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2000_数学辞海（第3卷） | 146 | ghtarrow 0} \\ {\delta \rightarrow + \infty } }}{\int }_{\left| {x - y}\right| > \varepsilon }f\left( x\right) \Omega \left( {y - x}\right) {\left| y - x\right| }^{-n}\mathrm{\;d}x
\]
称为函数 \( f \) 关于核 \( K \) 的考尔德伦-赞格蒙奇异积分. 如果 \( f \in {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \left( {p \geq 1}\right) \) ,那么上述积分几乎处处存在,于是 \( {Tf} \) 就定义了 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的一个函数,这个函数称为函数 \( f \) 的考尔德伦-赞格蒙变换.
考尔德伦-赞格蒙变换 (Calderón-Zygmund transform) 见“考尔德伦-赞格蒙奇异积分”.
考尔德伦-赞格蒙分解引理 (Calderón-Zygmund decomposition lemma) 按照给定函数所做的空间 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的一种特殊的分解. 设非负函数 \( f \) 在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上可积, \( \alpha \) 为一正数,则存在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的一个分解:
\[
{\mathrm{R}}^{n} = F \cup \Omega, F \cap \Omega = \varnothing ,
\]
使得:
1. \( f\left( x\right) \leq \alpha \left( {x \in F}\right) \) a. e. .
2. \( \Omega = \mathop{\bigcup }\limits_{k}{Q}_{k},{Q}_{k} \) 为立方体, \( {Q}_{i} \cap {Q}_{j} = \varnothing \left( {i \neq j}\right) \) ,
有
\[
\alpha < \frac{1}{\left| {Q}_{k}\right| }{\int }_{{Q}_{k}}f\left( x\right) \mathrm{d}x \leq {2}^{n}\alpha .
\]
考尔德伦-赞格蒙分解引理将函数分解成两部分: “好”的部分与“坏”的部分, 然后运用不同的方法去处理它们, 是一种很有用的技巧.
考尔德伦-赞格蒙算子 (Calderón-Zygmund operator) 一类非卷积型积分算子,也是考尔德伦- 赞格蒙奇异积分的拓广. 设 \( K\left( {x, y}\right) \) 为定义在 \( \{ (x \) , \( y) \mid x \in {\mathrm{R}}^{n}, x \neq y\} \) 上的连续函数,且满足下面两个条件:
1. 存在常数 \( C \) ,使得
\[
\left| {K\left( {x, y}\right) }\right| \leq \frac{C}{{\left| x - y\right| }^{n}}\left( {x \neq y}\right) .
\]
2. 存在 \( \delta \in (0,1\rbrack \) 和常数 \( C \) ,使得
\( \left| {K\left( {x, y}\right) - K\left( {x, z}\right) }\right| + \left| {K\left( {y, x}\right) - K\left( {z, x}\right) }\right| \)
\( \leq C\frac{{\left| y - z\right| }^{\delta }}{{\left| x - z\right| }^{\delta + n}} \) ,当 \( 2\left| {y - z}\right| \leq \left| {x - z}\right| \) .
满足上述条件的 \( K\left( {x, y}\right) \) 称为 \( \delta \) 型考尔德伦-赞格蒙核.
记 \( \mathcal{D} \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上具有紧支集的无穷次可微函数空间, \( {\mathcal{D}}^{\prime } \) 为 \( \mathcal{D} \) 的对偶空间. 一个 \( \mathcal{D} \rightarrow {\mathcal{D}}^{\prime } \) 的连续线性算子 \( T \) 被称为考尔德伦-赞格蒙算子,是指 \( T \) 满足以下两个条件:
1. \( T \) 能扩张为 \( {L}^{2}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 上的有界算子.
2. 存在一个考尔德伦-赞格蒙核, 使得对于 \( \forall \varphi \in \mathcal{D} \) ,
\[
{T\varphi }\left( x\right) = \int K\left( {x, y}\right) \varphi \left( y\right) \mathrm{d}y
\]
\[
\left( {x \in \{ \operatorname{supp}\varphi {\} }^{c}\text{ a. e. }}\right) \text{. }
\]
考尔德伦-赞格蒙核 (Calderón-Zygmund kernel) 见“考尔德伦-赞格蒙算子”.
\( {T1} \) 定理 ( \( {T1} \) theorem) 判别一类非卷积型积分算子 \( {L}^{2} \) 有界的定理. 由达维德 (David, G. ) 和儒尔内 (Journé, J. L. ) 得到的 \( {T1} \) 定理叙述如下:
设 \( T \) 为 \( \mathcal{D} \rightarrow {\mathcal{D}}^{\prime } \) 的连续线性算子,如果存在考尔德伦-赞格蒙核 \( K\left( {x, y}\right) \) ,满足: 对 \( \forall \varphi \in \mathcal{D} \) ,
\[
{T\varphi }\left( x\right) = \int K\left( {x, y}\right) \varphi \left( y\right) \mathrm{d}y
\]
\[
\left( {x \in \{ \operatorname{supp}\varphi {\} }^{c}\text{ a. e. }}\right) \text{,}
\]
则 \( T \) 为 \( {L}^{2}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 有界的充分必要条件是:
1. \( T\left( 1\right) \in \operatorname{BMO}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) .
2. \( {T}^{ * }\left( 1\right) \in \operatorname{BMO}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) .
3. \( T \) 为弱有界.
其中 \( {T}^{ * } \) 为 \( T \) 的共轭算子, \( T \) 为弱有界是指对 \( \mathcal{D} \) 中的任一有界集 \( F \) ,存在常数 \( C \) ,使得
\[
\left| \left\langle {T{\varphi }_{1}^{x, t},{\varphi }_{2}^{x, t}}\right\rangle \right| \leq C{t}^{n},
\]
对 \( \forall {\varphi }_{1},{\varphi }_{2} \in \mathcal{D}, x \in {\mathrm{R}}^{n}, t > 0 \) 成立; 其中
\[
{\varphi }^{x, t}\left( y\right) = \varphi \left( \frac{y - x}{t}\right) .
\]
哈代-李特尔伍德极大函数 (Hardy-Littlewood maximal function) 函数的一种积分变换. 设 \( f \) 在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上局部可积 (即在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的每个紧子集上都可积). 函数
\[
M\left( f\right) \left( x\right) = \mathop{\sup }\limits_{{r > 0}}\frac{1}{{c}_{n}{r}^{n}}{\int }_{\left| y\right| < r}\left| {f\left( {x - y}\right) }\right| \mathrm{d}y
\]
\[
\left( {{c}_{n} = {\pi }^{\frac{n}{2}}/\Gamma \left( {\frac{n}{2} + 1}\right) }\right)
\]
称为 \( f \) 的哈代-李特尔伍德极大函数. 映射 \( M : f \rightarrow M \) ( \( f \) ) 称为哈代-李特尔伍德极大算子. \( M \) 是 \( {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 到 \( {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \left( {1 < p \leq + \infty }\right) \) 的有界算子以及 \( {L}^{1}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 到 \( {L}^{1,\infty }\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 的有界算子,这里 \( {L}^{1,\infty }\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 为弱 \( {L}^{1} \) 空间,即洛伦兹空间 (参见 “洛伦兹空间”).
哈代-李特尔伍德极大算子 \( M \) 在调和分析中的重要作用在于它能在一定意义下控制许多算子. 因此极大算子 \( M \) 在算子有界性的研究中起着十分重要的作用.
哈代-李特尔伍德极大算子 (Hardy-Littlewood maximal operator) 见 “哈代-李特尔伍德极大函数”.
马肯厚普条件(Muckenhoupt's condition) 亦称 \( {A}_{p} \) 条件,对使哈代-李特尔伍德极大算子 \( M \) 为加权 \( {L}^{p} \) 有界的权函数的特征刻画. 设 \( 1 < p < + \infty \) ,那么哈代-李特尔伍德极大算子 \( f \rightarrow M\left( f\right) \) 是 \( {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) \( = {L}^{p}\left( {{\mathrm{R}}^{n},\mathrm{\;d}x}\right) \) 有界的. 1972 年,马肯厚普 (Mucken-houpt, R. L. ) 首先发现: 局部可积非负函数 \( \omega \) 使算子 \( f \rightarrow M\left( f\right) \) 在加权空间 \( {L}^{p}\left( {{\mathrm{R}}^{n},\omega \mathrm{d}x}\right) \) 上有界应满足的条件就是下面的 \( {A}_{p} \) 条件: 称 \( \omega \in {A}_{p} \) ,即 \( \omega \) 是一个 \( {A}_{p} \) 权,指的是 \( \omega \left( x\right) > 0 \) 且满足条件
\[
\sup {m}_{Q}\left( \omega \right) {\left\{ {m}_{Q}\left( {\omega }^{-\frac{1}{p - 1}}\right) \right\} }^{p - 1} < + \infty ,
\]
这里,上确界是对一切立方体 \( Q \) 取的,记号 \( {m}_{Q}\left( f\right) \) 表示 \( f \) 在 \( Q \) 上的平均值,即
\[
{m}_{Q}\left( f\right) = \frac{1}{\left| Q\right| }{\int }_{Q}f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
马肯厚普得到: 算子 \( f \rightarrow M\left( f\right) \) 在 \( {L}^{p}\left( {{\mathrm{R}}^{n},\omega \mathrm{d}x}\right) \) 上有
界当且仅当 \( \omega \in {A}_{p} \) . 当 \( p = 1 \) 时,所谓 \( \omega \) 满足 \( {A}_{1} \) 条件 (或 \( \omega \in {A}_{1} \) ) 是指不等式
\[
{m}_{Q}\left( \omega \right) \leq C\underset{x \in Q}{\operatorname{ess}\inf }\omega \left( x\right)
\]
对 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中所有立方体 \( Q \) 成立,式中 \( C \) 与 \( Q \) 无关, ess inf 表示本性下界.
最后, \( \omega \) 满足 \( {A}_{\infty } \) 条件或 \( \omega \in {A}_{\infty } \) ,是指存在常数 \( C \) 与 \( \delta > 0 \) ,使对 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中任意立方体 \( Q \) 及 \( Q \) 中任意勒贝格可测集 \( E \) ,有
\[
\frac{{\int }_{E}\omega \left( x\right) \mathrm{d}x}{{\int }_{Q}\omega \left( x\right) \mathrm{d}x} \leq C{\left( \frac{\left| E\right| }{\left| Q\right| }\right) }^{\delta },
\]
其中 \( \left| E\right| \) 表示 \( E \) 的勒贝格测度.
\( {A}_{p} \) 条件 \( \left( {{A}_{p}\text{condition}}\right) \) 即 “马肯厚普条件”.
\( {A}_{p} \) 权 \( \left( {{A}_{p}\text{weight }}\right) \) 满足马肯厚普 \( {A}_{p}(1 \leq p \) \( \leq + \infty ) \) 条件 (参见 “马肯厚普条件”) 的非负局部可积的函数类. \( {A}_{1},{A}_{p}\left( {1 < p < + \infty }\right) ,{A}_{\infty } \) 满足:
\[
{A}_{1} = \mathop{\bigcap }\limits_{{1 < p < + \infty }}{A}_{p},{A}_{\infty } = \mathop{\bigcup }\limits_{{1 < p < + \infty }}{A}_{p}.
\]
1980 年,琼斯 (Jones, P. ) 给出了著名的 \( {A}_{p} \) 权 \( (1 < p \) \( < + \infty ) \) 的琼斯分解: 设 \( 1 < p < + \infty \) ,则 \( \omega \left( x\right) \in {A}_{p} \) 当且仅当
\[
\omega \left( x\right) = u\left( x\right) \cdot v{\left( x\right) }^{1 - p},
\]
其中 \( u\left( x\right), v\left( x\right) \in {A}_{1};{1972} \) 年,马肯厚普 (Mucken-houpt, R. L.) 证明了当 \( 1 < p < + \infty \) 时,哈代-李特尔伍德极大算子 \( M \) 是 \( {L}^{p}\left( {{\mathrm{R}}^{n},\omega \left( x\right) \mathrm{d}x}\right) \) 到 \( {L}^{p}\left( {{\mathrm{R}}^{n},\omega \left( x\right) }\right. \) \( \mathrm{d}x) \) 的有界算子的充分必要条件是 \( \omega \left( x\right) \in {A}_{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) . 此后,人们又证明了希尔伯特变换 \( H \) 是 \( {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{1}\right. \) , \( \left. {\omega \left( x\right) \mathrm{d}x}\right) \) 到 \( {L}^{p}\left( {{\mathrm{R}}^{1},\omega \left( x\right) \mathrm{d}x}\right) \) 的有界算子的充分必要条件是 \( \omega \left( x\right) \in {A}_{p}\left( {\mathrm{R}}^{1}\right) \) ; 里斯变换 \( {R}_{j}\left( {j = 1,2,\cdots, n}\right) \) 是 \( {L}^{p}\left( {{\mathrm{R}}^{n},\omega \left( x\right) \mathrm{d}x}\right) \) 到 \( {L}^{p}\left( {{\mathrm{R}}^{n},\omega \left( x\right) \mathrm{d}x}\right) \) 有界算子的充分必要条件也是 \( \omega \left( x\right) \in {A}_{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) . 此外, \( {A}_{p} \) 权也是使考尔德伦-赞格蒙奇异积分为 \( {L}^{p}\left( {{\mathrm{R}}^{n},\omega \left( x\right) \mathrm{d}x}\right) \) 到 \( {L}^{p}\left( {{\mathrm{R}}^{n},\omega \left( x\right) \mathrm{d}x}\right) \) 的有界算子的充分条件.
希尔伯特变换 (Hilbert transform) 一种积分变换. 设 \( f \in {L}^{1}\left( {\mathrm{R}}^{1}\right) \) ,它的希尔伯特变换是下述函数
\[
{Hf}\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{\varepsilon \rightarrow 0}}\frac{1}{\pi }{\int }_{\left| y\right| > \varepsilon }\frac{f\left( {x - y}\right) }{y}\mathrm{\;d}y.
\]
这个概念与周期情形的共轭函数概念是相平行的, 它还可经奇异积分的理论推广到多元情形.
里斯变换 (Riesz transform) 一种积分变换. 如果核
\[
{K}_{j}\left( x\right) = {\left( 2\pi \right) }^{n}\frac{\Gamma \left( \frac{n + 1}{2}\right) }{{\pi }^{\frac{n + 1}{2}}}\frac{{x}_{j}}{{\left| x\right| }^{n + 1}}
\]
\[
\left( {j = 1,2,\cdots, n}\right) ,
\]
则 \( f \) 关于 \( {K}_{j} \) 的考尔德伦-赞格蒙变换称为 \( f \) 的里斯变换,记为 \( {R}_{j}\left( f\right) \) . 当 \( n = 1 \) 时,里斯变换恰恰就是熟知的希尔伯特变换. 可见里斯变换的概念是希尔伯特变换的推广.
里斯位势 (Riesz potential) 一种积分变换. 设 \( 0 < \alpha < n,1 \leq p < n/\alpha \) . 对于 \( f \in {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right), f \) 的里斯位势指的是函数
\[
{I}_{a}\left( f\right) \left( x\right) = \frac{1}{r\left( \alpha \right) }{\int }_{{\mathrm{R}}^{n}}{\left| x - y\right| }^{-n + \alpha }f\left( y\right) \mathrm{d}y,
\]
其中
\[
r\left( \alpha \right) = {\pi }^{\frac{n}{2}}{2}^{\alpha }\Gamma \left( \frac{\alpha }{2}\right) {\left\lbrack \Gamma \left( \frac{n}{2} - \frac{\alpha }{2}\right) \right\rbrack }^{-1}.
\]
里斯位势的基本性质是下面的哈代-李特尔伍德-索伯列夫定理: 设 \( 0 < \alpha < n,1 < p < q < + \infty \) ,以及
\[
\frac{1}{q} = \frac{1}{p} - \frac{\alpha }{n}
\]
则 \( {\begin{Vmatrix}{I}_{a}\left( f\right) \end{Vmatrix}}_{q} \leq {C}_{p, q}\parallel f{\parallel }_{p} \) . 里斯位势也称为分数次积分 (参见本卷《位势论》同名条).
李特尔伍德-佩利 \( g \) 函数 (Littlewood-Paley \( g \) - function) 刻画函数在 \( {L}^{p} \) 中大小的一种函数. 设 \( f \) \( \in {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) ,1 \leq p \leq + \infty, P\left( f\right) \left( {x, t}\right) \) 是 \( f |
2000_数学辞海（第3卷） | 147 | (Riesz potential) 一种积分变换. 设 \( 0 < \alpha < n,1 \leq p < n/\alpha \) . 对于 \( f \in {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right), f \) 的里斯位势指的是函数
\[
{I}_{a}\left( f\right) \left( x\right) = \frac{1}{r\left( \alpha \right) }{\int }_{{\mathrm{R}}^{n}}{\left| x - y\right| }^{-n + \alpha }f\left( y\right) \mathrm{d}y,
\]
其中
\[
r\left( \alpha \right) = {\pi }^{\frac{n}{2}}{2}^{\alpha }\Gamma \left( \frac{\alpha }{2}\right) {\left\lbrack \Gamma \left( \frac{n}{2} - \frac{\alpha }{2}\right) \right\rbrack }^{-1}.
\]
里斯位势的基本性质是下面的哈代-李特尔伍德-索伯列夫定理: 设 \( 0 < \alpha < n,1 < p < q < + \infty \) ,以及
\[
\frac{1}{q} = \frac{1}{p} - \frac{\alpha }{n}
\]
则 \( {\begin{Vmatrix}{I}_{a}\left( f\right) \end{Vmatrix}}_{q} \leq {C}_{p, q}\parallel f{\parallel }_{p} \) . 里斯位势也称为分数次积分 (参见本卷《位势论》同名条).
李特尔伍德-佩利 \( g \) 函数 (Littlewood-Paley \( g \) - function) 刻画函数在 \( {L}^{p} \) 中大小的一种函数. 设 \( f \) \( \in {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) ,1 \leq p \leq + \infty, P\left( f\right) \left( {x, t}\right) \) 是 \( f \) 的泊松积分, \( \nabla \) 表示 \( n + 1 \) 维梯度算子, \( \left| {\nabla P\left( f\right) \left( {x, t}\right) }\right| \) 表示 \( n \) +1 维向量 (函数) 的模. 称函数
\[
g\left( f\right) \left( x\right) = {\left\{ {\int }_{0}^{+\infty }{\left| \nabla P\left( f\right) \left( x, t\right) \right| }^{2}t\mathrm{\;d}t\right\} }^{1/2}
\]
为 \( f \) 的李特尔伍德-佩利 \( g \) 函数. \( g \) 函数的基本性质是: 若 \( 1 < p < + \infty \) ,则
\[
{C}_{p}^{-1}\parallel f{\parallel }_{p} \leq \parallel g\left( f\right) {\parallel }_{p} \leq {C}_{p}\parallel f{\parallel }_{p}.
\]
卢津面积积分 (Lusin area integration) 刻画函数在 \( {L}^{p} \) 中大小的一种算子. 设 \( x \in {\mathrm{R}}^{n},\eta > 0 \) ,集合
\[
{\Gamma }_{\eta }\left( x\right) = \left\{ {\left( {y, t}\right) \in {\mathrm{R}}^{n} \times \left( {0, + \infty }\right) \left| \right| y - x \mid \leq {\eta t}}\right\}
\]
称为以 \( x \) 为顶点, \( \eta \) 为参数的锥. 设
\[
f \in {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) ,\;1 \leq p \leq + \infty ,
\]
下述积分
\[
{S}_{\eta }\left( t\right) \left( x\right) = {\left( {\int }_{{\Gamma }_{\eta }\left( x\right) }{\left| \nabla P\left( f\right) \left( y, t\right) \right| }^{2}{t}^{1 - n}\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}t\right) }^{1/2}
\]
称为 \( f \) 的以 \( \eta \) 为参数的卢津面积积分,其中 \( \nabla \) \( P\left( f\right) \left( {x, t}\right) \) 的意义与 “李特尔伍德-佩利 \( g \) 函数”中的相同. 关于 \( g\left( f\right) \) 和 \( {S}_{\eta }\left( f\right) \) ,成立不等式
\[
g\left( f\right) \left( x\right) \leq {A}_{\eta }{S}_{\eta }\left( f\right) \left( x\right) ,
\]
其中 \( {A}_{\eta } \) 是只与 \( \eta \) 有关的常数.
马钦凯维奇积分 (Marcinkiewiz integral) 一类特殊的积分变换. 设 \( F \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的闭子集, \( \delta \left( x\right) \) 表示 \( x \in {\mathrm{R}}^{n} \) 与 \( F \) 的距离, \( \lambda > 0 \) ,下面两个积分
\[
{I}^{\left( \lambda \right) }\left( x\right) = {\int }_{\left| y\right| \leq 1}\frac{{\delta }^{\lambda }\left( {x + y}\right) }{{\left| y\right| }^{n + \lambda }}\mathrm{d}y,
\]
\[
{I}_{ * }^{\left( \lambda \right) }\left( x\right) = {\int }_{{\mathrm{R}}^{n}}\frac{{\delta }^{\lambda }\left( {x + y}\right) }{{\left| y\right| }^{n + \lambda }}\mathrm{d}y
\]
都称为马钦凯维奇积分. 对于许多深刻的理论问题, 这些积分提供了有力的工具. 马钦凯维奇 (Marcinkiewiz, J. ) 最先系统地研究了这些积分.
弱 \( \left( {p, q}\right) \) 型算子 (operator of weak type \( \left( {p, q}\right) \) ) 满足一类较弱有界性质的算子. 设 \( 1 \leq p, q \leq + \infty \) , 一个把 \( {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 上的可测函数 (可以是复值的) 映成 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的可测函数的算子 \( T \) ,如果对 \( \forall f \in {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) , \( \forall s > 0 \) ,有
\[
\left| \left\{ {x \in {\mathrm{R}}^{n}\left| \right| {Tf}\left( x\right) \mid > s}\right\} \right| \leq {\left( \frac{K\parallel f{\parallel }_{p}}{s}\right) }^{q}
\]
\[
\left( {1 \leq q < + \infty }\right) \text{,}
\]
其中 \( \left| E\right| \) 表示集合 \( E \) 的勒贝格测度,或者在 \( q = \) \( + \infty \) 时对任意 \( f \in {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) ,有
\[
\parallel T\left( f\right) {\parallel }_{\infty } \leq K\parallel f{\parallel }_{p},
\]
则称 \( T \) 是弱 \( \left( {p, q}\right) \) 型的. 上述条件中常数 \( K \) 的最小值称为 \( T \) 的弱 \( \left( {p, q}\right) \) 范数,记为 \( \parallel T{\parallel }_{w\left( {p, q}\right) } \) .
弱 \( \left( {p, q}\right) \) 范数 (weak \( \left( {p, q}\right) \) norm) 见 “弱 \( (p \) , \( q) \) 型算子”.
强 \( \left( {p, q}\right) \) 型算子 (operator of strong type \( (p \) , \( q)) \) 满足一类有界性质的算子. 设 \( 1 \leq p, q \leq + \infty \) , 如果存在正数 \( K = {K}_{p, q} \) ,使得对于 \( \forall f \in {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) ,有 \( {Tf} \in {L}^{q}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) ,且 \( \parallel T\left( f\right) {\parallel }_{q} \leq K\parallel f{\parallel }_{p} \) ,则称 \( T \) 是强 \( \left( {p, q}\right) \) 型的. 上述条件中 \( K \) 的最小值称为 \( T \) 的强 \( \left( {p, q}\right) \) 范数,记为 \( \parallel T{\parallel }_{\left( p, q\right) } \) ,强 \( \left( {p, q}\right) \) 型常简称 \( \left( {p, q}\right) \) 型. 强 \( \left( {p, q}\right) \) 型算子一定是弱 \( \left( {p, q}\right) \) 型的.
强 \( \left( {p, q}\right) \) 范数 (strong \( \left( {p, q}\right) \) norm) 见 “强 \( (p \) , \( q) \) 型算子”.
线性算子内插定理 (interpolation theorem of linear operators) 亦称里斯凸性定理, 线性算子有界性质的一个定理. 设 \( 1 \leq {p}_{j},{q}_{j} \leq + \infty \left( {j = 0,1}\right) \) . 若线性算子 \( T \) 是强 \( \left( {{p}_{j},{q}_{j}}\right) \left( {j = 0,1}\right) \) 型的,则对于 \( 0 \leq t \) \( \leq 1, T \) 必是强 \( \left( {{p}_{t},{q}_{t}}\right) \) 型的算子,且
\[
\parallel T{\parallel }_{\left( {p}_{t},{q}_{t}\right) } \leq \parallel T{\parallel }_{\left( {p}_{0},{q}_{0}\right) }^{1 - t}\parallel T{\parallel }_{\left( {p}_{1},{q}_{1}\right) }^{t},
\]
其中
\[
\frac{1}{{p}_{t}} = \frac{1 - t}{{p}_{0}} + \frac{t}{{p}_{1}},\;\frac{1}{{q}_{t}} = \frac{1 - t}{{q}_{0}} + \frac{t}{{q}_{1}}.
\]
此内插定理的优点是,它明确地给出了算子 \( T \) 的强 \( \left( {{p}_{t},{q}_{t}}\right) \) 型范数与 \( T \) 在两端点空间强 \( \left( {{p}_{j},{q}_{j}}\right) (j \) \( = 0,1) \) 范数的关系. 但此定理要求 \( T \) 在两端点空间是强 \( \left( {{p}_{j},{q}_{j}}\right) \left( {j = 0,1}\right) \) 型算子,这在使用中有不便之处.
里斯凸性定理 (Riesz convexity theorem) 即 “线性算子内插定理”.
马钦凯维奇内插定理 (Marcinkiewicz interpolation theorem) 算子有界性质的一个定理. 设 \( 1 \leq \) \( {p}_{j} \leq {q}_{j} \leq + \infty, j = 0,1,{q}_{0} \neq {q}_{1}, t \in \left( {0,1}\right) , \)
\[\frac{1}{{p}_{t}} = \frac{1 - t}{{p}_{0}} + \frac{t}{{p}_{1}},\;\frac{1}{{q}_{t}} = \frac{1 - t}{{q}_{0}} + \frac{t}{{q}_{1}}.\]
若次可加算子 \( T \) 是弱 \( \left( {{p}_{j},{q}_{j}}\right) \) 型算子,则 \( T \) 是强 \( \left( {p}_{t}\right. \) , \( \left. {q}_{t}\right) \) 型的. 算子 \( T \) 的强 \( \left( {{p}_{t},{q}_{t}}\right) \) 型范数与 \( t,{p}_{0},{q}_{0},{p}_{1},{q}_{1} \) 及 \( \parallel T{\parallel }_{w\left( {{p}_{0},{q}_{0}}\right) },\parallel T{\parallel }_{w\left( {{p}_{1},{q}_{1}}\right) } \) 有关,但与算子 \( T \) 以及 \( f \) 无关. 这个定理是马钦凯维奇 (Marcinkiewicz, J. ) 在第二次世界大战前得到的, 当时未发表, 他参加反德作战牺牲, 第二次世界大战后由他的老师赞格蒙 (Zygmund, A.)发表.
此内插定理的优点是减弱了对算子 \( T \) 在两端点空间的要求,即仅要求 \( T \) 是弱 \( \left( {{p}_{j},{q}_{j}}\right) \) 型的 \( (j = 0 \) , 1),但其不足之处在于算子 \( T \) 的强 \( \left( {{p}_{t},{q}_{t}}\right) \) 型范数 \( \parallel T{\parallel }_{\left( {p}_{t},{q}_{t}\right) } \) 与其在两端点空间上的弱 \( \left( {{p}_{j},{q}_{j}}\right) (j = 0 \) , 1) 范数的关系没有线性算子内插定理中那样明显的表达式.
哈代空间 (Hardy spaces) 一类复解析函数空间, 它与单位圆周 (或其他区域的边界) 上的实函数的 \( {L}^{p} \) 空间有较密切联系 (参见《复变函数论》同名条). 若单位圆 \( \left| z\right| < 1 \) 内的解析函数 \( f\left( z\right) \) 满足
\[
\mathop{\sup }\limits_{{0 \leq r < 1}}{\left\lbrack \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }{\left| f\left( r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right) \right| }^{p}\mathrm{\;d}\theta \right\rbrack }^{1/p} < + \infty
\]
(对某个 \( 0 < p < + \infty \) ),
或 \( \mathop{\sup }\limits_{{0 \leq r < 1}}\mathop{\max }\limits_{{0 \leq \theta \leq {2\pi }}}\left| {f\left( {r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }\right| < + \infty \left( {p = + \infty }\right) \) ,则记为 \( f \) \( \in {H}^{p} \cdot {H}^{p} \) 是 \( p \) 次哈代空间的记号,表示上述函数 \( f \) 的全体 (参见本卷《复变函数论》同名条).
经典哈代空间理论起源于 20 世纪 30 年代. 这一概念可以从单位圆推广到上半平面. 设 \( F\left( {x + \mathrm{i}y}\right) \) 在 \( {\mathrm{R}}_{ + }^{2} = \mathrm{R} \times \left( {0, + \infty }\right) \) 上解析 \( \left( {x \in \mathrm{R}, y \in \left( {0, + \infty }\right) }\right) \) . 若
\[
\mathop{\sup }\limits_{{y > 0}}{\left( {\int }_{\mathbf{R}}{\left| F\left( x + \mathrm{i}y\right) \right| }^{p}\mathrm{\;d}x\right) }^{1/p} < + \infty
\]
\[
\left( {0 < p < + \infty }\right) \text{,}
\]
\[
\mathop{\sup }\limits_{{y > 0}}\parallel F\left( {\cdot + \mathrm{i}y}\right) {\parallel }_{{L}^{\infty }\left( \mathbf{R}\right) } < + \infty
\]
\[
\left( {p = + \infty }\right) \text{,}
\]
则称 \( F \in {H}^{p}\left( {\mathrm{R}}_{ + }^{2}\right) \) (用 \( {H}^{p}\left( {\mathrm{R}}_{ + }^{2}\right) \) 表示 \( {\mathrm{R}}_{ + }^{2} \) 上的 \( p \) 次哈代空间).
这一概念由施坦 (Stein, E. M. ) 和韦斯 (Weiss, G. ) 推广到多元,导致 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上实函数哈代空间 (简称实哈代空间,仍记为 \( {H}^{p} \) 或 \( {H}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) ) 的建立. 当 \( p > 1 \) 时, \( {H}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 就是 \( {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) ,所以对 \( {H}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 的兴趣全在于 \( 0 < p \leq 1 \) 的情形.
20 世纪 70 年代, 调和分析的一大进展就是对于 \( {H}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 特征的研究摆脱了复变函数论的方法,建立了一整套实变理论, 给出了各种实变方法的刻画, 从而更深地从本质上揭露了 \( {H}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 函数特征.
实哈代空间 \( {H}^{1}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 在调和分析中十分重要的作用之一是: \( {H}^{1}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 是 \( {L}^{1}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 的十分有效的替代空间. 调和分析中研究的许多重要算子, 如希尔伯特变换,不是 \( {L}^{1}\left( {\mathrm{R}}^{1}\right) \) 到 \( {L}^{1}\left( {\mathrm{R}}^{1}\right) \) 有界的,但却是 \( {H}^{1}\left( {\mathrm{R}}^{1}\right) \) 到 \( {L}^{1}\left( {\mathrm{R}}^{1}\right) \) 的有界算子.
\( {\mathbf{H}}^{p} \) 空间 \( \left( {{H}^{p}\text{space }}\right) \) 即 “哈代空间”.
哈代空间的实变特征 (real character of Hardy spaces) 完全用实分析语言表示的函数属于哈代空间的充分必要条件. 1972 年, 费弗曼 (Fefferman, C. ) 和施坦 (Stein, E. M. ) 建立的下述定理标志着哈代空间理论发展中的转折点. 它使哈代空间的实变理论完全脱离了复变和解析的概念, 走上了独立发展的道路. 该定理断言: 设 \( f \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的缓增广义函数, \( P \) 为 \( n \) 维的泊松核,那么 \( f \in {H}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 当且仅当 \( f \) 的泊松积分的非切向极大函数
\[
{P}_{\nabla }^{ * }\left( f\right) \left( x\right) = \mathop{\sup }\limits_{{\left| {y - x}\rig |
2000_数学辞海（第3卷） | 148 | 立了一整套实变理论, 给出了各种实变方法的刻画, 从而更深地从本质上揭露了 \( {H}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 函数特征.
实哈代空间 \( {H}^{1}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 在调和分析中十分重要的作用之一是: \( {H}^{1}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 是 \( {L}^{1}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 的十分有效的替代空间. 调和分析中研究的许多重要算子, 如希尔伯特变换,不是 \( {L}^{1}\left( {\mathrm{R}}^{1}\right) \) 到 \( {L}^{1}\left( {\mathrm{R}}^{1}\right) \) 有界的,但却是 \( {H}^{1}\left( {\mathrm{R}}^{1}\right) \) 到 \( {L}^{1}\left( {\mathrm{R}}^{1}\right) \) 的有界算子.
\( {\mathbf{H}}^{p} \) 空间 \( \left( {{H}^{p}\text{space }}\right) \) 即 “哈代空间”.
哈代空间的实变特征 (real character of Hardy spaces) 完全用实分析语言表示的函数属于哈代空间的充分必要条件. 1972 年, 费弗曼 (Fefferman, C. ) 和施坦 (Stein, E. M. ) 建立的下述定理标志着哈代空间理论发展中的转折点. 它使哈代空间的实变理论完全脱离了复变和解析的概念, 走上了独立发展的道路. 该定理断言: 设 \( f \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的缓增广义函数, \( P \) 为 \( n \) 维的泊松核,那么 \( f \in {H}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 当且仅当 \( f \) 的泊松积分的非切向极大函数
\[
{P}_{\nabla }^{ * }\left( f\right) \left( x\right) = \mathop{\sup }\limits_{{\left| {y - x}\right| < t}}\left| {\left( {f * {P}_{t}}\right) \left( y\right) }\right| \in {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) ,
\]
其中
\[
{P}_{t}\left( \cdot \right) = {t}^{-n}P\left( \frac{ \cdot }{t}\right)
\]
实际上, 人们还可以用其他类型的极大函数是否属于 \( {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 这一事实来刻画 \( {H}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 元素的特征.
BMO 函数空间 (BMO function space) 一类函数空间. BMO 是有界平均振动 (bounded meanoscillation) 之意. 设 \( f \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的局部可积函数, \( Q \) 表示 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的边与坐标轴平行的立方体,记
\[
{f}_{Q} = \frac{1}{\left| Q\right| }{\int }_{Q}f\left( x\right) \mathrm{d}x\left( {\left| Q\right| \text{ 为 }Q\text{ 的体积 }}\right) .
\]
设 \( 0 < q < + \infty \) ,如果 \( f \) 满足
\[
\mathop{\sup }\limits_{Q}{\left\{ \frac{1}{\left| Q\right| }{\int }_{Q}{\left| f\left( x\right) - {f}_{Q}\right| }^{q}\mathrm{\;d}x\right\} }^{1/q} < + \infty ,
\]
(1)
则称 \( f \) 是 \( q \) 次有界平均振动的,这样的函数的全体记为 \( {\mathrm{{BMO}}}_{q} \) . 由于对所有的 \( q > 0,{\mathrm{{BMO}}}_{q} \) 都互相等价, 故可简记为 BMO, 并称它为 BMO 函数空间. BMO 是 \( {H}^{1}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 的对偶空间. 可以证明, \( {L}^{\infty }\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 空间同 \( \mathrm{{BMO}} \) 有着严格的包含关系: \( {L}^{\infty } \subsetneqq \mathrm{{BMO}} \) . 如记
\[
{f}^{\# }\left( x\right) = \mathop{\sup }\limits_{{x \in Q}}\frac{1}{\left| Q\right| }{\int }_{Q}\left| {f\left( t\right) - {f}_{Q}}\right| \mathrm{d}t,
\]
则定义中的条件 (1) 等价于 \( {f}^{\# } \in {L}^{\infty }\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) . 因此, \( f \in \) BMO 当且仅当 \( {f}^{\# } \in {L}^{\infty } \) ,函数 \( {f}^{\# } \) 称为 \( f \) 的 \( \# \) 函数. 对于 \( f \in \mathrm{{BMO}} \) ,当 \( q = 1 \) 时,(1) 式左端的数称为 \( f \) 的 BMO 范数,记为 \( \parallel f{\parallel }_{ * } \) .
\( \operatorname{BMO}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 在调和分析中的重要性是: \( \operatorname{BMO}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 是 \( {L}^{\infty }\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 的有效的替代空间. 调和分析中的许多算子,如希尔伯特变换,不是 \( {L}_{c}^{\infty }\left( {R}^{1}\right) \) 到 \( {L}^{\infty }\left( {\mathrm{R}}^{1}\right) \) 有界的,却是 \( {L}_{c}^{\infty }\left( {\mathrm{R}}^{1}\right) \) 到 \( \mathrm{{BMO}}\left( {\mathrm{R}}^{1}\right) \) 的有界算子,这里 \( {L}_{c}^{\infty }\left( {\mathrm{R}}^{1}\right) \) 表示具有紧支集的有界可测函数空间.
\( {H}^{1}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 和 \( \mathrm{{BMO}}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 在调和分析中的另一重要作用是在算子的插值理论中. 若拟线性算子 \( T \) 是 \( \left( {{H}^{1},{L}^{1}}\right) \) 型和 \( \left( {{L}_{c}^{\infty },\mathrm{{BMO}}}\right) \) 型的,那么 \( T \) 也是 \( \left( {L}^{p}\right. \) , \( \left. {L}^{p}\right) \) 型的,其中 \( 1 < p < + \infty \) . 这是既不同于里斯凸性定理 (参见 “线性算子内插定理”), 也不同于马钦凯维奇内插定理 (参见 “马钦凯维奇内插定理”) 的一个新的算子内插定理.
\( \mathrm{{BMO}}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 在调和分析中的重要性还体现在 \( \operatorname{BMO}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 与 \( {A}_{p} \) 权 (参见 “ \( {A}_{p} \) 权”) 的关系 \( (1 < p < + \) \( \infty \) ). 运用约翰-尼伦伯格不等式 (参见 “约翰-尼伦伯格不等式”) 可证: 如果 \( \omega \left( x\right) \in {A}_{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) ,那么
\[
\varphi \left( x\right) = \log \omega \left( x\right) \in \operatorname{BMO}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) ;
\]
反之,如果 \( \varphi \left( x\right) \in \operatorname{BMO}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) ,那么存在一个充分小的正数 \( \lambda \) ,使 \( {\mathrm{e}}^{{\lambda \varphi }\left( x\right) } \in {A}_{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) .
# 函数 (sharp function) 见 “BMO 函数空
间”.
BMO 范数 (BMO norm) 见 “BMO 函数空间”.
约翰-尼伦伯格不等式 (John-Nirenberg inequality) BMO 函数类的不等式特征. 存在两个常数 \( \lambda > 0, C > 0 \) ,使对任意 \( f \in \operatorname{BMO}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) ,有
\[
\mathop{\sup }\limits_{Q}\frac{1}{\left| Q\right| }{\int }_{Q}\exp \left\{ {\frac{\lambda }{\parallel f{\parallel }_{ * }}\left| {f\left( x\right) - {f}_{Q}}\right| }\right\} \mathrm{d}x \leq C,
\]
其中 \( \parallel f{\parallel }_{ * } \) 是 \( f \) 的 BMO 范数. 与上述积分不等式等价的是: 存在常数 \( \lambda > 0, C > 0 \) ,对 \( \forall f \in \operatorname{BMO}\left( {\mathrm{R}}_{n}\right) \) 和任意方体 \( Q \subset {\mathrm{R}}^{n}, t > 0 \) ,有
\( \left| \left\{ {x \in Q\left| \right| f\left( x\right) - {f}_{Q}\left| { > t}\right| \parallel f{\parallel }_{ * }}\right\} \right| \leq C{\mathrm{e}}^{-\lambda }\left| Q\right| . \)
上述两个不等式都称为约翰-尼伦伯格不等式, 它的最重要的应用是给出了 \( {\mathrm{{BMO}}}_{q}\left( {0 < q < + \infty }\right) \) 的等价性 \( \left( {{f}_{Q},\parallel f\parallel }\right. \) . 及 \( {\mathrm{{BMO}}}_{q} \) 的定义参见 “BMO 函数空间”).
原子 (atom) 哈代空间中最基本的函数. 设 \( 0 < p \leq 1 \leq q \leq + \infty, p < q, s \) 是整数且
\[
s \geq \left\lbrack {n\left( {\frac{1}{p} - 1}\right) }\right\rbrack .
\]
又设函数 \( a \in {L}^{q}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 满足下述条件:
1. supp \( a \subset B\left( {{x}_{0}, r}\right) = B = \left\{ {x \in {\mathrm{R}}^{n}\left| \right| x - {x}_{0} \mid }\right. \) \( < r\} \) .
2. \( \parallel a{\parallel }_{q} \leq {\left| B\right| }^{\frac{1}{q} - \frac{1}{p}} \) .
3. \( {\int }_{{\mathrm{R}}^{n}}a\left( x\right) {x}^{\alpha }\mathrm{d}x = 0\;\left( {0 \leq \left| \alpha \right| \leq s}\right) \) ,
那么,就称 \( a \) 是中心在 \( {x}_{0} \) 的 \( \left( {p, q, s}\right) \) 原子,其中
\[
\alpha = \left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) ,
\]
\[
\left| \alpha \right| = {\alpha }_{1} + {\alpha }_{2} + \cdots + {\alpha }_{n},
\]
\[
{x}^{a} = {x}_{1}^{{a}_{1}}{x}_{2}^{{a}_{2}}\cdots {x}_{{n}^{n}}^{{a}_{n}}.
\]
原子哈代空间 \( {H}_{a}^{p, q, s}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 定义为
\[
{H}_{a}^{p, q, s}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) = \left\{ {f \in {\mathcal{S}}^{\prime } \mid f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{k}{\lambda }_{k}{a}_{k}\left( x\right) ,}\right.
\]
每个 \( {a}_{k} \) 是 \( \left( {p, q, s}\right) \) 原子,且
\[
\left. {\mathop{\sum }\limits_{k}{\left| {\lambda }_{k}\right| }^{p} < + \infty }\right\}
\]
其中 \( {\mathcal{S}}^{\prime } \) 是缓增广义函数类,等式
\[
f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{k}{\lambda }_{k}{a}_{k}\left( x\right)
\]
在 \( {\mathcal{S}}^{\prime } \) 中成立. 对于 \( f \in {H}_{a}^{p, q, s}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) ,定义其拟范数为
\[
\parallel f{\parallel }_{{H}_{a}^{p, q, s}} = \inf {\left( \mathop{\sum }\limits_{k}{\left| {\lambda }_{k}\right| }^{p}\right) }^{\frac{1}{p}},
\]
而下确界是对一切使分解式
\[
f = \mathop{\sum }\limits_{k}{\lambda }_{k}{a}_{k}
\]
可能成立的 \( \left\{ {\lambda }_{k}\right\} \) 取的. 科伊夫曼 (Coifman, R. R. ) 和雷特 (Later, R. H. ) 先后对 \( n = 1 \) 和 \( n > 1 \) 的情形证明了
\[
{H}_{a}^{p, q, s}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) = {H}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) .
\]
实哈代空间 \( {H}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 原子分解理论的重要性,表现在它对线性算子 \( T\left( {{H}^{p},{L}^{r}}\right) \) 有界性研究中所起的作用. 如果对任意的 \( \left( {p, q, s}\right) \) 原子 \( a,{Ta} \in {L}^{r}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 且 \( \parallel {Ta}{\parallel }_{r} \leq C\left( {C\text{与}a\text{无关}}\right) \) ,那么 \( T \) 是 \( \left( {{H}^{p},{L}^{r}}\right) \) 型的算子,这里 \( 0 < p \leq r \leq 1 \) .
原子 \( {\mathbf{H}}^{p} \) 空间 (atomic \( {H}^{p} \) spaces) 见“原子”.
分子 (molecule) 满足一定条件的函数. 设 \( 0 < p \leq 1 \leq q \leq + \infty, p < q, s \) 是整数,且
\[
s \geq \left\lbrack {n\left( {\frac{1}{p} - 1}\right) }\right\rbrack ,\;\varepsilon > \max \left\{ {\frac{s}{n},\frac{1}{p} - 1}\right\} ,
\]
\[
a = 1 - \frac{1}{p} + \varepsilon ,\;b = 1 - \frac{1}{q} + \varepsilon .
\]
设函数 \( M \in {L}^{q}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) ,若 \( M \) 满足下述条件:
1. \( {\left| x\right| }^{nb}M\left( x\right) \in {L}^{q}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) ;
2. \( \parallel M{\parallel }_{q}^{\frac{a}{b}}{\begin{Vmatrix}M\left( x\right) {\left| x - {x}_{0}\right| }^{nb}\end{Vmatrix}}_{q}^{1 - \frac{a}{b}} < + \infty \) ;
3. \( {\int }_{{\mathrm{R}}^{n}}M\left( x\right) {x}^{\alpha }\mathrm{d}x = 0\left( {0 \leq \left| \alpha \right| \leq s}\right) \) ;
则称 \( M \) 为以 \( {x}_{0} \) 为中心的 \( \left( {p, q, s,\varepsilon }\right) \) 分子.
若 \( M \) 是 \( \left( {p, q, s,\varepsilon }\right) \) 分子,则 \( M \in {H}_{a}^{p, q, s}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) ,于是它是至多可数个原子的迭加. 同时,每个 \( \left( {p, q, s}\right) \) 原子显然是 \( \left( {p, q, s,\varepsilon }\right) \) 分子. \( {H}_{a}^{p, q, s}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 的元素可分解为 \( \left( {p, q, s,\varepsilon }\right) \) 分子的无穷线性组合,分解式形式上与原子分解相同.
实哈代空间 \( {H}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 的分子分解理论的重要性, 体现在研究线性算子 \( T \) 的 \( \left( {{H}^{{p}_{1}},{H}^{{p}_{2}}}\right) \) 有界性方面. 设 \( 0 < {p}_{1} \leq {p}_{2} \leq 1 \) ,如对任一 \( \left( {{p}_{1},{q}_{1},{s}_{1}}\right) \) 原子 \( a\left( x\right) ,{Ta} \) 为 \( \left( {{p}_{2},{q}_{2},{s}_{2},\varepsilon }\right) \) 分子,且满足
\[
\parallel {Ta}{\parallel }_{{q}_{2}}^{a/b}{\begin{Vmatrix}T\left( x\right) {\left| x - {x}_{0}\right| }^{nb}\end{Vmatrix}}_{{q}_{2}}^{1 - a/b} \leq C,
\]
这里 \( C \) 与 \( a\left( x\right) \) 无关,则 \( T \) 为 \( \left( {{H}^{{p}_{1}},{H}^{{p}_{2}}}\right) \) 型算子.
