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10k
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|---|---|---|
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 111 | nd then use the Euler sum in (3.45), the case
\[
n = 2;\}
\]
\[
\left\{ \right. \text{consider}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + j + 1}\right) } = \frac{{H}_{j}}{j} - \frac{1}{j + 1}\text{, and use (4.21), with}m = 1
\]
\[
\text{and}m = 2
\]
\[
= - \frac{1}{j}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{j}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}} + \zeta \left( 2\right) \frac{{H}_{j}}{j} - \frac{{H}_{j}^{2}}{2{j}^{2}} - \frac{{H}_{j}^{\left( 2\right) }}{2{j}^{2}} + \frac{{2\zeta }\left( 3\right) }{j} - \frac{1}{j + 1} - \frac{\zeta \left( 2\right) }{{j}^{2}} + \frac{{H}_{j}}{{j}^{3}}.
\]
(6.62)
Returning with the result from (6.62) in (6.61), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) } = \frac{{H}_{n}}{n} - \frac{1}{n + 1}
\]
\[
+ \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}\left( {-\frac{1}{j}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{j}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}} + \zeta \left( 2\right) \frac{{H}_{j}}{j} - \frac{{H}_{j}^{2}}{2{j}^{2}} - \frac{{H}_{j}^{\left( 2\right) }}{2{j}^{2}} + \frac{{2\zeta }\left( 3\right) }{j} - \frac{1}{j + 1} - \frac{\zeta \left( 2\right) }{{j}^{2}} + \frac{{H}_{j}}{{j}^{3}}}\right)
\]
\[
= - \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}\frac{1}{j}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{j}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}} + \frac{\zeta \left( 2\right) }{n}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}\frac{{H}_{j}}{j} - \frac{1}{2n}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}\frac{{H}_{j}^{2}}{{j}^{2}} - \frac{1}{2n}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}\frac{{H}_{j}^{\left( 2\right) }}{{j}^{2}} + \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}\frac{{H}_{j}}{{j}^{3}}
\]
\[
+ {2\zeta }\left( 3\right) \frac{{H}_{n}}{n} - \zeta \left( 2\right) \frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{n}
\]
(6.63)
Now, the double sum from (6.63) is calculated in (6.60), which if we combine with the identity in (4.14), the cases \( p = 1 \) and \( p = 2 \), we conclude that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) }
\]
\[
= {2\zeta }\left( 3\right) \frac{{H}_{n}}{n} + \frac{\zeta \left( 2\right) }{2}\frac{{H}_{n}^{2}}{n} - \frac{\zeta \left( 2\right) }{2}\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{n} - \frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{4n} - \frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{4n} - \frac{{H}_{n}}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}} + \frac{1}{2n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{2}},
\]
and the solution is complete.
Again, as in the previous section, we can also exploit the present result for establishing other relations between series of various weights.
## 6.20 Cool Identities with Ingredients Like the Generalized Harmonic Numbers and the Binomial Coefficient
Solution Based upon the applications of The Master Theorem of Series from the previous sections, and not only on them, we are now able to establish some very useful results. For example, the second identity may help us to calculate the cubic harmonic series, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( \frac{{H}_{n}}{n}\right) }^{3} \), or to establish other key identities with harmonic series (we'll meet in the next sections) we need in the derivation of the harmonic series. Also, if speaking about the third and fourth results, again, they allow us to get some key identities in the derivation of the harmonic series of weight 7 .
In short, we want to know how to derive them since they are of great help in the derivation process of the harmonic series.
The identity from the point \( i \) ) is straightforward if we combine the identities from (4.17) and (4.16), the case \( m = 2 \), that gives
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{{H}_{k}^{2} - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}{n - k} = {H}_{n}^{3} - 3{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{n}^{\left( 3\right) },
\]
and the point \( i \) ) of the problem is finalized.
Alternatively, based on the use of the elementary symmetric polynomials (see [60]), \( {\sigma }_{k}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\ldots ,{x}_{n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{1 \leq {i}_{1} < {i}_{2} < \ldots < {i}_{k} \leq n}}{x}_{{i}_{1}}{x}_{{i}_{2}}\ldots {x}_{{i}_{k}} \), one may notice that the
given identity is \( \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{2{\sigma }_{2}\left( {1,1/2,\ldots ,1/k}\right) }{n - k} = 6{\sigma }_{3}\left( {1,\frac{1}{2},\ldots ,\frac{1}{n}}\right) \), which we can
prove using the results in (6.23) with the cases \( k = 2,3 \), that is \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n}\left( {{H}_{n}^{2} - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) = \)
\( \frac{{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) }{1 - x} \) and \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n}\left( {{H}_{n}^{3} - 3{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{n}^{\left( 3\right) }}\right) = - \frac{{\log }^{3}\left( {1 - x}\right) }{1 - x} \), where I
expressed the elementary symmetric polynomials \( {\sigma }_{k}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\ldots ,{x}_{n}}\right) \) in terms of power sums (see also the suggestion for alternative solutions to the end of the solutions to Sect. 4.10). At this point, if we write \( - \frac{{\log }^{3}\left( {1 - x}\right) }{1 - x} = - \log (1 - \) \( x) \cdot \frac{{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) }{1 - x} \) and apply the Cauchy product of two series (see [25, Chapter III, pp. 197-199]), using the generating functions above, and then identifying the coefficients from both sides, we immediately obtain the desired result.
The curious reader might want to use the strategy idea described above and try to easily generalize the result in terms of the elementary symmetric polynomials.
For the point \( {ii} \) ) of the problem, we combine the identities from (4.22) and (4.21), the case \( m = 2 \), that yields
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2} - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) } = \frac{{H}_{n}^{3} + 3{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{3n},
\]
which is an identity that also appears in my article in [45] where plays a key part.
Now, to get the second equality, we recall the result in (1.6), and we write that
\[
\frac{{H}_{n}^{3} + 3{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{3n} = - \frac{1}{3}{\int }_{0}^{1}{x}^{n - 1}{\log }^{3}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x
\]
\[
\overset{1 - x = y}{ = } - \frac{1}{3}{\int }_{0}^{1}{\left( 1 - y\right) }^{n - 1}{\log }^{3}\left( y\right) \mathrm{d}y = - \frac{1}{3}{\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}\left( \begin{matrix} n - 1 \\ k \end{matrix}\right) {\left( -1\right) }^{k}{y}^{k}{\log }^{3}\left( y\right) \mathrm{d}y
\]
\[
= \frac{1}{3}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}{\left( -1\right) }^{k - 1}\left( \begin{matrix} n - 1 \\ k \end{matrix}\right) {\int }_{0}^{1}{y}^{k}{\log }^{3}\left( y\right) \mathrm{d}y = 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}\frac{{\left( -1\right) }^{k}}{{\left( k + 1\right) }^{4}}\left( \begin{matrix} n - 1 \\ k \end{matrix}\right)
\]
\( \{ \) reindex the sum and start from \( k = 1 \) to \( k = n\} \)
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{\left( -1\right) }^{k - 1}}{{k}^{4}}\left( \begin{array}{l} n - 1 \\ k - 1 \end{array}\right)
\]
and the point \( {ii} \) ) of the problem is finalized.
Then, for the point iii) of the problem, we combine the identities from (4.23),(4.24), and (4.21), the case \( m = 3 \), that immediately gives
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3} - 3{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) } = \frac{{H}_{n}^{4} + 6{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) } + 8{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) } + 3{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2} + 6{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{4n}.
\]
Further, to get the second equality, we recall the result in (1.7), and we write
\[
\frac{{H}_{n}^{4} + 6{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) } + 8{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) } + 3\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) {}^{2} + 6{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{4n} = \frac{1}{4}{\int }_{0}^{1}{x}^{n - 1}{\log }^{4}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x
\]
\[
\overset{1 - x = y}{ = }\frac{1}{4}{\int }_{0}^{1}{\left( 1 - y\right) }^{n - 1}{\log }^{4}\left( y\right) \mathrm{d}y = \frac{1}{4}{\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}\left( \begin{matrix} n - 1 \\ k \end{matrix}\right) {\left( -1\right) }^{k}{y}^{k}{\log }^{4}\left( y\right) \mathrm{d}y
\]
\[
= \frac{1}{4}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}{\left( -1\right) }^{k}\left( \begin{matrix} n - 1 \\ k \end{matrix}\right) {\int }_{0}^{1}{y}^{k}{\log }^{4}\left( y\right) \mathrm{d}y = 6\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}\frac{{\left( -1\right) }^{k}}{{\left( k + 1\right) }^{5}}\left( \begin{matrix} n - 1 \\ k \end{matrix}\right)
\]
\( \{ \) reindex the sum and start from \( k = 1 \) to \( k = n\} \)
\[
= 6\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{\left( -1\right) }^{k - 1}}{{k}^{5}}\left( \begin{array}{l} n - 1 \\ k - 1 \end{array}\right)
\]
and the point iii) of the problem is finalized.
The use of the logarithmic integrals from Sect. 1.3 for the second equalities from
the second and third points assures a fast, elegant solution.
For the point \( {iv} \) ) of the problem, we want to generalize the results obtained with The Master Theorem of Series, and we may choose a powerful approach involving the symmetric polynomials which also easily allows us to make generalizations. So, more generally, the results from the points \( {ii} \) ), iii), and \( {iv} \) ) may be viewed as special cases of the generalization,
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\sigma }_{m}\left( {1,1/2,\ldots ,1/k}\right) }{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) } = \frac{1}{n}{h}_{m + 1}\left( {1,\frac{1}{2},\ldots ,\frac{1}{n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1 |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 112 | \( k = n\} \)
\[
= 6\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{\left( -1\right) }^{k - 1}}{{k}^{5}}\left( \begin{array}{l} n - 1 \\ k - 1 \end{array}\right)
\]
and the point iii) of the problem is finalized.
The use of the logarithmic integrals from Sect. 1.3 for the second equalities from
the second and third points assures a fast, elegant solution.
For the point \( {iv} \) ) of the problem, we want to generalize the results obtained with The Master Theorem of Series, and we may choose a powerful approach involving the symmetric polynomials which also easily allows us to make generalizations. So, more generally, the results from the points \( {ii} \) ), iii), and \( {iv} \) ) may be viewed as special cases of the generalization,
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\sigma }_{m}\left( {1,1/2,\ldots ,1/k}\right) }{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) } = \frac{1}{n}{h}_{m + 1}\left( {1,\frac{1}{2},\ldots ,\frac{1}{n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{\left( -1\right) }^{k - 1}}{{k}^{m + 2}}\left( \begin{array}{l} n - 1 \\ k - 1 \end{array}\right) ,
\]
(6.64)
where \( {\sigma }_{k}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\ldots ,{x}_{n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{1 \leq {i}_{1} < {i}_{2} < \ldots < {i}_{k} \leq n}}{x}_{{i}_{1}}{x}_{{i}_{2}}\ldots {x}_{{i}_{k}} \) is the elementary sym-
metric polynomial and \( {h}_{k}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\ldots ,{x}_{n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{1 \leq {i}_{1} \leq {i}_{2} \leq \ldots \leq {i}_{k} \leq n}}{x}_{{i}_{1}}{x}_{{i}_{2}}\ldots {x}_{{i}_{k}} \) is the
complete homogeneous symmetric polynomial.
\[
\text{Using the fact that}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{x}^{k}{\sigma }_{m}\left( {1,\frac{1}{2},\ldots ,\frac{1}{k}}\right) = \frac{{\left( -1\right) }^{m}}{m!}\frac{{\log }^{m}\left( {1 - x}\right) }{1 - x}\text{(see 6.23),}
\]
we write that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\sigma }_{m}\left( {1,1/2,\ldots ,1/k}\right) }{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) } = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\sigma }_{m}\left( {1,\frac{1}{2},\ldots ,\frac{1}{k}}\right) \left( {\frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k + n + 1}}\right)
\]
\[
= \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\sigma }_{m}\left( {1,\frac{1}{2},\ldots ,\frac{1}{k}}\right) {\int }_{0}^{1}{x}^{k}\left( {1 - {x}^{n}}\right) \mathrm{d}x = \frac{1}{n}{\int }_{0}^{1}\left( {1 - {x}^{n}}\right)
\]
\[
\times \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{x}^{k}{\sigma }_{m}\left( {1,\frac{1}{2},\ldots ,\frac{1}{k}}\right) \mathrm{d}x
\]
\[
= \frac{{\left( -1\right) }^{m}}{n \cdot m!}{\int }_{0}^{1}\left( {1 - {x}^{n}}\right) \frac{{\log }^{m}\left( {1 - x}\right) }{1 - x}\mathrm{\;d}x = \frac{{\left( -1\right) }^{m - 1}}{n \cdot \left( {m + 1}\right) !}{\int }_{0}^{1}\left( {1 - {x}^{n}}\right) {\left( {\log }^{m + 1}\left( 1 - x\right) \right) }^{\prime }\mathrm{d}x
\]
\{apply the integration by parts\}
\[
= \frac{{\left( -1\right) }^{m - 1}}{\left( {m + 1}\right) !}{\int }_{0}^{1}{x}^{n - 1}{\log }^{m + 1}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x = \frac{1}{n}{h}_{m + 1}\left( {1,\frac{1}{2},\ldots ,\frac{1}{n}}\right) ,
\]
where the last equality follows by the generalized logarithmic integral in (3.11), and the first equality in (6.64) is proved.
To prove the second equality in (6.64), we proceed in a similar style, and we write
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\sigma }_{m}\left( {1,1/2,\ldots ,1/k}\right) }{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) } = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\sigma }_{m}\left( {1,\frac{1}{2},\ldots ,\frac{1}{k}}\right) \left( {\frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k + n + 1}}\right)
\]
\[
= \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\sigma }_{m}\left( {1,\frac{1}{2},\ldots ,\frac{1}{k}}\right) {\int }_{0}^{1}{x}^{k}\left( {1 - {x}^{n}}\right) \mathrm{d}x = \frac{1}{n}{\int }_{0}^{1}\left( {1 - {x}^{n}}\right)
\]
\[
\times \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{x}^{k}{\sigma }_{m}\left( {1,\frac{1}{2},\ldots ,\frac{1}{k}}\right) \mathrm{d}x
\]
\[
= \frac{{\left( -1\right) }^{m}}{n \cdot m!}{\int }_{0}^{1}\frac{1 - {x}^{n}}{1 - x}{\log }^{m}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x\overset{x = 1 - y}{ = }\frac{{\left( -1\right) }^{m}}{n \cdot m!}{\int }_{0}^{1}\frac{1 - {\left( 1 - y\right) }^{n}}{y}{\log }^{m}\left( y\right) \mathrm{d}y
\]
\[
= \frac{{\left( -1\right) }^{m}}{n \cdot m!}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{\left( -1\right) }^{k - 1}\left( \begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) {\int }_{0}^{1}{y}^{k - 1}{\log }^{m}\left( y\right) \mathrm{d}y
\]
\[
= \frac{{\left( -1\right) }^{m}}{m!}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{\left( -1\right) }^{k - 1}}{k}\left( \begin{array}{l} n - 1 \\ k - 1 \end{array}\right) {\int }_{0}^{1}{y}^{k - 1}{\log }^{m}\left( y\right) \mathrm{d}y
\]
\{make use of the result in (1.2)\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{\left( -1\right) }^{k - 1}}{{k}^{m + 2}}\left( \begin{array}{l} n - 1 \\ k - 1 \end{array}\right)
\]
and the second equality in (6.64) is proved.
Now, based on the result in (6.64), with \( m = 4 \), and using the relations between the symmetric polynomials and the power sums (see also the ends of the solutions to the Sects. 4.10 and 1.3), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{4} - 6{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 8{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 3\right) } + 3{\left( {H}_{k}^{\left( 2\right) }\right) }^{2} - 6{H}_{k}^{\left( 4\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) }
\]
\[
= \frac{{H}_{n}^{5} + {10}{H}_{n}^{3}{H}_{n}^{\left( 2\right) } + {15}{H}_{n}{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2} + {20}{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 3\right) } + {20}{H}_{n}^{\left( 2\right) }{H}_{n}^{\left( 3\right) } + {30}{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 4\right) } + {24}{H}_{n}^{\left( 5\right) }}{5n}
\]
\[
= {24}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{\left( -1\right) }^{k - 1}}{{k}^{6}}\left( \begin{array}{l} n - 1 \\ k - 1 \end{array}\right)
\]
and the point \( {iv} \) ) of the problem is finalized.
## 6.21 Special (and Very Useful) Pairs of Classical Euler Sums Arising in Many Difficult Harmonic Series
Solution Let's begin with a simple observation: all the Euler sums we want to calculate here may be viewed as particular cases belonging to the generalized series of the type, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( p\right) }}{{n}^{q}} \) . Now, it’s known in the mathematical literature the fact that such a generalized series has evaluations in terms of zeta values when \( p = 1 \) and \( q \geq 2 \), for \( p = q \) and \( p + q \geq 4 \), and when \( p + q \geq 5 \) odd and \( q \geq 2 \) . Also, when \( p + q \) is even, with \( p, q > 1, p \neq q \), we have the exceptional configurations \( \left( {2,4}\right) ,\left( {4,2}\right) \), as called in the paper Euler Sums and Contour Integral Representations by Philippe Flajolet and Bruno Salvy (see [20]).
In this section we’ll focus on the series of the type above of weights \( 5,6,7 \), with \( p, q > 1 \) and \( p \neq q \), and we’ll try to calculate them elementarily by using partial fractions, exploiting the symmetry and applying Abel's summation (see (5.1)) when needed.
Since we have, by changing the summation order, that \( \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( p\right) }}{{k}^{q}} = \)
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{k}\frac{1}{{n}^{p}{k}^{q}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = n}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{p}{k}^{q}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{p}}\left( {\frac{1}{{n}^{q}} + \zeta \left( q\right) - {H}_{n}^{\left( q\right) }}\right) =
\]
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{p + q}} + \zeta \left( q\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{p}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( q\right) }}{{n}^{p}} = \zeta \left( {p + q}\right) + \zeta \left( p\right) \zeta \left( q\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( q\right) }}{{k}^{p}},
\]
we obtain that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( p\right) }}{{k}^{q}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( q\right) }}{{k}^{p}} = \zeta \left( p\right) \zeta \left( q\right) + \zeta \left( {p + q}\right) ,
\]
(6.65)
which is a result we want to refer to in the course of the solution. The result may also be proved by Abel's summation (see (5.1)).
The first series from the point \( i \) ) of the problem I needed in my article A new proof for a classical quadratic harmonic series published in Journal of Classical Analysis, Vol. 8, No. 2, 2016 (see [46]), where I provided with a new way of calculating the
series \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{3}} \) .
So, following the line of the solution in the mentioned paper, we start with the series
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}{\left( n + k\right) }^{2}}}\right) ,
\]
where swapping the variables in the last double series, we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}{\left( n + k\right) }^{2}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}{\left( n + k\right) }^{2}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}{\left( n + k\right) }^{2}}}\right) .
\]
(6.66)
Summing up both the first and the last series in (6.66), we have
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\in |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 113 | lution in the mentioned paper, we start with the series
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}{\left( n + k\right) }^{2}}}\right) ,
\]
where swapping the variables in the last double series, we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}{\left( n + k\right) }^{2}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}{\left( n + k\right) }^{2}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}{\left( n + k\right) }^{2}}}\right) .
\]
(6.66)
Summing up both the first and the last series in (6.66), we have
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}{\left( n + k\right) }^{2}}}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}{\left( n + k\right) }^{2}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{k}^{3} + {n}^{3}}{{k}^{3}{n}^{3}{\left( n + k\right) }^{2}}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\left( k + n\right) }^{3} - {3kn}\left( {k + n}\right) }{{k}^{3}{n}^{3}{\left( n + k\right) }^{2}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}}
\]
\[
- 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{2}{n}^{2}\left( {n + k}\right) }}\right) = {2\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{2}{n}^{2}\left( {n + k}\right) }}\right) ,
\]
whence we obtain
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}{\left( n + k\right) }^{2}}}\right) = \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{3}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{2}{n}^{2}\left( {n + k}\right) }}\right)
\]
\[
= \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{3}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{2}} + \frac{3}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{4}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\frac{1}{k} - \frac{1}{n + k}}\right) }\right)
\]
\[
\left\{ {\text{ make use of the fact that }\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\frac{1}{k} - \frac{1}{n + k}}\right) = {H}_{n}}\right\}
\]
\[
= - \frac{1}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + \frac{3}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{4}} = \frac{9}{2}\zeta \left( 5\right) - {2\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) ,
\]
where for calculating the last series, I used the Euler sum in (3.45), the case \( n = 4 \) , and thus we have
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) = \frac{9}{2}\zeta \left( 5\right) - {2\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) ,
\]
and since \( \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}} = \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) \), we arrive at
\[
{S}_{1} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} = {3\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{9}{2}\zeta \left( 5\right) ,
\]
(6.67)
and the calculation to the first series from the point \( i \) ) is finalized.
To calculate the series \( {S}_{2} \), we combine the results in (6.65) (with \( p = 2 \) and \( q = 3 \) or \( p = 3 \) and \( q = 2 \) ) and (6.67), and then we obtain that
\[
{S}_{2} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} = \frac{11}{2}\zeta \left( 5\right) - {2\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) ,
\]
(6.68)
and the calculation to the second series from the point \( i \) ) is finalized.
Next, for the point ii) of the problem, we start with the series
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}\left( {\zeta \left( 4\right) - {H}_{n}^{\left( 4\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}{\left( n + k\right) }^{4}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}
\]
\[
- 4\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{5}}\left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{n + k}}\right) }\right) + 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}{\left( n + k\right) }^{2}}}\right)
\]
\[
+ 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}{\left( k + n\right) }^{3}}}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{2}{\left( n + k\right) }^{4}}}\right)
\]
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}{\left( n + k\right) }^{4}}}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{2}{\left( n + k\right) }^{4}}}\right) = \frac{7}{4}\zeta \left( 6\right)
\]
\[
- 4\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{5}}\left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{n + k}}\right) }\right) + 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}{\left( k + n\right) }^{3}}}\right)
\]
\[
+ 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}{\left( n + k\right) }^{2}}}\right)
\]
(6.69)
Based on symmetry, the series in the left-hand side of (6.69) vanish, and then we get
\[
3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}{\left( n + k\right) }^{2}}}\right) = 4\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{5}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}{\left( k + n\right) }^{3}}}\right) - \frac{7}{4}\zeta \left( 6\right)
\]
\{reindex the inner series and start from \( n = k + 1 \) \}
\[
= 4\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{5}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = k + 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}{n}^{3}}}\right) - \frac{7}{4}\zeta \left( 6\right)
\]
\[
\text{ \{since }\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{k - 1}}\frac{1}{{k}^{3}{n}^{3}}}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{6}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = k + 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}{n}^{3}}}\right) = {\zeta }^{2}\left( 3\right) ,
\]
and using the fact that
\[
\left\{ {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{k - 1}}\frac{1}{{k}^{3}{n}^{3}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = k + 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}{n}^{3}}}\right) \text{, we get }2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = k + 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}{n}^{3}}}\right) }\right.
\]
\[
\left. { = {\zeta }^{2}\left( 3\right) - \zeta \left( 6\right) }\right\}
\]
\[
= 4\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{5}} - {\zeta }^{2}\left( 3\right) - \frac{3}{4}\zeta \left( 6\right)
\]
\{use the Euler sum in (3.45), the case \( n = 5 \) \}
\[
= \frac{25}{4}\zeta \left( 6\right) - 3{\zeta }^{2}\left( 3\right)
\]
or
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}{\left( n + k\right) }^{2}}}\right) = \frac{25}{12}\zeta \left( 6\right) - {\zeta }^{2}\left( 3\right) .
\]
(6.70)
Thus, using the result in (6.70), we get
\[
\frac{25}{12}\zeta \left( 6\right) - {\zeta }^{2}\left( 3\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}{\left( n + k\right) }^{2}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}\right)
\]
\[
= \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}} = \frac{7}{4}\zeta \left( 6\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}},
\]
whence we get the value of the series \( {S}_{4} \) ,
\[
{S}_{4} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}} = {\zeta }^{2}\left( 3\right) - \frac{\zeta \left( 6\right) }{3},
\]
(6.71)
and the calculation to the second series from the point \( {ii} \) ) is finalized. The series \( {S}_{4} \) also appeared in my paper in [45] where I used the same strategy of calculating it.
The series \( {S}_{3} \) is extracted by combining the results in (6.65) (with \( p = 2 \) and \( q = 4 \) or \( p = 4 \) and \( q = 2 \) ) and (6.71),
\[
{S}_{3} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 4\right) }}{{k}^{2}} = \frac{37}{12}\zeta \left( 6\right) - {\zeta }^{2}\left( 3\right) ,
\]
(6 |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 114 | ts_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}} = \frac{7}{4}\zeta \left( 6\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}},
\]
whence we get the value of the series \( {S}_{4} \) ,
\[
{S}_{4} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}} = {\zeta }^{2}\left( 3\right) - \frac{\zeta \left( 6\right) }{3},
\]
(6.71)
and the calculation to the second series from the point \( {ii} \) ) is finalized. The series \( {S}_{4} \) also appeared in my paper in [45] where I used the same strategy of calculating it.
The series \( {S}_{3} \) is extracted by combining the results in (6.65) (with \( p = 2 \) and \( q = 4 \) or \( p = 4 \) and \( q = 2 \) ) and (6.71),
\[
{S}_{3} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 4\right) }}{{k}^{2}} = \frac{37}{12}\zeta \left( 6\right) - {\zeta }^{2}\left( 3\right) ,
\]
(6.72)
and the calculation to the first series from the point \( {ii} \) ) is finalized.
Further, for the point iii) of the problem, we keep using the same approach, and we start with the series
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{5}}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{5}{\left( n + k\right) }^{2}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{5}{\left( n + k\right) }^{2}}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{5}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{4}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}} - 4\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{5}}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}
\]
\[
+ 5\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{6}}\left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{n + k}}\right) }\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{5}{\left( n + k\right) }^{2}}}\right)
\]
\[
\text{\{use the harmonic number representation,}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{n + k}}\right) = {H}_{k}\text{,}
\]
\{and then make use of the Euler sum in (3.45), the case \( n = 6 \) \}
\[
= {20\zeta }\left( 7\right) - {4\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {8\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{5}{\left( n + k\right) }^{2}}}\right) .
\]
(6.73)
Noting in (6.73) that \( \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{5}{\left( n + k\right) }^{2}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{5}{\left( n + k\right) }^{2}}}\right) \), we obtain
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{5}{\left( n + k\right) }^{2}}}\right) = {10\zeta }\left( 7\right) - {2\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {4\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) .
\]
(6.74)
Then, we can write the double series in (6.74) as
\[
{10\zeta }\left( 7\right) - {2\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {4\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{5}{\left( n + k\right) }^{2}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{5}}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}\right) = \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{5}},
\]
from which we extract the value of the series \( {S}_{6} \) ,
\[
{S}_{6} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{5}} = {5\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + {2\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {10\zeta }\left( 7\right) ,
\]
(6.75)
and the calculation to the second series from the point iii) is finalized.
If we consider the results in (6.65) (with \( p = 2 \) and \( q = 5 \) or \( p = 5 \) and \( q = 2 \) ) and (6.75), we get the value of the series \( {S}_{5} \) ,
\[
{S}_{5} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 5\right) }}{{k}^{2}} = {11\zeta }\left( 7\right) - {4\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - {2\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right) ,
\]
(6.76)
and the calculation to the first series from the point iii) is finalized.
Then, to pass to the point \( {iv} \) ) of the problem, we start with
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}}\left( {\zeta \left( 4\right) - {H}_{n}^{\left( 4\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}{\left( n + k\right) }^{4}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}}
\]
\[
- 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{5}} + {10}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{6}}\left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{n + k}}\right) }\right) - 6\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{5}{\left( n + k\right) }^{2}}}\right)
\]
\[
- \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{3}{{k}^{4}{\left( n + k\right) }^{3}}}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}{\left( n + k\right) }^{4}}}\right)
\]
\{reverse the order of summation in the last four series\}
\[
= \zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {4\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + {10}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{6}} - 6\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{5}{\left( n + k\right) }^{2}}}\right)
\]
\[
- 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}{\left( n + k\right) }^{3}}}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}{\left( n + k\right) }^{4}}}\right)
\]
\{use the result in (3.45), the case \( n = 6 \), and the result in (6.74)\}
\[
= {3\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right) + {10\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - {20\zeta }\left( 7\right) - 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}{\left( n + k\right) }^{3}}}\right)
\]
\[
- \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}{\left( n + k\right) }^{4}}}\right)
\]
whence we get that
\[
{3\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right) + {10\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - {20\zeta }\left( 7\right) = 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}{\left( n + k\right) }^{4}}}\right)
\]
\[
+ 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}{\left( n + k\right) }^{3}}}\right)
\]
(6.77)
On the other hand, for the last double series in (6.21), we have
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{k - 1}}\frac{1}{{k}^{4}{n}^{3}}}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{7}} + \underset{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = k + 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}{n}^{3}}}\right) }{\underbrace{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}{\left( n + k\right) }^{3}}}\right) }} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}{n}^{3}}}\right) = \zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) ,
\]
which leads to
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}{\left( n + k\right) }^{3}}}\right) = \zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \zeta \left( 7\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{k - 1}}\frac{1}{{k}^{4}{n}^{3}}}\right)
\]
\{change the summation order\}
\[
= \zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \zeta \left( 7\right) - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = n + 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}{n}^{3}}}\right)
\]
\{reindex the inner series\}
\[
= \zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \zeta \left( 7\right) - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}{\left( k + n\right) }^{4}}}\right) ,
\]
or
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}{\left( n + k\right) }^{3}}}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}{\left( k + n\right) }^{4}}}\right) = \zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \zeta \left( 7\right) .
\]
(6.78)
If we combine the results in (6.21) and (6.78), we get
\[
{3\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right) + {10\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - {20\zeta }\left( 7\right)
\]
\[
= 2\mathop{\sum |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 115 | ight) - \zeta \left( 7\right) - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = n + 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}{n}^{3}}}\right)
\]
\{reindex the inner series\}
\[
= \zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \zeta \left( 7\right) - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}{\left( k + n\right) }^{4}}}\right) ,
\]
or
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}{\left( n + k\right) }^{3}}}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}{\left( k + n\right) }^{4}}}\right) = \zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \zeta \left( 7\right) .
\]
(6.78)
If we combine the results in (6.21) and (6.78), we get
\[
{3\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right) + {10\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - {20\zeta }\left( 7\right)
\]
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}{\left( n + k\right) }^{4}}}\right) + {3\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {3\zeta }\left( 7\right) - 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}{\left( k + n\right) }^{4}}}\right)
\]
\{interchange the variables in the last double series\}
\[
= {3\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {3\zeta }\left( 7\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}{\left( n + k\right) }^{4}}}\right) ,
\]
or,
\[
{17\zeta }\left( 7\right) - {10\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}{\left( n + k\right) }^{4}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}{\left( n + k\right) }^{4}}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}}\left( {\zeta \left( 4\right) - {H}_{n}^{\left( 4\right) }}\right) = \zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{3}},
\]
whence we obtain that
\[
{S}_{7} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{3}} = {10\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + \zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {17\zeta }\left( 7\right) ,
\]
(6.79)
and the calculation to the first series from the point \( {iv} \) ) is finalized.
Also, combining the results in (6.21) and (6.78), we have
\[
{10\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + \zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {18\zeta }\left( 7\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}{\left( n + k\right) }^{3}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}}\left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{k}^{\left( 3\right) }}\right)
\]
\[
= \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{k}^{4}} = \zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{k}^{4}},
\]
whence we get that
\[
{S}_{8} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{k}^{4}} = {18\zeta }\left( 7\right) - {10\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) ,
\]
(6.80)
and the calculation to the second series from the point \( {iv} \) ) is finalized.
When \( p = q, p + q \geq 4 \), it’s easy to note that everything reduces to the well-known result in (4.14), with \( n \rightarrow \infty \) . The generalization of the Euler sum,
\( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( p\right) }}{{n}^{q}} \), with \( p + q \) odd, \( q \geq 2 \), may be found in [11,20].
## 6.22 Another Perspective on the Famous Quadratic Series of Au-Yeung Which Leads to an Elementary Solution
Solution This identity was surprising and new to us when Enrico Au-Yeung (an undergraduate student in the Faculty of Mathematics in Waterloo) conjectured it on the basis of a computation of 500,000 terms (five digit accuracy!); our first impulse was to perform a higher-order computation to show it to be false.-David Borwein and Jonathan M. Borwein in On an intriguing integral and some series related to \( \zeta \left( 4\right) \) paper. The authors of the previously mentioned paper found an ingenious solution by combining the Fourier series and the Parseval's theorem (see [57]) and then reducing all to the evaluation of an integral they calculated by means of contour integration (the details may be found in [10]).
Now, in the following, based upon a simple identity generated with the help of The Master Theorem of Series, I will show the calculations are straightforward and all will be finished by simple series manipulations only.
We make use of the series in (4.21), the case \( m = 1 \), where we multiply both sides by \( 1/n \) and then consider the summation from \( n = 1 \) to \( \infty \) that gives
\[
\frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{2}} + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) n}}\right)
\]
\{change the order of summation\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) n}}\right)
\]
\[
\left\{ {\text{ use the fact that }\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n\left( {n + k + 1}\right) } = \frac{{H}_{k + 1}}{k + 1}}\right\}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{H}_{k + 1} - 1/\left( {k + 1}\right) }\right) {H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{2}}
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{3}}
\]
\{make use of the Euler sum in (3.45), the case \( n = 3 \) \}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{2}} - \frac{5}{4}\zeta \left( 4\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{2}} - \frac{5}{4}\zeta \left( 4\right)
\]
from which we get that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{2}} = \frac{5}{2}\zeta \left( 4\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}}
\]
\{make use of the identity in (4.14), with \( p = 2 \) \}
\[
= {3\zeta }\left( 4\right) + \frac{1}{2}{\zeta }^{2}\left( 2\right) = \frac{17}{4}\zeta \left( 4\right)
\]
where I used that \( {\zeta }^{2}\left( 2\right) = \frac{5}{2}\zeta \left( 4\right) \), and the solution is complete.
For a different solution based upon the use of the logarithmic integrals in (1.4) and (1.5), check the article Reviving the quadratic series of Au-Yeung in Journal of Classical Analysis, Vol. 6, No. 2, 2015 (see [47]). Various approaches of the series are also mentioned in [13, pp. 173-174].
## 6.23 Treating a Big Brother Series of the Quadratic Series of Au-Yeung by Elementary Means
Solution The present harmonic series represented the engine for the creation of another article, A new proof for a classical quadratic harmonic series that was published in Journal of Classical Analysis, Vol. 8, No. 2, 2016 (see [46]), where I combined the use of the integrals and series in a fruitful way.
Now, as in the previous section, I'll employ the same strategy using a simple identity generated by The Master Theorem of Series, and then all will be finished by series manipulations only.
Let’s start with the result in (4.21), the case \( m = 1 \), where we multiply both sides by \( 1/{n}^{2} \) and then consider the summation from \( n = 1 \) to \( \infty \) that gives
\[
\frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{3}} + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) {n}^{2}}}\right)
\]
\{change the order of summation\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{k + 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}\left( {k + n + 1}\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n\left( {k + n + 1}\right) }}\right)
\]
\[
\left\{ {\text{use that}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{k\left( {k + n}\right) } = \frac{{H}_{n}}{n}}\right\}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\left( {\zeta \left( 2\right) - \frac{{H}_{k + 1}}{k + 1}}\right) = \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{3}}
\]
\[
= \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k + 1} - 1/\left( {k + 1}\right) }{{\left( k + 1\right) }^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{H}_{k + 1} - 1/\left( {k + 1}\right) }\right) {H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{3}}
\]
\{reindex the series and expand them\}
\[
= \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}} - \z |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 116 | imits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n\left( {k + n + 1}\right) }}\right)
\]
\[
\left\{ {\text{use that}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{k\left( {k + n}\right) } = \frac{{H}_{n}}{n}}\right\}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\left( {\zeta \left( 2\right) - \frac{{H}_{k + 1}}{k + 1}}\right) = \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{3}}
\]
\[
= \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k + 1} - 1/\left( {k + 1}\right) }{{\left( k + 1\right) }^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{H}_{k + 1} - 1/\left( {k + 1}\right) }\right) {H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{3}}
\]
\{reindex the series and expand them\}
\[
= \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}} - \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{4}}
\]
\{make use of the Euler sum in (3.45), the cases \( n = 2 \) and \( n = 4 \) \}
\[
= {3\zeta }\left( 5\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{3}}
\]
whence we obtain that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{3}} = {2\zeta }\left( 5\right) - \frac{1}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}}
\]
\{make use of the result in (6.67)\}
\[
= \frac{7}{2}\zeta \left( 5\right) - \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right)
\]
and the solution is complete.
For example, the series appeared in the third chapter, in Sect. 3.55, and we'll also want to use it in the evaluation of other harmonic series. It may also be found evaluated in \( \left\lbrack {{20},{63}}\right\rbrack \) .
## 6.24 Calculating Two More Elder Brother Series of the Quadratic Series of Au-Yeung, This Time the Versions with the Powers 4 and 5 in Denominator
Solution It's already a routine, right? If you have read the previous sections, probably you'll figure out immediately the way to go. Again, we make use of the result in (4.21), the case \( m = 1 \), where if we multiply both sides by \( 1/{n}^{3} \) and then consider the summation from \( n = 1 \) to \( \infty \), we get
\[
\frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{4}} + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) {n}^{3}}}\right)
\]
\{change the order of summation\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{k + 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}\left( {k + n + 1}\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}\left( {k + n + 1}\right) }}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\left( {\zeta \left( 3\right) - \frac{1}{k + 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n\left( {k + n + 1}\right) }}\right) }\right)
\]
\[
\text{make use of the representation,}\left. {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{k\left( {k + n}\right) } = \frac{{H}_{n}}{n}}\right\}
\]
\[
= \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{2}} - \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{4}}
\]
\[
= \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k + 1} - 1/\left( {k + 1}\right) }{{\left( k + 1\right) }^{2}} - \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k + 1} - 1/\left( {k + 1}\right) }{{\left( k + 1\right) }^{3}}
\]
\[
+ \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{H}_{k + 1} - 1/\left( {k + 1}\right) }\right) {H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{4}}
\]
\{reindex the series and expand them\}
\[
= \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}} - \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}} - \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{3}} + \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{5}}
\]
\{make use of the Euler sum in (3.45), the case \( n = 2,3,5 \) \}
\[
= \frac{3}{2}{\zeta }^{2}\left( 3\right) - \frac{35}{16}\zeta \left( 6\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{4}}
\]
whence we get that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{4}} = \frac{35}{8}\zeta \left( 6\right) - 3{\zeta }^{2}\left( 3\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}}
\]
or if we make use of the result in (6.71),
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{4}} = \frac{97}{24}\zeta \left( 6\right) - 2{\zeta }^{2}\left( 3\right)
\]
and the solution to the point \( i \) ) of the problem is complete.
The full derivation of the result above is also given in my article, \( A \) master theorem of series and an evaluation of a cubic harmonic series (see [45]). The value of the series in the form \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{\left( n + 1\right) }^{4}} \) may be found in \( \left\lbrack {3,{12}}\right\rbrack \) .
As regards the series from the point \( {ii} \) ) of the problem, we make use again of the result in (4.21), the case \( m = 1 \), where if we multiply both sides by \( 1/{n}^{4} \) and then consider the summation from \( n = 1 \) to \( \infty \), we get
\[
\frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{5}} + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{5}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) {n}^{4}}}\right)
\]
\{change the order of summation\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{k + 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{4}\left( {k + n + 1}\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}\left( {k + n + 1}\right) }}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\left( {\zeta \left( 4\right) - \frac{1}{k + 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}\left( {k + n + 1}\right) }}\right) }\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\left( {\zeta \left( 4\right) - \frac{\zeta \left( 3\right) }{k + 1} + \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n\left( {k + n + 1}\right) }}\right) }\right)
\]
\[
\text{make use of the representation,}\left. {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{k\left( {k + n}\right) } = \frac{{H}_{n}}{n}}\right\}
\]
\[
= \zeta \left( 4\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{2}} - \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{3}} + \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{5}}
\]
\[
= \zeta \left( 4\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k + 1} - 1/\left( {k + 1}\right) }{{\left( k + 1\right) }^{2}} - \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k + 1} - 1/\left( {k + 1}\right) }{{\left( k + 1\right) }^{3}}
\]
\[
+ \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k + 1} - 1/\left( {k + 1}\right) }{{\left( k + 1\right) }^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{H}_{k + 1} - 1/\left( {k + 1}\right) }\right) {H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{5}}
\]
\{reindex the series and expand them\}
\[
= \zeta \left( 4\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}} - \zeta \left( 4\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}} - \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{3}} + \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}} + \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{4}}
\]
\[
- \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{5}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{5}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{6}}
\]
\{make use of the Euler sum in (3.45), the cases \( n = 2,3,4,6 \) \}
\[
= {4\zeta }\left( 7\right) + \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{11}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{ |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 117 | k + 1\right) }^{5}}
\]
\{reindex the series and expand them\}
\[
= \zeta \left( 4\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}} - \zeta \left( 4\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}} - \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{3}} + \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}} + \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{4}}
\]
\[
- \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{5}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{5}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{6}}
\]
\{make use of the Euler sum in (3.45), the cases \( n = 2,3,4,6 \) \}
\[
= {4\zeta }\left( 7\right) + \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{11}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{5}},
\]
whence we get that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{5}} = \frac{8}{3}\zeta \left( 7\right) + \frac{2}{3}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{11}{6}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \frac{1}{3}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{5}},
\]
or if we make use of the result in (6.75),
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{5}} = {6\zeta }\left( 7\right) - \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{5}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) ,
\]
and the solution to the point \( {ii} \) ) of the problem is complete.
We may also find the series from both points of the problem evaluated in [63], and a generalization of it may be found in [40].
If we look back at the last two sections, where we dealt with similar series, we may notice that sometimes, when using the right tool, we get tremendously simpler solutions (and we talk about pretty challenging series).
## 6.25 An Advanced Harmonic Series of Weight 5, \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}}\text{, Attacked with a Special Class of Sums}\)
Solution Based on the work in the area of the harmonic series, \( \Gamma \) m inclined to think the land of the harmonic series is still far from being fully explored, one filled with mysterious identities waiting for us to discover them. In general, when working with the harmonic series, one of the best strategies is to build up relations between series (a thing I often do in this chapter) by using certain helpful identities, and then try to extract the value of the desired series. The difficulty of this process varies, and a critical factor is, of course, the identity (or the identities) used that could lead sometimes to splendid solutions.
The wonderful thing to happen is that in the following approach I will easily reduce the evaluation of the series to the calculation of some cases of the series of the type \( \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{n}} \) (see (3.45)), and \( \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( p\right) }}{{k}^{q}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( q\right) }}{{k}^{p}} \) .
If we consider the identity in (4.16), the case \( m = 2 \), where we multiply both sides by \( 1/{n}^{2} \) and then sum from \( n = 1 \) to \( \infty \), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}\left( {n - k}\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}{n}^{2}}}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}}.
\]
(6.81)
Now, for the first series in the right-hand side of (6.81) we have, upon changing the summation order, that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}{n}^{2}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = k}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}{n}^{2}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}}\left( {\frac{1}{{k}^{2}} + \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{2}} + \frac{1}{{\left( k + 2\right) }^{2}} + \cdots }\right)
\]
6.25 An Advanced Harmonic Series of Weight \( 5,\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} \), Attacked with...
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}}\left( {\frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{2}} + \frac{1}{{\left( k + 2\right) }^{2}} + \frac{1}{{\left( k + 3\right) }^{2}} + \cdots }\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{4}} + \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}}
\]
\[
= \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + {3\zeta }\left( 5\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}}
\]
(6.82)
where in the last equality I made use of the linear Euler sum in (3.45), the cases \( n = 2 \) and \( n = 4 \) .
Then, if we plug the result from (6.82) in (6.81), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}\left( {n - k}\right) }}\right) = \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + {3\zeta }\left( 5\right) - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}}.
\]
(6.83)
Further, if we consider the left-hand side of the equality in (6.83) and then change the summation order, we obtain
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}\left( {n - k}\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = k + 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}\left( {n - k}\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{n{\left( n + k\right) }^{2}}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{H}_{k}^{\left( 2\right) }\left( {\frac{1}{{kn}\left( {k + n}\right) } - \frac{1}{k{\left( k + n\right) }^{2}}}\right) }\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{k}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n\left( {k + n}\right) }}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{k}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( k + n\right) }^{2}}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{k}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}\right) .
\]
(6.84)
Applying Abel's summation (see (5.1)) for the last series in (6.84), where we set \( {a}_{k} = 1/k \) and \( {b}_{k} = {H}_{k}^{\left( 2\right) }\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}\right) \), we obtain
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{k}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{H}_{k}\left( {{H}_{k}^{\left( 2\right) }\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}\right) - {H}_{k + 1}^{\left( 2\right) }\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{k + 1}^{\left( 2\right) }}\right) }\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{H}_{k}\left( {{H}_{k}^{\left( 2\right) }\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}\right) - \left( {{H}_{k}^{\left( 2\right) } + \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{2}}}\right) \left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{k}^{\left( 2\right) } - \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{2}}}\right) }\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{4}} - \zeta \left( 2\right) \frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{2}} + 2\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{\left( k + 1\right) }^{2}}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\frac{{H}_{k + 1} - 1/\left( {k + 1}\right) }{{\left( k + 1\right) }^{4}} - \zeta \left( 2\right) \frac{{H}_{k + 1} - 1/\left( {k + 1}\right) }{{\left( k + 1\right) }^{2}}}\right.
\]
\[
\left. {+2\frac{\left( {{H}_{k + 1} - 1/\left( {k + 1}\right) }\right) \left( {{H}_{k + 1}^{\left( 2\right) } - 1/{\left( k + 1\right) }^{2}}\right) }{{\left( k + 1\right) }^{2}}}\right)
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{5}} + \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{4}} - \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}}
\]
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}} - {2\zeta }\left( 5\right) ,
\]
(6.85)
where t |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 118 | ight) }{{\left( k + 1\right) }^{2}}}\right.
\]
\[
\left. {+2\frac{\left( {{H}_{k + 1} - 1/\left( {k + 1}\right) }\right) \left( {{H}_{k + 1}^{\left( 2\right) } - 1/{\left( k + 1\right) }^{2}}\right) }{{\left( k + 1\right) }^{2}}}\right)
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{5}} + \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{4}} - \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}}
\]
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}} - {2\zeta }\left( 5\right) ,
\]
(6.85)
where to get the last equality I made use of the classical linear Euler sum in (3.45), the cases \( n = 2 \) and \( n = 4 \) .
If we plug the result from (6.85) in (6.84), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}\left( {n - k}\right) }}\right) = {2\zeta }\left( 5\right) + 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}}.
\]
(6.86)
Then, by combining (6.83) and (6.86), we obtain
\[
\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + {3\zeta }\left( 5\right) - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} = {2\zeta }\left( 5\right) + 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}}
\]
or
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}} = 2\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}}}\right) - \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \zeta \left( 5\right) .
\]
(6.87)
Now, it's a pleasant moment to see in the following we don't need to calculate separately the remaining two series from the right-hand side of (6.87). It's straight-
6.26 An Advanced Harmonic Series of Weight \( 5,\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{2}} \), Attacked with a...
forward to show by Abel’s summation that \( \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( p\right) }}{{k}^{q}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( q\right) }}{{k}^{p}} = \zeta \left( p\right) \zeta \left( q\right) + \)
\( \zeta \left( {p + q}\right) \), and then we have
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{k}^{2}} = \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + \zeta \left( 5\right) .
\]
(6.88)
Finally, if we plug the result from (6.88) in (6.87), we conclude that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}} = \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + \zeta \left( 5\right)
\]
and the solution is finalized.
For a second solution involving the integrals, see the second solution in the next section. Also, for a multiple zeta function related approach of the series, check [37]. The present solution also answers the proposed challenging question.
## 6.26 An Advanced Harmonic Series of Weight 5, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{2}} \) , Attacked with a Special Identity
Solution Before passing to the series of weight 6 from the next sections, we have to face a last challenging series of weight 5 . For a first solution by elementary series manipulations, we'll exploit one of the identities generated with the help of The Master Theorem of Series which we combine then with the value of the series from the previous section. Then, for a second solution, we'll want to wisely combine identities with logarithmic integrals from Sect. 1.3.
For a first solution by series manipulations only, recall the identity in (4.26), the first equality, where if we multiply both sides by \( 1/n \) and then consider the sum from \( n = 1 \) to \( \infty \), we get
\[
\frac{1}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} + \frac{2}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2} - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) n}}\right)
\]
\{reverse the order of summation\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2} - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) n}}\right)
\]
\[
\left\{ {\text{ make use of the fact that }\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n\left( {n + k + 1}\right) } = \frac{{H}_{k + 1}}{k + 1}}\right\}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{H}_{k}^{2} - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}\right) {H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{\left( {H}_{k + 1} - 1/\left( k + 1\right) \right) }^{2} - \left( {{H}_{k + 1}^{\left( 2\right) } - 1/{\left( k + 1\right) }^{2}}\right) }\right) {H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{2}}
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{2}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{3}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}}
\]
\{make use of the linear Euler sum in (3.45), the case \( n = 4 \) \}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{2}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} + {6\zeta }\left( 5\right) - {2\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) ,
\]
whence we get that
\[
2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} - \frac{2}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{2}} = {6\zeta }\left( 5\right) - {2\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{3}} - \frac{2}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}}
\]
\{make use of the results in (4.30) and (6.68)\}
\[
= \frac{2}{3}\left( {{2\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - {7\zeta }\left( 5\right) }\right)
\]
and therefore, we have
\[
3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{2}} = {2\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - {7\zeta }\left( 5\right) .
\]
(6.89)
Finally, if we plug in (6.89) the value of the series \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} \), which is obtained in the previous section, we conclude that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{2}} = \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + {10\zeta }\left( 5\right)
\]
and the first solution is complete.
For a second solution, an approach with integrals, we make use of the identities in (1.5) and (1.6), where if we multiply both sides of the first identity by \( {H}_{n}/n \), and then multiply both sides of the second identity by \( 1/n \), we get
\[
{\int }_{0}^{1}{x}^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{n}{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x = \frac{{H}_{n}^{3} + {H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}}
\]
(6.90)
6.26 An Advanced Harmonic Series of Weight \( 5,\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{2}} \), Attacked with a...
and
\[
{\int }_{0}^{1}\frac{{x}^{n - 1}}{n}{\log }^{3}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x = - \frac{{H}_{n}^{3} + 3{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}}.
\]
(6.91)
If we sum up both sides of (6.90) from \( n = 1 \) to \( \infty \) and change the order of integration and summation, we get
\[
{\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{n}{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}}.
\]
(6.92)
Now, we consider the generating function of the harmonic numbers in (4.5), where if we divide both sides by \( t \) and use that \( \log \left( {1 - t}\right) = - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{t}^{k}}{k} \), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{t}^{n - 1}{H}_{n} = - \frac{\log \left( {1 - t}\right) }{t\left( {1 - t}\right) } = - \frac{\log \left( {1 - t}\right) }{t} - \frac{\log \left( {1 - t}\right) }{1 - t} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{t}^{k - 1}}{k} - \frac{\log \left( {1 - t}\right) }{1 - t}.
\]
Integrating both sides of (6.93), from \( t = 0 \) to \( t = x \), we have
\[
{\int }_{0}^{x}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{t}^{n - 1}{H}_{n}\mathrm{\;d}t = {\int }_{0}^{x}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{t}^{k - 1}}{k}\mathrm{\;d}t - {\int }_{0}^{x}\frac{\log \left( {1 - t}\right) }{1 - t}\mathrm{\;d}t
\]
|
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 119 | mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}}.
\]
(6.92)
Now, we consider the generating function of the harmonic numbers in (4.5), where if we divide both sides by \( t \) and use that \( \log \left( {1 - t}\right) = - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{t}^{k}}{k} \), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{t}^{n - 1}{H}_{n} = - \frac{\log \left( {1 - t}\right) }{t\left( {1 - t}\right) } = - \frac{\log \left( {1 - t}\right) }{t} - \frac{\log \left( {1 - t}\right) }{1 - t} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{t}^{k - 1}}{k} - \frac{\log \left( {1 - t}\right) }{1 - t}.
\]
Integrating both sides of (6.93), from \( t = 0 \) to \( t = x \), we have
\[
{\int }_{0}^{x}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{t}^{n - 1}{H}_{n}\mathrm{\;d}t = {\int }_{0}^{x}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{t}^{k - 1}}{k}\mathrm{\;d}t - {\int }_{0}^{x}\frac{\log \left( {1 - t}\right) }{1 - t}\mathrm{\;d}t
\]
and changing the order of the summation and integration, we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\int }_{0}^{x}{t}^{n - 1}{H}_{n}\mathrm{\;d}t = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\int }_{0}^{x}\frac{{t}^{k - 1}}{k}\mathrm{\;d}t + \frac{1}{2}{\log }^{2}\left( {1 - x}\right)
\]
or, after integrating and dividing both sides by \( x \) ,
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{n} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{x}^{k - 1}}{{k}^{2}} + \frac{1}{2}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) }{x}.
\]
(6.94)
Plugging the result from (6.94) in the left-hand side of the relation in (6.92), we get
\[
{\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{n}{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{0}^{1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{x}^{k - 1}}{{k}^{2}} + \frac{1}{2}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) }{x}}\right)
\]
\[
\times {\log }^{2}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x
\]
\[
= {\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{x}^{k - 1}}{{k}^{2}}{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x + \frac{1}{2}{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{4}\left( {1 - x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x
\]
\[
\left\{ {\text{in the first integral use that}{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) = 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n + 1}\frac{{H}_{n}}{n + 1}\text{(see [30, p. 22],}}\right\}
\]
\( \{ \left\lbrack {{14},\mathrm{p}.{43}}\right\rbrack ) \), and in the second one make the change of variable, \( 1 - x = y\} \)
\[
= 2{\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{x}^{k + n}{H}_{n}}{{k}^{2}\left( {n + 1}\right) }}\right) \mathrm{d}x + \frac{1}{2}{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{4}\left( x\right) }{1 - x}\mathrm{\;d}x
\]
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\int }_{0}^{1}\frac{{x}^{k + n}{H}_{n}}{{k}^{2}\left( {n + 1}\right) }\mathrm{d}x}\right) + \frac{1}{2}{\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n - 1}{\log }^{4}\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{k}^{2}\left( {n + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) }}\right) + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\int }_{0}^{1}{x}^{n - 1}{\log }^{4}\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
\{reverse the order in the double series\}
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{k}^{2}\left( {n + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) }}\right) + {12}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{5}}
\]
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {\left( {k + n + 1}\right) - k}\right) {H}_{n}}{{k}^{2}{\left( n + 1\right) }^{2}\left( {k + n + 1}\right) }}\right) + {12\zeta }\left( 5\right)
\]
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{k}^{2}{\left( n + 1\right) }^{2}}}\right) - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{k{\left( n + 1\right) }^{2}\left( {k + n + 1}\right) }}\right) + {12\zeta }\left( 5\right)
\]
\[
\left\{ {\text{ use that }\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{k\left( {k + n + 1}\right) } = \frac{{H}_{n + 1}}{n + 1}}\right\}
\]
\[
= {2\zeta }\left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n + 1} - 1/\left( {n + 1}\right) }{{\left( n + 1\right) }^{2}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{H}_{n + 1} - 1/\left( {n + 1}\right) }\right) {H}_{n + 1}}{{\left( n + 1\right) }^{3}} + {12\zeta }\left( 5\right)
\]
\{reindex the series and expand them\}
\[
= {2\zeta }\left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{3}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{4}} - {2\zeta }\left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}} + {12\zeta }\left( 5\right)
\]
6.26 An Advanced Harmonic Series of Weight \( 5,\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{2}} \), Attacked with a...
\{make use of (4.30) and the linear Euler sums in (3.45), the cases \( n = 2,4 \) \}
\[
= {2\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + {11\zeta }\left( 5\right)
\]
(6.95)
Thus, plugging the result from (6.95) in (6.92), we have that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} = {2\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + {11\zeta }\left( 5\right) .
\]
(6.96)
Now, we return to the result in (6.91) where we sum both sides from \( n = 1 \) to \( \infty \) that gives
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\int }_{0}^{1}\frac{{x}^{n - 1}}{n}{\log }^{3}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x = - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3} + 3{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}}.
\]
(6.97)
Changing the integration and summation order in the left-hand side of (6.97), we obtain
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\int }_{0}^{1}\frac{{x}^{n - 1}}{n}{\log }^{3}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{x}^{n - 1}}{n}{\log }^{3}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x = - {\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{4}\left( {1 - x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x
\]
\[
= - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{2}} - 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}}
\]
\{the value of the last series is given in (6.68)\}
\[
= - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{2}} - 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} - {11\zeta }\left( 5\right) + {4\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) .
\]
(6.98)
Since we have that
\[
- {\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{4}\left( {1 - x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x\overset{x = 1 - y}{ = } - {\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{4}\left( y\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y = - {\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{y}^{n - 1}{\log }^{4}\left( y\right) \mathrm{d}y
\]
\{change the order of summation and integration\}
\[
= - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\int }_{0}^{1}{y}^{n - 1}{\log }^{4}\left( y\right) \mathrm{d}y = - {24}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{5}} = - {24\zeta }\left( 5\right) ,
\]
by plugging this last result in (6.98), we obtain
\[
- \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{2}} - 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} = - {13\zeta }\left( 5\right) - {4\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) .
\]
(6.99)
Now, by combining the relations in (6.96) and (6.99), we conclude that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{2}} = \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + {10\zeta }\left( 5\right) ;\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} = \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + \zeta \left( 5\right) ,
\]
and the second solution is complete.
To get another relation between the two series, one might exploit the result in (6.23) to get and use \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n}\left( {{H}_{n}^{3} - 3{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{n}^{\left( 3\right) }}\right) = - \frac{{\log }^{3}\left( {1 - x}\right) }{1 - x} \) .
The series also appears in [63], and a slightly modified version of it, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{\left( n + 1\right) }^{2}} \), from which we can get the given series, appears in [20].
## 6.27 The Evaluation of an Advanced Cubic Harmonic Series of Weight 6, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( \frac{{H}_{n}}{n}\right) }^{3} \), Treated with Both The Master Theorem of Series and Special Logarithmic Integrals of Powers Two and Three
Solution After the exciting experience with the Au-Yeung series, one might naturally think to consider the version with the cubic power instead of the square power. Is it possible to express the series again in terms of zeta values as I did for the Au-Yeung series? Yes, it is! An elementary solution by series manipulations, without using integrals at all, may be found in my paper, A master theorem of series and an evaluation of a cubic harmonic series published in Journal of Classical Analysis, Vol. 10, No. 2, 2017 (see [45]).
For a second solution with integrals, which also wonderfully aims the value of the series \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1} |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 120 | \right) }^{2}} \), from which we can get the given series, appears in [20].
## 6.27 The Evaluation of an Advanced Cubic Harmonic Series of Weight 6, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( \frac{{H}_{n}}{n}\right) }^{3} \), Treated with Both The Master Theorem of Series and Special Logarithmic Integrals of Powers Two and Three
Solution After the exciting experience with the Au-Yeung series, one might naturally think to consider the version with the cubic power instead of the square power. Is it possible to express the series again in terms of zeta values as I did for the Au-Yeung series? Yes, it is! An elementary solution by series manipulations, without using integrals at all, may be found in my paper, A master theorem of series and an evaluation of a cubic harmonic series published in Journal of Classical Analysis, Vol. 10, No. 2, 2017 (see [45]).
For a second solution with integrals, which also wonderfully aims the value of the series \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} \) from the next section, let’s start out with the identities in (1.5) and (1.6), where if we multiply both sides of the first identity by \( {H}_{n}/{n}^{2} \), and then multiply both sides of the second identity by \( 1/{n}^{2} \), we get
\[
{\int }_{0}^{1}{x}^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x = \frac{{H}_{n}^{3} + {H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}}
\]
(6.100)
and
\[
{\int }_{0}^{1}\frac{{x}^{n - 1}}{{n}^{2}}{\log }^{3}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x = - \frac{{H}_{n}^{3} + 3{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{3}}.
\]
(6.101)
If we sum up both sides of (6.100) from \( n = 1 \) to \( \infty \) and change the order of integration and summation, we obtain
\[
{\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}}.
\]
(6.102)
Then, let's start with the result in (6.94) from the previous section where if we integrate from \( t = 0 \) to \( t = x \) ,
\[
{\int }_{0}^{x}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{t}^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{n}\mathrm{\;d}t = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\int }_{0}^{x}{t}^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{n}\mathrm{\;d}t = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n}\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}} = {\int }_{0}^{x}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{t}^{k - 1}}{{k}^{2}}\mathrm{\;d}t
\]
\[
+ \frac{1}{2}{\int }_{0}^{x}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - t}\right) }{t}\mathrm{\;d}t = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\int }_{0}^{x}\frac{{t}^{k - 1}}{{k}^{2}}\mathrm{\;d}t + \frac{1}{2}{\int }_{0}^{x}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - t}\right) }{t}\mathrm{\;d}t
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{x}^{k}}{{k}^{3}} + \frac{1}{2}{\int }_{0}^{x}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - t}\right) }{t}\mathrm{\;d}t
\]
and then divide by \( x \), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{x}^{k - 1}}{{k}^{3}} + \frac{1}{2x}{\int }_{0}^{x}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - t}\right) }{t}\mathrm{\;d}t.
\]
(6.103)
Plugging the result from (6.103) in the left-hand side of the relation in (6.102), we obtain
\[
{\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{0}^{1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{x}^{k - 1}}{{k}^{3}} + \frac{1}{2x}{\int }_{0}^{x}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - t}\right) }{t}\mathrm{\;d}t}\right) {\log }^{2}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x
\]
\[
= {\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{x}^{k - 1}}{{k}^{3}}{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x + \frac{1}{2}{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) }{x}\left( {{\int }_{0}^{x}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - t}\right) }{t}\mathrm{\;d}t}\right) \mathrm{d}x.
\]
Due to the symmetry in the second integral, or by applying the integration by parts with \( {f}^{\prime } = \frac{{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) }{x} \) and \( g = {\int }_{0}^{x}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - t}\right) }{t}\mathrm{\;d}t \), we have
\[
{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) }{x}\left( {{\int }_{0}^{x}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - t}\right) }{t}\mathrm{\;d}t}\right) \mathrm{d}x = \frac{1}{2}{\left( {\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x\right) }^{2}
\]
\[
\overset{1 - x = y}{ = }\frac{1}{2}{\left( {\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( x\right) }{1 - x}\mathrm{\;d}x\right) }^{2} = \frac{1}{2}{\left( {\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{x}^{k - 1}{\log }^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x\right) }^{2}
\]
\[
= \frac{1}{2}{\left( \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\int }_{0}^{1}{x}^{k - 1}{\log }^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x\right) }^{2} = \frac{1}{2}{\left( 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}}\right) }^{2} = 2{\zeta }^{2}\left( 3\right) ,
\]
and plugging this result in (6.104) yields
\[
{\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{x}^{k - 1}}{{k}^{3}}{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x + {\zeta }^{2}\left( 3\right)
\]
\[
\left\{ {\text{use that}{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) = 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n + 1}\frac{{H}_{n}}{n + 1}}\right\}
\]
\[
= 2{\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{x}^{k + n}}{{k}^{3}\left( {n + 1}\right) }{H}_{n}}\right) \mathrm{d}x + {\zeta }^{2}\left( 3\right)
\]
\{change the order of summation and integration\}
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\int }_{0}^{1}\frac{{x}^{k + n}}{{k}^{3}\left( {n + 1}\right) }{H}_{n}\mathrm{\;d}x}\right) + {\zeta }^{2}\left( 3\right)
\]
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n + 1} - 1/\left( {n + 1}\right) }{{k}^{3}\left( {n + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) }}\right) + {\zeta }^{2}\left( 3\right) = 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n} - 1/n}{{k}^{3}n\left( {k + n}\right) }}\right) + {\zeta }^{2}\left( 3\right)
\]
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{4}}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{2}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{4}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{k\left( {k + n}\right) }}\right) - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{2}}
\]
\[
+ 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{k\left( {k + n}\right) }}\right) + {\zeta }^{2}\left( 3\right) = \frac{7}{2}\zeta \left( 6\right) - 2{\zeta }^{2}\left( 3\right) - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{5}}
\]
\[
- {2\zeta }\left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}} + {2\zeta }\left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{4}} + {\zeta }^{2}\left( 3\right)
\]
\( \{ \) consider the values of the series in (4.31) and (3.45), the cases \( n = 2,3,5\} \)
\[
= \frac{89}{24}\zeta \left( 6\right)
\]
(6.105)
If we plug the value from (6.105) in (6.102), we obtain that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( \frac{{H}_{n}}{n}\right) }^{3} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} = \frac{89}{24}\zeta \left( 6\right) .
\]
(6.106)
Next, if we sum up both sides of (6.101) from \( n = 1 \) to \( \infty \) and change the integration and summation order, we get
\[
{\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{x}^{n - 1}}{{n}^{2}}{\log }^{3}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x = - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{3}} - 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{3}}.
\]
(6.107)
The left-hand side of (6.107) can be rewritten as follows
\[
{\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{x}^{n - 1}}{{n}^{2}}{\log }^{3}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{0}^{1}\frac{{\operatorname{Li}}_{2}\left( x\right) {\log }^{3}\left( {1 - x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x
\]
\[
\overset{1 - x = y}{ = }{\int }_{0}^{1}\frac{{\operatorname{Li}}_{2}\left( {1 - y}\right) {\log }^{3}\left( y\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y
\]
\{use the Dilogarithm function reflection formula (see [30, Chapter 1, p. 5], \}
\( \{ \left\lbrack {{53},\left( 5\right) }\right\rbrack ),\left\lbrack {{42},\text{ Chapter }2,\mathrm{p}{.107}}\right\rbrack ,{\operatorname{Li}}_{2}\left( x\right) + {\operatorname{Li}}_{2}\left( {1 - x}\right) = \zeta \left( 2\right) - \log \left( x\right) \log \left( {1 - x}\right) \} \)
\[
= \zeta \left( 2\right) {\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{3}\left( y\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y - {\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 - y}\right) {\log }^{4}\left( y\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y - {\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{3}\left( y\right) {\operatorname{Li}}_{2}\left( y\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 121 | }{{n}^{2}}{\log }^{3}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{0}^{1}\frac{{\operatorname{Li}}_{2}\left( x\right) {\log }^{3}\left( {1 - x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x
\]
\[
\overset{1 - x = y}{ = }{\int }_{0}^{1}\frac{{\operatorname{Li}}_{2}\left( {1 - y}\right) {\log }^{3}\left( y\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y
\]
\{use the Dilogarithm function reflection formula (see [30, Chapter 1, p. 5], \}
\( \{ \left\lbrack {{53},\left( 5\right) }\right\rbrack ),\left\lbrack {{42},\text{ Chapter }2,\mathrm{p}{.107}}\right\rbrack ,{\operatorname{Li}}_{2}\left( x\right) + {\operatorname{Li}}_{2}\left( {1 - x}\right) = \zeta \left( 2\right) - \log \left( x\right) \log \left( {1 - x}\right) \} \)
\[
= \zeta \left( 2\right) {\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{3}\left( y\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y - {\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 - y}\right) {\log }^{4}\left( y\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y - {\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{3}\left( y\right) {\operatorname{Li}}_{2}\left( y\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y.
\]
(6.108)
To calculate the first integral in the right-hand side of (6.108), we write that
\[
{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{3}\left( y\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y = {\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{y}^{k - 1}{\log }^{3}\left( y\right) \mathrm{d}y = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\int }_{0}^{1}{y}^{k - 1}{\log }^{3}\left( y\right) \mathrm{d}y
\]
\[
= - 6\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}} = - {6\zeta }\left( 4\right)
\]
(6.109)
Next, to calculate the second integral in (6.108), we make use of the generating function of the harmonic numbers in (4.5), and then we have
\[
{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 - y}\right) {\log }^{4}\left( y\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y = - {\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{y}^{k}{H}_{k}{\log }^{4}\left( y\right) \mathrm{d}y
\]
\{change the order of summation and integration\}
\[
= - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{H}_{k}{\int }_{0}^{1}{y}^{k}{\log }^{4}\left( y\right) \mathrm{d}y = - {24}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{5}} = - {24}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k + 1} - 1/\left( {k + 1}\right) }{{\left( k + 1\right) }^{5}}
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= - {24}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{5}} + {24}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{6}} = 6\left( {2{\zeta }^{2}\left( 3\right) - {3\zeta }\left( 6\right) }\right) .
\]
(6.110)
Lastly, to calculate the third integral in (6.108), we proceed as follows
\[
{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{3}\left( y\right) {\operatorname{Li}}_{2}\left( y\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y = {\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{y}^{k + n - 1}}{{k}^{2}}{\log }^{3}\left( y\right) }\right) \mathrm{d}y
\]
\{change the order of summation and integration\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\int }_{0}^{1}\frac{{y}^{k + n - 1}}{{k}^{2}}{\log }^{3}\left( y\right) \mathrm{d}y}\right) = - 6\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{2}{\left( k + n\right) }^{4}}}\right)
\]
\[
= - 6\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{2}}\left( {\zeta \left( 4\right) - {H}_{k}^{\left( 4\right) }}\right) = - {6\zeta }\left( 4\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{2}} + 6\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 4\right) }}{{k}^{2}}
\]
\{for the second series use the result in (6.72)\}
\[
= {8\zeta }\left( 6\right) - 6{\zeta }^{2}\left( 3\right)
\]
(6.111)
Collecting the results from (6.27), (6.110), and (6.111) in (6.108), we get
\[
{\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{x}^{n - 1}}{{n}^{2}}{\log }^{3}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x = - \frac{\zeta \left( 6\right) }{2} - 6{\zeta }^{2}\left( 3\right) ,
\]
which if we related to (6.107), we obtain that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{3}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{3}} = \frac{\zeta \left( 6\right) }{2} + 6{\zeta }^{2}\left( 3\right) .
\]
(6.112)
Using that \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{3}} = \frac{1}{2}\left( {{\zeta }^{2}\left( 3\right) + \zeta \left( 6\right) }\right) \), based on the identity in (4.14), the case \( p = 3 \), with \( n \rightarrow \infty \), the result in (6.112) becomes
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( \frac{{H}_{n}}{n}\right) }^{3} + 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} = 5{\zeta }^{2}\left( 3\right) - \frac{\zeta \left( 6\right) }{2}.
\]
(6.113)
By combining the results in (6.113) and (6.106) we get a system of relations with the series \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( \frac{{H}_{n}}{n}\right) }^{3} \) and \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} \) which gives
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( \frac{{H}_{n}}{n}\right) }^{3} = \frac{1}{2}\left( {\frac{93}{8}\zeta \left( 6\right) - 5{\zeta }^{2}\left( 3\right) }\right) ;\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} = \frac{1}{2}\left( {5{\zeta }^{2}\left( 3\right) - \frac{101}{24}\zeta \left( 6\right) }\right) ,
\]
and the calculations of the two series are complete.
To get another relation between the two series, one might exploit the result in (6.23) to get and use \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n}\left( {{H}_{n}^{3} - 3{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{n}^{\left( 3\right) }}\right) = - \frac{{\log }^{3}\left( {1 - x}\right) }{1 - x} \) .
This second solution aimed to get two birds with one stone by creating a system of two relations with two series like in the second solution from the previous section. The series may also be found calculated in [19]. Also, a slightly modified version of the series, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{\left( n + 1\right) }^{3}} \), from which we can extract the given series, appears in [20].
## 6.28 Another Evaluation of an Advanced Harmonic Series of Weight 6, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} \), Treated with The Master Theorem of Series
Solution In the second solution from the previous section I also approached the present series by a strategy involving integrals. How about an approach now by series manipulations only? In this section we'll try to get a solution by series manipulations, and for doing that we might like to employ a particular case of an application of The Master Theorem of Series.
By making use of the result in (4.21), the case \( m = 1 \), where we multiply both sides by \( {H}_{n}/{n}^{2} \) and then consider the sum from \( n = 1 \) to \( \infty \), we obtain
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{n}}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) {n}^{2}}}\right) = \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( \frac{{H}_{n}}{n}\right) }^{3} + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}},
\]
or, upon changing the order of summation, we have
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{n}}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) {n}^{2}}}\right) = \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( \frac{{H}_{n}}{n}\right) }^{3} + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}}.
\]
(6.114)
Now, we rearrange the inner series of the double series in the left-hand side of (6.114),
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}\left( {n + k + 1}\right) } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{{H}_{n} + 1/\left( {n + 1}\right) }{{\left( n + 1\right) }^{2}\left( {n + k + 2}\right) }
\]
\{ leave out the first term of the sum and expand the series \}
\[
= \frac{1}{k + 2} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{3}\left( {n + k + 2}\right) } + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{\left( n + 1\right) }^{2}\left( {n + k + 2}\right) }.
\]
(6.115)
Then, for the first sum in (6.115), we have
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{3}\left( {n + k + 2}\right) }
\]
\[
= \frac{1}{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{3}} - \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}} + \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{\left( {n + 1}\right) \left( {n + k + 2}\right) }
\]
\[
\text{make use of the fact that}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{\left( {n + 1}\right) \left( {n + k + 2}\right) } = \left. \frac{{H}_{k + 2} - 1}{k + 1}\right\}
\]
\[
= \frac{\zeta \left( 3\right) }{k + 1} - \frac{\zeta \left( 2\right) }{{\left( k + 1\right) }^{2}} - \frac{1}{k + 2} + \frac{{H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{3}}.
\]
(6.116)
For the second series in (6.115), we have
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{\left( n + 1\right) }^{2}\left( {n + k + 2}\right) } = \frac{1}{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n + 1}\left( {\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + k + 2}}\right)
\]
\[
= \frac{1}{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n + 1} - 1/\left( {n + 1}\right) }{{\left( n + 1\right) }^{2}} - \frac{1}{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\fra |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 122 | \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{\left( {n + 1}\right) \left( {n + k + 2}\right) }
\]
\[
\text{make use of the fact that}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{\left( {n + 1}\right) \left( {n + k + 2}\right) } = \left. \frac{{H}_{k + 2} - 1}{k + 1}\right\}
\]
\[
= \frac{\zeta \left( 3\right) }{k + 1} - \frac{\zeta \left( 2\right) }{{\left( k + 1\right) }^{2}} - \frac{1}{k + 2} + \frac{{H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{3}}.
\]
(6.116)
For the second series in (6.115), we have
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{\left( n + 1\right) }^{2}\left( {n + k + 2}\right) } = \frac{1}{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n + 1}\left( {\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + k + 2}}\right)
\]
\[
= \frac{1}{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n + 1} - 1/\left( {n + 1}\right) }{{\left( n + 1\right) }^{2}} - \frac{1}{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{\left( {n + 1}\right) \left( {n + k + 2}\right) }
\]
\[
= \frac{1}{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}} - \frac{1}{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}} - \frac{1}{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{\left( {n + 1}\right) \left( {n + \left( {k + 1}\right) + 1}\right) }
\]
\{make use of the Euler sum in (3.45), the case \( n = 2 \), and then\}
\{use the result in (4.21), the case \( m = 1 \), for the last series\}
\[
= \frac{\zeta \left( 3\right) }{k + 1} - \frac{{H}_{k + 1}^{2}}{2{\left( k + 1\right) }^{2}} - \frac{{H}_{k + 1}^{\left( 2\right) }}{2{\left( k + 1\right) }^{2}}.
\]
(6.117)
Returning with the results from (6.116) and (6.117) in (6.115), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}\left( {n + k + 1}\right) } = \frac{{2\zeta }\left( 3\right) }{k + 1} - \frac{\zeta \left( 2\right) }{{\left( k + 1\right) }^{2}} + \frac{{H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{3}} - \frac{{H}_{k + 1}^{2}}{2{\left( k + 1\right) }^{2}} - \frac{{H}_{k + 1}^{\left( 2\right) }}{2{\left( k + 1\right) }^{2}}.
\]
(6.118)
Then, if we plug the result from (6.118) in (6.114), we obtain
\[
\frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( \frac{{H}_{n}}{n}\right) }^{3} + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{k + 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}\left( {k + n + 1}\right) }}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k + 1} - 1/\left( {k + 1}\right) }{k + 1}
\]
\[
\times \left( {\frac{{2\zeta }\left( 3\right) }{k + 1} - \frac{\zeta \left( 2\right) }{{\left( k + 1\right) }^{2}} + \frac{{H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{3}} - \frac{{H}_{k + 1}^{2}}{2{\left( k + 1\right) }^{2}} - \frac{{H}_{k + 1}^{\left( 2\right) }}{2{\left( k + 1\right) }^{2}}}\right)
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= {2\zeta }\left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}} - {2\zeta }\left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}} - \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{3}} + \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}} + \frac{3}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{4}}
\]
\[
- \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{5}} - \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\left( \frac{{H}_{k}}{k}\right) }^{3} - \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}} + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}}
\]
\{use the Euler sum in (3.45), the cases \( n = 2,3,5\} \)
\{and then employ the results in (4.31) and (6.71)\}
\[
= \frac{89}{24}\zeta \left( 6\right) - \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( \frac{{H}_{n}}{n}\right) }^{3} - \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}}
\]
whence we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( \frac{{H}_{n}}{n}\right) }^{3} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} = \frac{89}{24}\zeta \left( 6\right) .
\]
(6.119)
Finally, by plugging the value of \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( \frac{{H}_{n}}{n}\right) }^{3} \) from (4.35) in (6.119), we obtain that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} = \frac{1}{2}\left( {5{\zeta }^{2}\left( 3\right) - \frac{101}{24}\zeta \left( 6\right) }\right) ,
\]
and the solution is complete.
For a second solution based upon the use of integrals, see the second solution in the previous section.
It's worth mentioning the relation established in (4.40) which shows that knowing the value of \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} \) leads to the derivation of the present series.
## 6.29 And Now a Series of Weight 6, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} \), Treated with Both The Master Theorem of Series and Special Logarithmic Integrals
Solution At the end of the previous section I gave a reference to a simple identity that relates the series there with the one we want to calculate here. In other words, if we know the value of the series in the previous section we can get the value of the present series by means of the identity in (4.40), which we'll meet in one of the next sections. In the following I'll try to calculate the series both elementarily by series manipulations only, and for doing that I'll use The Master Theorem of Series, and on the other hand, I'll also try an approach with integrals.
For a first solution we rely on The Master Theorem of Series, more precisely on the result in (4.22) from Sect. 4.17 where if we multiply both sides by \( {H}_{n}/n \), and then consider the summation from \( n = 1 \) to \( \infty \), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{n}}{\left( {k + 1}\right) n\left( {k + n + 1}\right) }}\right)
\]
\[
= \frac{1}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{2}} + \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} + \frac{2}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}}}\right)
\]
\{use the values of the series in (4.39), (4.29), (4.38), and (6.121)\}
\[
= \frac{1615}{72}\zeta \left( 6\right) + 2{\zeta }^{2}\left( 3\right) + \frac{2}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}},
\]
(6.120)
where I also used that due to the symmetry, since \( \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}} = {2\zeta }\left( 3\right) \), we have
\[
4{\zeta }^{2}\left( 3\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{k - 1}}\frac{{H}_{k}{H}_{n}}{{k}^{2}{n}^{2}}}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = k + 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{n}}{{k}^{2}{n}^{2}}}\right)
\]
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{k - 1}}\frac{{H}_{k}{H}_{n}}{{k}^{2}{n}^{2}}}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{4}} = 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{k}\frac{{H}_{k}{H}_{n}}{{k}^{2}{n}^{2}}}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{4}}
\]
\{the last series is calculated in (4.31)\}
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{k}\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}}\right) - \frac{97}{24}\zeta \left( 6\right) + 2{\zeta }^{2}\left( 3\right) ,
\]
whence we get that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{k}\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}}\right) = \frac{97}{48}\zeta \left( 6\right) + {\zeta }^{2}\left( 3\right) .
\]
(6.121)
Now, for the double series in (6.120), we write
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{n}}{\left( {k + 1}\right) n\left( {k + n + 1}\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{n}}{\left( {k + 1}\right) n\left( {k + n + 1}\right) }}\right)
\]
\{reindex the inner series and start from \( n = 0 \) to \( \infty \) \}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}\left( {{H}_{n} + 1/\left( {n + 1}\right) }\right) }{\left( {k + 1}\right) \left( {n + 1}\right) \left( {k + n + 2}\right) }}\right)
\]
\{for \( n = 0 \) let outside the term of the inner series\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + 2}\right) } + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}\left( {{H}_{n} + 1/\left( {n + 1}\right) }\right) }{\left( {k + 1}\right) \left( {n + 1}\right) \left( {k + n + 2}\right) }}\right)
\]
\[
= \underset{{S}_{1}}{\underbrace{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1} |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 123 | }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{n}}{\left( {k + 1}\right) n\left( {k + n + 1}\right) }}\right)
\]
\{reindex the inner series and start from \( n = 0 \) to \( \infty \) \}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}\left( {{H}_{n} + 1/\left( {n + 1}\right) }\right) }{\left( {k + 1}\right) \left( {n + 1}\right) \left( {k + n + 2}\right) }}\right)
\]
\{for \( n = 0 \) let outside the term of the inner series\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + 2}\right) } + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}\left( {{H}_{n} + 1/\left( {n + 1}\right) }\right) }{\left( {k + 1}\right) \left( {n + 1}\right) \left( {k + n + 2}\right) }}\right)
\]
\[
= \underset{{S}_{1}}{\underbrace{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + 2}\right) }}} + \underset{{S}_{2}}{\underbrace{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{k + 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{\left( {n + 1}\right) \left( {k + n + 2}\right) }}\right) }}
\]
\[
+ \underset{{S}_{3}}{\underbrace{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{k + 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}\left( {k + n + 2}\right) }}\right) }}.
\]
(6.122)
We note the series \( {S}_{1} \) in (6.122), is the case \( n = 1 \) in (4.22),
\[
{S}_{1} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + 2}\right) } = 1 + \zeta \left( 2\right) .
\]
(6.123)
Further, to calculate the series \( {S}_{2} \) in (6.122), we make use of the result in (4.21), the case \( m = 1 \), and then we write
\[
{S}_{2} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{k + 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{\left( {n + 1}\right) \left( {n + \left( {k + 1}\right) + 1}\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{k + 1}\left( \frac{{H}_{k + 1}^{2} + {H}_{k + 1}^{\left( 2\right) }}{2\left( {k + 1}\right) }\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{k + 1} - 1/\left( k + 1\right) \right) }^{2}}{k + 1}\left( \frac{{H}_{k + 1}^{2} + {H}_{k + 1}^{\left( 2\right) }}{2\left( {k + 1}\right) }\right)
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{4}}{{k}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{3}} + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{4}} + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}} + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}}
\]
\{use the values of the series from (4.39), (4.35), (4.31), (4.38), (4.36), and (6.71)\}
\[
= \frac{81}{4}\zeta \left( 6\right) + 2{\zeta }^{2}\left( 3\right)
\]
(6.124)
Next, for the series \( {S}_{3} \) in (6.122), we have
\[
{S}_{3} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{k + 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}\left( {k + n + 2}\right) }}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{\left( {n + 1}\right) \left( {n + k + 2}\right) }}\right)
\]
\[
\left\{ {\text{ use that }\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{\left( {n + 1}\right) \left( {n + k + 2}\right) } = \frac{{H}_{k + 1}}{k + 1} - \frac{1}{k + 2}}\right\}
\]
\[
= \left( {\zeta \left( 2\right) - 1}\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{k + 1} - 1/\left( k + 1\right) \right) }^{2}}{{\left( k + 1\right) }^{2}}
\]
\[
- \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{k + 1} - 1/\left( k + 1\right) \right) }^{2}}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\left( {\frac{{H}_{k + 1}}{k + 1} - \frac{1}{k + 2}}\right)
\]
\{reindex the series and expand them\}
\[
= \left( {\zeta \left( 2\right) - 1}\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{2}} - 2\left( {\zeta \left( 2\right) - 1}\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{3}} + \left( {\zeta \left( 2\right) - 1}\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\left( \frac{{H}_{k}}{k}\right) }^{3}
\]
\[
+ 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{5}} + \underset{{S}_{4}}{\underbrace{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}\left( {k + 1}\right) }}} + \underset{{S}_{5}}{\underbrace{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{2}\left( {k + 1}\right) }}} - 2\underset{{S}_{6}}{\underbrace{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{3}\left( {k + 1}\right) }}}.
\]
(6.125)
For the series \( {S}_{4} \) in (6.125) we make use of the partial fractions, and we write
\[
{S}_{4} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}\left( {k + 1}\right) } = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\frac{1}{{k}^{4}} - \frac{1}{{k}^{3}} + \frac{1}{{k}^{2}} - \frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}}
\]
\[
+ \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}}\right) = \zeta \left( 4\right) - \zeta \left( 3\right) + \zeta \left( 2\right) - 1.
\]
(6.126)
Then, for the series \( {S}_{5} \) in (6.125), we proceed as follows
\[
{S}_{5} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{2}\left( {k + 1}\right) } = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{2}} - \frac{{H}_{k}^{2}}{k} + \frac{{\left( {H}_{k + 1} - 1/\left( k + 1\right) \right) }^{2}}{k + 1}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{2}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\frac{{H}_{k + 1}^{2}}{k + 1} - \frac{{H}_{k}^{2}}{k}}\right)
\]
\{reindex the second and third series and start from \( k = 2 \) to \( \infty \) \}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{2}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 2}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 2}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}} - 1
\]
\{for the first two series use the values in (4.29) and (3.45), the case \( n = 2 \) \}
\[
= \frac{17}{4}\zeta \left( 4\right) - {3\zeta }\left( 3\right)
\]
(6.127)
Now, we calculate the last series from (6.125), and we write
\[
{S}_{6} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{3}\left( {k + 1}\right) } = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\frac{{H}_{k}}{{k}^{3}} - \frac{{H}_{k}}{{k}^{2}} + \frac{{H}_{k}}{k} - \frac{{H}_{k + 1} - 1/\left( {k + 1}\right) }{k + 1}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\frac{{H}_{k}}{k} - \frac{{H}_{k + 1}}{k + 1}}\right)
\]
\{make use of the classical Euler sum in (3.45), the cases \( n = 2,3 \) \}
\[
= \frac{5}{4}\zeta \left( 4\right) - {2\zeta }\left( 3\right) + \zeta \left( 2\right)
\]
(6.128)
At this point, we collect the values of the series \( {S}_{4},{S}_{5} \), and \( {S}_{6} \) given in (6.126), (6.127), and (6.128), and then plug them in (6.125) that lead to
\[
{S}_{3} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{k + 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}\left( {k + n + 2}\right) }}\right)
\]
\[
= \left( {\zeta \left( 2\right) - 1}\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{2}} - 2\left( {\zeta \left( 2\right) - 1}\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{3}} + \left( {\zeta \left( 2\right) - 1}\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\left( \frac{{H}_{k}}{k}\right) }^{3}
\]
\[
+ 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{5}} + \frac{11}{4}\zeta \left( 4\right) - \zeta \left( 2\right) - 1
\]
\{use the Euler sum in (3.45), the cases \( n = 3,5 \) together\}
\{ with the values of the series in (4.29), (4.35), and (4.31)\}
\[
= \frac{16}{3}\zeta \left( 6\right) - \zeta \left( 2\right) - {\zeta }^{2}\left( 3\right) - 1
\]
(6.129)
Then, by plugging the values of the series \( {S}_{1},{S}_{2} \), and \( {S}_{3} \) from (6.123),(6.124), and (6.129) in (6.122), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{n}}{\left( {k + 1}\right) n\left( {k + n + 1}\right) }}\right) = \frac{307}{12}\zeta \left( 6\right) + {\zeta }^{2}\left( 3\right) .
\]
(6.130)
Hence, by combining (6.120) and (6.130), we conclude that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3 |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 124 | t) }^{3}
\]
\[
+ 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{5}} + \frac{11}{4}\zeta \left( 4\right) - \zeta \left( 2\right) - 1
\]
\{use the Euler sum in (3.45), the cases \( n = 3,5 \) together\}
\{ with the values of the series in (4.29), (4.35), and (4.31)\}
\[
= \frac{16}{3}\zeta \left( 6\right) - \zeta \left( 2\right) - {\zeta }^{2}\left( 3\right) - 1
\]
(6.129)
Then, by plugging the values of the series \( {S}_{1},{S}_{2} \), and \( {S}_{3} \) from (6.123),(6.124), and (6.129) in (6.122), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{n}}{\left( {k + 1}\right) n\left( {k + n + 1}\right) }}\right) = \frac{307}{12}\zeta \left( 6\right) + {\zeta }^{2}\left( 3\right) .
\]
(6.130)
Hence, by combining (6.120) and (6.130), we conclude that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{227}{24}\zeta \left( 6\right) - 3{\zeta }^{2}\left( 3\right) }\right) ,
\]
and the first solution is complete.
For a second solution, one involving integrals, let's start out with one of the simpler logarithmic integrals presented in Integrals chapter, the identity in (1.4), where if we multiply both sides by \( - {H}_{n}^{\left( 3\right) }/n \) and then consider the summation from \( n = 1 \) to \( \infty \), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} = - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{H}_{n}^{\left( 3\right) }{\int }_{0}^{1}\left( {{\int }_{0}^{1}{\left( xy\right) }^{n - 1}\log \left( {1 - x}\right) \mathrm{d}y}\right) \mathrm{d}x
\]
\{change the order of integration and summation\}
\[
= - {\int }_{0}^{1}\left( {{\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( xy\right) }^{n - 1}{H}_{n}^{\left( 3\right) }\log \left( {1 - x}\right) \mathrm{d}y}\right) \mathrm{d}x
\]
\[
= - {\int }_{0}^{1}\left( {{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 - x}\right) {\operatorname{Li}}_{3}\left( {xy}\right) }{{xy}\left( {1 - {xy}}\right) }\mathrm{d}y}\right) \mathrm{d}x
\]
\[
= - {\int }_{0}^{1}\left( {{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 - x}\right) {\operatorname{Li}}_{3}\left( {xy}\right) }{xy}\mathrm{\;d}y}\right) \mathrm{d}x - {\int }_{0}^{1}\left( {{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 - x}\right) {\operatorname{Li}}_{3}\left( {xy}\right) }{1 - {xy}}\mathrm{\;d}y}\right) \mathrm{d}x
\]
(6.131)
where to get the penultimate equality I used the result in (4.6), the case \( m = 3 \) .
Now, we prepare to calculate the first integral in (6.131), and using that \( \int {\operatorname{Li}}_{3}\left( {xy}\right) /y\mathrm{\;d}y = {\operatorname{Li}}_{4}\left( {xy}\right) + C \), we get
\[
{\int }_{0}^{1}\left( {{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 - x}\right) {\operatorname{Li}}_{3}\left( {xy}\right) }{xy}\mathrm{\;d}y}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 - x}\right) {\operatorname{Li}}_{4}\left( x\right) }{x}\mathrm{\;d}x
\]
\[
= {\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{x}^{n - 1}}{{n}^{4}}\log \left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x
\]
\{change the order of summation and integration and use the result in (1.4)\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{4}}{\int }_{0}^{1}{x}^{n - 1}\log \left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x = - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{5}}
\]
\{make use of the Euler sum in (3.45), the case \( n = 5 \) \}
\[
= \frac{1}{2}\left( {{\zeta }^{2}\left( 3\right) - \frac{7}{2}\zeta \left( 6\right) }\right)
\]
(6.132)
Further, to calculate the second integral in (6.131), we start with the integration by parts in the inner integral, and then we have
\[
{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 - x}\right) {\operatorname{Li}}_{3}\left( {xy}\right) }{1 - {xy}}\mathrm{\;d}y = {\int }_{0}^{1}{\left( -\frac{\log \left( {1 - {xy}}\right) }{x}\right) }^{\prime }\log \left( {1 - x}\right) {\operatorname{Li}}_{3}\left( {xy}\right) \mathrm{d}y
\]
\[
= - {\left. \frac{\log \left( {1 - {xy}}\right) }{x}\log \left( 1 - x\right) {\operatorname{Li}}_{3}\left( xy\right) \right| }_{y = 0}^{y = 1} + \frac{\log \left( {1 - x}\right) }{x}{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 - {xy}}\right) {\operatorname{Li}}_{2}\left( {xy}\right) }{y}\mathrm{\;d}y
\]
\[
= - \frac{{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) {\operatorname{Li}}_{3}\left( x\right) }{x} + \frac{\log \left( {1 - x}\right) }{x}{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 - {xy}}\right) {\operatorname{Li}}_{2}\left( {xy}\right) }{y}\mathrm{\;d}y
\]
\[
\left\{ {\text{ note that }\frac{d}{dy}{\left( {\operatorname{Li}}_{2}\left( xy\right) \right) }^{2} = - 2\frac{\log \left( {1 - {xy}}\right) {\operatorname{Li}}_{2}\left( {xy}\right) }{y}}\right\}
\]
\[
= - \frac{{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) {\operatorname{Li}}_{3}\left( x\right) }{x} - \frac{\log \left( {1 - x}\right) {\left( {\operatorname{Li}}_{2}\left( x\right) \right) }^{2}}{2x},
\]
that leads to
\[
{\int }_{0}^{1}\left( {{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 - x}\right) {\operatorname{Li}}_{3}\left( {xy}\right) }{1 - {xy}}\mathrm{\;d}y}\right) \mathrm{d}x
\]
\[
= - {\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) {\operatorname{Li}}_{3}\left( x\right) }{x}\mathrm{\;d}x - \frac{1}{2}{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 - x}\right) {\left( {\operatorname{Li}}_{2}\left( x\right) \right) }^{2}}{x}\mathrm{\;d}x.
\]
(6.133)
Now, for the first integral in (6.133), we get
\[
{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) {\operatorname{Li}}_{3}\left( x\right) }{x}\mathrm{\;d}x = {\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{x}^{n - 1}}{{n}^{3}}{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\int }_{0}^{1}\frac{{x}^{n - 1}}{{n}^{3}}{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x
\]
\{use the identity in (1.5)\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}}
\]
\{make use of the values of the series in (4.31) and (6.71)\}
\[
= \frac{89}{24}\zeta \left( 6\right) - {\zeta }^{2}\left( 3\right)
\]
(6.134)
6.30 An Appealing Exotic Harmonic Series of Weight 6, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}},\ldots \)
Next, the second integral in (6.133) is straightforward, and we get
\[
{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 - x}\right) {\left( {\operatorname{Li}}_{2}\left( x\right) \right) }^{2}}{x}\mathrm{\;d}x = - {\left. \frac{1}{3}{\left( {\operatorname{Li}}_{2}\left( x\right) \right) }^{3}\right| }_{x = 0}^{x = 1} = - \frac{35}{24}\zeta \left( 6\right) .
\]
(6.135)
Collecting the results from (6.134) and (6.135) in (6.133), we get
\[
{\int }_{0}^{1}\left( {{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 - x}\right) {\operatorname{Li}}_{3}\left( {xy}\right) }{1 - {xy}}\mathrm{\;d}y}\right) \mathrm{d}x = {\zeta }^{2}\left( 3\right) - \frac{143}{48}\zeta \left( 6\right) .
\]
(6.136)
If we plug the results from (6.132) and (6.136) in (6.131), we conclude that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{227}{24}\zeta \left( 6\right) - 3{\zeta }^{2}\left( 3\right) }\right) ,
\]
(6.137)
and the second solution is complete.
As a note before bringing an end to this section, we may notice again during the second solution the extraordinary usefulness of the elementary logarithmic integrals in Sect. 1.3. So good to know!
## 6.30 An Appealing Exotic Harmonic Series of Weight 6, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} \), Derived by Elementary Series Manipulations
Solution A nice observation is that the summand of the given series is in fact the summand of the Au-Yeung series multiplied by \( {H}_{n}^{\left( 2\right) } \), which leads to the actual series of weight 6 we want to calculate in this section. As before, the lucky card here is the use of an application of The Master Theorem of Series which gives us the possibility of doing the calculations by series manipulations only.
Recalling the identity in (4.24), multiplying both sides by \( 1/n \) and considering the sum from \( n = 1 \) to \( \infty \), we obtain, for the left-hand side, that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) n}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k + 1}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{\left( k + 1\right) }^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{H}_{k + 1} - 1/\left( {k + 1}\right) }\right) {H}_{k + 1}\left( {{H}_{k + 1}^{\left( 2\right) } - 1/{\left( k + 1\right) }^{2}}\right) }{{\left( k + 1\right) }^{2}}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{5}}
\]
\{make use of the results in (4.31),(4.36), and (3.45), the case \( n = 5 \) \}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}} - \frac{3}{16}\zeta \left( 6\right) - {\zeta }^{2}\left( 3\right) ,
\]
(6.138)
and for the right-hand side, since we have that \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{2}}}\right) = \)
\[
\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\inft |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 125 | _{k + 1} - 1/\left( {k + 1}\right) }\right) {H}_{k + 1}\left( {{H}_{k + 1}^{\left( 2\right) } - 1/{\left( k + 1\right) }^{2}}\right) }{{\left( k + 1\right) }^{2}}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{5}}
\]
\{make use of the results in (4.31),(4.36), and (3.45), the case \( n = 5 \) \}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}} - \frac{3}{16}\zeta \left( 6\right) - {\zeta }^{2}\left( 3\right) ,
\]
(6.138)
and for the right-hand side, since we have that \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{2}}}\right) = \)
\[
\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = i}}^{\infty }\frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{2}{n}^{2}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = i + 1}}^{\infty } + \mathop{\sum }\limits_{{n = i}}^{i}}\right) \frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{2}{n}^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = i + 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{4}},
\]
we get
\[
\frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{2}}}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}}}\right) + {2\zeta }\left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}} + \frac{\zeta \left( 2\right) }{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{2}}
\]
\[
- \frac{\zeta \left( 2\right) }{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} - \frac{1}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{2}} - \frac{1}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{2}}
\]
\[
= \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = i + 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}}\right) + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}}}\right)
\]
\[
+ {2\zeta }\left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}} - \frac{\zeta \left( 2\right) }{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} - \frac{1}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{2}} - \frac{1}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{2}} + \frac{\zeta \left( 2\right) }{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{2}}
\]
\[
= - \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} + 2{\zeta }^{2}\left( 3\right) + \frac{79}{16}\zeta \left( 6\right) ,
\]
(6.139)
where for getting the last equality I used the results in (4.31), (6.121), (6.72), (4.29), and (3.45), the case \( n = 2 \) ,(4.14), the case \( p = 2 \), with \( n \rightarrow \infty \) ,(4.15), the case \( p = 2 \), with \( n \rightarrow \infty \), and the fact that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = i + 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{2}}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{i}^{\left( 2\right) }}\right) = \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}^{2}{H}_{i}^{\left( 2\right) }}{{i}^{2}}
\]
\{make use of the result in (4.29)\}
\[
= \frac{119}{16}\zeta \left( 6\right) - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}^{2}{H}_{i}^{\left( 2\right) }}{{i}^{2}}.
\]
6.31 Another Appealing Exotic Harmonic Series of Weight 6, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{2}},\ldots \)
Finally, by combining (6.138) and (6.139), we conclude that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} = \frac{41}{12}\zeta \left( 6\right) + 2{\zeta }^{2}\left( 3\right)
\]
and the solution is finalized.
For a second solution based upon a system of relations with series, check the next section.
## 6.31 Another Appealing Exotic Harmonic Series of Weight 6, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{2}} \), Derived by Elementary Series Manipulations
Solution We have arrived at the last series of weight 6 where a solution by series manipulations is expected as before. For example, an option would be to establish a relation between the current series and the series from the previous section where to further use the value of the latter in order to extract the value of the desired series.
On the other hand, we may establish two relations between the current series and the one from the previous section, and then extract both the value of the desired series, and as a bonus, the one from the previous section.
The main idea is to make a system of two relations with the series \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{2}} \) and \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} \) . First, we make use of the result in (4.21), the case \( m = 1 \), where if we multiply both sides by \( {H}_{n}^{2}/n \) and then consider the sum from \( n = 1 \) to \( \infty \), we get
\[
\frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{2}} + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{n}^{2}}{\left( {k + 1}\right) n\left( {k + n + 1}\right) }}\right)
\]
\{reverse the order of summation\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{n\left( {k + n + 1}\right) }.
\]
(6.140)
Next, we work on the inner series in (6.140) that we can write as follows
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{n\left( {k + n + 1}\right) } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{{H}_{n + 1}^{2}}{\left( {n + 1}\right) \left( {k + n + 2}\right) }
\]
\{leave out the term of the series for \( n = 0\} \)
\[
= \frac{1}{k + 2} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n} + 1/\left( n + 1\right) \right) }^{2}}{\left( {n + 1}\right) \left( {k + n + 2}\right) }
\]
\[
= \frac{1}{k + 2} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{\left( {n + 1}\right) \left( {k + n + 2}\right) } + 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{\left( n + 1\right) }^{2}\left( {k + n + 2}\right) }
\]
\[
+ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{3}\left( {k + n + 2}\right) }.
\]
(6.141)
The first series in (6.141) we already met in (4.22) from Sect. 4.17, and we have
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{\left( {n + 1}\right) \left( {k + n + 2}\right) } = \frac{{H}_{k + 1}^{3} + {3\zeta }\left( 2\right) {H}_{k + 1} + 3{H}_{k + 1}{H}_{k + 1}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{k + 1}^{\left( 3\right) }}{3\left( {k + 1}\right) }
\]
\[
- \frac{1}{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{k + 1}}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}}
\]
(6.142)
For the second series in (6.141), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{\left( n + 1\right) }^{2}\left( {k + n + 2}\right) }
\]
\[
= \frac{1}{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n + 1}}{{\left( n + 1\right) }^{2}} - \frac{1}{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{3}} - \frac{1}{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{\left( {n + 1}\right) \left( {k + n + 2}\right) }
\]
\{use the classical Euler sum in (3.45), the case \( n = 2 \) ,\}
\{and then employ the result in (4.21), the case \( m = 1 \) \}
\[
= \frac{\zeta \left( 3\right) }{k + 1} - \frac{{H}_{k + 1}^{2} + {H}_{k + 1}^{\left( 2\right) }}{2{\left( k + 1\right) }^{2}}.
\]
(6.143)
Finally, for the last series in (6.141), we have
6.31 Another Appealing Exotic Harmonic Series of Weight 6, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{2}},\ldots \)
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{3}\left( {k + n + 2}\right) }
\]
\[
= \frac{1}{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{3}} - \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}} + \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{\left( {n + 1}\right) \left( {k + n + 2}\right) }
\]
\[
\text{make use of the fact that}\left. {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{\left( {n + 1}\right) \left( {k + n + 2}\right) } = \frac{{H}_{k + 1}}{k + 1} - \frac{1}{k + 2}}\right\}
\]
\[
= \frac{\zeta \left( 3\right) }{k + 1} - \frac{\zeta \left( 2\right) }{{\left( k + 1\right) }^{2}} + \frac{{H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{3}} - \frac{1}{k + 2}.
\]
(6.144)
If we plug the results from (6.142), (6.143), and (6.144) in (6.141), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{n\left( {k + n + 1}\right) }
\]
\[
= \fr |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 126 | ^{\infty }\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{3}\left( {k + n + 2}\right) }
\]
\[
= \frac{1}{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{3}} - \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}} + \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{\left( {n + 1}\right) \left( {k + n + 2}\right) }
\]
\[
\text{make use of the fact that}\left. {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{\left( {n + 1}\right) \left( {k + n + 2}\right) } = \frac{{H}_{k + 1}}{k + 1} - \frac{1}{k + 2}}\right\}
\]
\[
= \frac{\zeta \left( 3\right) }{k + 1} - \frac{\zeta \left( 2\right) }{{\left( k + 1\right) }^{2}} + \frac{{H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{3}} - \frac{1}{k + 2}.
\]
(6.144)
If we plug the results from (6.142), (6.143), and (6.144) in (6.141), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{n\left( {k + n + 1}\right) }
\]
\[
= \frac{{H}_{k + 1}^{3}}{3\left( {k + 1}\right) } - \frac{{H}_{k + 1}^{2}}{{\left( k + 1\right) }^{2}} + \zeta \left( 2\right) \frac{{H}_{k + 1}}{k + 1} + \frac{{H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{3}} + \frac{{H}_{k + 1}{H}_{k + 1}^{\left( 2\right) }}{k + 1} - \frac{{H}_{k + 1}^{\left( 2\right) }}{{\left( k + 1\right) }^{2}}
\]
\[
+ \frac{2{H}_{k + 1}^{\left( 3\right) }}{3\left( {k + 1}\right) } + \frac{{3\zeta }\left( 3\right) }{k + 1} - \frac{\zeta \left( 2\right) }{{\left( k + 1\right) }^{2}} - \frac{1}{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{k + 1}}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}}.
\]
(6.145)
Then, we plug the result from (6.145) in (6.140), and we get
\[
\frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{2}} + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k + 1} - \frac{1}{k + 1}}{k + 1}\left( {\frac{{H}_{k + 1}^{3}}{3\left( {k + 1}\right) } - \frac{{H}_{k + 1}^{2}}{{\left( k + 1\right) }^{2}} + \zeta \left( 2\right) \frac{{H}_{k + 1}}{k + 1} + \frac{{H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{3}} + \frac{{H}_{k + 1}{H}_{k + 1}^{\left( 2\right) }}{k + 1}}\right.
\]
\[
\left. {-\frac{{H}_{k + 1}^{\left( 2\right) }}{{\left( k + 1\right) }^{2}} + \frac{2{H}_{k + 1}^{\left( 3\right) }}{3\left( {k + 1}\right) } + \frac{{3\zeta }\left( 3\right) }{k + 1} - \frac{\zeta \left( 2\right) }{{\left( k + 1\right) }^{2}} - \frac{1}{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{k + 1}}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}}}\right)
\]
\{reindex the series, expand it, and replace \( k \) by \( n \) \}
\[
= \frac{1}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{2}} - \frac{4}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{3}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{4}} + \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{2}} - {2\zeta }\left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{5}}
\]
\[
+ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} + \frac{2}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} - \frac{2}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{3}}
\]
\[
+ {3\zeta }\left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}} - {3\zeta }\left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}} + \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n} - 1/n}{{n}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}}}\right)
\]
whence we get
\[
\frac{1}{6}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{2}} - \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}}
\]
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{4}} - \frac{4}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{3}} + \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{2}} - {2\zeta }\left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{5}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}}
\]
\[
+ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} + \frac{2}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} - \frac{2}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{3}} + {3\zeta }\left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n} - 1/n}{{n}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}}}\right)
\]
\[
- 3{\zeta }^{2}\left( 3\right) + \frac{7}{4}\zeta \left( 6\right)
\]
\{make use of the classical Euler sum in (3.45), the cases\}
\( \{ n = 2,3,5 \), and then employ the results in (4.31),(4.35),(4.29), \( \} \)
\[
\{ \left( {4.36}\right) ,\left( {6.71}\right) ,\left( {4.37}\right) \text{, and (4.14), the case}p = 3\text{, with}n \rightarrow \infty \}
\]
\[
= \frac{1453}{144}\zeta \left( 6\right) - \frac{5}{2}{\zeta }^{2}\left( 3\right) - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n} - 1/n}{{n}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}}}\right) .
\]
(6.146)
Now, to calculate the series in (6.146), we proceed as follows
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n} - 1/n}{{n}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}}}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}}}\right)
\]
\{for the second series change the order of summation\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}}}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = i}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}{n}^{3}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}}}\right)
\]
\[
- \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}}\left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{i}^{\left( 3\right) } + \frac{1}{{i}^{3}}}\right)
\]
6.31 Another Appealing Exotic Harmonic Series of Weight 6, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{2}},\ldots \)
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}}}\right) - \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{5}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}{H}_{i}^{\left( 3\right) }}{{i}^{2}}
\]
\{use the linear Euler sum in (3.45), the cases \( n = 2,5 \), and \( \} \)
\{the first and the last series are calculated in (6.121) and (4.37)\}
\[
= {5\zeta }\left( 6\right) - 2{\zeta }^{2}\left( 3\right)
\]
(6.147)
By plugging the result from (6.147) in (6.146), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{2}} - 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} = \frac{733}{24}\zeta \left( 6\right) - 3{\zeta }^{2}\left( 3\right) ,
\]
(6.148)
and the first relation between the two main series has been established.
Then, using the result in (4.26), the first equality, multiplying both sides by \( {H}_{n}/n \) and considering the sum from \( n = 1 \) to \( \infty \), we obtain
\[
\frac{1}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} + \frac{2}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{H}_{k}^{2} - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}\right) {H}_{n}}{\left( {k + 1}\right) n\left( {k + n + 1}\right) }}\right)
\]
\{reverse the order of summation\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2} - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n\left( {k + n + 1}\right) }.
\]
(6.149)
Now we rearrange the inner series in (6.149), and reindexing, we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n\left( {k + n + 1}\right) } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{{H}_{n + 1}}{\left( {n + 1}\right) \left( {k + n + 2}\right) } = \frac{1}{k + 2} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n} + 1/\left( {n + 1}\right) }{\left( {n + 1}\right) \left( {k + n + 2}\right) }
\]
\[
= \frac{1}{k + 2} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{\left( {n + 1}\right) \left( {k + n + 2}\right) } + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}\left( {k + n + 2}\right) }
\]
\{make use of the result in (4.21), the case \( m = 1 \) \}
\[
= \frac{1}{k + 2} + \frac{{H}_{k + 1}^{2} + {H}_{k + 1}^{\left( 2\right) }}{2\left( {k + 1}\right) } + \frac{1}{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}} - \frac |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 127 | {\infty }\frac{{H}_{n}}{n\left( {k + n + 1}\right) }.
\]
(6.149)
Now we rearrange the inner series in (6.149), and reindexing, we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n\left( {k + n + 1}\right) } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{{H}_{n + 1}}{\left( {n + 1}\right) \left( {k + n + 2}\right) } = \frac{1}{k + 2} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n} + 1/\left( {n + 1}\right) }{\left( {n + 1}\right) \left( {k + n + 2}\right) }
\]
\[
= \frac{1}{k + 2} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{\left( {n + 1}\right) \left( {k + n + 2}\right) } + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}\left( {k + n + 2}\right) }
\]
\{make use of the result in (4.21), the case \( m = 1 \) \}
\[
= \frac{1}{k + 2} + \frac{{H}_{k + 1}^{2} + {H}_{k + 1}^{\left( 2\right) }}{2\left( {k + 1}\right) } + \frac{1}{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}} - \frac{1}{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{\left( {n + 1}\right) \left( {k + n + 2}\right) }
\]
\[
\text{\{employ the elementary result,}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{\left( {n + 1}\right) \left( {k + n + 2}\right) } = \frac{{H}_{k + 2}}{k + 1} - \frac{1}{k + 1}
\]
\[
= \frac{1}{k + 2} + \frac{{H}_{k + 1}^{2} + {H}_{k + 1}^{\left( 2\right) }}{2\left( {k + 1}\right) } + \frac{\zeta \left( 2\right) - 1}{k + 1} - \frac{{H}_{k + 2}}{{\left( k + 1\right) }^{2}} + \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{2}}
\]
\[
= \frac{{H}_{k + 1}^{2} + {H}_{k + 1}^{\left( 2\right) }}{2\left( {k + 1}\right) } + \frac{\zeta \left( 2\right) }{k + 1} - \frac{{H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{2}}.
\]
(6.150)
Upon plugging the result from (6.150) in (6.149), we obtain
\[
\frac{1}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} + \frac{2}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{k + 1} - \frac{1}{k + 1}\right) }^{2} - \left( {{H}_{k + 1}^{\left( 2\right) } - \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{2}}}\right) }{k + 1}\left( {\frac{{H}_{k + 1}^{2} + {H}_{k + 1}^{\left( 2\right) }}{2\left( {k + 1}\right) } + \frac{\zeta \left( 2\right) }{k + 1} - \frac{{H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{2}}}\right)
\]
\{reindex the series, expand it, and replace \( k \) by \( n \) \}
\[
= \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{2}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{3}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{4}} + \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{2}} - {2\zeta }\left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{5}}
\]
\[
- \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} - \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{2}} + {2\zeta }\left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{4}},
\]
whence we get
\[
\frac{1}{6}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}}
\]
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{3}} - 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{4}} - \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{2}} + {2\zeta }\left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{5}} + \frac{2}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}}
\]
\[
+ \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{2}} - {2\zeta }\left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{4}}
\]
\{make use of the linear Euler sum in (3.45), the cases \( n = 3,5 \), then\} \{the values of the series in (4.35), (4.31), (4.29), (4.37), (4.14), where we set\} \( \{ p = 2 \), with \( n \rightarrow \infty ,\left( {6.71}\right) \) and (4.15), where we set \( p = 2 \), with \( n \rightarrow \infty \} \)
\[
= \frac{487}{144}\zeta \left( 6\right) - \frac{3}{2}{\zeta }^{2}\left( 3\right)
\]
and thus we have a second relation between the two main series,
\[
\frac{1}{6}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} = \frac{487}{144}\zeta \left( 6\right) - \frac{3}{2}{\zeta }^{2}\left( 3\right) .
\]
(6.151)
Combining the results in (6.148) and (6.151), we conclude that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{2}} = \frac{979}{24}\zeta \left( 6\right) + 3{\zeta }^{2}\left( 3\right) ;\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} = \frac{41}{12}\zeta \left( 6\right) + 2{\zeta }^{2}\left( 3\right) ,
\]
and the solution is complete.
Another solution may be constructed by combining the calculation of \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} \) in the previous section with either the identity in (6.148) or (6.151).
Also, a slightly modified version of the series \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{\left( n + 1\right) }^{2}} \), from which we can obtain the given series, appears in [54].
## 6.32 Four Sums with Harmonic Series Involving the Generalized Harmonic Numbers of Order 1, 2, 3, 4, 5, and 6, Originating from The Master Theorem of Series
Solution This section opens the gates to four sums with harmonic series where we'll want to focus on calculating them together rather than trying to calculate each series separately, and this will find pretty useful in some sections. Why? Because, as you already saw in the previous sections, the strategy of extracting the values of the harmonic series is based on creating useful relations with harmonic series. On the other hand, in the third chapter, in Sect. 3.36, we saw that such series relations are very useful when trying to calculate some integrals.
For the point \( i \) ) of the problem, we use the result in (4.21), the case \( m = 3 \), and we have
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) } = \frac{1}{n}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 2}}^{3}{\left( -1\right) }^{i - 1}\zeta \left( i\right) {H}_{n}^{\left( 3 - i + 1\right) }}\right)
\]
\[
= \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{3}} - \zeta \left( 2\right) \frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{n} + \zeta \left( 3\right) \frac{{H}_{n}}{n}.
\]
(6.152)
Upon multiplying the opposite sides of the relation in (6.152) by \( 1/n \), and then considering the sum from \( n = 1 \) to \( \infty \), we obtain
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{3}}}\right) - \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} + \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}
\]
\{for the first series change the summation order\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = i}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{3}{n}^{2}}}\right) - \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} + \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}
\]
\[
\text{\{use that}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = i}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{3}{n}^{2}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = i + 1}}^{\infty } + \mathop{\sum }\limits_{{n = i}}^{i}}\right) \frac{{H}_{i}}{{i}^{3}{n}^{2}}
\]
\[
\left. { = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = i + 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{3}{n}^{2}}}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{5}}}\right\}
\]
\[
\left\{ { = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{3}}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{i}^{\left( 2\right) }}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{5}} = \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}{H}_{i}^{\left( 2\right) }}{{i}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{5}}}\right\}
\]
\[
= \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{5}} - \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} + \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}
\]
\{make use of the classical Euler sum in (3.45), the cases \( n = 2,3,5 \), and for\}
\{the fourth series make use of the result in (4.14), the case \( p |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 128 | t( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{i}^{\left( 2\right) }}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{5}} = \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}{H}_{i}^{\left( 2\right) }}{{i}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{5}}}\right\}
\]
\[
= \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{5}} - \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} + \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}
\]
\{make use of the classical Euler sum in (3.45), the cases \( n = 2,3,5 \), and for\}
\{the fourth series make use of the result in (4.14), the case \( p = 2 \), with \( n \rightarrow \infty \) \}
\[
= \frac{7}{8}\zeta \left( 6\right) + \frac{3}{2}{\zeta }^{2}\left( 3\right) - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) n}}\right)
\]
\{reverse the order of summation in the double series\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) n}}\right)
\]
\[
\left\{ {\text{ write that }\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n\left( {n + k + 1}\right) } = \frac{{H}_{k + 1}}{k + 1}}\right\}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k + 1}{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{\left( k + 1\right) }^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k + 1}\left( {{H}_{k + 1}^{\left( 3\right) } - 1/{\left( k + 1\right) }^{3}}\right) }{{\left( k + 1\right) }^{2}}
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{k}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{5}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} + \frac{1}{2}{\zeta }^{2}\left( 3\right) - \frac{7}{4}\zeta \left( 6\right) ,
\]
whence we obtain that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} = \frac{21}{8}\zeta \left( 6\right) + {\zeta }^{2}\left( 3\right) ,
\]
and the point \( i \) ) of the problem is finalized.
Both series have been calculated in the previous sections where I mentioned that knowing the value of either of the two series will lead to the extraction of the other one with the help of this identity.
Next, for the point \( {ii} \) ) of the problem, using the result in (4.21), the case \( m = 4 \) , we obtain
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 4\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) } = - \frac{1}{n}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 2}}^{4}{\left( -1\right) }^{i - 1}\zeta \left( i\right) {H}_{n}^{\left( 4 - i + 1\right) }}\right)
\]
\[
= - \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{4}} + \zeta \left( 2\right) \frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{n} - \zeta \left( 3\right) \frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{n} + \zeta \left( 4\right) \frac{{H}_{n}}{n}.
\]
(6.153)
Upon multiplying the opposite sides of the relation in (6.153) by \( 1/n \), and then considering the sum from \( n = 1 \) to \( \infty \), we obtain
\[
- \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{4}}}\right) + \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} - \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} + \zeta \left( 4\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}
\]
\{change the summation order in the first series\}
\[
= - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = i}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{4}{n}^{2}}}\right) + \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} - \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} + \zeta \left( 4\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}
\]
\[
\text{\{use that}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = i}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{4}{n}^{2}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = i + 1}}^{\infty } + \mathop{\sum }\limits_{{n = i}}^{i}}\right) \frac{{H}_{i}}{{i}^{4}{n}^{2}}
\]
\[
\left. { = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = i + 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{4}{n}^{2}}}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{6}}}\right\}
\]
\[
\left\{ { = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{4}}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{i}^{\left( 2\right) }}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{6}} = \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}{H}_{i}^{\left( 2\right) }}{{i}^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{6}}}\right\}
\]
\[
= - \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{6}} + \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} - \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}}
\]
\[
+ \zeta \left( 4\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}
\]
\{make use of the classical Euler sum in (3.45), the cases \( n = 2,4,6 \) ,\}
\{and also consider the results in (6.68) and (4.14), with \( p = 2 \) \}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} + \frac{7}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{5}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {4\zeta }\left( 7\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 4\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 4\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) n}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k + 1}{H}_{k}^{\left( 4\right) }}{{\left( k + 1\right) }^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k + 1}\left( {{H}_{k + 1}^{\left( 4\right) } - 1/{\left( k + 1\right) }^{4}}\right) }{{\left( k + 1\right) }^{2}}
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 4\right) }}{{k}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{6}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{2}} + \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + \zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {4\zeta }\left( 7\right) ,
\]
whence we get that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} = \frac{1}{2}\left( {{5\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{9}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) }\right) ,
\]
and the point \( {ii} \) ) of the problem is finalized.
Further, for the point iii) of the problem we make use of the result in (4.21), the case \( m = 5 \), that gives
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 5\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) } = \frac{1}{n}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{5}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 2}}^{5}{\left( -1\right) }^{i - 1}\zeta \left( i\right) {H}_{n}^{\left( 5 - i + 1\right) }}\right)
\]
\[
= \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{5}} - \zeta \left( 2\right) \frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{n} + \zeta \left( 3\right) \frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{n} - \zeta \left( 4\right) \frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{n} + \zeta \left( 5\right) \frac{{H}_{n}}{n}.
\]
(6.154)
Multiplying the opposite sides of the relation in (6.154) by \( 1/n \) and then considering the summation from \( n = 1 \) to \( \infty \), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{5}}}\right) - \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{2}} + \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} - \zeta \left( 4\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} + \zeta \left( 5\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}
\]
\{for the first series change the summation order\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = i}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{5}{n}^{2}}}\right) - \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 129 | ( 2\right) }}{n} + \zeta \left( 5\right) \frac{{H}_{n}}{n}.
\]
(6.154)
Multiplying the opposite sides of the relation in (6.154) by \( 1/n \) and then considering the summation from \( n = 1 \) to \( \infty \), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{5}}}\right) - \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{2}} + \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} - \zeta \left( 4\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} + \zeta \left( 5\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}
\]
\{for the first series change the summation order\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = i}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{5}{n}^{2}}}\right) - \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{2}} + \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} - \zeta \left( 4\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} + \zeta \left( 5\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}
\]
\[
\text{ \{use that }\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = i}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{5}{n}^{2}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = i + 1}}^{\infty } + \mathop{\sum }\limits_{{n = i}}^{i}}\right) \frac{{H}_{i}}{{i}^{5}{n}^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = i + 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{5}{n}^{2}}}\right)
\]
\[
\left. {+\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{7}}}\right\}
\]
\[
\left\{ { = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{5}}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{i}^{\left( 2\right) }}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{7}} = \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{5}} - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}{H}_{i}^{\left( 2\right) }}{{i}^{5}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{7}}}\right\}
\]
\[
= \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{5}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{5}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{7}} - \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{2}} + \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}}
\]
\[
- \zeta \left( 4\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} + \zeta \left( 5\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}
\]
\{make use of the classical Euler sum in (3.45), the cases \( n = 2,5,7 \), and also \( \} \) \( \{ \) consider the results in (6.72),(6.68), and (4.14), the case \( p = 2 \), with \( n \rightarrow \infty \} \)
\[
= - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{5}} - \frac{145}{72}\zeta \left( 8\right) - \frac{3}{2}\zeta \left( 2\right) {\zeta }^{2}\left( 3\right) + \frac{13}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 5\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 5\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 5\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) n}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k + 1}{H}_{k}^{\left( 5\right) }}{{\left( k + 1\right) }^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k + 1}\left( {{H}_{k + 1}^{\left( 5\right) } - 1/{\left( k + 1\right) }^{5}}\right) }{{\left( k + 1\right) }^{2}}
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 5\right) }}{{k}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{7}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 5\right) }}{{n}^{2}} - \frac{9}{4}\zeta \left( 8\right) + \zeta \left( 3\right) \zeta \left( 5\right) ,
\]
whence we get that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 5\right) }}{{n}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{5}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{17}{36}\zeta \left( 8\right) + {11\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 5\right) - {3\zeta }\left( 2\right) {\zeta }^{2}\left( 3\right) }\right) ,
\]
and the point iii) of the problem is finalized.
As regards the last point of the problem, we use the result in (4.21), the case \( m = 6 \), that yields
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 6\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) } = - \frac{1}{n}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{6}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 2}}^{6}{\left( -1\right) }^{i - 1}\zeta \left( i\right) {H}_{n}^{\left( 6 - i + 1\right) }}\right)
\]
\[
= - \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{6}} + \zeta \left( 2\right) \frac{{H}_{n}^{\left( 5\right) }}{n} - \zeta \left( 3\right) \frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{n} + \zeta \left( 4\right) \frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{n} - \zeta \left( 5\right) \frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{n} + \zeta \left( 6\right) \frac{{H}_{n}}{n}.
\]
(6.155)
Multiplying the opposite sides of the relation in (6.155) by \( 1/n \) and then considering the summation from \( n = 1 \) to \( \infty \), we get
\[
- \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{6}}}\right) + \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 5\right) }}{{n}^{2}} - \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{2}} + \zeta \left( 4\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}}
\]
\[
- \zeta \left( 5\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} + \zeta \left( 6\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}
\]
\{change the summation order in the first series\}
\[
= - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = i}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{6}{n}^{2}}}\right) + \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 5\right) }}{{n}^{2}} - \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{2}} + \zeta \left( 4\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}}
\]
\[
- \zeta \left( 5\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} + \zeta \left( 6\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}
\]
\[
\text{\{use that}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = i}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{6}{n}^{2}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = i + 1}}^{\infty } + \mathop{\sum }\limits_{{n = i}}^{i}}\right) \frac{{H}_{i}}{{i}^{6}{n}^{2}}
\]
\[
\left. { = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = i + 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{6}{n}^{2}}}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{8}}}\right\}
\]
\[
\left\{ { = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{6}}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{i}^{\left( 2\right) }}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{8}} = \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{6}} - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}{H}_{i}^{\left( 2\right) }}{{i}^{6}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{8}}}\right\}
\]
\[
= - \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{6}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{6}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{8}} + \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 5\right) }}{{n}^{2}} - \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{2}}
\]
\[
+ \zeta \left( 4\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} - \zeta \left( 5\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} + \zeta \left( 6\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}
\]
\{use the classical Euler sum in (3.45), the cases \( n = 2,6,8 \), and also consider\}
\( \{ \) the results in (6.76),(6.72),(6.68), and (4.14), the case \( p = 2 \), with \( n \rightarrow \infty \} \)
\[
= {8\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 7\right) - \frac{16}{3}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 6\right) + {\zeta }^{3}\left( 3\right) - \frac{11}{4}\zeta \left( 4\right) \zeta \left( 5\right) - {5\zeta }\left( 9\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{6}}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 6\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\l |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 130 | ght) }}{{n}^{2}} - \zeta \left( 5\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} + \zeta \left( 6\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}
\]
\{use the classical Euler sum in (3.45), the cases \( n = 2,6,8 \), and also consider\}
\( \{ \) the results in (6.76),(6.72),(6.68), and (4.14), the case \( p = 2 \), with \( n \rightarrow \infty \} \)
\[
= {8\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 7\right) - \frac{16}{3}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 6\right) + {\zeta }^{3}\left( 3\right) - \frac{11}{4}\zeta \left( 4\right) \zeta \left( 5\right) - {5\zeta }\left( 9\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{6}}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 6\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 6\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) n}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k + 1}{H}_{k}^{\left( 6\right) }}{{\left( k + 1\right) }^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{H}_{k + 1}^{\left( 6\right) } - 1/{\left( k + 1\right) }^{6}}\right) {H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{2}}
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 6\right) }}{{k}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{8}}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 6\right) }}{{n}^{2}} + \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 7\right) + \zeta \left( 3\right) \zeta \left( 6\right) + \zeta \left( 4\right) \zeta \left( 5\right) - {5\zeta }\left( 9\right) ,
\]
whence we obtain that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 6\right) }}{{n}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{6}} = {7\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 7\right) - \frac{19}{3}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 6\right) - \frac{15}{4}\zeta \left( 4\right) \zeta \left( 5\right) + {\zeta }^{3}\left( 3\right) ,
\]
and the point \( {iv} \) ) of the problem is finalized.
As a final note, the most difficult series we needed to establish the present results have been the ones evaluated in Sect. 6.21.
6.33 Awesomely Wicked Sums of Series of Weight 7,
\( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} \) and \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{3}} \), Originating from a
Strong Generalized Sum: The First Part
Solution How did the derivations of the series of weight 4,5 , and 6 seem to you so far in terms of difficulty (assuming you went through those related sections)? One simple observation, as we go toward the series of higher weights, is that the extraction process of the series seems to get more and more complicated. Then keep in mind my plan is to derive the series of weight 7 by series manipulations only.
Where should we start from? In a previous section I said that one of the best strategies to extract the harmonic series is to build up (useful) relations with harmonic series. For example, remember that such relations we have in Sect. 4.32. So far so good. Looks like we need more distinct relations in order to be able to extract the series of weight 7 .
Let’s start by considering the identity in (4.16), the case \( m = 1 \), where if we multiply both sides by \( 1/{n}^{5} \) and then consider the summation from \( n = 1 \) to \( \infty \), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{{H}_{k}}{{n}^{5}\left( {n - k}\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{5}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{5}}.
\]
(6.156)
Using the series values from (4.32) and (6.75) in the right-hand side of (6.156), we obtain
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{{H}_{k}}{{n}^{5}\left( {n - k}\right) }}\right) = {16\zeta }\left( 7\right) - {6\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{9}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) .
\]
(6.157)
Further, for left-hand side of (6.157), considering the change of summation order, we have
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{{H}_{k}}{{n}^{5}\left( {n - k}\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = k + 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{n}^{5}\left( {n - k}\right) }}\right)
\]
\{reindex the inner series and start from \( n = 1 \) \}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{n{\left( n + k\right) }^{5}}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{n{k}^{4}\left( {k + n}\right) }}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{k{\left( k + n\right) }^{5}}}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}{\left( k + n\right) }^{4}}}\right)
\]
6.33 Awesomely Wicked Sums of Series of Weight 7, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} \) and...
\[
- \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{3}{\left( k + n\right) }^{3}}}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{4}{\left( k + n\right) }^{2}}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{5}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{k}\left( {\zeta \left( 5\right) - {H}_{k}^{\left( 5\right) }}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}}\left( {\zeta \left( 4\right) - {H}_{k}^{\left( 4\right) }}\right)
\]
\[
- \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{3}}\left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{k}^{\left( 3\right) }}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{4}}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{5}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{k}\left( {\zeta \left( 5\right) - {H}_{k}^{\left( 5\right) }}\right) - \zeta \left( 4\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 4\right) }}{{k}^{2}} - \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{3}}
\]
\[
+ \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{k}^{3}} - \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}}
\]
\{make use of the classical Euler sum in (3.45), the cases \( n = 2,3,4 \) ,
\{the results in (4.32), (4.71), and (4.41), where we use the latter identity \}
\[
\left\{ {\text{ for expressing }\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 4\right) }}{{k}^{2}}\text{ in terms of }\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}}}\right\}
\]
\[
= {12\zeta }\left( 7\right) - \frac{9}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{25}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{k}^{3}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}}.
\]
(6.158)
If we combine (6.157) and (6.158), we obtain that
\[
2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{3}} = {4\zeta }\left( 7\right) + \frac{7}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \frac{3}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) ,
\]
and the solution is complete.
You may have noticed that during the calculations we met a series with the tail of the Riemann zeta function of the type, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n}\left( {\zeta \left( k\right) - {H}_{n}^{\left( k\right) }}\right) \), more exactly the case \( k = 5 \) we’ll meet in Sect. 4.45.
6.34 Awesomely Wicked Sums of Series of Weight 7,
\( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} \) and \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} \), Originating from a
Strong Generalized Sum: The Second Part
Solution In our pursuit of getting another relation with harmonic series of weight 7 , we continue with using another particular case of the generalization used in the previous section. Basically, we proceed similarly as before and do the calculations by series manipulations only.
We return to the generalization given in (4.16), the case \( m = 2 \), where if we multiply both sides by \( 1/{n}^{4} \) and then consider the summation from \( n = 1 \) to \( \infty \), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}\left( {n - k}\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}{n}^{4}}}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n} |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 131 | \sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} \), Originating from a
Strong Generalized Sum: The Second Part
Solution In our pursuit of getting another relation with harmonic series of weight 7 , we continue with using another particular case of the generalization used in the previous section. Basically, we proceed similarly as before and do the calculations by series manipulations only.
We return to the generalization given in (4.16), the case \( m = 2 \), where if we multiply both sides by \( 1/{n}^{4} \) and then consider the summation from \( n = 1 \) to \( \infty \), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}\left( {n - k}\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}{n}^{4}}}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{4}}.
\]
(6.159)
Now, changing the summation order for the first series in the right-hand side of (6.159), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}{n}^{4}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = k}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}{n}^{4}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}}\left( {\frac{1}{{k}^{4}} + \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{4}} + \frac{1}{{\left( k + 2\right) }^{4}} + \cdots }\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}}\left( {\frac{1}{{k}^{4}} + \zeta \left( 4\right) - {H}_{k}^{\left( 4\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{6}} + \zeta \left( 4\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 4\right) }}{{k}^{2}}
\]
\{make use of the classical Euler sum in (3.45), the cases \( n = 2 \) and \( n = 6 \) \}
\[
= {4\zeta }\left( 7\right) + \zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 4\right) }}{{k}^{2}}.
\]
(6.160)
Then, plugging the results from (6.160) and (6.80) in (6.159) gives
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}\left( {n - k}\right) }}\right) = \zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) + {19\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - {32\zeta }\left( 7\right)
\]
\[
+ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{2}}
\]
6.34 Awesomely Wicked Sums of Series of Weight 7, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} \) and...
and if we use the relation in (4.41), we obtain
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}\left( {n - k}\right) }}\right) = \frac{13}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) + \frac{33}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - {32\zeta }\left( 7\right) .
\]
(6.161)
For the left-hand side of (6.161), we change the summation order, and then we have
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}\left( {n - k}\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = k + 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}\left( {n - k}\right) }}\right)
\]
\{reindex the inner series and start from \( n = 1 \) to \( \infty \) \}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{n{\left( n + k\right) }^{4}}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n\left( {n + k}\right) }}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{k}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( k + n\right) }^{4}}}\right)
\]
\[
- \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( k + n\right) }^{3}}}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( k + n\right) }^{2}}}\right)
\]
for the inner series of the first double series, use that \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n\left( {n + k}\right) } = \frac{{H}_{k}}{k} \)
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{k}\left( {\zeta \left( 4\right) - {H}_{k}^{\left( 4\right) }}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}}\left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{k}^{\left( 3\right) }}\right)
\]
\[
- \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{k}\left( {\zeta \left( 4\right) - {H}_{k}^{\left( 4\right) }}\right) - \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{k}^{2}}
\]
\[
- \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{k}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{k}^{3}}.
\]
(6.162)
Now, for the second series in (6.162), we consider the series \( \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}\left( {\zeta \left( 4\right) - {H}_{k}^{\left( 4\right) }}\right) }{{k}^{2}} \)
where we apply Abel’s summation (see (5.1)) with \( {a}_{k} = 1/{k}^{2} \) and \( {b}_{k} = {H}_{k}(\zeta \left( 4\right) - \) \( \left. {H}_{k}^{\left( 4\right) }\right) \) that gives
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}\left( {\zeta \left( 4\right) - {H}_{k}^{\left( 4\right) }}\right) }{{k}^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{H}_{k}^{\left( 2\right) }\left( {{H}_{k}\left( {\zeta \left( 4\right) - {H}_{k}^{\left( 4\right) }}\right) - {H}_{k + 1}\left( {\zeta \left( 4\right) - {H}_{k + 1}^{\left( 4\right) }}\right) }\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {{H}_{k + 1}^{\left( 2\right) } - 1/{\left( k + 1\right) }^{2}}\right) \left( {\left( {{H}_{k + 1} - 1/\left( {k + 1}\right) }\right) \left( {\zeta \left( 4\right) - {H}_{k + 1}^{\left( 4\right) } + 1/{\left( k + 1\right) }^{4}}\right) }\right.
\]
\[
\left. {-{H}_{k + 1}\left( {\zeta \left( 4\right) - {H}_{k + 1}^{\left( 4\right) }}\right) }\right)
\]
\{reindex the series and carefully expand it\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{7}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{6}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{5}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 4\right) }}{{k}^{3}} + \zeta \left( 4\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}}
\]
\[
- \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{k}\left( {\zeta \left( 4\right) - {H}_{k}^{\left( 4\right) }}\right)
\]
\{make use of the linear Euler sum in (3.45), the case \( n = 6 \), and\}
\{the values of the 3rd and 5th series are given in (6.75) and (6.79)\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{k}\left( {\zeta \left( 4\right) - {H}_{k}^{\left( 4\right) }}\right) + {24\zeta }\left( 7\right) - {14\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) ,
\]
from which we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{k}\left( {\zeta \left( 4\right) - {H}_{k}^{\left( 4\right) }}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}} - \zeta \left( 4\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 4\right) }}{{k}^{2}} + {24\zeta }\left( 7\right) - {14\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right)
\]
\{make use of the classical Euler sum in (3.45), the case \( n = 2 \), and then\}
\[
\left\{ {\text{ express }\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 4\right) }}{{k}^{2}}\text{ in terms of }\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}}\text{ using the identity in (4.41) }}\right\}
\]
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}} + {24\zeta }\left( 7\right) - \frac{23}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{21}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) .
\]
(6.163)
6.35 Awesomely Wicked Sums of Series of Weight 7, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\ |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 132 | ^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 4\right) }}{{k}^{2}} + {24\zeta }\left( 7\right) - {14\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right)
\]
\{make use of the classical Euler sum in (3.45), the case \( n = 2 \), and then\}
\[
\left\{ {\text{ express }\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 4\right) }}{{k}^{2}}\text{ in terms of }\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}}\text{ using the identity in (4.41) }}\right\}
\]
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}} + {24\zeta }\left( 7\right) - \frac{23}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{21}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) .
\]
(6.163)
6.35 Awesomely Wicked Sums of Series of Weight 7, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}},\ldots \)
Further, for the third series in (6.162), we make use of (4.14) where we set \( p = 2 \) and then let \( n \rightarrow \infty \) ,
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}} = \frac{7}{4}\zeta \left( 4\right)
\]
(6.164)
Next, for the sixth series in (6.162), we consider the identity in (4.47),
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{k}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{k}^{3}} = \frac{13}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {3\zeta }\left( 7\right) - 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{k}^{2}}.
\]
(6.165)
By collecting the series results from (6.163), (6.164), (6.165), and (6.67) in (6.162), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}\left( {n - k}\right) }}\right)
\]
\[
= {16\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + \frac{5}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {27\zeta }\left( 7\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{k}^{2}}.
\]
(6.166)
Finally, by combining (6.161) and (6.166), we conclude that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} = {5\zeta }\left( 7\right) - \frac{1}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{3}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) ,
\]
and the solution is complete.
In the calculations we also needed a result from Sect. 4.36, which is easy to obtain by Abel's summation (as we'll see in its dedicated section).
6.35 Awesomely Wicked Sums of Series of Weight 7,
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}},\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}}\text{and}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}}\text{, Derivation}
\]
Based upon a New Identity: The Third Part
Solution An immediate remark from the very beginning of the section is that both here and in the last two sections we have obtained relations where each one contains the series \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} \) which seems to play the part of a pivot, central element.
In the following I'll establish a relation between three series of weight 7 which is important in the derivation process of the harmonic series of weight 7 , and not only there. For example, the present relation together with the relations obtained in the last two sections will be proving to be the keys for solving an excellent challenging question from one of the next sections (you'll want to discover alone).
Let's start by considering the identity in (4.17) where if we multiply both sides by \( 1/{n}^{4} \), and then consider the sum from \( n = 1 \) to \( \infty \), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{{H}_{k}^{2}}{{n}^{4}\left( {n - k}\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{H}_{k}}{{n}^{4}{k}^{2}}}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{4}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}}.
\]
(6.167)
For the left-hand side of (6.167), we change the order of summation, and then we have
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{{H}_{k}^{2}}{{n}^{4}\left( {n - k}\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = k + 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{n}^{4}\left( {n - k}\right) }}\right)
\]
\{reindex the inner series and start from \( n = 1 \) to \( \infty \) \}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{n{\left( n + k\right) }^{4}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n\left( {n + k}\right) }}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{k}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + k\right) }^{4}}}\right)
\]
\[
- \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + k\right) }^{3}}}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + k\right) }^{2}}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{k}\left( {\zeta \left( 4\right) - {H}_{k}^{\left( 4\right) }}\right) - \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{k}^{2}} - \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{3}}
\]
\[
+ \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}}
\]
\{for the 3rd and 5th series make use of the series results in (4.29) and (4.30)\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{k}\left( {\zeta \left( 4\right) - {H}_{k}^{\left( 4\right) }}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{k}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}}
\]
\[
- \frac{7}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{7}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right)
\]
(6.168)
6.35 Awesomely Wicked Sums of Series of Weight 7, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}},\ldots \)
Now, for the second series in (6.168), we apply Abel's summation (see (5.1)), where we set \( {a}_{k} = 1/k \) and \( {b}_{k} = {H}_{k}^{2}\left( {\zeta \left( 4\right) - {H}_{k}^{\left( 4\right) }}\right) \), and then we have
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{k}\left( {\zeta \left( 4\right) - {H}_{k}^{\left( 4\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{H}_{k}\left( {{H}_{k}^{2}\left( {\zeta \left( 4\right) - {H}_{k}^{\left( 4\right) }}\right) - {H}_{k + 1}^{2}\left( {\zeta \left( 4\right) - {H}_{k + 1}^{\left( 4\right) }}\right) }\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {{H}_{k + 1} - 1/\left( {k + 1}\right) }\right) \left( {{\left( {H}_{k + 1} - 1/\left( k + 1\right) \right) }^{2}\left( {\zeta \left( 4\right) - {H}_{k + 1}^{\left( 4\right) } + 1/{\left( k + 1\right) }^{4}}\right) }\right.
\]
\[
\left. {-{H}_{k + 1}^{2}\left( {\zeta \left( 4\right) - {H}_{k + 1}^{\left( 4\right) }}\right) }\right)
\]
\{reindex the series and carefully expand it\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{4}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{k}\left( {\zeta \left( 4\right) - {H}_{k}^{\left( 4\right) }}\right) - 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 4\right) }}{{k}^{2}} - 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{5}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 4\right) }}{{k}^{3}}
\]
\[
+ {3\zeta }\left( 4\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{6}} - \zeta \left( 4\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{7}}
\]
\{make use of the results in (3.45), the cases \( n = 2,6,\left( {4.32}\right) ,\left( {6.79}\right) \) ,
\[
\left\{ {\text{ and consider }\left( {4.41}\right) \text{ to express }\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 4\right) }}{{k}^{2}}\text{ in terms of }\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}}}\right\}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{4}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{k}\left( {\zeta \left( 4\right) - {H}_{k}^{\left( 4\right) }}\right) - 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}} - {24\zeta }\left( 7\right) + \frac{5}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right)
\]
\[
+ \frac{69}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right)
\]
from |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 133 | - \zeta \left( 4\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{7}}
\]
\{make use of the results in (3.45), the cases \( n = 2,6,\left( {4.32}\right) ,\left( {6.79}\right) \) ,
\[
\left\{ {\text{ and consider }\left( {4.41}\right) \text{ to express }\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 4\right) }}{{k}^{2}}\text{ in terms of }\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}}}\right\}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{4}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{k}\left( {\zeta \left( 4\right) - {H}_{k}^{\left( 4\right) }}\right) - 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}} - {24\zeta }\left( 7\right) + \frac{5}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right)
\]
\[
+ \frac{69}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right)
\]
from which we obtain
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{k}\left( {\zeta \left( 4\right) - {H}_{k}^{\left( 4\right) }}\right)
\]
\[
= \frac{1}{3}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}} - {8\zeta }\left( 7\right) + \frac{5}{6}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + \frac{23}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) .
