \\)의 임의의 특이점 \\( z_{0} \\)에서의 유수는 \\( z=z_{0} \\)의 근방에서 \\( f \\)의 로랑 급수가 \\( f(z)=\\sum_{-\\infty}^{\\infty} a_{k}\\left(z-z_{0}\\right)^{k} \\)으로 주어지면 \\( \\operatorname{Res}\\left(f ; z_{0}\\right)=\\frac{1}{2 \\pi i} \\int_{\\left|z-z_{0}\\right|=r} f(\\zeta) d \\zeta=a_{-1} \\)이다.", "</p> <h3>1. 없앨 수 있는 특이점(또는 제거가능 특이점)</h3><p>\\( f \\)에 대해 식 (\\(4.1\\))이 성립한다고 가정하자. \\", "[ g(z)=\\left\\{\\begin{array}{cl}\\left(z-z_{0}\\right)^{2} f(z), & 0<\\left|z-z_{0}\\right|<r \\\\ 0, & z=z_{0}\\end{array}\\right. \\] 이라 놓자.", "함수 \\( g \\)는 \\( 0<\\left|z-z_{0}\\right|<r \\)에서 확실히 해석적이지만 \\( z_{0} \\)에서 또한 미분가 능하다.", "이는 \\[ \\lim _{z \\rightarrow z_{0}} \\frac{g(z)-g\\left(z_{0}\\right)}{z-z_{0}}=\\lim _{z \\rightarrow z_{0}}\\left(z-z_{0}\\right) f(z)=0 \\] 이기 때문이다.", "(마지막 등호는 \\( z \\rightarrow z_{0} \\)일 때 \\( |f| \\)가 유계이기 때문이다.) \\", "( \\left|z-z_{0}\\right|<r \\) 에 서 \\( g \\)가 해석적이므로 \\( g \\)는 이 원반에서 성립하는 다음 멱급수를 가지고 있음을 안다. \\", "[ g(z)=b_{0}+b_{1}\\left(z-z_{0}\\right)+b_{2}\\left(z-z_{0}\\right)^{2}+\\cdots \\] 그러나 \\( b_{0}=g\\left(z_{0}\\right) \\)이고 \\( b_{1}=g^{\\prime}\\left(z_{0}\\right)=0 \\)이므로 \\[ g(z)=b_{2}\\left(z-z_{0}\\right)^{2}+b_{3}\\left(z-z_{0}\\right)^{3}+\\cdots \\]이고, 따라서 \\( 0<\\left|z-z_{0}\\right|<r \\)에서 \\[ f(z)=b_{2}+b_{3}\\left(z-z_{0}\\right)+\\cdots \\] 이다.", "멱급수가 \\( \\left|z-z_{0}\\right|<r \\)에서 성립하므로 가정 \\( (4.1) \\)은 실제로 \\( f \\)가 \\( \\left|z-z_{0}\\right|<r \\) 에서 해석적임을 유도함을 안다.", "식 (\\(4.1\\))이 성립하면 \\( f \\)는 원반 \\( \\left|z-z_{0}\\right|<r \\)에서 해석적이 되도록 확장될 수 있음을 알게 된다.", "이 경우 \\( z_{0} \\)을 \\( f \\)의 없앨 수 있는 특이점(removable singularity)[또는 제거가능 특이점]이라 한다.", "위의 논의는 다음의 정리로 귀결된다.", "</p><p>[정리 \\(4.1\\)] (리만 정리) \\( f(z) \\)가 \\( z=z_{0} \\)에서 고립특이점을 가지고 \\( z_{0} \\)의 구멍똟린 어떤 근방에서 유계이면 \\( f(z) \\)가 \\( z_{0} \\)에서 해석적이 되도록 정의될 수 있다.", "이때<p>\\(f\\left(z_{0}\\right)=\\frac{1}{2 \\pi i} \\int_{\\gamma} \\frac{f(\\zeta)}{\\zeta-z_{0}} d \\zeta\\)</p>로 정의할 수 있다.", "여기서 \\( \\gamma \\)는 \\( z_{0} \\)을 감싸는 단순닫힌경로이다.", "</p><p>[따름정리 \\(4.1\\)] \\( f(z) \\)가 \\( z=z_{0} \\)에서 고립특이점을 가지고 \\( z_{0} \\)의 어떤 근방에서 유계이면 \\( \\lim _{z \\rightarrow z_{0}} f(z) \\)가 존재한다.", "</p><p>증명 해석함수는 연속이므로, 정리 \\(4.1\\)에서 \\( f\\left(z_{0}\\right) \\)는 \\( \\lim _{z \\rightarrow z_{0}} f(z)=f\\left(z_{0}\\right) \\)인 방법으로 정의되어야만 한다.", "특히 \\( \\lim _{z \\rightarrow z_{0}} f(z) \\)는 존재해야 한다.", "</p><p>따라서 함수 \\( f(z) \\)가 \\( z_{0} \\)에서 고립특이점을 가질 때 \\( \\lim _{z \\rightarrow z_{0}} f(z) \\)가 존재하면 그 특이점은 없앨 수 있는 특이점이다.", "정리 \\(4.1\\)은 어떤 점의 구멍똟린 근방에서 해석적이고 유계인 함수는 최소한 그 점에서 없앨 수 있는 특이점을 가짐을 말해주고 있다.", "그 역도 성립한다.", "즉, 구멍똟린 근방 \\( 0<\\left|z-z_{0}\\right|<r \\)에서 함수 \\( f(z) \\)가 해석적이고 \\( z=z_{0} \\)이 없앨 수 있는 특이점이면 \\( f(z) \\)는 \\( 0<\\left|z-z_{0}\\right| \\leq \\frac{r}{2} \\)에서 유계이다.", "</p><p>[예제 \\(4.1\\)] 함수 \\( f(z)=\\frac{\\sin z}{z} \\)는 \\( z_{0}=0 \\)을 없앨 수 있는 특이점으로 갖는다.", "</p><p>풀이 테일러 정리 \\( 3.15 \\)를 \\( \\sin z \\)에 적용하면 \\[ f(z)=\\frac{\\sin z}{z}=\\frac{1}{z}\\left(z-\\frac{z^{3}}{3 !}+\\frac{z^{5}}{5 !}-\\cdots\\right)=1-\\frac{z^{2}}{3 !}+\\frac{z^{4}}{5 !}-\\cdots \\] 이 되므로 \\( \\lim _{z \\rightarrow 0} f(z)=1 \\)을 얻는다.", "따라서 \\( z_{0}=0 \\)은 \\( f(z) \\)의 없앨 수 있는 특이점이다. \\", "( f(0)=1 \\)로 정의하면 함수 \\( f \\)는 (\\(0\\)을 포함하는) 모든 \\( z \\)에 대해 정의되고 연속이다.", "더욱이, \\( f(z) \\)가 테일러 급수전개 \\[ 1-\\frac{z^{2}}{3 !}+\\frac{z^{4}}{5 !}-\\cdots \\]를 가지므로 \\( z_{0}=0 \\)에서 해석적이다.", "</p>" ]

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[ "<p>定理 2.6 임의의 확률변수 \\( X \\)의 확률밀도함수를 \\( f(x) \\), 분포함수를 \\( F(x) \\), 평균을 \\( \\mu=E(X) \\)라 하면, 분산 \\( \\operatorname{Var}(X) \\)는 다음과 같다. \\", "[ \\operatorname{Var}(X)=\\int_{0}^{+\\infty} 2 x\\{1-F(x)+F(-x)\\} d x-\\mu^{2}. \\]", "</p><p>證明 먼저 \\( E\\left(X^{2}\\right) \\)부터 구하면 \\[ \\begin{aligned} E\\left(X^{2}\\right) &=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} x^{2} f(x) d x+\\int_{-\\infty}^{0} x^{2} f(x) d x \\\\ &=\\int_{0}^{+\\infty} \\int_{0}^{x} 2 t f(x) d t d x-\\int_{-\\infty}^{0} \\int_{x}^{0} 2 t f(x) d t d x \\\\ &=\\int_{0}^{+\\infty} 2 t \\int_{t}^{+\\infty} f(x) d x d t-\\int_{-\\infty}^{0} 2 t \\int_{-\\infty}^{t} f(x) d x d t \\\\ &=\\int_{0}^{+\\infty} 2 t(1-F(t)) d t-\\int_{-\\infty}^{0} 2 t F(t) d t \\\\ &=\\int_{0}^{+\\infty} 2 t(1-F(t)) d t+\\int_{0}^{+\\infty} 2 t F(-t) d t \\end{aligned} \\] 이다.", "마지막 식의 첫 번째 적분의 피적분함수 \\( t \\)의 범위는 \\( 0 \\leqslant u \\leqslant x<+\\infty \\)이고 두번째 적분의 피적분함수 \\( t \\)의 범위는 \\( 0<x \\leqslant t<0 \\)이다.", "또한 마지막 식에서 변수 \\( t \\)를 \\( x \\) 로 치환하여 정리하면 \\[ \\operatorname{Var}(X)=\\int_{0}^{+\\infty} 2 x\\{1-F(x)+F(-x)\\} d x-\\mu^{2} \\] 이 성립한다.", "</p><p>분산의 정의로부터 다음 정리는 쉽게 증명할 수 있다.", "</p><p>定理 2.7 \\( X \\) 를 임의의 확률변수라 하면, \\( X \\) 의 분산 \\( \\operatorname{Var}(X) \\) 는 \\[ \\operatorname{Var}(X)=E\\left(X^{2}\\right)-[E(X)]^{2} \\] 이다.", "</p><p>證明 분산의 정의를 이용하여 계산하면, 다음과 같다. \\", "[ \\begin{aligned} \\operatorname{Var}(X) &=E\\left\\{(X-\\mu)^{2}\\right\\} \\\\ &=E\\left(X^{2}-2 X \\mu-\\mu^{2}\\right) \\\\ &=E\\left(X^{2}\\right)-2 \\mu E(X)-\\mu^{2} \\\\ &=E\\left(X^{2}\\right)-\\mu^{2} \\\\ &=E\\left(X^{2}\\right)-\\{E(X)\\}^{2}. \\end{aligned} \\]", "</p><p>분산과 관련된 여러 가지 성질에 대하여 알아보자.", "</p><p>定理 2.8 확률변수 \\( X \\) 의 평균을 \\( \\mu=E(X) \\), 분산을 \\( \\operatorname{Var}(X) \\) 라 하면, 다음이 성립한다.", "</p><ol type=1 start=1><li>임의의 상수 \\( c \\) 에 대하여, \\[ \\operatorname{Var}(c)=0. \\]</li><li>임의의 상수 \\( c \\) 에 대하여, \\[ \\operatorname{Var}(c X)=c^{2} \\operatorname{Var}(X). \\]", "</li><li>임의의 상수 \\( a \\) 와 \\( b \\) 에 대하여, \\[ \\operatorname{Var}(a X \\pm b)=a^{2} \\operatorname{Var}(X). \\]", "</li><li>임의의 상수 \\( c \\) 에 대하여, \\[ \\operatorname{Var}(X) \\leqslant E\\left\\{(X-c)^{2}\\right\\}. \\]", "</li></ol><p>證明 (1) 상수 \\( X=c \\) 의 기댓값은 \\( E(c)=c \\) 이므로 \\( X=C \\) 의 분산은 다음과 같다. \\", "[ \\operatorname{Var}(c)=E\\left[(X-c)^{2}\\right]=E\\left[(c-c)^{2}\\right]=0 \\]</p><p>(2) 기댓값의 성질 \\( E(c X)=c E(X) \\)를 이용하면, \\( \\operatorname{Var}(c X) \\)는 다음과 같다. \\", "[ \\begin{aligned} \\operatorname{Var}(c X) &=E\\left[\\{c X-E(c X)\\}^{2}\\right]=E\\left[\\{c X-c E(X)\\}^{2}\\right] \\\\ &=E\\left[\\{c(X-E(X))\\}^{2}\\right]=E\\left[c^{2}\\{X-E(X)\\}^{2}\\right] \\\\ &=c^{2} E\\left[\\{X-E(X)\\}^{2}\\right] \\\\ &=c^{2} \\operatorname{Var}(X) . \\", "end{aligned} \\]</p><p>(3) (2)번과 비슷한 방법으로 증명하면, \\[ \\begin{aligned} \\operatorname{Var}(a X+b) &=E\\left[\\{(a X \\pm b)-E(a X \\pm b)\\}^{2}\\right] \\\\ &=E\\left[\\{(a X \\pm b)-(a E(X) \\pm b)\\}^{2}\\right] \\\\ &=E\\left[\\{a X \\pm b-a E(X) \\mp b\\}^{2}\\right] \\\\ &=E\\left[\\{(a X-a E(X))\\}^{2}\\right] \\\\ &=E\\left[a^{2}\\{X-E(X)\\}^{2}\\right] \\\\ &=a^{2} E\\left[\\{X-E(X)\\}^{2}\\right] \\\\ &=a^{2} \\operatorname{Var}(X) . \\", "end{aligned} \\]</p><p>(4) 분산의 정의를 이용하면, \\[ \\begin{aligned} \\operatorname{Var}(X) &=E\\left\\{(X-\\mu)^{2}\\right\\} \\\\ &=E\\left\\{(X-c+c-\\mu)^{2}\\right\\} \\\\ &=E\\left\\{(X-c)^{2}\\right\\}+2(c-\\mu) E(X-c)+(c-\\mu)^{2} \\\\ &=E\\left\\{(X-\\mu)^{2}\\right\\}-(c-\\mu)^{2} \\\\ & \\leqslant E\\left\\{(X-c)^{2}\\right\\} \\end{aligned} \\] 이다.", "</p><p>위의 (3)번 성질에 의해면, 분산은 상수값에 의하여 평행이동 하여도 그 값은 불변이다.", "특히, 주의해야 할 것은 확률변수 \\( X \\)가 오직 하나의 상수값 \\( c \\)만을 가지면 즉, \\( P\\{X=c\\}=1 \\)이면 \\( E(X)=c \\)이므로, \\( \\operatorname{Var}(X)=0 \\)이다.", "</p><p>이제 분산의 개념을 더욱 더 확장하여 보자.", "이것은 제 \\( r \\)차 중심적률 (\\(r^{\\text {th }} \\) central moment) 공식을 유도해 준다.", "이에 대한 정의는 다음과 같다.", "</p><p>定義 2.14 확률변수 \\( X \\)의 원점주위의 제 \\( r \\)차 적률 \\( \\nu_{r} \\)을 다음과 같이 정의한다. \\", "[ \\begin{aligned} \\nu_{r} &=E\\left(X^{r}\\right) \\\\ &=\\left\\{\\begin{array}{ll} \\sum_{x} x^{r} p(x), & (p(x) \\text { 는 이산확률변수 } X \\text { 의 이산확률질량함수 }) \\\\ \\int_{-\\infty}^{+\\infty} x^{r} f(x) d x, & (f(x) \\text { 는 연속확률변수 } X \\text { 의 연속확률밀도함수 }) \\end{array}\\right. \\end{aligned} \\]", "</p><p>定義 2.15 확률변수 \\( X \\)의 평균을 \\( \\mu=E(X) \\)라 하자.", "확률변수 \\( X \\)의 평균 \\( \\mu= E(X) \\) 주위의 제 \\( r \\)차 중심적률 \\( \\mu_{r} \\)을 다음과 같이 정의한다. \\", "[ \\begin{aligned} \\mu_{r} &=E\\left[\\{X-E(X)\\}^{r}\\right] \\\\ &=E\\left[(X-\\mu)^{r}\\right] \\\\ &=\\left\\{\\begin{array}{ll} \\sum_{x}(x-\\mu)^{r} p(x), &(p(x) \\text { 는 이산확률변수 } X \\text { 의 이산확률질량함수 }) \\\\ \\int_{-\\infty}^{+\\infty}(x-\\mu)^{r} f(x) d x, &(f(x) \\text { 는 연속확률변수 } X \\text { 의 연속확률밀도함수 }) \\end{array}\\right. \\", "end{aligned} \\]</p><p>이 정의에서 알 수 있듯이 분산은 제 \\( r \\)차 중심적률에서, \\( r=2 \\)인 특별한 경우이고, 제 \\(1\\)차 중심적률은 항상 \\[ \\mu_{1}=E[X-E(X)]=E(X)-E(X)=0 \\] 이다.", "고차 적률의 전형적인 예로서 평균 주위의 \\(3\\)차 적률, 평균 주위의 \\(4\\)차 적률을 응용한 왜도(skewness)와 첨도(kurtosis)가 있다.", "이것은 각각 분포의 대칭이나 비대칭, 분포곡선의 뾰족한 정도를 알려주는 측도이다.", "</p><p>定義 2.16 확률변수 \\( X \\)의 평균을 \\( \\mu=E(X) \\), 분산을 \\( \\sigma^{2}=\\operatorname{Var}(X) \\)라 하고 평균 주위의 \\(3\\)차 적률 \\( \\mu_{3}=E(X-\\mu)^{3}<+\\infty \\)라 하자. 이때 \\[ \\alpha_{3}=E\\left(\\frac{X-\\mu}{\\sigma}\\right)^{3}=\\frac{\\mu_{3}}{\\sigma^{3}} \\] 를 확률변수 \\( X \\)의 분포의 왜도(skewness) 또는 비대칭도라 하고 이 \\( \\alpha_{3} \\)의 값을 분포의 꼬리부분(tail of distribution)이 치우쳐진 정도를 나타내는 측도로 사용한다. 여기서, \\( \\alpha_{3}>", "0 \\)이면 분포의 꼬리부분이 오른쪽으로 치우쳐져(skewed to the right) 있고, \\( \\alpha_{3} \\doteqdot 0 \\)이면 분포는 좌우 완전히 대칭(symmetric), \\( \\alpha_{3}<0 \\)이면 분포의 꼬리부분이 왼쪽으로 치우쳐져(skewed to the left) 있다.", "</p><p>定義 2.17 확률변수 \\( X \\)의 평균을 \\( \\mu=E(X) \\), 분산을 \\( \\sigma^{2}=\\operatorname{Var}(X) \\)라 하고 평균 주위의 \\(4\\)차 적률 \\( \\mu_{4}=E(X-\\mu)^{4}<+\\infty \\)라 하자. 이때 \\[ \\alpha_{4}=E\\left(\\frac{X-\\mu}{\\sigma}\\right)^{4}=\\frac{\\mu_{4}}{\\sigma^{4}} \\] 를 확률변수 \\( X \\)의 분포의 첨도(kurtosis)라 하고 이 \\( \\alpha_{4} \\)의 값을 분포의 형태가 뾰족한 정도를 나타내는 측도로 사용한다. 여기서, \\( \\alpha_{4}>", "3 \\)이면 분포곡선의 형태를 급첨(leptokurtic), \\( \\alpha_{4}=3 \\)이면 분포곡선의 형태를 중첨(mesokurtic), \\( \\alpha_{4}<3 \\)이면 분포곡선의 형태를 완", "첨(platykurtic)이라 한다.", "</p><p>확률변수 \\( X \\)의 확률밀도함수가 평균 \\( \\mu=E(X) \\)를 중심으로 완전히 대칭이면, 평균 \\( \\mu \\) 주위의 홀수차(odd degree) 중심적률은 항상 영(zero)이다.", "이것을 증명해 보자.", "먼저 대칭분포(symmetric distribution)를 정의한 후에 증명한다.", "</p><p>定義 2.18 \\( f(x) \\)를 확률변수 \\( X \\)의 확률밀도함수라 하고 \\( c \\)를 임의의 상수라 하자.", "이때 모든 \\( x \\)에 대하여, \\[ f(c-x)=f(c+x) \\] 를 만족하면, \\( f(x) \\)는 상수 \\( c \\)에 대하여 대칭(symmetric about to \\( c \\) )이라고 한다.", "</p><p>이 정의를 이용하여 이제 위에서 언급한 사실을 증명하여 보자.", "</p><p>定理 2.9 \\(\\mathrm{k} \\)를 홀수인 양(positive)의 정수라 하자.", "확률변수 \\( X \\)의 확률밀도함수가 평균 \\( \\mu=E(X) \\)를 중심으로 완전히 대칭이면, 평균 \\( \\mu=E(X) \\) 주위의 홀수차 중심적률 \\( \\mu_{k} \\)는 항상 영(zero)이다.", "</p> <h1>제 2 장 확률분포와 기댓값</h1><h2>2.1 확률변수</h2><p>확률변수(random variable)는 확률공간 상에서 발생하는 사건에 수치가 부여된 변수를 말한다.", "다시 말하면, 확률실험이나 우연성을 수반하는 현상을 관찰한 결과, 어떤 변수가 하나의 실수값을 취할 때, 이 변수는 여러 가지 값을 취할 가능성이 있다는 뜻에서는 하나의 변수이지만 어떤 값을 어느 정도의 가능성으로 취하는가는 확률공간 상에서 발생한 사건에 의해서 그 값이 결정된다.", "이러한 유형의 변수를 통상적으로 확률변수라 부르는 것이다.", "확률론에서 확률변수를 수학적으로 엄밀하게 정의할 수 있지만 여기에서는 통계이론에 적합한 수준으로 설명하고자 한다.", "일반적으로 확률변수는 표본공간 \\( \\Omega \\)상에서 정의되어 있는 함수가 임의의 사건 \\( A \\subseteq \\Omega \\)에 대하여, 사건 \\( A \\)의 값을 실수의 집합 \\( \\mathbb{R} \\) 또는 \\( \\mathbb{R} \\)의 부분집합으로 사상하는 함수이다.", "직관적으로 생각하면 표본공간 \\( \\Omega \\)의 임의의 사건 \\( A \\)에 대한 함수값이 실수가 나올 수는 없다.", "왜냐하면, 이 함수의 정의역은 실수의 집합이 아니라 사건들로 이루어진 집합이기 때문이다.", "그러므로 이 정의역에 속에 있는 집합 즉, 사건을 취해서 함수값이 실수가 나오게 하려면 이 함수에 대한 특별한 조건이 필요하다.", "</p><p>定義 2.1 \\( \\Omega \\)를 표본공간, \\( \\mathcal{F} \\)를 \\( \\Omega \\)의 \\( \\sigma \\)-체라 하자.", "확률공간 \\( \\Omega \\)상에서 정의되어 있는 함수 \\( X: \\Omega \\rightarrow \\mathbb{R} \\)가 모든 표본점 \\( \\omega \\in \\Omega \\)에 대하여 \\( X(\\omega)=x, \\forall x \\in \\mathbb{R} \\)를 만족하면, \\( X \\)를 확률변수(random variable)라 한다.", "</p><p>이 책에서는 확률변수를 대문자 \\( X, Y, Z \\) 등으로 정의하고 나타내고, 확률변수가 취하는 실수값은 소문자 \\( x, y, z \\) 등으로 나타내기로 한다.", "</p><p>참고로 확률변수를 조금 더 엄밀하게 정의하기 위해서는 Borel \\( \\sigma \\)-체를 이용한다.", "먼저 Borel \\( \\sigma \\)-체에 대하여 알아 보자.", "임의의 실수 \\( x \\in \\mathbb{R} \\)에 대하여, \\( (-\\infty, x) \\) 형태의 모든 구간족 \\( \\mathcal{C} \\)를 생각해 보자.", "이러한 종류의 무한구간들은 모두 실수 전체의 집합 \\( \\mathbb{R} \\)의 부분집합임은 명백하다.", "그러나 이러한 유형의 구간들은 유한교집합에 대해서는 그 연산이 닫혀 있으나, 여집합 또는 가산교집합에 대해서는 일반적으로 그 연산이 닫혀 있지 않다.", "여기서 \\( \\mathcal{C} \\)를 포함하는 최소 \\( \\sigma \\)-체(minimal \\( \\sigma \\)-field containing \\( \\mathcal{C}) \\)를 \\( \\mathcal{B} \\)라 하자.", "이때, 집합족 \\( \\mathcal{B} \\)는 \\( [x, \\infty) \\) 형태의 구간을 포함한다.", "왜냐하면, 이 구간은 \\( (x, \\infty) \\)의 여집합이기 때문이다.", "또한 집합족 \\( \\mathcal{B} \\)는 다음과 같은 형태의 구간을 모두 포함하고 있다. \\", "[ \\begin{aligned} (-\\infty, x] &=\\bigcap_{n=1}^{\\infty}\\left(-\\infty, x+\\frac{1}{n}\\right) \\\\ (x, \\infty) &=(-\\infty, x]^{c} \\\\ (x, y) &=(-\\infty, y) \\cap(x, \\infty), \\quad<y \\\\ (x, y], & {[x, y), \\quad \\forall x, y \\in \\mathbb{R} } \\end{aligned} \\] 더욱이 단집합(singleton set)도 집합족 \\( \\mathcal{B} \\)의 원소이다.", "왜냐하면, 임의의 \\( x \\in \\mathbb{R} \\)에 대하여 \\[ \\{x\\}=(-\\infty, x] \\bigcap[x, \\infty) \\] 이기 때문이다.", "이 집합족 \\( \\mathcal{B} \\)를 Borel \\( \\sigma \\)-체라 부르고 \\( \\mathcal{B} \\)의 원소인 집합 \\( B \\)를 Borel 집합(Borel set)이라 한다.", "이 경우, 순서쌍 \\( (\\mathbb{R}, \\mathcal{B}) \\)를 Borel가측공간(Borel measurable space)이라 한다.", "따라서 표본공간 \\( \\Omega \\)의 부분집합인 사건과 Borel \\( \\sigma \\)-체 \\( \\mathcal{B} \\)를 이용하면 다음과 같이 확률변수를 엄밀하게 정의할 수 있다.", "</p><p>定義 2.2 \\(\\Omega \\)를 표본공간, \\( \\mathbb{R} \\)을 실수 전체의 집합이라 하고, \\( (\\Omega, \\mathcal{F}) \\)를 가측공간, \\( (\\mathbb{R}, \\mathcal{B}) \\)를 Borel가측공간이라 하자.", "확률공간 \\( \\Omega \\)상에서 정의되어 있는 함수 \\( X: \\Omega \\rightarrow \\mathbb{R} \\)가 모든 모든 \\( A \\in \\mathcal{B} \\)에 대하여 \\[ B=X^{-1}(A)=\\{\\omega \\in \\Omega \\mid X(\\omega) \\in A\\} \\in \\mathcal{F} \\] 이면, \\( X: \\Omega \\rightarrow \\mathbb{R} \\)를 확률변수(random variable)라 한다.", "</p><p>問題 1 한 개의 동전을 세 번 던지는 실험을 생각해 보자.", "</p><ol type=1 start=1><li>동전을 \\(3\\)번 던졌을 때 나타난 앞면의 수를 \\( X \\)라 할 때, \\( X \\)의 값을 구하여라.", "</li><li>동전을 \\(3\\)번 던졌을 때 두 번째까지 나온 앞면의 수를 확률변수 \\( Y \\)라 할 경우, \\( Y \\)의 값을 구하여라.", "</li></ol><p>解答 한 개의 동전을 세 번 던지는 실험에서 나타난 표본공간 \\( \\Omega \\)는 다음과 같다. \\", "[ \\Omega=\\{H H H, H H T, H T H, T H H, H T T, T H T, T T H, T T T\\} . \\]", "이 표본공간을 구성하고 있는 \\(8\\)개의 표본점을 다음과 같이 나타내자. \\", "[ \\begin{array}{l} \\omega_{1}=H H H, \\omega_{2}=H H T, \\omega_{3}=H T H, \\omega_{4}=T H H \\\\ \\omega_{5}=H T T, \\omega_{6}=T H T, \\omega_{7}=T T H, \\omega_{8}=T T T \\end{array} \\]</p><p>(1) \\( X \\)는 동전을 \\(3\\)번 던졌을 때 나타난 앞면의 수이므로 \\[ \\begin{array}{l} X\\left(\\omega_{1}\\right)=3, X\\left(\\omega_{2}\\right)=2, X\\left(\\omega_{3}\\right)=2, X\\left(\\omega_{4}\\right)=2, \\\\ X\\left(\\omega_{5}\\right)=1, X\\left(\\omega_{6}\\right)=1, X\\left(\\omega_{7}\\right)=1, X\\left(\\omega_{8}\\right)=0 \\end{array} \\] 이다.", "따라서, \\( X \\)가 취하는 실수값은 \\( 0,1,2,3 \\)이므로 \\( X \\)는 확률변수이다.", "</p><p>(2) \\( Y \\)는 동전을 \\(3\\)번 던졌을 때, 두 번째까지 나온 앞면의 수이므로 \\[ \\begin{array}{l} Y\\left(\\omega_{1}\\right)=2, Y\\left(\\omega_{2}\\right)=2, Y\\left(\\omega_{3}\\right)=1, Y\\left(\\omega_{4}\\right)=1, \\\\ Y\\left(\\omega_{5}\\right)=1, Y\\left(\\omega_{6}\\right)=1, Y\\left(\\omega_{7}\\right)=0, Y\\left(\\omega_{8}\\right)=0 \\end{array} \\] 이다.", "그러므로 \\( Y \\)가 취하는 실수값은 \\( 0,1,2 \\)이고 \\( Y \\)는 확률변수이다.", "</p><p>위의 문제에서 알 수 있듯이 똑같은 표본공간 상에서 확률변수를 서로 다르게 정의하면, 그 결과도 전혀 다르게 나오는 것을 알 수 있다.", "따라서, 임의의 표본공간 상에서 확률변수를 정의할 수있는 방법은 여러 가지가 있다는 사실에 주의하자.", "지금까지 살펴본 바와 같이 확률변수는 표본공간상의 각 사건에 대하여 실수를 대응시키는 규칙이므로, 여기에 대응되는 실수의 집합에 대하여 특별히 주의를 기울일 필요가 있다.", "즉, 이 실수의 집합을 \\( A \\subseteq \\mathbb{R} \\)이라 하면 확률변수는 \\[ B=\\{\\omega \\in \\Omega \\mid X(\\omega) \\in A\\} \\] 이므로 \\( B \\)는 표본공간 \\( \\Omega \\)의 부분집합으로서의 사건이다.", "여기서 다음과 같이 사건 \\( \\{\\omega \\in \\Omega \\mid X(\\omega) \\in A\\} \\)를 \\[ B=\\{X \\in A\\}=\\{\\omega \\in \\Omega \\mid X(\\omega) \\in A\\} \\] 로 정의하고, 여기에 확률 \\( P \\)를 부여하면 \\[ \\begin{aligned} P(B) &=P\\{X \\in A\\} \\\\ &=P(\\{\\omega \\in \\Omega \\mid X(\\omega) \\in A\\}) \\end{aligned} \\] 로 나타낼 수 있다.", "여기서 다시 \\( P\\{X \\in A\\} \\)를 기호 \\( P_{X}(A) \\)로 \\[ P_{X}(A)=P(B)=P\\{X \\in A\\} \\] 나타낼 수 있는데, 확률 \\( P_{X}(A) \\)를 \\( A \\) 상에서의 확률변수 \\( X \\)의 확률분포라고 한다. 이때 확률분포 \\( P_{X}(A) \\)는 확률의 정의를 만족한다. 실제로 사건 \\( A \\)의 형태는 임의의 실수 \\( x \\)에 대하여 \\( (-\\infty, x]", "\\) 형태의 무한구간을 취하고, 위에서 정의한 방법을 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다. \\", "[ \\begin{aligned} B &=\\{X \\leqslant x\\}=\\{\\omega \\in \\Omega \\mid X(\\omega) \\in(-\\infty, x]\\} \\\\ &=\\{-\\infty<X \\leqslant x\\} \\\\ &=\\{\\omega \\in \\Omega \\mid-\\infty<X(\\omega) \\leqslant x\\}. \\end{aligned} \\]", "<p>이산확률변수 \\( X \\)의 확률질량함수 \\( p(x) \\)와 누적분포함수 \\( F(x) \\) 사이에는 다음과 같은 관계식이 성립한다. \\", "[ p(x)=F(x)-\\lim _{h \\rightarrow 0} F(x-h), \\quad(단, h>0) \\]</p><p>定義 2.7 \\( p(x) \\)를 이산확률변수 \\( X \\)의 이산확률질량함수라 하자.", "이산확률변수 \\( X \\)의 기댓값(expected value, expectation) 또는 평균(mean) \\( E(X) \\)를 다음과 같이 정의한다. \\", "[ E(X)=\\sum_{\\text {all } x} x P\\{X=x\\}=\\sum_{\\text {all } x} x p(x) \\]</p><p>확률변수 \\( X \\)의 기댓값의 기호로서, 편의에 따라 \\( \\mu_{X}=\\mu=E(X) \\) 등을 사용하기로 한다.", "</p><p>問題 3 한 개의 동전을 두 번 던지는 실험에서 확률변수 \\( X \\)를 앞면이 나온 수라 하였을 때, \\( X \\)의 누적분포함수 \\( F(x) \\)와 기댓값 \\( E(X) \\)를 구하여라.", "</p><p>解答 표본공간은 \\( \\Omega=\\{H H, H T, T H, T T\\} \\)이므로 확률변수 \\( X \\)가 취하는 질량점은 \\( 0,1,2 \\)이다.", "각 질량점에서의 \\( X \\)의 확률분포는 \\( P\\{H H\\}=\\frac{1}{4}, P\\{H T\\}=\\frac{1}{4}, P\\{T H\\}= \\frac{1}{4}, P\\{T T\\}=\\frac{1}{4} \\)이므로</p><table border><caption></caption><tbody><tr><td>\\(x\\)</td><td>\\(0\\)</td><td>\\(1\\)</td><td>\\(2\\)</td></tr><tr><td>\\(P\\{X=x\\}\\)</td><td>\\(\\frac{1}{4}\\)</td><td>\\(\\frac{1}{2}\\)</td><td>\\(\\frac{1}{4}\\)</td></tr></tbody></table><p>이로부터 \\( X \\)의 누적분포함수 \\( F(x) \\)는 \\[ F(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll} 0, & -\\infty<x<0 \\\\ \\frac{1}{4}, & 0 \\leqslant x<1 \\\\ \\frac{1}{2}, & 1 \\leqslant x<2 \\\\ 1, & 2 \\leqslant x<+\\infty \\end{array}\\right. \\] 이고 \\( X \\)의 기댓값 \\( E(X) \\)는 \\[ E(X)=\\sum_{x=0}^{2} x P\\{X=x\\}=0 \\times \\frac{1}{4}+1 \\times \\frac{1}{2}+2 \\times \\frac{1}{4}=1 \\] 이다.", "</p><h1>2.3 연속확률분포</h1><p>이산확률변수 \\( X \\)의 이산확률분포를 알면, 이 확률분포를 이용하여 적절한 확률모형과 확률적 특성을 쉽게 파악할 수있다.", "그러나 실제로 여러가지 상황에서는 이산확률변수로서 나타낼 수 없는 경우도 많다.", "따라서, 이산확률변수로는 설명할 수 없을 때에는 연속확률변수(continuous random variable)를 이용하여 나타내면 된다.", "직관적으로 말하면, 연속확률변수는 연속적인 실수값을 취하는 확률변수를 일컫는다.", "연속확률변수에 대한 누적분포함수와 확률밀도함수의 개념은 앞에서 설명한 이산확률변수의 경우와 유사하게 설명할 수 있다.", "</p><p>定義 2.8 확률변수 \\( X \\)의 확률밀도함수(probability density function)라 부르는 함수 \\( f(x) \\)가 존재하여 \\( X \\)의 분포함수 \\( F(x) \\)가 \\[ F(x)=P\\{X \\leqslant x\\}=\\int_{-\\infty}^{x} f(t) d t \\] 와 같이 나타낼 수 있으면 \\( X \\)를 연속확률변수라 한다.", "</p><p>분포함수는 또한 누적분포함수(cumulative distribution function)라고 부르기도 한다.", "확률변수 \\( X \\)가 연속확률밀도함수 \\( f(x) \\)를 가지면 기호로 \\( X \\sim f(x) \\)로, 분포함수를 가지면 \\( X \\sim F(x) \\)로 쓰기로 한다.", "</p><p>연속확률변수 \\( X \\)의 확률분포는 절대연속(absolutely continuous)이다.", "이것은 분포함수 \\( F(x) \\)가 존재하고 연속이라는 뜻이다.", "특별하게 말하지 않는 한, 이 책에서 사용하는 연속확률분포는 위의 정의를 만족하는 확률분포를 의미한다.", "연속확률변수 \\( X \\)의 분포함수를 종종 기호로 \\( F_{X}(x) \\)로 나타내기로 한다.", "</p><p>定義 2.9 연속확률변수 \\( X \\)의 연속확률밀도함수(continuous probability density function) \\( f(x) \\)는 다음 두 가지 조건을 만족한다.", "</p><ol type=1 start=1><li>모든 \\( x \\in \\mathbb{R} \\)에 대하여, \\( f(x) \\geqslant 0 \\)</li><li>\\( \\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(x) d x=1 \\)</li></ol><p>이 책에서는 연속확률밀도함수를 나타내는 기호로 \\( f_{X}(x) \\)를 쓰기로 한다.", "연속확률변수는 이산확률변수와는 다른 몇가지 특징이 있다.", "첫 번째 성질은 정의 2.7의 양변을 \\( x \\)에 관해 미분하면, 미적분학의 기본정리(fundamental theorem of calculus)에 의해서 \\[ \\frac{d}{d x} F(x)=\\frac{d}{d x} \\int_{-\\infty}^{x} f(t) d t=f(x) \\] 이다.", "이것은 어떤 연속확률변수 \\( X \\)의 연속확률밀도함수 \\( f(x) \\)는 분포함수 \\( F(x) \\)를 미분함으로서 얻어질 수 있다는 것을 말해 준다.", "역으로, 연속확률변수 \\( X \\)의 연속확률밀도함수 \\( f(x) \\)가 주어지면 \\( X \\)의 분포함수 \\( F(x) \\)는 적분으로 정의됨을 알 수 있다.", "두 번째 성질은 이산확률변수 \\( X \\)의 분포함수를 \\( F(x) \\)라 하면, 분포함수의 성질에 의하여 \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} F(x)=1 \\)이므로 이 성질을 연속확률변수 \\( X \\)의 분포함수에 적용하면 \\[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} F(x)=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\int_{-\\infty}^{x} f(t) d t=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(t) d t=1 \\] 이 성립한다.", "세 번째 성질은 다음 정리에서 알아 보자.", "</p><p>定理 2.2 연속확률변수 \\( X \\)의 분포함수를 \\( F(x) \\), 연속확률밀도함수를 \\( f(x) \\)라고 하자.", "임의의 두 실수 \\( a, b \\in \\mathbb{R}(a<b) \\)에 대하여, 다음이 성립한다. \\", "[ P\\{a<X \\leqslant b\\}=F(b)-F(a)=\\int_{a}^{b} f(x) d x \\]</p><p>>證明 \\( a \\)와 \\( b \\in \\mathbb{R}(a<b) \\)를 임의의 두 실수라고 하면, \\( X \\)의 분포함수의 정의에 의해서, \\[ P\\{a<X \\leqslant b\\}=P\\{X \\leqslant b\\}-P\\{X \\leqslant a\\}=F(b)-F(a) \\] 이므로 \\[ \\begin{aligned} P\\{a<X \\leqslant b\\} &=F(b)-F(a) \\\\ &=\\int_{-\\infty}^{b} f(x) d x-\\int_{-\\infty}^{a} f(x) d x \\\\ &=\\int_{-\\infty}^{b} f(x) d x+\\int_{a}^{-\\infty} f(x) d x \\\\ &=\\int_{a}^{b} f(x) d x \\end{aligned} \\] 이다.", "</p><p>위의 정리의 결과를 이용하면 연속확률변수가 갖는 두 번째 성질은 다음 정리와 같다.", "</p><p>定理 2.3 연속확률변수 \\( X \\)의 확률밀도함수를 \\( f(x) \\)라 하고 \\( c \\)를 임의의 실수라 하면, 연속확률변수 \\( X \\)가 실수 \\( c \\)를 취할 확률은 영(zero)이다.", "즉, \\( P\\{X=c\\}=0 \\)이 성립한다.", "</p><p>>證明 \\( c \\)를 임의의 실수라 하고 \\( \\Delta x>0 \\)를 \\( c \\) 근방의 실수라 하자.", "그러면 \\[ P\\{c<X \\leqslant c+\\Delta x\\}=\\int_{c}^{c+\\Delta x} f(x) d x \\] 이므로 \\[ \\begin{aligned} \\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} P\\{c<X \\leqslant c+\\Delta x\\} &=\\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\int_{c}^{c+\\Delta x} f(x) d x \\\\ &=\\int_{c}^{c} f(x) d x=0 \\end{aligned} \\] 이다.", "따라서 \\( P\\{X=c\\}=0 \\)이다.", "</p><p>위의 정리에서 \\(\\Delta x>0\\)를 \\(c\\)와 충분히 가까운 실수이면 다음 근사식이 성립한다. \\", "[ P\\{c<X \\leqslant c+\\Delta x\\}=\\int_{c}^{c+\\Delta x} f(x) d x \\approx f(c) \\Delta x. \\]", "또한 위의 정리를 다음과 같이 실구간에 적용하면 다음과 같은 연속확률변수만의 특징이 있다. \\", "( X \\)를 연속확률변수라 하고 \\( a, b \\in \\mathbb{R}(a<b) \\)를 임의의 두 실수라고 하면, \\[ \\begin{aligned} P\\{a<X \\leqslant b\\} &=P\\{a<X<b\\}+P\\{X=b\\} \\\\ &=P\\{a<X<b\\} \\end{aligned} \\] 이고 \\[ \\begin{aligned} P\\{a \\leqslant X<b\\} &=P\\{a<X<b\\}+P\\{X=a\\} \\\\ &=P\\{a<X<b\\} \\end{aligned} \\] 이고 \\[ \\begin{aligned} P\\{a \\leqslant X \\leqslant b\\} &=P\\{a<X<b\\}+P\\{X=a\\}+P\\{X=b\\} \\\\ &=P\\{a<X<b\\} \\end{aligned} \\] 이다.", "이로부터 \\[ \\begin{aligned} P\\{a \\leqslant X \\leqslant b\\} &=P\\{a \\leqslant X<b\\}=P\\{a<X \\leqslant b\\}=P\\{a<X<b\\} \\\\ &=\\int_{a}^{b} f(x) d x \\\\ &=F(b)-F(a)=P\\{X \\leqslant b\\}-P\\{X \\leqslant a\\} \\end{aligned} \\] 가 성립한다.", "</p><p>定義 2.10 연속확률변수 \\( X \\)의 연속확률밀도함수를 \\( f(x) \\)라 하면, 연속확률변수 \\( X \\)의 기댓값(expected value, expectation) 또는 평균(mean) \\( E(X) \\)를 다음과 같이 정의한다. \\", "[ E(X)=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} x f(x) d x. \\]", "</p><p>확률변수 \\( X \\)의 기댓값 \\( E(X) \\)는 종종 \\( \\mu, \\mu_{X} \\) 등으로 나타내기도 한다.", "</p><p>問題 1 연속확률변수 \\( X \\)의 확률밀도함수가 다음과 같다. \\[ f(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll} 2 e^{-2 x}, & x>", "0 \\\\ 0, & x \\leqslant 0 \\end{array}\\right. \\]", "<h1>2.9.9 정규분포</h1><p>연속확률분포 중에서 가장 중요한 분포 중의 하나가 정규분포이다.", "이 정규분포는 종종 가우스(Gauss)분포라고도 한다.", "그런데 이 정규분포를 가우스분포라 하여 발견자가 가우스처럼 보이지만 실제로는 1733년에 프랑스 수학자 드 므와브르(Abraham de Moivre)로 알려져 있다.", "이 드 므와브르는 독립인 이항확률변수의 합의 극한을 연구하던 중에 이 정규분포를 발견했다고 전해지며 그 후 가우스가 이 정규분포를 여러 분야에 폭넓게 이용함으로서 후대에 가우스분포라는 명칭을 얻게 되었다고 한다.", "현대에 있어 이 정규분포는 수학, 물리학, 화학, 공학등 거의 모든 응용수학 전분야에 걸쳐 나타나는 아주 중요한 함수이다.", "그러나 정규분포는 그 자체로는 사용하지 않고 표준정규분포(standard normal distribution)로 변환하여 사용한다.", "이제 정규분포와 관련된 여러가지 성질을 살펴 보자.", "</p><p>定義 2.39 \\(\\mu \\) 와 \\( \\sigma \\) 가 각각 조건 \\( -\\infty<\\mu<+\\infty, 0<\\sigma<+\\infty \\) 를 만족하는 실수라 하자.", "확률변수 \\( X \\) 의 확률밀도함수 \\( f(x ; \\mu, \\sigma) \\) 가 \\[ f(x ; \\mu, \\sigma)=\\frac{1}{\\sigma \\sqrt{2 \\pi}} e^{-\\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}}, \\quad(-\\infty<x<+\\infty) \\]<caption>(2.50)</caption></p><p>와 같이 주어지면, 이 확률변수 \\( X \\) 는 평균 \\( \\mu \\), 표준편차 \\( \\sigma \\) 을 갖는 정규분포(normal distribution)에 따른다고 한다.", "확률변수 \\( X \\) 가 평균 \\( \\mu \\), 표준편차 \\( \\sigma \\) 을 갖는 정규분포에 따를 때, 기호 \\( X \\sim N\\left(\\mu, \\sigma^{2}\\right) \\) 을 쓰기로 한다.", "</p><p>\\( X \\sim N\\left(\\mu, \\sigma^{2}\\right)\\) 이면, \\(X\\) 의 분포함수 \\( F(x ; \\mu, \\sigma)\\) 는 \\[F(x ; \\mu, \\sigma) =\\int_{-\\infty}^{x} \\frac{1}{\\sigma \\sqrt{2 \\pi}} e^{-\\frac{(w-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} d w \\]<caption>(2.51)</caption></p><p>이다.", "여기서 정규분포에 따르는 확률밀도함수 \\( f(x ; \\mu, \\sigma) \\) 가 조건 \\[ \\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(x ; \\mu, \\sigma) d x=1 \\] 을 만족하는지 증명해 보자.", "먼저, \\[ I=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\frac{1}{\\sigma \\sqrt{2 \\pi}} e^{-\\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} d x \\] 에서 변수변환 \\[ z=\\frac{x-\\mu}{\\sigma} \\] 를 이용하자.", "이때 \\( x \\rightarrow-\\infty \\) 이면 \\( z \\rightarrow-\\infty \\) 이고, \\( x \\rightarrow+\\infty \\) 이면 \\( z \\rightarrow+\\infty \\) 이므로 \\[ \\begin{aligned} I &=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\frac{1}{\\sigma \\sqrt{2 \\pi}} e^{-\\frac{z^{2}}{2}} \\sigma d z \\\\ &=2 \\int_{0}^{+\\infty} \\frac{1}{\\sqrt{2 \\pi}} e^{-\\frac{z^{2}}{2}} d z \\end{aligned} \\] 이다.", "여기서 다시 변수변환 \\[ u=z^{2} / 2 \\] 을 이용하자.", "이때, \\( z \\rightarrow 0 \\) 이면 \\( u \\rightarrow 0 \\) 이고, \\( z \\rightarrow+\\infty \\) 이면 \\( u \\rightarrow+\\infty \\) 이다.", "또한, \\[ \\frac{d z}{d u}=\\frac{w^{-\\frac{1}{2}}}{\\sqrt{2}} \\] 이므로 \\[ \\begin{aligned} I &=\\frac{1}{\\sqrt{\\pi}} \\int_{0}^{+\\infty} u^{-\\frac{1}{2}} e^{-u} d z \\\\ &=\\frac{1}{\\sqrt{\\pi}} \\int_{0}^{+\\infty} u^{\\frac{1}{2}-1} e^{-u} d z \\\\ &=\\frac{1}{\\sqrt{\\pi}} \\Gamma\\left(\\frac{1}{2}\\right) \\\\ &=1 \\end{aligned} \\] 이다.", "위의 유도과정에서 본 것처럼 정규분포에 따르는 확률밀도함수는 다음 변수변환한 공식 \\[ Z=\\frac{X-\\mu}{\\sigma} \\]<caption>(2.52)</caption></p><p>에 의하여 표준정규분포(standard normal distribution)가 얻어진다는 사실에 주의하자.", "따라서 다음 확률밀도함수 \\[ \\varphi(z)=\\frac{1}{\\sqrt{2 \\pi}} e^{-\\frac{z^{2}}{2}}, \\quad(-\\infty<z<+\\infty) \\]<caption>(2.53)</caption></p><p>를 표준정규 확률밀도함수(standard normal probability density function)라 부른다.", "이 표준정규 확률밀도함수는 평균이 \\( \\mu=0 \\) 이고, 분산이 \\( \\sigma^{2}=1 \\) 인 경우에 해당함 알 수 있다.", "따라서, 표준정규 확률변수 \\( Z \\) 는 \\( Z \\sim \\operatorname{N}(0,1) \\) 로 나타낼 수 있다.", "여기서 변수변환 공식 \\[ Z=\\frac{X-\\mu}{\\sigma} \\]<caption>(2.54)</caption></p><p>를 \\( Z \\) 의 표준정규화(standard normalization)라고 한다.", "이 표준정규화 공식에 의해서 모든 정규분포는 표준정규분포로 변환할 수 있다.", "이제 표준정규 확률밀도함수가 갖는 몇가지 사실을 살펴 보자.", "먼저, 표준정규 확률변수 \\( Z \\) 의 분포함수 \\( \\Phi(z) \\) 를 \\[ \\Phi(z)=\\int_{-\\infty}^{z} \\frac{1}{\\sqrt{2 \\pi}} e^{-\\frac{w^{2}}{2}} d w \\]<caption>(2.55)</caption></p><p>로 정의하자.", "</p><p>定理 2.44 \\( Z \\sim N(0,1) \\) 이라 하면, 다음 식이 성립한다.", "</p><ol type=1 start=1><li>모든 \\( z \\in \\mathbb{R} \\) 에 대하여, \\( \\varphi(z)=\\varphi(-z) \\) 이다.", "즉, \\( \\varphi(z) \\) 는 우함수(even function)이다.", "</li><li>\\( \\varphi^{\\prime}(z)=-z \\varphi(z) \\) 이다.", "따라서 \\( \\varphi(z) \\) 는 점 \\( z=0 \\) 에서 유일한 극대값 \\( \\frac{1}{\\sqrt{2 \\pi}} \\) 을 갖는다.", "</li><li>\\( \\varphi^{\\prime \\prime}(z)=\\left(z^{2}-1\\right) \\varphi(z) \\) 이다.", "따라서, \\( \\varphi(z) \\) 는 \\( z=\\pm 1 \\) 이 변곡점이다.", "</li><li>\\( z \\rightarrow \\pm \\infty \\) 이면 \\( \\varphi(z) \\rightarrow 0 \\) 이다.", "</li><li>\\( z \\rightarrow \\pm \\infty \\) 이면 \\( \\varphi^{\\prime}(z) \\rightarrow 0 \\) 이다.", "</li></ol><p>證明 (1) \\( \\varphi(-z)=\\frac{1}{\\sqrt{2 \\pi}} e^{-\\frac{(-z)^{2}}{2}}=\\frac{1}{\\sqrt{2 \\pi}} e^{-\\frac{z^{2}}{2}}=\\varphi(z) \\) 가 성립하므로 우함수이다.", "</p><p>(2) 표준정규 확률밀도함수 \\( \\varphi(z) \\) 를 \\( z \\) 에 관하여 한 번 미분하면, \\[ \\begin{aligned} \\varphi^{\\prime}(z) &=\\frac{1}{\\sqrt{2 \\pi}} e^{-\\frac{z^{2}}{2}}(-z) \\\\ &=-z \\varphi(z) \\end{aligned} \\] 이다.", "</p><p>(3) 위의 (2)를 \\( z \\) 에 관하여 한 번 더 미분하면, \\[ \\begin{aligned} \\varphi^{\\prime \\prime}(z) &=-\\varphi(z)+(-z) \\varphi^{\\prime}(z) \\\\ &=-\\varphi(z)+(-z)(-z \\varphi(z)) \\\\ &=\\left(z^{2}-1\\right) \\varphi(z) \\end{aligned} \\] 이다.", "</p><p>(4) \\( \\varphi(z) \\) 는 \\( z \\) 의 우함수이므로, \\[ z \\rightarrow \\pm \\infty \\text { 이면 } \\quad \\varphi(z)=\\frac{1}{\\sqrt{2 \\pi} e^{ \\frac{z^{2}}{2}}} \\rightarrow 0 \\] 이다.", "</p><p>(5) \\( \\varphi(z) \\) 를 \\( z \\) 에 관하여 한 번 미분하면, \\[ \\varphi^{\\prime}(z)=\\frac{-z}{\\sqrt{2 \\pi} e^{\\frac{z^{2}}{2}}} \\] 이다.", "그런데, \\( z \\rightarrow \\pm \\infty \\) 이면 부정형 \\( \\frac{\\infty}{\\infty} \\) 의 형태이므로 로피탈의 법칙에 의하여, \\[ z \\rightarrow \\pm \\infty \\text { 이면 } \\quad \\varphi^{\\prime}(z)=\\frac{-z}{\\sqrt{2 \\pi} e^{ \\frac{z^{2}}{2}}} \\rightarrow 0 \\] 이다.", "</p><p>위의 정리의 결과를 이용하면, 표준정규 확률밀도함수의 평균과 분산을 비교적 쉽게 구할 수 있다.", "</p><p>定理 2.45 \\( Z \\sim N(0,1) \\) 이면, \\[ E(Z)=0 , \\]<caption>(2.56)</caption></p><p>\\[ \\operatorname{Var}(Z)=1 \\]<caption>(2.57)</caption></p><p>이다.", "</p><p>證明 (1) 먼저 평균 \\( E(Z) \\) 를 구하면 \\[\\begin{aligned} E(Z) &=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} z \\varphi(z) d z \\\\ &=-\\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\varphi^{\\prime}(z) d z \\\\ &=[-\\varphi(z) ]_{-\\infty}^{+\\infty} \\\\ &=0 \\end{aligned} \\] 이다.", "분산 \\( \\operatorname{Var}(Z) \\) 는 \\[ \\begin{aligned} \\operatorname{Var}(Z) &=E\\left(Z^{2}\\right)-[E(Z)]^{2} \\\\ &=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} z^{2} \\varphi(z) d z \\\\ &=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\left\\{\\varphi^{\\prime \\prime}(z)+\\varphi(z)\\right\\} d z \\\\ &=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\varphi^{\\prime \\prime}(z) d z+\\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\varphi(z) d z \\\\ &=\\left[\\varphi^{\\prime}(z)\\right]_{-\\infty}^{+\\infty}+\\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\varphi(z) d z \\\\ &=0+1 \\\\ &=1 \\end{aligned} \\] 이다.", "</p><p>이제 정규분포의 평균과 분산을 구해 보자.", "</p><p>定理 2.46 \\( X \\sim N\\left(\\mu, \\sigma^{2}\\right) \\) 이면, 평균과 분산은 각각 \\[ E(X)=\\mu, \\quad \\operatorname{Var}(X)=\\sigma^{2} \\]<caption>(2.58)</caption></p>이다.", "<p>證明 평균의 정의에 의하여 \\( E(X) \\) 는 \\[ \\begin{aligned} E(X) &=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} x f(x ; \\mu, \\sigma) d x \\\\ &=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} x \\frac{1}{\\sigma \\sqrt{2 \\pi}} e^{-\\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} d x \\end{aligned} \\] 이고, 여기서 표준정규화된 변수변환 \\( z=\\frac{x-\\mu}{\\sigma} \\) 을 이용하면, 평균은 \\[ \\begin{aligned} E(X) &=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}(\\mu+\\sigma z) \\frac{1}{\\sqrt{2 \\pi}} e^{-\\frac{z^{2}}{2}} d z \\\\ &=\\mu \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\varphi(z) d z+\\sigma \\int_{-\\infty}^{+\\infty} z \\varphi(z) d z \\\\ &=\\mu \\cdot 1+\\sigma \\cdot E(Z) \\\\ &=\\mu \\end{aligned} \\] \\( X \\) 의 기댓값 \\( E(X) \\) 를 구하고 \\( P\\left\\{\\left|X-\\frac{1}{2}\\right|>\\frac{1}{4}\\right\\} \\) 을 구하여라.", "</p><p>解答 기댓값의 정의를 이용하여 구하면 \\[ \\begin{aligned} E(X) &=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} x f(x) d x=\\int_{0}^{+\\infty} x\\left(2 e^{2 x}\\right) d x \\\\ &=2 \\int_{0}^{+\\infty} x e^{2 x} d x \\\\ &=2\\left[-\\frac{x e^{-2 x}}{2}-\\frac{e^{-2 x}}{4}\\right]_{0}^{+\\infty}=\\frac{1}{2} \\end{aligned} \\] 이고 \\( P\\left\\{\\left|X-\\frac{1}{2}\\right|>\\frac{1}{4}\\right\\} \\) 는 다음과 같다. \\", "[ \\begin{aligned} P\\left\\{\\left|X-\\frac{1}{2}\\right|>\\frac{1}{4}\\right\\} &=\\int_{\\left\\{x \\in \\mathbb{R} \\mid |x-\\frac{1}{2}|>\\frac{1}{4}\\right\\}} 2 e^{-2 x} d x \\\\ &=2 \\int_{\\left\\{x \\in \\mathbb{R} \\mid 0<x<\\frac{1}{4}\\right\\}} e^{-2 x} d x+2 \\int_{\\left\\{x \\in \\mathbb{R} \\mid \\frac{3}{4}<x<+\\infty\\right\\}} e^{-2 x} d x \\\\ &=2 \\int_{0}^{\\frac{1}{4}} e^{-2 x} d x+2 \\int_{\\frac{3}{4}}^{+\\infty} e^{-2 x} d x \\\\ &=1-e^{-1 / 2}+e^{-3 / 2} \\end{aligned} \\]</p><p>定理 2.4 \\( X \\) 를 누적분포함수 \\( F(x) \\) 를 가지는 음0| 아닌 확률변수이면 다음이 성립한다. \\", "[ E(X)=\\int_{0}^{+\\infty}(1-F(x)) d x \\]</p><p>證明 \\( X \\) 가 음이 아닌 연속확률변수이고 \\( f(x) \\) 를 \\( X \\) 의 확률밀도함수라 하자. \\", "( E(X)< +\\infty \\) 이면 \\[ \\begin{aligned} E(X) &=\\int_{0}^{+\\infty} x f(x) d x \\\\ &=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\int_{0}^{n} x f(x) d x \\end{aligned} \\] 이다.", "이 식에 부분적분법(integration by parts)를 이용하면 \\[ \\begin{aligned} \\int_{0}^{n} x f(x) d x &=n F(n)-\\int_{0}^{n} F(x) d x \\\\ &=-n(1-F(n))+\\int_{0}^{n}(1-F(x)) d x \\end{aligned} \\] 이다.", "위의 첫 번째 식은 \\[ \\begin{aligned} n(1-F(n)) &=n \\int_{n}^{+\\infty} f(x) d x \\\\ & \\leqslant \\int_{n}^{+\\infty} x f(x) d x \\end{aligned} \\] 이고 \\( E(X)<+\\infty \\)이므로 \\[ \\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\{n(1-F(n))\\} \\leqslant \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\int_{n}^{+\\infty} x f(x) d x=0 \\] 이다.", "따라서, \\[ \\begin{aligned} E(X) &=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\int_{0}^{n} x f(x) d x \\\\ &=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\int_{0}^{n}(1-F(x)) d x \\\\ &=\\int_{0}^{+\\infty}(1-F(x)) d x \\end{aligned} \\] 이다.", "</p><p>위의 정리에서 \\( X \\)가 음이 아닌 정수값을 가지는 이산확률변수이면 적분기호 대신 합의 기호를 이용하여 나타내면 된다.", "일반적으로 \\( X \\)가 임의의 연속확률변수이면 위의 정리의 결과는 \\[ E(X)=\\int_{0}^{+\\infty}(1-F(x)) d x-\\int_{-\\infty}^{0} F(x) d x \\] 로 나타낼 수 있다.", "</p><h1>2.4 기댓값과 그 성질</h1><p>앞절에서는 이산형이나 연속형 확률변수 \\( X \\) 자체에 대한 기댓값만을 구하였다.", "이 절에서는 이산형 또는 연속형 확률변수 \\( X \\)에 대한 기댓값의 성질을 다음과 같이 확장하여 그 값을 구해 본다. \\", "( u(x) \\)를 임의의 연속인 실수치함수라 하고, \\( X \\)를 연속확률밀도함수 \\( f(x) \\)를 갖는 확률변수라 하면 \\( X \\)를 연속함수 \\( u \\)로 사상하여 얻어진 새로운 확률변수 \\( Y=u(X) \\)는 변환된 공간에서 역시 확률변수가 되고 이 공간상에서 \\( Y=u(X) \\)에 대한 기댓값을 구하는 문제이다.", "이에 대한 증명은 다소 어려우므로 증명없이 정의로서 소개한다.", "</p><p>定義 2.11 \\( X \\) 를 임의의 확률변수라 하자.", "확률변수 \\( X \\) 를 연속인 실수치함수 \\( u \\) 로 사상한 함수를 \\( u(X) \\) 라 하면, \\( Y=u(X) \\) 는 확률변수이고 이때 \\( Y \\) 의 기댓값(평균)을 다음과 같이 정의한다. \\", "[ \\begin{aligned} E(Y) &=E(u(X)) \\\\ &=\\left\\{\\begin{array}{ll} \\sum_{x} u(x) p(x), & (p(x) \\text { 는 이산확률변수 } X \\text { 의 확률질량함수 }) \\\\ \\int_{-\\infty}^{+\\infty} u(x) f(x) d x, & (f(x) \\text { 는 연속확률변수 } X \\text { 의 확률밀도함수 }) \\end{array}\\right. \\end{aligned} \\]", "</p><p>위의 정의에 의하면 확률변수 \\( X \\) 의 기댓값 \\( E(X) \\) 는 연속인 실수치함수가 \\( u(x)=x \\) 인 경우임을 알 수 있다.", "또한 기댓값은 다음과 같은 성질을 갖는다.", "</p><p>定理 2.5 \\( X \\) 를 임의의 확률변수, \\( u \\) 를 연속인 실수치함수라 하면, \\( X \\) 의 기댓값에 대하여 다음이 성립한다.", "</p><ol type=1 start=1><li>임의의 상수 \\( c \\) 에 대하여, \\( E(c)=c \\) 이다.", "</li><li>임의의 상수 \\( c \\) 와 연속인 실수치함수 \\( u(x) \\) 에 대하여, \\[ E(c u(X))=c E(u(X)) \\] 이다.", "</li><li>(선형성질) 임의의 상수 \\( c_{1} \\) 과 \\( c_{2} \\) 와 연속인 실수치함수 \\( u(x) \\) 와 \\( v(x) \\) 에 대하여, \\[ E\\left(c_{1} u(X)+c_{2} v(X)\\right)=c_{1} E(u(X))+c_{2} E(v(X)) \\] 이다.", "</li><li>연속인 두 실수치함수 \\( u(x) \\) 와 \\( v(x) \\) 사이에 \\( u(x) \\leqslant v(x) \\) 이면 \\[ E(u(X)) \\leqslant E(v(X)) \\] 이다.", "</li></ol><p>證明 확률변수 \\( X \\) 가 연속형일 경우로 증명한다. \\", "( f(x) \\) 를 연속확률변수 \\( X \\) 의 확률밀도함수라 하면,</p><p>(1) \\( E(c)=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} c f(x) d x=c \\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(x) d x=c \\times 1=c \\).", "</p><p>(2) \\( E(c u(X))=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} c u(x) f(x) d x=c \\int_{-\\infty}^{+\\infty} u(x) f(x) d x=c E(u(X)) \\).", "</p><p>(3) 임의의 두 상수 \\( c_{1}, c_{2} \\) 에 대하여, \\[ \\begin{aligned} E\\left(c_{1} u(X)+c_{2} v(X)\\right) &=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\left(c_{1} u(x)+c_{2} v(x)\\right) f(x) d x \\\\ &=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} c_{1} u(x) f(x) d x+\\int_{-\\infty}^{+\\infty} c_{2} v(x) f(x) d x \\\\ &=c_{1} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} u(x) f(x) d x+c_{2} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} v(x) f(x) d x \\\\ &=c_{1} E(u(X))+c_{2} E(v(X)) \\end{aligned} \\] 가 성립하므로 기댓값은 선형성질(linear property)을 갖는다.", "</p><p>(4) 연속인 두 실수치 함수 \\( u(x) \\)와 \\( v(x) \\)사이에 \\( u(x) \\leqslant v(x) \\)이면, \\( v(x)-u(x) \\geqslant 0 \\)이므로 \\( E(v(X)-u(X)) \\geqslant 0 \\), 즉, \\[ E(v(X))-E(u(X)) \\geqslant 0 \\] 이므로 정리하면 \\[ E(u(X)) \\leqslant E(v(X)) \\] 이다.", "</p><p>이 정리로부터 임의의 두 상수 \\( a \\)와 \\( b \\)에 대하여, \\[ E(a X+b)=a E(X)+b \\] 가 성립하고, 연속인 실수치함수 \\( u(x) \\)를 \\( u(x)=(x-\\mu)^{2} \\)으로 취하면 분산(variance)이 얻어진다.", "분산은 자료들이 평균으로부터 얼마만큼 떨어져 있는지를 설명해 주는 산포의 측도(measure of dispersion)이다.", "따라서, 분산이 크면 클수록 관찰점들이 평균으로부터 멀리 떨어져 있음을 말해주며, 반대로 분산이 작으면 관찰점들이 평균으로부터 가까운 거리에 있음을 시사해 준다.", "분산의 정의는 다음과 같다.", "</p><p>定義 2.12 확률변수 \\( X \\)의 기댓값을 \\( \\mu=E(X) \\)라 하자.", "이때 확률변수 \\( X \\)의 분산(variance)을 다음과 같이 정의한다. \\", "[ \\begin{aligned} \\sigma^{2} &=\\operatorname{Var}(X) \\\\ &=E\\left\\{(X-E(X))^{2}\\right\\} \\\\ &=E\\left((X-\\mu)^{2}\\right) \\\\ &=\\left\\{\\begin{array}{ll} \\sum_{x}(x-\\mu)^{2} p(x), & (p(x) \\text { 는 이산확률변수 } X \\text { 의 이산확률질량함수 }) \\\\ \\int_{-\\infty}^{+\\infty}(x-\\mu)^{2} f(x) d x, & (f(x) \\text { 는 연속확률변수 } X \\text { 의 연속확률밀도함수 }) \\end{array}\\right. \\end{aligned} \\]", "</p><p>분산의 제곱근을 표준편차로 정의하며 이것은 다음과 같다.", "</p><p>定義 2.13 확률변수 \\( X \\)의 기댓값을 \\( \\mu=E(X) \\)라 하자.", "이때 확률변수 \\( X \\)의 표준편차(standard deviation)를 다음과 같이 정의한다. \\", "[ \\begin{aligned} \\sigma &=\\sqrt{\\sigma^{2}}=\\sqrt{\\operatorname{Var}(X)} \\\\ &=\\sqrt{E\\left\\{(X-E(X))^{2}\\right\\}} \\\\ &=\\left\\{\\begin{array}{ll} \\sqrt{\\sum_{x}(x-\\mu)^{2} p(x)}, \\quad\\quad (p(x) \\text { 는 이산확률변수 } X \\text { 의 이산확률질량함수 }) \\\\ \\sqrt{\\int_{-\\infty}^{+\\infty}(x-\\mu)^{2} f(x) d x}, \\quad(f(x) \\text { 는 연속확률변수 } X \\text { 의 연속확률밀도함수 }) \\end{array}\\right. \\end{aligned} \\]", "</p><p>분산은 다음과 같이 일반적으로 정의할 수 있다.", "이것은 정리로서 소개한다.", "</p> <h1>2.8.5 이산균등분포</h1><p>한 개의 주사위를 던질때 \\(1\\) 부터 \\(6\\) 까지 각각의 숫자가 나올 확률은 모두 \\( \\frac{1}{6} \\) 이다.", "이때, 주사위를 던졌을 때 나타나는 숫자를 확률변수 \\( X \\) 라 한다면, \\( X \\) 는 \\(1\\) 부터 \\(6\\) 까지 똑같은 이산값을 취한다.", "다시 말하면, 질량점의 개수의 역수(reciprocal)를 확률질량함수로 정의한 경우이다.", "이와같은 확률분포를 이산균등분포(discrete uniform distribution)라 한다.", "따라서, 다음과 같이 이산균등분포를 정의할 수 있다.", "</p><p>定義 2.28 이산확률변수 \\( X \\) 의 확률질량함수가 다음과 같으면, \\[ f(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll} \\frac{1}{N+1}, & x=0,1,2,3 \\cdots, N \\\\ 0, & x<0, x>N \\end{array}\\right. \\]", "<caption>(2.18)</caption></p><p>\\( X \\) 는 이산균등분포(discrete uniform distribution)에 따른다고 한다.", "확률변수 \\( X \\) 가 이산균등분포에 따를 때, 기호 \\( X \\sim \\operatorname{DU}(N) \\) 을 사용하기로 한다.", "</p><p>이산균등분포의 평균과 분산을 구해 보자.", "</p><p>定理 2.31 \\( X \\sim \\operatorname{DU}(N) \\) 이면, \\( X \\) 의 평균과 분산은 다음과 같다. \\", "[ E(X)=\\frac{N}{2}, \\quad \\operatorname{Var}(X)=\\frac{N(N+2)}{12}. \\]", "<caption>(2.19)</caption></p><p>證明 평균 \\( E(X) \\) 는 \\[ E(X)=\\sum_{x=0}^{N} x f(x)=\\sum_{x=0}^{N} x \\frac{1}{N+1}=\\frac{1}{N+1} \\frac{N(N+1)}{2}=\\frac{N}{2} \\] 이고, 분산 \\( \\operatorname{Var}(X) \\) 는 다음과 같다. \\", "[ \\begin{aligned} \\operatorname{Var}(X) &=E\\left(X^{2}\\right)-(E(X))^{2} \\\\ &=\\sum_{x=0}^{N} x^{2} \\frac{1}{(N+1)}-\\left(\\frac{N}{2}\\right)^{2} \\\\ &=\\frac{1}{(N+1)}\\left\\{\\frac{N(N+1)(2 N+1)}{6}\\right\\}-\\frac{N^{2}}{4} \\\\ &=\\frac{N(2 N+1)}{6}-\\frac{N^{2}}{4}=\\frac{N(N+2)}{12}. \\end{aligned} \\]", "</p><h2>2.8.6 음의 이항분포</h2><p>음의 이항분포는 다음과 같은 과정으로 얻어진다. 성공확률 \\( p \\) 를 갖는 베르누이 시행을 독립적으로 계속 반복한다. 여기서 \\( r \\) 번의 성공을 얻기 위하여 요구되는 시행의 횟수를 확률변수 \\( X \\) 라고 정의하자. 그러면 정확히 \\( r \\) 번의 성공이 \\( x \\) 회의 시행에서 발생했다고 하면 즉, 사건 \\( \\{X=x\\} \\) 가 발생하려면 \\( x-1 \\) 회의 시행까지 정확하게 \\( r-1 \\) 번의 성공이 발생해야 한다. 따라서 이때 확률분포는 이항분포 \\[ \\left(\\begin{array}{l} x-1 \\\\ r-1 \\end{array}\\right) p^{r-1}(1-p)^{x-r}, \\quad x=r, r+1, r+2, r+3, \\cdots \\] 에 따른다. 그 다음의 시행인 \\( x \\) 회에서 성공 \\( p \\) 가 한 번 더 나오면 그 확률분포는 \\[ \\begin{aligned} f(x ; r, p) &=\\left(\\begin{array}{l} x-1 \\\\ r-1 \\end{array}\\right) p^{r-1}(1-p)^{x-r} \\times p \\\\ &=\\left(\\begin{array}{l} x-1 \\\\ r-1 \\end{array}\\right) p^{r}(1-p)^{x-r}, \\quad x=r, r+1, r+2, r+3, \\cdots \\end{aligned} \\] 이다. 실제로 \\[ f(x ; r, p)=\\left(\\begin{array}{l} x-1 \\\\ r-1 \\end{array}\\right) p^{r}(1-p)^{x-r}, \\quad x=r, r+1, r+2, r+3, \\cdots \\] 가 확률질량함수인 사실은 다음과 같이 증명할 수 있다. 먼저 다음 두 가지 공식을 이용하자. 함수 \\( f(q)=(1-q)^{-r}(r>0) \\) 을 Maclaurin 급수로 전개하면 \\[ (1-q)^{-r}=\\sum_{i=0}^{\\infty}\\left(\\begin{array}{c} i+r-1 \\\\ r-1 \\end{array}\\right) q^{i} \\] 이고 또한, \\( \\alpha>0 \\) 일 때 \\[ \\begin{align", "ed} \\left(\\begin{array}{c} -\\alpha \\\\ n \\end{array}\\right) &=(-1)^{n}\\left(\\begin{array}{c} \\alpha+n-1 \\\\ n \\end{array}\\right) \\\\ &=(-1)^{n}\\left(\\begin{array}{c} n+\\alpha-1 \\\\ \\alpha-1 \\end{array}\\right) \\end{aligned} \\] 이다.", "이로부터 \\[ \\begin{aligned} f(x ; r, p) &=\\sum_{x=r}^{\\infty}\\left(\\begin{array}{c} x-1 \\\\ r-1 \\end{array}\\right) p^{r} q^{x-r} \\quad\\left(x^{*} x-r\\right) \\\\ &=\\sum_{x^{*}=0}^{\\infty}\\left(\\begin{array}{c} x^{*}+r-1 \\\\ r-1 \\end{array}\\right) p^{r} q^{x^{*}} \\\\ &=p^{r}(1-q)^{-r} \\\\ &=p^{r} p^{-r} \\\\ &=1 \\end{aligned} \\] 인 것을 알 수 있다.", "</p><p>定義 2.29 이산확률변수 \\( X \\)의 확률질량함수가 다음과 같으면, \\[ f(x ; r, p)=\\left(\\begin{array}{l} x-1 \\\\ r-1 \\end{array}\\right) p^{r}(1-p)^{x-r}, \\quad x=r, r+1, r+2, r+3, \\cdots \\]<caption>\\( (2.20) \\)</caption></p><p>\\( X \\)는 음의 이항분포(negative binomial distribution)에 따른다고 한다.", "확률변수 \\( X \\)가 음의 이항분포에 따를 때, 기호 \\( X \\sim \\operatorname{NB}(r, p) \\)를 사용하기로 한다.", "</p><p>定理 2.32 \\( X \\sim \\mathrm{NB}(r, p) \\)이면, \\( X \\)의 평균, 분산과 적률모함수은 각각 다음과 같다. \\", "[ E(X)=\\frac{r}{p}, \\quad \\operatorname{Var}(X)=\\frac{r q}{p^{2}}, \\quad M_{X}(t)=\\frac{p^{r} e^{r t}}{\\left(1-q e^{t}\\right)^{r}}(q=1-p) \\]</p><p>證明 적률모함수를 유도해보고 이 적률모함수로부터 평균과 분산을 구한다.", "먼저 적률모함수는 다음과 같다. \\", "[ \\begin{aligned} M_{X}(t) &=\\sum_{x=r}^{\\infty} e^{t x}\\left(\\begin{array}{c} x-1 \\\\ r-1 \\end{array}\\right) p^{r} q^{x-r} \\quad (x^{*}=x-r) \\\\ &=\\sum_{x^{*}=0}^{\\infty} e^{t\\left(x^{*}+r\\right)}\\left(\\begin{array}{c} x^{*}+r-1 \\\\ r-1 \\end{array}\\right) p^{r} q^{x^{*}} \\\\ &=p^{r} e^{r t} \\sum_{x^{*}=0}^{\\infty}\\left(\\begin{array}{c} x^{*}+r-1 \\\\ r-1 \\end{array}\\right)\\left(q e^{t}\\right)^{x^{*}} \\\\ &=p^{r} e^{r t}\\left(1-q e^{t}\\right)^{-r} \\\\ &=\\frac{p^{r} e^{r t}}{\\left(1-q e^{t}\\right)^{r}} \\end{aligned} \\] 이다.", "이 식의 양변을 \\( t \\)에 관해 한 번 미분하면, \\[ \\begin{aligned} M_{X}^{\\prime}(t) &=p^{r} \\frac{e^{r t} r\\left(1-q e^{t}\\right)^{r}-e^{r t} r\\left(1-q e^{t}\\right)^{r-1}\\left(-q e^{t}\\right)}{\\left(1-q e^{t}\\right)^{2 r}} \\\\ &=p^{r} r \\frac{e^{r t}+e^{r t} q e^{t}\\left(1-q e^{t}\\right)^{-1}}{\\left(1-q e^{t}\\right)^{r}} \\\\ &=p^{r} r \\frac{e^{r t}\\left(1-q e^{t}+q e^{t}\\right)}{\\left(1-q e^{t}\\right)^{r+1}} \\\\ &=p^{r} r \\frac{e^{r t}}{\\left(1-r e^{t}\\right)^{r+1}} \\end{aligned} \\] 이고, 한 번 더 미분하면 \\[ M_{X}^{\\prime \\prime}(t)=p^{r} r \\frac{e^{r t} r\\left(1-q e^{t}\\right)^{r+1}+e^{r t}(r+1)\\left(1-q e^{t}\\right)^{r}\\left(q e^{t}\\right)}{\\left(1-q e^{t}\\right)^{2 r+2}} \\] 이고 이때, \\[ \\begin{aligned} M_{X}^{\\prime \\prime}(0) &=\\left.M^{\\prime \\prime}(t)\\right|_{t=0} \\\\ &=\\left.p^{r} r \\frac{e^{r t} r\\left(1-q e^{t}\\right)^{r+1}+e^{r t}(r+1)\\left(1-q e^{t}\\right)^{r}\\left(q e^{t}\\right)}{\\left(1-q e^{t}\\right)^{2 r+2}}\\right|_{t=0} \\\\ &=p^{r} r \\frac{r(1-q)^{r+1}+(r+1)(1-q)^{r} q}{(1-q)^{2 r+2}} \\\\ &=r \\frac{r p+(r+1) q}{p^{2}} \\end{aligned} \\] 을 얻는다.", "이로부터 평균 \\( E(X) \\)는 \\[ \\begin{aligned} E(X) &=\\left.M_{X}^{\\prime}(t)\\right|_{t=0} \\\\ &=\\left.\\frac{p^{r} r e^{r t}\\left(1-q e^{t}\\right)^{r}+p^{r} e^{r t} r\\left(1-q e^{t}\\right)^{r-1} q e^{t}}{\\left(1-q e^{t}\\right)^{2 r}}\\right|_{t=0} \\\\ &=\\frac{p^{r} r(1-q)^{r}+p^{r} r(1-q)^{r-1} q}{(1-q)^{2 r}} \\\\ &=r\\left(1+\\frac{q}{p}\\right) \\\\ &=\\frac{r}{p} \\end{aligned} \\] 이고 분산 \\( \\operatorname{Var}(X) \\)는 다음과 같다. \\", "[ \\begin{aligned} \\operatorname{Var}(X) &=M_{X}^{\\prime \\prime}(0)-\\left\\{M_{X}^{\\prime}(0)\\right\\}^{2} \\\\ &=r \\frac{(r p+r q+q)}{p^{2}}-\\left(\\frac{r}{p}\\right)^{2} \\\\ &=r \\frac{(r+q)}{p^{2}}-\\frac{r^{2}}{p^{2}} \\\\ &=\\frac{r q}{p^{2}}, \\quad(q=1-p) \\end{aligned} \\]</p> <h1>2.9.3 Gamma 분포</h1><p>감마분포(gamma distribution)를 정의하기 전에 감마함수(gamma function)에 대하여 고찰해 보자.", "감마함수는 \\[ \\Gamma(\\alpha)=\\int_{0}^{+\\infty} x^{\\alpha-1} e^{-x} d x, \\quad(\\alpha>0) \\]<caption>(2.28)</caption></p><p>와 같이 이상적분형태로 정의된 함수이며, 종종 제 2종의 오일러적분(Euler's integral of the second kind)이라 부르기도 한다.", "이제 감마함수에 대한 특징을 살펴보자.", "먼저 다음 감마함수 \\[ \\Gamma(\\alpha)=\\int_{0}^{+\\infty} x^{\\alpha-1} e^{-x} d x, \\quad(\\alpha>0) \\] 을 부분적분법으로 한 번 계산하면, \\[ \\begin{aligned} \\Gamma(\\alpha) &=\\left[-x^{\\alpha-1} e^{-x}\\right]_{0}^{+\\infty}+\\int_{0}^{+\\infty}(\\alpha-1) x^{\\alpha-2} e^{-x} d x \\\\ &=(\\alpha-1) \\int_{0}^{+\\infty} x^{\\alpha-2} e^{-x} d x \\\\ &=(\\alpha-1) \\Gamma(\\alpha-1) \\end{aligned} \\]<caption>(2.29)</caption></p><p>이다.", "이런 식으로, 부분적분법을 계속 반복하면, \\[ \\Gamma(\\alpha)=(\\alpha-1)(\\alpha-2)(\\alpha-3) \\Gamma(\\alpha-3) \\]<caption>(2.30)</caption></p><p>이다.", "감마함수에서 \\( \\alpha=1 \\) 이면, \\[ \\begin{aligned} \\Gamma(1) &=\\int_{0}^{+\\infty} e^{-x} d x \\\\ &=\\left[-e^{-x}\\right]_{0}^{+\\infty} \\\\ &=1 \\end{aligned} \\]<caption>(2.31)</caption></p><p>이다.", "특히, \\( \\alpha \\) 가 양의 정수 \\( n \\) 일 경우에는, \\[ \\begin{aligned} \\Gamma(n) &=(n-1)(n-2)(n-3) \\cdots 3 \\cdot 2 \\cdot 1 \\cdot \\Gamma(1) \\\\ &=(n-1)(n-2)(n-3) \\cdots 3 \\cdot 2 \\cdot 1 \\\\ &=(n-1) ! \\end{aligned} \\]", "<caption>(2.32)</caption></p><p>이다.", "사실상 감마함수값을 일일이 수작업으로 계산하여 그 값을 구하는 것은 매우 번거롭고 힘든 일이므로 필요에 따라 미리 계산해 놓은 감마함수표(tables of gamma functions)를 이용하면 편리하다(부록 참조).", "특별한 경우로서, 감마함수값 중 가장 많이 이용하는 값이 바로 \\( \\Gamma\\left(\\frac{1}{2}\\right) \\)의 값이다.", "이 감마함수값을 유도 해 보자.", "</p><p>定理 2.36 (1) 감마함수 \\[ \\Gamma(\\alpha)=\\int_{0}^{+\\infty} x^{\\alpha-1} e^{-x} d x \\quad(\\alpha>0) \\] 에서 \\( \\alpha=\\frac{1}{2} \\)이면, \\( \\Gamma\\left(\\frac{1}{2}\\right)=\\sqrt{\\pi} \\)이다.", "</p><p>(2) Stirling의 공식 : 충분히 큰 양의 정수 \\( n \\)에 대하여 근사적으로 다음 식이 성립한다. \\", "[ n ! \\", "doteqdot \\sqrt{2 \\pi n} n^{n} e^{-n} \\]</p><p>證明 (1) 감마함수의 정의에 의하여, \\[ \\begin{aligned} \\Gamma\\left(\\frac{1}{2}\\right) &=\\int_{0}^{+\\infty} x^{\\frac{1}{2}-1} e^{-x} d x \\\\ &=\\int_{0}^{+\\infty} \\frac{1}{\\sqrt{x}} e^{-x} d x \\end{aligned} \\] 이다.", "위의 식에서 \\( t=\\sqrt{x} \\)로 치환하자.", "이때 \\[ \\left\\{\\begin{array}{l} x \\rightarrow 0 \\text { 이면 } \\quad t \\rightarrow 0, \\\\ x \\rightarrow+\\infty \\text { 이면 } \\quad t \\rightarrow+\\infty \\end{array}\\right. \\] 이므로 \\[ \\begin{aligned} \\Gamma\\left(\\frac{1}{2}\\right) &=\\int_{0}^{+\\infty} \\frac{1}{t} e^{-t^{2}} 2 t d t \\\\ &=2 \\int_{0}^{+\\infty} e^{-t^{2}} d t \\end{aligned} \\] 이다.", "이 식의 양변을 제곱하면, \\[ \\begin{aligned}\\left\\{\\Gamma\\left(\\frac{1}{2}\\right)\\right\\}^{2} &=\\left(2 \\int_{0}^{+\\infty} e^{-t^{2}} d t\\right)^{2} \\\\ &=\\left(2 \\int_{0}^{+\\infty} e^{-t^{2}} d t\\right)\\left(2 \\int_{0}^{+\\infty} e^{-s^{2}} d s\\right) \\\\ &=4 \\int_{0}^{+\\infty} \\int_{0}^{+\\infty} e^{-t^{2}-s^{2}} d t d s \\end{aligned} \\] 이다.", "여기서 다시 극좌표 \\( t=r \\cos \\theta, s=r \\sin \\theta\\left(0<r<+\\infty, 0 \\leqslant \\theta \\leqslant \\frac{\\pi}{2}\\right) \\)를 이용하여 변수변환을 하면, \\[ \\begin{aligned} \\left\\{\\Gamma\\left(\\frac{1}{2}\\right)\\right\\}^{2} &=4 \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\int_{0}^{+\\infty} e^{-r^{2}} r d r d \\theta \\\\ &=4 \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}\\left[-\\frac{1}{2} e^{-r^{2}}\\right]_{0}^{+\\infty} d \\theta \\\\ &=2 \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} d \\theta \\\\ &=\\pi \\end{aligned} \\] 이므로 \\( \\Gamma\\left(\\frac{1}{2}\\right)=\\pm \\sqrt{\\pi} \\)이다. 그런데 \\( \\int_{0}^{+\\infty} e^{-x^{2}} d x \\)에서 피적분함수는 모든 \\( x \\in(0,+\\infty) \\)에 대하여, \\( e^{-x^{2}}>0 \\)이므로 \\( \\int_{0}^{+\\infty} e^{-x^{2}} d x>0 \\)이어야 한다.", "그러므로 \\( \\Gamma\\left(\\frac{1}{2}\\right)=\\sqrt{\\pi} \\)이다.", "</p><p>(2) 감마함수 \\( \\Gamma(\\alpha)=\\int_{0}^{+\\infty} x^{\\alpha-1} e^{x} d x \\)에서 \\( n \\)을 \\( n=\\alpha-1 \\)로 치환하자.", "이 때 \\[ \\begin{aligned} \\Gamma(n+1) &=\\int_{0}^{\\infty} x^{n} e^{-x} d x \\\\ &=\\int_{0}^{+\\infty} e^{n \\ln x} e^{-x} d x \\\\ &=\\int_{0}^{+\\infty} e^{-x+n \\ln x} d x \\end{aligned} \\] 이고, 고정된 \\( n \\)에 대하여 피적분함수인 지수함수의 지수성분 \\( -x+n \\ln x \\)는 \\( x=n \\)에서 극댓값을 가진다.", "이제 다시 \\( x \\)를 \\( x=n+u \\)라 하면 \\[ \\begin{aligned} \\Gamma(n+1) &=e^{-n} \\int_{-n}^{\\infty} e^{n \\ln (n+u)-u} d u \\\\ &=e^{-n} \\int_{0}^{+\\infty} \\exp \\left\\{n \\ln \\left(n\\left(1+\\frac{u}{n}\\right)\\right)-u\\right\\} d u \\\\ &=n^{n} e^{-n} \\int_{0}^{+\\infty} \\exp \\left\\{n \\ln \\left(1+\\frac{u}{n}\\right)-u\\right\\} d u \\end{aligned} \\] 이다.", "이제 피적분함수인 자연대수함수 \\( \\ln \\left(1+\\frac{u}{n}\\right) \\)에 대한 MacLaurin의 급수식 \\[ \\ln \\left(1+\\frac{u}{n}\\right)=\\frac{u}{n}-\\frac{1}{2} \\frac{u^{2}}{n^{2}}+\\frac{1}{3} \\frac{u^{3}}{n^{3}}-\\frac{1}{4} \\frac{u^{4}}{n^{4}}+\\cdots \\] 을 이용하고 다시 \\( u \\)를 \\( u=\\sqrt{n} v \\)라 하면, \\( d u=\\sqrt{n} d v \\)이므로 \\[ \\begin{aligned} \\Gamma(n+1) &=n^{n} e^{-n} \\int_{-n}^{\\infty} \\exp \\left\\{n\\left(\\frac{u}{n}-\\frac{1}{2} \\frac{u^{2}}{n^{2}}+\\frac{1}{3} \\frac{u^{3}}{n^{3}}-\\frac{1}{4} \\frac{u^{4}}{n^{4}}+\\cdots\\right)-u\\right\\} d u \\\\ &=n^{n} e^{-n} \\sqrt{n} \\int_{-n}^{+\\infty} \\exp \\left\\{-\\frac{1}{2} \\frac{(\\sqrt{n} v)^{2}}{n}+\\frac{1}{3} \\frac{(\\sqrt{n} v)^{3}}{n^{2}}-\\frac{1}{4} \\frac{(\\sqrt{n} v)^{4}}{n^{3}}+\\cdots\\right\\} d v \\\\ &=n^{n} e^{-n} \\sqrt{n} \\int_{-n}^{+\\infty} \\exp \\left\\{-\\frac{1}{2} v^{2}+\\frac{1}{3} \\frac{v^{3}}{\\sqrt{n}}-\\frac{1}{4} \\frac{v^{4}}{n}+\\cdots\\right\\} d v \\end{aligned} \\] 이다.", "여기서 양의 정수 \\( n \\) 이 충분히 크면 위의 이상적분은 근사적으로 \\[ \\begin{aligned} \\Gamma(n+1) & \\doteqdot n e^{-n} \\sqrt{n} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} e^{-\\frac{1}{2} v^{2}} d v \\\\ &=n^{n} e^{-n} \\sqrt{n} \\sqrt{2 \\pi} \\\\ &=\\sqrt{2 \\pi n} n^{n} e^{-n} \\end{aligned} \\] 이다.", "</p><p>이제 감마함수로부터 감마분포를 유도해 보자. 감마함수 \\[ \\Gamma(\\alpha)=\\int_{0}^{+\\infty} t^{\\alpha-1} e^{-t} d t \\] 에서 \\( t=\\beta x(\\beta>", "0) \\) 로 치환하면, \\( t \\rightarrow 0 \\) 이면 \\( x \\rightarrow 0 \\) 이고, \\( t \\rightarrow+\\infty \\) 이면 \\( x \\rightarrow+\\infty \\) 이므로 \\[ \\Gamma(\\alpha)=\\int_{0}^{+\\infty}(\\beta x)^{\\alpha-1} e^{-\\beta x} \\beta d x. \\]", "이로부터 \\[ \\int_{0}^{+\\infty} \\frac{\\beta^{\\alpha}}{\\Gamma(\\alpha)} x^{\\alpha-1} e^{-\\beta x} d x=1 \\] 이므로 다음과 같이 \\[ f(x ; \\beta, \\alpha)=\\left\\{\\begin{array}{ll} \\frac{\\beta^{\\alpha}}{\\Gamma(\\alpha)} x^{\\alpha-1} e^{-\\beta x}, & 0<x<+\\infty, \\quad \\alpha>0, \\beta>0 \\\\ 0, & x<0 \\end{array}\\right. \\]", "감마분포의 확률밀도함수 \\( f(x ; \\beta, \\alpha) \\) 를 얻을 수 있다.", "</p><p>定義 2.32 연속확률변수 \\( X \\) 의 확률밀도함수 \\( f(x ; \\beta, \\alpha) \\) 가 \\[ f(x ; \\beta, \\alpha)=\\left\\{\\begin{array}{ll} \\frac{\\beta^{\\alpha}}{\\Gamma(\\alpha)} x^{\\alpha-1} e^{-\\beta x}, & 0<x<+\\infty, \\quad \\alpha>0, \\beta>0 \\\\ 0, & x<0 \\end{array}\\right. \\]", "<caption>(2.33)</caption></p><p>이면, \\( X \\) 는 감마분포(gamma distribution)에 따른다고 한다.", "확률변수 \\( X \\) 가 감마분포에 따를 때, 기호 \\( X \\sim \\operatorname{GAM}(\\beta, \\alpha) \\) 를 쓰기로 한다.", "</p><p>이제 감마분포의 평균과 분산을 구해 보자.", "</p><p>定理 2.37 \\( X \\sim \\operatorname{GAM}(\\beta, \\alpha) \\) 이면, \\( X \\) 의 평균과 분산은 각각 다음과 같다. \\", "[ E(X)=\\frac{\\alpha}{\\beta}, \\quad \\operatorname{Var}(X)=\\frac{\\alpha}{\\beta^{2}} \\]<caption>(2.34)</caption></p><p>證明 먼저 평균 \\( E(X) \\) 를 구하면 \\[ \\begin{aligned} E(X) &=\\int_{0}^{+\\infty} x \\frac{\\beta^{\\alpha}}{\\Gamma(\\alpha)} x^{\\alpha-1} e^{-\\beta x} d x \\\\ &=\\frac{\\beta^{\\alpha}}{\\Gamma(\\alpha)} \\int_{0}^{+\\infty} \\frac{t^{\\alpha}}{\\beta^{\\alpha}} e^{-t} \\frac{1}{\\beta} d t \\quad(t= \\beta x \\text{로 치환}) \\\\ &=\\frac{\\beta^{\\alpha}}{\\beta^{\\alpha+1} \\Gamma(\\alpha)} \\int_{0}^{+\\infty} t^{(\\alpha+1)-1} e^{-t} d t \\\\ &=\\frac{1}{\\beta \\Gamma(\\alpha)} \\Gamma(\\alpha+1) \\\\ &=\\frac{\\alpha}{\\beta} \\end{aligned} \\] 이고 분산은 \\[ \\begin{aligned} \\operatorname{Var}(X) &=E\\left(X^{2}\\right)-(E(X))^{2} \\\\ &=\\int_{0}^{+\\infty} x^{2} \\frac{\\beta^{\\alpha}}{\\Gamma(\\alpha)} x^{\\alpha-1} e^{-\\beta x} d x-\\left(\\frac{\\alpha}{\\beta}\\right)^{2} \\\\ &=\\frac{\\beta^{\\alpha}}{\\Gamma(\\alpha)} \\int_{0}^{+\\infty} x^{\\alpha+1} e^{-\\beta x} d x-\\left(\\frac{\\alpha}{\\beta}\\right)^{2} \\\\ &=\\frac{\\beta^{\\alpha}}{\\Gamma(\\alpha)} \\int_{0}^{+\\infty} \\frac{t^{\\alpha+1}}{\\beta^{\\alpha+1}} e^{-t} \\frac{1}{\\beta} d t-\\left(\\frac{\\alpha}{\\beta}\\right)^{2} \\quad(t= \\beta x \\text{로 치환}) \\\\ &=\\frac{\\beta^{\\alpha}}{\\beta^{\\alpha+2} \\Gamma(\\alpha)} \\int_{0}^{+\\infty} t^{(\\alpha+2)-1} e^{-t} d t-\\left(\\frac{\\alpha}{\\beta}\\right)^{2} \\\\ &=\\frac{1}{\\beta^{2} \\Gamma(\\alpha)} \\Gamma(\\alpha+2)-\\left(\\frac{\\alpha}{\\beta}\\right)^{2} \\\\ &=\\frac{(\\alpha+1) \\alpha}{\\beta^{2}}-\\frac{\\alpha^{2}}{\\beta^{2}} \\\\ &=\\frac{\\alpha}{\\beta^{2}} \\end{aligned} \\] 이다.", "</p><p>감마분포의 적률모함수를 구해 보자.", "</p><p>定理 2.38 \\( X \\sim \\operatorname{GAM}(\\beta, \\alpha) \\) 이면, \\( X \\) 의 적률모함수는 다음과 같다. \\", "[ M_{X}(t)=\\left(1-\\frac{t}{\\beta}\\right)^{-\\alpha}, \\quad(t<\\beta) \\]<caption>(2.35)</caption></p> <p>定義 2.21 (1) \\( \\alpha \\)를 \\( 0<\\alpha<1 \\)인 실수라 하고 \\( A \\)를 공집합이 아닌 집합이라하자.", "모든 \\( x, y \\in A \\)에 대하여, \\( x \\)와 \\( y \\)을 연결하는 선분 \\( z=\\alpha x+(1-\\alpha) y \\)가 집합 \\( A \\)내에 포함되면 즉, \\[ z=\\alpha x+(1-\\alpha) y \\in A \\] 이면 집합 \\( A \\)를 볼록집합(convex set)이라 한다.", "</p><p>(2) \\( \\alpha \\)를 \\( 0<\\alpha<1 \\)인 실수라 하고, \\( g(x) \\)를 정의역이 폐구간 \\( [a, b] \\)인 연속인 실수치함수라 하자.", "모든 \\( x, y \\in[a, b] \\)에 대하여, 함수 \\( g(x) \\)가 조건 \\[ g(\\alpha x+(1-\\alpha) y) \\leqslant \\alpha g(x)+(1-\\alpha) g(y) \\] 을 만족하면 \\( g(x) \\)를 볼록함수(convex function)이라 한다.", "</p><p>직관적으로 말하면, 볼록함수는 폐구간 \\( [a, b] \\)내의 두 점 \\( x \\)와 \\( y \\)에서의 함수값을 각각 \\( g(x) \\)와 \\( g(y) \\)라 하였을 때, 임의의 점 \\( x_{0} \\in[a, b] \\)에서, \\( g(x) \\)와 \\( g(y) \\)를 연결하는 선분상의 함수값이, 폐구간 \\( [a, b] \\)내의 두 점 \\( x \\)와 \\( y \\)를 연결하는 선분상의 함수값보다 크거나 같을 때를 의미한다.", "이제 Jensen의 부등식을 증명해 보자.", "</p>32쪽<p>定理 2.18 확률변수 \\( X \\)의 평균을 \\( E(X) \\)라 하자.", "이때, 함수 \\( g(x) \\)가 연속이고 볼록함수이면, 다음 식이 성립한다. \\", "[ g(E(X)) \\leqslant E(g(X)) \\]</p><p>證明 \\( g(x) \\)가 연속이고 볼록함수이므로, 점 \\( (E(X), g(E(X)) \\)을 지나는 적당한 직선 \\( l(x)=a+b x \\)는 \\( l(x)=a+b x \\leqslant g(x) \\)와 \\( l(E(X))=g(E(X)) \\)을 만족한다.", "따라서, \\[ E(l(X))=E(a+b X)=a+b E(X)=l E(X) \\] 이므로 \\[ g(E(X))=l(E(X))=E(l(X)) \\leqslant E[g(X)] \\] 이다.", "</p><p>Jensen의 부등식의 예를 들어 보자.", "먼저 \\( f(x)=x^{2} \\)은 \\( \\mathbb{R} \\)상에서 연속이고 \\[ E\\left(X^{2}\\right)=E(f(X)) \\geqslant f(E(X))=(E(X))^{2} \\] 이 성립한다.", "즉, \\( \\operatorname{Var}(X)=E\\left(X^{2}\\right)-(E(X))^{2} \\geqslant 0 \\)인 것을 알 수 있다.", "또한, 지수함수 \\( f(x)=e^{-x} \\)도 \\( \\mathbb{R} \\)상에서 연속이고 볼록함수이므로 Jensen의 부등식을 이용하면 \\[ E(f(x))=E\\left(e^{X}\\right)=\\geqslant f(E(X))=e^{E(X)} \\] 이므로 \\[ E(X) \\leqslant \\ln \\left(E\\left(e^{X}\\right)\\right) \\] 이다.", "</p><h1>2.8 이산형 특수 확률분포</h1><p>이 절에서는 확률론은 물론 통계학의 거의 모든 분야에서 자주 나타나는 중요한 유형의 이산확률분포에 대하여 자세하게 알아 보고 앞 절에서 설명한 기댓값, 분산 그리고 적률모함수를 구하여 본다.", "</p><h2>2.8.1 이항분포</h2><p>어느 설문조사에서 응답을 \"YES\"또는 \"NO\"로 표기하는 것, 바둑알을 흰 돌 또는 검은 돌로 구분하는 것, 어떤 시험문제의 정답을 \\(O\\) 또는 \\(X\\)로 표기하는 것, 한 개의 동전을 던지는 실험에서 나오는 앞면 또는 뒷면, 또한 어느 부품 제조공장의 생산라인에서 생산되는 부품을 정상품(good product)과 불량품(defective product)으로 구분하는 것, 정육면체 주사위를 한 번 던졌을 때 나오는 눈을 짝수와 홀수로 구분하는 33쪽 것 등등 이러한 모든 실험의 결과는 오직 두 가지로만 나타난다.", "이와 같이 랜덤하게 시행한 결과가 오직 두 가지 형태로만 나타날 때의 확률분포를 구해 보고 이러한 시행을 계속 반복하였을 때 나타나는 확률분포에 대하여도 알아 본다.", "</p><p>定義 2.22 어떤 실험을 시행한 결과가 오직 두 가지 형태로 나타나면, 이러한 시행을 베르누이 시행(Bernoulli trial)이라 한다.", "</p><p>일반적으로, 베르누이 시행에서 나타나는 이 두 가지 결과를 하나는 성공(success)으로, 다른 하나는 실패(failure)로 구분한다.", "이 경우, 성공한 사건을 \\( E \\), 실패한 사건을 \\( E^{c} \\)로 나타내어 다음과 같이 확률을 부여하자.", "즉, \\( p \\)와 \\( q \\)를 각각 \\[ p=P(E), \\quad q=P\\left(E^{c}\\right)=1-p \\] 로 나타내면, \\( p \\)와 \\( q \\)를 각각 성공확률(probability of success), 실패확률(probability of failure)이라 한다.", "</p><p>定義 2.23 \\((\\Omega, \\mathcal{F}, P) \\)를 확률공간, \\( E \\subseteq \\Omega \\)를 임의의 사건이라 하고 베르누이 시행에서 얻은 성공확률과 실패확률을 각각 \\( p=P(E) \\)와 \\( q=P\\left(E^{c}\\right) \\)라 하자.", "이제 \\(0\\)과 \\(1\\)을 이용하여 확률변수 \\( X \\)를 \\[ X(\\omega)=\\left\\{\\begin{array}{ll} 1, & \\omega \\in E \\\\ 0, & \\omega \\in E^{c} \\end{array}\\right. \\]", "<caption>(2.1)</caption></p><p>로 정의하면, 이 확률변수 \\( X \\)를 베르누이 확률변수(Bernoulli random variable)라 한다.", "</p><p>이 정의로부터 \\( P\\{X(\\omega)=1\\}=p \\)이고 \\( P\\{X(\\omega)=0\\}=q=1-p \\)임을 알 수 있다.", "베르누이 확률변수 \\( X \\)의 확률질량함수는 다음과 같다.", "</p><p>定義 2.24 \\( X \\)를 베르누이 확률변수라 하면, \\[ f(x ; p)=p^{x} q^{1-x}, \\quad x=0,1 \\]<caption>(2.2)</caption></p><p>를 성공확률 \\( p \\)를 갖는 베르누이 분포(Bernoulli distribution)라 한다.", "확률변수 \\( X \\)가 성공확률 \\( p \\)를 갖는 베르누이 분포에 따를 때, 기호 \\( X \\sim \\operatorname{BERN}(p) \\)라 쓰기로 한다.", "</p><p>명백히, 베르누이 분포에서 \\( f(0)=q=P\\{X=0\\} \\)이고 \\( f(1)=p=P\\{X=1\\} \\)이다.", "이제 베르누이 분포의 평균, 분산과 적률모함수를 구해보자.", "</p>34쪽<p>定理 2.19 \\( X \\sim \\operatorname{BERN}(p) \\)라 하면, \\( X \\)의 기댓값과 분산은 각각 \\[ E(X) =p,\\]<caption>(2.3)</caption></p><p>\\[\\operatorname{Var}(X) =p q \\]<caption>(2.4)</caption></p><p>이다.", "</p><p>證明 먼저 평균(기댓값)을 구하면, \\[ \\begin{aligned} E(X) &=\\sum_{x=0}^{1} x p^{x} q^{1-x} \\\\ &=0 \\cdot 1 \\cdot q+1 \\cdot p \\cdot 1 \\\\ &=p \\end{aligned} \\] 이다.", "분산을 구하기 전에 먼저 원점에 대한 \\( X \\)의 제 \\(2\\)차 모멘트는 구하면 \\[ \\begin{aligned} E\\left(X^{2}\\right) &=\\sum_{x=0}^{1} x^{2} p^{x} q^{1-x} \\\\ &=0^{2} \\cdot 1 \\cdot q+1^{2} \\cdot p \\cdot 1 \\\\ &=p \\end{aligned} \\] 이다.", "따라서 \\( X \\)의 분산은 \\[ \\begin{aligned} \\operatorname{Var}(X) &=E\\left(X^{2}\\right)-[E(X)]^{2} \\\\ &=p-p^{2} \\\\ &=p(1-p) \\\\ &=p q \\end{aligned} \\] 이다.", "</p><p>베르누이 분포의 적률모함수를 구해 보자.", "</p><p>定理 2.20 \\(X \\sim \\operatorname{BERN}(p) \\)라 하면, \\( X \\)의 적률모함수는 \\[ M_{X}(t)=q+p e^{t} \\]<caption>(2.5)</caption></p><p>이다.", "</p>35쪽<p>證明 적률모함수의 정의로 부터 \\( X \\)의 적률모함수를 구하면, \\[ \\begin{aligned} M_{X}(t) &=E\\left(e^{t X}\\right) \\\\ &=\\sum_{x=0}^{1} e^{t x} f(x ; p) \\\\ &=\\sum_{x=0}^{1} e^{t x} p^{x} q^{1-x} \\\\ &=1 \\cdot 1 \\cdot q+e^{t} \\cdot p \\cdot 1 \\\\ &=q+p e^{t} \\end{aligned} \\] 이다.", "</p><p>이항분포는 베르누이 시행을 \\( n \\)회 독립적으로 반복 시행하였을 때 나타나는 분포이다.", "이항분포는 다음과 같이 얻어진다.", "</p><p>定理 2.21 \\( Y \\)를 베르누0| 확률변수라하자.", "먼저 \\(1\\)회의 베르누이 시행결과 나타난 성공확률을 \\( p \\), 실패확률을 \\( q=1-p \\)라 하자.", "이때 베르누이 시행을 \\( n \\)회 독립적으로 반복하였을 때 성공이 나타나는 횟수를 확률변수 \\( X \\)라 하면, \\( n \\)회의 베르누이 시행 중, 성공이 정확히 \\( x \\)번 나올 확률은 \\[ f(x ; n, p)=\\left(\\begin{array}{l} n \\\\ x \\end{array}\\right) p^{x} q^{n-x}, \\quad x=0,1,2, \\cdots, n,\\quad q=1-p \\]<caption>(2.6)</caption></p><p>이다.", "이 확률분포를 이항분포(binomial distribution)라 한다.", "확률변수 \\( X \\)가 시행횟수 \\( n \\)과 성공확률 \\( p \\)를 갖는 이항분포에 따를 때, 기호 \\( X \\sim \\operatorname{BIN}(n, p) \\)로 쓰기로 한다.", "</p> <h1>2.9 연속형 특수 확률분포</h1><p>이 절에서는 앞 절에서와 마찬가지로 중요한 유형의 연속확률분포에 대하여 자세히 알아 보고 기댓값, 분산 그리고 적률모함수를 구하여 본다.", "</p><h2>2.9.1 직사각형분포</h2><p>定峩 2.30 확률변수 \\( X \\) 의 확률밀도함수 \\( f(x ; a, b) \\) 가 \\[ f(x ; a, b)=\\left\\{\\begin{array}{ll} \\frac{1}{b-a}, & a<x<b \\\\ 0, & x \\leqslant a, x \\geqslant b \\end{array}\\right. \\]", "<caption>(2.21)</caption></p><p>와 같이 정의되는 확률분포를 직사각형분포(rectangular distribution) 또는 연속균등분포(continuous uniform distribution)라 한다.", "확률변수 \\( X \\) 가 연속직사각형 분포에 따를때, 기호 \\( X \\sim \\operatorname{UNIF}(a, b) \\) 로 쓰기로 한다.", "</p><p>定理 2.33 \\( X \\sim \\operatorname{UNIF}(a, b) \\) 이면, \\( X \\) 의 평균과 분산은 다음과 같다. \\", "[ E(X) =\\frac{a+b}{2},\\]<caption>(2.22)</caption></p>\\[\\operatorname{Var}(X) =\\frac{(b-a)^{2}}{12} . \\]", "<caption>(2.23)</caption></p><p>證明 평균 \\( E(X) \\) 는 \\[ \\begin{aligned} E(X) &=\\int_{a}^{b} x \\frac{1}{b-a} d x \\\\ &=\\frac{1}{b-a} \\frac{b^{2}-a^{2}}{2} \\\\ &=\\frac{a+b}{2} \\end{aligned} \\] 이고, 분산 \\( \\operatorname{Var}(X) \\) 는 \\[ \\begin{aligned} \\operatorname{Var}(X) &=E\\left(X^{2}\\right)-(E(X))^{2} \\\\ &=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} x^{2} \\frac{1}{b-a} d x-\\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^{2} \\\\ &=\\frac{1}{b-a} \\int_{a}^{b} x^{2} d x-\\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^{2} \\\\ &=\\frac{a^{2}+a b+b^{2}}{3}-\\frac{(a+b)^{2}}{4} \\\\ &=\\frac{(b-a)^{2}}{12} \\end{aligned} \\] 이다.", "</p><h3>2.9.2 지수분포</h3><p>임의의 양의 실수 \\( \\lambda \\) 와 \\( x>0 \\) 에 대하여 다음 지수함수의 값은 \\( e^{-\\lambda x}>0 \\) 이다.", "또한 이 지수함수를 양의 실구간 \\( (0,+\\infty) \\) 상에서 적분하면 \\[ \\int_{0}^{+\\infty} e^{-\\lambda x} d x=\\frac{1}{\\lambda} \\] 이다.", "이 결과를 이용하면 다음과 같이 지수분포를 정의할 수 다.</p><p>定義 2.31 확률변수 \\( X \\) 의 확률밀도함수 \\( f(x ; \\lambda) \\) 가 \\[ f(x ; \\lambda)=\\left\\{\\begin{array}{ll} \\lambda e^{-\\lambda x}, & x \\geqslant 0, \\lambda>0 \\\\ 0, & x<0 \\end{array}\\right. \\]", "<caption>(2.24)</caption></p><p>와 같이 정의되는 확률분포를 모수 \\( \\lambda \\) 를 갖는 지수분포(exponential distribution)라 한다.", "확률변수 \\( X \\) 가 모수 \\( \\lambda \\) 를 갖는 지수분포에 따를 때, 기호 \\( X \\sim \\operatorname{EXP}(\\lambda) \\) 를 쓰기로 한다.", "</p><p>지수분포의 평균과 분산을 구해 보자.", "</p><p>定理 2.34 \\(X \\sim \\operatorname{EXP}(\\lambda) \\) 이면, \\( X \\) 의 평균과 분산은 각각 다음과 같다. \\", "[ E(X) =\\frac{1}{\\lambda}, \\]<caption>(2.25)</caption></p><p>\\[\\operatorname{Var}(X) =\\frac{1}{\\lambda^{2}} . \\]", "<caption>(2.26)</caption></p><p>證明 부분적분법을 이용하여 먼저 평균을 구하면, \\[ \\begin{aligned} E(X) &=\\int_{0}^{+\\infty} x \\lambda e^{-\\lambda x} d x \\\\ &=\\left[-x e^{-\\lambda x}\\right]_{0}^{+\\infty}-\\int_{0}^{+\\infty}\\left(-e^{-\\lambda x}\\right) d x \\\\ &=\\int_{0}^{+\\infty} e^{-\\lambda x} d x \\\\ &=\\left[-\\frac{1}{\\lambda} e^{-\\lambda x}\\right]_{0}^{+\\infty} \\\\ &=\\frac{1}{\\lambda} \\end{aligned} \\] 이다.", "또한 분산을 구하기 위하여 부분적분법과 로피탈(L'Hôspital)의 법칙을 적용하면, \\[ \\begin{aligned} \\operatorname{Var}(X) &=E\\left(X^{2}\\right)-(E(X))^{2} \\\\ &=\\int_{0}^{+\\infty} x^{2} \\lambda e^{-\\lambda x} d x-\\left(\\frac{1}{\\lambda}\\right)^{2} \\\\ &=\\left[-x^{2} e^{-\\lambda x}\\right]_{0}^{+\\infty}+\\int_{0}^{+\\infty} 2 x e^{-\\lambda x} d x-\\frac{1}{\\lambda^{2}} \\\\ &=\\frac{2}{\\lambda} \\int_{0}^{+\\infty} x \\lambda e^{-\\lambda x} d x-\\frac{1}{\\lambda^{2}} \\\\ &=\\frac{2}{\\lambda} \\frac{1}{\\lambda}-\\frac{1}{\\lambda^{2}} \\\\ &=\\frac{1}{\\lambda^{2}} \\end{aligned} \\] 이다.", "</p><p>모수 \\( \\lambda \\) 를 갖는 지수분포의 적률모함수를 구해 보자.", "</p><p>定理 2.35 \\( X \\sim \\operatorname{EXP}(\\lambda) \\) 이면, \\( X \\) 의 적률모함수는 다음과 같다. \\", "[ M_{X}(t)=\\left(1-\\frac{t}{\\lambda}\\right)^{-1}, \\quad(t<\\lambda) \\]<caption>(2.27)</caption></p><p>이다.", "</p><p>證明 적률모함수의 정의로 부터 \\[ \\begin{aligned} M_{X}(t) &=\\int_{0}^{+\\infty} e^{t x} \\lambda e^{-\\lambda x} d x \\\\ &=\\int_{0}^{+\\infty} \\lambda e^{-(\\lambda-t) x} d x \\end{aligned} \\] 이다. 그런데, 여기서 위의 적분값이 존재하려면 피적분함수인 지수함수의 지수성분이 \\( \\lambda-t>", "0 \\) 인 조건을 만족해야 하므로, \\[ \\begin{aligned} M_{X}(t) &=\\lambda \\int_{0}^{+\\infty} e^{-(\\lambda-t) x} d x \\\\ &=\\lambda\\left(-\\frac{1}{\\lambda-t}\\right)\\left[e^{-(\\lambda-t) x}\\right]_{0}^{+\\infty} \\\\ &=\\frac{\\lambda}{\\lambda-t} \\\\ &=\\left(1-\\frac{t}{\\lambda}\\right)^{-1}, \\quad(t<\\lambda) \\end{aligned} \\] 이다.", "</p> <p>>證明 \\( k \\)를 홀수인 양의 정수라 하고, 확률변수 \\( X \\)가 연속일 경우로 증명하여 보자. \\", "( X \\) 의 평균 \\( \\mu \\) 주위의 제 \\( k \\)차 중심적률의 정의에 의하여 \\[ \\begin{aligned} \\mu_{k} &=E\\left\\{(X-\\mu)^{k}\\right\\} \\\\ &=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}(x-\\mu)^{k} f(x) d x \\end{aligned} \\] 이고 여기서 \\( t=x-\\mu \\)로 치환하면 \\[ \\begin{aligned} \\mu_{k} &=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} t^{k} f(\\mu+t) d t \\\\ &=\\int_{-\\infty}^{0} t^{k} f(\\mu+t) d t+\\int_{0}^{+\\infty} t^{k} f(\\mu+t) d t \\end{aligned} \\] 이다.", "위의 첫 번째 적분변수는 \\( x=-t \\)로, 두 번째 적분변수는 \\( x=t \\)로 치환하면 \\[ \\begin{aligned} \\mu_{k} &=\\int_{+\\infty}^{0}(-x)^{k} f(\\mu-x)(-d x)+\\int_{0}^{+\\infty} x^{k} f(\\mu+x) d x \\\\ &=-\\int_{0}^{+\\infty}-\\left(x^{k}\\right) f(\\mu-x)(-d x)+\\int_{0}^{+\\infty} x^{k} f(\\mu+x) d x \\\\ &=-\\int_{0}^{+\\infty} x^{k} f(\\mu-x) d x+\\int_{0}^{+\\infty} x^{k} f(\\mu+x) d x \\\\ &=\\int_{0}^{+\\infty} x^{k}[-f(\\mu-x)+f(\\mu+x)] d x \\\\ &=\\int_{0}^{+\\infty} 0 d x=0 . \\end{aligned} \\]</p><h1>2.5 적률모함수</h1><p>적률모함수(moment generating function)는 지수함수의 기댓값이고 그 정의는 다음과 같다.", "</p><p>定義 2.19 확률변수 \\( X \\)의 적률모함수 \\( M_{X}(t) \\)를 다음과 같이 정의한다. \\[ M_{X}(t)=E\\left(e^{t X}\\right)=\\left\\{\\begin{array}{ll} \\sum_{x=0}^{\\infty} e^{t x} p(x), & (p(x) \\text { 는 } X \\text { 의 이산확률질량함수 }) \\\\ \\int_{-\\infty}^{+\\infty} e^{t x} f(x) d x, & (f(x) \\text { 는 } X \\text { 의 연속확률밀도함수 }) \\end{array}\\right. \\] 여기서, 임의의 실수 \\( h>", "0 \\)에 대하여, \\( E\\left[\\left|e^{t X}\\right|\\right]<\\infty,(|t|<h) \\)일 때이다.", "</p><p>적률모함수가 갖는 여러가지 성질은 연속형으로 쉅게 증명할 수 있다.", "그러면 적률모함수와 관련된 몇가지 사실을 증명해 보자.", "</p><p>定理 2.10 확률변수 \\(X\\)의 적률모함수가 존재하면, \\[ E\\left(X^{r}\\right)=\\left.\\frac{d^{r}}{d t^{r}} M_{X}(t)\\right|_{t=0}=M_{X}^{(r)}(0), \\quad r=1,2,3, \\cdots \\] 이고 다음 식이 성립한다. \\", "[ M_{X}(t)=\\sum_{r=0}^{\\infty} \\frac{E\\left(X^{r}\\right)}{r !} t^{r} \\]</p><p>證明 \\( f(x) \\)를 연속확률변수 \\( X \\)의 확률밀도함수라 하자. \\", "( X \\)의 적률모함수 \\( M_{X}(t) \\)는 \\[ \\begin{aligned} M_{X}(t) &=E\\left(e^{t X}\\right) \\\\ &=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} e^{t x} f(x) d x \\end{aligned} \\] 이다.", "이 식의 양변을 \\( t \\)에 관해 \\( r \\)번 미분하면, \\[ \\begin{aligned} M_{X}^{(r)}(t) &=E\\left(X^{r} e^{t X}\\right) \\\\ &=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} x^{r} e^{t x} f(x) d x, \\quad r=1,2,3 \\cdots \\end{aligned} \\] 이고, 여기에 \\( t=0 \\)을 대입하면, \\[ \\begin{aligned} E\\left(X^{r}\\right) &=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} x^{r} f(x) d x \\\\ &=M_{X}^{(r)}(0) \\end{aligned} \\] 이 얻어진다.", "또한, \\[ \\begin{aligned} M_{X}(t) &=E\\left(e^{t X}\\right) \\\\ &=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} e^{t x} f(x) d x \\\\ &=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\sum_{r=0}^{\\infty} \\frac{(t x)^{r}}{r !} f(x) d x \\\\ &=\\sum_{r=0}^{\\infty} \\frac{1}{r !}\\left(\\int_{-\\infty}^{+\\infty} x^{r} f(x) d x\\right) \\\\ &=\\sum_{r=0}^{\\infty} \\frac{E\\left(X^{r}\\right)}{r !} t^{r} \\end{aligned} \\] 이 성립한다.", "</p><p>다음은 두 확률변수 사이에 \\(1\\)차 함수관계가 있을 때 적률모함수를 구하는 방법이다.", "이 공식은 추후 정규분포의 적률모함수를 구할 때 이용하게 될 것이다.", "</p><p>定理 2.11 \\( X \\)와 \\( Y \\)를 임의의 두 확률변수, \\( X \\)의 적률모함수를 \\( M_{X}(t), a(a \\neq 0) \\)와 \\( b \\)를 임의의 상수라 하고, 이 두 확률변수 사이에 \\[ Y=a X+b \\] 인 관계가 성립하면, \\( Y \\)의 적률모함수는 다음과 같다. \\", "[ M_{Y}(t)=e^{b t} M_{X}(a t) \\]</p><p>證明 확률변수 \\( Y=a X+b \\) 의 적률모함수의 정의로 부터 \\[ \\begin{aligned} M_{Y}(t) &=E\\left(e^{t Y}\\right) \\\\ &=E\\left(e^{t(a X+b)}\\right) \\\\ &=E\\left(e^{a t X+b t}\\right) \\\\ &=E\\left(e^{b t} e^{(a t) X}\\right) \\\\ &=e^{b t} E\\left(e^{(a t) X}\\right) \\\\ &=e^{b t} M_{X}(a t) \\end{aligned} \\] 이다.", "</p><p>예를 들면, \\( X \\) 의 기댓값을 \\( \\mu=E(X) \\), 적률모함수를 \\( M_{X}(t) \\) 라 하면, \\( X-\\mu \\) 의 적률모함수는 \\[ M_{X-\\mu}(t)=e^{-\\mu t} M_{X}(t) \\] 이다.", "</p><p>問題 1 연속확률변수 \\( X \\) 의 확률밀도함수 \\( f(x) \\) 는 다음과 같다. \\", "[ f(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll} \\mu e^{-\\mu x}, & 0<x<\\infty, \\mu>0 \\\\ 0, & -\\infty<x<0 \\end{array}\\right. \\]", "확률변수 \\( X \\) 의 적률모함수 \\( M_{X}(t) \\) 를 구하고, 이를 이용하여 \\( X \\) 의 평균과 분산을 모두 구하여라.", "</p><p>풀이 적률모함수의 정의에 의하여, \\[ \\begin{aligned} M_{X}(t) &=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} e^{t x} f(x) d x \\\\ &=\\int_{-\\infty}^{0} e^{t x} 0 d x+\\int_{0}^{+\\infty} e^{t x} \\mu e^{-\\mu x} d x \\\\ &=\\mu \\int_{0}^{+\\infty} e^{-(\\mu-t) x} d x, \\quad(\\mu-t>0) \\\\ &=-\\left.\\frac{\\mu}{\\mu-t} e^{-(\\mu-t) x}\\right|_{0} ^{+\\infty}, \\quad(t<\\mu) \\\\ &=\\frac{\\mu}{\\mu-t}, \\quad(t<\\mu) \\end{aligned} \\] 이다.", "더욱이 이 적률모함수를 \\( r \\) 번 미분하면 \\[ M_{X}^{(r)}(t)=\\mu r !", "(\\mu-t)^{-r-1} \\] 이므로, 제 \\( r \\)차 적률은 \\[ E\\left[X^{r}\\right]=M_{X}^{(r)}(0)=\\frac{r !}{\\mu^{r}} \\] 이다.", "따라서, 평균은 \\[ E(X)=\\frac{1}{\\mu} \\] 이고 분산은 \\[ \\begin{aligned} \\operatorname{Var}(X) &=E\\left(X^{2}\\right)-[E(X)]^{2} \\\\ &=\\frac{2 !}{\\mu^{2}}-\\left(\\frac{1}{\\mu}\\right)^{2} \\\\ &=\\frac{1}{\\mu^{2}} \\end{aligned} \\] 이다.", "</p><p>다음은 이산확률분포의 적률모함수를 구하는 문제이다.", "</p><p>問題 2 이산확률변수 \\( X \\)의 확률질량함수가 다음과 같이 정의되어 있다고 하자. \\", "[ p(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll} \\left(\\frac{1}{2}\\right)^{x+1}, & x=0,1,2, \\cdots \\\\ 0, & \\text { 기타의 경우 } \\end{array}\\right. \\]", "확률변수 \\( X \\)의 적률모함수 \\( M_{X}(t) \\)를 구하고, 이를 이용하여 평균을 구하여라.", "</p><p>解答 적률모함수의 정의를 이용하면, \\[ \\begin{aligned} M_{X}(t) &=\\sum_{x=0}^{\\infty} e^{t x} p(x) \\\\ &=\\sum_{x=0}^{\\infty} e^{t x}\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{x+1} \\\\ &=\\frac{1}{2} \\sum_{x=0}^{\\infty}\\left(\\frac{e^{t}}{2}\\right)^{x} \\\\ &=\\frac{1}{2} \\frac{1}{1-\\frac{e^{t}}{2}} \\\\ &=\\frac{1}{2-e^{t}}, \\quad(t<\\ln 2) \\end{aligned} \\] 이다.", "평균을 구하기 위하여 먼저, 적률모함수를 한 번 미분하면, \\( M_{X}^{\\prime}(t)=e^{t}\\left(2- e^{t}\\right)^{-2} \\)이고, 이 식에 \\( t=0 \\)를 대입하면 \\( E(X)=M_{X}^{\\prime}(0)=1 \\)이다.", "</p><p>위의 문제의 경우, 급수의 합은 기하급수(등비급수)의 합을 구하는 다음 공식을 이용한다.", "즉, \\( -1<x t<1 \\)을 만족하는 모든 실수 \\( x \\)에 대하여, \\[ 1+x+x^{2}+x^{3}+\\cdots+x^{n}+\\cdots=\\frac{1}{1-x} \\] 을 이용한다.", "이 공식의 증명은, 함수 \\[ f(x)=\\frac{1}{1-x} \\] 의 Maclaurin 급수식 \\[ f(x)=\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n} \\] 을 이용하면 된다.", "</p><p>다음은 적률모함수의 유일성에 관한 문제이다.", "이 정리의 증명은 생략한다.", "</p><p>定理 2.12 확률변수 \\( X \\)와 \\( Y \\)의 분포함수를 각각 \\( F_{X}(x) \\)와 \\( F_{Y}(x) \\)라 하고, 또한 적률모함수를 각각 \\( M_{X}(t) \\)와 \\( M_{Y}(t) \\)라 하자.", "이때, \\( F_{X}(x)=F_{Y}(x) \\)이기 위한 필요충분조건은 \\( M_{X}(t)=M_{Y}(t),(\\forall|t|<h, h>0) \\)이다.", "</p><h2>2.6 팩토리얼 적률과 팩토리얼 적률모함수</h2><p>음아닌(nonnegative) 정수값을 취하는 확률변수의 도함수를 취급 할 때에 유용한 도구가 팩토리얼 적률이다.", "이 정의는 다음과 같다.", "</p><p>定義 2.20 확률변수 \\( X \\)의 제 \\( r \\)차 팩토리얼적률(factorial moment)은 \\[ E(X(X-1)(X-2) \\cdots(X-r+1)) \\] 로, 확률변수 \\( X \\)의 팩토리얼 적률모함수(factorial moment generating function) \\( L_{X}(t) \\)는 \\[ L_{X}(t)=E\\left(t^{X}\\right) \\] 로 정의한다.", "</p><p>여기서 기댓값 \\( E\\left(\\left|t^{X}\\right|\\right) \\)은 모든 \\( |t-1|<h(h>0) \\)에 대하여 존재한다고 가정한다.", "그러나 실제로는 주어진 문제에 따라 \\( t \\)의 범위는 유동적임에 주의해야 한다.", "</p><p>팩토리얼 적률모함수는 다른용어로 확률모함수(probability generating function)라고도 한다.", "이 정의로부터 적률모함수 \\( M_{X}(t) \\)와 팩토리얼 적률모함수 사이에 다음 식이 성립한다. \\", "[ \\begin{aligned} L_{X}(t) &=E\\left(t^{X}\\right) \\\\ &=E\\left(e^{X \\ln t}\\right)=M_{X}(\\ln t) \\end{aligned} \\]</p><p>定理 2.13 \\(L_{X}(t) \\)를 확률변수 \\( X \\)의 팩토리얼 적률모함수라고 하면, 다음이 성립한다. \\", "[ \\begin{aligned} \\left.\\", "frac{d^{r}}{d t^{r}} L_{X}(t)\\right|_{t=1} &=L_{X}^{(r)}(1) \\\\ &=E(X(X-1)(X-2) \\cdots(X-r+1)) \\end{aligned} \\]</p> 또한 \\( a, b \\in \\mathbb{R}(a<b) \\)를 임의의 상수라 하면, \\[ \\begin{array}{l} \\{a<X<b\\}=\\{X \\in(a, b)\\}=\\{\\omega \\in \\Omega \\mid X(\\omega) \\in(a, b)\\}, \\\\ \\{a \\leqslant X<b\\}=\\{X \\in[a, b)\\}=\\{\\omega \\in \\Omega \\mid X(\\omega) \\in[a, b)\\}, \\\\ \\{a<X \\leqslant b\\}=\\{X \\in(a, b]\\}=\\{\\omega \\in \\Omega \\mid X(\\omega) \\in(a, b]\\}, \\\\ \\{a \\leqslant X \\leqslant b\\}=\\{X \\in[a, b]\\}=\\{\\omega \\in \\Omega \\mid X(\\omega) \\in[a, b]\\} \\end{array} \\] 와 같은 형태의 사건도 정의할 수 있다.", "</p><h1>2.2 이산확률분포</h1><p>확률공간 상에서 이산확률변수를 다음과 같이 정의한다.", "</p><p>定義 2.3 확률변수 \\( X \\)가 취하는 값을 모아 놓은 집합0| 가산집합0|면 즉, 유한집합 \\( \\left\\{x_{1}, x_{2}, x_{3}, \\cdots, x_{n}\\right\\} \\)이거나 무한집합 \\( \\left\\{x_{1}, x_{2}, x_{3}, \\cdots, x_{n}, \\cdots\\right\\} \\)이면, \\( X \\)를 이산확률변수(discrete random variable)라 한다.", "</p><p>定義 2.4 \\( X \\)를 이산확률변수라 하고 \\( X \\)가 취하는 값을 \\( \\left\\{x_{1}, x_{2}, x_{3}, \\cdots\\right\\} \\)이라 하자.", "이때 \\[ p\\left(x_{i}\\right)=P\\left\\{X=x_{i}\\right\\}, \\quad i=1,2,3, \\cdots \\] 을 만족하는 함수 \\( p\\left(x_{i}\\right) \\)를 이산확률분포(discrete probability distribution)라 한다.", "여기서 각 점 \\( x_{i}, i=1,2,3, \\cdots \\)를 이산확률변수 \\( X \\)의 질량점(mass point)이라 한다.", "</p><p>직관적으로 말하면, 이산확률분포는 확률변수 \\( X \\)가 취하는 각 질량점에서의 확률이다.", "</p><p>定義 2.5 이산확률변수 \\( X \\)의 확률분포를 \\[ p\\left(x_{i}\\right)=P\\left\\{X=x_{i}\\right\\}, \\quad i=1,2,3, \\cdots \\] 이라 할 때, \\( p\\left(x_{i}\\right) \\)가 다음 조건</p><ol type=1 start=1><li>모든 가산집합의 원소 \\( x_{i} \\)에 대하여 \\( p\\left(x_{i}\\right) \\geqslant 0, i=1,2,3, \\cdots \\).", "</li><li>\\( \\sum_{i=1}^{\\infty} p\\left(x_{i}\\right)=1 \\)</li></ol><p>을 만족하면 \\( p\\left(x_{i}\\right) \\)를 이산확률질량함수(discrete probability mass function)라고 한다.", "</p><p>問題 1 확률변수 \\( X \\)를 \\(3\\)개의 동전을 동시에 한 번 던졌을 때 나온 앞면의 수라고 할 때, \\( X \\)의 확률분포 \\( p(x) \\)를 구하여라.", "또한, \\( p(x) \\)는 이산확률질량함수인지 확인하여라.", "</p><p>解答 \\(3\\)개의 동전을 동시에 한 번 던졌을 때의 표본공간 \\( \\Omega \\)와 확률변수가 취하는 값을 구하면 \\[ \\begin{array}{c} \\Omega=\\{H H H, H H T, H T H, T H H, H T T, T H T, T T H, T T T\\}, \\\\ X(H H H)=3, X(H H T)=2, X(H T H)=2, X(T H H)=2, \\\\ X(H T T)=1, X(T H T)=1, X(T T H)=1, X(T T T)=0 \\end{array} \\] 이므로 \\( X \\)는 실수 \\( x=0,1,2,3 \\)을 취한다.", "이때, 각 질량점에서 확률변수 \\( X \\)의 확률분포를 구하면, \\[\\begin{aligned} X=0 \\text{ 을 취할 확률은 }p(0)=P\\{X=0\\}=\\frac{1}{8} \\geqslant 0 ,\\\\ X=1 \\text{ 을 취할 확률은 }p(1)=P\\{X=1\\}=\\frac{3}{8} \\geqslant 0 ,\\\\ X=2 \\text{ 을 취할 확률은 } p(2)=P\\{X=2\\}=\\frac{3}{8} \\geqslant 0 ,\\\\ X=3 \\text{ 을 취할 확률은 } p(3)=P\\{X=3\\}=\\frac{1}{8} \\geqslant 0 .\\end{aligned}\\] 이다.", "이로부터 모든 질량점에서의 확률분포를 표(table)로 나타내면</p><table border><caption></caption><tbody><tr><td>\\(x\\)</td><td>\\(0\\)</td><td>\\(1\\)</td><td>\\(2\\)</td><td>\\(3\\)</td></tr><tr><td>\\(P\\{X=x\\}\\)</td><td>\\(\\frac{1}{8}\\)</td><td>\\(\\frac{3}{8}\\)</td><td>\\(\\frac{3}{8}\\)</td><td>\\(\\frac{1}{8}\\)</td></tr></tbody></table><p>이고, \\( p(x) \\)의 합은 \\[ \\sum_{x=0}^{3} P\\{X=x\\}=\\sum_{x=0}^{3} p(x)=\\frac{1}{8}+\\frac{3}{8}+\\frac{3}{8}+\\frac{1}{8}=1 \\] 이므로 \\( p(x) \\)는 이산확률질량함수이다.", "</p><p>참고로 문제 1에서 이산확률변수 \\( X \\)의 확률분포를 막대그래프(bar graph)와 히스토그램(histogram)으로 나타내면 다음과 같다.", "</p><p>定義 2.6 \\( X \\)를 이산확률변수라 하고 \\( p(x) \\)를 \\( X \\)의 확률질량함수라 하자.", "이때 \\( X \\)의 누적분포함수(cumulative distribution function) 또는 분포함수(distribution function) \\( F(x) \\)를 다음과 같이 정의한다.", "모든 \\( x \\in \\mathbb{R} \\)에 대하여, \\[ \\begin{aligned} F(x) &=P\\{X \\leqslant x\\} \\\\ &=\\sum_{\\text {all } u \\leqslant x} P\\{X=u\\}=\\sum_{\\text {all } u \\leqslant x} p(u). \\end{aligned} \\]", "</p><p>이 책에서는 확률변수 \\( X \\)가 이산확률질량함수를 가지면 기호로 \\( X \\sim p(x) \\)로, 누적분포함수를 가지면 \\( X \\sim F(x) \\)로 나타내기로 한다.", "위의 정의에서 이산확률변수 \\( X \\)가 유한개의 실수값 \\( x_{1}, x_{2}, x_{3}, \\cdots, x_{n} \\)을 취하는 경우, \\( X \\)의 누적분포함수 \\( F(x) \\)는 다음과 같다. \\", "[ F(x)=\\left\\{\\begin{array}{lc} 0, & -\\infty<x<x_{1} \\\\ p\\left(x_{1}\\right), & x_{1} \\leqslant x<x_{2} \\\\ p\\left(x_{1}\\right)+p\\left(x_{2}\\right), & x_{2} \\leqslant x<x_{3} \\\\ p\\left(x_{1}\\right)+p\\left(x_{2}\\right)+p\\left(x_{3}\\right), & x_{3} \\leqslant x<x_{4} \\\\ \\vdots & \\vdots \\\\ p\\left(x_{1}\\right)+p\\left(x_{2}\\right)+p\\left(x_{3}\\right)+\\cdots+p\\left(x_{n}\\right), & x_{n} \\leqslant x<\\infty \\end{array}\\right. \\]", "</p><p>問題 1 앞의 문제 1번에서 확률변수 \\( X \\)의 누적분포함수 \\( F(x) \\)를 구하여라.", "</p><p>解答 확률변수 \\( X \\)가 취하는 모든 질량점에서의 확률분포표(table of probability distribution)는 다음과 같다.", "</p><table border><caption></caption><tbody><tr><td>\\(x\\)</td><td>\\(0\\)</td><td>\\(1\\)</td><td>\\(2\\)</td><td>\\(3\\)</td></tr><tr><td>\\(P\\{X=x\\}\\)</td><td>\\(\\frac{1}{8}\\)</td><td>\\(\\frac{3}{8}\\)</td><td>\\(\\frac{3}{8}\\)</td><td>\\(\\frac{1}{8}\\)</td></tr></tbody></table><p>이 표를 참고하여 누적분포함수 \\( F(x) \\)를 구해 보자.", "먼저 \\( P\\{X=0\\}=P\\{X=3\\}= \\frac{1}{8}, P\\{X=1\\}=P\\{X=2\\}=\\frac{3}{8} \\)이다.", "또한, \\( 0 \\leqslant x<1 \\)일 때 \\[ \\begin{aligned} F(x) &=P\\{X \\leqslant x\\}=P\\{X<0\\}+P\\{X=0\\}+P\\{0<X \\leqslant x\\} \\\\ &=P\\{X=0\\}=\\frac{1}{8} \\end{aligned} \\] 이고 \\( 1 \\leqslant x<2 \\)일 때 \\[ \\begin{array}{c} F(x)=P\\{X \\leqslant x\\}=P\\{X<0\\}+P\\{X=0\\}+P\\{0<X<1\\} \\\\ \\quad+P\\{X=1\\}+P\\{1<X \\leqslant x\\} \\\\ =P\\{X=0\\}+P\\{X=1\\}=\\frac{1}{2} \\end{array} \\] 이고 \\( 2 \\leqslant x<3 \\) 일 때 \\[ \\begin{array}{c} F(x)=P\\{X \\leqslant x\\}=P\\{X<0\\}+P\\{X=0\\}+P\\{0<X<1\\}+P\\{X=1\\} \\\\ \\quad+P\\{1<X<2\\}+P\\{X=2\\}+P\\{2<X \\leqslant x\\} \\\\ =P\\{X=0\\}+P\\{X=1\\}+P\\{X=2\\}=\\frac{7}{8} \\end{array} \\] 이고 \\( x \\geqslant 3 \\)일 때, \\[ \\begin{array}{c} F(x)=P\\{X \\leqslant x\\}=P\\{X<0\\}+P\\{X=0\\}+P\\{0<X<1\\}+P\\{X=1\\} \\\\ +P\\{1<X<2\\}+P\\{X=2\\}+P\\{2<X<3\\} \\\\ \\quad+P\\{X=3\\}+P\\{X>3\\} \\\\ =P\\{X=0\\}+P\\{X=1\\}+P\\{X=2\\}+P\\{X=3\\}=1 \\end{array} \\] 이다.", "따라서 \\( X \\)의 누적분포함수 \\( F(x) \\)는 다음과 같다.", "</p><p>\\( F(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}0, & x<0 \\\\ \\frac{1}{8}, & 0 \\leqslant x<1 \\\\ \\frac{1}{2}, & 1 \\leqslant x<2 \\\\ \\frac{7}{8}, & 2 \\leqslant x<3 \\\\ 1, & x \\geqslant 3\\end{array}\\right. \\)", "</p><p>問題 2 어떤 확률공간 상에서 이산확률변수 \\( X \\)의 확률분포가 다음과 같을 때, 확률 \\( P\\{|X+1|>1\\} \\)을 구하여라.", "</p><p>解答 확률질량함수의 정의에 의하여 \\[ \\frac{2}{9}+\\frac{1}{9}+p+\\frac{2}{9}+p^{2}=1 \\] 이므로 정리하여 \\( p \\)에 대한 방정식 \\( p^{2}+p-\\frac{4}{9}=0 \\)을 해(solution)를 구하면 \\( \\frac{1}{3} \\) 또는 \\( -\\frac{4}{3} \\)이다.", "그런데 \\( p \\geqslant 0 \\)이므로 구하는 확률은 \\( \\frac{1}{3} \\)뿐이다.", "이로부터 \\( P\\{X=0\\}=\\frac{1}{3},P\\{X=1\\}=\\frac{1}{9} \\)이고 \\[ \\begin{aligned} P\\{|X+1|>1\\} &=P\\{X<-2\\}+P\\{X>0\\} \\\\ &=P\\{X=-3\\}+P\\{X=1\\}+P\\{X=2\\} \\\\ &=\\frac{2}{9}+\\frac{2}{9}+\\frac{1}{9}=\\frac{5}{9} \\end{aligned} \\] 이다.", "</p><p>\\( F(x) \\)를 이산확률변수 \\( X \\)의 누적분포함수라 하면, \\( F(x) \\)는 그래프는 일반적으로 계단함수(step function)의 형태이고 \\( F(x) \\)는 다음과 같은 성질을 갖는다.", "이 정리의 증명은 측도(measure)를 이용해야 하므로 증명없이 소개한다.", "</p><p>定理 2.1 이산확률변수 \\( X \\)의 누적분포함수 \\( F(x) \\)는 다음 성질을 만족한다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow-\\infty} F(x)=0, \\lim _{x \\rightarrow \\infty} F(x)=1 \\).", "즉, 모든 \\( x \\in \\mathbb{R} \\)에 대하여 \\( 0 \\leqslant F(x) \\leqslant 1 \\)이다.", "</li><li>\\( F(x) \\)는 비감소함수(nondecreasing function)이다.", "즉, 모든 \\( x_{1}, x_{2} \\in \\mathbb{R} \\)에 대하여 \\( x_{1}<x_{2} \\)이면 \\( F\\left(x_{1}\\right) \\leqslant F\\left(x_{2}\\right) \\)이다.", "</li><li>\\( F(x) \\)는 우향연속(right-hand continuous)이다.", "즉, 모든 \\( x \\in \\mathbb{R} \\)에 대하여 \\( \\lim _{h \\rightarrow 0} F(x+h)=F(x+)=F(x) \\)이다.", "</li></ol>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "413", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "확률과 통계_확률분포와 기댓값", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-a0e4-48a9-95a9-fff11e0644c6", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961059053", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2015", "doc_author": [ "김원배" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>그림 \\(16\\) 과 같이 직각삼각형에서 밑변과 이루는 한 예각을 \\( \\theta \\) 라 하자.", "그러면 \\( \\theta \\) 에 직각삼각형의 길이들의 비를 사인(sine), 코사인(cosine), 탄젠트(tangent) 삼각비라 하고, 간단히 \\( \\sin , \\cos , \\tan \\) 로 표기한다.", "</p><p>정의 \\( \\sin \\theta= \\) 높이/빗변, \\( \\cos \\theta= \\) 밑변/빗변, \\( \\tan \\theta= \\) 높이/밑변</p><p>한편, 사인, 코사인, 탄젠트의 역수로 정의되는 삼각비는 각각 코시컨트 (cosecant), 시컨트 (secant), 코탄젠트 (cotangent)라 하는데, 간단히 csc, sec, cot로 표기한다.", "</p><p>정의 \\( \\csc \\theta=\\frac{1}{\\sin \\theta}, \\quad \\sec \\theta=\\frac{1}{\\cos \\theta}, \\quad \\cot \\theta=\\frac{1}{\\tan \\theta} \\)</p><p>이 정의는 둔각이나 음각인 경우에는 적용이 되지 않으므로 이제 각 \\( \\theta \\) 를 평면에서의 표준각으로 생각하여 보자. 그리고 종선위에 적당한 곳에 점 \\( P(x, y) \\) 를 택하고 \\( O P \\) 의 길이를 \\( r>", "0 \\) 이라 하자.", "그러면 그림 \\(17\\)로부터 다음의 삼각비 정의를 얻을 수 있다.", "</p><p>정의 \\( \\sin \\theta=\\frac{y}{r}, \\cos \\theta=\\frac{x}{r}, \\tan \\theta=\\frac{y}{x} \\),\\(\\csc \\theta=\\frac{r}{y}, \\quad \\sec \\theta=\\frac{r}{x}, \\quad \\cot \\theta=\\frac{x}{y} \\)</p><p>주 \\( x \\neq 0, y \\neq 0, r>0 \\) 이므로 정의에서의 삼각비들은 잘 정의되었다.", "그러나 \\( x=0 \\) 이거나 \\( y=0 \\) 인 경우에도 삼각비의 값을 정의할 수 있음에 유의하자.", "</p><p>실제로 \\( \\sin 1, \\cos \\frac{4 \\pi}{5} \\) 와 같은 값은 쉽게 구할 수 없지만, 몇가지 특수각들에 대해서는 그림 \\(18\\)의 직각삼각형에 피타고라스 정리를 사용함으로써 쉽게 구할 수 있다.", "다음 표에서 주어진 값들은 계산할 때 자주 쓰이는 중요한 것들이므로 완전히 기억해 두도록 하자.", "</p><table border><caption>특수각의 삼각비</caption><tbody><tr><td>\\( \\theta \\)</td><td>\\(0\\)</td><td>\\( \\frac{\\pi}{6} \\)</td><td>\\( \\frac{\\pi}{4} \\)</td><td>\\( \\frac{\\pi}{3} \\)</td><td>\\( \\frac{\\pi}{2} \\)</td><td>\\( \\frac{2 \\pi}{3} \\)</td><td>\\( \\frac{3 \\pi}{4} \\)</td><td>\\( \\frac{5 \\pi}{6} \\)</td><td>\\( \\pi \\)</td><td>\\( \\frac{3\\pi}{2} \\)</td><td>\\( 2 \\pi \\)</td></tr><tr><td>\\( \\sin \\theta \\)</td><td>\\(0\\)</td><td>\\( \\frac{1}{2} \\)</td><td>\\( \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\)</td><td>\\( \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\)</td><td>\\(1\\)</td><td>\\( \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\)</td><td>\\( \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\)</td><td>\\( \\frac{1}{2} \\)</td><td>\\(0\\)</td><td>\\(-1\\)</td><td>\\(0\\)</td></tr><tr><td>\\( \\cos \\theta \\)</td><td>\\(1\\)</td><td>\\( \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\)</td><td>\\( \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\)</td><td>\\( \\frac{1}{2} \\)</td><td>\\(0\\)</td><td>\\( -\\frac{1}{2} \\)</td><td>\\( -\\frac{1}{\\sqrt{2}} \\)</td><td>\\( -\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\)</td><td>\\(-1\\)</td><td>\\(0\\)</td><td>\\(1\\)</td></tr><tr><td>\\( \\tan \\theta \\)</td><td>\\(0\\)</td><td>\\( \\frac{1}{\\sqrt{3}} \\)</td><td>\\(1\\)</td><td>\\( \\sqrt{3} \\)</td><td>\\( \\infty \\)</td><td>\\( -\\sqrt{3} \\)</td><td>\\(-1\\)</td><td>\\( -\\frac{1}{\\sqrt{3}} \\)</td><td>\\(0\\)</td><td>\\(- \\infty \\)</td><td>\\(0\\)</td></tr></tbody></table><p>주 표에서 둔각인 경우에는 그림 \\(19\\)를 이용하면 구해진다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "이공계를 위한 미분적분학_함수", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-cf4e-440c-87ef-cb06e659e3ac", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961055734", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2012", "doc_author": [ "홍정희", "배재국", "김익성" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>계산기 활용 문제</p><p>문제 \\(10-1\\) 다음 두 점 사이의 거리를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( A(3,-1), B(-2,-5) \\)</li><li>\\( A(3,8), B(-1,-5) \\)</li></ol><p>문제 \\(10-2\\) 다음 두 점 사이의 거리를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( A(5,2), B(6,9) \\)</li><li>\\( A(\\sqrt{18}, \\sqrt{32}), B(-\\sqrt{50}, \\sqrt{18}) \\)</li><li>\\( A(1.22,-3.45), B(-1.17,-4.76) \\)</li><li>\\( A(e, \\pi), B(-2 \\pi,-e) \\)</li></ol><p>문제 \\(10-3\\) 다음 두 점의 중점을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( A(3,-1), B(-2,-5) \\)</li><li>\\( A(3,8), B(-1,-5) \\)</li><li>\\( A(\\sqrt{18}, \\sqrt{32}), B(-\\sqrt{50}, \\sqrt{18}) \\)</li><li>\\( A(\\sqrt{12},-\\sqrt{20}), B(\\sqrt{45},-\\sqrt{32}) \\)</li></ol><p>문제 \\(10-4\\) 다음 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형 \\( A B C \\) 의 둘레의 길이를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( A(0,0), B(4,0), C(2,5) \\)</li><li>\\( A(-2,3), B(2,-5), C(6,3) \\)</li></ol><p>문제 \\(10-5\\) 다음 두 점을 지나는 직선의 기울기를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( A(3,-1), B(-2,-5) \\)</li><li>\\( A(3,8), B(-1,-5) \\)</li><li>\\( A(1.22,-3.45), B(-1.17,-4.76) \\)</li><li>\\( A(\\sqrt{18}, \\sqrt{32}), B(-\\sqrt{50}, \\sqrt{18}) \\)</li></ol><p>문제 \\(10-6\\) 다음 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( A(3,-1), B(-2,-5) \\)</li><li>\\( A(3,8), B(-1,-5) \\)</li><li>\\( A(1.22,-3.45), B(-1.17,-4.76) \\)</li><li>\\( A(\\sqrt{18}, \\sqrt{32}), B(-\\sqrt{50}, \\sqrt{18}) \\)</li></ol><p>문제 \\(10-7\\) 다음 직선의 \\( x \\) 절편과 \\( y \\) 절편을 구하고 그래프를 그려라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 2 x-3 y+6=0 \\)</li><li>\\( 1.23 x-5.48 y-3.43=0 \\)</li><li>\\( \\sqrt{2} x-\\sqrt{3} y+6=0 \\)</li></ol><p>문제 \\(10-8\\) 다음 두 점을 지나는 직선과 수직인 직선의 기울기를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( A(3,-1), B(-2,-5) \\)</li><li>\\( A(3,8), B(-1,-5) \\)</li><li>\\( A(1.22,-3.45), B(-1.17,-4.76) \\)</li><li>\\( A(\\sqrt{18}, \\sqrt{32}), B(-\\sqrt{50}, \\sqrt{18}) \\)</li></ol><p>문제 \\(10-9\\) 다음 점과 직선 \\( 12.5 x-6.7 y=12.3 \\) 과의 거리를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( (2,-3) \\)</li><li>\\( (5.8,-4.2) \\)</li></ol><p>문제 \\(10-10\\) 평행한 두 직선 \\( 12.5 x-6.7 y-12.3=0 \\) 과 \\( 12.5 x-6.7 y+12.3=0 \\) 과의 거리를 구하여라.", "</p><p>문제 \\(10-11\\) 다음 세 직선으로 둘러싸인 삼각형의 꼭짓점을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 8 x+5 y+1=0,12 x-y-41=0,4 x-6 y+26=0 \\)</li><li>\\( 4.1 x-5.4 y-13.02=0,4.4 x-2.3 y-8.73=0,8.5 x-7.7 y-7.42=0 \\)</li></ol> <h1>10-1 좌표평면</h1><p>수평한 수직선인 \\( x \\) 축과 이와 수직으로 만나는 수직선인 \\( y \\) 축이 그려진 평면을 좌표평면이라 하고, 두 축이 만나는 점을 원점이라 한다.", "<p>좌표평면 위의 점 \\( P \\) 에서 \\( x \\) 축에 내린 수선의 발의 좌표가 \\( a \\) 이고 \\( y \\) 축에 내린 수선의 발을 좌표가 \\( b \\) 일 때, \\( P \\) 의 좌표를 \\( (a, b) \\) 라 하고 \\( P(a, b) \\) 로 나타낸다.", "이 때, \\( a \\) 는 \\( P \\) 의 \\( x \\) 좌표, \\( b \\) 는 \\( P \\) 의 \\( y \\) 좌표이다.", "원점은 \\( O(0,0) \\) 이다.", "</p><p>좌표평면에서 두 축으로 나누어진 영역을 사분면이라고 하며 반시계방향으로 제 \\(1\\) 사분면, 제 \\(2\\) 사분면, 제 \\(3\\) 사분면, 제 \\(4\\) 사분면으로 부른다.", "</p><p>연습 \\(10-1\\) 다음 점을 좌표평면 위에 표시하고, 각 점이 놓인 사분면을 말하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( A(-2,3) \\)</li><li>\\( B(3,-4) \\)</li><li>\\( C(-2,-3) \\)</li><li>\\( D(4,3) \\)</li></ol><h1>10-2 피타고라스 정리</h1><ul><li>직각삼각형의 빗변의 길이가 \\( r \\) 이고 다른 두 변의 길이가 \\( a, b \\) 일 때, \\( r^{2}=a^{2}+b^{2} \\) 이다.", "</li><li>\\( P(a, b) \\) 와 원점 \\( O(0,0) \\) 과의 거리는 \\( r=\\sqrt{a^{2}+b^{2}} \\) 이다.", "</li></ul><p>연습 \\(10-2\\) 다음 점과 원점과의 거리를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( A(3,4) \\)</li><li>\\( B(-3,-4) \\)</li><li>\\( C(-6,8) \\)</li><li>\\( D(2,-4) \\)</li></ol><h1>10-3 두 점 사이의 거리</h1><p>좌표평면의 두 점 \\( A\\left(x_{1}, y_{1}\\right) \\) 과 \\( B\\left(x_{2}, y_{2}\\right) \\) 사이의 거리는 다음과 같다. \\", "[ \\overline{A B}=\\sqrt{(\\Delta x)^{2}+(\\Delta y)^{2}}=\\sqrt{\\left(x_{2}-x_{1}\\right)^{2}+\\left(y_{2}-y_{1}\\right)^{2}} \\]</p><p>연습 \\(10-3\\) 다음 두 점 사이의 거리를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( A(1,2), B(3,6) \\)</li><li>\\( A(-1,2), B(-3,8) \\)</li></ol><h1>10-4 중점</h1><p>좌표평면의 두 점 \\( A\\left(x_{1}, y_{1}\\right) \\) 과 \\( B\\left(x_{2}, y_{2}\\right) \\) 의 중점 \\( M \\) 의 좌표는 \\( M\\left(\\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\\right) \\) 이다.", "</p><p>연습 \\(10-4\\) 다음 두 점의 중점의 좌표를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( A(1,2), B(3,6) \\)</li><li>\\( A(-1,2), B(-3,8) \\)</li></ol><h1>10-5 직선의 기울기</h1><ul><li>좌표평면의 두 점 \\( A\\left(x_{1}, y_{1}\\right) \\) 과 \\( B\\left(x_{2}, y_{2}\\right) \\) 를 지나는 직선의 기울기는 \\( m=\\frac{\\Delta y}{\\Delta x}=\\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\) 이다.", "(단 \\( \\left.x_{1} \\neq x_{2}\\right) \\)</li><li>수직인 직선의 기울기는 정의하지 않으며(무한대), 수평한 직선의 기울기는 \\(0\\) 이다.", "</li></ul><p>연습 \\(10-5\\) 다음 두 점을 지나는 직선의 기울기를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( A(1,2), B(3,6) \\)</li><li>\\( A(-1,2), B(-3,8) \\)</li></ol>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "411", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "대학기초수학_점과 직선", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-c10e-4b63-81d7-1890b78a0758", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160730524", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2017", "doc_author": [ "전춘배" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>정리 \\( 3.26 \\) \\( Z_{2 n}=0 \\)이라는 가정하에서 \\( U_{2 n} \\)은 \\( \\{0,2,4, \\cdots, 2 n\\} \\)에서 균등분포를 따른다.", "즉 \\[P\\left(U_{2 n}=2 k \\mid Z_{2 n}=0\\right)=\\frac{1}{n+1}, k=0,1,2, \\cdots, n\\]<caption>(3.10)</caption></p><p>증명 \\( \\gamma_{2 k, 2 n}=P\\left(U_{2 n}=2 k \\mid Z_{2 n}=0\\right) \\)이라 하자. \\", "( n=1 \\)이면 명백하게 \\((3.10)\\)이 성립한다.", "이제 경로 길이가 \\( 2 n \\)보다 작을 때 \\( (3.10) \\)이 성립한다고 가정하자.", "</p><p>먼저 \\( k=n \\)일 때를 생각하자.", "다음을 주목하자.", "</p><p>\\( P\\left(U_{2 n}=2 n \\mid Z_{2 n}=0\\right)=\\frac{1}{u_{2 n}} P\\left(Z_{1} \\geq 0, \\cdots, Z_{2 n-1} \\geq 0, Z_{2 n}=0\\right) \\)</p><p>한편 \\( Z_{1} \\geq 0, \\cdots, Z_{2 n-1} \\geq 0, Z_{2 n}=0 \\)을 만족하는 경로 수는 \\( (1,1) \\)을 출발하여 \\( -1 \\)을 경유하지 않고 \\( (2 n, 0) \\)을 방문하는 경로 수와 같다.", "또한 \\( (1,1) \\)을 출발하여 \\(- 1\\)을 경유하여 \\( (2 n, 0) \\)에 도달하는 경로 수는 반사원리(정리 3.8)에 의하여 \\( \\left(\\begin{array}{c}2 n-1 \\\\ n+1\\end{array}\\right) \\)이다.", "따라서 \\( Z_{1} \\geq 0, \\cdots, Z_{2 n-1} \\geq 0, Z_{2 n}=0 \\)을 만족하는 경로 수는 다음과 같다.", "</p><p>\\( \\left(\\begin{array}{c}2 n-1 \\\\ n\\end{array}\\right)-\\left(\\begin{array}{c}2 n-1 \\\\ n+1\\end{array}\\right)=\\frac{1}{n+1}\\left(\\begin{array}{c}2 n \\\\ n\\end{array}\\right) \\)</p><p>따라서 \\( k=n \\)일 때 정리가 증명된다. \\( k=0 \\)인 경우는 대칭성에 의하여 \\( k=n \\)인 경우와 같다.</p><p>", "\\( 1 \\leq k \\leq n-1 \\)이라 하고 \\( T_{0}=2 r \\)이라 하자. 만약 \\( Z_{1}>0, \\cdots, Z_{2 r-1}>0, Z_{2 r} \\", ") \\( =0 \\)이면 \\( U_{2 n}=2 k \\)이기 위해서는 \\( 1 \\leq r \\leq k \\)이고 길이가 \\( 2 n-2 r \\)인 경로 \\( \\left(Z_{2 r}\\right. \\)", ", \\( \\cdots, Z_{2 n} \\) )에서 \\(1\\)사분면에 있는 변의 개수는 \\( 2 k-2 r \\)이어야 한다.", "귀납법의 가정에 의하여 경로 수는 다음과 같다.", "</p><p>\\( \\frac{1}{2} \\int_{2 r} 2^{2 r} \\frac{u_{2 n-2 r} 2^{2 n-2 r}}{n-r+1}=\\frac{2^{2 n-2}}{r(n-r+1)} u_{2 r-2^{2 n-2 r},} u_{2 n} \\quad 1 \\leq r \\leq k \\)<caption>(3.11)</caption></p><p>\\((3.11)\\)의 등식은 따름정리 \\(3.13\\)을 이용한 것이다.", "</p><p>만약 \\( Z_{1}<0, \\cdots, Z_{2 r-1}<0, Z_{2 r}=0 \\) 이면 \\( U_{2 n}=2 k \\)이기 위해서는 \\( 1 \\leq k \\leq \\) \\( n-r \\)이고 길이가 \\( 2 n-2 r \\)인 경로 \\( \\left(Z_{2 r}, \\cdots, Z_{2 n}\\right) \\)에서 \\(1\\)사분면에 있는 변의 개수는 \\( 2 k \\)이어야 한다.", "귀납법의 가정에 의하여 이 경로 수는 다음과 같다.", "</p><p>\\( \\frac{1}{2} f_{2 r} 2^{2 r} \\frac{u_{2 n-2 r} 2^{2 n-2 r}}{n-r+1} \\) \\( =\\frac{2^{2 n-2}}{r(n-r+1)} u_{2 r-2^{2 n-2 r}}, \\quad 1 \\leq r \\leq n-k \\)<caption>(3.12)</caption></p><p>식 \\((3.12)\\)의 우변에서 \\( j=n+1-r \\)로 두면 \\( 1 \\leq r \\leq n-k \\)일 때 \\( k+1 \\leq j \\leq n \\)이므로 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( \\sum_{r=1}^{n-k} \\frac{u_{2 r-2^{u}} u_{2 n-2 r}}{r(n-r+1)}=\\sum_{j=k+1}^{n} \\frac{1}{(n-j+1) j} u_{2 n-2 j} u_{2 j-2} \\)</p><p>따라서 \\( U_{2 n}=2 k \\)와 \\( Z_{2 n}=0 \\)을 만족하는 길이 \\( 2 n \\)인 모든 경로 수는 \\[ \\begin{array}{l}\\sum_{r=1}^{k} \\frac{2^{2 n-2}}{r(n-r+1)} u_{2 r-2} u_{2 n-2 r}+\\sum_{r=1}^{n-k} \\frac{2^{2 n-2}}{r(n-r+1)} u_{2 r-2^{2 n-2 r}} \\\\\\quad=\\sum_{r=1}^{n} \\frac{2^{2 n-2}}{r(n-r+1)} u_{2 r-2^{u} u_{2 n-2 r}}\\end{array}\\]이 되어 \\( k \\)에 의존하지 않음을 알 수 있다.", "따라서 \\[\\gamma_{2,2 n}=\\gamma_{4,2 n}=\\cdots=\\gamma_{2 n-2,2 n}\\]이다.", "한편 \\( \\sum_{k=0}^{n} \\gamma_{2 k, 2 n}=1 \\) 이고 \\( \\gamma_{0,2 n}=\\gamma_{2 n, 2 n}=\\frac{1}{n+1} \\)이므로\\[\\gamma_{2,2 n}=\\frac{1}{n-1}\\left(1-2 \\gamma_{0,2 n}\\right)=\\frac{1}{n+1}\\]이 되어 정리가 증명된다.", "</p> <h2>3.2.5 최댓값</h2><p>다음을 정의하자.", "</p><p>\\( M_{n}=\\max _{0<k<n} Z_{k} \\)</p><p>보조정리 \\( 3.27 \\) \\[P\\left(Z_{n}=k, M_{n} \\geq r\\right)=p_{n, 2 r-k}, \\quad r \\geq k\\]</p><p>증명 \\( \\left(Z_{0}, \\cdots, Z_{n}\\right) \\)이 상태 \\( r \\)을 처음으로 방문하는 시각을 \\( \\nu \\)라 하자.", "이 경로를 \\( P_{1} \\) \\( =\\left(Z_{1}, \\cdots, Z_{\\nu}=r\\right) \\)과 \\( P_{2}=\\left(Z_{\\nu}=r, Z_{\\nu+1}, \\cdots, Z_{n}=k\\right) \\)로 나누면 \\( P_{2} \\)는 ( \\( \\nu \\), \\( r) \\)에서 출발하여 \\( (n, k) \\)에 도달하는 길이가 \\( (n-\\nu) \\)인 경로가 된다.", "반사원리에 의하여 \\( (\\nu, r) \\)에서 출발하여 \\( (n, k) \\)에 도달하는 경로 수는 \\( (\\nu, r) \\)에서 출발하여 \\( (n, 2 r-k) \\)에 도달하는 경로 수와 같다(그림 \\(3.6\\)).", "따라서 \\( Z_{n}=k, M_{n} \\geq r \\)를 만족하는 길이 \\( n \\)인 경로 수는 \\( (0,0) \\)에서 출발하여 \\( (n, 2 r-k) \\)에 도달하는 경로 수와 같다.", "따라서 보조정리가 증명된다.", "</p><p>정리 \\( 3.28 \\) \\[P\\left(M_{n}=r\\right)=\\max \\left(p_{n, r}, p_{n, r+1}\\right), \\quad r \\geq 0\\]</p><p>증명 \\[\\begin{aligned}P\\left(M_{n}=r\\right) &=\\sum_{k}\\left(P\\left(M_{n} \\geq r, Z_{n}=k\\right)-P\\left(M_{n} \\geq r+1, Z_{n}=k\\right)\\right) \\\\&=\\sum_{k}\\left(p_{n, 2 r-k}-p_{n, 2 r+2-k}\\right) \\\\ &=p_{n, r}+p_{n, r+1}\\end{aligned}\\]</p><p>\\( p_{n, r} p_{n, r+1}=0 \\)이므로 정리가 증명된다.", "</p><p>정리 \\( 3.29 \\) \\( P\\left(Z_{n}>Z_{j}, j=0,1, \\cdots, n-1\\right)=\\left\\{\\begin{array}{ll}\\frac{1}{2} u_{n}, & n \\text { 이 짝수 } \\\\ \\frac{1}{2} u_{n-1}, n \\text { 이 홀수 }\\end{array}\\right. \\)", "</p><p>증명 보조정리 \\(3.7\\)에 의하여 다음을 알 수 있다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} P\\left(Z_{n}>Z_{j}, j=0,1, \\cdots, n-1\\right) &=P\\left(Z_{j}^{*}>0, j=1,2, \\cdots, n\\right) \\\\ &=P\\left(Z_{j}>0, j=1,2, \\cdots, n\\right) \\end{aligned} \\)</p><p>따라서 \\( n=2 k \\)이면 보조정리 \\(3.10\\)에 의하여 정리가 증명된다. 