块函数 (block function) 类似于原子, 满足一定条件的函数. 设 \( 1 < q \leq + \infty, b \in {L}^{q}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) . 如果存在立方体 \( Q \subset {\mathrm{R}}^{n} \) ,使 \( \operatorname{supp}b \subset Q \) 及 \( \parallel b{\parallel }_{q} \leq {\left| Q\right| }^{\frac{1}{q} - 1} \) ,则称 \( b \) 是 \( q \) 块. 显然,每个 \( \left( {1, q, s}\right) \) 原子都是 \( q \) 块,但 \( q \) 块未必满足原子所满足的条件 3 (称为消失矩条件, 参见“原子”).
块生成的空间 (spaces generated by |
2000_数学辞海（第3卷） | 149 | t( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 的分子分解理论的重要性, 体现在研究线性算子 \( T \) 的 \( \left( {{H}^{{p}_{1}},{H}^{{p}_{2}}}\right) \) 有界性方面. 设 \( 0 < {p}_{1} \leq {p}_{2} \leq 1 \) ,如对任一 \( \left( {{p}_{1},{q}_{1},{s}_{1}}\right) \) 原子 \( a\left( x\right) ,{Ta} \) 为 \( \left( {{p}_{2},{q}_{2},{s}_{2},\varepsilon }\right) \) 分子,且满足
\[
\parallel {Ta}{\parallel }_{{q}_{2}}^{a/b}{\begin{Vmatrix}T\left( x\right) {\left| x - {x}_{0}\right| }^{nb}\end{Vmatrix}}_{{q}_{2}}^{1 - a/b} \leq C,
\]
这里 \( C \) 与 \( a\left( x\right) \) 无关,则 \( T \) 为 \( \left( {{H}^{{p}_{1}},{H}^{{p}_{2}}}\right) \) 型算子.
块函数 (block function) 类似于原子, 满足一定条件的函数. 设 \( 1 < q \leq + \infty, b \in {L}^{q}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) . 如果存在立方体 \( Q \subset {\mathrm{R}}^{n} \) ,使 \( \operatorname{supp}b \subset Q \) 及 \( \parallel b{\parallel }_{q} \leq {\left| Q\right| }^{\frac{1}{q} - 1} \) ,则称 \( b \) 是 \( q \) 块. 显然,每个 \( \left( {1, q, s}\right) \) 原子都是 \( q \) 块,但 \( q \) 块未必满足原子所满足的条件 3 (称为消失矩条件, 参见“原子”).
块生成的空间 (spaces generated by blocks) 由块函数生成的一类函数空间. 若 \( f \in L\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 可表为
\[
f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{c}_{k}{b}_{k}\left( x\right) ,
\]
其中 \( {b}_{k} \) 是 \( q \) 块,系数组 \( \left\{ {c}_{k}\right\} \doteq C \) 满足
\[
N\left( C\right) \doteq \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left| {c}_{k}\right| \left( {1 + \log \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }\left| {c}_{j}\right| /\left| {c}_{k}\right| }\right) < + \infty ,
\]
则称 \( f \) 是由 \( q \) 块生成的. 全体由 \( q \) 块生成的函数记为 \( {B}_{q}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) ,称为由 \( q \) 块生成的空间. 对于 \( f \in {B}_{q}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) , 相应的量 \( N\left( C\right) \) 关于一切可能的分解式的下确界记为 \( {N}_{q}\left( f\right) \) ,它是拟范数. 依此拟范数 \( {B}_{q}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 成为完备的距离空间.
关于原子、分子、块及它们生成的空间, 对于周期函数都有类似的定义. 空间 \( {B}_{q}\left( T\right) \) 是与傅里叶级数几乎处处收敛问题密切关联的函数空间.
维塔利-维纳覆盖引理 (The Vitali-Wiener covering lemma） 覆盖引理的一种形式. 设区域 \( \Omega \subset {\mathrm{R}}^{n} \) ,且 \( \left| \Omega \right| < + \infty \) . 若 对 任 \( - x \in \Omega \) ,存 在 \( r\left( x\right) > 0 \) ,使得球 \( B\left( {x, r\left( x\right) }\right) \subset \Omega \) ,则存在序列 \( \left\{ {B{\left( {x}_{i}, r\left( {x}_{i}\right) \right\} }_{i}}\right. \) ,使得诸球 \( B\left( {{x}_{i}, r\left( {x}_{i}\right) }\right) \) 互不相交,且 \( \Omega \subset \mathop{\bigcup }\limits_{i}B\left( {{x}_{i},{4r}\left( {x}_{i}\right) }\right) . \)
惠特尼覆盖引理 (Whitney covering lemma)
覆盖引理的一种形式. 设 \( \Omega \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的开集,且 \( \left| \Omega \right| \) \( < + \infty \) ,则存在序列 \( {\left\{ {x}_{i} \mid {x}_{i} \in \Omega \right\} }_{i} \) 和 \( {\left\{ {r}_{i} \mid {r}_{i} > 0\right\} }_{i} \) ,使得下列性质成立:
1. \( \Omega = \mathop{\bigcup }\limits_{i}B\left( {{x}_{i},{r}_{i}}\right) \) ,但 \( {\left\{ B\left( {x}_{i},{r}_{i}/4\right) \right\} }_{i} \) 为一列互不相交的球.
2. \( B\left( {{x}_{i},{18}{r}_{i}}\right) \cap {\Omega }^{c} = \varnothing \) ,但
\[
B\left( {{x}_{i},{54}{r}_{i}}\right) \cap {\Omega }^{c} \neq \varnothing \text{.}
\]
3. 存在常数 \( M = M\left( n\right) \) ,满足
\[
\mathop{\sum }\limits_{i}{\chi }_{B\left( {{x}_{i},{18}{r}_{i}}\right) }\left( x\right) \leq M\left( {\forall x \in \Omega }\right) .
\]
赫尔德空间 (Hölder space) 连续函数类的一个子类. 设 \( m \in {Z}_{ + } \) ,记 \( {C}^{0}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上有界且一致连续的函数空间.
\[
{C}^{m}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) = \left\{ {f \mid {\mathrm{D}}^{\alpha }f \in {C}^{0}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) ,\forall \alpha ,\left| \alpha \right| \leq m}\right\} ,
\]
其中 \( \alpha = \left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) \) 为 \( n \) 重指标, \( {\alpha }_{i} \geq 0\left( {1 \leq i \leq n}\right) \) , \( \left| \alpha \right| = {\alpha }_{1} + {\alpha }_{2} + \cdots + {\alpha }_{n} \) . 设 \( s \) 是非负非整实数, \( s = \left\lbrack s\right\rbrack \) \( + \{ s\} ,\left\lbrack s\right\rbrack \) 表 \( s \) 的整数部分, \( 0 \leq \{ s\} < 1 \) ,则 \( s \) 阶赫尔德空间定义为
\[
{C}^{s}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) = \left\{ {f \in {C}^{\left\lbrack s\right\rbrack }\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \mid \parallel f{\parallel }_{{C}^{\left\lbrack s\right\rbrack }} < + \infty }\right\} ,
\]
这里
\( \parallel f{\parallel }_{{c}^{\prime }} \)
\[
= \parallel f{\parallel }_{{C}^{\left\lbrack s\right\rbrack }} + \mathop{\sum }\limits_{{\left| a\right| = \left\lbrack s\right\rbrack }}\mathop{\sup }\limits_{{x \neq y}}\frac{\left| {D}^{a}f\left( x\right) - {D}^{a}f\left( y\right) \right| }{{\left| x - y\right| }^{\{ s\} }},
\]
\[
\parallel f{\parallel }_{{C}^{m}} = \mathop{\sum }\limits_{{\left| a\right| \leq m}}\begin{Vmatrix}{{D}^{a}f}\end{Vmatrix}\infty .
\]
赞格蒙空间 (Zygmund space) 连续函数类的一个子类. 设 \( s \) 是非负实数, \( s = {\left\lbrack s\right\rbrack }^{ - } + \{ s{\} }^{ + } \) ,其中 0 \( < \{ s{\} }^{ + } \leq 1 \) ,且
\[
{\left\lbrack s\right\rbrack }^{ - } = \left\{ \begin{array}{ll} \left\lbrack s\right\rbrack & \left( {s\text{ 非整数 }}\right) , \\ s - 1 & \left( {s\text{ 为整数 }}\right) . \end{array}\right.
\]
那么赞格蒙空间定义为
\[
{\mathcal{E}}^{s}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) = \left\{ {f \in {C}^{{\left\lbrack s\right\rbrack }^{ - }}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \mid \parallel f{\parallel }_{{\mathcal{E}}^{s}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) } < + \infty }\right\} ,
\]
这里
\[
\parallel f{\parallel }_{{\mathcal{E}}^{s}} = \parallel f{\parallel }_{{C}^{{\left\lbrack s\right\rbrack }^{ - }}} + \mathop{\sum }\limits_{{\left| \alpha \right| = {\left\lbrack s\right\rbrack }^{ - }}}
\]
\[
\text{-}\mathop{\sup }\limits_{\substack{{h \neq 0} \\ {x \in {\mathrm{R}}^{n}} }}\frac{\left| {D}^{a}f\left( x + h\right) + {D}^{a}f\left( x - h\right) - 2{D}^{a}f\left( x\right) \right| }{{\left| h\right| }^{\langle s{\rangle }^{ + }}}\text{.}
\]
记号 \( \left\lbrack s\right\rbrack ,{C}^{m}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) ,\parallel \cdot {\parallel }_{{C}^{m}},\left| \alpha \right| \) 的意义参见 “赫尔德空间”.
特里贝尔-立卓金空间 (Triebel-Liaorkin space) 一类函数空间. 经典函数空间 \( {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) , \( {H}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \), BMO \( \left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 都是其特殊情形. 取 \( \varphi \left( x\right) \in \) \( \mathcal{S} \) (施瓦兹函数类,即速降函数) 为径向函数,即 \( \varphi \left( x\right) = \varphi \left( \left| x\right| \right) \) ,且满足:
\[
\operatorname{supp}\widehat{\varphi } \subset \left\{ {\xi \in {\mathrm{R}}^{n}\left| {1/2 \leq }\right| \xi \mid \leq 2}\right\} ,
\]
\[
\left| {\widehat{\varphi }\left( \xi \right) }\right| \geq c > 0\;\left( {3/5 \leq \left| \xi \right| \leq 5/3}\right) .
\]
对 \( j \in Z \) ,令 \( {\widehat{\varphi }}_{j}\left( \xi \right) = \widehat{\varphi }\left( {\xi /{2}^{j}}\right) \) . 对于 \( - \infty < \alpha < + \infty ,0 \) \( < p, q \leq + \infty \) ,若 \( f \in {\mathcal{S}}^{\prime }/\mathcal{P}(\mathcal{P} \) 代表多项式全体, 若 \( {\mathcal{S}}^{\prime } \) 中的两个函数只相差一个多项式,则称这两个函数属于同一个等价类. 这种等价类的全体记为 \( {\mathcal{S}}^{\prime }/\mathcal{P} \) ,并称它为缓增广义函数模去多项式),满足
\[
\parallel f{\parallel }_{{F}_{p}^{a, q}} = {\begin{Vmatrix}{\left( \mathop{\sum }\limits_{{j \in z}}{2}^{ja}{\left| {\varphi }_{j} * f\left( x\right) \right| }^{q}\right) }^{\frac{1}{q}}\end{Vmatrix}}_{p} < + \infty ,
\]
则称 \( f \in {\dot{F}}_{p}^{a, q} \cdot {\dot{F}}_{p}^{a, q} \) 称为特里贝尔-立卓金空间.
特里贝尔-立卓金空间与经典空间有直接的关系, 即
\[
{\dot{F}}_{p}^{0,2} = {L}^{p}\;\left( {1 < p < + \infty }\right) ,
\]
\[
{\dot{F}}_{p}^{0,2} = {H}^{p}\;\left( {0 < p \leq 1}\right) ,
\]
\[{\dot{F}}_{\infty }^{0,2} = \mathrm{{BMO}}\text{.}\]
特里贝尔-立卓金空间 \( {\dot{F}}_{p}^{a, q} \) 的定义与 \( \varphi \) 的选取无关.
傅里叶变换的反演公式 (inverse formula of Fourier transform) 用函数的傅里叶变换表示函数自身的积分公式. 设 \( f\left( x\right) \in {L}^{1}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) ,如果 \( f \) 的傅里叶变换 \( \widehat{f} \) 满足: \( \widehat{f}\left( y\right) \in {L}^{1}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) ,那么对几乎处处的 \( x \in {\mathrm{R}}^{n} \) ,
\[f\left( x\right) = {\int }_{{\mathrm{R}}^{n}}\widehat{f}\left( y\right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}x \cdot y}\mathrm{\;d}y.\]
特别地,在 \( f \) 的连续点,上述等式成立.
卡尔松测度 (Carleson measure) 定义在 \( n + 1 \) 维欧氏空间 \( {\mathrm{R}}^{n + 1} \) 的上半空间中的一种特殊的非负波莱尔测度. 设 \( B = B\left( {{x}_{0}, r}\right) \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中以 \( {x}_{0} \) 为中心, \( r \) \( > 0 \) 为半径的开球. 以 \( B \) 为底的帐篷 \( T\left( B\right) \) 定义为:
\( T\left( B\right) = \left\{ {\left( {x, t}\right) \in {\mathrm{R}}_{ + }^{n + 1}\left| \right| x - {x}_{0} \mid \leq r - t}\right\} . \)
\( {\mathrm{R}}_{ + }^{n + 1} \) 上的非负波莱尔测度 \( \mu \) 称为一个卡尔松测度, 如果存在常数 \( C > 0 \) ,使对 \( \forall B \subset {\mathrm{R}}^{n} \) ,有 \( \mu \left( {T\left( B\right) }\right) \leq \) \( C\left| B\right| \) . 使上述不等式成立的最小常数 \( C \) 称为 \( \mu \) 的卡尔松模或称为卡尔松测度的范数,记为 \( \parallel \mu {\parallel }_{C} \) .
卡尔松测度与 BMO 函数有如下重要关系:
设 \( \psi \) 是径向实值函数,且存在 \( c,\varepsilon > 0 \) ,使
\[
{\int }_{{\mathrm{R}}^{n}}\psi \left( x\right) \mathrm{d}x = 0,
\]
\[
\left| {\psi \left( x\right) }\right| + \left| {\nabla \psi \left( x\right) }\right| \leq c{\left( 1 + \left| x\right| \right) }^{-n - \varepsilon },
\]
（1）
那么对 \( \forall b \in \mathrm{{BMO}} \) ,
\[
\mathrm{d}\mu = {\left| {\psi }_{t} * b\left( x\right) \right| }^{2}\frac{\mathrm{d}x\mathrm{\;d}t}{t}
\]
是卡尔松测度. 反之,如 \( \psi \) 满足 (1) 式,且
\[
{\int }_{0}^{+\infty }{\left| \dot{\psi }\left( t\xi \right) \right| }^{2}\frac{\mathrm{d}t}{t} \neq 0\;\left( {\forall \xi \neq 0}\right) ,
\]
那么如果
\[
\mathrm{d}\mu = {\left| {\psi }_{t} * b\left( x\right) \right| }^{2}\frac{\mathrm{d}x\mathrm{\;d}t}{t}
\]
是卡尔松测度,则 \( b \in \mathrm{{BMO}} \) ,其中
\[
{\psi }_{t}\left( x\right) = \frac{1}{{t}^{n}}\psi \left( \frac{x}{t}\right)
\]
帐篷空间 (tent space) 一类联系着面积积分与卡尔松测度的函数空间. 设 \( f\left( {x, t}\right) \) 是定义在 \( {\mathrm{R}}_{ + }^{n + 1} \) 上的函数. 对 \( x \in {\mathrm{R}}^{n}, t > 0 \) ,记 \( {\mathrm{R}}_{ + }^{n + 1} \) 中以 \( x \) 为顶点的锥为 \( \Gamma \left( x\right) = \{ \left( {y, t}\right) \left| \right| y - x \mid < t\} \) . 令
\[
{A}_{q}\left( f\right) \left( x\right)
\]
\[
= \left\{ \begin{array}{ll} {\left( {\int }_{\Gamma \left( x\right) }{\left| f\left( y, t\right) \right| }^{q}\frac{\mathrm{d}y\mathrm{\;d}t}{{t}^{n + 1}}\right) } |
2000_数学辞海（第3卷） | 150 | ft( x\right) \right| }^{2}\frac{\mathrm{d}x\mathrm{\;d}t}{t}
\]
是卡尔松测度. 反之,如 \( \psi \) 满足 (1) 式,且
\[
{\int }_{0}^{+\infty }{\left| \dot{\psi }\left( t\xi \right) \right| }^{2}\frac{\mathrm{d}t}{t} \neq 0\;\left( {\forall \xi \neq 0}\right) ,
\]
那么如果
\[
\mathrm{d}\mu = {\left| {\psi }_{t} * b\left( x\right) \right| }^{2}\frac{\mathrm{d}x\mathrm{\;d}t}{t}
\]
是卡尔松测度,则 \( b \in \mathrm{{BMO}} \) ,其中
\[
{\psi }_{t}\left( x\right) = \frac{1}{{t}^{n}}\psi \left( \frac{x}{t}\right)
\]
帐篷空间 (tent space) 一类联系着面积积分与卡尔松测度的函数空间. 设 \( f\left( {x, t}\right) \) 是定义在 \( {\mathrm{R}}_{ + }^{n + 1} \) 上的函数. 对 \( x \in {\mathrm{R}}^{n}, t > 0 \) ,记 \( {\mathrm{R}}_{ + }^{n + 1} \) 中以 \( x \) 为顶点的锥为 \( \Gamma \left( x\right) = \{ \left( {y, t}\right) \left| \right| y - x \mid < t\} \) . 令
\[
{A}_{q}\left( f\right) \left( x\right)
\]
\[
= \left\{ \begin{array}{ll} {\left( {\int }_{\Gamma \left( x\right) }{\left| f\left( y, t\right) \right| }^{q}\frac{\mathrm{d}y\mathrm{\;d}t}{{t}^{n + 1}}\right) }^{1/q} & \left( {0 < q < + \infty }\right) , \\ \mathop{\sup }\limits_{{\left( {y, t}\right) \in \Gamma \left( x\right) }}\left| {f\left( {y, t}\right) }\right| & \left( {q = + \infty }\right) . \end{array}\right.
\]
那么帐篷空间 \( {T}_{q}^{p}\left( {0 < p < + \infty ,0 < q \leq + \infty }\right) \) 的定义如下: 当 \( 0 < p < + \infty ,0 < q < + \infty \) 时, \( {T}_{q}^{p} = \) \( \left\{ {f \mid {A}_{q}\left( f\right) \in {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) }\right\} \) ; 当 \( 0 < p < + \infty, q = + \infty \) 时, \( {T}_{q}^{p} = {T}_{\infty }^{p} = \left\{ {f \mid f\text{ 在 }{\mathrm{R}}_{ + }^{n + 1}}\right. \) 上连续,且有 \( {A}_{\infty }\left( f\right) \) \( \left. { \in {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \text{ 和 }{\begin{Vmatrix}{f}_{\varepsilon } - f\end{Vmatrix}}_{\infty, p} \rightarrow 0\left( {\varepsilon \rightarrow {0}^{ + }}\right) }\right\} \) ,这里
\( \parallel f{\parallel }_{\infty, p} = {\begin{Vmatrix}{A}_{\infty }\left( f\right) \end{Vmatrix}}_{p},{f}_{\varepsilon }\left( {x, t}\right) = f\left( {x, t + \varepsilon }\right) . \)
当 \( p \geq 1, q \geq 1 \) 时, \( {T}_{q}^{p} \) 是巴拿赫空间. \( {T}_{\infty }^{1} \) 的对偶空间是卡尔松测度空间.
考尔德伦表示定理 (Calderón representation theorem) 函数的一种积分表达式. 设 \( \psi \in \mathcal{S} \) 是径向实值函数, 满足:
\[
{\int }_{{\mathrm{R}}^{n}}\psi \left( x\right) \mathrm{d}x = 0\text{ 及 }{\int }_{0}^{+\infty }{\left| \widehat{\psi }\left( \xi t\right) \right| }^{2}\frac{\mathrm{d}t}{t} = 1.
\]
如果 \( f \in {\mathcal{S}}^{\prime } \) ,那么有
\[
f\left( x\right) = {\int }_{0}^{+\infty }\left( {f * {\psi }_{t} * {\psi }_{t}}\right) \left( x\right) \frac{\mathrm{d}t}{t},
\]
这里积分表示在 \( {\mathcal{S}}^{\prime } \) 中的极限
\[
\mathop{\lim }\limits_{{\varepsilon \rightarrow 0,\mathrm{\;A} \rightarrow + \infty }}{\int }_{\varepsilon }^{A}f * {\psi }_{t} * {\psi }_{t}\left( x\right) \frac{\mathrm{d}t}{t},
\]
其中 \( {\psi }_{t}\left( x\right) = \frac{1}{{t}^{n}}\psi \left( \frac{x}{t}\right) \) .
柯特拉不等式 (Cotlar inequality) 考尔德伦- 赞格蒙算子与哈代-李特尔伍德极大算子间的关系式. 设 \( T \) 是考尔德伦-赞格蒙算子, \( K\left( {x, y}\right) \) 是其积分核,对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,记
\[
{T}_{\varepsilon }f\left( x\right) = {\int }_{\left| {x - y}\right| \geq \varepsilon }K\left( {x, y}\right) f\left( y\right) \mathrm{d}y,
\]
\[
f \in {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \;\left( {1 \leq p < + \infty }\right) .
\]
算子族 \( \left\{ {T}_{\varepsilon }\right\} \) 的极大算子 \( {T}^{ * } \) 定义为
\[
{T}^{ * }f\left( x\right) = \mathop{\sup }\limits_{{\epsilon > 0}}\left| {{T}_{\epsilon }f\left( x\right) }\right| .
\]
那么对任意 \( q > 1 \) ,存在仅与维数 \( n \) 有关的常数 \( {C}_{q} > 0 \) ,使
\[
{T}^{ * }f\left( x\right) \leq {C}_{q}{M}_{q}\left( f\right) \left( x\right) + M\left( {Tf}\right) \left( x\right) ,
\]
其中 \( M \) 为哈代-李特尔伍德极大算子, \( {M}_{q} \) 为 \( q \) 阶的哈代-李特尔伍德极大算子, 它定义为
\[
{M}_{q}\left( f\right) \left( x\right) = \mathop{\sup }\limits_{{r > 0}}{\left( \frac{1}{{r}^{n}}{\int }_{\left| y\right| < r}{\left| f\left( x - y\right) \right| }^{q}\mathrm{\;d}y\right) }^{1/q}.
\]
费弗曼-施坦不等式 (Fefferman-Stein inequality) # 函数与哈代-李特尔伍德极大算子的一个关系式. 设 \( T \) 是考尔德伦-赞格蒙算子, \( 1 < p \) \( < + \infty \) ,则对 \( f \in {L}^{r}\left( {p \leq r \leq + \infty }\right) \) ,有下述不等式
\[{\left( Tf\right) }^{\# }\left( x\right) \leq C{\left\lbrack M\left( {\left| f\right| }^{p}\right) \left( x\right) \right\rbrack }^{1/p},\]
其中 \( \# \) 函数定义参见 “BMO 函数空间”, \( M \) 为哈代- 李特尔伍德极大算子.
好 \( \lambda \) 不等式 (good \( \lambda \) inequality) 用于比较两个集合测度的不等式. 设 \( f, g \) 是测度空间 \( \left( {Z,\mathcal{F},\mu }\right) \) 上的两个非负可测函数. 如果存在适当的正常数 \( a, b \) , \( c \) ,下式
\[\mu \left( {\{ x \mid f > \lambda, g \leq {c\lambda }\} }\right) \leq {a\mu }\left( {\{ x \mid f > {b\lambda }\} }\right) \left( 1\right) \] 对一切 \( \lambda > 0 \) 均成立,则称 (1) 为好 \( \lambda \) 不等式. 好 \( \lambda \) 不等式 (1) 的作用在于从它可导出
\[\int {\left\lbrack f\left( x\right) \right\rbrack }^{p}\mathrm{\;d}\mu \left( x\right) \]
\[ \leq A\left( {a, b, c, p}\right) \int {\left\lbrack g\left( x\right) \right\rbrack }^{p}\mathrm{\;d}\mu \left( x\right) ,\]
(2)
只要相应的 \( \parallel f{\parallel }_{{L}^{p}\left( {\mathrm{\;d}\mu }\right) } < + \infty \) ,其中 \( 0 < p < + \infty \) .
振荡型积分 (oscillatory integral) 积分核中带有振荡因子的积分变换. 设 \( \Psi \) 是关于 \( x \) 和 \( \xi \) 的 \( {2n} \) 元有紧支集的光滑函数, \( \Phi \) 是 \( {2n} \) 元实值光滑函数, 且在 \( \Psi \) 的支集上,
\[\det \left( \frac{{\partial }^{2}\Phi \left( {x,\xi }\right) }{\partial {x}_{i}\partial {\xi }_{j}}\right) \neq 0,\]
其中 \( x = \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) ,\xi = \left( {{\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots ,{\xi }_{n}}\right) \) . 那么对 \( \lambda \) \( > 0 \) ,下面定义的算子族 \( {T}_{\lambda } \) 称为振荡积分:
\[{T}_{\lambda }f\left( \xi \right) = {\int }_{{\mathrm{R}}^{n}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\lambda \Phi }\left( {x,\xi }\right) }\Psi \left( {x,\xi }\right) f\left( x\right) \mathrm{d}x.\]
考尔德伦交换子 (Calderón commutator) 一类特殊的非卷积型的积分算子. 设 \( \varphi \) 是 \( \mathrm{R} \) 上实李普希茨函数, \( h \in {C}^{\infty }\left( \mathrm{R}\right) \) ,那么交换子是如下的奇异积分算子:
\[T\left\lbrack {h,\varphi }\right\rbrack f\left( x\right) = \mathrm{P}.\mathrm{V}.{\int }_{\mathrm{R}}h\left( \frac{\varphi \left( x\right) - \varphi \left( y\right) }{x - y}\right) \frac{f\left( y\right) }{x - y}\mathrm{\;d}y.\] 如果 \( h = 1 \) ,那么 \( T\left\lbrack {h,\varphi }\right\rbrack \) 为希尔伯特变换; 如果
\[
h\left( t\right) = \frac{1}{1 + \mathrm{i}t}
\]
那么 \( T\left\lbrack {h,\varphi }\right\rbrack f\left( x\right) \) 为关于曲线 \( y = \varphi \left( x\right) \) 的柯西积分; 如果 \( h\left( t\right) = {t}^{k} \) ,那么 \( T\left\lbrack {h,\varphi }\right\rbrack \) 为 \( k \) 阶的交换子.
多线性算子 (multilinear operator) 一类多个函数的积分变换. 其定义为
\[
M\left( {{f}_{1},{f}_{2},\cdots ,{f}_{k}}\right) \left( x\right)
\]
\[
= {\int }_{{\mathrm{R}}^{nk}}{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}r \cdot \sigma \left( \bar{\varepsilon }\right) }m\left( \bar{\varepsilon }\right) {\widehat{f}}_{1}\left( {\varepsilon }^{\left( 1\right) }\right) {\widehat{f}}_{2}\left( {\varepsilon }^{\left( 2\right) }\right) \cdots {\widehat{f}}_{k}\left( {\varepsilon }^{\left( k\right) }\right) \mathrm{d}\left( \bar{\varepsilon }\right) ,
\]
其中 \( \bar{\varepsilon } = \left( {{\varepsilon }^{\left( 1\right) },{\varepsilon }^{\left( 2\right) },\cdots ,{\varepsilon }^{\left( k\right) }}\right) \in {\mathrm{R}}^{nk},{\varepsilon }^{\left( j\right) } \in {\mathrm{R}}^{n} \) ,而 \( \sigma \left( \bar{\varepsilon }\right) \) \( = {\varepsilon }^{\left( 1\right) } + {\varepsilon }^{\left( 2\right) } + \cdots + {\varepsilon }^{\left( k\right) }, m\left( \bar{\varepsilon }\right) \) 是 \( {\mathrm{R}}^{nk} \) 上的有界函数, \( {f}_{j}\left( {\varepsilon }^{\left( j\right) }\right) \in \mathcal{S}\left( {j = 1,2,\cdots, k}\right) \) . 例如,当 \( m\left( \bar{\varepsilon }\right) \equiv 1 \) 时,
\[
M\left( {{f}_{1},{f}_{2},\cdots ,{f}_{k}}\right) \left( x\right) = {f}_{1}\left( x\right) {f}_{2}\left( x\right) \cdots {f}_{k}\left( x\right) .
\]
柯尔莫哥洛夫不等式 (Kolmogorov inequality) 次线性算子是弱型的一种不等式刻画. 设次线性算子 \( T \) 是弱 \( \left( {p, p}\right) \left( {0 < p < + \infty }\right) \) 型的,则对 \( \forall 0 < r \) \( < p,\forall E \subset {\mathrm{R}}^{n}, E \) 可测,且 \( \left| E\right| < + \infty \) ,有如下不等式
\[
{\left( {\int }_{E}{\left| Tf\left( x\right) \right| }^{r}\mathrm{\;d}x\right) }^{1/r} \leq {K}_{p, r}{\left| E\right| }^{\frac{1}{r} - \frac{1}{p}}\parallel f{\parallel }_{p},
\]
(1)
且 \( {K}_{p, r} \leq {C}_{p, r}\parallel T{\parallel }_{\left( {L}^{p},{L}^{p,\infty }\right) } \) .
反之,如果 (1) 式对某 \( r\left( {0 < r < p}\right) \) 及 \( \forall E \) \( {\mathrm{{CR}}}^{n}\left( {\left| E\right| < + \infty }\right) \) 成立,那么 \( T \) 是弱 \( \left( {p, p}\right) \) 型算子.
逆向赫尔德不等式 (inverse Hölder inequality) \( {A}_{p} \) 类中权函数的一种重要性质. 设 \( \omega \left( x\right) \in {A}_{p} \) (参见 “马肯厚普条件”),那么存在常数 \( C > 0,\delta > 0 \) ,使对任意的立方体 \( Q \subset {\mathrm{R}}^{n} \) ,有
\[
\frac{1}{\left| Q\right| }{\int }_{Q}\omega {\left( x\right) }^{1 + \delta }\mathrm{d}x \leq C{\left( \frac{1}{\left| Q\right| }{\int }_{Q}\omega \left( x\right) \mathrm{d}x\right) }^{1 + \delta }.
\]
满足逆向赫尔德不等式是 \( {A}_{p} \) 权函数的最重要的性质之一. 这一性质在研究算子的加权范数不等式中起着十分重要的作用.
齐型空间 (spaces of homogeneous type) 一种拟距离空间,是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的一种推广. 设 \( \rho \) 是集合 \( X \) 上的一个拟距离,即 \( \rho \) 是 \( X \times X \rightarrow \left\lbrack {0, + \infty }\right\rbrack \) 的一个二元函数, 满足:
1. \( \rho \left( {x, y}\right) = 0 \) 当且仅当 \( x = y \) ;
2. 对 \( \forall x, y \in X,\rho \left( {x, y}\right) = \rho \left( {y, x}\right) \) ;
3. 存在数 \( k \) ,使对 \( \forall x, y, z \in X \) ,有
\[
\rho \left( {x, y}\right) \leq k\left\lbrack {\rho \left( {x, z}\right) + \rho \left( {z, y}\right) }\right\rbrack ;
\]
那么由 \( \rho \) 可定义一个拓扑,中心在 \( x \) ,半径为 \( r > 0 \) 的球 \( B\left( {x, r}\right) = \{ y \in X \mid \rho \left( {x, y}\right) < r\} \) 形成点 \( x \) 的开邻域基. 又设 \( \mu \) 是 \( X \) 上的正测度,对 \( \forall x \in X, r > 0 \) ,有 \( \mu \left( {B\left( {x, r}\right) }\right) < + \infty \) . 此外,存在常数 \( A \) ,使对 \( \forall x \in X \) , \( r > 0 \) ,有 \( \mu \left( {B\left( {x,{2r}}\right) }\right) \leq {A\mu }\left( {B\left( {x, r}\right) }\right) \) .
|
2000_数学辞海（第3卷） | 151 | . 这一性质在研究算子的加权范数不等式中起着十分重要的作用.
齐型空间 (spaces of homogeneous type) 一种拟距离空间,是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的一种推广. 设 \( \rho \) 是集合 \( X \) 上的一个拟距离,即 \( \rho \) 是 \( X \times X \rightarrow \left\lbrack {0, + \infty }\right\rbrack \) 的一个二元函数, 满足:
1. \( \rho \left( {x, y}\right) = 0 \) 当且仅当 \( x = y \) ;
2. 对 \( \forall x, y \in X,\rho \left( {x, y}\right) = \rho \left( {y, x}\right) \) ;
3. 存在数 \( k \) ,使对 \( \forall x, y, z \in X \) ,有
\[
\rho \left( {x, y}\right) \leq k\left\lbrack {\rho \left( {x, z}\right) + \rho \left( {z, y}\right) }\right\rbrack ;
\]
那么由 \( \rho \) 可定义一个拓扑,中心在 \( x \) ,半径为 \( r > 0 \) 的球 \( B\left( {x, r}\right) = \{ y \in X \mid \rho \left( {x, y}\right) < r\} \) 形成点 \( x \) 的开邻域基. 又设 \( \mu \) 是 \( X \) 上的正测度,对 \( \forall x \in X, r > 0 \) ,有 \( \mu \left( {B\left( {x, r}\right) }\right) < + \infty \) . 此外,存在常数 \( A \) ,使对 \( \forall x \in X \) , \( r > 0 \) ,有 \( \mu \left( {B\left( {x,{2r}}\right) }\right) \leq {A\mu }\left( {B\left( {x, r}\right) }\right) \) .
带有上述拟距离 \( \rho \) 和正测度 \( \mu \) 的集合 \( X \) ,称为齐型空间 \( \left( {X,\rho ,\mu }\right) \) .
局部哈代空间 (localized Hardy space) 较实哈代空间 \( {H}^{p} \) 更广泛的一类函数空间. 其定义如下: 设 \( u\left( {x, t}\right) = \left( {f * {P}_{t}}\right) \left( x\right) \) 是 \( f \) 的泊松积分,记
\[
{u}_{ * }^{\left( 1\right) }\left( f\right) \left( x\right) = \mathop{\sup }\limits_{{\left| {x - y}\right| \leq t \leq 1}}\left| {u\left( {y, t}\right) }\right|
\]
为 \( u \) 的非切向极大函数的截断变形. 如 \( {u}_{ * }^{\left( 1\right) }\left( f\right) \in {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) ,则称 \( f \in {H}_{\mathrm{{loc}}}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) ,0 < p \leq + \infty \) . 与 \( {H}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 一样, \( {H}_{\mathrm{{loc}}}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 有其类似的等价定义.
\( {H}_{\text{loc }}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 与 \( {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) ,{H}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 的关系是: 如果 1 \( < p \leq + \infty \) ,那么 \( {H}_{\text{loc }}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) = {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) ; 如果 \( 0 < p \leq 1 \) , 那么 \( {H}_{\text{loc }}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \supset {H}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) .
挂谷宗一极大函数 (Kakeya maximal function) 一类积分变换. 是哈代-李特尔伍德极大函数的一种变形. 在二维的情形下,其定义如下: 对于实数 \( N \) \( \geq 1 \) ,记
\[
{\mathcal{R}}_{N} = \left\{ {\text{ 矩形 }R\left| {\;\frac{R\text{ 长边之长 }}{R\text{ 短边之长 }} = N}\right. }\right\} ,
\]
那么 \( f \) 的挂谷宗一极大函数 \( {M}_{N}f\left( x\right) \) 定义为
\( {M}_{N}f\left( x\right) = \mathop{\sup }\limits_{{x \in R \in {\mathcal{K}}_{N}}}\frac{1}{\left| R\right| }{\int }_{R}\left| {f\left( y\right) }\right| \mathrm{d}y\left( {f \in {L}_{\mathrm{{loc}}}\left( {\mathrm{R}}^{2}\right) }\right) . \)
傅里叶变换的限制定理 (restriction theorem of the Fourier transform) 傅里叶变换大小的一种描述, 是研究多元函数傅里叶积分的博赫纳-里斯平均 \( {L}^{p} \) 收敛的重要工具. 设 \( S \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的光滑子流形. \( \mathrm{d}\sigma \) 是其上导出的勒贝格测度. 如果对每一个施瓦兹函数 \( f \) 以及 \( S \) 的具有紧闭包含于 \( S \) 中的开子集 \( {S}_{0} \) ,有
\[
{\left( {\int }_{{S}_{0}}{\left| \widehat{f}\left( \xi \right) \right| }^{q}\mathrm{\;d}\sigma \left( \xi \right) \right) }^{1/q} \leq {A}_{p, q,{S}_{0}}\parallel f{\parallel }_{{L}^{p}},
\]
这里 \( \widehat{f} \) 为 \( f \) 的傅里叶变换, \( 1 \leq p < {p}_{0} < 2,{p}_{0} \) \( = {p}_{0}\left( S\right) \) 且 \( q = q\left( p\right) \) . 那么称对于 \( S \) ,傅里叶变换的 \( {L}^{p} \) 限制定理成立. 有如下的结果: 设 \( S \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的 \( m \) 维的 \( K \) 型光滑子流形,那么存在 \( {p}_{0} = {p}_{0}\left( S\right) \left( {{p}_{0} > 1}\right) \) , 使得对于 \( 1 \leq p < {p}_{0}, q = 2, S \) 具有傅里叶变换 \( {L}^{p} \) 限制性质.
值得指出的是,具有限制性质的 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的子流形 \( S \) 的特征以及指标 \( p, q \) 最佳范围的确定是非常困难的问题, 至今没有完全解决.
振荡型奇异积分 (oscillatory singular integral) 积分核中带有振荡因子的一类奇异积分算子. 其定义为
\[
{Tf}\left( x\right) = \mathrm{P}.\mathrm{V}.{\int }_{{\mathrm{R}}^{n}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}P\left( {x, y}\right) }K\left( {x, y}\right) f\left( y\right) \mathrm{d}y,
\]
其中 \( P\left( {x, y}\right) \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \times {\mathrm{R}}^{n} \) 上的 \( d \) 阶实多项式, \( K\left( {x, y}\right) \) 为考尔德伦-赞格蒙核. 这类算子密切联系着沿曲线 (或沿曲面) 的奇异积分算子. 它首先由里奇 (Ricci, F. ) 和施坦 (Stein, E. M. ) 在 1987 年所研究, 他们获得了 \( T \) 的 \( {L}^{p}\left( {1 < p < + \infty }\right) \) 有界性.
VMO 函数空间 (the space of function vanishing mean oscillation) BMO 函数空间的一个子空间. \( f \in \mathrm{{VMO}} \) 当且仅当 \( f \in \mathrm{{BMO}} \) ,且
\[
\mathop{\lim }\limits_{{\delta \rightarrow 0}}\mathop{\sup }\limits_{\substack{{I \subset {\mathrm{R}}^{n}} \\ {\left| I\right| \leq \delta } }}\frac{1}{\left| I\right| }{\int }_{I}\left| {f - {f}_{I}}\right| \mathrm{d}x = 0,
\]
这里 \( {f}_{I} \) 是 \( f \) 在 \( I \) 上的平均,即
\[
{f}_{I} = \frac{1}{\left| I\right| }{\int }_{I}f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
关于 VMO 函数空间, 还有如下重要刻画:
\[
f \in \operatorname{VMO}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \Leftrightarrow f \in \overline{{UC} \cap \operatorname{BMO}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) },
\]
其中 \( {UC} \) 为 \( {\mathrm{R}}^{\prime \prime } \) 上一致连续函数的全体. 1977 年,科伊夫曼 (Coifman, R. R. ) 和韦斯 (Weiss, G. ) 证明了: \( {H}^{1} = {\mathrm{{VMO}}}^{ * } \) (即哈代空间 \( {H}^{1}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 是 VMO 的对偶空间).
奇异拉东变换 (singular Radon transform) 一类低维流形上的积分变换. 设 \( \Omega \) 是一个光滑流形, 如对 \( \forall P \in \Omega \) ,有一个低一维的光滑子流形 \( {\Omega }_{P} \) 使 \( P \in \) \( {\Omega }_{P} \) ,且有一个相关于 \( {\Omega }_{P} \) ,其奇性在点 \( P \) 的奇异积分密度 \( K\left( {P, \cdot }\right) \) . 那么如果映射 \( P \rightarrow {\Omega }_{P} \) 及 \( P \rightarrow \) \( K\left( {P, \cdot }\right) \) 均是光滑的,则对于任意的 \( f \in {C}_{0}^{\infty }\left( \Omega \right) \) ,其奇异拉东变换定义为
\[
R\left( f\right) \left( P\right) = {\int }_{{\Omega }_{P}}K\left( {P, Q}\right) f\left( Q\right) \mathrm{d}{\sigma }_{P}\left( Q\right) ,
\]
其中 \( \mathrm{d}{\sigma }_{P} \) 是 \( {\Omega }_{P} \) 的体积元.
奇异拉东变换密切联系着一类振荡型奇异积分. 1986 年, 冯 (Phong, D. H. ) 和施坦 (Stein, E. M. )证明了: 如果 \( K\left( {P, Q}\right) \) 满足一定的光滑性条件, 那么 \( R \) 是 \( {L}^{p}\left( \Omega \right) \) 有界的.
赫茨空间 (Herz space) 幂权 \( {L}^{q} \) 空间的一种推广. 它在研究哈代空间 \( {H}^{p} \) 上的乘子定理尖锐性问题时起重要作用, 可分为齐性赫茨空间和非齐性赫茨空间. 对 \( 0 < p \leq 1 < q < + \infty \) 及
\[
\alpha = n\left( {\frac{1}{p} - \frac{1}{q}}\right) ,
\]
齐性赫茨空间的定义为
\[
{\dot{K}}_{q}^{a, p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) = \left\{ {f \in {L}_{\mathrm{{loc}}}^{q}\left( {{\mathrm{R}}^{n}\smallsetminus \{ 0\} }\right) \mid }\right.
\]
\[
\text{-}\left. {\parallel f{\parallel }_{{\dot{K}}_{q}^{a, p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) } < + \infty }\right\} \text{,}
\]
其中
\[
\parallel f{\parallel }_{{\widetilde{K}}_{q}^{a, p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) } = {\left\{ \mathop{\sum }\limits_{{k = - \infty }}^{\infty }{\left( {\int }_{{\Lambda }_{K}}{\left| f\left( x\right) \right| }^{q}\mathrm{\;d}x\right) }^{p/q}{2}^{kap}\right\} }^{1/p}
\]
且
\[
{A}_{K} = \left\{ {x \in {\mathrm{R}}^{n}\left| {{2}^{k - 1} < }\right| x \mid \leq {2}^{k}}\right\} .
\]
非齐性赫茨空间的定义为
\[
{K}_{q}^{a, p} = {L}^{q}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \cap {\dot{K}}_{q}^{a, p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) ,
\]
且
\[
\parallel f{\parallel }_{{K}_{q}^{\alpha, p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) } = \parallel f{\parallel }_{{L}^{q}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) } + \parallel f{\parallel }_{{\dot{K}}_{q}^{\alpha, p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) },
\]
\( \parallel f{\parallel }_{{L}^{q}} = {\left( {\int }_{{\mathbf{R}}^{n}}{\left| f\left( x\right) \right| }^{q}\mathrm{\;d}x\right) }^{1/q}. \)
拉德马赫函数系 (system of Rademacher functions) 有重要理论和应用价值的一个特殊的正交函数系. 在一维情形, 可先定义函数
\[
{r}_{0}\left( t\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \left( {0 \leq t < \frac{1}{2}}\right) , \\ - 1 & \left( {\frac{1}{2} \leq t < 1}\right) . \end{array}\right.
\]
然后将 \( {r}_{0}\left( t\right) \) 按周期 1 做延拓,即令 \( {r}_{0}\left( t\right) = {r}_{0}(t \) \( - \left\lbrack t\right\rbrack )\left( {t \geq 0,\left\lbrack t\right\rbrack \text{为}t\text{的整数部分}}\right) \) 或 \( {r}_{0}\left( t\right) = {r}_{0}(t \) \( - \left\lbrack t\right\rbrack + 1)\left( {t < 0}\right) \) ,再定义
\[
{r}_{m}\left( t\right) = {r}_{0}\left( {{2}^{m}t}\right) \;\left( {m \in \mathrm{N}}\right) ,
\]
则 \( {\left\{ {r}_{m}\left( t\right) \right\} }_{m = 0}^{+\infty } \) 称为区间 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上的拉德马赫函数系. 它是 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上的正交系,但不是完备的. 拉德马赫函数系有如下重要性质: 设数列 \( {\left\{ {a}_{m}\right\} }_{m = 0}^{\infty } \) 有
\[
\mathop{\sum }\limits_{{m = 0}}^{\infty }{\left| {a}_{m}\right| }^{2} < + \infty
\]
则级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{m = 0}}^{\infty }{a}_{m}{r}_{m}\left( t\right)
\]
在 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上几乎处处收敛,其和 \( F\left( t\right) \in {L}^{p}\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 对一切 \( 1 \leq p < + \infty \) 成立; 还存在正的常数 \( {A}_{p} \) 和 \( {B}_{p} \) ,使
\[
{A}_{p}\parallel f{\parallel }_{p} \leq \parallel F{\parallel }_{2} = {\left( \mathop{\sum }\limits_{{m = 1}}^{\infty }{\left| {a}_{m}\right| }^{2}\right) }^{1/2}
\]
\[ \leq {B}_{p}\parallel F{\parallel }_{p}\text{.}\]
(1)
因此
\[\mathop{\sum }\limits_{{m = 0}}^{\infty }{\left| {a}_{m}\right| }^{2} < + \infty \]
可用以刻画 \( F \in {L}^{p}\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) . 拉德马赫函数系的函数在二进区间上取值 \( 1, - 1 \) 或 0,它与在应用中有重要意义的沃尔什函数系关系密切, 在应用中常称为开关函数, 是由德国数学家拉德马赫 (Rademacher, H. ) 于 1922 年提出的. 还有一些等价的定义方式 (例如可表示成 \( {r}_{m}\left( x\right) = \operatorname{sgn}\sin {2}^{m + 1}{\pi x} \) ,这里 \( \operatorname{sgn} \) 表示符号函数).