\]
(6.169)
Next, if we consider the result from (6.169) in (6.168), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{{H}_{k}^{2}}{{n}^{4}\left( {n - k}\right) }}\right) = \frac{2}{3}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{k}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}}
\]
\[
- \frac{13}{3}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{15}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) + {8\zeta }\left( 7\right)
\]
(6.170)
Further, for the first series in the right-hand side of (6.167), we change the summation order, and then we write
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{H}_{k}}{{n}^{4}{k}^{2}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = k}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{n}^{4}{k}^{2}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}}\left( {\frac{1}{{k}^{4}} + \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{4}} + \frac{1}{{\left( k + 2\right) }^{4}} + \cdots }\right)
\]
(6.171)
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}}\left( {\frac{1}{{k}^{4}} + \zeta \left( 4\right) - {H}_{k}^{\left( 4\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{6}} + \zeta \left( 4\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 4\right) }}{{k}^{2}}
\]
\{make use of the Euler sum in (3.45), the cases \( n = 2,6 \) \}
\[
= \zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + {4\zeta }\left( 7\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 4\right) }}{{k}^{2}}
\]
\{employ the result in (4.41)\}
\[
= \frac{13}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \frac{7}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + {4\zeta }\left( 7\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}}.
\]
(6.172)
If we plug the result from (6.172) in (6.167), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{{H}_{k}^{2}}{{n}^{4}\left( {n - k}\right) }}\right) = \frac{13}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \frac{7}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + {4\zeta }\left( 7\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{4}} - 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}}.
\]
(6.173)
Putting together the results from (6.170) and (6.173), we obtain that
\[
4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} - \frac{1}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}}
\]
\[
= \frac{5}{6}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + \frac{43}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {4\zeta }\left( 7\right) .
\]
(6.174)
If we plug the result from (4.50) in (6.174), we conclude that
\[
3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} = \frac{23}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \frac{1}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + {4\zeta }\left( 7\right) ,
\]
and the solution is complete.
The campaign of establishing relations with the series of weight 7 will not end here, and it will continue in some of the next sections. We need them in order to extract the series of weight 7 .
## 6.36 Deriving More Useful Sums of Harmonic Series of Weight 7
Solution Continuing the pursuit of getting identities with harmonic series of weight 7 , in this section we'll try to derive one of the given results by simply applying Abel's summation, and we'll view the other two as products of the combination of other identities with harmonic series.
For the part \( i \) ) of the problem we apply Abel’s summation (see (5.1)) where we set \( {a}_{n} = 1/{n}^{2} \) and \( {b}_{n} = {H}_{n}^{\left( 2\right) }{H}_{n}^{\left( 3\right) } \), and we are led to
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} = \underset{5/{2\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right) }{\underbrace{\mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow \infty }}{H}_{N}^{\left( 2\right) }{H}_{N + 1}^{\left( 2\right) }{H}_{N + 1}^{\left( 3\right) }}}
\]
\[
\left. {+\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{H}_{n}^{\left( 2\right) }\left( {{H}_{n}^{\left( 2\right) }{H}_{n}^{\left( 3\right) } - \left( {{H}_{n}^{\left( 2\right) } + \frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}}}\right) \left( {{H}_{n}^{\left( 3\right) } + \frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{3}}}\right) }\right) }\right) = \frac{5}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right)
\]
\[
- \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n + 1}^{\left( 2\right) } - \frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}}}{{\left( n + 1\right) }^{5}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n + 1}^{\left( 2\right) } - \frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}}\right) }^{2}}{{\left( n + 1\right) }^{3}}
\]
\[
- \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{H}_{n + 1}^{\left( 2\right) } - \frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}}}\right) \left( {{H}_{n + 1}^{\left( 3\right) } - \frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{3}}}\right) }{{\left( n + 1\right) }^{2}}
\]
\{reindex the series and expand them\}
\[
= \frac{5}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{7}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{5}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}}
\]
\{make use of the values of the series given in (6.75) and (6.80)\}
\[
= \frac{13}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {3\zeta }\left( 7\right) - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}},
\]
whence we get
\[
2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{3}} = \frac{13}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {3\zeta }\left( 7\right) ,
\]
and the part \( i \) ) of the problem is complete.
Further, the result from the point \( {ii} \) ) is obtained immediately if we combine the identities in (4.45) and (4.47), which yields
\[
2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{3}} = {13\zeta }\left( 7\right) - \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - {8\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right) ,
\]
and the part \( {ii} \) ) of the problem is complete.
Next, passing to the point iii), we consider the identities in (4.51) and (4.52) where if we multiply the former by \( 3/2 \) and add it to the latter one, we get
\[
6\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{4}} - \frac{5}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{3}} + 7\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} = \frac{27}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{35}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) + \frac{13}{2}\zeta \left( 7\right) ,
\]
that if we also combine with the identity in (4.50), we conclude that
\[
{10 |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 134 | }^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{3}} = {13\zeta }\left( 7\right) - \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - {8\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right) ,
\]
and the part \( {ii} \) ) of the problem is complete.
Next, passing to the point iii), we consider the identities in (4.51) and (4.52) where if we multiply the former by \( 3/2 \) and add it to the latter one, we get
\[
6\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{4}} - \frac{5}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{3}} + 7\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} = \frac{27}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{35}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) + \frac{13}{2}\zeta \left( 7\right) ,
\]
that if we also combine with the identity in (4.50), we conclude that
\[
{10}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{4}} - 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{3}} = {75\zeta }\left( 7\right) + {5\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - {63\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right) ,
\]
and the part iii) of the problem is complete.
For getting the last harmonic series identity I needed three of the relations in the next sections. It would also be interesting finding another creative ways of establishing a relation between these two series.
## 6.37 Preparing the Weapons of The Master Theorem of Series to Breach the Fortress of the Challenging Harmonic Series of Weight 7: The 1st Episode
Solution Starting with this section and continuing in the next two sections, I'll prepare three results derived with the applications of The Master Theorem of Series which are of great help in the derivation of the harmonic series of weight 7 .
Let's start out with the first equality of the result in (4.26) where if we multiply both sides by \( 1/{n}^{3} \), and then consider the summation from \( n = 1 \) to \( \infty \), we get
\[
\frac{1}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} + \frac{2}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{4}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2} - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) {n}^{3}}}\right)
\]
\{reverse the order of summation\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2} - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}\left( {k + n + 1}\right) }.
\]
(6.175)
Now, it's easy to see that, by using the partial fraction expansion, the inner series in (6.175) can be written as
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}\left( {k + n + 1}\right) } = \frac{1}{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}} - \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}} + \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n\left( {k + n + 1}\right) }
\]
\[
\left\{ {\text{ make use of the fact that }\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n\left( {k + n + 1}\right) } = \frac{{H}_{k + 1}}{k + 1}}\right\}
\]
\[
= \frac{\zeta \left( 3\right) }{k + 1} - \frac{\zeta \left( 2\right) }{{\left( k + 1\right) }^{2}} + \frac{{H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{3}}.
\]
(6.176)
If we plug the result from (6.176) in (6.175), we get
\[
\frac{1}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} + \frac{2}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{4}}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{k + 1} - 1/\left( k + 1\right) \right) }^{2} - \left( {{H}_{k + 1}^{\left( 2\right) } - 1/{\left( k + 1\right) }^{2}}\right) }{k + 1}
\]
\[
\times \left( {\frac{\zeta \left( 3\right) }{k + 1} - \frac{\zeta \left( 2\right) }{{\left( k + 1\right) }^{2}} + \frac{{H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{3}}}\right)
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{4}} + \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{2}} - \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{3}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{5}} - {2\zeta }\left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{3}} + {2\zeta }\left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{4}}
\]
\[
+ 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{6}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}} - \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}} + \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}} + {2\zeta }\left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}}
\]
\[
- {2\zeta }\left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{5}}
\]
\{use the results in (3.45), the cases \( n = 3,4,6,\left( {4.29}\right) \) ,\}
\[
\{ \left( {4.30}\right) ,\left( {4.32}\right) ,\left( {4.14}\right) \text{with}p = 2\text{and}n \rightarrow \infty \text{,(6.67)}\}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} + {10\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {4\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - {4\zeta }\left( 7\right) ,
\]
whence we get, also using the result in (6.80), that
\[
3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{4}} = {4\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + {15\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {24\zeta }\left( 7\right) ,
\]
(6.177)
and the solution is complete.
The identity used above has proved to be so useful in more situations, and we'll use it again in the next section. Good to know and keep close in our toolbox!
## 6.38 Preparing the Weapons of The Master Theorem of Series to Breach the Fortress of the Challenging Harmonic Series of Weight 7: The 2nd Episode
Solution In order to get the present relation, we would like to exploit again the identity used in the previous section, which stems from combining applications of The Master Theorem of Series. For proving the result we'll need to use both the values of a bunch of harmonic series and relations amongst the harmonic series of weight 7 previously established.
For the beginning, we make use of the first equality of the identity in (4.26) where if we multiply both sides by \( {H}_{n}/{n}^{2} \) and then consider the summation over \( n \) from \( n = 1 \) to \( \infty \), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{H}_{k}^{2} - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}\right) {H}_{n}}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) {n}^{2}}}\right) = \frac{1}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} + \frac{2}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{3}}.
\]
(6.178)
For the left-hand side of (6.178), we change the summation order, and we have
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{H}_{k}^{2} - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}\right) {H}_{n}}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) {n}^{2}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{H}_{k}^{2} - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}\right) {H}_{n}}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) {n}^{2}}}\right)
\]
\[
= \underset{{S}_{1}}{\underbrace{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{H}_{k}^{2} - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}\right) {H}_{n}}{{\left( k + 1\right) }^{2}{n}^{2}}}\right) }} - \underset{{S}_{2}}{\underbrace{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2} - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n\left( {n + k + 1}\right) }}\right) }}.
\]
(6.179)
Now, for \( {S}_{1} \) in (6.179), considering the classical Euler sum in (3.45), the case \( n = 2 \) , we obtain
\[
{S}_{1} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2} - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}}\right)
\]
\[
= {2\zeta }\left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{k + 1} - 1/\left( k + 1\right) \right) }^{2} - {H}_{k + 1}^{\left( 2\right) } + 1/{\left( k + 1\right) }^{2}}{{\left( k + 1\right) }^{2}}
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= {4\zeta }\left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}} - {4\zeta }\left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{3}} + {2\zeta }\left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{2}} - {2\zeta }\left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}}
\]
\{employ the Euler sum in (3.45), the case \( n = 3 \), and then make\}
\{use of the results in (4.29) and (4.14), where |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 135 |
\[
{S}_{1} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2} - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}}\right)
\]
\[
= {2\zeta }\left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{k + 1} - 1/\left( k + 1\right) \right) }^{2} - {H}_{k + 1}^{\left( 2\right) } + 1/{\left( k + 1\right) }^{2}}{{\left( k + 1\right) }^{2}}
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= {4\zeta }\left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}} - {4\zeta }\left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{3}} + {2\zeta }\left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{2}} - {2\zeta }\left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}}
\]
\{employ the Euler sum in (3.45), the case \( n = 3 \), and then make\}
\{use of the results in (4.29) and (4.14), where we set \( p = 2 \) and let \( n \rightarrow \infty \} \)
\[
= {4\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right)
\]
(6.180)
Then, we pass to the series \( {S}_{2} \) from (6.179), and we write
\[
{S}_{2} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2} - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n\left( {n + k + 1}\right) }}\right)
\]
\{reindex the inner series and leave out the term for \( n = 0 \) \}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2} - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\left( {\frac{1}{k + 2} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n} + 1/\left( {n + 1}\right) }{\left( {n + 1}\right) \left( {n + k + 2}\right) }}\right)
\]
\[
= \underset{{S}_{3}}{\underbrace{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2} - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{\left( k + 1\right) }^{2}\left( {k + 2}\right) }}} + \underset{{S}_{4}}{\underbrace{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2} - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{\left( {n + 1}\right) \left( {n + k + 2}\right) }}\right) }}
\]
\[
+ \underset{{S}_{5}}{\underbrace{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2} - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}\left( {n + k + 2}\right) }}\right) }}.
\]
(6.181)
For the series \( {S}_{3} \) in (6.181), we have
\[
{S}_{3} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2} - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{\left( k + 1\right) }^{2}\left( {k + 2}\right) } = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2} - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{\left( k + 1\right) }^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2} - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + 2}\right) }
\]
\{for the second series employ the result in (4.26), the first equality\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{k + 1} - 1/\left( k + 1\right) \right) }^{2} - {H}_{k + 1}^{\left( 2\right) } + 1/{\left( k + 1\right) }^{2}}{{\left( k + 1\right) }^{2}} - 2
\]
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}} - 2
\]
\{use the Euler sum in (3.45), the case \( n = 3 \), and then employ\}
\{the results in (4.29) and (4.14), where we set \( p = 2 \) and let \( n \rightarrow \infty \) \}
\[
= 2\left( {\zeta \left( 4\right) - 1}\right) \text{.}
\]
(6.182)
Note we could have also used the result in (4.26) to calculate \( \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2} - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{\left( k + 1\right) }^{2}} \) .
Returning to the result in (6.181) where we consider \( {S}_{4} \), and then use the result in (4.21), the case \( m = 1 \), we get
\[
{S}_{4} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2} - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{\left( {n + 1}\right) \left( {n + k + 2}\right) }}\right)
\]
\[
= \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{H}_{k}^{2} - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}\right) \left( {{H}_{k + 1}^{2} + {H}_{k + 1}^{\left( 2\right) }}\right) }{{\left( k + 1\right) }^{3}}
\]
\[
= \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{\left( {H}_{k + 1} - 1/\left( k + 1\right) \right) }^{2} - {H}_{k + 1}^{\left( 2\right) } + 1/{\left( k + 1\right) }^{2}}\right) \left( {{H}_{k + 1}^{2} + {H}_{k + 1}^{\left( 2\right) }}\right) }{{\left( k + 1\right) }^{3}}
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{4}}{{k}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}} - \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{k}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{k}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{5}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{5}}
\]
\[
\text{(use the results in (4.48) to express}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{k}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{k}^{3}}\text{in terms of}\left. {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}}}\right\}
\]
\{and note the values of the last two series are given in (4.32) and (6.75)\}
\[
= \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{4}}{{k}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{4}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}} + \frac{5}{2}\zeta \left( 7\right) + \frac{7}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{9}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) .
\]
(6.183)
For the last series in (6.181), we write
\[
{S}_{5} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2} - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}\left( {n + k + 2}\right) }}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2} - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\left( {\frac{1}{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}} - \frac{1}{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{\left( {n + 1}\right) \left( {n + k + 2}\right) }}\right)
\]
\[
\text{make use of the fact that}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{\left( {n + 1}\right) \left( {n + k + 2}\right) } = \frac{{H}_{k + 1}}{k + 1} - \frac{1}{k + 2}\text{,}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{k + 1} - 1/\left( k + 1\right) \right) }^{2} - {H}_{k + 1}^{\left( 2\right) } + 1/{\left( k + 1\right) }^{2}}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\left( {\frac{\zeta \left( 2\right) }{k + 1} - \frac{{H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{2}} - \frac{1}{k + 2}}\right)
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{2}} + \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{3}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{5}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}}
\]
\[
- \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{3}} - {2\zeta }\left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{4}}
\]
\[
- 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{6}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{2}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}}
\]
\[
- 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}} + {2\zeta }\left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{5}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\frac{{H}_{k}}{k} - \frac{{H}_{k}}{k + 1}}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\frac{{H}_{k}^{2}}{k} - \frac{{H}_{k}^{2}}{k + 1}}\right)
\]
\[
- \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{k} - \frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{k + 1}}\right) + 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}}\right)
\]
\{use the Euler sum in (3.45), the cases \( n = 2,3,4,6 \) and the results \( \} \)
\( \{ \) in (4.29),(4.30),(4.32),(4.14) with \( p = 2 \) and \( n \rightarrow \infty \), and (6.67) \( \} \)
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{4}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\frac{{H}_{k}}{k} - \frac{{H}_{k + 1}}{k + 1}}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\frac{{H}_{k}^{2}}{k} - \frac{{H}_{k + 1}^{2}}{k + 1}}\right)
\]
\[
- \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{k} - \frac{{H}_{k + 1}^{\left( 2\right) }}{k + 1}}\right) + 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{2}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{2 |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 136 | ight) + 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}}\right)
\]
\{use the Euler sum in (3.45), the cases \( n = 2,3,4,6 \) and the results \( \} \)
\( \{ \) in (4.29),(4.30),(4.32),(4.14) with \( p = 2 \) and \( n \rightarrow \infty \), and (6.67) \( \} \)
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{4}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\frac{{H}_{k}}{k} - \frac{{H}_{k + 1}}{k + 1}}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\frac{{H}_{k}^{2}}{k} - \frac{{H}_{k + 1}^{2}}{k + 1}}\right)
\]
\[
- \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{k} - \frac{{H}_{k + 1}^{\left( 2\right) }}{k + 1}}\right) + 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{2}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{2}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{3}}
\]
\[
+ 2 - {2\zeta }\left( 2\right) - {2\zeta }\left( 3\right) - {2\zeta }\left( 4\right) + {4\zeta }\left( 7\right) + {4\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - {8\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{4}} + 2 - {2\zeta }\left( 4\right) + {4\zeta }\left( 7\right) + {4\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - {8\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right) .
\]
(6.184)
Now, if we plug the values of the series \( {S}_{3},{S}_{4} \), and \( {S}_{5} \) from (6.182),(6.183), and (6.184) in (6.181), we obtain
\[
{S}_{2} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2} - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n\left( {n + k + 1}\right) }}\right)
\]
\[
= \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{4}}{{k}^{3}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}} + \frac{13}{2}\zeta \left( 7\right) + \frac{15}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{25}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) .
\]
(6.185)
Then, by plugging the values of the series \( {S}_{1} \) and \( {S}_{2} \) from (6.180) and (6.185) in (6.179), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{H}_{k}^{2} - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}\right) {H}_{n}}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) {n}^{2}}}\right)
\]
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}} - \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{4}}{{k}^{3}} - \frac{15}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + \frac{33}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \frac{13}{2}\zeta \left( 7\right) .
\]
(6.186)
Finally, if we plug (6.186) in (6.178), we have
\[
2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} - \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{3}} - \frac{15}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + \frac{33}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \frac{13}{2}\zeta \left( 7\right)
\]
\[
= \frac{1}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} + \frac{2}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{3}}
\]
make use of the result in (4.44) to express \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{3}} \) in terms of \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} \)
\[
= \frac{1}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} - \frac{4}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} + \frac{8}{3}\zeta \left( 7\right) + \frac{7}{6}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) ,
\]
whence we obtain that
\[
2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{4}} - \frac{5}{6}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} + \frac{7}{3}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}}
\]
\[
= \frac{55}{6}\zeta \left( 7\right) + \frac{13}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{46}{3}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) ,
\]
and the solution is complete.
As seen so far, many identities involved in the derivation of the relations with harmonic series of weight 7 have their origins polarized around The Master Theorem of Series and the generalized sum in Sect. 4.13.
## 6.39 Preparing the Weapons of The Master Theorem of Series to Breach the Fortress of the Challenging Harmonic Series of Weight 7: The 3rd Episode
Solution To go further and get the current relation with harmonic series of weight 7 , we might like to rely on another identity that originates from combining applications of The Master Theorem of Series. Once we have this job finished, we prepare for the moment of breaking the ice and starting to get values of harmonic series of weight 7. Surely, harmonic series of weight 7 we already met like in Sect. 4.21, which are called linear harmonic series, but we also want to get all nonlinear harmonic series of weight 7 , which means that the summand of the series involves a product of at least two harmonic numbers.
We make use of the first equality of the identity in (4.27) where if we multiply both sides by \( 1/{n}^{2} \) and then consider the summation from \( n = 1 \) to \( \infty \), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3} - 3{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) {n}^{2}}}\right)
\]
\[
= \frac{1}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{3}} + \frac{3}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{3}} + \frac{3}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{3}} + \frac{3}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{3}}.
\]
For the left-hand side of the equality in (6.187), we have
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3} - 3{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) {n}^{2}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3} - 3{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) {n}^{2}}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3} - 3{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}{\left( k + 1\right) }^{2}}}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3} - 3{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{\left( k + 1\right) }^{2}n\left( {n + k + 1}\right) }}\right)
\]
for the second inner series make use of the fact that \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n\left( {n + k + 1}\right) } = \frac{{H}_{k + 1}}{k + 1} \)
\[
= \zeta \left( 2\right) \underset{{S}_{1}}{\underbrace{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3} - 3{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{\left( k + 1\right) }^{2}}}} - \underset{{S}_{2}}{\underbrace{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{H}_{k}^{3} - 3{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{k}^{\left( 3\right) }}\right) {H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{3}}}}.
\]
(6.188)
For the first series in (6.188), we have
\[
{S}_{1} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3} - 3{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{\left( k + 1\right) }^{2}}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{k + 1} - \frac{1}{k + 1}\right) }^{3} - 3\left( {{H}_{k + 1} - \frac{1}{k + 1}}\right) \left( {{H}_{k + 1}^{\left( 2\right) } - \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{2}}}\right) + 2\left( {{H}_{k + 1}^{\left( 3\right) } - \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{3}}}\right) }{{\left( k + 1\right) }^{2}}
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{2}} - 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}} - 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{3}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{k}^{2}} + 6\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{4}}
\]
\[
- 6\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{5}}
\]
\{make use of the classical Euler sum in (3.45), the case \( n = 4 |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 137 | limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{k + 1} - \frac{1}{k + 1}\right) }^{3} - 3\left( {{H}_{k + 1} - \frac{1}{k + 1}}\right) \left( {{H}_{k + 1}^{\left( 2\right) } - \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{2}}}\right) + 2\left( {{H}_{k + 1}^{\left( 3\right) } - \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{3}}}\right) }{{\left( k + 1\right) }^{2}}
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{2}} - 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}} - 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{3}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{k}^{2}} + 6\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{4}}
\]
\[
- 6\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{5}}
\]
\{make use of the classical Euler sum in (3.45), the case \( n = 4 \) ,\}
\[
\text{\{and then the results in (4.34), (4.33), (4.30), (6.67), and (6.68)\}}
\]
\[
= {6\zeta }\left( 5\right)
\]
(6.189)
or alternatively, \( {}^{6} \) one can calculate the series using the identity in (4.27), the first equality, together with the differentiation. The series in (6.189) is known in the mathematical literature and also appears in [63].
Further, for the second series in (6.188), we write
\[
{S}_{2} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{H}_{k}^{3} - 3{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{k}^{\left( 3\right) }}\right) {H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{3}}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{\left( {H}_{k + 1} - \frac{1}{k + 1}\right) }^{3} - 3\left( {{H}_{k + 1} - \frac{1}{k + 1}}\right) \left( {{H}_{k + 1}^{\left( 2\right) } - \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{2}}}\right) + 2\left( {{H}_{k + 1}^{\left( 3\right) } - \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{3}}}\right) }\right) {H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{3}}
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{4}}{{k}^{3}} - 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{4}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{k}^{3}} - 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}}
\]
\( {}^{6} \) Multiplying by \( n \) both sides of (4.27), the first equality, differentiating with respect to \( n \) and then letting \( n \rightarrow 0 \), we get \( \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3} - 3{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{k}^{\left( \widehat{3}\right) }}{{\left( k + 1\right) }^{2}} = {6\zeta }\left( 5\right) \), where for differentiation we express the harmonic numbers in terms of Polygamma function.
\[
+ 6\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{5}} - 6\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{6}}
\]
\{make use of the results in (3.45), the case \( n = 6 \), and (4.32)\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{4}}{{k}^{3}} - 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{4}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{k}^{3}} - 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}}
\]
\[
+ {12\zeta }\left( 7\right) - {9\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right)
\]
(6.190)
If we plug the series results from (6.189) and (6.190) in (6.188), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3} - 3{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) {n}^{2}}}\right)
\]
\[
= 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{4}}{{k}^{3}} - 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{k}^{3}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}}
\]
\[
- {12\zeta }\left( 7\right) + {6\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + {9\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right)
\]
(6.191)
Now, we combine the results in (6.187) and (6.191) that lead to
\[
\frac{5}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{3}} - 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{4}} - \frac{3}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} + 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{3}} + \frac{3}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{3}}
\]
\[
+ \frac{3}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{3}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} = - {12\zeta }\left( 7\right) + {6\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + {9\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right) ,
\]
and if we make use of the result in (6.79), then the result in (4.44) to express \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{3}} \) in terms of \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} \) and afterwards the result in (4.48) to express \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{3}} \) as \( \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} \), we finally obtain
\[
3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{4}} - \frac{5}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{3}} + \frac{3}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} + \frac{7}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}}
\]
\[
= \frac{15}{4}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + \frac{11}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \frac{29}{4}\zeta \left( 7\right) ,
\]
and the solution is finalized.
Having shown this last relation, we are ready to enter the next section and obtain the values of the proposed nonlinear harmonic series of weight 7 .
6.40 Calculating the Harmonic Series of Weight 7, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} \), with the Weapons of The Master Theorem of Series’
Solution Using the relations from the last two sections we get the value of the proposed harmonic series of weight 7 which we'll further use in the extraction process of other harmonic series of weight 7. Everything is straightforward as you'll see!
If we multiply both sides of (4.52) by \( - 2/3 \) and then add (4.51) to the result, we obtain what we need,
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} = \frac{19}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {2\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - {7\zeta }\left( 7\right) ,
\]
and the solution is finalized.
Surely, in this section everything went easily and fast since I only used the final products of the previous sections (where we had some work to do).
6.41 The Calculation of Two Good-Looking Pairs of
Harmonic Series: The Series \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{H}_{k}}{{k}^{3}} \) ,
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}}\;\mathrm{{and}}\;\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}},
\]
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{2}}
\]
Solution Due to the evaluation of the series from the previous section we are able to extract the values of the first two harmonic series proposed in the current section. If for the first two series we'll only use results obtained in the previous sections, for getting the values of the last two harmonic series things will change as you'll see.
Let's prove first the following key series relation,
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}}}\right) = \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}} - \frac{1}{2}\zeta \left( 7\right) - \frac{9}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + \frac{27}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) .
\]
(6.192)
Proof To prove the result in (6.192), we recall the identity in (4.21), the case \( m = 2 \) , where if we multiply both sides by \( {H}_{n}/{n}^{2} \) and then consider the summation from \( n = 1 \) to \( \infty \), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }{H}_{n}}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) {n}^{2}}}\right) = \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}}}\right) .
\]
(6.193)
As regards the left-hand side of (6.193), we change the summation order, and we write
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limi |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 138 | - \frac{1}{2}\zeta \left( 7\right) - \frac{9}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + \frac{27}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) .
\]
(6.192)
Proof To prove the result in (6.192), we recall the identity in (4.21), the case \( m = 2 \) , where if we multiply both sides by \( {H}_{n}/{n}^{2} \) and then consider the summation from \( n = 1 \) to \( \infty \), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }{H}_{n}}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) {n}^{2}}}\right) = \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}}}\right) .
\]
(6.193)
As regards the left-hand side of (6.193), we change the summation order, and we write
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }{H}_{n}}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) {n}^{2}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }{H}_{n}}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) {n}^{2}}}\right)
\]
\{reindex the inner series to start from \( n = 0 \) to \( \infty \) \}
\{and let out the term of the inner series for \( n = 0 \) \}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + 2}\right) } + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }\left( {{H}_{n} + 1/\left( {n + 1}\right) }\right) }{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 2}\right) {\left( n + 1\right) }^{2}}}\right)
\]
\[
= \underset{{S}_{1}}{\underbrace{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + 2}\right) }}} + \underset{{S}_{2}}{\underbrace{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }{H}_{n}}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 2}\right) {\left( n + 1\right) }^{2}}}\right) }}
\]
\[
+ \underset{{S}_{3}}{\underbrace{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 2}\right) {\left( n + 1\right) }^{3}}}\right) }}.
\]
(6.194)
Now, for the series \( {S}_{1} \) in (6.194), we consider the identity in (4.21), the case \( m = 2 \) , with \( n = 1 \) ,
\[
{S}_{1} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + 2}\right) } = \zeta \left( 2\right) - 1.
\]
(6.195)
Further, for the series \( {S}_{2} \) in (6.194), we have
\[
{S}_{2} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{k + 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{\left( n + 1\right) }^{2}\left( {n + k + 2}\right) }}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{\left( n + 1\right) }^{2}}}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{\left( k + 1\right) }^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{\left( {n + 1}\right) \left( {n + k + 2}\right) }}\right)
\]
\[
\text{ \{use that }\left. {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{\left( n + 1\right) }^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n + 1} - 1/\left( {n + 1}\right) }{{\left( n + 1\right) }^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}} = \zeta \left( 3\right) ,}\right\}
\]
\( \{ \) by (3.45), the case \( n = 2 \), and also employ the result in (4.21), the case \( m = 1\} \)
\[
= \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k + 1}^{\left( 2\right) } - 1/{\left( k + 1\right) }^{2}}{{\left( k + 1\right) }^{2}} - \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{H}_{k + 1}^{2} + {H}_{k + 1}^{\left( 2\right) }}\right) \left( {{H}_{k + 1}^{\left( 2\right) } - 1/{\left( k + 1\right) }^{2}}\right) }{{\left( k + 1\right) }^{3}}
\]
\{reindex the series and expand them\}
\[
= \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}} - \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}} + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{5}} + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{5}} - \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{k}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{k}^{3}}
\]
\[
- \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}}
\]
\{make use of the result in (4.14), the case \( p = 2 \), with \( n \rightarrow \infty \) ,(4.32) and (6.75)\}
\[
= {2\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + \frac{1}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {2\zeta }\left( 7\right) - \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{k}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{k}^{3}} - \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}}
\]
\[
\text{make use of the result in (4.48) to express}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{3}}\text{as}\left. {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}}}\right\}
\]
\[
= \frac{9}{2}\zeta \left( 7\right) + \frac{3}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{7}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} - \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}}.
\]
(6.196)
Then, for the last series in (6.194), \( {S}_{3} \), we make use of the result in (4.21) where we set \( m = 2 \), and then we write
\[
{S}_{3} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 2}\right) {\left( n + 1\right) }^{3}}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 2}\right) }}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{3}}\left( {\zeta \left( 2\right) \frac{{H}_{n + 1}}{n + 1} - \frac{1}{n + 1}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{n + 1}}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}}}\right)
\]
\[
= \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n + 1}}{{\left( n + 1\right) }^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{n + 1}}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}{\left( n + 1\right) }^{4}}}\right)
\]
\{reindex the series\}
\[
= 1 - \zeta \left( 2\right) + \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{4}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}}}\right)
\]
\{make use of the Euler sum in (3.45), the case \( n = 4 \), and at\}
\{the same time change the summation order in the last series\}
\[
= 1 - \zeta \left( 2\right) + {3\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{5}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = i}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{4}}}\right)
\]
\[
= 1 - \zeta \left( 2\right) + {3\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{5}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}}\left( {\frac{1}{{i}^{4}} + \frac{1}{{\left( i + 1\right) }^{4}} + \cdots }\right)
\]
\[
= 1 - \zeta \left( 2\right) + {3\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{5}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{6}} - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}}\left( {\zeta \left( 4\right) - {H}_{i}^{\left( 4\right) }}\right)
\]
\[
= 1 - \zeta \left( 2\right) + {3\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{5}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{6}} - \zeta \left( 4\right) \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}{H}_{i}^{\left( 4\right) }}{{i}^{2}}
\]
\{make use of the Euler sum in (3.45), the cases \( n = 2,6 \) \}
\[
= 1 - \zeta \left( 2\right) + {4\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{7}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {4\zeta }\left( 7\right) + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}{H}_{i}^{\left( 4\right) }}{{i}^{2}}
\]
\[
\text{make use of the result in (4.41) to express}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{2}}\text{in terms of}\left. {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}}}\right\}
\]
\[
= 1 - \zeta \left( 2\right) + \frac{13}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{23}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {4\zeta }\left( 7\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}}.
\]
(6.197)
Collecting the results from (6.195), (6.196), and (6.197) in (6.194), we ob |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 139 | {H}_{i}^{\left( 4\right) }}{{i}^{2}}
\]
\{make use of the Euler sum in (3.45), the cases \( n = 2,6 \) \}
\[
= 1 - \zeta \left( 2\right) + {4\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{7}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {4\zeta }\left( 7\right) + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}{H}_{i}^{\left( 4\right) }}{{i}^{2}}
\]
\[
\text{make use of the result in (4.41) to express}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{2}}\text{in terms of}\left. {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}}}\right\}
\]
\[
= 1 - \zeta \left( 2\right) + \frac{13}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{23}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {4\zeta }\left( 7\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}}.
\]
(6.197)
Collecting the results from (6.195), (6.196), and (6.197) in (6.194), we obtain
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }{H}_{n}}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) {n}^{2}}}\right) = \frac{1}{2}\zeta \left( 7\right) + {8\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{37}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right)
\]
\[
- \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}}
\]
(6.198)
By combining the results in (6.193) and (6.41), we get
\[
\frac{1}{2}\zeta \left( 7\right) + {8\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{37}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}}
\]
\[
= \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}}}\right)
\]
\{make use of the result in (4.30)\}
\[
= \frac{7}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{5}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}}}\right) ,
\]
whence we obtain
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}}}\right) = \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} - \frac{1}{2}\zeta \left( 7\right) - \frac{9}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + \frac{27}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) ,
\]
and the proof of the result is complete.
If we combine the results from (6.192) and (4.53), we get immediately that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}}\left( {\frac{{H}_{1}}{{1}^{2}} + \frac{{H}_{2}}{{2}^{2}} + \cdots + \frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}}\right) = \frac{23}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \frac{11}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - {4\zeta }\left( 7\right) ,
\]
and the series from point \( {ii} \) ) is calculated.
For the other series, we start with writing that
\[
\frac{5}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}}\left( {\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{k} + \mathop{\sum }\limits_{{n = k}}^{\infty } - \mathop{\sum }\limits_{{n = k}}^{k}}\right) \frac{{H}_{n}}{{n}^{3}}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{k}\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}}}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = k}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}}}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{5}}
\]
\{reverse the order of summation in the second double series\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{k}\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}}}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}}}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{5}}
\]
\{make use of the result in (4.32)\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{k}\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}}}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}}}\right) - {6\zeta }\left( 7\right) + \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + \frac{5}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) ,
\]
whence we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{k}\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}}}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}}}\right) = {6\zeta }\left( 7\right) - \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) .
\]
(6.199)
If we combine the result in (6.199) with the series from the point \( {ii} \) ) calculated above, we obtain that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}\left( {\frac{{H}_{1}}{{1}^{3}} + \frac{{H}_{2}}{{2}^{3}} + \cdots + \frac{{H}_{n}}{{n}^{3}}}\right) = {10\zeta }\left( 7\right) + \frac{9}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{23}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) ,
\]
and the series from the point \( i \) ) is calculated.
For the series from the points \( {iii} \) ) and \( {iv} \) ), we employ the result in (4.24), where multiplying its both sides by \( {H}_{n}/n \) and then considering the summation from \( n = 1 \) to \( \infty \) give
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }{H}_{n}}{\left( {k + 1}\right) n\left( {k + n + 1}\right) }}\right)
\]
\[
= {2\zeta }\left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{2}} + \frac{\zeta \left( 2\right) }{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{2}} - \frac{\zeta \left( 2\right) }{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} - \frac{1}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{2}}
\]
\[
- \frac{1}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}} + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{2}},
\]
(6.200)
For the series in the left-hand side of (6.200) we proceed as follows
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }{H}_{n}}{\left( {k + 1}\right) n\left( {k + n + 1}\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }{H}_{n}}{\left( {k + 1}\right) n\left( {k + n + 1}\right) }}\right)
\]
\{reindex the inner series to start from \( n = 0 \) to \( \infty \) \}
\{and let out the term of the inner series for \( n = 0 \) \}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + 2}\right) } + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }\left( {{H}_{n} + 1/\left( {n + 1}\right) }\right) }{\left( {k + 1}\right) \left( {n + 1}\right) \left( {n + k + 2}\right) }}\right)
\]
\[
= \underset{{S}_{1}}{\underbrace{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + 2}\right) }}} + \underset{{S}_{2}}{\underbrace{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{k + 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{\left( {n + 1}\right) \left( {n + k + 2}\right) }}\right) }}
\]
\[
+ \underset{{S}_{3}}{\underbrace{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{k + 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}\left( {n + k + 2}\right) }}\right) }}.
\]
(6.201)
For the series \( {S}_{2} \) in (6.201), we employ the result in (4.21), the case \( m = 1 \), and we get
\[
{S}_{2} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{k + 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{\left( {n + 1}\right) \left( {n + k + 2}\right) }}\right)
\]
\[
= \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{H}_{k + 1} - \frac{1}{k + 1}}\right) \left( {{H}_{k + 1}^{\left( 2\right) } - \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{2}}}\right) \left( {{H}_{k + 1}^{2} + {H}_{k + 1}^{\left( 2\right) }}\right) }{{\left( k + 1\right) }^{2}}
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{5}} + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{5}} - \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{4}} + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}}
\]
\[
- \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}} - \frac{1}{2}\mathop{\s |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 140 | }_{k}^{\left( 2\right) }}{k + 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{\left( {n + 1}\right) \left( {n + k + 2}\right) }}\right)
\]
\[
= \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{H}_{k + 1} - \frac{1}{k + 1}}\right) \left( {{H}_{k + 1}^{\left( 2\right) } - \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{2}}}\right) \left( {{H}_{k + 1}^{2} + {H}_{k + 1}^{\left( 2\right) }}\right) }{{\left( k + 1\right) }^{2}}
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{5}} + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{5}} - \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{4}} + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}}
\]
\[
- \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}} - \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}}
\]
\[
- \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{k}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{k}^{3}} + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{\left( {H}_{k}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{k}^{2}}
\]
\{use the series values in (4.32), (6.75), (4.61), (4.66), (4.53), (4.58), (4.65), and (4.68)
\[
= \frac{11}{8}\zeta \left( 7\right) + \frac{1}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + \frac{11}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) .
\]
(6.202)
Then, for the series \( {S}_{3} \) in (6.201), we write
\[
{S}_{3} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{k + 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}\left( {n + k + 2}\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{k + 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 2}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}\left( {n + k + 1}\right) }}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{k + 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}\left( {n + k + 1}\right) }}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + 2}\right) }
\]
\[
= \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{H}_{k + 1} - \frac{1}{k + 1}}\right) \left( {{H}_{k + 1}^{\left( 2\right) } - \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{2}}}\right) }{{\left( k + 1\right) }^{2}}
\]
\[
- \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{H}_{k + 1} - \frac{1}{k + 1}}\right) \left( {{H}_{k + 1}^{\left( 2\right) } - \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{2}}}\right) {H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{3}} - {S}_{1}
\]
\{reindex the series and expand them\}
\[
= \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{5}} - \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{4}} - \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}} + \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{6}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{5}}
\]
\[
+ \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}} - {S}_{1}
\]
\{use the results in (3.45), the cases \( n = 4,6,\left( {6.67}\right) ,\left( {4.33}\right) ,\left( {4.32}\right) ,\left( {4.58}\right) \), and (4.53)\}
\[
= \frac{93}{16}\zeta \left( 7\right) + \frac{15}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{51}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {S}_{1}.
\]
(6.203)
By plugging the results from (6.202) and (6.203) in (6.201), we obtain
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }{H}_{n}}{\left( {k + 1}\right) n\left( {k + n + 1}\right) }}\right) = \frac{115}{16}\zeta \left( 7\right) + {8\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{29}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) .
\]
(6.204)
Then, for the right-hand side of (6.200), we write
\[
{2\zeta }\left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{2}} + \frac{\zeta \left( 2\right) }{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{2}} - \frac{\zeta \left( 2\right) }{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} - \frac{1}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{2}}
\]
\[
- \frac{1}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}} + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{2}}
\]
\{use the results in (4.29), (4.34), (4.33), (4.60), and (4.68)\}
\[
= \frac{67}{16}\zeta \left( 7\right) + \frac{7}{4}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + \frac{61}{8}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}} + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{2}},
\]
which if we combine with the result in (6.204), we obtain that
\[
\frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}} = {3\zeta }\left( 7\right) + \frac{25}{4}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{119}{8}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) .
\]
(6.205)
On the other hand, we may write
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{n = i}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{2}}\left( {{2\zeta }\left( 3\right) + \frac{{H}_{i}}{{i}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{i}\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}}\right)
\]
\[
= {2\zeta }\left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}^{3}}{{i}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{i}\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}
\]
\{make use of the results in (4.29) and (4.61)\}
\[
= \frac{231}{16}\zeta \left( 7\right) + {2\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{17}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{i}\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}},
\]
whence we obtain that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}} = \frac{231}{16}\zeta \left( 7\right) + {2\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{17}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) .
\]
(6.206)
Thus, by combining the results from (6.205) and (6.206), we obtain that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{2}} = \frac{93}{8}\zeta \left( 7\right) + \frac{11}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{51}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right)
\]
and
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}} = \frac{45}{16}\zeta \left( 7\right) - \frac{7}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + \frac{17}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) ,
\]
and the series from the points \( {iii} \) ) and \( {iv} \) ) are finalized.
As an observation, if for the first two points of the problem I considered results previously calculated, for the last two points I also used results that are met in the next sections.
Having finalized these series, we prepare to calculate the harmonic series from the next section (where in one of the ways, such series are helpful in the derivation process).
## 6.42 The Calculation of an Essential Harmonic Series of Weight 7: The Series \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} \)
Solution The following series result is a critical one that will lead to obtaining the values of more harmonic series of weight 7 presented in the book (recall the previous identities in terms of \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} \) and other series of weight 7).
For a first solution, we employ the identity in (4.19), where if we multiply both sides by \( 1/{n}^{3} \), and then consider the sum from \( n = 1 \) to \( \infty \), we have
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}{\left( n - k\right) }^{2}}}\right) = 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{H}_{k}}{{n}^{3}{k}^{3}}}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\fr |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 141 | n of an Essential Harmonic Series of Weight 7: The Series \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} \)
Solution The following series result is a critical one that will lead to obtaining the values of more harmonic series of weight 7 presented in the book (recall the previous identities in terms of \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} \) and other series of weight 7).
For a first solution, we employ the identity in (4.19), where if we multiply both sides by \( 1/{n}^{3} \), and then consider the sum from \( n = 1 \) to \( \infty \), we have
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}{\left( n - k\right) }^{2}}}\right) = 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{H}_{k}}{{n}^{3}{k}^{3}}}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{3}} - 5\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{3}}.
\]
(6.207)
For the left-hand side of the result in (6.207), we change the order of summation, and then we have
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}{\left( n - k\right) }^{2}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = k + 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}{\left( n - k\right) }^{2}}}\right)
\]
\{reindex the inner series and start from \( n = 1 \) to \( \infty \) \}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{\left( n + k\right) }^{3}{n}^{2}}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}}\right) - 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n\left( {n + k}\right) }}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + k\right) }^{3}}}\right)
\]
\[
+ 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + k\right) }^{2}}}\right)
\]
\[
\text{\{use the result in (6.67) and the fact that}\left. {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n\left( {n + k}\right) } = \frac{{H}_{k}}{k}}\right\}
\]
\[
= \frac{15}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \frac{9}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}}\left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{k}^{\left( 3\right) }}\right)
\]
\[
+ 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}\right) = \frac{15}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \frac{9}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}}
\]
\[
+ \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{k}^{2}} + {2\zeta }\left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{k}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{k}^{3}}
\]
\{use the results in (4.14), \( p = 2 \), with \( n \rightarrow \infty \), and (6.67)\}
\[
= \frac{97}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \frac{27}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{3}}.
\]
For the right-hand side of (6.207), using that \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{H}_{k}}{{n}^{3}{k}^{3}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = k}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{n}^{3}{k}^{3}}}\right) \)
\( = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{3}}\left( {\frac{1}{{k}^{3}} + \zeta \left( 3\right) - {H}_{k}^{\left( 3\right) }}\right) \), we write
\[
4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{H}_{k}}{{n}^{3}{k}^{3}}}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{3}} - 5\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{3}}
\]
\[
= 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{6}} + {4\zeta }\left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}} - 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{3}} - 5\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{3}}
\]
\{make use of the results in (3.45), the cases \( n = 3,6 \), and (6.79)\}
\[
= {101\zeta }\left( 7\right) - {54\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - {4\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{3}}.
\]
(6.209)
If we combine the results in (6.208) and (6.209) and use the identities in (4.44),(4.45), and (4.48) to express the series \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{3}},\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} \) and \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{3}} \) in terms of series \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} \), we conclude that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} = {2\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + \frac{3}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \frac{51}{16}\zeta \left( 7\right) ,
\]
and the first solution is complete.
For a second solution, the strategy to get the value of the harmonic series relies upon the use of the identity in (4.18), where if we multiply both sides of the relation by \( 1/{n}^{3} \), and then consider the sum from \( n = 1 \) to \( \infty \), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{{H}_{k}^{2}}{{n}^{3}{\left( n - k\right) }^{2}}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} - 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{3}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{3}}}\right)
\]
\[
+ 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}}}\right)
\]
(6.210)
For the left-hand side of (6.210) we change the order of summation, and then we have
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{{H}_{k}^{2}}{{n}^{3}{\left( n - k\right) }^{2}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = k + 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{n}^{3}{\left( n - k\right) }^{2}}}\right)
\]
\{reindex the inner series and start from \( n = 1 \) to \( \infty \) \}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{\left( n + k\right) }^{3}{n}^{2}}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}}\right) - 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n\left( {n + k}\right) }}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + k\right) }^{3}}}\right)
\]
\[
+ 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + k\right) }^{2}}}\right)
\]
\[
\text{\{use the result in (4.30) and the fact that}\left. {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n\left( {n + k}\right) } = \frac{{H}_{k}}{k}}\right\}
\]
\[
= \frac{7}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{5}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{2}}\left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{k}^{\left( 3\right) }}\right)
\]
\[
+ 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{3}}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}\right) = \frac{7}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \fr |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 142 | frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + k\right) }^{3}}}\right)
\]
\[
+ 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + k\right) }^{2}}}\right)
\]
\[
\text{\{use the result in (4.30) and the fact that}\left. {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n\left( {n + k}\right) } = \frac{{H}_{k}}{k}}\right\}
\]
\[
= \frac{7}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{5}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{2}}\left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{k}^{\left( 3\right) }}\right)
\]
\[
+ 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{3}}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}\right) = \frac{7}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{5}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{4}} + \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{2}}
\]
\[
- \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{k}^{2}} + {2\zeta }\left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{3}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}}
\]
\{the values of the 2nd, 4th, and 5th series are given in (4.29), (4.30), and (4.53)\}
\[
= {14\zeta }\left( 7\right) + \frac{29}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{89}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{k}^{2}}
\]
\[
\text{\{consider the result in (4.50) to express}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{4}}\text{using}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}}\text{and then}\}
\]
\[
\text{\{combine the results in (4.46) and (4.53) to express}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{k}^{2}}\text{by}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}}\text{,}
\]
\[
\left\{ {\text{using that}\;\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{k}^{2}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}} = {11\zeta }\left( 7\right) + \frac{3}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{15}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) }\right\}
\]
\[
= \frac{53}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) + {25\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - {69\zeta }\left( 7\right) - 6\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}}.
\]
(6.211)
Further, for the right-hand side of (6.210), we have
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} - 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{3}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{3}}}\right)
\]
\[
+ 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{2}}}\right)
\]
\{the values of the first and the last series are given in (4.53) and (4.55),
\{and for the penultimate series change the summation order\}
\[
= \frac{65}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {13\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - {15\zeta }\left( 7\right) - 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{3}}
\]
\[
+ 2\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = i}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}}}\right) = \frac{65}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {13\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - {15\zeta }\left( 7\right)
\]
\[
- 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{3}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{3}}\left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{i}^{\left( 3\right) } + \frac{1}{{i}^{3}}}\right)
\]
\[
= \frac{65}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {13\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - {15\zeta }\left( 7\right) - 6\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{3}}
\]
\[
+ {2\zeta }\left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{6}}
\]
\{make use of the classical Euler sum in (3.45), the cases \( n = 3,6 \) ,
\[
\left\{ {\text{ consider the result in }\left( {4.44}\right) \text{ to express }\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{3}}\text{ using }\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}},}\right\}
\]
\[
\text{and use the result in (4.48) to express}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{3}}\text{in terms of}\left. {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}}}\right\}
\]
\[
= \frac{29}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {7\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - {18\zeta }\left( 7\right) + {10}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}}.
\]
(6.212)
Finally, by collecting the results from (6.211) and (6.212) in (6.210), we obtain that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} = {2\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + \frac{3}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \frac{51}{16}\zeta \left( 7\right) ,
\]
and the second solution is complete.
Now that the present harmonic series of weight 7 has been calculated, we're
ready to jump in the next section and start deriving the remaining harmonic series of weight 7 .
The solutions provided also answer the proposed challenging question.
## 6.43 Plenty of Challenging Harmonic Series of Weight 7 Obtained by Combining the Previous Harmonic Series of Weight 7 with Various Harmonic Series Identities (Derivations by Series Manipulations Only)
Solution Let's prepare for a cascade of derivations of the harmonic series of weight 7! (surely, this is possible now thanks to the work in the previous sections). Essentially, in this section the evaluations of most series will go pretty easily and fast as you'll see below. The solutions provided will also answer the proposed challenging question.
For the point \( i \) ), use the identity in (4.46) which we combine with the values of the series \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} \) and \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} \) given in (4.53) and (4.58) to get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} = \frac{329}{16}\zeta \left( 7\right) - \frac{9}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - {6\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right) .
\]
As regards the point \( {ii} \) ), once we know the value of the series \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} \), which
is given in (4.58), and plug it in the identity in (4.41), we obtain immediately the desired result
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{2}} = \frac{9}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{3}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \frac{51}{16}\zeta \left( 7\right) .
\]
Further, for the point iii), considering the identity in (4.50) and the value of the series \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} \) given in (4.58), we have
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{4}} = \frac{231}{16}\zeta \left( 7\right) + {2\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{51}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) .
\]
Next, for the point \( {iv} \) ), since we have just calculated the value of the series \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{4}} \) ,
we combine it with the identity in (4.49) which immediately gives
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{3}} = \frac{185}{8}\zeta \left( 7\right) + {5\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{43}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) .
\]
We will derive the value of the stated series in \( v \) ) by combining the value of the series \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} \), which is given in (4.58), with the identity in (4.45) that gives
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} = \frac{131}{16}\zeta \left( 7\right) - \frac{5}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{3}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) .
\]
The calculation of the series in \( {vi |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 143 | } \) ), since we have just calculated the value of the series \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{4}} \) ,
we combine it with the identity in (4.49) which immediately gives
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{3}} = \frac{185}{8}\zeta \left( 7\right) + {5\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{43}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) .
\]
We will derive the value of the stated series in \( v \) ) by combining the value of the series \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} \), which is given in (4.58), with the identity in (4.45) that gives
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} = \frac{131}{16}\zeta \left( 7\right) - \frac{5}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{3}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) .
\]
The calculation of the series in \( {vi} \) ) is achieved by combining the value of the series \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} \) given in (4.58) with the identity in (4.44) from which we obtain
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{3}} = \frac{83}{8}\zeta \left( 7\right) - \frac{11}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + \frac{1}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) .
\]
For the series in vii), let's recall and use the identity in (4.48) that if we combine with the value of the series \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} \) given in (4.58), we get immediately the desired value,
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{3}} = {5\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + \frac{19}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \frac{155}{8}\zeta \left( 7\right) .
\]
To calculate the series in viii), we use the identity in (4.20) where if we multiply both sides by \( 1/{n}^{3} \) and then consider the summation from \( n = 1 \) to \( \infty \), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{{H}_{k}^{3}}{{n}^{3}\left( {n - k}\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{3}} - 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} - \frac{1}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{3}}
\]
\[
- \frac{1}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{3}}}\right) - \frac{3}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{2}}}\right) + 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}}}\right) .
\]
Considering the left-hand side of (6.213), we write
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{{H}_{k}^{3}}{{n}^{3}\left( {n - k}\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = k + 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{n}^{3}\left( {n - k}\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{n{\left( n + k\right) }^{3}}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n\left( {n + k}\right) }}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{k}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + k\right) }^{3}}}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + k\right) }^{2}}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{4}}{{k}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{k}\left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{k}^{\left( 3\right) }}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{2}}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{4}}{{k}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{k}\left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{k}^{\left( 3\right) }}\right) - \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}}.
\]
(6.214)
For the second series in (6.214), we apply Abel’s summation with \( {a}_{k} = 1/k \) and \( {b}_{k} = {H}_{k}^{3}\left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{k}^{\left( 3\right) }}\right) \), and then we have
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{k}\left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{k}^{\left( 3\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{H}_{k}\left( {{H}_{k}^{3}\left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{k}^{\left( 3\right) }}\right) - {H}_{k + 1}^{3}\left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{k + 1}^{\left( 3\right) }}\right) }\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {{H}_{k + 1} - \frac{1}{k + 1}}\right) \left( {{\left( {H}_{k + 1} - \frac{1}{k + 1}\right) }^{3}\left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{k + 1}^{\left( 3\right) } + \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{3}}}\right) }\right.
\]
\[
\left. {-{H}_{k + 1}^{3}\left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{k + 1}^{\left( 3\right) }}\right) }\right)
\]
\{reindex the series, expand it, and carefully rearrange it\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{7}} + \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}} - 4\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{6}} - {4\zeta }\left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{k}^{4}} + {6\zeta }\left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{2}}
\]
\[
+ 6\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{5}} - 4\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{4}}{{k}^{3}} - 6\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{k}^{2}} + 4\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{k}^{3}}
\]
\[
- 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{k}\left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{k}^{\left( 3\right) }}\right)
\]
\{use the results in (3.45), the cases \( n = 3,6,\left( {6.80}\right) \) ,\}
\[
\{ \left( {4.29}\right) ,\left( {4.32}\right) ,\left( {4.61}\right) ,\left( {4.62}\right) ,\left( {4.59}\right) \text{, and (4.64)}\}
\]
\[
= {10\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + {77\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \frac{227}{2}\zeta \left( 7\right) - 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{k}\left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{k}^{\left( 3\right) }}\right) ,
\]
whence we get that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{k}\left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{k}^{\left( 3\right) }}\right) = \frac{1}{4}\left( {{10\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + {77\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \frac{227}{2}\zeta \left( 7\right) }\right) .
\]
(6.215)
Then, if we plug the result from (6.215) in (6.214), we obtain that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{{H}_{k}^{3}}{{n}^{3}\left( {n - k}\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{4}}{{k}^{3}} - \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}}
\]
\[
- \frac{1}{4}\left( {{10\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + {77\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \frac{227}{2}\zeta \left( 7\right) }\right)
\]
\{the values of the first two series are given in (4.62) and (4.34)\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}} + \frac{103}{2}\zeta \left( 7\right) - \frac{15}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{173}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) .
\]
(6.216)
On the other hand, considering the right-hand side of (6.213), we write that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{4}}{{n}^{3}} - 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} - \frac{1}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{3}} - \frac{1}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{3}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}}}\right)
\]
\[
+ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{3}}}\right) - \frac{3}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{2}}}\right)
\]
\{the values of the first five series are given in (4.62), (4.53), (4.65), (6.79), (4.55)\}
\[
= \frac{1319}{32}\zeta \left( 7\right) - \frac{37}{4}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{145}{8}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\in |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 144 | y }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} - \frac{1}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{3}} - \frac{1}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{3}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}}}\right)
\]
\[
+ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{3}}}\right) - \frac{3}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{2}}}\right)
\]
\{the values of the first five series are given in (4.62), (4.53), (4.65), (6.79), (4.55)\}
\[
= \frac{1319}{32}\zeta \left( 7\right) - \frac{37}{4}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{145}{8}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}}{{i}^{3}}}\right) - \frac{3}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{2}}}\right)
\]
\{reverse the summation order in the two remaining series\}
\[
= \frac{1319}{32}\zeta \left( 7\right) - \frac{37}{4}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{145}{8}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{3}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = i}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}}}\right) - \frac{3}{2}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{2}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = i}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}}}\right)
\]
\[
= \frac{1319}{32}\zeta \left( 7\right) - \frac{37}{4}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{145}{8}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{3}}\left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{i}^{\left( 3\right) } + \frac{1}{{i}^{3}}}\right)
\]
\[
- \frac{3}{2}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{2}}\left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{i}^{\left( 3\right) } + \frac{1}{{i}^{3}}}\right) = \frac{1319}{32}\zeta \left( 7\right) - \frac{37}{4}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{145}{8}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right)
\]
\[
+ \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}}{{i}^{6}} - \frac{3}{2}\zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{2}} - \frac{3}{2}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}^{2}}{{i}^{5}} - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}{H}_{i}^{\left( 3\right) }}{{i}^{3}} + \frac{3}{2}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{i}^{2}{H}_{i}^{\left( 3\right) }}{{i}^{2}}
\]
\{make use of the result in (3.45), the cases \( n = 3,6,\left( {4.29}\right) ,\left( {4.32}\right) ,\left( {4.64}\right) \), and (4.59)\}
\[
= \frac{907}{16}\zeta \left( 7\right) - {10\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{119}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) .
\]
(6.217)
Finally, plugging the results from (6.216) and (6.217) in (6.213), we conclude that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} = \frac{83}{16}\zeta \left( 7\right) - \frac{5}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + \frac{27}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) .
\]
To obtain the value of the series in \( {ix} \) ), we consider the identity in (4.28), the first equality, where if we multiply both sides by \( 1/n \) and then consider the summation from \( n = 1 \) to \( \infty \), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{4} - 6{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 8{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 3\right) } + 3{\left( {H}_{k}^{\left( 2\right) }\right) }^{2} - 6{H}_{k}^{\left( 4\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) n}}\right)
\]
\[
= \frac{1}{5}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{5}}{{n}^{2}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{2}} + 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}}
\]
\[
+ 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} + 6\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{2}} + \frac{24}{5}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 5\right) }}{{n}^{2}}.
\]
(6.218)
For the left-hand side of (6.43), we have
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{4} - 6{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 8{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 3\right) } + 3{\left( {H}_{k}^{\left( 2\right) }\right) }^{2} - 6{H}_{k}^{\left( 4\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) n}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{4} - 6{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 8{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 3\right) } + 3{\left( {H}_{k}^{\left( 2\right) }\right) }^{2} - 6{H}_{k}^{\left( 4\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) n}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{H}_{k}^{4} - 6{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 8{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 3\right) } + 3{\left( {H}_{k}^{\left( 2\right) }\right) }^{2} - 6{H}_{k}^{\left( 4\right) }}\right) {H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{2}}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{\left( {H}_{k + 1} - 1/\left( k + 1\right) \right) }^{4} - 6{\left( {H}_{k + 1} - 1/\left( k + 1\right) \right) }^{2}\left( {{H}_{k + 1}^{\left( 2\right) } - 1/{\left( k + 1\right) }^{2}}\right) }\right) {H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{2}}
\]
\[
+ \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {8\left( {{H}_{k + 1} - 1/\left( {k + 1}\right) }\right) \left( {{H}_{k + 1}^{\left( 3\right) } - 1/{\left( k + 1\right) }^{3}}\right) + 3{\left( {H}_{k + 1}^{\left( 2\right) } - 1/{\left( k + 1\right) }^{2}\right) }^{2}}\right) {H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{2}}
\]
\[
- 6\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{H}_{k + 1}^{\left( 4\right) } - 1/{\left( k + 1\right) }^{4}}\right) {H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{2}}
\]
\{reindex the series and expand them\}
\[
= {24}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{6}} - {24}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{5}} + {12}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{4}} - 4\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{4}}{{k}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{5}}{{k}^{2}} - {12}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}}
\]
\[
+ {12}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}} - 6\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{\left( {H}_{k}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{k}^{2}} - 8\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{k}^{3}}
\]
\[
+ 8\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{k}^{2}} - 6\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 4\right) }}{{k}^{2}}
\]
\{use the values of the series given in (3.45), the case \( n = 6 \) ,\}
\[
\{ \left( {4.32}\right) ,\left( {4.61}\right) ,\left( {4.62}\right) ,\left( {4.58}\right) ,\left( {4.53}\right) ,\left( {4.66}\right) ,\left( {4.64}\right) ,\left( {4.59}\right) \text{, and}\left( {4.60}\right) \}
\]
\[
= \frac{113}{2}\zeta \left( 7\right) - {48\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - {48\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right) + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{5}}{{k}^{2}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{\left( {H}_{k}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{k}^{2}}.
\]
(6.219)
For the right-hand side of (6.43), we have
\[
\frac{1}{5}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{5}}{{n}^{2}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{2}} + 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} + 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}}
\]
\[
+ 6\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{2}} + \frac{24}{5}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 5\right) }}{{n}^{2}}
\]
\{use the values of the series given in (4.66), (4.59), (4.63), (4.60), and (6.76)\}
\[
= \frac{3181}{20}\zeta \left( 7\right) - \frac{126}{5}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{108}{5}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) + \frac{1}{5}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{5}}{{n}^{2}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{2}}.
\]
(6.220)
Lastly, if we plug the results from (6.219) and (6.220) in (6.43), we conclude that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{5}}{{n}^{2}} = \frac{2051}{16}\zeta \left( 7\right) + \frac{57}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + {33\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right) .
\]
Finally |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 145 | ( 3\right) }}{{n}^{2}}
\]
\[
+ 6\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{2}} + \frac{24}{5}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 5\right) }}{{n}^{2}}
\]
\{use the values of the series given in (4.66), (4.59), (4.63), (4.60), and (6.76)\}
\[
= \frac{3181}{20}\zeta \left( 7\right) - \frac{126}{5}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{108}{5}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) + \frac{1}{5}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{5}}{{n}^{2}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{2}}.
\]
(6.220)
Lastly, if we plug the results from (6.219) and (6.220) in (6.43), we conclude that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{5}}{{n}^{2}} = \frac{2051}{16}\zeta \left( 7\right) + \frac{57}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + {33\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right) .
\]
Finally, to get the value of the series in \( x \) ), we make use of the first equality of the identity in (4.27), where if we multiply both sides by \( {H}_{n}/n \) and then consider the summation from \( n = 1 \) to \( \infty \), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{H}_{k}^{3} - 3{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{k}^{\left( 3\right) }}\right) {H}_{n}}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) n}}\right)
\]
\[
= \frac{1}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{5}}{{n}^{2}} + \frac{3}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} + \frac{3}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{2}} + \frac{3}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{2}}.
\]
For the left-hand side of the equality in (6.221), we write
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{H}_{k}^{3} - 3{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{k}^{\left( 3\right) }}\right) {H}_{n}}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{H}_{k}^{3} - 3{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{k}^{\left( 3\right) }}\right) {H}_{n}}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) n}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3} - 3{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{k + 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{{H}_{n} + 1/\left( {n + 1}\right) }{\left( {n + 1}\right) \left( {n + k + 2}\right) }}\right)
\]
\[
= \underset{{S}_{1}}{\underbrace{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3} - 3{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + 2}\right) }}}
\]
\[
+ \underset{{S}_{2}}{\underbrace{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3} - 3{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{k + 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{\left( {n + 1}\right) \left( {n + k + 2}\right) }}\right) }}
\]
\[
+ \underset{{S}_{3}}{\underbrace{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3} - 3{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{k + 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}\left( {n + k + 2}\right) }}\right) }}.
\]
(6.222)
The first series in (6.222) is straightforward in view of the identity in (4.27), if we set \( n = 1 \) ,
\[
{S}_{1} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3} - 3{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + 2}\right) } = 6.
\]
(6.223)
For the second series in (6.222), we write
\[
{S}_{2} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3} - 3{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{k + 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{\left( {n + 1}\right) \left( {n + k + 2}\right) }}\right)
\]
\{make use of the identity in (4.21), the case \( m = 1 \) \}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( \frac{{\left( {H}_{k + 1} - \frac{1}{k + 1}\right) }^{3} - 3\left( {{H}_{k + 1} - \frac{1}{k + 1}}\right) \left( {{H}_{k + 1}^{\left( 2\right) } - \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{2}}}\right) + 2\left( {{H}_{k + 1}^{\left( 3\right) } - \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{3}}}\right) }{k + 1}\right.
\]
\[
\left. {\cdot \frac{{H}_{k + 1}^{2} + {H}_{k + 1}^{\left( 2\right) }}{2\left( {k + 1}\right) }}\right) = - 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{5}} - 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}}{{k}^{5}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{4}} - \frac{3}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{4}}{{k}^{3}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}}
\]
\[
- \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}} + \frac{3}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{k}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{k}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{k}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{k}^{2}}
\]
\[
+ \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{5}}{{k}^{2}} - \frac{3}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{\left( {H}_{k}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{k}^{2}}
\]
\{use the values of the series in (6.75), (4.32), and (4.61), \}
\[
\{ \left( {4.62}\right) ,\left( {4.58}\right) ,\left( {4.66}\right) ,\left( {4.65}\right) ,\left( {4.63}\right) ,\left( {4.59}\right) \text{, and (4.67)}\}
\]
\[
= \frac{2229}{32}\zeta \left( 7\right) + \frac{39}{4}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + \frac{15}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - \frac{3}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{\left( {H}_{k}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{k}^{2}}.
\]
(6.224)
Lastly, for the series \( {S}_{3} \) in (6.222), we get
\[
{S}_{3} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3} - 3{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{k + 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}\left( {n + k + 2}\right) }}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3} - 3{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{k + 1}\left( {\frac{\zeta \left( 2\right) }{k + 1} - \frac{1}{k + 2} - \frac{{H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{2}}}\right)
\]
\[
= \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3} - 3{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{\left( k + 1\right) }^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3} - 3{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + 2}\right) }
\]
\[
- \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{H}_{k}^{3} - 3{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{k}^{\left( 3\right) }}\right) {H}_{k + 1}}{{\left( k + 1\right) }^{3}}
\]
\{use the results in (6.189), (6.223), and (6.190)\}
\[
= {6\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + {9\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {12\zeta }\left( 7\right) - 6 - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{4}}{{k}^{3}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{3}}{{k}^{4}} - 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{4}}
\]
\[
- 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 3\right) }}{{k}^{3}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}^{2}{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{3}}
\]
\{the values of the series are given in (4.62), (4.61), (4.58), (4.64), and (4.53)\}
\[
= {6\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + {18\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {24\zeta }\left( 7\right) - 6.
\]
(6.225)
If we collect the values of the series \( {S}_{1},{S}_{2} \), and \( {S}_{3} \) from (6.223),(6.224), and (6.225) in (6.222), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{H}_{k}^{3} - 3{H}_{k}{H}_{k}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{k}^{\left( 3\right) }}\right) {H}_{n}}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + n + 1}\right) n}}\right) = \frac{63}{4}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + \frac{51}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) + \frac{1461}{32}\zeta (
\]
\[
- \frac{3}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{2}}
\]
(6.226)
On the other hand, considering the right-hand side of (6.221), we write
\[
\frac{1}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{5}}{{n}^{2}} + \frac{3}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} + \frac{3}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{2}} + \frac{3}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{2}}
\]
\{use the values of the series given in (4.67), (4.66), (4.59), and (4.60)\}
\[
= \frac{4875}{64}\zeta \left( 7\right) + \frac{9}{8}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + \frac{57}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) + \frac{3}{4}\mathop{\sum }\ |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 146 |
\[
- \frac{3}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{2}}
\]
(6.226)
On the other hand, considering the right-hand side of (6.221), we write
\[
\frac{1}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{5}}{{n}^{2}} + \frac{3}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{3}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} + \frac{3}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{2}} + \frac{3}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{n}^{2}}
\]
\{use the values of the series given in (4.67), (4.66), (4.59), and (4.60)\}
\[
= \frac{4875}{64}\zeta \left( 7\right) + \frac{9}{8}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + \frac{57}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) + \frac{3}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{2}}.
\]
(6.227)
Collecting the results from (6.226) and (6.227) in (6.221), we conclude that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{{n}^{2}} = {5\zeta }\left( 3\right) \zeta \left( 4\right) + \frac{13}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{217}{16}\zeta \left( 7\right) ,
\]
and the solutions are complete.
The knowledge on the harmonic series opens the gates to a large panel of problems that involve the use of such series. For example, just remember the triple integral in the first chapter, in Sect. 1.34, the point \( {ii} \) ), where we need to know how to handle with the resulting advanced harmonic series (of weight 7).
The interest in the study of the harmonic series has increased in the last years and further investigations and derivations of the harmonic series of weight \( \geq 8 \) have been accomplished as seen in [51] and [52].
## 6.44 A Member of a Glamorous Series Family Containing the Harmonic Number and the Tail of the Riemann Zeta Function
Solution I submitted the present series to SSMA (School Science and Mathematics Association) and was published in May, 2016 issue, the problem 5406 (see [38]). Splitting the series directly is not advisable since we have a divergence issue because, for example, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n} \) clearly diverges. Fine! Then, how would we like to act? Well, we can simply apply Abel's summation.
For an elementary solution by series manipulations only, we start by applying Abel’s summation (see (5.1)) with \( {a}_{n} = \frac{{H}_{n}}{n} \) and \( {b}_{n} = \zeta \left( 3\right) - 1 - \frac{1}{{2}^{3}} - \cdots - \frac{1}{{n}^{3}} \) , where we also use that \( \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{H}_{k}}{k} = \frac{1}{2}\left( {{H}_{n}^{2} + {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) \), and then we have
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n}\left( {\zeta \left( 3\right) - 1 - \frac{1}{{2}^{3}} - \cdots - \frac{1}{{n}^{3}}}\right)
\]
\[
= \underset{0}{\underbrace{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{2}\left( {{H}_{n}^{2} + {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) \left( {\zeta \left( 3\right) - 1 - \frac{1}{{2}^{3}} - \cdots - \frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{3}}}\right) }} + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2} + {H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{\left( n + 1\right) }^{3}}
\]
\[
= \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2} + {H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{\left( n + 1\right) }^{3}} = \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n + 1} - 1/\left( n + 1\right) \right) }^{2} + {H}_{n + 1}^{\left( 2\right) } - 1/{\left( n + 1\right) }^{2}}{{\left( n + 1\right) }^{3}}
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{3}} + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{4}}
\]
\{use the series values given in (4.30),(6.67), and (3.45), the case \( n = 4\} \)
\[
= {2\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{7}{2}\zeta \left( 5\right)
\]
and the first solution is finalized.
For a second solution, to calculate the series we first attend a slightly different version of it, where if we use the generalization in (4.72), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n + 1}\left( {\zeta \left( 3\right) - 1 - \frac{1}{{2}^{3}} - \cdots - \frac{1}{{n}^{3}}}\right) = \frac{1}{4}\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow 0} \\ {y \rightarrow 0} }}\frac{{\partial }^{4}}{\partial {x}^{2}\partial {y}^{2}}\mathrm{\;B}\left( {x, y}\right)
\]
\[
= 2\left( {{2\zeta }\left( 5\right) - \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) }\right)
\]
(6.228)
and the calculation of the limit can be done either with Mathematica or manually. The double limit with the Beta function can also be approached with Euler sums like that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n + 1}\left( {\zeta \left( 3\right) - 1 - \frac{1}{{2}^{3}} - \cdots - \frac{1}{{n}^{3}}}\right) = \frac{1}{4}\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow 0} \\ {y \rightarrow 0} }}\frac{{\partial }^{4}}{\partial {x}^{2}\partial {y}^{2}}\mathrm{\;B}\left( {x, y}\right)
\]
make use of the Beta function definition, \( \mathrm{B}\left( {a, b}\right) = {\int }_{0}^{1}{x}^{a - 1}{\left( 1 - x\right) }^{b - 1}\mathrm{\;d}x \)
\[
= \frac{1}{4}{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( x\right) {\log }^{2}\left( {1 - x}\right) }{x\left( {1 - x}\right) }\mathrm{d}x = \frac{1}{4}{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( x\right) {\log }^{2}\left( {1 - x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x
\]
\[
+ \frac{1}{4}\underset{\text{let }x = 1 - y}{\underbrace{{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( x\right) {\log }^{2}\left( {1 - x}\right) }{1 - x}\mathrm{\;d}x}} = \frac{1}{2}{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( x\right) {\log }^{2}\left( {1 - x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x
\]
\[
\left\{ {\text{use that}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n + 1}\frac{{H}_{n}}{n + 1} = \frac{1}{2}{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) }\right\}
\]
\[
= {\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n}\frac{{H}_{n}}{n + 1}{\log }^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n + 1}{\int }_{0}^{1}{x}^{n}{\log }^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{\left( n + 1\right) }^{4}} = 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n + 1} - 1/\left( {n + 1}\right) }{{\left( n + 1\right) }^{4}} = 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n} - 1/n}{{n}^{4}}
\]
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{4}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{5}}
\]
\{make use of the Euler sum in (3.45), the case \( n = 4 \) \}
\[
= 2\left( {{2\zeta }\left( 5\right) - \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) }\right) \text{.}
\]
On the other hand, the series in (6.228) can be written as
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n + 1}\left( {\zeta \left( 3\right) - 1 - \frac{1}{{2}^{3}} - \cdots - \frac{1}{{n}^{3}}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n + 1} - 1/\left( {n + 1}\right) }{n + 1}\left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{n + 1}^{\left( 3\right) } + \frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{3}}}\right)
\]
\{reindex the series and carefully expand it\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n}\left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{n}^{\left( 3\right) }}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{4}} - \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{5}}
\]
\{make use of the results in (6.68) and (3.45), the case \( n = 4 \) \}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n}\left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{n}^{\left( 3\right) }}\right) + \frac{15}{2}\zeta \left( 5\right) - {4\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) ,
\]
whence we obtain that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n}\left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{n}^{\left( 3\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n + 1}\left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{n}^{\left( 3\right) }}\right) - \frac{15}{2}\zeta \left( 5\right) + {4\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) ,
\]
where if we finally make use of the result in (6.228), we conclude that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n}\left( {\zeta \left( 3\right) - 1 - \frac{1}{{2}^{3}} - \cdots - \frac{1}{{n}^{3}}}\right) = {2\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{7}{2}\zeta \left( 5\right) ,
\]
and the second solution is finalized.
\[
\text{The same strategies can also be applied for}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n}\left( {\zeta \left( 2\right) - 1 - \frac{1}{{2}^{2}} - \cdots - \frac{1}{{n}^{2}}}\right)
\]
that appeared in [21, p. 149], where the author reduced the series to the calculation of some logarithmic and dilogarithmic integrals (at some point in the past I communicated to the author an elementary solution similar to the first one above).
## 6.45 More Members of a Glamorous Series Family Containing the Harmonic Number and the Tail of the Riemann Zeta Function
Solution For both series we might like to employ the strategy in the first solution from the previous section, which is fast and only requires Abel's summation and elementary manipulations with series. If in the previous section the resulting harmonic series were of weight 5, now for the point \ |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 147 | {2\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{7}{2}\zeta \left( 5\right) ,
\]
and the second solution is finalized.
\[
\text{The same strategies can also be applied for}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n}\left( {\zeta \left( 2\right) - 1 - \frac{1}{{2}^{2}} - \cdots - \frac{1}{{n}^{2}}}\right)
\]
that appeared in [21, p. 149], where the author reduced the series to the calculation of some logarithmic and dilogarithmic integrals (at some point in the past I communicated to the author an elementary solution similar to the first one above).
## 6.45 More Members of a Glamorous Series Family Containing the Harmonic Number and the Tail of the Riemann Zeta Function
Solution For both series we might like to employ the strategy in the first solution from the previous section, which is fast and only requires Abel's summation and elementary manipulations with series. If in the previous section the resulting harmonic series were of weight 5, now for the point \( i \) ) of the problem we get harmonic series of weight 6 , and for the second point of the problem we obtain harmonic series of weight 7. Passing to the generalized series, if we consider the tail with \( \zeta \left( k\right), k \geq 2 \), then the expected weight of the resulting series is \( k + 2 \) .
Let's make again Abel's summation (see (5.1)) our choice here, where if we set \( {a}_{n} = \frac{{H}_{n}}{n} \) and \( {b}_{n} = \zeta \left( 4\right) - 1 - \frac{1}{{2}^{4}} - \cdots - \frac{1}{{n}^{4}} \), we have
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n}\left( {\zeta \left( 4\right) - 1 - \frac{1}{{2}^{4}} - \cdots - \frac{1}{{n}^{4}}}\right)
\]
\[
= \underset{0}{\underbrace{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{2}\left( {{H}_{n}^{2} + {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) \left( {\zeta \left( 4\right) - 1 - \frac{1}{{2}^{4}} - \cdots - \frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{4}}}\right) }} + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2} + {H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{\left( n + 1\right) }^{4}}
\]
\[
= \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2} + {H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{\left( n + 1\right) }^{4}} = \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n + 1} - 1/\left( n + 1\right) \right) }^{2} + {H}_{n + 1}^{\left( 2\right) } - 1/{\left( n + 1\right) }^{2}}{{\left( n + 1\right) }^{4}}
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{4}} + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{5}}
\]
\{use the series values given in (4.31),(6.71), and (3.45), the case \( n = 5\} \)
\[
= \frac{5}{48}\zeta \left( 6\right)
\]
and the solution to the point \( i \) ) of the problem is complete.
For the point \( {ii} \) ) of the problem, using again Abel’s summation (see (5.1)), where
we set \( {a}_{n} = \frac{{H}_{n}}{n} \) and \( {b}_{n} = \zeta \left( 5\right) - 1 - \frac{1}{{2}^{5}} - \cdots - \frac{1}{{n}^{5}} \), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n}\left( {\zeta \left( 5\right) - 1 - \frac{1}{{2}^{5}} - \cdots - \frac{1}{{n}^{5}}}\right)
\]
\[
= \underset{0}{\underbrace{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{2}\left( {{H}_{n}^{2} + {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) \left( {\zeta \left( 5\right) - 1 - \frac{1}{{2}^{5}} - \cdots - \frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{5}}}\right) }} + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2} + {H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{\left( n + 1\right) }^{5}}
\]
\[
= \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2} + {H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{\left( n + 1\right) }^{5}} = \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{n + 1} - 1/\left( n + 1\right) \right) }^{2} + {H}_{n + 1}^{\left( 2\right) } - 1/{\left( n + 1\right) }^{2}}{{\left( n + 1\right) }^{5}}
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{5}} + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{5}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{6}}
\]
\{use the series values given in (4.32),(6.75), and (3.45), the case \( n = 6\} \)
\[
= {3\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) + \frac{3}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {6\zeta }\left( 7\right) ,
\]
and the solution to the point \( {ii} \) ) of the problem is complete.
For an alternative solution to both points, make use of the result in (4.72).
## 6.46 Two Series Generalizations with the Generalized Harmonic Numbers and the Tail of the Riemann Zeta Function
Solution The generalization from the point \( i \) ) in the present section also gives an alternative way of approaching the series with the tail of the Riemann zeta function like the ones in the last two sections. When we talk about the tail of the Riemann zeta function, we may also recall the series representation of the Polygamma function (see [58]), since the tail of the Riemann zeta function can be expressed in terms of the mentioned function.
For the point \( i \) ) of the problem, let’s note and use that
\[
\zeta \left( p\right) - 1 - \frac{1}{{2}^{p}} - \cdots - \frac{1}{{n}^{p}} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + k\right) }^{p}} = \frac{{\left( -1\right) }^{p - 1}}{\left( {p - 1}\right) !}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\int }_{0}^{1}{x}^{k + n - 1}{\log }^{p - 1}\left( x\right) \mathrm{d}x,
\]
(6.229)
where I considered the result in (1.2), and then we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n + 1}\left( {\zeta \left( p\right) - 1 - \frac{1}{{2}^{p}} - \cdots - \frac{1}{{n}^{p}}}\right)
\]
\[
= \frac{{\left( -1\right) }^{p - 1}}{\left( {p - 1}\right) !}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n + 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\int }_{0}^{1}{x}^{k + n - 1}{\log }^{p - 1}\left( x\right) \mathrm{d}x}\right)
\]
\{reverse the order of integration and summation\}
\[
= \frac{{\left( -1\right) }^{p - 1}}{\left( {p - 1}\right) !}{\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{x}^{k - 2}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n + 1}{x}^{n + 1}}\right) {\log }^{p - 1}\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
\[
\left\{ {\text{make use of the fact that}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n + 1}{x}^{n + 1} = \frac{1}{2}{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) }\right\}
\]
\[
= \frac{{\left( -1\right) }^{p - 1}}{2\left( {p - 1}\right) !}{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{p - 1}\left( x\right) {\log }^{2}\left( {1 - x}\right) }{x\left( {1 - x}\right) }\mathrm{d}x
\]
(6.230)
where we note the integral in (6.230) can be expressed in terms of Beta function which is defined as \( \mathrm{B}\left( {x, y}\right) = {\int }_{0}^{1}{t}^{x - 1}{\left( 1 - t\right) }^{y - 1}\mathrm{\;d}t \) .
Hence, for \( p \geq 2, p \in \mathbb{N} \), we have that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n + 1}\left( {\zeta \left( p\right) - 1 - \frac{1}{{2}^{p}} - \cdots - \frac{1}{{n}^{p}}}\right) = \frac{{\left( -1\right) }^{p - 1}}{2\left( {p - 1}\right) !}\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow 0} \\ {y \rightarrow 0} }}\frac{{\partial }^{p + 1}}{\partial {x}^{p - 1}\partial {y}^{2}}\mathrm{\;B}\left( {x, y}\right) ,
\]
and the solution to the point \( i \) ) of the problem is complete.
For the point \( {ii} \) ) of the problem we proceed in a similar style. First, if we combine the generating functions in (4.6), the case \( m = 2 \), and (4.7), we have
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{y}^{n}\left( {{H}_{n}^{2} - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) = \frac{{\log }^{2}\left( {1 - y}\right) }{1 - y}.
\]
(6.231)
Integrating both sides of (6.231), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{x}^{n + 1}}{n + 1}\left( {{H}_{n}^{2} - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) = - \frac{1}{3}{\log }^{3}\left( {1 - x}\right) .
\]
(6.232)
Now, starting as at the previous series, and using the result in (6.229), we write
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2} - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}{n + 1}\left( {\zeta \left( p\right) - 1 - \frac{1}{{2}^{p}} - \cdots - \frac{1}{{n}^{p}}}\right)
\]
\[
= \frac{{\left( -1\right) }^{p - 1}}{\left( {p - 1}\right) !}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2} - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}{n + 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\int }_{0}^{1}{x}^{k + n - 1}{\log }^{p - 1}\left( x\right) \mathrm{d}x}\right)
\]
\{reverse the order of integration and summation\}
\[
= \frac{{\left( -1\right) }^{p - 1}}{\left( {p - 1}\right) !}{\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{x}^{k - 2}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n + 1}\frac{{H}_{n}^{2} - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}{n + 1}}\right) {\log }^{p - 1}\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
\{make use of the result in (6.232)\}
\[
= \frac{{\left( -1\right) }^{p}}{3\left( {p - 1}\right) !}{\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{x}^{k - 2}{\log }^{p - 1}\left( x\right) {\log }^{3}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x
\]
\[
= \frac{{\left( -1\right) }^{p}}{3\left( {p - 1}\right) !}{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{p - 1}\left( x\right) {\log }^{3}\left( {1 - x}\right) }{x\left( {1 - x}\right) }\mathrm{d}x
\]
\[
= \frac{{\left( -1\right) }^{p}}{3\left( {p - 1}\right) !}\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow 0} \\ {y \rightarrow 0} }}\frac{{\partial }^{p + 2}}{\partial {x}^{p - 1}\partial {y}^{3}}\mathrm{\;B}\left( {x, y}\right) ,
\]
and the solution to the point \( {ii} \) ) of the problem is complete.
And now we can prepare ourselves to enter the sections with series involving a product of two tails of the Riemann zeta function!
## 6.47 The Art of |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 148 | c{{H}_{n}^{2} - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}{n + 1}}\right) {\log }^{p - 1}\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
\{make use of the result in (6.232)\}
\[
= \frac{{\left( -1\right) }^{p}}{3\left( {p - 1}\right) !}{\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{x}^{k - 2}{\log }^{p - 1}\left( x\right) {\log }^{3}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x
\]
\[
= \frac{{\left( -1\right) }^{p}}{3\left( {p - 1}\right) !}{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{p - 1}\left( x\right) {\log }^{3}\left( {1 - x}\right) }{x\left( {1 - x}\right) }\mathrm{d}x
\]
\[
= \frac{{\left( -1\right) }^{p}}{3\left( {p - 1}\right) !}\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow 0} \\ {y \rightarrow 0} }}\frac{{\partial }^{p + 2}}{\partial {x}^{p - 1}\partial {y}^{3}}\mathrm{\;B}\left( {x, y}\right) ,
\]
and the solution to the point \( {ii} \) ) of the problem is complete.
And now we can prepare ourselves to enter the sections with series involving a product of two tails of the Riemann zeta function!
## 6.47 The Art of Mathematics with a Series Involving the Product of the Tails of \( \zeta \left( 2\right) \) and \( \zeta \left( 3\right) \)
Solution Allow me to say this solution is about the art of mathematics! Ok. Why? First we see we have now a series with a product of tails of Riemann zeta function, and all is multiplied by \( 1/n \) . That doesn’t look friendly! A natural impulse would be to give it a try with Abel's summation as we did in the previous sections for the series with one tail of the Riemann zeta function, and this is a wise choice I'll want to consider. After the application of Abel's summation there will also result two nonlinear harmonic series of weight 6 , which happily and amazingly we won't have to compute separately, and this is possible due to an identity generated by The Master Theorem of Series!
So, we write that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n}\left( {\zeta \left( 2\right) - 1 - \frac{1}{{2}^{2}} - \cdots - \frac{1}{{n}^{2}}}\right) \left( {\zeta \left( 3\right) - 1 - \frac{1}{{2}^{3}} - \cdots - \frac{1}{{n}^{3}}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) \left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{n}^{\left( 3\right) }}\right) ,
\]
and applying Abel’s summation, the series version in (5.1), with \( {a}_{n} = 1/n \) and \( {b}_{n} = \left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) \left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{n}^{\left( 3\right) }}\right) \), we get that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) \left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{n}^{\left( 3\right) }}\right) = \underset{0}{\underbrace{\mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow \infty }}{H}_{N}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{N + 1}^{\left( 2\right) }}\right) \left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{N + 1}^{\left( 3\right) }}\right) }}
\]
\[
+ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{H}_{n}\left( {\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) \left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{n}^{\left( 3\right) }}\right) - \left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n + 1}^{\left( 2\right) }}\right) \left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{n + 1}^{\left( 3\right) }}\right) }\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{H}_{n}\left( {\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) \left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{n}^{\left( 3\right) }}\right) - \left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n + 1}^{\left( 2\right) }}\right) \left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{n + 1}^{\left( 3\right) }}\right) }\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {{H}_{n + 1} - \frac{1}{n + 1}}\right) \left( {\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n + 1}^{\left( 2\right) } + \frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}}}\right) \left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{n + 1}^{\left( 3\right) } + \frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{3}}}\right) }\right.
\]
\[
\left. {-\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n + 1}^{\left( 2\right) }}\right) \left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{n + 1}^{\left( 3\right) }}\right) }\right)
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}} - \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{5}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{6}}
\]
\[
+ \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}} - \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{3}} - \left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}}}\right)
\]
\{the values of the series are given in (3.45), the cases \( n = 2,3,5 \) ,
\( \{ \left( {6.71}\right) ,\left( {4.14}\right) \), where we set \( p = 3 \) and let \( n \rightarrow \infty \), and (4.40) \( \} \)
\[
= {\zeta }^{2}\left( 3\right) - \frac{61}{48}\zeta \left( 6\right)
\]
and the calculation of the series is finalized.
Indeed, the fact that we could avoid so easily the calculation of each nonlinear harmonic series of weight 6 involved (due to The Master Theorem of Series) is almost a dream which shows again that in the area of the harmonic series still lie extraordinary ways of calculating them, waiting for us to discover them by mathematical efforts, research.
The solution also answers the proposed challenging question.
The series version without the factor \( 1/n \) ,
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\zeta \left( 2\right) - 1 - \frac{1}{{2}^{2}} - \cdots - \frac{1}{{n}^{2}}}\right) \left( {\zeta \left( 3\right) - 1 - \frac{1}{{2}^{3}} - \cdots - \frac{1}{{n}^{3}}}\right) = {2\zeta }\left( 4\right) - \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) ,
\]
and its generalization,
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\zeta \left( k\right) - 1 - \frac{1}{{2}^{k}} - \cdots - \frac{1}{{n}^{k}}}\right) \left( {\zeta \left( {k + 1}\right) - 1 - \frac{1}{{2}^{k + 1}} - \cdots - \frac{1}{{n}^{k + 1}}}\right) ,
\]
appeared in the paper Evaluation of Series Involving the Product of the Tail of \( \zeta \left( k\right) \) and \( \zeta \left( {k + 1}\right) \) I co-authored (see [22]). Also, similar series involving the product of the tails of the Riemann zeta function may be found evaluated in [26].
## 6.48 The Art of Mathematics with Another Splendid Series Involving the Product of the Tails of \( \zeta \left( 2\right) \) and \( \zeta \left( 3\right) \)
Solution Once again, allow me to say this solution is about the art of mathematics, and it takes into account the challenging question! Compared to the previous series, here we have an additional harmonic number, and that also pushes us in the area of the harmonic series of weight 7.
The proposed challenging question gives a special flavor to the problem, since we'll want to calculate the series without making use of the values of some difficult-to-calculate nonlinear harmonic series of weight 7.
To calculate the series we'll employ a slightly different version of the series of weight 7, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} \), which is \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) }{{n}^{3}} \), and in the calculations it won't be necessary to know the value of either of these two series. If we apply Abel’s summation in (5.1) for the latter series where we set \( {a}_{n} = 1/{n}^{3} \) and \( {b}_{n} = \) \( {H}_{n}^{2}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) \), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) }{{n}^{3}} = \underset{0}{\underbrace{\mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow \infty }}{H}_{N}^{\left( 3\right) }{H}_{N + 1}^{2}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{N + 1}^{\left( 2\right) }}\right) }}
\]
\[
+ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{H}_{n}^{\left( 3\right) }\left( {{H}_{n}^{2}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) - {H}_{n + 1}^{2}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n + 1}^{\left( 2\right) }}\right) }\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {{H}_{n + 1}^{\left( 3\right) } - 1/{\left( n + 1\right) }^{3}}\right) \left( {{\left( {H}_{n + 1} - 1/\left( n + 1\right) \right) }^{2}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n + 1}^{\left( 2\right) } + 1/{\left( n + 1\right) }^{2}}\right) }\right.
\]
\[
\left. {-{H}_{n + 1}^{2}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n + 1}^{\left( 2\right) }}\right) }\right)
\]
\{reindex the series and carefully expand it\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}}
\]
\[
- 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) {H}_{n}^{\left( 3\right) } - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{7}} - \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{5}} + {2\zeta }\left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{4}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{6}}
\]
\[
+ \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 149 | }^{\left( 2\right) }}\right) }\right)
\]
\{reindex the series and carefully expand it\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}}
\]
\[
- 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) {H}_{n}^{\left( 3\right) } - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{7}} - \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{5}} + {2\zeta }\left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{4}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{6}}
\]
\[
+ \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{5}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{5}}
\]
\{use the series values in (3.45), the cases \( n = 4,6,\left( {6.68}\right) ,\left( {6.80}\right) ,\left( {6.75}\right) \), and (4.32); \( \} \)
\[
\text{make use of the result in (4.44) to express}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{3}}\text{as}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}}\text{,}
\]
\[
\text{and then use the result in (4.45) to express}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}}\text{as}\left. {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}}}\right\}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) {H}_{n}^{\left( 3\right) }
\]
\[
- {4\zeta }\left( 7\right) + {8\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{41}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right)
\]
\[
\text{\{employ the result in (4.46) to writer}3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}}\text{using}
\]
\[
\left. {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}}}\right\}
\]
\[
= - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) {H}_{n}^{\left( 3\right) } + \frac{15}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{9}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) ,
\]
that leads to
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) }{{n}^{3}} = \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}}
\]
\[
= - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) {H}_{n}^{\left( 3\right) } + \frac{15}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \frac{9}{2}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) ,
\]
whence, also considering the result in (4.30), we obtain
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) {H}_{n}^{\left( 3\right) } = {2\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right) - \zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) .
\]
(6.233)
Then, in view of the result in (6.233), we write
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n}\left( {\zeta \left( 2\right) - 1 - \frac{1}{{2}^{2}} - \cdots - \frac{1}{{n}^{2}}}\right) \left( {\zeta \left( 3\right) - 1 - \frac{1}{{2}^{3}} - \cdots - \frac{1}{{n}^{3}}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) \left( {\zeta \left( 3\right) - {H}_{n}^{\left( 3\right) }}\right)
\]
\[
= \zeta \left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) {H}_{n}^{\left( 3\right) }
\]
\{the first series is calculated below and the second series is found in (6.233)\}
\[
= \frac{11}{4}\zeta \left( 3\right) \zeta \left( 4\right) - {2\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 5\right)
\]
where the series \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) \) can be calculated entirely by series manipulations if we use Abel’s summation with \( {a}_{n} = \frac{{H}_{n}}{n} \) and \( {b}_{n} = \zeta \left( 2\right) - {H}_{n}^{\left( 2\right) } \) as in the Sect. 6.45. Alternatively, we can also start with the following series version, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n + 1}\left( {\zeta \left( 2\right) - 1 - \frac{1}{{2}^{2}} - \cdots - \frac{1}{{n}^{2}}}\right) \), which is given in (4.72), the case \( p = 2 \) , and then we may write
\[
\frac{5}{4}\zeta \left( 4\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n + 1}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n + 1} - 1/\left( {n + 1}\right) }{n + 1}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n + 1}^{\left( 2\right) } + \frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}}}\right)
\]
\{reindex the series and carefully expand it\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}} - \zeta \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{4}}
\]
\{use the Euler sum in (3.45), the case \( n = 3 \) and (4.14), the case \( p = 2 \) \}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) - \frac{1}{2}\zeta \left( 4\right) ,
\]
whence we get the desired value,
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) = \frac{7}{4}\zeta \left( 4\right)
\]
and the solution is complete.
It's nice to see how beautifully various relations with harmonic series work together when properly combined.
## 6.49 Expressing Polylogarithmic Values by Combining the Alternating Harmonic Series and the Non-alternating Harmonic Series with Integer Powers of 2 in Denominator
Solution The sums of harmonic series in this section all lead to polylogarithmic values, and to show the equalities hold we might like to combine the result from the point \( {ii} \) ) in Sect. 1.31 with some generating functions in Sect. 4.11.
For all three results we might like to employ the identity in (1.59). So, if we set \( m = 3 \) in (1.59), we get
\[
{\int }_{0}^{1}{\operatorname{Li}}_{3}\left( \frac{x}{1 + x}\right) \mathrm{d}x = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{H}_{n - 1}^{\left( 3\right) }\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) .
\]
(6.234)
For the left-hand side of (6.234) we make use of the result in (4.11), and we write
\[
{\int }_{0}^{1}{\operatorname{Li}}_{3}\left( \frac{x}{1 + x}\right) \mathrm{d}x = \frac{1}{2}{\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{x}^{n}}{n}\left( {{H}_{n}^{2} + {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) \mathrm{d}x
\]
\{reverse the order of summation and integration\}
\[
= \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{2} + {H}_{n}^{\left( 2\right) }}{n}{\int }_{0}^{1}{x}^{n}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{2} + {H}_{n}^{\left( 2\right) }}{n\left( {n + 1}\right) }.
\]
(6.235)
For the series in the right-hand side of (6.234), we apply Abel's summation in
(5.1), with \( {a}_{n} = 1 \) and \( {b}_{n} = {H}_{n - 1}^{\left( 3\right) }\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) \), and then we write
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{H}_{n - 1}^{\left( 3\right) }\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) = \underset{0}{\underbrace{\mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow \infty }}N{H}_{N}^{\left( 3\right) }\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) }}
\]
\[
+ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }n\left( {{H}_{n - 1}^{\left( 3\right) }\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) - \left( {{H}_{n - 1}^{\left( 3\right) } + \frac{1}{{n}^{3}}}\right) \left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}} - \frac{1}{n{2}^{n}}}\right) |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 150 | t-hand side of (6.234), we apply Abel's summation in
(5.1), with \( {a}_{n} = 1 \) and \( {b}_{n} = {H}_{n - 1}^{\left( 3\right) }\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) \), and then we write
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{H}_{n - 1}^{\left( 3\right) }\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) = \underset{0}{\underbrace{\mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow \infty }}N{H}_{N}^{\left( 3\right) }\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) }}
\]
\[
+ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }n\left( {{H}_{n - 1}^{\left( 3\right) }\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) - \left( {{H}_{n - 1}^{\left( 3\right) } + \frac{1}{{n}^{3}}}\right) \left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}} - \frac{1}{n{2}^{n}}}\right) }\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{2}^{n}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) = 2{\operatorname{Li}}_{3}\left( \frac{1}{2}\right)
\]
\[
- \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right)
\]
(6.236)
where for the last equality I used the result in (4.6), the case \( m = 3 \) .
For the remaining series in (6.236), we apply again Abel's summation in (5.1)
with \( {a}_{n} = 1/{n}^{2} \) and \( {b}_{n} = \log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}} \) that gives
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) = \underset{0}{\underbrace{\mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow \infty }}{H}_{N}^{\left( 2\right) }\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) }} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{n{2}^{n}}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{n{2}^{n}}
\]
(6.237)
If we plug the result from (6.237) in (6.236), we have
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{H}_{n - 1}^{\left( 3\right) }\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) = 2{\operatorname{Li}}_{3}\left( \frac{1}{2}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{n{2}^{n}}.
\]
(6.238)
Collecting the results from (6.235) and (6.238) in (6.234), we conclude that
\[
{\operatorname{Li}}_{3}\left( \frac{1}{2}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{n{2}^{n + 1}} + \frac{1}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{2}}{n\left( {n + 1}\right) } + \frac{1}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{n\left( {n + 1}\right) },
\]
and the part \( i \) ) of the problem is complete.
Passing to the point \( {ii} \) ), we set \( m = 4 \) in (1.59), and we have
\[
{\int }_{0}^{1}{\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{x}{1 + x}\right) \mathrm{d}x = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{H}_{n - 1}^{\left( 4\right) }\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) .
\]
(6.239)
For the left-hand side of (6.239) we make use of (4.12), and we write
\[
{\int }_{0}^{1}{\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{x}{1 + x}\right) \mathrm{d}x = \frac{1}{6}{\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{x}^{n}}{n}\left( {{H}_{n}^{3} + 3{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{n}^{\left( 3\right) }}\right) \mathrm{d}x
\]
\{reverse the order of summation and integration\}
\[
= \frac{1}{6}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{1}{n}\left( {{H}_{n}^{3} + 3{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{n}^{\left( 3\right) }}\right) {\int }_{0}^{1}{x}^{n}\mathrm{\;d}x
\]
\[
= \frac{1}{6}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{1}{n\left( {n + 1}\right) }\left( {{H}_{n}^{3} + 3{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{n}^{\left( 3\right) }}\right) .
\]
(6.240)
For the series in the right-hand side of (6.239), we apply Abel's summation in (5.1), with \( {a}_{n} = 1 \) and \( {b}_{n} = {H}_{n - 1}^{\left( 4\right) }\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) \), and then we write
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{H}_{n - 1}^{\left( 4\right) }\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) = \underset{0}{\underbrace{\mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow \infty }}N{H}_{N}^{\left( 4\right) }\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) }}
\]
\[
+ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }n\left( {{H}_{n - 1}^{\left( 4\right) }\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) - \left( {{H}_{n - 1}^{\left( 4\right) } + \frac{1}{{n}^{4}}}\right) \left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}} - \frac{1}{n{2}^{n}}}\right) }\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{{2}^{n}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}}\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) =
\]
\[
2{\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}}\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) ,
\]
(6.241)
where for the last equality I used the result in (4.6), the case \( m = 4 \) .
For the left series in (6.49), we apply Abel’s summation in (5.1) with \( {a}_{n} = 1/{n}^{3} \) and \( {b}_{n} = \log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}} \) that yields
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}}\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) = \underset{0}{\underbrace{\mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow \infty }}{H}_{N}^{\left( 3\right) }\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) }} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{n{2}^{n}}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{n{2}^{n}}
\]
(6.242)
If we plug the result from (6.242) in (6.49), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{H}_{n - 1}^{\left( 4\right) }\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) = 2{\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{n{2}^{n}}.
\]
(6.243)
Collecting the results from (6.240) and (6.243) in (6.239), we conclude that
\[
{\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{n{2}^{n + 1}} + \frac{1}{12}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{3}}{n\left( {n + 1}\right) } + \frac{1}{6}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{n\left( {n + 1}\right) }
\]
\[
+ \frac{1}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{n\left( {n + 1}\right) }
\]
and the part \( {ii} \) ) of the problem is complete.
Lastly, for the point iii), we set \( m = 5 \) in (1.59), and we have
\[
{\int }_{0}^{1}{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{x}{1 + x}\right) \mathrm{d}x = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{H}_{n - 1}^{\left( 5\right) }\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) .
\]
(6.244)
Now, for the left-hand side of (6.244) we make use of the result in (4.11), and then we write
\[
{\int }_{0}^{1}{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{x}{1 + x}\right) \mathrm{d}x
\]
\[
= \frac{1}{24}{\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{x}^{n}}{n}\left( {{H}_{n}^{4} + 6{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) } + 8{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) } + 3{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2} + 6{H}_{n}^{\left( 4\right) }}\right) \mathrm{d}x
\]
\{reverse the order of summation and integration\}
\[
= \frac{1}{24}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{1}{n}\left( {{H}_{n}^{4} + 6{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) } + 8{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) } + 3\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) {}^{2} + 6{H}_{n}^{\left( 4\right) }}\right) {\int }_{0}^{1}{x}^{n}\mathrm{\;d}x
\]
\[
= \frac{1}{24}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{1}{n\left( {n + 1}\right) }\left( {{H}_{n}^{4} + 6{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) } + 8{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) } + 3{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2} + 6{H}_{n}^{\left( 4\right) }}\right) .
\]
(6.245)
For the right-hand side of (6.244), we apply Abel's summation in (5.1) with
\[
{a}_{n} = 1\text{and}{b}_{n} = {H}_{n - 1}^{\left( 5\right) }\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) \text{that gives}
\]
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{H}_{n - 1}^{\left( 5\right) }\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow \infty }}N{H}_{N}^{\left( 5\ri |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 151 | right) } + 8{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) } + 3\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) {}^{2} + 6{H}_{n}^{\left( 4\right) }}\right) {\int }_{0}^{1}{x}^{n}\mathrm{\;d}x
\]
\[
= \frac{1}{24}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{1}{n\left( {n + 1}\right) }\left( {{H}_{n}^{4} + 6{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) } + 8{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) } + 3{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2} + 6{H}_{n}^{\left( 4\right) }}\right) .
\]
(6.245)
For the right-hand side of (6.244), we apply Abel's summation in (5.1) with
\[
{a}_{n} = 1\text{and}{b}_{n} = {H}_{n - 1}^{\left( 5\right) }\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) \text{that gives}
\]
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{H}_{n - 1}^{\left( 5\right) }\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow \infty }}N{H}_{N}^{\left( 5\right) }\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right)
\]
\[
+ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }n\left( {{H}_{n - 1}^{\left( 5\right) }\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) - \left( {{H}_{n - 1}^{\left( 5\right) } + \frac{1}{{n}^{5}}}\right) \left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}} - \frac{1}{n{2}^{n}}}\right) }\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 5\right) }}{{2}^{n}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{4}}\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) = 2{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right)
\]
\[
- \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{4}}\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right)
\]
(6.246)
where for the last equality I used the result in (4.6), the case \( m = 5 \) .
Further, for the remaining series in (6.246), we apply Abel's summation in (5.1) with \( {a}_{n} = 1/{n}^{4} \) and \( {b}_{n} = \log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}} \), and we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{4}}\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) = \underset{0}{\underbrace{\mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow \infty }}{H}_{N}^{\left( 4\right) }\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) }} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{n{2}^{n}}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{n{2}^{n}}
\]
(6.247)
If we plug the result from (6.247) in (6.246), we have
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{H}_{n - 1}^{\left( 5\right) }\left( {\log \left( 2\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k{2}^{k}}}\right) = 2{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{n{2}^{n}}.
\]
(6.248)
Finally, collecting the results from (6.245) and (6.248) in (6.244), we conclude that
\[
{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{n{2}^{n + 1}} + \frac{1}{48}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{4}}{n\left( {n + 1}\right) } + \frac{1}{8}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{n\left( {n + 1}\right) }
\]
\[
+ \frac{1}{8}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{n\left( {n + 1}\right) } + \frac{1}{16}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{n\left( {n + 1}\right) } + \frac{1}{6}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{n\left( {n + 1}\right) },
\]
and the part \( {iii} \) ) of the problem is complete.
If you enjoy such representations with long sums of harmonic series, then there is some good news: if in this section the sums yielded polylogarithmic values like \( {\mathrm{{Li}}}_{3}\left( \frac{1}{2}\right) ,{\mathrm{{Li}}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) \) and \( {\mathrm{{Li}}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right) \), in one of the next sections we’ll meet a long sum with harmonic series (seven series) leading to \( \zeta \left( 4\right) \) !
The solutions also answer the proposed challenging question.
## 6.50 Cool Results with Cool Series Involving Summands with the Harmonic Number and the Integer Powers of 2
Solution Some of the harmonic series with positive integer powers of 2 in denominator might be pretty challenging. For example, one might possibly find the series like \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}{2}^{n}} \) and \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{4}{2}^{n}} \) rather troublesome, and the relations I propose in this section are meant to facilitate the derivation of such series. Also, trying to remain in the perimeter of the real methods is another challenge, especially for the last relation where it is required to calculate a tough integral (which happily I already calculated in the third chapter).
For the first sum of series, I invoke the identity
\[
{\int }_{0}^{1/2}{x}^{k}\log \left( x\right) \mathrm{d}x = - \frac{\log \left( 2\right) }{\left( {k + 1}\right) {2}^{k + 1}} - \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{2}{2}^{k + 1}},
\]
(6.249)
which is proved immediately with the integration by parts.
Multiplying both sides of (6.249) by \( - {H}_{k} \) and then summing up from \( k = 1 \) to \( \infty \), we get
\[
\log \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{\left( {k + 1}\right) {2}^{k + 1}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{2}{2}^{k + 1}} = - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{H}_{k}{\int }_{0}^{1/2}{x}^{k}\log \left( x\right) \mathrm{d}x
\]
\{reverse the order of integration and summation\}
\[
= - {\int }_{0}^{1/2}\log \left( x\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{x}^{k}{H}_{k}\mathrm{\;d}x
\]
\{use the generating function in (4.5)\}
\[
= {\int }_{0}^{1/2}\frac{\log \left( x\right) \log \left( {1 - x}\right) }{1 - x}\mathrm{\;d}x\overset{1 - x = y}{ = }{\int }_{1/2}^{1}\frac{\log \left( {1 - y}\right) \log \left( y\right) }{y}\mathrm{\;d}y
\]
\[
= - {\int }_{1/2}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{y}^{n - 1}}{n}\log \left( y\right) \mathrm{d}y
\]
\{reverse the order of summation and integration\}
\[
= - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n}{\int }_{1/2}^{1}{y}^{n - 1}\log \left( y\right) \mathrm{d}y = - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n}\left( {{\int }_{0}^{1} - {\int }_{0}^{1/2}}\right) {y}^{n - 1}\log \left( y\right) \mathrm{d}y
\]
\[
= - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n}{\int }_{0}^{1}{y}^{n - 1}\log \left( y\right) \mathrm{d}y + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n}{\int }_{0}^{1/2}{y}^{n - 1}\log \left( y\right) \mathrm{d}y
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}} - \log \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}{2}^{n}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}{2}^{n}} = \zeta \left( 3\right) - \log \left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{2}\left( \frac{1}{2}\right) - {\operatorname{Li}}_{3}\left( \frac{1}{2}\right)
\]
\{use the special values in (3.19) and (3.20)\}
\[
= \frac{1}{8}\zeta \left( 3\right) + \frac{1}{3}{\log }^{3}\left( 2\right)
\]
and the calculation to the point \( i \) ) is finalized.
I submitted the following sum of series as a problem to The American Mathematical Monthly, the problem 11921 (see [49]).
To prove the result with the second sum of series, we employ the simple fact that
\[
{\int }_{0}^{1/2}{x}^{k}{\log }^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x = \frac{{\log }^{2}\left( 2\right) }{\left( {k + 1}\right) {2}^{k + 1}} + \frac{\log \left( 2\right) }{{\left( k + 1\right) }^{2}{2}^{k}} + \frac{1}{{\left( k + 1\right) }^{3}{2}^{k}},
\]
(6.250)
which is proved by applying two times the integration by parts or by simply making use of (1.3), with \( a = 1/2, n = 2 \) .
Multiplying both sides of (6.250) by \( {H}_{k} \) and then summing up from \( k = 1 \) to \( \infty \) , we get
\[
{\log }^{2}\left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{\left( {k + 1}\right) {2}^{k + 1}} + \log \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{2}{2}^{k}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{3}{2}^{k}}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{H}_{k}{\int }_{0}^{1/2}{x}^{k}{\log }^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{0}^{1/2}{\log }^{2}\left( x\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{x}^{k}{H}_{k}\mathrm{\;d}x
\]
\{use the generating function in (4.5)\}
\[
= - {\int }_{0}^{1/2}\frac{\log \left( {1 - x}\right) {\log }^{2}\left( x\right) }{1 - x}\mathrm{\;d}x
\]
\{make use of the result in (1.28), the case \( p = 1 \) \}
\[
= \frac{1}{4}\left( {\zeta \left( 4\right) + {\log }^{4}\left( 2\right) }\right)
\]
and the calculation to the point \( {ii} \) ) is finalized. The last integral also appears in [17, p.128].
For the last sum of series, we recall the result in (1.18), and using the integral there, we write
\[
{\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{2}\left( x\right) {\log }^{2}\left( {1 - x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x
\]
\[
\left\{ {\text{ make use of the fact that }\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{x}^{k}\frac{{H}_{k}}{k + 1} = \frac{{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) } |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 152 | op{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{H}_{k}{\int }_{0}^{1/2}{x}^{k}{\log }^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{0}^{1/2}{\log }^{2}\left( x\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{x}^{k}{H}_{k}\mathrm{\;d}x
\]
\{use the generating function in (4.5)\}
\[
= - {\int }_{0}^{1/2}\frac{\log \left( {1 - x}\right) {\log }^{2}\left( x\right) }{1 - x}\mathrm{\;d}x
\]
\{make use of the result in (1.28), the case \( p = 1 \) \}
\[
= \frac{1}{4}\left( {\zeta \left( 4\right) + {\log }^{4}\left( 2\right) }\right)
\]
and the calculation to the point \( {ii} \) ) is finalized. The last integral also appears in [17, p.128].
For the last sum of series, we recall the result in (1.18), and using the integral there, we write
\[
{\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{2}\left( x\right) {\log }^{2}\left( {1 - x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x
\]
\[
\left\{ {\text{ make use of the fact that }\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{x}^{k}\frac{{H}_{k}}{k + 1} = \frac{{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) }{2x}}\right\}
\]
\[
= 2{\int }_{0}^{1/2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{x}^{k}\frac{{H}_{k}}{k + 1}{\log }^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
\{reverse the order of summation and integration\}
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{k + 1}{\int }_{0}^{1/2}{x}^{k}{\log }^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
\{make use of the result in (6.250)\}
\[
= {\log }^{2}\left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{2}{2}^{k}} + \log \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{3}{2}^{k - 1}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{4}{2}^{k - 1}}
\]
\[
= \frac{1}{8}\zeta \left( 5\right) - {2\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{2}{3}{\log }^{3}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) + \frac{7}{4}{\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{1}{15}{\log }^{5}\left( 2\right)
\]
\[
+ 4\log \left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) + 4{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right)
\]
and the calculation to the point iii) is finalized.
Equipped with these relations, we are prepared to enter the next section where we'll want the extract the precise values of such series.
## 6.51 Eight Harmonic Series Involving the Integer Powers of 2 in Denominator
Solution As mentioned at the end of the previous section, once we are equipped with the proper relations, we may extract the values of the series in this section.
Now, to calculate the series from the point \( i \) ), we use the result in (4.5), \( \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{x}^{k}{H}_{k} = - \frac{\log \left( {1 - x}\right) }{1 - x} \), where if we integrate both sides from \( x = 0 \) to \( x = 1/2 \) , we get
\[
{\int }_{0}^{1/2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{x}^{k}{H}_{k}\mathrm{\;d}x = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\int }_{0}^{1/2}{x}^{k}{H}_{k}\mathrm{\;d}x = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{\left( {k + 1}\right) {2}^{k + 1}} = - {\int }_{0}^{1/2}\frac{\log \left( {1 - x}\right) }{1 - x}\mathrm{\;d}x
\]
\[
= \frac{1}{2}{\log }^{2}\left( 2\right)
\]
from which we obtain
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{\left( {k + 1}\right) {2}^{k}} = {\log }^{2}\left( 2\right)
\]
and the point \( i \) ) of the problem is finalized.
Further, to calculate the series from the point \( {ii} \) ), we make use of the series from the point \( i \) ), and then we write
\[
{\log }^{2}\left( 2\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{\left( {k + 1}\right) {2}^{k}} = 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k + 1} - 1/\left( {k + 1}\right) }{\left( {k + 1}\right) {2}^{k + 1}}
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{k{2}^{k}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{2}{2}^{k}} = 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{k{2}^{k}} - 2{\operatorname{Li}}_{2}\left( \frac{1}{2}\right)
\]
\{make use of the special value of Dilogarithm function in (3.19)\}
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{k{2}^{k}} - \zeta \left( 2\right) + {\log }^{2}\left( 2\right)
\]
whence we obtain
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{k{2}^{k}} = \frac{1}{2}\zeta \left( 2\right)
\]
and the point \( {ii} \) ) of the problem is finalized.
Next, to get the value of the series from the point iii), we plug the value of the series from the point \( i \) ) in the relation in (4.74), and then we immediately have
\[
\frac{1}{2}{\log }^{3}\left( 2\right) + \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{2}{2}^{k}} = \frac{1}{8}\zeta \left( 3\right) + \frac{1}{3}{\log }^{3}\left( 2\right) ,
\]
whence we obtain
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{2}{2}^{k}} = \frac{1}{4}\zeta \left( 3\right) - \frac{1}{3}{\log }^{3}\left( 2\right) ,
\]
and the point iii) of the problem is finalized.
Jumping to the next series from the point \( {iv} \) ), we make use of the series from the point \( {iii} \) ), and then we write
\[
\frac{1}{4}\zeta \left( 3\right) - \frac{1}{3}{\log }^{3}\left( 2\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{2}{2}^{k}} = 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k + 1} - 1/\left( {k + 1}\right) }{{\left( k + 1\right) }^{2}{2}^{k + 1}}
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}{2}^{k}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{3}{2}^{k}} = 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}{2}^{k}} - 2{\operatorname{Li}}_{3}\left( \frac{1}{2}\right)
\]
\{use the special value of Trilogarithm function in (3.20)\}
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}{2}^{k}} - \frac{7}{4}\zeta \left( 3\right) + \log \left( 2\right) \zeta \left( 2\right) - \frac{1}{3}{\log }^{3}\left( 2\right) ,
\]
whence we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{2}{2}^{k}} = \zeta \left( 3\right) - \frac{1}{2}\log \left( 2\right) \zeta \left( 2\right)
\]
and the point \( {iv} \) ) of the problem is finalized.
Then, to calculate the series from the point \( v \) ), we combine the values of the series from the points \( i \) ), iii) and the identity in (4.75) that lead to
\[
\frac{1}{6}{\log }^{4}\left( 2\right) + \frac{1}{4}\log \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{3}{2}^{k}} = \frac{1}{4}\left( {\zeta \left( 4\right) + {\log }^{4}\left( 2\right) }\right) ,
\]
from which we obtain
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{3}{2}^{k}} = \frac{1}{4}\left( {\zeta \left( 4\right) - \log \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + \frac{1}{3}{\log }^{4}\left( 2\right) }\right) ,
\]
and the point \( v \) ) of the problem is finalized.
Next, for the part \( {vi} \) ) of the problem we make use of the result from the point \( v \) ), and we write
\[
\frac{1}{4}\left( {\zeta \left( 4\right) - \log \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + \frac{1}{3}{\log }^{4}\left( 2\right) }\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{3}{2}^{k}} = 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k + 1} - 1/\left( {k + 1}\right) }{{\left( k + 1\right) }^{3}{2}^{k + 1}}
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{3}{2}^{k}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{4}{2}^{k}} = 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{3}{2}^{k}} - 2{\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) ,
\]
whence we obtain
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{3}{2}^{k}} = \frac{1}{8}\zeta \left( 4\right) - \frac{1}{8}\log \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + \frac{1}{24}{\log }^{4}\left( 2\right) + {\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) ,
\]
and the point \( {vi} \) ) of the problem is finalized.
Further, the result from the point vii) is straightforward if we combine the relations in (4.74), (4.75), and (4.76) that give
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{4}{2}^{k}}
\]
\[
= \frac{1}{16}\zeta \left( 5\right) - \frac{1}{4}\log \left( 2\right) \zeta \left( 4\right) + {\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{1}{3}{\log }^{3}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) - \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + \frac{1}{20}{\log }^{5}\left( 2\right)
\]
\[
+ 2\log \left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) + 2{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right)
\]
which finalizes the point vii) of the problem.
Finally, for getting the value of the last series, we manipulate the previous series and write
\[
\frac{1}{16}\zeta \left( 5\right) - \frac{1}{4}\log \left( 2\right) \zeta \left( 4\right) + {\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{1}{3}{\log }^{3}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) - \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + \frac{1}{20}{\log }^{5}\left( 2\right)
\]
\[
+ 2\log \left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) + 2{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{4}{2}^{k}} = 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k + 1} - 1/\left( {k + 1}\right) }{{\left( k + 1\right) }^{4}{2}^{k + 1}}
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{4}{2}^{k}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{5}{2}^{k}} = 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{4}{2}^{k}} - 2{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1 |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 153 | ies, we manipulate the previous series and write
\[
\frac{1}{16}\zeta \left( 5\right) - \frac{1}{4}\log \left( 2\right) \zeta \left( 4\right) + {\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{1}{3}{\log }^{3}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) - \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + \frac{1}{20}{\log }^{5}\left( 2\right)
\]
\[
+ 2\log \left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) + 2{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{\left( k + 1\right) }^{4}{2}^{k}} = 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k + 1} - 1/\left( {k + 1}\right) }{{\left( k + 1\right) }^{4}{2}^{k + 1}}
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{4}{2}^{k}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{5}{2}^{k}} = 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{4}{2}^{k}} - 2{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right) ,
\]
whence we extract the value of the desired series,
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{{k}^{4}{2}^{k}}
\]
\[
= \frac{1}{32}\zeta \left( 5\right) - \frac{1}{8}\log \left( 2\right) \zeta \left( 4\right) + \frac{1}{2}{\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{1}{6}{\log }^{3}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) - \frac{1}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + \frac{1}{40}{\log }^{5}\left( 2\right)
\]
\[
+ \log \left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) + 2{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right)
\]
and the last part of the problem is finalized.
The second, third, and fourth series together with similar versions of them are given in [15]. A different approach of calculating the last series may be found in [34] and [62]. Also, for another strategy of calculating such series, you may see the approach in [35].
6.52 Let's Calculate Three Classical Alternating Harmonic
Series, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}},\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} \), and
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{2}}
\]
Solution In this section we step in the area of the alternating harmonic series, and don't be surprised to find they are hard nuts! For example, let's remember together the non-alternating version of the second proposed series we met in more places, that is \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} = \frac{17}{4}\zeta \left( 4\right) \), which is simply straightforward with using the sum in (4.14), but things change if adding \( {\left( -1\right) }^{n - 1} \) in the summand, and getting a solution seems to be a more difficult task.
Also, if you recall Sect. 3.52, there we needed the alternating harmonic series from the first point during some of the calculations.
Let's try to reduce the first series to a convenient integral form. Then, we write
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}} = \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}{H}_{n}{\int }_{0}^{1}{x}^{n - 1}{\log }^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
\[
= \frac{1}{2}{\int }_{0}^{1}{\log }^{2}\left( x\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}{x}^{n - 1}{H}_{n}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{2}{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 + x}\right) {\log }^{2}\left( x\right) }{x\left( {1 + x}\right) }\mathrm{d}x
\]
\[
= \frac{1}{2}\underset{{I}_{1}}{\underbrace{{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 + x}\right) {\log }^{2}\left( x\right) }{x}\mathrm{\;d}x}} - \frac{1}{2}\underset{{I}_{2}}{\underbrace{{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 + x}\right) {\log }^{2}\left( x\right) }{1 + x}\mathrm{\;d}x}}
\]
\[
= \frac{11}{4}\zeta \left( 4\right) - \frac{7}{4}\log \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + \frac{1}{2}{\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) - \frac{1}{12}{\log }^{4}\left( 2\right) - 2{\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) ,
\]
where the integrals \( {I}_{1} \) and \( {I}_{2} \) are calculated below.
So, for the integral \( {I}_{1} \) we get
\[
{I}_{1} = {\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 + x}\right) {\log }^{2}\left( x\right) }{x}\mathrm{\;d}x = {\int }_{0}^{1}{\log }^{2}\left( x\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{x}^{n - 1}}{n}\mathrm{\;d}x
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n - 1}}{n}{\int }_{0}^{1}{x}^{n - 1}{\log }^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x = 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{1}{{n}^{4}} = \frac{7}{4}\zeta \left( 4\right) .
\]
Then, for the integral \( {I}_{2} \) we have
\[
{I}_{2} = {\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 + x}\right) {\log }^{2}\left( x\right) }{1 + x}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{2}{\int }_{0}^{1}{\left( {\log }^{2}\left( 1 + x\right) \right) }^{\prime }{\log }^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
\{apply the integration by parts\}
\[
= \underset{0}{\underbrace{{\left. \frac{1}{2}{\log }^{2}\left( x\right) {\log }^{2}\left( 1 + x\right) \right| }_{x = 0}^{x = 1}}} - {\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( x\right) {\log }^{2}\left( {1 + x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x
\]
\{make the change of variable \( x = y/\left( {1 - y}\right) \) and then expand the integral\}
\[
= {\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{3}\left( {1 - y}\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y + {\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{3}\left( {1 - y}\right) }{y}\mathrm{\;d}y - {\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - y}\right) \log \left( y\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y
\]
\[
- {\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - y}\right) \log \left( y\right) }{y}\mathrm{\;d}y
\]
\[
\left\{ {\text{use that}{\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - y}\right) \log \left( y\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y = - \frac{1}{3}{\log }^{4}\left( 2\right) + \frac{1}{3}{\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{3}\left( {1 - y}\right) }{y}\mathrm{\;d}y}\right\}
\]
\[
= \frac{2}{3}\underset{{I}_{3}}{\underbrace{{\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{3}\left( {1 - y}\right) }{y}\mathrm{\;d}y}} - \underset{{I}_{4}}{\underbrace{{\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - y}\right) \log \left( y\right) }{y}\mathrm{\;d}y}} + \frac{1}{12}{\log }^{4}\left( 2\right) .
\]
(6.251)
Then, for the integral \( {I}_{3} \) in (6.251), we write
\[
{I}_{3} = {\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{3}\left( {1 - y}\right) }{y}\mathrm{\;d}y = \left( {{\int }_{0}^{1} - {\int }_{1/2}^{1}}\right) \frac{{\log }^{3}\left( {1 - y}\right) }{y}\mathrm{\;d}y
\]
\[
= {\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{3}\left( {1 - y}\right) }{y}\mathrm{\;d}y - {\int }_{1/2}^{1}\frac{{\log }^{3}\left( {1 - y}\right) }{y}\mathrm{\;d}y\overset{1 - y = z}{ = }{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{3}\left( z\right) }{1 - z}\mathrm{\;d}z - {\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{3}\left( z\right) }{1 - z}\mathrm{\;d}z
\]
\[
= {\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{z}^{n - 1}{\log }^{3}\left( z\right) \mathrm{d}z - {\int }_{0}^{1/2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{z}^{n - 1}{\log }^{3}\left( z\right) \mathrm{d}z
\]
\{reverse the order of summation and integration\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\int }_{0}^{1}{z}^{n - 1}{\log }^{3}\left( z\right) \mathrm{d}z - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\int }_{0}^{1/2}{z}^{n - 1}{\log }^{3}\left( z\right) \mathrm{d}z
\]
\{make use of the result in (1.3)\}
\[
= - 6\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{4}} + 6\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{4}{2}^{n}} + 6\log \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}{2}^{n}} + 3{\log }^{2}\left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}{2}^{n}} + {\log }^{3}\left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n{2}^{n}}
\]
\[
= {\log }^{4}\left( 2\right) - {6\zeta }\left( 4\right) + 6{\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) + 6\log \left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{3}\left( \frac{1}{2}\right) + 3{\log }^{2}\left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{2}\left( \frac{1}{2}\right)
\]
\{use the special values in (3.19) and (3.20)\}
\[
= \frac{1}{2}{\log }^{4}\left( 2\right) - \frac{3}{2}{\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) + \frac{21}{4}\log \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - {6\zeta }\left( 4\right) + 6{\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) .
\]
(6.252)
Next, for the integral \( {I}_{4} \) in (6.251), we integrate once by parts that gives
\[
{I}_{4} = {\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - y}\right) \log \left( y\right) }{y}\mathrm{\;d}y = \frac{1}{2}{\int }_{0}^{1/2}{\left( {\log }^{2}\left( y\right) \right) }^{\prime }{\log }^{2}\left( {1 - y}\right) \mathrm{d}y
\]
\[
= {\left. \frac{1}{2}{\log }^{2}\left( y\right) {\log }^{2}\left( 1 - y\right) \right| }_{y = 0}^{y = 1/2} + {\int }_{0}^{1/2}\frac{\log \left( {1 - y}\right) {\log }^{2}\left( y\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y
\]
\[
= \frac{1}{2}{\log }^{4}\left( 2\right) + {\int }_{0}^{1/2}\frac{\log \left( {1 - y}\right) {\log }^{2}\left( y\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y
\]
\{the value of the remaining integral is given in (1.28), the case \( p = 1 \) \}
\[
= \frac{1}{2}{\log }^{4}\left( 2\right) - \frac{1}{4}\left( {\zeta \left( 4\right) + {\log }^{4}\left( 2\right) }\right) = \frac{1}{4}\left( {{\log }^{4}\left( 2\right) - \zeta \left( 4\right) }\right) .
\]
(6.253)
The last integral also appears in [17, p. 128]. If we plug the values of the integrals from (6.252) and (6.253) in (6.251), we get
\[
{I}_{2} = {\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( x\right) \log \left( {1 + x}\right) }{1 + x}\mathrm{\;d}x
\]
\[
= \frac{1}{6}{\log }^{4}\left( 2\right) - {\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) + \frac{7}{2}\log \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{15}{4}\zeta \left( 4\right) + 4{\operatorname{Li |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 154 | }_{0}^{1/2}\frac{\log \left( {1 - y}\right) {\log }^{2}\left( y\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y
\]
\[
= \frac{1}{2}{\log }^{4}\left( 2\right) + {\int }_{0}^{1/2}\frac{\log \left( {1 - y}\right) {\log }^{2}\left( y\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y
\]
\{the value of the remaining integral is given in (1.28), the case \( p = 1 \) \}
\[
= \frac{1}{2}{\log }^{4}\left( 2\right) - \frac{1}{4}\left( {\zeta \left( 4\right) + {\log }^{4}\left( 2\right) }\right) = \frac{1}{4}\left( {{\log }^{4}\left( 2\right) - \zeta \left( 4\right) }\right) .
\]
(6.253)
The last integral also appears in [17, p. 128]. If we plug the values of the integrals from (6.252) and (6.253) in (6.251), we get
\[
{I}_{2} = {\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( x\right) \log \left( {1 + x}\right) }{1 + x}\mathrm{\;d}x
\]
\[
= \frac{1}{6}{\log }^{4}\left( 2\right) - {\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) + \frac{7}{2}\log \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{15}{4}\zeta \left( 4\right) + 4{\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) ,
\]
(6.254)
and the calculation to the series from the point \( i \) ) is finalized.
Further, to solve the second point of the problem, we combine the result in (1.53) with the value of the series from the previous point. Therefore, we write
\[
- \frac{3}{16}\zeta \left( 4\right) = {\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( x\right) {\operatorname{Li}}_{2}\left( x\right) }{1 + x}\mathrm{\;d}x = {\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{k - 1}\frac{{x}^{k + n - 1}}{{n}^{2}}}\right) \log \left( x\right) \mathrm{d}x
\]
\{reverse the order of summation and integration\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{k - 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}{\int }_{0}^{1}{x}^{k + n - 1}\log \left( x\right) \mathrm{d}x}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{k}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}{\left( n + k\right) }^{2}}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{k}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\frac{1}{{k}^{2}{n}^{2}} + \frac{1}{{k}^{2}{\left( k + n\right) }^{2}} - \frac{2}{\left. {k}^{2}n\left( k + n\right) \right) }}\right) }\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{k}\frac{1}{{k}^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{k}\frac{1}{{k}^{2}}\left( {\zeta \left( 2\right) - {H}_{k}^{\left( 2\right) }}\right) - 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{k}\frac{{H}_{k}}{{k}^{3}}
\]
\[
= - \frac{5}{2}\zeta \left( 4\right) + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{k - 1}\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{k - 1}\frac{{H}_{k}}{{k}^{3}}
\]
\{use the value of the series from the point \( i \) )\}
\[
= {3\zeta }\left( 4\right) - \frac{7}{2}\log \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + {\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) - \frac{1}{6}{\log }^{4}\left( 2\right) - 4{\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right)
\]
\[
+ \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{k - 1}\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}}
\]
from which we obtain that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{k - 1}\frac{{H}_{k}^{\left( 2\right) }}{{k}^{2}}
\]
\[
= \frac{1}{6}{\log }^{4}\left( 2\right) - {\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) + \frac{7}{2}\log \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{51}{16}\zeta \left( 4\right) + 4{\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) ,
\]
and the calculation to the series from the point \( {ii} \) ) is finalized.
Next, to solve the last part of the problem, we write
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}{H}_{n}^{2}{\int }_{0}^{1}{x}^{n - 1}\log \left( x\right) \mathrm{d}x
\]
\[
= {\int }_{0}^{1}\log \left( x\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}{x}^{n - 1}{H}_{n}^{2}\mathrm{\;d}x
\]
\{make use of the generating function in (4.7)\}
\[
= {\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( x\right) }{x\left( {1 + x}\right) }\left( {{\log }^{2}\left( {1 + x}\right) + {\operatorname{Li}}_{2}\left( {-x}\right) }\right) \mathrm{d}x = {\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( x\right) {\log }^{2}\left( {1 + x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x
\]
\[
+ {\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( x\right) {\operatorname{Li}}_{2}\left( {-x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x - {\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( x\right) {\log }^{2}\left( {1 + x}\right) }{1 + x}\mathrm{\;d}x - {\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( x\right) {\operatorname{Li}}_{2}\left( {-x}\right) }{1 + x}\mathrm{\;d}x
\]
and since for the last integral we have
\[
{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( x\right) {\operatorname{Li}}_{2}\left( {-x}\right) }{1 + x}\mathrm{\;d}x = \underset{0}{\underbrace{{\left. \log \left( 1 + x\right) \log \left( x\right) {\operatorname{Li}}_{2}\left( -x\right) \right| }_{x = 0}^{x = 1}}}
\]
\[
+ {\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( x\right) {\log }^{2}\left( {1 + x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x - {\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 + x}\right) {\operatorname{Li}}_{2}\left( {-x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x
\]
\[
= {\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( x\right) {\log }^{2}\left( {1 + x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x - {\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 + x}\right) {\operatorname{Li}}_{2}\left( {-x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x
\]
\[
= {\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( x\right) {\log }^{2}\left( {1 + x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x + {\left. \frac{1}{2}{\left( {\operatorname{Li}}_{2}\left( -x\right) \right) }^{2}\right| }_{x = 0}^{x = 1} = \frac{5}{16}\zeta \left( 4\right)
\]
\[
+ {\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( x\right) {\log }^{2}\left( {1 + x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x
\]
then we obtain that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{2}} = \underset{{J}_{1}}{\underbrace{{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( x\right) {\operatorname{Li}}_{2}\left( {-x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x}} - \underset{{J}_{2}}{\underbrace{{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( x\right) {\log }^{2}\left( {1 + x}\right) }{1 + x}\mathrm{\;d}x}} - \frac{5}{16}\zeta \left( 4\right) .
\]
Now, to calculate the integral \( {J}_{1} \) in (6.255), we write
\[
{J}_{1} = {\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( x\right) {\operatorname{Li}}_{2}\left( {-x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x = {\int }_{0}^{1}\log \left( x\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}\frac{{x}^{n - 1}}{{n}^{2}}\mathrm{\;d}x
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}}{{n}^{2}}{\int }_{0}^{1}{x}^{n - 1}\log \left( x\right) \mathrm{d}x = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n - 1}}{{n}^{4}} = \frac{7}{8}\zeta \left( 4\right) .
\]
(6.256)
For the integral \( {J}_{2} \) in (6.255), we make the change of variable \( x = \frac{y}{1 - y} \) that yields
\[
{J}_{2} = {\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( x\right) {\log }^{2}\left( {1 + x}\right) }{1 + x}\mathrm{\;d}x = {\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - y}\right) \log \left( y\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y
\]
\[
- {\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{3}\left( {1 - y}\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y
\]
\[
= \frac{1}{4}{\log }^{4}\left( 2\right) - \frac{1}{3}{\int }_{0}^{1/2}{\left( {\log }^{3}\left( 1 - y\right) \right) }^{\prime }\log \left( y\right) \mathrm{d}y
\]
\{apply the integration by parts\}
\[
= - \frac{1}{12}{\log }^{4}\left( 2\right) + \frac{1}{3}{\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{3}\left( {1 - y}\right) }{y}\mathrm{\;d}y
\]
\[
= \frac{1}{12}{\log }^{4}\left( 2\right) - \frac{1}{2}{\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) + \frac{7}{4}\log \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - {2\zeta }\left( 4\right) + 2{\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) ,
\]
(6.257)
where the last integral is calculated in (6.252).
Collecting the values of the integrals \( {J}_{1} \) and \( {J}_{2} \) from (6.256) and (6.257) in (6.255), we obtain that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{2}}
\]
\[
= \frac{41}{16}\zeta \left( 4\right) - \frac{7}{4}\log \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + \frac{1}{2}{\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) - \frac{1}{12}{\log }^{4}\left( 2\right) - 2{\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) ,
\]
and the series from the point \( {iii} \) ) is finalized.
It’s worth mentioning that as I did for the series from the point \( {ii} \) ), one can establish a nice relation between the series from the point \( i \) ) and the series from the point iii), that is \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{2}} = \frac{3}{16}\zeta \left( 4\right) \), and then reduce all to the calculation of a logarithmic integral that we further attack with simple algebraic identities as I acted for some logarithmic integrals at the beginning of the chapter Integrals. As I've recently found, the last mentioned harmonic series relation comes from the work by P.J. De Doelder in [17].
6.53 Then, Let's Calculate Another Pair of Classical
Alternating Harmonic Series, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}} \) and
\( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{{n}^{4}} \)
Solution The journey through the realm of the alternating harmonic series continues in this section. In the following I'll try to provide with a solution to the proposed series which relies on the real methods exclusively.
For example, in the first chapter, in Sect. 1.40 we met a nice |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 155 | }^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{2}} = \frac{3}{16}\zeta \left( 4\right) \), and then reduce all to the calculation of a logarithmic integral that we further attack with simple algebraic identities as I acted for some logarithmic integrals at the beginning of the chapter Integrals. As I've recently found, the last mentioned harmonic series relation comes from the work by P.J. De Doelder in [17].
6.53 Then, Let's Calculate Another Pair of Classical
Alternating Harmonic Series, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}} \) and
\( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{{n}^{4}} \)
Solution The journey through the realm of the alternating harmonic series continues in this section. In the following I'll try to provide with a solution to the proposed series which relies on the real methods exclusively.
For example, in the first chapter, in Sect. 1.40 we met a nice integral where we also needed the alternating series from the second point in order to finish it.
The solution to the first part of the problem is obtained immediately if we use the integral result in (1.13),
\[
\frac{1}{4}\zeta \left( 3\right) = {\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( {1 + x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x = 2{\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}{x}^{n}\frac{{H}_{n}}{n + 1}\mathrm{\;d}x
\]
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{n + 1}{\int }_{0}^{1}{x}^{n}\mathrm{\;d}x = 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{{\left( n + 1\right) }^{2}}
\]
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n + 1} - 1/\left( {n + 1}\right) }{{\left( n + 1\right) }^{2}}
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{1}{{n}^{3}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}} = \frac{3}{2}\zeta \left( 3\right) - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}},
\]
whence we obtain that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{{n}^{2}} = \frac{5}{8}\zeta \left( 3\right)
\]
and the calculations to the point \( i \) ) are complete. Note that in the solution I used the
simple fact that \( {\log }^{2}\left( {1 - x}\right) = 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n + 1}\frac{{H}_{n}}{n + 1} \) .
Next, for the series from the point \( {ii} \) ), we write
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{{n}^{4}} = \frac{1}{6}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}{H}_{n}{\int }_{0}^{1}{x}^{n - 1}{\log }^{3}\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
\[
= \frac{1}{6}{\int }_{0}^{1}{\log }^{3}\left( x\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}{x}^{n - 1}{H}_{n}\mathrm{\;d}x = - \frac{1}{6}{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 + x}\right) {\log }^{3}\left( x\right) }{x\left( {1 + x}\right) }\mathrm{d}x
\]
\[
= \frac{1}{6}\underset{{I}_{1}}{\underbrace{{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 + x}\right) {\log }^{3}\left( x\right) }{1 + x}\mathrm{\;d}x}} - \frac{1}{6}\underset{{I}_{2}}{\underbrace{{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 + x}\right) {\log }^{3}\left( x\right) }{x}\mathrm{\;d}x}}.
\]
(6.258)
To calculate the first integral in (6.258), we start with the integration by parts that gives
\[
{I}_{1} = {\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 + x}\right) {\log }^{3}\left( x\right) }{1 + x}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{2}{\int }_{0}^{1}{\left( {\log }^{2}\left( 1 + x\right) \right) }^{\prime }{\log }^{3}\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
\[
= \underset{0}{\underbrace{{\left. \frac{1}{2}{\log }^{2}\left( 1 + x\right) {\log }^{3}\left( x\right) \right| }_{x = 0}^{x = 1}}} - \frac{3}{2}{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( {1 + x}\right) {\log }^{2}\left( x\right) }{x}\mathrm{\;d}x
\]
\[
= - \frac{3}{2}{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( {1 + x}\right) {\log }^{2}\left( x\right) }{x}\mathrm{\;d}x
\]
\[
\text{make the change of variable}x = \frac{y}{1 - y}\text{\}}
\]
\[
= - \frac{3}{2}{\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - y}\right) {\log }^{2}\left( \frac{y}{1 - y}\right) }{\left( {1 - y}\right) y}\mathrm{\;d}y = 3\underset{{I}_{3}}{\underbrace{{\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{3}\left( {1 - y}\right) \log \left( y\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y}}
\]
\[
- \frac{3}{2}\underset{{I}_{4}}{\underbrace{{\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{4}\left( {1 - y}\right) }{y}\mathrm{\;d}y}} - \frac{3}{2}\underset{{I}_{5}}{\underbrace{{\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - y}\right) {\log }^{2}\left( y\right) }{y}\mathrm{\;d}y}}
\]
\[
- \frac{3}{2}\underset{{I}_{6}}{\underbrace{{\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - y}\right) {\log }^{2}\left( y\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y}}
\]
\[
+ 3\underset{{I}_{7}}{\underbrace{{\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{3}\left( {1 - y}\right) \log \left( y\right) }{y}\mathrm{\;d}y}} - \frac{3}{2}\underset{1/5{\log }^{5}\left( 2\right) }{\underbrace{{\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{4}\left( {1 - y}\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y}}.
\]
(6.259)
Applying the integration by parts for the integral \( {I}_{3} \) in (6.259), we have
\[
{I}_{3} = {\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{3}\left( {1 - y}\right) \log \left( y\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y = - \frac{1}{4}{\int }_{0}^{1/2}{\left( {\log }^{4}\left( 1 - y\right) \right) }^{\prime }\log \left( y\right) \mathrm{d}y
\]
\[
= \underset{1/4{\log }^{5}\left( 2\right) }{\underbrace{-{\left. \frac{1}{4}{\log }^{4}\left( 1 - y\right) \log \left( y\right) \right| }_{y = 0}^{y = 1/2}}} + \frac{1}{4}{\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{4}\left( {1 - y}\right) }{y}\mathrm{\;d}y = \frac{1}{4}{\log }^{5}\left( 2\right) + \frac{1}{4}{I}_{4}.
\]
(6.260)
As regards the integral \( {I}_{4} \) in (6.259), let’s make the change of variable \( 1 - y = z \) , and then we obtain
\[
{I}_{4} = {\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{4}\left( {1 - y}\right) }{y}\mathrm{\;d}y = {\int }_{1/2}^{1}\frac{{\log }^{4}\left( z\right) }{1 - z}\mathrm{\;d}z = \left( {{\int }_{0}^{1} - {\int }_{0}^{1/2}}\right) \frac{{\log }^{4}\left( z\right) }{1 - z}\mathrm{\;d}z
\]
\[
= {\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{4}\left( z\right) }{1 - z}\mathrm{\;d}z - {\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{4}\left( z\right) }{1 - z}\mathrm{\;d}z = {\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{z}^{n - 1}{\log }^{4}\left( z\right) \mathrm{d}z
\]
\[
- {\int }_{0}^{1/2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{z}^{n - 1}{\log }^{4}\left( z\right) \mathrm{d}z
\]
\{reverse the order of summation and integration\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\int }_{0}^{1}{z}^{n - 1}{\log }^{4}\left( z\right) \mathrm{d}z - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\int }_{0}^{1/2}{z}^{n - 1}{\log }^{4}\left( z\right) \mathrm{d}z
\]
\{make use of the results in (1.2) and (1.3)\}
\[
= {24}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{5}} - {\log }^{4}\left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n{2}^{n}} - 4{\log }^{3}\left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}{2}^{n}} - {12}{\log }^{2}\left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{3}{2}^{n}}
\]
\[
- {24}\log \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{4}{2}^{n}} - {24}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{5}{2}^{n}}
\]
\[
= {24\zeta }\left( 5\right) - {\log }^{5}\left( 2\right) - 4{\log }^{3}\left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{2}\left( \frac{1}{2}\right) - {12}{\log }^{2}\left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{3}\left( \frac{1}{2}\right)
\]
\[
- {24}\log \left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) - {24}{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right)
\]
\{use the special values in (3.19) and (3.20)\}
\[
= {24\zeta }\left( 5\right) - \frac{21}{2}{\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + 4{\log }^{3}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) - {\log }^{5}\left( 2\right)
\]
\[
- {24}\log \left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) - {24}{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right) .