한편 \\( n=2 k+1 \\)일 때 \\( Z_{2 k}>0 \\)이면 \\( Z_{2 k} \\)가 짝수이므로 \\( Z_{2 k+1}>", "0 \\)이다.", "따라서 \\( P\\left(Z_{j}>0, j=1, \\cdots, 2 k+1\\right)=P\\left(Z_{j}>0, j=1, \\cdots, 2 k\\right)=\\frac{1}{2} u_{2 k} \\)</p><p>\\( W_{2 n} \\)을 길이가 \\( 2 n \\)인 경로에서 최댓값이 처음으로 나타나는 시각이라 하자.", "즉 \\[ W_{2 n}=\\min \\left\\{0 \\leq k \\leq 2 n: Z_{k}=M_{2 n}\\right\\} .\\]", "</p><p>정리 \\( 3.30 \\) \\( P\\left(W_{2 n}=k\\right)=\\left\\{\\begin{array}{ll}u_{2 n}, & k=0 \\\\ \\frac{1}{2} u_{2 \\nu} u_{2 n-2 n}, & k=2 \\nu \\text { 또는 } k=2 \\nu+1,1 \\leq k \\leq 2 n\\end{array}\\right. \\)", "</p><p>증명 따름정리 \\(3.12\\)와 정리 \\(3.29\\)로부터 다음을 각각 얻을 수 있다.", "</p><p>\\( P\\left(W_{2 n}=0\\right)=P\\left(M_{2 n}=0\\right)=P\\left(Z_{1} \\leq 0, \\cdots, Z_{2 n} \\leq 0\\right)=u_{2 n} \\),\\( P\\left(W_{2 n}=2 n\\right)=P\\left(Z_{1}<Z_{2 n}, \\cdots, Z_{2 n-1}<Z_{2 n}\\right)=\\frac{1}{2} u_{2 n} \\)</p><p>\\( 1<k<2 n \\)에 대하여 다음을 주목하자.", "</p><p>\\( \\left\\{W_{2 n}=k\\right\\}=A_{1} \\cap A_{2} \\)</p><p>단 \\[\\begin{aligned}A_{1} &=\\left\\{Z_{1}<Z_{k}, \\cdots, Z_{k-1}<Z_{k}\\right\\}=\\left\\{Z_{k}-Z_{1}>0, \\cdots, Z_{k}-Z_{k-1}>0\\right\\}, \\\\A_{2} &=\\left\\{Z_{k+1} \\leq Z_{k}, \\cdots, Z_{2 n} \\leq Z_{k}\\right\\} \\\\&=\\left\\{Z_{k+1}-Z_{k} \\leq 0, \\cdots, Z_{2 n}-Z_{k} \\leq 0\\right\\} .\\end{aligned}\\]", "</p><p>\\( Z \\)가 독립증분을 가지므로 \\( A_{1} \\)과 \\( A_{2} \\)는 서로 독립이다.", "한편 정리 \\( 3.29 \\)로부터 \\( k \\) \\( =2 \\nu \\)이거나 \\( k=2 \\nu+1 \\)이면 \\[P\\left(A_{1}\\right)=\\frac{1}{2} u_{2 \\nu}, \\quad \\nu=1,2, \\cdots, n-1\\]임을 알 수 있다.", "한편 \\( P\\left(A_{2}\\right) \\)는 \\( \\left(k, Z_{k}\\right) \\)에서 출발하는 길이 \\( 2 n-k \\)인 경로가 모두 직선 \\( y=Z_{k} \\) 아래에 있을 확률이다.", "이것은 원점에서 출발하는 길이 \\( 2 n-k \\)인 경로가 모두 \\( \\{(x, y): x \\geq 0, y \\leq 0\\} \\) 에 있을 확률과 같다. \\", "( Z_{2 \\nu+1} \\leq 0 \\)이면 \\( \\left|Z_{2 \\nu+1}\\right| \\)은 홀수이므로 \\( Z_{2 \\nu+2} \\leq 0 \\)이다.", "따라서 \\[P\\left(Z_{1} \\leq 0, \\cdots, Z_{2 \\nu+1} \\leq 0\\right)=P\\left(Z_{1} \\leq 0, \\cdots, Z_{2 \\nu+2} \\leq 0\\right)=u_{2 v+2}\\]</p><p>따라서 \\( k=2 \\nu \\) 또는 \\( k=2 \\nu+1 \\)이면 \\[P\\left(A_{2}\\right)=P\\left(Z_{1} \\leq 0, \\cdots, Z_{2 n-k} \\leq 0\\right)=u_{2 n-2 \\nu}\\]이다.", "따라서 \\( 1 \\leq k \\leq 2 n-1 \\)이고 \\( k=2 \\nu \\) 또는 \\( k=2 \\nu+1 \\)일 때 \\[P\\left(W_{2 n}=k\\right)=P\\left(A_{1}\\right) P\\left(A_{2}\\right)=\\frac{1}{2} u_{2 \\nu} u_{2 n-2 \\nu} .\\]", "</p> <p>정리 \\( 3.24 \\) \\[P\\left(\\tau_{2 n}=2 k\\right)=u_{2 k} u_{2 n-2 k}\\]</p><p>증명 \\[\\begin{aligned}P&\\left(Z_{j} \\neq Z_{2 n}, j=0,1,2, \\cdots, 2 k-1, Z_{2 k}=Z_{2 n}\\right) \\\\ &=P\\left(Z_{2 n}-Z_{j} \\neq 0, j=0,1,2, \\cdots, 2 k-1, Z_{2 n}-Z_{2 k}=0\\right) \\\\ &=P\\left(Z_{2 n-j}^{*} \\neq 0, j=0,1,2, \\cdots, 2 k-1, Z_{2 n-2 k}^{*}=0\\right) \\\\ &=P\\left(Z_{2 n-2 k}^{*}=0, Z_{j}^{*} \\neq 0, j=2 k+1,2 k+2, \\cdots, 2 n\\right) \\\\ &=u_{2 k} u_{2 n-2 k} \\text { (정리 3.23) }\\end{aligned}\\]</p><p>길이가 \\( 2 n \\)인 경로 \\( \\left(Z_{0}, \\cdots, Z_{2 n}\\right) \\)에 대하여 \\( (x, y) \\) 좌표의 제\\(1\\)사분면 \\( \\{(x, y), x \\geq 0 \\), \\( y \\geq 0\\} \\)에 있는 변의 개수를 \\( U_{2 n} \\)이라고 하자.", "예를 들어 그림 \\(3.1\\)에서 \\( U_{8}=4 \\)이다.", "</p><p>정리 \\( 3.25 \\) \\[P\\left(U_{2 n}=2 k\\right)=u_{2 k} u_{2 n-2 k}, \\quad k=0,1,2, \\cdots, n\\]</p><p>증명 \\( \\beta_{2 k, 2 n}=P\\left(U_{2 n}=2 k\\right) \\)라 하자.", "수학적 귀납법을 이용하여 증명한다. \\", "( n=1 \\)일 때 다음은 자명하다.", "</p><p>\\( \\beta_{2,2}=P\\left(Z_{1}=1\\right)=\\frac{1}{2}=u_{0} u_{2} \\) \\( \\beta_{0,2}=P\\left(Z_{1}=-1\\right)=\\frac{1}{2}=u_{0} u_{2} \\)</p><p>또한 따름정리 \\( 3.12 \\)에 의하여 \\[\\beta_{2 n, 2 n}=P\\left(Z_{1} \\geq 0, \\cdots, Z_{2 n} \\geq 0\\right)=u_{2 n}\\]이고 대칭성에 의하여 \\( \\beta_{0,2 n}=u_{2 n} \\)이다.", "</p><p>이제 \\( 1 \\leq k \\leq n-1 \\) 에 대하여 정리가 성립한다고 가정하자. \\", "( U_{2 n}=2 k \\)이기 위해서 \\( Z \\) 는 시각 \\( 2 n \\)이전에 상태 \\(0\\)을 방문하여야 한다. \\", "( T_{0}=2 m<2 n \\)이라 하고 \\( A_{2 m}^{+} \\)와 \\( A_{2 m}^{-} \\)를 다음과 같이 정의하자.", "</p><p>\\( A_{2 m}^{+}=\\left\\{Z_{1}>0, \\cdots, Z_{2 m-1}>0, Z_{2 m}=0\\right\\} \\), \\( A_{2 m}^{-}=\\left\\{Z_{1}<0, \\cdots, Z_{2 m-1}<0, Z_{2 m}=0\\right\\} \\)</p><p>그러면 대칭성에 의하여 \\( P\\left(A_{m}^{+}\\right)=P\\left(A_{m}^{-}\\right) \\)이고 \\[ f_{2 m}=P\\left(T_{0}=2 m\\right)=P\\left(A_{m}^{+}\\right)+P\\left(A_{m}^{-}\\right)\\]이므로 \\( P\\left(A_{m}^{+}\\right)=\\frac{1}{2} \\int_{2 m}=P\\left(A_{m}^{-}\\right) \\)이다.", "전확률공식에 의하여 \\[\\begin{aligned}\\beta_{2 k, 2 n} &=\\sum_{m=1}^{n}\\left(P\\left(U_{2 n}=2 k, A_{2 m}^{+}\\right)+P\\left(U_{2 n}=2 k, A_{2 m}^{-}\\right)\\right) \\\\&=\\frac{1}{2} \\sum_{m=1}^{n}\\left(P\\left(U_{2 n}=2 k \\mid A_{2 m}^{+}\\right)+P\\left(U_{2 n}=2 k \\mid A_{2 m}^{-}\\right)\\right) f_{2 m} .\\end{aligned}\\]", "</p><p>\\( A_{2 m}^{+}=\\left\\{U_{2 m}=2 m\\right\\} \\)이므로 \\( A_{2 m}^{+} \\)가 발생하였다는 가정하에 \\( U_{2 n}=2 k \\)가 되기 위해서는 길이 \\( 2 n-2 m \\)의 경로 \\( \\left(Z_{2 m+1}, \\cdots, Z_{2 n}\\right) \\)에서 \\( 2 k-2 m \\)개의 변이 제\\(1\\)사분면에 있어야 한다.", "따라서 \\( P\\left(U_{2 n}=2 k \\mid A_{2 m}^{+}\\right)=\\beta_{2 k-2 m, 2 n-2 m}, \\quad m=1,2, \\cdots, k \\).", "</p><p>한편 \\( A_{2 m}^{-m} \\) 가 발생하면 \\( U_{2 m}=0 \\)이므로 \\( \\left(Z_{2 m+1}, \\cdots, Z_{2 n}\\right) \\) 에서 제\\(1\\)사분면에 있는 변의 개수는 \\( 2 k \\)이어야 한다.", "즉 \\[P\\left(U_{2 n}=2 k \\mid A_{2 m}^{-}\\right)=\\beta_{2 k, 2 n-2 m}, \\quad m=1,2, \\cdots, n-k \\text {. }\\]", "</p><p>따라서 귀납법의 가정에 의하여 \\[\\begin{aligned}\\beta_{2 k, 2 n} &=\\frac{1}{2} \\sum_{m=1}^{k} f_{2 m} \\beta_{2 k-2 m, 2 n-2 m}+\\frac{1}{2} \\sum_{m=1}^{n-k} f_{2 m} \\beta_{2 k, 2 n-2 m} \\\\ &=\\frac{1}{2} \\sum_{m=1}^{k} f_{2 m} u_{2 k-2 m} u_{2 n-2 k}+\\frac{1}{2} \\sum_{m=1}^{n-k} f_{2 m} u_{2 k} u_{2 n-2 k-2 m} \\\\&=\\frac{1}{2} u_{2 n-2 k} \\sum_{m=1}^{k} f_{2 m} u_{2 k-2 m}+\\frac{1}{2} u_{2 k} \\sum_{m=1}^{n-k} f_{2 m} u_{2(n-k)-2 m} \\\\&=\\frac{1}{2} u_{2 n-2 k} u_{2 k}+\\frac{1}{2} u_{2 k} u_{2 n-2 k}(\\text { 식 (3.5)) }\\\\&=u_{2 k} u_{2 n-2 k}\\end{aligned}\\]가 되어 정리가 증명된다.", "</p> <h2>3.2.2 기본적인 성질</h2><p>\\( Z \\)가 방문한 시각과 상태 전체 집합은 \\[\\mathcal{L}=\\{(n, k), n=0,1,2, \\cdots, k=0, \\pm 1, \\pm 2, \\cdots\\}\\]가 됨을 알 수 있다.", "이때 \\( A=(k, a), B=(n, b) \\in \\mathcal{L}(k \\leq n) \\)에 대하여 \\( A \\)에서 출발하여 \\( B \\)에 도달하는 경로 수를 \\( N_{A, B} \\)라 하자.", "특히 \\( O=(0,0) \\)일 때는 \\( N_{O, B} \\)를 간단히 \\( N_{B} \\)로 나타내기로 한다.", "</p><p>\\( Z \\)가 원점 \\( O \\)에서 출발하여 \\( (n, a) \\)에 도달하기 위해서는 \\( n \\)번의 시행에서 동전의 앞면이 나온 횟수 \\( h \\)와 뒷면이 나온 횟수 \\( t \\)는 다음을 만족하여야 한다.", "</p<p>\\( h+t=n, h-t=a \\), 즉 \\( n+a=2 h, n-a=2 t \\)</p><p>따라서 \\( (0,0) \\)에서 출발하여 \\( (n, a) \\)에 도달하는 경로 수는 \\[N_{(n, a)}=\\left(\\begin{array}{c}n \\\\ \\frac{n+a}{2} \\end{array}\\right) \\]이다.", "단 \\( x \\geq 0 \\)인 정수가 아니면 \\( \\left(\\begin{array}{l}n \\\\ x\\end{array}\\right)=0 \\)이다.", "예를 들어 \\( N_{(5,1)}=\\left(\\begin{array}{l}5 \\\\ 3\\end{array}\\right)=10 \\)이고 \\( N_{(5,2)} \\) \\( =0 \\)이다.", "자명하게 다음이 성립함을 알 수 있다.", "</p><p>보조정리 \\( 3.6 \\) \\( (n, a) \\)에서 출발하여 \\( (m, b)(n<m) \\)에 도달하는 경로 수는 \\( (0,0) \\)을 출발하여 \\( (m-n, b-a) \\)에 도달하는 경로 수와 같다.", "즉 \\[N_{(n, a),(m, b)}=N_{(m-n, b-a)} .\\]", "</p><p>단순확률보행의 분석에서 매우 유용한 쌍대성(duality)에 대하여 살펴본다.", "길이 \\( n \\)인 경로 \\( \\left(Z_{0}, Z_{1}, \\cdots, Z_{n}\\right) \\)에 대하여 \\( Z_{k}^{*} \\)를 다음과 같이 정의하자.", "</p><p>\\( Z_{k}^{*}=Z_{n}-Z_{n-k}=\\sum_{i=n-k+1}^{n} Y_{i}, \\quad k=1,2, \\cdots, n\\left(Z_{0}^{*}=0\\right) \\)</p><p>이때 \\( \\left(Z_{0}^{*}, Z_{1}^{*}, \\cdots, Z_{n}^{*}\\right) \\)을 \\( \\left(Z_{0}, Z_{1}, \\cdots, Z_{n}\\right) \\)의 쌍대확률보행(dual random walk)이라고 한다.", "명백하게 \\( Z_{0}^{*}=Z_{0}, Z_{n}^{*}=Z_{n} \\)이며 길이 \\( n \\)인 확률보행의 경로와 쌍대확률보행의 경로는 일대일 대응이 된다.", "</p><p>보조정리 \\( 3.7 \\) \\( \\left(Z_{1}, \\cdots, Z_{n}\\right) \\)과 \\( \\left(Z_{1}^{*}, \\cdots, Z_{n}^{*}\\right) \\)은 같은 분포를 따른다.", "</p><p>증명 \\( Y_{1}, \\cdots, Y_{n} \\)이 서로 독립이며 같은 분포를 따르므로 \\( \\left(Y_{1}, Y_{2}, \\cdots, Y_{n}\\right) \\)과 \\( \\left(Y_{n}\\right. \\)", ", \\( \\left.Y_{n-1}, \\cdots, Y_{1}\\right) \\)은 같은 분포를 따른다. \\", "( Z_{k}^{*} \\)의 정의에 의하여 \\( \\left(Z_{1}, \\cdots, Z_{n}\\right) \\)과 \\( \\left(Z_{1}^{*}, \\cdots, Z_{n}^{*}\\right) \\)은 같은 분포를 따른다는 것을 알 수 있다.", "</p><p>\\( Z_{n} \\)의 확률질량함수를 \\[p_{n, r}=P\\left(Z_{n}=r\\right)\\]로 두면 길이 \\( n \\) 인 경로 수는 \\( 2^{n} \\)이므로 \\[p_{n, r}=\\frac{1}{2^{n}} N_{(n, r)}=\\left(\\begin{array}{c}n \\\\ \\frac{n+a}{2} \\end{array}\\right) 2^{-n},-n \\leq r \\leq n, \\quad n=0,1,2, \\cdots .\\]", "</p><p>특히 길이 \\( n \\)인 경로가 시각 \\( n \\)에 상태 \\(0\\)을 방문할 확률을 \\[u_{n}=P\\left(Z_{n}=0\\right)\\]이라 하면 \\( u_{2 n+1}=0(n=0,1,2, \\cdots) \\)이고 \\[u_{2 n}=P\\left(Z_{2 n}=0\\right)=\\left(\\begin{array}{c}2 n \\\\n\\end{array}\\right) 2^{-2 n}, \\quad n=1,2, \\cdots \\quad\\left(u_{0}=1\\right)\\]</p><p>다음은 \\( n ! \\)의 근사에 유용하게 사용되는 식으로 스털링공식(Stirling's formula)이라고 한다.", "</p><p>\\( n ! \\", "sim \\sqrt{2 \\pi n} n^{n} e^{-n} \\)<caption>(3.2)</caption></p><p>스털링공식으로부터 \\[u_{2 n} \\sim \\frac{1}{\\sqrt{\\pi n}}\\]<caption>(3.3)</caption>임을 알 수 있다.", "</p><p>한편 \\( E\\left[Z_{n}\\right]=0, \\operatorname{Var}\\left[Z_{n}\\right]=\\sum_{k=1}^{n} \\operatorname{Var}\\left[Y_{k}\\right]=n \\)이므로 중심극한정리에 의하여 다음을 얻는다. \\", "( n \\rightarrow \\infty \\)일 때 \\[P\\left(\\frac{Z_{n}}{\\sqrt{n}} \\leq x\\right) \\rightarrow \\Phi(x)=\\int_{-\\infty}^{x} \\frac{1}{\\sqrt{2 \\pi}} e^{-y^{2} / 2} d y \\]<caption>(3.4)</caption></p><p>보조정리 \\( 3.8 \\) 반사원리(Reflection principle) \\( A=(n, a), B=(m, b)(n<m, a, b>0) \\)일 때 \\( A \\)에서 출발하여 \\( x \\)축을 경유하여 \\( B \\)에 도달하는 경로 수는 \\( A \\)의 \\( x \\)축에 대칭인 점 \\( A^{\\prime}=(n,-a) \\)에서 출발하여 \\( B \\)에 도달하는 경로 수와 같다.", "</p><p>증명 \\( \\left(z_{n}=a, z_{n+1}, \\cdots, z_{m-1}, z_{m}=b\\right) \\)를 \\( A \\)에서 출발하여 \\( x \\)축을 경유하여 \\( B \\)에 도달하는 경로라 하고 이 경로가 \\( x \\)축과 처음으로 만나는 시각을 \\( r \\)이라 하자.", "</p><p>즉 \\( z_{i}>0\\left(i=n, n+1, \\cdots, r-1, z_{r}=0\\right) \\)이다.", "그러면 \\[\\left(-z_{n}=-a,-z_{n+1}, \\cdots,-z_{r-1}, z_{r}=0, z_{r+1}, \\cdots, z_{m-1}, z_{m}=b\\right)\\]는 \\( A^{\\prime}=(n,-a) \\)에서 출발하여 \\( B=(m, b) \\)에 도달하는 경로가 된다(그림 \\(3.2\\)).", "한편 \\( \\left(t_{n}=-a, t_{n+1}, \\cdots, t_{m-1}, t_{m}=b\\right) \\) 가 \\( A^{\\prime} \\)에서 출발하여 \\( B \\)에 도달하는 경로라면 이 경로는 반드시 \\( x \\)축을 경유한다.", "이 경로가 \\( x \\)축과 처음으로 만나는 시각을 \\( r^{*} \\)라고 하면 \\( t_{i}<0\\left(i=n, \\cdots, r^{*}-1, t_{r^{*}}=0\\right) \\)이므로 \\[\\left(-t_{n}=a,-t_{n+1}, \\cdots,-t_{r^{*}-1}, t_{r^{*}}=0, t_{r^{*}+1}, \\cdots, t_{m-1}, t_{m}=b\\right)\\]는 \\( A \\)에서 출발하여 \\( x \\)축을 경유하여 \\( B \\)에 도달하는 경로가 된다.", "따라서 \\( A \\)에서 출발하여 \\( x \\)축을 경유하여 \\( B \\)에 도달하는 경로와 \\( A^{\\prime} \\)에서 출발하여 \\( B \\)에 도달하는 경로는 일대일 대응이 된다.", "</p><p>보조정리 \\( 3.9 \\) \\( a>0 \\)일 때\\( P\\left(Z_{1}>0, \\cdots, Z_{n-1}>0, Z_{n}=a\\right)=\\frac{1}{2}\\left(p_{n-1, a-1}-p_{n-1, a+1}\\right) \\)\\( =\\frac{a}{n} p_{n, a} . \\)", "</p><p>증명 \\( P\\left(Z_{1}=1\\right)=P\\left(Z_{1}=-1\\right)=\\frac{1}{2} \\)이므로 \\[\\begin{array}{l}P\\left(Z_{1}>0, \\cdots, Z_{n-1}>0, Z_{n}=a\\right) \\\\\\quad=\\frac{1}{2} P\\left(Z_{2}>0, \\cdots, Z_{n-1}>0, Z_{n}=a \\mid Z_{1}=1\\right)\\end{array}\\]이고 \\( P\\left(Z_{2}>0, \\cdots, Z_{n-1}>0, Z_{n}=a \\mid Z_{1}=1\\right) \\)은 \\( (1,1) \\)에서 출발하여 \\( x \\)축을 경유하지 않고 \\( (n, a) \\)에 도달할 확률과 같다.", "한편 \\( (1,1) \\)에서 출발하여 \\( x \\)축을 경유하지 않고 \\( (n, a) \\)에 도달하는 경로 수는 반사원리에 의하여 \\( N_{(n-1, a-1)}-N_{(n-1, a+1)} \\)이다.", "따라서 다음을 얻는다.", "</p><p>간단한 계산에 의하여 \\[\\frac{1}{2}\\left(p_{n-1, a-1}-p_{n-1, a+1}\\right)=\\frac{a}{n} p_{n, a}\\]임을 알 수 있다.", "따라서 보조정리가 증명된다.", "</p><p>예제 \\(3.5\\) 투표문제</p><p>'갑'과 '을' 두 명의 후보가 출마한 선거에서 갑이 \\( a>0 \\)표차로 승리하였다.", "투표자 수가 \\( n \\)명일 때 개표를 시작한 후로 갑이 을보다 항상 앞서 나갔을 확률은 얼마인가?", "단 무효표는 없고 개표는 무작위로 이루어진다고 가정한다.", "</p><p>풀이 \\( k \\)장의 투표용지를 개봉했을 때 갑이 얻은 표의 수에서 을이 얻은 표의 수를 뺀 값을 \\( Z_{k} \\)라 하면 구하는 확률은 다음과 같다.", "</p><p>\\[P\\left(Z_{1}>0, \\cdots, Z_{n-1}>0 \\mid Z_{n}=a\\right)=\\frac{a}{n}\\]</p> <h1>\\(3\\)장 연습문제</h1><p>\\(1\\).", "어떤 공장에서 생산되는 볼베어링의 지른은 평균이 \\(3\\)이고 분산이 \\( 4 \\times 10^{-6} \\)인 정규분 포를 따른다고 한다.", "생산된 볼베어링의 지름이 \\( [2.994,3.006] \\)에 속하면 합격품으로 하고, 그렇지 않으면 불합격품이라 하자. \\", "( X_{n} \\)을 \\( n \\)번째 생산된 볼베어링이 합걱품이면 \\(1\\) , 불합격품이면 \\(0\\)인 확률변수라 하자.", "각 볼베어링이 합격품일지 불합격품일지는 서로 독립이라 하면 \\( \\left\\{X_{n}, n=1,2, \\cdots\\right\\} \\sim \\mathrm{BP}(p) \\)를 따른다. \\", "( p \\)를 구하라.", "</p><p>\\(2\\).", "베르누이과정 \\( \\mathrm{BP}(0.7) \\)에서 성공 횟수 \\( N_{k} \\)에 대하여 다음을 구하라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( P\\left(N_{1}=0, N_{3}=0, N_{7}=2\\right) \\)</li><li>\\( P\\left(N_{5}=3, N_{10}=7\\right) \\)</li><li>\\( E\\left[N_{5} N_{8} \\mid N_{5}\\right] \\)</li><li>\\( E\\left[N_{11} \\mid N_{5}\\right] \\)</li></ol><p>\\([3-5]\\) \\( \\boldsymbol{X}=\\left\\{X_{1}, X_{2}, \\cdots\\right\\} \\sim \\mathrm{BP}(p) \\)일 때 \\( N_{k} \\) 는 \\( k \\)번의 시행에서 성공 횟수, \\( T_{k} \\)는 \\( k \\)번 성공할 때까지의 시행 횟수를 나타낸다.", "</p><p>\\(3\\).", "다음을 구하라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( E\\left[N_{5} N_{9} \\mid N_{2}, N_{3}\\right] \\)</li><li>\\( E\\left[N_{4}+2 N_{5} \\mid X_{1}=1, X_{2}=0, X_{3}=0, X_{4}=1\\right] \\)</li></ol><p>\\(4\\).", "다음을 구하라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( E\\left[T_{n+m} \\mid T_{n}\\right] \\)</li><li>\\( P\\left(N_{m}=j \\mid N_{n+m}=k\\right) \\)</li><li>\\( \\operatorname{Var}\\left[N_{7}-N_{3}\\right] \\)</li><li>\\( E\\left[N_{n+m} \\mid N_{n}\\right] \\)</li></ol><p>\\(5\\).", "다음을 구하라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( P\\left(T_{1}=k, T_{2}=m, T_{3}=n\\right) \\)</li><li>\\( P\\left(T_{3}=n \\mid T_{1}=k, T_{2}=m\\right) \\)</li><li>\\( \\operatorname{Var}\\left[T_{5}-T_{2}\\right] \\)</li><li>\\( E\\left[N_{n+m} \\mid N_{n}\\right] \\)</li><li>\\( E\\left[T_{2} \\mid N_{m}=2\\right](m>2) \\)</li></ol><p>\\(6\\).", "보조정리 \\( 3.27 \\)의 결과를 이용하여 정리 \\( 3.15 \\)를 증명하라.", "</p><p>\\(7\\).", "<ol type=1 start=1><li>\\( a>0, b>0 \\)일 때 \\( x=-b \\)를 경유하지 않고 \\( (n, a) \\)에 도달하는 경로 수는 \\( N_{(n, a)}-N_{(n, a+2 b)} \\)임을 보여라.", "</li><li>\\( 0<a<b \\)일 때 \\( x=b \\)를 경유하지 않고 \\( (n, a) \\)에 도달하는 경로 수는 \\( N_{(n, a)}-N_{(n, 2 b-a)} \\)임을 보여라.", "</li></ol></p><p>\\(8\\). \\( a>0, b>0,-b", "<c<a \\)라 하자. \\", "( (0,0) \\)에서 두 직선 \\( x=-b \\)와 \\( x=a \\)를 경유하지 않고 \\( (n, c) \\)에 도달하는 경로 수는 다음과 같음을 보여라.", "</p><p>\\( \\sum_{k=-\\infty}^{\\infty}\\left(N_{(n, 2 k(a+b)+c)}-N_{(n, 2 n(a+b)+2 a-c)}\\right) \\)</p><p>\\(9\\).", "다음을 보여라.", "</p><p>\\( u_{0} u_{2 n}+u_{2} u_{2 n-2}+\\cdots+u_{2 n} u_{0}=1 \\)</p><p>\\(10\\). \\", "( P\\left(Z_{2 n}=0 \\mid Z_{1}=1\\right)=P\\left(Z_{2 n}=0 \\mid Z_{1}=-1\\right) \\)이 되는 이유를 직관적으로 설명하고 이를 이용하여 \\( P\\left(Z_{2 n}=0\\right)=P\\left(Z_{2 n-1}=1\\right) \\)이 성립함을 보여라.", "</p><p>\\(11\\). \\", "( A, B \\) 두 사람이 공정한 동전을 던져서 앞면이 나오면 \\( A \\)가 \\( B \\)로부터 \\(1\\)단위의 돈을 따고 뒷면이 나오면 \\( B \\)가 \\( A \\)로부터 \\(1\\)단위의 돈을 따는 게임을 생각하자. \\", "( A \\)와 \\( B \\)가 각각 \\( a \\)단위와 \\( b \\)단위의 돈을 가지고 게임할 때 \\( A \\)가 돈을 모두 딸 확률은 얼마인가?", "</p> <h1>3.1 베르누이과정</h1><p>동전을 한 번 던지는 실험에서 나타날 수 있는 결과는 '앞면' 또는 '뒷면' 두 가지 중 하나이다.", "동전던지기와 마찬가지로 그 결과가 '성공'과 '실패' 두 가지로 나타나는 실험을 독립적으로 반복할 때 각 실험을 베르누이시행(Bernoulli trial)이라 한다.", "</p><p>성공할 확률이 \\( 0<p<1 \\)이고 실패할 확률이 \\( q=1-p \\)인 베르누이시행에서 \\( n \\) 번째 시행의 결과가 '성공'이면 \\(1\\)의 값을, '실패'이면 \\(0\\)의 값을 갖는 확률변수를 \\( X_{n} \\)이라고 하자.", "그러면 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots \\)는 서로 독립이고 \\( X_{n} \\)의 확률질량함수는 \\[P\\left(X_{n}=1\\right)=p, \\quad P\\left(X_{n}=0\\right)=1-p\\]이다.", "이때 확률과정 \\( X=\\left\\{X_{n}, n=1,2, \\cdots\\right\\} \\)를 성공할 확률이 \\( p \\)인 베르누이과정(Bernoulli process)이라 하고 앞으로는 \\( X \\sim \\mathrm{BP}(p) \\)로 나타내기로 한다.", "</p><p>예제 \\( 3.1 \\)</p><p>조립라인에서 물건이 생산되어 나오는 경우를 생각하자. \\", "( n \\)번째 생산품이 불량품이면 \\(1\\)의 값을 갖고 합격품이면 \\(0\\)의 값을 갖는 확률변수를 \\( X_{n} \\)이라 하자.", "이때 각 제품의 합격 여부가 다른 제품의 합격 여부와 독립이고 합격 가능성은 모든 제품이 동일하다면 확률과정 \\( X=\\left\\{X_{n}, n=1,2, \\cdots\\right\\} \\)는 베르누이과정이다.", "</p><p>예제 \\( 3.2 \\)</p><p>어떤 교차로에서 그 교차로를 통과하는 자동차의 \\( 45 \\% \\)는 좌회전을 하고 나머지는 직진 하거나 우회전을 한다고 하자. \\", "( X_{n} \\)을 \\( n \\)번째 교차로를 통과하는 차가 좌회전을 하면 \\(1\\),그렇지 않으면 \\(0\\)의 값을 갖는 확률변수라 하자.", "각각의 자동차가 어느 방향으로 갈지는 서로 독립이라고 하면 \\( X=\\left\\{X_{n}, n=1,2, \\cdots\\right\\} \\sim \\mathrm{BP}(0.45) \\)이다.", "</p> <h2>3.2.3 최초 방문시각</h2><p>\\( Z \\)가 \\( O=(0,0) \\)에서 출발하여 상태 \\( r \\)을 처음으로 방문하는 시각을 \\( T_{r} \\)이라 하자.", "즉 \\( T_{r}=\\inf \\left\\{k \\geq 1: Z_{k}=r\\right\\} \\).", "그러면 \\( \\left\\{T_{r}=n\\right\\}=\\left\\{Z_{1} \\neq r, \\cdots, Z_{n-1} \\neq r, Z_{n}=r\\right\\} \\)이 됨을 알 수 있다.", "특히 \\( T_{0} \\)는 \\( Z \\)가 원점에 처음으로 되돌아오는 시각이다.", "</p><p>먼저 \\( T_{0} \\)의 확률적 특성에 대하여 살펴본다. \\", "( f_{n}=P\\left(T_{0}=n\\right)(n=1,2, \\cdots) \\)이라 하면 \\( \\left\\{T_{0}=n\\right\\} \\subset\\left\\{Z_{n}=0\\right\\} \\) 이고 \\( u_{2 n+1}=0 \\)이므로 \\( f_{2 n+1}=0(n=0,1,2, \\cdots) \\)이 됨을 알 수 있다.", "또한 \\( \\left\\{T_{0}=2 k\\right\\} \\)라는 가정하에 \\( \\left\\{Z_{2 n}=0\\right\\} \\)이 발생할 확률은 \\( (2 k, 0) \\)에서 출발하여 \\( (2 n, 0) \\)을 방문할 확률과 같다.", "이것은 원점 \\( (0,0) \\)에서 출발하여 \\( (2 n-2 k, 0) \\)을 방문할 확률과 같다.", "따라서 \\[P\\left(Z_{2 n}=0 \\mid T_{0}=2 k\\right)=u_{2 n-2 k} .\\]", "</p><p>전확률공식에 의하여 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} u_{2 n} &=\\sum_{k=1}^{n} P\\left(Z_{2 n}=0 \\mid T_{0}=2 k\\right) P\\left(T_{0}=2 k\\right) \\\\ &=\\sum_{k=1}^{n} u_{2 n-2 k} f_{2 k}, \\quad n=1,2, \\cdots \\end{aligned} \\)<caption>(3.5)</caption></p><p>보조정리 \\( 3.10 \\) \\[P\\left(Z_{1}>0, \\cdots, Z_{2 n}>0\\right)=\\frac{1}{2} u_{2 n}\\]</p><p>증명 보조정리 \\(3.9\\)에 의하여 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( P\\left(Z_{1}>0, \\cdots, Z_{2 n}>0\\right)=\\sum_{k=1}^{\\infty} P\\left(Z_{1}>0, \\cdots, Z_{2 n-1}>0, Z_{2 n}=2 k\\right) \\) \\[\\begin{array}{l}=\\frac{1}{2} \\sum_{k=1}^{\\infty}\\left(p_{2 n-1,2 k-1}-p_{2 n-1,2 k+1}\\right) \\\\=\\frac{1}{2} p_{2 n-1,1} \\end{array}\\]</p><p>한편 \\( p_{2 n-1,1}=u_{2 n} \\)이므로 보조정리가 증명된다.", "</p><p>정리 \\( 3.11 \\) \\[P\\left(T_{0}>2 n\\right)=u_{2 n}\\]</p><p>증명 보조정리 \\( 3.10 \\)과 대칭성에 의하여 \\( P\\left(Z_{1}<0, \\cdots, Z_{2 n}<0\\right)=\\frac{1}{2} u_{2 n} \\)이므로 \\[ \\begin{aligned}P\\left(T_{0}>2 n\\right) &=P\\left(Z_{1} \\neq 0, \\cdots, Z_{2 n} \\neq 0\\right) \\\\&=P\\left(Z_{1}>0, \\cdots, Z_{2 n}>0\\right)+P\\left(Z_{1}<0, \\cdots, Z_{2 n}<0\\right) \\\\&=u_{2 n} .\\", "end{aligned}\\]</p><p>따름정리 \\( 3.12 \\) \\[P\\left(Z_{1} \\geq 0, \\cdots, Z_{2 n} \\geq 0\\right)=u_{2 n}\\]</p><p>증명 \\( Z \\)가 독립증분과 정상증분을 가지므로 \\[\\begin{aligned}\\frac{1}{2} u_{2 n} &=P\\left(Z_{1}>0, \\cdots, Z_{2 n}>0\\right) \\\\&=P\\left(Z_{1}=1, Z_{2}-Z_{1} \\geq 0, \\cdots, Z_{2 n}-Z_{1} \\geq 0\\right) \\\\&=\\frac{1}{2} P\\left(Z_{2}-Z_{1} \\geq 0, \\cdots, Z_{2 n}-Z_{1} \\geq 0 \\mid Z_{1}=1\\right) \\\\&=\\frac{1}{2} P\\left(Z_{1} \\geq 0, \\cdots, Z_{2 n-1} \\geq 0\\right)\\end{aligned} \\]</p><p>또한 \\( Z_{2 n-1} \\geq 0 \\)은 홀수이므로 \\( Z_{2 n-1} \\geq 0 \\)이면 \\( Z_{2 n} \\geq 0 \\)이다.", "따라서 \\[P\\left(Z_{1} \\geq 0, \\cdots, Z_{2 n-1} \\geq 0\\right)=P\\left(Z_{1} \\geq 0, \\cdots, Z_{2 n} \\geq 0\\right) .\\]", "</p><p>따름정리 \\( 3.13 \\) \\[f_{2 n}=P\\left(T_{0}=2 n\\right)=\\frac{1}{2 n-1} u_{2 n}, \\quad n=1,2, \\cdots\\]</p><p>증명 정리 \\(3.11\\)로부터 \\[\\begin{aligned}f_{2 n} &=P\\left(T_{0}>2 n-2\\right)-P\\left(T_{0}>2 n\\right) \\\\ &=u_{2 n-2}-u_{2 n}=\\left(\\begin{array}{c}2 n-2 \\\\n-1\\end{array}\\right) 2^{-(2 n-2)}-\\left(\\begin{array}{c}2 n \\\\n \\end{array}\\right) 2^{-2 n} \\\\&=\\frac{1}{2 n-1} u_{2 n} .\\", "end{aligned}\\]</p><p>따름정리 \\( 3.14 \\) \\[E\\left[T_{0}\\right]=\\infty\\]</p><p>증명 \\((3.3)\\)으로부터 다음을 얻는다.", "</p><p>\\[2 n f_{2 n}=\\frac{2 n}{2 n-1} u_{2 n} \\sim \\frac{2 n}{2 n-1} \\frac{1}{\\sqrt{\\pi n}} \\sim \\frac{1}{\\sqrt{\\pi n}}\\]</p><p>한편 \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{\\sqrt{\\pi n}}=\\infty \\)이므로 \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} 2 n f_{2 n}=\\infty \\)이다. \\", "( \\)</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "413", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "확률과정입문_베르누이과정과 단순확률보행", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-c33c-4335-adc4-96da13a5fe26", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961054034", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2011", "doc_author": [ "신양우" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>정리 3.3.20 군 \\( G \\) 의 정규부분군 \\( N \\triangle G \\) 와 에 대한 다음 함수 \\( \\pi: G \\longrightarrow G / N, \\pi(a)=a N \\) 와 \\( N<H<G \\) 에 대하여 \\( H / N=\\{a N \\mid a \\in H\\} \\) 라 할 때, 다음이 성립한다.", "<ol type= start=1><li>\\( \\pi \\) 는 군 준동형사상이고, 전사함수이다.", "</li><li>\\( H / N<G / N \\)</li><li>\\( H \\triangleleft G \\quad \\Longleftrightarrow \\quad H / N \\triangleleft G / N \\)</li></ol>※\\( \\pi \\) 를 \\( G \\) 에서 \\( G / N \\) 위로의 자연준동형사상(natural homomorphism)이라 함.", "</p><p>(증명) (1) 모든 \\( a, b \\in G \\) 에 대하여 \\[ \\pi(a b)=a b N=(a N)(b N)=\\pi(a) \\pi(b) \\] 이므로 \\( \\pi \\) 는 군 준동형사상이다.", "또한 정의에 의하여 전사함수이다.", "</p><p>(2) (3) \\( \\pi \\) 는 전사함수이므로, \\[ \\operatorname{Im}(\\pi)=\\pi(G)=G / N, \\quad \\pi(H)=\\{a N \\mid a \\in H\\}=H / N \\] 이므로, 정리 3.2.14(3)과 정리 3.3.9에 의하여 정리가 성립한다.", "</p> <h2>3.2 준동형사상과 동형사상</h2><p>이 절에서는 군 위에서 연산을 보존하는 함수에 대하여 알아 본다.", "</p><p>정의 3.2.1 [준동형사상(homomorphism), 동형사상(isomorphism)] 군 \\( (G, \\cdot),\\left(G^{\\prime}, *\\right) \\) 위에서 함수 \\( f: G \\longrightarrow G^{\\prime} \\) 가 정의되었을 때,</p><p>함수 \\( f \\) 가 (군) 준동형사상 \\( \\stackrel{\\text { 정의 }}{\\Leftrightarrow} \\)\\(\\forall a, b \\in G, f(a \\cdot b)=f(a) * f(b)\\)</p><p>함수 \\( f \\) 가 (군) 동형사상 \\( \\stackrel{\\text { 정의 }}{\\Leftrightarrow} \\)<ol type= start=1><li>\\( f \\) 가 단사함수 \\( (\\forall a, b \\in G, f(a)=f(b) \\Rightarrow a=b) \\)</li><li>\\( f \\) 가 전사함수 \\( \\left(\\forall b \\in G^{\\prime}, \\exists a \\in G, f(a)=b\\right) \\)</li><li>\\( f \\) 가 준동형사상 \\( (\\forall a, b \\in G, f(a \\cdot b)=f(a) * f(b)) \\)</li></ol></p><ul><li>\\( f \\) 가 동형사상일 때, \\( G \\) 와 \\( G^{\\prime} \\) 는 동형(isomorphic)이라 하고, \\( G \\cong G^{\\prime} \\) 이라 표기</li><li>군 \\( G, G^{\\prime} \\) 을 강조할 때, 준동형사상 \\( f: G \\longrightarrow G^{\\prime} \\) 를 군 준동형사상(group homomorphism)</li><li>\\( G \\) 에서 \\( G \\) 로의 준동형사상 \\( f: G \\longrightarrow G \\) 를 자기준동형사상(endomorphism)</li><li>\\( G \\) 에서 \\( G \\) 로의 동형사상 \\( f: G \\longrightarrow G \\) 를 자기동형사상(automorphism)이라 한다.", "</li></ul><p>예 3.2.2 [준동형사상] 덧셈군 \\( (\\mathbb{Z},+) \\) 위에서 함수 \\( f:(\\mathbb{Z},+) \\longrightarrow(\\mathbb{Z},+) \\) 를 생각하자.", "</p><p>\\( f(x)=x+1 \\) 이라 정의하면 전단사 함수이다.", "하지만 \\[ \\left\\{\\begin{array}{l} f(1+1)=f(2)=2+1=3 \\\\ f(1)+f(1)=(1+1)+(1+1)=4 \\end{array}\\right. \\] 이므로, \\( f(1+1) \\neq f(1)+f(1) \\) 이 되어 \\( f \\) 는 준동형사상이 아니다.", "</p><p>\\( f(x)=x^{2} \\) 이라 정의하자. \\", "[ \\left\\{\\begin{array}{l} f(x+y)=(x+y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2} \\\\ f(x)+f(y)=x^{2}+y^{2} \\end{array}\\right. \\] 이므로, \\( f(x+y) \\neq f(x)+f(y) \\) 이 되어 \\( f \\) 는 준동형사상이 아니다.", "</p><p>\\( f(x)=a x(\\exists a \\in \\mathbb{Z}) \\) 라 정의하면 준동형사상이 된다.", "임의의 \\( x, y \\in \\mathbb{Z} \\) 에 대하여 \\[ f(x+y)=a(x+y)=a x+a y=f(x)+f(y) \\] 이므로, 준동형사상이다.", "</p> <p>예 3.2.11 [동형이 아닌 군] 동형이 아닌 군의 예를 살펴보자.", "</p><p>(1) 덧셈군 \\( (\\mathbb{Q},+) \\)과 덧셈군 \\( (\\mathbb{Z},+) \\)은 위수가 같지만 동형이 아니다.", "즉, \\( (\\mathbb{Q},+) ¥(\\mathbb{Z},+) \\)</p><p>(증명) \\( (\\mathbb{Q},+) \\cong(\\mathbb{Z},+) \\) 이라 하자.", "그러면 동형사상 \\[ f: \\mathbb{Q} \\longrightarrow \\mathbb{Z} \\]</p><p>가 존재한다.", "한편 \\( 0 \\neq f(1) \\in \\mathbb{Z} \\) 이고, 임의의 양의 정수 \\( n \\in \\mathbb{N} \\) 에 대하여, \\[ f(1)=f\\left(n \\cdot \\frac{1}{n}\\right)=f\\left(\\frac{1}{n}+\\cdots+\\frac{1}{n}\\right)=f\\left(\\frac{1}{n}\\right)+\\cdots+f\\left(\\frac{1}{n}\\right)=n f\\left(\\frac{1}{n}\\right) \\in \\mathbb{Z} \\] 이다.", "즉, 정수 \\( (0 \\neq) f(1) \\) 은 모든 양의 정수 \\( n \\) 의 배수이다.", "이것은 \\( f(1)=0 \\) 이 되어 모순이므로 동형이 아니다.", "따라서 \\( (\\mathbb{Q},+) \\not= (\\mathbb{R},+) \\) 이다.", "</p><p>(2) \\( (\\mathbb{Q},+) \\nsubseteq(\\mathbb{R},+) \\) 이다.", "왜냐하면 위수가 \\( |\\mathbb{Q}| \\neq|\\mathbb{R}| \\) 이기 때문에 전단사함수가 존재하지 않는다.", "</p><p>문제 3.2.12 \\( \\left(\\mathbb{C}^{*}, \\cdot\\right) \\neq\\left(\\mathbb{R}^{*}, \\cdot\\right) \\) 임을 보여라.", "[참조: \\( x^{2}=-1 \\) 의 해는 실수가 아님]</p><p>정의 3.2.13 [상(image)과 핵(kernel)] 군 준동형사상 \\( f: G \\longrightarrow G^{\\prime} \\) 과 \\( G^{\\prime} \\) 의 항등원 \\( e^{\\prime} \\in G^{\\prime} \\) 에 대하여<ul><li>\\( \\operatorname{Im}(f) \\) 가 \\( f \\) 의 상(image, 像) \\( \\quad \\stackrel{\\text { 정의 }}{\\Leftrightarrow} \\operatorname{Im}(f)=f(G)=\\{f(a) \\mid a \\in G\\} \\)</li><li>\\( \\operatorname{ker}(f) \\) 가 \\( f \\) 의 핵(kernel, 核)\\( \\quad \\stackrel{\\text { 정의 }}{\\Leftrightarrow} \\operatorname{ker}(f)=f^{-1}\\left(\\left\\{e^{\\prime}\\right\\}\\right)=\\left\\{a \\in G \\mid f(a)=e^{\\prime}\\right\\} \\)</li></ul></p><p>정리 3.2.14 군 준동형사상 \\( f: G \\longrightarrow G^{\\prime} \\) 이 주어졌을 때, \\( G \\) 의 항등원 \\( e \\in G \\) 와 \\( G^{\\prime} \\) 의 항등원 \\( e^{\\prime} \\in G^{\\prime} \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "<ol type= start=1><li>\\( f(e)=e^{\\prime} \\)</li><li>\\( f\\left(a^{-1}\\right)=f(a)^{-1} \\)</li><li>\\( H<G \\quad \\Longrightarrow \\quad f(H)<G^{\\prime} \\)</li><li>\\( H^{\\prime}<G^{\\prime} \\quad \\Longrightarrow f^{-1}\\left(H^{\\prime}\\right)<G \\)</li></ol></p><p>※ (3)과 (4)에 의하여 \\( \\operatorname{Im}(f)=f(G)<G^{\\prime} \\) 이고 \\( \\operatorname{ker}(f)=f^{-1}\\left(\\left\\{e^{\\prime}\\right\\}\\right)<G \\) 이다.", "</p><p>(증명) (1) \\( f \\) 가 군 준동형사상이므로, \\[ e^{\\prime} f(e)=f(e)=f(e e)=f(e) f(e) \\] 이다.", "그러면 군의 우소거법칙에 의하여 \\( f(e)=e^{\\prime} \\) 이다.", "</p><p>(2) 임의의 \\( a \\in G \\) 에 대하여 (\\(1\\))에 의하여 \\[ e^{\\prime}=f(e)=f\\left(a a^{-1}\\right)=f(a) f\\left(a^{-1}\\right) \\] 이므로 양변의 왼쪽에 \\( f(a)^{-1} \\) 을 곱하면, \\( f\\left(a^{-1}\\right)=f(a)^{-1} \\) 이다.", "</p><p>(3) 위 (1)에 의하여 \\( e^{\\prime}=f(e) \\in f(H) \\) 이다.", "다음에 임의의 \\( f(a), f(b) \\in f(H) \\) 에 대하여 \\( a b^{-1} \\in H \\) 이다.", "또한 (2) 에 의하여 \\[ f(a) f(b)^{-1}=f(a) f\\left(b^{-1}\\right)=f\\left(a b^{-1}\\right) \\in f(H) \\]이다.", "따라서 \\( f(H)<G^{\\prime} \\) 이다.", "</p><p>(4) (\\( f(e)=e^{\\prime} \\) 이므로 \\( e \\in f^{-1}\\left(H^{\\prime}\\right) \\) 이다.", "다음에 임의의 \\( a, b \\in f^{-1}\\left(H^{\\prime}\\right) \\) 에 대하여 \\( f(a), f(b) \\in \\) \\( H^{\\prime} \\) 이므로 \\[ f\\left(a b^{-1}\\right)=f(a) f\\left(b^{-1}\\right)=f(a) f(b)^{-1} \\in H^{\\prime} \\] 이다.", "따라서 \\( a b^{-1} \\in f^{-1}\\left(H^{\\prime}\\right) \\) 이고, \\( f^{-1}\\left(H^{\\prime}\\right)<G \\) 이다.", "</p> <p>예 3.2.22 \\( S_{3} \\) 의 부분군 \\( H=\\{(1),(12)\\} \\) 와 \\( A_{3}=\\left\\{(1),\\left(\\begin{array}{lll}1 & 2 & 3\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{lll}1 & 3 & 2\\end{array}\\right)\\right\\} \\) 에 대하여 \\( g=(13) \\) 에 관한 켤레부분군을 구해보자. \\", "[ g H g^{-1}=(13)\\{(1),(12)\\}(13)=\\{(1),(23)\\} \\neq H \\] 이지만, 둘 다 위수가 2이므로 \\( g \\mathrm{gg}^{-1} \\simeq H \\) 이다.", "한편 \\[ g A_{3} g^{-1}=(13)\\{(1),(123),(132)\\}(13)=\\{(1),(132),(123)\\}=A_{3} \\] 이다.", "</p><p>정리 3.2.23 군 준동형사상 \\( f: G \\longrightarrow G^{\\prime} \\) 일 때, \\( H=\\operatorname{ker}(f) \\) 라 하자. \\", "( a \\in G \\) 에 대하여 \\[ f^{-1}(\\{f(a)\\})=\\{x \\in G \\mid f(x)=f(a)\\} \\] 라 하면 다음이 성립한다. \\", "[ f^{-1}(\\{f(a)\\})=a H=H a \\]</p><p>\\( \\operatorname{ker}(f)=f^{-1}\\left(\\left\\{e^{\\prime}\\right\\}\\right)=\\begin{array}{llllll}H & c H & \\cdots & b H & \\cdots & a H=f^{-1}(\\{f(a)\\})\\end{array} \\)</p><p>(증명) \\( A=f^{-1}(\\{f(a)\\})=\\{x \\in G \\mid f(x)=f(a)\\} \\) 라 하고, \\[ A \\subset a H \\subset H a \\subset A \\] 임을 증명하자.", "그러면 \\( A=a H=H a \\) 가 되어 정리가 성립한다.", "</p><p>\\( (A \\subset a H) \\) 임의의 \\( x \\in A \\) 라 하면, \\[ f(x)=f(a) \\Longrightarrow f(a)^{-1} f(x)=e \\quad \\Longrightarrow \\quad f\\left(a^{-1}\\right) f(x)=e \\quad \\Longrightarrow \\quad f\\left(a^{-1} x\\right)=e \\] 이므로, \\( a^{-1} x \\in \\operatorname{ker}(f)=H \\) 이다.", "따라서 \\( a^{-1} x=h \\) 인 원소 \\( h \\in H \\) 가 존재한다.", "그러므로 \\( x=a h \\in \\) \\( a H \\) 가 되어, \\( A \\subset a H \\) 이다.", "</p><p>\\( (a H \\subset H a) \\) 임의의 \\( a h \\in a H \\) 라 하면, \\( f(h)=e^{\\prime} \\) 인 원소 \\( h \\in H \\) 가 존재한다.", "그러면 \\[ f\\left(a h a^{-1}\\right)=f(a) f(h) f\\left(a^{-1}\\right)=f(a) e^{\\prime} f(a)^{-1}=f(a) f(a)^{-1}=e^{\\prime} \\] 이다.", "그러므로 \\( a h a^{-1} \\in \\operatorname{ker}(f)=H \\) 이다.", "따라서 \\( a h a^{-1}=h \\) 인 원소 \\( h \\in H \\) 가 존재한다.", "그러므로 \\( a h \\in H a \\) 가 되어, \\( a H \\subset H a \\) 이다.", "</p><p>\\( (Ha \\subset A) \\) 임의의 \\( h a \\in H a \\) 라 하면, \\( f(h)=e^{\\prime} \\) 인 원소 \\( h \\in H \\) 가 존재한다. \\", "[ f(h a)=f(h) f(a)=e^{\\prime} f(a)=f(a) \\] 이다.", "그러므로 \\( h a \\in A \\) 이다.", "따라서 \\( H a \\subset A \\) 이다.", "</p> <p><p>정리 3.1.10 (Lagrange 정리) 유한군 \\( G \\) 의 부분군 \\( H<G \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "</p><ol type= start=1><li>\\( |H||| G \\mid \\)</li><li>\\( |G|=|G: H||H| \\).", "즉, \\( |G: H|=\\frac{|G|}{|H|} \\)</li></ol><p>※ 부분군 \\( H \\) 의 위수는 군 \\( G \\) 의 위수 \\( |G| \\) 의 약수이다.", "하지만, \\( |G| \\) 의 약수를 위수로 갖는 부분군이 항상 존재하는 것은 아니다.", "[Lagrange 정리의 역 불성립 : 참조 예 3.6.4]</p><p>※ \\(G \\) 가 유한 가환군이면 Lagrange의 역이 성립한다.", "[참조: 정리 3.4.15]</p></p><p>(증명) 정리 1.3.8에 의하여, \\( H \\) 의 좌잉여류 전체집합 \\( G / \\sim_{L}=\\{a H \\mid a \\in G\\} \\) 은 \\( G \\) 의 분할이다. \\", "( G \\) 가 유한 집합이므로 \\[ G / \\sim_{L}=\\left\\{a_{1} H, a_{2} H, \\cdots, a_{n} H \\mid a_{i} H \\neq a_{j} H, i \\neq j\\right\\} \\] 라 할 수 있다.", "그러므로 \\( |G: H|=\\left|G / \\sim_{L}\\right|=n \\) 이고, 분할의 정의에 의하여 \\[ G=a_{1} H \\cup a_{2} H \\cup \\cdots \\cup a_{n} H, \\quad a_{i} H \\cap a_{j} H=\\varnothing(1 \\leq i \\neq j \\leq n) \\] 이다.", "따라서 \\[ |G|=\\left|a_{1} H\\right|+\\left|a_{2} H\\right|+\\cdots+\\left|a_{n} H\\right| \\] 이다.", "또한 정리 3.1.5에 의하여 \\( \\left|a_{1} H\\right|=\\cdots=\\left|a_{n} H\\right|=|H| \\) 이므로, \\[ |G|=n|H| \\] 이다.", "즉, \\( |H||| G \\mid \\) 이고, \\( |G|=|G: H||H| \\) 이다.", "</p><p>예 3.1.11 군 \\( G \\) 의 두 부분군 \\( H \\),\\( K \\) 의 집합곱(set product) \\( HK \\) 를 다음과 같이 정의하자. \\", "[ H K=\\{h k \\mid h \\in H, \\quad k \\in K\\} \\subset G \\] 일반적으로 \\( HK \\) 는 \\( G \\) 의 부분군이 아니다.", "예를 들어, 3차 대칭군 \\( S_{3} \\) 의 두 부분군 \\( A=\\{(1),(12)\\}, B=\\{(1),(13)\\} \\) 은 집합곱 \\( AB \\) \\[ AB = \\{(1),(12)\\}\\{(1),(13)\\}=\\{(1).(12),(13),(12)(13)\\} \\] 은 원소수가 4이다.", "4는 \\( \\left|S_{3}\\right|=6 \\)의 약수가 아니므로, Lagrange 정리에 의하여 두 부분군의 집합 곱 \\( A B \\) 는 \\( S_{3} \\) 의 부분군이 될 수 없다.", "실제로, \\( (13)(12) \\) 는 집합곱 \\( A B \\) 의 원소가 아니다.", "</p> <p>정리 3.3.11 [2001 학년 임용시험 출제] 군 \\( G \\) 의 정규부분군 \\( N \\triangleleft G \\) 의 잉여류 전체집합 \\( G / N=\\{a N \\mid a \\in G\\} \\) 에 대하여 다음이 성립한다. \\", "[ \\text { 연산 }(a N)(b N)=a b N \\text { 아래서 } G / N \\text { 은 군 이다. } \\]", "※ \\( G / N \\) 은 \\( N \\) 에 의한 \\( G \\) 의 잉여군(factor group) 또는 상군(quotient group)</p><p>(증명) 임의의 \\( a N, b N, c N \\in G / N \\) 에 대하여 \\[ (a N)[(b N)(c N)]=(a N)[(b c) N]=[a(b c)] N=[(a b) c] N=[(a b) N](c N)=[(a N)(b N)](c N) \\] 이므로 \\( G / N \\) 에서 결합법칙이 성립한다.", "또한 \\[ (a N)(e N)=(a e) N=a N=(e a) N=(e N)(a N) \\] 이므로 \\( e N=N \\) 은 \\( G / N \\) 의 항등원이다.", "마지막으로 \\[ (a N)\\left(a^{-1} N\\right)=\\left(a a^{-1}\\right) N=e N=\\left(a^{-1} a\\right) N=\\left(a^{-1} N\\right)(a N) \\] 이므로 \\( (a N)^{-1}=a^{-1} N \\) 은 \\( a N \\) 의 역원이다.", "따라서 \\( G / N \\) 은 군이다.", "</p><p>예 3.3.12 양의 정수 \\( n \\) 에 대하여 덧셈군 \\( \\mathbb{Z} \\) 의 정규부분군 \\( n \\mathbb{Z} \\) 의 잉여군 \\[ \\begin{array}{c} \\mathbb{Z} / n \\mathbb{Z}=\\{\\overline{0}, \\overline{1}, \\cdots, \\overline{n-1}\\}(\\bar{a}=a+n \\mathbb{Z}), \\quad \\mathbb{Z}_{n}=\\{0,1, \\cdots, n-1\\} \\end{array} \\] 은 동형이다.", "즉, \\( \\mathbb{Z} / n \\mathbb{Z} \\cong \\mathbb{Z}_{n} \\) 이다.", "</p><p>\\( \\mathbb{Z} / n \\mathbb{Z} \\) 에서 \\( \\mathbb{Z}_{n} \\) 으로의 함수 \\( f \\) 를 \\[ \\begin{array}{c} f: \\mathbb{Z} / n \\mathbb{Z} \\longrightarrow \\mathbb{Z}_{n}, \\quad f(\\bar{a})=[a]_{n}(n \\text { 으로 나눈 나머지 }) \\end{array} \\] 라 정의하자. \\", "( f \\) 가 잘 정의되었음을 보이자. \\", "( \\bar{a}=a+n \\mathbb{Z} \\) 이므로 정리 3.1.7(1)에 의하여 \\[ \\bar{a}=\\bar{b} \\quad \\Longrightarrow \\quad \\overline{a-b} \\in n \\mathbb{Z} \\quad \\Longrightarrow \\quad a-b=n t \\quad \\Longrightarrow \\quad a \\equiv b(\\bmod n) \\quad \\Longrightarrow \\quad[a]_{n}=[b]_{n} \\] 이므로 \\( f(\\bar{a})=f(\\bar{b}) \\) 가 되어 \\( f \\) 는 잘 정의된다.", "</p><p>정의에 의해 \\( f \\) 는 전단사함수임을 알 수 있다.", "마지막으로 임의의 \\( \\bar{a}, \\bar{b} \\in \\mathbb{Z} / n \\mathbb{Z} \\) 에 대하여 \\[ f(\\bar{a}+\\bar{b})=f(\\overline{a+b})=[a+b]_{n}=[a]_{n}+[b]_{n}=f(\\bar{a})+f(\\bar{b}) \\] 이므로 \\( f \\) 는 준동형사상이 되어 \\( f \\) 는 동형사상이다.", "따라서 \\( \\mathbb{Z} / n \\mathbb{Z} \\cong \\mathbb{Z}_{n} \\) 이다.", "</p> <p><p>정리 3.1.12 군 \\( G \\) 의 공이 아닌 부분집합 \\( H \\) 에 대하여 다음은 동치이다.", "</p><ol type= start=1><li>\\( H<G \\)</li><li>\\( \\Leftrightarrow \\) \\( H H=H, \\quad H^{-1}=H \\) [\\(2010\\)학년도 임용시험 출제]</li><li>\\( \\Leftrightarrow \\) \\( H H^{-1}=H \\)</li></ol></p><p><p>(증명) (1) \\( \\Rightarrow \\) (2) \\( H \\) 가 \\( G \\) 의 부분군이면, 집합곱의 정의에 의해 \\[ H H=\\{a b \\mid a, b \\in H\\} \\subset H, \\quad H^{-1}=\\left\\{a^{-1} \\mid a \\in H\\right\\} \\subset H \\] 이다.", "또, 임의의 \\( a \\in H \\) 에 대하여 \\( a=a e \\in H H, a=\\left(a^{-1}\\right)^{-1} \\in H^{-1} \\) 이므로, \\( H \\subset H H, H \\subset H^{-1} \\) 이다.", "따라서 \\( H H=H, H^{-1}=H \\) 이다.", "</p><p>(2) \\( \\Rightarrow \\) (3) \\( H H=H, H^{-1}=H \\) 이면, \\( H^{-1}=H H=H \\) 이다.", "</p><p>(3) \\( \\Rightarrow \\) (1) \\( H^{-1}=H \\) 이라 하면, \\( a \\in H \\) 에 대하여 \\( e=a a^{-1} \\in H H^{-1}=H \\) 이다.", "또한 임의의 \\( a, b \\in H \\) 에 대하여 \\( a b^{-1} \\in H H^{-1}=H \\) 이므로, 부분군 판정조건(정리 2.2.3)에 의하여 \\( H \\) 는 \\( G \\) 의 부분군이다.", "</p></p><p>정리 3.1.13 군 \\( G \\) 의 부분군 \\( H, K \\) 의 집합곱 \\( H K \\) 에 대하여 다음 동치가 성립한다. \\", "[ H K<G \\quad \\Longleftrightarrow \\quad H K=K H \\]</p><p>(증명) \\( (\\Rightarrow) H K<G \\) 이면, 정리 3.1.12(2)에 의하여 다음이 성립한다. \\", "[ H K=(H K)^{-1}=K^{-1} H^{-1}=K H \\] \\( (\\Leftarrow) H K=K H \\) 이면, 정리 3.1.12에 의하여 다음이 성립한다. \\", "[ (H K)(H K)^{-1}=(H K)\\left(K^{-1} H^{-1}\\right)=H\\left(K K^{-1}\\right) H^{-1}=H(K H)=H(H K)=(H H) K=H K \\] 따라서 정리 \\(3.1.12(3)\\)에 의하여 \\( H K<G \\) 이다.", "</p><p>정리 3.1.14 군 \\( G \\) 의 유한 부분군 \\( H, K \\) 에 대하여 다음이 성립한다. \\", "[ |H K|=\\frac{|H||K|}{|H \\cap K|} \\] 특히, \\( \\operatorname{gcd}(|H|,|K|)=1 \\) 이면, \\( \\quad|H K|=|H||K| \\) 이다.", "</p><p>(증명) \\( H, K \\) 가 유한 부분군이고 \\[ H K=\\{h k \\mid h \\in H, k \\in K\\}=\\cup\\{h K \\mid h \\in H\\} \\] 이므로, \\( H K \\) 는 유한 집합이다. \\", "( H K \\) 에 포함된 \\( K \\) 의 좌잉여류 전체의 집합을 \\( A \\) 라 하면, \\( A= \\) \\( \\{h K \\mid h \\in H\\} \\) 이므로 \\( |H K|=|A||K| \\) 이다.", "</p><p>또한 \\( H \\cap K \\) 는 유한군 \\( H \\) 의 부분군이므로, \\( H \\) 에서 \\( H \\cap K \\) 의 좌잉여류 전체의 집합을 \\( B \\) 라 하면, Lagrange 정리(정리 \\(3.1.10(2)\\))에 의하여 \\[ |B|=|H: H \\cap K|=\\frac{|H|}{|H \\cap K|} \\] 이다.", "</p><p>이때 \\( A \\) 에서 \\( B \\) 로의 함수 \\( f \\) 를 \\[ f: A \\longrightarrow B, \\quad f(h K)=h(H \\cap K) \\] 라 정의 하자. \\", "( f \\) 가 잘 정의되었음을 보이자.", "임의의 \\( h, h^{\\prime} \\in H \\) 에 대하여(정리 3.1.7(1)) \\[ h K=h^{\\prime} K \\Longleftrightarrow h^{-1} h^{\\prime} \\in K \\quad \\Longleftrightarrow h^{-1} h^{\\prime} \\in K \\cap H \\quad \\Longleftrightarrow h(K \\cap H)=h^{\\prime}(K \\cap H) \\] 이므로, \\( f \\) 는 잘 정의되고 단사함수이다.", "전사함수임은 정의에 의해 분명하므로, \\( f \\) 는 전단사함수이다.", "따라서 \\( A, B \\) 가 유한집합이므로 다음이 성립한다. \\", "[ |A|=|B|=\\frac{|H|}{|H \\cap K|} \\] 그러므로 \\[ |H K|=|A||K|=\\frac{|H|}{|H \\cap K|}|K|=\\frac{|H||K|}{|H \\cap K|} \\]</p><p>특히, \\( \\operatorname{gcd}(|H|,|K|)=1 \\) 인 경우에는 \\( H \\cap K \\) 는 유한군 \\( H \\) 와 \\( K \\) 의 부분군이므로, Lagrange 정리에 의해 \\[ |H \\cap K||| H|, \\quad| H \\cap K|||K| \\] 이다.", "그러면 \\( |H \\cap K| \\mid \\operatorname{gcd}(|H|,|K|)=1 \\) 이 되어 \\( |H \\cap K|=1 \\) 이므로, \\( |H K|=|H||K| \\) 이다.", "<p> <p>예 3.3.29 비가환군의 교환자부분군을 구하자.", "</p><p>(1) 3차 대칭군 \\( S_{3} \\) 의 교환자부분군 \\( C_{S_{3}} \\) 을 구하자.", "3차 교대군 \\( A_{3} \\)의 위수가 3이므로 정규부분군(정리 3.3.2)이 된다.", "또한 \\[ S_{3} / A_{3} \\cong \\mathbb{Z}_{2} \\] 가 가환군이므로, 정리 3.3.28(3) 에 의하여 \\( C_{S_{3}} \\subset A_{3} \\) 이다.", "또한 \\( S_{3} \\) 는 비가환군이므로, 정리 3.3 .28(2)에 의하여 \\( C_{S_{3}} \\neq\\{(1)\\} \\) 이다.", "그러므로 \\( S_{3} \\) 의 교환자부분군 \\( C_{S_{3}} \\) 은 다음과 같다. \\", "[ C_{S_{3}}=\\left\\langle a b a^{-1} b^{-1} \\mid a, b \\in S_{3}\\right\\rangle=A_{3} \\]</p><p>(2) 예 2.2.20의 4 원수군 \\( Q_{8}=\\{\\pm 1, \\pm i, \\pm j, \\pm k\\} \\) 의 교환자부분군 \\( C_{Q \\mathrm{~s}} \\) 을 구하자. \\", "( Q_{8} \\) 의 부분군 \\( \\langle i\\rangle \\) 와 \\( \\langle j\\rangle \\) 의 위수가 \\(4\\) 이므로 정규부분군(정리 \\(3.3.2\\))이 된다.", "또한 \\[ Q_{8} /\\langle i\\rangle \\cong \\mathbb{Z}_{2}, \\quad Q_{8} /\\langle j\\rangle \\cong \\mathbb{Z}_{2} \\] 가 가환군이므로, 정리 3.3 .28(3)에 의하여 \\[ C_{Q_{8}} \\subset\\langle i\\rangle=\\{\\pm 1, \\pm i\\}, \\quad C_{Q_{8}} \\subset\\langle j\\rangle=\\{\\pm 1, \\pm j\\} \\quad \\Longrightarrow \\quad C_{Q_{8}} \\subset\\langle i\\rangle \\cap\\langle j\\rangle=\\{1,-1\\} \\] 이다.", "한편 \\( Q_{8} \\) 은 비가환군이므로 \\( C_{Q_{8}} \\neq\\{1\\} \\) 이다.", "따라서 \\( C_{Q_{8}}=\\{1,-1\\} \\) 이다.", "</p><p>문제 3.3.30 4차 정 2면체군 \\( D_{4} \\) 의 교환자부분군 \\( C_{D_{4}} \\) 를 구하라.", "</p><p>임용시험 출제 3.3.31 [2006학년도] 복소수 집합을 \\( \\mathbb{C} \\) 라 하고, 2차 정사각행렬의 일반 선형군 \\( G L(2, \\mathbb{C})=\\left\\{\\left(\\begin{array}{ll}a & b \\\\ c & d\\end{array}\\right) \\mid a d-b c \\neq 0, a, b, c, d \\in \\mathbb{C}\\right\\} \\) 을 생각하자.", "행렬의 사원수 군(quaternion group) \\( Q \\) 는 \\( G L(2, \\mathbb{C}) \\) 의 부분집합 \\[ Q=\\left\\{I, A, A^{2}, A^{3}, B, B A, B A^{2}, B A^{3}=A B\\right\\} \\] 으로 위수 8인 부분군이다.", "이때 \\( Q \\) 의 모든 부분군이 정규부분군임을 보여라.", "단, \\( I=\\left(\\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{array}\\right), A=\\left(\\begin{array}{cc} 0 & 1 \\\\ -1 & 0 \\end{array}\\right), B=\\left(\\begin{array}{cc} 0 & i \\\\ i & 0 \\end{array}\\right)\\) 이다.", "</p> <p>제 1 동형정리 활용하여 \\( G / H \\) 와 동형인 \\( G^{\\prime} \\) 찾기<ol type= start=1><li>(Step1) \\( H=\\operatorname{ker}(f) \\) 가 되도록, 함수 \\( f: G \\longrightarrow G^{\\prime} \\) 정의하기</li><li>(Step2) \\( f \\) 가 준동형사상임을 확인</li><li>(Step3) 전사확인(필요하면 치역을 공역이라 놓음)</li><li>(Step4) 제1동형정리 \\( G / \\operatorname{ker}(f) \\cong \\operatorname{Im}(f) \\) 이용</li></ol></p><p>정리 3.5.10 (제2동형정리) 군 \\( G \\) 의 정규부분군 \\( N \\triangleleft G \\) 과 부분군 \\( H<G \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "<ol type= start=1><li>\\( N \\triangleleft H N, \\quad(H \\cap N) \\triangleleft H \\)</li><li>\\( (H N) / N \\cong H /(H \\cap N) \\)</li></ol></p><p>(증명) (1) \\( N \\triangleleft G \\) 이므로 \\( N \\triangleleft H N \\) 이다.", "한편 모든 \\( a \\in H \\cap N, h \\in H \\) 에 대하여 \\[ h a h^{-1} \\in H, \\quad h a h^{-1} \\in N \\quad \\Longrightarrow \\quad h a h^{-1} \\in H \\cap N \\] 이므로, \\( (H \\cap N) \\triangleleft H \\) 이다.", "</p><p>(2) 함수 \\( f: H \\longrightarrow(H N) / N, \\quad f(h)=h N \\) 이라 정의하자.", "임의의 \\( h, h^{\\prime} \\in H \\) 에 대하여 \\[ f\\left(h h^{\\prime}\\right)=h h^{\\prime} N=(h N)\\left(h^{\\prime} N\\right)=f(h) f\\left(h^{\\prime}\\right) \\] 이므로, \\( f \\) 는 준동형사상이다.", "또, \\( h n N=h N=f(h) \\) 이므로 \\( f \\) 는 전사함수이다. \\", "[ \\operatorname{ker}(f)=\\{h \\in H \\mid f(h)=e N\\}=\\{h \\in H \\mid h N=N\\}=\\{h \\in H \\mid h \\in N\\}=N \\cap H \\] 제1동형정리에 의하여 \\( H /(H \\cap N)=H / \\operatorname{ker}(f) \\cong \\operatorname{Im}(f)=(H N) / N \\) 이다.", "</p><p>예 3.5.11 \\( G=\\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z} \\) 의 정규부분군 \\( H=\\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z} \\times\\{0\\} \\) 와 \\( N=\\{0\\} \\times \\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z} \\) 에 대하여 다음이 성립한다. \\", "[ H N=H+N=\\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}, \\quad H \\cap N=\\{0\\} \\times \\mathbb{Z} \\times\\{0\\} \\] 제2동형정리가 성립함을 확인하자.", "정리 3.5.6과 문제 3.5.5에 의하여 \\[ H N / N \\cong(\\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}) /(\\{0\\} \\times \\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}) \\cong(\\mathbb{Z} /\\{0\\}) \\times(\\mathbb{Z} / \\mathbb{Z}) \\times(\\mathbb{Z} / \\mathbb{Z}) \\cong \\mathbb{Z} \\] \\[ H /(H \\cap N) \\cong(\\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z} \\times\\{0\\}) /(\\{0\\} \\times \\mathbb{Z} \\times\\{0\\}) \\cong(\\mathbb{Z} /\\{0\\}) \\times(\\mathbb{Z} / \\mathbb{Z}) \\times(\\{0\\} /\\{0\\}) \\cong \\mathbb{Z} \\] 이므로 \\( H N / N \\cong H /(H \\cap N) \\) 이다.", "</p> <p>문제 3.3.5 군 \\( G \\) 에서 위수 \\( n \\) 인 부분군 \\( H \\) 가 유일하게 존재하면, \\( H \\) 는 정규부분군임을 보여라.", "</p><p>정리 3.3.6 군 \\( G \\) 의 부분군 \\( H, K \\) 의 집합곱 \\( H K \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "<ol type= start=1><li>\\( H \\triangleleft G \\) 이거나 \\( K \\triangleleft G \\Longrightarrow H K<G \\)</li><li>\\( H \\triangleleft G \\) 이고 \\( K \\triangleleft G \\Longrightarrow H K \\triangleleft G \\) [2010학년도 임용시험 출제]</li></ol></p><p>(증명) (1) \\( H \\triangleleft G \\) 인 경우에 증명하자.", "분명히 \\( e=e e \\in H K \\) 이다.", "임의의 \\( a b, a^{\\prime} b^{\\prime} \\in H K \\) 에 대하여 \\( H \\triangleleft G \\) 이므로, \\( b^{\\prime-1} a^{\\prime-1}=a_{1} b^{\\prime-1}, b a_{1}=a_{2} b \\) 인 원소 \\( a_{1}, a_{2} \\in H \\) 가 존재하여, \\[ \\begin{aligned} (a b)\\left(a^{\\prime} b^{\\prime}\\right)^{-1} &=(a b)\\left(b^{\\prime-1} a^{\\prime-1}\\right)=a b\\left(a_{1} b^{\\prime-1}\\right)=a\\left(b a_{1}\\right) b^{\\prime-1} \\\\ &=a\\left(a_{2} b\\right) b^{\\prime-1}=\\left(a a_{2}\\right)\\left(b b^{\\prime-1}\\right) \\in H K \\end{aligned} \\] 이다.", "따라서 부분군 판정조건(정리 2.2.3)에 의하여 \\( H K \\) 는 \\( G \\) 의 부분군이다.", "</p><p>(2)(1)에 의하여 \\( H K \\) 는 \\( G \\) 의 부분군이다.", "임의의 \\( a b \\in H K \\) 와 \\( g \\in G \\) 에 대하여, \\( H \\triangleleft G \\) 이고 \\( K \\triangleleft G \\) 이므로, \\( g a g^{-1} \\in H, g b g^{-1} \\in K \\) 이다.", "그러므로 다음이 성립한다. \\", "[ g(a b) g^{-1}=\\left(g a g^{-1}\\right)\\left(g b g^{-1}\\right) \\in H K \\] 따라서 정규부분군 판정조건(정리 \\(3.3.4\\))에 의하여 \\( H K \\) 는 \\( G \\) 의 정규부분군이다.", "</p><p>정리 3.3.7 군 \\( G \\) 의 정규부분군 \\( H, K \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "<ol type= start=1><li>\\( H \\cap K \\triangleleft G \\)</li><li>\\( H \\cap K=\\{e\\} \\Longrightarrow \\) 모든 \\( a \\in H, b \\in K \\) 에 대하여 \\( a b=b a \\) 이다.", "즉, \\( H K=K H \\) 특히, \\( H \\) 와 \\( K \\) 가 가환부분군이면, \\( H K \\) 는 가환부분군 이다.", "</li></ol></p><p>(증명) (1) 정리 2.2.13에 의하여, \\( H K<G \\) 이다.", "모든 \\( a \\in H \\cap K \\) 와 \\( g \\in G \\) 에 대하여 \\( a \\in H \\), \\( a \\in K \\) 이므로 \\[ g a g^{-1} \\in H, \\quad g a g^{-1} \\in K \\quad \\Longrightarrow \\quad g a g^{-1} \\in H \\cap K \\] 이다.", "따라서 정규부분군 판정조건에 의하여 \\( H \\cap K \\triangleleft G \\) 이다.", "</p><p>(2) 임의의 \\( a \\in H, b \\in K \\) 에 대하여 \\( H, K \\) 가 정규 부분군이므로 \\( b a^{-1} b^{-1} \\in H, a b a^{-1} \\in K \\) 이다.", "따라서 \\[ \\begin{array}{l} a b a^{-1} b^{-1}=a\\left(b a^{-1} b^{-1}\\right) \\in H \\\\ a b a^{-1} b^{-1}=\\left(a b a^{-1}\\right) b^{-1} \\in K \\end{array} \\] 이다.", "그러므로 \\( a b a^{-1} b^{-1} \\in H \\cap K=\\{e\\} \\) 이다.", "따라서 \\( a b a^{-1} b^{-1}=e \\) 즉 \\( a b=b a \\) 이다.", "</p><p>다음에, \\( H \\) 와 \\( K \\) 가 가환부분군이라 하자.", "정리 3.3.6에 의하여 \\( H K \\) 는 (정규)부분군이다.", "한편 임의의 \\( a b, a^{\\prime} b^{\\prime} \\in H K,\\left(a, a^{\\prime} \\in H, b, b^{\\prime} \\in K\\right) \\) 에 대하여 \\[ (a b)\\left(a^{\\prime} b^{\\prime}\\right)=a\\left(b a^{\\prime}\\right) b^{\\prime}=a\\left(a^{\\prime} b\\right) b^{\\prime}=\\left(a a^{\\prime}\\right)\\left(b b^{\\prime}\\right)=\\left(a^{\\prime} a\\right)\\left(b^{\\prime} b\\right)=a^{\\prime}\\left(a b^{\\prime}\\right) b=a^{\\prime}\\left(b^{\\prime} a\\right) b=\\left(a^{\\prime} b^{\\prime}\\right)(a b) \\] 이므로 \\( H K \\) 는 가환부분군이다.", "</p> <p>예 3.2.24 [핵] 준동형사상 \\( f: \\mathbb{Z} \\longrightarrow \\mathbb{Z}_{8}, f(1)=4 \\) 에 대한 \\( \\operatorname{ker}(f) \\) 와 \\( f^{-1}(\\{f(1)\\}) \\) 을 구하자.", "</p><p>(풀이) 준동형사상 \\( f \\) 의 핵은 다음과 같다. \\", "[ \\operatorname{ker}(f)=\\{a \\in \\mathbb{Z} \\mid 0=f(a)=a f(1)=4 a\\}=\\{2 n \\mid n \\in \\mathbb{Z}\\}=2 \\mathbb{Z} \\] 그리고 \\( \\{f(1)\\} \\) 의 \\( f \\) 에 대한 역상은 다음과 같다. \\", "[ \\begin{aligned} f^{-1}(\\{f(1)\\}) &=\\{a \\in \\mathbb{Z} \\mid f(a)=f(1)=4\\} \\\\ &=\\{a \\in \\mathbb{Z} \\mid 4 a=4\\} \\\\ &=\\{a \\in \\mathbb{Z} \\mid 4(a-1)=0\\} \\\\ &=\\{2 n+1 \\mid n \\in \\mathbb{Z}\\} \\\\ &=1+2 \\mathbb{Z}=1+\\operatorname{ker}(f) \\end{aligned} \\]</p><p>정리 3.2.25 군 \\( G \\) 가 \\( \\left\\{a_{i} \\mid i \\in I\\right\\}(I \\) 는 적당한 첨수의 집합 \\( ) \\) 에 의해 생성된다고 하자.", "이때 두 군 준동형사상 \\( f: G \\longrightarrow G^{\\prime} \\) 와 \\( g: G \\longrightarrow G^{\\prime} \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "<ul><li>모든 \\( i \\in I \\) 에 대하여 \\( f\\left(a_{i}\\right)=g\\left(a_{i}\\right) \\) 를 만족 \\( \\Rightarrow f=g \\)</li></ul>※ 즉, 두 군 준동형사상은 군(정의역)의 생성원에 대한 상만 일치하면 같다.", "그러므로 준동형사상은 정의역의 생성원에 대한 상만 결정되면 유일하게 결정된다.", "</p><p>(증명) \\( S=\\left\\{a_{i} \\mid i \\in I\\right\\} \\) 라 하자.", "그러면 정리 \\(2.2.17\\)에 의하여 \\( G \\) 의 원소 \\( x \\) 는 다음과 같은 유한 개의 원소의 곱으로 표현가능하다. \\", "[ x=a_{1}^{b_{1}} \\cdots a_{n}^{b_{n}}, \\quad a_{1}, \\cdots, a_{n} \\in S, b_{1}, \\cdots, b_{n} \\in \\mathbb{Z}, n \\geq 1 \\] 이다.", "그러면 \\( f \\) 와 \\( g \\) 가 준동형사상이고, \\( f\\left(a_{i}\\right)=g\\left(a_{i}\\right) \\) 이므로 다음이 성립한다. \\", "[ f(x)=f\\left(a_{1}^{b_{1}} \\cdots a_{n}^{b_{n}}\\right)=f\\left(a_{1}\\right)^{b_{1}} \\cdots f\\left(a_{n}\\right)^{b_{n}}=g\\left(a_{1}\\right)^{b_{1}} \\cdots g\\left(a_{n}\\right)^{b_{n}}=g\\left(a_{1}^{b_{1}} \\cdots a_{n}^{b_{n}}\\right)=g(x) \\] 따라서 \\( f=g \\) 이다.", "</p><p>임용시험 출제 3.2.26 [2004학년도] 무한 순환군(infinite cyclic group) \\( G \\) 에 대하여 \\( \\sigma \\) : \\( G \\longrightarrow G \\) 를 아래와 같이 정의할 때, 다음 물음에 답하시오. (5점) \\", "[ \\sigma(g)=g^{-1} \\text { (단, } g^{-1} \\text { 는 } g \\text { 의 역원) } \\]<ol type= start=1><li>\\( \\sigma \\) 가 동형사상(isomorphism)임을 보여라. (2점)", "</li><li>\\( G \\) 에서 \\( G \\) 로의 동형사상은 항등사상(identity map)과 \\( \\sigma \\) 뿐임을 보여라. (3점)", "</li></ol></p><p>임용시험 출제 3.2.27 [2012학년도] 체 \\( \\mathbb{Z}_{3} \\) 위의 행렬에 대하여 연산이 행렬의 곱셈인 군 \\[ G=\\left\\{\\left(\\begin{array}{ll} a & b \\\\ 0 & c \\end{array}\\right) \\mid a, b, c \\in \\mathbb{Z}_{3}, a c \\neq 0\\right\\} \\] 이 있다.", "군 \\( G \\) 에서 곱셈군 \\( \\mathbb{Z}_{3}^{*}=\\mathbb{Z}_{3}-\\{0\\} \\) 으로의 군 준동형사상(group homomorphism) \\[ \\phi: G \\longrightarrow \\mathbb{Z}_{3}^{*}, \\quad \\phi\\left(\\begin{array}{ll} a & b \\\\ 0 & c \\end{array}\\right)=a c \\] 의 핵(kernel) \\( \\operatorname{ker}(\\phi) \\) 와 동형인 군은?", "(단, \\( S_{3} \\) 은 3차 대칭군(symmetric group)이고, \\( A_{4} \\) 는 \\(4\\) 차의 교대군(alternating group)이다.)", "<ol type= start=1><li>\\( \\mathbb{Z}_{3} \\)</li><li>\\( S_{3} \\)</li><li>\\( \\mathbb{Z}_{6} \\)</li><li>\\( \\mathbb{Z}_{9} \\)</li><li>\\( A_{4} \\)</li></ol></p><p>임용시험 출제 3.2.28 [2013학년도] 군 준동형사상 \\( f: \\mathbb{Z} \\rightarrow \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{3} \\) 을 \\( f(k)=\\left([k]_{2},[k]_{3}\\right) \\) 으로 정의할 때, \\( \\operatorname{ker}(f) \\) 를 구하라.", "(단, \\( [k]_{n} \\) 은 \\( \\mathbb{Z} \\) 에서 법 \\( n \\) 에 대한 \\( k \\) 의 합동류(congruence class)이고, \\( \\operatorname{ker}(f) \\) 는 \\( f \\) 의 핵(kernel)이다.)", "</p> <p>예 3.6.10 잉여군 \\( (\\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}) /\\langle(2,2)\\rangle \\) 와 동형인 군을 구해보자.", "</p><p>(풀이1) [격자점 이용] 그림으로 \\( (\\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}) /\\langle(2,2)\\rangle \\) 의 대수적 구조를 살펴보자.", "</p><p>\\( H=\\langle(2,2)\\rangle=\\{\\cdots,(-2,-2),(0,0),(2,2), \\cdots\\} \\) 은 직선 \\( y=x \\) 상의 동그란 점 \\( (\\circ) \\) 이 하나씩 건너 나타나고, 이 점들은 \\( 45^{\\circ} \\) 방향으로 \\(1\\) 만큼 이동하면, 직선 \\( y=x \\) 상의 모든 검은 점 \\( (\\bullet) \\) 과 겹치게 된다.", "이는 \\( \\mathbb{Z}_{2} \\) 와 동형임을 의미한다.", "</p><p>다음에 이들 \\( (y=x \\) 상의 모든 점)을 \\( x \\) 축으로 \\(1\\) 만큼 오른쪽으로 이동하면, 직선 \\( y=x-1 \\) 상의 모든 점이 겹치게 된다.", "이처럼 \\( x \\) 축으로 \\(1\\) 만큼 좌우로 계속 이동(덧셈 연산)하면 전체와 겹치게 된다.", "이는 무한위수인 순환군 \\( \\mathbb{Z} \\) 와 동형임을 의미한다.", "따라서 \\( (\\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}) /\\langle(1,1)\\rangle \\cong \\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\) 이다.", "</p><p>(풀이2) [제1동형정리 이용] 함수 \\( \\left(\\operatorname{ker}(f)=\\langle(2,2)\\rangle\\right. \\)", "가 되도록 정의함) \\( \\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z} \\) 에서 \\( \\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\) 로의 함수를 \\[ f: \\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z} \\longrightarrow \\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}_{2}, \\quad f(a, b)=\\left(a-b,[b]_{2}\\right) \\] 라 정의하면, \\( f \\) 는 전사함수이고, 준동형사상이다.", "또한 \\[ \\operatorname{ker}(f)=\\left\\{(a, b) \\mid(0,0)=f(a, b)=\\left(a-b,[b]_{2}\\right)\\right\\}=\\{(2 x, 2 x) \\mid x \\in \\mathbb{Z}\\}=\\langle(2,2)\\rangle \\] 이므로, 제1동형정리에 의하여 \\( \\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z} /\\langle(2,2)\\rangle \\cong \\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\) 이다.", "</p><p>예 3.6.11 다음 잉여군과 동형인 군을 구하라.", "<ol type= start=1><li>잉여군 \\( (\\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}) /\\langle(2,3)\\rangle \\) 과 동형인 군을 구해보자.", "</li><li>잉여군 \\( (\\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}) /(2 \\mathbb{Z} \\times 3 \\mathbb{Z}) \\) 와 동형인 군을 구해보자.", "</li></ol></p><p>(1) (풀이1) [격자점 이용] 그림으로 \\( (\\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}) /\\langle(2,3)\\rangle \\) 의 대수적 구조를 살펴보자.", "</p><p>\\( H=\\langle(2,3)\\rangle=\\{\\cdots,(-2,-3),(0,0),(2,3), \\cdots\\} \\) 은 직선 \\( y=\\frac{2}{3} x \\) 상의 동그란 점 \\( (\\circ) \\) 으로 나타나고, \\( 45^{\\circ} \\) 방향으로 \\(1\\) 만큼 이동 \\( ((1,1)+H) \\) 하면, 직선 \\( y=\\frac{2}{3} x-\\frac{1}{2} \\) 상의 (검은)점 \\( (\\bullet) \\) 이 모두 겹치게 된다.", "이처럼 \\( 45^{\\circ} \\) 방향으로 \\(1 \\)만큼 좌우로 계속 이동(덧셈 연산)하면 전체와 겹치게 된다.", "이는 무한위수인 순환군 \\( \\mathbb{Z} \\) 와 동형임를 의미한다.", "따라서 \\( (\\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}) /\\langle(2,3)\\rangle \\cong \\mathbb{Z} \\) 이다.", "</p><p>(풀이2) [제1동형정리 이용] \\((\\operatorname{ker}(f)=\\langle(2,3)\\rangle \\) 이 되도록 정의함)</p><p>\\( \\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z} \\) 에서 \\( \\mathbb{Z} \\) 로의 함수 \\[ f: \\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z} \\longrightarrow \\mathbb{Z}, \\quad f(a, b)=3 a-2 b \\] 라 정의하면, \\( f \\) 는 준동형사상이다.", "또한 \\( \\operatorname{gcd}(2,3)=1 \\), 즉, \\( 3 \\cdot 1-2 \\cdot 1=1 \\) 이므로 모든 \\( a \\in \\mathbb{Z} \\) 에 대하여 \\[ 3 a-2 a=a \\quad \\Longrightarrow \\quad f(a, a)=3 a-2 a=a(3 \\cdot 1-2 \\cdot 1)=a \\] 가 되어 \\( f \\) 는 전사함수이다.", "</p><p>또한 \\[ \\operatorname{ker}(f)=\\{(a, b) \\mid 0=f(a, b)=3 a-2 b\\}=\\{(a, b) \\mid 3 a=2 b\\}=\\{(2 x, 3 x) \\mid x \\in \\mathbb{Z}\\}=\\langle(2,3)\\rangle \\] 이므로, 제 \\(1\\) 동형정리에 의하여 \\( (\\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}) /\\langle(2,3)\\rangle \\cong \\mathbb{Z} \\) 이다.", "</p><p>(2) (풀이 1) [정리 3.5.6 이용] 정리 3.5.6에 의하여 \\[ (\\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}) /(2 \\mathbb{Z} \\times 3 \\mathbb{Z}) \\cong(\\mathbb{Z} / 2 \\mathbb{Z}) \\times(\\mathbb{Z} / 3 \\mathbb{Z}) \\cong \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{3} \\cong \\mathbb{Z}_{6} \\]</p><p>(풀이2) [격자점 이용] 격자점 그림으로 보면 아래와 같은 구조를 갖는다. \\", "( H=2 \\mathbb{Z} \\times 3 \\mathbb{Z} \\) (동그란 점 \\( (\\circ) \\) )을 오른쪽으로 2번, 위로 3번 이동하면, 즉, 모두 6번 이동하면 모든 점 \\( (\\bullet) \\) 을 겹치게 할 수 있다.", "따라서 \\( (\\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}) /(2 \\mathbb{Z} \\times 3 \\mathbb{Z}) \\cong \\mathbb{Z}_{6} \\) 이다.", "</p><p>※ 예 3.6.10과 3.6.11(1)에서의 잉여군의 대수적 구조는 \\( \\operatorname{gcd}(2,2)=2 \\) 와 \\( \\operatorname{gcd}(2,3)=1 \\) 의 차이에서 그 구조가 달라진다.", "</p><h3>연 습 문 제 (3.6)</h3><ol type= start=1><li>\\( \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{8}\\right) /\\langle(2,4)\\rangle \\cong \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{8} \\) 임을 보여라.", "</li><li>\\( (\\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}) /\\langle(2,4)\\rangle \\cong \\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\) 임을 증명하라.", "</li><li>유한생성 가환군의 기본정리에 따라 다음 주어진 군을 분류하라.", "<ol type= start=1><li>\\(\\left(\\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{4}\\right) /\\langle(0,1)\\rangle \\)</li><li>\\( \\left(\\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{4}\\right) /\\langle(1,2)\\rangle \\)</li><li>\\( \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6}\\right) /\\langle(1,2)\\rangle \\)</li><li>\\( (\\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}) /\\langle(1,2)\\rangle \\)</li><li>\\( \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{8}\\right) /\\langle(2,4)\\rangle \\)</li><li>\\( \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{8}\\right) /\\langle(1,3)\\rangle \\)</li><li>\\( \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{8}\\right) /\\langle(1,2,3)\\rangle \\)</li><li>\\( (\\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}) /\\langle(3,3,3)\\rangle \\)</li></ol></li></ol> <p>문제 3.4.3 두 군 \\( G, G^{\\prime} \\) 에 대하여 다음을 증명하라. \\", "[ G \\times G^{\\prime} \\cong G^{\\prime} \\times G \\] 따라서 직접곱의 곱의 순서가 바뀌어도 대수적 구조는 변하지 않는다.", "그러므로 대수학에서 직접곱의 순서가 바뀌어도 같은 대수적 구조로 간주한다.", "</p><p>예 3.4.4 덧셈군 \\( \\mathbb{Z}_{2} \\) 와 \\( \\mathbb{Z}_{3} \\) 의 직접합 \\( \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{3} \\) 을 구하자. \\", "[ \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{3}=\\{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2)\\} \\] 은 \\( (1,1) \\) 이 생성원인 순환군이다.", "왜냐하면 \\[ \\begin{array}{ll} (0,0)=(0 \\cdot 1,0 \\cdot 1)=0(1,1), & (1,0)=(3 \\cdot 1,3 \\cdot 1)=3(1,1), \\\\ (0,1)=(4 \\cdot 1,4 \\cdot 1)=4(1,1), & (1,1)=(1 \\cdot 1,1 \\cdot 1)=1(1,1), \\\\ (0,2)=(2 \\cdot 1,2 \\cdot 1)=2(1,1), & (1,2)=(5 \\cdot 1,5 \\cdot 1)=5(1,1) \\end{array} \\] 이다.", "따라서 \\( \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{3}=\\langle(1,1)\\rangle \\) 이다.", "</p><p>예 3.4.5 덧셈군 \\( \\mathbb{Z}_{3} \\) 와 \\( \\mathbb{Z}_{3} \\) 의 직접합 \\( \\mathbb{Z}_{3} \\times \\mathbb{Z}_{3} \\) 을 구하자. \\", "[ \\mathbb{Z}_{3} \\times \\mathbb{Z}_{3}=\\{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)\\} \\] 은 순환군이 아니다.", "왜냐하면, 임의의 \\( (a, b) \\in \\mathbb{Z}_{3} \\times \\mathbb{Z}_{3} \\) 에 대하여 \\[ 3(a, b)=(3 \\cdot a, 3 \\cdot b)=(0,0) \\] 이므로, \\( (a, b) \\) 의 위수는 \\( |(a, b)| \\leq 3 \\) 이 되어 \\( \\mathbb{Z}_{3} \\times \\mathbb{Z}_{3} \\) 은 순환군이 아니다.", "</p><p>정리 3.4.6 [2011학년도 임용시험 출제] 유한 순환군 \\( \\mathbb{Z}_{m}, \\mathbb{Z}_{n} \\) 에 대하여 다음은 동치이다. \\", "[ \\mathbb{Z}_{m} \\times \\mathbb{Z}_{n} \\cong \\mathbb{Z}_{m n} \\text { (순환군) } \\quad \\Longleftrightarrow \\quad \\operatorname{gcd}(m, n)=1 \\]</p><p>(증명) \\( (\\Rightarrow) \\mathbb{Z}_{m} \\times \\mathbb{Z}_{n}=\\langle(a, b)\\rangle \\) 라 하면 \\( |(a, b)|=m n \\) 이다. \\", "( \\operatorname{gcd}(m, n)=d \\) 라 하자. \\", "[ \\frac{m n}{d}(a, b)=\\left(\\frac{m n}{d} a, \\frac{m n}{d} b\\right)=\\left(\\frac{n}{d}(m a), \\frac{m}{d}(n b)\\right)=(0,0) \\] 이므로 정리 \\(2.3.3\\)에 의하여 \\( m n \\mid \\frac{m n}{d} \\) 이다.", "따라서 \\( d=1 \\) 이다.", "즉, \\( \\operatorname{gcd}(m, n)=1 \\) 이다.", "</p><p>\\( (\\Leftarrow) \\operatorname{gcd}(m, n)=1 \\) 이라 하고, \\( |(1,1)|=m n \\) 임을 보이자. \\", "( |(1,1)|=t \\) 라 하자.", "그러면 \\[ (0,0)=t(1,1)=(t \\cdot 1, t \\cdot 1) \\] 이고, 정리 2.3.3에 의하여 \\( m|t, n| t \\) 이다.", "그러면 \\( \\operatorname{lcm}(m, n) \\mid t \\) 이고, \\( \\operatorname{gcd}(m, n)=1 \\) 이므로, 정리 1.2.9에 의하여 \\[ m n \\mid t \\] 이다.", "한편 \\( 1 \\leq t \\leq m n \\) 이므로 \\( t=m n \\) 이다.", "즉, \\( |(1,1)|=m n \\) 이 되어 정리 3.1.16(2)에 의하여 \\[ \\mathbb{Z}_{m} \\times \\mathbb{Z}_{n}=\\langle(1,1)\\rangle \\] 이다.", "따라서 \\( \\mathbb{Z}_{m} \\times \\mathbb{Z}_{n} \\) 은 순환군이고, 정리 3.2.17(2)에 의하여 \\( \\mathbb{Z}_{m} \\times \\mathbb{Z}_{n} \\cong \\mathbb{Z}_{m n} \\) 이다.", "</p> <p>문제 3.3.26 4차 정2면체군 \\( D_{4} \\) 의 중심 \\( Z\\left(D_{4}\\right) \\) 를 구하라.", "</p><p>정의 3.3.27 [교환자(commutator)] 군 \\( G \\) 의 원소 \\( a, b \\in G \\) 에 대하여<ul><li>\\( a b a^{-1} b^{-1} \\) 가 \\( a, b \\) 의 교환자(commutator) \\( \\quad \\stackrel{\\text { 정의 }}{\\Leftrightarrow} \\) \\( a b a^{-1} b^{-1} \\) 의 형태</li></ul></p><p>정리 3.3.28 군 \\( G \\) 의 모든 교환자로 생성된 집합을 \\( C_{G} \\) 라 하면, 다음이 성립한다. \\", "[ C_{G}=\\left\\langle a b a^{-1} b^{-1} \\mid a, b \\in G\\right\\rangle . \\]", "<ol type= start=1><li>\\( C_{G} \\triangleleft G \\)</li><li>\\( G \\) 가 가환군 \\( \\Longleftrightarrow C_{G}=\\{e\\} \\)</li><li>\\( N \\triangleleft G \\) 일 때, \\( G / N \\) 가 가환군 \\( \\Longleftrightarrow C_{G}<N \\)</li></ol><ul><li>\\(G\\) 의 모든 교환자로 생성된 부분군 \\( C_{G} \\) 를 \\( G \\) 의 교환자부분군(commutator subgroup)이라 함.", "</li><li>(3)에 의하여 \\( G / C_{G} \\) 는 가환군</li></ul></p><p>(증명) (1) 교환자는 분명히 부분군 \\( C_{G} \\) 를 생성한다. \\", "( C_{G} \\) 가 정규임을 보이자.", "항등원 \\( e=e e e^{-1} e^{-1} \\) 는 교환자이고, 교환자 \\( a b a^{-1} b^{-1} \\) 의 역원 \\( \\left(a b a^{-1} b^{-1}\\right)^{-1}=b a b^{-1} a^{-1} \\) 은 다시 교환자가 된다.", "그러면, 정리 \\(2.2.17\\)에 의하여, 모든 원소 \\( x \\in C_{G} \\) 는 유한 개의 교환자 \\( y_{1}, y_{2}, \\cdots, y_{n} \\) 의 곱으로 표현된다.", "즉, 임의의 \\( g \\in G \\) 에 대하여 \\[ x=y_{1} y_{2} \\cdots y_{n}=y_{1} e y_{2} e \\cdots e y_{n}=y_{1}\\left(g^{-1} g\\right) y_{2}\\left(g^{-1} g\\right) \\cdots\\left(g^{-1} g\\right) y_{n} \\] 으로 표현이 가능하다.", "그러므로 \\( C_{G} \\) 가 정규임을 보이기 위해서, 임의의 \\( g \\in G \\) 에 대하여 \\[ g x g^{-1}=g y_{1}\\left(g^{-1} g\\right) y_{2}\\left(g^{-1} g\\right) \\cdots\\left(g^{-1} g\\right) y_{n} g^{-1}=\\left(g y_{1} g^{-1}\\right)\\left(g y_{2} g^{-1}\\right) \\cdots\\left(g y_{n} g^{-1}\\right) \\in C_{G} \\] 임을 보여야 한다.", "이때 각 교환자 \\( a b a^{-1} b^{-1}\\left(=y_{i}\\right) \\) 에 대하여 \\( g\\left(a b a^{-1} b^{-1}\\right) g^{-1} \\in C_{G} \\) 를 보이면 충분하다.", "실제로, \\[ \\begin{aligned} g\\left(a b a^{-1} b^{-1}\\right) g^{-1} &=\\left(g a g^{-1}\\right)\\left(g b g^{-1}\\right)\\left(g a^{-1} g^{-1}\\right)\\left(g b^{-1} g^{-1}\\right) \\\\ &=\\left(g a g^{-1}\\right)\\left(g b g^{-1}\\right)\\left(g a g^{-1}\\right)^{-1}\\left(g b g^{-1}\\right)^{-1} \\in C_{G} \\end{aligned} \\] 이므로, \\( g\\left(a b a^{-1} b^{-1}\\right) g^{-1} \\in C_{G} \\) 이다.", "따라서 \\( C_{G} \\triangleleft G \\) 이다.", "</p><p>(2) 모든 \\( a, b \\in G \\) 에 대하여 \\[ a b=b a \\quad \\Longleftrightarrow \\quad a b(b a)^{-1}=e \\quad \\Longleftrightarrow \\quad a b a^{-1} b^{-1}=e \\] 이므로, (2)가 성립한다.", "</p><p>(3) (\\(\\Longrightarrow\\)) \\(G / N \\)이 가환군이라 하자.", "모든 생성원 \\( a b a^{-1} b^{-1} \\in C_{G} \\) 에 대하여 \\[ a b a^{-1} b^{-1} N=(a N)(b N)\\left(a^{-1} N\\right)\\left(b^{-1} N\\right)=(a N)\\left(a^{-1} N\\right)(b N)\\left(b^{-1} N\\right)=\\left(a a^{-1}\\right) N\\left(b b^{-1}\\right) N=N \\] 이므로, 정리 3.1.7(4)에 의하여 \\( a b a^{-1} b^{-1} \\in N \\) 이다.", "따라서 \\( C_{G}<N \\)</p><p>(\\(\\Longleftarrow\\)) \\(C_{G}<N\\) 이라 하자.", "모든 \\( a N, b N \\in G / N \\) 에 대하여 \\( b^{-1} a^{-1} b a \\in C_{G} \\subset N \\) 이므로 \\[ (a N)(b N)=a b N=a b\\left(b^{-1} a^{-1} b a\\right) N=b a N=(b N)(a N) \\] 이다.", "따라서 \\( G / N \\) 은 가환군이다.", "</p> <p>임용시험 출제 3.4.18 [2011학년도] 덧셈군 \\( G=\\mathbb{Z}_{12} \\times \\mathbb{Z}_{7} \\) 에 대하여 다음 중에서 옳은 것을 모두 골라라.", "<ol type= start=1><li>\\( G \\) 의 모든 부분군(subgroup)은 정규부분군(normal subgroup)이다.", "</li><li>\\( G \\) 의 원소 \\( (3,1) \\) 의 위수(order)는 \\(28\\) 이다.", "</li><li>\\( G \\) 는 순환군(cyclic group)이다.", "</li></ol></p><p>임용시험 출제 3.4.19 [2012학년도] 다음 군에 대한 성질 중에서 옳은 것을 모두 골라라.", "<ol type= start=1><li>무한순환군(infinite cyclic group) \\( G \\) 는 덧셈군 \\( \\mathbb{Z} \\) 와 서로 동형(isomorphic)이다.", "</li><li>두 덧셈군 \\( \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{18} \\times \\mathbb{Z}_{15} \\) 와 \\( \\mathbb{Z}_{3} \\times \\mathbb{Z}_{10} \\times \\mathbb{Z}_{36} \\) 은 서로 동형이다.", "</li><li>위수(order)가 360인 순환군의 생성원(generator)은 모두 96개이다.", "</li></ol></p><p>임용시험 출제 3.4.20 [2013학년도] 다음 군에 대한 성질 중에서 옳은 것을 모두 골라라.", "<ol type= start=1><li>함수 \\( f: \\mathbb{Z} \\rightarrow \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{3} \\) 을 \\( f(k)=\\left([k] 2,[k]_{3}\\right) \\) 으로 정의할 때, \\( \\operatorname{ker}(f)=6 \\mathbb{Z} \\) 이다.", "(단, \\( [k]_{n} \\) 은 \\( \\mathbb{Z} \\) 에서 법 \\( n \\) 에 대한 \\( k \\) 의 합동류(congruence class)이고, \\(\\operatorname{ker}(f) \\) 는 \\( f \\) 의 핵(kernel)이다.)", "</li><li>군 \\( G \\) 의 잉여군(quotient group, factor group) \\( G / Z(G) \\) 가 순환군(cyclic group)이면, \\( G \\) 는 Abel 군(가환군)이다.", "(단, \\( Z(G) \\) 는 \\( G \\) 의 중심(center)이다.)", "</li><li>위수(order)가 400인 Abel 군 중에서 서로 동형이 아닌 것의 종류는 8가지이다.", "</li></ol></p><p>임용시험 출제 3.4.21 [2014학년도] 위수(order)가 \\( 2014=2 \\times 19 \\times 53 \\) 인 순환군(cyclic group) \\( G \\) 의 부분군의 개수를 \\( m, G \\) 에서 위수가 38인 원소의 개수를 \\( n \\) 이라 할 때, \\( m+n \\) 의 값을 구하라.", "</p><p>임용시험 출제 3.4.22 [2018학년도] 위수(order)가 각각 10과 \\( n \\) 인 두 순환군(cyclic group) \\( \\mathbb{Z}_{10} \\) 과 \\( \\mathbb{Z}_{n} \\) 의 직접곱(직적, direct product) \\( \\mathbb{Z}_{10} \\times \\mathbb{Z}_{n} \\) 이 순환군이 되도록 하는 10이상이고 100이하인 자연수 \\( n \\) 의 개수를 구하라.", "</p> <p>문제 3.3.13 양의 실수 \\( c \\in \\mathbb{R}^{+} \\)에 대하여 덧셈군 \\( \\langle c\\rangle=\\{n c \\mid n \\in \\mathbb{Z}\\}=\\{\\cdots,-2 c,-c, 0, c, 2 c, \\cdots\\} \\) 일 때 덧셈군 \\( \\mathbb{R}_{c}=[0, c) \\), 잉여군 \\( \\mathbb{R} /\\langle c\\rangle \\)는 동형 \\( \\left(\\mathbb{R}_{c} \\cong \\mathbb{R} /\\langle c\\rangle\\right) \\) 임을 보여라.", "(참조 \\( f: \\mathbb{R}_{c} \\longrightarrow \\mathbb{R} /\\langle c\\rangle, \\quad f(x)=x+\\langle c\\rangle \\) 라 정의)</p><p>정리 3.3.14 군 \\( G \\) 의 정규부분군 \\( N \\triangleleft G \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "<ol type=1 start=1><li>\\( G \\) 가 유한군이면, 잉여군 \\( G / N \\) 은 유한군이고 그 위수는 다음과 같다. \\", "[ |G / N|=|G: N|=\\frac{|G|}{|N|}, \\quad|G / N||| G \\mid \\]</li><li>\\( a \\in G \\) 의 위수가 유한 \\( \\Longrightarrow|a N||| a \\mid \\)</li><li>\\( G \\) 가 가환군 \\( \\Longrightarrow G / N \\) 은 가환군</li><li>\\( G \\) 가 순환군 \\( \\Longrightarrow G / N \\) 은 순환군</li></ol></p><p>(증명)<ol type=1 start=1><li>(1) Lagrange 정리(정리 3.1.10)에 의하여 (1)이 성립한다.", "</li><li>(2) \\( (a N)^{|a|}=a^{|a|} N=e N \\) 이므로 정리 \\(2.3.3\\)에 의하여 \\( |a N||| a \\mid \\) 이다.", "</li><li>(3) 임의의 \\( a N, b N \\in G / N \\) 에 대하여 \\[ (a N)(b N)=a b N=b a N=(b N)(a N) \\] 이므로 \\( G / N \\) 은 가환군이다.", "</li><li>(3) \\( G=\\langle a\\rangle \\) 라 하자.", "그러면, \\[ G / N=\\left\\{a^{n} N \\mid n \\in \\mathbb{Z}\\right\\}=\\left\\{(a N)^{n} \\mid n \\in \\mathbb{Z}\\right\\}=\\langle a N\\rangle \\] 이므로 \\( G / N \\) 은 순환군이다.", "</li></ol></p><p>예 3.3.15 [잉여군의 위수] \\( G=\\mathbb{Z}_{8} \\times \\mathbb{Z}_{8} /\\langle(1,2)\\rangle \\) 에 대하여 다음 물음에 답하라.", "<ol type= start=1><li>잉여군 \\( G \\) 의 위수를 구하라.", "</li><li>\\( G \\) 의 원소 \\( (1,1)+\\langle(1,2)\\rangle \\) 의 위수를 구하라.", "</li></ol></p><p>풀이(1) \\(\\langle(1,2)\\rangle=\\{(1,2),(2,4),(3,6),(4,0),(5,2),(6,4),(7,6),(0,0)\\}\\)이므로 Lagrange 정리에 의하여 \\[ |G|=\\left|\\mathbb{Z}_{8} \\times \\mathbb{Z}_{8} /\\langle(1,2)\\rangle\\right|=\\left|\\mathbb{Z}_{8} \\times \\mathbb{Z}_{8}\\right| /|\\langle(1,2)\\rangle|=64 / 8=8 \\]</p><p>(2) \\( G \\) 의 위수가 8이므로, \\( (1,1)+\\langle(1,2)\\rangle \\) 의 위수는 Lagrange 정리에 의하여 1,2,4,8에서 존재한다.", "한편 \\[ \\begin{array}{l} 1(1,1)=(1,1) \\notin\\langle(1,2)\\rangle \\\\ 2(1,1)=(2,2) \\notin\\langle(1,2)\\rangle \\\\ 4(1,1)=(4,4) \\notin\\langle(1,2)\\rangle \\end{array} \\] 이므로 \\( (1,1)+\\langle(1,2)\\rangle \\) 의 위수는 8이다.", "</p> <h2>3.4 직접곱(직적)과 유한생성 가환군</h2><p>이 절에서는 여러 개의 군을 확장하여 새로운 군을 만드는 방법에 대하여 논한다.", "</p><p>정리 3.4.1 군 \\( G_{1}, \\cdots, G_{n} \\) 의 Cartesian 곱 \\( G_{1} \\times \\cdots \\times G_{n} \\) 의 원소 \\( \\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right),\\left(b_{1}, \\cdots, b_{n}\\right) \\) 에 관한 연산을 다음과 같이 정의하자. \\", "[ \\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right)\\left(b_{1}, \\cdots, b_{n}\\right)=\\left(a_{1} b_{1}, \\cdots, a_{n} b_{n}\\right) \\] 그러면, 다음이 성립한다. \\[ G_{1} \\times \\cdots \\times G_{n} \\)", "은 군이다.\\]", "<ul><li>군 \\( G_{1} \\times \\cdots \\times G_{n} \\) 을 \\( G_{1}, \\cdots, G_{n} \\) 의 직접곱(직적)(direct product)이라 한다.", "</li><li>\\(G_{1}, \\cdots, G_{n} \\) 가 곱셈군이면 직접곱을 \\( G_{1} \\times \\cdots \\times G_{n}=\\prod_{i=1}^{n} G_{i} \\) 라 표기</li><li>\\(G_{1}, \\cdots, G_{n} \\) 가 덧셈군 (가환군)이면 직접곱을 \\( G_{1} \\oplus \\cdots \\oplus G_{n}=\\oplus_{i=1}^{n} G_{i} \\) 라 표기하고 직접합(직합)(direct sum)이라 한다.", "</li></ul></p><p>(증명) 임의의 \\( a_{i}, b_{i} \\in G_{i} \\) 에 대하여 \\( a_{i} b_{i} \\in G_{i} \\) 이므로 연산은 잘 정의된다.", "항등원은 \\( \\left(e_{1}, \\cdots, e_{n}\\right) \\) 이고, \\( \\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right) \\) 의 역원은 \\[ \\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right)^{-1}=\\left(a_{1}^{-1}, \\cdots, a_{n}^{-1}\\right) \\] 이다.", "결합법칙이 성립하는 것은 쉽게 증명할 수 있으므로 각자 해볼 것.", "</p><p>정리 3.4.2 군 \\( G_{1}, \\cdots, G_{n} \\) 의 직접곱 \\( G_{1} \\times \\cdots \\times G_{n} \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "<ol type= start=1><li>\\( G_{1}, \\cdots, G_{n} \\) 이 모두 유한군이면, \\( \\left|G_{1} \\times \\cdots \\times G_{n}\\right|=\\left|G_{1}\\right| \\cdots\\left|G_{n}\\right| \\)</li><li>\\( G_{1}, \\cdots, G_{n} \\) 이 모두 가환군이면, \\( G_{1} \\times \\cdots \\times G_{n} \\) 은 가환군</li><li>\\( H_{1}<G_{1}, \\cdots, H_{n}<G_{n} \\) 이면, \\( H_{1} \\times \\cdots \\times H_{n}<G_{1} \\times \\cdots \\times G_{n} \\)</li><li>\\( H_{1} \\triangleleft G_{1}, \\cdots, H_{n} \\triangleleft G_{n} \\) 이면, \\( H_{1} \\times \\cdots \\times H_{n} \\triangleleft G_{1} \\times \\cdots \\times G_{n} \\)</li></ol></p><p>(증명) (1) (2) 정의에 의하여 정리가 성립한다.", "</p><p>(3) 분명히 \\( \\left(e_{1}, \\cdots, e_{n}\\right) \\in H_{1} \\times \\cdots \\times H_{n} \\) 이고, 임의의 \\( \\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right),\\left(b_{1}, \\cdots, b_{n}\\right) \\in H_{1} \\times \\cdots \\times H_{n} \\) 에 대하여 \\[ \\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right)\\left(b_{1}, \\cdots, b_{n}\\right)=\\left(a_{1} b_{1}, \\cdots, a_{n} b_{n}\\right) \\in H_{1} \\times \\cdots \\times H_{n} \\] 이다.", "또한 \\[ \\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right)\\left(a_{1}^{-1}, \\cdots, a_{n}^{-1}\\right)=\\left(a_{1} a_{1}^{-1}, \\cdots, a_{n} a_{n}^{-1}\\right)=\\left(e_{1}, \\cdots, e_{n}\\right) \\] 이므로, \\( \\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right)^{-1}=\\left(a_{1}^{-1}, \\cdots, a_{n}^{-1}\\right) \\in H_{1} \\times \\cdots \\times H_{n} \\) 이다.", "</p><p>그러므로 부분군 판정조건(정리 2.2.3) 에 의하여, \\( H_{1} \\times \\cdots \\times H_{n}<G_{1} \\times \\cdots \\times G_{n} \\) 이다.", "</p><p>(4) 임의의 \\( \\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right) \\in H_{1} \\times \\cdots \\times H_{n} \\) 와 임의의 \\( \\left(g_{1}, \\cdots, g_{n}\\right) \\in G_{1} \\times \\cdots \\times G_{n} \\) 에 대하여, \\( H_{1} \\triangleleft G_{1}, \\cdots, H_{n} \\triangleleft G_{n} \\) 이므로 \\[ \\left(g_{1}, \\cdots, g_{n}\\right)\\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right)\\left(g_{1}, \\cdots, g_{n}\\right)^{-1}=\\left(g_{1} a_{1} g_{1}^{-1}, \\cdots, g_{n} a_{n} g_{n}^{-1}\\right) \\in H_{1} \\times \\cdots \\times H_{n} \\] 이다.", "따라서 정규부분군 판정조건 (정리 3.3.4)에 의하여, \\( H_{1} \\times \\cdots \\times H_{n} \\triangleleft G_{1} \\times \\cdots \\times G_{n} \\) 이다.", "</p> <p>유한생성 가환군의 완전한 정보를 알려 주는 다음 정리는 증명 없이 언급한다.", "</p><p>정리 3.4.12 (유한생성 가환군의 기본정리) 유한생성 가환군 \\( G=\\left\\langle a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right\\rangle \\) 에 대하여 다음이 성립한다. \\", "[ G \\cong \\mathbb{Z}_{p_{1}}^{r_{1}} \\times \\mathbb{Z}_{p_{2}}^{r_{2} \\times \\cdots \\times \\mathbb{Z}_{p_{s}}^{r_{s}} \\times \\mathbb{Z}^{1}} \\] 여기서 \\( p_{1}, p_{2}, \\cdots, p_{s} \\) 는 소수(같을 수도 있음), \\( r_{1}, r_{2}, \\cdots, r_{s} \\in \\mathbb{N}, t \\in \\mathbb{N} \\cup\\{0\\} \\).", "특히, \\( G \\) 가 유한 가환군이면, \\( G \\cong \\mathbb{Z}_{p_{1}}^{r_{1}} \\times \\mathbb{Z}_{p_{2}}^{r_{2}} \\times \\cdots \\times \\mathbb{Z}_{p_{s}}^{r_{s}} \\) (증명) 참고문헌 [2] 7.2절 참조.", "</p><p>예 3.4.13 유한 가환군을 동형을 제외(즉, 동형인 것은 같은 것으로 함)한 군의 분류를 해보자.", "위수 360인 가환군을 분류하라.", "</p><p>(풀이) \\( |G|=360=2^{3} \\cdot 3^{2} \\cdot 5 \\) 이므로 다음과 같이 분류할 수 있다.", "<ul><li>(\\(1\\)타입) \\( \\underline{\\mathbb{Z}_{2}^{3}} \\times \\mathbb{Z}_{3}^{2} \\times \\mathbb{Z}_{5} \\cong \\mathbb{Z}_{2^{3} \\cdot 32.5}=\\mathbb{Z}_{360} \\) (순환군)</li><li>(\\(2\\)타입) \\( \\underline{\\mathbb{Z}_{2}^{3}} \\times \\mathbb{Z}_{3} \\times \\mathbb{Z}_{3} \\times \\mathbb{Z}_{5} \\) (순환군 아님)</li><li>(\\(3\\)타입) \\( \\underline{\\mathbb{Z}_{2}^{2} \\times \\mathbb{Z}_{2}} \\times \\mathbb{Z}_{3}^{2} \\times \\mathbb{Z}_{5} \\)</li><li>(\\(4\\)타입) \\( \\underline{\\mathbb{Z}_{2}^{2} \\times \\mathbb{Z}_{2}} \\times \\mathbb{Z}_{3} \\times \\mathbb{Z}_{3} \\times \\mathbb{Z}_{5} \\)</li><li>(\\(5\\)타입) \\( \\underline{\\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{2}} \\times \\mathbb{Z}_{3}^{2} \\times \\mathbb{Z}_{5} \\)</li><li>(\\(6\\)타입) \\( \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{3} \\times \\mathbb{Z}_{3} \\times \\mathbb{Z}_{5} \\)</li></ul>따라서 6가지 종류가 있다.", "</p><p>(별해) 유한 가환군 \\( G \\) 의 위수의 표준분해 \\( |G|=360=2^{3} \\cdot 3^{2} \\cdot 5 \\) 에서 서로 다른 소인수의 지수의 수의 분할의 개수와 군의 분류의 개수와 일치한다. \\", "[ \\left\\{\\begin{array}{l}2^{3} \\text { 의 지수 } 3 \\text { 의 수의 분할은 } 3(1,2 \\text { 타입 }), 2+1(3,4 \\text { 타입 }), 1+1+1(5,6 \\text { 타입 }) \\text { 의 } 3 \\text { 가지 } \\\\ 3^{2} \\text { 의 지수 } 2 \\text { 의 수의 분할은 } 2(1,3,5 \\text { 타입 }), 1+1(2,4,6 \\text { 타입 }) \\text { 의 } 2 \\text { 가지 } \\\\ 5^{1} \\text { 의 지수 } 1 \\text { 의 수의 분할은 } 1(1 \\sim 6 \\text { 타입 }) \\text { 의 } 1 \\text { 가지 }\\end{array}\\right. \\] 이고, 동시에 발생(동형이 아님)하지 않으므로 \\( 6=3 \\cdot 2 \\cdot 1 \\) 종류가 있다.", "</p> <h2>3.3 정규부분군과 잉여군</h2><p>이 절에서는 군의 특수한 부분군과 잉여류 전체집합으로 이루어진 군에 대하여 논한다.", "</p><p>정의 3.3.1 [정규부분군(normal subgroup)] \\( H \\) 가 군 \\( G \\) 의 부분군일 때,<ul><li>\\( H \\) 가 군 \\( G \\) 의 정규부분군(normal subgroup)\\( \\stackrel{\\text { 정의 }}{\\Leftrightarrow} \\)\\( \\forall a \\in G, a H=H a \\)</li></ul>※ \\( H \\) 가 군 \\( G \\) 의 정규부분군일 때, \\( H \\triangleleft G \\) 라 표기.", "</p><p>정리 3.3.2 군 \\( G \\) 의 부분군 \\( H<G \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "<ul><li>\\( |G: H|=2 \\Longrightarrow H \\triangleleft G\\)(\\(H\\) 는 \\( G \\) 의 정규부분군)</li></ul></p><p>(증명) \\( |G: H|=2 \\) 이라 하면, 모든 \\( a \\notin H \\) 에 대하여, 좌잉여류 전체집합은 \\[ G / \\sim_{L}=\\{H, a H\\} \\] 이고, 우잉여류 전체집합은 \\[ G / \\sim_{R}=\\{H, H a\\} \\] 이다.", "따라서 \\[ H \\cup a H=G=H \\cup H a \\quad \\text { 이고 } \\quad a H \\cap H=H a \\cap H=\\varnothing \\] 이므로 \\( a H=G-H=H a \\) 이다.", "그러므로 \\( H \\triangleleft G \\) 이다.", "</p><p>예 3.3.3 정규부분군의 예를 살펴보자.", "<ol type= start=1><li>군 \\( G \\) 에서 분명히 \\( \\{e\\} \\triangleleft G, G \\triangleleft G \\) 이다.", "</li><li>\\( n \\) 차 대칭군 \\( S_{n} \\) 에서 \\( \\left|S_{n}: A_{n}\\right|=2 \\) 이므로, 정리 3.3.2에 의하여, \\( A_{n} \\triangleleft S_{n} \\) 이다.", "</li><li>[2011학년도 임용시험 출제] 가환군 \\( G \\) 의 모든 부분군 \\( H \\) 는 정의에 의하여 정규부분군 \\( (H \\triangleleft G) \\) 이 된다.", "</li><li>군 준동형사상 \\( f: G \\longrightarrow G^{\\prime} \\) 의 핵 \\( \\operatorname{ker}(f) \\) 은 정리 3.2.23에 의하여, \\( \\operatorname{ker}(f) \\triangleleft G \\) 이다.", "</li></ol>※ 하지만 \\( \\operatorname{Im}(f) \\) 는 일반적으로 정규부분군이 아니다.", "예를 들어, 덧셈군 \\( \\mathbb{Z}_{2} \\) 에서 3차 대칭군 \\( S_{3} \\) 로의 군 준동형사상 \\( f \\) 를 \\[ f: \\mathbb{Z}_{2} \\longrightarrow S_{3}, \\quad f(0)=(1), f(1)=\\left(\\begin{array}{ll} 1 & 2 \\end{array}\\right) \\] 로 정의하면, 예 3.1.2에 의하여 \\( \\operatorname{Im}(f)=\\{(1),(12)\\} \\) 는 \\( S_{3} \\) 의 정규부분군이 아니다.", "</p><p>정리 3.3.4 (정규부분군 판정조건) 군 \\( G \\) 의 부분군 \\( H \\) 에 대하여 다음은 동치이다.", "<ol type= start=1><li>\\( H \\triangleleft G \\).", "즉, \\( \\forall g \\in G, g H=H g \\)</li><li>\\(\\Leftrightarrow\\) \\( \\forall g \\in G, \\quad g H g^{-1}=H \\)</li><li>\\(\\Leftrightarrow\\) \\( \\vee g \\in G, \\quad g \\mathrm{Hg}^{-1} \\subset H \\)</li><li>\\(\\Leftrightarrow\\) \\( \\forall g \\in G, \\quad g H \\subset H g \\)</li></ol></p><p>(증명) (1) \\(\\Rightarrow\\) (2) 임의의 \\( g \\in G \\) 에 대하여 \\( g H=H g \\) 라 하자.", "그러면 임의의 \\( g h \\in g H \\) 에 대하여 \\( g h=h^{\\prime} g \\) 인 \\( h^{\\prime} \\in H \\) 가 존재한다.", "그러므로, 다음이 성립한다. \\", "[ g H g^{-1}=\\left\\{g h g^{-1} \\mid h \\in H\\right\\}=\\left\\{h^{\\prime} g g^{-1} \\mid h^{\\prime} \\in H\\right\\}=\\left\\{h^{\\prime} \\mid h^{\\prime} \\in H\\right\\}=H \\]</p><p>(2) \\( \\Rightarrow\\) (3) 분명히 성립한다.", "</p><p>(3) \\( \\Rightarrow \\) (4) 임의의 \\( g h \\in g H \\) 에 대하여 \\( g h g^{-1} \\in g H g^{-1} \\subset H \\) 이다.", "따라서 \\( g h g^{-1}=h^{\\prime} \\in H \\) 인 \\( h^{\\prime} \\in \\) \\( H \\) 가 존재한다.", "그러므로 \\( g h=h^{\\prime} g \\) 이다.", "따라서 다음이 성립한다. \\", "[ g H \\subset H g \\]</p><p>(4) \\( \\Rightarrow \\) (1) 임의의 \\( g \\in G \\) 에 대하여, \\( g H \\subset H g \\) 라 하자. \\", "( H g \\subset g H \\) 임을 보이면, \\( H g=g H \\) 이다.", "임의의 \\( h g \\in H g \\) 에 대하여 \\( g^{-1} h \\in g^{-1} H \\subset H g^{-1} \\) 이므로, \\( g^{-1} h=h^{\\prime} g^{-1} \\) 인 \\( h^{\\prime} \\in H \\) 가 존재한다.", "그러므로 \\[ g^{-1} h g=h^{\\prime} g^{-1} g=h^{\\prime} \\quad \\Longrightarrow \\quad h g=g h^{\\prime} \\in g H \\] 이고, 따라서 \\( \\mathrm{Hg} \\subset g H \\) 이다.", "</p> <p>정리 3.3.10 [2001학년 임용시험 출제] 군 \\( G \\) 의 부분군 \\( H<G \\) 의 좌잉여류 전체집합 \\( G / H=\\{a H \\mid a \\in G\\} \\) 위에서 연산(\\(\\cdot\\))은 아래와 같이 정의할 때, 다음은 동치이다. \\", "[ (a H) \\cdot(b H)=a b H \\]<ol type= start=1><li>\\( G / H \\) 위에서 연산(\\(\\cdot\\))이 잘 정의된다.", "</li><li>\\( \\Leftrightarrow \\forall a \\in G, a H=H a \\).", "즉 \\( H \\) 는 \\( G \\) 의 정규부분군</li></ol></p><p>(증명) (\\(\\Rightarrow\\)) \\( G / H \\) 위에서 연산 \\( (a H) \\cdot(b H)=a b H \\) 가 잘 정의된다고 하자.", "임의의 \\( a \\in G \\) 에 대하여 \\( a H a^{-1} \\subset H \\) 임을 보이자.", "임의의 \\( a \\in G \\) 와 \\( h \\in H \\) 에 대하여 \\[ a h a^{-1}=(a h)\\left(a^{-1} e\\right) \\in\\left(a^{-1} H\\right) \\cdot(a H)=\\left(a^{-1} a\\right) H=e H=H \\] 이므로, \\( a h a^{-1} \\in H \\) 이다.", "그러면 정규부분군의 판정조건(정리 \\(3.3.4\\))에 의하여 \\( H \\) 는 \\( G \\) 의 정규부분군이다.", "</p><p>\\( (\\Leftarrow) \\) 임의의 \\( a \\in G \\) 에 대하여 \\( a H=H a \\) 라 하자.", "임의의 \\( a H, a^{\\prime} H, b H, b^{\\prime} H \\in G / H \\) 에 대하여 \\( a H=a^{\\prime} H \\) 이고 \\( b H=b^{\\prime} H \\) 라 하자.", "그러면 \\[ \\begin{array}{l} a=a e \\in a H=a^{\\prime} H \\quad \\Longrightarrow \\quad \\exists h \\in H, a=a^{\\prime} h \\\\ b=b e \\in b H=b^{\\prime} H \\quad \\Longrightarrow \\quad \\exists h^{\\prime} \\in H, b=b^{\\prime} h^{\\prime} \\end{array} \\] 이다.", "그리고 \\( (a H) \\cdot(b H)=\\left(a^{\\prime} H\\right) \\cdot\\left(b^{\\prime} H\\right) \\), 즉 \\( a b H=a^{\\prime} b^{\\prime} H \\) 임을 보이자.", "가정 \\( H b^{\\prime}=b^{\\prime} H \\) 에 의하여 \\( h b^{\\prime}=b^{\\prime} h^{\\prime \\prime} \\) 인 \\( h^{\\prime \\prime} \\in H \\) 가 존재하므로 \\[ a b e=a b=\\left(a^{\\prime} h\\right)\\left(b^{\\prime} h^{\\prime}\\right)=a^{\\prime}\\left(h b^{\\prime}\\right) h^{\\prime}=a^{\\prime}\\left(b^{\\prime} h^{\\prime \\prime}\\right) h^{\\prime}=\\left(a^{\\prime} b^{\\prime}\\right)\\left(h^{\\prime \\prime} h^{\\prime}\\right) \\in a^{\\prime} b^{\\prime} H \\cap a b H \\] 이다.", "따라서 \\( a^{\\prime} b^{\\prime} H \\cap a b H \\neq \\varnothing \\) 이므로, 잉여류 상등에 의하여 \\( a b H=a^{\\prime} b^{\\prime} H \\) 이다.", "</p><p>즉, \\( (a H) \\cdot(b H)=\\left(a^{\\prime} H\\right) \\cdot\\left(b^{\\prime} H\\right) \\) 이 되어 연산은 잘 정의된다.", "</p> <p>정리 3.2.19 군 \\( G, G^{\\prime}, G^{\\prime \\prime} \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "<ol type= start=1><li>\\( 1_{G}: G \\longrightarrow G, 1_{G}(a)=a \\) 는 동형사상</li><li>\\( f: G \\longrightarrow G^{\\prime} \\) 가 동형사상 \\( \\Longrightarrow f \\) 의 역사상 \\( f^{-1}: G^{\\prime} \\longrightarrow G \\) 도 동형사상</li><li>\\( f: G \\longrightarrow G^{\\prime}, g: G^{\\prime} \\longrightarrow G^{\\prime \\prime} \\) 가 준동형사상 \\( \\Longrightarrow g \\circ f: G \\longrightarrow G^{\\prime \\prime} \\) 는 준동형사상 특히, \\( f, g \\) 가 동형사상 \\( \\Longrightarrow g \\circ f \\) 는 동형사상</li></ol></p><p>(증명) (1) 분명히 성립한다.", "</p><p>(2) 정리 1.4.10에 의하여 역함수는 전단사 함수이다.", "역함수 \\( f^{-1} \\) 가 준동형사상임을 보이자.", "임의의 \\( a^{\\prime}, b^{\\prime} \\in G^{\\prime} \\) 에 대하여 \\( f^{-1}\\left(a^{\\prime}\\right)=a, f^{-1}\\left(b^{\\prime}\\right)=b \\) 라 하면, \\( f(a)=a^{\\prime}, f(b)=b^{\\prime} \\) 이다.", "그러므로 \\[ f(a b)=f(a) f(b)=a^{\\prime} b^{\\prime} \\] 이다.", "따라서 \\[ f^{-1}\\left(a^{\\prime} b^{\\prime}\\right)=a b=f^{-1}\\left(a^{\\prime}\\right) f^{-1}\\left(b^{\\prime}\\right) \\] 이므로, \\( f^{-1} \\) 는 준동형사상이다.", "그러므로 \\( f^{-1} \\) 는 동형사상이다.", "</p><p>(3) 연습문제 (1.4) 5번에 의해 합성함수는 전단사함수이다. \\", "( g \\circ f \\) 가 준동형사상임을 보이자.", "임의의 \\( a, b \\in G \\) 에 대하여 \\[ (g \\circ f)(a b)=g(f(a b))=g(f(a) f(b))=g(f(a)) g(f(b))=(g \\circ f)(a)(g \\circ f)(b) \\] 이므로, \\( g \\circ f \\) 는 준동형사상이다.", "따라서 \\( g \\circ f \\) 는 동형사상이다.", "</p><p>따름정리 3.2.20 군 \\( G \\) 위의 자기동형사상 전체집합을 \\( \\operatorname{Aut}(G) \\) 라 하자.", "즉, \\[ \\operatorname{Aut}(G)=\\{\\sigma \\mid \\sigma: G \\longrightarrow G \\text { 는 자기동형사상 }\\} \\] 이라 하고, 연산을 합성 \\(\\circ\\) 으로 주면, 다음이 성립한다. \\", "[ (\\operatorname{Aut}(G), \\circ) \\text{는 군} \\] ※ 군 \\( \\operatorname{Aut}(G) \\) 를 자기동형군(automorphism group)이라 한다.", "</p><p>(증명) 정리 3.2 .19에 의하여 연산이 닫혀있고, 항등원, 역원이 존재한다.", "또한 1.4.8에 의하여 결합법칙이 성립하므로 \\( (\\operatorname{Aut}(G), \\circ) \\)는 군이다.", "</p><p>정리 3.2.21 군 \\( G \\) 의 원소 \\( g \\in G \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "<ol type= start=1><li>함수 \\( \\alpha_{g}: G \\longrightarrow G, \\alpha_{g}(a)=g a g^{-1} \\) 는 동형사상이다.", "</li><li>\\( a \\) 의 위수가 유한 \\( \\Longrightarrow|a|=\\left|g a g^{-1}\\right| \\)</li><li>\\( H<G \\) 에 대하여 \\( g \\mathrm{Hg}^{-1}=\\left\\{g h g^{-1} \\mid h \\in H\\right\\} \\) 이라 하면, \\( g \\mathrm{gg}^{-1}<G \\) 이고 \\( g \\mathrm{gg}^{-1} \\simeq H \\)</li></ol><ul><li>※ \\( \\alpha_{g} \\) 를 \\( g \\) 에 의한 \\( G \\) 의 켤레 동형사상(conjugate automorphism) 또는 내부자기동형사상 (inner automorphism)이라 한다.", "</li><li>※ \\( g g^{-1} \\) 를 \\( H \\) 의 켤레부분군(conjugate subgroup)이라 한다.", "</li></ul></p><p>(증명) (1) 모든 \\( a, b \\in G \\) 에 대하여 \\[ \\alpha_{g}(a b)=g a b g^{-1}=\\left(g a g^{-1}\\right)\\left(g b g^{-1}\\right)=\\alpha_{g}(a) \\alpha_{g}(b) \\] 이므로 준동형사상이다.", "또한 \\[ \\alpha_{g}(a)=\\alpha_{g}(b) \\quad \\Longrightarrow \\quad g a g^{-1}=g b^{-1} \\quad \\Longrightarrow \\quad a=b \\] 이므로 \\( \\alpha_{g} \\) 는 단사함수이다.", "그리고 모든 \\( a \\in G \\) 에 대하여 \\[ \\alpha_{g}\\left(g^{-1} a g\\right)=g\\left(g^{-1} a g\\right) g^{-1}=a \\] 이므로 \\( \\alpha_{g} \\) 는 전사함수이다.", "따라서 \\( \\alpha_{g} \\) 는 동형사상이다.", "</p><p>(2) \\( \\alpha_{g} \\) 는 전단사함수이므로, 임의의 양수 \\( n \\) 에 대하여 \\[ e=a^{n} \\quad \\Longleftrightarrow \\alpha_{g}(e)=\\alpha_{g}\\left(a^{n}\\right) \\quad \\Longleftrightarrow \\quad e=\\alpha_{g}(a)^{n}=\\left(\\mathrm{gag}^{-1}\\right)^{n} \\] 가 성립한다.", "따라서 \\( |a|=\\left|g a g^{-1}\\right| \\) 이다.", "</p><p>(3) \\( e=g e g^{-1} \\in g \\mathrm{Hg}^{-1} \\) 이다.", "임의의 \\( \\mathrm{gag}^{-1}, \\mathrm{gbg}^{-1} \\in \\mathrm{gHg}^{-1} \\) 에 대하여 \\[ g a g^{-1}\\left(g b g^{-1}\\right)^{-1}=g a\\left(g^{-1}\\left(g^{-1}\\right)^{-1}\\right) b^{-1} g^{-1}=g a b^{-1} g^{-1} \\in g H g^{-1} \\] 이므로 \\( \\mathrm{gHg}^{-1}<\\mathrm{G} \\) 이다.", "</p><p>정리 3.2.14에 의하여 \\( \\alpha_{g}(H)=g \\mathrm{Hg}^{-1}<G \\) 이다.", "함수 \\[ \\phi: H \\longrightarrow \\alpha_{g}(H)=g g^{-1}, \\quad \\phi(a)=\\alpha_{g}(a)=g a g^{-1} \\] 는 잘 정의되고 분명히 동형사상이다.", "따라서 \\( g \\mathrm{gg}^{-1} \\cong H \\) 이다.", "</p> <p>예 3.6.8 잉여군 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{8}\\right) /\\langle(1,2,4)\\rangle \\) 와 동형인 군을 구해보자.", "</p><p>(풀이1) [위수 이용] \\( \\left|\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{8}\\right|=128 \\) 이고, \\[ \\langle(1,2,4)\\rangle=\\{(0,0,0),(1,2,4),(2,0,0),(3,2,4)\\} \\] 이므로, \\( \\left|\\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{8}\\right) /\\langle(1,2,4)\\rangle\\right|=\\frac{4 \\times 4 \\times 8}{4}=32 \\) 이다.", "한편 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{8}\\right) /\\langle(1,2,4)\\rangle \\) 에 위수가 가장 큰 원소 \\( (1,1,1)+\\langle(1,2,4)\\rangle \\) 의 위수는 \\[ |(1,1,1)+\\langle(1,2,4)\\rangle|=8 \\] 이므로, 가환군 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{8}\\right) /\\langle(1,2,4)\\rangle \\) 은 순환군이 아니고, 위수 8인 원소가 존재하므로, 다음 중 하나와 동형이다. \\", "[ \\mathbb{Z}_{8} \\times \\mathbb{Z}_{4}, \\quad \\mathbb{Z}_{8} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{2}, \\] 두 군의 원소 중에서 위수 2인 것의 수는 \\( \\mathbb{Z}_{8} \\times \\mathbb{Z}_{4} \\) 에서 3개 \\( ((4,0),(4,2),(0,2)) \\) 이고, \\( \\mathbb{Z}_{8} \\times \\) \\( \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\) 에서 7개 \\( ((4,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(4,1,0),(4,0,1),(0,1,1),(4,1,1)) \\) 이므로, \\( \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{8}\\right) /\\langle(1,2,4)\\rangle \\) 에서 위수 2인 원소 \\( (a, b, c)+\\langle(1,2,4)\\rangle \\) 를 구하자.", "그러면 \\( (a, b, c) \\notin\\langle(1,2,4)\\rangle \\) 이고 \\[ (2 a, 2 b, 2 c) \\in\\langle(1,2,4)\\rangle=\\{(0,0,0),(1,2,4),(2,0,0),(3,2,4)\\} \\] 이다.", "</p><p>먼저 \\( (2 a, 2 b, 2 c)=(0,0,0) \\) 인 경우 중에서 위수가 2인 \\( (a, b, c) \\) 는 \\[ (a, b, c)=(0,0,4),(0,2,0),(0,2,4),(2,0,4),(2,2,0),(2,2,4) \\] 이다.", "</p><p>다음에 \\( (2 a, 2 b, 2 c)=(1,2,4) \\) 인 경우의 \\( (a, b, c) \\) 는 없다.", "</p><p>또, \\( (2 a, 2 b, 2 c)=(2,0,0) \\) 인 경우 중에서 위수가 2인 \\( (a, b, c) \\) 는 \\[ (a, b, c)=(1,0,0),(1,0,4),(1,2,0),(3,0,0),(3,0,4),(3,2,0) \\] 이다.", "</p><p>마지막으로 \\( (2 a, 2 b, 2 c)=(3,2,4) \\) 인 경우의 \\( (a, b, c) \\) 는 없다.", "</p><p>따라서 위수 2인 원소는 \\[ \\begin{aligned} (a, b, c)=&(0,0,4),(0,2,0),(0,2,4),(2,0,4),(2,2,0),(2,2,4), \\\\ &(1,0,0),(1,0,4),(1,2,0),(3,0,0),(3,0,4),(3,2,0) \\end{aligned} \\] 에서 나온다. \\", "( \\overline{(a, b, c)}=(a, b, c)+\\langle(1,2,4)\\rangle \\) 라 정의하자.", "그러면 정리 3.1.7에 의하여 \\[ \\begin{array}{l} \\overline{(0,0,4)}=\\overline{(2,0,4)}=\\overline{(1,2,0)}=\\overline{(3,2,0)} \\\\ \\overline{(0,2,0)}=\\overline{(2,2,0)}=\\overline{(1,0,4)}=\\overline{(3,0,4)}, \\\\ \\overline{(0,2,4)}=\\overline{(2,2,4)}=\\overline{(1,0,0)}=\\overline{(3,0,0)}, \\end{array} \\] 이므로, 가환군 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{8}\\right) /\\langle(1,2,4)\\rangle \\) 에서 위수가 2인 서로 다른 원소는 3개이다.", "따라서 가환군 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{8}\\right) /\\langle(1,2,4)\\rangle \\) 은 \\( \\mathbb{Z}_{8} \\times \\mathbb{Z}_{4} \\) 와 동형이다.", "</p><p>(풀이2) [제1동형정리 이용] 함수 \\( (\\operatorname{ker}(f)=\\langle(1,2,4)\\rangle \\) 가 되도록 정의함) \\[ f: \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{8} \\longrightarrow \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{8}, \\quad f(a, b, c)=(2 a-b, 2 b-c) \\] 라 정의하면 \\( f \\) 는 준동형임은 쉽게 증명할 수 있다.", "다음에 \\[ \\operatorname{ker}(f)=\\{(0,0,0),(1,2,4),(2,0,0),(3,2,4)\\}=\\langle(1,2,4)\\rangle \\] 이다. \\", "( f \\) 가 전사함수임을 보이자.", "임의의 \\( (x, y) \\in \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{8} \\) 에 대하여 \\[ f(a, b, c)=(2 a-b, 2 b-c)=(x, y) \\] 인 \\( (a, b, c) \\in \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{8} \\) 이 존재하면 된다. \\", "( (2 a-b, 2 b-c)=(x, y) \\) 에서 \\( a=1 \\) 이라 하면, \\( b=2-x \\) 이고 \\( c=4-2 x-y \\) 이다.", "따라서 \\( \\left(1,\\langle 2-x\\rangle_{4},\\langle 4-2 x-y\\rangle_{8}\\right) \\in \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{8} \\) 가 존재하여 \\[ f\\left(1,\\langle 2-x\\rangle_{4},\\langle 4-2 x-y\\rangle_{8}\\right)=(x, y) \\] 가 되어 \\( f \\) 는 전사함수이다.", "</p><p>그러므로 제1동형정리에 의해 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{8}\\right) /\\langle(1,2,4)\\rangle \\cong \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{8} \\) 이다.", "다음은 무한 가환군의 잉여군과 동형인 군을 구해보자.", "</p> 예 3.6.9 잉여군 \\( (\\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}) /\\langle(1,1)\\rangle \\) 과 동형인 군을 구해보자.", "</p><p>(풀이1) [동형사상 이용] \\( H=\\langle(1,1)\\rangle \\) 라 하면, 정리 \\(3.1.7\\)에 의하여, \\( (a, a)+H=H \\) 이므로, \\[ \\begin{aligned} (\\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}) /\\langle(1,1)\\rangle &=\\{(a, b)+H \\mid a, b \\in \\mathbb{Z}\\} \\\\ &=\\{(a, b)+(-b,-b)+H \\mid a, b \\in \\mathbb{Z}\\} \\\\ &=\\{(a-b, 0)+H \\mid a, b \\in \\mathbb{Z}\\} \\\\ &=\\{(x, 0)+H \\mid x \\in \\mathbb{Z}\\} \\end{aligned} \\] 이다. \\", "( \\mathbb{Z} \\) 에서 \\( (\\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}) / H \\) 로의 함수 \\[ f: \\mathbb{Z} \\longrightarrow(\\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}) / H, \\quad f(a)=(a, 0)+H \\] 라 정의하자.", "그러면 전사함수이고 준동형사상이다. \\", "( f \\) 가 단사임을 보이자. \\", "[ \\operatorname{ker}(f)=\\{a \\in \\mathbb{Z} \\mid f(a)=0\\}=\\{a \\in \\mathbb{Z} \\mid H=(a, 0)+H\\}=\\{a \\in \\mathbb{Z} \\mid(a, 0) \\in H\\}=\\{0\\} \\] 이므로, \\( f \\) 는 단사함사함수이다.", "즉, \\( f \\) 는 동형사상이다.", "따라서 \\( (\\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}) /\\langle(1,1)\\rangle \\cong \\mathbb{Z} \\) 이다.", "</p><p>(풀이3) [격자점 이용] 그림으로 \\( (\\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}) /\\langle(1,1)\\rangle \\) 의 대수적 구조를 살펴보자. \\", "( H=\\langle(1,1)\\rangle \\) 은 직선 \\( y=x \\) 상의 동그란 점 \\( ( \\) 으로 나타나고, \\( x \\) 축으로 \\(1\\) 만큼 오른쪽으로 이동 \\( ((1,0)+H) \\) 하면, 직선 \\( y=x-1 \\) 상의 (검은)점 \\( (\\bullet) \\) 이 모두 겹치게 된다.", "이처럼 \\( x \\) 축으로 \\(1\\) 만큼 좌우로 계속 이동(덧셈 연산)하면 전체와 겹치게 된다.", "이는 무한위수인 순환군 \\( \\mathbb{Z} \\) 를 의미한다.", "따라서 \\( (\\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}) /\\langle(1,1)\\rangle \\cong \\mathbb{Z} \\) 이다.", "</p> <p>문제 3.2.3 덧셈군 \\( (\\mathbb{Z},+) \\) 위에서 준동형사상 \\( f:(\\mathbb{Z},+) \\longrightarrow(\\mathbb{Z},+) \\) 이면, \\( f \\) 는 적당한 \\( a \\in \\mathbb{Z} \\) 가 존재하여 임의의 \\( x \\in \\mathbb{Z} \\) 에 대하여 \\( f(x)=a x \\) 임을 보여라.", "</p><p>예 3.2.4 군 \\( G \\) 에서 군 \\( G^{\\prime} \\) 로의 함수 \\( f \\) 를 모든 원소 \\( a \\in G \\) 에 대하여 \\[ f: G \\longrightarrow G^{\\prime}, \\quad f(a)=e^{\\prime}\\left(e^{\\prime} \\text { 은 } G^{\\prime} \\text { 의 항등원 }\\right) \\] 라 정의하면, 임의의 \\( a, b \\in G \\) 에 대하여 \\[ f(a b)=e^{\\prime}=e^{\\prime} e^{\\prime}=f(a) f(b) \\] 이므로 군 준동형사상이 된다.", "이 \\( f \\) 를 자명 준동형사상(trivial homomorphism)이라 한다.", "</p><p>예 3.2 .5 n차 대칭군 \\( S_{n} \\) 에서 군 \\( \\mathbb{Z}_{2} \\) 로의 함수 \\( f \\) 를 모든 치환 \\( \\sigma \\in S_{n} \\) 에 대하여 \\[ f: S_{n} \\longrightarrow \\mathbb{Z}_{2}, \\quad f(\\sigma)=\\left\\{\\begin{array}{ll} 0, & \\sigma \\text { 가 우치환 } \\\\ 1, & \\sigma \\text { 가 기치환 } \\end{array}\\right. \\] 라 정의하면, \\( f \\) 는 군 준동형사상이다.", "실제로 임의의 치환 \\( \\sigma, \\tau \\in S_{n} \\) 에 대하여 다음 \\(4\\) 가지 경우에서만 증명하면 된다.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\sigma \\) 가 우치환이고 \\( \\tau \\) 가 우치환</li><li>\\( \\sigma \\) 가 우치환이고 \\( \\tau \\) 가 기치환</li><li>\\( \\sigma \\) 가 기치환이고 \\( \\tau \\) 가 우치환</li><li>\\( \\sigma \\) 가 기치환이고 \\( \\tau \\) 가 기치환</li></ol><p>1. 의 경우에는 \\( \\sigma \\tau \\) 가 우치환이므로 \\[ f(\\sigma \\tau)=0=0 \\cdot 0=f(\\sigma) f(\\tau) \\] 이다.", "2, 3, 4의 경우에도 같은 방법으로 증명할 수 있어 \\( f \\) 는 군 준동형사상이다.", "</p><p>예 3.2.6 (대입 준동형사상) 실수 \\( \\mathbb{R} \\) 위의 함수 집합 \\( F \\) [참조: 예 2.1.7]를 \\[ F=\\{f \\mid f: \\mathbb{R} \\longrightarrow \\mathbb{R} \\text { 실가 함수 }\\} \\] 라 하자.", "이때 고정된 실수 \\( c \\in \\mathbb{R} \\) 와 덧셈군 \\( (F,+) \\) 에서 덧셈군 \\( (\\mathbb{R},+) \\) 로의 함수 \\( h_{c} \\) 를 다음과 같이 정의하자. \\", "[ h_{c}:(F,+) \\longrightarrow(\\mathbb{R},+), \\quad h_{c}(f)=f(c) \\] 그러면 임의의 \\( f, g \\in F \\) 에 대하여 \\[ h_{c}(f+g)=(f+g)(c)=f(c)+g(c)=h_{c}(f)+h_{c}(g) \\] 이므로 \\( h_{c} \\) 는 군 준동형 사상이 된다.", "이 \\( h_{c} \\) 를 대입 준동형사상이라 한다.", "이 대입 준동형사상은 다항식의 해를 구할 때 유용하게 활용되므로 잘 기억하길 바란다.", "</p><p>예 3.2.7 [동형사상] 덧셈군 \\( (\\mathbb{R},+) \\) 와 곱셈군 \\( \\left(\\mathbb{R}^{+}, \\cdot\\right) \\) 은 동형이다.", "</p><p>(증명) 덧셈군 \\( (\\mathbb{R},+) \\) 에서 곱셈군 \\( \\left(\\mathbb{R}^{+}, \\cdot\\right) \\) 로의 함수 \\( f \\) 를 \\[ f:(\\mathbb{R},+) \\longrightarrow\\left(\\mathbb{R}^{+}, \\cdot\\right), \\quad f(x)=e^{x} \\] 라 정의하면 잘 정의된다. \\", "( \\mathbb{R} \\) 의 원소 \\( x, x^{\\prime} \\) 에 대하여 \\[ f(x)=f\\left(x^{\\prime}\\right) \\quad \\Longrightarrow \\quad e^{x}=e^{x^{\\prime}} \\Longrightarrow \\ln e^{x}=\\ln e^{x^{\\prime}} \\quad \\Longrightarrow \\quad x=x^{\\prime} \\] 이므로, \\( f \\) 는 단사함수이다.", "임의의 \\( y \\in\\left(\\mathbb{R}^{+}, \\cdot\\right) \\) 에 대하여 \\( \\ln y \\in(\\mathbb{R},+) \\) 이 존재하여, \\[ f(\\ln y)=e^{\\ln y}=y \\] 이므로, \\( f \\) 는 전사함수이다.", "다음에 임의의 \\( x, x^{\\prime} \\in \\mathbb{R} \\) 에 대하여, \\[ f\\left(x+x^{\\prime}\\right)=e^{x+x^{\\prime}}=e^{x} \\cdot e^{x^{\\prime}}=f(x) \\cdot f\\left(x^{\\prime}\\right) \\] 이므로, \\( f \\) 는 준동형사상이다.", "따라서 \\( f \\) 는 동형사상이다.", "즉, \\( (\\mathbb{R},+) \\cong\\left(\\mathbb{R}^{+}, \\cdot\\right) \\) 이다.", "</p> <p>임용시험 출제 3.3.32 [2010학년도] 잉여군(quotient group, factor group)에 관련된 다음 물음에 답하라.", "</p><p>(1) 군 \\( G=\\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\) 의 잉여군의 집합 \\[ X=\\{G / N \\mid N \\text { 은 } G \\text { 의 정규부분군 }\\} \\] 에 속하며 서로 동형이 아닌 잉여군의 개수를 구하라.", "</p><p>(2) 정수의 집합에서 정의된 덧셈군 \\( \\mathbb{Z} \\) 의 부분군 \\( 6 \\mathbb{Z} \\) 에 의한 잉여군 \\( \\mathbb{Z} / 6 \\mathbb{Z} \\) 의 부분군의 개수를 구하라.", "</p><p>임용시험 출제 3.3 .33 [2015학년도] 덧셈군 \\( G=\\mathbb{Z}_{12} \\times \\mathbb{Z}_{6} \\) 에서 \\( (5,5) \\in G \\) 로 생성된 부분군을 \\( H \\) 라 하자.", "잉여군(quotient group, factor group) \\( G / H \\) 에서 원소 \\( (3,3)+H \\) 의 위수(order)를 구하라.", "</p><p>임용시험 출제 3.3.34 [2016학년도] 군 준동형사상(group homomorphism) \\( f: \\mathbb{Z}_{12} \\times \\mathbb{Z}_{6} \\rightarrow \\mathbb{Z}_{12} \\) 를 \\( f(x, y)=9 x \\) 로 정의하자. \\", "( f \\) 의 핵(kernel)을 \\( K \\) 라 할 때, 잉여군(상군, factor group, quotient group) \\( \\mathbb{Z}_{12} \\times \\mathbb{Z}_{6} / K \\) 의 위수(order)를 구하라.", "(단, 양의 정수 \\( n \\) 에 대하여 \\( \\mathbb{Z}_{n} \\) 은 위수가 \\( n \\) 인 덧셈 순환군(additive cyclic group)이다.)", "</p><p>임용시험 출제 3.3.35 [2017학년도] 위수가 200인 군 \\( G \\) 가 부분군 \\( H \\) 와 정규 부분군(normal subgroup) \\( N \\) 을 가진다. \\", "( H \\) 와 \\( N \\) 의 위수가 각각 8과 40일 때, \\( H \\) 가 \\( N \\) 의 부분군임을 보여라.", "</p> <p>정리 3.5.12 (제3동형정리) 군 \\( G \\) 의 두 정규부분군 \\( N \\triangleleft G, H \\triangleleft G \\) 가 \\( N<H \\) 일 때, 다음이 성립한다. \\", "[ G / H \\cong(G / N) /(H / N) \\]</p><p>(증명) 함수 \\( f: G / N \\longrightarrow G / H, \\quad f(a N)=a H \\) 라 정의하자. \\", "( f \\) 가 잘 정의되었음을 보이자. \\", "( N \\subset H \\) 이므로, 정리 \\( 3.1 .7 \\) 에 의하여 \\[ a N=b N \\quad \\Longrightarrow \\quad a^{-1} b \\in N \\subset H \\quad \\Longrightarrow \\quad a H=b H \\] 이다.", "따라서 \\( f \\) 가 잘 정의되었다.", "그리고 모든 \\( a N, b N \\in G / N \\) 에 대하여 \\[ f((a N)(b N))=f(a b N)=a b H=(a H)(b H)=f(a N) f(b N) \\] 이므로 \\( f \\) 는 군준동형사상이다.", "정의에 의해 \\( f \\) 는 전사함수이다.", "또, 정리 3.1.7에 의하여 \\[ \\operatorname{ker}(f)=\\{a N \\in G / N \\mid H=f(a N)=a H\\}=\\{a N \\in G / N \\mid a \\in H\\}=H / N \\] 이므로, 제1동형정리에 의해 \\( G / H \\cong(G / N) /(H / N) \\) 이다.", "</p><p>예 3.5.13 \\( G=\\mathbb{Z} \\) 의 정규부분군 \\( H=2 \\mathbb{Z} \\) 와 \\( N=6 \\mathbb{Z} \\) 에 대하여 다음이 성립한다(예 3.3.12). \\", "[ G / H=\\mathbb{Z} / 2 \\mathbb{Z} \\cong \\mathbb{Z}_{2}, \\quad G / N=\\mathbb{Z} / 6 \\mathbb{Z} \\cong \\mathbb{Z}_{6}, \\quad H / N=2 \\mathbb{Z} / 6 \\mathbb{Z} \\cong \\mathbb{Z}_{3} \\] 그러므로 \\[ |G / N|=\\left|\\mathbb{Z}_{6}\\right|=6, \\quad|H / N|=\\left|\\mathbb{Z}_{3}\\right|=3 \\] 이다.", "따라서 \\( (G / N) /(H / N)=\\frac{|G / N|}{|H / N|}=\\frac{6}{3}=2 \\) 이다.", "따라서 유한생성 가환군의 기본정리에 의하여 \\( (G / N) /(H / N) \\cong \\mathbb{Z}_{2} \\) 이다.", "그러면 \\[ G / H \\cong \\mathbb{Z}_{2} \\cong(G / N) /(H / N) \\] 이 되어 제3동형정리가 성립한다.", "</p> <h2>3.6 잉여군의 계산</h2><p>이 절에서는 잉여군의 다양한 예에 대하여 살펴본다.", "</p><p>예 3.6.1 \\( \\mathbb{Z} /\\{0\\} \\cong \\mathbb{Z} \\) 임을 보이자.", "[참조: 예 3.3.12와 문제 3.5.5] \\( \\{0\\} \\triangleleft \\mathbb{Z} \\) 이고 \\( \\mathbb{Z} /\\{0\\}=\\{a+\\{0\\} \\mid a \\in \\mathbb{Z}\\}=\\{\\{a\\} \\mid a \\in \\mathbb{Z}\\} \\) 이다.", "다음 \\( \\mathbb{Z} \\) 위에서 항등사상 \\[ f: \\mathbb{Z} \\longrightarrow \\mathbb{Z}, \\quad f(n)=n \\] 을 생각하면 \\( \\operatorname{ker}(f)=\\{0\\} \\) 이고 \\( f \\) 는 전단사함수이다.", "분명히 준동형사상이다.", "따라서 제1동형정리에 의해 \\[ \\mathbb{Z} /\\{0\\} \\cong \\operatorname{Im}(f)=\\mathbb{Z} \\] 이다.", "</p><p>예 3.6.2 \\( n \\neq 0 \\) 이 양의 정수일 때, 덧셈군 \\( (\\mathbb{R},+) \\) 의 부분군 \\[ n \\mathbb{R}=\\{n a \\mid a \\in \\mathbb{R}\\} \\] 을 생각하자. \\", "( \\mathbb{R} / n \\mathbb{R} \\cong\\{0\\} \\) 임을 보이자.", "</p><p>\\( n \\mathbb{R} \\) 은 \\( \\mathbb{R} \\) 의 정규부분군이다.", "또, \\( n \\neq 0 \\) 이므로 \\[ n \\mathbb{R}=\\{n a \\mid a \\in \\mathbb{R}\\}=\\left\\{n a \\cdot \\frac{1}{n} \\mid a \\in \\mathbb{R}\\right\\}=\\{a \\mid a \\in \\mathbb{R}\\}=\\mathbb{R} \\] 이므로, 문제 3.5.5에 의하여 다음이 성립한다. \\", "[ \\mathbb{R} / n \\mathbb{R}=\\mathbb{R} / \\mathbb{R} \\cong\\{0\\} \\]</p><p>예 3.6.3 \\( n(\\geq 2) \\) 차 대칭군 \\( S_{n} \\) 의 교대군 \\( A_{n} \\) 에 대하여, \\( \\left|S_{n}: A_{n}\\right|=2 \\) 이므로 \\( A_{n} \\triangleleft S_{n} \\) 이다.", "그러므로 \\( a \\notin A_{n} \\) 에 대하여 \\[ S_{n} / A_{n}=\\left\\{A_{n}, a A_{n}\\right\\} \\cong \\mathbb{Z}_{2} \\] 이다. \\", "( S_{n} / A_{n} \\) 의 연산표는 다음과 같다.", "</p><p>예 3.6.4 (Lagrange 정리의 역의 반례) Lagrange 정리(정리 3.1.10)의 역이 성립하지 않는 예에 대해 알아보자.", "즉, 군의 위수의 약수를 위수로 갖는 부분군이 없을 수 있음을 보이자.", "</p><p>4차 교대군 \\( A_{4} \\) 는 \\( A_{4} \\triangleleft S_{4} \\) 이다(정리 3.3.2).", "또한 \\( A_{4} \\) 의 위수는 \\( \\left|A_{4}\\right|=\\frac{4 !