拉德马赫函数系可以推广到高维空间. 记
\[Q = \left\{ {t \in {\mathrm{R}}^{n} \mid t = \left( {{t}_{1},{t}_{2},\cdots ,{t}_{n}}\right) ,}\right. \]
\[\left. {0 \leq {t}_{j} \leq 1, j = 1,2,\cdots, n}\right\} ,\]
\[m = \left( {{m}_{1},{m}_{2},\cdots ,{m}_{n}}\right) \in {\mathrm{N}}^{n},\]
则由 \( {r}_{m}\left( t\right) = {r}_{{m}_{1}}\left( {t}_{1}\right) {r}_{{m}_{2}}\left( {t}_{2}\right) \cdots {r}_{{m}_{n}}\left( {t}_{n}\right) \left( {t \in Q}\right) \) 定义的函数系 \( {\left\{ {r}_{m}\left( t\right) \right\} }_{m \in {\mathbf{N}}^{n}} \) 可称为 \( Q \) 上的拉德马赫函数系. 它具有与一维情形相同的性质和重要意义. 特别地, 若将 \( \parallel F{\parallel }_{p} \) 和 \( \mathop{\sum }\limits_{m}{\left| {a}_{m}\right| }^{2} \) 分别理解成 \( \parallel F{\parallel }_{{L}^{p}\left( Q\right) } \) 和
\[\mathop{\sum }\limits_{ |
2000_数学辞海（第3卷） | 152 | 在二进区间上取值 \( 1, - 1 \) 或 0,它与在应用中有重要意义的沃尔什函数系关系密切, 在应用中常称为开关函数, 是由德国数学家拉德马赫 (Rademacher, H. ) 于 1922 年提出的. 还有一些等价的定义方式 (例如可表示成 \( {r}_{m}\left( x\right) = \operatorname{sgn}\sin {2}^{m + 1}{\pi x} \) ,这里 \( \operatorname{sgn} \) 表示符号函数).
拉德马赫函数系可以推广到高维空间. 记
\[Q = \left\{ {t \in {\mathrm{R}}^{n} \mid t = \left( {{t}_{1},{t}_{2},\cdots ,{t}_{n}}\right) ,}\right. \]
\[\left. {0 \leq {t}_{j} \leq 1, j = 1,2,\cdots, n}\right\} ,\]
\[m = \left( {{m}_{1},{m}_{2},\cdots ,{m}_{n}}\right) \in {\mathrm{N}}^{n},\]
则由 \( {r}_{m}\left( t\right) = {r}_{{m}_{1}}\left( {t}_{1}\right) {r}_{{m}_{2}}\left( {t}_{2}\right) \cdots {r}_{{m}_{n}}\left( {t}_{n}\right) \left( {t \in Q}\right) \) 定义的函数系 \( {\left\{ {r}_{m}\left( t\right) \right\} }_{m \in {\mathbf{N}}^{n}} \) 可称为 \( Q \) 上的拉德马赫函数系. 它具有与一维情形相同的性质和重要意义. 特别地, 若将 \( \parallel F{\parallel }_{p} \) 和 \( \mathop{\sum }\limits_{m}{\left| {a}_{m}\right| }^{2} \) 分别理解成 \( \parallel F{\parallel }_{{L}^{p}\left( Q\right) } \) 和
\[\mathop{\sum }\limits_{\left( {m}_{1},{m}_{2},\cdots ,{m}_{n}\right) }{\left| {a}_{{m}_{1},{m}_{2},\cdots ,{m}_{n}}\right| }^{2},\]
则由 \( \mathop{\sum }\limits_{m}{\left| {a}_{m}\right| }^{2} < + \infty \) 仍有
\[F\left( t\right) = \mathop{\sum }\limits_{m}{a}_{m}{r}_{m}\left( t\right) \in {L}^{p}\left( Q\right) ,\]
并且 (1) 式 (其中各有关量均按 \( n \) 维情形定义) 仍然成立.
## 抽象调和分析
抽象调和分析 (abstract harmonic analysis)
经典调和分析理论的推广. 即在具有一定代数、拓扑结构的集合上建立的调和分析的理论和方法. 在经典的傅里叶级数理论中,以 \( {2\pi } \) 为周期的函数可以看做复平面中单位圆周 \( {T}^{1} \) 上的函数. 函数族
\[
\left\{ {{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{nx}} \mid n = 0, \pm 1, \pm 2,\cdots ,{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x} \in {T}^{1}}\right\}
\]
是 \( {L}^{2}\left( {T}^{1}\right) \) 的一组完备规范正交系. 对于 \( {T}^{1} \) 上的可积函数, 以其傅里叶系数为系数的形式三角级数称为该函数的傅里叶级数. \( {T}^{1} \) 关于复数乘法成为一个群. 从群表示论的观点来看,对每个整数 \( n,{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{nx}} \) 是 \( {T}^{1} \) 的一个不可约酉表示, \( {L}^{2}\left( {T}^{1}\right) \) 的上述完备规范正交系恰是 \( {T}^{1} \) 的不可约酉表示完全组, \( {T}^{1} \) 的酉对偶同构于整数加法群 \( Z,{T}^{1} \) 上的可积函数按不可约酉表示完全组展开所得的形式三角级数即是该函数的傅里叶级数.
在经典的傅里叶变换理论中, \( {\mathrm{R}}^{1} \) 上可积函数 \( f \) 的傅里叶变换是
\[
\widehat{f}\left( y\right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{yx}}\mathrm{\;d}x,
\]
当 \( f \) 是 \( {\mathrm{R}}^{1} \) 上具有紧支集的 \( {C}^{\infty } \) 函数时,又可得反演公式
\[
f\left( x\right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\widehat{f}\left( y\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{yx}}\mathrm{\;d}y.
\]
\( {\mathrm{R}}^{1} \) 对实数加法形成一个群,从群表示论的观点来看,对每个 \( y \in {\mathrm{R}}^{1},{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{yx}} \) 是 \( {\mathrm{R}}^{1} \) 的一个不可约酉表示,函数族 \( \left\{ {{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{yx}} \mid y \in {\mathrm{R}}^{1}}\right\} \) 是 \( {\mathrm{R}}^{1} \) 的一个不可约酉表示完全组, \( {R}^{1} \) 的对偶同构于 \( {R}^{1} \) ,通过 \( {R}^{1} \) 的不可约酉表示完全组中的函数就可定义函数的傅里叶变换及其逆变换. 所以要将经典的傅里叶级数与傅里叶变换的理论推广到一般的拓扑群 \( G \) 上,首先要确定群 \( G \) 的不可约酉表示完全组, 这是群表示论的基本问题之一, 也是抽象调和分析的基础. 进而可展开抽象调和分析各种课题的研究.
彼得-外尔定理 (Peter-Weyl theorem) 经典三角多项式可一致逼近连续函数的定理在紧李群上的一种推广. 在经典的傅里叶级数理论中, 一个熟知的结果是,任一以 \( {2\pi } \) 为周期的连续函数可用三角多项式来一致逼近. 这一经典结果在紧李群上的推广, 即是著名的彼得-外尔定理. 设 \( G \) 是一个紧李群,则 \( G \) 的不可约表示必是有限维的,且 \( G \) 的有限维表示必等价于一个酉表示. 所以, 在表示空间中取一组适当的规范正交基时, \( G \) 的不可约表示将 \( G \) 的元映成酉矩阵.
设 \( \left\{ {{U}_{\lambda } \mid \lambda \in \widehat{G}}\right\} \) 是紧李群 \( G \) 的不可约酉表示完全组,则 \( {U}_{\lambda }\left( x\right) \) 的每个矩阵系数定义了 \( G \) 上的实解析函数. 相应于 \( {L}^{2}\left( G\right) \) 的内积, \( {U}_{\lambda }\left( x\right) \) 的不同矩阵系数彼此正交; 当 \( {\lambda }_{1},{\lambda }_{2} \in \widehat{G} \) 且 \( {\lambda }_{1} \neq {\lambda }_{2} \) 时, \( {U}_{{\lambda }_{1}}\left( x\right) \) 与 \( {U}_{{\lambda }_{2}}\left( x\right) \) 的不同矩阵系数也彼此正交. 这时彼得-外尔定理可叙述为: 紧李群 \( G \) 的不可约酉表示完全组 \( \left\{ {{U}_{\lambda } \mid \lambda \in \widehat{G}}\right\} \) 的矩阵系数全体是 \( {L}^{2}\left( G\right) \) 的完备正交函数系, \( G \) 上的任一连续函数可用该正交系中函数的有限线性组合来一致逼近.
上述紧李群 \( G \) 的完备正交函数系在紧李群上调和分析中的地位,等同于 \( \left\{ {{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{nx}} \mid n = 0, \pm 1,\cdots }\right\} \) 在经典傅里叶分析中的地位.
紧李群上的傅里叶级数 (Fourier serier on compact Lie group) 经典傅里叶级数在紧李群上的推广. 取定紧李群 \( G \) 的一个不可约酉表示完全组 \( \left\{ {{U}_{\lambda } \mid \lambda \in \widehat{G}}\right\} \) ,并用 \( {d}_{\lambda } \) 记表示 \( {U}_{\lambda } \) 的表示空间的维数. 对 \( G \) 上的哈尔可积函数 \( f\left( x\right) \) ,做积分
\[
{\widehat{f}}_{\lambda } = {\int }_{G}f\left( x\right) {U}_{\lambda }\left( {x}^{-1}\right) \mathrm{d}x,
\]
就得到一个 \( {d}_{\lambda } \) 阶复方阵 \( {\widehat{f}}_{\lambda } \) ,称 \( {\widehat{f}}_{\lambda } \) 为 \( f\left( x\right) \) 的傅里叶系数矩阵,而与 \( f\left( x\right) \) 对应的级数
\[
f\left( x\right) \sim \mathop{\sum }\limits_{{\lambda \in \widehat{G}}}{d}_{\lambda }\operatorname{tr}\left( {{\widehat{f}}_{\lambda }{U}_{\lambda }\left( x\right) }\right)
\]
称为 \( f\left( x\right) \) 的傅里叶级数. 这里, \( \operatorname{tr} \) 表示矩阵的迹,即矩阵主对角线元素之和.
紧李群的有限维表示的迹称为该表示的特征. 如记 \( {\chi }_{\lambda }\left( x\right) = \operatorname{tr}\left( {{U}_{\lambda }\left( x\right) }\right) \) ,则 \( f\left( x\right) \) 的傅里叶级数还有如下的等价记法
\[
f\left( x\right) \sim \mathop{\sum }\limits_{{\lambda \in G}}{d}_{\lambda }f * {\chi }_{\lambda }\left( x\right) ,
\]
其中 * 表示函数的卷积.
紧李群上可积函数的傅里叶系数矩阵 \( {\widehat{f}}_{\lambda } \) 是与 \( G \) 的不可约酉表示完全组的选取有关的. 但它的傅里叶级数的上述两种表达式则与不可约酉表示完全组的选取无关.
非紧半单李群上的傅里叶变换 (Fourier transform on noncompact semisimple Lie group) 经典傅里叶变换的一种推广. 非紧连通半单李群 \( G \) 的酉表示是无限维希尔伯特空间 \( V \) 上的表示,它将 \( G \) 的元映成 \( V \) 上的酉算子. 取定 \( G \) 的一个不可约酉表示完全组 \( \left\{ {{U}_{\lambda } \mid \lambda \in \widehat{G}}\right\} \) ,若 \( f\left( x\right) \) 是 \( G \) 上哈尔可积函数, 做哈尔积分
\[
{\widehat{f}}_{\lambda } = {\int }_{G}f\left( x\right) {U}_{\lambda }\left( {x}^{-1}\right) \mathrm{d}x,
\]
则 \( {\widehat{f}}_{\lambda } \) 是希尔伯特空间 \( V \) 上的有界线性算子,它定义了 \( G \) 的对偶 \( \widehat{G} \) 上的算子值函数 \( \widehat{f} \) ,使 \( \widehat{f} \) 在 \( \lambda \in \widehat{G} \) 点取值为 \( {\widehat{f}}_{\lambda } \) . 这时,称 \( \widehat{f} \) 为 \( f \) 的傅里叶变换,且 \( \widehat{f} \) 与 \( G \) 的不可约酉表示完全组的选取有关.
傅里叶变换的反演 (the inverse of Fourier transform）经典傅里叶变换反演公式的一种推
广. 设 \( f\left( x\right) \) 是欧氏空间 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上有紧支集的 \( {C}^{\infty } \) 函数, 它的傅里叶变换 \( \widehat{f}\left( y\right) \) 有反演公式
\[
f\left( x\right) = {\left( 2\pi \right) }^{-\frac{n}{2}}{\int }_{{\mathrm{R}}^{n}}\widehat{f}\left( y\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x \cdot y}\mathrm{\;d}y.
\]
紧李群上光滑函数 \( f\left( x\right) \) 的傅里叶展开也有反演公式
\[
f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{\lambda \in \widehat{G}}}{d}_{\lambda }\operatorname{tr}\left( {{\widehat{f}}_{\lambda }U\left( x\right) }\right) .
\]
这两个反演公式可统一表达成
\[
f\left( x\right) = {\int }_{\widehat{G}}\operatorname{tr}\left( {{\widehat{f}}_{\lambda }\left( {{U}_{\lambda }\left( x\right) }\right) \mathrm{d}\mu \left( \lambda \right) ,}\right.
\]
其中当 \( G \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 时, \( \widehat{G} \) 也是 \( {\mathrm{R}}^{n},\mathrm{\;d}\mu = {\left( 2\pi \right) }^{-\frac{n}{2}}\mathrm{\;d}y \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的勒贝格测度; 当 \( G \) 是紧李群时, \( \widehat{G} \) 是可列离散集, \( \widehat{G} \) 的测度 \( \mu \) 适合 \( \mu \left( \lambda \right) = {d}_{\lambda }\left( {\lambda \in \widehat{G}}\right) \) .
一个自然的想法是, 上面的反演公式应对于非紧、半单、连通、具有有限中心的李群 \( G \) 也适用. 使上面的反演公式对 \( G \) 上有紧支集的光滑函数成立的 \( \widehat{G} \) 上的测度,称为普朗歇尔测度. 哈里什・钱德拉 (Harish-Chandra) 证明了,若 \( G \) 是非紧连通且有有限中心的半单李群,使得上式成立的 \( \widehat{G} \) 上的普朗歇尔测度是存在的.
另一方面, 上式等价于
\[
f\left( e\right) = {\int }_{\widehat{G}}\operatorname{tr}\left( {\widehat{f}}_{\lambda }\right) \mathrm{d}\mu \left( \lambda \right)
\]
对所有 \( G \) 上有紧支集的 \( {C}^{\infty } \) 函数 \( f \) 成立. 通常称这个等式为普朗歇尔公式. 它不但包含了上述反演公式, 且包含了经典的普朗歇尔定理的推广
\[
\parallel f{\parallel }_{2}^{2} = {\int }_{\widehat{G}}\operatorname{tr}\left( {{\widehat{f}}_{\lambda }{\widehat{f}}_{\lambda }^{ * }}\right) \mathrm{d}\mu \left( \lambda \right) .
\]
普朗歇尔定理 (Plancherel theorem) 见 “傅里叶变换的反演”.
局部域 (local field) 一类特殊的阿贝尔群和局部紧空间. 局部紧域 \( K \) 是指这样的域,它在其加法运算 “十”之下成为阿贝尔群 \( {K}^{ + } \) ,加法单位元记为 0 ; 同时,在其乘法运算 “-” 之下, \( {K}^{ * } = K \smallsetminus \{ 0\} \) 也成为阿贝尔群,且 \( K \) 在其拓扑结构之下成为局部紧空间,并使映射 \( \left( {x, y}\right) \rightarrow x - y \) 与 \( \left( {x, y}\right) \rightarrow x \cdot {y}^{-1} \) 连续. 若局部紧域 \( K \) 是连通的,则它是实数域 \( \mathrm{R} \) 或复数域 \( \mathrm{C} \) ; 若 \( K \) 不连通,则它全不连通. 通常把非平凡的、非离散的全不连通的局部紧域称为局部域.
\( \mathbf{p} \) 级数域 ( \( p \) -series field) 一类特殊的局部域. 设局部域 \( K \) 的特征数为 \( \kappa \) ,当 \( \kappa \) 为有限数时, \( K \) 是伽罗瓦域 \( \operatorname{GF}\left( {p}^{c}\right) \) 上的 \( p \) 级数域 \( \left( {c = 1}\right) \) ,或是 \( p \) 级数域的有限次代数扩张 \( \left( {c > 1}\right) \) ; 当 \( \kappa \) 为 \( \infty \) 时, \( K \) 是伽罗瓦域 \( \operatorname{GF}\left( {p}^{c}\right) \) 上的 \( p \) 进数域 \( \left( {c = 1}\right) \) ,或是 \( p \) 进数的有限次代数扩张; 这里 \( p \) 为素数. \( p \) 级数域是 \( \mathrm{{GF}}\left( p\right) \) 上的形式幂级数域,亦即其元 \( x \) 可写为
\[
x = \mathop{\sum }\limits_{{l = k}}^{\infty }{c}_{l}{\beta }^{l}\;\left( {{c}_{l} \in \mathrm{{GF}}\left( p\right), k \in \mathbf{Z}}\right) ,
\]
(1)
\( x + y \) 与 \( {xy} \) 都是按位进行模 \( p \) 运算的 (不进位). \( p \) 进数域中的模 \( p \) 的元 \( x \) 也是 (1) 表示,只是 \( x + y \) 与 \( {xy} \) 是按位进行模 \( p \) 运算且自左向右进位. (1) 中的 \( p \in K \) 是 \( K \) 的生成元.
\( \mathbf{p} \) 进数域 ( \( p \) -adic number field) 见 “ \( p \) 级数域”.
非阿基米德赋值 (non-archimedian norm) 局部域上的一种特殊映射. 局部域 \( K \) 可以赋予非阿基米德范数 \( \left| \cdot \right| \) ,使 \( K \) 成为一个赋值域. 若对 \( x, y \in K \) 满足:
\[
\text{1.}\left| x\right| = 0 \Leftrightarrow x = 0\text{;}
\]
\[
\text{2.}\left| {xy}\right| = \left| x\right| \left| y\right| \text{;}
\]
\[
\text{3.}\left| {x + y}\right| \leq \max \left( {\left| x\right| ,\left| y\right| }\right) \text{;}
\]
则称映射 \( x \rightarrow \left| x\right| \) 为 \( K \) 上的非阿基米德赋值 (范数). \( K \) 的非阿基米德范数的值域是数集
\[
\left\{ {{q}^{k} \mid k \in \mathbf{Z}}\right\} \cup \{ 0\} ,
\]
其中 \( q = {p}^{c}, p \) 为素数, \( c \in \mathrm{N}.K \) 的非 0 元 \( \beta \) 满足 \( \left| \beta \right| \) \( = {q}^{-1} \cdot K \) 的子集
\[
{\mathcal{B}}^{k} = \left\{ {x \in K\left| \right| x \mid \leq {q}^{-k}}\right\} \;\left( {k \in \mathbf{Z}}\right) ,
\]
\[
\mathcal{D} = \{ x \in K\left| \right| x \mid \leq 1\} = {\mathcal{B}}^{0},
\]
\[
{\mathcal |
2000_数学辞海（第3卷） | 153 | \in K \) 是 \( K \) 的生成元.
\( \mathbf{p} \) 进数域 ( \( p \) -adic number field) 见 “ \( p \) 级数域”.
非阿基米德赋值 (non-archimedian norm) 局部域上的一种特殊映射. 局部域 \( K \) 可以赋予非阿基米德范数 \( \left| \cdot \right| \) ,使 \( K \) 成为一个赋值域. 若对 \( x, y \in K \) 满足:
\[
\text{1.}\left| x\right| = 0 \Leftrightarrow x = 0\text{;}
\]
\[
\text{2.}\left| {xy}\right| = \left| x\right| \left| y\right| \text{;}
\]
\[
\text{3.}\left| {x + y}\right| \leq \max \left( {\left| x\right| ,\left| y\right| }\right) \text{;}
\]
则称映射 \( x \rightarrow \left| x\right| \) 为 \( K \) 上的非阿基米德赋值 (范数). \( K \) 的非阿基米德范数的值域是数集
\[
\left\{ {{q}^{k} \mid k \in \mathbf{Z}}\right\} \cup \{ 0\} ,
\]
其中 \( q = {p}^{c}, p \) 为素数, \( c \in \mathrm{N}.K \) 的非 0 元 \( \beta \) 满足 \( \left| \beta \right| \) \( = {q}^{-1} \cdot K \) 的子集
\[
{\mathcal{B}}^{k} = \left\{ {x \in K\left| \right| x \mid \leq {q}^{-k}}\right\} \;\left( {k \in \mathbf{Z}}\right) ,
\]
\[
\mathcal{D} = \{ x \in K\left| \right| x \mid \leq 1\} = {\mathcal{B}}^{0},
\]
\[
{\mathcal{D}}^{ * } = \{ x \in K\left| \right| x \mid = 1\}
\]
分别称为 \( K \) 的分数理想、整环与 \( {K}^{ * } \) 的单位群.
特征(character) 经典特征函数在局部域上的一种推广. 局部域 \( K \) 的加群 \( {K}^{ + } \) 的特征 \( \chi \) 是 \( K \) 到复数域 \( \mathrm{C} \) 的子群 \( T = \left\{ {{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}a} \mid \alpha \in \lbrack 0,1)}\right\} \) 上的连续函数, 满足 \( \chi \left( {x + y}\right) = \chi \left( x\right) \chi \left( y\right) ,\left| {\chi \left( x\right) }\right| = 1\left( {\forall x, y \in K}\right) \) . 记 \( {K}^{ + } \) 上的特征的全体为 \( {\widehat{K}}^{ + } \) ,据对偶理论, \( {\widehat{K}}^{ + } \) 也是一个局部紧群,且 \( {\widehat{K}}^{ + } \cong {K}^{ + } \) (拓扑同构).
\( {\mathcal{B}}^{k} \) 的零化子定义为
\[
{\Gamma }_{k} = \left\{ {\chi \in {\widehat{K}}^{ + } \mid \chi \left( x\right) = 1,\forall x \in {\mathcal{B}}^{k}}\right\} \;\left( {k \in \mathbf{Z}}\right) ,
\]
则有 \( {\Gamma }_{k} \cong {\mathcal{B}}^{-k}\left( {k \in \mathbf{Z}}\right) \) ,且成立
\[
{\mathcal{B}}^{k + 1} \subset {\mathcal{B}}^{k};\mathop{\bigcup }\limits_{{k \in \mathbf{Z}}}{\mathcal{B}}^{k} = K,\mathop{\bigcap }\limits_{{k \in \mathbf{Z}}}{\mathcal{B}}^{k} = \{ 0\} .
\]
\[
{\Gamma }_{k + 1} \supset {\Gamma }_{k};\mathop{\bigcup }\limits_{{k \in Z}}{\Gamma }_{k} = {\widehat{K}}^{ + },\mathop{\bigcap }\limits_{{k \in Z}}{\Gamma }_{k} = \{ 1\} .
\]
\( \left\{ {\mathcal{B}}^{k}\right\} \) 与 \( \left\{ {\Gamma }_{k}\right\} \) 分别为 \( K \) 与 \( {\widehat{K}}^{ + } \) 中既开又闭的子集系, 成为 \( K \) 与 \( {\widehat{K}}^{ + } \) 中单位元的基. \( {K}^{ * } \) 的特征可类似定义.
特征群 (character group) 特征的全体构成的群 (参见“特征”).
局部域上的傅里叶级数 (Fourier series on local fields) 经典傅里叶级数在局部域上的一种推广. 取局部域 \( K \) 中的整环 \( \mathcal{D} \) 与 \( \mathcal{D} \) 中的素理想 \( \mathcal{B} \) \( = {\mathcal{B}}^{1} \) ,则 \( \mathcal{D}/\mathcal{B} \cong \mathrm{{GF}}\left( q\right) = \mathrm{{GF}}\left( {p}^{c}\right), p \) 为素数, \( c \in \mathrm{N} \) . \( \mathcal{D} \) 上的特征是 \( {\widehat{K}}^{ + } \) 中的元在 \( \mathcal{D} \) 上的限制. 取 \( \mathcal{D} \) 在 \( {K}^{ + } \) 中的陪集代表元的完全集 \( \{ u\left( n\right) {\} }_{n = 0}^{\infty } \) ,其次序是按 \( K \) 上的一种自然序排列,并记相应的特征为 \( {\chi }_{n} \) , 则 \( f \in {L}^{1}\left( \mathcal{D}\right) \) 的傅里叶级数定义为
\[
f\left( x\right) \sim \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{c}_{n}{\chi }_{n}\left( x\right) ,{c}_{n} = {\int }_{\mathcal{D}}f\left( x\right) {\bar{\chi }}_{n}\left( x\right) \mathrm{d}x,
\]
这里 \( \mathrm{d}x \) 是 \( K \) 中的哈尔积分,满足 \( \mathrm{d}\left( {\alpha x}\right) = \left| \alpha \right| \mathrm{d}x \) \( \left( {\forall \alpha \in K}\right) ,{\bar{\chi }}_{n}\left( x\right) \) 是 \( {\chi }_{n}\left( x\right) \) 的复共轭.
\( \mathcal{D} \) 上的傅里叶级数的性质与 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 情形相似,例如, 有黎曼-勒贝格引理、帕塞瓦尔定理、惟一性定理、收敛定理等. 但也有不同之处,例如,对 \( f \) \( \in {L}^{1}\left( \mathcal{D}\right) \) ,级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{c}_{n}{\chi }_{n}\left( x\right)
\]
几乎处处收敛于 \( f\left( x\right) \) ,这与经典情形不同. 此外,关于狄利克雷核、费耶尔核、阿贝尔-泊松核、乘积型核等都有新成果.
局部域上的检验函数空间 (test function class on local field) 经典检验函数空间在局部域上的推广. 设 \( K \) 是局部域,记 \( \mathcal{S} \) 为满足如下条件的函数 \( \varphi : K \rightarrow \mathrm{C} \) 的全体,存在整数对 \( \left( {k, l}\right) \in \mathbf{Z} \times \mathbf{Z} \) ,使 \( \varphi \) 在 \( {\mathcal{B}}^{k} \) 的每个陪集上取常数,而且 \( \varphi \) 的支集 \( \operatorname{supp}\varphi \) 含在 \( {\mathcal{B}}^{l} \) 中. 赋于 \( \mathcal{S} \) 如下拓扑: 定义 \( \mathcal{S} \) 中的序列 \( \left\{ {\varphi }_{n}\right\} \) 为零集, 若它满足:
1. 存在固定的整数对 \( \left( {k, l}\right) \) ,适用于每个 \( {\varphi }_{n} \) .
2. \( \left\{ {\varphi }_{n}\right\} \) 在 \( K \) 上一致趋于 0 . 这样的拓扑使 \( \mathcal{S} \) 成为一个拓扑线性空间,称之为 \( K \) 的检验函数空间.
\( \mathcal{S} \) 是完备的、可分的拓扑线性空间,它在 \( {L}^{r}\left( K\right) \left( {1 \leq r < + \infty }\right) \) 与 \( {C}_{0}\left( K\right) \) 中稠密,这里 \( {L}^{r}\left( K\right) \) 为 \( K \) 上的 \( r \) 幂哈尔可积函数空间, \( {C}_{0}\left( K\right) \) 为 \( K \) 上的有紧支集的连续函数的全体.
局部域上的分布 (distribution on local fields) 经典分布在局部域上的推广. 局部域 \( K \) 的检验函数空间 \( \mathcal{S} \) 上的连续线性泛函的全体,记为 \( {\mathcal{S}}^{\prime } \) ,赋于弱 * 拓扑,则 \( {\mathcal{S}}^{\prime } \) 成为一个拓扑线性空间,称为 \( K \) 上的分布空间. \( {\mathcal{S}}^{\prime } \) 中的元称为分布或广义函数. \( f \) \( \in {\mathcal{S}}^{\prime } \) 对 \( \varphi \in \mathcal{S} \) 的作用记为 \( \langle f,\varphi \rangle \) .
对于分布 \( f \in {\mathcal{S}}^{\prime } \) ,它的反射 \( \widetilde{f} \) 与平移 \( {\tau }_{h}f \) 分别定义为满足如下关系的分布:
\[
\langle \widehat{f},\varphi \rangle = \langle f,\bar{\varphi }\rangle \;\left( {\forall \varphi \in \mathcal{S}}\right) ;
\]
\[
\left\langle {{\tau }_{h}f,\varphi }\right\rangle = \left\langle {f,{\tau }_{-h}\varphi }\right\rangle \;\left( {h \in K,\forall \varphi \in \mathcal{S}}\right) .
\]
这里 \( \bar{\varphi }\left( x\right) = \varphi \left( {-x}\right) ,{\tau }_{h}\varphi \left( x\right) = \varphi \left( {x - h}\right) \) ,分别是函数 \( \varphi \) 的反射与平移.
局部域上的分布空间 (distribution space on local fields) 见“局部域上的分布”.
局部域上的傅里叶变换 (Fourier transform on local fields) 经典傅里叶变换在局部域上的一种推广. 由于 \( {\widehat{K}}^{ + } \cong K \) ,故 \( {\widehat{K}}^{ + } \) 中的元可记为 \( {\chi }_{\zeta }\left( {\zeta \in K}\right) \) . 设 \( {L}^{r}\left( K\right) \) 为 \( K \) 上的 \( r\left( {1 \leq r < + \infty }\right) \) 幂哈尔可积函数空间. 可得:
1. 若 \( f \in {L}^{1}\left( K\right) \) ,则 \( f \) 的傅里叶变换定义为
\[
\widehat{f}\left( \zeta \right) = {\int }_{K}f\left( x\right) {\bar{\chi }}_{\zeta }\left( x\right) \mathrm{d}x\;\left( {\zeta \in K}\right) .
\]
2. 若 \( f \in {L}^{2}\left( K\right) \) ,则 \( f \) 的傅里叶变换定义为
\[
f\left( \zeta \right) = \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow + \infty }}{\int }_{\left| x\right| \leq {q}^{k}}f\left( x\right) {\bar{\chi }}_{\zeta }\left( x\right) \mathrm{d}x\left( {\zeta \in K}\right) .
\]
3. 若 \( f \in {L}^{r}\left( K\right) \left( {1 \leq r \leq 2}\right) \) ,则写 \( f = {f}_{1} + {f}_{2},{f}_{1} \) \( \in {L}^{1}\left( K\right) ,{f}_{2} \in {L}^{2}\left( K\right), f \) 的傅里叶变换定义为 (与分解式无关 \( )\widehat{f}\left( \zeta \right) = {\widehat{f}}_{1}\left( \zeta \right) + {\widehat{f}}_{2}\left( \zeta \right) \) .
4. 若 \( f \in {\mathcal{S}}^{\prime } \) ,则 \( f \) 的傅里叶变换定义为满足 \( \langle \widehat{f},\varphi \rangle = \langle f,\widehat{\varphi }\rangle \left( {\forall \varphi \in \mathcal{S}}\right) \) 的分布 \( \widehat{f} \) .
傅里叶变换是 \( \mathcal{S} \) 到自身的同胚,也是 \( {\mathcal{S}}^{\prime } \) 到 \( {\mathcal{S}}^{\prime } \) 上的同胚. 局部域上的傅里叶变换与 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 情形的傅里叶变换有一些类似的性质, 但也有许多不同之处. 例如, 对局部域而言, 有紧支集的函数的傅里叶变换仍可有紧支集, 而在经典情形却不可能.
局部域上的泊松型核 (kernel of Poisson type on local fields) 经典泊松核在局部域上的一种推广. 设 \( {\Phi }_{k} \) 为 \( {\mathcal{B}}^{k} \) 的特征函数, \( k \in \mathbf{Z} \) . 记 \( R\left( {x, k}\right) = \) \( {q}^{-k}{\Phi }_{k}\left( x\right) \) . 称 \( R\left( {x, k}\right) \) 为局部域 \( K \) 上的泊松型核,它有如下性质: 对 \( x \in K, k,{k}_{1},{k}_{2} \in Z \) ,
\[
\text{1.}R\left( {x, k}\right) = \left| {\beta }^{k}\right| R\left( {x{\beta }^{k},0}\right) \text{.}
\]
2. \( R\left( {x, k}\right) \geq 0 \) .
3. \( {\int }_{K}R\left( {x, k}\right) \mathrm{d}x = 1 \) .
4. \( R\left( {x, k}\right) = R\left( {\left| x\right|, k}\right) \) .
5. \( R\left( {\cdot ,{k}_{1}}\right) * R\left( {\cdot ,{k}_{2}}\right) = R\left( {\cdot ,{k}_{1} \vee {k}_{2}}\right) \) ,其中 \( {k}_{1} \vee {k}_{2} = \max \left( {{k}_{1},{k}_{2}}\right) \) .
6. \( R\left( {x, k}\right) \) 具有任意阶 \( p \) 型导数.
局部域上的特征的分歧性质 (ramified property of characters on local fields) 局部域上特征的一个重要性质. 记局部域 \( K \) 的乘法群 \( {K}^{ * } \) 的特征群为 \( {\widehat{K}}^{ * },{\widehat{K}}^{ * } = \left\{ {\pi \mid {K}^{ * } \rightarrow \mathrm{C},\pi }\right. \) 连续, \( \pi \left( {xy}\right) = \pi \left( x\right) \pi \left( y\right) \) , \( \left| {\pi \left( x\right) }\right| = 1\} \) . 设 \( {A}_{0} = \{ x \in K\left| \right| x \mid = 1\} ,{A}_{k} = {\beta }^{0} + {\mathcal{B}}^{k} \) \( = 1 + {\mathcal{B}}^{k}\left( {k \in \mathrm{N}}\right) ,\forall \pi \in {\widehat{K}}^{ * } \) 具有性质: 存在 \( k \in \mathrm{N} \) ,使得 \( {\left. \pi \left( x\right) \right| }_{{A}_{k}} = 1 \) . 据此定义: 若对所有 \( x \in {A}_{0} \) 都有 \( \pi \left( x\right) = 1 \) ,则称 \( \pi \) 是不分歧的; 否则称 \( \pi \) 是分歧的. 当 \( \pi \in {\widehat{K}}^{ * } \) 是分歧特征时,称使 \( \pi \) 在 \( {A}_{k} \) 上恒为 1 的最小整数 \( k \) 为 \( \pi \) 的分歧阶,记为 \( \deg \left( \pi \right) \) . 不分歧特征的阶为 0 .
\( {K}^{ + } \) 的特征也有类似的性质.
\( {K}^{ * } \) 上的梅林变换 (Mellin transform on \( {K}^{ * } \) )
经典格林变换的推广. \( {K}^{ * } \) 上的傅里叶变换称为梅林变换,记为 \( \mathcal{M}f\left( \pi \right) \) . 具体地说,对于 \( f \in {L}^{1}\left( {K}^{ * }\right) ,\pi \) \( \in {\widehat{K}}^{ * } \) ,
\[
\mathcal{M}f\left( \pi \right) = {\int }_{{K}^{ * }}f\left( x\right) \pi \left( x\right) \frac{\mathrm{d}x}{\left| x\right| }.
\]
逆梅林变换定义为: 对于 \( g \in {L}^{1}\left( {\widehat{K}}^{ * }\right), x \in {K}^{ * } \) ,
\[
{\mathcal{M}}^{-1}g\left( x\right) = {\int }_{{\widehat{K}}^{ * }}g\left( \pi \right) {\pi }^{-1}\left( x\right) \mathrm{d}\pi .
\]
\( {K}^{ * } \) 上的检验函数空间 \( {\mathcal{S}}^{ * } \) 是如下的 \( {K}^{ * } \) 上的函数 \( \varphi \) 的全体: \( \forall \varphi \in {\mathcal{S}}^{ * } \) ,存在正整数对 \( \left( {m, n}\right) \in \) \( \mathrm{N} \times \mathrm{N} \) ,使 \( \varphi \) 在 \( {A}_{m} \) 的每个陪集上为常数,而其支集 \( \operatornam |
2000_数学辞海（第3卷） | 154 | \( {A}_{k} \) 上恒为 1 的最小整数 \( k \) 为 \( \pi \) 的分歧阶,记为 \( \deg \left( \pi \right) \) . 不分歧特征的阶为 0 .
\( {K}^{ + } \) 的特征也有类似的性质.
\( {K}^{ * } \) 上的梅林变换 (Mellin transform on \( {K}^{ * } \) )
经典格林变换的推广. \( {K}^{ * } \) 上的傅里叶变换称为梅林变换,记为 \( \mathcal{M}f\left( \pi \right) \) . 具体地说,对于 \( f \in {L}^{1}\left( {K}^{ * }\right) ,\pi \) \( \in {\widehat{K}}^{ * } \) ,
\[
\mathcal{M}f\left( \pi \right) = {\int }_{{K}^{ * }}f\left( x\right) \pi \left( x\right) \frac{\mathrm{d}x}{\left| x\right| }.
\]
逆梅林变换定义为: 对于 \( g \in {L}^{1}\left( {\widehat{K}}^{ * }\right), x \in {K}^{ * } \) ,
\[
{\mathcal{M}}^{-1}g\left( x\right) = {\int }_{{\widehat{K}}^{ * }}g\left( \pi \right) {\pi }^{-1}\left( x\right) \mathrm{d}\pi .
\]
\( {K}^{ * } \) 上的检验函数空间 \( {\mathcal{S}}^{ * } \) 是如下的 \( {K}^{ * } \) 上的函数 \( \varphi \) 的全体: \( \forall \varphi \in {\mathcal{S}}^{ * } \) ,存在正整数对 \( \left( {m, n}\right) \in \) \( \mathrm{N} \times \mathrm{N} \) ,使 \( \varphi \) 在 \( {A}_{m} \) 的每个陪集上为常数,而其支集 \( \operatorname{supp}\varphi \) 含在集 \( \left\{ {x \in K\left| {{q}^{-n} \leq }\right| x \mid \leq {q}^{n}}\right\} \) 中. 记 \( {\mathcal{S}}^{ * } \) 的分布空间为 \( {\mathcal{S}}^{\prime } \) ,可类似地定义 \( {\mathcal{S}}^{\prime } \) 与 \( {\mathcal{S}}^{\prime } \) 上的梅林变换及逆变换.
梅林定理: \( \mathcal{M} \) 是 \( {\mathcal{S}}^{{ * }^{\prime }} \) 到 \( {\mathcal{S}}^{{ * }^{\prime }} \) 上的同胚 (当然也是 \( {\mathcal{S}}^{ * } \) 到 \( {\widehat{\mathcal{S}}}^{ * } \) 上的同胚); 逆变换 \( {\mathcal{M}}^{-1} \) 是 \( {\widehat{\mathcal{S}}}^{{ * }^{\prime }} \) 到 \( {\mathcal{S}}^{{ * }^{\prime }} \) 上的同胚 (也是 \( {\widehat{\mathcal{S}}}^{ * } \) 到 \( {\mathcal{S}}^{ * } \) 上的同胚).
\( {K}^{ * } \) 上的逆梅林变换 (inverse Mellin transform on \( {K}^{ * } \) ) 见 “ \( {K}^{ * } \) 上的梅林变换”.
局部域上的 \( \Gamma \) 函数 (Gamma function on local fields) 经典 \( \Gamma \) 函数在局部域上的一种推广. 设 \( \pi \) \( \in {\widehat{K}}^{ * } \) ,则 \( \pi \left( x\right) = \pi \left( {x}^{\prime }\right) {\left| x\right| }^{\mathrm{i}\alpha } \) ,其中 \( \left| {x}^{\prime }\right| = 1 \) ,
\[
\frac{-\rho }{\ln q} < \alpha \leq \frac{\rho }{\ln q}
\]
\( \rho = {3.14159}\cdots \cdots \) 为圆周率.
局部域 \( K \) 上的 \( \Gamma \) 函数定义为
1. 若 \( \pi \) 是分歧特征,则对 \( \chi \in {\widehat{K}}^{ + } \) ,
\[
\Gamma \left( \pi \right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{{q}^{-n} \leq \left| x\right| \leq {q}^{n}}\bar{\chi }\left( x\right) \pi \left( x\right) \frac{\mathrm{d}x}{\left| x\right| }.
\]
2. 若 \( \pi \) 是不分歧的,则对 \( \chi \in {\widehat{K}}^{ + } \) ,
\[
\Gamma \left( \pi \right) = \left\{ \begin{array}{ll} \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{{q}^{-n} \leq \left| x\right| \leq {q}^{n}}\bar{\chi }\left( x\right) {\left| x\right| }^{\alpha - 1}\mathrm{\;d}x & \left( {\operatorname{Re}\alpha > 0}\right) \\ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n + 1}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{\int }_{{q}^{-n} \leq \left| x\right| \leq {q}^{n}}\bar{\chi }\left( x\right) {\left| x\right| }^{\alpha - 1}\mathrm{\;d}x & \left( {\operatorname{Re}\alpha = 0,\alpha = 0}\right) , \\ \Gamma \left( {\left| x\right| }^{\alpha }\right) \; & \left( {\operatorname{Re}\alpha < 0}\right) . \end{array}\right.
\]
\( B \) 函数定义为:
\[
B\left( {\pi ,\lambda }\right) = \frac{\Gamma \left( \pi \right) \Gamma \left( \lambda \right) }{\Gamma \left( {\pi \lambda }\right) },
\]
\[
\pi \left( x\right) = \pi \left( {x}^{\prime }\right) {\left| x\right| }^{\mathrm{i}\alpha },\lambda \left( x\right) = \lambda \left( {x}^{\prime }\right) {\left| x\right| }^{\mathrm{i}\alpha }.
\]
局部域上的 \( \mathbf{B} \) 函数 (Beta function on local field) 见“局部域上的 \( \Gamma \) 函数”.
里斯分数次积分 (Riesz fractional integration) 经典里斯分数次积分的一种推广. 称
\[
{I}^{\alpha }f\left( x\right) = \frac{1}{{\Gamma }_{n}\left( \alpha \right) }{\int }_{{K}^{n}}f\left( z\right) {\left| x - z\right| }^{\alpha - n}\mathrm{\;d}z
\]
为 \( f \) 的里斯分数次积分,这里 \( {K}^{n} = K \times K \times \cdots \times K \) 为 \( n \) 维局部域. \( {\Gamma }_{n}\left( \alpha \right) \) 为 \( n \) 维 \( \Gamma \) 函数. 当
\[
f \in {L}^{r}\left( {K}^{n}\right) \left( {1 < r < + \infty }\right) ,\operatorname{Re}\alpha > 0
\]
且
\[
\frac{1}{r} - \frac{\operatorname{Re}\alpha }{n} > 0
\]
时,有 \( {\left( {I}^{a}f\right) }^{ \frown } = {\left| x\right| }^{-a}{f}^{ \frown } \) (在分布意义下). 对于 \( 0 < \) \( \operatorname{Re}\alpha ,\operatorname{Re}\beta ,\operatorname{Re}\left( {\alpha + \beta }\right) < n \) ,有
\[
{I}^{\alpha }\left( {{I}^{\beta }\varphi }\right) = {I}^{\beta }\left( {{I}^{\alpha }\varphi }\right) = {I}^{\alpha + \beta }\varphi \;\left( {\varphi \in \mathcal{S}}\right) .
\]
称 \( {J}^{\alpha }f \) 为 \( f \in {\mathcal{S}}^{\prime } \) 的贝塞尔位势, \( \alpha \in \mathrm{C} \) ,若
\[
{\left( {J}^{a}f\right) }^{ \frown } = \{ \max \left( {1,\left| x\right| }\right) {\} }^{-a}\widehat{f}.
\]
它具有性质: \( {J}^{\alpha }\left( {{J}^{\beta }f}\right) = {J}^{\alpha + \beta }f \) .
贝塞尔位势 (Bessel potential) 见 “里斯分数次积分”
哈代-李特尔伍德极大函数 (Hardy-Littlewood maximal function) 经典哈代-李特尔伍德极大函数的一种推广. 设 \( f \in {L}_{\text{loc }}\left( K\right) \) ,即 \( f \) 为 \( K \) 上的局部可积函数. 称
\[
{Mf}\left( x\right) = \mathop{\sup }\limits_{{k \in Z}}{q}^{k}{\int }_{\left| {x - z}\right| \leq {q}^{-k}}\left| {f\left( z\right) }\right| \mathrm{d}z
\]
为 \( f \) 的哈代-李特尔伍德极大函数. 哈代-李特尔伍德极大算子 \( M \) 是强 \( \left( {r, r}\right) \left( {1 < r < + \infty }\right) \) 型的与弱 \( \left( {1,1}\right) \) 型的.
称 \( K \) 上的函数 \( m \) 为 \( {L}^{r}\left( K\right) \) 上的乘子,若对每个 \( \varphi \in \mathcal{S} \) ,有
\[
{F}^{-1}{mF\varphi } \in {L}^{r}\left( K\right) \left( {1 \leq r \leq + \infty }\right) ,
\]
且不等式成立
\[
{\begin{Vmatrix}{F}^{-1}mF\varphi \end{Vmatrix}}_{{L}^{r}\left( K\right) } \leq c\parallel \varphi {\parallel }_{{L}^{r}\left( K\right) },
\]
其中 \( F \) 是傅里叶变换. \( K \) 上乘子的一个典型例子是 \( m\left( x\right) = \pi \left( x\right) \left( {\pi \in {\widehat{K}}^{ * }}\right) . \)
乘子 (multiplier) 见 “哈代-李特尔伍德极大函数”.
正则函数 (regular function) 经典正则函数的推广. 定义在 \( K \times Z \) 上的函数 \( f\left( {x, k}\right) \) 称为正则函数,若: \( f\left( {x, k}\right) \) 在 \( {\mathcal{B}}^{k} \) 的每个陪集上取常数值,且
\[
{\int }_{y + {\mathcal{B}}^{-l}}f\left( {x, k}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{y + {\mathcal{B}}^{-l}}f\left( {x, l}\right) \mathrm{d}x
\]
\[
\left( {\forall l \geq k, y \in K}\right) \text{.}
\]
对于 \( f \in {\mathcal{S}}^{\prime } \) ,称 \( f\left( {x, k}\right) = \left( {f * R\left( {\cdot, k}\right) }\right) \left( x\right) \) 为 \( f \) 的正则化,其中 \( R\left( {x, k}\right) = {q}^{-k}{\Phi }_{k}\left( x\right) \) . 任意一个 \( f \in {\mathcal{S}}^{\prime } \) 的正则化是一个正则函数. 反之, 任意一个正则函数必是某个分布 \( f \in {\mathcal{S}}^{\prime } \) 的正则化.
正则化 (regularization) 见“正则函数”.
维纳型覆盖引理 (covering lemma of Wiener type) 局部域上的一个覆盖引理. 局部域 \( K \) 有一个与 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 迥然不同的性质: \( K \) 中任意两个球 \( S \) 与 \( T \) 只可能有以下两种不同的相对位置, 即:
1. \( S \cap T = \varnothing \) .
2. \( S \subset T \) 或 \( T \subset S \) .
据此可以证明维纳型覆盖引理: 设 \( E \subset K \) 是 \( K \) 的哈尔可测子集,且 \( \left| E\right| < + \infty ,{\left\{ {S}_{a}\right\} }_{a \in I} \) 是 \( E \) 的球覆盖族,则对任意 \( \lambda \in \left( {0,1}\right) \) ,恒存在两两不相交的球族 \( {\left\{ {S}_{{a}_{k}}\right\} }_{k = 1}^{N},{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{N} \in I \) ,满足
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}\left| {S}_{{a}_{k}}\right| > \lambda \left| E\right|
\]
考尔德伦-赞格蒙型分解 (decomposition of Calderón-Zygmund type）经典考尔德伦-赞格蒙型分解的推广. 设 \( f \in {L}^{1}\left( {K}^{n}\right), f\left( x\right) \geq 0 \) ,则对于任意 \( \lambda > 0 \) ,存在互不相交的可数球列 \( {\left\{ {Q}_{k}\right\} }_{k = 1}^{\infty } \) 与 \( f \) 的分解 \( f = {f}_{1} + {f}_{2} \) ,满足以下诸条件:
1. \( \left| {D}_{\lambda }\right| \leq \frac{\parallel f{\parallel }_{1}}{\lambda } \) ,其中 \( {D}_{\lambda } = \mathop{\bigcup }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{Q}_{k} \) .