\]
(6.261)
For the integral \( {I}_{6} \) in (6.259), we make the change of variable \( 1 - y = z \), and we get
\[
{I}_{6} = {\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - y}\right) {\log }^{2}\left( y\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y = {\int }_{1/2}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( z\right) {\log }^{2}\left( {1 - z}\right) }{z}\mathrm{\;d}z
\]
\[
= \left( {{\int }_{0}^{1} - {\int }_{0}^{1/2}}\right) \frac{{\log }^{2}\left( z\right) {\log }^{2}\left( {1 - z}\right) }{z}\mathrm{\;d}z = {\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( z\right) {\log }^{2}\left( {1 - z}\right) }{z}\mathrm{\;d}z - {I}_{5}
\]
\[
= 2{\int }_{0}^{1}{\log }^{2}\left( z\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{z}^{n}\frac{{H}_{n}}{n + 1}\mathrm{\;d}z - {I}_{5} = 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n + 1}{\int }_{0}^{1}{z}^{n}{\log }^{2}\left( z\right) \mathrm{d}z - {I}_{5}
\]
\[
= 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{\left( n + 1\right) }^{4}} - {I}_{5} = 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n + 1} - 1/\left( {n + 1}\right) }{{\left( n + 1\right) }^{4}} - {I}_{5}
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{4}} - 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{5}} - {I}_{5}
\]
\{make use of the classical Euler sum in (3.45), the case \( n = 4 \) \}
\[
= {8\zeta }\left( 5\right) - {4\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - {I}_{5}
\]
(6.262)
Further, for the integral \( {I}_{7} \) in (6.259), we integrate by parts, and we have
\[
{I}_{7} = {\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{3}\left( {1 - y}\right) \log \left( y\right) }{y}\mathrm{\;d}y = \frac{1}{2}{\int }_{0}^{1/2}{\ |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 156 | {H}_{n}}{n + 1}\mathrm{\;d}z - {I}_{5} = 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{n + 1}{\int }_{0}^{1}{z}^{n}{\log }^{2}\left( z\right) \mathrm{d}z - {I}_{5}
\]
\[
= 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{\left( n + 1\right) }^{4}} - {I}_{5} = 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n + 1} - 1/\left( {n + 1}\right) }{{\left( n + 1\right) }^{4}} - {I}_{5}
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{4}} - 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{5}} - {I}_{5}
\]
\{make use of the classical Euler sum in (3.45), the case \( n = 4 \) \}
\[
= {8\zeta }\left( 5\right) - {4\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - {I}_{5}
\]
(6.262)
Further, for the integral \( {I}_{7} \) in (6.259), we integrate by parts, and we have
\[
{I}_{7} = {\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{3}\left( {1 - y}\right) \log \left( y\right) }{y}\mathrm{\;d}y = \frac{1}{2}{\int }_{0}^{1/2}{\left( {\log }^{2}\left( y\right) \right) }^{\prime }{\log }^{3}\left( {1 - y}\right) \mathrm{d}y
\]
\[
= \underset{-1/2{\log }^{5}\left( 2\right) }{\underbrace{{\left. \frac{1}{2}{\log }^{2}\left( y\right) {\log }^{3}\left( 1 - y\right) \right| }_{y = 0}^{y = 1/2} + \frac{3}{2}{I}_{6}}}
\]
\[
\text{\{make use of the result in (6.262)\}}
\]
\[
= {12\zeta }\left( 5\right) - {6\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{1}{2}{\log }^{5}\left( 2\right) - \frac{3}{2}{I}_{5}.
\]
(6.263)
Collecting the results from (6.260), (6.261), (6.262), and (6.263) in (6.259), and then using the value of the integral \( {I}_{5} \) which is given in (1.18), we get
\[
{I}_{1} = {\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 + x}\right) {\log }^{3}\left( x\right) }{1 + x}\mathrm{\;d}x = \frac{87}{16}\zeta \left( 5\right) - {3\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) .
\]
(6.264)
Lastly, for the integral \( {I}_{2} \) in (6.258), we write that
\[
{I}_{2} = {\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 + x}\right) {\log }^{3}\left( x\right) }{x}\mathrm{\;d}x = {\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{x}^{n - 1}}{n}{\log }^{3}\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{1}{n}{\int }_{0}^{1}{x}^{n - 1}{\log }^{3}\left( x\right) \mathrm{d}x = 6\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}\frac{1}{{n}^{5}} = - \frac{45}{8}\zeta \left( 5\right) .
\]
(6.265)
Hence, by plugging the results from (6.264) and (6.265) in (6.258), we conclude that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{{n}^{4}} = \frac{59}{32}\zeta \left( 5\right) - \frac{1}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) ,
\]
and the calculations to the point \( {ii} \) ) are complete.
In the mathematical literature, a generalization that covers both points is known,
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{k - 1}\frac{{H}_{k}}{{k}^{2n}} = \left( {n + \frac{1}{2}}\right) \eta \left( {{2n} + 1}\right) - \frac{1}{2}\zeta \left( {{2n} + 1}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{n - 1}}\eta \left( {2i}\right) \zeta \left( {{2n} - {2i} + 1}\right) ,
\]
and a beautiful solution to it may be found in [6] (the strategy by elementary series manipulations, as shown in the paper, is elegant). It would be interesting finding more ways of deriving such series since they seem to be pretty resistant.
As a final note, remember that thanks to the mentioned series generalization I was able to calculate the generalized integral from the first chapter, in Sect. 1.10. So good to know it!
6.54 A Nice Challenging Trio of Alternating Harmonic
\[
\text{Series,}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}},\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}}\text{,}
\]
\[
\text{and}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{n}
\]
Solution Ah, I think I met the non-alternating series versions of the first two proposed alternating series in one of the previous sections! Yeah, the non-alternating series versions of the first two proposed series have already been included in Sect. 4.21. Now, how about the strategy of attacking the alternating versions? Well, I think I might like to create a system of two relations with the series from the points \( i \) ) and \( {ii} \) ), and then extract each series. If you enjoy the calculations of series, prepare for an exciting, enjoyable round!
In order to get the values of the desired series, we make use of the result in (1.4), where expressing the harmonic number in terms of Digamma function, since \( {H}_{n} = \) \( \psi \left( {n + 1}\right) + \gamma \), differentiating twice with respect to \( n \) and then returning to the generalized harmonic numbers, we get
\[
{\int }_{0}^{1}{x}^{n - 1}{\log }^{2}\left( x\right) \log \left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x = {2\zeta }\left( 3\right) \frac{1}{n} + {2\zeta }\left( 2\right) \frac{1}{{n}^{2}} - 2\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}} - 2\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} - 2\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{n}.
\]
(6.266)
Using the identity in (6.266) where we multiply both sides by \( {\left( -1\right) }^{n - 1}/n \) and consider the sum from \( n = 1 \) to \( \infty \), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\int }_{0}^{1}{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{x}^{n - 1}}{n}{\log }^{2}\left( x\right) \log \left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{x}^{n - 1}}{n}
\]
\[
\times {\log }^{2}\left( x\right) \log \left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x
\]
\[
= {\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 - x}\right) {\log }^{2}\left( x\right) \log \left( {1 + x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x
\]
\[
= {2\zeta }\left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{1}{{n}^{2}} + {2\zeta }\left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{1}{{n}^{3}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{{n}^{4}}
\]
\[
- 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}}
\]
\{make use of the result in (4.89)\}
\[
= \frac{7}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{59}{16}\zeta \left( 5\right) - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}},
\]
whence we get that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}}
\]
\[
= \frac{7}{4}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{59}{32}\zeta \left( 5\right) - \frac{1}{2}{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 - x}\right) {\log }^{2}\left( x\right) \log \left( {1 + x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x
\]
\{make use of the generalized integral in (1.19), the case \( n = 1 \) \}
\[
= \frac{11}{8}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \zeta \left( 5\right)
\]
(6.267)
and we have obtained a first relation between the first two alternating harmonic series.
To get a second relation between the first two harmonic series, we might like to make use of the Cauchy product of two series (see [25, Chapter III, pp. 197-199]), the version which states that if \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{a}_{n} \) and \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{b}_{n} \) are absolutely convergent, then we have
\[
\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{a}_{n}}\right) \left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{b}_{n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{k}{b}_{n - k + 1}}\right) .
\]
(6.268)
Now, considering \( {\operatorname{Li}}_{2}\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{{n}^{2}} \) and \( {\operatorname{Li}}_{3}\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{{n}^{3}} \) and applying the Cauchy product formula in (6.268), we get
\[
{\operatorname{Li}}_{2}\left( x\right) {\operatorname{Li}}_{3}\left( x\right) = \left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{{n}^{2}}}\right) \left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{{n}^{3}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n + 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{{k}^{2}{\left( n - k + 1\right) }^{3}}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n + 1}\left( {3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{k{\left( n + 1\right) }^{4}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{\left( {n - k + 1}\right) {\left( n + 1\right) }^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{{k}^{2}{\left( n + 1\right) }^{3}}}\right.
\]
\[
\left. {+2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{{\left( n - k + 1\right) }^{2}{\left( n + 1\right) }^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{{\left( n - k + 1\right) }^{3}{\left( n + 1\right) }^{2}}}\right)
\]
\[
= 6\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n + 1}\frac{{H}_{n + 1} - \frac{1}{n + 1}}{{\left( n + 1\right) }^{4}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n + 1}\frac{{H}_{n + 1}^{\left( 2\right) } - \frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}}}{{\left( n + 1\right) }^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n + 1}\frac{{H}_{n + 1}^{\left( 3\right) } - \frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{3}}}{{\left( n + 1\right) }^{2}}
\]
\{reindex the series and expand them\}
\[
= |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 157 | 1}\left( {3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{k{\left( n + 1\right) }^{4}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{\left( {n - k + 1}\right) {\left( n + 1\right) }^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{{k}^{2}{\left( n + 1\right) }^{3}}}\right.
\]
\[
\left. {+2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{{\left( n - k + 1\right) }^{2}{\left( n + 1\right) }^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{{\left( n - k + 1\right) }^{3}{\left( n + 1\right) }^{2}}}\right)
\]
\[
= 6\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n + 1}\frac{{H}_{n + 1} - \frac{1}{n + 1}}{{\left( n + 1\right) }^{4}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n + 1}\frac{{H}_{n + 1}^{\left( 2\right) } - \frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}}}{{\left( n + 1\right) }^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n + 1}\frac{{H}_{n + 1}^{\left( 3\right) } - \frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{3}}}{{\left( n + 1\right) }^{2}}
\]
\{reindex the series and expand them\}
\[
= 6\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n}\frac{{H}_{n}}{{n}^{4}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n}\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n}\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} - {10}{\operatorname{Li}}_{5}\left( x\right) .
\]
(6.269)
If we plug \( x = - 1 \) in (6.269), and use the result in (4.89), we obtain a second relation between the first two alternating harmonic series,
\[
3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} = \frac{21}{8}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{27}{16}\zeta \left( 5\right) .
\]
(6.270)
Finally, by combining the relations in (6.267) and (6.270), we conclude that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} = \frac{5}{8}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{11}{32}\zeta \left( 5\right)
\]
and
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} = \frac{3}{4}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{21}{32}\zeta \left( 5\right) ,
\]
and the solutions to the points \( i \) ) and \( {ii} \) ) are complete.
Returning to the Cauchy product of two series as in (6.268), and using the version in the Mertens' theorem (see [18, pp. 82-83]), with both series converging, and at least one converging absolutely, where we consider \( {\operatorname{Li}}_{4}\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{{n}^{4}} \) and \( - \log (1 - \) \( x) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{n} \), we have
\[
- {\operatorname{Li}}_{4}\left( x\right) \log \left( {1 - x}\right) = \left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{{n}^{4}}}\right) \left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n + 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{{k}^{4}\left( {n - k + 1}\right) }}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n + 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{k{\left( n + 1\right) }^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{\left( {n - k + 1}\right) {\left( n + 1\right) }^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{{k}^{2}{\left( n + 1\right) }^{3}}}\right.
\]
\[
\left. {+\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{{k}^{3}{\left( n + 1\right) }^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{{k}^{4}\left( {n + 1}\right) }}\right)
\]
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n + 1}\frac{{H}_{n + 1} - \frac{1}{n + 1}}{{\left( n + 1\right) }^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n + 1}\frac{{H}_{n + 1}^{\left( 2\right) } - \frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}}}{{\left( n + 1\right) }^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n + 1}\frac{{H}_{n + 1}^{\left( 3\right) } - \frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{3}}}{{\left( n + 1\right) }^{2}}
\]
\[
+ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n + 1}\frac{{H}_{n + 1}^{\left( 4\right) } - \frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{4}}}{n + 1}
\]
\{reindex the series and expand them\}
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n}\frac{{H}_{n}}{{n}^{4}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n}\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n}\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n}\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{n} - 5{\operatorname{Li}}_{5}\left( x\right) .
\]
(6.271)
If we plug \( x = - 1 \) in (6.271), combined with the values of the series from the points \( i \) ), \( {ii} \) ), and (4.89), we conclude that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{n} = {2\zeta }\left( 5\right) - \frac{3}{8}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{7}{8}\log \left( 2\right) \zeta \left( 4\right) ,
\]
and the solution to the point \( {iii} \) ) is complete.
It's so pleasant to see the power of the real methods when wisely combining some simple results. The first alternating harmonic series together with other alternating series versions of weight 5 may be found in [62] too. Also, alternating harmonic series of various weights (including the weight 5) are given in \( \left\lbrack {4,6,{20},{54}}\right\rbrack \) .
## 6.55 Encountering an Alternating Harmonic Series of Weight 5 with an Eye-Catching Closed-Form, \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{3}}\)
Solution Having derived in the previous sections a few key alternating harmonic series, we are prepared now to take a new beautiful challenge with an apparently daunting alternating harmonic series (involving the squared harmonic number!).
One of the useful results we might like to employ can be obtained by combining the generating functions in (4.6), the case \( m = 2 \), and (4.7) that immediately gives
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n}\left( {{H}_{n}^{2} - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) = \frac{{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) }{1 - x}.
\]
(6.272)
Now, in (6.272) we replace \( x \) by \( - x \), multiply both sides by \( {\log }^{2}\left( x\right) /x \), and then integrate from \( x = 0 \) to \( x = 1 \), and we have
\[
{\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}{x}^{n - 1}{\log }^{2}\left( x\right) \left( {{H}_{n}^{2} - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) \mathrm{d}x = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}\left( {{H}_{n}^{2} - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right)
\]
\[
\times {\int }_{0}^{1}{x}^{n - 1}{\log }^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}\frac{{H}_{n}^{2} - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} = 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{3}}
\]
\[
= {\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( x\right) {\log }^{2}\left( {1 + x}\right) }{x\left( {1 + x}\right) }\mathrm{d}x = \underset{{I}_{1}}{\underbrace{{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( x\right) {\log }^{2}\left( {1 + x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x}}
\]
\[
- \underset{{I}_{2}}{\underbrace{{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( x\right) {\log }^{2}\left( {1 + x}\right) }{1 + x}\mathrm{\;d}x}}.
\]
(6.273)
For the integral \( {I}_{1} \) in (6.55), we write that
\[
{I}_{1} = {\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( x\right) {\log }^{2}\left( {1 + x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x = 2{\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{x}^{n}}{n + 1}{H}_{n}{\log }^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
\{reverse the order of summation and integration\}
\[
= 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{n + 1}{\int }_{0}^{1}{x}^{n}{\log }^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x = 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{{\left( n + 1\right) }^{4}}
\]
\[
= 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n + 1} - 1/\left( {n + 1}\right) }{{\left( n + 1\right) }^{4}}
\]
\{reindex the series and expand it\}
\[
= 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{1}{{n}^{5}} - 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{{n}^{4}} = \frac{15}{4}\zeta \left( 5\right) - 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{{n}^{4}}
\]
\{make use of the result in (4.89)\}
\[
= {2\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{29}{8}\zeta \left( 5\right)
\]
(6.274)
Further, for the integral \( {I}_{2} \) in (6.55), we make the change of variable \( x = y/\left( {1 - y}\right) \) , and then we have
\[
{I}_{2} = {\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( x\right) {\log }^{2}\left( {1 + x}\right) }{1 + x}\mathrm{\;d}x = {\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - y}\right) {\left( \log \left( y\right) - \log \left( 1 - y\right) \right) }^{2}}{1 - y}\mathrm{\;d}y
\]
\[
= {\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{4}\left( {1 - y}\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y + {\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - y}\right) {\log }^{2}\left( y\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y
\]
\[
- 2{\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{3}\left( {1 - y}\right) \log \left( y\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y
\]
\{for the middle integral combine the results in (6.262) and (1.18)\}
\[
= \frac{63}{8}\zeta \left( 5\right) + \frac{2}{3}{\log }^{3}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) - \frac{7}{4}{\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - {2\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + \frac{4}{15}{\log }^ |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 158 | the integral \( {I}_{2} \) in (6.55), we make the change of variable \( x = y/\left( {1 - y}\right) \) , and then we have
\[
{I}_{2} = {\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( x\right) {\log }^{2}\left( {1 + x}\right) }{1 + x}\mathrm{\;d}x = {\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - y}\right) {\left( \log \left( y\right) - \log \left( 1 - y\right) \right) }^{2}}{1 - y}\mathrm{\;d}y
\]
\[
= {\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{4}\left( {1 - y}\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y + {\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - y}\right) {\log }^{2}\left( y\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y
\]
\[
- 2{\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{3}\left( {1 - y}\right) \log \left( y\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y
\]
\{for the middle integral combine the results in (6.262) and (1.18)\}
\[
= \frac{63}{8}\zeta \left( 5\right) + \frac{2}{3}{\log }^{3}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) - \frac{7}{4}{\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - {2\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + \frac{4}{15}{\log }^{5}\left( 2\right)
\]
\[
- 4\log \left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) - 4{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right) - 2{\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{3}\left( {1 - y}\right) \log \left( y\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y
\]
\[
\left\{ {\text{ integrating by parts,}{\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{3}\left( {1 - y}\right) \log \left( y\right) }{1 - y}\mathrm{\;d}y = \frac{1}{4}{\log }^{5}\left( 2\right) }\right.
\]
\[
\left. {+\frac{1}{4}{\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{4}\left( {1 - y}\right) }{y}\mathrm{\;d}y}\right\}
\]
\( = \frac{63}{8}\zeta \left( 5\right) + \frac{2}{3}{\log }^{3}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) - \frac{7}{4}{\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - {2\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{7}{30}{\log }^{5}\left( 2\right) \)
\[
- 4\log \left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) - 4{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2}{\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{4}\left( {1 - y}\right) }{y}\mathrm{\;d}y
\]
\{the value of the last integral is given in (6.261)\}
\[
= \frac{4}{15}{\log }^{5}\left( 2\right) - \frac{4}{3}{\log }^{3}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) + \frac{7}{2}{\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{33}{8}\zeta \left( 5\right) - {2\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right)
\]
\[
+ 8\log \left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) + 8{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right)
\]
(6.275)
Plugging the results from (6.274) and (6.275) in (6.55), we get that
\[
{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( x\right) {\log }^{2}\left( {1 + x}\right) }{x\left( {1 + x}\right) }\mathrm{d}x
\]
\[
= \frac{1}{2}\zeta \left( 5\right) - \frac{7}{2}{\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + \frac{4}{3}{\log }^{3}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) + {4\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{4}{15}{\log }^{5}\left( 2\right)
\]
\[
- 8\log \left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) - 8{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right)
\]
(6.276)
Hence, if we consider in (6.55) the value in (6.276) and the value of the series \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} \) which is given in (4.90), we obtain the desired value
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{3}}
\]
\[
= \frac{2}{15}{\log }^{5}\left( 2\right) - \frac{11}{8}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{19}{32}\zeta \left( 5\right) + \frac{7}{4}{\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{2}{3}{\log }^{3}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right)
\]
\[
+ 4\log \left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) + 4{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right)
\]
and the solution is finalized.
For an alternative way of establishing a relation between \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{3}} \) and \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}} \), make use of the identity in (4.16). A slightly different series variant, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{2}}{{\left( n + 1\right) }^{3}} \), from which we can get the given series may be found in [54]. The value of the alternating harmonic series may also be found in [62].
6.56 Encountering Another Alternating Harmonic Series of Weight 5 with a Dazzling Closed-Form,
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{2}}
\]
Solution Let's make use of the result in (1.6) where if we multiply the opposite sides by \( {\left( -1\right) }^{n - 1}/n \) and then consider the summation from \( n = 1 \) to \( \infty \), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{2}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{{n}^{2}}
\]
\{the value of the last series is given in (4.91)\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{2}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} + \frac{3}{2}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{21}{16}\zeta \left( 5\right)
\]
\[
= - {\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{3}\left( {1 - x}\right) \log \left( {1 + x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x
\]
\{use the algebraic identity, \( {A}^{3}B = \frac{1}{8}\left( {{\left( A + B\right) }^{4} - {\left( A - B\right) }^{4} - {8A}{B}^{3}}\right) \} \)
\{where we consider replacing \( A \) by \( \log \left( {1 - x}\right) \) and \( B \) by \( \log \left( {1 + x}\right) \} \)
\[
= - \frac{1}{8}{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{4}\left( {1 - {x}^{2}}\right) }{x}\mathrm{\;d}x + \frac{1}{8}{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{4}\left( \frac{1 - x}{1 + x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x
\]
\[
+ {\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 - x}\right) {\log }^{3}\left( {1 + x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x
\]
\{the values of the first two integrals are given in (3.27) and (3.28)\}
\[
= \frac{69}{16}\zeta \left( 5\right) + {\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 - x}\right) {\log }^{3}\left( {1 + x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x
\]
\{make use of the identity, \( {\log }^{3}\left( {1 + x}\right) = 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}\frac{{x}^{n + 1}}{n + 1}\left( {{H}_{n}^{2} - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) \), which is \( \} \)
\{obtained by integrating and combining the identities in (4.6), with \( m = 2 \), and (4.7) \}
\[
= \frac{69}{16}\zeta \left( 5\right) + 3{\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}{x}^{n}\log \left( {1 - x}\right) \frac{{H}_{n}^{2} - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}{n + 1}\mathrm{\;d}x = \frac{69}{16}\zeta \left( 5\right)
\]
\[
+ 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}\frac{{H}_{n}^{2} - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}{n + 1}{\int }_{0}^{1}{x}^{n}\log \left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x = \frac{69}{16}\zeta \left( 5\right) + 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n + 1}}{{\left( n + 1\right) }^{2}}
\]
\[
- 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n + 1}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{\left( n + 1\right) }^{2}} = \frac{69}{16}\zeta \left( 5\right) + 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{\left( {H}_{n + 1} - 1/\left( n + 1\right) \right) }^{2}{H}_{n + 1}}{{\left( n + 1\right) }^{2}}
\]
\[
- 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n + 1}\left( {{H}_{n + 1}^{\left( 2\right) } - 1/{\left( n + 1\right) }^{2}}\right) }{{\left( n + 1\right) }^{2}}
\]
\{reindex the series and expand them\}
\[
= 6\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{3}} - 6\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{{n}^{4}} + 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}}
\]
\[
- 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{2}} + \frac{69}{16}\zeta \left( 5\right)
\]
\{the values of the first two series are given in (4.93) and (4.89)\}
\[
= \frac{4}{5}{\log }^{5}\left( 2\right) - 4{\log }^{3}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) + \frac{21}{2}{\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{21}{4}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{165}{16}\zeta \left( 5\right)
\]
\[
+ {24}\log \left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) + {24}{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right) + 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} - 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{2}},
\]
from which we obtain that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{2}}
\]
\[
= \frac{1}{5}{\log }^{5}\left( 2\right) - {\log }^{3}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) + \frac{21}{8}{\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{27}{16}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{9}{4}\zeta \left( 5\right)
\]
\[
+ 6\log \left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) + 6{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right)
\]
and the solution is finalized.
A slightly different series variant, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{3}}{{\left( n + 1\right) }^{2}} \), from which we can get
the given series may be found in [54]. The value of the se |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 159 | m }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} - 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{2}},
\]
from which we obtain that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{2}}
\]
\[
= \frac{1}{5}{\log }^{5}\left( 2\right) - {\log }^{3}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) + \frac{21}{8}{\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{27}{16}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{9}{4}\zeta \left( 5\right)
\]
\[
+ 6\log \left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) + 6{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right)
\]
and the solution is finalized.
A slightly different series variant, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{3}}{{\left( n + 1\right) }^{2}} \), from which we can get
the given series may be found in [54]. The value of the series is also given in [62].
## 6.57 Yet Another Encounter with a Superb Alternating Harmonic Series of Weight 5, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} \)
Solution The technique to employ here reduces to establishing a relation between the series to calculate and the alternating series from the previous section. Recalling and using the identity in (1.5), where we multiply the opposite sides by \( {\left( -1\right) }^{n - 1}{H}_{n}/n \) and then consider the summation from \( n = 1 \) to \( \infty \), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{n}{\int }_{0}^{1}{x}^{n - 1}{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}{H}_{n}{\int }_{0}^{1}\left( {{\int }_{0}^{1}{\left( xy\right) }^{n - 1}{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}y}\right) \mathrm{d}x
\]
\{reverse the order of integration and summation\}
\[
= {\int }_{0}^{1}\left( {{\int }_{0}^{1}{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}{\left( xy\right) }^{n - 1}{H}_{n}\mathrm{\;d}y}\right) \mathrm{d}x
\]
\[
= {\int }_{0}^{1}\left( {{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) \log \left( {1 + {xy}}\right) }{{xy}\left( {1 + {xy}}\right) }\mathrm{d}y}\right) \mathrm{d}x
\]
\[
= - {\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) {\operatorname{Li}}_{2}\left( {-x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x - \frac{1}{2}{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) {\log }^{2}\left( {1 + x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x.
\]
(6.277)
For the first integral in (6.277), we employ the identity in (1.5) and write
\[
{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) {\operatorname{Li}}_{2}\left( {-x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x = {\int }_{0}^{1}{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}\frac{{x}^{n - 1}}{{n}^{2}}\mathrm{\;d}x
\]
\{reverse the order of summation and integration\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}}{{n}^{2}}{\int }_{0}^{1}{x}^{n - 1}{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}}{{n}^{2}}\left( \frac{{H}_{n}^{2} + {H}_{n}^{\left( 2\right) }}{n}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}\frac{{H}_{n}^{2}}{{n}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{3}}
\]
\{make use of the results in (4.93) and (4.90)\}
\[
= \frac{15}{16}\zeta \left( 5\right) - \frac{7}{4}{\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + \frac{2}{3}{\log }^{3}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) + \frac{3}{4}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{2}{15}{\log }^{5}\left( 2\right)
\]
\[
- 4\log \left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) - 4{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right)
\]
(6.278)
Finally, if we plug the results from (6.278), (1.16), and (4.94) in (6.277), we conclude that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}}
\]
\[
= \frac{23}{8}\zeta \left( 5\right) - \frac{7}{4}{\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + \frac{2}{3}{\log }^{3}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) + \frac{15}{16}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{2}{15}{\log }^{5}\left( 2\right)
\]
\[
- 4\log \left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) - 4{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right)
\]
and the solution is finalized.
To get another relation between the two series, one might exploit the result
\[
\text{in (6.23) to get and use}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n}\left( {{H}_{n}^{3} - 3{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{n}^{\left( 3\right) }}\right) = - \frac{{\log }^{3}\left( {1 - x}\right) }{1 - x}\text{.}
\]
The value of the alternating harmonic series may also be found in [62].
## 6.58 Fascinating Sums of Two Alternating Harmonic Series Involving the Generalized Harmonic Number
Solution Both sums of series in this section can be beautifully related to integrals from the first chapter. Rather than trying to calculate each series separately, I might like to find a way to evaluate both of them at once, for each point of the problem. So, how would we like to nicely do it?
For the part \( i \) ) of the problem, let’s combine first the results in (4.6), the case \( m = 2 \), and (4.7) to get \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n}\left( {{H}_{n}^{2} - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) = \frac{{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) }{1 - x} \), where if we replace \( x \) by \( - x \) and then divide both sides by \( x \), we have
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}{x}^{n - 1}\left( {{H}_{n}^{2} - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) = \frac{{\log }^{2}\left( {1 + x}\right) }{x\left( {1 + x}\right) }.
\]
(6.279)
Multiplying both sides of (6.279) by \( {\log }^{2}\left( {1 - x}\right) \) and then integrating from \( x = 0 \) to \( x = 1 \), we obtain
\[
{\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}\left( {{H}_{n}^{2} - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) {x}^{n - 1}{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x
\]
\{reverse the order of summation and integration\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}\left( {{H}_{n}^{2} - {H}_{n}^{\left( 2\right) }}\right) {\int }_{0}^{1}{x}^{n - 1}{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) \mathrm{d}x
\]
\{employ the integral result in (1.5)\}
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}\frac{{H}_{n}^{4} - {\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{n} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}\frac{{H}_{n}^{4}}{n} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{n}
\]
\[
= {\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) {\log }^{2}\left( {1 + x}\right) }{x\left( {1 + x}\right) }\mathrm{d}x
\]
\[
= {\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) {\log }^{2}\left( {1 + x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x - {\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) {\log }^{2}\left( {1 + x}\right) }{1 + x}\mathrm{\;d}x
\]
\{the values of the integrals are given in (1.16) and (1.17)\}
\[
= {2\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - {11\zeta }\left( 5\right) + \frac{2}{3}{\log }^{3}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) - \frac{9}{4}{\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + \frac{9}{2}\log \left( 2\right) \zeta \left( 4\right) - \frac{1}{10}{\log }^{5}\left( 2\right)
\]
\[
+ 4\log \left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) + 8{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right)
\]
and the part \( i \) ) of the problem is finalized.
The curious reader might be interested in finding the closed-forms of these series separately, and this can be obtained pretty fast with the previous results in hand. A useful relation can be built by using the identity in (1.7), where if we multiply both sides by \( {\left( -1\right) }^{n - 1} \) and then consider the summation from \( n = 1 \) to \( \infty \), we are led to
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{4}}{n} + 6\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{n} + 8\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{n} + 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{n}
\]
\[
= - 6\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{n} + {\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{4}\left( {1 - x}\right) }{1 + x}\mathrm{\;d}x
\]
\[
\overset{1 - x = y}{ = } - 6\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{n} + \frac{1}{2}{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{4}\left( y\right) }{1 - y/2}\mathrm{\;d}y
\]
\[
= \frac{9}{4}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + \frac{21}{4}\log \left( 2\right) \zeta \left( 4\right) - {12\zeta }\left( 5\right) + {24}{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right) ,
\]
(6.280)
where to get the last equality I used the geometric series and the result in (4.92).
To get another relation, we use the series representation of \( \frac{{\log }^{4}\left( {1 - x}\right) }{1 - x} \) given at the end of the solutions to the Sect. 4.10, where if we divide both sides by \( x \), then replace |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 160 | \left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{n}
\]
\[
= - 6\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{n} + {\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{4}\left( {1 - x}\right) }{1 + x}\mathrm{\;d}x
\]
\[
\overset{1 - x = y}{ = } - 6\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{n} + \frac{1}{2}{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{4}\left( y\right) }{1 - y/2}\mathrm{\;d}y
\]
\[
= \frac{9}{4}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + \frac{21}{4}\log \left( 2\right) \zeta \left( 4\right) - {12\zeta }\left( 5\right) + {24}{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right) ,
\]
(6.280)
where to get the last equality I used the geometric series and the result in (4.92).
To get another relation, we use the series representation of \( \frac{{\log }^{4}\left( {1 - x}\right) }{1 - x} \) given at the end of the solutions to the Sect. 4.10, where if we divide both sides by \( x \), then replace \( x \) by \( - x \) and integrate from \( x = 0 \) to \( x = 1 \), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{4}}{n} - 6\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{n} + 8\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{n}
\]
\[
+ 3\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{n}
\]
\[
= 6\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{n} - {\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{4}\left( {1 + x}\right) }{x\left( {1 + x}\right) }\mathrm{d}x
\]
\[
x/\left( {1 + x}\right) = {y6}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{\left( 4\right) }}{n} - {\int }_{0}^{1/2}\frac{{\log }^{4}\left( {1 - y}\right) }{y}\mathrm{\;d}y
\]
\[
= {24}{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right) + {24}\log \left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) - 4{\log }^{3}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) + \frac{21}{2}{\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 3\right)
\]
\[
- \frac{21}{4}\log \left( 2\right) \zeta \left( 4\right) - {12\zeta }\left( 5\right) - \frac{9}{4}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + {\log }^{5}\left( 2\right) ,
\]
(6.281)
where for the last equality I made use of the results in (4.92) and (6.261).
To obtain a last useful relation that makes possible the extraction of the remaining alternating harmonic series of weight 5 , we need a clever approach, and differentiate the relation in (1.5) with respect to \( n \), then multiply both sides by \( {\left( -1\right) }^{n - 1}{H}_{n} \) and consider the summation from \( n = 1 \) to \( \infty \) that leads to
\[
{2\zeta }\left( 3\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}}{n} + {2\zeta }\left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{2}}{n} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{3}}{{n}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}}
\]
\[
- 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{n} - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{n}
\]
\{use the results in (4.5), (4.7), (4.94), and (4.95)\}
\[
= {\log }^{3}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) - \frac{15}{8}{\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{5}{2}\log \left( 2\right) \zeta \left( 4\right) - \frac{5}{8}\zeta \left( 5\right) + \frac{13}{4}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{1}{15}{\log }^{5}\left( 2\right)
\]
\[
- 2\log \left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) - 2{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right) - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{n} - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{n}
\]
\[
= {\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) \log \left( x\right) \log \left( {1 + x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x - {\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) \log \left( x\right) \log \left( {1 + x}\right) }{1 + x}\mathrm{\;d}x.
\]
Since we have \( {\log }^{2}\left( {1 - x}\right) \log \left( {1 + x}\right) = \frac{1}{6}\left( {{\log }^{3}\left( {1 - {x}^{2}}\right) - {\log }^{3}\left( \frac{1 - x}{1 + x}\right) }\right. \) \( \left. {-2{\log }^{3}\left( {1 + x}\right) }\right) \), then both integrals above can be reduced to simpler integrals. For example, with the logarithmic identity above, the variable change \( \left( {1 - x}\right) /\left( {1 + x}\right) = \) \( y \) for the integral with \( {\log }^{3}\left( {\left( {1 - x}\right) /\left( {1 + x}\right) }\right) \), and some rearrangements of the resulting integrals, we get for the first integral in (6.282) that
\[
{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) \log \left( x\right) \log \left( {1 + x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{3}{\int }_{0}^{1}\frac{x{\log }^{3}\left( x\right) \log \left( {1 - {x}^{2}}\right) }{1 - {x}^{2}}\mathrm{\;d}x
\]
\[
+ \frac{1}{6}{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( x\right) {\log }^{3}\left( {1 - {x}^{2}}\right) }{x}\mathrm{\;d}x - \frac{1}{3}{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{3}\left( x\right) \log \left( {1 - x}\right) }{1 - x}\mathrm{\;d}x
\]
\[
+ \frac{1}{3}{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{3}\left( x\right) \log \left( {1 + x}\right) }{1 + x}\mathrm{\;d}x - \frac{1}{3}{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( x\right) {\log }^{3}\left( {1 + x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x
\]
\{in the first two integrals make the change of variable \( {x}^{2} = y \) \}
\{and for the last two integrals make use of the integration by parts\}
\[
= - \frac{1}{2}{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( x\right) {\log }^{2}\left( {1 + x}\right) }{x\left( {1 + x}\right) }\mathrm{d}x - \frac{13}{48}{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{3}\left( x\right) \log \left( {1 - x}\right) }{1 - x}\mathrm{\;d}x
\]
\{make use of the result in (6.276)\}
\[
= \frac{2}{15}{\log }^{5}\left( 2\right) - \frac{2}{3}{\log }^{3}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) + \frac{7}{4}{\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{7}{2}\zeta \left( 5\right) - \frac{3}{8}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right)
\]
\[
+ 4\log \left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) + 4{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right)
\]
(6.283)
where above I also used that \( {\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{3}\left( x\right) \log \left( {1 - x}\right) }{1 - x}\mathrm{\;d}x = - {\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n}{H}_{n}{\log }^{3}\left( x\right) \mathrm{d}x \)
\[
= - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{H}_{n}{\int }_{0}^{1}{x}^{n}{\log }^{3}\left( x\right) \mathrm{d}x = 6\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{\left( n + 1\right) }^{4}} = 6\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n + 1} - 1/\left( {n + 1}\right) }{{\left( n + 1\right) }^{4}} =
\]
\( 6\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{4}} - 6\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{5}} = 6\left( {{2\zeta }\left( 5\right) - \zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) }\right) \), and for the last equality I also used
the result in (3.45), the case \( n = 4 \) . The integral in (6.283) is also given in [50], and a solution using the same starting strategy that exploits the algebraic identities is given in [33].
For the other integral in (6.282), we use the same algebraic identity as before, together with the variable change \( \left( {1 - x}\right) /\left( {1 + x}\right) = y \) for the integral with \( {\log }^{3}((1 - \) \( x)/\left( {1 + x}\right) ) \) and some rearrangements of the resulting integrals, that gives
\[
{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( {1 - x}\right) \log \left( x\right) \log \left( {1 + x}\right) }{1 + x}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{3}{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{3}\left( x\right) \log \left( {1 + x}\right) }{1 + x}\mathrm{\;d}x
\]
\[
- \frac{1}{3}{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( x\right) {\log }^{3}\left( {1 + x}\right) }{1 + x}\mathrm{\;d}x - \frac{1}{6}{\int }_{0}^{1}\frac{\left( {1 - x}\right) {\log }^{3}\left( x\right) \log \left( {1 - {x}^{2}}\right) }{1 - {x}^{2}}\mathrm{\;d}x
\]
\[
+ \frac{1}{6}{\int }_{0}^{1}\frac{\left( {1 - x}\right) \log \left( x\right) {\log }^{3}\left( {1 - {x}^{2}}\right) }{1 - {x}^{2}}\mathrm{\;d}x
\]
\{integrate by parts the first two integrals, and in the last\}
\{two integrals make the change of variable \( {x}^{2} = y \) \}
\[
= \frac{1}{12}{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{4}\left( {1 + x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x - \frac{1}{2}{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{2}\left( x\right) {\log }^{2}\left( {1 + x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x
\]
\[
- \frac{1}{24}{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 - x}\right) {\log }^{3}\left( x\right) }{x}\mathrm{\;d}x
\]
\[
+ \frac{1}{96}{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 - x}\right) {\log }^{3}\left( x\right) }{1 - x}\mathrm{\;d}x + \frac{1}{24}{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{3}\left( {1 - x}\right) \log \left( x\right) }{\left( {1 - x}\right) \sqrt{x}}\mathrm{\;d}x
\]
\[
- \frac{1}{96}{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 - x}\right) {\log }^{3}\left( x\right) }{\left( {1 - x}\right) \sqrt{x}}\mathrm{\;d}x
\]
\[
= \frac{121}{16}\zeta \left( 5\right) - \frac{15}{8}\log \left( 2\right) \zeta \left( 4\right) + \frac{21}{8}{\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{2}{3}{\log }^{3}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right)
\]
\[
- {3\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{{\log }^{5}\left( 2\right) }{15} - 2\log \left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) - 2{\operatorname{Li |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 161 | }^{2}\left( x\right) {\log }^{2}\left( {1 + x}\right) }{x}\mathrm{\;d}x
\]
\[
- \frac{1}{24}{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 - x}\right) {\log }^{3}\left( x\right) }{x}\mathrm{\;d}x
\]
\[
+ \frac{1}{96}{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 - x}\right) {\log }^{3}\left( x\right) }{1 - x}\mathrm{\;d}x + \frac{1}{24}{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{3}\left( {1 - x}\right) \log \left( x\right) }{\left( {1 - x}\right) \sqrt{x}}\mathrm{\;d}x
\]
\[
- \frac{1}{96}{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 - x}\right) {\log }^{3}\left( x\right) }{\left( {1 - x}\right) \sqrt{x}}\mathrm{\;d}x
\]
\[
= \frac{121}{16}\zeta \left( 5\right) - \frac{15}{8}\log \left( 2\right) \zeta \left( 4\right) + \frac{21}{8}{\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{2}{3}{\log }^{3}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right)
\]
\[
- {3\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{{\log }^{5}\left( 2\right) }{15} - 2\log \left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) - 2{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right)
\]
(6.284)
where in the calculations I used the results in (3.30) and (6.274), and the facts that \( {\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 - x}\right) {\log }^{3}\left( x\right) }{x}\mathrm{\;d}x = - {\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{x}^{n - 1}}{n}{\log }^{3}\left( x\right) \mathrm{d}x = \)
\[
- \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n}{\int }_{0}^{1}{x}^{n - 1}{\log }^{3}\left( x\right) \mathrm{d}x = 6\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{5}} = {6\zeta }\left( 5\right) ,{\int }_{0}^{1}\frac{{\log }^{3}\left( {1 - x}\right) \log \left( x\right) }{\left( {1 - x}\right) \sqrt{x}}\mathrm{\;d}x =
\]
\[
\mathop{\lim }\limits_{\substack{{a \rightarrow 1/2} \\ {b \rightarrow 0} }}\frac{{\partial }^{4}}{\partial a\partial {b}^{3}}\mathrm{\;B}\left( {a, b}\right) = {186\zeta }\left( 5\right) - {90}\log \left( 2\right) \zeta \left( 4\right) + {84}{\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - {24}{\log }^{3}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) -
\]
\[
{78\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) \text{and then}{\int }_{0}^{1}\frac{\log \left( {1 - x}\right) {\log }^{3}\left( x\right) }{\left( {1 - x}\right) \sqrt{x}}\mathrm{\;d}x = \mathop{\lim }\limits_{\substack{{a \rightarrow 1/2} \\ {b \rightarrow 0} }}\frac{{\partial }^{4}}{\partial {a}^{3}\partial b}\mathrm{\;B}\left( {a, b}\right) = {372\zeta }\left( 5\right)
\]
\( - {180}\log \left( 2\right) \zeta \left( 4\right) - {126\zeta }\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) \) . For the last two integrals, we may also combine the facts that \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n}{H}_{n} = - \frac{\log \left( {1 - x}\right) }{1 - x} \) and \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n}\left( {{H}_{n}^{3} - 3{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 2\right) } + 2{H}_{n}^{\left( 3\right) }}\right) = \) \( - \frac{{\log }^{3}\left( {1 - x}\right) }{1 - x} \) together with results of The Master Theorem of Series like (4.21), the case \( m = 1 \), and (4.27), and reduce everything to computing limits in terms of Polygamma function. The limits above can be done either manually or with the aid of Mathematica.
Now, if we plug the results from (6.283) and (6.284) in (6.282), we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{n} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{n} = \frac{1}{2}{\log }^{3}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) - \frac{1}{2}{\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 3\right)
\]
\[
- \frac{35}{16}\log \left( 2\right) \zeta \left( 4\right) + \frac{167}{32}\zeta \left( 5\right) + \frac{5}{16}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{2}{15}{\log }^{5}\left( 2\right)
\]
\[
- 4\log \left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) - 4{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right)
\]
(6.285)
At this point, combining the results in (6.280), (6.281), and (6.285) and the main result of the point \( i \) ) of the problem, we are able to extract the rest of the alternating series of weight 5 , which is a beautiful moment! Note that besides the two series we wanted to calculate, we get two more series as a bonus of the strategy I employed!
So, we obtain that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{4}}{n}
\]
\[
= \frac{3}{10}{\log }^{5}\left( 2\right) - \frac{4}{3}{\log }^{3}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) + \frac{9}{4}{\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + \frac{11}{4}\log \left( 2\right) \zeta \left( 4\right) - \frac{83}{16}\zeta \left( 5\right)
\]
\[
- \frac{11}{8}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + 4\log \left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) + 8{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right) ,
\]
(6.286)
then,
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{\left( {H}_{n}^{\left( 2\right) }\right) }^{2}}{n}
\]
\[
= \frac{{\log }^{5}\left( 2\right) }{5} - \frac{2}{3}{\log }^{3}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) + \frac{29}{4}\log \left( 2\right) \zeta \left( 4\right) - \frac{259}{16}\zeta \left( 5\right) + \frac{5}{8}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right)
\]
\[
+ 8\log \left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) + {16}{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right)
\]
(6.287)
next,
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}^{2}{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{n}
\]
\[
= \frac{7}{8}\log \left( 2\right) \zeta \left( 4\right) - \frac{7}{8}{\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) + \frac{1}{3}{\log }^{3}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) + \frac{3}{8}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right)
\]
\[
- \frac{1}{12}{\log }^{5}\left( 2\right) - 2\log \left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right)
\]
and finally,
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{n}{H}_{n}^{\left( 3\right) }}{n}
\]
\[
= \frac{1}{6}{\log }^{3}\left( 2\right) \zeta \left( 2\right) + \frac{3}{8}{\log }^{2}\left( 2\right) \zeta \left( 3\right) - \frac{49}{16}\log \left( 2\right) \zeta \left( 4\right) + \frac{167}{32}\zeta \left( 5\right) - \frac{1}{16}\zeta \left( 2\right) \zeta \left( 3\right)
\]
\[
- \frac{{\log }^{5}\left( 2\right) }{20} - 2\log \left( 2\right) {\operatorname{Li}}_{4}\left( \frac{1}{2}\right) - 4{\operatorname{Li}}_{5}\left( \frac{1}{2}\right)
\]
and the derivation of the last alternating series of weight 5 is complete.
To solve the second part of the problem, use that \( {H}_{2n} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\frac{1}{k} - \frac{1}{{2n} + k}}\right) \) and
\( {H}_{2n}^{\left( 2\right) } = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\frac{1}{{k}^{2}} - \frac{1}{{\left( 2n + k\right) }^{2}}}\right) \), and then we write
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{2n}}{{n}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{2n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\left( {\frac{{H}_{2n}}{{n}^{3}} + \frac{{H}_{2n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\left( {\frac{1}{k{n}^{3}} - \frac{1}{\left( {{2n} + k}\right) {n}^{3}} + \frac{1}{{k}^{2}{n}^{2}} - \frac{1}{{\left( 2n + k\right) }^{2}{n}^{2}}}\right) }\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\left( {\frac{2}{{k}^{2}{n}^{2}} - \frac{4}{{k}^{2}{\left( k + 2n\right) }^{2}}}\right) }\right) = 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n - 1}}{{n}^{2}}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{{k}^{2}}
\]
\[
- 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{1}{{k}^{2}{\left( k + 2n\right) }^{2}}}\right)
\]
\[
= \frac{5}{2}\zeta \left( 4\right) + 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{1}{{k}^{2}}{\int }_{0}^{1}{x}^{k + {2n} - 1}\log \left( x\right) \mathrm{d}x}\right)
\]
\[
= \frac{5}{2}\zeta \left( 4\right) + 4{\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{1}{{k}^{2}}{x}^{k + {2n} - 1}}\right) \log \left( x\right) \mathrm{d}x
\]
\[
= \frac{5}{2}\zeta \left( 4\right) + 4{\int }_{0}^{1}\frac{x\log \left( x\right) {\operatorname{Li}}_{2}\left( x\right) }{1 + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x
\]
\( \{ \) make use of the result in (1.56), with \( n = 1\} \)
\[
= 2{G}^{2} + \frac{37}{64}\zeta \left( 4\right)
\]
and the part \( {ii} \) ) of the problem is finalized.
Alternatively, one may start with the Cauchy product (see [33, Chapter III, pp. 307-571]) of \( {\left( {\operatorname{Li}}_{2}\left( x\right) \right) }^{2} \) that leads immediately to \( 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n}\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n}\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} = \) \( \frac{1}{2}\left( {{\left( {\operatorname{Li}}_{2}\left( x\right) \right) }^{2} + 6{\operatorname{Li}}_{4}\left( x\right) }\right) \), and then the sum of series becomes \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{2n}}{{n}^{3}} + \) \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{2n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} = - \Re \left\{ {2\left( {{\left( {\operatorname{Li}}_{2}\left( i\right) \right) }^{2} + 6{\operatorname{Li}}_{4}\left( i\right) }\right) }\right\} \), which leads to the value obtained
## 6.59 An Outstanding Sum of Series Representation of the Particular Value of the Riemann |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 162 | rt with the Cauchy product (see [33, Chapter III, pp. 307-571]) of \( {\left( {\operatorname{Li}}_{2}\left( x\right) \right) }^{2} \) that leads immediately to \( 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n}\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}^{n}\frac{{H}_{n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} = \) \( \frac{1}{2}\left( {{\left( {\operatorname{Li}}_{2}\left( x\right) \right) }^{2} + 6{\operatorname{Li}}_{4}\left( x\right) }\right) \), and then the sum of series becomes \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{2n}}{{n}^{3}} + \) \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{H}_{2n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} = - \Re \left\{ {2\left( {{\left( {\operatorname{Li}}_{2}\left( i\right) \right) }^{2} + 6{\operatorname{Li}}_{4}\left( i\right) }\right) }\right\} \), which leads to the value obtained
## 6.59 An Outstanding Sum of Series Representation of the Particular Value of the Riemann Zeta Function, \( \zeta \left( 4\right) \)
Solution For this section I chose a curious sum with harmonic series which is derived with the help of an application of The Master Theorem of Series. I won't try to calculate each series separately, but I'll approach all the series at once.
We might like to make use of the first application of The Master Theorem of Series in (4.21), the case \( m = 1 \), where if we replace \( n \) by \( {2n} \) and then consider the summation over both sides from \( n = 1 \) to \( \infty \), we get
\[
\frac{1}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{2n}\right) }^{2}}{{n}^{2}} + \frac{1}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{2n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + {2n} + 1}\right) n}}\right)
\]
\{split the inner series according to \( k \) odd and even\}
\[
= \frac{1}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{{2k} - 1}}{k\left( {k + n}\right) n}}\right) + 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{2k}}{\left( {{2k} + 1}\right) \left( {{2k} + {2n} + 1}\right) {2n}}}\right)
\]
\{reverse the order of summation in both series\}
\[
= \frac{1}{4}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{{2k} - 1}}{k\left( {k + n}\right) n}}\right) + 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{2k}}{{2k} + 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{\left( {{2k} + {2n} + 1}\right) {2n}}}\right)
\]
\[
= \frac{1}{4}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}{H}_{{2k} - 1}}{{k}^{2}} + 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{2k}}{{2k} + 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{\left( {{2k} + {2n} + 1}\right) {2n}}}\right) .
\]
(6.288)
Now, for the inner series in (6.288), we write
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{\left( {{2k} + {2n} + 1}\right) {2n}} = \frac{1}{{2k} + 1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\frac{1}{2n} - \frac{1}{{2n} + {2k} + 1}}\right)
\]
\[
= \frac{1}{{2k} + 1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\frac{1}{2n} - \frac{1}{{2n} + 1} + \frac{1}{{2n} + 1} - \frac{1}{{2n} + {2k} + 1}}\right)
\]
\[
= \frac{1}{{2k} + 1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\frac{1}{2n} - \frac{1}{{2n} + 1}}\right) + \frac{1}{{2k} + 1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {\frac{1}{{2n} + 1} - \frac{1}{{2n} + 1 + {2k}}}\right)
\]
\[
= \frac{1 - \log \left( 2\right) }{{2k} + 1} + \frac{1}{{2k} + 1}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}\frac{1}{{2i} + 1}
\]
\[
= \frac{1 - \log \left( 2\right) }{{2k} + 1} + \frac{1}{{2k} + 1}\left( {{H}_{2k} - \frac{1}{2}{H}_{k} - 1 + \frac{1}{{2k} + 1}}\right)
\]
\[
= \frac{1}{{\left( 2k + 1\right) }^{2}} + \frac{{H}_{2k}}{{2k} + 1} - \frac{{H}_{k}}{2\left( {{2k} + 1}\right) } - \frac{\log \left( 2\right) }{{2k} + 1}.
\]
(6.289)
If we plug the result from (6.289) in (6.288), we get
\[
\frac{1}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{2n}\right) }^{2}}{{n}^{2}} + \frac{1}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{2n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}} = \frac{1}{4}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}\left( {{H}_{2n} - 1/\left( {2n}\right) }\right) }{{n}^{2}}
\]
\[
+ 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{2n}}{{2n} + 1}\left( {\frac{1}{{\left( 2n + 1\right) }^{2}} + \frac{{H}_{2n}}{{2n} + 1} - \frac{{H}_{n}}{2\left( {{2n} + 1}\right) } - \frac{\log \left( 2\right) }{{2n} + 1}}\right) ,
\]
where using the simple fact that \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}}{{n}^{3}} = \frac{5}{4}\zeta \left( 4\right) \), multiplying both sides of the relation above by \( {32}/5 \) and then rearranging the series, we conclude that
\( \zeta \left( 4\right) \)
\[
= \frac{8}{5}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{2n}}{{n}^{2}} + \frac{64}{5}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{2n}\right) }^{2}}{{\left( 2n + 1\right) }^{2}} + \frac{64}{5}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{2n}}{{\left( 2n + 1\right) }^{3}}
\]
\[
- \frac{8}{5}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( {H}_{2n}\right) }^{2}}{{n}^{2}} - \frac{32}{5}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{n}{H}_{2n}}{{\left( 2n + 1\right) }^{2}} - \frac{64}{5}\log \left( 2\right) \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{2n}}{{\left( 2n + 1\right) }^{2}} - \frac{8}{5}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{2n}^{\left( 2\right) }}{{n}^{2}},
\]
and the solution is complete.
Surely, an alternative to this approach is to simply try to calculate every single harmonic series, and there would be some work to do!
## 6.60 An Excellent Representation of the Particular Value of the Riemann Zeta Function, \( \zeta \left( 4\right) \), with a Triple Series Involving the Factorials and the Generalized Harmonic Numbers
Solution Well, here we are ... at the last section of the present chapter and at the same time at the last section of the book, where I prepared a special representation of \( \zeta \left( 4\right) \) with factorials and harmonic numbers!
The magic behind the solution is simply based on writing the Gamma function expression in terms of a product with Beta function,
\[
\frac{\Gamma \left( {a}_{1}\right) \Gamma \left( {a}_{2}\right) \cdots \Gamma \left( {a}_{n}\right) }{\Gamma \left( {{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}}\right) }
\]
\[
= \frac{\Gamma \left( {a}_{1}\right) \Gamma \left( {a}_{2}\right) }{\Gamma \left( {{a}_{1} + {a}_{2}}\right) } \cdot \frac{\Gamma \left( {{a}_{1} + {a}_{2}}\right) \Gamma \left( {a}_{3}\right) }{\Gamma \left( {{a}_{1} + {a}_{2} + {a}_{3}}\right) }\cdots \frac{\Gamma \left( {{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n - 1}}\right) \Gamma \left( {a}_{n}\right) }{\Gamma \left( {{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}}\right) }
\]
\[
= \mathrm{B}\left( {{a}_{1},{a}_{2}}\right) \cdot \mathrm{B}\left( {{a}_{1} + {a}_{2},{a}_{3}}\right) \cdots \mathrm{B}\left( {{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n - 1},{a}_{n}}\right) ,
\]
(6.290)
which is a simple idea that can be used for obtaining many wonderful results. Recently I found the present result is also given in [42, Chapter 1, p. 11].
Setting \( n = 3,{a}_{1} = i,{a}_{2} = j \), and \( {a}_{3} = x \), in (6.290), we get \( \frac{\dot{\Gamma }\left( i\right) \dot{\Gamma }\left( j\right) \Gamma \left( x\right) }{\Gamma \left( {i + j + x}\right) } = \) \( \mathrm{B}\left( {i, j}\right) \cdot \mathrm{B}\left( {i + j, x}\right) \), and then we have that
\[
\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }\frac{\Gamma \left( i\right) \Gamma \left( j\right) \Gamma \left( x\right) }{\Gamma \left( {i + j + x}\right) }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }\mathrm{B}\left( {i, j}\right) \cdot \mathrm{B}\left( {i + j, x}\right) }\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }{\int }_{0}^{1}{t}^{i - 1}{\left( 1 - t\right) }^{j - 1}\left( {{\int }_{0}^{1}{u}^{i + j - 1}{\left( 1 - u\right) }^{x - 1}\mathrm{\;d}u}\right) \mathrm{d}t}\right)
\]
\{reverse the order of integration and summation\}
\[
= {\int }_{0}^{1}u{\left( 1 - u\right) }^{x - 1}\left( {{\int }_{0}^{1}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }{\left( ut\right) }^{i - 1}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }{\left( u\left( 1 - t\right) \right) }^{j - 1}}\right) \mathrm{d}t}\right) \mathrm{d}u
\]
\[
= {\int }_{0}^{1}u{\left( 1 - u\right) }^{x - 1}\left( {{\int }_{0}^{1}\frac{1}{\left( {1 - {ut}}\right) \left( {1 - u\left( {1 - t}\right) }\right) }\mathrm{d}t}\right) \mathrm{d}u
\]
\[
= {\int }_{0}^{1}\frac{u{\left( 1 - u\right) }^{x - 1}}{2 - u}\left( {{\int }_{0}^{1}\left( {\frac{1}{1 - {ut}} + \frac{1}{1 - u\left( {1 - t}\right) }}\right) \mathrm{d}t}\right) \mathrm{d}u
\]
\[
= 2{\int }_{0}^{1}\frac{{\left( 1 - u\right) }^{x - 1}\log \left( {1 - u}\right) }{u - 2}\mathrm{\;d}u\overset{u = 1 - v}{ = } - 2{\int }_{0}^{1}\frac{{v}^{x - 1}\log \left( v\right) }{1 + v}\mathrm{\;d}v
\]
\{make use of the result in (1.10) which we differentiate once\}
\[
= \frac{1}{2}\left( {{\psi }^{\left( 1\right) }\left( \frac{x}{2}\right) - {\psi }^{\left( 1\right) }\left( \frac{1 + x}{2}\right) }\right) .
\]
(6.291)
Differentiating two times with respect to \( x \) the opposite sides of (6.291), replacing \( x \) by \( k \) and then considering the summation from \( k = 1 \) to \( \infty \), and changing the summation order, we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\Gamma \left( i\right) \Gamma \left( j\rig |
1_(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series | 163 | ) }^{x - 1}}{2 - u}\left( {{\int }_{0}^{1}\left( {\frac{1}{1 - {ut}} + \frac{1}{1 - u\left( {1 - t}\right) }}\right) \mathrm{d}t}\right) \mathrm{d}u
\]
\[
= 2{\int }_{0}^{1}\frac{{\left( 1 - u\right) }^{x - 1}\log \left( {1 - u}\right) }{u - 2}\mathrm{\;d}u\overset{u = 1 - v}{ = } - 2{\int }_{0}^{1}\frac{{v}^{x - 1}\log \left( v\right) }{1 + v}\mathrm{\;d}v
\]
\{make use of the result in (1.10) which we differentiate once\}
\[
= \frac{1}{2}\left( {{\psi }^{\left( 1\right) }\left( \frac{x}{2}\right) - {\psi }^{\left( 1\right) }\left( \frac{1 + x}{2}\right) }\right) .
\]
(6.291)
Differentiating two times with respect to \( x \) the opposite sides of (6.291), replacing \( x \) by \( k \) and then considering the summation from \( k = 1 \) to \( \infty \), and changing the summation order, we get
\[
\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\Gamma \left( i\right) \Gamma \left( j\right) \Gamma \left( k\right) }{\Gamma \left( {i + j + k}\right) }\left( {{\left( {H}_{i + j + k - 1} - {H}_{k - 1}\right) }^{2} + {H}_{i + j + k - 1}^{\left( 2\right) } - {H}_{k - 1}^{\left( 2\right) }}\right) }\right) }\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\left( {i - 1}\right) !\left( {j - 1}\right) !\left( {k - 1}\right) !}{\left( {i + j + k - 1}\right) !}}\right. }\right.
\]
\[
\left. \left. {\times \left( {{\left( {H}_{i + j + k - 1} - {H}_{k - 1}\right) }^{2} + {H}_{i + j + k - 1}^{\left( 2\right) } - {H}_{k - 1}^{\left( 2\right) }}\right) }\right) \right)
\]
\[
= \frac{1}{8}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {{\psi }^{\left( 3\right) }\left( \frac{k}{2}\right) - {\psi }^{\left( 3\right) }\left( \frac{1 + k}{2}\right) }\right) = \frac{1}{8}\mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}\left( {{\psi }^{\left( 3\right) }\left( \frac{k}{2}\right) - {\psi }^{\left( 3\right) }\left( \frac{1 + k}{2}\right) }\right)
\]
\[
= \frac{1}{8}\mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow \infty }}\left( {{\psi }^{\left( 3\right) }\left( \frac{1}{2}\right) - {\psi }^{\left( 3\right) }\left( \frac{1 + N}{2}\right) }\right) = \frac{45}{4}\zeta \left( 4\right) ,
\]
where in the calculations above I used the Polygamma function reflection formula, \( {\left( -1\right) }^{m}{\psi }^{\left( m\right) }\left( {1 - x}\right) - {\psi }^{\left( m\right) }\left( x\right) = \pi \frac{{d}^{m}}{d{x}^{m}}\cot \left( {\pi x}\right) \), with \( m = 3 \) and \( x = 1/2 \), to get \( {\psi }^{\left( 3\right) }\left( {1/2}\right) = {\pi }^{4} \), and then the asymptotic expansion, \( {\psi }^{\left( 3\right) }\left( x\right) = 2/{x}^{3} + O\left( {1/{x}^{4}}\right) \) , as \( x \rightarrow \infty \), which is obtained by differentiation from the asymptotic expansion of Digamma function (see [1, p. 259], [42, Chapter 1, p. 22]), and the solution is complete.
Having arrived at the end of the book I remember I closed my Preface with writing Let's start the journey in the fascinating world of integrals, sums, and series and have much fun! Now it would be the time to ask you if you enjoyed the journey in the fascinating world of integrals, sums, and series I proposed in this book! Hope you had a pleasant time with reading my book!
Cheers!
Cornel Ioan Vălean
## References
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## Index
A
Abel’s summation, 39, 40, 61, 319, 358, 359, 362, 365, 366, 384, 399, 401, 439, 443, \( {445},{479},{482},{485} - {487},{489},{491} - {495} \)
Asymptotic expansion, 91, 92, 167, 199, 250, 534
Augustin-Louis Cauchy, 197
B
Basel problem, 1, 55-57
Big-O notation, 91
C
Cauchy principal value, 197
Cauchy-Schlömilch transformation, 238, 239, 241
Central binomial coefficient, 167, 336
Christian Goldbach, 87
Complete elliptic integral of the first kind, 28
Constant
Catalan's, 8, 11-14, 16, 29, 34, 36, 95, 252, 254, 255, 263, 313
Euler-Mascheroni, 30, 198, 236, 337
Glaisher-Kinkelin, 30, 222
D
David Borwein, 392
Differentiation under the integral sign,
97
\( \mathbf{E} \)
Enrico Au-Yeung, 392
Euler's infinite product for the sine, 202, 203,
205, 206, 234, 270 \( \mathbf{F} \)
Factorial, 181
double, 167, 280, 335
Formula
Dilogarithm function reflection, 176, 192, 352, 354, 409
Euler's, 207
Euler's reflection, 105, 108, 109, 143, 196, 213
Legendre duplication, 68
Polygamma function reflection, 135, 141, 534
Ramanujan's, 215
Stirling's, 167, 221
trigonometric, 195
Function
Beta, 9, 64, 68, 72, 73, 76, 80, 81, 89, 102, 143, 192, 200, 206, 213, 305, 332, 480, 484
Digamma, 3, 15, 28, 36, 66, 67, 69, 70, 91, 92, 205, 209-211, 219, 237, 260, 513, 534
Dilogarithm, 8, 11, 13, 14, 23, 75, 84, 122, 137, 146, 176, 192, 216, 352, 354, 409
Dirichlet beta, 15, 16, 19, 20, 141, 166
Dirichlet eta, 18-20, 88
Gamma, 28, 66, 68, 104, 105, 108, 109,
143, 199, 226, 242, 332
Function (cont.)
generating, \( {118},{168},{169},{183},{332},{347} \) , \( {349},{356},{403},{409},{484},{490},{496},{497} \) , 506
Legendre's chi, 216, 217
Lerch transcendent, 16, 150
Polygamma, 12, 16, 91, 135, 141, 166, 454, 483, 528, 534
Polylogarithm, 3-6, 18-21, 23, 25, 33-35,
\( {37},{64},{100},{280},{284},{285},{307} - {310} \) , 313
Riemann zeta, 3-6, 8-16, 18-20, 23, 25, 27, \( {30},{31},{33} - {35},{37},{57},{87},{88},{181},{280} \) ,
284, 285, 289-306, 308-311, 313, 334,
\( {437},{483},{485},{487} \)
Riemann zeta generating, 237
Trigamma, 334
Trilogarithm, 75, 84, 136, 150, 500
G
Giuliano Frullani's, 209
Golden ratio, 341, 343 I Identity
Beta-Gamma, 213, 214
Botez-Catalan, 89, 337, 338, 344, 346
Cassini's, 340, 342
d'Ocagne's, 342
Landen's, 72, 157, 174, 175
trigonometric, \( {56},{195},{316},{333},{341},{343} \) Integral
contour, 206, 242
Dirichlet's, 207
double, \( {56},{97},{104},{123},{125} - {127},{140} \) ,
\( {141},{146},{155},{157},{160},{162},{179},{181} \) ,
182, 191, 214, 219, 252, 261, 262, 267
fractional part, 222, 227, 232
Frullani's, 209, 211
Gaussian, 196, 241, 242
Inverse tangent, 16, 146, 150, 214, 215
multiple, 26, 159, 198, 200
Ramanujan's, 210, 218, 219
Serret's, 218
triple, 227, 262
Wallis' integral, 212, 331, 332, 336
Integration by parts, \( {60},{62},{65},{70},{71},{84},{85} \) ,
\( {101},{105},{108},{109},{113},{114},{116} - {118} \) ,
122, 124, 136-138, 222, 227, 228, 253,
\( {254},{269},{335},{337},{353},{407},{420},{496} \) ,
\( {497},{508},{510} \)
integration by parts, 80 J James Stirling, 167 Jonathan M. Borwein, 392 Joseph Serret, 218 Joseph Wolstenholme, 59 L
Leibniz integral rule, 227
Leonhard Euler, 87, 358 \( \mathrm{N} \)
Number
Euler's, 198, 207
Fibonacci, 282, 283, 339-343
generalized harmonic, 2, 21, 87, 183, 259,
260, 284-292, 294-300, 302, 303, 305,
\( {307},{310},{311},{313},{347},{369},{513} \)
harmonic, 22, 26, 37, 59, 66, 72, 200, 260,
\( {281},{283},{289},{292} - {296},{301},{303},{304} \) ,
\( {306},{308} - {310},{358},{374},{376},{389},{403} \) ,
\( {409},{453},{454},{487},{513} \)
Lucas, 340 P
Polar coordinates, 242, 261
Polynomial
complete homogeneous symmetric, 40, 62 , 63,359,382
elementary symmetric, 354, 380-382 \( \mathbf{R} \)
Relation
Digamma function, 66, 260
recursive, 62 S
Series
Au-Yeung, 406, 421
divergent, 267
double, 120, 121, 385, 389-391, 404, 412,
\( {415},{430},{439},{459},{461} \)
Fourier, 106, 109, 110, 113, 128, 130, 131,
133, 135, 215, 253, 255, 263
geometric, 69, 71, 103, 126, 147, 244
harmonic, 59, 87, 93-95, 102, 104, 179,
181, 183, 242, 260, 270, 347, 358, 359,
\( {363},{369},{370},{374},{376},{380},{394},{398} \) ,
\( {429},{436},{438},{442},{445},{446},{448},{453} \) ,
\( {456},{465},{467},{470},{482},{485},{487},{490} \) ,
495, 496, 502, 508, 514, 515, 530
Index
Laurent, 199
Taylor, 199, 237, 345, 347
Snake Oil Method, 173
Srinivasa Ramanujan, 208, 329
Sum
double, 362, 374, 377, 380
Euler, \( {88},{99},{358},{379},{384},{386},{387},{389} \) ,
392-394, 396, 397, 399, 400, 402, 405,
413, 418, 419, 424,
\( {426} - {428},{430},{432},{433},{435},{437},{438} \) ,
\( {440},{448} - {451},{454},{459},{469},{480},{481} \) ,
512
geometric, 270
telescoping, 92, 236, 343, 347
\( \mathbf{T} \)
Theorem
The Master Theorem of Series, 270, 272,
\( {273},{359},{369},{370},{372},{375},{376},{378} \) ,
\( {380},{392},{394},{401},{411},{414},{421},{446} \) ,
\( {448},{453},{485},{487},{528},{530},{531} \)
Mertens', 516
Parseval's, 392
Pinching, 228
Riemann series, 330
Stolz-Cesàro, 371
W
Weierstrass substitution, 107 |
2000_数学辞海（第3卷） | 0 |
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第三卷
山西教育出版社
东南大学出版社
中国科学技术出版社
一句从本金自以状得解皆而不好主县思浩阴如果你有数学阴题
\( \begin{array}{lll} x & \text{ 但是整数 } & \\ y & \text{ 进 } & \frac{y}{x} \\ z & \text{ 进 } & \frac{z}{y} \\ z & \text{ 社 } & \text{ 组成 } \\ y & \text{ 会 } & \text{ 化 } \\ z & \text{ 出 } & \text{ 组 } \\ z & \text{ } & \text{ } \\ y & \text{ } & \text{ } \\ y & \text{ } & \text{ } \\ z & \text{ } & \text{ } \\ z & \text{ } & \text{ } \\ z & \text{ } & \text{ } \\ & & \end{array}\;\begin{array}{ll} z & \text{ } \\ z & \text{ } \\ z & \text{ } \\ z & \text{ } \\ z & \text{ } \\ z & \text{ } \\ & \end{array} \)
<table><tr><td><img src="https://cdn.noedgeai.com/29495e47-3798-41fe-b109-2981d6b412d2_5.jpg?x=320&y=396&w=764&h=12"/> <img src="https://cdn.noedgeai.com/29495e47-3798-41fe-b109-2981d6b412d2_5.jpg?x=351&y=429&w=182&h=198"/> <img src="https://cdn.noedgeai.com/29495e47-3798-41fe-b109-2981d6b412d2_5.jpg?x=556&y=418&w=142&h=173"/> <img src="https://cdn.noedgeai.com/29495e47-3798-41fe-b109-2981d6b412d2_5.jpg?x=358&y=858&w=148&h=109"/> <img src="https://cdn.noedgeai.com/29495e47-3798-41fe-b109-2981d6b412d2_5.jpg?x=379&y=638&w=141&h=175"/> <img src="https://cdn.noedgeai.com/29495e47-3798-41fe-b109-2981d6b412d2_5.jpg?x=524&y=920&w=169&h=172"/> <img src="https://cdn.noedgeai.com/29495e47-3798-41fe-b109-2981d6b412d2_5.jpg?x=533&y=597&w=167&h=137"/> <img src="https://cdn.noedgeai.com/29495e47-3798-41fe-b109-2981d6b412d2_5.jpg?x=538&y=739&w=156&h=163"/> <img src="https://cdn.noedgeai.com/29495e47-3798-41fe-b109-2981d6b412d2_5.jpg?x=326&y=1090&w=167&h=170"/> <img src="https://cdn.noedgeai.com/29495e47-3798-41fe-b109-2981d6b412d2_5.jpg?x=541&y=1100&w=114&h=164"/> \( {}^{\lbrack 1,2,3\rbrack } \) 是在所有的光滑函数的连续性函数的连续性函数的连续性函数的连续函数函数的变量是通过逆的电离函数的连续函数的连续函数的连续函数的函数函数函数的函数函数函数的函数函数函数的函数函数函数的</td><td><img src="https://cdn.noedgeai.com/29495e47-3798-41fe-b109-2981d6b412d2_5.jpg?x=725&y=420&w=159&h=203"/> <img src="https://cdn.noedgeai.com/29495e47-3798-41fe-b109-2981d6b412d2_5.jpg?x=757&y=652&w=107&h=117"/> <img src="https://cdn.noedgeai.com/29495e47-3798-41fe-b109-2981d6b412d2_5.jpg?x=724&y=790&w=161&h=171"/> <img src="https://cdn.noedgeai.com/29495e47-3798-41fe-b109-2981d6b412d2_5.jpg?x=719&y=991&w=150&h=191"/></td><td><img src="https://cdn.noedgeai.com/29495e47-3798-41fe-b109-2981d6b412d2_5.jpg?x=916&y=414&w=162&h=177"/> <img src="https://cdn.noedgeai.com/29495e47-3798-41fe-b109-2981d6b412d2_5.jpg?x=938&y=621&w=73&h=39"/> <img src="https://cdn.noedgeai.com/29495e47-3798-41fe-b109-2981d6b412d2_5.jpg?x=931&y=679&w=82&h=68"/> <img src="https://cdn.noedgeai.com/29495e47-3798-41fe-b109-2981d6b412d2_5.jpg?x=908&y=787&w=145&h=89"/> <img src="https://cdn.noedgeai.com/29495e47-3798-41fe-b109-2981d6b412d2_5.jpg?x=906&y=897&w=148&h=151"/> <img src="https://cdn.noedgeai.com/29495e47-3798-41fe-b109-2981d6b412d2_5.jpg?x=927&y=1073&w=145&h=176"/> <img src="https://cdn.noedgeai.com/29495e47-3798-41fe-b109-2981d6b412d2_5.jpg?x=871&y=1260&w=183&h=137"/></td></tr></table>
## 《数学辞海》总编辑委员会
<table><tr><td>顾</td><td>丁石孙 陈省身</td><td>冯 康 周培源</td><td>江泽涵 柯 召</td><td>苏步青 程民德</td><td>李国平</td><td>吴大任</td><td>吴文俊</td><td>谷超豪</td><td></td></tr><tr><td rowspan="9">学术指导</td><td>万哲先</td><td>卫念祖</td><td>马希文</td><td>王 元</td><td>王寿仁</td><td>王梓坤</td><td>王绶琯</td><td>王斯雷</td><td></td></tr><tr><td>王湘浩</td><td>文 兰</td><td>叶彦谦</td><td>史惠顺</td><td>白正国</td><td>冯克勤</td><td>宁津生</td><td>成 平</td><td></td></tr><tr><td>朱照宣</td><td>伍卓群</td><td>庄圻泰</td><td>孙 琦</td><td>孙以丰</td><td>严加安</td><td>严志达</td><td>严绍宗</td><td></td></tr><tr><td>苏汝铿</td><td>李 未</td><td>李迪</td><td>李邦河</td><td>李岳生</td><td>李德仁</td><td>杨东屏</td><td>杨芙清</td><td></td></tr><tr><td>杨桂通</td><td>吴祖基</td><td>余家荣</td><td>沈燮昌</td><td>张尧庭</td><td>张芷芬</td><td>张恭庆</td><td>张嗣瀛</td><td></td></tr><tr><td>陆汝钤</td><td>陆润林</td><td>陈希孺</td><td>陈梓北</td><td>陈翰馥</td><td>金福临</td><td>周伯塤</td><td>周毓麟</td><td></td></tr><tr><td>郑维行</td><td>赵慈庚</td><td>钟集</td><td>姜礼尚</td><td>莫绍揆</td><td>郭雷</td><td>郭柏灵</td><td>黃 琳</td><td></td></tr><tr><td>黃正中</td><td>萧树铁</td><td>梅向明</td><td>曹锡华</td><td>梁之舜</td><td>梁宗巨</td><td>越民义</td><td>韩汝琦</td><td></td></tr><tr><td>程其襄</td><td>谢力同</td><td>谢邦杰</td><td>路见可</td><td>蔡长年</td><td>廖山涛</td><td>潘承洞</td><td>魏庚人</td><td></td></tr><tr><td>名誉总编</td><td>程民德</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="23">总 编 总编 委</td><td colspan="9">何思谦</td></tr><tr><td>丁尔升</td><td>千丹岩</td><td>马国选</td><td>马忠林</td><td>马星垣</td><td>王戈平</td><td>王世强</td><td>王戍堂</td><td></td></tr><tr><td>王怀安</td><td>王国俊</td><td>王建磬</td><td>王恩平</td><td>王耀东</td><td>仇桂生</td><td>文志英</td><td>方锦暄</td><td></td></tr><tr><td>方嘉琳</td><td>邓必鑫</td><td>邓永录</td><td>邓宗琦</td><td>古四毛</td><td>左执中</td><td>叶大卫</td><td>田德恒</td><td></td></tr><tr><td>史树中</td><td>史济怀</td><td>冯汉桥</td><td>冯志伟</td><td>曲世江</td><td>昌德正</td><td>朱元森</td><td>朱梧檟</td><td></td></tr><tr><td>任南衡</td><td>任福尧</td><td>庄亚栋</td><td>刘 策</td><td>刘永清</td><td>刘秀芳</td><td>刘卓军</td><td>刘绍学</td><td></td></tr><tr><td>刘彥佩</td><td>刘家壮</td><td>刘瑞挺</td><td>刘增贤</td><td>刘儒英</td><td>米道生</td><td>许以超</td><td>许永华</td><td></td></tr><tr><td>苏维宜</td><td>杜瑞芝</td><td>李 士</td><td>李兆华</td><td>李克正</td><td>李国伟</td><td>李承恕</td><td>李荫藩</td><td></td></tr><tr><td>李培业</td><td>李培信</td><td>杨 路</td><td>杨光俊</td><td>杨安洲</td><td>杨劲根</td><td>杨林生</td><td>杨春宏</td><td></td></tr><tr><td>杨重骏</td><td>杨家荣</td><td>杨家新</td><td>杨焕萍</td><td>吴从炘</td><td>吴振德</td><td>吴崇试</td><td>岑嘉评</td><td></td></tr><tr><td>邱森</td><td>邱曙熙</td><td>何连法</td><td>何伯和</td><td>何育赞</td><td>何思谦</td><td>何崇佑</td><td>佟文廷</td><td></td></tr><tr><td>余澍祥</td><td>应制夷</td><td>汪林</td><td>沈一兵</td><td>沈米成</td><td>沈复兴</td><td>宋增民</td><td>张友余</td><td></td></tr><tr><td>张文修</td><td>张永奎</td><td>张伟江</td><td>张孝达</td><td>张志新</td><td>张忠辅</td><td>张景中</td><td>张奠宙</td><td></td></tr><tr><td>陆文端</td><td>陆洪文</td><td>陆善镇</td><td>陈文螈</td><td>陈兰荪</td><td>陈庆益</td><td>陈志华</td><td>陈志杰</td><td></td></tr><tr><td>陈秀东</td><td>陈希孺</td><td>陈重穆</td><td>陈哲卿</td><td>陈家鼎</td><td>陈藻平</td><td>武际可</td><td>苗东升</td><td></td></tr><tr><td>茆诗松</td><td>范先令</td><td>林 伟</td><td>林正炎</td><td>林夏水</td><td>易照华</td><td>於宗俦</td><td>郑应平</td><td></td></tr><tr><td>郑祖庥</td><td>郑崇友</td><td>孟吉翔</td><td>胡作玄</td><td>胡毓达</td><td>胡炳生</td><td>钟义信</td><td>侯晋川</td><td></td></tr><tr><td>施武杰</td><td>洪钟德</td><td>秦化淑</td><td>徐安士</td><td>徐利治</td><td>徐源富</td><td>高琪仁</td><td>郭雷</td><td></td></tr><tr><td>郭大钧</td><td>郭光灿</td><td>郭聿琦</td><td>郭思乐</td><td>唐志远</td><td>剡俊华</td><td>容尔谦</td><td>黃文灶</td><td></td></tr><tr><td>黄启昌</td><td>萧 玲</td><td>萧奚安</td><td>梅荣照</td><td>曹之江</td><td>常心怡</td><td>常学将</td><td>梁友栋</td><td></td></tr><tr><td>梁世熙</td><td>梁贯成</td><td>彭立中</td><td>董士海</td><td>董克诚</td><td>蒋星耀</td><td>程 侃</td><td>程福长</td><td></td></tr><tr><td>曾一平</td><td>谢文泉</td><td>谢克昌</td><td>谢庭藩</td><td>谢鸿政</td><td>裘光明</td><td>裘宗沪</td><td>裘焯明</td><td></td></tr><tr><td>虞言林</td><td>路见可</td><td>颜 实</td><td>颜基义</td><td>潘一民</td><td>潘养廉</td><td>霍 伟</td><td>戴执中</td><td></td></tr><tr><td colspan="10">（以上署名均以姓名首字笔画为序）</td></tr></table>
## 《数学辞海》第三卷编辑委员会
<table><thead><tr><th>主 主 编 编 委 执行编委</th><th>陆善镇 史济怀 侯晋川 马如云 庄 万 邸继征 汪林 郑学安 唐志远 何育赞</th><th>苏维宜 常心怡 王耀东 许以超 何成奇 张南岳 郑祖庥 容尔谦 汪林</th><th>杨重骏 谢庭藩 文志英 苏维宜 何连法 陆文端 侯晋川 黃文灶 陆善镇</th><th>何育赞 叶大卫 杨重骏 何伯和 陆善镇 俞建宁 常心怡 高素志</th><th>余澍祥 史树中 杨家新 何育赞 陈秀东 徐忠范 彭立中 常心怡</th><th>汪林 史济怀 吴炯圻 何崇佑 罗学波 高素志 谢庭藩</th><th>陆文端 冯汉桥 吴崇试 余澍祥 范先令 高琪仁 燕居让</th></tr></thead></table>
## 《数学辞海》第三卷各分支学科编辑委员会
<table><tr><td>实变函数论</td><td>主 编 副主编 编 委</td><td>常心怡 朱玉揩 古四毛 常心怡</td><td>汪林 朱玉瑎</td><td>杨仁同</td><td>杨富春</td><td>汪林</td><td>郑喜印</td></tr><tr><td>复变函数论</td><td>主 编 副主编 编 委</td><td>何育赞 邢富冲 王文俊 何育赞</td><td>任福尧 邢富冲 张南岳</td><td>张南岳 任福尧 闻国椿</td><td>杨重骏 袁文俊</td><td>杨维奇 温学恒</td><td>何成奇</td></tr><tr><td rowspan="4">多复变函数论 测 度 论</td><td>主 编 编 委</td><td>许以超 王世坤</td><td>史济怀</td><td>许以超</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>主 编</td><td>汪林</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>副主编</td><td>朱玉揩</td><td>刘有明</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>编 委</td><td>朱玉揩 郭坤宇</td><td>刘有明</td><td>何伯和</td><td>汪林</td><td>宋儒瑛</td><td>高沛田</td></tr><tr><td>泛函分析</td><td>主 编 副主编 编 委</td><td>侯晋川 孙经先 仇庆九 陈晓漫</td><td>杜鸿科 孙经先 范先令</td><td>范先令 孙善利 林源渠</td><td>杜鸿科 侯晋川</td><td>杨亚利</td><td>余庆余</td></tr><tr><td>变 分 法</td><td>主 编 编 委</td><td>王耀东 王耀东</td><td>杨家新</td><td>郑应文</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>函数逼近论</td><td>主 编 副主编 编 委</td><td>谢庭藩 苏维宜 朱来义 谢庭藩</td><td>周颂平 江惠坤</td><td>苏维宜</td><td>周颂平</td><td>徐士英</td><td>谢林森</td></tr></table>
<table><tr><td colspan="2" rowspan="2">调和分析</td><td rowspan="2"></td><td>主 编</td><td>陆善镇</td><td></td><td></td><td rowspan="3">郑学安</td><td rowspan="16">高琪仁</td><td rowspan="16">龚显宗</td></tr><tr><td>编 委</td><td>丁 勇</td><td>王昆扬</td><td>陆善镇</td></tr><tr><td></td><td rowspan="2">流形上的分析</td><td rowspan="2"></td><td>主 编</td><td>杨家新</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>编 委</td><td>何伯和</td><td>杨家新</td><td>范先令</td><td rowspan="14">钟承奎 张 询</td></tr><tr><td></td><td rowspan="3">位 势 论</td><td rowspan="3"></td><td>主 编</td><td>高琪仁</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>副主编</td><td>吴炯圻</td><td>邱曙熙</td><td></td></tr><tr><td></td><td>编 委</td><td>叶仰明</td><td>吴炯圻</td><td>邱曙熙</td></tr><tr><td></td><td rowspan="2">凸 分 析</td><td rowspan="2"></td><td>主 编</td><td>史树中</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>编 委</td><td>史树中</td><td>李宗元</td><td>梅家骝</td></tr><tr><td></td><td rowspan="2">非标准分析</td><td rowspan="2"></td><td>主 编</td><td>冯汉桥</td><td></td><td rowspan="3">张锦文</td></tr><tr><td></td><td>编 委</td><td>冯汉桥</td><td>师东河</td></tr><tr><td></td><td rowspan="2">小 波 分 析</td><td rowspan="2"></td><td>主 编</td><td>彭立中</td><td></td></tr><tr><td></td><td>编 委</td><td>马瑞芹</td><td>王明辉</td><td>彭立中</td></tr><tr><td></td><td rowspan="2">分 形 几 何</td><td rowspan="2"></td><td>主 编</td><td>文志英</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>编 委</td><td>文志英</td><td>文志雄</td><td>苏维宜</td></tr><tr><td></td><td rowspan="4 |
2000_数学辞海（第3卷） | 1 | ><td>范先令</td><td rowspan="14">钟承奎 张 询</td></tr><tr><td></td><td rowspan="3">位 势 论</td><td rowspan="3"></td><td>主 编</td><td>高琪仁</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>副主编</td><td>吴炯圻</td><td>邱曙熙</td><td></td></tr><tr><td></td><td>编 委</td><td>叶仰明</td><td>吴炯圻</td><td>邱曙熙</td></tr><tr><td></td><td rowspan="2">凸 分 析</td><td rowspan="2"></td><td>主 编</td><td>史树中</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>编 委</td><td>史树中</td><td>李宗元</td><td>梅家骝</td></tr><tr><td></td><td rowspan="2">非标准分析</td><td rowspan="2"></td><td>主 编</td><td>冯汉桥</td><td></td><td rowspan="3">张锦文</td></tr><tr><td></td><td>编 委</td><td>冯汉桥</td><td>师东河</td></tr><tr><td></td><td rowspan="2">小 波 分 析</td><td rowspan="2"></td><td>主 编</td><td>彭立中</td><td></td></tr><tr><td></td><td>编 委</td><td>马瑞芹</td><td>王明辉</td><td>彭立中</td></tr><tr><td></td><td rowspan="2">分 形 几 何</td><td rowspan="2"></td><td>主 编</td><td>文志英</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>编 委</td><td>文志英</td><td>文志雄</td><td>苏维宜</td></tr><tr><td></td><td rowspan="4">常微分方程</td><td rowspan="4"></td><td>主 编</td><td>黃文灶</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>副主编</td><td>何崇佑</td><td>陈秀东</td><td>郑祖庥</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>编 委</td><td>王志成</td><td>叶大卫</td><td>朱思铭</td><td>庄 万</td><td>何崇佑</td><td>陈秀东</td></tr><tr><td></td><td></td><td>罗定军 燕居让</td><td>郑祖庥</td><td rowspan="2">黄文灶</td><td rowspan="2">黄发伦</td><td rowspan="2">龚光鲁</td><td rowspan="3">蒋继发</td></tr><tr><td></td><td colspan="2" rowspan="4">偏微分方程</td><td rowspan="4">主 编 副主编 编 委</td><td>陆文端</td><td></td></tr><tr><td></td><td>王耀东</td><td>罗学波</td><td>唐志远</td><td rowspan="4">李才中</td><td rowspan="4">陆文端</td></tr><tr><td></td><td>王耀东</td><td>白东华</td><td>白其峥</td><td rowspan="4">罗学波</td></tr><tr><td></td><td>唐志远</td><td>唐贤江</td><td>熊祥斗</td></tr><tr><td></td><td>积 分 方 程</td><td></td><td>主 编 编 委</td><td>容尔谦 李明忠</td><td>赵 桢</td><td>容尔谦</td></tr><tr><td></td><td rowspan="2">动力系统</td><td rowspan="2"></td><td>主 编 副主编</td><td>何连法 孙文祥</td><td>刘培东</td><td></td><td rowspan="3">刘培东</td><td rowspan="3">孙文祥</td></tr><tr><td></td><td>编 委</td><td>王在洪 赵阳</td><td>朱玉峻</td><td>华歆厚</td><td rowspan="2">何连法</td></tr><tr><td></td><td>特 殊 函 数</td><td></td><td>主 编 编 委</td><td>吴崇试 吴崇试</td><td>邸继征</td><td>陈晓林</td></tr><tr><td></td><td>数学符号表</td><td rowspan="2"></td><td>主 编 副主编 编 委</td><td>王怀安 杨德平 王怀安 阎崇正</td><td>阎崇正 刘宝康</td><td>杨子胥</td><td rowspan="2">杨德平</td><td rowspan="2">郝拉娣</td><td rowspan="2">段 方</td></tr><tr><td></td><td></td><td colspan="4">（以上署名均以姓名首字笔画为序）</td></tr></table>
## 序
当我们向着日益临近的 21 世纪走去的时候, 一部巨著一《数学辞海》将要面世了。这是我国 200 余所高等院校、科研机构, 数以千计的数学家、数学工作者共同劳动的结晶, 是一件影响深远的大事。
还是在本世纪同上一世纪交接的 1900 年, 希尔伯特就以 23 个数学问题作为送旧迎新的礼物, 高瞻远瞩地指引着 20 世纪数学发展的若干重要进程。如今, 20 世纪的帷幕行将落下, 我们惊喜地看到, 在这百年间, 数学已经发生了多么巨大的变化! 人们对数学的认识更深刻了, 数学的分支更多了, 数学的广度和深度, 都远远超出了本世纪初的预料。 异军突起的新科学和新技术, 诸如计算机科学、航天技术、生命工程、数字通信以及新能源的开发、新材料的应用等, 无不需要数学, 社会科学和人文科学的经济、教育、语言、 考古等领域, 也开始与数学结下不解之缘。所有这些学科在向数学索取的同时, 也都在某一方面推动和改变着数学。数学已经发展成为内涵广泛的数学科学。数学是大自然的语言, 又是人类社会生活中各种关系的高度概括。数学在现实世界中获取模型, 扩大了自己的外延, 同时展现了新的内涵、新的抽象。如果说古希腊和古代中国的数学只是涓涓细流, 那么, 今天之数学已经汇成了波流浸灌的长江大河。
一个人可以学贯中西, 但无法懂得现代数学的方方面面, 而社会变革的进程和新技术的浪潮却迫使人们学习和应用更多的数学。解决这个矛盾的办法之一, 自然是编纂一部大型的数学工具书。《数学辞海》正是在这样的时代需求背景之下应运而生的。有了这种巨大的推动力量, 它才能克服种种艰难曲折, 从第一页稿纸, 发展成为我们所见到的这部别具一格的鸿篇巨制。
为什么这本书能使作者们激动, 愿意竭诚为之构筑, 又能吸引读者, 使之企足而待呢? 这是由于数学自身的地位和价值, 它在实践中的巨大作用和自身的美。
数学首先是人们生活和生产的工具。马克思非常赞同康德的这样一句话: “一门科学, 只有当它成功地应用数学时, 才算达到了完善的地步。” 事实上, 数学被使用的程度, 往往反映了一个国家、一个民族的科学进步和经济发展水平。很难设想, 在一个低技术的国家, 会产生高深的数学, 而高技术的社会形态, 必有与之相适应的数学水平。毫无疑问, 在科学技术飞速发展的当今世界, 对数学的需求将与日俱增。
其次, 数学又是一种文化形态。古往今来, 人们在数学这块沃土上耕耘, 收获了许多硕果。这些美好的硕果, 本身就是一首首动人的诗篇, 闪耀着智慧的光芒。一般人都会欣赏艺术, 然而, 当一个人只要具有基础的数学知识, 同样可以对一道经典的数学名题和某个优美的解法叹为观止。人们还概括了大量实际模型的抽象数学, 通过形式推演, 以得出系统的理论, 再应用到更广泛的总体上去。数学的这种以简驭繁的本领决定于它的高度概括性。正是由于概括, 数学形成了包含各个学科的优美结构。数学的发展推动了自然结构观的发展, 它有力地带动了其他学科, 大大加速了人类文明史的进程。
数学的作用, 还在于它有着独特的培育人的功能。数学是每个人必须学习的基础学科。从小学到中学, 数学的学时最多, 除了因为数学是一切科学的基础和工具之外, 更因为数学有着独特的思维教育和智力开发的作用。数学的高度抽象、遵从逻辑规则和不断创新的特征, 集中而突出地表现了人类思维的概括性、逻辑性和探索性。所以, 学习数学对人才的培养是一种基本的思维训练, 被称为“思想的体操”。
为了全面地反映古今中外的数学成果、体现数学的多种功能, 本书既兼顾传统数学和现代数学, 又兼顾抽象的基础数学和具体的应用数学。考虑到广大数学教育工作者的需求, 本书还将初等数学和高等数学相对地进行了划分, 并按习惯将某些分支学科集中列卷, 此外还编纂了包含数学史与数学教育等分支学科的专卷, 也系统地介绍了中国的古算。这样编纂的《数学辞海》将会充分地显示数学的工具意义、文化意义和教育意义。愿这部国人自编的《数学辞海》既能为国家经济建设服务, 又能在民族文化建设中起到应有的作用。
《数学辞海》是改革开放的产物, 又将为改革开放服务。人们或许没有想到, 这部巨著竟出自民办的编写组织。编纂者来自大江南北、长城内外、海峡两岸, 在历时 10 余年间, 数百所大专院校、科研机构的千余名专家学者日夜辛劳、自愿奉献, 在《数学辞海》中编织着自己的理想和愿望。社会各界积极赞助, 有识之士慷慨捐赠, 海外同胞亦纷纷来电来函表示支持, 用他们的心意渲染着文化建设的宏图。在这个民办写作团体中, 人们互相信任、 互相支持、互相勉励, 充满了成就事业的认同感、紧迫感。这一写作经验也清楚地说明: 在共同的愿望下, 民办科研也是一条坦途。这是《数学辞海》编写过程中给我们的一个十分有益的启示。
像一切事物一样, 《数学辞海》还不会达到绝对完善的境界。相反, 这部反映浩如烟海的数学知识, 动员了如此巨大力量而编纂的大型著作, 首次面世时, 一定会有许多不足之处, 例如整体结构、条目收集、词义诠释、词类归属等, 都还会有需要进一步推敲、商榷的地方。数学是极为严谨的科学, 《数学辞海》必将在众多专家的严谨尺度之下, 逐版改进。 我们今天为之高兴的是, 将来可能成为传世之作的《数学辞海》已有了良好的雏形, 我们准备将它作为迎接新世纪的礼物, 奉献给关心它、需要它的广大读者。
## 凡 例
## 一、编 排
1. 全书包括数学科学的 100 余个分支学科或专题项目, 按照从初等数学到高等数学, 从古典数学到现代数学, 从理论数学到应用数学的原则, 将整个数学科学划分为 6 卷编辑出版 (参见《数学辞海》六卷本内容划分方案)。
2. 各卷正文均按数学知识的结构体系编排, 同一分支学科 (或同一专题项目) 的条目相对集中, 一般按知识本身的结构、层次、逻辑等关系确定其先后顺序, 而数学史部分, 如数学家、数学名著、数学期刊、数学团体等, 则分别按其出生、出版、创刊、成立的年代先后顺序编排。
3. 各卷目录标题分为三级: 一级标题为一个分支学科或一个知识门类。一级标题之下, 则按知识构成设若干个二级标题。例如，第一卷中的“数学分析”为一级标题，下设六个二级标题——“实数理论”、“变量与函数”、“极限理论”、“微分学”、“积分学” 和 “无穷级数”; 又如, 第六卷中的 “中国数学史” 为一级标题, 下设四个二级标题一 “中国古代数学史”、“中国古代数学著作”、“中国古算名词术语” 和 “中国数学家”。三级标题为具体条目名称。
4. 同一卷中不同分支学科之间的内容有重复时, 其知识主题一般地只在一处设条目; 不同卷中的学科内容有重复时, 其知识主题在各相关部分均设条目, 但在释文内容上各有侧重。
## 二、条 目
1. 条目的标题一般为一个词, 如 “圆”、“群”、“环”、“函数”、“矩阵”、“向量”、“方程” 等, 也有的是一个词组, 如 “勾股定理”、“常微分方程的通解”、“哥德巴赫猜想”、“希尔伯特第 6 问题” 等。
2. 条目设立的条件: 1) 独立的知识主题或已形成的固定概念; 2) 能够应用准确的、人们习惯和易于理解的词标引; 3) 便于读者快速查阅。
3. 条目的分类: 条目按其释文的长短分为五类: 特长条目 (3000 字左右)、长条目 (1000-3000 字)、中条目 (300-1000 字)、短条目 (300 字以内) 和参见条目。
4. 本书所收的数学名词术语, 力求与 “全国自然科学名词审定委员会” 公布的《数学名词》(科学出版社, 1993) 保持一致。外国人名的中文译名, 力求与《中国大百科全书・数学卷》和梁宗巨主编的《数学家传略词典》(山东教育出版社, 1989) 中的译名保持一致。未出现在上述著作中的外国人名的中文译名, 则采用数学界的约定译名或用习惯译法译出的译名。
## 三、释 文
1. 本书条目的释文, 以文字叙述为主, 并采用规范化的现代汉语, 力求科学、准确、简明、通俗, 杜绝教材式语言和口语, 释文开头不再重复条目的标题。
2. 释文开头一般要求破题, 然后给出严格的数学定义, 并尽量阐明该条目内容的历史沿革及其在本分支学科或知识门类中的地位、作用、发展趋势等, 以增强释文的科学性和可读性。
3. 一词多义的释文, 用① ...② ...③ ...分项叙述, 某个条目的释文需由其他条目释文补充说明的, 采用“参见”的方式, 被参见的条目标题需加引号, 条目标题前加“参见”字样, 并置于圆括号之内。
4. 对常见的异名同义词, 只给出一种条目标题的释文, 其余异名条目亦列入正文, 但不再写释文, 给出释文的条目标题加引号, 条目标题前加 “即” 字样。例如: 矢量(vector)即“向量”; 全纯函数(holomorphic function)即“解析函数”; 正则函数 (regular function)即“解析函数”。
5. 每一个条目标题后, 一般在圆括号内标注有对应的英文。凡外国人名(日本人除外)在条目的释文中第一次出现时, 在其中文译名后的圆括号内标注有相应的外文原名的姓和名的首字母, 并用逗号隔开。例如, 欧几里得 (Euclid)、牛顿 (Newton, I. )、高斯 (Gauss, C. F. )。同一外国人名在条目的释文中第二次出现时, 不再标注外文。在日本人名、中国人名、中国古代数学史、中国古代数学著作、中国古算名词术语等条目标题后, 一般在圆括号内标注汉语拼音。
6. 如果条目乙的基本定义已经完全包括在条目甲的释文之中, 那么条目乙只作为 “参见条目” 保留, 所参见的条目标题需加引号, 并在条目标题前加 “见” 字样, 而释文不再重复。例如, 在条目 “线性变换” 的释文中, 已给出 “单位变换”、“恒等变换” 和 “零变换” 的定义, 则上述三个条目就作为 “参见条目” 予以保留, 并分别表示为: 单位变换 (unit transformation) 见 “线性变换”; 恒等变换 (identity transformation) 见 “线性变换”; 零变换(null transformation) 见 “线性变换”。
## 四、索 引
1. 本书每一卷正文之后, 均附有三种索引, 即条目笔画索引、条目音序索引和条目西文索引。索引中条目标题后面的数字, 表示该条目在正文中的页码。
2. 在条目笔画索引中, 以汉字起首的条目标题按第一字的笔画由少到多的顺序排列, 若笔画数相同, 则按 一(横)、 \( \left| \text{(竖)、}\right| \) (撇)、(点)、 \( \rightarrow \) (折)五种笔形顺序排列,其中, \( \angle \) (提)归为一(横), ] (竖钩)归为 | (竖), \\(捺)归为 \\(点), 各种笔形带钩或曲折的笔画(除竖钩“ J”外)归为 \\(折)。 第一字相同的, 则按第二个字的笔画数和起笔笔形的顺序排列, 依次类推。
3. 在条目音序索引中, 以汉字起首的条目标题按第一字的汉语拼音字母顺序排列, 若第一字的声母、韵母相同, 则按声调的阴平、阳平、上声、去声顺序排列。第一字相同的, 则按第二个字的汉语拼音字母顺序排列, 多音字按不同的拼音字母顺序排列, 依此类推。
4. 在条目笔画索引和条目音序索引中, 凡第一字为西文字母、数学符号、罗马数字和阿拉伯数字起首的条目标题, 一律排在两种索引的最后。西文字母起首的条目标题分别按其字母的花体、大写、小写及字母本身的先后顺序排列; 数学符号起首的条目标题按知识结构顺序排列; 数字起首的条目标题按由小到大的顺序排列。若起首的字母、符号及数字相同时, 仍按其后汉字的笔画或音序排列。
5. 在条目西文索引中, 按条目标题的起首西文字母顺序排列; 条目标题的西文缩写, 按一个词排列。凡以数学符号、罗马数字和阿拉伯数字起首的条目标题, 一律排在条目西文索引的最后。数学符号起首的条目标题按知识结构顺序排列; 数字起首的条目标题按由小到大的顺序排列。若条目标题起首的字母、符号、数字相同时, 则按第二个字母等的顺序排列, 余此类推。没有西文译名的条目, 未收进条目西文索引。
6. 在各卷索引之后, 还附有本卷涉及到的中外人名译名对照表, 以供读者查阅。
## 日 录
序 \( 1 - 2 \)
凡例 \( 1 - 2 \)
《数学辞海》六卷本内容划分方案 \( 1 - 1 \)
第三卷条目目录 \( 1 - {57} \)
正文 \( 1 - {652} \)
数学符号表 \( {653} - {699} \)
条目笔画索引 \( {700} - {729} \)
条目音序索引 \( {730} - {759} \)
条目西文索引 \( {760} - {807} \)
中外人名译名对照表 \( {808} - {814} \)
后记 815
## 《数学辞海》六卷本内容划分方案
第一卷一般拓扑学数学代数拓扑学与流形拓扑学算术奇点理论与突变理论初等代数数学符号表平面几何平面三角第三卷立体几何数学球面几何实变函数论平面解析几何复变函数论空间解析几何多复变函数论初等数论测度论高等代数泛函分析高等几何变分法数学分析函数逼近论集合论调和分析形式逻辑流形上的分析布尔代数位势论概率论与统计学初步凸分析数学符号表小波分析
## 第二卷
分形几何数学常微分方程偏微分方程组合学线性与多重线性代数积分方程群及其推广动力系统李群与李代数特殊函数环与代数数学符号表模与同调代数序与格第四卷范畴论与代数 \( K \) 理论数学域论与伽罗瓦理论数学基础数论数理逻辑代数几何计算数学微分几何学概率论凸集几何与距离几何随机过程统计学经济数学生物数学数学物理与理论物理模糊数学数学符号表第五卷数学运筹学系统理论控制理论通信与信息理论画法几何与工程图学计算机科学数理语言学力学天文学测绘学数学符号表第六卷数学
中国数学史
外国数学史
数学符号史
数学团体与研究机构
数学竞赛与数学奖
数学期刊
数学教育
数学哲学
数学名题与猜想
珠算
数学发展史年表
## 第三卷条目目录
说明: 该目录由本卷所属各分支学科或专题项目的全部条目 (包括给出释文的条目及其参见条目) 组成, 按知识结构顺序编排, 即按条目在正文中出现的先后顺序排列.
数学
分析学
## 实 变 函 数 论
分析 - 7
微分方程 - 7
实变函数论. 10
## 欧氏空间中的点集
\( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的点集 10
\( {\mathrm{R}}^{n} \) 中开集的构造 10
实直线上开集的构造. 10
直线开集的构成区间. 10
余区间. 10
点集的距离. 10
波莱尔集. 11
\( {F}_{\sigma } \) 型集
\( {G}_{\delta } \) 型集
康托尔三分集. 11
康托尔集. 11
## 勒贝格测度
勒贝格外测度. 11
勒贝格可测集. 11
勒贝格测度 12
可测集. 12
卡拉西奥多里条件. 12
勒贝格可测集的结构. 12
勒贝格可测集类.
等测包.
等测核.
乘积空间中可测集的截口性质.
勒贝格内测度. 13
全密点. 13
密集点. 13
稀薄点. 13
维塔利覆盖.. 13
.
维塔利覆盖定理. 13
谢尔品斯基依测度覆盖定理. 13
零集. 13
几乎处处. 13
## 连续函数与可测函数
扩充实值函数. 13
沿点集的极限. 13
沿点集的上极限.
沿点集的下极限.
集上的连续函数.
近似极限. 14
近似连续. 14
集上的一致连续函数. 14
一致连续点集. 14
一致孤立点集. 14
紧集上的连续函数. 14
近于连续的函数. 14
函数连续点集的结构. 15
连续函数可微点集的结构. 15
闭集上连续函数的延拓定理. 15
上极限函数. 15
下极限函数. 15
半连续函数. 15
半连续函数隔离定理. 15
集合的特征函数.
集合的示性函数. . '16
简单函数.
勒贝格可测函数. 16
函数的正部. 16
函数的负部. 16
可测函数的几何意义.
几乎处处收敛. 16
依测度收敛. 16
近于一致收敛. 17
几乎一致收敛. 17
勒贝格可测函数的结构. 17
渐近连续 17
卢津定理.. 17
叶戈罗夫定理. 17
勒贝格定理. 17
里斯定理. 17
李特尔伍德三原则. 17
贝尔函数. 17
波莱尔可测函数. 18
## 勒贝格积分
勒贝格积分. 18
勒贝格可积函数.
绝对积分. 19
非绝对积分. 19
勒贝格积分的第一中值定理. 19
勒贝格积分的第二中值定理. 19
博内中值定理. 20
勒贝格积分的分部积分法. 20
勒贝格积分的换元积分法. 20
列维定理. 20
法图引理. 20
勒贝格控制收敛定理. 20
勒贝格有界收敛定理. 20
勒贝格逐项积分定理. 20
积分的等度绝对连续性. 20
积分的一致绝对连续性. 20
维塔利收敛定理.. 21
勒贝格的黎曼可积判别准则. 21
勒贝格积分的几何意义. 21
富比尼定理. 21
托内利定理. 21
平均收敛.. 21
## \( \mathrm{R} \) 中的微分与积分
单调函数. 21
富比尼逐项微分定理. 21
有界变差函数. 22
有限变差函数. 22
全变差. 22
巴拿赫定理. 22
巴拿赫指标函数. 22
若尔当分解定理.
勒贝格分解定理. 22
黑利定理. 22
黑利选择原理. 22
绝对连续函数. 22
半绝对连续函数. 23
勒贝格不定积分. 23
函数的勒贝格点. 23
勒贝格积分的微积分基本定理. 23
|
2000_数学辞海（第3卷） | 2 |
沿点集的极限. 13
沿点集的上极限.
沿点集的下极限.
集上的连续函数.
近似极限. 14
近似连续. 14
集上的一致连续函数. 14
一致连续点集. 14
一致孤立点集. 14
紧集上的连续函数. 14
近于连续的函数. 14
函数连续点集的结构. 15
连续函数可微点集的结构. 15
闭集上连续函数的延拓定理. 15
上极限函数. 15
下极限函数. 15
半连续函数. 15
半连续函数隔离定理. 15
集合的特征函数.
集合的示性函数. . '16
简单函数.
勒贝格可测函数. 16
函数的正部. 16
函数的负部. 16
可测函数的几何意义.
几乎处处收敛. 16
依测度收敛. 16
近于一致收敛. 17
几乎一致收敛. 17
勒贝格可测函数的结构. 17
渐近连续 17
卢津定理.. 17
叶戈罗夫定理. 17
勒贝格定理. 17
里斯定理. 17
李特尔伍德三原则. 17
贝尔函数. 17
波莱尔可测函数. 18
## 勒贝格积分
勒贝格积分. 18
勒贝格可积函数.
绝对积分. 19
非绝对积分. 19
勒贝格积分的第一中值定理. 19
勒贝格积分的第二中值定理. 19
博内中值定理. 20
勒贝格积分的分部积分法. 20
勒贝格积分的换元积分法. 20
列维定理. 20
法图引理. 20
勒贝格控制收敛定理. 20
勒贝格有界收敛定理. 20
勒贝格逐项积分定理. 20
积分的等度绝对连续性. 20
积分的一致绝对连续性. 20
维塔利收敛定理.. 21
勒贝格的黎曼可积判别准则. 21
勒贝格积分的几何意义. 21
富比尼定理. 21
托内利定理. 21
平均收敛.. 21
## \( \mathrm{R} \) 中的微分与积分
单调函数. 21
富比尼逐项微分定理. 21
有界变差函数. 22
有限变差函数. 22
全变差. 22
巴拿赫定理. 22
巴拿赫指标函数. 22
若尔当分解定理.
勒贝格分解定理. 22
黑利定理. 22
黑利选择原理. 22
绝对连续函数. 22
半绝对连续函数. 23
勒贝格不定积分. 23
函数的勒贝格点. 23
勒贝格积分的微积分基本定理. 23
广义原函数. 23
勒贝格-康托尔函数 24
奇异函数. 24
迪尼导数. 24
下导数. 24
上导数. 24
当儒瓦-杨-萨克斯定理 24
勒贝格-斯蒂尔杰斯测度 24
勒贝格-斯蒂尔杰斯可测函数
勒贝格-斯蒂尔杰斯简单函数 24
勒贝格-斯蒂尔杰斯积分
沿点集的导数. 25
近似导数. 25
集上的有界变差函数. 25
广义有界变差函数. 25
集上的绝对连续函数. 25
集上的一般绝对连续函数. 26
集上的狭义绝对连续函数. 26
集上的狭义一般绝对连续函数. 26
狭义当儒瓦可积函数. 26
狭义当儒瓦不定积分. 26
广义当儒瓦可积函数. 26
当儒瓦不定积分. 26
当儒瓦积分. 26
狭义当儒瓦积分 26
佩龙下函数.
佩龙上函数. 26
佩龙积分. 27
瓦尔德下函数. 27
瓦尔德上函数. 27
瓦尔德积分. 27
亨斯托克积分 27
亨斯托克控制收敛定理. 27
亨斯托克积分的微积分基本定理. 28
绝对亨斯托克可积函数. 28
马克仙积分. 28
囿变积分. - 28
囿变原函数. - 28
## 函数空间
函数空间. 28
\( {L}^{2} \) 空间
\( {L}^{2} \) 中的内积 29
弗雷歇定理. 29
\( {L}^{2} \) 中的规范正交系 29
\( {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中函数的傅里叶级数 29
贝塞尔不等式. 29
里斯-费希尔定理 29
帕塞瓦尔等式. 29
\( {L}^{2} \) 中完备的规范正交系 30
\( {L}^{2} \) 中完全的规范正交系 30
司捷克洛夫定理. 30
\( {L}^{p} \) 空间 30
平均连续性. 30
\( {L}^{p} \) 中的强收敛 30
按范数收敛. 31
\( {L}^{p} \) 中的弱收敛 31
\( {L}^{p} \) 中的柯西列 31
柯尔莫哥洛夫定理. 31
里斯表示定理. 31
巴拿赫-萨克斯定理 31
\( {L}^{\infty } \) 空间 31
本性有界函数类. 31
函数空间 \( S\left( E\right) \) 31
函数空间 \( {C}^{k} \)
\( {l}^{p} \) 空间. - 32
\( {l}^{\infty } \) 空间.
洛伦兹空间. 32
奥尔利奇空间. 32
函数的支集. 32
有紧支的函数. 32
局部可积函数. 32
复变函数论
复变函数论. 33
单复变函数论. 34
## 复平面 \( \mathrm{C} \) 的拓扑
复数. 35
实部 35
虚部 35
虚数 35
纯虚数. 35
虚数单位. 35
复数的表示法. 35
复数的代数表示法. 36
复数的坐标表示法. 36
复数的向量表示法. 36
复数的三角表示法. 36
复数的指数表示法. 36
实轴 36
虚轴 \( \cdots \) 36
复平面. 36
欧拉公式.
复数的模.
复数的绝对值.
复数的辐角.
复数的主辐角.
共轭复数. 36
复球面. 36
开平面. 36
无穷远点. 36
扩充复平面. 36
闭平面..
黎曼球面. 36
高斯平面.
球极投影. 36
测地投影. 36
球面距离. 36
幺模数. 36
棣莫弗公式. 37
邻域 37
内点. 37
开集. 37
聚点. 37
导出集. 37
孤立点. 37
闭集. 37
余集. 37
外点. 37
边界点. 37
边界.. 37
可达边界点. 37
有界集. 37
开覆盖. - 37
康托尔定理. 37
有限覆盖定理. 37
海涅-波莱尔定理 37
波尔查诺-外尔斯特拉斯定理
连续曲线.
若尔当弧. 37
若尔当曲线. 38
闭路径. 38
解析曲线. 38
连通集. 38
区域.. 38
闭区域. 38
若尔当定理 38
星形域. 38
单连通区域. 38
多连通区域. 38
## 解析函数
解析函数论. 38
复变函数. 38
解析函数. 38
全纯函数. 38
正则函数. 38
达布中值公式. 38
柯西-黎曼条件 39
\( C - R \) 条件 39
达朗贝尔-欧拉条件 39
解析函数的无穷次可微性. 39
初等复变函数. 39
复变根式函数. 39
复变指数函数. 39
复变一般指数函数. 39
复变幂函数. 39
复变对数函数. 39
复变对数函数的主值.
复变三角函数.
复变反三角函数.
双曲函数. 39
罗曼-梅尼绍夫定理 40
施托尔茨路径. 40
角微商... 40
分式线性变换. 40
线性变换. 40
富克斯变换 40
抛物变换. 40
双曲变换. 40
椭圆变换. 40
斜驶变换. 40
默比乌斯变换. 40
关于圆的对称点.
交比.. 41
非调和比.
线性变换的保对称性. 41
线性变换的保圆周性. 41
线性变换的保交比性. 41
整线性变换 41
平移映射. 41
伸缩与旋转映射. 41
单位圆到单位圆的映射. 41
上半平面到单位圆内的映射. 41
上半平面到上半平面 (下半平面) 的映射. 41
圆束.. 41
椭圆型圆束. 41
抛物型圆束. 41
双曲型圆束. 41
阿波罗尼奥斯圆族. 41
施泰纳圆族.
圆丛. 41
双曲型圆丛. 42
抛物型圆丛. 42
椭圆型圆丛. 42
## 复 积 分
路径. 42
沿路径的积分. 42
一点关于一条闭曲线的指示数. 42
环绕数.. 42
柯西定理.
柯西积分公式. 42
平均值定理. 42
莫雷拉定理. 42
柯西型积分 42
高阶导数的柯西积分公式. 43
解析函数的零点. 43
解析函数的 \( m \) 阶零点 43
解析函数零点的孤立性. 43
留数 43
残数.. 43
留数定理.
残数定理. 43
对数留数. 43
对数残数. 43
辐角原理. 43
鲁歇定理. 44
胡尔维茨定理. 44
## 级数展开
幂级数. 44
收敛圆.
收敛半径.
柯西-阿达马公式 44
泰勒定理. 44
孤立奇点. 44
可去奇点. 44
极点 44
本性奇点. 44
洛朗定理. 44
洛朗展开式. 45
洛朗级数. 45
内部惟一性定理. 45
阿贝尔定理. 45
陶伯定理 45
狄利克雷级数. 45
广义狄利克雷级数. 45
狄利克雷级数的收敛横标. 45
狄利克雷级数收敛半平面.
渐近展式.
渐近级数.
指数级数. 46
## 几何函数论
最大模定理. 46
广义最大模定理. 46
弗拉格曼-林德勒夫定理 46
林德勒夫渐近定理. 46
施瓦兹引理. 47
广义施瓦兹引理.
高斯-吕卡定理
阿达马三圆定理.
哈代凸性定理.. 47
保角变换. 47
解析函数的保域性. 47
共形映射. 47
边界对应定理. 47
伸缩率. 47
旋转角. 47
映射的不动点. 48
反演映射. 48
开映射定理.
黎曼映射定理.
映射半径. 48
克里斯托费尔-施瓦兹公式 4 8
多边形映射. 48
\( n \) 连通区域到平行割线区域的映射 48
\( n \) 连通区域到螺旋割线区域的映射 48
\( n \) 连通区域到圆界区域的映射 . 48
单叶函数论. 49
几何函数论. 49
\( S \) 类.
\( \sum \) 类. 49
面积原理. 49
格朗沃尔面积定理. 49
克贝 \( 1/4 \) 定理. 49
克贝偏差定理. 49
克贝函数的旋转 50
比伯巴赫猜想. 50
罗伯森猜想 50
米林猜想. 50
单叶函数参数表示法 50
勒夫纳微分方程. 50
变分方法 50
格隆斯基不等式. 50
极端点. - 51
支撑点.
素端.. 51
区域的横截线. 51
区域的零链 51
卡拉西奥多里边界. 51
布洛赫定理. 51
布洛赫常数 51
兰道常数. 51
拟共形映射 - 51
拟共形映射存在定理. - 52
莫利偏差定理. - 52
拟共形映射的边值问题. - 52
拟对称函数. - 52
拟圆.
拟共形反射. - 52
## 调和函数
调和函数. - 53
共轭调和函数. - 53
调和函数极值原理. - 53
调和函数的平均值性质. - 53
狄利克雷问题. - 53
第一边值问题.
狄利克雷区域. - 53
诺伊曼问题.
第二边值问题.
哈纳克不等式. 53
哈纳克定理. 53
泊松积分公式. 53
施瓦兹公式. 53
泊松核. 53
调和测度. 53
格林函数. 53
## 整函数与亚纯函数
延森公式. 54
刘维尔定理. - 54
外尔斯特拉斯基本因式. 54
无穷乘积. 54
典范乘积. 54
阿达马因子分解定理. 54
亚纯函数.
超越亚纯函数. 54
部分分式分解. 54
米塔-列夫勒定理 54
外尔斯特拉斯定理. 54
索霍茨基定理.
聚值集.
聚值..
整函数. 55
超越整函数. 55
零点收敛指数. 55
外尔斯特拉斯第一定理. 55
整函数的级. 56
整函数的下级. 56
整函数的格. 56
皮卡定理.. 56
皮卡小定理. 56
皮卡大定理. 56
皮卡例外值. 56
波莱尔定理.
波莱尔例外值.
茹利亚方向.. 57
波莱尔方向. 57
波莱尔-瓦利隆方向 57
兰道定理. 57
肖特基定理. 57
渐近值. 57
渐近路径. 57
亚纯函数值分布理论. 57
奈望林纳理论. - 58
亚纯函数的特征函数
第一基本定理. 58
第二基本定理. - 58
亏值. - 58
亏量. - 58
亏量关系. - 58
亚纯函数的增长级. 58
正规族. 58
全纯函数正规族. - 59
亚纯函数正规族. - 59
正规性定则. - 59
布洛赫猜测. - 59
茹利亚点. - 59
拟正规族.
代数体函数.
亚纯函数分解论. - 59
亚纯函数因式分解. 60
非平凡分解. 60
左因子. 60
右因子. 60
素函数. 60
\( E \) 素函数. 60
左素函数. 60
右素函数. - 60
等价分解. - 60
分解惟一性 - 60
## 黎曼曲面
解析开拓. 60
解析开拓原理. - 60
解析元素. 61
函数元素. 61
直接解析开拓. 61
黎曼-施瓦兹对称原理 61
黎曼-施瓦兹反射原理 61
对称原理的一般形式.
班勒卫定理.
越过弧直接解析开拓. - 61
解析开拓链. 61
互为解析开拓. 61
完全解析函数. 61
整体解析函数. - 61
解析函数的自然边界 61
解析函数的存在域. 61
解析函数的奇点. - 61
解析函数的分支. 61
单值性定理. 62
解析函数的支点. 62
代数支点. 62
对数支点. 62
支点的阶.
超越支点
多值解析函数.
代数函数. 62
阿贝尔积分. 62
椭圆函数. 62
单值化. 62
超椭圆曲面. 62
黎曼曲面.
闭黎曼曲面. 63
开黎曼曲面. 63
单值化定理. 63
共形等价黎曼曲面. 63
黎曼-罗赫定理
黎曼曲面的亏格.
阿贝尔微分
真间断群.
富克斯群. 63
外尔斯特拉斯点. 63
外尔斯特拉斯空隙定理. 63
覆盖曲面. 63
提升.. 64
迹群 64
光滑覆盖曲面. 64
非限覆盖曲面. 64
万有覆盖曲面. 64
自守函数. 64
基本区域.
等价点..
基本函数.
模函数. 64
泰希米勒空间. 64
泰希米勒度量. 65
全纯二次微分. 65
自然参数. 65
泰希米勒形变. 66 模群 66
布拉施克乘积. 66
哈代空间. - 66
非切向极限值. 67
内函数. 67
外函数. - 67
插值序列 67
有界平均振动解析函数. - 67
有界平均振动函数. 67
卡尔松测度. 67
日冕问题.
伯格曼空间. 67
\( {L}_{a}^{2} \) 函数的再生核 67
伯格曼投影. 68
布洛赫空间. 68
布洛赫函数. - 68
小布洛赫空间. 68
## 广义解析函数与边值问题
解析函数边值问题.
柯西主值积分 68
柯西型积分. 69
柯西核. 69
普莱姆利公式. 69
索霍茨基公式. 69
黎曼边值问题. 69
连结问题. 69
希尔伯特边值问题. 69
黎曼-希尔伯特边值问题 69
广义解析函数. 69
第一类准解析函数. - 70
第二类准解析函数. 70
广义柯西公式.
广义柯西型积分
广义解析函数的基本核. - 71
广义幂级数. - 71
广义解析函数序列的凝聚原理. - 71
广义解析函数零点的孤立性. - 71
广义解析函数的黎曼边值问题. 71
广义解析函数的黎曼-希尔伯特边值问题 71
广义解析函数的保持区域定理. - 71
广义解析函数的黎曼映射定理. 71
## 复变函数的应用
复势.. 72
复速度. - 72
科洛索夫函数. - 72
茹科夫斯基变换 - 72
恰普雷金升力公式. - 72
## 解析函数空间
## 多复变函数论
多复变函数论. 73
复欧几里得空间. 73
复射影空间. 74
\( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域 74
\( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的有界域 74
\( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的无界域 74
\( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的多圆柱 74
\( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的单位多圆柱 74
圆型域.. 74
莱因哈特域. 74
\( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的星形域 74
多复变全纯函数
多复变解析函数.
哈托格斯定理.
全纯映射. 75
全纯映射的导数. 75
全纯映射的雅可比矩阵. 75
双全纯映射. 75
全纯同构映射. 75
域的全纯同构. 75
嘉当惟一性定理. 75
域的全纯等价. 75
域的全纯自同构. 76
域的全纯自同构群. 76
域的迷向子群. 76
\( {\mathrm{C}}^{n} \) 中域的边界 76
域的希洛夫边界. 76
齐性域.. 76
齐性有界域. 76
西格尔域.
第一类西格尔域
第二类西格尔域. 77
齐性西格尔域. 77
对称埃尔米特流形. 77
对称有界域. 77
典型域 77
第一类典型域. 77
第二类典型域. 77
第三类典型域. 77
第四类典型域. 77
李球 77
第五类例外典型域. 77
第六类例外典型域. 78
哈托格斯现象. 78
全纯域. - 78
全纯凸包. 78
全纯凸域. 78
嘉当-苏伦定理 78
\( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的龙格域 78
龙格型定理. 78
拟凸域. 78
域的局部定义函数. 79
域的定义函数. 79
强拟凸域. 79
\( \bar{\partial } \) 算子 79
\( \bar{\partial } \) 问题 79
多重次调和函数. 79
多重次调和穷竭函数. - 79
列维问题. - 79
多复变函数的积分表示: - 80
柯西-赛格积分表示 - 80
博赫纳-马蒂里尼积分表示公式 80
柯西-凡塔皮耶积分表示 80
勒雷积分表示公式. 81
复流形. 81
复流形上的函数. - 81
复流形上的全纯函数. - 81
复流形上的全纯映射. - 81
复流形的全纯同构.
复流形的全纯等价. - 82
复流形上的共变张量场.
复流形上的外微分形式. - 82
复流形上的埃尔米特度量. - 82
埃尔米特流形 - 82
克勒流形. - 82
施坦流形. 82
伯格曼核函数. - 82
伯格曼度量方阵. 83
伯格曼度量. - 83
伯格曼流形. - 83
不变调和函数. 83
卡拉西奥多里度量. - 83
卡拉西奥多里伪距. 83
柯巴雅西伪距. - 84
柯巴雅西-罗伊登度量 - 84
泊松积分. - 84
泊松核函数. - 84
多复变函数的 \( {H}^{p} \) 空间 - 84
多复变数奈望林纳函数类. - 84
多复变数斯米尔诺夫函数类. 85
多复变数布洛赫函数. 85
多复变数 BMOA 函数 85
多复变数极大函数. 85
多复变数内函数. 85
## 测 度 论
多复变数亚纯函数. - 85
库辛第一问题. - 86
库辛第二问题. - 86
多复变数自守函数. - 86
多复变数自守函数的基本域. - 86
测度论. 87
抽象测度论. 88
抽象积分论. - 88
## 集 类
环.. 88
半环. 88
\( \sigma \) 环. 88
代数. 88
域.. 88
\( \sigma \) 代数 88
\( \sigma \) 域. 88
完全加法类. 88
可列加法类. 88
\( \sigma \) 加法类。 - 88
集类生成的环. - 88
集类生成的 \( \sigma \) 环. 88
集类生成的代数. 88
集类生成的 \( \sigma \) 代数.
波莱尔集类.
广义波莱尔集类.
单调类.
\( \pi \) 类. 89
\( \lambda \) 类 89
## 测度和积分
集函数. 89
区间函数. 89
扩充实值集函数.. 89
可列可加集函数. 89
完全可加集函数. 89
可数可加集函数. 89
有限可加集函数. 89
测度.. 89
抽象测度.
有限测度.
\( \sigma \) 有限测度
外测度.
度量外测度. 90
卡拉西奥多里外测度. - 90
\( {\mu }^{ * } \) 可测集 - 90
卡拉西奥多里条件. 90
构造外测度的方法. - 90
测度延拓的惟一性. - 90
卡拉西奥多里-哈恩延拓定理
可测空间. . 90
勒贝格可测空间.
可测集. - 90
波莱尔可测空间. - 90
拓扑可测空间. 90
测度空间. - 90
勒贝格测度空间. - 91
勒贝格-斯蒂尔杰斯测度空间 - 91
波莱尔测度空间. - 91
有限测度空间. - 91
\( \sigma \) 有限测度空间 - 91
测度的支集. 9 1
正测度. - 91
测度环. - 91
测度代数. 91
有限测度环. 9 1
\( \sigma \) 有限测度环 91
有限测度代数. 9 1
\( \sigma \) 有限测度代数 - 91
同构测度环. 9 1
连带的测度环. - 91
同构测度空间. - 91
概率测度. - 91
概率空间. - 91
\( \delta \) 测度. - 91
狄喇克测度 9 91
计数测度. 9 1
离散测度. 9 1
\( \mu \) 零集.
\( \mu \) 零测度集 - 92
完备测度.
完全测度. 92
完备测度空间 92
测度完备化. - 92
9
测度完全化. 92
有限可加测度. 92
测度问题. 92
原子测度. 92
非原子测度. 92
非原子测度空间. 92
简单函数. 92
可测函数. 93
几乎处处. 93
复值可测函数. 93
抽象积分. 93
一致可积. 93
积分一致绝对连续. - 93
积分一致有界. 9.93
可测映射. - 93
可测变换. - 94
保测映射. - 94
保持测度的映射.
广义测度.
带符号测度.
广义测度空间
有限广义测度空间.
\( \sigma \) 有限广义测度
\( \sigma \) 有限广义测度空间
广义测度的正集. 94
广义测度的负集. 94
哈恩分解. 94
广义测度的正变差. 94
广义测度的负变差. 95
广义测度的全变差. 95
广义测度的若尔当分解. 95
广义测度的强绝对连续性. 95
广义测度的绝对连续性. 95
测度的等价. 95
相互奇异的广义测度. 95
勒贝格分解定理. 95
拉东-尼科迪姆定理 95
测度的相对导数. 96
拉东-尼科迪姆导数 96
关于广义测度的积分 96
复测度. 96
复测度的极分解. 96
复值可测函数的积分. 96
可测空间 |
2000_数学辞海（第3卷） | 3 | - 90
波莱尔可测空间. - 90
拓扑可测空间. 90
测度空间. - 90
勒贝格测度空间. - 91
勒贝格-斯蒂尔杰斯测度空间 - 91
波莱尔测度空间. - 91
有限测度空间. - 91
\( \sigma \) 有限测度空间 - 91
测度的支集. 9 1
正测度. - 91
测度环. - 91
测度代数. 91
有限测度环. 9 1
\( \sigma \) 有限测度环 91
有限测度代数. 9 1
\( \sigma \) 有限测度代数 - 91
同构测度环. 9 1
连带的测度环. - 91
同构测度空间. - 91
概率测度. - 91
概率空间. - 91
\( \delta \) 测度. - 91
狄喇克测度 9 91
计数测度. 9 1
离散测度. 9 1
\( \mu \) 零集.
\( \mu \) 零测度集 - 92
完备测度.
完全测度. 92
完备测度空间 92
测度完备化. - 92
9
测度完全化. 92
有限可加测度. 92
测度问题. 92
原子测度. 92
非原子测度. 92
非原子测度空间. 92
简单函数. 92
可测函数. 93
几乎处处. 93
复值可测函数. 93
抽象积分. 93
一致可积. 93
积分一致绝对连续. - 93
积分一致有界. 9.93
可测映射. - 93
可测变换. - 94
保测映射. - 94
保持测度的映射.
广义测度.
带符号测度.
广义测度空间
有限广义测度空间.
\( \sigma \) 有限广义测度
\( \sigma \) 有限广义测度空间
广义测度的正集. 94
广义测度的负集. 94
哈恩分解. 94
广义测度的正变差. 94
广义测度的负变差. 95
广义测度的全变差. 95
广义测度的若尔当分解. 95
广义测度的强绝对连续性. 95
广义测度的绝对连续性. 95
测度的等价. 95
相互奇异的广义测度. 95
勒贝格分解定理. 95
拉东-尼科迪姆定理 95
测度的相对导数. 96
拉东-尼科迪姆导数 96
关于广义测度的积分 96
复测度. 96
复测度的极分解. 96
复值可测函数的积分. 96
可测空间的乘积. 96
乘积 \( \sigma \) 代数. 96
可测矩形. 96
测度空间的乘积.
乘积测度. - 97
维塔利-哈恩-萨克斯定理 - 97
丹尼尔积分 - 97
丹尼尔表示定理. - 97
拓扑空间上的波莱尔集类. 9
波莱尔集. 97
拓扑空间上的波莱尔测度. - 97
波莱尔可测函数. 97
波莱尔函数. 97
正则测度. 97
外正则测度. . 98
内正则测度. - 98
正则波莱尔测度. - 98
卢津定理. - 98
贝尔集类.
贝尔集...
拓扑空间上的贝尔测度.
贝尔可测函数.
贝尔函数. - 98
拉东测度. 98
测度的弱收敛. 9
不变测度. - 98
左不变测度. - 98
右不变测度 98
哈尔测度. 9 98
哈尔定理. 99
可测群. 99
可分的可测群. 99
韦伊测度. 99
相对不变测度. 99
拟不变测度. 99
泛函积分. 99
维纳测度. - 99
维纳积分. 99
柱测度..
正定函数
正定函数的表示 100
## 向量值测度和积分
向量值函数 100
可数值函数 100
强可测向量值函数 100
弱可测向量值函数 100
可分值的向量值函数 100
几乎可分值的向量值函数 100
佩蒂斯可测性定理 100
向量值函数的积分 - 101
---
博赫纳积分 101
伯克霍夫积分 101
盖尔范德积分 101
佩蒂斯积分 101
向量值测度 102
算子值测度 102
有界变差的向量值测度 102
半有界变差的向量值测度 102
向量值测度的绝对连续性 102
拉东-尼科迪姆性质. 102
具有里斯表示的算子 103
向量值测度的尼科迪姆有界性定理 103
向量值测度的一致可列可加性 103
向量值测度的维塔利-哈恩-萨克斯定理 103 几何测度论
几何测度论 103
---
豪斯多夫测度 104
豪斯多夫维数 104
可求积集 104
内积空间的共轭映射 104
余向量 104
正交内射 104
正交投影
积分几何测度 104
面积公式 105
密度 105
广义高斯-格林公式 105
整流 105
可求积流 106
整平坦流 106
弱可微函数
## 泛函分析
泛函分析 107
## 拓扑线性空间
线性空间 107
向量空间 108
线性子空间 108
线性空间的商空间
线性表示 108
线性组合
子集张成的线性子空间 108
线性包 108
线性无关集 108
线性无关的子空间 108
线性空间的基 108
哈默尔基 108
线性空间的维数 108
有限维线性空间 108
无限维线性空间 108
线性子空间的余维数 108
线性空间中的超平面 108
线性空间的直接和 108
线性子空间的补子空间 109
线性空间的乘积空间 109
线性空间的线性同构 109
线性同态 109
度量空间 109
距离空间 109
度量子空间 109
商度量空间 109
距离 109
拟距离 109
可分度量空间 109
可析度量空间 109
按度量收敛 109
完备度量空间 109
度量空间的完备化空间 110
基本点列 110
柯西点列 110
等距映射
等距同构
闭球套定理 110
疏朗集 110
无处稠密集 110
第一范畴集 110
第二范畴集 110
第一纲集 110
第二纲集 110
贝尔纲定理 110
列紧集 110
完全有界集 110
\( \varepsilon \) 网 110
紧致集 110
吸收集 110
凸集 - 110
线性空间中的线段
凸包 110
凸壳 111
均衡集 111
平衡集 111
均衡凸集 111
绝对凸集 111
均衡凸包 111
拓扑线性空间 111
线性拓扑空间 111
拓扑向量空间 111
线性拓扑 111
向量拓扑 111
线性同胚 111
线性同胚映射 111
线性拓扑同构 111
凸体 111
有界集 111
完备的拓扑线性空间 111
序列完备的拓扑线性空间 111
有界完备的拓扑线性空间 111
拟完备的拓扑线性空间 111
度量线性空间 111
线性距离空间 111
平移不变距离 111
均衡平移不变距离
可度量化的拓扑线性空间 112
局部有界空间 112
次可加泛函 112
闵科夫斯基泛函 112
拓扑线性空间的泛函延拓定理 112
对偶空间 112
局部凸空间 112
不交凸集的分隔性定理 112
端点定理 113
克列因-米尔曼端点定理 113
端点 113
范数拓扑 113
可赋范拓扑线性空间 113
赋可列半范线性空间 113
赋可列范线性空间 113
线性空间的对偶 113
自然对偶 113
弱拓扑 113
弱 * 拓扑 113
弱收敛 113
舒尔空间 113
格罗腾迪克-巴拿赫空间. 113
巴拿赫-阿劳格鲁定理 - 114
弱 * 收敛 - 114
强拓扑 114
强收敛 114
魁特序列空间 114
弱算子拓扑 - 114
强算子拓扑 - 114
强基本定向列 114
弱基本定向列 114
弱 * 基本定向列 - 114
弱序列完备 115
弱 * 序列完备 115
弱有界集 115
弱 * 列紧 115
弱列紧 - 115
强列紧 - 115
马祖尔空间 115
囿集 115
囿空间 - 115
有界型空间
桶型空间 - 115
桶集 115
几乎开线性映射 115
拟桶型空间 115
拟桶集 - 115
可允许拓扑 115
可允许集族 115
相容拓扑 115
麦基空间 2115
麦基拓扑 116
对偶不变性 116
极 116
双极定理 116
极拓扑 116
自反局部凸空间 - 116
半自反局部凸空间 116
蒙泰尔空间 116
核映射 116
核型空间 - 116
归纳极限 - 116
严格归纳极限 - 116
严格归纳局部凸拓扑 117
投影拓扑 117
投影极限 117
赋范线性空间 117
## 巴拿赫空间与希尔伯特空间
范数 117
巴拿赫空间 117
半范数 117
准范数 117
赋准范线性空间 117
拟范数 117
弗雷歇空间 117
保范同构
保范映射
等距同构
等距映射 118
万有空间 118
等价范数 118
闭线性子空间 118
商赋范线性空间 118
赋范线性空间的直和 118
赋范线性空间的共轭空间 118
赋范线性空间的伴随空间 118
赋范线性空间的对偶空间 118
哈恩-巴拿赫延拓定理 118
线性泛函延拓定理 118
扩张性质 119
巴拿赫极限 119
广义极限 119
里斯引理 119
巴拿赫空间的同胚问题 119
一致同胚 119
李普希茨同胚 119
巴拿赫-马祖尔距离. 119
正规结构 119
自反的赋范线性空间 119
詹姆斯空间 120
次自反空间 120
弱紧生成空间 120
超自反巴拿赫空间 120
一致凸赋范线性空间
严格凸赋范线性空间
平性凸赋范线性空间
巴拿赫-萨克斯性质. 120
弱巴拿赫-萨克斯性质 121
光滑巴拿赫空间 121
绍德尔基 121
可数基 121
对偶向量族 121
双正交系 121
巴拿赫空间中的级数 121
级数的收敛 121
级数的绝对收敛 121
级数的无条件收敛 121
基的等价性 121
无条件基 122
条件基 122
逼近问题 122
逼近性质 122
埃伯莱因-斯穆良定理 122
德窖特茨基-罗杰斯定理
内积空间 - 122
希尔伯特空间 - 122
希尔伯特空间的共轭空间 123
施瓦兹不等式 123
正交 123
直交 123
直交补 123
正交补 123
正交投影 123
直交投影 123
规范正交系 123
直交系 123
正交系 123
正规正交系 123
就范正交系 123
贝塞尔不等式 123
里斯-菲舍尔定理 123
完全正交系 123
完备正交系 123
帕塞瓦尔等式 124
正交和 124
直交和 124
正交化 124
格拉姆-施密特正交化过程 124
内积空间的等距同构 124
规范正交基 124
正规正交基 124
可补空间
希尔伯特空间的维数 124
半双线性泛函 124
埃尔米特双线性泛函 124
对称双线性泛函 125
二次泛函 125
极化恒等式 125
不定度规空间 125
不定内积空间 125
正性向量 125
负性向量 125
迷向向量 125
13
零性向量 125
正性子空间 125
负性子空间 125
零性子空间 125
半负子空间 125
半正子空间 125
非退化子空间 125
庞特里亚金空间 125
克列因空间 125
庞特里亚金空间的正则分解 125
## 广义函数
广义函数 125
分布 126
狄喇克 \( \delta \) 函数 126
狄喇克分布 126
基本函数空间 \( K \) 126
广义函数空间 \( {K}^{\prime } \) 127
正则广义函数 127
局部可积函数 127
\( \delta \) 式函数列 127
广义函数的导数 127
广义函数的原函数 127
广义函数的不定积分 127
广义函数的支集 127
有限阶广义函数 127
基本函数的傅里叶变换
基本函数空间 \( Z \)
广义函数空间 \( {Z}^{\prime } \)
广义函数与函数的乘积 128
广义函数的直积 128
广义函数的张量积 128
广义函数的卷积 128
广义函数的傅里叶变换 128
基本函数空间 \( \mathcal{S} \) 129
广义函数空间 \( {\mathcal{S}}^{\prime } \) 129
## 有序线性空间
有序线性空间 129
半序线性空间 129
里斯空间 129
格序空间
向量格
序有界
正元 130
正锥 130
阿基米德单位 130
序收敛 130
序极限 130
阿基米德向量格 130
序完备向量格 130
\( \sigma \) 完备向量格 130
\( K \) 空间 130
巴拿赫格 130
抽象空间 \( {L}^{p}\left( {1 \leq p \leq + \infty }\right) \) 131
对偶格 131
序有界线性算子
正线性算子
拓扑里斯空间 131
局部序凸空间 131
## 线性算子
算子理论 131
线性算子 132
线性泛函 132
线性映射 132
可加算子 132
齐次算子 132
单射线性算子 132
内射线性算子
满射线性算子 - 132
双射线性算子 132
恒等算子 132
线性算子的初等运算 132
逆算子 132
有界线性算子 132
无界线性算子 132
有界线性泛函 132
线性算子的零空间 - 132
线性算子的核 132
有界线性算子的范数 132
有界线性泛函的范数 133
有界线性算子空间 133
可逆线性算子 133
正则线性算子 133
闭线性算子 133
线性映射的图象 133
稠定闭线性算子 133
稠定线性算子 - 133
共轭线性算子
伴随线性算子
对偶线性算子 - 133
共鸣定理 133
一致有界性原理 134
巴拿赫-施坦豪斯定理 134
奇异性凝聚原理 134
开映射定理 134
开映照定理 134
开映像定理 134
巴拿赫逆算子定理 134
闭图象定理 134
线性算子的闭值域定理 134
算子值域 134
线性算子的闭扩张
线性算子的闭延拓
线性算子的最小闭扩张
稠定线性算子的闭扩张 134
特征值 135
特征向量 135
本征值 135
本征向量 135
特征子空间 135
特征值的重复度 135
正则集 135
预解集 135
谱集 135
谱. 135
点谱 135
近似点谱 135
连续谱 135
剩余谱 135
预解算子 135
预解方程 135
谱半径 135
相似线性算子 135
拟相似线性算子 135
幂等算子 135
投影算子 135
幂零算子 135
拟幂零算子 136
广义幂零算子 136
代数算子
有限秩算子
紧算子
全连续算子
多项式紧算子 136
里斯-绍德尔理论 136
施凯特 \( p \) 类算子 136
迹类算子 137
希尔伯特-施密特算子 137
希尔伯特-施密特范数 137
迹范数 137
弗雷德霍姆算子 137
不变子空间 137
不变子空间格 137
算子的换位 137
超不变子空间 137
循环子空间 137
谱极大子空间 137
可分解算子 137
线性算子的单值扩张性 138
局部谱
局部预解集 138
谱算子
纯量算子 138
线性算子扰动理论 138
算子演算 138
谱映射定理 139
导算子 139
广义导算子 139
初等算子 139
正交投影算子 139
直交投影算子 139
投影算子 139
射影算子 139
约化子空间 139
线性算子的正交和 139
谱测度 139
单位分解 139
谱测度空间 139
谱积分 139
弱谱积分 140
一致谱积分 140
谱测度的支集 140
谱系 140
等距算子 140
部分等距算子 140
酉算子 140
酉算子的谱分解
酉算子的谱表示 - 141
酉等价
收缩算子 1 441
压缩算子 141
酉膨胀 - 141
自伴算子 141
自共轭算子 2141
自伴算子的谱分解 141
自伴算子的谱表示 141
对称算子 141
埃尔米特算子 141
15
凯莱变换 141
对称算子的自伴扩张 142
亏指数 142
亏子空间 142
半有界算子 142
上半有界算子 142
下半有界算子 142
正定算子 142
负定算子 142
本质自伴算子 142
正算子 142
线性算子的极分解 142
极大极分解 142
线性算子的直角分解 142
正规算子 142
正常算子 142
正规算子的谱分解 142
正规算子的谱表示
普特兰姆-富格里德定理
拟正规算子 143
拟正常算子 143
次正规算子 143
次正常算子 143
正规扩张 143
最小正规扩张 143
亚正规算子 143
亚正常算子 143
移位算子 143
单侧移位算子 143
双侧移位算子 143
平移算子 143
加权移位算子 143
洛朗算子 144
洛朗矩阵 144
特普利茨算子 144
特普利茨矩阵 144
解析特普利茨算子 144
线性算子的交换子线性算子的自交换子
## 算子半群
算子半群 144
\( {C}_{0} \) 类算子半群 144
\( {C}_{0} \) 类等度连续算子半群 144
算子半群的无穷小生成元 144
巴拿赫空间上的算子半群 145
算子半群的指标 145
算子半群的拉普拉斯变换 145
希尔-吉田耕作定理 145
算子半群的近似式 145
算子群 145
\( {C}_{0} \) 类算子群 146
压缩算子半群 146
半内积 146
耗散算子 146
解析算子半群 146
紧算子半群 146
可微算子半群 146
酉算子群 146
酉算子群的斯通定理 146
对偶半群 146
抽象柯西问题 146
## 算子代数
巴拿赫代数 147
\( B \) 代数 - 147
赋范代数 147
赋范环 147
拟逆元 147
拟可逆元 147
正则元 147
谱半径 147
广义幂零元 147
拓扑幂零元 147
巴拿赫代数的根 147
半单的巴拿赫代数 - 147
巴拿赫代数的表示 - 147
不可约表示
拓扑不可约表示 147
交换巴拿赫代数 - 147
维纳代数 147
函数代数 148
一致代数 148
极大代数 148
圆盘代数 148
可乘线性泛函 148
极大理想 148
交换巴拿赫代数的表示 148
盖尔范德表示 148
巴拿赫 * 代数 1,148
\( {B}^{ * } \) 代数. 148
对合运算 148
* 表示 148
对称巴拿赫代数 148
\( {C}^{ * } \) 代数 148
\( {C}^{ * } \) 范数. 148
\( {C}^{ * } \) 半范数 149
包络 \( {C}^{ * } \) 代数 149
核 \( {C}^{ * } \) 代数 149
内射 \( {C}^{ * } \) 代数
简单 \( {C}^{ * } \) 代数 - 149
一致超有限代数 149
UHF 代数. 149
\( \mathrm{{AF}} \) 代数 149
CCR 代数 149
GCR 代数 149
本原 \( {C}^{ * } \) 代数 149
本原理想 149
素 \( {C}^{ * } \) 代数 149
\( {C}^{ * } \) 代数的素理想 149
特普利茨代数 149
交换 \( {C}^{ * } \) 代数的表示 149
正线性泛函 149
\( {C}^{ * } \) 代数中的正元 150
态 150
纯态 150
\( {C}^{ * } \) 代数上正线性映射
\( n \) 正线性映射 150
完全正线性映射 150
\( n \) 正线性泛函 150
完全正线性泛函 150
迹正线性泛函 150
\( {C}^{ * } \) 代数的表示 150
\( {C}^{ * } \) 代数的忠实表示 150
\( {C}^{ * } \) 代数的循环表示 150
GNS 构造 150
自伴算子代数 150
冯·诺伊曼代数 150
弱闭对称算子环 151
\( {W}^{ * } \) 代数 151
卡尔金代数 151
本质谱 151
极大交换自伴代数 151
超有限代数
二次换位定理 151
卡普兰斯基稠密性定理 151
迹 151
有限迹 151
半有限迹 151
正规迹 151
冯·诺伊曼代数的分类 151
纯无限冯·诺伊曼代数 151
半有限冯·诺伊曼代数 151
有限冯·诺伊曼代数 151
冯·诺伊曼代数的中心 151
I 型冯·诺伊曼代数 - 151
\( \mathbb{I} \) 型冯・诺伊曼代数 151
\( \mathbb{I} \) 型冯・诺伊曼代数 151
阿贝尔投影 151
冯·诺伊曼代数的分解
因子 - 152
\( {\mathrm{I}}_{n} \) 型因子 152
\( {\mathbb{I}}_{1} \) 型因子 152
\( {\mathbb{I}}_{\infty } \) 型因子 152
III 型因子 152
等价的投影 152
投影的比较 152
有限投影 152
半有限投影 152
纯无限投影 152
无限投影 152
相对维数函数 152
三角算子代数 152
套代数 152
自反算子代数 153
拓扑代数 - 153
局部凸拓扑代数 - 153
局部有界拓扑代数
局部 \( m \) 凸拓扑代数 153
## 非线性算子
非线性算子 153
非线性映射 153
映射的连续性 153
连续映射 153
弱连续映射 153
次连续映射 153
强连续映射 153
映射的依序列连续性 153
有限连续映射 154
有限 \( n \) 连续映射
半连续映射 154
一致连续映射 154
李普希茨连续映射 154
李普希茨常数 154
李普希茨条件 154
局部李普希茨连续映射 154
有界映射 154
17
局部有界映射 154
加托微分 154
\( G \) 微分 155
弱微分 155
加托导算子 155
加托可微 155
\( G \) 可微 155
有界线性弱微分 155
弗雷歇微分 155
\( F \) 微分 155
强微分 155
弗雷歇导算子 155
弗雷歇可微 155
\( F \) 可微 155
严格可微 155
渐近导算子 155
偏导算子 155
\( n \) 线性算子
对称的 \( n \) 线性算子
\( n \) 线性型
有界 \( n \) 线性算子 155
高阶加托微分 155 |
2000_数学辞海（第3卷） | 4 | 151
半有限迹 151
正规迹 151
冯·诺伊曼代数的分类 151
纯无限冯·诺伊曼代数 151
半有限冯·诺伊曼代数 151
有限冯·诺伊曼代数 151
冯·诺伊曼代数的中心 151
I 型冯·诺伊曼代数 - 151
\( \mathbb{I} \) 型冯・诺伊曼代数 151
\( \mathbb{I} \) 型冯・诺伊曼代数 151
阿贝尔投影 151
冯·诺伊曼代数的分解
因子 - 152
\( {\mathrm{I}}_{n} \) 型因子 152
\( {\mathbb{I}}_{1} \) 型因子 152
\( {\mathbb{I}}_{\infty } \) 型因子 152
III 型因子 152
等价的投影 152
投影的比较 152
有限投影 152
半有限投影 152
纯无限投影 152
无限投影 152
相对维数函数 152
三角算子代数 152
套代数 152
自反算子代数 153
拓扑代数 - 153
局部凸拓扑代数 - 153
局部有界拓扑代数
局部 \( m \) 凸拓扑代数 153
## 非线性算子
非线性算子 153
非线性映射 153
映射的连续性 153
连续映射 153
弱连续映射 153
次连续映射 153
强连续映射 153
映射的依序列连续性 153
有限连续映射 154
有限 \( n \) 连续映射
半连续映射 154
一致连续映射 154
李普希茨连续映射 154
李普希茨常数 154
李普希茨条件 154
局部李普希茨连续映射 154
有界映射 154
17
局部有界映射 154
加托微分 154
\( G \) 微分 155
弱微分 155
加托导算子 155
加托可微 155
\( G \) 可微 155
有界线性弱微分 155
弗雷歇微分 155
\( F \) 微分 155
强微分 155
弗雷歇导算子 155
弗雷歇可微 155
\( F \) 可微 155
严格可微 155
渐近导算子 155
偏导算子 155
\( n \) 线性算子
对称的 \( n \) 线性算子
\( n \) 线性型
有界 \( n \) 线性算子 155
高阶加托微分 155
高阶弱微分 156
高阶 \( G \) 微分 156
高阶加托导算子 156
高阶 \( G \) 导算子 156
高阶弱导算子 156
高阶弗雷歇微分 156
高阶强微分 156
高阶 \( F \) 微分 156
高阶微分 156
高阶弗雷歇导算子 156
高阶强导算子 156
高阶 \( F \) 导算子 156
高阶导算子 156
\( {C}^{r} \) 映射。 156
加托幂级数 156
\( G \) 幂级数 156
弗雷歇幂级数 157
\( F \) 幂级数 157
加托全纯映射 157
\( G \) 全纯映射 157
弗雷歇解析映射 157
\( F \) 解析映射 157
加托-泰勒公式 157
弗雷歇-泰勒公式
反函数定理
隐函数定理 157
非线性特征值 157
非线性本征值 157
非线性特征向量 157
非线性特征元 157
分歧理论 157
分歧点 158
歧点 - 158
分叉点 158
分歧解 158
李亚普诺夫-施密特过程 158
分歧方程 158
巴拿赫流形 158
巴拿赫流形上的 \( {C}^{r} \) 映射. 158
巴拿赫流形的切向量 158
巴拿赫流形的切空间 158
巴拿赫向量丛 159
巴拿赫流形的切丛 159
巴拿赫流形的余切丛
巴拿赫流形的余切向量 159
巴拿赫流形的余切空间
切映射 159
导算子 159
局部浸入 159
核裂 159
值裂 159
双裂 159
局部浸盖 159
嵌入 159
正则嵌入 159
映射的正则点 159
映射的奇异点 160
映射的临界点 160
映射的正则值 160
映射的奇异值 160
映射的临界值 160
巴拿赫流形的子流形 160
正则子流形 160
横截性 160
萨德-斯梅尔定理 160
弗雷德霍姆映射 160
切向量场 160
向量场 160
余切向量场 160
向量场的积分曲线 160
向量场产生的流
芬斯勒结构 - 160
巴拿赫-芬斯勒流形
芬斯勒度量 - 161
完备的巴拿赫-芬斯勒流形 161
希尔伯特流形 161
希尔伯特-黎曼流形 161
黎曼度量 161
完备的希尔伯特-黎曼流形 161
紧连续映射 161
紧连续向量场 161
全连续映射 161
全连续向量场 161
固有映射 161
压缩映射 161
压缩向量场
非扩张映射 162
严格非扩张映射
扩张映射 162
非紧性测度 162
集压缩映射 162
集压缩向量场 162
凝聚映射 162
凝聚向量场 162
局部集压缩映射 162
局部凝聚映射 162
映射的基本集 162
紧支撑映射 162
紧支撑向量场 163
终归紧映射 163
终归紧向量场 163
极限紧映射 163
极限紧向量场 163
锥映射 163
正算子 163
增算子 163
减算子 163
\( {u}_{0} \) 凹算子 163
\( {u}_{0} \) 凸算子 163
弱内向映射 163
单调映射 163
严格单调映射 163
强单调映射.