}{2}=12 \\) 이고, 6은 12의 약수이다.", "이때 \\( A_{4} \\) 는 위수 6인 부분군이 존재하지 않음을 보이자.", "</p><p>위수 6인 \\( A_{4} \\) 의 부분군 \\( H \\) 가 있다고 하자.", "그러면, \\( \\left|A_{4}: H\\right|=2 \\) 이므로 \\( H \\triangleleft A_{4} \\) 이다(정리3.3.2).", "그리고 잉여군 \\( \\left(A_{4} / H, \\cdot\\right) \\) 의 위수는 2이다.", "따라서 모든 \\( a \\in A_{4} \\) 에 대하여 \\[ (a H)(a H)=H \\quad \\Longrightarrow \\quad a^{2} H=H \\quad \\Longrightarrow \\quad a^{2} \\in H \\] 이다.", "그러면 \\( H \\) 는 다음 우치환의 곱을 원소로 가진다. \\", "[ (123)=\\left(\\begin{array}{ll}132\\end{array}\\right)^{2} \\in H, \\quad(132)=(123)^{2} \\in H, \\] \\[ (124)=(142)^{2} \\in H, \\quad(142)=(124)^{2} \\in H, \\] \\[ (134)=(143)^{2} \\in H, \\quad(143)=(134)^{2} \\in H, \\] \\[ (234)=(243)^{2} \\in H, \\quad(243)=(234)^{2} \\in H \\] 즉, \\( H \\) 는 적어도 8개 이상의 원소를 가지게 된다.", "이것은 \\( H \\) 의 위수가 6이라는데 모순이다.", "따라서 \\( A_{4} \\) 는 위수 6인 부분군이 존재하지 않는다.", "</p><p>예 3.6.5 잉여군 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6}\\right) /\\langle(0,1)\\rangle \\) 와 동형인 군을 구해보자.", "<p></p>(풀이1) [위수 이용] \\( \\left|\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6}\\right|=24 \\) 이고 \\[ \\langle(0,1)\\rangle=\\{(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5)\\} \\] 이므로, \\( \\left|\\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6}\\right) /\\langle(0,1)\\rangle\\right|=\\frac{24}{6}=4 \\) 이다.", "그러므로 유한생성 가환군의 기본정리에 의하여 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6}\\right) /\\langle(0,1)\\rangle \\cong \\mathbb{Z}_{4} \\) 또는 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6}\\right) /\\langle(0,1)\\rangle \\cong \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\) 이다.", "한편 위수가 가장 큰 원소 \\( (1,1)+\\langle(0,1)\\rangle \\) 의 위수는 \\[ |(1,1)+\\langle(0,1)\\rangle|=4 \\] 이므로, \\( \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6}\\right) /\\langle(0,1)\\rangle \\cong \\mathbb{Z}_{4} \\) 이어야 한다.", "</p><p>(풀이2) [정리 3.5.6 이용] \\( \\langle(0,1)\\rangle=\\{(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5)\\}=\\{0\\} \\times \\mathbb{Z}_{6} \\) 이므로, \\[ \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6}\\right) /\\langle(0,1)\\rangle=\\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6}\\right) /\\left(\\{0\\} \\times \\mathbb{Z}_{6}\\right) \\cong\\left(\\mathbb{Z}_{4} /\\{0\\}\\right) \\times\\left(\\mathbb{Z}_{6} / \\mathbb{Z}_{6}\\right) \\cong \\mathbb{Z}_{4} \\] 이다(문제 3.5.5).", "</p><p>(풀이3) [제1동형정리 이용] 함수 \\( (\\operatorname{ker}(f)=\\langle(0,1)\\rangle \\) 이 되도록 정의함) \\[ f: \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6} \\longrightarrow \\mathbb{Z}_{4}, \\quad f(a, b)=a \\] 라 정의하면 \\( f \\) 는 전사함수이다.", "준동형임은 쉽게 증명할 수 있다.", "다음에 \\[ \\operatorname{ker}(f)=\\{(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5)\\}=\\langle(0,1)\\rangle \\] 이다.", "그러므로 제1동형정리에 의해 \\( \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6} /\\langle(0,1)\\rangle \\cong \\mathbb{Z}_{4} \\) 이다.", "</p><p>(풀이4) [격자점 이용] 그림으로 \\( \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6} /\\langle(0,1)\\rangle \\) 의 대수적 구조를 살펴보자. \\", "( H=\\langle(0,1)\\rangle=\\{(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5)\\} \\) 은 \\( y(x=0) \\) 축 상의 동그란 점(ㅇ)으로 나타나고, \\( H \\) 전체를 \\( x \\) 축으로 1 만큼씩 화살표 방향으로 이동(덧셈 연산)하면, 제자리를 포함하여 4번만에 모든 점 \\( (\\bullet) \\) 을 겹치게 할 수 있다.", "이는 위수가 4인 순환잉여군을 의미하며, 위수 4인 순환군과 동형임을 의미한다.", "따라서 \\( \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6} /\\langle(0,1)\\rangle \\cong \\mathbb{Z}_{4} \\) 이다.", "</p> <h3>연 습 문 제 (3.4)</h3><ol type= start=1><li>다음과 같은 위수가 가지는 가환군을 분류하여라.", "<ol type= start=1><li>36</li><li>72</li><li>100</li><li>250</li></ol></li><li>위수가 36인 가환군 \\( G \\) 를 분류하고 각 가환군에 대하여 다음을 구하라.", "<ol type= start=1><li>각 \\( G \\) 에서 위수 4인 부분군의 개수를 구하라.", "</li><li>각 \\( G \\) 에서 위수 6인 부분군의 개수를 구하라.", "</li><li>각 \\( G \\) 에서 위수 9인 부분군의 개수를 구하라.", "</li></ol></li><li>다음 유한가환군의 원소 \\( x \\) 의 위수를 구하여라.", "<ol type= start=1><li>\\( x=(4,9) \\in \\mathbb{Z}_{18} \\times \\mathbb{Z}_{18} \\)</li><li>\\( x=(8,6,4) \\in \\mathbb{Z}_{18} \\times \\mathbb{Z}_{9} \\times \\mathbb{Z}_{8} \\)</li><li>\\( x=(8,6,4) \\in \\mathbb{Z}_{9} \\times \\mathbb{Z}_{17} \\times \\mathbb{Z}_{10} \\)</li></ol></li><li>다음 유한가환군에 대하여 물음에 답하라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\mathbb{Z}_{24} \\) 에서 위수 6인 원소를 모두 구하라.", "</li><li>\\( \\mathbb{Z}_{15} \\times \\mathbb{Z}_{18} \\times \\mathbb{Z}_{19} \\) 에서 위수 18인 원소의 개수를 구하라.", "</li><li>\\( \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{4} \\) 에서 위수가 4인 원소와 위수가 4인 모든 부분군을 구하라.", "</li><li>\\( \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}_{4} \\) 에서 위수가 4인 원소와 위수가 4인 모든 부분군을 구하라.", "</li></ol></li><li>다음 유한가환군에 대하여 물음에 답하라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{4} \\) 의 모든 부분군을 구하라.", "</li><li>\\( \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\) 의 모든 부분군을 구하라.", "</li><li>\\( \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{4} \\) 의 부분군 중에서 Klein 4군과 동형인 것을 모두 구하라.", "</li></ol></li><li>다음 가환군이 동형인지 아닌지 판단하라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{12} \\) 와 \\( \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6} \\)</li><li>\\( \\mathbb{Z}_{8} \\times \\mathbb{Z}_{10} \\times \\mathbb{Z}_{24} \\) 와 \\( \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{12} \\times \\mathbb{Z}_{40} \\)</li></ol></li><li>유한가환군 \\( G \\) 가 위수가 각각 \\( m, n \\) 인 부분군을 가진다면 \\( G \\) 는 위수가 \\( m, n \\) 의 최소공배수인 부분군을 가짐을 보여라.", "</li><li>\\( m \\) 과 \\( n \\) 을 서로소인 양의 정수라고 하자.", "만약 위수 \\( m \\) 인 가환군(동형을 무시하고)이 \\( r \\) 개, 위수 \\( n \\) 인 가환군(동형을 무시하고)이 \\( s \\) 개 존재한다면, 위수 \\( m n \\) 인 가환군(동형을 무시하고)은 \\( r s \\) 개 존재함을 보여라.", "</li> <p>예 3.6.7 잉여군 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6}\\right) /\\langle(2,3)\\rangle \\) 와 동형인 군을 구해보자.", "(풀이1) [위수 이용] \\( \\left|\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6}\\right|=24 \\) 이고, \\[ \\langle(2,3)\\rangle=\\{(0,0),(2,3)\\} \\] 이므로, \\( \\left|\\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6}\\right) /\\langle(2,3)\\rangle\\right|=\\frac{24}{2}=12 \\) 이다.", "</p><p>따라서 가환군 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6}\\right) /\\langle(2,3)\\rangle \\) 은 \\( \\mathbb{Z}_{12}\\left(\\cong \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{3}\\right) \\) 또는 \\( \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{6}\\left(\\cong \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{3}\\right) \\) 중 하나와 동형이다.", "위수가 가장 큰 원소 \\( (1,1)+\\langle(2,3)\\rangle \\) 의 위수는 \\[ |(1,1)+\\langle(2,3)\\rangle|=12 \\] 이므로 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6}\\right) /\\langle(2,3)\\rangle \\cong \\mathbb{Z}_{12} \\) 이다.", "</p><p>(풀이2) [제1동형정리 이용] 함수 ( \\( \\operatorname{ker}(f)=\\langle(2,3)\\rangle \\) 이 되도록 정의함 ) \\[ f: \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6} \\longrightarrow \\mathbb{Z}_{12}, \\quad f(a, b)=3 a-2 b \\] 라 정의하면, \\( \\operatorname{gcd}(2,3)=1 \\) 이므로 \\( 3 \\cdot 1-2 \\cdot 1=1 \\) 이고, 모든 \\( m \\in \\mathbb{Z}_{12} \\) 에 대하여 \\[ f\\left(\\langle m\\rangle_{6},\\langle m\\rangle_{12}\\right)=3 \\cdot m-2 \\cdot m=m(3 \\cdot 1-2 \\cdot 1)=m \\] 이다.", "따라서 \\( f \\) 는 전사 준동형사상이다. \\", "( \\operatorname{ker}(f)=\\langle(2,3)\\rangle \\) 이므로, 제 \\(1 \\)동형정리에 의해 다음이 성립한다. \\", "[ \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6}\\right) /\\langle(2,3)\\rangle \\cong \\mathbb{Z}_{12} \\]</p><p>(풀이3) [격자점 이용] 그림으로 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6}\\right) /\\langle(2,3)\\rangle \\) 의 대수적 구조를 살펴보자.", "</p><p>\\( H=\\langle(2,3)\\rangle=\\{(0,0),(2,3)\\} \\) 은 \\( y \\) 축 상의 동그란 점 (ㅇ)으로 나타나고, \\( y \\) 축으로 1만큼 위로 이동 \\( ((0,1)+H) \\) 을 6번 하면, \\( y(x=0) \\) 축과 \\( x=2 \\) 축 위의 (검은)점 \\( (\\bullet) \\) 이 모두 겹치게 된다.", "</p><p>그리고 \\( x \\) 축으로 1만큼 이동 \\( ((1,0)+H) \\) 한 다음 다시 \\( y \\) 축으로 1만큼 위로 이동 \\( ((1,1)+H) \\) 을 6번 하면, \\( x=1 \\) 축과 \\( x=3 \\) 축 위의 (검은)점 (•)이 모두 겹치게 된다</p><p>즉, \\( x \\) 축과 \\( y \\) 축 방향으로 각각 1만큼씩 12번 이동(덧셈 연산)해야 전체와 겹치게 된다.", "이는 위수가 12인 순환군과 동형임을 의미한다.", "따라서 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6}\\right) /\\langle(2,3)\\rangle \\cong \\mathbb{Z}_{12} \\) 이다.", "</p> <p>예 3.5.9 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{2}\\right) /\\left(\\{0\\} \\times\\left(\\mathbb{Z}_{2}\\right)\\right) \\) 와 동형인 군을 찾아라.", "</p><p>(풀이1) [위수 이용법] 정리 3.3.14에 의하여 \\[ \\left|\\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{2}\\right) /\\left(\\{0\\} \\times\\left(\\mathbb{Z}_{2}\\right)\\right)\\right|=\\frac{\\left|\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{2}\\right|}{\\left|\\{0\\} \\times \\mathbb{Z}_{2}\\right|}=\\frac{8}{2}=4 \\] 이다.", "그러면 유한생성 가환군의 기본정리에 의하여 \\[ \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{2}\\right) /\\left(\\{0\\} \\times\\left(\\mathbb{Z}_{2}\\right)\\right) \\cong \\mathbb{Z}_{4} \\quad \\] 이거나 \\[ \\quad\\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{2}\\right) /\\left(\\{0\\} \\times\\left(\\mathbb{Z}_{2}\\right)\\right) \\cong \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\] 이다.", "</p><p>한편 \\( \\left|(1,1)+\\{0\\} \\times \\mathbb{Z}_{2}\\right|=4 \\) 가 되어 순환군이다.", "따라서 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{2}\\right) /\\left(\\{0\\} \\times\\left(\\mathbb{Z}_{2}\\right)\\right) \\cong \\mathbb{Z}_{4} \\) 이다.", "</p><p>(풀이2) [정리 3.5.6 이용법] 가환군에서 모든 부분군이 정규부분군이므로, 정리 3.5.6과 문제 3.5.5 에 의하여 \\[ \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{2}\\right) /\\left(\\{0\\} \\times\\left(\\mathbb{Z}_{2}\\right)\\right) \\cong\\left(\\mathbb{Z}_{4} /\\{0\\}\\right) \\times\\left(\\mathbb{Z}_{2} / \\mathbb{Z}_{2}\\right) \\cong \\mathbb{Z}_{4} \\times\\{0\\} \\cong \\mathbb{Z}_{4} \\]</p><p>(풀이3) [제1동형정리 이용법] 함수 \\( \\left(\\operatorname{ker}(f)\\right. \\)", "가 \\( \\{0\\} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\) 가 되도록 정의함) \\[ f: \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\longrightarrow \\mathbb{Z}_{4}, \\quad f(a, b)=a \\] 라 정의하자.", "모든 \\( (a, b),\\left(a^{\\prime}, b^{\\prime}\\right) \\in \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\) 에 대하여 \\[ f\\left((a, b)+\\left(a^{\\prime}, b^{\\prime}\\right)\\right)=f\\left(a+a^{\\prime}, b+b^{\\prime}\\right)=a+a^{\\prime}=f(a, b)+f\\left(a^{\\prime}, b^{\\prime}\\right) \\] 이므로, \\( f \\) 는 준동형사상이다.", "정의에 의해 \\( f \\) 는 전사함수이다. \\", "[ \\operatorname{ker}(f)=\\left\\{(a, b) \\in \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\mid 0=f(a, b)=a\\right\\}=\\left\\{(0, b) \\in \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\mid b \\in \\mathbb{Z}_{2}\\right\\}=\\{0\\} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\] 이므로 제 1 동형정리에 의하여 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{2}\\right) /\\left(\\{0\\} \\times \\mathbb{Z}_{2}\\right) \\cong \\mathbb{Z}_{4} \\) 이다.", "</p> </p>예 3.1.15 정리 3.1.14를 이용하여 3차 대칭군 \\( S_{3} \\) 와 부분군 \\( A=\\{(1),(12)\\} \\) 의 집합곱 \\( S_{3} A \\) 의 원소수를 구하자. \\", "( S_{3} \\cap A=\\{(1),(12)\\} \\) 이므로</p><p>\\[ \\left|S_{3} A\\right|=\\frac{\\left|S_{3}\\right||A|}{\\left|S_{3} \\cap A\\right|}=\\frac{6 \\cdot 2}{2}=6 \\] 이다.", "실제로 집합곱 \\( S_{3} A=S_{3} \\) 의 원소수는 \\(6\\)이다.", "</p><p>또한 3차 교대군 \\( A_{3} \\) 와 \\( A \\) 의 집합곱 \\( A_{3} A \\) 의 원소수는 \\( \\left|A_{3}\\right|=3 \\) 이고, \\( \\operatorname{gcd}\\left(\\left|A_{3}\\right|,|A|\\right)=1 \\) 이므로 \\[ \\left|A_{3} A\\right|=\\left|A_{3}\\right||A|=3 \\cdot 2=6=\\left|S_{3}\\right| \\] 이다.", "그러므로 \\( A_{3} A=S_{3} \\) 이다.", "</p><p>이처럼 유한군에서 부분군의 원소의 개수만 알면, Lagrange 정리를 잘 활용하여 군의 많은 성질을 찾아 낼 수 있다.", "</p><p>정리 3.1.16 유한군 \\( G \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "<ol type= start=1><li>\\( \\forall a \\in G,|a||| G| \\quad \\) 즉, \\( a^{|G|}=e \\)</li><li>\\( |a|=|G| \\) 인 원소 \\( a \\in G \\) 가 존재하면, \\( G=\\langle a\\rangle \\) (순환군) 이다.", "</li><li>\\( |G|=p \\) 가 소수이면, \\( \\quad e \\neq a \\in G \\) 에 대하여 \\( |a|=p \\) 이다.", "또한 \\( G \\) 는 순환군 이고 부분군은 \\( G \\) 와 \\( \\{e\\} \\) 뿐이다.", "</li></ol></p><p><p>(증명) (1) \\( \\langle a\\rangle<G \\) 이고 \\( |a|=|\\langle a\\rangle| \\) 이므로, Lagrange 정리(정리 3.1.10)에 의하여 \\[ |a|||G|\\] 이다.", "그러므로 \\( a^{|G|}=e \\) 이다(정리 2.3.3).", "</p><p>\\( \\langle a\\rangle<G \\) 이고, 또한 \\( |a|=|G| \\) 이고 \\( G \\) 가 유한집합이므로, \\( \\langle a\\rangle=G \\) 이다.", "</p><p>\\( e \\neq a \\in G \\) 에 대하여 \\( \\{e\\} \\neq\\langle a\\rangle<G \\) 이고, (1)에 의해 \\[ |a|||G| \\] 이다. \\", "( 1 \\neq|a| \\) 이고 \\( |G|=p \\) 는 소수이므로 \\( |\\langle a\\rangle|=|a|=p=|G| \\) 이다.", "따라서 (\\(2\\))에 의해 \\( \\langle a\\rangle=G \\) 이고, 부분군은 \\( G \\) 와 \\( \\{e\\} \\) 뿐이다.", "</p></p><p>예 \\(3.1.17\\) 소수 \\( p \\) 에 대하여 \\( \\mathbb{Z}_{p} \\) 의 위수는 \\( p \\) 이므로 순환군이다.", "그러므로 가환군이다.", "</p><p>정리\\(3.1.18\\) \\( G \\) 의 부분군 \\( H, K \\) 에 대하여 \\( K<H<G \\) 이고, \\( |G: H| \\) 와 \\( |H: K| \\) 가 유한일 때, 다음이 성립한다. (증명)", "연습문제로 남긴다.", "</p> <p>정리 3.2.15 군 준동형사상 \\( f: G \\longrightarrow G^{\\prime} \\) 에 대하여 다음 동치명제가 성립한다. \\", "[ f \\text { 가 단사함수 } \\Longleftrightarrow \\operatorname{ker}(f)=\\{e\\} \\]</p><p>(증명) \\( (\\Longrightarrow) f \\) 가 단사함수라 하자.", "임의의 \\( a \\in \\operatorname{ker}(f) \\) 라 하면, 정리 \\(3.2.14(1)\\) 에 의하여 \\[ f(a)=e^{\\prime}=f(e) \\] 이다.", "단사함수의 정의에 의하여 \\( a=e \\) 이다.", "따라서 \\( \\operatorname{ker}(f)=\\{e\\} \\) 이다.", "</p><p>\\( (\\Longleftarrow) \\operatorname{ker}(f)=\\{e\\} \\) 라 하자.", "임의의 \\( a, b \\in G \\) 라 하면, 정리 \\(3.2.14(2)\\)에 의하여 \\[ f(a)=f(b) \\quad \\Longrightarrow \\quad f(a) f(b)^{-1}=e \\quad \\Longrightarrow f\\left(a b^{-1}\\right)=e \\] \\[ \\Longrightarrow a b^{-1} \\in \\operatorname{ker}(f)=\\{e\\} \\quad \\Longrightarrow \\quad a b^{-1}=e \\quad \\Longrightarrow \\quad a=b \\] 이다.", "따라서 \\( f \\) 는 단사함수이다.", "</p><p>정리 3.2.15에 의하여 동형사상 증명할 때, 단사함수는 \\( \\operatorname{ker}(f)=\\{e\\} \\) 로 보이는 것이 좀 더 편리하다.", "단, 이런 경우는 준동형사상임을 먼저 보여야 한다.", "</p><p>\\( (G, \\cdot) \\cong\\left(G^{\\prime}, *\\right) \\) 군 동형 증명법 \\(2\\)<ul><li>(Step 1) 함수 \\( f: G \\longrightarrow G^{\\prime} \\) 정의하기</li><li>(Step 2) \\( f \\) 가 준동형사상임을 보이기 \\( (\\forall a, b \\in G, f(a \\cdot b)=f(a) * f(b)) \\)</li><li>(Step 3) \\( \\operatorname{ker}(f)=\\{e\\} \\) 보이기 ( \\( f \\) 가 단사함수임을 보이기)</li><li>(Step 4) \\( f \\) 가 전사함수임을 보이기 \\( \\left(\\forall b \\in G^{\\prime}, \\exists a \\in G, f(a)=b\\right) \\)</li></ul></p><p>예 3.2.16 (법 \\( n \\) 축약 준동형사상) 양의 정수 \\( n \\in \\mathbb{N} \\) 일 때, 덧셈군 \\( (\\mathbb{Z},+) \\) 에서 덧셈군 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{n},+_{n}\\right) \\) 로의 함수 \\( f \\) 를 \\[ f:(\\mathbb{Z},+) \\longrightarrow\\left(\\mathbb{Z}_{n},+_{n}\\right), \\quad f(a)=[a]_{n}(n \\text {으로 나눈 나머지}) \\] 로 정의하였을 때, 준동형사상임을 증명하고 \\( \\operatorname{ker}(f) \\) 를 구하라.", "</p><p>(증명) 정수 \\( a \\) 를 \\( n \\) 으로 나눈 나머지 \\( [a]_{n} \\) 은 나눗셈 알고리즘(정리 1.2.3) 에 의해 유일하게 존재하므로 \\( f \\) 는 잘 정의된다.", "임의의 \\( a, b \\in \\mathbb{Z} \\) 에 대하여(나눗셈 알고리즘) \\[ a=n a^{\\prime}+r_{1}, \\quad b=n b^{\\prime}+r_{2}, \\quad r_{1}+r_{2}=n c+r,\\left(0 \\leq r_{1}, r_{2}, r<n\\right) \\] 이라 하면 \\[ \\begin{aligned} {[a+b]_{n} } &=\\left[n a^{\\prime}+r_{1}+n b^{\\prime}+r_{2}\\right]_{n}=\\left[r_{1}+r_{2}\\right]_{n}=[n c+r]_{n}=r \\\\ {[a]_{n}+{ }_{n}[b]_{n} } &=\\left[n a^{\\prime}+r_{1}\\right]_{n}+{ }_{n}\\left[n b^{\\prime}+r_{2}\\right]_{n}=r_{1}+{ }_{n} r_{2}=\\left[r_{1}+r_{2}\\right]_{n}=[n c+r]_{n}=r \\end{aligned} \\] 이므로, \\( [a+b]_{n}=[a]_{n}+_{n}[b]_{n} \\) 이다.", "따라서 \\[ f(a+b)=[a+b]_{n}=[a]_{n}+_{n}[b]_{n}=f(a)+_{n} f(b) \\] 이므로 \\( f \\) 는 준동형사상이다.", "한편 \\[ \\operatorname{ker}(f)=\\{a \\in \\mathbb{Z} \\mid f(a)=0\\}=\\left\\{a \\in \\mathbb{Z} \\mid[a]_{n}=0\\right\\}=\\{n x \\mid x \\in \\mathbb{Z}\\}=n \\mathbb{Z} \\]</p> <p>정리 3.3.23 군 \\( G \\) 의 중심 Z \\( \\mathrm{Z}(G) \\) 과 부분군 \\( N \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "<ol type= start=1><li>\\( \\mathrm{Z}(G) \\) 는 가환 정규부분군. \\", "( \\mathrm{Z}(G) \\triangleleft G \\)</li><li>\\( N \\subset Z(G) \\quad \\Longrightarrow \\quad N \\triangleleft G \\)</li><li>\\( G \\) 가 가환군 \\( \\Longleftrightarrow \\quad Z(G)=G \\)</li></ol></p><p>(증명) (1) 모든 \\( g \\in G \\) 에 대하여 \\( g e=g=e g \\) 이므로 \\( e \\in Z(G) \\) 이다.", "또한 임의의 \\( x, y \\in Z(G) \\) 와 \\( g \\in G \\) 에 대하여 \\( x g=g x, y g=g y \\) 이므로, \\[ (x y) g=x(y g)=x(g y)=(x g) y=(g x) y=g(x y) \\] 이므로, \\( x y \\in Z(G) \\) 이다.", "그리고 \\( x g=g x \\) 이므로, \\[ (x g)^{-1}=(g x)^{-1} \\quad \\Longrightarrow \\quad g^{-1} x^{-1}=x^{-1} g^{-1} \\quad \\Longrightarrow \\quad x^{-1} \\in Z(G) \\] 이다.", "그리고 \\( x y=y x \\) 임은 분명하므로, \\( Z(G) \\) 는 \\( G \\) 의 가환 부분군이다.", "마지막으로, 임의의 \\( x \\in Z(G) \\) 와 \\( g \\in G \\) 에 대하여 \\[ g x g^{-1}=x\\left(g g^{-1}\\right)=x \\in Z(G) \\] 이므로 \\( Z(G) \\triangleleft G \\) 이다.", "</p><p>(2) 임의의 \\( x \\in N \\subset Z(G) \\) 와 \\( g \\in G \\) 에 대하여 \\[ g x g^{-1}=x\\left(g g^{-1}\\right)=x \\in N \\] 이므로 \\( N \\triangleleft G \\) 이다.", "</p><p>(3) 정의에 의하여 성립한다.", "</p><p>정리 3.3.24 [2013학년도 임용시험 출제] 군 \\( G \\) 의 중심 Z(G)에 대하여 다음이 성립한다. \\", "[ G / Z(G) \\text { 가 순환군이면, } G \\text { 는 가환군이다. } \\]", "</p><p>(증명) 연습문제로 남긴다.", "</p><p>예 3.3.25 비가환군에서의 중심을 구하자.", "<ol type= start=1><li>3차 대칭군 \\( S_{3} \\) 의 중심 \\( Z\\left(S_{3}\\right) \\) 은 예 2.4.18의 연산표를 보면, 항등원을 제외한 원소들의 곱은 가환이 되지 않으므로, \\( Z\\left(S_{3}\\right)=\\{(1)\\} \\) 이다.", "</li><li>\\( Z\\left(S_{3} \\times \\mathbb{Z}_{5}\\right)=\\{(1)\\} \\times \\mathbb{Z}_{5} \\)</li><li>예 2.2.20의 4원수군 \\( Q_{8}=\\{\\pm 1, \\pm i, \\pm j, \\pm k\\} \\) 의 중심 \\( Z\\left(Q_{8}\\right) \\) 을 구하자.", "</li></ol>\\( Q_{8} \\) 의 원소 \\( \\pm i, \\pm j, \\pm k \\) 는 모두 비가환이므로, \\( Z\\left(Q_{8}\\right)=\\{1,-1\\} \\) 이다.", "그러면 정리 \\(3.3.23\\)에 의하여 \\( Z\\left(Q_{8}\\right)=\\{1,-1\\} \\) 은 \\( Q_{8} \\) 의 정규부분군이고, 순환군이다.", "</p><p>위수가 4인 원소는 \\( \\pm i, \\pm j, \\pm k \\) 이므로, 위수가 4인 모든 부분군은 다음과 같다. \\", "[ \\langle i\\rangle=\\{\\pm 1, \\pm i\\}, \\quad\\langle j\\rangle=\\{\\pm 1, \\pm j\\}, \\quad\\langle k\\rangle=\\{\\pm 1, \\pm k\\} \\] 이들은 정리 3.3.2에 의하여 \\( Q_{8} \\) 의 정규부분군이다.", "따라서 \\( Q_{8} \\) 의 모든 부분군은 정규부분군이다.", "하지만 \\( Q_{8} \\) 은 가환군이 아니고, 순환군도 아니다.", "</p><p>위수가 같은 4차 정2면체군 \\( D_{4} \\) (예 2.4.19)와 비교해 보면, 두 군의 차이를 잘 알 수 있다.", "</p> <p>\\( G \\) 위에서 동치관계 \\( \\sim_{L} \\) 일 때, \\( a \\in G \\) 를 포함하는 잉여류 \\( \\overline{a_{L}} \\)를 구해보자. \\", "[ \\overline{a_{L}}=\\left\\{x \\in G \\mid a \\sim_{L} x\\right\\}=\\left\\{x \\in G \\mid a^{-1} x \\in H\\right\\}=\\{x \\in G \\mid x \\in a H\\}=a H \\] 이므로 \\( \\overline{a_{L}}=a H=\\{a h \\mid h \\in H\\} \\)이다.", "이때 \\( a H \\) 를 \\( a \\) 를 포함하는 \\( H \\) 의 좌잉여류(left coset)라 한다.", "같은 방법으로, \\( G \\) 위에서 동치관계 \\( \\sim_{R} \\) 일 때, \\( a \\in G \\) 를 포함하는 잉여류 \\( \\overline{a_{R}} \\) 를 구해보면, \\[ \\overline{a_{R}}=\\left\\{x \\in G \\mid a \\sim_{R} x\\right\\}=\\left\\{x \\in G \\mid a x^{-1} \\in H\\right\\}=\\left\\{x \\in G \\mid x a^{-1} \\in H\\right\\}=\\{x \\in G \\mid x \\in H a\\}=H a \\] 이므로 \\(\\overline{a_{R}}=H a=\\{h a \\mid h \\in H\\} \\) 이다.", "이때 \\( H_a \\) 를 \\( a \\) 를 포함하는 \\( H \\)의 우잉여류(right coset)라 한다. \\", "( a H=H a \\) 이면, \\( a \\)를 포함하는 \\( H \\)의 잉여류(coset)라 한다.", "</p><p>예 3.1.2 [잉여류] 3차 대칭군 \\( S_{3} \\) 에서 잉여류를 구하자.", "</p><p>(1) \\( a H \\neq H a \\) 인 예. \\", "( S_{3} \\) 의 부분군 \\( H=\\{(1),(12)\\} \\) 일 때, \\((1 3)\\)을 포함하는 \\( H \\)의 좌잉여류 \\((13)H \\)와 우잉여류 \\( H(13) \\) 을 구하자. \\", "[ (13)H = \\{(1 3)(1), (1 3)(1 2)\\} = \\{(13), (123)\\} \\] 이지만 \\[ (13)H = \\{(1)(1 3), (1 2)(1 3)\\} = \\{(13), (132)\\} \\] 이라서 (\\(1 3)H \\neq H(13) \\) 이다.", "</p><p>(2) \\( \\forall a \\in S_{3}, a H=H a \\) 인 예. \\", "( S_{3} \\) 의 \\(3\\) 차 교대군 \\( A_{3}=\\{(1),(123),(132)\\} \\) 일 때, \\( A_{3} \\) 의 좌잉여류와 우잉여류가 같음을 보이자.", "</p><p>\\[ (1)A_3 = A_3 = A_3(1), \\quad (1 2 3)A_3 = A_3 = A_3(1 2 3), \\quad (1 3 2)A_3 = A_3 = A_3(1 3 2) \\]</p><p>\\[ (1 2)A_3 = \\{(1 2)(1), (1 2)(1 2 3), (1 2)(1 3 2)\\} = \\{(1 2),(2 3),(1 3)\\} = A_3(1 2) \\]</p><p>\\[ (1 3)A_3 = \\{(1 3)(1), (1 3)(1 2 3), (1 3)(1 3 2)\\} = \\{(1 3),(1 2),(2 3)\\} = A_3(1 3) \\]</p><p>\\[ (2 3)A_3 = \\{(2 3)(1), (2 3)(1 2 3), (2 3)(1 3 2)\\} = \\{(2 3),(1 3),(1 2)\\} = A_3(2 3) \\]</p><p>또한 \\( S_{3}=A_{3} \\cup(12) A_{3}, \\quad A_{3} \\cap (1 2)A_3 = \\varnothing \\)이다.", "<p> <p>임용시험 출제 3.1.19 [1997학년도] 군 \\( G \\) 의 원소 \\( a, b \\) 가 다음 두 조건을 만족하고 있다. \\", "( a^{3}=e, a b a^{-1}=b^{2}(e \\) 는 \\( G \\) 의 항등원) \\( b \\) 가 항등원이 아닐 때, \\( b \\) 의 위수(order)를 구하라.", "</p><h3>연 습 문 제 (3.1)</h3><ol type= start=1><li>\\( \\mathbb{Z} \\) 의 부분군 \\( 4 \\mathbb{Z} \\) 의 모든 잉여류와 지수를 구하라.", "</li><li>\\( 2 \\mathbb{Z} \\) 의 부분군 \\( 4 \\mathbb{Z} \\) 의 모든 잉여류와 지수를 구하라.", "</li><li>\\( \\mathbb{Z}_{12} \\) 의 부분군 \\( \\langle 2\\rangle \\) 의 모든 잉여류와 지수를 구하라.", "</li><li>군 \\( \\mathbb{Z}_{24} \\) 에서의 \\( \\langle 3\\rangle \\) 의 모든 잉여류와 지수를 구하라.", "</li><li>\\(3\\) 차 대칭군 \\( S_{3} \\) 에서 〈(\\(1 3\\))〉의 모든 잉여류와 지수를 구하라.", "</li><li>군 \\( G \\) 의 위수는 \\( |G|=p q\\)(\\(p\\), \\(q\\) 는 소수) 이다. \\", "( G \\) 의 모든 진부분군은 순환군임을 보여라.", "</li><li>군 \\( G \\) 가 부분군이 \\(2\\) 개뿐이면, \\( G \\) 는 위수가 소수인 유한군임을 보여라.", "</li><li>(정리 3.1.1) 군 \\( G \\) 의 부분군 \\( H<G \\) 에 대하여 \\( G \\) 위에서의 관계 \\( \\sim_{L}\\left(\\sim_{R}\\right) \\) 을\\[a \\sim_{L} b\\left(a \\sim_{R} b\\right) \\Longleftrightarrow a^{-1} b \\in H\\left(a b^{-1} \\in H\\right)\\]라 정의하면, 관계 \\( \\sim_{L} \\) 과 \\( \\sim_{R} \\) 은 \\( G \\) 위에서 동치관계임을 증명하라.", "</li><li>\\( G \\) 의 부분군 \\( H \\) 와 원소 \\( a \\in G \\) 에 대하여, \\( H a \\neq H \\) 이면 \\( H a \\) 는 \\( G \\) 의 부분군이 아님을 증명하라.", "</li><li>(정리 3.1.5) 군 \\( G \\) 의 부분군 \\( H \\) 와 원소 \\( a \\in G \\) 에 대하여 \\( |a H|=|H|=|H a| \\) 임을 증명하라.", "</li><li>(정리 3.1.7) 군 \\( G \\) 의 부분군 \\( H \\) 와 원소 \\( a, b \\in G \\) 에 대하여 다음을 증명하여라.", "<ol type= start=1><li>\\( a H=b H \\Longleftrightarrow a^{-1} b \\in H \\Longleftrightarrow b^{-1} a \\in H \\)</li><li>\\( a H=b H \\Longleftrightarrow b \\in a H \\Longleftrightarrow \\exists h \\in H, b=a h \\)</li><li>\\( a H=b H \\Longleftrightarrow a \\in b H \\Longleftrightarrow \\exists h \\in H, a=b h \\)</li><li>\\( a H=H \\Longleftrightarrow a \\in H \\)</li></ol></li><li>치환군 \\( G=S_{3} \\) 의 부분군 \\( H=\\langle(12)\\rangle, K=\\langle(123)\\rangle \\) 에 대하여 다음 물음에 답하라.", "<ol type= start=1><li>\\( H a \\cap a H=\\{a\\} \\) 인 \\( a \\in G \\) 를 구하라.", "</li><li>\\( \\{g \\in G \\mid g H=H g\\}=H \\) 임을 보여라.", "</li><li>모든 \\( x \\in G \\) 에 대해서 \\( x K=K x \\) 임을 보여라.", "</li></ol><li>군 \\( G \\) 의 부분군 \\( H \\) 가 모든 \\( g \\in G \\) 와 모든 \\( h \\in H \\) 에 대하여 \\( g^{-1} h g \\in H \\) 를 만족한다고 하자.", "이때 모든 \\( a \\in G \\) 에 대하여 \\( a H=H a \\) 임을 보여라.", "</li><li>\\( H \\) 가 유한군 \\( G \\) 의 지수 \\(2\\) 인 부분군이라 하면, 모든 \\( a \\in G \\) 에 대하여 \\( a H=H a \\) 임을 보여라.", "</li><li>(정리 3.1.18) \\( G \\) 의 부분군 \\( H, K \\) 에 대하여 \\( K<H<G \\) 이고, \\( |G: H| \\) 와 \\( |H: K| \\) 가 유한일 때, \\( |G: K| \\) 도 유한이며, \\( |G: K|=|G: H||H: K| \\) 임을 증명하라.", "[참조: \\( \\left\\{a_{i} H \\mid i=1, \\cdots, r\\right\\} \\) 를 \\( G \\) 에서 \\( H \\) 의 서로 다른 좌잉여류의 집합이라 하고 \\( \\left\\{b_{j} K \\mid j=\\right. \\) \\", "( 1, \\cdots, s\\} \\) 를 \\( H \\) 에서 \\( K \\) 의 서로 다른 좌잉여류의 집합이라 하면 \\[ \\left\\{\\left(a_{i} b_{j}\\right) K \\mid i=1, \\cdots, r, j=1, \\cdots, s\\right\\} \\] 가 \\( G \\) 에서 \\( K \\) 의 서로 다른 좌잉여류의 집합임을 보여라.]", "</p></li><li>군 \\( G \\) 의 항등원이 아닌 원소 \\( a, b \\in G \\) 에 대하여 다음을 구하여라.", "<ol type= start=1><li>\\( |a|=6, a=b^{4} \\) 일 때, \\( |b| \\) 를 구하라.", "</li><li>\\( |a|=5, a b a^{-1}=b^{2} \\) 일 때, \\( |b| \\) 를 구하라.", "</li><li>\\( |a|=2, a b=b^{2} a \\) 일 때, \\( |b| \\) 를 구하라.", "</li><li>\\( |a|=n \\) 이고 \\( n \\) 은 홀수이면, \\( \\left|a^{2}\\right|=n \\) 임을 보여라.", "</li><li>\\( a^{p}=e, p \\) 는 소수이면, \\( |a|=p \\) 임을 보여라.", "</li></ol></li><li>\\( H, K \\) 는 \\( G \\) 의 부분군이고 \\( |H|=12,|K|=5 \\) 이다. \\", "( H \\cap K=\\{e\\} \\) 임을 보여라.", "</li><li>군 \\( G \\) 는 \\( |G|=8 \\) 이고 순환군이 아니다.", "이때 모든 \\( g \\in G \\) 에 대해서 \\( g^{4}=e \\) 임을 보여라.", "</li><li>유한군 \\( G \\) 의 부분군 \\( H, K \\) 에 대하여 다음을 증명하라.", "단, \\( p, q \\) 는 서로 다른 소수이다.", "<ol type= start=1><li>\\( |H|=p \\) 이면, \\( H \\cap K=\\{e\\} \\) 또는 \\( H \\subseteq K \\) 이다.", "</li><li>\\( |H|=|K|=p \\) 이면, \\( H=K \\) 또는 \\( |H \\cup K|=2 p-1 \\) 이다.", "</li><li>\\( |H|=p,|K|=q \\) 이면, \\( H \\cap K=\\{e\\} \\) 이고 \\( |H \\cup K|=p+q-1 \\) 이다.", "</li><li>\\( |G|=|H||K| \\) 일 때, \\( |H| \\) 와 \\( |K| \\) 가 서로소이면 \\( H \\cap K=\\{e\\} \\) 이고 \\( G=H K \\) 이다.", "</li></ol></li><li>Lagrange 정리를 이용하여 다음이 성립함을 밝혀라.", "단, \\( p \\) 는 소수이다.", "<ol type= start=1><li>(Fermat 정리) 곱셈군 \\( \\mathbb{Z}_{p}^{*}=\\{1, \\cdots, p-1\\} \\) 의 모든 원소 \\( a \\in \\mathbb{Z}_{p}^{*} \\) 에 대하여 \\( a^{p-1}=1, a^{p}=a \\) 이다.", "</li><li>(Euler 정리) \\( n \\geq 2 \\) 일 때, 곱셈군 \\( \\mathbb{Z}_{n}^{*}=\\left\\{a \\in \\mathbb{Z}_{n} \\mid \\operatorname{gcd}(a, n)=1\\right\\} \\) 의 모든 원소 \\( a \\in \\mathbb{Z}_{p}^{*} \\) 에 대하여 \\( a^{\\varphi(n)}=1 \\) 이다.", "</li></ol></li></ol> <p>\\( (G, \\cdot) \\cong\\left(G^{\\prime}, *\\right) \\) 군 동형 증명법 \\(1\\)</p><ul><li>(Step \\(1\\)) 함수 \\( f: G \\longrightarrow G^{\\prime} \\) 정의하기</li><li>(Step \\(2\\)) \\( f \\) 가 단사함수임을 보이기 \\( (\\forall a, b \\in G, f(a)=f(b) \\Rightarrow a=b) \\)</li><li>(Step \\(3\\)) \\( f \\) 가 전사함수임을 보이기 \\( \\left(\\forall b \\in G^{\\prime}, \\exists a \\in G, f(a)=b\\right) \\)</li><li>(Step \\(4\\)) \\( f \\) 가 준동형사상임을 보이기 \\( (\\forall a, b \\in G, f(a \\cdot b)=f(a) * f(b)) \\)</li></ul><p>예 3.2.8 곱셈군 \\( \\mathscr{U}=\\{z \\in \\mathbb{C}|| z \\mid=1\\}=\\left\\{e^{i \\theta} \\in \\mathbb{C}|| e^{i \\theta} \\mid=1,0 \\leq \\theta<2 \\pi\\right\\} \\) 와 덧셈군 \\( \\left(\\mathbb{R}_{2 \\pi},+_{2 \\pi}\\right) \\) 가 동형임을 보이자[참조: 예 \\(2.1.5\\)].", "즉, \\( (\\mathscr{U}, \\cdot) \\simeq\\left(\\mathbb{R}_{2 \\pi},+2 \\pi\\right) \\) 임을 보이자.", "</p><p>(증명) 곱셈군 \\( (\\mathscr{U}, \\cdot) \\) 에서 덧셈군 \\( \\left(\\mathbb{R}_{2 \\pi},+2 \\pi\\right) \\) 로의 함수 \\( f \\) 를 \\[ f:(\\mathscr{U}, \\cdot) \\longrightarrow\\left(\\mathbb{R}_{2 \\pi},+_{2 \\pi}\\right), \\quad f\\left(e^{i \\theta}\\right)=\\theta \\] 라 정의하면 잘 정의된다. \\", "( \\mathscr{U} \\) 의 원소 \\( e^{i \\theta}, e^{i \\theta^{\\prime}} \\) 에 대하여 \\[ f\\left(e^{i \\theta}\\right)=f\\left(e^{i \\theta^{\\prime}}\\right) \\quad \\Longrightarrow \\quad \\theta=\\theta^{\\prime} \\quad \\Longrightarrow \\quad e^{i \\theta}=e^{i \\theta^{\\prime}} \\] 이므로, \\( f \\) 는 단사함수이다.", "정의에 의하여 \\( f \\) 는 전사함수이다.", "다음에 임의의 \\( e^{i \\theta}, e^{i \\theta^{\\prime}} \\in \\mathscr{U} \\) 에 대하여, \\[ f\\left(e^{i \\theta} e^{i \\theta^{\\prime}}\\right)=f\\left(e^{i\\left(\\theta+\\theta^{\\prime}\\right)}\\right)=f\\left(e^{i\\left(\\theta+2 \\pi \\theta^{\\prime}\\right)}\\right)=\\theta+2 \\pi \\theta^{\\prime}=f\\left(e^{i \\theta}\\right)+f\\left(e^{i \\theta^{\\prime}}\\right) \\] 이므로, \\( f \\) 는 준동형사상이다.", "따라서 \\( f \\) 는 동형사상이다.", "즉, \\( (\\mathscr{U}, \\cdot) \\simeq\\left(\\mathbb{R}_{2 \\pi},+2 \\pi\\right) \\) 이다.", "</p><p>예 3.2.10 [위수 4인 군] 위수 4인 군 \\( G \\)는 동형을 제외하면 다음 2가지가 존재한다.", "그러므로 \\( G \\) 는 가환군이다. \\", "[ G \\cong \\mathbb{Z}_{4} \\quad G \\cong V=\\{e, x, y, o\\} \\] Lagrange 정리에 의하여 \\( G \\) 의 원소의 위수는 1,2또는 4이다.", "위수 4인 원소 \\( a \\in G \\) 가 존재하면, \\( G \\)는 순환군이 되어 \\[ G \\cong\\langle a\\rangle \\cong \\mathbb{Z}_{4} \\] 이다.", "위수 4인 원소가 존재하지 않으면 항등원 \\( e^{\\prime} \\) 를 제외한 모든 원소의 위수는 2이다.", "</p><p>한편 항등원 \\( e^{\\prime} \\) 이 아닌 서로 다른 원소 \\( a, b \\in G-\\left\\{e^{\\prime}\\right\\} \\) 의 곱 \\( a b \\) 는 소거법칙을 적용하면 \\( a b \\neq \\) \\( e^{\\prime}, a b \\neq a, a b \\neq b \\) 임을 알 수 있다.", "같은 방법으로 \\( b a \\neq e^{\\prime}, b a \\neq a, b a \\neq b \\) 이다.", "따라서 \\( c=a b= \\) \\( b a \\) 라 하면 \\( G=\\left\\{e^{\\prime}, a, b, c\\right\\} \\) 이다.", "Klein 4원군 \\( V \\) 와 \\( G \\) 의 연산표는 다음과 같다.", "</p><p>그러므로 함수 \\( f: V \\longrightarrow G \\) 를 \\[ f(e)=e^{\\prime}, \\quad f(x)=a, \\quad f(y)=b, \\quad f(o)=c \\] 라 정의하면, \\( f \\) 는 동형사상이고 따라서 \\( G \\cong V \\) 이다.", "</p><p>※ 군 \\( G \\)의 위수가 3이하인 경우는 예 2.1.15에 의하여 순환군(가환군)이고, 위수 4인 경우는 예 3.2.10에 의하여 가환군이고, 위수 5인 경우는 정리 3.1.16(2)에 의하여 순환군(가환군)이 된다.", "</p><p>따라서 위수 5이하의 군은 항상 가환군이 된다.", "이들 중에서 순환군이 아닌 경우는 Klein 4원군 \\( V \\) 뿐이다.", "그리고 위수 6인 대칭군 \\( S_{3} \\) 는 비가환군이다.", "</p> <p>예 3.6.6 잉여군 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6}\\right) /\\langle(0,2)\\rangle \\) 와 동형인 군을 구해보자.", "</p><p>(풀이1) [위수 이용] \\( \\left|\\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6}\\right) /\\langle(0,2)\\rangle\\right|=\\frac{24}{3}=8 \\) 이고 \\[ \\langle(0,2)\\rangle=\\{(0,0),(0,2),(0,4)\\} \\] 이므로, \\( \\left|\\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6}\\right) /\\langle(0,2)\\rangle\\right|=\\frac{24}{3}=8 \\) 이다.", "유한생성 가환군의 기본정리에 의하여 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times\\right. \\) \\", "( \\left.\\", "mathbb{Z}_{6}\\right) /\\langle(0,2)\\rangle \\) 은 \\[ \\mathbb{Z}_{8}, \\quad \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{2}, \\quad \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\] 중의 하나와 동형이다.", "위수가 가장 큰 원소 \\( (1,1)+\\langle(0,2)\\rangle \\) 의 위수는 \\[ |(1,1)+\\langle(0,2)\\rangle|=4 \\] 이므로, 순환군이 아니다.", "또 위수 4인 원소가 존재하므로 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6}\\right) /\\langle(0,2)\\rangle \\) 은 \\( \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\) 와 동형이 되어야 한다.", "즉, \\( \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6}\\right) /\\langle(0,2)\\rangle \\cong \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\) 이다.", "</p><p>(풀이2) [정리 3.5.6 이용] \\( \\langle(0,2)\\rangle=\\{(0,0),(0,2),(0,4)\\}=\\{0\\} \\times 2 \\mathbb{Z}_{6} \\) 이므로, \\[ \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6}\\right) /\\langle(0,2)\\rangle=\\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6}\\right) /\\left(\\{0\\} \\times 2 \\mathbb{Z}_{6}\\right) \\cong\\left(\\mathbb{Z}_{4} /\\{0\\}\\right) \\times\\left(\\mathbb{Z}_{6} / 2 \\mathbb{Z}_{6}\\right) \\cong \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\] 이다(문제 3.5.5).", "</p><p>(풀이3) [제1동형정리 이용] 함수 \\( (\\operatorname{ker}(f)=\\langle(0,2)\\rangle \\) 가 되도록 정의함) \\[ f: \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6} \\longrightarrow \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{2}, \\quad f(a, b)=\\left(a,[b]_{2}\\right) \\] 라 정의하면, \\( f \\) 는 전사 준동형사상이고, \\( \\operatorname{ker}(f)=\\langle(0,2)\\rangle \\) 이므로, 제 1동형정리에 의하여 다음이 성립한다. \\", "[ \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6}\\right) /\\langle(0,2)\\rangle \\cong \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\]</p><p>(풀이4) [격자점 이용] 그림으로 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6}\\right) /\\langle(0,2)\\rangle \\) 의 대수적 구조를 살펴보자.", "</p><p>\\( H=\\langle(0,2)\\rangle=\\{(0,0),(0,2),(0,4)\\} \\) 은 \\( y \\) 축 상의 동그란 점 \\( (\\circ) \\) 으로 나타나고, \\( y(x=0) \\) 축으로 \\(1\\) 만큼 위로 올라가면 \\( ((0,1)+H), y \\) 축 위의 (검은)점 \\( (\\bullet) \\) 이 모두 겹치게 된다.", "이것은 \\( \\mathbb{Z}_{2} \\) 와 동형임을 의미한다.", "</p><p>그런 다음, 이들 전체를 \\( x \\) 축으로 1 만큼씩 화살표 방향으로 이동(덧셈 연산)하면, 제자리를 포함하여 4번만에 모든 점을 겹치게 할 수 있다.", "이는 위수가 4인 순환군과 동형임을 의미한다.", "따라서 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{6}\\right) /\\langle(0,2)\\rangle \\cong \\mathbb{Z}_{4} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\) 이다.", "</p> <p>정리 3.5.3 군 \\( G \\) 일 때, \\[ \\begin{array}{l} \\operatorname{Aut}(G)=\\{\\sigma \\mid \\sigma: G \\longrightarrow G \\text { 는 자기동형사상 }\\} \\\\ \\operatorname{Inn}(G)=\\left\\{\\alpha_{g} \\mid \\alpha_{g}: G \\longrightarrow G \\text { 는 켤레 동형사상 }, g \\in G\\right\\} \\end{array} \\] 위의 합성 \\(\\circ\\) 연산이 주어질 때, 다음이 성립한다.", "<ol type= start=1><li>\\( \\operatorname{Inn}(G), \\operatorname{Aut}(G) \\) 는 군이고, \\( \\operatorname{Inn}(G) \\triangleleft \\operatorname{Aut}(G) \\)</li><li>\\( \\operatorname{Inn}(G) \\cong G / Z(G) \\)</li></ol><ul><li>군 \\( \\operatorname{Aut}(G) \\) 를 자기동형군(automorphism group)이라 한다.", "</li><li>군 \\( \\operatorname{Inn}(G) \\) 를 내부자기동형군(inner automorphism group)이라 한다.", "</li></ul></p><p>(증명) (1) 따름정리 3.2.20에 의하여 \\( \\operatorname{Aut}(G) \\) 는 군이다.", "임의의 \\( \\alpha_{g}, \\alpha_{h} \\in \\operatorname{Inn}(G), x \\in G \\) 에 대하여, \\[ \\begin{aligned} \\left(\\alpha_{g} \\circ \\alpha_{h}\\right)(x) &=\\alpha_{g}\\left(\\alpha_{h}(x)\\right)=\\alpha_{g}\\left(h x h^{-1}\\right)=g\\left(h x h^{-1}\\right) g^{-1} \\\\ &=(g h) x\\left(h^{-1} g^{-1}\\right)=(g h) x(g h)^{-1}=\\alpha_{g h}(x) \\end{aligned} \\] 이므로 \\( \\alpha_{g} \\circ \\alpha_{h}=\\alpha_{g h} \\in \\operatorname{Inn}(G) \\) 이므로 연산이 닫혀있고, 항등원 \\( \\alpha_{e} \\), 역원 \\( \\left(\\alpha_{g}\\right)^{-1}=\\alpha_{g^{-1}} \\) 이 존재한다.", "또한 1.4 .8에 의하여 결합법칙이 성립하므로, \\( \\operatorname{Inn}(G) \\) 는 군이다.", "</p><p>켤레 동형사상은 자기동형사상이므로, \\( \\operatorname{Inn}(G)<\\operatorname{Aut}(G) \\) 이다.", "</p><p>그리고 모든 \\( \\sigma \\in \\operatorname{Aut}(G), \\alpha_{g} \\in \\operatorname{Inn}(G) \\) 와 임의의 \\( x \\in G \\) 에 대하여 \\[ \\begin{aligned} \\left(\\sigma \\circ \\alpha_{g} \\circ \\sigma^{-1}\\right)(x) &=\\sigma\\left(\\alpha_{g}\\left(\\sigma^{-1}(x)\\right)\\right)=\\sigma\\left(g \\sigma^{-1}(x) g^{-1}\\right) \\\\ &=\\sigma(g) \\sigma\\left(\\sigma^{-1}(x)\\right) \\sigma\\left(g^{-1}\\right)=\\sigma(g) x \\sigma\\left(g^{-1}\\right) \\\\ &=\\sigma(g) x \\sigma(g)^{-1}=\\sigma_{\\sigma(g)}(x) \\end{aligned} \\] 이다.", "따라서 \\( \\sigma \\circ \\alpha_{g} \\circ \\sigma^{-1}=\\sigma_{\\sigma(g)} \\in \\operatorname{Inn}(G) \\) 가 되어 \\( \\operatorname{Inn}(G) \\triangleleft \\operatorname{Aut}(G) \\) 이다.", "</p><p>(2) \\( G \\) 에서 \\( \\operatorname{Inn}(G) \\) 로의 함수 \\[ \\phi: G \\longrightarrow \\operatorname{Inn}(G), \\quad \\phi(g)=\\alpha_{g} \\] 라 정의하자.", "임의의 \\( g, h \\in G \\) 에 대하여 \\[ \\phi(g h)=\\alpha_{g h}=\\alpha_{g} \\circ \\alpha_{h}=\\phi(g) \\phi(h) \\] 이므로, \\( \\phi \\) 는 준동형사상이다.", "정의에 의해 전사함수이다.", "즉, \\( \\operatorname{Im}(\\phi)=\\operatorname{Inn}(G) \\) 이다.", "한편 \\[ \\begin{aligned} g \\in \\operatorname{ker}(\\phi) & \\Longleftrightarrow \\alpha_{e}=\\phi(g)=\\alpha_{g} \\\\ & \\Longleftrightarrow \\forall x \\in G, \\alpha_{e}(x)=\\alpha_{g}(x) \\\\ & \\Longleftrightarrow \\forall x \\in G, x=g x g^{-1} \\\\ & \\Longleftrightarrow g \\in Z(G) \\end{aligned} \\] 이므로 \\( \\operatorname{ker}(\\phi)=Z(G) \\) 이다.", "제1동형정리에 의하여 \\( \\operatorname{Inn}(G) \\cong G / Z(G) \\) 이다.", "</p><p>예 3.5.4 \\( n \\geq 3 \\) 일 때, 대칭군 \\( S_{n} \\) 의 중심 \\( Z\\left(S_{3}\\right)=\\{(1)\\} \\) (예 \\(3.3.25\\))이므로, 정리 3.5.3(2)에 의하여 \\( \\operatorname{Inn}\\left(S_{3}\\right) \\cong S_{3} /\\{(1)\\} \\cong S_{3} \\) 이다.", "</p><p>문제 3.5.5 임의의 군 \\( G \\) 에 대하여, 다음이 성립함을 보여라. \\", "[ G /\\{e\\} \\cong G, \\quad G / G \\cong\\{e\\}, \\quad G \\times\\{e\\} \\cong G \\]</p> <h3>연 습 문 제 (3.5)</h3><ol type= start=1><li>\\( f: \\mathbb{Z}_{12} \\longrightarrow \\mathbb{Z}_{3} \\) 을 \\( f(1)=2 \\) 인 준동형사상이라 하자.", "<ol type= start=1><li>\\( f \\) 의 핵 \\( K \\) 를 구하라.", "</li><li>\\( \\mathbb{Z}_{12} / K \\) 에서 잉여류를 원소나열법으로 구하여라.", "</li><li>\\( \\mathbb{Z}_{12} / K \\) 와 \\( \\mathbb{Z}_{3} \\) 을 각각 계산하여 제 \\(1\\) 동형정리가 성립함을 보여라.", "</li></ol></li><li>덧셈군 \\( \\mathbb{Z}_{24} \\) 의 부분군 \\( H=\\langle 4\\rangle \\) 와 \\( N=\\langle 6\\rangle \\) 에 대하여 다음 물음에 답하라.", "<ol type= start=1><li>\\( H N \\) (덧셈군에서는 \\( H+N \\) 으로도 쓴다)와 \\( H \\cap N \\) 을 원소나열법으로 나타내어라.", "</li><li>\\( H N / N \\) 에서 잉여류를 원소나열법으로 나타내어라.", "</li><li>\\( H /(H \\cap N) \\) 에서 잉여류를 원소나열법으로 나타내어라.", "</li><li>\\( H N / N \\) 과 \\( H /(H \\cap N) \\) 을 각각 계산하여 제 \\(2\\) 동형정리가 성립함을 보여라.", "</li></ol></li><li>덧셈군 \\( G=\\mathbb{Z}_{24} \\) 의 부분군 \\( H=\\langle 4\\rangle \\) 와 \\( N=\\langle 8\\rangle \\) 에 대하여 다음 물음에 답하라.", "<ol type= start=1><li>\\( G / H \\) 에서 잉여류를 원소나열법으로 구하라.", "</li><li>\\( G / N \\) 에서 잉여류를 원소나열법으로 구하라.", "</li><li>\\( H / N \\) 에서 잉여류를 원소나열법으로 구하라.", "</li><li>\\( (G / N) /(H / N) \\) 에서 잉여류를 원소나열법으로 구하라.", "</li><li>\\( G / H \\) 와 \\( (G / N) /(H / N) \\) 을 각각 계산하여 제\\(3\\)동형정리가 성립함을 보여라.", "</li></ol></li><li>곱셈군 \\( \\mathscr{U}=\\{z \\in \\mathbb{C}|| z \\mid=1\\} \\) 과 양의 정수 \\( n \\) 에 대하여 \\[ f: \\mathscr{U} \\longrightarrow \\mathscr{U}, \\quad f(z)=z^{n} \\] 는 준동형사상임을 밝히고, 또 \\( \\mathscr{U} / \\mathscr{U}_{n} \\cong \\mathscr{U} \\) 임을 밝혀라.", "</li><li>군 준동형사상 \\( f: G \\rightarrow G^{\\prime} \\) 에 대하여 \\( K=\\operatorname{ker}(f) \\) 이라고 할 때, 군 \\( G \\) 의 부분군 \\( H \\) 에 대하여 \\( (H \\cap K) \\triangleleft H, H /(H \\cap K) \\cong f(H) \\) 임을 밝혀라.", "</li><li>덧셈군 \\( \\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z} \\) 의 부분군 \\( N=\\langle(3,6)\\rangle=\\{k(3,6) \\mid k \\in \\mathbb{Z}\\} \\) 에 대하여 \\( (\\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}) / N \\cong \\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}_{3} \\) 임을 밝혀라.", "</li><li>덧셈군 \\( \\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z} \\) 의 부분군 \\( N=\\langle(a, b)\\rangle=\\{k(a, b) \\mid k \\in \\mathbb{Z}\\} \\) 에 대하여 \\( a, b \\) 가 서로소인 정수일 때, \\( (\\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}) / N \\cong \\mathbb{Z} \\) 임을 밝혀라.", "</li></ol> <p>정리 3.5.6군 \\( G_{1}, \\cdots, G_{n} \\) 의 각 정규부분군 \\( N_{1} \\triangleleft G_{1}, \\cdots, N_{n} \\triangleleft G_{n} \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "<ol type= start=1><li>\\( \\left(N_{1} \\times \\cdots \\times N_{n}\\right) \\triangleleft\\left(G_{1} \\times \\cdots \\times G_{n}\\right) \\)</li><li>\\( \\left(G_{1} \\times \\cdots \\times G_{n}\\right) /\\left(N_{1} \\times \\cdots \\times N_{n}\\right) \\cong\\left(G_{1} / N_{1}\\right) \\times \\cdots \\times\\left(G_{n} / N_{n}\\right) \\)</li></ol></p><p>(증명) (1) 임의의 \\( \\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right) \\in G_{1} \\times \\cdots \\times G_{n},\\left(b_{1}, \\cdots, b_{n}\\right) \\in N_{1} \\times \\cdots \\times N_{n} \\) 에 대하여 \\[ \\begin{aligned} \\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right)\\left(b_{1}, \\cdots, b_{n}\\right)\\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right)^{-1} &=\\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right)\\left(b_{1}, \\cdots, b_{n}\\right)\\left(a_{1}^{-1}, \\cdots, a_{n}^{-1}\\right) \\\\ &=\\left(a_{1} b_{1} a_{1}^{-1}, \\cdots, a_{n} b_{n} a_{n}^{-1}\\right) \\in N_{1} \\times \\cdots \\times N_{n} \\end{aligned} \\] 이므로, \\( \\left(N_{1} \\times \\cdots \\times N_{n}\\right) \\triangleleft\\left(G_{1} \\times \\cdots \\times G_{n}\\right) \\) 이다.", "</p><p>(2) 함수 \\( f: G_{1} \\times \\cdots \\times G_{n} \\longrightarrow\\left(G_{1} / N_{1}\\right) \\times \\cdots \\times\\left(G_{n} / N_{n}\\right), \\quad f\\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right)=\\left(a_{1} N_{1}, \\cdots, a_{n} N_{n}\\right) \\) 라 정의하자.", "임의의 \\( \\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right),\\left(b_{1}, \\cdots, b_{n}\\right) \\in G_{1} \\times \\cdots \\times G_{n} \\) 에 대하여 \\[ \\begin{aligned} f\\left(\\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right)\\left(b_{1}, \\cdots, b_{n}\\right)\\right)=& f\\left(a_{1} b_{1}, \\cdots, a_{n} b_{n}\\right)=\\left(a_{1} b_{1} N_{1}, \\cdots, a_{n} b_{n} N_{n}\\right) \\\\ =&\\left(\\left(a_{1} N_{1}\\right)\\left(b_{1} N_{1}\\right), \\cdots,\\left(a_{n} N_{n}\\right)\\left(b_{n} N_{n}\\right)\\right) \\\\ =&\\left(a_{1} N_{1}, \\cdots, a_{n} N_{n}\\right)\\left(b_{1} N_{1}, \\cdots, b_{n} N_{n}\\right)=f\\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right) f\\left(b_{1}, \\cdots, b_{n}\\right) \\end{aligned} \\] 이므로 \\( f \\) 는 준동형사상이고, 분명히 전사함수이다.", "다음에 정리 3.1.7에 의하여 \\[ \\begin{aligned} \\operatorname{ker}(f) &=\\left\\{\\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right) \\mid\\left(N_{1}, \\cdots, N_{n}\\right)=f\\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right)=\\left(a_{1} N_{1}, \\cdots, a_{n} N_{n}\\right)\\right\\} \\\\ &=\\left\\{\\left(a_{1}, \\cdots, a_{n}\\right) \\mid a_{1} \\in N_{1}, \\cdots, a_{n} \\in N_{n}\\right\\} \\\\ &=N_{1} \\times \\cdots \\times N_{n} \\end{aligned} \\] 이므로, 제\\(1\\)동형정리에 의해 \\( \\left(G_{1} \\times \\cdots \\times G_{n}\\right) /\\left(N_{1} \\times \\cdots \\times N_{n}\\right) \\cong\\left(G_{1} / N_{1}\\right) \\times \\cdots \\times\\left(G_{n} / N_{n}\\right) \\) 이다.", "</p><p>따름정리 3.5.7 군 \\( H, K \\) 의 직접곱 \\( H \\times K \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "<ol type= start=1><li>\\( (H \\times\\{e\\}) \\triangleleft(H \\times K), \\quad(\\{e\\} \\times K) \\triangleleft(H \\times K) \\)</li><li>\\((H \\times K) /(H \\times\\{e\\}) \\cong K, \\quad(H \\times K) /(\\{e\\} \\times K) \\cong H\\)</li></ol></p><p>(증명) \\( \\{e\\} \\triangleleft H, H \\triangleleft H \\) 이고 \\( \\{e\\} \\triangleleft K, K \\triangleleft K \\) 이므로, 정리 3.5.6(1)에 의하여 \\[ (H \\times\\{e\\}) \\triangleleft(H \\times K), \\quad(\\{e\\} \\times K) \\triangleleft(H \\times K) \\] 이다.", "또한 정리 3.5.6(2)와 문제 3.5.5에 의하여 \\[ (H \\times K) /(H \\times\\{e\\}) \\cong(H / H) \\times(K /\\{e\\}) \\cong\\{e\\} \\times K \\cong K \\] \\[ (H \\times K) /(\\{e\\} \\times K) \\cong(H /\\{e\\}) \\times(K / K) \\cong H \\times\\{e\\} \\cong H \\] 이다.", "</p><p>예 3.5.8 군 \\( G \\) 의 두 정규부분군 \\( H, K \\) 가 동형 \\( H \\cong K \\) 이더라도, 일반적으로 이들의 잉여군은 동형이 아니다.", "즉, \\( G / H \\not G / K \\) 이다.", "</p><p>예를 들어, \\( \\mathbb{Z} \\) 의 두 정규부분군 \\( \\mathbb{Z}, n \\mathbb{Z} \\) 는 동형 \\( \\mathbb{Z} \\cong n \\mathbb{Z} \\) 이지만, 이들의 잉여군은 \\[ \\mathbb{Z} / \\mathbb{Z} \\cong\\{0\\}, \\quad \\mathbb{Z} / n \\mathbb{Z} \\cong \\mathbb{Z}_{n} \\] 이므로, 동형이 아니다.", "즉, \\( \\mathbb{Z} / \\mathbb{Z} \\not \\mathbb{Z} / n \\mathbb{Z} \\) 이다.", "</p> <h2>3.5 군의 동형정리</h2><p>이 절에서는 군의 동형사상과 잉여군에 관련된 정리에 대하여 논한다.", "</p><p>정리 3.5 .1 (제1동형정리, first isomorphism theorem) 군 준동형사상 \\( f: G \\longrightarrow G^{\\prime} \\) 에 대하여 다음이 성립한다. \\", "[ G / \\operatorname{ker}(f) \\cong \\operatorname{Im}(f)=f(G) \\]</p><p>(증명) \\( H=\\operatorname{ker}(f) \\) 라 하자.", "그러면 정리 3.2.23에 의하여, \\( H \\triangleleft G \\) 이다.", "</p><p>\\( H \\) 의 잉여군 \\( G / H \\) 에서 \\( \\operatorname{Im}(f) \\) 로의 함수 \\( \\phi \\) 를 다음과 같이 정의하자. \\", "[ \\phi: G / H \\longrightarrow \\operatorname{Im}(f), \\quad \\phi(a H)=f(a) \\] \\( \\phi \\) 가 잘 정의되었음을 보이자.", "정리 3.1.7(1)에 의하여 \\[ a H=b H \\quad \\Longleftrightarrow \\quad a^{-1} b \\in H=\\operatorname{ker}(f) \\quad \\Longleftrightarrow \\quad f\\left(a^{-1} b\\right)=e^{\\prime} \\] \\[ \\Longleftrightarrow f(a)^{-1} f(b)=e^{\\prime} \\Longleftrightarrow f(a)=f(b) \\] 이므로 \\( \\phi \\) 는 잘 정의되고 단사함수이다.", "다음에 모든 \\( a H, b H \\in G / H \\) 에 대하여 \\[ \\phi((a H)(b H))=\\phi(a b H)=f(a b)=f(a) f(b)=\\phi(a H) \\phi(b H) \\] 이므로, 따라서 \\( \\phi \\) 는 준동형사상이다.", "또한 \\[ \\operatorname{Im}(\\phi)=\\{\\phi(a H) \\mid a \\in G\\}=\\{f(a) \\mid a \\in G\\}=\\operatorname{Im}(f)=f(G) \\] 이므로, \\( \\phi \\) 는 전사함수이다.", "따라서 \\( \\phi \\) 는 동형사상이고, \\( G / \\operatorname{ker}(f) \\cong \\operatorname{Im}(f)=f(G) \\) 이다.", "</p><p>예 3.5.2 양의 정수 \\( n \\in \\mathbb{N} \\) 일 때, 덧셈군 \\( (\\mathbb{Z},+) \\) 에서 덧셈군 \\( \\left(\\mathbb{Z}_{n},+_{n}\\right) \\) 로의 법 \\( n \\) 축약 준동형사상(예 3.2.16) \\[ f:(\\mathbb{Z},+) \\longrightarrow\\left(\\mathbb{Z}_{n},+_{n}\\right), \\quad f(a)=[a]_{n}(n \\text { 으로 나눈 나머지 }) \\] 일 때, \\( \\operatorname{ker}(f)=n \\mathbb{Z} \\) 이다.", "그러면, \\( f \\) 는 전사함수이므로, 제1동형정리에 의하여 \\[ \\mathbb{Z} / n \\mathbb{Z}=\\mathbb{Z} / \\operatorname{ker}(f) \\cong \\operatorname{Im}(f)=\\mathbb{Z}_{n} \\] 이다.", "즉, \\( \\mathbb{Z} / n \\mathbb{Z} \\cong \\mathbb{Z}_{n} \\) 이다.", "</p> <p>정리 3.3.8 군 \\( G \\) 의 정규부분군 \\( H, K \\) 에 대하여 \\[ G=H K, \\quad H \\cap K=\\{e\\} \\] 이면, 다음이 성립한다. \\", "[ G \\cong H \\times K \\]</p><p>(증명) \\( H \\times K \\) 에서 \\( G \\) 로의 함수 \\( f \\) 를 \\[ f: H \\times K \\longrightarrow G, \\quad f(a, b)=a b \\] 라 정의하자.", "그러면 \\( \\operatorname{Im}(f)=\\{a b \\mid a \\in H, b \\in K\\}=H K=G \\) 이므로, \\( f \\) 는 전사함수이다.", "또, \\( H \\cap K=\\{e\\} \\) 이므로 정리 \\(3.3.7\\)에 의하여, 임의의 \\( a \\in H, b \\in K \\) 에 대하여 \\( a b=b a \\) 이다.", "그러면 임의의 \\( (a, b),\\left(a^{\\prime}, b^{\\prime}\\right) \\in H \\times K \\) 에 대하여 \\[ f\\left((a, b)\\left(a^{\\prime}, b^{\\prime}\\right)\\right)=f\\left(a a^{\\prime}, b b^{\\prime}\\right)=a a^{\\prime} b b^{\\prime}=a b a^{\\prime} b^{\\prime}=f(a, b) f\\left(a^{\\prime}, b^{\\prime}\\right) \\] 가 되어 \\( f \\) 는 준동형사상이다.", "</p><p>다음에 \\( (a, b) \\in \\operatorname{ker}(f) \\) 이면, \\( e=f(a, b)=a b \\) 이므로, \\( a=b^{-1} \\in H \\cap K=\\{e\\} \\) 이다.", "따라서 \\( (a, b)=(e, e) \\) 가 되어 \\( \\operatorname{ker}(f)=\\{(e, e)\\} \\) 이다.", "따라서 \\( f \\) 는 단사함수이다.", "즉, \\( f \\) 는 동형사상이고 \\( G \\cong H \\times K \\) 이다.", "</p><p>정리 3.3.9 군 준동형사상 \\( f: G \\longrightarrow G^{\\prime} \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "<ol type= start=1><li>\\( N \\triangleleft G \\quad \\Longrightarrow \\quad f(N) \\triangleleft f(G) \\)</li><li>\\( N^{\\prime} \\triangleleft f(G) \\quad \\Longrightarrow \\quad f^{-1}\\left(N^{\\prime}\\right) \\triangleleft G \\)</li></ol>※ 일반적으로, \\( N \\triangleleft G \\) 일 때, \\( f(N)<G^{\\prime} \\) 이지만 \\( f(N) \\triangleleft G^{\\prime} \\) 이다.", "[참조: 예 3.3.3]</p><p>(증명) 연습문제로 남긴다.", "</p> <h1>제 \\(3\\) 장 준동형사상과 잉여군</h1><p>추상대수학에서, 준동형 사상(homomorphism)은 두대수적 구조 사이의, 모든 연산 및 관계를 보존하는 함수이다.", "동형 사상(isomorphism)은 전단사인 준동형사상을 말한다.", "</p><p>동형사상은 수학의 여러 영역에서 사용되는 상당히 일반적인 개념이다.", "여기서 iso는 그리스어로서 '같다(equal)'는 의미를 지니고 있으며, morphism은 ‘모양, 형태(to form, to shape)’라는 뜻이다.", "<p><p>그러므로 동형사상이 정의되는 정의역과 공역의 대상물은 동일한 형태 또는 구조를 갖고 있음을 말한다.", "</p><p>'동형사상'이라는 이름은 조르당(프: C. Jordan, 1838-1922)이 군론에 관한 최초의 책인 그의 저서<<Traite des Substitutions (1870)>>에서 처음으로 사용하였는데, 그 당시 조르당은 오늘 날 구별하여 정의하는 준동형사상(homomorphism)과 동형사상(isomorphism)을 모두 지칭하여 'isomorphism' 이라는 용어를 사용하였으나, 그 개념 사이의 차이점은 다소 다르게 설명하였다.", "</p><p>그 후 동형사상과 준동형사상의 개념은 추상대수학 분야에서 점차적으로 중요한 주제로 떠올랐다.", "군 위에서 동형사상이 정의된 후에, 1870 년경에는 체 위에서 동형사상이 정의되었고 그 후 50 여년이 지나서 1920 년경에 환 위에서의 개념으로 확장되었다.", "</p><p>환 위에서의 동형사상의 개념은 20 세기의 가장 영향력 있는 수학자 중 한 명인 뇌터(독: E. Noether, 1882-1935)에 의해 발전되었다.", "동형사상에 관련된 뇌터의 연구는 판데르바르던(네:B.", "van der Waerden, 1903-1996)의 대수학 교재<<Modern Algebra(1931)>>에 의해 널리 알려졌다.", "</p><p>잉여군(quotient group)을 정의하는데 중요한 '정규부분군'의 중요성을 처음으로 인식한 사람은 '군'이라는 이름을 처음으로 사용한 Galois(프: E. Galois, 1811-1832)였다.", "또한 Galois의 이름을 기려서 Galois 체라고도 불리는 유한체를 처음으로 도입하였다.", "그뿐만이 아니라, Ga-lois는 소수의 거듭제곱 \\( p^{n} \\) 에 대한 일반선형군 \\( G L(p, n) \\) 을 정의하고, 이의 차수를 계산하기도 하였다.", "또한 특정한 5차 이상의 방정식의 일반적인 해법을 구했는데, 이는 당시 프랑스의 저명한 수학자였던 라그랑주(프: J. Lagrange, \\(1736-1813\\))도 하지 못한 일이었다.", "</p><h2>3.1 잉여류와 Lagrange 정리</h2><p>이 절에서는 유한군의 위수와 부분군의 위수의 관계에 논한다.", "위수만 가지고 군의 성질을 알 수 있는 중요한 Lagrange 정리에 대해 알아본다.", "</p><p>정리 \\(3.1.1\\) 군 \\( G \\) 의 부분군 \\( H<G \\) 에 대하여 \\( G \\) 위에서의 관계 \\( \\sim_{L} \\) 을 \\[ a \\sim_{L} b \\Longleftrightarrow a^{-1} b \\in H \\] 라 정의하자.", "또, 관계 \\( \\sim_{R} \\) 을 \\[ a \\sim_{R} b \\Longleftrightarrow a b^{-1} \\in H \\] 라 정의하면, 다음이 성립한다.", "<ol type= start=1><li>\\( \\sim_{L} \\) 은 \\( G \\) 위에서 동치관계이다.", "</li><li>\\( \\sim_{R} \\) 은 \\( G \\) 위에서 동치관계이다.", "</li></ol></p> <p>정리 3.3.21 군 \\( G \\) 의 정규부분군 \\( M \\triangleleft G \\) 에 대하여 다음은 동치이다. \\", "[ M \\text { 이 } G \\text { 의 극대 정규부분군 } \\Longleftrightarrow G / M \\text { 은 단순군 } \\]</p><p>(증명) 먼저 \\( G \\) 에서 \\( G / M \\) 으로의 함수 \\( f \\) 를 자연준동형사상 \\[ f: G \\longrightarrow G / M, \\quad f(a)=a M \\] 이라 정의하자.", "그러면 전사함수이다.", "</p><p>\\( (\\Longrightarrow) M \\) 이 \\( G \\) 의 극대 정규부분군이라 하자. \\", "( G / M \\) 의 정규부분군 \\( N / M \\triangleleft G / M \\) 의 역상 \\( f^{-1}(N / M)=N \\) 은 \\( M \\) 을 포함하고, \\( G \\) 의 정규부분군이다(정리 \\(3.3.20(3\\))).", "즉, \\[ M \\triangleleft N \\triangleleft G \\] 이다. \\", "( M \\) 이 극대 정규부분군이므로 \\( M=N \\) 이거나 \\( N=G \\) 이다.", "따라서 \\( N / M=M / M \\) 이거나 \\( N / M=G / M \\) 이므로, \\( G / M \\) 은 단순군이다.", "</p><p>\\( (\\Longleftarrow) G / M \\) 이 단순군이라 하자. \\", "( M \\triangleleft N \\triangleleft G \\) 인 \\( G \\) 의 정규부분군 \\( N \\triangleleft G \\) 이 존재한다고 하자.", "그러면 정리 3.3.20에 의하여 \\[ M / M \\triangleleft N / M \\triangleleft G / M \\] 이다.", "그러면 \\( G / M \\) 이 단순군이므로, \\( M / M=N / M \\) 또는 \\( N / M=G / M \\) 이다.", "즉, \\( N=M \\) 또는 \\( N=G \\) 이다.", "따라서 \\( M \\) 은 극대 정규부분군이다.", "</p><p>정의 3.3.22 [중심(center)] 군 \\( G \\) 에 대하여 \\[ Z(G) \\) 가 군 \\( G \\) 의 중심(center) \\( \\stackrel{\\text{ 정의 }}{\\Leftrightarrow} \\) \\( Z(G)=\\{a \\in G \\mid \\forall g \\in G, g a=a g\\} \\] ※ \\( Z \\) 는 독일어의 Zentrum(center)에서 왔다.", "</p> <p>문제 3.4.14 \\( |G|=16=2^{4} \\) 인 가환군 \\( G \\) 의 종류와 각 가환군에서 위수 4인 원소의 개수를 구하라.", "</p><p>유한 가환군에서는 Lagrange 정리(정리 3.1.10)의 역이 성립한다.", "유한생성 가환군의 기본정리(정리 3.4.12)를 이용하여 다음 정리를 증명하자.", "</p><p>정리 3.4.15 (Lagrange 정리의 역 성립) 유한 가환군 \\( G \\) 의 위수 \\( |G|=n \\) 의 약수 \\( r \\) 에 대하여 다음이 성립한다. \\", "[ \\text { 위수 }|H|=r \\text { 인 부분군 } H<G \\text { 가 존재한다. } \\]", "</p><p>(증명) 유한생성 가환군의 기본정리(정리 \\(3.4.12\\)) 에 의하여 \\[ G \\cong \\mathbb{Z}_{p_{1}}^{a_{1}} \\times \\cdots \\times \\mathbb{Z}_{p_{s}}^{a_{s}} \\] 인 소수 \\( p_{1}, \\cdots, p_{s} \\) 가 존재한다.", "그러면 \\( G \\) 의 위수는 소인수분해 \\( |G|=p_{1}^{a_{1}} \\cdots p_{s}^{a_{s}} \\) 와 같다. \\", "( r \\mid n \\) 이므로 \\[ r=p_{1}^{b_{1}} \\cdots p_{s}^{b_{s}}\\left(0 \\leq b_{i} \\leq a_{i}\\right) \\] 인 정수 \\( b_{i}(1 \\leq i \\leq s) \\) 가 존재한다.", "한편 \\( \\mathbb{Z}_{p_{i}}^{a_{i}}(1 \\leq i \\leq s) \\) 의 부분군 \\( \\left\\langle p_{i}^{a_{i}-b_{i}}\\right\\rangle \\) 의 위수는 \\[ \\left|p_{i}^{a_{i}-b_{i}}\\right|=\\frac{p_{i}^{a_{i}}}{\\operatorname{gcd}\\left(p_{i}^{a_{i}-b_{i}}, p_{i}^{a_{i}}\\right)}=\\frac{p_{i}^{a_{i}}}{p_{i}^{a_{i}-b_{i}}}=p_{i}^{b_{i}} \\] 이다(정리 2.3.4(2)).", "이때 \\[ H=\\left\\langle p_{1}^{a_{1}-b_{1}}\\right\\rangle \\times\\left\\langle p_{2}^{a_{2}-b_{2}}\\right\\rangle \\times \\cdots \\times\\left\\langle p_{s}^{a_{s}-b_{s}}\\right\\rangle \\] 라 하면, 정리 3.4.2(3)에 의하여 \\( H<\\mathbb{Z}_{p_{1}}^{a_{1}} \\times \\cdots \\times \\mathbb{Z}_{p_{s}}^{a_{s}} \\cong G \\) 이고, \\[ |H|=\\left|p_{1}^{a_{1}-b_{1}}\\right|\\left|p_{2}^{a_{2}-b_{2}}\\right| \\cdots\\left|p_{s}^{a_{s}-b_{s}}\\right|=p_{1}^{b_{1}} p_{2}^{b_{2}} \\cdots p_{s}^{b_{s}}=r \\] 이다.", "</p><p>정리 3.4.16 유한가환군 \\( G \\) 의 위수가 \\( |G|=p_{1} p_{2} \\cdots p_{r} \\) ( \\( p_{i} \\) 는 서로 다른 소수)이면, \\[ G \\text { 는 순환군 } \\]</p><p>(증명) 유한생성 가환군의 기본정리와 따름정리 \\( 3.4 .7 \\) 에 의하여 다음이 성립한다. \\", "[ G \\cong \\mathbb{Z}_{p_{1}} \\times \\cdots \\times \\mathbb{Z}_{p^{r}} \\cong \\mathbb{Z}_{p_{1} \\cdots p_{r}} \\]</p><p>임용시험 출제 3.4.17 [2009학년도] 군에 대한 다음 성질 중에서 옳은 것을 모두 골라라.", "<ol type= start=1><li>위수가 8인 군은 Abel 군(가환군)이다.", "</li><li>부분군의 개수가 유한인 군은 유한군이다.", "</li><li>위수 27인 Abel 군 중에서 동형이 아닌 것의 종류는 3가지이다.", "</li></ol></p> <p>정의 3.3.16 [단순군(simple group), 극대 정규부분군(maximal normal subgroup)] 군 \\( G \\) 와 정규부분군 \\( M \\) 에 대하여<ul><li>\\( G \\) 가 단순군(simple group) \\( \\stackrel{\\text { 정의 }}{\\Leftrightarrow} \\) \\( G \\) 의 정규부분군이 \\( \\{e\\} \\) 와 \\( G \\) 뿐인 경우</li><li>\\( M \\) 이 군 \\( G \\) 의 극대 정규부분군 (maximal normal subgroup) \\( \\stackrel{\\text { 정의 }}{\\Leftrightarrow} \\)<ol type= start=1><li>\\( M \\triangleleft G, \\quad M \\neq G \\)</li><li>\\( \\exists N \\triangleleft G, M \\triangleleft N \\triangleleft G \\Longrightarrow M=N \\) 또는 \\( N=G \\)</li></ol></li></ul></p><p>예 3.3.17 단순군과 극대 정규부분군의 예를 살펴보자.", "</p><p>(1) \\( \\mathbb{Z}_{2} \\) 는 부분군이 \\( \\{0\\}, \\mathbb{Z}_{2} \\) 개뿐이므로 단순군이다.", "</p><p>(2) \\( n(n \\geq 5) \\) 차 교대군 \\( A_{n} \\) 은 단순군이다.", "[3, 정리 15.15] 참조.", "</p><p>(3) \\( n \\) 차 교대군 \\( A_{n} \\) 은 \\( S_{n} \\) 의 극대 정규부분군이다.", "왜냐하면, \\( \\left|S_{n}: A_{n}\\right|=2 \\) 이므로 정리 \\(3.3.2\\)에 의하여 \\( A_{n} \\triangleleft S_{n} \\) 이고, Lagrange 정리에 의하여 \\( A_{n} \\) 과 \\( S_{n} \\) 사이에 부분군이 존재하지 않으므로, \\( A_{n} \\) 은 \\( S_{n} \\) 의 극대 정규부분군이 된다.", "</p><p>(4) \\( \\mathbb{Z}_{2} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\) 의 극대 정규부분군은 \\( \\mathbb{Z}_{2} \\times\\{0\\} \\) 과 \\( \\{0\\} \\times \\mathbb{Z}_{2} \\) 으로 2개 존재한다.", "</p><p>문제 3.3.18 덧셈군 \\( (\\mathbb{Z},+) \\) 에서 다음은 동치이다. \\", "[ p \\text { 가 소수 } \\quad \\Longleftrightarrow \\quad p \\mathbb{Z} \\text { 는 } \\mathbb{Z} \\text { 의 극대정규부분군 } \\]</p><p>정리 3.3.19 위수가 2 이상인 군 \\( G \\) 에 대하여 다음은 동치이다.", "<ol type= start=1><li>\\( G \\) 는 유한군이고 \\( |G| \\) 는 소수</li><li>\\( \\Leftrightarrow \\) \\( G \\) 는 순환군이고 단순군</li><li>\\( \\Leftrightarrow \\) \\( G \\) 는 가환군이고 단순군</li></ol></p><p>(증명) 정리 3.1.16에 의하여 (1) \\( \\Rightarrow\\) (2)가 성립하고, 분명히 (2)\\(\\Rightarrow\\)(3)이 성립한다.", "</p><p>(3) \\( \\Rightarrow \\) (1) \\( G \\) 의 부분군이 \\( \\{e\\}, G \\) 뿐이라 하자.", "이때 원소 \\( (e \\neq) a \\in G \\) 를 선택하면, \\( G \\) 가 가환군이므로 \\( \\langle a\\rangle \\) 는 \\( G \\) 의 정규부분군이다.", "또한 \\( \\{e\\} \\lessgtr\\langle a\\rangle<G \\) 이므로 \\( \\langle a\\rangle=G \\) 가 되어 \\( G \\) 는 순환군이다.", "그리고 \\[ \\{e\\} \\supsetneqq\\left\\langle a^{2}\\right\\rangle=G=\\langle a\\rangle \\] 이다.", "만약 \\( G \\) 가 무한군이면, 정리 \\( 2.3 .9 \\) 에 의하여 \\( 2=\\pm 1 \\) 이 되어 모순이다.", "따라서 \\( G \\) 는 유한군이다.", "</p><p>\\( |G|=n \\) 이라 하자. \\", "( n \\) 이 소수가 아니면 \\( n=d s(1<d, s<n) \\) 인 정수 \\( d, s \\in \\mathbb{Z} \\) 가 존재한다.", "그러면 \\( G \\) 가 단순군이므로 정리 2.3 .4(2)에 의하여 \\( s=\\left|\\left\\langle a^{d}\\right\\rangle\\right|=|\\langle a\\rangle|=n \\) 이 되어 모순이다.", "따라서 \\( G \\) 의 위수는 소수이다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "412", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "사범대생을 위한 대수학_준동형사상과 잉여군", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-8060-4aea-9caa-f109f9ded1a2", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160731088", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2018", "doc_author": [ "정상조" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>확인 문제를 풀어봅시다!", "</h1><p>확인 \\(4-1\\) 다음 수열의 처음 \\(5\\)개 항을 나열하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\langle-2 n+1\\rangle \\)</li><li>\\( \\left\\langle 2 \\cdot 3^{n}\\right\\rangle \\)</li><li>\\( \\left\\langle\\frac{n}{n+1}\\right\\rangle \\)</li></ol><p>확인 \\(4-2\\) 다음 등차수열의 초항부터 제 \\(5\\)항까지 나열하여라.", "</p><ol type= start=1><li>초항 \\(1\\), 공차 \\(1\\)</li><li>초항 \\(3\\), 공차 \\(-3\\)</li><li>초항 \\(-5\\), 공차 \\(2\\)</li></ol><p>확인 \\(4-3\\) 다음 수열의 일반항을 \\( n \\)을 이용하여 나타내어라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( 2,4,6,8,10,12, \\cdots \\)</li><li>\\( 1,4,7,10,13,16, \\cdots \\)</li></ol><p>확인 \\(4-4\\) 다음을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>초항이 \\( -5 \\) 이고 공차가 \\(2\\) 인 등차수열의 일반항</li><li>초항이 \\( -5 \\) 이고 공차가 \\(2\\) 인 등차수열의 제\\(15\\)항</li></ol><p>확인 \\(4-5\\) 다음 등비수열의 초항부터 \\(5\\) 항까지 나열하여라.", "</p><ol type= start=1><li>초항 \\(3\\), 공비 \\( 2 \\)</li><li>초항 \\(2\\), 공비 \\( -1 \\)</li><li>초항 \\(2\\), 공비 \\( \\frac{1}{2} \\)</li></ol><p>확인 \\(4-6\\) 다음 수열의 일반항을 \\( n \\) 을 이용하여 나타내어라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( 2,4,8,16,32,64, \\cdots \\)</li><li>\\( \\frac{1}{3}, \\frac{1}{9}, \\frac{1}{27}, \\frac{1}{81}, \\frac{1}{243}, \\cdots \\)</li></ol><p>확인 \\(4-7\\) 다음을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>초항이 \\(3\\) 이고 공비가 \\(2\\) 인 등비수열의 일반항</li><li>초항이 \\(3\\) 이고 공차가 \\(2\\) 인 등비수열의 제 \\(5\\) 항</li><li>초항이 \\(2\\) 이고 공비가 \\( \\frac{1}{2} \\) 인 등비수열의 일반항</li><li>초항이 \\(2\\) 이고 공비가 \\( \\frac{1}{2} \\) 인 등비수열의 제 \\(5\\) 항</li></ol><p>확인 \\(4-8\\) 다음을 합의 기호 \\( \\left(\\sum\\right) \\) 를 사용하지 않고 나타내어라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\sum_{k=1}^{10} k \\)</li><li>\\( \\sum_{k=3}^{9}(5-k) \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{5}(k+2) \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{8} k^{2} \\)</li></ol><p>확인 \\(4-9\\) 다음을 합의 기호 \\( \\left(\\sum\\right) \\) 로 나타내어라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( 1+2+3+\\cdots+49+50 \\)</li><li>\\( 2+4+6+8+\\cdots+48+50 \\)</li><li>\\( 1+3+5+7+\\cdots+37+39 \\)</li><li>\\( 2+4+8+\\cdots+512+1024 \\)</li></ol><p>확인 \\(4-10\\) \\( \\sum_{k=1}^{100} a_{k}=15, \\sum_{k=1}^{100} b_{k}=5 \\) 일 때 다음을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\sum_{k=1}^{100}\\left(a_{k}-b_{k}\\right) \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{100}\\left(-2 a_{k}+1\\right) \\)</li></ol><p>확인 \\(4-11\\) 다음을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>초항이 \\(1\\) 이고 공차가 \\(2\\) 인 등차수열의 \\( S_{5} \\)</li><li>초항이 \\(10\\) 이고 공차가 \\( -2 \\) 인 등차수열의 \\(10\\) 번째 항까지의 합</li></ol><p>확인 \\(4-12\\) 다음을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>초항이 \\(1\\) 이고 공비가 \\(2\\) 인 등비수열의 \\( S_{5} \\)</li><li>초항이 \\(2\\) 이고 공비가 \\( -1 \\) 인 등비수열의 \\(10\\) 번째 항까지의 합</li></ol><p>확인 \\(4-13\\) 다음을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\sum_{k=1}^{5} k \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{5} k^{2} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{5} k^{3} \\)</li></ol><h1>계산기 활용 문제</h1><p>문제 \\(4-1\\) 다음 수열의 처음 \\(6\\) 개 항을 나열하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\left\\langle 2 n^{2}-3 n+5\\right\\rangle \\)</li><li>\\( \\left\\langle 12 \\times(2)^{n}\\right\\rangle \\)</li></ol><p>문제 \\(4-2\\) 다음을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>초항이 \\(1\\) 이고 공차가 \\(32\\) 인 등차수열의 일반항</li><li>초항이 \\(1\\) 이고 공차가 \\(32\\) 인 등차수열의 제 \\(15\\) 항</li></ol><p>문제 \\(4-4\\) 다음을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>초항이 \\(2\\) 이고 공비가 \\(3\\) 인 등비수열의 일반항</li><li>초항이 \\(2\\) 이고 공비가 \\(3\\) 인 등비수열의 제 \\(15\\) 항</li><li>초항이 \\(30\\) 이고 공비가 \\( \\frac{1}{2} \\) 인 등비수열의 일반항</li><li>초항이 \\(30\\) 이고 공비가 \\( \\frac{1}{2} \\) 인 등비수열의 제 \\(15\\) 항</li></ol><p>문제 \\(4-5\\) 다음을 계산하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\sum_{k=1}^{20} k \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{20}(5-k) \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{20}(k+2) \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{20}\\left(k^{2}\\right) \\)</li></ol><p>문제 \\(4-6\\) 다음을 계산하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( 1+2+3+\\cdots+49+50 \\)</li><li>\\( 2+4+6+8+\\cdots+48+50 \\)</li><li>\\( 1+3+5+7+\\cdots+37+39 \\)</li><li>\\( 2+4+8+\\cdots+512+1024 \\)</li></ol><p>문제 \\(4-7\\) 다음을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\sum_{k=1}^{200} k \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{200} k^{2} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{200} k^{3} \\)</li></ol><p>문제 \\(4-8\\) 다음을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>초항이 \\( -26 \\) 이고 공차가 \\(4\\) 인 등차수열의 \\( S_{15} \\)</li><li>초항이 \\(26\\) 이고 공차가 \\( -3 \\) 인 등차수열의 \\(20\\) 번째 항까지의 합</li></ol><p>문제 \\(4-9\\) 다음을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>초항이 \\(120\\) 이고 공비가 \\( 0.2 \\) 인 등비수열의 \\( S_{15} \\)</li><li>초항이 \\(2\\) 이고 공비가 \\( -1 \\) 인 등차수열의 \\(1001\\) 번째 항까지의 합</li></ol><p>문제 \\(4-10\\) 다음 수열의 합을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\frac{3}{1 \\cdot 2}+\\frac{4}{2 \\cdot 3}+\\frac{5}{3 \\cdot 4}+\\frac{6}{4 \\cdot 5}+\\cdots+\\frac{12}{10 \\cdot 11} \\)</li><li>\\( 3+6+12+24+\\cdots+\\frac{3}{2} \\times 2^{25} \\)</li><li>\\( \\frac{2}{1 !}+\\frac{4}{2 !}+\\frac{8}{3 !}+\\frac{16}{4 !}+\\frac{32}{5 !} \\)</li><li>\\( 1+\\frac{2}{3}+\\frac{3}{3^{2}}+\\frac{4}{3^{3}}+\\cdots+\\frac{10}{3^{9}} \\) 을 구하여라.", "</li></ol><p>문제 \\(4-11\\) 다음을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\sum_{k=1}^{10}(3 k-2)^{2} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{10} \\frac{k(k+1)}{2} \\)</li><li>\\( \\sum_{k=1}^{10} \\frac{2}{k(k+1)} \\)</li></ol><p>문제 \\(4-12\\) 다음을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\sum_{n=1}^{15} \\frac{1}{\\sqrt{n}+\\sqrt{n+1}} \\)</li><li>\\( \\sum_{n=1}^{20}\\left\\{\\frac{1}{\\sqrt{5}}\\left(\\frac{1+\\sqrt{5}}{2}\\right)^{n}-\\frac{1}{\\sqrt{5}}\\left(\\frac{1-\\sqrt{5}}{2}\\right)^{n}\\right\\} \\)</li></ol>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "411", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "기초미적분학_수열", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-fb50-4651-8f0f-e6427efc1eb8", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160730579", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2017", "doc_author": [ "전춘배" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>정리 \\( 2.5.12 \\) (내심정리, 방심정리) 삼각형의 \\( 3 \\)내각의 \\( 2 \\)등분선들은 한 점(내심(in-center))에서 만난다.", "또 \\( 1 \\)개의 내각과 나머지 \\( 2 \\)각의 외각의 각 \\( 2 \\)등분선들은 한 점(방심(excenter))에서 만난다.", "삼각형의 방심은 \\( 3 \\)개 있다.", "</p><p>증명 (ⅰ) 각 \\( \\angle B, \\angle C \\)의 이등분선의 교점을 \\( I \\)라 하고, \\( I \\)에서 세 변에 수선 \\( I A^{\\prime}, I B^{\\prime}, I C^{\\prime} \\)를 내리면, SAS 합동판정법에 의하여 \\( \\triangle I B C^{\\prime} \\equiv \\triangle I B A^{\\prime} \\)이므로, \\( I C \\equiv I C^{\\prime} \\)이다.", "마찬가지로, \\( \\triangle I C A^{\\prime} \\equiv \\triangle I C B^{\\prime} \\)이므로, \\( I A^{\\prime} \\equiv I B^{\\prime} \\)이다.", "그러므로 \\( I C^{\\prime} \\equiv I B^{\\prime} \\)이다.", "따라서 SAA 합동판정법에 의하여 \\( \\triangle I A C^{\\prime} \\equiv \\triangle I A B^{\\prime} \\)이다.", "그러므로 \\( \\angle I A C^{\\prime} \\equiv \\angle I A B^{\\prime} \\)이다. \\", "( I \\) 를 중심, \\( I A^{\\prime}=I B^{\\prime} \\equiv I C^{\\prime} \\)를 반지름으로 하는 원(circle)은 삼각형 \\( \\triangle A B C \\)의 내접원 (inscribed circle)이라 한다.", "</p><p>(ⅱ) \\( \\angle B, \\angle C \\)의 외각의 이등분선의 교점을 \\( I_{1} \\)이라 하고, \\( I_{1} \\)에서 세 변에 수선 \\( I_{1} A_{1}, I_{2} B_{2} \\), \\( I_{1} C_{1} \\)을 내리면, \\( \\mathrm{SAA} \\) 합동판정법에 의하여 \\( \\Delta I_{1} B C_{1}=\\Delta I_{1} B A_{1} \\)이다.", "그러므로 \\( I_{1} C_{1} \\equiv I_{1} A_{1} \\)이다.", "마찬가지로, \\( \\Delta I_{1} C A_{1} \\equiv \\triangle I_{1} C B_{1} \\)이므로, \\( I_{1} A_{1} \\equiv I_{1} B_{1} \\) 이다.", "그러므로 \\( I_{1} B_{1} \\equiv I_{1} C_{1} \\) 이다.", "또 \\( \\mathrm{SAA} \\) 합동판정법에 의하여 \\( \\triangle I B_{1} A \\equiv \\triangle I C_{1} A \\)이다.", "그러므로 \\( \\angle B A I_{1} \\equiv \\angle C A I_{1} \\)이다.", "따라서 선분 \\( A I_{1} \\)은 \\( \\angle A \\)의 이등분선이다.", "증심이 \\( I_{1} \\)이고, 반지름이 \\( I_{1} A_{1} \\)인 원(circle)은 \\( \\angle A \\)에 대한 방접원(escribe circe)이라 한다.", "따라서 방접원은 \\(3 \\)개 있다.", "</p><p>정리 \\( 2.5.13 \\) (외심정리) 삼각형의 각 변의 중점에서 이것에 세운 수선은 한 점(외심 (circumcenter))에서 만난다.", "</p><p>증명 삼각형 \\( \\triangle A B C \\)의 변 \\( A B, A C \\)의 각 중점 \\( C^{\\prime}, B^{\\prime} \\)에서 세운 수선의 교점을 \\( O \\)라 하고, \\( O \\)에서 변 \\( B C \\)에 수선 \\( O A^{\\prime} \\)를 내리자.", "그러면 \\( \\mathrm{SAA} \\) 합동판정법에 의하여 \\( \\triangle O A C^{\\prime} \\equiv \\) \\( \\triangle O B C^{\\prime} \\)이다.", "그러므로 \\( O A \\equiv O B \\) 이다.", "또 \\( \\mathrm{SAA} \\) 합동판정법에 의하여 \\( \\triangle O A B^{\\prime} \\equiv \\) \\( \\triangle O C B^{\\prime} \\)이다.", "그러므로 \\( O A \\equiv O C \\)이다.", "따라서 \\( O B \\equiv O C \\) 이다.", "그러므로 \\( \\triangle O B C \\)는 이등변삼각형이다.", "그래서 \\( \\angle O B C \\equiv \\angle O C B \\)이다.\\", "( A^{\\prime} \\) 는 \\( B C \\)의 중점이므로, \\( \\mathrm{SAA} \\) 합동판정법에 의하여 \\( \\triangle O B A^{\\prime} \\equiv \\triangle O C A^{\\prime} \\) 이다.", "그러므로 \\( \\angle O A^{\\prime} B \\equiv \\angle O A^{\\prime} C \\) 이다.", "따라서 \\( O A^{\\prime} \\) 는 \\( B C \\)의 수직이등분선이다.", "</p><p>중심이 \\( O \\)이고 반지름이 \\( O A \\equiv O B \\equiv O C \\)인 원(circle)은 \\( \\triangle A B C \\)의 외접원(circumcircle)이라 한다.", "</p><p>예각삼각형의 외심은 삼각형의 내부에 있고, 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이며, 둔각삼각형의 외심은 삼각형의 외부에 있다.", "</p><p>정리 \\(2.5.14 \\) (수심정리) 삼각형의 각 꼭짓점에서 대변에 내린 수선은 한 점(수심 (orthocentre))에서 만난다.", "</p><p>증명 아래 그림과 같이 \\( A, B, C \\) 의 각 대변과 평행인 직선을 그어서 삼각형 \\( \\triangle A^{\\prime \\prime} B^{\\prime \\prime} C^{\\prime \\prime} \\) 를 만들면, 평행사변형 \\( A B C B^{\\prime \\prime}, A C B C^{\\prime \\prime} \\) 에서 \\( A B^{\\prime \\prime} \\equiv B C \\equiv C^{\\prime \\prime} A \\) 이다.", "따라서 \\( A \\)는 변 \\( B^{\\prime \\prime} C^{\\prime \\prime} \\)의 중점이다.", "</p><p>마찬가지로, \\( B, C \\) 는 각각 \\( A^{\\prime \\prime} C^{\\prime \\prime}, A^{\\prime \\prime} B^{\\prime \\prime} \\) 의 중점이므로, 삼각형 \\( \\triangle A B C \\) 의 3개의 수선 \\( A A^{\\prime}, B B^{\\prime}, C C^{\\prime} \\) 는 삼각형 \\( \\triangle A^{\\prime \\prime} B^{\\prime \\prime} C^{\\prime \\prime} \\) 의 변의 수직이등분선이다.", "그러므로 정리 \\( 2.5.13 \\)에 의하여 \\( 3 \\)개의 수선 \\( A A^{\\prime} \\), \\( B B^{\\prime}, C C^{\\prime} \\)은 삼각형 \\( \\Delta A^{\\prime \\prime} B^{\\prime \\prime} C^{\\prime \\prime} \\)의 외심 \\( H \\)에서 만난다.", "</p><p>문제 \\( 5.1 \\) 삼각형 \\( \\triangle A B C \\)의 꼭짓점 \\( A \\)의 이등분선이 외접원과 만나는 점을 \\( D \\)라 하고, \\( \\triangle A B C \\)의 내심을 \\( I \\)라 하면, \\( D B \\equiv D I \\equiv D C \\)임을 증명하여라.", "</p><p>문제 \\( 5.2 \\) \\( 2 \\)개 내각의 이등분선의 길이가 같은 삼각형은 \\( 2 \\)등변삼각형임을 증명하여라.", "</p> <h1>제\\(1\\)장 유클리드의 원론</h1><p>유클리드 기하학은 중등수학에서 학습했던 종류의 기하학인데 이를 사용하여 대부분의 세계를 보여준다.", "기원전 \\( 300 \\)년경 그리스의 수학자 유클리드가 \"기하학 원론\" \\( 13 \\) 권을 써서 당시의 수학을 집대성하였다.", "제 \\( 1 \\) 권부터 제 \\( 4 \\)권까지 그리고 제 \\( 7 \\), \\( 9 \\)권은 피타고라스 학파의 이론이고 제 \\( 8 \\)권은 아르키타스, 제 \\( 5,6,12 \\)권은 에우독소스, 제 \\( 10 \\),\\( 13 \\)권은 테아에테토스의 이론이다.", "이 기하학을 기반으로 실세계의 그림은 \\( 17 \\)세기에 아이작 뉴턴에 의하여 그려졌다.", "기하학에 대한 유클리드의 접근방법은 거의 \\( 2000 \\)년 동안이나 기하학교육을 지배해왔다.", "유클리드의 불후의 업적은 \\( 5 \\)개의 간단한 공준으로부터 대단히 복잡하고 또 직관적으로도 결코 명백하지 않은 \\( 456 \\)개의 명제들을 추론해냈다는 사실이다.", "</p><h2>1.1 유클리드의 공준</h2><p>유클리드의 원론의 제 \\( 1 \\)권에는 \\( 23 \\)개의 정의와 \\( 5 \\)개의 공준(postulate) 및 \\( 5 \\)개의 공통개념이 있고, \\( 48 \\)개의 명제가 실려 있다.", "</p><p>정의</p>\\( 1 \\).", "점(point)은 부분이(쪼갤 수) 없는 것이다.", "</p><p>\\( 2 \\).", "선(segment)은 폭이 없이 길이만 있는 것이다.", "</p><p>\\( 3 \\).", "선(segment)의 양 끝은 점들이다.", "</p><p>\\( 4 \\).", "직선(line)은 점들이 평평하게 놓여 있는 것이다.", "</p><p>\\( 5 \\).", "면(face)은 길이와 폭만 있는 것이다.", "</p><p>\\( 6 \\).", "면(face)의 끝은 선들이다.", "</p><p>\\( 7 \\).", "평면(plane)은 직선들이 평평하게 놓여 있는 것이다.", "</p><p>\\( 8 \\).", "평면에 있는 두 선이 서로 만나고, 그들이 한 직선에 놓여 있지 않을 때, 그들이 서로 기운 정도를 각(angle)이라 한다.", "</p><p>\\( 9 \\).", "각을 만드는 선이 둘 다 직선일 때, 그 각을 직선각(angle between lines)이라 한다.", "</p><p>\\( 10 \\).", "직선에다 다른 한 직선을 세웠을 때, 이웃한 각들의 크기가 같으면, 그 각을 직각 (right angle)이라 한다.", "이때 세운 직선은 원래 직선과 수직(orthogonal)이라 한다.", "</p><p>\\( 11 \\).", "둔각(obtuse angle)은 직각보다 큰 각이다.", "</p><p>\\( 12 \\).", "예각(acute angle)은 직각보다 작은 각이다.", "</p><p>\\( 13 \\).", "경계(boundary)는 어떤 것의 끝이다.", "</p><p>\\( 14 \\).", "도형(figure)은 경계 또는 경계로 둘러싸인 것이다.", "</p><p>\\( 15 \\).", "어떤 선으로 둘러싸인 도형에 있어서, 한 점에서 직선들을 그었을 때 그 도형에 놓이는 부분이 모두 서로 같으면, 그 도형을 원(circle)이라 한다.", "</p><p>\\( 16 \\).", "이때 그 한 점을 중심(center)이라 한다.", "</p><p>\\( 17 \\).", "원의 지름(diameter)은 중심을 지나고 양 끝점이 모두 원주에서 끝나는 직선을 말한다.", "지름은 원을 이등분한다.", "</p><p>\\( 18 \\).", "반원(semicircle)은 지름과 그 지름에 의하여 끊기는 원주에 의하여 둘러싸인 도형을 말한다.", "반원의 중심(center)은 원의 중심과 같다.", "</p><p>\\( 19 \\).", "다각형(polygon)은 직선들에 의하여 둘러싸인 도형이다.", "삼각형(triangle)은 \\( 3 \\)개의 직선에 의하여 둘러싸인 도형이다.", "사각형(\\(4 \\)-gon)은 \\( 4 \\)개의 직선에 의하여 둘러싸인 도형이다.", "</p><p>\\( 20 \\). \\", "( 3 \\)변이 모두 같은 삼각형은 정삼각형(equilateral triangle)이라 한다. \\", "( 2 \\)변이 서로 같은 삼각형은 이등변삼각형(isosceles triangle)이라 한다.", "세 변이 모두 다른 삼각형은 부등변삼각형(non-isosceles triangle)이라 한다.", "</p><p>\\( 21 \\).", "직각삼각형(right triangle)은 직각을 가진 삼각형이다.", "둔각삼각형은 둔각을 가진 삼각형이다.", "예각삼각형(acute triangle)은 세 각이 모두 예각인 삼각형이다.", "</p><p>\\( 23 \\).", "정사각형(regular square)은 변이 모두 같고 각이 모두 직각인 사각형이다.", "직사각형 (rectangle)은 각이 모두 직각인 사각형이다.", "마름모(rhombus)는 변이 모두 같은 사각형이다.", "평행사변형(parallelogram)은 마주 보는 변들이 서로 평행인 사각형이다.", "이들 이외의 사각형은 부등변사각형(non-isosceles \\( 4 \\)-gon)이라 한다.", "</p><p>\\( 24 \\).", "평행선(parallel lines)이라는 것은 같은 평면에 있는 직선들로서 양쪽으로 아무리 길게 늘여도 양쪽 어디에서도 만나지 않는 직선들을 말한다.", "</p><p>어떤 명제 \\( S_{1} \\)을 추론에 의하여 정당화하려면, 정당화될 만한 어떤 다른 명제 \\( S_{2} \\)로부터 \\( S_{1} \\)이 추론될 수 있다는 것을 보여야 한다.", "그러나 명제 \\( S_{2} \\)가 정당화되지 않고 의문이 제기된다면, 또 다시 어떤 다른 명제 \\( S_{3} \\)으로부터 \\( S_{2} \\) 가 추론될 수 있다는 것을 보여야 한다.", "결국 정당화되고 있는, 그래서 더 이상 정당화할 필요가 없는 어떤 명제 \\( A \\)에 도달할 때까지 이러한 과정을 여러 번 반복해야만 한다.", "이때 명제 \\( A \\)가 공준(postulate) 또는 공리(axiom)인 것이다.", "따라서 공준 또는 공리라는 것은 어느 누구도 더 이상 이의를 제기하지 않고 수긍하는 자명한 명제인 것이다.", "</p><p>\\( A \\rightarrow S_{n} \\rightarrow S_{n-1} \\rightarrow \\cdots \\rightarrow S_{2} \\rightarrow S_{1} \\)</p><p>그러나 그러한 명제 \\( A \\)에 도달할 수 없다면, 끝없는 논증이 물고 물리는 \"무한회귀\"에 빠져버리게 될 것이다.", "그래서 증명이 옳다고 동의하기 위해서는 다음과 같은 \\(3\\)가지 약속이 필요 하다.", "</p><p>약속 \\(1\\).", "논의에서 사용되는 단어와 기호의 의미에 대해 상호이해가 있어야 한다.", "</p><p>약속 \\(2\\).", "공준 또는 공리를 인정해야 한다.", "</p><p>약속 \\(3\\).", "한 명제가 다른 명제로부터 추론될 수 있다는 사실, 즉 추론에 관한 어떤 규칙에 동의해야 한다.", "</p><p>Euclid의 공준</p><p>Ⅰ. 모든 점에서 다른 모든 점으로 직선을 그을 수 있다.", "(임의의 서로 다른 두 점 \\( P, Q \\)에 대하여 \\( P \\) 와 \\( Q \\)를 지나는 직선 \\( l \\)이 유일하게 존재한다.)", "</p><p>Ⅱ. 유한한 직선이 있으면, 그것을 얼마든지 직선으로 길게 늘일 수 있다.", "(임의의 두 선 분 \\( A B, C D \\)에 대하여 점 \\( B \\)가 점 \\( A \\)와 점 \\( E \\) 사이에 있고 선분 \\( C D \\)가 선분 \\( B E \\)와 합동인 점 \\( E \\)가 유일하게 존재한다.", "즉, 임의의 선분 \\( A B \\)는 한 주어진 선분 \\( C D \\)와 합동인 선분 \\( B E \\)에 의하여 연장될 수 있다.)", "</p><p>Ⅲ. 모든 점에서 모든 거리를 반지름으로 해서 원을 그릴 수 있다.", "(임의의 서로 다른 두 점 \\( O, A \\)에 대하여 중심이 \\( O \\)이고 반지름이 \\( \\overline{O A} \\)인 원이 존재한다.)", "</p><p>Ⅳ. 직각은 모두 서로 같다.", "(모든 직각은 서로 합동이다.)", "</p><p>Ⅴ. 두 개의 직선이 다른 한 직선과 만날 때, 어느 한 쪽의 내각의 합이 \\( 2 \\)직각보다 작다고 하자.", "그러면 두 직선을 얼마든지 길게 늘였을 때, 두 직선은 내각의 합이 \\( 2 \\)직각보다 작은 쪽에서 만난다.", "</p><p>공통개념은 수학의 일반 상식(자명한 이치)에 관한 것을 말한다.", "</p> <p>정리 \\( 2.5.15 \\) 두 점 \\( A, B \\)가 주어졌다고 하자. \\", "( \\overleftrightarrow{A B} \\)에 임의로 순서(즉, 방향)를 대응시키자.", "그러면 선분 \\( A B \\)의 길이는 \\( A \\)에서 \\( B \\)로의 방향이 그 직선 위에서 양의 방향이나 음의 방향이냐에 따라 양 또는 음이 되는 것으로 한다.", "이러한 부호가 붙은 길이를 \\( \\underline{A B} \\)로 표시한다.", "그러므로 \\( \\underline{A B}=-\\underline{B A} \\)이다. \\", "( C \\) 가 유향직선 \\( \\overleftrightarrow{A B} \\) 위의 세 번째 점일 때, \\( A B \\)를 \\( C \\)로 나누는 부호가 붙은 비를 \\( \\underline{A C / C B} \\)로 정의한다.", "</p><p>이 부호가 붙은 비가 직선에 대응하는 방향과 독립이고, 또 그 점 \\( C \\)가 이 비에 의하여 유일하게 결정된다.", "</p><p>증명 (\\( 1 \\)) (ⅰ) \\( \\underline{A B}>0 \\)일 경우 만일 \\( A * C * B \\)이면, \\( \\underline{A C} / \\underline{C B}>0 \\)이다.", "만일 \\( A * B * C \\)이면, \\( \\underline{A C} / \\underline{C B}<0 \\)이다.", "만일 \\( C * A * B \\)이면, \\( \\underline{A C} / \\underline{C B}<0 \\)이다.", "</p><p>(ⅱ) \\( \\underline{B A}>0 \\)일 경우 만일 \\( A * C * B \\)이면, \\( \\underline{A C} / \\underline{C B}>0 \\)이다.", "만일 \\( A * B * C \\)이면, \\( \\underline{A C} / \\underline{C B}<0 \\)이다.", "만일 \\( C * A * B \\)이면, \\( \\underline{A C} / \\underline{C B}<0 \\)이다.</p><p>(\\( 2 \\)) \\( A * C * C^{\\prime} * B \\)라고 하자. \\( \\underline{A C} / C B=\\underline{A C^{\\prime}} / C^{\\prime} B \\)이고 \\( \\underline{C C^{\\prime}>0} \\)이라 가정하자. 그러면 다음을 얻는다. \\[\\underline{A C} / \\underline{C B}=\\underline{A C^{\\prime}} / \\underline{C B}=\\left(\\underline{A C}+\\underline{C C^{\\prime}}\\right) / \\underline{C^{\\prime} B}\\] \\( >\\underline{A C} / \\underline{C^{\\prime} B} \\) \\( \\underline{A C}>0 \\)이고 \\( \\underline{C B}>0, \\underline{C B}>0 \\)이므로, \\( \\underline{C} B>\\underline{C B} \\)이다.", "이것은 모순이다.", "</p><p>정리 \\(2.5.16 \\) (메넬라오스) \\( \\triangle A B C \\)가 주어지고 삼각형의 꼭지점이 아닌 \\( \\overleftrightarrow{B C} \\) 위의 점 \\( A^{\\prime} \\), \\( \\overleftrightarrow{C A} \\) 위의 점 \\( B^{\\prime}, \\overleftrightarrow{A B} \\) 위의 점 \\( C^{\\prime} \\)가 주어졌다고 하자.", "이제 선형성 수를 \\[\\left[A B C / A^{\\prime} B^{\\prime} C^{\\prime}\\right]:=\\left(\\underline{A C^{\\prime}} / \\underline{C^{\\prime} B}\\right)\\left(\\underline{B A}{ }^{\\prime} / \\underline{A^{\\prime} C}\\right)\\left(\\underline{C B}{ }^{\\prime} / \\underline{B^{\\prime} A}\\right) \\]으로 정의하자.", "그러면 \\( A^{\\prime}, B^{\\prime}, C^{\\prime} \\)가 일직선 위에 있기 위한 필요충분조건은 \\[\\left[A B C / A^{\\prime} B^{\\prime} C^{\\prime}\\right]=-1\\]이다.", "</p><p>증명 \\( A^{\\prime}, B^{\\prime}, C^{\\prime} \\)가 일직선 위에 있다고 하자.", "</p><p>\\( \\overleftrightarrow{C P} / \\overleftrightarrow{A^{\\prime} C} \\)이라고 하자.", "그러면 \\[\\underline{A B^{\\prime}} / \\underline{B^{\\prime} C}=\\underline{A C^{\\prime}} / \\underline{C^{\\prime} P}, \\underline{C A}{ }^{\\prime} / \\underline{A^{\\prime} B}=\\underline{P C^{\\prime}} / \\underline{C^{\\prime} B}\\]\\( \\left[A B C / A^{\\prime} B^{\\prime} C^{\\prime}\\right]=\\left(\\underline{A C^{\\prime}} / \\underline{C^{\\prime} B}\\right)\\left(\\underline{B A^{\\prime}} / \\underline{A^{\\prime} C}\\right)\\left(\\underline{C B^{\\prime}} / \\underline{B}^{\\prime} A\\right) \\)\\( \\left.=\\", "left(\\underline{A C^{\\prime}} / \\underline{C^{\\prime} B}\\right)\\left(\\underline{C^{\\prime} B} / \\underline{P C^{\\prime}}\\right)\\left(\\underline{C^{\\prime} P}\\right) / \\underline{A C^{\\prime}}\\right) \\)\\( =-1 \\)역으로, \\( \\left[A B C / A^{\\prime} B^{\\prime} C^{\\prime}\\right]=-1 \\) 이라 가정하고, \\( \\overleftrightarrow{A^{\\prime} B^{\\prime}} \\) 와 \\( \\overleftrightarrow{A B} \\) 의 교점을 \\( C^{\\prime \\prime} \\) 라고 하자.", "그러면 \\[\\left(\\underline{A C^{\\prime \\prime}} / \\underline{C^{\\prime \\prime} B}\\right)\\left(\\underline{B A^{\\prime}} / \\underline{A^{\\prime} C}\\right)\\left(\\underline{C B^{\\prime}} / \\underline{B^{\\prime} A}\\right)=-1\\]이다. \\", "( \\left(\\underline{A C^{\\prime}} / \\underline{C^{\\prime} B}\\right)\\left(\\underline{B A^{\\prime}} / \\underline{A^{\\prime} C}\\right)\\left(\\underline{C B^{\\prime}} / \\underline{B^{\\prime} A}\\right)=-1 \\)이므로, \\( \\underline{A C^{\\prime \\prime}} / \\underline{C^{\\prime \\prime} B}=\\underline{A C^{\\prime}} / \\underline{C^{\\prime} B} \\) 이 다.", "따라서 \\( C^{\\prime}=C^{\\prime \\prime} \\)이다.", "</p><p>정리 \\( 2.5.17 \\) (Ceva) \\( \\triangle A B C \\)가 주어지고.", "각 직선 \\( \\overleftrightarrow{B C}, \\overleftrightarrow{A C}, \\overleftrightarrow{A B} \\) 위에 점 \\( A^{\\prime}, B^{\\prime}, C^{\\prime} \\)가 주어졌다고 하자.", "그러면 세 직선 \\( \\overleftrightarrow{A A^{\\prime}}, \\overleftrightarrow{B B^{\\prime}}, \\overleftrightarrow{C C} \\)가 한 점에서 만나거나 평행이기 위한 필요충분조건은 \\( \\left[A B C / A^{\\prime} B^{\\prime} C^{\\prime}\\right]=1 \\)이다.", "</p><p>증명 (ⅰ) 세 직선 \\( \\overleftrightarrow{A A^{\\prime}}, \\overleftrightarrow{B B}, \\overleftrightarrow{C C} \\)가 한 점 \\( P \\)에서 만난다고 가정하자.", "</p><p>\\( \\triangle A C A^{\\prime} \\)와 할선 \\( B P B^{\\prime}, \\triangle A B A^{\\prime} \\)와 할선 \\( C P C^{\\prime} \\)에 대하여 각각 메넬라오스(Menelaus)의 정리를 적용하면, \\[\\left(\\underline{A B^{\\prime}} / \\underline{B^{\\prime} C}\\right)\\left(\\underline{C B} / \\underline{B A^{\\prime}}\\right)\\left(\\underline{A^{\\prime} P} / \\underline{P A}\\right)=-1 \\]\\( \\left(\\underline{A P} / \\underline{P A^{\\prime}}\\right)\\left(\\underline{A^{\\prime} C} / \\underline{C B}\\right)\\left(\\underline{B C^{\\prime}} / \\underline{C^{\\prime} A}\\right)=-1 \\)이다.", "이를 곱하면, 다음을 얻는다.\\", "[\\begin{aligned} 1 &=\\left(\\underline{A B^{\\prime}} / \\underline{B^{\\prime} C}\\right)\\left(\\underline{C B} / \\underline{B A^{\\prime}}\\right)\\left(\\underline{A^{\\prime} P} / \\underline{P A}\\right)\\left(\\underline{A P} / \\underline{P A^{\\prime}}\\right)\\left(\\underline{A^{\\prime} C} / \\underline{C B}\\right)\\left(\\underline{B C^{\\prime}} / \\underline{C^{\\prime} A}\\right) \\\\&=\\left(\\underline{A B^{\\prime}} / \\underline{B^{\\prime} C}\\right)\\left(\\underline{C A^{\\prime}} / \\underline{A^{\\prime} B}\\right)\\left(\\underline{B C^{\\prime}} / \\underline{C^{\\prime} A}\\right) \\\\&=\\left[A B C / A^{\\prime} B^{\\prime} C^{\\prime}\\right]\\end{aligned}\\]</p><p>(ⅱ) 세 직선 \\( \\overleftrightarrow{A A^{\\prime}}, \\overleftrightarrow{B B}, \\overleftrightarrow{C C} \\)가 평행이라고 가정하자.", "</p><p>\\( \\left(\\underline{A C^{\\prime}} / \\underline{C^{\\prime} B}\\right)=\\left(\\underline{A C} / \\underline{C B^{\\prime}}\\right) \\) \\( \\left(\\underline{B C^{\\prime}} / \\underline{C^{\\prime} A}\\right)=\\left(\\underline{B C} / \\underline{C A^{\\prime}}\\right) \\) \\( \\left(\\underline{A B^{\\prime}} / \\underline{B^{\\prime} C}\\right)=\\left(\\underline{A B} / \\underline{B C^{\\prime}}\\right) \\) \\( \\left(\\underline{B C} / \\underline{A^{\\prime} B}\\right)=\\left(\\underline{B C^{\\prime}} / \\underline{A B}\\right) \\)</p><p>\\( \\begin{aligned} {\\left[A B C / A^{\\prime} B^{\\prime} C^{\\prime}\\right] } &=\\left(\\underline{A B^{\\prime}} / \\underline{B^{\\prime} C}\\right)\\left(\\underline{C A^{\\prime}} / \\underline{A^{\\prime} B}\\right)\\left(\\underline{B C^{\\prime}} / \\underline{C^{\\prime} A}\\right) \\\\ &=\\left(\\underline{A B^{\\prime}} / \\underline{B^{\\prime} C}\\right)\\left(\\underline{C A^{\\prime}} / \\underline{A^{\\prime} B}\\right)\\left(\\underline{B C} / \\underline{C A^{\\prime}}\\right) \\\\ &=\\left(\\underline{A B^{\\prime}} / \\underline{B^{\\prime} C}\\right)\\left(\\underline{B C} / \\underline{A^{\\prime} B}\\right) \\\\ &=\\left(\\underline{A B} / \\underline{B C^{\\prime}}\\right)\\left(\\underline{B C^{\\prime}} / \\underline{A B}\\right)=1 \\end{aligned} \\)</p><p>역으로, \\( \\left[A B C / A^{\\prime} B^{\\prime} C^{\\prime}\\right]=1 \\)이고 세 직선이 평행이 아니면, \\( \\overleftrightarrow{B B^{\\prime}} \\)와 \\( \\overleftrightarrow{C C^{\\prime}} \\)가 점 \\( P \\)에서 만난다고 하고 \\( \\overleftrightarrow{A P} \\)가 \\( \\overleftrightarrow{B C} \\)와 점 \\( A \\)\"에서 만난다고 하자. 그러면 \\[\\left(\\underline{A B^{\\prime}} / \\underline{B^{\\prime} C}\\right)\\left(\\underline{C A^{\\prime}} / \\underline{A^{\\prime} B}\\right)\\left(\\underline{B C^{\\prime}} / \\underline{C^{\\prime} A}\\right)=1 \\]\\( \\left(\\underline{A B^{\\prime}} / \\underline{B^{\\prime} C}\\right)\\left(\\underline{C A^{\\prime \\prime}} / \\underline{A^{\\prime \\prime} B}\\right)\\left(\\underline{B C^{\\prime} / C^{\\prime} A}\\right)=1 \\)이므로\\( \\left(\\underline{A B^{\\prime}} / \\underline{B^{\\prime} C}\\right)\\left(\\underline{C A^{\\prime}} / \\underline{A^{\\prime} B}\\right)\\left(\\underline{B C^{\\prime}} / \\underline{C}^{\\prime} A\\right)=\\left(\\underline{A B^{\\prime}} / \\underline{B}^{\\prime} C\\right)\\left(\\underline{C A^{\\prime \\prime}} / \\underline{A^{\\prime \\prime} B}\\right)\\left(\\underline{B C^{\\prime}} / \\underline{C}^{\\prime} A\\right) \\)이다. 그러므로 \\( \\underline{C A^{\\prime}} / \\underline{A^{\\prime} B}=\\underline{C A^{\\prime \\prime}} / \\underline{A^{\\prime \\prime} B} \\)이다. 따라서 정리 \\( 2.5.15 \\)에 의하여 \\( A^{\\prime}=A^{\\prime \\prime} \\)이다.</p> <h2>2.4 연속공리군</h2><p>연속공리 \\( 1 \\) (완비성의 공리) 점, 직선, 평면은 지금까지의 공리들을 전부 만족하는 기하학적 요소로서 이것을 더욱 확장할 수 없는 체계이다.</p><p>연속공리 \\( 2 \\) (데데킨트의 공리) 한 직선 \\( l \\) 위의 모든 점들의 집합이 공집합이 아닌 두 부분집 합의 합집합 \\( \\Sigma_{1} \\bigcup \\Sigma_{2} \\)이고 \\( \\Sigma_{1} \\)의 어떤 점도 \\( \\Sigma_{2} \\)의 두 점 사이에 있지 않다고 하자. 그러면 점 \\( O \\in l \\)가 존재하여 모든 \\( P_{1} \\in \\Sigma_{1}, P_{2} \\in \\Sigma_{2}, P_{1} \\neq O, P_{2} \\neq O \\)에 대하여 \\( O \\) 는 \\( P_{1} \\) 과 \\( P_{2} \\) 사이에 있다.</p><p>이때 두 부분집합의 쌍 \\( \\left(\\Sigma_{1}, \\Sigma_{2}\\right) \\)를 직선 \\( l \\)의 데데킨드 절단(Dedekind cut)이라 한다.</p><p>정리 \\( 2.4.1 \\) (기본 연속원리) 어떤 직선 \\( l \\) 위의 한 점 \\( A \\)는 원 \\( C \\)의 안쪽에 놓여 있고 다른 한 점 \\( B \\)는 원의 바깥쪽에 놓여 있으면, 그 직선은 원과 두 점에서 만난다.</p><p>증명 원 \\( C \\)의 중심은 \\( O \\)이고 반지름은 \\( r \\)이라 하자. 그러면 \\( O A<r, O B>r \\)이다. \\( O \\)에서 직선 \\( l \\)에 내린 수선의 발을 \\( P \\)라 하자. 그러면 \\( O P<O A<r \\) 이다. 그러므로 점 \\( P \\)는 원 \\( C \\)의 안쪽에 놓여 있다. 반직선 \\( \\overrightarrow{P B} \\)을 다음과 같은 서로소인 두 부분집합 \\( \\Sigma_{1}, \\Sigma_{2} \\)의 합집합으로 분할하자.</p><p><ol type=i start=1><li>\\( \\Sigma_{1}=\\{H \\in \\overrightarrow{P B} \\mid O H<r\\}, \\Sigma_{2}=\\{H \\in \\overrightarrow{P B} \\mid O H \\geqq r\\} \\)</li><li>\\( \\overrightarrow{P B}=\\Sigma_{1} \\bigcup \\Sigma_{2}, \\Sigma_{1} \\cap \\Sigma_{2}=\\varnothing \\)</li></ol></p><p>이때 \\( A \\in \\Sigma_{1}, B \\in \\Sigma_{2} \\)이므로, \\( \\Sigma_{1} \\neq \\varnothing, \\Sigma_{2} \\neq \\varnothing \\)이고. \\( \\Sigma_{1} \\)의 어떤 점도 \\( \\Sigma_{2} \\)의 두 점 사이에 있지않다. 그러므로 데데킨드 공리에 의하여 유일한 점 \\( M \\in \\overrightarrow{P B} \\)이 존재하여 모든 \\( H_{1} \\in \\Sigma_{1} \\),\\( H_{2} \\in \\Sigma_{2}, H_{1} \\neq M, H_{2} \\neq M \\)에 대하여 \\( M \\)는 \\( H_{1} \\)과 \\( H_{2} \\) 사이에 있다. \\( O M=r \\)임을 보이자.</p><p>만일 \\( O M<r \\)이면, \\( a<r-O M \\)을 취하자. 이때 \\( M \\)보다 뒤에 나오는 점 \\( M^{\\prime} \\in \\overrightarrow{P B} \\)를 잡되 \\( M M^{\\prime}=a \\)가 되도록 하자. \\( \\left(\\Sigma_{1}, \\Sigma_{2}\\right)=M \\)이므로, \\( M^{\\prime} \\in \\Sigma_{2} \\)이다. 그러므로 \\( O M M^{\\prime} \\geqq r \\)이다. 삼각형 \\( \\triangle O M M^{\\prime} \\)에서 \\( O M^{\\prime}<O M+M M^{\\prime}=O M+a<r \\)이다. 이것은 모순이다. 만일 \\( O M>r \\)이면, \\( a \\leqq O M-r \\)을 취하자. 이때 \\( M \\)보다 앞에 나오는 점 \\( M^{\\prime} \\in \\overrightarrow{P B} \\)를 잡되 \\( M M^{\\prime}=a \\)가 되도록 하자. \\( \\left(\\Sigma_{1}, \\Sigma_{2}\\right)=M \\)이므로, \\( M^{\\prime} \\in \\Sigma_{1} \\)이다. 그러므로 \\( O M^{\\prime}<r \\)이다. 삼각형 \\( \\triangle O M M^{\\prime} \\)에서 \\( O M<O M^{\\prime}+M M^{\\prime}<r+a \\)이다. 이것은 모순이다. 그러므로 결과가 나온다.</p><p>예비정리 \\( 2.4.2 \\) 원 \\( C, C^{\\prime} \\)의 중심을 각각 \\( O, O^{\\prime} \\)라 하고 이들의 반지름을 각각 \\( r, r^{\\prime} \\)이라 하자. 이때 직선 \\( \\overleftrightarrow{O O}^{\\prime} \\)를 그으면, 이 직선은 원 \\( C \\)와 두 점 \\( A, B \\)에서 만난다. 그러면 이 두 점 중에서 어느 한 점은 원 \\( C^{\\prime} \\)의 안쪽에 놓여 있고, 다른 한 점은 원 \\( C^{\\prime} \\)의 바깥쪽에 놓여 있다.</p><p>증명 이 두 점 \\( A, B \\)중에서 어느 한 점은 (\\( 1 \\)) \\( \\overrightarrow{O^{\\prime} O}-O^{\\prime} O \\) 위에 놓여 있거나 (\\( 2 \\)) 선분 \\( O O^{\\prime} \\) 위에 놓여 있거나 (\\( 3 \\)) \\( \\overrightarrow{O O^{\\prime}}-O O^{\\prime} \\) 위에 놓여 있다.</p><p>(\\( 1 \\)) 점 \\( A \\) 는 \\( O^{\\prime} O-O^{\\prime} O \\)위에 놓여 있다고 하자. 그러면 \\( A O^{\\prime}=A O+O O^{\\prime}=r+O O^{\\prime} \\)이다. 삼각형 \\( \\triangle O O^{\\prime} Y \\) 에서 \\( O^{\\prime} Y<O Y+O O^{\\prime} \\)이다.</p><p>\\( O^{\\prime} Y>r^{\\prime}, O Y=r \\)이므로, \\( r^{\\prime}<r+O O^{\\prime} \\)이다. 그러므로 \\( A O^{\\prime}>r^{\\prime} \\)이다. 따라서 점 \\( A \\)는 원 \\( C^{\\prime} \\)의 바깥쪽에 놓여 있다.</p><p>(\\( 2 \\)) 점 \\( A \\)는 선분 \\( O O^{\\prime} \\) 위에 놓여 있다고 하자.</p><p>그러면 \\( O O^{\\prime}=O A+A O^{\\prime}=r+A O^{\\prime} \\)이다. 삼각형 \\( \\triangle O O^{\\prime} X \\) 에서 \\( O O^{\\prime}<O X+O^{\\prime} X \\)이다. \\( O X=r, O^{\\prime} X<r^{\\prime} \\) 이므로, \\( O O^{\\prime}<r+r^{\\prime} \\)이다. 그러므로 \\( A O^{\\prime}<r^{\\prime} \\) 이다. 따라서 점 \\( A \\)는 원 \\( C^{\\prime} \\)의 안쪽에 놓여 있다.</p><p>(3) 점 \\( A \\)는 \\( \\overrightarrow{O O^{\\prime}}-O O^{\\prime} \\) 위에 놓여 있다고 하자.</p><p>그러면 \\( r=O A=O O^{\\prime}+O^{\\prime} A \\)이다. 삼각형 \\( \\triangle O O^{\\prime} X \\) 에서 \\( r=O X<O O^{\\prime}+O^{\\prime} X \\)이다. 그러므로 \\( O O^{\\prime}+O^{\\prime} A<O O^{\\prime}+O^{\\prime} X \\)이다. 즉 \\( O^{\\prime} A<O^{\\prime} X<r^{\\prime} \\). 따라서 점 \\( A \\) 는 원 \\( C^{\\prime} \\)의 안쪽에 놓여 있다.</p> <p>정리 \\( 2.4.3 \\) (원의 연속원리) 어떤 평면에 원 \\( C \\)와 원 \\( C^{\\prime} \\)가 있다고. 하자. 만일 원 \\( C \\)의 한 점 \\( X \\)는 원 \\( C^{\\prime} \\)의 안쪽에 있고, 원 \\( C \\)의 한 점 \\( Y \\)는 원 \\( C^{\\prime} \\)의 바깥쪽에 있으면, 두 원은 두 점에서 만난다.</p><p>증명 원 \\( C, C^{\\prime} \\)의 중심을 각각 \\( O, O^{\\prime} \\)라 하고 이들의 반지름을 각각 \\( r, r^{\\prime} \\)이라 하자. 이때 직선 \\( \\overleftrightarrow{O O} \\), 를 그으면, 이 직선은 원 \\( C \\)와 두 점 \\( A, B \\)에서 만난다. 그러면 예비정리 \\( 2,4,2 \\)에 의하여 이 두 점 중에서 어느 한 점은 원 \\( C^{\\prime} \\)의 안쪽에 놓여 있고, 다른 한 점은 원 \\( C^{\\prime} \\)의 바깥 쪽에 놓여 있다.</p><p>이때 원 \\( C \\)의 상반원을 생각하자. 어떤 점이 점 \\( A \\)를 출발하여 그 상반원 따라 움직여서 점 \\( B \\)에 이른다고 하자. 그 상반원에서 서로 다른 두 점 \\( P, Q \\)를 잡는데, 어떤 점이 움직일 때 점 \\( P \\)가 앞서 나온다고 하자. 삼각형 \\( \\triangle O O^{\\prime} P \\)와 \\( \\triangle O O^{\\prime} Q \\)를 비교해보자. 변 \\( O O^{\\prime} \\)는 공통이고, 변 \\( O P \\)와 변 \\( O Q \\)의 길이는 같다. 또한 \\( \\angle P O O^{\\prime}<\\angle Q O O^{\\prime} \\)이다. 그러므로 \\( O^{\\prime} P<O^{\\prime} Q \\)이다. 이제 상반원 \\( A P Q B \\)를 다음과 같이 두 부분으로 분할하자.</p><p>\\( \\Sigma_{1}=\\left(\\right. \\) 원 \\( C^{\\prime} \\)의 안쪽에 놓여 있는 상반원 \\( A P Q B \\) 위의 점들의 집합)</p><p>\\( \\Sigma_{2}=\\left(\\right. \\) 원 \\( C^{\\prime} \\)의 바깥쪽에 놓여 있는 상반원 \\( A P Q B \\) 위의 점들의 집합 \\( ) \\)</p><p>그러면 \\( A \\in \\Sigma_{1}, B \\in \\Sigma_{2} \\)이므로, \\( \\Sigma_{1} \\neq \\varnothing, \\Sigma_{2} \\neq \\varnothing \\)이고, (상반원 \\( \\left.A P Q B\\right)=\\Sigma_{1} \\cup \\Sigma_{2}, \\Sigma_{1} \\cap \\Sigma_{2} \\) \\( =\\varnothing \\)이다. 데데킨드 공리에 의하여 상반원 \\( A P Q B \\) 위에 유일한 점 \\( M \\)이 존재하여 모든\\( H_{1} \\in \\Sigma_{1}, H_{2} \\in \\Sigma_{2}, H_{1} \\neq M, H_{2} \\neq M \\)에 대하여 \\( M \\) 는 \\( H_{1} \\)과 \\( H_{2} \\) 사이에 있다. \\( O^{\\prime} M=r^{\\prime} \\)임을 보이자.</p><p>만일 \\( O^{\\prime} M<r^{\\prime} \\)이면, \\( r^{\\prime}-O^{\\prime} M=a \\)라 하자. \\( M \\) 뒤에 나오는 점 \\( M^{\\prime} \\)을 잡되 \\( M M^{\\prime}<a \\)가 되도록 하자. 그러면 삼각형 \\( O^{\\prime} M M^{\\prime} \\)에서 \\( O^{\\prime} M^{\\prime}<O^{\\prime} M+M M^{\\prime}<O^{\\prime} M+a=r^{\\prime} \\)이다.</p><p>만일 \\( O^{\\prime} M>r^{\\prime} \\)이면, \\( a \\leqq O^{\\prime} M-r^{\\prime} \\)를 취하자. \\( M \\)보다 앞서 나오는 점 \\( M^{\\prime} \\)을 잡되 \\( M M^{\\prime} \\) \\( =a \\)가 되도록 하자. \\( \\left(\\Sigma_{1}, \\Sigma_{2}\\right)=M \\)이므로 \\( M^{\\prime} \\in \\Sigma_{1} \\) 이다. 그러므로 \\( O^{\\prime} M^{\\prime}<r^{\\prime} \\)이다. 따라서 \\( M^{\\prime} \\)은 원 \\( C^{\\prime} \\)의 안쪽에 있다. 그러나 \\( M^{\\prime} \\)은 호 \\( M B \\) 위에 놓여 있다. 이것은 모순이다.</p><p>정리 \\( 2.4.4 \\) (Archimedes) \\( A_{1} \\)은 주어진 점 \\( A, B \\)의 사이에 있는 점이라 하자. 그러면 직선 \\( \\overleftrightarrow{A B} \\) 위에 점열 \\( A_{2}, A_{3}, \\ldots, A_{n} \\)가 존재하여 \\( A_{1} \\)은 \\( A \\)와 \\( A_{2} \\)의 사이에 있고, \\( A_{2} \\)는 \\( A_{1} \\) 과 \\( A_{3} \\)의 사이에 있고, \\( \\ldots, A_{n-1} \\)은 \\( A_{n-2} \\)와 \\( A_{n} \\)의 사이에 있고, \\( B \\)가 \\( A \\)와 \\( A_{n} \\)의 사이에 있으며 \\[A A_{1} \\equiv A_{1} A_{2} \\equiv A_{2} A_{3} \\equiv \\cdots \\equiv A_{n-1} A_{n}\\] 이다. 즉, \\( n \\cdot A A_{1}=A A_{n} \\).</p><p>증명 \\[\\begin{array}{l}\\Sigma_{1}=A B \\bigcup\\left\\{P \\in \\overrightarrow{A B} \\mid n \\cdot A A_{1}>A P\\right\\} \\\\\\Sigma_{2}=\\left\\{P \\in \\overrightarrow{A B} \\mid n \\cdot A A_{1} \\leqq A P\\right\\}\\end{array}\\]로 놓자. 그러면 \\( \\Sigma_{1} \\neq \\varnothing, \\Sigma_{2}=\\varnothing \\)이고, \\( \\overrightarrow{A B}=\\Sigma_{1} \\bigcup \\Sigma_{2}, \\Sigma_{1} \\cap \\Sigma_{2}=\\varnothing \\)이다. 그러므로 데데킨드 공리에 의하여 \\( \\left(\\Sigma_{1}, \\Sigma_{2}\\right)=E \\in \\overrightarrow{A B} \\)가 유일하게 존재한다. 이때 \\( n \\cdot A A_{1}=A E \\)이고 \\( B \\)는 점 \\( A \\)와 \\( E \\) 사이에 있다.<p/><p>만일 \\( n \\cdot A A_{1}>A E \\)이면, \\( E \\) 뒤에 점 \\( E^{\\prime} \\in \\overrightarrow{A B} \\)가 존재하여 \\( n \\cdot A A_{1}>A E^{\\prime} \\)이다. 그러므로 \\( E^{\\prime} \\in \\Sigma_{1} \\)이다. \\( \\left(\\Sigma_{1}, \\Sigma_{2}\\right)=E \\)이므로, \\( E^{\\prime} \\in \\Sigma_{2} \\)이다. 이것은 모순이다.<p/><p>만일 \\( n \\cdot A A_{1}<A E \\)이면, \\( E \\) 잎에 점 \\( E^{\\prime} \\in \\overrightarrow{A B} \\) 가 존재하여 \\( n \\cdot A A_{1}<A E^{\\prime} \\)이다. 그러므로 \\( E^{\\prime} \\in \\Sigma_{2} \\)이다. \\( \\left(\\Sigma_{1}, \\Sigma_{2}\\right)=E \\)이므로, \\( E^{\\prime} \\in \\Sigma_{1} \\)이다. 이것은 모순이다.<p/><p>[참고] 이 정리는 한 선분 \\( C D\\left(\\equiv A A_{1}\\right) \\)를 길이의 단위로 취할 때, 모든 다른 선분이 이 단위에 관하여 유한 길이를 갖는다는 것을 의미한다. 즉, 길이의 단위 \\( A A_{1} \\)에 관한 \\( A B \\)의 길이는 기껏해야 \\( n \\)단위이다. 또 다른 관점은 선분 \\( A B \\)를 길이의 단위로 취할 때, 모든 다른 선분들이 이 단위에 관하여 무한소적으로 작아질 수 없음을 말해준다. 즉, 길이의 단위 \\( A B \\)에 관한 \\( A A_{1} \\)의 길이는 적어도 \\( \\frac{1}{n} \\) 단위이다.</p> <p>증명 (\\( 1 \\)) \\( \\angle A P B \\not \\equiv C Q D \\)라고 가정하자. 그러면 합동공리 \\( 4 \\)에 의하여 \\( \\angle A P B \\equiv \\angle A^{\\prime} Q D \\)인 반직선 \\( \\overrightarrow{Q A} \\)가 유일하게 존재한다. 이때, 만일 \\( \\overrightarrow{Q A} \\)가 \\( \\overrightarrow{Q D} \\)와 \\( \\overrightarrow{Q C} \\) 사이에 있으면, 정의에 의하여 \\( \\angle P<\\angle Q \\)이고, 만일 \\( \\overrightarrow{Q C} \\)가 \\( \\overrightarrow{Q A^{\\prime}} \\)와 \\( \\overrightarrow{Q D} \\) 사이에 있으면 정의에 의하여 \\( \\angle Q<\\angle P \\)이다.</p><p>(\\( 2 \\)) 만일 \\( \\angle A P B<\\angle C Q D \\) 이면, 정의에 의하여 \\( \\angle A P B \\equiv \\angle C^{\\prime} Q D \\) 인 한 반직선 \\( \\overrightarrow{Q C^{\\prime}} \\) 가 \\( \\overrightarrow{Q C} \\) 와 \\( \\overrightarrow{Q D} \\) 사이에 존재한다. \\( \\angle C Q D \\equiv \\angle E R F \\)이므로 합동공리 \\( 4 \\)에 의하여 \\( \\angle C^{\\prime} Q D \\equiv \\angle E^{\\prime} R F \\)인 \\( \\overrightarrow{R E^{\\prime}} \\) 가 \\( \\overrightarrow{R E} \\) 와 \\( \\overrightarrow{R F} \\) 사이에 유일하게 존재한다. 따라서 합동공리 \\( 5 \\)에 의하여 \\( \\angle A P B \\equiv \\angle E^{\\prime} R F \\)이다. 그러므로 정의에 의하여 \\( \\angle P<\\angle Q \\)이다.</p><p>(\\( 3 \\)) \\( \\angle A P B<\\angle C Q D \\)이므로, 정의에 의하여 \\( \\angle A P B \\equiv \\angle C^{\\prime} Q D \\)인 \\( \\overrightarrow{Q C^{\\prime}} \\)가 \\( \\overrightarrow{Q C} \\)와 \\( \\overrightarrow{Q D} \\) 사이에 존재한다. \\( \\angle A P B \\equiv \\angle E R F \\)이므로, 합동공리 \\( 5 \\)에 의하여 \\( \\angle E R F \\equiv \\angle C^{\\prime} Q D \\)이다. 그러므로 \\( \\angle R<\\angle Q \\)이다.</p><p>(\\( 4 \\)) \\( \\angle C Q D<\\angle E R F \\)이므로, 정의에 의하여 \\( \\angle C Q D \\equiv \\angle E^{\\prime} R F \\)인 \\( \\overrightarrow{R E^{\\prime}} \\)가 \\( \\overrightarrow{R E} \\) 와 \\( \\overrightarrow{R F} \\) 사이에 존재한다. \\( \\angle A P B<\\angle C Q D \\)이므로, (\\( 2 \\))에 의하여 \\( \\angle A P B<\\angle E^{\\prime} R F \\)이다. 정의에 의하여 \\( \\angle A P B \\equiv \\angle E^{\\prime \\prime} R F \\)인 \\( \\overrightarrow{R E^{\\prime \\prime}} \\)가 \\( \\overrightarrow{R E^{\\prime}} \\)와 \\( \\overrightarrow{R F} \\) 사이에 존재한다. 이때, \\( \\overrightarrow{R E} \\)는 \\( \\overrightarrow{R E} \\)와 \\( \\overrightarrow{R F} \\) 사이에 있음을 알 수 있다. 그러므로 \\( \\angle P<\\angle R \\)이다.</p><p>정리 \\(2.3.14 \\) (SSS 합동판정법) \\( \\triangle A B C \\)와 \\( \\triangle D E F \\)에서 \\[A B \\equiv D E, B C \\equiv E F, A C \\equiv D F\\]이면, \\( \\triangle A B C \\equiv \\triangle D E F \\)이다.</p><p>증명 \\( A=D, C=F \\)이고 \\( B \\)와 \\( E \\)가 \\( \\overleftrightarrow{A C} \\)에 관하여 반대쪽에 있다고 가정하자. 그러면 합동공리 \\( 1 \\)에 의하여 다음 세 가지 경우를 생각할 수 있다.</p><p>그러면 (\\( 1 \\))의 경우는 \\( \\triangle A B E \\)가 이등변삼각형이므로 \\( \\angle A B E \\cong \\angle A E B \\)이다. 또 \\( \\triangle C B E \\)가 이등변삼각형이므로, \\( \\angle C B E \\equiv \\angle C E B \\)이다. 그러므로 각의 덧셈에 의하여 \\( \\angle A B C \\equiv \\) \\( \\angle A E C \\)이다. 따라서 \\( \\mathrm{SAS} \\) 합동판정법에 의하여 \\( \\triangle A B C \\equiv \\triangle A E C \\)이다.</p><p>(\\( 2 \\))의 경우는 \\( \\triangle C B E \\)가 이등변삼각형이므로 \\( \\angle C B E \\equiv \\angle C E B \\)이다. 그러므로 SAS 합동판정법에 의하여 \\( \\triangle A B C \\equiv \\triangle A E C \\)이다.</p><p>(\\( 3 \\))의 경우는 \\( \\triangle A B E \\)와 \\( \\triangle C B E \\)가 이등변삼각형이므로 \\( \\angle A B E \\equiv \\angle A E B \\)이고 \\( \\angle C B E \\equiv \\) \\( \\angle C E B \\)이다. 그러므로 각의 뺄셈에 의하여 \\( \\angle C B A \\equiv \\angle C E A \\)이다. 따라서 \\( \\mathrm{SAS} \\) 합동판정법에 의하여 \\( \\triangle A B C \\equiv \\triangle A E C \\)이다.</p><p>정의 각이 그의 보각과 합동일 때 그 각을 직각(right angle)이라 한다.</p><p>정리 \\( 2.3.15 \\) (유클리드의 공준 Ⅳ) 모든 직각은 서로 합동이다.</p><p>증명 \\( \\angle B A D, \\angle F E H \\)는 직각이라 하자. 그러면 정의에 의하여 \\( \\angle B A D \\equiv \\angle C A D \\), \\( \\angle F E H \\equiv \\angle G E H \\)이다. 여기서 \\( \\angle C A D \\)는 \\( \\angle B A D \\)의 보각이고. \\( \\angle G E H \\)는 \\( \\angle F E H \\)의 보각이다. \\( \\angle B A D \\neq \\angle F E H \\)라고 가정하자. 그려면 각의 삼분법에 의하여 이 각들 중의 하나는 다른 각보다 작을 것이다. 이때, \\( \\angle F E H<\\angle B A D \\)라고 가정해도 좋다. 따라서 정의에 의하여 \\( \\angle B A J \\equiv \\angle F E H \\)인 한 반직선 \\( \\overrightarrow{A J} \\)가 \\( \\overrightarrow{A B} \\)와 \\( \\overrightarrow{A D} \\) 사이에 존재한다. 이때 \\( \\angle C A J \\) 는 \\( \\angle B A J(\\equiv \\angle F E H) \\)의 보각이다. 명제 \\( 2,3,8 \\)에 의하여 \\( \\angle C A J \\equiv \\angle G E H \\)이다. 합동공리 \\(5 \\)에 의하여 \\( \\angle C A J \\equiv \\angle F E H \\)이다. \\( \\angle B A J \\equiv \\angle C A K \\)인 한 반직선 \\( \\overrightarrow{A K} \\)가 \\( \\overrightarrow{A D} \\)와 \\( \\overrightarrow{A C} \\) 사이에 존재한다. 합동공리 \\( 5 \\)에 의하여 \\( \\angle B A J \\equiv \\angle C A J \\)이다. 그리고 합동공리 \\( 5 \\)에 의하여 \\( \\angle C A J \\equiv \\angle C A K \\)이다. 따라서 정의에 의하여 \\( \\angle C A D \\)는 \\( \\angle C A K \\)보다 크고, 그의 합동각인 \\( \\angle C A J \\)보다 작다. 