2. 对于 \( x \notin {D}_{\lambda } \) ,有 \( \left| {f\left( x\right) }\right| \leq \lambda \), a. e. .
3. 对于 \( x \in {D}_{\lambda } \) ,有 \( \left| {{f}_{2}\left( x\right) }\right| \leq {q}^{n}\lambda \), a. e. .
4. 对于 \( x \notin {D}_{\lambda } \) ,有 \( {f}_{2}\left( x\right) = f\left( x\right) \) .
5. \( {\int }_{{Q}_{k}}{f}_{1}\left( x\right) \mathrm{d}x = 0\left( {k \in \mathbf{N}}\right) \) .
函数 \( f \) 的这种分解称为考尔德伦-赞格蒙型分解. 它在研究算子时起着基本的作用.
局部域上的希尔伯特变换 (Hilbert transform on local fields) 经典希尔伯特变换在局部域上的推广. 令 \( {Q}^{l}\left( x\right) = {c}_{l}{\pi }^{l}\left( x\right) {\left| x\right| }^{-n}\left( {x \in {K}^{n}}\right) \) ,常数 \( {c}_{l} \) 为
\[
{c}_{l} = {\left\{ \mathrm{P}.\mathrm{V}.{\int }_{{K}^{n}}\frac{{\pi }^{l}\left( y\right) }{{\left| y\right| }^{n}}\bar{\chi }\left( y\right) \mathrm{d}y\right\} }^{-1}
\]
\[
\left( {l \in \left\{ {1,\cdots ,{q}^{n} - 1}\right\} }\right) \text{.}
\]
记 \( {Q}^{l}\left( x\right) \) 的正则化为 \( {Q}^{l}\left( {x, k}\right) = {Q}^{l} * R\left( {\cdot, k}\right) \left( x\right) \) , 则称
\[
{T}^{l}f = \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}f * {Q}^{l}\left( {\cdot, k}\right) \;\left( {l \in \left\{ {1,\cdots ,{q}^{n} - 1}\right\} }\right)
\]
为 \( f \) 的希尔伯特变换. 它是 \( \left( {r, r}\right) \left( {1 < r < + \infty }\right) \) 型的,也是弱 \( \left( {1,1}\right) \) 型的. 主要性质有:
1. 若 \( f \in \operatorname{Lip}\left( {\alpha ;{L}^{r}}\right) \left( {0 < \alpha < 1,1 \leq r < + \infty }\right) \) ,则 \( {T}^{l}f \in \operatorname{Lip}\left( {\alpha ;{L}^{r}}\right) \) .
2. 若 \( f \in {H}^{1} \) ,则 \( f \in \operatorname{Lip}\left( {\alpha ;{L}^{r}}\right) \Leftrightarrow {T}^{l}f \in \operatorname{Lip}(\alpha \) ; \( {L}^{r})\left( {0 < \alpha < 1,1 \leq r < + \infty }\right) \) . 这里 \( {H}^{1} \) 是局部域上的哈代空间.
\( {L}_{\alpha }^{r} \) 空间 \( \left( {{L}_{\alpha }^{r}\text{spaces }}\right) \) 对于 \( \alpha \in \mathrm{C},1 \leq r < + \infty \) , 称 \( {L}_{a}^{r} = \left\{ {f \mid K \rightarrow \mathrm{C}, f = {J}^{a}g, g \in {L}^{r}}\right\} \) 为 \( K \) 上的 \( {L}_{a}^{r} \) 空间,这里 \( {J}^{a} \) 为贝塞尔位势,赋于范数 \( \parallel f{\parallel }_{{L}_{a}^{r}} \) \( = {\begin{Vmatrix}{J}^{-\alpha }f\end{Vmatrix}}_{{L}^{r}} \) ,则 \( {L}_{\alpha }^{r} \) 成为一个巴拿赫空间. 当 \( \operatorname{Re}\alpha \) \( > 0 \) 时, \( {L}_{\alpha |
2000_数学辞海（第3卷） | 155 | }\right) \) 型的,也是弱 \( \left( {1,1}\right) \) 型的. 主要性质有:
1. 若 \( f \in \operatorname{Lip}\left( {\alpha ;{L}^{r}}\right) \left( {0 < \alpha < 1,1 \leq r < + \infty }\right) \) ,则 \( {T}^{l}f \in \operatorname{Lip}\left( {\alpha ;{L}^{r}}\right) \) .
2. 若 \( f \in {H}^{1} \) ,则 \( f \in \operatorname{Lip}\left( {\alpha ;{L}^{r}}\right) \Leftrightarrow {T}^{l}f \in \operatorname{Lip}(\alpha \) ; \( {L}^{r})\left( {0 < \alpha < 1,1 \leq r < + \infty }\right) \) . 这里 \( {H}^{1} \) 是局部域上的哈代空间.
\( {L}_{\alpha }^{r} \) 空间 \( \left( {{L}_{\alpha }^{r}\text{spaces }}\right) \) 对于 \( \alpha \in \mathrm{C},1 \leq r < + \infty \) , 称 \( {L}_{a}^{r} = \left\{ {f \mid K \rightarrow \mathrm{C}, f = {J}^{a}g, g \in {L}^{r}}\right\} \) 为 \( K \) 上的 \( {L}_{a}^{r} \) 空间,这里 \( {J}^{a} \) 为贝塞尔位势,赋于范数 \( \parallel f{\parallel }_{{L}_{a}^{r}} \) \( = {\begin{Vmatrix}{J}^{-\alpha }f\end{Vmatrix}}_{{L}^{r}} \) ,则 \( {L}_{\alpha }^{r} \) 成为一个巴拿赫空间. 当 \( \operatorname{Re}\alpha \) \( > 0 \) 时, \( {L}_{\alpha }^{r} \) 有一个等价表示:
\[
f \in {L}_{a}^{r} \Leftrightarrow f \in {L}^{r},{I}^{-a}f \in {L}^{r},
\]
这里 \( {I}^{-a} \) 是里斯分数次积分.
关于局部域 \( K \) 上的别索夫空间,它与正则函数空间、原子分解空间、平均振荡空间的关系可参阅有关文献.
别索夫空间 (Besov spaces) 见 “ \( {L}_{a}^{r} \) 空间”.
局部域上函数的导数 (derivatives of functions defined on local fields) 经典导数的推广. 设 \( f : K \) \( \rightarrow \mathrm{C} \) 为 \( K \) 上的复值哈尔可测函数. 对 \( x \in K \) ,令 \( {\Delta }_{N}f\left( x\right) \) 表示
\[
\mathop{\sum }\limits_{{j = - N}}^{N}{q}^{-N - j + 1}\mathop{\sum }\limits_{{l = 0}}^{{{q}^{N} - 1}}\mathop{\sum }\limits_{{v = 0}}^{{p - 1}}\exp \left( {\frac{-{2\pi }\mathrm{i}}{p}{vl}}\right) f\left( {x + l{\beta }^{-j}}\right) ,
\]
若极限
\[
\mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow \infty }}{\Delta }_{N}f\left( x\right)
\]
存在,记为 \( {f}^{\left( 1\right) }\left( x\right) \) ,则称它为 \( f\left( x\right) \) 在 \( x \) 的按点 \( p \) 型导数 (或称吉布斯型导数); 若 \( {\Delta }_{N}f\left( x\right) \) 具有 \( {L}^{r}\left( {1 \leq r < + \infty }\right) \) 强极限,记为 \( {\mathrm{D}}^{\left( 1\right) }f \) ,则称它为 \( f \) 的强导数. \( f \) 的 \( p \) 型导数和强导数统称为 \( f \) 的导数.
上面是局部域上函数的导数的一种定义, 它有许多重要性质, 并有很多应用, 还有其他方式的定义.
局部域上的恒等逼近核 (approximation identity kernels over local fields) 经典恒等逼近核在局部域上的推广. 恒等逼近核与恒等逼近算子的定义可仿照 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 情形给出. 近年来,在局部域上已构造了许多恒等逼近核. 主要有:
1. 径向恒等逼近核与一类恒等逼近核.
2. 乘积型核与阿贝尔-泊松型核.
3. 泊松型核.
4. 瓦莱・普桑型核.
局部紧交换群 (locally compact abelian group) 一类特殊的交换群. 设 \( G \) 是一个局部紧豪斯多夫空间, 又是一个交换群, 且映射
\[
G \times G \rightarrow G : \left( {x, y}\right) \rightarrow x - y
\]
是连续的,则称 \( G \) 为局部紧交换群. 简称 LCA 群.
LCA 群 (LCA group) 见“局部紧交换群”.
特征标 (character) 局部紧交换群上的一类特殊的函数. 若 LCA 群 \( G \) 上复函数 \( r \) 满足 \( \left| {r\left( x\right) }\right| = 1 \) \( \left( {\forall x \in G}\right) \) 和 \( r\left( {x + y}\right) = r\left( x\right) r\left( y\right) \left( {\forall x, y \in G}\right) \) ,则称 \( r \) 为 \( G \) 的特征标.
对偶群 (dual group ) LCA 群 \( G \) 的特征标全体构成的群. 记 LCA 群 \( G \) 的连续特征标全体为 \( \widehat{G} \) . \( \widehat{G} \) 中定义加法:
\( \left( {{\gamma }_{1} + {\gamma }_{2}}\right) \left( x\right) = {\gamma }_{1}\left( x\right) + {\gamma }_{2}\left( x\right) \left( {x \in G,{\gamma }_{1},{\gamma }_{2} \in \widehat{G}}\right) , \) 则 \( \widehat{G} \) 成为一个交换群. 称 \( \widehat{G} \) 为 \( G \) 的对偶群或特征标群. 若对 \( \widehat{G} \) 赋以 \( G \) 的紧子集上一致收敛拓扑,则 \( \widehat{G} \) 是一个 LCA 群. 当 \( G \) 为离散群时, \( \widehat{G} \) 为紧群; 当 \( G \) 为紧群时, \( \widehat{G} \) 为离散群.
特征标群 (character group) 即 “对偶群”.
庞特里亚金对偶性定理 (Pontryagin duality theorem) 关于 LCA 群与其对偶群的同构定理. 设 \( G \) 为 LCA 群, \( \widehat{G} \) 为 \( G \) 的对偶群. 对 \( x \in G,\gamma \in \widehat{G} \) 记 \( \langle x, y\rangle = \gamma \left( x\right) \) ,则 \( x \) 可看做 \( \widehat{G} \) 上的特征标,从而有映射 \( G \rightarrow \widehat{G} : x \rightarrow \langle x,\gamma \rangle \) . 庞特里亚金对偶性定理称: 上述映射是拓扑群 \( G \) 到 \( \widehat{G} \) 上的同构. 因此 \( G \) 等同于 \( \widehat{G} \) ,常记 \( G = \widehat{G} \) .
傅里叶变换(Fourier transform) 经典傅里叶变换的推广. 设 \( G \) 为 LCA 群, \( \widehat{G} \) 为 \( G \) 的对偶群. 对 \( \gamma \) \( \in \widehat{G} \) ,记 \( \langle x,\gamma \rangle = \gamma \left( x\right) \) ,于是,对 \( f \in {L}^{1}\left( G\right) \) ,定义 \( \widehat{G} \) 上函数 \( \widehat{f} \) :
\[
\widehat{f}\left( \gamma \right) = {\int }_{G}f\left( x\right) \langle - x,\gamma \rangle \mathrm{d}x\left( {\gamma \in \widehat{G}}\right) ,
\]
称 \( \widehat{f} \) 为 \( f \) 的傅里叶变换. 有时也称映射 \( f \rightarrow \widehat{f} \) 为傅里叶变换.
傅里叶变换可扩张到 \( {L}^{2}\left( G\right) \) 上,此时称为普朗歇尔变换, 但有时仍称为傅里叶变换 (参见 “普朗歇尔变换”).
傅里叶反演公式 (Fourier inversion formula)
经典傅里叶反演公式的推广. 设 \( G \) 为 LCA 群, \( \widehat{G} \) 为 \( G \) 的对偶群. 对 \( x \in G,\gamma \in \widehat{G}, p\left( G\right) \) 为 \( G \) 上正定函数全体, \( f \in {L}^{1}\left( G\right) \cap p\left( G\right) ,\widehat{f} \) 为 \( f \) 的傅里叶变换,则当 \( G \) 上的哈尔测度 \( \mathrm{d}x \) 确定后, \( \widehat{G} \) 上的哈尔测度 \( \mathrm{d}\gamma \) 可规范化,使之成立公式
\[
f\left( x\right) = {\int }_{\widehat{G}}f\left( \gamma \right) \langle x,\gamma \rangle \mathrm{d}\gamma \;\left( {x \in G}\right) ,
\]
其中 \( \gamma \rightarrow \langle x,\gamma \rangle \) 为 \( \widehat{G} \) 上的特征标. 称上面的公式为傅里叶反演公式.
傅里叶-斯蒂尔杰斯变换 (Fourier-Stieltjes transform) 经典傅里叶-斯蒂尔杰斯变换的推广. 设 \( G \) 为 LCA 群, \( \widehat{G} \) 为 \( G \) 的对偶群. 设 \( M\left( G\right) \) 为 \( G \) 上有界的正则复测度全体所成的集. 对 \( \mu \in M\left( G\right) \) ,定义 \( \widehat{G} \) 上的函数 \( \widehat{\mu } \) :
\[
\widehat{\mu }\left( \gamma \right) = {\int }_{G}\langle - x,\gamma \rangle \mathrm{d}\mu \left( x\right) \;\left( {\gamma \in \widehat{G}}\right) ,
\]
其中 \( \langle x,\gamma \rangle = \gamma \left( x\right) \) 为 \( G \) 上的特征标. 称 \( \widehat{\mu } \) 为 \( \mu \) 的傅里叶-斯蒂尔杰斯变换. 更一般地,有时也称映射 \( \mu \) \( \rightarrow \widehat{\mu } \) 为傅里叶-斯蒂尔杰斯变换.
正定函数 (positive definite function) 经典正定函数的推广. 设 \( G \) 为 LCA 群, \( G \) 上的函数 \( \varphi \) . 若使得 \( G \) 中任何 \( {x}_{1},{x}_{2}\cdots ,{x}_{N} \) 及对任何复数 \( {c}_{1},{c}_{2},\cdots ,{c}_{N} \) 都成立不等式
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n, m = 1}}^{N}{c}_{n}{\bar{c}}_{m}\varphi \left( {{x}_{n} - {x}_{m}}\right) \geq 0\;\left( {N = 1,2,\cdots }\right) ,
\]
则称 \( \varphi \) 为 \( G \) 上定义的正定函数.
容易验证,正定函数 \( \varphi \) 满足关系式:
\[
\varphi \left( {-x}\right) = \overline{\varphi \left( x\right) },
\]
\[
\left| {\varphi \left( x\right) }\right| \leq \varphi \left( 0\right) ,
\]
\[
{\left| \varphi \left( x\right) - \varphi \left( y\right) \right| }^{2} \leq {2\varphi }\left( 0\right) \operatorname{Re}\left\lbrack {\varphi \left( 0\right) - \varphi \left( {x - y}\right) }\right\rbrack .
\]
博赫纳定理 (Bochner theorem) 经典博赫纳定理的推广. 设 \( G \) 为 LCA 群, \( \widehat{G} \) 为 \( G \) 的对偶群,则 \( G \) 上连续函数 \( \varphi \) 为正定函数的充分必要条件是,存在 \( \widehat{G} \) 上非负的有界波莱尔测度 \( \mu \) ,使下式成立:
\[
\varphi \left( x\right) = {\int }_{G}\langle x,\gamma \rangle \mathrm{d}\mu \left( f\right) \;\left( {x \in G}\right) ,
\]
其中 \( \gamma \rightarrow \langle x,\gamma \rangle \) 为 \( \widehat{G} \) 上的特征标. 这就是博赫纳定理.
普朗歇尔定理 (Plancherel theorem) 经典普朗歇尔定理的推广. 设 \( G \) 为 LCA 群, \( \widehat{G} \) 为 \( G \) 的对偶群. 普朗歇尔定理称映射 \( {L}^{1}\left( G\right) \cap {L}^{2}\left( G\right) \rightarrow {L}^{2}\left( \widehat{G}\right), f \) \( \rightarrow f\left( {\widehat{f}\text{为}f\text{的傅里叶变换}}\right) \) 是映射到 \( {L}^{2}\left( \widehat{G}\right) \) 的一个稠密子空间上的等距映射. 因此, 可以把它扩张成为 \( {L}^{2}\left( G\right) \) 到 \( {L}^{2}\left( \widehat{G}\right) \) 上的一个等距映射.
记上面扩张后的映射为 \( \mathcal{F} \)
\[
{L}^{2}\left( G\right) \rightarrow {L}^{2}\left( \widehat{G}\right) : f \rightarrow \mathcal{F}f,
\]
则普朗歇尔定理也可表述为: \( \mathcal{F} \) 是 \( {L}^{2}\left( G\right) \) 到 \( {L}^{2}\left( \widehat{G}\right) \) 上的酉同构. \( \mathcal{F}f \) 就是 \( f \) 的普朗歇尔变换. 称等式
\[
{\int }_{G}{\left| f\left( x\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x = {\int }_{G}{\left| \mathcal{F}f\left( \gamma \right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}\gamma
\]
为普朗歇尔公式.
帕塞瓦尔公式 (Parseval formula) 经典帕塞瓦尔公式的推广. 设 \( G \) 为 LCA 群, \( \widehat{G} \) 为 \( G \) 的对偶群. 设 \( f, g \in {L}^{2}\left( G\right) ,\mathcal{F}f,\mathcal{F}g \) 分别为 \( f, g \) 的普朗歇尔变换, 则成立等式
\[
{\int }_{G}f\left( x\right) \overline{g\left( x\right) }\mathrm{d}x = {\int }_{\widehat{G}}\mathcal{F}f\left( \gamma \right) \overline{\mathcal{F}g\left( \gamma \right) }\mathrm{d}\gamma ,
\]
称此等式为帕塞瓦尔公式. 在特殊情况 \( f = g \) 时,上式就是普朗歇尔公式:
\[
{\int }_{G}{\left| f\left( x\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x = {\int }_{\widehat{G}}{\left| \mathcal{F}f\left( \gamma \right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}\gamma .
\]
普朗歇尔变换(Plancherel transform) 傅里叶变换的推广. 设 \( G \) 为 LCA 群, \( \widehat{G} \) 为 \( G \) 的对偶群. 线性映射 \( \mathcal{F} : {L}^{2}\left( G\right) \rightarrow {L}^{2}\left( \widehat{G}\right), f \rightarrow \mathcal{F}f \) 满足普朗歇尔公式
\[
{\int }_{G}{\left| f\left( x\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x = {\int }_{\widehat{G}}{\left| \mathcal{F}f\left( y\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}y,
\]
且当 \( f \in {L}^{1}\left( G\right) \cap {L}^{2}\left( G\right) \) 时, \( \mathcal{F}f \) 就是 \( f \) 的傅里叶变换 \( f \) . 对这样的映射 \( \mathcal{F} \) ,称 \( \mathcal{F}f \) 为 \( f \) 的普朗歇尔变换 (参见 “傅里叶变换”与 “普朗歇尔定理”).
撰 稿 丁 勇 王昆扬 王斯雷 苏维宜 陆善镇
审 阅 王斯雷 刘和平 陆善镇
## 流形上的分析
流形上的分析 (analysis on manifold) 亦称大范围分析或整体分析. 欧氏空间中的分析 (经典分析) 推广到流形上得到的分析学, 是与拓扑学、几何学等数学分支相互渗透、相互综合而发展起来的. 它更加注重的是流形的拓扑结构、微分结构以及复结构给分析学带来的影响.
流形上的分析包括: 流形上的微积分、积分周期理论、莫尔斯理论、示性类理论、层论、流形上的微分算子理论等.
流形上的微积分是研究流形上微分形式的外微分运算与积分, 以及与此相应的理论. 流形上的微积分是经典微积分在流形上的推广, 这种推广包含了定义域的推广以及研究对象与方法的推广. 研究流形上微积分的重要目的是为流形上整体研究提供必备的基础.
莫尔斯理论是研究微分流形上可微实函数的性质同流形的拓扑、几何性质的相互关系. 在微积分中, 函数的极值理论曾是研究的一个重要内容. 流形上的一个非退化函数的临界点与各种指数在数量上的关系, 能完全反映了流形性态, 这一点由莫尔斯 (Morse, H. M. ) 在 20 世纪 30 年代首先发现, 并发展成为莫尔斯理论. 它使分析学与拓扑学结合并成为大范围分析的开端. 柳斯捷尔尼克 \( \left( {{J}_{\text{locTepHMK }}, J\text{I.}}\right. \) A. ) 与施尼雷尔曼 (IIIHMpe/IbMaH, JI. Γ. ) 从另一个途径研究可以退化的临界点理论, 建立了畴数理论. 畴数是量度拓扑空间性质的一个整数, 利用它可以估计紧流形上函数的临界点个数的下界, 并得到柳斯捷尔尼克-施尼雷尔曼重数定理, 这是从极小极大原理产生出临界值的定理. 1973 年, 阿姆布罗塞蒂 (Ambrosetti, A. ) 与拉比诺维茨 (Rabinowitz, P. H. ) 发展了柳斯捷尔尼克与施尼雷尔曼的思想, 建立了山路引理. 随后拉比诺维茨又提出了一系列极小极大原理, 对于由微分方程引出的变分问题的解的存在性有广泛应用, 特别对哈密顿方程组周期解的存在性及周期轨道的估计做出了重要贡献. 博特 (Bott, R. ) 应用莫尔斯理论给出了同伦论中著名的博特周期性定理, 斯梅尔 (Smale, S. ) 应用莫尔斯理论证明了维数 \( n \geq 5 \) 的庞加莱猜想,这是微分拓扑学的重大成就.
积分周期理论是研究微分形式的积分周期, 它反映了流形的同调特征. 积 |
2000_数学辞海（第3卷） | 156 | 亦称大范围分析或整体分析. 欧氏空间中的分析 (经典分析) 推广到流形上得到的分析学, 是与拓扑学、几何学等数学分支相互渗透、相互综合而发展起来的. 它更加注重的是流形的拓扑结构、微分结构以及复结构给分析学带来的影响.
流形上的分析包括: 流形上的微积分、积分周期理论、莫尔斯理论、示性类理论、层论、流形上的微分算子理论等.
流形上的微积分是研究流形上微分形式的外微分运算与积分, 以及与此相应的理论. 流形上的微积分是经典微积分在流形上的推广, 这种推广包含了定义域的推广以及研究对象与方法的推广. 研究流形上微积分的重要目的是为流形上整体研究提供必备的基础.
莫尔斯理论是研究微分流形上可微实函数的性质同流形的拓扑、几何性质的相互关系. 在微积分中, 函数的极值理论曾是研究的一个重要内容. 流形上的一个非退化函数的临界点与各种指数在数量上的关系, 能完全反映了流形性态, 这一点由莫尔斯 (Morse, H. M. ) 在 20 世纪 30 年代首先发现, 并发展成为莫尔斯理论. 它使分析学与拓扑学结合并成为大范围分析的开端. 柳斯捷尔尼克 \( \left( {{J}_{\text{locTepHMK }}, J\text{I.}}\right. \) A. ) 与施尼雷尔曼 (IIIHMpe/IbMaH, JI. Γ. ) 从另一个途径研究可以退化的临界点理论, 建立了畴数理论. 畴数是量度拓扑空间性质的一个整数, 利用它可以估计紧流形上函数的临界点个数的下界, 并得到柳斯捷尔尼克-施尼雷尔曼重数定理, 这是从极小极大原理产生出临界值的定理. 1973 年, 阿姆布罗塞蒂 (Ambrosetti, A. ) 与拉比诺维茨 (Rabinowitz, P. H. ) 发展了柳斯捷尔尼克与施尼雷尔曼的思想, 建立了山路引理. 随后拉比诺维茨又提出了一系列极小极大原理, 对于由微分方程引出的变分问题的解的存在性有广泛应用, 特别对哈密顿方程组周期解的存在性及周期轨道的估计做出了重要贡献. 博特 (Bott, R. ) 应用莫尔斯理论给出了同伦论中著名的博特周期性定理, 斯梅尔 (Smale, S. ) 应用莫尔斯理论证明了维数 \( n \geq 5 \) 的庞加莱猜想,这是微分拓扑学的重大成就.
积分周期理论是研究微分形式的积分周期, 它反映了流形的同调特征. 积分周期理论的中心是德拉姆定理,它断言微分流形 \( M \) 的 \( p \) 维德拉姆上同调群与 \( M \) 的 \( p \) 维奇异上同调群是同构的,这个同构的单射性表明所有周期为零的闭形式是正合形式. 霍奇 (Hodge, W. V. D. ) 对德拉姆理论做了重要改进, 他引进了调和微分形式的概念, 霍奇分解定理指出每个德拉姆上同调类中存在惟一的调和微分形式.
示性类理论是研究向量丛的示性上同调类及计算. 1935 年, 施蒂费尔 (Stiefel, E. L. ) 在霍普夫 (Hopf, H. ) 指导下做博士论文时, 引进并研究了光滑流形切丛所确定的示性同调类, 而惠特尼 (Whitney, \( \mathrm{H} \) . ) 处理的是任意的球丛,这就是历史上较早出现的一种示性类, 即施蒂费尔-惠特尼类. 1942 年,庞特里亚金 (Понтрягин, л. C. ) 研究了格拉斯曼流形的同调论, 得到庞特里亚金类. 1946 年, 陈省身研究复格拉斯曼流形的上同调结构, 从而对复向量丛定义了陈类. 后经吴文俊、托姆 (Thom, R. )、希策布鲁赫 (Hirzebruch, F. E. P. ) 等人的研究, 使示性类理论更加完善. 示性类理论在拓扑学、微分几何学、代数几何学中有许多应用.
层论是大范围分析的一个强有力的工具. 层论作为一种理论, 包括两个基本部分, 一个是层系数的上同调理论, 另一个是环式空间. 后者对于代数几何是重要的, 而前者正是为大范围分析提供的重要工具. 层论在整体分析学中有广泛的应用, 多复变函数论中著名的库辛问题是日本数学家冈洁利用了层系数上同调与全纯域给出解答的. 以层论为基础, 结合嘉当 (Cartan, H. ) 关于全纯函数理想论的研究, 发展了凝聚层的概念. 利用凝聚层的理论, 嘉当与塞尔 (Serre, J. P. ) 得到施坦流形的基本定理一一嘉当定理 A 与嘉当定理 B. 层论还应用于多复变函数论、 复流形、解析空间、代数几何、偏微分算子, 甚至数论以及数理逻辑等数学分支.
流形上的微分算子理论是研究流形上的微分算子及拟微分算子, 其中阿蒂亚-辛格的指标定理最具代表性. 阿蒂亚-辛格定理包含了高斯-波涅公式、希策布鲁赫的符号差定理、黎曼-罗赫定理及狄喇克算子的指标计算为其特例, 所含的定理皆很深刻并有很长的研究历史.
经过几十年的发展, 1968 年, 美国数学会在加州大学伯克利分校召开了以大范围分析为题的国际学术会议, 这标志着流形上的分析 (或大范围分析) 已经成为分析学中的一个独立分支.
大范围分析 (analysis in the large) 即“流形上的分析”.
整体分析 (global analysis) 即“流形上的分析”.
## 流形上的微积分
流形上的微积分 (calculus on manifold) 微积分在流形上的推广. 它研究流形上微分形式的外微分运算与积分, 以及斯托克斯定理. 研究流形上的微积分的目的是为流形上整体研究提供必备的基础.
设 \( {E}^{k}\left( M\right) \) 表示有限维流形 \( M \) 上微分 \( k \) 形式 (简称 \( k \) 形式) 全体构成的无穷维实向量空间, \( {E}^{ * }\left( M\right) \) 表示 \( M \) 上所有微分形式的实向量空间,按外积 \( \Lambda \) , 它还是一个代数. 对任意的 \( k \in \mathrm{N} \) ,存在惟一的线性算子 \( \mathrm{d} : {E}^{k}\left( M\right) \rightarrow {E}^{k + 1}\left( M\right) \) ,满足:
1. \( {\mathrm{d}}^{2} = 0 \) ,即对任何微分形式 \( \omega \in {E}^{ * }\left( M\right) \) ,有 \( \mathrm{d}\left( {\mathrm{d}\omega }\right) = {\mathrm{d}}^{2}\omega = 0; \)
2. 若 \( f \in {C}^{\infty }\left( M\right) = {E}^{0}\left( M\right) ,\mathrm{d}f \) 就是函数 \( f \) 的微分;
3. 若 \( \omega \in {E}^{k}\left( M\right) ,\tau \in {E}^{l}\left( M\right) \) ,则 \( \mathrm{d}\left( {\omega \land \tau }\right) = \mathrm{d}\omega \land \) \( \tau + {\left( -1\right) }^{k}\omega \land \mathrm{d}\tau \cdot \mathrm{d} \) 称为外微分.
由此可以看出外微分 \( \mathrm{d} \) 是经典分析中函数微分在流形上的推广.
设 \( M \) 是 \( n \) 维定向流形, \( D \) 是 \( M \) 的 \( k \) 维定向有边紧子流形, \( \omega \) 是一个 \( k \) 形式,则可以定义 \( \omega \) 在 \( D \) 上的积分
\[
{\int }_{D}\omega
\]
从而可以证明著名的斯托克斯定理: 设 \( D \) 是 \( n \) 维定向流形 \( M \) 的 \( k \) 维定向有边紧子流形, \( \partial D \) 表 \( D \) 的边缘, \( \omega \) 是 \( \left( {k - 1}\right) \) 形式,则
\[
{\int }_{D}\mathrm{\;d}\omega = {\int }_{\partial D}\omega
\]
这个定理描述了一个区域上的积分与它的边界上的积分之间的联系, 是流形上微积分的基本定理. 它对于分片光滑的 \( D \) 也成立. 它的一些特殊情形都是经典分析中的重要公式. 例如:
1. 若 \( M = \mathrm{R}, D = \left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,\partial D \) 是 \( D \) 的有向边界 \( \{ b\} \) \( - \{ a\}, f \in {E}^{0}\left( M\right) \) ,则
\[
{\int }_{D}\mathrm{\;d}f = {\int }_{\partial D}f = f\left( b\right) - f\left( a\right) .
\]
这是著名的牛顿-莱布尼茨公式.
2. 若 \( M = {\mathrm{R}}^{2}, D \) 是 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 中的一个有界区域,其边界是一条分段光滑曲线, \( D \) 的定向与 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 的定向一致, \( \omega \in {E}^{1}\left( M\right) \) 是 1 -形式,
\[
\omega = P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y,\mathrm{\;d}\omega = \left( {\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}}\right) \mathrm{d}x \land \mathrm{d}y,
\]
则
\[
{\int }_{D}\left( {\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}}\right) \mathrm{d}x \land \mathrm{d}y
\]
\[
= {\int }_{D}\mathrm{\;d}\omega = {\int }_{\partial D}\omega = {\int }_{\partial D}P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y,
\]
故得
\[
{\int }_{D}\left( {\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y = {\int }_{\partial D}P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y.
\]
这是格林公式.
3. 若 \( M = {\mathrm{R}}^{3}, D \) 是 \( {\mathrm{R}}^{3} \) 中的带有分片光滑边界曲面的有界域,其定向与 \( {\mathrm{R}}^{3} \) 一致,以外法线方向为正向诱导出边界 \( \partial D \) 的正向,2 形式
\[
\omega = P\mathrm{\;d}y \land \mathrm{d}z + Q\mathrm{\;d}z \land \mathrm{d}x + R\mathrm{\;d}x \land \mathrm{d}y,
\]
则
\[
{\int }_{D}\left( {\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}}\right) \mathrm{d}x \land \mathrm{d}y \land \mathrm{d}z
\]
\[
= {\int }_{D}\mathrm{\;d}\omega = {\int }_{\partial D}\omega = {\int }_{\partial D}P\mathrm{\;d}y \land \mathrm{d}z
\]
\[
+ Q\mathrm{\;d}z \land \mathrm{d}x + R\mathrm{\;d}x \land \mathrm{d}y,
\]
即得
\[
{\int }_{D}\left( {\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z
\]
\[
= {\int }_{\partial D}P\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + Q\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + R\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y.
\]
这是高斯公式.
4. 若 \( M = {\mathrm{R}}^{3}, D \) 是 \( {\mathrm{R}}^{3} \) 中的一块分片光滑的有向曲面, \( \partial D \) 是分段光滑的有向闭曲线, \( \partial D \) 的正向与 \( D \) 的正法向符合右手法则 \( \left( {\mathrm{R}}^{3}\right. \) 的定向是右手系),1 形式 \( \omega = P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z \) ,则
\[
{\int }_{D}\left( {\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}}\right) \mathrm{d}y \land \mathrm{d}z
\]
\[
+ \left( {\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}}\right) \mathrm{d}z \land \mathrm{d}x + \left( {\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}}\right) \mathrm{d}x \land \mathrm{d}y
\]
\[
= {\int }_{D}\mathrm{\;d}\omega = {\int }_{\partial D}\omega = {\int }_{\partial D}P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z,
\]
即
\[{\int }_{\partial D}P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z = {\int }_{D}\left( {\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}}\right) \mathrm{d}y\mathrm{\;d}z\]
\[ + \left( {\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}}\right) \mathrm{d}z\mathrm{\;d}x + \left( {\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y.\]
这是斯托克斯公式.
由此可见, 斯托克斯定理是经典分析中上述四个公式的统一形式, 同时又是它们在流形上的推广. 概括起来说, 流形上的微积分是经典微积分在流形上的推广.
无穷维流形上的微积分完全类似于有限维流形上的情形.
复流形的定义在形式上和实流形是一样的. 但是复结构加在流形上的限制要比实流形强得多, 因而所研究的内容更加丰富.
区图 (chart) 微分流形的一个基本概念. 空间 \( M \) 的一个开集 \( U \) 和从 \( U \) 到 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中某个开集上的同胚 \( \phi \) ,合起来 \( \left( {U,\phi }\right) \) 称为 \( M \) 的一个区图或局部坐标系. 区图的集合 \( \left\{ {\left( {{U}_{a},{\phi }_{a}}\right) \mid \alpha \in A}\right\} \) 若满足 \( { \cup }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha } = M \) ,则称为 \( M \) 的一个图册.
图册(atlas) 见“区图”.
\( {C}^{k} \) 类微分结构 \( \mathcal{F} \) (differentiable structure \( \mathcal{F} \) of class \( {C}^{k} \) ) 满足一定条件的图册. 拓扑流形 \( M \) 上的图册 \( \mathcal{F} = \left\{ {\left( {{U}_{\alpha },{\phi }_{\alpha }}\right) \mid \alpha \in A}\right\} \) 若满足下述条件,则称 \( \mathcal{F} \) 为 \( M \) 的 \( {C}^{k} \) 类微分结构:
1. \( \mathop{\bigcup }\limits_{{\alpha \in \Lambda }}{U}_{\alpha } = M \) ;
2. 对所有的 \( \alpha ,\beta \in A,{\phi }_{\alpha } \circ {\phi }_{\beta }{}^{-1} \) 是 \( {C}^{k}(1 \leq k \leq \) \( + \infty ) \) 的;
3. \( \mathcal{F} \) 关于条件 2 是最大的,即对于 \( M \) 的任一区图 \( \left( {U,\phi }\right) \) ,若对所有的 \( \alpha \in A,\phi \circ {\phi }_{\alpha }^{-1} \) 与 \( {\phi }_{\alpha } \circ {\phi }^{-1} \) 都是 \( {C}^{k} \) 的,则 \( \left( {U,\phi }\right) \in \mathcal{F} \) .
对于任意满足条件 1 与条件 2 的图册
\[
{\mathcal{F}}_{0} = \left\{ {\left( {{U}_{\alpha },{\phi }_{\alpha }}\right) \mid \alpha \in A}\right\} ,
\]
存在惟一的包含 \( {\mathcal{F}}_{0} \) 的 \( {C}^{k} \) 类微分结构 \( \mathcal{F} \) .
局部坐标系 (local coordinate system) 即“区图”.
\( {C}^{k} \) 流形 ( \( {C}^{k} \) manifold) 有 \( {C}^{k} \) 类微分结构的拓扑流形. 由一个 \( n \) 维拓扑流形 \( M \) 以及 \( M \) 上的一个 \( {C}^{k} \) 类微分结构 \( \mathcal{F} \) 组成的总体 \( \left( {M,\mathcal{F}}\right) \) 称为 \( {C}^{k} \) 流形. 当 \( k = \infty \) 时,也称 \( M \) 为光滑流形. \( {C}^{k}\left( {k > 1}\right) \) 流形统称为微分流形. 例如, \( n \) 维欧氏空间 \( {\mathrm{R}}^{n}, n \) 维球面 \( {S}^{n} \) ,在它们的通常拓扑之下都是微分流形. 又如,由所有 \( n \times n \) 非奇异实矩阵组成的集合 \( \mathrm{{GL}}\left( {n,\mathrm{R}}\right) \) ,若取其拓扑为 \( {\mathrm{R}}^{{n}^{2}} \) 的通常拓扑的诱导拓扑,那么 \( \mathrm{{GL}}\left( {n,\mathrm{R}}\right) \) 是一个微分流形.
同一个拓扑流形可以有不同的微分结构, 但它的维数是一个拓扑不变量.
光滑流形 (smooth manifold) 见 “ \( {C}^{k} \) 流形”.
微分流形 (differentiable manifold) 见 “ \( {C}^{k} \) 流形”.
积流形 (product manifold) 由两个微分流形的笛卡儿积所生成的流形. 设 \( \left( {{M}_{1},{\mathcal{F}}_{1}}\right) ,\left( {{M}_{2},{\mathcal{F}}_{2}}\right) \) 分别为 \( {m}_{1} \) 维与 \( {m}_{2} \) 维的微分流形,则积流形 \( {M}_{1} \times \) \( {M}_{2} \) 是 \( {m}_{1} + {m}_{2} \) 维拓扑空间,其微分结构 \( \mathcal{F} \) 为含有 \( \left\{ {\left( {{U}_{\alpha } \times {V}_{\beta },{\phi }_{\alpha } \times {\psi }_{\beta }}\right) \mid \left( {{U}_{\alpha },{\phi }_{\alpha }}\right) \in {\mathcal{F}}_{1},\left( {{V}_{\beta },{\psi }_{\beta }}\right) \in {\mathcal{F}}_{2}}\right\} \) 的最大类.
\( {C}^{k} \) 流形间的 \( {C}^{k} \) 映射 \( \left( {C}^{k}\right. \) map between two \( {C}^{k} \) manifolds) 两个流形之间的具有某种光滑性的映射. 设 \( \left( {{M}_{1},{\mathcal{F}}_{1}}\right) ,\left( {{M}_{2},{\mathcal{F}}_{2}}\right) \) 分别为 \( {m}_{1},{m}_{2} \) 维的 \( {C}^{k} \) 流形,映射 \( F : {M}_{1} \rightarrow \)
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2000_数学辞海（第3卷） | 157 | 微分流形 (differentiable manifold) 见 “ \( {C}^{k} \) 流形”.
积流形 (product manifold) 由两个微分流形的笛卡儿积所生成的流形. 设 \( \left( {{M}_{1},{\mathcal{F}}_{1}}\right) ,\left( {{M}_{2},{\mathcal{F}}_{2}}\right) \) 分别为 \( {m}_{1} \) 维与 \( {m}_{2} \) 维的微分流形,则积流形 \( {M}_{1} \times \) \( {M}_{2} \) 是 \( {m}_{1} + {m}_{2} \) 维拓扑空间,其微分结构 \( \mathcal{F} \) 为含有 \( \left\{ {\left( {{U}_{\alpha } \times {V}_{\beta },{\phi }_{\alpha } \times {\psi }_{\beta }}\right) \mid \left( {{U}_{\alpha },{\phi }_{\alpha }}\right) \in {\mathcal{F}}_{1},\left( {{V}_{\beta },{\psi }_{\beta }}\right) \in {\mathcal{F}}_{2}}\right\} \) 的最大类.
\( {C}^{k} \) 流形间的 \( {C}^{k} \) 映射 \( \left( {C}^{k}\right. \) map between two \( {C}^{k} \) manifolds) 两个流形之间的具有某种光滑性的映射. 设 \( \left( {{M}_{1},{\mathcal{F}}_{1}}\right) ,\left( {{M}_{2},{\mathcal{F}}_{2}}\right) \) 分别为 \( {m}_{1},{m}_{2} \) 维的 \( {C}^{k} \) 流形,映射 \( F : {M}_{1} \rightarrow \)
\( {M}_{2} \) ,若对于每个 \( p \in \) \( {M}_{1} \) ,存在 \( p \) 处的区图 \( \left( {U,\phi }\right) \in {\mathcal{F}}_{1} \) ,与 \( F\left( p\right) \) 处的区图 \( (V \) , \( \psi ) \in {\mathcal{F}}_{2}, F\left( U\right) \subset \)
\( V \) ,使得 \( \psi \circ F \circ {\phi }^{-1} : \phi \left( U\right) \rightarrow \psi \left( V\right) \) 是 \( {C}^{k} \) 的,则称 \( F \) : \( {M}_{1} \rightarrow {M}_{2} \) 为 \( {C}^{k} \) 流形间的 \( {C}^{k} \) 映射. 于是可以看到 \( \psi \circ F \circ {\phi }^{-1} \) 与其他诸映射之间,有如上图的交换图. 当 \( k = \infty \) 时, \( F \) 称为光滑映射,当 \( {M}_{2} = \mathrm{R} \) 为通常的实直线时, \( F \) 称为 \( {C}^{k} \) 函数. \( M \) 上一切 \( {C}^{k} \) 函数所形成的空间记为 \( {C}^{k}\left( M\right) \) .
\( {C}^{k} \) 微分同胚 \( \left( {{C}^{k}\text{diffeomorphism}}\right) \) 两个微分流形之间的一种等价性. 设 \( M, N \) 分别是两个 \( {C}^{k} \) 流形,映射 \( f : M \rightarrow N \) 是一个双射,使得 \( f \) 与 \( {f}^{-1} \) 是 \( {C}^{k} \) 映射,则称 \( f \) 为 \( M \) 与 \( N \) 之间的 \( {C}^{k} \) 微分同胚. 这时 \( {C}^{k} \) 流形 \( M \) 与 \( N \) 也可以说成是 \( {C}^{k} \) 微分同胚的,而且 \( M \) 与 \( N \) 可以看做等同的. 微分同胚对于流形的分类是一个重要的概念. 例如, 连通的一维流形只有两种,即 \( \mathrm{R} \) 与 \( {S}^{1} \) .
单位分解 (partition of unity) 流形上的函数集,其和为 \( 1.{C}^{k} \) 流形 \( M \) 上的单位分解是 \( M \) 上 \( {C}^{k} \) 函数集 \( \left\{ {{\phi }_{i} \mid i \in I}\right\} \) ,其中 \( I \) 是一个指标集,使得有:
1. 支集的集合 \( \left\{ {\operatorname{supp}{\phi }_{i} \mid i \in I}\right\} \) 是局部有限的 (即在每个 \( p \in M \) 处,存在 \( p \) 的一个邻域 \( {W}_{p} \) ,使得仅对有限多个 \( i \) 有 \( {W}_{p} \cap \operatorname{supp}{\phi }_{i} \neq \varnothing \) ).
2. 当 \( p \) 遍历 \( M \) 时, \( \sum {\phi }_{i}\left( p\right) = 1 \) ; 并且对所有的 \( p \in M \) 和 \( i \in I \) ,有 \( {\phi }_{i}\left( p\right) \geq 0 \) .
若 \( \left\{ {{U}_{\alpha } \mid \alpha \in A}\right\} \) 是 \( M \) 的一个覆盖,对于每个 \( i \in \) \( I \) ,都存在一个 \( \alpha \) ,使 \( \operatorname{supp}{\phi }_{i} \subset {U}_{\alpha } \) ,则称单位分解 \( \left\{ {{\phi }_{i} \mid i}\right. \) \( \in I\} \) 从属于覆盖 \( \left\{ {{U}_{\alpha } \mid \alpha \in A}\right\} \) .
单位分解存在性定理 (theorem of existence of partition of unity) 在某些条件下单位分解的存在定理. 该定理断言: 若 \( M \) 是微分流形, \( \left\{ {{U}_{\alpha } \mid \alpha \in A}\right\} \) 是 \( M \) 的任一开覆盖,则存在从属于该覆盖的可数的单位分解 \( \left\{ {\phi }_{i}\right\} \) ,对于每个 \( i,\operatorname{supp}{\phi }_{i} \) 是紧集. 或去掉紧支集条件,存在从属于覆盖 \( \left\{ {{U}_{a} \mid \alpha \in A}\right\} \) 的单位分解 \( \left\{ {\phi }_{a}\right\} \) (即 \( \operatorname{supp}{\phi }_{a} \subset {U}_{a} \) ),且至多有可数个 \( {\phi }_{a} \) 不恒为零.
微分流形的仿紧性保证了它具有单位分解的性质. 这个性质能把局部函数扩并为整体函数, 反过来也能把整体函数分解为局部函数来研究.
芽(germ) 流形上函数的一种等价类. 设 \( M \) 是一个 \( {C}^{k} \) 流形, \( p \in M \) ,函数 \( f \) 与 \( g \) 分别是定义在包含 \( p \) 的开集 \( U \) 和 \( V \) 上的 \( {C}^{k} \) 函数. 若存在开集 \( W \subset \) \( U \cap V \) ,使得 \( {\left. f\right| }_{W} = {\left. g\right| }_{W} \) ,就称 \( f \) 与 \( g \) 等价. 由这个等价关系所形成 \( {C}^{k}\left( M\right) \) 的等价类 \( \bar{f} \) ,称为在 \( p \) 处 \( {C}^{k} \) 函数的芽. 用 \( {\widetilde{F}}_{p} = \left\{ {\bar{f} \mid f \in {C}^{k}\left( M\right) }\right\} \) 表示在 \( p \) 处芽的集合. \( {\widetilde{F}}_{p} \) 上可以简单地引入代数运算,并能说明 \( {\widetilde{F}}_{p} \) 构成一个代数. 同时 \( {\widetilde{F}}_{p} \) 还是一个向量空间.
节 (jet) 芽的等价类. 设 \( \bar{f} \) 与 \( \bar{g} \) 分别是 \( p \in M \) 处的两个 \( {C}^{\infty } \) 类芽,若对每个 \( \alpha = \left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) ,\left| \alpha \right| \) \( \leq n,{\mathrm{D}}^{\alpha }f\left( p\right) = {\mathrm{D}}^{\alpha }g\left( p\right) \) ,则称 \( \bar{f} \) 与 \( \bar{g} \) 是 \( n \) 等价的. 称 \( p \in M \) 处的一个 \( n \) 等价芽类为 \( p \) 处的一个 \( n \) 节. 记 \( {J}_{n}\left( {M, p}\right) \) 为 \( p \in M \) 处 \( n \) 节的集合.