极大单调映射 163
( \( S \) ) 型映射
\( {\left( S\right) }_{ + } \) 型映射 164
伪单调映射 164
(M) 型映射 164
增生映射 164
极大增生映射 164
逼近格式 164
逼近固有映射 164
梯度映射 165
集值映射 165
多值映射 165
上半连续集值映射 - 165
下半连续集值映射 165
连续集值映射 165
\( \varepsilon \) 上半连续集值映射 165
\( \varepsilon \) 下半连续集值映射 165
\( \varepsilon \) 连续集值映射 165
豪斯多夫距离 165
集值映射的单值选择
集值映射的单值逼近
可测集值映射
集值映射的积分
博赫纳积分 167
佩蒂斯积分 167
集值压缩映射 167
集值非扩张映射 167
集值紧映射 167
集值全连续映射 167
集值集压缩映射 167
集值凝聚映射 167
集值向量场 167
集值锥映射 167
集值逼近固有映射 167
集值单调映射 167
集值极大单调映射 167
集值 \( \left( S\right) \) 型映射 168
集值 \( {\left( S\right) }_{ + } \) 型映射 168
集值伪单调映射 168
集值 \( \left( M\right) \) 型映射 168
对偶映射 168
集值增生映射 168
单调型映射的满值性定理 168
非光滑分析 168
概率度量空间 169
三角范数 169
门杰空间 169
瓦尔德空间
概率度量空间中的收敛序列
概率度量空间中的柯西列
完备的概率度量空间 169
概率度量空间中的连续映射 169
概率度量空间中的等距 169
概率赋范线性空间 170
门杰概率赋范线性空间 170
瓦尔德概率赋范线性空间 170
概率度量空间上的压缩映射 - 170
19
概率直径 170
概率有界集 170
概率预紧集 170
概率非紧性测度 170
概率集压缩映射 171
概率凝聚映射 171
拓扑度
布劳威尔度
孤立零点的指数
旋度 172
锐角原理 172
勒雷-绍德尔度 172
紧支撑向量场的拓扑度 172
集压缩向量场的拓扑度 172
凝聚向量场的拓扑度 172
终归紧向量场的拓扑度 172
锥映射的拓扑度 172
逼近固有映射的广义度 172
有限维流形上映射的拓扑度 173
弗雷德霍姆映射的拓扑度 173
叠合度 173
重合度 173
博苏克-乌拉姆定理. 173
霍普夫同伦分类定理 173
杜俊基延拓定理 173
不动点理论 174
不动点 174
不动点指数 174
巴拿赫不动点定理 174
压缩映射不动点定理 174
非扩张映射不动点定理 174
布劳威尔不动点定理 174
莱夫谢茨不动点定理
绍德尔不动点定理
勒雷-绍德尔边界条件
吉洪诺夫不动点定理 175
达伯-萨多夫斯基不动点定理 175
卡里斯梯不动点定理 175
偏序集上映射不动点定理 175
锥映射不动点定理 175
映射族不动点定理 175
集值映射的拓扑度 176
集值映射的不动点 176
集值压缩映射不动点定理 176
角谷静夫-樊堆-格里克斯伯格不动点定
布劳德不动点定理 176
泛函的临界点 176
泛函的临界值 176
下半连续函数 176
依序列下半连续函数 177
弱下半连续泛函 177
依序列弱下半连续泛函 177
强制泛函 177
艾克兰德变分原理 177
(P. S) 条件 177
(P. S)。条件 177
\( {\left( \mathrm{P}.\mathrm{S}\right) }^{ + } \) 条件 177
\( {\left( \mathrm{P}.\mathrm{S}\right) }^{ - } \) 条件 177
梯度向量场
梯度下降流 177
伪梯度向量场 177
伪梯度流 177
合痕 177
形变引理 178
极小极大原理 178
山路引理 178
环绕 178
畴数 178
柳斯捷尔尼克-施尼雷尔曼重数定理 179
非退化临界点 179
退化临界点 179
莫尔斯泛函 179
莫尔斯指数 179
广义莫尔斯引理 179
临界群 179
莫尔斯型数 179
莫尔斯不等式 180
群作用下的不变泛函 180
等变映射 180
指标理论
\( {Z}_{2} \) 指标 180
\( {S}^{1} \) 指标 - 181
## 微分算子与积分算子
现代微分算子理论 - 181
微分算子 - 181
常微分算子 181
偏微分算子 181
线性微分算子 181
位相函数 181
振幅函数
振荡积分 - 182
## 非线性分析拓扑与变分方法
傅里叶分布 182
拟微分算子 183
象征 183
象征运算 184
拟微分算子的有界性 184
哥尔丁不等式 184
傅里叶积分算子 184
叶戈罗夫定理 185
微局部分析
仿积
仿积算子
仿微分算子 187
仿微分算子的象征 187
仿线性化 188
仿傅里叶积分算子 188
弗雷德霍姆线性积分算子 188
弗雷德霍姆行列式 189
弗雷德霍姆理论 189
迭核 190
解核 190
对称核线性积分算子 190
对称核线性积分算子的特征值 190
对称核线性积分算子的特征函数 190
希尔伯特-施密特积分算子 190
希尔伯特-施密特定理 191
正定核 191
拟正定核 191
线性积分算子的分解
沃尔泰拉线性积分算子
线性积分算子的全连续性 191
克列因-鲁特曼定理 191
卡拉西奥多里条件 192
涅梅茨基算子 192
涅梅茨基算子的位势性 192
沃尔泰拉非线性积分算子 192
哈默斯坦非线性积分算子 192
乌雷松非线性积分算子 193
非线性积分算子的全连续性 193
非线性积分方程中的变分方法 193
非线性积分方程中的拓扑方法
维纳-霍普夫积分方程 194
\( H \) 方程 194
柯西奇异积分方程 194
## 变 分 法
变分法 196
变分学 197
黛多问题 197
等周问题 197
牛顿问题 197
费马原理 197
捷线。 197
最速落径 197
最速降线 197
测地线 197
短程线 197
极小曲面
普拉托问题 198
道格拉斯泛函
狄利克雷泛函 - 198
狄利克雷积分 198
距离 198
零级距离 198
一级距离 198
零级 \( \delta \) 邻域 198
一级 \( \delta \) 邻域 198
变分问题 198
变分积分 198
变分被积函数 198
拉格朗日函数 198
容许函数 198
本质边界条件 198
固定边界变分问题 198
极值 198
极值函数 198
极值曲线 198
强极值 198
弱极值 - 198
相对极值
局部极值
绝对极值
全局极值
函数的变分
一阶变分 199
变分法基本引理 199
杜·布瓦-雷蒙引理 199
欧拉必要条件 199
欧拉-拉格朗日方程 199
欧拉方程 200
欧拉-拉格朗日方程的不变性 - 200
平稳函数 - 200
21
平稳点 200
平稳值 200
平稳曲线 200
平稳曲面 200
内变分 200
哈密顿张量 200
诺特方程 200
典范方程组
勒让德变换
哈密顿方程组
哈密顿函数 201
雅可比定理 201
哈密顿-雅可比方程 201
典范变换 201
自然边界条件 202
横截性条件 202
自由横截性条件 202
变动边界变分问题 203
自然约束 203
艾德曼-外尔斯特拉斯角条件 203
条件极值 203
约束 203
有限约束 203
微分约束 203
完整约束 203
非完整约束 203
广义等周问题 203
等周约束 203
对偶性质 203
欧拉-拉格朗日定理 203
欧拉-拉格朗日乘数 203
拉格朗日乘数 203
博尔查问题 203
迈尔问题 204
拉格朗日问题
二阶变分
附属变分问题
勒让德条件 204
严格勒让德条件 205
强勒让德条件 205
雅可比条件 205
雅可比方程 205
雅可比算子 205
强雅可比条件 205
共轭点 205
共轭值 205
弱极值的必要条件 205
弱极值的充分条件 206
弱极小的特征值判别法 206
平稳曲线簇 206
斜率函数 - 206
\( J \) 长度 - 206
\( J \) 距离 - 206
平稳曲线场 - 206
光程 (函数)
场的基本函数 - 206
场的横截曲面
希尔伯特不变积分 - 206
外尔斯特拉斯 \( E \) 函数
外尔斯特拉斯条件 - 206
迈尔场 207
极值场 - 208
卡拉西奥多里方程 208
外尔斯特拉斯表示公式 - 208
强外尔斯特拉斯条件 208
外尔斯特拉斯场 208
最优场 208
克纳塞横截性定理 208
中心平稳曲线场 208
强极值的必要条件 208
强极值的充分条件 208
焦值 209
焦点 209
利赫滕斯坦定理 209
参数变分积分 209
单侧极值 - 209
线性变分问题 - 209
极小化极大 - 210
变分原理 - 210
虚功原理 - 210
哈密顿原理 - 210
最小作用原理 211
最小位能原理 - 211
弹性理论中的最小位能原理
弹性力学中的最小余能原理 - 211
弹性理论中的广义变分原理 - 211
变分问题的直接法 - 211
能量法 211
能量积分 211
里茨方法 - 211
瑞利-里茨方法 - 212
极小化序列 - 212
加廖尔金方法 - 212
坎托罗维奇法 - 212
特雷夫茨法 - 212
欧拉法 - 212
## 函 数 逼 近 论
函数逼近论 213
函数构造论 214
实变函数逼近论 214
外尔斯特拉斯定理 214
斯通逼近定理 214
函数空间 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 215
函数空间 \( {C}_{2\pi }\cdots \) 215
函数类 \( {L}^{p}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 215
函数类 \( {L}_{2\pi }^{p} \) 215
连续性模 215
连续模 215
光滑模 215
最佳逼近 216
最佳一致逼近 216
最佳逼近广义多项式 216
存在性定理 216
哈尔条件 216
切比雪夫组
马尔可夫系统
马尔可夫系统的逼近
交错定理
柯尔莫哥洛夫定理 217
惟一性定理 217
哈尔惟一性定理 217
强惟一性定理 217
弗洛伊德定理 217
平均逼近 217
最佳平均逼近 217
哈尔子空间 217
代数多项式逼近 218
最佳逼近多项式 218
切比雪夫定理 218
杰克森定理 218
伯恩斯坦不等式 218
马尔可夫不等式 218
贾德克不等式 218
季曼定理 218
代数多项式逼近的逆定理 219
三角多项式 219
三角多项式逼近 219
最佳逼近三角多项式 219
三角多项式逼近的正定理 219
杰克森型定理 - 220
三角多项式逼近的逆定理 - 220
伯恩斯坦型定理 - 220
等价关系 - 220
共轭函数逼近
\( {L}_{w}^{p} \) 度量下的逼近 220
\( {L}^{p} \) 度量下的逼近 221
平方逼近 221
正交多项式 221
正交多项式系 222
规范正交多项式系 222
雅可比多项式 222
勒让德多项式 222
切比雪夫多项式 222
第一类切比雪夫多项式 223
第二类切比雪夫多项式
拉盖尔多项式 223
埃尔米特多项式 223
埃尔米特多项式系 223
哈尔正交系 223
哈尔函数 223
哈尔展开式 223
沃尔什正交系 224
沃尔什函数 224
格雷代码 224
沃尔什逼近 - 224
沃尔什多项式 225
线性算子逼近
\( {C}_{2\pi } \) 中的饱和性 - 225
最优逼近阶 - 225
\( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中的饱和性 225
正线性算子逼近 225
科罗夫金定理 226
试验函数 226
伯恩斯坦算子逼近 226
伯恩斯坦多项式 226
伯恩斯坦算子 - 226
费耶尔算子逼近 . 226
费耶尔和 - 226
杰克森算子逼近
杰克森核 - 227
傅里叶和逼近 227
狄利克雷核 227
23
## 实变函数逼近论
勒贝格常数 227
瓦莱・普桑和逼近 227
瓦莱・普桑平均 227
切比雪夫级数部分和逼近 227
三角插值多项式逼近 227
拉格朗日插值多项式逼近 228
拉格朗日插值多项式 228
勒贝格函数
修正的拉格朗日插值多项式逼近
埃尔米特插值多项式逼近 229
埃尔米特插值多项式 229
伯克霍夫插值多项式逼近 229
伯克霍夫插值多项式 229
帕尔型插值逼近 229
埃尔米特-费耶尔插值多项式逼近 229
埃尔米特-费耶尔插值多项式 230
拟埃尔米特-费耶尔插值多项式逼近 230
拟埃尔米特-费耶尔插值多项式. 230
线性逼近 230
非线性逼近 230
联合 (同时) 逼近
最佳联合逼近元
有理逼近
最佳逼近有理函数 231
最佳有理逼近的特征 231
有理逼近的阶 231
纽曼定理 231
单调有理逼近 231
多项式的倒数逼近 231
帕德逼近 232
帕德表 232
单调逼近 232
共单调逼近 232
逐段多项式逼近
强性逼近
闵茨逼近 233
闵茨系统 233
闵茨多项式 233
缺项多项式逼近 233
有限阶整函数逼近 233
阿希士尔-列维坦积分逼近 233
阿希士尔-列维坦积分 233
函数类的逼近阶 234
法瓦尔定理 234
类 \( {\Lambda }_{\omega } \) 的逼近 234
宽度 234
最优子空间 234
线性宽度 - 234
极子空间 235
熵 - 235
度量熵 - 235
\( \varepsilon \) 覆盖 - 235
\( \varepsilon \) 网 235
容量 235
## 复变函数逼近论
复变函数逼近论 235
龙格定理 - 236
PA 性质 - 236
伯恩斯坦引理 236
梅尔捷良定理 - 236
伯格曼核函数 - 236
比伯巴赫多项式
赛格多项式 - 236
费伯多项式 - 236
费伯展开式 - 236
费伯系数 236
费伯变换 236
费伯算子 237
费伯区域 237
广义费伯多项式 237
贾德克核 237
斯米尔诺夫区域 - 237
埃尔米特插值公式 - 237
一致分布 - 237
卡尔马-沃尔什定理
过收敛 - 238
费耶尔节点 - 238
费克特节点 238
阿尔佩尔条件 238
## 抽象逼近
抽象逼近 238
逼近集 - 238
凸逼近
太阳集 - 238
太阳点 239
切比雪夫集 239
几乎切比雪夫集 .239
克利猜测 - 239
柯尔莫哥洛夫特征 239
## 调 和 分 析
调和分析 240
傅里叶分析 240
经典调和分析 240
非三角傅里叶分析 240
## 一元傅里叶分析
傅里叶级数 240
重排函数 241
洛伦兹空间 - 241
卷积 241
恒等逼近 241
傅里叶系数 241
余弦傅里叶系数 241
正弦傅里叶系数 241
狄利克雷核 241
傅里叶部分和 241
勒贝格常数 241
局部化原理 241
共轭级数
共轭函数
卢津猜测
卡尔松-亨特定理 242
正交函数系 242
正交系 242
规范正交系 242
就范正交系 242
完备系 242
帕塞瓦尔等式 243
帕塞瓦尔定理 243
乘子 243
马钦凯维奇乘子定理 243
豪斯多夫-杨定理 243
多重傅里叶级数 243
傅里叶级数的线性求和 243
傅里叶级数的线性求和法 243
切萨罗求和 244
切萨罗数 244
切萨罗平均
费耶尔求和
费耶尔平均 244
费耶尔核 244
瓦莱・普桑平均 244
强求和 244
哈代求和 244
泊松平均 244
泊松核 244
吉布斯现象 - 244
## 多元傅里叶分析
傅里叶变换 245
普朗歇尔定理 245
阿贝尔-泊松平均 245
高斯-外尔斯特拉斯平均 245
博赫纳-里斯平均 245
调和函数 - 245
复值调和函数 - 246
共轭调和函数 - 246
共轭调和函数系 - 246
次调和函数 246
球调和函数 246
球体调和函数 - 246
球面调和函数 246
调和多项式 246
带调和函数 246
泊松积分 246
豪斯多夫-杨不等式 - 246
黎曼-勒贝格引理 - 246
佩利-维纳定理
施瓦兹空间
缓增广义函数 - 247
弱导数 247
索伯列夫空间 24 |
2000_数学辞海（第3卷） | 5 | 值公式 - 237
一致分布 - 237
卡尔马-沃尔什定理
过收敛 - 238
费耶尔节点 - 238
费克特节点 238
阿尔佩尔条件 238
## 抽象逼近
抽象逼近 238
逼近集 - 238
凸逼近
太阳集 - 238
太阳点 239
切比雪夫集 239
几乎切比雪夫集 .239
克利猜测 - 239
柯尔莫哥洛夫特征 239
## 调 和 分 析
调和分析 240
傅里叶分析 240
经典调和分析 240
非三角傅里叶分析 240
## 一元傅里叶分析
傅里叶级数 240
重排函数 241
洛伦兹空间 - 241
卷积 241
恒等逼近 241
傅里叶系数 241
余弦傅里叶系数 241
正弦傅里叶系数 241
狄利克雷核 241
傅里叶部分和 241
勒贝格常数 241
局部化原理 241
共轭级数
共轭函数
卢津猜测
卡尔松-亨特定理 242
正交函数系 242
正交系 242
规范正交系 242
就范正交系 242
完备系 242
帕塞瓦尔等式 243
帕塞瓦尔定理 243
乘子 243
马钦凯维奇乘子定理 243
豪斯多夫-杨定理 243
多重傅里叶级数 243
傅里叶级数的线性求和 243
傅里叶级数的线性求和法 243
切萨罗求和 244
切萨罗数 244
切萨罗平均
费耶尔求和
费耶尔平均 244
费耶尔核 244
瓦莱・普桑平均 244
强求和 244
哈代求和 244
泊松平均 244
泊松核 244
吉布斯现象 - 244
## 多元傅里叶分析
傅里叶变换 245
普朗歇尔定理 245
阿贝尔-泊松平均 245
高斯-外尔斯特拉斯平均 245
博赫纳-里斯平均 245
调和函数 - 245
复值调和函数 - 246
共轭调和函数 - 246
共轭调和函数系 - 246
次调和函数 246
球调和函数 246
球体调和函数 - 246
球面调和函数 246
调和多项式 246
带调和函数 246
泊松积分 246
豪斯多夫-杨不等式 - 246
黎曼-勒贝格引理 - 246
佩利-维纳定理
施瓦兹空间
缓增广义函数 - 247
弱导数 247
索伯列夫空间 247
贝塞尔位势空间 247
别索夫空间 247
共轭傅里叶积分 247
傅里叶乘子 247
乘子算子 248
米赫林乘子定理 248
赫尔曼德尔乘子定理 - 248
## 奇异积分算子
考尔德伦-赞格蒙奇异积分 - 248
考尔德伦-赞格蒙变换
考尔德伦-赞格蒙分解引理 - 248
考尔德伦-赞格蒙算子 - 248
考尔德伦-赞格蒙核 - 248
\( {T1} \) 定理. - 248
哈代-李特尔伍德极大函数 249
25
哈代-李特尔伍德极大算子 249
马肯厚普条件 249
\( {A}_{p} \) 条件 249
\( {A}_{p} \) 权. 249
希尔伯特变换 249
里斯变换 249
里斯位势 250
李特尔伍德-佩利 \( g \) 函数 250
卢津面积积分 250
马钦凯维奇积分 250
弱 \( \left( {p, q}\right) \) 型算子 250
弱 \( \left( {p, q}\right) \) 范数 250
强 \( \left( {p, q}\right) \) 型算子 250
强 \( \left( {p, q}\right) \) 范数 250
线性算子内插定理 250
里斯凸性定理 250
马钦凯维奇内插定理
哈代空间
\( {H}^{p} \) 空间
哈代空间的实变特征
BMO 函数空间 251
# 函数 252
BMO 范数 252
约翰-尼伦伯格不等式 252
原子 252
原子 \( {H}^{p} \) 空间 252
分子 252
块函数 252
块生成的空间 252
维塔利-维纳覆盖引理 253
惠特尼覆盖引理 253
赫尔德空间 253
赞格蒙空间 253
特里贝尔-立卓金空间. 253
傅里叶变换的反演公式 253
卡尔松测度 253
帐篷空间 254
考尔德伦表示定理 254
柯特拉不等式 254
费弗曼-施坦不等式. 254
好 \( \lambda \) 不等式 254
振荡型积分 254
考尔德伦交换子 254
多线性算子 255
柯尔莫哥洛夫不等式 255
逆向赫尔德不等式
齐型空间
局部哈代空间
挂谷宗一极大函数 255
傅里叶变换的限制定理 255
振荡型奇异积分 255
VMO 函数空间 255
奇异拉东变换 256
赫茨空间 256
拉德马赫函数系 256
## 抽象调和分析
抽象调和分析 - 257
彼得-外尔定理 - 257
紧李群上的傅里叶级数 257
非紧半单李群上的傅里叶变换 257
傅里叶变换的反演 257
普朗歇尔定理 258
局部域 258
\( p \) 级数域 258
\( p \) 进数域 258
非阿基米德赋值 - 258
特征 - 258
特征群 - 258
局部域上的傅里叶级数 - 258
局部域上的检验函数空间 259
局部域上的分布 259
局部域上的分布空间 259
局部域上的傅里叶变换 259
局部域上的泊松型核 - 259
局部域上的特征的分歧性质 - 259
\( {K}^{ * } \) 上的梅林变换.
\( {K}^{ * } \) 上的逆梅林变换 - 260
局部域上的 \( \Gamma \) 函数 - 260
局部域上的 \( B \) 函数 - 260
里斯分数次积分 260
贝塞尔位势 260
哈代-李特尔伍德极大函数 260
乘子 260
正则函数 260
正则化 - 260
维纳型覆盖引理 - 260
考尔德伦-赞格蒙型分解. - 260
局部域上的希尔伯特变换 261
\( {L}_{\alpha }^{r} \) 空间 - 261
别索夫空间 - 261
局部域上函数的导数 - 261
局部域上的恒等逼近核
局部紧交换群
LCA 群
特征标 261
对偶群 261
特征标群 261
庞特里亚金对偶性定理 261
傅里叶变换 261
傅里叶反演公式 262
傅里叶-斯蒂尔杰斯变换 262
正定函数 262
博赫纳定理 262
普朗歇尔定理 262
帕塞瓦尔公式 262
普朗歇尔变换 - 262
## 流形上的分析
流形上的分析 263
大范围分析 263
整体分析
## 流形上的微积分
流形上的微积分 264
区图 264
图册 265
\( {C}^{k} \) 类微分结构 \( \mathcal{F} \) 265
局部坐标系 265
\( {C}^{k} \) 流形 265
光滑流形 265
微分流形 265
积流形 265
\( {C}^{k} \) 流形间的 \( {C}^{k} \) 映射 265
\( {C}^{k} \) 微分同胚 265
单位分解 265
单位分解存在性定理 265
芽 265
节 265
导子 265
切向量 266
切空间 266
曲线上的切向量 266
余切空间 266
余切向量 266
映射的微分 266
浸入 267
浸入映射 267
单浸入 267
嵌入 267
子流形 267
正则子流形 267
正则嵌入 267
惠特尼浸入定理
惠特尼嵌入定理 267
嵌入存在性定理 267
浸入的存在性定理 267
沃尔定理 - 267
赫弗里格定理 267
反函数定理 267
秩定理
典型淹没
横截映射
托姆横截性引理 268
零测度 268
萨德定理 268
切丛 268
余切丛 268
纤维丛 268
纤维 269
典型纤维 269
坐标丛 269
转移函数 269
丛射 269
向量丛 269
纤维丛的截面 269
实向量丛 269
复向量丛 269
诱导丛 269
拉回 269
\( {C}^{k} \) 类可微纤维丛 269
向量场 269
光滑向量场 270
不变向量场 270
李括号 270
雅可比恒等式 270
活动标架 270
向量场的积分曲线
光滑流
局部流
单参数微分同胚群 270
\( c \) 维分布 270
光滑分布 270
对合分布 270
积分流形 271
27
弗罗贝尼乌斯定理 (第一形式) 271
弗罗贝尼乌斯定理 (经典形式) 271
极大积分流形 271
向量空间的张量积 271
向量空间的张量代数 271
张量 271
反变张量 271
协变张量 271
齐次张量 272
对称张量 272
反对称张量 272
对称化算子 272
反对称化算子 272
外积 272
外代数 272
格拉斯曼代数 273
\( \left( {r, s}\right) \) 型张量丛 273
\( \left( {r, s}\right) \) 型张量场 273
外形式丛 273
微分形式 273
外微分 273
外微分算子
外导数
向量场的李导数
微分形式的李导数 273
微分理想 273
理想的积分流形 274
弗罗贝尼乌斯定理 (第二形式) 274
向量空间的定向 274
可定向流形 274
流形的定向 274
保定向映射 274
可微奇异 \( p \) 单形 274
标准 \( p \) 单形 274
\( p \) 链 274
链的边缘 274
链上的积分 274
斯托克斯定理 274
带边 \( {C}^{k} \) 流形. 275
边缘的定向 275
无限维流形 275
\( E \) 流形 275
希尔伯特流形 275
切纤维丛 275
模 \( E \) 子流形 276
微分形式 276
辛形式 276
达布定理 276
复流形 - 276
复子流形 - 276
全纯映射 - 276
施坦流形 276
复射影空间 277
代数簇 277
周(炜良)定理 277
代数流形 277
复超平面 277
复环面 277
阿贝尔簇 277
黎曼形式 277
纯不连续群 277
霍普夫流形 277
霍普夫纤维化 277
解析超曲面 - 277
可约解析子集 277
复化 - 277
复结构 - 278
殆复流形 - 278
殆复结构 278
共轭映射 - 278
共轭向量空间 - 278
复化线性映射
\( {}_{c}E \) 的外代数 - 278
\( {}_{c}{E}^{\prime } \) 的外代数
对偶向量丛 - 278
全纯向量丛 - 278
反全纯向量丛 - 279
复化切丛 - 279
复化余切丛 279
复微分 \( p \) 形式 279
复化李括号 279
挠率 279
算子 \( \partial \) 279
算子 \( \bar{\partial } \) 279
铎尔博尔-格罗腾迪克引理 279
复线丛 279
全纯线丛 279
黎曼曲面 279
标准丛 279
超平面截面丛 - 279
几何亏格 - 279
埃尔米特形式 - 279
列维形式 - 280
\( M \) 的定义函数 - 280
\( q \) 拟凸域 - 280
\( {SLp} \) 域 - 280
弱正向量丛 280
弱负向量丛 280
小平邦彦嵌入定理 280
## 莫尔斯理论
莫尔斯理论
临界点 281
临界值 281
非退化临界点 281
退化临界点 281
黑塞矩阵 281
退化阶数 281
指数 281
莫尔斯函数 281
莫尔斯引理 281
流形的同伦型 282
球面的拓扑特征 282
莫尔斯不等式 282
临界点理论 282
道路空间的变分 282
道路空间 283
能量 283
第一变分公式 283
第二变分公式 283
共轭点 283
莫尔斯指数定理 283
莫尔斯理论的基本定理 283
畴数 283
## 积分周期理论
积分周期理论 283
闭形式 284
正合形式 284
德拉姆复形 284
德拉姆上同调群 284
实系数微分奇异同调群 284
微分形式的周期 284
德拉姆同态 284
德拉姆定理 284
庞加莱引理 284
同伦算子 285
## 示性类理论
示性类理论 285
施蒂费尔-惠特尼类 285
惠特尼乘积定理 285
实 \( n \) 平面丛 285
惠特尼和 285
丛同态 285
全施蒂费尔-惠特尼类 285
惠特尼对偶定理 286
克罗内克指数 286
施蒂费尔-惠特尼数 286
未定向配边类 286
格拉斯曼流形 286
\( n \) 标架 - 286
施蒂费尔流形 286
\( \mathrm{{CW}} \) 复形 286
舒伯特符号 286
施蒂费尔-惠特尼类的惟一性 - 286
施蒂费尔-惠特尼类的存在性
托姆同构 - 287
斯廷罗德运算
全斯廷罗德运算 287
定向丛 287
欧拉类 - 287
托姆同构定理 287
吴(文俊)类 287
全吴 (文俊) 类 287
施蒂费尔-惠特尼类的吴 (文俊)公式 288
古津序列 288
陈 (省身) 类 288
全陈类 - 288
陈类的乘积公式 - 288
共轭丛 288
庞特里亚金类
全庞特里亚金类 - 288
陈数
庞特里亚金数 - 288
对称函数 - 288
陈数的线性独立性 289
庞特里亚金数的线性独立性 289
陈特征标 289
定向配边类 289
托姆空间 289
托姆定理 289
乘法序列 - 289
属于幂级数的乘法序列 - 290
\( K \) 亏格 - 290
\( L \) 亏格 - 290
符号差
符号差定理 - 290
乘法示性类 - 290
组合庞特里亚金类 - 290
29
示性类 290
示性数 290
流形的示性类 290
流形的示性数 290
## 层 论
层论 290
预层 291
层 291
茎 291
层的截面 291
层同态 291
层同构 291
子层 291
层的截面预层 291
相配层 291
常值层
平凡层
亚纯函数的芽层 292
复流形上的亚纯函数 292
\( O \) 模层 292
解析层 292
丛截面的芽层 292
完全预层 292
软层 292
精细层 292
层的分解 292
层的标准分解 292
层系数的上同调群 292
德拉姆复形
铎尔博尔复形
德拉姆上同调群
铎尔博尔同构 293
凝聚层 293
嘉当定理 A 293
嘉当定理 \( \mathrm{B} \) 293
弗雷歇层 293
嘉当-塞尔有限性定理 294
格劳尔特有限性定理 294
塞尔定理 294
塞尔对偶定理 294
格劳尔特上同调致零的定理 294
流形上微分算子理论 294
微分算子 294
象征 294
\( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的拟微分算子 295
\( {\mathrm{R}}^{n} \) 中标准拟微分算子 295
希尔伯特变换 - 295
射影算子 . 295
特普利茨算子 295
里斯算子 295
有紧支集的拟微分算子 - 295
流形上的拟微分算子
仓西定理 - 296
复向量丛上的拟微分算子 - 296
象征映射 296
椭圆算子 296
拟基本解 296
椭圆算子的指标 297
环绕数 297
博特定理 297
紧空间的 \( K \) 群 297
向量丛的稳定等价 297
局部紧空间的 \( K\left( X\right) \) 297
博特周期性定理 - 297
\( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的指标公式
阿蒂亚-辛格指标定理. 298
指标定理的上同调形式 298
黎曼-罗赫-希策布鲁赫定理 298
莱夫谢茨数 298
阿蒂亚-博特-莱夫谢茨数 298
## 霍奇理论
霍奇理论 299
黎曼流形 - 299
度量张量 - 299
星算子 - 299
伴随形式 299
\( {E}^{p}\left( M\right) \) 中的内积 299
拉普拉斯-贝尔特拉米算子 299
弱解 299
正则性定理 299
调和 \( p \) 形式 300
霍奇分解定理 300
格林算子 300
庞加莱对偶性定理
全纯向量丛上的分解定理 300
克勒流形上的分解定理 - 300
## 流形上的微分算子
## 位 势 论
位势论 301
## 一般位势论与广义核
一般位势 302
一般位势论 302
核 302
正核 302
转置核 302
对称核 302
平移不变核 302
正定核 302
位势 302
\( \alpha \) 位势 302
里斯位势 302
里斯位势论 302
\( \alpha \) 核 302
里斯核 302
牛顿位势
牛顿核
2 核
对数位势 303
对数核 303
经典位势 303
经典位势论 303
单层位势 303
双层位势 303
阿龙扎扬-史密斯核 303
\( \Lambda \) 核 303
阿南达姆-布雷洛位势 303
位势的基本原理 303
连续性原理 303
第一极大值原理 303
广义极大值原理 303
第二极大值原理 303
控制原理 304
惟一性原理 304
下包络原理
超调和函数
亚调和函数
上调和函数 304
下调和函数 304
次调和函数 304
调和函数 304
泊松积分 304
极小值原理 - 305
哈纳克引理 - 305
哈纳克不等式 305
哈纳克原理 305
调和函数的正规族 305
广义哈纳克原理 305
调和不变性
开尔文变换 305
在无穷远点的调和性
调和多项式 305
调和上属 306
调和强函数 306
调和下属 306
调和弱函数 306
里斯分解定理 306
上调和函数的对应测度 306
\( \alpha \) 调和函数 306
\( \alpha \) 上调和函数 306
2 上调和函数 306
\( \mathcal{E} \) 空间 306
格林空间 307
格林函数 307
格林位势 307
格林核 307
等位面 307
格林线 307
格林坐标 307
能量 307
相互能量 307
能量原理 307
\( \alpha \) 相互能量 307
\( \alpha \) 能量 307
强收敛 307
弱收敛 308
浑收敛 - 308
一般容量
可容性 - 308
可容集
\( \mathcal{K} \) 解析集 308
解析集 308
绍凯容量 308
容量 308
推广的绍凯容量 308
内容量 308
外容量 308
零(外) 容集
零内容集 308
近乎处处 308
似乎处处 308
\( K \) 容量 308
\( K \) 近乎处处 308
位势网 (列) 的收敛准则 309
平衡原理 309
平衡问题 309
弱平衡原理 309
弱平衡问题的解 309
平衡测度 309
容量分布 309
平衡位势 309
\( \alpha \) 容量 309
\( \alpha \) 内容量 309
\( \alpha \) 外容量 309
维纳容量 309
倒容量 309
零外倒容集 310
零内倒容集 310
牛顿容量 310
对数容量 310
鲁宾常数 310
\( C \) 绝对连续测度
容量压缩原理
超限直径
广义超限直径
极集 310
局部极集 310
下调和延拓 310
\( \alpha \) 极集 310
埃文斯定理 311
埃文斯-塞尔贝格定理 311
埃文斯位势 311
扫除 311
扫除问题 311
扫除位势 311
扫除原理 311
扫除测度 311
简化函数 311
扫除函数 311
格林空间扫除 311
嘉当扫除定理 311
到波莱尔集的 \( \alpha \) 扫除 312
\( \alpha \) 格林测度 312
格林测度 312
\( \alpha \) 正则点 312
正则点 - 312
2 正则点 - 312
非正则点 312
维纳判别法 312
\( \alpha \) 格林函数 312
调和测度 312
调和测度零集 312
细拓扑 312
细开集 313
细闭集 313
细闭包 313
细极限 313
\( \alpha \) 细拓扑 - 313
\( \alpha \) 细开集 313
\( \alpha \) 细闭集 313
\( \alpha \) 细极限 313
\( \alpha \) 瘦 313
瘦性 313
肥集 313
弱瘦 313
強瘦 313
半极集 313
集合的基 313
半瘦 - 313
半细极限
细边界值
半细边界值
非切向边界值 - 313
角极限 314
李普希茨区域 314
法图-杜布定理 314
亨特-惠登定理 314
经典狄利克雷问题 314
第一边值问题 314
狄利克雷域 314
正则边界点 314
闸函数 314
庞加莱锥条件 314
勒贝格刺 314
广义狄利克雷问题 - 314
上函数 - 315
下函数 315
上解 315
下解 315
PWB 解. 315
PB 解 315
狄利克雷积分 315
狄利克雷原理 315
BLD 函数 315
BLD 族 . 315
\( \mathrm{{BL}} \) 函数 315
\( {\mathrm{{BL}}}_{0} \) 函数 316
广义函数核
广义函数的位势
广义函数的牛顿位势 316
抽象边界 316
极小调和函数 316
抽象调和锥 316
抽象位势锥 316
极小瘦 316
极小边界 317
极小细拓扑 317
康斯坦丁斯库-柯尼定理 317
理想边界
斯通-切赫紧致化. 317
斯托伊洛夫紧致化 317
罗伊登紧致化 317
仓特善紧致化 317
马丁紧致化 317
马丁空间 317
马丁边界 317
马丁积分表现 317
广义马丁边界 318
椭圆马丁边界
椭圆维数
绍凯表现定理 318
绍凯边界 318
\( \sum \) 极值点 318
希洛夫边界 318
多重调和函数 318
双调和函数 318
## 位势论与函数论
外映射半径 318
内映射半径 318
寇勃 \( 1/4 \) 圆定理的推广 318
理想边界的调和测度 319
函数论零集 319
解析容量 319
班勒卫零集 319
\( {N}_{\mathcal{S}} \) 类零集 319
可去集 31 |
2000_数学辞海（第3卷） | 6 | 3
细极限 313
\( \alpha \) 细拓扑 - 313
\( \alpha \) 细开集 313
\( \alpha \) 细闭集 313
\( \alpha \) 细极限 313
\( \alpha \) 瘦 313
瘦性 313
肥集 313
弱瘦 313
強瘦 313
半极集 313
集合的基 313
半瘦 - 313
半细极限
细边界值
半细边界值
非切向边界值 - 313
角极限 314
李普希茨区域 314
法图-杜布定理 314
亨特-惠登定理 314
经典狄利克雷问题 314
第一边值问题 314
狄利克雷域 314
正则边界点 314
闸函数 314
庞加莱锥条件 314
勒贝格刺 314
广义狄利克雷问题 - 314
上函数 - 315
下函数 315
上解 315
下解 315
PWB 解. 315
PB 解 315
狄利克雷积分 315
狄利克雷原理 315
BLD 函数 315
BLD 族 . 315
\( \mathrm{{BL}} \) 函数 315
\( {\mathrm{{BL}}}_{0} \) 函数 316
广义函数核
广义函数的位势
广义函数的牛顿位势 316
抽象边界 316
极小调和函数 316
抽象调和锥 316
抽象位势锥 316
极小瘦 316
极小边界 317
极小细拓扑 317
康斯坦丁斯库-柯尼定理 317
理想边界
斯通-切赫紧致化. 317
斯托伊洛夫紧致化 317
罗伊登紧致化 317
仓特善紧致化 317
马丁紧致化 317
马丁空间 317
马丁边界 317
马丁积分表现 317
广义马丁边界 318
椭圆马丁边界
椭圆维数
绍凯表现定理 318
绍凯边界 318
\( \sum \) 极值点 318
希洛夫边界 318
多重调和函数 318
双调和函数 318
## 位势论与函数论
外映射半径 318
内映射半径 318
寇勃 \( 1/4 \) 圆定理的推广 318
理想边界的调和测度 319
函数论零集 319
解析容量 319
班勒卫零集 319
\( {N}_{\mathcal{S}} \) 类零集 319
可去集 319
调和延拓 320
## 群上的位势论
群上的位势论 320
浑拓扑
伯努利拓扑 - 320
卷积半群 . 320
迁移卷积半群 320
常返卷积半群 320
群上的位势核 320
基本核 321
完全核 321
\( \chi \) 扫除测度 321
\( \mu \) 上调和测度 321
\( \mu \) 调和测度 321
超过测度 321
不变测度 321
简化测度 321
\( \chi \) 容量 321
群上的扫除原理 321
群上的控制原理 321
群上的质量惟一性原理 321
群上的正质量原理 321
群上的平衡原理 321
\( \chi \) 平衡分布 322
电容器原理 322
列维测度 322
列维-辛钦公式
亨特核 - 322
## 公理化位势论
公理化位势论 322
函数簇 323
函数层 323
超调和簇 323
调和簇 323
与超调和簇相关的调和簇 323
非退化的调和簇 323
MP 集 323
可解集 323
\( \mathcal{U} \) 可解集 323
\( \mathcal{U} \) 广义狄利克雷问题. - 323
\( \mathcal{U} \) 广义狄利克雷问题的解
\( \mathcal{X} \) 扫除
\( \mathcal{U} \) 调和测度.
正则集 - 323
\( \mathcal{H} \) 正则集 - 324
\( \mathcal{H} \) 调和测度 - 324
33
正则区域 324
局部超调和函数 324
由调和簇产生的超调和簇 324
收敛性质 324
调和公理 324
正值性公理 324
可解性公理 324
完备性公理 324
收敛性公理 324
调和空间 324
调和空间论 324
调和空间里的超调和函数 324
调和空间里的亚调和函数 324
调和空间里的调和函数 324
调和空间里的上调和函数 324
调和空间里的下调和函数 325
调和空间里的位势 325
\( S \) 调和空间
\( P \) 调和空间
调和空间里的里斯分解
布雷洛空间 325
鲍尔空间 325
狄利克雷空间论 325
狄利克雷空间 325
狄氏型理论 325
狄氏型 326
狄利克雷形式 326
扫除空间 326
下定向公理 326
自然分解公理 326
扫除空间中的函数锥 326
扫除空间的连续位势 326
扫除空间论 326
离散位势论 326
\( H \) 锥. - 326
\( H \) 锥理论 - 326
非线性位势论
拟线性位势论 326
非线性公理位势论 326
非线性调和空间 326
## 位势论与概率论
概率位势论 327
布朗运动的位势论
马氏过程位势论 328
凸分析 329
非凸分析 329
非光滑分析 329
集值分析 330
## 凸 集
凸集
线段 330
直线 330
射线 330
凸包 330
仿射集 330
仿射包 330
凸组合 330
凸多面体 330
凸多胞体 331
单纯形 331
代数内部 331
核心 331
代数开集 331
代数闭包
代数闭集 831
代数边界 331
相对代数内部 331
内在核心 331
相对内部 331
超平面 331
半空间 331
支撑超平面 331
毕晓普-费尔泼斯定理 332
超平面的支撑点 332
凸集分离定理 332
凸集支撑定理 332
锥 332
集合生成的锥 332
凸锥 332
集合生成的凸锥 332
端点 332
克列因-米尔曼定理 - 333
端子集 333
半端子集 333
暴露点 - 333
斯特拉斯维茨定理 - 333
极集 333
对偶锥 333
极锥 333
回收方向 333
回收锥 333
渐近锥 333
闸锥 333
切锥
相依锥
邻接锥
中间锥
可导锥 334
杜勃维茨基-米柳金锥 334
尤尔塞斯科锥 334
克拉克切锥 334
回邻锥 334
共依锥 334
超切锥 334
法锥 334
卡拉西奥多里定理 334
绍凯积分表示理论 334
黑利定理 335
闵科夫斯基定理 335
## 凸函数
凸函数
严格凸函数 335
凹函数 335
严格凹函数 336
正常凸函数 336
凸函数的有效域 336
拟凸函数 336
严格拟凸函数 336
拟凹函数 336
严格拟凹函数 336
仿射函数 336
闵科夫斯基函数 336
度规函数 336
可加函数 336
次可加函数 336
正齐次函数 336
次线性函数 336
上线性函数 336
凸性不等式 336
延森不等式 - 336
哈恩-巴拿赫定理 336
指示函数
支撑函数.
共轭函数
对偶函数 337
极化函数 337
二次共轭函数 337
勒让德-芬切尔变换 337
芬切尔-莫罗定理 337
扬-芬切尔不等式 337
上图 337
闭凸函数 338
函数的凸化 - 338
函数的闭凸化 - 338
下确界卷积 - 338
对偶理论
拉格朗日函数 - 338
拉格朗日乘子 - 338
斯莱特条件 338
芬切尔问题 338
次微分 339
次梯度 339
次导数 339
次可微 339
莫罗-洛卡费勒定理 339
库恩-塔克尔定理 339
局部李普希茨函数 340
广义梯度 340
克拉克广义方向导数
集值映射 - 340
集值映射的有效域 340
集值映射的图象 340
集值映射的半连续性 340
集值映射的导数 340
## 非 标 准 分 析
非标准分析 341
标准分析 342
无限小理论 342
内集合论
超实数域的超幂构造 - 342
超实数 - 343
35
## 非标准全域
标准全域 343
超结构 343
非标准全域 343
转换原理 344
莱布尼茨原理 344
* 映射 344
自然扩张 344
自然扩张映射
内集
外集
标准实体 345
内实体 345
外实体 345
超有限集 345
* 有限集 345
内基数 345
内定义原理 345
内性定理 345
内函数定理 345
标准定义原理 345
上溢原理 345
下溢原理 345
鲁宾孙序列引理 345
无限小延伸定理 345
惯性原理
柯西原理
共点关系
扩大 345
共点定理 345
饱和的非标准全域 345
多饱和的非标准全域 345
概括的非标准全域 345
弱概括的非标准全域 346
序列概括的非标准全域 346
可数概括的非标准全域 346
分析的标准模型 346
经典分析模型 346
分析的非标准模型 346
\( B \) 模型 346
\( B \) 扩大 346
初等的非标准分析模型 346
高阶的非标准分析模型 346
\( \kappa \) 次扩大的定向极限
多扩大
多扩大的饱和性 346
多扩大的概括性 346
亨森引理 346
36
## 非标准微积分
非标准微积分 346
无限小微积分
超实数公理 347
超实数域
超实数轴 348
无限小显微镜 348
无限大望远镜 348
函数公理 348
解公理 348
饱和公理 348
部分实数解 348
部分超实数解 348
部分解定理 348
标准实数 349
非标准实数 349
无限小 349
无穷小 349
无限大 349
无穷大 349
无限接近 349
单子
- 349
银河
标准部分公理 349
标准部分定理 349
标准部分 349
影 349
标准部分映射 349
超实数存在定理 349
超实数域的惟一性定理 349
超结构的初等部分 349
* 映射的初等部分 349
初等扩张原理 350
扩张定理 350
饱和的超结构嵌入 350
超结构嵌入存在定理 350
超结构嵌入惟一性定理 350
序列有界的非标准特征 350
序列的极限点的非标准特征 350
序列收敛的非标准特征 350
二重序列收敛的非标准特征 - 350
函数在一点处有界的非标准特征
极限的非标准特征 350
级数收敛的非标准特征 350
连续的非标准特征 350
一致连续的非标准特征 350
超实中间值定理 350
超实最值定理 350
\( S \) 连续 351
微连续 351
* 连续 351
\( {\varepsilon \delta } \) 连续 351
可微函数的非标准特征 351
无限小增量定理 351
超实中值定理 351
可积函数的非标准特征
无限和定理
非正常积分的非标准特征
超实向量 352
无限小向量 352
无限大向量 352
## 非标准拓扑
非标准拓扑 352
开集的非标准特征 352
闭集的非标准特征 352
闭包的非标准特征 352
聚点的非标准特征 352
网收敛的非标准特征 353
网的聚点的非标准特征 353
边界的非标准特征
紧集的非标准特征
紧空间的非标准特征
豪斯多夫空间的非标准特征
正则空间的非标准特征 353
正规空间的非标准特征 353
## 小 波 分 析
乘积拓扑的非标准特征 353
\( Q \) 拓扑 353
\( S \) 拓扑 353
\( S \) 极限 353
近标准点 353
遥远点 353
遥远性定理
度量空间中柯西列的非标准特征
度量空间的完备性的非标准特征 - 354
度量空间中有界集的非标准特征 354
等度连续的非标准特征 354
逼近定理 354
## 非标准测度论
非标准测度论 354
内的有限可加测度空间
劳勃测度空间
劳勃测度 354
内逼近定理 354
超有限劳勃空间 354
超有限计数空间 355
劳勃提升定理 355
劳勃积分定理 355
\( S \) 测度
## 非标准泛函分析
非标准泛函分析 355
伯恩施坦-鲁宾孙定理 355
广义函数的非标准实现
小波分析 356
可允许小波 356
基小波 356
可允许条件 356
可允许常数 356
连续小波变换 356
连续小波变换的重构公式 356
有限带宽函数 356
连续窗口傅里叶变换 356
短时傅里叶变换 357
连续窗口傅里叶变换的重构公式 357
消失矩 357
赫尔德连续性 357
正则性刻画 357
局部赫尔德连续性 357
局部正则性刻画 357
香农取样定理 357
时频局部化算子 357
窗口傅里叶变换局部化算子 357
小波变换局部化算子 358
框架 358
紧框架 358
框架算子 358
对偶框架 358
离散小波变换 - 358
小波框架 - 358
对偶小波框架 358
离散窗口傅里叶变换 359
窗口傅里叶变换的框架 359
对偶窗口傅里叶框架 359
小波函数 359
正交小波 359
正交小波基 359
里斯基 359
多分辨率分析 359
尺度函数 359
正交多分辨率分析 359
双尺度差分方程 359
面具 359
正交多分辨率分析的小波函数 359
迈耶小波 360
拜特-雷默瑞小波 360
劳顿条件 360
劳顿定理 360
科恩条件
科恩定理
尺度序列的完全重构条件
滤波器的消失矩 360
阶梯形算法 360
马勒特算法 - 361
二维马勒特算法 361
二进小波 361
稳定性条件 361
二进小波变换 361
二进重构小波 361
二进小波变换重构公式 361
平滑算子 361
离散二进小波变换 361
双正交小波基 362
双正交小波 362
双正交尺度序列 362
双正交小波序列 362
双正交尺度序列的完全重构条件 - 362
小波包 - 362
\( M \) 进制小波 362
小波矩阵 363
尺度序列 - 363
小波序列 - 363
多小波
向量小波 363
多维小波 363
局部三角变换 363
## 分 形 几 何
分形几何 364
分形分析 364
科克曲线 364
自相似集 365
压缩映射 365
相似映射 365
自仿集 365
仿射映射 365
仿射压缩 365
准自相似集 365
统计自相似集 365
## 测度与维数
李普希茨映射 366
双李普希茨映射 366
\( \delta \) 覆盖 366
豪斯多夫测度 366
\( s \) 维豪斯多夫测度 366
\( s \) 集 366
网. 366
网的 \( s \) 维豪斯多夫测度 366
网的等价 - 366
网的强等价 366
\( {\mathcal{F}}_{0} \) 的等价类 366
\( {5r} \) 覆盖引理 367
维塔利覆盖类 367
维塔利覆盖引理 367
有限测度子集定理 367
豪斯多夫维数 367
覆盖原理 367
质量分布原理 367
比林斯利定理 367
弗罗斯特曼引理 - 367
测度的势 - 367
集合容量 368
容量维数 368
闵科夫斯基容度 368
闵科夫斯基维数 368
集函数的修正 - 369
集函数族的临界指数 - 369
集函数族的临界性质 369
修正族的临界指数 - 369
临界指数的修正 - 369
各类指数的关系 369
预填充测度 369
预填充维数 369
填充测度 369
填充维数 369
填充测度的弗罗斯特曼引理 369
不同测度与维数的比较 369
集合的齐次性
分形乘积
分形乘积的豪斯多夫测度
玛斯传德定理 370
分形乘积的豪斯多夫维数 370
分形乘积的填充测度 370
分形乘积的填充维数 370
分形投影 370
自相似集的相似维数 370
自相似集的测度与维数的性质 370
## 几类重要的分形集
有限压缩映射族 - 370
迭代函数系
压缩映射族的不变集 371
开集条件 371
席夫定理 371
康托尔三分集 371
谢尔品斯基垫 371
有向图 371
路径集 371
传递性条件 371
图递归集 371
图递归矩阵 371
图递归集的维数
麦克缪伦集
麦克缪伦集的维数 372
莫朗集 372
莫朗集类 372
一般莫朗集的构造 372
齐次莫朗集 372
齐次均匀康托尔集 372
偏齐次均匀康托尔集 373
预维数序列 373
莫朗集的维数 373
一维齐次莫朗集的维数
一维齐次莫朗集类的维数 373
齐次均匀康托尔集的维数 373
偏齐次均匀康托尔集的维数 373
## 函数图象的维数
函数图象
函数在一点的 \( \delta \) 振幅 - 373
函数在区间上的 \( \delta \) 变差 373
函数在区间上的总变差 374
\( s \) 阶赫尔德条件 374
函数图象的闵科夫斯基维数 374
函数图象的豪斯多夫维数 374
外尔斯特拉斯函数的维数 374
伯西柯维奇函数的维数 374
拉德马赫级数的维数 374
占有密度 374
切饼集 374
切饼映射 375
测度熵 375
拓扑熵 375
压力 375
平衡测度 375
符号空间 375
吉布斯测度 375
码映射 375
切饼集的豪斯多夫维数的鲍恩公式 375
## 测度的分形结构
测度的分形结构 375
测度的豪斯多夫维数 375
测度的填充维数 376
测度的点态维数 376
维数与点态维数的关系 376
测度的奇异指数 376
测度的连续指数 376
测度的谱维数 376
自相似测度 376
康托尔测度 376
自相似测度的维数 376
测度的 \( {L}^{P} \) 维数 376
测度的 \( {L}^{\infty } \) 维数 - 376
测度的熵维数 377
测度的 \( {L}^{p} \) 维数的关系
测度的截集
热力学极限
勒让德变换 - 377
测度的重分形分析 377
重分形机理 377
基本不等式 377
二项测度 377
39
## 常 微 分 方 程
常微分方程 378
常微分方程组 379
常微分方程的阶
常微分方程的解 379
常微分方程组的积分 379
常微分方程的通解 379
常微分方程的通积分 379
常微分方程的特解 379
常微分方程的方向场 379
常微分方程的积分曲线 379
可分离变量方程 379
变量分离法 380
齐次微分方程 380
一阶线性微分方程 380
非齐次线性微分方程 380
齐次线性微分方程 380
常数变易法 380
伯努利方程 380
黎卡提方程 381
全微分方程 381
恰当微分方程 381
积分因子 381
一阶隐方程 381
一阶显方程
引入参数法
常微分方程的奇解
克莱罗方程
高阶微分方程 382
微分方程组的首次积分 382
## 线性常微分方程
线性常微分方程 382
\( n \) 阶线性常微分方程 382
线性微分方程组 382
齐次线性微分方程组 382
非齐次线性微分方程组 382
叠加原理 382
朗斯基行列式 383
刘维尔公式 383
基本解组
通解结构定理
常系数线性微分方程 (组)
欧拉方程 384
特征方程 384
待定系数法 384
拉普拉斯变换法 384
算子方法 385
幂级数解法 385
周期系数线性微分方程组 385
伴随微分方程 385
自伴微分方程 - 385
## 常微分方程初值问题
常微分方程初值问题 386
皮卡逐次逼近法 - 386
常微分方程解的存在惟一性 386
常微分方程解的延拓 386
解对初值和参数连续依赖性定理 386
解对初值和参数的可微性定理 386
## 常微分方程的边值问题
常微分方程的边值问题 387
两点边值问题 387
线性边值问题
齐次线性边值问题 387
非齐次线性边值问题
伴随边值问题 387
伴随边界条件 387
自伴边值问题 387
自伴特征值问题 387
斯图姆-刘维尔边值问题 388
奇异自伴边值问题 388
非自伴边值问题 388
非线性边值问题 389
## 常微分方程解析理论
常微分方程解析理论 389
柯西初值问题 389
柯西定理 389
优级数法 389
奇点 390
马尔姆奎斯特定理 390
正则奇点
第一类奇点 391
第二类奇点
非正则奇点 - 391
## 常微分方程基础
形式解阵 391
形式洛朗级数 392
形式对数和 392
形式对数阵 392
\( n \) 阶线性方程的奇点 392
富克斯方程
超几何方程
超几何函数
弗罗贝尼乌斯方法 393
表现定理 393
## 常微分方程定性理论
常微分方程定性理论 394
定常系统的奇点 394
非退化奇点 394
退化奇点 394
双曲奇点 394
哈德曼-格罗布曼定理
鞍点
结点
焦点 395
中心点 395
平面奇点的指标 395
无穷远奇点 395
庞加莱球面 395
闭轨 395
常微分方程的周期解 396
稳定极限环 396
不稳定极限环 396
半稳定极限环 396
极限环 396
极限环稳定性的判定 396
庞加莱映射 396
后继函数. 396
\( k \) 重极限环 396
安德罗诺夫定理 396
极限环不存在性判别法 396
本迪克松定理 397
迪拉克定理 397
极限环存在性判别法
庞加莱环域定理 397
极限环惟一性判别法 397
极限集理论 397
庞加莱-本迪克松定理 397
不变集 398
极小集 398
施瓦兹定理 398
旋转向量场理论 398
旋转向量场 398
希尔伯特第 16 问题. 398
结构稳定性 - 398
结构稳定系统 399
扰动 399
分支
环面上的微分方程
旋转数
达芬方程
## 常微分方程稳定性理论
常微分方程稳定性理论 400
稳定性 400
不稳定性 400
渐近稳定性 400
一致稳定性 401
齐次线性系统的稳定性 401
按一次近似决定稳定性 401
李亚普诺夫稳定性 401
李亚普诺夫特征数 401
李亚普诺夫第一方法
李亚普诺夫第二方法
李亚普诺夫函数
乘积空间中的稳定性
临界情形的稳定性 403
轨道稳定性 403
自治系统闭轨道的稳定性 404
李亚普诺夫函数的存在性 404
经常干扰作用下的稳定性 404
完全稳定性 4 |
2000_数学辞海（第3卷） | 7 | 分方程解析理论 389
柯西初值问题 389
柯西定理 389
优级数法 389
奇点 390
马尔姆奎斯特定理 390
正则奇点
第一类奇点 391
第二类奇点
非正则奇点 - 391
## 常微分方程基础
形式解阵 391
形式洛朗级数 392
形式对数和 392
形式对数阵 392
\( n \) 阶线性方程的奇点 392
富克斯方程
超几何方程
超几何函数
弗罗贝尼乌斯方法 393
表现定理 393
## 常微分方程定性理论
常微分方程定性理论 394
定常系统的奇点 394
非退化奇点 394
退化奇点 394
双曲奇点 394
哈德曼-格罗布曼定理
鞍点
结点
焦点 395
中心点 395
平面奇点的指标 395
无穷远奇点 395
庞加莱球面 395
闭轨 395
常微分方程的周期解 396
稳定极限环 396
不稳定极限环 396
半稳定极限环 396
极限环 396
极限环稳定性的判定 396
庞加莱映射 396
后继函数. 396
\( k \) 重极限环 396
安德罗诺夫定理 396
极限环不存在性判别法 396
本迪克松定理 397
迪拉克定理 397
极限环存在性判别法
庞加莱环域定理 397
极限环惟一性判别法 397
极限集理论 397
庞加莱-本迪克松定理 397
不变集 398
极小集 398
施瓦兹定理 398
旋转向量场理论 398
旋转向量场 398
希尔伯特第 16 问题. 398
结构稳定性 - 398
结构稳定系统 399
扰动 399
分支
环面上的微分方程
旋转数
达芬方程
## 常微分方程稳定性理论
常微分方程稳定性理论 400
稳定性 400
不稳定性 400
渐近稳定性 400
一致稳定性 401
齐次线性系统的稳定性 401
按一次近似决定稳定性 401
李亚普诺夫稳定性 401
李亚普诺夫特征数 401
李亚普诺夫第一方法
李亚普诺夫第二方法
李亚普诺夫函数
乘积空间中的稳定性
临界情形的稳定性 403
轨道稳定性 403
自治系统闭轨道的稳定性 404
李亚普诺夫函数的存在性 404
经常干扰作用下的稳定性 404
完全稳定性 404
全局渐近稳定性 404
绝对稳定性 405
拉萨尔不变原理 405
## 泛函微分方程
泛函微分方程 405
滞后型泛函微分方程
算子的原子性
中立型泛函微分方程
超中立型泛函微分方程 407
无穷时滞泛函微分方程 407
滞后型无穷时滞泛函微分方程 407
中立型无穷时滞泛函微分方程 407
偏差变元微分方程 407
泛函微分方程解的延拓 407
反向延拓定理 407
41
解的连续依赖性 408
解的平展性 408
点态退化系统 408
泛函微分方程的广义解 408
差分微分方程 408
初始集 408
分步法 408
解映射 409
解的等价类 409
滞后型差分微分方程 409
时滞系统 409
中立型差分微分方程 409
超前型差分微分方程 409
混合型差分微分方程 409
概周期泛函微分方程
滞后型概周期泛函微分方程
中立型概周期泛函微分方程
自治泛函微分方程 410
更新方程 410
特征方程 410
庞特里亚金定理 410
稳定的 \( D \) 算子 411
泛函微分方程的稳定性 411
稳定性依赖于初始时刻 411
稳定性依赖于滞量 411
大范围渐近稳定性 411
整体稳定性 411
大范围一致渐近稳定性 411
小时滞等价命题 411
大时滞稳定性 411
大时滞渐近稳定性 412
全时滞稳定性 412
拉兹密辛条件 412
李亚普诺夫泛函方法 412
\( D \) 划分法 412
楔函数 413
健忘泛函 413
一致健忘泛函 413
容许空间 413
解的振动性 413
周期解的存在性 413
概周期解 413
解的有界性
解的最终有界性
最终零解 414
线性泛函微分方程 414
解的指数估计 414
泛函微分方程的通解 414
基础解 414
常数变易公式 414
形式伴随方程 414
真实伴随算子 415
过程 415
\( \omega \) 周期过程 415
时滞动力系统 415
相轨 415
泛函微分方程的边值问题 - 415
## 概周期常微分方程
概周期常微分方程 416
周期系统 416
概周期系统 416
概周期函数 416
\( \varepsilon \) 平移数集 417
\( \varepsilon \) 概周期数集 417
\( T\left( {f,\varepsilon }\right) \) 的包含区间长 417
\( f\left( t\right) \) 的平移函数集 \( T\left( f\right) \) 417
\( f\left( t\right) \) 的外壳 417
函数的平均值 417
概周期函数的傅里叶级数 417
概周期函数的指数集 417
概周期函数的傅里叶指数 417
概周期函数的傅里叶系数
概周期函数的逼近定理 417
博赫纳-费耶尔多项式 417
概周期函数的模 417
概周期函数的模包含 418
概周期向量函数 418
一致概周期函数 418
一致概周期微分方程 418
非齐次线性概周期微分方程 418
壳方程 418
齐次壳方程 418
标准假设 418
渐近概周期函数 419
玻尔-诺伊格鲍尔理论 419
阿梅留定理 419
法瓦尔条件 419
法瓦尔定理 419
博赫纳定理 419
指数型二分性 - 419
谱点
拟周期函数 420
拟周期线性系统
概自守函数 420
概自守微分方程 420
关于解的极限集上一致稳定性 420
拓扑等价 421
结构稳定性 421
局部线性化 421
行优势
列优势 421
最小范数 422
壳扰动下的稳定性 422
强稳定性 422
可继承性 422
半分离解 422
李亚普诺夫函数法 422
平均法 423
## 抽象空间中的微分方程
抽象空间中的微分方程 423
抽象柯西问题 423
抽象柯西问题的皮卡定理 423
迪厄多内的例子
非紧性测度 424
抽象柯西问题局部解的存在性 424
抽象柯西问题解的存在惟一性
抽象柯西问题整体解的存在性 425
右端函数不连续的抽象柯西问题 425
闭集上的抽象柯西问题 425
闭集上的解的存在性 425
抽象空间的锥 425
正则锥 426
正规锥 426
算子的拟单调性 426
最大解和最小解的存在性 426
拟线性化方法 426
单调迭代方法 426
非线性二阶微分方程的边值问题
\( m \) 耗散算子
算子半群 427
压缩半群 427
\( {C}_{0} \) 半群 427
希尔-吉田耕作定理 427
非线性希尔-吉田耕作定理 427
余弦算子函数 427
余弦算子函数的生成定理 428
发展方程 428
发展系统 428
抛物发展系统 428
容许子空间 428
生成元的稳定族
双曲发展系统
\( {C}_{0} \) 半群的渐近稳定性 429
\( {C}_{0} \) 半群的指数稳定性 429
非线性算子半群的稳定性 429
对于非线性算子半群的不变原理 430
## 随机微分方程
随机微分方程
伊滕方程 431
伊滕积分 431
伊滕公式 431
## 偏 微 分 方 程
偏微分方程论 432
偏微分方程
偏微分方程组 433
偏微分方程的阶 433
数学物理方程 433
线性偏微分方程 433
非线性偏微分方程 433
半线性偏微分方程 433
拟线性偏微分方程 433
完全非线性偏微分方程 433
偏微分方程的自由项 433
偏微分方程的非齐次项 433
齐次偏微分方程 433
超定方程组 433
欠定方程组 433
确定方程组 433
偏微分方程的解 433
偏微分方程的积分曲面
正则解 434
经典解 434
广义解 434
强解 434
弱解 434
定解条件 434
43
## 偏微分方程的基本概念
边界条件 434
泛定方程 434
定解问题 434
初值问题 434
初始值 434
初始条件 434
柯西问题 434
边值问题 435
狄利克雷边值问题 435
诺伊曼边值问题
鲁宾边值问题 435
混合问题
初-边值问题. 435
齐次边值问题 435
非齐次边值问题 435
定解问题的解 435
解的稳定性 435
适定问题 435
不适定问题 435
数学物理中的反问题 435
正则化方法 436
赫尔德空间 436
## 一阶偏微分方程
一阶拟线性偏微分方程 436
一阶拟线性偏微分方程的特征方程 436
一阶拟线性偏微分方程的特征线 436
蒙日束 436
蒙日轴 437
蒙日向量 437
一阶非线性偏微分方程 437
蒙日锥 437
蒙日曲线 437
特征方向 437
一阶非线性方程的特征微分方程组 437
特征带 437
成带条件 437
全积分 437
通解 437
特解 437
奇解 437
泊松括号
哈密顿场 438
拉格朗日-查皮特方法
雅可比方法 438
对合方程组 439
哈密顿-雅可比方程. 439
哈密顿方程组 439
典则方程组 439
双特征带 439
双特征 439
次特征 439
光程函数方程 439
一阶偏微分方程的标准型 439
蒙日方程 439
一阶非线性方程的柯西问题 439
解柯西问题的特征线法 440
一阶半线性方程组的特征理论 440
一阶半线性方程组的特征方程
特征曲面 440
特征方向
一阶线性方程组的杜阿梅尔原理 440
## 高阶偏微分方程
高阶线性方程的特征方程 440
高阶线性方程的特征方向 441
高阶线性方程的特征曲面 441
高阶线性方程的分类 - 441
二阶线性偏微分方程的分类 441
二阶线性偏微分方程的标准型 441
发展方程 442
克莱茵-戈登方程 442
算子半群方法 442
薛定谔方程
弹性振动方程 442
弹性平衡方程
偏微分方程的基本解 - 442
柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理 443
卢伊关于无解的线性偏微分方程的例子 443
霍姆格伦的惟一性定理 443
二阶偏微分算子的格林公式 444
二阶偏微分算子的伴随算子 444
## 双曲型方程
双曲型偏微分方程 444
二阶线性双曲型方程 444
正则双曲型 445
波动方程 445
波动方程的基本解
弦振动方程 445
膜振动方程
特征超曲面 445
特征射线 - 445
特征劈锥面 445
特征劈锥体 445
时向曲线 445
时向曲面 445
空向曲面 445
几何光学近似方法 445
二阶线性双曲型方程的柯西问题 445
决定区域 446
影响区域 446
依赖区域 446
二阶线性双曲型方程的混合问题
齐次波动方程柯西问题的解 446
达朗贝尔公式
基尔霍夫公式 447
泊松公式
非齐次波动方程柯西问题的解 447
推迟势 447
降维法 447
惠更斯原理 447
前阵面 447
后阵面 447
波的弥散 447
波的后效应 447
能量积分 447
波动方程的能量不等式 448
能量积分法 448
二阶非线性双曲型方程 448
二阶退化双曲型方程 448
弱双曲型方程 448
高阶线性双曲型方程 448
哥尔丁意义下的双曲型方程 449
彼得罗夫斯基意义下的双曲型方程 449
狭义双曲型方程 449
正则双曲型方程 449
线性双曲型方程组 449
对称双曲型方程组 449
正对称方程组 449
正对称算子 449
弱双曲型算子 449
强双曲型算子
流体动力学方程组 449
纳维-斯托克斯方程
麦克斯韦方程 450
解的间断性 450
守恒律 450
守恒律的广义解 450
激波 450
冲击波 450
间断解 450
间断条件 450
郎金-于果里奥条件 450
黎曼问题 450
接触间断 451
简单波 451
稀疏波 451
中心简单波 451
中心稀疏波
黎曼不变量
初等波
熵条件 451
粘性消去法 451
\( \mathrm{{KdV}} \) 方程 451
孤立子 451
孤立波 451
散射反演法 451
散射量 452
## 椭圆型方程
椭圆型偏微分方程 452
二阶线性椭圆型偏微分方程
二阶强椭圆型偏微分方程
二阶严格椭圆型偏微分方程
一致椭圆型偏微分方程 452
具有非负特征形式的二阶方程 452
二阶退化椭圆型偏微分方程 452
拉普拉斯方程 452
位势方程 452
调和方程 452
拉普拉斯算子 452
调和算子 452
调和函数 452
下调和函数 452
上调和函数 452
弱极大值原理 452
霍普夫边界点定理 453
强极大值原理 453
狄利克雷问题 453
第一边值问题 453
闸函数 453
诺伊曼问题
第二边值问题
第三边值问题 453
鲁宾问题 454
椭圆型方程的弱解 454
椭圆型方程的广义解 454
平均值定理 - 454
45
哈纳克不等式 454
哈纳克收敛性定理 454
泊松方程 454
泊松积分公式 454
泊松积分 455
泊松核 455
亥姆霍兹方程 455
二阶拟线性椭圆型方程 455
散度形式算子 455
牛顿位势 455
拉普拉斯方程的基本解 455
弱导数 455
广义导数 456
索伯列夫空间 456
函数空间 \( {H}_{0}^{k}\left( \Omega \right) \) 456
索伯列夫不等式
索伯列夫嵌入定理 456
索伯列夫空间的紧嵌入定理
高阶偏微分算子的象征 457
\( m \) 阶线性偏微分算子 457
偏微分算子的主象征 457
高阶椭圆型偏微分算子 457
高阶强椭圆型偏微分算子 457
高阶一致强椭圆型偏微分算子 457
重调和算子 457
重调和方程 457
双调和方程 457
恰当椭圆型算子 457
正则椭圆问题 457
椭圆算子的狄利克雷问题 458
狄利克雷组 458
椭圆算子的格林公式 458
伴随组 458
伴随边值问题 458
自伴随边值问题 458
强迫双线性型 458
连续双线性型 459
有界双线性型 459
拉克斯-密格拉蒙定理. 459
\( V \) 强迫 459
勒雷-绍德尔不动点定理 459
哥尔丁不等式 459
指标算子 459
弗雷德霍姆算子 460
混合边值问题
椭圆型方程组 460
强椭圆型方程组
椭圆算子的特征值问题 460
椭圆算子的特征函数 460
拉普拉斯算子的特征值问题 460
## 抛物型方程
抛物型偏微分方程 460
二阶线性抛物型方程
退化抛物型方程 461
一致抛物型方程
抛物型方程的定解问题 461
初-边值问题 461
相容条件 461
热传导方程 461
热传导方程柯西问题的解 462
热传导方程柯西问题解的惟一性 462
吉洪诺夫解 462
热传导方程解的正则性 462
热传导方程解的渐近性 462
热传导方程解的半群性质 462
抛物型方程的拟基本解方法 462
抛物型方程的拟基本解 463
二阶线性抛物型方程的基本解 463
伴随方程 463
格林恒等式 463
抛物型方程的能量不等式 463
抛物型方程的极大值原理 464
霍普夫型边界点定理 464
比较定理 464
解的可微性 464
函数空间 \( {W}_{2}^{r, s}\left( {Q}_{T}\right) \) 464
函数空间 \( {\widehat{W}}_{2}^{r, s}\left( {Q}_{T}\right) \) 465
抛物型方程的广义解 465
自由边界问题 465
斯特凡问题 465
水坝渗流问题 465
浸润面问题 465
渗流方程 465
抛物型方程组 466
抛物权数 466
一致抛物型方程组 466
弱耦合抛物组的极大值原理 466
弱耦合抛物组 467
反应扩散方程组 467
破裂现象 467
## 混合型方程
混合型偏微分方程
恰普雷根方程 - 467
特里科米问题 467
特里科米方程 467
奇异初值问题 467
## 线性偏微分算子
象征类 \( {S}_{\rho ,\delta }^{m}\left( \Omega \right) \) 467
拟微分算子 468
局部算子 468
拟局部性质 468
拟局部算子 468
分布核 468
光滑算子 468
恰当子集 468
恰当支广义函数 468
恰当支分布 468
恰当支拟微分算子 468
实主型拟微分算子 469
紧子集上的可解性定理 469
局部可解性 469
局部可解性定理 469
\( {L}^{2} \) 有界性定理 .
紧性定理 469
椭圆型拟微分算子 469
拟基本解 469
左 (右) 拟基本解 469
拟逆 469
拟基本解存在定理 469
奇支集 470
亚椭圆算子 470
常系数微分算子 470
基本解的存在性定理 470
亚椭圆常系数微分算子 470
主型算子的亚椭圆性条件 470
椭圆型方程解的正则性 470
波前集 470
奇谱。 470
奇性传播定理 470
位相函数 471
振荡积分 471
振幅函数
傅里叶积分算子 471
典则变换
生成函数 471
主型算子 471
狭义主型算子 472
叶戈罗夫定理 472
拟微分算子的椭圆点 472
流形上的偏微分算子 472
## 格林函数
格林函数 472
自伴二阶常微分方程的格林函数 473
拉普拉斯算子的格林函数 473
亥姆霍兹方程的格林函数 473
二阶线性椭圆算子的基本解 473
二阶线性椭圆型方程狄利克雷问题的格
林函数 474
列维函数 474
热传导算子的格林函数 474
核函数 474
格林算子 474
高阶椭圆型方程的格林算子 474
高阶椭圆型方程的格林函数 - 474
## 变分解法与变分不等式
泛函的变分 475
泛函的极值 475
泛函的极值函数 475
变分问题 475
最速降线问题 475
短程线问题 475
欧拉方程 475
极值曲线 475
横截条件 475
条件极值变分问题 475
拉格朗日乘子法 476
等周问题 476
连续动态系统的最优控制 476
欧拉有限差分法 476
正定算子 477
极小化序列 477
狄利克雷原理 477
狄利克雷积分 477
变分原理 477
能量法 478
里茨方法
加廖尔金法
坎托罗维奇法
自然边界条件
临界点 478
临界值 479
PS 条件. 479
极大极小原理 479
山路引理 - 479
47
多解定理 479
三解定理 479
变分不等式 479
\( {\mathrm{R}}^{n} \) 空间中的变分不等式 479
希尔伯特空间中的变分不等式 480
障碍问题 480
重合集 480
拟变分不等式 480
分歧 480
分歧点 480
## 偏微分方程基本解法
分离变量法 480
双曲型方程的特征问题 481
古尔萨问题 481
皮卡问题 481
逐次逼近法 481
特征线法 481
黎曼函数 481
广义柯西问题的黎曼方法 482
黎曼公式 482
拉普拉斯变换 482
傅里叶变换 482
卷积 483
积分变换方法 483
差分法 483
格林函数方法
刘维尔定理 483
补法向微商
补法向量 483
斜微商问题 483
斜微商边界条件 484
正则斜微商边界条件 484
## 积 分 方 程
开尔文变换 484
亚历山德罗夫极大值原理 484
上接触集 484
法映射 484
玻尼极值原理 484
窄区域极值原理 484
弗雷德霍姆二择一定理 484
散度形式二阶线性椭圆型方程的解 485
先验估计 485
绍德尔估计 485
绍德尔内估计 485
绍德尔全局估计 485
德・吉奥基-纳什估计 485
弱哈纳克不等式
弱解的哈纳克不等式 486
解的 \( {L}^{p} \) 估计 486
解的 \( {L}^{p} \) 内估计 486
解的 \( {L}^{p} \) 全局估计 486
克里洛夫-萨弗诺夫估计 486
二阶完全非线性椭圆型方程 486
贝尔曼方程 486
蒙日-安培方程 487
极小曲面方程 487
指定平均曲率方程 487
索伯列夫空间的内插不等式 487
尼伦伯格不等式 487
弗里德里希斯不等式 488
庞加莱不等式 488
李亚普诺夫曲面 488
单层位势 488
单层位势导数的跃度关系 488
双层位势 - 488
双层位势的跃度关系 488
积分方程 489
线性积分方程 490
齐次积分方程 490
弗雷德霍姆积分方程 490
积分方程的核 490
对称核 490
埃尔米特核 490
反对称核 490
退化核的积分方程 490
积分方程的特征值 491
积分方程的特征函数 491
逐次逼近法 491
预解核 491
诺伊曼级数 491
弗雷德霍姆行列式 492
弗雷德霍姆公式 492
弗雷德霍姆定理 492
弱奇性核 492
对称核方程的性质 492
希尔伯特-施密特定理 - 492
施密特公式 493
核的展开定理 493
默塞尔定理 493
半正定核 493
正定对称核 493
非对称核的积分方程 493
埃尔米特核的积分方程 493
反对称核的积分方程 494
积分方程与微分方程的关系 494
第一类弗雷德霍姆积分方程
施密特-皮卡定理. 495
不适定问题
沃尔泰拉积分方程 495
阿贝尔积分方程 495
阿贝尔积分算子 495
斯蒂尔杰斯积分方程 496
福克斯积分方程 496
拉东积分方程 496
拉东变换 496
奇异积分方程 496
柯西型积分 497
柯西主值 497
普莱姆利-索霍茨基公式 497
普莱姆利-普里瓦洛夫定理 498
黎曼边值问题 498
黎曼问题 498
黎曼问题的指标 498
齐次黎曼问题的典则函数 498
齐次黎曼问题的一般解 498
非齐次黎曼问题的一般解 498
柯西核奇异积分方程 499
特征方程 499
特征算子 499
柯西奇异积分算子 499
奇异积分方程的指标
相联方程 499
相联算子
奇异积分方程的正则化 500
正则化算子 500
韦夸等价正则化定理 500
特征方程的解 500
希尔 |
2000_数学辞海（第3卷） | 8 | 全局估计 486
克里洛夫-萨弗诺夫估计 486
二阶完全非线性椭圆型方程 486
贝尔曼方程 486
蒙日-安培方程 487
极小曲面方程 487
指定平均曲率方程 487
索伯列夫空间的内插不等式 487
尼伦伯格不等式 487
弗里德里希斯不等式 488
庞加莱不等式 488
李亚普诺夫曲面 488
单层位势 488
单层位势导数的跃度关系 488
双层位势 - 488
双层位势的跃度关系 488
积分方程 489
线性积分方程 490
齐次积分方程 490
弗雷德霍姆积分方程 490
积分方程的核 490
对称核 490
埃尔米特核 490
反对称核 490
退化核的积分方程 490
积分方程的特征值 491
积分方程的特征函数 491
逐次逼近法 491
预解核 491
诺伊曼级数 491
弗雷德霍姆行列式 492
弗雷德霍姆公式 492
弗雷德霍姆定理 492
弱奇性核 492
对称核方程的性质 492
希尔伯特-施密特定理 - 492
施密特公式 493
核的展开定理 493
默塞尔定理 493
半正定核 493
正定对称核 493
非对称核的积分方程 493
埃尔米特核的积分方程 493
反对称核的积分方程 494
积分方程与微分方程的关系 494
第一类弗雷德霍姆积分方程
施密特-皮卡定理. 495
不适定问题
沃尔泰拉积分方程 495
阿贝尔积分方程 495
阿贝尔积分算子 495
斯蒂尔杰斯积分方程 496
福克斯积分方程 496
拉东积分方程 496
拉东变换 496
奇异积分方程 496
柯西型积分 497
柯西主值 497
普莱姆利-索霍茨基公式 497
普莱姆利-普里瓦洛夫定理 498
黎曼边值问题 498
黎曼问题 498
黎曼问题的指标 498
齐次黎曼问题的典则函数 498
齐次黎曼问题的一般解 498
非齐次黎曼问题的一般解 498
柯西核奇异积分方程 499
特征方程 499
特征算子 499
柯西奇异积分算子 499
奇异积分方程的指标
相联方程 499
相联算子
奇异积分方程的正则化 500
正则化算子 500
韦夸等价正则化定理 500
特征方程的解 500
希尔伯特变换 501
色散变换 501
希尔伯特核 501
希尔伯特边值问题 501
希尔伯特核奇异积分方程 501
诺特定理 502
拟弗雷德霍姆方程 502
拟弗雷德霍姆算子 - 502
卷积方程 - 502
卷积算子 - 502
维纳-霍普夫方程. - 502
维纳-霍普夫技巧 503
米尔恩方程
卷积型积分方程
差核积分方程 503
对偶积分方程 503
特普利茨方程 504
特普利茨算子 504
带位移的奇异积分方程 504
卡莱曼条件 504
高维奇异积分方程 504
高维奇异积分算子 505
里斯算子 505
广义维纳-霍普夫方程 505
维纳-霍普夫算子 505
维纳-霍普夫分解
诺特算子
广义弗雷德霍姆算子 506
算子的协核空间 506
半诺特算子 506
代数算子方程 506
代数算子 506
局部化理论 506
局部型算子 507
局部诺特算子 507
局部正则化算子 507
非线性积分方程 507
非线性弗雷德霍姆积分方程 507
非线性沃尔泰拉积分方程 507
哈默斯坦方程
非线性奇异积分方程 507
非线性积分算子 508
桑德拉塞卡尔 \( H \) 方程. 508
积分微分方程 508
弗雷德霍姆型积分微分方程 508
沃尔泰拉型积分微分方程 508
积分微分方程的初值问题 508
积分微分方程的边值问题 508
普朗托积分微分方程 508
特殊的函数方程 508
加性函数方程 509
一般加法定理 509
施罗德函数方程 - 509
阿贝尔函数方程 - 509
## 动 力 系 统
动力系统 510
## 拓扑动力系统
拓扑动力系统
离散动力系统 510
离散微分动力系统 511
流 511
连续动力系统 511
连续流 511
单参数变换群 511
光滑流 511
离散半动力系统 511
微分半动力系统 511
半流 511
连续半动力系统 511
时间 1 映射 511
时间 \( t \) 映射 511
扭扩 511
扭扩空间 512
第一返回映射 512
庞加莱映射 512
嵌入流
嵌入半流
嵌入问题
轨道 512
轨线 512
休止点 512
平衡点 512
临界点 512
奇点 512
周期轨道 512
不动点 512
周期轨道的周期 512
周期点 512
准周期点 512
局部截痕 512
有限管 513
不变集 513
\( \omega \) 极限集 513
\( \omega \) 极限点 513
\( \alpha \) 极限集 513
\( \alpha \) 极限点
泊松稳定轨道
正向泊松稳定轨道
负向泊松稳定轨道 513
\( P \) 式稳定轨道 513
平凡 \( P \) 式稳定轨道 513
渐近轨道 513
正向渐近轨道 514
负向渐近轨道 514
域回归性 514
非游荡点 514
游荡点 514
非游荡集 514
动力系统的中心 514
伯克霍夫中心 514
中心阶数 514
中心深度 - 514
链回归集
链回归点 514
准极小集
拉格朗日式稳定 - 515
拉格朗日式正稳定 515
拉格朗日式负稳定 515
吸引中心 515
极小吸引中心 515
回复轨道 515
回复运动 515
极小集 515
极小动力系统 515
几乎周期轨道 515
几乎周期运动 516
李亚普诺夫式稳定性 516
正李亚普诺夫式稳定性 516
负李亚普诺夫式稳定性 516
双侧李亚普诺夫式稳定性 516
完全非稳定动力系统 516
非固有鞍点 516
拓扑传递 516
拓扑可迁 - 516
链传递 - 516
链可迁 - 516
拓扑混合 - 516
链混合 516
特殊性 517
逆极限空间 - 517
转移同胚 - 517
可扩映射
可扩同胚 - 517
可扩流 517
伪轨跟踪性质 517
\( \alpha \) 伪轨 518
\( \beta \) 跟踪 518
\( \left( {\alpha, T}\right) \) 伪轨 518
\( \left( {\alpha, T}\right) \) 链 518
拓扑双曲不变集 518
公理 \( A \) 同胚 518
安诺索夫同胚 518
具有双曲坐标的同胚 518
拓扑安诺索夫同胚 518
拓扑安诺索夫映射
符号动力系统 518
转移自同胚 519
转移自同构 519
符号半动力系统 519
转移自映射 519
有限型子移位 519
双边拓扑马尔可夫链 519
单边拓扑马尔可夫链 519
移位不变集 519
## 一维动力系统
一维动力系统 519
逐段单调映射
区段 519
区段数 519
回转点 519
增长数 519
不变坐标 519
揉搓矩阵 520
揉搓增量 520
揉搓行列式 520
揉搓函数 520
上揉搓函数 520
下揉搓函数 520
上揉搓组 520
下揉搓组 520
揉搓组 521
揉搓序列 521
修正 \( \zeta \) 函数 521
负型不动点 521
施瓦兹导数 521
施瓦兹条件
沙可夫斯基序 521
沙可夫斯基定理
回复性定理 521
李-约克混沌 - 521
区间映射的伯克霍夫中心及中心深度 - 521
区间映射的 \( {C}^{r} \) 封闭引理. - 522
区间映射周期轨道的结构 - 522
简单周期轨道 - 522
极小周期轨道 - 522
## 微分动力系统
微分动力系统 522
\( {C}^{r} \) 流 523
\( {C}^{r} \) 向量场 523
\( {C}^{r} \) 常微系统 523
离散微分动力系统 - 523
\( {C}^{r} \) 微分动力系统 523
离散微分半动力系统 523
\( {C}^{r} \) 微分半动力系统 523
通有性 - 523
双曲线性映射 523
双曲线性同构 - 523
扩张子空间 523
收缩子空间 523
双曲线性向量场
双曲线性流
双曲不动点
双曲周期点
\( \lambda \) 引理 524
倾角引理 524
双曲奇点 524
渊点 524
源点 - 524
鞍点 524
双曲周期轨 524
初等不动点 524
简单奇点 525
橫截面 525
拓扑共轭 525
拓扑等价 525
\( {C}^{r} \) 结构稳定性 - 525
拓扑稳定性 525
半稳定性 526
半结构稳定性 526
\( \Omega \) 共轭 - 526
\( R \) 共轭 - 526
\( \Omega \) 等价 - 526
\( R \) 等价
局部拓扑共轭
局部拓扑等价 - 526
51
局部流等价 526
保向共轭 526
流等价 526
半共轭 526
因子 527
\( {C}^{r}\Omega \) 稳定性 527
\( {C}^{r}\mathrm{{CR}} \) 稳定性 527
拓扑 \( \Omega \) 稳定性 527
\( \Omega \) 半稳定性 527
绝对结构稳定 527
绝对 \( \Omega \) 稳定 527
不变集的 \( {C}^{r} \) 结构稳定性. 527
局部结构稳定性 528
不变集的半结构稳定性 528
双曲不变集
安诺索夫微分同胚
安诺索夫可微映射
扩张不变集
扩张映射 529
流的双曲不变集 - 529
安诺索夫流 529
安诺索夫向量场 529
哈特曼定理 529
哈特曼线性化定理 529
哈特曼-哥布曼定理 529
稳定流形 529
稳定集 530
不稳定集 530
局部稳定集 530
局部不稳定集 530
不稳定流形 530
局部稳定流形 530
局部不稳定流形 530
稳定流形定理 530
庞特里亚金-安德罗诺夫定理 530
莫尔斯-斯梅尔系统. 530
莫尔斯-斯梅尔向量场 531
莫尔斯-斯梅尔微分同胚 531
佩克索托定理 531
科普卡-斯梅尔定理 531
通有稠密性定理 - 531
线性横截条件 531
强横截条件几何式横截条件公理 \( A \) 结构稳定系统稳定性猜测类梯度微分同胚 \( {C}^{1} \) 封闭引理 532
\( {C}^{r} \) 封闭引理猜测 532
安诺索夫封闭引理 532
公理 \( A \) 系统 - 532
公理 \( A \) 流 532
谱分解 532
基本集分解 - 532
局部乘积结构 - 532
典型坐标 533
无环条件 - 533
基本集 533
马尔可夫分割 - 533
正规矩形
滤子 - 534
\( \Omega \) 爆炸
当儒瓦-施瓦兹定理 534
\( \zeta \) 函数 534
奇点指标 534
庞加莱-霍普夫指标定理 535
旋转数 - 535
奇异情形 - 535
遍历情形 535
当儒瓦流 535
环面上的无理流 535
查瑞流 536
托姆环面双曲自同构 536
环面自同态 536
斯梅尔马蹄 536
恩龙映射 - 536
横截相交 537
典范方程组 537
向量场的示性函数 537
阻碍集 - 537
正常集
常微系统族 \( \mathcal{X} \) - 538
常微系统族 \( {\mathcal{A}}^{\cdot \cdot } \) . 538
混杂的非游荡点 538
歧变集 538
极小歧变集 538
简单极小歧变集 - 538
## 复动力系统
复动力系统 538
法图集 538
茹利亚集
乘子 - 539
斥性周期点
中性周期点 539
吸性周期点 539
西格尔点 539
克莱姆点 539
芒德布罗集 539
法图分支 539
稳定域. 539
游荡分支 539
预周期分支 539
周期分支 540
不变分支
直接吸收盆
施罗德域
布确域 540
利玉域 540
抛物域 540
西格尔圆 540
阿诺尔德-霍曼环 540
贝克域 540
周期循环 540
临界点 540
临界点集 540
临界值 540
临界极限集 540
渐近值 540
奇异点 540
奇异点集 540
超奇异集 540
双曲亚纯函数 540
次扩张亚纯函数 540
扩张亚纯函数 540
法图分支的有界性 540
康托尔集 540
孤立若尔当弧 540
茹利亚集的测度 541
爆炸性 541
豪斯多夫维数 541
可测动力学 541
等价族 542
大轨道
交叉集 542
拟扩张亚纯函数 542
\( J \) 稳定 542
结构稳定 542
可交换函数 542
牛顿方法 542
松弛牛顿法 542
吸性盆 542
重正规化 542
类多项式映射 542
填充茹利亚集 542
无限重正规化 - 542
## 遍历性理论
遍历性理论 543
保测变换 543
可测变换 543
可逆保测变换 543
伯努利移位 543
马尔可夫移位 543
庞加莱回归定理 543
伯克霍夫遍历定理 543
遍历性 544
强混合 544
弱混合 544
惟一遍历性 544
不变测度的遍历分解 545
遍历分支 545
概率空间的同构
勒贝格空间
保测变换的同构
保测变换的谱同构 545
谱同构不变量 545
奥恩斯坦定理 545
保测变换的共轭 545
测度代数 545
测度代数的同构 546
可测分割 546
\( \zeta \) 集 546
分割 \( \zeta \) 的基 546
分割 \( \zeta \) 生成的 \( \sigma \) 代数 546
典型条件测度族 546
测度熵 546
柯尔莫哥洛夫-西奈不变量 546
条件熵 546
熵映射 - 546
柯尔莫哥洛夫-西奈定理 - 547
保测变换的生成元 547
保测变换的双边生成元
香农-麦克米伦-布莱曼定理
局部熵 547
拓扑熵 547
\( \left( {n,\varepsilon }\right) \) 分离集 548
\( \left( {n,\varepsilon }\right) \) 支架集 548
拓扑压 548
变分原理 548
53
平衡状态 548
西奈-吕埃尔-鲍恩测度 549
次可加遍历定理 549
乘法遍历定理 549
李亚普诺夫特征指数 549
柏森熵公式 550
柏森理论 550
吕埃尔不等式 550
稳定流形 550
特殊函数 551
伽马函数 551
阶乘函数 552
伽马函数的欧拉无穷乘积公式 552
伽马函数的外尔斯特拉斯无穷乘积公式 552
欧拉常数 552
斯特林公式 552
贝塔函数 552
普西函数 552
双伽马函数
多伽马函数
黎曼 \( \zeta \) 函数
广义 \( \zeta \) 函数
胡尔维茨ζ函数 553
默比乌斯函数 553
默比乌斯变换 553
默比乌斯反演 553
修正的默比乌斯变换 553
修正的默比乌斯反演 554
富克斯型方程 554
黎曼微分方程 554
黎曼 \( P \) 方程 554
超几何方程 554
超几何级数 554
高斯级数 555
超几何函数 555
超比函数 555
巴恩斯积分 555
不完全贝塔函数 555
托玛级数 555
广义超几何级数 555
巴恩斯广义超几何函数 555
二变量超几何函数
阿佩尔二变量超几何函数
矩阵变量的超几何函数 556
连带勒让德方程 556
勒让德方程 556
勒让德函数 556
第一类勒让德函数 557
第二类勒让德函数 557
## 特 殊 函 数
球函数 557
连带勒让德函数 557
第一类连带勒让德函数 557
第二类连带勒让德函数 557
\( m \) 阶 \( l \) 次连带勒让德函数 557
\( m \) 阶 \( l \) 次第一类连带勒让德函数 557
\( m \) 阶 \( l \) 次第二类连带勒让德函数 - 557
双轴球面函数 557
勒让德多项式的加法定理 558
面调和函数 558
带调和函数 - 558
田形调和函数
瓣状调和函数 558
立体调和函数 558
格根鲍尔函数 - 558
圆锥函数 558
圆环函数 558
超球微分方程 559
超球函数 559
汇合型超几何方程 559
库默尔方程 559
汇合型超几何函数 559
库默尔函数 559
波赫哈默尔围道 559
惠特克方程 559
惠特克函数 559
韦伯方程 - 560
抛物线柱函数 560
韦伯函数 \( {D}_{\nu }\left( z\right) \) - 560
不完全伽马函数 560
误差函数 560
余误差函数 - 560
概率积分
正态概率积分 - 560
菲涅耳积分
指数积分 561
对数积分 561
正弦积分 561
余弦积分 - 561
抛物函数 561
旋转抛物面函数 561
贝塞尔方程 561
贝塞尔函数 561
第一类贝塞尔函数
贝塞尔积分 562
第二类贝塞尔函数
诺伊曼函数 562
第三类贝塞尔函数 562
汉克尔函数 562
第一类汉克尔函数 562
第二类汉克尔函数 562
柱函数 562
洛默尔多项式 562
变形贝塞尔函数 563
第一类变形贝塞尔函数 563
第二类变形贝塞尔函数 563
巴赛特函数 563
球贝塞尔方程 563
球贝塞尔函数 563
第一类球贝塞尔函数 563
第二类球贝塞尔函数 563
球诺伊曼函数 563
第三类球贝塞尔函数 563
球汉克尔函数 563
平面波按柱面波展开 563
平面波按球面波展开 564
艾里函数 564
开尔文函数 564
汤姆森函数 564
斯图鲁弗函数 564
安格尔函数
韦伯函数 \( {E}_{\nu }\left( z\right) \) 564
洛默尔函数
诺伊曼多项式 565
施勒夫利多项式
椭圆积分 565
超椭圆积分 565
勒让德型椭圆积分 565
不完全椭圆积分 566
第一类不完全椭圆积分 566
第二类不完全椭圆积分 566
第三类不完全椭圆积分 566
完全椭圆积分 566
第一类完全椭圆积分 566
第二类完全椭圆积分 566
第三类完全椭圆积分 566
外尔斯特拉斯型椭圆积分 566
第一类外尔斯特拉斯型椭圆积分 566
第二类外尔斯特拉斯型椭圆积分 - 566
第三类外尔斯特拉斯型椭圆积分 566
椭圆函数 - 566
第一类椭圆函数 - 567
周期平行四边形
椭圆函数的阶
第二类椭圆函数
第三类椭圆函数
椭圆 \( \vartheta \) 函数
外尔斯特拉斯椭圆函数 567
外尔斯特拉斯 \( \zeta \) 函数 - 567
外尔斯特拉斯 \( \sigma \) 函数 567
余 \( \sigma \) 函数 567
雅可比椭圆函数 567
雅可比 \( \Theta \) 函数 568
雅可比 \( \zeta \) 函数 568
椭球坐标系 568
拉梅微分方程 568
拉梅函数 569
第一类拉梅函数 569
第二类拉梅函数 569
第三类拉梅函数 569
第四类拉梅函数 569
第一种拉梅函数 569
第二种拉梅函数 569
拉梅多项式 - 569
广义拉梅函数 - 569
周期拉梅函数 - 569
椭球调和函数 - 570
第一类椭球调和函数 - 570
第二类椭球调和函数 570
第三类椭球调和函数 570
第四类椭球调和函数 570
球体波函数
球体函数
希尔方程
马蒂厄方程 570
马蒂厄函数 571
第一类马蒂厄函数 - 571
椭圆柱函数 571
第二类马蒂厄函数 - 571
变形马蒂厄方程 571
变形马蒂厄函数 571
第一类变形马蒂厄函数 571
第二类变形马蒂厄函数 571
第三类变形马蒂厄函数 572
母函数 - 572
生成函数 - 572
55
欧拉多项式 572
欧拉数 572
伯努利多项式 572
伯努利数 572
勒让德多项式 573
正交多项式系 573
第一类切比雪夫多项式 574
第一类移位切比雪夫多项式 574
第二类切比雪夫多项式 574
第二类移位切比雪夫多项式 - 574
拉盖尔多项式 574
广义拉盖尔多项式 574
埃尔米特多项式 574
雅可比多项式 574
超几何多项式 575
格根鲍尔多项式 575
超球多项式 575
离散变量的正交多项式 - 575
## 附录 特殊函数公式
伽马函数 576
贝塔函数 578
普西函数 579
黎曼 \( \zeta \) 函数 580
广义 \( \zeta \) 函数 581
欧拉常数 581
超几何函数 582
超几何方程的基本解 583
超几何函数的邻次关系 584
超几何函数的二次变换 585
超几何函数的特殊值 586
特殊的超几何函数 587
超几何函数的渐近展开 588
勒让德函数 588
连带勒让德函数 591
\( m \) 阶 \( l \) 次连带勒让德函数 597
格根鲍尔函数 597
圆环函数 598
圆锥函数 598
库默尔函数 599
汇合型超几何方程的解 602
惠特克函数
不完全伽马函数 605
误差函数
概率积分 606
56
菲涅耳积分 - 606
对数积分 607
正弦积分
余弦积分 - 608
抛物线柱函数 608
柱函数的一般性质 610
第一类贝塞尔函数 610
第二类贝塞尔函数 613
第三类贝塞尔函数 614
半奇数阶贝塞尔函数 616
变形贝塞尔函数 617
半奇数阶变形贝塞尔函数 618
安格尔函数和韦伯函数 \( {E}_{\nu }\left( z\right) \) 619
艾里函数 620
斯图鲁弗函数 620
洛默尔函数 621
洛默尔多项式 623
诺伊曼多项式
施列夫利多项式 624
椭圆积分 624
外尔斯特拉斯椭圆函数 627
外尔斯特拉斯 \( \zeta \) 函数 628
外尔斯特拉斯 \( \sigma \) 函数和余 \( \sigma \) 函数 628
椭圆 \( \vartheta \) 函数 629
雅可比椭圆函数 629
雅可比 \( \zeta \) 函数 634
第一种拉梅函数 635
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2000_数学辞海（第3卷） | 9 | 让德多项式 573
正交多项式系 573
第一类切比雪夫多项式 574
第一类移位切比雪夫多项式 574
第二类切比雪夫多项式 574
第二类移位切比雪夫多项式 - 574
拉盖尔多项式 574
广义拉盖尔多项式 574
埃尔米特多项式 574
雅可比多项式 574
超几何多项式 575
格根鲍尔多项式 575
超球多项式 575
离散变量的正交多项式 - 575
## 附录 特殊函数公式
伽马函数 576
贝塔函数 578
普西函数 579
黎曼 \( \zeta \) 函数 580
广义 \( \zeta \) 函数 581
欧拉常数 581
超几何函数 582
超几何方程的基本解 583
超几何函数的邻次关系 584
超几何函数的二次变换 585
超几何函数的特殊值 586
特殊的超几何函数 587
超几何函数的渐近展开 588
勒让德函数 588
连带勒让德函数 591
\( m \) 阶 \( l \) 次连带勒让德函数 597
格根鲍尔函数 597
圆环函数 598
圆锥函数 598
库默尔函数 599
汇合型超几何方程的解 602
惠特克函数
不完全伽马函数 605
误差函数
概率积分 606
56
菲涅耳积分 - 606
对数积分 607
正弦积分
余弦积分 - 608
抛物线柱函数 608
柱函数的一般性质 610
第一类贝塞尔函数 610
第二类贝塞尔函数 613
第三类贝塞尔函数 614
半奇数阶贝塞尔函数 616
变形贝塞尔函数 617
半奇数阶变形贝塞尔函数 618
安格尔函数和韦伯函数 \( {E}_{\nu }\left( z\right) \) 619
艾里函数 620
斯图鲁弗函数 620
洛默尔函数 621
洛默尔多项式 623
诺伊曼多项式
施列夫利多项式 624
椭圆积分 624
外尔斯特拉斯椭圆函数 627
外尔斯特拉斯 \( \zeta \) 函数 628
外尔斯特拉斯 \( \sigma \) 函数和余 \( \sigma \) 函数 628
椭圆 \( \vartheta \) 函数 629
雅可比椭圆函数 629
雅可比 \( \zeta \) 函数 634
第一种拉梅函数 635
周期拉梅函数 636
## 椭圆积分和椭圆函数
## 超几何函数
## 汇合型超几何函数
## 球 函 数
## 伽马函数及其他相关函数
## 拉 梅 函 数
## 柱函数
马蒂厄函数 636
第一类变形马蒂厄函数 - 639
第二类变形马蒂厄函数 640
第三类变形马蒂厄函数 - 641
勒让德多项式 643
切比雪夫多项式 645
拉盖尔多项式 646
广义拉盖尔多项式 - 647
埃尔米特多项式 - 647
雅可比多项式 - 648
格根鲍尔多项式 - 649
## 其 他
欧拉多项式 650
欧拉数 650
伯努利多项式 650
伯努利数 - 651
## 正交多项式
## 马蒂厄函数
## 数
数学 (mathematics) 数学一词来自希腊文 \( {\mu \alpha \theta \eta \mu \alpha \tau \iota \chi }{\eta }^{\prime } \) ,其字根 \( \mu {\alpha }^{\prime }{\theta \eta \mu \alpha } \) 意义为知识、科学,它非常恰当地反映这个领域的广泛性与普遍性. 从历史上看, 数学常常用其某个侧面来表示: 中国古代用算学来强调其计算技术方面, 而西方多用几何学一词代表数学, 以显示欧几里得 (Euclid) 的《几何原本》传统, 而实际上, 其中也包括数论和量论的内容. 随着时间的流逝, 数学的内容不断地扩大, 在 17- 18 世纪直至 19 世纪, 被包括在数学领域内的许多学科和分支已经独立出去, 而在各学科的边界又不断创造和衍生出一系列新的学科, 这些新学科现在已融合而成面向 21 世纪的庞大的数学科学领域, 它是一个具有内在统一性的科学技术群. 以下从四个方面进行论述:
1. 数学的对象和特点. 数学中最原始的对象是数与形. 自然数已经是相当抽象的概念, 它不仅要从一个苹果、一间房子、一堆沙土中抽象出数 1 来, 而且还要由数 1 得出更一般数的概念. 有了自然数的概念还会遇到基数和序数的矛盾. 至于记数法和位值制都是中国对人类文明的伟大创造, 这种伟大创造绝不仅仅是对自然界的认识和对哲学思辨的产物, 它真正体现数学的成就. 数学另一个原始对象是形, 它更为直观, 甚至长期以来人们也把它当成自然科学的对象, 尽管柏拉图 (Plato) 早就说过, 三角形属于理念的世界. 当然现在数学的空间远远超出现实的空间, 数学中的 “形”也不限于人们感官能摸得着、看得见的东西, 它是更抽象的概念, 如高维空间、 无穷集合、群、拓扑等是任何其他学科都不研究的对象. 数学作为一门模式科学, 应该归入更广泛的符号和形式科学类. 这一类似乎应该介于哲学类与具体科学, 即自然科学与社会科学之间. 它的姊妹学科包括一般符号学、语言学、逻辑学、方法学以及还未成型的一般系统学. 有意思的是, 有些数学家也认为 “数学是一种语言”、“数学可还原为逻辑”、“数学是一种普遍方法”等, 这些说法尽管有些偏颇, 但毕竟触到数学与自然科学的本质差别以及数学与符号科学的亲缘关系. 数学的本质特征是:
1) 数学是一种普遍语言. 这种观点可以追溯到莱布尼茨 (Leibniz, G. W. ), 他首先提出科学与哲学的两大目标, 其中第一个就是找出一种普遍文字, 首先是一种符号及变元表示的符号语言. 正如吉布斯 (Gibbs, J. W. ) 所说的“数学是一种语言”. 吉布斯不仅是 19 世纪最伟大的统计热力学大师之一, 而且也学是向量分析的开创者及传播者. 在 19 世纪 90 年代, 英国著名的杂志《自然》上掀起的一场大辩论中, 向量最终取代四元数而成为物理学普遍使用的概念. 19 世纪和 20 世纪之交, 向量分析成为数学、物理学的有效工具, 更确切地说, 成为描述各种现象的语言. 数学概念的产生及其符号化反映了数学的进步, 算术运算的符号化及向符号代数过渡, 几何学的代数化, 微分、积分运算的符号化, 函数的符号及行列式、矩阵、向量、张量等概念的符号化, 复数的表示, 算子演算以及符号逻辑等都是数学的重要进展. 在这个意义下数学对象是一个符号集合. 单纯的符号集合, 正如裸的集合一样, 没有结构, 没有什么可说的, 没有什么意思, 而只有它具有形式结构 (语法学), 有一定的解释 (模型一一语义学), 有一定变换、 生成、操作、运用方式 (语用学), 它才能变得丰富多彩起来. 数学作为一种普遍语言有自己的特点, 比起纯逻辑语言来有内涵的丰富性, 而比起通常语言来有外延的确定性. 数学不仅是一种语言, 它还是一种精密语言. 正因为如此, 它常被称为精密科学. 数学之所以精密, 不单是因为其数量表示, 还在于它越来越深入那些以前所无法表示的或非实在的概念, 如瞬时速度、加速度、位势、熵、谱等. 对于许多直观概念,也只有在数学上才能得到很好处理, 如连续性、 对称性、随机性乃至信息控制、策略、对策、决策等. 数学还明确了一些对立的范畴, 如有穷与无穷、连续与离散、局部与整体、确定与偶然等. 还有重要的元概念: 如结构、构造、存在、模型、等价等. 这些语言越来越深入到科学乃至日常生活之中, 使论述确切及精密. 许多常用概念也只有在数学上得到澄清才算有深刻的认识.
2) 数学是一种普遍方法. 从古到今, 对许多问题求出解答的过程中, 人们或多或少产生一种方法的意识. 而这种方法概念, 又以数学中的算法概念为摹本. 在这个意义下, 数学充分显示其作为操作技术的特性. 虽然精确的算法概念一直到 20 世纪 30 年代才有确切定义, 但模糊的概念很早就有, 而且也是数学追寻的主要目标之一. 中国的数值运算及方程求解、欧几里得辗转相除法以及印度、阿拉伯的一些算法, 都使人认识到算法是一种有限的指令, 可以机械地运行, 从而对一类问题得出确定的解答. 许多几何作图问题以及求积问题也要求发现广义的“算法” 来求解问题. 笛卡儿 (Descartes, R. ) 把算法推向普遍方法论的高度, 他十分明确地考虑造出普遍方法来解决科学问题, 特别是数学问题, 对此他称为普遍数学. 正是这种对方法的普遍考虑使他发明代数方法研究几何问题, 从而创立解析几何学. 波利亚 (Polya, G. ) 把笛卡儿的方案总结如下:
任意问题
\( \overset{\text{ ① }}{ \rightarrow } \) 数学问题
\( \overset{\left( 2\right) }{ \rightarrow } \) 代数问题
\( \overset{\text{③}}{ \rightarrow } \) 解方程组 \( \left\{ \begin{array}{l} {P}_{1}\left( {{X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}}\right) = 0, \\ {P}_{n}\left( {{X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}}\right) = 0 \end{array}\right. \)
\( \overset{\left( 4\right) }{ \rightarrow } \) 解方程 \( P\left( x\right) = 0 \) ,
其中第③, ④ 步无非是数学, 第②步并没有一般方法, 第①步则困难更大. 莱布尼茨也把找出能求解任何数学问题的普遍算法列为他第二大目标. 笛卡儿在几何方面实现这个目标, 而莱布尼茨则在逻辑上制定一个方案. 数学作为一种普遍方法, 总是不断跨越已有的领域, 深入到未知的世界中去, 并且不断创造新的数学对象. 17-18 世纪, 无穷及无穷小进入数学, 把代数运算规则向无穷领域推广, 这就导致数学分析的形式, 并且构成方法上的大飞跃. 19 世纪由实分析向复分析过渡, 再次加大分析方法的威力.
3) 数学是一种普遍思想原则. 数学发展过程中由于不断一般化、不断抽象化造成自己的普遍思想原则. 对称性原则、不变性原则、守恒律三者统一是 1918 年诺特 (Noether, (A. ) E. ) 首先提出的, 而群论方法在量子力学、原子-分子结构、核结构、基本粒子理论中的适用性也是外尔 (Weyl, C. H. H. ) 首先得出的. 群论方法至今仍广泛应用在科学的各方面, 而不仅仅是上述领域及固体物理. 数学中另一个重要原则是极值原则或变分原理, 最早除了哲学的思辨之外, 首先提出的是费马 (Fermat, P. de), 这些原则也是其后许多物理理论的基础, 如哈密顿原理.
4) 数学是一种理性思维框架. 20 世纪之前, 科学的支柱主要是理论和实验 (包括观察和测量), 数学和计算包括在理论当中. 实际上, 17 世纪的科学革命推动近代科学的产生, 完全依赖于理性与经验的结合. 它们的哲学根源是笛卡儿的唯理主义与培根 (Bacon, R. ) 的经验主义, 他们也是近代哲学之父. 确切地讲, 笛卡儿把认识论置于本体论之上, 把哲学从神学的奴仆地位解放出来, 成功地实行思想的解放, 直接推动近代科学的产生, 其中, 理论概念、 数学工具与观察实验结合在一起是牛顿 (Newton, I. ) 科学革命的催生婆. 牛顿成就其伟业不仅在于他提出正确的理论概念 (特别是力), 而且在于他提供了数学工具 (微积分) 及分析框架, 尽管当时还是用欧几里得的几何系统. 其后科学的重大进步, 理论概念及数学表述和计算的结合仍是不可缺少的一环. 第二次世界大战以后, 计算机的发展与计算技术的进步使得科学计算与理论和实验鼎足而三, 并列为科学的三大支柱. 近年来, 由于数学的发展, 从数学出发的理论越来越多地成为科学理论形成的始作俑者. 这特别表现在 1974 年, 纤维丛理论成为规范场理论的标准表述. 其后越来越多的前沿数学领域进入物理学及其他科学领域, 形成新兴理论框架, 实际上数学已成为科学发展第四根支柱. 对于生命科学、 心理科学、社会科学, 这种现象早已不是新事物. 数理经济学以及对策论是这方面的最典型的例子.
2. 数学的分科及其主要问题. 数学不是一般意义上的自然科学或社会科学, 它的对象及研究目标不像这些学科那样明确和集中. 从古到今, 数学中所包含的对象、学科及分支变化多端. 中世纪除了算术及几何学之外, 天文学及乐理也是数学的分支. 到 17 世纪, 木工、石工、建筑、火器、占星术等都是数学的内容. 从那时起, 静力学、动力学、光学、地图绘制法等仍然被看成大数学的一部分, 尽管它们早已成为独立学科. 数学内容的庞杂也可以说是数学的一大特征了. 除此之外, 许多基础的数学学科, 它们的内容也有很大的改变, 甚至于面目全非了. 经典代数学主要研究代数方程的求解, 而经过几次变化, 现代代数学主要研究代数结构. 这样一来, 数学的统一尽管多次被提起, 但是总难以概括全部数学. 因此, 时至今日, 数学仍然是具有多样性对象也具有多种目标的学科, 尽管它们之间有着千丝万缕的联系. 人们把数学归结为相互关联的六大范畴, 其中前三个可以说是数学的技术方面, 后三个可以说是数学的理论方面.
1) 操作技术. 大部分最早的数学问题属于解决 “如何”的技术问题. 最初的问题包括计数、计算、测量、作图等方面, 后来逐步形成特殊的及一般的数学问题. 在解决这些问题的过程中, 形成了算法以及操作步骤的概念. 在计算过程中, 形成了算术, 特别是解数值代数方程的算法. 到近代, 这推动符号代数学、求解代数方程的技术以及把这些技术推广到无穷算法以及代数综合方法的代数方法, 从而形成无穷小演算及解析几何学. 其后各个数学分支也提出相应的算法问题, 例如拓扑学中计算同调群、同伦群等. 从这个意义上讲, 数学在本来意义上是一种计算技术, 或更广一点讲是操作技术. 而研究这种技术的目标就是发明算法或解题的步骤, 以求得问题的解决. 应该说, 这是一种富有创造性的研究工作. 以计算为例, 就是由精确计算到近似解析计算到数值计算到计算机软件, 它一直是数学研究的重要内容. 除计算之外, 还有测量、绘图、统计、运筹等操作, 以及相应的和衍生的各种问题. 例如古典几何有许多几何作图问题, 特别是用圆规、直尺的几何三大问题, 以及更一般的作图方法. 为了解决这些问题, 还要发明许多技术, 如各种投影技术, 它们至少在过去都属于大数学范围之内. 在数学分析的范围内, 级数求和、渐近展开、积分变换等都是高级的计算技术.
2) 技术理论. 对数学操作的对象, 应该有些认识, 其中包括表示问题、操作规则与规律问题、可计算性问题、无穷级数收敛与发散问题、收敛速度问题、方程可解性问题、逼近的程度及可能性问题、作图的可能性问题, 特别是方法的评价问题等. 这样就形成与操作技术有关但又高一层次的学科, 如数值分析、误差理论、函数逼近论、丢番图逼近理论、可解性及稳定性理论等.
3) 操作对象理论. 它的目标不是指向对象本身, 而是指向技术, 指向求解的方法. 例如丢番图方程论、代数方程论、代数方程组理论、常微分方程论、 偏微分方程论、积分方程论等. 它们涉及的不是单个方程, 而是一类的对象, 因此首要问题是分类问题. 然后再对每一类研究解的数目、解的性质、根与系数的关系、某类解的存在性问题等, 微分方程的定性理论也属于这一范畴.
以上三大范畴是解决“如何”的技术问题, 而以下三大范畴才是解决“什么”的理论问题.
4) 对象理论. 理论是对确切定义的对象的性质、关系、刻画、分类等的研究. 典型的数学理论有数论、函数论、算子论以及各种几何对象理论、过程理论等. 以数论为例, 重要的分支按对象分有整数论、 代数数论、超越数论等. 按方法分有初等数论、解析数论、概率数论等. 按问题的性质分有型的算术理论、几何数论等, 也包括数论中的丢番图方程理论. 函数论与算子论一开始也是表示问题, 特别是无穷级数及无穷乘积表示, 然后是积分表示等, 其次涉及值分布等可以说是计数问题, 另外还有刻画及分类问题. 几何图形有许多性质与关系方面的问题, 如度量性质以及相交、属于等关系, 也有刻画及分类问题.
5) 结构理论. 结构理论与对象理论之间并没有一条不可逾越的鸿沟, 这样划分是因为结构理论必须建立在集合的基础之上. 按照布尔巴基学派的观点, 原始的结构可以划为三大类, 研究它们各自的结构就形成结构数学的主要分支: ① 代数结构: 主要是群、环、域、模, 它们分别构成群论、环论、域论、模论; ② 序结构: 主要是格, 它们构成格论; ③ 拓扑结构: 主要是拓扑空间, 它们构成一般拓扑学的研究对象. 这些抽象的研究对象有两个来源: 一是从过去研究的具体对象抽象化, 特别是公理化而成, 如群、域以及拓扑空间这些抽象结构衍生出来. 新结构的产生有如下的几种途径: ① 增减公理; ② 复合结构; ③ 多重结构; ④ 混合结构. 研究这些抽象对象的目标是搞清楚它们的结构并加以分类. 所谓结构, 就是元素 (或它们的集合) 和元素之间的关系. 结构数学的主要问题大致可分为互相关联的四类问题: ① 刻画问题; ② 分类问题; ③ 结构问题; ④ 实现问题.
6) 元理论. 元数学理论是对数学本身进行反思的产物, 长期属于哲学的范畴. 它讨论数学概念、数学理论的合理性以及数学方法的合法性问题. 19 世纪末之前, 对于数是什么以及非欧几何问题, 特别是数学分析的严格性的争论均属于这个范畴. 19 世纪末, 集合论的建立, 现代公理方法的提出, 符号逻辑的形成, 以及关于数学基础问题的论战, 最终导致作为一门数学分支的数理逻辑的形成. 由于哥德尔 (Gödel, K. ) 的工作, 数理逻辑成为包括模型论、公理集合论、递归论和证明论 (原始的和狭义的元数学) 四大分支的数学领域, 其后分别形成构造性数学和计算复杂性理论等新兴学科. 除了以集合论为基础的现代数学之外, 范畴论也成为一门元理论, 在数学中有着有效的应用.
3. 数学的发展和演化. 数学的内容及范围随时间不同而不同, 因此有言: “数学无非就是它的历史. ”数学史大致可如下分期: 前史时期; 古代及中世纪时期 (从公元前 4 世纪到 16 世纪末); 近代前期 (17-18 世纪); 近代后期 (19 世纪); 现代时期 (20 世纪). 每一个时期的特点简要分析如下:
1) 前史时期. 前史时期的数学主要是民族数学或文化数学, 在各种文化的发展过程中, 各民族都或多或少掌握一些简单的数学技术, 包括计数、计算、 测量、土木建筑、绘图等, 基本上属于实用技术. 这些知识是零散的, 而且反映出较大的文化差异. 另外, 也出现了神秘的占星术、数秘术、占卜术等, 其中有个别涉及数学的内容, 如二进制等. 各种建筑上的对称图案以及正多面体的列举包含群的观念的萌芽.
2) 古代及中世纪时期. 数学经过长时期的发展之后, 正式成为一门学科, 其主要标志是: ① 建立数的表示及计算方法; ② 对于一些问题有较系统的方法. 这使数学技术部分初步形成. 而欧几里得《几何原本》的问世, 则使理论数学有了一个原型. 各国数学发展状况有所不同, 古代数学的主要领域是算术与几何, 希腊具有初等的数论及量论以及一些基本的几何问题及数论问题. 这些问题对以后的数学发展有很大的影响, 但不一定很重要, 比较重要的数学是计算, 特别是解方程. 中国、印度、阿拉伯的数学, 偏重于计算及实际问题的解决.
3) 近代前期. 近代数学诞生的标志是符号化的普遍算法的建立以及无穷进入数学. 它一下子使建立在几何及算术上的算法登上了一个新台阶, 不仅使它的应用范围大大扩大, 成为发展科学技术的有力工具, 而且也向理论提出一系列问题. 这就导致 19 世纪操作理论、操作对象理论、对象理论的产生, 出现数学多样化和理论化的时代. 17 世纪符号代数、解析几何学及微积分的建立, 虽然大大扩大了数学技术库, 但是并没有改变数学主要是一门实用的计算及操作技术的状态. 数学作为一门计算技术进步惊人, 特别是微积分的完成, 解决了许多天文、力学及物理学的问题. 微积分本身只不过是一种更有效的演算方法, 即所谓无穷小演算. 接着是常微分方程及数学物理方程的出现, 以及变分法的诞生, 使数学工具更为有效.
4) 近代后期. 19 世纪数学是近代数学的成熟时期, 也是数学真正作为自为的理论科学产生的时期, 但是伴随操作理论 (如最小二乘法及误差理论、 级数求和理论、函数逼近理论及丢番图逼近理论)、 操作对象理论 (如代数方程理论、常微分方程理论), 数学技术本身也大有提高, 特别是傅里叶展开、积分变换, 尤其是复分析的建立. 19 世纪的数学可以说是数学对象化与多样化时期, 一方面把数学由主要是操作技术转变为理论的时期, 另一方面也为 20 世纪现代数学奠定了基础. 这样, 数学对象理论真正形成, 数学成为一种自为的科学而不再仅是自然科学或技术的语言和工具了.
5) 现代时期. 20 世纪的数学是从 19 世纪数学多样性时期趋于统一的时期, 其统一的基础是集合论. 一方面集合论之上产生了结构数学的庞大领域, 另一方面集合论的基础问题产生了元数学. 数学新对象的形成, 产生结构的多样性, 导致理论的多样性, 并且 19 世纪末以前的四大范畴的数学仍有新的发展, 加上新的应用数学、计算数学等领域, 数学日趋专门化、多样化. 但意想不到的是, 从 20 世纪 70 年代起, 各个领域之间新关系不断发现, 新一轮的统一性正在形成之中. 当代数学前沿的大多数学科是 20 世纪上半叶形成的, 其中主要是抽象代数学 (包括群论、环及代数理论、域论、格论、整体李群理论、 代数群论、同调代数以及各种衍生结构)、一般拓扑学、测度和积分理论、泛函分析 (包括线性拓扑空间理论、算子代数理论等)、组合及代数拓扑学、整体微分几何、多复变函数论、动力系统理论、随机过程理论等. 对于 19 世纪开创的新领域一代数数论、代数几何学、黎曼几何学和局部李群理论, 也在结构数学的框架中获得重大突破, 成为当代数学的前沿.
20 世纪后期形成的一些领域, 如微分拓扑学、 大范围分析、 \( K \) 理论、非交换几何等,也可在其中看到其萌芽. 除了纯粹数学领域的扩大与深化之外, 20 世纪的应用数学和计算数学的面貌也发生了根本的改变. 一方面数学应用的范围已从 20 世纪之前的经典力学、天文学与测地学以及数学物理等领域扩展到几乎所有自然科学、工程技术、社会科学、人文科学的分支, 并越来越起着举足轻重的作用; 另一方面, 一批新的应用数学领域产生出来, 成为具有相对独立的分支, 构成大数学科学的组成部分. 它们一方面与实际问题有密切的关系, 另一方面它们也形成独立的数学研究方向, 其中最典型的是 19 世纪末 20 世纪初形成的数理统计, 它们同应用概率一起在近半个世纪已经成为与经典数学平起平坐的学科领域. 另外一个数学领域一一组合数学几乎与数学的历史一样悠久, 但只是近半个多世纪才逐步成熟及独立. 第二次世界大战之后, 一些新的应用数学领域独立出来, 特别是运筹学诸分支, 后来纳入管理科学的学科群中. 与工程技术密切相关的系统科学、控制理论与自动化科学、信息科学也得到空前的发展.
20 世纪科学技术史中头等重要的事件是电子计算机的诞生. 它对整个社会的冲击是怎么估计也不过分的. 从计算机的设计制造到大规模应用, 处处离不开数 |
2000_数学辞海（第3卷） | 10 | 于统一的时期, 其统一的基础是集合论. 一方面集合论之上产生了结构数学的庞大领域, 另一方面集合论的基础问题产生了元数学. 数学新对象的形成, 产生结构的多样性, 导致理论的多样性, 并且 19 世纪末以前的四大范畴的数学仍有新的发展, 加上新的应用数学、计算数学等领域, 数学日趋专门化、多样化. 但意想不到的是, 从 20 世纪 70 年代起, 各个领域之间新关系不断发现, 新一轮的统一性正在形成之中. 当代数学前沿的大多数学科是 20 世纪上半叶形成的, 其中主要是抽象代数学 (包括群论、环及代数理论、域论、格论、整体李群理论、 代数群论、同调代数以及各种衍生结构)、一般拓扑学、测度和积分理论、泛函分析 (包括线性拓扑空间理论、算子代数理论等)、组合及代数拓扑学、整体微分几何、多复变函数论、动力系统理论、随机过程理论等. 对于 19 世纪开创的新领域一代数数论、代数几何学、黎曼几何学和局部李群理论, 也在结构数学的框架中获得重大突破, 成为当代数学的前沿.
20 世纪后期形成的一些领域, 如微分拓扑学、 大范围分析、 \( K \) 理论、非交换几何等,也可在其中看到其萌芽. 除了纯粹数学领域的扩大与深化之外, 20 世纪的应用数学和计算数学的面貌也发生了根本的改变. 一方面数学应用的范围已从 20 世纪之前的经典力学、天文学与测地学以及数学物理等领域扩展到几乎所有自然科学、工程技术、社会科学、人文科学的分支, 并越来越起着举足轻重的作用; 另一方面, 一批新的应用数学领域产生出来, 成为具有相对独立的分支, 构成大数学科学的组成部分. 它们一方面与实际问题有密切的关系, 另一方面它们也形成独立的数学研究方向, 其中最典型的是 19 世纪末 20 世纪初形成的数理统计, 它们同应用概率一起在近半个世纪已经成为与经典数学平起平坐的学科领域. 另外一个数学领域一一组合数学几乎与数学的历史一样悠久, 但只是近半个多世纪才逐步成熟及独立. 第二次世界大战之后, 一些新的应用数学领域独立出来, 特别是运筹学诸分支, 后来纳入管理科学的学科群中. 与工程技术密切相关的系统科学、控制理论与自动化科学、信息科学也得到空前的发展.
20 世纪科学技术史中头等重要的事件是电子计算机的诞生. 它对整个社会的冲击是怎么估计也不过分的. 从计算机的设计制造到大规模应用, 处处离不开数学, 同时也开辟了新的数学领域. 它们可以归纳成两大部分: 一是计算机科学, 它指未来计算机的发展; 一是计算数学, 它指计算机在科学计算和工程技术中的大规模计算. 计算机的不断普及和改进对数学也造成不可忽视的影响. 它给数学家提出一系列算法问题, 并形成一套行之有效的算法, 如单纯形方法及其种种改进, 有限元方法及其衍生算法等, 对算法的分析, 如收敛速度、误差传播及稳定性等问题形成数值分析分支. 近年来, 计算机由数值运算过渡到符号运算, 形成计算机代数重要分支, 特别是吴文俊的机械化数学纲领在机器证明方面是一大突破.
4. 数学的社会功能. 数学是最古老的科学部门, 它的诞生和发展反映人类文明的进步. 数学从一开始就与社会实践活动密切相关, 从计数、土地丈量、 器物制造、产品分配, 一直到商业贸易、宗教活动等都向数学提出问题, 并要求逐步解决和方法逐渐进步, 最后形成相对定型的数学方法和学科. 从此, 各种社会活动与数学的应用密不可分. 随着社会的进步, 特别是近代科学技术的进步和新兴产业日新月异, 数学也越来越成为科学技术发展的基础. 从 17 世纪到 19 世纪, 数学与力学、天文学、物理学、大地测量学、航海术就密不可分, 互相促进地平行发展着. 对于机械工程、建筑工程设计、电机工程等技术领域的发展, 数学也起着决定性的作用. 20 世纪数学科学的巨大发展, 比以往任何时代都更加令人信服地确立了数学作为整个科学技术的基础地位. 数学物理、数学化学、生物数学、数理经济学、数理地质学、数理语言学、数值天气预报、数学考古等一系列边缘学科的出现, 表明数学的应用已突破传统的范围而向人类一切知识领域渗透. 随着科学数值化趋势的增长, 数学在提高全民素质, 培养适应现代化需要的各级人才方面还具有特殊的教育功能. 数学科学, 已成为推进人类文明的不可缺少的重要因素, 数学正越来越直接地为人类生活与物质生产做出更大的贡献. 数学应用具有以下特点:
1) 纯粹数学几乎所有的分支都获得应用. 在 20 世纪 60 年代, 像拓扑学这样的抽象数学分支离实际应用似乎还很遥远, 而今拓扑学 (特别是扭结理论) 已成为生物学中了解 \( {DNA} \) 结构的有效工具. 在物理学中, 拓扑不变量正在成为物理的量, 正如一些群的不变量是物理的量一样. 数论也曾被认为是最纯粹、最缺乏应用的数学分支, 但如今数论方法在计算机科学、密码技术、卫星信号传输、 \( p \) 进量子场论等许多方面发挥着重要的有时甚至是关键的作用, 并通过与数值分析相结合开辟着更广的应用途径. 事实上, 仅就在理论物理中的应用而言, 涉及的数学除了经典的分支与方法 (如数学物理方程、傅氏分析、 无穷维空间论、群论、概率统计等), 还包括了微分拓扑、微分几何、大范围分析、代数几何、李群与李代数、算子代数、代数数论、非交换数学、非线性数学、 计算数学等, 几乎覆盖了核心数学的整个领域.
2) 几乎所有的科技领域都在应用数学, 并越来越多地应用更高深的数学. 数学在力学、物理学中的应用是经受了历史考验的, 而当今数学的应用则早已突破这一传统的范围, 正在向包括从粒子物理到生命科学, 从航空技术到地质勘探在内的一切科技领域进军. 除了自然科学, 经济学及过去认为不适用数学的社会学、历史学等社会科学领域, 数学方法也都在崭露头角. 随机分析应用于金融决策而引起的经济学理论的进展, 提供了特别令人鼓舞的例证. 与以往时代不同的是, 数学在向外渗透过程中越来越多地与其他领域相结合而形成交叉学科. 与数学有关的词大量出现在各门学科之前后, 如“数学的”、 “数理的”、“计量的”、“统计的”、“计算的”以及“…… 数学”、“……统计学”等. 学科成熟的社会标志是学会、协会的建立, 期刊与连续出版物的问世, 以及课程的设置, 专业会议的召开等. 例如, 《数学化学杂志》于 20 世纪 80 年代创刊,《数理经济学杂志》于 20 世纪 70 年代创刊, 生物数学的期刊出现更早. 次一级的学科如“数学分类学”的著作早在 20 世纪 80 年代就问世了. 值得注意的是纯粹数学中的一些前沿与其他科学的许多前沿领域的快速结合, 这反映了科技领域中数学渗透的空前深度. 可以这样说, 没有这些前沿数学就没有当代理论物理学的一些前沿领域, 如超弦理论、超引力理论等. 事实上, 仅仅像弦理论这样的物理学热门分支所用到的数学, 就涉及微分拓扑学、代数几何学、微分几何、群论与无穷维代数、复分析与黎曼曲面的模理论等. 凝聚态物理中分类晶体结构中的“缺陷”以及液晶理论, 都用到某些齐性空间中同伦群的计算, 而这即使对代数拓扑学家来说也是极难的问题. 数理经济学中一般均衡理论的建立、发展, 也用到了微分拓扑学的基本定理与彻底的公理化方法. 经济学家德布鲁因 (de, Brui-jn, N. G. ) 这方面的工作获得了诺贝尔奖.
3) 数学在生产技术中的应用变得日趋直接. 以往数学工具直接用于生产技术的例子虽有发生, 但数学与生产技术的关系基本上是间接的. 常常是先应用于其他科学, 再由这些科学提供技术进步的基础. 近半个世纪来, 数学科学与生产技术的相互作用方式正在悄悄地改变, 数学提供的工具直接影响和推动技术进步的频率正在加大, 并在许多情况下产生巨大的经济效益. 例如, 以计算流体力学为基础的数值模拟已成为飞行器设计的有效工具, 类似的数值模拟方法正被应用于许多技术部门以替代耗资巨大的试验; 以调和分析为基础发展起来的小波分析直接应用于通信与石油勘探等广泛的技术领域, 这在 20 年前是不能想象的; 现代医学扫描技术 \( ({CT} \) 扫描、核磁共振成像等)主要也是建立在拉东积分理论的基础之上, 这方面的例子举不胜举. 此外, 现代大规模生产的管理决策、产品质量控制也密切依赖于数学中的线性规划算法 (单纯形法与新兴的内点法) 及统计方法. 近年来, 以数学建模为核心的工业数学成为一个蓬勃发展的应用数学领域也绝不是偶然的, 产业部门的工程技术人员与数学工作者携手合作, 解决影响甚至决定生产过程的形形色色的数学问题, 反之, 许多挑战性问题也刺激纯数学的发展.
4) 数学在学科发展中的份额及力度越来越大. 一些著名的数学家认为, 数学是一种关键的、普遍适用的、赋予人以能力的技术. 从某种意义上来讲, “高技术本质上是一种数学技术”. 对此, 一般人还只在科学计算的层面来理解. 而实际上, 数学方法是不同于理论方法及计算方法的第四个普遍适用的方法和技术. 这种情况从 20 世纪 70 年代以来已初露端倪, 在 21 世纪将成为科学研究的重要组成部分, 而且也许是最富创造性的部分, 这特别表现在形成概念及理论框架方面. 实际上, 当前的动力系统的研究 (分叉、吸引子)、孤立子、混沌等已成为许多领域的通用语言及工具, 而更艰深的数学将在未来更为普及.
执 笔 胡作玄
审 阅 吴文俊 程民德 徐利治
分析学 (analysis) 数学的一个分支学科. 它是以微积方法为基本工具, 以函数为主要研究对象的众多数学经典分支及其现代拓展的统称. 简称分析.