이것은 모순이다. 그러므로 \\( \\angle B A D \\equiv \\angle F E H \\)이다.</p> <p>다음에는 평면분리성질을 응용하여 네 점 사이의 순서관계를 알아보자.</p><p>명제 \\( 2.2.2 \\) \\( A * B * C, A * C * D \\)이면, \\( B * C * D, A * B * D \\)이다.</p><p>증명 \\( A * B * C, A * C * D \\)이면, 순서공리 \\( 1 \\)와 결합공리 \\( 1 \\)에 의하여 \\( A, B, C, D \\)는 일직선 위에 있는 서로 다른 네 점이다. 결합공리 \\( 3 \\)에 의하여 \\( A, B, C, D \\)를 지나는 직선 위에 있지 않는 점 \\( E \\)가 존재한다. 가정에 의하여 선분 \\( A D \\)가 점 \\( C \\)에서 \\( \\overleftrightarrow{E C} \\)와 만나므로 \\( A \\)와 \\( D \\)는 \\( \\overleftrightarrow{E C} \\)에 관하여 반대쪽에 있다. 이제 \\( A \\)와 \\( B \\)가 \\( \\overleftrightarrow{E C} \\)에 관하여 같은 쪽에 있음을 보이려고 한다. \\( A \\)와 \\( B \\)가 \\( \\overleftrightarrow{E C} \\)에 관하여 반대쪽에 있다고 가정하자. 그러면 반대쪽의 정의에 의하여 \\( \\overleftrightarrow{E C} \\)는 \\( A \\)와 \\( B \\)사이의 점에서 \\( \\overleftrightarrow{A B} \\)와 만난다. 명제 \\( 2.1,1 \\)에 의하여 그 점은 \\( C \\)임에 틀림없다. 따라서 \\( A * B * C \\)이고 \\( A * C * B \\)이므로, 이것은 순서공리 \\( 3 \\)에 모순이다. 그러므로 \\( A \\)와 \\( B \\)가 \\( \\overleftrightarrow{E C} \\)에 관하여 같은 쪽에 있다. 순서공리 \\( 4 \\)에 의하여 \\( B \\)와 \\( D \\)는 \\( \\overleftrightarrow{E C} \\)에 관하여 반대쪽에 있다. 따라서 반대쪽의 정의와 명제 \\( 2.1 .1 \\)에 의하여 \\( \\overleftrightarrow{E C} \\)와 \\( \\overleftrightarrow{B D} \\)의 교점 \\( C \\)는 \\( B \\)와 \\( D \\)사이에 있다. \\( \\overleftrightarrow{E B} \\)에 관한 유사한 논의에 의하여 \\( A * B * D \\)를 얻는다.</p><p>마지막으로 직선분리성질을 증명하자.</p><p>명제 \\( 2.2.3 \\) \\( C * A * B \\)이고 \\( l \\)이 \\( A, B, C \\)를 지나는 직선이면, \\( l \\) 위에 있는 점 \\( P \\)는 \\( \\overrightarrow{A B} \\) 위에 있거나 그의 반향반직선 \\( \\overrightarrow{A C} \\) 위에 있다.</p><p>증명 \\( P \\)는 \\( \\overrightarrow{A B} \\) 위에 있거나 그렇지 않다. 만일 \\( P \\)가 \\( \\overrightarrow{A B} \\) 위에 있으면, 증명이 끝난다. \\( P \\notin \\overrightarrow{A B} \\)이라고 가정하자. 그러면 순서공리 \\( 3 \\)에 의하여 \\( P * A * B \\)이다. 만일 \\( P=C \\)이면, 정의에 의하여 \\( P \\in \\overrightarrow{A C} \\)이므로 증명이 끝난다. 그래서 \\( P \\neq C \\)라고 가정하자. 그러면 순서공리 \\( 3\\)에 의하여 \\( C * A * P, C * P * A, P * C * A \\) 중 오직 하나만이 성립한다.</p><p>\\( C * A * P \\)가 성립한다고 가정하자. 또 순서공리 \\(3 \\)에 의하여 \\( P * C * B, C * P * B \\), \\( C * B * P \\)중의 오직 하나만이 성립한다.</p><p>만일 \\( P * B * C \\)이면, \\( P * A * B \\)이므로 명제 \\( 2.2.2 \\)에 의하여 \\( A * B * C \\)를 얻는다. 이 것은 \\( C * A * B \\)라는 가정에 모순이다.</p><p>만일 \\( C * P * B \\)이면, \\( C * A * P \\)이므로 명제 \\( 2.2.2 \\)에 의하여 \\( A * P * B \\)를 얻는다. 이것은 모순이다.</p><p>만일 \\( B * C * P \\)이면, \\( B * A * C \\) (가정과 순서공리 \\( 1 \\))이므로 명제 \\( 2.2.2 \\)에 의하여 \\( A * C * P \\)를 얻는다. 이것은 모순이다. 그러므로 \\( C * A * P \\)는 발생하지 않는다. 따라서 \\( C * P * A \\) 또는 \\( P * C * A \\)이다. 이것은 \\( P \\)가 반향반직선 \\( \\overrightarrow{A C} \\) 위에 있음을 의미한다.</p><p>다음 정리는 유클리드가 증명 없이 사용한 것인데 그것을 Pasch가 발견했기 때문이 혼히 Pasch의 정리하고 부른다. 이 정리는 그림으로 보면 명백한 성질이다.</p><p>정리 \\( 2.2.4 \\) (Pasch) \\( \\triangle A B C \\)가 임의의 삼각형이고 \\( l \\)이 \\( A \\)와 \\( B \\)사이의 한 점에서 변 \\( A B \\)와 교차하는 직선이면, \\( l \\)은 역시 변 \\( A C \\)가 변 \\( B C \\)와 교차한다. 만일 \\( C \\)가 \\( l \\) 위에 있지 않으면, \\( l \\)은 \\( A C, B C \\) 모두와 동시에 교차하지는 않는다.</p><p>증명 \\( C \\)는 \\( l \\) 위에 있거나 그렇지 않다. 만일 \\( C \\)는 \\( l \\) 위에 있다면, 증명은 끝난다. \\( C \\)는 \\( l \\) 위에 있지 않다고 가정하자. \\( A \\)와 \\( B \\)는 \\( l \\) 위에 있지 않고 선분 \\( A B \\)는 \\( l \\)과 교차한다. 따라서 정의에 의하여 \\( A \\)와 \\( B \\)는 \\( l \\)에 관하여 반대쪽에 있다. 순서공리 \\( 4 \\)에 의하여 \\( C \\)는 \\( l \\)에 관하여 \\( A \\)와 같은 쪽에 있거나 \\( B \\)와 같은 쪽에 있다. 만일 \\( C \\)가 \\( l \\)에 관하여 \\( A \\)와 같은 쪽에 있으면, \\( C \\)는 \\( l \\)에 관하여 \\( B \\)와 반대쪽에 있다. 이것은 \\( l \\)이 \\( B C \\)와 교차하고 \\( A C \\)와는 교차하지 않음을 의미한다. 마찬가지로 \\( C \\)가 \\( l \\)에 관하여 \\( B \\)와 같은 쪽에 있으면, \\( l \\)은 \\( A C \\)와 교차하고 \\( B C \\)와는 교차하지 않는다.</p><p>정의 각 \\( \\angle C A B \\)가 주어질 때, 점 \\( D \\)가 \\( \\overleftrightarrow{A C} \\)에 관하여 \\( B \\)와 같은 쪽에 있고, 또 \\( \\overleftrightarrow{A B} \\)에 관하여 \\( C \\)와 같은 쪽이 있으면, \\( D \\)는 \\( \\angle C A B \\)의 내부(interior)에 있다고 한다. 따라서 각의 내부는 두 반평면의 교집합이다.</p> <p>무모순성과 독립성</p><p>힐베르트의 공리계는 Euclid 기하학의 근간을 이루고 있는 가정을 잘 분류하여 정리한 것이다. 그렇다고 해서 그의 공리계가 바람직한 것은 아니다. 단지 그의 공리계가 갖는 특징은 모순을 포함하지 않고 있다는 점(무모순성)과 공리계의 어느 한 공리가 나머지의 공리들로부터 증명되지 않는다는 점(독립성)이다. 이러한 특징은 바람직한 공리계로서 구비해야 할 필수조건인 것이다.</p><p>힐베르트는 그의 공리계의 무모순성을 \"기하학 기초론\" 제 \\(2 \\)장 첫머리에서 다음과 같이 논술하고 있다.</p><p>수 \\( 1 \\) 에서 출발하여 가 - 감 - 승 - 제의 \\( 4 \\)칙 연산과 제\\( 5 \\)의 산법 \\( \\sqrt{1+\\omega^{2}} \\)을 유한 번 행하여 얻은 모든 대수적 수의 영역 \\( \\Omega \\)를 생각하자. 여기서 \\( \\omega \\)는 \\( 4 \\)칙 연산에 의하여 얻어진 수이다.</p><p>\\( x, y \\in \\Omega \\)에 대하여 \\( (x, y) \\)를 점이라 하자. \\( u, v, w \\in \\Omega, u \\neq 0, v \\neq 0 \\)에 대하여 \\( (u: v: w) \\)는 직선이라 하자. 만일 \\( u x+v y+w=0 \\)이면, 점 \\( (x, y) \\)는 직선 \\( (u: v: w) \\) 위에 있다고 하자. 이 때 결합공리 \\( 1 \\sim 3 \\)과 평행선공리 \\(5 \\)가 만족된다. \\( \\Omega \\)의 수는 모두 실수이므로, 이들을 대소에 의하여 순서를 정하면, 직선 위의 점에 대하여 순서의 공리가 모두 만족하도록 설정할 수 있다.</p><p>실제로, \\( \\left(x_{1}, y_{1}\\right),\\left(x_{2}, y_{2}\\right),\\left(x_{3}, y_{3}\\right), \\ldots \\)는 한 직선 위의 점들이라 하자. 그러면 이 점들은 \\( x_{1}, x_{2}, x_{3}, \\ldots \\) 또는 \\( y_{1}, y_{2}, y_{3}, \\ldots \\)가 이 순서로 항상 감소하거나 증가할 때 직선 위에서 이 순서로 있는 것이라고 할 수 있을 것이다.</p><p>더욱이, 순서와 합동의 공리는 다음과 같이 하면 충족된다. 모든 점 \\( (x, y) \\)는 \\( u x+v y+w \\)가 \\( 0 \\)보다 크다 또는 작다에 의하여 직선 \\( (u: v: w) \\)의 한 쪽 또는 반대쪽에 있는 것이라 정하면 된다.</p><p>선분과 각의 이동은 해석기하에서 알려진 방법에 의한다.</p><p>\\[\\left\\{\\begin{array}{l}x^{\\prime}=x+a \\\\y^{\\prime}=y+b\\end{array}\\right.\\]</p><p>꼴의 변환은 선분과 각의 평행이동을 매개한다.</p><p>더욱이. 점 \\( (0,0) \\)을 \\( O \\), 점 \\( (1,0) \\)을 \\( E \\), 임의의 점 \\( (a, b) \\)를 \\( C \\)라 하자. 이때 임의의 점 \\( (x, y) \\)를 각 \\( \\angle E O C(=\\theta) \\)만큼 회전하여 얻어진 점을 \\( \\left(x^{\\prime}, y^{\\prime}\\right) \\)이라 하자. 그러면 \\[\\left\\{\\begin{array}{l}x^{\\prime}=x \\cos \\theta-y \\sin \\theta \\\\ y^{\\prime}=x \\sin \\theta+y \\cos \\theta\\end{array},\\left\\{\\begin{array}{l} x^{\\prime}=\\frac{a}{\\sqrt{a^{2}+b^{2}}} x-\\frac{b}{\\sqrt{a^{2}+b^{2}}} y \\\\ y^{\\prime}=\\frac{b}{\\sqrt{a^{2}+b^{2}}} x+\\frac{a}{\\sqrt{a^{2}+b^{2}}} y \\end{array}\\right.\\right.\\]이다.</p><p>\\( \\sqrt{a^{2}+b^{2}}=b \\sqrt{1+\\left(\\frac{a}{b}\\right)^{2}} \\in \\Omega \\)이므로, 이 결정에 의하여 합동의 공리가 성립하고, 연속공리 \\( 1 \\)이 만족된다. 그러나 완비성의 공리는 만족되지 않는다. 따라서 결합, 순서, 합동, 평행선공리와 연속공리 \\( 1 \\)에서 유도되는 결과들이 서로 모순이 없으면, 그 결과들은 영역 \\( \\Omega \\)의 산술에 있어서 인정할 수 있을 것이다.</p><p>앞의 논의에서 영역 \\( \\Omega \\) 대신에 모든 실수의 영역을 잡으면, 결합, 순서, 합동, 평행선공리와 연속공리 전부를 만족하는 기하학이 얻어진다. 이러한 기하학은 보통의 해석기하학이다. 따라서 결합, 순서, 합동, 평행선공리와 연속공리에서 얻어진 결과들이 서로 모순이 없으면, 그 결과들은 실수계의 산술에 있어서 인정할 수 있을 것이다.</p><p>힐베르트는 그의 공리계의 무모순성을 실수론의 무모순성으로 판정한 것이다. 실수론에 모순이 없는 한, 그의 공리계도 모순이 없다는 것이 그의 주장이다. 이것은 실수론 중에 결합,순서, 합동, 평행선공리와 연속공리를 만족하는 모형-해석기하-를 만든 것이다. 이러한 방법 은 어떤 공리계의 무모순성을 증명할 때, 구체적인 모형을 만들어보는 방법이다. 비유클리드 기하의 무모순성에 귀착시키는 것도 이러한 방법을 이용한다.</p><p>힐베르트는 그의 공리계의 무모순성에 이어, 평행선공리, 합동의 공리와 연속의 공리가 서로 독립이라는 것을 증명하고 있다. 한 공리가 독립이라는 것을 증명하고자 할 때는 그 공리를 부정하더라도 다른 공리군들은 모순이 없다는 것을 보이면 된다.</p><p>결합과 순서의 공리는 그 다음의 공리군을 말하기 위한 전제로 사용되고 있으므로, 이들은 다른 공리군과 독립이 아니다. 평행선공리의 독립성은 비유클리드 기하학의 성립에 의하여 보증된다. 다른 공리에 대해서도 그 독립성은 각각 그 모형을 만드는 방법에 의하여 증명하고 있다.</p><p>정의 직선 \\( m \\)이 직선 \\( l \\)과 점 \\( B \\)에서 만나고, 직선 \\( l^{\\prime} \\)와는 \\( B^{\\prime} \\)에서 만나는 횡단선이라 하자. \\( A * B * C \\)인 \\( l \\) 위의 점 \\( A \\) 와 \\( C \\)를 선택하자. 또 \\( A \\)와 \\( A^{\\prime} \\)가 직선 \\( m \\)에 관하여 같은 쪽에 있고 \\( A^{\\prime} * B^{\\prime} * C^{\\prime} \\)인 \\( l^{\\prime} \\) 위의 점 \\( A^{\\prime} \\)와 \\( C^{\\prime} \\)를 선택하자. 이때, 다음 네 각을 내각이라 부른다.</p><p>\\[\\angle A^{\\prime} B^{\\prime} B, \\angle A B B^{\\prime}, \\angle C^{\\prime} B^{\\prime} B, \\angle C B B^{\\prime} \\text {. }\\]</p><p>그리고 두 쌍 \\( \\left(\\angle A B B^{\\prime}, \\angle C^{\\prime} B^{\\prime} B\\right) \\) 와 \\( \\left(\\angle A^{\\prime} B^{\\prime} B, \\angle C B B^{\\prime}\\right) \\)를 엇각(alternate angles)의 쌍이라고 부른다.</p><p>정리 \\( 2.4.5 \\) (엇각정리) 한 횡단선에 의해서 잘린 두 직선이 합동인 엇각의 쌍을 가지면 그 두 직선은 평행이다.<p>증명 \\( \\angle A^{\\prime} B^{\\prime} B \\cong \\angle C B B^{\\prime} \\)가 주어졌다고 하자. 직선 \\( l \\)과 \\( l^{\\prime} \\)가 점 \\( D \\)에서 만난다고 가정하자. \\( D \\)가 직선 \\( m \\)에 관하여 \\( C, C^{\\prime} \\)와 같은 쪽에 있다고 하자. 합동공리 \\( 1 \\)에 의하여 \\( B^{\\prime} E= \\) \\( B D \\)인 점 \\( E \\)가 \\( \\overrightarrow{B^{\\prime} A} \\) 위에 존재한다. 선분 \\( B B^{\\prime} \\)는 자기 자신과 합동이므로 \\( \\mathrm{SAS} \\) 합동판정법에 의하여 \\( \\triangle B^{\\prime} B D \\equiv \\triangle B B^{\\prime} E \\)이다. 특히, \\( \\angle D B^{\\prime} B \\equiv \\angle E B B^{\\prime} \\)이고. \\( \\angle D B^{\\prime} B \\)가 \\( \\angle E B^{\\prime} B \\)의 보각이므로 명제 \\( 2.3.8 \\)과 합동공리 \\( 4 \\)에 의하여 \\( \\angle E B B^{\\prime} \\) 는 \\( \\angle D B B^{\\prime} \\)의 보각이다. 이것은 \\( E \\)가 직선 \\( l \\) 위에 있음을 의미한다. 따라서 \\( l \\)과 \\( l^{\\prime} \\)는 공통으로 두 점 \\( E \\)와 \\( D \\)를 갖는다. 이것은 명제 \\( 2.1.1 \\)에 모순이다. 그러므로 \\( l / / l^{\\prime} \\) 이다.</p> <h2>1.2 공통개념</h2><p><ol type=1 start=1><li>어떤 것에 같은(합동인) 것들은 서로 같다(합동이다).</li><li>같은(합동인) 것들에 같은(합동인) 것을 더하면, 그 전체는 서로 같다(합동이다).</li><li>같은(합동인) 것들에서 같은(합동인) 것을 빼면, 그 나머지는 같다(합동이다).</li><li>서로 포개지는 것은 서로 같다(합동이다).</li><li>전체는 부분보다 크다.</li></ol></p><p>제 \\( 2 \\)권은 \\( 2 \\)개의 정의와 \\( 14 \\)개의 명제로 되어 있다. 제 \\( 3 \\)권은 \\( 11 \\)개의 정의와 \\( 37 \\)개의 명제로 되어있다. 제 \\( 4 \\)권은 \\( 7 \\)개의 정의와 \\( 16 \\)개의 명제로 되어 있다. 제 \\( 5 \\)권에는 비례에 관한 이론이 실려 있는 데, \\( 18 \\)개의 정의와 \\( 25 \\)개의 명제로 되어 있다. 제 \\( 6 \\)권은 \\( 4 \\)개의 정의와 \\( 33 \\)개의 명제로 되어 있다. 제 \\( 7,8,9,10 \\)권에는 수를 나타낼 때 선분을 이용하고 있는 데, 그 내용은 정수에 관한 이론이다. 제 \\( 7 \\)권에는 두 수의 최대공약수를 구하는 \"유클리드 호제법\"이 나와 있고, 제\\( 9 \\)권에는 소수정리(소수의 개수는 유한이 아니다)가 증명되어 있다. 제 \\( 10 \\)권에는 무리수에 관한 내용이 실려 있는 데, \\( 4 \\)개의 정의와 \\( 115 \\)개의 명제가 실려 있다. 제 \\( 11,12,13 \\)권에는 입체기하학의 이론이 실려 있는 데, \\( 28 \\)개의 정의와 \\( 39 \\)개의 명제가 실려 있다.</p><p>그리스인들은 기하학적 명제들이 시행착오에 의해서가 아니라 연역적 추론에 의해서 세워져야 한다고 주장했다. 탈레스(Thales)는 명제들이 옳은가를 보이는 데 있어서 최초로 논리적 기하학을 전개했다. 명제들을 증명에 의하여 논리정연하게 전개한 것이 바로 그리스 수학의 특징이고 또 그것은 완전히 새로운 것이다.</p><p>유클리드(Euclid)의 공통개념을 논리적으로 엄밀히 살펴보면, 거기에는 결함이 있다. 거기에 나오는 결함을 암암리에 가정한다는 것은 논리적으로 합당하지 않다. 예를 들어, 공통개념 \\(2 \\)에 의하여 직선의 크기(길이)는 무한이다. 그러나 유클리드의 공준 Ⅱ에서 유한의 직선을 직선으로 길게 연장할 수 있다는 것은 그 크기가 무한하다는 것과 그 개념이 다른 것이다.</p><p>또, 유클리드는 두 삼각형의 합동의 증명에 있어서, 공통개념 \\( 4 \\)에 의하여 두 삼각형이 포개질 수 있으므로 그들은 서로 합동이라고 하였다. 이것은 논리적으로 매우 막연하다. 여기에서는 도형의 변형 없는 운동을 암암리에 가정했는데, 이것을 밑받침할 근거를 유클리드의 공리군에서 찾아볼 수 없고, 또 유도되지도 않는다.</p><p>또한 점은 부분이 없는 것이라 정의하였다. 이와 같이 유클리드는 모든 기하학적 용어를 정의하려고 시도하였다. 그러나 사용되는 용어는 모두 정의할 수 없다. 한 용어를 정의하기 위해 서는 또 다른 용어를 정의해야만 하고 다시 이 용어를 정의하기 위해서는 또 다른 용어를 정의 해야 한다. 따라서 어떤 용어를 정의하지 않은 채로 남겨둘 수 있도록 허용되지 않으면 무한회귀에 빠져들고 말 것이다. 그래서 유클리드 기하학에서 모든 기하학 용어를 정의하는 데 기초로 사용되는 \\( 5\\)개의 무정의 용어가 있다.</p><p><ul><li>점(point)</li><li>직선(line)</li><li>~ 위에 있다(lie on)</li><li>사이</li><li>합동(conguent)</li></ul></p><p>유클리드는 순서공리를 무시했다. 순서공리군의 필요성을 예증하기 위해서 \"이등변삼각형의 두 밑각은 합동이다.\"라는 정리에 대한 다음 증명을 살펴보자, 이것은 유를리드의 증명은 아니다. 물론 유클리드의 증명도 다른 측면에서 문제점이 있다.</p><p>증명 삼각형 \\( \\triangle A B C \\)에서 \\( A C \\equiv B C \\)라고 하자.</p><p>\\( \\angle C \\)의 이등분선이 변 \\( A B \\)와 \\( D \\)에서 만난다고 하자(각의 이등분선을 그릴 수 있다). 삼각형 \\( \\triangle A C D \\)와 \\( \\triangle B C D \\)에서 \\( A C \\equiv B C \\) 이고, \\( \\angle A C D \\equiv \\angle B C D \\)이며, \\( C D \\)는 공통 변이므로, \\( \\mathrm{SAS} \\) 합동에 의하여 \\( \\triangle A C D \\equiv \\triangle B C D \\)이다. 그러므로 \\( \\angle A \\equiv \\angle B \\)이다.</p><p>[증명에서의 의문점]</p><p>(\\(1\\)) \\( \\angle C \\)의 이등분선이 직선 \\( A B \\)와 만난다는 것을 어떻게 알 수 있는가?</p><p>(\\(2\\)) 비록 \\( \\angle C \\)의 이등분선이 직선 \\( A B \\)와 만난다할지라도 교점 \\( D \\)가 점 \\( A \\)와 점 \\( B \\)의 사이에 있다는 것을 어떻게 알 수 있을까? 다음 그림에서와 같이 점 \\( D \\)에서 만난다고 할 수 있지 않을까?</p> <h2>2.5 힐베르트의 평행공리</h2><p>\" \\( l \\)의 임의의 직선이고 \\( P \\)는 직선 \\( l \\) 위에 있지 않는 점이면, \\( P \\)를 지나는 직선 \\( m \\)의 유일하게 존재하여 \\( l \\)과 \\( m \\)은 평행하다.", "\"</p><p>정리 \\( 2.5.1 \\) 힐베르트 평행공리는 다음 각 명제와 동치이다.<ol type=1 start=1><li>(유클리드의 평행공준 V) 만일 두 직선이 한 횡단선에 의하여 교차하고 또 이때 횡단선의 한 쪽에 있는 두 내각의 크기의 합이 \\( 180^{\\circ} \\) 보다 작으면 두 직선은 횡단선의 그 쪽에서 만난다.</li><li>한 직선이 서로 다른 두 평행선의 하나와 교차하면 그것은 또 다른 하나와 교차한다.</li><li>(엇각정리의 역) 서로 다른 두 평행선과 교차하는 횡단선의 엇각은 합동이다.</li><li>서로 다른 두 평행선과 교차하는 횡단선이 한 직선과 수직이면 그 횡단선은 또 다른 직선과 수직이다.</li><li>서로 다른 두 평행선 중의 한 직선과 수직인 직선은 또 다른 직선과 수직인 직선과 서로 일치하거나 평행이다.</li></ol></p><p>증명 (\\( 1 \\)) 힐베르트 평행공리가 성립한다고 가정하자. 유클리드의 평행공준의 가정에 의하여 \\( m(\\angle 1)+m(\\angle 2)<180^{\\circ} \\)이고, 정리 \\( 2.4.15 \\)에 의하여 \\( m(\\angle 1)+m(\\angle 3)=180^{\\circ} \\)이다.</p><p>따라서 \\( m(\\angle 2)<180^{\\circ}-m(\\angle 1)=m(\\angle 3) \\)이다. 또 합동공리 \\( 4 \\)에 의하여 \\( \\angle 3 \\) 과 \\( \\angle C^{\\prime} B^{\\prime} B \\)가 엇각으로서 합동이 되는 유일한 반직선 \\( \\overrightarrow{B^{\\prime} C^{\\prime}} \\)가 존재한다. 엇각정리에 의하여 \\( \\overleftarrow{B^{\\prime} C^{\\prime}} \\)는 \\( l \\)과 평행이다. 힐베르트의 평행공리에 의하여 점 \\( B^{\\prime} \\)를 지나서 \\( l \\)과 평행인 직선은 \\( \\overleftrightarrow{B^{\\prime} C} \\) 뿐이다. \\( m \\neq \\overleftrightarrow{B^{\\prime} C} \\)이므로, \\( m \\)은 \\( l \\)과 만난다. \\( m \\)이 \\( t \\)에 관하여 \\( C^{\\prime} \\)와 같은 쪽에서 \\( l \\)과 만남을 증명해야 한다. \\( m \\)과 \\( l \\)이 \\( t \\)에 관하여 \\( C^{\\prime} \\)와 반대쪽의 점 \\( A \\)에서 만난다고 가정하자. 그러면 \\( \\angle 2 \\)는 \\( \\triangle A B B^{\\prime} \\)의 외각이다. \\( \\angle 2 \\)는 \\( \\angle 3 \\)으로 이것은 외각정리에 모순이다. 그러므로 유클리드의 평행공준 \\( \\mathrm{V} \\)가 성립한다. 역으로, 유클리드의 평행공준 \\( \\mathrm{V} \\)가 성립한다고 가정하자.</p><p>\\( t \\)가 \\( P \\)를 지나서 \\( l \\)과 수직이라 하고 \\( m \\)을 \\( P \\)를 지나서 \\( t \\)와 수직이라고 하자. 그러면 따름 정리 \\( 2.4.6 \\)에 의하여 \\( m / / l \\)이다. \\( n \\)이 \\( P \\) 를 지나는 또 다른 직선이라고 하자. 이때 \\( n \\)이 \\( l \\)과 만남을 보여야 한다.</p><p>\\( \\angle 1 \\)을 \\( n \\)이 \\( t \\)와 만든 예각이라고 하자 \\( (n \\neq m \\)이므로 그런 각이 존재한다\\( ) \\). 그러면 \\[m(\\angle 1)+m(\\angle P Q R)<90^{\\circ}+90^{\\circ}=180^{\\circ} \\]이다. 따라서 유클리드의 평행공준 \\( \\mathrm{V} \\)의 가정이 만족된다. 그러므로 \\( n \\)은 \\( l \\)과 만난다. 그러므로 힐베르트의 평행공리가 성립한다.</p><p>(\\( 2 \\)) 힐베르트의 평행공리가 성립한다고 가정하자. \\( l / / m \\)인 서로 다른 두 직선 \\( l, m \\)에 대하여 직선 \\( t \\)가 \\( l \\)과 점 \\( P \\)에서 교차한다고 하자. 만일 \\( t \\)가 \\( m \\)과 교차하지 않는다면, \\( t / / m \\)이다. 이것은 가정에 모순이다. 그러므로 \\( t \\)는 \\( m \\)과 만난다.</p><p>역으로, \\( l / / m \\)인 서로 다른 두 직선 \\( l, m \\)에 대하여 직선 \\( t \\)가 \\( l \\)과 점 \\( P \\)에서 교차하면 \\( t \\)는 직선 \\( m \\)과 점 \\( Q \\)에서 교차한다고 가정하자. \\( m^{\\prime} \\)가 \\( Q \\)를 지나면서 \\( l \\)과 평행인 직선이라면, \\( l / / m \\)이므로 \\( m / / m^{\\prime} \\)이다. 이것은 모순이다. 그러므로 힐베르트의 평행공리가 성립한다.</p><p>(\\( 3 \\)) 힐베르트의 평행공리가 성립한다고 가정하고, 서로 다른 두 평행선 \\( l, m \\)과 횡단선 \\( t \\)가 교차한다고 하자. \\( \\angle R P Q \\not \\cong \\angle S Q P \\)이라고 하자. 그러면 삼분법에 의하여 \\( \\angle R P Q<\\angle S Q P \\) 또는 \\( \\angle R P Q>\\angle S Q P \\) 이다. 이때, (\\( 1\\))에 의하여 \\( l \\)과 \\( m \\)은 교차하게 된다. 이것은 가정에 모순이다. 그러므로 서로 다른 두 평행선과 교차하는 횡단선의 엇각은 합동이다.</p><p>역으로, 서로 다른 두 평행선과 교차하는 횡단선의 엇각은 합동이라고 가정하자. 따름정리 \\( 2.4.7 \\)에 의하여 임의의 직선 \\( l \\) 위에 있지 않은 점 \\( P \\)를 지나서 \\( l \\)과 평행인 직선은 적어도 하나 존재한다.</p><p>\\( m, m^{\\prime} \\)가 \\( Q \\)를 지나고 \\( l \\)과 평행인 서로 다른 직선이라고 하자. 이때, \\( P, Q \\)를 지나는 횡단선을 \\( t \\)라고 하자. 그러면 가정에 의하여 \\( \\angle R P Q \\cong \\angle S Q P \\)이고 \\( \\angle R P Q \\cong \\angle S^{\\prime} Q P \\)이다. 합동공리 \\( 5 \\)에 의하여 \\( \\angle S Q P \\cong \\angle S^{\\prime} Q P \\)이다. 그러므로 \\( m=m^{\\prime} \\)이다. 이것은 모순이다</p><p>(\\( 4 \\)) 힐베르트의 평행공리가 성립한다고 가정하자. 서로 다른 두 평행선 \\( l, m \\)과 교차하는 횡단선 \\( t \\)가 \\( l \\)과 수직이라 하자.</p><p>(\\( 3 \\))에 의하여 \\( \\angle R P Q \\cong \\angle S Q P \\)이다. 그러므로 \\( t \\perp m \\) 이다.</p><p>역으로, 서로 다른 두 평행선과 교차하는 횡단선이 한 직선과 수직이면 그 횡단선은 또 다른 직선과 수직이라고 가정하자. 그러면 (\\(3 \\))에 의하여 힐베르트의 평행공리가 성립한다.</p><p>(\\( 5 \\)) 힐베르트의 평행공리가 성립한다고 가정하자. \\( k / / l \\)이고 \\( m \\perp k, n \\perp l \\)이라고 하자. \\( m \\neq n \\)이라고 하자.</p><p>그러면 (\\(4 \\))에 의하여 \\( m \\perp l, n \\perp k \\)이다. 이때, \\( m, n \\)과 교차하는 횡단선 \\( k \\)의 엇각이 합동이므로 엇각정리에 의하여 \\( m / / n \\)이다.</p><p>역으로, 서로 다른 두 평행선 \\( k, l \\)에 대하여 \\( k \\)와 수직인 직선 \\( m \\)과 \\( l \\) 과 수직인 직선 \\( n \\)은 서로 일치하거나 평행이라고 가정하자. 만일 \\( m=n \\)이면, (\\( 4\\))에 의하여 힐베르트의 평행공리가 성립한다.</p><p>만일 \\( m / / n \\)이면, 따름정리 \\( 2.4.6 \\)에 의하여 \\( m \\perp l \\)이다. 그러므로 (\\( 4 \\))에 의하여 힐베르트의 평행공리가 성립한다.</p> <p>정의 닮은 삼각형(similar triangle)이란 그의 대응각들이 합동이 되도록 꼭짓점들을 일대일 대응 시킬 수 있는 삼각형들을 말한다. 즉, 삼각형 \\( \\triangle A B C, \\triangle E F G \\)에서 \\[A \\leftrightarrow E, B \\leftrightarrow F, C \\leftrightarrow G \\text { 이고 } \\angle A \\equiv \\angle E, \\angle B \\equiv \\angle F, \\angle C \\equiv \\angle G\\] 일 때, \\( \\triangle A B C, \\triangle E F G \\)는 닮은 삼각형이라 하고, \\( \\triangle A B C \\sim \\triangle E F G \\)로 나타낸다.</p><p>정리 2.5.5 (닮은 삼각형에 대한 기본정리) 삼각형 \\( \\triangle A B C, \\triangle A^{\\prime} B^{\\prime} C^{\\prime} \\)에서 \\( \\triangle A B C \\sim \\) \\( \\triangle A^{\\prime} B^{\\prime} C^{\\prime} \\)이기 위한 필요충분조건은 대응하는 변들이 비례한다.</p><p>증명 \\( (⭢) \\triangle A B C \\sim \\triangle A^{\\prime} B^{\\prime} C^{\\prime} \\) 이라 하자. 점 \\( B^{\\prime \\prime} \\)는 \\( A B^{\\prime \\prime}=A^{\\prime} B^{\\prime} \\)인 \\( \\overrightarrow{A B} \\) 위의 점이라 하고, 점 \\( C^{\\prime \\prime} \\)는 \\( A C^{\\prime \\prime}=A^{\\prime} C^{\\prime} \\)인 \\( \\overrightarrow{A C} \\) 위의 점이라 하자. 그러면 \\( \\mathrm{SAS} \\) 합동판정법에 의하여 \\( \\triangle A B^{\\prime \\prime} C^{\\prime \\prime} \\equiv \\triangle A^{\\prime} B^{\\prime} C^{\\prime} \\) 이다. 그러므로 \\( \\angle B^{\\prime \\prime} \\equiv \\angle B^{\\prime} \\)이다. \\( \\triangle A B C \\sim \\triangle A^{\\prime} B^{\\prime} C^{\\prime} \\)이므로. \\( \\angle B \\equiv \\angle B^{\\prime} \\)이다. 그러므로 \\( \\angle B^{\\prime \\prime} \\equiv \\angle B \\) 이다. 따라서 \\( B^{\\prime \\prime} C^{\\prime \\prime} / / B C \\)이다. 점 \\( A \\)를 지나서 변 \\( B^{\\prime \\prime} C^{\\prime \\prime} \\)와 \\( B C \\)에 평행인 직선을 그리자. 그러면 평행사영정리에 의하여 \\[\\overline{A B^{\\prime \\prime}} / \\overline{B^{\\prime \\prime} B}=\\overline{A C^{\\prime \\prime}} / \\overline{C^{\\prime \\prime} C}\\]이다. 그러므로 \\[\\begin{aligned} \\overline{A B} / \\overline{A^{\\prime} B^{\\prime}}=\\left(\\overline{A B^{\\prime \\prime}}+\\overline{B^{\\prime \\prime} B}\\right) / \\overline{A B^{\\prime \\prime}} &=1+\\overline{B^{\\prime \\prime} B} / \\overline{A B^{\\prime \\prime}} \\\\ &=1+\\overline{C^{\\prime \\prime} C} / \\overline{A C^{\\prime \\prime}} \\\\ &=\\left(\\overline{A C^{\\prime \\prime}}+\\overline{C^{\\prime \\prime} C}\\right) / \\overline{A^{\\prime} C^{\\prime}} \\\\&=\\overline{A C} / \\overline{A^{\\prime} C^{\\prime}} \\end{aligned}\\]이다. 마찬가지로 하면, \\( \\overline{A B} / \\overline{B C}=\\overline{A^{\\prime} B^{\\prime}} / \\overline{B^{\\prime} C^{\\prime}}, \\overline{B C} / \\overline{C A}=\\overline{B^{\\prime} C^{\\prime}} / \\overline{C^{\\prime} A^{\\prime}} \\) 를 얻는다.</p><p>(⭠) 삼각형 \\( \\triangle A B C, \\triangle A^{\\prime} B^{\\prime} C^{\\prime} \\) 에서 \\( \\overline{A B} / \\overline{A C}=\\overline{A^{\\prime} B^{\\prime}} / \\overline{A^{\\prime} C^{\\prime}}, \\overline{A B} / \\overline{B C}=\\overline{A^{\\prime} B^{\\prime}} / \\overline{B^{\\prime} C^{\\prime}} \\), \\( \\overline{B C} / \\overline{C A}=\\overline{B^{\\prime} C^{\\prime}} / \\overline{C^{\\prime} A^{\\prime}} \\)가 성립한다고 가정하자. 점 \\( B^{\\prime \\prime} \\) 는 \\( A B^{\\prime \\prime} \\equiv A^{\\prime} B^{\\prime} \\) 인 \\( \\overrightarrow{A B} \\) 위의 점이라 하자. 그러면 \\( B^{\\prime \\prime} \\) 를 지나서 변 \\( B C \\)에 평행인 직선\\( \\stackrel{\\leftrightarrow}{B^{\\prime \\prime} C^{\\prime \\prime}} \\)가 존재한다. Pasch 정리에 의하여 이 직선은 변 \\( A C \\) 위의 점 \\( C^{\\prime \\prime} \\)에서 만난다.</p><p>점 \\( A \\)를 지나서 변 \\( B^{\\prime \\prime} C^{\\prime \\prime} \\)와 \\( B C \\)에 평행인 직선을 그리자. 그러면 평행사영정리에 의하여 \\[\\overline{A B^{\\prime \\prime}} / \\overline{B^{\\prime \\prime} B}=\\overline{A C^{\\prime \\prime}} / \\overline{C^{\\prime \\prime} C}=\\frac{1}{k}\\]이다.\\[\\begin{aligned}\\overline{A^{\\prime} B^{\\prime}} / \\overline{A^{\\prime} C^{\\prime}}=\\overline{A B} / \\overline{A C} &=\\left(\\overline{A B^{\\prime \\prime}}+\\overline{B^{\\prime \\prime} B}\\right) /\\left(\\overline{A C^{\\prime \\prime}}+\\overline{C^{\\prime \\prime} C}\\right) \\\\&=\\overline{A B^{\\prime \\prime}} / \\overline{A C^{\\prime \\prime}}\\end{aligned}\\]이고 \\( \\overline{A^{\\prime} B^{\\prime \\prime}}=\\overline{A^{\\prime} B^{\\prime}} \\)이므로, \\( \\overline{A^{\\prime} C^{\\prime}}=\\overline{A C^{\\prime \\prime}} \\)이다. 그러므로 \\( A^{\\prime} C^{\\prime} \\equiv A C^{\\prime \\prime} \\)이다. 마찬가지로, \\( B^{\\prime} C^{\\prime} \\equiv B^{\\prime \\prime} C^{\\prime \\prime} \\)이다. 그러므로 SSS 합동판정법에 의하여 \\( \\triangle A B^{\\prime \\prime} C^{\\prime \\prime} \\equiv \\triangle A^{\\prime} B^{\\prime} C^{\\prime} \\)이다. 그래서 \\( \\angle A \\equiv \\angle A^{\\prime}, \\angle B \\equiv \\angle B^{\\prime \\prime} \\equiv \\angle B^{\\prime}, \\angle C \\equiv \\angle C^{\\prime \\prime} \\equiv \\angle C^{\\prime} \\) 이다.따라서 \\( \\triangle A B C \\sim \\triangle A^{\\prime} B^{\\prime} C^{\\prime} \\)이다.</p><p>정리 \\( 2.5.6 \\) (SAS 닮음판정법) 삼각형 \\( \\triangle A B C, \\triangle A^{\\prime} B^{\\prime} C^{\\prime} \\)에서 \\( \\angle A \\equiv \\angle A^{\\prime} \\)이고, \\( \\overline{A B} / \\overline{A^{\\prime} B^{\\prime}}=\\overline{A C} / \\overline{A^{\\prime} C^{\\prime}} \\) 이면, \\( \\triangle A B C \\sim \\triangle A^{\\prime} B^{\\prime} C^{\\prime} \\)이다.</p><p>증명 점 \\( B^{\\prime \\prime} \\)는 \\( A B^{\\prime \\prime} \\equiv A^{\\prime} B^{\\prime} \\) 인 \\( \\overrightarrow{A B} \\) 위의 점이라 하고, 점 \\( C^{\\prime \\prime} \\)는 \\( A C^{\\prime \\prime} \\equiv A^{\\prime} C^{\\prime} \\)인 \\( \\overrightarrow{A C} \\) 위의 점이라 하자. 그러면 SAS 합동판정법에 의하여 \\( \\triangle A B^{\\prime \\prime} C^{\\prime \\prime} \\equiv \\triangle A^{\\prime} B^{\\prime} C^{\\prime} \\)이다. 그러므로 \\( B^{\\prime \\prime} C^{\\prime \\prime} \\equiv B^{\\prime} C^{\\prime} \\)이고 \\( \\angle B^{\\prime \\prime} \\equiv \\angle B^{\\prime}, \\angle C^{\\prime \\prime} \\equiv \\angle C^{\\prime} \\)이다. \\( \\overline{A B} / \\overline{A^{\\prime} B^{\\prime}}=\\overline{A C} / \\overline{A^{\\prime} C^{\\prime}}= \\) (일정)이므로, \\( B^{\\prime \\prime} C^{\\prime \\prime} / / B C \\)이다. 그러므로 \\( \\angle B^{\\prime \\prime} \\equiv \\angle B, \\angle C^{\\prime \\prime} \\equiv \\angle C \\)이다. 따라서\\[\\angle B^{\\prime} \\equiv \\angle B, \\angle C^{\\prime} \\equiv \\angle C\\]이다. 그래서 \\( \\triangle A B C \\sim \\triangle A^{\\prime} B^{\\prime} C^{\\prime} \\)이다.</p><p>정리 \\( 2.5.7 \\)<ol type=1 start=1><li>다음 직각삼각형에 대하여 \\( \\triangle A C D \\sim \\triangle A B C \\sim \\triangle C B D \\)이다.</li><li>(피타고라스 정리) \\( \\overline{A C}^{2}+\\overline{B C}^{2}=\\overline{A B}^{2} \\)</li></ol></p><p>증명 삼각형 \\( \\triangle A B C, \\triangle A C D \\)를 생각하자.</p><p>\\( \\angle A \\)는 공통 각이고. \\( \\angle C \\equiv \\angle D \\)는 직각이므로, \\( \\angle B \\equiv \\angle C \\)이다.</p><p>그러므로 \\( \\triangle A B C \\sim \\triangle A C D \\) 이다. 그러므로 정리 \\( 2.5 .5 \\) 에 의하여 대응하는 변들은 비례한다.</p><p>\\( \\overline{A C}: \\overline{A D}=\\overline{A B}: \\overline{A C} \\), 즉 \\( \\overline{A C}^{2}=\\overline{A D} \\cdot \\overline{A B} \\).</p><p>마찬가지로, \\( \\triangle A B C \\sim \\triangle C B D, \\triangle A C D \\sim \\triangle C B D \\)이다. \\( \\overline{B C}: \\overline{B D}=\\overline{A B}: \\overline{B C} \\), 즉 \\( \\overline{B C^{2}}=\\overline{B D} \\cdot \\overline{A B} \\).\\( \\overline{A D}: \\overline{C D}=\\overline{C D}: \\overline{B D} \\), 즉 \\( \\overline{C D}^{2}=\\overline{A D} \\cdot \\overline{B D} \\).</p><p>(\\( 2 \\)) \\( \\overline{A B}=\\overline{A D}+\\overline{B D} \\)이다. (\\( 1 \\))의 증명에 의하여 다음을 얻는다. \\[\\begin{aligned}\\overline{A C}^{2}+\\overline{B C}^{2} &=\\overline{A D} \\cdot \\overline{A B}+\\overline{B D} \\cdot \\overline{A B} \\\\&=(\\overline{A D}+\\overline{B D}) \\cdot \\overline{A B} \\\\&=\\overline{A B}^{2}\\end{aligned}\\]</p> <h1>연습문제</h1><p>\\( 1 \\). 삼각형 \\( \\triangle A B C \\)의 내점 \\( P, Q \\)에 대하여 선분 \\( P Q \\)는 변 \\( B C, C A, A B \\)의 어느 것과도 공통점을 갖지 않음을 증명하여라.</p><p>\\( 2 \\). 삼각형 \\( \\triangle A B C \\)의 \\( 3 \\)개의 중선의 길이의 합 \\( l \\)은 \\( \\frac{2}{3} s<l<2 s \\)가 성립함을 증명하여라. (단, \\( 2 s=\\overline{A B}+\\overline{B C}+\\overline{C A} \\) 이다.)</p><p>\\( 3 \\). 삼각형 \\( \\triangle A B C \\)의 내접원의 반지름은 \\( r \\)이라 하고, \\( \\angle A, \\angle B, \\angle C \\)에 대한 방접원의 반지름은 각각 \\( r_{A}, r_{B}, r_{C} \\)라 하자. \\( S \\)는 삼각형 \\( \\triangle A B C \\)의 넓이일 때 다음이 성립함을 증명하여라.</p><p><ol type=a start=1><li>\\( r \\cdot r_{A} r_{B} r_{C}=S^{2} \\)</li><li>\\( \\frac{1}{r_{A}}+\\frac{1}{r_{B}}+\\frac{1}{r_{C}}=\\frac{1}{r} \\)</li></ol></p><p>\\( 5 \\). 삼각형 \\( \\triangle A B C \\)의 \\( 3 \\) 변 \\( B C, C A, A B \\) 위의 점 \\( D, E, F \\)에 대하여 \\( \\overleftrightarrow{A D,} \\overleftrightarrow{B E}, \\overleftrightarrow{C F} \\) 가 한 점 \\( O \\)에서 만나면, \\( \\overleftrightarrow{B C} \\)와 \\( \\overleftrightarrow{E F} \\)의 교점 \\( L, \\overleftrightarrow{C A} \\)와 \\( \\overleftrightarrow{F D} \\)의 교점 \\( M, \\overleftrightarrow{A B} \\)와 \\( \\overleftrightarrow{D E} \\)의 교점 \\( N \\)은 동일한 직선 의에 있음을 증명하여라.</p><p>\\( 6 \\). 원에 내접하는 사변형 \\( A B C D \\)에 대하여 \\( \\overleftrightarrow{A B} \\)와 \\( \\overleftrightarrow{C D} \\)의 교점을 \\( L, \\overleftrightarrow{B C} \\)와 \\( \\overleftrightarrow{A D} \\)의 교점을 \\( M \\)이라 하고, 두 점 \\( B, D \\)에서의 접선의 교점을 \\( N \\)이라 하면, \\( L, M, N \\)은 동일한 직선 위에 있음을 증명하여라.</p><p>\\( 7 \\). 볼록 \\( 4 \\)각형 \\( B^{\\prime} C^{\\prime} O A^{\\prime} \\)에 대하여 다음 그림과 같이 \\( \\overleftrightarrow{B^{\\prime} C} \\)와 \\( \\overleftrightarrow{A^{\\prime} O} \\)와의 교점을 \\( A, \\overleftrightarrow{B^{\\prime} A} \\)와 \\( \\overleftrightarrow{C^{\\prime} O} \\) 와의 교점을 \\( C, \\overleftrightarrow{A C} \\)와 \\( \\overleftrightarrow{B^{\\prime} O} \\)와의 교점을 \\( D, \\overleftrightarrow{A C} \\)와 \\( \\overleftrightarrow{C^{\\prime} A} \\)와의 교점을 \\( B \\)라 하면, 두 점 \\( B, D \\)는 변 \\( A C \\)를 조화로 나눈다는 것을 보여라.</p> <p>명제 \\( 2.4.14 \\) \\( \\triangle A B C \\)와 \\( \\triangle A^{\\prime} B^{\\prime} C^{\\prime} \\)에 대하여 \\( A B \\equiv A^{\\prime} B^{\\prime} \\)이고 \\( B C \\equiv B^{\\prime} C^{\\prime} \\)라고 하자. 그러면 \\( \\angle B<\\angle B^{\\prime} \\)이기 위한 필요충분조건은 \\( A C<A^{\\prime} C^{\\prime} \\)이다.</p><p>증명 \\( \\angle B<\\angle B^{\\prime} \\)라고 가정하고, \\( A=A^{\\prime}, B=B^{\\prime} \\)라고 하자. 그러면 점 \\( C \\)는 \\( \\angle A B C^{\\prime} \\)의 내부에 있다. 횡선정리에 의하여 \\( B C \\)와 \\( A C^{\\prime} \\)는 점 \\( D \\)에서 만난다. 만일 \\( C=D \\)이면, 자명하다. 만일 \\( B * D * C \\)이면, 명제 \\( 2.3 .1 \\)에 의하여 \\( \\angle B C C^{\\prime} \\equiv \\angle B C^{\\prime} C \\) 이다.</p><p>그러므로 \\( \\angle A C^{\\prime} C<\\angle A C C^{\\prime} \\)이다. 따라서 명제 \\( 2.4.13 \\)에 의하여 \\( A C<A C^{\\prime} \\)이다. 만일 \\( B * C * D \\)이면, 외각정리에 의하여 \\( \\angle B C^{\\prime} C<\\angle D C C^{\\prime} \\)이다.</p><p>\\( \\angle B C C^{\\prime} \\equiv \\angle B C^{\\prime} C^{\\text {}} \\)이므로 명제 \\( 2.3.13 \\) 에 의하여 \\( \\angle B C C^{\\prime}<\\angle D C C^{\\prime} \\)이다. 외각정리에 의하여 \\( \\angle A C^{\\prime} C<\\angle B C C^{\\prime} \\)이다. 따라서 명제 \\(2.3.13 \\)에 의하여 \\( \\angle A C^{\\prime} C<\\angle D C C^{\\prime} \\)이다.</p><p>\\( \\angle D C C^{\\prime}<\\angle A C C^{\\prime} \\)이므로 명제 \\( 2.3.13 \\)에 의하여 \\( \\angle A C^{\\prime} C<\\angle A C C^{\\prime} \\) 이다. 따라서 명제 \\( 2.4.13 \\)에 의하여 \\( A C<A C^{\\prime} \\)이다.</p<p>역으로, \\( A C<A^{\\prime} C^{\\prime} \\equiv A C^{\\prime} \\)라고 가정하자. 그러면 삼분법에 의하여 \\( \\angle A B C<\\angle A B C^{\\prime} \\) 또는 \\( \\angle A B C \\equiv \\angle A B C^{\\prime} \\) 또는 \\( \\angle A B C>\\angle A B C^{\\prime} \\) 중 하나가 성립한다.</p><p>만일 \\( \\angle A B C \\equiv \\angle A B C^{\\prime} \\)이면, SAS 합동판정법에 의하여 \\( \\triangle A B C \\equiv \\triangle A B C^{\\prime} \\)이므로 \\( A C \\equiv A C^{\\prime} \\)이므로, 이것은 모순이다.</p><p>만일 \\( \\angle A B C>\\angle A B C^{\\prime} \\)이면, 명제 \\( 2.4.13 \\)에 의하여 \\( A C^{\\prime}<A C \\)이다. 이것은 가정에 모순이다. 그러므로 \\( \\angle A B C<\\angle A B C^{\\prime} \\)이다.</p><p>정리 \\( 2.4.15 \\) A. 각에 대하여 다음 성질을 만족하는 각의 크기를 대응시키는 유일한 방법이 존재한다.</p><p>(\\( 0 \\)) \\( m(\\angle A) \\) 는 \\( 0^{\\circ}<m(\\angle A)<180^{\\circ} \\)인 실수이다.</p><p>(\\( 1 \\)) \\( m(\\angle A)=90^{\\circ} \\Leftrightarrow \\angle A \\) 는 직각이다.</p><p>(\\( 2 \\)) \\( m(\\angle A)=m(\\angle B) \\Leftrightarrow \\angle A \\cong \\angle B \\)이다.</p><p>(\\( 3 \\)) \\( \\overrightarrow{A C} \\) 가 \\( \\angle D A B \\)의 내부에 있으면, \\( m(\\angle D A B)=m(\\angle D A C)+m(\\angle C A B) \\)이다.</p><p>(\\( 4 \\)) 0과 180 사이의 임의의 실수 \\( x \\)에 대하여 \\( m(\\angle A)=x^{\\circ} \\)인 각 \\( \\angle A \\)가 존재한다.</p><p>(\\( 5 \\)) \\( \\angle B \\)가 \\( \\angle A \\)의 보각이면, \\( m(\\angle A)+m(\\angle B)=180^{\\circ} \\)이다.</p><p>(\\( 6 \\)) \\( m(\\angle A)>m(\\angle B) \\Leftrightarrow \\angle A>\\angle B \\)이다.</p><p>B. 단위선분(unit segment)이라고 불리는 한 선분 \\( O I \\)가 주어지면, 각 선분 \\( A B \\)에 대하여 다음 성질을 만족하는 길이 \\( m(A B) \\)를 대응시키는 유일한 방법이 존재한다.</p><p>(\\( 7 \\)) \\( m(A B) \\) 는 양의 실수이고 \\( m(O I)=1 \\)이다.</p><p>(\\( 8 \\)) \\( m(A B)=m(C D) \\Leftrightarrow A B \\equiv C D \\)이다.</p><p>(\\( 9 \\)) \\( A * B * C \\Leftrightarrow m(A C)=m(A B)+m(B C) \\)이다.</p><p>(\\( 10 \\)) \\( m(A B)<m(C D) \\Leftrightarrow A B<C D \\)이다.</p><p>(\\( 11 \\)) 임의의 양의 실수 \\( x \\) 에 대하여 \\( m(A B)=x \\) 인 선분 \\( A B \\)가 존재한다.</p><p>정의 만일 \\( m(\\angle A)<90^{\\circ} \\)이면, \\( \\angle A \\)를 예각(acute angle)이라 하고, 만일 \\( m(\\angle A)>90 \\)이면, \\( \\angle A \\)를 둔각(obtuse angle)이라고 한다.</p><p>따름정리 \\( 2.4.16 \\) 삼각형에서 임의의 두 각의 크기의 합을 \\( 180^{\\circ} \\)보다 작다.</p><p>증명 외각정리와 정리 \\( 2.4.15 \\)에 의하여 \\( m(\\angle A C B)<180^{\\circ}-m(\\angle A B C) \\)이므로 \\( m(\\angle A C B)+m(\\angle A B C)<180 \\)이다.</p><p>따름정리 \\( 2.4.17 \\) (삼각부등식) 세 점 \\( A, B, C \\)가 동일한 직선 위에 있지 않으면, \\[m(A C)<m(A B)+m(B C) .\\]</p><p>증명 합동공리 \\(1 \\)에 의하여 \\( A * B * D \\)이고 \\( B D \\equiv B C \\)인 점 \\( D \\)가 유일하게 존재한다.</p><p>그러면 명제 \\( 2.3.1 \\)에 의하여 \\( \\angle B C D \\equiv \\angle B D C \\)이다. 정리 \\( 2.4 .15 \\) (\\( 9 \\))에 의하여 \\[m(A D)=m(A B)+m(B D)\\]이고, 정리 \\( 2.4.15 \\) (\\( 8 \\))에 의하여 \\( m(B D)=m(B C) \\)이므로, \\( m(A D)=m(A B)+m(B C) \\)이다. 명제 \\( 2.2.5 \\)에 의하여 \\( \\overrightarrow{C B} \\)는 \\( \\overrightarrow{C A} \\)와 \\( \\overrightarrow{C D} \\) 사이에 있다. 따라서 정의에 의하여 \\( \\angle A C D>\\)\\( \\angle B C D \\)이다. 명제 \\( 2.3.13 \\) (\\(3 \\))에 의하여 \\( \\angle A C D>\\angle A D C \\)이다. 명제 \\( 2.4.13 \\)에 의하여 \\( A D>A C \\)이다. 따라서 정리 \\( 2.4.15 \\) (\\( 10 \\))에 의하여 \\( m(A B)+m(B C)>m(A C) \\) 이다.</p> <h1>제 \\(2\\) 장 힐베르트의 공리계</h1><p>무정의 용어와 몇 개의 공리(공리계라고 부른다)들을 잡아서 그 위에 순수하게 논리적으로 수학적 이론을 전개해 가는 방법이 공리적 방법이고, 수학 이론은 모두 공리적 방법에 의하지 않으면 안 된다는 것이 공리주의이다. 이 공리주의의 입장에서 유클리드 기하학을 완전한 공리체계 위에서 수립한 것은 힐베르트의 \"기하학 기초론\"이다. 실은 이 “기하학 기초론\"을 통해서 공리주의가 수학의 주류를 이루게 되었다.", "“기하학 기초론\"은 다음과 같은 서문으로 시작되어 있다. “산술과 마찬가지로, 기하학의 모순이 없는 구성에는 몇 개인가의 간단한 원칙을 필요로 한다. 이들의 원칙을 공리라 한다. 기하학의 공리의 조립과 그들 상호간의 관계에 관한 연구는 유클리드이래 많은 홀륭한 논문 중에서 논의되어 온 문제이다. 이 문제는 직관적인 공간을 논리적인 분석에로 귀착된다. 여기에서 기술하는 연구는 기하학에 대하여 완전하고도 가장 간단한 공리계를 수립하여 그것으로부터 기하학의 중요한 정리를 유도하고자 하는 한 시도이다.\"", "</p><p>유클리드 공리들은 모두 힐베르트 공리들의 결과이다.", "</p><p>유클리드 공준 I 은 힐베르트의 결합공리 \\( 1 \\)과 동등한 것이다.", "</p><p>유클리드 공준 Ⅱ는 힐베르트의 합동공리 \\( 1 \\)으로부터 추론된다.", "</p><p>유클리드 공준 Ⅲ은 힐베르트 체계 안에서 하나의 정의(원의 정의)이다.", "</p><p>유클리드 공준 Ⅳ는 힐베르트 체계 안에서 하나의 정리(명제 \\( 2 \\),\\( 3 \\).\\", "( 15 \\))이다.", "</p><p>유클리드의 평행공준 Ⅴ는 힐베르트의 평행공리와 동치이다(정리 \\( 2 \\),\\( 5 \\).\\", "( 1 \\)).", "</p><p>무정의 원소<ul><li>점(point), 이것을 \\( A, B, C, \\ldots \\)로 나타낸다.", "</li><li>직선(line), 이것을 \\( a, b, c, \\ldots \\)로 나타낸다.", "</li><li>평면(plane), 이것을 \\( \\alpha, \\beta, \\gamma, \\ldots \\)로 나타낸다.", "</li></ul></p><p>무정의 관계<ul><li>결합(incidence)( \\( \\sim \\)에 있다, \\( \\sim \\)와 \\( \\sim \\)사이에 있다</li><li>평행(parallel)</li><li>합동(congruent)</li><li>연속(continuity)</li></ul></p><h2>2.1 결합공리군(group of incidence axioms)</h2><p>결합공리 \\( 1 \\).", "임의의 서로 다른 두 점 \\( P, Q \\)에 대하여 \\( P \\)와 \\( Q \\)를 지나는 직선 \\( l \\)이 존재한다 (이것은 Euclid의 공준 I이다).", "</p><p>결합공리 \\( 2 \\).", "한 직선 위에는 적어도 \\( 2 \\)점이 존재한다.", "</p><p>결합공리 \\( 3 \\).", "모든 점이 한 직선 위에만 있는 것이 아니다.", "</p><p>[참고] 결합공리 \\( 1,2,3 \\)을 만족하는 기하는 적어도 \\( 3 \\)점을 가져야 한다.", "이 공리들로부터 다음 명제를 얻는다.", "</p><p>명제 \\( 2.1.1 \\) 두 직선(평면)이 만나지 않을 때 그 두 직선(평면)은 평행(parallel)이라 한다.", "평행이 아닌 서로 다른 두 직선은 오직 한 점에서 만난다.", "</p><p>증명 평행이 아닌 서로 다른 두 직선 \\( l_{1}, l_{2} \\)는 두 점 \\( P, Q \\)에서 만난다고 가정하자.", "그러면 결합공리 \\( 1 \\)에 의하여 \\( P, Q \\)를 지나는 직선은 유일하다.", "따라서 \\( l_{1}=l_{2} \\)이다.", "이것은 모순이다.", "</p><p>명제 \\( 2.1.2 \\) 임의의 직선에 대하여 그 위에 있지 않는 점이 적어도 하나 존재한다.", "</p><p>증명 결합공리 \\( 3 \\)에 의하여 결과가 나온다.", "</p><p>명제 \\( 2.1.3 \\) 임의의 점에 대하여 그것을 지나지 않는 직선이 적어도 하나 존재한다.", "</p><p>증명 결합공리 \\( 3 \\)에 의하여 결과가 나온다.", "</p><p>명제 \\( 2.1.4 \\) 임의의 점 \\( P \\)에 대하여 \\( P \\)를 지나는 직선이 적어도 \\( 2 \\)개 존재한다.", "</p><p>증명 점 \\( P \\)를 지나는 임의의 직선은 \\( l \\)이라 하자.", "그러면 명제 \\( 1.2,3 \\)에 의하여 \\( l \\) 위에 있지 않는 점 \\( Q \\)가 적어도 하나 존재한다.", "그러므로 결합공리 \\( 1 \\)에 의하여 \\( P, Q \\)를 지나는 직선 \\( m \\)이 오직 하나 존재한다.", "그러므로 결과가 나온다.", "</p><p>명제 \\( 2.1 .5 \\) 한 점에서 만나지 않는 3개의 서로 다른 직선이 존재한다.", "</p><p>증명 직선 \\( l \\)이 주어졌다고 하자.", "그러면 결합공리 \\( 2 \\)에 의하여 \\( l \\) 위에는 적어도 \\( 2 \\)점 \\( P, Q \\)가 존재한다.", "결합공리 \\( 3 \\)에 의하여 \\( l \\) 위에 있지 않는 점 \\( R \\)이 존재한다.", "결합공리 \\( 1 \\) 에 의하여 \\( P, R \\)을 지나는 직선 \\( m \\)이 유일하게 존재하고, \\( Q, R \\)를 지나는 직선 \\( n \\)이 유일하게 존재한다.", "그러므로 결과가 나온다.", "</p><p>결합공리 \\( 4 \\).", "한 평면 위에는 적어도 일직선 위에 있지 않는 \\( 3 \\)점이 존재한다.", "</p><p>결합공리 \\( 5 \\). \\", "( 3 \\)점 \\( P, Q, R \\)가 일직선 위에 있지 않을 때, 이 \\( 3 \\)점을 지나는 평면 \\( \\pi \\)가 유일하게 존재한다.", "</p><p>결합공리 \\( 6 \\).", "직선 \\( l \\) 위의 \\( 2 \\)점 \\( P, Q \\)가 평면 \\( \\pi \\)위에 있으면, \\( l \\)의 모든 점은 평면 \\( \\pi \\) 위에 있다.", "</p><p>결합공리 \\( 7 \\). \\", "( 2 \\)개의 평면 \\( \\alpha, \\beta \\)가 한 점 \\( P \\)를 공유하면, 이들 \\( \\alpha, \\beta \\)는 적어도 다른 한 점 \\( Q \\)를 공유한다.", "</p><p>결합공리 \\( 8 \\).", "한 평면 위에 있지 않는 점들이 적어도 \\(4 \\)개 존재한다.", "</p><p>[참고] 결합공리군 \\( 4,5,6,7.8 \\)을 만족하는 기하는 적어도 \\( 4 \\)점을 가져야 한다.", "이 결합공리 \\( 1 \\) ~ 결합공리 \\( 8 \\)들로부터 다음 명제를 얻는다.", "</p><p>명제 \\( 2.1.6 \\) 한 직선 \\( l \\)과 \\( l \\) 위에 있지 않는 한 점 \\( P \\)가 주어지면, \\( l \\)과 \\( P \\)를 포함하는 평면이 유일하게 존재한다.", "</p><p>증명 결합공리 \\( 2 \\)에 의하여 직선 \\( l \\) 위에는 적어도 \\( 2 \\) 점 \\( Q, R \\)이 존재한다.", "결합공리 \\( 5 \\)에 의하여 \\( P, Q, R \\)을 지나는 평면 \\( \\pi \\)가 유일하게 존재한다.", "결합공리 \\( 6 \\)에 의하여 직선 \\( l \\)은 평면 \\( \\pi \\)에 포함된다.", "</p><p>명제 \\( 2.1.7 \\) 교차하는 두 직선을 포함하는 평면이 유일하게 존재한다.", "</p><p>증명 직선 \\( l, m \\)은 점 \\( P \\)에서 교차한다고 하자.", "결합공리 \\( 2 \\)에 의하여 \\( l, m \\) 위에는 각각 점 \\( Q, R \\)이 적어도 하나 존재한다.", "결합공리 \\( 5 \\)에 의하여 \\( P, Q, R \\)을 지나는 평면 \\( \\pi \\)가 유일하게 존재한다.", "결합공리 \\( 6 \\)에 의하여 직선 \\( l, m \\) 은 평면 \\( \\pi \\)에 포함된다.", "</p><p>명제 \\( 2.1.8 \\) 평행이 아닌 서로 다른 두 평면은 오직 한 직선에서 만난다.", "<p><p>증명 \\( \\pi_{1}, \\pi_{2} \\)는 평행이 아닌 평면이라 하자.", "그러면 \\( \\pi_{1}, \\pi_{2} \\)는 적어도 한 점 \\( P \\)를 공유해야 한 다.", "결합공리 \\(7 \\)에 의하여 \\( \\pi_{1}, \\pi_{2} \\)는 걱어도 다른 한 점 \\( Q \\) 를 공유해야 한다.", "그러므로 결합 공리 \\(6 \\)에 의하여 \\( \\pi_{1}, \\pi_{2} \\)는 직선 \\( P Q \\)를 공유한다.", "만일 \\( \\pi_{1}, \\pi_{2} \\)는 직선 \\( P Q \\) 위에 있지 않는 점 \\( R \\)를 공유한다면, \\( \\pi_{1}, \\pi_{2} \\) 는 \\( P, Q, R \\)을 포함하는 평면 \\( \\pi_{3} \\)와 일치해야 한다.", "이것은 모순이다.", "그러므로 결과가 나온다.", "</p> <p>명제 \\( 2.5.2 \\) 힐베르트의 평행공리가 성립하면 모든 삼각형의 내각의 크기의 합은 \\( 180^{\\circ} \\)이다.", "</p><p>증명 \\( \\triangle A B C \\)를 생각해 보자.", "그러면 합동공리 \\(4 \\)에 의하여 \\( \\angle C \\equiv \\angle C A D \\)인 반직선 \\( \\overrightarrow{A D} \\)가 유일하게 존재한다.", "또한 \\( \\angle B \\equiv \\angle B A E \\)인 반직선 \\( \\overrightarrow{A E} \\)가 유일하게 존재한다.", "엇각정리에 의하여 \\( \\overleftrightarrow{B C} / \\overrightarrow{A D} \\)이고, \\( \\overleftrightarrow{B C} / / \\overrightarrow{A E} \\)이다.", "힐베르트의 평행공리에 의하여 \\( \\overleftrightarrow{A D}=\\overleftrightarrow{A E} \\)이다.", "그러므로 \\( \\overrightarrow{A E} \\) 는 \\( \\overrightarrow{A E} \\)의 반향반직선이다.", "정리 \\( 2.4.15 \\)에 의하여 \\[\\begin{array}{c}m(\\angle C)=m(\\angle C A D), m(\\angle B)=m(\\angle B A E) \\text { 이고, } \\\\m(B A E)+m(\\angle B A C)+m(\\angle C A D)=180^{\\circ}\\end{array}\\]이므로 \\( m(\\angle A)+m(\\angle B)+m(\\angle C)=180^{\\circ} \\)이다.", "</p><p>명제 \\( 2.5.2 \\) \\( \\triangle A B C \\)에서 각 \\( \\angle C \\)의 외각은 양 내대각의 합과 같다.", "</p><p>증명 점 \\( A \\)를 지나서 변 \\( B C \\)에 평행인 직선 \\( \\overleftrightarrow{E F} \\)를 그리자.", "그러면 엇각정리에 의하여 \\( \\angle B \\equiv \\angle B A E, \\angle C \\equiv \\angle C A F \\)이므로, \\[m(\\angle A)+m(\\angle B)=180^{\\circ}-m(\\angle C)=m(\\angle A C D) \\text { 이다. }\\]", "</p><p>정리 \\(2.5.4 \\) (평행사영정리) 3 개의 평행선 \\( l, m, n \\)이 주어졌다고 하자. \\", "( t \\)와 \\( t^{\\prime} \\)는 이 평행선들의 횡단선이고 그들은 각각 점 \\( A, B, C \\)와 \\( A^{\\prime}, B^{\\prime}, C^{\\prime} \\)에서 \\( l, m, n \\)과 만난다고 하자.", "그러면 \\( \\overline{A B} / \\overline{B C}=\\overline{A^{\\prime} B^{\\prime}} / \\overline{B^{\\prime} C^{\\prime}} \\) 이다.", "</p><p>증명 각 점 \\( C, C^{\\prime} \\)를 지나서 \\( l, m, n \\)에 수직인 직선 \\( p, p^{\\prime} \\)를 그리자.", "이때 \\( p \\)와 \\( l, m, n \\)이 만나는 점을 각각 \\( A^{\\prime \\prime \\prime}, B^{\\prime \\prime \\prime}, C^{\\prime \\prime \\prime} \\)이라 하고, \\( p^{\\prime} \\) 와 \\( l, m, n \\)이 만나는 점을 각각 \\( A^{\\prime \\prime}, B^{\\prime \\prime}, C^{\\prime \\prime} \\)이라 하자. \\", "( m\\left(\\angle A C A^{\\prime \\prime \\prime}\\right)=\\theta, m\\left(\\angle A^{\\prime} C^{\\prime} A^{\\prime \\prime}\\right)=\\theta^{\\prime} \\)로 놓자.", "</p><p>그러면 \\[\\begin{array}{l}\\overline{A C} \\cos \\theta=\\overline{\\mathrm{A}^{\\prime \\prime \\prime} \\mathrm{C}}, \\overline{\\mathrm{BC}} \\cos \\theta=\\overline{\\mathrm{B}^{\\prime \\prime \\prime} \\mathrm{C}} \\\\\\overline{A^{\\prime} C^{\\prime}} \\cos \\theta^{\\prime}=\\overline{\\mathrm{A}^{\\prime \\prime} \\mathrm{C}}, \\overline{\\mathrm{B}^{\\prime} \\mathrm{C}^{\\prime}} \\cos \\theta^{\\prime}=\\overline{\\mathrm{B}^{\\prime \\prime} \\mathrm{C}} \\\\\\overline{A^{\\prime \\prime \\prime} B^{\\prime \\prime \\prime}}=\\overline{A^{\\prime \\prime} B^{\\prime \\prime}}, \\overline{B^{\\prime \\prime \\prime} C}=\\overline{B^{\\prime \\prime} C^{\\prime}}, \\overline{A^{\\prime \\prime \\prime} C}=\\overline{A^{\\prime \\prime} C^{\\prime}} \\\\ \\overline{A^{\\prime \\prime \\prime} C}=\\overline{A^{\\prime \\prime \\prime} B^{\\prime \\prime \\prime}}+\\overline{B^{\\prime \\prime \\prime} C}\\end{array}\\] 이다.", "그러므로 다음을 얻는다. \\", "[\\begin{aligned}\\overline{A B} / \\overline{B C} &=(\\overline{A C}-\\overline{B C}) / \\overline{B C} \\\\&=\\left(\\overline{A^{\\prime \\prime \\prime} C}-\\overline{B^{\\prime \\prime \\prime} C}\\right) / \\overline{B^{\\prime \\prime \\prime} C} \\\\ &=\\left(\\overline{A^{\\prime \\prime} C^{\\prime}}-\\overline{B^{\\prime \\prime} C^{\\prime}}\\right) / \\overline{B^{\\prime \\prime} C^{\\prime}} \\\\ &=\\left(\\overline{A^{\\prime} C^{\\prime}}-\\overline{B^{\\prime} C^{\\prime}}\\right) / \\overline{B^{\\prime} C^{\\prime}} \\\\&=\\overline{A^{\\prime} B^{\\prime}} / \\overline{B^{\\prime} C^{\\prime}}\\end{aligned}\\]</p> <h2>2.6 원의 반전</h2><p>정의 \\( \\gamma \\)는 중심이 \\( O \\)이고 반경 \\( O R \\)의 길이를 \\( r \\)이라고 하자.", "임의의 점 \\( P(\\neq O) \\)에 대하여 \\( \\gamma \\)에 관한 \\( P \\)의 반점(inverse point) \\( P^{\\prime} \\)는 \\[\\overline{O P} \\cdot \\overline{O P^{\\prime}}=r^{2} \\]인 반직선 \\( \\overrightarrow{O P} \\) 위의 유일한 점 \\( P^{\\prime} \\) 를 말한다.", "</p><p>명제 \\( 2.6.1 \\)<ol type=1 start=1><li>\\( P=P^{\\prime} \\)이기 위한 필요충분조건은 \\( P \\)가 반전원 \\( \\gamma \\) 위에 있는 것이다.", "</li><li>\\( P \\)가 \\( \\gamma \\)의 내부에 있으면 \\( P^{\\prime} \\)는 \\( \\gamma \\)의 외부에 있고, \\( P \\)가 \\( \\gamma \\)의 외부에 있으면 \\( P^{\\prime} \\)는 \\( \\gamma \\)의 내부에 있다.", "</li><li>\\( \\left(P^{\\prime}\\right)^{\\prime}=P \\)</li></ol></p><p>증명 (\\( 1 \\)) 이것은 자명하다.", "</p><p>(\\( 2 \\)) \\( P \\)가 \\( \\gamma \\)의 내부에 있다고 하자.", "그러면 \\( \\overline{O P}<\\overline{O R}=r \\) 이다.\\", "[r^{2}=\\overline{O P} \\cdot \\overline{O P^{\\prime}}<\\overline{O R} \\cdot \\overline{O P}=r \\cdot \\overline{O P}{ }^{\\prime}\\]이므로 \\( \\overline{O P}^{\\prime}>r=\\overline{O R} \\)이다. 따라서 \\( \\overline{O R}<\\overline{O P}^{\\prime} \\) 이므로 \\( P^{\\prime} \\) 는 \\( \\gamma \\)의 외부에 있다. \\( P \\) 가 \\( \\gamma \\)의 외부에 있다고 하자. 그러면 \\( \\overline{O P}>r \\)이다. \\[r^{2}=\\overline{O P} \\cdot \\overline{O P^{\\prime}}>", "\\overline{O R} \\cdot \\overline{O P}=r \\cdot \\overline{O P}{ }^{\\prime}\\]이므로 \\( \\overline{O P}^{\\prime}<r=\\overline{O R} \\)이다. 따라서 \\( \\overline{O R}>", "\\overline{O P}{ }^{\\prime} \\)이므로 \\( P^{\\prime} \\) 는 \\( \\gamma \\) 의 내부에 있다.", "</p><p>(\\( 3 \\)) \\( \\overline{O P} \\cdot \\overline{O P}=r^{2}, \\overline{O P^{\\prime}} \\cdot \\overline{O\\left(P^{\\prime}\\right)^{\\prime}}=r^{2} \\)이므로 \\( \\overline{O P}=\\overline{O\\left(P^{\\prime}\\right)^{\\prime}} \\)이다.", "그러므로 \\( \\overline{O P}=\\overline{O\\left(P^{\\prime}\\right)^{\\prime}} \\)이다. \\", "( P,\\left(P^{\\prime}\\right)^{\\prime} \\)는 \\( \\overrightarrow{O P} \\) 위에 있는 점이므로 \\( \\left(P^{\\prime}\\right)^{\\prime}=P \\)이다.", "</p<p>명제 \\( 2.6.2 \\) 점 \\( P \\)는 원 \\( \\gamma \\)의 내부에 있고, \\( T U \\) 가 \\( \\overleftrightarrow{O P} \\)와 수직이고 \\( P \\)를 지나는 \\( \\gamma \\)의 현이라 하자.", "그러면 \\( P \\)의 \\( \\gamma \\)에 관한 반점 \\( P^{\\prime} \\)는 현 \\( T U \\)의 극(pole)이다.", "즉, \\( P^{\\prime} \\)는 \\( T \\)와 \\( U \\)에서의 \\( \\gamma \\)의 접선의 교점이다.", "</p><p>증명 \\( T \\)에서의 \\( \\gamma \\)의 접선이 \\( \\overrightarrow{O P} \\)와 \\( P^{\\prime} \\)에서 만난다고 가정하자.", "그러면 직각삼각형 \\( \\triangle O P T \\)는 직각삼각형 \\( \\triangle O T P^{\\prime} \\)와 닮은 삼각형이다.", "따라서 대응하는 변들은 비례한다. \\", "( \\overline{O T}=r \\) 이므로 \\( \\frac{\\overline{O P}}{r}=\\frac{r}{\\overline{O P^{\\prime}}} \\)이다.", "이것는 \\( P^{\\prime} \\) 가 \\( P \\)의 반점임을 보여준다. \\", "( T \\) 를 \\( \\overrightarrow{O P} \\)에 관하여 반사시킨 점 \\( U \\) 에서 \\( \\gamma \\)의 접선은 역시 \\( P^{\\prime} \\)를 지난다.", "그래서 \\( P^{\\prime} \\)가 현 \\( T U \\)의 극임을 알 수 있다.", "</p><p>명제 \\( 2.6.3 \\) 점 \\( P \\)는 중심이 \\( O \\)인 원 \\( \\gamma \\)의 외부에 있을 때, \\( Q \\)는 선분 \\( O P \\)의 중점이라고 하자.", "또 \\( \\sigma \\)는 중심이 \\( Q \\)이고. \\", "( \\overline{O Q}=\\overline{Q P} \\)인 원이라고 하자.", "그러면 \\( \\sigma \\)는 두 점 \\( T \\)와 \\( U \\)에서 \\( \\gamma \\)와 교차하고, \\( \\overleftrightarrow{P T} \\)와 \\( \\overleftrightarrow{P U} \\)는 \\( \\gamma \\)에 접하고, \\( \\gamma \\)에 관한 \\( P \\)의 반점 \\( P^{\\prime} \\)는 \\( T U \\)와 \\( O P \\)의 교점이다.", "</p><p>증명 원의 연속원리에 의하여 \\( \\sigma \\)와 \\( \\gamma \\)는 두 점 \\( T \\)와 \\( U \\)에서 만난다. \\", "( \\angle O T P \\)와 \\( \\angle O U P \\)는 \\( \\sigma \\)의 반원에 내접하므로 그들은 직각이다.", "따라서 \\( \\overleftrightarrow{P T} \\)와 \\( \\overleftrightarrow{P U} \\)는 \\( \\gamma \\)에 접한다.", "만일 \\( T U \\)가 점 \\( P^{\\prime} \\)에서 \\( O P \\)와 만나면 명제 \\( 2.6 .2 \\) 에 의하여 \\( P \\)는 \\( \\gamma \\)에 관한 \\( P^{\\prime} \\)의 반점이다.", "따라서 \\( P^{\\prime} \\)는 \\( \\gamma \\)에 관한 \\( P \\)의 반점이다.", "</p><p>명제 \\( 2.6.4 \\) \\( T \\)와 \\( U \\)가 대심점이 아닌 \\( \\gamma \\)위의 점이라 하고 \\( P \\)를 \\( T U \\)의 극이라고 하자.", "그러면 \\( P T \\equiv P U, \\angle P T U \\equiv \\angle P U T, \\overleftrightarrow{O P} \\perp \\overleftrightarrow{T U} \\)이고, \\( P \\)를 중심으로 하고 반경이 \\( \\overline{P T}=\\overline{P U} \\)인 원 \\( \\delta \\)는 \\( T \\)와 \\( U \\)에서 \\( \\gamma \\)와 직교한다.", "</p><p>증명 극의 정의에 의하여 \\( \\angle O T P \\)와 \\( \\angle O U P \\)는 직각이다.", "그래서 직각삼각형의 합동판정법에 의하여 \\( \\triangle O T P \\equiv \\triangle O U P \\)이다.", "따라서 \\( P T \\equiv P U \\)이고 \\( \\angle O P T \\equiv \\angle O P U \\)이다.", "이등변삼각형 \\( \\triangle T P U \\)의 두 밑각 \\( \\angle P T U \\)와 \\( \\angle P U T \\)는 합동이고 그 각의 이등분선 \\( \\overrightarrow{P O} \\)는 밑변 \\( T U \\)에 수직이다.", "그러면 \\( \\overline{P T}=\\overline{P U} \\) 가 되는 원 \\( \\delta \\)는 의미가 있고, 또 \\( \\overleftrightarrow{P T} \\)와 \\( \\overleftrightarrow{P U} \\)가 \\( \\gamma \\)에 접한다는 가정에 의하여 \\( \\delta \\)는 \\( \\gamma \\)와 직교한다.", "</p>" ]

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[ "<p>따름정리 \\( 11.18 \\) \\( \\mathscr{M} \\) 은 \\( \\sigma^{-} \\)대수이다.", "</p><p>정리 \\( 11.19 \\) \\( \\left\\{E_{n}\\right\\} \\) 를 서로소인 가측집합열이라 하면 \\( m^{*}\\left(\\bigcup_{n=1}^{\\infty} E_{n}\\right)=\\sum_{n=1}^{\\infty} m^{*} E_{n} \\).", "</p><p>증명</p><p>\\( \\left\\{E_{n}\\right\\} \\) 를 서로소인 가측집합열이라 하면 정리 \\( 11.12 \\) 에 의하여 \\( m^{*}\\left(\\bigcup_{n=1}^{\\infty} E_{n}\\right) \\leq \\sum_{n=1}^{\\infty} m^{*} E_{n} \\) 이다.", "각 자연수 \\( n=1,2, \\cdots \\) 에 대하여 정리 \\( 11.10 \\) 에 의하여 \\( m^{*}\\left(\\bigcup_{n-1}^{\\infty} E_{n}\\right) \\geq m^{*}\\left(\\bigcup_{i=1}^{n} E_{i}\\right)=\\sum_{i=1}^{n} m^{*} E_{i} \\) 이다.", "따라서 \\( m^{*}\\left(\\bigcup_{n-1}^{\\infty} E_{n}\\right) \\geq \\sum_{n=1}^{\\infty} m^{*} E_{n} \\) 이다.", "</p><p>예제 \\( 2.5 \\)</p><ol type=1 start=1><li>\\( a \\) 가 실수이면 \\( (a, \\infty) \\) 는 가측집합이다.", "따라서 \\( [a, \\infty) \\) 도 가측집합이다.</li><li>\\( a, b \\) 가 \\( a<b \\) 인 실수일 때 \\( (a, b) \\) 는 가측집합이다.</li></ol><p>풀이</p><p>\\( 1) \\) \\( A \\) 를 임의의 \\( \\mathbb{R} \\) 의 부분집합이라 하고 \\( A_{1}=A \\cap(a, \\infty) \\), \\( A_{2}=A \\cap(-\\infty, a]", "\\) 라 두자. \\", "( m^{*} A \\geq m^{*} A_{1}+m^{*} A_{2} \\) 임을 보이면 \\( (a, \\infty) \\) 는 가측집합이다. \\", "( m^{*} A=\\infty \\) 이면 위 식이 분명히 성립하므로 \\( m^{*} A<\\infty \\) 인 경우 위 식을 증명한다.", "</p><p>임의의 양수 \\( \\varepsilon \\) 에 대하여 \\( m^{*} A \\) 의 정의에 의하여 \\( A \\) 는 덮는 개 구간의 수열 \\( \\left\\{I_{n}\\right\\} \\) 이 존재하여 \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} \\ell\\left(I_{n}\\right) \\leq m^{*} A+\\varepsilon \\) 이다.", "각 자연수 \\( n=1,2, \\cdots \\) 에 대하여 \\( J_{n}=I_{n} \\cap(a, \\infty), K_{n}=I_{n} \\cap(-\\infty, a] \\) 라 두자.", "이 때 \\( J_{n}, K_{n} \\) 은 구간 또는 \\( \\varnothing \\) 이 되고 \\( \\ell\\left(I_{n}\\right)=\\ell\\left(J_{n}\\right)+\\ell\\left(K_{n}\\right)=m^{*} J_{n}+m^{*} K_{n} \\) 이다.", "</p><p>\\( A_{1} \\subset \\bigcup_{n-1}^{\\infty} J_{n} \\) 이므로 \\( m^{*} A_{1} \\leq m^{*}\\left(\\bigcup_{n=1}^{\\infty} J_{n}\\right) \\leq \\sum_{n=1}^{\\infty} m^{*} J_{n} \\).", "</p><p>\\( A_{2} \\subset \\bigcup_{n-1}^{\\infty} K_{n} \\) 이므로 \\( m^{*} A_{2} \\leq m^{*}\\left(\\bigcup_{n-1}^{\\infty} K_{n}\\right) \\leq \\sum_{n=1}^{\\infty} m^{*} K_{n} \\) 이다.", "따라서 \\( \\begin{aligned} m^{*} A_{1}+m^{*} A_{2} & \\leq \\sum_{n=1}^{\\infty} m^{*} J_{n}+\\sum_{n=1}^{\\infty} m^{*} K_{n} \\\\ &=\\sum_{n=1}^{\\infty}\\left(m^{*} J_{n}+m^{*} K_{n}\\right) \\\\ &=\\sum_{n=1}^{\\infty} \\ell\\left(I_{n}\\right) \\\\ & \\leq m^{*} A+\\varepsilon . \\", "end{aligned} \\)</p><p>\\( \\varepsilon \\) 이 임의의 양수이므로 \\( \\quad m^{*} A_{1}+m^{*} A_{2} \\leq m^{*} A \\) 이다.", "따라서 \\( (a, \\infty) \\) 는 가측집합이다. \\", "( [a, \\infty)=\\{a\\} \\cup(a, \\infty) \\) 이므로 \\( [a, \\infty) \\) 도 가측집합이다.", "</p><p>\\( 2)\\) \\( \\mathscr{M} \\) 이 \\( \\sigma^{-} \\)대수이므로 \\( 1) \\)에 의하여 \\( [b, \\infty)^{\\prime}=(-\\infty, b) \\) 는 가측집합이다.", "따라서 \\( (a, b)=(a, \\infty) \\cap(-\\infty, b) \\) 는 가측집합이다.", "</p> <p>정리 \\( 11.34 \\) \\( E \\) 는 가측집합, \\( m E<\\infty \\), 자연수 \\( n=1,2, \\cdots \\) 에 대하여 \\( f_{n}: E \\rightarrow \\mathbb{R}^{*} \\) 는 가측함수, \\( f: E \\rightarrow \\mathbb{R} \\) 는 함수이다.", "모든 \\( x \\) 에 대하여 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} f_{n}(x)=f(x) \\) 이면, 임의의 양수 \\( \\varepsilon \\) 과 \\( \\delta \\) 에 대하여 \\( E \\) 의 가측부분집합 \\( A \\) 와 자연수 \\( N \\) 가 존재하여 \\( x \\notin A \\) 이고 \\( n \\geq N \\) 이면 \\( \\left|f_{n}(x)-f(x)\\right|<\\varepsilon \\) 이다.", "</p><p>증명</p><p>\\( \\varepsilon>0 \\) 과 \\( \\delta>0 \\) 가 주어졌다 하자.", "각 자연수 \\( n \\) 과 \\( i \\) 에 대하여 \\( G_{n} \\) 과 \\( E_{i} \\) 을 다음과 같이 두자.", "</p><p>\\( G_{n}=\\left\\{x \\in E|| f_{n}(x)-f(x) \\mid \\geq \\varepsilon\\right\\}, \\quad E_{i}=\\bigcup_{n=i}^{\\infty} G_{n} \\)</p><p>이때 각 \\( i \\) 에 대하여 \\( E_{i+1} \\subset E_{i} \\) 이다. \\( x \\in E, \\lim _{n \\rightarrow \\infty} f_{n}(x)=f(x) \\) 이므로 각 \\( x \\) 에 대하여 \\( x \\) 를 포함하지 않는 \\( i \\) 가 있다. 따라서 \\( \\bigcap_{i-1}^{\\infty} E_{i}=\\varnothing \\). 정리 \\( 11.22 \\) \\( 2) \\)에 의하여 \\( \\lim m E_{i}=0 \\). 따라서 주어진 \\( \\delta>", "0 \\) 에 대하여 \\( m E_{N}<\\delta \\) 인 \\( N \\) 가 있다.", "즉 \\( m\\left\\{x \\in E \\mid N\\right. \\)", "보다 큰 적당한 \\( n \\) 에 대하여 \\( \\left.\\", "left|f_{n}(x)-f(x)\\right| \\geq \\varepsilon\\right\\}<\\delta \\). \\", "( E_{N}=A \\) 라 두면 \\( m A<\\delta \\) 이고 \\( x \\notin A \\) 와 \\( n \\geq N \\) 에 대하여, \\( \\left|f_{n}(x)-f(x)\\right|<\\varepsilon \\) 이다.", "</p> <p>정리 \\( 11.46 \\) (Fatou 정리) \\( E \\) 는 가측집합, \\( f, f_{n}: E \\rightarrow \\mathbb{R}^{*} \\) 는 가측함수, \\( f \\geq 0, f_{n} \\geq 0 \\) 이라 하자 \\( (n=1,2, \\cdots) .", "x \\in E, \\lim f_{n}(x)=f(x) \\) a.e. 이면, \\( \\int_{E} f(x) d m \\leq \\underline{\\lim } \\int_{E} f_{n}(x) d m . \\)", "</p><p>증명</p><p>측도가 \\( 0 \\)인 집합위에서 Lebesgue 적분은 \\( 0 \\)이므로 모든 \\( x \\in E, \\lim f_{n}(x)=f(x) \\) 라 가정하여도 일반성을 잃지 않는다. \\", "( h: E \\rightarrow \\mathbb{R} \\) 는 유계가측함수, \\( m\\{x \\mid h(x) \\neq 0\\}<\\infty, h \\leq f \\) 라 하자.", "각 자연수 \\( n=1,2, \\cdots \\) 에 대하여 \\( h_{n}(x)=\\min \\left\\{h(x), f_{n}(x)\\right\\} \\) 라 하면 \\( h_{n} \\) 은 유계이고 \\( m\\left\\{x \\mid h_{n}(x) \\neq 0\\right\\}<\\infty .", "F=\\{x \\mid h(x) \\neq 0\\} \\) 라 두면 \\( m F<\\infty .", "F \\) 와 함수열 \\( \\left\\{h_{n}\\right\\} \\) 에 대하여 정리 \\( 11.43 \\) 를 적용하면 \\(\\int_{E} h(x) d m=\\int_{F} h(x) d m=\\lim \\int_{F} h_{n}(x) d m \\leq \\underline{\\lim } \\int_{E} f_{n}(x) d m \\) 이다.", "따라서 \\( \\sup _{h \\leq f} \\int_{E} h(x) d m=\\int_{E} f(x) d m \\leq \\underline{\\lim } \\int_{E} f_{n}(x) d m \\).", "</p><p>정리 \\( 11.47 \\) (단조수렴정리, Monotone Convergence Theorem) \\( E \\) 는 가측집합, 자연수 \\( n=1,2, \\cdots \\) 에 대하여 \\( f, f_{n}: E \\rightarrow \\mathbb{R}^{*} \\) 는 가측함수, \\( f \\geq 0, f_{n} \\geq 0, f_{n} \\leq f_{n+1} \\) 이라 하자. \\", "( \\lim f_{n}(x)=f(x) \\) a.e. 이면, \\( \\lim \\int_{E} f_{n}(x) d m=\\int_{E} f(x) d m \\).", "</p><p>증명</p><p>정리 \\( 11.46 \\) 에 의하여 \\( \\int_{E} f(x) d m \\leq \\underline{\\lim } \\int_{E} f_{n}(x) d m \\).", "각 자연수 \\( n=1,2, \\cdots \\) 에 대하여 \\( f_{n} \\leq f \\) 이므로 \\( \\int_{E} f_{n}(x) d m \\leq \\int_{E} f(x) d m \\).", "따라서 \\( \\overline{\\lim } \\int_{E} f_{n}(x) d m \\leq \\int_{E} f(x) d m \\).", "그러므로 \\( \\lim \\int_{E} f_{n}(x) d m=\\int_{E} f(x) d m \\)</p> <p>정리 \\( 11.41 \\) \\( E \\) 를 가측집합, \\( m E<\\infty, f, g: E \\rightarrow \\mathbb{R} \\) 를 유계가측함수라 하자.", "</p><ol type=1 start=1><li>실수 \\( c \\) 에 대하여 \\( \\int_{E}(c f)(x) d m=c \\int_{E} f(x) d m . \\)", "</li><li>\\( \\int_{E}(f+g)(x) d m=\\int_{E} f(x) d m+\\int_{E} g(x) d m \\)</li><li>\\( E_{1}, E_{2} \\) 가 \\( E \\) 의 가측부분집합, \\( E_{1} \\cup E_{2}=E, E_{1} \\cap E_{2}=\\varnothing \\) 이면 \\( \\int_{E_{1} \\cup E_{2}} f(x) d m=\\int_{E_{1}} f(x) d m+\\int_{E_{2}} f(x) d m . \\)", "</li><li>\\( f=g \\) a.e이면 \\( \\int_{E} f(x) d m=\\int_{E} g(x) d m \\)</li><li>\\( f \\leq g \\) a.e이면 \\( \\int_{E} f(x) d m \\leq \\int_{E} g(x) d m \\).", "따라서 \\( \\left|\\int_{E} f(x) d m\\right| \\leq \\int_{E}|f(x)| d m \\).", "</li></ol></p><p>증명</p><p>\\( 1) \\) \\( \\phi \\) 가 단순가측함수이면 실수 \\( c \\) 에 대하여 \\( c \\phi \\) 도 단순함수이고 \\( c \\neq 0 \\) 이면 역도 성립한다. \\( c=0 \\) 이면 성리가 성립하므로 \\( c \\neq 0 \\) 이라 가정한다. \\( c>", "0 \\) 이면 정리 \\( 11.38 \\) 에 의하여 \\( \\begin{aligned} \\int_{E}(c f)(x) d m &=\\inf _{f \\leq \\Psi} \\int_{E} c \\Psi(x) d m \\\\ &=c \\inf _{f \\leq \\Psi} \\int_{E} \\Psi(x) d m=c \\int_{E} f(x) d m . \\", "end{aligned} \\)</p><p>\\( c<0 \\) 이면 단순가측함수 \\( \\phi \\) 에 대하여 \\( \\phi \\leq f \\) 일 필요충분조건은 \\( c \\phi \\geq c f \\) 이므로 정리 \\( 11.38 \\) 에 의하여 \\( \\begin{aligned} \\int_{E}(c f)(x) d m &=\\inf _{\\phi \\leq f} \\int_{E} c \\phi(x) d m \\\\ &=c \\sup _{\\phi \\leq f} \\int_{E} \\Phi(x) d m \\\\ &=c \\inf { }_{f \\leq \\Psi} \\int_{E} \\Psi(x) d m=c \\int_{E} f(x) d m . \\", "end{aligned} \\)</p><p>\\( 2) \\) \\( \\phi, \\psi \\) 가 단순가측함수라 하자. \\", "( f \\leq \\phi, g \\leq \\psi \\) 이면 \\( f+g \\leq \\phi+\\psi \\).", "그러므로 \\( \\begin{aligned} \\int_{E}(f+g)(x) d m & \\leq \\int_{E}(\\phi+\\psi)(x) d m \\\\ &=\\int_{E} \\phi(x) d m+\\int_{E} \\Psi(x) d m . \\", "end{aligned} \\)</p><p>따라서 \\( \\int_{E}(f+g)(x) d m \\leq \\int_{E} f(x) d m+\\int_{E} g(x) d m \\).", "부등식의 역방향은 정리 \\( 11.37 \\) 를 이용하여 계산한다. \\", "( \\Phi, \\psi \\) 가 단순가측함수라 하자. \\", "( \\phi \\leq f, \\Psi \\leq g \\) 이면 \\( \\phi+\\psi \\leq f+g \\).", "그러므로 \\( \\begin{aligned} \\int_{E}(f+g)(x) d m & \\geq \\int_{E}(\\phi+\\Psi)(x) d m \\\\ &=\\int_{E} \\Phi(x) d m+\\int_{E} \\Psi(x) d m . \\", "end{aligned} \\)</p><p>따라서 \\( \\begin{aligned} \\int_{E}(f+g)(x) d m & \\geq \\sup _{\\phi \\leq f} \\int_{E} \\phi(x) d m+\\sup _{\\psi \\leq g} \\int_{E} \\Psi(x) d m \\\\ &=\\int_{E} f(x) d m+\\int_{E} g(x) d m \\end{aligned} \\).", "</p><p>그러므로 \\( \\int_{E}(f+g)(x) d m=\\int_{E} f(x) d m+\\int_{E} g(x) d m \\).", "</p><p>\\( 3) \\) \\( E_{1} \\cap E_{2}=\\varnothing \\) 이므로 \\( x_{E_{1} \\cup E_{2}}=x_{E_{1}}+x_{E_{2}} \\) 이다.", "따라서 \\( 2) \\)에 의하여 \\( \\begin{aligned} \\int_{E_{1} \\cup E_{2}} f(x) d m &=\\int_{E}\\left(\\mathrm{X}_{E_{1} \\cup E_{2}} f\\right)(x) d m \\\\ &=\\int_{E}\\left(\\mathrm{X}_{E_{1}} f+\\mathrm{x}_{E_{2}} f\\right)(x) d m \\\\ &=\\int_{E}\\left(\\mathrm{x}_{E_{1}} f\\right)(x) d m+\\int_{E}\\left(\\mathrm{x}_{E_{2}} f\\right)(x) d m \\\\ &=\\int_{E_{1}} f(x) d m+\\int_{E_{2}} f(x) d m \\end{aligned} \\).", "</p><p>\\( 4) \\) \\( f=g a \\cdot e \\) 이므로 \\( f-g=0 a \\cdot e \\) 이다. \\", "( E_{1}=\\{x \\mid f(x) \\neq g(x)\\}, E_{2}=E \\backslash E_{1} \\) 이라 두면 \\( E_{1}, E_{2} \\) 는 가측집합 이고 \\( E_{1} \\cup E_{2}=E, m E_{1}=0 \\) 이다.", "따라서 \\( 1), 2), 3) \\)과 예제 \\( 4.2 \\) 에 의하여 \\( \\begin{aligned} \\int_{E} f(x) d m-\\int_{E} g(x) d m &=\\int_{E}(f-g)(x) d m \\\\ &=\\int_{E_{1} \\cup E_{2}}(f-g)(x) d m \\\\ &=\\int_{E_{1}}(f-g)(x) d m+\\int_{E_{2}}(f-g)(x) d m \\\\ &=0+0=0 . \\end{aligned} \\)</p><p>그러므로 \\( \\int_{E} f(x) d m=\\int_{E} g(x) d m \\).", "</p><p>\\( 5) 4) \\)에 의하여 모든 \\( x \\) 에 대하여 \\( f(x) \\leq g(x) \\) 라 가정할 수 있다.", "따라서 \\( 0 \\leq g(x)-f(x) \\) 이다. \\", "( \\Phi \\) 가 단순가측함수이고 \\( 0 \\leq \\phi \\) 이면 \\( 0 \\leq \\int_{E} \\Phi(x) d m \\) 이다.", "따라서 \\( 1) \\)과 \\( 2) \\)에 의하여 \\( 0 \\leq \\int_{E}(g-f)(x) d m=\\int_{E} g(x) d m-\\int_{E} f(x) d m \\)이다.", "</p><p>따라서 \\( \\int_{E} f(x) d m \\leq \\int_{E} g(x) d m \\).", "</p><p>다음 예제 \\( 4.3 \\) 과 정리 \\( 11.42 \\) 는 학부의 수준을 넘으므로 구성이나 증명없이 소개한다.", "</p><p>예제 \\( 4.3 \\)</p><p>비가산집합으로서 Lebesgue 측도가 \\( 0 \\)인 집합이 있다.", "예로서 Cantor 집합이 있다.", "</p> <h1>연습문제 \\( 11.3 \\)</h1><p>\\( 1. \\) 가측함수열 \\( \\left\\{f_{n}\\right\\} \\) 에 대하여 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} f_{n}=f \\) a. \\( e \\) 이면 \\( f \\) 가 가측함수임을 밝혀라.", "</p><p>\\( 2. \\) 함수 \\( \\Phi: \\mathbb{R} \\rightarrow \\mathbb{R} \\) 가 유한개의 값을 취할 때, 즉 \\( \\Phi(E) \\) 가 유한집합일 때 \\( \\Phi \\) 를 단순함수(simple function)라 부른다.", "</p><p>ⅰ) \\( \\Phi: \\mathbb{R} \\rightarrow \\mathbb{R} \\) 를 단순함수라 하자.", "여기서 \\( \\Phi(\\mathbb{R})=\\left\\{a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}\\right\\} \\) 일 때 \\( A_{i}=\\left\\{x \\mid \\phi(x)=a_{i}\\right\\}(i=1,2, \\cdots, n) \\) 라 두면<ol type=a start=1><li>\\( \\phi=\\sum_{i=1}^{n} a_{i} X_{\\Lambda_{i}} \\) 이다.", "이 표현을 \\( \\phi \\) 의 표준표현이라 부른다.", "</li><li>\\( \\Phi \\) 가 가측일 필요충분조건은 각 \\( A_{i}(i=1,2, \\cdots, n) \\) 가 가측집합이다.</li><li>ⅰ)의 표현이 유일한 것이 아님을 보여라.", "</li></ol></p><p>ⅱ) 두 단순함수 \\( \\phi, \\psi \\) 와 실수 \\( c \\) 에 대하여 \\( \\phi+c, c \\phi, \\phi+\\psi \\) 가 단순함수임을 보이고 각 함수의 표준표현을 구하라.", "</p><p>\\( 3. \\) 두 특성함수 \\( \\mathrm{X}_{A}, \\mathrm{X}_{B} \\) 에 대하여 \\( \\mathrm{X}_{A} \\cdot \\mathrm{X}_{B}=\\mathrm{X}_{A \\cap B}, \\mathrm{X}_{A^{\\prime}}=1-\\mathrm{X}_{A} \\), \\( \\mathrm{X}_{A \\cup B}=\\mathrm{X}_{A}+\\mathrm{X}_{B}-\\mathrm{X}_{A} \\cdot \\mathrm{X}_{B} \\) 임을 보여라.", "</p><h2>연습문제 풀이 및 해답</h2><p>\\( 1. \\) \\( f_{n} \\) 의 공통 정의역을 \\( E \\) 라 하면 \\( E=E_{1} \\cup E_{2}, E_{1}=\\left\\{x \\mid \\lim _{n \\rightarrow \\infty} f_{n}(x)=f(x)\\right\\} \\), \\( E_{2}=\\left\\{x \\mid \\lim _{n \\rightarrow \\infty} f_{n}(x) \\neq f(x)\\right\\} \\) 이고 \\( m E_{2}=0 \\) 이다. 임의의 실수 \\( a \\) 에 대하여 \\( G=\\{x \\in E \\mid f(x)>", "a\\} \\) 라 하면 \\( G=\\left(G \\cap E_{1}\\right) \\cup\\left(G \\cap E_{2}\\right) \\) 이다.", "정리 \\( 11.33 \\)에 의하여 \\( f \\) 는 \\( G \\cap E_{1} \\) 에서 가측이므로 \\( G \\cap E_{1} \\) 은 가측집합이고, \\( G \\cap E_{2} \\subset E_{1} \\) 이므로 \\( m^{*}\\left(G \\cap E_{2}\\right) \\leq m^{*} E_{2}=m E_{2}=0 \\) 이다.", "즉, \\( m^{*}\\left(G \\cap E_{2}\\right)=0 \\) 이므로 \\( G \\cap E_{2} \\) 는 가측집합이다.", "따라서 \\( G \\) 는 가측집합이고 \\( f \\) 는 가측함수이다.", "</p><p>\\( 2. \\) ⅱ) \\( \\phi(\\mathbb{R})=\\left\\{a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}\\right\\}, \\Psi(\\mathbb{R})=\\left\\{b_{1}, b_{2}, \\cdots, b_{m}\\right\\} \\), \\( A_{i}=\\left\\{x \\mid \\varphi(x)=a_{i}\\right\\}(i=1,2, \\cdots, n), B_{j}=\\left\\{x \\mid \\psi(x)=b_{j}\\right\\}(j=1,2, \\cdots, m) \\) 이라 하자.", "</p><p>\\( (\\phi+c)(\\mathbb{R})=\\left\\{a_{1}+c, a_{2}+c, \\cdots, a_{n}+c\\right\\} \\) 이므로 \\( \\phi+c \\) 는 단순함수이고 \\( \\phi+c \\) 의 표준표현은 \\( \\Phi+c=\\sum_{i=1}^{n}\\left(a_{i}+c\\right)_{X A_{i}} \\) 이다. \\", "( (c \\phi)(\\mathbb{R})=\\left\\{c a_{1}, c a_{2}, \\cdots, c a_{n}\\right\\} \\) 이므로 \\( c \\Phi \\) 는 단순함수이고 \\( c \\Phi \\) 의 표준표현은 \\( c \\Phi=\\sum_{i=1}^{n} c a_{i \\lambda} \\lambda_{i} \\) 이다.", "</p><p>\\( \\Phi+\\Psi=\\sum_{i=1}^{n} \\sum_{j=1}^{m}\\left(a_{i}+b_{j}\\right) \\times A_{i} \\cap B_{j} \\) 이다.", "</p><p>\\( 3. \\) \\( X_{A \\cap B}=X_{A} \\cdot X_{B}, X_{A^{\\prime}}=1-X_{A} \\).", "바로 계산할수 있으므로 \\( \\mathrm{X}_{A \\cup B}=\\mathrm{X}_{A}+\\mathrm{X}_{B}-\\mathrm{X}_{A} \\cdot \\mathrm{X}_{B}=\\mathrm{X}_{A}+\\mathrm{X}_{B}-\\mathrm{X}_{A \\cap B} \\) 을 계산할 때 \\( x \\in A \\cup B \\) 일 때 \\( x \\in A \\backslash B, x \\in B \\backslash A, x \\in A \\cap B \\) 세 경우로 나누어 계산하면 쉽게 할 수 있다.", "</p> <p>따름정리 \\( 11.48 \\) \\( E \\) 는 가측집합, 각 자연수 \\( n=1,2, \\cdots \\) 에 대하여 \\( f_{n}: E \\rightarrow \\mathbb{R}^{*} \\) 는 가측함수이고 \\( f_{n} \\geq 0 \\) 이라 하자. \\", "( f=\\sum_{n=1}^{\\infty} f_{n} \\) 라 두면 \\( \\int_{E} f(x) d m=\\sum_{n=1}^{\\infty} \\int_{E} f_{n}(x) d m \\).", "즉 \\( \\int_{E}\\left(\\sum_{n=1}^{\\infty} f_{n}\\right)(x) d m=\\sum_{n=1}^{\\infty} \\int_{E} f_{n}(x) d m \\).", "</p><p>정리 \\( 11.49 \\) \\( E \\) 는 가측집합, \\( f: E \\rightarrow \\mathbb{R}^{*} \\) 는 가측함수이고 \\( f \\geq 0 \\) 이라 하자. \\", "( \\left\\{E_{n}\\right\\} \\) 이 서로소인 가측집합의 수열이고 \\( E=\\bigcup_{n=1}^{\\infty} E_{n} \\) 이면 \\( \\int_{E} f(x) d m=\\sum_{n=1}^{\\infty} \\int_{E_{n}} f(x) d m \\)</p><p>증명</p><p>각 자연수 \\( n=1,2, \\cdots \\) 에 대하여 \\( f_{n}=X_{E_{n}} f \\) 라 두면 \\( \\mathrm{X}_{E} f=\\sum_{n=1}^{\\infty} f_{n} \\) 이므로 따름정리 \\( 11.48 \\) 에 의하여 \\( \\int_{E} f(x) d m=\\sum_{n=1}^{\\infty} \\int_{E_{n}} f(x) d m . \\)", "</p><p>정리 \\( 11.50 \\) \\( f, g: E \\rightarrow \\mathbb{R}^{*} \\) 는 가측함수, \\( f \\geq 0, g \\geq 0, f \\) 가 \\( E \\) 위에서 적분 가능이라 하자. \\", "( g(x) \\leq f(x) \\) 이면 \\( g \\) 는 \\( E \\) 위에서 적분가능하고 \\( \\int_{E}(f-g)(x) d m=\\int_{E} f(x) d m-\\int_{E} g(x) d m \\).", "</p><p>증명</p><p>정리 \\( 11.45 \\) 에 의하여 \\( \\int_{E} f(x) d m=\\int_{E}(f-g)(x) d m+\\int_{E} g(x) d m \\). \\", "( \\int_{E} f(x) d m<\\infty \\) 이므로 \\( \\int_{E}(f-g)(x) d m<\\infty, \\int_{E} g(x) d m<\\infty \\) 이고 \\( \\int_{E}(f-g)(x) d m=\\int_{E} f(x) d m-\\int_{E} g(x) d m \\).", "</p> <p>정의 \\( 11.31 \\) \\( X(X \\neq \\varnothing) \\) 를 \\( \\mathrm{R} \\) 의 부분집합이라 하고 \\( X \\) 의 각 원소 \\( x \\) 에 대하여 \\( p(x) \\) 를 \\( x \\) 에 관한 명제라 하자.", "\"명제 \\( p(x) \\) 가 \\( X \\) 의 원소든 \\( x \\) 에 대하여 \\( a. e( \\) almost everywhere)로 성립한다” 함은 \\( p(x) \\) 가 성립하지 않는 점의 집합의 외측도가 \\( 0 \\) 임을 의미한다.</p><p>정리 \\( 11.32 \\) 함수 \\( f, g: E \\rightarrow \\mathbb{R}^{*} \\) 에 대하여 \\( f \\) 가 가측이고 \\( f=g a . e \\) 이면 \\( g \\) 도 가측함수이다.</p><p>증명</p><p>\\( F=\\{x \\mid f(x) \\neq g(x)\\} \\) 라 하면 \\( f=g a . e \\) 이므로 \\( m F=0 \\) 이다. 임의 의 실수 \\( a \\) 에 대하여 \\( \\{x \\mid g(x)>a\\}=(\\{x \\mid f(x)>a\\} \\cup(\\{x \\in F \\mid g(x)>a\\} \\backslash(\\{x \\in F \\mid g(x) \\leq a\\}) \\). \\( f \\) 가 가측함수이므로 \\( \\{x \\mid f(x)>a\\} \\) 는 가측집합이고 \\( \\{x \\in F \\mid g(x)>a\\} \\) 와 \\( \\{x \\in F \\mid g(x) \\leq a\\} \\) 는 \\( E \\) 의 부분집합이고 \\( m F=0 \\) 이므로 두 집합은 가측집합이다. 따라서 \\( \\{x \\mid g(x)>a\\} \\) 는 가측집합이고 \\( g \\) 도 가측함수이다.</p><p>예제 \\( 3.6 \\) ( \\( 1996 \\). 임용고사)</p><p>실수전체의 집합을 \\( \\mathbb{R} \\) 이라 할때 함수 \\( f: \\mathbb{R} \\rightarrow \\mathbb{R} \\) 는 연속이고, \\( f=0 \\) a.e. 이때 \\( f \\) 가 항등적으로 \\( 0 \\) 임을 보여라.</p><p>증명</p><p>실수 \\( a \\) 에 대하여 \\( f(a) \\neq 0 \\) 라면 \\( f \\) 가 \\( a \\) 에서 연속이므로 \\( \\varepsilon=\\frac{|f(a)|}{2} \\) 에 대하여 양수 \\( \\delta \\) 가 존재하여 \\( |a-x|<\\delta \\) 이면 \\( |f(x)-f(a)|<\\varepsilon . m(a-\\delta, a+\\delta)=2 \\delta \\) 이므로 \\( f=0 \\) \\( a. e \\) 에 모순이다. 따라서 \\( f=0 \\) 이다.</p> <h1>11.2 Lebesgue 측도</h1><h2>외측도</h2><p>실수 \\( a, b(a<b) \\) 와 유계함수 \\( \\quad f:[a, b] \\rightarrow \\mathbb{R} \\) 에 대하여 Riemann 적분 \\( \\int_{a}^{b} f(x) d x \\) 를 정의할 때 구간 \\( [a, b] \\) 의 분할 \\( P=\\left\\{x_{0}=a, x_{1}, \\cdots, x_{n}=b\\right\\} \\) 을 생각하고 \\( \\triangle k=x_{k}-x_{k-1}(k=1,2, \\cdots, n) \\) 을 사용하였다. 즉 부분구간의 길이를 사용하였다.</p><p>이 장에서 공부할 Lebesgue 적분을 정의할 때는 적분구간을 구간이 아닌 부분집합으로 분할하기도 하므로 \\( \\mathbb{R} \\) 의 임의의 부분집합에 대하여 길이의 개념을 확장할 필요가 있다.</p><p>\\( a, b(a<b) \\) 를 실수라 하고 \\( I \\) 를 \\( a \\) 와 \\( b \\) 를 끝점으로 가지는 구간이라 할 때 \\( I \\) 의 길이 \\( \\ell(I) \\) 를 \\( b-a \\) 로 정의한다. 즉 \\( \\ell(I)=b-a \\) 이다. \\( a=-\\infty \\) 또는 \\( b=+\\infty \\) 이면 \\( \\ell(I)=\\infty \\) 로 정의하고 \\( \\ell(\\varnothing)=0, \\ell(\\{a\\})=0 \\) 로 정의한다.</p><p>정리 \\( 11.8 \\) \\( I, J \\) 를 구간이라 하자.<ol type=1 start=1><li>\\( 0 \\leq \\ell(I) \\leq \\infty \\)</li><li>\\( I \\subset J \\) 이면 \\( \\ell(I) \\leq \\ell(J) . \\)</li><li>실수 \\( c \\) 에 대하여 \\( I+c=\\{x+c \\mid x \\in I\\} \\) 라 하면 \\( \\ell(I+c)=\\ell(I) \\).</li><li>\\( -I=\\{-x \\mid x \\in I\\} \\) 라 하면 \\( \\ell(I)=\\ell(-I) \\).</li><li>\\( \\bigcup_{n-1}^{\\infty} I_{n} \\) 이 구간인 구간열 \\( \\left\\{I_{n}\\right\\} \\) 에 대하여 \\( \\ell\\left(\\bigcup_{n-1}^{\\infty} I_{n}\\right) \\leq \\bigcup_{n=1}^{\\infty} \\ell\\left(I_{n}\\right) . \\)</li></ol>만약 \\( I_{n} \\cap I_{m}=\\varnothing(n \\neq m) \\) 이면 \\( \\ell\\left(\\bigcup_{n=1}^{\\infty} I_{n}\\right)=\\sum_{n=1}^{\\infty} \\ell\\left(I_{n}\\right) \\) 이다.</p><p>증명</p><p>\\( 1), 2), 4) \\)는 길이의 정의로부터 분명하므로 \\( 3) \\)과 \\( 5) \\)를 증명한다.</p><p>\\( 3) \\) \\( I=(a, b) \\) 이면 \\( I+c=(a+c, b+c) \\) 이므로 \\( \\ell(I+c)=(b+c)-(a+c)=b-a=\\ell(I) \\) 이다.</p><p>\\( 5) \\) 각 자연수 \\( n=1,2, \\cdots \\) 에 대하여 \\( I_{n} \\) 을 \\( a_{n}, b_{n}\\left(a_{n}<b_{n}\\right) \\) 를 끝점으로 가지는 구간이라 하고 \\( \\bigcup_{n=1}^{\\infty} I_{n} \\) 를 \\( a, b(a<b) \\) 을 끝점으로 가지는 구간이라 하자. \\( a \\) 는 \\( a_{n} \\) 들 중 하나, \\( b \\) 는 \\( b_{n} \\) 들 중 하나이다.</p><p>따라서 \\( \\ell\\left(\\bigcup_{n=1}^{\\infty} I_{n}\\right)=b-a \\leq \\sum_{n=1}^{\\infty}\\left(b_{n}-a_{n}\\right)=\\sum_{n=1}^{\\infty} \\ell\\left(I_{n}\\right) \\).</p><p>만약 \\( I_{n} \\cap I_{m}=\\varnothing(n \\neq m) \\) 이면 \\( \\ell\\left(\\bigcup_{n-1}^{\\infty} I_{n}\\right)=b-a=\\sum_{n=1}^{\\infty}\\left(b_{n}-a_{n}\\right)=\\sum_{n=1}^{\\infty} \\ell\\left(I_{n}\\right) . \\)</p> <p>정리 \\( 11.17 \\) \\( E_{1}, E_{2}, \\cdots \\) 가 가측집합이면 \\( \\bigcup_{n=1}^{\\infty} E_{n} \\) 가 가측집합이다.</p><p>증명</p><p>\\( E_{1}, E_{2}, \\cdots \\) 가 가측집합이라 하자. 정리 \\( 11.15 \\) 에 의하여 \\( \\mathscr{M} \\) 는 대수이므로 정리 \\( 11.7 \\) 에 의하여 서로소인 가측집합열 \\( \\left\\{F_{n}\\right\\} \\) 가 존재하고 \\( \\bigcup_{n-1}^{\\infty} E_{n}=\\bigcup_{n-1}^{\\infty} F_{n} \\) 이다. \\( A \\) 를 \\( \\mathbb{R} \\) 의 임의의 부분집합이라 하자. 각 자연수 \\( n \\) 에 대하여 \\( \\bigcup_{i=1}^{n} F_{i} \\) 가 가측집합이므로 정리 \\( 11.16 \\) 에 의하여 \\( \\begin{aligned} m^{*} A &=m^{*}\\left(A \\cap\\left(\\bigcup_{i=1}^{n} F_{i}\\right)\\right)+m^{*}\\left(A \\cap\\left(\\bigcup_{i=1}^{n} F_{i}\\right) \\prime\\right) \\\\ &=\\sum_{i=1}^{n} m^{*}\\left(A \\cap F_{i}\\right)+m^{*}\\left(A \\cap\\left(\\bigcup_{i=1}^{n} F_{i}\\right) \\prime\\right) . \\end{aligned} \\) \\( m^{*} A<\\infty \\) 인 경우와 \\( m^{*} A=\\infty \\) 인 경우로 나누어 생각하자.</p><p>\\( m^{*} A<\\infty \\) 인 경우, 각 자연수 \\( n \\) 에 대하여 \\( x_{n}=\\sum_{i=1}^{n} m^{*}\\left(A \\cap F_{i}\\right) \\) 라 두면 수열 \\( \\left\\{x_{n}\\right\\} \\) 은 단조증가유계수열이므로 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} x_{n} \\) 이 존재하고 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} x_{n}=\\sum_{i=1}^{\\infty} m^{*}\\left(A \\cap F_{i}\\right) \\) 이다. 따라서 \\( \\begin{aligned} m^{*} A & \\geq \\sum_{i=1}^{\\infty} m^{*}\\left(A \\cap F_{i}\\right)+m^{*}\\left(A \\cap\\left(\\bigcup_{i=1}^{\\infty} F_{i}\\right) {\\prime}\\right) \\\\ & \\geq m^{*}\\left(A \\cap\\left(\\bigcup_{i=1}^{\\infty} F_{i}\\right)\\right)+m^{*}\\left(A \\cap\\left(\\bigcup_{i=1}^{\\infty} F_{i}\\right) \\prime \\right) . \\end{aligned} \\) \\( m^{*} A=\\infty \\) 이면 위 부등식이 성립한다. 따라서 \\( \\bigcup_{i-1}^{\\infty} E_{i}=\\bigcup_{i-1}^{\\infty} F_{i} \\) 는 가측집합이다.</p> <p>제 \\( 5 \\) 장에서 유계함수의 정적분(Riemann 적분)을 공부하였고 이상적분은 유계함수의 적분의 극한으로 정의하였다. 그리고 유계함수이더라도 Riemann 적분이 가능하지 않은 함수가 존재함을 보였다. 제 \\( 5 \\) 장의 말미에 Riemann 적분의 확장의 한가지로 Riemann-Stieltjes 적분을 소개하였다. 제 \\( 11 \\) 장에서는 유계가 아니거나 Riemann 적분이 가능하지 않은 함수를 더 많이 “적분가능”하도록 하기위해서 적분의 개념을 확장한 Lebesgue 적분을 공부하기로 한다. 지금까지 기호로만 사용해온 \\( +\\infty \\) 와 \\( -\\infty \\) 를 수와 같이 취급하면 유계가 아닌 함수를 좀 더 쉽게 다룰 수 있으므로 실수계를 확장하는 일부터 시작하도록 한다.</p><h1>11.1 확장된 실수 및 집합대수</h1><p>\\( \\mathbb{R} \\) 이 제 \\( 1 \\) 장에서 정의된 실수계(real number system)일 때 집합 \\( \\mathbb{R}^{*}=\\mathbb{R} \\cup\\{-\\infty,+\\infty\\} \\) 위에서 실수의 덧셈과 곱셈, 비교 (부등호)를 다음과 같이 정의한다.</p><p>\\( x \\in \\mathbb{R}=(-\\infty,+\\infty) \\) 에 대하여,<ol type=1 start=1><li>\\( -\\infty<x<+\\infty \\)</li><li>\\( x+(+\\infty)=+\\infty, \\quad x+(-\\infty)=-\\infty \\)</li><li>\\( x>0 \\) 이면, \\( x \\cdot(+\\infty)=+\\infty, x \\cdot(-\\infty)=-\\infty \\), \\( x<0 \\) 이면, \\( x \\cdot(+\\infty)=-\\infty, x \\cdot(-\\infty)=+\\infty, 0 \\cdot(\\pm \\infty)=0 \\)</li><li>\\( (+\\infty)+(+\\infty)=+\\infty,(-\\infty)+(-\\infty)=-\\infty \\)</li><li>\\( (+\\infty) \\cdot(\\pm \\infty)=\\pm \\infty,(-\\infty) \\cdot(\\pm \\infty)=\\mp \\infty \\) (부호는 동순).</li></ol>위와 같이 연산이 확장된 집합 \\( \\mathbb{R}^{*} \\) 를 확장된 실수계(extended real number system)라 하고 \\( [-\\infty,+\\infty] \\) 로 쓰기도 한다. \\( \\mathbb{R}^{*} \\) 의 원소를 확장된 실수(extended real number)라 한다.</p><p>주의<ol type=1 start=1><li>\\( (+\\infty)-(+\\infty) \\) 는 정의하지 않는다.</li><li>앞으로 \\( +\\infty \\) 를 \\( \\infty \\) 로 쓰기로 한나.</li></ol></p><p>제 \\( 1 \\) 장에서 공부한 상한과 하한의 정의는 자연스럽게 \\( \\mathbb{R}^{*} \\) 로 확장되므로 여기에 다시 소개한다.</p><p>\\( X \\) 가 확장된 실수체 \\( \\mathbb{R}^{*} \\) 의 공집합이 아닌 부분집합이고 \\( a, b \\) 를 \\( \\mathbb{R}^{*} \\) 의 원소라 하면 \\( a=\\sup X \\Leftrightarrow\\left\\{\\begin{array}{l}\\text { i) } x \\in X, \\quad x \\leq a \\\\ \\text { ii) } x \\in X, x \\leq c \\Rightarrow a \\leq c,\\end{array}\\right. \\) \\( b=\\inf X \\Leftrightarrow\\left\\{\\begin{array}{l}\\text { i) } x \\in X, \\quad b \\leq x \\\\ \\text { ii) } x \\in X, \\quad d \\leq x \\Rightarrow d \\leq b .\\end{array}\\right. \\)</p><p>정의로부터 다음 사실은 자명하다. \\( \\infty \\in X \\) 이면 \\( \\sup X=\\infty \\) 이고, \\( -\\infty \\in X \\) 이면 \\( \\inf X=-\\infty \\) 이다. 그리고 \\( \\sup X=-\\infty \\quad \\Leftrightarrow X=\\{-\\infty\\} \\), \\( \\inf X=\\infty \\quad \\Leftrightarrow \\quad X=\\{\\infty\\} \\)</p><p>수열 \\( \\left\\{a_{n}\\right\\} \\) (수렴할 필요는 없다)에 대한 극한개념의 일반화인 상극한과 하극한을 다음과 같이 정의한다.</p> <p>정의 \\( 11.20 \\) \\( m^{*} \\) 를 Lebesgue 외측도, \\( \\mathscr{M} \\) 을 Lebesgue 가측집합의 모임이라 하자. \\( \\left.m^{*}\\right|_{M}=m \\) 이라 하자. 즉 임의의 가측집합 \\( E \\) 에 대하여 \\( m^{*} E \\) 를 \\( m E \\) 로 정의하고 \\( m: \\mathscr{M} \\rightarrow[-\\infty, \\infty] \\) 을 Lebesgue 측도 (Lebesgue measure)라 부른다. ( \\( \\mathbb{R}, \\mathscr{1} \\) )을 Lebesgue 가측공간 (Lebesgue measurable space), ( \\( \\mathbb{R}, \\mathscr{M}, m) \\) 을 Lesbeque 측도공간(Lebesgue measure space)이라 부른다.</p><p>\\( m^{*} \\) 에 관한 성질을 \\( m \\) 에 관한 것으로 바꾸면 다음 정리가 성립한다.</p><p>정리 \\( 11.21 \\) \\( m: \\mathscr{M} \\rightarrow[-\\infty, \\infty] \\rightarrow[-\\infty, \\infty] \\) 을 Lebesgue 측도라 하자.<ol type=1 start=1><li>각 구간 \\( I \\) 에 대하여 \\( I \\in \\mathscr{M} \\) 이고 \\( m I=\\ell(I) \\) 이다.</li><li>각 \\( E \\in \\mathscr{M} \\) 에 대하여 \\( 0 \\leq m E \\leq \\infty \\) 이다.</li><li>\\( m \\varnothing=0 \\), 각 \\( a \\in \\mathbb{R} \\) 에 대하여 \\( \\{a\\} \\in \\mathscr{M} \\) 이고 \\( m\\{a\\}=0 \\) 이다.</li><li>\\( E, F \\in \\mathscr{M}, E \\subset F \\) 이면 \\( m E \\leq m F \\) 이다.</li><li>\\( E \\in \\mathscr{M} \\) 와 \\( a \\in \\mathbb{R} \\) 에 대하여 \\( E+a \\in \\mathscr{M} \\) 이고 \\( m(E+a)=m E \\) 이다.</li><li>\\( \\mathscr{M} \\) 의 원소의 수열 \\( \\left\\{E_{n}\\right\\} \\) 에 대하여 \\( m\\left(\\bigcup_{n=1}^{\\infty} E_{n}\\right) \\leq \\sum_{n=1}^{\\infty} m E_{n} \\) \\( \\left\\{E_{n}\\right\\} \\) 이 서로소인 수열이면, \\( m\\left(\\bigcup_{n=1}^{\\infty} E_{n}\\right)=\\sum_{n=1}^{\\infty} m E_{n} \\) 이다.</li></ol></p> <h1>11.4 Lebesgue 적분</h1><h2>단순가측함수의 Lebesgue 적분</h2><p>Riemann 적분을 할 때 우리가 잘 알고있는 사각형의 넓이를 이용하기 위하여 계단함수를 이용하였다. Lebesgue 적분을 공부하기 위하여 계단함수의 확장인 단순함수를 이용하겠다.</p><p>함수 \\( \\Phi: \\mathbb{R} \\rightarrow \\mathbb{R} \\) 가 유한개의 값을 가질 때 단순함수 (simple function)라 하고 \\( \\Phi(\\mathbb{R})=\\left\\{a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}\\right\\}\\left(a_{i} \\neq a_{j}(i \\neq j)\\right) \\) 일 때 \\( \\Phi=\\sum_{i=1}^{n} a_{i} \\chi_{E_{i}} \\) 로 나타낸다. 여기서 각 \\( E_{i}=\\left\\{x \\mid \\phi(x)=a_{i}\\right\\}(i=1 \\), \\( 2, \\cdots, n) \\) 이고, \\( \\mathrm{x}_{E_{i}} \\) 는 \\( E_{i} \\) 의 특성함수(characteristic function)이다. 이 표현을 \\( \\Phi \\) 의 표준표현이라 부르고 \\( \\Phi \\) 가 가측일 필요충분조건은 각 \\( i=1,2, \\cdots, n \\) 에 대하여 \\( E_{i} \\) 가 가측집합이다. \\( \\Phi \\) 의 표현이 유일한 것은 아니다.</p><p>정의 \\( 11.35 \\) \\( \\Phi: \\mathbb{R} \\rightarrow \\mathbb{R} \\) 를 단순가측함수, \\( \\phi=\\sum_{i=1}^{n} a_{i} X_{E_{i}} \\) 을 \\( \\phi \\) 의 표준표현이라 하자. \\( i \\neq j \\) 에 대하여 \\( E_{i} \\cap E_{j}=\\varnothing \\) 이고 \\( \\bigcup_{i=1}^{n} E_{i}=\\mathbb{R}, \\quad a_{i} \\neq 0 \\) 이면 \\( m E_{i}<\\infty \\) 일 때 \\( \\sum_{i=1}^{n} a_{i} m E_{i} \\) 을 \\( \\int \\phi(x) d m \\) 이라 쓰고 이것을 \\( \\phi \\) 의 Lebesgue 적분(Lebesgue integral)이라 부른다. 즉\\( \\int \\Phi(x) d m=\\sum_{i=1}^{n} a_{i} m E_{i} \\).</p><p>\\( E \\) 가 가측집합일 때 \\( \\int_{E} \\phi(x) d m=\\int\\left(\\mathrm{x}_{E} \\phi\\right)(x) d m \\) 으로 정의하고 \\( E \\) 위에서 \\( \\phi \\) 의 Lebesgue 적분이라 부른다. \\( E=[a, b](a<b) \\) 이면 \\( \\int_{[a, b]} \\Phi(x) d m \\) 을 \\( \\int_{a}^{b} \\Phi(x) d m \\) 이라 쓴다.</p><p>주의</p><p>정의 \\( 11.35 \\) 에서 \\( m\\{x \\mid \\phi(x)=0\\}=\\infty \\) 이다.</p><p>\\( \\phi \\) 의 Lebesgue 적분을 \\( \\int_{a}^{b} \\phi(x) d x \\) 도 쓰기도하나 이 책에서는 Riemann 적분과 구별하기위하여 \\( \\int_{a}^{b} \\phi(x) d m \\) 만 쓰기로 한다.</p> <h1>11.3 가측함수</h1><p>\\( \\mathbb{R} \\) 의 부분집합이 모두 가측집합은 아니므로 어떤 과정을 통해서 만들어진 집합이 가측인지 아닌지 아는 것은 매우 흥미롭고 중요하다. 이 절에서는 함수로부터 생겨나는 집합의 가측성에 대하여 조사한다. 이 성질들은 다음 절에서 다루는 Lebesgue 적분의 정의의 근간이 된다.</p><p>정리 \\( 11.26 \\) \\( E \\) 를 가측집합, \\( \\mathbb{R}^{*}=[-\\infty, \\infty], f: E \\rightarrow \\mathbb{R}^{*} \\) 라 하면 아래 사실들은 서로 동치이다. \\( a \\) 를 임의의 실수라 하자.<ol type= start=1><li>\\( \\{x \\mid f(x)>a\\} \\) 는 가측집합이다.</li><li>\\( \\{x \\mid f(x) \\geq a\\} \\) 는 가측집합이다.</li><li>\\( \\{x \\mid f(x)<a\\} \\) 는 가측집합이다.</li><li>\\( \\{x \\mid f(x) \\leq a\\} \\) 는 가측집합이다.</li></ol>위 사실 중 하나가 성립하면 임의의 확장된 실수 \\( a \\) 에 대하여<ol type=1 start=5><li>\\( \\{x \\mid f(x)=a\\} \\) 는 가측집합이다.</li></ol></p><p>증명</p><p>\\( \\{x \\mid f(x) \\leq a\\}=E \\backslash\\{x \\mid f(x)>a\\} \\) 이므로 따름정리 \\( 11.18 \\) 에 의하여 ( \\( E, F \\) 가 가측이고 \\( E \\subset F \\) 이면 \\( F \\backslash E=F \\cap E^{\\prime} \\) 는 가측집합이다) \\( 1) \\Rightarrow 4) \\) 이다. 위와 같은 이유로 \\(4 ) \\Rightarrow 1 \\) 이고 \\( 2) \\Leftrightarrow 3) \\)이다.</p><p>\\( 1) \\) \\( \\Rightarrow 2 \\) )</p><p>\\( \\{x \\mid f(x) \\geq a\\}=\\bigcap_{n=1}^{\\infty}\\left\\{x \\mid f(x)>a-\\frac{1}{n}\\right\\} \\) 이고 \\( 1) \\)에 의하여 각 자연수 \\( n \\) 에 대하여 \\( \\left\\{x \\mid f(x)>a-\\frac{1}{n}\\right\\} \\) 이 가측집합이므로 따름정리 \\( 11.20 \\) 에 의하여 \\( \\{x \\mid f(x) \\geq a\\} \\) 는 가측집합이다. \\( 2) \\) \\( \\Rightarrow 1) \\).</p><p>\\( \\{x \\mid f(x)>a\\}=\\bigcup_{n=1}^{\\infty}\\left\\{x \\mid f(x) \\geq a+\\frac{1}{n}\\right\\} \\) 이고 \\( 2) \\)에 의하여 모든 자연수 \\( n \\) 에 대하여 \\( \\left\\{x \\mid f(x) \\geq a+\\frac{1}{n}\\right\\} \\) 이 가측집합이므로 따름정리 \\( 11.20 \\) 에 의하여 \\( \\{x \\mid f(x)>a\\} \\) 는 가측집합이다.</p><p>\\( 5) \\)에 대하여 \\( a \\in \\mathbb{R} \\) 이면 \\( \\{x \\mid f(x)=a\\}=\\{x \\mid f(x) \\geq a\\} \\cap\\{x \\mid f(x) \\leq a\\} \\) 이므로 \\( 2) \\)와 \\( 4) \\)에 의 하여 \\( 5) \\)는 성립한다.</p><p>\\( a=\\infty \\) 이면 \\( \\quad\\{x \\mid f(x)=\\infty\\}=\\bigcap_{n-1}^{\\infty}\\{x \\mid f(x) \\geq n\\} \\) 이므로 \\( 2) \\)에 의하여 \\( 5) \\)는 성립한다.</p><p>\\(a=-\\infty \\) 이면 \\( \\{x \\mid f(x)=-\\infty\\}=\\bigcap_{n=1}^{\\infty}\\{x \\mid f(x) \\leq-n\\} \\) 이므로 \\( 2 \\)에 의하여 \\( 5) \\)는 성립한다.</p> <p>정리 \\( 11.33 \\) 각 자연수 \\( n \\) 에 대하여 \\( f_{n}: E \\rightarrow \\mathbb{R}^{*} \\) 를 가측함수라 하자.<ol type=1 start=1><li>\\( \\sup _{1 \\leq i \\leq n} f_{i} \\) 와 \\( \\inf _{1 \\leq i \\leq n} f_{i} \\) 는 가측함수이다.</li><li>\\( \\sup _{1 \\leq n} f_{n} \\) 와 \\( \\inf _{1 \\leq n} f_{n} \\) 는 가측함수이다.</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sup f_{n} \\) 와 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\inf f_{n} \\) 는 가측함수이다.</li></ol></p><p>증명</p><p>\\( 1) \\) 임의의 실수 \\( a \\) 에 대하여 \\( \\left\\{x \\mid \\sup _{1 \\leq i \\leq n} f_{i}(x)>a\\right\\}=\\bigcup_{i=1}^{n}\\left\\{x \\mid f_{i}(x)>a\\right\\} . \\quad i=1,2, \\cdots, n \\) 에 대하여 \\( f_{i} \\) 가 가측함수이므로 \\( \\left\\{x \\mid f_{i}(x)>a\\right\\} \\) 는 가측집합이다. 따라서 \\( \\left\\{x \\mid \\sup _{1 \\leq i \\leq n} f_{i}(x)>a\\right\\} \\) 는 가측집합이고 \\( \\sup _{1 \\leq i \\leq n} f_{i} \\) 는 가측함수이다. 비슷한 방법으로 \\( \\inf _{1 \\leq i \\leq n} f_{i} \\) 의 경우에도 증명된다.</p><p>\\( 2) \\) 임의의 실수 \\( a \\) 에 대하여 \\( \\left\\{x \\mid \\sup _{1 \\leq n} f_{n}(x)>a\\right\\}=\\bigcup_{n=1}^{\\infty}\\left\\{x \\mid f_{n}(x)>a\\right\\} \\). 각 자연수 \\( n \\) 에 대하여 \\( \\left\\{x \\mid f_{n}(x)>a\\right\\} \\) 가 가측집합이므로 \\( \\left\\{x \\mid \\sup _{1 \\leq n} f_{n}(x)>a\\right\\} \\) 는 가측집합이고 \\( \\sup _{1 \\leq n} f_{n} \\) 는 가측함수이다. 같은 방법으로 \\( \\inf _{1 \\leq n} f_{n} \\) 의 경우도 증명할 수 있다.</p><p>\\( 3) 1) \\)과 \\( 2) \\)를 사용하면 \\( 3) \\)의 경우를 증명할 수 있다.</p> <p>정리 \\( 11.23 \\) (Lindelöf 정리) \\( O \\) 를 \\( \\mathbb{R} \\) 위의 통상위상에 대한 개집합이라 하면 서로소인 개구간열 \\( \\left\\{I_{n}\\right\\} \\) 이 존재하여 \\( O=\\bigcup_{n-1}^{\\infty} I_{n} \\) 이다.</p><p>정리 \\( 11.24 \\) \\( O \\) 를 \\( \\mathbb{R} \\) 위의 통상위상에 대한 개집합이라 하면 \\( O \\) 는 가측집합이다.</p><p>\" \\( \\mathbb{R} \\) 의 부분집합으로서 Lebesgue 가측집합이 아닌 집합이 있는가?\" 라는 의문을 가질 수 있다.", "이 질문에 대한 대답은 증명없이 아래 정리로 답하겠다.", "</p><p>정리 \\( 11.25 \\) \\( [0,1] \\) 의 부분집합으로서 Lebesgue 가측집합이 아닌 집합이 있다.", "</p><h1>연습문제 \\( 11.2 \\)</h1><p>\\( 1.\\) \\( E, F \\) 를 \\( \\mathbb{R} \\) 의 부분집합이라 하자.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( n^{*} E=0 \\) 이면 \\( m^{*}(E \\cup F)=m^{*} F \\) 이다.", "</li><li>\\( E \\subset F \\) 이교 \\( m^{*} E<\\infty \\) 이면 \\( m^{*}(F \\backslash E) \\geq m^{*} F-m^{*} E \\) 이다.", "</li></ol><p>\\( 2. \\) \\( \\ell\\left(\\bigcup_{n=1}^{\\infty}\\left[-\\frac{1}{n}, \\frac{1}{n}\\right]\\right) \\) 를 구하라.", "</p><p>\\( 3. \\) \\( E, F \\) 를 Lebesgue 가측집합이라 하자. \\", "( m^{*}(E \\cup F)+m^{*}(E \\cap F)=m^{*} E+m^{*} F \\).", "</p><p>\\( 4. \\) 각 자연수 \\( n \\) 에 대해서 \\( E_{n} \\subset \\mathbb{R} \\) 이고 \\( m^{*} E_{n}=0 \\) 라 하면 \\( \\bigcup_{n=1}^{\\infty} E_{n} \\) 는 가측집합임을 보여라.", "</p><p>\\( 5. \\) \\( m^{*} \\) 는 이동에 의하여 불변임을 보여라.", "즉 \\( E \\subset \\mathbb{R}, c \\in \\mathbb{R} \\) 이면 \\( m^{*} E=m^{*}(E+c) \\) 이다.", "여기서 \\( E+c=\\{x+c \\mid x \\in E\\} \\).", "</p><p>\\( 6. \\) \\( E \\subset \\mathbb{R}, c>0 \\) 에 대하여 \\( c E=\\{c x \\mid x \\in E\\} \\) 이라 할 때<ol type=1 start=1><li>\\( m^{*}(c E)=c m^{*} E \\)</li><li>\\( E \\) 가 가측이면 \\( c E \\) 도 가측이다.", "</li></ol></p><h2>연습문제 풀이 및 해답</h2><p>\\( 1 . \\)</p><ol type=1 start=1><li>\\( F \\subset E \\cup F \\) 이므로 \\( m^{*} F \\leq m^{*}(E \\cup F) \\) 이고, \\(m^{*}(E \\cup F) \\leq m^{*} E+m^{*} F=0+m^{*} F=m^{*} F \\)이다.", "따라서 \\( m^{*}(E \\cup F)=m^{*} F \\) 이다.", "</li><li>\\( F=(F \\backslash E) \\cup E \\) 이므로 \\( m^{*} F=m^{*}((F \\backslash E) \\cup E) \\leq m^{*}(F \\backslash E)+m^{*} E \\). \\", "( m^{*} E<\\infty \\) 이므로 \\( \\infty-\\infty \\) 형을 피할수 있고 \\( m^{*} F-m^{*} E \\leq m^{*}(F \\backslash E) \\) 이다.", "</li></ol><p>\\( 2. \\) \\( \\bigcup_{n-1}^{\\infty}\\left[-\\frac{1}{n}, \\frac{1}{n}\\right]=[-1,1] \\) 이므로 \\( \\ell\\left(\\bigcup_{n-1}^{\\infty}\\left[-\\frac{1}{n}, \\frac{1}{n}\\right]\\right)=\\ell([-1,1])=2 \\).", "</p><p>\\( 3. \\) \\( E \\) 가 가측집합이므로 \\( m^{*} F=m^{*}(F \\cap E)+m^{*}\\left(F \\cap E^{\\prime}\\right), F \\) 가 가측집합이므로 \\( m^{*} E=m^{*}(E \\cap F)+m^{*}\\left(E \\cap F^{\\prime}\\right) \\).", "가측집합의 모임은 집합대수이므로 \\( E \\cap F^{\\prime} \\) 와 \\( E \\cap F, F \\cap E^{\\prime} \\) 은 모두 가측이고, 각각 서로소이다.", "</p><p>\\( E \\cup F=\\left(E \\cap F^{\\prime}\\right) \\bigcup(E \\cap F) \\bigcup\\left(F \\cap E^{\\prime}\\right) \\) 이므로 정리 \\( 11.19 \\)에 의하여 \\( m^{*}(E \\cup F)=m^{*}\\left(E \\cap F^{\\prime}\\right)+m^{*}(E \\cap F)+m^{*}\\left(F \\cap E^{\\prime}\\right) \\).", "양변에 \\( m^{*}(E \\cap F) \\) 를 더하면 \\( \\begin{aligned} m^{*}(E \\cup F)+m^{*}(E \\cap F) &=m^{*}(E \\cap F)+m^{*}\\left(E \\cap F^{\\prime}\\right)+m^{*}(E \\cap F)+m^{*}\\left(F \\cap E^{\\prime}\\right) \\\\ &=m^{*} E+m^{*} F \\end{aligned} \\)</p><p>\\( 4. \\) \\( m^{*}\\left(\\bigcup_{n=1}^{\\infty} E_{n}\\right) \\leq \\sum_{n=1}^{\\infty} m^{*} E_{n}=0 \\) 이므로 \\( m^{*}\\left(\\bigcup_{n=1}^{\\infty} E_{n}\\right)=0 \\) 이다.", "예제 \\( \\left.2.41\\right) \\) 에 의하여 \\( \\bigcup_{n=1}^{\\infty} E_{n} \\) 은 가측집합이다.", "</p><p>\\( 5. \\) \\( I \\) 가 무한구간이면 \\( \\ell(I)=\\infty \\) 이고, \\( I+c \\) 도 무한구간이므로 \\( \\ell(I+c)=\\infty, I \\) 가 유한구간이면 \\( (a, b),[a, b),(a, b],[a, b],(a<b) \\) 중 하나이면 \\( \\ell(I)=b-a \\) 이고 \\( \\ell(I+c)=(b+c)-(a+c)=b-a \\).", "따라서 \\( I \\) 가 구간이면 \\( m^{*} I=\\ell(I)=\\ell(I+c)=m^{*}(I+c) \\).", "이제 \\( E \\subset \\mathrm{R} \\) 이고 \\( \\left\\{I_{n}\\right\\} \\) 이 \\( E \\) 의 개구간의 덮개라 하면 \\( \\left\\{I_{n}+c\\right\\} \\) 는 \\( E+c \\) 의 덮개이다.", "모든 \\( n \\) 에 대하여 \\( \\ell\\left(I_{n}\\right)=\\ell\\left(I_{n}+c\\right) \\) 이므로 \\( \\sum \\ell\\left(I_{n}\\right)=\\sum \\ell\\left(I_{n}+c\\right) \\) 이다.", "역으로 \\( \\left\\{J_{n}\\right\\} \\) 이 \\( E+c \\) 의 개구간의 덮개라 하면 \\( \\left\\{J_{n}-c\\right\\} \\) 는 \\( E \\) 의 개구간의 덮개이고 \\( \\sum \\ell\\left(J_{n}\\right)=\\sum \\ell\\left(J_{n}-c\\right) \\) 이다.", "그러므로 \\( \\inf _{E \\subset \\cup I_{2}} \\sum \\ell\\left(I_{n}\\right)=\\inf _{E+c \\subset \\cup J_{s}} \\sum \\ell\\left(J_{n}\\right) \\), 즉, \\( m^{*} E=m^{*}(E+c) \\) 이다.", "</p><p>\\( 6. \\)<ol type=1 start=1><li>\\( c>0 \\) 이고 \\( E \\subset \\cup I_{n} \\) 이면 \\( c E \\subset \\cup c I_{n} \\) 이므로 \\( 5 \\)번과 같이 \\( m^{*}(c E)=c m^{*} E \\) 임을 보일 수 있다.", "</li><li>\\( A \\subset \\mathbb{R} \\) 이면 \\( A=c A_{0}\\left(A_{0} \\subset \\mathbb{R}\\right) \\) 로 나타낼 수 있다. \\", "( (c E)^{\\prime}=c E^{\\prime} \\) 임을 주목하면 \\( \\begin{aligned} m^{*}(A \\cap(c E))+m^{*}\\left(A \\cap(c E)^{\\prime}\\right) &=m^{*}\\left(c A_{0} \\cap c E\\right)+m^{*}\\left(c A_{0} \\cap c E^{\\prime}\\right) \\\\ &=m^{*}\\left(c\\left(A_{0} \\cap E\\right)\\right)+m^{*}\\left(c\\left(A_{0} \\cap E^{\\prime}\\right)\\right) \\\\ &\\left.=", "c\\left\\{m^{*}\\left(A_{0} \\cap E\\right)+m^{*}\\left(A_{0} \\cap E^{\\prime}\\right)\\right\\} \\text { ( 1)에 의해서 }\\right) \\\\ &=c m^{*} A_{0} (E \\text { 가 가촉이므로 }) \\\\ &\\left.=", "m^{*}\\left(c A_{0}\\right) (1) \\text { 에 의해서 }\\right) \\\\ &=m^{*} A \\end{aligned} \\) 따라서 \\( c E \\) 도 가측이다.", "</li></ol></p> <p>일반가측함수의 Lebesgue 적분</p><p>함수 \\( f \\) 에 대하여, \\( f^{+}(x)=\\max \\{f(x), 0\\}, f^{-}(x)=\\min \\{-f(x), 0\\} \\) 라 정의하자.", "그러면 다음 성질이 성립함을 안다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f^{+} \\geq 0, \\quad f^{-} \\geq 0 \\)</li><li>\\( f \\) 가 가측함수이면 \\( f^{+}, f^{-} \\)도 가측함수이다.", "</li><li>\\( f=f^{+}-f^{-} \\).", "</li><li>\\( |f|=f^{+}+f^{-} . \\)", "</li></ol><p>정의 \\( 11.51 \\) \\( E \\) 는 가측집합, \\( f: E \\rightarrow \\mathbb{R}^{*} \\) 는 가측함수라 하자.", "함수 \\( f^{+} \\)와 \\( f^{-} \\) 가 \\( E \\) 위에서 Lebesgue 적분가능할 때 함수 \\( f \\) 는 Lebesgue 적분가능 또는 적분가능하다라고 말하고 다음과 같이 정의한다. \\", "( \\int_{E} f(x) d m=\\int_{E} f^{+}(x) d m-\\int_{E} f^{-}(x) d m . \\)", "</p><p>정리 \\( 11.52 \\) \\( E \\) 는 가측집합, \\( f_{1}, f_{2}: E \\rightarrow \\mathbb{R}^{*} \\) 는 \\( f_{1} \\geq 0, f_{2} \\geq 0 \\) 인 적분가능함 수라 하자. \\", "( f_{1}-f_{2} \\) 가 \\( E \\) 에서 정의될 때 \\( f=f_{1}-f_{2} \\) 라 두면 \\( \\int_{E} f(x) d m=\\int_{E} f_{1}(x) d m-\\int_{E} f_{2}(x) d m \\text { 이다. } \\)", "</p><p>증명</p><p>\\( f=f_{1}-f_{2} \\) 이므로 \\( f^{+}-f^{-}=f_{1}-f_{2} \\) 이다.", "따라서 \\( f^{+}+f_{2}=f_{1}+f^{-} \\) 은 \\( E \\) 에서 정의되고 \\( f \\) 는 \\( E \\) 위에서 적분가능이고 정리 \\( 11.45 \\) 에 의하여 \\( \\int_{E} f^{+}(x) d m+\\int_{E} f_{2}(x) d m=\\int_{E} f_{1}(x) d m+\\int_{E} f^{-}(x) d m \\).", "따라서 \\( \\int_{E} f(x) d m=\\int_{E} f^{+}(x) d m-\\int_{E} f^{-}(x) d m=\\int_{E} f_{1}(x) d m-\\int_{E} f_{2}(x) d m \\).", "</p> <p>정리 \\( 11.53 \\) \\( E \\) 는 가측집합, \\( f, g: E \\rightarrow \\mathbb{R}^{*} \\) 가 \\( E \\) 위에서 Lebesgue 적분가능하다고 하자.", "<ol type=1 start=1><li>실수 \\( c \\) 에 대하여 \\( c f \\) 는 \\( E \\) 위에서 적분가능하고 \\( \\int_{E}(c f)(x) d m=c \\int_{E} f(x) d m \\)</li><li>\\( f+g \\) 는 \\( E \\) 위에서 적분가능하고 \\( \\int_{E}(f+g)(x) d m=\\int_{E} f(x) d m+\\int_{E} g(x) d m . \\)", "</li><li>\\( f \\leq g \\) a.e 이면 \\( \\int_{E} f(x) d m \\leq \\int_{E} g(x) d m \\).", "</li><li>\\( E_{1}, E_{2} \\subset E, E_{1} \\cap E_{2}=\\varnothing, E_{1}, E_{2} \\) 가 가측집합이면 \\( \\int_{E_{1} \\cup E_{2}} f(x) d m=\\int_{E_{1}} f(x) d m+\\int_{E_{2}} f(x) d m . \\)", "</li></ol></p><p>증명</p><p>\\( 1) \\) 정리 \\( 11.45 \\) \\( 1) \\)과 정의 \\( 11.51 \\) 로부터 쉽게 증명할 수 있다.", "</p><p>\\( 2) \\) \\( f \\) 와 \\( g \\) 가 적분가능하면 \\( f^{+}+g^{+}, f^{-}+g^{-} \\)도 적분가능하다. \\", "( f+g=f^{+}-f^{-}+g^{+}-g^{-}=\\left(f^{+}+g^{+}\\right)-\\left(f^{-}+g^{-}\\right) \\)이므로 정리 \\( 11.52 \\) 에 의하여 \\( \\begin{aligned} \\int_{E}(f+g)(x) d m &=\\int_{E}\\left(f^{+}+g^{+}\\right)(x) d m-\\int_{E}\\left(f^{-}+g^{-}\\right)(x) d m \\\\ &=\\int_{E} f^{+}(x) d m+\\int_{E} g^{+}(x) d m-\\int_{E} f^{-}(x) d m+\\int_{E} g^{-}(x) d m \\\\ &=\\int_{E} f^{+}(x) d m-\\int_{E} f^{-}(x) d m+\\int_{E} g^{+}(x) d m-\\int_{E} g^{-}(x) d m \\\\ &=\\int_{E} f(x) d m+\\int_{E} g(x) d m \\end{aligned} \\).", "</p><p>\\( 3) \\) \\( 0 \\leq g-f a .", "e \\) 이므로 \\( 1) \\)과 \\( 2) \\)에 의하여 \\( 0 \\leq \\int_{E}(g-f)(x) d m=\\int_{E} g(x) d m-\\int_{E} f(x) d m \\).", "따라서 \\( \\int_{E} f(x) d m \\leq \\int_{E} g(x) d m \\).", "</p><p>\\( 4) \\) \\( E_{1} \\cap E_{2}=\\varnothing \\) 이므로 \\( X_{E_{1} \\cap E_{2}} f=\\chi_{E_{1}} f+x_{E_{2}} f \\) 이다.", "따라서 \\( \\int_{E_{1} \\cup E_{2}} f(x) d m=\\int_{E_{1} \\cup E_{2}} \\mathrm{X}_{E_{1}} f(x) d m+\\int_{E_{1} \\cup E_{2}} \\times_{E_{2}} f(x) d m \\) \\( \\int_{E_{1}} f(x) d m+\\int_{E_{2}} f(x) d m \\).", "</p> <h2>\\( f \\geq 0 \\) 인 가측함수 \\( f \\) 의 Lebesgue 적분</h2><p>정의 \\( 11.44 \\) \\( E \\) 는 가측집합, \\( f: E \\rightarrow \\mathbb{R}^{*} \\) 는 가측함수이고 \\( f \\geq 0 \\) 이라 하자. \\", "( \\int_{E} f(x) d m \\) 을 다음과 같이 정의한다. \\", "( \\int_{E} f(x) d m=\\sup \\left\\{\\int_{E} h(x) d m \\mid h: E \\rightarrow \\mathbb{R}\\right. \\)", "는 유계가측함수, \\( h \\leq f, m\\{x \\in E \\mid h(x) \\neq 0\\}<\\infty\\}. \\)", "위 식의 오른쪽 부분을 간단히 \\( \\sup _{h \\leq f} \\int_{E} h(x) d m \\) 으로 표시한다. \\", "( \\int_{E} f(x) d m<\\infty \\) 일 때 \\( f \\) 는 \\( E \\) 위에서 Lebesgue 적분가능 (Lebesgue integrable) 또는 적분가능이라고 부른다. \\", "( F \\) 가 \\( E \\) 의 부분집합이고 가측일 때 \\( \\int_{F} f(x) d m \\) 을 \\( \\int_{F}\\left(x_{F} f\\right)(x) d m \\) 으로 정의한다.", "</p><p>정리 \\( 11.45 \\) \\( E \\) 는 가측집합, \\( f, g: E \\rightarrow \\mathbb{R}^{*} \\) 는 가측함수이고 \\( f \\geq 0, g \\geq 0 \\) 이라 하자.", "<ol type=1 start=1><li>\\( c \\geq 0 \\) 에 대하여 \\( \\int_{E}(c f)(x) d m=c \\int_{E} f(x) d m \\).", "</li><li>\\( \\int_{E}(f+g)(x) d m=\\int_{E} f(x) d m+\\int_{E} g(x) d m \\)</li><li>\\( f \\leq g \\) a.e이면 \\( \\int_{E} f(x) d m \\leq \\int_{E} g(x) d m \\).", "</li></ol></p><p>증명</p><p>\\( 1) \\)과 \\( 3) \\)은 정리 \\( 11.41 \\) 을 적당히 바꾸어 증명해 보라.", "</p><p>\\( 2) \\) \\( h(x) \\leq f(x), k(x) \\leq g(x) \\) 이면 \\( h(x)+k(x) \\leq f(x)+g(x) \\).", "</p><p>\\( \\int_{E}(h(x)+k(x)) d m=\\int_{E} h(x) d m+\\int_{E} k(x) d m \\leq \\int_{E}(f+g)(x) d m . \\)", "</p><p>따라서 \\( \\begin{aligned} \\sup _{h \\leq f, k \\leq g}\\left(\\int_{E} h(x) d m\\right.&\\", "left.+\\", "int_{E} k(x) d m\\right) \\\\ &=\\sup _{h \\leq f} \\int_{E} h(x) d m+\\sup _{k \\leq g} \\int_{E} k(x) d m \\\\ &=\\int_{E} f(x) d m+\\int_{E} g(x) d m \\\\ & \\leq \\int_{E}(f+g)(x) d m \\end{aligned}. \\)", "<p>\\( l: E \\rightarrow \\mathbb{R} \\) 는 유계가측함수, \\( m\\{x \\in E \\mid l(x) \\neq 0\\}<\\infty, l \\leq f+g \\) 라 가정하자. \\", "( h(x)=\\min \\{f(x), l(x)\\}, k(x)=l(x)-h(x) \\) 로 정의하면, \\( h(x) \\leq f(x), k(x) \\leq g(x) \\) 이다. \\", "( h(x), k(x) \\) 는 유계가측함수이고, \\( l(x)=0 \\) 이면 \\( h(x)=0, k(x)=0 \\) 이다.", "따라서 \\( \\int_{E} l(x) d m=\\int_{E} h(x) d m+\\int_{E} k(x) d m \\leq \\int_{E} f(x) d m+\\int_{E} g(x) d m . \\)", "그러므로 \\( \\int_{E}(f+g)(x) d m \\leq \\int_{E} f(x) d m+\\int_{E} g(x) d m \\).", "따라서 \\( \\int_{E}(f+g)(x) d m=\\int_{E} f(x) d m+\\int_{E} g(x) d m . \\)", "</p> <p>정리 \\( 11.11 \\) \\( I \\) 를 구간이라 하면 \\( m^{*} A=\\ell(I) \\) 이다.", "</p><p>증명</p><p>\\( a, b(a<b) \\) 를 실수라 하고 \\( I=[a, b] \\) 인 경우를 생각하자.", "각 자연수 \\( n \\) 에 대하여 개구간 \\( \\left(a-\\frac{1}{n}, b+\\frac{1}{n}\\right) \\) 에 대하여 \\( I \\subset\\left(a-\\frac{1}{n}, b+\\frac{1}{n}\\right) \\) 이고 \\( m^{*}[a, b] \\leq \\ell\\left(a-\\frac{1}{n}, b+\\frac{1}{n}\\right)=b-a+\\frac{2}{n} \\)이므로 \\( m^{*}[a, b] \\leq b-a \\) 이다.", "</p><p>\\( m^{*}[a, b] \\geq b-a \\) 임을 보이기 위하여 \\( [a, b] \\) 의 임의의 개구간의 덮개 \\( \\left\\{I_{n}\\right\\}_{n=1}^{\\infty} \\) 에 대하여 \\( \\sum \\ell\\left(I_{n}\\right) \\geq b-a \\cdots \\cdots \\cdots \\)<caption>(1)</caption>임을 보이면 된다.", "Heine-Borel 정리(정리 \\( 3.19 \\))에 의하면 \\( [a, b] \\) 의 개구간의 덮개 \\( \\left\\{I_{n}\\right\\}_{n=1}^{\\infty} \\) 에 대하여 유한부분덮개를 가진다.", "유한부분덮개의 길이의 합은 원덮개에 속하는 개구간의 길이의 합보나 적거나 같으므로 \\( [a, b] \\) 의 개구간의 유한부분덮개 \\( \\left\\{I_{n}\\right\\} \\) 에 대하여 (1)을 보이면 된다. \\", "( \\left\\{I_{n}\\right\\} \\) 을 \\( [a, b] \\) 의 개구간의 유한부분덮개라 하자.", "즉 \\( [a, b] \\subset \\cup I_{n} \\) 이므로 \\( I_{n} \\) 들 중 \\( a \\) 를 포함하는 것이 있나.", "이것을 \\( \\left(a_{1}, b_{1}\\right) \\) 이라 하자. \\", "( a \\in\\left(a_{1}, b_{1}\\right) \\) 이므로 \\( a_{1}<a<b_{1} \\) 이다.", "만약 \\( b \\leq b_{1} \\) 이면 \\( a_{1}<a<b \\leq b_{1} \\) 이므로 \\( \\sum \\ell\\left(I_{n}\\right) \\geq b_{1}-a_{1} \\geq b-a \\) 이다. \\", "( b_{1} \\leq b \\) 이면 \\( b_{1} \\in[a, b] \\) 이고 \\( b_{1} \\notin\\left(a_{1}, b_{1}\\right) \\) 이므로 \\( I_{n} \\) 들 중 \\( b_{1} \\) 를 포함하는 것이 있나.", "이것을 \\( \\left(a_{2}, b_{2}\\right) \\) 이라 하자.", "즉 \\( b_{1} \\in\\left(a_{2}, b_{2}\\right) \\) 이고 \\( a_{2}<b_{1}<b_{2} \\) 이다. \\( \\left(a_{1}, b_{1}\\right) \\cup\\left(a_{2}, b_{2}\\right) \\supset[a, b] \\) 이면 \\( \\sum \\ell\\left(I_{n}\\right) \\geq b-a \\) 이다. \\( [a, b] \\not \\subset\\left(a_{1}, b_{1}\\right) \\cup\\left(a_{2}, b_{2}\\right) \\) 이면 즉 \\( b \\leq b_{2} \\) 이면 위 방법을 계속한다. 이때 \\( \\left\\{I_{n}\\right\\} \\) 에서 \\( a_{i}<b_{i-1}<b_{i} \\) 인 개구간 \\( \\left(a_{1}, b_{1}\\right),\\left(a_{2}, b_{2}\\right) \\), \\( \\cdots,\\left(a_{k}, b_{k}\\right) \\) 을 얻을 수 있다. \\( \\left\\{I_{n}\\right\\} \\) 이 \\( [a, b] \\) 의 유한덮개이므로 이 과정은 유한번에서 끝난다. 즉 적당한 자연수 \\( k \\) 에 대하여 \\( b \\) 가 \\( \\left(a_{k}, b_{k}\\right) \\) 의 원소가 된다. 이때 \\[ \\begin{aligned} \\sum \\ell\\left(I_{n}\\right) & \\geq \\sum_{i=1}^{k} \\ell\\left(a_{i}, b_{i}\\right) \\\\ &=\\left(b_{k}-a_{k}\\right)+\\left(b_{k-1}-a_{k-1}\\right)+\\cdots+\\left(b_{1}-a_{1}\\right) \\\\ &=b_{k}-\\left(a_{k}-b_{k-1}\\right)-\\left(a_{k-1}-b_{k-2}\\right)-\\cdots-\\left(a_{2}-b_{1}\\right)-a_{1} \\\\ &>b_{k}-a_{1} \\end{aligned} \\], \\( b_{k}>b \\) 이고 \\( a_{1}<a \\) 이므로 \\( b_{k}-a_{1}>b-a \\) 이다. 따라서 \\( \\sum \\ell\\left(I_{n}\\right)>", "b-a \\) 이다.", "그러므로 \\( \\sum \\ell\\left(I_{n}\\right)=b-a \\) 이다. \\", "( I=(a, b) \\) 이라 하자.", "각 자연수 \\( n \\) 에 대하여, \\( \\ell(J) \\geq \\ell(I)-\\frac{1}{n} \\) 이고 \\( I \\subset J \\) 인 닫힌구간 \\( J \\) 가 있다.", "따라서 \\( \\ell(I)-\\frac{1}{n}<\\ell(J) \\) \\( =m^{*} J \\leq m^{*} I=m^{*}[a, b]=\\ell \\) (I)이다.", "각 자연수 \\( n \\) 에 대하여 \\( \\ell(I)-\\frac{1}{n}<m^{*} I \\leq \\ell(I) \\) 이므로 \\( \\ell(I)<m^{*} I \\leq \\ell(I) \\) 이다.", "즉 \\( m^{*} I=\\ell(I) \\) 이다.", "</p> <p>정리 \\( 11.28 \\) \\( E \\) 를 가측집합, \\( f, g: E \\rightarrow \\mathbb{R}^{*} \\) 를 가측함수라 하면 아래 \\(\\left.\\left.\\left.1\\right), 2\\right), 3\\right) \\)은 가측집합이다.", "<ol type=1 start=1><li>\\( \\{x \\mid f(x)>g(x)\\} \\)</li><li>\\( \\{x \\mid f(x) \\geq g(x)\\} \\)</li><li>\\( \\{x \\mid f(x)=g(x)\\} \\)</li></ol></p><p>증명</p><p>\\( \\{x \\mid f(x)>g(x)\\}=\\varnothing \\) 이면 \\( \\varnothing \\) 는 가측집합이다. \\( \\{x \\mid f(x)>g(x)\\} \\neq \\varnothing \\) 이면 \\( f(x)>g(x) \\) 인 각 \\( x \\) 에 대하여 \\( f(x)>r>g(x) \\) 인 유리수 \\( r \\) 가 있다. 위 식을 만족하는 유리수 전체의 집합을 \\( \\left\\{r_{n}\\right\\} \\subset \\mathbb{Q} \\) 이라고 하면 \\( \\{x \\mid f(x)>g(x)\\}=\\bigcup_{n}\\left(\\left\\{x \\mid f(x)>r_{n}\\right\\} \\cap\\left\\{x \\mid g(x)\\left\\langle r_{n}\\right\\}\\right)\\right. \\) 이므로 \\( \\{x \\mid f(x)>", "g(x)\\} \\) 는 가측집합이다.", "</p><p>\\( 2) \\) \\( \\{x \\mid f(x) \\geq g(x)\\}=\\left\\{x \\mid f(x)\\langle g(x)\\}^{\\prime}\\right. \\) 이므로 \\(1)\\)과 따름정리 \\( 11.18 \\) 에 의하여 \\( \\{x \\mid f(x) \\geq g(x)\\} \\) 는 가측집합이다.", "</p><p>\\( 3) \\) \\( \\{x \\mid f(x)=g(x)\\}=\\{x \\mid f(x) \\geq g(x)\\} \\backslash\\{x \\mid f(x)>g(x)\\} \\) 이므로 \\( 1) \\)과 \\( 2) \\)에 의하여 \\( \\{x \\mid f(x)=g(x)\\} \\) 는 가측집합이다.", "</p><p>정리 \\( 11.29 \\) \\( E \\) 를 가측집합, \\( c \\) 를 실수, \\( f: E \\rightarrow \\mathbb{R}^{*} \\) 를 가측함수라 하면 \\( f+c, c f, f^{2} \\) 은 가측함수이다.", "</p><p>증명</p><p>임의의 실수 \\( a \\) 에 대하여 \\( \\{x \\mid f(x)+c>a\\}=\\{x \\mid f(x)>a-c\\} \\) 이므로 \\( f+c \\) 는 가측함수이다.", "함수 \\( c f \\) 에 대하여는 \\( c \\) 가 양수, 음수, \\( 0 \\) 인 경우로 나누어서 생각하자.", "</p><p>\\( c>0 \\) 인 경우 \\( \\{x \\mid c f(x)>a\\}=\\left\\{x \\mid f(x)>\\frac{a}{c}\\right\\} \\).", "</p><p>\\( c<0 \\) 인 경우 \\( \\{x \\mid c f(x)>a\\}=\\left\\{x \\mid f(x)<\\frac{a}{c}\\right\\} \\).", "</p><p>\\( c=0 \\) 인 경우 \\( c f=0 \\) 이므로 \\( a \\geq 0 \\) 이면 \\( \\{x \\mid c f(x)>0\\}=\\varnothing \\).", "</p><p>\\( a<0 \\) 이면 \\( \\{x \\mid c f(x)>a\\}=E \\) 이므로 \\( c f \\) 는 가측함수이다.", "</p><p>임의의 실수 \\( a \\) 에 대하여, \\( a \\geq 0 \\) 이면 \\( \\left\\{x \\mid f^{2}(x)>a\\right\\} \\) \\( =\\{x \\mid f(x)=\\infty\\} \\cup\\{x \\mid f(x)=-\\infty\\} \\cup\\left\\{x \\mid a<f^{2}(x)<\\infty\\right\\} \\) \\( =\\{x \\mid f(x)=\\infty\\} \\cup\\{x \\mid f(x)=-\\infty\\} \\) \\( \\bigcup\\{x \\mid f(x)>\\sqrt{a}\\} \\cup\\{x \\mid f(x)<-\\sqrt{a}\\} \\), \\( a<0 \\) 이면 \\( \\left\\{x \\mid f^{2}(x)>a\\right\\}=E \\) 이므로 \\( f^{2} \\) 은 가측함수이다.", "</p> <p>정리 \\( 11.42 \\) 함수 \\( f:[a, b] \\rightarrow \\mathbb{R} \\) 는 유계라 하고 \\( E=\\{x \\mid f \\) 가 \\( x \\) 에서 불연속 \\( \\} \\) 라 하자. \\", "( f \\) 가 \\( [a, b] \\) 위에서 Riemann 적분가능할 필요충분조건은 \\( m E=0 \\) 이다.", "</p><p>정리 \\( 11.43 \\) (유계수렴정리, Bounded Convergence Theorem) \\( E \\) 는 가측집합, \\( m E<\\infty \\), 자연수 \\( n=1,2, \\cdots \\) 에 대하여 함수 \\( f_{n}: E \\rightarrow \\mathbb{R} \\) 는 가측함수이고 \\( x \\in E \\) 에 대하여 \\( \\left|f_{n}(x)\\right| \\leq M \\) 인 실수 \\( M \\) 이 있다고 가정하자.", "각 \\( x \\in E \\) 에 대하여 \\( \\lim f_{n}(x)=f(x) \\) 이면 \\( \\lim \\int_{E} f_{n}(x) d m=\\int_{E} f(x) d m \\).", "</p><p>증명</p><p>\\( M=0 \\) 혹은 \\( m E=0 \\) 이면 정리가 분명히 성립하므로 \\( m E \\neq 0 \\), \\( M>0 \\) 이라고 가정하자. \\", "( \\varepsilon \\) 을 주어진 양수라 하자. \\", "( \\frac{\\varepsilon}{2 m E} \\) 과 \\( \\frac{\\varepsilon}{4 M} \\) 에 대하여 정리 \\( 11.34 \\) 을 적용하면 \\( E \\) 의 가측부분집합 \\( A \\) 와 자연수 \\( N \\) 가 존재하여 \\( m A<\\frac{\\varepsilon}{4 M} \\) 이고 \\( x \\in E \\backslash A \\) 와 \\( n \\geq N \\) 에 대하여 \\( \\left|f_{n}(x)-f(x)\\right|<\\frac{\\varepsilon}{2 m E} \\).", "이 때 다음 식이 성립한다. \\", "( n \\geq N \\) 에 대하여 \\( \\begin{aligned}\\left|\\int_{E} f_{n}(x) d m-\\int_{E} f(x) d m\\right| &=\\left|\\int_{E}\\left(f_{n}(x)-f(x)\\right) d m\\right| \\\\ & \\leq \\int_{E}\\left|f_{n}(x)-f(x)\\right| d m \\\\ &=\\int_{E \\backslash A}\\left|f_{n}(x)-f(x)\\right| d m \\\\ &+\\int_{A}\\left|f_{n}(x)-f(x)\\right| d m \\\\ & \\leq \\frac{\\varepsilon}{2(m E)}+\\frac{\\varepsilon \\cdot 2 M}{4 M} \\\\ & \\leq \\frac{\\varepsilon}{2}+\\frac{\\varepsilon}{2}=\\varepsilon \\end{aligned} \\).", "</p><p>따라서 \\( \\lim \\int_{E} f_{n}(x) d m=\\int_{E} f(x) d m \\).", "</p> <p>정리 \\( 11.14 \\) \\( E, F \\) 가 가측집합이면 \\( E \\cup F \\) 도 가측집합이다.", "</p><p>증명</p><p>\\( A \\subset \\mathbb{R} \\) 이라 하자.