导子 (derivation) 流形上可微函数在一点处的方向导数. 它满足莱布尼茨条件的实线性映射. 设 \( M \) 是微分流形, \( p \in M,{v}_{p} \) 是定义在 \( p \) 的某邻域的可微函数代数上的实值泛函, 且满足下述条件:
\[
\text{1.}{v}_{p}\left( {{\alpha f} + {\beta g}}\right) = \alpha {v}_{p}\left( f\right) + \beta {v}_{p}\left( g\right) \text{,其中}\alpha ,\beta \in
\]
\( \mathrm{R}, f, g \) 为 \( p \) 处可微函数;
\[
\text{2.}{v}_{p}\left( {fg}\right) = f\left( p\right) {v}_{p}\left( g\right) + g\left( p\right) {v}_{p}\left( f\right) \text{;}
\]
则称 \( {v}_{p} \) 为 \( p \) 处可微函数的导子,条件 2 称为莱布尼茨条件.
切向量 (tangent vector) 一个方向导数定义为一个切向量. 设 \( M \) 是微分流形, \( p \in M, v \) 是 \( p \) 的某邻域的可微函数代数 \( {C}^{k}\left( {M, p;\mathrm{R}}\right) \) 上的实值泛函, 若对 \( f, g \in {C}^{k}\left( {M, p;\mathrm{R}}\right) \) 与 \( \alpha ,\beta \in \mathrm{R} \) ,有
\[
\text{1.}v\left( {{\alpha f} + {\beta g}}\right) = {\alpha v}\left( f\right) + {\beta v}\left( g\right) \text{;}
\]
\[
\text{2.}v\left( {fg}\right) = f\left( p\right) v\left( g\right) + g\left( p\right) v\left( f\right) \text{;}
\]
则称 \( v \) 为流形 \( M \) 在 \( p \) 处的切向量. \( {T}_{p}\left( M\right) \) 表示 \( M \) 在 \( p \) 处的所有切向量构成的空间,简称流形 \( M \) 在 \( p \) 处的切空间. 事实上, \( {T}_{p}\left( M\right) \) 本身构成一个向量空间,其维数与 \( M \) 的维数一样,设为 \( n \) . 设 \( \left( {U,\phi }\right) \) 是 \( M \) 在 \( p \) 处的一个区图,若 \( \phi = \left( {{\phi }_{1},{\phi }_{2},\cdots ,{\phi }_{n}}\right) \) ,令 \( {x}_{j} \) \( = {\phi }_{j}\left( x\right) \) . 对于每个 \( j \) ,相应地定义切向量
\[
{\left( \frac{\partial }{\partial {x}_{j}}\right) }_{p} \in {T}_{p}\left( M\right)
\]
为
\[
{\left. {\left( \frac{\partial }{\partial {x}_{j}}\right) }_{p}f = \frac{\partial \left( {f \circ {\phi }^{-1}}\right) }{\partial {x}_{j}}\right| }_{\phi \left( p\right) },
\]
则 \( \left\{ {\left( \frac{\partial }{\partial {x}_{j}}\right) }_{p}\right\} \) 构成了 \( {T}_{p}\left( M\right) \) 的一个基,也称为相配于区图 \( \left( {U,\phi }\right) \) 的基. 因此,在 \( \left( {U,\phi }\right) \) 之下, \( {T}_{p}\left( M\right) (p \in \) \( U) \) 中的每一个切向量 \( v \) 可以表示为
\[
v = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{v}_{j}{\left( \frac{\partial }{\partial {x}_{j}}\right) }_{p},
\]
其中 \( n = \dim M \) .
若 \( \left( {V,\psi }\right) \) 是 \( M \) 在 \( p \) 处的另外一个区图,记 \( {y}_{i} \) \( = {\psi }_{i}\left( x\right) \left( {x \in V}\right) \) ,则 \( \left\{ {\left( \frac{\partial }{\partial {y}_{i}}\right) }_{p}\right\} \) 也是 \( {T}_{p}\left( M\right) \) 的一个基, 它与上面的基有关系
\[
{\left( \frac{\partial }{\partial {y}_{i}}\right) }_{p} = {\left. \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}\frac{\partial {x}_{j}}{\partial {y}_{i}}\right| }_{p}{\left( \frac{\partial }{\partial {x}_{j}}\right) }_{p},
\]
其中
\[
{\left. \frac{\partial {x}_{j}}{\partial {y}_{i}}\right| }_{p} = \frac{\partial \left( {{\phi }_{j} \circ {\psi }^{-1}}\right) }{\partial {y}_{i}}\left( {\psi \left( p\right) }\right) .
\]
这是切空间 \( {T}_{p}\left( M\right) \) 中基的变换公式.
切空间 (tangent space) 见 “切向量”.
曲线上的切向量 (tangent vector on the curve) 曲线的切线所确定的向量. 设 \( \sigma : I \rightarrow M \) 是流形 \( M \) 上的光滑曲线,其中 \( I \) 是一个区间, \( M \) 是一个微分流形. 定义曲线 \( \sigma = \sigma \left( t\right) \) 在点 \( p = \sigma \left( t\right) \) 处的切向量 \( \dot{\sigma }\left( t\right) \) 为
\[
\dot{\sigma }\left( t\right) \left( f\right) = \frac{\mathrm{d}\left( {f \circ \sigma }\right) }{\mathrm{d}t} \in {T}_{\sigma \left( t\right) }\left( M\right) .
\]
对于 \( M \) 上任一点的非零切向量,必存在 \( M \) 上一条光滑曲线 \( \sigma \) ,使其在该点处的曲线的切向量等于这个指定的非零切向量. 由此可以定义流形 \( M \) 上某点处的切向量为通过该点的光滑曲线的切向量.
余切空间 (cotangent space) 流形 \( M \) 在点 \( p \) 处切空间的对偶空间. 余切空间记为 \( {T}_{p}^{ * }\left( M\right) \) ,其中的向量称为 \( M \) 在 \( p \) 处的余切向量. \( {T}_{p}^{ * }\left( M\right) \) 的相配于区图 \( \left( {U,\phi }\right) \) 的基是 \( {T}_{p}\left( M\right) \) 的基 \( \left\{ \frac{\partial }{\partial {x}_{i}}\right\} \) 的对偶基 \( \left\{ {\mathrm{d}{x}_{i}}\right\} \) ,即满足条件
\[
\mathrm{d}{x}_{i}\left( \frac{\partial }{\partial {x}_{j}}\right) = {\delta }_{ij}
\]
余切空间的维数等于切空间的维数, 且等于流形的维数. \( {T}_{p}^{ * }\left( M\right) \) 中基的变换公式为
\[
\mathrm{d}{y}_{i} = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}\frac{\partial {y}_{i}}{\partial {x}_{j}}\mathrm{\;d}{x}_{j}
\]
余切向量 (cotangent vector) 见“余切空间”.
映射的微分 (differential of a map) 通常函数的微分在流形上的推广. 设 \( M, N \) 为微分流形, \( \psi : M \) \( \rightarrow N \) 是可微映射,所谓 \( \psi \) 在 \( p \in M \) 处的微分 \( \psi \) . (有时记为 \( \mathrm{d}\psi \) )是如下的线性映射
\[
{\psi }_{ * } : {T}_{p}\left( M\right) \rightarrow {T}_{\psi \left( p\right) }\left( N\right) ,
\]
\[
{\psi }_{ * }\left( v\right) \left( g\right) = v\left( {g \circ \psi }\right) ,
\]
其中 \( v \in {T}_{p}\left( M\right), g \in {C}^{\infty }\left( V\right), V \) 是 \( \psi \left( p\right) \) 的邻域. 若 \( \psi \) . 是单射,则称 \( {\psi }_{ * } \) 在 \( p \) 处是非奇异的. 类似地可以定义 \( {\psi }_{ * } \) 的对偶映射
\[
{\psi }^{ * } : {T}_{\psi \left( p\right) }^{ * }\left( N\right) \rightarrow {T}_{p}^{ * }\left( M\right) ,
\]
\[
{\psi }^{ * }\left( w\right) \left( v\right) = w\left( {{\psi }_{ * }\left( v\right) }\right) ,
\]
其中 \( w \in {T}_{\psi \left( p\right) }^{ * }\left( N\right), v \in {T}_{p}\left( M\right) \) .
\( \psi ,,{\psi }^{ * } \) 有如下性质:
1. 设 \( \psi : M \rightarrow N,\phi : N \rightarrow X \) 是 \( {C}^{\infty } \) 映射, \( p \in M \) ,则
\[{\left( \phi \circ \psi \right) }_{ * } = {\phi }_{ * } \circ {\psi }_{ * },\]
\[{\left( \phi \circ \psi \right) }^{ * } = {\psi }^{ * } \circ {\phi }^{ * }.\]
2. 若 \( \psi : M \rightarrow N \) 和 \( f : N \rightarrow \mathrm{R} \) 是 \( {C}^{\infty } \) 的,则
\[\mathrm{d}\left( {f \circ \psi }\right) = {\psi }^{ * }\lef |
2000_数学辞海（第3卷） | 158 | \psi }\right) ,
\]
其中 \( v \in {T}_{p}\left( M\right), g \in {C}^{\infty }\left( V\right), V \) 是 \( \psi \left( p\right) \) 的邻域. 若 \( \psi \) . 是单射,则称 \( {\psi }_{ * } \) 在 \( p \) 处是非奇异的. 类似地可以定义 \( {\psi }_{ * } \) 的对偶映射
\[
{\psi }^{ * } : {T}_{\psi \left( p\right) }^{ * }\left( N\right) \rightarrow {T}_{p}^{ * }\left( M\right) ,
\]
\[
{\psi }^{ * }\left( w\right) \left( v\right) = w\left( {{\psi }_{ * }\left( v\right) }\right) ,
\]
其中 \( w \in {T}_{\psi \left( p\right) }^{ * }\left( N\right), v \in {T}_{p}\left( M\right) \) .
\( \psi ,,{\psi }^{ * } \) 有如下性质:
1. 设 \( \psi : M \rightarrow N,\phi : N \rightarrow X \) 是 \( {C}^{\infty } \) 映射, \( p \in M \) ,则
\[{\left( \phi \circ \psi \right) }_{ * } = {\phi }_{ * } \circ {\psi }_{ * },\]
\[{\left( \phi \circ \psi \right) }^{ * } = {\psi }^{ * } \circ {\phi }^{ * }.\]
2. 若 \( \psi : M \rightarrow N \) 和 \( f : N \rightarrow \mathrm{R} \) 是 \( {C}^{\infty } \) 的,则
\[\mathrm{d}\left( {f \circ \psi }\right) = {\psi }^{ * }\left( {\mathrm{\;d}f}\right) .\]
3. 设 \( \psi : M \rightarrow N \) 是 \( {C}^{\infty } \) 的, \( \left( {U,{x}_{1},\cdots ,{x}_{n}}\right) ,\left( {V,{y}_{1}}\right. \) , \( \left. {\cdots ,{y}_{l}}\right) \) 分别是 \( p \) 与 \( \psi \left( p\right) \) 处的区图,则
\[\left. {{\psi }_{ * }{\left( \frac{\partial }{\partial {x}_{j}}\right| }_{p}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{l}{\left. {\left. \frac{\partial \left( {{y}_{i} \circ \psi }\right) }{\partial {x}_{j}}\right| }_{p}\frac{\partial }{\partial {y}_{i}}\right| }_{\psi \left( p\right) }.\]
4. 若 \( f : M \rightarrow \mathrm{R} \) 是 \( {C}^{\infty } \) 的,则
\[\mathrm{d}{f}_{p} = {\left. {\left. \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{\partial f}{\partial {x}_{i}}\right| }_{p}\mathrm{\;d}{x}_{i}\right| }_{p}.\]
5. 若 \( \psi \) 是由连通流形 \( M \) 到流形 \( N \) 的一个 \( {C}^{\infty } \) 映射,如果对每个 \( p \in M,{\left. {\psi }_{ * }\right| }_{p} = 0 \) ,则 \( \psi \) 是一个常映射.
6. 若 \( f : M \rightarrow N \) 是微分同胚,则 \( {f}_{ * } : {T}_{p}\left( M\right) \rightarrow \) \( {T}_{f\left( p\right) }\left( N\right) \) 是切空间之间的同构,因而 \( M \) 的维数等于 \( N \) 的维数.
浸入 (immersion) 亦称浸入映射. 具有某种性质的流形间的映射. 设 \( \phi : M \rightarrow N \) 是一个可微映射, 若对于每个 \( p \in M,{\left. {\phi }_{ * }\right| }_{p} \) 为非奇异的,则称 \( \phi \) 为浸入映射,简称浸入. 若 \( \phi \) 同时又是单映射,则称它为单浸入. 浸入映射是局部单映射, 它未必是整体单映射.
浸入映射 (immersion map) 即 “浸入”.
单浸入 (injective immersion) 见 “浸入”.
嵌入 (imbedding) 一对一的浸入, 且流形与其像是同胚的映射. 设 \( \psi : M \rightarrow N \) 是两个微分流形间的 \( {C}^{\infty } \) 映射,若 \( \psi \) 是一对一的浸入,且还是 \( M \) 与 \( \psi \left( M\right) \) 之间的一个同胚,则称 \( \psi \) 是一个嵌入. .
子流形 (submanifold) 单浸入映射对应的流形间的关系. 设 \( M \) 与 \( N \) 是两个微分流形, \( \phi : M \rightarrow N \) 是 \( {C}^{\infty } \) 映射,若 \( \phi \) 是单射,且 \( \phi \) 是浸入,则称 \( \left( {M,\phi }\right) \) 是 \( N \) 的子流形. 或等价地定义为: \( M \) 作为点集是 \( N \) 的子集,且从 \( M \) 到 \( N \) 的恒等映射是 \( M \) 到 \( N \) 中的嵌入,就称 \( M \) 为 \( N \) 的子流形.
正则子流形 (regular submanifold) 特殊的子流形. 设 \( \left( {M,\phi }\right) \) 是微分流形 \( N \) 的子流形,如果
\[
\phi : M \rightarrow \phi \left( M\right) \subset N
\]
是一个同胚,那么称 \( \left( {M,\phi }\right) \) 是 \( N \) 的正则子流形,并称 \( \phi \) 为 \( M \) 在 \( N \) 中的正则嵌入.
正则嵌入 (regular imbedding) 见 “正则子流形”.
惠特尼浸入定理 (Whitney theorem of immersion) 关于浸入的性质的定理. 该定理断言: 若 \( M \) 是一个 \( n \) 维 \( {C}^{k} \) 流形,并且 \( q \geq {2n} \) ,则从 \( M \) 到 \( {\mathrm{R}}^{q} \) 中的浸入映射的集合是 \( {\mathfrak{C}}^{k}\left( {M, q}\right) \) 中的一个开稠集,其中 \( {\mathfrak{C}}^{k}\left( {M, q}\right) \) 表示 \( {C}^{k} \) 流形 \( M \) 到 \( {\mathrm{R}}^{q} \) 中所有 \( {C}^{k} \) 映射的集合.
惠特尼嵌入定理 (Whitney theorem of imbedding) 关于嵌入的性质的定理. 该定理断言: 若 \( M \) 是一个 \( n \) 维 \( {C}^{k} \) 流形,并且 \( q \geq {2n} + 1 \) ,则必有从 \( M \) 到 \( {\mathrm{R}}^{q} \) 中的嵌入映射.
嵌入存在性定理 (theorem of existence of imbedding ) 有限维流形的嵌入存在定理. 该定理断言: 若 \( M \) 是一个 \( n \) 维 \( {C}^{k} \) 流形,则存在一个从 \( M \) 到 \( {\mathrm{R}}^{2n} \) 中的闭嵌入映射,而当 \( n \geq 2 \) 时,存在一个从 \( M \) 到 \( {\mathrm{R}}^{{2n} - 1} \) 中的闭浸入映射.
所谓闭嵌入映射即该映射的像集中任一紧集的原像仍为紧集的嵌入. 闭浸入映射的定义与闭嵌入映射完全类似.
浸入的存在性定理 (theorem of existence of immersion) 见“嵌入存在性定理”.
沃尔定理 (Wall theorem) 关于嵌入的一个定理. 该定理断言: 任意一个三维紧致流形可以被嵌入到 \( {\mathrm{R}}^{5} \) 中.
赫弗里格定理 (Haefliger theorem) 关于嵌入的一个定理. 该定理断言: 如果 \( M \) 是一个紧的 \( k \) 连通流形,且 \( n \geq {2k} + 3 \) ,则 \( M \) 可以被嵌入到 \( {\mathrm{R}}^{{2n} - k} \) 中. 这里 \( M \) 称为 \( k \) 连通的,若对于任何 \( m\left( {0 \leq m \leq k}\right) \) , 从球面
\[
{S}^{m} = \left\{ {\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{m + 1}}\right) \in {\mathrm{R}}^{m + 1} \mid \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{m + 1}}{x}_{i}^{2} = 1}\right\}
\]
到 \( M \) 的任何连续映射 \( f \) ,均可扩张为
\[
{D}^{m + 1} = \left\{ {\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{m + 1}}\right) \in {\mathrm{R}}^{m + 1} \mid \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{m + 1}}{x}_{i}^{2} \leq 1}\right\}
\]
到 \( M \) 的连续映射 \( F \) . 即 \( F : {D}^{m + 1} \rightarrow M \) 连续,
\[
{\left. F\right| }_{{S}^{m}} = f.
\]
反函数定理 (inverse function theorem) 通常反函数定理在流形上的推广. 该定理指出: 设 \( U \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 是开集, \( f : U \rightarrow {\mathrm{R}}^{n} \) 是 \( {C}^{k} \) 函数, \( 1 \leq k \leq + \infty \) ,如果雅可比矩阵
\[
{\left\{ \frac{\partial \left( {{r}_{i} \circ f}\right) }{\partial {r}_{j}}\right\} }_{i,}
\]
在 \( {r}_{0} \in U \) 处为非奇异的,则存在包含 \( {r}_{0} \) 的开集 \( V \subset \) \( U \) ,满足 \( {\left. f\right| }_{V} \) 把 \( V \) 一对一地映射到开集 \( f\left( V\right) \) 上,且 \( {\left( {\left. f\right| }_{V}\right) }^{-1} \) 是 \( {C}^{k} \) 的.
由这个定理可以推出: 若 \( \psi : M \rightarrow N \) 是两个微分流形之间的 \( {C}^{k} \) 映射,且
\[
{\psi }_{ * } : {T}_{p}\left( M\right) \rightarrow {T}_{\psi \left( p\right) }\left( N\right)
\]
是一个同构,则存在 \( p \) 的邻域 \( U \) ,使得 \( \psi ;U \rightarrow \psi \left( U\right) \) 是一个微分同胚.
秩定理 (rank theorem) 映射的微分秩性质的一个定理. 该定理断言: 设 \( V \) 与 \( W \) 分别是 \( n \) 维与 \( m \) 维 \( {C}^{k} \) 流形. \( f : V \rightarrow W \) 是一个 \( {C}^{k} \) 映射,且在每个点 \( a \) \( \in V \) 处 \( \mathrm{d}f \) 的秩是一个与 \( a \) 无关的整数 \( r \) ,则存在 \( a \) 与 \( f\left( a\right) \) 的区图 \( \left( {U,\phi }\right) \) 与 \( \left( {{U}^{\prime },{\phi }^{\prime }}\right) \) ,使得 \( {\phi }^{\prime } \circ f \circ {\phi }^{-1} \) \( {\left. \right| }_{\phi \left( V\right) } \) 是映射
\[
\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \leftrightarrow \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{r},0,\cdots ,0}\right) .
\]
淹没 (submersion) 其微分具有某种性质的映射. 设 \( M \) 与 \( N \) 分别是 \( m \) 维与 \( n \) 维微分流形, \( f : M \rightarrow \) \( N \) 是可微映射,若 \( {f}_{ * } \) 在 \( p \in M \) 处是满射,则称 \( f \) 在 \( p \) 处是淹没的. 若 \( f \) 在 \( M \) 的每点都是淹没的,则称 \( f \) 是一个淹没. 特别地,令
\[
\beta : {\mathrm{R}}^{m} = {\mathrm{R}}^{n} \times {\mathrm{R}}^{m - n} \rightarrow {\mathrm{R}}^{n}
\]
表示投影 \( \beta \left( {{u}_{1},{u}_{2},\cdots ,{u}_{m}}\right) = \left( {{u}_{1},{u}_{2},\cdots ,{u}_{n}}\right) \) ,则 \( \beta \) 是一个淹没,称为典型淹没. 若 \( f \) 在 \( p \in M \) 处是淹没, 则存在 \( p \in M \) 处的区图 \( \left( {U,\phi }\right) \) 和 \( f\left( p\right) \in N \) 的区图 \( \left( {V,\psi }\right) \) ,使得 \( f \) 的局部表示
\[
\widehat{f} = \psi \circ f \circ {\phi }^{-1} : \phi \left( U\right) \rightarrow \psi \left( V\right)
\]
具有形式 \( \widehat{f}\left( {{u}_{1},{u}_{2},\cdots ,{u}_{m}}\right) = \left( {{u}_{1},{u}_{2},\cdots ,{u}_{n}}\right) \) ,从而 \( f \) 在 \( p \) 的某个邻域上等价于典型淹没. 淹没映射是一个开映射.
典型淹没 (canonical submersion) 见“淹没”.
横截映射(transversal map) 其像点具有某种性质的映射. 设 \( f : M \rightarrow N \) 是 \( m \) 维微分流形 \( M \) 与 \( n \) 维微分流形 \( N \) 之间的可微映射, \( S \) 是 \( N \) 的 \( p \) 维子流形,若对于 \( x \in M \) ,有 \( f\left( x\right) \notin S \) 或者
\[
\mathrm{d}f\left( {{T}_{x}\left( M\right) }\right) + {T}_{f\left( x\right) }\left( S\right) = {T}_{f\left( x\right) }\left( N\right) ,
\]
则称 \( f \) 在点 \( x \) 处横截于子流形 \( S \) ; 若 \( f \) 在 \( M \) 的每点处横截于 \( S \) ,则称 \( f \) 横截于 \( S \) ,其中的加法是直和.
关于横截映射的一个重要结论是: 若 \( f \) 为横截于 \( S \) 的映射,且 \( P = {f}^{-1}\left( S\right) \) ,则 \( \left( {P, i}\right) \) 是 \( M \) 的一个子流形,其中 \( i \) 为包含映射.
托姆横截性引理 (Thom transversality lemma) 关于横截映射集的性质的一个引理. 设 \( M, N \) 分别是 \( m \) 维与 \( n \) 维的光滑流形, \( S \) 是 \( N \) 的一个子流形, \( {C}_{S}^{\infty }\left( {M, N}\right) \) 表示 \( {C}^{\infty }\left( {M, N}\right) \) 中横截于 \( S \) 的映射全体构成的空间,则 \( {C}_{S}^{\infty }\left( {M, N}\right) \) 是 \( {C}^{\infty }\left( {M, N}\right) \) 中的开子集且在 \( {C}^{\infty }\left( {M, N}\right) \) 中是稠密的.
零测度 (measure zero) 利用区图把流形的子集映入 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中,其像集测度为零. 设 \( M \) 是一个有可数基的 \( n \) 维微分流形, \( S \subset M \) ,若对于 \( M \) 上的任何区图 \( \left( {U,\phi }\right) ,\phi \left( {S \cap U}\right) \) 都是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的零测度集,则称 \( S \) 在 \( M \) 中有零测度.
萨德定理 (Sard theorem) 映射临界值全体为零测度的定理. 该定理指出: 设 \( M, N \) 是分别为 \( m, n \) 维的 \( {C}^{k} \) 流形,若 \( f : M \rightarrow N \) 是一个 \( {C}^{k} \) 映射,且 \( k > \) \( \max \{ 0, m - n\} \) ,则 \( f \) 的临界点集合 \( A \) 的像 \( f\left( A\right) \) 在 \( N \) 中有零测度.
萨德定理有许多重要的应用. 例如, 著名的布劳威尔不动点定理在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的情形和横截性引理都可由萨德定理推出.
切丛 (tangent bundle) 流形上每点的切空间的并. 设 \( M \) 是一个有微分结构 \( \mathcal{F} \) 的 \( n \) 维 \( {C}^{r} \) 流形, 令
\[
T\left( M\right) = \mathop{\bigcup }\limits_{{p \in M}}{T}_{p}\left( M\right) ,
\]
则在 \( T\left( M\right) \) 上可由 \( \mathcal{F} \) 自然地引入一个 \( {C}^{r - 1} \) 微分结构,使 \( T\left( M\right) \) 成为一个 \( {2n} \) 维的 \( {C}^{r - 1} \) 流形如下: 令 \( \pi : T\left( M\right) \rightarrow M \) 为自然投影, \( \pi \left( v\right) = p\left( {v \in {T}_{p}\left( M\right) }\right) \) . 对于 \( \left( {U,\phi }\right) \in \mathcal{F} \) ,设 \( U \) 中每一点在 \( \phi \) 之下的坐标函数为 \( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n} \) ,当
\[
v = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{a}^{j}\frac{\partial }{\partial {x}_{j}}
\]
时,令映射 \( \widetilde{\varphi } : {\pi }^{-1}\left( U\right) \rightarrow {\mathrm{R}}^{2n} \) 为
\[
\widetilde{\varphi }\left( v\right) = \left( {\phi \left( {\pi \left( v\right) }\right) ,{a}^{1},{a}^{2},\cdots ,{a}^{n}}\right) ,
\]
则 \( \bar{\varphi } \) 是从 \( {\pi }^{-1}\left( U\right) \) 到 \( {\mathrm{R}}^{2n} \) 的开子集 \( \phi \left( U\right) \times {\mathrm{R}}^{n} \) 上的一个双射,在 \( T\left( M\right) \) 中引进拓扑使所有 \( \widetilde{\phi } \) 是同胚. 当 \( (U \) , \( \phi ) \) 取遍 \( \mathcal{F} \) 中的一切成员时,相应 \( {\pi }^{-1}\left( U\right) \ |
2000_数学辞海（第3卷） | 159 | 上可由 \( \mathcal{F} \) 自然地引入一个 \( {C}^{r - 1} \) 微分结构,使 \( T\left( M\right) \) 成为一个 \( {2n} \) 维的 \( {C}^{r - 1} \) 流形如下: 令 \( \pi : T\left( M\right) \rightarrow M \) 为自然投影, \( \pi \left( v\right) = p\left( {v \in {T}_{p}\left( M\right) }\right) \) . 对于 \( \left( {U,\phi }\right) \in \mathcal{F} \) ,设 \( U \) 中每一点在 \( \phi \) 之下的坐标函数为 \( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n} \) ,当
\[
v = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{a}^{j}\frac{\partial }{\partial {x}_{j}}
\]
时,令映射 \( \widetilde{\varphi } : {\pi }^{-1}\left( U\right) \rightarrow {\mathrm{R}}^{2n} \) 为
\[
\widetilde{\varphi }\left( v\right) = \left( {\phi \left( {\pi \left( v\right) }\right) ,{a}^{1},{a}^{2},\cdots ,{a}^{n}}\right) ,
\]
则 \( \bar{\varphi } \) 是从 \( {\pi }^{-1}\left( U\right) \) 到 \( {\mathrm{R}}^{2n} \) 的开子集 \( \phi \left( U\right) \times {\mathrm{R}}^{n} \) 上的一个双射,在 \( T\left( M\right) \) 中引进拓扑使所有 \( \widetilde{\phi } \) 是同胚. 当 \( (U \) , \( \phi ) \) 取遍 \( \mathcal{F} \) 中的一切成员时,相应 \( {\pi }^{-1}\left( U\right) \) 的全体形成 \( T\left( M\right) \) 的一个覆盖. 容易验证,在上述 \( T\left( M\right) \) 的拓扑之下, 含有
\[
\left\{ {\left( {{\pi }^{-1}\left( U\right) ,\widetilde{\phi }}\right) \mid \left( {U,\phi }\right) \in \mathcal{F}}\right\}
\]
的最大集族 \( \widetilde{\mathcal{F}} \) 成为一个 \( {C}^{r - 1} \) 微分结构. \( T\left( M\right) \) 在此结构下,成为一个 \( {2n} \) 维的 \( {C}^{r - 1} \) 流形,称为 \( M \) 的切丛.
余切丛 (cotangent bundle) 流形上每点的余切空间的并. 设 \( M \) 是一个有微分结构的 \( n \) 维 \( {C}^{r} \) 流形, 令
\[
{T}^{ * }\left( M\right) = \mathop{\bigcup }\limits_{{p \in M}}{T}_{p}^{ * }\left( M\right)
\]
则与切丛情形类似可在 \( {T}^{ * }\left( M\right) \) 上由 \( \mathcal{F} \) 自然地引入一个 \( {C}^{r - 1} \) 微分结构如下: 令
\[
{\pi }^{ * } : {T}^{ * }\left( M\right) \rightarrow M,{\pi }^{ * }\left( \tau \right) = p\left( {\tau \in {T}_{p}^{ * }\left( M\right) }\right) .
\]
设 \( \left( {U,\phi }\right) \in \mathcal{F} \) ,坐标函数为 \( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n} \) ,令映射: \( {\bar{\varphi }}^{ * } : {\left( {\pi }^{ * }\right) }^{-1}\left( U\right) \rightarrow {\mathrm{R}}^{2n} \) 为 \( {\bar{\varphi }}^{ * }\left( \tau \right) = \left( {\phi \left( {{\pi }^{ * }\left( \tau \right) }\right) ,{b}_{1},{b}_{2}}\right. \) \( \left. {\cdots ,{b}_{n}}\right) \) ,当
\[
\tau = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{b}_{i}\mathrm{\;d}{x}_{i}
\]
则 \( {\widetilde{\varphi }}^{ * } \) 是从 \( {\left( {\pi }^{ * }\right) }^{-1}\left( U\right) \) 到 \( {\mathrm{R}}^{2n} \) 的开子集 \( \phi \left( U\right) \times {\mathrm{R}}^{n} \) 上的一个双射,在 \( {T}^{ * }\left( M\right) \) 中引进拓扑使所有 \( {\widetilde{\varphi }}^{ * } \) 是同胚. 则当 \( \left( {U,\phi }\right) \) 取遍 \( \mathcal{F} \) 中的一切成员时,相应 \( {\left( {\pi }^{ * }\right) }^{-1}\left( U\right) \) 的全体形成 \( {T}^{ * }\left( M\right) \) 的一个覆盖. 在上述引入 \( {T}^{ * }\left( M\right) \) 的拓扑之下,含有
\[
\left\{ {\left( {{\left( {\pi }^{ * }\right) }^{-1}\left( U\right) ,{\widetilde{\phi }}^{ * }}\right) \mid \left( {U,\phi }\right) \in \mathcal{F}}\right\}
\]
的最大集族 \( {\widetilde{\mathcal{F}}}^{ * } \) 即为 \( {T}^{ * }\left( M\right) \) 上的一个 \( {C}^{r - 1} \) 微分结构. \( {T}^{ * }\left( M\right) \) 在 \( {\widetilde{\mathcal{F}}}^{ * } \) 之下成为一个 \( {2n} \) 维的 \( {C}^{r - 1} \) 流形, 称为 \( M \) 的余切丛.
纤维丛(fibre bundle) 坐标丛的一个等价类. 设给了下列事物: 空间 \( E \) 称为全空间,空间 \( B \) 称为底空间,连续映射 \( \pi : E \rightarrow B \) 称为投影,空间 \( F \) 称为典型纤维, \( G \) 为作用在 \( F \) 上的有效拓扑变换群,称为结构群, \( {\left\{ {V}_{j}\right\} }_{j \in J} \) 为 \( B \) 的开覆盖,且对每个 \( {V}_{j} \) 有同胚 \( {\phi }_{j} : {V}_{j} \times F \rightarrow {\pi }^{-1}\left( {V}_{j}\right) ,\left( {{V}_{j},{\phi }_{j}}\right) \) 称为局部平凡化区图,而 \( \left\{ \left( {{V}_{j},{\phi }_{j}}\right) \right\} \) 称为图册. 若满足下列条件,它就是一个坐标丛:
1. \( \pi {\phi }_{j}\left( {x, y}\right) = x \) ,对任意 \( x \in {V}_{j} \) 和任意 \( y \in F \) ;
2. 令 \( {\phi }_{j, x} : F \rightarrow {\pi }^{-1}\left( x\right) \) 为 \( {\phi }_{j, x}\left( y\right) = {\phi }_{j}\left( {x, y}\right) \) ,则对任意 \( x \in {V}_{i} \cap {V}_{j} \) ,同胚 \( {\phi }_{i, x}^{-1} \circ {\phi }_{j, x} : F \rightarrow F \) 属于 \( G \) ;
3. 对任意 \( i, j \in J \) ,由 \( {g}_{ij}\left( x\right) = {\phi }_{i, x}^{-1} \circ {\phi }_{j, x} \) 定义的映射 \( {g}_{ij} : {V}_{i} \cap {V}_{j} \rightarrow G \) 连续, \( \left\{ {g}_{ij}\right\} \) 称为转移函数族.
坐标丛记为
\[
\left( {E, B,\pi, F, G,\left\{ \left( {{V}_{j},{\phi }_{j}}\right) \right\} ,\left\{ {g}_{ij}\right\} }\right) \text{.}
\]
对任意 \( x \in B \) ,记 \( {F}_{x} = {\pi }^{-1}\left( x\right) \) ,称为点 \( x \) 上的纤维,它同胚于典型纤维 \( F \) .
若两个具有相同的全空间、底空间、投影、典型纤维和结构群的坐标丛的两个转移函数族合并起来仍满足条件 1,2 和 3 , 即仍成为一个转移函数族, 则称这两个坐标丛严格等价.
坐标丛在严格等价之下的一个等价类称为一个纤维丛.
由于每一个坐标丛都惟一地决定了一个纤维丛, 故通常当得到一个坐标丛时, 就认为得到了一个纤维丛,且简记为 \( \left( {E, B,\pi, F, G}\right) \) ,当 \( G \) 无需指明时也简记为 \( \left( {E, B,\pi, F}\right) \) . 当 \( F, G \) 和 \( \pi \) 无需指明时也说 \( E \) 是 \( B \) 上的一个纤维丛. 例如,若 \( M \) 是 \( n \) 维微分流形,其切丛 \( T\left( M\right) \) 在自然投影 \( \pi \) 之下是 \( M \) 上的一个纤维丛,实际上是以 \( T\left( M\right) \) 为全空间, \( M \) 为底空间, \( \pi \) 为投影, \( {\mathrm{R}}^{n} \) 为典型纤维,一般线性群 \( \mathrm{{GL}}\left( {n,\mathrm{R}}\right) \) 为结构群的纤维丛.
纤维 (fibre) 见“纤维丛”.
典型纤维 (fibre type, typical fibre) 见 “纤维丛”.
坐标丛(coordinate bundle) 见“纤维丛”.
转移函数 (transition fuction) 见“纤维丛”.
丛射 (bundle morphism) 纤维丛之间的保纤维的映射. 设给了具有相同典型纤维 \( F \) 的两个纤维丛 \( \left( {{E}_{1},{B}_{1},{\pi }_{1}}\right) \) 与 \( \left( {{E}_{2},{B}_{2},{\pi }_{2}}\right) \) ,如果有映射对 \( \left( {u, f}\right) \) ,
\[
u : {E}_{1} \rightarrow {E}_{2},\;f : {B}_{1} \rightarrow {B}_{2}
\]
使得 \( {\pi }_{2} \circ u = f \circ {\pi }_{1} \) ,就称 \( \left( {u, f}\right) \) 为丛射.
丛射保持纤维, 即把一个丛的纤维映为另一个丛的纤维.
向量丛 (vector bundle) 特殊的纤维丛. 典型纤维为向量空间的纤维丛称为向量丛. 特别是当典型纤维分别为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 与 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 时,相应的纤维丛分别称为秩为 \( n \) 或 \( n \) 维实向量丛与复解析向量丛. 作为例子, \( n \) 维微分流形 \( M \) 的切丛 \( \left( {T\left( M\right), M,\pi ,{T}_{p}\left( M\right) }\right) \) 是一个向量丛.
纤维丛的截面 (cross section of fibre bundle)
纤维丛中满足一定条件的映射. 设有纤维丛 \( \left( {E, B,\pi, F}\right) \) ,如果连续映射 \( s : B \rightarrow E \) 满足条件
\[
\pi \circ s = \mathrm{{id}},
\]
那么 \( s \) 称为 \( \left( {E, B,\pi, F}\right) \) 的一个截面,其中 id 表示恒同映射.
特别地,当 \( B \) 是 \( n \) 维微分流形, \( E \) 为 \( B \) 的切丛时,截面恰为流形 \( B \) 的向量场.
对于任意的纤维丛 \( \left( {E, B,\pi, F}\right) \) 的两个截面 \( {\sigma }_{1} \) 与 \( {\sigma }_{2} \) ,及任意的 \( f \in {C}^{0}\left( B\right) \) ,存在惟一的截面 \( {\sigma }_{1} + {\sigma }_{2} \) : \( B \rightarrow E \) 与 \( f{\sigma }_{1} : B \rightarrow E \) ,使得
\[
\left( {{\sigma }_{1} + {\sigma }_{2}}\right) \left( x\right) = {\sigma }_{1}\left( x\right) + {\sigma }_{2}\left( x\right) ,
\]
\[
\left( {f{\sigma }_{1}}\right) \left( x\right) = f\left( x\right) {\sigma }_{1}\left( x\right) \left( {x \in B}\right) .
\]
从而使得纤维丛的截面全体构成了一个 \( {C}^{0}\left( B\right) \) 模, 称为截面模.
一个截面 \( s : B \rightarrow E \) ,如果 \( s\left( x\right) = 0 \in {\pi }^{-1}\left( x\right) (\forall x \) \( \in B) \) ,则称 \( s \) 为 0 截面. 显然,对于每一个纤维丛,它的 0 截面总是存在的, 但是一般地, 不一定存在处处非 0 的截面,例如 \( \left( {T\left( {S}^{2}\right) ,{S}^{2},\pi }\right) \) 上便不存在处处非 0 的截面. 一个 \( n \) 维实向量丛 \( \left( {E, B,\pi }\right) \) ,如果存在 \( n \) 个处处线性无关的截面 \( {s}_{1},{s}_{2},\cdots ,{s}_{n} \) ,则称它是可以平行化的. \( \left( {E, B,\pi }\right) \) 可平行化的充分必要条件是 \( \left( {E, B,\pi }\right) \) 等价于 \( \left( {B \times {\mathrm{R}}^{n}, B,\pi }\right) \) .
实向量丛 (real vector bundle) 特殊的向量丛. 典型纤维为实 (复) 向量空间 \( {\mathrm{R}}^{n}\left( {\mathrm{C}}^{n}\right) \) ,且其结构群为通常的一般线性群 \( \mathrm{{GL}}\left( {n,\mathrm{R}}\right) \left( {\mathrm{{GL}}\left( {n,\mathrm{C}}\right) }\right) \) ,这样构成的向量丛称为实 (复) \( n \) 维向量丛. 当 \( n = 1 \) 时称为实 (复) 线丛.
复向量丛 (complex vector bundle) 见 “实向量丛”.
诱导丛 (induced bundle) 由一空间到某纤维丛的底空间的映射诱导出的纤维丛. 设 \( \xi = (E, B \) , \( \pi ) \) 是一个纤维丛, \( f : {B}_{1} \rightarrow B \) 为连续映射,其中 \( {B}_{1} \) 为一拓扑空间,则由 \( f \) 与 \( \xi \) 可
以自然地产生一个以 \( {B}_{1} \) 为底空间的纤维丛 \( {f}^{ * }\xi \) ,称它为 \( \xi \) 在 \( f \) 之下的诱导丛或 \( \xi \) 用 \( f \) 的拉回.
对于给定的 \( \xi \) 与 \( f \) ,令
\( {E}_{1} = \left\{ {\left( {e,{b}_{1}}\right) \mid e \in E,{b}_{1} \in {B}_{1},\pi \left( e\right) = f\left( {b}_{1}\right) }\right\} ,{E}_{1} \) 的拓扑是 \( E \times {B}_{1} \) 的诱导子空间拓扑,然后令
\[
{\pi }_{1} : {E}_{1} \rightarrow {B}_{1},\;{\pi }_{1}\left( {e,{b}_{1}}\right) = {b}_{1},
\]
则容易验证 \( \left( {{E}_{1},{B}_{1},{\pi }_{1}}\right) \) 是一个丛. 如果令
\[
\widetilde{f} : {E}_{1} \rightarrow E,\;\widetilde{f}\left( {e,{b}_{1}}\right) = e,
\]
则上图可交换,并且 \( {f}^{ * }\xi = \left( {{E}_{1},{B}_{1},{\pi }_{1}}\right) \) 在等价意义下是由此图所决定的.
拉回 (pull-back) 见“诱导丛”.
\( {C}^{k} \) 类可微纤维丛 (differentiable fiber bundle of class \( {C}^{k} \) ) 转移函数是 \( {C}^{k} \) 可微的纤维丛. 若坐标丛 \( \left( {E, B,\pi, F, G}\right) \) 中 \( E, B, F \) 均为 \( {C}^{k} \) 微分流形, \( G \) 为一个李群,且图册 \( \left\{ {\left( {U,\phi }\right) \mid U \subset B,\phi : U \times F \rightarrow {\pi }^{-1}\left( U\right) }\right\} \) 中的 \( U \) 是 \( B \) 的微分结构的定义域,转移函数 \( {g}_{ij} : {U}_{i} \cap {U}_{j} \rightarrow G \) 是 \( {C}^{k} \) 可微的,则 \( \left( {E, B,\pi, F, G}\right) \) 称为 \( {C}^{k} \) 类可微纤维丛.
作为例子, \( n \) 维 \( {C}^{k} \) 微分流形 \( M \) 的切丛 \( T\left( M\right) \) 使 \( \left( {T\left( M\right), M,\pi ,{\mathrm{R}}^{n},\mathrm{{GL}}\left( {n,\mathrm{R}}\right) }\right) \) 成为一个 \( {C}^{k - 1} \) 类可微纤维丛,亦称为 \( {C}^{k - 1} \) 类微分切丛.
向量场 (vector field) 切丛的截面. \( n \) 维微分流形 \( M \) 上一个开集 \( U \) 到切丛 \( T\left( M\right) \) 的映射 \( X \) ,即 \( X : U \rightarrow T\left( M\right) \) ,且满足 \( \pi \circ X = {\left. \mathrm{{id}}\right| }_{U} \) . 特别取 \( U \) 为 \( M \) 时,称 \( X \) 为 \( M \) 上的向量场. 若 \( X \in {C}^{\infty }\left( {U, T\left( M\right) }\right) \) , 则称向量场 \( X \) 为光滑向量场.
若 \( f \) 是 \( U \) 上一个 \( {C}^{\infty } \) 函数,则 \( X\left( f\right) \) 是 \( U \) 上的函数,它在 \( p \in U \) 处的值为 \( {X}_{p}\left( f\right) \) .
设 \( X \) 是一个光滑向量场, \( \left( {U,{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 为 \( M \) 的一个区图, \( \left\{ {a}_{i}\right\} \) 是 \( U \) 上的光滑函数,则 \( X \) 局部地可以表为
\[
{\left. X\right| }_{U} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{i}\frac{\partial }{\partial {x}_{i}}
\]
反之,这样一个表达式显然也确定了 \( U \) |
2000_数学辞海（第3卷） | 160 | C}^{k} \) 微分流形 \( M \) 的切丛 \( T\left( M\right) \) 使 \( \left( {T\left( M\right), M,\pi ,{\mathrm{R}}^{n},\mathrm{{GL}}\left( {n,\mathrm{R}}\right) }\right) \) 成为一个 \( {C}^{k - 1} \) 类可微纤维丛,亦称为 \( {C}^{k - 1} \) 类微分切丛.
向量场 (vector field) 切丛的截面. \( n \) 维微分流形 \( M \) 上一个开集 \( U \) 到切丛 \( T\left( M\right) \) 的映射 \( X \) ,即 \( X : U \rightarrow T\left( M\right) \) ,且满足 \( \pi \circ X = {\left. \mathrm{{id}}\right| }_{U} \) . 特别取 \( U \) 为 \( M \) 时,称 \( X \) 为 \( M \) 上的向量场. 若 \( X \in {C}^{\infty }\left( {U, T\left( M\right) }\right) \) , 则称向量场 \( X \) 为光滑向量场.
若 \( f \) 是 \( U \) 上一个 \( {C}^{\infty } \) 函数,则 \( X\left( f\right) \) 是 \( U \) 上的函数,它在 \( p \in U \) 处的值为 \( {X}_{p}\left( f\right) \) .
设 \( X \) 是一个光滑向量场, \( \left( {U,{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 为 \( M \) 的一个区图, \( \left\{ {a}_{i}\right\} \) 是 \( U \) 上的光滑函数,则 \( X \) 局部地可以表为
\[
{\left. X\right| }_{U} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{i}\frac{\partial }{\partial {x}_{i}}
\]
反之,这样一个表达式显然也确定了 \( U \) 上的一个向量场.
其次,若 \( f : M \rightarrow N \) 是微分流形间的可微映射, 定义 \( \mathrm{d}f \circ X : M \rightarrow T\left( N\right) \) 为
\[
\forall p \in M,\;\mathrm{\;d}f \circ X\left( p\right) = {\left. \mathrm{d}f\right| }_{p} \circ {X}_{p},
\]
则称它为向量场 \( X \) 在 \( \mathrm{d}f \) 下的像. 特别当 \( M = N, f \) : \( M \rightarrow M \) 是一个微分同胚,若 \( \mathrm{d}f \circ X = X \) ,则称 \( X \) 为关于 \( f \) 的不变向量场.
光滑向量场 (smooth vector field) 见 “向量
场”.
不变向量场 (invariant vector field) 见 “向量场”.
李括号 (Lie bracket) 关于向量场的一种运算. 设 \( X \) 与 \( Y \) 是微分流形 \( M \) 上的两个光滑向量场, 定义向量场 \( \left\lbrack {X, Y}\right\rbrack \) 在 \( p \) 点的取值为
\[
{\left\lbrack X, Y\right\rbrack }_{p}\left( f\right) = {X}_{p}\left( {Yf}\right) - {Y}_{p}\left( {Xf}\right)
\]
\[
\left( {p \in M, f \in {C}^{\infty }\left( M\right) }\right) \text{,}
\]
称 \( \left\lbrack {X, Y}\right\rbrack \) 为 \( X \) 与 \( Y \) 的李括号. 李括号有以下性质:
1. \( \left\lbrack {X, Y}\right\rbrack \) 是 \( M \) 上的光滑向量场.
2. 若 \( f, g \in {C}^{\infty }\left( M\right) \) ,则
\[
\left\lbrack {{fX},{gY}}\right\rbrack = {fg}\left\lbrack {X, Y}\right\rbrack + f\left( {Xg}\right) Y - g\left( {Yf}\right) X.