20 世纪初年以前, 一般将全部数学分为三大基本分支: 分析学、几何学和代数学. 当然, 对于现代数学, 已难于做如此的概括. 象微分方程和概率论等学科, 它们的创立都与分析密切相关, 但由于它们各有独特的研究对象, 从而发展了各自的庞大系统, 不能继续将它们归属于分析学. 一般而论, 现代分析可分为实分析、复分析和包括泛函分析在内的抽象分析三大部分, 它的研究对象已不限于函数, 研究方法也日益综合. 在本辞海中, 由于复分析和泛函分析已专门论述, 这里主要对实分析方面作一概括介绍. 分析这个学科名称, 大约是由牛顿 (Newton, I. ) 最早引入数学的, 因当时微积分被看做代数的扩张, “无穷” 的代数, 而 “分析”与“代数”同义. 今天它所指虽然更广, 但仍然只是对所含学科方法上共同特点的概括, 而且愈来愈不容易与几何、代数的方法完全分清了.
分析学中最古老和最基本的部分是数学分析. 它是在 17 世纪为了解决当时生产和科学提出的问题, 经过许多数学家的努力, 最终由牛顿和莱布尼茨 (Leibniz, G. W. ) 创立的. 但是为分析建立严格逻辑基础的工作却迟至 19 世纪方才完成. 此后, 数学分析才成为一个完整的数学学科. 数学分析是最早系统研究函数的学科, 它所研究的虽说基本上只是一类性质相当好的函数一一区间上的连续函数, 但无论在理论上或应用方面至今都有重要意义. 在理论方面, 数学分析是分析学科的共同基础, 也是它们的发源地. 现代分析的诸多分支中, 有一些在其发展初期曾经是数学分析的一部分 (例如变分法、傅里叶分析以至复变函数论等), 而另一些则是在数学分析的完整体系建立以后, 由于各种需要, 在对数学分析中的某些问题的深入研究和拓广之中发展起来的, 像实变函数论、泛函分析和流形上的分析就属于这种情况.
19 世纪末到 20 世纪初, 由于某些数学分支 (例如傅里叶分析) 和物理等学科发展的需要, 不但促使数学分析中函数可积的概念逐步明确, 还进一步要求将积分推广到更广的函数类上去, 希望积分运算更加灵活方便. 同时, 在对数学分析中各个基本概念之间的关系的继续探讨中 (例如, 微分和积分互为逆运算在一般意义上是否成立), 人们也感到必须突破数学分析的限制. 在这方面, 20 世纪初, 由勒贝格 (Lebesgue, H. L. ) 提出的积分理论有重大意义, 而实变函数论的中心内容就是勒贝格积分的理论. 作为黎曼积分的推广, 勒贝格积分不仅可积函数类广, 还具有可数可加性等良好性质, 积分号下求极限的条件也较宽松, 它的理论已经发展得充分完备, 因而更适合数学各分支及物理的需要. 由于勒贝格可积函数的空间 (函数类) 的完备性, 使它在数学理论上占据黎曼积分所不可能有的重要地位. 实变函数论同数学分析一样, 也研究函数的连续性、可微性、可积性这些基本性态, 但由于应用了集合论的方法, 使它有可能研究一般点集上的函数, 从而研究的结果比数学分析更广、更完善. 因此, 实变函数论也成为分析学各分支 (特别是泛函分析等近代分支) 的共同基础之一. 在关于微分和积分是否互为逆运算的问题上, 勒贝格积分的结果就比黎曼积分情形进了一步. 但是, 为了彻底解决这个问题, 后来又有人提出过多种更广的积分理论, 例如, 当儒瓦积分和佩龙积分, 最后由广义当儒瓦积分 (1916 年) 对前述问题作了肯定的回答. 然而, 这些积分除了在特定的理论问题上有重要意义外, 远不如勒贝格积分普遍适用. 勒贝格积分是建立在勒贝格测度的基础之上的, 后者向抽象方面进一步发展, 又促使对于测度的系统研究形成独立的学科, 这就是测度论. 测度是面积、体积概念的推广, 它和积分概念始终紧密相联, 测度论的思想和理论在现代分析中是十分重要和很有用的.
分析学的诸多经典分支, 或分析学各学科的经典部分中, 数学分析、单复变函数论和实变函数论具有基础性质, 它们全面研究所论函数的基本性态. 除此以外, 它的大多数分支主要从某个侧面去研究函数. 例如, 调和分析主要研究函数用傅里叶级数 (或傅里叶变换) 表示的问题, 并利用这种表示去研究函数的性态. 事实证明, 这是研究函数重要而有效的途径, 它的思想和方法在许多数学分支中用到. 函数逼近论研究用某些性质良好的函数逼近一般函数的可能性及误差 (逼近阶) 等性质, 以及反过来用这些性质去刻画函数. 凸分析主要研究一类重要的非线性函数一凸函数. 经典的变分法研究泛函的极值问题, 这里的泛函一般限于含有变元函数的积分, 因此也可以说它还是研究函数的. 在今天, 这些以函数为主要对象的经典学科, 仍然是分析学的重要组成部分.
分析学的各经典学科多形成于 17 至 19 世纪之间, 但除去数学分析、单复变函数论和实变函数论的基础内容已基本定型之外, 其他的都在不断拓展它们的研究领域. 象调和分析是从一元函数的傅里叶级数理论发展起来的, 原来也称为傅里叶分析, 但是现在它的主要内容却是多元 (函数的) 调和分析和群上的调和分析 (抽象调和分析), 从研究的问题到方法上都有很大变化. 在一些问题中, 傅里叶变换逐渐被别的由它演变来的更有力的工具替代, 因而很难继续用后一名称来概括它的全部内容. 函数逼近论在初期主要讨论用代数的或三角的多项式逼近连续函数的有关问题, 而现在它所考虑的作为逼近工具的特殊函数和被逼近函数的类型都丰富多了. 从这些学科的发展中可以看到, 它们的研究对象正随之发生变化. 与其说它们现在研究的仍然是函数, 不如说主要是某些函数空间 (函数类) 和算子 (变换) 更为恰当, 有关研究已推广到了群、流形或其他抽象的基域上. 位势论的发展有类似的情况. 经典的位势论研究牛顿位势 (一类偏微分方程边值问题的积分形式的解), 而现代位势论中所讨论的一般位势, 实质上与牛顿位势相似, 无非是关于某种测度对适当的核的特殊积分算子. 群上的位势论也正在发展. 对诸如此类的空间及算子抽象、系统的研究属于泛函分析. 它是 20 世纪初发展起来的学科, 是经典分析在近代的拓展. 另一个新的分析学科是流形上的分析, 一般认为它在 20 世纪中期才形成独立分支. 它研究定义在流形上的函数, 而流形上一般没有统一坐标, 只在每点存在与欧氏空间中的开集同胚的邻域, 因此, 流形上的局部分析与经典的欧氏空间的分析相仿, 整体分析则复杂得多, 流形上的分析指的就是后者 (或称大范围分析). 它可以在流形这个全新背景之下, 研究与各个经典分析学科相应的问题, 是经典分析的现代拓展. 例如, 大范围变分法充实了大范围分析的内容, 它既是变分法的现代发展, 又可以看做流形上的分析的一部分. 由于流形上的函数的性态与流形本身的几何、拓扑性质密切相关, 从而可以认为, 流形上的分析是分析学与几何、拓扑、代数互相综合的产物. 这也反映了现代数学发展的特点.
各学科密切联系、相互渗透与综合是现代数学发展的重要特点. 现代分析学的发展, 除了依靠本身的基础之外, 特别吸收和利用了集合论、代数以及拓扑的思想和方法. 已经提到的泛函分析和流形上的分析的形成和发展就是如此. 再如, 抽象调和分析和大范围变分法等, 它们的基本问题还属于经典分析的推广, 可是方法上完全离不开代数和拓扑, 并都已形成独立的分支. 离散化的方法在分析中用得越来越多,一些抽象代数的概念和理论被用到过去与它无缘的分析问题中. 至于分析学内部各学科的结合就更多了, 特别是泛函分析与其他经典学科的结合, 现在已很平常. 广义函数理论已普遍成为许多经典分析领域的研究工具. 前面提到过调和分析等学科对某些函数空间及算子的研究, 这方面问题的提法和研究方法都有很多借鉴于泛函分析, 并依赖于算子论的成果, 又有各自的特点, 代表了各自的发展方向, 从而对泛函分析也是补充和发展. 其次, 实分析与复分析的结合, 近年来也很引人注目. 哈代空间理论的发展, 可以作为这方面的典型例子. 在 20 世纪初, 它完全是复变函数论的一部分, 20 世纪 60 年代以后, 在此基础上发展了多元哈代空间的实变理论, 这又促进了多复变函数论在这方面的研究. 分析学还与其他许多数学学科在内容上有复杂的交叉, 思想和方法上联系密切. 其中一些是长期存在而又有所发展的, 如调和分析、变分法、位势论与微分方程的关系, 而新近的则如调和分析、位势论与概率论的联系都是很突出的例子, 这对双方学科的发展都很有影响. 现在, 这类相互间的联系、渗透和综合已经十分普遍和深入, 这就使得分析学的研究者, 或者只想学习和了解现代分析的人, 都应有多方面的数学知识基础.
分析学属基础数学范畴. 作为纯粹数学学科, 分析学的发展虽不以在科学技术中的应用为直接目的, 然而随着时代的发展, 很多抽象的数学概念和理论都在物理以及现代科技中找到实际背景或应用. 微积分的创立, 本来就有物理方面的源泉, 所以分析学与物理的紧密联系从牛顿时代就开始了. 以后在不同时代建立的一些分析学科 (如变分法、位势论等) 发展了这种关系. 现代分析中对于某些算子的研究以及流形上的分析理论等在物理中的应用就更深入了. 同时, 电子计算机的发展不仅扩大了数学的应用范围, 另一方面, 而且也为数学理论研究提供了有力工具. 在分析学方面, 函数逼近论的某些方向 (如样条函数逼近等) 曾显得十分活跃, 就因为它在与计算机相联系的计算数学中有广泛的应用. 又由于计算机使许多最优化问题有可能实际求解, 进而推动了变分法和凸分析的某些方向的发展. 傅里叶分析在图象和信号处理的应用中, 一直是重要的工具, 最近发展起来的小波分析借助于计算机, 在许多科学分支 (如天体物理和地球物理等) 中得到更广泛的应用. 其实, 计算机对数学的影响, 决不限于某些应用及与它直接相关的理论方面. 计算机的发展已直接影响到数学教学, 并将进一步影响到整个数学的发展. 近年来由于机器证明有新的突破, 人们日益注目于数学推理的构造性以及数学的机械化, 这对于分析学这样的纯粹数学学科, 无例外地将有越来越大的影响.
总之, 分析学自微积分创立以来, 历经三百余年的发展, 至今形成一个庞大的分支体系. 它影响和改变了整个数学的面貌. 在现代科学技术的推动下, 分析学仍在蓬勃地向前发展.
分析 (analysis) 分析学的简称.
## 撰 稿 常心怡 审 阅 程民德
微分方程 (differential equation) 常微分方程与偏微分方程的总称. 包含未知函数的导数 (或偏导数) 的等式称为微分方程. 未知函数只有一个自变量的微分方程称为常微分方程, 例如等式
\[
\frac{{\mathrm{d}}^{2}z}{\mathrm{\;d}{t}^{2}} = - g
\]
是描述大地上自由落体的常微分方程,其中 \( g \) 是重力加速度,未知函数 \( z = z\left( t\right) \) 是物体在时刻 \( t \) 的铅直位置. 未知函数有多个自变量, 因而包含未知函数的偏导数的微分方程称为偏微分方程, 例如, 弦振动方程
\[
\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {t}^{2}} = {a}^{2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}^{2}}
\]
是人们最早研究的偏微分方程之一,其中 \( {a}^{2} = T/P \) , \( T \) 与 \( P \) 分别是弦的张力与线密度,未知函数 \( u = \) \( u\left( {x, t}\right) \) 是弦上点 \( x \) 在时刻 \( t \) 的横向位移. 微分方程论 (简称微分方程) 是数学的一个重要的分支学科.
微分方程的研究开始于 17 世纪末, 几乎与微积分同时出现. 牛顿 (Newton, I. ) 和莱布尼茨 (Leibniz, G. W. ) 创造微分与积分时, 指出了它们是互逆运算, 从而解决了最简单的微分方程
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = f\left( x\right)
\]
的求解问题. 人们用微积分研究力学、物理、天文和几何问题时发现越来越多的微分方程, 微分方程研究中的成果几乎都迅速地在相应学科中得到应用, 从而促进这些学科的发展. 例如, 牛顿研究天体运动的微分方程, 从理论上得到了原来由开普勒 (Kepler, J. ) 凭经验发现的行星运行规律. 1758 年, 克莱罗 (Clairaut, A. C. ) 用微分方程的级数解计算出哈雷彗星将在 1759 年出现在近地点的日期. 1846 年, 勒维耶 (Le Verrier, U. J. J. ) 根据对行星运行规律的微分方程作数值分析的结果预言, 太阳系应该有海王星存在并确定出它在天空中的位置.
满足微分方程的函数, 即使微分方程变为恒等式的函数称为微分方程的解. 人们对微分方程的研究自然是从求出解的显式表达开始. 从 17 世纪末到 18 世纪中期, 在这一方面最重要的成果有: 莱布尼茨提出的分离变量法, 雅各布・伯努利 (Bernoulli, J. ) 提出并解决了的一个特殊非线性常微分方程 (现在称为伯努利方程)
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = P\left( x\right) y + Q\left( x\right) {y}^{n - 1},
\]
欧拉 (Euler, L. ) 等人得到的常系数线性常微分方程的一般解法,以及弦振动方程 (1) 的达朗贝尔解 \( u = \) \( \phi \left( {x - {at}}\right) + \psi \left( {x + {at}}\right) \) . 人们发现,微分方程总有无穷多个解. 常微分方程的解会含有一个或多个任意常数, 而偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数. 这种含有任意常数或任意函数的解称为微分方程的通解. 但是, 微分方程中只有很小一部分可以求出用初等函数表示的显式通解. 考虑到力学、物理学中的实际微分方程问题并不在于求出通解, 而是需要求出满足某些补充条件 (称为定解条件) 的解. 研究同时满足微分方程及定解条件的解的问题称为定解问题. 最早研究的定解问题有: 常 |
2000_数学辞海（第3卷） | 11 | 出了它们是互逆运算, 从而解决了最简单的微分方程
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = f\left( x\right)
\]
的求解问题. 人们用微积分研究力学、物理、天文和几何问题时发现越来越多的微分方程, 微分方程研究中的成果几乎都迅速地在相应学科中得到应用, 从而促进这些学科的发展. 例如, 牛顿研究天体运动的微分方程, 从理论上得到了原来由开普勒 (Kepler, J. ) 凭经验发现的行星运行规律. 1758 年, 克莱罗 (Clairaut, A. C. ) 用微分方程的级数解计算出哈雷彗星将在 1759 年出现在近地点的日期. 1846 年, 勒维耶 (Le Verrier, U. J. J. ) 根据对行星运行规律的微分方程作数值分析的结果预言, 太阳系应该有海王星存在并确定出它在天空中的位置.
满足微分方程的函数, 即使微分方程变为恒等式的函数称为微分方程的解. 人们对微分方程的研究自然是从求出解的显式表达开始. 从 17 世纪末到 18 世纪中期, 在这一方面最重要的成果有: 莱布尼茨提出的分离变量法, 雅各布・伯努利 (Bernoulli, J. ) 提出并解决了的一个特殊非线性常微分方程 (现在称为伯努利方程)
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = P\left( x\right) y + Q\left( x\right) {y}^{n - 1},
\]
欧拉 (Euler, L. ) 等人得到的常系数线性常微分方程的一般解法,以及弦振动方程 (1) 的达朗贝尔解 \( u = \) \( \phi \left( {x - {at}}\right) + \psi \left( {x + {at}}\right) \) . 人们发现,微分方程总有无穷多个解. 常微分方程的解会含有一个或多个任意常数, 而偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数. 这种含有任意常数或任意函数的解称为微分方程的通解. 但是, 微分方程中只有很小一部分可以求出用初等函数表示的显式通解. 考虑到力学、物理学中的实际微分方程问题并不在于求出通解, 而是需要求出满足某些补充条件 (称为定解条件) 的解. 研究同时满足微分方程及定解条件的解的问题称为定解问题. 最早研究的定解问题有: 常微分方程的初值问题及两点边值问题, 弦振动方程及热传导方程的初-边值问题, 以及用分离变量法解这两种初-边值问题得到的常微分方程的特征值问题. 由于得出初等函数显式解的可能性很小, 人们转向用无穷级数方法求解或用没有积出的积分来表示解.
牛顿、莱布尼茨和欧拉都曾利用现在仍然采用的待定系数法求出过一些初等常微分方程的幂级数解. 1816 到 1824 年, 德国哥尼斯堡天文台台长贝塞尔 (Bessel, F. W. ) 在考查行星运动中, 对现在所称的贝塞尔方程
\[
{x}^{2}\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{\;d}{x}^{2}} + x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} + \left( {{x}^{2} - {n}^{2}}\right) y = 0
\]
进行了系统的研究,求出了它的一个解 \( {J}_{n}\left( x\right) \) (称为第一类贝塞尔函数)的积分表达式
\[
{J}_{n}\left( x\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\cos \left( {{nu} - x\sin u}\right) \mathrm{d}u
\]
及级数表达式
\[
{J}_{n}\left( x\right) = \frac{{x}^{n}}{{2}^{n}\Gamma \left( {n + 1}\right) }\left\{ {1 - \frac{{x}^{2}}{{2}^{2} \cdot 1!\left( {n + 1}\right) }}\right.
\]
\[
\left. {+\frac{{x}^{4}}{{2}^{4} \cdot 2!\left( {n + 1}\right) \left( {n + 2}\right) } - \cdots }\right\} ,
\]
并对整数 \( n \) 给出了递推公式
\[
x{J}_{n + 1}\left( x\right) - {2n}{J}_{n}\left( x\right) + x{J}_{n - 1}\left( x\right) = 0.
\]
当 \( n \) 不是整数时,贝塞尔方程第二个解是 \( {J}_{-n}\left( x\right) \) . 对于整数 \( n \) ,汉克尔 (Hankel, H. ) 于 1869 年求出了贝塞尔方程的第二个级数解 \( {Y}_{n}\left( x\right) \) (称为第二类贝塞尔函数). 欧拉及高斯 (Gauss, C. F. ) 发现的超几何函数及由发现者命名的勒让德函数、拉梅函数、埃尔米特多项式等特殊函数都在 19 世纪 40 年代以前, 作为特殊常微分方程的解先后得到. 傅里叶 (Fourier, J. B. J. ) 于 1822 年发表的《热的解析理论》, 不仅根据物理原理推导出三维的热传导方程, 而且由于他揭示出函数可以展开成三角函数、贝塞尔函数及勒让德多项式的无穷级数这个普遍事实, 从而利用这些函数的级数展式解决了许多热传导问题. 19 世纪 40 年代, 斯图姆 (Sturm, C. F. ) 和刘维尔 (Liouville, J. ) 系统研究了二阶常微分方程的特征值问题, 得出了相当详尽的结果, 由于对微分方程求出解的问题越来越困难, 人们开始考虑给定的微分方程定解问题是否有解的问题. 1840 年, 柯西 (Cauchy, A. L. ) 利用欧拉早就提出的近似解法 (所谓欧拉折线法) 证明, 对常微分方程初值问题
\[
\left\{ \begin{array}{l} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = f\left( {x, y}\right) , \\ y\left( 0\right) = {y}_{0}, \end{array}\right.
\]
(1)
当折线边数无限增加、边长无限缩小时, 这些折线有一极限函数就是它的解. 1842 年, 柯西进一步将常微分方程的研究由实数域扩展到复数域, 在方程右端 \( f\left( {x, y}\right) \) 是解析函数的条件下,对常微分方程初值问题 (1) 用幂级数求解, 用强函数方法证明级数收敛, 从而建立了解的存在唯一性定理. 强函数方法又为柯西 (在 1842 年) 和柯瓦列夫斯卡娅 (KoBaJIeBcKaA, C. B. ) (在 1875 年) 推广应用于复数域中的偏微分方程组的初值问题, 证明了解析解的存在和唯一性, 这就是现在所说的柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理. 对微分方程定解问题, 一般需要研究下列三个问题:
1. 是否有解.
2. 有几个解.
3. 解是否连续依赖于定解条件.
微分方程的解存在、唯一、且解连续依赖于定解条件的定解问题称为适定的. 适定的定解问题可以进行近似计算求解并在实际中应用. 根据力学、物理实际对描述波传播的弦振动方程及描述不可逆过程的热传导方程一般研究初值问题或初-边值问题, 对描述平衡现象的调和方程
\[
{\Delta u} \equiv \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {y}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {z}^{2}} \equiv 0
\]
一般研究边值问题. 这些定解问题的适定性都先后从数学理论上得到证明.
19 世纪末到 20 世纪初是微分方程发展的重要时期. 在对弦振动方程、热传导方程及调和方程这三个典型二阶偏微分方程有了较多研究之后, 人们开始转向一般二阶线性偏微分方程. 利用特征这一重要概念, 人们把方程分为双曲型、抛物型和椭圆型三种基本类型, 上述三个典型方程分别是它们的代表. 研究表明, 三个典型方程的定解问题的提法、解的性质及适定性理论基本上可以推广到它们所代表的三种类型方程. 1923 年, 特里科米 (Tricomi, F. G. ) 首先研究了混合型方程
\[
y\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {y}^{2}} = 0
\]
这个方程当 \( y > 0 \) 时是椭圆型的,而当 \( y < 0 \) 时是双曲型的, 接着人们结合空气动力学中跨音速流对混合型方程进行了许多研究. 受伽罗瓦 (Galois, E. ) 创立群论处理代数方程的方法的影响, 1881 年至 1886 年, 庞加莱 (Poincaré, (J. -) H. ) 在研究太阳系中行星和卫星运动的稳定性问题中, 对常微分方程不是研究一条积分曲线, 而是考虑所有积分曲线和它们的关系, 研究了常微分方程的解在四类奇点 (焦点、 鞍点、结点、中心)附近的性态, 根据解对极限的关系判定解的稳定性, 得出了一系列重要结果, 开创了常微分方程的定性理论. 李亚普诺夫 (Jlanyhob, A. M. ) 于 1892 年开创了运动稳定性理论, 提出了解决常微分方程组稳定性的两种方法, 成为研究常微分方程定性理论的一个重要分支.
20 世纪中期以来, 物理、力学、工程技术、生物学和化学, 甚至一些社会科学 (例如人口理论) 不断提出大量微分方程的新问题. 同时, 由于函数论、泛函分析等数学学科的发展, 给微分方程提供了新的思想和研究方法. 微分方程的发展进入了新的阶段. 在工程控制论中提出了带有时滞的常微分方程或称微分差分方程、微分差分方程及更广义的泛函数分方有了很大的发展, 由于广义函数和广义解概念的引进和各种泛函数分析方法的应用, 偏微分方程从二阶各种类型线性方程一般理论的建立发展到各种非线性偏微分方程问题研究. 由于电子计算机的出现与发展, 促进了各种微分方程近似解法的研究. 这些近似解法不仅在科学技术上得到了广泛的应用, 也给微分方程理论研究提供了感性的新信息和论证的新途径. 微分方程理论研究还向抽象化发展, 例如从普通空间的常微分方程到抽象空间的常微分方程, 从分型的偏微分方程到一般的偏微分算子, 从具体的微分动力系统到抽象动力系统, 从普通有限维偏微分方程到流形上的偏微分方程.
从 20 世纪 50 年代起, 中国研究微分方程理论和应用的队伍不断壮大, 研究的领域日益广泛, 在一些领域已经取得有国际影响的成果.
撰 稿 燕居让 审 阅 张芷芬
## 实 变 函 数 论
实变函数论 (theory of functions of real variables) 在微积分学基础上, 用集合论 (特别是点集论) 的方法, 进一步研究实变函数的连续、可微和可积等基本性态及其间关系的数学学科. 勒贝格积分理论是实变函数论的中心内容. 围绕着它, 实变函数论中还讨论点集和函数的可测性的有关问题, 此外它还包含连续函数的贝尔类理论, 以及与积分和微分关系问题直接有关的各种积分的理论. 俄国学者把实变函数的现代理论分为三个部分: 描述性理论、 度量理论和逼近理论. 这里, 第一部分研究由极限过程得到的某些函数类 (例如贝尔类) 的性质; 第二部分主要是建立在勒贝格测度与积分基础上的, 函数的导数、积分和级数的性质; 至于第三部分, 现今一般把它归入独立的学科函数逼近论.
19 世纪末, 在对微积分学中一些基本概念及其关系的深入研究, 以及对于傅里叶级数的研究之中, 出现许多性态奇特的函数的例子, 像有的函数处处连续, 但无处可微; 有的函数处处可微, 但其导数却不 (黎曼) 可积; 有的函数序列, 其中每个函数都 (黎曼) 可积, 但其极限函数却不 (黎曼) 可积等, 打破了对原有分析基本概念完美的设想, 促使人们研究一般点集上的函数, 并推广导数和积分的概念, 这就是实变函数论的起源. 开始它是与微积分学交织在一起的, 1902 年, 勒贝格 (Lebesgue, H. L. ) 提出了新的积分理论, 标志着实变函数论已成为一个新的独立数学学科, 这也是古典分析过渡到现代分析的转折点. 因此, 实变函数论是微积分学的发展与提高, 它又是现代分析 (特别是泛函分析) 的基础与起源, 在分析数学中居于承上启下的地位. 相比于微积分学, 实变函数论里研究的函数多半定义在一般的点集上, 所以它的特性更依赖于作为函数定义域的点集的性质, 对函数的研究往往归结为对一些点集的研究. 其次, 从研究问题过程中的思想性和计算性这两方面关系来看, 微积分学中是后者占了主要地位, 而实变函数论则以前者为主, 不多的计算往往成了集合的运算和推理. 在微分和积分这两大分析运算的关系方面, 实变函数论不同于微积分学, 它把积分作为第一位的, 通过推广积分概念, 推进了微分与积分的互逆关系.
实变函数论是分析学各学科的基础, 与分析学以外的许多数学学科也有深刻的联系. 集合论可以说是与实变函数论同时诞生, 并在紧密联系中发展起来的, 而在它们之中又蕴含了点集拓扑的源流. 公理化以后的概率论, 更是与实变函数的度量理论密不可分. 由于测度思想的广泛应用和勒贝格积分理论的重要地位, 实变函数论还与其他许多学科有紧密联系, 甚至通过其他数学学科 (例如概率论和泛函分析), 与力学和理论物理有间接的联系.
## 欧氏空间中的点集
\( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的点集 (set of points in \( {\mathrm{R}}^{n} \) ) 以欧氏空间中的点为元素的集合. 一个集合,若它的元素均是 \( n \) 维欧几里得空间 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的点,则称它为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的点集. \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的点之间有距离的概念. 对于 \( x = \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots }\right. \) , \( \left. {x}_{n}\right) \in {\mathrm{R}}^{n}, y = \left( {{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}}\right) \in {\mathrm{R}}^{n} \) ,它们之间的距离
\[
\rho \left( {x, y}\right) = \left| {x - y}\right| = \sqrt{\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left| {x}_{i} - {y}_{i}\right| }^{2}}.
\]
因而 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 是度量空间,而可以赋以拓扑使之成为拓扑空间, 拓扑中的一些基本概念, 如开集、闭集、内点、 外点、聚点等,在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中都有意义. 同时,实数连续统的一些基本定理, 如闭区间套定理、有限覆盖定理等,在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 也都成立 (参见《数学辞海》第一卷《数学分析》和第二卷《一般拓扑学》中的有关条目).
\( {\mathrm{R}}^{n} \) 中开集的构造 (structure of open sets in \( {\mathrm{R}}^{n} \) ) \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中开集所具有的共同结构. \( {\mathrm{R}}^{n}\left( {n \geq 2}\right) \) 中的任一非空开集均为可数多个互不相交的左开右闭 ( \( n \) 维) 区间之并, 但这种表示不惟一.
实直线上开集的构造 (structure of open sets on the real line) 直线上的开集在构造方面的特点. 实直线上 (R 内) 的任何非空开集必能惟一表成可数个互不相交的开区间的并, 这些开区间称为该开集的构成区间. 它们之中可能有形如 \( \left( {-\infty ,\alpha }\right) \) , \( \left( {\beta , + \infty }\right) \) 或 \( \left( {-\infty , + \infty }\right) \) 的无穷开区间.
直线开集的构成区间 (component interval of open sets on the real line) 见“实直线上开集的构造”.
余区间 (complementary interval) 直线上闭集的余集 (为开集) 的构成区间. 设 \( F \) 是实直线 \( \mathrm{R} \) 上的闭集. 称 \( F \) 的余集 (一个开集) \( {F}^{c} = \mathrm{R} \smallsetminus F \) 的构成区间为 \( F \) 的余区间.
点集的距离 (distance between two point sets) 两点距离的推广. 设 \( A, B \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中两个点集. 定义 \( A \) 与 \( B \) 的距离为
\[
\rho \left( {A, B}\right) = \mathop{\inf }\limits_{\substack{{x \in A} \\ {y \in B} }}\{ \rho \left( {x, y}\right) \} ,
\]
其中 \( \rho \left( {x, y}\right) \) 表示点 \( x \) 与点 \( y \) 的距离.
特别地,当 \( A = \left\{ {x}_{0}\right\} \) ,即 \( A \) 由一点 \( {x}_{0} \) 构成时,则 \( A \) 与 \( B \) 的距离也称为点 \( {x}_{0} \) 到点集 \( B \) 的距离,记为 \( \rho \left( {{x}_{0}, B}\right) \) .
波莱尔集 (Borel set) 一类重要的集. 凡从开集出发, 用取余, 取可数并、可数交运算所得的集, 统称为波莱尔集. 例如, \( {G}_{\delta } \) 型集, \( {F}_{\delta } \) 型集都是波莱尔集. 波莱尔集的全体组成了波莱尔集类. 它是深入讨论函数的连续性、可微性、可积性时必不可少的重要集类. 上述定义与拓扑空间中的波莱尔集的定义 (参见本卷《测度论》同名条)是一致的.
\( {F}_{\sigma } \) 型集 (set of type \( {F}_{\sigma } \) ) 可数个闭集的并集. 它是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中重要的集类.
\( {G}_{\delta } \) 型集 (set of type \( {G}_{\delta } \) ) 可数个开集的交集. 它是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中一类重要的集.
康托尔三分集 (Cantor ternary set) 简称康托尔集. 它是用下面的方法做出的直线上的一个性质奇特的点集: 从闭区间 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 内去掉开区间 \( \left( {1/3,2/3}\right) \) ; 再从剩下的两个闭区间内分别去掉长为 \( 1/{3}^{2} \) 而中心在这两个闭区间的中点的两个开区间; 然后再从剩下的四个闭区间内分别去掉长为 \( 1/{3}^{3} \) 而中心在这些闭区间中点的四个开区间, 如此下去, 在 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 中去掉了上述作法中的所有开区间之后,剩下的点组成的集合,常记为 \( P \) ,即
\[
P = \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \smallsetminus \left( {\left( {\frac{1}{3},\frac{2}{3}}\right) \cup \left( {\frac{1}{9},\frac{2}{9}}\right) \cup \left( {\frac{7}{9},\frac{8}{9}}\right) \cup \cdots }\right) .
\]
康托尔集有一系列奇特的性质,例如, \( P \) 是完备集, 基数与 \( \mathrm{R} \) 相同,但 \( P \) 又是勒贝格意义下的零集,因此它常被用以构造各种反例, 且是分形的典型例子. 它是康托尔 (Cantor, M. B. ) 提出的.
康托尔集 (Cantor set) 康托尔三分集的简称.
## 勒贝格测度
勒贝格外测度 (Lebesgue outer measure) 为定义点集的勒贝格测度而建立的预备性概念. 简记为 \( \left( L\right) \) 外测度. 对于 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的任一点集 \( E \) ,把覆盖 \( E \) 的可数个开区间的体积之和的下确界称为 \( E \) 的勒贝格外测度,简称 \( E \) 的外测度,记为 \( {m}^{ * }\left( E\right) \) 或 \( {\left| E\right| }_{e} \) , 即
\[
{m}^{ * }\left( E\right) = \inf \left\{ {\mathop{\sum }\limits_{{i \in \mathrm{N}}}\left| {I}_{i}\right| \mid \left\{ {I}_{i}\right\} }\right. \text{为覆盖}
\]
\( E \) 的可数个开区间 \( \} \) .
在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中,区间 \( I \) 的外测度等于它的体积,即 \( {m}^{ * }I \) \( = \left| I\right| \) ,在 \( \mathrm{R} \) 中,开集的外测度等于它的构成区间长度之和,并且对于 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中任意点集 \( E \) ,它的外测度等于包含 \( E \) 的开集 \( G \) 的外测度的下确界,即 \( {m}^{ * }\left( E\right) \) \( = \inf \left\{ {{m}^{ * }\left( G\right) \mid G}\right. \) 是包含 \( E \) 的开集 \( \} .{\mathrm{R}}^{n} \) 中点集的 (L) 外测度具有下列基本性质:
1. 非负性: \( {m}^{ * }\left( E\right) \geq 0,{m}^{ * }\left( \varnothing \right) = 0 \) .
2. 单调性: 若 \( {E}_{1} \subset {E}_{2} \) ,则 \( {m}^{ * }\left( {E}_{1}\right) \leq {m}^{ * }\left( {E}_{2}\right) \) .
3. 次可加 |
2000_数学辞海（第3卷） | 12 | 贝格测度而建立的预备性概念. 简记为 \( \left( L\right) \) 外测度. 对于 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的任一点集 \( E \) ,把覆盖 \( E \) 的可数个开区间的体积之和的下确界称为 \( E \) 的勒贝格外测度,简称 \( E \) 的外测度,记为 \( {m}^{ * }\left( E\right) \) 或 \( {\left| E\right| }_{e} \) , 即
\[
{m}^{ * }\left( E\right) = \inf \left\{ {\mathop{\sum }\limits_{{i \in \mathrm{N}}}\left| {I}_{i}\right| \mid \left\{ {I}_{i}\right\} }\right. \text{为覆盖}
\]
\( E \) 的可数个开区间 \( \} \) .
在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中,区间 \( I \) 的外测度等于它的体积,即 \( {m}^{ * }I \) \( = \left| I\right| \) ,在 \( \mathrm{R} \) 中,开集的外测度等于它的构成区间长度之和,并且对于 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中任意点集 \( E \) ,它的外测度等于包含 \( E \) 的开集 \( G \) 的外测度的下确界,即 \( {m}^{ * }\left( E\right) \) \( = \inf \left\{ {{m}^{ * }\left( G\right) \mid G}\right. \) 是包含 \( E \) 的开集 \( \} .{\mathrm{R}}^{n} \) 中点集的 (L) 外测度具有下列基本性质:
1. 非负性: \( {m}^{ * }\left( E\right) \geq 0,{m}^{ * }\left( \varnothing \right) = 0 \) .
2. 单调性: 若 \( {E}_{1} \subset {E}_{2} \) ,则 \( {m}^{ * }\left( {E}_{1}\right) \leq {m}^{ * }\left( {E}_{2}\right) \) .
3. 次可加性:
\[
{m}^{ * }\left( {\mathop{\bigcup }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{E}_{k}}\right) \leq \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{m}^{ * }\left( {E}_{k}\right) .
\]
4. 若集 \( {E}_{1},{E}_{2} \subset {\mathrm{R}}^{n} \) ,它们的距离 \( \rho \left( {{E}_{1},{E}_{2}}\right) > 0 \) 则 \( {m}^{ * }\left( {{E}_{1} \cup {E}_{2}}\right) = {m}^{ * }\left( {E}_{1}\right) + {m}^{ * }\left( {E}_{2}\right) \) . 这是使开集为可测集的基础.
外测度概念是测度定义的基础.
勒贝格可测集 (Lebesgue measurable set) 实变函数论的重要概念之一. 指勒贝格意义下可求“长度”、“面积”或“体积”的一类集合. 若 \( {m}^{ * } \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的 (L) 外测度, \( E \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 且满足卡拉西奥多里条件,即对任意点集 \( T \subset {\mathrm{R}}^{n} \) ,有
\[
{m}^{ * }\left( T\right) = {m}^{ * }\left( {T \cap E}\right) + {m}^{ * }\left( {T \cap {E}^{c}}\right) ,
\]
则集 \( E \) 称为勒贝格可测集,简称 \( \left( L\right) \) 可测集. 但这不是勒贝格 (Lebesgue, H. L. ) 本人给出的. 勒贝格首先考虑直线上的点集,定义开区间 \( \left( {a, b}\right) \) 的测度为 \( \left( {a, b}\right) \) 的长度 \( b - a : m\left( \left( {a, b}\right) \right) = b - a \) ; 再定义有界开集 \( G \) 的测度为 \( G \) 的构成区间的长度之和,即若 \( G \) \( = \mathop{\bigcup }\limits_{k}\left( {{a}_{k},{b}_{k}}\right) ,\left( {{a}_{k},{b}_{k}}\right) \) 为 \( G \) 的构成区间,则
\[
m\left( G\right) = \mathop{\sum }\limits_{k}\left( {{b}_{k} - {a}_{k}}\right) .
\]
进而对有界闭集 \( F \subset \left( {a, b}\right) \) ,令 \( G = \left( {a, b}\right) \smallsetminus F \) ,定义 \( F \) 的测度为 \( m\left( F\right) = \left( {b - a}\right) - m\left( G\right), m\left( F\right) \) 与区间 \( (a \) , \( b) \) 的选择无关; 对一般的有界点集 \( E \) ,把所有包含 \( E \) 的有界开集的测度的下确界称为 \( E \) 的外测度,记为 \( {m}^{ * }\left( E\right) \) ,即 \( {m}^{ * }\left( E\right) = \inf \{ m\left( G\right) \mid G \) 为开集且 \( G \supset E\} \) ; 把所有含于 \( E \) 中的闭集的测度的上确界称为 \( E \) 的 (勒贝格) 内测度,记为 \( m.\left( E\right) \) 或 \( {\left| E\right| }_{i} \) ,即 \( {m}_{ * }\left( E\right) \) \( = \sup \{ m\left( F\right) \mid F \) 为闭集且 \( F \subset E\} \) ; 显然, \( {m}_{ * }\left( E\right) \) \( \leq {m}^{ * }\left( E\right) \) ; 若 \( {m}_{ * }\left( E\right) = {m}^{ * }\left( E\right) \) ,则称 \( E \) 为可测集, 它的外测度与内测度所具有的共同值称为 \( E \) 的测度,记为 \( m\left( E\right) = {m}_{ * }\left( E\right) = {m}^{ * }\left( E\right) \) ; 若 \( E \) 为无界集, 且它与任何有界开区间的交是可测集,则称 \( E \) 是可测集, 其测度定义为
\[
m\left( E\right) = \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}m\left( {{I}_{k} \cap E}\right) ,
\]
其中 \( \left\{ {I}_{k}\right\} \) 为递增开区间列,且
\[
\mathrm{R} = \mathop{\bigcup }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{I}_{k}
\]
而且 \( m\left( E\right) \) 可能为 \( + \infty \) . 上面关于 \( \mathrm{R} \) 中点集的可测集与测度的概念,可以推广到 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的点集上去,而且这种推广并无实质性的困难.
勒贝格定义的可测集与测度的优点是自然、直观, 然而定义中使用了内测度与外测度, 这样, 使用起来很不方便. 因此, 人们希望寻求一个比较简洁的等价定义. 通过对外测度的深入研究, 卡拉西奥多里 (Carathéodory, C. )于 1914 年给出了前面所述的可测集的定义. 这个定义与勒贝格的定义是等价的, 而且后来成为建立抽象测度论的有力工具.
勒贝格测度 (Lebesgue measure) 集合的一种度量. 它是线段长度、矩形面积和立体体积概念的推广,它只对于勒贝格可测集有意义. 若 \( E \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 为勒贝格可测的,则 \( E \) 的勒贝格外测度称为 \( E \) 的勒贝格测度,记为 \( m\left( E\right) \) 或 \( \left| E\right| \) . 为了推广积分概念,勒贝格 (Lebesgue, H. L. ) 于 1902 年在提出他的新型积分时, 提出了这种测度概念. 它是继若尔当 (Jordan, M. E. C. )、波莱尔 (Borel, (F. -É. -J. -) E. ) 之后提出的最有意义的一种测度, 现代一切抽象测度的概念都是仿照它的模式建立的. 勒贝格测度和可测集的主要性质有:
1. 空集 \( \varnothing \) 可测,且 \( m\left( \varnothing \right) = 0 \) ,任何区间可测,且它的测度与长度 (或面积、体积等) 相等.
2. 若 \( E \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 可测,则它的余集 \( {E}^{c} = {\mathrm{R}}^{n} \smallsetminus E \) 也可测.
3. 若 \( {E}_{1},{E}_{2} \) 可测,则 \( {E}_{1} \cup {E}_{2},{E}_{1} \cap {E}_{2} \) 以及 \( {E}_{1} \smallsetminus {E}_{2} \) 均可测.
4. (可列可加性) 可列个可测集 \( {E}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots }\right) \) 的并集 \( \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{\infty }{E}_{i} \) 仍为可测集; 若进一步有各 \( {E}_{i} \) 两两不相交时, 则
\[
m\left( {\mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{\infty }{E}_{i}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }m\left( {E}_{i}\right) .
\]
5. 若 \( {E}_{1},{E}_{2} \) 可测, \( {E}_{1} \subset {E}_{2} \) ,且 \( m\left( {E}_{2}\right) < + \infty \) ,则
\[
m\left( {{E}_{2}/{E}_{1}}\right) = m\left( {E}_{2}\right) - m\left( {E}_{1}\right) .
\]
6. 若 \( \left\{ {E}_{n}\right\} \) 是递增可测集合列,则
\[
m\left( {\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{E}_{n}}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}m\left( {E}_{n}\right) .
\]
7. 若 \( \left\{ {E}_{n}\right\} \) 是递减可测集合列,且有 \( {n}_{0} \) 使 \( m\left( {E}_{{n}_{0}}\right) \) \( < + \infty \) ,则
\[
m\left( {\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{E}_{n}}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}m\left( {E}_{n}\right) .
\]
8. (关于正交变换和平移的不变性) 若 \( E \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 为勒贝格可测集, \( O \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的正交变换,对于 \( {x}_{0} \in \) \( {\mathrm{R}}^{n} \) ,记 \( {x}_{0} + E = \left\{ {x \in {\mathrm{R}}^{n} \mid x = {x}_{0} + y, y \in E}\right\} \) ,则 \( {OE} \) 和 \( {x}_{0} + E \) 都可测,且 \( m\left( {OE}\right) = m\left( {{x}_{0} + E}\right) = m\left( E\right) \) .
其中的可列可加性和正交变换与平移下的不变性最为重要. 前者是使勒贝格测度区别于若尔当和波莱尔的测度, 并使勒贝格积分具有良好性质和重大理论意义的基础, 也是一切抽象测度都具有的; 而后者则是勒贝格测度区别于其他抽象测度的特征.
可测集 (measurable set) 在不致与其他测度混淆时, 勒贝格可测集的简称.
卡拉西奥多里条件 (Carathéodory condition) 用以定义勒贝格可测集的一个条件 (参见 “勒贝格可测集”). 由卡拉西奥多里 (Carathéodory, C. ) 于 1914 年给出, 在抽象测度理论中起重要作用.
勒贝格可测集的结构 (structure of Lebesgue measurable set) 对勒贝格可测集的一种刻画. 从它与某些特殊集的关系的角度说明 \( \left( L\right) \) 可测集的构造: 每个 \( \left( L\right) \) 可测集都近于开集或闭集,而与某个 \( {G}_{\delta } \) 型集或 \( {F}_{\sigma } \) 型集相差一个零测度集 (测度相等). 下列五条都是集 \( E \) 可测的充分必要条件:
1. 对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,有开集 \( G \supset E \) ,使 \( {m}^{ * }\left( {G \smallsetminus E}\right) < \varepsilon \) .
2. 对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,有闭集 \( F \subset E \) ,使
\[
{m}^{ * }\left( {E \smallsetminus F}\right) < \varepsilon .
\]
3. 有 \( {G}_{\delta } \) 型集 \( {G}_{0} \supset E \) ,使 \( {m}^{ * }\left( {{G}_{0} \smallsetminus E}\right) = 0 \) .
4. 有 \( {F}_{\sigma } \) 型集 \( {F}_{0} \subset E \) ,使 \( {m}^{ * }\left( {E \smallsetminus {F}_{0}}\right) = 0 \) .
5. 对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,有闭集 \( F \) 及开集 \( G \) ,使 \( F \subset E \subset \) \( G \) ,且 \( {m}^{ * }\left( {G \smallsetminus F}\right) < \varepsilon \) .
另外,若已知 \( E \) 为可测集,则还有:
6. 对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在开集或闭集 \( A \) ,使
\[
m\left( {E\bigtriangleup A}\right) < \varepsilon \text{.}
\]
7. 存在波莱尔集 \( B \) ,使 \( m\left( {E\bigtriangleup B}\right) = 0 \) ,其中 “ \( \bigtriangleup \) ” 表示对称差.
勒贝格可测集类 (Lebesgue measurable set family) 勒贝格可测集类作为集函数的定义域. 它包括:
1. 一切区间 (不论开、闭或有限、无限的).
2. 一切外测度为零之集.
3. 一切开集、闭集、 \( {F}_{\sigma } \) 型、 \( {G}_{\delta } \) 型集、波莱尔集.
但存在不是波莱尔集的 \( \left( L\right) \) 可测集,苏斯林 (Cycjilin, M. SI. ) 首先举出了这样的实例. 因而 \( \left( L\right) \) 可测集类是比波莱尔集类更广的集类, 但并非一切点集都是勒贝格可测的.
等测包 (equi-measure hull) 反映点集外包等测逼近性质的集. 若 \( E \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中任一点集,则存在包含 \( E \) 的 \( {G}_{\delta } \) 型集 \( H \) ,使得 \( H \) 的测度与 \( E \) 的外测度相等,即 \( m\left( H\right) = {m}^{ * }\left( E\right) \) ,此 \( H \) 称为 \( E \) 的等测包.
等测核 (equi-measure kernel) 反映可测集内含等测逼近性质的集. 若 \( E \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的可测集,则存在含于 \( E \) 的 \( {F}_{\sigma } \) 型集 \( K \) ,使得 \( K \) 与 \( E \) 两集的测度相等,即 \( m\left( K\right) = m\left( E\right) \) . 此 \( K \) 称为 \( E \) 的等测核.
乘积空间中可测集的截口性质 (section properties of a measurable set in a product space) 反映可测集与其笛卡儿乘积之间可测性和测度的关系的命题. 设点集 \( E \subset {\mathrm{R}}^{p + q} \) . 若 \( {x}_{0} \in {\mathrm{R}}^{p} \) ,则 \( {\mathrm{R}}^{q} \) 中点集 \( \{ y \in \) \( \left. {{\mathrm{R}}^{q} \mid \left( {{x}_{0}, y}\right) \in E}\right\} \) 称为集 \( E \) 被超平面 \( x = {x}_{0} \) 所截的截口,记为 \( {E}_{{x}_{0}} \) ,它有如下性质:
1. 若 \( A \) 与 \( B \) 分别是 \( {\mathrm{R}}^{p} \) 与 \( {\mathrm{R}}^{q} \) 中的 \( \left( L\right) \) 可测集, 则 \( C = A \times B \) 是 \( {\mathrm{R}}^{p + q} \) 中的 \( \left( L\right) \) 可测集,且
\[
m\left( C\right) = m\left( A\right) \cdot m\left( B\right) .
\]
2. 若 \( E \subset {\mathrm{R}}^{p + q} \) 的 \( \left( L\right) \) 测度为零,则 \( m\left( {E}_{x}\right) = 0 \) a. e. 于 \( {\mathrm{R}}^{p} \) .
3. 若 \( E \subset {\mathrm{R}}^{p + q} \) 是 \( \left( L\right) \) 可测集,则对几乎所有的 \( x \) \( \in {\mathrm{R}}^{p},{E}_{x} \) 是 \( {\mathrm{R}}^{q} \) 中的 \( \left( L\right) \) 可测集.
勒贝格内测度 (Lebesgue inner measure) 勒贝格 (Lebesgue, H. L. ) 提出他的测度定义时所用的一个辅助性概念. 简称 \( \left( L\right) \) 内测度. 若 \( E \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 为有界点集, \( I \) 为包含 \( E \) 的任一有界区间. 则 \( \left| I\right| - {m}^{ * }(I \smallsetminus \) \( E) \) 称为 \( E \) 的勒贝格内测度,记为 \( {m}_{ * }\left( E\right) \) 或 \( {\left| E\right| }_{i} \) ,即
\[
{m}_{ * }\left( E\right) = \left| I\right| - {m}^{ * }\left( {I \smallsetminus E}\right) ,
\]
其中 \( \left| I\right| \) 表示区间 \( I \) 的体积. 勒贝格最初引进勒贝格测度时,对有界集 \( E \) 定义,当 \( {m}^{ * }\left( E\right) = m \cdot \left( E\right) \) 时 \( E \) 可测, \( {m}^{ * }\left( E\right) \) 与 \( {m}_{ * }\left( E\right) \) 的公共值为 \( E \) 的测度 (参见 “勒贝格可测集”).
全密点 (point of density) 亦称密集点. 反映勒贝格可测集中的点在一点附近高度密集情况的概念. 设 \( E \) 是 \( \mathrm{R} \) 中勒贝格可测集. 对于任意一点 \( {x}_{0} \) ,记 \( E\left( {{x}_{0}, h}\right) = E \cap \left\lbrack {{x}_{0} - h,{x}_{0} + h}\right\rbrack \left( {h > 0}\right) \) ,如果极限
\[
\mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{{mE}\left( {{x}_{0}, h}\right) }{2h}
\]
存在,则它称为 \( E \) 在点 \( {x}_{0} \) 处的密度. 如果 \( E \) 在点 \( {x}_{0} \) 处的密度等于 1 |
2000_数学辞海（第3卷） | 13 | \( \left( L\right) \) 内测度. 若 \( E \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 为有界点集, \( I \) 为包含 \( E \) 的任一有界区间. 则 \( \left| I\right| - {m}^{ * }(I \smallsetminus \) \( E) \) 称为 \( E \) 的勒贝格内测度,记为 \( {m}_{ * }\left( E\right) \) 或 \( {\left| E\right| }_{i} \) ,即
\[
{m}_{ * }\left( E\right) = \left| I\right| - {m}^{ * }\left( {I \smallsetminus E}\right) ,
\]
其中 \( \left| I\right| \) 表示区间 \( I \) 的体积. 勒贝格最初引进勒贝格测度时,对有界集 \( E \) 定义,当 \( {m}^{ * }\left( E\right) = m \cdot \left( E\right) \) 时 \( E \) 可测, \( {m}^{ * }\left( E\right) \) 与 \( {m}_{ * }\left( E\right) \) 的公共值为 \( E \) 的测度 (参见 “勒贝格可测集”).
全密点 (point of density) 亦称密集点. 反映勒贝格可测集中的点在一点附近高度密集情况的概念. 设 \( E \) 是 \( \mathrm{R} \) 中勒贝格可测集. 对于任意一点 \( {x}_{0} \) ,记 \( E\left( {{x}_{0}, h}\right) = E \cap \left\lbrack {{x}_{0} - h,{x}_{0} + h}\right\rbrack \left( {h > 0}\right) \) ,如果极限
\[
\mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{{mE}\left( {{x}_{0}, h}\right) }{2h}
\]
存在,则它称为 \( E \) 在点 \( {x}_{0} \) 处的密度. 如果 \( E \) 在点 \( {x}_{0} \) 处的密度等于 1 , 即
\[
\mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{{mE}\left( {{x}_{0}, h}\right) }{2h} = 1,
\]
则称 \( {x}_{0} \) 为 \( E \) 的全密点. ( \( L \) ) 可测点集 \( E \) 中几乎每个点都是它的全密点,当 \( E \subset \mathrm{R} \) 的情形这是勒贝格 (Lebesgue, H. L.) 最早证明的.
密集点 (point of density) 即 “全密点”.
稀薄点 (point of rarity) 描述密度的另一个概念. 设 \( E \) 是 \( \mathrm{R} \) 中的勒贝格可测集. 当 \( E \) 在点 \( {x}_{0} \) 处的密度等于零时,则 \( {x}_{0} \) 称为 \( E \) 的稀薄点 (参见 “全密点”).
维塔利覆盖(Vitali cover) 以度量刻画的覆盖 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的点集的区间族. 设 \( E \subset {\mathrm{R}}^{n},\Gamma = \left\{ {I}_{\alpha }\right\} \) 是区间族. 若对任意的 \( x \in E \) 以及 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( {I}_{a} \in \Gamma \) ,使得 \( x \in \) \( {I}_{a},\left| {I}_{a}\right| < \varepsilon \) ,则称 \( \Gamma \) 是 \( E \) 在维塔利意义下的覆盖,简称 \( E \) 的维塔利覆盖.
维塔利覆盖定理 (Vitali's convering theorem) 阐明点集近于被其维塔利覆盖中有限个互不相交的区间覆盖的命题. 设 \( E \subset W \subset {\mathrm{R}}^{n} \) ,且 \( {m}^{ * }\left( E\right) < + \infty \) . 若 \( \Gamma \) 是 \( E \) 的一个维塔利覆盖,则对于任意的 \( \varepsilon > 0 \) , 存在有限个互不相交的 \( {I}_{j} \in \Gamma \left( {j = 1,2,\cdots, n}\right) \) ,使得
\[
{m}^{ * }\left( {E \smallsetminus \mathop{\bigcup }\limits_{{j = 1}}^{n}{I}_{j}}\right) < \varepsilon .
\]
这是维塔利 (Vitali, G. ) 于 1907 年试图将微积分基本定理推广到 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 情形时提出并证明的.
谢尔品斯基依测度覆盖定理 (Sierpiński covering theorem in measure) 陈述了在一定条件下,直线上的有界点集, 近于被有限个互不重叠的区间覆盖的命题. 设集 \( M \subset \left( {a, b}\right) ,\Delta \) 是一区间族. 若 \( M \) 中任一点必为 \( \Delta \) 中某一区间的左端点,则对于任给 \( \varepsilon \)
\( > 0,\Delta \) 中有不相重叠的有限个区间 \( {I}_{1},{I}_{2},\cdots ,{I}_{N} \) 适合
\[
{m}^{ * }\left\lbrack {M \smallsetminus \left( {{I}_{1} \cup {I}_{2} \cup \cdots \cup {I}_{N}}\right) }\right\rbrack < \varepsilon .
\]
这是谢尔品斯基 (Sierpiński, W. ) 于 1923 年得到的.
零集 (null set) 测度为 0 的集. 在实变函数论中, 特指勒贝格测度为 0 的集, 为了明确, 有时称为勒贝格意义下的零集. 由于这类集合在测度理论中的特殊重要地位, 而有此专门名词. 对于勒贝格测度, 一切可数集 (例如有理点之集) 都是零集, 但是也有不可数的零集 (例如康托尔集). 零集的任意子集, 以及零集的可数并也都是零集, 勒贝格可测集的定义可以通过先直接定义零集, 然后将一般可测集定义成波莱尔集与勒贝格零集之并.
几乎处处 (almost everywhere) 阐明一个可以逐点判断其真伪的命题在除一个零集之外处处成立的常用术语. 设有一个与集合 \( E \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 中的点 \( x \) 有关的命题 \( P\left( x\right) \) ,若有零集 \( {E}_{0} \subset E \) ,对于任意 \( x \in E \smallsetminus {E}_{0} \) , \( P\left( x\right) \) 均成立,则说 \( P\left( x\right) \) 在 \( E \) 上几乎处处成立. 简记为 \( P\left( x\right) \) a. e. (英文 almost everywhere 的简缩) 于 \( E \) . 或 \( P\left( x\right) \) p. p. (法文 presque partout 的缩写) 于 \( E \) .
## 连续函数与可测函数
扩充实值函数 (extended real-valuded function) 取扩充实数值的函数, 即可取无穷值的函数. 实变函数论中的可测函数一般属于这种.
沿点集的极限 (limit along a set) 通常极限概念的推广. 设 \( f\left( x\right) \) 是定义在 \( E \subset \mathrm{R} \) 上的实值函数, \( {x}_{0} \) 为 \( E \) 的聚点. 若对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,当 \( x \in \) \( \left( {{x}_{0} - \delta ,{x}_{0} + \delta }\right) \cap E \smallsetminus \left\{ {x}_{0}\right\} \) 时,有 \( \left| {f\left( x\right) - A}\right| < \varepsilon \) ,则实数 \( A \) 称为 \( f\left( x\right) \) 在点 \( {x}_{0} \) 沿 \( E \) 的极限,记为
\[
A = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) .
\]
当 \( E \) 为区间时,即为通常的极限.
沿点集的上极限 (upper limit along a set) 通常上极限概念的推广. 设 \( f\left( x\right) \) 是定义在 \( E \subset \mathrm{R} \) 上的实值函数, \( {x}_{0} \) 为 \( E \) 的聚点,分别称
\[
\mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\mathop{\sup }\limits_{{x \in \left( {{x}_{0} - h,{x}_{0} + h}\right) \cap E \smallsetminus \left\{ {x}_{0}\right\} }}f\left( x\right) ,
\]
\[
\mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\mathop{\inf }\limits_{{x \in \left( {{x}_{0} - h,{x}_{0} + h}\right) \cap E \smallsetminus \left\{ {x}_{0}\right\} }}f\left( x\right)
\]
为 \( f\left( x\right) \) 在点 \( {x}_{0} \) 沿 \( E \) 的上极限和下极限,并记为
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) \text{ 和 }\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) .
\]
以下命题成立:
\[
\text{1.}\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}{Ef}\left( x\right) \leq {\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}}_{E}f\left( x\right) \text{.}
\]
2. \( \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}E\left( x\right) \) 存在的充分必要条件为 \( \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}E\left( x\right) \) \( = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) \) 且为有限数.
沿点集的下极限 (lower limit along a point set) 见“沿点集的上极限”.
集上的连续函数 (continuous function on a set) 区间上的连续函数概念在集上的推广. 对于定义在集 \( E \) 上的函数 \( f\left( x\right) \) ,当 \( {x}_{0} \in E \) 且 \( \left| {f\left( {x}_{0}\right) }\right| < + \infty \) , 下列三个定义是等价的.
1. 如果对任给 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( {x}_{0} \) 的一个 \( \delta \) 邻域 \( U\left( {{x}_{0},\delta }\right) \) ,只要 \( x \in U\left( {{x}_{0},\delta }\right) \cap E \) ,就有 \( \mid f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) \) \( \mid < \varepsilon \) ,则称 \( f\left( x\right) \) 依柯西意义在 \( {x}_{0} \) 点相对于 \( E \) 是连续的.
2. 如果对于集合 \( E \) 中任一收敛于 \( {x}_{0} \) 的点列 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) ,对应的函数值序列 \( \left\{ {f\left( {x}_{n}\right) }\right\} \) 收敛于 \( f\left( {x}_{0}\right) \) ,即
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}f\left( {x}_{n}\right) = f\left( {x}_{0}\right) ,
\]
则称 \( f\left( x\right) \) 依海涅意义在 \( {x}_{0} \) 点相对于 \( E \) 是连续的.
3. 如果 \( f\left( x\right) \) 在 \( {x}_{0} \) 点相对于 \( E \) 的振幅 \( \omega \left( {x}_{0}\right) = \) 0,则称 \( f\left( x\right) \) 依贝尔意义在 \( {x}_{0} \) 相对于 \( E \) 是连续的. 这里, \( \omega \left( {x}_{0}\right) = M\left( {x}_{0}\right) - m\left( {x}_{0}\right), M\left( x\right), m\left( x\right) \) 分别表示 \( f\left( x\right) \) 沿 \( E \) 的上极限和下极限 (定义参见有关条目).
只要 \( f\left( x\right) \) 在上述任意一种意义之下连续,则称它在 \( {x}_{0} \) 相对于 \( E \) 连续. 若对于每个 \( x \in E, f\left( x\right) \) 都在 \( x \) 相对于 \( E \) 连续,则称 \( f\left( x\right) \) 是集 \( E \) 上的连续函数. 若 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 是集 \( E \) 上的连续函数列,且在 \( E \) 上一致收敛于 \( f\left( x\right) \) ,则 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上也连续.
近似极限 (approximate limit) 普通极限概念的一种推广. 对一切以 \( {x}_{0} \) 为全密点的点集 \( E \) ,下 (上) 确界
\[
\mathop{\inf }\limits_{\mathrm{E}}\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}E\left( x\right) \;\left( {\mathop{\sup }\limits_{\mathrm{E}}\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}E\left( x\right) }\right)
\]
称为 \( f\left( x\right) \) 在点 \( {x}_{0} \) 的近似上 (下) 极限,记为
\[
\text{ ap }\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) \;\left( {\text{ ap }\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) }\right) .
\]
若
\[
\text{ ap }\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) = \operatorname{ap}\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) \text{,}
\]
则称它为 \( f\left( x\right) \) 在点 \( {x}_{0} \) 的近似极限,记为
\[
\text{ap}\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) \text{.}
\]
以下命题成立:
\[
\text{1. ap}\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) \leq \operatorname{ap}\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) \text{.}
\]
2. 设 \( {x}_{0} \) 为 \( E \) 的全密点,若
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}E\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}E\left( x\right) ,
\]
则 \( \operatorname{ap}\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) = \operatorname{ap}\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) \) .
3. 若 \( f\left( x\right) \) 在点 \( {x}_{0} \) 有有限的
\[
\text{ ap }\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) \;\left( {\text{ ap }\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) }\right) \text{,}
\]
则存在以 \( {x}_{0} \) 为全密点的点集 \( E \) ,使
\[
\text{ ap }\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}E\left( x\right)
\]
\[
\text{(ap}\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) \text{).}
\]
4. ap \( \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) = A \) ( \( A \) 为有限数) 的充分必要条件为存在以 \( {x}_{0} \) 为全密点的点集 \( E \) ,使
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) = A.
\]
近似连续 (approximate continuity) 通常的函数连续性概念的一种推广. 若 \( f\left( x\right) \) 是定义在 \( E \subset \mathrm{R} \) 上的实值函数, \( {x}_{0} \in E, f\left( {x}_{0}\right) \) 有限且
\[
\text{ ap }\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) = f\left( {x}_{0}\right) \text{,}
\]
则称 \( f\left( x\right) \) 在点 \( {x}_{0} \) 近似连续. 若 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 的每一点近似连续,则称 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上近似连续. 以下命题成立:
1. 若 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的有限可测函数,则 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上几乎处处近似连续.
2. \( f\left( x\right) \) 在点 \( {x}_{0} \) 近似连续的充分必要条件为, 存在以 \( {x}_{0} \) 为全密点的集合 \( E \) ,使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) = f\left( {x}_{0}\right) .
\]
集上的一致连续函数 (uniformly continuous function on a set) 区间上的一致连续函数概念在集上的推广. 设 \( E \subset {\mathrm{R}}^{n}, f\left( x\right) \) 是定义在集合 \( E \) 上的函数. 若对任意的 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,使对任意的 \( {x}_{1} \) , \( {x}_{2} \in E \) ,只要距离 \( \rho \left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) < \delta \) ,恒有 |
2000_数学辞海（第3卷） | 14 | ) 是定义在 \( E \subset \mathrm{R} \) 上的实值函数, \( {x}_{0} \in E, f\left( {x}_{0}\right) \) 有限且
\[
\text{ ap }\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) = f\left( {x}_{0}\right) \text{,}
\]
则称 \( f\left( x\right) \) 在点 \( {x}_{0} \) 近似连续. 若 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 的每一点近似连续,则称 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上近似连续. 以下命题成立:
1. 若 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的有限可测函数,则 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上几乎处处近似连续.
2. \( f\left( x\right) \) 在点 \( {x}_{0} \) 近似连续的充分必要条件为, 存在以 \( {x}_{0} \) 为全密点的集合 \( E \) ,使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) = f\left( {x}_{0}\right) .
\]
集上的一致连续函数 (uniformly continuous function on a set) 区间上的一致连续函数概念在集上的推广. 设 \( E \subset {\mathrm{R}}^{n}, f\left( x\right) \) 是定义在集合 \( E \) 上的函数. 若对任意的 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,使对任意的 \( {x}_{1} \) , \( {x}_{2} \in E \) ,只要距离 \( \rho \left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) < \delta \) ,恒有 \( \mid f\left( {x}_{1}\right) - \) \( f\left( {x}_{2}\right) \mid < \varepsilon \) ,则称 \( f\left( x\right) \) 为集 \( E \) 上的一致连续函数.
一致连续点集 (uniformly continuous point set) 使得它上面的任何连续函数都一致连续的点集. 设 \( E \subset \mathrm{R} \) . 若 \( E \) 上每个连续函数都是一致连续的,则称 \( E \) 为一致连续点集. \( E \) 为一致连续点集的充分必要条件是 \( E \) 可表成 \( E = {E}_{1} \cup {E}_{2} \) ,其中 \( {E}_{1} \) 是紧集,而 \( {E}_{2} \) 是一致孤立点集,即存在 \( \varepsilon > 0 \) ,使得对于任何 \( {x}_{1},{x}_{2} \in {E}_{2},{x}_{1} \neq {x}_{2} \) ,都有 \( \rho \left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) > \varepsilon \) .
一致孤立点集 (uniformly isolated point set) 见“一致连续点集”.
紧集上的连续函数 (continuous function on compact set) 类似于闭区间上连续函数的性态良好的函数. 若 \( f\left( x\right) \) 是紧集 \( E \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 上的连续函数,则:
1. \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的有界函数.
2. \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上取到最大值和最小值.
3. \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上是一致连续的.
但是紧集上的连续函数未必具有介值性质.
近于连续的函数 (nearly continuous function) 与勒贝格可测函数等价的一个概念. 这类函数是实变函数论的主要研究对象. 设 \( f\left( x\right) \) 是定义在 \( \left( L\right) \) 可测集 \( E \) 上的函数,如果对于任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在可测子集 \( e \subset E \) ,满足:
1. \( m\left( e\right) < \varepsilon \) ;
2. \( f\left( x\right) \) 在 \( E \smallsetminus e \) 上连续;
则称 \( f\left( x\right) \) 是集 \( E \) 上的一个近于连续函数. 可测函数都是近于连续的 (参见 “卢津定理”).
函数连续点集的结构 (structure of continuous point set of a function) 用集合论语言叙述的函数连续的点的总体特征. 若 \( f\left( x\right) \) 是定义在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的开集 \( G \) 上的实值函数,则 \( f\left( x\right) \) 的连续点之集是 \( {G}_{\delta } \) 型集. 因此, 不可能构造出间断点集为无理数集的函数.
连续函数可微点集的结构 (structure of differentiable point set of a continuous function) 函数可微的点的总体特征. 若 \( f\left( x\right) \) 是 \( \mathrm{R} \) 上的连续函数, 则 \( f\left( x\right) \) 的可微点之集是 \( {F}_{\sigma \delta } \) 型集,即它是可数个 \( {F}_{\sigma } \) 型集的交集.
闭集上连续函数的延拓定理 (theorem on extension of a continuous function on a closed set)
阐明闭集上的有界连续函数可以经过连续延拓后仍保持有界的命题. 若 \( f\left( x\right) \) 是定义在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中闭集 \( F \) 上的连续函数,且 \( \left| {f\left( x\right) }\right| \leq M\left( {x \in F}\right) \) ,则存在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的连续函数 \( g\left( x\right) \) ,满足:
\[
\text{1.}g\left( x\right) = f\left( x\right) \left( {x \in F}\right) \text{.}
\]
\[
\text{2.}\left| {g\left( x\right) }\right| \leq M\left( {x \in {\mathrm{R}}^{n}}\right) \text{.}
\]
这是由豪斯多夫 (Hausdorff, F. ) 于 1919 年得到的.
上极限函数 (upper limit function) 为判断函数上半连续性而引进的一个概念. 设 \( f\left( x\right) \) 是定义在点集 \( E \) 上的扩充实值函数. 若在闭包 \( \bar{E} \) 内的点 \( x \) 的 \( \delta \) 邻域与 \( E \) 的交内,函数 \( f \) 所取的值的上确界、下确界分别为 \( M\left( {x,\delta }\right), m\left( {x,\delta }\right) \) ,则
\[
M\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{\delta \rightarrow 0}}M\left( {x,\delta }\right) ,
\]
\[
m\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{\delta \rightarrow 0}}m\left( {x,\delta }\right)
\]
分别称为 \( f\left( x\right) \) 沿 \( E \) 的上极限函数和下极限函数.
下极限函数 (lower limit function) 为判断函数下半连续性而引进的一个概念 (参见 “上极限函数”).
半连续函数 (semi-continuous function) 连续函数概念的推广. 设 \( f\left( x\right) \) 是定义在点集 \( E \) 上的扩充实值函数, \( {x}_{0} \in E \) . 如果对任意的 \( \varepsilon > 0 \) ,必存在 \( {x}_{0} \) 的一个邻域,使得在此邻域中的每个点 \( x \in E \) ,都有 \( f\left( x\right) \geq f\left( {x}_{0}\right) - \varepsilon \) 成立,则称 \( f\left( x\right) \) 在 \( {x}_{0} \) 处是下半连续的. 若 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上每一点是下半连续的,则称 \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的下半连续函数. 类似地,用不等式 \( f\left( x\right) \leq f\left( {x}_{0}\right) + \varepsilon \) 代替 \( f\left( x\right) \geq f\left( {x}_{0}\right) - \varepsilon \) ,可定义 \( f\left( x\right) \) 在 \( {x}_{0} \) 处上半连续,进而定义上半连续函数. 上半连续函数与下半连续函数,统称半连续函数. 若 \( f\left( x\right) \) 在点 \( {x}_{0} \in E \) 连续,则 \( f\left( x\right) \) 在 \( {x}_{0} \) 既为上半连续又为下半连续. 反之,若 \( f\left( {x}_{0}\right) \) 在 \( {x}_{0} \) 取有限值而且既为上半连续又为下半连续,则 \( f\left( x\right) \) 在 \( {x}_{0} \) 必定连续. \( f\left( x\right) \) 在点 \( {x}_{0} \) 为上 (下) 半连续的等价定义有:
1. \( f\left( {x}_{0}\right) \) 与其上 (下) 极限函数在 \( {x}_{0} \) 之值相等.
2. 关系式
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}f\left( {x}_{n}\right) \leq f\left( {x}_{0}\right) \;\left( {\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}f\left( {x}_{n}\right) \geq f\left( {x}_{0}\right) }\right)
\]
对于 \( E \) 中收敛于 \( {x}_{0} \) 的任何点列 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 都成立.
半连续函数的主要性质有:
1. 设 \( f\left( x\right) \) 与 \( g\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的扩充实值函数,且 \( f\left( x\right) + g\left( x\right) \) 在 \( E \) 上也有定义. 若 \( f\left( x\right) \) 与 \( g\left( x\right) \) 在 \( {x}_{0} \) \( \in E \) 均为上 (下) 半连续,则 \( f\left( x\right) + g\left( x\right) \) 在 \( {x}_{0} \) 亦为上 (下) 半连续.
2. 若 \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的上 (下) 半连续函数,则 \( - f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的下 (上) 半连续函数.
3. 设 \( f\left( x\right) \) 与 \( g\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的非负扩充实值函数, 若 \( f\left( x\right) \) 与 \( g\left( x\right) \) 在 \( {x}_{0} \in E \) 上 (下) 半 连续,则 \( f\left( x\right) g\left( x\right) \) 在 \( {x}_{0} \) 也必上 (下) 半连续.
4. 若 \( f\left( x\right) \) 与 \( g\left( x\right) \) 在 \( {x}_{0} \in E \) 上半连续,则 \( \max \{ f\left( x\right), g\left( x\right) \} \) 在 \( {x}_{0} \) 亦必上半连续; 同理,若 \( f\left( x\right) \) 与 \( g\left( x\right) \) 在 \( {x}_{0} \in E \) 下半连续,则 \( \min \{ f\left( x\right) \) , \( g\left( x\right) \} \) 在 \( {x}_{0} \) 亦必下半连续.
5. (保负性) 上半连续有局部保负性,即若 \( f\left( x\right) \) 在点 \( {x}_{0} \in E \) 上半连续, \( f\left( {x}_{0}\right) < 0 \) ,则存在 \( \delta > 0 \) ,当 \( x \in \left( {{x}_{0} - \delta ,{x}_{0} + \delta }\right) \cap E \) 时,有 \( f\left( x\right) < 0 \) ; 同理,下半连续有局部保正性.
6. 紧集上的上 (下) 半连续函数必能达到上 (下) 确界.
7. (保半连续性) 若 \( {f}_{n}\left( x\right) \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) 都是 \( E \) 上的上 (下) 半连续函数,且 \( {f}_{1}\left( x\right) \geq {f}_{2}\left( x\right) \geq \cdots \) \( \left( {{f}_{1}\left( x\right) \leq {f}_{2}\left( x\right) \leq \cdots }\right) \) ,则
\[
f\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{f}_{n}\left( x\right)
\]
也是 \( E \) 上的上 (下) 半连续函数; 特别地,单调减少 (增加) 的连续函数列, 其极限函数是上 (下) 半连续函数.
8. 如果 \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的上 (下) 半连续函数,但不取值 \( + \infty \left( {-\infty }\right) \) ,则存在连续函数的单调减少 (增加) 列 \( {f}_{1}\left( x\right) \geq {f}_{2}\left( x\right) \geq \cdots \left( {{f}_{1}\left( x\right) \leq {f}_{2}\left( x\right) \leq \cdots }\right) \) ,使
\[
f\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{f}_{n}\left( x\right) .
\]
这个结果是由贝尔 (Baire, R. L. ) 与蒂茨 (Tietze, H. )得到的.
9. 设 \( E \) 为闭集,则 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上为上 (下) 半连续的充分必要条件为,对任意实数 \( a,\{ x \mid f\left( x\right) \geq a \) , \( x \in E\} \left( {\{ x \mid f\left( x\right) \leq a, x \in E\} }\right) \) 是闭集.
半连续函数隔离定理 (separation theorem on semi-continuous function) 陈述了可用连续函数将在各点有相同大小关系的上半连续函数与下半连续函数分隔开来的命题. 设在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上, \( u\left( x\right) \) 为上半连续函数, \( U\left( x\right) \) 为下半连续函数,且 \( u\left( x\right) \) \( \leq U\left( x\right) \) . 若 \( u\left( x\right) < + \infty, U\left( x\right) > - \infty \) ,则必存在 \( \lbrack a \) , \( b\rbrack \) 上的连续函数 \( f\left( x\right) \) ,使得 \( u\left( x\right) \leq f\left( x\right) \leq U\left( x\right) \) . 这个定理是由哈恩 (Hahn, H.) 得到的.
集合的特征函数 (characteristic function of a set) 亦称集合的示性函数. 与集合一一对应并反映其组成、运算和可测性等特性的简单函数. 可看做集合的函数表示法, 该集合的元素由相应特征函数取值 1 的点所确定. 设 \( X \) 是全集,对任意集合 \( A \subset \) \( X \) ,把函数
\[
{\chi }_{A}\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \left( {x \in A}\right) , \\ 0 & \left( {x \notin A}\right) \end{array}\right.
\]
称为集合 \( A \) 的特征函数或示性函数. 特征函数与相应集合之间有如下关系:
\[
\text{1.}A = X \Rightarrow {\chi }_{A}\left( x\right) \equiv 1, A = \varnothing \Leftrightarrow {\chi }_{A}\left( x\right) \equiv 0\text{.}
\]
2. \( A \subset B \Leftrightarrow {\chi }_{A}\left( x\right) \leq {\chi }_{B}\left( x\right) \) ,
\[
A = B \Leftrightarrow {\chi }_{A}\left( x\right) = {\chi }_{B}\left( x\right) .
\]
3. \( {\chi }_{\cup {A}_{n}}\left( x\right) = \mathop{\max }\limits_{{n \in \mathbf{N}}}{\chi }_{{A}_{n}}\left( x\right) \) ,
\[
{\chi }_{\cap {A}_{n}}\left( x\right) = \mathop{\min }\limits_{{n \in \mathbf{N}}}{\chi }_{{A}_{n}}\left( x\right) .
\]
4. 对一列集 \( \left\{ {A}_{n}\right\} \) ,有
\[
{\chi }_{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{A}_{n}}\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\chi }_{{A}_{n}}\left( x\right) ,
\]
\[
{\chi }_{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{A}_{n}}\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\chi }_{{A}_{n}}\left( x\right) .
\]
5. \( {\chi }_{A}\left( x\right) \) 为 \( \left( L\right) \) 可测函数 \( \Leftrightarrow A \) 为 \( \left( L\right) \) 可测集.
集合的示性函数 (characteristic function of a set) 即“集合的特征函数”.
简单函数 (simple function) 阶梯函数的推广. 设 \( f\left( x\right) \) 是定义在可测集 \( E \) 上的函数. 如果能把 \( E \) 表示成有限个互不相交的可测子集 \( {E}_{1},{E}_{2},\cdots ,{E}_{n} \) 的并,且在每个 \( {E}_{i} \) 上 \( f\left( x\right) \) 都是常数,则称 \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的一个简单函数. 凡简单函数都可表成
\[
\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{c}_{i}{\chi }_{{E}_{i}}\left( x\right)
\]
的形式, 即简单函数是有限个可测集的特征函数的线性组合.
勒贝格可测函数 (Lebesgue measurable function) 简称 \( \left( L\right) \) 可测函数. 比连续函数更广的一类函数. 设 \( f\left( x\right) \) 是定义在 \( \left( L\right) \) 可测集 \( E \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 上的扩充 |
2000_数学辞海（第3卷） | 15 | }_{n}}\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\chi }_{{A}_{n}}\left( x\right) ,
\]
\[
{\chi }_{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{A}_{n}}\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\chi }_{{A}_{n}}\left( x\right) .
\]
5. \( {\chi }_{A}\left( x\right) \) 为 \( \left( L\right) \) 可测函数 \( \Leftrightarrow A \) 为 \( \left( L\right) \) 可测集.
集合的示性函数 (characteristic function of a set) 即“集合的特征函数”.
简单函数 (simple function) 阶梯函数的推广. 设 \( f\left( x\right) \) 是定义在可测集 \( E \) 上的函数. 如果能把 \( E \) 表示成有限个互不相交的可测子集 \( {E}_{1},{E}_{2},\cdots ,{E}_{n} \) 的并,且在每个 \( {E}_{i} \) 上 \( f\left( x\right) \) 都是常数,则称 \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的一个简单函数. 凡简单函数都可表成
\[
\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{c}_{i}{\chi }_{{E}_{i}}\left( x\right)
\]
的形式, 即简单函数是有限个可测集的特征函数的线性组合.
勒贝格可测函数 (Lebesgue measurable function) 简称 \( \left( L\right) \) 可测函数. 比连续函数更广的一类函数. 设 \( f\left( x\right) \) 是定义在 \( \left( L\right) \) 可测集 \( E \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 上的扩充实值函数. 若对任意实数 \( \alpha \) ,点集 \( \{ x \in E \mid f\left( x\right) > \alpha \} \) 是 \( \left( L\right) \) 可测集,则称 \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的勒贝格可测函数, 简称 \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的可测函数. 在这个定义中,不等式 \( f\left( x\right) > \alpha \) 可用 \( f\left( x\right) \geq \alpha, f\left( x\right) < \alpha, f\left( x\right) \leq \alpha \) 中的任何一个来替代. 定义在 \( \left( L\right) \) 零测度集上的任何实值函数以及区间上的半连续函数都是 \( \left( L\right) \) 可测函数; 定义在 \( \left( L\right) \) 可测集上的任何连续函数都是 \( \left( L\right) \) 可测函数; 但可测函数不一定连续. 勒贝格可测函数的主要性质有:
1. 若 \( f\left( x\right) \) 与 \( g\left( x\right) \) 在 \( E \) 上 \( \left( L\right) \) 可测,且在 \( E \) 上几乎处处取有限值, 则它们的和、差、积、商 (分母不为零) 均 \( \left( L\right) \) 可测.
2. 若 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 是 \( E \) 上的 \( \left( L\right) \) 可测函数列,则下列函数都是 \( E \) 上的 \( \left( L\right) \) 可测函数:
\( \mathop{\sup }\limits_{{n \geq 1}}\left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} ,\mathop{\inf }\limits_{{n \geq 1}}\left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} ,\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{f}_{n}\left( x\right) ,\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{f}_{n}\left( x\right) . \)
3. 若 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 是 \( E \) 上的 \( \left( L\right) \) 可测函数列,且以 \( f\left( x\right) \) 为极限,则 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上也 \( \left( L\right) \) 可测.
4. 若 \( f\left( x\right) \) 与 \( g\left( x\right) \) 在 \( E \) 上几乎处处相等,则它们或都 \( \left( L\right) \) 可测,或都 \( \left( L\right) \) 不可测.
5. 若 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上 \( \left( L\right) \) 可测,又 \( {E}_{0} \) 为 \( E \) 的 \( \left( L\right) \) 可测子集,则 \( f\left( x\right) \) 在 \( {E}_{0} \) 上也 \( \left( L\right) \) 可测.
6. 若 \( f\left( x\right) \) 在每个 \( {E}_{i} \) 上都 \( \left( L\right) \) 可测,则 \( f\left( x\right) \) 在 \( \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{\infty }{E}_{i} \) 和 \( \mathop{\bigcap }\limits_{{i = 1}}^{\infty }{E}_{i} \) 上也 \( \left( L\right) \) 可测.
7. 在可测集 \( E \) 上定义的函数可测的充分必要条件是, 它可以表示成简单函数列的极限.
函数的正部 (positive part of a function) 在给定函数取非负值时与它相等的非负函数. 设 \( f\left( x\right) \) 是定义在集 \( E \) 上的实值函数. 令
\[
{f}^{ + }\left( x\right) = \max \{ f\left( x\right) ,0\} ,
\]
\[
{f}^{ - }\left( x\right) = \max \{ - f\left( x\right) ,0\} ,
\]
分别称它们为 \( f\left( x\right) \) 的正部和负部. \( {f}^{ + }\left( x\right) \) 与 \( {f}^{ - }\left( x\right) \) 均是非负函数,且 \( f\left( x\right) = {f}^{ + }\left( x\right) - {f}^{ - }\left( x\right) \) . 对于可测集 \( E \) 上的扩充实值函数 \( f\left( x\right) \) ,它是 \( E \) 上的可测函数的充分必要条件是 \( {f}^{ + }\left( x\right) \) 与 \( {f}^{ - }\left( x\right) \) 均为 \( E \) 上的可测函数.
函数的负部 (negative part of a function) 见 “函数的正部”.
可测函数的几何意义 (geometric significance of a measurable function) 从几何图形角度给出的函数可测性的特征. 对于 \( {\mathrm{R}}^{n}\left( {n \geq 1}\right) \) 中的可测集 \( E \) 上的非负函数 \( f\left( x\right) \) ,它可测的充分必要条件是它的下方图形 \( G\left( {E;f}\right) \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n + 1} \) 中的可测集. 关于下方图形详见“勒贝格积分的几何意义”.
几乎处处收敛 (convergence almost everywhere ) 处处收敛概念的推广. 设 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 为定义在可测集 \( E \) 上的函数列. 若存在零集 \( e \subset E \) ,使得 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( E \smallsetminus e \) 上收敛于 \( f\left( x\right) \) ,则说 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( E \) 上几乎处处收敛于 \( f\left( x\right) \) ,记为
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{f}_{n}\left( x\right) = f\left( x\right) \text{ a. e. 于 }E,
\]
或 \( {f}_{n}\left( x\right) \rightarrow f\left( x\right) \) a. e. 于 \( E \) . 几乎处处收敛的可测函数列的极限函数是可测的.
依测度收敛 (convergence in measure) 实变函数论中重要的收敛概念之一. 设 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 是定义在可测集 \( E \) 上几乎处处有限的可测函数列, \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上几乎处处有限的可测函数,若对任给 \( \sigma > 0 \) ,
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}m\left\{ {x \in E\left| \right| {f}_{n}\left( x\right) - f\left( x\right) \mid \geq \sigma }\right\} = 0,
\]
则 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 称为依测度收敛于 \( f\left( x\right) \) . 这个概念经过推广, 在概率论中也有用.
近于一致收敛 (nearly uniform convergence) 一致收敛概念的推广. 设 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 为定义在可测集 \( E \) 上的可测函数列. 对任意 \( \sigma > 0 \) ,若存在可测子集 \( A \) \( \subset E \) ,使 \( m\left( A\right) < \sigma \) ,在 \( E \smallsetminus A \) 上 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 一致收敛于 \( f\left( x\right) \) ,则称 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( E \) 上近于一致收敛于 \( f\left( x\right) \) ,或说 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( E \) 上几乎一致收敛于 \( f\left( x\right) \) .
几乎一致收敛 (almost uniform convergence) 见“近于一致收敛”.
勒贝格可测函数的结构 (structure of Lebesgue measurable functions) 从它与一些常见函数类的关系看 \( \left( L\right) \) 可测函数的性态. \( \left( L\right) \) 可测函数可用简单函数逼近,有界 \( \left( L\right) \) 可测函数可用简单函数一致逼近; \( \left( L\right) \) 可测函数近于连续函数 (参见 “简单函数逼近定理”和“卢津定理”).
渐近连续 (asymptotic continuity) 从连续性角度, 为进一步刻画可测函数性质而引进的概念. 设 \( f\left( x\right) \) 是闭区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的实函数, \( {x}_{0} \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) . 如果存在 \( \left( L\right) \) 可测集 \( E \subset \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,使得 \( {x}_{0} \) 是 \( E \) 的全密点, \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上以 \( {x}_{0} \) 为连续点,则 \( f\left( x\right) \) 在点 \( {x}_{0} \) 处称为渐近连续的. 对 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的几乎处处有限的实函数 \( f\left( x\right) \) ,它在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上可测的充分必要条件是 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上几乎处处渐近连续.
卢津定理 (Lusin theorem) 揭示可测函数与连续函数本质联系的定理. 它断言: 若 \( f\left( x\right) \) 是可测集 \( E \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 上几乎处处有限的可测函数,则 \( f\left( x\right) \) 是近于连续函数. 即对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在闭集 \( {F}_{\varepsilon } \subset E \) , \( m\left( {E \smallsetminus {F}_{\varepsilon }}\right) < \varepsilon \) ,使得 \( f\left( x\right) \) 是 \( {F}_{\varepsilon } \) 上的连续函数. 等价地,对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的连续函数 \( g\left( x\right) \) ,使得 \( m\{ x \in E \mid f\left( x\right) \neq g\left( x\right) \} < \varepsilon \) . 上述定理是卢津 (JIyan, H. H. ) 于 1912 年得到的. 卢津定理的逆定理也成立, 因此, 它可以作为可测函数的定义.
叶戈罗夫定理 (Egoroff theorem) 揭示几乎处处收敛与近于一致收敛之间本质联系的定理. 它断言: 若 \( {f}_{n}\left( x\right) \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) 及 \( f\left( x\right) \) 是可测集 \( E \) 上几乎处处有限的可测函数, \( m\left( E\right) < + \infty \) ,且函数列 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( E \) 上几乎处处收敛于 \( f\left( x\right) \) ,则 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( E \) 上近于一致收敛于 \( f\left( x\right) \) . 叶戈罗夫 (EropoB,几. Φ. ) 于 1911 年得到. 叶戈罗夫定理的逆定理也成立.
勒贝格定理 (Lebesgue theorem) 揭示几乎处处收敛与依测度收敛之间关系的定理. 它断言: 若 \( {f}_{n}\left( x\right) \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) 及 \( f\left( x\right) \) 是可测集 \( E \) 上几乎处处有限的可测函数, \( m\left( E\right) < + \infty \) ,且函数列 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( E \) 上几乎处处收敛于 \( f\left( x\right) \) ,则 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( E \) 上依测度收敛于 \( f\left( x\right) \) .
里斯定理 (Riesz theorem) 给出依测度收敛与几乎处处收敛之间的关系的命题. 它断言: 若可测函数列 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在可测集 \( E \) 上依测度收敛于 \( f\left( x\right) \) , 则 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 必有子序列 \( \left\{ {{f}_{{n}_{i}}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( E \) 上几乎处处收敛于 \( f\left( x\right) \) .
李特尔伍德三原则 (Littlewood three principles) 李特尔伍德 (Littlewood, J. E. ) 对实变函数论的部分基本概念间关系所做的三条概括性总结:
1. 每个 (可测) 集近于区间的有限并.
2. 每个 (可测) 函数近于连续函数.
3. 每个收敛的 (可测) 函数序列近于一致收敛.
后两个原则分别来自卢津定理与叶戈罗夫定理,第一个原则可理解为下列结论: 对于 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的可测集 \( E \) ,若 \( m\left( E\right) < + \infty \) ,则对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在有限个开区间的并集 \( H \) ,使得两集对称差的测度 \( m(E \) \( \bigtriangleup H) < \varepsilon \) .
贝尔函数 (Baire functions) 在研究函数连续性的基础上对函数进行分类的结果. 具体分类方法如下: 所有的连续函数称为 “ 0 类”函数; 能表示成连续函数列的极限, 但它本身不是连续函数的, 则称其为 “ 1 类”函数; 同样地, 对于能表示成一列 “ 1 类”中函数的极限, 而它不是 “ 0 类”或 “ 1 类” 的函数, 就称它是 “ 2 类” 函数. 类似地, 可以定义 “ 3 类”、“ 4 类” \( \cdots \cdots \) 以及任意 “ \( n \) 类”函数. 还可定义 “ \( \omega \) 类”函数 (这里 \( \omega \) 表示可列序数). 用如上方法定义的各类函数统称为贝尔函数. 例如, 可微函数的导数如果不连续, 就是 1 类贝尔函数. 贝尔函数的主要性质有:
1. 所有贝尔函数组成的集合具有连续统的基数, 故贝尔分类并不包括所有的实函数.
2. 在 \( n \) 维欧氏空间中,贝尔函数与波莱尔可测函数相同.
3. 设 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 是 \( E \) 上的贝尔函数列. 若
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{f}_{n}\left( x\right) = f\left( x\right) \;\left( {x \in E}\right) ,
\]
则 \( f\left( x\right) \) 也是 \( E \) 上的贝尔函数.
4. 若 \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的 \( \alpha \) 类贝尔函数,则对任意 \( {E}_{0} \subset E, f\left( x\right) \) 是 \( {E}_{0} \) 上的某个 \( \beta \left( {\beta \leq \alpha }\right) \) 类贝尔函数.
5. 对于 \( E \) 上所属类数小于等于 \( \alpha \) 的两个贝尔上的小于等于 \( \alpha \) 类的贝尔函数.
6. 若 \( f\left( x\right) \) 与 \( g\left( x\right) \) 是 \( E \) 上小于等于 \( \alpha \) 类的贝尔函数,则 \( \max \{ f\left( x\right), g\left( x\right) \} ,\min \{ f\left( x\right), g\left( x\right) \} \) 也是 \( E \) 上的小于等于 \( \alpha \) 类的贝尔函数.
7. 若 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上小于等于 \( \alpha \) 类的贝尔函数, \( g\left( t\right) \) 是 \( \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \) 上小于等于 \( \beta \) 类的贝尔函数,且 \( a \) \( \leq g\left( t\right) \leq b \) ,则 \( f\left\lbrack {g\left( t\right) }\right\rbrack \) 是 \( \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \) 上小于等于 \( \alpha + \beta \) 类的贝尔函数.
8. 若 \( \left\{ {{f} |
2000_数学辞海（第3卷） | 16 | rrow \infty }}{f}_{n}\left( x\right) = f\left( x\right) \;\left( {x \in E}\right) ,
\]
则 \( f\left( x\right) \) 也是 \( E \) 上的贝尔函数.
4. 若 \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的 \( \alpha \) 类贝尔函数,则对任意 \( {E}_{0} \subset E, f\left( x\right) \) 是 \( {E}_{0} \) 上的某个 \( \beta \left( {\beta \leq \alpha }\right) \) 类贝尔函数.
5. 对于 \( E \) 上所属类数小于等于 \( \alpha \) 的两个贝尔上的小于等于 \( \alpha \) 类的贝尔函数.
6. 若 \( f\left( x\right) \) 与 \( g\left( x\right) \) 是 \( E \) 上小于等于 \( \alpha \) 类的贝尔函数,则 \( \max \{ f\left( x\right), g\left( x\right) \} ,\min \{ f\left( x\right), g\left( x\right) \} \) 也是 \( E \) 上的小于等于 \( \alpha \) 类的贝尔函数.
7. 若 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上小于等于 \( \alpha \) 类的贝尔函数, \( g\left( t\right) \) 是 \( \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \) 上小于等于 \( \beta \) 类的贝尔函数,且 \( a \) \( \leq g\left( t\right) \leq b \) ,则 \( f\left\lbrack {g\left( t\right) }\right\rbrack \) 是 \( \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \) 上小于等于 \( \alpha + \beta \) 类的贝尔函数.
8. 若 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 是 \( E \) 上小于等于 \( \alpha \) 类的贝尔函数列,且 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( E \) 上一致收敛于 \( f\left( x\right) \) ,则 \( f\left( x\right) \) 也是 \( E \) 上小于等于 \( \alpha \) 类的贝尔函数.
9. 若 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 是 \( E \) 上小于等于 \( \alpha \) 类的贝尔函数列, 且
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{f}_{n}\left( x\right) = f\left( x\right) \;\left( {x \in E}\right) ,
\]
则 \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上小于等于 \( \alpha + 2 \) 类的贝尔函数.
10. (勒贝格) 设 \( f\left( x\right) \) 是定义在 \( E = \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的函数,则 \( f\left( x\right) \) 为所属类数不大于 1 的贝尔函数的充分必要条件为,对任一实数 \( \alpha ,\{ x \mid f\left( x\right) > \alpha, x \in E\} \) 与 \( \{ x \mid f\left( x\right) < \alpha, x \in E\} \) 都是 \( {F}_{\sigma } \) 型集.
11. (贝尔) 若 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的 1 类贝尔函数, 则对任一非空闭集 \( F \subset \left\lbrack {a, b}\right\rbrack, f\left( x\right) \) 在 \( F \) 上的限制 \( f\left( {x \mid F}\right) \) 在 \( F \) 上必有连续点.
12. (贝尔) 设 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的函数,若对任一非空点集 \( F \subset \left\lbrack {a, b}\right\rbrack, f\left( x\right) \) 在 \( F \) 上的限制 \( f\left( {x \mid F}\right) \) 在 \( F \) 上有连续点,则 \( f\left( x\right) \) 或为 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的连续函数,或为 1 类贝尔函数.
贝尔函数是贝尔 (Baire, R. L. ) 于 1899 年提出的.
波莱尔可测函数 (Borel measurable function) 与波莱尔集相适应的可测函数. 设 \( f\left( x\right) \) 是定义在波莱尔集 \( B \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 上的扩充实值函数. 若对任意实数 \( \alpha \) , 点集 \( \{ x \in B \mid f\left( x\right) > \alpha \} \) 是一波莱尔集,则称 \( f\left( x\right) \) 是 \( B \) 上的波莱尔可测函数. 这类函数构成了勒贝格可测函数类的子类. \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中勒贝格可测函数与波莱尔函数的复合函数有如下关系
\[
B \circ B = B, L \circ B = L, B \circ L = X, L \circ L = X,
\]
其中 \( B, L \) 分别表示波莱尔可测、勒贝格可测, \( X \) 表示不一定可测.
## 勒贝格积分
勒贝格积分 (Lebesgue integral) 黎曼积分的最有意义的推广和发展. 它是现代分析学中使用最广的重要工具. 简称 \( \left( L\right) \) 积分. 它只对 \( \left( L\right) \) 可测函数定义, 通常分以下步骤:
1. 非负简单函数的 \( \left( L\right) \) 积分. 设
\[
f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{i}{\chi }_{{A}_{i}}\left( x\right)
\]
是 \( \left( L\right) \) 可测集 \( E \) 上的非负简单函数,
\[
E = \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{n}{A}_{i}
\]
\( {a}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \) 为非负有限实数. 称扩充实数
\[
{\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{i} \cdot m\left( {A}_{i}\right)
\]
为 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上的 \( \left( L\right) \) 积分.
2. 非负 \( \left( L\right) \) 可测函数的 \( \left( L\right) \) 积分. 设 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left( L\right) \) 可测集 \( E \) 上的非负 \( \left( L\right) \) 可测函数, \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 为任一非负简单函数的递增列且收敛于 \( f\left( x\right) \) . 称扩充实数
\[
{\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{E}{f}_{n}\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
为 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上的 \( \left( L\right) \) 积分.
3. 一般 \( \left( L\right) \) 可测函数的 \( \left( L\right) \) 积分. 设 \( f\left( x\right) \) 为 \( \left( L\right) \) 可测集 \( E \) 上的 \( \left( L\right) \) 可测函数, \( {f}^{ + }\left( x\right) \) 与 \( {f}^{ - }\left( x\right) \) 分别为 \( f\left( x\right) \) 的正部与负部,它们是 \( E \) 上非负 \( \left( L\right) \) 可测函数,且 \( f\left( x\right) = {f}^{ + }\left( x\right) - {f}^{ - }\left( x\right) \) . 当
\[
{\int }_{E}{f}^{ + }\left( x\right) \mathrm{d}x,\;{\int }_{E}{f}^{ - }\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
至少有一个是有限实数时, 称
\[
{\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{E}{f}^{ + }\left( x\right) \mathrm{d}x - {\int }_{E}{f}^{ - }\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
为 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上的 \( \left( L\right) \) 积分,并说 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上积分有定义或积分有意义. 当 \( E = \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 时, \( \left( L\right) \) 积分
\[
{\int }_{\left\lbrack a, b\right\rbrack }f\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
可记为 \( \left( L\right) {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x \) . 关于勒贝格积分的意义详见 “实变函数论”与“分析学”. 上述定义并不是勒贝格 (Lebesgue, H. L. ) 本人给出的定义. 勒贝格针对 (R) 积分基本上是为连续函数 (或间断点 “不太多” 的函数) 而设计的局限性 (参见 “勒贝格的黎曼可积判别准则”),将 \( \left( R\right) \) 积分定义中分划被积函数的定义域改变为分划被积函数的值域, 这样就避免了在分出的小集合内出现可积函数的振幅很大的情况, 从而扩大了可积函数的范围. 勒贝格本人定义积分的步骤如下:
1. 有界可测函数的 \( \left( L\right) \) 积分. 设 \( f\left( x\right) \) 是可测集 \( E \) 上的有界可测函数,且 \( A < f\left( x\right) < B \) ,做分划 \( T : A \) \( = {y}_{0} < {y}_{1} < \cdots < {y}_{n} = B \) ,令
\[
{e}_{k} = \left\{ {x \mid {y}_{k} \leq f\left( x\right) < {y}_{k + 1}, x \in E}\right\}
\]
\[
\left( {k = 0,1,\cdots, n - 1}\right) ,
\]
\[
s = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}{y}_{k}m\left( {e}_{k}\right) ,\;S = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}{y}_{k + 1}m\left( {e}_{k}\right) ,
\]
分别称 \( s \) 与 \( S \) 为勒贝格小和与大和. 令
\[
U = \mathop{\sup }\limits_{T}\{ s\} ,\;V = \mathop{\inf }\limits_{T}\{ S\} ,
\]
则可证 \( U = V.U \) 和 \( V \) 这个相同的值称为 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上的 \( \left( L\right) \) 积分. 于是对于任何有界可测函数,其勒贝格积分都有意义, 为有限数.
2. 非负可测函数的 \( \left( L\right) \) 积分. 设 \( f\left( x\right) \) 是可测集 \( E \) 上的非负可测函数, \( n \) 是自然数. 令
\[
{\left\lbrack f\left( x\right) \right\rbrack }_{n} = \left\{ \begin{array}{ll} f\left( x\right) & \left( {f\left( x\right) \leq n}\right) , \\ n & \left( {f\left( x\right) > n}\right) . \end{array}\right.
\]
称极限
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{E}{\left\lbrack f\left( x\right) \right\rbrack }_{n}\mathrm{\;d}x
\]
为 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上的 \( \left( L\right) \) 积分. 若这个积分是一有限数,则称 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上是 \( \left( L\right) \) 可积的.
3. 一般可测函数的 \( \left( L\right) \) 积分. 设 \( f\left( x\right) \) 是可测集 \( E \) 上的可测函数, \( {f}^{ + }\left( x\right) \) 与 \( {f}^{ - }\left( x\right) \) 分别为 \( f\left( x\right) \) 的正部与负部. 若 \( {f}^{ + }\left( x\right) \) 与 \( {f}^{ - }\left( x\right) \) 中有一个在 \( E \) 上为 (L) 可积,则称
\[
{\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{E}{f}^{ + }\left( x\right) \mathrm{d}x - {\int }_{E}{f}^{ - }\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
为 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上的 \( \left( L\right) \) 积分. 它可能是有限数,也可能为 \( + \infty \) 或 \( - \infty \) .
勒贝格积分的主要性质有:
1. 若 \( m\left( E\right) = 0 \) ,则对 \( E \) 上的任意函数 \( f\left( x\right) \) ,均有 \( f\left( x\right) \) 可积且
\[
{\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x = 0.
\]
2. 设 \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的可积函数,若 \( {E}_{0} \) 是 \( E \) 的可测子集,则 \( f\left( x\right) \) 在 \( {E}_{0} \) 上也可积.
3. (积分的有限可加性) 若 \( E = A \cup B, A \cap B \) \( = \varnothing, f\left( x\right) \) 在 \( A \) 与 \( B \) 上均可积,则 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上也可积, 且
\[
{\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{A}f\left( x\right) \mathrm{d}x + {\int }_{B}f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
4. (积分的保序性) 设 \( f\left( x\right), g\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的可积函数,若 \( f\left( x\right) \leq g\left( x\right) \) ,则
\[
{\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x \leq {\int }_{E}g\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
5. 设 \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的可测函数, \( g\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的非负可积函数,若 \( \left| {f\left( x\right) }\right| \leq g\left( x\right) \) ,则 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上也可积.
6. (绝对可积性) 对于 \( E \) 上的可测函数 \( f\left( x\right) \) , 它在 \( E \) 上可积的充分必要条件是 \( \left| {f\left( x\right) }\right| \) 在 \( E \) 上可积.
7. 若 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上可积,则 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上几乎处处有限.
8. 设 \( f\left( x\right) = g\left( x\right) \) a. e. 于 \( E \) ,若 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上可积,则 \( g\left( x\right) \) 在 \( E \) 上也可积,且
\[
{\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{E}g\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
9. 若 \( {\int }_{E}\left| {f\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x = 0 \) ,则 \( f\left( x\right) = 0 \) a. e. 于 \( E \) .
10. (积分的线性性) 若 \( f\left( x\right), g\left( x\right) \) 为 \( E \) 上的可积函数, \( \alpha \) 与 \( \beta \) 均为有限实数,则 \( {\alpha f}\left( x\right) + {\beta g}\left( x\right) \) 在 \( E \) 上可积,且
\[
{\int }_{E}\left\lbrack {{\alpha f}\left( x\right) + {\beta g}\left( x\right) }\right\rbrack \mathrm{d}x
\]
\[
= \alpha {\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x + \beta {\int }_{E}g\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
11. (积分的绝对连续性) 若 \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的可积函数,则对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,使当 \( e \subset E, m\left( e\right) \) \( < \delta \) 时,有
\[
{\int }_{e}\left| {f\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x < \varepsilon .
\]
12. (积分的可列可加性) 设 \( E = \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{\infty }{E}_{i},{E}_{i} \cap {E}_{j} \) \( = \varnothing \left( {i \neq j}\right) \) ,若 \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的可积函数,则
\[
{\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }{\int }_{{E}_{i}}f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
13. 若 \( f \in L\left( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \right) \) ,则对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的连续函数 \( \varphi \left( x\right) \) ,使得
\[
{\int }_{\left\lbrack a, b\right\rbrack }\left| {f\left( x\right) - \varphi \left( x\right) }\right| \mathrm{d}x < \varepsilon .
\]
在以上各条中, “6”, “11”, “12” 是使勒贝格积分区别于黎曼积分的重要性质. 因为 “ 6 ” 而可以说勒贝格积分是一类绝对积分. 勒贝格积分是黎曼积分的推广.
勒贝格可积函数 (integrable function in Lebesgu |
2000_数学辞海（第3卷） | 17 | \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的可积函数,则对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,使当 \( e \subset E, m\left( e\right) \) \( < \delta \) 时,有
\[
{\int }_{e}\left| {f\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x < \varepsilon .
\]
12. (积分的可列可加性) 设 \( E = \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{\infty }{E}_{i},{E}_{i} \cap {E}_{j} \) \( = \varnothing \left( {i \neq j}\right) \) ,若 \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的可积函数,则
\[
{\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }{\int }_{{E}_{i}}f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
13. 若 \( f \in L\left( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \right) \) ,则对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的连续函数 \( \varphi \left( x\right) \) ,使得
\[
{\int }_{\left\lbrack a, b\right\rbrack }\left| {f\left( x\right) - \varphi \left( x\right) }\right| \mathrm{d}x < \varepsilon .
\]
在以上各条中, “6”, “11”, “12” 是使勒贝格积分区别于黎曼积分的重要性质. 因为 “ 6 ” 而可以说勒贝格积分是一类绝对积分. 勒贝格积分是黎曼积分的推广.
勒贝格可积函数 (integrable function in Lebesgue sense) 其勒贝格积分为有限数的函数, 简称 (L) 可积函数. 若 \( f\left( x\right) \) 是可测集 \( E \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 上的 \( \left( L\right) \) 可测函数, 则当勒贝格积分
\[
\text{(L)}{\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
为有限数时,它称为勒贝格可积的,记为 \( f \in L\left( E\right) \) . 在 \( \left( L\right) \) 测度有限的集上,有界可测函数都是 \( \left( L\right) \) 可积函数. 对于一般的可测函数 \( f\left( x\right) \) ,当且仅当
\[
{\int }_{E}{f}^{ + }\left( x\right) \mathrm{d}x\text{ 和 }{\int }_{E}{f}^{ - }\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
都是有限数,也就是 \( \left| f\right| \in L\left( E\right) \) 时, \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上 \( \left( L\right) \) 可积 (参见 “勒贝格积分”). 勒贝格可积函数是平均连续的 (参见 “平均连续性”). 若函数 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上黎曼可积,则 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上必勒贝格可积,且两种积分值相等:
\[
\text{(L)}{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = \left( R\right) {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x\text{.}
\]
该命题之逆不真. 例如,狄利克雷函数 \( D\left( x\right) \) (有理数集的特征函数) 在 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上勒贝格可积,但不黎曼可积.
绝对积分 (absolute integral) 使函数与其绝对值同时可积的那种积分. 否则称为非绝对积分. 勒贝格积分是绝对积分, 黎曼积分是非绝对积分, 当儒瓦积分、亨斯托克积分等也都是非绝对积分.
非绝对积分 (non-absolute integral) 见“绝对积分”.
勒贝格积分的第一中值定理 (first mean value theorem of Lebesgue integral) \( \left( R\right) \) 积分的第一中值定理在 \( \left( L\right) \) 积分情形的推广. 若 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的连续函数, \( g\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的非负 \( \left( L\right) \) 可积函数,则存在 \( \xi \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,使得
\[
{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x = f\left( \xi \right) {\int }_{a}^{b}g\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
勒贝格积分的第二中值定理 (second mean value theorem of Lebesgue integral) \( \left( R\right) \) 积分的第二中值定理在 \( \left( L\right) \) 积分情形的推广. 它有两种形式:
1. 若 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的 \( \left( L\right) \) 可积函数, \( g\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的单调函数,则存在 \( \xi \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,使得
\[
{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x = g\left( a\right) {\int }_{a}^{\xi }f\left( x\right) \mathrm{d}x + g\left( b\right) {\int }_{\xi }^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
2. 设 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的 \( \left( L\right) \) 可积函数,若 \( g\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上单调减小的正值有界函数,则存在 \( \xi \in \) \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,使得
\[
{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x = g\left( a\right) {\int }_{a}^{\xi }f\left( x\right) \mathrm{d}x;
\]
若 \( g\left( x\right) \) 是单调增大的正值有界函数,则存在 \( \eta \in \) \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,使得
\[
{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x = g\left( b\right) {\int }_{\eta }^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
博内 (Bonnet, P.-O.) 首先就 \( \left( R\right) \) 积分证明了后一结果, 故勒贝格积分的上述性质亦称博内中值定理.
博内中值定理 (Bonnet mean value theorem) 见“勒贝格积分的第二中值定理”.
勒贝格积分的分部积分法 (integration by parts of Lebesgue integral) \( \left( R\right) \) 积分的分部积分法在 (L) 积分情形的推广. 若 \( f\left( x\right), g\left( x\right) \) 都是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的绝对连续函数, 则
\[
{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) {g}^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}x = f\left( b\right) g\left( b\right) - f\left( a\right) g\left( a\right)
\]
\[
- {\int }_{a}^{b}{f}^{\prime }\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
勒贝格积分的换元积分法 (integration by substitution of Lebesgue integral) \( \left( R\right) \) 积分的换元积分法在 \( \left( L\right) \) 积分情形的推广. 设 \( g\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上几乎处处可微, \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \) 上 \( \left( L\right) \) 可积,且 \( g\left( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \right) \subset \) \( \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \) ,令
\[
F\left( x\right) = {\int }_{c}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t,
\]
则下述两个命题是等价的:
1. \( F\left\lbrack {g\left( t\right) }\right\rbrack \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的绝对连续函数.
2. \( f\left\lbrack {g\left( t\right) }\right\rbrack {g}^{\prime }\left( t\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的 \( \left( L\right) \) 可积函数,且有
\[
{\int }_{{g}_{\left( a\right) }}^{g\left( \beta \right) }f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{\beta }f\left\lbrack {g\left( t\right) }\right\rbrack {g}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t,
\]
式中 \( \alpha ,\beta \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) .
命题 2 给出勒贝格积分的换元法则.
列维定理 (Levi theorem) 有关渐升的非负可测函数列积分号下取极限的定理. 设 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 是可测集 \( E \) 上非负可测函数列,若:
\[
\text{1.}{f}_{n}\left( x\right) \leq {f}_{n + 1}\left( x\right) \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \text{;}
\]
\[
\text{2.}\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{f}_{n}\left( x\right) = f\left( x\right) \text{a. e. 于}E\text{,}
\]
则
\[
{\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{E}{f}_{n}\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
这是列维 (Levi, B. ) 于 1906 年证明的.
法图引理 (Fatou lemma) 以不等式形式给出的一个积分极限定理. 若 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 为可测集 \( E \) 上的非负可测函数列, 则
\[
{\int }_{E}\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{f}_{n}\left( x\right) \mathrm{d}x \leq \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{E}{f}_{n}\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
这是法图 (Fatou, P. J. L. ) 于 1906 年得到的.
勒贝格控制收敛定理 (Lebesgue dominated convergence theorem) 勒贝格积分在积分号下取极限的主要定理. 设 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 是可测集 \( E \) 上的可测函数列, \( F\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的可积函数,若 \( \left| {{f}_{n}\left( x\right) }\right| \) \( \leq F\left( x\right) \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) ; 并且 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( E \) 上几乎处处收敛于 \( f\left( x\right) \) 或依测度收敛于 \( f\left( x\right) \) ,则 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上可积; 且下述等式成立:
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{E}{f}_{n}\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
此式的意义是: 对于 \( {f}_{n}\left( x\right) \) 可以在积分号下求极限. 黎曼积分情形没有与此相应的结果. 它表明, 对于勒贝格积分, 积分号下求极限的条件宽松多了.
勒贝格有界收敛定理 (Lebesgue bounded convergence theorem) 勒贝格控制收敛定理的一个有用的推论. 设 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 是可测集 \( E \) 上的可测函数列, \( M \) 是非负实数, \( m\left( E\right) < + \infty \) ,若在 \( E \) 上 \( \left| {{f}_{n}\left( x\right) }\right| \leq \) \( M \) ; 并且 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( E \) 上几乎处处收敛于 \( f\left( x\right) \) 或依测度收敛于 \( f\left( x\right) \) ,则 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上可积; 且下述等式成立:
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{E}{f}_{n}\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
对于黎曼积分,阿尔泽拉 (Arzelà, C. ) 于 1885 年、奥斯古德 (Osgood, W. F. ) 于 1897 年证明过与此相应的结果. 勒贝格控制收敛定理和有界收敛定理正是在上述工作的基础上得到的.
勒贝格逐项积分定理 (Lebesgue term by term integration theorem) 级数形式的积分极限定理之一. 若 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 为可测集 \( E \) 上的非负可测函数列,则
\[
{\int }_{E}\left\lbrack {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{f}_{n}\left( x\right) }\right\rbrack \mathrm{d}x = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\int }_{E}{f}_{n}\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
这从逐项积分角度, 反映了勒贝格积分比黎曼积分运算更灵活.
积分的等度绝对连续性 (equally absolute continuity of integral) 亦称积分的一致绝对连续性. 有关一列函数的积分绝对连续的程度的概念. 设 \( {f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{n}\left( x\right) ,\cdots \) 是 \( E \) 上的一列可积函数. 若对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,对于 \( E \) 的任意可测子集 \( A \) ,只要 \( m\left( A\right) < \delta \) ,就有
\[
\left| {{\int }_{A}{f}_{n}\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| < \varepsilon \left( {n = 1,2,\cdots }\right) ,
\]
则称 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 的积分具有等度绝对连续性. 它反映了一列变号函数在积分的绝对连续方面具有等度性或一致性这一性态.
积分的一致绝对连续性 (uniformly absolute continuity of integral) 即 “积分的等度绝对连续性”.
维塔利收敛定理 (Vitali convergence theorem) 有关积分具有等度绝对连续性的一列函数积分号下取极限的定理. 若 \( m\left( E\right) < + \infty ,\left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 是 \( E \) 上可积函数列,且依测度收敛于 \( f\left( x\right) \) ,又 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 的积分具有等度绝对连续性,则 \( f\left( x\right) \) 是可积函数,且
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{E}{f}_{n}\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
这是维塔利 (Vitali, G. ) 于 1907 年得到的一个结果的推论.
勒贝格的黎曼可积判别准则 (Lebesgue criterion for Riemann-integrability) 用测度论语言给出的黎曼可积函数的特征. 它断言: 若 \( f\left( x\right) \) 是定义在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的有界函数, \( D \) 表示 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的间断点所组成的集合,则 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上黎曼可积当且仅当 \( D \) 的勒贝格测度 \( m\left( D\right) = 0 \) . 这是由勒贝格 (Lebesgue, H. L. ) 给出的.
勒贝格积分的几何意义 (geometric significance of Lebesgue integral) 给出了非负函数的勒贝格积分与该函数的下方图形之间的关系. 设 \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) \( \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 上的非负实值函数. 称 \( G\left( {E;f}\right) = \) \( \left\{ {\left( {x, y}\right) \in {\mathrm{R}}^{n + 1} \mid x \in E,0 \leq y \leq f\left( x\right) }\right\} \) 为 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上的下方图形,则有: \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的 \( \le |
2000_数学辞海（第3卷） | 18 | right) \) 是可积函数,且
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{E}{f}_{n}\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
这是维塔利 (Vitali, G. ) 于 1907 年得到的一个结果的推论.
勒贝格的黎曼可积判别准则 (Lebesgue criterion for Riemann-integrability) 用测度论语言给出的黎曼可积函数的特征. 它断言: 若 \( f\left( x\right) \) 是定义在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的有界函数, \( D \) 表示 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的间断点所组成的集合,则 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上黎曼可积当且仅当 \( D \) 的勒贝格测度 \( m\left( D\right) = 0 \) . 这是由勒贝格 (Lebesgue, H. L. ) 给出的.
勒贝格积分的几何意义 (geometric significance of Lebesgue integral) 给出了非负函数的勒贝格积分与该函数的下方图形之间的关系. 设 \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) \( \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 上的非负实值函数. 称 \( G\left( {E;f}\right) = \) \( \left\{ {\left( {x, y}\right) \in {\mathrm{R}}^{n + 1} \mid x \in E,0 \leq y \leq f\left( x\right) }\right\} \) 为 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上的下方图形,则有: \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的 \( \left( L\right) \) 可测函数的充分必要条件是它的下方图形 \( G\left( {E;f}\right) \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n + 1} \) 中的 (L) 可测集. 对 \( E \) 上的非负可测函数 \( f\left( x\right) \) ,它的 \( \left( L\right) \) 积分恰好等于它的下方图形 \( G\left( {E;f}\right) \) 的 \( \left( L\right) \) 测度,即
\[
\left( L\right) {\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {mG}\left( {E;f}\right) .
\]
这正是黎曼积分表示曲边梯形面积这个几何意义的推广.
富比尼定理 (Fubini theorem) 给出在勒贝格意义下重积分与累次积分关系的命题. 若 \( f\left( {x, y}\right) \) 是 \( {\mathrm{R}}^{p + q} = {\mathrm{R}}^{p} \times {\mathrm{R}}^{q} \) 上的 \( \left( L\right) \) 可积函数,则:
1. 对几乎所有的 \( x \in {\mathrm{R}}^{p}, f\left( {x, y}\right) \) 作为 \( y \) 的函数是 \( \left( L\right) \) 可积的.
2. 作为 \( x \) 的函数,
\[
{\int }_{{\mathrm{R}}^{q}}f\left( {x, y}\right) \mathrm{d}y
\]
在 \( {\mathrm{R}}^{p} \) 上几乎处处有定义,它在 \( {\mathrm{R}}^{p} \) 上 \( \left( L\right) \) 可积,且有
\[
{\iint }_{{\mathrm{R}}^{p + q}}f\left( {x, y}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y = {\int }_{{\mathrm{R}}^{p}}\mathrm{\;d}x{\int }_{{\mathrm{R}}^{q}}f\left( {x, y}\right) \mathrm{d}y.
\]
富比尼定理是由富比尼 (Fubini, G. ) 于 1907 年提出的. 若 \( f\left( {x, y}\right) \) 是非负可测函数,则不论 \( f\left( {x, y}\right) \left( L\right) \) 可积与否,关于 \( \left( L\right) \) 积分,总有
\[
{\iint }_{{\mathrm{R}}^{p + q}}f\left( {x, y}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y = {\int }_{{\mathrm{R}}^{p}}\mathrm{\;d}x{\int }_{{\mathrm{R}}^{q}}f\left( {x, y}\right) \mathrm{d}y
\]
\[
= {\int }_{{\mathrm{R}}^{q}}\mathrm{\;d}y{\int }_{{\mathrm{R}}^{p}}f\left( {x, y}\right) \mathrm{d}x.
\]
这个结论通常称为托内利定理. 但有的文献将上述富比尼定理也称为托内利定理.
托内利定理 (Tonelli theorem) 见“富比尼定理”.
平均收敛 (convergence in mean) 实变函数中有关可积函数列的重要收敛概念. 设 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 是 \( E \) 上 \( \left( L\right) \) 可积函数列,若存在 \( E \) 上 \( \left( L\right) \) 可积函数 \( f\left( x\right) \) , 使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{E}\left| {{f}_{n}\left( x\right) - f\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x = 0,
\]
则称 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( E \) 上平均收敛于 \( f\left( x\right) \) . 若 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的 \( \left( L\right) \) 可积函数,则存在阶梯函数列 \( \left\{ {{\varphi }_{n}\left( x\right) }\right\} \) ,连续函数列 \( \left\{ {{u}_{n}\left( x\right) }\right\} \) ,使得 \( \left\{ {{\varphi }_{n}\left( x\right) }\right\} \) 和 \( \left\{ {{u}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上都平均收敛于 \( f\left( x\right) \) ; 若 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( E \) 上平均收敛于 \( f\left( x\right) \) ,则 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 必在 \( E \) 上依测度收敛于 \( f\left( x\right) \) . 有关它的推广与意义参见 “ \( {L}^{p} \) 中的强收敛”.
## \( \mathrm{R} \) 中的微分与积分
单调函数 (monotone function) 其值随自变量的值增大而增大 (或减小) 的一元函数. 定义在 \( E \subset \) \( \mathrm{R} \) 上的实值函数 \( f\left( x\right) \) ,若对于任意 \( {x}_{1},{x}_{2} \in E \) ,当 \( {x}_{1} \) \( < {x}_{2} \) 时总有 \( f\left( {x}_{1}\right) \leq f\left( {x}_{2}\right) \) ,或总有 \( f\left( {x}_{1}\right) \geq f\left( {x}_{2}\right) \) , 则 \( f\left( x\right) \) 称为 \( E \) 上的单调函数. 类似于数学分析,还可区分单调上升 (递增) 和单调下降 (递减). 闭区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上处处有限的单调函数 \( f\left( x\right) \) 有如下重要性质:
1. 它是有界变差的, 是勒贝格可测的.
2. 只有至多可数个第一类间断点.
3. 它是几乎处处可微的, 它的导数是勒贝格可积函数,当 \( f\left( x\right) \) 递增时,
\[
\text{(L)}{\int }_{a}^{b}{f}^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}x \leq f\left( b\right) - f\left( a\right) \text{,}
\]
并且确实存在使 “ \( < \) ” 号成立的 \( f\left( x\right) \) (例如勒贝格- 康托尔函数). 这是勒贝格 (Lebesgue, H. L. ) 于 1904 年首先证明的. 关于单调函数的初等性质参见第一卷《数学分析》中有关条目.
富比尼逐项微分定理 (Fubini term by term differential theorem) 有关级数逐项微分的定理. 若 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 是区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上一列不减 (或不增) 的函数, 使得
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{f}_{n}\left( x\right) = s\left( x\right)
\]
在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上处处存在且有限,则
\[
{s}^{\prime }\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{f}^{\prime }{}_{n}\left( x\right) \text{ a. e. 于 }\left\lbrack {a, b}\right\rbrack .
\]
这是由富比尼 (Fubini, G. ) 于 1915 年得到的. 此定理中的 \( {f}_{n}\left( x\right) \) 的条件明显可改为增函数之和,但不可改为增函数之差 (有界变差函数).
有界变差函数 (function of bounded variation) 亦称有限变差函数. 一类重要的函数. 设 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上处处有限的函数. 对 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 的分划 \( T : a = {x}_{0} \) \( < {x}_{1} < \cdots < {x}_{n} = b, \)
\[
{V}_{a}^{b}\left( {f, T}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left| {f\left( {x}_{i}\right) - f\left( {x}_{i - 1}\right) }\right|
\]
称为函数 \( f \) 关于分划 \( T \) 的变差. 若对于所有分划 \( T \) ,变差 \( {V}_{a}^{b}\left( {f, T}\right) \) 有界,即存在正数 \( M \) ,使对 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 的任何分划 \( T \) ,都有 \( {V}_{a}^{b}\left( {f, T}\right) \leq M \) ,则称 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的有界变差函数. 一切 \( {V}_{a}^{b}\left( {f, T}\right) \) 的上确界称为 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的全变差,记为 \( {V}_{a}^{b}\left( f\right) \) ,即
\[
{V}_{a}^{b}\left( f\right) = \mathop{\sup }\limits_{T}{V}_{a}^{b}\left( {f, T}\right) .
\]
单调函数是有界变差函数的特例, 有界变差函数的主要性质有:
1. 有界变差函数是有界的.
2. 设 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上处处有限, \( a < c < b \) ,则
\[
{V}_{a}^{b}\left( f\right) = {V}_{a}^{c}\left( f\right) + {V}_{c}^{b}\left( f\right) .
\]
3. 若 \( f\left( x\right) \) 与 \( g\left( x\right) \) 都是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的有界变差函数,则 \( f\left( x\right) \pm g\left( x\right), f\left( x\right) g\left( x\right) ,1/f\left( x\right) (\left| {f\left( x\right) }\right| \geq c \) \( > 0),\left| {f\left( x\right) }\right| ,\max \{ f\left( x\right), g\left( x\right) \} ,\min \{ f\left( x\right), g\left( x\right) \} \) 都是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的有界变差函数.
4. 若 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的有界变差函数,则 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上几乎处处可微,且 \( {f}^{\prime }\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上是 \( \left( L\right) \) 可积的, 又
\[
{V}_{a}^{x}\left( f\right) = {\int }_{a}^{x}\left| {{f}^{\prime }\left( t\right) }\right| \mathrm{d}t.
\]
1904 年, 勒贝格 (Lebesgue, H. L. ) 对连续的有界变差函数证明了这一结论, 1932 年, 里斯 (Riesz, F.) 推广到一般的有界变差函数情形.
5. 若 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的有界变差函数,且 \( f\left( x\right) \) 在点 \( {x}_{0} \) 连续,则 \( {V}_{a}^{x}\left( f\right) \) 在 \( {x}_{0} \) 也连续.
在数学历史上, 有界变差函数的概念是由研究曲线积分和曲线长度问题而引入的, 后来它在实变函数、泛函分析、调和分析中都有广泛的应用. 例如, 里斯于 1909 年证明了: \( \Phi \) 是空间 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的有界线性泛函的充分必要条件为: 存在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的有界变差函数 \( g\left( x\right) \) ,使对任意 \( f\left( x\right) \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,有
\[
\Phi \left( f\right) = {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}g\left( x\right) ,
\]
上述积分是黎曼-斯蒂尔杰斯积分.
有限变差函数 (function of finite variation) 即“有界变差函数”.
全变差 (total variation) 见“有界变差函数”.
巴拿赫定理 (Banach theorem) 表明函数的全变差与指标函数的 \( \left( L\right) \) 积分之间关系的定理. 设 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的连续函数, \( m \) 与 \( M \) 分别为 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的最小值与最大值, \( N\left( y\right) \left( {m \leq y \leq M}\right) \) 是方程 \( f\left( x\right) = y \) 的根的个数,称 \( N\left( y\right) \) 为巴拿赫指标函数,则 \( N\left( y\right) \) 在 \( \left\lbrack {m, M}\right\rbrack \) 上 \( \left( L\right) \) 可测,且
\[
{\int }_{m}^{M}N\left( y\right) \mathrm{d}y = {V}_{a}^{b}\left( f\right)
\]
上述定理是巴拿赫 (Banach, S. ) 于 1925 年得到的.
巴拿赫指标函数 (Banach indicatrix) 见“巴拿赫定理”.
若尔当分解定理 (Jordan decomposition theorem) 给出了有界变差函数的一种分解. \( f\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的有界变差函数的充分必要条件是 \( f\left( x\right) \) 可表示成两个非负递增 (或递减) 函数之差.
勒贝格分解定理 (Lebesgue decomposition theorem) 有界变差函数的一种分解. 若 \( g\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的有界变差函数,则 \( g\left( x\right) \) 必可分解为
\[
g\left( x\right) = {g}_{s}\left( x\right) + {g}_{c}\left( x\right) + \varphi \left( x\right) ,
\]
其中 \( {g}_{s}\left( x\right) \) 是奇异函数, \( {g}_{c}\left( x\right) \) 是绝对连续函数, \( \varphi \left( x\right) \) 是跃度函数; 若 \( g\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的间断点为 \( \left\{ {x}_{i}\right\} \) ,则
\[
\varphi \left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{\left\{ x \mid {x}_{i} \leq x\right\} }\left( {f\left( {{x}_{i} + 0}\right) - f\left( {{x}_{i} - 0}\right) }\right) .
\]
黑利定理 (Helly theorem) 黎曼-斯蒂尔杰斯积分在积分号下取极限的定理. 设 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的连续函数,有界变差函数列 \( \left\{ {{g}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上收敛于有限函数 \( g\left( x\right) \) ,且 \( {V}_{a}^{b}\left( {g}_{n}\right) \leq M\left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) , 则
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}{g}_{n}\left( x\right) = {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}g\left( x\right) .
\]
黑利选择原理 (Helly selection principle) 有界变差函数的一个重要性质. 设 \( \left\{ {{f}_{\alpha }\left( x\right) \mid \alpha \in \Gamma }\right\} \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上一族 (无限个)一致有界的有界变差函数,它们的全变差也有界,则存在 \( \left\{ {{f}_{ |
2000_数学辞海（第3卷） | 19 | ight) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的间断点为 \( \left\{ {x}_{i}\right\} \) ,则
\[
\varphi \left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{\left\{ x \mid {x}_{i} \leq x\right\} }\left( {f\left( {{x}_{i} + 0}\right) - f\left( {{x}_{i} - 0}\right) }\right) .
\]
黑利定理 (Helly theorem) 黎曼-斯蒂尔杰斯积分在积分号下取极限的定理. 设 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的连续函数,有界变差函数列 \( \left\{ {{g}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上收敛于有限函数 \( g\left( x\right) \) ,且 \( {V}_{a}^{b}\left( {g}_{n}\right) \leq M\left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) , 则
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}{g}_{n}\left( x\right) = {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}g\left( x\right) .
\]
黑利选择原理 (Helly selection principle) 有界变差函数的一个重要性质. 设 \( \left\{ {{f}_{\alpha }\left( x\right) \mid \alpha \in \Gamma }\right\} \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上一族 (无限个)一致有界的有界变差函数,它们的全变差也有界,则存在 \( \left\{ {{f}_{\alpha }\left( x\right) \mid \alpha \in \Gamma }\right\} \) 的一个子列,这个子列在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上处处收敛于一个有界变差函数.
绝对连续函数 (absolutely continuous function) 一类极为重要的函数. 设 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的函数,若对任给 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,使得对于在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上任意有限个互不相交的开区间 \( \left( {{a}_{1},{b}_{1}}\right) ,\left( {{a}_{2},{b}_{2}}\right) \) , \( \cdots ,\left( {{a}_{n},{b}_{n}}\right) \) ,当
\[
\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {{b}_{i} - {a}_{i}}\right) < \delta
\]
时, 就有
\[
\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left| {f\left( {b}_{i}\right) - f\left( {a}_{i}\right) }\right| < \varepsilon ,
\]
则 \( f\left( x\right) \) 称为 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的一个绝对连续函数. 令
\[
\Delta = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {{b}_{i} - {a}_{i}}\right)
\]
则 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上绝对连续的充分必要条件为: 当 \( \Delta \rightarrow 0 \) 时,
\[
\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left\lbrack {f\left( {b}_{i}\right) - f\left( {a}_{i}\right) }\right\rbrack
\]
一致收敛于 0 . 绝对连续函数的名称由维塔利 \( (\mathrm{{Vi}} - \) tali, G. ) 提出. 绝对连续函数的主要性质有:
1. 若 \( f\left( x\right) \) 与 \( g\left( x\right) \) 都是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的绝对连续函数, 则
\[
f\left( x\right) \pm g\left( x\right), f\left( x\right) g\left( x\right) ,\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\left( {g\left( x\right) \neq 0}\right)
\]
也是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的绝对连续函数.
2. 若 \( g\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {\alpha ,\beta }\right\rbrack \) 上的绝对连续函数, \( a \) \( \leq g\left( x\right) \leq b, f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上满足利普希茨条件,则 \( f\left\lbrack {g\left( x\right) }\right\rbrack \) 是 \( \left\lbrack {\alpha ,\beta }\right\rbrack \) 上的绝对连续函数 (但任意两个绝对连续函数的复合函数未必绝对连续).
3. 绝对连续函数一定是有界变差函数, 但有界变差函数未必是绝对连续函数.
4. 若 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上绝对连续,且 \( {f}^{\prime }\left( x\right) = 0 \) a. e. 于 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,则 \( f\left( x\right) \) 为一常数.
5. 若 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上绝对连续,且 \( {f}^{\prime }\left( x\right) \geq 0 \) a. e. 于 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,则 \( f\left( x\right) \) 为一单调增加函数.
6. 若 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上绝对连续,则 \( f\left( x\right) \) 具有性质 \( \left( N\right) \) ,即对任何零集 \( E \subset \left\lbrack {a, b}\right\rbrack, f\left( E\right) \) 仍为零集; 性质 \( \left( N\right) \) 的名称由卢津 \( \left( {J\text{Iyan, H. H. }}\right) \) 提出.
7. (巴拿赫-查列茨基定理) 若 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的连续的有界变差函数,且具有性质 \( \left( N\right) \) ,则 \( f\left( x\right) \) 是一绝对连续函数.
8. \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上绝对连续的充分必要条件为 \( {V}_{a}^{x}\left( f\right) \) 是绝对连续函数.
9. 绝对连续函数几乎处处可微, 是它的导函数的广义原函数 (参见 “勒贝格不定积分”).
半绝对连续函数 (semi-absolutely continuous function) 绝对连续函数概念的推广. 设 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的函数. 对 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上任意有限个互不相交的开区间
\[
{I}_{1} = \left( {{a}_{1},{b}_{1}}\right) ,{I}_{2} = \left( {{a}_{2},{b}_{2}}\right) ,\cdots ,{I}_{n} = \left( {{a}_{n},{b}_{n}}\right) ,
\]
令
\[
\Delta = \Delta \left( {{I}_{1},{I}_{2},\cdots ,{I}_{n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {{b}_{i} - {a}_{i}}\right) ,
\]
若
\[
\mathop{\lim }\limits_{{\Delta \rightarrow 0}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left\lbrack {f\left( {b}_{i}\right) - f\left( {a}_{i}\right) }\right\rbrack \geq 0
\]
一致地成立,则称 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上是下半绝对连续的. 若
\[
\mathop{\lim }\limits_{{\Delta \rightarrow 0}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left\lbrack {f\left( {b}_{i}\right) - f\left( {a}_{i}\right) }\right\rbrack \leq 0
\]
一致地成立,则称 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上是上半绝对连续的. 上、下半绝对连续函数统称为半绝对连续函数. 它们有性质:
1. \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上绝对连续的充分必要条件为 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上既是上半绝对连续又是下半绝对连续的.
2. 若 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的上 (下) 半绝对连续函数,则 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上几乎处处可微.
勒贝格不定积分 (indefinite integral in Lebesgue sunse) 黎曼可积函数的不定积分在勒贝格可积函数情形的推广. 设 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的勒贝格可积函数. 令
\[
F\left( x\right) = \left( L\right) {\int }_{a}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t + C\left( {x \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack }\right) ,
\]
则称 \( F\left( x\right) \) 为 \( f\left( x\right) \) 的不定积分,其中 \( C \) 是任意常数. (L) 可积函数 \( f\left( x\right) \) 的不定积分必定是绝对连续函数,它的导数几乎处处等于被积函数 \( f\left( x\right) \) ; 任何绝对连续函数 \( F\left( x\right) \) ,都是它的导数 \( {F}^{\prime }\left( x\right) \) 的不定积分, 即
\[
F\left( x\right) = \left( L\right) {\int }_{a}^{x}{F}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t + F\left( a\right) \;\left( {x \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack }\right) .
\]
函数的勒贝格点 (Lebesgue points for a function) 与积分的求导有关的一个概念. 设 \( x \in \mathrm{R} \) ,函数 \( f \) 在 \( x \) 的某一邻域上 \( \left( L\right) \) 可积. 若在点 \( x \) 处 \( f\left( x\right) \) \( \neq \pm \infty \) ,且
\[
\mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{1}{h}\left( L\right) {\int }_{x}^{x + h}\left| {f\left( t\right) - f\left( x\right) }\right| \mathrm{d}t = 0,
\]
则点 \( x \) 称为 \( f\left( x\right) \) 的勒贝格点. 若函数 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上 \( \left( L\right) \) 可积,则 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中几乎所有的点都是 \( f\left( x\right) \) 的勒贝格点. 在 \( f\left( x\right) \) 的勒贝格点, \( f\left( x\right) \) 的不定积分的导数一定等于 \( f\left( x\right) \) . 这个概念是由勒贝格 (Lebesgue, H. L. ) 引入的.
勒贝格积分的微积分基本定理 (calculus fundamental theorem for Lebesgue integrals) 牛顿-莱布尼茨公式在勒贝格积分情形的推广. 若 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上 \( \left( L\right) \) 可积, \( f\left( x\right) \) 的绝对连续的广义原函数为 \( F\left( x\right) \) ,则
\[
\left( L\right) {\int }_{a}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t = F\left( x\right) - F\left( a\right) .
\]
但对有界变差的连续函数 \( F\left( x\right) \) ,算式
\[
F\left( x\right) - F\left( a\right) = {\int }_{a}^{x}{F}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t
\]
未必成立, 对此, 维塔利 (Vitali, G. ) 于 1904 年引入了绝对连续函数的概念,并证明了: \( F\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上绝对连续的充分必要条件是: 存在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的 \( \left( L\right) \) 可积函数 \( f\left( x\right) \) ,使得
\[
F\left( x\right) - F\left( a\right) = {\int }_{a}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t\;\left( {x \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack }\right) .
\]
1907 年, 勒贝格 (Lebesgue, H. L. ) 给出了这一定理的简短证明.
广义原函数 (generalized primitive function) 原函数概念的推广. 若 \( f\left( x\right) \) 及 \( F\left( x\right) \) 是区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的扩充实值函数,导数 \( {F}^{\prime }\left( x\right) \) 几乎处处存在并等于 \( f\left( x\right) \) ,则 \( F\left( x\right) \) 称为 \( f\left( x\right) \) 的广义原函数. 勒贝格可积函数 \( f\left( x\right) \) 的不同广义原函数之间不一定相差一常数, 但其绝对连续的广义原函数彼此至多相差一常数.
勒贝格-康托尔函数 (Lebesgue-Cantor function) 一个导数几乎处处为零的单调连续函数. 按构造康托尔三分集的程序,第 \( n\left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) 次从闭区间 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 内移去 \( n \) 个开区间,余下 \( {2}^{n} \) 个长度 \( {3}^{-n} \) 的互不相交的闭区间,设它们从左到右依次是 \( {F}_{n1} \) , \( {F}_{n2},\cdots ,{F}_{n{2}^{n}} \) . 现做连续函数 \( {f}_{n}\left( x\right) \) 如下: 在每个 \( {F}_{nj} \) 上 \( {f}_{n}\left( x\right) \) 是线性增函数,且增量是 \( {2}^{-n} \) ; 在被移去的三分区间上取使 \( {f}_{n} \) 连续的常数值; \( {f}_{n}\left( 0\right) = 0,{f}_{n}\left( 1\right) \) \( = 1 \) . 易知 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 一致收敛,其极限函数 \( f\left( x\right) \) 就称为勒贝格-康托尔函数. 它在康托尔集的余区间上取值为常数, 因而它的导数几乎处处为 0 . 它连续但不绝对连续, 常用作不能使微积分基本定理成立的函数的例子.
奇异函数 (singular function) 导函数几乎处处等于零, 而本身不等于常数的连续函数. 例如, 勒贝格-康托尔函数就是奇异函数.
迪尼导数 (Dini derivatives) 对研究函数可微性态有用的下述四种形式广义导数的统称. 对于在点 \( {x}_{0} \) 的某个邻域内有定义的函数 \( f\left( x\right) \) ,定义:
左上导数 \( {D}^{ - }f\left( {x}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{\xi \rightarrow {x}_{0} - }}\frac{f\left( \xi \right) - f\left( {x}_{0}\right) }{\xi - {x}_{0}} \) ,
左下导数 \( {D}_{ - }f\left( {x}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{\xi \rightarrow {x}_{0} - }}\frac{f\left( \xi \right) - f\left( {x}_{0}\right) }{\xi - {x}_{0}} \) ,
右上导数 \( {D}^{ + }f\left( {x}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{\xi \rightarrow {x}_{0} + }}\frac{f\left( \xi \right) - f\left( {x}_{0}\right) }{\xi - {x}_{0}} \) ,
右下导数 \( {D}_{ + }f\left( {x}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{\xi \rightarrow {x}_{0}^{ + }}}\frac{f\left( \xi \right) - f\left( {x}_{0}\right) }{\xi - {x}_{0}} \) .
若 \( {D}_{ + }f\left( {x}_{0}\right) = {D}^{ + }f\left( {x}_{0}\right) \) 且有限,则 \( {x}_{0} \) 处 \( f\left( x\right) \) 有右导数; 若 \( {D}^{ - }f\left( {x}_{0}\right) = {D}_{ - }f\left( {x}_{0}\right) \) 且有限,则 \( {x}_{0} \) 处 \( f\left( x\right) \) 有左导数; 若左、右导数相等且有限,则 \( f\left( x\right) \) 在 \( {x}_{0} \) 处有导数 \( {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \) .
下导数 (lower derivate) 一元函数在一点的异侧下导数相等时的共同值. 若某函数在一点的左、 右下 (上) 导数相等, 则称这个数为该函数在这点的下 (上) 导数.
上导数 (upper derivate) 见“下导数”.
当儒瓦-杨-萨克斯定理 (Denjoy-Yo |
2000_数学辞海（第3卷） | 20 | 导数 \( {D}_{ - }f\left( {x}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{\xi \rightarrow {x}_{0} - }}\frac{f\left( \xi \right) - f\left( {x}_{0}\right) }{\xi - {x}_{0}} \) ,
右上导数 \( {D}^{ + }f\left( {x}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{\xi \rightarrow {x}_{0} + }}\frac{f\left( \xi \right) - f\left( {x}_{0}\right) }{\xi - {x}_{0}} \) ,
右下导数 \( {D}_{ + }f\left( {x}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{\xi \rightarrow {x}_{0}^{ + }}}\frac{f\left( \xi \right) - f\left( {x}_{0}\right) }{\xi - {x}_{0}} \) .
若 \( {D}_{ + }f\left( {x}_{0}\right) = {D}^{ + }f\left( {x}_{0}\right) \) 且有限,则 \( {x}_{0} \) 处 \( f\left( x\right) \) 有右导数; 若 \( {D}^{ - }f\left( {x}_{0}\right) = {D}_{ - }f\left( {x}_{0}\right) \) 且有限,则 \( {x}_{0} \) 处 \( f\left( x\right) \) 有左导数; 若左、右导数相等且有限,则 \( f\left( x\right) \) 在 \( {x}_{0} \) 处有导数 \( {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \) .
下导数 (lower derivate) 一元函数在一点的异侧下导数相等时的共同值. 若某函数在一点的左、 右下 (上) 导数相等, 则称这个数为该函数在这点的下 (上) 导数.
上导数 (upper derivate) 见“下导数”.
当儒瓦-杨-萨克斯定理 (Denjoy-Young-Saks theorem) 给出了有限函数的迪尼导数取值情况的定理. 该定理断言: 对于区间 \( \left( {a, b}\right) \) 上的任一处处有限的函数 \( f\left( x\right) \) 的导数,和几乎所有的 \( x \in \left( {a, b}\right) \) ,下述三种情形必居其一:
1. \( {f}^{\prime }\left( x\right) \) 存在.
2. 在 \( x \) 处的异定侧的某两个导数等于同一有限数,两个异侧的导数一个是 \( + \infty \) ,另一个是 \( - \infty \) .
## 3. 两个上导数等于 \( + \infty \) ,两个下导数等于 \( - \infty \) .
即对于几乎所有的点, 迪尼导数的情况不出如下两种: 两个同侧导数若不都等于同一有限数, 则其中必有一个是无穷大; 两个异侧导数若不相等, 则必有一个是 \( + \infty \) ,另一个是 \( - \infty \) . 这些结果,由当儒瓦 (Denjoy, A. ) 于 1915 年对连续函数首先证明, 杨 (Young, G. C. ) 于 1916 年推广到可测函数情形, 萨克斯 (Saks, S. ) 于 1924 年推广到一般情形.