\\", "( A \\cap(E \\cup F)=(A \\cap E) \\cup(A \\cap F)=(A \\cap E) \\cup\\left(A \\cap F \\cap E^{\\prime}\\right) \\) 이므로 \\( m^{*}(A \\cap(E \\cup F)) \\leq m^{*}(A \\cap E)+m^{*}\\left(A \\cap F \\cap E^{\\prime}\\right) \\) 이다. \\", "( F \\) 가 가측집합이므로, \\( m^{*}\\left(A \\cap E^{\\prime}\\right) \\geq m^{*}\\left(A \\cap E^{\\prime} \\cap F\\right)+m^{*}\\left(A \\cap E^{\\prime} \\cap F^{\\prime}\\right) \\) 이다.", "따라서 \\[ \\begin{aligned} m^{*}(A \\cap(E \\cup F)) &+m^{*}\\left(A \\cap E^{\\prime} \\cap F^{\\prime}\\right) \\\\ & \\leq m^{*}(A \\cap E)+m^{*}\\left(A \\cap F \\cap E^{\\prime}\\right)+m^{*}\\left(A \\cap E^{\\prime} \\cap F^{\\prime}\\right) \\\\ & \\leq m^{*}(A \\cap E)+m^{*}\\left(A \\cap E^{\\prime}\\right) \\\\ & \\leq m^{*} A (E \\text { 가 가측집합이므로 }) . \\end{aligned} \\]", "그러므로 \\( E \\cup F \\) 는 가측집합이다.", "</p><p>가측집합의 정의에 의하여 \\( E \\) 가 가측집합이면 \\( E^{\\prime} \\) 도 가측집합이므로 다음 정리를 얻을 수 있나.", "</p><p>정리 \\( 11.15 \\) \\( \\mathscr{M} \\)을 가측집합의 모임이라 하면 \\( \\mathscr{M} \\)은 대수이다.", "</p><p>정리 \\( 11.16 \\) \\( E_{1}, E_{2}, \\cdots, E_{n} \\) 을 서로소인 가측집합이라 하자. \\", "( \\mathrm{R} \\) 의 임의의 부분집합 \\( A \\) 에 대하여 \\( m^{*}\\left(A \\cap\\left(\\bigcup_{i=1}^{n} E_{i}\\right)\\right)=\\sum_{i=1}^{n} m^{*}\\left(A \\cap E_{i}\\right) \\) 이다. \\", "( A=\\mathbb{R} \\) 이면 \\( m^{*}\\left(\\bigcup_{i=1}^{n} E_{i}\\right)=\\sum_{i=1}^{n} m^{*} E_{i} \\) 이다.", "</p><p>증명</p><p>귀납법을 사용하여 정리를 증명한다. \\", "( i=1 \\) 일 때 성립하므로 \\( i=k<n \\) 일 때 \\( m^{*}\\left(A \\cap\\left(\\bigcup_{i=1}^{k} E_{i}\\right)\\right)=\\sum_{i=1}^{k} m^{*}\\left(A \\cap E_{i}\\right) \\) 이라 가정하자. \\", "( i=k+1 \\) 일 때 \\( E_{k+1} \\) 이 가측집합이므로 \\( \\begin{aligned} m^{*}\\left(A \\cap\\left(\\bigcup_{i=1}^{k+1} E_{i}\\right)\\right)=& m^{*}\\left(\\left(A \\cap\\left(\\bigcup_{i=1}^{k+1} E_{i}\\right)\\right) \\cap E_{k+1}\\right) \\\\ &+m^{*}\\left(\\left(A \\cap\\left(\\bigcup_{i=1}^{k+1} E_{i}\\right)\\right) \\cap E_{k+1}^{\\prime}\\right) \\\\=& m^{*}\\left(A \\cap E_{k+1}\\right)+m^{*}\\left(A \\cap\\left(\\bigcup_{i=1}^{k} E_{i}\\right)\\right) \\\\=& m^{*}\\left(A \\cap E_{k+1}\\right)+\\sum_{i=1}^{k} m^{*}\\left(A \\cap E_{i}\\right) . \\", "end{aligned} \\) 따라서 \\( m^{*}\\left(A \\cap\\left(\\bigcup_{i=1}^{n} E_{i}\\right)\\right)=\\sum_{i=1}^{n} m^{*}\\left(A \\cap E_{i}\\right) \\) 이다.", "</p> <p>정리 \\( 11.54 \\) (Lebesgue 수렴정리, Lebesgue Convergence Theorem) \\( E \\) 를 가측집합, 각 자연수 \\( n=1,2, \\cdots \\) 에 대하여 \\( g, f_{n}: E \\rightarrow \\mathbb{R}^{*} \\) 을 가측함수라 하자. \\", "( g \\) 가 \\( E \\) 위에서 적분가능, \\( E \\) 에서 \\( \\left|f_{n}\\right| \\leq g(n=1,2, \\cdots), f(x)=\\lim f_{n}(x) \\) a.e이면 \\( f \\) 는 \\( E \\) 위에서 적분가능이고 \\( \\int_{E} f(x) d m=\\lim \\int_{E} f_{n}(x) d m . \\)", "</p><p>증명</p><p>자연수 \\( n=1,2, \\cdots \\) 에 대하여 \\( 0 \\leq g-f_{n} a .", "e \\) 이고 \\( \\lim f_{n}(x)=f(x) a .", "e \\) 이므로 Fatou 정리에 의하여 \\( \\int_{E}(g-f)(x) d m \\leq \\underline{\\lim } \\int_{E}(g-f)(x) d m \\). \\", "( \\left|f_{n}\\right| \\leq g a .", "e \\) 이므로 \\( |f| \\leq g \\) a.e이고 \\( f \\) 는 적분가능하고 \\( \\quad \\int_{E} g(x) d m-\\int_{E} f(x) d m \\leq \\int_{E} g(x) d m-\\overline{\\lim } \\int_{E} f_{n}(x) d m . \\)", "따라서 \\( \\int_{E} f(x) d m \\geq \\varlimsup \\int_{E} f_{n}(x) d m \\cdot g+f_{n} \\) 에 대하여 위 증명 방법을 적용하면 \\( \\int_{E} f(x) d m \\leq \\underline{\\lim } \\int_{E} f_{n}(x) d m \\) 을 얻을 수 있다.", "따라서 \\( \\int_{E} f(x) d m=\\lim \\int_{E} f_{n}(x) d m \\).", "</p><p>정리 \\( 11.55 \\) (Beppo Levi 정리) \\( \\left\\{f_{n}\\right\\} \\) 는 가측집합 \\( E \\) 위에서 정의된 가측함수의 수열이라 하자. \\", "( f_{n} \\geq 0(n=1,2, \\cdots) \\) 이면 \\( \\int_{E}\\left(\\sum_{n=1}^{\\infty} f_{n}\\right)(x) d m=\\sum_{n=1}^{\\infty} \\int_{E} f_{n}(x) d m \\).", "</p><p>증명</p><p>각 자연수 \\( k=1,2, \\cdots \\) 에 대하여 \\( g_{k}=\\sum_{k=1}^{n} f_{k} \\) 라 두면, \\( g_{k} \\) 는 가측함수이고 \\( g_{k} \\geq 0, g_{k} \\leq g_{k+1}, \\lim _{n \\rightarrow \\infty} g_{k}=\\sum_{n=1}^{\\infty} f_{n} \\).", "정리 \\( 11.47 \\) 에 의하여 \\( \\begin{aligned} \\int_{E}\\left(\\sum_{n=1}^{\\infty} f_{n}\\right)(x) d m &=\\lim _{k \\rightarrow \\infty} \\int_{E} g_{k}(x) d m \\\\ &=\\lim _{k \\rightarrow \\infty} \\int_{E}\\left(\\sum_{k=1}^{n} f_{n}\\right)(x) d m \\\\ &=\\lim _{k \\rightarrow \\infty}\\left(\\sum_{k=1}^{n} \\int_{E} f_{n}(x) d m\\right) \\\\ &=\\sum_{n=1}^{\\infty} \\int_{E} f_{n}(x) d m \\end{aligned} \\).", "</p> <p>정리 \\( 11.2 \\) 수열 \\( \\left\\{a_{n}\\right\\} \\) 에 대하여, 다음이 성립한다. \\", "( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\inf a_{n} \\leq \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sup a_{n} \\)</p><p>증명</p><p>수열 \\( \\left\\{a_{n}\\right\\} \\) 이 위로 유계가 아니면, \\( \\liminf _{n \\rightarrow \\infty} a_{n} \\leq \\infty, \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sup a_{n}=+\\infty \\) 이므로 \\( \\underline{\\lim } a_{n} \\leq \\overline{\\lim } a_{n} \\) 이다.", "수열 \\( \\left\\{a_{n}\\right\\} \\) 이 아래로 유계가 아니면 \\( \\underline{\\lim } a_{n}=-\\infty \\) 이므로 \\( \\underline{\\lim } a_{n} \\leq \\overline{\\lim } a_{n} \\) 이다.", "</p><p>증명없이 다음 정리를 소개하겠다.", "</p><p>정리 \\( 11.3 \\) 수열 \\( \\left\\{a_{n}\\right\\} \\) 에 대하여 \\( \\ell \\) 이 확장된 실수일 때 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=\\ell \\) 일 필요충분조건은 \\( \\underline{\\lim } a_{n}=\\overline{\\lim } a_{n}=\\ell \\) 이다.", "</p><p>\\( P(X) \\) 를 집합 \\( X \\) 의 멱집합이라 하고 \\( A \\subset P(X) \\) 라 하자.", "</p><p>정의 \\( 11.4 \\)<ol type=1 start=1><li>\\( A \\) 의 두 원소 \\( A, B \\) 에 대하여 \\( A \\cup B \\) 가 \\( A \\) 의 원소이고 \\( A \\) 의 원소 \\( E \\) 에 대하여 \\( E^{\\prime} \\) 가 \\( A \\) 에 속할 때 \\( A \\)를 \\( X \\) 위의 집합대수 (algebra of sets)라 부른다.", "여기서 \\( E^{\\prime}=X \\backslash E \\) 이다.", "</li><li>\\( A \\) 의 원소 \\( A_{1}, A_{2}, \\cdots \\) 에 대하여 \\( \\bigcup_{i=1}^{\\infty} A_{i} \\) 가 \\( A \\) 의 원소이고 \\( A \\) 의 원소 \\( F \\) 에 대하여 \\( F^{\\prime} \\) 가 의의 원소일 때 을 \\( \\sigma \\)-대수 ( \\( \\sigma \\)-algebra) 또는 Borel 체(Borel field)라 부른다.", "</li></ol></p><p>주의</p><p>A를 집합 \\( X \\) 의 멱집합 \\( P(X) \\) 의 부분집합이라하고 \\( A \\) 의 원소 \\( E \\) 에 대하여 \\( E^{\\prime} \\) 가 \\( \\A \\) 의 원소이라 가정하면, De Morgan의 법칙에 의하여 정의 \\( 11.4 \\) 의 \\( 1) \\), \\( 2) \\)의 시작을 다음과 같이 바꿀수 있다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( A \\) 의 두 원소 \\( A, B \\) 에 대하여 \\( A \\cap B \\) 가 \\( A \\) 의 원소이고</li><li>\\( A \\) 의 원소 \\( A_{1}, A_{2}, \\cdots \\) 에 대하여 \\( \\bigcap_{i=1}^{\\infty} A_{i} \\) 가 \\( A \\)의 원소이고</li></ol><p>앞으로 집합대수를 간단히 대수라고 한다.", "다음의 예제는 정의로부터 바로 증명할 수 있으므로 풀이는 생략한다.", "</p><p>예제 \\( 1.3 \\)</p><ol type=1 start=1><li>\\( X \\) 가 집합이면 \\( P(X) \\) 는 \\( \\sigma^{-} \\)대수이다.", "</li><li>\\( \\zeta \\) 를 집합 \\( X \\) 위의 위상이라 하고 \\( \\zeta \\) 의 모든 원소가 개집합인 동시에 폐집합이면 \\( \\zeta \\) 는 \\( \\sigma^{-} \\) 대수이다.", "</li></ol>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "해석학_Lebesgue 적분", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-cfe6-4919-82ae-e877ded8919c", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961050036", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2007", "doc_author": [ "조용수", "강주호", "박동완" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>4.4 도함수와 그래프의 모양</h1><p>도함수의 성질을 이용하여 연속함수의 그래프를 그려보자.", "그래프가 어디서 증가하고 어디서 감소하는지, 모양이 위로 볼록인지 아래로 볼록인지, 그리고 극댓값과 극솟값은 어디에 있는지, 또한 그래프의 모양이 위로 볼록에서 아래로 볼록으로 또는 그 반대로 변하는 변곡점은 어디인지 구체적으로 살펴본다.", "</p><p>미분의 정의 \\( f^{\\prime}(x)=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\)에서 아래와 같은 결과가 나온다.", "</p><p>정리 \\( 4.4 \\)<ol type=1 start=1><li>\\( f^{\\prime}(x)>0 \\) 인 구간에서 함수 \\( f \\) 는 증가한다.", "</li><li>\\( f^{\\prime}(x)<0 \\) 인 구간에서 함수 \\( f \\) 는 감소한다.", "</li></ol></p><p>예제 \\( 4.4 \\)<p>주어진 구간 위에서 함수가 증가하는 부분과 감소하는 부분을 구하여 보자.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( g(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+12 x-1,[0,3] \\)</li><li>\\( f(x)=\\sin x,[0,2 \\pi] \\)</li></ol><p>풀이<p>\\((1)\\) \\( g^{\\prime}(x)=6 x^{2}-18 x+12=6(x-1)(x-2) \\)이다. \\", "( x<1 \\)이거나 또는 \\( x>2 \\)이면 \\( g^{\\prime}(x)>0 \\)므로 증가하는 부분은 \\( [0,1) \\cup(2,3] \\)이고, \\( 1<x<2 \\)이면 \\( g^{\\prime}(x)<0 \\)이므로 감소하는 부분은 \\( (1,2) \\)이다.", "</p><p>\\((2)\\) \\( f^{\\prime}(x)=\\cos x \\)이므로 증가하는 부분은 \\( \\cos x>0 \\)인 \\( \\left[0, \\frac{\\pi}{2}\\right),\\left(\\frac{3 \\pi}{2}, 2 \\pi\\right] \\)이고, 감소하는 부분은 \\( \\cos x<0 \\)인 \\( \\left(\\frac{\\pi}{2}, \\frac{3 \\pi}{2}\\right) \\)이다.", "</p></p></p><p>정리 \\(4.5\\) \\( f^{\\prime}(c)=0 \\)라고 하자. \\", "( f^{\\prime}(x) \\)가 \\( x=c \\)를 기준으로 양에서 음으로 바뀌면 \\( f \\)는 \\( c \\)에서 극댓값을 갖고, 음에서 양으로 바뀌면 \\( f \\)는 \\( c \\)에서 극솟값을 갖는다.", "</p><p>예제 \\(4.5\\)<p>다음 함수의 도함수가 \\(0\\)인 곳에서 극댓값인지 극솟값인지 확인해 보자.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( g(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+12 x-1,[0,3] \\)</li><li>\\( f(x)=\\sin x,[0,2 \\pi] \\)</li></ol><p>풀이<ol type=1 start=1><li>\\( g^{\\prime}(x)=6 x^{2}-18 x+12=6(x-1)(x-2) \\)는 \\( x=1 \\)를 기준으로 양에서 음으로 변하므로 극댓값 \\( g(1)=4 \\)를 갖고, \\( x=2 \\)를 기준으로 음에서 양으로 변하므로 극솟값 \\( g(2)=3 \\)을 갖는다.", "</li><li>\\( f^{\\prime}(x)=\\cos x \\)는 \\( f^{\\prime}\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right)=f^{\\prime}\\left(\\frac{3 \\pi}{2}\\right)=0 \\)이고, \\( x=\\frac{\\pi}{2} \\)를 기준으로 양에서 음으로 변하여 극댓값 \\(1\\)을 갖고, \\( x=\\frac{3 \\pi}{2} \\)기준으로 음에서 양으로 변하여 극솟값 \\( -1 \\)를 갖는다.", "</li></ol></p></p><p>정리 \\( 4.6 \\)<ol type=1 start=1><li>\\( f^{\\prime \\prime}(x)>0 \\)인 구간에서 \\( f \\)는 아래로 볼록하다.", "</li><li>\\( f^{\\prime \\prime}(x)<0 \\)이 구간에서 \\( f \\)는 위로 볼록하다.", "</li></ol></p><p>예제 \\(4.6\\)<p>다음 함수가 어디서 아래로 또는 위로 볼록한지 확인해 보자.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( g(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+12 x-1,[0,3] \\)</li><li>\\( f(x)=\\sin x,[0,2 \\pi] \\)</li></ol><p>풀이<p>\\((1)\\) \\( g^{\\prime \\prime}(x)=12 x-18 \\)이므로 \\( g^{\\prime \\prime}\\left(\\frac{3}{2}\\right)=0 \\)이다. \\", "( x<\\frac{3}{2} \\)인 구간에서 \\( g^{\\prime \\prime}(x)<0 \\)이므로 위로 볼록하고, \\( x>\\frac{3}{2} \\)인 구간에서 \\( g^{\\prime \\prime}(x)>0 \\)이므로 아래로 볼록하다.", "</p><p>\\((2)\\) \\( f^{\\prime \\prime}(x)=-\\sin x \\)이므로 \\( f^{\\prime \\prime}(\\pi)=0 \\)이다. \\", "( (0, \\pi) \\)인 구간에서 \\( f^{\\prime \\prime}(x)<0 \\)이므로 위로 볼록하고, \\( (\\pi, 2 \\pi) \\)인 구간에서 \\( f^{\\prime \\prime}(x)>0 \\)이므로 아래로 볼록하다.", "</p></p></p><p>정리 \\( 4.7 \\)<ol type=1 start=1><li>\\( f^{\\prime}(c)=0 \\)이고 \\( f^{\\prime \\prime}(c)>0 \\)이면 \\( f \\)는 \\( c \\)에서 극솟값을 갖는다.", "</li><li>\\( f^{\\prime}(c)=0 \\)이고 \\( f^{\\prime \\prime}(c)<0 \\)이면 \\( f \\)는 \\( c \\)에서 극댓값을 갖는다.", "</li></ol></p><p>예제 \\(4.7\\)<p>이계도함수를 이용하여 다음 함수의 극댓값 또는 극솟값을 알아보자.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( g(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+12 x-1,[0,3] \\)</li><li>\\( f(x)=\\sin x,[0,2 \\pi] \\)</li></ol><p>풀이<p>\\((1)\\) \\( g^{\\prime}(x)=6 x^{2}-18 x+12=6(x-1)(x-2) \\)으로 \\( g^{\\prime}(1)=g^{\\prime}(2)=0 \\)이다. \\", "( g^{\\prime \\prime}(x)=12 x-18 \\)이므로 \\( g^{\\prime \\prime}(1)=-6<0 \\)이고 \\( g^{\\prime \\prime}(2)=6>0 \\)이다.", "따라서 \\( x=1 \\)에서 극댓값 \\( g(1)=4 \\)을 갖고 \\( x=2 \\)에서 극솟값 \\( g(2)=3 \\)을 갖는다.", "</p><p>\\((2)\\) \\( f^{\\prime}(x)=\\cos x \\)으로 \\( f^{\\prime}\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right)=f^{\\prime}\\left(\\frac{3 \\pi}{2}\\right)=0 \\)이다. \\", "( f^{\\prime \\prime}(x)=-\\sin x \\)이므로 \\( f^{\\prime \\prime}\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right)<0 \\)이고 \\( f^{\\prime \\prime}\\left(\\frac{3 \\pi}{2}\\right) \\)\\( >0 \\)이므로 \\( x=\\frac{\\pi}{2} \\)에서 극댓값 \\( f\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right)=1 \\)을 갖고 \\( x=\\frac{3 \\pi}{2} \\)에서 극솟값 \\( f\\left(\\frac{3 \\pi}{2}\\right)=-1 \\)을 갖는다.", "</p></p></p><p>정의 \\(4.6\\) \\( f(x) \\) 가 \\( x=c \\)에서 연속이고 \\( (c, f(c)) \\)에서 곡선의 모양이 바뀌면, 즉 \\( x=c \\)를 중심으로 \\( f^{\\prime \\prime}(x) \\)의 부호가 바뀌면, \\( x=c \\)에서의 점 \\( (c, f(c)) \\)를 \\( f \\)의 변곡점이라 한다.", "</p><p>\\( f^{\\prime \\prime}(x) \\)가 연속이고 \\( x=c \\)가 \\( f \\)의 변곡점이면 \\( f^{\\prime \\prime}(c)=0 \\)이다.", "그러나 \\( f^{\\prime \\prime}(c)=0 \\)라고 해서 변곡점이 되는 것은 아니다.", "예를 들면, \\( f(x)=x^{4} \\)의 경우 \\( f^{\\prime \\prime}(x)=12 x^{2} \\)이므로 \\( f^{\\prime \\prime}(0)=0 \\)이다.", "그러나 \\( x=0 \\)을 기준으로 \\( f^{\\prime \\prime}(x) \\)의 부호가 바뀌지 않으므로 \\( (0,0) \\)은 변곡점이 아니다.", "</p><p>예제 \\(4.8\\)<p>다음 함수의 변곡점을 구하여 보자.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( g(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+12 x-1,[0,3] \\)</li><li>\\( f(x)=\\sin x,(0,2 \\pi) \\)</li></ol><p>풀이<p>\\((1)\\) \\( g^{\\prime \\prime}(x)=12 x-18 \\)이고 \\( g^{\\prime \\prime}\\left(\\frac{3}{2}\\right)=0 \\)이다. \\", "( x=\\frac{3}{2} \\)을 기준으로 \\( g^{\\prime \\prime}(x) \\)의 부호가 바뀌므로 \\( \\left(\\frac{3}{2}, \\frac{7}{2}\\right) \\)은 변곡점이다.", "</p><p>\\((2)\\) \\( f^{\\prime \\prime}(x)=-\\sin x \\)이고 \\( f^{\\prime \\prime}(\\pi)=0 \\)이다. \\", "( x=\\pi \\)을 기준으로 \\( f^{\\prime \\prime}(x) \\)의 부호가 바뀌므로 \\( (\\pi, 0) \\)은 변곡점이다.", "</p></p></p><p>지금까지 나온 \\( g(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+12 x-1 \\)와 \\( f(x)=\\sin x \\)의 그래프를 그리기 위한 정보는 다음과 같다.", "</p><table border><caption>\\( g(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+12 x-1 \\)의 그래프를 그리기 위한 정보</caption><tbody><tr><td>\\(x\\)</td><td></td><td>\\(1\\)</td><td></td><td>\\( \\frac{3}{2} \\)</td><td></td><td>\\(2\\)</td><td></td></tr><tr><td>\\( g^{\\prime}(x) \\)</td><td>\\( + \\)</td><td>\\(0\\)</td><td>\\( - \\)</td><td></td><td>\\( - \\)</td><td>\\( 0 \\)</td><td>\\( + \\)</td></tr><tr><td>\\( g^{\\prime \\prime}(x) \\)</td><td>\\( + \\)</td><td></td><td>\\( + \\)</td><td>\\( 0 \\)</td><td>\\( - \\)</td><td></td><td>\\( - \\)</td></tr><tr><td>\\( g(x) \\)</td><td>위로 볼록</td><td>\\(4\\)</td><td>위로 볼록</td><td></td><td>아래 볼록</td><td>\\(3\\)</td><td>아래 볼록</td></tr><tr><td>평가</td><td></td><td>극대</td><td></td><td>변곡</td><td></td><td>극소</td><td></td></tr></tbody></table><table border><caption>\\( f(x)=\\sin x \\) 의 그래프를 그리기 위한 정보</caption><tbody><tr><td>\\(x\\)</td><td></td><td>\\( \\frac{\\pi}{2} \\)</td><td></td><td>\\( \\pi \\)</td><td></td><td>\\( \\frac{3 \\pi}{2} \\)</td><td></td></tr><tr><td>\\( f^{\\prime}(x) \\)</td><td>\\( + \\)</td><td>\\(0\\)</td><td>\\( - \\)</td><td></td><td>\\( - \\)</td><td>\\( 0 \\)</td><td>\\( + \\)</td></tr><tr><td>\\( f^{\\prime \\prime}(x) \\)</td><td>\\( + \\)</td><td></td><td>\\( + \\)</td><td>\\( 0 \\)</td><td>\\( - \\)</td><td></td><td>\\( - \\)</td></tr><tr><td>\\( f(x) \\)</td><td>위로 볼록</td><td>\\(1\\)</td><td>위로 볼록</td><td></td><td>아래 볼록</td><td>\\(-1\\)</td><td>아래 볼록</td></tr><tr><td>평가</td><td></td><td>극대</td><td></td><td>변곡</td><td></td><td>극소</td><td></td></tr></tbody></table><p>옥타브를 이용하여 \\( g(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+12 x-1 \\)와 \\( f(x)=\\sin x \\)의 그래프를 그리면 다음과 같다.", "위에서 구한 정보와 그래프와 비교해 보라.", "</p> <h1>4.7 다변수함수의 편도함수</h1><p>일변수함수와 다변수함수의 차이점은 일변수함수의 변수가 한 개인 것에 비해 다변수함수는 변수가 여러 개라는 것이다.", "그 변수 각각에 대한 미분가능은 일변수함수의 경우와 같다.", "예를 들어 이변수함수 \\( z=f(x, y) \\)는 변수가 \\( x \\)와 \\( y \\)가 둘이므로 \\( x \\)와 \\( y \\) 각각에 관하여 일변수 함수처럼 정의한다.", "즉 \\( x=a \\)에서 \\( y \\)의 값에 관계없이 \\( \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+h, y)-f(a, y)}{h} \\)이 존재하면 \\( x=a \\)에서 편미분가능(partial differentiable)하다고 한다. \\", "( y=b \\)의 경우도 마찬가지이다.", "따라서 각 변수 \\( x \\)와 \\( y \\)에 대한 도함수는 다음과 같이 정의하며 이를 편도함수라고 한다.", "</p><p>정의 \\(4.7\\)<p>\\( D \\subset R^{2} \\) 위의 모든 점에서 미분가능하면 \\( x \\)와 \\( y \\)에 관한 \\( f \\)의 편도함수(partial derivative)는 각각 다음과 같이 정의한다.", "</p><p>\\( \\frac{\\partial f(x, y)}{\\partial x}=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h, y)-f(x, y)}{h}, \\frac{\\partial f(x, y)}{\\partial y}=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x, y+h)-f(x, y)}{h} \\)</p></p><p>즉 \\( x \\)에 관하여 미분할 때는 \\( y \\)를 상수처럼 취급하고, \\( y \\)에 관하여 미분할 때는 \\( x \\)를 상수처럼 취급한다.", "</p><p>\\( z=f(x, y) \\)라 하면 편도함수 \\( \\frac{\\partial f}{\\partial x}, \\frac{\\partial f}{\\partial y} \\)는 다음과 같이 다양하게 나타낸다.", "</p><ul><li>\\( \\frac{\\partial}{\\partial x} f(x, y)=f_{x}(x, y)=f_{x}=\\frac{\\partial z}{\\partial x}=f_{1}=z_{1} \\)</li><li>\\( \\frac{\\partial}{\\partial y} f(x, y)=f_{y}(x, y)=f_{y}=\\frac{\\partial z}{\\partial y}=f_{2}=z_{2} \\)</li></ul><p>예를 들어 \\( f(x, y)=x^{2}+y^{2} \\)의 편도함수를 일차도함수의 미분 공식을 이용하여 구하여 보자. \\", "( x \\)에 관하여 미분할 때는 \\( y \\)가 상수가 되고, \\( y \\)에 관하여 미분할 때는 \\( x \\)가 상수가 되므로 \\( \\frac{\\partial f}{\\partial x}=2 x, \\frac{\\partial f}{\\partial y}=2 y \\)이 된다.", "변수가 세 개 이상인 경우도 똑같이 정의하면 된다.", "독립변수가 \\( x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n} \\)일 때 각 변수에 대한 편도함수는 \\( \\frac{\\partial f}{\\partial x_{i}}=f_{x_{i}}=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f\\left(x_{1}, \\cdots, x_{i}+h, x_{i+1}, \\cdots, x_{n}\\right)-f\\left(x_{1}, \\cdots, x_{i}, \\cdots, x_{n}\\right)}{h} \\)으로 \\( x_{i} \\)를 제외한 나머지 변수들을 모두 상수처럼 취급하면 된다. \\", "( i=1,2, \\cdots, n \\)에 대하여 \\( e_{i} \\in R^{n} \\)를 표준단위벡터라 하면 \\( x \\in R^{n} \\)에 대하여 각 변수에 대한 편도함수는 다음과 같이 벡터로 나타낼 수 있다.", "</p><p>\\( \\frac{\\partial f}{\\partial x_{i}}=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f\\left(x+h e_{i}\\right)-f(x)}{h} \\)</p><p>\\( f \\)가 이변수함수이면 같은 방법으로 \\(2\\)차 이상의 고계 편도함수를 정의하며 다음과 같이 나타낸다.", "</p><ul><li>\\( \\left(f_{x}\\right)_{x}=f_{x x}=f_{11}=\\frac{\\partial}{\\partial x}\\left(\\frac{\\partial f}{\\partial x}\\right)=\\frac{\\partial^{2} f}{\\partial x^{2}}=\\frac{\\partial^{2} z}{\\partial x^{2}} \\)</li><li>\\( \\left(f_{x}\\right)_{y}=f_{x y}=f_{12}=\\frac{\\partial}{\\partial y}\\left(\\frac{\\partial f}{\\partial x}\\right)=\\frac{\\partial^{2} f}{\\partial y \\partial x}=\\frac{\\partial^{2} z}{\\partial y \\partial x} \\)</li><li>\\( \\left(f_{y}\\right)_{x}=f_{y x}=f_{21}=\\frac{\\partial}{\\partial x}\\left(\\frac{\\partial f}{\\partial y}\\right)=\\frac{\\partial^{2} f}{\\partial x \\partial y}=\\frac{\\partial^{2} z}{\\partial x \\partial y} \\)</li><li>\\( \\left(f_{y}\\right)_{y}=f_{y y}=f_{22}=\\frac{\\partial}{\\partial y}\\left(\\frac{\\partial f}{\\partial y}\\right)=\\frac{\\partial^{2} f}{\\partial y^{2}}=\\frac{\\partial^{2} z}{\\partial y^{2}} \\)</li></ul><p>\\( f(x, y)=x^{2}+y^{2} \\) 에서 \\( f_{x}=2 x, f_{y}=2 y \\)이므로 \\( f_{x x}=2, f_{x y}=f_{y x}=0, f_{y y}=2 \\)가 된다.", "</p><p>정리 \\( 4.8 \\) 클레로<p>\\( E \\subset R^{2} \\)이고 \\( f: E \\rightarrow R \\)은 연속함수이다.", "만일 \\( f_{x y} \\)와 \\( f_{y x} \\)가 모두 \\( E \\)에서 연속이면 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( f_{x y}(a, b)=f_{y x}(a, b) \\)</p></p><p>정의 \\(4.8\\)<p>\\( z=f(x, y) \\)의 전미분은 다음과 같이 정의한다.", "</p><p>\\( d z=f_{x}(x, y) d x+f_{y}(x, y) d y=\\frac{\\partial z}{\\partial x} d x+\\frac{\\partial z}{\\partial y} d y \\)</p></p><p>일반적으로 다변수함수 \\( z=f\\left(x_{1}, x_{2}, \\ldots, x_{n}\\right) \\)의 전미분은 다음과 같이 정의한다.", "</p><p>\\( d z=\\sum_{i=1}^{n} f_{x_{i}}(x, y) d x_{i}=\\sum_{i=1}^{n} \\frac{\\partial z}{\\partial x_{i}} d x_{i} \\)</p><p>일변수함수 \\( y=f(u), u=g(x) \\) 에서 \\( \\frac{d y}{d x}=\\frac{d y}{d u} \\frac{d u}{d x} \\)라고 했듯이, 마찬가지로 이변수함수 \\( z=f(x, y) \\)에서 \\( x=g(t), y=h(t) \\) 이면 \\( z \\)는 \\( t \\)에 관한 함수가 되어 \\( t \\)에 관하여 미분할 수 있다.", "</p><p>정리 \\(4.9\\) 연쇄 법칙<p>\\( z=f(x, y) \\)에서 \\( x=g(t), y=h(t) \\)이면 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( \\frac{d z}{d t}=\\frac{\\partial z}{\\partial x} \\frac{d x}{d t}+\\frac{\\partial z}{\\partial y} \\frac{d y}{d t} \\)</p></p><p>예제 \\( 4.10 \\)<p>\\( z=x^{2}+y^{2} \\)이고 \\( x=\\sin t, y=\\cos t \\)일 때 \\[ \\frac{d z}{d t}=2 x \\cos t+2 y(-\\sin t)=2 \\sin t \\cos t-2 \\cos t \\sin t=0 \\] 실제로 \\( z=x^{2}+y^{2}=\\sin ^{2} t+\\cos ^{2} t=1 \\)이므로 미분값은 \\(0\\)이다.", "</p><p>만일 \\( x=g(s,), y=h(s, t) \\)이면 \\( \\frac{\\partial z}{\\partial s}=\\frac{\\partial z}{\\partial x} \\frac{\\partial x}{\\partial s}+\\frac{\\partial z}{\\partial y} \\frac{\\partial y}{\\partial s}, \\frac{\\partial z}{\\partial t}=\\frac{\\partial z}{\\partial x} \\frac{\\partial x}{\\partial t}+\\frac{\\partial z}{\\partial y} \\frac{\\partial y}{\\partial t} \\)이다.", "일반적으로 \\( u=f\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\)이고 \\( x_{j}=x_{j}\\left(t_{1}, t_{2}, \\cdots, t_{m}\\right) \\)이면 모든 \\( i=1, \\cdots, m \\)에 대하여 편도함수는 다음과 같다.", "</p><p>\\( \\frac{\\partial u}{\\partial t_{i}}=\\frac{\\partial u}{\\partial x_{1}} \\frac{\\partial x_{1}}{\\partial t_{i}}+\\frac{\\partial u}{\\partial x_{2}} \\frac{\\partial x_{2}}{\\partial t_{i}}+\\cdots+\\frac{\\partial u}{\\partial x_{n}} \\frac{\\partial x_{n}}{\\partial t_{i}} \\)</p></p><p>예제 \\(4.11\\)<p>\\( z=x^{2}+y^{2} \\)이고 \\( x=s^{2}+\\sin t, y=t^{2}+\\cos s \\)일 때<ul><li>\\( \\frac{\\partial z}{\\partial s}=2 x(2 s)+2 y(-\\sin t)=4\\left(s^{2}+\\sin t\\right) s-2\\left(t^{2}+\\cos s\\right) \\sin t \\)</li><li>\\( \\frac{\\partial z}{\\partial t}=2 x \\cos t+2 y(2 t)=2\\left(s^{2}+\\sin t\\right) \\cos t+4\\left(t^{2}+\\cos s\\right) t \\)</li></ul>만일 \\( F(x, y)=0 \\)이고 \\( y=f(x) \\)이면 \\( \\frac{\\partial F}{\\partial x} \\frac{d x}{d x}+\\frac{\\partial F}{\\partial y} \\frac{d y}{d x}=0 \\)이므로 \\( \\frac{d y}{d x}=-\\frac{\\frac{\\partial F}{\\partial x}}{\\frac{\\partial F}{\\partial y}}=-\\frac{F_{x}}{F_{y}} \\)가 된다.", "예를 들어 \\( x^{2}+y^{2}-4=0 \\)에서 \\( \\frac{d y}{d x}=-\\frac{F_{x}}{F_{y}}=-\\frac{2 x}{2 y}=-\\frac{x}{y} \\)이다.", "</p></p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "410", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "옥타브로 배우는 인공지능을 위한 기초수학_미분", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-ca5d-4763-820e-d5c2b02fb320", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160734089", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2020", "doc_author": [ "이규봉" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>정의 \\( 15.2.1 \\) 이변수 함수 \\( z=f(x, y) \\) 가 정의역 \\( D \\) 의 모든 점에서 편미분가능할 때, \\( f_{x}(x, y)=\\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{f(x+\\Delta x, y)-f(x, y)}{\\Delta x} \\) 를 \\( f \\) 의 \\( x \\) 에 관한 편도함수라고 한다.", "마찬가지로 \\( f_{y}(x, y)=\\lim _{\\Delta y \\rightarrow 0} \\frac{f(x, y+\\Delta y)-f(x, y)}{\\Delta y} \\) 를 \\( f \\) 의 \\( y \\) 에 관한 편도함수라고 한다.", "</p><p>편도함수를 구하는 것을 편미분한다고 하고, \\( x \\) 에 관한 편도함수는 \\( f_{x}, z_{x}, \\frac{\\partial z}{\\partial x}, \\frac{\\partial f}{\\partial x} \\) 으로 \\( y \\) 에 관한 편도함수는 \\( f_{y}, z_{y}, \\frac{\\partial z}{\\partial y}, \\frac{\\partial f}{\\partial y} \\) 으로 나타낸다.", "</p><p>예제 \\( 15.2.1 \\) 다음 함수의 편도함수를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x, y)=x^{3} y^{2}+3 x^{2} y+4 x-5 y \\)</li><li>\\( x^{2}+2 y^{2}+z^{2}+4 x y z=1 \\)</li></ol><p>풀이</p><p>(\\(1\\)) \\( f_{x}(x, y)=3 x^{2} y^{2}+6 x y+4 \\), \\( f_{y}(x, y)=2 x^{3} y+3 x^{2}-5 \\)</p><p>(\\(2\\)) 양변을 \\( x \\) 에 관하여 편미분하면 \\[ 2 x+2 z \\frac{\\partial z}{\\partial x}+4 y z+4 x y \\frac{\\partial z}{\\partial x}=0 \\]이다.", "따라서 \\[ \\frac{\\partial z}{\\partial x}=-\\frac{x+2 y z}{2 x y+z} .\\]", "같은 방법으로 양변을 \\[ y \\] 에 관하여 편미분하면 \\[ 4 y+2 z \\frac{\\partial z}{\\partial y}+4 x z+4 x y \\frac{\\partial z}{\\partial y}=0 \\]이다.", "따라서 \\[ \\frac{\\partial z}{\\partial y}=-\\frac{2 x z+2 y}{2 x y+z} . \\]", "</p><p>유제 \\( 15.2.1 \\) 다음 함수의 편도함수를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x, y)=x^{3}-3 x^{2} y+4 x+y^{2}-6 y \\)</li><li>\\( x^{3}+2 y^{3}+z^{3}+3 x y z=1 \\)</li></ol><p>편미분계수의 기하학적 의미를 살펴보자.", "곡면 \\( z=f(x, y) \\) 위의 임의의 점을 \\( P(a, b \\), \\( f(a, b)) \\) 라 하자. \\", "( y=b \\) 로 고정시키고 \\( x \\) 만 변수로 본 함수 \\( z=f(x, b) \\) 의 그래프는 곡면 \\( z=f(x, y) \\) 가 평면 \\( y=b \\) 에 의하여 잘리는 곡선을 나타낸다.", "따라서 편미분계수 \\( f_{x}(a, b) \\) 는 곡면 \\( z=f(x, y) \\) 상에서 \\( x=a \\) 를 고정시킨 곡선 \\( z=f(x, b) \\) 에 대한 점 \\( P(a, b, f(a, b)) \\) 에서의 접선의 기울기이다.", "</p><p>마찬가지로 편미분계수 \\( f_{y}(a, b) \\) 는 곡면 \\( z=f(x, y) \\) 상에서 \\( y=b \\) 을 고정시킨 곡선 \\( z= f(a, y) \\) 에 대한 점 \\( P(a, b, f(a, b)) \\) 에서의 접선의 기울기이다.", "</p><p>세 개 이상의 독립변수를 갖는 함수에 대하여도 편도함수를 정의한다.", "함수 \\( w= f(x, y, z) \\) 에 대하여 \\[ f_{x}(x, y, z)=\\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{f(x+\\Delta x, y, z)-f(x, y, z)}{\\Delta x}, \\] \\[ f_{y}(x, y, z)=\\lim _{\\Delta y \\rightarrow 0} \\frac{f(x, y+\\Delta y, z)-f(x, y, z)}{\\Delta y}, \\] \\[ f_{z}(x, y, z)=\\lim _{\\Delta z \\rightarrow 0} \\frac{f(x, y, z+\\Delta z)-f(x, y, z)}{\\Delta z} . \\]", "</p><p>예제 \\( 15.2.2 \\) 함수 \\( f(x, y, z)=x y+2 y z+3 z x \\) 의 편도함수를 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( f_{x}=y+3 z, f_{y}=x+2 z, f_{z}=2 y+3 x \\)</p><p>유제 \\( 15.2.2 \\) \\( f(x, y, z)=\\ln \\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \\) 의 편도함수를 구하여라.", "</p><p>이변수 함수 \\( z=f(x, y) \\) 의 편도함수 \\( f_{x} \\) 와 \\( f_{y} \\) 도 이변수 함수이므로 \\( f_{x} \\) 와 \\( f_{y} \\) 가 \\( x \\) 와 \\( y \\) 에 관하여 각각 편미분가능하면 편도함수 \\( \\left(f_{x}\\right)_{x},\\left(f_{x}\\right)_{y},\\left(f_{y}\\right)_{x},\\left(f_{y}\\right)_{y} \\) 가 존재한다.", "이들 편도함수를 \\( 2 \\) 계 편도함수라고 하며 \\[ f_{x x,}, f_{x y,}, f_{y x,}, f_{y y} \\] 또는 \\[ \\frac{\\partial}{\\partial x}\\left(\\frac{\\partial f}{\\partial x}\\right)=\\frac{\\partial^{2} f}{\\partial x^{2}}, \\frac{\\partial}{\\partial y}\\left(\\frac{\\partial f}{\\partial x}\\right)=\\frac{\\partial^{2} f}{\\partial y \\partial x}, \\] \\[ \\frac{\\partial}{\\partial x}\\left(\\frac{\\partial f}{\\partial y}\\right)=\\frac{\\partial^{2} f}{\\partial x \\partial y}, \\frac{\\partial}{\\partial y}\\left(\\frac{\\partial f}{\\partial y}\\right)=\\frac{\\partial^{2} f}{\\partial y^{2}} \\]으로 나타낸다.", "</p><p>예제 \\( 15.2.3 \\) \\( f(x, y)=\\ln \\left(x^{2}+y\\right) \\) 의 \\( 2 \\) 계 편도함수를 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( \\frac{\\partial f}{\\partial x}=\\frac{2 x}{x^{2}+y}, \\frac{\\partial f}{\\partial y}=\\frac{1}{x^{2}+y} \\) 이므로 \\[ \\frac{\\partial^{2} f}{\\partial x^{2}}=\\frac{\\partial}{\\partial x}\\left(\\frac{2 x}{x^{2}+y}\\right)=\\frac{2\\left(x^{2}+y\\right)-2 x \\cdot 2 x}{\\left(x^{2}+y\\right)^{2}}=\\frac{-2 x^{2}+2 y}{\\left(x^{2}+y\\right)^{2}},\\] \\[ \\frac{\\partial^{2} f}{\\partial y \\partial x}=\\frac{\\partial^{2} f}{\\partial y}\\left(\\frac{2 x}{x^{2}+y}\\right)=-\\frac{2 x}{\\left(x^{2}+y\\right)^{2}},\\] \\[ \\frac{\\partial^{2} f}{\\partial x \\partial y}=\\frac{\\partial f}{\\partial x}\\left(\\frac{1}{x^{2}+y}\\right)=-\\frac{2 x}{\\left(x^{2}+y\\right)^{2}}, \\] \\[ \\frac{\\partial^{2} f}{\\partial y^{2}}=\\frac{\\partial}{\\partial y}\\left(\\frac{1}{x^{2}+y}\\right)=-\\frac{1}{\\left(x^{2}+y\\right)^{2}} .\\]", "</p><p>유제 \\( 15.2.3 \\) 함수 \\( f(x, y)=\\sqrt{x^{2}+y} \\) 의 \\( 2 \\) 계 편도함수를 구하여라.", "</p><p>위의 예제에서 \\( \\frac{\\partial^{2} f}{\\partial y \\partial x}=\\frac{\\partial^{2} f}{\\partial x \\partial y} \\) 가 성립하였다.", "이와 같이 편미분 순서가 다르더라도 그 결과는 항상 같은가?", "다음 예제는 일반적으로 같지 않다는 사실을 보여준다.", "</p><p>예제 \\( 15.2.4 \\) 함수 \\( f(x, y)=\\left\\{\\begin{array}{ll}x y \\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y)=(0,0) \\text { 일 때 } \\\\ 0, & (x, y) \\neq(0,0) \\text { 일 때 }\\end{array}\\right. \\)", "에 대하여 \\( f_{x y}(0,0) \\) 와 \\( f_{y x}(0,0) \\) 을 구하여라.", "</p><p>풀이</p><ol type=i start=1><li>\\( f_{x}(0,0)=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(h, 0)-f(0,0)}{h}=0 \\) 이고 \\( y \\neq 0 \\) 일 때 \\( f_{x}(0, y)=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(h, y)-f(0, y)}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0} y \\frac{h^{2}-y^{2}}{h^{2}+y^{2}}=-y \\)이므로 \\( f_{x}(0, y)=-y \\) 이다.", "</li><li>\\( f_{y}(0,0)=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(0, k)-f(0,0)}{k}=0 \\) 이고 \\( x \\neq 0 \\) 일 때 \\( f_{y}(x, 0)=\\lim _{k \\rightarrow 0} \\frac{f(x, k)-f(x, 0)}{k}=\\lim _{k \\rightarrow 0} x \\frac{x^{2}-k^{2}}{x^{2}+k^{2}}=x \\) 이므로 \\( f_{y}(x, 0)=x \\) 이다.", "따라서 \\( f_{x y}(0, y)=-1, f_{y x}(x, 0)=1 \\) 이므로 \\( f_{x y}(0,0)=-1, f_{y x}(0,0)=1 .\\)</li></ol><p>정리 \\( 15.2.2 \\) 이변수 함수 \\( z=f(x, y) \\) 에 대하여 \\( f_{x}, f_{y}, f_{x y} \\) 가 존재하고 연속이면, \\( f_{y x} \\) 도 존재하고 \\( f_{x y}=f_{y x} \\) 이 성립한다.", "</p><p>공학에서 사용하는 대부분의 함수는 정리 \\( 15.2.2 \\)를 적용할 수 있다.", "</p><p>예 함수 \\( f(x, y)=\\sin \\left(x^{2}+2 x y\\right) \\) 에 대하여 \\( f_{x}=2(x+y) \\cos \\left(x^{2}+2 x y\\right) \\) 이므로 \\( f_{x y}=2 \\cos \\left(x^{2}+2 x y\\right)-4 x(x+y) \\sin \\left(x^{2}+2 x y\\right) \\) 이고 \\( f_{y}=2 x \\cos \\left(x^{2}+2 x y\\right) \\) 이다.", "따라서 \\( f_{y x}=2 \\cos \\left(x^{2}+2 x y\\right)-4 x(x+y) \\sin \\left(x^{2}+2 x y\\right) . \\)", "</p> <h1>15.3. 편미분에 관한 연쇄법칙</h1><p>일변수 함수 \\( y=f(x) \\) 가 \\( x \\) 에 관하여 미분가능하고 \\( x=g(t) \\) 가 \\( t \\) 에 관하여 미분가능하면, 합성함수 \\( y=f(g(t)) \\) 는 \\( t \\) 에 관하여 미분가능하고 \\( \\frac{d y}{d t}=\\frac{d y}{d x} \\cdot \\frac{d x}{d t} \\) 이 성립한다.", "이와 유사한 정리가 이변수 함수에 대하여도 성립한다.", "</p><p>정리 \\( 15.3.1 \\) 이변수 함수 \\( z=f(x, y) \\) 가 \\( x, y \\) 에 대하여 편미분가능하고, \\( x=g(t), y=h(t) \\) 가 각각 \\( t \\) 에 관하여 미분가능하면, \\( z=f(g(t), h(t)) \\) 는 \\( t \\) 에 관하여 미분가능하고 \\( \\frac{d z}{d t}=\\frac{\\partial z}{\\partial x} \\cdot \\frac{d x}{d t}+\\frac{\\partial z}{\\partial y} \\cdot \\frac{d y}{d t} \\) 이 성립한다.", "</p><p>일변수 함수 \\( y=f(x) \\) 에 대하여 \\( d y=f^{\\prime}(x) d x \\) 를 \\( y \\) 의 미분이라고 하는 것처럼 이변수 함수 \\( z=f(x, y) \\) 에 대하여 \\( d z=\\frac{\\partial z}{\\partial x} \\cdot d x+\\frac{\\partial z}{\\partial y} \\cdot d y \\) 를 \\( z \\) 의 전미분이라고 한다.", "위의 정리 \\( 15.3 .1 \\) 은 \\( z \\) 의 전미분 \\( d z \\) 를 \\( d t \\) 로 나눈 것과 같은 형식이다.", "</p><p>예제 \\( 15.3.1 \\) \\( z=x^{2} e^{y} \\) 이고 \\( x=\\sin t, y=t^{2} \\) 일 때, \\( \\frac{d z}{d t} \\) 를 구하여라.", "</p><p>풀이</p><p>\\( \\begin{aligned} \\frac{d z}{d t} &=\\frac{\\partial z}{\\partial x} \\cdot \\frac{d x}{d t}+\\frac{\\partial z}{\\partial y} \\cdot \\frac{d y}{d t} \\\\ &=\\left(2 x e^{y}\\right)(\\cos t)+\\left(x^{2} e^{y}\\right)(2 t) \\\\ &=2 e^{t^{2}} \\sin t \\cos t+2 t e^{t^{2}} \\sin ^{2} t \\end{aligned} \\)</p><p>이 예제에서 \\( x=\\sin t, y=t^{2} \\) 를 \\( z=x^{2} e^{y} \\) 에 대입하면 \\( z=e^{t^{2}} \\sin ^{2} t \\) 이므로 \\( \\frac{d z}{d t}=2 t e^{t^{2}} \\sin ^{2} t+2 e^{t^{2}} \\sin t \\cos t .\\)", "</p><p>유제 \\( 15.3.1 \\) \\( z=\\sqrt{x^{2}+y} \\) 이고 \\( x=\\sin t, y=\\cos t \\) 일 때, \\( \\frac{d z}{d t} \\) 를 구하여라.", "</p> <p>정리 \\( 15.3.2 \\) 이변수 함수 \\( z=f(x, y) \\) 가 \\( x, y \\) 에 대하여 편미분가능하고, \\( x=g(u, v), y=h(u, v) \\) 가 각각 \\( u, v \\) 에 관하여 편미분가능하면, \\( z=f(g(u, v), h(u, v)) \\) 는 \\( u, v \\) 에 관하여 편미분가능하고 \\[ \\frac{\\partial z}{\\partial u}=\\frac{\\partial z}{\\partial x} \\cdot \\frac{\\partial x}{\\partial u}+\\frac{\\partial z}{\\partial y} \\cdot \\frac{\\partial y}{\\partial u} \\]\\[ \\frac{\\partial z}{\\partial v}=\\frac{\\partial z}{\\partial x} \\cdot \\frac{\\partial x}{\\partial v}+\\frac{\\partial z}{\\partial y} \\cdot \\frac{\\partial y}{\\partial v} \\] 이 성립한다.", "</p><p>예제 \\( 15.3.2 \\) \\( z=x^{2} \\ln y \\) 이고 \\( x=u^{2}-v^{2}, y=u^{2}+v^{2} \\) 일 때, \\( \\frac{\\partial z}{\\partial u}, \\frac{\\partial z}{\\partial v} \\) 를 구하여라.", "</p><p>풀이</p><ol type=i start=1><li>\\( \\begin{aligned} \\frac{\\partial z}{\\partial u} &=\\frac{\\partial z}{\\partial x} \\cdot \\frac{\\partial x}{\\partial u}+\\frac{\\partial z}{\\partial y} \\cdot \\frac{\\partial y}{\\partial u} \\\\ &=(2 x \\ln y)(2 u)+\\left(\\frac{x^{2}}{y}\\right)(2 u) \\\\ &=4 u\\left(u^{2}-v^{2}\\right) \\ln \\left(u^{2}+v^{2}\\right)+2 u \\frac{\\left(u^{2}-v^{2}\\right)^{2}}{\\left(u^{2}+v^{2}\\right)} \\end{aligned} \\)</li><li>\\( \\begin{aligned} \\frac{\\partial z}{\\partial v} &=\\frac{\\partial z}{\\partial x} \\cdot \\frac{\\partial x}{\\partial y}+\\frac{\\partial z}{\\partial y} \\cdot \\frac{\\partial y}{\\partial v} \\\\ &=(2 x \\ln y)(-2 y)+\\left(\\frac{x^{2}}{y}\\right)(2 v) \\\\ &=-4 v\\left(u^{2}-v^{2}\\right) \\ln \\left(u^{2}+v^{2}\\right)+2 v \\frac{\\left(u^{2}-v^{2}\\right)^{2}}{\\left(u^{2}+v^{2}\\right)} \\end{aligned} \\)</li></ol><p>유제 \\( 15.3.2 \\) \\( z=\\sqrt{x}+x \\ln y \\) 이고 \\( x=u^{2}+v^{2}, y=u v \\) 일 때, \\( \\frac{\\partial z}{\\partial u}, \\frac{\\partial z}{\\partial v} \\) 를 구하여라.", "</p><p>이변수 함수 \\( z=f(x, y) \\) 에서 \\( y=g(x) \\) 이면 \\( z=f(x, g(x)) \\) 가 되어 \\( z \\) 는 \\( x \\) 만의 함수가 된다.", "정리 \\( 15.3 .1 \\) 에 의하여 \\( \\frac{d z}{d x}=\\frac{\\partial z}{\\partial x} \\cdot \\frac{d x}{d x}+\\frac{\\partial z}{\\partial y} \\cdot \\frac{d y}{d x} .\\)", "즉, \\( \\frac{d z}{d x}=\\frac{\\partial f}{\\partial x}+\\frac{\\partial f}{\\partial y} \\cdot \\frac{d y}{d x} \\) 이다.", "만일 방정식 \\( F(x, y)=0 \\) 이 \\( x, y \\) 의 음함수 표현을 나타내면 \\( 0=\\frac{\\partial F}{\\partial x}+\\frac{\\partial F}{\\partial y} \\cdot \\frac{d y}{d x} \\) 이 성립한다.", "따라서 \\( \\frac{d y}{d x}=-\\frac{\\frac{\\partial F}{\\partial x}}{\\frac{\\partial F}{\\partial y}}=-\\frac{F_{x}}{F_{y}} \\) 같은 논리에 의하여, 방정식 \\( F(x, y, z)=0 \\) 이 \\( x, y, z \\) 의 음함수 표현을 나타내면 \\( \\frac{\\partial z}{\\partial x}=-\\frac{F_{x}}{F_{z}}, \\quad \\frac{\\partial z}{\\partial y}=-\\frac{F_{y}}{F_{z}} . \\)", "</p><p>예제 \\( 15.3.3 \\) \\( x^{3}+y^{3}+z^{3}+3 x y z=0 \\) 일 때, \\( \\frac{\\partial z}{\\partial x} \\) 와 \\( \\frac{\\partial z}{\\partial y} \\) 를 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( F(x)=x^{3}+y^{3}+z^{3}+3 x y z \\) 라고 놓으면 \\( \\frac{\\partial z}{\\partial x}=-\\frac{F_{x}}{F_{z}}=-\\frac{3 x^{2}+3 y z}{3 z^{2}+3 x y}=-\\frac{x^{2}+y z}{z^{2}+x y} \\), \\( \\frac{\\partial z}{\\partial y}=-\\frac{F_{y}}{F_{z}}=-\\frac{3 y^{2}+3 x z}{3 z^{2}+3 x y}=-\\frac{x^{2}+x z}{z^{2}+x y} . \\)", "</p><p>유제 \\( 15.3.3 \\) \\( x^{2}+y^{3}+z^{4}+12 x y z=1 \\) 일 때, \\( \\frac{\\partial z}{\\partial x} \\) 와 \\( \\frac{\\partial z}{\\partial y} \\) 을 구하여라.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "기초미적분학_편미분", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-d552-48ad-8b21-32b906b30c92", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160733600", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2020", "doc_author": [ "김대식", "김윤경" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>4.1 전곡률과 회전수</h1><p>정의 \\( 4.1 \\) 단위속려곡선 \\( \\beta:[a, b] \\rightarrow R^{2} \\)의 전곡률(total curvature) \\( T C[\\beta] \\)는 \\[T C[\\beta]=\\int_{a}^{b} \\kappa_{2} d s\\]으로 정의된다.", "</p><p>정리 \\( 4.2 \\) 임의의 정칙인 평면곡선 \\( \\alpha:[a, b] \\rightarrow R^{2} \\)의 전곡률 \\( T C \\)는 \\[T C[\\alpha]=\\int_{a}^{b} \\kappa_{2}(t)\\left\\|\\alpha^{\\prime}(t)\\right\\| d t \\]이다.", "</p><p>증명 호길이 함수 \\( s \\)에 대하여 \\( \\frac{d s}{d t}=\\left\\|\\alpha^{\\prime}(t)\\right\\| \\)이기 때문에 치환적분에 의해 증명된다.", "</p><p>정리 \\( 4.3 \\) 평면곡선의 전곡률은 곡선의 재매개화에 불변이다.", "즉, 두 곡선 \\( \\alpha:(a, b) \\rightarrow R^{2} \\) 와 \\( \\beta:(c, d) \\rightarrow R^{2} \\)에 대하여 \\( \\beta(t)=(\\alpha \\circ h)(t) \\)일 때, \\[T C[\\alpha]=\\epsilon T C[\\beta]\\]이 성립한다.", "여기서 \\( \\epsilon=\\operatorname{sgn}\\left(h^{\\prime}\\right) \\)이다.", "</p><p>증명 미분가능한 함수 \\( h:(c, d) \\rightarrow(a, b) \\)에 대해 \\( \\beta(t)=(\\alpha \\circ h)(t), u=h(t) \\)라 하면 \\( \\beta^{\\prime}(t)=\\alpha^{\\prime}(u) h^{\\prime}(t) \\)이고 정리 \\( 3.22 \\) 에 의해 \\( \\kappa_{2}(\\beta)=\\epsilon \\kappa_{2}(\\alpha), \\epsilon=\\operatorname{sgn} h^{\\prime}(t) \\)이다.", "그러므로 \\( \\left|h^{\\prime}(t)\\right| d t=\\epsilon h^{\\prime}(t) d t=\\epsilon d u \\)이기 때문에 \\[\\begin{aligned} T C[\\beta] &=\\int_{c}^{d} \\kappa_{2}(\\beta)\\left\\|\\beta^{\\prime}(t)\\right\\| d t=\\int_{c}^{d} \\kappa_{2}(\\beta)\\left\\|\\alpha^{\\prime}(u)\\right\\|\\left|h^{\\prime}(t)\\right| d t \\\\&=\\epsilon \\int_{a}^{b} \\kappa_{2}(\\alpha)\\left\\|\\alpha^{\\prime}(u)\\right\\| d u=\\epsilon T C[\\alpha]\\end{aligned}\\]이다.", "</p><p>정리 \\( 4.4 \\) 평면상의 정칙곡선 \\( \\alpha:[a, b] \\rightarrow R^{2} \\)에 대하여 전곡률은 \\[T C[\\alpha]=\\theta(b)-\\theta(a)\\]이다.", "여기서 \\( \\theta(t)=\\angle\\left(\\alpha^{\\prime}(t), e_{1}\\right), e_{1}=(1,0) \\) 이다.", "</p><p>증명 정리 \\( 3.31 \\) 로부터 곡률 \\( \\kappa_{2}(t)=\\kappa_{2}(s(t))=\\frac{d \\theta}{d s}=\\frac{d \\theta}{d t} \\frac{d t}{d s}=\\frac{\\theta^{\\prime}(t)}{\\left\\|\\alpha^{\\prime}(t)\\right\\|} \\)이기 때문에 정리 \\( 4.2 \\)와 정적분의 기본정리에 의해 증명된다.", "</p><p>정의 \\( 4.5 \\) 곡선 \\( \\alpha:(a, b) \\rightarrow R^{n} \\)가 어떤 양의 상수 \\( c \\)가 존재하여 다음 등식 \\[\\alpha(t+c)=\\alpha(t) \\quad \\forall t\\]을 만족할 때, 곡선 \\( \\alpha \\)를 폐곡선(closed curve)이라 한다.", "이때 가장 작은 \\( c \\)를 곡선 \\( \\alpha \\)의 주기(period)라 한다.", "즉, \\( \\min \\{c \\mid \\alpha(t+c)=\\alpha(t) \\forall t\\} \\)가 주기이다.", "</p><p>예제 \\( 4.6 \\) (1) 곡선 \\( \\alpha(t)=(2 \\cos t, 2 \\sin t) \\)의 주기는 \\( 2 \\pi \\)이다.", "왜나하면 \\( \\alpha(t+2 n \\pi)= \\) \\( \\alpha(t)(n \\)은 양의 정수)이다.", "</p><p>(2) 곡선 \\( \\alpha(t)=(2 \\cos 3 t, 2 \\sin 3 t) \\)의 주기는 \\( \\frac{2}{3} \\pi \\)이다.", "실제로 양의 정수 \\( n \\)에 대하여 \\( \\alpha\\left(t+\\frac{2 n \\pi}{3}\\right)=\\alpha(t) \\) 이다.", "</p><p>정의 \\( 4.7 \\) 정칙인 폐곡선 \\( \\alpha: R \\rightarrow R^{n} \\)의 길이(length) \\( L[\\alpha] \\)는 \\[L[\\alpha]=\\int_{0}^{c}\\left\\|\\alpha^{\\prime}(t)\\right\\| d t . \\]", "여기서 \\( c \\)는 곡선 \\( \\alpha \\)의 주기이다.", "</p><p>정리 \\(4.8 \\) 정칙인 폐곡선 \\( \\alpha: R \\rightarrow R^{n} \\)의 단위속력 재매개화 곡선 \\( \\beta \\)는 주기가 \\( L \\)인 폐곡선이다.", "여기서 \\( L \\)은 곡선 \\( \\alpha \\)의 길이다.", "</p><p>증명 곡선 \\( \\alpha \\)의 단위속력재매개화 곡선을 \\( \\beta \\)라 하면 \\(\\beta(s(t))=\\alpha(t) \\) 이다.", "이때 곡선 \\( \\alpha \\) 의 주기를 \\( c \\) 라 하면 호길이 함수 \\( s \\)는 \\[\\begin{aligned}s(t+c) &=\\int_{0}^{t+c}\\left\\|\\alpha^{\\prime}(u)\\right\\| d u=\\int_{0}^{c}\\left\\|\\alpha^{\\prime}(u)\\right\\| d u+\\int_{c}^{t+c}\\left\\|\\alpha^{\\prime}(u)\\right\\| d u \\\\&=L+\\int_{c}^{t+c}\\left\\|\\alpha^{\\prime}(u)\\right\\| du=L+\\int_{0}^{t}\\left\\|\\alpha^{\\prime}(u)\\right\\| d u=L+s(t)\\end{aligned}\\] 이므로 \\[\\beta(s+L)=\\beta(s(t+c))=\\alpha(t+c)=\\alpha(t)=\\beta(s)\\]이다.", "따라서 \\( \\beta \\)는 폐곡선이다.", "더구나 \\( c \\)가 \\( \\alpha \\)의 주기이므로 \\( L \\)은 곡선 \\( \\beta \\)의 주기이다.", "</p><p>정의 \\( 4.9 \\) 단위속력인 폐곡선 \\( \\beta: R \\rightarrow R^{2} \\)의 회전수(rotation number) \\( R[\\beta] \\)는 \\[R[\\beta]=\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{L} \\kappa_{2}(s) d s\\]로 정의된다.", "여기서 \\( L \\)은 곡선 \\( \\beta \\)의 길이이다.", "</p><p>정리 \\( 4.10 \\) 임의의 정칙인 폐곡선 \\( \\alpha: R \\rightarrow R^{2} \\)의 회전수 \\( R[\\alpha] \\)는 \\[R[\\alpha]=\\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{c} \\kappa_{2}(t)\\left\\|\\alpha^{\\prime}(t)\\right\\| d t\\]이다.", "여기서 \\( c \\)는 곡선의 주기이다.", "</p><p>증명 연습문제.", "</p><p>정리 \\(4.11 \\) 임의의 정칙인 폐곡선 \\( \\alpha: R \\rightarrow R^{2} \\)의 회전수는 \\[R[\\alpha]=\\frac{1}{2 \\pi}\\{\\theta(c)-\\theta(0)\\}\\]임을 보여라.", "여기서 \\( c \\)는 곡선 \\( \\alpha \\)의 주기이고 \\( \\theta(t)=\\angle\\left(\\alpha^{\\prime}(t), e_{1}\\right) \\)이다.", "</p><p>증명 정리 \\( 3.31 \\)로부터 \\( \\kappa_{2}(t)=\\frac{\\theta^{\\prime}(t)}{\\left\\|\\alpha^{\\prime}(t)\\right\\|} \\)이므로 정리 \\( 4.10 \\)으로부터 증명된다.", "</p><p>예제 \\( 4.12 \\) 단위속력인 폐곡선 \\( \\beta \\)의 회전수는 \\( R[\\beta]=\\frac{1}{2 \\pi}\\{\\theta(L)-\\theta(0)\\} \\)이다.", "여기서 \\( L \\)은 곡선의 길이이다.", "</p><p>정의 \\(4.13 \\) 주기가 \\( c \\)인 폐곡선 \\( \\alpha:[a, b] \\rightarrow R^{n} \\)가 다음 조건;\\[\" \\alpha\\left(t_{1}\\right)=\\alpha\\left(t_{2}\\right) \\Leftrightarrow \\exists l \\in Z ; t_{1}-t_{2}=l c \"\\]을 만족할 때, 곡선 \\( \\alpha \\)를 단순폐곡선(simple closed curve)이라 한다.", "</p><p>예제 \\( 4.14 \\) \\((1)\\) 원 \\( \\alpha(t)=(r \\cos t, r \\sin t) \\quad(t \\in R) \\)는 단순폐곡선이다.", "주기는 \\( 2 \\pi \\)이다.", "왜나하면 \\( \\alpha(t)=\\alpha(t+2 n \\pi) \\)이다.", "여기서 \\( n \\)은 정수이다.", "</p><p>\\((2)\\) 8자곡선 \\( \\alpha(t)=(\\sin t, \\sin t \\cos t) \\) (예제 \\( 3.24 \\))은 단순폐곡선이 아니다.", "왜나하면 주기는 \\( c=2 \\pi \\)이다.", "즉, \\( \\alpha(t)=\\alpha(t+2 \\pi) \\)이다.", "그러나 곡선 \\( \\alpha \\)는 단순폐곡선이 아니다.", "왜냐하면 \\( \\alpha(0)=\\alpha(\\pi) \\)이고 \\( \\pi=\\left(\\frac{1}{2}\\right) 2 \\pi \\)이지만 \\( \\frac{1}{2} \\)은 정수가 아니다.", "</p><p>정리 \\( 4.15 \\) 평면상의 정칙인 주기 \\( c \\)의 단순폐곡선 \\( \\alpha:[a, b] \\rightarrow R^{2} \\)에 대하여 \\[\\theta(a+c)-\\theta(a)=\\pm 2 \\pi\\]이다.", "여기서 \\( \\theta(t)=\\angle\\left(\\alpha^{\\prime}(t), e_{1}\\right) \\)이다.", "</p><p>증명 본 증명은 직관적으로 이해하자.", "</p><p>정리 \\( 4.16 \\) 평면상의 정칙인 단순폐곡선의 회전수(rotation number)는 \\( \\pm 1 \\)이다.", "</p><p>증명 평면상의 단순폐곡선 \\( \\alpha:[a, b] \\rightarrow R^{2} \\)를 단위속력곡선이라 하자.", "그러면 정리 \\( 4.15 \\)와 정리 \\( 3.31 \\)로부터 \\[\\int_{0}^{L} \\kappa_{2}(s) d s=\\theta(L)-\\theta(0)=\\pm 2 \\pi\\]이다.", "따라서 정의 \\( 4.9 \\)로부터 정리가 증명된다.", "</p>" ]

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[ "<h3>미분</h3><p>한 변수 \\( x \\)가 \\( x_{0} \\)에서 \\( x_{1} \\)까지 변한다면 \\( x_{1}-x_{0} \\)를 \\( x \\)의 증분(increment)이라 하고 \\( \\Delta x \\)로 나타낸다.", "즉, \\( \\Delta x=x_{1}-x_{0} \\)로 나타낸다.", "만약 \\( y=f(x) \\)에서 \\( x \\)가 \\( x_{0} \\)에서 \\( x_{1} \\)까지 변한다면 \\( y \\)의 값은 \\( y_{0}=f\\left(x_{0}\\right) \\)에서 \\( y_{1}=f\\left(x_{1}\\right) \\)까지 변하게 된다.", "다시 말해서 \\( x \\)의 증분 \\( \\Delta x=x_{1}-x_{0} \\)는 \\( y \\)에 대응되는 증분 \\( \\Delta y=y_{1}-y_{0}=f\\left(x_{1}\\right)-f\\left(x_{0}\\right) \\) 를 생성해낸다.", "이제 \\( x_{0} \\)와 \\( x_{1} \\) 대신에 \\( x \\)와 \\( x+\\Delta x \\)로 나타내기로 하자.", "물론 \\( y_{0} \\)와 \\( y_{1} \\)도 \\( y \\)와 \\( y+\\Delta y \\)로 나타내기로 한다.", "</p><p>그림 \\(3-1\\)에서 점 \\( P \\)와 \\( Q \\)를 잇는 직선의 기울기는 \\( \\frac{\\Delta y}{\\Delta x} \\)이다.", "여기서 \\( \\Delta x \\rightarrow 0 \\)이면 점 \\( Q \\)는 곡선 \\( y=f(x) \\)를 따라 점 \\( P \\) 에 접근해 가고 직선 \\( P Q \\)의 기울기는 결국 점 \\( P \\)에서의 접선의 기울기에 접근해 간다.", "즉, 점 \\( P \\)에서의 접선의 기울기는 \\( \\frac{d y}{d x}=\\lim_{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{\\Delta y}{\\Delta x} = \\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{f(x+\\Delta x)-f(x)}{\\Delta x} \\)<caption>(1)</caption>이다.", "종속변수 \\( y \\) 대신 \\( f \\)를 사용하여 \\( \\Delta f=f(x+\\Delta x)-f(x) \\)로 쓰고 \\( f^{\\prime}(x)=\\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{\\Delta f}{\\Delta x} \\)<caption>(2)</caption>로 나타내기도 한다.", "위의 표현들은 도함수의 정의를 나타낼 때 이미 도함수편에서 다루었다.", "지금까지는 함수 \\( y=f(x) \\)의 도함수를 라이프니츠의 표기법인 \\( \\frac{d y}{d x} \\)로, 하나의 기호로써 사용하여 왔다.", "이것에 대해 \\( d y \\)와 \\( d x \\)를 미분(differentials)이라고 말한다.", "이것들은 그 자체로서는 의미가 없다. \\", "( \\frac{d y}{d x} \\)가 \\( d y \\)와 \\( d x \\)의 비로서 간주될 수 있도록 이 기호들에 대하여 살펴보자.", "</p><p>그림 \\(3-2\\)에서 곡선 \\( y=f(x) \\) 위의 고정점을 \\( P(x, y) \\)라 하고 점 \\( P \\)를 원점으로 하고 이 점에서 \\( x, y \\)축과 평행한 직선을 각각 \\( d x, d y \\)축이 되는 새로운 직교좌표를 \\( (d x-d y) \\)-좌표라고 하자.", "그러면 \\( y=f(x) \\) 위의 점 \\( P \\)에서의 접선의 방정식은 기울기를 \\( m \\)이라 할 때 \\( d y=m d x \\)<caption>(3)</caption>이다.", "</p><p>한편, \\( x y \\)-좌표축과 \\( (d x-d y) \\)-좌표축은 평행하기 때문에 어느 좌표계에서도 접선은 같은 크기의 경사각 \\( \\theta \\)를 가지고 있으므로 기울기는 같다.", "따라서 (\\(3\\))은 \\( d y=f^{\\prime}(x) d x \\)<caption>(4)</caption>로 다시 나타낼 수 있다.", "그러므로 \\( d x \\neq 0 \\)이면 (\\(4\\))의 양변을 \\( d x \\)로 나누어 \\( \\frac{d y}{d x}=f^{\\prime}(x) \\)<caption>(5)</caption>로 나타낼 수 있다.", "즉, 도함수를 두 미분의 분수로 생각하여도 좋다.", "이것으로 \\( x \\)에 관한 \\( y \\)의 도함수를 \\( \\frac{d y}{d x} \\)라 쓰는 이유를 알게 될 것이다.", "기하학적으로 (\\(4\\))에서 미분 \\( d y \\)는 점 \\( P(x, y) \\)에서 출발했을 때 발생하는 \\( y \\)에서의 변화를 나타내고 \\( x \\)에서 \\( d x \\)만큼 변화할 때까지 점 \\( P \\)에서의 접선을 따라 움직인다(그림 \\(3-3\\) 참조).", "</p><p>반면에 \\( \\Delta y \\)는 점 \\( P(x, y) \\)에서 출발했을 때 발생하는 \\( y \\)의 변화를 나타내되 \\( x \\)에서 \\( d x \\)만큼 변화할 때까지 \\( y=f(x) \\)를 따라 움직인다(그림 \\(3-4\\) 참조).", "</p><p>그림 \\(3-4\\)는 \\( d x=\\Delta x \\)인 경우 \\( d y \\)와 \\( \\Delta y \\)의 값을 잘 비교하여 표현해 놓은 것이다.", "</p><p>앞의 개념들은 다음에 나오는 근삿값 계산에 유용하게 활용되니 잘 이해해 두어야 한다.", "표 \\(3-1\\)에서 도함수의 법칙과 미분의 법칙을 잘 대비시켜 놓았다.", "이것은 도함수의 법칙에 대응되는 미분의 법칙은 각 도함수의 법칙에 '\\( d x \\)'를 곱하여 얻을 수 있음을 알 수 있다.", "</p><p>예제 \\(3\\) 다음 함수들의 미분 \\( dy \\)를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=x^{n} \\)</li><li>\\( y=x \\sin x \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>\\( d y=d\\left(x^{n}\\right)=n x^{n-1} d x \\)</li><li>\\( d y=d(x \\sin x)=x d(\\sin x)+(\\sin x) d(x) =x(\\cos x) d x+(\\sin x) 1 d x=x(\\cos x) d x+(\\sin x) d x =(x \\cos x+\\sin x) d x \\)</li></ol> <p>\\(3\\)장에서는 도함수의 개념을 바탕으로 수학의 범주 안에서의 응용분야를 소개한다.", "이를 토대로 여러 가지 예제를 통하여 각 학문분야에서 어떻게 응용되는지를 보여준다.", "특히, 변화율의 응용, 복잡한 함수식으로 주어지는 함수의 그래프를 추적하는 방법, 최대·최솟값을 구하는 문제 등을 다룬다.", "</p><h1>3-1 미분과 변화율</h1><h2>1. 미분과 근삿값</h2><p>여기서는 함수의 도함수를 또 하나의 함수로 생각하여 그의 도함수들, 즉 \\(2\\)계도함수 이상의 고계도함수에 대하여 설명을 한다.", "그리고 지금까지는 함수 \\( y=f(x) \\)의 도함수를 라이프니츠의 표기법인 \\( \\frac{d y}{d x} \\)로 하나의 기호로써 사용하여 왔다.", "이것에 대해 미분의 개념인 \\( d y \\)와 \\( d x \\)에 별도의 의미를 부여하고자 한다.", "마지막으로 미분을 이용한 근삿값 계산과 오차에 대해 설명한다.", "</p><h3>고계도함수</h3><p>함수 \\( y=f(x) \\)의 \\( x \\)에 관한 도함수는 \\( x \\)값에 따라서 변화하는 것이기 때문에 이 또한 \\( x \\)의 함수이다.", "원래 도함수라는 용어는 \\( y=f(x) \\)에서 또 하나의 유도된 함수라는 뜻이다.", "그러므로 이 도함수가 다시 \\( x \\)에 대하여 미분가능하면 이 미분한 함수를 \\( x \\)에 관한 \\(2\\)계도함수(second derivative)라고 부른다.", "마찬가지로 \\(2\\)계도함수의 도함수가 존재하면 이를 \\(3\\)계도함수라 한다.", "즉, \\( y=f(x) \\)의 도함수는 \\[ f^{\\prime}(x)=\\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{f(x+\\Delta x)-f(x)}{\\Delta x} \\] 이고 \\( f^{\\prime}(x) \\)가 미분가능하면 \\( y=f(x) \\)의 \\(2\\)계도함수를 \\[ f^{\\prime \\prime}(x)=\\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{f^{\\prime}(x+\\Delta x)-f^{\\prime}(x)}{\\Delta x} \\] 로 나타낸다.", "이와 같은 방법으로 \\( y=f(x) \\)의 \\(3\\)계도함수가 존재하면 이를 \\[ f^{\\prime \\prime \\prime}(x)=\\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{f^{\\prime \\prime}(x+\\Delta x)-f^{\\prime \\prime}(x)}{\\Delta x} \\] 와 같이 나타낸다.", "따라서 주어진 함수 \\( y=f(x) \\) 가 \\( n \\)번 미분가능하면 \\( f^{(n)}(x) \\)를 \\( y=f(x) \\)의 \\( n \\)계도함수라 하고 다음과 같이 나타낸다. \\", "(2\\)계 이상의 도함수를 \\( y=f(x) \\)의 고계도함수라고 한다.", "</p><p>\\( f^{(n)}(x)=\\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{f^{(n-1)}(x+\\Delta x)-f^{(n-1)}(x)}{\\Delta x} \\)</p><p>참고 위에서 언급한 고계도함수에 대한 표현들은 도함수의 정의에 의한 것이고 실제로 주어진 함수의 고계도함수를 구할 때에는 미분공식에 의하여 구하면 된다. \\", "( y=f(x) \\)의 \\(2\\)계도함수의 기호는 다음과 같이 다양하게 나타낸다.", "즉, \\[ y^{\\prime \\prime}, f^{\\prime \\prime}(x), \\frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \\frac{d^{2}}{d x^{2}} f(x) \\] 따라서 \\( y=f(x) \\)의 \\( n \\)계도함수 \\( (n \\geqq 0) \\)는 \\[ y^{(n)}, f^{(n)}(x), \\frac{d^{n} y}{d x^{n}}, \\frac{d^{n}}{d x^{n}} f(x) \\] 등으로 나타낸다.", "이때, \\( f^{(0)}(x) \\)는 \\( f(x) \\)를 의미하는 것으로 한다.", "</p><p>보기(\\(1\\)) 다음 함수들의 \\( n \\)계도함수를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=3 x^{4}+2 x^{3}-4 x^{2}+15 x+7 \\)</li><li>\\( y=\\frac{1}{x} \\)</li><li>\\( y=\\sqrt{x} \\)</li><li>\\( y=\\sin x \\)</li></ol><p>해</p><ol type= start=1><li>\\( y^{\\prime}=12 x^{3}+6 x^{2}-8 x+15, y^{\\prime \\prime}=36 x^{2}+12 x-8, y^{\\prime \\prime \\prime}=72 x+12, y^{(4)}=72, y^{(5)}=0, \\cdots, y^{(n)}=0 \\)</li><li>\\( y^{\\prime}=-\\frac{1}{x^{2}}, y^{\\prime \\prime}=\\frac{2}{x^{3}}, y^{\\prime \\prime \\prime}=-\\frac{2 \\times 3}{x^{4}}, \\cdots, y^{(n)}=(-1)^{n} \\frac{2 \\times 3 \\times \\cdots \\times n}{x^{n+1}}=(-1)^{n} \\frac{n !}{x^{n+1}} \\)</li><li>\\( y^{\\prime}=\\frac{1}{2} x^{-\\frac{1}{2}}, y^{\\prime \\prime}=\\frac{1}{2}\\left(-\\frac{1}{2} x^{-\\frac{3}{2}}\\right), y^{\\prime \\prime \\prime}=\\frac{1}{2}\\left(\\frac{1}{2} \\times \\frac{3}{2} x^{-\\frac{5}{2}}\\right), \\cdots, y^{(n)}=(-1)^{n+1} \\frac{1 \\times 3 \\times \\cdots \\times(2 n-3)}{2^{n}} x \\)</li><li>\\( y^{\\prime}=\\cos x=\\sin \\left(x+\\frac{\\pi}{2}\\right), y^{\\prime \\prime}=-\\sin x=\\sin \\left(x+\\frac{2 \\pi}{2}\\right), y^{\\prime \\prime \\prime}=-\\cos x=\\sin \\left(x+\\frac{3 \\pi}{2}\\right), y^{(4)}=\\sin x=\\sin \\left(x+\\frac{4 \\pi}{2}\\right), \\cdots , y^{(n)}=\\sin \\left(x+\\frac{n \\pi}{2}\\right) \\)</li></ol> <h3>경제학에서의 응용</h3><p>경제학자들과 사업가들은 재고품, 생산품, 공급, 광고, 그리고 가격과 같은 변수들이 이익, 수입, 수요, 통화팽창, 그리고 고용과 같은 다른 변수들에 영향을 미쳐 어떻게 변화하는지에 관심이 있다.", "이러한 문제들은 한계분석(marginal analysis)을 이용하는 데 연구된다.", "한계(marginal)라는 것은 변화율 또는 도함수의 개념으로 경제학자들이 사용하는 용어이다.", "경제학자나 경영자 에게 있어서 다음과 같은 중요한 세 가지 함수가 있다.", "즉,<ul><li>\\( C(x) \\) : 어떤 시간 주기 동안 생산품의 \\( x \\) 단위를 생산하는 데 필요한 총 비용</li><li>\\( R(x) \\) : 시간 주기 동안 생산품의 \\( x \\) 단위를 판매하여 얻는 총 수입</li><li>\\( P(x) \\) : 시간 주기 동안 생산품의 \\( x \\) 단위를 판매하여 얻는 총 수익</li></ul>이 있다.", "이 함수들을 각각 비용함수(cost function), 수입함수(revenue function), 그리고 수익 함수(profit function)라고 부른다.", "만약, 시간 주기 동안 생산품의 \\( x \\)단위가 모두 팔렸다면 \\[ P(x)=R(x)-C(x) \\] 인 관계가 성립한다.", "이 세 가지 함수의 도함수인 \\( C^{\\prime}(x), R^{\\prime}(x) \\), 그리고 \\( P^{\\prime}(x) \\)를 각각 한계 비용(marginal cost), 한계수입(marginal revenue), 그리고 한계수익(marginal profit)이라고 말한다.", "만약 시간 주기 동안 생산품의 \\( x \\)단위가 모두 팔렸다면 이 세 가지 도함수들 사이의 관계는 위의 식의 양변을 \\( x \\)에 관해 미분함으로써 얻어진다.", "즉, \\[ P^{\\prime}(x)=R^{\\prime}(x)-C^{\\prime}(x) \\] 이다.", "실제로, \\( C^{\\prime}(x) \\)는 종종 \\( (x+1) \\)번째 단위를 제작하는 비용으로 설명된다.", "비록 이것은 정확하지는 않지만 대개는 좋은 근삿값이다.", "왜냐하면 \\[ C^{\\prime}(x)=\\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{C(x+\\Delta x)-C(x)}{\\Delta x} \\fallingdotseq \\frac{C(x+1)-C(x)}{1}=C(x+1)-C(x) \\] 이기 때문이다. \\", "( x \\)는 보통 크고 \\( \\Delta x=1 \\)은 상대적으로 \\(0\\)에 가깝다고 생각할 수 있기 때문에 이 근삿값은 나름대로 의미가 있다고 볼 수 있다. \\", "( C(x+1) \\)은 \\( (x+1) \\)단위를 생산하는 비용이고 \\( C(x) \\)는 \\( x \\)단위를 생산하는 비용이기 때문에 \\( (x+1) \\)번째 단위를 생산하는 근사비용은 \\[ C^{\\prime}(x) \\fallingdotseq C(x+1)-C(x) \\] 에 따른다.", "유사하게, \\( R^{\\prime}(x) \\)는 \\( (x+1) \\)번째 단위를 팔았을 때 얻어지는 근사수입이고 \\( P^{\\prime}(x) \\)는 \\( (x+1) \\)번째 팔았을 때 얻어지는 근사수익이다.", "</p><p>\\( a \\)를 총 경비, \\( M(x) \\)를 제조비용을 나타내는 함수라 할 때, \\( x \\)단위를 생산하는 데 필요한 총 비 용은 다음 식으로 나타내어진다.", "즉, \\[ C(x)=a+M(x) \\] 이다.", "총 경비라 함은 변수 \\( x \\)에 의존하지 않는 집세(지세, 임대료 등)와 보험료와 같은 고정비용을 포함하는 경비를 말한다.", "반대로 제조비용이라 함은 자재와 노동과 같은 항목의 비용을 포함하는 것으로 제조하는 품목들의 수에 의존한다.", "적당히 간결된 가정으로 \\( M(x) \\)는 다음과 같은 형태로 표현된다는 것을 경제학에서 보여주고 있다.", "즉, \\[ M(x)=b x+c x^{2} \\] 이다.", "이 식을 위 식에 대입하면 \\[ C(x)=a+b x+c x^{2} \\] 로 나타내어진다.", "</p><p>예제 \\(8\\) 페인트 제조업자가 하루에 \\( x \\)갤런(gallons)의 페인트를 생산하는 달러의 총 비용은 다음과 같은 식으로 주어진다고 한다. \\", "[ C(x)=5000+x+0.001 x^{2} \\]</p><ol type= start=1><li>하루 생산기준이 \\(500\\) 갤런일 때 한계비용을 구하여라.", "</li><li>\\(501\\)번째 갤런을 생산하는 비용에 근사한 한계비용을 구하여라.", "</li><li>\\(501\\)번째 갤런을 생산하는 정확한 비용을 구하여라.", "</li></ol><p>풀이 (\\(1\\)) 한계비용은 \\( C^{\\prime}(x)=1+0.002 x \\)이다.", "따라서 \\[ C^{\\prime}(500)=1+(0.002)(500)=2 . \\]</p><p>(\\(2\\)) \\( C^{\\prime}(500)=2 \\)이기 때문에 \\(501\\)번째 갤런을 생산하는 비용은 근사적으로 \\(2\\)달러이다.", "</p><p>(\\(3\\)) \\(501\\)갤런을 생산하는 총 비용은 \\[ C^{\\prime}(501)=5000+501+0.001(501)^{2}=5752.001 \\text{(달러)}\\] 이고 \\(500\\)갤런을 생산하는 총 비용은 \\[ C^{\\prime}(500)=5000+500+0.001(500)^{2}=5750 \\text{(달러)}\\] 이다.", "따라서 \\(501\\)번째 갤런을 생산하는 정확한 비용은 \\[ C(501)-C(500)=2.001 \\text{(달러)}\\] 이다.", "</p><p>한 제작회사가 하나에 대하여 \\( p \\)달러로 생산하는 품목들을 모두 팔 수 있다면 전체수입 \\( R(x) \\)는 \\[ R(x)=p x \\] 이고 그의 전체수익 \\( P(x) \\)는 \\[ P(x)=R(x)-C(x)=p x-C(x) \\] 가 될 것이다.", "따라서 비용함수가 위와 같이 \\[ C(x)=a+b x+c x^{2} \\] 으로 주어졌다면 전체수익 \\( P(x) \\)는 \\[ P(x)=p x-\\left(a+b x+c x^{2}\\right) \\] 이다.", "고용자 수, 쓸모있는 기계의 양, 경제조건, 그리고 경쟁력과 같은 요인에 의존한다면 제작자는 생산과 판매를 감당할 수 있는 항목의 수에 어떤 상한 \\( l \\)이 존재할 것이다.", "따라서 한정된 시간 주기 동안 위 식의 변수 \\( x \\)는 \\( 0 \\leqq x \\leqq l \\)을 만족할 것이다.", "따라서 구간 \\( [0, l] \\)에서 전체수익 \\( P(x) \\)를 극대화하는 \\( x \\)의 가격을 결정함으로써 회사는 최대수익을 내기 위해 얼마나 많은 단위의 생산품을 제작해야만 하고 판매해야만 하는지를 결정할 수 있다.", "</p><p>예제 \\(9\\) 제약회사에서 만들어지는 액체형태의 페니실린은 한 묶음당 \\(200\\)달러의 가격으로 대량 판매되고 있다. \\", "( x \\)묶음당 총 생산비용(달러)이 \\[ C(x)=500,000+80 x+0.003 x^{2} \\] 으로 주어진다고 가정하자.", "그리고 이 회사의 생산능력은 지정된 시간 내에 기껏해야 \\(30,000\\)묶음이라면 이익을 극대화하기 위해 지정된 시간 안에 얼마나 많은 묶음의 페니실린을 팔아야만 하는가?", "</p><p>풀이 \\( x \\)묶음을 팔기위한 총 수입은 \\( R(x)=200 x \\)이기 때문에 \\( x \\)묶음에서 발생하는 수익금 \\( P(x) \\)는 \\[ P(x)=R(x)-C(x)=200 x-\\left(500,000+80 x+0.003 x^{2}\\right) \\]<caption>①</caption>이다.", "생산능력은 기껏해야 \\(30,000\\)묶음이기 때문에 \\( x \\)는 구간 \\( [0,30,000] \\) 내에 놓여야 한다.", "식 ①로부터 \\[ \\frac{d P}{d x}=200-(80+0.006 x)=120-0.006 x \\] 이다. \\", "( \\frac{d P}{d x}=0 \\)으로 놓으면 \\[ 120-0.006 x=0 \\] 또는 \\[ x=20,000 \\] 이다.", "이 임계값은 구간 \\( [0,30,000] \\) 안에 있으므로 최대이익은 \\[ x=0, x=20,000, x=30,000 \\] 중의 한 점에서 발생하여야만 한다.", "이 세 점의 값을 각각 식 ①에 대입하여 증감표를 만들면 최대이익은 \\( x=20,000 \\)묶음을 제작하여 지정된 시간에 팔 때 \\( P=700,000 \\)달러를 얻는다.", "</p><h2>연습문제 (\\(3-2-3\\))</h2><p>\\(1\\).", "다음 함수들에서 임계점을 구하고 미분 불가능한 점, 정점을 찾아라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( f(x)=x^{2}-5 x+6 \\)</li><li>\\( f(x)=\\sqrt[3]{x^{2}} \\)</li><li>\\( f(x)=\\frac{x}{x^{2}+2} \\)</li><li>\\( f(x)=\\cos 3 x \\)</li><li>\\( f(x)=\\sin ^{2} 2 x, 0<x<2 \\pi \\)</li><li>\\( f(x)=x \\tan x,-\\frac{\\pi}{2}<x<\\frac{\\pi}{2} \\)</p></li></ol><p>2. 다음 함수들에서 주어진 구간 내에서 극대, 극솟값을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( y=8 x-x^{2} ;[0,6] \\)</li><li>\\( y=2 x^{3}-3 x^{2}-12 x ;[-2,3] \\)</li><li>\\( y=\\frac{x}{x^{2}+2} ;[-1,4] \\)</li><li>\\( y=\\frac{3 x}{\\sqrt{4 x^{2}+1}} ;[-1,1] \\)</li><li>\\( y=\\sqrt[3]{x^{2}}(20-x) ;[-1,20] \\)</li><li>\\( y=x-\\tan x ;\\left[-\\frac{\\pi}{4}, \\frac{\\pi}{4}\\right] \\)</li></ol><p>\\(3\\). \\", "( f(x)=3 \\cos \\frac{x}{3}+2 \\cos \\frac{x}{2} \\)의 극대, 극솟값을 구하여라.", "</p><p>\\(4\\). \\", "( [0,2 \\pi] \\)에서 \\( 1-\\frac{x^{2}}{2} \\leqq \\cos x \\)임을 증명하여라.", "</p><p>\\(5\\).", "음이 아닌 두 수의 합이 \\(10\\)일 때 곱이 최대가 되는 두 수를 구하여라.", "</p><p>\\(6\\).", "반지름이 \\( R \\)인 반원 안에 내접하는 직사각형의 최대면적을 구하여라", "</p><p>\\(7\\).", "매주 생산되는 일용품 \\( x \\)단위의 총 비용은 \\[ C(x)=200+4 x+0.1 x^{2} \\] 으로 주어진다고 하자.", "</p><ol type= start=1><li>생산수준이 \\(100\\)단위일 때 한계비용을 구하여라.", "</li><li>\\(101\\)번째 단위를 생산하는 비용에 근사하는 한계비용을 구하여라.", "</li><li>\\(101\\)번째 단위를 생산하는 정확한 비용을 구하여라.", "</li></ol> <h3>\\( C^{n}- \\) 급, \\( C^{\\infty}- \\) 급</h3><p>어떤 함수가 미분가능하더라도 계속해서 미분가능하라는 보장은 없으므로 몇 개까지의 도함수가 본래의 주어진 함수의 정의역에서 정의되는가가 문제가 되는 것이다.", "폐구간 \\( I=[a, b] \\)에서 정의된 함수 \\( y=f(x) \\)에서 특히 \\( n \\)계도함수가 \\( I \\) 전체에 걸쳐 정의되는 경우 이 함수를 \\( I \\)에서 \\( n \\)번 미분가능하다고 말한다.", "또 \\( n \\)계도함수 \\( f^{(n)}(x) \\)가 \\( I \\)에서 연속일 때, \\( y=f(x) \\)는 \\( I \\)에서 \\( n \\)번 연속미분가능 또는 \\( C^{n} -\\)급이라고 한다.", "특히, 모든 자연수 \\( n \\)에 대하여 \\( I \\)에서 \\( C^{n} -\\) 급인 함수를 \\( I \\)에서 \\( C^{\\infty} -\\) 급이라고 한다.", "미분계수의 개념도 마찬가지로 확장된다.", "즉, 함수 \\( y=f(x) \\)가 \\( x=a \\) 근방에서 \\( n \\)번 미분가능하고 동시에 그 \\( n \\)계도함수 \\( f^{(n)}(x) \\)가 \\( x=a \\)에서 미분가능하면 \\( y=f(x) \\)는 \\( x=a \\)에서 \\( (n+1) \\)번 미분가능하다고 하며, \\( f^{(n)}(x) \\)의 \\( x=a \\)에서의 미분계수 \\( f^{(n) \\prime}(a) \\)를 \\( y=f(x) \\)의 \\( x=a \\)에서의 \\( (n+1) \\)계미분계수라 하며, \\( f^{(n+1)}(a) \\)로 나타낸다.", "또, \\( f(a) \\)를 \\( f^{(0)}(a) \\)라고도 쓰며 \\(0\\)계미분계수라 한다.", "</p><p>보기(\\(2\\)) 보기 \\(1\\)의 함수들은 모두가 \\( C^{\\infty}- \\)급임을 알 수 있다.", "</p><p>예제 \\(1\\) 함수 \\( f(x)=\\left\\{\\begin{array}{l}x^{2} \\sin \\frac{1}{x}(x \\neq 0) \\\\ 0(x=0)\\end{array}\\right. \\)", "은 \\( C^{1}- \\)급이 아님을 보여라.", "</p><p>증명 \\( \\quad x \\neq 0 \\)이면 \\( f(x)=x^{2} \\sin \\frac{1}{x} \\)이므로 \\( f^{\\prime}(x)=2 x \\sin \\frac{1}{x}-\\cos \\frac{1}{x} \\)이다.", "한편, \\[ f^{\\prime}(0)=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(h)-f(0)}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{h^{2} \\sin \\frac{1}{h}-0}{h} =\\lim _{h \\rightarrow 0} h \\sin \\frac{1}{h}=0 \\] 그런데 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} f^{\\prime}(x)=\\lim _{x \\rightarrow 0}\\left(2 x \\sin \\frac{1}{x}-\\cos \\frac{1}{x}\\right) = \\lim _{x \\rightarrow 0} 2 x \\sin \\frac{1}{x}-\\lim _{x \\rightarrow 0} \\cos \\frac{1}{x}=0-\\lim _{x \\rightarrow 0} \\cos \\frac{1}{x} \\) 이 되어 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} f^{\\prime}(x) \\)는 존재하지 않는다.", "왜냐하면 \\( \\cos \\frac{1}{x} \\) 은 \\( -1 \\) 과 \\(1\\) 사이를 한없이 진동하기 때문이다.", "따라서 \\[ \\lim _{x \\rightarrow 0} f^{\\prime}(x) \\neq f^{\\prime}(0) \\] 이므로 \\( f^{\\prime}(x) \\) 는 \\( x=0 \\)에서 연속이 아니다.", "그러므로 \\( f(x) \\)는 한 번 미분가능하지만 \\( x=0 \\)에서 \\( f^{\\prime}(x) \\)가 연속이 아니므로 \\( C^{1}- \\)급이 아니다.", "(따라서 두 번 미분가능하지 않는 것은 물론이다.)", "</p><p>정리 \\(3-1-1\\) 두 함수 \\( y=f(x), y=g(x) \\)가 각각 \\( n \\)번 미분가능하다면 \\( \\alpha, \\beta \\)를 실수로 할 때 \\( f(x) \\) \\( =\\alpha f(x)+\\beta g(x) \\)도 \\( n \\)번 미분가능하고 동시에 다음 식이 성립한다.", "<p>\\( F^{(n)}(x)=\\alpha f^{(n)}(x)+\\beta g^{(n)}(x) \\)</p></p><p>증명 수학적 귀납법으로 증명하자. \\", "( F^{(0)}(x)=f(x)=\\alpha f(x)+\\beta g(x)=\\alpha f^{(0)}(x)+\\beta g^{(0)}(x) \\) 이므로 \\( n=0 \\)일 때는 분명히 성립한다.", "다음에 \\( n=r \\)일 때 성립한다고 가정하고 \\( n=r+1 \\)일 때를 생각해보자.", "가정으로부터 \\( f(x), g(x) \\)는 각각 \\( (r+1) \\)번까지도 미분가능하므로 당연히 \\( r \\)번 미분가능하다.", "따라서 \\( n=r \\)일 때 성립한다고 가정하면 \\( F^{(r)}(x)=\\alpha f^{(r)}(x)+\\beta g^{(r)}(x) \\) 이 되어 우변이 다시 한번 미분가능하므로 \\( F^{(r)^{\\prime}}(x)=\\alpha f^{(r) \\prime}(x)+\\beta g^{(r) \\prime}(x) \\) 이 된다.", "즉, \\( F^{(r+1)}(x)=\\alpha f^{(r+1)}(x)+\\beta g^{(r+1)}(x) . \\)", "그러므로 \\( n=r+1 \\)일 때도 위 식은 성립하므로 증명되었다.", "</p><p>보기(\\(3\\)) \\( f(x)=\\sin ^{2} x \\) 의 \\( n \\)계도함수를 구하여라.", "</p><p>해 \\( \\sin ^{2} x=\\frac{1-\\cos 2 x}{2}=\\frac{1}{2}-\\frac{1}{2} \\cos 2 x \\) 이므로 정리 \\(3-1-1\\)로부터 \\( \\alpha=\\frac{1}{2}, \\beta=-\\frac{1}{2}, f(x)=1, g(x)=\\cos 2 x \\) 로 놓으면 \\( f(x) \\)는 \\( n \\)번 미분가능하게 된다.", "즉, \\( f^{(n)}(x)=0(n \\geqq 1), \\quad g^{(n)}(x)=2^{n} \\cos \\left(2 x+\\frac{n \\pi}{2}\\right) \\) 이다.", "따라서 정리 \\( 3-1-1 \\)에 의해 \\( F^{(n)}(x)=\\alpha f^{(n)}(x)+\\beta g^{(n)}(x) =\\frac{1}{2} \\times 0-\\frac{1}{2} \\times 2^{n} \\cos \\left(2 x+\\frac{n \\pi}{2}\\right) =-2^{n-1} \\cos \\left(2 x+\\frac{n \\pi}{2}\\right), n \\geqq 1 \\).", "</p><p>정리 \\(3-1-2\\) 라이프니츠 정리</p><p>두 함수 \\( y=f(x), y=g(x) \\)가 \\( n \\)번 미분가능하다면 그의 곱 \\( f(x)=f(x) \\cdot g(x) \\)도 역시 \\( n \\)번 미분가능하고 다음 식이 성립한다.", "<p>\\( F^{(n)}(x)=\\sum_{r=0}^{n} n C_{r} \\cdot f^{(n-r)}(x) \\cdot g^{(r)}(x) \\)</p><p>단, \\( { }_{n} C_{r}=\\frac{n !}{r !(n-r) !} \\).", "</p></p><p>증명 수학적 귀납법으로 증명한다. \\", "(F^{(0)}(x)=f(x)=f(x) \\cdot g(x)={ }_{0} C_{0} \\cdot f^{(0)}(x) \\cdot g^{(0)}(x)\\) 이므로 \\( n=0 \\)일 때 성립한다.", "다음에 \\( n=k \\)일 때 성립한다고 가정하면 \\( F^{(k)}(x) =\\sum_{r=0}^{k} C_{r} \\cdot f^{(k-r)}(x) \\cdot g^{(r)}(x) ={ }_{k} C_{0} \\cdot f^{(k)}(x) \\cdot g^{(0)}(x)+\\cdots+{ }_{k} C_{r-1} \\cdot f^{(k-r+1)}(x) \\cdot g^{(r-1)}(x) +{ }_{k} C_{r} \\cdot f^{(k-r)}(x) \\cdot g^{(r)}(x)+\\cdots+{ }_{k} C_{k} \\cdot f^{(0)}(x) \\cdot g^{(k)}(x) \\)<caption>①</caption></p><p>그런데 \\( f(x), g(x) \\)는 \\( (k+1) \\)번 미분가능하므로 \\( f^{(k-r)}(x), g^{(r)}(x) \\)도 한번 더 미분가능하다.", "따라서 (\\(1\\))의 양변을 다시 한번 미분하면</p><p>\\( F^{(k+1)}(x) ={ }_{k} C_{0}\\left\\{f^{(k+1)}(x) \\cdot g^{(0)}(x)+f^{(k)}(x) \\cdot g^{(1)}(x)\\right\\}+\\cdots +{ }_{k} C_{r-1}\\left\\{f^{(k-r+1)}(x) \\cdot g^{(r)}(x)+f^{(k-r+2)}(x) \\cdot g^{(r-1)}(x)\\right\\} +{ }_{k} C_{r}\\left\\{f^{(k-r+1)}(x) \\cdot g^{(r)}(x)+f^{(n-r)}(x) \\cdot g^{(r+1)}(x)\\right\\} +\\cdots+{ }_{k} C_{k}\\left\\{f^{(1)}(x) \\cdot g^{(k)}(x)+f^{(0)}(x) \\cdot g^{(k+1)}(x)\\right\\} ={ }_{k} C_{0} f^{(k+1)}(x) \\cdot g^{(0)}(x)+\\left({ }_{k} C_{0}+{ }_{k} C_{1}\\right) f^{(k)}(x) \\cdot g^{(1)}(x)+\\cdots +\\left({ }_{k} C_{r-1}+{ }_{k} C_{r}\\right) f^{(k-r+1)}(x) \\cdot g^{(r)}(x)+\\cdots +{ }_{k} C_{k} f^{(0)}(x) \\cdot g^{(k+1)}(x) \\).", "</p><p>여기서 \\( { }_{k} C_{0}={ }_{k+1} C_{0},{ }_{k} C_{r}+{ }_{k} C_{r-1}={ }_{k+1} C_{r},{ }_{k} C_{k}={ }_{k+1} C_{k+1} \\)을 대입하면 \\( F^{(k+1)}(x)={ }_{k+1} C_{0} f^{(k+1)}(x) \\cdot g^{(0)}(x)+{ }_{k+1} C_{1} f^{(k)}(x) \\cdot g^{(1)}(x) +\\cdots+{ }_{k+1} C_{r} f^{(k-r+1)}(x) \\cdot g^{(r)}(x)+\\cdots +_{k+1} C_{k+1} f^{(0)}(x) \\cdot g^{(k+1)}(x) \\).", "</p><p>따라서 \\( n=k+1 \\)일 때도 성립하므로 이 정리는 증명되었다.", "</p><p>예제 \\( 2 \\) \\( f(x)=x \\sin x \\) 의 \\( n \\)계도함수를 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( \\quad f(x)=x, g(x)=\\sin x \\)로 놓으면 \\( f^{(0)}(x)=x, f^{(1)}(x)=1, \\cdots, f^{(n)}(x)=0(n \\geqq 2) \\) 이고 보기 \\(1\\) 의 (\\(4\\))에 의하여 \\( g^{(n)}(x)=\\sin \\left(x+\\frac{n \\pi}{2}\\right) \\)이다.", "따라서 라이프니츠 공식에 의하여 \\( F^{(n)}(x)={ }_{n} C_{0} f^{(n)}(x) g^{(0)}(x)+{ }_{n} C_{1} f^{(n-1)}(x) g^{(1)}(x) +\\cdots+{ }_{n} C_{n} f^{(0)}(x) g^{(n)}(x) ={ }_{n} C_{n-1} f^{(1)}(x) g^{(n-1)}(x)+{ }_{n} C_{n} f^{(0)}(x) g^{(n)}(x) =n \\sin \\left(x+\\frac{(n-1) \\pi}{2}\\right)+x \\sin \\left(x+\\frac{n \\pi}{2}\\right) \\)</p><p>참고</p><ol type= start=1><li>\\( y=k f(x) \\) 형태의 \\( n \\)계도함수는 \\( y^{(n)}=k f^{(n)}(x) \\) 이다.", "</li><li>\\( y=f(x) \\pm g(x) \\) 형태의 \\( n \\)계도함수는 \\( y^{(n)}=f^{(n)}(x) \\pm g^{(n)}(x) \\)이다.", "</li><li>\\( y=f(a x+b) \\) 형태의 \\( n \\)계도함수는 \\( y^{(n)}=a^{n} f^{(n)}(a x+b) \\)이다.", "</li></ol> <h2>연습문제 (3-1-2)</h2><p>\\(1\\). \\", "( y=\\frac{1}{x^{2}+1} \\)에서 다음을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( x \\) 가 \\( -1 \\)에서 \\(2\\)까지 변할 때 \\( y \\)의 평균변화율</li><li>\\( x=-1 \\)에서 \\( y \\)의 순간변화율</li></ol><p>\\(2\\).", "한 변의 길이가 \\( x \\)인 정사각형의 면적을 \\( A \\)라 하자.", "그리고 \\( x \\)는 시간 \\( t \\)에 의해 변한다고 가정하자.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\frac{d A}{d t} \\)와 \\( \\frac{d x}{d t} \\)는 어떤 관련이 있나?", "</li><li>어떤 순간에 한 변의 길이가 \\( 3 \\mathrm{cm} \\)이고 길이가 \\( 2 \\mathrm{cm} / \\mathrm{min} \\)의 속도로 증가할 때 그 순간 증가하는 면적의 변화율을 구하여라.", "</li></ol><p>\\(3\\).", "반지름이 \\( r \\)인 원의 면적을 \\( A \\)라 하자.", "그리고 \\( r \\)은 시간 \\( t \\)에 의해 변한다고 하자.", "</p><ol type= start=1><li>\\( \\frac{d A}{d t} \\)와 \\( \\frac{d r}{d t} \\)는 어떤 관련이 있나?", "</li><li>어떤 순간에 반지름이 \\( 5 \\mathrm{cm} \\)이고 매초당 반지름의 길이가 \\( 2 \\mathrm{cm} / \\mathrm{min} \\)의 속도로 증가할 때 그 순간 원의 면적의 변화율을 구하여라.", "</li></ol><p>\\(4\\).", "어떤 한 분자가 방정식 \\( \\frac{x y^{3}}{1+y^{2}}=\\frac{8}{5} \\)인 곡선을 따라 움직이고 있다. \\", "( x \\)축은 분자가 점 \\( (1,2) \\)에 있을 때 \\( 6 \\mathrm{unit} / \\mathrm{sec} \\)의 속도로 증가하고 있다.", "</p><ol type= start=1><li>그 순간 이 점에서의 \\( y \\)축의 순간속도를 구하여라.", "</li><li>그 순간 분자는 증가하는가, 감소하는가?", "</li></ol><h2>요약 (\\(3-1\\))</h2><p>\\(1\\).", "( \\( n \\)계도함수) 주어진 함수 \\( y=f(x) \\)가 \\( n \\)번 미분가능하면 \\( f^{(n)}(x) \\)를 \\( y=f(x) \\)의 \\( n \\)계도함수라 하고 다음과 같이 나타낸다.", "즉, \\( f^{(n)}(x)=\\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{f^{(n-1)}(x+\\Delta x)-f^{(n-1)}(x)}{\\Delta x} \\)</p><p>\\(2\\). (라이프니츠 정리)", "두 함수 \\( y=f(x), y=g(x) \\)가 \\( n \\)번 미분가능하다면 그의 곱 \\( f(x)=f(x) \\cdot g(x) \\) 도 역시 \\( n \\)번 미분가능하고 다음 식이 성립한다. \\", "( F^{(n)}(x)=\\sum_{r=0}^{n}{ }_{n} C_{r} \\cdot f^{(n-r)}(x) \\cdot g^{(r)}(x) \\) 단, \\( { }_{n} C_{r}=\\frac{n !}{r !(n-r) !}", "\\)</p><p>\\(4\\).", "관련된 변화율 문제를 해결하는 단계는 다음과 같다.", "</p><p>[\\(1\\)단계] 변하는 양을 적당한 미지수로 설정한다.", "</p><p>[\\(2\\)단계] 알려지지 않은 변화율을 갖는 양에서 알려진 변화율을 갖는 양과의 관계식을 찾는다.", "</p><p>[\\(3\\)단계] 시간에 대해 이 방정식의 양변을 미분하고 구하고자 하는 변화율에 대한 도함수를 구한다.", "</p><p>[\\(4\\)단계] 주어진 점에서 이 도함수를 계산한다.", "</p><h2>종합문제 (\\(3-1\\))</h2><p>\\( 1 \\).", "다음 함수의 \\(3\\)계도함수까지 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( y=x^{4}-2 x^{2}+5 \\)</li><li>\\( y=(2 x+1)^{3} \\)</li><li>\\( y=\\frac{1}{x}\\left(x^{2}-3 x\\right)^{3} \\)</li><li>\\( y=x^{2}-\\frac{2}{x} \\)</li></ol><p>\\(2\\).", "다음 함수의 미분 \\( d y \\)를 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( y=3 x+2 \\)</li><li>\\( y=x^{2}+4 \\)</li><li>\\( y=a x^{n}+\\frac{b}{x^{n}} \\)</li><li>\\( y=3 x^{2.7} \\)</li></ol><p>\\(3\\).", "다음 함수의 \\( \\Delta y, d y, \\Delta y-d y \\)를 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( y=\\frac{1}{2} x^{2}+x, x=2 ; \\Delta x=\\frac{1}{2} \\)</li><li>\\( y=\\frac{1}{2 x^{3}}, x=\\frac{1}{3} ; \\Delta x=\\frac{1}{4} \\)</li><li>\\( y=\\sqrt{x}, x=4 ; \\Delta x=0.3 \\)</li></ol><p>\\(4\\).", "정사각형의 한 변의 길이 \\( s \\)가 \\( \\Delta s \\)만큼 증가했을 때 그 넓이의 증분을 구하고 넓이의 미분과 비교하여라.", "</p><p>\\(5\\). \\", "( \\sqrt{100.1} \\)의 근삿값을 구하고 오차의 한계를 구하여라.", "</p><p>\\(6\\).", "어떤 시계의 분침은 \\( 4 \\mathrm{cm} \\)이고 시침은 \\( 3 \\mathrm{cm} \\)이다.", "정각 \\(9\\)시에 시침과 분침 사이의 거리의 순간 변화율을 구하여라.", "</p> <h3>오차의 한계</h3><p>테일러 근사식 \\( f(a+h) \\fallingdotseq f(a)+f^{\\prime}(a) h \\)을 이용하여 오차의 한계를 구해보자.", "즉, \\( f(a+h) \\)의 근삿값으로서 \\( f(a)+f^{\\prime}(a) h \\)를 취할 때 실제값과 어느 정도 오차가 발생하는지 살펴보자.", "지금 구간 \\( (a, a+h) \\) 안의 점 \\( x \\)에 대하여 \\( f^{\\prime}(x) \\)의 최댓값과 최솟값을 각각 \\( G, L \\)이라 하면 평균값 정리에 의해 \\[ \\left|f^{\\prime}(c)-f^{\\prime}(a)\\right| \\leqq G-L \\quad(a \\leqq c \\leqq a+h) \\] 이므로 \\( f(a+h) \\) 대신에 \\( f(a)+f^{\\prime}(a) h \\)를 취할 경우의 오차를 \\( E \\)라고 하면 \\[\\begin{aligned} E&=f(a+h)-\\left\\{f(a)+f^{\\prime}(a) h\\right\\} \\\\ &=f(a+h)-f(a)-f^{\\prime}(a) h \\\\ &=f^{\\prime}(c) h-f^{\\prime}(a) h\\left(\\because \\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f^{\\prime}(c)\\right) \\\\ &=h\\left(f^{\\prime}(c)-f^{\\prime}(a)\\right) \\end{aligned}\\] 이다.", "그러므로 \\[ |E|=|h|\\left|f^{\\prime}(c)-f^{\\prime}(a)\\right| \\leqq|h|(G-L) \\] 이다.", "따라서 \\[ |E|\\leqq |h| (G-L) \\]<caption>(14)</caption>이 오차의 한계가 된다.", "여기서 \\( |h| \\)가 충분히 작으면 \\( f(a+h) \\)의 근삿값으로서 \\( f(a) +f^{\\prime}(a) h \\)를 취할 수 있고 또, 그때의 오차의 한계를 위 식 (\\(14\\))에 의해 구할 수 있다.", "</p><p>예제 \\(4\\) \\( \\sqrt{100.1} \\)의 근삿값을 구하고 오차의 한계를 구하라.", "</p><p>풀이 \\( f(x)=\\sqrt{x}, a=100, h=0.1 \\)이라고 놓으면 \\[ f(a+h)=f(100+0.1) \\fallingdotseq f(100)+(0.1) \\cdot f^{\\prime}(100) \\] 이고 \\( f^{\\prime}(x)=\\frac{1}{2 \\sqrt{x}} \\) 에서 \\[ f^{\\prime}(100)=\\frac{1}{2 \\sqrt{100}}=\\frac{1}{20} \\] 이므로 \\[ f(100+0.1)=\\sqrt{100.1} \\fallingdotseq \\sqrt{100}+(0.1) \\cdot \\frac{1}{20} =10+0.1 \\times 0.05=10.005 \\] 이다.", "그러므로 \\( \\sqrt{100.1} \\fallingdotseq 10.005 \\) 이다.", "이때, \\[ G=\\frac{1}{2 \\sqrt{100}}, L=\\frac{1}{2 \\sqrt{100.1}} \\] 이므로 \\[\\begin{aligned} G-L=&\\frac{1}{2}\\left(\\frac{1}{\\sqrt{100}}-\\frac{1}{\\sqrt{100.1}}\\right)=\\frac{1}{2 \\sqrt{100.1}}\\left(\\frac{\\sqrt{100.1}-\\sqrt{100}}{\\sqrt{100}}\\right) \\\\ =&\\frac{1}{2 \\sqrt{100.1}}\\left(\\sqrt{\\frac{100.1}{100}}-1\\right)<\\frac{1}{2 \\sqrt{100}}\\left(\\sqrt{\\frac{100.1}{100}}-1\\right) \\\\ &<\\frac{1}{20}\\left(\\sqrt{\\frac{101.0025}{10}}-1\\right)=\\frac{1}{20}\\left(\\frac{10.05}{10}-1\\right) \\\\ =& 0.00025 \\end{aligned}\\] 이다.", "따라서 \\( |E| \\leqq|h|(G-L)=\\frac{1}{10}(G-L)<0.000025 \\)이다.", "그러므로 \\( \\sqrt{100.1} \\)의 근삿값으로써 \\( 10.005 \\)를 취했을 때의 오차는 \\( 0.000025 \\)를 넘지 않는다.", "</p> <h1>3-3 테일러 정리와 그 응용</h1><h2>1. 평균값 정리와 그 응용</h2><p>여기서는 평균값 정리라고 하는 이론에 대해 공부한다.", "이것은 미적분학에서 가장 기초적인 정리로서 많은 중요한 정리들을 낳게 하는 데 도움을 주고 있다.", "그중 하나가 이 정리를 일반화시킨 것이 바로 테일러 정리이다.", "테일러 정리는 함수의 수치적 계산이나 근삿값 계산에 아주 유용하게 이용된다.", "우선 평균값 정리에 대한 개념과 이와 관련된 이론들에 대해 언급하고 그 응용에 대해 살펴보기로 한다.", "</p><h3>롤의 정리</h3><p>평균값 정리를 언급하기 전에 이 정리의 특별한 경우로 다음과 같은 롤의 정리가 있다.", "</p><p>정리 \\(3-3-1\\) 롤의 정리</p><p>함수 \\( f(x) \\)가 폐구간 \\( [a, b] \\)에서 연속이고 개구간 \\( (a, b) \\)에서 미분가능하다고 하자.", "이때, \\( f(a)=f(b) \\)이면 \\( f^{\\prime}(c)=0 \\)인 점 \\( c \\)가 \\( (a, b) \\) 안에 적어도 하나 존재한다.", "</p><p>증명 \\( f(x)=k \\)(상수)이면 어떤 \\( c \\in(a, b) \\)에 대해서도 \\( f^{\\prime}(c)=0 \\)이므로 분명히 성립한다(그림 \\(3-37\\)). \\", "( f^{\\prime}(x) \\neq 0 \\)이면 \\( f(a)=f(b) \\neq f(c) \\)인 \\( c \\in(a, b) \\)가 존재한다(그림 \\(3-38\\)).", "만약, 최댓값 \\( f(c) \\)를 가지면 임의의 \\( h>0 \\)에 대하여 \\[ \\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \\leqq 0 \\] 이므로 \\[ \\lim _{h \\rightarrow 0^{+}} \\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \\leqq 0 \\]<caption>①</caption>또한, 임의의 \\( h<0 \\)에 대하여 \\[ \\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \\geqq 0 \\] 이므로 \\[ \\lim _{h \\rightarrow 0^{-}} \\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \\geqq 0 \\]<caption>②</caption>그런데 \\( f(x) \\)는 \\( x=c \\)에서 미분가능하므로 ①, ②로부터 \\[ f^{\\prime}(c) \\leqq 0,, \\quad f^{\\prime}(c) \\geqq 0 \\] 이다.", "그러므로 \\( f^{\\prime}(c)=0 \\)인 \\( c \\)가 \\( (a, b) \\) 안에 존재한다.", "함수 \\( f(x) \\)가 구간 \\( (a, b) \\)에서 최솟값 \\( f(c) \\)를 가질때도 마찬가지로 하면 된다.", "</p><p>주의 롤의 정리는 구간 \\( (a, b) \\)에서 미분가능할 때만 성립한다.", "이를테면 \\( f(x)=|x-3| \\)은 구간 \\( [1,5] \\)에서 연속이고 \\( f(1)=f(5)=2 \\)이지만 구간 \\( (1,5) \\)에서 미분가능하지 않은 점 \\( x=3 \\)이 있으므로 롤의 정리는 성립하지 않는다.", "</p><p>보기 \\(1\\) \\( f(x)=(x-2)^{2}(x-3) \\)일 때 \\( f^{\\prime}(c)=0(2<c<3) \\)이 되는 \\( c \\)가 존재함을 롤의 정리를 써서 보이고 그 \\( c \\)값을 구하여라.", "</p><p>해 \\( f(x)=(x-2)^{2}(x-3) \\)에서 \\( f(2)=f(3)=0 \\)이고 \\( (2,3) \\)에서 \\( f(x) \\)는 미분가능 하다.", "또한 \\( [2,3] \\)에서 연속이므로 \\( f^{\\prime}(c)=0 \\)인 \\( c \\)가 \\( (2,3) \\) 안에 적어도 하나 존재한다.", "또, \\( f^{\\prime}(x)=(x-2)(3 x-8) \\)이므로 \\[ f^{\\prime}\\left(\\frac{8}{3}\\right)=0\\left(2<\\frac{8}{3}<3\\right) \\] 이다.", "따라서 \\( c=\\frac{8}{3} \\)이다.", "</p> <h3>테일러 급수</h3><p>\\( f(x) \\)와 그의 \\( n \\)계도함수의 값은 테일러 다항식의 값과 그의 \\( n \\)계도함수의 값이 \\( x=a \\)에서 짝지워지기 때문에 \\( n \\)이 증가함에 따라 \\( x=a \\)에서 \\( f(x) \\)에 대한 테일러 다항식은 더욱 더 좋은 근삿값이 될 것이다(최소한 \\( x=a \\)에 중심을 둔 어떤 구간에서 만큼은).", "이것은 \\( n \\rightarrow \\infty \\)에 따라 테일러 다항식 \\( p_{n}(x) \\)는 \\( f(x) \\)에 수렴하는 \\( x \\)의 값을 찾는 문제를 야기한다.", "다시 말해서, \\( x \\)의 값에 대하여 \\[ f(x)=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=0}^{n} \\frac{f^{(k)}(a)}{k !}(x-a)^{k}=\\sum_{k=0}^{\\infty} \\frac{f^{(k)}(a)}{k !}(x-a)^{k} \\]<caption>(6)</caption>는 참이다.", "식 (\\(6\\))을 우리는 함수 \\( f(x) \\)에 대한 \\( x=a \\)에서의 테일러 급수라고 부른다.", "이를 요약하여 정의하면 다음과 같다.", "</p><p>정의\\(3-3-7\\) 테일러 급수</p><p>함수 \\( f(x) \\) 가 \\( x=a \\) 에서 무한번 미분가능하다면, \\( x=a \\) 에 대한 \\( f(x) \\) 의 테일러 급수를 다 음과 같이 정의한다.", "즉, \\[ \\begin{aligned} \\sum_{k=0}^{\\infty} & \\frac{f^{(k)}(a)}{k !}(x-a)^{k} \\\\ & =f(a)+f^{\\prime}(a)(x-a)+\\frac{f^{\\prime \\prime}(a)}{2 !}(x-a)^{2}+\\cdots \\\\ & +\\frac{f^{(k)}(a)}{k !}(x-a)^{k}+\\cdots \\end{aligned} \\]<caption>(7)</caption></p><p>참고 정의 \\(3-3-7\\)에서 \\( a=0 \\)를 대입하면 \\( x=0 \\)에서 \\( f(x) \\)의 매클로린 급수가 정의된다.", "즉, \\[ \\sum_{k=0}^{\\infty} \\frac{f^{(k)}(0)}{k !} x^{k}=f(0)+f^{\\prime}(0) x+\\frac{f^{\\prime \\prime}(0)}{2 !} x^{2}+\\cdots+\\frac{f^{(k)}(0)}{k !} x^{k}+\\cdots \\]<caption>(8)</caption>이다.", "매클로린 급수를 이용하면 여러 가지 함수를 무한차 다항식으로 전개할 수 있고 또한 함수의 근삿값을 구하는 데 있어서도 유용하다.", "몇 가지 기본적인 함수에 대한 매클로린 급수를 소개하면 다음과 같다.", "자세한 것은 급수편에서 다루겠다.", "</p><ol type=a start=1><li>\\( e^{x}=\\sum_{k=0}^{\\infty} \\frac{x^{k}}{k !}=1+x+\\frac{x^{2}}{2 !}+\\cdots+\\frac{x^{n}}{n !}+\\cdots(-\\infty<x<\\infty) \\)</li><li>\\( \\sin x=\\sum_{k=0}^{\\infty}(-1)^{k} \\frac{x^{2 k+1}}{(2 k+1) !}=x-\\frac{x^{3}}{3 !}+\\frac{x^{5}}{5 !}-\\frac{x^{7}}{7 !}+\\cdots \\quad(-\\infty<x<\\infty) \\)</li><li>\\( \\cos x=\\sum_{k=0}^{\\infty}(-1)^{k} \\frac{x^{2 k}}{(2 k) !}=1-\\frac{x^{2}}{2 !}+\\frac{x^{4}}{4 !}-\\frac{x^{6}}{6 !}+\\cdots \\quad(-\\infty<x<\\infty) \\)</li><li>\\( \\log (x+1)=\\sum_{k=0}^{\\infty}(-1)^{k} \\frac{x^{k+1}}{k+1}=x-\\frac{x^{2}}{2}+\\frac{x^{3}}{3}-\\frac{x^{4}}{4}+\\cdots \\quad(-1<x \\leqq 1) \\)</li><li>\\( \\frac{1}{1-x}=\\sum_{k=0}^{\\infty} x^{k}=1+x+x^{2}+x^{3}+\\cdots \\quad(-1<x<1) \\)</li><li>\\( \\begin{aligned} (1+x)^{\\alpha}&=\\sum_{k=0}^{\\infty} \\frac{\\alpha(\\alpha-1)(\\alpha-2) \\cdots(\\alpha-k+1) x^{k}}{k !} \\\\ &=1+\\alpha x+\\frac{\\alpha(\\alpha-1)}{2 !} x^{2}+\\frac{\\alpha(\\alpha-1)(\\alpha-2)}{3 !} x^{3}+\\cdots \\quad(-1<x<1) \\end{aligned}\\)</li></ol><p>보기(\\(3\\)) \\( x=1 \\)에 대하여 \\( f(x)=\\frac{1}{x} \\)의 테일러 급수를 구하여라.", "</p><p>해 \\( f(x)=\\frac{1}{x} \\)은 \\( x=1 \\)에서 무한번 미분가능하므로 테일러 급수로 전개할 수 있다.", "따라서 \\( f(x)=\\frac{1}{x} \\)에서 \\( f(1)=1 \\)이고 \\[ f^{\\prime}(x)=-\\frac{1}{x^{2}}, f^{\\prime \\prime}(x)=\\frac{2}{x^{3}}, f^{\\prime \\prime \\prime}(x)=-\\frac{3 \\cdot 2}{x^{4}} \\] \\[ f^{(4)}(x)=\\frac{4 \\cdot 3 \\cdot 2}{x^{5}}, \\cdots, f^{(k)}(x)=(-1)^{k} \\frac{k !}{x^{k+1}} \\] 이므로 \\( x=1 \\)을 각 도함수에 대입하면 \\[ f^{\\prime}(1)=-1, f^{\\prime \\prime}(1)=2 !, f^{\\prime \\prime \\prime}(1)=-3 ! \\]\\[ f^{(4)}(1)=4 !, \\cdots, f^{(k)}(1)=(-1)^{k} k ! \\] 이다.", "그러므로 식 (\\(7\\))에 \\( a=1 \\)을 대입하면 \\[\\begin{aligned} \\sum_{k=0}^{\\infty} \\frac{(-1)^{k} k !}{k !}(x-1)^{k}&=\\sum_{k=0}^{\\infty}(-1)^{k}(x-1)^{k} \\\\ &=1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\\cdots \\end{aligned}\\] 으로 전개된다.", "</p> <h1>3-2 함수의 변화와 극값</h1><h2>1. 접선의 방정식</h2><p>함수 \\( y=f(x) \\)가 임의의 점에서 미분가능하다면 이 점에서 그 곡선에 대하여 접선을 그을 수 있다.", "즉, \\( x=x_{0} \\)에서 \\( y=f(x) \\)의 미분계수 \\( f^{\\prime}\\left(x_{0}\\right) \\)는 이 점에서의 접선의 기울기를 의미한다고 설명하였다.", "따라서 \\( y=f(x) \\) 위의 한 점 \\( P\\left(x_{0}, y_{0}\\right) \\)에서 접선을 그을 수 있다면 접점과 기울기를 알 수 있으므로 접선의 방정식을 구할 수 있다.", "여기서는 곡선의 접선과 법선의 방정식 그의 길이를 구하는 문제를 다룬다.", "</p><h3>곡선의 접선과 법선</h3><p>곡선 \\( C \\) 위의 한 점 \\( P \\)를 지나는 접선을 다음과 같이 생각해 본다.", "점 \\( P \\) 가까이에 곡선 위의 다른 점 \\( Q \\)를 택하여 직선 \\( P Q \\)를 긋는다.", "다음에 점 \\( Q \\)를 곡선을 따라 점 \\( P \\)에 가까이 보낸다.", "이렇게 했을 때 직선 \\( P Q \\)의 극한의 위치가 있으면, 그 위치의 직선을 점 \\( P \\)를 지나는 곡선 \\( C \\)의 접선이라고 말한다.", "</p><p>점 \\( P \\)와 \\( Q \\)의 좌표를 각각 \\( \\left(x_{1}, y_{1}\\right),\\left(x_{1}+\\Delta x, y_{1}+\\Delta y\\right) \\)라 하자. \\", "( Q \\)의 좌표에 \\( \\Delta x, \\Delta y \\)를 쓴 것은 점 \\( P \\)와의 좌표의 차가 작다는 것을 암시하는 것이다.", "그러면 곡선 \\( C \\)를 \\( y=f(x) \\)라 할 때, 그림 \\(3-9\\)에서 \\( P R=\\Delta x, R Q=\\Delta y \\)가 되어 직선 \\( P Q \\)의 기울기는 \\( \\frac{R Q}{P R}=\\frac{\\Delta y}{\\Delta x} \\)가 된다.", "이제 \\( y=f(x) \\)가 미분가능하다면 \\( \\Delta x \\rightarrow 0 \\)일 때 \\( \\Delta y \\rightarrow 0 \\)이므로 점 \\( Q \\)는 점 \\( P \\)에 곡선을 따라서 가까이 갈 것이고, 직선 \\( P Q \\)는 마침내 \\( \\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{\\Delta y}{\\Delta x}=f^{\\prime}\\left(x_{1}\\right) \\)을 기울기로 하는 직선에 가까이 갈 것이다.", "다시 말하면 점 \\( P\\left(x_{1}, y_{1}\\right) \\)을 지나고 기울기가 \\( f^{\\prime}\\left(x_{1}\\right) \\)인 직선이 그 점을 지나는 곡선의 접선이 된다.", "한편, \\(1\\)장에서 점 \\( \\left(x_{1}, y_{1}\\right) \\)을 지나고 기울기가 \\( m \\)인 직선의 방정식은 \\( y-y_{1}=m\\left(x-x_{1}\\right) \\)이라 했으므로 \\( \\left(x_{1}, y_{1}\\right) \\)을 지나는 접선의 방정식은 \\( y-y_{1}=f^{\\prime}\\left(x_{1}\\right)\\left(x-x_{1}\\right) \\)<caption>(1)</caption>이 된다.", "또, 법선이라 함은 점 \\( P \\)를 지나는 접선에 수직인 직선을 말한다.", "즉, 법선의 기울기와 접선의 기울기의 곱은 \\( -1 \\)이 된다.", "따라서 그림 \\(3-9\\)에서 점 \\( P\\left(x_{1}, y_{1}\\right) \\)를 지나는 법선의 방정식은 \\( y-y_{1}=-\\frac{1}{f^{\\prime}\\left(x_{1}\\right)}\\left(x-x_{1}\\right) \\)<caption>(2)</caption>이다</p><p>보기(\\(1\\)) 곡선 \\( y=4 x-x^{3} \\) 위의 점 \\( (2,0) \\)에서의 접선과 법선의 방정식을 구하여라.", "</p><p>해</p><p>점 \\( (2,0) \\) 에서의 접선의 기울기는 \\( f^{\\prime}(2)=4-3(2)^{2}=-8 \\)이므로 접선의 방정식은 \\( y-0=-8(x-2) \\) 이다.", "따라서 정리하면 \\( 8 x+y-16=0 \\)이고 같은 방법으로 법선의 방정식을 구하면 \\( x-8 y-2=0 \\)이다.", "</p><p>참고 두 곡선의 교각이라 함은 그 교점에서의 접선의 교각을 말한다.", "기울기가 \\( m_{1}, m_{2} \\)인 두 직선의 교각 \\( \\phi \\)는 \\( \\tan \\phi=\\left|\\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1} m_{2}}\\right| \\)로 주어진다(그림 \\(3-11\\) 참조).", "</p> <h3>곡선의 요철</h3><p>지금까지 앞에서 함수 \\( f(x) \\)의 증가, 감소에 대하여 살펴보았다.", "그러나 \\( f^{\\prime}(x) \\)는 함수 \\( f(x) \\)의 그래프상에서 진동상태가 잘 나타나지 않을 수도 있다.", "만약에 함수의 진동이 위아래로 충분히 크면 그의 도함수는 부호가 변한다(그림 \\(3-16\\) 참조).", "반면에 함수의 진동이 미약하다면 그의 도함수의 부호가 변하지 않을 수도 있다.", "예를 들어, 그림 \\(3-17\\)에서 곡선에 대한 접선은 모두가 양의 기울기를 가지고 있다.", "따라서 함수 \\( f(x) \\)의 도함수는 비록 \\( f(x) \\)가 진동하더라도 부호가 변하지 않는 경우이다.", "</p><p>이외에, 함수의 그래프에서 확신성을 가지고 진동여부를 결정할 수 있는 방법은 직관적인 관찰에 있다.", "아무리 함수의 진동이 미약할지라도 두 부분으로 구성되어 있다.", "한 부분은 위로 오목 한, 즉 '물을 담는 부분'과 아래로 오목한, 즉'물을 엎지르는 부분'이다(그림 (\\(3-18\\))).", "</p><p>함수 \\( f(x) \\)의 도함수 \\( f^{\\prime}(x) \\)가 어떤 구간에서 증가한다면 \\( f(x) \\)는 주어진 구간에서 위로 오목(아래로 볼록)하다고 하고 \\( f^{\\prime}(x) \\)가 어떤 구간에서 감소한다면 \\( f(x) \\)는 주어진 구간에서 아래로 오목(위로 볼록)하다고 한다. \\( f^{\\prime \\prime}(x) \\)를 \\( f^{\\prime}(x) \\)의 도함수라 하자. 그러면 모든 \\( x \\in(a, b) \\)에 대하여 \\( f^{\\prime \\prime}(x)>", "0 \\)라면 정리 \\(3-2-1\\)로부터 \\( f^{\\prime}(x) \\)는 \\( (a, b) \\)에서 증가할 것이고 \\( f^{\\prime \\prime}(x)<0 \\)라면 \\( f^{\\prime}(x) \\)는 \\( (a, b) \\)에서 감소할 것이다.", "따라서 다음 정리의 결과를 얻는다.", "</p><p>정리 \\(3-2-4\\)</p><ol type=1 start=1><li>(\\(1\\)) 만약 모든 \\( x \\in(a, b) \\)에 대하여 \\( f^{\\prime \\prime}(x)>0 \\)라면 \\( f(x) \\)는 \\( (a, b) \\)에서 위로 오목하다.", "</li><li>(\\(2\\)) 만약 모든 \\( x \\in(a, b) \\)에 대하여 \\( f^{\\prime \\prime}(x)<0 \\)라면 \\( f(x) \\)는 \\( (a, b) \\) 에서 아래로 오목하다.", "</li></ol><p>보기\\(2\\) 함수 \\( f(x)=\\frac{1}{3} x^{3}-3 x^{2}+8 x \\)의 오목, 볼록성을 조사하여라.", "</p><p>해 \\( f(x) \\)의 도함수를 구하면 \\( f^{\\prime}(x)=x^{2}-6 x+8 \\)이고 \\( f^{\\prime}(x) \\)의 도함수는 \\( f^{\\prime \\prime}(x)= \\) \\( 2 x-6 \\) 이다. 따라서 \\( f^{\\prime \\prime}(x)=2 x-6>", "0 \\)을 만족하는 \\( x \\)값에서는 위로 오목하고 \\( f^{\\prime \\prime}(x)=2 x-6<0 \\)을 만족하는 \\( x \\)값에서는 아래로 오목하다. 그러므로 \\( f(x) \\)는 \\( x>", "3 \\)에서는 위로 오목하고 \\( x<3 \\)에서는 아래로 오목하다.", "</p><p>보기 \\(2\\)에서 \\( x=3 \\)에서는 그래프가 그의 오목성(요철)의 방향이 변하는 점이기 때문에 특별히 흥미가 있다.", "일반적으로 함수 \\( f(x) \\)가 점 \\( x_{0} \\)에서 그의 오목성의 방향이 변한다면 \\( f(x) \\)는 \\( x_{0} \\) 에서 변곡점을 갖는다고 말한다.", "특히, 함수 \\( f(x) \\)가 \\( x_{0} \\)를 포함하는 어떤 개구간에서 그의 도함수 \\( f^{\\prime}(x) \\)가 \\( x<x_{0} \\)일 때 감소(증가)하고 \\( x>x_{0} \\)에서는 증가(감소)한다면 \\( f(x) \\)는 \\( x_{0} \\)에서 변곡점을 갖는다(그림 \\(3-20\\) 참조).", "</p> <h2>2. 함수의 단조성과 요철</h2><p>함수 \\( y=f(x) \\)의 \\( x=a \\)에서의 미분계수 \\( f^{\\prime}(a) \\)는 평균변화율의 극한값으로 설명하였다.", "그러나 \\( f^{\\prime}(a) \\)가 \\( x=a \\) 근방에서 \\( f(x) \\)의 변화상태를 나타낸다는 사실을 완벽하게 따져보지는 못했다.", "여기서는 이러한 함수의 변화상태를 엄격하게 따져 보기로 한다.", "먼저, 함수의 그래프를 추적하는 요소 중 하나가 단조성과 그래프의 오목, 볼록성이다.", "이들의 정의 자체는 도함수와 관련은 없지만 도함수에 의해 판정은 할 수가 있다.", "이제 이 요소들에 의한 함수의 변화상태를 도함수에 의해 엄격하게 판정하는 방법을 소개한다.", "</p><h3>함수의 단조성</h3><p>함수 \\( y=f(x) \\)가 구간 \\( I \\)에서 정의되었다고 하고 \\( I \\) 내의 임의의 두 점 \\( x_{1}, x_{2} \\)에 대하여<ol type = i start=1><li>\\( x_{1}<x_{2} \\)일 때 \\( f\\left(x_{1}\\right)<f\\left(x_{2}\\right) \\)이면 \\( f(x) \\)는 구간 \\( I \\) 에서 단조증가한다고 하고 이러한 함수를 단조증가함수라고 한다.", "</li><li>\\( x_{1}<x_{2} \\)일 때 \\( f\\left(x_{1}\\right)>f\\left(x_{2}\\right) \\)이면 \\( f(x) \\)는 구간 \\( I \\) 에서 단조감소한다고 하고 이러한 함수를 단조감소함수라고 한다.", "</li></ol></p><p>또, 충분히 작은 모든 양수 \\( h \\)에 대하여 \\[ f(a-h)<f(a)<f(a+h) \\] 가 성립하면 함수 \\( f(x) \\)는 \\( x=a \\)에서 증가상태에 있다고 하며 \\[ f(a-h)>f(a)>f(a+h) \\] 가 성립하면 함수 \\( f(x) \\)는 \\( x=a \\)에서 감소상태에 있다고 한다.", "</p><p>참고 함수 \\( f(x) \\)가 \\( x=a \\)에서 증가(감소)상태에 있다는 것은 아주 작은 구간 \\( [a-h, a+h] \\)에서 증가(감소)함수라고 볼 수 있다.", "</p><p>보기\\(1\\) 다음 함수가 단조증가함수인지 단조감소함수인지를 보여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( y=3 x+1 \\)</li><li>\\( y=3^{-x} \\)</li></ol><p>해 (\\(1\\)) 임의의 실수 \\( x_{1}, x_{2} \\)에 대하여 \\( x_{1}<x_{2} \\)이면 \\[ \\left.f\\left(x_{1}\\right)-f\\left(x_{2}\\right)=3 x_{1}+1\\right)-\\left(3 x_{2}+1\\right)=3\\left(x_{1}-x_{2}\\right)<0 \\] 이므로 \\( 3 x_{1}+1<3 x_{2}+1 \\)이다.", "따라서 \\( f\\left(x_{1}\\right)<f\\left(x_{2}\\right) \\)이므로 정의에 의하여 단조증가함수이다.", "</p><p>(\\(2\\)) 임의의 실수 \\( x_{1}, x_{2} \\)에 대하여 \\( x_{1}<x_{2} \\)이면 \\[ \\frac{f\\left(x_{1}\\right)}{f\\left(x_{2}\\right)}=\\frac{3^{-x_{1}}}{3^{-x_{2}}}=3^{-\\left(x_{1}-x_{2}\\right)}>1 \\] 이므로 \\( f\\left(x_{1}\\right)>f\\left(x_{2}\\right) \\)이다.", "따라서 정의에 의하여 단조감소함수이다.", "</p> <h2>3. 함수의 극값</h2><p>여기서는 경영학이나 건설공학, 물리학, 생물학, 정보공학, 사회과학 등 학문 전 분야에서 흔히 발생하는 최적화 문제를 해결하는 기법을 공부한다.", "즉, 여러 분야에서 종종 함수의 극대, 극솟값을 물어보는 문제를 접하게 되는 데, 이때마다 수학적 도구인 도함수를 사용하여 극댓값과 극솟값을 구하게 된다.", "이외에도 함수의 극값판정법에 대해서도 다룬다.", "</p><h3>극대·극소</h3><p>함수 \\( y=f(x) \\)가 \\( x=a \\) 근방에서 연속이라 하자. 지금 충분히 작은 임의의 양수 \\( h \\)에 대하여 항상 \\[ f(a)>", "f(a \\pm h) \\] 가 성립할 때, \\( f(x) \\)는 \\( x=a \\)에서 극대(maximal)가 된다고 하고, \\( f(a) \\)를 극댓값(maximal value)이라고 한다.", "이와는 반대로 \\[ f(a)<f(a \\pm h) \\] 이면 \\( f(x) \\)는 \\( x=a \\)에서 극소 (minimal)가 된다고 하고 \\( f(a) \\)를 극솟값(minimal value)이라 한다.", "극댓값과 극솟값을 통틀어 극값(extreme value)이라 한다.", "</p><p>보기(\\(1\\)) \\( f(x)=x^{2}+3 \\)의 극값을 구하여라.", "</p><p>\\( f(x)=x^{2}+3 \\)은 모든 점에서 연속이다.", "따라서 임의의 양수 \\( h \\)에 대하여 구간 \\( [-h, h] \\) 안에 있는 모든 \\( x \\)에 대하여 함숫값을 비교해보면 \\( x=0 \\)에서의 함숫값 \\( f(0)=3 \\)이 가장 작음을 알 수 있다.", "따라서 \\( f(x) \\)는 \\( x=0 \\)에서 극솟값 \\(3\\)을 갖게 된다.", "극댓값은 존재하지 않는다.", "</p><h3>최대·최소</h3><p>함수 \\( y=f(x) \\)가 구간 \\( [a, b] \\)의 모든 \\( x \\)에 대하여 \\( f(x) \\leqq f(\\alpha)(a \\leqq \\alpha \\leqq b) \\)일 때, 이 함수 \\( f(x) \\)는 \\( x=\\alpha \\)에서 최대(국소극대)가 된다고 하고 \\( f(\\alpha) \\)를 이 구간에 있어서 \\( f(x) \\)의 최댓값(국소극댓값)(geatest value)이라고 한다.", "또 구간 \\( [a, b] \\)의 모든 \\( x \\)에 대하여 \\( f(x) \\geqq f(\\beta) \\) \\( (a \\leqq \\beta \\leqq b) \\)일 때, 이 함수 \\( f(x) \\)는 \\( x=\\beta \\)에서 최소(국소극소)가 된다고 하고 \\( f(\\beta) \\)를 이 구간에 있어서 \\( f(x) \\)의 최솟값(국소극솟값)(least value)이라고 한다.", "즉, 넓은 영역에서 가장 큰(작은) 값은 최댓(최솟)값이라 하고 좁은 영역에서 가장 큰(작은) 값은 국소극댓(국소극솟)값이라 한다.", "앞으로 국소극댓(국소극솟)값을 그냥 극댓(극솟)값이라고 하겠다.", "극대, 극소는 최대, 최소와 다르며 극댓값이 극솟값보다 크다고만 말할 수 없다.", "극대, 극솟값은 다만 그 근방의 점의 함숫값과 비교하여 가장 크다, 작다는 뜻이지 먼 곳에 있는 점의 함숫값과 비교해서는 크고 작음을 말할 수 없다.", "다음 그림 \\(3-24\\)를 참조하기 바란다.", "</p><p>참고 \\( f^{\\prime}(c)=0 \\)이 되는 점 \\( c \\)를 정점(stationary point)이라고 한다.", "또한, 구간 \\( [a, b] \\) 내의 임의의 점 \\( c \\)에 대하여 \\( f^{\\prime}(c) \\)가 존재하지 않는 점 \\( c \\)를 특이점(singular point)이라 하고 \\( a, b \\)를 끝점(end point)이라 한다.", "정점, 특이점, 끝점을 통틀어 우리는 임계점(critical point)이라고 한다.", "결국, 최대, 최솟값은 임계점에서의 함숫값을 비교하면 된다.", "</p><p>보기(\\(2\\)) 다음 함수들의 주어진 구간 내에서 최대, 최솟값을 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( f(x)=x^{3} ;[0,1] \\)</li><li>\\( f(x)=\\frac{1}{x} ;[0,1] \\)</li></ol><p>(\\(1\\)) 위 정의에 의하여 최댓값은 \\( f(1)=1 \\)이고 최솟값은 \\( f(0)=0 \\)이다.", "</p><p>(\\(2\\)) 이 함수는 감소함수이므로 \\( x=0 \\)에서 최대가 되어야 하고 \\( x=1 \\)에서 최소가 된다.", "그러나 \\( x=0 \\)에서 함수가 정의되지 않으므로 최댓값은 존재하지 않고 최솟값은 \\(1\\)이다.", "</p><p>주의 최대, 최솟값의 존재유무는 주어진 구간이 개구간이냐, 폐구간이냐에 따라 결정되는 경우가 많으므로 주의해야 하고 또 구간 내에서 함수의 연속성도 살펴보아야 한다.", "</p><p>다음 정리는 어떤 함수가 최댓값과 최솟값을 가질 조건을 보여주고 있다.", "</p><p>정리 \\(3-2-6\\)</p><p>함수 \\( f(x) \\)가 폐구간 \\( [a, b] \\)에서 연속이면, 이 함수는 \\( [a, b] \\)에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.", "</p><p>결국, 함수 \\( f(x) \\)의 모든 극값을 구하기 위하여 미분가능한 점과 미분가능하지 않은 점으로 분류하고 미분가능한 점에 대해서는 \\( f^{\\prime}(x)=0 \\)인 점(정점)을 조사하고 미분가능하지 않은 연속인 점에 대해서는 그 점의 앞뒤에서 함수의 증감상태를 조사하여 극대 및 극소를 판정한다.", "다음에 나오는 극값판정법에서 좀 더 자세하게 다루도록 하겠다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "미분적분학_도함수의 응용", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-d77c-49a0-85e8-01223393c665", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961059435", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2015", "doc_author": [ "양정모" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>증명 ①의 증명은 정리 2에서 이미 끝났고 ②번을 증명한다.", "다음은 조건문 \\( (p \\vee q) \\wedge( \\sim p) \\rightarrow q \\) 의 진리표이다.", "</p> <p> <table border><caption>표 10</caption> <tbody><tr><td>\\( (p \\) \\( \\vee \\) \\( q) \\) \\( \\wedge \\) \\( \\sim p \\)</td><td>\\( \\Rightarrow \\)</td><td>\\( q \\)</td></tr><tr><td>\\( T \\) \\( T \\) \\( T \\) \\( F \\) \\( F \\)</td><td>\\( T \\)</td><td>\\( T \\)</td></tr><tr><td>\\( T \\) \\( T \\) \\( F \\) \\( F \\) \\( F \\)</td><td>\\( T \\)</td><td>\\( F \\)</td></tr><tr><td>\\( F \\) \\( T \\) \\( T \\) \\( T \\) \\( T \\)</td><td>\\( T \\)</td><td>\\( T \\)</td></tr><tr><td>\\( F \\) \\( F \\) \\( F \\) \\( F \\) \\( T \\)</td><td>\\( T \\)</td><td>\\( F \\)</td></tr></tbody></table></p> <p>이어서 드 모르간 법칙을 진리표를 동하여 중명하자.(⑦의 증명)", "</p> <p> <table border><caption>표8</caption> <tbody><tr><td>\\( \\sim(p \\wedge q) \\)</td><td>\\( \\Leftrightarrow \\)</td><td>\\( \\sim p \\vee \\sim q \\)</td></tr><tr><td>\\( F T T T \\)</td><td>\\( T \\)</td><td>\\( F F F \\)</td></tr><tr><td>\\( T T F F \\)</td><td>\\( T \\)</td><td>\\( F T T \\)</td></tr><tr><td>\\( T F F T \\)</td><td>\\( T \\)</td><td>\\( T T F \\)</td></tr><tr><td>\\( T F F F \\)</td><td>\\( T \\)</td><td>\\( T T T \\)</td></tr></tbody></table></p> <p>또 논리에서 자주 쓰이는 추이법칙 ⑧을 진리표를 통해 증명함.", "</p> <p> <table border><caption>표7</caption> <tbody><tr><td>\\( (p \\rightarrow q) \\) \\( \\wedge \\) \\( (q \\rightarrow r \\))</td><td>\\( \\Rightarrow \\)</td><td>\\( (p \\rightarrow r) \\)</td></tr><tr><td>\\( T \\) \\( T \\) \\( T \\) \\( T \\) \\( T \\) \\( T \\)</td><td>\\( T \\)</td><td>\\( T \\)</td></tr><tr><td>\\( T \\) \\( T \\) \\( T \\) \\( T \\) \\( F \\) \\( F \\)</td><td>\\( T \\)</td><td>\\( F \\)</td></tr><tr><td>\\( T \\) \\( F \\) \\( F \\) \\( F \\) \\( T \\) \\( T \\)</td><td>\\( T \\)</td><td>\\( T \\)</td></tr><tr><td>\\( T \\) \\( F \\) \\( F \\) \\( F \\) \\( T \\) \\( F \\)</td><td>\\( T \\)</td><td>\\( F \\)</td></tr><tr><td>\\( F \\) \\( T \\) \\( T \\) \\( T \\) \\( T \\) \\( T \\)</td><td>\\( T \\)</td><td>\\( T \\)</td></tr><tr><td>\\( F \\) \\( T \\) \\( T \\) \\( T \\) \\( F \\) \\( F \\)</td><td>\\( T \\)</td><td>\\( T \\)</td></tr><tr><td>\\( F \\) \\( T \\) \\( F \\) \\( F \\) \\( T \\) \\( T \\)</td><td>\\( T \\)</td><td>\\( T \\)</td></tr><tr><td>\\( F \\) \\( T \\) \\( F \\) \\( F \\) \\( T \\) \\( F \\)</td><td>\\( T \\)</td><td>\\( T \\)</td></tr></tbody></table></p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "410", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "집합론_논리", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-daab-4ffe-b636-12a548949e15", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961059909", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2016", "doc_author": [ "한상언" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h2>2. 회전체의 체적</h2><p>여기서는 주어진 구간에서의 평면상의 곡선을 \\( x \\) 축 또는 \\( y \\) 축 등을 회전축으로 하여 회전시킬 때 생기는 입체의 체적을 원반 방법.", "나사받이 방법.", "그리고 원통형 껍질에 의한 방법 등을 사용하여 구해본다.", "</p><p>원반 방법</p><p>'\\(1\\). 입체도형의 체적'의 내용을 이용하면 회전체의 체적을 구하는 것은 매우 용이하다.", "실제로 회전체의 단면은 원(disk) 또는 환(annulus)이므로 계산이 용이하다.", "회전체의 체적을 구하는 경우는 회전축 및 회전시킬 영역의 형태에 따라 다양한 방법을 적용하는데, 각각의 경우를 예제를 통하여 설명한다.", "</p><p>원반에 의한 체적공식</p><p>\\[ \\begin{aligned} V_{x} &=\\int_{a}^{b} \\pi(\\text { 반지름 })^{2} d x=\\int_{a}^{b} \\pi(f(x))^{2} d x \\\\ V_{y} &=\\int_{a}^{b} \\pi(\\text { 반지름 })^{2} d y=\\int_{a}^{b} \\pi(g(y))^{2} d y \\end{aligned} \\]<caption>(2)</caption></p><p>예제 \\(1\\) \\( y=\\sqrt{x}, x \\) 축 그리고 \\( x=4 \\) 로 둘러싸인 영역을 \\( x \\) 축을 회전축으로 하여 회전시킬 때 생기는 입체의 체적을 구하여라.", "</p><p>풀이 임의의 \\( x \\in[0,4] \\) 에 대해서 단면적은 \\( A(x)=\\pi(\\sqrt{x})^{2} \\) 이므로 구하는 체적은 \\[ V=\\int_{0}^{4} \\pi x d x=\\pi\\left[\\frac{x^{2}}{2}\\right]_{0}^{4}=8 \\pi \\]</p><p>예제 \\(2\\) 곡선 \\( y=x^{3}, y \\) 축 그리고 직선 \\( y=3 \\) 으로 둘러싸인 영역을 \\( y \\) 축을 회전축으로 하여 회전시킬 때 생기는 입체의 체적을 구하여라.", "</p><p>풀이 이 경우는 \\( y \\) 축을 기준으로 회전시키므로 회전체를 \\( y \\) 축에 수직이 되게 잘라야 단면이 원이 되고, 이 경우 임의의 \\( y \\in[0,3] \\) 에 대한 단면의 반지름은 \\( x=\\sqrt[3]{y} \\) 이므로 단면적은 \\( A(y)=\\pi(\\sqrt[3]{y})^{2} \\) 이다.", "따라서 구하는 회전체의 체적은 \\[ V=\\int_{0}^{3} \\pi y^{2 / 3} d y=\\pi\\left[\\frac{3}{5} y^{5 / 3}\\right]_{0}^{3}=\\frac{9^{3} \\sqrt{9}}{5} \\pi \\]</p><p>앞의 경우와 다르게 때때로 회전체의 단면이 원이 아닌 환인 경우가 있는데, 이 경우 회전체를 회전축에 수직인 평면들로 자른 조각들은 나사받이(그림 \\(5-14\\) 참조)와 유사한 형태를 취한다.", "따라서 이 회전체의 체적은 나사받이들의 체적의 합과 근사할 것이고 이후의 과정은 앞의 경우와 유사하다.", "이런 과정으로 체적을 구하는 방법을 나사받이 방법이라 한다.", "</p><p>나사받이에 의한 체적공식</p><p>\\[ \\begin{array}{l} V_{x}=\\int_{a}^{b} \\pi\\left(R^{2}(x)-r^{2}(x)\\right) d x \\\\ V_{y}=\\int_{a}^{b} \\pi\\left(R^{2}(y)-r^{2}(y)\\right) d y \\end{array} \\]<caption>(3)</caption>여기서 \\( R \\) 은 외부의 반지름, \\( r \\) 은 내부의 반지름이다.", "</p><p>예제 \\(3\\) 두 포물선 \\( y=x^{2} \\) 과 \\( y^{2}=8 x \\) 로 둘러싸인 영역을 \\( x \\) 축을 회전축으로 하여 회전시킬 때 생기는 입체의 체적을 구하여라.", "</p><p>풀이 두 곡선은 \\( x=0 \\) 과 \\( x=2 \\) 에서 만나고 임의의 \\( x \\in[0,2] \\) 에서 회전체의 단면은 중심이 \\( (x, 0) \\) 이고 반지름이 각각 \\( \\sqrt{8 x} \\) 과 \\( x^{2} \\) 인 두 원이 구성하는 환이다.", "따라서 구하는 회전체의 체적은 \\[ \\begin{aligned} V &=\\int_{0}^{2} \\pi\\left\\{(\\sqrt{8 x})^{2}-\\left(x^{2}\\right)^{2}\\right\\} d x \\\\ &=\\pi\\left[4 x^{2}-\\frac{1}{5} x^{5}\\right]_{0}^{2}=\\frac{48 \\pi}{5} \\end{aligned} \\]</p><p>예제 \\(4\\) 곡선 \\( x=\\sqrt{4-y^{2}} \\) 과 \\( y \\) 축으로 둘러싸인 영역을 직선 \\( x=-1 \\) 을 회전축으로 하여 회전시킬 때 생기는 회전체의 체적을 구하여라.", "</p><p>풀이 주어진 영역과 회전축을 \\( x \\) 축으로 \\(1\\) 만큼 평행이동시키면 구하고자 하는 입체의 체적은 곡선 \\( x=\\sqrt{4-y^{2}}+1 \\) 과 직선 \\( x=1 \\) 로 둘러싸인 영역을 \\( y \\) 축을 회전축으로 하여 회전시킨 입체의 체적과 같다.", "임의의 \\( y \\in[-2,2] \\) 에서 \\( y \\) 축에 수직인 평면으로 자른 단면은 외부의 반지름이 \\( \\sqrt{4-y^{2}}+1 \\) 이고 내부의 반지름이 \\(1\\) 인 환형으로 면적은 \\( \\pi\\left[\\left(\\sqrt{4-y^{2}}+1\\right)^{2}-1^{2}\\right] \\) 이다.", "따라서 체적은 \\[ \\begin{aligned} V &=\\int_{-2}^{2} \\pi\\left[\\left(\\sqrt{4-y^{2}}+1\\right)^{2}-1^{2}\\right] d y=2 \\pi \\int_{0}^{2}\\left[2 \\sqrt{4-y^{2}}+4-y^{2}\\right] d y \\\\ &=4 \\pi \\int_{0}^{2} \\sqrt{4-y^{2}} d y+2 \\pi \\int_{0}^{2}\\left(4-y^{2}\\right) d y=4 \\pi \\times \\pi+2 \\pi\\left[4 y-\\frac{1}{3} y^{3}\\right]_{0}^{2} \\\\ &=4 \\pi^{2}+\\frac{32}{3} \\pi \\end{aligned} \\]</p><p>원통형 껍질에 의한 방법</p><p>회전체의 체적을 구하는 다른 방법으로 원통형 껍질에 의한 방법이 있다.", "원통형 껍질은 중심이 같은 두 개의 직원기둥 사이의 입체이다.", "실제로 내부의 반지름이 \\( r_{1} \\) 이고 외부의 반지름이 \\( r_{2} \\) 인 원통형 껍질의 체적 \\( V \\) 는 \\[ \\begin{aligned} \\Delta V &=(\\text { 밑면적 }) \\times(\\text { 높이 }) \\\\ &=\\pi\\left(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\\right) h=\\pi\\left(r_{2}+r_{1}\\right)\\left(r_{2}-r_{1}\\right) h \\\\ &=2 \\pi\\left(\\frac{r_{2}+r_{1}}{2}\\right) h\\left(r_{2}-r_{1}\\right) \\\\ &=2 \\pi \\times(\\text { 반지름의 평균 }) \\times\\left(\\frac{\\text { 높이 }) \\times(\\text { 두께 })}{}\\right.\\\\ & \\equiv 2 \\pi r h \\Delta r \\end{aligned} \\] 이다.", "</p><p>원통형 껍질에 의한 체적공식</p><p>\\[ \\begin{array}{l} V_{x}=\\int_{a}^{b} 2 \\pi \\text { (반지름) (높이) } d x=2 \\pi \\int_{a}^{b} x f(x) d x \\\\ V_{y}=\\int_{a}^{b} 2 \\pi \\text { (반지름) }(\\text { 높이) }) d y=2 \\pi \\int_{a}^{b} y g(y) d y \\end{array} \\]<caption>(4)</caption></p><p>이와 같은 공식은 다음의 형태로도 이해할 수 있다.", "정의에 의하면 정적분은 \\( x \\) 또는 \\( y \\) 의 어떤 구간을 아주 잘게 분할을 하여 계산하는 과정이 있고 이런 과정이 원통형 껍질에도 적용이 되면 두께는 마치 종이처럼 아주 얇아지고, 따라서 한 원통형 껍질의 체적을 그림 \\(5-18\\)과 같이 펼쳐서 계산할 수 있다. \\", "[ \\begin{array}{l} V_{x}=\\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\sum_{k=1}^{n} 2 \\pi x_{k} y_{k} \\Delta x_{k}=\\int_{a}^{b} 2 \\pi x f(x) d x \\\\ V_{y}=\\lim _{\\Delta y \\rightarrow 0} \\sum_{k=1}^{n} 2 \\pi y_{k} x_{k} \\Delta y_{k}=\\int_{a}^{b} 2 \\pi y g(y) d y \\end{array} \\]</p><p>예제 \\(5\\) 곡선 \\( y=\\frac{1}{\\sqrt{x}}, x \\) 축 그리고 직선 \\( x=1 \\) 과 \\( x=4 \\) 로 둘러싸인 영역을 \\( y \\) 축을 회전축으로 하여 회전시킨 회전체의 체적을 구하여라.", "</p><p>풀이 그림 \\(5-19\\)와 같은 방법으로 구하면 체적은 \\[ V=2 \\pi \\int_{1}^{4} x \\frac{1}{\\sqrt{x}} d x=2 \\pi \\int_{1}^{4} \\sqrt{x} d x=2 \\pi\\left[\\frac{2}{3} x^{3 / 2}\\right]_{1}^{4}=\\frac{28}{3} \\pi \\]</p><p>예제 \\(6\\) 원 \\( x^{2}+(y-1)^{2}=1, x \\geq 0 \\) 을 \\( x \\) 축을 회전축으로 하여 회전시킨 회전체의 체적을 원통형 껍질에 의한 방법으로 구하여라.", "</p><p>풀이 그림 \\(5-20\\)에서 보는 바와 같이, 임의의 \\( y \\in[0,2] \\) 에 대한 원통형 껍질은 반지름이 \\( y \\) 이고 높이가 \\( x=\\sqrt{1-(y-1)^{2}} \\), 두께가 \\( \\Delta y \\) 이므로 원통형 껍질의 체적 \\( \\Delta V \\) 는 \\( \\Delta V=2 \\pi y \\sqrt{1-(y-1)^{2}} \\) 이고, 따라서 구하고자 하는 입체의 체적은 \\[ \\begin{aligned} V &=\\int_{0}^{2} 2 \\pi y \\sqrt{1-(y-1)^{2}} d y \\\\ &=2 \\pi \\int_{-1}^{1}(t+1) \\sqrt{1-t^{2}} d t,(y-1=t \\text { 로 치환) }\\\\ &=2 \\pi \\int_{-1}^{1} t \\sqrt{1-t^{2}} d t+2 \\pi \\int_{-1}^{1} \\sqrt{1-t^{2}} d t \\\\ &=0+2 \\pi \\times \\frac{\\pi}{2}=\\pi^{2} \\end{aligned} \\]</p> <h2>2. 평면적</h2><p>여기서는 정적분을 이용하여 평면상의 곡선과 직선으로 둘러싸인 영역의 면적을 계산하는 과정을 다룬다.", "실제로 정적분(리만적분)은 주어진 구간에서 곡선과 \\( x \\) 축 사이의 면적을 구하는 개념에서 유도되었다.", "</p><p>평면적</p><p>실제 면적은 음수가 될 수 없지만 정의된 구간에서 함숫값이 음수일 경우에는 정적분이 음수가 된다.", "즉, 함숫값의 음수인 구간에서도 영역의 면적은 양수의 값을 갖도록 하기 위해서는 함수의 절대값을 적분하여야 한다.", "따라서 구간 \\( [a, b] \\) 에서 함수의 \\( f(x) \\) 와 \\( x \\) 축이 이룬 영역의 면적 \\( A(R) \\) 는 \\[ A(R)=\\int_{a}^{b}|f(x)| d x \\]<caption>(3)</caption>이 된다.", "</p><p>예제 (1) 곡선 \\( y=x^{2}-5, x \\) 축, \\( x=-1, x=2 \\) 로 둘러싸인 영역 \\( R \\) 의 면적 \\( A(R) \\) 을 구하여라.", "</p><p>풀이 \\[ \\begin{aligned} A(R) &=\\int_{-1}^{2}\\left|x^{2}-5\\right| d x \\\\ &=\\int_{-1}^{2}\\left(5-x^{2}\\right) d x=\\left[5 x-\\frac{1}{3} x^{3}\\right]_{-1}^{2} \\\\ &=\\left(10-\\frac{8}{3}\\right)-\\left(-5+\\frac{1}{3}\\right) \\\\ &=12 \\end{aligned} \\]</p><p>예제 \\(2\\) 곡선 \\( y=x^{3}-1, x \\) 축, \\( x=0, x=3 \\) 으로 둘러싸인 영역 \\( R \\) 의 면적 \\( A(R) \\) 을 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( \\begin{aligned} A(R) &=\\int_{0}^{3}\\left|x^{3}-1\\right| d x \\\\ &=\\int_{0}^{1}-\\left(x^{3}-1\\right) d x+\\int_{1}^{3}\\left(x^{3}-1\\right) d x \\\\ &=\\left[x-\\frac{1}{4} x^{4}\\right]_{0}^{1}+\\left[\\frac{1}{4} x^{4}-x\\right]_{1}^{3} \\\\ &=\\left(1-\\frac{1}{4}\\right)+\\left\\{\\left(\\frac{81}{4}-3\\right)-\\left(\\frac{1}{4}-1\\right)\\right\\} \\\\ &=18 \\frac{3}{4} \\end{aligned} \\)</p><p>두 곡선 사이의 면적</p><p>구간 \\( [a, b] \\) 의 모든 \\( x \\) 에서 \\( f(x) \\leq g(x) \\) 인 관계에 있는 두 연속함수와 \\( x=a \\) 그리고 \\( x=b \\) 로 둘러싸인 영역의 면적을 구해보자.", "우선 구간 \\( [a, b] \\) 를 길이가 \\( \\Delta x=(b-a) / n \\) 인 \\( n \\) 개의 부분구간으로 균등분할하고 그 분할점을 \\( a=x_{0}, x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n-1}, x_{n}=b \\) 라 하자.", "이때, 정적분의 정의와 마찬가지로 소구간의 길이 \\( \\Delta x \\) 를 밑변, \\( g\\left(x_{k}\\right)-f\\left(x_{k}\\right) \\) 를 높이로 하는 직사각형들의 면적 \\( A_{k}=\\left(g\\left(x_{k}\\right)-f\\left(x_{k}\\right)\\right) \\cdot \\Delta x \\) 의 합 \\[ S_{n}=\\sum_{k=1}^{n} A_{k}=\\sum_{k=1}^{n}\\left(g\\left(x_{k}\\right)-f\\left(x_{k}\\right)\\right) \\cdot \\Delta x \\] 에 \\( n \\rightarrow \\infty \\) 인 극한을 취하면 정적분의 존재정리(\\(4-2-1\\))에 의하여 \\[ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} S_{n}=\\int_{a}^{b}(g(x)-f(x)) d x \\]<caption>(4)</caption>가 된다.", "</p><p>정리 \\(5-1-1\\) 구간 \\( [a, b] \\) 에서 \\( f(x) \\leq g(x) \\) 인 두 연속함수 \\( y=f(x), y=g(x) \\) 와 \\( x=a, x=b \\) 가 이루는 영역의 면적 \\( A(R) \\) 은 \\[ A(R)=\\int_{a}^{b}(g(x)-f(x)) d x \\]<caption>(5)</caption>이다.", "</p><p>예제 \\(3\\) \\( y=x^{2}-2 \\) 와 \\( y=x \\) 로 들러싸인 영역의 면적을 구하여라.", "</p><p>풀이 영역의 시작점과 끝점의 \\( x \\) 좌교는 방정식 \\( x^{2}-2 =x \\) 의 두 근이다(그림 5-7 참조).", "따라서 정적분의 한계점은 \\( -1 \\) 과 2 이다.", "또한 이 구간에서 \\( x \\geq x^{2}-2 \\) 이므로 구하그자 하는 영역의 면적은 \\[ \\begin{aligned} A(R) &=\\int_{-1}^{2}\\left(x-\\left(x^{2}-2\\right)\\right) d x \\\\ &=\\left[\\frac{x^{2}}{2}-\\frac{x^{3}}{3}+2 x\\right]_{-1}^{2} \\\\ &=\\left(2-\\frac{8}{3}+4\\right)-\\left(\\frac{1}{2}+\\frac{1}{3}-2\\right) \\\\ &=\\frac{9}{2} \\end{aligned} \\]</p><p>\\( y \\) 에 관한 적분</p><p>면적을 구하기 위한 적분에서 지금까지는 \\( x \\) 축 위의 구간을 분할한 소구간을 밑변으로 하여 만들어지는 수직적 직사각형의 면적을 이용하였는데, 때로는 \\( y \\) 축 위의 구간을 분할하여 만들 수 있는 수평적 직사각형의 면적을 이용하는 것( \\( y \\) 에 관한 적분)이 편리할 때가 있다.", "그 방법은 \\( x \\) 축에 대한 방법과 동일하다.", "</p><p>예제 \\(4\\) 포물선 \\( y^{2}=x \\) 와 직선 \\( y=x-2 \\) 그리고 \\( x \\) 축으로 둘러싸인 영역의 면적을 구하여라.", "</p><p>풀이 ⅰ) \\( y \\) 에 관한 적분의 경우 두 곡선을 \\( y \\) 에 관한 식으로 다시 표현하면 \\( x=y^{2}, x=y+2 \\) 이고, 구하고자 하는 영역의 시작점과 끝점의 \\( y \\) 좌표는 각각 \\(0\\) 과 \\(2\\) 이다.", "또한 이 구간에서 \\( y+2 \\geq y^{2} \\) 이므로 구하고자 하는 영역의 면적을 정적분으로 표현하면 \\[ \\int_{0}^{2}\\left\\{(y+2)-y^{2}\\right\\} d y \\] 이 된다.", "</p><p>ⅱ) \\( x \\) 에 관한 적분의 경우 그림 5-8에서 보듯이 \\( x \\) 축 분할을 통하여 구하려면 구하고자 하는 영역을 두 부분으로 나누어야 한다.", "하나는 구간 \\( [0,2] \\) 에서 \\( y=\\sqrt{x} \\) 와 \\( y=0 \\) 으로 둘러싸인 영역 \\( R_{1} \\) 이고, 또 하나는 구간 \\( [2,4] \\) 에서 \\( y=\\sqrt{x} \\) 와 \\( y=x-2 \\) 로 둘러싸인 영역 \\( R_{2} \\) 로 나누어 구해야 한다.", "따라서 구하고자 하는 영역의 면적을 정적분으로 표현하면 \\[ A(R)=A\\left(R_{1}\\right)+A\\left(R_{2}\\right)=\\int_{0}^{2} \\sqrt{x} d x+\\int_{2}^{4}(\\sqrt{x}-(x-2)) d x \\] 가 된다.", "즉, 구하는 면적은 \\[ \\begin{aligned} A(R) &=\\int_{0}^{2} \\sqrt{x} d x+\\int_{2}^{4}\\{\\sqrt{x}-(x-2)\\} d x \\\\ &=\\left[\\frac{2}{3} x^{\\frac{3}{2}}\\right]_{0}^{2}+\\left[\\frac{2}{3} x^{\\frac{3}{2}}-\\frac{1}{2} x^{2}+2 x\\right]_{2}^{4} \\\\ &=\\frac{4 \\sqrt{2}}{3}+\\left\\{\\left(\\frac{16}{3}-8+8\\right)-\\left(\\frac{4 \\sqrt{2}}{3}-2+4\\right)\\right\\}=\\frac{10}{3} \\end{aligned} \\]</p><p>예제 \\(5\\) 포물선 \\( y^{2}=x \\) 와 직선 \\( y=x-6 \\) 으로 들러싸인 영역의 면적을 구하여라.", "</p><p>풀이 이 경우는 \\( y \\) 에 관한 적분으로 계산하는 것이 간편하다.", "우선 영역의 시작점과 끝점의 \\( y \\) 좌표는 각각 \\( y=-2 \\) 와 \\( y=3 \\) 이고, 이 구간에서 \\( y+6 \\geq y^{2} \\) 이므로 구하고자 하는 영역의 면적은 \\[ \\begin{aligned} A(R) &=\\int_{-2}^{3}\\left((y+6)-y^{2}\\right) d y \\\\ &=\\left[\\frac{1}{2} y^{2}+6 y-\\frac{1}{3} y^{3}\\right]_{-2}^{3} \\\\ &=\\left(\\frac{9}{2}+18-9\\right)-\\left(2-12+\\frac{8}{3}\\right)=20 \\frac{5}{6} \\end{aligned} \\] 이다.", "</p><p>연습문제 \\((5-1-2)\\)</p><p>\\(1\\).", "다음의 곡선들로 둘러싸인 영역의 면적을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=x^{2}-2 ; y=2 \\)</li><li>\\( y=x^{2} ; y=-x^{2}+4 \\)</li><li>\\( y=\\cos x ; y=-1 ;-\\pi \\leqq x \\leqq \\pi \\sqrt{2} \\)</li></ol><p>\\(2\\).", "곡선 \\( y=x^{2} \\) 과 \\( y=4 \\) 로 둘러싸인 영역을 \\( y=c \\) 가 이등분할 때 \\( c \\) 를 구하여라.", "</p><p>\\(3\\).", "곡선 \\( y=x^{2} \\) 위의 두 점 \\( A, B \\) 와 원점 \\( O \\) 가 정삼각형을 형성할 때, 곡선과 선분 \\( \\overline{O A} \\) 로 둘러싸인 영역의 면적을 구하여라.", "</p> <p>요약 \\((5-1)\\)</p><p>\\(1\\).", "속도 \\( v(t) \\) 로 운동하는 물체의 \\( t=a \\) 에서 \\( t=b \\) 까지의 운동 후 위치 \\( s \\) 와 운동거리 \\( D \\) 는 각각 \\[ s=\\int_{a}^{b} v(t) d t, \\quad D=\\int_{a}^{b}|v(t)| d t \\] 이다.", "</p><p>\\(2\\).", "구간 \\( [a, b] \\) 에서 \\( f(x) \\) 와 \\( x \\) 축이 이룬 영역의 면적 \\( A(R) \\) 은 \\[ A(R)=\\int_{a}^{b}|f(x)| d x \\] 이다.", "</p><p>\\(3\\).", "두 곡선과 \\( x=a, x=b \\) 로 둘러싸인 영역의 면적 \\( A(R) \\) 은 \\[ A(R)=\\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)| d x \\] 이다.", "</p><p>종합문제 \\((5-1)\\)</p><p>\\(1\\).", "초기위치가 \\( s(0)=0 \\) 인 물체가 속도 \\( v(t)=\\sin \\pi t \\) 로 \\( 0 \\leqq t \\leqq \\frac{3}{2} \\) 동안 직선운동하였을 때, 총 운동거리와 물체의 위치를 말하여라.", "</p><p>\\(2\\).", "초기속도 \\( v(0)=2 \\) 이고 가속도 \\( a(t)=-4 \\pi^{2} \\cos 2 \\pi \\) 로 직선운동하는 물체의 \\( t=0 \\) 에서 \\( t=2 \\) 까지 총 운동거리 및 위치를 말하여라.", "</p><p>\\(3\\).", "초기위기가 \\( s(0)=0 \\) 이고 속도 \\( v(t)=|t-2|+|t-1| \\) 로 직선운동하는 물체의 \\( 0 \\leqq t \\leqq 3 \\) 동안 운동거리 및 위치를 말하여라.", "</p><p>\\(4\\).", "원점을 출발하여 초기속도 \\( v(0)=1 \\) 이고 다음 그림과 같은 가속도로 \\( x \\) 축 위에서 운동하는 물체의 총 운동거리 및 위치를 말하여라.", "</p><h1>5-2 회전체의 체적</h1><h2>1. 입체도형의 체적</h2><p>공간상의 일반적인 입체는 2변수함수가 나타내는 곡면에 의해 형성되고, 따라서 그 체적을 구하기 위해서는 2변수함수에 대한 이중적분을 계산하여야 한다.", "그러나 여기서는 입체의 단면적 함수가 주어진 경우 단면적의 적분을 통하여 입체의 체적을 구한다.", "</p><p>입체도형의 체적</p><p>공간상의 입체의 체적을 구하는 과정을 살펴보자.", "우선 입체를 시작점과 끝점의 \\( x \\) 좌표를 구하여 그 구간 \\( [a, b] \\) 를 앞의 경우와 마찬가지로 분할하고 각 분할점을 \\( a=x_{0} \\leq x_{1} \\leq x_{2} \\leq \\cdots \\leq x_{n-1} \\leq x_{n}=b \\) 라 하자.", "이 분할점에서 \\( x \\) 축에 수직인 평면으로 입체를 잘게 자르면 입체는ㅠ얇은 평판들로 분할된다.", "입체를 \\( x \\) 축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이를 \\( A(x) \\) 라 하면 각 평판의 체적 \\( \\Delta V_{k} \\) 는 \\( \\Delta x_{k} \\) 두께의 얇은 원기둥의 체적과 근사하다.", "즉, \\( \\Delta V_{k} \\approx A\\left(\\overline{x_{k}}\\right) \\Delta x_{k} \\), \\( x_{k-1} \\leq \\overline{x_{k}} \\leq x_{k} \\) 입을 알 수 있다.", "이 얇은 원기둥의 체적의 합 \\( \\sum_{k=1}^{n} A\\left(\\overline{x_{k}}\\right) \\Delta x_{k} \\) 에 구간 \\( [a, b] \\)의 분할의 크기(norm)를 \\(0\\)으로 보내는 극한을 취할 때 만약 이 극한이 존재하면 이 극한값은 입체의 체적 \\( V \\) 가 되고 이 값은 \\[ V=\\int_{a}^{b} A(x) d x \\]<caption>(1)</caption>가 된다.", "</p><p>예제 \\(1\\) 함수 \\( y=\\sin x(0 \\leq x \\leq \\pi) \\) 의 그래프와 \\( x \\) 축으로 둘러싸인 영역을 밑면으로 하고 \\( x \\) 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 정삼각형인 입체도형의 체적을 구하여라.", "</p><p>풀이 임의의 \\( x \\in[0, \\pi] \\) 에서 입체를 \\( x \\) 축에 수직인 평면으로 자른 단면의 면적 \\( A(x) \\) 는 \\[ A(x)=\\frac{\\sqrt{3}}{4} \\sin ^{2} x \\] 이므로, 입체도형의 체적 \\( V \\) 는 \\[ \\begin{aligned} V=\\int_{0}^{\\pi} \\frac{\\sqrt{3}}{4} \\sin ^{2} x d x &=\\frac{\\sqrt{3}}{4} \\int_{0}^{\\pi}\\left(\\frac{1-\\cos 2 x}{2}\\right) d x \\\\ &=\\frac{\\sqrt{3}}{4}\\left[\\frac{1}{2} x-\\frac{\\sin 2 x}{4}\\right]_{0}^{\\pi}=\\frac{\\sqrt{3}}{8} \\pi \\end{aligned} \\]</p><p>예제 \\(2\\) 반지름이 \\( r \\) 인 구의 체적을 구하여라.", "</p><p>풀이 원점을 중심으로 하고 반지름이 \\( r \\) 인 공을 생각하자.", "이 공을 \\( 0<x<r \\) 에서 \\( x \\) 축과 수직으로 잘랐을 때의 단면은 반지름이 \\( \\sqrt{r^{2}-x^{2}} \\) 인 원으로 \\( \\exists \\) 면적은 \\( A(x)= \\pi\\left(r^{2}-x^{2}\\right) \\) 이다.", "따라서 공의 체적은 \\[ \\begin{aligned} V &=\\int_{-r}^{r} A(x) d x=\\int_{-r}^{r} \\pi\\left(r^{2}-x^{2}\\right) d x=2 \\int_{0}^{r} \\pi\\left(r^{2}-x^{2}\\right) d x \\\\ &=2 \\pi\\left[r^{2} x-\\frac{1}{3} x^{3}\\right]_{0}^{r}=\\frac{4}{3} \\pi r^{3} \\end{aligned} \\]</p><p>예제 \\(3\\) 반지름이 \\( r \\) 인 원기둥이 있다.", "이 원기 둥밑면 원의 원점을 포함하고 밑면과 이룬 각이 \\( \\alpha \\) 인 평면으로 원기둥을 질랐을 때 생기는 입체 중 모서리 부분의 체적을 구하여라.", "단, 원기둥의 높이는 층분히 크다.", "</p><p>풀이 원기둥 밑면은 \\( x y \\) 평면 위에 있고 그 중심을 원점이라 가정하자.", "또한 원기등을 자른 평면은 원기등과 \\( y \\) 축에서 만난다고 가정하자.", "이때, 모서리 부분의 입체를 \\( x \\) 축 또는 \\( y \\) 축에 수직하게 자르는 두 가지 방법을 살펴보자.", "</p><p>ⅰ) \\( y \\) 축에 수직으로 자르는 경우 임의의 \\( -r<y<r \\) 에서 단면은 직각삼각형으로 \\( h=x \\tan \\alpha \\) 이고 \\( x^{2}=r^{2}-y^{2} \\)인 \\( x \\) 와 \\( h \\) 에 대해서 \\[ A(y)=\\frac{1}{2} x h \\] 이다.", "따라서 구하그자 하는 입체의 체적은 \\[ \\begin{aligned} V=\\int_{-r}^{r} A(y) d y &=\\frac{1}{2} \\tan \\alpha \\int_{-r}^{r}\\left(r^{2}-y^{2}\\right) d y \\\\ &=\\frac{1}{2} \\tan \\alpha\\left[r^{2} y-\\frac{1}{3} y^{3}\\right]_{-r}^{r} \\\\ &=\\frac{1}{2} \\tan \\alpha\\left[\\left(r^{3}-\\frac{1}{3} r^{3}\\right)-\\left(-r^{3}+\\frac{1}{3} r^{3}\\right)\\right] \\\\ &=\\frac{2}{3} r^{3} \\tan \\alpha \\end{aligned} \\]</p><p>ⅱ) \\( x \\) 축에 수직으로 자르는 경우 임의의 \\( 0<x<r \\) 에서 단면은 높이가 \\( x \\tan \\alpha \\) 이고 밑변이 \\( 2 \\sqrt{r^{2}-x^{2}} \\) 인 직사각형으로 면적은 \\( A(x)=2 x \\tan \\alpha \\sqrt{r^{2}-x^{2}} \\) 이다.", "따라서 구하고자 하는 입체의 체적은 \\[ V=\\int_{0}^{r} A(x) d x=2 \\tan \\alpha \\int_{0}^{r} x \\sqrt{r^{2}-x^{2}} d x \\] 이다. \\", "( r^{2}-x^{2}=t \\) 라 치환하면 치환적분법에 의하여 \\[ \\int_{0}^{r} x \\sqrt{r^{2}-x^{2}} d x=-\\frac{1}{2} \\int_{r^{2}}^{0} \\sqrt{t} d t=-\\frac{1}{2}\\left[\\frac{2}{3} t^{\\frac{3}{2}}\\right]_{r^{2}}^{0}=\\frac{1}{3} r^{3} \\] 이다.", "그러므로 \\( V=\\frac{2}{3} r^{3} \\tan \\alpha \\) 이다.", "</p><p>연습문제 \\((5-2-1)\\)</p><p>\\(1\\).", "적분을 이용하여 가로, 세로, 높이가 각각 \\( 3 \\mathrm{~m} \\) 인 피라미드의 체적을 구하여라.", "</p><p>\\(2\\).", "입체도형의 밑면은 원 \\( x^{2}+y^{2}=4 \\) 의 내부이다. \\", "( x \\) 축에 수직으로 자른 도형의 단면이 정사각형일 때, 입체도형의 체적을 구하여라.", "</p><p>\\(3\\).", "반지름이 \\( r \\) 이고 높이가 \\( h \\) 인 직원뿔의 체적은 \\( V=\\frac{1}{3} \\pi r^{2} h \\) 임을 증명하여라.", "</p>" ]