\]
\[
\text{3.}\left\lbrack {X, Y}\right\rbrack = - \left\lbrack {Y, X}\right\rbrack \text{.}
\]
\[
\text{4.}\left\lbrack {\left\lbrack {X, Y}\right\rbrack, Z}\right\rbrack + \left\lbrack {\left\lbrack {Y, Z}\right\rbrack, X}\right\rbrack + \left\lbrack {\left\lbrack {Z, X}\right\rbrack, Y}\right\rbrack
\]
\[
= 0\text{.}
\]
性质 4 称为雅可比恒等式. 一个向量空间有满足性质 3 与 4 的双线性运算就称为李代数.
设 \( \left( {U,{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 是 \( M \) 上一个区图,则李括号的局部表示为
\[
\left\lbrack {X, Y}\right\rbrack = \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}\left( {{f}_{i}\frac{\partial {g}_{j}}{\partial {x}_{i}} - {g}_{i}\frac{\partial {f}_{j}}{\partial {x}_{i}}}\right) \frac{\partial }{\partial {x}_{j}},
\]
其中
\[
X = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{f}_{i}\frac{\partial }{\partial {x}_{i}},\;Y = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{g}_{i}\frac{\partial }{\partial {x}_{i}}.
\]
雅可比恒等式 (Jacobi identity) 见 “李括号”.
活动标架 (moving frame) 微分流形的一组局部基. \( n \) 维微分流形 \( M \) 中开集 \( U \) 上的 \( n \) 个线性无关光滑向量场所构成的模 \( \mathcal{H}\left( U\right) \) 的一组基,称为活动标架. 这样一组基是局部的, 而整体上可能是不存在的.
向量场的积分曲线 (integral curve of a vector field) 向量场导出的微分方程的一条解曲线. 设 \( X \) 是微分流形 \( M \) 上的光滑向量场, \( \sigma \) 是 \( M \) 中的一条光滑曲线,若对 \( \sigma \) 的定义域中每个 \( t \) 有 \( \dot{\sigma }\left( t\right) \) \( = X\left( {\sigma \left( t\right) }\right) \) ,则称 \( \sigma \) 为向量场 \( X \) 的一条积分曲线.
光滑流 (smooth flow) 满足某些条件的映射. 设 \( M \) 是微分流形, \( \phi : M \times \mathrm{R} \rightarrow M \) 是光滑映射,具有性质:
\[
\text{1.}\phi \left( {p,0}\right) = p\left( {\forall p \in M}\right) \text{;}
\]
\[
\text{2.}\phi \left( {p, s + t}\right) = \phi \left( {\phi \left( {p, s}\right), t}\right)
\]
\[
\left( {\forall p \in M;\forall s, t \in \mathrm{R}}\right) \text{;}
\]
则称 \( \phi \) 是 \( M \) 上的光滑流. 微分流形 \( M \) 上任一有紧支集的光滑向量场在 \( M \) 上产生一个光滑流. 特别地,紧致微分流形 \( M \) 上的每个光滑向量场都在 \( M \) 上产生一个光滑流.
局部流 (local flow) 微分流形上开子集的光滑流. 设 \( W \) 是微分流形 \( M \) 的开子集, \( {I}_{\varepsilon } = \left( {-\varepsilon ,\varepsilon }\right) \) , \( \phi : W \times {I}_{\varepsilon } \rightarrow M \) 是光滑映射,若它具有性质:
\[
\text{1.}\phi \left( {p,0}\right) = p\left( {\forall p \in W}\right) \text{;}
\]
\[
\text{2.}\phi \left( {p, s + t}\right) = \phi \left( {\phi \left( {p, s}\right), t}\right)
\]
\[
\left( {\forall s, t, s + t \in {I}_{\varepsilon }, p,\phi \left( {p, s}\right) \in W}\right) ;
\]
则称 \( \phi \) 是 \( M \) 上的一个局部流.
单参数微分同胚群 (one parameter group of diffeomorphisms）含一个参数的微分同胚全体构成的群. 设 \( M \) 是微分流形, \( \Theta : M \times \mathrm{R} \rightarrow M \) 是光滑映射,对每个 \( t \) ,定义 \( {\theta }_{t} : M \rightarrow M \) 使得
\[{\theta }_{t}\left( p\right) = \Theta \left( {p, t}\right) \;\left( {\forall p \in M}\right) .\]
若映射族 \( \left\{ {{\theta }_{t} \mid t \in \mathrm{R}}\right\} \) 有性质:
1. 每个 \( {\theta }_{t} \) 都是微分同胚;
2. \( {\theta }_{0} = {\operatorname{id}}_{M} \) ;
3. \( {\theta }_{s} \circ {\theta }_{t} = {\theta }_{s + t}\left( {\forall s, t \in \mathrm{R}}\right) \) ;
则称 \( \Theta \) 是 \( M \) 上一个单参数微分同胚群.
\( c \) 维分布 ( \( c \) -dimensional distribution) \( n \) 维微分流形 \( M \) 的切丛中各个 \( c \) 维子空间的一种选择. 设 \( M \) 是 \( n \) 维微分流形,对于每个点 \( p \in M \) ,在 \( {T}_{p}\left( M\right) \) 中选取一个 \( c \) 维子空间 \( \mathcal{D}\left( p\right) \subset {T}_{p}\left( M\right) \) . 记这个分布为 \( \mathcal{D} \) (其中 \( c \leq n \) ).
若对每个点 \( p \in M \) ,存在 \( p \) 的一个邻域 \( U \) ,及存在 \( U \) 上的 \( c \) 个光滑向量场 \( {X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{c} \) ,使这些光滑向量场在 \( U \) 中每点张成 \( \mathcal{D} \) ,则称 \( \mathcal{D} \) 为光滑分布.
\( M \) 上的向量场 \( X \) ,若对于每个点 \( p \in M,{X}_{p} \in \) \( \mathcal{D}\left( p\right) \) ,则称 \( X \) 是属于分布 \( \mathcal{D} \) 的,记为 \( X \in \mathcal{D} \) . 对于 \( M \) 上光滑分布 \( \mathcal{D} \) 的任意两个光滑向量场 \( X, Y \) ,若 \( \left\lbrack {X, Y}\right\rbrack \in \mathcal{D} \) ,则称 \( \mathcal{D} \) 是对合分布,或称完全可积的分布.
光滑分布 (smooth distribution) 见 “ \( c \) 维分布”.
对合分布 (involutive distribution) 见 “ \( c \) 维分布”.
积分流形 (integral manifold) 光滑分布的积分子流形. 设 \( M \) 是 \( n \) 维微分流形, \( \left( {N,\psi }\right) \) 是 \( M \) 的一个子流形, \( \mathcal{D} \) 是 \( M \) 上的一个分布,若对于每个 \( p \) \( \in N \) ,
\[
{\psi }_{ * }\left( {{T}_{p}\left( N\right) }\right) = \mathcal{D}\left( {\psi \left( p\right) }\right) ,
\]
则称子流形 \( \left( {N,\psi }\right) \) 为 \( \mathcal{D} \) 的一个积分流形. 设 \( \mathcal{D} \) 是 \( M \) 上的光滑分布,则在 \( M \) 的每一点处均有 \( \mathcal{D} \) 的一个积分流形的充分必要条件是 \( \mathcal{D} \) 为对合分布.
弗罗贝尼乌斯定理 (第一形式) (Frobenius theorem (first form)) 积分流形存在性定理. 该定理断言: 若 \( \mathcal{D} \) 是微分流形 \( M \) 上的一个 \( c \) 维光滑的对合分布, \( p \in M \) ,则存在通过 \( p \) 的 \( \mathcal{D} \) 的一个积分流形.
弗罗贝尼乌斯定理 (经典形式) (Frobenius theorem (classical form)) 弗罗贝尼乌斯定理在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的形式. 设 \( U \) 与 \( V \) 分别是 \( {\mathrm{R}}^{m} \) 与 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的开集, \( {\mathrm{R}}^{m} \) 中坐标用 \( {r}_{1},{r}_{2},\cdots ,{r}_{m} \) 表示, \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中坐标用 \( {s}_{1},{s}_{2},\cdots ,{s}_{n} \) 表示. 令 \( b : U \times V \rightarrow A\left( {n, m}\right) \) 为 \( U \times V \) 到所有 \( n \times m \) 实矩阵的集合的一个 \( {C}^{\infty } \) 映射. 设 \( \left( {{r}_{0},{s}_{0}}\right) \in U \times V \) . 若在 \( U \times V \) 上
\[
\frac{\partial {b}_{i\beta }}{\partial {r}_{\gamma }} - \frac{\partial {b}_{i\gamma }}{\partial {r}_{\beta }} + \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}\left( {\frac{\partial {b}_{i\beta }}{\partial {s}_{j}}{b}_{j\gamma } - \frac{\partial {b}_{i\gamma }}{\partial {s}_{j}}{b}_{j\beta }}\right) = 0
\]
\[
\left( {i = 1,2,\cdots, n;\gamma ,\beta = 1,2,\cdots, m}\right) \text{,}
\]
则在 \( U \) 中存在 \( {r}_{0} \) 的邻域 \( {U}_{0} \) ,在 \( V \) 中存在 \( {s}_{0} \) 的邻域 \( {V}_{0} \) 以及惟一的映射 \( \alpha : {U}_{0} \times {V}_{0} \rightarrow V \) ,使得如果
\[
{\alpha }_{s}\left( r\right) = \alpha \left( {r, s}\right) \;\left( {s \in {V}_{0}, r \in {U}_{0}}\right) ,
\]
那么
\[
{\alpha }_{s}\left( {r}_{0}\right) = s,{\left. \mathrm{\;d}{\alpha }_{s}\right| }_{r} = b\left( {r,\alpha \left( {r, s}\right) }\right) .
\]
极大积分流形 (maximal integral manifold)
某种意义下为极大的积分流形. 设 \( \left( {N,\psi }\right) \) 是流形 \( M \) 的分布 \( \mathcal{D} \) 的连通积分流形,且其像不是 \( \mathcal{D} \) 的其他连通积分流形的真子集,则称 \( \left( {N,\psi }\right) \) 为 \( \mathcal{D} \) 的极大积分流形.
向量空间的张量积 (tensor product of vector spaces) 具有泛映射性质的向量空间的某种乘积. 设 \( V, W \) 是两个有限维的实向量空间, \( F\left( {V, W}\right) \) 是由对 \( \left( {v, w}\right) \left( {v \in V, w \in W}\right) \) 的所有有限线性组合所构成的 \( \mathrm{R} \) 上的向量空间. \( R\left( {V, W}\right) \) 是由 \( F\left( {V, W}\right) \) 的下述形式的元素全体生成的子空间
\[
\left( {{v}_{1} + {v}_{2}, w}\right) - \left( {{v}_{1}, w}\right) - \left( {{v}_{2}, - w}\right) ,
\]
\[
\left( {v,{w}_{1} + {w}_{2}}\right) - \left( {v,{w}_{1}}\right) - \left( {v,{w}_{2}}\right) ,
\]
\[
\left( {{av}, w}\right) - a\left( {v, w}\right) ,
\]
\[
\left( {v,{aw}}\right) - a\left( {v, w}\right) ,
\]
其中 \( a \in \mathrm{R}, v,{v}_{1},{v}_{2} \in V, w,{w}_{1},{w}_{2} \in W \) ,则称商空间 \( F\left( {V, W}\right) /R\left( {V, W}\right) \) 为 \( V \) 与 \( W \) 的张量积,记为 \( V \otimes \) \( W \) ,其元素记为
\[
\mathop{\sum }\limits_{{i, j}}{a}_{ij}{v}_{i} \otimes {w}_{j}
\]
\( \left\{ {{v}_{i} \mid i = 1,2,\cdots, m}\right\} \) 与 \( \left\{ {{w}_{i} \mid i = 1,2,\cdots, n}\right\} \) 分别为 \( V \) 与 \( W \) 的一组基.
向量空间 \( V \) 与 \( W \) 的张量积 \( V \otimes W \) 具有泛映射性质. 即当令 \( \phi : V \times W \rightarrow V \otimes W\left( {\phi \left( {v, w}\right) = v \otimes w}\right) \) 时, 若 \( l : V \times W \rightarrow U \) 为双线性映
射 \( \left( {U\text{是一个向量空间}}\right) \) ,则存在惟一的线性映射 \( \widetilde{l} : V \otimes W \rightarrow \) \( U \) ,使得右图为交换图. 这时称 \( V \otimes W \) 与 \( \phi \) 组成的对因为有此性质, 称为解决了泛映射问题.
向量空间的张量代数 (tensor algebra of vector space) 由向量空间与其对偶空间的张量积直和所构成的代数. 向量空间 \( V \) 的 \( \left( {r, s}\right) \) 型张量空间 \( {V}_{r, s} \) 定义为
\[
{V}_{r, s} = \underset{r\text{ 个 }}{\underbrace{V \otimes \cdots \otimes V}}\underset{s\text{ 个 }}{\underbrace{\otimes {V}^{ * } \otimes \cdot |
2000_数学辞海（第3卷） | 161 | ( W \) ,其元素记为
\[
\mathop{\sum }\limits_{{i, j}}{a}_{ij}{v}_{i} \otimes {w}_{j}
\]
\( \left\{ {{v}_{i} \mid i = 1,2,\cdots, m}\right\} \) 与 \( \left\{ {{w}_{i} \mid i = 1,2,\cdots, n}\right\} \) 分别为 \( V \) 与 \( W \) 的一组基.
向量空间 \( V \) 与 \( W \) 的张量积 \( V \otimes W \) 具有泛映射性质. 即当令 \( \phi : V \times W \rightarrow V \otimes W\left( {\phi \left( {v, w}\right) = v \otimes w}\right) \) 时, 若 \( l : V \times W \rightarrow U \) 为双线性映
射 \( \left( {U\text{是一个向量空间}}\right) \) ,则存在惟一的线性映射 \( \widetilde{l} : V \otimes W \rightarrow \) \( U \) ,使得右图为交换图. 这时称 \( V \otimes W \) 与 \( \phi \) 组成的对因为有此性质, 称为解决了泛映射问题.
向量空间的张量代数 (tensor algebra of vector space) 由向量空间与其对偶空间的张量积直和所构成的代数. 向量空间 \( V \) 的 \( \left( {r, s}\right) \) 型张量空间 \( {V}_{r, s} \) 定义为
\[
{V}_{r, s} = \underset{r\text{ 个 }}{\underbrace{V \otimes \cdots \otimes V}}\underset{s\text{ 个 }}{\underbrace{\otimes {V}^{ * } \otimes \cdots \otimes {V}^{ * }}},
\]
其中 \( {V}_{0,0} = \mathrm{R},{V}^{ * } \) 是 \( V \) 的对偶空间. 对于这样一些向量空间取直和
\[
T\left( V\right) = \mathop{\sum }\limits_{{r, s \geq 0}}{V}_{r, s}
\]
则在张量积的运算之下, \( T\left( V\right) \) 成为一个代数,称为向量空间 \( V \) 的张量代数.
\( T\left( V\right) \) 中的元素称为张量,它是各个 \( {V}_{r, s} \) 中的元素关于 \( \mathrm{R} \) 的有限线性组合, \( {V}_{r,0} \) 中的元素称为 \( r \) 阶反变张量, \( {V}_{0, s} \) 中的元素称为 \( s \) 阶协变张量, \( {V}_{r, s} \) 中的元素称为 \( \left( {r, s}\right) \) 阶齐次张量.
设 \( \left\{ {{e}_{i} \mid 1 \leq i \leq n}\right\} \) 与 \( \left\{ {{e}^{*i} \mid 1 \leq i \leq n}\right\} \) 分别是 \( V \) 和 \( {V}^{ * } \) 彼此对偶的基底,则
\[
{e}_{{i}_{1}} \otimes \cdots \otimes {e}_{{i}_{r}} \otimes {e}^{*{k}_{1}} \otimes \cdots \otimes {e}^{*{k}_{s}}
\]
\[
\left( {1 \leq {i}_{1},{i}_{2},\cdots ,{i}_{r},{k}_{1},{k}_{2},\cdots ,{k}_{s} \leq n}\right)
\]
是 \( {V}_{r, s} \) 的基底. 因此, \( \left( {r, s}\right) \) 型张量 \( x \) 可以惟一地表成
\[
x = \mathop{\sum }\limits_{\substack{{{i}_{1},\cdots ,{i}_{r}} \\ {{k}_{1},\cdots ,{k}_{s}} }}{x}_{{k}_{1},\cdots ,{k}_{s}}^{{i}_{1},\cdots ,{i}_{r}}{e}_{{i}_{1}} \otimes \cdots \otimes {e}_{{i}_{r}} \otimes {e}^{*{k}_{1}} \otimes \cdots \otimes {e}^{*{k}_{s}},
\]
其中 \( {x}_{{k}_{1},\cdots ,{k}_{s}}^{{i}_{1},\cdots ,{i}_{r}} \) 称为张量 \( x \) 在上述基底下的分量.
处理张量时, 通常采用爱因斯坦的和式约定: 在一个单项表达式中出现重复的上、下指标, 表示该式关于这个指标在它的取值范围内求和, 而略去和号不写,采用这个约定,上述张量 \( x \) 可写成
\[
x = {x}_{{k}_{1},\cdots ,{k}_{s}}^{{i}_{1},\cdots ,{i}_{r}}{e}_{{i}_{1}} \otimes \cdots \otimes {e}_{{i}_{r}} \otimes {e}^{*{k}_{1}} \otimes \cdots \otimes {e}^{*{k}_{s}}.
\]
设 \( x \) 是 \( \left( {{r}_{1},{s}_{1}}\right) \) 型张量, \( y \) 是 \( \left( {{r}_{2},{s}_{2}}\right) \) 型张量,则它们的积 \( x \otimes y \) 是 \( \left( {{r}_{1} + {r}_{2},{s}_{1} + {s}_{2}}\right) \) 型张量.
张量 (tensor) 见“向量空间的张量代数”.
反变张量 (contravariant tensor) 见 “向量空间的张量代数”.
协变张量 (covariant tensor) 见 “向量空间的
张量代数”.
齐次张量 (homogeneous tensor) 见 “向量空间的张量代数”.
对称张量 (symmetric tensor) 各分量关于指标对称的张量,即在正整数 \( \{ 1,2,\cdots, r\} \) 的置换作用下不变的 \( r \) 阶反变张量. 记 \( {T}^{r}\left( V\right) = {V}_{r, o} \) ,它表示 \( r \) 阶反变张量全体. \( P\left( r\right) \) 表示 \( \{ 1,2,\cdots, r\} \) 的置换群. 设 \( x \in {T}^{r}\left( V\right) \) ,若对任意的 \( \sigma \in P\left( r\right) \) ,都有 \( {\sigma x} = x \) ,则称 \( x \) 是对称的 \( r \) 阶反变张量. 若对任意的 \( \sigma \in P\left( r\right) \) , 都有 \( {\sigma x} = \operatorname{sgn}\sigma \cdot x \) ,其中 \( \operatorname{sgn}\sigma \) 表示置换 \( \sigma \) 的符号, 即
\[
\operatorname{sgn}\sigma = \left\{ \begin{matrix} 1 & \left( {\sigma \text{ 是偶置换 }}\right) , \\ - 1 & \left( {\sigma \text{ 是奇置换 }}\right) , \end{matrix}\right.
\]
则称 \( x \) 是反对称 \( r \) 阶反变张量. 设 \( x \in {T}^{r}\left( V\right) \) ,则 \( x \) 是对称张量的充分必要条件是它的分量关于各指标是对称的. \( x \) 是反对称张量的充分必要条件是它的分量关于各指标是反对称的.
反对称张量 (anti-symmetric tensor) 见 “对称张量”.
对称化算子 (symmetrization operator) 作用于反对称张量上的算子. 对任意的 \( x \in {T}^{r}\left( V\right) \) ,令
\[
{S}_{r}\left( x\right) = \frac{1}{r!}\mathop{\sum }\limits_{{\sigma \in P\left( r\right) }}{\sigma x},{A}_{r}\left( x\right) = \frac{1}{r!}\mathop{\sum }\limits_{{\sigma \in P\left( r\right) }}\operatorname{sgn}\sigma \cdot {\sigma x}.
\]
它们分别称为 \( r \) 阶反变张量的对称化算子和反对称化算子. 用 \( {P}^{r}\left( V\right) \) 表示全体对称的 \( r \) 阶反变张量的集合,用 \( {\Lambda }^{r}\left( V\right) \) 表示全体反对称的 \( r \) 阶反变张量的集合. 不难验证有性质: \( {S}_{r} \circ {S}_{r} = {S}_{r},{A}_{r} \circ {A}_{r} = {A}_{r} \) ,且
\[
{P}^{r}\left( V\right) = {S}_{r}\left( {{T}^{r}\left( V\right) }\right) ,{\Lambda }^{r}\left( V\right) = {A}_{r}\left( {{T}^{r}\left( V\right) }\right) .
\]
这里对于对称张量与反对称张量的讨论同样适用于协变张量.
反对称化算子 (anti-symmetrization operator) 见“对称化算子”.
外积 (exterior product) 反变张量之间的一种运算. 反对称的 \( r \) 阶反变张量也称为外 \( r \) 次向量,空间 \( {\Lambda }^{r}\left( V\right) \) 称为 \( V \) 上的外 \( r \) 次向量空间. 设 \( \xi \) 是外 \( k \) 次向量, \( \eta \) 是外 \( l \) 次向量,命
\[
\xi \land \eta = {A}_{k + l}\left( {\xi \otimes \eta }\right) ,
\]
其中 \( {A}_{k + l} \) 是反对称化算子,则 \( \xi \land \eta \) 是外 \( \left( {k + l}\right) \) 次向量,称为外向量 \( \xi \) 与 \( \eta \) 的外积.
外积有下列运算规律: 设 \( \xi ,{\xi }_{1},{\xi }_{2} \in {\Lambda }^{k}\left( V\right) ,\eta \) , \( {\eta }_{1},{\eta }_{2} \in {\Lambda }^{l}\left( V\right) ,\zeta \in {\Lambda }^{h}\left( V\right) \) ,则有:
1. 分配律
\( \left( {{\xi }_{1} + {\xi }_{2}}\right) \land \eta = {\xi }_{1} \land \eta + {\xi }_{2} \land \eta , \)
\( \xi \land \left( {{\eta }_{1} + {\eta }_{2}}\right) = \xi \land {\eta }_{1} + \xi \land {\eta }_{2}; \)
2. 反交换律
\[
\xi \land \eta = {\left( -1\right) }^{kl}\eta \land \xi
\]
3. 结合律
\( \left( {\xi \land \eta }\right) \land \zeta = \xi \land \left( {\eta \land \zeta }\right) . \)
设 \( \left\{ {{e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{n}}\right\} \) 是 \( V \) 的一个基底,由结合律有
\[
{e}_{{i}_{1}} \land \cdots \land {e}_{{i}_{r}} = {A}_{r}\left( {{e}_{{i}_{1}} \otimes \cdots \otimes {e}_{{i}_{r}}}\right)
\]
\[
\left( {1 \leq {i}_{1},{i}_{2},\cdots ,{i}_{r} \leq n}\right) \text{.}
\]
设 \( \xi \) 是 \( r \) 次外向量,用分量可表示成
\[
\xi = {\xi }^{{i}_{1}\cdots {i}_{r}}{e}_{{i}_{1}} \otimes \cdots \otimes {e}_{{i}_{r}},
\]
\( {A}_{r} \) 是线性算子,故
\[
\xi = {\xi }^{{i}_{1}\cdots {i}_{r}}{A}_{r}\left( {{e}_{{i}_{1}} \otimes \cdots \otimes {e}_{{i}_{r}}}\right)
\]
\[
= {\xi }^{{i}_{1}\cdots {i}_{r}}{e}_{{i}_{1}} \land \cdots \land {e}_{{i}_{r}},
\]
所以 \( \xi \) 可表示成
\[
\xi = r!\mathop{\sum }\limits_{{{i}_{1} < \cdots < {i}_{r}}}{\xi }^{{i}_{1}\cdots {i}_{r}}{e}_{{i}_{1}} \land \cdots \land {e}_{{i}_{r}}.
\]
设 \( {v}^{*1},{v}^{*2},\cdots ,{v}^{*r} \) 是 \( {V}^{ * } \) 中任意 \( r \) 个元素,则 \( {e}_{{i}_{1}} \) \( \land \cdots \land {e}_{{i}_{r}} \) 的求值公式为
\[
{e}_{{i}_{1}} \land \cdots \land {e}_{{i}_{r}}\left( {{v}^{*1},\cdots ,{v}^{*r}}\right)
\]
\[
= \frac{1}{r!}\mathop{\sum }\limits_{{\sigma \in P\left( r\right) }}\left( {\operatorname{sgn}\sigma }\right) \left\langle {{e}_{{i}_{1}},{v}^{*1}}\right\rangle \cdots \left\langle {{e}_{{i}_{r}},{v}^{*r}}\right\rangle
\]
\[
= \frac{1}{r!}\left| \begin{matrix} \left\langle {{e}_{{i}_{1}},{v}^{*1}}\right\rangle & \cdots & \left\langle {{e}_{{i}_{1}},{v}^{*r}}\right\rangle \\ \left\langle {{e}_{{i}_{2}},{v}^{*1}}\right\rangle & \cdots & \left\langle {{e}_{{i}_{2}},{v}^{*r}}\right\rangle \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \left\langle {{e}_{{i}_{r}},{v}^{*1}}\right\rangle & \cdots & \left\langle {{e}_{{i}_{r}},{v}^{*r}}\right\rangle \end{matrix}\right| .
\]
由这个求值公式可以推出,当 \( r \leq n \) 时 \( \left\{ {{e}_{{i}_{1}} \land \cdots \land {e}_{{i}_{r}} \mid }\right. \) \( \left. {1 \leq {i}_{1} < \cdots < {i}_{r} \leq n}\right\} \) 构成外向量空间 \( {\Lambda }^{r}\left( V\right) \) 的基底. 因此, \( {\Lambda }^{r}\left( V\right) \) 的维数是
\[
\left( \begin{array}{l} n \\ r \end{array}\right) = \frac{n!}{r!\left( {n - r}\right) !}.
\]
另外,还有另一种含义不同的外积运算. 设 \( X \) , \( Y \) 是局部紧拓扑空间,则附加于 \( K\left( X\right) \) 与 \( K\left( Y\right) \) (关于 \( K\left( X\right) \) 的定义可参见 “局部紧空间的 \( K\left( X\right) \) ”) 的环结构上, 存在一个外积
\[
\boxtimes : K\left( X\right) \otimes K\left( Y\right) \rightarrow K\left( {X \times Y}\right) .
\]
\( \otimes \) 为张量积.
外代数 (exterior algebra) 各阶反变张量空间的并构成的代数. 用 \( \Lambda \left( V\right) \) 记形式和
\[\mathop{\sum }\limits_{{r = 0}}^{n}{\Lambda }^{r}\left( V\right) \]
则 \( \Lambda \left( V\right) \) 是 \( {2}^{n} \) 维向量空间. 设
\[{\xi }^{ * } = \mathop{\sum }\limits_{{r = 0}}^{n}{\xi }^{r},\;\eta = \mathop{\sum }\limits_{{s = 0}}^{n}{\eta }^{s},\]
其中 \( {\xi }^{r} \in {\Lambda }^{r}\left( V\right) ,{\eta }^{s} \in {\Lambda }^{s}\left( V\right) .\xi \) 与 \( \eta \) 的外积是
\[\xi \land \eta = \mathop{\sum }\limits_{{r, s = 0}}^{n}{\xi }^{r} \land {\eta }^{s}\]
则 \( \Lambda \left( V\right) \) 关于外积成为一个代数,称为向量空间 \( V \) 的外代数或格拉斯曼代数.
向量空间 \( \Lambda \left( V\right) \) 的基底是 \( \left\{ {1,{e}_{i},{e}_{{i}_{1}} \land {e}_{{i}_{2}},\cdots ,{e}_{1} \land }\right. \) \( \left. {\cdots \land {e}_{n}}\right\} \left( {1 \leq i \leq n,1 \leq {i}_{1} < {i}_{2} \leq n}\right) \) .
同样,人们也有对偶空间 \( {V}^{ * } \) 的外代数
\[
\Lambda \left( {V}^{ * }\right) = \mathop{\sum }\limits_{{0 \leq r \leq n}}{\Lambda }^{r}\left( {V}^{ * }\right)
\]
\( {\Lambda }^{r}\left( {V}^{ * }\right) \) 的元素称为向量空间上的 \( r \) 次外形式,它是 \( V \) 上反对称 \( r \) 重线性函数.
格拉斯曼代数 (Grassmann algebra) 见“外代数”.
\( \left( {r, s}\right) \) 型张量丛 (tensor bundle of type \( \left( {r, s}\right) \) )
切丛与余切丛概念的推广. 所谓 \( \left( {r, s}\right) \) 型张量丛,是指微分流形 \( M \) 上各点处切空间的 \( \left( {r, s}\right) \) 型张量空间的无交并,即 \( M \) 上 \( \left( {r, s}\right) \) 型张量丛
\[
{T}_{r, s}\left( M\right) = \mathop{\bigcup }\limits_{{p \in M}}{\left( {T}_{p}\left( M\right) \right) }_{s}^{r},
\]
其中 \( {\left( {T}_{p}\left( M\right) \right) }_{s}^{r} \) 表示 \( {T}_{p}M \) 的 \( \left( {r, s}\right) \) 型张量空间.
\( \left( {1,0}\right) \) 型张量丛就是切丛,而 \( \left( {0,1}\right) \) 型张量丛就是余切丛. 与切丛类似, 张量丛上也可以定义流形结构与微分结构, 使张量丛成为一个微分流形.
\( \left( {r, s}\right) \) 型张量场 (tensor field of type \( \left( {r, s}\right) \) ) 微分流形上 \( \left( {r, s}\right) \) 型张量丛的 \( {C}^{\infty } \) 截面. 设 \( \pi : {T}_{r, s}\left( M\right) \rightarrow \) \( M \) 为张量丛的丛射影,映射 \( \alpha : M \rightarrow {T}_{r, s}\left( M\right) \) . 若 \( \pi \circ \alpha \) \( = \mathr |
2000_数学辞海（第3卷） | 162 | ht) \) 的元素称为向量空间上的 \( r \) 次外形式,它是 \( V \) 上反对称 \( r \) 重线性函数.
格拉斯曼代数 (Grassmann algebra) 见“外代数”.
\( \left( {r, s}\right) \) 型张量丛 (tensor bundle of type \( \left( {r, s}\right) \) )
切丛与余切丛概念的推广. 所谓 \( \left( {r, s}\right) \) 型张量丛,是指微分流形 \( M \) 上各点处切空间的 \( \left( {r, s}\right) \) 型张量空间的无交并,即 \( M \) 上 \( \left( {r, s}\right) \) 型张量丛
\[
{T}_{r, s}\left( M\right) = \mathop{\bigcup }\limits_{{p \in M}}{\left( {T}_{p}\left( M\right) \right) }_{s}^{r},
\]
其中 \( {\left( {T}_{p}\left( M\right) \right) }_{s}^{r} \) 表示 \( {T}_{p}M \) 的 \( \left( {r, s}\right) \) 型张量空间.
\( \left( {1,0}\right) \) 型张量丛就是切丛,而 \( \left( {0,1}\right) \) 型张量丛就是余切丛. 与切丛类似, 张量丛上也可以定义流形结构与微分结构, 使张量丛成为一个微分流形.
\( \left( {r, s}\right) \) 型张量场 (tensor field of type \( \left( {r, s}\right) \) ) 微分流形上 \( \left( {r, s}\right) \) 型张量丛的 \( {C}^{\infty } \) 截面. 设 \( \pi : {T}_{r, s}\left( M\right) \rightarrow \) \( M \) 为张量丛的丛射影,映射 \( \alpha : M \rightarrow {T}_{r, s}\left( M\right) \) . 若 \( \pi \circ \alpha \) \( = \mathrm{{id}} \) ,则称 \( \alpha \) 为 \( {T}_{r, s}\left( M\right) \) 的一个截面,即 \( M \) 上 \( \left( {r, s}\right) \) 型张量场.
外形式丛(exterior form bundle) 由余切空间的外代数诱导出的一个重要概念. 所谓外形式丛, 是指微分流形 \( M \) 各点处余切空间的外代数的无交并, 即
\[
\Lambda \left( {T{M}^{ * }}\right) = \mathop{\bigcup }\limits_{{p \in M}}\Lambda \left( {{T}_{p}^{ * }\left( M\right) }\right) .
\]
\( M \) 上的 \( r \) 次外形式丛为
\[
{\Lambda }^{r}\left( {T{M}^{ * }}\right) = \mathop{\bigcup }\limits_{{p \in M}}{\Lambda }^{r}\left( {{T}_{p}^{ * }\left( M\right) }\right) .
\]
当然, 外形式丛也能成为一个微分流形.
微分形式 (differential form) 微分流形 \( M \) 上外形式丛的一个光滑截面. 设 \( \omega : M \rightarrow \Lambda \left( {T{M}^{ * }}\right) \) ,若对于外形式丛的丛射影 \( \pi \) ,满足 \( \pi \circ \omega = \mathrm{{id}} \) ,则称 \( \omega \) 为 \( M \) 上的微分形式.
\( r \) 次外形式丛的光滑截面称为 \( r \) 次微分形式, 简称 \( r \) 形式. 微分 \( r \) 形式全体构成的空间记为 \( {E}^{r}\left( M\right) ,{E}^{r}\left( M\right) \) 是 \( {C}^{\infty }\left( M\right) \) 模. 因此, \( M \) 上微分 \( r \) 形式是光滑的反对称 \( r \) 阶协变张量场. 微分形式全体构成的空间为
\[
E\left( M\right) = \mathop{\sum }\limits_{{r = 0}}^{m}{E}^{r}\left( M\right)
\]
设 \( \beta \in {E}^{k}\left( M\right) ,\left( {U,{y}_{1},\cdots ,{y}_{n}}\right) \) 为 \( M \) 上某点处的区图,则微分 \( k \) 形式 \( \beta \) 局部地可表示为
\[
\beta \mid U = \mathop{\sum }\limits_{{{i}_{1} < \cdots < {i}_{k}}}{b}_{{i}_{1}\cdots {i}_{k}}\mathrm{\;d}{y}_{{i}_{1}} \land \cdots \land \mathrm{d}{y}_{{i}_{k}},
\]
其中 \( {b}_{{i}_{1}\cdots {i}_{k}} \) 是 \( U \) 上的 \( {C}^{\infty } \) 函数.
\( E\left( M\right) \) 关于外积有一个代数结构,设 \( \omega \) , \( \phi \in E\left( M\right), c \) 为常数,可以定义 \( \omega + \phi ,{c\omega },\omega \land \phi, f \land \omega \) ( \( f \) 是 0 形式),从而使 \( E\left( M\right) \) 在外积之下构成一个分次代数.
外微分 (exterior differentiation) 亦称外微分算子或外导数. 微分形式上的一种形式微分,使得 \( k \) 形式经外微分以后成为 \( \left( {k + 1}\right) \) 形式. 对于微分流形 \( M \) ,一个映射
\[
\mathrm{d} : E\left( M\right) \rightarrow E\left( M\right) \left( {\mathrm{d}\left( {{E}^{k}\left( M\right) }\right) \subset {E}^{k + 1}\left( M\right) }\right) ,
\]
若它满足下列条件,则称 \( \mathrm{d} \) 为外微分:
1. 对于任意的 \( {\omega }_{1},{\omega }_{2} \in E\left( M\right) \) ,
\[
\mathrm{d}\left( {{\omega }_{1} + {\omega }_{2}}\right) = \mathrm{d}{\omega }_{1} + \mathrm{d}{\omega }_{2};
\]
2. 若 \( {\omega }_{1} \) 是 \( r \) 次微分形式,则
\( \mathrm{d}\left( {{\omega }_{1} \land {\omega }_{2}}\right) = \mathrm{d}{\omega }_{1} \land {\omega }_{2} + {\left( -1\right) }^{r}{\omega }_{1} \land \mathrm{d}{\omega }_{2}; \)
3. 若 \( f \in {E}^{0}\left( M\right) \) ,则 \( \mathrm{d}f \) 正是函数 \( f \) 的微分;
4. 若 \( f \in {E}^{0}\left( M\right) \) ,则 \( \mathrm{d}\left( {\mathrm{d}f}\right) = 0 \) .
可以证明, \( E\left( M\right) \) 上存在惟一满足上述性质的外微分. 此外,外微分 \( \mathrm{d} \) 还有下列性质:
5. \( {\mathrm{d}}^{2} = 0 \) ,即对于任意微分形式 \( \omega \) ,有 \( \mathrm{d}\left( {\mathrm{d}\omega }\right) = 0 \) ;
6. 设 \( U \subset M \) 为开集,则 \( \mathrm{d}\omega \mid U = \mathrm{d}\left( {\omega \mid U}\right) \) .
外微分算子 (exterior differentiation operator) 即 “外微分”.
外导数 (exterior derivative) 即 “外微分”.
向量场的李导数 (Lie derivative of vector field) 作用于向量场的一种形式导数. 设 \( X \) 与 \( Y \) 分别是微分流形 \( M \) 上的两个光滑向量场, \( {X}_{t} \) 是与 \( X \) 联系的局部单参数变换群. 向量场 \( Y \) 关于向量场 \( X \) 在 \( p \in M \) 处的李导数 \( {\left( {L}_{X}Y\right) }_{p} \) 为
\[
{\left( {L}_{X}Y\right) }_{p} = \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow 0}}\frac{{\left( {X}_{-t}\right) }_{ * }\left( {Y}_{{X}_{t}\left( p\right) }\right) - {Y}_{p}}{t}
\]
\[
= {\left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right| }_{t = 0}{\left( {X}_{-t}\right) }_{ * }\left( {Y}_{{X}_{t}\left( p\right) }\right) .
\]
也可以等价地利用李括号定义向量场的李导数为 \( {L}_{X}Y = \left\lbrack {X, Y}\right\rbrack \) . 显然, \( {L}_{X}Y \) 也是一个光滑向量场.
微分形式的李导数 (Lie derivative of differential form) 作用于微分形式的一种形式导数. 设 \( \omega \) 是微分流形 \( M \) 上的一个微分形式, \( X \) 是 \( M \) 的一个光滑向量场, \( {X}_{t} \) 是相应于 \( X \) 的局部单参数变换群. \( \omega \) 关于 \( X \) 在 \( p \in M \) 处的李导数 \( {\left( {L}_{X}\omega \right) }_{p} \) 为
\[
{\left( {L}_{X}\omega \right) }_{p} = \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow 0}}\frac{{\left( {X}_{t}\right) }^{ * }\left( {\omega }_{{X}_{t}\left( p\right) }\right) - {\omega }_{p}}{t}
\]
\[
= {\left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right| }_{t = 0}{\left( {X}_{t}\right) }^{ * }\left( {\omega }_{{X}_{t}\left( p\right) }\right) .
\]
不难证明, \( {L}_{X} : E\left( M\right) \rightarrow E\left( M\right) \) ,故 \( {L}_{X}\omega \in E\left( M\right) \) 且 \( {L}_{X} \) 与 \( \mathrm{d} \) 可交换.
微分理想 (differential ideal) 外代数中满足一定条件的理想. 设 \( \Phi \subset \Lambda \left( M\right) \) 是代数 \( \Lambda \left( M\right) \) 的一个理想,若 \( \mathrm{d}\left( \Phi \right) \subset \Phi \) ,即理想 \( \Phi \) 关于外微分 \( \mathrm{d} \) 是封闭的, 则称 \( \Phi \) 为微分理想.
微分流形 \( M \) 上一个 \( {C}^{\infty } \) 分布 \( \mathcal{D} \) 是对合的充分必要条件是,理想 \( \Phi \left( \mathcal{D}\right) \) 是一个微分理想,其中
\( \Phi \left( \mathcal{D}\right) = \{ \omega \in \Lambda \left( M\right) \mid \omega \) 零化 \( \mathcal{D}\} . \)
理想的积分流形 (integral manifold of an ideal) 与微分理想相关的积分流形. 设 \( \Phi \subset \Lambda \left( M\right) \) 是一个理想, \( \left( {N,\psi }\right) \) 是 \( M \) 的一个子流形,若对每个 \( \omega \in \Phi \) , \( {\psi }_{ * }\left( \omega \right) \equiv 0 \) ,则称 \( \left( {N,\psi }\right) \) 为理想 \( \Phi \) 的积分流形. 设 \( \left( {N,\psi }\right) \) 是理想 \( \Phi \) 的连通积分流形,若它的像集不是该理想的其他积分流形像集的真子集, 则称积分流形 \( \left( {N,\psi }\right) \) 是最大的.
弗罗贝尼乌斯定理 (第二形式) (Frobenius theorem (second form)) 理想的积分流形存在性定理. 设 \( \Phi \subset \Lambda \left( M\right) \) 是由 \( n - m \) 个独立的局部生成的 1 形式微分理想, \( n = \dim \left( M\right) \left( {m < n}\right) \) . 设 \( p \in M \) ,则存在惟一的通过 \( p \) 的 \( \Phi \) 的最大连通积分流形,且这个积分流形的维数为 \( m \) .
向量空间的定向 (orientation on vector space) 用最高可能阶的张量空间定向. 设 \( V \) 是 \( n \) 维向量空间,由于 \( {\Lambda }^{n}\left( V\right) \) 是一维空间,故 \( {\Lambda }^{n}\left( V\right) \smallsetminus \{ 0\} \) 有两个分支. 向量空间 \( V \) 的定向就是 \( {\Lambda }^{n}\left( V\right) \smallsetminus \{ 0\} \) 的分支的一个选择.
可定向流形 (orientable manifold) 有确定定向的流形. 设 \( M \) 是 \( n \) 维连通微分流形, \( O \) 是 \( n \) 次外形式丛 \( {\Lambda }^{n}\left( {T{M}^{ * }}\right) \) 的 0 截面,即
\[
O = \mathop{\bigcup }\limits_{{p \in M}}\left\{ {0 \in {\Lambda }^{n}\left( {{T}_{p}^{ * }\left( M\right) }\right) }\right\} .
\]
由于每个 \( {\Lambda }^{n}\left( {{T}_{p}^{ * }\left( M\right) }\right) \smallsetminus \{ 0\} \) 恰有两个分支,故 \( {\Lambda }^{n}\left( {M}^{ * }\right) \smallsetminus O \) 至多有两个分支. 若 \( {\Lambda }^{n}\left( {M}^{ * }\right) \smallsetminus O \) 有两个分支,则称 \( M \) 为可定向的流形. 若 \( M \) 是不连通流形, \( M \) 的每个分支是可定向的,则称 \( M \) 是可定向流形.
流形的定向 (orientation on manifold) 类似于数学分析中给曲面确定方向那样给流形确定方向. 设 \( M \) 是 \( n \) 维连通微分流形. 若 \( M \) 是可定向流形, \( {\Lambda }^{n}\left( {M}^{ * }\right) \smallsetminus O \) 的两个分支之一的一种选择称为流形 \( M \) 的定向. 若 \( M \) 是可定向的非连通流形,则 \( M \) 的定向是 \( M \) 的每个分支上定向的一个选择.
保定向映射 (orientation preserving map) 保持两个流形确定定向的映射. 设 \( M, N \) 是两个可定向的 \( n \) 维流形,映射 \( \psi : M \rightarrow N \) 是可微的,若 \( {\psi }_{ \star } \) 的对偶映射
\[
{\psi }^{ * } : {\Lambda }^{n}\left( {N}^{ * }\right) \rightarrow {\Lambda }^{n}\left( {M}^{ * }\right)
\]
把确定 \( N \) 定向的 \( {\Lambda }^{n}\left( {N}^{ * }\right) \smallsetminus O \) 的分支变成确定 \( M \) 定向的 \( {\Lambda }^{n}\left( {M}^{ * }\right) \smallsetminus O \) 的分支,则称 \( \psi \) 是保定向映射.
可微奇异 \( \mathbf{p} \) 单形 (differentiable singular p-simplex) 单形到流形的一种映射. 对于每个 \( p \geq 1 \) ,设
\( {\Delta }^{p} = \left\{ {\left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{p}}\right) \in {\mathrm{R}}^{p} \mid \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{p}{a}_{i} \leq 1\text{ 且每个 }{a}_{i} \geq 0}\right\} , \)
称 \( {\Delta }^{p} \) 为标准 \( p \) 单形.
微分流形 \( M \) 中可微奇异 \( p \) 单形 \( \sigma \) 是一个映射 \( \sigma : {\Delta }^{p} \rightarrow M \) ,这个映射 \( \sigma \) 可以扩张为 \( {\Delta }^{p} \) 在 \( {\mathrm{R}}^{p} \) 中的一个邻域到 \( M \) 的一个可微映射.
称有限个可微奇异 \( p \) 单形的线性组合
\[
c = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}{a}_{i}{\sigma }_{i}
\]
为 \( M \) 中的 \( p \) 链. 对于每个 \( p \geq 0 \) ,定义可微奇异 \( p \) 单形 \( \sigma \) 的第 \( i \) 个面 \( {\sigma }^{i}\left( {0 \leq i \leq p}\right) \) 为一个可微奇异 \( \left( {p - 1}\right) \) 单形 \( {\sigma }^{i} = \sigma \circ {k}_{i}^{p - 1} \) ,其中对于 \( 0 \leq i \leq p + 1,{k}_{i}^{p} \) : \( {\Delta }^{p} \rightarrow {\Delta }^{p + 1} \) 为: \( p = 0 \) 时, \( {k}_{0}^{0}\left( 0\right) = 1,{k}_{1}^{0} = 0;p \geq 1 \) 时
\[
\left\{ \begin{array}{l} {k}_{0}^{p}\left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{p}}\right) = \left( {1 - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{p}{a}_{i},{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{p}}\right) , \\ {k}_{i}^{p}\left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{p}}\right) = \left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{i - 1},0,{a}_{i},\cdots ,{a}_{p},}\right) \end{array}\right.
\]
\[
\left( {1 \leq i \leq p + 1}\right) \text{.}
\]
\( p \) 单形 \( \sigma \) 的边缘定义为
\[
\partial \sigma = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{p}{\left( -1\right) }^{i}{\sigma }^{i}
\]
它是 \( \left( {p - 1}\right) \) 链.
对于一般的 \( p \) 链
\[
c = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{k}{a}_{j}{\sigma }_{j}
\]
\( c \) 的边缘为
\[
\partial c = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{k}{a}_{j}\partial {\sigma }_{j} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{p}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{k}{\left( -1\right) }^ |
2000_数学辞海（第3卷） | 163 | \leq p + 1,{k}_{i}^{p} \) : \( {\Delta }^{p} \rightarrow {\Delta }^{p + 1} \) 为: \( p = 0 \) 时, \( {k}_{0}^{0}\left( 0\right) = 1,{k}_{1}^{0} = 0;p \geq 1 \) 时
\[
\left\{ \begin{array}{l} {k}_{0}^{p}\left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{p}}\right) = \left( {1 - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{p}{a}_{i},{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{p}}\right) , \\ {k}_{i}^{p}\left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{p}}\right) = \left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{i - 1},0,{a}_{i},\cdots ,{a}_{p},}\right) \end{array}\right.