勒贝格-斯蒂尔杰斯测度 (Lebesgue-Stieltjes measure) 简称 \( \left( {L - S}\right) \) 测度. 直线上勒贝格测度的推广. 设 \( g\left( x\right) \) 是定义在 \( \mathrm{R} \) 上的单调上升的右连续函数,分三步完成相应 \( \left( {L - S}\right) \) 测度的定义:
1. 左开右闭区间的 \( g \) 长度. 对 \( \mathrm{R} \) 中任一左开右闭区间 \( I = (a, b\rbrack \) ,称数值 \( {\mathcal{U}}_{g}\left( I\right) = g\left( b\right) - g\left( a\right) \) 为区间 \( I \) 的 \( g \) 长度. 特别地,当 \( g\left( x\right) = x \) 时, \( g \) 长度 \( {\mathcal{U}}_{g}\left( I\right) \) 就是区间 \( I \) 的长度.
2. 点集 \( E \) 的 \( \left( {L - S}\right) \) 外测度. 设 \( E \) 为 \( \mathrm{R} \) 中任一点集. 把覆盖 \( E \) 的可数个左开右闭区间的 \( g \) 长度之和的下确界称为 \( E \) 的 \( \left( {L - S}\right) \) 外测度,记为 \( {\mathcal{U}}_{g}^{ * }\left( E\right) \) ,即
\[
{\mathcal{U}}_{g}^{ * }\left( E\right) = \inf \left\{ {\mathop{\sum }\limits_{{k \geq 1}}{\mathcal{U}}_{g}\left( {I}_{k}\right) \mid \left\{ {I}_{k}\right\} }\right. \text{为可数个}
\]
覆盖 \( E \) 的左开右闭区间 \( \} \) .
特别地,当 \( g\left( x\right) = x \) 时, \( {\mathcal{U}}_{g}^{ * }\left( E\right) \) 即为 \( E \) 的 \( \left( L\right) \) 外测度 \( {m}^{ * }\left( E\right) \) ; 当 \( E \) 为左开右闭区间 \( I \) 时,
\[
{\mathcal{U}}_{g}^{ * }\left( I\right) = {\mathcal{U}}_{g}\left( I\right)
\]
3. \( \left( {L - S}\right) \) 测度. 设 \( E \) 是 \( \mathrm{R} \) 中的一点集. 如果对于任意点集 \( T \) ,当 \( T \) 分解成 \( E \) 内部分 \( T \cap E \) 与 \( E \) 外部分 \( T \cap {E}^{c} \) 时,相应的 \( \left( {L - S}\right) \) 外测度都具有可加性,即
\[
{\mathcal{U}}_{g}^{ * }\left( T\right) = {\mathcal{U}}_{g}^{ * }\left( {T \cap E}\right) + {\mathcal{U}}_{g}^{ * }\left( {T \cap {E}^{c}}\right) ,
\]
则 \( E \) 称为关于 \( g\left( x\right) \) 的 \( \left( {L - S}\right) \) 可测集,或称 \( E \) 为 \( {\mathcal{U}}_{g}^{ * } \) 可测集或 \( g \) 可测集. 此时 \( E \) 的 \( \left( {L - S}\right) \) 外测度 \( {\mathcal{U}}_{g}^{ * }\left( E\right) \) 就称为 \( E \) 的由分布函数 \( g\left( x\right) \) 引出的 \( \left( {L - S}\right) \) 测度,并记为 \( {\mathcal{U}}_{g}\left( E\right) \) . 特别地,当 \( g\left( x\right) = x \) 时, \( {\mathcal{U}}_{g}\left( E\right) \) 即为 \( E \) 的 \( \left( L\right) \) 测度 \( m\left( E\right) \) ; 当 \( E \) 为左开右闭区间 \( I \) 时,它必为 \( g \) 可测集,且其 \( \left( {L - S}\right) \) 测度 \( {\mathcal{U}}_{g}\left( I\right) \) 与它的 \( g \) 长度在数值上相等.
勒贝格-斯蒂尔杰斯可测函数 (Lebesgue-Stielt-jes measurable function) 勒贝格可测函数的推广. 设 \( g\left( x\right) \) 是定义在 \( \mathrm{R} \) 上的一个单调上升的右连续函数,集 \( E \) 是关于 \( g\left( x\right) \) 的 \( \left( {L - S}\right) \) 可测集, \( f\left( x\right) \) 是定义在 \( E \) 上的一个扩充实值函数. 若对任意实数 \( \alpha \) ,集 \( \{ x \in E \mid f\left( x\right) > \alpha \} \) 关于 \( g\left( x\right) \) 是 \( \left( {L - S}\right) \) 可测集,则称 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上关于 \( g\left( x\right) \) 是一个 \( \left( {L - S}\right) \) 可测函数. 类似于 \( \left( L\right) \) 可测函数, \( \left( {L - S}\right) \) 可测函数也可表示为一列 \( \left( {L - S}\right) \) 简单函数的极限.
勒贝格-斯蒂尔杰斯简单函数 (Lebesgue-Stielt-jes simple function) 通常简单函数的推广. 设 \( g\left( x\right) \) 是定义在 \( \mathrm{R} \) 上的一个单调上升右连续函数,集 \( E \) 关于 \( g\left( x\right) \) 为 \( \left( {L - S}\right) \) 可测, \( f\left( x\right) \) 是定义在 \( E \) 上的实函数. 如果 \( E \) 能分解成有限个 \( \left( {L - S}\right) \) 可测子集 \( {E}_{1} \) , \( {E}_{2},\cdots ,{E}_{n} \) ,且在每个 \( {E}_{i} \) 上 \( f\left( x\right) \) 等于常数 \( {c}_{i} \) ,则称 \( f\left( x\right) \) 为 \( E \) 上关于 \( g\left( x\right) \) 的一个 \( \left( {L - S}\right) \) 简单函数.
勒贝格-斯蒂尔杰斯积分 (Lebesgue-Stieltjes integral) 勒贝格积分的推广. 类似于勒贝格积分, 分三步定义: 设 \( g\left( x\right) \) 是定义在 \( \mathrm{R} \) 上的一个单调上升的右连续函数,集 \( E \) 关于 \( g\left( x\right) \) 为 \( \left( {L - S}\right) \) 可测, \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上关于 \( g\left( x\right) \) 的 \( \left( {L - S}\right) \) 可测函数.
1. 当
\[
f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{i}{\chi }_{{E}_{i}}\left( x\right)
\]
为非负的 \( \left( {L - S}\right) \) 简单可测函数时,定义 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上 (关于 \( g\left( x\right) \) ) 的 \( \left( {L - S}\right) \) 积分为
\[
{\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}g\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{i} \cdot {\mathcal{U}}_{g}\left( {E}_{i}\right) .
\]
2. 当 \( f\left( x\right) \geq 0 \) 时,若 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 为递增的非负 \( (L - \) \( S) \) 简单函数列且收敛于 \( f\left( x\right) \) ,定义 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上 (关于 \( g\left( x\right) ) \) 的 \( \left( {L - S}\right) \) 积分为
\[
{\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}g\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{E}{f}_{n}\left( x\right) \mathrm{d}g\left( x\right) .
\]
3. 当 \( f\left( x\right) \) 为一般的 \( \left( {L - S}\right) \) 可测函数时,令 \( {f}^{ + }\left( x\right) ,{f}^{ - }\left( x\right) \) 分别为 \( f\left( x\right) \) 的正部和负部,则 \( f\left( x\right) \) \( = {f}^{ + }\left( x\right) - {f}^{ - }\left( x\right) \) . 当
\[
{\int }_{E}{f}^{ + }\left( x\right) \mathrm{d}g\left( x\right) ,\;{\int }_{E}{f}^{ - }\left( x\right) \mathrm{d}g\left( x\right)
\]
中至少有一个有限时,定义 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上 (关于 \( g\left( x\right) \) ) 的 \( \left( {L - S}\right) \) 积分为
\[
{\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}g\left( x\right)
\]
\[
= {\int }_{E}{f}^{ + }\left( x\right) \mathrm{d}g\left( x\right) - {\int }_{E}{f}^{ - }\left( x\right) \mathrm{d}g\left( x\right) .
\]
若按抽象积分的记法, \( \left( {L - S}\right) \) 积分
\[
{\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}g\left( x\right)
\]
也可记为
\[
{\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}{\mathcal{U}}_{g}
\]
当 \( g\left( x\right) = x \) 时, \( \left( {L - S}\right) \) 积分
\[
{\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}g\left( x\right)
\]
即为 \( \left( L\right) \) 积分
\[
{\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
沿点集的导数 (derivative along a set) 通常导数概念的推广. 设 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的实值函数, \( E \) \( \subset \left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,{x}_{0} \) 为 \( E \) 的聚点,分别称
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\frac{f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}},
\]
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\frac{f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}},
\]
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\frac{f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}}
\]
为 \( f\left( x\right) \) 在点 \( {x}_{0} \) 沿点集 \( E \) 的导数、上导数、下导数, 且分别记为 \( {f}^{\prime }{}_{E}\left( {x}_{0}\right) ,{\bar{D}}_{E}f\left( {x}_{0}\right) ,{D}_{E}f\left( {x}_{0}\right) \) . 当 \( {f}^{\prime }{}_{E}\left( {x}_{0}\right) \) 为有限数时,称 \( f\left( x\right) \) 在点 \( {x}_{0} \) 沿 \( E \) 是可导的. 若 \( E \) 是以 \( {x}_{0} \) 为全密点的点集,则分别称
\[
\text{ ap }\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\frac{f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}}\text{,}
\]
\[
\text{ ap }\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\frac{f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}}\text{,}
\]
\[
\text{ ap }\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\frac{f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}}
\]
为 \( f\left( x\right) \) 在点 \( {x}_{0} \) 的近似导数、近似下导数、近似上导数,并分别记为 \( {D}_{ap}f\left( {x}_{0}\right) \) (或 \( {f}^{\prime }{}_{ap}\left( {x}_{0}\right) \) ), \( {\underline{D}}_{ap}f\left( {x}_{0}\right) \) , \( {\bar{D}}_{ap}f\left( {x}_{0}\right) \) . 近似导数有下列性质:
1. \( f\left( x\right) \) 在 \( {x}_{0} \in E \) 的近似导数为 \( A \) 的充分必要条件为: 对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,点集
\[{E}_{\varepsilon } = \left\{ {x\left| {\;A - \varepsilon < \frac{f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}} < A + \varepsilon }\right. }\right\} \]
以 \( {x}_{0} \) 为全密点.
2. 凡是导数 \( {f}^{\prime }\left( x\right) \) 存在的点,近似导数 \( {f}_{ap}^{\prime }\left( x\right) \) 一定存在,且 \( {f}_{ap}^{\prime }\left( x\right) = {f}^{\prime }\left( x\right) \) ; 反之,存在连续函数 \( f\left( x\right) \) ,使得在某一正测集 \( E \) 上存在 \( {f}_{ap}^{\prime }\left( x\right) \) ,但在 \( E \) 的几乎所有的点处 \( {f}^{\prime }\left( x\right) \) 并不存在.
近似导数 (approximate derivative) 见 “沿点集的导数”.
集上的有界变差函数 (function of bounded variation on a set) 区间上的有界变差函数在集上的推广. 设 \( f\left( x\right) \) 是定义在集 \( E \subset \mathrm{R} \) 上的实值函数, 对 \( E \) 的分划 \( T : {x}_{0} < {x}_{1} < \cdots < {x}_{n},{x}_{i} \in E(i = 1,2,\cdots \) , \( n), f \) 的变差为
\[{V}_{E}\left( {f, T}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left| {f\left( {x}_{i}\right) - f\left( {x}_{i - 1}\right) }\right| .\]
若 \( {V}_{E}\left( {f, T}\right) \) 关于分划 \( T \) 有界,则称 \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的有界变差函数,一切 \( {V}_{E}\left( {f, T}\right) \) 的上确界称为 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上的全变差,记为 \( {V}_{E}\left( f\right) \) ,即
\[{V}_{E}\left( f\right) = \mathop{\sup }\limits_{T}{V}_{E}\left( {f, T}\right) .\]
广义有界变差函数 (generalized function of |
2000_数学辞海（第3卷） | 21 | 存在,且 \( {f}_{ap}^{\prime }\left( x\right) = {f}^{\prime }\left( x\right) \) ; 反之,存在连续函数 \( f\left( x\right) \) ,使得在某一正测集 \( E \) 上存在 \( {f}_{ap}^{\prime }\left( x\right) \) ,但在 \( E \) 的几乎所有的点处 \( {f}^{\prime }\left( x\right) \) 并不存在.
近似导数 (approximate derivative) 见 “沿点集的导数”.
集上的有界变差函数 (function of bounded variation on a set) 区间上的有界变差函数在集上的推广. 设 \( f\left( x\right) \) 是定义在集 \( E \subset \mathrm{R} \) 上的实值函数, 对 \( E \) 的分划 \( T : {x}_{0} < {x}_{1} < \cdots < {x}_{n},{x}_{i} \in E(i = 1,2,\cdots \) , \( n), f \) 的变差为
\[{V}_{E}\left( {f, T}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left| {f\left( {x}_{i}\right) - f\left( {x}_{i - 1}\right) }\right| .\]
若 \( {V}_{E}\left( {f, T}\right) \) 关于分划 \( T \) 有界,则称 \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的有界变差函数,一切 \( {V}_{E}\left( {f, T}\right) \) 的上确界称为 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上的全变差,记为 \( {V}_{E}\left( f\right) \) ,即
\[{V}_{E}\left( f\right) = \mathop{\sup }\limits_{T}{V}_{E}\left( {f, T}\right) .\]
广义有界变差函数 (generalized function of bounded variation) 集上的有界变差函数的推广设 \( f\left( x\right) \) 是定义在 \( E \subset \mathrm{R} \) 上的实值函数,且
\[E = \mathop{\bigcup }\limits_{n}{E}_{n}\]
若 \( f\left( x\right) \) 在每个 \( {E}_{n} \) 上是有界变差的,则称 \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的广义有界变差函数,若 \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的广义有界变差函数,则对 \( E \) 中几乎所有的点,近似导数 \( {f}^{\prime }{}_{ap}\left( x\right) \) 存在.
集上的绝对连续函数 (absolutely continuous function on a set) 区间上绝对连续函数的推广. 设 \( E \) 为实数的一个集合, \( F\left( x\right) \) 为定义在 \( E \) 上的实值函数. 如果对于任意的 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,使得对于端点全都属于 \( E \) 且互不重叠的任意一列区间 \( \left\{ \left\lbrack {{a}_{n},}\right. \right. \) \( \left. {b}_{n}\right\} \) ,当
\[
\mathop{\sum }\limits_{n}\left( {{b}_{n} - {a}_{n}}\right) < \delta
\]
时, 就有
\[
\mathop{\sum }\limits_{n}\left| {F\left( {b}_{n}\right) - F\left( {a}_{n}\right) }\right| < \varepsilon
\]
成立,则称 \( F\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的一个绝对连续函数.
集上的一般绝对连续函数 (generalized absolutely continuous function on a set) 集上绝对连续函数的推广. 设 \( f\left( x\right) \) 在集 \( E \) 上连续,且
\[
E = \mathop{\bigcup }\limits_{n}{E}_{n}
\]
若 \( f\left( x\right) \) 在每个 \( {E}_{n} \) 上绝对连续,则称 \( f\left( x\right) \) 是集 \( E \) 上的一般绝对连续函数:
1. 若 \( f\left( x\right) \) 是有界集 \( E \) 上的一般绝对连续函数,则 \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的一般有界变差函数,从而在 \( E \) 上近似导数 \( {f}^{\prime }{}_{ap}\left( x\right) \) 几乎处处存在.
2. 有界闭集 \( E \) 上的连续广义有界变差函数 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上一般绝对连续的充分必要条件为, \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上具有性质 \( \left( N\right) \) . 关于性质 \( \left( N\right) \) ,见 “绝对连续函数”.
集上的狭义绝对连续函数 (absolutely continuous functions in the restricted sense on a set) 比集上绝对连续函数具有更强的性质的函数. 设 \( E \subset \) \( \mathrm{R}, F\left( x\right) \) 为定义域包含 \( E \) 的实值函数. 如果对于任意的 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,使得对于两端点属于 \( E \) 而互不重叠的任意区间列 \( \left\{ \left\lbrack {{a}_{n},{b}_{n}}\right\rbrack \right\} \) ,当 \( \mathop{\sum }\limits_{n}\left( {{b}_{n} - {a}_{n}}\right) < \delta \) 时,就有 \( \mathop{\sum }\limits_{n}\omega \left( {F \mid \left\lbrack {{a}_{n},{b}_{n}}\right\rbrack }\right) < \varepsilon \) (这里 \( \omega \left( {F \mid \left\lbrack {{a}_{n},{b}_{n}}\right\rbrack }\right) \) 表示 \( F\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {{a}_{n},{b}_{n}}\right\rbrack \) 上的振幅),则称 \( F\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的一个狭义绝对连续函数.
集上的狭义一般绝对连续函数 (generalized absolutely continuous function in the restricted sense on a set) 是较集上一般绝对连续函数具有更强的性质的函数. 设 \( F\left( x\right) \) 在集 \( E \) 上连续,且
\[
E = \mathop{\bigcup }\limits_{n}{E}_{n}
\]
若 \( F\left( x\right) \) 在每个 \( {E}_{n} \) 上狭义绝对连续,则称 \( F\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的狭义一般绝对连续函数. 若 \( F\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的狭义一般绝对连续函数,则导数 \( {F}^{\prime }\left( x\right) \) 几乎处处存在.
狭义当儒瓦可积函数 (integrable function in the restricted sense of Denjoy) 勒贝格可积函数的推广. 设 \( f\left( x\right) \) 是定义在闭区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的实值函数. 若存在狭义一般绝对连续函数 \( F\left( x\right) \) ,使得在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上 \( {F}^{\prime }\left( x\right) = f\left( x\right) \) a. e.,则称 \( f\left( x\right) \) 为 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的狭义当儒瓦可积函数,简称 \( D\left( *\right) \) 可积函数. 此时 \( F\left( x\right) \) 称为 \( f\left( x\right) \) 的狭义当儒瓦不定积分或不定 \( D\left( *\right) \) 积分. 称 \( F\left( b\right) - F\left( a\right) \) 为 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的狭义当儒瓦积分或 \( D\left( *\right) \) 积分,记为
\[
\left( {D\left( *\right) }\right) {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
若 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的勒贝格可积函数,则它在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上狭义当儒瓦可积. 一般地, 一个函数的导数不一定勒贝格可积,又因 \( f\left( x\right) \) 勒贝格可积与 \( \left| {f\left( x\right) }\right| \) 勒贝格可积等价, 因此, 广义黎曼可积不一定勒贝格可积. 这表明勒贝格积分尚留有拓广的余地. 当儒瓦 (Denjoy, A. ) 于 1912 年给出了狭义当儒瓦积分的定义, 它同时成为勒贝格积分和黎曼积分的一种推广.
狭义当儒瓦不定积分 (Denjoy indefinite integral in the restricted sense) 见 “狭义当儒瓦可积函数”.
广义当儒瓦可积函数 (integrable function in the wide sense of Denjoy) 狭义当儒瓦可积函数的推广. 设 \( f\left( x\right) \) 是定义在闭区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的一个实值函数. 若存在一般绝对连续函数 \( F\left( x\right) \) ,使得对于 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中几乎所有的点, \( F\left( x\right) \) 的近似导数 \( {F}^{\prime }{}_{ap}\left( x\right) = \) \( f\left( x\right) \) ,则称 \( f\left( x\right) \) 为 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的一个广义当儒瓦可积函数,简称 \( D \) 可积函数. 此时 \( F\left( x\right) \) 称为 \( f\left( x\right) \) 的当儒瓦不定积分或不定 \( D \) 积分. \( F\left( b\right) - F\left( a\right) \) 称为 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的当儒瓦积分或 \( D \) 积分. 狭义当儒瓦可积函数一定是广义当儒瓦可积函数. 对当儒瓦积分和近似导数来说, 积分与微分完全成了互逆的运算.
当儒瓦不定积分 (Denjoy indefinite integral ) 见“广义当儒瓦可积函数”.
当儒瓦积分 (Denjoy integral) 见 “广义当儒瓦可积函数”.
狭义当儒瓦积分 (Denjoy integral in the restricted sense) 见“狭义当儒瓦可积函数”.
佩龙下函数 (Perron lower function) 为定义佩龙积分而引进的概念. 设 \( f\left( x\right) \) 是在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上定义的实值函数 (不一定有限), \( F\left( x\right) \) 是在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上定义的连续函数, \( \bar{D}F\left( x\right) \) 为 \( F\left( x\right) \) 的上导数. 若:
1. \( F\left( a\right) = 0 \) ;
2. 对所有 \( x \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,\bar{D}F\left( x\right) < + \infty \) ;
3. 对所有 \( x \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,\bar{D}F\left( x\right) \leq f\left( x\right) \) ;
则称 \( F\left( x\right) \) 为 \( f\left( x\right) \) 的佩龙下函数,简称下函数.
佩龙上函数 (Perron upper function) 为定义佩龙积分而引进的概念. 设 \( f\left( x\right) \) 是在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上定义的函数 (不一定有限), \( F\left( x\right) \) 是在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上定义的连续函数, \( \underline{D}F\left( x\right) \) 为 \( F\left( x\right) \) 的下导数. 若:
1. \( F\left( a\right) = 0 \) ;
2. 对所有 \( x \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,\underline{D}F\left( x\right) < + \infty \) ;
3. 对所有 \( x \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,\underline{D}F\left( x\right) \geq f\left( x\right) \) ; 则称 \( F\left( x\right) \) 为 \( f\left( x\right) \) 的佩龙上函数,简称上函数.
佩龙积分 (Perron integral) 勒贝格积分的推广,一种非绝对积分. 设 \( f\left( x\right) \) 是定义在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的函数. 若:
1. 它至少有一个上函数 \( U\left( x\right) \) 及一个下函数 \( V\left( x\right) \) ;
2. 所有上函数 \( U\left( x\right) \) 在 \( x = b \) 的数值所成之集 \( \{ U\left( b\right) \} \) 的下确界与所有下函数 \( V\left( x\right) \) 在同一点的数值所成之集 \( \{ V\left( b\right) \} \) 的上确界相等,即
\( \inf \{ U\left( b\right) \} = \sup \{ V\left( b\right) \} ; \)
则称 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上依佩龙意义可积,简称 \( \left( P\right) \) 可积,并将上述上、下确界的共同值称为 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的佩龙积分. 佩龙 (Perron, O. ) 于 1914 年在当儒瓦 (Denjoy, A. ) 建立狭义当儒瓦积分后, 定义的另一类型的积分. 哈克 (Hake, H. ) 于 1921 年证明了狭义当儒瓦可积的函数必是佩龙可积的, 且积分值相等. 亚历山德罗夫 (AnekcaHдpoв, Π. C. ) 与罗曼 (Looman, H. ) 于 1924 年各自独立地证明了佩龙可积的函数必是狭义当儒瓦可积的, 且积分值相等. 若函数 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上依勒贝格意义可积,则它在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上依佩龙意义可积,且两积分相等:
\[
\left( P\right) {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = \left( L\right) {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
所有非负且 \( \left( P\right) \) 可积的函数一定 \( \left( L\right) \) 可积; 若 \( f\left( x\right) \) 为 \( \left( L\right) \) 可测函数,且存在着佩龙积分
\[
\text{(P)}{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x\text{,}
\]
则 \( f\left( x\right) \) 是勒贝格可积的. 因佩龙积分与狭义当儒瓦积分、亨斯托克积分等价, 上述关系也就给出了狭义当儒瓦积分、亨斯托克积分与勒贝格积分的关系.
瓦尔德下函数 (Ward lower function) 为定义瓦尔德积分而引进的概念. 设 \( f\left( x\right) \) 与 \( G\left( x\right) \) 是定义在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的函数. 若对任意 \( \xi \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,存在 \( \delta \left( \xi \right) \) \( > 0 \) ,使当 \( \xi \in \left\lbrack {u, v}\right\rbrack \subset \left( {\xi - \delta \left( \xi \right) ,\xi + \delta \left( \xi \right) }\right) \) 时有
\[
f\left( \xi \right) \left( {v - u}\right) \geq G\left( v\right) - G\left( u\right) ,
\]
则称 \( G\left( x\right) \) 为 \( f\left( x\right) \) 的瓦尔德下函数. 相反,若有 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的函数 \( H\left( x\right) \) 使得
\[
f\left( \xi \right) \left( {v - u}\right) \leq H\left( v\right) - H\left( u\right) ,
\]
则称 \( H\left( x\right) \) 为 \( f\left( x\right) \) 的瓦尔德上函数 (这里 \( u, v,\xi \) 意义同前).
瓦尔德上函数 (Ward upper function) 见 “瓦尔德下函数”.
瓦尔德积分 (Ward integral) 与佩龙积分等价的一种积分. 设 \( f\left( x\right) \) 是定义在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的函数, \( H\left( x\right) \) 与 \( G\left( x\right) \) 分别为 \( f\left( x\right) \) 的瓦尔德上函数与下函数. 若等式
\[
\mathop{\sup }\limits_{G}\left( {G\left( b\right) - G\left( a\right) }\right) = \mathop{\inf }\limits_{H}\left( {H\left( b\right) - H\left( a\right) }\right)
\]
成立,则称 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上依瓦尔德的意义可积,简称 \( \left( W\right) \) 可积,并将上述上、下确界的公共值称为 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的瓦尔德积分. 此积分是由瓦尔德 (Ward, A. J. ) 引入的.
亨斯托克积分 (Henstock integral) 在 20 世纪 50 年代出现, 后来发现它是与佩龙积分等价的一种积分. 设 \( f\left( x\right) \) 是定义在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的实值函数. 如果存在数 \( A \) ,对于任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在函数 \( \delta \left( \xi \right) > 0 \) ,使得对每一分划 \( D : a = {x}_{0} < {x}_{1} < \cdots < {x}_{n} = b \) 和 \( {\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots \) , \( {\xi }_{n} \) ,当 \( {\xi } |
2000_数学辞海（第3卷） | 22 | ).
瓦尔德上函数 (Ward upper function) 见 “瓦尔德下函数”.
瓦尔德积分 (Ward integral) 与佩龙积分等价的一种积分. 设 \( f\left( x\right) \) 是定义在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的函数, \( H\left( x\right) \) 与 \( G\left( x\right) \) 分别为 \( f\left( x\right) \) 的瓦尔德上函数与下函数. 若等式
\[
\mathop{\sup }\limits_{G}\left( {G\left( b\right) - G\left( a\right) }\right) = \mathop{\inf }\limits_{H}\left( {H\left( b\right) - H\left( a\right) }\right)
\]
成立,则称 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上依瓦尔德的意义可积,简称 \( \left( W\right) \) 可积,并将上述上、下确界的公共值称为 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的瓦尔德积分. 此积分是由瓦尔德 (Ward, A. J. ) 引入的.
亨斯托克积分 (Henstock integral) 在 20 世纪 50 年代出现, 后来发现它是与佩龙积分等价的一种积分. 设 \( f\left( x\right) \) 是定义在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的实值函数. 如果存在数 \( A \) ,对于任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在函数 \( \delta \left( \xi \right) > 0 \) ,使得对每一分划 \( D : a = {x}_{0} < {x}_{1} < \cdots < {x}_{n} = b \) 和 \( {\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots \) , \( {\xi }_{n} \) ,当 \( {\xi }_{i} \in \left\lbrack {{x}_{i - 1},{x}_{i}}\right\rbrack \subset \left( {{\xi }_{i} - \delta \left( {\xi }_{i}\right) ,{\xi }_{i} + \delta \left( {\xi }_{i}\right) }\right) (i = 1 \) , \( 2,\cdots, n) \) 时有
\[
\left| {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}f\left( {\xi }_{i}\right) \left( {{x}_{i} - {x}_{i - 1}}\right) - A}\right| < \varepsilon
\]
那么函数 \( f\left( x\right) \) 称为亨斯托克意义可积,简称 \( \left( H\right) \) 可积. 此时 \( A \) 称为 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的亨斯托克积分,记为
\[
\text{(H)}{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x\text{.}
\]
在上述定义中,若对每 \( - \varepsilon > 0 \) ,与之相应的正值函数 \( \delta \left( \xi \right) \) 是常数,则 \( \left( H\right) \) 积分就是 \( \left( R\right) \) 积分. 1957 年,亨斯托克 (Henstock, R. ) 给出的这种积分的定义是黎曼型的, 它与佩龙积分等价, 也与狭义当儒瓦积分等价, 因而它给出了狭义当儒瓦积分的黎曼型定义, 使狭义当儒瓦积分的处理简化. 亨斯托克积分的主要性质有:
1. (部分可积性) 若 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上 \( \left( H\right) \) 可积, \( \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \subset \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,则 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \) 上也 \( \left( H\right) \) 可积.
2. (积分按区间的可加性) 若 \( f\left( x\right) \) 在区间 \( \left\lbrack {a, c}\right\rbrack \) 和 \( \left\lbrack {c, b}\right\rbrack \) 上均 \( \left( H\right) \) 可积,则 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上也 \( \left( H\right) \) 可积, 且
\[
\left( H\right) {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = \left( H\right) {\int }_{a}^{c}f\left( x\right) \mathrm{d}x + \left( H\right) {\int }_{c}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
3. (积分的线性性) 若 \( f\left( x\right) \) 与 \( g\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上均 (H) 可积, \( \alpha ,\beta \) 为有限实数,则 \( {\alpha f}\left( x\right) + {\beta g}\left( x\right) \) 在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上也 \( \left( H\right) \) 可积,且
\[
\text{(H)}{\int }_{a}^{b}\left\lbrack {{\alpha f}\left( x\right) + {\beta g}\left( x\right) }\right\rbrack \mathrm{d}x
\]
\[
= \alpha \left( H\right) {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x + \beta \left( H\right) {\int }_{a}^{b}g\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
4. (积分的保序性) 若 \( f\left( x\right) \) 与 \( g\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上均 (H) 可积,且 \( f\left( x\right) \leq g\left( x\right) \) a. e. 于 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,则
\[
\left( H\right) {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x \leq \left( H\right) {\int }_{a}^{b}g\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
5. 若 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上 \( \left( H\right) \) 可积,则
\[
F\left( x\right) = \left( H\right) {\int }_{a}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t
\]
在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上连续,且几乎处处有 \( {F}^{\prime }\left( x\right) = f\left( x\right) \) .
亨斯托克控制收敛定理 (Henstock dominated convergence theorem) 亨斯托克积分在积分号下取极限的定理. 若:
1. \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的 \( \left( H\right) \) 可积函数列,且在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上几乎处处收敛于 \( f\left( x\right) \) ;
2. \( g\left( x\right), h\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的 \( \left( H\right) \) 可积函数,且
\[
g\left( x\right) \leq {f}_{n}\left( x\right) \leq h\left( x\right) \left( {n = 1,2,\cdots }\right) ;
\]
则 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上 \( \left( H\right) \) 可积,且有
\[
\text{(H)}{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left( H\right) {\int }_{a}^{b}{f}_{n}\left( x\right) \mathrm{d}x\text{.}
\]
亨斯托克积分的微积分基本定理 (calculus fundamental theorem for Henstock integrals) 黎曼积分和勒贝格积分的微积分基本定理在亨斯托克积分情形的推广. 若函数 \( F\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上可导,则 \( {F}^{\prime }\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上 \( \left( H\right) \) 可积,且
\[
\left( H\right) {\int }_{a}^{b}{F}^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}x = F\left( b\right) - F\left( a\right) .
\]
微积分基本定理是分析数学中至关重要的一个定理,其应用十分广泛. 由于 \( \left( R\right) \) 可积函数未必存在原函数,而有原函数的函数未必 \( \left( R\right) \) 可积,因此, \( \left( R\right) \) 积分运算不能完全解决由函数的有穷导数求其原函数的问题, 从而使微积分基本定理的应用受到了限制. \( \left( L\right) \) 积分推广了 \( \left( R\right) \) 积分,但 \( \left( L\right) \) 积分是一种绝对积分,它并不包括广义 \( \left( R\right) \) 积分,也没有完全解决由函数的有穷导数求其原函数的问题. \( \left( H\right) \) 积分既包括 \( \left( R\right) \) 积分,也包括 \( \left( L\right) \) 积分,而且完全解决了从函数的有穷导数求其原函数的问题, 从而扩大了微积分基本定理的应用.
绝对亨斯托克可积函数 (absolute Henstock integrable function) 一类特殊的 \( \left( H\right) \) 可积函数. 设 \( f\left( x\right) \) 是定义在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的实值函数,若 \( f\left( x\right) \) 与 \( \left| {f\left( x\right) }\right| \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上均 \( \left( H\right) \) 可积,则称 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上绝对亨斯托克可积,简称绝对 \( \left( H\right) \) 可积. 若 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上绝对 \( \left( H\right) \) 可积,则它在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上亦必 \( \left( H\right) \) 可积,其逆不真. 因为绝对 \( \left( H\right) \) 积分与 \( \left( L\right) \) 积分等价, 所以它是具有黎曼形式的 \( \left( L\right) \) 积分,用这种黎曼形式来讨论 \( \left( L\right) \) 积分,有利于同数学分析的衔接.
马克仙积分 (Mcshane integral) 与勒贝格积分等价的一种积分. 设 \( f\left( x\right) \) 是定义在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的实值函数,假如存在数 \( A \) ,对任何函数 \( \delta \left( \xi \right) > 0 \) ,任给 \( \varepsilon \) \( > 0 \) ,只要分划 \( D : a = {x}_{0} < {x}_{1} < \cdots < {x}_{n} = b \) 和 \( {\xi }_{1},{\xi }_{2} \) , \( \cdots ,{\xi }_{n} \) 符合 \( \left\lbrack {{x}_{i - 1},{x}_{i}}\right\rbrack \subset \left( {{\xi }_{i} - \delta \left( {\xi }_{i}\right) ,{\xi }_{i} + \delta \left( {\xi }_{i}\right) }\right) (i = 1 \) , \( 2,\cdots, n) \) 时,便有
\[
\left| {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}f\left( {\xi }_{i}\right) \left( {{x}_{i} - {x}_{i - 1}}\right) - A}\right| < \varepsilon ,
\]
则称 \( f\left( x\right) \) 依马克仙意义可积,简称 \( \left( M\right) \) 可积,此时 \( A \) 称为 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的马克仙积分,记为
\[
\text{(M)}{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x\text{.}
\]
此积分是由马克仙 (Mcshane, E. J. ) 引入的.
马克仙积分、绝对亨斯托克积分与勒贝格积分, 这三种积分彼此都是等价的, 性质相同.
囿变积分 (variation integral) 与亨斯托克积分等价的一种积分. 设 \( f\left( x\right) \) 与 \( F\left( x\right) \) 是定义在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的函数. 若对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在不减函数 \( \varphi \left( x\right) ,\varphi \left( b\right) \) \( - \varphi \left( a\right) < \varepsilon \) 和 \( \delta \left( x\right) > 0 \) ,当
\[
\xi \in \left\lbrack {u, v}\right\rbrack \subset \left( {\xi - \delta \left( \xi \right) ,\xi + \delta \left( \xi \right) }\right)
\]
时, 有
\[
\left| {F\left( v\right) - F\left( u\right) - f\left( \xi \right) \left( {v - u}\right) }\right| \leq \varphi \left( v\right) - \varphi \left( u\right) ,
\]
则称 \( F\left( x\right) \) 为 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的囿变原函数,这时也称 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上是囿变可积的,且囿变积分为
\[
F\left( b\right) - F\left( a\right) \text{.}
\]
囿变原函数 (variation primitive function) 见 “囿变积分”.
## 函数空间
函数空间 (function spaces) 具有某种共同特征的函数组成的函数类. 当这种特征是积分形式时, 它就与勒贝格积分理论关系密切. 在这些函数类中, 又常定义了某些运算, 并按照这些运算形成的结构构成泛函分析的各种抽象空间的具体实例. 从而习惯上常称它们为函数空间. 常见的函数空间有 \( {L}^{p} \) 空间, \( {l}^{p} \) 空间 \( \left( {0 < p \leq + \infty }\right) ,{C}^{n} \) 空间 \( \left( {n = 0,1,2,\cdots \text{,}}\right) \) 等. 在不同学科中, 还常用到许多特殊的函数空间. 在近代, 分析学早已从研究个别的函数, 转向研究这些函数空间的整体性质.
\( {L}^{2} \) 空间 \( \left( {{L}^{2}\text{spaces }}\right) \) 平方可积函数类. 它更接近于 \( n \) 维欧氏空间,具有 \( n \) 维欧氏空间许多类似的几何性质. 若 \( E \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 内的可测集,而 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上可测且 \( {\left| f\left( x\right) \right| }^{2} \) 在 \( E \) 上 \( \left( L\right) \) 可积,则称 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上是平方可积的. 所有这样的函数之集称为 \( E \) 上的 \( {L}^{2} \) 空间,记为 \( {L}^{2}\left( E\right) \) 或 \( {L}^{2} \) ,即
\[
{L}^{2}\left( E\right) = \left\{ {f\left( x\right) \left| {\;{\int }_{E}{\left| f\left( x\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x < + \infty }\right. }\right\} .
\]
它的主要性质有:
1. \( {L}^{2}\left( E\right) \) 是线性空间,其中零元素是 \( E \) 上几乎处处为零的函数.
2. (施瓦兹不等式) 若 \( f\left( x\right), g\left( x\right) \in {L}^{2}\left( E\right) \) ,则 \( f\left( x\right) g\left( x\right) \in L\left( E\right) \) ,且有
\[
\left| {{\int }_{E}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right|
\]
\[
\leq {\left( {\int }_{E}{\left| f\left( x\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x\right) }^{\frac{1}{2}}{\left( {\int }_{E}{\left| g\left( x\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x\right) }^{\frac{1}{2}}.
\]
3. (柯西不等式) 若 \( f\left( x\right), g\left( x\right) \in {L}^{2}\left( E\right) \) ,则
\[
{\left( {\int }_{E}{\left| f\left( x\right) + g\left( x\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x\right) }^{\frac{1}{2}}
\]
\[
\leq {\left( {\int }_{E}{\left| f\left( x\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x\right) }^{\frac{1}{2}} + {\left( {\int }_{E}{\left| g\left( x\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x\right) }^{\frac{1}{2}}.
\]
对于 \( f\left( x\right) \in {L}^{2}\left( E\right) \) ,令
\[
\parallel f{\parallel }_{2} = {\left( {\int }_{E}{\left| f\left( x\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x\right) }^{\fra |
2000_数学辞海（第3卷） | 23 | \( f\left( x\right), g\left( x\right) \in {L}^{2}\left( E\right) \) ,则 \( f\left( x\right) g\left( x\right) \in L\left( E\right) \) ,且有
\[
\left| {{\int }_{E}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right|
\]
\[
\leq {\left( {\int }_{E}{\left| f\left( x\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x\right) }^{\frac{1}{2}}{\left( {\int }_{E}{\left| g\left( x\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x\right) }^{\frac{1}{2}}.
\]
3. (柯西不等式) 若 \( f\left( x\right), g\left( x\right) \in {L}^{2}\left( E\right) \) ,则
\[
{\left( {\int }_{E}{\left| f\left( x\right) + g\left( x\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x\right) }^{\frac{1}{2}}
\]
\[
\leq {\left( {\int }_{E}{\left| f\left( x\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x\right) }^{\frac{1}{2}} + {\left( {\int }_{E}{\left| g\left( x\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x\right) }^{\frac{1}{2}}.
\]
对于 \( f\left( x\right) \in {L}^{2}\left( E\right) \) ,令
\[
\parallel f{\parallel }_{2} = {\left( {\int }_{E}{\left| f\left( x\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x\right) }^{\frac{1}{2}},
\]
\( \parallel f{\parallel }_{2} \) 具有以下性质:
1. (非负性) \( \parallel f{\parallel }_{2} \geq 0 \) ,且 \( \parallel f{\parallel }_{2} = 0 \) 当且仅当 \( f\left( x\right) = 0 \) a. e. 于 \( E \) .
2. (正齐性) 对任意实数 \( \alpha \) ,有
\[
\parallel {\alpha f}{\parallel }_{2} = \left| \alpha \right| \parallel f{\parallel }_{2}.
\]
3. (三角不等式) \( \parallel f + g{\parallel }_{2} \leq \parallel f{\parallel }_{2} + \parallel g{\parallel }_{2} \) .
因此, \( \parallel f{\parallel }_{2} \) 是 \( {L}^{2}\left( E\right) \) 上的一个范数. 进一步, \( {L}^{2}\left( E\right) \) 是希尔伯特空间 (参见《泛函分析》同名条).
\( {L}^{2} \) 中的内积 (inner product in \( {L}^{2} \) ) 是与通常向量的内积相似的一个重要概念. 对于 \( f\left( x\right), g\left( x\right) \) \( \in {L}^{2}\left( E\right) \) ,称数
\[
\left( {f, g}\right) = {\int }_{E}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
为 \( f\left( x\right) \) 与 \( g\left( x\right) \) 的内积. 内积具有以下性质:
1. \( \left( {f, f}\right) \geq 0 \) ,并且 \( \left( {f, f}\right) = 0 \) 当且仅当 \( f\left( x\right) = 0 \) a. e. 于 \( E \) .
2. \( \left( {{\alpha f}, g}\right) = \alpha \left( {f, g}\right) \) ( \( \alpha \) 为实数).
3. \( \left( {f, g}\right) = \left( {g, f}\right) \) .
4. \( \left( {f + g, h}\right) = \left( {f, h}\right) + \left( {g, h}\right) \) .
在线性空间中定义了具有上述四条性质的内积,称为内积空间. 因此, \( {L}^{2}\left( E\right) \) 是一个内积空间. \( {L}^{2} \) 中的内积还具有以下性质:
1. (内积的连续性) 若
\[
{f}_{n}\overset{{L}^{2}}{ \rightarrow }f,\;{g}_{n}\overset{{L}^{2}}{ \rightarrow }g
\]
(参见 “ \( {L}^{p} \) 中的强收敛”),则 \( \left( {{f}_{n},{g}_{n}}\right) \rightarrow \left( {f, g}\right) \) .
2. (内积与范数的关系)
\[
\left( {f, g}\right) = \frac{1}{4}\left( {\parallel f + g{\parallel }_{2}^{2} - \parallel f - g{\parallel }_{2}^{2}}\right) .
\]
3. (平行四边形公式)
\( \parallel f + g{\parallel }_{2}^{2} + \parallel f - g{\parallel }_{2}^{2} = 2\parallel f{\parallel }_{2}^{2} + 2\parallel g{\parallel }_{2}^{2}. \)
4. 若 \( \left( {f, g}\right) = 0 \) ,则称 \( f\left( x\right) \) 与 \( g\left( x\right) \) 为正交的. \( f\left( x\right) \) 与 \( g\left( x\right) \) 正交的充分必要条件是 \( \parallel f + g{\parallel }_{2}^{2} \) \( = \parallel f{\parallel }_{2}^{2} + \parallel g{\parallel }_{2}^{2} \) (勾股定理的推广).
弗雷歇定理 (Fréchet theorem) 关于 \( {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 空间有界线性泛函一般形式的定理. 若 \( \Phi \left( f\right) \) 是 \( {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的有界线性泛函,则存在惟一的 \( g\left( x\right) \in \) \( {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,使得 \( \Phi \left( f\right) = \left( {f, g}\right) \) 对任意 \( f\left( x\right) \in {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 都成立.
\( {L}^{2} \) 中的规范正交系 (orthonormal system in \( \left. {L}^{2}\right) \) 欧氏空间中直角坐标系的推广. 若区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的函数系 \( \left\{ {{w}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 具有条件
\[
{\int }_{a}^{b}{\omega }_{m}\left( x\right) {\omega }_{n}\left( x\right) \mathrm{d}x = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \left( {m = n}\right) , \\ 0 & \left( {m \neq n}\right) , \end{array}\right.
\]
则称 \( \left\{ {{\omega }_{n}\left( x\right) }\right\} \) 是 \( {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 的规范正交系或规范直交系, 亦称标准正交系或标准直交系. 例如
\[
\frac{1}{\sqrt{2\pi }},\frac{1}{\sqrt{\pi }}\cos {kt},\frac{1}{\sqrt{\pi }}\sin {kt}\left( {k = 1,2,\cdots }\right)
\]
是 \( {L}^{2}\left( {-\pi ,\pi }\right) \) 中的规范正交系. 在 \( {L}^{2}\left( E\right) \) 中,任何规范正交系所含函数的个数至多可数.
\( {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中函数的傅里叶级数 (Fourier series of function in \( {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack )\;\left( R\right) \) 可积函数的傅里叶级数的推广. 设 \( \left\{ {{\omega }_{k}\left( x\right) }\right\} \) 是 \( {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中的规范正交系, \( f\left( x\right) \in {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) . 称
\[
{c}_{k} = {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) {\omega }_{k}\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
为 \( f\left( x\right) \) 关于 \( \left\{ {{w}_{k}\left( x\right) }\right\} \) 的傅里叶系数,并称级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{c}_{k}{w}_{k}\left( x\right)
\]
为 \( f\left( x\right) \) 关于 \( \left\{ {{w}_{k}\left( x\right) }\right\} \) 的傅里叶级数.
贝塞尔不等式 (Bessel inequality) 平方可积函数与它的傅里叶系数间的一个关系式. 设 \( {c}_{k}(k \) \( = 1,2,\cdots ) \) 是 \( f\left( x\right) \in {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 的傅里叶系数,则级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{c}_{k}^{2}
\]
收敛, 且
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{c}_{k}^{2} \leq \parallel f{\parallel }_{2}^{2}
\]
此不等式称为贝塞尔不等式,它表明 \( {c}_{k}\left( {k = 1,2,\cdots }\right) \) 为 \( {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中某个函数的傅里叶系数的必要条件是
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{c}_{k}^{2}
\]
收敛. 对一般的内积空间, 贝塞尔不等式也成立.
里斯-费希尔定理 (Riesz-Fisher theorem) 贝塞尔不等式的逆命题. 设 \( \left\{ {{\omega }_{k}\left( x\right) }\right\} \) 是 \( {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中的规范正交系,若 \( \left\{ {c}_{k}\right\} \) 满足
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{c}_{k}^{2} < + \infty
\]
则存在 \( f\left( x\right) \in {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,使得 \( {c}_{k}\left( {k = 1,2,\cdots }\right) \) 是 \( f\left( x\right) \) 的傅里叶系数, 并且有等式
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{c}_{k}^{2} = \parallel f{\parallel }_{2}^{2}
\]
成立,即 \( f\left( x\right) \) 的傅里叶级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{c}_{k}{w}_{k}\left( x\right)
\]
收敛于 \( f\left( x\right) \) .
贝塞尔不等式表明: \( \left\{ {c}_{k}\right\} \) 为 \( {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中某个函数的傅里叶系数的必要条件是
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{c}_{k}^{2}
\]
收敛, 里斯-费希尔定理表明这个条件也是充分的.
帕塞瓦尔等式 (Parseval equality) 平方可积函数与它的傅里叶系数间的某个等式关系. 设 \( f\left( x\right) \) \( \in {L}^{2}\left\lbrack {-\pi ,\pi }\right\rbrack ,{a}_{0},{a}_{k},{b}_{k}\left( {k = 1,2,\cdots }\right) \) 是 \( f\left( x\right) \) 关于三角函数系的傅里叶系数, 则帕塞瓦尔等式
\[
\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{\left| f\left( x\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{2}{a}_{0}^{2} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {{a}_{k}^{2} + {b}_{k}^{2}}\right)
\]
成立. 帕塞瓦尔 (Parseval, C. M. -A. ) 于 1806 年给出的证明有许多理论上的限制. 当 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {-\pi ,\pi }\right\rbrack \) 的 \( \left( R\right) \) 可积函数时,上述等式是由胡尔维茨 (Hurwitz, A. )、瓦莱・普桑 (Vallée-Poussin, C. de la) 以及李亚普诺夫 (JIanyhob, A. M. ) 建立的. 对一般的规范正交系 \( \left\{ {{\omega }_{k}\left( x\right) }\right\} \) ,若 \( {c}_{k} \) 是 \( f\left( x\right) \in {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 关于 \( \left\{ {{\omega }_{k}\left( x\right) }\right\} \) 的傅里叶系数,则只能保证
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{c}_{k}^{2} \leq \parallel f{\parallel }_{2}^{2}
\]
若对某一函数 \( f \) ,上式两端相等,则此等式称为帕塞瓦尔等式 (参见 “ \( {L}^{2} \) 中完备的规范正交系”及《数学辞海》第一卷同名条).
\( {L}^{2} \) 中完备的规范正交系 (completely orthonormal system in \( {L}^{2} \) ) 为刻画 \( {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中任一函数能够在平均收敛意义下展开为傅里叶级数而引进的一个概念. 设 \( \left\{ {{\omega }_{k}\left( x\right) }\right\} \) 是 \( {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中的规范正交系,若对任意 \( f\left( x\right) \in {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,帕塞瓦尔等式
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{c}_{k}^{2} = \parallel f{\parallel }_{2}^{2}
\]
都成立,则称 \( \left\{ {{\omega }_{k}\left( x\right) }\right\} \) 为完备的规范正交系. 它表明对任意 \( f\left( x\right) \in {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack, f\left( x\right) \) 关于完备规范正交系 \( \left\{ {{\omega }_{k}\left( x\right) }\right\} \) 的傅里叶级数的部分和 \( {S}_{n}\left( x\right) \) 平均收敛于 \( f\left( x\right) \) :
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\begin{Vmatrix}{S}_{n} - f\end{Vmatrix}}_{2} = 0.
\]
\( {L}^{2} \) 中完全的规范正交系 (totally orthonormal system in \( {L}^{2} \) ) 为描述 \( {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 的规范正交系中的函数是否 “足够” 而引进的概念. 设 \( \left\{ {{\omega }_{k}\left( x\right) }\right\} \) 为 \( {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中的规范正交系,若 \( \varphi \left( x\right) \in {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 且 \( \left( {\varphi ,{w}_{k}}\right) = 0\left( {k = 1,2,\cdots }\right) \) ,就有 \( \varphi \left( x\right) = 0 \) a. e. 于 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,则称 \( \left\{ {{\omega }_{k}\left( x\right) }\right\} \) 为 \( {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中的完全的规范正交系, 即在完全的正交系中, 不能添加非 0 函数使它保持为正交系. 在 \( {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中,规范正交系的完备性与完全性是等价的. 三角函数系、拉盖尔函数系、埃尔米特函数系、勒让德函数系、华尔希函数系都是 \( {L}^{2}\left( E\right) \) 中相对不同 \( E \) 的完全正交系.
司捷克洛夫定理 (Steklov theorem) 关于 \( {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中规范正交系为完备系的一个定理. 设 \( \left\{ {{\omega }_{k}\left( x\right) }\right\} \) 是 \( {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中的规范正交系. 若存在 \( {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 的稠密子集 \( A \) ,使对任一 \( f\left( x\right) \in A \) ,等式
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{c}_{k}^{2} = \parallel f{\parallel }_{2}^{2}
\]
都成立,其中 \( \left\{ {c}_{k}\right\} \) 为 \( f \) 关于 \( \left\{ {{\omega }_{k}\left( x\right) }\right\} \) 的傅里叶系数, 则 \( \left\{ {{\omega }_{k}\left( x\right) }\right\} \) 是完备的规范正交系.
\( {L}^{p} \) 空间 \( \left( {{L}^{p}\text{spaces }}\right) \) 一个重要的、应用广泛的函数空间. 设 \( E \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的可测集, \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的可测函数且 \( {\left| f\left( x\right) \right| }^{p} \) ( \( p \) 为正的常数) 在 \( E \) 上 ( \( L \) ) 可积, 则称 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上 |
2000_数学辞海（第3卷） | 24 | b}\right\rbrack \) 中,规范正交系的完备性与完全性是等价的. 三角函数系、拉盖尔函数系、埃尔米特函数系、勒让德函数系、华尔希函数系都是 \( {L}^{2}\left( E\right) \) 中相对不同 \( E \) 的完全正交系.
司捷克洛夫定理 (Steklov theorem) 关于 \( {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中规范正交系为完备系的一个定理. 设 \( \left\{ {{\omega }_{k}\left( x\right) }\right\} \) 是 \( {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中的规范正交系. 若存在 \( {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 的稠密子集 \( A \) ,使对任一 \( f\left( x\right) \in A \) ,等式
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{c}_{k}^{2} = \parallel f{\parallel }_{2}^{2}
\]
都成立,其中 \( \left\{ {c}_{k}\right\} \) 为 \( f \) 关于 \( \left\{ {{\omega }_{k}\left( x\right) }\right\} \) 的傅里叶系数, 则 \( \left\{ {{\omega }_{k}\left( x\right) }\right\} \) 是完备的规范正交系.
\( {L}^{p} \) 空间 \( \left( {{L}^{p}\text{spaces }}\right) \) 一个重要的、应用广泛的函数空间. 设 \( E \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的可测集, \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的可测函数且 \( {\left| f\left( x\right) \right| }^{p} \) ( \( p \) 为正的常数) 在 \( E \) 上 ( \( L \) ) 可积, 则称 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上是 \( p \) 次幂可积的,所有这样的函数的全体称为 \( E \) 上的 \( {L}^{p} \) 空间,记为 \( {L}^{p}\left( E\right) \) 或 \( {L}^{p} \) ,即
\[
{L}^{p}\left( E\right) = \left\{ {f\left( x\right) \left| {\;{\int }_{E}{\left| f\left( x\right) \right| }^{p}\mathrm{\;d}x < + \infty }\right. }\right\} .
\]
当 \( p = 1 \) 时,记 \( {L}^{1}\left( E\right) \) 为 \( L\left( E\right) \) ,它就是 \( E \) 上的 \( \left( L\right) \) 可积函数的全体:
1. \( {L}^{p}\left( E\right) \) 是线性空间,其中零元素是 \( E \) 上几乎处处为零的函数.
2. 若 \( m\left( E\right) < + \infty \) ,且 \( 1 \leq {p}_{1} < {p}_{2} < + \infty \) ,则 \( {L}^{{p}_{2}}\left( E\right) \subset {L}^{{p}_{1}}\left( E\right) \) .
3. (赫尔德不等式) 设 \( p, q > 1 \) ,且 \( 1/p + 1/q \) \( = 1 \) . 若 \( f\left( x\right) \in {L}^{p}\left( E\right), g\left( x\right) \in {L}^{q}\left( E\right) \) ,则 \( f\left( x\right) g\left( x\right) \) \( \in L\left( E\right) \) ,且
\[
{\int }_{E}\left| {f\left( x\right) g\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x
\]
\[
\leq {\left( {\int }_{E}{\left| f\left( x\right) \right| }^{p}\mathrm{\;d}x\right) }^{\frac{1}{p}}{\left( {\int }_{E}{\left| g\left( x\right) \right| }^{q}\mathrm{\;d}x\right) }^{\frac{1}{q}}.
\]
4. (闵科夫斯基不等式) 若 \( f\left( x\right), g\left( x\right) \in {L}^{p}\left( E\right) \) \( \left( {1 \leq p < + \infty }\right) \) ,则
\[
{\left( {\int }_{E}{\left| f\left( x\right) + g\left( x\right) \right| }^{p}\mathrm{\;d}x\right) }^{\frac{1}{p}}
\]
\[
\leq {\left( {\int }_{E}{\left| f\left( x\right) \right| }^{p}\mathrm{\;d}x\right) }^{\frac{1}{p}} + {\left( {\int }_{E}{\left| g\left( x\right) \right| }^{p}\mathrm{\;d}x\right) }^{\frac{1}{p}}.
\]
5. 令 \( \parallel f{\parallel }_{p} = {\left( {\int }_{E}{\left| f\left( x\right) \right| }^{p}\mathrm{\;d}x\right) }^{\frac{1}{p}} \) ,则 \( \parallel f{\parallel }_{p} \) 为 \( {L}^{p}\left( E\right) \left( {p \geq 1}\right) \) 上 的范数,从而 \( {L}^{p}\left( E\right) \) 为线性赋范空间. 特别地,它是完备的 (参见 “ \( {L}^{p} \) 中的柯西列”). 但若将 \( {L}^{p} \) 定义中的积分改为黎曼积分,则相应函数空间无此重要性质. 这是勒贝格积分具有重要理论意义的原因之一.
平均连续性 (continuity in mean) 函数在积分平均意义下的连续性. 若 \( f\left( x\right) \) 满足
\[
\mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}{\int }_{{\mathrm{R}}^{n}}{\left| f\left( x + h\right) - f\left( x\right) \right| }^{p}\mathrm{\;d}x = 0,
\]
则称其为具有 \( p \) 次幂 \( \left( L\right) \) 可积函数的平均连续性. 实际上任何 \( f \in {L}^{p}\left( E\right) \) 都有这一性质.
\( {L}^{p} \) 中的强收敛 (strong convergence in \( {L}^{p} \) ) 亦称按范数收敛. \( p \) 次幂可积函数列的重要收敛概念. 设 \( {f}_{n}\left( x\right) \in {L}^{p}\left( E\right) \left( {1 \leq p < + \infty ;n = 1,2\cdots }\right) \) . 若存在 \( f\left( x\right) \in {L}^{p}\left( E\right) \) ,使得 \( {\begin{Vmatrix}{f}_{n} - f\end{Vmatrix}}_{p} \rightarrow 0\left( {n \rightarrow \infty }\right) \) ,则称 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 强收敛于 \( f\left( x\right) \) 或按 \( {L}^{p} \) 范数收敛于 \( f\left( x\right) \) , 记为 \( {f}_{n}\overset{{L}^{p}}{ \rightarrow }f \) :
1. 若 \( {f}_{n}\overset{{L}^{p}}{ \rightarrow }f \) ,又 \( {f}_{n}\overset{{L}^{p}}{ \rightarrow }g \) ,则 \( f\left( x\right) = g\left( x\right) \) a. e. 于 \( E \) ; 反之,若 \( {f}_{n}\overset{{L}^{p}}{ \rightarrow }f \) ,且 \( f\left( x\right) = g\left( x\right) \) a. e. 于 \( E \) ,则
\[
{f}_{n}\overset{{L}^{p}}{ \rightarrow }g
\]
2. 若 \( {f}_{n}\overset{{L}^{p}}{ \rightarrow }f,{g}_{n}\overset{{L}^{p}}{ \rightarrow }g,\alpha ,\beta \) 为实数,则
\[
\alpha {f}_{n} + \beta {g}_{n}\overset{{L}^{p}}{ \rightarrow }{\alpha f} + {\beta g}.
\]
3. 若 \( {f}_{n}\overset{{L}^{p}}{ \rightarrow }f \) ,则 \( {\begin{Vmatrix}{f}_{n}\end{Vmatrix}}_{p} \rightarrow \parallel f{\parallel }_{p} \) .
4. 若 \( {\begin{Vmatrix}{f}_{n}\end{Vmatrix}}_{p} \rightarrow \parallel f{\parallel }_{p} \) 且 \( {f}_{n}\left( x\right) \rightarrow f\left( x\right) \) a. e. 于 \( E \) ,则 \( {f}_{n}\overset{{L}^{p}}{ \rightarrow }f \) .
5. 若 \( {f}_{n}\overset{{L}^{p}}{ \rightarrow }f \) ,则 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( E \) 上依测度收敛于
\[
f\left( x\right) \text{.}
\]
按范数收敛 (convergence in norm) 即 “ \( {L}^{p} \) 中的强收敛”.
\( {L}^{p} \) 中的弱收敛 (weak convergence in \( {L}^{p} \) ) \( {L}^{p} \) 空间中函数列的一种收敛概念, 巴拿赫空间中弱收敛概念的特例. 设 \( {f}_{n}\left( x\right), f\left( x\right) \in {L}^{p}\left( E\right) ,1 < p < \) \( + \infty, n = 1,2,\cdots \) . 若对任意 \( g\left( x\right) \in {L}^{q}\left( E\right) \) , \( 1/p + 1/q = 1 \) ,都有
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{E}{f}_{n}\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{E}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x,
\]
则称 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 弱收敛于 \( f\left( x\right) \) ,记为 \( {f}_{n}\overset{w}{ \rightarrow }f \) :
1. 若 \( {f}_{n}\overset{{L}^{p}}{ \rightarrow }f \) ,则 \( {f}_{n}\overset{w}{ \rightarrow }f \) ,其逆不真.
2. 设 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \subset {L}^{p}\left( E\right) \) ,若 \( \left\{ {\begin{Vmatrix}{f}_{n}\end{Vmatrix}}_{p}\right\} \) 为有界数列,则存在子列 \( \left\{ {{f}_{{n}_{k}}\left( x\right) }\right\} \) 使 \( {f}_{{n}_{k}}\overset{w}{ \rightarrow }f \in {L}^{p}\left( E\right) \) (即 \( 1 < p \) \( < + \infty \) 时的 \( {L}^{p} \) 中有界集是弱紧的).
3. (里斯定理) 设 \( 1 < p < + \infty \) . 若 \( {f}_{n}\overset{w}{ \rightarrow }f \) 且 \( {\begin{Vmatrix}{f}_{n}\end{Vmatrix}}_{p} \rightarrow \parallel f{\parallel }_{p} \) ,则 \( {f}_{n}\overset{{L}^{p}}{ \rightarrow }f \) .
这是里斯 (Riesz, F. ) 于 1928 年得到的. 当 \( {f}_{n}\left( x\right) \in {L}^{1}\left( E\right) \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) ,若存在 \( f\left( x\right) \in {L}^{1}\left( E\right) \) , 使对于 \( E \) 上的任何本性有界函数 \( g\left( x\right) \) 有
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{E}{f}_{n}\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{E}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x,
\]
则称 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( {L}^{1} \) 中弱收敛于 \( f\left( x\right) \) .
\( {L}^{p} \) 中的柯西列 (Cauchy sequence in \( {L}^{p} \) ) 亦称基本列. 柯西数列的推广. 设 \( {f}_{n}\left( x\right) \in {L}^{p}\left( E\right) (1 \leq p \) \( < + \infty ;n = 1,2,\cdots ) \) . 若对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在正整数 \( N \) ,当 \( m, n > N \) 时就有 \( {\begin{Vmatrix}{f}_{m} - {f}_{n}\end{Vmatrix}}_{p} < \varepsilon \) ,则称 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 为柯西列. \( {L}^{p}\left( E\right) \) 中的柯西列必为强收敛列,即 \( {L}^{p}\left( E\right) \) 是完备的,从而 \( {L}^{p}\left( E\right) \left( {1 \leq p < + \infty }\right) \) 是巴拿赫空间; 还可知它是可分的; 当 \( 1 < p < + \infty \) 时, \( {L}^{p}\left( E\right) \) 是自反的; 但 \( L\left( E\right) \) (即 \( {L}^{p} \) 当 \( p = 1 \) ) 不自反.
柯尔莫哥洛夫定理 (Kolmogoroff theorem) 关于 \( {L}^{p}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 的子集为列紧集的特征的定理. \( {L}^{p}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \left( {p \geq 1}\right) \) 中集 \( A \) 为列紧集的充分必要条件如下:
1. 存在常数 \( M \) ,使对任意 \( f\left( x\right) \in A \) ,有
\[
{\int }_{a}^{b}{\left| f\left( x\right) \right| }^{p}\mathrm{\;d}x \leq {M}^{p}
\]
2. 对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,只要 \( 0 < h < \delta \) ,对任意 \( f\left( x\right) \in A \) ,都有
\[
{\left( {\int }_{a}^{b}{\left| {f}_{h}\left( x\right) - f\left( x\right) \right| }^{p}\mathrm{\;d}x\right) }^{\frac{1}{p}} < \varepsilon ,
\]
这里 \( {f}_{h}\left( x\right) = \frac{1}{2h}{\int }_{x - h}^{x + h}f\left( t\right) \mathrm{d}t \) .
里斯表示定理 (Riesz representation theorem) 关于 \( {L}^{p}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上有界线性泛函的一般形式的定理. 空间 \( {L}^{p}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \left( {1 < p < + \infty }\right) \) 上的有界线性泛函 \( \Phi \) 均可表示为
\[
\Phi \left( f\right) = {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x,\;f\left( x\right) \in {L}^{p}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,
\]
其中 \( g\left( x\right) \in {L}^{q}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,1/p + 1/q = 1 \) .
巴拿赫-萨克斯定理 (Banach-Saks theorem) 关于算术平均收敛的一个定理. 设 \( {f}_{n}\left( x\right), f\left( x\right) \in \) \( {L}^{p}\left( E\right) \left( {1 \leq p < + \infty, n = 1,2,\cdots }\right) \) ,若 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 弱收敛于 \( f\left( x\right) \) ,则存在子列 \( \left\{ {{f}_{{n}_{k}}\left( x\right) }\right\} \) ,使
\[
\left\{ {\frac{1}{m}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{m}{f}_{{n}_{k}}\left( x\right) }\right\}
\]
强收敛于 \( f\left( x\right) \) . 巴拿赫 (Banach, S. ) 与萨克斯 (Saks, S.) 于 1930 年证明了 \( 1 < p < + \infty \) 时上述定理成立. 茨仑克 (Salenk) 于 1965 年证明了 \( p = 1 \) 的情形. 施耐尔 (Schreier) 于 1930 年指出, 对于连续函数空间 \( C\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) ,巴拿赫-萨克斯定理的结论不成立.
\( {L}^{\infty } \) 空间 \( \left( {{L}^{\infty }\text{space }}\right) \) 亦称本性有界函数类. 在一个零集之外有界的函数的全体. 若 \( E \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的可测集, \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的可测函数,且存在零集 \( {E}_{0} \subset \) \( E \) ,使得 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \smallsetminus {E}_{0} \) 上有界,则 \( f\left( x\right) \) 称为 \( E \) 上的本性有界函数. 这样函数的全体称为 \( E \) 上的 \( {L}^{\infty } \) 空间,记为 \( {L}^{\infty }\left( E\right) \) 或 \( {L}^{\infty } \) . 对 \( f\left( x\right) \in {L}^{\infty }\left( E\right) \) ,定义 \( f\left( x\right) \) 的 \( {L}^{\infty } \) 范数为
\[
\parallel f{\parallel }_{\infty } = \mathop{\inf }\limits_{{E}_{0}}\left( {\mathop{\sup }\limits_{{x \in E \smallsetminus {E}_{0}}}\left| {f\left( x\right) }\right| }\right) .
\]
其中 \( {E}_{0} \) 为 \( E \) 的零子集,下确界是 |
2000_数学辞海（第3卷） | 25 | \left( x\right) \) . 巴拿赫 (Banach, S. ) 与萨克斯 (Saks, S.) 于 1930 年证明了 \( 1 < p < + \infty \) 时上述定理成立. 茨仑克 (Salenk) 于 1965 年证明了 \( p = 1 \) 的情形. 施耐尔 (Schreier) 于 1930 年指出, 对于连续函数空间 \( C\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) ,巴拿赫-萨克斯定理的结论不成立.
\( {L}^{\infty } \) 空间 \( \left( {{L}^{\infty }\text{space }}\right) \) 亦称本性有界函数类. 在一个零集之外有界的函数的全体. 若 \( E \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的可测集, \( f\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的可测函数,且存在零集 \( {E}_{0} \subset \) \( E \) ,使得 \( f\left( x\right) \) 在 \( E \smallsetminus {E}_{0} \) 上有界,则 \( f\left( x\right) \) 称为 \( E \) 上的本性有界函数. 这样函数的全体称为 \( E \) 上的 \( {L}^{\infty } \) 空间,记为 \( {L}^{\infty }\left( E\right) \) 或 \( {L}^{\infty } \) . 对 \( f\left( x\right) \in {L}^{\infty }\left( E\right) \) ,定义 \( f\left( x\right) \) 的 \( {L}^{\infty } \) 范数为
\[
\parallel f{\parallel }_{\infty } = \mathop{\inf }\limits_{{E}_{0}}\left( {\mathop{\sup }\limits_{{x \in E \smallsetminus {E}_{0}}}\left| {f\left( x\right) }\right| }\right) .
\]
其中 \( {E}_{0} \) 为 \( E \) 的零子集,下确界是对所有可能的这种子集 \( {E}_{0} \) 而取的:
1. 若 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \subset {L}^{\infty }\left( E\right) \) ,则 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( {L}^{\infty }\left( E\right) \) 中收敛于 \( f\left( x\right) \) 等价于 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( E \) 上除一个零集之外一致收敛于 \( f\left( x\right) \) .
2. \( {L}^{\infty }\left( E\right) \) 是巴拿赫空间.
3. \( {L}^{\infty }\left( E\right) \) 不自反.
4. 设 \( m\left( E\right) < + \infty \) ,若 \( f\left( x\right) \in {L}^{\infty }\left( E\right) \) ,则 \( f\left( x\right) \) 属于一切 \( {L}^{p}\left( E\right) \left( {1 \leq p < + \infty }\right) \) ,且
\[
\parallel f{\parallel }_{\infty } = \mathop{\lim }\limits_{{p \rightarrow + \infty }}\parallel f{\parallel }_{p}.
\]
5. \( {L}^{\infty } \) 空间是不可分的,关于 “可分” 详见本卷 《泛函分析》同名条.
本性有界函数类 (class of essential bounded functions) 见“ \( {L}^{\infty } \) 空间”.
函数空间 \( S\left( E\right) \) (function spaces \( S\left( E\right) \) ) \( \left( L\right) \) 可测函数组成的函数类. 设 \( E \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 内的 \( \left( L\right) \) 可测集, \( E \) 上所有几乎处处有限的可测函数之集记为 \( S\left( E\right) \) ,不强调 \( E \) 时简记为 \( S \) . 对于 \( f \in S\left( E\right) \) ,令
\[
\parallel f\parallel = {\int }_{E}\left| {f\left( x\right) }\right| /\left( {1 + \left| {f\left( x\right) }\right| }\right) \mathrm{d}x,
\]
则 \( S\left( E\right) \) 是以 \( \parallel \cdot \parallel \) 为准范数的弗雷歇空间,且在其中依准范数的收敛等价于依测度收敛. 可以在测度空间上,类似地建立 \( S \) 空间.
函数空间 \( {C}^{k} \) (function spaces \( {C}^{k} \) ) 欧氏空间中同一集上所有 \( k \) 阶连续可微函数组成的函数类. 设 \( E \subset {\mathrm{R}}^{n},{C}^{k}\left( E\right) \) 表示在 \( E \) 上处处 \( k \) 阶连续可微的函数的全体. 特别当 \( E \) 为紧集时,对于 \( f \in {C}^{k}\left( E\right) \) 可定义范数
\( \parallel f\parallel = \max \left\{ {\left| \frac{{\partial }^{\left| \alpha \right| }f\left( x\right) }{\partial {x}_{1}^{{\alpha }_{1}}\partial {x}_{2}^{{\alpha }_{2}}\cdots \partial {x}_{{n}^{n}}^{{\alpha }_{n}}}\right| \left| {\;x = \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \in E,}\right. }\right. \)
\( \left. {\alpha = \left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) ,\left| \alpha \right| = {\alpha }_{1} + {\alpha }_{2} + \cdots + {\alpha }_{n} \leq k}\right\} . \)
从而按此范数 \( {C}^{k}\left( E\right) \) 成为巴拿赫空间,其中的强收敛相当于函数列的一致收敛. 若 \( E = {\mathrm{R}}^{n}, f \in {C}^{k}\left( E\right) \) 满足
\[
\mathop{\lim }\limits_{{\left| x\right| \rightarrow \infty }}f\left( x\right) = 0,
\]
则所有这样的 \( f \) 之集记为 \( {C}_{0}^{k},{C}_{0}^{k} \) 与 \( E \) 为紧集的 \( {C}^{k}\left( E\right) \) 性质极为类似. \( k = 0 \) 对应的 \( {C}^{0} \) 常记为 \( C \) ,即连续函数空间.
\( {l}^{p} \) 空间 ( \( {l}^{p} \) spaces) 与函数空间 \( {L}^{p} \) 相应的数列空间. 对于无穷数列 \( x = \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots }\right) \) ,若对于某个数 \( p\left( {0 < p < + \infty }\right) \) ,
\[
\parallel x{\parallel }_{p} = {\left( \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\left| {x}_{k}\right| }^{p}\right) }^{1/p} < + \infty ,
\]
则记 \( x \in {l}^{p} \) ,所有这样的数列 \( x \) 组成之集称为 \( {l}^{p} \) 空间. 当 \( p \geq 1 \) 时 \( {l}^{p} \) 按 \( \parallel \cdot {\parallel }_{p} \) 成为巴拿赫空间, \( 0 < p \) \( < 1 \) 时 \( {l}^{p} \) 按 \( \parallel \cdot {\parallel }_{p}^{p} \) 成为完备度量空间. 如果在自然数集 \( \mathrm{N} \) 上定义测度 \( \mu \) ,使得对于任意自然数 \( n \) 有 \( \mu \left( {\{ n\} }\right) = 1 \) ,则 \( {l}^{p} \) 也可看做是测度空间 \( (\mathrm{N},\mathcal{P}\left( \mathrm{N}\right) \) , \( \mu )(\mathcal{P}\left( \mathrm{N}\right) \) 为 \( \mathrm{N} \) 之幂集,即 \( \mathrm{N} \) 之所有子集之集) 上的空间 \( {L}^{p}\left( {\mathrm{\;N},\mathcal{P}\left( \mathrm{N}\right) ,\mu }\right) .{l}^{p} \) 空间 \( \left( {1 \leq p \leq + \infty }\right) \) 是里斯 (Riesz, F. ) 于 1913 年引入的. 复 \( {l}^{2} \) 空间是施密特 (Schmidt, E.) 于 1908 年引入的.
\( {l}^{\infty } \) 空间 ( \( {l}^{\infty } \) space) 有界数列组成的集. 设 \( x \) \( = \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots }\right) \) 为数列,且 \( \left| {x}_{n}\right| \leq M < + \infty (n = 1,2 \) , \( \cdots ) \) ,则所有这种数列之集称为 \( {l}^{\infty } \) 空间,并定义范数
\[
\parallel x{\parallel }_{\infty } = \mathop{\sup }\limits_{n}\left\{ \left| {x}_{n}\right| \right\} .
\]
它可看做函数空间 \( {L}^{\infty }\left( {\mathrm{N}, P\left( \mathrm{\;N}\right) ,\mu }\right) \) ,这里 \( \mathrm{N} \) 是自然数集, \( P\left( \mathrm{\;N}\right) \) 为 \( \mathrm{N} \) 的幂集, \( \mu \) 是 \( \mathrm{N} \) 上的测度,对于任意 \( n \in \mathrm{N},\mu \{ n\} = 1 \) .
洛伦兹空间 (Lorentz space) 函数空间 \( S\left( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \right) \) 的一个子空间. 设 \( t > 0 \) 时 \( \psi \left( t\right) > 0 \) ,并且
\[
\mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow 0}}\frac{t}{\psi \left( t\right) } = 0
\]
对 \( f \in S\left( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \right) \) 及 \( s \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 定义 \( {f}^{ * }\left( s\right) \) 等于
\[
\inf \{ a > 0 \mid m\{ t\left| \right| f\left( t\right) \mid > a\} \leq s\} .
\]
函数类
\[
\Lambda \left( \psi \right) = \{ f \in S\left( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \right) \mid \parallel f\parallel
\]
\[
\left. { = {\int }_{\left\lbrack 0,1\right\rbrack }{f}^{ * }\left( s\right) \mathrm{d}\psi \left( s\right) < + \infty }\right\}
\]
称为相应于 \( \psi \) 的洛伦兹空间. 它是以 \( \parallel \cdot \parallel \) 为范数的巴拿赫空间 (参见本卷《泛函分析》同名条). 洛伦兹空间在算子内插理论中有用.
奥尔利奇空间 (Orlicz space) \( {L}^{p}\left( {1 < p < \infty }\right) \) 空间的推广. 设定义在正半实轴上的函数 \( \Phi \left( t\right) \) 满足
\[
\Phi \left( 0\right) = 0,\;\mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow + \infty }}\left( {\Phi \left( t\right) /t}\right) = \infty ,
\]
并满足倍增条件 \( \Phi \left( {2t}\right) \leq {C\Phi }\left( t\right) (C \) 是正的常数, \( t \in \) \( {\mathrm{R}}_{ + } \) ). 所有使得
\[
\parallel f\parallel = \inf \left\{ {\lambda > 0\left| {\;{\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}\Phi \left( {{\lambda }^{-1}\left| {f\left( t\right) }\right| }\right) \mathrm{d}t \leq 1}\right. }\right\}
\]
\[
< + \infty \text{.}
\]
的 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的可测函数 \( f \) 之集称为奥尔利奇空间,记为 \( {L}_{\Phi }^{ * } \) . 它是以 \( \parallel \cdot \parallel \) 为范数的巴拿赫空间. \( {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) (1 \) \( \leq p < + \infty ) \) 是对应于 \( \Phi \left( t\right) = {t}^{p} \) 的特殊奥尔利奇空间. 奥尔利奇空间是由奥尔利奇 (Orlicz, W. ) 在 20 世纪 30 年代引进的.
函数的支集 (support set of a function) 函数值非零的点集的闭包. 对于定义在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的函数 \( f \) , 集合 \( \{ x \mid f\left( x\right) \neq 0\} \) 的闭包称为 \( f \) 的支集,如果函数 \( f \) 的支集为紧集 (在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中为有界闭集),则称 \( f \) 为有紧支的. 任何在某一有限区间以外恒为 0 的函数, 都是有紧支的. 函数的支集和有紧支的函数的概念可以推广到拓扑空间上, 但这时函数有紧支与其支集为有界闭集未必等同.
有紧支的函数 (function with compact support) 见“函数的支集”.
局部可积函数 (locally integrable function) 在任何有界集上可积的可测函数. 如果函数 \( f\left( x\right) \) 是定义在整个 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的 \( \left( L\right) \) 可测函数,并且对于 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的任意有界子集 \( M \) 有 \( f \in L\left( M\right) \) ,则 \( f\left( x\right) \) 称为在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上局部可积的.
撰 稿 古四毛 朱玉谐 汪 林 常心怡
审 阅 杨光俊 周民强
## 复变函数论
复变函数论 (theory of functions of a complex variable) 研究自变量为复数的函数的基本理论及应用的数学分支. 只含有一个自变量的复变函数称为单复变函数, 含有多于一个自变量的复变函数称为多复变函数. 通常所说的复变函数论, 指的主要是关于单复变解析函数的理论, 简称单复变. 复变函数论历史悠久, 内容丰富, 理论十分完美而且深刻, 在许多其他数学分支以及力学、工程技术学科中有着广泛的应用.
复数起源于求代数方程的根. 在用求根公式求解二次、三次代数方程时都有可能遇到形如 \( a + b\sqrt{-1} \) 的数,其中 \( a, b \) 是实数. \( \sqrt{-1} \) 在实数范围内无意义, 因此在很长时间里这类数不能为人们理解和接受. 笛卡儿 (Descartes, R. ) 称这样的数为虚数. 现在以 \( \mathrm{i} \) 表示 \( \sqrt{-1} \) ,并称形如 \( a + b\mathrm{i} \) 的数为复数. 韦塞尔 (Wessel, C. ) 和阿尔冈 (Argand, J. R. ) 把复数 \( x + \mathrm{i}y \) 与平面上以 \( \left( {x, y}\right) \) 为坐标的点对应起来, 使人们对于复数开始有了真实的感觉. 复数与 \( {xy} \) -平面上的点一一对应,因而 \( {xy} \) -平面也称为复平面. 达朗贝尔 (d'Alembert, J. le R. ) 曾企图证明, 一个一般的代数方程
\[
{x}^{n} + {a}_{1}{x}^{n - 1} + \cdots + {a}_{n - 1}x + {a}_{n} = 0
\]
至少有一个实数根或复数根, 因此这个存在性定理有时称为达朗贝尔定理. 但首先对它给出严格证明的是高斯 (Gauss, C. F. ). 后来此定理被称为代数基本定理. 欧拉 (Euler, L. ) 曾在初等函数中引进复变数, 并给出了著名的欧拉公式
\[
{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x} = \cos x + \mathrm{i}\sin x.
\]
该公式揭示了三角函数与指数函数之间的联系.
复变函数的一般理论起源于与实际问题有关的研究工作. 达朗贝尔在关于流体的研究中, 考虑两个实变数 \( x, y \) 的一个复值函数
\[
u\left( {x, y}\right) + \mathrm{i}v\left( {x, y}\right) ,
\]
并且研究在什么条件下,当 \( \left( {x, y}\right) \) 趋于一点时,这个函数有导数,而且这个导数要与 \( \left( {x, y}\right) \) 所沿的路径无关. 为此只需将函数 \( u + \mathrm{i}v \) 看做是复变数 \( z = x + \) iy 的函数 \( f\left( z\right) \) ,它在域 \( D \) 内定义,就可得出结论: 当 \( u, v \) 作为 \( x, y \) 的函数在 \( D \) 内可微,且满足
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\;\frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}
\]
(1)
时,函数 \( f\left( z\right) = u + \mathrm{i}v \) 有导数. 后来这个条件称为柯西-黎曼条件. 由条件 (1) 可推知 \( u \) 及 \( v \) 都满足平面拉普拉斯方程
\[
\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {y}^{2}} = 0
\]
\[
\frac{{\partial }^{2}v}{\partial {x}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}v}{\partial {y}^{2}} = 0.
\]
在这里,假定了 \( u \) 及 \( v \) 有连续二阶偏导数,所以 \( u \) 及 \( v \) 都是关于两个实变数的调和函数. 当柯西 (Cauchy, A.-L.) 对一般的含有一个复变数的可导函数进行研究时,他知道函数 \( u + \mathrm{i}v \) 可以看做是两个满足条件 (1) 的调和函数,也可以看做是 \( z = x + \) \( \mathrm{i}y \) 的一个可导函数 \( f\left( z\right) \) . 最后他决定采取第二个观点, 其原因之一是他考虑到函数的幂级数展式. 他给出了一个函数 \( f\left( z\right) \) 沿着复平面上一段曲线的积分的定义并证明了下列定理: 如果一个函数 \( f\left( z\right) \) 在复平面上的一个区域内有连续导数,而 \( C \) 为一简单闭曲线,它和它的内部均位于区域 \( D \) 内,则
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
(2)
这个定理是柯西理论中的基本定理. 根据这个定理他得出了一系列重要结果, 其中一个是: 如果一个函数 \( f\left( z\right) \) 在一个区域 \( D \) 内有连续导数 |
2000_数学辞海（第3卷） | 26 | ial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\;\frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}
\]
(1)
时,函数 \( f\left( z\right) = u + \mathrm{i}v \) 有导数. 后来这个条件称为柯西-黎曼条件. 由条件 (1) 可推知 \( u \) 及 \( v \) 都满足平面拉普拉斯方程
\[
\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {y}^{2}} = 0
\]
\[
\frac{{\partial }^{2}v}{\partial {x}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}v}{\partial {y}^{2}} = 0.
\]
在这里,假定了 \( u \) 及 \( v \) 有连续二阶偏导数,所以 \( u \) 及 \( v \) 都是关于两个实变数的调和函数. 当柯西 (Cauchy, A.-L.) 对一般的含有一个复变数的可导函数进行研究时,他知道函数 \( u + \mathrm{i}v \) 可以看做是两个满足条件 (1) 的调和函数,也可以看做是 \( z = x + \) \( \mathrm{i}y \) 的一个可导函数 \( f\left( z\right) \) . 最后他决定采取第二个观点, 其原因之一是他考虑到函数的幂级数展式. 他给出了一个函数 \( f\left( z\right) \) 沿着复平面上一段曲线的积分的定义并证明了下列定理: 如果一个函数 \( f\left( z\right) \) 在复平面上的一个区域内有连续导数,而 \( C \) 为一简单闭曲线,它和它的内部均位于区域 \( D \) 内,则
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
(2)
这个定理是柯西理论中的基本定理. 根据这个定理他得出了一系列重要结果, 其中一个是: 如果一个函数 \( f\left( z\right) \) 在一个区域 \( D \) 内有连续导数,那么,在 \( D \) 的每一点 \( a \) 的邻域内 \( f\left( z\right) \) 可以展为 \( z - a \) 的幂级数. 这个结果表示: 具有连续导数的复变函数和在拉格朗日意义下的解析函数是相同的. 另一个很重要的结果是留数定理. 这个定理有广泛的应用, 它是柯西理论中的一项巨大成就. 例如这个定理的一个简单推论是: 一个 \( n \) 次代数方程在复数域内恰有 \( n \) 个根 (重级计算在内). 古尔萨 (Goursat, E. -J. -B. ) 给出了公式 (2) 的一个新的证明,在其中他只假定函数 \( f\left( z\right) \) 在区域 \( D \) 内每一点有导数. 从此以后,满足这个条件的函数 \( f\left( z\right) \) 就称为在区域 \( D \) 内的解析函数,亦称为全纯函数或正则函数.
关于单复变函数的理论, 黎曼 (Riemann, (G. F. )B. ) 一方面采用了与柯西相同的观点, 另一方面也采用了将函数分成两个调和函数的观点. 他对于调和函数进行了研究, 并且认为他已经证明了下列定理: 任给平面上的一个简单闭曲线 \( C \) ,恒存在一个在 \( C \) 的内部的调和函数,它在 \( C \) 上取预先给定的连续变化的值. 不过外尔斯特拉斯 (Weierstrass, K. (T. W. )) 指出黎曼的证明中有一点并不显然. 后来阿达马 (Hadamard, J. (-S. )) 举出了一个简单的例子, 肯定地说明了黎曼的证明是有问题的. 虽然如此, 黎曼的这项工作还是很有意义的. 它引起了一系列的研究工作. 黎曼从以上定理推出了一个关于共形映射的定理. 后来经过施瓦兹 (Schwarz, H. A. ) 及庞加莱 (Poincaré, (J. -) H. ) 等人的工作, 这个定理现在可叙述如下: 设 \( D \) 为 \( z \) 平面上的一个单连通区域,它的边界多于一点, \( {z}_{0} \) 为 \( D \) 内一点并且 \( {\theta }_{0} \) 为一实数,则存在惟一的一个在 \( D \) 内的单叶解析函数 \( w = f\left( z\right) \) 将 \( D \) 映射为 \( w \) 平面上的单位圆 \( \left| w\right| < 1 \) , 并且满足条件
\[
f\left( {z}_{0}\right) = 0,\;{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\theta }_{0}}{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) > 0.
\]
这个定理现在称为黎曼映射定理. 复变函数的几何理论即由此定理而产生. 以上定理没有涉及区域 \( D \) 的边界与圆周 \( \left| w\right| = 1 \) 的对应. 卡拉西奥多里 (Carathéodory, C. ) 证明了: 如果区域 \( D \) 的边界为一简单闭曲线 \( C \) ,那么,曲线 \( C \) 上的点与圆周 \( \left| w\right| \) \( = 1 \) 上的点也一一对应. 根据卡拉西奥多里的这个结果, 可以得出上述黎曼认为已经证明了的关于调和函数的定理的一个严格证明.
外尔斯特拉斯从幂级数的解析开拓的观点来进行研究. 先考虑一个幂级数
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{c}_{n}{z}^{n}
\]
（3）
它的收敛半径 \( R \) 满足条件 \( 0 < R < + \infty \) . 函数 \( f\left( z\right) \) 在圆 \( \Gamma : \left| z\right| < R \) 内解析,但在圆周 \( \left| z\right| = R \) 上最少有一个奇点 \( {z}_{0} \) ,即不存在一个圆盘
\[
{\gamma }_{ : }\left| {z - {z}_{0}}\right| < \rho \left( {0 < \rho }\right)
\]
和一个在 \( \gamma \) 内的解析函数 \( g\left( z\right) \) ,使在 \( \Gamma \) 和 \( \gamma \) 的公共部分, \( g\left( z\right) = f\left( z\right) \) . 特别地,如果圆周 \( \left| z\right| = R \) 上的每一点都是函数 \( f\left( z\right) \) 的奇点,这时函数 \( f\left( z\right) \) 就不可能从 \( \Gamma \) 内解析开拓出去,所以此时圆周 \( \left| z\right| = R \) 称为 \( f\left( z\right) \) 的自然边界. 关于收敛圆周上的奇点及自然边界的研究, 阿达马、曼德尔勃罗伊 (Mandelbrojt, S. ) 及波伊亚 (Pólya, G. ) 等人均有很好的工作. 现在设 \( a\left( {a \neq 0}\right) \) 为圆 \( \Gamma \) 内一点,则在圆 \( \left| {z - a}\right| \) \( < R - \left| a\right| \) 内级数 (3) 的和函数 \( f\left( z\right) \) 可以展开为一个幂级数
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{{f}^{\left( n\right) }\left( a\right) }{n!}{\left( z - a\right) }^{n},
\]
(4)
它的收敛半径 \( r \geq R - \left| a\right| \) . 如果 \( r > R - \left| a\right| \) ,那么, 函数 \( f\left( z\right) \) 就可以从圆 \( \Gamma \) 内越过点 \( {Ra}/\left| a\right| \) 解析开拓出去. 然后在圆 \( \left| {z - a}\right| < r \) 内取一点 \( {a}_{1}\left( {{a}_{1} \neq a}\right) \) ,则在圆 \( \left| {z - {a}_{1}}\right| < r - \left| {{a}_{1} - a}\right| \) 内级数 (4) 的和函数 \( {f}_{1}\left( z\right) \) 可以展开为一个幂级数
\[
{f}_{1}\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{{f}_{1}^{\left( n\right) }\left( {a}_{1}\right) }{n!}{\left( z - {a}_{1}\right) }^{n},
\]
它的收敛半径 \( {r}^{\prime } \geq r - \left| {{a}_{1} - a}\right| \) . 如果 \( {r}^{\prime } > r \) \( - \left| {{a}_{1} - a}\right| \) ,那么,函数 \( {f}_{1}\left( z\right) \) 又可以从 \( \left| {z - a}\right| < r \) 内越过点
\[
a + r\frac{{a}_{1} - a}{\left| {a}_{1} - a\right| }
\]
解析开拓出去. 如此可以继续下去. 从级数 (3) 出发, 向各个方向, 按照上述步骤利用幂级数进行所有可能的解析开拓, 所得的全体幂级数构成一个集合, 这个集合定义一个完全解析函数. 庞加莱及沃尔泰拉 (Volterra, V.)等人关于完全解析函数有重要工作. 完全解析函数可以是单值的或多值的. 不过以上所提到的在一个区域内的解析函数在该区域内都是单值的, 这样的函数现在通常称为区域内的全纯函数.
总之, 复变函数论的内容主要是研究解析函数. 具体地说, 包括以下三个方面: 单值函数、多值函数及几何理论. 单值函数中最基本的两类函数是整函数与亚纯函数. 整函数就是在整个复平面上为全纯的函数. 多项式是整函数. 除去多项式以外, 其他的整函数统称为超越整函数, 外尔斯特拉斯将多项式的因式分解定理推广到了超越整函数. 亚纯函数就是在整个复平面上除去一些孤立点外为全纯的函数, 而这些孤立点都是它的极点. 有理函数是亚纯函数. 除有理函数以外, 其他的亚纯函数统称为超越亚纯函数. 米塔-列夫勒 (Mittag-Leffler, M. G. ) 将有理函数的部分分式分解推广到了超越亚纯函数. 黎曼把一个多值函数看做是定义在一些互相适当连结起来的重叠的平面 (现在称为多值函数的黎曼面)上的单值函数. 一个最简单的例子是多值函数 \( \sqrt{z} \) 的黎曼面, 它是适当连结起来的两个重叠的平面. 一个多值函数在它的黎曼面上是单值的. 在近代, 黎曼面已经有了一个完善的抽象定义. 对此, 外尔 (Weyl, (C. H. ) H. ) 所著《黎曼面的概念》一书起了重要作用. 关于多值函数的研究工作主要是围绕着黎曼面及单值化问题展开的. 黎曼映射定理, 除引起边界对应问题外,还引起映射函数 \( w = f\left( z\right) \) 的构造问题以及关于单叶函数的一些问题. 另外黎曼映射定理已经推广到了多连通区域的情形, 但与单连通区域的情形有本质的不同之处. 在悠久的历史进程中, 经过许多人的努力, 上述三个方面都取得了巨大的进展. 例如关于亚纯函数奈望林纳理论的建立和这个理论中几个重要问题的解决, 关于单叶函数著名的比伯巴赫猜想的证明以及关于泰希米勒空间的新研究等.
复变函数论, 不仅它本身是一个美妙的理论, 而且有着广泛的应用, 它推动了一些学科的理论的发展, 并且时常作为一个有力的工具被应用在实际问题中. 可以预料, 随着科学的发展, 复变函数论将发挥愈来愈大的作用. 正因为如此, 人们一方面对它进行深入的研究, 另一方面也受到理论和实际问题研究的影响而将它推广, 从而产生了广义解析函数、拟共形映射、多复变函数等理论. 广义解析函数及拟共形映射的研究受到研制亚音速、超音速飞机的推动.
单复变函数论 (theory of functions of a complex variable) 通常所说的复变函数论的全称 (参见“复变函数论”).
## 复平面 \( \mathrm{C} \) 的拓扑
复数 (complex number) 实数的一种扩充. 形如 \( z = x + \mathrm{i}y \) 的数称为复数,其中 \( \mathrm{i} \) 是虚数单位, \( x \) 和 \( y \) 都是实数. 在这种表示形式中,规定 \( {\mathrm{i}}^{2} = - 1, x \) 和 \( y \) 分别称为复数 \( z \) 的实部和虚部,并分别记为 \( \operatorname{Re}z \) 和 \( \operatorname{Im}z \) . 如果 \( y = 0 \) ,那么 \( z = x \) 是实数; 如果 \( y \neq 0 \) ,那么 \( z \) 是虚数,如果 \( x = 0, y \neq 0 \) ,则 \( z = \mathrm{i}y \) 是纯虚数. 复数概念的产生经历了漫长的路程. 16 世纪, 人们在解二次、三次方程时遇到了负数开方的问题, 为了使负数开方有意义引进了虚数. 由于当时对复数的有关概念及性质了解得不清楚, 用它进行计算又得出了一些矛盾, 因此, 复数在很长时期都被人看做为不可接受的“虚数”. 微积分创立后, 情况有了改变, 经过很多人的努力, 复数与平面上的点和物理中的向量联系了起来.
复数是从已知量确定出来的数学实体这一概念是 19 世纪初才建立的. 随着生产的发展, 复数在数学和其他有关学科中日益起到巨大的作用. 到 19 世纪中叶以后, 对复数的研究已逐步发展成为一个完整的数学分支一复变函数论.
实部 (real part) 见“复数”.
虚部 (imaginary part) 见“复数”.
虚数 (imaginary number) 见“复数”.
纯虚数 (pure imaginary number) 见“复数”.
虚数单位 (imaginary unit) 一种数学符号. 指方程 \( {x}^{2} + 1 = 0 \) 的一个根 \( \sqrt{-1} \) ,用 \( \mathrm{i} \) 表示. \( \mathrm{i} \) 与实数一样按实数的四则运算法则进行运算. 早在 1484 年, 许凯 (Chaquet, N. ) 在《算术三篇》一书中, 解二次方程 \( 4 + {x}^{2} = {3x} \) ,得到
\[
x = \frac{3}{2} \pm \sqrt{2\frac{1}{4} - 4}
\]
他声明这根是不可能的. 1545 年, 卡尔达诺 (Car-dano, G. ) 在《大衍术》 (又译《重要的艺术》) 一书中发表了解一元三次方程
\[
{x}^{3} + {px} + q = 0
\]
的著名公式
\[
x = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{{q}^{2}}{4} + \frac{{p}^{3}}{27}}}
\]
\[
+ \sqrt{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{{q}^{2}}{4} + \frac{{p}^{3}}{27}}}.
\]
利用这个公式解方程时, 可能遇到负数开方的困难, 所以卡尔达诺认为一定有一种新型的数 (复数) 存在. 1637 年, 笛卡儿 (Descartes, R. ) 在《几何学》一书中, 相对于 “Realle” (实的) 第一次给出了虚数的名称 “Imaginaires” (虚的). 1777 年, 欧拉 (Euler, L. ) 在递交给彼得堡科学院的论文《微分公式》中, 首次使用 \( \mathrm{i} \) 来表示 \( \sqrt{-1} \) . 真正做出虚数合理解释的是韦塞尔 (Wessel, C. ). 1797 年, 他向丹麦科学院递交论文《方向的解析表示, 特别应用于平面与球面多边形的测定 \( \parallel \) 中,用 +1 表示正方向的单位, \( + \varepsilon \) 表示另一种单位, 方向与前者垂直且有相同的原点. 阿尔冈 (Argand, J. R. ) 也引进了复平面,文中有 \( \sqrt{-1} \) \( = \varepsilon \) 及 \( \cos v + \varepsilon \sin v \) 等记法,除了虚数单位的符号不同外, 和现在所用的表示法一致. 高斯 (Gauss, C. F. ) 在 1799 年规定了复数的几何表示, 但直到 1831 年才做出详细的说明,他主张用有序实数对 \( \left( {a, b}\right) \) 来表示 \( a + b\mathrm{i} \) ,这样复数的和与积都可以用纯代数方法来定义, 无需做出几何解释.
复数的表示法 (representation of complex number) 表示复数的方法. 常见的有代数表示法、 坐标表示法、向量表示法、三角表示法、指数表示法等几种. \( z = x + \mathrm{i}y \) 称为复数的代数表示法. 取平面直角坐标系 \( {Oxy} \) ,用坐标为
\( \left( {x, y}\right) \) 的点 \( P \) 表示复数 \( z = x \) \( + \mathrm{i}y \) 的方法称为复数的坐标表示法. 复数的坐标表示法使复数与平面上的点之间建立起一一对应关系. 实数与 \( x \) 轴上的点一一对应. \( x \) 轴称为实轴. 纯虚数与 \( y \) 轴上除原点以外的点一一对应. \( y \) 轴称为虚轴. 与复数建立了这种对应关系的平面称为复数平面, 简称复平面. 全体复数或复数平面记为 C. 用向量 \( \overrightarrow{OP} \) 来表示复数 \( z \) 的方法称为复数的向量表示法. \( x \) 与 \( y \) 分别是 \( \overrightarrow{OP} \) 在实轴和虚轴上的投影. \( \overrightarrow{OP} \) 的长度 \( r \) 称为复数的模或绝对值,记为 \( \left| z\right| \) . 若 \( P \) 点不是原点,则称 \( \overrightarrow{OP} \) 与 \( x \) 轴的正向之间的夹角 \( \theta \) 为复数 \( z \) 的辐角,记为 \( \operatorname{Arg}z \) . 辐角的符号规定为: 逆时针方向为正, 顺时针方向为负. 一个复数有无穷多个辐角. 同一复数的任意两个辐角相差 \( {2\pi } \) 的整数倍. 辐角中有一个 \( {\theta }_{0} \) 满足条件
\[
0 \leq {\theta }_{0} < {2\pi }
\]
\( {\theta }_{0} \) 称为 \( z \) 的主要辐角或主辐角,亦称辐角的主值,记为 \( \arg z \) . 有时为了方便也取其他主值范围,如 \( - \pi \) \( < \theta \leq \pi \) . 但不论 \( \arg z \) 的范围如何确定,总有
\[
\operatorname{Arg}z = \arg z + {2k\pi }\left( {k = 0, \pm 1, \pm 2,\cdots }\right) .
\]
如果 \( {Ox} \) 是极坐标系的极轴,那么,复数 \( z \) 的模 \( r \) 和辐角 \( \theta \) 分别是向量 \( \overrightarrow{OP} \) 的极径和极角,且有 \( x \) \( = r\cos \theta, y = r\sin \theta \) ,所以复数又可表示为
\[
z = r\left( {\cos \theta + \mathrm{i}\sin \theta }\right) ,
\]
称为复数的三角表示法. 通过欧拉公式
\[
{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } = \cos \theta + \mathrm{i}\sin \theta ,
\]
复数可表为指数形式 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) ,称为复数的指数表示法. 复数还可以在单位球面上表示 (参见“复球面”).
复数的代数表示法 (algebraic representation of complex number) 见“复数的表示法”.
复数的坐标表示法 (coordinate representation of complex number) 见“复数的表示法”.
复数的向量表示法 (vector representation of complex number) 见“复数的表示法”.
复数的三角表示法 (trigonometric representation of complex number) 见“复数的表示法”.
复数的指数表示法 (exponential representation of complex number) 见“复数的表示法”.
实轴 (real axes) 平面直角坐标系中的一个坐标轴. 使复数与平面上的点之间得以建立一一对应关系的平面直角坐标系的横坐标轴称为实轴. 详见 “复数的表示法”.
虚轴 (imaginary axes) 平面直角坐标系中的一个坐标轴. 使复数与平面上的点之间得以建立一一对应关系的平面直角坐标系的纵坐标轴称为虚轴. 详见“复数的表示法”.
复平面 (complex plane) 复数平面的简称. 见 “复数的表示法”.
欧拉公式(Euler formula) 把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式. 即
\( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } = \cos \theta + \mathrm{i}\sin \theta \left( {-\infty < \theta < + \infty }\right) . \)
这个公式是欧拉 (Euler, L. ) |
2000_数学辞海（第3卷） | 27 | [
z = r\left( {\cos \theta + \mathrm{i}\sin \theta }\right) ,
\]
称为复数的三角表示法. 通过欧拉公式
\[
{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } = \cos \theta + \mathrm{i}\sin \theta ,
\]
复数可表为指数形式 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) ,称为复数的指数表示法. 复数还可以在单位球面上表示 (参见“复球面”).
复数的代数表示法 (algebraic representation of complex number) 见“复数的表示法”.
复数的坐标表示法 (coordinate representation of complex number) 见“复数的表示法”.
复数的向量表示法 (vector representation of complex number) 见“复数的表示法”.
复数的三角表示法 (trigonometric representation of complex number) 见“复数的表示法”.
复数的指数表示法 (exponential representation of complex number) 见“复数的表示法”.
实轴 (real axes) 平面直角坐标系中的一个坐标轴. 使复数与平面上的点之间得以建立一一对应关系的平面直角坐标系的横坐标轴称为实轴. 详见 “复数的表示法”.
虚轴 (imaginary axes) 平面直角坐标系中的一个坐标轴. 使复数与平面上的点之间得以建立一一对应关系的平面直角坐标系的纵坐标轴称为虚轴. 详见“复数的表示法”.
复平面 (complex plane) 复数平面的简称. 见 “复数的表示法”.
欧拉公式(Euler formula) 把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式. 即
\( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } = \cos \theta + \mathrm{i}\sin \theta \left( {-\infty < \theta < + \infty }\right) . \)
这个公式是欧拉 (Euler, L. ) 建立的.
复数的模 (modulus of complex number) 复数表示中的一个量, 即表示复数的向量的长度称为该复数的模. 详见“复数的表示法”.
复数的绝对值 (absolute value of complex number) 复数的模的别称, 见 “复数的表示法”.
复数的辐角 (argument of complex number) 复数表示中的一个量, 即表示复数的向量与实轴正向之间的夹角. 详见“复数的表示法”.
复数的主辐角 (principle value of argument of complex number) 亦称辐角的主值. 即复数的主要辐角的简称, 见“复数的表示法”.
共轭复数 (conjugate complex) 与给定复数相比, 只是虚部符号相反的复数. 如果两个复数的实部相等, 而虚部只相差正负符号, 则称这两个复数互为共轭复数 ( \( \alpha \) 的共轭复数记为 \( \bar{\alpha } \) ). 在复平面上,表示共轭复数的两点是关于实轴对称的. 互相共轭的复数的模相等, 辐角相差一个符号:
\[
\alpha = a + \mathrm{i}b = \rho \left( {\cos \varphi + \mathrm{i}\sin \varphi }\right) = \rho {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi },
\]
\[
\bar{\alpha } = a - \mathrm{i}b = \rho \left( {\cos \varphi - \mathrm{i}\sin \varphi }\right) = \rho {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\varphi }.
\]
复球面 (complex sphere) 用以表示复数的单位球面. 以复平面 \( \mathrm{C} \) 的原点为中心做一个半径为 1 的球面
\[
S : {x}^{2} + {y}^{2} + {u}^{2} = 1,
\]
点 \( N\left( {0,0,1}\right) \) 称为北极, \( \mathrm{C} \) 与 \( S \) 的交线称为赤道. 过 \( \mathrm{C} \) 上一点 \( z \) 和 \( N \) 的直线只与 \( S \) 交于一点 \( Z \) ; 反之, 连结球面上任意不是 \( N \) 的点 \( Z \) 与 \( N \) 的直线也与 \( \mathrm{C} \)
交于一点 \( z \) . 除了 \( N \) 点以外,复平面 \( \mathrm{C} \) 和球面 \( S \) 上的点是一一对应的,并且当 \( \left| z\right| \rightarrow + \infty \) 时, \( Z \) 趋向于 \( N \) ,因此很自然地在复平面 \( \mathrm{C} \) 中引进一理想的点,作为 \( N \) 的对应点,称为无穷远点,记为 \( \infty \) . 无穷远点的模是 \( + \infty \) ,而辐角是不定的. 加上无穷远点的复平面称为扩充复平面,一般记为 \( \widehat{\mathrm{C}} \) ,而 \( \mathrm{C} \) 则称为有穷复平面. \( \widehat{\mathrm{C}} \) 与 \( S \) 上的点建立起的这种一一对应关系称为球极投影. \( S \) 称为复球面.
开平面 (open plane) 复平面的别称, 也称为有穷复平面. 详见“复平面”.
无穷远点 (point at infinity) 在球极投影中复平面上与复球面北极对应的点. 详见“复球面”.
扩充复平面 (extended complex plane) 加上了无穷远点的复平面. 详见“复球面”.
闭平面 (closed plane) 扩充复平面的别称.
黎曼球面 (Riemann sphere) 复球面的别称.
高斯平面 (Gauss plane) 复平面的别称.
球极投影 (stereographic projection) 扩充复平面上的点与复球面上的点之间的一种一一对应关系 (参见“复球面”).
测地投影 (geodesic project) 球极投影的别称.
球面距离 (spherical distance) 复平面上两点在复球面上对应点的欧氏距离. 设 \( {z}_{1},{z}_{2} \) 是复平面上的两点, \( d\left( {{z}_{1},{z}_{2}}\right) \) 表示 \( {z}_{1},{z}_{2} \) 在黎曼球面上的球极投影之间的欧氏距离,则称 \( d\left( {{z}_{1},{z}_{2}}\right) \) 为 \( {z}_{1},{z}_{2} \) 之间的球面距离, 且有
\[
d\left( {{z}_{1},{z}_{2}}\right) = \frac{2\left| {{z}_{1} - {z}_{2}}\right| }{\sqrt{\left( {1 + {\left| {z}_{1}\right| }^{2}}\right) \left( {1 + {\left| {z}_{2}\right| }^{2}}\right) }}.
\]
幺模数 (unital module) 模为 1 的复数. 它的一般形式是 \( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) . 如果 \( \alpha \) 是么模数,则 \( {\alpha }^{-1} = \bar{\alpha } \) .
棣莫弗公式(de Moivre formula) 关于么模数的幂的一个计算公式, 即公式
\[
{\left( \cos \theta + \mathrm{i}\sin \theta \right) }^{n} = \cos {n\theta } + \mathrm{i}\sin {n\theta }.
\]
棣莫弗 (de Moivre, A. ) 在 1707 年到 1730 年间逐步深入地得知这个公式在 \( n \) 是正有理数时成立. 后来欧拉 (Euler, L. ) 在 \( {1748} \sim {1749} \) 年证明了这个公式在 \( n \) 是实数时成立.
邻域 (neighbourhood) 复平面上的拓扑的基本概念之一. 包含复数 \( a \) 的区域,特别地,以复数 \( a \) 为中心,以正数 \( \varepsilon \) 为半径的圆盘,即满足 \( \left| {z - a}\right| < \varepsilon \) 的所有点 \( z \) 的集合,称为 \( a \) 的 \( \varepsilon \) 邻域. 在不强调半径为 \( \varepsilon \) 时简称 \( a \) 的邻域.
内点 (interior point) 复平面上的拓扑基本概念之一. 复平面 \( \mathrm{C} \) 上给定一个点集 \( A \) ,点 \( a \in A \) ,如果有 \( a \) 的某一个邻域整个包含在 \( A \) 内,则称 \( a \) 为 \( A \) 的一个内点.
开集 (open set) 复平面上的拓扑基本概念之一. 复平面上完全由内点组成的集合称为复平面上的开集.
聚点 (accumulation point) 复平面上的拓扑基本概念之一. 如果点 \( a \) 的任何邻域内都有异于 \( a \) 而属于集合 \( A \) 的点,则点 \( a \) 称为 \( A \) 的一个聚点.
导出集 (derived set) 复平面上的拓扑基本概念之一. 由集合 \( A \) 的所有聚点组成的集合称为集合 \( A \) 的导出集.
孤立点 (isolated point) 复平面上的拓扑基本概念之一. 属于集合 \( A \) 但又不是 \( A \) 的聚点的点称为 \( A \) 的孤立点.
闭集 (closed set) 复平面上的拓扑基本概念之一. 如果集合 \( A \) 的一切聚点都属于 \( A \) ,则集合 \( A \) 称为闭集.
余集 (supplementary set) 复平面上的拓扑基本概念之一. 点集 \( A \) 的余集是指复平面上全体不属于 \( A \) 的点所组成的集.
外点 (exterior point) 复平面上的拓扑基本概念之一. 如果点 \( a \) 的某一个邻域内的每一个点都不属于集合 \( A \) ,则 \( a \) 称为 \( A \) 的一个外点.
边界点 (boundary point) 复平面上的拓扑基本概念之一. 如果点 \( \zeta \) 的任何邻域内都既有属于集合 \( A \) 的点,也有不属于 \( A \) 的点,则称点 \( \zeta \) 为 \( A \) 的一个边界点.
边界 (boundary) 复平面上的拓扑基本概念之一. 点集 \( A \) 的所有边界点组成的集合称为 \( A \) 的边界.
可达边界点 (accessible boundary point) 边界点的一种. 设 \( \zeta \) 是区域 \( D \) 的一个边界点,若 \( D \) 内的任意一点 \( z \) 都可用除终点 \( \zeta \) 外包含在 \( D \) 内的连续曲线和 \( \zeta \) 相连结,则称 \( \zeta \) 是 \( D \) 的一个可达边界点. 可以证明,若 \( D \) 的边界是一条若尔当曲线,则 \( D \) 的边界上的每一点均是可达边界点.
有界集 (bounded set) 复平面上的拓扑基本概念之一. 如果点集 \( A \) 可以包含于以原点为中心的某一圆内,则称 \( A \) 为有界集.
紧集 (compact set) 复平面上的拓扑基本概念之一. 复变函数论中的紧集, 指有穷复平面 \( \mathrm{C} \) 上的有界闭集,或扩充复平面 \( \widehat{\mathrm{C}} \) 上的闭集.
开覆盖 (open covering) 复平面上的拓扑基本概念之一. 设 \( A \) 是一个集合, \( \mathcal{F} \) 是一个开集族,如果 \( A \) 的每一点至少属于 \( \mathcal{F} \) 中某一个开集,那么 \( \mathcal{S} \) 就称为 \( A \) 的一个开覆盖.
康托尔定理 (Cantor's theorem) 关于闭集套的一个定理. 该定理断言: 若 \( {F}_{n}\left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) 是非空的闭集序列, 且有
\[
{F}_{1} \supset {F}_{2} \supset \cdots \supset {F}_{n} \supset \cdots ,
\]
\( {F}_{n} \) 的直径随 \( n \) 趋向无穷而趋于零,则 \( \mathop{\bigcap }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{F}_{n} \) 为单点集. 这个定理是由康托尔 (Cantor, G. (F. P. )) 得到的.
有限覆盖定理 (finite covering theorem) 亦称海涅-波莱尔定理. 复平面拓扑中关于紧性的一个基本定理. 该定理断言: 若 \( A \) 是一个紧集, \( \mathcal{F} \) 是 \( A \) 的一个开覆盖,则从 \( \mathcal{F} \) 中能选出有限个开集 \( {G}_{1},{G}_{2} \) , \( \cdots ,{G}_{n} \) ,使得
\[
A \subset \mathop{\bigcup }\limits_{{j = 1}}^{n}{G}_{j}
\]
即从紧集的任一开覆盖中必能选出有限子覆盖.
海涅-波莱尔定理 (Heine-Borel theorem) 即 “有限覆盖定理”.
波尔查诺-外尔斯特拉斯定理 (Bolzano-Weierstrass theorem) 极限理论的一个基本定理. 该定理断言: 扩充复平面上的任一无穷点集都至少有一个聚点. 有限复平面情形叙述为: 任一有界的无穷点集至少有一个聚点.
连续曲线 (continuous curve) 复平面上的拓扑基本概念之一. 闭线段 \( a \leq t \leq b\left( {a \neq b}\right) \) 到复平面的连续映射称为连续曲线. 若 \( x\left( t\right) \) 和 \( y\left( t\right) \) 是两个在区间 \( a \leq t \leq b \) 上连续的函数,则
\[
z = z\left( t\right) = x\left( t\right) + \mathrm{i}y\left( t\right) \;\left( {a \leq t \leq b}\right)
\]
在平面上确定一条连续曲线 \( \gamma \) . 若对任意的 \( {t}_{1} \in (a \) , \( b) \) 及 \( {t}_{2} \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,只要 \( {t}_{1} \neq {t}_{2} \) 就有 \( z\left( {t}_{1}\right) \neq z\left( {t}_{2}\right) \) ,则称连续曲线 \( \gamma \) 为简单曲线或若尔当弧. \( z\left( a\right) \) 称为这条简单曲线的起点, \( z\left( b\right) \) 称为这条简单曲线的终点. 若简单曲线 \( \gamma \) 还满足 \( z\left( a\right) = z\left( b\right) \) ,则称 \( \gamma \) 为简单闭曲线. 简单闭曲线也称为若尔当曲线.
若尔当弧 (Jordan arc) 简单曲线的别称. 见 “连续曲线”.
若尔当曲线 (Jordan curve) 见“连续曲线”.
闭路径 (colsed path) 简单闭曲线的别称. 见 “连续曲线”.
解析曲线 (analytic curve) 复平面上的基本概念之一. 设曲线 \( \gamma \) 由参数方程 \( z = z\left( t\right) \left( {a \leq t \leq b}\right) \) 所确定,若对于任意的 \( {t}_{0}, a \leq {t}_{0} \leq b \) ,都存在它的邻域 \( \left( {{t}_{0} - \delta ,{t}_{0} + \delta }\right) \) ,使得 \( \gamma \) 上与这个小区间对应的一小段 (当 \( {t}_{0} = a \) 或 \( b \) 时,则考虑与 \( \left\lbrack {a, a + \delta )\text{和}(b - \delta, b}\right\rbrack \) 对应的小段)曲线可用一个收敛幂级数
\[
z\left( t\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{c}_{n}{\left( t - {t}_{0}\right) }^{n}
\]
表示 (其中 \( \left. {\left| {t - {t}_{0}}\right| < \delta ,{c}_{0} = z\left( {t}_{0}\right) }\right) \) ,则称 \( \gamma \) 是一条解析曲线.
连通集 (connected set) 复平面上的拓扑基本概念之一. 若点集 \( A \) 不能分解成两个非空且互不相交的开子集的并集,则称 \( A \) 为连通集.
区域 (region) 复平面上的连通的开集称为区域.
闭区域 (closed region) 区域与它的边界的并集称为闭区域.
若尔当定理 (Jordan's theorem) 关于复平面上简单闭曲线性质的一个著名定理. 该定理断言: 复平面上的任意一条简单闭曲线 \( \gamma \) 把复平面分成两个区域,其中一个是有界的,称为 \( \gamma \) 的内部; 另一个是无界的,称为 \( \gamma \) 的外部. \( \gamma \) 是 两个区域的共同边界. 该定理的结论十分直观, 但证明并不容易. 若尔当 (Jordan, M. E. C. ) 首先提出该定理, 但他的证明有缺陷. 维布伦 (Veblen, O. ) 在 1945 年首先完成了对该定理的严格证明.
星形域 (star region) 复平面上区域的一种. 设 \( a \) 是平面上一点, \( D \) 是包含 \( a \) 点的一个区域. 若任意一条连结 \( a \) 和 \( D \) 内一点的线段完全含于 \( D \) 内,则称 \( D \) 是关于 \( a \) 点的一个星形域.
单连通区域 (simply connected domain) 复平面上的拓扑基本概念之一. 若在区域内部任做一条简单闭曲线, 它的内部都含于这个区域内, 则称这个区域为单连通区域. 否则就称这个区域为多连通区域.
多连通区域 (multiply connected domain) 复平面上的拓扑基本概念之一. 见 “单连通区域”.
## 解析函数
解析函数论 (analytic function theory) 复变函数论的主要研究对象. 如果说以测度为基础的实变函数论是研究那些性质不大 “好” 的函数的话, 那么, 解析函数论则是研究那些性质非常“好”的函数. 解析函数论的理论基础是 19 世纪奠定的, 柯西 (Cauchy, A. -L. )、外尔斯特拉斯 (Weierstrass, K. (T. W. )) 和黎曼 (Riemann, (G. F. ) B. ) 是这一时期的三位杰出人物. 前两位分别应用积分和级数研究复变函数, 黎曼则研究了复变函数的映射性质. 到 20 世纪, 解析函数论已成为数学的重要分支之一. 它的领域不断扩大, 逐步发展成了一门庞大的学科. 除了解析函数论的基本理论之外, 还有黎曼面、共形映射、拟共形映射、泰希米勒空间理论、整函数与亚纯函数论、特殊函数论、调和函数论、单叶函数、 \( {H}^{p} \) 空间理论、代数函数、多复变函数等. 另外, 这门学科对其他学科如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等, 以及数学中其他分支如微分方程、积分方程、概率论、数论等, 都有重要的应用.
复变函数 (function of a complex variable) 实变函数的推广. 自变量和因变量均为复值的函数称为复变函数. 设 \( E \) 为一复数集,若按照某一规律, \( E \) 内每一复数 \( z \) 都有一确定的复数 \( w \) 与之对应,则称在 \( E \) 上确定了一单值复变函数 \( w = f\left( z\right) \left( {z \in E}\right) \) . 若对于自变量 \( z \) 的一个值,可能有几个或无穷多个 \( w \) 的值与之对应,则称在 \( E \) 上确定了一个多值复变函数 \( w = f\left( z\right) \left( {z \in E}\right) .E \) 称为该函数的定义域; 函数值 \( w \) 的全体所成的集 \( M \) 称为函数 \( w = f\left( z\right) \) 的值域.
解析函数 (analytic function) 亦称全纯函数或正则函数, 是解析函数论的主要研究对象. 对于定义于复平面上区域 \( D \) 内的复变量 \( z \) 的单值函数 \( f\left( z\right) \) ,如果它在 \( D \) 内的每个点 \( {z}_{0} \) 的一个邻域内都可以用 \( z - {z}_{0} \) 的幂级数表示,则称 \( f\left( z\right) \) 在 \( D \) 内解析. 外尔斯特拉斯 (Weierstrass, K. (T. W. )) 从幂级数出发,建立了解析函数的级数理论. 如果在 \( D \) 内的每个点 \( z \) 处,极限
\[
\mathop{\lim }\limits_{{{\Delta z} \rightarrow 0}}\frac{f\left( {z + {\Delta z}}\right) - f\left( z\right) }{ |
2000_数学辞海（第3卷） | 28 | 共形映射、拟共形映射、泰希米勒空间理论、整函数与亚纯函数论、特殊函数论、调和函数论、单叶函数、 \( {H}^{p} \) 空间理论、代数函数、多复变函数等. 另外, 这门学科对其他学科如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等, 以及数学中其他分支如微分方程、积分方程、概率论、数论等, 都有重要的应用.
复变函数 (function of a complex variable) 实变函数的推广. 自变量和因变量均为复值的函数称为复变函数. 设 \( E \) 为一复数集,若按照某一规律, \( E \) 内每一复数 \( z \) 都有一确定的复数 \( w \) 与之对应,则称在 \( E \) 上确定了一单值复变函数 \( w = f\left( z\right) \left( {z \in E}\right) \) . 若对于自变量 \( z \) 的一个值,可能有几个或无穷多个 \( w \) 的值与之对应,则称在 \( E \) 上确定了一个多值复变函数 \( w = f\left( z\right) \left( {z \in E}\right) .E \) 称为该函数的定义域; 函数值 \( w \) 的全体所成的集 \( M \) 称为函数 \( w = f\left( z\right) \) 的值域.
解析函数 (analytic function) 亦称全纯函数或正则函数, 是解析函数论的主要研究对象. 对于定义于复平面上区域 \( D \) 内的复变量 \( z \) 的单值函数 \( f\left( z\right) \) ,如果它在 \( D \) 内的每个点 \( {z}_{0} \) 的一个邻域内都可以用 \( z - {z}_{0} \) 的幂级数表示,则称 \( f\left( z\right) \) 在 \( D \) 内解析. 外尔斯特拉斯 (Weierstrass, K. (T. W. )) 从幂级数出发,建立了解析函数的级数理论. 如果在 \( D \) 内的每个点 \( z \) 处,极限
\[
\mathop{\lim }\limits_{{{\Delta z} \rightarrow 0}}\frac{f\left( {z + {\Delta z}}\right) - f\left( z\right) }{\Delta z} = {f}^{\prime }\left( z\right)
\]
(称为函数 \( f\left( z\right) \) 在 \( z \) 点的导数) 都存在,柯西 (Cauchy, A.-L.) 称 \( f\left( z\right) \) 在 \( D \) 内是解析的. 这两个定义是等价的. 函数 \( f\left( z\right) = u\left( {x, y}\right) + \mathrm{i}v\left( {x, y}\right), z \) \( = x + \mathrm{i}y \) 在 \( D \) 内解析的另一个等价条件是: \( u \) \( = u\left( {x, y}\right), v = v\left( {x, y}\right) \) 在 \( D \) 内的每一个点 \( z = x + \mathrm{i}y \) 处存在连续偏导数, 并且满足柯西-黎曼方程 (或称柯西-黎曼条件):
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\;\frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}.
\]
这个条件有时简称 \( C - R \) 条件或称达朗贝尔-欧拉条件. 函数 \( f\left( z\right) \) 在区域 \( D \) 内解析的第四个等价条件是莫雷拉定理 (参见 “莫雷拉定理”).
全纯函数 (holomorphic function) 即 “解析函数”.
正则函数 (regular function) 即“解析函数”.
达布中值公式 (Darboux's mean value formula）解析函数在两点上函数值的差的一个表达式. 若:
1. 直线段 \( L \) 以 \( a, b \) 为其端点, \( L \) 在区域 \( D \) 内;
2. 函数 \( f\left( z\right) \) 在 \( D \) 内具有连续的导数;
则存在 \( \lambda \) 及 \( \zeta \left( {\left| \lambda \right| \leq 1,\zeta \in L}\right) \) ,使
\[
f\left( b\right) - f\left( a\right) = \lambda \left| {b - a}\right| {f}^{\prime }\left( \zeta \right) .
\]
此公式称为达布中值公式.
柯西-黎曼条件 (Cauchy-Riemann condition)
解析函数的实部和虚部所满足的条件 (参见 “解析函数”).
\( C - R \) 条件 \( \left( {C - R\text{condition}}\right) \) 柯西-黎曼条件的简称 (参见“解析函数”).
达朗贝尔-欧拉条件 (d'Alembert-Euler condition) 即“柯西-黎曼条件”.
解析函数的无穷次可微性 (infinite differentiability of analytic function) 复平面区域内的解析函数有别于实数域上的可导函数的一个重要性质. 若 \( f\left( z\right) \) 在 \( D \) 内解析,则 \( f\left( z\right) \) 在 \( D \) 内具有各阶导数. 解析函数的这一性质称为它的无穷次可微性.
初等复变函数 (elementary functions of a complex variable) 实变量初等函数在复数域中的推广. 在实函数中, 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这六类函数称为基本初等函数, 而一切可由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合生成的函数称为初等函数. 复变量的初等函数的定义形式上与此相同, 只不过它们的定义域已由实数集合推广到复数域中. 实变量的初等函数推广到复数域后, 在实数域中保持它们原有的性质, 但在复数域中具有一些新的性质, 如复变指数函数的周期性、复变对数函数的无穷多值性、复变正弦函数与复变余弦函数的无界性等. 从这些新的性质可以看出, 只有把这些函数从实数域推广到复数域, 才能更全面、更深刻地揭示它们的本质.
复变根式函数 (radical function of a complex variable) 实变量根式函数在复数域中的推广. 形如 \( \sqrt[n]{z - a} \) 的函数称为复变根式函数,其中 \( n \) 是大于 1 的正整数, \( a \) 是复常数.
复变指数函数 (exponent function of a complex variable) 实变量指数函数在复数域中的推广. 形如 \( {\mathrm{e}}^{z} = {\mathrm{e}}^{x + \mathrm{i}y} = {\mathrm{e}}^{x}\left( {\cos y + \mathrm{i}\sin y}\right) \) 的函数称为复变指数函数.
复变一般指数函数 (general exponent function of a complex variable) 实变量一般指数函数在复数域中的推广. 若 \( a \neq 0,\infty \) ,则称函数 \( w = {a}^{z} \) \( = {\mathrm{e}}^{z}\log a \) 为复变一般指数函数.
复变幂函数 (power function of a complex variable) 实变量幂函数在复数域中的推广. 形如 \( w = \) \( {z}^{a} = {\mathrm{e}}^{a\log z}\left( {z \neq 0,\infty, a\text{为复常数}}\right) \) 的函数称为复变幂函数.
复变对数函数 (logarithmic function of a complex variable) 实变量对数函数在复数域中的推广. 若 \( {\mathrm{e}}^{w} = z\left( {z \neq 0,\infty }\right) \) ,则复数 \( w \) 称为复数 \( z \) 的对数,记为 \( w = \log z = \log \left| z\right| + \mathrm{i}\left( {\arg z + {2k\pi }}\right) (k = 0 \) , \( \pm 1, \pm 2,\cdots ) \) . 若限定 \( - \pi < \operatorname{Im}\left( {\log z}\right) \leq \pi \) ,则得到复变对数函数的主值 (或主支),记为 \( \log z \) .
复变对数函数的主值 (principal value of the logarithmic function) 见“复变对数函数”.
复变三角函数 (trigonometric functions of a complex variable) 实变量三角函数在复数域中的推广. 复变正弦函数与余弦函数定义为
\[
\sin z = \frac{1}{2\mathrm{i}}\left( {{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z} - {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}\right) ,
\]
\[
\cos z = \frac{1}{2}\left( {{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z} + {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}\right) .
\]
当 \( z \) 为实数时,此定义与数学分析中关于正弦函数和余弦函数的定义是一致的. 复变正切函数与余切函数定义为:
\[
\tan z = \frac{\sin z}{\cos z},\cot z = \frac{\cos z}{\sin z}.
\]
复变反三角函数 (inverse trigonometric functions of a complex variable) 实变量反三角函数在复数域中的推广. 由
\[
z = \sin w = \frac{1}{2\mathrm{i}}\left( {{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}w} - {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}w}}\right)
\]
可解得
\[
{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}w} = \mathrm{i}z + \sqrt{1 - {z}^{2}},
\]
由此定义复变反正弦函数为
\[
w = \operatorname{Arcsin}z = - \mathrm{i}\log \left( {\mathrm{i}z + \sqrt{1 - {z}^{2}}}\right) ,
\]
同样地定义复变反余弦函数和复变反正切函数为:
\[
\operatorname{Arccos}z = - \mathrm{i}\log \left( {z + \mathrm{i}\sqrt{1 - {z}^{2}}}\right) ,
\]
\[
\operatorname{Arctan}z = \frac{1}{2\mathrm{i}}\log \frac{\mathrm{i} - z}{\mathrm{i} + z}.
\]
双曲函数 (hyperbolic functions) 一类初等复变函数. 实变量双曲函数在复数域中的推广. 下面四个双曲函数分别称为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切及双曲余切:
\[
\operatorname{sh}z = \frac{{\mathrm{e}}^{z} - {\mathrm{e}}^{-z}}{2},\;\operatorname{ch}z = \frac{{\mathrm{e}}^{z} + {\mathrm{e}}^{-z}}{2},
\]
\[
\text{th}z = \frac{{\mathrm{e}}^{z} - {\mathrm{e}}^{-z}}{{\mathrm{e}}^{z} + {\mathrm{e}}^{-z}},\;\operatorname{cth}z = \frac{{\mathrm{e}}^{z} + {\mathrm{e}}^{-z}}{{\mathrm{e}}^{z} - {\mathrm{e}}^{-z}}\text{.}
\]
在 Mathematica 等数学应用软件及英文数学著作中,上面四种双曲函数的符号分别为 \( \sinh z,\cosh z \) , \( \tanh z \) 及 \( \coth z \) . 这些函数的名称之所以既带有 “双曲”二字, 又带有一个相应的三角函数的名称, 是因为在实变量的情况下, 联系着单位圆周上的点的坐标与三角函数之间的关系式, 类似于联系着半轴长为 1 的等轴双曲线上的点的坐标与双曲函数之间的关系式. 双曲函数与三角函数之间有密切的联系:
\[
\operatorname{ch}\mathrm{i}z = \cos z,\;\operatorname{sh}\mathrm{i}z = \mathrm{i}\sin z,
\]
\[
\text{thiz} = \mathrm{i}\tan z,\;\operatorname{cthi}z = - \mathrm{i}\cot z\text{,}
\]
\[
\cos \mathrm{i}z = \operatorname{ch}z,\;\sin \mathrm{i}z = \mathrm{i}\operatorname{sh}z,
\]
\[
\tan \mathrm{i}z = \mathrm{{ith}}z,\;\cot \mathrm{i}z = - \mathrm{i}\operatorname{cth}z.
\]
其中 \( \mathrm{i} \) 是虚数单位. 与三角函数之间的每一关系式相对应, 双曲函数之间都有类似的关系式. 双曲函数在积分法、几何、力学、物理学及许多工程问题中有重要应用.
罗曼-梅尼绍夫定理 (Looman-Menchoff theorem) 一个关于函数在区域内的解析性的判定定理. 设 \( f\left( z\right) = u + \mathrm{i}v \) 在区域 \( D \) 内有定义, \( u \) 和 \( v \) 在 \( D \) 内连续,最多除去 \( D \) 的可数个点外,
\[
\frac{\partial u}{\partial x},\;\frac{\partial u}{\partial y},\;\frac{\partial v}{\partial x},\;\frac{\partial v}{\partial y}
\]
存在,且在 \( D \) 内除去一个勒贝格测度为零的集合外,柯西-黎曼方程成立,则 \( f = u + \mathrm{i}v \) 在 \( D \) 内全纯. 柯西 (Cauchy, A. -L. ) 最初于 1814 年给出解析函数的定义时, 要求导函数的连续性, 从而推出柯西定理. 1900 年, 古尔萨 (Goursat, E. -J. -B. ) 在没有导数连续性的假定下证明了柯西定理. 人们期望与柯西解析函数的定义相等价的定义, 即用柯西-黎曼方程定义的解析性能有相应的改进. 1923 年, 罗曼 (Looman, H. ) 给了上述更广的定理, 但他的证明有缺陷; 1933 年, 梅尼绍夫 (Mehbitios, II. E. ) 改正了他的缺陷. 于是, 这个定理称为罗曼-梅尼绍夫定理.
施托尔茨路径 (Stolz's path) 区域内连结于区域边界上一点的一类连续曲线. 设 \( P \) 是由光滑的若尔当曲线所围成的区域 \( D \) 的一个边界点,以 \( P \) 为顶点的一个角域的两边的起始部分在 \( D \) 的内部, \( L \) 是 \( D \) 内的一条曲线. 若 \( L \) 从上述角域的内部连结于 \( P \) 点,则称 \( L \) 是一条以 \( P \) 为终点的施托尔茨路径.
角微商 (angle derivative) 条件微商的一种. 设 \( f\left( z\right) \) 在 \( \left| z\right| < 1 \) 内全纯,如果 \( z \) 沿以单位圆周上的点 \( {z}_{0} \) 为终点的施托尔茨路径趋于 \( {z}_{0} \) 时, \( f\left( z\right) \) 一致地趋于 \( {w}_{0} \) ,且极限
\[
\mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow {z}_{0}}}\frac{f\left( z\right) - {w}_{0}}{z - {z}_{0}}
\]
存在,则称此极限值为 \( f\left( z\right) \) 在 \( {z}_{0} \) 处的角微商. 在定义域为 \( \operatorname{Re}z > 0 \) 的情形,对虚轴上的点 \( {z}_{0} \) 也可同样地定义角微商. 但是,当 \( {w}_{0} = \infty \) 时,上式中的 \( f\left( z\right) \) \( - {w}_{0} \) 要用 \( 1/f\left( z\right) \) 代替; 在 \( {z}_{0} = \infty \) 时, \( 1/\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 要用 \( z \) 代替. 在后面这种情形,施托尔茨路径理解为包含于角域 \( \left| {\arg z}\right| \leq \alpha \left( { < \pi /2}\right) \) 内趋于 \( \infty \) 的路径.
分式线性变换 (fractional linear transformation) 一种特殊的映射. 从扩充 \( z \) 平面到扩充 \( w \) 平面的共形映射称为分式线性变换, 简称线性变换. 即
\[
w = \frac{{az} + b}{{cz} + d}
\]
其中 \( a, b, c, d \) 都是复常数, \( {ad} - {bc} \neq 0 \) 并且当 \( z = \infty \) 时对应 \( w = a/c, z = - d/c \) 时对应 \( w = \infty \) . 分式线性变换总可以分解成下述简单类型变换的复合:
\[
\text{1.}w = {kz} + h\left( {k \neq 0}\right) \text{.}
\]
\[
\text{2.}w = 1/z\text{.}
\]
\( a, b, c, d \) 都是实数且满足 \( {ad} - {bc} > 0 \) 的分式线性变换称为富克斯变换. 富克斯变换将上半平面映为上半平面,使 \( {Ox} \) 轴 \( \left( {z = x + \mathrm{i}y}\right) \) 上各点 \( z \) 与 \( {Ou} \) 轴 \( \left( {w = u + \mathrm{i}v}\right) \) 上各点 \( w \) 对应. 除恒等变换 \( w = z \) 外, 一个分式线性变换
\[
w = L\left( z\right) = \frac{{az} + b}{{cz} + d}
\]
至多有两个不动点 (即在分式线性变换下映为自身的点), 它由下面的方程决定
\[
z = \frac{{az} + b}{{cz} + d}
\]
即 \( c{z}^{2} + \left( {d - a}\right) z - b = 0 \) . 若此二次方程有两个不同的有穷根 \( {z}_{1},{z}_{2} \) ,则变换 \( L\left( z\right) \) 可写为
\[
\frac{w - {z}_{1}}{w - {z}_{2}} = k\frac{z - {z}_{1}}{z - {z}_{2}}
\]
其中 \( k \) 是常数. 若 \( k \) 为正实数,则称 \( L\left( z\right) \) 是双曲变换; 若 \( k = {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha } \) ,实数 \( \alpha \neq 0 \) ,则称 \( L\left( z\right) \) 是椭圆变换; 若 \( k \) \( = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha },\alpha \neq 0, r \neq 1 \) ,则称 \( L\left( z\right) \) 是斜驶变换. 若 \( L\left( z\right) \) 仅有一个不动点,则称 \( L\left( z\right) \) 为抛物变换.
线性变换 (linear transformation) 分式线性变换的简称.
富克斯变换 (Fuchs transformation) 见 “分式线性变换”.
抛物变换 (parabolic transformation) 见 “分式线性变换”.
双曲变换 (hyperbolic transformation) 见 “分式线性变换”.
椭圆变换 (elliptic transformation) 见 “分式线性变换”.
斜驶变换 (loxodromic transformation) 见 “分式线性变换”.
默比乌斯变换 (Möbius transformation) 亦称默比乌斯函数. 一种分式线性变换. 有的著作中把单位圆盘映射到自身的共形变换称为默比乌斯变换. 把单位圆盘映射到自身的默比乌斯变换都可以表示为
\[
\tau \left( z\right) = {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi }\frac{z - {z}_{0}}{1 - {\bar{z}}_{0}z},
\]
其中 \( \varphi \) 是实数, \( \left| {z}_{0}\right| < 1 \) .
关于圆的对称点 (symmetric points with respect to a circle) 具有特殊关系的点对. 若 \( {z}_{1},{z}_{2} \) 满
足条件
\[
{z}_{2} - {z}_{0} = \frac{{R}^{2}}{\overline{{z}_{1} - {z}_{0}}},
\]
则称 \( {z}_{1},{z}_{2} \) 是关于圆周 \( \left| {z - {z}_{0}}\right| = R \) 的对称点或反演点; 还规定 \( {z}_{0} \) 与 \( \infty \) 关于圆周 \( \ |
2000_数学辞海（第3卷） | 29 | 变换; 若 \( k \) \( = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha },\alpha \neq 0, r \neq 1 \) ,则称 \( L\left( z\right) \) 是斜驶变换. 若 \( L\left( z\right) \) 仅有一个不动点,则称 \( L\left( z\right) \) 为抛物变换.
线性变换 (linear transformation) 分式线性变换的简称.
富克斯变换 (Fuchs transformation) 见 “分式线性变换”.
抛物变换 (parabolic transformation) 见 “分式线性变换”.
双曲变换 (hyperbolic transformation) 见 “分式线性变换”.
椭圆变换 (elliptic transformation) 见 “分式线性变换”.
斜驶变换 (loxodromic transformation) 见 “分式线性变换”.
默比乌斯变换 (Möbius transformation) 亦称默比乌斯函数. 一种分式线性变换. 有的著作中把单位圆盘映射到自身的共形变换称为默比乌斯变换. 把单位圆盘映射到自身的默比乌斯变换都可以表示为
\[
\tau \left( z\right) = {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi }\frac{z - {z}_{0}}{1 - {\bar{z}}_{0}z},
\]
其中 \( \varphi \) 是实数, \( \left| {z}_{0}\right| < 1 \) .
关于圆的对称点 (symmetric points with respect to a circle) 具有特殊关系的点对. 若 \( {z}_{1},{z}_{2} \) 满
足条件
\[
{z}_{2} - {z}_{0} = \frac{{R}^{2}}{\overline{{z}_{1} - {z}_{0}}},
\]
则称 \( {z}_{1},{z}_{2} \) 是关于圆周 \( \left| {z - {z}_{0}}\right| = R \) 的对称点或反演点; 还规定 \( {z}_{0} \) 与 \( \infty \) 关于圆周 \( \left| {z - {z}_{0}}\right| = R \) 是对称的.
交比 (cross ratio) 亦称非调和比. 分式线性变换的一种不变量. 设 \( a, b, c, d \) 是任意四个互异的有限复数, 则称
\[
\frac{c - a}{c - b} : \frac{d - a}{d - b}
\]
为这四个数 (或点) 的交比, 记为
\[
\left( {a, b, c, d}\right) = \frac{c - a}{c - b} : \frac{d - a}{d - b}.
\]
此定义可推广到 \( a, b, c, d \) 之一是无穷远点的情形: 给定四个有限点中的三个点, 而令第四个点趋向于无穷远点, 则把四点交比在这一情形下的极限称为四点中这一点是无穷远点时的交比. 即:
\[
\left( {\infty, b, c, d}\right) = \frac{1}{c - b} : \frac{1}{d - b},
\]
\[
\left( {a,\infty, c, d}\right) = \left( {c - a}\right) : \left( {d - a}\right) ,
\]
\[
\left( {a, b,\infty, d}\right) = 1 : \frac{d - a}{d - b},
\]
\[
\left( {a, b, c,\infty }\right) = \frac{c - a}{c - b}.
\]
在分式线性变换下任意四点的交比不变, 换句话说, 交比是线性变换的不变量.
非调和比 (anharmonic ratio) 即 “交比”.
线性变换的保对称性 (preservation of symmetry by fractional linear transformations) 线性变换的特性之一. 如果 \( {z}_{1},{z}_{2} \) 是关于圆周 \( C \) 的一对对称点 (反演点),那么在线性变换下,它们的像 \( {w}_{1} \) 与 \( {w}_{2} \) 也是关于 \( C \) 的像 \( {C}^{\prime } \) 的对称点,线性变换的这种性质称为保对称性.
线性变换的保圆周性 (perservation of circle by fractional linear transformation) 线性变换的特性之一. 指线性变换将扩充复平面上的圆周变为扩充复平面上的圆周的性质 (将直线视为通过无穷远点的圆周).
线性变换的保交比性 (invariance of cross ratio by fractional linear transformation) 线性变换的特性之一. 指线性变换在扩充复平面上保持交比不变的性质.
整线性变换 (entire linear transformation) 线性变换的一种. 设 \( k \neq 0, h \) 为常数,称 \( w = {kz} + h \) 为整线性变换. 特别地,当 \( h \neq 0 \) 时,称映射 \( w = z + h \) 为平移映射.
平移映射 (translation) 见“整线性变换”.
伸缩与旋转映射 (dilatation and rotation) 线
性变换的一种. 映射
\[
w = {Az} = \left| A\right| {\mathrm{e}}^{\mathrm{{iarg}}A}z
\]
称为伸缩与旋转映射. 它把复数 \( z \) 的模伸缩 \( \left| A\right| \) 倍, 再绕原点 \( O \) 旋转一个角度 \( \arg A \) .
单位圆到单位圆的映射 (mapping of the unit disk onto itself) 线性变换的一种. 即映射
\[
w = {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi }\frac{z - a}{1 - \bar{a}z},
\]
其中 \( \varphi \) 是实数, \( \left| a\right| < 1 \) . 有的著作称此种映射为默比乌斯变换.
上半平面到单位圆内的映射 (mapping of the upper half-plane onto the interior of the unit disk) 线性变换的一种. 即映射
\[
w = {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi }\frac{z - a}{z - \bar{a}},
\]
其中 \( \varphi \) 是实数, \( \operatorname{Im}a > 0 \) .
上半平面到上半平面 (下半平面) 的映射 (mapping of the upper half-plane onto itself or lower half-plane) 线性变换的一种. 即映射
\[
w = \frac{{az} + b}{{cz} + d},
\]
其中 \( a, b, c, d \) 都是实数. 当 \( {ad} - {bc} > 0 \) 时,它把上半平面 \( \operatorname{Im}z > 0 \) 映射到上半平面 \( \operatorname{Im}w > 0 \) ; 当 \( {ad} - {bc} < 0 \) 时,它把上半平面 \( \operatorname{Im}z > 0 \) 映射到下半平面 \( \operatorname{Im}w < 0 \) .
圆束 (pencil of circles) 复平面上一类圆周的总称. 若 \( {k}_{1} \) 和 \( {k}_{2} \) 为给定的两个圆,称同时正交 \( {k}_{1} \) 和 \( {k}_{2} \) 的圆的全体为圆束. 按照 \( {k}_{1} \) 和 \( {k}_{2} \) 相交、相切及相离的情形, 相应的圆束分别称为双曲型圆束、抛物型圆束及椭圆型圆束.