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[ "<p>정리 \\(8.4.12\\) 유한체 \\( F \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "<p>\\(\\left(F^{*}, \\cdot\\right)=\\langle\\alpha\\rangle\\) 가 곱셈 순환군이 되는 원시원소(생성원) \\(\\alpha \\in F\\)가 존재</p><p>(증명) 정리 \\( 5.5 .8 \\) 참조.", "</p><p>정리 \\(8.4.13\\) 유한체 \\( F \\) 의 유한 확대체 \\( E \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "<p>\\(E\\)는 \\(F\\)의 단순 확대체, 즉, \\(E=F(\\alpha)\\)인 원시원소 \\(\\alpha \\in E\\)가 존재</p><p>(증명) \\( \\alpha \\in E \\) 가 순환군 \\( E^{*} \\) 의 생성원(정리 \\(8.4.12\\))이면, \\( E=F(\\alpha) \\) 가 성립한다.", "</p><p>정리 \\(8.4.14\\) 유한체 \\( \\mathbb{F}_{p^{n}} \\) 의 원시원소 \\( \\alpha \\) 와 정수 \\( i \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( \\alpha^{i} \\) 가 \\( \\mathbb{F}_{p^{n}} \\) 의 원시원소 \\( \\Longleftrightarrow \\operatorname{gcd}\\left(i, p^{n}-1\\right)=1 \\)</p><p>\\( \\alpha \\) 가 \\( \\mathbb{F}_{p} \\) 위의 \\( n \\) 차 원시다항식 \\( f(x) \\in \\mathbb{F}_{p}[x] \\) 의 해라 하면, \\( f(x) \\) 는 \\( \\mathbb{F}_{p^{n}} \\) 안에서 서로 다른 \\( n \\) 개의 원시원소인 해 \\( \\alpha, \\alpha^{p}, \\alpha^{p^{2}}, \\cdots, \\alpha^{p^{n-1}} \\) 이 존재</p><p>체 \\( \\mathbb{F}_{p^{n}} \\) 위의 원시원소의 전체의 개수는 \\( \\phi\\left(p^{n}-1\\right) \\) 개이고, 또, \\( \\mathbb{F}_{p^{n}} \\) 위의 \\( n \\) 차 원시다항식의 전체의 개수는 \\( \\frac{\\phi\\left(p^{n}-1\\right)}{n} \\) 개이다.", "</p><p>(증명) (\\(1\\)) \\( \\alpha \\) 가 체 \\( \\mathbb{F}_{p^{n}} \\) 의 원시원소이므로 정리 \\(8.4.12\\)에 의하여 \\( \\mathbb{F}_{p^{n}}^{*}=\\langle\\alpha\\rangle \\) 이다.", "그러면 따름", "정리 \\(2.3.12\\)에 의하여 \\( \\mathbb{F}_{p^{n}}^{*}=\\left\\langle\\alpha^{i}\\right\\rangle \\Longleftrightarrow \\operatorname{gcd}\\left(i, p^{n}-1\\right)=1 \\) 이 성립한다.", "</p><p>(\\(2\\)) \\( \\operatorname{char}\\left(\\mathbb{F}_{p^{n}}\\right)=p \\) 이므로 정리 \\(6.3.13\\)에 의하여 \\( \\alpha, \\alpha^{p}, \\alpha^{p^{2}}, \\cdots, \\alpha^{p^{n-1}} \\) 도 \\( f(x) \\) 의 해이다.", "또한 \\( \\operatorname{gcd}\\left(p^{i}, p^{n}-1\\right)=1 \\) 이므로 (\\(1\\))에 의하여 이 해 모두 \\( \\mathbb{F}_{p^{n}} \\) 의 원시원소이다.", "한편 \\( 0 \\leq i \\leq j \\leq \\) \\( n-1 \\) 일 때, 정리 \\(2.3.4\\)에 의하여 \\[ \\begin{aligned} \\alpha^{p^{i}}=\\alpha^{p^{j}} & \\Longleftrightarrow\\left(p^{n}-1\\right) \\mid\\left(p^{j}-p^{i}\\right) \\\\ & \\Longleftrightarrow\\left(p^{n}-1\\right) \\mid p^{i}\\left(p^{j-i}-1\\right) \\\\ & \\Longleftrightarrow\\left(p^{n}-1\\right) \\mid\\left(p^{j-i}-1\\right) \\\\ & \\Longleftrightarrow p^{j-i}=1 \\Longleftrightarrow i=j \\end{aligned} \\] 이므로 \\( \\alpha, \\alpha^{p}, \\alpha^{p^{2}}, \\cdots, \\alpha^{p^{n-1}} \\) 은 모두 다르다.", "또한 \\( \\operatorname{deg}(f(x))=n \\) 이므로 \\( f(x) \\) 는 \\( n \\) 개 이하의 해를 가지므로 \\( \\alpha, \\alpha^{p}, \\alpha^{p^{2}}, \\cdots, \\alpha^{p^{n-1}} \\) 은 \\( f(x) \\) 의 모든 해이다.", "</p><p>(\\(3\\)) 위 (\\(1\\))에 의하여 체 \\( \\mathbb{F}_{p^{n}} \\) 위의 원시원소의 전체의 개수는 \\( \\phi\\left(p^{n}-1\\right) \\) 개이다.", "</p><p>또한 (\\(2\\))에 의하여 \\( \\mathbb{F}_{p^{n}} \\) 위의 \\( n \\) 차 원시다항식은 서로 다른 \\( n \\) 개의 원시원소를 근으로 가지므로 \\( n \\) 차 원시다항식의 전체의 개수는 \\( \\frac{\\phi\\left(p^{n}-1\\right)}{n} \\) 개이다.", "</p><p>예 \\(8.4.15\\) [원시원소] 유한체 \\( \\mathbb{Z}_{11} \\) 의 원시 \\(10\\) 제곱근(원시원소, 원시근)을 구하라.", "</p><p>\\( \\left(\\mathbb{Z}_{11}^{*}, \\cdot\\right) \\) 는 순환군이다(정리 \\(8.4.12\\)). \\", "( \\left|\\mathbb{Z}_{11}^{*}\\right|=10 \\) 이므로 위수 \\(10\\) 인 원시근을 구하자.", "</p><p>현재까지 원시근을 찾는 효율적인 방법이 없다.", "따라서 작은 수부터 일일이 확인하자.", "일단 한 개만 구하면 나머지는 쉽게 구할 수 있다(따름정리 \\(2.3.12\\)).", "</p><p>먼저 \\(2\\) 부터 확인하자.", "Lagrange 정리에 의하여 \\(2\\) 의 위수는 \\(10\\) 의 약수 \\( 2,5,10 \\) 에서 존재한다. \\", "[ 2^{2}=4, \\quad 2^{5}=2^{4} \\cdot 2=4^{2} \\cdot 2=5 \\cdot 2=10=-1 \\] 이므로 \\(2\\) 의 위수는 \\(10\\) 이 되어 \\(2\\) 가 \\( \\mathbb{Z}_{11}^{*} \\) 의 생성원이고 \\( \\mathbb{Z}_{11} \\) 에서 \\(1 \\)의 원시 \\(10\\) 제곱근(원시근)이다.", "</p><p>\\( \\mathbb{Z}_{11} \\) 에서 또 다른 원시 \\(10\\) 제곱근은 따름정리 \\( 2.3 .12 \\) 에 의하여 \\( 2^{n} \\) 중에서 \\( \\operatorname{gcd}(n, 10)=1 \\) 인 \\( n \\) 을 선택하면 된다.", "따라서 \\[ 2^{1}=2, \\quad 2^{3}=8, \\quad 2^{7}=7, \\quad 2^{9}=6 \\in \\mathbb{Z}_{11} \\] 이\\( 1\\) 의 원시 \\(10\\) 제곱근이고, \\( \\mathbb{Z}_{11}^{*} \\) 의 \\(4\\) 개의 생성원이다.", "</p><p>또한 \\( 2^{n} \\) 중에서 \\( \\operatorname{gcd}(n, 10)=2 \\) 인 \\( 2^{n} \\) 은 \\( \\mathbb{Z}_{11} \\) 에서 \\(1\\) 의 원시 \\(5\\) 제곱근이다.", "즉, \\[ 2^{2}=4, \\quad 2^{4}=5, \\quad 2^{6}=9, \\quad 2^{8}=3 \\in \\mathbb{Z}_{11} \\] 이 \\(1\\) 의 원시\\( 5\\) 제곱근이다.", "그리고 \\(1\\) 의 원시 제곱근은 \\( 2^{5}=10=-1 \\) 뿐이다.", "또한 \\(3\\) 은 \\(10\\) 의 약수 가 아니므로 \\(1\\)의 원시\\( 3\\)제곱근은 없다.", "</p> <h2>8.4 유한체</h2><p>이 절에서는 유한체의 구조에 관해 논한다.", "본질적으로 원소수가 같은 유한체는 모두 동형이 되어 대수적 구조로서는 한 가지 종류밖에 없다.", "</p><p>유한체 \\( F \\) 의 표수는 소수 \\( \\operatorname{char}(F)=p \\) 이며(정리 \\(6.3.7\\), 예 \\(6.3.10\\)), 소체 \\( \\mathbb{Z}_{p}<F \\) 을 부분체로 가지고 있다(정리 \\(6.3.8\\)).", "또한 정리 \\(5.5.8\\)에 의하여 \\( \\left(F^{*}, \\cdot\\right) \\) 는 곱셈 순환군이다.", "</p><p>보조정리 \\(8.4.1\\) 체 \\( F \\) 의 표수가 \\( p \\) 이면, 모든 \\( \\alpha, \\beta \\in F \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "</p><p>모든 양의 정수 \\( n \\) 에 대하여 \\( (\\alpha+\\beta)^{p^{n}}=\\alpha^{p^{n}}+\\beta^{p^{n}} \\)</p><p>(증명) 정리 \\(5.6.18\\)의 증명에서 \\[ p \\mid\\left(\\begin{array}{c} p^{n} \\\\ i \\end{array}\\right)\\left(1 \\leq i<p^{n}\\right) \\] 이므로 \\[ (\\alpha+\\beta)^{p^{n}}=\\alpha^{p^{n}}+\\left(\\begin{array}{c} p^{n} \\\\ 1 \\end{array}\\right) \\alpha^{p^{n}-1} \\beta+\\cdots+\\left(\\begin{array}{c} p^{n} \\\\ p^{n}-1 \\end{array}\\right) \\alpha \\beta^{p^{n}-1}+\\beta^{p^{n}}=\\alpha^{p^{n}}+\\beta^{p^{n}} \\] 이다.", "</p><p>정리 \\(8.4.2\\) 위수 \\( q \\) 인 유한체 \\( F \\) 의 유한 확대체 \\( E \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "<p>\\[ [E: F]=n \\quad \\Longrightarrow \\quad|E|=q^{n}=|F|^{n} \\]</p><p>(증명) 체 \\( E \\) 는 \\( F \\) 위의 \\( n \\) 차원 벡터공간이므로 \\( E \\) 의 기저를 \\( \\left\\{\\alpha_{1}, \\cdots, \\alpha_{n}\\right\\} \\) 이라 하면, \\[ E=\\left\\{x_{1} \\alpha_{1}+\\cdots+x_{n} \\alpha_{n} \\mid x_{1}, \\cdots, x_{n} \\in F\\right\\} \\] 이다.", "따라서 \\( |E|=q^{n} \\) 이다.", "</p><p>정리 \\(8.4.3\\) 유한체 \\( F \\) 의 표수가 \\( p \\) 이면 다음이 성립한다.", "</p><p>\\(|F|=p^{n}\\) 인 양의 정수 \\(n \\in \\mathbb{N}\\) 이 존재한다.", "</p><p>(증명) 체 \\( F \\) 의 표수가 \\( p \\) 이므로, 정리 \\(6.3.8\\)에 의하여 소체 \\( \\mathbb{Z}_{p}<F \\) 가 존재한다.", "그러면 체 \\( F \\) 가 유한체이므로 \\( \\left[F: \\mathbb{Z}_{p}\\right]=n \\) 인 양의 정수 \\( n \\in \\mathbb{N} \\) 이 존재한다.", "따라서 정리 \\(8.4.2\\)에 의하여 \\( |F|=p^{n} \\) 이다.", "</p><p>정의 \\(8.4.4\\) [Galois 체(Galois field)]</p><p>유한체 \\( F \\) 의 표수 \\( p \\) 와 양의 정수 \\( n \\) 에 대하여 \\( q=p^{n} \\) 이라 할 때,</p><p>\\( F \\) 가 위수 \\( q \\) 인 Galois 체(Galois field), \\( \\mathbb{F}_{q} \\) 또는 \\( \\mathrm{GF}(q) \\) 라 표기 \\( \\quad \\stackrel{\\text { 정의 }}{\\Leftrightarrow} \\) \\( \\quad|F|=q=p^{n} \\)</p><p>※ \\( \\mathbb{F}_{p}=\\mathbb{Z}_{p}=\\{0,1, \\cdots, p-1\\} \\) 이고 \\( \\mathbb{F}_{p} \\subset \\mathbb{F}_{q} \\) 이다(정리 \\(6.3.8\\)).", "</p><p>정리 \\(8.4.5\\) 유한체 \\( \\mathbb{F}_{p^{n}} \\) 과 소체 \\( \\mathbb{Z}_{p} \\) 의 대수적 폐포 \\( \\overline{\\mathbb{Z}_{p}} \\) 에 대하여 다음이 성립한다.", "<ol type= start=1><li>\\( \\mathbb{F}_{p^{n}} \\subset \\overline{\\mathbb{Z}_{p}} \\)</li><li>\\( \\mathbb{F}_{p^{n}}=\\left\\{\\alpha \\in \\overline{\\mathbb{Z}_{p}} \\mid \\alpha\\right. \\)", "는 \\( x^{p^{n}}-x \\in \\mathbb{Z}_{p}[x] \\) 의 근 \\( \\} \\)</li></ol></p><p>(증명) (\\(1\\)) \\( \\mathbb{F}_{p^{n}}^{*}=\\mathbb{F}_{p^{n}}-\\{0\\} \\) 이라 하자.", "그러면 곱셈군 \\( \\left(\\mathbb{F}_{p^{n}}^{*}, \\cdot\\right) \\) 은 위수 \\( \\left|\\mathbb{F}_{p^{n}}^{*}\\right|=p^{n}-1 \\) 인 순환 군이다(정리 \\(5.5.8\\)).", "그러면 Lagrange 정리에 의하여 모든 원소 \\( \\alpha \\in \\mathbb{F}_{p^{n}}^{*} \\) 에 대하여 \\[ |\\alpha| \\mid\\left(p^{n}-1\\right) \\quad \\Longrightarrow \\quad \\alpha^{p^{n}-1}=1 \\quad \\Longrightarrow \\quad \\alpha^{p^{n}}=\\alpha \\quad \\Longrightarrow \\quad \\alpha^{p^{n}}-\\alpha=0 \\] 이다.", "따라서 \\( \\alpha \\) 는 \\( x^{p^{n}}-x \\in \\mathbb{Z}_{p}[x] \\) 의 근이다.", "</p><p>(\\(2\\)) \\(0\\) 은 \\( x^{p^{n}}-x \\) 의 근이다.", "그러므로 (\\(1\\))에 의하여 \\[ \\mathbb{F}_{p^{n}} \\subset\\left\\{\\alpha \\in \\overline{\\mathbb{Z}_{p}} \\mid \\alpha \\text { 는 } x^{p^{n}}-x \\text { 의 근 }\\right\\} \\] 이다.", "한편 \\( x^{p^{n}}-x \\) 의 해의 개수는 \\( p^{n} \\) 개 이하이다(따름정리 \\(5.5.6\\)).", "따라서 \\[ p^{n}=\\left|\\mathbb{F}_{p^{n}}\\right| \\leq \\mid\\left\\{\\alpha \\in \\overline{\\mathbb{Z}_{p}} \\mid \\alpha \\text { 는 } x^{p^{n}}-x \\text { 의 근 }\\right\\} \\mid \\leq p^{n} \\] 이다.", "그러므로 \\( \\mathbb{F}_{p^{n}}=\\left\\{\\alpha \\in \\overline{\\mathbb{Z}_{p}} \\mid \\alpha\\right. \\)", "는 \\( x^{p^{n}}-x \\) 의 근 \\( \\} \\) 이다.", "</p><p>정의 \\(8.4.6\\) [원시원소(primitive element)]</p><p>유한체 \\( \\mathbb{F}_{p^{n}} \\) 과 원소 \\( \\alpha \\in \\mathbb{F}_{p^{n}} \\) 과 소체 \\( \\mathbb{Z}_{p} \\) 위의 \\( n \\) 차 다항식 \\( f(x) \\in \\mathbb{Z}_{p}[x] \\) 에 대하여</p><p>\\( \\alpha \\) 가 \\( \\mathbb{F}_{p^{n}} \\) 의 원시원소(primitive element) \\( \\quad \\) \\( \\quad \\stackrel{\\text { 정의 }}{\\Leftrightarrow} \\) \\( \\mathbb{F}_{p^{n}}^{*}=\\langle\\alpha\\rangle=\\left\\{1, \\alpha, \\cdots, \\alpha^{p^{n}-2}\\right\\}, \\alpha^{p^{n}-1}=1 \\)</p><p>\\( f(x) \\) 가 \\( \\mathbb{F}_{p}\\left(=\\mathbb{Z}_{p}\\right) \\) 위의 \\( n \\) 차 원시다항식 (primitive polynomial) \\( \\quad \\stackrel{\\text { 정의 }}{\\Leftrightarrow} \\) 체 \\( \\mathbb{F}_{q} \\) 의 원시원소 \\( \\alpha \\) 에 대하여 \\( f(x) \\) 가 \\( f(\\alpha)=0 \\) 인 모닉 기약다항식</p><p>예 \\(8.4.7\\) [원시원소] 예 \\(8.1.19\\)에서 논한 위수 \\( 4=2^{2} \\) 인 유한체에 대해 생각하자. \\", "[ \\begin{array}{l} \\mathbb{F}_{2^{2}}=\\left\\{a \\alpha+b \\mid a, b \\in \\mathbb{Z}_{2}, \\alpha^{2}+\\alpha+1=0\\right\\}=\\left\\{0,1, \\alpha, \\alpha+1 \\mid \\alpha^{2}=\\alpha+1\\right\\} \\\\ \\mathbb{F}_{2^{2}}^{*}=\\left\\{1, \\alpha, \\alpha^{2}\\right\\}=\\langle\\alpha\\rangle=\\left\\langle\\alpha^{2}\\right\\rangle, \\alpha^{3}=\\alpha^{2}+\\alpha=1 \\end{array} \\] 체 \\( \\mathbb{F}_{2^{2}} \\) 의 두 원소 \\( \\alpha, \\alpha^{2} \\) 은 \\( \\mathbb{F}_{2^{2}} \\) 의 원시원소이고, \\( f(x)=x^{2}+x+1 \\in \\mathbb{Z}_{2}[x] \\) 는 체 \\( \\mathbb{F}_{2}\\left(=\\mathbb{Z}_{2}\\right) \\) 위의 \\(2\\) 차 원시다항식이다.", "<p></p>또한 \\( \\mathbb{Z}_{2} \\) 위에서 기약인 \\(3\\)차 다항식 \\[ f(x)=x^{3}+x+1 \\in \\mathbb{Z}_{2}[x] \\] 의 한 해를 \\( \\alpha \\) 라 하면 예 \\(8.1.19\\)에서와 같이 위수 \\(8\\) 인 유한체 \\( \\mathbb{F}_{2^{3}} \\) 을 구할 수 있다.", "즉, \\[ \\begin{aligned} \\mathbb{F}_{2^{3}} &=\\left\\{a \\alpha^{2}+b \\alpha+c \\mid a, b, c \\in \\mathbb{Z}_{2}, \\alpha^{3}+\\alpha+1=0\\right\\} \\\\ &=\\left\\{0,1, \\alpha, \\alpha+1, \\alpha^{2}, \\alpha^{2}+1, \\alpha^{2}+\\alpha, \\alpha^{2}+\\alpha+1 \\mid \\alpha^{3}=\\alpha+1\\right\\} \\\\ \\mathbb{F}_{2^{3}}^{*} &=\\left\\{1, \\alpha, \\alpha+1, \\alpha^{2}, \\alpha^{2}+1, \\alpha^{2}+\\alpha, \\alpha^{2}+\\alpha+1\\right\\} \\\\ &=\\langle\\alpha\\rangle=\\left\\langle\\alpha^{2}\\right\\rangle=\\left\\langle\\alpha^{3}\\right\\rangle=\\left\\langle\\alpha^{4}\\right\\rangle=\\left\\langle\\alpha^{5}\\right\\rangle=\\left\\langle\\alpha^{6}\\right\\rangle, \\alpha^{3}=\\alpha+1 \\end{aligned} \\] 체 \\( \\mathbb{F}_{2^{3}} \\) 의 여섯 원소 \\( \\alpha, \\alpha^{2}, \\cdots, \\alpha^{6} \\) 은 \\( \\mathbb{F}_{2^{3}} \\) 의 원시원소이고, \\( f(x)=x^{3}+x+1 \\in \\mathbb{Z}_{2}[x] \\) 는 체 \\( \\mathbb{F}_{2}\\left(=\\mathbb{Z}_{2}\\right) \\) 위의 \\(3\\)차 원시다항식이다.", "</p> <h3>연 습 문 제 (\\(8.2\\))</h3><p>(\\(1\\)) 다음 확대체의 차원과 그 기저를 구하라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\mathbb{Q} \\) 위의 확대체 \\( \\mathbb{Q}(\\sqrt[3]{2}, \\sqrt{3}) \\)</li><li>\\( \\mathbb{Q} \\) 위의 확대체 \\( \\mathbb{Q}(\\sqrt{2}, \\sqrt{3}, \\sqrt{15}) \\)</li><li>\\( \\mathbb{Q} \\) 위의 확대체 \\( \\mathbb{Q}(\\sqrt{2}, \\sqrt[3]{2}) \\)</li><li>\\( \\mathbb{Q} \\) 위의 확대체 \\( \\mathbb{Q}(\\sqrt{2} \\sqrt{3}) \\)</li><li>\\( \\mathbb{Q} \\) 위의 확대체 \\( \\mathbb{Q}(\\sqrt{2}+\\sqrt{3}) \\)</li><li>\\( \\mathbb{Q} \\) 위의 확대체 \\( \\mathbb{Q}(\\sqrt{2}+\\sqrt[3]{4}) \\)</li><li>\\( \\mathbb{Q}(\\sqrt{3}) \\) 위의 확대체 \\( \\mathbb{Q}(\\sqrt{2}, \\sqrt{6}) \\)</li><li>\\( \\mathbb{Q}(\\sqrt{3}+\\sqrt{5}) \\) 위의 확대체 \\( \\mathbb{Q}(\\sqrt{2}, \\sqrt{6}+\\sqrt{10}) \\)</li></ol></p><p>(\\(2\\)) 체 \\( K=\\mathbb{Q}(\\sqrt[3]{2}, \\sqrt{5}) \\) 에 대하여 다음 물음에 답하라.", "<ol type= start=1><li>\\( K \\) 의 \\( \\mathbb{Q}(\\sqrt[3]{2}) \\)-기저와 \\( K \\) 의 \\( \\mathbb{Q}(\\sqrt{5}) \\)-기저를 구하라.", "</li><li>\\( K \\) 의 \\( \\mathbb{Q} \\)-기저와 \\( [K: \\mathbb{Q}] \\) 를 구하라.", "</li></ol></p><p>(\\(3\\)) 다음 차원을 구하라.", "<ol type= start=1><li>\\( [\\mathbb{Q}(\\sqrt[3]{2}, i \\sqrt{3}): \\mathbb{Q}] \\)</li><li>\\( [\\mathbb{Q}(\\sqrt[3]{2}, i \\sqrt{3}): \\mathbb{Q}(\\sqrt[3]{2})] \\)</li><li>\\( [\\mathbb{Q}(\\sqrt[3]{2}, i, \\sqrt{3}): \\mathbb{Q}] \\)</li><li>\\( [\\mathbb{Q}(\\sqrt[3]{2}, \\sqrt{2}, i): \\mathbb{Q}] \\)</li></ol></p><p>(\\(4\\)) 다음이 성립함을 밝혀라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\mathbb{Z}[\\sqrt{12}] \\subsetneq \\mathbb{Z}[\\sqrt{3}] \\)</li><li>\\( \\mathbb{Q}(\\sqrt{12})=\\mathbb{Q}(\\sqrt{3}) \\)</li><li>\\( \\sqrt{6} \\notin \\mathbb{Q}(\\sqrt{2}) \\)</li><li>\\( \\mathbb{Q}(\\sqrt{2}) \\cap \\mathbb{Q}(\\sqrt{6})=\\mathbb{Q} \\)</li><li>\\( \\mathbb{Q}(\\sqrt[4]{8})=\\mathbb{Q}(\\sqrt[4]{2}) \\)</li><li>\\( \\mathbb{Q}(i \\sqrt[4]{8})=\\mathbb{Q}(i \\sqrt[4]{2}) \\)</li></ol></p><p>(\\(5\\)) \\( a, b \\in \\mathbb{R}, b \\neq 0 \\) 이면 \\( \\mathbb{C}=\\mathbb{R}(a+b i) \\) 임을 보여라.", "</p><p>(\\(6\\)) 다음을 증명하라.", "<ol type= start=1><li>\\( x^{2}-5 \\) 는 \\( \\mathbb{Q}(\\sqrt{3}) \\) 위에서 기약이다.", "</li><li>\\( x^{2}-3 \\) 은 \\( \\mathbb{Q}(\\sqrt[3]{2}) \\) 위에서 기약이다.", "</li></ol></p><p>(\\(7\\)) \\( f(x)=x^{5}-4 x^{4}+2 x+2 \\in \\mathbb{Q}[x] \\) 의 근을 \\( r_{1}, r_{2}, \\cdots, r_{5} \\) 라고 하자.", "<ol type= start=1><li>\\( f(x) \\) 는 \\( \\mathbb{Q}[x] \\) 에서 기약임을 보여라.", "</li><li>\\( f(x) \\) 는 \\(2\\) 개의 허근과 \\(3\\) 개의 실근을 가짐을 보여라.", "[참조: 미적분에서 graph 이용]</li><li>\\( r_{1} \\) 을 \\( f(x) \\) 의 실근이라고 하면 \\( \\left[\\mathbb{Q}\\left(r_{1}\\right): \\mathbb{Q}\\right]=5 \\) 임을 보여라.", "</li></ol></p><p>(\\(8\\)) 복소수 \\( \\alpha=\\frac{-1+i \\sqrt{3}}{2} \\) 에 대하여 다음이 성립함을 확인하라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\operatorname{irr}(\\alpha, \\mathbb{Q})=\\operatorname{irr}\\left(\\alpha^{2}, \\mathbb{Q}\\right)=x^{2}+x+1, \\quad \\mathbb{Q}(\\alpha)=\\mathbb{Q}(i \\sqrt{3}), \\quad \\mathbb{Q}\\left(\\alpha^{2}\\right)=\\mathbb{Q}(\\alpha) \\)</li><li>\\( \\operatorname{irr}(\\alpha, \\mathbb{R})=x^{2}+x+1, \\quad \\mathbb{R}(\\alpha)=\\mathbb{C} \\)</li></ol></p><p>(\\(9\\)) 소수 \\( p \\) 에 대하여 \\( \\alpha=\\cos \\frac{2 \\pi}{p}+i \\sin \\frac{2 \\pi}{p} \\) 이라고 할 때, 다음 물음에 답하라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\operatorname{irr}(\\alpha, \\mathbb{Q}) \\) 와 \\( [\\mathbb{Q}(\\alpha) \\) : \\( \\mathbb{Q}] \\) 를 구하라.", "</li><li>모든 정수 \\( n(1 \\leq n \\leq p-1) \\) 에 대하여 \\( \\mathbb{Q}\\left(\\alpha^{n}\\right)=\\mathbb{Q}(\\alpha) \\) 임을 밝혀라.", "</li></ol></p><p>(\\(10\\)) 서로 다른 두 소수 \\( p, q \\) 에 대하여 \\( \\mathbb{Q}(\\sqrt{p}) \\cap \\mathbb{Q}(\\sqrt{q})=\\mathbb{Q} \\) 임을 밝혀라.", "</p><p>(\\(11\\)) 다음이 성립함을 보여라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\mathbb{Q}(\\sqrt{3}+\\sqrt{7})=\\mathbb{Q}(\\sqrt{3}, \\sqrt{7}) \\)</li><li>\\( \\mathbb{Q}(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})=\\mathbb{Q}(\\sqrt{3}-\\sqrt{2}) \\)</li></ol></p><p>(\\(12\\)) \\( a \\) 와 \\( b \\) 가 유리수이고 \\( \\sqrt{a}+\\sqrt{b} \\neq 0 \\) 이면, \\( \\mathbb{Q}(\\sqrt{a}+\\sqrt{b})=\\mathbb{Q}(\\sqrt{a}, \\sqrt{b}) \\) 임을 보여라.", "</p><p>(\\(13\\)) 다음 체는 \\( \\mathbb{Q} \\) 의 단순 확대체임을 보여라.", "즉, 다음을 만족하는 복소수 \\( c \\) 를 구하라.", "<ol type= start=1><li>\\( \\mathbb{Q}(\\sqrt{2}, i \\sqrt{3})=\\mathbb{Q}(c) \\)</li><li>\\( \\mathbb{Q}(\\sqrt{2}, \\sqrt[3]{2})=\\mathbb{Q}(c) \\)</li><li>\\( \\mathbb{Q}(\\sqrt{3}, \\sqrt[3]{5})=\\mathbb{Q}(c) \\)</li><li>\\( \\mathbb{Q}(\\sqrt[3]{2}, i)=\\mathbb{Q}(c) \\)</li></ol></p><p>(\\(14\\)) 체 \\( F \\) 의 유한확대체 \\( K \\) 에 대하여 \\( F \\) 위에서 기약다항식 \\( p(x) \\in F[x] \\) 의 차수가 \\(2\\) 이상이고 \\( [K: F] \\) 와 서로소일 때, 다음 물음에 답하라.", "<ol type= start=1><li>\\( p(x) \\) 는 \\( K \\) 안에서 근이 없음을 보여라.", "</li><li>\\( p(x) \\) 는 \\( K \\) 위에서도 기약임을 보여라.", "(참조: \\( \\operatorname{deg}(\\alpha, K)=[K(\\alpha): K]=[F(\\alpha): F]= \\) \\( \\operatorname{deg} p(x) \\) 를 보임)</li></ol></p><p>(\\(15\\)) 체 \\( F \\) 의 유한확대체 \\( E \\) 에 대하여 \\( b \\) 가 \\( E \\) 위에서 대수적일 때, 다음을 증명하라.", "<ol type= start=1><li>\\( [E(b): E] \\leq[F(b): F] \\)</li><li>\\( [E(b): F(b)] \\leq[E: F] \\)</li><li>\\( [F(b): F] \\mid[E(b): F] \\)</li></ol></p><p>(\\(16\\)) 체 \\( F \\) 의 확대체 \\( K \\) 에 대하여 \\( [K: F] \\) 가 소수일 때, 다음을 증명하라.", "<ol type= start=1><li>\\( L \\) 이 \\( F \\subseteq L \\subset K \\) 인 \\( K \\) 의 부분체이면 \\( L=F \\) 또는 \\( L=K \\) 이다.", "</li><li>모든 원소 \\( u \\in K-F \\) 에 대하여 \\( K=F(u) \\) 이다</li><li>모든 원소 \\( u \\in K-F \\) 와 양의 정수 \\( n \\in \\mathbb{Z} \\) 에 대해서 \\( F(u)=F\\left(u^{n}\\right) \\) 또는 \\( u^{n} \\in F \\) 이다.", "</li></ol></p><p>(\\(17\\)) 체 \\( F \\) 의 확대체 \\( K \\) 에서 \\( u \\in K \\) 일 때, 다음이 성립함을 밝혀라.", "<ol type= start=1><li>임의의 \\( a, b \\in F, a \\neq 0 \\) 에 대하여 \\( F(a u+b)=F(u) \\) 이다.", "</li><li>\\( u \\neq 0 \\) 일 때, \\( F\\left(u^{-1}\\right)=F(u) \\) 이다.", "</li></ol></p><p>(\\(18\\)) 체 \\( K \\) 가 체 \\( F \\) 의 대수적 확대체일 때, 원소 \\( u \\in K \\) 에 대하여 다음이 성립함을 밝혀라.", "<ol type= start=1><li>\\( F\\left(u^{2}\\right)=F(u) \\) 또는 \\( \\left[F(u): F\\left(u^{2}\\right)\\right]=2 \\) 이다.", "</li><li>\\( [F(u): F] \\) 가 홀수이면, \\( F\\left(u^{2}\\right)=F(u) \\) 이다.", "</li><li>위의 (\\(1\\))에서 두 가지 경우에 대한 예를 들어라.", "</li></ol></p><p>(\\(19\\) 체 \\( F \\) 의 확대체 \\( K \\) 에서 \\( K \\) 의 부분체 \\( L_{1}, L_{2} \\) 가 모두 \\( F \\) 의 유한 확대체일 때, 다음이 성립함을 밝혀라.", "<ol type= start=1><li>\\( L_{1} \\cap L_{2} \\) 는 \\( F \\) 의 유한 확대체이다.", "</li><li>\\( \\left[L_{1}: F\\right] \\) 와 \\( \\left[L_{2}: F\\right] \\) 가 서로소이면, \\( L_{1} \\cap L_{2}=F \\) 이다.", "</li></ol></p><p>(\\(20\\)) 체 \\( F \\) 의 확대체 \\( K \\) 에서 두 원소 \\( u, v \\in K \\) 가 \\( F \\) 위에서 대수적이라고 할 때, \\( [F(u): F]=m,[F(v): F]=n \\) 이면 다음이 성립함을 밝혀라.", "</li><ol type= start=1><li>\\( [F(u, v): F] \\leq m n \\)</li><li>\\( m \\) 과 \\( n \\) 이 서로소이면, \\( [F(u, v): F]=m n \\) 이다.", "</li></ol></p><p>(\\(21\\)) \\( E \\) 는 \\( F \\) 의 유한확대체이다. \\", "( E \\) 위에서 대수적인 원소는 \\( F \\) 위에서도 대수적임을 보여라.", "</p><p>(\\(22\\)) (\\(14\\)) 체 \\( E \\) 가 체 \\( F \\) 의 확대체일 때, \\( E \\) 안의 \\( F \\) 의 대수적 폐포 \\( E_{F} \\) 에 대하여 원소 \\( \\alpha \\in E-E_{F} \\) 는 \\( E_{F} \\) 위에서 초월적임을 보여라.", "</p><p>(\\(23\\)) 대수적 페체 \\( E \\) 가 체 \\( F \\) 의 확대체이다. \\", "( E \\) 안의 \\( F \\) 의 대수적 폐포 \\( E_{F} \\) 는 대수적 폐체임을 보여라.", "(이를 \\( \\mathbb{C} \\) 와 \\( \\mathbb{Q} \\) 에 적용하면 모든 대수적 수들의 체는 대수적 폐체임을 알 수 있다.)", "</p><p>(\\(24\\)) 체 \\( F \\) 위의 유리식체 \\[ F(x)=\\left\\{\\frac{f(x)}{g(x)} \\mid f(x), g(x) \\in F[x], g(x) \\neq 0\\right\\} \\] 안에서의 \\( F \\) 의 대수적 폐포는 \\( F \\) 임을 밝혀라.", "</p><p>(\\(25\\)) 체 \\( F \\) 위의 다항식환 \\( F[x] \\) 에서 다음과 같이 정의된 미분 함수 \\[ D: F[x] \\rightarrow F[x], \\quad D(f(x))=f^{\\prime}(x) \\] 에 대하여 다음 물음에 답하라.", "단, \\( f^{\\prime}(x) \\) 는 \\( f(x) \\in F[x] \\) 의 형식적 미분이다.", "(\\(5.3\\)절 연습 문제 \\(16\\)번 참조)<ol type= start=1><li>체 \\( F \\) 의 표수가 0 인 경우 \\( D \\) 의 핵을 구하라.", "</li><li>체 \\( F \\) 의 표수가 \\( p(\\neq 0) \\) 인 경우 \\( D \\) 의 핵을 구하라.", "</li><li>모든 \\( f(x) \\in F[x] \\) 에 대해, \\( D\\left((f(x))^{m}\\right)=(m \\cdot 1) f(x)^{m-1} f^{\\prime}(x) \\) 임을 보여라.", "</li></ol></p><p>(\\(26\\)) 체 \\( F \\) 위의 다항식 \\( f(x) \\in F[x] \\) 의 해 \\( \\alpha \\in \\bar{F} \\) 의 중복도가 \\( m \\) 일 때, \\( m>1 \\) 이기 위한 필요충분 조건은 \\( \\alpha \\) 가 \\( f^{\\prime}(x) \\) 의 해임을 보여라.", "</li></p> <p>정의 \\(8.1.5\\) [벡터 공간(Vector space)] 체 \\( F \\) 와 가환군 \\( V \\) 에 대하여 스칼라곱 \\( \\circ: F \\times V \\longrightarrow V, \\circ(a, V)=a \\circ V \\) 가 주어졌을 때,</p><p>\\( V \\) 가 체 \\( F \\) 의 벡터공간 또는 \\( F \\)-벡터공간 \\( \\quad \\stackrel{\\text { 정의 }}{\\Leftrightarrow} \\)<ol type= start=1><li>\\( \\forall u, v, w \\in V, \\quad(u+v)+w=u+(v+w) \\)</li><li>\\( \\exists 0 \\in V, \\forall v \\in V, \\quad v+0=0+v=v \\)</li><li>\\( \\forall v \\in V, \\exists-v \\in V, \\quad v+(-v)=(-v)+v \\)</li><li>\\( \\forall u, v \\in V, \\quad u+v=v+u \\)</li><li>\\( \\forall a \\in F, \\forall u, v \\in V, \\quad a \\circ(u+v)=a \\circ u+a \\circ v \\)</li><li>\\( \\forall a, b \\in F, \\forall v \\in V, \\quad(a+b) \\circ v=a \\circ v+b \\circ v \\)</li><li>\\( \\forall a, b \\in F, \\forall v \\in V, \\quad(a \\cdot b) \\circ v=a \\circ(b \\circ v) \\)</li><li>\\( 1 \\in F, \\forall v \\in V, \\quad 1 \\circ v=v \\)</li></ol></p><p>※ \\( F \\) 의 원소 \\( a \\) 를 스칼라(scalar), \\( V \\) 의 원소 \\( v \\) 를 벡터(vector)라 한다.", "스칼라 곱 \\(\\circ\\)은 생략한다.", "</p><p>정의 \\(8.1.6\\) [기저(basis)] 체 \\( F \\) 위의 벡터공간 \\( V \\) 의 벡터 \\( \\underline{v_{1}}, v_{2}, \\cdots, v_{n} \\in V \\) 와 스칼라 \\( x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n} \\in F \\) 에 대하여<p>\\( v \\in V \\) 는 \\( F \\) 위에서 \\( v_{1}, v_{2}, \\cdots, v_{n} \\) 의 \\(1\\) 차결합 \\( \\quad \\stackrel{\\text { 정의 }}{\\Leftrightarrow} \\) \\( v=x_{1} v_{1}+x_{2} v_{2}+\\cdots+x_{n} v_{n} \\)</p><p>\\( v_{1}, \\cdots, v_{n} \\) 이 \\( F \\) 위에서 \\( V \\) 를 생성 \\( \\quad \\stackrel{\\text { 정의 }}{\\Leftrightarrow} \\) \\( \\forall v \\in V, \\exists y_{1}, \\cdots, y_{n} \\in F, v=y_{1} v_{1}+\\cdots+y_{n} v_{n} \\)</p><p>\\( v_{1}, \\cdots, v_{n} \\) 이 \\( F \\) 위에서 \\(1\\) 차종속 \\( \\stackrel{\\text { 정의 }} {\\Leftrightarrow} \\quad \\exists(0 \\neq) x_{i} \\in F, x_{1} v_{1}+\\cdots+x_{i} v_{i}+\\cdots+x_{n} v_{n}=\\mathbf{0} \\)</p><p>\\( v_{1}, \\cdots, v_{n} \\) 이 \\( F \\) 위에서 \\(1\\)차독립\\( \\quad \\stackrel{\\text { 정의 }}{\\Leftrightarrow} \\) \\( x_{1} v_{1}+\\cdots+x_{n} v_{n}=\\mathbf{0} \\Longrightarrow \\quad x_{1}=\\cdots=x_{n}=0 \\)</p><p>\\( v_{1}, \\cdots, v_{n} \\) 이 \\( F \\) 위에서 \\( V \\) 의 기저 \\( \\quad \\stackrel{\\text { 정의 }}{\\Leftrightarrow} \\)<ol type= start=1><li>\\( v_{1}, \\cdots, v_{n} \\) 이 \\( F \\) 위에서 \\( V \\) 를 생성</li><li>\\( v_{1}, \\cdots, v_{n} \\) 이 \\( F \\) 위에서 \\(1\\) 차독립</li></ol></p><p>※ 체 \\( F \\) 위에서 \\( n \\) 개의 벡터로 된 기저를 갖는 벡터공간을 \\( n \\) 차원 벡터공간(finite dimensional vector space)이라 하고, \\( n=\\operatorname{dim}_{F} V \\) 라 표기한다.", "</p><p>정리 \\(8.1.7\\) \\( V \\) 가 체 \\( F \\) 의 \\( n \\) 차원 벡터공간 \\( \\left(\\operatorname{dim}_{F} V=n\\right) \\) 일 때, 다음이 성립한다.", "<ol type= start=1><li>\\( v_{1}, \\cdots, v_{r} \\in V(r<n) \\) 이 \\( F \\) 위에서 \\(1\\)차독립 \\( \\Longrightarrow \\quad \\exists v_{r+1}, \\cdots, v_{n} \\in V, \\quad v_{1}, \\cdots, v_{r}, v_{r+1}, \\cdots, v_{n} \\) 이 \\( V \\) 의 기저(기저 확장 정리)</li><li>\\( A=\\left\\{v_{1}, \\cdots, v_{n}\\right\\} \\subset V \\) 가 \\( F \\) 위에서 \\(1\\)차독립인 최대집합 \\( \\Longrightarrow A \\) 는 \\( V \\) 의 기저</li><li>\\( A=\\left\\{v_{1}, \\cdots, v_{n}\\right\\} \\subset V \\) 가 \\( F \\) 위에서 \\( V \\) 의 생성원인 최소집합 \\( \\Longrightarrow A \\) 는 \\( V \\) 의 기저</li></ol></p><p>(증명) 참고문헌 [\\(6\\)]에서 정리 \\(3.4.15\\)(기저 확장 정리)와 정리 \\(3.4.11\\)(기저 판정조건) 참조.", "</p> <h1>제 \\(8\\) 장 확대체</h1><p>2000 년 이상 인류를 괴롭혀 온 고대 그리스 시대(기원전 1100 년경부터 기원전 146년)의 3대 작도 불가능 문제가 모두 작도가 불가능하다는 것을 기하학적으로 해결하지 못하고, 19 세기에 들어와서 주어진 체에 원소를 추가하여 만든 확대체와 그 중간에 있는 중간체를 이용하여 대수적 기법으로 해결한다.", "</p><p>이처럼 체론을 이용한 다양한 시도가 \\(19\\)세기부터 활발하게 시도되고 있다.", "</p><p>유리수나 실수와 같이 사칙연산을 자유롭게 할 수 있는 수들의 집합을 체라고 한다.", "체의 개념은 \\(19\\)세기에 주로 유럽의 수학자들에 의하여 정립되었다.", "</p><p>\\(1871\\)년에 디리클레(독: J. P. G. L. Dirichlet, \\(1805-1859\\))가 데데킨트(독: J. W. R. Dedekind, \\(1831-1916\\))와 함께 출판한 책〈Supplement \\( \\mathrm{X} \\) of his \\(4\\)th edition of Dirichlet's Vorlesungenueber Zahlentheorie, section \\(159\\)>에서 무한히 많은 실수나 복소수의 집합으로서 사칙연산에 대하여 닫혀 있는 것을 체(독일어로 Körper)라고 이름지었다.", "이로 인하여 체를 주로 ' \\( \\mathrm{K} \\) '로 나타내게 되었다.", "</p><p>또한, 체와 같은 개념을 영어로 'field'라고 하는 것은 \\(1893\\)년에 출판된 무어(미: E. H. Moore, \\(1862-1932\\))의 글(the Bulletin of the New York Mathematical Society \\(3(3\\)))에서 처음으로 알려져 있다.", "그는 ' \\( s \\) 개의 원소로 이루어진 체'라는 표현과 같이 원소의 개수를 밝히며 언급 하였는데, 이는 유한 개의 원소로 이루어진 체인 유한체를 의미한 것이다.", "</p><p>체의 이론의 기초를 놓은 사람은 아벨(노: N. H. Abel, \\(1802-1829\\))과 갈루아(프: E. Galois, \\(1811-1832\\))로 알려져 있다.", "그들은 둘다 \\(1800\\) 년대 초반에 짧은 삶을 산 수학자로서 \\(5\\) 차 이상의 다항식으로 이루어진 방정식의 근을 연구하는 가운데 체의 이론에 기여하게 되었다.", "특히 갈루아는 하나의 체를 확장하여 다른 체를 만들고 거기에 관한 연구를 많이 하였다.", "</p><h2>8.1 확대체와 벡터공간</h2><p>이 절에서는 주어진 체를 포함하여 확대하는 체에 대하여 논한다.", "</p><p>정의 \\(8.1.1\\) [확대체(extension field)]</p><p>체 \\( F \\) 가 주어질 때, 체 \\( E \\) 와 \\( F^{\\prime} \\) 에 대하여</p><p>\\( E \\) 가 \\( F \\) 의 확대체(extension field) \\( F^{\\prime} \\) 가 \\( F \\) 의 부분체(subfield) 정의 \\( \\Longleftrightarrow \\) \\( F^{\\prime}<F<E \\)</p><p>예 \\(8.1.2\\) [확대체와 부분체] 수체에 대하여 \\[ \\mathbb{Q} \\subset \\mathbb{R} \\subset \\mathbb{C} \\] 이므로 \\( \\mathbb{R} \\) 과 \\( \\mathbb{C} \\) 는 \\( \\mathbb{Q} \\) 의 확대체이고, \\( \\mathbb{Q} \\) 와 \\( \\mathbb{R} \\) 은 \\( \\mathbb{C} \\) 의 부분체이다.", "또한 \\( \\mathbb{Q} \\) 는 \\( \\mathbb{R} \\) 의 부분체이고, \\( \\mathbb{C} \\) 는 \\( \\mathbb{R} \\) 의 확대체이다.", "</p><p>예 \\(8.1.3\\) [확대체] 체 \\( F \\) 의 다항식환 \\( F[x]=\\left\\{a_{n} x^{n}+\\cdots+a_{1} x+a_{0} \\mid a_{0}, \\cdots, a_{n} \\in F\\right\\} \\) 의 분수체(유리식체:rational field) \\[ F(x)=Q(F[x])=\\left\\{\\frac{g(x)}{f(x)} \\mid f(x), g(x) \\in F[x], f(x) \\neq 0\\right\\} \\] 는 체 \\( F \\) 의 확대체이다.", "</p><p>예 \\(8.1.4\\) [확대체] (예 \\( 7.3 .5 \\) 참조) 유리수체 \\( \\mathbb{Q} \\) 와 정수 \\( m \\in \\mathbb{Z} \\) 이 완전제곱수가 아닌 정수 \\( \\left(\\sqrt{m} \\notin \\mathbb{Z}, m \\neq 0,1,2^{2}, 3^{2}, \\cdots\\right) \\) 일 때, 이차체 \\[ \\mathbb{Q}(\\sqrt{m})=\\{a+b \\sqrt{m} \\mid a, b \\in \\mathbb{Q}\\} \\] 은 \\( \\mathbb{Q} \\) 의 확대체이고 \\( \\mathbb{C} \\) 의 부분체이다.", "</p><p>체 \\( E \\) 가 \\( F \\) 의 확대체이면 선형대수에서 배웠던 벡터공간을 정의할 수 있다.", "체의 연산은 벡터 공간의 연산을 모두 만족하므로, 확대체 \\( E \\) 는 체 \\( F \\) 위의 벡터공간으로 볼 수 있다.", "벡터공간의 정의를 상기해 보자.", "</p>" ]

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[ "<h2>4. 벡터의 외적</h2><p>\\( R^{3} \\)의 두 벡터 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\)의 외적 \\( \\mathbf{a} \\times \\mathbf{b} \\)는 벡터가 된다.", "특히 \\( \\mathbf{a} \\times \\mathbf{b} \\)는 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\)가 \\(3\\)차원 벡터일 경우에만 정의됨에 유의한다.", "단, \\( x y \\)평면은 \\( x y z \\)공간에서 \\( x \\)축과 \\( y \\)축을 포함하는 평면으로 생각할 수 있다.", "</p><p>정의 14 벡터의 외적 \\( R^{3} \\)의 두 벡터 \\( \\mathbf{a}=\\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right), \\mathbf{b}=\\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\\right) \\)에 대하여 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\)의 외적 (cross product) 또는 벡터적(vector product) \\( \\mathbf{a} \\times \\mathbf{b} \\)는 \\[ \\mathbf{a} \\times \\mathbf{b}=\\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1}-a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\\right) \\] 으로 정의하고, '\\(\\mathbf{a}\\) cross \\(\\mathbf{b}\\)'로 읽는다.", "</p><p>두 벡터의 외적은 행렬식의 표현법을 이용한다.", "행렬식과 표준기저벡터 \\( \\mathbf{i}, \\mathbf{j} \\)와 \\( \\mathbf{k} \\)를 이용하면, 두 벡터 \\( \\mathbf{a}=\\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right), \\mathbf{b}=\\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\\right) \\)의 외적 \\( \\mathbf{a} \\times \\mathbf{b} \\)는 \\[ \\mathbf{a} \\times \\mathbf{b}=\\left|\\begin{array}{ccc} \\mathbf{i} & \\mathbf{j} & \\mathbf{k} \\\\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\end{array}\\right| \\] 로 표현된다.", "이때 행렬식의 첫 행이 벡터로 이루어져 있지만, 이것은 보통의 행렬식으로 생각하여 전개하면 된다.", "</p><p>예제 6 \\( R^{3} \\)의 두 벡터 \\( \\mathbf{a}=\\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right), \\mathbf{b}=\\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\\right) \\)에 대하여, \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\)의 외적 \\( \\mathbf{a} \\times \\mathbf{b} \\)는 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\(\\mathbf{b}\\) 모두와 직교한다.", "</p><p>증명 \\[ (\\mathbf{a} \\times \\mathbf{b}) \\cdot \\mathbf{a}=\\left|\\begin{array}{ll} a_{2} & a_{3} \\\\ b_{2} & b_{3} \\end{array}\\right| a_{1}-\\left|\\begin{array}{cc} a_{1} & a_{3} \\\\ b_{1} & b_{3} \\end{array}\\right| a_{2}+\\left|\\begin{array}{ll} a_{1} & a_{2} \\\\ b_{1} & b_{2} \\end{array}\\right| a_{3}=0 \\] 이므로, \\( \\mathbf{a} \\times \\mathbf{b} \\)는 \\( \\mathbf{a} \\)와 직교한다.", "같은 방법으로 \\( (\\mathbf{a} \\times \\mathbf{b}) \\cdot \\mathbf{b}=0 \\)이다.", "따라서 외적 \\( \\mathbf{a} \\times \\mathbf{b} \\)는 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\) 모두와 직교한다.", "</p><p>\\( R^{3} \\)의 두 벡터 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\)의 외적 \\( \\mathbf{a} \\times \\mathbf{b} \\)에 대하여, \\( \\mathbf{a} \\times \\mathbf{b} \\)의 크기 \\( \\|\\mathbf{a} \\times \\mathbf{b}\\| \\)은 다음 정리로 주어진다.", "</p><p>정리 15 \\( \\theta \\) (단, \\( 0 \\leq \\theta \\leq \\pi \\))가 \\( R^{3} \\)의 두 벡터 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\)의 사이각일 때, \\( \\mathbf{a} \\times \\mathbf{b} \\)의 크기 \\( \\|\\mathbf{a} \\times \\mathbf{b}\\| \\)은 \\[ \\|\\mathbf{a} \\times \\mathbf{b}\\|=\\|\\mathbf{a}\\|\\|\\mathbf{b}\\| \\sin \\theta \\] 로 주어진다.", "따라서 \\( \\|\\mathbf{a} \\times \\mathbf{b}\\| \\)은 두 벡터 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\)에 의하여 결정되는 평행사변형의 넓이와 같다.", "</p><p>증명 \\[\\begin{aligned} \\|\\mathbf{a} \\times \\mathbf{b}\\|^{2} &=\\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}\\right)^{2}+\\left(a_{3} b_{1}-a_{1} b_{3}\\right)^{2}+\\left(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\\right)^{2} \\\\ &=\\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}\\right)\\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}\\right)-\\left(a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}\\right)^{2} \\\\ &=\\|\\mathbf{a}\\|^{2}\\|\\mathbf{b}\\|^{2}-(\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b})^{2} \\\\ &=\\|\\mathbf{a}\\|^{2}\\|\\mathbf{b}\\|^{2}-\\|\\mathbf{a}\\|^{2}\\|\\mathbf{b}\\|^{2} \\cos ^{2} \\theta \\\\ &=\\|\\mathbf{a}\\|^{2}\\|\\mathbf{b}\\|^{2}\\left(1-\\cos ^{2} \\theta\\right)=\\|\\mathbf{a}\\|^{2}\\|\\mathbf{b}\\|^{2} \\sin ^{2} \\theta \\end{aligned} \\] 이다. \\", "( 0 \\leq \\theta \\leq \\pi \\)일 때, \\( \\sin \\theta \\geq 0 \\)이므로 \\[ \\mathbf{a} \\times \\mathbf{b}\\|=\\| \\mathbf{a}\\|\\| \\mathbf{b} \\| \\sin \\theta \\] 를 얻는다.", "</p><p>물리학자는, 오른손법칙에 의하여 결정되는 방향에 따라 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\) 모두에 수직이 되고 크기가 \\( \\|\\mathbf{a}\\|\\|\\mathbf{b}\\| \\sin \\theta \\)인 벡터로 외적 \\( \\mathbf{a} \\times \\mathbf{b} \\)를 정의한다.", "즉 외적 \\( \\mathbf{a} \\times \\mathbf{b} \\)를 오른손법칙에 의하여 결정되는 방향에 따라 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\) 모두에 수직이 되고 크기가 \\( \\|\\mathbf{a}\\|\\|\\mathbf{b}\\| \\sin \\theta \\)인 벡터 \\[ \\mathbf{a} \\times \\mathbf{b}=\\|\\mathbf{a}\\|\\|\\mathbf{b}\\| \\sin \\theta \\mathbf{n} \\] 으로 정의한다.", "여기서 \\( \\mathbf{n} \\)은 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\) 모두에 수직인 단위벡터이다.", "</p><p>참고 \\(\\mathbf{0}\\)이 아닌 두 벡터 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\)가 평행할 필요충분조건은 \\( \\mathbf{a} \\times \\mathbf{b}=\\mathbf{0} \\)이다.", "</p><p>예제 7 \\(R^{3}\\)에서 세 꼭지점이 \\(P(1,4,6), Q(-2,5,-1), R(1,-1,1)\\)로 주어진 삼각형의 넓이를 구하시오.", "</p><p>풀이 유향선분 \\( \\overrightarrow{P Q} \\)와 \\( \\overrightarrow{P R} \\)에 대응되는 벡터는 각각 \\[ \\mathbf{a}=(-3,1,-7), \\mathbf{b}=(0,-5,-5) \\] 이므로, 외적 \\( \\mathbf{a} \\times \\mathbf{b} \\)는 \\[ \\mathbf{a} \\times \\mathbf{b}=\\left|\\begin{array}{rrr} \\mathbf{i} & \\mathbf{j} & \\mathbf{k} \\\\ -3 & 1 & -7 \\\\ 0 & -5 & -5 \\end{array}\\right|=-40 \\mathbf{i}-15 \\mathbf{j}+15 \\mathbf{k} \\] 이다.", "따라서 삼각형 \\( \\triangle P Q R \\)의 넓이 \\( A \\)는 \\[ A=\\frac{1}{2}\\|\\mathbf{a} \\times \\mathbf{b}\\|=\\frac{5 \\sqrt{82}}{2} \\] 로 주어진다.", "</p><p>참고 두 벡터의 외적에서는 교환법칙과 결합법칙이 성립하지 않는다.", "예를 들면 외적을 표준기저벡터에 적용할 때 \\[ \\begin{array}{l} \\mathbf{i} \\times \\mathbf{j}=\\mathbf{k}, \\quad \\mathbf{j} \\times \\mathbf{k}=\\mathbf{i}, \\quad \\mathbf{k} \\times \\mathbf{i}=\\mathbf{j} \\\\ \\mathbf{j} \\times \\mathbf{i}=-\\mathbf{k}, \\quad \\mathbf{k} \\times \\mathbf{j}=-\\mathbf{i}, \\quad \\mathbf{i} \\times \\mathbf{k}=-\\mathbf{j} \\end{array} \\] 이고, \\( \\mathbf{i} \\times(\\mathbf{i} \\times \\mathbf{j})=-\\mathbf{j},(\\mathbf{i} \\times \\mathbf{i}) \\times \\mathbf{j}=\\mathbf{0} \\)이 되기 때문이다.", "</p><p>다음 정리는 외적의 정의를 이용하여 쉽게 유도할 수 있다.", "</p><p>정리 16 외적의 성질 \\( \\mathbf{a}, \\mathbf{b}, \\mathbf{c} \\)가 \\( V_{3} \\)의 세 벡터이고 \\( \\lambda \\)가 스칼라일 때, 다음이 성립한다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\mathbf{a} \\times \\mathbf{0}=\\mathbf{0} \\times \\mathbf{a}=\\mathbf{0} \\)</li><li>\\( \\mathbf{a} \\times \\mathbf{b}=-\\mathbf{b} \\times \\mathbf{a} \\)</li><li>\\( (\\lambda \\mathbf{a}) \\times \\mathbf{b}=\\lambda(\\mathbf{a} \\times \\mathbf{b})=\\mathbf{a} \\times(\\lambda \\mathbf{b}) \\)</li><li>\\( \\mathbf{a} \\times(\\mathbf{b}+\\mathbf{c})=\\mathbf{a} \\times \\mathbf{b}+\\mathbf{a} \\times \\mathbf{c} \\)</li><li>\\( (\\mathbf{a}+\\mathbf{b}) \\times \\mathbf{c}=\\mathbf{a} \\times \\mathbf{c}+\\mathbf{b} \\times \\mathbf{c} \\)</li><li>\\( \\|\\mathbf{a} \\times \\mathbf{b}\\|^{2}=\\|\\mathbf{a}\\|^{2}\\|\\mathbf{b}\\|^{2}-(\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b})^{2} \\)</li></ol> <h2>3. 벡터의 내적</h2><h3>(1) 벡터의 내적</h3><p>정의 8 벡터의 내적 \\( R^{n} \\)의 두 벡터 \\( \\mathbf{a}=\\left(a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}\\right), \\mathbf{b}=\\left(b_{1}, b_{2}, \\cdots, b_{n}\\right) \\)에 대하여 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\)의 내적(inner product 또는 dot product) \\( \\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b} \\)는 실수, 즉 스칼라 \\[ \\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\\cdots+a_{n} b_{n} \\] 로 정의하고, \" \\( \\mathbf{a} \\) dot \\(\\mathbf{b}\\)\"로 읽는다.", "내적을 스칼라적(scalar product)이라고도 한다.", "</p><p>이제 내적의 기본성질을 알아보자.", "내적에 관한 다음 성질은 정의로부터 쉽게 확인된다.", "</p><p>정리 9 내적의 성질 \\( \\mathbf{a}, \\mathbf{b} \\)와 \\( \\mathbf{c} \\)가 \\( R^{n} \\)의 벡터이고 \\( \\lambda \\)가 스칼라일 때, 다음이 성립한다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\|\\mathbf{a}\\|=\\sqrt{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{a}} \\)</li><li>\\( \\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}=\\mathbf{b} \\cdot \\mathbf{a} \\)</li><li>\\( \\mathbf{0} \\cdot \\mathbf{a}=\\mathbf{0} \\)</li><li>\\( (\\lambda \\mathbf{a}) \\cdot \\mathbf{b}=\\lambda(\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b})=\\mathbf{a} \\cdot(\\lambda \\mathbf{b}) \\)</li><li>\\( \\mathbf{a} \\cdot(\\mathbf{b}+\\mathbf{c})=\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}+\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{c}\\) (내적의 분배법칙)</li></ol><p>참고 정리 9로부터 내적은 선형성을 가짐을 알 수 있다.", "즉 세 벡터 \\( \\mathbf{a}, \\mathbf{b}, \\mathbf{c} \\)가 \\( R^{n} \\)의 벡터이고 \\( \\lambda, \\mu \\)가 스칼라일 때 \\[ \\mathbf{a} \\cdot(\\lambda \\mathbf{b}+\\mu \\mathbf{c})=\\lambda(\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b})+\\mu(\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{c}) \\] 가 성립한다.", "</p><p>벡터의 노름에 관한 다음 정리는 벡터의 연산법칙과 내적의 성질로부터 쉽게 유도할 수 있다.", "</p><p>정리 10 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\)가 \\( R^{n} \\)의 벡터이고 \\( \\lambda \\)가 스칼라일 때, 다음이 성립한다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\|\\mathbf{a}\\| \\geq 0 \\)이고 \\( \\|\\mathbf{a}\\|=0 \\Leftrightarrow \\mathbf{a}=\\mathbf{0} \\)</li><li>\\( \\|\\lambda \\mathbf{a}\\|=|\\lambda|\\|\\mathbf{a}\\| \\)</li><li>\\( |\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}| \\leq\\|\\mathbf{a}\\|\\|\\mathbf{b}\\| \\quad \\) (코시-슈바르츠 부등식)</li><li>\\( \\|\\mathbf{a}+\\mathbf{b}\\| \\leq\\|\\mathbf{a}\\|+\\|\\mathbf{b}\\| \\quad\\) (삼각부등식)</li><li>\\( \\|\\mathbf{a}+\\mathbf{b}\\|^{2}+\\|\\mathbf{a}-\\mathbf{b}\\|^{2}=2\\left(\\|\\mathbf{a}\\|^{2}+\\|\\mathbf{b}\\|^{2}\\right) \\quad \\) (평행사변형 법칙)</li></ol><p>증명 여기서는 (4)만 증명하고, 나머지는 독자에게 남긴다. \\", "( \\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b} \\leq|\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}| \\)과 코시-슈바르츠 부등식 ((3) 벡터의 정사영; 예제 참조)을 이용하면 \\[ \\begin{aligned} \\|\\mathbf{a}+\\mathbf{b}\\|^{2} &=(\\mathbf{a}+\\mathbf{b}) \\cdot(\\mathbf{a}+\\mathbf{b}) \\\\ &=\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{a}+2(\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b})+\\mathbf{b} \\cdot \\mathbf{b} \\\\ & \\leq \\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{a}+2|\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}|+\\mathbf{b} \\cdot \\mathbf{b} \\\\ & \\leq\\|\\mathbf{a}\\|^{2}+2\\|\\mathbf{a}\\|\\|\\mathbf{b}\\|+\\|\\mathbf{b}\\|^{2} \\\\ &=(\\|\\mathbf{a}\\|+\\|\\mathbf{b}\\|)^{2} \\end{aligned} \\] 이므로 \\[ \\|\\mathbf{a}+\\mathbf{b}\\| \\leq\\|\\mathbf{a}\\|+\\|\\mathbf{b}\\| \\] 이 주어진다.", "이때 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\)가 평행한 경우, 등호가 성립한다.", "</p><p>참고 \\( \\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}=0 \\), 즉 두 벡터 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\)가 수직인 경우가 \\[ \\|\\mathbf{a}+\\mathbf{b}\\|^{2}=\\|\\mathbf{a}\\|^{2}+\\|\\mathbf{b}\\|^{2} \\] 즉 피타고라스 정리(Phythagoras Theorem)이다.", "</p><p>내적 \\( \\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b} \\)는 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\)의 사이각 \\( \\theta \\) (단, \\( 0 \\leq \\theta \\leq \\pi \\) )를 이용하여 기하학적으로 표현할 수 있다.", "벡터 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\)가 \\(\\mathbf{0}\\)이 아닐 때, 두 벡터 사이각 \\( \\theta \\)는 시점이 원점이면서 두 벡터 \\( \\mathbf{a}, \\mathbf{b} \\)와 동형인 벡터 사이의 가장 작은 음이 아닌 각으로 정의한다.", "코시 - 슈바르츠 부등식으로부터, \\( R^{n} \\)의 \\(\\mathbf{0}\\)이 아닌 두 벡터 \\( \\mathbf{a}, \\mathbf{b} \\)에 대하여 \\[ -1 \\leq \\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{\\|\\mathbf{a}\\|\\|\\mathbf{b}\\|} \\leq 1 \\] 이 성립하므로 \\[ \\cos \\theta=\\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{\\|\\mathbf{a}\\|\\|\\mathbf{b}\\|} \\] 를 만족하는 실수 \\( \\theta \\) (단, \\( 0 \\leq \\theta \\leq \\pi \\) )가 유일하게 존재한다.", "</p><p>정의 11 \\( R^{n} \\)의 \\(0\\) 아닌 두 벡터 \\( \\mathbf{a}, \\mathbf{b} \\)에 대하여 \\[ \\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}=\\|\\mathbf{a}\\|\\|\\mathbf{b}\\| \\cos \\theta \\] 를 만족하는 실수 \\( \\theta( \\) 단, \\( 0 \\leq \\theta \\leq \\pi) \\)를 두 벡터 \\( \\mathbf{a}, \\mathbf{b} \\)의 사이각이라 하고, 이때 \\( \\cos \\theta \\)를 두 벡터 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\)의 여현이라 한다.", "</p><p>\\( \\theta \\)가 \\(0\\)이 아닌 두 벡터 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\)의 사이각이면, 두 벡터 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\)의 여현 \\( \\cos \\theta \\)는 \\[ \\cos \\theta=\\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{\\|\\mathbf{a}\\|\\|\\mathbf{b}\\|} \\] 로 주어진다.", "</p><p>예 6 \\( R^{3} \\)의 두 벡터 \\( \\mathbf{a}=(1,0,0) \\)과 \\( \\mathbf{b}=(2,2,0) \\)에 대하여 \\( \\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}=2 \\)이고 \\( \\|\\mathbf{a}\\|=1 \\), \\( \\|\\mathbf{b}\\|=2 \\sqrt{2} \\)이므로, 두 벡터 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\)의 사이각 \\( \\theta \\)는 \\[ \\theta=\\cos ^{-1} \\frac{2}{2 \\sqrt{2}}=\\cos ^{-1} \\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\frac{\\pi}{4} \\] 로 주어진다.", "</p><p>참고 \\(0\\)이 아닌 두 벡터 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\)가 평행한 벡터이면, \\( \\theta=0 \\) 또는 \\( \\theta=\\pi \\)가 된다.", "또한 두 벡터 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\)가 수직(perpendicular) 또는 직교(orthogonal)할 필요충분조건은 \\( \\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}=0 \\), 즉 사이각이 \\( \\frac{\\pi}{2} \\)일 때이다.", "두 벡터 \\( \\mathbf{a}, \\mathbf{b} \\) 중 어느 하나가 영벡터일 때, 교각 \\( \\theta \\)는 정의하지 않는다.", "그러나 영벡터는 모든 벡터와 내적이 \\(0\\)이므로, 영벡터는 모든 벡터와 수직이라고 정의한다.", "</p><p>예제 3 \\( R^{3} \\)에서 세 점 \\( P(3,1,2), Q(7,0,1), R(2,3,-4) \\) 를 꼭짓점으로 갖는 삼각형은 직각삼각형이다.", "</p><p>증명 \\( \\overrightarrow{P Q}=(4,-1,-1), \\overrightarrow{P R}=(-1,2,-6) \\)이고 \\[ \\|\\overrightarrow{P Q}\\|=\\sqrt{18},\\|\\overrightarrow{P R}\\|=\\sqrt{41},\\|\\overrightarrow{Q R}\\|=\\sqrt{59} \\] 이다.", "이때 \\( \\overrightarrow{P Q} \\cdot \\overrightarrow{P R}=0 \\)이므로, 세 점 \\( P, Q, R \\)을 꼭짓점으로 갖는 삼각형은 \\( \\angle P=90^{\\circ} \\)인 직각삼각형이다.", "</p><p>\\( R^{n} \\)의 부분집합 \\( S=\\{\\mathbf{a}, \\mathbf{b}\\} \\)의 두 벡터 \\( \\mathbf{a}, \\mathbf{b} \\)가 서로 직교하면, \\( \\mathbf{a}, \\mathbf{b} \\)를 직교벡터(orthogonal vector)라 하고, 두 벡터 \\( \\mathbf{a}, \\mathbf{b} \\)가 서로 직교하면서 각각 단위벡터이면 \\( \\mathbf{a}, \\mathbf{b} \\)를 정규직교벡터(orthonormal vector)라고 한다.", "</p> <h2>연습문제 1.1</h2><p>1. \\( a, b, c \\)를 크기로 갖는 \\(0\\)이 아닌 세 벡터 \\( \\mathbf{a}, \\mathbf{b}, \\mathbf{c} \\)가 삼각형의 세 변을 나타낼 때 \\[ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \\cos \\theta \\] 가 성립함을 보이시오.", "이것을 평면 삼각형에 대한 코사인법칙(the law of cosines) 또는 여현법칙이라 한다.", "</p><p>2. \\( R^{n} \\)의 두 벡터 \\( \\mathbf{a}=\\left(a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}\\right), \\mathbf{b}=\\left(b_{1}, b_{2}, \\cdots, b_{n}\\right) \\)에 대하여, \\( \\mathbf{b} \\)가 \\( \\mathbf{a} \\)와 수직일 필요충분조건이 \\[ \\|b-a\\|=\\|b-(-\\mathbf{a})\\| \\] 임을 보이시오.", "</p><p>3. 평면 삼각형에 대한 코사인 법칙을 사용하여, \\( \\theta \\)가 두 벡터 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\)의 사이각일 때 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\)의 내적 \\( \\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b} \\)는 \\[ \\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}=\\|\\mathbf{a}\\| \\|\\mathbf{b} \\| \\cos \\theta \\] 로 주어짐을 보이시오.", "</p><p>4. \\( R^{3} \\)의 두 벡터 \\( \\mathbf{a}=(1,1,0) \\)와 \\( \\mathbf{b}=(1,0,1) \\)에 대하여, \\( \\mathbf{a}, \\mathbf{b} \\) 두 벡터가 이루는 사이각을 구하시오.", "</p><p>5. \\( R^{3} \\) 위의 세 점 \\( A(1,3,2), B(-2,1,3), C(3,1,1) \\)에 대하여, 선분 \\( \\overline{A B} \\)와 선분 \\( \\overline{A C} \\)가 이루는 각을 \\( \\theta \\)라 할 때, \\( \\cos \\theta \\)를 구하시오.", "</p><p>6. \\( R^{3} \\)의 두 벡터 \\( \\mathbf{a}=(2,3,1), \\mathbf{b}=(-1,1,2) \\)에 대하여, \\( \\mathbf{a} \\) 위로의 \\( \\mathbf{b} \\)의 스칼라사영과 벡터사영을 구하시오.", "</p><p>7. \\( R^{3} \\)의 세 벡터 \\( \\mathbf{a}, \\mathbf{b} \\)와 \\( \\mathbf{c} \\)가 동일 평면 위에 있지 않을 때, 세 벡터 \\( \\mathbf{a}, \\mathbf{b} \\)와 \\( \\mathbf{c} \\)에 의하여 결정되는 평행육면체의 부피 \\( V \\)는 스칼라 삼중적의 크기, 즉 \\[ V=|\\mathbf{a} \\cdot(\\mathbf{b} \\times \\mathbf{c})| \\] 로 주어짐을 보이시오.", "</p><p>8. \\( R^{3} \\)의 두 벡터 \\( \\mathbf{a}=(2,-1,4), \\mathbf{b}=(1,0,1) \\)에 모두 수직인 단위벡터를 구하시오.", "</p><p>9. \\( R^{3} \\) 위의 네 점 \\( A(1,1,1), B(4,0,1), C(4,2,0), D(2,2,3) \\)을 꼭짓점으로 하는 사면체의 부피를 구하시오.", "</p> <h2>5. 벡터의 삼중적</h2><p>세 벡터 \\( \\mathbf{a}, \\mathbf{b}, \\mathbf{c} \\)의 삼중적은 \\[ (\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}) \\mathbf{c}, \\mathbf{a} \\cdot(\\mathbf{b} \\times \\mathbf{c}), \\mathbf{a} \\times(\\mathbf{b} \\times \\mathbf{c}) \\] 로 주어진다.", "</p><p>① \\( (\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}) \\mathbf{c} \\)의 성질</p><p>\\( (\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}) \\mathbf{c} \\)는 단순히 스칼라 \\( \\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b} \\)를 벡터 \\( \\mathbf{c} \\)에 곱한 것이다.", "따라서 \\[ (\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}) \\mathbf{c} \\neq \\mathbf{a}(\\mathbf{b} \\cdot \\mathbf{c}) \\] 가 성립한다.", "</p><p>② \\( \\mathbf{a} \\cdot(\\mathbf{b} \\times \\mathbf{c}) \\)의 성질</p><p>정의 17 스칼라 삼중적 \\( R^{3} \\)의 세 벡터 \\( \\mathbf{a}=\\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right), \\mathbf{b}=\\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\\right), \\mathbf{c}=\\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\\right) \\)의 스칼라 삼중적(scalar triple product)은 \\( \\mathbf{a} \\cdot(\\mathbf{b} \\times \\mathbf{c}) \\)로 정의되고 행렬식 \\[ \\mathbf{a} \\cdot(\\mathbf{b} \\times \\mathbf{c})=\\left|\\begin{array}{ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\\\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \\end{array}\\right| \\] 로 표현할 수 있다.", "스칼라 삼중적의 기하학적 의미는 세 벡터 \\( \\mathbf{a}, \\mathbf{b}, \\mathbf{c} \\)에 의하여 결정되는 평행육면체를 생각함으로 알 수 있다.", "</p><p>\\( R^{3} \\)의 세 벡터 \\( \\mathbf{a}=\\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right), \\mathbf{b}=\\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\\right), \\mathbf{c}=\\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\\right) \\)의 스칼라 삼중적은 행렬식 \\[ \\mathbf{a} \\cdot(\\mathbf{b} \\times \\mathbf{c})=\\left|\\begin{array}{lll} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\\\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \\end{array}\\right| \\] 로 표현할 수 있으므로, 행렬식의 성질로부터 \\[ \\mathbf{a} \\cdot(\\mathbf{b} \\times \\mathbf{c})=\\mathbf{b} \\cdot(\\mathbf{c} \\times \\mathbf{a})=\\mathbf{c} \\cdot(\\mathbf{a} \\times \\mathbf{b}) \\] 를 얻는다.", "따라서 \\( \\mathbf{a}, \\mathbf{b} \\)와 \\( \\mathbf{c} \\)가 \\( V_{3} \\)의 벡터일 때, 다음이 성립한다. \\", "[ \\mathbf{a} \\cdot(\\mathbf{b} \\times \\mathbf{c})=(\\mathbf{a} \\times \\mathbf{b}) \\cdot \\mathbf{c} \\]</p><p>정리 18 \\(R^{3}\\)의 세 벡터 \\(\\mathbf{a},\\mathbf{b}\\)와 \\(\\mathbf{c}\\)가 비공면 벡터일 때, 세 벡터 \\(\\mathbf{a},\\mathbf{b}, \\mathbf{c}\\)를 이웃하는 세 모서리로 하는 평행육면체의 부피 \\(V\\)는 스칼라 삼중적의 크기, 즉 \\[ V=|\\mathbf{a} \\cdot(\\mathbf{b} \\times \\mathbf{c})| \\] 으로 주어진다.", "</p><p>예 8 \\( \\mathbf{a}=(1,4,-4), \\mathbf{b}=(0,3,2), \\mathbf{c}=(3,-2,-5) \\)가 \\( R^{3} \\)의 세 벡터일 때 \\[ \\mathbf{a} \\cdot(\\mathbf{b} \\times \\mathbf{c})=\\left|\\begin{array}{rrr} 1 & 4 & -4 \\\\ 0 & 3 & 2 \\\\ 3 & -2 & -5 \\end{array}\\right|=49 \\] 이므로, \\( |\\mathbf{a} \\cdot(\\mathbf{b} \\times \\mathbf{c})|=49 \\)이다.", "따라서 \\( R^{3} \\)의 세 벡터 \\( \\mathbf{a}, \\mathbf{b}, \\mathbf{c} \\)를 이웃하는 세 모서리로 하는 평행육면체의 부피는 \\(49\\)로 주어진다.", "</p><p>참고 \\( R^{3} \\)의 세 벡터 \\( \\mathbf{a}, \\mathbf{b}, \\mathbf{c} \\)가 동일 평면 위에 있을 필요충분조건은 \\( \\mathbf{a} \\cdot(\\mathbf{b} \\times \\mathbf{c})=0 \\)이다.", "</p><p>예 9 \\( R^{3} \\)의 세 벡터 \\( \\mathbf{a}=(1,4,-7), \\mathbf{b}=(2,-1,4), \\mathbf{c}=(0,-9,18) \\)에 대하여 \\[ \\mathbf{a} \\cdot(\\mathbf{b} \\times \\mathbf{c})=0 \\] 을 만족하므로, 세 벡터 \\( \\mathbf{a}, \\mathbf{b}, \\mathbf{c} \\)는 동일 평면 위에 놓여 있다.", "</p><p>③ \\( \\mathbf{a} \\times(\\mathbf{b} \\times \\mathbf{c}) \\)의 성질</p><p>정의 19 벡터 삼중적 \\( R^{3} \\)의 세 벡터 \\( \\mathbf{a}, \\mathbf{b}, \\mathbf{c} \\)의 벡터 삼중적(vector triple product)은 벡터 \\[ \\mathbf{a} \\times(\\mathbf{b} \\times \\mathbf{c}) \\] 로 정의된다.", "</p><p>벡터 삼중적은 결합법칙이 성립하지 않는다.", "즉 세 벡터 \\( \\mathbf{a}, \\mathbf{b}, \\mathbf{c} \\)가 \\( R^{3} \\)의 벡터일 때, 일반적으로 \\[ \\mathbf{a} \\times(\\mathbf{b} \\times \\mathbf{c}) \\neq(\\mathbf{a} \\times \\mathbf{b}) \\times \\mathbf{c} \\] 가 된다.", "때로는 괄호를 생략하여 \\( \\mathbf{a} \\cdot(\\mathbf{b} \\times \\mathbf{c}) \\)를 간단히 \\( \\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b} \\times \\mathbf{c} \\)로 표시하기도 한다.", "그러나 \\( \\mathbf{a} \\times(\\mathbf{b} \\times \\mathbf{c}) \\)의 괄호는 반드시 사용하여야 함에 유의한다.", "</p><p>정리 20 라그랑주 항등식 \\( \\mathbf{a}, \\mathbf{b}, \\mathbf{c} \\)가 \\( V_{3} \\)의 벡터일 때, 다음이 성립한다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\mathbf{a} \\times(\\mathbf{b} \\times \\mathbf{c})=(\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{c}) \\mathbf{b}-(\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}) \\mathbf{c} \\)</li><li>\\( \\mathbf{a} \\times(\\mathbf{b} \\times \\mathbf{c})+\\mathbf{b} \\times(\\mathbf{c} \\times \\mathbf{a})+\\mathbf{c} \\times(\\mathbf{a} \\times \\mathbf{b})=\\mathbf{0} \\)</li></ol> <h3>(2) 방향각과 방향코사인</h3><p>하나의 유향선분 \\( \\overrightarrow{A B} \\)의 방향각은 원점 \\( O \\)를 지나서 \\( R^{3} \\)에서 \\( \\overrightarrow{A B} \\)에 평행한 \\( \\overrightarrow{O P} \\)가 양의 \\( x \\)축, \\( y \\)축 그리고 \\( z \\)축과 각각 만드는 각 \\( \\alpha, \\beta, \\gamma \\)이다.", "즉 \\( R^{3} \\)에서 \\(0\\)이 아닌 벡터 \\( \\mathbf{a} \\)의 방향각(direction angle)은 \\( \\mathbf{a} \\)가 양의 \\( x \\)축, \\( y \\)축 그리고 \\( z \\)축과 각각 만드는 각 \\( \\alpha, \\beta, \\gamma \\)이다.", "또한 방향각의 코사인(또는 여현) \\( \\cos \\alpha, \\cos \\beta, \\cos \\gamma \\)를 벡터 \\( \\mathbf{a} \\)의 방향코사인(또는 방향여현)이라 하고 \\[ \\begin{array}{l} \\cos \\alpha=\\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{i}}{\\|\\mathbf{a}\\|\\|\\mathbf{i}\\|}=\\frac{a_{1}}{\\|\\mathbf{a}\\|}, \\quad \\cos \\beta=\\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{j}}{\\|\\mathbf{a}\\|\\|\\mathbf{j}\\|}=\\frac{a_{2}}{\\|\\mathbf{a}\\|}, \\\\ \\cos \\gamma=\\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{k}}{\\|\\mathbf{a}\\|\\|\\mathbf{k}\\|}=\\frac{a_{3}}{\\|\\mathbf{a}\\|} \\end{array} \\] 로 주어진다.", "따라서 \\( \\cos ^{2} \\alpha+\\cos ^{2} \\beta+\\cos ^{2} \\gamma=1 \\)이 성립한다.", "또한 \\[ \\begin{aligned} \\mathbf{a} &=\\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right)=(\\|\\mathbf{a}\\| \\cos \\alpha,\\|\\mathbf{a}\\| \\cos \\beta,\\|\\mathbf{a}\\| \\cos \\gamma) \\\\ &=\\|\\mathbf{a}\\|(\\cos \\alpha, \\cos \\beta, \\cos \\gamma) \\end{aligned} \\] 이므로, \\( \\frac{\\mathbf{a}}{\\|\\mathbf{a}\\|}=(\\cos \\alpha, \\cos \\beta, \\cos \\gamma) \\)가 된다.", "이것은 방향코사인이 \\( \\mathbf{a} \\)와 방향이 같은 단위벡터의 성분임을 의미하고 있다.", "만일 \\( \\mathbf{a}=(a, b, c) \\)이고 \\( \\|\\mathbf{a}\\| \\neq 0 \\)이면, \\( a, b \\)와 \\( c \\)를 벡터 \\( \\mathbf{a} \\)의 방향수(direction number)라 한다.", "</p><h3>(3) 벡터의 정사영</h3><p>한 벡터의 다른 벡터로의 정사영(orthogonal projection)은 벡터에 대한 유용한 개념 중의 하나이다. \\", "( R^{3} \\) 에서 시점 \\( O \\)를 갖는 \\(\\mathbf{0}\\)이 아닌 두 벡터를 \\( \\mathbf{a}=\\overrightarrow{O Q} \\)와 \\( \\mathbf{b}=\\overrightarrow{O R} \\)이라고 하고, \\( R \\)에서 \\( \\overrightarrow{O Q} \\)를 포함하는 직선에 내린 수선의 발을 \\( S \\)라고 하자.", "</p><p>① 벡터사영</p><p>\\( \\overrightarrow{O S} \\)인 벡터를 \\( \\mathbf{a} \\) 위로의 \\( \\mathbf{b} \\)의 벡터사영이라 하고, \\( \\operatorname{proj}_{\\mathbf{a}} \\mathbf{b} \\)로 표시한다.", "</p><p>정의 12 벡터사영 \\(\\mathbf{0}\\)이 아닌 두 벡터 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\)에 대하여, \\( \\mathbf{a} \\) 위로의 \\( \\mathbf{b} \\)의 벡터사영(vector projection)을 \\( \\operatorname{proj}_{\\mathbf{a}} \\mathbf{b} \\)로 표현하고 \\[ \\operatorname{proj}_{\\mathbf{a}} \\mathbf{b}=\\left(\\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{\\|\\mathbf{a}\\|}\\right) \\frac{\\mathbf{a}}{\\|\\mathbf{a}\\|}=\\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{\\|\\mathbf{a}\\|^{2}} \\mathbf{a} \\] 로 정의한다.", "</p><p>두 벡터 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\)가 수직이면 \\( \\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}=0 \\)이므로 \\( \\operatorname{proj}_{\\mathbf{a}} \\mathbf{b}=\\mathbf{0} \\)이 성립한다.", "</p><p>예 7 두 벡터 \\( \\mathbf{a}=(2,-2,1), \\mathbf{b}=(4,2,5) \\)에 대하여 \\( \\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}=9 \\)이고, \\( \\|\\mathbf{a}\\|^{2}=9 \\)이므로, \\( \\mathbf{a} \\) 위로의 \\( \\mathbf{b} \\)의 벡터사영 \\( \\operatorname{proj}_{\\mathbf{a}} \\mathbf{b} \\)는 \\[ \\operatorname{proj}_{\\mathbf{a}} \\mathbf{b}=\\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{\\|\\mathbf{a}\\|^{2}} \\mathbf{a}=\\frac{9}{9}(2,-2,1)=(2,-2,1) \\] 로 주어진다.", "</p><p>예제 4 (코시-슈바르츠 부등식) \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\)가 \\( R^{n} \\)의 두 벡터일 때 \\[ |\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}| \\leq\\|\\mathbf{a}\\| \\| \\mathbf{b}\\| \\]<caption>\\( (*) \\)</caption></p><p>이 성립한다.", "</p><p>증명 \\( \\mathbf{a}=\\mathbf{0} \\)이면 \\( |\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}|=0=\\|\\mathbf{a}\\| \\|\\mathbf{b}\\| \\)이므로 \\( (*) \\)가 성립한다.", "이제 \\( \\mathbf{a} \\neq \\mathbf{0} \\)이라 하고, \\( \\mathbf{p}=\\operatorname{proj}_{\\mathbf{a}} \\mathbf{b}, \\mathbf{c}=\\mathbf{b}-\\mathbf{p} \\)라 놓으면 \\[ \\mathbf{c} \\cdot \\mathbf{p}=0, \\mathbf{p}=\\frac{\\mathbf{b} \\cdot \\mathbf{a}}{\\|\\mathbf{a}\\|^{2}} \\mathbf{a} \\] 가 된다.", "따라서 \\[ \\begin{aligned} 0 \\leq \\mathbf{c} \\cdot \\mathbf{c} &=\\mathbf{c} \\cdot(\\mathbf{b}-\\mathbf{p})=\\mathbf{c} \\cdot \\mathbf{b}-\\mathbf{c} \\cdot \\mathbf{p} \\\\ &=\\mathbf{c} \\cdot \\mathbf{b}=(\\mathbf{b}-\\mathbf{p}) \\cdot \\mathbf{b}=\\mathbf{b} \\cdot \\mathbf{b}-\\mathbf{p} \\cdot \\mathbf{b} \\\\ &=\\|\\mathbf{b}\\|^{2}-\\frac{\\mathbf{b} \\cdot \\mathbf{a}}{\\|\\mathbf{a}\\|^{2}} \\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b} \\end{aligned} \\] 로 주어진다.", "그러므로 \\( (*) \\) \\[ |\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}| \\leq\\|\\mathbf{a}\\||| \\mathbf{b} \\| \\] 이 성립한다.", "</p><p>정리 13 벡터사영의 성질 \\(\\mathbf{0}\\)이 아닌 두 벡터 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\)에 대하여, \\( \\mathbf{a} \\) 위로의 \\( \\mathbf{b} \\)의 벡터사영 \\( \\operatorname{proj}_{\\mathbf{a}} \\mathbf{b} \\)는 다음 성질을 만족하는 유일한 벡터이다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\operatorname{proj}_{\\mathbf{a}} \\mathbf{b} \\)는 \\( \\mathbf{a} \\)와 평행</li><li>\\(\\mathbf{b}- \\operatorname{proj}_{\\mathbf{a}} \\mathbf{b} \\)는 \\( \\mathbf{a} \\)와 수직</li></ol><p>② 스칼라사영</p><p>\\(\\mathbf{0}\\)이 아닌 두 벡터 \\( \\mathbf{a}, \\mathbf{b} \\)에 대하여 각 \\( \\theta \\)가 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\) 사이의 각일 때, \\( \\mathbf{a} \\) 위로의 \\( \\mathbf{b} \\)의 스칼라사영(scalar projection), 즉 \\(\\mathbf{a}\\) 방향의 \\( \\mathbf{b} \\)의 성분을 \\[ \\operatorname{comp}_{\\mathbf{a}} \\mathbf{b}=\\|\\mathbf{b}\\| \\cos \\theta \\] 로 정의한다.", "이때 \\( \\frac{\\pi}{2}<\\theta \\leq \\pi \\)이면 \\( \\operatorname{comp}_{\\mathbf{a}} \\mathbf{b} \\)는 음이 된다.", "한편 \\[ \\operatorname{comp}_{\\mathbf{a}} \\mathbf{b}=\\|\\mathbf{b}\\| \\cos \\theta=\\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{\\|\\mathbf{a}\\|}=\\frac{\\mathbf{a}}{\\|\\mathbf{a}\\|} \\cdot \\mathbf{b} \\] 이므로, \\( \\mathbf{a} \\) 위로의 \\( \\mathbf{b} \\)의 스칼라사영은 \\( \\mathbf{a} \\)와 방향이 같은 단위벡터와 \\( \\mathbf{b} \\)와의 내적이다.", "또한 \\[ \\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}=\\|\\mathbf{a}\\|\\|\\mathbf{b}\\| \\cos \\theta=\\|\\mathbf{a}\\|(\\|\\mathbf{b}\\| \\cos \\theta) \\] 이므로, \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\)의 내적은 \\( \\mathbf{a} \\)의 크기에 \\( \\mathbf{a} \\) 위로의 \\( \\mathbf{b} \\)의 스칼라사영을 곱한 것으로 설명될 수 있다.", "</p><p>예제 5 두 벡터 \\( \\mathbf{a}=(2,3,1), \\mathbf{b}=(1,1,2) \\)에 대하여, \\( \\mathbf{a} \\) 위로의 \\( \\mathbf{b} \\)의 스칼라사영과 벡터사영을 구하시오.", "</p><p>풀이 \\( \\|\\mathbf{a}\\|=\\sqrt{14} \\)이고 \\( \\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}=7 \\)이므로, \\( \\mathbf{a} \\) 위로의 \\( \\mathbf{b} \\)의 스칼라사영은 \\[ \\operatorname{comp}_{\\mathbf{a}} \\mathbf{b}=\\|\\mathbf{b}\\| \\cos \\theta=\\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{\\|\\mathbf{a}\\|}=\\frac{7}{\\sqrt{14}} \\] 이다.", "또한 벡터사영은 이 스칼라사영을 \\( \\mathbf{a} \\) 방향의 단위벡터에 곱한 것이므로 \\[ \\begin{aligned} \\operatorname{proj}_{\\mathbf{a}} \\mathbf{b} &=\\left(\\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{\\|\\mathbf{a}\\|}\\right) \\frac{\\mathbf{a}}{\\|\\mathbf{a}\\|} \\\\ &=\\frac{7}{\\sqrt{14}} \\frac{\\mathbf{a}}{\\|\\mathbf{a}\\|}=\\left(1, \\frac{3}{2}, \\frac{1}{2}\\right) \\end{aligned} \\] 로 주어진다.", "</p> <p>정의 2 합성벡터 두 벡터 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\)의 시점이 일치할 때, 두 벡터 \\( \\mathbf{a} \\)와 \\( \\mathbf{b} \\)의 합 또는 합성벡터 \\[ \\mathbf{c}=\\mathbf{a}+\\mathbf{b} \\] 는 \\( \\mathbf{a} \\)의 끝점이 \\( \\mathbf{b} \\)의 시점이 되도록 \\( \\mathbf{b} \\)를 평행이동하여, \\( \\mathbf{a} \\)의 시점에서 \\( \\mathbf{b} \\)의 끝점으로 향하는 벡터이다.", "</p><p>\\(3\\)차원 공간 \\( R^{3} \\) 위의 임의의 두 점 \\( P_{1}\\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\\right) \\)과 \\( P_{2}\\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\\right) \\)에 대하여, 벡터 \\( \\overrightarrow{P_{1} P_{2}} \\)를 시점이 원점 \\( O \\)가 되도록 평행이동해 보자.", "그러면 점 \\( Q\\left(x_{2}-x_{1}, y_{2}-y_{1}, z_{2}-z_{1}\\right) \\)에 대하여, \\( \\overrightarrow{P_{1} P_{2}}=\\overrightarrow{O Q} \\)가 성립한다.", "그러므로 \\( R^{3} \\) 위의 모든 벡터들의 집합은 \\[ \\left\\{\\overrightarrow{O P} \\mid P(x, y, z) \\in R^{3}\\right\\} \\] 가 된다.", "즉 직교좌표계 \\( O-x y z \\)를 고정하면, \\( O \\)를 시점으로 하는 벡터 전체와 공간 위의 점 전체 사이에 일대일 대응이 된다.", "따라서 \\( R^{3} \\)는 \\(3\\)차원 공간 위의 모든 벡터들의 집합으로 간주할 수 있다.", "</p><p>예 2 \\( R^{3} \\)에서 시점이 \\( A(2,1,1) \\)이고 끝점이 \\( B(3,0,4) \\)인 벡터와 시점이 \\( A(5,1,4) \\)이고 끝점이 \\( B(6,0,7) \\)인 벡터를 각각 \\( \\mathbf{a}, \\mathbf{b} \\)라 하면 \\[ \\mathbf{a}=(1,-1,3)=\\mathbf{b} \\] 로 두 벡터는 일치한다.", "</p><p>모든 벡터 \\( \\overrightarrow{O P} \\)는 시점을 원점으로 보면, 끝점 \\( P(x, y, z) \\)에 의하여 결정된다.", "이와 같이 \\( O \\)를 시점으로 할 때, 공간 위의 임의의 점 \\( P \\)의 위치를 나타내기 위하여 사용되는 벡터를 위치벡터(position vector)라 한다.", "이때 \\( R^{3} \\)에서 시점이 원점 \\( O(0,0,0) \\)이고 끝점의 좌표가 \\( P\\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right) \\)이면, 유향선분 \\( \\overrightarrow{O P} \\)로 주어진 벡터 \\( \\mathbf{a} \\), 즉 \\( \\mathbf{a}=\\overrightarrow{O P} \\)를 \\[ \\mathbf{a}=\\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right) \\] 로 표기한다.", "특히 \\( R^{3} \\)에서 두 벡터 \\( \\mathbf{a}=\\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right) \\)와 \\( \\mathbf{b}=\\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\\right) \\) 에 대하여 \\( a_{1}=b_{1} \\), \\( a_{2}=b_{2} \\)와 \\( a_{3}=b_{3} \\)이면 \\( \\mathbf{a}=\\mathbf{b} \\)라 한다.", "</p><p>예 3 \\( R^{2} \\)에서 임의의 점 \\( P\\left(a_{1}, a_{2}\\right) \\)의 위치벡터는 기호 \\( \\mathbf{a} \\)를 사용하여 \\( \\mathbf{a}=\\left(a_{1}, a_{2}\\right) \\)로 표시한다.", "이때 벡터 \\( \\left(a_{1}, a_{2}\\right) \\)의 방향은 \\( x \\)축 양의 방향으로부터 시계반대방향으로의 각 \\( \\theta \\)(단, \\( 0 \\leq \\theta \\leq 2 \\pi \\) )를 말하며, 단위는 라디안이다.", "</p><p>정의 3 세 실수들의 순서쌍 \\( \\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right) \\)를 공간벡터(vector in space), 간단히 벡터(단, 혼동할 염려가 없을 때)라 하고 \\[ \\mathbf{a}=\\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right) \\text { 또는 } \\mathbf{a}=\\left[\\begin{array}{l} a_{1} \\\\ a_{2} \\\\ a_{3} \\end{array}\\right] \\] 로 나타낸다.", "이때 실수 \\( a_{1}, a_{2}, a_{3} \\)를 벡터 \\( \\mathbf{a} \\)의 성분(component)이라 한다.", "</p><p>참고 \\( n \\)개의 실수의 순서쌍( \\( n \\)-tuple) \\( \\left(a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}\\right) \\)을 \\( n \\) 차원 벡터, 간단히 벡터(단, 혼동할 염려가 없을 때)라 하고 \\[ \\mathbf{a}=\\left(a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}\\right) \\text { 또는 } \\mathbf{a}=\\left[\\begin{array}{c} a_{1} \\\\ a_{2} \\\\ \\vdots \\\\ a_{n} \\end{array}\\right] \\] 으로 나타낸다.", "이때 실수 \\( a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n} \\)을 벡터 \\( \\mathbf{a} \\)의 성분이라 한다.", "특히 \\( R^{n} \\) 의 벡터 \\( \\mathbf{a}=\\left(a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}\\right), \\mathbf{b}=\\left(b_{1}, b_{2}, \\cdots, b_{n}\\right) \\)에 대하여 \\[ a_{i}=b_{i}(\\text { 단, } i=1,2, \\cdots, n) \\] 이면, \\( \\mathbf{a}=\\mathbf{b} \\)라고 한다.", "</p><p>\\( R^{2} \\)에서의 벡터 \\( \\left(a_{1}, a_{2}\\right) \\)는 \\( 1 \\times 2 \\) 행렬이라고도 볼 수 있다.", "이때 벡터 \\( \\left(a_{1}, a_{2}\\right) \\) 를 행벡터라 한다.", "또한 \\( 1 \\times 2 \\) 행렬인 \\[ \\left[\\begin{array}{l} a_{1} \\\\ a_{2} \\end{array}\\right] \\] 도 하나의 벡터라 볼 수 있겠으며, 이것을 열벡터라 한다.", "앞으로 편의상 벡터라 하면 특별한 언급이 없는 한, 행벡터를 뜻하는 것으로 한다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "412", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "선형대수학 입문_벡터", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-e498-4ead-bb03-27b25fa5fa10", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961057219", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2013", "doc_author": [ "이병무" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>따름정리 \\( 5.17 \\) 양재귀적인 성질의 집단성 \\( i \\leftrightarrow j \\)일 때 \\( i \\)가 양재귀적이면 \\( j \\)도 양재귀적이다.", "</p><p>증명 \\( i \\leftrightarrow j \\)이므로 \\( p_{i j}^{(n)}>0 \\)와 \\( p_{j i}^{(m)}>0 \\)를 만족하는 양의 정수 \\( n, m \\)이 존재한다.", "채프만-콜모고로프방정식에 의하여 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( p_{j j}^{(m+s+n)}=\\sum_{k \\in S} \\sum_{l \\in S} p_{j k}^{(m)} p_{k l}^{(s)} p_{l j}^{(n)} \\geq p_{j i}^{(m)} p_{i i}^{(s)} p_{i j}^{(n)} \\)</p><p>위 식의 양변에서 \\( s \\rightarrow \\infty \\)이면 정리 \\( 5.16 \\)에 의하여 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( \\frac{1}{m_{j}}=\\lim _{s \\rightarrow \\infty} p_{j j}^{(m+s+n)} \\geq p_{j i}^{(m)}\\left(\\lim _{s \\rightarrow \\infty} p_{i i}^{(s)}\\right) p_{i j}^{(n)}=p_{j i}^{(m)} p_{i j}^{(n)} \\frac{1}{m_{i}} \\)</p><p>한편 상태 \\( i \\)가 양재귀적이므로 \\( \\frac{1}{m_{i}}>0 \\)이다.", "따라서 \\( m_{j}<\\infty \\)이다.", "</p><p>따름정리 \\(5.17\\)로부터 기약인 마르코프연쇄의 한 상태가 양재귀적이면 모든 상태가 양재귀적이라는 것을 알 수 있다.", "이때 마르코프연쇄는 양재귀적이라 한다.", "마르코프연쇄가 기약이고 비주기적이며 양재귀적일 때 에르고딕(ergodic)이라 한다.", "</p><p>정리 \\( 5.18 \\) 마르코프연쇄 \\( \\boldsymbol{X}=\\left\\{X_{n}, n \\geq 0\\right\\} \\)이 기약이고 비주기적일 때 다음 중 단 한 가지만 성립한다.", "<ol type=1 start=1><li>\\( X \\)는 일시적이다.", "이때 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} p_{i j}^{(n)}=0, i, j \\in S \\).", "</li><li>\\( X \\)는 영재귀적이다.", "이때 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} p_{i j}^{(n)}=0, i, j \\in S \\).", "</li><li>\\( X \\)는 양재귀적이다. 이때 모든 \\( i, j \\in S \\)에 대하여 극한 \\[\\lim _{n \\rightarrow \\infty} p_{i j}^{(n)}=\\pi_{j}>", "0\\]가 존재한다.", "또한 \\( \\left\\{\\pi_{j}\\right\\} \\)는 다음 방정식의 유일한 해이다. \\", "[ \\pi_{j}=\\sum_{i \\in S} \\pi_{i} p_{i j}, \\quad j \\in \\mathcal{S} \\]<caption>(5.13)</caption>\\[ \\sum_{j \\in S} \\pi_{j}=1 \\]<caption>(5.14)</caption></li></ol></p><p>증명 \\( X \\)가 기약이므로 정리 \\(5.13\\)과 따름정리 \\(5.17\\)로부터 \\( X \\)는 일시적이거나 영재귀적이거나 양재귀적이다.", "</p><p>\\((1)\\) \\( j \\)가 일시상태이면 정리 \\( 5.15 \\)와 정리 \\( 5.12 \\)로부터 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} p_{i j}^{(n)}=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} p_{j j}^{(n)}=0, \\quad i, j \\in \\mathcal{S} \\)</p><p>\\((2)\\) \\( j \\)가 영재귀적이면 \\( m_{j}=\\infty \\)이므로 정리 \\( 5.15 \\)에 의하여 자명하다.", "</p><p>\\((3)\\) 정리 \\(5.15\\)에 의하여 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} p_{i j}^{(n)}=\\pi_{j} \\)가 존재하고 \\( \\pi_{j}>0(j \\in S) \\)이다.", "이제 \\( \\left\\{\\pi_{j}\\right. \\), \\( j \\in S\\}", "\\)가 \\((5.13)\\)을 만족함을 보인다.", "논의의 편의를 위하여 유한의 상태공간을 갖는 마르코프연쇄에 대하여 생각하자.", "마르코프연쇄 \\( X \\) 의 상태공간을 \\( S=\\{0,1,2, \\cdots, M\\} \\)이라 하자.", "그러면 채프만-콜모고로프방정식에 의하여 다음을 알 수 있다.", "</p><p>\\( p_{i j}^{(n+1)}=\\sum_{k=0}^{M} p_{i k}^{(n)} p_{k j}, \\quad i, j \\in \\mathcal{S} \\)<caption>(5.15)</caption></p><p>\\((5.15)\\)에서 \\( n \\rightarrow \\infty \\)이면 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( \\pi_{j}=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} p_{i j}^{(n+1)}=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=0}^{M} p_{i k}^{(n)} p_{k j}=\\sum_{k=0}^{M}\\left(\\lim _{n \\rightarrow \\infty} p_{i k}^{(n)}\\right) p_{k j}=\\sum_{k=0}^{M} \\pi_{k} p_{k j} \\)</p><p>한편 \\( n \\)단계 전이확률행렬 \\( P^{(n)} \\)이 확률행렬이므로 \\( \\sum_{k=0}^{M} p_{i j}^{(n)}=1 \\)이다.", "</p><p>이 식의 양변에서 \\( n \\rightarrow \\infty \\)이면 \\((5.14)\\)를 얻는다.", "</p><p>이제 \\((5.13)\\)과 \\((5.14)\\)의 해가 유일함을 보이자. \\", "( x_{j} \\geq 0 \\)인 수열 \\( \\left\\{x_{j}, j \\in S\\right\\} \\) 가 \\( \\sum_{j \\in S} x_{j}=1 \\)과 \\[x_{j}=\\sum_{i \\in S} x_{i} p_{i j}\\]<caption>(5.16)</caption>를 만족한다고 하자.", "식 \\((5.16)\\)의 양변에 \\( p_{j k} \\)를 곱하고 \\( j \\)에 대하여 합하면 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( x_{k}=\\sum_{j \\in S} x_{j} p_{j k}=\\sum_{j \\in S} x_{j} p_{j k}^{(2)} \\)</p><p>이와 같은 과정을 반복하면 \\[x_{k}=\\sum_{j \\in S} x_{j} p_{j k}^{(n)}\\]이고 여기서 \\( n \\rightarrow \\infty \\)이면\\[x_{k}=\\sum_{j \\in S} x_{j} \\lim _{n \\rightarrow \\infty} p_{j k}^{(n)}=\\left(\\sum_{j \\in S} x_{j}\\right) \\pi_{k}=\\pi_{k}\\]가 되어 유일성이 증명된다.", "</p><p>참고 정리 \\(5.18\\)의 \\((5.13)\\)과 \\((5.14)\\)를 벡터 \\( \\pi=\\left(\\pi_{j}, j \\in S\\right) \\)와 행렬 \\( P=\\left(p_{i j}\\right) \\)를 이용하여 표현하면 다음과 같이 쓸 수 있다.", "</p><p>\\( \\pi P=\\pi, \\quad \\pi \\mathrm{e}=1 \\)</p><p>단 \\( \\mathbf{e}=(1,1,1, \\cdots)^{t} \\)는 모든 성분이 \\(1\\)인 열벡터이다.", "</p><p>따름정리 \\( 5.19 \\) \\( X \\)의 상태공간이 유한이고 기약이면 \\( X \\)는 에르고딕이다.", "</p><p>증명 \\( \\boldsymbol{X} \\)의 상태공간을 \\( \\mathcal{S}=\\{1,2, \\cdots, M\\} \\)이라 하면 각각의 \\( n \\)에 대하여 \\[\\sum_{j=1}^{M} p_{i j}^{(n)}=1\\]<caption>(5.18)</caption>이다. \\", "( X \\)가 일시적이거나 영재귀적이면 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} p_{i j}^{(n)}=0 \\)이므로 식 \\((5.18)\\)의 양변에 \\( n \\rightarrow \\infty \\)이면 우변은 \\(1\\)에 수렴하나 좌변은 \\(0\\)에 수렴하여 모순이 된다.", "</p><p>예제 \\(5.25\\)</p><p>마르코프연쇄 \\( X \\)의 상태공간이 \\( \\{1,2,3\\} \\)이고 전이확률행렬이 다음과 같다고 하자.", "</p><p>\\( P=\\left(\\begin{array}{lll}0.3 & 0.5 & 0.2 \\\\ 0.6 & 0 & 0.4 \\\\ 0 & 0.4 & 0.6\\end{array}\\right) \\)</p><p>\\( X \\)는 에르고딕이므로 \\( X \\)의 극한분포 \\( \\pi=\\left(\\pi_{1}, \\pi_{2}, \\pi_{3}\\right) \\)는 다음 연립방정식을 만족한다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} \\pi_{1}+\\pi_{2}+\\pi_{3}=1, \\\\ \\pi_{1}=0.3 \\pi_{1}+0.6 \\pi_{2} \\\\ \\pi_{2}=0.5 \\pi_{1}+0.4 \\pi_{3} \\\\ \\pi_{3}=0.2 \\pi_{1}+0.4 \\pi_{2}+0.6 \\pi_{3}\\end{aligned} \\)</p><p>위의 연립방정식의 해는 다음과 같다.", "</p><p>\\( \\pi=\\left(\\frac{6}{23}, \\frac{7}{23}, \\frac{10}{23}\\right) \\)</p><p>사실 \\[\\lim _{n \\rightarrow \\infty} P^{n}=\\left(\\begin{array}{ccc}\\frac{6}{23} & \\frac{7}{23} & \\frac{10}{23} \\\\\\frac{6}{23} & \\frac{7}{23} & \\frac{10}{23} \\\\\\frac{6}{23} & \\frac{7}{23} & \\frac{10}{23}\\end{array}\\right)\\]</p> <p>예제 \\( 5.13 \\) 분지과정</p><p>어떤 개체는 그 개체가 소멸할 때 확률질량함수가 \\( P(Z=k)=a_{k}(k=0,1,2, \\cdots) \\)인 확률변수 \\( Z \\)만큼의 후손을 생산한다고 하자.", "각 후손들은 서로 독립적으로 후손을 남기고 소멸하는데 후손 수의 분포는 \\( Z \\)와 동일하다고 하자. \\", "( X_{0}=1 \\)을 처음 개체 수라 하고 \\( X_{n}(n \\geq 1) \\)을 \\( n \\)번째 세대에 있는 개체 수라 하자. \\", "( Z_{n+1}^{(i)}(i=0,1,2, \\cdots) \\)을 \\( n \\)번째 세대의 \\( i \\)번째 개체가 남긴 후손 수라 하자.", "그러면 \\( Z_{n}^{(i)}(n \\geq 1, i \\geq 1) \\)은 서로 독립이며 같은 분포를 따른다.", "이때 \\( \\left\\{X_{n}\\right\\} \\)에 대하여 다음과 같은 관계식이 성립한다.", "</p><p>\\( X_{n+1}=\\left\\{\\begin{array}{ll}\\sum_{k=1}^{X_{n}} Z_{n+1}^{(k)}, & X_{n} \\geq 1 \\\\ 0, & X_{n}=0\\end{array}, n=0,1,2, \\cdots\\right. \\)", "<caption>(5.3)</caption></p><p>정리 \\( 5.1 \\)에 의하여 \\( X=\\left\\{X_{n}, n \\geq 0\\right\\} \\)은 상태공간이 \\( S=\\{0,1,2, \\cdots\\} \\)인 마르코프연쇄가 된다.", "전이확률은 다음과 같다.", "</p><p>\\( p_{i j}=\\left\\{\\begin{array}{ll}P\\left(Z_{1}+Z_{2}+\\cdots+Z_{i}=j\\right), & i \\geq 1 \\\\ 1, & i=j=0 \\\\ 0, & i=0, j \\geq 1\\end{array}\\right. \\)", "</p><p>여기서 \\( Z_{1}, Z_{2}, \\cdots \\)는 서로 독립이고 \\( Z \\)와 같은 분포를 따르는 확률변수들이다.", "마르코프연쇄 \\( X \\)를 분지과정(branching process)이라고 한다.", "분지과정은 골턴-왓슨과정 (Galton-Watson process)으로도 알려져 있다.", "</p><p>예제 \\( 5.14 \\) 잔여수명과정</p><p>갱신간격이 \\( X_{n}(n=1,2, \\cdots) \\)인 이산시간 갱신과정에서 \\( B_{n} \\)을 시각 \\( n \\)에서의 잔여수명이라 하면 \\( B=\\left\\{B_{n}, n \\geq 0\\right\\} \\)은 상태공간 \\( \\{1,2, \\cdots\\} \\) 를 갖는 마르코프연쇄이다. \\", "( P\\left(X_{n}\\right. \\) \\", "( =k)=a_{k}(k=1,2, \\cdots) \\)라 하고 \\( B \\)의 전이확률을 구해보자. \\", "( B_{n}=1 \\)이면 \\( n+1 \\)에서 갱신이 발생하므로 \\[p_{1 j}=P\\left(B_{n+1}=j \\mid B_{n}=1\\right)=P\\left(X_{1}=j\\right)=a_{j}, \\quad j \\geq 1\\]이다.", "또한 \\( B_{n}=i \\geq 2 \\)이면 \\( B_{n+1}=i-1 \\)이므로 \\[p_{i j}=P\\left(B_{n+1}=j \\mid B_{n}=i\\right)=\\left\\{\\begin{array}{ll}1, & j=i-1 \\\\0, j \\neq i-1\\end{array}, i \\geq 2 .\\right.\\]", "</p><p>따라서 \\[P=\\left(\\begin{array}{ccccc}a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} & \\cdots \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 & \\cdots \\\\& 1 & 0 & 0 & \\cdots \\\\& & 1 & 0 & \\cdots \\\\& & & \\vdots & \\end{array}\\right) .\\]", "</p><p>예제 \\(5.15\\) 나이과정</p><p>갱신간격이 \\( X_{n}(n=1,2, \\cdots) \\)인 이산시간 갱신과정에서 \\( A_{n} \\)을 시각 \\( n \\)에서의 나이라고 할 때, \\( A=\\left\\{A_{n}, n \\geq 0\\right\\} \\)은 상태공간이 \\( \\{0,1,2, \\cdots\\} \\)이고 전이확률행렬이 다음과 같은 마르코프연쇄가 됨을 보여라.", "</p><p>\\( P=\\left(\\begin{array}{ccccc}1-p_{0} & p_{0} & 0 & 0 & \\cdots \\\\ 1-p_{1} & 0 & p_{1} & 0 & \\cdots \\\\ 1-p_{2} & 0 & 0 & p_{2} & \\cdots \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\ddots\\end{array}\\right) \\)<caption>(5.4)</caption></p><p>단 \\[p_{i}=\\frac{P\\left(X_{1}>i+1\\right)}{P\\left(X_{1}>i\\right)}, \\quad i=0,1,2, \\cdots\\]</p><p>풀이 \\( \\left\\{S_{n}\\right\\} \\)을 갱신발생 시각의 열이라 하자. \\", "( \\left\\{A_{n}\\right\\} \\)의 표본경로는 \\( S_{k} \\)일 때 \\(0\\)에서 시작하여 \\( \\left[S_{k}, S_{k+1}-1\\right] \\)동안 \\( n \\)이 증가함에 따라 \\(1\\)만큼씩 증가하다가 시각 \\( S_{k+1} \\)에서 다시 \\(0\\)이 된다.", "따라서 \\[ P\\left(A_{n+1}=i+1 \\mid A_{n}=i\\right)+P\\left(A_{n+1}=0 \\mid A_{n}=i\\right)=1\\]이므로 \\( P\\left(A_{n+1}=0 \\mid A_{n}=i\\right)=1-P\\left(A_{n+1}=i+1 \\mid A_{n}=i\\right) \\)이다.", "</p><p>한편 \\( A_{n}=i \\)이기 위해서는 시각 \\( n-i \\)에 갱신이 발생하고 다음 갱신이 발생할 때까지의 시간이 \\( i \\)보다 커야 하므로 \\[\\begin{aligned}P\\left(A_{n}=i\\right) &=\\sum_{k=0}^{\\infty} P\\left(S_{k}=n-i, X_{k+1}>i\\right) \\\\&=P\\left(X_{1}>i\\right)\\left(\\sum_{k=0}^{\\infty} P\\left(S_{k}=n-i\\right)\\right) .\\end{aligned}\\] 같은 방법으로 다음을 얻는다.\\[ P\\left(A_{n+1}=i+1, A_{n}=i\\right)=P\\left(X_{1}>i+1\\right)\\left(\\sum_{k=0}^{\\infty} P\\left(S_{k}=n-i\\right)\\right) \\] 따라서 \\[P\\left(A_{n+1}=i+1 \\mid A_{n}=i\\right)=\\frac{P\\left(X_{1}>i+1\\right)}{P\\left(X_{1}>", "i\\right)}, i=0,1,2, \\cdots .\\]", "</p> <p>정리 \\( 5.1 \\) \\( Y_{1}, Y_{2}, \\cdots \\)를 서로 독립인 확률변수열이라 하자.", "확률변수 \\( X_{0} \\)가 \\( \\left\\{Y_{n}, n=1,2\\right. \\)", ", \\( \\ldots\\} \\)와 서로 독립이고 \\( X_{n+1} \\)이 \\[X_{n+1}=f\\left(X_{n}, Y_{n+1}\\right), n=0,1,2, \\cdots\\]<caption>(5.2)</caption>와 같이 \\( X_{n} \\)과 \\( Y_{n+1} \\)의 함수로 나타나면 확률과정 \\( X=\\left\\{X_{n}, n=0,1, \\cdots\\right\\} \\)는 마르코프연쇄가 된다.", "특히 \\( \\left\\{Y_{n}\\right\\} \\)이 독립이며 같은 분포를 따르면 \\( X \\)는 시간동질인 마르코프연쇄가 된다.", "</p><p>증명 \\( g_{1}\\left(X_{0}, Y_{1}\\right)=f\\left(X_{0}, Y_{1}\\right) \\)으로 두고 \\[ g_{n}\\left(X_{0}, Y_{1}, \\cdots, Y_{n}\\right)=f\\left(g_{n-1}\\left(X_{0}, Y_{1}, \\cdots, Y_{n-1}\\right), Y_{n}\\right), \\quad n \\geq 2\\]이라 하면 식 \\((5.2)\\)로부터 \\( X_{n}=g_{n}\\left(X_{0}, Y_{1}, \\cdots, Y_{n}\\right)(n \\geq 1) \\)과 같이 \\( X_{0} \\)와 \\( Y_{1}, \\cdots, Y_{n} \\)에 의하여 정해진다.", "가정에 의하여 \\( Y_{n+1} \\)과 \\( X_{1}, \\cdots, X_{n} \\)은 서로 독립이므로 다음이 성립한다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} P\\left(X_{n+1}=j \\mid X_{0}=i_{0}, \\cdots, X_{n-1}=i_{n-1}, X_{n}=i\\right) \\\\ &=P\\left(f\\left(X_{n}, Y_{n+1}\\right)=j \\mid X_{0}=i_{0}, \\cdots, X_{n-1}=i_{n-1}, X_{n}=i\\right) \\\\ &=P\\left(f\\left(i, Y_{n+1}\\right)=j \\mid X_{0}=i_{0}, \\cdots, X_{n-1}=i_{n-1}, X_{n}=i\\right) \\\\ &=P\\left(f\\left(i, Y_{n+1}\\right)=j\\right) \\\\ &=P\\left(f\\left(X_{n}, Y_{n+1}\\right)=j \\mid X_{n}=i\\right) \\\\ &=P\\left(X_{n+1}=j \\mid X_{n}=i\\right) \\end{aligned} \\)</p><p>따라서 \\( \\left\\{X_{n}\\right\\} \\)은 마르코프연쇄이다.", "한편 \\( \\left\\{Y_{n}\\right\\} \\)이 같은 분포를 따르면 \\[\\begin{aligned}P\\left(X_{n+1}=j \\mid X_{n}=i\\right) &=P\\left(f\\left(i, Y_{n+1}\\right)=j\\right) \\\\&=P\\left(f\\left(i, Y_{1}\\right)=j\\right)=P\\left(X_{1}=j \\mid X_{0}=i\\right)\\end{aligned}\\]가 되어 전이확률이 시각 \\( n \\)에 의존하지 않는다.", "</p><p>따름정리 \\( 5.2 \\) 정수값을 갖는 확률변수 \\( Y_{1}, Y_{2}, \\cdots \\)가 서로 독립이고 같은 분포를 따를 때 \\[X_{n}=\\sum_{k=1}^{n} Y_{k}, \\quad n \\geq 1\\left(X_{0}=0\\right)\\]이라 하면 확률과정 \\( X=\\left\\{X_{n}, n=0,1,2, \\cdots\\right\\} \\)는 전이확률이 다음과 같은 마르코프연쇄이다. \\", "[ P\\left(X_{n+1}=j \\mid X_{n}=i\\right)=P\\left(Y_{n+1}=j-i\\right) \\]</p><p>증명 \\( X_{n+1}=X_{n}+Y_{n+1} \\)이고 \\( Y_{1}, Y_{2}, \\cdots \\)가 서로 독립이며 같은 분포를 따르므로 정리 \\(5.1\\)에 의하여 \\( \\left\\{X_{n}\\right\\} \\)은 마르코프연쇄이다.", "한편 \\( X_{n} \\)과 \\( Y_{n+1} \\)이 서로 독립이므로 \\( X \\)의 전이확률은 다음과 같다. \\", "[ \\begin{aligned} P\\left(X_{n+1}=j \\mid X_{n}=i\\right) &=P\\left(Y_{n+1}=j-i \\mid X_{n}=i\\right) \\\\ &=P\\left(Y_{n+1}=j-i\\right) \\end{aligned} \\]</p> <h1>5.1 도입 및 정의</h1><p>다음 예를 생각헤보자.", "그림 \\( 5.1 \\)과 같은 원탁에서 \\(6\\)명이 카드놀이를 하고 있다고 하자.", "처음으로 카드를 배분할 사람은 공정한 주사위를 던져서 결정하고 그 다음부터는 매 게임에서 이긴 사람이 카드를 배분한다.", "이때 \\( X_{0} \\) 를 처음으로 카드를 배분한 사람이 앉아 있 는 의자 번호, \\( X_{n} \\)을 \\( n \\)번째 게임에서 이긴 사람이 앉아 있는 의자 번호라 하자.", "매 게임에서 특정한 위치에 있는 사람이 이길 확률은 그 게임에서 누가 카드를 배분하였는가에만 의존한다고 하자.", "현재까지 \\( n \\)번의 게임의 결과가 \\( X_{0}=i_{0}, X_{1}=i_{1}, \\cdots, X_{n-1}=i_{n-1} \\), \\( X_{n}=i \\)라 할 때 다음 게임 \\( (n+1 \\) 번째 게임)에서 \\( j \\)번 의자에 앉은 사람이 이길 확률 \\( P\\left(X_{n+1}=j \\mid X_{0}=i_{0}, \\cdots, X_{n-1}=i_{n-1}, X_{n}=i\\right) \\)는 \\( P\\left(X_{n+1}=j \\mid X_{n}=i\\right) \\)와 같음을 알 수 있다.", "</p><p>이와 같이 확률과정 \\( \\left\\{X_{n}, n=0,1,2, \\cdots\\right\\} \\)가 과거로부터 현재까지의 이력 \\( X_{0}, X_{1} \\), \\( \\cdots, X_{n} \\) 이 주어졌을 때 미래의 상태 \\( X_{n+1} \\)이 오직 현재의 상태 \\( X_{n} \\)에만 의존하는 성질을 마르코프성질(Markov property)이라 한다.", "마르코프성질을 갖는 확률과정을 마르코프과 정(Markov process)라 하며, 득히 이산상태공간을 갖는 마르코프과정을 마르코프연쇄 (Markov chain)라 한다.", "</p><p>이 장 전체를 퐁하여 확률과정 \\( \\boldsymbol{X}=\\left\\{X_{n}, n=0,1,2, \\cdots\\right\\} \\)의 상태공간 \\( S \\)는 다른 언급이 없는 한 \\( \\{0,1,2, \\cdots\\} \\)의 부분집합을 나타내고, 확률과정 \\( \\boldsymbol{X} \\)가 시각 \\( n \\)에 상태 \\( j \\)에 있을 사건은 \\( \\left\\{X_{n}=j\\right\\} \\) 또는 \\( X_{n}=j \\)와 같이 나타낸다.", "</p><p>정의 \\( 5.1 \\) 확률과정 \\( \\boldsymbol{X}=\\left\\{X_{n}, n=0,1,2, \\cdots\\right\\} \\)가 모든 \\( i_{0}, \\cdots, i_{n-1}, i, j \\in S \\)와 \\( n=0,1,2 \\), \\( \\ldots \\)에 대하여 \\[\\begin{array}{l}P\\left(X_{n+1}=j \\mid X_{0}=i_{0}, \\cdots, X_{n-1}=i_{n-1}, X_{n}=i\\right) \\\\=P\\left(X_{n+1}=j \\mid X_{n}=i\\right)\\end{array}\\]<caption>(5.1)</caption>를 만족할 때 \\( \\boldsymbol{X} \\) 를 이산시간 마르코프연쇄(discrete time Markov chain)라고 한다.", "</p><p>마르코프성질을 나타내는 식 \\((5.1)\\)은 각각의 시각 \\( n \\)에 대하여 \\( X_{n} \\)이 주어졌다는 가정 하에서 미래의 상태 \\( X_{n+1} \\)은 과거의 상태 \\( X_{0}, X_{1}, \\cdots, X_{n-1} \\)과 조건부로 독립임을 의미 한다.", "조건부확률 \\( P\\left(X_{n+1}=j \\mid X_{n}=i\\right) \\)를 \\( X \\)의 일 단계 전이확률(one-step transition probability) 또는 간단히 전이확률이라 한다.", "일 단계 전이확률이 현재의 시각 \\( n \\)에 의존 하지 않을 때, 즉 \\[p_{i j}=P\\left(X_{n+1}=j \\mid X_{n}=i\\right), \\quad i, j \\in S\\]일 때 마르코프연쇄 \\( X \\)는 시간동질(time homogeneous)이라고 한다.", "이 장에서는 시간동질인 마르코프연쇄에 대하여만 생각한다.", "</p><p>전이확률 \\( p_{i j}=P\\left(X_{n+1}=j \\mid X_{n}=i\\right) \\)를 \\( (i, j) \\)성분으로 갖는 행렬 \\( P=\\left(p_{i j}\\right) \\)\\[P=\\left(\\begin{array}{cccc}p_{00} & p_{01} & p_{02} & \\cdots \\\\p_{10} & p_{11} & p_{12} & \\cdots \\\\p_{20} & p_{21} & p_{22} & \\cdots \\\\\\vdots & \\vdots & \\vdots &\\end{array}\\right)\\]를 \\( X \\)의 일 단계 전이확률행렬(transition probability matrix) 또는 간단히 전이확률행렬 이라고 한다.", "조건부확률의 성질에 의하여 전이확률행렬 \\( P \\)는 다음 성질을 만족함을 쉽게 알 수 있다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 0 \\leq p_{i j} \\leq 1, \\quad i, j \\in \\mathcal{S} \\)</li><li>\\( \\sum_{j \\in S} p_{i j}=1, \\quad i \\in S \\)</li></ol><p>위의 두 성질 \\((1)\\)과 \\((2)\\)를 만족하는 행렬 \\( P=\\left(p_{i j}\\right) \\)를 확률행렬(stochastic matrix)이라 한다.", "</p><p>조건부확률 \\[p_{i j}^{(m)}=P\\left(X_{n+m}=j \\mid X_{n}=i\\right)\\]를 \\( m \\)단계 전이확률이라 하고 행렬 \\( P^{(m)}=\\left(p_{i j}^{(m)}\\right) \\)을 \\( m \\)단계 전이확률행렬이라 한다.", "각 \\( m \\geq 0 \\)에 대하여 \\( m \\)단계 전이확률행렬 \\( P^{(m)}=\\left(p_{i j}^{(m)}\\right) \\)도 확률행렬이 됨을 알 수 있다.", "</p> <h2>5.4.2 주기</h2><p>\\(X=\\left\\{X_{n}, n \\geq 0\\right\\}\\) 전이확률이 \\(p_{i, i+1}=p, p_{i, i-1}=1-p(i=0, \\pm 1, \\pm 2, \\cdots)\\)인 단순확률보행이라 하자(그림 \\(5.7\\)).", "</p><p>\\( X \\)가 \\( X_{0}=0 \\)에서 출발하여 상태 \\(0\\)으로 되돌아오기 위해서는 오른쪽으로 움직인 횟수와 왼쪽으로 움직인 횟수가 같아야 하므로 짝수 번의 전이가 일어난 후에야 \\(0\\)에 도달할 수 있게 된다.", "실제 \\( m \\)단계 전이확률은 다음과 같다.", "</p><p>\\( p_{00}^{(2 k+1)}=0, \\quad p_{00}^{(2 k)}=\\left(\\begin{array}{c}2 k \\\\ k\\end{array}\\right) p^{k}(1-p)^{k}>0, \\quad k=1,2, \\cdots \\)</p><p>따라서 \\( n \\)이 \\( 2,4,6, \\cdots \\)과 같이 \\(2\\)의 배수일 때만 \\( p_{00}^{(n)}>0 \\)이 된다. 이때 \\(2\\)를 상태 \\(0\\)의 주기라 한다.</p><p>일반적으로 각 상태의 주기를 다음과 같이 정의한다. 상태 \\( i \\in S \\)에 대하여 \\[ d_{i}=\\operatorname{GCD}\\left\\{n \\geq 1: p_{i i}^{(n)}>0\\right\\}\\]를 \\( i \\)의 주기(period)라 한다. 여기서 \\( \\mathrm{GCD} \\)는 최대공약수를 뜻하고 \\( p_{i i}^{(n)}>0 \\)를 만족하는 자연수 \\( n \\)이 존재하지 않을 때는 \\( d_{i}=\\infty \\)로 정의한다. \\( d_{i}>", "1 \\)일 때 상태 \\( i \\)는 주기적(periodic)이라 하고 \\( d_{i}=1 \\)일 때 비주기적(aperiodic)이라 한다.", "</p><p>참고 \\( j \\)가 주기적일 때 모든 \\( 0<k<d_{j} \\)에 대하여 \\( p_{j j}^{(k+n d,)}=0(n=0,1,2, \\cdots) \\)임을 알 수 있다.</p><p>정리 \\( 5.8 \\) 주기의 집단성질 \\( i \\leftrightarrow j \\)이면 \\( d_{i}=d_{j} \\)이다.</p><p>증명 \\( i \\leftrightarrow j \\)이므로 적당한 \\( m, n \\)에 대하여 \\( p_{i j}^{(n)}>0, p_{j k}^{(m)}>0 \\)이다. \\( p_{i i}^{(s)}>0 \\)라 하면 \\[p_{j j}^{(n+m)} \\geq p_{j i}^{(n)} p_{i j}^{(m)}>0,\\]\\[p_{j j}^{(n+s+m)} \\geq p_{j i}^{(n)} p_{i i}^{(s)} p_{i j}^{(m)}>0\\]이므로 \\( d_{j} \\)는 \\( n+m \\)과 \\( n+s+m \\)의 공약수이다. 그러므로 \\( d_{j} \\)는 \\( n+s \\) \\( +m-(n+m)=s \\)의 약수이다. \\( d_{i} \\)는 \\( p_{i i}^{(s)}>", "0 \\)를 만족하는 모든 \\( s \\)들의 최대공 약수이므로 \\( d_{j} \\)는 \\( d_{i} \\)의 약수이다.", "같은 방법으로 \\( d_{i} \\)가 \\( d_{j} \\)의 약수임을 보일 수 있다.", "따라서 \\( d_{i}=d_{j} \\)이다.", "</p><p>정리 \\( 5.8 \\)에 의하여 기약인 마르코프연쇄는 모든 상태가 비주기적이든지 아니면 한 상태의 주기가 \\( d>1 \\)이면 다른 모든 상태의 주기도 \\( d \\)이다.", "이때 임의의 상태 \\( i \\in S \\)의 주기를 마르코프연쇄의 주기라 한다.", "</p><p>기약이며 주기가 \\( d \\)인 마르코프연쇄는 상태의 순서를 바꿈으로써 전이확률행렬을 특수한 형태로 나타낼 수 있다.", "예를 들어 기약이며 \\( d=3 \\)인 마르코프연쇄의 전이확률행렬은 다음과 같이 쓸 수 있다.", "</p><p>\\(P =\\)\\( \\left.\\begin{array}{l}C_{0} \\\\C_{1} \\\\ C_{2}\\end{array}\\right. \\)\\", "( \\left(\\begin{array}{ccc}_{O}^{^{C_{0}}} & _{\\widetilde{P}_{0}}^{^{C_{1}}} & _{O}^{^{C_{2}}} \\\\ O & O & \\widetilde{P}_{1} \\\\ \\widetilde{P}_{2} & O & O\\end{array}\\right) \\)</p><p>이때 \\( P^{2} \\)과 \\( P^{3} \\)은 각각 다음과 같은 형태가 됨을 알 수 있다.", "</p><p>\\(P^{2} =\\)\\( \\left.\\begin{array}{l}C_{0} \\\\C_{1} \\\\ C_{2}\\end{array}\\right. \\)\\", "( \\left(\\begin{array}{ccc}_{O}^{^{C_{0}}} &_{O}^{^{C_{1}}} & _{P_{0}^{*}}^{^{C_{2}}} \\\\ P_{1}^{*} & O & O \\\\ O & P_{2}^{*} & O\\end{array}\\right) \\), \\(P^{3} =\\)\\( \\left.\\begin{array}{l}C_{0} \\\\C_{1} \\\\ C_{2}\\end{array}\\right. \\)\\", "( \\left(\\begin{array}{ccc}_{P_{0}}^{C_{0}} & _{O}^{C_{1}} & _{O}^{C_{2}} \\\\ O & P_{1} & O \\\\ O & O & P_{2}\\end{array}\\right) \\)</p><p>따라서 \\(P^{3n} =\\)\\( \\left.\\begin{array}{l}C_{0} \\\\C_{1} \\\\ C_{2}\\end{array}\\right. \\)\\", "( \\left(\\begin{array}{ccc}_{P_{0}^{n}}^{^{C_{0}}} & _{O}^{^{C_{1}}} & _{O}^{^{C_{2}}} \\\\ O & P_{1}^{n} & O \\\\ O & O & P_{2}^{n}\\end{array}\\right) \\)</p><p>예제 \\(5.20\\)</p><p>마르코프연쇄 \\( X \\)의 상태공간이 \\( \\{1,2, \\cdots, 7\\} \\)이고 전이확률행렬이 다음과 같다고 하자.", "</p><p>\\( P=\\left(\\begin{array}{ccccccc}0 & 0 & \\frac{1}{2} & \\frac{1}{4} & \\frac{1}{4} & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & \\frac{1}{3} & 0 & \\frac{2}{3} & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \\frac{1}{3} & \\frac{2}{3} \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \\frac{1}{2} & \\frac{1}{2} \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \\frac{3}{4} & \\frac{1}{4} \\\\ \\frac{1}{2} & \\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ \\frac{1}{4} & \\frac{3}{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\end{array}\\right) . \\)", "</p><p>이때 \\( X \\)의 주기는 \\( d=3 \\)임을 알 수 있다.", "또한 \\( C_{0}=\\{1,2\\}, C_{1}=\\{3,4,5\\}, C_{2}=\\{6 \\), \\( 7\\} \\)로 두면 \\( P^{2} \\)와 \\( P^{3} \\)는 각각 다음과 같음을 알 수 있다.", "</p><p>\\(P^{2} =\\)\\( \\left.\\begin{array}{l}C_{0} \\\\C_{1} \\\\ C_{2}\\end{array}\\right. \\)\\", "( \\left(\\begin{array}{ccc}_{O}^{^{C_{0}}} &_{O}^{^{C_{1}}} & _{P_{0}^{*}}^{^{C_{2}}} \\\\ P_{1}^{*} & O & O \\\\ O & P_{2}^{*} & O\\end{array}\\right) \\), \\(P^{3} =\\)\\( \\left.\\begin{array}{l}C_{0} \\\\C_{1} \\\\ C_{2}\\end{array}\\right. \\)\\", "( \\left(\\begin{array}{ccc}_{P_{0}}^{^{C_{0}}} & _{O}^{^{C_{1}}} & _{O}^{^{C_{2}}} \\\\ O & P_{1} & O \\\\ O & O & P_{2}\\end{array}\\right) \\)</p><p>단 \\( P_{0}^{*}=\\left(\\begin{array}{cc}\\frac{23}{48} & \\frac{25}{48} \\\\ \\frac{11}{18} & \\frac{7}{18}\\end{array}\\right), P_{1}^{*}=\\left(\\begin{array}{cc}\\frac{1}{3} & \\frac{2}{3} \\\\ \\frac{3}{8} & \\frac{5}{8} \\\\ \\frac{7}{16} & \\frac{9}{16}\\end{array}\\right), P_{2}^{*}=\\left(\\begin{array}{ccc}\\frac{5}{12} & \\frac{1}{8} & \\frac{11}{24} \\\\ \\frac{3}{8} & \\frac{1}{16} & \\frac{9}{16}\\end{array}\\right) \\),\\[P_{0}=\\left(\\begin{array}{cc} \\frac{71}{192} & \\frac{121}{192} \\\\\\frac{29}{72} & \\frac{43}{72}\\end{array}\\right), P_{1}=\\left(\\begin{array}{ccc}\\frac{14}{36} & \\frac{3}{36} & \\frac{19}{36} \\\\\\frac{19}{48} & \\frac{3}{32} & \\frac{49}{96} \\\\\\frac{13}{32} & \\frac{7}{64} & \\frac{31}{64}\\end{array}\\right), P_{2}=\\left(\\begin{array}{cc}\\frac{157}{288} & \\frac{131}{288} \\\\\\frac{111}{192} & \\frac{81}{192}\\end{array}\\right)\\]</p> <h2>5.4.3 재귀성</h2><p>이 절에서는 마르코프연쇄 \\( \\boldsymbol{X}=\\left\\{X_{n}, n \\geq 0\\right\\} \\)이 처음 출발한 상대로 얼마나 자주 되돌아오는지 살펴본다.", "이러한 성질은 층분히 시간이 경과했을 때 \\( X \\)의 상태에 대한 분포 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} P\\left(X_{n}=j\\right) \\)의 존재성과 밀접한 관련이 있다.", "</p><p>\\( X \\)가 \\( X_{0} \\)를 출발한 후 처음으로 \\( j \\)를 방문할 때까지의 전이 수를 \\( T_{j} \\)라 하자.", "즉 \\[T_{j}=\\inf \\left\\{n \\geq 1: X_{n}=j\\right\\}\\]</p><p>단 모든 \\( n \\geq 1 \\)에 대하여 \\( X_{n} \\neq j \\)이면 \\( T_{j}=\\infty \\)로 정의한다. \\", "( X_{0}=j \\)라는 가정하에 언젠가는 \\( j \\)를 다시 방문할 확률을 \\( f_{j} \\), 처음으로 \\( j \\)에 되돌아올 때까지 걸리는 시간의 평균을 \\( m_{j} \\)라 하자.", "즉 \\[f_{j}=P\\left(T_{j}<\\infty \\mid X_{0}=j\\right)=\\sum_{k=1}^{\\infty} P\\left(T_{j}=k \\mid X_{0}=j\\right),\\] \\[ m_{j}=E\\left[T_{j} \\mid X_{0}=j\\right]=\\sum_{k=1}^{\\infty} k P\\left(T_{j}=k \\mid X_{0}=j\\right) . \\]", "</p><p>\\( f_{j}=1 \\)일 때 \\( j \\)는 재귀적(recurrent)이라 하고 \\( f_{j}<1 \\)일 때 \\( j \\)는 일시적(transient)이라고 한다.", "재귀적인 상태 \\( j \\)가 \\( m_{j}<\\infty \\)를 만족할 때 \\( j \\)는 양재귀적(positive recurrent)이라 하고 \\( m_{j}=\\infty \\) 일 때 영재귀적(null recurrent)이라 한다", "/</p><p>예제 \\(5.21\\) 예제 \\(4.11\\)의 연속</p><p>앞면이 나올 확률이 \\( p(0<p<1) \\)인 동전을 던지는 실험에서 \\( X_{n} \\)을 \\( n \\)번째 시행에서 얻어지는 앞면의 연(run)의 길이(연속해서 앞면이 나오는 횟수)라 하자.", "예를 들어 동전을 던져서 얻어진 결과가 \\[ H, T, T, T, H, H, T, H, H, H, T, T, T, \\cdots \\]이면 \\( X_{1}=1, X_{2}=X_{3}=X_{4}=0, X_{5}=1, X_{6}=2, X_{7}=0, X_{8}=1, X_{11}=4 \\)이다. \\", "( X= \\) \\( \\left\\{X_{n}, n=0,1,2, \\cdots\\right\\} \\)는 상태공간이 \\( \\{0,1,2, \\cdots\\} \\)이고 전이확률행렬이 다음과 같은 마르코프연쇄가 된다.", "</p><p>\\(P =\\)\\( \\left.\\begin{array}{l}0 \\\\1 \\\\ 2 \\\\\\vdots \\end{array}\\right. \\)\\", "( \\left(\\begin{array}{ccccc}_{q}^{^{0}} & _{p}^{^{1}} & ^{^{2}}&^{^{3}} & ^{^{^{\\ldots}}} \\\\ q & & p & & \\\\ q & & & p & \\\\ \\vdots & & & & \\ddots\\end{array}\\right)( \\) 단 \\( q=1-p) \\)</p><p>이때 \\[P\\left(T_{0}=n \\mid X_{0}=0\\right)=p^{n-1} q, \\quad n=1,2, \\cdots\\]이므로 \\[ \\begin{array}{l}f_{0}=P\\left(T_{0}<\\infty \\mid X_{0}=0\\right)=\\sum_{k=1}^{\\infty} p^{n-1} q=1, \\\\m_{0}=E\\left[T_{0} \\mid X_{0}=0\\right]=\\sum_{n=1}^{\\infty} n p^{n-1} q=\\frac{1}{q}<\\infty\\end{array}\\]이다.", "따라서 상태 \\(0\\)은 양재귀적이다.", "</p><p>\\( X_{0}=j \\)일 때 마르코프연쇄 \\( X \\)가 \\( j \\)를 \\( n \\)번째 다시 방문하는 시각을 \\( T_{j}(n) \\)이라 하고 방문하는 시간 간격을 \\( \\tau_{j}(n)=T_{j}(n)-T_{j}(n-1)\\left(n \\geq 1, T_{j}(0)=0\\right) \\)이라 하자. 단 모든 \\( k>", "T_{j}(n-1) \\)에 대하여 \\( X_{k} \\neq j \\)이면 \\( T_{j}(n)=\\infty \\)로 둔다.", "명백하게 \\( T_{j}(1)=T_{j} \\)이고 \\( \\tau_{j}(1)=T_{j}(1) \\)이다.", "</p> <p>예제 \\( 5.7 \\)</p><p>성공할 확률이 \\( p \\)인 베르누이시행을 \\( n \\)회 시행할 때 성공 횟수 \\( N_{n} \\)은 다음과 같이 서로 독립이며 각각은 성공할 확률이 \\( p \\)인 베르누이확률변수 \\( X_{k}(k=1,2, \\cdots) \\)의 합으로 나타낼 수 있다. \\", "[ N_{n}=\\sum_{k=1}^{n} X_{k}, \\quad n=1,2, \\cdots \\] 따름정리 \\(5.2\\)에 의하여 \\( \\left\\{N_{n}, n \\geq 0\\right\\} \\)은 상태공간이 \\( \\{0,1,2, \\cdots\\} \\)이고 전이확률이 다음과 같은 마르코프연쇄이다. \\", "[ p_{i j}=P\\left(N_{n+1}=j \\mid N_{n}=i\\right)=\\left\\{\\begin{array}{ll}p, & j=i+1 \\\\ 1-p, & j=i \\\\ 0, & \\text { 그 밖에 }\\end{array}\\right. \\]", "</p><p>예제 \\(5.8\\)</p><p>\\( S_{n} \\)을 성공할 확률이 \\( p \\)인 베르누이과정에서 \\( n \\)회 성공할 때까지 시행한 횟수라 하자.", "정리 \\(1.3\\)으로부터 \\( Y_{k}=S_{k}-S_{k-1}, k=1,2, \\cdots \\)는 서로 독립이며 각각은 모수가 \\( p \\)인 기하확률변수이다.", "한편 \\( S_{n}=\\sum_{k=1}^{n} Y_{k} \\)이므로 따름정리 \\(5.2\\)에 의하여 \\( \\left\\{S_{n}\\right\\} \\)은 마르코프 연쇄가 된다.", "전이확률은 \\[\\begin{aligned}p_{i j} &=P\\left(S_{n+1}=j \\mid S_{n}=i\\right) \\\\&=P\\left(S_{n+1}-S_{n}=j-i\\right)=\\left\\{\\begin{array}{ll}p q^{j-i-1}, & j \\geq i+1 \\\\0, & \\text {그 밖에 }\\end{array}\\right.