\]
\[
\left( {1 \leq i \leq p + 1}\right) \text{.}
\]
\( p \) 单形 \( \sigma \) 的边缘定义为
\[
\partial \sigma = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{p}{\left( -1\right) }^{i}{\sigma }^{i}
\]
它是 \( \left( {p - 1}\right) \) 链.
对于一般的 \( p \) 链
\[
c = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{k}{a}_{j}{\sigma }_{j}
\]
\( c \) 的边缘为
\[
\partial c = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{k}{a}_{j}\partial {\sigma }_{j} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{p}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{k}{\left( -1\right) }^{i}{a}_{j}{\sigma }_{j}^{i}.
\]
容易验证,一个链的边缘的边缘总是 0,即 \( \partial \circ \partial c \) \( = 0, c \) 是任意的 \( p \) 链.
标准 \( \mathbf{p} \) 单形 (standard \( p \) -simplex) 见“可微奇异 \( p \) 单形”.
\( \mathbf{p} \) 链 ( \( p \) -chain) 见 “可微奇异 \( p \) 单形”.
链的边缘 (boundary of a chain) 见 “可微奇异 \( p \) 单形”.
链上的积分 (integral over chains) 可微奇异单形的组合上的积分. 设 \( \omega \) 是微分流形 \( M \) 上的 \( p \) 形式, \( \sigma \) 为可微奇异 \( p \) 单形,定义 \( \omega \) 在 \( \sigma \) 上的积分为
\[
{\int }_{\sigma }\omega = {\int }_{{\Delta }^{p}}{\sigma }^{ * }\left( \omega \right)
\]
其中 \( {\sigma }^{ * }\left( \omega \right) \) 是 \( \omega \) 通过 \( \sigma \) 的拉回,即
\[
{\sigma }^{ * }\left( \omega \right) \left( {{v}_{1},{v}_{2},\cdots ,{v}_{p}}\right)
\]
\[
= \omega \left( {\mathrm{d}\sigma \left( {v}_{1}\right) ,\mathrm{d}\sigma \left( {v}_{2}\right) ,\cdots ,\mathrm{d}\sigma \left( {v}_{p}\right) }\right) \left( {{v}_{i} \in {T}_{p}M}\right) .
\]
可以把在单形上的积分线性地推广到链上. 设
\[
c = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{k}{a}_{j}{\sigma }_{j}
\]
为一个 \( p \) 链,则 \( p \) 形式 \( \omega \) 在 \( p \) 链 \( c \) 上的积分为
\[
{\int }_{c}\omega = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{k}{a}_{j}{\int }_{{\sigma }_{j}}\omega .
\]
斯托克斯定理 (Stokes' theorem) 流形上的微积分基本定理. 设 \( c \) 是微分流形 \( M \) 内的一个 \( p \) 链 \( (p \) \( \geq 1),\omega \) 是定义在 \( c \) 的像的邻域内的光滑 \( \left( {p - 1}\right) \) 形式, 则
\[
{\int }_{\partial c}\omega = {\int }_{c}\mathrm{\;d}\omega
\]
(参见“流形上的微积分”).
带边 \( {C}^{k} \) 流形 \( \left( {C}^{k}\right. \) manifold with boundary \( ) - \) 种有边缘的 \( {C}^{k} \) 类微分流形. 设 \( M \) 是一个仿紧豪斯多夫空间, \( \left\{ {\left( {{U}_{i},{\phi }_{i}}\right) \mid i \in I}\right\} \) 是一个图册,其中 \( {U}_{i} \) 是 \( M \) 中的开集, \( {\phi }_{i} \) 是 \( {U}_{i} \) 到 \( {\mathrm{R}}_{ + }^{n} \) 的一个开集上的同胚,使得当 \( {U}_{i} \cap {U}_{j} \neq \varnothing \) 时,映射 \( {\left. {\phi }_{i} \circ {\phi }_{j}^{-1}\right| }_{{\phi }_{j}\left( {{U}_{i} \cap {U}_{j}}\right) } \) 是 \( {C}^{k} \) 类的, 且至少有一个 \( {U}_{i} \) 使得 \( {\phi }_{i}\left( {U}_{i}\right) \cap {\mathrm{R}}^{n - 1} \neq \varnothing \) (其中 \( {\mathrm{R}}^{n - 1} \) 是 \( {\mathrm{R}}_{ + }^{n} \) 的边界),则称这个图册定义 \( M \) 为一个带边 \( {C}^{k} \) 流形. 在这个意义上,“ \( {C}^{k} \) 流形”中的流形也称为无边 \( {C}^{k} \) 流形. 带边 \( {C}^{k} \) 流形 \( M \) 的边缘 \( \partial M \) 是一个无边 \( n - 1 \) 维 \( {C}^{k} \) 流形. 流形是否带边是一个拓扑性质,与微分结构 \( \mathcal{F} = \left\{ {\left( {{U}_{i},{\phi }_{i}}\right) \mid i \in I}\right\} \) 的选取无关.
由这个定义易知 \( n \) 维球体
\[
{D}^{n} = \left\{ {\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \mid \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{x}_{i}^{2} \leq 1}\right\}
\]
在通常拓扑之下为带边 \( {C}^{k} \) 流形.
边缘的定向 (orientation of boundary) 由定向流形的定向自然诱导的流形内正则域边缘的定向. 设 \( M \) 是 \( n \) 维定向微分流形, \( D \) 是 \( M \) 内的正则域, \( p \in \partial D \) ,一个切向量 \( v \in {T}_{p}\left( M\right) \) 称为 \( D \) 的外法向量,如果对于 \( M \) 中任意一条在 \( p \) 点切于 \( v \) 的光滑曲线,它在 \( p \) 点以后总是属于 \( D \) 的外面. 即当光滑曲线 \( \alpha \left( t\right) \) 使得 \( \dot{\alpha }\left( 0\right) = v \) 时,则对于 \( 0 < t < \varepsilon \) ,总有
\[
\alpha \left( t\right) \cap D = \varnothing \text{.}
\]
设 \( {v}_{1},{v}_{2},\cdots ,{v}_{n - 1} \) 为 \( {T}_{p}\left( {\partial D}\right) \) 的一组基,如果 \( v \) , \( {v}_{1},{v}_{2},\cdots ,{v}_{n - 1} \) 确定 \( M \) 的定向,则称 \( {v}_{1},{v}_{2},\cdots ,{v}_{n - 1} \) 确定 \( \partial D \) 的诱导定向. 容易证明, \( \partial D \) 的这个诱导定向与外法向量 \( v \) 和基 \( {v}_{1},{v}_{2},\cdots ,{v}_{n - 1} \) 的选取无关.
无限维流形 (infinite-dimensional manifold) 有限维流形的推广. 所谓无限维流形, 通常是指以巴拿赫空间或希尔伯特空间为模型空间的微分流形. 无限维流形是为了适应数学研究的需要而发展起来的. 除了它在维数等方面有别于普通的微分流形之外, 很多概念都可以类似于有限维情形而获得定义. 例如,可以定义 \( {C}^{k} \) 类图册:
设 \( X \) 是一个集合, \( \left\{ {\left( {{U}_{i},{\phi }_{i}}\right) \mid i \in I}\right\} \) 是一族区图集,若它满足下列条件,则称这样的 \( \left\{ {\left( {{U}_{i},{\phi }_{i}}\right) \mid i \in I}\right\} \) 为一个 \( {C}^{k} \) 类图册,而每个 \( \left( {{U}_{i},{\phi }_{i}}\right) \) 称为该图册中的区图:
1. 每个 \( {U}_{i} \) 是 \( X \) 的一个子集,且 \( {U}_{i} \) 的全体覆盖 \( X \) ;
2. 每个 \( {\phi }_{i} \) 是 \( {U}_{i} \) 到某个巴拿赫空间 \( E \) 的开子集 \( {\phi }_{i}\left( {U}_{i}\right) \) 的双射,且对任意的 \( i, j,{\phi }_{i}\left( {{U}_{i} \cap {U}_{j}}\right) \) 在 \( E \) 中是开子集;
3. 映射 \( {\left. {\phi }_{j} \circ {\phi }_{i}^{-1}\right| }_{{\phi }_{i}\left( {{U}_{i} \cap {U}_{j}}\right) } : {\phi }_{i}\left( {{U}_{i} \cap {U}_{j}}\right) \rightarrow {\phi }_{j}\left( {{U}_{i} \cap }\right. \) \( \left. {U}_{j}\right) \) 对每一对指标 \( i, j \) 是一个 \( {C}^{k} \) 同构.
也可以定义切向量: 设 \( X \) 是一个 \( E \) 流形 (参见下一条目),则在任一点 \( x \in X \) 处的切向量有两个等价的定义:
1. 在流形 \( X \) 处的切向量是在 \( x \) 处相切的曲线的一个等价类. 即所有的曲线 \( \gamma : I \subset \mathrm{R} \rightarrow X,\gamma \left( 0\right) = \) \( x \) ,若在某个区图 \( \left( {U,\phi }\right) \) 中,
\[
{\left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \phi \circ {\gamma }_{1}\right) \right| }_{t = 0} = {\left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \phi \circ {\gamma }_{2}\right) \right| }_{t = 0},
\]
则称 \( {\gamma }_{1} \sim {\gamma }_{2} \) ,从而形成等价类. 若向量
\[
V \in E,\;V = {\left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \phi \circ \gamma \right) \right| }_{t = 0},
\]
则它称为在区图 \( \left( {U,\phi }\right) \) 中在 \( x \) 处切于曲线 \( \gamma \) 的切向量的代表.
2. 是 \( x \in X \) 处三元组 \( \left( {{U}_{i},{\phi }_{i},{V}_{i}}\right) \) 的等价类,其中 \( \left( {{U}_{i},{\phi }_{i}}\right) \) 是 \( X \) 在 \( x \) 处的任一相容区图, \( {V}_{i} \) 是 \( E \) 的一个向量. 若 \( {V}_{j} = {\left( {\phi }_{j} \circ {\phi }_{i}^{-1}\right) }^{\prime }\left( {{\phi }_{i}\left( x\right) }\right) {V}_{i} \) ,则三元组 \( \left( {{U}_{i},{\phi }_{i},{V}_{i}}\right) \) 与 \( \left( {{U}_{j},{\phi }_{j},{V}_{j}}\right) \) 等价.
\( X \) 在 \( x \) 处切向量的全体构成一个向量空间,称这个向量空间为切空间,记为 \( {T}_{x}\left( X\right) \) . 类似地也可定义相应的余切向量与余切空间 \( {T}_{x}^{ * }\left( X\right) \) .
\( \mathbf{E} \) 流形 ( \( E \) -Manifold) 以无限维空间为模型空间的微分流形. 设 \( X \) 是一个拓扑空间, \( U \) 为 \( X \) 的一个开子集,拓扑同构 \( \phi : U \rightarrow {U}^{\prime } \) 是映到巴拿赫空间 \( E \) 的一个开子集 \( {U}^{\prime } \) 上的,若 \( {\phi }_{i} \circ {\phi }^{-1} \) 是一个 \( {C}^{k} \) 同构,就称 \( \left( {U,\phi }\right) \) 与图册 \( \left\{ \left( {{U}_{i},{\phi }_{i}}\right) \right\} \) 是相容的.
图册之间的相容性关系是一个等价关系. 称 \( X \) 上 \( {C}^{k} \) 类图册的等价类在 \( X \) 上定义了 \( {C}^{k} \) 流形的结构,若某个图册中的 \( {E}_{i} \) 都是拓扑线性同构的,即它们都等于向量空间 \( E \) ,则称这样的 \( X \) 为 \( E \) 流形或模 \( E \) 的流形. \( E \) 流形是无限维流形.
若 \( E \) 为巴拿赫空间,则称 \( X \) 为巴拿赫流形. 若 \( E \) 为希尔伯特空间,则称 \( X \) 为希尔伯特流形.
有限维流形中许多概念, 在无限维流形中都可类似地定义.
希尔伯特流形 (Hilbert manifold) 见 “ \( E \) 流形”.
切纤维丛 (tangent fiber bundle) \( E \) 流形上的每一点切空间的并所组成的纤维丛. 设 \( X \) 是有图册 \( \mathcal{F} = \left\{ {\left( {{U}_{i},{\phi }_{i}}\right) \mid i \in I}\right\} \) 的 \( E \) 流形,令
\[
T\left( X\right) = \mathop{\bigcup }\limits_{{x \in X}}{T}_{x}\left( X\right) ,
\]
\( \pi : T\left( X\right) \rightarrow X,\pi \left( {x, V}\right) = x \) ,关于 \( \left( {{U}_{i},{\phi }_{i}}\right) \in \mathcal{F} \) ,令
\[
{\widehat{\varphi }}_{i} : {\pi }^{-1}\left( {U}_{i}\right) \rightarrow {\phi }_{i}\left( {U}_{i}\right) \times E,
\]
\[
{\widehat{\varphi }}_{i}\left( {x,{U}_{x}}\right) = \left( {{\phi }_{i}\left( x\right) ,{V}_{x}}\right) ,
\]
其中 \( {V}_{x} \) 是 \( {U}_{x} \) 在 \( {\phi }_{i} \) 之下的代表,则容易验证,含 \( \left\{ {\left( {{\pi }^{-1}\left( {U}_{i}\right) ,{\widehat{\varphi }}_{i}}\right) \mid i \in I}\right\} \) 的最大图册,构成 \( T\left( X\right) \) 的一个图册,在此图册之下, \( T\left( X\right) \) 成为模型在 \( E \times E \) 内的 \( {C}^{k - 1} \) 流形,称为 \( E \) 流形 \( X \) 的切丛.
另一方面,从纤维丛的角度,把一切与 \( T\left( X\right) \) 有关的对象集中于一起,可以写为 \( (T\left( X\right), X,\pi, E \) , \( \mathrm{{GL}}\left( E\right) ) \) ,它是一个纤维丛,以 \( T\left( X\right) \) 为全空间, \( X \) 为底空间, \( E \) 为典型纤维以及 \( \mathrm{{GL}}\left( E\right) \) 为结构群.
若 \( v \) 是切纤维丛 \( T\left( X\right) \) 的一个截面,即映射
\[
v : X \rightarrow T\left( X\right) \left( {x \mapsto \left( {x,{v}_{x}}\right) }\right)
\]
使得 \( \pi \circ v = \mathrm{{id}} \) ,则 \( v \) 称为 \( X \) 上的向量场.
模 \( E \) 子流形 (submanifold of module \( E \) ) 模 \( E \) 的 \( {C}^{k} \) 流形满足某些条件的子集. 设 \( Y \) 是模 \( E \) 的 \( {C}^{k} \) 流形 \( X \) 的一个子集,若存在 \( E \) 的一个闭子空间 \( F \) 和 \( X \) 的一个图册 \( \left\{ \left( {{U}_{i},{\phi }_{i}}\right) \right\} \) ,使当 \( {U}_{i} \cap Y \neq \varnothing \) 时,
\[
\phi \left( {{U}_{i} \cap Y}\right) = \phi \left( {U}_{i}\right) \cap F,
\]
则称 \( Y \) 是 \( X \) 的子流形.
不难验证 \( \left\{ \left( {{\widetilde{U}}_{i},{\widetilde{\varphi }}_{i}}\right) \right\} \) 是模 \( F \) 的子流形 \( Y \) 的一个 \( {C}^{k} \) 图册,其中 \( {\widetilde{U}}_{i} = {U}_{i} \cap F,{\widetilde{\varphi }}_{i} \) 是 \( {\phi }_{i} \) 在 \( {\widetilde{U}}_{i} \) 上的限制. 若 \( X \) 是一个 \( E \) 流形, \( f : X \rightarrow \mathrm{R} \) 是可微映射, \( c \) 不是 \( f \) 的临界点,则 \( Y = {f}^{-1}\left( c\right) \) 就是 \( X \) 的一个子流形.
设 \( Y \) 是 \( E \) 流形 \( X \) 的一个子流形, \( {F}_{1} \) 是 \( E \) 的子空间. 若 \( {F}_{1} \) 可以给出 \( E \) 的一个拓扑余子空间 \( {F}_{2} \) ,则称 \( Y \) 为可余子流形.
设 \( X \) 与 \( Y \) 分别为模 \( E \) 与 \( F \) 的两个微分流形, 可微映射 \( f : Y \rightarrow X \) . 若对每一点 \( y \in Y,{f}^{\prime }\left( y\right) \) 是 \( {T}_{y}\left( Y\right) \) 到 \( {T}_{f\left( y\right) }\left( X\right) \) 的一个子空间上的一个同构,而该子空间同 \( E \) 中可余的固定子空间 \( {F}_{1} \) 同构,则称 \( f \) 是浸入映射, 或简称浸入.
设 \( X \) |
2000_数学辞海（第3卷） | 164 | _{i} \cap Y \neq \varnothing \) 时,
\[
\phi \left( {{U}_{i} \cap Y}\right) = \phi \left( {U}_{i}\right) \cap F,
\]
则称 \( Y \) 是 \( X \) 的子流形.
不难验证 \( \left\{ \left( {{\widetilde{U}}_{i},{\widetilde{\varphi }}_{i}}\right) \right\} \) 是模 \( F \) 的子流形 \( Y \) 的一个 \( {C}^{k} \) 图册,其中 \( {\widetilde{U}}_{i} = {U}_{i} \cap F,{\widetilde{\varphi }}_{i} \) 是 \( {\phi }_{i} \) 在 \( {\widetilde{U}}_{i} \) 上的限制. 若 \( X \) 是一个 \( E \) 流形, \( f : X \rightarrow \mathrm{R} \) 是可微映射, \( c \) 不是 \( f \) 的临界点,则 \( Y = {f}^{-1}\left( c\right) \) 就是 \( X \) 的一个子流形.
设 \( Y \) 是 \( E \) 流形 \( X \) 的一个子流形, \( {F}_{1} \) 是 \( E \) 的子空间. 若 \( {F}_{1} \) 可以给出 \( E \) 的一个拓扑余子空间 \( {F}_{2} \) ,则称 \( Y \) 为可余子流形.
设 \( X \) 与 \( Y \) 分别为模 \( E \) 与 \( F \) 的两个微分流形, 可微映射 \( f : Y \rightarrow X \) . 若对每一点 \( y \in Y,{f}^{\prime }\left( y\right) \) 是 \( {T}_{y}\left( Y\right) \) 到 \( {T}_{f\left( y\right) }\left( X\right) \) 的一个子空间上的一个同构,而该子空间同 \( E \) 中可余的固定子空间 \( {F}_{1} \) 同构,则称 \( f \) 是浸入映射, 或简称浸入.
设 \( X \) 与 \( Y \) 是两个巴拿赫流形, \( f : Y \rightarrow X \) 是一个同构,则每一点 \( y \in Y \) 有一个邻域 \( V \) ,使得 \( f\left( V\right) \) 是 \( X \) 的微分同胚于 \( V \) 的子流形.
一个单射的浸入就称为嵌入; 一个同胚的嵌入称为正则嵌入.
微分形式 (differential form) 向量丛的截面. 在光滑巴拿赫流形 \( X \) 上的一个微分 \( p \) 形式 \( \alpha \) 是 \( X \) 上反对称共变 \( p \) 张量的向量丛 \( {\Lambda }^{p}\left( X\right) \) 的一个截面.
设 \( \alpha \) 是一个 \( p \) 形式, \( \beta \) 是一个 \( q \) 形式,则它们的外积定义为
\[
{\left( \alpha \land \beta \right) }_{x}\left( {{v}_{1},{v}_{2},\cdots ,{v}_{p + q}}\right)
\]
\[
= \frac{1}{p!}\frac{1}{q!}\mathop{\sum }\limits_{\pi }\left( {\operatorname{sgn}\pi }\right) {\alpha }_{x}\left( {{v}_{\pi \left( 1\right) },{v}_{\pi \left( 2\right) },\cdots ,{v}_{\pi \left( p\right) }}\right)
\]
\[
\times {\beta }_{x}\left( {{v}_{\pi \left( {p + 1}\right) },\cdots ,{v}_{\pi \left( {p + q}\right) }}\right) ,
\]
其中的和式取在 \( 1,2,\cdots, p + q \) 的所有置换 \( \pi \) 上. 与有限维光滑流形类似, 也可以定义外微分等概念.
辛形式 (symplectic form) 满足辛条件的微分形式. 设 \( X \) 是模于巴拿赫空间 \( E \) 的一个光滑流形, \( X \) 上的辛形式 \( \omega \) 是一个 2 形式,且满足:
1. \( \omega \) 是闭形式,即 \( \mathrm{d}\omega = 0 \) ;
2. 对每个 \( x \in X,{\omega }_{x} : {T}_{x}\left( X\right) \times {T}_{x}\left( X\right) \rightarrow \mathrm{R} \) 是一个非退化双线性形式 (即映射 \( {T}_{x}\left( X\right) \rightarrow {T}_{x}^{ * }\left( X\right) \) : \( v \mapsto {\omega }_{x}\left( {v, \cdot }\right) \) 是一个同构).
达布定理 (Darboux theorem) 关于辛形式性质的定理. 该定理断言: 若 \( \omega \) 是一个巴拿赫流形上的辛形式,则关于每点都存在一个区图 \( \left( {U,\phi }\right) \) ,在这个区图中 \( \omega \) 是常量 (即 \( \phi \left( U\right) \subset E \rightarrow {\Lambda }^{2}\left( E\right) : \phi \left( x\right) \mapsto {\bar{\omega }}_{x} \) 是一个常映射).
复流形 (complex manifold) 区图中映射是映到复空间的流形. 设 \( M \) 是一个仿紧豪斯多夫拓扑空间,若在 \( M \) 上存在一个图册 \( A = \left\{ {\left( {{U}_{i},{\phi }_{i}}\right) \mid i \in I}\right\} \) ,满足下列条件,则称 \( A \) 是 \( M \) 的一个 \( n \) 维复流形结构, \( M \) 为复 \( n \) 维流形,或 \( n \) 维复流形 (参见本卷《多复变函数论》同名条):
1. 对所有的 \( i \in I,{\phi }_{i} \) 是 \( {U}_{i} \) 到 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 的开子集 \( {\phi }_{i}\left( {U}_{i}\right) \) 上的一个同胚;
2. 对于任意的 \( i, j \in I \) ,当 \( {U}_{i} \cap {U}_{j} \neq \varnothing \) 时, \( {\left. {\phi }_{i} \circ {\phi }_{j}^{-1}\right| }_{{\phi }_{j}}\left( {{U}_{i} \cap {U}_{j}}\right) : {\phi }_{j}\left( {{U}_{i} \cap {U}_{j}}\right) \rightarrow {\phi }_{i}\left( {{U}_{i} \cap {U}_{j}}\right) \) 是一个双全纯映射.
此处通常总认为图册 \( A \) 是最大的. 即若 \( \left( {U,\phi }\right) \) 是 \( M \) 的任一个区图且 \( \phi \circ {\phi }_{j}^{-1} \) 是双全纯的,则 \( \left( {U,\phi }\right) \) \( \in A \) . 容易证明,每个 \( n \) 维复流形有 \( {2n} \) 维实解析流形的结构, 作为实解析流形是可定向的而且具有一个由复结构决定的特定的定向.
复子流形 (complex submanifold) 复流形的子流形. 设 \( M \) 是一个 \( m \) 维复流形,其图册为 \( A, N \) 是 \( M \) 的一个连通子集. 若对于每个 \( x \in N \) ,存在 \( (U \) , \( \phi ) \in A \) ,使得 \( \phi \) 同胚地映 \( U \cap N \) 到
\[
{\mathrm{C}}^{n} \times \{ 0\} \subset {\mathrm{C}}^{n} \times {\mathrm{C}}^{m - n} = {\mathrm{C}}^{m}
\]
的一个开子集上,则称 \( N \) 是 \( M \) 的 \( n \) 维复子流形. 作为例子,容易知道, \( n \) 维复流形 \( M \) 的一个开连通子集是 \( M \) 的 \( n \) 维复子流形.
全纯映射 (holomorphic map) 复流形上的一种有解析性的映射. 设 \( M, N \) 是分别有图册 \( A, B \) 的复流形,一个映射 \( f : M \rightarrow N \) ,若对于所有的 \( \left( {U,\phi }\right) \in \) \( A,\left( {V,\xi }\right) \in B \) ,映射
\[
{\xi f}{\phi }^{-1} : \phi \left( {U \cap {f}^{-1}\left( V\right) }\right) \rightarrow \xi \left( V\right)
\]
是解析的,则称 \( f \) 是全纯映射或解析映射.
若 \( f \) 是一个同胚且 \( f \) 与 \( {f}^{-1} \) 都是解析映射,则称 \( f \) 是双全纯的,也称 \( M \) 与 \( N \) 是双全纯的或解析等价的 (参见本卷《多复变函数论》同名条).
施坦流形 (Stein manifold) 一种特殊的复流形. 设 \( M \) 是一个复 \( m \) 维流形, \( A\left( M\right) \) 是 \( M \) 上所有全纯函数所成的环,满足下列条件,则称 \( M \) 为施坦流形:
1. 给定 \( x, y \in M, x \neq y \) ,存在 \( f \in A\left( M\right) \) 使得 \( f\left( x\right) \neq f\left( y\right) \) .
2. \( M \) 是全纯凸的: 给定 \( M \) 的一个紧子集 \( K,\widehat{K} \) \( = \left\{ {z \in M\left| \right| f\left( z\right) \mid \leq \parallel f{\parallel }_{K},\forall f \in A\left( M\right) }\right\} \) 是 \( M \) 的一个紧子集.
3. 给定 \( z \in M, M \) 中存在 \( z \) 的一个邻域 \( U \) 和 \( {f}_{1} \) , \( {f}_{2},\cdots ,{f}_{m} \in A\left( M\right) \) ,使得当限制于 \( U \) 时, \( \left( {{f}_{1},{f}_{2},\cdots }\right. \) , \( \left. {f}_{m}\right) : U \rightarrow {\mathrm{C}}^{m} \) 是 \( M \) 的一个复解析区图.
施坦流形是全纯域的自然推广. 每一个非紧黎曼曲面是施坦流形 (参见本卷《多复变函数论》同名条).
复射影空间 (complex projective space) 实射影空间在复情形的推广, 是一种典型的复流形. 设
\[
{\mathrm{C}}^{n + 1} = \left\{ {\left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n + 1}}\right) \mid {z}_{i} \in \mathrm{C}}\right\}
\]
为 \( n + 1 \) 维复空间,把 \( {\mathrm{C}}^{n + 1} \) 中每一条过原点的复直线等同于一个点,便得复 \( n \) 维射影空间 \( {P}^{n}\left( \mathrm{C}\right) \) . 另一方面, \( {\mathrm{C}}^{n + 1} \smallsetminus \{ 0\} \) 中的两个点 \( \left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n + 1}}\right) ,\left( {{z}^{\prime }{}_{1},{z}^{\prime }{}_{2}}\right. \) , \( \left. {\cdots ,{z}^{\prime }{}_{n + 1}}\right) \) 称为等价的,如果 \( \left( {{z}^{\prime }{}_{1},{z}^{\prime }{}_{2},\cdots ,{z}^{\prime }{}_{n + 1}}\right) = \) \( \lambda \left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n + 1}}\right) \) ,其中 \( \lambda \) 为一个非零复数. 显然,这是一个等价关系,记此关系之下,含点 \( \left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots }\right. \) , \( \left. {z}_{n + 1}\right) \) 的等价类为 \( \left\lbrack {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n + 1}}\right\rbrack \) ,则 \( {P}^{n}\left( \mathrm{C}\right) \) 便是一切 \( \left\lbrack {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n + 1}}\right\rbrack \) 之集合,令
\[
q : {\mathrm{C}}^{n + 1} \smallsetminus \{ 0\} \rightarrow {P}^{n}\left( \mathrm{C}\right) ,
\]
\[
q\left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n + 1}}\right) = \left\lbrack {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n + 1}}\right\rbrack ,
\]
则这是一个商映射, \( {P}^{n}\left( \mathrm{C}\right) \) 具有这个商映射之下的商拓扑. 容易证明, \( {P}^{n}\left( \mathrm{C}\right) \) 在自然结构之下,成为紧连通复流形. 特别地,当 \( n = 1 \) 时, \( {P}^{1}\left( \mathrm{C}\right) \) 是普通 2 维球面 \( {S}^{2} \) 的复数表示,称为黎曼球面 (参见本卷《多复变函数论》有关条目).
代数簇 (algebraic variety) \( {P}^{n}\left( \mathrm{C}\right) \) 的一个子集,若它可以表示为定义在 \( {\mathrm{C}}^{n + 1} \) 中一组齐次多项式公共零点的集合, 则称它为射影代数簇, 简称代数簇,也可称它为 \( {P}^{n}\left( \mathrm{C}\right) \) 的代数子集.
周 (炜良) 定理 (Chow theorem) 关于解析子簇与代数簇之间关系的一个定理. 该定理断言: \( {P}^{n}\left( \mathrm{C}\right) \) 的每个解析子簇是代数簇.
代数流形 (algebraic manifold) 复射影空间中的代数子集. 若 \( {P}^{n}\left( \mathrm{C}\right) \) 的一个子流形是 \( {P}^{n}\left( \mathrm{C}\right) \) 的一个代数子集, 则称这个复子流形为代数子流形. 若一个复流形是双全纯于某个复射影空间的一个代数子流形, 也称这个复流形为代数流形.
复超平面 (complex hyperplane) 复射影空间中的超平面. 设 \( \left( {{a}_{0},{a}_{1},\cdots ,{a}_{n}}\right) \in {P}^{n}\left( \mathrm{C}\right) \) ,线性式 \( {a}_{0}{z}_{0} \) \( + {a}_{1}{z}_{1} + \cdots + {a}_{n}{z}_{n} \) 的零点集合就称为复超平面. 每个复超平面双全纯同构于 \( {P}^{n - 1}\left( \mathrm{C}\right) \) .
复环面 (complex torus) 一种商空间. 设 \( \omega \) \( = \left\{ {{\omega }_{1},{\omega }_{2},\cdots ,{\omega }_{2n}}\right\} \) 是 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 的一个实基, \( {L}_{\omega } \) 表示 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 的格子群为
\[
{L}_{\omega } = \left\{ {\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{{2n}}{m}_{j}{\omega }_{j} \mid \left( {{m}_{1},{m}_{2},\cdots ,{m}_{2n}}\right) \in {\mathbf{Z}}^{2n}}\right\} .
\]
定义商空间 \( {T}_{\omega } = {\mathrm{C}}^{n}/{L}_{\omega } \) 为复 \( n \) -环面.
商映射 \( \pi : {\mathrm{C}}^{n} \rightarrow {T}_{\omega } \) 是一个局部同胚,而 \( {T}_{\omega } \) 是一个紧豪斯多夫空间. \( {T}_{\omega } \) 是 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 的一个子群,其群结构为 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 所固有的,且在 \( {T}_{\omega } \) 上的群运算是解析的,所以 \( {T}_{\omega } \) 有一复李群 (复李群是一复流形,且群运算为解析的) 结构. 复 \( n \) 维环面 \( {T}_{\omega } \) 与实 \( {2n} \) 维环面 \( {T}^{2n} \) 从拓扑上讲是同胚的, 但它们的复结构可截然不同.
阿贝尔簇 (Abel variety) 特殊的复环面. 所谓阿贝尔簇, 是指同时是代数流形的复环面. 复环面是一个簇. 但当 \( n > 1 \) 时,不是每个 \( n \) 维复环面都是代数流形, 大多数不是代数流形. 因此, 就要寻找维数大于 1 而为代数流形的充分必要条件 (参见 “黎曼形式”).
黎曼形式 (Riemann form) 一种复正定双线性形式. 设 \( T \) 为复环面, \( L \) 为 \( T \) 的格 (是由 \( T \) 的实基生成的). 设 \( A : {\mathrm{C}}^{n} \times {\mathrm{C}}^{n} \rightarrow \mathrm{R} \) 是实反对称双线性形式, 若:
1. \( A\left( {L, L}\right) \subset \mathrm{Z} \) ;
2. \( A\left( {\mathrm{i}x, y}\right) \) 是 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 上的对称正定形式;
则称 \( A \) 是 \( T \) (或 \( L \) ) 的黎曼形式.
一个复环面是代数流形的充分必要条件为它容许一个黎曼形式.
纯不连续群 (properly discontinuous group) 双全纯变换群的一种子群. 设 \( \operatorname{Aut}\left( M\right) \) 为 \( M \) 的双全纯变换群, \( \Gamma \) 是 \( \operatorname{Aut}\left( M\right) \) 的子群. 若对于 \( M \) 的任意一对紧子集 \( {K}_{1},{K}_{2} \) ,集合 \( \left\{ {g \in \Gamma \mid g\left( {K}_{1}\right) \cap {K}_{2} \neq \varnothing }\right\} \) 是有限集,就称 \( \Gamma \) 为 \( \operatorname{Aut}\left( M\right) \) 的纯不连续群.
霍普夫流形 (Hopf manifold) 特殊的复流形. 所谓霍普夫流形,是指与 \( {S}^{{2n} + 1} \times {S}^{1} \) 同胚的复流形. 若 \( n = 1 \) ,就称霍普夫曲面. 例如,设 \( H = {\mathrm{C}}^{n + 1} \smallsetminus \{ 0\}, G = \) \( \left\{ {{g}^{m} \mid m \in Z, g\left( {{z}_{0},{z}_{1},\cdots ,{z}_{n}}\right) = \left( {{a}_{0}{z}_{0},{a}_{1}{z}_{1},\cdots ,{a}_{n}{z}_{n}}\right) }\right\} \) 是 \( \operatorname{Aut}\left( H\right) \) 的循环群. \( H/G \) 就是紧的且同胚于 \( {S}^{{2n} + 1} \) \( \times {S}^{1} \) ,所以 \( H/G \) 是一个霍普夫流形.
霍普夫纤维化 (Hopf fibration) 映射 \( q : {S}^{{2n} + 1} \) \( \rightarrow {P}^{n}\left( \mathrm{C}\right) \) 就是 \( {S}^{{2n} + 1} \) 的霍普夫纤维化.
解析超曲面 (analytic hypersurfaces) 复流形的超曲面. 设 \( M \) 是一个复流形, \( X \) 是 \( M \) 的真解析子集,若对于每个 \( x \in X \) ,存在 \( U \in {U}_{x} \) 和 \( f \in A\left( U\right) \ |
2000_数学辞海（第3卷） | 165 | ( M\right) \) 的子群. 若对于 \( M \) 的任意一对紧子集 \( {K}_{1},{K}_{2} \) ,集合 \( \left\{ {g \in \Gamma \mid g\left( {K}_{1}\right) \cap {K}_{2} \neq \varnothing }\right\} \) 是有限集,就称 \( \Gamma \) 为 \( \operatorname{Aut}\left( M\right) \) 的纯不连续群.
霍普夫流形 (Hopf manifold) 特殊的复流形. 所谓霍普夫流形,是指与 \( {S}^{{2n} + 1} \times {S}^{1} \) 同胚的复流形. 若 \( n = 1 \) ,就称霍普夫曲面. 例如,设 \( H = {\mathrm{C}}^{n + 1} \smallsetminus \{ 0\}, G = \) \( \left\{ {{g}^{m} \mid m \in Z, g\left( {{z}_{0},{z}_{1},\cdots ,{z}_{n}}\right) = \left( {{a}_{0}{z}_{0},{a}_{1}{z}_{1},\cdots ,{a}_{n}{z}_{n}}\right) }\right\} \) 是 \( \operatorname{Aut}\left( H\right) \) 的循环群. \( H/G \) 就是紧的且同胚于 \( {S}^{{2n} + 1} \) \( \times {S}^{1} \) ,所以 \( H/G \) 是一个霍普夫流形.
霍普夫纤维化 (Hopf fibration) 映射 \( q : {S}^{{2n} + 1} \) \( \rightarrow {P}^{n}\left( \mathrm{C}\right) \) 就是 \( {S}^{{2n} + 1} \) 的霍普夫纤维化.
解析超曲面 (analytic hypersurfaces) 复流形的超曲面. 设 \( M \) 是一个复流形, \( X \) 是 \( M \) 的真解析子集,若对于每个 \( x \in X \) ,存在 \( U \in {U}_{x} \) 和 \( f \in A\left( U\right) \) ,使得 \( X \cap U = {f}^{-1}\left( 0\right) \) ,则称 \( X \) 为 \( M \) 的解析超曲面.
可约解析子集 (reducible analytic subset) 特殊的解析子集. 设 \( X \) 是复流形 \( M \) 的解析子集. 若存在 \( M \) 的不等于 \( X \) 的解析子集 \( Y, Z \) ,使得 \( X = Y \cup Z \) , 则称 \( X \) 为可约解析子集. 若不存在 \( X \) 的具有上述性质的解析子集 \( Y, Z \) ,则称 \( X \) 为不可约解析子集.
复化 (complexification) 把实向量空间变为复向量空间的一种特殊的张量积. 设 \( E \) 是一个实向量空间,则向量空间 \( E{ \otimes }_{\mathrm{R}}\mathrm{C} \) 称为 \( E \) 的复化,记为 \( {}_{\mathrm{C}}E \) . 复化有下列性质:
1. \( {}_{\mathrm{C}}E \) 有自然的复向量空间的结构,其数乘定义为 \( c\left( {e{ \otimes }_{\mathrm{R}}d}\right) = e{ \otimes }_{\mathrm{R}}{cd}\left( {e \in E, c, d \in \mathrm{C}}\right) \) .
2. \( {\dim }_{{\mathrm{C}}_{c}}E = {\dim }_{\mathrm{R}}E \) .
3. \( {}_{\mathrm{C}}E \) 自然分裂为实部与虚部 \( {E}_{R} \oplus {E}_{I} \) ,实部 \( {E}_{R} \) \( = \left\{ {e{ \otimes }_{\mathrm{R}}1 \mid e \in E}\right\} \) ,虚部 \( {E}_{I} = \left\{ {e{ \otimes }_{\mathrm{R}}\mathrm{i} \mid e \in E}\right\} \) .
4. 复化运算与张量积、外积相交换.
5. \( \mathrm{c}\left( {E}^{\prime }\right) \cong {L}_{\mathrm{R}}\left( {E,\mathrm{C}}\right) \) ,这个同构定义映 \( \phi { \otimes }_{\mathrm{R}}c \) 为 \( {c\phi } \) .
6. 对偶对 \( E \times {E}^{\prime } \rightarrow \mathrm{R} \) 复化为对偶对
\[
{}_{\mathrm{c}}E \times {}_{\mathrm{c}}{E}^{\prime } \rightarrow \mathrm{C}\text{.}
\]
复化也可以把一个实向量丛变为复向量丛. 设 \( \left( {E, M, P}\right) \) 是微分流形 \( M \) 上的一个实向量丛,则 \( E \) 的复化。 \( E \) 定义为把 \( M \) 上每一点的实向量空间 \( {E}_{p} \) \( \left( {p \in M}\right) \) 复化为 \( {E}_{p}{ \otimes }_{\mathrm{R}}\mathrm{C} \) ,于是 \( E \) 成为 \( E{ \otimes }_{\mathrm{R}}\mathrm{C} \) .
复结构 (complex structure) 具有特殊自同态的实向量空间, 由此自同态可以视该向量空间为一个复向量空间. 设 \( E \) 是实向量空间,若 \( E \) 的自同态 \( J \) 满足 \( {J}^{2} = - I \) ,则称 \( J \) 为 \( E \) 上的复结构. 若 \( E \) 有复结构 \( J \) ,只要规定
\[
\left( {a + \mathrm{i}b}\right) e = a + {bJ}\left( e\right) \;\left( {a, b \in \mathrm{R}, e \in E}\right) ,
\]
就可以给 \( E \) 复向量空间的结构. 反之,若 \( E \) 是复向量空间,则也能在 \( E \) 上定义复结构 \( J \) 为 \( J\left( e\right) \) \( = \mathrm{i}e\left( {e \in E}\right) \) .
复结构有下列性质:
1. 若 \( E, F \) 是分别有复结构 \( {J}_{E},{J}_{F} \) 的向量空间, 则映射 \( A \in {L}_{\mathrm{R}}\left( {E, F}\right) \) 是复线性映射的充分必要条件是 \( A \cdot {J}_{E} = {J}_{F} \cdot A \) . 而空间 \( {L}_{\mathrm{C}}\left( {E, F}\right) \) 有自然的复结构 \( J \) 为 \( J\left( A\right) = A \cdot {J}_{E} = {J}_{F} \cdot A \) .
2. 若 \( E \) 有复结构,则 \( {E}^{ * } \) 上的复结构可以定义为 \( J\left( \phi \right) = \phi \cdot J = \mathrm{i}\phi \left( {\phi \in {E}^{ * }}\right) \) .
复结构可以看成向量丛射. 设 \( \left( {E, M, P}\right) \) 是微分流形 \( M \) 上的实向量丛,则 \( E \) 上的复结构 \( J \) 是一个满足 \( {J}^{2} = - I \) 的向量丛射 \( J : E \rightarrow E \) .
殆复流形 (almost complex manifold) 其切空间具有复结构的实微分流形. 设 \( M \) 是一个微分流形,若它的切丛有复结构,则切丛 \( T\left( M\right) \) 上的一个复结构 \( J \) 称为 \( M \) 上的殆复结构. 有此结构的流形 \( M \) 称为殆复流形.
殆复结构 (almost complex structure) 见“殆复流形”.
共轭映射 (conjugation mapping) 复化流形之间的映射. 映射 \( S : \mathrm{c}E \rightarrow \mathrm{c}E \) 定义为
\[
S\left( {e{ \otimes }_{\mathrm{R}}c}\right) = e{ \otimes }_{\mathrm{R}}\bar{c}\;\left( {e \in E, c \in \mathrm{C}}\right) ,
\]
称 \( S \) 为共轭映射. 通常写成 \( S\left( X\right) = \bar{X}\left( {X \in {}_{\mathrm{c}}E}\right) \) . 共轭映射有下列性质:
1. \( S\mathrm{i} = - \mathrm{i}S \) .
2. 设 \( X \in {}_{\mathrm{c}}E \) ,则 \( X = \bar{X} \) 的充分必要条件为 \( X \in \) \( {E}_{R} \) ,而 \( X = - \bar{X} \) 的充分必要条件为 \( X \in {E}_{I} \) .
3. 共轭映射与张量积、外积相交换.
4. 利用自然同构 \( {}_{\mathrm{C}}{E}^{\prime } \cong {L}_{\mathrm{R}}\left( {E,\mathrm{C}}\right) \) ,可以把共轭映射看做函数的共轭.
5. 共轭映射与对偶对 \( \mathrm{c}E \times \mathrm{c}{E}^{\prime } \rightarrow \mathrm{C} \) 相交换,且对所有的 \( X \in \mathrm{c}E,\phi \in \mathrm{c}{E}^{\prime } \) ,有 \( \langle \overline{X,\phi }\rangle = \langle \bar{X},\bar{\phi }\rangle \) .
6. 映射 \( A \in {L}_{\mathrm{C}}\left( {{}_{\mathrm{C}}E,{}_{\mathrm{C}}F}\right) \) 的共轭 \( \bar{A} = S \cdot A \cdot S \) .
共轭向量空间 (conjugate vector space) 共轭于复向量空间的空间. 设 \( E \) 是有复结构 \( J \) 的向量空间,可在集合 \( \{ \bar{e} \mid e \in E\} \) 上定义 \( \left( {a + \mathrm{i}b}\right) \bar{e} = \overline{\left( {a - \mathrm{i}b}\right) e} \) , 其中 \( a, b \in \mathrm{R}, e \in E \) ,则它成为一个复向量空间,称为共轭于 \( E \) 的向量空间,记为 \( \bar{E} \) . 共轭空间有下列性质:
1. \( {\bar{E}}^{ * } \cong \overline{{E}^{ * }} \) . 这个同构的定义为,映 \( \varphi \in {\bar{E}}^{ * } \) 为 \( \bar{\varphi } \in {E}^{ * } \) ,这里的 \( \bar{\varphi }\left( e\right) = \overline{\varphi \left( e\right) }\left( {e \in E}\right) \) .
2. 取共轭空间的运算为取对偶的运算, 则张量幂和外幂相交换.
复化线性映射 (complexified linear map) 复向量空间间的线性映射被复化. 设 \( E, F \) 是复向量空间, \( A \in {L}_{\mathrm{R}}\left( {E, F}\right) .A \) 的复化为
\[
\mathrm{c}A = A{ \otimes }_{\mathrm{R}}1 \in {L}_{\mathrm{C}}\left( {E, F}\right) ,
\]
则称 \( {}_{\mathrm{c}}A \) 是复化线性映射.
\( {}_{\mathrm{c}}E \) 的外代数 (exterior algebra of \( {}_{\mathrm{c}}E \) ) 实向量空间复化的外代数. 由同构
\[
\mu : {\Lambda }^{p}{}_{\mathrm{C}}E \rightarrow {\bigoplus }_{r + s = p}{\Lambda }^{r}E \otimes {\Lambda }^{s}\bar{E},
\]
\[
\mu : {\Lambda }^{p}{}_{\mathrm{C}}{E}^{\prime } \rightarrow {\bigoplus }_{r + s = p}{\Lambda }^{r}{E}^{ * } \otimes {\Lambda }^{s}{\bar{E}}^{ * }
\]
可知, 若令
\[
{\Lambda }^{r, s}\left( E\right) = {\mu }^{-1}\left( {{\Lambda }^{r}E \otimes {\Lambda }^{s}\bar{E}}\right) ,
\]
\[
{\Lambda }^{r, s}\left( {E}^{\prime }\right) = {\mu }^{-1}\left( {{\Lambda }^{r}{E}^{ * } \otimes {\Lambda }^{s}{\bar{E}}^{ * }}\right) ,
\]
则 \( \mathrm{c}E,\mathrm{c}{E}^{\prime } \) 的外代数分别为
\[
{\Lambda }_{\mathrm{C}}^{p}E = {\bigoplus }_{r + s = p}{\Lambda }^{r, s}\left( E\right) ,{\Lambda }^{p}\left( {{}_{\mathrm{C}}{E}^{\prime }}\right) = {\bigoplus }_{r + s = p}{\Lambda }^{r, s}\left( {E}^{\prime }\right) .
\]
\( {\Lambda }^{r, s}\left( E\right) \) 的元素称为复 \( \left( {r, s}\right) \) 向量, \( {\Lambda }^{r, s}\left( {E}^{\prime }\right) \) 的元素称为复 \( \left( {r, s}\right) \) 形式.
\( {}_{\mathrm{c}}{E}^{\prime } \) 的外代数 (exterior algebra of \( {}_{\mathrm{c}}{E}^{\prime } \) ) 见 “ \( {}_{\mathrm{c}}E \) 的外代数”.
对偶向量丛 (dual vector bundle) 共轭转换函数所确定的向量丛. 设 \( E \) 是一个复向量丛,它的转换函数为 \( {\theta }_{ij} : {U}_{ij} \rightarrow \mathrm{{GL}}\left( {\mathrm{C}}^{n}\right) \) . 规定新的映射
\[
{\theta }_{ij}^{ * } : {U}_{ij} \rightarrow \mathrm{{GL}}\left( {\mathrm{C}}^{n * }\right) ,
\]
\( {\theta }_{ij}^{ * } \) 满足转换函数的条件,以 \( {\theta }_{ij}^{ * } \) 为转换函数的复向量丛就称为 \( E \) 的对偶向量丛,记为 \( {E}^{ * } \) .