椭圆型圆束 (elliptic pencil of circles) 见 “圆束”.
抛物型圆束 (parabolic pencil of circles) 见 “圆束”.
双曲型圆束 (hyperbolic pencil of circles) 见 “圆束”.
阿波罗尼奥斯圆族 (circles of Apollonius) 由复平面上的两个点确定的一类圆周的总称. 设 \( a, b \) \( \left( {a \neq b}\right) \) 为两个复常数,则称
\[
\left| \frac{z - a}{z - b}\right| = k\;\left( {0 < k < + \infty }\right)
\]
为以 \( a, b \) 为极限点的阿波罗尼奥斯圆族,而称过 \( a \) , \( b \) 两点的圆族为由 \( a, b \) 确定的施泰纳圆族. 对于给定的 \( a, b \) 两点,任一阿波罗尼奥斯圆和任一施泰纳圆是正交的.
施泰纳圆族(Steiner circles) 由复平面上的两个点确定的一类圆周的总称. 见 “阿波罗尼奥斯圆族”.
圆丛(bundle of circles) 复球面上一类圆周的总称. 指球面上这样圆的全体: 这些圆所在的平面都通过空间内一个固定的点 \( M \) . 根据点 \( M \) 在球面外、 球面上和球面内, 分别称相应的圆丛为双曲型的、抛物型的和椭圆型的.
双曲型圆丛(hyperbolic bundle) 见“圆丛”.
抛物型圆丛(parabolic bundle) 见“圆丛”.
椭圆型圆丛(elliptic bundle) 见“圆丛”.
## 复 积 分
路径 (path) 复平面上的拓扑基本概念之一. 平面内的一条连续曲线称为一条路径, 它可以用一个连续复函数: \( z = \gamma \left( t\right) \left( {\alpha \leq t \leq \beta }\right) \) 表示.
沿路径的积分 (integral along a path) 复平面上的一种曲线积分. 若 \( \gamma \) 为一条可求长路径 \( z = \gamma \left( t\right) \) \( \left( {\alpha \leq t \leq \beta }\right), f \) 为 \( \gamma \) 上的连续函数,对 \( \gamma \) 做分割,其分点为
\[
{z}_{0} = \gamma \left( \alpha \right) ,{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n} = \gamma \left( \beta \right) ,
\]
从 \( {z}_{k - 1} \) 到 \( {z}_{k}\left( {1 \leq k \leq n}\right) \) 的小段为 \( {\gamma }_{k} \) ,
\( \lambda = \mathop{\max }\limits_{{1 \leq k \leq n}}{s}_{k}\;\left( {s}_{k}\right. \) 是 \( {\gamma }_{k} \) 的弧长),
在 \( {\gamma }_{k} \) 上任取一点 \( {\zeta }_{k} \) ,做和式
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}f\left( {\zeta }_{k}\right) \left( {{z}_{k} - {z}_{k - 1}}\right) ,
\]
若
\[
\mathop{\lim }\limits_{{\lambda \rightarrow 0}}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}f\left( {\zeta }_{k}\right) \left( {{z}_{k} - {z}_{k - 1}}\right)
\]
存在,则称此极限值为函数 \( f\left( z\right) \) 沿路径 \( \gamma \) 的积分, 记为
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z
\]
即
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = \mathop{\lim }\limits_{{\lambda \rightarrow 0}}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}f\left( {\zeta }_{k}\right) \left( {{z}_{k} - {z}_{k - 1}}\right) .
\]
一点关于一条闭曲线的指示数 (index of a point to a closed curve) 一条曲线绕一定点的圈数. 设 \( \gamma \) 是一条可求长的闭路径, \( a \) 点不在 \( \gamma \) 上,则称
\[
n\left( {\gamma, a}\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }\frac{\mathrm{d}\zeta }{\zeta - a}
\]
为 \( a \) 关于 \( \gamma \) 的指示数. 它是一个整数. 如果
\[
\gamma \left( t\right) = a + {\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}{\pi nt}}\;\left( {0 \leq t \leq 1}\right) ,
\]
则当 \( \left| {b - a}\right| < 1 \) 时, \( n\left( {\gamma, b}\right) = n \) ; 当 \( \left| {b - a}\right| > 1 \) 时, \( n\left( {\gamma, b}\right) = 0.a \) 点关于 \( \gamma \) 的指示数也称为 \( \gamma \) 绕 \( a \) 点的环绕数.
环绕数 (winding number) 见 “一点关于一条闭曲线的指示数”.
柯西定理 (Cauchy's theorem) 解析函数理论的最重要、最基本的定理. 若 \( D \) 是复平面 \( \mathrm{C} \) 上的一个单连通区域, \( f\left( z\right) \) 在 \( D \) 内是解析的, \( \gamma \) 是 \( D \) 内的一条可求长闭曲线, 则有
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
它的一般形式是: 若 \( f\left( z\right) \) 在区域 \( D \) 内是解析的, \( {\gamma }_{1} \) , \( {\gamma }_{2},\cdots ,{\gamma }_{m} \) 是 \( D \) 内的 \( m \) 条可求长闭曲线 \( (m \) 是一个自然数),使得对 \( \mathrm{C} \smallsetminus D \) 内所有的 \( w \) ,有
\[
n\left( {{\gamma }_{1}, w}\right) + n\left( {{\gamma }_{2}, w}\right) + \cdots + n\left( {{\gamma }_{m}, w}\right) = 0,
\]
其中 \( n\left( {{\gamma }_{i}, w}\right) \) 是 \( {\gamma }_{i} \) 绕 \( w \) 点的环绕数 \( (i = 1,2,\cdots \) , \( m \) ),则有
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{m}{\int }_{{\gamma }_{k}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
柯西积分公式 (Cauchy's integral formula) 解析函数在一点处的值通过该函数在环绕该点的曲线上的积分表示的公式. 该公式是解析函数理论中的一个基本公式. 设 \( D \) 是一个区域, \( \gamma \) 是 \( D \) 内一条可求长闭路径,对于 \( \mathrm{C} \smallsetminus D \) 内的一切 \( w \) 的环绕数 \( n\left( {\gamma ;w}\right) = 0, f\left( z\right) \) 在 \( D \) 内解析,则对于一切 \( a \in D \smallsetminus \gamma \) 有
\[
n\left( {\gamma, a}\right) f\left( a\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }\frac{f\left( z\right) }{z - a}\mathrm{\;d}z.
\]
一般形式是: 设 \( D \) 是一个区域, \( {\gamma }_{1},{\gamma }_{2},\cdots ,{\gamma }_{m} \) 是 \( D \) 内 \( m \) 条可求长闭曲线 ( \( m \) 是一个自然数),等式
\[
n\left( {{\gamma }_{1}, w}\right) + n\left( {{\gamma }_{2}, w}\right) + \cdots + n\left( {{\gamma }_{m}, w}\right) = 0
\]
对一切 \( w \in \mathrm{C} \smallsetminus D \) 成立,其中 \( n\left( {{\gamma }_{i}, w}\right) \) 是 \( {\gamma }_{i} \) 绕 \( w \) 点的环绕数 \( \left( {i = 1,2,\cdots, m}\right) \) ,则对于一切 \( a \in D \smallsetminus \gamma \) ,有
\[
f\left( a\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{m}n\left( {{\gamma }_{k}, a}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{m}\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{\gamma }_{k}}\frac{f\left( z\right) }{z - a}\mathrm{\;d}z.
\]
平均值定理 (mean value theorem) 圆内解析函数在圆心处的值通过在圆周上的值来表示的定理. 如果函数 \( f\left( z\right) \) 在一个以 \( {z}_{0} \) 为圆心、 \( R \) 为半径的圆 \( \left| {z - {z}_{0}}\right| < R \) 内解析,在圆 \( \left| {z - {z}_{0}}\right| \leq R \) 上连续,那么,函数 \( f\left( z\right) \) 在圆心处的值等于在圆周上的值的积分平均值, 即
\[
f\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + R{e}^{\mathrm{i}\varphi }}\right) \mathrm{d}\varphi .
\]
莫雷拉定理 (Morera's theorem) 柯西定理的逆定理. 如果函数 \( f\left( z\right) \) 在区域 \( D \) 内连续,并且沿着 \( D \) 内任何一条可求长闭曲线 \( \gamma \) 的积分
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,
\]
那么 \( f\left( z\right) \) 在区域 \( D \) 内解析.
柯西型积分 (integral of Cauchy type) 原本适用于解析函数的柯西积分表达式在连续函数情形的一种推广. 设 \( \Gamma \) 是一条闭或非闭的逐段光滑曲线, \( \varphi \left( z\right) \) 是 \( \Gamma \) 上的连续函数,那么,积分
\[
\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\Gamma }\frac{\varphi \left( w\right) }{w - z}\mathrm{\;d}w
\]
称为关于 \( \varphi \left( z\right) \) 的柯西型积分,它在 \( \mathrm{C} \smallsetminus \Gamma \) 上确定 \( z \) 的一个单值函数,记为 \( F\left( z\right) \) . 柯西型积分在不包含曲线 \( \Gamma \) 上任一点的区域内是解析的,并且它的高阶导数为
\[
{F}^{\left( n\right) }\left( z\right) = \frac{n!}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\Gamma }\frac{\varphi \left( w\right) }{{\left( w - z\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}w.
\]
高阶导数的柯西积分公式 (Cauchy's integral formala for derivative of higher order) 解析函数在一点处的高阶导数的值通过该函数在环绕该点的曲线上的积分表示的公式. 设 \( f\left( z\right) \) 在区域 \( D \) 内解析, \( {\gamma }_{1},{\gamma }_{2},\cdots ,{\gamma }_{m} \) 是 \( D \) 内 \( m \) 条可求长闭曲线, \( m \) 是一个自然数,等式
\[
n\left( {{\gamma }_{1}, w}\right) + n\left( {{\gamma }_{2}, w}\right) + \cdots + n\left( {{\gamma }_{m}, w}\right) = 0
\]
对 \( \mathrm{C} \smallsetminus D \) 内的一切 \( w \) 成立,则对于一切 \( a \in D \smallsetminus \gamma \) 及 \( k \) \( \geq 1 \) 有
\[
{f}^{\left( k\right) }\left( a\right) \mathop{\sum }\limi |
2000_数学辞海（第3卷） | 30 | pi }\mathrm{i}}{\int }_{\Gamma }\frac{\varphi \left( w\right) }{w - z}\mathrm{\;d}w
\]
称为关于 \( \varphi \left( z\right) \) 的柯西型积分,它在 \( \mathrm{C} \smallsetminus \Gamma \) 上确定 \( z \) 的一个单值函数,记为 \( F\left( z\right) \) . 柯西型积分在不包含曲线 \( \Gamma \) 上任一点的区域内是解析的,并且它的高阶导数为
\[
{F}^{\left( n\right) }\left( z\right) = \frac{n!}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\Gamma }\frac{\varphi \left( w\right) }{{\left( w - z\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}w.
\]
高阶导数的柯西积分公式 (Cauchy's integral formala for derivative of higher order) 解析函数在一点处的高阶导数的值通过该函数在环绕该点的曲线上的积分表示的公式. 设 \( f\left( z\right) \) 在区域 \( D \) 内解析, \( {\gamma }_{1},{\gamma }_{2},\cdots ,{\gamma }_{m} \) 是 \( D \) 内 \( m \) 条可求长闭曲线, \( m \) 是一个自然数,等式
\[
n\left( {{\gamma }_{1}, w}\right) + n\left( {{\gamma }_{2}, w}\right) + \cdots + n\left( {{\gamma }_{m}, w}\right) = 0
\]
对 \( \mathrm{C} \smallsetminus D \) 内的一切 \( w \) 成立,则对于一切 \( a \in D \smallsetminus \gamma \) 及 \( k \) \( \geq 1 \) 有
\[
{f}^{\left( k\right) }\left( a\right) \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{m}n\left( {{\gamma }_{j}, a}\right) = k!\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{m}\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{\gamma }_{j}}\frac{f\left( z\right) }{{\left( z - a\right) }^{k + 1}}\mathrm{\;d}z.
\]
解析函数的零点 (zero of analytic function) 使解析函数取零值的点. 设 \( f\left( z\right) \) 是一个解析函数, 而 \( f\left( {z}_{0}\right) = 0 \) ,则称 \( {z}_{0} \) 为 \( f\left( z\right) \) 的一个零点. 若
\[
f\left( {z}_{0}\right) = {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \cdots = {f}^{\left( m - 1\right) }\left( {z}_{0}\right) = 0,
\]
而 \( {f}^{\left( m\right) }\left( {z}_{0}\right) \neq 0 \) ,则称 \( {z}_{0} \) 为 \( f\left( z\right) \) 的一个 \( m \) 阶零点. 不恒为零的解析函数 \( f\left( z\right) \) 的零点有孤立性. 也就是说,如果 \( {z}_{0} \) 是 \( f\left( z\right) \) 的一个零点,并且 \( f\left( z\right) ≢ 0 \) ,那么一定有一正数 \( \rho > 0 \) ,使得 \( f\left( z\right) \) 在圆 \( \left| {z - {z}_{0}}\right| < \rho \) 内除 \( {z}_{0} \) 外无其他零点. 对于在无穷远点的一个邻域内有定义的函数 \( f\left( z\right) \) ,令 \( 1/z = w \) ,设
\[
f\left( \frac{1}{w}\right) = g\left( w\right) \left\lbrack {f\left( \infty \right) = g\left( 0\right) }\right\rbrack ,
\]
则 \( f\left( z\right) \) 在 \( z = \infty \) 处的解析性和零点的阶数由 \( g\left( w\right) \) 在 \( w = 0 \) 处的相应状态确定.
解析函数的 \( m \) 阶零点 (zero of order \( m \) of analytic function) 见“解析函数的零点”.
解析函数零点的孤立性 (isolated property of zero of analytic function) 见“解析函数的零点”.
留数 (residue) 亦称残数. 函数的洛朗展式中 -1 次幂项的系数. 设 \( f\left( z\right) \) 以有限点 \( z = a \) 为孤立奇点,在 \( a \) 点的去心邻域内展成的洛朗级数为
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}{c}_{n}{\left( z - a\right) }^{n}\left( {0 < \left| {z - a}\right| < R}\right) ,
\]
则称此展式中 \( 1/\left( {z - a}\right) \) 这一项的系数 \( {c}_{-1} \) 为 \( f\left( z\right) \) 在 \( a \) 点的留数,记为 \( \mathop{\operatorname{Res}}\limits_{{z = a}}f\left( z\right) \) :
\[
{\operatorname{Res}}_{z = a}f\left( z\right) = {c}_{-1} = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\left| {z - a}\right| = \rho }f\left( z\right) \mathrm{d}z
\]
\[
\left( {0 < \rho < R}\right) ,
\]
其中积分是沿逆时针方向进行的. 特别地,当 \( f\left( z\right) \) 在 \( z = a \) 处全纯时,
\[
{\operatorname{Res}}_{z = a}f\left( z\right) = 0.
\]
如果 \( z = a \) 是 \( f\left( z\right) \) 的一阶极点,则
\[
{\operatorname{Res}}_{z = a}f\left( z\right) = \mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow a}}\left( {z - a}\right) f\left( z\right) .
\]
在无穷远点 \( \infty \) 处的留数定义为在 \( \infty \) 处的洛朗展式
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{\infty }{a}_{n}{z}^{n}
\]
的系数 \( {a}_{-1} \) 的相反数:
\[
{\operatorname{Res}}_{z = \infty }f\left( z\right) = - {a}_{-1} = - \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\left| z\right| = \rho }f\left( z\right) \mathrm{d}z.
\]
残数 (residue) 即 “留数”.
留数定理 (residue theorem) 亦称残数定理. 关于函数在闭曲线上的积分与函数在闭曲线内部各孤立奇点上的留数之间关系的定理. 设 \( \Gamma \) 是复数平面上一条可求长若尔当曲线, \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n} \) 是位于 \( \Gamma \) 内部的有限个点, \( D \) 是包含 \( \Gamma \) 和 \( \Gamma \) 内部的一个区域, \( f\left( z\right) \) 是 \( D \smallsetminus \left\{ {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}}\right\} \) 内的解析函数,则 \( f\left( z\right) \) 沿 \( \Gamma \) 的正向积分等于 \( f\left( z\right) \) 在 \( \Gamma \) 内部各奇点上留数之和的 \( {2\pi }\mathrm{i} \) 倍,即
\[
\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\Gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\mathop{\operatorname{Res}}\limits_{{z = {a}_{k}}}f\left( z\right) .
\]
如果 \( f\left( z\right) \) 在包含无穷远点的整个复平面上最多除去有限个奇点外都是解析的, 则它在所有奇点上的留数的和为零.
残数定理 (residue theorem) 即 “留数定理”.
对数留数 (logarithmic residue) 亦称对数残数. 复变函数论的一个概念. 积分
\[
\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\Gamma }\frac{{f}^{\prime }\left( z\right) }{f\left( z\right) }\mathrm{d}z
\]
称为函数 \( f\left( z\right) \) 关于闭曲线 \( \Gamma \) 的对数留数. 此名称来源于
\[
\frac{{f}^{\prime }\left( z\right) }{f\left( z\right) } = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left\lbrack {\log f\left( z\right) }\right\rbrack .
\]
其意义见“辐角原理”.
对数残数 (logarithmic residue) 即 “对数留数”.
辐角原理 (argument principle) 关于解析函数在简单闭曲线内部的零点个数与极点个数之间的关系的定理. 设 \( \Gamma \) 为一简单闭曲线,函数 \( f\left( z\right) \) 满足条件:
1. \( f\left( z\right) \) 在 \( \Gamma \) 的内部除可能有有限个极点外是解析的;
2. \( f\left( z\right) \) 沿 \( \Gamma \) 上解析且不为零;
则 \( f\left( z\right) \) 在简单闭曲线 \( \Gamma \) 内部的零点个数与极点个数之差,等于当 \( z \) 沿 \( \Gamma \) 之正向绕行一周时, \( \arg f\left( z\right) \) 的改变量 \( \Delta \arg f\left( z\right) \) 除以 \( {2\pi } \) ,即
\[
N\left( {f,\Gamma }\right) - P\left( {f,\Gamma }\right) = \frac{\Delta \arg f\left( z\right) }{2\pi },
\]
这里 \( N\left( {f,\Gamma }\right) \) 和 \( P\left( {f,\Gamma }\right) \) 分别表示 \( f\left( z\right) \) 在 \( \Gamma \) 内部的
零点个数和极点个数. 上式右端的量可写成积分
\( \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\Gamma }\frac{{f}^{\prime }\left( z\right) }{f\left( z\right) }\mathrm{d}z \) (对数留数).
鲁歇定理 (Rouché theorem) 关于解析函数在区域内部的零点个数的定理. 设 \( \Gamma \) 为一简单闭曲线,函数 \( f\left( z\right) \) 及 \( \varphi \left( z\right) \) 满足条件:
1. 它们在 \( \Gamma \) 上及其内部均解析;
2. 在 \( \Gamma \) 上, \( \left| {f\left( z\right) }\right| > \left| {\varphi \left( z\right) }\right| \) ;
则函数 \( f\left( z\right) \) 与 \( f\left( z\right) + \varphi \left( z\right) \) 在 \( \Gamma \) 的内部有同样多的零点, 即
\[
N\left( {f + \varphi ,\Gamma }\right) = N\left( {f,\Gamma }\right) .
\]
这里 \( N\left( {f + \varphi ,\Gamma }\right) \) 和 \( N\left( {f,\Gamma }\right) \) 分别表示 \( f + \varphi \) 和 \( f \) 在 \( \Gamma \) 内部的零点个数.
胡尔维茨定理 (Hurwitz's theorem) 关于解析函数序列的各项与它们的极限函数在一条简单闭曲线内部零点个数之间关系的定理. 设 \( D \) 是一个区域, \( D \) 内的解析函数序列 \( {f}_{n}\left( z\right) \) 在 \( D \) 内闭一致收敛于函数 \( f\left( z\right) ≢ 0 \) ,并设 \( \Gamma \) 是 \( D \) 内的任意一条简单闭曲线,其内部也在 \( D \) 内,且 \( \Gamma \) 不经过函数 \( f\left( z\right) \) 的零点,则存在一个依赖于曲线 \( \Gamma \) 的正整数 \( N \) ,使得当 \( n > N \) 时,函数 \( {f}_{n}\left( z\right) \) 在 \( \Gamma \) 内部的零点个数等于函数 \( f\left( z\right) \) 在 \( \Gamma \) 内部的零点个数.
## 级数展开
幂级数 (power series) 一种形状简单而又应用广泛的函数项级数. 设 \( a \) 和 \( {c}_{0},{c}_{1},{c}_{2},\cdots \) 是复数, \( z \) 是复变量, 则称
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{c}_{n}{\left( z - a\right) }^{n}
\]
为幂级数. 对于这个幂级数, 具有下列性质的实数 \( R\left( {0 \leq R \leq + \infty }\right) \) 是惟一确定的: 若 \( \left| {z - a}\right| < R \) 时,级数收敛,而当 \( \left| {z - a}\right| > R \) 时,级数发散,则称这样的 \( R \) 为幂级数的收敛半径,并称圆盘 \( \left| {z - a}\right| < R \) 为幂级数的收敛圆. 收敛半径公式
\[
R = 1/\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sup \sqrt[n]{\left| {c}_{n}\right| }
\]
称为柯西-阿达马公式. 幂级数在收敛圆内闭绝对一致收敛, 确定一个单值复函数. 又因幂级数在收敛圆内可以逐项微分, 所以, 它在收敛圆内是全纯的. 反之,在一个区域内全纯的函数 \( f\left( z\right) \) ,在这个区域内的每个点 \( a \) 的一个邻域内,都可以用幂级数表示,称此幂级数为 \( f\left( z\right) \) 在 \( a \) 处 (或 \( a \) 的邻域内) 的泰勒展式. 表示全纯函数的幂级数称为函数元素. 此外, 称形如
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{c}_{n}{z}^{-n}
\]
的级数为以无穷远点为中心的幂级数, 并定义它在 \( \infty \) 处的值为 \( {c}_{0} \) .
收敛圆 (convergence circle) 幂级数的收敛区域. 见“幂级数”.
收敛半径 (convergence radius) 幂级数收敛圆的半径. 见“幂级数”.
柯西-阿达马公式 (Cauchy-Hadamard formula) 确定幂级数收敛半径的公式. 见 “幂级数”.
泰勒定理 (Taylor theorem) 函数展为幂级数的定理. 设 \( f\left( z\right) \) 在区域 \( D \) 内解析, \( a \in D, K = \{ z \mid \) \( \left| {z - a}\right| < R\} \subset D \) ,则 \( f\left( z\right) \) 在 \( K \) 内能展成幂级数
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{c}_{n}{\left( z - a\right) }^{n},
\]
其中
\[
{c}_{n} = \frac{{f}^{\left( n\right) }\left( a\right) }{n!},
\]
且展式是惟一的.
孤立奇点 (isolated singularity) 一种特殊的奇点. 复函数的全纯性被破坏的点称为奇点, 具有孤立性的奇点称为孤立奇点. 设 \( a \) 为 \( f\left( z\right) \) 的一个奇点,当 \( a \) 有限时,令
\[
D = \{ z\left| {0 < }\right| z - a \mid < R\} ,
\]
\( R \) 是某个实数; 当 \( a = \infty \) 时,令
\[
D = \left\{ {z\left| {{R}^{-1} < }\right| z \mid < + \infty }\right\} ,
\]
\( R \) 是某个实数. 如果 \( f\left( z\right) \) 在 \( D \) 内单值全纯,则称 \( a \) 为 \( f\left( z\right) \) 的一个孤立奇点. 这时只有以下三种情形:
1. \( \mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow a}}f\left( z\right) \) 存在且有穷,这时称 \( a \) 是 \( f\left( z\right) \) 的一个可去奇点.
\[
\text{2.}\mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow a}}f\left( z\right) = \infty \text{,且}a\text{为}1/f\left( z\right) \text{的一个}m\text{阶零}
\]
点,这时称 \( a \) 是 \( f\left( z\right) \) 的一个 \( m \) 级极点.
3. \( \mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow a}}f\left( z\right) \) 不存在,这时称 \( a \) 是 \( f\left( z\right) \) 的一个本性奇点.
可去奇点 (removable singularity) 见“孤立奇点”.
极点 (pole) 见“孤立奇点”.
本性奇点 (essential singularity) 见 “孤立奇点”.
洛朗定理 (Laurent theorem) 函数在圆环内展为双边幂级数的定理. 在圆环
\( H : r < \left| {z - a}\right| < R\left( {r \geq 0, R \leq + \infty }\right) \)
内解析的函数 \( f\left( z\right) \) 可展成双边幂级数
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}{c}_{n}{\left( z - a\right) }^{n},
\]
其中
\[
{c}_{n} = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\Gamma }\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - a\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta
\]
\[
\left( {n = 0, \pm 1, \pm 2,\cdots }\right) ,
\]
\[
\Gamma : \left| {\zeta - a}\right| = \rho \;\left( {r < \rho < R}\right) .
\]
展式是惟一的. 该展式称为 \( f\left( z\right) \) 在 \( a \) 点的洛朗展开式或洛朗级数.
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{c}_{n}{\left( z - a\right) }^{n}\text{ 及 }\mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{-1}}{c}_{n}{\left( z - a\right) }^{n}
\]
分别称为 \( f\left( z\right) \) 在 \( a \) 点的洛朗展开式的正则部分及主要部分.
洛朗展开式 (Laurent expansion) 见“洛朗定理”.
洛朗级数 (Laurent series) 见“洛朗定理”.
内部惟一性定理 (interior uniqueness theorem) 关于解析函数在区域内部由有聚点的子集惟一确定的 |
2000_数学辞海（第3卷） | 31 | ity) 见 “孤立奇点”.
洛朗定理 (Laurent theorem) 函数在圆环内展为双边幂级数的定理. 在圆环
\( H : r < \left| {z - a}\right| < R\left( {r \geq 0, R \leq + \infty }\right) \)
内解析的函数 \( f\left( z\right) \) 可展成双边幂级数
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}{c}_{n}{\left( z - a\right) }^{n},
\]
其中
\[
{c}_{n} = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\Gamma }\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - a\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta
\]
\[
\left( {n = 0, \pm 1, \pm 2,\cdots }\right) ,
\]
\[
\Gamma : \left| {\zeta - a}\right| = \rho \;\left( {r < \rho < R}\right) .
\]
展式是惟一的. 该展式称为 \( f\left( z\right) \) 在 \( a \) 点的洛朗展开式或洛朗级数.
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{c}_{n}{\left( z - a\right) }^{n}\text{ 及 }\mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{-1}}{c}_{n}{\left( z - a\right) }^{n}
\]
分别称为 \( f\left( z\right) \) 在 \( a \) 点的洛朗展开式的正则部分及主要部分.
洛朗展开式 (Laurent expansion) 见“洛朗定理”.
洛朗级数 (Laurent series) 见“洛朗定理”.
内部惟一性定理 (interior uniqueness theorem) 关于解析函数在区域内部由有聚点的子集惟一确定的定理. 设 \( D \) 为一区域,在 \( D \) 内定义着两个单值解析函数. 如果这两个函数在某一集合 \( E \subset D \) 上相等, 而 \( E \) 在 \( D \) 内有聚点,则它们在区域 \( D \) 内恒等.
阿贝尔定理 (Abel theorem) 级数的收敛定理. 如果
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{a}_{n}
\]
收敛到 \( s \) ,则当 \( z \) 趋于 1 而保持 \( \left| {1 - z}\right| /\left( {1 - \left| z\right| }\right) \) 有界时,
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{a}_{n}{z}^{n}
\]
趋于 \( s \) .
陶伯定理 (Tauber theorem) 级数的收敛定理. 设
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{c}_{n}{z}^{n}
\]
的收敛半径为 1,如果 \( {c}_{n} = o\left( {1/n}\right) \) ,且当 \( z \) 从单位圆内沿以 1 为终点的曲线趋向于 1 时, \( f\left( z\right) \) 趋向于 \( A \) , 则
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{c}_{n}
\]
收敛,其和为 \( A \) . 本定理中的 \( {c}_{n} = o\left( {1/n}\right) \) 可以放宽为 \( {c}_{n} = O\left( {1/n}\right) \) ,或 \( n\operatorname{Re}{c}_{n} \) 及 \( n\operatorname{Im}{c}_{n} \) 上方有界.
狄利克雷级数 (Dirichlet series) 一类重要的无穷级数. 形如
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{a}_{n}}{{n}^{s}}
\]
的级数称为狄利克雷级数,其中 \( {a}_{n} \) 是常数 (实的或复的),而 \( s = \sigma + \mathrm{i}t \) 是复变数. 形如
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{a}_{n}{\mathrm{e}}^{-{\mu }_{{n}^{s}}}
\]
的级数,称为广义狄利克雷级数,其中 \( {\mu }_{n} \) 是常数,且 \( 0 \leq {\mu }_{n} \uparrow + \infty \) . 若
\[
{a}_{0} = 0,{\mu }_{0} = 0,{\mu }_{n} = \log n\left( {n = 1,2,3,\cdots }\right) ,
\]
则得到狄利克雷级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{a}_{n}}{{n}^{s}}
\]
若令 \( {\mu }_{n} = n, z = {\mathrm{e}}^{-s} \) ,则得到幂级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{a}_{n}{z}^{n}
\]
广义狄利克雷级数 (generalized Dirichlet series) 见“狄利克雷级数”.
狄利克雷级数的收敛横标 (abscissa of convergence of Dirichlet series) 由狄利克雷级数的收敛性决定的一个实数. 狄利克雷级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{a}_{n}}{{n}^{s}}
\]
具有以下性质: 若它在 \( {s}_{0} \) 收敛,则任给 \( \delta \) 满足 \( 0 < \delta \) \( < \pi /2 \) ,它在角域
\[
\left| {\arg \left( {s - {s}_{0}}\right) }\right| \leq \frac{\pi }{2} - \delta
\]
内一致收敛,因此存在实数 \( \alpha \) ,使得级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{a}_{n}}{{n}^{s}}
\]
在右半平面 \( \operatorname{Re}z > \alpha \) 收敛,在 \( \operatorname{Re}z < \alpha \) 级数发散, \( \alpha \) 称为该级数的收敛横标. \( \operatorname{Re}z > \alpha \) 称为它的收敛半平面. 可以证明
\[
\alpha = \left\{ \begin{array}{ll} \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{\log \left| {s}_{n}\right| }{\log n} & \left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{a}_{n}\text{ 发散 }}\right) , \\ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{\log \left| {r}_{n}\right| }{\log n} & \left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{a}_{n}\text{ 收敛 }}\right) , \end{array}\right.
\]
其中 \( {s}_{n} = {a}_{1} + {a}_{2}\cdots + {a}_{n},{r}_{n} = {a}_{n + 1} + {a}_{n + 2} + \cdots \) . 级数
\[
\text{.}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\left| {a}_{n}\right| }{{n}^{s}}
\]
的收敛横标 \( \beta \) 称为
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{a}_{n}}{{n}^{s}}
\]
的绝对收敛横标. 不难证明 \( 0 \leq \beta - \alpha \leq 1 \) .
狄利克雷级数收敛半平面 (half plane of convergence of Dirichlet series) 由狄利克雷级数的收敛横标决定的右半平面 (参见 “狄利克雷级数的收敛横标”).
渐近展式 (asymptotic expansion) 亦称渐近级数. 函数的一种展开式. 对于在角域
\[D = \{ z\left| \right| z \mid > R > 0,\alpha < \arg z < \beta \} \]
定义的函数 \( f\left( z\right) \) ,如果对于所有固定的 \( n \) ,当 \( z \in D \) , \( \left| z\right| \rightarrow \infty \) 时,
\[{z}^{n}\left\lbrack {f\left( z\right) - {a}_{0} - \frac{{a}_{1}}{z} - \cdots - \frac{{a}_{n}}{{z}^{n}}}\right\rbrack \rightarrow 0\]
成立, 则称级数
\[{a}_{0} + \frac{{a}_{1}}{z} + \frac{{a}_{2}}{{z}^{2}} + \cdots + \frac{{a}_{n}}{{z}^{n}} + \cdots \]
为 \( f\left( z\right) \) 的渐近展式或渐近级数,记为
\[f\left( z\right) \sim {a}_{0} + \frac{{a}_{1}}{z} + \frac{{a}_{2}}{{z}^{2}} + \cdots + \frac{{a}_{n}}{{z}^{n}} + \cdots .\]
(参见《数学辞海》第一卷《数学分析》同名条).
渐近级数 (asymptotic series) 见 “渐近展式”.
指数级数 (exponential series) 一类重要的无穷级数. 由指数函数构成的级数, 即
\[
f\left( s\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{a}_{n}{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{n}s},
\]
(1)
其中 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) 及 \( \left\{ {\lambda }_{n}\right\} \) 分别是复数及实数序列, \( 0 \leq {\lambda }_{n} \uparrow \) \( + \infty \) ,而 \( s = \sigma + \mathrm{i}t,\sigma \) 及 \( t \) 是实变数. 这种级数是狄利克雷 (Dirichlet, P. G. L. ) 在研究数论时引进的, 也称为狄利克雷级数. 当 \( {\lambda }_{n} = \log n \) 时,这是在解析数论中经常用到的级数; 如果还有 \( {a}_{n} = 1 \) ,则 \( f\left( s\right) \) 是黎曼ζ函数 \( \zeta \left( s\right) \) ; 当 \( {\lambda }_{n} = n,{\mathrm{e}}^{-s} = z \) 时,得到泰勒级数或幂级数. 因此幂级数可以看做指数级数的特例, 而后者具有与前者相类似的一些性质:
1. 收敛性. 指数级数有收敛、一致收敛及绝对收敛横标 \( {\sigma }_{c},{\sigma }_{u} \) 及 \( {\sigma }_{a} \) ,一般地,
\[
- \infty \leq {\sigma }_{c} \leq {\sigma }_{u} \leq {\sigma }_{a} \leq + \infty .
\]
在收敛或绝对收敛半平面 \( \sigma > {\sigma }_{c} \) 或 \( \sigma > {\sigma }_{a} \) 内任一点, 级数分别收敛或绝对收敛, 而在一致收敛半平面 \( \sigma > {\sigma }_{u} \) 内的任一半平面 \( \sigma \geq {\sigma }_{u} + \varepsilon \) (任意 \( \varepsilon > 0 \) ) 上,级数一致收敛. 关于 \( {\sigma }_{c},{\sigma }_{u} \) 及 \( {\sigma }_{a} \) ,有与求幂级数的收敛半径相类似的公式,当 \( {\lambda }_{n} = n \) 时, \( {\sigma }_{c} = {\sigma }_{u} = {\sigma }_{a} \) . 在 \( \sigma > {\sigma }_{c} \) 内, \( f\left( s\right) \) 解析.
2. 系数估计. 有与柯西不等式相类似的不等式, 这一结果对一类渐近指数级数 (附着级数) 的推广可用来解决一系列分析中的问题.
3. 奇异点. 例如,如果 \( - \infty < {\sigma }_{c} < + \infty \) ,那么当 \( {a}_{n} \geq 0 \) 时, \( s = {\sigma }_{c} \) 是 \( f\left( s\right) \) 的一个奇异点; 当
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left( {n/{\lambda }_{n}}\right) = 0
\]
并且
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left( {{\lambda }_{n + 1} - {\lambda }_{n}}\right) > 0
\]
时, \( \sigma = {\sigma }_{c} \) 是 \( f\left( s\right) \) 的自然边界; 而且在一定条件下, \( \sigma \) \( = {\sigma }_{c} \) 上的任一点是 \( f\left( s\right) \) 的皮卡点,即在该点的任何邻域内, \( f\left( s\right) \) 取任何有限复数值无穷多次,至多有一例外.
4. 整函数. 当
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left( {\log n/{\lambda }_{n}}\right) < + \infty ,{\sigma }_{c} = {\sigma }_{a} = - \infty
\]
时, \( f\left( s\right) \) 是一整函数,可得到 (1) 的系数及指数与 \( f\left( s\right) \) 的增长性之间的关系 (在 \( {\sigma }_{c} = {\sigma }_{a} \) 为有限时有相应结果). 还可研究 \( f\left( s\right) \) 值的分布,在一定条件下, \( s \) 平面上任何水平直线是 \( f\left( s\right) \) 的茹利亚线,即在以该线为中线的任何水平带形内, \( f\left( s\right) \) 取任何有限复数值无穷多次, 至多有一例外.
关于求和法及陶伯型定理, 也有与幂级数情形相类似的结果. 指数级数可看做拉普拉斯-斯蒂尔杰斯变换
\[
{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{su}}\mathrm{\;d}\alpha \left( u\right)
\]
的一个特例.
## 几何函数论
最大模定理 (maximum modulus theorem) 复变函数论中有关函数值的模的一个重要定理. 若 \( f\left( z\right) \) 是区域 \( D \) 内的非常数的解析函数,则 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \) 在 \( D \) 内部取不到最大值. 换言之,若 \( f\left( z\right) \) 在 \( D \) 内解析, 且有 \( a \in D \) 使得 \( \left| {f\left( a\right) }\right| \geq \left| {f\left( z\right) }\right| \) 对 \( D \) 内一切 \( z \) 成立,则 \( f\left( z\right) \) 必为常数. 又若 \( f\left( z\right) \) 是有界区域 \( D \) 上的非常数解析函数且在 \( \bar{D} \) 上连续,则 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \) 只能在边界 \( \partial D \) 上达到最大值. 最大模定理可以由解析函数的平均值定理得到证明, 也能由解析函数实现的映射的几何性质得到解释.
广义最大模定理 (generalized maximum modulus theorem) 最大模定理的推广. 设 \( f\left( z\right) \) 在有界区域 \( D \) 内解析且有界. 若在 \( D \) 的边界上除去有限个点 \( {\zeta }_{1},{\zeta }_{2},\cdots ,{\zeta }_{n} \) 外,有
\[
\mathop{\lim }\limits_{\substack{{z \rightarrow \zeta } \\ {z \in D,\zeta \in \partial D} }}\left| {f\left( z\right) }\right| \leq M
\]
则在 \( D \) 内恒有 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq M \) .
弗拉格曼-林德勒夫定理 (Phragmen-Lindelöf theorem) 最大模定理的重要推广. 设 \( f\left( z\right) \) 在角形区域
\[
D : \left| {\arg z}\right| < \pi /{2\alpha }\;\left( {\alpha \geq 1/2}\right)
\]
内解析,对于每个有穷边界点 \( \zeta \) ,有
\[
\mathop{\lim }\limits_{\substack{{z \rightarrow \xi } \\ {z \in D,\zeta \in \partial D} }}\left| {f\left( z\right) }\right| \leq M
\]
而当 \( \left| z\right| \) 充分大时,存在常数 \( K \) 及 \( b < \alpha \) ,使得
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| \leq K{\mathrm{e}}^{{\left| z\right| }^{b}},
\]
则在 \( D \) 内恒有 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq M \) . 更一般的形式是: 若 \( f\left( z\right) \) 在
\[
D : \left| {\arg z}\right| < \frac{\pi }{2\alpha }\left( {\alpha \geq \frac{1}{2}}\right)
\]
内对于 \( \partial D \) 上的每个有穷点 \( \zeta \) ,有
\[
\mathop{\lim }\limits_{\substack{{z \rightarrow \xi } \\ {z \in D,\zeta \in \partial D} }}\left| {f\left( z\right) }\right| \leq M,
\]
且
\[
\mathop{\lim }\limits_{{r \rightarrow \infty }}\frac{\log M\left( r\right) }{{r}^{\alpha }} \leq 0
\]
其中
\[
M\left( r\right) = \mathop{\sup }\limits_{\substack{{\left| z\right| = r} \\ {z \in D} }}\left| {f\left( z\right) }\right|
\]
则在 \( D \) 内恒有 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq M \) . 该定理由弗拉格曼 (Phragmen, L. E. )、林德勒夫 (Lindelöf, E. L. ) 于 1908 年得到.
林德勒夫渐近定理 (Lindelöf's asymptotic value theorem) 有关无穷角域内解析函数的极限值定理. 设函数 \( f\left( z\right) \) 在闭角域 \( \bar{D} : \alpha \leq \arg z \leq \beta \) 内除无穷远点外解析有界,在角的一边上,当 \( z \rightarrow \infty \) 时,有 \( f\left( z\right) \rightarrow a \) ; 在角的另一边上,当 \( z \rightarrow \infty \) 时,有 \( f\left( z\right) \rightarrow b \) ; 则 \( a = b \) ,且在 \( \bar{D} \) 内当 \( z \rightarrow \infty \) 时,一致地有 \( f\left( z\right) \rightarrow a \) .
施瓦兹引理 (Schwarz's lemma) 复变函数几何理论中具有深远影响的基本定理. 设函数 \( f\left( z\right) \) 在 \( \left| z\right| < 1 \) 内解析, \( \left| {f\left( z\right) } |
2000_数学辞海（第3卷） | 32 | zeta \in \partial D} }}\left| {f\left( z\right) }\right| \leq M,
\]
且
\[
\mathop{\lim }\limits_{{r \rightarrow \infty }}\frac{\log M\left( r\right) }{{r}^{\alpha }} \leq 0
\]
其中
\[
M\left( r\right) = \mathop{\sup }\limits_{\substack{{\left| z\right| = r} \\ {z \in D} }}\left| {f\left( z\right) }\right|
\]
则在 \( D \) 内恒有 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq M \) . 该定理由弗拉格曼 (Phragmen, L. E. )、林德勒夫 (Lindelöf, E. L. ) 于 1908 年得到.
林德勒夫渐近定理 (Lindelöf's asymptotic value theorem) 有关无穷角域内解析函数的极限值定理. 设函数 \( f\left( z\right) \) 在闭角域 \( \bar{D} : \alpha \leq \arg z \leq \beta \) 内除无穷远点外解析有界,在角的一边上,当 \( z \rightarrow \infty \) 时,有 \( f\left( z\right) \rightarrow a \) ; 在角的另一边上,当 \( z \rightarrow \infty \) 时,有 \( f\left( z\right) \rightarrow b \) ; 则 \( a = b \) ,且在 \( \bar{D} \) 内当 \( z \rightarrow \infty \) 时,一致地有 \( f\left( z\right) \rightarrow a \) .
施瓦兹引理 (Schwarz's lemma) 复变函数几何理论中具有深远影响的基本定理. 设函数 \( f\left( z\right) \) 在 \( \left| z\right| < 1 \) 内解析, \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq 1, f\left( 0\right) = 0 \) ,则:
1. \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq \left| z\right| \) .
2. \( \left| {{f}^{\prime }\left( 0\right) }\right| \leq 1 \) .
如果对一个 \( z \neq 0 \) ,有 \( \left| {f\left( z\right) }\right| = \left| z\right| \) 或 \( \left| {{f}^{\prime }\left( 0\right) }\right| = 1 \) ,则 \( f\left( z\right) = {\lambda z} \) ,此处 \( \lambda \) 为常数且 \( \left| \lambda \right| = 1 \) .
这个引理表示: 对于由这样的 \( w = f\left( z\right) \) 构成的映射, \( z \) 的像到原点的距离比 \( z \) 本身到原点的距离近; 如果有一点使得两者相等,则 \( f\left( z\right) \) 是一个旋转映射. 该定理首先由施瓦兹 (Schwarz, H. A. ) 所发现.
广义施瓦兹引理 (generalized Schwarz's lemma) 施瓦兹引理的推广. 若 \( f\left( z\right) \) 在 \( \left| z\right| < 1 \) 内解析,且 \( \left| {f\left( z\right) }\right| < 1 \) ,则对于 \( \left| z\right| < 1 \) 内任意两点 \( {z}_{1} \) , \( {z}_{2} \) ,有
\[
\left| \frac{f\left( {z}_{1}\right) - f\left( {z}_{2}\right) }{1 - \overline{f\left( {z}_{1}\right) }f\left( {z}_{2}\right) }\right| \leq \left| \frac{{z}_{1} - {z}_{2}}{1 - {\bar{z}}_{1}{z}_{2}}\right|
\]
及
\[
\frac{\left| {f}^{\prime }\left( z\right) \right| }{1 - {\left| f\left( z\right) \right| }^{2}} \leq \frac{1}{1 - {\left| z\right| }^{2}}
\]
其中,等号仅当 \( f\left( z\right) \) 为分式线性变换时成立.
高斯-吕卡定理 (Gauss-Lucas theorem) 关于多项式零点位置的定理. 该定理断言: 多项式 \( {P}_{m}\left( z\right) \) 的导数的一切零点包含在 \( {P}_{m}\left( z\right) \) 的零点的凸包内.
阿达马三圆定理 (Hadamard's three-circles theorem) 关于圆环内解析函数在圆环的同心圆周上的最大模的增长性定理. 该定理可叙述为: 若 \( f\left( z\right) \) 在同心圆环 \( \rho < \left| z\right| < R \) 内单值全纯且不恒为零, 令
\[
M\left( r\right) = \mathop{\max }\limits_{{\left| z\right| = r}}\left| {f\left( z\right) }\right| \;\left( {\rho < r < R}\right) ,
\]
则 \( \log M\left( r\right) \) 在 \( \rho < r < R \) 内是 \( \log r \) 的凸函数,即有
\[
\log M\left( r\right) \leq \frac{\log {r}_{2} - \log r}{\log {r}_{2} - \log {r}_{1}}\log M\left( {r}_{1}\right)
\]
\[
+ \frac{\log r - \log {r}_{1}}{\log {r}_{2} - \log {r}_{1}}\log M\left( {r}_{2}\right) ,
\]
其中 \( \rho < {r}_{1} \leq r \leq {r}_{2} < R \) .
哈代凸性定理 (Hardy convexity theorem) 关于圆内解析函数的增长性的一个定理. 该定理可叙述为: 设 \( f\left( z\right) \) 在 \( \left| z\right| < 1 \) 内解析,
\[
{M}_{p}\left( {r, f}\right) = {\left\lbrack \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }{\left| f\left( r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right) \right| }^{p}\mathrm{\;d}\theta \right\rbrack }^{1/p}
\]
\[
\left( {0 < p < + \infty }\right) \text{,}
\]
\[
{M}_{\infty }\left( {r, f}\right) = \mathop{\max }\limits_{{0 \leq \theta \leq {2\pi }}}\left| {f\left( {r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }\right| .
\]
则对于 \( 0 < p \leq + \infty \) ,有:
1. \( {M}_{p}\left( {r, f}\right) \) 是 \( r \) 的增函数.
2. \( \log {M}_{p}\left( {r, f}\right) \) 是 \( \log r \) 的凸函数.
保角变换 (conformal transformation) 保持两条曲线间夹角的大小和方向不变的变换. 设 \( f\left( z\right) \) 是区域 \( D \) 内的一个连续函数. 若 \( f\left( z\right) \) 将从 \( D \) 内的每一点 \( z \) 出发的任意两条在 \( z \) 有切向的连续曲线变为 \( w \) 平面上从 \( w = f\left( z\right) \) 出发的两条在 \( w = f\left( z\right) \) 有切向的连续曲线, 并且保持夹角的大小和方向不变, 则称 \( f\left( z\right) \) 是区域 \( D \) 到 \( w \) 平面的保角变换. 若函数 \( f\left( z\right) : D \rightarrow C \) 为保角变换并且
\[
\mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow a}}\frac{\left| f\left( z\right) - f\left( a\right) \right| }{\left| z - a\right| }
\]
也存在,称 \( f\left( z\right) \) 为共形 (或保形) 映射. 如果 \( f\left( z\right) \) 是解析的且对任意 \( z \) 有 \( {f}^{\prime }\left( z\right) \neq 0 \) ,则 \( f\left( z\right) \) 是共形的; 反之亦然. 区域 \( D \) 内的单叶解析函数所实现的映射是 \( D \) 到 \( w \) 平面的共形映射.
解析函数的保域性 (preservation of region by an analytic function) 解析函数的特性之一. 指不恒为常数的解析函数将区域变为区域的变换性质.
共形映射 (conformal mapping) 单叶解析函数所表示的映射. 见“保角变换”.
边界对应定理 (theorem of boundary correspondence) 复变函数几何理论的基本定理之一. 若 \( w = f\left( z\right) \) 将单连通区域 \( D \) 共形映射成单连通区域 \( G, D \) 和 \( G \) 分别由简单闭曲线 \( C \) 和 \( \Gamma \) 围成,则 \( f\left( z\right) \) 可以开拓为 \( F\left( z\right) \) ,且满足条件:
\[
\text{1.}F\left( z\right) = f\left( z\right), z \in D\text{.}
\]
2. \( F\left( z\right) \) 在 \( \bar{D} = D + C \) 上连续.
3. \( F\left( z\right) \) 将 \( C \) 双方单值且双方连续地变换成 \( \Gamma \) .
伸缩率 (rate of dilatation-magnificationratio) 复变函数的导数的模的几何意义. 设 \( w = f\left( z\right) \) 在区域 \( D \) 内连续, \( {z}_{0} \in D \) ,在 \( {z}_{0} \) 点有导数 \( {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \neq 0 \) . 此时由于
\[
\left| {{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) }\right| = \mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow {z}_{0}}}\frac{\left| f\left( z\right) - f\left( {z}_{0}\right) \right| }{\left| z - {z}_{0}\right| },
\]
而
\[
\frac{\left| f\left( z\right) - f\left( {z}_{0}\right) \right| }{\left| z - {z}_{0}\right| }
\]
可以看做在 \( w = f\left( z\right) \) 的作用下向量 \( z - {z}_{0} \) 的伸缩率,所以称导数的模 \( \left| {{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) }\right| \) 为函数 \( w = f\left( z\right) \) 在 \( {z}_{0} \) 点的伸缩率.
旋转角 (angle of rotation) 复变函数的导数的辐角的几何意义. 设 \( w = f\left( z\right) \) 在区域 \( D \) 内连续, \( {z}_{0} \in D, f\left( z\right) \) 在 \( {z}_{0} \) 点有导数 \( {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \neq 0 \) ,则当经过 \( {z}_{0} \) 点的任一曲线 \( L \) 在 \( w = f\left( z\right) \) 的作用下变为它在 \( {w}^{\prime } \) 平面上的像 \( \Lambda \) 时, \( \Lambda \) 在 \( {w}_{0} = f\left( {z}_{0}\right) \) 处的切线与实轴之间的夹角恰好等于 \( L \) 在 \( {z}_{0} \) 处的切线与实轴之间的夹角与 \( \arg {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \) 之和,因而称 \( \arg {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \) 为映射 \( w = f\left( z\right) \) 在 \( {z}_{0} \) 点的旋转角.
映射的不动点 (fixed point of mapping) 分析数学的一个基本概念. 方程 \( z = f\left( z\right) \) 的解称为映射 \( w = f\left( z\right) \) 的不动点. 例如 \( w = 1/z \) 有不动点 \( z = \pm 1 \) .
反演映射 (inverse mapping) 一种特殊的映射. 映射 \( w = 1/\bar{z} \) 称为反演映射. 它把单位圆内 (外) 一点映射到单位圆外 (内)一点. 这两点在从原点引出的同一条射线上.
开映射定理 (open mapping theorem) 复变函数几何理论的基本定理之一. 该定理断言: 若 \( D \) 是一个区域, \( f\left( z\right) \) 是 \( D \) 内的非常值的解析函数,则 \( f\left( D\right) \) 也是一个区域.
黎曼映射定理 (Riemann mapping theorem)
复变函数几何理论最基本、最重要的定理, 是几何函数论的基础. 设 \( D \) 是扩充 \( z \) 平面上的一个单连通区域,其边界点不止一个点, \( a \in D \) ,则有且只有一个在 \( D \) 内单叶解析的函数 \( w = f\left( z\right) \) 将 \( D \) 共形映射为单位圆 \( \left| w\right| < 1 \) ,且适合条件 \( f\left( a\right) = 0,{f}^{\prime }\left( a\right) > 0 \) . 上述定理称为黎曼映射定理. 若设
\[
F\left( z\right) = \frac{f\left( z\right) }{{f}^{\prime }\left( a\right) },
\]
则 \( F\left( z\right) \) 将区域 \( D \) 共形映射为圆 \( \left| w\right| < R \) ,而且 \( F\left( 0\right) \) \( = 0,{F}^{\prime }\left( 0\right) = 1 \) . 数 \( R = 1/{f}^{\prime }\left( a\right) \) 称为区域 \( D \) 在 \( a \) 点处的映射半径.
黎曼映射定理首先由黎曼 (Riemann, (G. F. ) B. ) 于 1851 年在他的博士论文中给出, 他将此问题化为调和函数的狄利克雷问题, 并应用狄利克雷原理求解. 但外尔斯特拉斯 (Weierstrass, K. (T. W. )) 和阿达马 (Hadamard, J. (-S. )) 指出证明中所用的狄利克雷原理有问题, 因而黎曼的证明不能被接受. 随后, 便发现了许多方法, 找到了狄利克雷问题存在性的证明. 如施瓦兹 (Schwarz, H. A. ) 的交错法, 庞加莱 (Poincaré, (J. -) H. ) 的扫除法, 佩龙 (Perron, O. ) 的次调和函数方法, 而希尔伯特 (Hilbert, D. ) 则完善了黎曼的原论. 蒙泰尔 (Montel, P. A. ) 应用正规族理论给出定理一个简明的证明.
映射半径 (mapping radius) 见 “黎曼映射定理”.
克里斯托费尔-施瓦兹公式(Christoffel-Schwarz formula）多角形区域共形映射函数的表示式. 设 \( w = f\left( z\right) \) 是将上半平面 \( D : \operatorname{Im}z > 0 \) 共形映射到多角形区域 \( G \) 的单叶解析函数, \( z \) 平面实轴上的 \( n \) 个点 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}\left( {-\infty < {a}_{1} < {a}_{2} < \cdots < {a}_{n} < + \infty }\right) \) 对应于 \( w \) 平面上多角形区域 \( G \) 的顶点 \( {w}_{1},{w}_{2},\cdots ,{w}_{n} \) ; \( {\lambda }_{1}\pi ,{\lambda }_{2}\pi ,\cdots ,{\lambda }_{n}\pi \left( {0 < {\lambda }_{j} < 2, j = 1,2,\cdots, n}\right) \) 表示多角形 \( G \) 在顶点 \( {w}_{1},{w}_{2},\cdots ,{w}_{n} \) 处的内角,则有克利斯托费尔-施瓦兹公式
\[
f\left( z\right) = {C}_{1}{\int }_{{z}_{0}}^{z}\mathop{\prod }\limits_{{k = 1}}^{n}{\left( \zeta - {a}_{k}\right) }^{{\lambda }_{k} - 1}\mathrm{\;d}\zeta + {C}_{2},
\]
其中 \( {C}_{1},{C}_{2} \) 是两个复常数, \( {z}_{0} \in \bar{D},{z}_{0} \neq \infty \) .
多边形映射 (polygonal mapping) 一类特殊的共形映射. 一类把上半平面双方单值共形映射成多角形区域的映射. 它是由克里斯托费尔-施瓦兹公式确定的映射.
\( n \) 连通区域到平行割线区域的映射 (mapping of a multiply-connected domain onto a parallel slit domain) 多连通区域共形映射的一种. 设 \( D \) 为 \( z \) 平面上的一个 \( n \) 连通区域,其余集的每一分支都不退化为一个点, \( \infty \in D,\theta \) 为一实数,则存在 \( D \) 内的一个单叶亚纯函数 \( w = f\left( z\right) \) ,满足条件:
1. 将区域 \( D \) 共形映射到 \( w \) 平面的平行割线区域 (全平面上去掉几条互相平行的线段之后所成的区域称为平行割线区域), 这些平行割线与实轴的夹角为 \( \theta \) ;
2. 把 \( z = \infty \) 映射为 \( w = \infty \) ,在 \( z = \infty \) 的邻域内, \( f\left( z\right) \) 的展开式具有以下形式:
\[
f\left( z\right) = z + \frac{{a}_{1}}{z} + \cdots .
\]
对于 \( z \) 平面上的有限 \( n \) 连通区域 \( D \) ,这个映射是惟一的.
\( n \) 连通区域到螺旋割线区域的映射 (mapping of a multiply-connected domain onto a logarithmic spiral slit domain) 多连通区域共形映射的一种. 设 \( D \) 为 \( z \) 平面上的一个有界 \( n \) 连通区域 (包含点 \( z = 0),\theta \) 为一实数,则在 \( D \) 内存在一个单叶亚纯函数 \( w = f\left( z\right) \) ,满足条件:
1. 将 \( D \) 保形映射到倾斜角 (从原点出发的射线与螺线的交角) 为 \( \theta \) 的螺旋割线区域 (平面上去掉一些对数螺线所成的区域);
2. 将 \( z = 0 \) 变为 \( w = \infty \) ,将 \( z = a\left( {a \neq 0, a \in D}\right) \) 变为 \( w = 0 \) ,且在 \( z = 0 \) 的邻域内, \( f\left( z\right) \) 的展开式具有以下形式:
\[
f\left( z\right) = z + {a}_{0} + \frac{{a}_{1}}{z} + \cdots .
\]
满足给定条件的映射是惟一的.
\( n \) 连通区域到圆界区域的映射 (mapping of a multiply-connected domain onto a domain bounded by circular arcs) 多连通区域共形映射的一种. 设 \( D \) 为 \( z \) 平面上 \( n \) 连通区域 (包含点 \( \infty \) ),其余集的每一个分支都不退化为一个点,则存在 \( D \) 内单叶亚纯函数 \( w = f\left( z\right) \) ,满足条件:
1. 将 \( D \) 保形映射到 |
2000_数学辞海（第3卷） | 33 | = \infty \) 的邻域内, \( f\left( z\right) \) 的展开式具有以下形式:
\[
f\left( z\right) = z + \frac{{a}_{1}}{z} + \cdots .
\]
对于 \( z \) 平面上的有限 \( n \) 连通区域 \( D \) ,这个映射是惟一的.
\( n \) 连通区域到螺旋割线区域的映射 (mapping of a multiply-connected domain onto a logarithmic spiral slit domain) 多连通区域共形映射的一种. 设 \( D \) 为 \( z \) 平面上的一个有界 \( n \) 连通区域 (包含点 \( z = 0),\theta \) 为一实数,则在 \( D \) 内存在一个单叶亚纯函数 \( w = f\left( z\right) \) ,满足条件:
1. 将 \( D \) 保形映射到倾斜角 (从原点出发的射线与螺线的交角) 为 \( \theta \) 的螺旋割线区域 (平面上去掉一些对数螺线所成的区域);
2. 将 \( z = 0 \) 变为 \( w = \infty \) ,将 \( z = a\left( {a \neq 0, a \in D}\right) \) 变为 \( w = 0 \) ,且在 \( z = 0 \) 的邻域内, \( f\left( z\right) \) 的展开式具有以下形式:
\[
f\left( z\right) = z + {a}_{0} + \frac{{a}_{1}}{z} + \cdots .
\]
满足给定条件的映射是惟一的.
\( n \) 连通区域到圆界区域的映射 (mapping of a multiply-connected domain onto a domain bounded by circular arcs) 多连通区域共形映射的一种. 设 \( D \) 为 \( z \) 平面上 \( n \) 连通区域 (包含点 \( \infty \) ),其余集的每一个分支都不退化为一个点,则存在 \( D \) 内单叶亚纯函数 \( w = f\left( z\right) \) ,满足条件:
1. 将 \( D \) 保形映射到 \( w \) 平面的一个 \( n \) 连通圆界区域 (边界是由一些圆周构成的区域);
2. 将 \( z = \infty \) 变为 \( w = \infty \) ,在 \( z = \infty \) 的邻域内 \( f\left( z\right) \) 具有如下形式的展开式:
\[
f\left( z\right) = z + \frac{{a}_{1}}{z} + \cdots
\]
满足给定条件的映射是惟一的.
单叶函数论 (theory of univalent function) 亦称几何函数论. 是单复变函数论的一个重要分支. 单叶函数指定义在平面区域上且函数值与自变量一一对应的亚纯函数.
黎曼 (Riemann, (G. F. ) B. ) 在 1851 年的学位论文中指出的映射定理, 即“边界点不只一个的单连通区域共形等价于单位圆盘”, 成为单叶函数理论的奠基石. 20 世纪初, 在对单位圆盘内满足规范条件
\[
f\left( 0\right) = {f}^{\prime }\left( 0\right) - 1 = 0
\]
的单叶解析函数类 ( \( S \) 类) 以及单位圆外以 \( \infty \) 为单极点且留数为 1 的单叶函数类 ( \( \sum \) 类) 的研究中,格朗沃尔面积定理、克贝 \( 1/4 \) 定理、克贝偏差定理等显示单叶函数内在美的第一批结果的建立拉开了单叶函数研究的序幕.
1916 年, 比伯巴赫 (Bieberbach, L. ) 提出一个著名猜测: \( S \) 类函数的幂级数展开式系数满足 \( \left| {a}_{n}\right| \) \( \leq n, n = 2,3,\cdots \) ,且仅对于克贝函数
\[
k\left( z\right) = z{\left( 1 - z\right) }^{-2}
\]
及其旋转等号成立. 它是那样简单而精美, 它始终是单叶函数研究的中心课题之一,也是最著名的数学难题之一, 在半个多世纪中它吸引着众多数学家的努力, 产生了研究单叶函数的许多方法和相关论题. 例如, 1923 年, 勒夫纳 (Loewner, C. ) 引入参数表示法; 1940 年前后, 席费尔 (Schiffer, M. M. ) 与戈卢津 ( \( \Gamma \) by \( {y}_{3\mathrm{{HH}}},\Gamma .\mathrm{M} \) . ) 创立的变分法; 1939 年,格隆斯基 (Grunsky, H. ) 给出以其名字命名的重要不等式. 1936 年, 罗伯森 (Robertson, M. S. ) 提出下面的猜测: 对于 \( S \) 类中的单叶奇函数,有
\[
1 + {\left| {a}_{3}\right| }^{2} + {\left| {a}_{5}\right| }^{2} + \cdots + {\left| {a}_{{2n} - 1}\right| }^{2} \leq n.
\]
由 \( S \) 类函数的平方根变换,罗伯森猜想蕴涵比伯巴赫猜想. 1971 年,米林 (Munkh) 猜测: 若 \( f \in S \) 且
\[
\log \left( \frac{f\left( z\right) }{z}\right) = 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{r}_{n}{z}^{n},
\]
则
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\left( {n - k + 1}\right) \left( {k{\left| {r}_{k}\right| }^{2} - \frac{1}{k}}\right) \leq 0.
\]
基于列别杰夫-米林的一个不等式, 米林猜想蕴涵罗伯森猜想, 从而也蕴涵比伯巴赫猜想. 1984 年, 美国数学家布朗基 (Branges, L. de) 基于勒夫纳的参数表示法并利用雅可比多项式的一个结果证明了米林猜想, 从而使比伯巴赫猜想得以证实.
单叶函数的种种泛函极值问题也是单叶函数研究的重要内容, 并取得了一系列进展. 例如, 1974 年, 伯恩施坦 (Bernstein, A. R. ) 利用他所创立的一种对称化方法证明了: 对于 \( f \in S,0 < r < 1,0 < p \) \( < + \infty \) ,有
\[
{\int }_{0}^{2\pi }{\left| f\left( r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right) \right| }^{p}\mathrm{\;d}\theta \leq {\int }_{0}^{2\pi }{\left| k\left( r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right) \right| }^{p}\mathrm{\;d}\theta ,
\]
其中 \( k\left( z\right) \) 是克贝函数.
近年来在用极端点和支撑点理论研究单叶函数的线性泛函以及对多连通区域单叶函数的研究方面也已取得显著的成果. 关于单叶函数边界性质的研究重新引起了一些数学家的重视. 在 20 世纪初, 卡拉西奥多里 (Carathéodory, C. ) 曾对单叶函数的边界对应做过精美的刻画. 最近, 马柯罗夫 (MakapoB) 和波默伦克 (Pommerenke, C. M. W. ) 等人的研究则将单叶函数的边界性质同像域边界子集的豪斯多夫测度联系起来.
几何函数论 (geometric theory of functions) 即“单叶函数论”.
\( S \) 类 (class \( S \) ) 一类单叶函数. 它是由全体在单位圆 \( \{ z\left| \right| z \mid < 1\} \) 内具有展开式
\[
f\left( z\right) = z + {a}_{2}{z}^{2} + {a}_{3}{z}^{3} + \cdots + {a}_{n}{z}^{n} + \cdots
\]
的单叶解析函数构成的集合.
\( \sum \) 类 (class \( \sum \) ) 一类单叶函数. 它是由全体在单位圆 \( \{ z\left| \right| z \mid < 1\} \) 外具有展开式
\[
g\left( z\right) = z + {b}_{0} + {b}_{1}{z}^{-1} + {b}_{2}{z}^{-2} + \cdots
\]
\[
\left( {1 < \left| z\right| < + \infty }\right)
\]
的单叶函数构成的集合.
面积原理 (area principle) 亦称格朗沃尔面积定理. \( \sum \) 类函数展开式系数的一个性质定理. 该定理断言: 若 \( g\left( z\right) = z + {b}_{0} + {b}_{1}{z}^{-1} + {b}_{2}{z}^{-2} + \cdots \in \sum \) ,则
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }n{\left| {b}_{n}\right| }^{2} \leq 1
\]
之所以称其为面积原理, 是因为定理的结论是根据 \( g\left( {\{ \left| z\right| > \rho \} }\right) \) 的余集的面积大于零的几何事实而得到的,这里 \( \rho \) 可以是任何大于 1 的数. 此定理由格朗沃尔 (Gronwall, T. H. ) 于 1915 年提出.
格朗沃尔面积定理 (Gronwall's area principle) 即“面积原理”.
克贝 \( 1/4 \) 定理 (Koebe’s one-quarter theorem) 关于 \( S \) 类函数映射性质的一个定理. 该定理断言: 若 \( f \in S \) ,则单位圆盘在 \( f \) 映射下的像包含以原点为中心以 \( 1/4 \) 为半径的圆盘. 此定理由克贝 (Koebe, P. )于 1907 年提出.
克贝偏差定理 (Koebe's distortion theorem) 关于 \( S \) 类函数及其导函数模的估计的定理. 该定理断言: 若 \( f \in S, z \) 是单位圆盘中的点,则
\[
\left| z\right| {\left( 1 + \left| z\right| \right) }^{-2} \leq \left| {f\left( z\right) }\right| \leq \left| z\right| {\left( 1 - \left| z\right| \right) }^{-2},
\]
\[
\left( {1 - \left| z\right| }\right) {\left( 1 + \left| z\right| \right) }^{-3}
\]
\[
\leq \left| {{f}^{\prime }\left( z\right) }\right| \leq \left( {1 + \left| z\right| }\right) {\left( 1 - \left| z\right| \right) }^{-3}.
\]
若其中某个等号成立,则 \( f \) 必是克贝函数的一个适当的旋转.
克贝函数的旋转 (rotation of the Koebe function) 克贝函数经过旋转而得到的函数. 函数 \( {k}_{\theta }\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }k\left( {{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }z}\right) \) 称为克贝函数的旋转,其中 \( k\left( z\right) \) \( = z{\left( 1 - z\right) }^{-2} \) 是克贝函数. 它是 \( S \) 类上许多泛函极值问题的极值函数, 在单叶函数理论中起着十分重要的作用.
比伯巴赫猜想 (Bieberbach conjecture) 比伯巴赫 (Bieberbach, L. ) 于 1916 年提出的一个著名数学难题. 他猜测 \( S \) 类中函数的幂级数展开式系数满足 \( \left| {a}_{n}\right| \leq n\left( {n = 2,3,\cdots }\right) \) ,且仅对于克贝函数及其旋转等号成立. 在 68 年漫长岁月中, 众多数学家从不同的侧面用不同的方法为攻克这一难题做了种种努力. 1984 年, 比伯巴赫猜想终于被美国数学家布朗基 (Branges, L. de) 所证明. 他实际上证明了更强的米林猜想, 由米林猜想可以推出罗伯森猜想, 而罗伯森猜想蕴涵比伯巴赫猜想.
在解决这个猜想的过程中, 下述重要结果值得提到: 在提出猜想的同时, 比伯巴赫本人利用面积定理证明了 \( \left| {a}_{2}\right| \leq 2;{1923} \) 年,勒夫纳 (Loewner, C. ) 引入参数表示法并证明了 \( \left| {a}_{3}\right| \leq 3;{1955} \) 年,加拉贝迪安 (Garabedian, P. R. ) 和席费尔 (Schiffer, M. M. ) 利用席费尔与戈卢津 ( \( \Gamma \) ony \( 3\mathrm{{HH}},\Gamma \) . M. ) 创立的变分法证明了 \( \left| {a}_{4}\right| \leq 4;{1968} \) 年,佩德森 (Pederson, R.) 与奥玛 (Ozawa, M. ) 先后用格隆斯基不等式证明了 \( \left| {a}_{6}\right| \leq 6;{1972} \) 年,佩德森与席费尔利用格隆斯基不等式的一种推广形式证明了 \( \left| {a}_{5}\right| \leq 5 \) ;
对系数全体的第一个较好的估计是 \( \left| {a}_{n}\right| \leq \mathrm{e}n \) , 由李特尔伍德 (Littlewood, J. E. ) 在 1925 年给出. 1951 年,巴赫列维奇 (Ga3MJeBHII) 证明了 \( \left| {a}_{n}\right| < \mathrm{e}n/2 \) \( + c \) ,其中 \( c \) 为一绝对常数. 1972 年,菲茨杰尔德 (Fitzgerald, C. H.) 证明了 \( \left| {a}_{n}\right| \leq \sqrt{n/6} \cdot {n.1955} \) 年,海曼 (Hayman, W. K. ) 证明了对于每个 \( f \in S \) , 存在极限
\[
\beta = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left| {a}_{n}\right| /n \leq 1,
\]
且仅当 \( f \) 是克贝函数及其旋转时才有 \( \beta = 1 \) .
罗伯森猜想 (Robertson's conjecture) 罗伯森 (Robertson, M. S. ) 于 1936 年提出的关于 \( S \) 类中奇函数系数的一个猜想. 在此之前李特尔伍德 (Little-wood, J. E. ) 与佩利 (Paley, R. E. A. C. ) 曾猜测奇函数系数的模不超过 1 , 不久即发现此猜测不成立. 罗伯森猜测奇函数系数应满足不等式
\[
1 + {\left| {a}_{3}\right| }^{2} + {\left| {a}_{5}\right| }^{2} + \cdots + {\left| {a}_{{2n} - 1}\right| }^{2} \leq n,
\]
这一猜想已被布朗基 (Branges, L. de) 证实. 由 \( S \) 类与其奇函数子类元素间的一一对应: \( f\left( z\right) \leftrightarrow \) \( \sqrt{f\left( {z}^{2}\right) } \) ,罗伯森猜想蕴涵比伯巴赫猜想.
米林猜想 (Milin conjecture) 苏联数学家米林 (Mhtml) 于 1971 年提出的一个猜想: 若 \( f \in S \) ,且
\[
\log \frac{f\left( z\right) }{z} = 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{r}_{n}{z}^{n}
\]
则对于 \( n = 1,2,\cdots \) ,有
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\left( {n - k + 1}\right) \left( {k{\left| {r}_{k}\right| }^{2} - \frac{1}{k}}\right) \leq 0.
\]
根据列别杰夫-米林的一个不等式可得
\[
1 + {\left| {a}_{3}\right| }^{2} + \cdots + {\left| {a}_{{2n} + 1}\right| }^{2}
\]
\[
\leq \left( {n + 1}\right) \exp \left\{ {\frac{1}{n + 1}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\left( {n - k + 1}\right) \left( {k{\left| {r}_{k}\right| }^{2} - \frac{1}{k}}\right) }\right\} .
\]
因此, 米林猜想蕴涵罗伯森猜想, 从而蕴涵比伯巴赫猜想. 米林猜想已被布朗基 (Branges, L. de) 证实.
单叶函数参数表示法 (parametric representation method of univalent functons) 一种研究单叶函数的方法. 其基本思想是将函数的像域嵌入一个连续递增区域族中, 这个区域族可以用一个微分方程来描述. 布朗基 (Branges, L. de) 应用这个方法证实了比伯巴赫猜想. 单叶函数参数表示法是由勒夫纳 (Loewner, C. ) 于 1923 年首先提出并为库法列夫 (Ky \( \phi \) apes, K. ) 所发展的.
勒夫纳微分方程 (Loewner differential equation) 一类偏微分方程. 所谓勒夫纳微分方程, 是指方程
\[
\frac{\partial f\left( {z, t}\right) }{\partial t} = - f\left( {z, t}\right) \frac{1 + k\left( t\right) f\left( {z, t}\right) }{1 - k\left( t\right) f\left( {z, t}\right) }
\]
\[
\left( {0 \leq t < + \infty }\right) \text{,}
\]
这里 \( k\left( t\right) \) 是模等于 1 的连续复值函数. 若 \( f\left( {z, t}\right) \) 是勒夫纳微分方程在初始条件 \( f\left( {z,0}\right) = z \) 下的解,则它的像域是由单位圆盘除去从单位圆周上的一点出发而不通过原点的一条若尔当弧后所得到的域. 任何满足 \( f\left( 0\right) = 0,{f}^{\prime }\left( 0\right) = 1 \) 的在单位圆 \( \left| z\right| < 1 \) 内单叶解析的函数都可以用形如 \( {\mathrm{e}}^{t}f\left( {z, t}\right) \) 的函数任意精确地逼近.
变分方法 (variational method) 一种研究单叶函数的方法. 考虑在 \( S \) 类 (或其他单叶函数类) 上给定的实值泛函的最大值问题, 变分方法的思想是, 做出极值函数 \( f \) 在 \( S \) 类中的微小变分 \( {f}_{\lambda } \) ,因为这一变分不会使所给泛函的值增加, 从而得到极值函数所满足的一个关系式一席费尔微分方程, 由这一方程可获得关于极值函数及其像域的一些定性结果. 变分方法是由席费尔 (Schiffer, M. M. ) 于 1938 年首先提出并为戈卢津 ( \( \Gamma \) o. пузин, \( \Gamma \) . M. ) 所发展的.
格隆斯基不等式 (Grunsky inequality) 格隆斯基 (Grunsky, H. ) 于 1939 年给出的一个不等式, 它是面积原理的一种推广. 是研究单叶函数的重要手段之一,其具体表述如下: 设 \( g \in \sum \) ,
\[
\log \frac{g\left( z\right) - g\left( \zeta \right) }{z - \zeta } = - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\mathop{\sum }\limits_{{l = 1}}^{\infty }{b}_{kl}{z}^{-k}{\zeta }^{-l},
\]
则
\[
\left| {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\mathop{\sum }\limits_{{l = 1}}^{\infty }{b}_{kl}{\lambda }_{k}{\lambda }_{l}}\right| \leq \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\left| {\lambda }_{k}\right| }^{2}}{k}\left( {{\lambda }_{k} \in \mathbf{C}}\right) .
\]
这里 \( \sum \) 表示单位圆外的一类单叶函数 (参见 “ \( \sum \) 类”).
极端点 (extreme points) 复平面上拓扑的基本概念之一. 设 \( X \) 是复数域上的拓扑向量空间, \( E \) 是 \( X \) 的子集, \( x \in E \) . 若 \( x \) 不能表为 \( x = {ty} + \left( {1 - t}\right) z \) 使得 \( t \in \left( {0,1}\right), y, z \in E \) 且 \( y \neq z \) ,则 \( x \) 称为 \( E \) 的极端点. 如果存在 \( X \) |
2000_数学辞海（第3卷） | 34 | (Schiffer, M. M. ) 于 1938 年首先提出并为戈卢津 ( \( \Gamma \) o. пузин, \( \Gamma \) . M. ) 所发展的.
格隆斯基不等式 (Grunsky inequality) 格隆斯基 (Grunsky, H. ) 于 1939 年给出的一个不等式, 它是面积原理的一种推广. 是研究单叶函数的重要手段之一,其具体表述如下: 设 \( g \in \sum \) ,
\[
\log \frac{g\left( z\right) - g\left( \zeta \right) }{z - \zeta } = - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\mathop{\sum }\limits_{{l = 1}}^{\infty }{b}_{kl}{z}^{-k}{\zeta }^{-l},
\]
则
\[
\left| {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\mathop{\sum }\limits_{{l = 1}}^{\infty }{b}_{kl}{\lambda }_{k}{\lambda }_{l}}\right| \leq \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\left| {\lambda }_{k}\right| }^{2}}{k}\left( {{\lambda }_{k} \in \mathbf{C}}\right) .
\]
这里 \( \sum \) 表示单位圆外的一类单叶函数 (参见 “ \( \sum \) 类”).
极端点 (extreme points) 复平面上拓扑的基本概念之一. 设 \( X \) 是复数域上的拓扑向量空间, \( E \) 是 \( X \) 的子集, \( x \in E \) . 若 \( x \) 不能表为 \( x = {ty} + \left( {1 - t}\right) z \) 使得 \( t \in \left( {0,1}\right), y, z \in E \) 且 \( y \neq z \) ,则 \( x \) 称为 \( E \) 的极端点. 如果存在 \( X \) 上的连续线性泛函 \( L \) ,在 \( E \) 上不为常数,使得任一 \( y \in E \) 有 \( \operatorname{Re}\{ L\left( x\right) \} \geq \operatorname{Re}\{ L\left( y\right) \} \) ,则称 \( x \) 是 \( E \) 的支撑点. 通过寻求单叶函数类闭凸包的极端点和支撑点的表达式来研究各种线性泛函的极值问题是近几年发展起来的一个重要方法.
支撑点 (support points) 见“极端点”.
素端 (prime ends) 包含无穷远点的单连通区域的一类边界点. 设 \( G \) 是单连通区域, \( \infty \in G.G \) 中以可达边界点为端点的若尔当弧 \( C \) 称为 \( G \) 的横截线, \( C \) 将 \( G \) 分成两个分支,记有界分支为 \( \operatorname{int}C \) . 若横截线序列 \( \left\{ {C}_{n}\right\} \) 满足
\[
{\bar{C}}_{n} \cap {\bar{C}}_{n + 1} = \varnothing ,\operatorname{int}{C}_{n + 1} \subset \operatorname{int}{C}_{n},\operatorname{diam}{C}_{n} \rightarrow 0,
\]
则称 \( \left\{ {C}_{n}\right\} \) 是 \( G \) 的零链. 设 \( \left\{ {C}_{n}\right\} \) 与 \( \left\{ {\widetilde{C}}_{n}\right\} \) 是 \( G \) 的两个零链,若对任意 \( m \) 都存在 \( n \) ,使得
\[
\operatorname{int}{\widetilde{C}}_{n} \subset \operatorname{int}{C}_{m},\;\operatorname{int}{C}_{n} \subset \operatorname{int}{\widetilde{C}}_{m},
\]
则称零链 \( \left\{ {C}_{n}\right\} \) 与 \( \left\{ {\widetilde{C}}_{n}\right\} \) 等价. 一个零链等价类称为 \( G \) 的一个素端, \( G \) 的素端全体称为 \( G \) 的卡拉西奥多里边界, 简称卡氏边界. 早在 1913 年, 卡拉西奥多里 (Carathéodory, C. ) 就已证明单连通区域间的共形映射可同胚开拓到卡氏边界.
区域的横截线 (crosscut of a domain) 见 “素端”.
区域的零链 (null-chain of a domain) 见 “素端”.
卡拉西奥多里边界 (Carathéodory boundary) 见“素端”.
布洛赫定理 (Bloch theorem) 关于闭圆上解析函数的单叶性的定理. 该定理断言: 若 \( f\left( z\right) \) 在 \( \Delta = \{ z\left| \right| z \mid \leq 1\} \) 上解析, \( f\left( 0\right) = 0,{f}^{\prime }\left( 0\right) = 1 \) ,则 \( f\left( z\right) \) 在一个圆 \( s \subset \Delta \) 内单叶,且 \( f\left( s\right) \) 包含一个半径为 \( 1/4 \) 的圆 (单叶圆). 设 \( \mathcal{F} \) 是满足以下条件的函数族: \( f\left( z\right) \) 在 \( \left| z\right| < 1 \) 解析, \( f\left( 0\right) = 0,{f}^{\prime }\left( 0\right) = 1 \) ,对于 \( \mathcal{F} \) 中的函数 \( f,\beta \left( f\right) \) 是 \( f\left( \Delta \right) \) 所包含的单叶圆的半径的上确界,则称 \( B = \inf \{ \beta \left( f\right) \mid f \in \mathcal{F}\} \) 为布洛赫常数. 按照布洛赫定理, \( B \geq 1/4 \) ; 由于 \( f\left( z\right) = z \in \mathcal{F} \) ,所以 \( B \) \( \leq 1 \) . 已经证明 \( \sqrt{3}/4 \leq B \leq {0.47} \) ,但目前尚不知它的确切值. 又设 \( \lambda \left( f\right) = \sup \{ r \mid r \) 是 \( f\left( \Delta \right) \) 所包含圆的半径, \( f \in \mathcal{F}\} \) ,则 \( L = \inf \{ \lambda \left( f\right) \mid f \in \mathcal{F}\} \) 称为兰道常数. 显然 \( B \leq L \) . 已经证明 \( {0.5} \leq L \leq {0.56} \) ,所以 \( L > B \) .
布洛赫常数 (Bloch's constant) 见“布洛赫定理”.
兰道常数 (Landau's constant) 见“布洛赫定理”.
拟共形映射 (quasiconformal mapping) 几何函数论的一个重要分支, 对数学的其他领域有着广泛而深远的影响, 其研究方法也很有特色. 关于平面拟共形映射的严格定义有几何与分析两种. 这两种定义是等价的.
1. 几何定义: 令 \( D \) 是平面上一个区域, \( \Gamma \) 是 \( D \) 的若尔当曲线族, \( \rho \) 是定义在 \( D \) 上的非负波莱尔函数. 记 \( P\left( \Gamma \right) \) 是满足
\[
{\int }_{\gamma }\rho \left| {\mathrm{d}z}\right| \geq 1
\]
对一切 \( \gamma \) 成立的 \( \rho \) 函数全体,
\[
M\left( \Gamma \right) = \mathop{\inf }\limits_{{\rho \in P\left( \Gamma \right) }}{\int }_{D}{\rho }^{2}\left| {\mathrm{\;d}z}\right|
\]
称为曲线族 \( \Gamma \) 的模. \( D \) 上的保持定向的同胚映射 \( f \) 称为 \( K \) 拟共形映射,当且仅当存在数 \( K > 0 \) ,对一切 \( D \) 上的曲线族 \( \Gamma, M\left( \Gamma \right) /K \leq M\left( {f\left( \Gamma \right) }\right) \leq {KM}\left( \Gamma \right) \) .
2. 分析定义: \( D \) 上的保持定向的同胚 \( f \) 称为是 \( K \) 拟共形映射,当且仅当 \( f \) 是线上绝对连续 (简称 ACL 性质), 并且
\[
\mathop{\max }\limits_{\alpha }\left| {{\partial }_{\alpha }f\left( z\right) }\right| \leq K\mathop{\min }\limits_{\alpha }\left| {{\partial }_{\alpha }f\left( z\right) }\right|
\]
在 \( D \) 上几乎处处成立,其中 \( {\partial }_{a} \) 是沿 \( \alpha \) 方向的导数.
关于拟共形映射的发展, 有一个漫长的历史过程. 最早引入拟共形映射的是格勒奇 (Grötzsch, H. ). 1928 年, 格勒奇为了证明皮卡定理的一个推广引进了拟共形映射, 与此同时, 他还研究方形到矩形的保持顶点对应的拟共形映射的极值映射, 即与共形映射最为接近的那个映射. 他指出, 极值映射是仿射拉伸. 1935 年, 拉夫连季耶夫 (Jlabpehtbeb, M. A. ) 从偏微分方程的角度研究这类映射. 1936 年, 阿尔福斯 (Ahlfors, L. V. ) 从几何函数论的角度研究拟共形映射. 1939 年, 泰希米勒 (Teichmüller, O. ) 把平面拟共形映射推广到黎曼面上, 研究黎曼面上的拟共形映射的极值映射, 建立了极值拟共形映射与黎曼面上全纯两次微分空间的内在联系; 此外他还证明了黎曼面上拟共形映射的同伦类中极值映射的存在性和惟一性, 从而给出了黎曼面的模空间的一个参数化.
20 世纪 60 年代初, 阿尔福斯和伯斯 (Bers, L. ) 从泰希米勒的这些理论出发, 用拟共形映射作为工具, 系统地建立了泰希米勒空间理论. 近年来, 拟共形映射理论又向深度和广度发展, 成为现代数学的一个非常活跃的分支. 拟共形映射的经典理论包括阿尔福斯-伯斯拟共形映射存在定理, 莫利偏差定理, 边值问题的拟圆理论及其应用等.
拟共形映射理论有着极为丰富的成果, 这些理论在椭圆型偏微分方程中占有重要地位. 由于拟共形映射理论的发展, 有着悠久历史的克莱因群理论成为现代数学的一个重要领域. 20 世纪 80 年代初, 沙利文 (Sullivan, D. P. ) 的几篇文章将拟共形映射理论应用于复解析动力系统; 瑟斯顿 (Thurston, W. ) 则系统地研究了黎曼面上拟共形映射的拓扑结构, 用几何与拓扑的观点研究这种结构与泰希米勒空间的模变换的对应关系, 以此来解决三维流形理论中的重大问题. 拟共形映射理论同几何、分析的各个分支都有联系, 成为研究现代数学的重要工具.
拟共形映射存在定理 (existence theorem on quasiconformal mappings) 平面拟共形映射理论的一个基本定理. 即贝尔特拉米方程 \( {\partial }_{z}f\left( z\right) - \) \( \mu \left( z\right) {\partial }_{z}f\left( z\right) = 0 \) 的解的存在性和惟一性定理,其中 \( \mu \left( z\right) \) 是扩充复平面上的复值解析函数,满足
\[
\parallel \mu {\parallel }_{\infty } = \operatorname{ess}\sup \left| {\mu \left( z\right) }\right| \leq K < 1.
\]
令 \( \mathcal{M}\left( \widehat{\mathbf{C}}\right) \) 是所有这种 \( \mu \) 所成的集合. 存在定理断言: 对任何 \( \mu \in \mathcal{M}\left( \widehat{\mathrm{C}}\right) \) ,存在惟一的 \( \widehat{\mathrm{C}} \) 上的拟共形映射,记为 \( {w}^{\mu } \) ,满足规范条件:
\[
{w}^{\mu }\left( 0\right) = 0,{w}^{\mu }\left( 1\right) = 1,{w}^{\mu }\left( \infty \right) = \infty ,
\]
而且 \( {w}^{\mu } \) 的复特征
\[
\frac{{\partial }_{z}{w}^{\mu }\left( z\right) }{{\partial }_{z}{w}^{\mu }\left( z\right) }
\]
恰为 \( \mu \left( z\right) \) ,即 \( {w}^{\mu } \) 满足贝尔特拉米方程. 从证明可以看出,对任何固定的 \( \zeta \in \widehat{\mathrm{C}} \) ,映射 \( \mu \mapsto {w}^{\mu }\left( \zeta \right) \) 是 \( M\left( \widehat{\mathrm{C}}\right) \) 上的全纯函数, 更确切地, 这一函数可以表示为形式:
\[
{w}^{\mu }\left( \zeta \right) = \zeta + {p\mu }\left( \zeta \right) + o\left( {\parallel \mu \parallel }\right) ,\mu \rightarrow 0,
\]
其中 \( o\left( {\parallel \mu \parallel }\right) \) 在 \( \widehat{\mathrm{C}} \) 的任一紧子集上一致趋于 0,且
\[
{p\mu }\left( \zeta \right) = - \frac{1}{\pi }\iint \frac{\zeta \left( {\zeta - 1}\right) \mu \left( z\right) }{z\left( {z - 1}\right) \left( {z - \zeta }\right) }\mathrm{d}x\mathrm{\;d}y.
\]
存在性定理的最早证明属于莫利 (Morry, C. B. ) (1938 年), 只是因为术语和重点的不同最终掩盖了证明本身与这一理论的联系. 后来, 阿尔福斯 (Ahlfors, L. V. ) 和伯斯 (Bers, L. ) 应用考尔德伦-赞格蒙理论 (参见《调和分析》) 给出了存在性定理的一个简洁而漂亮的证明.
莫利偏差定理 (Morri distortion theorem) 拟共形映射理论中的一个重要定理. 设 \( w = f\left( z\right) \) 是 \( \left| z\right| < 1 \) 到 \( \left| w\right| < 1 \) 上的 \( K \) 拟共形映射,满足规范条件 \( f\left( 0\right) = 0 \) ,则对 \( {z}_{1} \neq {z}_{2} \) ,
\[
\left| {f\left( {z}_{1}\right) - f\left( {z}_{2}\right) }\right| < {16}{\left| {z}_{1} - {z}_{2}\right| }^{1/k}.
\]
这一结果说明, \( f \) 满足赫尔德条件. 莫利定理说明, \( f \) 可连续扩张到闭圆 \( \left| z\right| \leq 1 \) 上,而且这一扩张是同胚. 从这个定理可推出紧性定理: 单位圆到自身的满足规范条件 \( f\left( 0\right) = 0 \) 的 \( K \) 拟共形映射族关于一致收敛构成列紧族.
拟共形映射的边值问题 (boundary value problem of quasiconformal mapping) 拟共形映射的扩张问题. 设 \( h\left( x\right) \) 是实轴上严格单调上升的连续函数,如果对一切 \( x, t, t > 0 \) ,
\[
\frac{1}{\rho } \leq \frac{h\left( {x + t}\right) - h\left( x\right) }{h\left( x\right) - h\left( {x - t}\right) } \leq \rho
\]
对某一 \( \rho \) 成立,则称 \( h\left( x\right) \) 为 \( \rho \) 拟对称函数. \( \rho \) 拟对称性完全刻画了上半平面的拟共形映射. 容易看出, 任何一个上半平面的拟共形映射在实轴上的限制满足 \( \rho \) 拟对称性; 反之,博灵 (Beurling, A. ) 与阿尔福斯 (Ahlfors, L. V.) 证明了任一实轴上的 \( \rho \) 拟对称函数 \( h\left( x\right) \) 总可以扩张为上半平面的拟共形映射,他们通过 \( h \) 构造重要的拟共形映射 (称为博灵-阿尔福斯扩张),
\[
f\left( {x, y}\right) = \frac{1}{2}{\int }_{0}^{1}\left( {h\left( {x + y}\right) + h\left( {x - y}\right) }\right) \mathrm{d}y
\]
\[
+ \frac{\mathrm{i}}{2}{\int }_{0}^{1}\left( {h\left( {x + y}\right) - h\left( {x - y}\right) }\right) \mathrm{d}y,
\]
指出 \( f \) 是 \( h \) 的同胚扩张,而且是 \( {\rho }^{2} \) 拟共形映射. 在空间中也有类似的扩张问题. 20 世纪 80 年代初土奇亚 (Tukia, P. ) 的几篇文章较为彻底地解决了高维欧氏空间的拟共形映射的扩张问题.
拟对称函数 (quasisymmetric function) 见 “拟共形映射的边值问题”.
拟圆 (quasicircle) 拟共形映射理论中的重要概念. 首先由阿尔福斯 (Ahlfors, L. V. ) 提出的一个与拟共形映射有关的概念. 设 \( C \) 是平面上一条若尔当曲线,如果 \( C \) 是平面上一圆周在 \( K \) 拟共形映射下的像,则称 \( C \) 为 \( K \) 拟圆. 阿尔福斯证明了以下两个关于拟圆的等价定义. 令 \( b \geq 1, C \) 是复平面上的若尔当曲线, \( {z}_{1},{z}_{2} \in C \) 把 \( C \) 分成两段子弧 \( {C}_{1},{C}_{2} \) . 如果
\[
\min \left\{ {\operatorname{diam}{C}_{1},\operatorname{diam}{C}_{2}}\right\} \leq b\left| {{z}_{1} - {z}_{2}}\right| ,
\]
则 \( C \) 称为 \( b \) 有界转折曲线. 第一个等价定义是: \( C \) 是 \( K \) 拟圆,当且仅当 \( C \) 是 \( b\left( k\right) \) 有界转折曲线. 第二个等价定义是通过拟共形反射给出的. 令 \( C \) 是若尔当曲线把平面 \( \mathrm{C} \) 分为 \( {D}_{1},{D}_{2} \) ,一个反向的 \( K \) 拟共形映射 \( f : {D}_{1} \rightarrow {D}_{2} \) 称为 \( K \) 拟共形反射,如果 \( f \) 在 \( C \) 上的限制是恒等映射. \( C \) 是拟圆,当且仅当存在一个拟共形反射.
葛林 (Gehring, F. W. ) 的系统研究给出拟圆的多种定义, 其中有几何的, 也有分析的. 在 20 世纪 70 年代后期, 由于葛林的工作, 拟圆的理论成为研究万有泰希米勒空间的有力工具, 特别地, 葛林用他本人发展起来的这套工具解决了由伯斯 (Bers, L. ) 在 1970 年提出的关于万有泰希米勒空间的两个著名猜想.
拟共形反射 (quasiconformal reflection) 见
“拟圆”.
## 调和函数
调和函数 (harmonic function) 一类重要的二元实函数. 所谓调和函数, 是指具有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程
\[
\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {y}^{2}} = 0
\]
的二元实函数 \( u\left( {x, y}\right) \) . 解析函数的实部和虚部都是调和函数. 若调和函数 \( u \) 和 \( v \) 满足 \( C - R \) 条件 \( {u}_{x} \) \( = {v}_{y},{u}_{y} = - {v}_{x} \) ,则称 \( v \) 为 \( u \) 的共轭调和函数 (参见本卷《位势论》和《调和分析》同名条).
共轭调和函数 (conjugate harmonic function) 见“调和函数”.
调和函数极值原理 (extremum principle for harmonic function) 调和函数的重要性质. 在区域 \( D \) 内调和且不恒等于常数的函数 \( u |
2000_数学辞海（第3卷） | 35 | \) 拟圆,当且仅当 \( C \) 是 \( b\left( k\right) \) 有界转折曲线. 第二个等价定义是通过拟共形反射给出的. 令 \( C \) 是若尔当曲线把平面 \( \mathrm{C} \) 分为 \( {D}_{1},{D}_{2} \) ,一个反向的 \( K \) 拟共形映射 \( f : {D}_{1} \rightarrow {D}_{2} \) 称为 \( K \) 拟共形反射,如果 \( f \) 在 \( C \) 上的限制是恒等映射. \( C \) 是拟圆,当且仅当存在一个拟共形反射.
葛林 (Gehring, F. W. ) 的系统研究给出拟圆的多种定义, 其中有几何的, 也有分析的. 在 20 世纪 70 年代后期, 由于葛林的工作, 拟圆的理论成为研究万有泰希米勒空间的有力工具, 特别地, 葛林用他本人发展起来的这套工具解决了由伯斯 (Bers, L. ) 在 1970 年提出的关于万有泰希米勒空间的两个著名猜想.
拟共形反射 (quasiconformal reflection) 见
“拟圆”.
## 调和函数
调和函数 (harmonic function) 一类重要的二元实函数. 所谓调和函数, 是指具有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程
\[
\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {y}^{2}} = 0
\]
的二元实函数 \( u\left( {x, y}\right) \) . 解析函数的实部和虚部都是调和函数. 若调和函数 \( u \) 和 \( v \) 满足 \( C - R \) 条件 \( {u}_{x} \) \( = {v}_{y},{u}_{y} = - {v}_{x} \) ,则称 \( v \) 为 \( u \) 的共轭调和函数 (参见本卷《位势论》和《调和分析》同名条).
共轭调和函数 (conjugate harmonic function) 见“调和函数”.
调和函数极值原理 (extremum principle for harmonic function) 调和函数的重要性质. 在区域 \( D \) 内调和且不恒等于常数的函数 \( u\left( z\right) \) ,在 \( D \) 的内点不能达到最大值和最小值.
调和函数的平均值性质 (mean value property for harmonic function) 调和函数的重要性质. 若 \( u\left( z\right) \) 在区域 \( D \) 内调和, \( a \in D \) ,则
\[
u\left( a\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }u\left( {a + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \mathrm{d}\theta
\]
对适当小的 \( r \) 成立.
狄利克雷问题 (Dirichlet's problem) 亦称第一边值问题. 调和函数的一类重要边值问题. 求一个在区域 \( D \) 内调和并在 \( \bar{D} = D \cup \partial D \) 上连续的函数 \( u\left( z\right) \) 的问题,要求它在 \( \partial D \) 上取给定的连续函数
\[
\varphi \left( \zeta \right) \;\left( {\zeta \in \partial D}\right) .
\]
第一边值问题 (boundary value problem of the first kind) 即“狄利克雷问题”.
狄利克雷区域 (Dirichlet region) 一类特殊区域. 对于狄利克雷问题是可解的域 \( D \) ,称为狄利克雷区域.
诺伊曼问题 (Neumann problem) 亦称第二边值问题. 调和函数的一类重要边值问题. 设在区域 \( D \) 的边界 \( \partial D \) 上给定了一个连续函数 \( \varphi \left( z\right) \) ,在 \( D \) 内求一个调和函数 \( u\left( z\right) \) ,要求它具有连续到边界的一阶偏导数,且在 \( \partial D \) 上的外法向导数 \( \partial u/\partial n \) 等于 \( \varphi \left( z\right) \) . 对于给定的 \( D \) 及其边界上的给定函数 \( \varphi \left( z\right) \) ,若满足要求的 \( u\left( z\right) \) 存在,则可以相差一个实常数.
第二边值问题 (boundary value problem of the second kind) 即“诺伊曼问题”.
哈纳克不等式 (Harnack's inequality) 非负调和函数在圆周上的值与其在圆心的值之比的双向不等式. 若函数 \( u\left( z\right) \) 在 \( \left| {z - a}\right| < R \) 内调和并且非负, 则有
\[
\frac{\rho - r}{\rho + r}u\left( a\right) \leq u\left( {a + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \leq \frac{\rho + r}{\rho - r}u\left( a\right) ,
\]
其中 \( 0 < r < \rho < R \) . 这个不等式称为哈纳克不等式.
哈纳克定理 (Harnack's theorem) 关于单调递增调和函数序列的收敛定理. 它可叙述成下述形式: 若函数序列 \( {u}_{n}\left( z\right) \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) 中的每一个函数都是区域 \( D \) 内的非负调和函数,且
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\left( z\right)
\]
在 \( z = a \in D \) 收敛,则
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\left( z\right)
\]
在 \( D \) 内闭一致收敛.
泊松积分公式 (Poisson integral formula) 圆域狄利克雷问题的求解公式. 设函数 \( u\left( z\right) \) 在圆 \( \left| z\right| \) \( < R \) 内调和,在 \( \left| z\right| \leq R \) 上连续,则对于 \( \left| z\right| < R \) 内任意一点 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi } \) ,有圆内泊松公式
\[
u\left( z\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\frac{\left( {{R}^{2} - {r}^{2}}\right) u\left( {R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }{{R}^{2} - {2Rr}\cos \left( {\theta - \varphi }\right) + {r}^{2}}\mathrm{\;d}\theta .
\]
施瓦兹公式 (Schwarz formula) 解析函数的实部在圆周上的值确定解析函数在圆内的值的重要公式. 设函数 \( f\left( z\right) = u\left( z\right) + \mathrm{i}v\left( z\right) \) 在 \( \left| z\right| < R \) 内解析, 在 \( \left| z\right| \leq R \) 上连续,则对于任意的 \( z : \left| z\right| < R \) ,有
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{\pi \mathrm{i}}{\int }_{\left| \zeta \right| = R}\frac{u\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta - \overline{f\left( 0\right) }.
\]
这个表达式称为施瓦兹公式.
泊松核(Poisson's kernel) 单位圆情形泊松积分的核. 函数
\[
{p}_{r}\left( {\theta - t}\right) = \frac{1}{2\pi }\frac{1 - {r}^{2}}{1 - {2r}\cos \left( {\theta - t}\right) + {r}^{2}}
\]
称为泊松核,这里 \( 0 \leq r < 1,\theta \) 为实数.
调和测度 (harmonic measure) 特殊的狄利克雷问题的解. 是边界点集的一种测度. 设 \( D \) 为一个区域,其边界 \( \partial D \) 由有限条若尔当弧组成, \( \partial D \) 分为 \( \alpha \) 和 \( \beta \) 两部分. 则在 \( D \) 内存在惟一的一个有界调和函数 \( u\left( z\right) \) 在 \( \alpha \) 上取边值 1,在 \( \beta \) 上取边值 0 . 称 \( u\left( z\right) \) 为 \( \alpha \) 关于区域 \( D \) 的调和测度,记为 \( \omega \left( {z,\alpha, D}\right) \) . 显然
\[
0 \leq \omega \left( {z,\alpha, D}\right) \leq 1,
\]
\[
\omega \left( {z,\alpha, D}\right) + \omega \left( {z,\beta, D}\right) \equiv 1.
\]
例如, \( D \) 是上半平面 \( \operatorname{Im}z > 0,\alpha \) 是线段 \( \left( {a, b}\right) \) ,则
\[
\omega \left( {z,\alpha, D}\right) = \frac{1}{\pi }\arg \frac{b - z}{a - z}
\]
是 \( z \) 对 \( \left( {a, b}\right) \) 的视角.
格林函数 (Green's function) 一种以区域内一点为对数奇点, 而在区域的边界上为零的调和函数. 设 \( D \) 是一个区域, \( a \in D \) ,如果函数 \( g\left( {z, a}\right) \) 具有以下性质:
1. \( g\left( {z, a}\right) \) 在 \( D \) 内除去 \( a \) 外是调和的.
2. 当 \( a \neq \infty \) 时, \( G\left( z\right) = g\left( {z, a}\right) + \log \left| {z - a}\right| \) 在 \( a \) 的邻域内是调和的; 当 \( a = \infty \) 时, \( G\left( z\right) = g\left( {z,\infty }\right) \) \( - \log \left| z\right| \) 在 \( \infty \) 的邻域内是调和的.
3. 当 \( z \) 趋于 \( \partial D \) 上的任意一点 \( \zeta \) 时, \( g\left( {z, a}\right) \rightarrow 0 \) , 则函数 \( g\left( {z, a}\right) \) 称为 \( D \) 内具有奇点 \( a \) 的格林函数. 例如
\[
g\left( {z, a}\right) = \log \left| \frac{z - \bar{a}}{z - a}\right|
\]
是上半平面 \( \operatorname{Im}z > 0 \) 以 \( a\left( {\operatorname{Im}a > 0}\right) \) 为奇点的格林函数.
## 整函数与亚纯函数
延森公式 (Jensen formula) 调和函数平均值公式的推广. 假设 \( f\left( z\right) \) 在圆 \( \left| z\right| < R \) 内解析, \( f\left( 0\right) \) \( \neq 0,0 < r < R \) ,而 \( {\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{N} \) 是 \( f\left( z\right) \) 在 \( \left| z\right| < r \) 内的零点, 按其重数列出, 则
\[
\left| {f\left( 0\right) }\right| \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{N}\frac{r}{\left| {\alpha }_{n}\right| } = \exp \left\{ {\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\log \left| {f\left( {r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }\right| \mathrm{d}\theta }\right\} .
\]
刘维尔定理 (Liouville theorem) 整函数理论的一个重要定理. 该定理断言: 有界整函数必为常数.
外尔斯特拉斯基本因式 (Weierstrass basic factor) 整函数的典型乘积中的因子. 令 \( E\left( {z,0}\right) = 1 \) \( - z \) ,对于 \( p = 1,2,\cdots \) ,令
\[
E\left( {z, p}\right) = \left( {1 - z}\right) \exp \left\{ {z + \frac{{z}^{2}}{2} + \cdots + \frac{{z}^{p}}{p}}\right\} ,
\]
这些函数称为外尔斯特拉斯基本因式.
无穷乘积 (infinite product) 用来表示解析函数的一种方法. 设有复数序列 \( {u}_{n}\left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) , \( {u}_{n} \neq - 1 \) . 若当 \( n \rightarrow \infty \) 时,乘积
\[
{p}_{n} = \mathop{\prod }\limits_{{k = 1}}^{n}\left( {1 + {u}_{k}}\right)
\]
收敛到 \( p \neq 0,\infty \) ,则称无穷乘积
\[
\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {1 + {u}_{n}}\right)
\]
收敛,记为 \( p = \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {1 + {u}_{n}}\right) \) ; 若 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{p}_{n} \) 不存在或 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{p}_{n} \) \( = 0 \) ,则称无穷乘积 \( \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {1 + {u}_{n}}\right) \) 发散. 若 \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left| {u}_{n}\right| \) 收敛,则称无穷乘积 \( \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {1 + {u}_{n}}\right) \) 绝对收敛; 若 \( {u}_{n}\left( z\right) (n \) \( = 1,2,\cdots ) \) 是域 \( D \) 内的解析函数序列, \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left| {{u}_{n}\left( z\right) }\right| \) 在 \( D \) 内闭一致收敛,则 \( \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {1 + {u}_{n}\left( z\right) }\right) \) 在 \( D \) 内闭一致收敛到 \( D \) 内的解析函数.
典范乘积 (canonical product) 对应于非零序列的外尔斯特拉斯基本因式构成的无穷乘积. 设有序列 \( {a}_{n},0 < \left| {a}_{n}\right| \leq \left| {a}_{n + 1}\right| ,\left| {a}_{n}\right| \rightarrow + \infty ,\rho \) 是使
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left| {a}_{n}\right| }^{\rho + 1}}
\]
收敛的最小非负整数, 称
\[
p\left( z\right) = \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{\infty }E\left( {\frac{z}{{a}_{n}}, p}\right)
\]
为序列 \( {a}_{n} \) 的典范乘积,这里 \( E\left( {z, p}\right) \) 是外尔斯特拉斯基本因式.
阿达马因子分解定理 (Hadamard factorization theorem) 有穷级整函数的一种表示式. 若函数 \( f\left( z\right) \) 是有穷级整函数,其级为 \( \rho \) ,则
\[
f\left( z\right) = {z}^{m}{\mathrm{e}}^{h\left( z\right) }p\left( z\right) ,
\]
其中 \( p\left( z\right) \) 是 \( f\left( z\right) \) 的零点的典范乘积, \( h\left( z\right) \) 是次数不超过 \( \rho \) 的多项式, \( m \) 是 \( f\left( z\right) \) 在原点的零点的级.
亚纯函数 (meromorphic function) 一类特殊的解析函数. 指在 \( z \) 平面上除极点外无其他类型奇点的单值解析函数. 如有理函数, \( \tan z \) 等.
超越亚纯函数 (transcendental meromorphic function) 一类亚纯函数. 指非有理函数的亚纯函数.
部分分式分解 (partial fraction decomposition) 亚纯函数在极点处的一种表示式. 若函数 \( f\left( z\right) \) 在 \( {z}_{0} \) 处有 \( m \) 级极点 \( \left( {m \geq 1}\right) \) ,则称
\[
f\left( z\right) = \frac{{a}_{m}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{m}} + \frac{{a}_{m - 1}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{m - 1}} + \cdots
\]
\[
+ \frac{{a}_{1}}{\left( z - {z}_{0}\right) } + h\left( z\right)
\]
为 \( f\left( z\right) \) 在 \( {z}_{0} \) 处的部分分式分解,这里, \( h\left( z\right) \) 在 \( {z}_{0} \) 处是解析的, 而
\[
\frac{{a}_{m}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{m}} + \frac{{a}_{m - 1}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{m - 1}} + \cdots + \frac{{a}_{1}}{\left( z - {z}_{0}\right) }
\]
为主要部分, \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{m} \) 为复数.
米塔-列夫勒定理 (Mittag-Leffler theorem) 具有给定极点和相应主要部分的亚纯函数的构造性存在定理. 若 \( f\left( z\right) \) 为亚纯函数, \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots \) 是 \( f\left( z\right) \) 的极点, \( {a}_{i} \neq {a}_{j}\left( {i \neq j}\right) \) ,且
\[
\left| {a}_{n}\right| \leq \left| {a}_{n + 1}\right| ,\left| {a}_{n}\right| \rightarrow + \infty \left( {n \rightarrow + \infty }\right) ,
\]
则
\[
f\left( z\right) = u\left( z\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left\{ {{\psi }_{n}\left( z\right) - {p}_{n}\left( z\right) }\right\} ,
\]
其中 \( {\psi }_{n}\left( z\right) \) 是 \( f\left( z\right) \) 在 \( {a}_{n} \) 的主要部分, \( {p}_{n}\left( z\right) \) 是多项式, \( u\left( z\right) \) 是一个整函数.
外尔斯特拉斯定理 (Weierstrass theorem) 亦称索霍茨基定理. 解析函数在本质奇点邻域取值的重要定理. 该定理断言: 如果 \( a \) 为 \( f\left( z\right) \) 的本质奇点, 则对于任何常数 \( A \) ,不管它是有限数还是无穷,都有一个收敛于 \( a \) 的点列 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) ,使得
\[
\mathop{\lim }\li |
2000_数学辞海（第3卷） | 36 | {m - 1}} + \cdots + \frac{{a}_{1}}{\left( z - {z}_{0}\right) }
\]
为主要部分, \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{m} \) 为复数.
米塔-列夫勒定理 (Mittag-Leffler theorem) 具有给定极点和相应主要部分的亚纯函数的构造性存在定理. 若 \( f\left( z\right) \) 为亚纯函数, \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots \) 是 \( f\left( z\right) \) 的极点, \( {a}_{i} \neq {a}_{j}\left( {i \neq j}\right) \) ,且
\[
\left| {a}_{n}\right| \leq \left| {a}_{n + 1}\right| ,\left| {a}_{n}\right| \rightarrow + \infty \left( {n \rightarrow + \infty }\right) ,
\]
则
\[
f\left( z\right) = u\left( z\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left\{ {{\psi }_{n}\left( z\right) - {p}_{n}\left( z\right) }\right\} ,
\]
其中 \( {\psi }_{n}\left( z\right) \) 是 \( f\left( z\right) \) 在 \( {a}_{n} \) 的主要部分, \( {p}_{n}\left( z\right) \) 是多项式, \( u\left( z\right) \) 是一个整函数.
外尔斯特拉斯定理 (Weierstrass theorem) 亦称索霍茨基定理. 解析函数在本质奇点邻域取值的重要定理. 该定理断言: 如果 \( a \) 为 \( f\left( z\right) \) 的本质奇点, 则对于任何常数 \( A \) ,不管它是有限数还是无穷,都有一个收敛于 \( a \) 的点列 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) ,使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{{z}_{n} \rightarrow a}}f\left( {z}_{n}\right) = A.
\]
后来, 皮卡 (Picard, (C. -) E. ) 发展了这一结果.
索霍茨基定理 (Sokhozki theorem) 即 “外尔斯特拉斯定理”.
聚值集 (cluster set) 区域内点列趋于一边界点时相应的函数值的极限值. 设 \( D \) 是复平面上任一区域, \( \Gamma \) 是它的边界, \( w = f\left( z\right) \) 是定义于 \( D \) 内的单值亚纯函数,这时对于 \( \Gamma \) 的每个点 \( {z}_{0} \) ,可在复平面上定义与映射 \( w = f\left( z\right) \) 相联系的如下点集: 如果存在点列 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) ,使得当 \( {z}_{n} \in D,{z}_{n} \rightarrow {z}_{0} \) 时, \( f\left( {z}_{n}\right) \rightarrow \alpha \) ,则 \( \alpha \) 称为 \( f\left( z\right) \) 在 \( {z}_{0} \) 处的一个聚值. 它的全体记为 \( {C}_{D}\left( {f,{z}_{0}}\right) \) ,称为 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 处的聚值集.
聚值 (cluster value) 见 “聚值集”.
整函数 (entire function) 整个复平面 \( \mathrm{C} \) 内的全纯函数. 多项式是整函数的特殊情形. 不是多项式的整函数称为超越整函数, 例如
\[
{\mathrm{e}}^{z} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{1}{n!}{z}^{n},\sin z = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{z}^{{2n} - 1}}{\left( {{2n} - 1}\right) !}.
\]
此外, 两个整函数的和、差、积是整函数, 又若分母恒不为零时, 两个整函数的商仍为整函数. 整函数可看成多项式的自然推广. 代数基本定理指出, \( p \) 次多项式在复平面内恰有 \( p \) 个根 (按重数计算). 据此,每一多项式有惟一的乘积表示, 即
\[
f\left( z\right) = a\left( {z - {z}_{1}}\right) \cdots \left( {z - {z}_{p}}\right) ,
\]
其中 \( a \) 为非零常数, \( {z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{p} \) 是 \( f\left( z\right) \) 的零点. 反之, 总能构造一多项式使得它恰有事先给定的零点和相应的重级, 它能表示为乘积的形式, 且除去一常数因子之外是惟一确定的. 此外,多项式的次数 \( p \) 还能给出 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \) 增长速度的度量,即当 \( \left| z\right| \rightarrow \infty \) 时, 有
\[
\mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow \infty }}\frac{f\left( z\right) }{{z}^{p}} = c\;\left( {c \neq 0,\infty }\right) .
\]
在整函数的研究中, 常以多项式为模型提出并讨论相应的问题, 而获得类似的结果.
整函数的一般理论源于 1876 年外尔斯特拉斯 (Weierstrass, K. (T. W. )) 的工作, 他的两个基本定理成为这一理论的出发点. 他的第一个定理是关于整函数的因子分解的 (参见 “魏尔斯特拉斯第一定理”). 1882-1884 年, 拉盖尔 (Laguerre, M. ) 引入整函数的格这一新的概念, 以此来区分整函数的类, 整函数的格在某种意义下类似于多项式的次数. 1883 年, 庞加莱 (Poincaré, (J. -) H. ) 建立了整函数的最大模
\[
M\left( {r, f}\right) = \mathop{\max }\limits_{{\left| z\right| \leq r}}\left| {f\left( z\right) }\right|
\]
与格的一个关系,即格为 \( k \) 的整函数满足
\[
\log M\left( {r, f}\right) = O\left\{ {r}^{k + 1}\right\} .
\]
随后, 1893 年, 阿达马 (Hadamard, J. (-S. )) 得到一系列结果, 它们合起来构成了庞加莱定理的反命题. 另一方面, 1897 年, 波莱尔 (Borel, (F. -É. -J. -) E. ) 给出了整函数的级的一个定义. 整函数 \( f\left( z\right) \) 的级为
\[
\rho = \mathop{\lim }\limits_{{r \rightarrow \infty }}\frac{\log \log M\left( {r, f}\right) }{\log r}.
\]
外斯特拉斯的第二个定理是关于值分布的 (参见 “外尔斯特拉斯定理”). 1879 年, 皮卡 (Picard, (C. -) E. ) 用椭圆模函数的方法证明了下述重要而深刻的定理: 如果一整函数 \( f\left( z\right) \) 不取两个有穷值,则 \( f\left( z\right) \) 为一常数. 1896 年, 波莱尔给出了皮卡定理的一个初等证明. 他还证明,每一个有穷 \( \rho \) 级的整函数,下式对所有 \( a \in \mathrm{C} \) 成立:
\[
\mathop{\lim }\limits_{{r \rightarrow \infty }}\frac{\log n\left( {r, a}\right) }{\log r} = \rho ,
\]
至多除去一个例外的 \( a \) ,其中 \( n\left( {r, a}\right) \) 是圆盘 \( \{ z\left| \right| z \mid \) \( \leq r\} \) 内 \( f\left( z\right) \) 的 \( a \) 值点个数,并按重级计算.
20 世纪的前 20 年, 波莱尔的结果是整函数理论中最高的成就. 它使皮卡定理定量化, 而且波莱尔定理中考虑的是函数的 \( a \) 值点数而不是庞加莱定理和阿达马的结果中所考虑的零点数. 这一点还显示出有穷级整函数值分布的对称性. 在此意义下, 它与多项式的结果是相似的. 在整函数理论发展过程中, 威曼 (Wiman, A. )、瓦利隆 (Valiron, G. )、林德勒夫 (Lindelöf, E. L. ) 等人的工作也很活跃, 并做出了许多贡献. 20 世纪 20 年代, 奈望林纳 (Nevanlinna, R. ) 创立了很广泛的亚纯函数值分布理论, 它包括了整函数的经典结果作为其特殊情形, 而且形式更为精美.
超越整函数 (transcendental entire function) 见“整函数”.
零点收敛指数 (exponent of convergence of zeros) 量度函数零点稠密程度的一个量. 设 \( f\left( z\right) \) 为一整函数, \( {\left\{ {z}_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 为其零点序列,则零点收敛指数 \( \lambda \) \( = \lambda \left( {0, f}\right) \) 定义为使得级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left| {z}_{n}\right| }^{\alpha }}
\]
收敛的正数 \( \alpha \) 所成的集合之最大下界. 因此当 \( \alpha > \lambda \) 时,级数收敛; 当 \( \alpha < \lambda \) 时,级数发散. 若 \( a \) 为任一复数, \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 为 \( f\left( z\right) - a \) 的零点序列,即 \( f\left( z\right) \) 的 \( a \) 值点序列,则相应地可以定义 \( f\left( z\right) \) 的 \( a \) 值点序列的收敛指数 \( \lambda \left( {a, f}\right) \) .
外尔斯特拉斯第一定理 (first theorem of Weierstrass) 关于整函数因子分解的重要定理, 是 1876 年由外尔斯特拉斯 (Weierstrass, K. (T. W. )) 所给出的. 定理叙述如下: 设 \( {\left\{ {z}_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 是整函数 \( f\left( z\right) \) 的异于零的零点序列, 且满足
\[
\left| {z}_{n}\right| \leq \left| {z}_{n + 1}\right| \left( {n = 1,2,\cdots }\right) ,\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{z}_{n} = \infty ,
\]
每一零点在序列 \( {\left\{ {z}_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 中出现的次数与其重级相同,又设 \( \left\{ {p}_{n}\right\} \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) ,为正整数序列,它使得级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( \frac{R}{\left| {z}_{n}\right| }\right) }^{{p}_{n}}
\]
对任意的 \( R > 0 \) 收敛,则无穷乘积
\[
G\left( z\right) = \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{\infty }E\left( {z/{z}_{n},{p}_{n} - 1}\right)
\]
对任意的复数 \( z \) 绝对收敛,且 \( f\left( z\right) \) 能表示为 \( f\left( z\right) \) \( = {z}^{m}{\mathrm{e}}^{g\left( z\right) }G\left( z\right) \) . 其中 \( g\left( z\right) \) 为另一整函数, \( m \geq 0 \) 为整数.
外尔斯特拉斯第一定理可看成是多项式因子分解定理的推广, 但多项式情形能由其零点惟一地确定 (除去一个常数因子), 而一般超越整函数只能确定到任意一个不取零值的整函数因子, 而且为保证无穷乘积的收敛性, 需要引入基本因子.
整函数的级 (order of an entire function) 量度整函数增长性的特征量. 设 \( f\left( z\right) \) 为整函数,令
\[
M\left( {r, f}\right) = \mathop{\max }\limits_{{\left| z\right| \leq r}}\left| {f\left( z\right) }\right| ,
\]
则 \( f\left( z\right) \) 的级 \( \rho \) 和下级 \( \mu \) 由下式所定义
\[
\rho = \mathop{\lim }\limits_{{r \rightarrow \infty }}\frac{\log \log M\left( {r, f}\right) }{\log r},
\]
\[
\mu = \mathop{\lim }\limits_{\frac{r}{r \rightarrow \infty }}\frac{\log \log M\left( {r, f}\right) }{\log r}.
\]
对于函数 \( p\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{m}{a}_{n}{z}^{n},\cos \sqrt{z},{\mathrm{e}}^{{z}^{n}} \) 和 \( {\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^{z}} \) ,分别有 \( \rho = \mu = 0,1/2, n \) 和 \( \infty \) . 整函数的级在整函数理论的研究中起着核心的作用, 函数的其他许多性质都与它有关. 整函数的级和下级分别由波莱尔 (Borel, (F.-É.-J.-)E. ) (1897) 和维塔克 (Wittaker, J. M. ) (1933) 所引进.
整函数的下级 (lower order of an entire function) 见“整函数的级”.
整函数的格 (genus of an entire function) 区分整函数增长性的一个量. 设 \( {\left\{ {z}_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 是整函数 \( f\left( z\right) \) 的零点序列,并设存在 \( \lambda > 0 \) ,使得
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left| {z}_{n}\right| }^{-\lambda }
\]
收敛,则有一最小的非负整数 \( k \geq 0 \) ,使得
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left| {z}_{n}\right| }^{-\left( {k + 1}\right) }
\]
收敛. 又设
\[
f\left( z\right) = {z}^{m}{\mathrm{e}}^{g\left( z\right) }\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{\infty }E\left( {z/{z}_{n}, k}\right) ,
\]
其中 \( g\left( z\right) \) 是 \( q\left( { \geq 0}\right) \) 次多项式或 \( 0 \) (此时也认为 \( q = 0) \) ,则 \( f\left( z\right) \) 的格 \( p \) 定义为 \( k \) 和 \( q \) 中较大者. 例如函数
\[
{\mathrm{e}}^{z},\;{\mathrm{e}}^{z}\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {1 - \frac{z}{{n}^{2}}}\right) ,\;\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {1 - \frac{z}{n}}\right) {\mathrm{e}}^{\frac{z}{n}}
\]
的格都是 1 . 对于格为 0 和 1 的整函数有下述类似于多项式的重要定理: 设 \( f\left( z\right) \) 是格为 0 或 1 的实整函数,则在 \( f\left( z\right) \) 的两个零点之间恰有 \( {f}^{\prime }\left( z\right) \) 的一个零点,并且 \( f\left( z\right) \) 和 \( {f}^{\prime }\left( z\right) \) 有相同的格. 整函数的格在某种意义下类似于多项式的次数. 此概念于 1882 年首先由拉盖尔 (Laguerre, M. ) 引进.
皮卡定理 (Picard theorem) 关于整函数的值分布的重要而深刻的定理. 若 \( p\left( z\right) \) 是 \( p \) 次多项式, 则对任意复数 \( a, p\left( z\right) - a \) 在复平面内恰有 \( p \) 个根, 但若把整函数
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{a}_{n}{z}^{n}
\]
看成“无穷高次多项式”, 则并不总具有无穷多个零点, 例如整函数
\[
{\mathrm{e}}^{z} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{1}{n!}{z}^{n}
\]
在复平面内无零点. 而皮卡定理表明这是一例外的情形.
通常将皮卡定理分为两个定理来叙述. 第一定理,亦称为皮卡小定理. 即若一个整函数 \( f\left( z\right) \) 不取两个有限值,则 \( f\left( z\right) \) 必为常数. 第二定理,亦称皮卡大定理, 是关于一个全纯函数在它的一个孤立本质奇点邻域内取值的定理, 即任一全纯函数在其本质奇点的邻域内无穷多次地取到每个有穷复数值, 至多可能除去一个例外值.
皮卡定理有种种证明和推广. 它首先于 1879 年由皮卡 (Picard, (C.-) E. ) 用椭圆模函数的方法证明. 1896 年, 波莱尔 (Borel, (F.-É.-J.-) E. ) 给出一个初等证明.
皮卡定理亦可作为奈望林纳 (Nevanlinna, R. ) 的第二基本定理的推论而得到. 关于亚纯函数的皮卡定理可叙述如下: 超越亚纯函数能取所有值 (有穷或无穷)无穷多次, 至多除去两个例外值.
皮卡小定理 (little Picard theorem) 见“皮卡定理”.
皮卡大定理 (great Picard theorem) 见 “皮卡定理”.
皮卡例外值 (exceptional value of Picard) 整函数理论的一个概念. 使 \( f\left( z\right) - a \) 仅有有限多个零点的值 \( a \) 称为皮卡例外值. 根据皮卡定理,对任一超越整函数至多有一个有穷的皮卡例外值, 对超越亚纯函数至多有两个皮卡例外值,例如, \( {\mathrm{e}}^{z} \) 以 0 为有穷皮卡例外值, \( \sin z \) 无有穷皮卡例外值. 亚纯函数 \( \tan z \) 以 \( \pm \mathrm{i} \) 为皮卡例外值,外尔斯特拉斯椭圆函数 \( \mathcal{P}\left( z\right) \) 无皮卡例外值.
波莱尔定理 (Borel theorem) 关于整函数值分布的重要定理, 1897 年为波莱尔 (Borel, (F. -E. - J. -) E. ) 所证明. 定理叙述如下: 设 \( f\left( z\right) \) 是有穷 \( \rho \) 级整函数,则对一切 \( a \in \mathrm{C} \) 都有
\[
\rho = \mathop{\lim }\limits_{{r \rightarrow \infty }}\frac{\log n\left( {r, a}\right) }{\log r}
\]
(1)
至多可能除去一个例外值 \( a \) . 式中 \( n\left( {r, a}\right) \) 是 \( f\left( z\right) - a \) 在 \( \left| z\right| \leq r \) 内之零点个数 (按重级计算). 此定理大大推进了皮卡定理,因为根据皮卡定理只知道 \( f\left( z\right) - \) \( a \) 有无穷多个根,但并不知道其稠密程度. 波莱尔定理显示了有穷级整函数值分布的对称性, 即除去可能有一个 \( a \) 值以外,所有的 \( a \) 值点数能由函数的增长速度来确定. 关于亚纯函数的波莱尔定理可叙述如下: 设 \( f\left( z\right) \) 是有穷 \( \rho \) 级的亚纯函数,则对一切 \( a \in \) \( \widehat{C} = C \cup \{ \infty \} \) ,都有 (1) 式成立,至多可能除去两个例外的 \( a \) .
波莱尔例外值 (exceptional value of Borel) 整函数亚纯函数理论的一个概念. 使 \( f\left( z\right) - a \) 的零点的收敛指数小于函数的级 |
2000_数学辞海（第3卷） | 37 | 穷的皮卡例外值, 对超越亚纯函数至多有两个皮卡例外值,例如, \( {\mathrm{e}}^{z} \) 以 0 为有穷皮卡例外值, \( \sin z \) 无有穷皮卡例外值. 亚纯函数 \( \tan z \) 以 \( \pm \mathrm{i} \) 为皮卡例外值,外尔斯特拉斯椭圆函数 \( \mathcal{P}\left( z\right) \) 无皮卡例外值.
波莱尔定理 (Borel theorem) 关于整函数值分布的重要定理, 1897 年为波莱尔 (Borel, (F. -E. - J. -) E. ) 所证明. 定理叙述如下: 设 \( f\left( z\right) \) 是有穷 \( \rho \) 级整函数,则对一切 \( a \in \mathrm{C} \) 都有
\[
\rho = \mathop{\lim }\limits_{{r \rightarrow \infty }}\frac{\log n\left( {r, a}\right) }{\log r}
\]
(1)
至多可能除去一个例外值 \( a \) . 式中 \( n\left( {r, a}\right) \) 是 \( f\left( z\right) - a \) 在 \( \left| z\right| \leq r \) 内之零点个数 (按重级计算). 此定理大大推进了皮卡定理,因为根据皮卡定理只知道 \( f\left( z\right) - \) \( a \) 有无穷多个根,但并不知道其稠密程度. 波莱尔定理显示了有穷级整函数值分布的对称性, 即除去可能有一个 \( a \) 值以外,所有的 \( a \) 值点数能由函数的增长速度来确定. 关于亚纯函数的波莱尔定理可叙述如下: 设 \( f\left( z\right) \) 是有穷 \( \rho \) 级的亚纯函数,则对一切 \( a \in \) \( \widehat{C} = C \cup \{ \infty \} \) ,都有 (1) 式成立,至多可能除去两个例外的 \( a \) .
波莱尔例外值 (exceptional value of Borel) 整函数亚纯函数理论的一个概念. 使 \( f\left( z\right) - a \) 的零点的收敛指数小于函数的级的值 \( a \) 称为波莱尔例外值. 它亦能叙述为下面的形式: 设 \( n\left( {r, a}\right) \) 是 \( f\left( z\right) - a \) 在 \( \left| z\right| \leq r \) 内的零点数 (按重级计算),若
\[
\mathop{\lim }\limits_{{r \rightarrow \infty }}\frac{\log n\left( {r, a}\right) }{\log r}
\]
小于 \( f\left( z\right) \) 的级 \( \rho \) ,则称 \( a \) 为 \( f\left( z\right) \) 的波莱尔例外值. 波莱尔定理断言, 对于整函数至多有一个波莱尔例外值, 对亚纯函数至多有两个波莱尔例外值.
茹利亚方向 (Julia direction) 函数值分布的奇异方向. 对于超越整函数 (或超越亚纯函数), 茹利亚方向是复平面 \( \mathrm{C} \) 内由原点出发的具有下述性质的半射线 \( J = \left\{ {z \mid \arg z = {\theta }_{0}}\right\} \) : 在以 \( J \) 为平分角线的任意小开度的角域内, 若是整函数情形, 函数取每一有穷值无穷多次, 至多除去一个例外; 若是亚纯函数情形, 函数取每一值无穷多次, 至多除去两个例外. 茹利亚 (Julia, G. M. ) 于 1919-1921 年应用蒙泰尔 (Montel, P. A. ) 创立的正规族理论证明, 任一超越整函数至少存在一条茹利亚方向. 对于亚纯函数的情形需要对函数 \( f\left( z\right) \) 的增长性加上某些条件,例如满足
\[
\mathop{\lim }\limits_{{r \rightarrow \infty }}\frac{T\left( {r, f}\right) }{{\left( \log r\right) }^{2}} = \infty
\]
的亚纯函数存在一条茹利亚方向,其中 \( T\left( {r, f}\right) \) 是 \( f\left( z\right) \) 的奈望林纳特征函数. 例如正负实轴是 \( \sin z \) 的茹利亚方向.
波莱尔方向 (Borel direction) 函数值分布的奇异方向, 它是从原点出发的具有下述性质的半射线 \( B = \left\{ {z \mid \arg z = {\theta }_{0}}\right\} \) : 设 \( f\left( z\right) \) 是 \( \rho \left( {0 < \rho < + \infty }\right) \) 级亚纯函数,任给 \( \eta > 0 \) ,令 \( n\left( {r,{\theta }_{0},\eta, a}\right) \) 表示在扇形区域 \( \{ z\left| \right| z \mid \leq r\} \cap \{ z\left| \right| \arg z - {\theta }_{0} \mid < \eta \} \) 内 \( f\left( z\right) - a \) 的零点数 \( \left( {a \neq \infty }\right) \) ,或 \( f\left( z\right) \) 的极点数 \( \left( {a = \infty }\right) \) (均按重级计算),则对每个 \( a \in \widehat{\mathrm{C}} \) 有
\[
\mathop{\lim }\limits_{{r \rightarrow \infty }}\frac{\log n\left( {r,{\theta }_{0},\eta, a}\right) }{\log r} = \rho ,
\]
至多除去两个例外值. 此时称 \( B \) 为 \( f\left( z\right) \) 的一条 \( \rho \) 级波莱尔方向, 或简称波莱尔方向. 1928 年, 瓦利隆 (Valiron, G. ) 应用奈望林纳理论和关于多项式的模的布特鲁-嘉当定理, 证明有穷正级的亚纯函数必存在波莱尔方向. 后来也有人称此方向为波莱尔-瓦利隆方向. 例如从原点出发的任一半射线都是外尔斯特拉斯椭圆函数 \( \mathcal{P}\left( z\right) \) 的波莱尔方向.
波莱尔-瓦利隆方向 (direction of Borel-Valiron) 见“波莱尔方向”.
兰道定理 (Landau theorem) 关于全纯函数的重要定理. 它可叙述如下: 设函数 \( f\left( z\right) = {a}_{0} + {a}_{1}z \) \( + {a}_{2}{z}^{2} + \cdots \left( {{a}_{1} \neq 0}\right) \) 在 \( \left| z\right| < R \) 内全纯且在此圆内不取 0 和 1,则 \( R \leq \Omega \left( {{a}_{0},{a}_{1}}\right) \) ,其中 \( \Omega \left( {{a}_{0},{a}_{1}}\right) \) 是仅依赖于 \( {a}_{0} \) 和 \( {a}_{1} \) 的数. 兰道定理能看做是皮卡定理的补充,它表明: 若函数 \( f\left( z\right) \) 有两个皮卡例外值,则其全纯半径有一上界. 有趣的是这个上界仅依赖于 \( f\left( z\right) \) 的泰勒展式的首两项系数. 上述定理首先由兰道 (Landau, E. G. H.) 于 1904 年所证明, 此后有多种证明和推广.
肖特基定理 (Schottky theorem) 关于全纯函数的重要定理. 定理叙述如下: 设 \( f\left( z\right) \) 在 \( \left| z\right| < 1 \) 内全纯并不取 0 和 1 为值,则在 \( \left| z\right| \leq r < 1 \) 内有 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \) \( \leq \Theta \left( {r, f\left( 0\right) }\right) \) ,其中 \( \Theta \left( {r, f\left( 0\right) }\right) \) 是只依赖于 \( r \) 和 \( f\left( 0\right) \) 的数. 而且若 \( \left| {f\left( 0\right) }\right| < A \) ,则在 \( \left| z\right| \leq r < 1 \) 内有 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq \Omega \left( {r, A}\right) \) ,其中 \( \Omega \left( {r, A}\right) \) 是仅依赖于 \( r \) 和 \( A \) 的数. 肖特基定理首先由肖特基 (Schottky, F. H. ) (1904) 所证明.
渐近值 (asymptotic value) 整函数的一种特定极限值. 若存在一条延伸至无穷的路径 \( \Gamma \) ,沿着它函数 \( f\left( z\right) \) 趋于一确定的值 \( a \) ,则称 \( a \) 为 \( f\left( z\right) \) 的一渐近值, \( \Gamma \) 是相应于 \( a \) 的定值路径或称渐近路径. 艾弗森 (Iversen, F. ) 于 1914 年曾证明, \( \infty \) 是每个非常数整函数的渐近值. 此外阿尔福斯 (Ahlfors, L. V. ) 于 1930 年曾证明当儒瓦 (Denjoy, A. ) 的下述猜测: 有穷 \( \rho \) 级的整函数至多有 \( {2\rho } \) 个有穷渐近值. 为此阿尔福斯于 1936 年获得了首届菲尔兹奖.
渐近路径 (asymptotic path) 见“渐近值”.
亚纯函数值分布理论 (theory of value distribution of meromorphic functions) 亚纯函数理论中具有深刻而完美理论的一个分支. 设 \( w\left( z\right) \) 为复平面 \( \mathrm{C} \) 上的亚纯函数,令
\[
n\left( {r, a}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} n\left( {r,\frac{1}{w - a}}\right) & \left( {a \neq \infty }\right) , \\ n\left( {r, w}\right) & \left( {a = \infty }\right) \end{array}\right.
\]
表示圆 \( \left| z\right| < r \) 内 \( w\left( z\right) \) 的 \( a \) 值点个数 (按重级计算),若 \( w\left( 0\right) \neq a,\infty \) ,则 \( w\left( z\right) \) 的 \( a \) 值点密指量定义为
\( N\left( {r, a}\right) \)
\[
= \left\{ \begin{array}{ll} N\left( {r,\frac{1}{w - a}}\right) = {\int }_{0}^{r}\frac{n\left( {t, a}\right) }{t}\mathrm{\;d}t & \left( {a \neq \infty }\right) , \\ N\left( {r, w}\right) = {\int }_{0}^{r}\frac{n\left( {t, w}\right) }{t}\mathrm{\;d}t & \left( {a = \infty }\right) . \end{array}\right.
\]
奈望林纳引入特征函数
\[
T\left( {r, w}\right) = m\left( {r, w}\right) + N\left( {r, w}\right) ,
\]
其中
\[
m\left( {r, w}\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }{\log }^{ + }\left| {w\left( {r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }\right| \mathrm{d}\theta ,
\]
\[
{\log }^{ + }\left| \alpha \right| = \max \{ 0,\log \left| \alpha \right| \} .
\]
进一步定义 \( w\left( z\right) \) 关于 \( a \) 的亏量为
\[
\delta \left( a\right) = 1 - \mathop{\lim }\limits_{{r \rightarrow \infty }}\frac{N\left( {r, a}\right) }{T\left( {r, w}\right) }.
\]
如果 \( \delta \left( a\right) > 0 \) ,则称 \( a \) 为亏值. 由第二基本定理可得下述重要的亏量关系, 即至多有可数多个亏值, 且总亏量满足
\[
\mathop{\sum }\limits_{{a \in C}}\delta \left( a\right) \leq 2
\]
近代亚纯函数值分布理论亦称奈望林纳理论, 是由芬兰数学家奈望林纳 (Nevanlinna, R. ) 于 20 世纪 20 年代创立的. 他还建立了两个基本定理且引入新的概念, 使得已有的理论或呈现崭新的面貌, 或得到重要的推广. 亚纯函数奈望林纳理论还被推广于代数体函数、亚纯曲线和多复变亚纯映射等方面, 并且成为研究复域常微分方程解析理论的有力工具.
奈望林纳理论 (Nevanlinna theory) 即近代亚纯函数值分布理论. 见 “亚纯函数值分布理论”.
亚纯函数的特征函数 (the charateristic func-
tion of a meromorphic function) 见“亚纯函数值分布理论”.
第一基本定理 (the first fundamental theorem) 亚纯函数奈望林纳理论的重要定理. 设 \( w\left( z\right) \) 为亚纯函数, \( a \) 值点的密指量为 \( N\left( {r, a}\right) \) ,关于 \( a \) 的平均中值函数定义为
\[
m\left( {r, a}\right) = m\left( {r,\frac{1}{w - a}}\right)
\]
\[
= \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }{\log }^{ + }\frac{1}{\left| w\left( r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right) - a\right| }\mathrm{d}\theta \left( {a \neq \infty }\right) ,
\]
\( m\left( {r,\infty }\right) = m\left( {r, w}\right) \)
\[
= \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }{\log }^{ + }\left| {w\left( {r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }\right| \mathrm{d}\theta \;\left( {a = \infty }\right) .
\]
则有如下的第一基本定理: 对任意的 \( a \in \mathrm{C} \) ,
\[
m\left( {r, a}\right) + N\left( {r, a}\right) = T\left( {r, w}\right) + O\left( 1\right) .
\]
第二基本定理 (the second fundamental theorem) 亚纯函数奈望林纳理论中重要定理. 设 \( w\left( z\right) \) 为亚纯函数, \( {a}_{k}\left( {k = 1,2,\cdots, p}\right) \) 是 \( p\left( { > 2}\right) \) 个互异的复数 (有穷或无穷), 则有第二基本定理如下:
\[
\left( {p - z}\right) T\left( {r, w}\right) \leq \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{p}N\left( {r,{a}_{k}}\right)
\]
\[
- {N}_{1}\left( {r, w}\right) + S\left( {r, w}\right) ,
\]
其中 \( {N}_{1}\left( {r, w}\right) \) 是重值点数目函数, \( S\left( {r, w}\right) \) 为余项, 满足 \( S\left( {r, w}\right) = O\left( {\log {rT}\left( {r, w}\right) }\right) \left( {r \rightarrow \infty }\right) \) .
亏值 (defective value) 见“亚纯函数值分布理论”.
亏量 (deficiency) 见“亚纯函数值分布理论”.
亏量关系 (defect relation) 见“亚纯函数值分布理论”.
亚纯函数的增长级 (growth order of a meromorphic function) 量度亚纯函数增长性的特征量. 设 \( w\left( z\right) \) 为亚纯函数,令 \( T\left( {r, w}\right) \) 为奈望林纳特征函数, 则
\[
\rho = \mathop{\lim }\limits_{{R \rightarrow \infty }}\frac{\log T\left( {r, w}\right) }{\log r},
\]
\[
\lambda = \mathop{\lim }\limits_{{\bar{R} \rightarrow \infty }}\frac{\log T\left( {r, w}\right) }{\log r}
\]
分别称为亚纯函数 \( w\left( z\right) \) 的级和下级.
正规族 (normal family) 具有某种收敛性质的函数族. 定义如下: 在一个区域 \( D \) 的一个全纯函数族 \( F \) 称为在 \( D \) 内为正规,如果从 \( F \) 的每一个函数序列 \( {f}_{n}\left( z\right) \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) 都可以选出一个子序列 \( {f}_{{n}_{k}}\left( z\right) \) \( \left( {k = 1,2,\cdots }\right) \) ,使得它在 \( D \) 的内部一致收敛到一个全纯函数或一致发散到 \( \infty \) .
一个全纯函数族 \( F \) 在一个区域 \( D \) 内为正规的一个充分条件都称为正规性定则. 蒙泰尔 (Montel, P. A. ) 指出: 如果 \( F \) 是区域 \( D \) 内一致有界的全纯函数族,则 \( F \) 是正规族. 经过进一步的研究,蒙泰尔证明了 “ \( F \) 中的函数在 \( D \) 内均不取二固定的有穷值 \( a \) 及 \( b \) ”是一个正规性定则. 由蒙泰尔的这个重要的正规性定则, 很容易推出皮卡的小定理及大定理, 由它还很容易推出肖特基定理及兰道定理. 为了说明蒙泰尔的这个正规性定则的另一个应用, 先引进下列定义: 设 \( F \) 为在一区域 \( D \) 的一个全纯函数族并考虑 \( D \) 内一点 \( {z}_{0} \) ,如果存在一个以 \( {z}_{0} \) 为中心的圆 \( C \) ,使在 \( C \) 内 \( F \) 为正规,则称 \( F \) 在 \( {z}_{0} \) 为正规. 显然,如果 \( F \) 在 \( D \) 内为正规,那么, \( F \) 在 \( D \) 内每点为正规. 反过来,如果 \( F \) 在 \( D \) 内每一点为正规,那么 \( F \) 在 \( D \) 为正规. 因此,假定已知 \( F \) 在 \( D \) 为不正规,那么至少存在 \( D \) 内一点 \( {z}_{0} \) ,使 \( F \) 在 \( {z}_{0} \) 不正规,这样的点 \( {z}_{0} \) 称为一茹利亚点. 根据最后这个事实及上述蒙泰尔的正规性定则, 茹利亚 (Julia, G. M. ) 证明了下列定理: 如果 \( f\left( z\right) \) 是一个超越整函数,那么,最少存在一条茹利亚方向.
正规族的理论有广泛的应用, 它是蒙泰尔于 1912 年引进的. 蒙泰尔引进正规族的概念之后, 又进一步引进了拟正规族的概念 (参见 “拟正规族”). 利用正规族和拟正规族两个概念, 蒙泰尔推广了维塔利 (Vitali, G. ) 的一个定理. 经过卡拉西奥多里 (Carathéodory, C. )、兰道 (Landau, E. G. H. )、蒙泰尔及奥斯特洛夫斯基 (Ostrowski, A. M. ) 的工作, 亚纯函数正规族理论也已建立起来. 如果一致收敛性是用球面距离来定义, 那么, 亚纯函数的正规族的定义如下: 在一个区域 \( D \) 的一个亚纯函数族 \( F \) 称为在 \( D \) 内为正规,如果从 \( F \) 的每一函数序列 \( {f}_{n}\left( z\right) \) \( \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) ,都可以选出一个子序列 \( {f}_{{n}_{k}}\left( z\right) (k = 1 \) , \( 2,\cdots ) \) 在 \( D \) 的内部一致收敛. 关于亚纯函数族蒙泰尔的正规性定则是: \( F \) 中的函数在 \( D \) 内均不取三个固定的值 \( a, b \) 及 \( c \) (有穷或无穷). 类似地可给出亚纯函数拟正规族的定义.