\\", "end{aligned}\\]이고 일 단계 전이확률행렬은\\[ P=\\left(\\begin{array}{cccccc}0 & p & p q & p q^{2} & p q^{3} & \\cdots \\\\ & 0 & p & p q & p q^{2} & \\cdots \\\\& & 0 & p & p q & \\cdots\\end{array}\\right)\\]이다.", "또한 \\[S_{n+m}-S_{n}=\\sum_{k=n+1}^{n+m} Y_{k} \\sim \\operatorname{NB}(m, p)\\]이므로 \\( m \\) 단계 전이확률은 다음과 같다. \\", "[ p_{i j}^{(m)}=P\\left(S_{n+m}=j \\mid S_{n}=i\\right)=P\\left(S_{m}=j-i\\right) \\] \\[ =\\left\\{\\begin{array}{ll}(j-i-1) p^{m} q^{j-i-m}, & j \\geq i+m \\\\ 0, & j<i+m\\end{array}\\right. \\]", "</p><p>예제 \\( 5.9 \\)</p><p>\\( Y_{1}, Y_{2}, \\cdots \\)가 서로 독립이고 같은 분포를 따르며 각각의 확률질량함수가 \\( p_{i}=P\\left(Y_{n}\\right. \\) \\", "( =i)(i=0,1,2,3,4) \\)일 때 \\( X_{n} \\)을 다음과 같이 정의하자. \\", "[ X_{n+1}=X_{n}+Y_{n+1}(\\bmod 5) \\] 단 \\( x=y(\\bmod 5) \\)는 \\( y \\)를 \\(5\\)로 나누었을 때 나머지가 \\( x \\)임을 의미한다.", "그러면 \\( \\left\\{X_{n}, n\\right. \\) \\", "( =0,1,2, \\cdots\\}\\left(X_{0}=0\\right) \\)는 다음과 같은 전이확률행렬을 갖는 마르코프연쇄이다. \\", "[ P=\\left(\\begin{array}{lllll}p_{0} & p_{1} & p_{2} & p_{3} & p_{4} \\\\ p_{4} & p_{0} & p_{1} & p_{2} & p_{3} \\\\ p_{3} & p_{4} & p_{0} & p_{1} & p_{2} \\\\ p_{2} & p_{3} & p_{4} & p_{0} & p_{1} \\\\ p_{1} & p_{2} & p_{3} & p_{4} & p_{0}\\end{array}\\right) \\] 이와 같이 각각의 성분이 모두 음이 아니고 각 행의 합과 각 열의 합이 각각 \\(1\\)이 되는 행렬을 이중확률행렬(doubly stochastic matrix)이라 한다.", "</p> <h2>5.6.2 도달시간</h2><p>전이확률행렬이 \\((5.27)\\)과 같은 마르코프연쇄 \\( X \\)가 흡수상태 \\( B \\subset S \\)에 도달하는데 걸리는 시간을 \\( T_{B} \\)라 하자.", "즉 \\[T_{B}=\\min \\left\\{k \\geq 0: X_{k} \\in B\\right\\} .\\] \\", "( X \\)가 \\( i \\in A \\)에서 출발하였다는 가정하에 \\( T_{B} \\)의 조건부확률질량함수를 \\[p_{i}(k)=P\\left(T_{B}=k \\mid X_{0}=i\\right), i \\in A, \\quad k=1,2, \\cdots\\]라 하고 \\( p_{i}(k) \\)를 성분으로 갖는 \\( m \\)차원 열벡터를 다음과 같이 쓰자.", "</p><p>\\( \\boldsymbol{p}(k)=\\left(p_{n+1}(k), p_{n+2}(k), \\cdots, p_{n+m}(k)\\right)^{t} \\)</p><p>정리 \\( 5.24 \\) \\[p(k)=Q^{k-1} V \\mathbf{e}, \\quad k=1,2, \\cdots\\]<caption>(5.29)</caption></p><p>증명 명백하게 \\[p_{i}(1)=P\\left(T_{B}=1 \\mid X_{0}=i\\right)=\\sum_{j \\in B} p_{i j}, \\quad i \\in A\\]이므로 \\[p(1)=V \\mathbf{e}\\]가 되어 \\( k=1 \\)일 때 \\((5.29)\\)가 성립한다. \\", "( k \\geq 2 \\)일 때 \\[P\\left(T_{B}=k \\mid X_{0}=i, X_{1}=j\\right)=0, \\quad i \\in A, \\quad j \\in B\\]이므로 전확률공식에 의하여 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} p_{i}(k) &=P\\left(T_{B}=k \\mid X_{0}=i\\right)=\\sum_{j \\in A} P\\left(T_{B}=k \\mid X_{1}=j, X_{0}=i\\right) p_{i j} \\\\ &=\\sum_{j \\in A} p_{i j} P\\left(T_{B}=k-1 \\mid X_{0}=j\\right) \\\\ &=\\sum_{j \\in A} p_{i j} p_{j}(k-1), \\quad k \\geq 2, \\quad i \\in A \\end{aligned} \\)</p><p>이것을 벡터와 행렬의 곱으로 표현하면 \\[p(k)=Q p(k-1), \\quad k \\geq 2\\]이다.", "따라서 \\[p(k)=Q^{k-1} p(1), \\quad k \\geq 2\\]이고 \\( k=1 \\)일 때의 결과와 조합하면 \\((5.29)\\)를 얻는다.", "</p><p>한 개의 흡수상태를 갖는 경우 특별한 경우로서 상태공간이 \\( S=\\{0,1,2, \\cdots, m\\} \\) 이고 전이확률행렬은 다음과 같은 마르코프연쇄를 생각하자.", "</p><p>\\( P=\\left(\\begin{array}{ll}1 & O \\\\ q & Q\\end{array}\\right) \\)</p><p>여기서 \\( Q \\)는 \\( m \\times m \\) 행렬로서 일시상태 \\( A=\\{1,2, \\cdots, m\\} \\)에 해당하는 전이확률행렬이고 \\( q \\)는 \\( A \\)에서 흡수상태 \\(0\\)으로의 전이확률을 나타내는 \\( m \\times 1 \\)행렬이다.", "이때 \\( 1 \\leq i \\leq m \\)에서 출발하여 흡수상태 \\(0\\)에 도달할 때까지 걸리는 시간 \\( T_{\\{0\\}} \\)의 분포 \\( p_{i}(k)=P\\left(T_{\\{0\\}}=\\right. \\)\\", "( \\left.k \\mid X_{0}=i\\right) \\)는 다음과 같다.", "</p><p>\\( p_{i}(k)=\\left[Q^{k-1} \\boldsymbol{q}_{i}, \\quad k \\geq 1, \\quad i \\in A\\right. \\)", "<caption>(5.30)</caption></p><p>따라서 \\( P\\left(X_{0}=i\\right)=\\alpha_{i}(i=0,1,2, \\cdots, m) \\)이면 \\( p(k)=P\\left(T_{\\{0\\}}=k\\right) \\)는 다음과 같음을 알 수 있다.", "</p><p>\\( p(0)=\\alpha_{0} \\),\\(\\\\ p(k)=\\alpha Q^{k-1} \\boldsymbol{q}, \\quad k \\geq 1 \\)<caption>(5.31)</caption></p><p>단 \\( \\boldsymbol{\\alpha}=\\left(\\alpha_{1}, \\cdots, \\alpha_{m}\\right) \\)이다. \\", "((5.31)\\)과 같은 확률분포를 이산 상형분포(phase type distribution)라 하고 \\( P H_{d}(\\alpha, Q) \\) 로 나타낸다.", "</p><p>이제 상태공간이 \\( S=\\{0,1,2, \\cdots, m\\} \\)이고 \\(0\\)이 흡수상태인 마르코프연쇄 \\( X \\)가 흡수상태에 도달할 때까지 일시상태를 방문하는 횟수의 평균에 대하여 알아보자.", "</p><p>마르코프연쇄 \\( \\boldsymbol{X} \\)가 흡수상태 \\(0\\)을 방문할 때까지 상태 \\( j \\)를 방문하는 횟수를 \\( N_{j}(1 \\leq j \\)\\( \\leq m) \\)라 하면 전확률공식에 의하여 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} m_{i j} &=E\\left[N_{j} \\mid X_{0}=i\\right] \\\\ &=\\delta_{i j}+\\sum_{k=1}^{m} p_{i k} E\\left[N_{j} \\mid X_{0}=i, X_{1}=k\\right] \\\\ &=\\delta_{i j}+\\sum_{k=1}^{m} p_{i k} m_{k j}, \\quad 1 \\leq i, j \\leq m \\end{aligned} \\)<caption>(5.32)</caption></p><p>단 \\( i=j \\)이면 \\( \\delta_{i j}=1 \\)이고 \\( i \\neq j \\)이면 \\( \\delta_{i j}=0 \\)이다.", "</p><p>\\( m_{i j} \\)를 \\( (i, j) \\)성분으로 하는 \\( m \\times m \\)행렬을 \\( M=\\left(m_{i j}\\right) \\)로 두고 식 \\( (5.32) \\)를 행렬형태로 쓰면 \\( M=I+Q M \\)이므로 \\[M=(I-Q)^{-1}.\\]", "<caption>(5.33)</caption></p><p>또한 \\( i \\)에서 출발하여 흡수상태에 도달할 때까지 걸리는 시간의 기댓값은 \\[\\mu_{i}=\\sum_{j=1}^{m} m_{i j}, \\quad 1 \\leq i \\leq m\\]이므로 \\((5.33)\\)으로부터 \\( \\boldsymbol{\\mu}=\\left(\\mu_{1}, \\cdots, \\mu_{m}\\right)^{t} \\)는 다음과 같다.", "</p><p>\\( \\boldsymbol{\\mu}=M \\mathbf{e}=(I-Q)^{-1} \\mathbf{e} \\)<caption>(5.34)</caption></p><p>예제 \\(5.33\\) 도박꾼의 파산문제 연속</p><p>예제 \\( 5.31 \\)에서 \\( c=5, p=0.6 \\)일 때 두 개의 흡수상태 \\(0\\)과 \\( c \\)를 제외하고 남은 상태로 이루어진 부분행렬 \\( Q \\)는 다음과 같다.", "</p><p>\\( Q=\\begin{array}{c}_1^{^1} \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\ 4\\end{array}\\left(\\begin{array}{cccc}_0^{~~^{2}}& _{0.6}^{~~~~^{3}} & _0^{~~^{4}} & 0 \\\\ 0.4 & 0 & 0.6 & 0 \\\\ 0 & 0.4 & 0 & 0.6 \\\\ 0 & 0 & 0.4 & 0\\end{array}\\right) \\)</p><p>따라서 게임이 끝날 때까지 시행한 게임의 횟수 \\( T \\)의 조건부 평균 \\( \\mu_{i}=E\\left[T \\mid X_{0}=i\\right](i \\)\\( =1,2,3,4) \\)는 다음과 같다.", "</p><p>\\( \\boldsymbol{\\mu}=(I-Q)^{-1} \\mathbf{e} \\)\\( =\\left(\\begin{array}{llll}1.54028 & 1.35071 & 1.06635 & 0.63981 \\\\ 0.900474 & 2.25118 & 1.77725 & 1.06635 \\\\ 0.473934 & 1.18483 & 2.25118 & 1.35071 \\\\ 0.189573 & 0.473934 & 0.900474 & 1.54028\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 1\\end{array}\\right) \\) \\( =(4.59716,5.99526,5.26066,3.10427)^{t} \\)</p> <h1>5.7 역행과정과 역행가능성</h1><p>이 절에서는 에르고딕인 마르코프연쇄가 시간이 역으로 진행될 때 얻어지는 확률과정의 특성을 살펴본다.", "시간이 역으로 한없이 진행될 수 있도록 하기 위하여 시간공간이 정수 전체 집합 \\( \\mathrm{Z}=\\{\\cdots,-2,-1,0,1,2, \\cdots\\} \\)인 마르코프연쇄를 생각한다.", "</p><p>마르코프연쇄 \\( \\boldsymbol{X}=\\left\\{\\cdots, X_{-2}, X_{-1}, X_{0}, X_{1}, X_{2}, \\cdots\\right\\} \\) 의 상태공간을 \\( \\mathcal{S} \\), 전이확률행렬을\\( P=\\left(p_{i j}\\right) \\), 정상분포를 \\( \\pi=\\left(\\pi_{j}, j \\in S\\right) \\)라 하자.", "각각의 시각 \\( n \\in Z \\)에 대하여 \\( P\\left(X_{n}=j\\right) \\)\\( =\\pi_{j}, j \\in \\mathcal{S} \\)일 때 \\( X \\)는 정상상태에 있다고 한다.", "이 절 전체를 통하여 마르코프연쇄 \\( \\boldsymbol{X} \\)가정상상태에 있다고 가정한다. \\", "( Y_{n}=X_{-n} \\)으로 두었을 때 얻어지는 확률과정 \\( Y=\\left\\{Y_{n}, n\\right. \\)\\( \\in Z\\}", "\\)을 \\( X \\)의 역행과정(reversed process)이라고 한다. \\", "( Y \\)와의 구분을 위하여 \\( X \\)를 순행과정(forward process)이라고 부르기도 한다.", "</p><p>정리 \\( 5.25 \\) \\( X \\)의 역행과정 \\( Y \\)는 전이확률행렬이 \\( Q=\\left(q_{i j}\\right) \\), \\[q_{i j}=\\frac{\\pi_{j} p_{j i}}{\\pi_{i}}, i, j \\in \\mathcal{S}\\]<caption>(5.35)</caption>인 마르코프연쇄이다.", "또한 \\( \\pi \\)는 \\( Y \\)의 정상분포이다.", "</p><p>증명 시각 \\( n \\)이전의 \\( Y \\)상태 \\( A_{n}=\\left\\{Y_{k}, k<n\\right\\}=\\left\\{X_{-k},-k>-n\\right\\} \\)와 이후 상태 \\( B_{n}=\\left\\{Y_{k}, k>n\\right\\}=\\left\\{X_{-k},-k<-n\\right\\} \\)는 순행과정 \\( X \\)의 관점에서 보았을 때 각각 시각 \\( -n \\)이후 상태와 \\( -n \\)이전 상태가 된다. \\", "( X \\)가 마르코프연쇄이므로 \\( Y_{n}=X_{-n} \\)이 주어졌다는 가정하에서 \\( A_{n} \\)과 \\( B_{n} \\)은 조건부로 독립이다.", "따라서 \\( Y \\)는 마르코프연쇄이다. \\", "( Y \\)의 전이확률 \\( q_{i j} \\)는 다음과 같다.", "</p><p>\\( \\begin{aligned} q_{i j} &=P\\left(Y_{m+1}=j \\mid Y_{m}=i\\right)=P\\left(X_{-m-1}=j \\mid X_{-m}=i\\right) \\\\ &=\\frac{P\\left(X_{-m-1}=j, X_{-m}=i\\right)}{P\\left(X_{-m}=i\\right)} \\\\ &=\\frac{P\\left(X_{-m}=i \\mid X_{-m-1}=j\\right) P\\left(X_{-m-1}=j\\right)}{P\\left(X_{-m}=i\\right)} \\\\ &=\\frac{\\pi_{j} p_{j i}}{\\pi_{i}}, \\quad i, j \\in \\mathcal{S} \\end{aligned} \\)</p><p>끝으로 \\( \\pi \\)가 \\( Y \\)의 정상분포가 됨을 보인다.", "식 \\((5.35)\\)의 양변에 \\( \\pi_{i} \\)를 곱한 뒤 \\( i \\)에 대하여 합하면 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( \\sum_{i \\in S} \\pi_{i} q_{i j}=\\pi_{j} \\sum_{i \\in S} p_{j i}=\\pi_{j}, \\quad j \\in \\mathcal{S} \\)</p><p>기약인 마르코프연쇄의 정상분포는 유일하므로 \\( \\pi \\)는 \\( Y \\)의 정상분포이다.", "</p><p>따름정리 \\( 5.26 \\) \\( Y \\)의 \\( n \\)단계 전이확률행렬 \\( Q^{(n)}=\\left(q_{i j}^{(n)}\\right) \\)은 다음과 같다.", "<p>\\( q_{i j}^{(n)}=P\\left(Y_{n}=j \\mid Y_{0}=i\\right)=\\frac{\\pi_{j} p_{j i}^{(n)}}{\\pi_{i}}, \\quad i, j \\in \\mathcal{S} \\)</p></p><p>증명 정리 \\( 5.25 \\)에서 \\( q_{i j} \\)를 구하는 방법을 반복하면 증명된다.", "</p><p>\\( X \\)의 전이확률과 역행과정 \\( Y \\)의 전이확률이 같을 때, 즉 \\( P=Q \\)일 때 \\( X \\)는 역행가능(time reversible)이라고 한다.", "정리 \\( 5.25 \\)로부터 다음이 성립함을 알 수 있다.", "</p><p>정리 \\( 5.27 \\) 마르코프연쇄 \\( X \\)가 역행가능일 필요충분조건은 \\[\\pi_{i} p_{i j}=\\pi_{j} p_{j i}, \\quad i, j \\in \\mathcal{S}\\]<caption>(5.36)</caption>이다.", "</p><p>식 \\((5.36)\\)을 상세평형방정식(detailed balance equation)이라 한다.", "</p><p>예제 \\(5.34\\)</p><p>상태공간이 \\( S=\\{0,1,2, \\cdots, M\\} \\)이고, 다음과 같은 전이확률 행렬을 갖는 마르코프연쇄 \\( X \\)를 생각하자.", "</p><p>\\( P=\\left(\\begin{array}{ccccc}q & p & & & \\\\ q & 0 & p & & \\\\ & \\ddots & \\ddots & \\ddots & \\\\ & & q & 0 & p \\\\ & & & q & p\\end{array}\\right) \\)</p><p>단 \\( 0<p<1, q=1-p \\)이다. \\", "( X \\)의 정상분포는 다음과 같음을 알 수 있다(예제 \\(5.26\\)).", "</p><p>\\( \\pi_{j}=\\frac{(1-\\rho) \\rho^{j}}{1-\\rho^{M+1}}, \\quad j=0,1,2, \\cdots, M\\left(\\right. \\)", "단 \\( \\left.\\", "rho=\\frac{p}{q}\\right) \\)</p><p>따라서 \\[\\pi_{i} p_{i, i+1}=\\pi_{i} p=\\pi_{i+1} q=\\pi_{i+1} p_{i+1, i}, \\quad i=0,1, \\cdots, M\\]이므로 \\( X \\)는 역행가능이다.", "</p><p>예제 \\(5.35\\) 경과시간과 잔여수명의 관계</p><p>\\( B=\\left\\{B_{n}\\right\\} \\)과 \\( A=\\left\\{A_{n}\\right\\} \\)을 각각 예제 \\(5.14\\)와 예제 \\( 5.15 \\)에서 정의한 잔여수명과정과 나이과정이라고 하고 \\( C_{n}=B_{n}-1 \\)이라 하자. \\", "( C=\\left\\{C_{n}\\right\\} \\)은 \\( A \\)의 역행과정이지만 역행가능은 아님을 보여라.", "</p><p>풀이 예제 \\( 5.14 \\)와 예제 \\( 5.15 \\)로부터 \\( C \\)의 전이확률행렬 \\( P=\\left(p_{i j}\\right) \\)와 \\( A \\)의 전이확률행렬 \\( Q=\\left(q_{i j}\\right) \\)는 각각 다음과 같음을 알 수 있다.", "</p><p>\\( p_{i, i-1}=1, \\quad i \\geq 1, \\quad p_{0 j}=P\\left(X_{1}=j+1\\right), \\quad j \\geq 0 \\), \\(\\\\ q_{i, i+1}=\\frac{P\\left(X_{1}>i+1\\right)}{P\\left(X_{1}>i\\right)}, \\quad q_{i 0}=1-q_{i, i+1}=\\frac{P\\left(X_{1}=i+1\\right)}{P\\left(X_{1}>i\\right)}, \\quad i \\geq 0 \\)</p><p>단 \\( X_{1} \\)은 첫 번째 갱신이 발생할 때까지의 시간이다.", "</p><p>또한 예제 \\(5.27\\)로부터 \\( C \\)의 정상분포는 \\( \\pi_{j}=\\frac{P\\left(X_{1}>j\\right)}{E\\left[X_{1}\\right]}, j=0,1,2, \\cdots \\)이므로 다음이 성립함을 알 수 있다.", "</p><p>\\( \\pi_{0} p_{0 j}=\\frac{P\\left(X_{1}=j+1\\right)}{E\\left[X_{1}\\right]}=\\frac{P\\left(X_{1}>j\\right) P\\left(X_{1}=j+1\\right)}{E\\left[X_{1}\\right] \\quad P\\left(X_{1}>j\\right)}=\\pi_{j} q_{j 0}, j \\geq 0 \\), \\(\\\\ \\pi_{i} p_{i, i-1}=\\frac{P\\left(X_{1}>i\\right)}{E\\left[X_{1}\\right]}=\\frac{P\\left(X_{1}>i-1\\right) \\quad P\\left(X_{1}>i\\right)}{E\\left[X_{1}\\right] \\quad P\\left(X_{1}>i-1\\right)} \\) \\( =\\pi_{i-1} q_{i-1, i}, \\quad i \\geq 1 \\)</p><p>따라서 \\( C \\)는 \\( A \\)의 역행과정이지만 \\( P \\neq Q \\)이므로 \\( A \\)는 역행가능이 아니다.", "</p> <h1>5.6 흡수상태를 갖는 마르코프연쇄</h1><p>마르코프연쇄 \\( X=\\left\\{X_{n}, n \\geq 0\\right\\} \\)의 상태 \\( i \\in S \\)가 \\[p_{i i}=P\\left(X_{n+1}=i \\mid X_{n}=i\\right)=1\\]을 만족할 때 \\( i \\)를 흡수상태(absorbing state)라 한다.", "</p><p>상태공간이 \\( S=\\{0,1,2, \\cdots, n, n+1, \\cdots, n+m\\} \\)인 마르코프연쇄 \\( X \\)에 대하여 \\( B= \\) \\( \\{0,1, \\cdots, n\\} \\)을 \\( X \\)의 흡수상태의 집합, \\( A=\\{n+1, \\cdots, n+m\\} \\)을 일시상태의 집합이라 하자.", "그러면 전이확률행렬 \\( P=\\left(p_{i j}\\right) \\)를 다음과 같이 쓸 수 있다.", "</p><p>\\(P =\\)\\( \\left.\\begin{array}{l}B \\\\A\\end{array}\\right. \\)\\", "( \\left(\\begin{array}{ll}_{I}^{B} & _{O}^{A} \\\\ V & Q\\end{array}\\right) \\)<caption>(5.27)</caption></p><p>단 \\( I \\)는 \\( (n+1) \\times(n+1) \\) 단위행렬이고 \\( O \\)는 크기가 \\( (n+1) \\times m \\)인 영행렬이다.", "또한 \\( V=\\left(p_{i j}\\right)_{i \\subset A, j \\in B} \\)는 \\( m \\times(n+1) \\) 행렬이고 \\( Q=\\left(p_{i j}\\right)_{i, j \\in A} \\)는 \\( m \\times m \\) 행렬이다.", "</p><p>이 절에서는 \\((5.27)\\)과 같은 전이확률행렬을 갖는 마르코프연쇄 \\( X \\)가 일시상태 \\( i \\in A \\)에서 출발하여 흡수상태 \\( j \\in B \\)에 도달할 확률과 흡수상태에 도달할 때까지 걸리는 전이 수의 분포에 대하여 살펴본다.", "</p><h2>5.6.1 흡수확률</h2><p>정리 \\( 5.23 \\) 마르코프연쇄 \\( X \\)가 \\( i \\)에서 출발하여 궁극적으로 \\( j \\)에 도달할 확률을 \\[ \\pi_{i j}=\\lim _{k \\rightarrow \\infty} p_{i j}^{(k)}, \\quad i, j \\in S\\]라 하면 \\( \\Pi=\\left(\\pi_{i j}\\right) \\)는 다음과 같다. \\", "(\\\\ \\Pi = \\left.\\begin{array}{l}B \\\\A\\end{array}\\right. \\)\\", "( \\left(\\begin{array}{cc}_{I}^{B} & _{O}^{A} \\\\ (I-Q)^{-1} V & O\\end{array}\\right) \\)<caption>(5.28)</caption></p><p>증명 채프만-콜모고로프방징식으로부터 다음이 성립함을 알 수 있다.", "</p><p>\\( P^{(k)}=P^{k}=\\left(\\begin{array}{cc}I & O \\\\ V_{k} & Q^{k}\\end{array}\\right) \\)</p><p>단 \\( V_{k}=\\left(I+Q+Q^{2}+\\cdots+Q^{k-1}\\right) V \\)이다.", "</p><p>한편 \\( i, j \\in A \\)일 때 \\( j \\)가 일시상태이므로 \\( \\lim _{k \\rightarrow \\infty} p_{i j}^{(k)}=0 \\) 이다.", "따라서 \\[\\lim _{k \\rightarrow \\infty} Q^{k}=O\\]이다.", "또한 \\[ (I-Q)\\left(\\sum_{\\nu=0}^{k-1} Q^{\\nu}\\right)=I-Q^{k}=\\left(\\sum_{\\nu=0}^{k-1} Q^{\\nu}\\right)(I-Q)\\] (단 \\( Q^{0}=I \\) 는 단위행렬)이므로 \\[\\sum_{\\nu=0}^{\\infty} Q^{\\nu}=(I-Q)^{-1}\\]임을 알 수 있다.", "따라서 정리가 증명된다.", "</p> <p>예제 \\(5.22\\)</p><p>\\( X_{n} \\)을 성공할 확률이 \\( p \\)인 베르누이시행을 \\( n \\)회 수행하였을 때, 성공한 횟수라 하면 \\( \\left\\{X_{n}, n \\geq 0\\right\\} \\)이 마르코프연쇄가 됨은 이미 알고 있다(예제 \\(5.7\\)).", "이때 상태공간은 \\( S \\) \\( =\\{0,1,2, \\cdots\\} \\)이고 모든 \\( j \\in \\mathcal{S} \\)에 대하여 \\( j \\rightarrow j+1 \\) 이나 \\( j+1 \\nrightarrow j \\)이므로 모든 상태가 일시적이다.", "</p><p>예제 \\( 5.23 \\) \\(1\\)차원 단순확률보행</p><p>\\(\\boldsymbol{X}=\\left\\{X_{n}, n=0,1,2, \\cdots\\right\\}\\)를 전이확률이 \\[p_{i, i+1}=p, \\quad p_{i, i-1}=q=1-p, \\quad i=0, \\pm 1, \\pm 2, \\cdots\\]인 단순확률보행이라 하자. \\", "( X \\)는 기약이므로 모든 상태가 일시적이든지 아니면 재귀적이다.", "그러므로 상태 \\(0\\)에 대하여만 살펴보아도 충분하다.", "상태 \\(0\\)의 주기가 \\(2\\)므로 \\(0\\)이 재귀적인지를 판단하기 위하여 \\( \\sum_{n=0}^{\\infty} p_{00}^{(2 n)}=\\infty \\)의 여부만 살펴보면 충분하다.", "한편</p><p>\\[ p_{00}^{(2 n)}=\\left(\\begin{array}{c}2 n \\\\n\\end{array}\\right) p^{n} q^{n}=\\frac{(2 n) !}{n ! n !}(p q)^{n}, \\quad n=1,2, \\cdots\\]이므로 스털링공식 \\((3.2)\\)를 이용하면 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( p_{00}^{(2 n)} \\sim \\frac{(4 p q)^{n}}{\\sqrt{\\pi n}} \\)</p><p>따라서 \\( \\sum_{n=0}^{\\infty} p_{00}^{(2 n)}<\\infty \\)일 필요충분조건은 \\[ \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{(4 p q)^{n}}{\\sqrt{\\pi n}}<\\infty\\]이다. \\", "( p=\\frac{1}{2} \\)이면 \\( 4 p q=1 \\)이고, \\( p \\neq \\frac{1}{2} \\)이면 \\( 4 p q<1 \\)이므로 \\( p=\\frac{1}{2} \\)일 경우만 \\( \\sum_{n=0}^{\\infty} p_{00}^{(2 n)}=\\infty \\)가 되어 \\( X \\)가 재귀적이다.", "이때 \\( X \\)는 따름정리 \\(3.14\\)에 의하여 영재귀적이다.", "</p><p>예제 \\(5.24\\) \\(2\\)차원 대칭확률보행과 \\(3\\)차원 대칭확률보행</p><p>\\(2\\)차원 대칭확률보행은 상태공간이 \\( \\mathrm{Z}^{2}=\\{(i, j), i, j=0, \\pm 1, \\pm 2, \\cdots\\} \\)이고 한 점 \\( (i, j) \\)에서 전이가 일어날 경우 각각 \\( \\frac{1}{4} \\)의 확률로 \\( (i+1, j),(i-1, j),(i, j+1) \\) 또는 \\( (i, j-1) \\)중의 하나로 전이가 일어나는 마르코프연쇄를 말한다. \\", "(3\\)차원 대칭확률보행은 상태공간이 \\( \\mathrm{Z}^{3} \\)이고 각 \\( x \\in \\mathrm{Z}^{3} \\)에 대하여 전이확률이 \\[p_{x, x_{\\pm} e_{i}}=\\frac{1}{6}, \\quad i=1,2,3\\]인 마르코프연쇄이다.", "단 \\( \\boldsymbol{e}_{1}=(1,0,0), \\boldsymbol{e}_{2}=(0,1,0), \\boldsymbol{e}_{2}=(0,0,1) \\) 이다.", "</p><p>\\(2\\)차원 대칭확률보행과 \\( 3 \\) 차원 대칭확률보행은 모두 기약이다.", "그러나 \\(2\\)차원 대칭확률 보행은 영재귀적인 반면 \\(3\\)차원 대칭확률보행은 일시적인 것으로 알려져 있다.", "</p> <p>예제 \\(5.26\\)</p><p>마르코프연쇄 \\( X \\)의 상태공간은 \\( \\mathcal{S}=\\{0,1, \\cdots, N\\} \\)이고 전이확률행렬은 다음과 같다고 하자.", "</p><p>\\( P=\\left(\\begin{array}{cccccc}r_{0} & p_{0} & & & & \\\\ q_{1} & r_{1} & p_{1} & & & \\\\ & q_{2} & r_{2} & p_{2} & & \\\\ & & \\ddots & \\ddots & \\ddots & \\\\ & & & q_{N-1} & r_{N-1} & p_{N-1} \\\\ & & & & q_{N} & r_{N}\\end{array}\\right) \\)</p><p>단 각각의 \\( i \\)에 대하여 \\( p_{i}>0, q_{i}>0 \\)이고 적당한 \\( 0 \\leq j \\leq N \\)에 대하여 \\( r_{j}>0 \\)이다.", "그러면 \\( X \\)는 기약이고 비주기적이며 유한의 상태공간을 가지므로 \\( X \\)는 에르고딕이다.", "따라서 \\( X \\)의 극한분포 \\( \\pi=\\left(\\pi_{j}, j \\in S\\right) \\)가 유일하게 존재하고 \\( \\pi \\)는 다음 연립방정식을 만족한다.", "</p><p>\\( \\pi_{0}=r_{0} \\pi_{0}+q_{1} \\pi_{1} \\),<caption>(5.19)</caption>\\( \\\\\\pi_{i}=p_{i-1} \\pi_{i-1}+r_{i} \\pi_{i}+q_{i+1} \\pi_{i+1}, \\quad 1 \\leq i \\leq N-1 \\),<caption>(5.20)</caption>\\(\\\\ \\pi_{N}=p_{N-1} \\pi_{N-1}+r_{N} \\pi_{N} \\)<caption>(5.21)</caption></p><p>\\( P \\)가 확률행렬이므로 다음 식을 얻는다.", "</p><p>\\( r_{0}=1-p_{0}, \\quad r_{i}=1-p_{i}-q_{i}, \\quad 1 \\leq i \\leq N-1, \\quad r_{N}=1-q_{N} \\)</p><p>이것을 \\((5.19)\\)와 \\((5.20)\\), \\((5.21)\\)에 대입하여 정리하면 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( \\pi_{1} q_{1-} \\pi_{0} p_{0}=0,~ \\)\\(\\\\ \\pi_{i+1} q_{i+1}-\\pi_{i} p_{i}=\\pi_{i} q_{i}-\\pi_{i-1} p_{i-1}, \\quad 1 \\leq i \\leq N-1,~ \\)\\(\\\\ \\pi_{N} q_{N}-\\pi_{N} p_{N-1}=0 \\)</p><p>위 식에서 \\( \\pi_{1} \\)부터 시작하여 차례로 \\( \\pi_{i}(1 \\leq i \\leq N) \\)를 \\( \\pi_{0} \\)의 항으로 나타내면 다음과 같다.", "</p><p>\\( \\pi_{i}=\\pi_{0} \\frac{p_{0} p_{1} \\cdots p_{i-1}}{q_{1} q_{2} \\cdots q_{i}}, \\quad 1 \\leq i \\leq N \\)<caption>(5.22)</caption></p><p>한편 \\[1=\\sum_{i=0}^{N} \\pi_{i}=\\pi_{0}\\left(1+\\sum_{i=0}^{N} \\frac{p_{0} p_{1} \\cdots p_{i-1}}{q_{1} q_{2} \\cdots q_{i}}\\right)\\]이므로 \\[\\pi_{0}=\\left(1+\\sum_{i=0}^{N} \\frac{p_{0} p_{1} \\cdots p_{i-1}}{q_{1} q_{2} \\cdots q_{i}}\\right)^{-1} .\\]", "</p><p>예제 \\(5.27\\) 잔여수명</p><p>예제 \\( 5.14 \\)에서 갱신간격의 분포가 \\( a_{k}=P\\left(X_{1}=k\\right), k=1,2, \\cdots \\)인 이산시간 갱신과정에서 잔여수명과정 \\( B=\\left\\{B_{n}\\right\\} \\)은 다음과 같은 전이확률행렬을 갖는 마르코프연쇄가 됨을 알아보았다.", "</p><p>\\( P=\\left(\\begin{array}{ccccc}a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} & \\cdots \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 & \\cdots \\\\ & 1 & 0 & 0 & \\cdots \\\\ & & 1 & 0 & \\cdots \\\\ & & & \\vdots & \\end{array}\\right) \\)</p><p>\\( a_{k}>0 \\)이므로 상태 \\(1\\)로부터 일 단계만에 모든 상태로 도달가능하다. 또한 \\( j \\rightarrow j-1 \\rightarrow \\) \\( j-2 \\rightarrow \\cdots \\rightarrow 1 \\)이므로 모든 상태는 상호도달가능이다. 따라서 \\( B \\)는 기약이다. \\( p_{11}= \\) \\( a_{1}>", "0 \\)이므로 상태 \\(1\\)은 비주기적이다.", "따라서 \\( B \\)는 비주기적이다.", "</p><p>한편 \\( B \\)가 \\(1\\)에서 출발하여 \\(1\\)로 되돌아오는 데 걸리는 시간 \\( T_{1} \\)의 분포는 \\[ P\\left(T_{1}=k \\mid B_{0}=1\\right)=a_{k}, \\quad k=1,2, \\cdots\\]이므로 \\[f_{1}=P\\left(T_{1}<\\infty \\mid B_{0}=1\\right)=\\sum_{k=1}^{\\infty} a_{k}=1\\]이 되어 \\( B \\)는 재귀적이다.", "만약 \\( E\\left[X_{1}\\right]<\\infty \\) 이면\\[m_{1}=E\\left[T_{1} \\mid B_{0}=1\\right]=E\\left[X_{1}\\right]<\\infty\\]이므로 \\( B \\)는 양재귀적이고 \\( E\\left[X_{1}\\right]=\\infty \\)이면 영재귀적이다.", "</p><p>이제 \\( E\\left[X_{1}\\right]<\\infty \\)을 가정하고 \\( B \\)의 극한분포를 \\( \\pi \\)라 하자.", "연립방정식 \\( \\pi P=\\pi \\)로부터 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( \\pi_{j}=a_{j} \\pi_{1}+\\pi_{j+1}, \\quad j \\geq 1 \\)</p><p>위의 방정식을 다시 쓰면 다음과 같다.", "</p><p>\\( \\pi_{1}=a_{1} \\pi_{1}+\\pi_{2} \\) \\( \\\\ \\pi_{2}=a_{2} \\pi_{1}+\\pi_{3} \\) \\(\\\\ \\vdots \\) \\( \\\\ \\pi_{n-1}=a_{n-1} \\pi_{1}+\\pi_{n} \\)</p><p>위 식의 양변을 더한 후 \\( \\pi_{1} \\)에 대하여 정리하면 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( \\pi_{n}=\\pi_{1}\\left(1-\\sum_{k=1}^{n-1} a_{k}\\right)=\\pi_{1} P\\left(X_{1} \\geq n\\right), \\quad n=1,2, \\cdots \\)</p><p>정규화 조건 \\[1=\\sum_{n=1}^{\\infty} \\pi_{j}=\\pi_{1} \\sum_{n=1}^{\\infty} P\\left(X_{1} \\geq n\\right)=\\pi_{1} E\\left[X_{1}\\right]\\]으로부터 극한분포는 다음과 같음을 알 수 있다(정리 \\( 4.12 \\) 참고).", "</p><p>\\( \\pi_{j}=\\frac{P\\left(X_{1} \\geq j\\right)}{E\\left[X_{1}\\right]}, \\quad j=1,2, \\cdots \\)</p><p>예제 \\(5.28\\) 나이과정</p><p>예제 \\( 5.15 \\)에서 갱신간격의 분포가 \\( a_{k}=P\\left(X_{1}=k\\right), k=1,2, \\cdots \\)인 이산시간 갱신과정에서 나이과정 \\( A=\\left\\{A_{n}\\right\\} \\)은 다음과 같은 전이확률행렬을 갖는 마르코프연쇄가 됨을 알아보았다.", "</p><p>\\( P=\\left(\\begin{array}{ccccc}1-p_{0} & p_{0} & 0 & 0 & \\cdots \\\\ 1-p_{1} & 0 & p_{1} & 0 & \\cdots \\\\ 1-p_{2} & 0 & 0 & p_{2} & \\cdots \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\end{array}\\right) \\)</p><p>단 \\( p_{i}=\\frac{P\\left(X_{1}>i+1\\right)}{P\\left(X_{1}>i\\right)}(i=0,1,2, \\cdots) \\)이다.", "만약 \\( 0<p_{i}<1 \\)이면 마르코프연쇄 \\( A \\) \\( A \\)는 기약이며 \\( p_{00}=1-p_{0}>0 \\)이므로 비주기적이다. \\", "( A \\)의 극한분포 \\( \\pi \\)가 존재할 때 \\( \\pi \\)는 다음의 연립방정식을 만족한다.", "</p><p>\\( \\pi_{0}=\\pi_{0}\\left(1-p_{0}\\right)+\\pi_{1}\\left(1-p_{1}\\right)+\\cdots, \\)<caption>(5.23)</caption>\\(\\\\ \\pi_{i}=\\pi_{i-1} p_{i-1}, \\quad i \\geq 1 \\)<caption>(5.24)</caption></p><p>한편 \\[p_{0} p_{1} \\cdots p_{i-1}=P\\left(X_{1}>i\\right)\\]이므로 \\((5.24)\\)로부터 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( \\pi_{i}=\\pi_{0}\\left(p_{0} p_{1} \\cdots p_{i-1}\\right)=\\pi_{0} P\\left(X_{1}>i\\right), \\quad i \\geq 1 \\)</p><p>따라서 정규화 조건 \\[1=\\sum_{i=0}^{\\infty} \\pi_{i}=\\pi_{0} \\sum_{i=0}^{\\infty}P\\left(X_{1}>i\\right)=\\pi_{0} E\\left[X_{1}\\right]\\]으로부터 \\( E\\left[X_{1}\\right]<\\infty \\)일 때 \\( A \\)의 극한분포는 다음과 같음을 알 수 있다(정리 \\( 4.12 \\) 참고).", "</p><p>\\( \\pi_{j}=\\frac{P\\left(X_{1}>j\\right)}{E\\left[X_{1}\\right]}, \\quad j=0,1,2, \\cdots \\)</p> <h1>5장 연습문제</h1><p>\\(1\\).", "앞면이 나올 확률이 \\( p \\)인 동전을 계속해서 던지는 실험을 생각하자.", "동전을 \\( n \\)번 던질 때 나오는 앞면의 수에서 뒷면의 수를 뻰 값을 \\( X_{n}\\left(X_{0}=0\\right) \\)이라 할 때, 확률과정 \\( X \\)\\( =\\left\\{X_{n}, n \\geq 0\\right\\} \\)이 마르코프연쇄가 됨을 보이고 \\( X \\)의 상태공간과 전이확률을 구하라.", "</p><p>\\(2\\).", "앞면이 나올 확률이 각각 \\( p_{1} \\)과 \\( p_{2} \\)인 동전 \\(2\\)개를 동시에 던지는 실험에서 동전 \\(1\\)과 동전 \\(2\\)를 \\( n \\)번 던질 때 나오는 앞면의 수를 각각 \\( X_{n} \\) 과 \\( Y_{n} \\)이라 하고 \\( Z_{n}=X_{n}-Y_{n} \\)이라 하자.", "확률과정 \\( Z=\\left\\{Z_{n}, n \\geq 0\\right\\} \\)이 마르코프연쇄가 됨을 보이고 상태공간과 전이확률을 구하라.", "</p><p>\\(3\\).", "세 명의 선수가 다음과 같은 방식으로 게임을 진행한다고 하자.", "먼저 두 명의 선수가 게임을 하고 그 게임의 승자와 나머지 선수가 다시 게임을 한다.", "이와 같은 방식으로 게임을 반복할 때, \\( n \\)번째 게임을 하는 선수의 쌍을 \\( X_{n} \\)이라 하자.", "예를 들어 처음에 \\(1\\)번 선수와 \\(2\\)번 선수가 게임을 하였다면 \\( X_{1}=\\{1,2\\} \\)이다.", "만약 이 게임에서 \\(2\\)번 선수가 이겼다면 \\( X_{2}=\\{2,3\\} \\)이다.", "두 번째 게임에서 \\(3\\)번 선수가 이겼다면 \\( X_{3}=\\{1,3\\} \\)이다.", "다음 물음에 답하라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( X=\\left\\{X_{n}, n \\geq 1\\right\\} \\)은 마르코프연쇄가 됨을 보여라.", "</li><li>\\( i \\)번 선수와 \\( j \\)번 선수가 게임을 할 때 \\( i \\)번 선수가 \\( j \\)번 선수를 이길 확률을 \\( b_{i j}(i, j=1,2,3) \\)라 하고 비기는 경우는 없다고 할 때, \\( X \\)의 상태공간과 전이확률을 구하라.", "</li><li>\\( Y_{n} \\)을 \\( n \\)번째 게임에서의 승자라고 할 때, \\( Y=\\left\\{Y_{n}, n \\geq 1\\right\\} \\)은 마르코프연쇄가 되지 않는 이유를 설명하라.", "</li></ol><p>\\(4\\).", "그림 \\( 5.1 \\)과 같은 원탁에서 \\(6\\)명이 카드놀이를 한다고 하자.", "카드는 \\(1\\)번 사람이 분배하고 게임을 한 다음 카드를 분배한 사람이 그 게임에서 이기면 \\(1\\)번이 다시 분배를 하고 게임에서 지게 되면 \\(2\\)번 사람이 카드를 분배한다.", "이와 같이 \\( i \\)번째 사람이 카드를 분배한 게임에서 \\( i \\)가 이기면 다음 게임에서 \\( i \\)가 다시 카드를 분배하고 \\( i \\)가 그 게임에서 지면 \\( (i+1) \\)번 사람이 다음 게임에서 카드를 분배한다.", "단 \\(6\\)번 사람 다음은 \\(1\\)번으로 넘어간다.", "매 게임은 독립적으로 이루어지며, 카드를 분배한 사람이 \\( i \\)일 때 \\( i \\)가 그 게임에서 이길 확률은 \\( p_{i}(i=1,2, \\cdots, 6) \\)라 하자. \\", "( X_{n} \\)을 \\( n \\)번째 게임에서 카드를 분배한 사람이라 할 때, \\( X=\\left\\{X_{n}, n \\geq 0\\right\\} \\)이 마르코프연쇄가 됨을 보이고 \\( X \\)의 상태공간과 전이확률을 구하라.", "</p><p>\\(5\\).", "버그(bug)가 있는 컴퓨터 프로그램을 생각하자.", "실제 프로그램 내에 버그가 있는지는 알지 못하며 프로그램을 실행할 때 문제가 발생하면 버그가 하나씩 발견된다고 하자.", "버그를 수리하는 과정에서 새로운 버그가 추가될 수도 있다.", "광범위한 데이터에 대하여 프로그램이 만족스럽게 실행될 때까지 이 과정을 계속한다고 하자.", "이 현상을 다음과 같이 모형화하자. \\", "( k \\)개의 버그가 있는 프로그램을 실행할 때 버그가 발견될 확률은 \\( p_{k} \\)이고 발견되지 않을 확률은 \\( q_{k}=1-p_{k} \\)이다.", "물론 \\( p_{0}=0 \\)이다.", "발견된 버그를 수리하는 과정에서 새롭게 \\( i \\)개의 버그가 생길 확률을 \\( b_{i}(i=0,1,2,3) \\)라 하자.", "프로그램을 \\( n \\)번째 실행하기 직전에 프로그램 안에 있는 버그 수를 \\( X_{n} \\)이라 하자.", "버그가 발견되고 새로운 버그가 생기는 것은 과거와 독립이라고 할 때 \\( X=\\left\\{X_{n}, n \\geq 0\\right\\} \\)이 마르코프연쇄가 됨을 보이고 상태공간과 전이확률을 구하라.", "</p><p>\\(6\\).", "각각의 \\( n=0,1, \\cdots \\)에 대하여 구간 \\( [n, n+1) \\)을 \\( n \\)번째 슬롯(slot)이라 한다.", "다음과 같이 작동하는 통신시스템을 생각하자.", "매 슬롯 기간 동안에 전송을 위하여 도착하는 메시지 수는 독립이며 한 슬롯에 \\( k \\)개의 메시지가 도착할 확률을 \\( a_{k}(k=0,1,2, \\cdots) \\)라 하자. \\", "( n \\)번째 슬롯에 도착한 메시지는 \\( n \\)번째 슬롯이 끝나기 직전에 전송한다.", "한 번에 한 개의 메시지만 전송하면 전송은 성공적으로 이루어지며 전송에 성공한 메시지는 시스템을 떠난다.", "그러나 한 번에 두 개 이상의 메시지를 전송하면 충돌이 발생하며 어떤 메시지도 전송할 수가 없다.", "충돌로 인하여 전송에 실패한 메시지는 시스템에 남아서 다음 슬롯이 끝나기 직전에 전송을 시도한다.", "전송에 실패한 경험이 있는 메시지는 각 슬롯의 끝에 전송을 시도할 확률은 \\( p \\) 이며 각 메시지는 독립적으로 전송을 시도한다. \\", "( n \\)번째 슬롯이 끝난 직후 시스템에 남아 있는 메시지 수를 \\( X_{n} \\)이라 할 때, \\( X=\\left\\{X_{n}, n \\geq 0\\right\\} \\)이 마르코프연쇄가 됨을 보이고 상태공간과 전이확률을 구하라.", "</p><p>\\(7\\).", "서로 독립이며 같은 분포를 따르는 확률변수열 \\( \\left\\{X_{n}, n=0,1,2, \\cdots\\right\\} \\)에 대하여 다음을 정의하자.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( S_{n}=\\sum_{j=0}^{n} X_{j} \\)</li><li>\\( K_{n}=X_{n-1}+X_{n} \\)</li><li>\\( Y_{n}=\\max \\left\\{X_{0}, \\cdots, X_{n}\\right\\} \\)</li><li>\\( Z_{n}=\\min \\left\\{X_{0}, \\cdots, X_{n}\\right\\} \\)</li></ol><p>확률과정 \\( \\left\\{S_{n}\\right\\},\\left\\{Y_{n}\\right\\},\\left\\{Z_{n}\\right\\},\\left\\{K_{n}\\right\\} \\) 중 어느 것이 마르코프연쇄가 되는지 결정하라. \\( P\\left(X_{n}=j\\right)=a_{j}>", "0(j=0,1,2, \\cdots) \\)라 할 때 위의 확률과정 중 마르코프연쇄인 것의 전이확률을 구하라.", "</p><p>\\(8\\).", "그림 \\( 5.8 \\)과 같이 \\(5\\)개의 노드가 모두 연결되어 있는 네크워크를 따라 쥐와 고양이가 이동한다고 하자.", "쥐와 고양이는 독립적으로 동시에 이농하며 한 노드에서 다른 노드로 갈 확률은 \\( \\frac{1}{4} \\)로 모두 동일하다.", "쥐와 고양이가 같은 노드에서 만나면 쥐는 고양이에게 잡혀먹히게 된다.", "쥐가 고양이에게 잡히면 그 자리에서 계속 머무는 것으로 본다. \\", "( n \\)번 움직인 직후에 쥐와 고양이 위치를 각각 \\( X_{n} \\)과 \\( Y_{n} \\)이라 하자.", "다음 물음에 답하라.", "</p><ol type=1 start=1><li>확률과정 \\( (\\boldsymbol{X}, \\boldsymbol{Y})=\\left\\{\\left(X_{n}, Y_{n}\\right), n \\geq 0\\right\\} \\)이 마르코프연쇄가 됨을 보이고 상태공간과 전이확률행렬을 구하라.", "</li><li>\\( n \\)번 움직인 후 쥐가 살아남을 확률은 얼마인가?", "</li><li>\\( Z_{n} \\)을 \\( n \\)번 이동 후에 쥐가 살아 있으면 \\(1\\) , 고양이에게 잡혀먹히면 \\(0\\)의 값을 갖는 확률변수라 할 때, \\( Z=\\left\\{Z_{n}, n=0,1,2, \\cdots\\right\\} \\)이 마르코프연쇄가 됨을 보이고 \\( Z \\)의 전이확률을 구하라.", "</li></ol><p>\\(9\\). \\", "( \\boldsymbol{X}=\\left\\{X_{n}, n \\geq 0\\right\\} \\)과 \\( \\boldsymbol{Y}=\\left\\{Y_{n}, n \\geq 0\\right\\} \\)을 서로 독립인 마르코프연쇄라 하자. \\", "( \\boldsymbol{X} \\)의 상태공간과 전이확률이 각각 \\( S_{X} \\) 와 \\( P_{X}=\\left(p_{i j}\\right) \\)이고 \\( Y \\)의 상태공간과 전이확률이 각각 \\( S_{Y} \\)와 \\( P_{Y}=\\left(q_{i j}\\right) \\)일 때, 확률과정 \\( (\\boldsymbol{X}, \\boldsymbol{Y})=\\left\\{\\left(X_{n}, Y_{n}\\right), n \\geq 0\\right\\} \\)이 마르코프연쇄가 됨을 보이고 \\( (\\boldsymbol{X}, \\boldsymbol{Y}) \\)의 상태공간과 전이확률을 구하라.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "413", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "확률과정입문_이산시간 마르코프연쇄", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-c814-4ce1-af79-17d3c6b67683", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961054034", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2011", "doc_author": [ "신양우" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h2>연습문제 (\\( 4 \\)-\\( 2 \\)-\\( 2 \\))</h2><p>\\( 1 \\).", "구간 \\( [0,4] \\)에서 \\( f(x)=4 x^{3} \\)의 평균값을 구하여라.", "</p><p>\\( 2 \\).", "구간 \\( [-1,3] \\)에서 \\( f(x)=4+|x| \\)의 평균값을 구하여라.", "</p><p>\\( 3 \\).", "다음의 그래프를 보고 각각의 함수의 평균값을 구하여라.", "</p><p>\\( 4 \\).", "속도 \\( v(t)=49-9.8 t \\)로 직선운동하는 물체의 시간 \\( t=0 \\)에서 \\( t=10 \\)사이의 평균속력을 구하여라.", "</p><p>\\( 5 \\).", "정적분 \\( \\int_{0}^{1} \\frac{1}{1+x^{2}} d x \\)의 근삿값을 구하기 위하여 구간 \\( [0,1] \\)을 \\( 4 \\) 등분하고</p><ol type=1 start=1><li>사다리꼴 법칙</li><li>심프슨 법칙</li></ol><p>을 적용하여라.", "</p><p>\\( 6 \\).", "함수 \\( f(x)=\\sqrt{1+x^{3}} \\)에 대하여 \\( \\int_{0}^{1} f(x) d x \\)의 근삿값을 문제 \\( 1 \\)의 방법으로 구하여라.", "</p><p>\\( 7 \\).", "곡선 \\( y^{2}=8 x^{2}-x^{5} \\)의 자폐선의 넓이의 근삿값을 구간을 \\( 4 \\)등분하여 심프슨 법칙으로 구하여라.", "</p><h2>요약 (\\( 4 \\)-\\( 2 \\))</h2><p>\\( 1 \\).", "적분가능 구간 \\( [a, b] \\)의 임의의 분할 \\( P: a=x_{0}<x_{1}<\\cdots<x_{n}=b \\)와 임의의 표본점 \\( \\xi_{k} \\in\\left[x_{k-1}, x_{k}\\right] \\), \\( k=1,2, \\cdots, n \\)에 대하여 극한 \\[ \\lim _{\\|P\\| \\rightarrow 0} \\sum_{k=1}^{n} f\\left(\\xi_{k}\\right)\\left(x_{k}-x_{k-1}\\right) \\] 이 존재할 때 함수 \\( f(x) \\)가 구간 \\( [a, b] \\)에서 적분가능이라 한다.", "</p><p>\\( 2 \\).", "함수 \\( f \\)가 구간 \\( [a, b] \\)에서 유한개의 점을 제외하고 모든 점에서 연속이고 유계일 때 \\( f \\)는 \\( [a, b] \\)에서 적분가능하다.", "</p><p>\\( 3 \\).", "미적분학의 기본정리 함수 \\( y=f(x) \\)가 구간 \\( [a, b] \\)에서 연속이고, \\( F(x) \\)가 \\( [a, b] \\)에서 \\( f(x) \\)의 역도함수이면 \\[ \\int_{a}^{b} f(x) d x=F(b)-F(a) \\] 가 성립한다.", "</p><p>\\( 4 \\).", "적분에 관한 평균값 정리 함수 \\( f(x) \\)가 구간 \\( [a, b] \\)에서 연속이면 \\[ \\int_{a}^{b} f(x) d x=f(c)(b-a) \\] 를 만족시키는 점 \\( c \\)가 구간 \\( [a, b] \\)에 반드시 존재한다.", "</p><p>\\( 5 \\).", "구간 \\( [a, b] \\)에서 \\( g^{\\prime} \\)이 연속이고 \\( f \\)가 \\( g[a, b] \\)에서 연속이면 \\[ \\int_{a}^{b} f(g(x)) g^{\\prime}(x) d x=\\int_{g(a)}^{g(b)} f(u) d u \\] 가 성립한다.", "</p><p>\\( 6 \\).", "적분가능한 함수 \\( f \\)에 대해서 \\[ \\int_{-a}^{a} f(x) d x=\\left\\{\\begin{array}{l} 0, f(x) \\text {는 기함수 } \\\\ 2 \\int_{0}^{a} f(x) d x, f(x) \\text {는 우함수 } \\end{array}\\right. \\]", "</p><p>\\( 7 \\). \\", "( f(x) \\)가 주기가 \\( p \\)인 함수일 때 \\[ \\int_{a}^{p+a} f(x) d x=\\int_{0}^{p} f(x) d x, \\quad \\int_{a+p}^{b+p} f(x) d x=\\int_{a}^{b} f(x) d x \\]</p><p>\\( 8 \\).", "특이적분</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x) \\)가 점 \\( c \\in(a, b) \\)에서 무한대이면 \\[ \\int_{a}^{b} f(x) d x=\\lim _{s \\rightarrow c^{-}}\\left[\\int_{a}^{s} f(x) d x\\right]+\\lim _{t \\rightarrow c^{+}}\\left[\\int_{t}^{b} f(x) d x\\right] \\]</li><li>\\( \\int_{a}^{\\infty} f(x) d x=\\lim _{k \\rightarrow \\infty}\\left[\\int_{a}^{k} f(x) d x\\right] \\)</li></ol><p>\\( 9 \\).", "구간 \\( [a, b] \\)의 균등분할점 \\( a=x_{0}<x_{1}<\\cdots<x_{n}=b \\)에 대하여 함숫값 \\[ f\\left(x_{k}\\right)=y_{k}, \\quad k=0,1, \\cdots, n \\] 이라 할 때, 정적분 \\( \\int_{a}^{b} f(x) d x \\)를 추정하기 위해서 \\[ T=\\frac{h}{2}\\left(y_{0}+2 y_{1}+2 y_{2}+\\cdots+2 y_{n-1}+y_{n}\\right) \\] 을 이용한다.", "이때, \\( h=\\frac{b-a}{n} \\)이다(사다리꼴 법칙). \\", "[ S=\\frac{h}{3}\\left(y_{0}+4 y_{1}+2 y_{2}+4 y_{3}+2 y_{4}+\\cdots+2 y_{n-2}+4 y_{n-1}+y_{n}\\right) \\] 을 이용한다.", "이때, \\( n \\)은 짝수이고 \\( h=\\frac{b-a}{h} \\)이다(심프슨 법칙).", "</p><p>\\( 10 \\).", "함수의 평균값 함수 \\( y=f(x) \\)의 구간 \\( [a, b] \\)에서의 \\( x \\)에 관한 평균값은 \\[ y_{a v}=\\frac{1}{b-a} \\int_{a}^{b} f(x) d x \\] 이다.", "</p><h2>종합문제 (\\( 4 \\)-\\( 2 \\))</h2><p>\\( 1 \\).", "다음의 극한값을 정적분으로 나타내고 그 값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}[1+\\sqrt{2}+\\cdots+\\sqrt{n}] \\frac{1}{n \\sqrt{n}} \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left[\\frac{1}{n}+\\frac{1}{n+1}+\\cdots+\\frac{1}{2 n-1}\\right] \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left[\\frac{1}{n}+\\frac{1}{\\sqrt{n^{2}+1^{2}}}+\\cdots+\\frac{1}{\\sqrt{n^{2}+(n-1)^{2}}}\\right] \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n^{3}}\\left[(n+1)^{2}+(n+2)^{2}+\\cdots+(2 n)^{2}\\right] \\)</li></ol><p>\\( 2 \\).", "구분구적법에 의하여 \\( \\int_{0}^{4}\\left(x^{2}-x\\right) d x \\)를 구하여라.", "</p><p>\\( 3 \\). \\", "( f(x)=\\left\\{\\begin{array}{cc}x, & 0 \\leqq x<1 \\\\ 1, & 1 \\leqq x<3 \\\\ x-4, & 3 \\leqq x \\leqq 5\\end{array}\\right. \\)에 대하여 \\( \\int_{0}^{5} f(x) d x \\)를 구하여라.", "</p><p>\\( 4 \\).", "다음 함수들이 주어진 구간에 적분가능한지 판별하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=\\cos x+x^{2},[0,1] \\)</li><li>\\( f(x)=\\frac{1}{x+3},[-5,2] \\)</li><li>\\( f(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}x^{2}, & {[-2,0]} \\\\ -x^{2}, & {[0,2]}\\end{array}\\right. \\)", "</li><li>\\( f(x)=\\left\\{\\begin{array}{cc}\\sin \\frac{1}{x}, & x \\neq 0 \\\\ 0, & x=0\\end{array},[-\\pi, \\pi]\\right. \\)", "</li></ol><p>\\( 5 \\). \\", "( f(x) \\)는 우함수이고 \\[ \\int_{0}^{1} f(x) d x=4, \\quad \\int_{-1}^{0} g(x) d x=2, \\quad \\int_{0}^{1} g(x) d x=-1 \\] 일 때 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int_{0}^{1}[f(x)-g(x)] d x \\)</li><li>\\( \\int_{-1}^{1}[f(x)-2 g(x)] d x \\)</li></ol><p>\\( 6 \\).", "다음의 \\( F(x) \\)에 대해서 \\( F^{\\prime}(x) \\)를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( F(x)=\\int_{-1}^{x}(2 t-3) d t \\)</li><li>\\( F(x)=\\int_{x}^{\\frac{\\pi}{2}} \\theta \\tan \\theta d \\theta \\)</li><li>\\( F(x)=\\int_{x}^{x^{2}} \\sqrt{1+t^{2}} d t \\)</li><li>\\( F(x)=\\int_{0}^{\\cos x}\\left(\\theta^{3}-\\sin \\theta\\right) d \\theta \\)</li></ol><p>\\( 7 \\).", "구간 \\( [a, b] \\)에서 \\( f(x) \\)가 연속이고 \\( f(x) \\geqq 0 \\)일 때 \\[ \\int_{a}^{b} f(x) d x=0 \\] 이면 \\( f(x)=0 \\)임을 보여라.", "</p><p>\\( 8 \\). \\", "( f \\)가 주기 \\( p \\)인 주기함수라 하면 \\[ \\int_{a}^{a+p} f(x) d x=\\int_{0}^{p} f(x) d x \\] 임을 그림으로 확인하고, 이것을 이용하여 \\[ \\int_{1}^{1+\\pi}|\\cos \\theta| d \\theta \\] 를 구하여라.", "</p><p>\\( 9 \\).", "다음의 특이적분값이 존재하면 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int_{4}^{\\infty} \\frac{1}{3 x-2} d x \\)</li><li>\\( \\int_{-\\infty}^{\\infty} \\frac{1}{x^{2}+4} d x \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{\\infty} x e^{-x} d x \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{3} \\frac{x}{\\sqrt{9-x^{2}}} d x \\)</li></ol><p>\\( 10 \\).", "사다리꼴 법칙으로 주어진 적분구간을 \\( n \\)등분하여 근삿값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int_{0}^{4} \\sqrt{4+x^{3}} d x ; n=4 \\)</li><li>\\( \\int_{2}^{3} \\frac{1}{\\ln x} d x ; n=4 \\)</li></ol><p>\\( 11 \\).", "심프슨 법칙으로 주어진 적분구간을 \\( n \\)등분하여 근삿값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int_{0}^{0.6} \\sin x^{2} d x ; n=4 \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{0.6} e^{-x^{2}} d x ; n=6 \\)</li></ol> <p>정리 \\( 4 \\)-\\( 2 \\)-\\( 8 \\) 정적분의 치환정리 구간 \\( [a, b] \\)에서 함수 \\( g^{\\prime} \\)이 연속이고 \\( f \\)가 \\( g \\)의 치역 \\( g([a, b]) \\)에서 연속이면 \\[ \\int_{a}^{b} f(g(x)) g^{\\prime}(x) d x=\\int_{g(a)}^{g(b)} f(u) d u \\]<caption>(9)</caption></p><p>증명 \\( g(x)=u \\)라 치환하면 \\( g^{\\prime}(x) d x=d u \\)이므로 부정적분을 구하면 \\[ \\int f(g(x)) g^{\\prime}(x) d x=\\int f(u) d u \\] 이다.", "그러므로 \\( F \\)를 \\( f \\)의 하나의 역도함수라 하면 미적분학의 기본정리에 의하여 \\[ \\int_{g(a)}^{g(b)} f(u) d u=[F(u)]_{g(a)}^{g(b)}=F(g(b))-F(g(a)) \\] 임을 알 수 있다.", "또한 \\[ \\frac{d}{d x} F(g(x))=F^{\\prime}(g(x)) g^{\\prime}(x)=f(g(x)) g^{\\prime}(x) \\] 이므로 \\( F(g(x)) \\)는 \\( f(g(x)) g^{\\prime}(x) \\)의 역도함수이다.", "그러므로 미적분학의 기본정리에 의하여 \\[ \\int_{a}^{b} f(g(x)) g^{\\prime}(x) d x=[F(g(x))]_{a}^{b}=F(g(b))-F(g(a)) \\] 이다.", "따라서 \\[ \\int_{a}^{b} f(g(x)) g^{\\prime}(x) d x=\\int_{g(a)}^{g(b)} f(u) d u \\] 이 성립한다.", "</p><p>예제 \\( 10 \\) 다음 정적분값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int_{0}^{1} 15 x^{2} \\sqrt{5 x^{3}+4} d x \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{\\pi / 4} \\frac{\\cos x}{\\sqrt{2+\\sin x}} d x \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>\\( u=g(x)=5 x^{3}+4 \\)라 놓으면 \\( d u=g^{\\prime}(x) d x=15 x^{2} d x \\)이고 \\( g(0)=4, g(1)=9 \\)이므로 주어진 정적분은 \\[ \\begin{aligned} \\int_{0}^{1} 15 x^{2} \\sqrt{5 x^{3}+4} d x &=\\int_{g(0)}^{g(1)} \\sqrt{u} d u=\\int_{4}^{9} \\sqrt{u} d u \\\\ &=\\left[\\frac{2}{3} u^{3 / 2}\\right]_{4}^{9} \\\\ &=\\frac{2}{3}(27-8)=\\frac{38}{3} \\end{aligned} \\]</li><li>\\( v=g(x)=2+\\sin x \\)로 놓으면 \\( d v=\\cos x d x \\)이고 \\( g\\left(\\frac{\\pi}{4}\\right)=2+\\frac{\\sqrt{2}}{2}, g(0)=2 \\) 이다.", "따라서 주어진 정적분은 \\[ \\begin{aligned} \\int_{0}^{\\pi / 4} \\frac{\\cos x}{\\sqrt{2+\\sin x}} d x &=\\int_{2}^{2+\\frac{\\sqrt{2}}{2}} \\frac{1}{\\sqrt{v}} d v \\\\ &=\\left[2 v^{\\frac{1}{2}}\\right]_{2}^{2+\\frac{\\sqrt{2}}{2}}=2\\left(\\sqrt{2+\\frac{\\sqrt{2}}{2}}-\\sqrt{2}\\right) \\end{aligned} \\]</li></ol><p>따름정리 \\( 4 \\)-\\( 2 \\)-\\( 9 \\) 추이성 함수 \\( f \\)가 연속일 때 \\[ \\int_{a}^{b} f(x) d x=\\int_{a-c}^{b-c} f(x+c) d x \\]<caption>(10)</caption>을 만족한다.", "</p><p>증명 \\( x+c=t \\)라 놓으면 위의 치환정리에 의하여 증명이 된다.", "</p><p>예제 \\( 11 \\) 정적분 \\( \\int_{-1}^{0} x(x+1)^{7} d x \\)의 값을 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( f(x)=x(x+1)^{7} \\)이라면 \\( f(x-1)=x^{7}(x-1) \\)이므로 주어진 적분은 \\[ \\begin{aligned} \\int_{-1}^{0} x(x+1)^{7} d x &=\\int_{-1+1}^{0+1} x^{7}(x-1) d x \\\\ &=\\int_{0}^{1}\\left(x^{8}-x^{7}\\right) d x=\\left[\\frac{x^{9}}{9}-\\frac{x^{8}}{8}\\right]_{0}^{1}=-\\frac{1}{72} \\end{aligned} \\]</p><p>정리 \\( 4 \\)-\\( 2 \\)-\\( 10 \\) 대칭정리 구간 \\( [-a, a] \\)에서 적분가능한 함수 \\( f \\)에 대해서 \\[ \\int_{-a}^{a} f(x) d x=\\left\\{\\begin{array}{cc} 0, & f(x) \\text {는 기함수 } \\\\ 2 \\int_{0}^{a} f(x) d x, & f(x) \\text {는 우함수 } \\end{array}\\right. \\]", "<caption>(11)</caption>을 만족한다.", "</p><p>증명 정적분의 성질에 의하여 \\[ \\int_{-a}^{a} f(x) d x=\\int_{-a}^{0} f(x) d x+\\int_{0}^{a} f(x) d x \\] 이므로</p><ol type=i start=1><li>\\( f(x) \\)가 기함수인 경우 구간 내의 모든 \\( x \\)에 대해서 \\( f(-x)=-f(x) \\)를 만족하므로 \\[ \\begin{aligned} \\int_{-a}^{0} f(x) d x &=\\int_{a}^{0} f(-t)(-d t)=\\int_{a}^{0} f(t) d t \\\\ &=-\\int_{0}^{a} f(t) d t=-\\int_{0}^{a} f(x) d x \\end{aligned} \\] 가 되어 \\( \\int_{-a}^{a} f(x) d x=0 \\)이다.", "</li><li>\\( f(x) \\)가 우함수인 경우 구간 내의 모든 \\( x \\) 에 대해서 \\( f(-x)=f(x) \\)를 만족하므로 \\[ \\begin{aligned} \\int_{-a}^{0} f(x) d x &=\\int_{a}^{0} f(-t)(-d t)=-\\int_{a}^{0} f(t) d t \\\\ &=\\int_{0}^{a} f(t) d t=\\int_{0}^{a} f(x) d x \\end{aligned} \\] 가 되어 \\( \\int_{-a}^{a} f(x) d x=2 \\int_{0}^{a} f(x) d x \\)이다.", "</li></ol><p>예제 \\( 12 \\) 다음의 정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int_{-\\pi}^{\\pi}(\\sin x+\\cos x)^{2} d x \\)</li><li>\\( \\int_{-\\pi / 4}^{\\pi / 4} \\frac{\\sin x}{1+\\cos x} d x \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>\\( (\\sin x+\\cos x)^{2}=1+2 \\sin x \\cos x \\)이고 \\( f(x)=\\sin x \\cos x \\)는 기함수이므로 대칭구간에서의 정적분은 \\( 0 \\)이다.", "따라서 \\[ \\begin{aligned} \\int_{-\\pi}^{\\pi}(\\sin x+\\cos x)^{2} d x &=\\int_{-\\pi}^{\\pi}(1+2 \\sin x \\cos x) d x \\\\ &=\\int_{-\\pi}^{\\pi} d x+2 \\int_{-\\pi}^{\\pi} \\sin x \\cos x d x \\\\ &=2 \\pi \\end{aligned} \\] 이다.", "</li><li>\\( f(x)=\\frac{\\sin x}{1+\\cos x} \\)는 기함수이므로 대칭구간에서의 정적분값은 \\( 0 \\)이다.", "즉, \\( \\int_{-\\pi / 4}^{\\pi / 4} \\frac{\\sin x}{1+\\cos x} d x=0 . \\)</li></ol><p>정리 \\( 4 \\)-\\( 2 \\)-\\( 11 \\) 주기함수의 정적분 함수 \\( f \\)가 주기가 \\( p \\)인 주기함수이면 \\[ \\int_{a+p}^{b+p} f(x) d x=\\int_{a}^{b} f(x) d x \\]<caption>(12)</caption>를 만족한다.", "</p><p>증명 함수 \\( f \\)가 주기가 \\( p \\)인 주기함수라는 조건과 \\( x+p=t \\)로 치환하면 정적분의 추이성(따름정리 \\( 4 \\)-\\( 2 \\)-\\( 9 \\))에 의하여 \\[ \\int_{a}^{b} f(x) d x=\\int_{a+p}^{b+p} f(t-p) d t=\\int_{a+p}^{b+p} f(t) d t=\\int_{a+p}^{b+p} f(x) d x \\] 를 만족한다.", "</p><p>예제 \\( 13 \\) 정적분 \\( \\int_{0}^{2 \\pi}|\\sin x| d x \\)의 값을 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( f(x)=|\\sin x| \\)는 주기가 \\( \\pi \\)인 주기함수이므로 위의 정리에 의하여 \\[ \\begin{aligned} \\int_{0}^{2 \\pi}|\\sin x| d x &=\\int_{0}^{\\pi}|\\sin x| d x+\\int_{0+\\pi}^{\\pi+\\pi}|\\sin x| d x \\\\ &=\\int_{0}^{\\pi}|\\sin x| d x+\\int_{0}^{\\pi}|\\sin x| d x \\\\ &=2 \\int_{0}^{\\pi} \\sin x d x=[-2 \\cos x]_{0}^{\\pi}=4 \\end{aligned} \\]</p><p>정적분의 계산에 미적분학의 기본정리를 이용할 수 있는 필요조건은 적분구간(폐구간)에서 피적분함수가 연속인 것이다.", "예를 들어, \\( \\int_{0}^{1} 1 / x d x \\)에서 피적분함수 \\( f(x)=\\frac{1}{x} \\)이 \\( x=0 \\)에서 연속이 아니므로 역도함수에 양 끝점을 대입하여 정적분을 계산하는 과정에서 문제가 발생한다.", "즉, \\( f(x) \\)의 역도함수인 \\( F(x)=\\ln x \\)에서 \\( F(0) \\)는 정의되지 않는다.", "이와 같은 경우는 다음과 같이 정적분에 대한 극한으로 계산해야 한다.", "</p><p>정적분 \\( \\int_{a}^{b} f(x) d x \\)가 다음 중 적어도 하나의 경우에 해당될 때, 이를 특이적분(improper integral)이라 한다.", "</p><ol type=A start=1><li>양 끝점을 포함한 적분구간 내에서 \\( f \\)의 값이 무한대가 되는 점이 적어도 하나 존재하는 경우</li><li>\\( a=-\\infty \\)이거나 \\( b=\\infty \\)(또는 양쪽 모두 무한대)인 경우</li></ol><p>위에서 언급한 두 가지 경우의 특이적분은 다음과 같은 방법에 의해서 계산한다.", "</p><ol type=A start=1><li>구간 내의 한 점 \\( c \\in(a, b) \\)에서 \\( f(c)=\\infty \\)인 경우는 \\[ \\begin{aligned} \\int_{a}^{b} f(x) d x &=\\int_{a}^{c} f(x) d x+\\int_{c}^{b} f(x) d x \\\\ &=\\lim _{s \\rightarrow c^{-}}\\left[\\int_{a}^{s} f(x) d x\\right]+\\lim _{t \\rightarrow c^{+}}\\left[\\int_{t}^{b} f(x) d x\\right] \\end{aligned} \\]<caption>(13)</caption></li><li>\\( a=-\\infty \\)이거나 \\( b=\\infty \\)인 경우는 \\[ \\begin{array}{l} \\int_{-\\infty}^{b} f(x) d x=\\lim _{s \\rightarrow-\\infty}\\left[\\int_{s}^{b} f(x) d x\\right] \\\\ \\int_{a}^{\\infty} f(x) d x=\\lim _{t \\rightarrow \\infty}\\left[\\int_{a}^{t} f(x) d x\\right] \\end{array} \\]<caption>(14)</caption></li></ol> <h3>연습문제 (\\( 4 \\)-\\( 1 \\)-\\( 2 \\))</h3><p>\\( 1 \\).", "다음의 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int \\cos (2 x-3) d x \\)</li><li>\\( \\int \\sin 2 x d x \\)</li><li>\\( \\int 2 x \\sin \\left(x^{2}\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{\\cos x}{\\sin ^{2} x} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{\\sec ^{2} x}{\\tan ^{2} x} d x \\)</li><li>\\( \\int e^{-2 x} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{e^{\\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{1}{\\sqrt{4-x^{2}}} d x \\)</li></ol><p>\\( 2 \\).", "다음의 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int \\frac{3}{1+9 x^{2}} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{1}{\\sqrt{3+2 x-x^{2}}} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{\\cos x}{10-\\cos ^{2} x} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{1}{\\sqrt{1+4 x^{2}}} d x \\)</li></ol><p>\\( 3 \\).", "다음의 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int \\sin x \\cos ^{2} x d x \\)</li><li>\\( \\int \\sin x \\cos 3 x d x \\)</li></ol><p>\\( 4 \\). \\( \\int \\sqrt{a^{2}-x^{2}} d x=\\frac{x}{2} \\sqrt{a^{2}-x^{2}}+\\frac{a^{2}}{2} \\sin ^{-1} \\frac{x}{a}+C,(a>", "0) \\)임을 증명하여라.", "</p><p>\\( 5 \\).", "부정적분 \\( \\int\\left[\\sqrt{2+\\sin ^{3}(2 x-3)} \\sin ^{2}(2 x-3) \\cos (2 x-3)\\right] d x \\)를 다음의 방법으로 각각 계산하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( u=2 x-3, v=\\sin u, w=2+v^{3} \\) 로 치환</li><li>\\( u=\\sin (2 x-3), v=2+u^{3} \\) 로 치환</li><li>\\( u=2+\\sin ^{3}(2 x-3), v=\\sqrt{u} \\) 로 치환</li></ol> <p>예제 \\( 14 \\) 다음의 적분을 계산하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int_{0}^{1} \\frac{1}{\\sqrt{x}} d x \\)</li><li>\\( \\int_{1}^{\\infty} \\frac{1}{x^{2}} d x \\)</li><li>\\( \\int_{-1}^{2} \\frac{1}{x^{2}} d x \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=\\frac{1}{\\sqrt{x}} \\)이라 하면 \\( f(x) \\)는 \\( x=0 \\)에서 정의되지 않으므로 미적분학의 기본정리를 직접 사용할 수 없는 특이적분이다.", "그러므로 다음의 방법에 의하여 계산한다. \\", "[ \\begin{aligned} \\int_{0}^{1} \\frac{1}{\\sqrt{x}} d x &=\\lim _{k \\rightarrow 0^{+}}\\left[\\int_{k}^{1} \\frac{1}{\\sqrt{x}} d x\\right] \\\\ &=\\lim _{k \\rightarrow 0^{+}}\\left[2 x^{\\frac{1}{2}}\\right]_{k}^{1} \\\\ &=\\lim _{k \\rightarrow 0^{+}}[2-2 \\sqrt{k}]=2 \\end{aligned} \\]</li><li>무한대까지의 적분이므로 특이적분법을 사용하여 다음과 같이 계산한다. \\", "[ \\begin{aligned} \\int_{1}^{\\infty} \\frac{1}{x^{2}} d x &=\\lim _{k \\rightarrow \\infty}\\left[\\int_{1}^{k} \\frac{1}{x^{2}} d x\\right] \\\\ &=\\lim _{k \\rightarrow \\infty}\\left[-\\frac{1}{x}\\right]_{1}^{k} \\\\ &=\\lim _{k \\rightarrow \\infty}\\left(-\\frac{1}{k}+1\\right)=1 \\end{aligned} \\]</li><li>\\( f(x)=\\frac{1}{x^{2}} \\)이라 하면 적분구간 \\( [-1,2] \\)안에 \\( f(x) \\)의 값이 무한대가 되는 점 \\( 0 \\)이 있다.", "그러므로 특이적분 계산법에 의하여 \\[ \\begin{aligned} \\int_{-1}^{2} \\frac{1}{x^{2}} d x &=\\int_{-1}^{0} \\frac{1}{x^{2}} d x+\\int_{0}^{2} \\frac{1}{x^{2}} d x \\\\ &=\\lim _{s \\rightarrow 0^{-}}\\left[\\int_{-1}^{s} \\frac{1}{x^{2}} d x\\right]+\\lim _{t \\rightarrow 0^{+}}\\left[\\int_{t}^{2} \\frac{1}{x^{2}} d x\\right] \\\\ &=\\lim _{s \\rightarrow 0^{-}}\\left[-\\frac{1}{x}\\right]_{-1}^{s}+\\lim _{t \\rightarrow 0^{+}}\\left[-\\frac{1}{x}\\right]_{t}^{2} \\\\ &=\\lim _{s \\rightarrow 0^{-}}\\left[-\\frac{1}{s}-1\\right]+\\lim _{t \\rightarrow 0^{+}}\\left[-\\frac{1}{2}+\\frac{1}{t}\\right]_{t}^{2} \\\\ &=\\infty+\\infty=\\infty \\end{aligned} \\]</li></ol><h3>연습문제 (\\( 4 \\)-\\( 2 \\)-\\( 1 \\))</h3><p>\\( 1 \\). \\", "( f(x)=x^{2}+2 \\)에 대하여 구간 \\( [-1,2] \\)를 \\( 3 \\)개의 소구간과 \\( 6 \\)개의 소구간으로 균등분할하고 각 소구간의 중점을 표본으로 하여 리만 합을 각각 구하여라.", "</p><p>\\( 2 \\).", "정의에 의하여 (균등분할) 다음의 정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int_{-1}^{2}\\left(x^{2}-1\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{4}\\left(x^{2}-2 x\\right) d x \\)</li></ol><p>\\( 3 \\).", "미적분학의 기본정리를 이용하여 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int_{0}^{2} x^{4} d x \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{4} \\sqrt{x} d x \\)</li><li>\\( \\int_{5}^{8} \\sqrt{3 x+1} d x \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}(2 x+\\cos x) d x \\)</li></ol><p>\\( 4 \\).", "대칭성과 주기를 이용하여 다음의 정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int_{-\\pi}^{\\pi}(\\sin x+\\cos x) d x \\)</li><li>\\( \\int_{-\\frac{\\pi}{2}}^{\\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\sin x}{1+\\cos x} d x \\)</li><li>\\( \\int_{\\frac{\\pi}{8}}^{\\frac{5 \\pi}{8}} \\sin x d x \\)</li><li>\\( \\int_{0}^{4 \\pi}|\\cos x| d x \\)</li></ol><p>\\( 5 \\).", "특이적분 \\( \\int_{1}^{\\infty} \\frac{1}{x^{p}} d x \\)를 구하고 \\( p \\)의 값에 따른 수렴성을 판정하여라.", "</p> <h2>2. 정적분 근사해법과 함수의 평균값</h2><p>정해진 구간에서 연속함수이지만 역도함수의 형태를 찾을 수 없을 경우 사다리꼴 법칙이나 심프슨 법칙(Simpson's Rule)과 같은 수치적인 방법이 매우 용이하게 사용된다.", "여기서는 정적분의 근사해법과 함수의 평균 값에 대하여 소개한다.", "</p><p>사다리꼴 법칙 구간 \\( [a, b] \\)의 균등분할점 \\( a=x_{0}<x_{1}<\\cdots<x_{n}=b \\)에 대하여 \\[ y_{0}=f(a), y_{1}=f\\left(x_{1}\\right), \\cdots, y_{n-1}=f\\left(x_{n-1}\\right), y_{n}=f(b) \\] 라 할 때, 정적분 \\( \\int_{a}^{b} f(x) d x \\)를 추정하기 위해서 \\[ T=\\frac{h}{2}\\left(y_{0}+2 y_{1}+2 y_{2}+\\cdots+2 y_{n-1}+y_{n}\\right) \\]<caption>(15)</caption>을 이용한다.", "이때, \\( h=\\frac{b-a}{n} \\)이다.", "</p><p>예제 \\( 1 \\) 정적분 \\( \\int_{0}^{1} x^{2} d x \\)의 값을 \\( n=5 \\)인 사다리꼴 법칙을 이용하여 추정하여라.", "</p><p>풀이 \\( x_{k}=\\frac{k}{5}, k=0,1, \\cdots, 5 \\)이므로 \\( y_{k}=\\left(\\frac{k}{5}\\right)^{2} \\)이고, 따라서 \\[ \\begin{aligned} T &=\\frac{1}{10}\\left(0+2\\left(\\frac{1}{25}+\\frac{4}{25}+\\frac{9}{25}+\\frac{16}{25}\\right)+1\\right) \\\\ &=\\frac{85}{250}=0.34 \\end{aligned} \\] 이다.", "</p><p>정리 \\( 4 \\)-\\( 2 \\)-\\( 12 \\) 사다리꼴 법칙에 대한 오차의 한정 \\( f^{\\prime \\prime} \\)이 연속이고 \\( M \\)이 \\( [a, b] \\)상에서 \\( \\left|f^{\\prime \\prime}\\right| \\)의 하나의 상계라면, 사다리꼴 법칙을 이용한 정적분 \\( \\int_{a}^{b} f(x) d x \\) 계산에서의 오차 \\( E_{T} \\)는 다음 부등식을 만족한다. \\", "[ \\left|E_{T}\\right| \\leq \\frac{b-a}{12} h^{2} M \\]<caption>(16)</caption></p><p>예제 \\( 2 \\) 예제 \\( 1 \\) 에서 얻어진 근삿값의 오차의 상계를 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( f^{\\prime \\prime}=2 \\)이므로 \\( M=2 \\)라 할 수 있으며 \\( b-a=1 \\)이고 \\( h=\\frac{1}{5} \\)이므로 \\[ \\left|E_{T}\\right| \\leq \\frac{1}{12}\\left(\\frac{1}{5}\\right)^{2}(2)=\\frac{1}{150} \\] 이다.", "</p><p>실제로 정적분 \\( \\int_{0}^{1} x^{2} d x=\\frac{1}{3} \\)이므로 오차 \\( E_{T} \\)는 \\( \\frac{17}{50}-\\frac{1}{3}=\\frac{1}{150} \\)인데, 이것이 위에서 계산한 오차의 상계와 정확히 일치하는 이유는 \\( f^{\\prime \\prime} \\)이 상수함수이기 때문이다.", "일직선상에 있지 않는 세 점은 하나의 포물선을 형성하는데 심프슨 법칙은 사다리꼴 대신에 이 포물선의 근삿값을 구하는 데 사용한다.", "</p><p>심프슨 법칙 구간 \\( [a, b] \\)의 균등분할점 \\( a=x_{0}<x_{1}<\\cdots<x_{n}=b \\)에 대하여 \\[ y_{0}=f(a), y_{1}=f\\left(x_{1}\\right), \\cdots, y_{n-1}=f\\left(x_{n-1}\\right), y_{n}=f(b) \\] 라 할 때, 정적분 \\( \\int_{a}^{b} f(x) d x \\)를 추정하기 위해서 \\[ S=\\frac{h}{3}\\left(y_{0}+4 y_{1}+2 y_{2}+4 y_{3}+2 y_{2}+\\cdots+2 y_{n-2}+4 y_{n-1}+y_{n}\\right) \\]<caption>(17)</caption>을 이용한다.", "이때, \\( n \\) 은 짝수이고 \\( h=\\frac{b-a}{n} \\) 이다.", "</p><p>정리 \\( 4 \\)-\\( 2 \\)-\\( 13 \\) 심프슨 법칙에 대한 오차의 한정 \\( f^{(4)} \\)이 연속이고 \\( M \\)이 \\( [a, b] \\)상에서 \\( \\left|f^{(4)}\\right| \\)의 하나의 상계라면, 심프슨 법칙을 이용한 정적분 \\( \\int_{a}^{b} f(x) d x \\) 계산에서의 오차 \\( E_{S} \\)는 다음 부등식을 만족한다. \\", "[ \\left|E_{S}\\right| \\leq \\frac{b-a}{180} h^{4} M \\]<caption>(18)</caption></p><p>예제 \\( 3 \\) \\( n=4 \\)일 때 심프슨 법칙을 이용하여 \\( \\int_{0}^{1} 10 x^{4} d x \\)의 근삿값을 추정하고 오차의 상계를 구하여라. \\", "[ f(x)=10 x^{4}, \\quad h=\\frac{1}{4}, \\quad y_{k}=10\\left(\\frac{k}{4}\\right)^{4}, \\quad k=0,1,2,3,4 \\] \\[ S=\\frac{1}{12}\\left(0+4\\left(\\frac{10}{256}\\right)+2\\left(\\frac{160}{256}\\right)+4\\left(\\frac{810}{256}\\right)+10\\right)=2.0052083 \\] \\( f^{(4)}=240 \\)이므로 \\( M=240 \\)으로 놓을 수 있다.", "따라서 오차는 \\[ \\left|E_{S}\\right| \\leq \\frac{1}{180}\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{4}(240)=0.0052083 \\]</p><p>함수의 평균값 구간 \\( [a, b] \\)의 균등분할점 \\( a=x_{0}<x_{1}<\\cdots<x_{n}=b \\)에 대하여 함숫값 \\[ y_{1}=f\\left(x_{1}\\right), y_{2}=f\\left(x_{2}\\right), \\cdots, y_{n}=f\\left(x_{n}\\right) \\] 의 평균을 구하면 \\[ \\frac{y_{1}+y_{2}+\\cdots+y_{n}}{n}=\\frac{f\\left(x_{1}\\right)+f\\left(x_{2}\\right)+\\cdots+f\\left(x_{n}\\right)}{n} \\] 이다.", "또한, \\[ x_{2}-x_{1}=x_{3}-x_{2}=\\cdots=x_{n}-x_{n-1}=\\Delta x \\] 이고 \\( \\Delta x=\\frac{b-a}{n} \\)이다.", "따라서 \\( n=\\frac{b-a}{\\Delta x} \\)을 위 식에 대입하여 \\[ \\frac{f\\left(x_{1}\\right)+f\\left(x_{2}\\right)+\\cdots+f\\left(x_{n}\\right)}{(b-a) / \\Delta x}=\\frac{1}{b-a} \\sum_{k=1}^{n} f\\left(x_{k}\\right) \\Delta x \\] 을 얻고, 이때 \\( n \\)을 충분히 크게 하면(상대적으로 \\( \\Delta x \\)는 아주 작아진다) \\", "( \\sum_{k=1}^{n} f\\left(x_{k}\\right) \\Delta x \\)는 정적분 \\( \\int_{a}^{b} f(x) d x \\)에 근접한다.", "따라서 \\( n \\rightarrow \\infty \\)인 극한을 취하면 \\[ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{b-a} \\sum_{k=1}^{n} f\\left(x_{k}\\right) \\Delta x=\\frac{1}{b-a} \\int_{a}^{b} f(x) d x \\] 이 된다.", "따라서 함수 \\( y=f(x) \\)의 구간 \\( [a, b] \\)에서의 \\( x \\)에 관한 평균값은 \\[ y_{a v}=\\frac{1}{b-a} \\int_{a}^{b} f(x) d x \\]<caption>(19)</caption>이다.", "</p><p>보기 \\( 1 \\) \\( x=0 \\)에서 \\( x=4 \\)까지 \\( x \\)에 관한 \\( y=\\sqrt{x} \\)의 평균값을 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( y_{a v}=\\frac{1}{4} \\int_{0}^{4} \\sqrt{x} d x=\\frac{1}{4}\\left[\\frac{2}{3} x^{3 / 2}\\right]_{0}^{4}=\\frac{4}{3} \\)</p><p>보기 \\( 2|v(t)| \\)의 속력으로 직선운동을 하는 물체의 시간 \\( t=a \\)에서 \\( t=b \\)사이의 실제 운동 거리는 \\[ \\text { 운동거리 }=\\int_{a}^{b}|v(t)| d t \\] 이다.", "그러므로 운동의 평균속력은 \\[ \\text { 평균속력 }=\\frac{\\text { 운동거리 }}{b-a}=\\frac{1}{b-a} \\int_{a}^{b}|v(t)| d t \\] 이다.", "</p><p>전기회로에서의 유효 전압과 전류의 계산에서 평균값을 이용한다.", "</p><p>예제 \\( 4 \\) 우리 가정에서의 전원공급 회로는 전류의 흐름이 함수 \\[ i=I \\sin w t \\] 으로 모형된 교류장치이다. \\", "( i \\)는 시간 \\( t \\)에 대한 함수로서 단위는 암폐어이고 진폭 \\( I \\)는 최상승점이고 주기는 \\( 2 \\pi / w \\)이다.", "반 주기 동안의 \\( i \\)의 평균값 \\( i_{a v} \\)을 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( i_{a v}=\\frac{1}{\\pi / w} \\int_{0}^{\\pi / w} I \\sin w t d t \\) \\[ \\begin{array}{l} =\\frac{I w}{\\pi} \\int_{0}^{\\pi / w} \\sin w t d t \\\\ =\\frac{I w}{\\pi}\\left[-\\frac{\\cos w t}{w}\\right]_{0}^{\\pi / w}=\\frac{2 I}{\\pi} \\end{array} \\] 한 주기 동안의 \\( i \\)의 평균값 \\( i_{a v} \\)은 \\[ i_{a v}=\\frac{2}{2 \\pi / w} \\int_{0}^{\\pi / w} I \\sin w t d t=0 \\] 전류가 표준 이동 코일 검류계로 측정된다면 계량기는 \\( 0 \\)을 가리킨다.", "</p><p>참고 전류를 효과적으로 측정하기 위하여 전류의 제곱의 평균값의 제곱근을 측정하는 장치 \\( I_{\\mathrm{rms}}=\\sqrt{\\left(i^{2}\\right)_{a v}} \\)를 이용한다.", "한 주기 동안의 \\( i^{2} \\)의 평균값 \\( i_{a v}^{2} \\)은 \\[ \\left(i^{2}\\right)_{a v}=\\frac{w}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi / \\omega} I^{2} \\sin ^{2} w t d t=\\frac{I^{2}}{2} \\] 이므로 rms(root mean square) 전류는 \\[ I_{\\mathrm{rms}}=\\sqrt{\\frac{I^{2}}{2}}=\\frac{I}{\\sqrt{2}} \\] 같은 방법으로 사인곡선(sinusoidal) 전압 \\( \\nu=V \\sin w t \\)의 \\( \\mathrm{rms} \\)값은 \\[ V_{\\mathrm{rms}}=\\frac{\\mathrm{V}}{\\sqrt{2}} \\] 가정용 전압과 전류의 값은 항상 rms 값이다.", "따라서 '\\( 115 \\) volts ac' 는 rms 전압이 \\( 115 \\) 볼트라는 것을 의미한다.", "따라서 위의 식에 의하여 전압의 피크는 \\[ V=\\sqrt{2} V_{\\mathrm{s}}=\\sqrt{2} \\cdot 115 \\fallingdotseq 163 \\text { 볼트 } \\] 이다.", "</p> <p>예제 \\( 2 \\) 다음의 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int 2 x \\sqrt{1+x^{2}} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{e^{\\sqrt{x}}}{\\sqrt{x}} d x \\)</li><li>\\( \\int(3 x-2)^{10} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{x}{\\sqrt{x-1}} d x \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>\\( 1+x^{2}=v \\)라 놓으면 \\( 2 x d x=d v \\) 이므로 \\[ \\int 2 x \\sqrt{1+x^{2}} d x=\\int \\sqrt{v} d v=\\frac{2}{3} v^{\\frac{3}{2}}+C=\\frac{2}{3}\\left(1+x^{2}\\right)^{\\frac{3}{2}}+C \\]</li><li>\\( \\sqrt{x}=v \\) 라 놓으면 \\(\\frac{1}{2 \\sqrt{x}} d x=d v \\)이므로 \\[ \\int \\frac{e^{\\sqrt{x}}}{\\sqrt{x}} d x=2 \\int e^{v} d v=2 e^{v}+C=2 e^{\\sqrt{x}}+C \\]</li><li>\\( 3 x-2=v \\)라 놓으면 \\( 3 d x=d v \\)이므로 \\[ \\int(3 x-2)^{10} d x=\\frac{1}{3} \\int v^{10} d v=\\frac{1}{33} v^{11}+C=\\frac{1}{33}(3 x-2)^{11}+C \\]</li><li>\\( x-1=v \\)라 놓으면 \\( d x=d v \\)이므로 \\( \\int \\frac{x}{\\sqrt{x-1}} d x=\\int \\frac{v+1}{\\sqrt{v}} d v=\\int \\sqrt{v} d v+\\int \\frac{1}{\\sqrt{v}} d v \\) \\( =\\frac{2}{3} v^{\\frac{3}{2}}+2 \\sqrt{v}+C=\\frac{2}{3}(x-1)^{\\frac{3}{2}}+2 \\sqrt{x-1}+C \\)</li></ol><p>예제 \\( 3 \\) 다음의 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int x \\sqrt{2 x-1} d x \\)</li><li>\\( \\int x^{3} \\sqrt{4-x^{2}} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{2 x}{\\sqrt{4-9 x^{2}}} d x \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>\\( 2 x-1=v \\)라 놓으면 \\( x=\\frac{v+1}{2} \\) 이고 \\( 2 d x=d v \\)이므로 \\[ \\begin{aligned} \\int x \\sqrt{2 x-1} d x &=\\frac{1}{4} \\int(v+1) \\sqrt{v} d v=\\frac{1}{4}\\left\\{\\frac{2}{5} v^{\\frac{5}{2}}+\\frac{2}{3} v^{\\frac{3}{2}}\\right\\}+C \\\\ &=\\frac{1}{10}(2 x-1)^{\\frac{5}{2}}+\\frac{1}{6}(2 x-1)^{\\frac{3}{2}}+C \\end{aligned} \\]</li><li>\\( 4-x^{2}=v \\)라 놓으면 \\( -2 x d x=d v \\)이므로 \\( \\int x^{3} \\sqrt{4-x^{2}} d x=-\\frac{1}{2} \\int(4-v) \\sqrt{v} d v=-\\frac{1}{2}\\left\\{\\frac{8}{3} v^{\\frac{3}{2}}-\\frac{2}{5} v^{\\frac{5}{2}}\\right\\}+C \\) \\( =-\\frac{4}{3}\\left(4-x^{2}\\right)^{\\frac{3}{2}}+\\frac{1}{5}\\left(4-x^{2}\\right)^{\\frac{5}{2}}+C \\)</li><li>\\( 4-9 x^{2}=v \\)라 치환하면 \\( -18 x d x=d v \\), 즉 \\( 2 x d x=-\\frac{1}{9} d v \\)이므로 \\( \\int \\frac{2 x}{\\sqrt{4-9 x^{2}}} d x=-\\frac{1}{9} \\int \\frac{-18 x}{\\sqrt{4-9 x^{2}}} d x=-\\frac{1}{9} \\int \\frac{1}{\\sqrt{v}} d v \\) \\( =-\\frac{2}{9} \\sqrt{v}+C=-\\frac{2}{9} \\sqrt{4-9 x^{2}}+C \\)</li></ol><h2>연습문제 (\\( 4-1-1 \\))</h2><p>\\( 1 \\).", "다음의 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int(2 x+3) d x \\)</li><li>\\( \\int\\left(x^{5}-3 x^{2}\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{1}{x^{4}} d x \\)</li><li>\\( \\int(2 x-1)^{2} d x \\)</li></ol><p>\\( 2 \\).", "치환적분법에 의해서 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int 5(x-1)^{4} d x \\)</li><li>\\( \\int\\left(2 x^{3}+1\\right)^{4} \\cdot x^{2} d x \\)</li><li>\\( \\int x \\cdot \\sqrt{x^{2}+1} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{1}{\\sqrt{x}(1+\\sqrt{x})^{2}} d x \\)</li></ol><p>\\( 3 \\).", "다음의 역도함수를 구하라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=2 \\)</li><li>\\( f(x)=x-\\sqrt{3} \\)</li><li>\\( f(x)=x^{\\frac{1}{2}}+x^{-\\frac{1}{2}} \\)</li><li>\\( f(x)=\\frac{2}{x^{2}}-\\frac{1}{x^{3}} \\)</li></ol><p>\\( 4 \\). \\", "( f(x)=\\sqrt{x^{2}+1} \\)일 때, \\( \\int f^{\\prime}(x) d x \\)와 \\( \\int f^{\\prime \\prime}(x) d x \\)를 각각 구하여라.", "</p><p>\\( 5 \\).", "다음 공식 \\[ \\begin{array}{l} \\int f^{(m-1)}(x) g^{(n-1)}(x)\\left[n f(x) g^{\\prime}(x)+m f^{\\prime}(x) g(x)\\right] d x \\\\ =f^{(m)}(x) g^{(n)}(x)+C \\end{array} \\] 을 증명하여라.", "</p> <p>예제 \\( 4 \\) 다음의 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int \\frac{e^{x}}{1+e^{2 x}} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{1}{2-2 x+x^{2}} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{1}{4+9 x^{2}} d x \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>\\( e^{x}=v \\)라 놓으면 \\( e^{x} d x=d v \\)이다.", "따라서 \\[ \\begin{aligned} \\int \\frac{e^{x}}{1+e^{2 x}} d x &=\\int \\frac{1}{1+v^{2}} d v=\\tan ^{-1} v+C \\\\ &=\\tan ^{-1} e^{x}+C \\end{aligned} \\]</li><li>분모의 식은 \\( 2-2 x+x^{2}=1+(x-1)^{2} \\)이다.", "이때, \\( x-1=v \\)라 치환하면 \\[ \\frac{1}{2-2 x+x^{2}}=\\frac{1}{1+v^{2}}, \\quad d x=d v \\] 이므로 \\[ \\begin{aligned} \\int \\frac{1}{2-2 x+x^{2}} d x &=\\int \\frac{1}{1+v^{2}} d v=\\tan ^{-1} v+C \\\\ &=\\tan ^{-1}(x-1)+C \\end{aligned} \\]</li><li>\\( 3 x=v \\)라 놓으면 \\( d x=\\frac{1}{3} d v \\)이므로 \\[ \\begin{aligned} \\int \\frac{1}{4+9 x^{2}} d x &=\\frac{1}{3} \\int \\frac{1}{2^{2}+v^{2}} d v=\\frac{1}{6} \\tan ^{-1} \\frac{v}{2}+C \\\\ &=\\frac{1}{6} \\tan ^{-1}\\left(\\frac{3 x}{2}\\right)+C \\end{aligned} \\]</li></ol><h3>연습문제 (\\( 4 \\)-\\( 1 \\)-\\( 4 \\))</h3><p>\\( 1 \\).", "다음을 부분분수로 분해하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\frac{1}{x^{2}+2 x} \\)</li><li>\\( \\frac{x-11}{x^{2}+3 x-4} \\)</li><li>\\( \\frac{-2 x+4}{\\left(x^{2}+1\\right)(x-1)^{2}} \\)</li><li>\\( \\frac{x^{3}-8 x^{2}-1}{(x+3)(x-2)\\left(x^{2}+1\\right)} \\)</li></ol><p>\\( 2 \\).", "문제 \\( 1 \\)의 식을 적분하여라.", "</p><p>\\( 3 \\). \\", "( \\int \\frac{\\sqrt{x}-1}{\\sqrt{x}+1} d x \\)를 구하여라.", "( \\( \\sqrt{x}=u \\) 로 치환)</p><p>\\( 4 \\).", "주어진 식을 몫과 나머지로 나누어 다음의 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int \\frac{x^{3}}{x^{2}-1} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{x^{2}+8}{x^{2}-5 x+6} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{e^{4 x}}{1-e^{2 x}} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{x^{4}+2 x^{3}-5 x^{2}-8 x+16}{x^{3}-x^{2}-4 x+4} d x \\)</li></ol><h2>요약 (\\( 4 \\)-\\( 1 \\))</h2><p>\\( 1 \\). \\", "( F(x), G(x) \\)가 \\( f(x) \\)의 역도함수라 하면 \\( G(x)=F(x)+C(C \\)는 상수) 이고 \\[ \\int f(x) d x=F(x)+C \\] 를 \\( f(x) \\)의 부정적분이라 한다.", "</p><p>\\( 2 \\).", "치환적분법 \\[ \\int f(g(x)) g^{\\prime}(x) d x=\\int f(t) d t=F(t)+C=F(g(x))+C \\]</p><p>\\( 3 \\).", "형태별 삼각함수 적분법</p><ol type=1 start=1><li>\\[ \\int \\sin ^{n} x d x,\\left(\\int \\cos ^{n} x d x\\right) \\] i) \\( n \\)이 홀수: \\( \\sin ^{n-1} x \\)를 \\( \\cos x \\)의 식으로 바꾸고 \\( \\cos x=v \\)로 치환한다.", "ii) \\( n \\)이 짝수: 배각공식에 의하여 코사인의 배각으로 변형한다.", "</li><li>\\[ \\int \\sin ^{m} x \\cos ^{n} x d x \\] i) \\( m, n \\) 중 적어도 하나가 홀수: (\\( 1 \\))의 i)의 형태와 같은 방법으로 치환한다.", "ii) \\( m, n \\) 모두 짝수인 경우: 모두 배각으로 바꾼 후 형태 (\\( 5 \\))를 적용한다.", "</li><li>\\[ \\int \\tan ^{n} x d x,\\left(\\int \\cot ^{n} x d x\\right) \\] \\( \\tan ^{2} x=\\sec ^{2} x-1 \\)을 적용하여 식을 변경한다.", "</li><li>\\[ \\int \\tan ^{m} x \\sec ^{n} x d x,\\left(\\int \\cot ^{m} x \\csc ^{n} x d x\\right) \\] i) \\( m \\)이 짝수인 경우: \\( \\tan ^{m-1} x \\)를 \\( \\sec ^{2} x \\)의 식으로 바꾸고 \\( \\sec x=v \\)로 치환한다.", "ii) \\( n \\)이 짝수인 경우: \\( \\sec ^{n-2} x \\)를 \\( \\tan ^{2} x \\)의 식으로 바꾸고 \\( \\tan x=v \\)로 치환한다.", "</li><li>\\( \\int \\sin m x \\cos n x d x,\\left(\\int \\sin m x \\sin n x d x, \\int \\cos m x \\cos n x d x\\right) \\) 다음 공식을 이용하여 사인, 코사인의 배각으로 변형한다. \\", "( \\sin m x \\sin n x=-\\frac{1}{2}[\\cos (m+n) x-\\cos (m-n) x] \\) \\( \\sin m x \\cos n x=\\frac{1}{2}[\\sin (m+n) x+\\sin (m-n) x] \\) \\( \\cos m x \\cos n x=\\frac{1}{2}[\\cos (m+n) x+\\cos (m-n) x] \\)</li></ol><p>\\( 4 \\).", "부분적분법 \\[ \\int f(x) g^{\\prime}(x) d x=f(x) g(x)-\\int f^{\\prime}(x) g(x) d x \\]</p><p>\\( 5 \\).", "점화공식</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int x^{n} e^{x} d x=x^{n} e^{x}-n \\int x^{n-1} e^{x} d x \\)</li><li>\\( \\int \\sin ^{n} x d x=-\\frac{1}{n} \\sin ^{n-1} x \\cos x+\\frac{n+1}{n} \\int \\sin ^{n-2} x d x \\)</li></ol><p>\\( 6 \\).", "부분분수 분해요령</p><ol type=1 start=1><li>분모의 차수>분자의 차수임을 확인(그렇지 않을때는 직접 나눠서 몫과 나머지로 분리)한다.", "</li><li>분모를 인수분해한다.", "</li><li>분모의 각각의 인수를 분모로 하는 여러 개의 분수식의 합으로 표현한다.", "이때, 분자는 분모보다 한 차수 낮은 식의 일반형으로 놓는다.", "</li><li>(\\( 3 \\))의 식을 다시 통분하고 원식과 비교하여 계수를 결정한다.", "</li></ol><h2>종합문제 (\\( 4 \\)-\\( 1 \\))</h2><p>\\( 1 \\).", "다음의 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int-3 x^{4} d x \\)</li><li>\\( \\int \\sqrt{5 x+1} d x \\)</li><li>\\( \\int\\left(e^{\\frac{x}{2}}+e^{-\\frac{x}{2}}\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int\\left(x^{\\frac{2}{3}}-2 x^{\\frac{1}{3}}+5 \\sqrt{x}-3\\right) d x \\)</li></ol><p>\\( 2 \\).", "다음의 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int \\sec 2 x d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{1}{\\sin ^{2} x} d x \\)</li><li>\\( \\int(\\tan \\theta+\\cot \\theta)^{2} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{1}{1+\\cos x} d x \\)</li></ol><p>\\( 3 \\).", "다음의 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int \\frac{1}{4-9 t^{2}} d t \\)</li><li>\\( \\int \\frac{\\cos \\theta}{4-\\sin ^{2} \\theta} d \\theta \\)</li><li>\\( \\int \\sqrt{2 x-x^{2}} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{e^{x}}{1+e^{2 x}} d x \\)</li></ol><p>\\( 4 \\).", "다음의 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int \\sin ^{7} x d x \\)</li><li>\\( \\int \\sin ^{3} x \\cos ^{3} x d x \\)</li><li>\\( \\int(\\cos 2 x+\\cos x)^{2} d x \\)</li><li>\\( \\int \\sin x \\cos x \\cos ^{4} 2 x d x \\)</li></ol><p>\\( 5 \\).", "치환적분법을 이용하여 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int \\frac{\\sqrt{x-4}}{x \\sqrt{x}} d x \\quad(x=4 \\sec \\theta \\)로 치환)</li><li>\\( \\int \\frac{d x}{x \\sqrt{6 x-x^{2}}}\\left(x=6 \\sin ^{2} \\theta\\right. \\)로 치환)</li><li>\\( \\int 2 x \\sqrt{1+4 x} d x(\\sqrt{1+4 x}=t \\)로 치환)</li><li>\\( \\int \\frac{\\sqrt{3+x}}{x-6} d x \\quad(\\sqrt{3+x}=t \\)로 치환)</li></ol><p>\\( 6 \\).", "부분적분법을 이용하여 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int x e^{-x} d x \\)</li><li>\\( \\int \\log x^{2} d x \\)</li><li>\\( \\int \\sin ^{-1} x d x \\)</li><li>\\( \\int e^{x} \\cos 2 x d x \\)</li></ol><p>\\( 7 \\).", "부분분수로 분해하여 다음 유리함수의 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int \\frac{x^{2}-1}{x^{2}-4} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{7-2 x}{x^{2}+2 x-8} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{x^{4}+x^{3}-1}{x^{3}+1} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{1}{x^{4}-1} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{x}{(x+1)\\left(x^{2}+1\\right)} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{1}{x^{3}\\left(1+x^{2}\\right)} d x \\)</li></ol> <p>Calculus의 초기 업적 중의 하나는 어떤 물체의 초기위치와 속도함수를 통하여 움직이는 물체의 미래위치를 예측하는 것이었다.", "오늘날 우리가 볼 수 있는 Calculus의 활용 중의 하나는 미분에 관한 정보로부터 원래의 함수를 발견하는 것이다.", "즉, 도함수에 관한 정보만으로 원함수를 복구시켜야 할 경우가 있다.", "예를 들어, 현재의 인구수와 그 증가율로부터 미래의 인구의 규모를 계산할 수 있고, 방사능 쓰레기의 자연붕괴 비율로 부터 얼마 후에 이 물질이 무해하게 되는가를 계산할 수 있다.", "이처럼, 알고 있는 도함수로부터 원함수를 찾 는 이론이 적분학(integral calculus)이다.", "단순히 말해서, 함수를 적분한다는 것은 주어진 함수의 역도함수를 구하는 것이다.", "사실 적분(integrate)의 본래 '어떤 것의 합(sum) 또는 합계(total)를 구하는'이라는 뜻이 있다.", "이런 의미에서 적분은 곡선들로 경계된 영역의 면적을 계산할 수 있는 수학적 과정이다.", "이 장에서 적분의 체계적인 방법 그리고 부정적분과 정적분 사이의 관계를 설명하는 뉴턴과 라이프니츠의 기본정리를 배운다.", "</p><h1>4-1 부정적분</h1><h2>1. 역도함수(부정적분)</h2><p>속도와 가속도의 관계를 살펴보면 가속도는 속도를 시간으로 미분함으로써 얻어진다.", "이와 반대로 미분의 역산에 의하여 가속도로부터 속도를 구할 수 있는데, 여기서는 이와 같은 미분의 역연산인 역도함수에 대하여 알아본다.", "또한 역도함수를 구하기 위한 방법은 매우 다양하다.", "그 중에서 어떤 변수의 변환에 의하여 종종 복잡한 식의 적분을 쉽고 간단한 적분의 형태로 변형시켜줄 수 있는 치환적분법에 대하여 살펴본다.", "</p><p>역도함수와 부정적분 함수 \\( f(x) \\)에 대해서 \\[ F^{\\prime}(x)=f(x) \\] 를 만족하는 \\( F(x) \\)를 \\( f(x) \\)의 역도함수(anti-derivative) 또는 원시함수(primitive)라 한다.", "만약 \\( F(x) \\)와 \\( G(x) \\)가 모두 \\( f(x) \\) 의 역도함수라 하면 이들은 \\[ F(x)-G(x)=C \\text {, 즉 } G(x)=F(x)+C, C \\text { 는 상수 } \\] 의 관계를 갖는다.", "결국 역도함수가 존재한다면 무수히 많이 존재할 것인데, 이와 같은 \\( f(x) \\)의 모든 역도함수들의 집합을 \\[ \\int f(x) d x \\] 라 쓰고, 이를 \\( x \\)에 관한 \\( f(x) \\)의 부정적분(indefinite integral)이라 한다.", "즉, \\[ \\int f(x) d x=F(x)+C . \\]", "이때, \\( \\int \\)는 적분기호로 인티그럴(integral)이라 읽고, \\( f(x) \\)를 피적분함수, \\( x \\)를 적분변수라 한다.", "미분과 적분의 관계로부터 \\[ \\frac{d}{d x}\\left(\\int f(x) d x\\right)=f(x), \\quad \\int\\left(\\frac{d}{d x} f(x)\\right) d x=f(x)+C \\] 임을 알 수 있다.", "또한 적분은 미분의 역연산이므로 이미 알고있는 간단한 미분공식과 비교하여 살펴보면 매우 유용하다.", "</p><p>보기 \\( 1 \\) \\( F(x)=x^{3} \\)이라 할 때, \\( \\frac{d F}{d x}=3 x^{2} \\)이므로 \\( F(x) \\)는 \\( f(x)=3 x^{2} \\)의 하나의 역도함수 이고, 따라서 \\( f(x) \\)의 부정적분은 \\( \\int 3 x^{2} d x=x^{3}+C \\)이다.", "</p><p>정리 \\( 4 \\)-\\( 1 \\)-\\( 1 \\) 적분공식 적분과 대응미분</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int u^{\\prime}(x) d x=u(x)+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x}(u(x)+C)=u^{\\prime}(x) \\)</li><li>\\( \\int a u(x) d x=a \\int u(x) d x \\Leftrightarrow\\{a u(x)\\}^{\\prime}=a u^{\\prime}(x),(a \\) 는 상수 \\( ) \\)</li><li>\\( \\int\\{u(x)+v(x)\\} d x=\\int u(x) d x+\\int v(x) d x \\Leftrightarrow\\{u(x)+v(x)\\}^{\\prime}=u^{\\prime}(x)+v^{\\prime}(x) \\)</li><li>\\( \\int a d x=a \\int d x=a x+C,(a \\) 는 상수 \\( ) \\)</li><li>\\( \\int x^{n} d x=\\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \\Leftrightarrow\\left(\\frac{x^{n+1}}{n+1}\\right)=x^{n}(n \\neq-1) \\)</li><li>\\( \\int \\frac{1}{x} d x=\\ln |x|+C \\Leftrightarrow(\\ln x)^{\\prime}=\\frac{1}{x} \\)</li><li>\\( \\begin{aligned} \\int\\{f(x)\\}^{n} f^{\\prime}(x) d x=\\frac{\\{f(x)\\}^{n+1}}{n+1}+C, &(n \\neq-1) \\\\ & \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x}\\{f(x)\\}^{n+1}=(n+1)\\{f(x)\\}^{n} f^{\\prime}(x) \\end{aligned} \\)</li></ol><p>예제 \\( 1 \\) 다음 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int\\left(x^{2}-3 x+2\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int\\left(x \\sqrt{x}-x^{-1}+x^{-2}\\right) d x \\)</li><li>\\( \\int\\left(x^{3}+2 x\\right)^{5}\\left(3 x^{2}+2\\right) d x \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\begin{aligned} \\int\\left(x^{2}-3 x+2\\right) d x &=\\int x^{2} d x-3 \\int x d x+2 \\int d x \\\\ &=\\frac{1}{3} x^{3}-\\frac{3}{2} x^{2}+2 x+C \\end{aligned} \\)</li><li>\\( \\begin{aligned} \\int\\left(x \\sqrt{x}-x^{-1}+x^{-2}\\right) d x &=\\int x^{\\frac{3}{2}} d x-\\int \\frac{1}{x} d x+\\int x^{-2} d x \\\\ &=\\frac{2}{5} x^{\\frac{5}{2}}-\\log x-\\frac{1}{x}+C \\end{aligned} \\)</li><li>\\( f(x)=x^{3}+2 x \\) 라면 \\( f^{\\prime}(x)=3 x^{2}+2 \\) 이므로 \\[ \\int\\left(x^{3}+2 x\\right)^{5}\\left(3 x^{2}+2\\right) d x=\\frac{\\left(x^{3}+2 x\\right)^{6}}{6}+C \\]</li></ol><p>치환적분법 어떤 변수의 변환에 의하여 종종 복잡한 식의 적분을 쉽고 간단한 적분의 형태로 변형시켜줄 수 있다.", "이와 같은 방법을 치환적분법이라 하는데 그 과정을 살펴보면 다음과 같다.", "예를 들어, 적분 \\( \\int\\left(x^{4}-3\\right)^{5} \\cdot 4 x^{3} d x \\)를 계산하기 위하여 \\( \\left(x^{4}-3\\right)^{5} \\) 을 전개하는 것은 어리석은 것이며 그렇게 해서는 적분을 원활하게 할 수 없다.", "이때, 다음과 같은 과정을 따라 계산하면 적분은 매우 쉽게 해결될 수 있다. \\", "[ \\begin{aligned} \\int\\left(x^{4}-3\\right)^{5} \\cdot 4 x^{3} d x &=\\int u^{5} d u & &\\left(u=x^{4}-3 \\Rightarrow d u=4 x^{3} d x\\right) \\\\ &=\\frac{u^{6}}{6}+C & &(u \\text { 의 식을 적분 }) \\\\ &=\\frac{\\left(x^{4}-3\\right)^{6}}{6}+C &\\left(u=x^{4}-3 \\text { 을 대입 }\\right) \\end{aligned} \\] 위 과정을 요약하면 다음과 같은 적분 단계를 얻을 수 있다.", "즉, 두 함수 \\( f \\) 와 \\( g^{\\prime} \\)이 연속일 때 적분 \\[ \\int f(g(x)) g^{\\prime}(x) d x \\] 은 다음과 같은 단계에 의해 변환시켜 계산한다.", "</p><p>단계\\( 1 \\) \\( g(x)=t \\)라 치환하여 \\( g^{\\prime}(x) d x=d t \\)를 주어진 식에 대입한다.", "단계\\( 2 \\) \\( x \\)에 관한 적분은 \\( t \\)에 관한 적분 \\[ \\int f(t) d t \\] 으로 변환된다.", "단계\\( 3 \\) 위의 \\( t \\)에 관한 식을 적분하여 \\( t=g(x) \\)를 다시 대입한다.", "</p> <p>여러형태의 삼각함수 적분법 삼각공식의 이용과 적절한 치환에 의하여 다음 여러 가지의 형태의 삼각함수의 부정적분을 구할 수 있다.", "</p><p>형태 \\( 1 \\) \\( \\int \\sin ^{n} x d x \\) (또는 \\( \\int \\cos ^{n} x d x \\) )</p><ol type=1 start=1><li>\\( n \\)이 홀수인 경우: \\( \\sin ^{n} x=\\sin ^{n-1} x \\sin x \\)에서 \\( \\sin ^{n-1} x \\)를 \\( \\cos x \\)의 식으로 변환하고 \\( \\cos x=v \\)로 치환한다.", "(또는 \\( \\cos ^{n} x=\\cos ^{n-1} x \\cos x \\)에서 \\( \\cos ^{n-1} x \\)를 \\( \\sin x \\)의 식으로 변환하고 \\( \\sin x=v \\) 로 치환)</li><li>\\( n \\)이 짝수인 경우: 배각공식을 사용하여 \\( \\sin ^{n} x \\)(또는 \\( \\cos ^{n} x \\) )를 코사인의 \\( 1 \\)차식으로 변환한다.", "</li></ol><p>예제 \\( 6 \\) 다음의 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int \\sin ^{2} x d x \\)</li><li>\\( \\int \\sin ^{3} x d x \\)</li><li>\\( \\int \\cos ^{4} x d x \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>\\( n \\)이 짝수이므로 배각으로 변형하면 \\[ \\begin{aligned} \\int \\sin ^{2} x d x &=\\int \\frac{1-\\cos 2 x}{2} d x \\\\ &=\\frac{1}{2} x-\\frac{1}{4} \\sin 2 x+C \\end{aligned} \\]</li><li>\\( n \\)이 홀수이므로 치환할 수 있는 형태로 변형시키면 \\( \\sin ^{3} x=\\sin ^{2} x \\sin x=\\left(1-\\cos ^{2} x\\right) \\sin x \\) 이므로 \\( \\cos x=v \\)라 놓으면 \\[ \\begin{aligned} \\int \\sin ^{3} x d x &=\\int\\left(1-v^{2}\\right)(-d v) \\\\ &=\\frac{1}{3} v^{3}-v+C=\\frac{1}{3} \\cos ^{3} x-\\cos x+C \\end{aligned} \\]</li><li>\\( \\begin{aligned} \\cos ^{4} x=\\left(\\frac{1+\\cos 2 x}{2}\\right)^{2} &=\\frac{1}{4}\\left(1+2 \\cos 2 x+\\frac{1+\\cos 4 x}{2}\\right) \\text {이므로 } \\\\ \\int \\cos ^{4} x d x &=\\int \\frac{1}{4}\\left(1+2 \\cos 2 x+\\frac{1+\\cos 4 x}{2}\\right) d x \\\\ &=\\frac{1}{4}\\left[x+\\sin 2 x+\\frac{1}{2} x+\\frac{1}{8} \\sin 4 x\\right]+C \\\\ &=\\frac{3}{8} x+\\frac{1}{4} \\sin 2 x+\\frac{1}{32} \\sin 4 x+C \\end{aligned} \\)</li></ol><p>형태 \\( 2 \\) \\( \\int \\sin ^{m} x \\cos ^{n} x d x \\)</p><ol type=1 start=1><li>\\( m, n \\) 중 적어도 하나가 홀수인 경우는 형태 \\( 1 \\) 의 (\\( 1 \\))과 같은 방법으로 치환한다.", "</li><li>\\( m, n \\) 모두 짝수일 경우는 형태 \\( 1 \\)의 (\\( 2 \\))와 같은 방법으로 각각을 모두 배각으로 변형하여 식을 전개한 후 다시 곱을 합, 차로 바꾸는 삼각공식을 이용하여 피적분함수를 사인, 코사인 의 \\( 1 \\)차식으로 변형한다.", "</li></ol> <p>예제 \\( 7 \\) 다음의 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int \\sin ^{2} x \\cos ^{3} x d x \\)</li><li>\\( \\int \\sin ^{2} x \\cos ^{2} x d x \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sin ^{2} x \\cos ^{3} x=\\sin ^{2} x\\left(1-\\sin ^{2} x\\right) \\cos x \\)이므로 \\( \\sin x=v \\)라 놓으면 \\( \\cos x d x=d v \\)이고, 따라서 주어진 적분은 \\[ \\int \\sin ^{2} x \\cos ^{3} x d x=\\int v^{2}\\left(1-v^{2}\\right) d v=\\frac{1}{3} v^{3}-\\frac{1}{5} v^{5}+C \\] \\[ =\\frac{1}{3} \\sin ^{3} x-\\frac{1}{5} \\sin ^{5} x+C \\]</li><li>지수가 모두 짝수이므로 배각으로 변형하면 \\[ \\begin{aligned} \\sin ^{2} x \\cos ^{2} x &=\\frac{(1-\\cos 2 x)}{2} \\cdot \\frac{(1+\\cos 2 x)}{2}=\\frac{1-\\cos ^{2} 2 x}{4} \\\\ &=\\frac{1}{4}\\left\\{1-\\frac{1+\\cos 4 x}{2}\\right\\}=\\frac{1}{8}-\\frac{\\cos 4 x}{8} \\end{aligned} \\] 이므로 주어진 적분은 \\[ \\begin{aligned} \\int \\sin ^{2} x \\cos ^{2} x d x &=\\int\\left(\\frac{1}{8}-\\frac{\\cos 4 x}{8}\\right) d x \\\\ &=\\frac{1}{8} x-\\frac{1}{32} \\sin 4 x+C \\end{aligned} \\]</li></ol><p>[형태 \\( 3 \\)] \\( \\int \\tan ^{n} x d x \\) (또는 \\( \\int \\cot ^{n} x d x \\) )</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\tan ^{n} x \\) 인 경우: \\( \\tan ^{2} x=\\sec ^{2} x-1 \\) 을 적용한다.", "</li><li>\\( \\cot ^{n} x \\) 인 경우: \\( \\cot ^{2} x=\\csc ^{2} x-1 \\) 을 적용한다.", "</li></ol><p>예제 \\( 8 \\) 다음의 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int \\tan ^{3} x d x \\)</li><li>\\( \\int \\cot ^{2} x d x \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\tan ^{2} x=\\sec ^{2} x-1 \\)이므로 \\( \\int \\tan ^{3} x d x=\\int\\left(\\sec ^{2} x-1\\right) \\tan x d x=\\int \\sec ^{2} x \\tan x d x-\\int \\tan x d x \\) \\( =\\frac{1}{2} \\tan ^{2} x+\\log |\\sec x|+C \\)</li><li>\\( \\cot ^{2} x=\\csc ^{2} x-1 \\)이므로 \\( \\int \\cot ^{2} x d x=\\int\\left(\\csc ^{2} x-1\\right) d x=-\\cot x-x+C \\)</li></ol><p>[형태 \\( 4 \\)] \\( \\int \\tan ^{m} x \\sec ^{n} x d x \\) (또는 \\( \\int \\cot ^{m} x \\csc ^{n} x d x \\) )</p><ol type=1 start=1><li>\\( m \\)은 홀수, \\( n \\)임의의 수일 경우: \\( \\tan ^{m-1} x \\)는 \\( \\sec ^{2} x \\)의 식으로 바꾸고 \\( \\sec x \\)를 치환한다.", "</li><li>\\( n \\)은 짝수, \\( m \\)은 임의의 수일 경우: \\( \\sec ^{n-2} x \\)는 \\( \\tan ^{2} x \\)의 식으로 바꾸고 \\( \\tan x \\)를 치환한다.", "</li></ol><p>예제 \\( 9 \\) 다음의 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int \\tan ^{3} x \\sec ^{1 / 2} x d x \\)</li><li>\\( \\int \\tan ^{-1 / 2} x \\sec ^{4} x d x \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>\\[ \\begin{aligned} \\tan ^{3} x \\sec ^{1 / 2} x &=\\tan ^{2} x \\sec ^{-1 / 2} x(\\sec x \\tan x) \\\\ &=\\left(\\sec ^{2} x-1\\right) \\sec ^{-1 / 2} x(\\sec x \\tan x) \\end{aligned} \\] 이고 \\( \\sec x=v \\)라 놓으면 \\( \\sec x \\tan x d x=d v \\)이므로 \\[ \\int \\tan ^{3} x \\sec ^{1 / 2} x d x=\\int\\left(\\sec ^{2} x-1\\right) \\sec ^{-1 / 2} x(\\sec x \\tan x) d x \\] \\( =\\int\\left(v^{2}-1\\right) v^{-1 / 2} d v \\) \\( =\\frac{2}{5} v^{5 / 2}-2 v^{1 / 2}+C \\) \\( =\\frac{2}{5} \\sec ^{5 / 2} x-2 \\sec ^{1 / 2} x+C \\)</li><li>\\( \\begin{aligned} \\tan ^{-1 / 2} x \\sec ^{4} x=\\tan ^{-1 / 2} x\\left(1+\\tan ^{2} x\\right) \\sec ^{2} x \\text {이고 } \\tan x=v \\text {라 놓으면 } \\\\ \\sec ^{2} x d x=d v \\text {이므로 } \\\\ \\int \\tan ^{-1 / 2} x \\sec ^{4} x d x &=\\int \\tan ^{-1 / 2} x\\left(1+\\tan ^{2} x\\right) \\sec ^{2} x d x \\\\ &=\\int v^{-1 / 2}\\left(1+v^{2}\\right) d v \\\\ &=2 v^{1 / 2}+\\frac{2}{5} v^{5 / 2}+C \\\\ &=2 \\tan ^{1 / 2} x+\\frac{2}{5} \\tan ^{5 / 2} x+C \\end{aligned} \\)</li></ol><p>[형태 \\( 5 \\)] \\( \\int \\sin m x \\cos n x d x \\) (또는 \\( \\int \\sin m x \\sin n x d x, \\int \\cos m x \\cos n x d x \\) ) 이런 형태의 적분은 교류이론, 열전도 문제, 광선의 굴절, 현수교 케이블의 압력분석, 그 밖의 삼각함수의 급수가 쓰이는 수학, 과학, 공학의 많은 분야에서 나타난다.", "이것은 부분적분을 통하여 계산할 수 있지만 다음과 같이 삼각함수의 곱을 합, 차로 바꾸는 공식을 이용하면 간편하게 계산된다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sin m x \\sin n x=-\\frac{1}{2}[\\cos (m+n) x-\\cos (m-n) x] \\)</li><li>\\( \\sin m x \\cos n x=\\frac{1}{2}[\\sin (m+n) x+\\sin (m-n) x] \\)</li><li>\\( \\cos m x \\cos n x=\\frac{1}{2}[\\cos (m+n) x+\\cos (m-n) x] \\)</li></ol><p>예제 \\( 10 \\) 다음의 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int \\sin 5 x \\cos 3 x d x \\)</li><li>\\( \\int \\sin 2 y \\sin 3 y d y \\)</li><li>\\( \\int \\cos ^{2} x \\cos 3 x d x \\)</li></ol><p>풀이<ol type=1 start=1><li>\\( \\begin{aligned} \\int \\sin 5 x \\cos 3 x d x &=\\frac{1}{2} \\int[\\sin 8 x+\\sin 2 x] d x \\\\ &=-\\frac{1}{16} \\cos 8 x-\\frac{1}{4} \\cos 2 x+C \\end{aligned} \\)</li><li>\\( \\begin{aligned} \\int \\sin 2 y \\sin 3 y d y &=-\\frac{1}{2} \\int[\\cos 5 y-\\cos (-y)] d y \\\\ &=\\frac{1}{2} \\sin y-\\frac{1}{10} \\sin 5 y+C \\end{aligned} \\)</li><li>\\( \\begin{aligned} \\cos ^{2} x=\\frac{1+\\cos 2 x}{2} \\text {이므로 } \\\\ \\int \\cos ^{2} x \\cos 3 x d x &=\\frac{1}{2} \\int(1+\\cos 2 x) \\cos 3 x d x \\\\ &=\\frac{1}{2} \\int[\\cos 3 x+\\cos 2 x \\cos 3 x] d x \\\\ &=\\frac{1}{2} \\int\\left[\\cos 3 x+\\frac{1}{2}(\\cos 5 x+\\cos (-x))\\right] d x \\\\ &=\\frac{1}{6} \\sin 3 x+\\frac{1}{20} \\sin 5 x+\\frac{1}{4} \\sin x+C \\end{aligned} \\)</li></ol></p> <h2>2. 초월함수의 적분법</h2><p>여기서는 미분의 역연산과 치환적분법을 이용하여 간단한 초월함수의 적분법과 부정적분이 역삼각함수로 얻어지는 복잡한 대수함수의 적분법을 살펴본다.", "또한 여러 가지 형태의 삼각함수에 대한 적분법을 유형별로 살펴본다.", "</p><p>초월함수의 적분도 우선 이미 알고 있는 간단한 미분공식을 통한 그 역연산의 이해로부터 시작한다.", "</p><p>정리 \\( 4 \\)-\\( 1 \\)-\\( 2 \\) 삼각함수의 적분 적분과 대응미분</p><ol type=1 start=8><li>\\( \\int \\sin x d x=-\\cos x+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x} \\cos x=-\\sin x \\)</li><li>\\( \\int \\cos x d x=\\sin x+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x} \\sin x=\\cos x \\)</li><li>\\( \\int \\sec ^{2} x d x=\\tan x+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x} \\tan x=\\sec ^{2} x \\)</li><li>\\( \\int \\csc ^{2} x d x=-\\cot x+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x} \\cot x=-\\csc ^{2} x \\)</li><li>\\( \\int \\sec x \\tan x d x=\\sec x+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x} \\sec x=\\sec x \\tan x \\)</li><li>\\( \\int \\csc x \\cot x d x=-\\csc x+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x} \\csc x=-\\csc x \\cot x \\)</li></ol><p>예제 \\( 1 \\) 다음의 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int \\tan x d x \\)</li><li>\\( \\int \\cos 3 x d x \\)</li><li>\\( \\int \\sin (2 x+3) d x \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\cos x=v \\)라 놓으면 \\( \\sin x d x=-d v \\)이므로 \\[ \\begin{aligned} \\int \\tan x d x &=\\int \\frac{\\sin x}{\\cos x} d x=-\\int \\frac{1}{v} d v=-\\log |v|+C \\\\ &=-\\log |\\cos x|+C=\\log |\\sec x|+C \\end{aligned} \\]</li><li>\\( 3 x=v \\)라 놓으면 \\(3 d x =d v \\) 이므로 \\[ \\begin{aligned} \\int \\cos 3 x d x &=\\frac{1}{3} \\int \\cos v d v \\\\ &=\\frac{1}{3} \\sin v+C=\\frac{1}{3} \\sin 3 x+C \\end{aligned} \\]</li><li>\\( 2 x+3=v \\)라 놓으면 \\( 2 d x=d v \\)이므로 \\[ \\begin{aligned} \\int \\sin (2 x+3) d x &=\\frac{1}{2} \\int \\sin v d v \\\\ &=-\\frac{1}{2} \\cos v+C=-\\frac{1}{2} \\cos (2 x+3)+C \\end{aligned} \\]</li></ol><p>예제 \\( 2 \\) 다음의 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sin 3 x=v \\)라 놓으면 \\( 3 \\cos 3 x d x=d v \\)이므로 \\[ \\int \\frac{\\cos 3 x}{\\sin ^{2} 3 x} d x=\\frac{1}{3} \\int \\frac{1}{v^{2}} d v=-\\frac{1}{3 v}+C=-\\frac{1}{3 \\sin 3 x}+C \\]</li><li>\\( \\tan x=v \\)라 놓으면 \\( \\sec ^{2} x d x=d v \\)이므로 \\[ \\int \\tan ^{2} x \\sec ^{2} x d x=\\int v^{2} d v=\\frac{1}{3} v^{3}+C=\\frac{1}{3} \\tan ^{3} x+C \\]</li><li>\\( \\tan ^{2} x=\\sec ^{2} x-1 \\)이므로 \\[ \\int \\tan ^{2} x d x=\\int\\left(\\sec ^{2} x-1\\right) d x=\\tan x-x+C \\]</li></ol><p>정리 \\( 4 \\)-\\( 1 \\)-\\( 3 \\) 지수함수의 적분 적분과 대응미분</p><ol type=1 start=14><li>\\( \\int e^{x} d x=e^{x}+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x} e^{x}=e^{x} \\)</li><li>\\( \\int a^{x} d x=\\frac{a^{x}}{\\log a}+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x} a^{x}=a^{x} \\log a, a>0 \\)</li></ol><p>예제 \\( 3 \\) 다음의 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int x e^{x^{2}} d x \\)</li><li>\\( \\int 2^{x+1} d x \\)</li><li>\\( \\int e^{\\sin x} \\cos x d x \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>\\( x^{2}=v \\) 라 놓으면 \\(2 x d x =d v \\) 이므로 \\[ \\begin{aligned} \\int x e^{x^{2}} d x &=\\frac{1}{2} \\int e^{v} d v \\\\ &=\\frac{1}{2} e^{v}+C=\\frac{1}{2} e^{x^{2}}+C \\end{aligned} \\]</li><li>\\( x+1=v \\)라 놓으면 \\( d x=d v \\)이므로 \\[ \\begin{aligned} \\int 2^{x+1} d x &=\\int 2^{v} d v \\\\ &=\\frac{2^{v}}{\\log 2}+C=\\frac{2^{x+1}}{\\log 2}+C \\end{aligned} \\]</li><li>\\( \\sin x=v \\)라 놓으면 \\( \\cos x d x=d v \\)이므로 \\[ \\begin{aligned} \\int e^{\\sin x} \\cos x d x &=\\int e^{v} d v \\\\ &=e^{v}+C=e^{\\sin x}+C \\end{aligned} \\]</li></ol><p>정리 \\( 4 \\)-\\( 1 \\)-\\( 4 \\) 대수함수의 적분 Ⅰ 적분과 대응미분</p><ul><li>\\( 16. \\int \\frac{1}{\\sqrt{1-x^{2}}} d x=\\sin ^{-1} x+C \\)</li><li>\\( 16(a). \\", "int \\frac{1}{\\sqrt{a^{2}-x^{2}}} d x=\\sin ^{-1} \\frac{x}{a}+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x}\\left(\\sin ^{-1} x\\right)=\\frac{1}{\\sqrt{1-x^{2}}} \\)</li><li>\\( 17. \\int \\frac{1}{1+x^{2}} d x=\\tan ^{-1} x+C \\)</li><li>\\( 17(a). \\", "int \\frac{1}{a^{2}+x^{2}} d x=\\frac{1}{a} \\tan ^{-1} \\frac{x}{a}+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x}\\left(\\tan ^{-1} x\\right)=\\frac{1}{1+x^{2}} \\)</li><li>\\( 18. \\int \\frac{1}{x \\sqrt{x^{2}-1}} d x=\\sec ^{-1}|x|+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x}\\left(\\sec ^{-1} x\\right)=\\frac{1}{|x| \\sqrt{x^{2}-1}},|x|>1 \\)</li></ul><p>예제 \\( 4 \\) 다음의 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int \\frac{x}{\\sqrt{9-4 x^{4}}} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{1}{25+x^{2}} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{1}{\\sqrt{9-4 x^{2}}} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{\\cos x}{16+\\sin ^{2} x} d x \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>\\( 2 x^{2}=v\\) 라 놓으면 \\(4 x d x =d v\\) 이므로 \\[ \\begin{aligned} \\int \\frac{x}{\\sqrt{9-4 x^{4}}} d x &=\\frac{1}{4} \\int \\frac{1}{\\sqrt{3^{2}-v^{2}}} d v \\\\ &=\\frac{1}{4}\\left(\\sin ^{-1} \\frac{v}{3}+C_{1}\\right)=\\frac{1}{4} \\sin ^{-1} \\frac{2 x^{2}}{3}+C \\end{aligned} \\]</li><li>공식 \\( 17 \\)(a)에 의하여 \\[ \\int \\frac{1}{25+x^{2}} d x=\\frac{1}{5} \\tan ^{-1} \\frac{x}{5}+C \\]</li><li>피적분함수를 변형하면 \\( \\frac{1}{\\sqrt{9-4 x^{2}}}=\\frac{1}{3 \\sqrt{1-(2 x / 3)^{2}}} \\)이다.", "이때 \\( \\frac{2 x}{3}=v \\) 로 치환하면 \\( d x=\\frac{3}{2} d v \\)이고, 따라서 \\[ \\begin{aligned} \\int \\frac{1}{\\sqrt{9-4 x^{2}}} d x &=\\frac{1}{2} \\int \\frac{1}{\\sqrt{1-v^{2}}} d v \\\\ &=\\frac{1}{2} \\sin ^{-1} v+C=\\frac{1}{2} \\sin ^{-1} \\frac{2}{3} x+C \\end{aligned} \\]</li><li>\\( \\sin x=v \\)로 치환하면 \\( \\cos d x=d v \\)이므로 주어진 적분은 \\[ \\begin{aligned} \\int \\frac{\\cos x}{16+\\sin ^{2} x} d x &=\\int \\frac{1}{4^{2}+v^{2}} d v \\\\ &=\\frac{1}{4} \\tan ^{-1} \\frac{v}{4}+C=\\frac{1}{4} \\tan ^{-1}\\left(\\frac{\\sin x}{4}\\right)+C \\end{aligned} \\]</li></ol><p>정리 \\( 4 \\)-\\( 1 \\)-\\( 5 \\) 대수함수의 적분 Ⅱ 적분과 대응미분</p><ol type=1 start=19><li>\\( \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x=\\sinh ^{-1} x+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x} \\sinh ^{-1} x=\\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} \\)</li><li>\\( \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}-1}} d x=\\cosh ^{-1} x+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x} \\cosh ^{-1} x=\\frac{1}{\\sqrt{x^{2}-1}}, x>1 \\)</li><li>\\( \\int \\frac{1}{1-x^{2}} d x=\\tanh ^{-1} x+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x} \\tanh ^{-1} x=\\frac{1}{1-x^{2}},-1<x<1 \\)</li><li>\\( \\int \\frac{-1}{x \\sqrt{1-x^{2}}} d x=\\operatorname{sech}^{-1} x+C \\Leftrightarrow \\frac{d}{d x} \\operatorname{sech}^{-1} x=\\frac{-1}{x \\sqrt{1-x^{2}}}, 0<x<1 \\)</li></ol><p>예제 \\( 5 \\) 다음의 부정적분을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+2 x-3}} d x \\)</li><li>\\( \\int \\frac{1}{\\sqrt{4 x^{2}+4 x}} d x \\)</li></ol><p>풀이</p><ol type=1 start=1><li>식을 변형하면 \\[ \\sqrt{x^{2}+2 x-3}=\\sqrt{(x+1)^{2}-2^{2}}=2 \\sqrt{\\left(\\frac{x+1}{2}\\right)^{2}-1} \\] 이고, \\( \\frac{x+1}{2}=v \\)라 놓으면 \\( d x=2 d v \\)이므로 \\[ \\begin{aligned} \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+2 x-3}} d x &=\\int \\frac{1}{\\sqrt{v^{2}-1}} d v \\\\ &=\\cosh ^{-1} v+C=\\cosh ^{-1}\\left(\\frac{x+1}{2}\\right)+C \\end{aligned} \\]</li><li>\\( \\sqrt{4 x^{2}+4 x}=\\sqrt{(2 x+1)^{2}-1} \\)이므로 \\( 2 x+1=t \\)로 치환하면 \\( d x=\\frac{1}{2} d t \\)이므로 \\( \\int \\frac{1}{\\sqrt{4 x^{2}+4 x}} d x=\\frac{1}{2} \\int \\frac{1}{\\sqrt{t^{2}-1}} d t=\\frac{1}{2} \\cosh ^{-1} t+C \\) \\( =\\frac{1}{2} \\cosh ^{-1}(2 x+1)+C \\)</li></ol>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "미분적분학_적분법", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-c5c1-44f3-a9ee-254f55fa369f", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160733563", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2020", "doc_author": [ "양정모" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>6.4 푸아송과정의 동치조건 I</h1><p>이 절에서는 정리 \\( 6.5 \\)의 역이 성립함을 보인다.", "즉 계수과정에서 사건발생시간 간격이 서로 독립이고 각각이 지수분포를 따르면 그 계수과정은 푸아송과정이 됨을 보인다.", "이 절 전체를 통하여 특별한 언급이 없는 한 계수과정 \\( N=\\{N(t), t \\geq 0\\} \\)에서 \\( (n-1) \\)번째와 \\( n \\)번째 사건이 발생하는 시간 간격을 \\( X_{n} \\)이라 하고, \\( n \\)번째 사건이 발생하는 시각을 \\( S_{n}=\\sum_{k=1}^{n} X_{k} \\)라 하자.", "또한 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots \\)는 서로 독립이며 각각은 모수가 \\( \\lambda \\)인 지수분포를 따른다고 가정하자.", "</p><p>보조정리 \\( 6.7 \\)</p><p>\\( P(N(t)=k)=e^{-\\lambda t} \\frac{(\\lambda t)^{k}}{k !}, k=0,1,2, \\cdots \\)</p><p>증명 \\( S_{n} \\)과 \\( N(t) \\)의 정의에 의하여 \\( \\{N(t) \\geq n\\}=\\left\\{S_{n} \\leq t\\right\\} \\)임을 알 수 있다.", "또한 \\( S_{k} \\sim \\operatorname{Erlang}(k, \\lambda) \\)(정리 \\(1.25\\))이므로 \\[ \\begin{aligned}P(N(t)=k) &=P(N(t) \\geq k)-P(N(t) \\geq k+1) \\\\&=P\\left(S_{k} \\leq t\\right)-P\\left(S_{k+1} \\leq t\\right) \\\\&=\\left[1-\\sum_{j=0}^{k-1} e^{-\\lambda t} \\frac{(\\lambda t)^{j}}{j !}\\right]-\\left[1-\\sum_{j=0}^{k} e^{-\\lambda t} \\frac{(\\lambda t)^{j}}{j !}\\right] \\\\&=e^{-\\lambda t} \\frac{(\\lambda t)^{k}}{k !}, k=0,1,2, \\cdots\\end{aligned}\\]</p><p>계수과정의 재귀시간 계수과정 \\( N=\\{N(t), t \\geq 0\\} \\)에 대하여 \\( S_{N(t)} \\)는 현재 시각을 \\( t \\)라 할 때 최근 사건이 발생한 시각을 의미한다.", "또한 \\( S_{N(t)+1} \\)은 \\( t \\) 시각 이후 처음 사건이 발생하는 시각을 의미한다.", "최근 사건이 발생한 시점부터 현재까지 경과한 시간 \\( A(t) \\)와 현재 시각부터 다음 사건이 발생할 때까지 걸리는 시간 \\( B(t) \\)는 다음과 같이 나타낼 수 있다(그림 \\( 6.2 \\) 참조).", "</p><p>\\( A(t)=t-S_{N(t)}, \\quad B(t)=S_{N(t)+1}-t \\)</p><p>이때 \\( A(t) \\)를 \\( t \\) 시각에서의 나이(age), 경과시간(elapsed time) 또는 후방향재귀시간(backward recurrence time)이라 하고 \\( B(t) \\)를 잔여수명(residual life time) 또는 전방향재귀시간(forward recurrence time)이라 한다.", "또한 \\( \\left\\{X_{n}\\right\\} \\)들 중 시각 \\( t \\)를 포함하는 구간의 길이 \\( X_{N(t)}=A(t)+B(t) \\)를 시각 \\( t \\)에서의 재귀시간(recurrent time) 또는 재귀간격이라고 한다.", "</p><p>보조정리 \\( 6.8 \\)</p><p>\\( B(t) \\)는 \\( \\{N(s), s \\leq t\\} \\)와 독립이고 \\( B(t) \\sim \\operatorname{Exp}(\\lambda) \\)이다.", "</p><p>증명 다음을 주목하자. \\( N(t)=k \\)이고 \\( S_{N(t)}=x \\)이면 \\[B(t)=S_{N(t)+1}-t=S_{k}+X_{k+1}-t=X_{k+1}+x-t\\]이다. 또한 \\( \\{N(u), 0 \\leq u \\leq t\\} \\) 는 \\( \\left\\{S_{1}, \\cdots, S_{N(t)}, X_{N(t)+1}\\right\\} \\)에 의하여 완전히 결정되므로, \\( N(t)=k, S_{N(t)}=x \\)일 때 \\( \\{N(u), 0 \\leq u \\leq t\\} \\)는 \\( \\left\\{S_{1}, \\cdots, S_{k-1}\\right. \\), \\( \\left.S_{k}=x, X_{k+1}>x-t\\right\\} \\)에 의하여 결정된다. 따라서 다음을 얻는다. \\( P\\left(B(t)>y \\mid N(t)=k, S_{N(t)}=x, N(u), 0 \\leq u \\leq t\\right) \\) \\( =P\\left(S_{k}+X_{k+1}-t>y \\mid N(t)=k, S_{N(t)}=x, N(u), 0 \\leq u \\leq t\\right) \\) \\( =P\\left(X_{k+1}>t+y-x \\mid N(t)=k, S_{1}, \\cdots, S_{k-1}, S_{k}=x, X_{k+1}>t-x\\right) \\) \\( =P\\left(X_{k+1}>t+y-x \\mid X_{k+1}>", "t-x\\right) \\) \\( =e^{-\\lambda_{y}} \\) (지수분포의 무기억성) 따라서 보조정리가 증명된다.", "</p><p>보조정리 \\( 6.9 \\)</p><p>\\( N_{s}(t)=N(s+t)-N(t) \\sim \\operatorname{Poi}(\\lambda t) \\)이고 \\( \\quad N_{s}=\\left\\{N_{s}(t), t \\geq 0\\right\\} \\)는 \\( \\quad\\{N(u), \\quad 0 \\leq \\)\\( u \\leq s\\} \\)와 독립이다.", "</p><p>증명 \\( N_{s} \\)의 발생시간 간격을 \\( X_{n}^{s}(n=1,2, \\cdots) \\)라 하자. \\", "( N_{s} \\)에서 첫째 사건이 발생하는 시각은 \\( B(s) \\)이므로 보조징리 \\( 6.8 \\)에 의하여 \\( X_{1}^{s}=B(s) \\sim \\operatorname{Exp}(\\lambda) \\)이다.", "계수과정 \\( N \\)의 발생시간 간격이 서로 독립이며 각각은 모수가 \\( \\lambda \\)인 지수분포를 따르므로 \\( X_{1}^{s}, X_{2}^{s}, \\cdots \\)는 서로 독립이며 \\( X_{n}^{s} \\sim \\operatorname{Exp}(\\lambda)(n \\geq 2) \\)이다.", "따라서 보조정리 \\( 6.7 \\)에 의하여 \\( N_{s}(t) \\sim \\operatorname{Poi}(\\lambda t) \\)이다.", "<p>\\( X_{n}^{s}(n \\geq 2) \\)는 \\( \\{N(u), 0 \\leq u \\leq s\\} \\)와 독립이고 보조정리 \\( 6.8 \\)에 의하여 \\( X_{1}^{*}= \\) \\( B(s) \\)가 \\( \\{N(u), 0 \\leq u \\leq s\\} \\)와 독립이므로 \\( N_{s} \\) 는 \\( \\{N(u), 0 \\leq u \\leq s\\} \\)와 독립이다.", "</p></p><p>정리 \\(6.10\\)</p><p>계수과정 \\( N=\\{N(t), t \\geq 0\\} \\)의 사건발생시간 간격이 \\( X_{n} \\) 일 때 \\( N \\sim P P(\\lambda) \\)일 필요충분조건은 \\( X_{1}, X_{2}, \\cdots \\)이 서로 독립이며 \\( X_{n} \\sim \\operatorname{Exp}(\\lambda) \\)이다.", "</p><p>증명 필요조건은 정리 \\( 6.5 \\)에 의하여 증명되었다.", "보조정리 \\( 6.9 \\)에 의하여 \\( N(t+s)- \\) \\( N(s) \\sim \\operatorname{Poi}(\\lambda t) \\)이다.", "또한 \\( 0 \\leq t_{1}<t_{2}<t_{3}<t_{4} \\)일 때 보조정리 \\( 6.9 \\)에 의하여 \\( N\\left(t_{4}\\right)-N\\left(t_{3}\\right) \\)는 \\( \\left\\{N(t), 0 \\leq t \\leq t_{3}\\right\\} \\) 와 독립이므로 \\( N\\left(t_{4}\\right)-N\\left(t_{3}\\right) \\)는 \\( N\\left(t_{2}\\right)- \\) \\( N\\left(t_{1}\\right) \\)과 독립이다.", "이와 같은 과정을 일반화하면 \\( N \\)은 독립증분을 가짐을 알 수 있다.", "따라서 충분조건이 증명된다.", "</p><p>참고 구간 \\( [0, \\infty) \\)를 크기가 \\( \\delta>0 \\)인 부분구간으로 나누고 각 구간 \\( (k \\delta,(k+1) \\delta) \\)에서 앞면이 나올 확률이 \\( p_{\\delta}=\\lambda \\delta(\\lambda>0 \\)는 고정된 상수 \\( ) \\)와 같이 구간의 길이에 비례하는 동전을 한 번씩 던지는 실험을 생각하자.", "이때 \\( n \\)번의 시행에서 나타난 앞면의 수를 \\( N_{\\delta}^{(n)} \\)이라 하고 \\( n \\)번째 앞면이 나타난 후로 \\( (n+1) \\)번째 앞면이 나타날 때까지 걸리는 시간을 \\( X_{\\delta}^{(n+1)} \\)이라 하자.", "정리 \\(3.1\\)에서 확률과정 \\( \\left\\{N_{\\delta}^{(n)}, n=0,1,2, \\cdots\\right\\} \\)는 독립증분과 정상증분을 가지며 \\( N_{\\delta}^{(n)} \\sim \\) \\( \\mathrm{B}\\left(n, p_{\\delta}\\right) \\)임을 보였다.", "즉 \\( P\\left(N_{\\delta}^{(n)}=k\\right)=\\left(\\begin{array}{c}n \\\\ k\\end{array}\\right) p_{\\delta}^{k}\\left(1-p_{\\delta}\\right)^{n-k}, k=0,1,2, \\cdots, n . \\)", "<caption>(6.2)</caption>또한 따름정리 \\( 3.4 \\)에 의하여 \\( X_{d}^{(1)}, X_{d}^{(2)}, \\ldots \\)는 서로 독립이고 \\( P\\left(X_{\\delta}^{(n)}>k \\delta\\right)=\\left(1-p_{\\delta}\\right)^{k}, \\quad k=0,1,2, \\cdots \\)<caption>(6.3)</caption>이다. \\( (6.2) \\)와 \\((6.3)\\)에서 \\( t=n \\delta \\)를 고정하고 \\( p_{\\delta}=\\frac{\\lambda t}{n} \\)로 치환한 다음 \\( n \\rightarrow \\infty \\) 했을 때 \\( t \\) 시각까지 발생한 앞면의 수 \\( N(t) \\)의 분포는 다음과 같음을 알 수 있다(정리 \\(1.22\\)). \\( P(N(t)=k)=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} P\\left(N_{\\delta}^{(n)}=k\\right)=e^{-\\lambda t} \\frac{(\\lambda t)^{k}}{n !}, k=0,1,2, \\cdots \\) 이때 사건발생시간 간격의 분포는 다음과 같이 지수분포에 수렴한다. \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} P\\left(X_{b}^{(1)}>", "t\\right)=\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(1-\\frac{\\lambda t}{n}\\right)^{n}=e^{-\\lambda t} \\) 위의 논의로부티 푸아송과정은 베르누이과정에서 성공 횟수를 나타내는 확률과정 \\( \\left\\{N_{n}, n=\\right. \\)\\", "( 0,1,2, \\cdots \\)의 극한으로 생각할 수 있다.", "</p><p>검사모순 이 절의 끝으로 이산시간 갱신과정에서 살펴보았던 검사모순이 푸아송과정에서도 발생함을 보인다.", "</p><p>정리 \\( 6.11 \\)</p><p>\\( N \\sim P P(\\lambda) \\)일 때 \\( A(t)=t-S_{N(t)} \\)의 분포는 다음과 같다.", "<p>\\( P(A(t) \\leq u)=\\left\\{\\begin{array}{ll}1-e^{-\\lambda u}, & 0 \\leq u<t \\\\ 1, & t \\leq u\\end{array}\\right. \\)", "</p></p><p>증명 \\( A(t) \\leq t \\)이므로 명백하게 \\( t \\leq u \\)이면 \\( P(A(t) \\leq u)=1 \\)이다.", "또한 \\( 0 \\leq u<t \\)에 대하여 \\[P(A(t)>u)=P(N(t)-N(t-u)=0)=P(N(u)=0)=e^{-\\lambda u}\\]이므로 정리가 증명된다.", "</p><p>보조정리 \\(6.8\\)과 정리 \\(6.11\\)로부터 특정한 시각 \\( t \\)를 포함하는 구간 \\( \\left(S_{N(t)}, S_{N(t)+1}\\right] \\)의 길이 \\( X_{N(t)} \\)에 대한 평균은 \\[\\begin{aligned}E\\left[X_{N(t)}\\right] &=E\\left[\\left(S_{N(t)+1}-t\\right)+\\left(t-S_{N(t)}\\right)\\right] \\\\&=E[B(t)+A(t)]=\\frac{1}{\\lambda}+E[A(t)] \\\\&>\\frac{1}{\\lambda}=E\\left[X_{n}\\right]\\end{aligned}\\]이 되어 보통의 사건발생시간 간격 \\( X_{n} \\) 평균보다 크다는 것을 알 수 있다. 이와 같은 현상을 검사모순(inspection paradox)이라고 한다.</p> <p>사건발생시간에 의존하는 분해과정 특정한 시각에 발생한 사건의 유형이 \\( Z \\) 발생시각에 의존한다고 할 때 각 사건의 발생횟수로 이루어지는 확률과정에 대하여 알아본다.</p><p>\\( t \\) 시각에 발생한 사건이 \\( i \\) 유형의 사건이 될 확률을 \\( p_{i}(t)(i=1,2, \\cdots, r) \\)라 하자. 단 \\( \\sum_{i=1}^{r} p_{i}(t)=1 \\)이다. 또한 \\( N_{i}(t) \\) 를 \\( (0, t]", "\\)동안 발생한 \\( i \\) 유형의 사건 수라 하자.", "</p><p>정리 \\( 6.19 \\)</p><p>\\( \\boldsymbol{N} \\sim P(\\lambda) \\) 일 때 \\( N_{1}(t), \\cdots, N_{r}(t) \\)은 서로 독립이며 \\( N_{i}(t) \\sim \\operatorname{Poi}\\left(\\alpha_{i}(t)\\right) \\)이다.", "단 \\[\\alpha_{i}(t)=\\lambda \\int_{0}^{t} p_{i}(s) d s .\\]</p><p>증명 \\( (0, t]", "\\)동안 하나의 사건이 발생하였다면 정리 \\( 6.13 \\)에 의하여 그 사건이 발생한 시각은 \\( \\mathrm{U}(0, t) \\)를 따른다.", "또한 어떤 사건이 \\( s \\) 시각에 일어났다면 그것이 \\( i \\) 유형의 사건일 확률은 \\( p_{i}(s) \\)이므로, \\( (0, t] \\)동안 발생한 사건이 \\( i \\) 유형의 사건일 확률은 \\[P_{i}(t)=\\frac{1}{t} \\int_{0}^{t} p_{i}(s) d s=\\frac{1}{\\lambda t} \\alpha_{i}(t) \\]이고 각 사건의 유형은 다른 사건과 독립이다.", "그러므로 \\( N(t)=n \\) 이라는 가정하에서 \\( n=\\sum_{i}^{r} n_{i} \\)일 때 사건 \\( \\left\\{N_{i}(t)=n_{i}, 1 \\leq i \\leq r\\right\\} \\)의 확률은 한 번 시행에서 나올 수 있는 결과가 \\( r \\)가지이고 각 결과 \\( i \\)가 나올 확률이 \\( P_{i}(t) \\)인 시행을 독립적으로 \\( n \\)회 수행할 때 결과 \\( i \\) 가 \\( n_{i}(1 \\leq i \\leq r) \\)번 나올 확률과 같다.", "따라서 \\[P\\left\\{N_{i}(t)=n_{i}, i=1,2, \\cdots, r \\mid N(t)=n\\right\\}\\] \\[=\\frac{n !}{n_{1} ! \\", "cdots n_{r} !} P_{1}(t)^{n_{1}} \\cdots P_{r}(t)^{n_{r}}\\] 그러므로 \\( n=\\sum_{i}^{r} n_{i} \\)일 때 \\[\\begin{array}{l}P\\left\\{N_{i}(t)=n_{i}, i=1,2, \\cdots, r\\right\\} \\\\\\quad=P\\left\\{N_{i}(t)=n_{i}, i=1,2, \\cdots, r \\mid N(t)=n\\right\\} P\\{N(t)=n\\}\\end{array}\\] \\[\\begin{array}{l}=\\frac{n !}{n_{1} ! \\", "cdots n_{k} !} P_{1}(t)^{n_{1}} \\cdots P_{r}(t)^{n_{r}} e^{-\\lambda t} \\frac{(\\lambda t)^{n}}{n !} \\\\=\\prod_{i}^{r}\\left[e^{-\\lambda t P_{i}(t)} \\frac{\\left(\\lambda t P_{i}(t)\\right)^{n_{i}}}{n_{i} !}\\right] \\end{array}\\]가 되어 정리가 증명된다.", "</p><p>주목 정리 \\(6.19\\)에서 정의된 확률과정은 \\( N_{i}=\\left\\{N_{i}(t), t \\geq 0\\right\\} \\)는 정상증분을 갖지 않는다.", "따라서 \\( N_{i} \\)는 푸아송과정이 아니다.", "</p> <h1>6.6 도착시간의 조건부분포</h1><p>어떤 사건이 푸아송과정을 따라서 발생할 때, \\( t \\)시각까지 정확하게 하나의 사건이 발생했다면 그 사건은 언제 발생하였겠는가?", "푸아송과정은 독립증분과 정상증분을 가지므로 구간 \\( (0, t) \\)중에서 어느 시점에서나 발생할 가능성이 같을 것으로 추측할 수 있다.", "즉 실제 사건이 발생한 시간의 분포는 균등분포 \\( \\mathrm{U}(0, t) \\)를 따른다고 추측할 수 있다.", "이 추측이 성립한다는 것을 다음과 같이 보일 수 있다. \\", "( 0 \\leq s \\leq t \\)에 대하여 \\[P\\left(S_{1} \\leq s \\mid N(t)=1\\right)=\\frac{P\\left(S_{1}<s, N(t)=1\\right)}{P(N(t)=1)}\\]\\[\\begin{array}{l} =\\frac{P(N(s)=1, N(t)-N(s)=0)}{P(N(t)=1)} \\\\=\\frac{\\lambda s e^{-\\lambda s} e^{-\\lambda(t-s)}}{\\lambda t e^{-\\lambda t}} \\\\=\\frac{s}{t}\\end{array}\\]이고 이것은 \\( \\mathrm{U}(0, t) \\) 의 분포함수이다. 다음 정리는 \\( N(t)=n \\)이라는 가정하에서 \\( S_{1}, S_{2} \\), \\( \\cdots, S_{n} \\)의 조건부분포는 서로 독립이며 균등분포 \\( \\mathrm{U}(0, t) \\)를 따르는 확률변수의 순서통계량의 분포와 같다는 것을 보여준다.</p><p>정리 \\( 6.13 \\)</p><p>\\( N=\\{N(t), t \\geq 0\\} \\sim P P(\\lambda) \\)일 때 \\( N(t)=n \\)이라는 가정하에서 \\( S_{1}, S_{2}, \\cdots, S_{n} \\)의 조건부결합확률밀도함수는 다음과 같다.<p>\\( f\\left(t_{1}, t_{2}, \\cdots, t_{n} \\mid N(t)=n\\right)=\\frac{n !}{t^{n}}, \\quad 0<t_{1}<t_{2}<\\cdots<t_{n}<t \\)<caption>(6.4)</caption></p></p><p>증명 \\( 0<t_{1}<t_{2}<\\cdots<t_{n}<t \\)에 대하여 \\( t_{i}+h_{i}<t_{i+1}, i=1,2, \\cdots, n \\)을 만족하도록 \\( h_{i}>0 \\)를 선택하자. 그러면 \\[\\begin{array}{l}P\\left(t_{i}+h_{i}<S_{i} \\leq t_{i+1}, i=1,2, \\cdots, n \\mid N(t)=n\\right) \\\\=\\frac{P\\left(N\\left(\\left(t_{i}+h_{i}, t_{i+1}\\right]\\right)=1,1 \\leq i \\leq n, N\\left((0, t]-\\cup_{i \\quad 1}^{n}\\left(t_{i}+h_{i}, t_{i+1}\\right]", "\\right)=0\\right)}{P(N(t)=n)} \\\\=\\frac{\\lambda h_{1} e^{\\lambda h_{1}} \\cdots \\lambda h_{n} e^{\\lambda h_{n}} e^{\\lambda\\left(t-h_{1}-\\cdots-h_{n}\\right)}}{e^{\\lambda t}(\\lambda t)^{n} / n !} \\\\=\\frac{n !}{t^{n}} h_{1} \\cdots h_{n} .\\end{array}\\]", "위 식의 양변을 \\( h_{1} \\cdots h_{n} \\)으로 나누고 \\( h_{i} \\rightarrow 0(1 \\leq i \\leq n) \\) 하면 \\((6.4)\\)를 얻는다.", "</p><p>예제 \\( 6.3 \\)</p><p>버스정류장에 비율이 \\( \\lambda \\)인 푸아송과정을 따라서 고객이 도착한다고 하자.", "버스가 \\( t \\) 시각에 출발한다고 할 때 \\( (0, t] \\) 사이에 도착한 고객이 기다리는 시간의 합을 \\( X \\)라 할 때 \\( E[X] \\)를 구하라.", "</p><p>풀이 \\( S_{i} \\)를 \\( i \\)번째 고객이 도착한 시각이라 하면 \\( X=\\sum_{i=1}\\left(t-S_{i}\\right) \\)이다. \\", "( N(t)=n \\)이라는 가정하에서 \\( X \\)의 조건부평균은 \\[E\\left[\\sum_{i=1}^{N(t)}\\left(t-S_{i}\\right) \\mid N(t)=n\\right]=E\\left[\\sum_{i=1}^{n}\\left(t-S_{i}\\right) \\mid N(t)=n\\right]\\]\\[=n t-E\\left[\\sum_{i}^{n} S_{i} \\mid N(t)=n\\right] .\\]", "정리 \\(6.13\\)에 의하여 \\( N(t)=n \\)이라는 가정하에서 \\( S_{1}, \\cdots, S_{n} \\)의 조건부분포 는 \\( (0, t) \\) 상에서 균등확률변수의 순서통계량 \\( U_{(1)}, \\cdots, U_{(n)} \\)의 분포와 같다.", "또 한 \\( \\sum_{i}^{n} U_{(i)}=\\sum_{i}^{n} U_{i} \\)이므로 \\[E\\left[\\sum_{i=1}^{n} S_{i} \\mid N(t)=n\\right]=E\\left[\\sum_{i=1}^{n} U_{(i)}\\right]=E\\left[\\sum_{i=1}^{n} U_{i}\\right]=\\frac{n t}{2} .\\]", "따라서 \\[E\\left[\\sum_{i}^{N(t)}\\left(t-S_{i}\\right) \\mid N(t)=n\\right]=n t-\\frac{n t}{2}=\\frac{n t}{2}\\]이므로\\[E[X]=E[E[X \\mid N(t)]]=\\frac{t}{2} E[N(t)]=\\frac{\\lambda t^{2}}{2} \\]</p><p>정리 \\( 6.14 \\)</p><p>\\( N=\\{N(t), t \\geq 0\\} \\sim P P(\\lambda) \\)일 때 \\( S_{n}=t \\)라는 가정하에서 \\( S_{1}, S_{2}, \\cdots, S_{n-1} \\)의 조건부결합확률밀도함수는 \\[f\\left(t_{1}, t_{2}, \\cdots, t_{n-1} \\mid S_{n}=t\\right)=\\frac{(n-1) !}{t^{n-1}}, 0<t_{1}<t_{2}<\\cdots<t_{n-1}<t\\]</p><p>증명 \\( S_{n} \\sim \\operatorname{Erlang}(n, \\lambda) \\)이므로 \\( S_{n} \\)의 확률밀도함수는 \\[f_{S_{n}}(t)=\\lambda e^{-\\lambda t} \\frac{(\\lambda t)^{n-1}}{(n-1) !}, \\quad t>0\\]이고 \\( S_{1}, \\cdots, S_{n} \\) 의 결합확률밀도함수는 정리 \\( 1.30 \\)에 의하여\\[f\\left(t_{1}, t_{2}, \\cdots, t_{n-1}, t\\right)=\\lambda^{n} e^{-\\lambda t}, 0<t_{1}<\\cdots<t_{n-1}<t<\\infty\\]이므로 조건부확률밀도함수의 정의에 의하여 \\[f\\left(t_{1}, t_{2}, \\cdots, t_{n-1} \\mid S_{n}=t\\right)=\\frac{1}{f_{S_{n}}(t)} f\\left(t_{1}, t_{2}, \\cdots, t_{n-1}, t\\right)\\] \\[ =\\frac{(n-1) !}{t^{n-1}}, 0<t_{1}<t_{2}<\\cdots<t_{n-1}<t \\]이 되어 정리가 증명된다.</p> <h1>\\(6\\)장 연습문제</h1><p>\\(1\\). \\( \\{N(t), t \\geq 0\\} \\sim P P(5) \\)일 때 다음을 구하라.</p><ol type=1 start=1><li>\\( P(N(6)=9) \\)</li><li>\\( P(N(6)=9, N(20)=13, N(56)=27) \\)</li><li>\\( P(N(20)=13 \\mid N(6)=9) \\)</li><li>\\( P(N(6)=9 \\mid N(20)=13) \\)</li><li>\\( E[N(t)], \\operatorname{Var}[N(t)] \\)</li><li>\\( E[N(t+s) \\mid N(t)] \\)</li></ol><p>\\(2\\). \\( N=\\{N(t), t \\geq 0\\} \\sim P P(\\lambda) \\)이고 \\( S_{n} \\)은 \\( n \\)번째 사건이 발생할 때까지 걸리는 시간이라 할 때 다음을 구하라.</p><ol type=1 start=1><li>\\( E\\left[S_{4}\\right] \\)</li><li>\\( E\\left[S_{4} \\mid N(1)=1\\right] \\)</li><li>\\( E[N(1)-N(2) \\mid N(1)=3] \\)</li><li>\\( E\\left[S_{N(t)}\\right] \\)</li></ol><p>\\(3\\). 식 \\((6.1)\\)의 우변을 미분하여 \\( S_{n} \\)의 확률밀도함수를 구하라.</p><p>\\(4\\). 전화번호 안내원에게 번호를 문의하는 전화는 시간당 비율이 \\( \\lambda \\)인 푸아송과정을 따라 걸려온다고 한다. 처음 한 시간 동안 \\(5\\)건의 문의가 있다고 할 때 다음을 계산하라.</p><ol type=1 start=1><li>\\(5\\) 건 모두 처음 \\(20\\) 분 이전에 있을 확률</li><li>처음 \\(20\\) 분 동안 최소한 한 건 이상의 문의가 있을 확률</li></ol><p>\\(5\\). 하루에 오전 \\(9\\)시부터 오후 \\(6\\)시까지 문을 열고 환자를 진료하는 의원을 생각하자. 단 오후 \\(1\\)시부터 오후 \\(2\\)시까지는 점심시간으로 환자를 받지 않는다. 환자들이 시간당 평균 \\(8\\)(단위: 명)인 푸아송분포를 따라서 도착한다고 할 때 다음 물음에 답하라.</p><ol type=1 start=1><li>하루 영업시간(점심시간을 제외한 시간)동안 도착한 고객의 평균 수</li><li>영업을 끝내기 \\(15\\)분 전에 한 명의 고객도 오지 않을 확률</li><li>\\(9\\)시 \\(30\\)분부터 \\(10\\)시 \\(30\\)분까지 도착한 고객 수와 \\(11\\)시부터 \\(12\\)시까지 도착한 고객 수 사이의 상관계수</li></ol><p>\\(6\\). 한 명의 점원이 근무하는 어떤 사무실에 고객들이 시간당 \\(3\\)명의 비율을 갖는 푸아송과정을 따라서 도착한다.</p><p>\\((1)\\) 그 가게는 오전 \\(8\\)시에 문을 열기로 되어 있으나 점원이 늦잠을 자는 바람에 오전 \\(10\\)시에 도착하였다. 두 시간 동안 한 명의 고객도 도착하지 않았을 확률은 얼마 인가?</p><p>\\((2)\\) 그 점원이 도착하고 나서 처음으로 고객이 도착할 때까지 걸리는 시간의 분포를 구하라.</p><p>\\(7\\). 야생동물 한 마리가 도로를 횡단하려고 한다. 자동차들은 \\(1\\)분당 평균이 \\(3\\)인 푸아송과 정을 따라서 지나가며 동물이 고속도로를 횡단하는 데 걸리는 시간은 \\( T \\)초이다. 동물 이 도로에 있을 때 자동차가 지나가면 동물은 사고를 당한 것으로 보자.</p><ol type=1 start=1><li>동물이 좌우를 살피지 않고 도로를 건넌다고 할 때 동물이 무사히 도로를 횡단할 확률을 구하라.</li><li>동물은 자동차 한 대를 보낸 다음 바로 도로를 건넌다고 할 때 동물이 무사히 도로를 횡단할 확률을 구하라.</li><li>동물은 자동차 한 대를 보낸 다음 바로 도로를 건넌다고 할 때 도로변에 도착한 다음부터 도로를 횡단하기 시작할 때까지 기다리는 시간의 평균을 구하라.</li></ol><p>\\(8\\). 두 개의 핸드볼 팀은 각각 비율이 \\(1\\)과 \\(2\\)인 푸아송과정을 따라서 득점한다고 한다. 각 핸드볼 팀을 \\( A \\)와 \\( B \\)로 나타내기로 하고 \\( t \\)시각 동안 얻은 점수를 각각 \\( N_{A}(t) \\)와 \\( N_{B}(t) \\)로 나타내기로 하자. \\( N_{A}(0)=3, N_{B}(0)=1 \\)일 때 \\( B \\)팀이 \\(5\\)점을 얻기 전에 \\( A \\)팀이 먼저 \\(5\\)점을 얻을 확률을 구하라.</p><p>\\(9\\). \\( N=\\{N(t), t \\geq 0\\} \\sim P P(\\lambda) \\)이고 \\( T \\)는 \\( N \\)과 서로 독립이며 평균이 \\( \\mu \\), 분산이 \\( \\sigma^{2} \\)인 음이 아닌 확률변수라 하자. 다음을 구하라.</p><ol type=1 start=1><li>\\( E[N(T)] \\)</li><li>\\( \\operatorname{Var}[N(T)] \\)</li><li>\\( \\operatorname{Cov}(T, N(T)) \\)</li></ol><p>\\(10\\). 어떤 사건이 비율이 \\( \\lambda \\)인 푸아송과정을 따라서 발생한다고 하자. 이때 적당한 시간 \\( T \\) \\( (T>1 / \\lambda) \\)를 미리 정해놓고 \\( T \\) 이전에 발생할 마지막 사건을 맞추는 게임을 생각하자. 매 사건이 발생할 때마다 \\( \\mathcal{Z} \\)사건이 \\( T \\)이전에 발생한 마지막 사건이라고 생각되면 일정 금액만큼의 돈을 건다. 즉 \\( t(0 \\leq t<T) \\)시각에 사건이 발생하여 돈을 걸었는데 \\( (t, T] \\)동안 아무 사건도 발생하지 않으면 돈을 따게 되고 하나 이상의 사건이 발생하면 돈을 잃게 된다. 또한 \\( (0, T] \\)동안 하나의 사건도 발생하지 않으면 돈을 따지 못한다. 이 게임에서 적당한 시각 \\( s(0 \\leq s<T) \\)를 정해두고 \\( s \\)시각 이후에 처음 발생하는 사건에 돈을 거는 전략을 세웠을 때 다음 물음에 답하라.</p><ol type=1 start=1><li>돈을 딸 확률을 \\( s \\) 의 식으로 나타내라.</li><li>돈을 딸 확률을 최대로 하는 \\( s \\)값을 구하라.</li><li>돈을 딸 확률의 최댓값은 \\( 1 / e \\)임을 보여라.</li></ol><p>\\(11\\). 정의 \\(6.1\\)로부터 잔여수명 \\( B(t) \\)가 \\( \\{N(u), 0 \\leq u \\leq t\\} \\)와 독립이고 모수가 \\( \\lambda \\)인 지수 분포를 따름을 보여라.</p><p>\\(12\\). \\( N \\sim P P(\\lambda) \\)의 \\( t \\) 시각에서의 후방향재귀시간 \\( A(t) \\)의 기댓값을 구하라.</p><p>\\(13\\). 검사모순이 발생하는 이유를 현실의 경험에서 설명해 보아라.</p><p>\\(14\\). 통신 시스템에 전송신호는 비율이 \\( \\lambda \\)인 푸아송과정을 따라서 도착한다고 하자. 각 신호가 성공적으로 전송될 확률은 \\( p \\)이고 전송에 실패할 확률은 \\( 1-p \\)이다. \\( N_{1}(t) \\)와 \\( N_{2}(t) \\)를 각각 \\( t \\) 시간 동안 성공적으로 전송된 신호 수와 전송에 실패한 신호 수라 할 때 다음 물음에 답하라. 단 각 신호는 독립적으로 전송된다고 가정한다.</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\left(N_{1}(t), N_{2}(t)\\right) \\)의 결합분포</li><li>신호가 처음으로 성공적으로 전송될 때까지 실패한 신호 수를 \\( L \\)이라 할 때 \\( L \\)의 분포</li><li>신호가 처음으로 성공적으로 전송될 때까지 걸리는 시간의 분포</li></ol><p>\\(15\\). 어떤 백화점에서는 매 \\(13\\)번째 도착하는 사람에게 선물을 주기로 하였다. 즉 \\(13\\)번째, \\(26\\)번째, \\(39\\)번째, \\( \\cdots \\)에 도착하는 사람에게 선물을 주기로 하였다. 고객들은 비율이 \\( \\lambda \\)인 푸아송과정을 따라서 도착한다고 할 때 다음을 구하라.</p><ol type=1 start=1><li>선물을 받는 사람이 도착하는 시간 간격에 대한 확률밀도함수</li><li>\\( [0, t] \\)동안 선물을 받은 사람 수의 평균</li></ol><p>\\(16\\). 그림 \\(6.7\\)과 같은 도로에서 \\( \\mathrm{A} \\)지점은 시간당 \\(60\\)대의 차량이 통과하며 이들 중 \\( 20 \\% \\)는 트럭이고 나머지는 승용차이다. 또한 B지점은 시간당 \\(80\\)대의 차량이 통과하며 이들 중 \\( 30 \\% \\)는 승용차이다.</p><p>트럭에는 한 명이 타고 있고 승용차에 탄 사람 수 \\( X \\)는 다음 분포를 따른다고 하자.</p><table border><caption>승용차에 탄 사람수 \\(X\\)</caption><tbody><tr><td>\\( i \\)</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td></tr><tr><td>\\( P(X=i) \\)</td><td>0.30</td><td>0.30</td><td>0.20</td><td>0.10</td><td>0.10</td></tr></tbody></table><p>각 지점을 통과하는 차량은 서로 독립이며 각각은 푸아송과정을 따르고 통과 차량의 \\( 10 \\% \\)가 휴게소에 들른다고 할 때 다음을 구하라.</p><ol type=1 start=1><li>단위시간당 휴게소에 들르는 트럭 수의 평균</li><li>\\(30\\)분 동안 휴게소에 들르는 승용차 수의 평균</li><li>단위시간당 휴게소에 들르는 고객 수의 평균</li></ol> <h1>6.3 사건발생시간 간격</h1><p>\\( N=\\{N(t), t \\geq 0\\} \\sim P P(\\lambda) \\)에 대하여 \\( n \\)번째 사건이 발생하는 시각을 \\( S_{n} \\)이라 하고 \\( X_{n}=S_{n}-S_{n-1}\\left(n=1,2, \\cdots, S_{0}=0\\right) \\)이라 하자. 이 절에서는 \\( X_{n} \\)과 \\( S_{n} \\)의 분포와 성질에 대하여 알아본다.</p><p>정리 \\( 6.5 \\)</p><p>\\( X_{1}, X_{2}, \\cdots \\)는 서로 독립이고 \\( X_{n} \\sim \\operatorname{Exp}(\\lambda)(n=1,2, \\cdots) \\) 이다.</p><p>증명 정의 \\( 6.1 \\)의 조건 \\((3)\\)에 의하여 \\[P\\left(X_{1}>t\\right)=P(N(t)=0)=e^{-\\lambda t} \\]이므로 \\( X_{1} \\) 은 모수가 \\( \\lambda \\)인 지수분포를 따른다. 또한 \\[\\begin{aligned} P\\left(X_{2}>t \\mid X_{1}=s\\right) &=P\\left(N(t+s)-N(s)=0 \\mid X_{1}=s\\right) \\\\&=P(N(t+s)-N(s)=0) \\\\ &=e^{-\\lambda t}\\end{aligned}\\]이므로 \\( X_{1} \\)과 \\( X_{2} \\)는 서로 독립이며 \\( X_{2} \\sim \\operatorname{Exp}(\\lambda) \\)이다. 이와 같은 방식을 반복 하면 수학적 귀납법에 의하여 정리가 증명된다.</p><p>따름정리 \\( 6.6 \\)</p><p>\\( S_{n} \\sim \\operatorname{Erlang}(n, \\lambda) \\) 이다. 즉 \\( S_{n} \\)의 확률밀도함수는 \\[f_{n}(t)=\\lambda e^{-\\lambda t} \\frac{(\\lambda t)^{n-1}}{(n-1) !}, \\quad t \\geq 0 .\\]</p><p>증명 \\( S_{n}=\\sum_{k=1}^{n} X_{k} \\)이므로 정리 \\( 6.5 \\)와 정리 \\( 1.25 \\)에 의하여 자명하다.</p><p>참고 따름정리 \\(6.6\\)은 다음과 같이 \\( N(t) \\)와 \\( S_{n} \\)의 관계를 이용하여 증명할 수 있다. \\( n \\)번째 사건이 \\( t \\) 시각 이전에 발생할 사건은 \\( (0, t] \\)동안 \\( n \\)개 이상의 사건이 발생할 사건과 동치이므로 \\( P\\left(S_{n} \\leq t\\right)=P(N(t) \\geq n)=\\sum_{k=n}^{\\infty} e^{-\\lambda t} \\frac{(\\lambda t)^{k}}{k !} \\)<caption>(6.1)</caption>위 식의 우변을 \\( t \\)에 관하여 미분하면 \\( S_{n} \\)의 확률밀도함수를 구할 수 있다.</p><p>예제 \\(6.2\\)</p><p>어떤 사건이 시간당 비율이 \\(2\\)인 푸아송과정을 따라 발생한다고 할 때 \\(4\\)개의 사건이 발생할 때까지 걸리는 시간의 평균은 \\( E\\left[S_{4}\\right]=\\frac{4}{2}=2 \\) 이다.</p> <h1>6.1 도입</h1><p>\\(2003\\)년 발생한 태풍 매미는 중형급이지만 많은 피해를 주었다.우리나라가 기상관측을 시작한 때부터 기간 \\( t \\) 동안 우리나라에 상륙한 중형급 이상의 태풍 수, 어떤 프로야구선수가 프로에 입문한 때부터 기간 \\( t \\) 동안 친 홈런 수 등과 같이 \\( (0, t] \\) 동안 특정한 사건이 발생한 횟수를 \\( N(t) \\)라 할 때 확률과정 \\( N=\\{N(t), t \\geq 0\\} \\)를 계수과정(counting process)이라 한다. 계수과정은 사건이 발생한 횟수 등을 나타내므로 \\( N \\)의 상태공간은 \\( \\{0,1,2, \\cdots\\} \\)이고 표본경로는 단조증가함수다. 즉 \\( s<t \\) 일 때 \\( N(s) \\leq N(t) \\)이다. 또한 \\( N(t) \\)는 시각 \\( t \\)를 포함하는 구간 \\( (0, t] \\)동안 사건이 발생한 횟수를 나타내므로 \\( N(t) \\)의 표본경로는 우연속(right continuous)이 됨을 알 수 있다. 계수과정의 표본경로는 그림 \\(6.1\\)과 같다.</p><p>계수과정 \\( N=\\{N(t), t \\geq 0\\} \\)에서 \\( (n-1) \\)번째와 \\( n \\)번째 사건이 발생하는 시간 간격을 \\( X_{n} \\)이라 하면 \\( n \\)번째 사건이 발생하는 시각 \\( S_{n} \\)과 \\( (0, t]", "\\)동안 발생한 사건 수 \\( N(t) \\) 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.", "</p><p>\\( S_{n}=X_{1}+X_{2}+\\cdots+X_{n}, \\quad n=1,2, \\cdots \\), \\( N(t)=max\\left\\{n \\geq 0: S_{n} \\leq t\\right\\}, \\quad t \\geq 0 \\)</p><p>\\( X_{n}(n \\geq 1) \\)이 서로 독립이며 같은 분포를 따를 때 계수과정 \\( N \\)을 갱신계수과정(renewal counting process) 또는 간단히 갱신과정(renewal process)이라고 한다.", "일반적인 갱신계수과정은 제\\(7\\)장에서 다루기로 하고 이 장에서는 \\( X_{n} \\)이 지수분포를 따르는 경우에 대해서만 살펴본다.", "</p> <p>6.9 복합 푸아송과정</p><p>앞에서 푸아송과정은 독립증분과 정상증분을 가지며 표본경로는 도약의 크기가 \\(1\\)인 계단함수가 됨을 살펴보았다.", "푸아송과정은 다양한 방향으로 일반화될 수 있다.", "이 절에서는 독립증분과 정상증분을 가지면서 도약의 크기가 임의의 분포를 따르는 확률변수로 나타나는 확률과정에 대하여 살펴본다.", "</p><p>정의 \\( 6.2 \\)</p><p>\\( \\boldsymbol{N}=\\{N(t), t \\geq 0\\} \\)는 푸아송과정이고 \\( Z_{1}, Z_{2}, \\cdots \\)가 서로 독립이며 같은 분포를 따르고 \\( N \\)과 독립인 확률변수열이라 하자.", "다음과 같이 정의되는 확률과정 \\( Z=\\{Z(t) \\), \\( t \\geq 0\\} \\)를 복합 푸아송과정(compound Poisson process)이라 한다. \\", "( Z(t)=\\sum_{i}^{N(t)} Z_{i}, t \\geq 0 \\)<caption>(6.5)</caption>단 \\( N(t)=0 \\)이면 \\( Z(t)=0 \\)이다.", "</p><p>\\( N \\)이 독립증분과 정상증분을 갖고 \\( Z_{1}, Z_{2}, \\cdots \\)가 서로 독립이며 같은 분포를 따르므로 \\( Z \\) 가 독립증분과 정상증분을 갖는 것을 알 수 있다.", "따라서 복합 푸아송과정은 푸아송과 정에서 도약의 크기에 대한 제한을 제거하여 얻어지는 확률과정이다.", "그림 \\( 6.5 \\)는 \\( Z \\)의 표본경로를 나타낸 것이다.", "</p><p>예제 \\( 6.8 \\)</p><p>어떤 백화점에 고객들이 푸아송과정 \\( N=\\{N(t), t \\geq 0\\} \\)를 따라서 도착한다고 하자. \\", "( n \\)번째 고객이 물건을 사기 위하여 지불하는 돈을 \\( Z_{n} \\)원이라 하면 \\( t \\) 시각까지 백화점의 배출액은 \\( Z(t)=\\sum_{i=1}^{N(t)} Z_{i} \\)이다.", "각 고객들이 지출하는 액수는 서로 독립이며 같은 분포를 따르고, \\( Z_{n} \\)과 \\( N \\)이 독립이며 확률과정 \\( \\{Z(t), t \\geq 0\\} \\)는 복합 푸아송과정이다.", "</p><p>예제 \\( 6.9 \\)</p><p>어느 컴퓨터 시스템이 고장이 나는 시간 간격은 서로 독립이며 같은 모수를 갖는 지수분포를 따른다고 한다.", "한 번 고장이 날 때마다 수리하는 데 드는 비용이 서로 독립이며 같은 분포를 따르고, 고장난 시간과 서로 독립이라고 할 때 \\( t \\) 시각까지 들어간 총 수리비용을 \\( Z(t) \\)라 할 때, \\( \\{Z(t), t \\geq 0\\} \\)는 복합 푸아송과정이다.", "</p><p>정리 \\( 6.20 \\)</p><p>\\( N \\sim P P(\\lambda) \\)일 때 \\[\\phi_{t}(\\alpha)=E\\left[e^{\\alpha Z(t)}\\right]=\\exp [-\\lambda t(1-\\psi(\\alpha))] .\\]", "단 \\( \\psi(\\alpha)=E\\left[e^{-\\alpha Z_{n}}\\right] \\)이다. \\", "( \\phi_{t}(\\alpha)=E\\left[e^{-\\alpha Z(t)}\\right]=\\exp [-\\lambda t(1-\\psi(\\alpha))] \\)<caption>(6.6)</caption>단 \\( \\psi(\\alpha)=E\\left[e^{\\alpha Z_{n}}\\right] \\)이다.", "</p><p>증명 \\( N \\)과 \\( Z_{n} \\)이 서로 독립이므로 다음을 얻는다. \\", "( \\begin{aligned} \\phi_{t}(\\alpha) &=\\sum_{n}^{\\infty} E\\left[\\exp \\left(-\\alpha \\sum_{i}^{N(t)} Z_{i}\\right) \\mid N(t)=n\\right] P(N(t)=n) \\\\ &=\\sum_{n}^{\\infty} E\\left[\\exp \\left(-\\alpha \\sum_{i}^{n} Z_{i}\\right)\\right] P(N(t)=n) \\\\ &=\\sum_{n}^{\\infty}[\\psi(\\alpha)]^{n} e \\frac{\\lambda t}{n} \\frac{(\\lambda t)^{n}}{n !} \\\\ &=\\exp [-\\lambda t(1-\\psi(\\alpha))] \\end{aligned} \\)</p><p>따름정리 \\( 6.21 \\)</p><p>\\( N \\sim P P(\\lambda) \\)일 때 \\( E[Z(t)]=\\lambda t E\\left[Z_{1}\\right], \\quad \\operatorname{Var}[Z(t)]=\\lambda t E\\left[Z_{1}^{2}\\right] \\)</p><p>증명 \\((6.6)\\)으로부터 다음을 얻는다. \\", "( \\begin{aligned} E[Z(t)] &=-\\left.\\", "frac{d}{d \\alpha} \\phi_{t}(\\alpha)\\right|_{\\alpha-0}=\\lambda t\\left[-\\psi^{\\prime}(\\alpha)\\right] \\phi_{t}(\\alpha)_{\\alpha-0}=\\lambda t E\\left(Z_{1}\\right) \\\\ E\\left[Z^{2}(t)\\right] &=\\left.\\", "frac{d^{2}}{d \\alpha^{2}} \\phi_{t}(\\alpha)\\right|_{\\alpha-0}=\\left[\\lambda t \\psi^{\\prime \\prime}(\\alpha) \\phi_{t}(\\alpha)+\\left(\\lambda t \\psi^{\\prime}(\\alpha)\\right)^{2} \\phi_{t}(\\alpha)\\right]_{\\alpha=0} \\\\ &=\\lambda t E\\left(Z_{1}^{2}\\right)+\\left(\\lambda t E\\left(Z_{1}\\right)\\right)^{2} \\end{aligned} \\) 따라서 \\[\\operatorname{Var}[Z(t)]=E\\left[Z(t)^{2}\\right]-(E[Z(t)])^{2}=\\lambda t E\\left[Z_{1}^{2}\\right]\\]</p><p>예제 \\(6.10\\)</p><p>어떤 지역에 주당 평균 세 가구가 푸아송과정을 따라서 이주한다고 한다.", "이주하는 가구의 가족 수가 \\( 1,2,3,4 \\)일 확률이 각각 \\( \\frac{1}{6}, \\frac{1}{3}, \\frac{1}{3}, \\frac{1}{6} \\)이라 할 때 지난 \\(5\\)주 동안 이주한 사람의 평균과 분산을 구하라.", "</p><p>풀이 \\( n \\)번째 이주한 가구의 가족 수를 \\( Z_{n} \\)이라 하면 \\[ P\\left(Z_{n}=1\\right)=\\frac{1}{6}, P\\left(Z_{n}=2\\right)=\\frac{1}{3}, P\\left(Z_{n}=3\\right)=\\frac{1}{3}, P\\left(Z_{n}=4\\right)=\\frac{1}{6} \\]이므로\\[E\\left[Z_{n}\\right]=\\frac{5}{3}, \\quad E\\left[Z_{n}^{2}\\right]=\\frac{43}{6} \\]이다. \\", "( Z(t) \\) 를 \\( (0, t] \\)동안 이주한 사람 수라 하면 따름정리 \\( 6.21 \\)에 의하여 \\[\\begin{array}{l}E[Z(5)]=3 \\cdot 5 \\cdot E\\left[Z_{1}\\right]=25, \\\\ \\operatorname{Var}[Z(5)]=3 \\cdot 5 \\cdot E\\left[Z_{1}^{2}\\right]=\\frac{215}{2} .\\end{array} \\]", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "413", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "확률과정입문_푸아송과정", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-c642-4205-87c2-f4c8d65424d2", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961054034", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2011", "doc_author": [ "신양우" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>5-1 평면적</h1><h2>1. 운동물체의 위치, 운동거리</h2><p>직선운동을 하는 물체의 시간 \\( t=a \\) 에서 \\( t=b \\) 까지 위치 \\( s(t) \\) 의 실제 변화를 구하기 위해서 물체의 속도함수 \\( v(t) \\) 를 \\( a \\) 에서 \\( b \\) 까지 적분한다.", "또한. 물체의 총 운동거리를 구하기 위해서는 속력 \\( |v(t)| \\) 를 적분한다.", "</p><p>운동물체의 위치, 운동거리</p><p>직선운동을 하는 물체의 속도함수 \\( v(t) \\) 가 연속이면 물체의 위치함수 \\( s(t) \\) 는 \\[ s(t)=\\int v(t) d t=F(t)+C \\] 이고, 따라서 시간 \\( t=a \\) 에서 \\( t=b \\) 까지 운동 후의 위치변화 \\( s(b)-s(a) \\) 는 \\[ \\begin{aligned} s(b)-s(a) &=(F(b)+C)-(F(a)+C) \\\\ &=F(b)-F(a) \\\\ &=\\int_{a}^{b} v(t) d t \\end{aligned} \\] 이므로 운동시간을 적분구간으로 하는 속도에 대한 정적분이다.", "</p><p>예제 \\(1\\) 속도가 \\( v(t)=\\pi \\sin \\pi t \\) 인 직선운동을 하는 물체의 \\( t=0 \\) 에서 \\( t=5 / 2 \\) 까지 운동한 후의 위치를 구하여라.", "</p><p>풀이</p><p>물체의 현 위치를 구하는 것이므로, 물체의 운동속도를 적분하면 \\[ s(5 / 2)-s(0)=\\int_{0}^{5 / 2} \\pi \\sin \\pi t d t=-[\\cos \\pi t]_{0}^{5 / 2}=-(0-1)=1 . \\] 그러므로 이 물체는 처음 \\( 5 / 2 \\) 초 동안 오른쪽으로 1 만큼 이동했다.", "</p><p>운동거리</p><p>직선운동을 하는 물체의 실제 운동거리는 물체의 위치 변화와는 다를 수 있다.", "실제로 운동의 방향이 바뀌면 실제 운동거리는 위치의 변화량보다 횔씬 많을 것이다.", "따라서 실제의 운동거리 를 계산하기 위해서는 운동방향을 고려하지 않은 속력을 적분하여야 할 것이다.", "운동속도가 \\( v(t) \\) 인 물체의 시간 \\( t=a \\) 에서 \\( t=b \\) 사이의 실제 운동거리 \\( D \\) 는 다음과 같다. \\", "[ D=\\int_{a}^{b}|v(t)| d t \\]</p><p>예제 \\(2\\) 속도가 \\( v(t)=\\pi \\sin \\pi t \\) 인 직선운동을 하는 물체가 \\( t=0 \\) 에서 \\( t=5 / 2 \\) 까지 실제 운동한 거리를 구하여라.", "</p><p>풀이</p><p>운동거리는 속력을 적분하여 다음을 얻는다. \\", "[ \\begin{aligned} D &=\\int_{0}^{5 / 2}|\\pi \\sin \\pi t| d t \\\\ &=\\int_{0}^{1} \\pi \\sin \\pi t d t+\\int_{1}^{2} \\pi \\sin \\pi t d t+\\int_{2}^{5 / 2} \\pi \\sin \\pi t d t \\\\ &=2+2+1=5 \\end{aligned} \\]</p><p>예제 \\(3\\) 속도 \\( v(t)=49-9.8 t \\) 로 직선운동을 하는 물체의 \\( t=0 \\) 에서 \\( t=10 \\) 까지 운동한 후의 위치 \\( S \\) 와 운동거리 \\( D \\) 를 구하여라.", "</p><p>풀이</p><p>주어진 속도 \\( v(t) \\) 와 속력 \\( |v(t)| \\) 를 각각 적분하면 다음을 얻는다. \\", "[ \\begin{aligned} S=\\int_{0}^{10} v(t) d t &=\\int_{0}^{10}(49-9.8 t) d t=\\left[49 t-\\frac{49}{10} t^{2}\\right]_{0}^{10}=0, \\\\ D=\\int_{0}^{10}|v(t)| d t &=\\int_{0}^{10}|49-9.8 t| d t \\\\ &=\\int_{0}^{5}(49-9.8 t) d t+\\int_{5}^{10}(9.8 t-49) d t \\\\ &=\\left[49 t-\\frac{49}{10} t^{2}\\right]_{0}^{5}+\\left[\\frac{49}{10} t^{2}-49 t\\right]_{5}^{10} \\\\ &=\\frac{245}{2}+\\frac{245}{2}=245 \\end{aligned} \\]</p><p>예제 \\(4\\) 시간 \\( t \\) 에서의 물체의 속도 \\( v(t) \\) 가 다음과 같을 때 \\( t=0 \\) 에서 \\( t=3 \\) 까지의 실제 운동거리 \\( D \\) 와 물체의 위치 \\( S \\) 를 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( v(t)=t-[t] \\)</li><li>\\( v(t)=\\left\\{\\begin{array}{l}1,2 n \\leq t<2 n+1 \\\\ 0,2 n+1 \\leq t<2 n+2\\end{array}\\right. \\)", "</li><li>\\( v(t)=\\left\\{\\begin{array}{l}-1,2 n \\leq t<2 n+1 \\\\ 1,2 n+1 \\leq t<2 n+2\\end{array}\\right. \\)", "</li></ol><p>풀이</p><p>\\((1)\\) 모든 \\( t \\) 에 대해서 \\( t \\geq[t] \\) 이므로 항상 \\( v(t) \\geq 0 \\) 이다.", "따라서 \\[ \\begin{aligned} D=S=\\int_{0}^{3}(t-[t]) d t &=\\int_{0}^{1} t d t+\\int_{1}^{2}(t-1) d t+\\int_{2}^{3}(t-2) d t \\\\ &=\\left[\\frac{1}{2} t^{2}\\right]_{0}^{1}+\\left[\\frac{1}{2} t^{2}-t\\right]_{1}^{2}+\\left[\\frac{1}{2} t^{2}-2 t\\right]_{2}^{3} \\\\ &=\\frac{1}{2}+\\frac{1}{2}+\\frac{1}{2}=\\frac{3}{2} \\end{aligned} \\]</p><p>\\((2)\\) 모든 \\( t \\) 에 대해서 항상 \\( v(t) \\geq 0 \\) 이므로 \\[ D=S=\\int_{0}^{3} v(t) d t 1=\\int_{0}^{1} d t 1+\\int_{2}^{3} d t=1+1=2 \\]</p><p>\\((3)\\) 그림과 같이 정수구간에 따라 \\( v(t) \\) 는 \\( -1 \\) 과 \\( +1 \\) 이 반복되므로 위치 \\( S \\) 는 \\[ \\begin{aligned} S &=\\int_{0}^{3} v(t) d t=\\int_{0}^{1}(-1) d t+\\int_{1}^{2} d t+\\int_{2}^{3}(-1) d t \\\\ &=-1+1-1=-1 \\end{aligned} \\] 이고 운동거리 \\( D \\) 는 \\[ D=\\int_{0}^{3} v(t) d t=\\int_{0}^{3} d t=3 \\]</p><h2>연습문제 (5-1-1)</h2><p>1. 다음의 주어진 시간에서 속도 \\( v(t) \\) 로 운동하는 물체의 위치와 운동거리를 구하여라.", "</p><ol type= start=1><li>\\( v(t)=5 \\pi \\cos \\pi t, 0 \\leqq t \\leqq 2 \\)</li><li>\\( v(t)=6(t-1)(t-2), 0 \\leqq t \\leqq 3 \\)</li></ol><p>2. 다음 그래프는 운동하는 물체의 속도를 나타낸다.", "운동 후 물체의 위치와 총 운동거리를 구하여라.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "미분적분학_정적분의 응용", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-cec3-41a0-852c-355ab4a77c82", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961059435", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2015", "doc_author": [ "양정모" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>6.3 노말번들(Normal Bundle)</h1><p>미분가능 \\( n \\)차원 다양체 \\( X \\)가 \\( (n+k) \\)차원 리만 다양체 \\( Y \\)내에 있다고 하자.", "미분기하와 미분위상이 필요한 결과는 받아들이자.", "</p><p>정리 \\(6.3.1\\) 튜브근방정리(Tubular Neighborhood Theorem)</p><p>공간 \\( Y \\)내에 \\( X \\)의 근방이 존재하고 이 근방은 \\( Y \\)내에서 \\( X \\)의 노말번들과 미분위상동형이다.", "여기서 \\( X \\)의 각 점은 그 점에서 \\(0\\) 노말벡터로 보내는 맵이다.", "</p><p>정의 \\( 6.3 .1 \\) 이와 같은 근방 \\( N \\)을 \\( X \\)의 \\( Y \\)에서 튜브근방(tubular neighborhood)이라 한다. 편의상 \\( X \\)를 \\( Y \\)의 컴팩트 부분다양체라 하고, \\( E \\)를 노말번들이라 하면 \\[ X \\subset N \\subset Y,\\left.X \\subset E \\subset T Y\\right|_{X}=T X \\oplus E \\] 이고 \\( \\varepsilon>", "0 \\)이 존재하여 \\( Y \\)에서 \\( X \\)의 \\( \\varepsilon \\)-튜브근방( \\( \\varepsilon \\)-tubular neighborhood) \\( N(\\varepsilon) \\)과 \\[ E(\\varepsilon)=\\{(x, v) \\in E|| v \\mid<\\varepsilon\\} \\] 이 존재하여 지수함수 \\[ \\exp : E(\\varepsilon) \\rightarrow N(\\varepsilon) \\] 은 미분위상동형(diffeomorphism)이다.", "또한 \\( E(\\varepsilon) \\)과 \\( E \\)는 미분위상동형이다.", "</p><p>정리 \\( 6.3 .2 \\) \\( X \\)가 \\( Y \\)의 컴팩트 부분다양체이면 \\( H^{*}\\left(E, E_{0}\\right) \\)와 \\( H^{*}(Y, Y-X) \\)는 환동형 이다.", "</p><p>[증명] \\( N(\\varepsilon) \\)을 \\( Y \\)내에 \\( X \\)의 \\( \\varepsilon \\)-튜브근방이라 하자. \\", "[ \\begin{aligned} Y-N(\\varepsilon) & \\subset Y-N(\\varepsilon) 。 \\\\ &=(Y-X)^{\\circ} \\\\ &=Y-X \\end{aligned} \\] 이므로 \\( (Y, Y-X) \\)에서 \\( (Y-N(\\varepsilon)) \\)을 절단하면 \\[ H^{*}(Y, Y-X) \\stackrel{\\simeq}{\\longrightarrow} H^{*}(N(\\varepsilon), N(\\varepsilon)-X) \\] 는 동형맵이다. \\", "[ \\exp :\\left(E(\\varepsilon), E(\\varepsilon)_{0}\\right) \\rightarrow(N(\\varepsilon), N(\\varepsilon)-X) \\] 가 미분위상동형이므로 \\[ \\exp ^{*}: H^{*}(N(\\varepsilon), N(\\varepsilon)-X) \\rightarrow H^{*}\\left(E(\\varepsilon), E(\\varepsilon)_{0}\\right) \\] 가 동형맵이다.", "또한 \\[ H^{*}\\left(E(\\varepsilon), E(\\varepsilon)_{0}\\right) \\simeq H^{*}\\left(E, E_{0}\\right) \\] 동형이다.", "</p><p>동형맵 \\( H^{k}\\left(E, E_{0}\\right) \\rightarrow H^{k}(Y, Y-X) \\)의 \\( E \\)의 톰류 \\( u \\)상을 \\( u^{\\prime} \\)이라 쓰고 \\( Y \\)상의 제한 \\( \\left.u^{\\prime}\\right|_{Y} \\in H^{k}(Y) \\)를 여차원 \\( k \\)인 부분다양체 \\( X \\)에 대한 쌍대 코호몰로지류 (dual cohomology class)라고 한다.", "</p><p>정리 \\( 6.3.3 \\) \\( X \\)가 컴팩트 여차원 \\( k \\)인 \\( Y \\)의 부분다양체라 하면 제한 \\[ \\begin{aligned} H^{k}(Y, Y-X) & \\rightarrow H^{k}(Y) \\rightarrow H^{k}(X) \\\\ u^{\\prime} &\\left.\\left.\\mapsto u^{\\prime}\\right|_{Y} \\mapsto u^{\\prime}\\right|_{X}=e(E) \\end{aligned} \\]", "에 대한 \\( u^{\\prime} \\)의 상은 노말번들 \\( X \\)의 오일러류(Euler class) \\( e(E) \\)이다.", "</p><p>[증명] \\[ \\begin{array}{c} H^{k}\\left(E, E_{0}\\right) \\stackrel{1_{E}}{\\longrightarrow} H^{k}(E) \\stackrel{1_{X}}{\\longrightarrow} H^{k}(X) \\\\ \\simeq \\downarrow \\quad \\downarrow \\quad \\parallel \\\\ H^{k}(Y, Y-X) \\stackrel{1_{Y}}{\\longrightarrow} H^{k}(Y) \\stackrel{1_{X}}{\\longrightarrow} H^{k}(X) \\end{array} \\] 위 다이어그램의 교환과 오일러류 정의에 의하여 \\( \\left.u^{\\prime}\\right|_{X}=e(E) \\)이다.", "</p><p>계 \\(6.3.4\\) 만일 \\( n \\)차원 방향가 다양체 \\( X \\)가 유클리드 공간 \\( \\mathbb{R}^{n+k} \\)에 매장된다면 \\( e(E)=0 \\)이다.", "여기서 \\( E \\)는 \\( X \\)의 노말번들이다.", "</p><p>[증명] 위 다이어그램에서 \\[ \\begin{array}{c} H^{k}\\left(E, E_{0}\\right) \\quad \\longrightarrow \\quad H^{k}(E) \\longrightarrow H^{k}(X) \\\\ \\parallel \\downarrow \\quad \\downarrow \\quad \\parallel \\downarrow \\\\ H^{k}\\left(\\mathbb{R}^{n+k}, \\mathbb{R}^{n-k}-X\\right) \\rightarrow H^{k}\\left(\\mathbb{R}^{n+k}\\right) \\rightarrow H^{k}(X) \\end{array} \\] \\( H^{k}\\left(\\mathbb{R}^{n+k}\\right)=0 \\)이므로 \\( e(E)=0 \\)이다.", "</p> <p>정리 \\(6.1.4\\) 톰동형정리(Thom Isomorphsim Theorem) 유일한 \\( u \\in H^{n}\\left(E, E_{0} ; \\mathrm{R}\\right) \\)이 존재하여 파이버 \\( F \\)상에 제한하면 \\( u_{F} \\in H^{n} \\)\\( \\left(F, F_{0} ; \\mathrm{R}\\right) \\)가 되고 \\( \\cup u: H^{i}(E, \\mathrm{R}) \\rightarrow \\mathrm{H}^{\\mathrm{i}+\\mathrm{n}}\\left(\\mathrm{E}, \\mathrm{E}_{0} ; \\mathrm{R}\\right) \\)가 동형맵이다.", "</p><p>보조정리 \\( 6.1 .5 \\) \\( C \\)와 \\( C^{\\prime} \\)이 자유사슬복합체이고, \\( f: C \\rightarrow C^{\\prime} \\)을 차수 \\( d \\)의 사슬맵이라 하자.", "만일 \\[ f^{*}: H^{*}\\left(C^{\\prime} ; \\mathrm{R}\\right) \\rightarrow \\mathrm{H}^{*}(\\mathrm{C} ; \\mathrm{R}) \\] 가 모든 체계수 \\( \\mathrm{R} \\)에 대하여 동형맵이면, 임의의 계수에 대하여 \\( f \\)가 호몰로지와 코호몰로지의 동형맵을 유도한다.", "</p><p>[증명] 새로운 자유사슬복합체를 아래와 같이 구성하자.", "경계맵과 사슬복합체를 \\[ \\begin{array}{c} \\partial^{f}: C_{i}^{f}:=C_{i-d-1} \\oplus C_{i}^{\\prime} \\rightarrow C_{i-1}^{f}=C_{i-d-2} \\oplus C_{i-1}, \\\\ \\partial^{f}\\left(\\sigma, \\sigma^{\\prime}\\right)=\\left((-1)^{d+1} \\partial \\sigma, f(\\sigma)+\\partial^{\\prime} \\sigma^{\\prime}\\right) . \\end{array} \\]", "로 정의하자.", "그러면 \\( 0 \\rightarrow C^{\\prime} \\rightarrow C^{f} \\rightarrow C \\rightarrow 0 \\)은 완전열이 된다.", "더욱이 연결경계맵 \\[ \\partial^{f}: H_{i-d-1}(C) \\rightarrow H_{i-1}\\left(C^{\\prime}\\right) \\] 은 \\( f_{*} \\)이 된다.", "따라서 \\[ H_{*}\\left(C^{f}\\right)=0 \\Leftrightarrow f_{*}: H_{*}(C) \\rightarrow H_{*+d}\\left(C^{\\prime}\\right) \\] 이 동형맵이다.", "가정에서 모든 체계수 \\( \\mathrm{R} \\)에 대하여 \\[ f^{*}: H^{*}\\left(C^{\\prime} ; \\mathrm{R}\\right) \\rightarrow H^{*}(C ; \\mathrm{R}) \\] 가 동형맵이다.", "코호몰로지 완전열을 사용하면 \\( H^{*}\\left(C^{f} ; \\mathrm{R}\\right)=0 \\)이다.", "또한 \\( H^{n}\\left(C^{f} ; \\mathrm{R}\\right)=\\operatorname{Hom}_{R}\\left(H_{n}\\left(C^{f} \\oplus \\mathrm{R}\\right), \\mathrm{R}\\right) \\)이다.", "따라서 \\( H_{n}\\left(C^{f} \\otimes \\mathrm{R}\\right)=0 \\)이다.", "</p><p>특히 \\( H_{n}\\left(C^{f} \\otimes \\mathbb{Q}\\right)=0 \\)이므로 각 \\( z \\in Z_{n}\\left(C^{f}\\right) \\)에 대하여 정수 \\( m \\)이 존재하여 \\( m z \\)는 정수계수상에서 경계이다.", "따라서 \\( H_{n}\\left(C^{f} ; \\mathbb{Z}\\right) \\)는 토존(torsion)군이다.", "실제로 \\( H_{n}\\left(C^{f} ; \\mathbb{Z}\\right)=0 \\)이다.", "왜냐하면 각 사이클 \\( z \\in Z_{n}\\left(C^{f}\\right) \\)가 소수 \\( p \\)의 차수를 갖는 호몰로지 원소라 하자. \\", "( z_{1} \\in C_{n+1}^{f} \\)이 존재하여 \\( \\partial^{f} z_{1}=p z \\)이다. \\", "( z_{1} \\in H_{n+1}\\left(C^{f} \\otimes \\mathbb{Z}_{p}\\right)=0 \\)이므로 \\[ z_{1}=\\partial^{f} z^{\\prime}+p z^{\\prime \\prime} \\] 꼴이다.", "따라서 \\[ p z=\\partial^{f} z_{1}=p \\partial^{f} z^{\\prime} \\] 이므로 \\( z=\\partial^{f} z^{\\prime \\prime} \\)이고 \\( z=0 \\in H_{n}\\left(C^{f} ; \\mathbb{Z}\\right) \\)이다.", "따라서 \\( C^{f} \\)의 모든 호몰로지와 코호몰로지는 모든 계수에 대하여 \\(0\\) 이다.", "</p><p>계 \\(6.1.6\\) 캡맵 \\( u \\cap: H_{n+i}\\left(E, E_{0}\\right) \\rightarrow H_{i}(E) \\)가 동형맵이다.", "</p><p>[증명] \\( u \\in Z^{n}\\left(E, E_{0}\\right) \\)라 하자. \\", "[ \\begin{aligned} u \\cap: S_{n+i^{\\prime}}\\left(E, E_{0}\\right) & \\rightarrow S_{i}(E), \\gamma \\in S_{n+i}\\left(E, E_{0}\\right), \\\\ \\partial(u \\cap \\gamma)=(-1)^{n} u \\cap \\partial \\gamma \\end{aligned} \\] 이므로 차수 \\( (-n) \\)의 사슬맵이다. \\", "( [c, u \\cap \\gamma]=[c \\cup u, \\gamma] \\)이므로 코사슬맵 \\[ \\begin{aligned} \\cup u: S^{*}(E ; \\mathrm{R}) & \\rightarrow S^{*}\\left(E, E_{0} ; \\mathrm{R}\\right) \\\\ c \\quad \\mapsto \\quad c \\cup u \\end{aligned} \\] 이 유도된다.", "체계수 \\( \\mathrm{R} \\)에 대하여 코사슬 컵맵 \\( \\cup u \\)이 코호몰로지 동형맵이 유도됨은 알고 있으니, 임의의 계수 \\( \\mathrm{R} \\)에 대하여 \\[ \\begin{array}{c} u \\cap: H_{i+n}\\left(E, E_{0} ; \\mathrm{R}\\right) \\rightarrow H_{i}(E ; \\mathrm{R}) \\\\ \\cup u: H^{i}(E ; \\mathrm{R}) \\rightarrow H^{i+n}\\left(E, E_{0} ; \\mathrm{R}\\right) \\end{array} \\] 이 동형맵이다.", "</p><p>특히 \\[ \\cup u: H^{\\circ}(E ; \\mathrm{R}) \\rightarrow H^{n}\\left(E, E_{0} ; \\mathrm{R}\\right) \\] 은 동형맵으로 \\[ 1 \\mapsto 1 \\cup u=u \\] 이다.", "</p><p>만일 \\( X \\)가 컴팩트이면 극한 필요없이, 즉 정리 \\( 6.1 .5,6.1 .6 \\)없이 정리 \\(6.1.4\\)가 성립한다. \\", "[ H_{n-1}\\left(E, E_{0} ; \\mathbb{Z}\\right) \\stackrel{\\simeq}{\\longrightarrow} H_{n-1}(E ; \\mathbb{Z})=0 . \\] 또한 일반적인 경우에 \\( C \\)에 대하여 극한을 취하면 \\[ \\underset{C \\subset V}{\\lim } H_{i}\\left(\\pi^{-1}(C), \\pi^{-1}(C)_{0} ; \\mathbb{Z}\\right) \\stackrel{\\simeq}{\\longrightarrow} H_{i}\\left(E, E_{0} ; \\mathbb{Z}\\right) \\] 이므로 \\( H^{n}\\left(E, E_{0} ; \\mathbb{Z}\\right)=0 \\)이다.", "</p><p>따라서 \\[ H^{n}\\left(E, E_{0} ; \\mathbb{Z}\\right)=\\operatorname{Hom}\\left(H_{n}\\left(E, E_{0} ; \\mathbb{Z}\\right), \\mathbb{Z}\\right) \\] 이므로 \\( u \\in H^{n}\\left(E, E_{0} ; \\mathbb{Z}\\right) \\)가 존재한다.", "</p><h1>6.1 연습문제</h1><p>\\(1\\). \\", "( n \\)차원 구 \\( S^{n} \\)의 적 \\( S^{n} \\times S^{n} \\)에 대하여 \\( \\triangle=\\left\\{(x, x) \\mid x \\in S^{n}\\right\\} \\)를 대각, \\( A=\\left\\{(x,-x) \\mid x \\in S^{n}\\right\\} \\)를 반대각(anti-diagonal)이라 하자.", "다음을 증명하시오.", "</p><ol type=1 start=1><li>접번들 \\( T S^{n} \\simeq S^{n} \\times S^{n}-A \\)가 위상동형.", "</li><li>\\( H^{*}\\left(T S^{n}, T S_{0}^{n}\\right) \\simeq H^{*}\\left(S^{n} \\times S^{n}-\\triangle\\right) \\simeq H^{*}\\left(S^{n} \\times S^{n}-A\\right) \\)</li></ol> <p>다양체상의 각 점에 벡터공간이 대응되는 벡터번들(vector bundle)은 수학을 연구하는 데 아주 중요하다.", "다양체의 코호몰로지와 벡터다발의 코호몰로지를 연 결하는 톰동형정리를 다루고 기신완전열(Gysin long exact sequence)을 유도하였다.", "다양체에서 부분다양체를 생각하면 부분다양체는 튜브근방(tubular neigh-borhood)을 갖고 이는 노말번들(normal bundle)과 위상동형이다. \\", "( n \\)차원 리만 다양체 \\( X \\)에 대하여 곱 \\( X \\times X \\)의 대각부분공간의 노말번들은 \\( X \\)의 접번들 (tangent bundle)과 번들동형이고 대각 코호몰로지류(diagonal cohomology class) \\( u^{\\prime \\prime} \\in H^{n}(X \\times X) \\)가 존재하고 경사곱(slant product) \\( u^{\\prime \\prime} / \\)은 푸앵카레 역사상이 된다.", "</p><h1>6.1 톰동형정리(Thom Isomorphism Theorem)</h1><p>다양체 \\( X \\)의 방향을 고려하지 않은 계수환을 \\( \\mathbb{Z}_{2} \\)로 하자.", "기호로 \\( \\mathbb{R}_{0}^{n}=\\mathbb{R}^{n}-\\{0\\} \\)이라 쓰자.", "</p><p>특히 \\( H^{1}\\left(\\mathbb{R}^{1}, \\mathbb{R}_{0}^{1}\\right)=\\mathbb{Z}_{2}=\\left\\langle e^{1}\\right\\rangle \\)퀘니스정리(Künneth theorem)에 의하여 \\[ \\times e^{1}: H^{j} \\rightarrow H^{j+1}\\left(X \\times \\mathbb{R}, X \\times \\mathbb{R}_{0}\\right), y \\mapsto y \\times e^{1} \\] 은 동형맵이다.", "</p><p>\\( X_{1} \\)이 \\( X \\)의 열린부분집합이라 하자.", "다음 완전열에 대한 다이어그램은 교환이다. \\", "[ \\longrightarrow \\quad H^{i}\\left(X_{1}\\right) \\quad \\longrightarrow H^{i}(X) \\quad \\longrightarrow \\quad H^{i}\\left(X, X_{1}\\right) \\quad \\longrightarrow \\]</p><p>\\[ \\downarrow \\times e^{1} \\quad\\quad \\downarrow \\times e^{1} \\quad\\quad \\downarrow \\times e^{1} \\]</p><p>\\[ \\rightarrow H^{i+1}\\left(X_{1} \\times \\mathbb{R}, X_{1} \\times \\mathbb{R}_{0}\\right) \\rightarrow H^{i+1}\\left(X \\times \\mathbb{R}, X \\times \\mathbb{R}_{0}\\right) \\rightarrow H^{i+1}\\left(X \\times \\mathbb{R}, X_{1} \\times \\mathbb{R} \\bigcup X \\times \\mathbb{R}_{0}\\right) \\rightarrow \\]</p><p>\\[ \\longrightarrow \\quad H^{i+1}\\left(X_{1}\\right) \\quad \\longrightarrow \\quad H^{i+1}(X) \\]</p><p>\\[ \\downarrow \\times e^{1} \\quad\\quad\\quad\\quad\\quad \\downarrow \\times e^{1} \\]</p><p>\\[ \\rightarrow H^{i+2}\\left(X_{1} \\times \\mathbb{R}, X_{1} \\times \\mathbb{R}_{0}\\right) \\rightarrow H^{i+2}\\left(X \\times \\mathbb{R}, X \\times \\mathbb{R}_{0}\\right) \\rightarrow \\] 위의 다이어그램에 \\(5\\)-보조정리를 사용하면 \\[ \\times e^{1}: H^{i}\\left(X, X_{1}\\right) \\rightarrow H^{i+1}\\left(X \\times \\mathbb{R}, X_{1} \\times \\mathbb{R} \\cup X \\times \\mathbb{R}_{0}\\right) \\] 는 동형맵이다.", "</p><p>위의 결과에 귀납법을 사용하면 \\[ y \\rightarrow y \\times e^{1} \\rightarrow y \\times e^{1} \\times e^{1} \\rightarrow \\cdots \\rightarrow y \\times e^{1} \\times \\cdots \\times e^{1} \\] 은 동형맵들이다.", "교차곱을 \\( e^{n}:=e^{1} \\times \\cdots \\times e^{1} \\in H^{n}\\left(\\mathbb{R}^{n}, \\mathbb{R}_{0}^{n}\\right) \\)이라 두면 다음 정리를 얻는다.", "</p><p>보조정리 \\(6.1.1\\) \\( \\times e^{n}: H^{i}(X) \\rightarrow H^{i+n}\\left(X \\times \\mathbb{R}^{n}, X \\times \\mathbb{R}_{0}^{n}\\right) \\)은 동형맵이다.", "</p><p>위에서 \\( X \\)상의 자명한 \\( n \\)차원 실벡터번들 \\( X \\times \\mathbb{R}^{n} \\)을 생각했다.", "다음은 위상이 주어져 있는 \\( X \\)상에 꼬인 \\( n \\)차원 실벡터번들 \\( \\pi: E \\rightarrow X \\)를 생각하자.", "</p><p>정리 \\(6.1.2\\) 톰동형정리(Thom Isomorphism Theorem) 유일한 코호몰로지류 \\( u \\in H^{n}\\left(E, E_{0} ; \\mathbb{Z}_{2}\\right) \\)가 존재하여 각 파이버 \\( F \\)에 제한하면 \\( H^{n}\\left(F, F_{0} ; \\mathbb{Z}_{2}\\right)=\\mathbb{Z}_{2} \\)의 생성원이 되고, 각 \\( i \\)에 대하여 \\[ \\cup u: H^{i}(E) \\rightarrow H^{i+n}\\left(E, E_{0}\\right) \\] 는 동형맵이다.", "특히 \\( i<0 \\)이면, 즉 \\( k<n, H^{k}\\left(E, E_{0}\\right)=0 \\)이다.", "</p><p>[증명] (\\(1\\)) 만일 \\( E=X \\times \\mathbb{R}^{n} \\)이 자명한 번들이면 보조정리 \\(6.1.1\\)에 의하여 \\[ \\begin{aligned} H^{n}\\left(E, E_{0}\\right) &=H^{n}\\left(X \\times \\mathbb{R}^{n}, X \\times \\mathbb{R}_{0}^{n}\\right) \\\\ &=H^{0}(X) . \\", "end{aligned} \\] 유일한 항등원 \\( 1 \\in H^{0}(X) \\)의 상 \\[ u=1 \\times e^{n} \\in H^{n}\\left(E, E_{0}\\right) . \\] \\", "[ H^{i}(X) \\rightarrow H^{i}(E) \\stackrel{\\cup u}{\\longrightarrow} H^{i+n}\\left(E, E_{0}\\right) \\] \\[y \\mapsto y \\times 1 \\mapsto(y \\times 1) \\cup u \\] \\[ =(y \\times 1) \\cup\\left(1 \\times e^{n}\\right) \\] \\[ =y \\times e^{n} \\] 이 동형맵이다.", "</p><p>(\\(2\\)) \\( X=X_{1} \\cup X_{2} \\)가 열린집합의 합이고, \\[ \\begin{array}{l} E_{1}=\\pi^{-1}\\left(X_{1}\\right), \\\\ E_{2}=\\pi^{-1}\\left(X_{2}\\right), \\\\ E_{3}=\\pi^{-1}\\left(X_{1} \\cap X_{2}\\right) \\end{array} \\] 에 대하여 정리가 성립한다고 가정하자.", "마이어-비토리스열을 생각하면 \\[ \\begin{array}{c} \\rightarrow H^{i-1}\\left(E_{3}, E_{30}\\right) \\rightarrow H^{i}\\left(E, E_{0}\\right) \\rightarrow \\\\ \\rightarrow H^{i}\\left(E_{1}, E_{10}\\right) \\oplus H^{i}\\left(E_{2}, E_{20}\\right) \\rightarrow H^{i}\\left(E_{3}, E_{30}\\right) \\rightarrow \\end{array} \\] 이다.", "가정에서 \\( u_{1} \\in H^{n}\\left(E_{1}, E_{10}\\right), u_{2} \\in H^{n}\\left(E_{2}, E_{20}\\right) \\)가 존재하여 각 파이버 \\( H^{n}\\left(F, F_{0}\\right) \\)에 제한하면 생성원이 된다.", "</p><p>가정에서 \\( u_{1} \\in H^{n}\\left(E_{1}, E_{10}\\right), u_{2} \\in H^{n}\\left(E_{2}, E_{20}\\right) \\)가 존재하여 각 파이버 \\( H^{n}\\left(F, F_{0}\\right) \\)에 제한하면 생성원이 된다.", "유일성에 의하여 \\( u_{1} \\)과 \\( u_{2} \\)는 \\( u_{3} \\in H^{n}\\left(E_{3}, E_{30}\\right) \\)로 간다.", "따라서 공통 코호몰로지류 \\( u \\in H^{n}\\left(E, E_{0}\\right) \\)가 유일하게 정의된다.", "왜냐하면 \\( H^{n-1}\\left(E_{3}, E_{30}\\right)=0 \\)이기 때문이다.", "다시 마이어-비토리스열을 생각하자.", "</p><p>\\[ \\begin{array}{cccccccc}\\rightarrow \\quad H^{i-1}\\left(E_{3}\\right) & \\rightarrow & H^{i}(E) & \\rightarrow & H^{i}\\left(E_{1}\\right) \\oplus H^{i}\\left(E_{2}\\right) & \\rightarrow & H^{i}\\left(E_{3}\\right) & \\rightarrow \\\\ \\cup u_{3} \\downarrow && \\cup u \\downarrow & & \\cup u_{1} \\oplus \\cup u_{2} \\downarrow & & \\cup u_{3} \\downarrow \\end{array} \\] \\[\\rightarrow H^{n+i-1}\\left(E_{3}, E_{30}\\right) \\rightarrow H^{n+i}\\left(E, E_{0}\\right) \\rightarrow H^{n+i}\\left(E_{1}, E_{10}\\right) \\oplus H^{n+i}\\left(E_{2}, E_{20}\\right) \\rightarrow H^{n+i}\\left(E_{3}, E_{30}\\right) \\rightarrow \\]</p></p>\\(5\\)-보조정리를 사용하면 \\[ \\cup u: H^{i}(E) \\rightarrow H^{n+i}\\left(E, E_{0}\\right) \\] 은 동형맵이다.", "</p><p>(\\(3\\)) 만일 \\( X=\\bigcup_{i=1}^{k} X_{i} \\)가 열린집합의 합집합이고 \\[ \\pi^{-1}\\left(X_{i}\\right) \\simeq X_{i} \\times \\mathbb{R}^{n} \\] 이면 (\\(1\\))과 (\\(2\\))에 의해 \\( \\pi: E \\rightarrow X \\)에 대하여 정리가 성립한다.", "증명은 \\( k \\)에 대하여 귀납법을 사용하면 명확하다.", "</p><p>(\\(4\\)) 부분집합 \\( C \\subset X \\)가 컴팩트이면 \\( \\pi: \\pi^{-1}(C) \\rightarrow C \\)에 대해서는 (\\(3\\))에 의해 정리가 성립한다.", "컴팩트 집합의 유한개의 합도 컴팩트이다.", "</p><p>보조정리 \\(6.1.3\\)</p><ol type=1 start=1><li>\\( H^{i}(X) \\rightarrow \\lim H^{i}(C) \\)가 동형맵이다.", "</li><li>\\( H^{i}\\left(E, E_{0}\\right) \\rightarrow \\lim H^{i}\\left(\\pi^{-1}(C), \\pi^{-1}(C)_{0}\\right) \\)가 동형맵이다.", "</li></ol><p>[증명] 어떤 계수이든지 호몰로지 \\[ H_{i}(X)=\\lim _{\\rightarrow} H_{i}(C) \\] 이다.", "왜냐하면 모든 \\( X \\)내의 특이사슬은 컴팩트 포함되기 때문이다.", "같은 이유로 \\[ H_{i}\\left(E, E_{0}\\right)=\\lim _{\\rightarrow} H_{i}\\left(\\pi^{-1}(C), \\pi^{-1}(C)_{0}\\right) \\] 이다.", "범계수정리에 의하여 \\[ \\begin{aligned} H^{i}\\left(X, \\mathbb{Z}_{2}\\right) &=\\operatorname{Hom}\\left(H_{i}(X), \\mathbb{Z}_{2}\\right) \\\\ &=\\operatorname{Hom}\\left(\\lim H_{i}(C), \\mathbb{Z}_{2}\\right) \\\\ &=\\lim \\operatorname{Hom}\\left(H_{i}(C), \\mathbb{Z}_{2}\\right) \\\\ &=\\lim H^{i}\\left(C ; \\mathbb{Z}_{2}\\right) . \\", "end{aligned} \\] 보조정리에 따라서 \\[ H^{n}\\left(E, E_{0}\\right)=\\lim _{\\leftarrow} H^{n}\\left(\\pi^{-1}(C), \\pi^{-1}(C)_{0}\\right) \\] 이다.", "</p><p>각 \\( C \\)에 대하여 유일한 \\( u_{c} \\in H^{n}\\left(\\pi^{-1}(C), \\pi^{-1}(C)_{0}\\right) \\)가 있어서 각 파이버에 제한하면 \\( H^{n}\\left(F, F_{0}\\right) \\)의 생성원이 된다.", "따라서 유일한 \\( u \\in H^{n}\\left(E, E_{0}\\right) \\)가 존재하여 각 파이버에 제한이 \\(0\\) 이 아니다.", "각 \\( C \\subset X \\)컴팩트 부분집합에 대하여 다음 다이어그램 \\[ \\begin{array}{ccc} H^{i}(E) & \\stackrel{\\cup u}{\\longrightarrow} H^{i+n}\\left(E, E_{0}\\right) \\\\ \\downarrow & \\downarrow \\\\ H^{i}\\left(\\pi^{-1}(C)\\right) \\stackrel{\\cup u_{c}}{\\longrightarrow} H^{i+n}\\left(\\pi^{-1}(C), \\pi^{-1}(C)_{0}\\right) \\end{array} \\] 은 교환이고, \\( C \\)에 대한 역극한(inverse limit)을 취하면 \\[ \\cup u: H^{i}(E) \\rightarrow H^{i+n}\\left(E, E_{0}\\right) \\] 도 동형맵이 된다.", "</p><p>다음은 임의의 항등원 \\(1\\) 을 갖는 환 \\( \\mathrm{R} \\)에 대하여 생각하자.", "유일한 환 준동형맵 \\( \\mathbb{Z} \\rightarrow \\mathrm{R} \\)이 존재하고, \\( H^{n}\\left(\\mathbb{R}^{n}, \\mathbb{R}_{0}^{n} ; \\mathrm{R}\\right)=\\mathrm{R} \\)이고 생성원은 \\[ e^{n}=e^{1} \\times \\cdots \\times e^{1} \\] 이다.", "</p><p>\\( \\pi: E \\rightarrow X \\)를 \\( n \\)차원 실벡터번들로서 파이버 \\( F \\equiv \\mathbb{R}^{n} \\)을 갖는다고 하자.", "생성원을 \\( u_{F} \\in H^{n}\\left(F, F_{0} ; \\mathrm{R}\\right) \\simeq \\mathrm{R} \\)로 쓰자.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "415", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "대수적 위상수학_호몰로지와 코호몰로지의 응용", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-ec4c-4334-b905-8f0386fc540c", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961053655", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2010", "doc_author": [ "조용승" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>부정, 논리곱 그리고 논리합에 의하여 구성된 명제의 진리값은 다음 표와 같다.", "</p> <p>표는 \\( \\sim p, p \\wedge q, p \\vee q \\) 의 진리값이 \\( p \\) 와 \\( q \\) 의 진리값으로부터 어떻게 결정되는지를 보여준다.", "이러한 표를 진리표(truth table)라 한다.", "</p> <p>보기 1.2.1</p> <p>다음 명제의 부정을 만들고, 또 주어진 명제와 그 부정명제의 참, 거짓을 조사하여라.", "</p> <ol type=1 start=1><li>어떤 양의 정수 \\( x \\) 는 12 의 약수이다. (단, 전체집합은 양의 정수 전체의 집합)", "</li> <li>어떤 양의 수 \\( x, y \\) 에 대해서 \\( \\frac{x+y}{2} \\geq \\sqrt{x y} \\) 이다.", "</li></ol> <p>(단, 전체집합은 \\( \\{(x, y) \\mid x, y \\in R\\}, R \\) 은 실수의 집합)</p> <p>풀이</p> <p>(1) 『모든 \\( x \\) 에 대해서 \\( x \\) 는 12 의 약수가 아니다』.", "즉, 『어떤 양의 정수도 12의 약수가 아니다』.", "그런데, 정수 3 은 12 의 약수이므로, 주어진 명제는 참이고, 부정명제는 거짓이다.", "</p> <p>(2) 부정명제는 『어떤 양의 정수 \\( x, y \\) 에 대해서도 \\( \\frac{x+y}{2}<\\sqrt{x y} \\) 이다』 이므로, 처음명제는 참이고, 부정 명제는 \\( x=1, y=3 \\) 일 때 거짓이다.", "</p> <p>보기 \\( 1.3 .1 \\)</p><p>다음이 성립함을 밝혀라 \\( \\left(\\sim p \\equiv p^{\\prime}, \\sim q \\equiv q^{\\prime}\\right) \\).", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\left(p \\vee\\left(p^{\\prime} \\wedge q\\right)\\right)^{\\prime} \\equiv p^{\\prime} \\wedge q^{\\prime} \\)</li><li>\\( (p \\wedge q) \\rightarrow(p \\vee q) \\equiv t \\)</li></ol><p>풀이</p><p>(1)\\( \\left(p \\vee\\left(p^{\\prime} \\wedge q\\right)\\right)^{\\prime} \\equiv p^{\\prime} \\wedge\\left(p^{\\prime} \\wedge q\\right)^{\\prime} \\)</p><p>\\( \\equiv p^{\\prime} \\wedge\\left(p \\vee q^{\\prime}\\right) \\) \\( \\equiv\\left(p^{\\prime} \\wedge p\\right) \\vee\\left(p^{\\prime} \\wedge q^{\\prime}\\right) \\) \\( \\equiv c \\vee\\left(p^{\\prime} \\wedge q^{\\prime}\\right) \\equiv p^{\\prime} \\wedge q^{\\prime} \\)</p><p>(2) \\( \\begin{aligned}(p \\wedge q) \\rightarrow(p \\vee q) & \\equiv(p \\wedge q)^{\\prime} \\vee(p \\vee q) \\\\ & \\equiv\\left(p^{\\prime} \\vee q^{\\prime}\\right) \\vee(p \\vee q) \\\\ & \\equiv\\left(p^{\\prime} \\vee p\\right) \\vee\\left(q^{\\prime} \\vee q\\right) \\\\ & \\equiv t \\vee t \\equiv t . \\end{aligned} \\)", "</p><h1>수학산책</h1><h2>2 진법</h2><p>현재의 대부분의 전자계산기는 문자나 기호를 두 개의 상태, 이를테면 테이프나 카드에 구멍이 뚫어져 있느냐 없느냐, 코드 전류가 흐르고 있느나 흐르지 않고 있느냐, 자기테이프의 각 점이 자화 되어 있느냐 없느나 따위에 따라 표시하고 이것을 처리하고 있다.", "</p><p>이런 유형의 것을 디지털 형(계수형)이라고 부르고 있다.", "한 가지 예를 들면, 영국의 찰스 1세 왕조 시대에 정치상의 비밀문서에서 자주 쓰인 방식으로서 알파벳 대신에 숫자의 쌍으로 표시한 것이 있다.", "즉,</p><p>\\( \\begin{array}{cccc}\\text { A } & \\text { B } & \\text { C } & \\text { D } \\\\ 1111 & 1112 & 1121 & 1211\\end{array} \\)</p><p>결국 \\( \\mathrm{A} \\) 대신에 1 천백 11 을 놓고, \\( \\mathrm{B} \\) 대신에 1 천 1 백 12 로 놓은 식이다.", "이것은 그대로 2진법의 설명이 되고 있다.", "그런데, 이를테면 \\( 5 \\cdot 10^{3}+2 \\cdot 10^{2}+0 \\cdot 10^{1}+4 \\cdot 10^{0} \\) 을 5204 로 쓰는 것이 10진법에 의한 표기이다.", "</p><p>한편 7 은 \\( 7=1 \\cdot 2^{2}+1 \\cdot 2^{1}+1 \\cdot 2^{0} \\) 으로 쓸 수 있는데, 이것을 111로 나타내는 것이 2진법 의한 7 의 표기이다.", "5 는 \\( 5=1 \\cdot 2^{2}+0 \\cdot 2^{1}+1 \\cdot 2^{0} \\) 이므로 2 진법에서는 101 로 쓸 수 있다.", "</p><p>2진법에 의한 덧셈은 10 진법에 의한 덧셈과 거의 같다.", "예컨대, \\( 7+5=12 \\) 는</p><p>\\( \\begin{array}{rrrrr}1 & 1 & 1 & \\\\ +\\quad 1_{1} & 0_{1} & 1 & \\\\ -1 & 1 & 0 & 0 & \\end{array} \\)</p><p>와 같이 더하여 2 가 되면 하나 위의 자리에 1 을 받아 올리면 된다.", "윗 식의 2 행 째의 작은 숫자는 받아 올림수를 나타내고 있다.", "전자계산기에 의한 덧셈의 조작을 아주 간단한 수의 보기를 들어 알아보자.", "</p><p>앞의 식(*)을 일반적으로 쓰면</p><p>이 된다. \\", "( c_{i-1}, A_{i}, B_{i}\\left(i=0,1,2\\right. \\)", "단 \\( \\left.C_{1}=0\\right) \\) 는 0 또는 1 이지만 이에 의해서 받아 올림수 \\( C_{i} \\) 와 \\( S_{i} \\) 가 정해진다.", "그 모든 경우를 표시하면 다음과 같이 쉽게 알 수 있게 된다</p><table border><tbody><tr><td>\\( C_{i} \\)</td><td>\\( S_{i} \\)</td><td>\\( B_{i} \\)</td><td>\\( A_{i} \\)</td><td>\\( C_{i-1} \\)</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr></tbody></table> <p>보기 1.2.10</p><p>다음의 \\( p \\) 는 \\( q \\) 이기 위한 필요조건인가 충분조건인가, 필요충분조건인가 또는 그 어느 쪽도 아닌가를 밝혀라.", "단, \\( a, b, c \\) 는 실수이다.", "</p><table border><tbody><tr><td>-</td><td>\\( p \\)</td><td>\\( q \\)</td></tr><tr><td>(1)</td><td>\\( a+b>2, a b>1, \\)</td><td>\\(a>1, b>1\\)</td></tr><tr><td>(2)</td><td>\\( a b<0 \\),</td><td>\\( |a+b|>a+b \\)</td></tr><tr><td>(3)</td><td>\\( a=b \\),</td><td>\\( a c=b c \\)</td></tr><tr><td>(4)</td><td>\\( a<b \\),</td><td>\\( |a+b|>a-b \\)</td></tr></tbody></table><p>풀이</p><p>(1) \\( a>1, b>1 \\) 일 때,</p><p>\\( a+b<2, \\quad a b>1 \\).", "</p><p>역으로 \\( a=3, b=0.5 \\) 이라 하면 \\( a+b>2, a b>1 \\) 이지만 \\( a>1 \\) 이고 \\( b>1 \\) 은 성립하지 않는다. \\", "( \\therefore q \\rightarrow p \\). \\", "( \\therefore \\) 필요조건.", "</p><p>(2) \\( a=-2, b=-1 \\) 이라 하면 \\( |a+b|>a+b \\) 이지만 \\( a b>0 \\) 또 \\( a=2, b=-1 \\) 이라 하면 \\( a b<0 \\) 이지만 \\( |a+b|=a+b \\). \\", "( \\therefore \\) 필요조건도 충분조건도 아니다.", "</p><p>(3) \\( a=b \\) 일 때는 \\( c \\) 에 관계없이 \\( a c=b c \\) 가 되지만 \\( a c=b c \\) 라도 \\( c=0 \\) 일 때는 \\( a=b \\) 가 아니라도 된다. \\", "( \\therefore p \\rightarrow q \\). \\", "( \\therefore \\) 충분조건.", "</p><p>(4) \\( |a-b|>a-b \\) 로부터 \\( a-b<0 \\). \\", "( \\therefore a<b \\) 역으로 \\( a<b \\) 이면 \\( a-b<0,|a-b|>0 \\). \\( \\therefore|a-b|>", "a-b \\), 즉, \\( p \\leftrightarrow q \\). \\", "( \\therefore \\) 필요충분조건.", "</p> <table border><tbody><tr><td colspan = 2>-</td><td>-</td><td>역</td><td>이</td><td>대우</td></tr><tr><td>\\( p \\)</td><td>\\( q \\)</td><td>\\( p \\rightarrow q \\)</td><td>\\( q \\rightarrow p \\)</td><td>\\( \\sim p \\rightarrow \\sim q \\)</td><td>\\( \\sim q \\rightarrow \\sim p \\)</td></tr><tr><td>T</td><td>T</td><td>T</td><td>T</td><td>T</td><td>T</td></tr><tr><td>T</td><td>F</td><td>F</td><td>T</td><td>T</td><td>F</td></tr><tr><td>F</td><td>T</td><td>T</td><td>F</td><td>F</td><td>T</td></tr><tr><td>F</td><td>F</td><td>T</td><td>T</td><td>T</td><td>T</td></tr></tbody></table><p>위의 표에서 살펴보면 본명제와 대우명제의 진리값은 똑같다.", "즉, 본명제와 대우는 서로 동치임을 알 수 있다.", "마찬가지로 역 : \\( q \\rightarrow p \\) 와 이 : \\( \\sim p \\rightarrow \\sim q \\) 는 서로 대우명제이므로 이들의 진리값도 같다.", "</p><p>이상으로부터 명제와 그의 역, 이, 대우의 관계를 그림으로 나타내면 다음과 같다.", "</p><p>명제 중 더 이상 분해할 수 없는 명제를 단순명제라 하고, 단순명제와 단순명제 사이에 『또는』, 『그리고』 등으로 연결된 명제를 합성명제(compound proposition)라 한다.", "</p><p>보기 1.2.7</p><p>다음 명제의 대우를 말하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( a=0 \\) 이면 \\( a b=0 \\) 이다</li><li>\\( \\sim p \\rightarrow q \\)</li><li>정사각형은 모든 각이 직각이다</li></ol><p>풀이</p><p>『\\( p \\rightarrow q \\)』의 대우는 『\\( \\sim q \\rightarrow \\sim p\\)』이다.", "</p><ol type=1 start=1><li>대우: \\( a b \\neq 0 \\) 이면 \\( a \\neq 0 \\) 이다.", "</li><li>대우 : \\( \\sim q \\rightarrow p \\).", "</li><li>대우 : 적어도 한 각이 직각이 아니면 정사각형이 아니다.", "</li></ol> <p>보기 1.2.8</p><p>다음 명제의 역, 이, 대우를 구하고, 그의 참, 거짓을 말하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\(x=3 \\text { 이면 } x^{2}=9 \\text { 이다 }\\)</li><li>실수 \\( a, b \\) 에 대하여 \\( a^{2}+b^{2}=0 \\) 이면 \\( a=0 \\) 이고 \\( b=0 \\) 이다</li></ol><p>풀이</p><p>(1) 역은 \\( x^{2}=9 \\) 이면 \\( x=3 \\) 이다. (거짓)", "이는 \\( x \\neq 3 \\) 이면 \\( x^{2} \\neq 9 \\) 이다. (거짓)", "대우는 \\( x^{2} \\neq 9 \\) 이면 \\( x \\neq 3 \\) 이다. (참)", "</p><p>(2) 역은 \\( a=0 \\) 이고 \\( b=0 \\) 이면 \\( a^{2}+b^{2}=0 \\) 이다. (참)", "이는 \\( a^{2}+b^{2} \\neq 0 \\) 이면 \\( a \\neq 0 \\) 또는 \\( b \\neq 0 \\) 이다. (참)", "대우는 \\( a \\neq 0 \\) 또는 \\( b \\neq 0 \\) 이면 \\( a^{2}+b^{2} \\neq 0 \\) 이다. (참)", "</p><p>다음에 두 합성명제 사이의 관계에 대해서 조사해 보자.", "</p><p>먼저 \\( p \\wedge q \\) 와 \\( \\sim p \\vee q \\) 라는 두 명제의 관계를 진리표로 만들면 다음과 같다.", "</p><table border><tbody><tr><td>\\(p\\)</td><td>\\(q\\)</td><td>\\( p \\wedge q \\)</td><td>\\( \\sim p \\vee q \\)</td><td>\\( p \\wedge q \\rightarrow \\sim p \\vee q \\)</td></tr><tr><td>T</td><td>T</td><td>T</td><td>T</td><td>T</td></tr><tr><td>T</td><td>F</td><td>F</td><td>F</td><td>T</td></tr><tr><td>F</td><td>T</td><td>F</td><td>T</td><td>T</td></tr><tr><td>F</td><td>F</td><td>F</td><td>T</td><td>T</td></tr></tbody></table><p>이 표는 \\( p \\wedge q \\) 라는 제1의 명제가 참일 때, 제2의 명제 \\( \\sim p \\vee q \\) 가 반드시 참이라는 것을 보여주고 있다.", "</p><p>이와 같이 두 개의 합성명제 \\( P \\) 와 \\( Q \\) 가 있어, 제 1 의 명제 \\( P \\) 가 참인 모든 논리적 가능성에 대해서 제 2 의 명제 \\( Q \\) 가 항상 참일 때, 즉 제 1 의 명제 \\( P \\) 가 참이고 제 2 의 명제 \\( Q \\) 가 거짓의 경우는 절대로 일어나지 않을 때, \\( P \\) 는 \\( Q \\) 를 함의한다(implies)라고 말하고</p><p>\\( P \\rightarrow Q \\)</p><p>로 나타낸다.", "따라서 위의 예에서는</p><p>\\( p \\wedge q \\rightarrow \\sim p \\vee q \\)</p><p>이다. \\", "( P \\) 가 \\( Q \\) 를 유도한다는 것은 조건문 \\( P \\rightarrow Q \\) 가 항상 참, 즉 항진명제임을 나타낸다.", "</p><p>다음에 \\( P \\rightarrow Q \\) 이고, 또한 \\( Q \\rightarrow P \\) 이면 \\( P \\) 와 \\( Q \\) 는 동치(equivalence)라 하고</p><p>\\( P \\leftrightarrow Q \\) 또는 \\( P=Q \\)</p><p>로 나타낸다.", "이 경우는 \\( P \\) 와 \\( Q \\) 의 진리표가 일치할 때이다.", "</p>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "미분적분을 위한 기초수학의 이해", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "772a8b07-ce6502ca-bb26-40e0-9100-6d085949182b", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961053846", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2011", "doc_author": [ "이건창", "안성수" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h3>초월함수의 극한</h3><p>이제 초월함수로 이루어진 형태의 극한값 계산에 대해서 알아보자.", "다음 정리는 초월함수에 관련된 극한값 계산에 도움을 줄 것이다.", "</p><p>정리 \\(1-2-4\\) \\( x \\)가 라디안이고, \\( \\log x \\)는 자연로그일 때,<ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin x}{x}=1 \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin (\\sin x)}{x}=1 \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tan (\\tan x)}{x}=1 \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0+} \\frac{\\log (\\sin x)}{\\log x}=1 \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} a^{x}=\\left\\{\\begin{array}{ll}\\infty & (a>1) \\\\ 1 & (a=1) \\\\ 0 & (0<a<1)\\end{array}\\right. \\)", "</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow-\\infty} a^{x}=\\left\\{\\begin{array}{ll}0 & (a>1) \\\\ 1 & (a=1) \\\\ \\infty & (0<a<1)\\end{array}\\right. \\)", "</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0+} \\log _{a} x=\\left\\{\\begin{aligned}-\\infty &(a>1) \\\\ \\infty &(0<a<1) \\end{aligned}\\right. \\)", "</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)^{x}=\\lim _{x \\rightarrow 0}(1+x)^{\\frac{1}{x}}=e \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\log (x+1)}{x}=1 \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{e^{x}-1}{x}=1 \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos x}{x}=0 \\)</li></ol></p><p>증명 \\((1)\\) \\( 0<x<\\frac{\\pi}{2} \\)로 하고 그림 \\(1-20\\)과 같이 직각삼각형 \\( O C B \\)를 \\( \\angle B O C=x \\) \\( (\\operatorname{radian}) \\)가 되게 그린다.", "</p><p>꼭짓점 \\( O \\)로부터 반지름 \\( m(\\overline{O C})=r \\)이 되게 원을 그려 \\( O B \\)와 만난 점을 \\( A \\)라 하면 다음과 같은 관계가 성립한다.", "</p><p>\\( m(\\triangle O A C)=\\frac{1}{2} m(\\overline{O C}) \\cdot m(\\overline{O A}) \\cdot \\sin x=\\frac{1}{2} r^{2} \\sin x \\) \\( m( \\)부채꼴 \\( O A C)=\\frac{1}{2} m(\\overline{O A}) \\cdot m(\\overline{O C}) \\cdot x=\\frac{1}{2} r^{2} x \\) \\( m(\\triangle O C B)=\\frac{1}{2} m(\\overline{O C}) \\cdot m(\\overline{B C})=\\frac{1}{2} r^{2} \\tan x \\) \\( \\therefore \\frac{1}{2} r^{2} \\sin x<\\frac{1}{2} r^{2} x<\\frac{1}{2} r^{2} \\tan x \\)</p><p>이 부등식의 각 변을 \\( \\frac{1}{2} r^{2} \\sin x \\)로 나누면 \\( 1<\\frac{x}{\\sin x}<\\frac{1}{\\cos x} \\) 이고, 위 식으로부터 \\( 1>\\frac{\\sin x}{x}>\\cos x \\)와 같은 관계식을 얻는다.", "따라서 \\[\\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} 1 \\geqq \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\frac{\\sin x}{x} \\geqq \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\cos x\\Leftrightarrow 1 \\geqq \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\frac{\\sin x}{x} \\geqq 1 .\\]</p><p>그러므로 짜내기 정리에 의해 \\[\\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\frac{\\sin x}{x}=1\\]</p><p>이것은 \\( 0<x<\\frac{\\pi}{2} \\)라는 조건 밑에서 얻어진 우극한값이지만 \\( 0>x>-\\frac{\\pi}{2} \\)일 경우도 역시 성립한다.", "왜냐하면 \\( x=-x^{\\prime} \\)로 놓으면 \\[\\frac{\\sin x}{x}=\\frac{\\sin \\left(-x^{\\prime}\\right)}{-x^{\\prime}}=\\frac{\\sin x^{\\prime}}{x^{\\prime}}\\]로 되어 \\( x^{\\prime} \\)에 대해서도 \\((1)\\)식은 성립하기 때문이다.", "결국 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0^{-}} \\frac{\\sin x}{x}=1 \\)이 되어 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0^{+}} \\frac{\\sin x}{x}=\\lim _{x \\rightarrow 0^{-}} \\frac{\\sin x}{x}=1 \\)이므로 \\[\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin x}{x}=1\\]</p><p>정리 \\(1-2-4\\)의 \\((5), (6), (7), (8)\\)은 지수, 로그함수의 도함수편에서 설명이 되겠지만 그래프를 그려서 생각해보면 금방 알 수 있다. \\", "((2), (3), (4), (9), (10), (11)\\)은 정리 \\(1-2-4\\)의 \\((1)\\)과 \\((8)\\)을 이용하면 증명할 수 있으므로, 연습문제로 남기겠다.", "</p><p>예제 \\(6\\) 정리 \\(1-2-4\\)의 \\((3)\\)과 \\((9)\\)를 증명하여라.", "</p><p>증명 \\[\\text { (3) } \\begin{aligned}\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tan (\\tan x)}{x} &=\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tan (\\tan x)}{\\tan x} \\cdot \\frac{\\tan x}{x} \\\\&=\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tan (\\tan x)}{\\tan x} \\cdot \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tan x}{x}\\end{aligned}\\]</p><p>\\( \\tan x=t \\)라 놓으면, \\( x \\rightarrow 0 \\)일 때, \\( t \\rightarrow 0 \\)이므로 \\[\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tan (\\tan x)}{\\tan x}=\\lim _{t \\rightarrow 0} \\frac{\\tan (t)}{t}=\\lim _{t \\rightarrow 0}\\frac{\\sin t}{t} \\cdot \\frac{1}{\\cos t}=1 .\\]</p><p>따라서 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tan x}{x}=1 \\)이므로 준 식은 극한값이 \\(1\\)이다.", "</p><p>\\((9)\\) \\( \\begin{aligned} \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\log (x+1)}{x} &=\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1}{x} \\log (x+1)=\\lim _{x \\rightarrow 0} \\log (x+1)^{\\frac{1}{x}} \\\\ &=\\log \\left(\\lim _{x \\rightarrow 0}(x+1)^{\\frac{1}{x}}\\right)=\\log e=1 \\end{aligned} \\)</p><p>예제 \\(7\\) \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos x}{x^{2}} \\)를 구하여라.", "</p><p>풀이 \\[\\begin{aligned}\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos x}{x^{2}} &=\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{(1-\\cos )(1+\\cos x)}{x^{2}(1+\\cos x)}=\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos ^{2} x}{x^{2}(1+\\cos x)} \\\\&=\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin ^{2} x}{x^{2}(1+\\cos x)}=\\lim _{x \\rightarrow 0}\\left\\{\\left(\\frac{\\sin x}{x}\\right)^{2} \\times \\frac{1}{(1+\\cos x)}\\right\\}=\\frac{1}{2}\\end{aligned}\\]</p><p>참고 부정형의 극한값은 로피탈 법칙을 이용하여 구하는 방법도 있다.", "즉, \\( \\frac{0}{0} \\)꼴이나 \\( \\frac{\\infty}{\\infty} \\)형태의 부정형은 미분을 통해 구하는 경우가 있는데 이는 도함수편에서 다루겠다.", "</p><h3>연습문제 (1-2-1)</h3><p>\\(1\\).", "다음의 극한값을 \\( \\varepsilon-\\delta \\) 방법으로 증명하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 4}(3 x-7)=5 \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 2} \\frac{2 x^{2}-3 x-2}{x-2}=5 \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} k=k \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow a} x=a \\)</li></ol><p>\\(2\\).", "다음 극한값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{x^{2}+4 x-5}{3 x^{2}+x-4} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin 4 x}{\\sin 3 x} \\)</li><li>\\( \\lim _{\\theta \\rightarrow 3 / 2} \\frac{\\sin 3 \\theta}{\\tan \\theta} \\)</li><li>\\( \\lim _{\\theta \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos 3 \\theta}{\\theta^{2}} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow \\pm \\infty} \\frac{3 x^{2}+5}{5 x^{3}+8 x+1} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos 3 x}{x \\sin 2 x} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{1+x+x^{2}}-1}{\\sqrt{1+x}-\\sqrt{1-x}} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 2} \\frac{x^{2}-4}{\\sqrt{x+2}-\\sqrt{3 x-2}} \\)</li><li>\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin ^{2} x}{1-\\cos x} \\)</li><li>\\( \\lim _{n \\rightarrow+\\infty} \\frac{1}{n^{3}}\\left(1^{2}+2^{2}+\\cdots+n^{2}\\right) \\)</li></ol><p>\\(3\\).", "직각인 두 변의 길이가 \\( 12 \\mathrm{~cm}, 5 \\mathrm{~cm} \\)인 직각삼각형 \\( B A C \\)의 빗변 \\( \\overline{B C} \\)를 \\( n+1 \\) 등분하는 점을 각각 \\( M_{1}, M_{2}, \\cdots, M_{n} \\)으로 할 때 \\[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n}\\left(m\\left(\\overline{A M_{1}}\\right)^{2}+m\\left(\\overline{A M_{2}}\\right)^{2}+\\cdots+m\\left(\\overline{A M_{n}}\\right)^{2}\\right)\\]을 구하여라.", "</p><p>\\(4\\).", "정리 \\(1-2-4\\)의 \\((4)\\)와 \\((10)\\)을 증명하여라.", "</p><p>\\(5\\).", "반지름의 길이가 \\(5\\)인 원에 내접하는 정다각형의 둘레를 \\( n \\)의 함수로 나타내어라.", "또, \\( n \\rightarrow \\infty \\) 일 때 이 함수의 극한값은 얼마인가?", "</p> <h2>3. 역함수</h2><p>지금까지 설명한 모든 함수들은 독립변수가 하나인 일변수함수에 대해서만 언급하였다.", "여기서는 이러한 여러가지 형태의 일변수함수들의 그래프를 좌표평면에 그려보도록 하자.", "또, 여기서 가장 중요한 부분인 다양한 함수들의 역함수의 개념과 성질을 소개한다.", "</p><h3>일변수함수</h3><p>집합 \\( R \\)에서 집합 \\( R \\)로의 함수 \\( f \\)에서 각 실수 \\( x \\in R \\)에 대하여 \\( x \\)의 \\( f \\)에 의한 함숫값을 \\( y \\)로 나타내면 \\( y=f(x) \\)가 된다.", "이때, \\( x \\)가 \\( R \\)의 모든 원소를 택하면서 변하면 이 \\( x \\)값에 따라 \\( y \\)의 값이 변한다.", "이러한 의미에서 \\( x \\)를 독립변수(independent variable)라 하고 \\( y \\)를 \\( f \\)의 종속변수(dependent variable)라 하며, \\( f \\)를 한 개의 독립변수 \\( x \\)를 가진 일변수함수(one variable function)라고 한다.", "이 함수를 간단히 함수 \\( f(x) \\) 또는 함수 \\( y=f(x) \\)와 같이 나타낸다.", "앞에서 언급한 함수들은 이러한 의미에서 일변수함수라 할 수 있다.", "</p><p>보기① 앞의 '2. 함수의 분류'의 보기 \\(1,2\\)에 열거한 함수들은 모두 일변수함수이다.", "</p><h3>함수의 그래프</h3><p>방정식이나 부등식에서 그래프를 정의한 것과 마찬가지로 함수에 있어서도 그래프의 개념을 생각할 수 있다.", "함수 \\( f: X \\rightarrow Y(X, Y \\subset R) \\)에 대하여 집합 \\[G_{f}=\\{(x, f(x)) \\mid x \\in X\\}\\]가 주어진다.", "이 집합 \\( G_{f} \\)를 함수 \\( f \\)의 그래프 \\( (\\mathrm{graph}) \\)라 한다.", "그래프를 나타내는 집합 \\( G_{f} \\)는 곱집합 \\( X \\times Y \\)의 부분집합임을 알 수 있다.", "</p><p>일변수함수의 모든 그래프는 반드시 존재하며 그릴 수만 있다면 좌표평면에 나타낼 수가 있다. 그러나 실제로는 그릴 수도 없고 상상하기 곤란한 경우의 함수도 있다. 이를테면 디리클레의 함수는 비록 그릴 수는 있지만 하나의 곡선으로 연결되지 않는다. 또, \\[\\operatorname{sgn} x=\\left\\{\\begin{array}{rr}1, & x>", "0 \\\\0, & x=0 \\\\-1, & x<0\\end{array}\\right.\\]으로 정의되는 함수 \\( y=\\operatorname{sgn} x \\)의 그래프는 그림 \\(1-13\\)과 같이 서로 떨어져 있는 경우도 있음을 알아 두어야 한다.", "</p><p>예제 \\(1\\) 다음 함수의 그래프를 그려라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( y=|x| \\)</li><li>\\( y=[x],([] \\)는 가우스 기호임 \\", "( ) \\)</li><li>\\( y=x-[x] \\)</li><li>\\( y=x+\\frac{1}{x} \\)</li></ol><p>풀이</p> <h3>역함수</h3><p>\\( f \\)가 집합 \\( X \\)에서 집합 \\( Y \\)로의 전단사함수(\\(1\\)대 \\(1\\)대응)일 때, 그의 역대응 \\( g: Y \\rightarrow X \\)를 \\( f \\)의 역함수(inverse function)라 하고 \\( g \\equiv f^{-1} \\)로 나타낸다.", "이때, \\( f(x)=y \\)이면 \\( f^{-1}(y)=x \\)가 되고 보통 \\( x \\)와 \\( y \\)를 교환한 \\( y=f^{-1}(x) \\)를 생각하여 원함수 \\( f(x) \\)의 역함수로 취급한다. \\", "( y=f(x) \\)와 \\( x=f^{-1}(y) \\)가 동일하나 \\( y=f(x) \\)와 \\( y=f^{-1}(x) \\)는 직선 \\( y=x \\)에 관하여 대칭이 된다.", "모든 함수의 역함수가 반드시 존재하는 것은 아니다.", "이때에는 정의역과 공변역을 적당히 제한하여 주어진 함수가 전단사함수가 되게 하고 나서 역함수를 구하면 된다.", "역함수를 구하는 방법은 먼저 주어진 함수를 \\( x \\)에 관하여 정리한 다음 \\( x \\)와 \\( y \\)를 교환하면 된다.", "그러면 자연스럽게 역함수의 정의역은 원함수의 치역이 되고 역함수의 치역은 원함수의 정의역이 된다.", "</p><p>보기② \\( f(x)=x^{2}(x \\geqq 0) \\)의 역함수를 구하여라.", "</p><p>해 \\( f \\)는 \\( x \\geqq 0 \\)에서 전단사함수이므로 \\( f^{-1} \\)가 존재한다.", "따라서 \\[y=x^{2} \\Leftrightarrow x=\\pm \\sqrt{y} .\\]", "</p><p>\\( x \\geqq 0 \\)이므로 \\( x=\\sqrt{y} \\)이고 \\( x \\)와 \\( y \\)를 교환하면 \\[y=\\sqrt{x} .\\]", "</p><p>즉, \\( f^{-1}(x)=\\sqrt{x} \\)가 되고 원함수 \\( f \\)의 치역이 \\( f^{-1} \\)의 정의역이 된다.", "</p><p>정리 \\(1-1-1\\) \\( f \\)가 \\( X \\)에서 \\( Y \\)로의 전단사함수일 때, 다음 성질들이 성립한다.", "<ol type=1 start=1><li>\\( \\left(f^{-1}\\right)^{-1}=f \\)</li><li>\\( f^{-1}(f(x))=x, x \\in X \\)</li><li>\\( f\\left(f^{-1}(y)\\right)=y, y \\in Y \\)</li></ol></p><p>증명 \\((1)\\) \\( f \\)의 치역은 \\( f^{-1} \\)의 정의역이고 \\( f \\)의 정의역은 \\( f^{-1} \\)의 치역이므로 \\[ f^{-1}(y)=x \\Leftrightarrow f(x)=y\\]이다.", "따라서 \\( f \\)는 \\( f^{-1} \\)의 역함수이다.", "</p><p>\\((2)\\) \\( f(x)=y \\)이므로 \\( f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y)=x \\)이다.", "</p><p>\\((3)\\) \\( f^{-1}(y)=x \\)이므로 \\( f\\left(f^{-1}(y)\\right)=f(x)=y \\)이다.", "</p><p>역함수들 중에서 역삼각함수와 역쌍곡선함수가 많이 활용되므로 여기에서 소개한다.", "</p> <h3>라디안각</h3><p>미적분학에서는 각을 도 \\( \\left({ }^{\\circ}\\right) \\)나 분(minutes) \\( \\left({ }^{\\prime}\\right) \\)이나 초(seconds) \\( \\left({ }^{\\prime \\prime}\\right) \\)보다는 라디안 각으로 측정해서 쓰는 경우가 많다.", "이제 반지름이 \\( r \\)인 원을 생각하자.", "이때, 그림 \\(1-10\\)의 부채꼴에 의해 형성된 각 \\( \\theta \\)에 대하여 반지름에 대한 호의 길이의 비, 즉\\[\\theta=\\frac{s}{r}\\]로 \\(60\\)분각 \\( \\theta \\)에 대한 라디안 각으로 정의한다.", "이렇게 정의하면 모든 \\(60\\)분각으로 표현되는 일반 각과 라디안각 사이에는 정확하게 일대일 대응관계를 갖기 때문에 어떠한 \\(60\\)분각도 유일한 실숫값으로 나타내어진다.", "즉, 라더안각이라 함은 \\(60\\)분각을 실숫값으로 나타내는 각을 의미한다.", "이와 같이 모든 \\(60\\)분각을 실수화한 값으로 나타내게 되면 모든 삼각함수들은 실수의 집합 \\( R \\)에서 \\( R \\)로의 함수가 되어 그 그래프들을 직교좌표에 쉽게 나타낼 수 있게 된다.", "</p><p>앞과 같이 정의하면 \\(1\\)라더안(radian)은 그림 \\(1-10\\)에서 반지름의 길이와 호의 길이가 같을 때이고 이 호에 대한 중심각 \\( \\theta \\)의 크기는 반지름 \\( r \\)의 길이에 관계없이 일정하다.", "또, 반지름의 길이가 \\( r \\)인 원 둘레는 \\( 2 \\pi r \\)이고 이것은 반지름의 길이의 \\( 2 \\pi \\)배이므로 \\( 2 \\pi \\)라디안은 \\( 360^{\\circ} \\)가 된다.", "그러므로 \\( \\pi \\)라디안은 \\( 180^{\\circ} \\)이다. \\", "(1\\)라디안과 \\( 1^{\\circ} \\)롤 각각 \\(60\\)분법과 호도법으로 환산하면 다음과 같다. \\", "[\\begin{array}{l}1 \\text { 라디안 }=\\frac{180^{\\circ}}{\\pi} \\fallingdotseq 57^{\\circ} 17^{\\prime} 75^{\\prime \\prime} \\\\1^{\\circ}=\\frac{\\pi}{180} \\text { 라디안 } \\fallingdotseq 0.01745 \\text { 라디안 }\\end{array}\\]이다.", "륵수각에 대한 \\(60\\)분법과 호도법과의 관계는 다음과 같다.", "</p><table border><tbody><tr><td>\\(60\\)분법</td><td>\\(0^{\\circ}\\)</td><td>\\(30^{\\circ}\\)</td><td>\\(45^{\\circ}\\)</td><td>\\(60^{\\circ}\\)</td><td>\\(90^{\\circ}\\)</td><td>\\(120^{\\circ}\\)</td><td>\\(135^{\\circ}\\)</td><td>\\(150^{\\circ}\\)</td><td>\\(180^{\\circ}\\)</td></tr><tr><td>호도법</td><td>\\(0\\)</td><td>\\( \\frac{\\pi}{6} \\)</td><td>\\( \\frac{\\pi}{4} \\)</td><td>\\( \\frac{\\pi}{3} \\)</td><td>\\( \\frac{\\pi}{2} \\)</td><td>\\( \\frac{2\\pi}{3} \\)</td><td>\\( \\frac{3\\pi}{4} \\)</td><td>\\( \\frac{5\\pi}{6} \\)</td><td>\\(\\pi\\)</td></tr><tr><td>\\(60\\)분법</td><td>\\(210^{\\circ}\\)</td><td>\\(225^{\\circ}\\)</td><td>\\(240^{\\circ}\\)</td><td>\\(270^{\\circ}\\)</td><td>\\(300^{\\circ}\\)</td><td>\\(315^{\\circ}\\)</td><td>\\(330^{\\circ}\\)</td><td>\\(360^{\\circ}\\)</td><td></td></tr><tr><td>호도법</td><td>\\( \\frac{7\\pi}{6} \\)</td><td>\\( \\frac{5\\pi}{4} \\)</td><td>\\( \\frac{4\\pi}{3} \\)</td><td>\\( \\frac{3\\pi}{2} \\)</td><td>\\( \\frac{5\\pi}{3} \\)</td><td>\\( \\frac{7\\pi}{4} \\)</td><td>\\( \\frac{11\\pi}{6} \\)</td><td>\\(2\\pi\\)</td></tr></tbody></table><h3>호의 길이와 면적</h3><p>반지름의 길이가 \\( r \\), 중심각의 크기가 \\( \\theta \\) (라디안)인 부채꼴의 호의 길이를 \\( l \\), 면적을 \\( S \\)라 하면 호의 길이는 중심각의 크기에 비례하므로 \\( l: \\theta=2 \\pi r: 2 \\pi \\)에서 호의 길이는 \\( l=r \\theta \\)에 의해 구한다.", "또, 부채꼴의 면적도 중심각에 비례하므로 \\( S: \\theta=\\pi r^{2}: 2 \\pi \\)로부터 \\[S=\\frac{1}{2} r^{2} \\theta\\]에 의해 구할 수 있다.", "</p><p>예제 \\(2\\) 다음 각들 중 \\(60\\)분각은 라디안 각으로, 라디안 각은 \\(60\\)분각으로 나타내어라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( 36^{\\circ} \\)</li><li>\\( \\frac{73}{90} \\pi \\)</li><li>\\(3\\)</li></ol><p>풀이 \\((1)\\) 반지름이 \\( r \\)인 부채꼴에서 \\( 36^{\\circ} \\)에 해당되는 호의 길이 \\( s \\)는 \\[s=\\pi r \\times \\frac{36^{\\circ}}{180^{\\circ}}=\\frac{1}{5} \\pi r\\]이다.", "이때 해당되는 라디안각을 \\( \\theta \\)라 하면, \\[\\theta=\\frac{\\frac{\\pi r}{5}}{r}=\\frac{\\pi}{5} .\\]", "</p><p>\\((2)\\) 구하려는 \\(60\\)분각을 \\( \\theta \\)라 놓자. \\", "( \\pi \\)가 \\( 180^{\\circ} \\)이므로 비례식 \\( 180^{\\circ}: \\pi=\\theta: \\frac{73}{90} \\pi \\)에서 \\[\\theta=\\frac{73}{90} \\pi \\times \\frac{180^{\\circ}}{\\pi}=146^{\\circ} .\\]", "</p><p>\\((3)\\) \\((2)\\)와 같이 하면 \\[\\theta=3 \\times \\frac{180^{\\circ}}{\\pi}=\\frac{540^{\\circ}}{\\pi}\\]</p><p>예제 \\(3\\) 반지름의 길이가 \\( 3 \\mathrm{~cm} \\), 중심각의 크기가 \\( 150^{\\circ} \\)인 부채꼴의 호의 길이와 면적을 구하여라.", "</p><p>풀이 먼저 \\( 150^{\\circ} \\)를 라디안으로 표시하면 \\( \\frac{\\pi}{180^{\\circ}} \\times 150^{\\circ}=\\frac{5}{6} \\pi \\)(라디안)이므로 호의 길이 \\( l \\)은 \\[l=3 \\times \\frac{5}{6} \\pi=\\frac{5}{2} \\pi(\\mathrm{cm})\\]이다.", "또, 이때 면적 \\( S=\\frac{1}{2} r^{2} \\theta \\)이므로 다음과 같다. \\", "[ S=\\frac{1}{2} \\times 3^{2} \\times \\frac{5}{6} \\pi=\\frac{15}{4} \\pi\\left(\\mathrm{cm}^{2}\\right) \\]</p> <h2>요약 (1-2)</h2><p>\\(1\\).(함수의 극한)", "</p><p>함수 \\( y=f(x) \\)에 있어서 변수 \\( x \\)가 어떤 값 \\( a \\)에 한없이 가까이 갈 때 그 가까워지는 방법에 관계없이 \\( f(x) \\)의 값이 일정한 값 \\( b \\)에 한없이 가까워지면 \\( x \\)가 \\( a \\)에 가까워질 때 \\( f(x) \\)는 \\( b \\)에 수렴한다고 말하고 \\( b \\)를 \\( f(x) \\)의 극한값이라 한다.", "이것을 기호로는 \\[\\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=b\\]로 나타낸다.", "</p><p>\\(2\\). (치환정리)", "</p><p>\\( f \\)가 다항식함수 또는 유리함수이면 \\[\\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=f(a)\\]이다.", "단, 유리함수의 경우 분모는 \\( x=a \\)에서 \\(0\\)이 아니다.", "</p><p>\\(3\\). (짜내기 정리)", "</p><p>\\( f, g \\) 및 \\( h \\)가 \\( a \\)의 근방의 \\( x \\)에 대하여 항상 \\( f(x) \\leqq h(x) \\leqq g(x) \\)이고 \\[ \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=\\lim _{x \\rightarrow a} g(x)=b \\text { 이면 } \\lim _{x \\rightarrow a} h(x)=b \\]이다.", "</p><p>\\(4\\). (함수의 연속)", "</p><p>\\( y=f(x) \\)가 \\( x=a \\)에서 그의 극한값과 함숫값이 존재하여 같아지면 \\( y=f(x) \\)는 \\( x=a \\)에서 연속이라 한다.", "즉, \\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=f(a) \\)이다.", "</p><p>\\(5\\). (연속성에 관한 정리)", "</p><p>\\((1)\\) \\( f(x) \\)가 \\( x=a \\)에서 연속이고, \\( f(a)>0 \\)이면 \\( a \\)의 근방에서 \\( f(x)>0 \\)이다. 즉, \\( x \\in(a-\\delta \\), \\( a+\\delta) \\)이면 \\( f(x)>", "0 \\)인 양수 \\( \\delta \\)가 존재한다.", "</p><p>\\((2)\\) \\( f(x) \\)가 \\( x=a \\)에서 연속이고, \\( f(a)<0 \\)이면 \\( a \\)의 근방에서 \\( f(x)<0 \\)이다.", "즉, \\( x \\in(a-\\delta \\),\\( a+\\delta) \\)이면 \\( f(x)<0 \\)인 양수 \\( \\delta \\)가 존재한다.", "</p><p>\\((3)\\) \\( x=a \\)에서 두 함수 \\( f(x), g(x) \\)가 모두 연속일 때 다음 함수는 모두 \\( x=a \\)에서 연속이다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x) \\pm g(x) \\)</li><li>\\( f(x) \\cdot g(x) \\)</li><li>\\( \\frac{f(x)}{g(x)}(g(a) \\neq 0) \\)</li></ol><p>\\((4)\\) 함수 \\( u=g(x) \\)가 \\( x=a \\)에서 연속이고 함수 \\( f(u) \\)가 \\( u=g(a) \\)에서 연속이면 합성함수\\( f(g(x)) \\)도 \\( x=a \\)에서 연속이다.", "</p><p>\\((5)\\) 연속함수의 합성함수는 또한 연속함수이다.", "</p><p>\\((6)\\) (중간값 정리)</p><p>함수 \\( y=f(x) \\)가 \\( [a, b] \\)에서 연속이라 하자. \\", "( k \\)가 \\( f(a) \\)와 \\( f(b) \\) 사이의 수라 하면 \\( f(c)=k \\)인 \\( c \\)가 \\( a, b \\) 사이에 적어도 하나 존재한다(단, \\( f(a) \\neq f(b)) \\).", "</p><p>\\(8\\). (일양연속)", "</p><p>어떤 구간 \\( I \\)에서 정의된 함수 \\( f(x) \\)가 다음 조건을 만족할 때 \\( f(x) \\)는 \\( I \\) 위에서 일양연속이라 한다.", "</p><p>조건: 임의의 \\( \\varepsilon>0 \\)에 대하여 적당한 \\( \\delta>0 \\)가 존재하여 \\( \\left|x_{1}-x_{2}\\right|<\\delta \\)일 때 \\( \\mid f\\left(x_{1}\\right)- \\) \\( f\\left(x_{2}\\right) \\mid<\\varepsilon \\)이다(단, \\( \\left.x_{1}, x_{2} \\in I\\right) \\).", "</p> <h3>주기함수</h3><p>독립변수 \\( x \\)의 값에 관계없이 \\( f(x+T)=f(x) \\)를 성립시키는 \\( T \\)가 존재할 때 이런 함수를 주기함수(periodic function)라 하고, \\( T \\) 를 주기(period)라 하며 최소의 양의 주기를 기본주기(fundamental period)라고 한다.", "가령, \\[y=\\sin x, y=\\cos (2 x+3), y=\\tan \\pi x\\]등은 주기함수이고, 이들의 기본주기는 각각 \\( 2 \\pi, \\pi, 1 \\)이 된다.", "</p><p>예제 \\(1\\) \\(~\\mathrm{X}=\\{x \\mid-1 \\leqq x \\leqq 1, x \\)는 정수 \\( \\}, Y=\\{y \\mid y \\)는 실수 \\( \\} \\)일 때, \\( X \\)에서 \\( Y \\)로의 함수 \\( f \\)를 \\( f(x)=x^{2} \\)으로 정의할 때 \\( f[X] \\)를 구하여라.", "</p><p>풀이 정의역 \\( X=\\{x \\mid-1 \\leqq x \\leqq 1, x \\)는 정수 \\( \\} \\)에서 \\( f(x)=x^{2} \\)인 정수는 \\( \\{0,1\\} \\)이다.", "즉, \\( f[X]=\\{0,1\\} \\)이다.", "</p><p>예제 \\(2\\) 다음 함수에서 각각 우함수, 기함수, 주기함수를 찾이라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=\\frac{x^{3}+3 x}{x^{4}-3 x^{2}+4} \\)</li><li>\\( f(x)=6 \\cos 7 x \\)</li><li>\\( f(x)=x^{2}-4 \\)</li><li>\\( f(x)=\\sqrt{1-x^{2}} \\)</li></ol><p>풀이 \\((1)\\) \\( f(-x)=\\frac{(-x)^{3}+3(-x)}{x^{4}-3 x^{2}+4}=\\frac{-x^{3}-3 x}{x^{4}-3 x^{2}+4}=-f(x) \\) 따라서 \\( f(x) \\)는 기함수이다.", "</p><p>\\((2)\\) \\( f(-x)=6 \\cos 7(-x)=6 \\cos 7 x=f(x) \\) 따라서 \\( f(x) \\)는 우함수이다.", "한편, \\[f(x+T)=6 \\cos 7(x+T)=6 \\cos (7 x+7 T)\\]이고 \\[f(x+T)=f(x)\\]인 기본주기 \\( T \\)값을 구하기 위해 \\[6 \\cos (7 x+7 T)=6 \\cos 7 x\\]을 풀면, \\( 7 T=2 \\pi \\)이어야 한다.", "그러므로 \\[T=\\frac{2}{7} \\pi .\\]", "따라서 \\( f(x) \\)는 기본주기 \\( T=\\frac{2}{7} \\pi \\)를 갖는 주기함수이기도 하다.", "</p><p>\\((3)\\) \\( f(-x)=(-x)^{2}-4=x^{2}-4=f(x) \\) 따라서 \\( f(x) \\)는 우함수이다.", "</p><p>\\((4)\\) \\( f(-x)=\\sqrt{1-(-x)^{2}}=\\sqrt{1-x^{2}}=f(x) \\) 따라서 \\( f(x) \\)는 우함수이다.", "</p><h3>함수의 연산</h3><p>두 함수 \\( f: X \\rightarrow Y \\)와 \\( g: X \\rightarrow Y \\)가 정의되었다고 하자.", "임의의 \\( x \\in X \\) 에 대하여 \\( f(x)=g(x) \\)일 때 두 함수 \\( f \\)와 \\( g \\)는 같다(equal)라고 말하고 \\( f=g \\)로 나타낸다.", "만약 \\( f \\neq g \\)이기 위해서는 적당한 \\( x \\in X \\)가 존재하여 \\( f(x) \\neq g(x) \\)가 되는 것이다.", "또한, 두 함수 \\( f \\)와 \\( g \\)를 더하여 새로운 함수 \\( f+g \\)를 만들 수 있다.", "즉, \\( f+g \\)의 함숫값은 임의의 \\( x \\in X \\)에 대하여 \\[(f+g)(x)=f(x)+g(x)\\]로 정의하면 된다.", "같은 방법으로 \\[\\begin{array}{l}(f-g)(x)=f(x)-g(x) \\\\(f \\times g)(x)=f(x) \\times g(x) \\\\(f \\div g)(x)=\\frac{f(x)}{g(x)}, \\quad g(x) \\neq 0\\end{array}\\]로 정의할 수 있다.", "이때 주의해야 할 사항은 두 함수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈에 의해 정의 되는 새로운 함수는 두 함수의 정의역이 같아야 정의될 수 있다.", "또 \\( f \\)가 함수이고 \\( k \\)가 실수일 때, 함수 \\( k f \\) \\[(k f)(x)=k f(x)\\]로 정의한다.", "역시 함수 \\( k f \\)의 정의구역은 \\( f \\)의 정의구역과 같다.", "</p><p>예제 \\(3\\) \\( f(x)=\\frac{x-3}{2}, g(x)=\\sqrt{x} \\)로 정의할 때, 다음을 구하여라", "(단, \\( x \\geqq 0 \\) ).", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f+g \\)</li><li>\\( f-g \\)</li><li>\\( f \\times g \\)</li><li>\\( f \\div g \\)</li></ol><p>풀이<ol type=1 start=1><li>\\( (f+g)(x)=f(x)+g(x)=\\frac{x-3}{2}+\\sqrt{x} \\)</li><li>\\( (f-g)(x)=f(x)-g(x)=\\frac{x-3}{2}-\\sqrt{x} \\)</li><li>\\( (f \\times g)(x)=f(x) \\times g(x)=\\frac{x-3}{2} \\times \\sqrt{x} \\)</li><li>\\( (f \\div g)(x)=f(x) \\div g(x)=\\frac{x-3}{2 \\sqrt{x}}(x \\neq 0) \\)</li></ol></p> <h3>합성함수</h3><p>두 함수 \\( f: X \\rightarrow Y \\)와 \\( g: W \\rightarrow Z \\)가 정의되고 \\( f[X] \\)는 \\( W \\)의 부분집합이라 하자.", "이때, 두 함수 \\( f \\)와 \\( g \\)에 의해 \\( X \\)에서 \\( Z \\)로 새로 정의된 함수 \\( g \\circ f \\)를 \\( f \\)와 \\( g \\)의 합성함수(composition function)라 하고 임의의 \\( x \\in X \\)에 대하여 \\[g \\circ f(x)=g(f(x))\\]로 정의한다.", "여기에서 \\( f \\)의 정의역은 \\( X \\)이고 \\( g \\)의 정의역은 \\( W \\)이지만 \\( g \\circ f \\)의 정의역은 \\( f \\)의 치역과 같다.", "</p><p>참고 만약 \\( f[X] \\)가 \\( W \\)의 부분집합이 될 수 없는 경우에는 \\( g \\circ f \\)가 정의되지 않는다.", "이때, \\( g \\circ f \\)의 정의역을 \\( g \\)의 정의역에 대옹되는 \\( x \\in X \\)값들만으로 제한하면 합성함수 \\( g \\circ f \\)를 정의할 수 있다.", "</p><p>예제 \\(4\\) 함수 \\( f \\)와 \\( g \\)가 다음과 같이 정의되었을 때 합성함수 \\( g \\circ f \\)와 \\( f \\circ g \\)를 구하고 각각의 정의역을 찾이라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=\\frac{1}{x}, g(x)=\\sin x \\)</li><li>\\( f(x)=x-3, g(x)=\\sqrt{x} \\)</li></ol><p>풀이 \\((1)\\) \\( f \\)의 치역은 \\(0\\)이외의 모든 실수의 집합이고 \\( g \\)의 정의역은 실수 전체의 집합이므로 \\( f \\)의 치역은 \\( g \\)의 정의역의 부분집합이므로 합성함수 \\( g \\circ f \\)를 정의할 수 있다.", "따라서 \\[ g \\circ f(x)=g(f(x))=g\\left(\\frac{1}{x}\\right)=\\sin \\frac{1}{x}\\]이고 \\( g \\circ f \\)의 정의역은 \\(0\\)을 제외한 모든 실수의 집합이다.", "한편, \\( g \\)의 치역은 \\( [-1,1] \\)이고 \\( f \\)의 정의역은 \\(0\\)을 제외한 모든 실수이므로 \\( g \\)의 치역은 \\( f \\)의 정의역의 부분집합이 될 수 없다.", "그러므로 합성함수 \\( f \\circ g \\) 를 정의할 수 없다.", "그런데 \\( \\sin x=0 \\)이 되는 \\( x \\)값들을 \\( g \\)의 정의역에서 제외하면 나머지 \\( x \\)값들에 대해 다음과 같이 정의된다. \\", "[f \\circ g(x)=f(g(x))=f(\\sin x)=\\frac{1}{\\sin x}\\] 그러므로 \\( f \\circ g \\)의 정의역은 \\( g \\)의 정의역에서 \\( x \\neq n \\pi(n=0, \\pm 1, \\pm 2, \\cdots) \\)인 \\( x \\)값들만이다.", "</p><p>\\((2)\\) \\( f \\)의 치역은 모든 실수의 집합이고 \\( g \\)의 정의역은 \\(0\\)을 포함한 양의 실수 전체의 집합이므로 \\( f \\)의 치역은 \\( g \\)의 정의역의 부분집합이 될 수 없다.", "따라서 합성함수 \\( g \\circ f \\)를 정의할 수 없다.", "그런데 \\( x-3 \\geqq 0 \\)인 \\( x \\)값들만 \\( f \\)의 정의역으로 정하면, 즉 \\( x \\geqq 3 \\)인 \\( x \\)값들에 대해 다음과 같이 정의된다. \\", "[g \\circ f(x)=g(f(x))=g(x-3)=\\sqrt{x-3}\\] 그러므로 \\( g \\circ f \\)의 정의역은 \\( x \\geqq 3 \\)인 실수 \\( x \\)의 집합이다.", "한편, \\( g \\)의 치역은 \\( x \\geqq 0 \\)인 실수 \\( x \\)이고 \\( f \\)의 정의역은 모든 실수이므로 \\( g \\)의 치역은 \\( f \\)의 정의역의 부분집합이다.", "그러므로 합성함수 \\( f \\circ g \\)를 정의할 수 있다.", "따라서 \\[f \\circ g(x)=f(g(x))=f(\\sqrt{x})=\\sqrt{x}-3 .\\] 그러므로 \\( f \\circ g \\)의 정의역은 \\( g \\)의 치역과 같다.", "</p><p>참고 위 예제에서 알 수 있듯이 일반적으로 다음과 같이 세 함수 \\( f, g, h \\)에 대하여 합성함수가 정의될 때, 합성함수는, 다음과 같은 성질을 가지고 있다.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f \\circ g \\neq g \\circ f \\)</li><li>\\( (f \\circ g) \\circ h=f \\circ(g \\circ h) \\)</li></ol><h3>연습문제 (1-1-1)</h3><p>\\(1\\). \\", "( \\phi(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}\\frac{1}{x}, & x \\geqq 3 \\\\ 2 x, & x<3\\end{array}\\right. \\)", "일 때 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\phi(2) \\)</li><li>\\( \\phi(-4) \\)</li><li>\\( \\phi(2.9) \\)</li></ol><p>\\(2\\).", "다음 주어진 함수의 정의역을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=\\frac{1}{x-3} \\)</li><li>\\( f(x)=\\sqrt{x^{2}-3} \\)</li><li>\\( g(x)=\\sqrt{(x+1)(x-2)} \\)</li><li>\\( g(x)=\\frac{(x-1)(x-3)}{x-3} \\)</li></ol><p>\\(3\\). \\", "( f(x)=x^{2}+1 \\)일 때 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(t) \\)</li><li>\\( f\\left(\\frac{1}{x}\\right) \\)</li><li>\\( f(\\sqrt{x}) \\)</li><li>\\( f(x+2) \\)</li><li>\\( f(f(x)) \\)</li><li>\\( f^{2}(x) \\)</li><li>\\( f\\left((x-1)^{2}\\right) \\)</li><li>\\( 3 f(5 x) \\)</li></ol><p>\\(4\\). \\", "( h(x)=2 x+5 \\)일 때 다음을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( h \\circ h \\)</li><li>\\( h^{2} \\)</li></ol><p>\\(5\\).", "다음 함수들 중 우함수와 기함수를 찾아보아라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=x^{2} \\)</li><li>\\( f(x)=x^{3} \\)</li><li>\\( \\frac{x^{3}-x}{1+x^{2}} \\)</li><li>\\( y=\\cos 3 x \\)</li><li>\\( y=\\sqrt{1-x^{2}} \\)</li></ol> <h1>1-1 함수의 개요</h1><h2>1. 함수의 정의</h2><p>특별한 공식없이 변량 사이의 관계 또는 함수를 논하기 위해 스위스 수학자 오일러는 함수 또는 관계를 나타내기위해 \\( f \\)라는 알파벳 문자를 독창적으로 고안해 내었다.", "즉. \\( y=f(x) \\)라 표현함으로써 \\( y \\)는 \\( x \\)의 함수라는 개념을 뜻하였다.", "즉. \\( y \\)는 \\( x \\)에 의존한다는 의미로 쓰이게 된 것이다.", "오일러와 라이프니츠 시대 이후 함수의 최초의 개념은 다음과 같이 더욱 더 정확하고 일반적인 수학적인 개념으로 발전되었다.", "여기서는 전반적인 함수의 개념과 종류.", "함수의 연산.", "그리고 합성함수에 대해 소개한다.", "</p><h3>함수</h3><p>두 집합 \\( X \\)와 \\( Y \\)에서 \\( X \\)의 임의의 원소 \\( x \\)가 \\( Y \\)의 단 하나의 원소 \\( y \\)에 대응되는 규칙 \\( f \\)를 \\( X \\)에서 \\( Y \\)로의 함수(function) 또는 사상(mapping)이라 하고 \\( f: X \\rightarrow Y \\) 로 나타낸다.", "이때, \\( X \\)를 함수 \\( f \\)의 정의역(domain), \\( Y \\)를 공변역(codomain)이라 하고 \\( f[X] \\)를 치역(range)이라 한다.", "또, 각 \\( x \\in X \\)에 대응하는 \\( Y \\)의 유일한 원소를 \\( f(x) \\)로 나타내고, 이 \\( f(x) \\)를 \\( x \\)에서의 함숫값 또는 \\( f \\)에 의한 \\( x \\)의 상(image)이라고 한다.", "일반적으로 치역은 공변역의 부분집합임을 알 수 있다.", "즉, \\[f[X]=\\{f(x) \\mid x \\in X\\} \\subset Y .\\]\\", "( w \\)가 \\( t \\)의 함수 \\( f \\)라 하면 \\[w=f(t)\\]라 표현할 수 있다.", "함수를 나타내는 기호로는 일반적으로 \\[f, g, h, \\cdots, \\phi, \\psi, \\varphi, \\cdots, F, G, H\\] 등이 자주 쓰인다.", "</p><p>보기① 자연수 전체의 집합 \\( N \\)에서 \\( N \\)으로의 대응규칙 \\( f(n) \\)을 다음과 같이 정의하면 어느 것이 함수가 되는가?", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(n) \\)은 \\( n \\)의 약수의 개수</li><li>\\( f(n) \\)은 \\( n \\)의 약수</li></ol><p>해<ol type=1 start=1><li>\\( f(10)=4, f(11)=2, f(12)=6 \\)등이 되어 함수가 된다.", "</li><li>\\( f(10)=1,2,5,10 \\)등 두 개 이상이 대옹이 되므로 함수가 아니다.", "</li></ol></p> <h3>역쌍곡선 함수</h3><p>일반적으로 역함수를 구하는 방법에 의해 쌍곡선함수의 역함수를 구하면 된다. \\", "( y=\\sinh x \\)의 역함수를 \\( y=\\sinh ^{-1} x \\)로 나타내고 이를 역쌍곡선 사인함수(inverse hyperbolic sine function), \\( y=\\cosh x \\)의 역함수를 \\( y=\\cosh ^{-1} x(x \\geqq 1) \\)로 나타내고 이를 역쌍곡선 코사인함수(inverse hyperbolic cosine function), 그리고 \\( y=\\tanh x \\)의 역함수를 \\( y=\\tanh ^{-1} x(\\mid x<1) \\)로 나타내고 이를 역쌍곡선 탄젠트함수(inverse hyperbolic tangent function) 등으로 부른다.", "이들 쌍곡선함수의 역함수를 역쌍곡선함수(inverse hyperbolic function)라 한다.", "쌍곡선함수는 모두가 전단사함수는 아니다.", "따라서 전단사가 아닐 경우에는 삼각함수에서처럼 정의역과 공변역을 적당히 제한하여 먼저 전단사조건을 충족시킨 후에 역함수를 구하면 된다.", "먼저, \\( y=\\sinh x \\)의 역함수를 구해보자.", "앞에서 언급했듯이 이 함수는 전단사함수이기 때문에 쉽게 구할 수 있다.", "다음 예제를 통해 구해보자.", "</p><p>예제 \\(3\\) \\( y=\\sinh x \\)의 역함수를 구하여라.", "</p><p>풀이 \\( y=\\sinh x \\)는 실수 위에서 전단사이므로 제약없이 역함수 구하는 순서에 의해 구하면 된다. 먼저, \\( y=\\sinh x=\\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \\)이므로 \\( x \\)에 관해 푼다. 즉, \\[e^{x}-e^{-x}=2 y\\]이므로 양변에 \\( e^{x} \\)를 곱하여 정리하면 \\[\\left(e^{x}\\right)^{2}-2 y\\left(e^{x}\\right)-1=0\\]이다. 따라서 \\( e^{x}=y \\pm \\sqrt{y^{2}+1} \\)이다. 그런데 \\( e^{x}>", "0 \\)이므로 \\[e^{x}=y+\\sqrt{y^{2}+1} .\\]", "</p><p>그러므로 \\( x \\)에 관해 정리하면 \\[x=\\log \\left(y+\\sqrt{y^{2}+1}\\right)\\]이다.", "이제 \\( x \\)와 \\( y \\)를 교환하면 \\[y=\\log \\left(x+\\sqrt{x^{2}+1}\\right)\\]가 \\( y=\\sinh x \\)의 역함수가 된다.", "즉, \\( y=\\sinh ^{-1} x=\\log \\left(x+\\sqrt{x^{2}+1}\\right) \\)이다.", "</p><p>참고 위와 같은 방법으로 하면 \\[y=\\cosh ^{-1} x=\\log \\left(x+\\sqrt{x^{2}-1}\\right)(x \\geqq 1)\\]이고 \\[ y=\\tanh ^{-1} x=\\frac{1}{2} \\log \\frac{1+x}{1-x}(|x|<1)\\]임을 알 수 있다.", "각자 해보도록 하자.", "</p><h3>연습문제 \\((1-1-3)\\)</h3><p>\\(1\\).", "다음 함수의 그래프를 그려라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\phi(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}x^{2}, & x>1 \\\\ 2, & x \\leqq 1\\end{array}\\right. \\)", "</li><li>\\( f(x)=\\frac{x}{|x|} \\)</li><li>\\( g(x)=\\sqrt{x^{2}+3 x} \\)</li><li>\\( h(x)=\\left|x^{2}-3 x+5\\right| \\)</li></ol><p>\\(2\\).", "다음 함수의 역함수를 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x)=x^{3}+2 \\)</li><li>\\( g(x)=\\sqrt{2 x-1}\\left(x \\geqq \\frac{1}{2}, y \\geqq 0\\right) \\)</li><li>\\( h(x)=\\sin \\left(2 x-\\frac{\\pi}{6}\\right)\\left(-\\frac{\\pi}{6} \\leqq x \\leqq \\frac{\\pi}{3},-1 \\leqq y \\leqq 1\\right) \\)</li></ol><p>\\(3\\).", "다음 역삼각함수들의 값을 구하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\sin ^{-1}\\left(-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right) \\)</li><li>\\( \\tan ^{-1}(-\\sqrt{3}) \\)</li><li>\\( \\cos ^{-1}(-1) \\)</li><li>\\( \\cot ^{-1}\\left(\\frac{1}{\\sqrt{3}}\\right) \\)</li></ol><p>\\( 4. \\) 다음 등식을 증명하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\tan ^{-1} x+\\cot ^{-1} x=\\frac{\\pi}{2} \\)</li><li>\\( \\sin ^{-1} \\sqrt{1-x^{2}}=\\cos ^{-1} x \\quad(0 \\leqq x \\leqq 1) \\)</li></ol>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "미분적분학_함수와 극한", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-ec67-4555-8890-d6031b0ff008", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961059435", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2015", "doc_author": [ "양정모" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<table border><caption></caption> <tbody><tr><td>\\( x \\)</td><td>\\( Y_ { 2 } \\)</td></tr><tr><td>-7</td><td>-5</td></tr><tr><td>-5</td><td>-4</td></tr><tr><td>-3</td><td>-3</td></tr><tr><td>-1</td><td>-2</td></tr><tr><td>1</td><td>-1</td></tr><tr><td>3</td><td>0</td></tr><tr><td>5</td><td>1</td></tr></tbody></table>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "414", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "미분적분을 위한 기초수학의 이해", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "772a8b07-3b0b1e15-b877-48d7-922a-02bbddd46d72", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9788961053846", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2011", "doc_author": [ "이건창", "안성수" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>4. 연구 결과</h1> <h2>4.1. 응답자의 일반적인 특성</h2> <p>가중치를 반영한 차수인 강도는 그 대상 직원 수 즉, 차수에 따라 차이가 있으므로 약한 조언 관계가 여러 번형성된 것과 강한 조언 관계가 적게 형성된 것의 합이 같게 보일 수 있으므로 잘못 해석하는 것을 방지하기 위하여, 정도의 합의 평균을 구해서 살펴보았다.", "직원들 간 조언 관계에 대해 상위 5명을 알아본 결과, 조언을 가장 많이 한 직원은 42, 35, 6, 44, 40번이고, 조언을 가장 많이 구한 직원은 36, 6, 11, 42, 26번 순이다.", "이러한 결과를 종합하면 6, 44번 직원이 다수의 직원과 여러 번 조언을 주고 받았는데, 이 두 직원은 미국 보스턴 지사의 관리 컨설턴트로 높은 직급의 남자 직원임을 알 수 있다.", "페이지 랭크(page rank)는 웹페이지의 중요도를 측정해 웹 키워드 검색 결과의 우선순위를 정하는 방법이다 (Kleinberg, 1999).", "들어오는 연결의 수와 해당 소스 노드의 중요도를 기반으로 한 아이디어로부터 출발하여 구글 검색에 쓰였던 알고리즘이다 (Brin과 Page, 1998).", "본 연구에서는 페이지 랭크가 크게 측정된 노드는 직장 네트워크에서 중요한 역할을 하고 있다고 해석할 수 있다.", "</p> <p>HITS(hypertext induced topic selection) 알고리즘을 사용하여 허브와 권위를 구할 수 있다.", "본 연구에서는 허브는 상대적으로 많은 연결을 내보내는 노드를 말하며 권위는 많은 연결을 받는 노드를 말한다.", "허브와 권위가 높게 측정된 노드가 이 네트워크에서 중요한 역할을 하고 있다고 해석할 수 있다.", "</p> <p>Table 4는 직장 네트워크에서 중심성이 높은 직원을 파악하기 위하여 관련 통계량을 구하고, 통계량이 높게 측정된 상위 5명의 직원에 관한 정보이다.", "각 통계량의 선정된 상위 직원은 다른 통계량에서도 상위 직원인 경우가 많았다.", "특히 20번, 24번, 26번 직원은 4개의 중심성 관련 통계량 중 3개의 통계량에서 상위권을 차지하며 높은 중심성을 보였다.", "중요한 시사점은 가장 높은 중심성을 보인 20번, 24번, 26번 직원들의 속성을 파악한 결과, 이 직원들은 비슷한 속성을 가지고 있으며 모두 미국 보스턴 지사에 관리 컨설턴트 혹은 파트너로 높은 직급에 위치한 남자 직원이라는 점이다.", "그러므로 직장 네트워크의 조언 관계에 있어 미국 보스턴 지사에 다니는 높은 직급에 위치한 남자 직원이 중요한 역할을 하고 있음을 알 수 있다.", "</p> <table border><caption>Table 4: Top 5 nodes according to network statistics</caption> <tbody><tr><td rowspan=2>Betweenness Centrality</td><td>node 20</td><td>node 38</td><td>node 8</td><td>node 34</td><td>node 2</td></tr><tr><td>297.63</td><td>166.76</td><td>131.99</td><td>110.94</td><td>97.01</td></tr><tr><td rowspan=2>Page Rank</td><td>node 20</td><td>node 2</td><td>node 8</td><td>node 24</td><td>node 26</td></tr><tr><td>0.01</td><td>0.04</td><td>0.03</td><td>0.03</td><td>0.03</td></tr><tr><td rowspan=2>Hub</td><td>node 26</td><td>node 24</td><td>node 19</td><td>node 20</td><td>node 6</td></tr><tr><td>1.00</td><td>0.90</td><td>0.89</td><td>0.87</td><td>0.84</td><tr><td rowspan=2>Authority</td><td>node 6</td><td>node 26</td><td>node 24</td><td>node 19</td><td>node 44</td></tr><tr><td>1.00</td><td>0.96</td><td>0.90</td><td>0.84</td><td>0.81</td></tr></tbody></table>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "413.05", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "직장 네트워크 데이터에 대한 통계적 ERGM 분석", "eng": "" }, "doc_type": "논문", "doc_id": "62374a30-d6ff7a99-0c0c-4127-b925-b0dfee4750f7", "doc_number": { "ISSN": "1225-066X", "ISBN": "", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2022", "doc_author": [ "박예진", "엄정민", "홍수빈", "한유진", "김재희" ], "doc_publisher": "한국통계학회", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<h1>\\(12-6\\) 수의 과학 표기</h1> <ul> <li>과학 표기란 유효숫자를 나타내거나, \\(10\\)진법으로 표시하기에 너무 크거나 작은 경우에 사용하는 표기법으로 \\( m \\times 10^{n} \\) 과 같이 나타낸다.", "단, \\( 1 \\leq|m|<10 \\) 이고 \\( n \\) 은 정수이며 유효 숫자는 \\( m \\) 에 표시한다.", "예를 들어 \\( 384,400,000 \\) 는 \\( 3.844 \\times 10^{8} \\) 로, \\( -0.00000000223 \\) 은 \\( -2.23 \\times 10^{-9} \\) 로 나타낸다.", "</li> <li>유효숫자는 오차의 범위를 정확하게 나타내기 위하여 사용하는데 측정값이나 계산 값 의 의미 있는 숫자를 의미한다.", "또한 유효숫자 의 마지막 숫자는 반올림/버림", "등으로 인한 불확실한 숫자를 뜻할 수 있다.", "</li></ul> <p>연습\\(12-6\\) 다음을 계산하여라.", "</p> <ol type= start=1><li>\\( \\left(3 \\times 10^{2}\\right)+\\left(2 \\times 10^{4}\\right) \\)</li> <li>\\( \\left(6 \\times 10^{3}\\right)-\\left(3 \\times 10^{5}\\right) \\)</li> <li>\\( \\left(3 \\times 10^{2}\\right) \\times\\left(2 \\times 10^{4}\\right) \\)</li> <li>\\( \\left(6 \\times 10^{3}\\right) \\div\\left(3 \\times 10^{5}\\right) \\)</li></ol> <h1>\\(12-7\\) 수의 공학 표기</h1> <ul> <li>공학 표기란 \\(1000\\) , 즉 \\( 10^{3} \\) 을 기준으로 단위가 달라지는 표현법으로 \\( m \\times 10^{n} \\) 과 같이 표 시하며 \\( n \\) 은 \\( \\pm 3 \\) 의 배수로만 한정하므로 \\( 1 \\leq|m|<1000 \\) 이 된다.", "예를 들어 23456 는 \\( 23.456 \\times 10^{3} \\) 이고 \\( 3456000 \\times 10^{-3} \\) 이다.", "</li> <li>국제도량형총회(CGPM)는 \\(10\\) 의 거듭제곱을 생략하기 위해 다음과 같은 일련의 접두어를 선정하였다.", "이 접두어의 집합을 SI 접두어 라고 한다.", "예를 들어 \\( 23456 \\mathrm{~m} \\) 는 \\( 23.456 \\times 10^{3} \\mathrm{~m} \\) 이고 \\( 10^{3} \\) 은 \\( \\mathrm{k} (\\mathrm{kilo}) \\) 이므로 \\( 23456 \\mathrm{~m} \\) 는 \\( 23.456 \\mathrm{~km} \\) 임을 알 수 있다.", "비슷하게 \\( 10^{-3} \\) 은 \\(\\mathrm{m} \\) (milli)이므로 \\( 23456 \\mathrm{m} \\) 는 \\( 23456000 \\mathrm{mm} \\) 이다.", "</li></ul> <table border><caption></caption> <tbody><tr><td>접두어 명칭</td><td>기호</td><td>\\(10^{n} \\)</td></tr><tr><td>테라(tera)</td><td>\\( \\mathrm{T} \\)</td><td>\\(10^{12} \\)</td></tr><tr><td>기가(giga)</td><td>\\(\\mathrm{G} \\)</td><td>\\(10^{9} \\)</td></tr><tr><td>메가(mega)</td><td>\\(\\mathrm{M} \\)</td><td>\\(10^{6} \\)</td></tr><tr><td>킬로(kilo)</td><td>\\(\\mathrm{k} \\)</td><td>\\(10^{3} \\)</td></tr><tr><td>밀리(milli)</td><td>\\(\\mathrm{m} \\)</td><td>\\(10^{-3} \\)</td></tr><tr><td>마이크로(micro)</td><td>\\(\\mu\\)</td><td>\\(10^{-6} \\)</td></tr><tr><td>나노(nano)</td><td>\\( \\mathrm{n} \\)</td><td>\\(10^{-9} \\)</td></tr><tr><td>피코 \\((\\mathrm{pico}) \\)</td><td>\\( \\mathrm{p} \\)</td><td>\\(10^{-12} \\)</td></tr></tbody></table> <p>연습 \\(12-7\\) 다음을 계산하여라.", "</p> <ol type= start=1><li>\\( \\left(3 \\times 10^{6}\\right) \\times\\left(1.8 \\times 10^{3}\\right) \\)</li> <li>\\( \\left(4.8 \\times 10^{-3}\\right) \\div\\left(1.2 \\times 10^{3}\\right) \\)</li></ol>" ]

{ "doc_category": { "KDC": "411", "DDC": "" }, "doc_title": { "kor": "대학기초수학_지수와 지수함수", "eng": "" }, "doc_type": "도서", "doc_id": "55e4099e-b249-41bc-9574-bbb2ed2a09ba", "doc_number": { "ISSN": "", "ISBN": "9791160730524", "DOI": "", "UCI": "" }, "doc_year": "2017", "doc_author": [ "전춘배" ], "doc_publisher": "경문사", "dataset_info": { "identifier": "02-031-001-NL", "name": "기술과학 문서 기계독해 데이터", "category": "자연어", "last_updated": "2023-05-10" } }

[ "<p>정의 \\( 7.2 \\) 평면의 점 \\( \\left(x_{0}, y_{0}\\right) \\) 의 \\( \\delta \\)-근방( \\( \\delta \\)-neighborhood)은 열린 원판(open disk) \\( \\left\\{(x, y) \\mid\\left(x-x_{0}\\right)^{2}+\\left(y-y_{0}\\right)^{2}<\\delta^{2}\\right\\} \\) 또는 열린 정사각형 \\( \\{(x, y) \\mid \\) \\( \\left.\\", "left|x-x_{0}\\right|<\\delta,\\left|y-y_{0}\\right|<\\delta\\right\\} \\) 를 뜻하며 \\( N_{\\delta}\\left(x_{0}, y_{0}\\right) \\) 로 나타낸다. 이 때 \\( \\delta>", "0 \\) 를 반지름(radius), 점 \\( \\left(x_{0}, y_{0}\\right) \\) 를 중심(center)이라 한다. \\", "( \\delta \\)-근방 \\( N_{\\delta}\\left(x_{0}, y_{0}\\right) \\) 에서 중심 \\( \\left(x_{0}, y_{0}\\right) \\) 를 제외한 집합을 \\( \\left(x_{0}, y_{0}\\right) \\)의 제거된 \\( \\delta \\)-근방(deleted \\( \\delta \\)-neighborhood)이라 하고 \\( \\overline{N}_{\\delta}\\left(x_{0}, y_{0}\\right) \\) 로 나타낸다.", "반지름 \\( \\delta \\) 를 생략하여도 의미상 혼란이 없는 때는 단순히 근방(neighborhood), 제거된 근방(deleted neighborhood)으로 말한다.", "</p><p>정의 \\( 7.3 \\) \\( S \\) 가 평면의 부분집합이고 \\( \\left(x_{0}, y_{0}\\right) \\) 가 평면의 점일 때 \\( \\left(x_{0}, y_{0}\\right) \\) 의 임의의 제거된 근방이 \\( S \\) 의 점을 포함하면, \\( \\left(x_{0}, y_{0}\\right) \\) 를 \\( S \\) 의 집적점 (accumulation point 또는 limit point)이라 한다. \\", "( S \\) 의 모든 집적점의 집합을 \\( S^{\\prime} \\) 으로 나타낸다.", "그러면 집적점의 정의를 다음과 같이 쓸 수 있다. \\", "( \\left(x_{0}, y_{0}\\right) \\in S^{\\prime} \\Leftrightarrow \\) 모든 \\( \\delta>0 \\) 에 대하여, \\( \\bar{N}_{\\hat{\\delta}}\\left(x_{0}, y_{0}\\right) \\bigcap S \\neq \\varnothing \\)</p><p>예제 \\( 1.2 \\)</p><p>열린 원판 \\( S=N_{1}(0,0)=\\left\\{(x, y) \\mid x^{2}+y^{2}<1\\right\\} \\) 의 집적점을 모두 찾아보라.", "</p><p>풀이</p><p>그림 \\( 7-3 \\)을 보면 원의 내부에 있는 점과 원 위에 있는 점들이 \\( S \\) 의 집적점임을 알 수 있다.", "따라서 \\( S^{\\prime}=\\left\\{(x, y) \\mid x^{2}+y^{2} \\leq 1\\right\\} \\) 이다.", "즉, 열린 원판의 모든 집적점의 집합은 닫힌 원판(closed disk)이다.", "</p> <p>제\\( 7 \\)장에서는 두 개 이상의 실수를 변수로 가지는 실함수의 극한과 연속성, 편미분을 다룬다.", "제\\( 3 \\)장과 제\\( 4 \\)장에서 다룬 일변수 함수의 극한과 연속성, 미분의 개념을 확장한다.", "</p><h1>7.1 다변수함수</h1><p>이 절에서는 먼저 다변수함수를 정의하고, 이 장에서 주로 다루게 될 이변수함수의 정의역이 되는 평면의 성질을 살펴보기로 한다.", "</p><p>정의 \\( 7.1 \\) 정의역(domain)이 \\( n \\) 차원 공간 \\( \\mathbb{R}^{n} \\) 의 부분집합 \\( D \\) 이고 공변역 (codomain)이 실수의 집합 \\( \\mathbb{R} \\) 인 함수 \\( f \\) 를 \\( n \\) 변수함수(function of \\( n \\) variables)라 하고, \\( f: D \\rightarrow \\mathbb{R} \\) 로 적는다.", "점 \\( \\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\in D \\) 에 대응하는 상(image)이 \\( z \\in \\mathbb{R} \\) 일 때 실수 \\( x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n} \\) 을 독립변수(independent variables), 또는 변수 (variables)라 부르고 \\( z \\) 를 종속변수(dependent variable), 또는 함수값(value)라 하고 다음과 같이 나타낸다. \\", "( z=f\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\) 이 때 \\( n \\) 변수합수 \\( f \\) 의 치역(range)은 다음 집합이다. \\", "( f(D)=\\left\\{f\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\mid\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right) \\in D\\right\\} \\) \\( n=2 \\) 일 때 \\( f \\) 를 이변수함수(function of two variables)라 한다.", "이변수함수의 정의역은 평면 \\( \\left(\\mathbb{R}^{2}\\right) \\) 의 부분집합이고 \\( z=f\\left(x_{1}, x_{2}\\right) \\) 또는 \\( z=f(x, y) \\) 등으로 나타낸다.", "같은 방법으로 \\( 3 \\)차원공간 \\( \\left(\\mathbb{R}^{3}\\right) \\) 위에서 삼변수함수(function of three variables) \\( w= \\) \\( f(x, y, z) \\) 도 정의할 수 있다.", "</p><p>변수가 하나인 일변수함수(function of single variable)와 구별하기 위해서 변수가 두 개 이상 \\( (n \\geq 2) \\) 인 \\( n \\) 변수함수를 통틀어 다변수함수(function of several variables)라 부르기도 한다.", "</p><p>\\( n \\) 변수함수의 정의역을 명시하지 않을 때는 정의역이 \\( \\mathbb{R}^{n} \\) 공간 전체이거나, 가능한 가장 큰 부분집합으로 생각하기로 한다.", "함수 \\( f \\) 의 정의역을 필요한 때에는 \\( D_{f} \\) 로 쓰기로 한다.", "</p><p>예제 \\( 1.1 \\)</p><p>다음은 이변수함수와 삼변수함수의 예이다.", "각 함수의 정의역과 치역을 말해보라.", "</p><p>\\( f(x, y)=x^{2}+y^{2}, g(x, y, z)=x y z, h(x, y)=\\sqrt{4-x^{2}-y^{2}} \\)</p><p>풀이</p><p>\\( f \\) 의 정의역은 \\( D_{f}=\\mathbb{R}^{2} \\) 이고 치역 \\( f\\left(D_{f}\\right)=\\{z \\in \\mathbb{R} \\mid z \\geq 0\\} \\) 이다. \\", "( g \\) 의 정의역은 \\( \\mathbb{R}^{3} \\) 이고 치역은 \\( \\mathbb{R} \\) 이다.", "</p><p>\\( h \\) 의 정의역은 \\( \\left\\{(x, y) \\mid x^{2}+y^{2} \\leq 4\\right\\} \\), 즉, \\( x y \\)-평면 위의 중심이 원점이고 반지름이 \\( 2 \\) 인 원과 그 내부이다. \\", "( h \\) 의 치역은 \\( \\{z \\in \\mathbb{R} \\mid 0 \\leq z \\leq 2\\} \\) 이고 \\( z=h(x, y) \\) 를 만족하는 점 \\( (x, y, z) \\in \\mathbb{R}^{3} \\) 의 집합, 즉, 함수 \\( h \\) 의 그래프는 정의역 위에 나타나는 반구면이다.", "</p><p>이 장에서 공부하려는 여러 주제들은 대부분 이변수함수에 대하여 논하면 변수의 수가 둘 이상인 함수에 대하서도 쉽게 확장이 가능하므로 앞으로 특별한 사정이 없는 한 이변수함수만을 고려하기로 한다.", "</p><p>이변수함수를 논의하기 위해서는 이변수함수의 정의역인 평면집합의 위상적 성질을 조금 알 필요가 있다.", "</p> <p>정의 \\( 7.4 \\) 평면의 부분 집합이 집적점을 모두 포함할 때 닫힌 집합closed set)이라 한다.", "전 평면에 대한 여집합이 닫힌 집합인 집합을 열린 집합(open set)이라 한다.", "</p><p>평면의 유한 부분집합은 집적점이 없으므로 닫힌 집합이다.", "평면 전체는 닫힌 집합이다.", "열린 원판은 열린 집합이고 닫힌 원판은 닫힌 집합이다.", "</p><p>정의 \\( 7.5 \\) 점 \\( P\\left(x_{0}, y_{0}\\right) \\) 가 평면의 점이고, 집합 집합 \\( S \\) 가 평면의 부분집합일 때<ol type=1 start=1><li>\\( S \\) 에 포함되는 \\( P \\) 의 근방이 존재하면, \\( P \\) 를 \\( S \\) 의 내점(interior point)이라 한다. \\", "( S \\) 의 모든 내점의 집합을 \\( S \\) 의 내부(interior)라 한다.", "</li><li>\\( S \\) 와 만나지 않는 \\( P \\) 의 근방이 존재하면, \\( P \\) 를 \\( S \\) 의 외점(exterior point)이라 한다. \\", "( S \\) 의 모든 외점의 집합을 \\( S \\) 의 외부(exterior)라 한다.", "</li><li>\\( P \\) 의 모든 근방이 \\( S \\) 에 속하는 점과 \\( S \\) 에 속하지 않는 점을 동시에 포함하면, \\( P \\) 를 \\( S \\) 의 경계점(boundary point)이라 한다. \\", "( S \\) 의 모든 경계점의 집합을 \\( S \\) 의 경계(boundary)라 한다.", "</li></ol></p><p>예제 \\( 1.3 \\)</p><p>열린 원판 \\( S=\\left\\{(x, y) \\mid x^{2}+y^{2}<1\\right\\} \\) 의 내부와 외부, 경계를 구하라.", "</p><p>풀이</p><p>\\( S \\) 의 내부 \\( =\\left\\{(x, y) \\mid x^{2}+y^{2}<1\\right\\}=S \\), \\( S \\) 의 외부 \\( =\\left\\{(x, y) \\mid x^{2}+y^{2}>1\\right\\} \\), \\( S \\) 의 경계 \\( =\\left\\{(x, y) \\mid x^{2}+y^{2}=1\\right\\} \\).", "</p> <h1>7.4 편미분의 응용</h1><p>이 절에서는 편미분을 이용하여 이변수함수의 최대값과 최소값을 구하는 방법을 알아보자.", "먼저 이변수함수의 평균치 정리를 증명한다.", "</p><p>정리 \\( 7.16 \\) 이변수함수의 평균값 정리(Mean value Theorem) 이변수함수 \\( f(x, y) \\) 가 닫힌 영역 \\( R \\) 에서 연속이고 \\( R \\) 의 내부(즉, 경계선을 제외하고)에서 \\( 1 \\)계 편도함수를 가질 때 다음을 만족하는 \\( \\theta(0<\\theta<1) \\) 가 존재한다. \\", "( f\\left(x_{0}+h, y_{0}+k\\right)-f\\left(x_{0}, y_{0}\\right)=h f_{x}\\left(x_{0}+\\theta h, y_{0}+\\theta k\\right)+k f_{y}\\left(x_{0}+\\theta h, y_{0}+\\theta k\\right) \\) 여기서 두 점 \\( \\left(x_{0}, y_{0}\\right) \\) 와 \\( \\left(x_{0}+h, y_{0}+k\\right) \\) 는 영역 \\( R \\) 에 속하고 두 점을 잇는 선분은 \\( R \\) 의 내부에 속한다.", "</p><p>증명</p><p>\\( t \\) 가 구간 \\( [0,1] \\) 의 점일 때 \\( F(t)=f\\left(x_{0}+h t, y_{0}+k t\\right) \\) 로 두면, 일변수함수의 평균값 정리(정리 \\( 4.11 \\))에 의하여 다음을 만족하는 \\( \\theta \\) 가 존재한다.", "</p><p>\\( F(1)-F(0)=F^{\\prime}(\\theta), 0<\\theta<1 \\)<caption>(1)</caption></p><p>여기서 \\( x=x_{0}+h t, y=y_{0}+k t \\) 로 두면, \\( F(t)=f(x, y) \\) 이다.", "연쇄율에 의하여 \\( F^{\\prime}(t) \\) 는 다음과 같다.", "</p><p>\\( F^{\\prime}(t)=\\frac{\\partial f}{\\partial x} \\frac{\\partial x}{\\partial t}+\\frac{\\partial f}{\\partial y} \\frac{\\partial y}{\\partial t}=h f_{x}+k f_{y} \\)</p><p>따라서 \\( t=\\theta \\) 이면 \\( F^{\\prime}(\\theta) \\) 는 다음과 같다.", "</p><p>\\( F^{\\prime}(\\theta)=h f_{x}\\left(x_{0}+\\theta h, y_{0}+\\theta k\\right)+k f_{y}\\left(x_{0}+\\theta h, y_{0}+\\theta k\\right) . \\)", "</p><p>그러므로 \\( 0<\\theta<1 \\) 인 \\( \\theta \\) 에 대하여 식 \\( (1) \\)을 다시 쓰면 다음을 얻는다.", "</p><p>\\( f\\left(x_{0}+h, y_{0}+k\\right)-f\\left(x_{0}, y_{0}\\right)=h f_{x}\\left(x_{0}+\\theta h, y_{0}+\\theta k\\right)+k f_{y}\\left(x_{0}+\\theta h, y_{0}+\\theta k\\right) \\)</p> <p>정의 \\( 7.6 \\) 평면의 부분집합 \\( R \\) 이 한 덩어리로 연결되어 있고 내점을 가질 때 \\( R \\) 을 영역(region)이라 한다.", "영역이 경계점을 모두 포함하면 닫힌 영역(closed region)이라 하고 내점만으로 구성된 영역을 열린 영역 (open region)이라 한다.", "</p><p>열린 영역은 열린 집합이고, 닫힌 영역은 닫힌 집합임을 정의로부터 쉽게 알 수 있다.", "</p><h1>연습문제\\( 7.1 \\)</h1><p>\\( 1. \\) 다음 함수의 정의역을 말하라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x, y)=\\sqrt{x}+\\sqrt{y} \\)</li><li>\\( f(x, y, z)=\\ln \\left\\{\\left(9-x^{2}-y^{2}\\right)\\left(x^{2}+y^{2}-4\\right)\\right\\} \\)</li><li>\\( f(x, y, z)=\\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}} \\)</li><li>\\( f(x, y)=\\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \\)</li></ol><p>\\( 2. \\) 다음 집합의 집적점, 내부, 외부, 경계를 구하고 열린 집합인지 닫힌 집합인지 결정하여라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( S=\\{(x, y)|| x|+| y \\mid \\leq 1\\} \\)</li><li>\\( S=\\left\\{(x, y) \\mid 4<x^{2}+y^{2}<9\\right\\} \\)</li></ol><h2>연습문제 풀이 및 해답</h2><p>\\( 1 . \\)</p><ol type=1 start=1><li>\\( \\{(x, y) \\mid x \\geq 0, y \\geq 0\\} \\)</li><li>\\( \\left\\{(x, y) \\mid 4<x^{2}+y^{2}<9\\right\\} \\)</li><li>\\( \\left\\{(x, y, z) \\mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \\leq 1\\right\\} \\)</li><li>\\( \\mathbb{R}^{2} \\backslash\\{(0,0)\\} \\)</li></ol><p>\\( 2. \\)<ol type=1 start=1><li>\\( S^{\\prime}=S, S \\) 의 내부 \\( =\\{(x, y)|| x|+| y \\mid<1\\} \\) \\( S \\) 의 외부 \\( =\\{(x, y)|| x|+| y \\mid>1\\} \\), \\( S \\) 의 경계 \\( =\\{(x, y)|| x|+| y \\mid=1\\}, S \\) 는 닫힌 집합</li><li>\\( S^{\\prime}=\\left\\{(x, y) \\mid 4 \\leq x^{2}+y^{2} \\leq 9\\right\\}, S \\) 의 네부 \\( =S \\), \\( S \\) 의 외부 \\( =\\left\\{(x, y) \\mid x^{2}+y^{2}<4\\right. \\) 또는 \\( \\left.x^{2}+y^{2}>", "9\\right\\} \\), \\( S \\) 의 겅계 \\( =\\left\\{(x, y) \\mid x^{2}+y^{2}=4\\right. \\)", "또는 \\( \\left.x^{2}+y^{2}=9\\right\\}, S \\) 는 열린 집합</li></ol> <h1>연습문제 \\( 7.3 \\)</h1><p>\\( 1. \\) 다음 함수의 편도함수와 \\( 2 \\) 계 편도함수를 구하라.", "</p><ol type=1 start=1><li>\\( f(x, y)=4 x^{3}-6 x^{2} y^{3}+y^{5} \\)</li><li>\\( f(x, y)=\\tan ^{-1} \\frac{x}{y^{2}} \\quad(y \\neq 0) \\)</li><li>\\( f(x, y)=e^{-x} \\cos (x y) \\)</li></ol><p>\\( 2. \\) 예제 \\( 3.7 \\) 에서 \\( u_{y} \\) 와 \\( v_{y} \\) 를 구하라.", "</p><p>\\( 3. \\) 다음 함수에 대하여 \\( \\frac{\\partial F}{\\partial r}, \\frac{\\partial F}{\\partial \\theta} \\) 를 구하여라.", "</p><p>\\( F(x, y)=x^{3}-x y+y^{3}, \\quad x=r \\cos \\theta, \\quad y=r \\sin \\theta \\)</p><p>\\( 4. \\) 다음 함수에 대하여 \\( \\left.\\frac{\\partial F}{\\partial t}\\right|_{t=0} \\)", "를 구하여라.", "</p><p>\\( F(x, y)=2 x^{2}-y z+x z^{2}, \\quad x=2 \\sin t, \\quad y=t^{2}-t+1, \\quad z=3 e^{-t} \\)</p><h2>연습문제 풀이 및 해답</h2><p>\\( 1. \\)</p><ol type=1 start=1><li>\\( f_{x}=12 x^{2}-12 x y^{3}, f_{y}=-18 x^{2} y^{2}+5 y^{4}, f_{x x}=24 x-36 y^{2} \\), \\( f_{x y}=-36 x y^{2}=f_{y x}, f_{y y}=-36 x^{2} y+20 y^{3} \\)</li><li>\\( f_{x}=\\frac{1}{y^{2}} \\frac{1}{1+\\left(\\frac{x}{y^{2}}\\right)^{2}}=\\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{4}}, \\quad f_{y}=\\frac{-2 x y}{x^{2}+y^{4}} \\), \\( f_{x y}=\\frac{2 x^{2} y-2 y^{5}}{\\left(x^{2}+y^{4}\\right)^{2}}, \\quad f_{y x}=\\frac{2 x^{2} y-2 y^{5}}{\\left(x^{2}+y^{4}\\right)^{2}} \\)</li><li>\\( f_{x}=-e^{-x} \\cos x y-x e^{-x} \\sin x y \\)</li></ol><p>\\( 2. \\) \\( \\quad u_{y}=\\frac{v}{2\\left(u^{2}+v^{2}\\right)}, \\quad v_{y}=\\frac{u}{2\\left(u^{2}+v^{2}\\right)} \\)</p><p>\\( 3. \\) \\( \\quad \\frac{\\partial F}{\\partial r}=3 y^{2}\\left(\\cos ^{3} \\theta+\\sin ^{3} \\theta\\right)-2 r \\sin \\theta \\cos \\theta \\), \\( \\frac{\\partial F}{\\partial \\theta}=3 r^{3} \\sin \\theta \\cos \\theta(\\sin \\theta-\\cos \\theta)+r^{2}\\left(\\sin ^{2} \\theta-\\cos ^{2} \\theta\\right) \\)</p><p>\\( 4. \\) \\( \\left.\\quad \\frac{\\partial F}{\\partial t}\\right|_{t=0}=24 \\)", "</p>" ]

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