全纯函数正规族及亚纯函数正规族理论已经发展到了完善的地步. 这个理论中的一个重要研究课题是寻求新的正规性定则, 在这方面 |
2000_数学辞海（第3卷） | 38 | . 显然,如果 \( F \) 在 \( D \) 内为正规,那么, \( F \) 在 \( D \) 内每点为正规. 反过来,如果 \( F \) 在 \( D \) 内每一点为正规,那么 \( F \) 在 \( D \) 为正规. 因此,假定已知 \( F \) 在 \( D \) 为不正规,那么至少存在 \( D \) 内一点 \( {z}_{0} \) ,使 \( F \) 在 \( {z}_{0} \) 不正规,这样的点 \( {z}_{0} \) 称为一茹利亚点. 根据最后这个事实及上述蒙泰尔的正规性定则, 茹利亚 (Julia, G. M. ) 证明了下列定理: 如果 \( f\left( z\right) \) 是一个超越整函数,那么,最少存在一条茹利亚方向.
正规族的理论有广泛的应用, 它是蒙泰尔于 1912 年引进的. 蒙泰尔引进正规族的概念之后, 又进一步引进了拟正规族的概念 (参见 “拟正规族”). 利用正规族和拟正规族两个概念, 蒙泰尔推广了维塔利 (Vitali, G. ) 的一个定理. 经过卡拉西奥多里 (Carathéodory, C. )、兰道 (Landau, E. G. H. )、蒙泰尔及奥斯特洛夫斯基 (Ostrowski, A. M. ) 的工作, 亚纯函数正规族理论也已建立起来. 如果一致收敛性是用球面距离来定义, 那么, 亚纯函数的正规族的定义如下: 在一个区域 \( D \) 的一个亚纯函数族 \( F \) 称为在 \( D \) 内为正规,如果从 \( F \) 的每一函数序列 \( {f}_{n}\left( z\right) \) \( \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) ,都可以选出一个子序列 \( {f}_{{n}_{k}}\left( z\right) (k = 1 \) , \( 2,\cdots ) \) 在 \( D \) 的内部一致收敛. 关于亚纯函数族蒙泰尔的正规性定则是: \( F \) 中的函数在 \( D \) 内均不取三个固定的值 \( a, b \) 及 \( c \) (有穷或无穷). 类似地可给出亚纯函数拟正规族的定义.
全纯函数正规族及亚纯函数正规族理论已经发展到了完善的地步. 这个理论中的一个重要研究课题是寻求新的正规性定则, 在这方面, 布洛赫 (Bloch, A.) 的下列猜测很有指导意义: 如果 \( p \) 是一个性质, 非常数的整函数 (或非常数的亚纯函数) 不具有性质 \( p \) ,那么,在一个区域内具有性质 \( p \) 的全纯函数族 (或亚纯函数族) 是正规的. 这个猜测在一些例子中都是对的, 例如与关于整函数的刘维尔 (Li-oville, J. ) 定理相应的是以上蒙泰尔的关于一致有界的全纯函数族的定理, 与关于整函数的皮卡定理相应的是以上蒙泰尔的关于有两个有穷例外值的全纯函数族的定则.
全纯函数正规族 (normal family of holomorphic functions) 见“正规族”.
亚纯函数正规族 (normal family of meromorphic functions) 见“正规族”.
正规性定则 (criterion for normality) 判断一个全纯函数族或亚纯函数族在一区域为正规的充分条件. 见“正规族”.
布洛赫猜测(Bloch conjecture) 见“正规族”.
茹利亚点 (Julia point) 函数值分布理论中一类具有特殊函数论性质的点. 如果在一个区域 \( D \) 的一个全纯函数族 (或亚纯函数族) 在 \( D \) 内一点 \( {z}_{0} \) 为非正规,则 \( {z}_{0} \) 称为一茹利亚点 (参见 “正规族”).
拟正规族 (quasi-normal family) 正规族概念的一种推广. 在拟正规族的定义中不要求子序列 \( {f}_{{n}_{k}}\left( z\right) \left( {k = 1,2,\cdots }\right) \) 在 \( D \) 的内部一致收敛,而只要求除去 \( D \) 内有穷个点 (或无穷个点但在 \( D \) 内没有凝聚点), 在所余的区域内部一致收敛 (参见 “正规族”).
代数体函数 (algebroidal function) 亚纯函数或代数函数的推广. 设 \( M \) 为亚纯函数域, \( M\left\lbrack x\right\rbrack \) 表示系数为 \( M \) 的多项式环,则代数体函数域 \( A \) 是 \( M\left\lbrack x\right\rbrack \) 的代数闭包,即任一个 \( w \in A \) ,存在 \( F \in M\left\lbrack x\right\rbrack \) ,使得
\[
F\left( w\right) = {S}_{\nu }{w}^{\nu } + \cdots + {S}_{0} = 0,
\]
(1)
其中 \( {S}_{j}\left( {j = 0,1,2,\cdots ,\nu }\right) \in M \) ,或者经通分后 \( w \) 满足下述不可约方程
\[
\psi \left( {z, w}\right) \equiv {A}_{v}\left( z\right) {w}^{v} + {A}_{v - 1}\left( z\right) {w}^{v - 1}
\]
\[
+ \cdots + {A}_{0}\left( z\right) = 0,
\]
(2)
其中 \( {A}_{j}\left( z\right) \left( {j = 0,1,\cdots ,\nu }\right) \) 是 \( z \) 的整函数 (通常考虑 \( {A}_{j}\left( z\right) \) 中至少有一个为超越函数的情形). 特别地,当 \( \nu = 1 \) 时, \( w\left( z\right) \) 为亚纯函数; 当 \( {A}_{j}\left( z\right) \left( {j = 0,1,\cdots ,\nu }\right) \) 都为多项式时, \( w\left( z\right) \) 为代数函数.
代数体函数首先由庞加莱 (Poincaré, (J. -) H. ) 所引入, 其后班勒卫 (Painlevé, P. )、布特鲁 (Boutroux, P. L.) 和马尔姆奎斯特 (Malmquist, J. ) 等人研究常微分方程时遇到此类函数. 如同亚纯函数一样, 代数体函数的主要研究内容之一是它的值分布理论. 最早由雷蒙多斯 (Rémoundos, G. ) (1927) 推广了皮卡定理,他证明了 \( \nu \) 值代数体函数至多有 \( {2\nu } \) 个皮卡例外值,并指出存在具有 \( {2\nu } \) 个皮卡例外值的代数体函数. 其后瓦利隆 (Valiron, G. ) (1929)、乌利希 (Ullricn, E. ) (1931) 和塞尔贝格 (Selberg, A. ) \( \left( {{1930} - {1934}}\right) \) 分别用不同的方法对代数体函数建立了相当于亚纯函数奈望林纳理论的基本定理, 即代数体函数的第一基本定理和第二基本定理. 根据第二基本定理可以得到代数体函数的亏量关系以及重值和惟一性定理等重要结果. 1933 年,嘉当 (Cartan, H. ) 讨论了 \( p\left( { \geq 2}\right) \) 个全纯函数的线性组合 \( {a}_{1}{g}_{1}\left( z\right) + {a}_{2}{g}_{2}\left( z\right) + \cdots + {a}_{p}{g}_{p}\left( z\right) \) 的零点分布问题. 特别地,当取 \( {a}_{j} = {a}^{j - 1}(j = 1,2,\cdots, p = \nu + \) 1) 时,则相当于考虑 \( \nu \) 值代数体函数的值分布. 因此嘉当的讨论能导出代数体函数的基本结果.
亚纯函数分解论 (factorization theory of meromorphic function) 研究亚纯函数在复合意义下分解性质的理论, 它主要探讨对于一个给定的亚纯函数可否以及如何将它分解成为两个或两个以上的非双线性亚纯函数的复合. 1952 年, 罗森布弄姆 (Rosenbloom, P. C. )将整函数迭代的不动点的结果推广到两个整函数复合时不动点的存在性与数量的研究时, 首先提出了整函数的 “分解”一词及素函数的定义,并指出函数 \( {\mathrm{e}}^{z} + z \) 为一素函数. 1968 年,贝克 (Baker, I. N.) 与格罗斯 (Gross, F. ) 正式证明了: 对任一非常数多项式 \( p\left( z\right) ,{\mathrm{e}}^{z} + p\left( z\right) \) 为素函数. 同年格氏还将分解研究推广到亚纯函数族. 几乎同时, 在 1972 年左右, 格罗斯与杨重骏 (Yang, C. C. )、 哥尔德斯坦 (Goldstein, R. ) 及普罗科波维奇 (Prokopovich, G. S. ) 等人分别用不同的方法, 解决对函数族 \( {p}_{1}\left( z\right) {\mathrm{e}}^{{p}_{2}\left( z\right) } + {p}_{3}\left( z\right) \left( {{p}_{1},{p}_{2},{p}_{3}}\right. \) 皆为多项式, \( {p}_{1}\left( z\right) ≢ 0,{p}_{3}\left( z\right) \) 及 \( {p}_{2}\left( z\right) ≢ \) 常数) 的分解问题.
经过美、中、日、苏、德、英等国的一些复变函数专家 20 多年的努力, 函数分解论研究有了多方面的进展. 但迄今为止, 具有较重大意义的分解论的结论并不多. 一般仅是一些素函数族的建造, 拟素函数的判定法则, 及建造某些具分解惟一性的整函数族等, 而像素函数的必要条件和因子为素函数的超越整函数的分解是否 (在等价意义下) 具惟一性等基本问题仍尚待解决及突破.
目前, 研究一个函数能否分解, 除从其本身 (或其导函数) 的特殊性质, 如其增长性、周期性、零点的分布、有无亏值或是否满足某些特殊形式的微分方程等来着手外, 还要配合因子增长受函数本身增长之限制, 使得所考虑的因子范围有所界定. 因此, 分解论研究很自然地以古典函数论及奈望林纳 (Nevanlinna, R. ) 的值分布论为主要理论工具. 这既可解决分解论的一些问题, 又使值分布论得到了充实. 例如函数与其因子间的增长关系的一些改进结果, 函数方程的一些简化形式及复合函数不动点的数量估计等.
1970 年,罗森布弄姆曾提出如下的猜测: 设 \( f \) , \( g \) 为非线性整函数,如果 \( f\left( g\right) \) 为超越的,则它必有无穷多个不动点. 上述猜测相当于称对任何非常数整函数 \( \alpha \left( z\right) \) 及多项式 \( p\left( z\right) \left( { ≢ 0}\right), z + p\left( z\right) {\mathrm{e}}^{\alpha \left( z\right) } \) 必为素函数. 此猜测在 \( f\left( g\right) \) 为有穷级时已在前面提到的对 \( {p}_{1}\left( t\right) {\mathrm{e}}^{{p}_{2}\left( z\right) } + {p}_{3}\left( z\right) \) 的分解研究中得到了解决. \( f\left( g\right) \) 为无穷级的情形,直到 1988 年才由伯格维诺 (Bergweiler, W. ) 所解决. 除此较重大的成果外, 另一是早先施泰因梅茨 (Steinmetz, N. ) 于 1980 年所证明的: 任何一个满足系数为多项式的线性常微分方程的亚纯函数解必为拟素的. 从此开启了人们对常微分方程亚纯函数解的分解讨论并取得一系列进展. 施氏所用的函数方程简化定理成为分解论中的一个重要方法.
最近, 中国数学家已开始对代数体函数的分解及多变数整函数的分解进行研究, 给出了初步的定义和结果.
亚纯函数因式分解 (factorization of meromorphic function) 亚纯函数在复合意义下的分解. 设 \( F\left( z\right) \) 为一亚纯函数,若 \( F\left( z\right) \) 可表为
\[
F\left( z\right) = f\left( {g\left( z\right) }\right) \equiv f \circ g\left( z\right) ,
\]
（1）
\( f, g \) 为亚纯函数; 或一般地
\[
F\left( z\right) = {f}_{1} \circ {f}_{2} \circ \cdots \circ {f}_{n}\left( z\right) ,
\]
(2)
\( {f}_{i}\left( z\right) \left( {1 \leq i \leq n}\right) \) 皆为亚纯函数,(1) 及 (2) 皆称为 \( F \) 的因式分解或称分解. 特别地,若 \( F \) 的分解形式 (2) 中每一个因子 \( {f}_{i} \) 皆为非双线性亚纯函数时,则称之为一非平凡分解. (1) 式的分解中, \( f \) 称为左因子, \( g \) 称为右因子.
非平凡分解 (non-trivial factorization) 见 “亚纯函数因式分解”.
左因子(left factor) 见“亚纯函数因式分解”.
右因子 (right factor) 见 “亚纯函数因式分解”.
素函数 (prime function) 函数分解论中一类具特殊性质的函数. 设 \( F\left( z\right) \) 为一亚纯函数,若 \( F \) 的任一个分解式 \( f \circ g \) 中,必导致 \( f \) 或 \( g \) 为一双线性函数时,则称 \( F \) 为素函数. 特别地, \( F\left( z\right) \) 为一整函数, 若因子皆为整函数的任一分解,必导致 \( f \) 或 \( g \) 为线性因子时,则称 \( F \) 为 \( E \) 素的. 已经证明,凡是一个非周期性的 \( E \) 素的整函数也必为素的.
## \( E \) 素函数 ( \( E \) -prime function) 见“素函数”.
左素函数 (left prime function) 亚纯函数分解论中的一个概念. 设 \( F\left( z\right) \) 为一亚纯函数,若 \( F\left( z\right) \) 的每一形如 \( F\left( z\right) = f\left( {g\left( z\right) }\right) \) 的分解,当 \( g \) 为超越函数时, \( f \) 必为双线性的 (当 \( f \) 为超越函数时, \( g \) 必为双线性的),则称 \( F \) 为左 (右) 素函数.
右素函数 (right prime function) 见 “左素函数”.
等价分解 (equivalent factorization) 函数分解论中讨论分解惟一性时的重要概念. 设 \( F\left( z\right) \) 为一超越整函数, 具有两个非平凡分解:
\[
F\left( z\right) = {f}_{1} \circ {f}_{2} \circ \cdots \circ {f}_{m}\left( z\right)
\]
\[
= {g}_{1} \circ {g}_{2} \circ \cdots \circ {g}_{n}\left( z\right) ,
\]
若 \( m = n \) 及存在有 \( n - 1 \) 个双线性函数 \( {T}_{j}(j = 1,2 \) , \( \cdots, n - 1 \) ) 使得
\[
\left\{ \begin{array}{l} {f}_{1} = {g}_{1} \circ {T}_{1}^{-1}, \\ {f}_{2} = {T}_{1} \circ {g}_{2} \circ {T}_{2}^{-1},\cdots ,{f}_{n} = {T}_{n - 1} \circ {g}_{n}, \end{array}\right.
\]
则称上述分解为等价的.
分解惟一性 (uniqueness of factorization) 函数分解论中研究的重要性质之一. 若一亚纯函数 \( F\left( z\right) \) 的任两个非平凡分解皆为等价时,则称 \( F \) 具有分解惟一性. 由于 \( {z}^{6} = {z}^{2} \circ {z}^{3} = {z}^{3} \circ {z}^{2} \) 为明显的两个非等价的分解, 所以为避免混淆及复杂性, 现考虑因子皆为超越整函数, 并且因子为素的情形来讨论分解惟一性. 即 \( F\left( z\right) \) 为一超越整函数且 \( F \) 可表为
\[
F = {f}_{1} \circ {f}_{2} \circ \cdots \circ {f}_{n} = {g}_{1} \circ {g}_{2}\cdots \circ {g}_{m},
\]
其中 \( {f}_{i} \) 及 \( {g}_{j} \) 等皆为超越的素整函数,若上述两种分解等价,则称 \( F \) 具有分解惟一性.
## 黎曼曲面
解析开拓 (analytic continuation) 扩大解析函数定义域的概念. 如果函数 \( f\left( z\right) \) 在复数平面的区域 \( G \) 内解析,函数 \( F\left( z\right) \) 在复数平面的区域 \( {G}^{ * } \) 内解析, \( G \) 为 \( {G}^{ * } \) 的真子集,且在 \( G \) 内有 \( F\left( z\right) = f\left( z\right) \) ,则称函数 \( F\left( z\right) \) 是函数 \( f\left( z\right) \) 从 \( G \) 到 \( {G}^{ * } \) 的解析开拓. 如果 \( G,{G}^{ * }, f\left( z\right) \) 均给定,满足条件的函数 \( F\left( z\right) \) 存在,则它必然是惟一的.
解析开拓原理 (principle of analytic continuation) 扩大解析函数定义域的原理. 设平面上的区
域 \( {D}_{1} \) 与 \( {D}_{2} \) 有一公共部分 \( d \) ,函数 \( {f}_{1}\left( z\right) \) 在 \( {D}_{1} \) 内解析,函数 \( {f}_{2}\left( z\right) \) 在 \( {D}_{2} \) 内解析,且在 \( d = {D}_{1} \cap {D}_{2} \) 上有 \( {f}_{1}\left( z\right) = {f}_{2}\left( z\right) \) ,则函数
\[
F\left( z\right) = \left\{ \begin{array}{ll} {f}_{1}\left( z\right) & \left( {z \in {D}_{1} \smallsetminus d}\right) , \\ {f}_{2}\left( z\right) & \left( {z \in {D}_{2} \smallsetminus d}\right) , \\ {f}_{1}\left( z\right) = {f}_{2}\left( z\right) & \left( {z \in d}\right) \end{array}\right.
\]
是区域 \( D = {D}_{1} \cup {D}_{2} \) 上的单值解析函数.
解析元素 (analytic element) 亦称函数元素. 是单值解析函数及其定义域组成的二元组. 设 \( D \) 是复平面上的一个区域, \( f\left( z\right) \) 是区域 \( D \) 内的单值解析函数,则函数 \( f\left( z\right) \) 和区域 \( D \) 的组合称为一个解析元素,记为 \( \{ D, f\left( z\right) \} \) . 解析元素亦称解析函数元素,或简称函数元素.
函数元素 (function element) 即 “解析元素”.
直接解析开拓 (direct analytic continuation) 满足解析开拓原理的两解析元素. 若给定两个解析元素 \( \left\{ {{D}_{1}, f\left( z\right) }\right\} \) 及 \( \left\{ {{D}_{2}, f\left( z\right) }\right\} ,{D}_{1} \) 和 \( {D}_{2} \) 互不包含, 其公共部分是一区域 \( G \) ,在区域 \( G \) 内有 \( {f}_{1}\left( z\right) \) \( = {f}_{2}\left( z\right) \) ,则称此两个解析函数互为直接解析开拓.
黎曼-施瓦兹对称原理 (Riemann-Schwarz symmetry principle) 亦称黎曼-施瓦兹反射原理. 解析开拓的一种方法. 若 \( D \) 与 \( {D}^{ * } \) 为 \( z \) 平面上的两个区域,它们关于实轴对称, \( D \) 位于上半平面,它们的边界都包含实轴上一线段 \( S;\{ D, f\left( z\right) \} \) 是一个解析元素, \( f\left( z\right) \) 在 \( D \cup S \) 上连续且在 \( S \) 上取实数值,则存在一个函数 \( F\left( z\right) \) ,满足:
1. 在区域 \( D \cup S \cup {D}^{ * } \) 内解析;
2. 在 \( D \) 内有 \( F\left( z\right) = f\left( z\right) \) ;
3. 在 \( {D}^{ * } \) 内有 \( F\left( z\right) = \overline{f\left( \bar{z}\right) } \) ;
则称 \( \left\{ {{D}^{ * },\overline{f\left( \bar{z}\right) }}\right\} \) 是 \( \{ D, f\left( z\right) \} \) 的越过 \( S \) 的直接解析开拓.
黎曼-施瓦兹反射原理 (Riem |
2000_数学辞海（第3卷） | 39 | 析函数元素,或简称函数元素.
函数元素 (function element) 即 “解析元素”.
直接解析开拓 (direct analytic continuation) 满足解析开拓原理的两解析元素. 若给定两个解析元素 \( \left\{ {{D}_{1}, f\left( z\right) }\right\} \) 及 \( \left\{ {{D}_{2}, f\left( z\right) }\right\} ,{D}_{1} \) 和 \( {D}_{2} \) 互不包含, 其公共部分是一区域 \( G \) ,在区域 \( G \) 内有 \( {f}_{1}\left( z\right) \) \( = {f}_{2}\left( z\right) \) ,则称此两个解析函数互为直接解析开拓.
黎曼-施瓦兹对称原理 (Riemann-Schwarz symmetry principle) 亦称黎曼-施瓦兹反射原理. 解析开拓的一种方法. 若 \( D \) 与 \( {D}^{ * } \) 为 \( z \) 平面上的两个区域,它们关于实轴对称, \( D \) 位于上半平面,它们的边界都包含实轴上一线段 \( S;\{ D, f\left( z\right) \} \) 是一个解析元素, \( f\left( z\right) \) 在 \( D \cup S \) 上连续且在 \( S \) 上取实数值,则存在一个函数 \( F\left( z\right) \) ,满足:
1. 在区域 \( D \cup S \cup {D}^{ * } \) 内解析;
2. 在 \( D \) 内有 \( F\left( z\right) = f\left( z\right) \) ;
3. 在 \( {D}^{ * } \) 内有 \( F\left( z\right) = \overline{f\left( \bar{z}\right) } \) ;
则称 \( \left\{ {{D}^{ * },\overline{f\left( \bar{z}\right) }}\right\} \) 是 \( \{ D, f\left( z\right) \} \) 的越过 \( S \) 的直接解析开拓.
黎曼-施瓦兹反射原理 (Riemann-Schwarz reflection principle) 即“黎曼-施瓦兹对称原理”.
对称原理的一般形式 (general form of symmetry principle) 较一般的解析开拓方法. 设区域 \( D \) 位于直线 \( l \) 的一侧,其边界包含 \( l \) 上的某一 (开) 线段 \( S \) . 若函数 \( f\left( z\right) \) 满足条件:
1. \( f\left( z\right) \) 在 \( D \) 内解析,在 \( D \cup S \) 上连续;
2. \( f\left( z\right) \) 在 \( S \) 上的值位于某直线 \( L \) 上;
则存在一函数 \( {F}_{1}\left( z\right) \) 满足条件:
1. \( {F}_{1}\left( z\right) \) 在 \( D \cup {D}^{\prime } \cup S \) 内解析,在 \( D \) 内有 \( {F}_{1}\left( z\right) \) \( = f\left( z\right) \) ,这里 \( {D}^{\prime } \) 是 \( D \) 关于 \( l \) 对称的区域;
2. 若 \( {z}_{1},{z}_{2} \) 是 \( D \cup {D}^{\prime } \cup S \) 内关于 \( l \) 对称的两点; 则 \( {F}_{1}\left( {z}_{1}\right) ,{F}_{1}\left( {z}_{2}\right) \) 是关于 \( L \) 对称的两点.
班勒卫定理 (Painlevé theorem) 关于越过弧线的直接解析开拓. 设 \( \left\{ {{D}_{1},{f}_{1}\left( z\right) }\right\} \) 及 \( \left\{ {{D}_{2},{f}_{2}\left( z\right) }\right\} \) 为两解析元素, 它们满足条件:
1. 区域 \( {D}_{1} \) 与 \( {D}_{2} \) 不相交,但有一段公共边界, 除掉其端点后的开弧记为 \( \Gamma \) ;
2. \( {f}_{1}\left( z\right) \) 在 \( {D}_{1} \cup \Gamma \) 上连续, \( {f}_{2}\left( z\right) \) 在 \( {D}_{2} \cup \Gamma \) 上连续;
3. 在 \( \Gamma \) 上, \( {f}_{1}\left( z\right) = {f}_{2}\left( z\right) \) ;
则 \( \left\{ {{D}_{1} \cup \Gamma \cup {D}_{2}, F\left( z\right) }\right\} \) 也是一个解析元素. 其中,当 \( z \in {D}_{1} \) 时, \( F\left( z\right) = {f}_{1}\left( z\right) \) ; 当 \( z \in \Gamma \) 时, \( F\left( z\right) = {f}_{1}\left( z\right) \) \( = {f}_{2}\left( z\right) \) ; 当 \( z \in {D}_{2} \) 时 \( F\left( z\right) = {f}_{2}\left( z\right) \) ,此时称 \( \left\{ {{D}_{1},{f}_{1}\left( z\right) }\right\} \) 及 \( \left\{ {{D}_{2},{f}_{2}\left( z\right) }\right\} \) 互为越过弧 \( \Gamma \) 的直接解析开拓.
越过弧直接解析开拓 (direct analytic continuation over an arc) 见“班勒卫定理”.
解析开拓链 (analytic continuation chain) 相继为直接解析开拓的解析元素集合. 给定解析元素集
\[
\left\{ {\left\{ {{D}_{1},{f}_{1}\left( z\right) }\right\} ,\left\{ {{D}_{2},{f}_{2}\left( z\right) }\right\} ,\cdots ,\left\{ {{D}_{n},{f}_{n}\left( z\right) }\right\} }\right\} ,
\]
若每一个解析元素都是前一个解析元素的直接解析开拓, 则称这些解析元素组成解析开拓链, 并称 \( \left\{ {{D}_{1},{f}_{1}\left( z\right) }\right\} \) 及 \( \left\{ {{D}_{n},{f}_{n}\left( z\right) }\right\} \) 互为解析开拓.
互为解析开拓 (analytic continuatin of each other) 见“解析开拓链”.
完全解析函数 (complete analytic function) 亦称整体解析函数. 一类大范围的解析函数. 一个解析元素的全部解析开拓所确定的函数称为由这个解析元素生成的完全解析函数,它的定义域 \( G \) 称为它的存在域, \( G \) 的边界称为这个完全解析函数的自然边界. \( G \) 的边界点就是这个完全解析函数的奇点. 一个完全解析函数可能是单值的, 也可能是多值的.
整体解析函数 (global analytic function) 即 “完全解析函数”.
解析函数的自然边界 (natural boundary of analytic function) 见“完全解析函数”.
解析函数的存在域 (existence domain of analytic function) 见“完全解析函数”.
解析函数的奇点 (singular point of analytic function) 函数不解析的点. 若函数 \( f\left( z\right) \) 在点 \( z = a \) 的任一邻域内不能展为泰勒级数,则点 \( z = a \) 称为 \( f\left( z\right) \) 的一个奇点. 一个函数的奇点可以是单值性奇点,也可以是多值性奇点.
解析函数的分支 (branch of analytic function) 由完全 \( \mathcal{F} \) 析函数的一个函数元素在区域内的解析开拓所得的函数元素之全体. 设 \( f\left( z\right) \) 是一个完全解析函数, \( P\left( {z;a}\right) \) 是 \( f\left( z\right) \) 的以区域 \( D \) 内的点 \( a \) 为中心的一个函数元素. 以点 \( a \) 为起点,沿 \( D \) 内的所有曲线进行一切可能的解析开拓所得到的全部函数元素的集合,称为 \( f\left( z\right) \) 在 \( D \) 内的一个由函数元素 \( P(z \) ; \( a) \) 确定的分支. 当 \( D \) 是整个复数平面时, \( f\left( z\right) \) 的分支就是完全解析函数 \( f\left( z\right) \) 本身. 在区域 \( D \) 内全纯的函数,能以 \( D \) 的任一点为中心展开为幂级数,这些幂级数 (函数元素) 的集合, 成为一个解析函数的分支. 当 \( D \) 为单连通区域时,如果以 \( D \) 内的点 \( a \) 为中心的函数元素 \( P\left( {z;a}\right) \) 在 \( D \) 内沿以 \( a \) 为起点的所有曲线都可以解析开拓,则 \( f\left( z\right) \) 在 \( D \) 内由 \( P\left( {z;a}\right) \) 确定的分支是单值的. 这便是单值性定理.
单值性定理 (monodromy theorem) 见 “解析函数的分支”.
解析函数的支点 (branch point of analytic function) 多值解析函数中产生多值性的点. 若围绕以 \( {z}_{0} \) 为中心的充分小的圆周开拓一完全解析函数 \( F\left( z\right) \) ( \( {z}_{0} \) 是孤立奇点) 的解析元素 \( \left\{ {{D}_{1},{f}_{1}\left( z\right) }\right\} \) ,当变点回到原来的位置时,得到不同的解析元素,则称此 \( {z}_{0} \) 点为函数 \( F\left( z\right) \) 的一个支点. 若经有穷圈数的开拓后 \( F\left( z\right) \) 回到开始的元素,而且当 \( z \rightarrow {z}_{0} \) 时, \( F\left( z\right) \) 的各个分支趋于一个有穷或无穷的极限,则称 \( {z}_{0} \) 是 \( F\left( z\right) \) 的一个代数支点. 若经任意圈开拓都不能回到原来的元素,则称 \( {z}_{0} \) 是 \( F\left( z\right) \) 的一个对数支点. 对数支点属于超越支点. 若当 \( z \) 绕支点 \( {z}_{0} \) 一圈时, \( F\left( z\right) \) 的各分支周期性地重复 \( n \) 个值,则称 \( {z}_{0} \) 是 \( F\left( z\right) \) 的一个有限 \( n - 1 \) 阶支点. 具有支点的完全解析函数称为多值解析函数.
代数支点 (algebraic branch point) 见“解析函数的支点”.
对数支点 (logarithmic branch point) 见 “解析函数的支点”.
支点的阶 (order of branch point) 见 “解析函数的支点”.
超越支点 (transcendental branch point) 见 “解析函数的支点”.
多值解析函数 (multi-valued analytic function) 见“解析函数的支点”.
代数函数 (algebraic function) 一类完全解析函数. 指由不可约方程
\[
P\left( {z, w}\right) \equiv {a}_{n}\left( z\right) {w}^{n} + {a}_{n - 1}\left( z\right) {w}^{n - 1}
\]
\[
+ \cdots + {a}_{0}\left( z\right) = 0
\]
(1)
确定的多值函数,其中 \( {a}_{j}\left( z\right) \left( {j = 0,1,\cdots, n}\right) \) 是 \( z \) 的多项式. 从这个 \( w \) 的代数方程可知对每一个 \( z \) 值确定多个 \( w \) 值,因此 \( w = w\left( z\right) \) 是一多值函数. 代数函数是在扩充的复平面 \( \widehat{\mathrm{C}} \) 上仅具有有限多个代数支点和极点的完全解析函数; 反之, 具有上述特征的完全解析函数, 必满足一不可约代数方程, 且除去一个非零常数因子外此方程是惟一的. 相应于代数函数的黎曼曲面是紧致的, 即闭曲面. 此曲面的亏格即定义为代数函数的亏格. 由方程 (1) 联系着的 \( z \) 和 \( w \) 的有理函数 \( R\left( {z, w}\right) \) 之积分
\[
{\int }_{{z}_{0}}^{z}R\left( {z, w}\right) \mathrm{d}z
\]
称为阿贝尔积分,其中 \( w\left( z\right) \) 的值是由 \( {z}_{0} \) 点选定的分支沿积分路径解析开拓而得. 它是一多值函数, 其多值性不仅产生于 \( R\left( {z, w}\right) \) 的残数, \( w\left( z\right) \) 的多值性, 而且还依赖于 \( w\left( z\right) \) 相应的黎曼曲面的拓扑性质. 对于这个积分人们常寻找一系列标准形式, 使得任一这类型的积分能通过适当的变数变换变为其中一个标准形式.
关于阿贝尔积分的研究导致代数函数的单值化问题, 代数函数单值化又引起一般单值化理论的发展. 在这方面, 从 19 世纪下半期到 20 世纪的最初十年, 世界上许多著名数学家如黎曼 (Riemann, G. F. B. )、克莱因 (Klein, (C.) F. )、庞加莱 (Poincaré, J. - H. )、施瓦兹 (Schwarz, H. A. )、诺伊曼 (Neumann, C. G. ) 和克贝 (Koebe, P. ) 等人都做出了重要贡献.
阿贝尔积分 (Abel integral) 见“代数函数”.
椭圆函数 (elliptic function) 一类双周期亚纯函数. 设 \( f\left( z\right) \) 是一亚纯函数,如果 \( f\left( z\right) \) 具有两个比值不为实数的周期 \( {\omega }_{1},{\omega }_{2} \) ,即对一切 \( z \in \mathrm{C} \) ,
\[
f\left( {z + {\omega }_{1}}\right) = f\left( z\right) = f\left( {z + {\omega }_{2}}\right) ,
\]
则称 \( f\left( z\right) \) 为椭圆函数 (参见《数学分析》同名条).
单值化 (uniformization) 求多值对应关系的参数表示. 寻求由不可约方程 \( p\left( {z,\omega }\right) = {a}_{n}\left( z\right) {w}^{n} + \) \( {a}_{n - 1}\left( z\right) {w}^{n - 1} + \cdots + {a}_{0}\left( z\right) = 0 \) (其中 \( {a}_{j}\left( z\right) (j = 1,2 \) , \( \cdots, n) \) 是 \( z \) 的多项式) 所确定的多值对应关系 \( z \leftrightarrow w \) 的一个参数表示 \( z = z\left( t\right), w = w\left( t\right) \) ,使得 \( z = z\left( t\right) \) 和 \( w = w\left( t\right) \) 是 \( \widehat{\mathrm{C}} \) 的子域 \( G \) 上 \( t \) 的单值函数. 一般情形是要寻求由一个完全解析函数所确定的多值对应关系的参数表示. 1908 年, 庞加莱 (Poincaré, (J. -)H. ) 和克贝 (Koebe, P. ) 同时解决了一般单值化的问题. 对于代数函数的单值化的基本结果是: 亏格 \( p = 0 \) 的代数函数由有理函数单值化; 亏格 \( p = 1 \) 的代数函数由双周期椭圆函数单值化; 亏格 \( p \geq 2 \) 时,则由单位圆内对某个富克斯群自守的亚纯函数单值化.
超椭圆曲面 (hyperelliptic surface) 一类特殊的黎曼曲面. 相应于代数函数 \( {w}^{2} = p\left( z\right) \) 的黎曼曲面称为超椭圆曲面,其中 \( p\left( z\right) \) 为 \( z \) 的 \( {2p} + 1 \) 和 \( {2p} + 2 \) 次多项式. 数目 \( p \) 给出代数函数的亏格.
黎曼曲面 (Riemann surface) 一维复解析流形. 由局部定义的解析函数经解析开拓得到的大范围定义的解析函数常常是多值的, 它的单值定义域即是相联于此函数的黎曼曲面. 它能由有限或可数无穷多的 “叶” 所组成, 这些叶都是复平面 \( \mathrm{C} \) 上的域. 抽象黎曼曲面定义为: 一个曲面 \( M \) 连同一个附加的复结构 \( \left\{ \left( {{u}_{\gamma },{h}_{\gamma }}\right) \right\} \) ,并记黎曼曲面 \( R \) \( = \left( {M,\left\{ \left( {{u}_{\gamma },{h}_{\gamma }}\right) \right\} }\right) \) . 这是外尔 (Weyl,(C. H. ) H. ) 首先提出的. 这里复结构 \( \left\{ \left( {{u}_{\gamma },{h}_{\gamma }}\right) \right\} \) 是指开集族 \( \left\{ {u}_{\gamma }\right\} \) 是 \( M \) 的一开覆盖,即 \( M = \cup {u}_{\gamma },{h}_{\gamma } \) 是 \( {u}_{\gamma } \) 到复平面开集 \( {V}_{\gamma } \) 的同胚映射,亦称局部参数或局部坐标,并且相邻两个局部参数的定义域的交集上, 其中一个参数是另一个参数的解析函数. 黎曼曲面上定义的函数称为解析的 (或调和的或次调和的), 如果在每个参数邻域内它表示为局部参数的解析函数 (或调和或次调和函数). 紧致黎曼曲面称为闭黎曼曲面, 否则为开黎曼曲面.
黎曼曲面理论中具有基本的重要性的定理是单值化定理.
闭黎曼曲面 (closed Riemann surface) 见“黎曼曲面”.
开黎曼曲面 (open Riemann surface) 见“黎曼曲面”.
单值化定理 (uniformization theorem) 黎曼曲面理论中最基本最重要的定理. 定理叙述如下: 任一黎曼曲面必共形等价于下述典型曲面之一:
1. 扩充复平面 \( \widehat{\mathrm{C}} = \mathrm{C} \cup \{ \infty \} \) .
2. 复平面 \( \mathrm{C} \) .
3. 穿洞的复平面 \( \mathrm{C}/\{ 0\} \) .
4. 环面,即 \( \mathrm{C}/\mathcal{L},\mathcal{L} = \left\{ {T\left( z\right) = z + {n}_{1}{w}_{1} + {n}_{2}{w}_{2}}\right. \) , \( \left. {{n}_{1},{n}_{2} \in Z,\operatorname{Im}\left( {{w}_{1}/{w}_{2}}\right) > 0}\right\}, Z \) 表示整数集.
5. 单位圆对某个富克斯群 \( G \) 的商空间 \( D/G \) .
单值化定理表明, 大多数的情形下, 黎曼曲面共形等价于单位圆 \( D \) 对某个富克斯群 \( G \) 的商空间 \( D/G \) . 因此 \( R \) 上的解析函数论等价于定义在 \( D \) 上的对某个富克斯群 \( G \) 自守的函数论. 反之,整个黎曼曲面理论也能以这个特殊的表示为基础进行讨论. 一个经典的问题是: 给定一个 \( D \) 上的富克斯群 \( G \) , 是否存在非常数亚纯函数对于 \( G \) 是自守的,即黎曼曲面上是否存在非常数的亚纯函数.
庞加莱 (Poincaré, (J. -) H. ) 具体构造 \( \Theta \) 级数, 后称为庞加莱级数,以此证明对给定的 \( G \) 是自守的函数的存在. 闭黎曼曲面的一个重要定理是黎曼-罗赫定理, 它给出闭黎曼曲面上亚纯函数构成的线性空间的维数. 两黎曼曲面, 如果存在映一个为另一个的共形映射, 则称它们是共形等价的. 关于闭黎曼曲面的模的黎曼问题称: 亏格为 \( g\left( { > 2}\right) \) 的闭黎曼曲面的共形等价类集合 \( {R}_{g} \) 构成 \( {3g} - 3 \) 维复流形. 这方面基础性的工作是由弗里克 (Fricke, R. ) 和泰希米勒 (Teichmüller, O. ) 所做.
共形等价黎曼曲面 (conformal equivalence Riemann surface) 见“单值化定理”.
黎曼-罗赫定理 (Riemann-Roch theorem) 闭黎曼曲面的重要定理. 设 \( R \) 为闭黎曼曲面, \( R \) 上的除子是如下有限形式和 \( \delta = \sum {n}_{i}{p}_{i}\left( {{n}_{i} \in Z,{p}_{ |
2000_数学辞海（第3卷） | 40 | { {T\left( z\right) = z + {n}_{1}{w}_{1} + {n}_{2}{w}_{2}}\right. \) , \( \left. {{n}_{1},{n}_{2} \in Z,\operatorname{Im}\left( {{w}_{1}/{w}_{2}}\right) > 0}\right\}, Z \) 表示整数集.
5. 单位圆对某个富克斯群 \( G \) 的商空间 \( D/G \) .
单值化定理表明, 大多数的情形下, 黎曼曲面共形等价于单位圆 \( D \) 对某个富克斯群 \( G \) 的商空间 \( D/G \) . 因此 \( R \) 上的解析函数论等价于定义在 \( D \) 上的对某个富克斯群 \( G \) 自守的函数论. 反之,整个黎曼曲面理论也能以这个特殊的表示为基础进行讨论. 一个经典的问题是: 给定一个 \( D \) 上的富克斯群 \( G \) , 是否存在非常数亚纯函数对于 \( G \) 是自守的,即黎曼曲面上是否存在非常数的亚纯函数.
庞加莱 (Poincaré, (J. -) H. ) 具体构造 \( \Theta \) 级数, 后称为庞加莱级数,以此证明对给定的 \( G \) 是自守的函数的存在. 闭黎曼曲面的一个重要定理是黎曼-罗赫定理, 它给出闭黎曼曲面上亚纯函数构成的线性空间的维数. 两黎曼曲面, 如果存在映一个为另一个的共形映射, 则称它们是共形等价的. 关于闭黎曼曲面的模的黎曼问题称: 亏格为 \( g\left( { > 2}\right) \) 的闭黎曼曲面的共形等价类集合 \( {R}_{g} \) 构成 \( {3g} - 3 \) 维复流形. 这方面基础性的工作是由弗里克 (Fricke, R. ) 和泰希米勒 (Teichmüller, O. ) 所做.
共形等价黎曼曲面 (conformal equivalence Riemann surface) 见“单值化定理”.
黎曼-罗赫定理 (Riemann-Roch theorem) 闭黎曼曲面的重要定理. 设 \( R \) 为闭黎曼曲面, \( R \) 上的除子是如下有限形式和 \( \delta = \sum {n}_{i}{p}_{i}\left( {{n}_{i} \in Z,{p}_{i} \in R}\right) \) , 其次数 \( \deg \delta = \sum {n}_{i} \) . 如 \( {n}_{i} \geq 0 \) ,则称 \( \delta \) 为正除子,记 \( \delta \geq 0 \) . 所有除子构成一阿贝尔群. 一除子称为是亚纯函数 \( f \) 或阿贝尔微分 \( \omega \) 的除子,如果 \( \left\{ {p}_{i}\right\} \) 是其所有零点和极点, \( {n}_{i} \) 为零点或 \( - {n}_{i} \) 为极点相应的级,并记 \( \delta = \delta \left( f\right) \) (或 \( \delta = \delta \left( \omega \right) \) ). 又给定 \( \delta \) ,记 \( l\left( \delta \right) \) 为所有亚纯函数使得 \( \delta \left( f\right) + \delta \geq 0 \) 者,它是复域上的线性空间,记其维数为 \( \dim l\left( \delta \right) \) . 黎曼-罗赫定理断言: 亏格为 \( g \) 的闭黎曼曲面上给定一除子 \( \delta \) ,对任意阿贝尔微分除子 \( k \) ,有
\[
\dim l\left( \delta \right) = \dim \left( {k - \delta }\right) + \deg \delta + \left( {1 - g}\right) .
\]
这个基本定理可以导出一系列重要结果. 比如, 闭曲面上存在非常数的亚纯函数和阿贝尔微分; 亏格为 \( g \) 的闭黎曼曲面上第一类阿贝尔微分式所成的线性空间的复维数是 \( g \) ; 任意阿贝尔微分 \( \omega \) 的除子 \( \delta \left( \omega \right) \) 的次数 \( \deg \delta \left( \omega \right) = {2g} - 2 \) 等.
黎曼曲面的亏格 (genus of Riemann surface)
黎曼曲面的重要拓扑不变量. 一闭曲面 (或开曲面) 的一维同调群 (或模理想边界的一维同调群) 之秩是 \( {2g} \) ,则称 \( g \) 为此曲面的亏格. 开曲面的亏格可能为无穷.
阿贝尔微分 (Abel differential) 一类微分式. 闭黎曼曲面 \( R \) 上的亚纯微分 \( \omega \) 称为阿贝尔微分,即 \( \omega \) 用局部参数表示为
\[
\omega = a\left( z\right) \mathrm{d}z,
\]
其中 \( a\left( z\right) \) 为亚纯的. 如 \( a\left( z\right) \) 恒为全纯的,则 \( \omega \) 称为第一类阿贝尔微分; 如 \( a\left( z\right) \) 为亚纯且仅有 2 级极点, 则 \( \omega \) 称为第二类阿贝尔微分; 如 \( a\left( z\right) \) 仅有 1 级极点, 则 \( \omega \) 称为第三类阿贝尔微分.
真间断群 (properly discontinuous group) 一种特殊的单位圆 \( D \) 的解析自同胚群. 所谓真间断群 \( G \) ,是指对任意 \( {z}_{0} \in D \) ,点集 \( \left\{ {r\left( {z}_{0}\right) \mid r \in G}\right\} \) 在 \( D \) 内无聚点.
富克斯群 (Fuchs group) 一类分式线性变换群. 单位圆 \( D \) 内的解析自同构真间断群称为富克斯群.
外尔斯特拉斯点 (Weierstrass point) 黎曼曲面上具有某种特殊函数论性质的点. 设 \( R \) 为黎曼曲面,如 \( p \in R \) 使得存在 \( R \) 上的亚纯函数,它仅以 \( p \) 为极点且重级 \( \leq g \) ,其他点为全纯,则称 \( p \) 为外尔斯特拉斯点,亏格为 \( g\left( { \geq 2}\right) \) 的闭黎曼曲面 \( R \) 的外尔斯特拉斯点的总数 \( n\left( w\right) \) 有下列估计
\[
2\left( {g + 1}\right) \leq n\left( w\right) \leq {g}^{3} - g.
\]
外尔斯特拉斯空隙定理称: 设 \( R \) 为亏格 \( g > 0 \) 的闭黎曼曲面, \( p \in R \) 为任一点,则存在且仅存在 \( g \) 个整数 \( 1 = {n}_{1} < {n}_{2} < \cdots < {n}_{g} < {2g} \) ,使得不存在 \( R \) 上的亚纯函数,它在 \( R \smallsetminus \{ p\} \) 上为全纯,而以 \( p \) 点为 \( {n}_{i} \) 级极点.
外尔斯特拉斯空隙定理 (Weierstrass gap theorem) 见“外尔斯特拉斯点”.
覆盖曲面 (covering surface) 黎曼曲面理论中引进的重要概念. 设 \( R \) 和 \( \widetilde{R} \) 为两曲面,如存在 \( \widetilde{R} \) 到 \( R \) 的映射 \( \sigma \) ,使得对每一点 \( \widetilde{p} \in \widetilde{R} \) ,存在一个邻域 \( \widetilde{U} \) , 而 \( \sigma \) 在 \( \widetilde{U} \) 上的限制是 \( \widetilde{U} \) 到 \( p = \sigma \left( \widetilde{p}\right) \) 的一个邻域 \( U \) 的拓扑映射,此时称 \( \widetilde{R} \) 为 \( R \) 的光滑覆盖曲面. \( \sigma \) 为投影映射, \( \widetilde{p} \) 是 \( p \) 上的点, \( p \) 为 \( \widetilde{p} \) 的投影. 设 \( \widetilde{r} \) 和 \( r \) 分别是 \( \widetilde{R} \) 和 \( R \) 上的曲线,若 \( \sigma \left( \widetilde{r}\right) = r \) ,则称 \( \widetilde{r} \) 是 \( r \) 的提升. 若对任意的 \( R \) 上的曲线 \( r \) 和 \( r \) 的起始点上的任意点 \( \widetilde{p}, r \) 的以 \( \widetilde{p} \) 为起始点的提升总存在,则称 \( \widetilde{R} \) 为 \( R \) 的非限覆盖曲面. 对光滑覆盖曲面,提升不是恒存在的, 但如存在则是惟一的. 单值性定理称: 若 \( \widetilde{R} \) 是 \( R \) 的非限覆盖曲面, \( {r}_{1} \) 和 \( {r}_{2} \) 为 \( R \) 上任两个同伦曲线,它们的以共同起始点 \( {p}_{0} \) 上的一点 \( {\widetilde{p}}_{0} \) 为起始点的提升分别为 \( {\widetilde{r}}_{1} \) 和 \( {\widetilde{r}}_{2} \) ,则它们亦有相同的终点, 且是同伦的. 投影映射作为连续映射诱导 \( \widetilde{R} \) 的基本群 \( \widetilde{F} \) 与 \( R \) 的基本群 \( F \) 的子群 \( G \) 同构,并称 \( G \) 为 \( \widetilde{F} \) 的迹群,记为 \( G = \sigma \left( \widetilde{F}\right) \) . 反之,对 \( R \) 的基本群 \( F \) 的任意子群 \( G \) ,恒存在一个非限覆盖曲面 \( \widetilde{R} \) ,使得其基本群 \( \widetilde{F} \) 的迹群为 \( G \) . 若 \( G \) 只包含 \( F \) 的么元素 \( e \) ,则相应的覆盖曲面称为万有覆盖曲面. 它是单连通的覆盖曲面.
提升(lifting) 见“覆盖曲面”.
迹群 (trace group) 见 “覆盖曲面”.
光滑覆盖曲面 (smooth covering surface) 见 “覆盖曲面”.
非限覆盖曲面 (unlimited covering surface) 见“覆盖曲面”.
万有覆盖曲面 (universal covering surface) 见“覆盖曲面”.
自守函数 (automorphic function) 自变数在某个变换群作用下函数值不变的解析函数. 如一解析函数 \( f\left( z\right) \) (允许有极点) 的变元经某分式线性变换群 \( T = \left\{ {{T}_{n}\left( z\right) }\right\} \) (有限或可数个元) 中的元代换后仍得出原来的函数, 即
\[
f\left( {{T}_{n}\left( z\right) }\right) = f\left( z\right) \;\left( {{T}_{n} \in T}\right) ,
\]
则称 \( f\left( z\right) \) 为关于群 \( T \) 的自守函数. 这里 \( {T}_{n}\left( z\right) \) 是分式线性函数, 即
\[
{T}_{n}\left( z\right) = \frac{{\alpha }_{n}z + {\beta }_{n}}{{\gamma }_{n}z + {\delta }_{n}}\left( {{\alpha }_{n}{\delta }_{n} - {\beta }_{n}{\gamma }_{n} \neq 0}\right) .
\]
自守函数包括了很多初等函数, 例如三角函数、指数函数等, 也包括像椭圆函数、模函数等非初等函数.
自守函数是复变函数论中的一个重要部分, 它在代数函数论、单值化问题、微分方程解析理论等方面均有重要的应用, 它还和黎曼曲面的研究密切相关. 自守函数的一般理论是庞加莱 (Poincaré, (J. -) H. ) 和克莱因 (Klein, (C. )F. ) 在 19 世纪 80 年代建立起来的.
基本区域 (fundamental region) 复平面上某个变换群的等价类的代表所成的域. 设 \( f\left( z\right) \) 为关于分式变换群 \( G \) 的自守函数. 平面中两点,如能用 \( G \) 中的元使一点变为另一点,则称此两点为关于群 \( G \) 的等价点. 平面中的一区域 \( D \) ,若其中任何两个不同点彼此不等价,而平面中任何点都可在 \( D \) 中找出其等价点,则称 \( D \) 为群 \( G \) 的基本区域,也称为自守函数 \( f\left( z\right) \) 的基本区域. 自守函数在基本区域中取任何值 (包括无穷) 的次数均相同.
等价点 (equivalent point) 见“基本区域”.
基本函数 (fundamental function) 一类特殊的自守函数. 在基本区域中取任何值只一次的自守函数, 称为关于这个基本区域的基本函数. 并不是任何基本区域都有基本函数. 例如, 用周期平行四边形作为基本区域, 相应的自守函数就是椭圆函数, 但不存在椭圆函数在周期平行四边形中只一次地取任何值.
模函数 (modular function) 一种在理论上极为重要的特殊的自守函数. 例如, 可用它来证明皮卡定理. 设在 \( z \) 平面的单位圆周 \( \Gamma \) 上任意取定三点 \( A, B, C \) (如图 1),过其中每两点做圆弧与 \( \Gamma \) 正交,在圆内形成一内接圆弧三角形 \( {ABC} \) . 将它用 \( w = \chi \left( z\right) \)
图 1
 \( \begin{array}{lll} A & D & B \end{array} \)
图 2
共形映射到 \( w \) 的上半平面. 使 \( A, B, C \) 分别映为 0, \( 1,\infty \) . 利用对称原理,可将 (圆弧) 三角形越过 \( {AB} \) 弧对称反演成另一三角形 \( {ABD} \) ,而 \( w = \chi \left( z\right) \) 就在 \( w \) 平面上越过线段 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 解析开拓到下半平面. 如果对三角形 \( {ABC} \) 的各个弧都做反演,又对反演后的图形再对每一新三角形的新圆弧边反演, 并对每一次反演将函数 \( w = \chi \left( z\right) \) 解析开拓. 如此一直继续下去, 便可得 \( z \) 平面中单位圆内的解析函数 \( w = \chi \left( z\right) \) ,其值域为 \( w \) 扩充平面. 这函数是由这些反演所生成的群的自守函数, 称为模函数.
圆弧四边形 \( {ABCD} \) 为其基本区域,且 \( \chi \left( z\right) \) 就是该群的基本函数. 当然,如把 \( {ABC} \) 改为上半平面的一个半带形,它由实轴上两点 \( A, B \) 出发在上半平面中做垂直于实轴的半射线和以 \( {AB} \) 为直径的上半圆周所围成 (如图 2),仍将它共形映射到 \( w \) 的上半平面, 并不断用对称原理将它解析开拓, 则可得上半平面中的模函数,以上述半带形及它对半圆弧 \( {AB} \) 反演的圆弧三角形 \( {ADB} \) 合成其基本区域,此模函数也是基本函数.
泰希米勒空间 (Teichmüller spaces) 闭黎曼曲面上附带一定拓扑条件的复解析结构所构成的空间. 假设 \( {S}_{g}\left( {g \geq 0}\right) \) 是一个亏格为 \( g \) 的闭曲面,在复分析及其应用中一个十分重要的基本问题是怎样对 \( {S}_{R} \) 上的复结构进行描述. \( g = 0,1 \) 的情形早为人们所认识,即 \( {S}_{0} \) 上有惟一的复结构, \( {S}_{1} \) 上的所有复结构可以用一个复参数来描述. 当 \( g > 1 \) 时此问题十分复杂. 100 多年前,黎曼猜测 \( {S}_{g}\left( {g > 1}\right) \) 上的所有复结构可用 \( {6g} - 6 \) 个实参数来描述. 此著名猜测的证明由德国数学家泰希米勒 (Teichmüller, O. ) 于 20 世纪 40 年代首先给出, 其证明的关键性思想是对一类以 \( {S}_{g} \) 为基点的形变空间的拓扑性质及其 “自然” 作用于其上的模群的分析, 这类重要的形变空间即是现在所称的泰希米勒空间. 其定义如下: 考虑所有形如 \( \left\lbrack {S, f}\right\rbrack \) 的元组,其中 \( f : {S}_{g} \rightarrow S \) 为同胚映射,规定一等价关系: \( \left\lbrack {{S}_{1},{f}_{1}}\right\rbrack \sim \left\lbrack {{S}_{2},{f}_{2}}\right\rbrack \) ,当且仅当存在一共形映射 \( \sigma : {S}_{1} \rightarrow {S}_{2} \) 满足 \( \sigma \circ {f}_{1} \sim {f}_{2} \) (同伦),利用拟共形映射的复偏差可在此等价类集合上装备一个完备的度量, 并称为泰希米勒度量. 如此所得到的拓扑空间 \( {T}_{g} \) 称为泰希米勒空间. 粗略地说,泰希米勒的重大贡献在于巧妙地应用拟共形映射及 \( {S}_{g} \) 上的全纯二次微分给出了一个 “直观地”得到 \( {S}_{g} \) 上所有复结构的形变方法. 与此相关的重要结果有:
1. 给定 \( {T}_{g} \) 中的任一点 \( \left\lbrack {S, f}\right\rbrack \) ,存在 \( {S}_{g} \) 上的泰希米勒形变 \( T \) 及共形映射 \( h \) ,使得 \( \left\lbrack {S, f}\right\rbrack \) \( = \left\lbrack {S, h \circ T}\right\rbrack \) ,且 \( h \circ T \) 是 \( f \) 的同伦类中伸缩商为最小的惟一的极值映射.
2. 记 \( {R}_{g} \) 是亏格为 \( g \) 的闭曲面的共形等价类的集合, \( \operatorname{Mod}g \) 是作用于 \( {T}_{g} \) 上的模群,则 \( \operatorname{Mod}g \) 在 \( {T}_{g} \) 上的作用是离散的,且 \( {R}_{g} = {T}_{g}/\operatorname{Mod}g \) .
3. \( {T}_{g} \) 同胚于 \( {6g} - 6 \) 维欧氏空间 \( {\mathrm{R}}^{{6g} - 6} \) 中的开球.
阿尔福斯 (Ahlfors, L. V. ) 首先认识到泰希米勒空间的重要价值,并证明 \( {T}_{g} \) 上存在与泰希米勒拓扑相容的复结构. 稍后伯斯 (Bers, L. ) 证明 \( {T}_{g} \) 可被全纯地嵌入到 \( {\mathrm{C}}^{{3g} - 3} \) 中有界球的内部. 在随后的研究中, \( {S}_{g} \) 的拓扑类型推广到允许 \( {S}_{g} \) 上有洞或穿孔点, 甚至可以直接从离散群出发来定义广泛的泰希米勒空间. 至今泰希米勒空间理论已发展成为现代数学中非常重要的研究课题, 它与现代数学及物理中的许多分支, 如埃尔米特几何、黎曼几何、代数几何、离散群理论、三维流形理论、动力系统、遍历理论、BMO 理论以及超弦理论等均有直接或间接的联系. 许多精粹思想交融其中, 互映生辉. 特别要指出的是由瑟斯顿 (Thurston, W. ) 所创立的 “地震”理论. 这是与泰希米勒形变理论相媲美的另一个“直观地”得到 \( {S}_{R} \) 上所有复结构的形变方法. 此外由于计算机技术的发展及应用上的需要,开发对 \( {T}_{g} \) 中的目标的计算方法已开始受到人们的重视.
泰希米勒度量 (Teichmüller metric) 泰希米勒空间中两点的距离. 设 \( p = \left\lbrack {{S}_{1},{f}_{1}}\right\rbrack \) 和 \( q = \left\lbrack {{S}_{2},{f}_{2}}\right\rbrack \) 是 \( {T}_{g} \) 中两点,则称
\[
{d}_{T}\left( {p, q}\right) = \frac{1}{2}\mathop{\inf }\limits_{f}\log \frac{1 + {\begin{Vmatrix}{\mu }_{f}\end{Vmatrix}}_{\infty }}{1 - {\begin{Vmatrix}{\mu }_{f}\end{Vmatrix}}_{\infty }}
\]
为 \( p, q \) 两点的距离,其中 \( f \) 是取自 \( {f}_{2} \circ {f}_{1}^{-1} \) 的同伦类中所有拟共形映射, \( {\mu }_{f} \) 是 \( f \) 的伸缩商. 泰希米勒 (Teichmüller, O.) 证明: 在 \( {f}_{2} \circ {f}_{1}^{-1} \) 的同伦类存在惟一的极值映射达到上述定义中的下确界. 值得一提的是这种复偏差方法可追溯到格勒奇 (Grötzsch, H. ) 的著名变分问题.
全纯二次微 |
2000_数学辞海（第3卷） | 41 | 部. 在随后的研究中, \( {S}_{g} \) 的拓扑类型推广到允许 \( {S}_{g} \) 上有洞或穿孔点, 甚至可以直接从离散群出发来定义广泛的泰希米勒空间. 至今泰希米勒空间理论已发展成为现代数学中非常重要的研究课题, 它与现代数学及物理中的许多分支, 如埃尔米特几何、黎曼几何、代数几何、离散群理论、三维流形理论、动力系统、遍历理论、BMO 理论以及超弦理论等均有直接或间接的联系. 许多精粹思想交融其中, 互映生辉. 特别要指出的是由瑟斯顿 (Thurston, W. ) 所创立的 “地震”理论. 这是与泰希米勒形变理论相媲美的另一个“直观地”得到 \( {S}_{R} \) 上所有复结构的形变方法. 此外由于计算机技术的发展及应用上的需要,开发对 \( {T}_{g} \) 中的目标的计算方法已开始受到人们的重视.
泰希米勒度量 (Teichmüller metric) 泰希米勒空间中两点的距离. 设 \( p = \left\lbrack {{S}_{1},{f}_{1}}\right\rbrack \) 和 \( q = \left\lbrack {{S}_{2},{f}_{2}}\right\rbrack \) 是 \( {T}_{g} \) 中两点,则称
\[
{d}_{T}\left( {p, q}\right) = \frac{1}{2}\mathop{\inf }\limits_{f}\log \frac{1 + {\begin{Vmatrix}{\mu }_{f}\end{Vmatrix}}_{\infty }}{1 - {\begin{Vmatrix}{\mu }_{f}\end{Vmatrix}}_{\infty }}
\]
为 \( p, q \) 两点的距离,其中 \( f \) 是取自 \( {f}_{2} \circ {f}_{1}^{-1} \) 的同伦类中所有拟共形映射, \( {\mu }_{f} \) 是 \( f \) 的伸缩商. 泰希米勒 (Teichmüller, O.) 证明: 在 \( {f}_{2} \circ {f}_{1}^{-1} \) 的同伦类存在惟一的极值映射达到上述定义中的下确界. 值得一提的是这种复偏差方法可追溯到格勒奇 (Grötzsch, H. ) 的著名变分问题.
全纯二次微分 (holomorphic quadratic differential) 一种特殊的二次微分式. 在局部坐标 \( z \) 下表为 \( \omega = f\left( z\right) \mathrm{d}{z}^{2} \) 且在局部坐标变换下不变的微分式. 若 \( f \) 是点 \( z \) 的全纯函数,则称 \( \omega \) 为 \( {S}_{g} \) 上的全纯二次微分式. 由黎曼-罗赫定理可知: \( {S}_{g} \) 上所有全纯二次微分的全体是 \( {6g} - 6 \) 维实的向量空间. 利用非零全纯二次微分可做出 \( {S}_{g} \) 上的局部全纯坐标系,即所谓自然参数. 其作法如下: 设 \( p \in {S}_{g}, z \) 为 \( p \) 附近的局部坐标, \( z\left( p\right) = 0,\omega = f\left( z\right) \mathrm{d}{z}^{2} \) . 若 \( f\left( {z\left( p\right) }\right) \) \( = f\left( 0\right) \neq 0 \) ,则在原点附近
\[
z \mapsto \Phi \left( z\right) = \int \sqrt{f\left( z\right) }\mathrm{d}z
\]
是单射,此处取 \( \sqrt{f\left( z\right) } \) 为一单值分支,从而在 \( p \) 的邻域内 \( q \rightarrow \zeta = \Phi \left( {z\left( q\right) }\right) \) 是一局部全纯坐标. 若 \( p \) 是 \( \omega \) 的 \( n \) 阶零点,则存在以原点为中心的圆盘 \( D(0 \) ; \( r) \) ,使得在其内 \( f\left( z\right) = {z}^{n}\psi \left( z\right) \) ,其中 \( \psi \left( z\right) \) 全纯且 \( \psi \left( z\right) \neq 0 \) . 取定 \( \sqrt{\psi } \) 的一个单值分支; 如 \( n \) 为奇数, 则沿 \( I = \{ x \mid 0 \leq x < r\} \) 切割 \( D\left( {0;r}\right) \) ,然后取 \( {z}^{n/2} \) 在 \( D\left( {0;r}\right) \smallsetminus I \) 中一个分支; 如 \( n \) 为偶数,则无须切割 \( D\left( {0;r}\right) \) ,总之,
\[
z \mapsto \Phi \left( z\right) = {\int }_{0}^{z}\sqrt{f\left( z\right) }\mathrm{d}z
\]
\[
= {z}^{\left( {n + 2}\right) /2}\left( {{c}_{0} + {c}_{1}z + \cdots }\right) \;\left( {{c}_{0} \neq 0}\right)
\]
是定义于 \( D\left( {0;r}\right) \smallsetminus I \) 的单值函数. 可验证
\[
z \rightarrow \Phi {\left( z\right) }^{2/n + 2}
\]
是单值且在原点的导数不为 0 . 从而
\[
q \rightarrow \zeta = \Phi {\left( z\left( q\right) \right) }^{2/n + 2}
\]
可作为 \( p \) 点附近的局部坐标. 设 \( 0 < k < 1,\zeta \) 是 \( {S}_{g} \) 上某一非零全纯二次微分 \( \omega \) 诱导的自然参数,令
\[
{\zeta }^{\prime } = \frac{\zeta + k\bar{\zeta }}{1 - k}
\]
易知 \( {\zeta }^{\prime } \) 满足局部坐标的相容性条件,因而 \( {\zeta }^{\prime } \) 可作为拓扑曲面 \( {S}_{g} \) 上的全纯坐标. 由此产生一个黎曼曲面 \( {S}^{\prime }{}_{g} \) 及泰希米勒空间的一个点 \( \left\lbrack {{S}^{\prime }{}_{g}, T}\right\rbrack \) ,其中 \( T : {S}_{g} \rightarrow \) \( {S}_{g}^{\prime } \) 作为拓扑曲面 \( {S}_{g} \) 上的自同胚为恒等映射, \( T \) 及 \( \left\lbrack {{S}^{\prime }{}_{g}, T}\right\rbrack \) 称为泰希米勒形变.
自然参数 (natural parameter) 见 “全纯二次微分”.
泰希米勒形变 (Teichmüller deformation) 见 “全纯二次微分”.
模群 (modular group) 即亏格大于 2 的闭曲面上映射类群. 考虑拓扑曲面 \( {S}_{g} \) 上所有保向自同胚集合,在其上定义一等价关系使得两元素 \( h \) 与 \( {h}^{1} \) 等价,当且仅当 \( h \) 与 \( {h}^{1} \) 同伦,如此所得到的等价类集合在复合运算 \( \left\lbrack h\right\rbrack \circ \left\lbrack {h}^{1}\right\rbrack = \left\lbrack {h \circ {h}^{1}}\right\rbrack \) 下构成一群,称为模群, 或映射类群. 模群以如下方式自然地作用于泰希米勒空间: \( \left\lbrack h\right\rbrack \left( \left\lbrack {s, f}\right\rbrack \right) = \left\lbrack {s, f \circ h}\right\rbrack \) . 易证此种作用是间断的. 模群与泰希米勒空间理论、拓扑学及三维流形理论等有密切的联系, 至今仍是人们所重点研究的课题之一.
## 解析函数空间
布拉施克乘积 (Blaschke product) 因子为单位圆到自身的共形变换的无穷乘积. 若 \( {a}_{n}(n = 1,2 \) , \( \cdots ) \) 是一复数序列, \( 0 < \left| {a}_{n}\right| < 1 \) ,
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {1 - \left| {a}_{n}\right| }\right)
\]
收敛, 则无穷乘积
\[
B\left( z\right) = \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\left| {a}_{n}\right| }{{a}_{n}}\left( \frac{{a}_{n} - a}{1 - {\bar{a}}_{n}z}\right)
\]
在 \( \left| z\right| < 1 \) 内收敛, \( B\left( z\right) \) 称为布拉施克乘积.
哈代空间 (Hardy space) 单位圆内一类重要的解析函数空间. 设函数 \( f\left( z\right) \) 在单位圆盘 \( \left| z\right| < 1 \) 中解析, 若
\( {M}_{p}\left( {r, f}\right) = {\left( \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\left| f\left( r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right) \right| \mathrm{d}\theta \right) }^{1/p}\;\left( {0 < p < + \infty }\right) , \)
\( {M}_{\infty }\left( {r, f}\right) = \mathop{\max }\limits_{{\left| z\right| = r}}\left| {f\left( z\right) }\right| \;\left( {p = + \infty }\right) \)
对一切 \( 0 \leq r < 1 \) 有界,则称 \( f\left( z\right) \) 属于函数族 \( {H}^{p} \cdot {H}^{p} \) 族是由哈代 (Hardy, G. H. ) 在 1915 年首先提出的, 并对此做了一系列的研究工作, 他证明了著名的凸定理: \( \log {M}_{p}\left( {r, f}\right) \) 是 \( \log r \) 的凸函数.
在 20 世纪上半叶, 还有许多数学家, 如法图 (Fatou, P. J. L. )、李特尔伍德 (Littlewood, J. E. )、 里斯 (Riesz, F. 和 Riesz, M. )、赛格 (Szegö, G. ) 和斯米尔诺夫 (CMI PHOB, B. II. ) 等人对哈代族进行了研究并取得一系列相当深刻的结果. 但那时对 \( {H}^{p} \) 的研究局限于所谓的 “硬”分析范围,如研究 \( {H}^{p} \) 函数的边界性质及幂级数等, 所用的工具也主要是复变函数与实变函数论. 到了 20 世纪 50 年代, 数学家们将 \( {H}^{p} \) 看做度量空间,如对 \( 1 \leq p \leq + \infty \) ,定义范数 \( \parallel f{\parallel }_{p} = {M}_{p}\left( {1, f}\right) \) ,则 \( {H}^{p} \) 是巴拿赫空间; 对 \( 0 < p \) \( < 1 \) ,对 \( f, g \in {H}^{p} \) ,定义距离
\[
\parallel f - g{\parallel }_{p} = {M}_{p}{\left( 1, f - g\right) }^{p},
\]
则 \( {H}^{p} \) 是弗雷歇空间. 引进泛函分析等工具,将 “软” “硬”分析结合起来研究 \( {H}^{p} \) 空间,20 世纪 70 年代和 80 年代,对 \( {H}^{p} \) 的研究非常活跃,并得到了许多引人注目的结果. 如在 1971 年, 美国青年数学家费弗曼 (Fefferman, C. ) 证明了 \( {H}^{1} \) 的对偶空间为 BMOA 空间. 费弗曼主要由于 \( {H}^{p} \) 理论的研究,获得了 1978 年的菲尔兹奖 (参见《调和分析》同名条).
\( {H}^{p} \) 理论不仅对分析和函数论 (包括泛函分析和调和分析) 本身有着深刻的影响, 而且与数学的一些其他分支, 如微分方程、概率论及力学等都有交叉联系. 单位圆盘的 \( {H}^{p} \) 空间的主要研究问题有: 边界性质、积分表示、泰勒系数、结构问题、解析投影算子、对偶空间、极值问题及插值问题等.
单位圆盘上的 \( {H}^{p} \) 空间可以推广到平面上任意区域和双曲型黎曼曲面上,也可推广到 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 上去. 与 \( {H}^{p} \) 空间有关的重要函数类有奈望林纳类 \( N \) 和有界平均振动解析函数类 BMOA. 可以证明
\[
{H}^{\infty } \subset \operatorname{BMOA} \subset \mathop{\bigcap }\limits_{{p < \infty }}{H}^{p}.
\]
设 \( f\left( z\right) \) 是单位圆盘 \( D \) 内的解析函数, \( \zeta \) 是 \( \partial D \) 上的给定点,如果当 \( z \) 在 \( D \) 内以 \( \zeta \) 为顶点的任何角形区域内趋于 \( \zeta \) 时, \( f\left( z\right) \) 都趋于一确定值,则称 \( f\left( z\right) \) 在 \( \zeta \) 有非切向极限值,记为 \( f\left( \zeta \right) {.1923} \) 年,里斯证明了, 若 \( f \in {H}^{p}\left( {0 < p < + \infty }\right) \) ,则 \( f\left( z\right) \) 在 \( \partial D \) 上几乎处处有非切向极限值 \( f\left( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right) \) ,且 \( f\left( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right) \in {L}^{p}\left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack \) . 同年, 里斯还证明了,若 \( f\left( z\right) \in {H}^{p}\left( {0 < p \leq + \infty }\right), f\left( z\right) \) \( ≢ 0 \) ,则 \( f\left( z\right) = B\left( z\right) g\left( z\right) \) . 这里 \( B\left( z\right) \) 是由 \( f\left( z\right) \) 在 \( \left| z\right| \) \( < 1 \) 内所有零点所构成的布拉施克乘积,而 \( g \in {H}^{p} \) 且 \( g \) 在 \( \left| z\right| < 1 \) 中没有零点. 1929 年,斯米尔诺夫进一步地对 \( g \) 进行分解,得到下述结果: 若 \( f\left( z\right) \in {H}^{p} \) , \( f\left( z\right) \neq 0 \) ,则
\[
f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}c}B\left( z\right) S\left( z\right) F\left( z\right) ,
\]
这里 \( c \) 是实数, \( S\left( z\right) \) 是奇异内函数, \( F\left( z\right) \) 是外函数, 即
\[
S\left( z\right) = \exp \left\{ {-\frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t} + z}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t} - z}\mathrm{\;d}\mu \left( t\right) }\right\} ,
\]
\[
F\left( z\right) = \exp \left\{ {\frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t} + z}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t} - z}\log \left| {f\left( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}\right) }\right| \mathrm{d}t}\right\} ,
\]
其中 \( \mu \left( t\right) \) 是非减的有界变差函数,其导函数几乎处处等于零.
单位圆盘上的解析函数称为内函数,如果 \( f \in \) \( {H}^{\infty } \) ,且 \( \left| {f\left( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}\right) }\right| = 1 \) 在 \( \partial D \) 上几乎处处成立. 可以证明, \( f\left( z\right) \) 为内函数的充分必要条件是 \( f\left( z\right) \) 能写成如下形式
\[
f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}c}B\left( z\right) S\left( z\right) ,
\]
这里 \( c \) 为实数, \( B\left( z\right) \) 为布拉施克乘积, \( S\left( z\right) \) 为奇异内函数. 内函数与不变子空间有密切的联系. 令 \( S \) 为 \( {H}^{2} \) 的位移算子,即 \( S\left( f\right) = {zf}\left( z\right), f \in {H}^{2}.{H}^{2} \) 的一个子空间 \( M \) 称为在 \( S \) 下不变,若 \( {zM} \subset M \) . 1949 年,博灵 (Beurling, A. ) 证明了下面的著名定理: \( {H}^{2} \) 的子空间 \( M \) 在 \( S \) 下不变的充分必要条件是存在内函数 \( G \) ,使得
\[
M = G{H}^{2} = \left\{ {G\left( z\right) f\left( z\right) \mid f \in {H}^{2}}\right\} .
\]
此定理在泛函分析中也有重要意义.
非切向极限值 (nontangential limit value) 见 “哈代空间”.
内函数 (inner function) 见 “哈代空间”.
外函数 (outer function) 见 “哈代空间”.
插值序列 (interpolation sequence) 单位圆内满足某种函数论条件的点列. 单位圆盘一序列 \( \left\{ {z}_{k}\right\} \) 称为插值序列,如果对任意一个复数序列 \( \left\{ {w}_{k}\right\} \subset {l}^{\infty } \) , 存在 \( f \in {H}^{\infty } \) ,使得 \( f\left( {z}_{k}\right) = {w}_{k}\left( {k = 1,2,\cdots }\right) \) . 讨论插值序列,有一个有用概念是均匀分散序列. 序列 \( \left\{ {z}_{k}\right\} \) 称为均匀分散的,若存在常数 \( \delta > 0 \) ,使得
\[
\mathop{\prod }\limits_{{j \neq k}}^{\infty }\left| \frac{{z}_{k} - {z}_{j}}{1 - {\bar{z}}_{j}{z}_{k}}\right| \geq \delta \left( {k = 1,2,\cdots }\right) .
\]
1958 年,卡尔松 (Carleson, L. ) 证明了 \( \left\{ {z}_{k}\right\} \) 是插值序列的充分必要条件是 \( \left\{ {z}_{k}\right\} \) 是均匀分散的.
有界平均振动解析函数 (analytic function of bounded mean oscillation) 哈代空间 \( {H}^{1} \) 的对偶空间中的函数. 有种种等价描述, 其原始定义如下: 对于单位圆周 \( T \) 上的可积函数 \( u \) ,若 \( I \) 是 \( T \) 的子弧,令
\[
{u}_{I} = \frac{1}{\left| I\right| }{\int }_{I}u\left( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right) \mathrm{d}\theta ,
\]
这里 \( \left| I\right| \) 是 \( I \) 的长度. 若
\[
\frac{1}{\left| I\right| }{\int }_{I}\left| {u\left( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}\right) - {u}_{I}}\right| \mathrm{d}t
\]
对 \( T \) 上的一切子弧 \( I \) 有界,则称 \( u \) 属于 \( \mathrm{{BMO}} \) (有界平均振动函数的简称, 参见本卷《调和分析》同名条).
单位圆盘的解析函数 \( f\left( z\right) \) 若能表为一个 BMO 函数的泊松积分, 则称它属于 BMOA (有界平均振动解析函数的简称).
有界平均振动函数 (function of bounded mean osci |
2000_数学辞海（第3卷） | 42 | {z}_{k}\right\} \) 称为均匀分散的,若存在常数 \( \delta > 0 \) ,使得
\[
\mathop{\prod }\limits_{{j \neq k}}^{\infty }\left| \frac{{z}_{k} - {z}_{j}}{1 - {\bar{z}}_{j}{z}_{k}}\right| \geq \delta \left( {k = 1,2,\cdots }\right) .
\]
1958 年,卡尔松 (Carleson, L. ) 证明了 \( \left\{ {z}_{k}\right\} \) 是插值序列的充分必要条件是 \( \left\{ {z}_{k}\right\} \) 是均匀分散的.
有界平均振动解析函数 (analytic function of bounded mean oscillation) 哈代空间 \( {H}^{1} \) 的对偶空间中的函数. 有种种等价描述, 其原始定义如下: 对于单位圆周 \( T \) 上的可积函数 \( u \) ,若 \( I \) 是 \( T \) 的子弧,令
\[
{u}_{I} = \frac{1}{\left| I\right| }{\int }_{I}u\left( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right) \mathrm{d}\theta ,
\]
这里 \( \left| I\right| \) 是 \( I \) 的长度. 若
\[
\frac{1}{\left| I\right| }{\int }_{I}\left| {u\left( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}\right) - {u}_{I}}\right| \mathrm{d}t
\]
对 \( T \) 上的一切子弧 \( I \) 有界,则称 \( u \) 属于 \( \mathrm{{BMO}} \) (有界平均振动函数的简称, 参见本卷《调和分析》同名条).
单位圆盘的解析函数 \( f\left( z\right) \) 若能表为一个 BMO 函数的泊松积分, 则称它属于 BMOA (有界平均振动解析函数的简称).
有界平均振动函数 (function of bounded mean oscillation) 见“有界平均振动解析函数”.
卡尔松测度 (Carleson measure) \( {H}^{p} \) 理论中非常重要和有广泛应用的测度. 设 \( \sigma \) 是单位圆盘的正测度,若存在常数 \( c\left( \sigma \right) \) ,使得 \( \sigma \left( S\right) \leq c\left( \sigma \right) h \) 对所有下列扇形 \( S \) 成立,则称 \( \sigma \) 为卡尔松测度:
\[
S = \left\{ {z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \mid 1 - h \leq r}\right.
\]
\[
\left. { \leq 1,{\theta }_{0} \leq \theta \leq {\theta }_{0} + h}\right\} \text{.}
\]
卡尔松测度由卡尔松 (Carleson, L. ) 提出. 1958 年, 卡尔松证明了下面著名的测度定理: 令 \( \mu \) 是 \( \left| z\right| < 1 \) 上的正测度. 设 \( 0 < p < + \infty \) ,则存在常数 \( C \) ,使得
\[
{\left( {\int }_{\left| z\right| < 1}{\left| f\left( z\right) \right| }^{p}\mathrm{\;d}\mu \left( z\right) \right) }^{1/p} \leq C\parallel f{\parallel }_{p}
\]
对一切 \( f \in {H}^{p} \) 成立的充分必要条件是 \( \mu \) 是一个卡尔松测度. 卡尔松测度也能刻画 BMOA, 费弗曼 (Fefferman, C. ) 在证明 \( {H}^{1} \) 的对偶空间为 BMOA 的过程中,证明了 \( f \in \) BMOA 的充分必要条件是
\[
\left( {1 - {\left| z\right| }^{2}}\right) {\left| {f}^{\prime }\left( z\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y
\]
为一个卡尔松测度,其中 \( z = x + \mathrm{i}y \) .
日冕问题 (corona problem) \( {H}^{p} \) 理论中的一个重要问题. 1941 年, 角谷静夫 (Kakutani, S. ) 提出如下猜想: 设 \( \mathcal{M} \) 是 \( {H}^{\infty } \) 的极大理想,则 \( \mathcal{M} \smallsetminus \bar{D} \) 是一个空集,这里 \( D \) 是单位圆盘. 此即称为日冕问题. 由于 \( \mathcal{M} \) 的拓扑是 Gelfand 拓扑,所以日冕问题亦可叙述为如下的形式: 若 \( {f}_{1},{f}_{2},\cdots ,{f}_{n} \in {H}^{\infty } \) 且对一切 \( z \in D \) ,满足条件
\[
0 < \delta \leq \mathop{\max }\limits_{j}\left| {{f}_{j}\left( z\right) }\right| \leq 1,
\]
则存在 \( {g}_{1},{g}_{2},\cdots ,{g}_{n} \in {H}^{\infty } \) ,使得
\[
{f}_{1}{g}_{1} + {f}_{2}{g}_{2} + \cdots + {f}_{n}{g}_{n} = 1.
\]
这个猜想已于 1962 年由卡尔松 (Carleson, L. ) 所证明. 但日冕问题对于平面上一般的无限连通区域, 及对于 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的多圆柱和超球等,都是引起许多学者关注的待解决的难题.
伯格曼空间 (Bergman space) 区域上平方可积的解析函数空间. 一般地,对 \( 1 \leq p < + \infty \) ,令 \( {L}^{p}\left( D\right) \) 表示域 \( D \) 上勒贝格可测函数 \( f\left( z\right) \) 所成的巴拿赫空间, 其范数为
\[
\parallel f{\parallel }_{p} = {\left( {\int }_{D}{\left| f\left( z\right) \right| }^{p}\mathrm{\;d}A\left( z\right) \right) }^{\frac{1}{p}} < + \infty ,
\]
其中 \( \mathrm{d}A\left( z\right) \) 为面积元素. 伯格曼空间定义为由 \( {L}^{p}\left( D\right) \) 内的所有解析函数组成的子空间,记为 \( {L}_{a}^{p}\left( D\right) \) . 伯格曼空间的一个重要结果是下述对偶定理: \( {L}_{a}^{p}\left( D\right) \) 的对偶空间 \( {\left( {L}_{a}^{p}\left( D\right) \right) }^{ * } \) 同构于 \( {L}_{a}^{q}\left( D\right) \) ,其中 \( 1 < p, q < + \infty \) 且
\[
\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1
\]
当 \( p = 1 \) 时, \( {L}_{a}^{1}\left( D\right) \) 的对偶空间是布洛克空间, \( {L}_{a}^{1}\left( D\right) \) 的预对偶空间为小布洛克空间. 伯格曼空间有多种形式的推广, 关于这些空间上的各种算子的研究, 得到不少深入的结果.
\( {L}_{a}^{2} \) 函数的再生核 (reproducing kernel for \( {L}_{a}^{2} \) functions) 伯格曼空间 \( {L}_{a}^{2}\left( D\right) \) 上用以表示此空间中的函数的某个积分算子的核函数. 由里斯表示定理可得在点 \( z \in D \) 存在惟一的函数 \( {K}_{z}\left( w\right) \in {L}_{a}^{2}\left( D\right) \) , 使得对所有的 \( f\left( z\right) \in {L}_{a}^{2}\left( D\right) \) 有下述再生公式
\[
f\left( z\right) = {\int }_{D}f\left( w\right) \overline{{K}_{z}\left( w\right) }\mathrm{d}A\left( w\right) .
\]
\( K\left( {z, w}\right) = \overline{{K}_{z}\left( w\right) } \) 称为域 \( D \) 上 \( {L}_{a}^{2} \) 函数的再生核. 它是研究伯格曼空间的重要工具,亦是域 \( D \) 的几何基础. 当 \( D \) 为单位圆盘时,核函数为
\[
K\left( {z, w}\right) = \frac{1}{{\left( 1 - z\bar{w}\right) }^{2}}.
\]
由它导出的伯格曼度量与庞加莱度量相同.
伯格曼投影 (Bergman projection) \( {L}^{2}\left( D\right) \) 到 \( {L}_{a}^{2}\left( D\right) \) 的正交投影算子. 伯格曼空间 \( {L}_{a}^{2}\left( D\right) \) 是希尔伯特空间 \( {L}^{2}\left( D\right) \) 的闭子空间,对任意 \( f \in {L}^{2}\left( D\right) \) ,
\[
{Pf}\left( z\right) = {\int }_{D}K\left( {z, w}\right) f\left( w\right) \mathrm{d}A\left( w\right)
\]
表示了 \( {L}^{2}\left( D\right) \) 到 \( {L}_{a}^{2}\left( D\right) \) 的正交投影算子, \( P \) 称为伯格曼投影,其中 \( K\left( {z, w}\right) \) 为再生核 (参见 “ \( {L}_{a}^{2} \) 函数的再生核”). 显然它是有界算子. 一般地, 对 \( 1 < p < + \infty, f\left( z\right) \in {L}^{p}\left( D\right) \) ,令
\[
\left( {Pf}\right) \left( z\right) = {\int }_{D}K\left( {z, w}\right) f\left( w\right) \mathrm{d}A\left( w\right) ,
\]
则可知 \( {Pf}\left( z\right) \) 是解析的,并且 \( P \) 是 \( {L}^{p}\left( D\right) \) 到 \( {L}_{a}^{p}\left( D\right) \) 的有界算子.
布洛赫空间 (Bloch space) 一类重要的解析函数空间. 设 \( f\left( z\right) \) 是单位圆 \( D \) 内的解析函数,若
\[
\parallel f{\parallel }_{B} = \left| {f\left( 0\right) }\right| + \mathop{\sup }\limits_{{z \in D}}\left( {1 - {\left| z\right| }^{2}}\right) \left| {{f}^{\prime }\left( z\right) }\right|
\]
为有限数,则称 \( f\left( z\right) \) 是布洛赫函数. 全体这样的函数构成以 \( \parallel f{\parallel }_{B} \) 为范数的巴拿赫空间,称为布洛赫空间,并用 \( B \) 表示. 布洛赫函数与著名的布洛赫定理密切相关. 若 \( f\left( z\right) \) 在 \( D \) 内解析, \( \left| {{f}^{\prime }\left( 0\right) }\right| = \left| {a}_{1}\right| = \) 1,布洛赫定理指出,存在绝对常数 \( c > 0 \) 使得 \( f\left( D\right) \) 包含一个以 \( f\left( 0\right) \) 为心以 \( c \) 为半径的单叶圆盘. 定理中的常数 \( c \) 的最大值称为布洛赫常数,记为 \( {c}_{0}.{c}_{0} \) 的准确下界是多少仍是个未解决的问题. 若 \( b \) 表示 \( f\left( D\right) \) 内最大的单叶圆半径,则有
\[
b \leq \sup \left( {1 - {\left| z\right| }^{2}}\right) \left| {{f}^{\prime }\left( z\right) }\right| \leq \frac{b}{{c}_{0}}.
\]
由此得到范数 \( \parallel f{\parallel }_{B} \) 的几何解释,即若 \( f\left( z\right) = 0 \) , 则除去一个常数系数, \( \parallel f{\parallel }_{B} \) 就是 \( f\left( D\right) \) 内最大单叶圆盘的半径. 布洛赫空间的一个重要子空间是小布洛赫空间,记为 \( {B}_{0} \) ,定义如下
\[
{B}_{0} = \left\{ {f \mid f \in B,\mathop{\lim }\limits_{{\left| z\right| \rightarrow 1}}\left( {1 - {\left| z\right| }^{2}}\right) \left| {{f}^{\prime }\left( z\right) }\right| = 0}\right\} .
\]
这是 \( B \) 的可分的闭子空间. 布洛赫函数有种种等价的描述, 比如可用阿达马 (Hadamard, J. (-S. )) 的缺项条件来刻画 \( B \) 和 \( {B}_{0} \) . 新近一个重要发现是, \( f\left( z\right) \) \( \in B \) (或 \( {B}_{0} \) ) 的充分必要条件是对 \( 1 < p < + \infty \) ,
\[
\mathop{\sup }\limits_{{a \in D}}{\int }_{D}{\left| {f}^{\prime }\left( z\right) \right| }^{2}{\left( G\left( z, a\right) \right) }^{p}\mathrm{\;d}A\left( z\right) < + \infty
\]
\[
\text{或}\mathop{\lim }\limits_{{\left| a\right| \rightarrow 1}}{\int }_{D}{\left| {f}^{\prime }\left( z\right) \right| }^{2}{\left( G\left( z, a\right) \right) }^{p}\mathrm{\;d}A\left( z\right) = 0)\text{,}
\]
其中
\[
G\left( {z, a}\right) = \log \left| \frac{1 - \bar{a}z}{z - a}\right|
\]
是 \( D \) 的奇点在 \( a \) 的格林函数. 在伯格曼空间理论中,已知 \( {L}_{a}^{1}\left( D\right) \) 的对偶空间 \( {L}_{a}^{1}{\left( D\right) }^{ * } \) 为 \( B,{B}_{0} \) 是 \( {L}_{a}^{1}\left( D\right) \) 的预对偶空间. 由此得到: 对于面积测度, \( {B}_{0} \) 和 \( B \) 分别是零平均振动解析函数 VMOA 和有界平均振动解析函数 BMOA 的类似物. 布洛赫函数空间有种种推广,如 \( \alpha \) 型布洛赫空间以及在双曲型黎曼曲面上的推广, 后者显示与单位圆情形有本质的差别.
布洛赫函数 (Bloch function) 见 “布洛赫空间”.
小布洛赫空间 (little Bloch space) 见“布洛赫空间”.
## 广义解析函数与边值问题
解析函数边值问题 (boundary value problem of analytic functions) 求某些区域中的解析函数,使其在区域边界上的极限值 (也称边值) 满足一定条件的问题. 此类问题统称为解析函数的边值问题. 由于解析函数满足柯西-黎曼条件, 因此解析函数边值问题和椭圆型偏微分方程的边值问题密切相关. 如未知函数不止一个, 而是一组解析函数, 则又有解析函数组的边值问题. 有时边值条件中会出现未知函数在区域边界点 \( t \) 和 \( \alpha \left( t\right) \) 的边值之间的联系,则称为带位移的边值问题,其中 \( \alpha \left( t\right) \) 是边界到其自身的同胚映射. 求解这类边值问题的基本工具是柯西型积分和普莱姆利公式. 解析函数边值问题最直接的应用是求解或讨论奇异积分方程. 而奇异积分方程和解析函数边值问题本身在许多科技领域中有广泛的应用, 如弹性理论、流体力学、数学物理等方面. 还有一类问题, 其区域的边界是未知的, 要由所给条件去求出, 这类问题称为反边值问题.
解析函数边值问题的一些简单情况, 早在 19 世纪就已有所讨论, 而作为函数论的一分支蓬勃发展, 则是 20 世纪中叶的事情. 特别是以穆斯赫利什维利 (Mycxeummmum, H. M. ) 为首的苏联学派在这方面做出了卓越的贡献. 中国学者从 20 世纪 60 年代起在这方面也做了不少工作. 如果把柯西-黎曼条件推广, 则可引进广义解析函数概念, 从而也有广义解析函数边值问题的研究. 这种研究在 20 世纪下半叶以来已经有了相当的规模, 这其中也包括中国数学工作者的工作在内.
柯西主值积分 (Cauchy principal value of an integral) 对奇异积分主值的一种取法. 设 \( L \) 为一可求长曲线, 考虑积分
\[
{\int }_{L}f\left( \tau \right) \mathrm{d}\tau
\]
其中 \( f\left( \tau \right) \) 在 \( \tau = c \) 处有一奇点 (如 \( L \) 为开口曲线,则 \( c \) 不是端点). 一般地此积分发散. 如以 \( c \) 为中心,以充分小的 \( \varepsilon \) 为半径做圆,在 \( L \) 上截下一小段弧 \( {L}_{\varepsilon } \) , 如果
\[
\mathop{\lim }\limits_{{\varepsilon \rightarrow 0}}{\int }_{L - {L}_{\varepsilon }}f\left( \tau \right) \mathrm{d}\tau
\]
存在, 则称此极限为柯西主值积分, 记为
\[
\text{P. V.}{\int }_{L}f\left( \tau \right) \mathrm{d}\tau \text{,}
\]
或径直记为
\[
{\int }_{L}f\left( \tau \right) \mathrm{d}\tau
\]
最常用的情况是
\[
{\int }_{L}\frac{f\left( \tau \right) }{\tau - t}\mathrm{\;d}\tau \;\left( {t \in L}\right) .
\]
(参见《数学分析》同名条).
柯西型积分 (integral of Cauchy type) 柯西积分的推广. 下列积分称为柯西型积分
\[
\Phi \left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{f\left( t\right) }{t - z}\mathrm{\;d}t\;\left( {z \notin L}\right) ,
\]
其中 \( L \) 为封闭的或开口的可求长曲线. \( f\left( t\right) \) 称为它的核密度, \( 1/\left( {t - z}\right) \) 称为柯西核. 当然要假定积分存在. 这里 \( f\left( t\right) \) 一般不是某解析函数在 \( L \) 上的边值, 所以柯西型积分和柯西积分公式中的积分不同. 由上式定义的函数 \( \Phi \left( z\right) \) ,当 \( L \) 为封闭曲线时,是在 \( L \) 所围内域和外域中的两个解析函数; 当 \( L \) 为开口曲线时,则是全平面除掉 \( L \) 后的一个解析函数.
柯西核 (Cauchy's kernel) 见“柯西型积分”.
普莱姆利公式 (Plemeli's formulas) 柯西型积分的边界值公式. 设柯西型积分
\[
\Phi \left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{f\left( t\right) }{t - z}\mathrm{\;d}t\;\left( {z \notin L}\right)
\]
中的 \( f\left( t\right) \) 满足赫尔德条件,即
\[
\left| {f\left( {t}_{1}\right) - f\left( {t}_{2}\right) }\right| \leq A{\left| {t}_{1} - {t}_{2}\right| }^{\mu }
\]
\[
\left( {0 < \mu \leq 1,{t}_{1},{t}_{2} \in L}\right) ,
\]
其中 \( A \) 为一常数. 又设 \( L \) 为一光滑弧,并取定一方向为正向 (例如,当 \( L \) 为封闭曲线时,可取为逆时针方向),则 \( \Phi \ |
2000_数学辞海（第3卷） | 43 | ) 柯西积分的推广. 下列积分称为柯西型积分
\[
\Phi \left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{f\left( t\right) }{t - z}\mathrm{\;d}t\;\left( {z \notin L}\right) ,
\]
其中 \( L \) 为封闭的或开口的可求长曲线. \( f\left( t\right) \) 称为它的核密度, \( 1/\left( {t - z}\right) \) 称为柯西核. 当然要假定积分存在. 这里 \( f\left( t\right) \) 一般不是某解析函数在 \( L \) 上的边值, 所以柯西型积分和柯西积分公式中的积分不同. 由上式定义的函数 \( \Phi \left( z\right) \) ,当 \( L \) 为封闭曲线时,是在 \( L \) 所围内域和外域中的两个解析函数; 当 \( L \) 为开口曲线时,则是全平面除掉 \( L \) 后的一个解析函数.
柯西核 (Cauchy's kernel) 见“柯西型积分”.
普莱姆利公式 (Plemeli's formulas) 柯西型积分的边界值公式. 设柯西型积分
\[
\Phi \left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{f\left( t\right) }{t - z}\mathrm{\;d}t\;\left( {z \notin L}\right)
\]
中的 \( f\left( t\right) \) 满足赫尔德条件,即
\[
\left| {f\left( {t}_{1}\right) - f\left( {t}_{2}\right) }\right| \leq A{\left| {t}_{1} - {t}_{2}\right| }^{\mu }
\]
\[
\left( {0 < \mu \leq 1,{t}_{1},{t}_{2} \in L}\right) ,
\]
其中 \( A \) 为一常数. 又设 \( L \) 为一光滑弧,并取定一方向为正向 (例如,当 \( L \) 为封闭曲线时,可取为逆时针方向),则 \( \Phi \left( z\right) \) 当 \( z \) 从 \( L \) 的正侧 (正向前进方向的左侧) 和负侧 (右侧) 趋向于 \( L \) 上一点 \( {t}_{0} \) 时 (当 \( L \) 为开口时, \( {t}_{0} \) 不是端点),其极限值 (边值) \( {\Phi }^{ + }\left( {t}_{0}\right) \) 和 \( {\Phi }^{ - }\left( {t}_{0}\right) \) 存在,且
\[
{\Phi }^{ \pm }\left( {t}_{0}\right) = \pm \frac{1}{2}f\left( {t}_{0}\right) + \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{f\left( t\right) }{t - {t}_{0}}\mathrm{\;d}t\;\left( {{t}_{0} \in L}\right) ,
\]
其中右端积分要理解为柯西主值积分. 这个公式称为普莱姆利公式. 它是求解边值问题的基本工具. 如 \( L \) 分段光滑, \( {t}_{0} \) 为 \( L \) 上的一角点,其两个单边切线在正侧所张的角为 \( {\theta }_{0} \) ,则上式成为
\[
{\Phi }^{ + }\left( {t}_{0}\right) = \left( {1 - \frac{{\theta }_{0}}{2\pi }}\right) f\left( {t}_{0}\right) + \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{f\left( t\right) }{t - {t}_{0}}\mathrm{\;d}t,
\]
\[
{\Phi }^{ - }\left( {t}_{0}\right) = - \frac{{\theta }_{0}}{2\pi }f\left( {t}_{0}\right) + \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{f\left( t\right) }{t - {t}_{0}}\mathrm{\;d}t\;\left( {{t}_{0} \in L}\right) .
\]
普莱姆利公式在苏联的书刊中常被称为索霍茨基公式. 当 \( f\left( t\right) \in {L}^{p}\left( {p > 1}\right) \) (即 \( p \) 次勒贝格可积) 时,普莱姆利公式对 \( L \) 上点 \( {t}_{0} \) 几乎处处成立.
索霍茨基公式(Sokhozki formula) 即“普莱姆利公式”.
黎曼边值问题 (Riemann boumdary value problem) 亦称连结问题,一类解析函数的边值问题. 设 \( L \) 为一封闭曲线,求一分区全纯函数 (即在 \( L \) 所围内域和外域中解析,且在 \( L \) 的正、负侧上有极限值即边值), 使之满足边值条件
\[
{\Phi }^{ + }\left( t\right) = G\left( t\right) {\Phi }^{ - }\left( t\right) + g\left( t\right) \;\left( {t \in L}\right) ,
\]
(1)
其中 \( G\left( t\right), g\left( t\right) \) 为已知函数. 此问题称为黎曼边值问题. 当然还应要求 \( \Phi \left( z\right) \) 在 \( z = \infty \) 处有一定的性态,例如 \( \Phi \left( \infty \right) = 0 \) 或有限等. 当 \( L \) 是开口曲线时也有类似问题,不过这时 \( \Phi \left( z\right) \) 在整个平面中除去 \( L \) 后是一个解析函数. 如果 (1) 式左端中的 \( t \) 改为 \( \alpha \left( t\right) \) , 这里 \( \alpha \left( t\right) \) 是 \( L \) 到自身的同胚映射,则有带位移的黎曼边值问题.
连结问题 (problem of conjunction) 即 “黎曼边值问题”.
希尔伯特边值问题 (Hilbert boundary value problem) 寻求区域内的解析函数使得它在区域边界上满足某些边界条件的问题. 设 \( L \) 是某区域 \( G \) 的边界曲线, \( L \) 的正向取成使 \( G \) 在其正 (左) 侧. 求 \( G \) 中的解析函数 \( \Phi \left( z\right) \) ,使其在 \( L \) 上的边值 \( {\Phi }^{ + }\left( t\right) \) 满足条件
\[
\operatorname{Re}\left\{ {\gamma \left( t\right) {\Phi }^{ + }\left( t\right) }\right\} = f\left( t\right) \;\left( {t \in L}\right) ,
\]
其中 \( \gamma \left( t\right) \) 为已知函数, \( f\left( t\right) \) 为已知实函数. 此问题称为希尔伯特边值问题. 也有人将希尔伯特边值问题称为黎曼-希尔伯特边值问题.
黎曼-希尔伯特边值问题 (Riemann-Hilbert boundary value problem) 见 “希尔伯特边值问题”.
广义解析函数 (generalized analytic function) 解析函数的推广. 指标准化的一阶椭圆型方程组
\[
\left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y} = {au} + {bv} \\ \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} = {cu} + \mathrm{d}v \end{array}\right.
\]
(1)
在平面区域 \( D \) 内的连续解. 以上方程组还可写成复形式的方程
\[
{w}_{\bar{z}} = {Aw} + B\bar{w}
\]
(2)
其中
\[
A = \frac{1}{4}\left( {a + d + \mathrm{i}\left( {b + c}\right) }\right) ,
\]
\[
B = \frac{1}{4}\left( {a - d + \mathrm{i}\left( {b + c}\right) }\right) ,
\]
\[z = x + \mathrm{i}y, w = u + \mathrm{i}v,{w}_{\bar{z}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial w}{\partial x} + \mathrm{i}\frac{\partial w}{\partial y}}\right) .\] 韦夸 (Berya, II. II. ) 和伯斯 (Bers, L. ) 各自独立地建立了系统的广义解析函数理论. 20 世纪 50 年代, 亚音速、超音速飞机的研制, 推进了广义解析函数的发
展. 伯斯用 \( D\left( {\infty \in D}\right) \) 内两个连续可微的函数 \( F\left( z\right) \) , \( G\left( z\right) \) 分别代替复数表示中的 \( 1,\mathrm{i} \) ,并要求 \( F\left( z\right), G\left( z\right) \) 满足条件
\[
\operatorname{Im}\overline{F\left( z\right) }G\left( z\right) = \frac{1}{2\mathrm{i}}\left\lbrack {\overline{F\left( z\right) }G\left( z\right) + F\left( z\right) \overline{G\left( z\right) }}\right\rbrack > 0\text{. (3)}
\]
而 \( D \) 内任一连续可微函数 \( w\left( z\right) \) 均可表示成
\[
w\left( z\right) = F\left( z\right) \varphi \left( z\right) + G\left( z\right) \psi \left( z\right) ,
\]
(4)
这里 \( \varphi \left( z\right) ,\psi \left( z\right) \) 都是 \( D \) 内实值函数. 如果对 \( D \) 内的任一点 \( z \) ,极限
\[
\mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{w\left( {z + h}\right) - F\left( {z + h}\right) \varphi \left( z\right) - G\left( {z + h}\right) \psi \left( z\right) }{h}
\]
\( = \dot{w}\left( z\right) \)
(5)
存在,则称 \( w\left( z\right) \) 按 \( \left( {f\left( z\right), G\left( z\right) }\right) \) 在点 \( z \) 存在微商 \( \dot{w}\left( z\right) \) ,并称 \( w\left( z\right) \) 为 \( D \) 内的第一类准解析函数. \( w\left( z\right) \) 是 \( D \) 内第一类准解析函数的充分必要条件是: \( w\left( z\right) \) 在 \( D \) 内满足复方程 (2),其中
\[
A\left( z\right) = \frac{\bar{F}{G}_{\bar{z}} - \bar{G}{F}_{\bar{z}}}{\bar{F}G - F\bar{G}}, B\left( z\right) = \frac{G{\bar{F}}_{\bar{z}} - F{G}_{\bar{z}}}{\bar{F}G - F\bar{G}}.
\]
还可以证明: \( f\left( z\right) = \varphi \left( z\right) + \mathrm{i}\psi \left( z\right) \) 在 \( D \) 内满足复方程
\[
\left\{ \begin{array}{l} {f}_{\bar{z}} = q\left( z\right) {\bar{f}}_{\bar{z}}, \\ q\left( z\right) = - \frac{F\left( z\right) + \mathrm{i}G\left( z\right) }{F\left( z\right) - \mathrm{i}G\left( z\right) }, \\ {f}_{z} = \frac{1}{2}\left( {{f}_{x} - \mathrm{i}{f}_{y}}\right) , \end{array}\right.
\]
(6)
并称 \( f\left( z\right) \) 为 \( D \) 内的第二类准解析函数. 这两类准解析函数有着不同的性质, 对于非常数的第二类准解析函数, 保持区域定理是成立的, 而对于第一类准解析函数,保持区域定理不一定成立. 设 \( w\left( z\right) \) 是区域 \( D \) 内广义解析函数或第一类准解析函数,则必存在 \( D \) 内解析函数 \( \Phi \left( z\right) \) 与 \( \bar{D} \) 上的连续函数 \( \varphi \left( z\right) \) ,使得
\[
w\left( z\right) = \Phi \left( z\right) {\mathrm{e}}^{\varphi \left( z\right) }.
\]
(7)
这个定理称为相似原理. 有了这个原理, 使得关于解析函数的许多性质, 可转移到广义解析函数上来, 如积分和级数理论、孤立奇点的分类、惟一开拓性、函数序列的凝聚原理及龙格逼近定理等. 类似于解析函数, 对于复方程 (2), 也有各种边值问题的可解性结果等, 如黎曼边值问题和黎曼-希尔伯特边值问题, 这些边值问题在力学、物理学中有重要应用.
方程组 (1) 和复方程 (2) 可推广到一阶线性一致椭圆型方程组和一致椭圆型复方程
\[
{w}_{z} = {Q}_{1}\left( z\right) {w}_{z} + {Q}_{2}\left( z\right) {\bar{w}}_{\bar{z}}
\]
\[
+ {A}_{1}\left( z\right) w + {A}_{2}\left( z\right) \bar{w} + {A}_{3}\left( z\right) ,
\]
(8)
其一致椭圆型条件为
\[
\left| {{Q}_{1}\left( z\right) }\right| + \left| {{Q}_{2}\left( z\right) }\right| \leq {q}_{0} < 1\left( {z \in D}\right) ,
\]
(9)
这里 \( {q}_{0} \) 是非负常数. 特别地,当
\[
{Q}_{1}\left( z\right) = {Q}_{2}\left( z\right) = {A}_{3}\left( z\right) = 0\;\left( {z \in D}\right)
\]
时, (8) 就是复方程 (2), 其中
\[
{A}_{1}\left( z\right) = A\left( z\right) ,{A}_{2}\left( z\right) = B\left( z\right) .
\]
对于多个自变量的情况, 在克利福德代数的基础上, 建立了相应于单复变函数的一些理论, 以三个实自变量的情况为例,用 \( {e}_{1} = 1,{e}_{2},{e}_{3} \) ,表示克利福德代数的基,其中 \( {e}_{j}^{2} = - 1, j = 2,3,{e}_{2}{e}_{3} = - {e}_{3}{e}_{2} \) . 设 \( D \) 是三维欧氏空间 \( {\mathrm{R}}^{3} \) 中的区域, \( D \) 内的点 \( x = \left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right. \) , \( \left. {x}_{3}\right) \) 可写成
\[
x = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{3}{x}_{j}{e}_{j} = {x}_{1} + {x}_{2}{e}_{2} + {x}_{3}{e}_{3},
\]
而 \( \bar{x} = {x}_{1} - {x}_{2}{e}_{2} - {x}_{3}{e}_{3} \) ,又 \( D \) 内的函数 \( w\left( x\right) \) 可表为
\[
w\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{4}{w}_{j}\left( x\right) {e}_{j},
\]
(10)
这里用 \( {e}_{4} \) 表示 \( {e}_{2}{e}_{3} \) . 定义运算
\[
\bar{\partial }\left( \text{ }\right) = \left( \text{ }\right) {}_{{x}_{1}}{e}_{1} + \left( \text{ }\right) {}_{{x}_{2}}{e}_{2} + \left( \text{ }\right) {}_{{x}_{3}}{e}_{3},
\]
\[
\partial \left( \right) = \left( \right) {}_{{x}_{1}}{e}_{1} - \left( \right) {}_{{x}_{2}}{e}_{2} - \left( \right) {}_{{x}_{3}}{e}_{3}.
\]
显然 \( \overline{\partial \partial }\left( \text{ }\right) = \overline{\partial \partial }\left( \text{ }\right) = \left( \text{ }\right) {}_{{x}_{1}^{2}} + \left( \text{ }\right) {}_{{x}_{2}^{2}} + \left( \text{ }\right) {}_{{x}_{3}^{2}} \) ,区域 \( D \) 内的正则函数 \( w\left( x\right) \) 是指满足方程组 \( \partial w\left( x\right) = 0 \) ,即
\[
\left( \begin{matrix} {\left( \right) }_{{x}_{1}} & - {\left( \right) }_{{x}_{2}} & - {\left( \right) }_{{x}_{3}} & 0 \\ {\left( \right) }_{{x}_{2}} & {\left( \right) }_{{x}_{1}} & 0 & {\left( \right) }_{{x}_{3}} \\ {\left( \right) }_{{x}_{3}} & 0 & {\left( \right) }_{{x}_{1}} & - {\left( \right) }_{{x}_{2}} \\ 0 & - {\left( \right) }_{{x}_{3}} & {\left( \right) }_{{x}_{2}} & {\left( \right) }_{{x}_{1}} \end{matrix}\right) \left( \begin{array}{l} {w}_{1} \\ {w}_{2} \\ {w}_{3} \\ {w}_{4} \end{array}\right) = 0
\]
(11)
的连续函数 \( w\left( x\right) \) ,又广义正则函数是指 \( D \) 内满足方程组
\[\bar{\partial }w = A\left( x\right) w + B\left( x\right) \bar{w}\]
(12)
的连续函数 \( w\left( x\right) \) ,其中
\[A\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{4}{A}_{j}\left( x\right) {e}_{j},\]
\[B\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{4}{B}_{j}\left( x\right) {e}_{j},\]
\[{A}_{j}\left( x\right) ,{B}_{j}\left( x\right) \in {L}_{\alpha }\left( \bar{D}\right) \]
\[\left( {0 < \alpha < 1;j = 1,2,3,4}\right) ,\]
\[\overline{w\left( x\right) } = {w}_{1}\left( x\right) - {w}_{2}\left( x\right) {e}_{2} - {w}_{3}\left( x\right) {e}_{3} - {w}_{4}\left( x\right) {e}_{4}.\]
第一类准解析函数 (the first kind of pseudo-analytic function) 见“广义解析函数”.
第二类准解析函数 (the second kind of pseudo-analytic function) 见“广义解析函数”.
广义柯西公式 (generalized Cauchy formula) 亦称广义柯西型积分. 解析函数柯西公式的推广. 以 \( D \) 表示复平面的有界多连通区域,其边界 \( \Gamma \) 是有限条逐段光滑的简单闭曲线,设 \( w\left( z\right) \) 是在 \( \bar{D} \) 上连续的广义解析函数, |
2000_数学辞海（第3卷） | 44 | _{3} \\ {w}_{4} \end{array}\right) = 0
\]
(11)
的连续函数 \( w\left( x\right) \) ,又广义正则函数是指 \( D \) 内满足方程组
\[\bar{\partial }w = A\left( x\right) w + B\left( x\right) \bar{w}\]
(12)
的连续函数 \( w\left( x\right) \) ,其中
\[A\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{4}{A}_{j}\left( x\right) {e}_{j},\]
\[B\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{4}{B}_{j}\left( x\right) {e}_{j},\]
\[{A}_{j}\left( x\right) ,{B}_{j}\left( x\right) \in {L}_{\alpha }\left( \bar{D}\right) \]
\[\left( {0 < \alpha < 1;j = 1,2,3,4}\right) ,\]
\[\overline{w\left( x\right) } = {w}_{1}\left( x\right) - {w}_{2}\left( x\right) {e}_{2} - {w}_{3}\left( x\right) {e}_{3} - {w}_{4}\left( x\right) {e}_{4}.\]
第一类准解析函数 (the first kind of pseudo-analytic function) 见“广义解析函数”.
第二类准解析函数 (the second kind of pseudo-analytic function) 见“广义解析函数”.
广义柯西公式 (generalized Cauchy formula) 亦称广义柯西型积分. 解析函数柯西公式的推广. 以 \( D \) 表示复平面的有界多连通区域,其边界 \( \Gamma \) 是有限条逐段光滑的简单闭曲线,设 \( w\left( z\right) \) 是在 \( \bar{D} \) 上连续的广义解析函数, 则有广义柯西公式
\[w\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\Gamma }{\Omega }_{1}\left( {z, t}\right) w\left( t\right) \mathrm{d}t - {\Omega }_{2}\left( {z, t}\right) \overline{w\left( t\right) }\mathrm{d}\bar{t}\]
\[\left( {z \in D}\right) \text{,}\]
(1)
其中 \( {\Omega }_{1}\left( {z, t}\right) ,{\Omega }_{2}\left( {z, t}\right) \) 称为广义解析函数的基本核, 满足条件:
\[\left\{ \begin{array}{l} {\Omega }_{1}\left( {z, t}\right) - \frac{1}{t - z} = o\left( {\left| z - t\right| }^{-\frac{2}{p}}\right) \\ {\Omega }_{2}\left( {z, t}\right) = o\left( {\left| z - t\right| }^{-\frac{2}{p}}\right) \end{array}\right. \]
(2)
这里 \( p\left( { > 2}\right) \) 是正常数. 另外,设 \( \varphi \left( z\right) \) 是 \( \Gamma \) 上的连续函数, 则称
\[
w\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\Gamma }{\Omega }_{1}\left( {z, t}\right) \varphi \left( t\right) \mathrm{d}t - {\Omega }_{2}\left( {z, t}\right) \overline{\varphi \left( t\right) }\mathrm{d}\bar{t}
\]
(3)
为广义柯西型积分.
广义柯西型积分 (generalized integral of Cauchy type) 即“广义柯西公式”.
广义解析函数的基本核 (basic kernel of generalized analytic function) 见“广义柯西公式”.
广义幂级数 (generalized power series) 幂级数的推广. 设 \( {z}_{0} \) 为一有穷点, \( {w}_{2n}\left( {z,{z}_{0}}\right) ,{w}_{{2n} + 1}\left( {z,{z}_{0}}\right) \) 是分别对应于 \( {\left( z - {z}_{0}\right) }^{n},\mathrm{i}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}\left( \left| n\right| \right) \) 为整数 \( ) \) 的广义幂函数, 则由以上幂函数
\[
{w}_{n}\left( {z,{z}_{0}}\right) \left( {z,{z}_{0}}\right) \;\left( {n = 0, \pm 1,\cdots }\right)
\]
组成的级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{\infty }{c}_{n}{w}_{n}\left( {z,{z}_{0}}\right)
\]
称为广义幂级数. 这里 \( {c}_{n}\left( {n = 0, \pm 1,\cdots }\right) \) 均为复常数. 还可给出不同形式的广义幂级数.
广义解析函数序列的凝聚原理 (principle of accumulation for the sequence of generalized analytic functions) 广义解析函数序列的列紧性原理. 设 \( \left\{ {{w}_{n}\left( z\right) }\right\} \) 是复方程 \( {w}_{\bar{z}} = {Aw} + B\bar{w} \) 或 \( {w}_{\bar{z}} = {Q}_{1}\left( z\right) {w}_{z} + \) \( {Q}_{2}\left( z\right) {\bar{w}}_{\bar{z}} + {A}_{1}\left( z\right) w + {A}_{2}\left( z\right) \bar{w} + {A}_{3}\left( z\right) \) 于有界区域 \( D \) 内的连续解序列,如果能从 \( \left\{ {{w}_{n}\left( z\right) }\right\} \) 选取子序列在 \( D \) 内闭一致有界,则从 \( \left\{ {{w}_{n}\left( z\right) }\right\} \) 中可选取在 \( D \) 内闭一致收敛到上述方程于 \( D \) 内的连续解.
广义解析函数零点的孤立性 (isolation of zeros of generalized analytic function) 广义解析函数的基本性质. 是指复方程
\[
{w}_{z} = {Q}_{1}\left( z\right) {w}_{z} + {Q}_{2}\left( z\right) {\bar{w}}_{\bar{z}} + {A}_{1}\left( z\right) w + {A}_{2}\left( z\right) \bar{w}
\]
在区域 \( D \) 内为非常数的解 \( w\left( z\right) \) 的零点是孤立的. 即若 \( z = {z}_{0} \in D \) 是 \( w\left( z\right) \) 的一个零点,则存在正数 \( \sigma \) ,使在 \( 0 < \left| {z - {z}_{0}}\right| < \sigma \) 内 \( w\left( z\right) \) 没有零点.
广义解析函数的黎曼边值问题 (Riemann boundary problem of generalized analytic function) 广义解析函数的一类基本边值问题. 设 \( \Gamma \) 是复平面上 \( N + 1 \) 条逐段光滑的闭曲线 \( {\Gamma }_{0},{\Gamma }_{1},{\Gamma }_{2},\cdots ,{\Gamma }_{N} \) ,而 \( {\Gamma }_{1},{\Gamma }_{2},\cdots ,{\Gamma }_{N} \) 在 \( {\Gamma }_{0} \) 所围的有界区域 \( {D}^{ + } \) 内,以 \( \Gamma \) 为边界的有界区域, \( {D}^{ - } \) 是 \( {D}^{ + } \) 在全平面的余集. 求复方程
\[
{w}_{\bar{z}} = A\left( z\right) w + B\left( z\right) \bar{w}
\]
或
\[
{w}_{\bar{z}} = {Q}_{1}\left( z\right) {w}_{z} + {Q}_{2}\left( z\right) {\bar{w}}_{\bar{z}}
\]
\[
+ {A}_{1}\left( z\right) w + {A}_{2}\left( z\right) \bar{w} + {A}_{3}\left( z\right)
\]
在 \( {D}^{ \pm } \) 内的分片连续解
\[
w\left( z\right) = \left\{ \begin{array}{ll} {w}^{ + }\left( z\right) & \left( {z \in {D}^{ + }}\right) , \\ {w}^{ - }\left( z\right) & \left( {z \in {D}^{ - }}\right) , \end{array}\right.
\]
使它直到边界 \( \Gamma \) 连续,且适合边界条件:
\[
{w}^{ + }\left( t\right) = G\left( t\right) {w}^{ - }\left( t\right) + g\left( t\right) \;\left( {t \in \Gamma }\right) ,\;(
\]
其中 \( G\left( t\right), g\left( t\right) \) 满足条件
\[
G\left( t\right) \neq 0, G\left( t\right), g\left( t\right) \in {C}_{a}\left( \Gamma \right) ,
\]
这里 \( \alpha \left( {0 < \alpha < 1}\right) \) 为实常数, \( {C}_{\alpha }\left( \Gamma \right) \) 是 \( \Gamma \) 上满足赫尔德条件的函数类.
广义解析函数的黎曼-希尔伯特边值问题 (Riemann-Hilbert boundary value problem of generalized analytic functions) 广义解析函数的一类基本边值问题. 设 \( D \) 是 \( N + 1 \) 连通区域,其边界为如“广义解析函数黎曼边值问题”条目中所述 \( N + 1 \) 条光滑闭曲线
\[
\Gamma = \mathop{\bigcup }\limits_{{j = 0}}^{N}{\Gamma }_{j}
\]
且 \( \Gamma \in {C}_{\mu }^{1},\mu \left( {0 < \mu < 1}\right) \) 为实常数, \( {C}_{\mu }^{1}\left( \Gamma \right) \) 是 \( \Gamma \) 上函数及其一阶导数满足赫尔德条件的函数类. 求复方程
\[
{w}_{\bar{z}} = A\left( z\right) w + B\left( z\right) \bar{w}
\]
或
\[
{w}_{\bar{z}} = {Q}_{1}\left( z\right) {w}_{z} + {Q}_{2}\left( z\right) {\bar{w}}_{\bar{z}}
\]
\[
+ {A}_{1}\left( z\right) w + {A}_{2}\left( z\right) \bar{w} + {A}_{3}\left( z\right)
\]
在闭区域 \( \bar{D} \) 上的连续解 \( w\left( z\right) \) ,使它适合边界条件
\[
\operatorname{Re}\left\lbrack {\overline{\lambda \left( t\right) }w\left( t\right) }\right\rbrack = r\left( t\right) \;\left( {t \in \Gamma }\right) ,
\]
(1)
此处 \( \left| {\lambda \left( t\right) }\right| = 1,\lambda \left( t\right), r\left( t\right) \) 满足条件
\[
\lambda \left( t\right) \in {C}_{a}\left( \Gamma \right) ,\;r\left( t\right) \in {C}_{a}\left( \Gamma \right) ,
\]
其中 \( \alpha \) 是实常数, \( {C}_{\alpha }\left( \Gamma \right) \) 是 \( \Gamma \) 上满足赫尔德条件的函数类.
广义解析函数的保持区域定理 (region-preserving theorem of generalized analytic function)
广义解析函数的基本几何性质. 设 \( D \) 是 \( z \) 平面的一区域,又 \( w\left( z\right) \) 是复方程
\( {w}_{\bar{z}} = q\left( z\right) {\bar{w}}_{z} \) 或 \( {w}_{\bar{z}} = {Q}_{1}\left( z\right) {w}_{z} + {Q}_{2}\left( z\right) {\bar{w}}_{\bar{z}} \)
在 \( D \) 内的连续解,且 \( w\left( z\right) \) 在 \( D \) 内不是常数,则 \( w\left( z\right) \) 把 \( D \) 映射到 \( w \) 平面上的一区域. 这就是保持区域定理.
广义解析函数的黎曼映射定理 (Riemann mapping theorem of generalized analytic function) 共形映射的黎曼定理的推广. 设区域 \( D \) 是复平面上的单连通区域, 其边界多于一点, 则复方程
\( {w}_{\bar{z}} = q\left( z\right) {\bar{w}}_{z} \) 或 \( {w}_{\bar{z}} = {Q}_{1}\left( z\right) {w}_{z} + {Q}_{2}\left( z\right) {\bar{w}}_{\bar{z}} \)
具有将 \( D \) 拟共形映射到单位圆 \( \left| w\right| < 1 \) 的同胚解 \( w\left( z\right) \) ,如果 \( D \) 的边界 \( \Gamma \) 是简单闭曲线,以 \( {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3} \) 表示 \( \Gamma \) 上按正向排列的三点,又 \( {w}_{1},{w}_{2},{w}_{3} \) 是 \( \left| w\right| \) \( = 1 \) 上按正向排列的三点,则满足条件
\[w\left( {z}_{j}\right) = {w}_{j}\left( {j = 1,2,3}\right) \]
的上述映射是惟一的. 如果 \( D \) 是 \( N + 1 \) 连通区域, 那么也可以证明:复方程
\[{w}_{\bar{z}} = q\left( z\right) {\bar{w}}_{z}\text{ 或 }{w}_{\bar{z}} = {Q}_{1}\left( z\right) {w}_{z} + {Q}_{2}\left( z\right) {\bar{w}}_{\bar{z}}\]
存在着把 \( D \) 拟共形映射到一些典型区域如圆界区
域的同胚解.
## 复变函数的应用
复势 (complex potential) 与复变函数论在流体力学中的应用有关的一个概念. 设有一不可压缩流体做平面定常运动,其速度向量 \( v = \left( {{v}_{x},{v}_{y}}\right) \) . 又设其中无源和汇, 也无涡流. 这些等价于
\[
\frac{\partial {v}_{x}}{\partial x} = - \frac{\partial {v}_{y}}{\partial y},\;\frac{\partial {v}_{y}}{\partial x} = \frac{\partial {v}_{x}}{\partial y},
\]
它说明 \( \bar{v} = {v}_{x} - \mathrm{i}{v}_{y} \) 为解析函数,称为流体的复速度; 而
\[
f\left( z\right) = {\int }_{{z}_{0}}^{z}\bar{v}\mathrm{\;d}z
\]
与积分路径无关, 称为流体的复势. 流体运动的许多性质都可通过复势和复速度来描述. 例如, 流体绕过某障碍物的流动问题 (即绕流问题) 就可化为复势的边值问题来考虑.
复变函数论在许多自然科学和工程技术领域 (诸如流体力学、弹性理论、热传导、电学)中有应用. 事实上, 像著名的柯西定理, 其产生的思想背景就源于流体力学. 由于解析函数 \( f\left( z\right) = u + \mathrm{i}v \) 的实部 \( u \) 和虚部 \( v \) 满足柯西-黎曼方程,因此,把 \( u, v \) 看做平面上向量场的分量时, 说明这个向量场满足一定的条件, 从而满足这种条件的任何种类平面物理场的问题都可化为复变函数的问题来处理, 于是复变函数得到了种种应用.
另外,满足二元拉普拉斯方程的调和函数 \( u \) 可以看做是某解析函数的实部 (或虚部), 因此, 与拉普拉斯方程的解有关的实际问题, 也可转化为复变函数的问题. 这也是复变函数应用的另一重要方面.
由于电流 \( I \) 是电荷流动的速度,类似于流体的速度, 因此, 与复变函数在流体力学中的应用相似, 复变函数也可应用于电动力学.
由于平面热传导问题温度的定常分布满足二元拉普拉斯方程, 其解为调和函数, 可看做解析函数的实部 (或虚部), 所以复变函数可应用于热传导问题.
复速度 (complex velocity) 见“复势”.
科洛索夫函数 (Kolosov function) 复变函数用于求解平面弹性问题时引进的一个特殊的函数. 如果在平面直角坐标系中用 \( {\sigma }_{x},{\sigma }_{y},{\tau }_{xy} \) 表示在 \( \left( {x, y}\right) \) 处的应力, 则存在弹性区域中的两个解析函数 \( \Phi \left( z\right) ,\Psi \left( z\right) \) ,使得
\[
{\sigma }_{x} + {\sigma }_{y} = 4\operatorname{Re}\{ \Phi \left( z\right) \} ,
\]
\[
{\sigma }_{y} - {\sigma }_{x} + 2\mathrm{i}{\tau }_{xy} = 2\operatorname{Re}\left\{ {\bar{z}{\Phi }^{\prime }\left( z\right) + \Psi \left( z\right) }\right\} .
\]
\( \Phi \left( z\right) \) 和 \( \Psi \left( z\right) \) (或其不定积分 \( \varphi \left( z\right) \) 和 \( \psi \left( z\right) \) ) 称为科洛索夫函数或穆斯赫利什维利函数, 也称为艾里函数. 由此出发就可将平面弹性问题 (包括断裂力学) 化为解析函数的边值问题进行求解.
茹科夫斯基变换 (Zhukovskii transformation) 在机翼理论中最基本的一种共形映射. 形如
\[
z = \frac{1}{2}\left( {\zeta + \frac{1}{\zeta }}\right)
\]
的复变函数称为茹科夫斯基变换, 亦称为茹科夫斯基函数. 这个函数在理论上及共形映射的实际构造上都是重要的. 茹科夫斯基 ( )Kykoßckий, H. E. ) 是俄国空气动力学家. 如下图,它把 \( \zeta \) 平面中的圆 \( {\gamma }^{\prime } \) 的外域 \( {D}^{\prime } \) 共形变换为 \( z \) 平面中某曲线 \( \gamma \) 的外域 \( D.\gamma \) 可作为机翼断面外形的设计. 调节 \( \zeta \) 平面中圆 \( {\gamma }^{\prime } \) 中心
\( \zeta = \xi + \mathrm{i}\eta \)
\( z = x + \mathrm{i}y \)
\( a \) 的位置 (从而包括半径 \( r \) 的大小),可得出各种各样机翼的外形. 如果空气流动的复速度为 \( v = {v}_{x} |
2000_数学辞海（第3卷） | 45 | t( z\right) + \Psi \left( z\right) }\right\} .
\]
\( \Phi \left( z\right) \) 和 \( \Psi \left( z\right) \) (或其不定积分 \( \varphi \left( z\right) \) 和 \( \psi \left( z\right) \) ) 称为科洛索夫函数或穆斯赫利什维利函数, 也称为艾里函数. 由此出发就可将平面弹性问题 (包括断裂力学) 化为解析函数的边值问题进行求解.
茹科夫斯基变换 (Zhukovskii transformation) 在机翼理论中最基本的一种共形映射. 形如
\[
z = \frac{1}{2}\left( {\zeta + \frac{1}{\zeta }}\right)
\]
的复变函数称为茹科夫斯基变换, 亦称为茹科夫斯基函数. 这个函数在理论上及共形映射的实际构造上都是重要的. 茹科夫斯基 ( )Kykoßckий, H. E. ) 是俄国空气动力学家. 如下图,它把 \( \zeta \) 平面中的圆 \( {\gamma }^{\prime } \) 的外域 \( {D}^{\prime } \) 共形变换为 \( z \) 平面中某曲线 \( \gamma \) 的外域 \( D.\gamma \) 可作为机翼断面外形的设计. 调节 \( \zeta \) 平面中圆 \( {\gamma }^{\prime } \) 中心
\( \zeta = \xi + \mathrm{i}\eta \)
\( z = x + \mathrm{i}y \)
\( a \) 的位置 (从而包括半径 \( r \) 的大小),可得出各种各样机翼的外形. 如果空气流动的复速度为 \( v = {v}_{x} + \) \( \mathrm{i}{v}_{y} \) (实际上是飞机的速度为 \( - v \) ),则在机翼上有著名的恰普雷金升力公式
\[
P = - \frac{\rho \mathrm{i}}{2}{\int }_{\gamma }{v}^{2}\mathrm{\;d}\bar{z}
\]
其中 \( \rho \) 为空气密度.
由于拉普拉斯方程在共形映射下不变, 因此许多平面复杂区域上的问题, 经过共形映射可化为典型区域 (例如, 单连通区域可变为圆域, 二连通区域可变为同心的圆环域等)上的问题. 由于典型区域比较简单、规则, 因此常常可使问题得到简化甚至解决.
恰普雷金升力公式 (Chaplygin lift formula) 见“茹科夫斯基变换”. 它是由恰普雷金 (Yanjibirih, C. A. ) 给出的. 撰 稿 王文俊 邢富冲 任福尧 庄圻泰 杨重骏张南岳 陈 敏 陈于坚 闻国椿 袁文俊温学恒 路见可
审 阅 庄圻泰 杨 森 何育赞 陈怀惠
## 多复变函数论
多复变函数论 (function theory of several complex variables) 简称多复变. 它是研究多个独立复变数的全纯函数性质的学科. 单复变函数论是研究复平面及黎曼曲面中的域上的解析函数的性质, 多复变函数论则是研究 \( n\left( {n \geq 2}\right) \) 个独立复变量 \( z \) \( = \left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n}}\right) \) 的全纯函数
\[
f\left( z\right) = f\left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n}}\right)
\]
的性质. 为此, 首先要将复平面推广到复欧氏空间, 将黎曼曲面推广到复流形及复空间, 然后研究它们的域上的全纯函数的性质. 出乎意料的是, 大多数单复变函数论中的结果, 无法平行地推广到多复变函数的情形, 在这种情形下, 经典问题有什么新提法、 新形式和新结果, 又有什么新的问题, 这正是多复变函数论所要研究的. 另一方面, 多复变函数论又有着大量的应用. 所以多复变数函数论是一个富有生命力的数学分支.
就工具而言, 由于多复变函数论中问题的复杂性, 所以涉及拓扑、微分方程、微分几何、代数几何、 抽象代数、李群和泛函分析, 以及实变函数论和复变函数论的大量概念和方法, 且有自己独特的处理办法.
多复变函数论有很多不同的研究方向. 大体上有:
1. 积分表示.
2. 算子理论.
3. 奇点理论.
4. 值分布理论.
5. 逼近理论.
6. 函数空间理论和调和函数论.
7. 全纯开拓.
8. 施坦流形理论.
9. 双全纯映射的几何理论.
10. 域的分类理论.
11. 自守函数论.
12. 亚纯函数和亚纯映射理论.
13. 复空间理论等.
从历史上来看, 真正使多复变函数论成为一门独立学科的, 是源于 19 世纪末和 20 世纪初庞加莱 (Poincaré, (J. -) H. ) 、哈托格斯 (Hartogs, F. M. )、 库辛 (Cousin, P. ) 和列维 (Levi, E. E. ) 等人的出色的工作. 庞加莱首先发现,在 \( {\mathrm{C}}^{2} \) 中球和多圆柱不是全纯等价的, 这说明单复变中著名的黎曼映射定理在多复变中不再成立; 哈托格斯则发现在 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中存在这样一类域, 其上的所有全纯函数都可以全纯开拓到比它更大的域上去, 这在单复变中是不可能的; 库辛提出的以他的名字命名的单复变中的米塔-列夫勒 (Mittag-Leffler, (M. ) G. ) 定理和外尔斯特拉斯定理在多复变中的推广的两个问题 (参见 “库辛第一问题”和“库辛第二问题”)和列维提出的拟凸域是否全纯域的问题 (参见 “列维问题”)更是长期以来推动着多复变函数论的发展.
20 世纪 30 年代出现的嘉当 (Cartan, H. ) 关于全纯自同构的惟一性定理和有界域的全纯自同构群是李群的出色工作,特别是冈洁 \( \left( {\mathrm{{Oka}},\mathrm{K}\text{.}}\right) \) 对库辛问题和列维问题的深入研究, 导致 20 世纪 50 年代对上述问题的最终解决. 具体地说, 1936 年, 冈洁首先在多项式凸域上, 稍后, 他于 1937 年在一般的全纯凸域上解决了库辛第一问题; 1942 年, 列维问题首先由冈洁在 \( {\mathrm{C}}^{2} \) 中解决; 后来,冈洁于 1953 年,布雷默尔曼 (Bremermann, H. J. ) 于 1954 年, 诺盖 (Norguet, F. ) 于 1954 年独立地解决了任意维数的 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的列维问题. 1958 年,格劳尔特 (Grauert, H. ) 用凝聚解析层的理论解决了复流形上的列维问题.
到了 20 世纪 60 年代中叶, 科恩 (Kohn, J. J. ) 和赫尔曼德尔 (Hörmander, L. ) 利用 \( \bar{\partial } \) 算子的 \( {L}^{2} \) 估计,证明了在拟凸域上 \( \bar{\partial } \) 问题有解,从而可以容易地解决列维问题和库辛第一、第二问题. 1970 年, 辛钦 (Henkin, G. M.) 得到强拟凸域上 \( \bar{\partial } \) 问题解的积分表示,由它不难得到 \( \bar{\partial } \) 问题解的 \( {L}^{\infty } \) 估计. 自此以后, 积分表示和一些“硬分析”中的问题, 诸如边界性质、 复切现象、零点集的刻画等问题又吸引众多的多复变函数论的研究者.
1980 年,路丁 (Rudin, W. ) 的《C" 中球上的函数论》出版以后, 又引发了众多的学者去研究球上的函数论. 作为有界对称域和强拟凸域的最简单的模型, 球上函数论的进展又推动着有界对称域和强拟凸域上函数论的进一步发展.
复欧几里得空间 (complex Euclidean space) 简称复欧氏空间,是通常欧氏空间的推广. 由 \( n \) 个复数确定的点构成的空间. 给定正整数 \( n, n \) 个复数 \( {a}_{1} \) , \( {a}_{2},\cdots ,{a}_{n} \) 的有序组 \( \left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}}\right) \) 全体构成的集合称为 \( n \) 维复欧氏空间,记为 \( {\mathrm{C}}^{n} \cdot {\mathrm{C}}^{n} \) 中元素 \( a = \left( {{a}_{1},{a}_{2}}\right. \) , \( \left. {\cdots ,{a}_{n}}\right) \) 称为点,复数 \( {a}_{j} \) 称为点 \( a \) 的第 \( j \) 个坐标,在 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中给定点 \( a = \left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}}\right) ,{\mathrm{C}}^{n} \) 中子集
\( {U}_{\varepsilon }\left( a\right) = \left\{ {x = \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \left| \right| {a}_{j} - {x}_{j} \mid < \varepsilon ,1 \leq j \leq n}\right\} \)
称为点 \( a \) 的邻域,这里 \( \varepsilon > 0.{\mathrm{C}}^{n} \) 中一些邻域的并集称为开集,在 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中取定两点
\[
a = \left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}}\right), b = \left( {{b}_{1},{b}_{2},\cdots ,{b}_{n}}\right) ,
\]
则 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的子集
\[
\left\{ {x = \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \mid {x}_{j} = t{a}_{j} + \left( {1 - t}\right) {b}_{j},}\right.
\]
\[
0 \leq t \leq 1,1 \leq j \leq n\}
\]
称为由 \( a \) 和 \( b \) 决定的线段,它的长度定义为
\[
{\left( \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{\left| {a}_{j} - {b}_{j}\right| }^{2}\right) }^{\frac{1}{2}}.
\]
\( n \) 维复欧氏空间为 \( {2n} \) 维实欧氏空间,特别地,一维复欧氏空间为普通平面, 用复坐标来记点的坐标.
复射影空间 (complex projective space) 实射影空间的推广, 即复欧氏空间添加无穷远点构成的空间. 添加了无穷远点的复平面称为一维复射影空间,记为 \( \mathrm{C}{P}^{1} \) ,推广到 \( n \) 维,便得到 \( n \) 维复射影空间, 它具体构作如下: 给定 \( n + 1 \) 维复欧氏空间 \( {\mathrm{C}}^{n + 1} \) ,考虑子集合 \( {\mathrm{C}}^{n + 1} \smallsetminus \{ 0\} \) . 在其中引进等价关系如下: 如果对 \( {\mathrm{C}}^{n + 1} \smallsetminus \{ 0\} \) 中的点 \( \left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n + 1}}\right) \) 和 \( \left( {{w}_{1},{w}_{2},\cdots }\right. \) , \( \left. {w}_{n + 1}\right) \) ,存在非零复数 \( \rho \) ,使得
\[
{w}_{j} = \rho {z}_{j}\left( {1 \leq j \leq n + 1}\right) ,
\]
则称此两点互相等价,于是 \( {\mathrm{C}}^{n + 1} \smallsetminus \{ 0\} \) 成为等价类之并集,含代表元素 \( z = \left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n + 1}}\right) \) 的等价类为
\[
\widetilde{z} = \left\{ {\left( {{w}_{1},{w}_{2},\cdots ,{w}_{n + 1}}\right) \in {\mathrm{C}}^{n + 1}\smallsetminus \{ 0\} \mid {w}_{j} = \rho {z}_{j},}\right.
\]
\[
1 \leq j \leq n + 1,\rho \in \mathbf{C}\{ 0\} \} ,
\]
所有等价类构成之集合记为 \( \mathrm{C}{P}^{n} \) ,称为 \( n \) 维复射影空间.
在 \( n \) 维复射影空间 \( \mathrm{C}{P}^{n} \) 中取出以点 \( \left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots }\right. \) , \( \left. {{z}_{n},1}\right) \) 为代表元素的等价类,这些等价类构成 \( \mathrm{C}{P}^{n} \) 中的子集 \( {\widetilde{\mathrm{C}}}^{n} \) ,其中每个点
\[
\overset{⏜}{\left( {z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n},1\right) }
\]
对应 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的点 \( \left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n}}\right) \) ,这是 \( {\widetilde{\mathrm{C}}}^{n} \) 到 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 上的一一对应. 将 \( {\widetilde{\mathrm{C}}}^{n} \) 看做和 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 等同,在这个意义下, \( {\mathrm{C}}^{n} \subset \) \( \mathrm{C}{P}^{n} \) ,而 \( \mathrm{C}{P}^{n} \smallsetminus {\mathrm{C}}^{n} \) 中的点称为 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 的无穷远点. 所以 \( n \) 维复射影空间是由 \( n \) 维复欧氏空间添加无穷远点而成.
利用 \( {\mathrm{C}}^{n + 1} \smallsetminus \{ 0\} \) 到 \( {\mathrm{{CP}}}^{n} \) 之自然投影映射
\[
\sigma : \left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n + 1}}\right) \rightarrow \overset{⏜}{\left( {z}_{1},\cdots ,{z}_{n},{z}_{n + 1}\right) },
\]
用 \( {\mathrm{C}}^{n + 1} \smallsetminus \{ 0\} \) 之欧氏拓扑结构,在 \( \mathrm{C}{P}^{n} \) 中可引进关于 \( \sigma \) 的商拓扑,于是 \( \mathrm{C}{P}^{n} \) 为紧复流形.
\( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域 (domains in \( {\mathrm{C}}^{n} \) ) 实欧氏空间中域的推广. 若 \( D \) 是 \( n \) 维复欧氏空间 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的连通开集, 则 \( D \) 称为 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域. 若存在正数 \( M \) ,使得 \( D \) 中的点 \( z = \left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n}}\right) \) 都满足条件
\[
\left| {z}_{j}\right| < M\left( {1 \leq j \leq n}\right) ,
\]
则域 \( D \) 称为有界域,否则称为无界域.
\( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的有界域 (bounded domain in \( {\mathrm{C}}^{n} \) ) 见 “ \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域”.
\( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的无界域 (unbounded domain in \( {\mathrm{C}}^{n} \) ) 见 “ \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域”.
\( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的多圆柱 (polycylinder in \( {\mathrm{C}}^{n} \) ) \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的特殊的有界域. 指 \( \mathrm{C} \) 中的 \( n \) 个具有相同半径的开圆盘的积. 设 \( a = \left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}}\right) \in {\mathrm{C}}^{n} \) .
\[
{P}_{n}\left( {a, r}\right) = \left\{ {z = \left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n}}\right) \left| \right| {z}_{1} - {a}_{1} \mid < r,}\right.
\]
\[
\left. {\left| {{z}_{2} - {a}_{2}}\right| < r,\cdots ,\left| {{z}_{n} - {a}_{n}}\right| < r}\right\}
\]
的域称为以 \( a \) 为中心, \( r \) 为半径的多圆柱. 中心在原点半径为 1 的多圆柱称为单位多圆柱.
\( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的单位多圆柱 (unit polycylinder in \( {\mathrm{C}}^{n} \) ) 见“ \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的多圆柱”.
圆型域 (circular domain) 复欧氏空间中的一种特殊的域. 设 \( D \) 是 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域,如果对每点 \( z \) \( = \left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n}}\right) \in D \) ,以及任意 \( \theta \in \mathrm{R} \) ,都有 \( \left( {{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }{z}_{1},{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right. \) \( \left. {{z}_{2},\cdots ,{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }{z}_{n}}\right) \in D \) ,就称 \( D \) 是关于原点的圆型域.
莱因哈特域 (Reinhardt domain) 复欧氏空间中一种特殊的域. 设 \( D \) 是 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 的域,如果对每点 \( z = \) \( \left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n}}\right) \in D \) ,以及任意的 \( {\theta }_{1},{\theta }_{2},\cdots ,{\theta }_{n} \in \mathrm{R} \) ,都有 \( \left( {{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_{1}}{z}_{1},{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_{2}}{z}_{2},\cdots ,{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_{n}}{z}_{n}}\right) \in D \) ,就称 \( D \) 是关于原点的莱因哈特域. 例如, 单位球
\[
{B}_{n} = \left\{ {z = \left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n}}\right) \left| \right| {z}_{1}{\left. \right| }^{2} + {\left| {z}_{2}\right| }^{2} + \cdots }\right.
\]
\[
\left. {+{\left| {z}_{n}\right| }^{2} < 1}\right\}
\]
以及单位多圆柱
\[
{P}_{n} = \left\{ {z = \left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n}}\right) \left| \right| {z}_{1} \mid < 1,}\right.
\]
\[
\left. {\left| {z}_{2}\right| < 1,\cdots ,\left| {z}_{n}\right| < 1}\right\}
\]
都是莱因哈特域. 一般地, 莱因哈特域一定是圆型域, 但圆型域却不一定是莱因哈特域. 例如
\[D = \left\{ {z = \left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n}}\right) \left| \right| {z}_{1} + {z}_{2} + \cdots + {z}_{n} \mid < 1}\right\} \]
显然是圆型域, 但不是莱因哈特域. 研究最多的莱因哈特域是由适合条件
\[{\left| {z}_{1}\right| }^{{a}_{1}} + {\left| {z}_{2}\right| }^{{a}_{2}} + \cdots + {\left| {z}_{n}\right| }^{{a}_{n}} < 1\]
的点构成的域,其中 \( {\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n} \) 为正实数 |