全纯向量丛(holomorphic vector bundle) 实流形上实向量丛的概念在复数情形的推广. 设 \( M \) 是一个复流形,则 \( M \) 上的一个 \( m \) 维全纯向量丛是一个三元组 \( \left( {E, M, P}\right) \) ,其中 \( E \) 为复流形, \( P : E \rightarrow M \) 为全纯映射,称为投影,而且存在 \( M \) 上的一个开覆盖 \( \left\{ {{U}_{i} \mid i \in I}\right\} \) ,使得对于每个 \( {U}_{i} \) ,都有全纯同胚 \( {\phi }_{i} \) : \( {p}^{-1}\left( {U}_{i}\right) \rightarrow {U}_{i} \times {\mathrm{C}}^{m}\left( {{\phi }_{i}\left( e\right) = \left( {x, v}\right) }\right. \) ,当 \( \left. {p\left( e\right) = x}\right) \) ,同时对于任意 \( i, j \) ,当 \( {U}_{i} \cap {U}_{j} \neq \varnothing \) 时,
\( {\left. {\phi }_{i} \circ {\phi }_{j}^{-1}\right| }_{x} : {\mathrm{C}}^{m} \rightarrow {\mathrm{C}}^{m}, \)
\( {\left. {\phi }_{i} \circ {\phi }_{j}^{-1}\right| }_{x}\left( v\right) = q\left( {{\phi }_{i} \circ {\phi }_{j}^{-1}\left( {x, v}\right) }\right) \left( {q\left( {{x}^{\prime },{v}^{\prime }}\right) = {v}^{\prime }}\right) \)
是 \( {\mathrm{C}}^{m} \) 上的一个线性同构,其中 \( q : {U}_{j} \times {\mathrm{C}}^{m} \rightarrow {\mathrm{C}}^{m} \) 是投射.
反全纯向量丛 (anti-holomorphic vector bundle) 其共轭向量丛为全纯向量丛时的向量丛. 设 \( E \) 是 \( M \) 上的复向量丛,若 \( \bar{E} \) 是一个全纯向量丛,就称 \( E \) 是反全纯向量丛.
复化切丛 (complexified tangent bundle) 复流形的实切丛的复化丛. 设 \( M \) 是复微分流形, \( T\left( M\right) \) 为 \( M \) 的实切丛,则称复向量丛 \( {}_{c}T\left( M\right) \) 为复化切丛; 而称 \( {}_{\mathrm{c}}{T}^{ * }\left( M\right) \) 为复化余切丛.
复化余切丛 (complexified cotangent bundle) 见“复化切丛”.
复微分 \( \mathbf{p} \) 形式 (complex differential \( p \) -form)
一种截面. 丛 \( {\Lambda }^{p}{}_{\mathrm{C}}{T}^{ * }\left( M\right) \) 的截面就称为 \( M \) 上的复微分 \( p \) 形式, \( p \geq 0 \) . 外微分复化后给出复微分形式上的算子,仍记为 \( \mathrm{d} \) ,算子 \( \mathrm{d} \) 的性质与实流形的外微分运算的性质相同, 此外它是实的, 即
\[
\overline{\mathrm{d}\phi } = \mathrm{d}\bar{\phi }\;\left( {\phi \in {C}^{\infty }\left( {{\Lambda }^{p}\mathrm{C}{T}^{ * }\left( M\right) }\right) }\right) .
\]
复化李括号 (complexification of Lie bracket) 实流形中李括号经复化后的结果. 李括号复化给出 \( {C}^{\infty }\left( {{}_{\mathrm{c}}T\left( M\right) }\right) \) 的李括号,定义为
\[
\left\lbrack {{X}_{1} + \mathrm{i}{Y}_{1},{X}_{2} + \mathrm{i}{Y}_{2}}\right\rbrack
\]
\[
= \left\lbrack {{X}_{1},{X}_{2}}\right\rbrack - \left\lbrack {{Y}_{1},{Y}_{2}}\right\rbrack - \mathrm{i}\left( {\left\lbrack {{Y}_{1},{X}_{2}}\right\rbrack + \left\lbrack {{X}_{1},{Y}_{2}}\right\rbrack }\right) ,
\]
其中 \( {X}_{1},{X}_{2},{Y}_{1},{Y}_{2} \in {C}^{\infty }\left( {\mathrm{c}T\left( M\right) }\right) \) .
类似地,也可把李导数复化为 \( {}_{0}T\left( M\right) \) 的全张量代数上的导数.
挠率 (torsion) 一种由殆复结构决定的张量场. \( M \) 上殆复结构 \( J \) 的挠率是张量场
\[
N \in {C}^{\infty }\left( {{\Lambda }^{2}{T}^{ * }\left( M\right) \otimes T\left( M\right) }\right) .
\]
张量场 \( N \) 表述为
\( \left\lbrack {N, X \land Y}\right\rbrack \)
\[
= \left\lbrack {{JX},{JY}}\right\rbrac |
2000_数学辞海（第3卷） | 166 | ;\left( {\phi \in {C}^{\infty }\left( {{\Lambda }^{p}\mathrm{C}{T}^{ * }\left( M\right) }\right) }\right) .
\]
复化李括号 (complexification of Lie bracket) 实流形中李括号经复化后的结果. 李括号复化给出 \( {C}^{\infty }\left( {{}_{\mathrm{c}}T\left( M\right) }\right) \) 的李括号,定义为
\[
\left\lbrack {{X}_{1} + \mathrm{i}{Y}_{1},{X}_{2} + \mathrm{i}{Y}_{2}}\right\rbrack
\]
\[
= \left\lbrack {{X}_{1},{X}_{2}}\right\rbrack - \left\lbrack {{Y}_{1},{Y}_{2}}\right\rbrack - \mathrm{i}\left( {\left\lbrack {{Y}_{1},{X}_{2}}\right\rbrack + \left\lbrack {{X}_{1},{Y}_{2}}\right\rbrack }\right) ,
\]
其中 \( {X}_{1},{X}_{2},{Y}_{1},{Y}_{2} \in {C}^{\infty }\left( {\mathrm{c}T\left( M\right) }\right) \) .
类似地,也可把李导数复化为 \( {}_{0}T\left( M\right) \) 的全张量代数上的导数.
挠率 (torsion) 一种由殆复结构决定的张量场. \( M \) 上殆复结构 \( J \) 的挠率是张量场
\[
N \in {C}^{\infty }\left( {{\Lambda }^{2}{T}^{ * }\left( M\right) \otimes T\left( M\right) }\right) .
\]
张量场 \( N \) 表述为
\( \left\lbrack {N, X \land Y}\right\rbrack \)
\[
= \left\lbrack {{JX},{JY}}\right\rbrack - \left\lbrack {X, Y}\right\rbrack - J\left\lbrack {X,{JY}}\right\rbrack - J\left\lbrack {{JX}, Y}\right\rbrack \text{,}
\]
其中 \( X, Y \in {C}^{\infty }\left( {T\left( M\right) }\right) \) .
算子 \( \partial \) (operator \( \partial \) ) 复流形上的一种微分算子. 设 \( M \) 是复流形,定义算子 \( \partial : {C}^{r, s}\left( M\right) \rightarrow {C}^{r + 1, s}\left( M\right) \) 与 \( \bar{\partial } : {C}^{r, s}\left( M\right) \rightarrow {C}^{r, s + 1}\left( M\right) \) 为 \( \mathrm{d} = \partial + \bar{\partial } \) ,其中 \( {C}^{r, s}\left( M\right) \) 表示丛 \( {\Lambda }^{r, s}{\left( M\right) }^{\prime } \) 的 \( {C}^{\infty } \) 截面的空间. 对于 \( p \geq 0 \) ,算子 \( \partial \) , \( \bar{\partial } \) 诱导出算子 \( \partial ,\bar{\partial } : {C}^{p}\left( M\right) \rightarrow {C}^{p + 1}\left( M\right) \) 且满足 \( \mathrm{d} = \partial + \bar{\partial } \) .
算子 \( \partial \) 与 \( \bar{\partial } \) 有性质:
1. \( {\partial }^{2} = 0,{\bar{\partial }}^{2} = 0,\partial \bar{\partial } + \bar{\partial }\partial = 0 \) .
2. \( \partial \) 与 \( \bar{\partial } \) 是共轭算子, \( \bar{\partial }\phi = \bar{\partial }\bar{\phi }\left( {\phi \in {C}^{p}\left( M\right) }\right) \) .
3. \( \partial \left( {\phi \land \xi }\right) = \partial \phi \land \xi + {\left( -1\right) }^{p}\phi \land \partial \xi \left( {\phi \in {C}^{p}\left( M\right) ,\xi }\right. \) \( \left. { \in {C}^{q}\left( M\right) }\right) \) ; 对 \( \bar{\partial } \) 类似的等式也成立.
4. 若 \( f : M \rightarrow N \) 是全纯的, \( \phi \in {C}^{p}\left( N\right) \) ,则 \( {f}^{ * }\partial \phi = \) \( \partial \left( {{f}^{ * }\phi }\right) \) ; 类似地对 \( \bar{\partial } \) 也成立,其中 \( {f}^{ * } \) 为 \( f \) 的拉回.
5. 局部坐标下,
\[
\phi = \mathop{\sum }\limits_{{IJ}}{\phi }_{IJ}\mathrm{\;d}{z}_{I}\mathrm{\;d}{z}_{J}
\]
\[
\partial \phi = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{m}\mathop{\sum }\limits_{{IJ}}\frac{\partial {\phi }_{IJ}}{\partial {z}_{j}}\mathrm{\;d}{z}_{j}\mathrm{\;d}{z}_{I}\mathrm{\;d}{z}_{J},
\]
\[
\bar{\partial }\phi = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{m}\mathop{\sum }\limits_{{I, J}}\frac{\partial {\phi }_{IJ}}{\partial {\bar{z}}_{j}}\mathrm{\;d}{\bar{z}}_{j}\mathrm{\;d}{z}_{J}\mathrm{\;d}{z}_{J}.
\]
6. 对 \( p \geq 0 \) ,
\[
{\Omega }^{p}\left( M\right) = \operatorname{Ker}\left( {\bar{\partial } : {C}^{p,0}\left( M\right) \rightarrow {C}^{p,1}\left( M\right) }\right) ,
\]
\( {\Omega }^{p}\left( M\right) \) 是 \( {\Lambda }^{p,0}\left( M\right) \) 的全纯截面的空间.
算子 \( \bar{\partial } \) (operator \( \bar{\partial } \) ) 见“算子 \( \partial \) ”.
铎尔博尔-格罗腾迪克引理 (Dolbeault-Groth-endieck lemma) 方程 \( \bar{\partial }u = f \) 解的存在定理. 该定理断言: 设 \( D \) 是 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的开多圆柱, \( f \in {C}^{p, q + 1}\left( D\right) \) 满足 \( \bar{\partial }f = 0\left( {p, q \geq 0}\right) \) ,若 \( W \) 是 \( D \) 的相对紧开子集,则存在 \( u \in {C}^{p, q}\left( W\right) \) ,使得 \( \bar{\partial }u = f \) 在 \( W \) 上成立.
复线丛(complex line bundle) 一维复向量丛.
全纯线丛(holomorphic line bundle) 转换函数为全纯函数的复线丛. 设 \( E \) 是黎曼曲面 \( M \) 上的一个复线丛, \( {\theta }_{ij} : {U}_{ij} \rightarrow \mathrm{{GL}}\left( \mathrm{C}\right) \) 是 \( E \) 的转换函数. 若 \( {\theta }_{ij} \) 都是全纯函数,则称 \( E \) 为 \( M \) 上的一个全纯线丛.
黎曼曲面 (Riemann surface) 有复解析图册的拓扑空间. 若拓扑空间 \( M \) 上的图册 \( A = \left\{ {\left( {{U}_{i},{\phi }_{i}}\right) \mid }\right. \) \( i \in I\} \) 满足下列条件,则 \( A \) 称为复解析图册, \( M \) 与图册 \( A \) 一起就称为黎曼曲面:
1. \( \left\{ {U}_{i}\right\} \) 是 \( M \) 的一个开覆盖;
2. 对每个 \( i \in I,{\phi }_{i} \) 是 \( {U}_{i} \) 到 \( \mathrm{C} \) 的一个开子集的同胚;
3. 对所有 \( i, j \in I,{\phi }_{i}{\phi }_{j}^{-1} \) 是 \( {\phi }_{j}\left( {{U}_{i} \cap {U}_{j}}\right) \) 到 \( {\phi }_{j}\left( {{U}_{i} \cap }\right. \) \( \left. {U}_{j}\right) \) 的一个双全纯映射.
标准丛 (canonical bundle) 复流形的余切丛的 \( n \) 次外形式丛. 设 \( M \) 为 \( n \) 维复流形,则称 \( {\Lambda }^{n}\left( {{T}^{ * }M}\right) \) 为 \( M \) 的标准丛,记为 \( K\left( M\right) \) .
超平面截面丛 (hyperplane section bundle) \( {P}^{n}\left( \mathrm{C}\right) \) 中全纯线丛的对偶丛. 设 \( L \subset {P}^{n}\left( \mathrm{C}\right) \times {\mathrm{C}}^{n + 1} \) 表示集合 \( \left\{ {\left( {l, z}\right) \mid l \in {P}^{n}\left( \mathrm{C}\right), z \in l}\right\} ,{P}^{n}\left( \mathrm{C}\right) \) 上的射影诱导一个射影 \( \pi : L \rightarrow {P}^{n}\left( \mathrm{C}\right) \) . 可以验证, \( L \) 有 \( n + 1 \) 维复流形结构, \( \pi \) 是全纯的,且 \( L \) 有 \( {P}^{n}\left( \mathrm{C}\right) \) 上的全纯线丛的自然结构,称 \( L \) 的对偶丛 \( {L}^{ * } \) 为 \( {P}^{n}\left( \mathrm{C}\right) \) 的超平面截面丛,记为 \( H \) .
几何亏格 (geometric genus) 与标准丛相关的复维数. 设 \( M \) 为 \( m \) 维紧复流形, \( K\left( M\right) \) 表示 \( M \) 的标准丛 \( {\Lambda }^{m}{T}^{ * }\left( M\right) .M \) 的几何亏格 \( {P}_{g}\left( M\right) \) 为
\( {\dim }_{\mathrm{c}}\left( {\Omega \left( {K\left( M\right) }\right) }\right) \) .
埃尔米特形式 (Hermite form) 复流形上的一种特殊双线性形式. 设 \( E \) 是 \( m \) 维复向量空间,映射 \( H : E \times E \rightarrow \mathrm{C} \) ,若满足条件:
\[
\text{1.}H\left( {x, y}\right) = \overline{H\left( {y, x}\right) }\left( {\forall x, y \in E}\right) \text{;}
\]
\[
\text{2.}H\left( {a{x}_{1} + b{x}_{2}, y}\right) = {aH}\left( {{x}_{1}, y}\right) + {bH}\left( {{x}_{2}, y}\right)
\]
\[
\left( {a, b \in \mathrm{C},{x}_{1},{x}_{2}, y \in E}\right) \text{;}
\]
则称 \( H \) 为 \( E \) 上的埃尔米特形式. 若 \( H \) 还满足:
\[
\text{3.}H\left( {x, x}\right) > 0\left( {x \neq 0, x \in E}\right) \text{;}
\]
则称 \( H \) 为正定埃尔米特形式.
设 \( M \) 是复流形,若 \( {T}^{ * }\left( M\right) \otimes \overline{{T}^{ * }\left( M\right) } \) 的截面 \( H \) 使得对所有的 \( x \in M, H\left( x\right) \) 是 \( {T}_{x}\left( M\right) \) 上的埃尔米特形式,则称该截面 \( H \) 为复流形 \( M \) 的埃尔米特形式.
列维形式 (Levi form) 复形的 \( \left( {1,1}\right) \) 微分形式. 设 \( M \) 是一个复流形, \( \phi \in {C}_{\mathrm{A}}^{2}\left( M\right) ,\phi \) 的列维形式是 \( \left( {1,1}\right) \) 形式 \( L\left( \phi \right) = \partial \bar{\partial }\phi \) .
\( M \) 的定义函数 (defining function for \( M \) ) 复流形的相对紧集上的函数. 设 \( M \) 是 \( m \) 维复流形 \( \widetilde{M} \) 中的相对紧域,且 \( M \) 有 \( {C}^{2} \) 边界 \( \partial M \) . 如果 \( \phi \in {C}_{\mathrm{A}}^{2}\left( \widetilde{M}\right) \) 满足条件:
1. \( M = \{ x \in \widetilde{M} \mid \phi \left( x\right) < 0\} \) ;
2. \( \partial M = {\phi }^{-1}\left( 0\right) \) ;
3. 在 \( \partial M \) 上 \( \mathrm{d}\phi \neq 0 \) ;
则称 \( \phi \) 是 \( M \) 的定义函数.
\( \mathbf{q} \) 拟凸域 ( \( q \) -quasiconvex domain) 复流形上列维形式满足某些条件的相对紧集. 假设 \( M \) 是复流形 \( \widetilde{M} \) 中的相对紧域, \( M \) 有 \( {C}^{2} \) 边缘. 再设 \( M \) 有定义函数 \( \phi, L\left( \phi \right) \) 是列维形式. 称 \( M \) 为 \( q \) 拟凸域 (或严格 \( q \) 拟凸域),若对所有的 \( x \in \partial M \) ,有
\( n\left( x\right) = n\left( {L\left( \phi \right) \left( x\right) }\right) \leq q \) (或 \( n\left( x\right) + z\left( x\right) \leq q), \)
其中 \( n\left( x\right) = n\left( {L\left( \phi \right) x}\right) \) 表示埃尔米特形式 \( L\left( \phi \right) \left( x\right) \) 的系数函数的负特征值的数目, \( z\left( x\right) = z\left( {L\left( \phi \right) \left( x\right) }\right) \) 表示埃尔米特形式 \( L\left( \phi \right) \left( x\right) \) 的系数函数零特征值数目.
0 拟凸域称为列维拟凸域,简记为 \( {Lp} \) 域. 严格 0 拟凸域称为严格列维拟凸域,简记为 \( {SLp} \) 域.
\( {SLp} \) 域 (SLp domain) 见 “ \( q \) 拟凸域”.
弱正向量丛 (weakly positive vector bundle) 有特殊的零截面的全纯向量丛. 设 \( E \) 是紧复流形 \( M \) 上的一个全纯向量丛,若 \( E \) 的零截面上存在一个 \( \mathrm{{SLp}} \) (严格列维拟凸) 邻域,则称 \( E \) 为弱负向量丛. 若 \( {E}^{ * } \) 为弱负向量丛,则称 \( E \) 为弱正向量丛.
弱负向量丛 (weakly negative vector bundle) 见“弱正向量丛”.
小平邦彦嵌入定理 (Kodaira embedding theorem) 紧复流形容许到射影空间的嵌入定理. 该定理断言: 若 \( M \) 是一个紧复流形, \( E \) 是 \( M \) 上的一个弱正向量丛,则 \( M \) 容许在射影空间中的一个嵌入.
上述嵌入定理是由小平邦彦得到的, 故称为小
平邦彦嵌入定理.
## 莫尔斯理论
莫尔斯理论 (Morse theory) 研究可微流形 \( M \) 上定义的可微实函数 \( f \) 的性质与流形 \( M \) 的拓扑与几何性质相互关系的数学分支. 给定拓扑空间 \( X \) 与其上的连续实函数 \( f \) ,则称定义了变分问题 \( \left( {X, f}\right) \) . 大范围变分法即是对于给出的变分问题 \( \left( {X, f}\right) \) ,以函数 \( f \) 的性质与空间 \( X \) 的性质之间的关系作为研究对象的数学分支. 在应用上重要的变分问题有:
1. 与可微函数 \( f \) 有关的问题;
2. 与由道路构成的空间 \( \Omega \) 上的能量函数 \( E \) 有关的问题.
其中特别是问题 2 是以黎曼流形上的测地线理论为基础, 因而是以普通的变分法为其分析学基础的. 问题 1 和 2 是由庞加莱 (Poincaré, (J. -) H. ) 与伯克霍夫 (Birkhoff, G. D. ) 所开创, 莫尔斯 (Morse, H. M. ) 把它们发展成近代的样子, 即莫尔斯理论. 继莫尔斯以后, 柳斯捷尔尼克 (Jlocrephak, JI. A. ) 和施尼雷尔曼 (IIImpe IIbMaH, JI. Γ. ) 开辟了另一条估计临界点个数的途径, 即利用畴数来估计流形上函数的临界点. 而斯梅尔 (Smale, S. ) 把莫尔斯理论中梯度向量场零点的问题推广为流形 \( M \) 上一般向量场的零点问题,从而导致维数 \( n \geq 5 \) 情形广义庞加莱猜测的解决, 这是微分拓扑中的一个重大成就.
其次, 由于测地线问题是一维变分问题, 故可使得无限维空间 \( \Omega \) 上的问题,化为有限维流形上的临界点问题. 但是对于多维
图 1
变分问题, 无法做到这一点, 这就使得发展无限维流形上的莫尔斯理论成为需要. 总之, 近年来莫尔斯理论被进一步推广和精密化, 并应用于微分拓扑、微分几何、偏微分方程、杨-米尔斯方程等各个数学领域而取得重要的结果.
可以给莫尔斯理论一个直观的、有典型意义的解释,使得据此窥见这个理论之一斑. 设 \( M \) 为切于平面 \( \pi \) 的一个环面, \( f : M \rightarrow \mathrm{R} \) 是由环面上的点到平面 \( \pi \) 的距离所决定的映射 (见图 1),这是 \( M \) 上的一个莫尔斯函数. 设 \( {M}^{a} \) 是 \( M \) 上一切使得 \( f\left( x\right) \leq a \) 的点 \( x \) 所构成的集合,则由图 2 可见:
1. 当 \( a < 0 \) 时, \( {M}^{a} \) 为空集.
2. 当 \( f\left( p\right) < a < f\left( q\right) \) 时, \( {M}^{a} \) 同胚于 2 维胞腔 (见图 2(a)).
3. 当 \( f\left( q\right) < a < f\left( r\right) \) 时, \( {M}^{a} \) 同胚于柱面 (见图 2
4. 当 \( f\left( r\right) < a < f\left( s\right) \) 时, \( {M}^{a} \) 是环面挖去一个开 2 维胞腔 (见图 2(c)).
图 1
变分问题, 无法做到这一点, 这就使得发展无限维流形上的莫尔斯理论成为需要. 总之, 近年来莫尔斯理论被进一步推广和精密化, 并应用于微分拓扑、微分几何、偏微分方程、杨-米尔斯方程等各个数学领域而取得重要的结果.
可以给莫尔斯理论一个直观的、有典型意义的解释,使得据此窥见这个理论之一斑. 设 \( M \) 为切于平面 \( \pi \) 的一个环面, \( f : M \rightarrow \mathrm{R} \) 是由环面上的点到平面 \( \pi \) 的距离所决定的映射 (见图 1),这是 \( M \) 上的一个莫尔斯函数. 设 \( {M}^{a} \) 是 \( M \) 上一切使得 \( f\left( x\right) \leq a \) 的点 \( x \) 所构成的集合,则由图 2 可见:
1. 当 \( a < 0 \) 时, \( {M}^{a} \) 为空集.
2. 当 \( f\left( p\right) < a < f\left( q\right) \) 时, \( {M}^{a} \) 同胚于 2 维胞腔 (见图 2(a)).
3. 当 \( f\left( q\right) < a < f\left( r\right) \) 时, \( {M}^{a} \) 同胚于柱面 (见图 2
4. 当 \( f\left( r\right) < a < f\left( s\right) \) 时, \( {M}^{a} \) 是环面挖去一个开 2 维胞腔 (见图 2(c)).
5. 当 \( f\left( s\right) < a \) 时, \( {M}^{a} \) 为整个环面 (见图 2(d)).
为了考虑 \( a \) 经过 \( f\left( b\right), f\left( q\right), f\left( r\right), f\left( s\right) \) 时
\( {M}^{a} \) 的改变,人们来考察图图 2 2 中的流形 \( \left( \mathrm{a}\right) ,\left( \mathrm{b}\right) ,\left( \mathrm{c}\right) ,\left( \mathrm{d}\right) \) 的同伦型 \( \sim \) :
1. \( \rightarrow 2 \) . . 相当从空集 \( \varnothing \) 出发,粘一个 0 维胞腔, 即从同伦型来看, 增加了一个点 (图 3);
2. \( \rightarrow 3 \) . . 从同伦型来看,是在 2 维胞腔 (a) 的基础上粘一个 1 维胞腔 (见图 4); 
图 3
图 4
3. \( \rightarrow \) 4..再在原先基
图 5
础上粘一个 1 维胞腔 (见图 5);
4. \( \rightarrow \) 5.. 在原先基础上粘一个 2 维胞腔. 另一方面,在 \( M \) 上每一点附近,可以取一个局部坐标系,使得 \( f \) 在该点附近表示为一个 \( x, y \) 的二元函数. 特别地,可以看到,在 \( M \) 上的点 \( p, q, r, s \) 处,有偏导数
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} = 0
\]
而 \( f \) 在 \( p \) 点附近,可表示为
\[
f\left( {x, y}\right) = {x}^{2} + {y}^{2},
\]
在 \( q \) 点或 \( r \) 点附近,可表示为 \( f\left( {x, y}\right) = \) 常数 \( + {x}^{2} \) \( - {y}^{2} \) ,在 \( s \) 点附近可表为 \( f\left( {x, y}\right) = \) 常数 \( - {x}^{2} - {y}^{2} \) . 因此,上述表达式中负号的数目等于 \( {M}^{u} \) 经临界点变为 \( {M}^{b} \sim {M}^{a} \cup {e}^{k} \) 时,所粘胞腔 \( {e}^{k} \) 的维数 \( k \) .
其次, 由切除定理,
\( {H}_{ * }\left( {{M}^{b},{M}^{a}}\right) = {H}_{ * }\left( {{M}^{a} \cup {e}^{k},{M}^{a}}\right) = {H}_{ * }\left( {{e}^{k},{e}^{k}}\right) , \)
所以 \( {H}_{k}\left( {{M}^{b},{M}^{a}}\right) = Z,{H}_{i}\left( {{M}^{b},{M}^{a}}\right) = 0, i \neq k \) ,从而 \( {H}_{ * }\left( {{M}^{b},{M}^{a}}\right) \) 在某一维数 \( k \) 的贝蒂数是负号数为 \( k \) 的临界点的个数.
临界点 (critical point) 莫尔斯理论中的基本概念. 设 \( f : M \rightarrow \mathrm{R} \) 是流形 \( M \) 上的光滑实值函数,如果 \( f \) 在点 \( p \in M \) 的微分 \( f : : {T}_{p}\left( M\right) \rightarrow {T}_{f\left( p\right) }\left( \mathrm{R}\right) \) 为零, 就称点 \( p \) 为函数 \( f \) 的一个临界点. 点 \( p \) 处的函数值 \( f\left( p\right) \) 就称为临界值.
临界值 (critical value) 见“临界点”.
非退化临界点 (non-degenerate critical point) 使黑塞矩阵可逆的临界点. 设 \( p \) 是 \( f \) 的临界点,若矩阵 \( \left( {\left( {{\partial }^{2}f/\partial {x}^{i}\partial {x}^{j}}\right) \left( p\right) }\right) \) 是可逆的,就称 \( p \) 是 \( f \) 的非退化临界点. 若此矩阵不是可逆的,则称 \( p \) 是 \( f \) 的退化临界点.
退化临界点 (degenerate critical point) 见“非退化临界点”.
黑塞矩阵 (Hessian matrix) 其元为
\[
\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {x}^{i}\partial {x}^{j}}\left( p\right)
\]
的矩阵. 设 \( p \) 是 \( f \) 的临界点,切空间 \( {T}_{p}\left( M\right) \) 上的对称双线性泛函
\[
{f}_{* * } = \frac{{\partial }^{2}f}{\partial {x}^{i}\partial {x}^{j}\left( p\right) }
\]
就是函数 \( f \) 在 \( p \) 处的黑塞矩阵.
退化阶数 (nullity) 莫尔斯理论的一个概念. 函数 \( f \) 在临界点 \( p \) 的退化阶数就是黑塞矩阵的零空间的维数.
指数 (index) 莫尔斯理论的一个概念. 函数 \( f \) 在非退化临界点 \( p \) 的指数是黑塞矩阵的负特征值的个数,也称为临界点的指数.
莫尔斯函数 (Morse function) 可微流形上一种具有良好性质的可微实函数. 设 \( f : M \rightarrow \mathrm{R} \) 是可微函数,若 \( f \) 的所有临界点都是非退化的,则称函数 \( f \) 为莫尔斯函数. 由萨德定理可以证明, 对于每个可微流形 \( M \) ,总存在 \( M \) 上的莫尔斯函数 \( f \) ,使得每个 \( \left. {{f}^{-1}( - \infty, a}\right\rbrack \) 都是紧的.
莫尔斯引理 (Morse lemma) 关于函数在非退化临界点附近的性状的一个命题. 它断言: 设 \( f : M \rightarrow \) \( \mathrm{R}, p \in M \) 为 \( f \) 的非退化临界点,则存在 \( p \) 的一个邻域 \( U \) 上的局部坐标系 \( \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) ,它以 \( p \) 为坐标原点,而 \( f \) 在 \( U \) 上可以表示为
\[
f\left( q\right) = f\left( p\right) - {x}_{1}^{2} - \cdots - {x}_{\lambda }^{2}
\]
\[
+ {x}_{\lambda + 1}^{2} + \cdots + {x}_{n}^{2}
\]
图 1
图 2
其 中 \( q = \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) ,
图 3
\( p = \left( {0,0,\cdots ,0}\right) ,\lambda \) 为 \( f \) 在 \( p \) 点的指数. 由这个引理可知, \( f \) 的每一个非退化临界点是孤立的.
函数在退化临界点附近的情况可能比较复杂, 例 如, \( f : \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}, f\left( x\right) \) \( = {\mathrm{e}}^{-1/{x}^{2}}{\sin }^{2}\left( {1/x}\right) \) ,则 \( 0 \in \mathrm{R} \) 是 \( f \) 的一个退化临界点, 它在 \( f \) 的临界点集合中不是孤立的,其图象见图 1; 又如, \( f : {\mathrm{R}}^{2} \rightarrow \mathrm{R}, f\left( {x, y}\right) \) \( = {x}^{2}, f \) 的临界点均退化,临界点集为 \( y \) 轴,临界点不是孤立的, \( f\left( {x, y}\right) \) 的图象见图 2; 再如, \( f : {\mathrm{R}}^{2} \rightarrow \mathrm{R} \) , \( f\left( {x, y}\right) = {x}^{2}{y}^{2} \) ,它的图象见图 3,一切临界点均退化,临界点集为 \( x \) 轴与 \( y \) 轴,甚至不是 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 的一个子流形.
流形的同伦型 (homotopy type of manifold)
可微流形可用其上的莫尔斯函数的临界值来陈述其同伦型. 设 \( f : M \rightarrow \mathrm{R} \) 为可微流形 \( M \) 上的可微实函数,对于 \( a, b \in \mathrm{R} \) ,令
\[
{M}^{a} = \{ p \in M \mid f\left( p\right) \leq a\} ,
\]
\[
{f}^{-1}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack = \{ p \in M \mid a \leq f\left( p\right) \leq b\} .
\]
令 \( {e}^{k} = \left\{ {x \in {\mathrm{R}}^{k} \mid \parallel x\parallel \leq 1}\right\} ,{e}^{k} \) 称为 \( k \) 维胞腔,于是 \( {e}^{k} \) 的边界 \( = {s}^{k - 1} = \left\{ {x \in {\mathrm{R}}^{k} \mid \parallel x\parallel = 1}\right\} \) . 设 \( Y \) 为拓扑空间, \( g : {s}^{k - 1} \rightarrow Y \) 连续,则 \( {e}^{k} \) 通过 \( g \) 粘于 \( Y \) 是无交并 \( Y \) \( \bigcup {e}^{k} \) 在关系 \( x \sim g\left( x\right) \left( {x \in {s}^{k - 1}}\right) \) 之下的商空间,记为 \( Y{ \cup }_{g}{e}^{k} \) . 特别地, \( {s}^{-1} = \varnothing, Y{ \cup }_{g}{e}^{0} \) 即是在 \( Y \) 上加入一个另外的点.
关于流形在正则点与临界点附近的性状, 有下列结论:
1. 设 \( f : M \rightarrow \mathrm{R} \) 为可微流形 \( M \) 上的可微函数, \( a \) \( < b,{f}^{-1}\left( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \right) \) 为 \( M \) 中的紧集,不含临界点,则 \( {M}^{a} \) 微分同胚于 \( {M}^{b} \) ,且含入映射 \( i : {M}^{a} \rightarrow {M}^{b} \) 是一个同伦等价.
2. 设 \( f : M \rightarrow \mathrm{R} \) 为可微流形 \( M \) 上的可微函数, \( p \) \( \in M \) 为 \( f \) 的一个指数为 \( \lambda \) 的非退化临界点, \( f\left( p\right) = \) \( c \) ,使得对于充分小的 \( \varepsilon ,{f}^{-1}\left\lbrack {c - \varepsilon, c + \varepsilon }\right\rbrack \) 紧且不含除 \( p \) 以外的临界点,则 \( {M}^{c + \varepsilon } \) 与 \( {M}^{c - \varepsilon } \cup {}_{g}{e}^{\lambda } \) 有相同的同伦型.
3. 设 \( f : M \rightarrow \mathrm{R} \) 为可微流形 \( M \) 上的莫尔斯函数, 关于每个 \( a \in \mathrm{R},{M}^{a} \) 紧,则 \( M \) 与一个 \( \mathrm{{CW}} \) 复形 \( K \) 有相同的同伦型,其中 \( K \) 对于 \( M \) 的每个指数为 \( \lambda \) 的临界点有一个 \( \lambda \) 维胞腔.
球面的拓扑特征 (topological characterization of sphere) 作为莫尔斯理论的一个应用,对 \( n \) 维球面 \( {S}^{n} \) 用微分拓扑的语言来描述: 设 \( M \) 为 \( n \) 维连通闭 (紧、无边) 可微流形, 而且在它上面有一个恰有两个非退化临界点的莫尔斯函数,则 \( M \) 同胚于 \( n \) 维球面 \( {S}^{n} \) . 这个结论成立的原因是比较显然的,因为 \( f \) : \( M \rightarrow \mathrm{R} \) 恰有两个临界点,故必为极大点 \( p \) 与极小点 \( q \) ,因而由莫尔斯引理,分别有指数 0 与 \( n \) ,不妨设 \( f\left( p\right) = 0, f\left( q\right) = 1 \) ,则 \( {f}^{-1}\left\lbrack {\varepsilon ,1 - \varepsilon }\right\rbrack \) 同胚于 \( {S}^{n - 1} \times I \) (参见“流形的同伦型”),因此 \( M \) 同胚于 \( {S}^{n} \) .
关于这个结论,当 \( f \) 的两个临界点为退化时也能证明, 但比较复杂一些. 其次, 此处所指的同胚并非微分同胚, 因为米尔诺 (Milnor, J. W. ) 曾证明在 \( {\mathrm{S}}^{7} \) 上有不同的微分结构.
莫尔斯不等式 (Morse inequalities) 表示流形的拓扑与流形上莫尔斯函数的临界点指数之间关系的一些不等式. 设 \( F \) 为域, \( {R}_{\lambda }\left( M\right) \) 是可微流形 \( M \) 以 \( F \) 为系数域的 \( \lambda \) 维贝蒂数,即同调群 \( {H}_{\lambda }\left( {M;F}\right) \) 的秩, \( {c}_{\lambda } \) 为莫尔斯函数 \( f : M \rightarrow \mathrm{R} \) 的指数为 \( \lambda \) 的临界点的个数,于是有下列结论成立: 若 \( M \) 为紧可微流形, 则
\[
{R}_{\lambda }\left( M\right) \leq {c}_{\lambda },
\]
(1)
\[
\chi \left( M\right) = \sum {\left( -1\right) }^{\lambda }{R}_{\lambda }\left( M\right) = \sum {\left( -1\right) }^{\lambda }{c}_{\lambda },
\]
(2)
\[
{R}_{\lambda }\left( M\right) - {R}_{\lambda - 1}\left( M\right) + \cdots \pm {R}_{0}\left( M\right)
\]
\[
\leq {c}_{\lambda } - {c}_{\lambda - 1} + \cdots \pm {c}_{0},
\]
(3)
其中 \( \chi \left( M\right) \) 为 \( M \) 的欧拉示性数. 利用 (1) 与 (3),还容易得到,若 \( {c}_{\lambda + 1} = {c}_{\lambda - 1} = 0 \) ,则 \( {R}_{\lambda + 1}\left( M\right) = {R}_{\lambda - 1}\left( M\right) = 0 \) 且 \( {R}_{\lambda }\left( M\right) = {c}_{\lambda } \) .
临界点理论 (theory of critical points) 见“莫尔斯理论”和“流形的同伦型”.
道路空间的变分 (variation on path space) 临界点理论在测地线问题上的应用. 设 \( M \) 为可微流形, \( p, q \in M, M \) 上全体以 \( p \) 为始点, \( q \) 为终点的道路 \( \omega : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow M \) 之集记为 \( \Omega \left( {M;p, q}\right) = \Omega ,\Omega \) 在 \( \omega \) 处的切空间定义为一切沿 \( \omega \) 的使 \( \omega \left( 0\right) = \omega \left( 1\right) = 0 \) 的 \( M \) 的切向量之集, 并在其上引进线性运算, 这个切空间记为 \( {\Omega }_{\omega }.\Omega \) 上端点 \( \omega \) 固定的变分是映射 \( \bar{\alpha } : \left( {-\varepsilon ,\varepsilon }\right) \) \( \rightarrow \Omega \) ,使得
\[
\bar{\alpha }\left( 0\right) = \omega ,\;\alpha \left( {u, t}\right) = \bar{\alpha }\left( u\right) \left( t\right)
\]
为分块光滑映射. 同理,若把 \( \left( {-\varepsilon ,\varepsilon }\right) \) 换作 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中以原点为中心的邻域 \( U \) ,则 \( \bar{\alpha } : U \rightarrow \Omega ,\bar{\alpha }\left( 0\right) = \omega \) ,称为 \( \omega \) 的具有 \( n \) 个参数的变分.
设 \( M \) 为黎曼流形,则对于 \( \omega \in \Omega ,\omeg |
2000_数学辞海（第3卷） | 168 | da } \) .
临界点理论 (theory of critical points) 见“莫尔斯理论”和“流形的同伦型”.
道路空间的变分 (variation on path space) 临界点理论在测地线问题上的应用. 设 \( M \) 为可微流形, \( p, q \in M, M \) 上全体以 \( p \) 为始点, \( q \) 为终点的道路 \( \omega : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow M \) 之集记为 \( \Omega \left( {M;p, q}\right) = \Omega ,\Omega \) 在 \( \omega \) 处的切空间定义为一切沿 \( \omega \) 的使 \( \omega \left( 0\right) = \omega \left( 1\right) = 0 \) 的 \( M \) 的切向量之集, 并在其上引进线性运算, 这个切空间记为 \( {\Omega }_{\omega }.\Omega \) 上端点 \( \omega \) 固定的变分是映射 \( \bar{\alpha } : \left( {-\varepsilon ,\varepsilon }\right) \) \( \rightarrow \Omega \) ,使得
\[
\bar{\alpha }\left( 0\right) = \omega ,\;\alpha \left( {u, t}\right) = \bar{\alpha }\left( u\right) \left( t\right)
\]
为分块光滑映射. 同理,若把 \( \left( {-\varepsilon ,\varepsilon }\right) \) 换作 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中以原点为中心的邻域 \( U \) ,则 \( \bar{\alpha } : U \rightarrow \Omega ,\bar{\alpha }\left( 0\right) = \omega \) ,称为 \( \omega \) 的具有 \( n \) 个参数的变分.
设 \( M \) 为黎曼流形,则对于 \( \omega \in \Omega ,\omega \) 从 \( a \) 到 \( b \) 的能量定义为
\[
{E}_{a}^{b}\left( \omega \right) = {\int }_{u}^{b}\begin{Vmatrix}\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t}\end{Vmatrix}{}^{2}\mathrm{\;d}t,
\]
其中 \( 0 \leq a < b \leq 1 \) ,且记 \( {E}_{0}^{1} = E \) . 今设 \( M \) 为完备黎曼流形, \( p, q \in M \) 之间的距离为 \( d,\alpha : \left( {-\varepsilon ,\varepsilon }\right) \rightarrow \Omega \) 是 \( \omega \) 的变分,
\[
{\omega }_{t} = \frac{\partial \alpha }{\partial u}\left( {0, t}\right) = {\alpha }_{ * }\left( \frac{\partial }{\partial u}\right) \left( {0, t}\right)
\]
是由 \( \alpha \) 诱导的变分向量场,
\[
{v}_{t} = \frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t},\;{A}_{t} = {\left( \frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t}\right) }^{\prime },
\]
以及 \( {\Delta }_{t}v = {v}_{t + } - {v}_{t - } \) ,则 \( {\Delta }_{t}v \) 除有限个 \( t \) 值以外都是 0 . 于是有第一变分公式
\[
{\left. \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}E\left( {\alpha \left( u\right) }\right) }{\mathrm{d}u}\right| }_{u = 0}
\]
\[
= - \mathop{\sum }\limits_{{t \in \left( {0,1}\right) }}\left\langle {{\omega }_{t},{\Delta }_{t}v}\right\rangle - {\int }_{0}^{1}\left\langle {{\omega }_{t},{A}_{t}}\right\rangle \mathrm{d}t,
\]
由此可知仅当 \( \omega \) 是 \( E \) 的临界点时, \( \omega \) 才是测地线. 其次,设 \( \gamma : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow M \) 为测地线, \( {\omega }_{1},{\omega }_{2} \in {\Omega }_{\omega }, U \) 是 \( {\mathrm{R}}^{2} \)
上原点的邻域, \( \alpha : U \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow M \) 为双参数变分, 满足
\[
\alpha \left( {0,0, t}\right) = \gamma \left( t\right) ,
\]
\[
\frac{\partial \alpha }{\partial {u}_{1}}\left( {0,0, t}\right) = {\omega }_{1}\left( t\right) ,
\]
\[
\frac{\partial \alpha }{\partial {u}_{2}}\left( {0,0, t}\right) = {\omega }_{2}\left( t\right)
\]
则黑塞泛函 \( E\ldots \left( {{\omega }_{1},{\omega }_{2}}\right) \) 可定义为
\[
{E}_{* * }\left( {{\omega }_{1},{\omega }_{2}}\right) = {\left. \frac{{\partial }^{2}E\left( {\bar{\alpha }\left( {{u}_{1},{u}_{2}}\right) }\right) }{\partial {u}_{1}\partial {u}_{2}}\right| }_{\left( 0,0\right) },
\]
其中 \( \bar{\alpha }\left( {{u}_{1},{u}_{2}}\right) \in \Omega ,\bar{\alpha }\left( {{u}_{1},{u}_{2}}\right) \left( t\right) = \alpha \left( {{u}_{1},{u}_{2}, t}\right) \) . 于是有第二变分公式
\[
\frac{1}{2}{E}_{* * }\left( {{\omega }_{1},{\omega }_{2}}\right) = - \mathop{\sum }\limits_{{t \in \left( {0,1}\right) }}\left\langle {{\omega }_{2}\left( t\right) ,{\Delta }_{t}{\omega }_{1}^{\prime }\left( t\right) }\right\rangle
\]
\[
- {\int }_{0}^{1}\left\langle {{\omega }_{2},{\omega }^{\prime \prime }{}_{1} + R\left( {v,{\omega }_{1}}\right) v}\right\rangle \mathrm{d}t,
\]
其中 \( v = \frac{\mathrm{d}\gamma }{\mathrm{d}t},{\Delta }_{t}{\omega }^{\prime }{}_{1} = {\omega }^{\prime }{}_{1}\left( {t + 0}\right) - {\omega }^{\prime }{}_{1}\left( {t - 0}\right) \) ,它在 \( (0 \) ,
1) 上除有限个点外全为 0,故当 \( \gamma \) 为短程测地线时, \( {E}_{* * }\left( {\omega ,\omega }\right) \) 是半正定的. 而泛函 \( {E}_{* * } : {\Omega }_{\gamma } \times {\Omega }_{\gamma } \rightarrow \mathrm{R} \) 的指数定义为使 \( {E}_{ * } \) . 负定的 \( {\Omega }_{\gamma } \) 的子空间的最大维数,于是有莫尔斯指数定理: \( {\mathrm{E}}_{ * } \) . 在 \( \gamma \) 处的指数 \( \lambda \) 等于 \( \gamma \) 上 \( \gamma \left( 0\right) \) 的共轭点 \( \gamma \left( t\right) \) 的个数,其中 \( 0 < t < 1 \) ,共轭点个数把重数也计算在内. 于此指数 \( \lambda \) 常为有限数.
在 \( \Omega = \Omega \left( {M, p, q}\right) \) 中引进度量,设 \( \rho \) 为连通黎曼流形 \( M \) 上的黎曼度量所诱导的距离函数. 对于 \( {\omega }_{1},{\omega }_{2} \in \Omega \) ,设 \( {s}_{1}\left( t\right) ,{s}_{2}\left( t\right) \) 为它们的弧长,则定义 \( {\omega }_{1} \) , \( {\omega }_{2} \) 之间的距离为
\[
d\left( {{\omega }_{1},{\omega }_{2}}\right) = \mathop{\max }\limits_{{0 \leq t \leq 1}}\rho \left( {{\omega }_{1}\left( t\right) ,{\omega }_{2}\left( t\right) }\right)
\]
\[
+ {\left( {\int }_{0}^{1}{\left( \frac{\mathrm{d}{s}_{1}}{\mathrm{\;d}t} - \frac{\mathrm{d}{s}_{2}}{\mathrm{\;d}t}\right) }^{2}\mathrm{\;d}t\right) }^{\frac{1}{2}},
\]
其中后一项是为使能量函数 \( {E}_{a}^{b}\left( \omega \right) \) 成为 \( \Omega \) 上的连续函数而附加的. 在这个 \( d \) 之下, \( \Omega \) 为距离空间,于是有莫尔斯理论的基本定理: 设 \( M \) 为完备黎曼流形, \( p, q \in M \) 沿所有测地线互不共轭,则 \( \Omega \left( {M;p, q}\right) \) 有可数 \( \mathrm{{CW}} \) 复形的同伦型,仅对于从 \( p \) 到 \( q \) 每条指数为 \( \lambda \) 的测地线,对应一个 \( \lambda \) 维胞腔.
在莫尔斯 (Morse, H. M. ) 的临界点理论的应用中, 最完美的是上述对于测地线问题的应用, 它可以说是变分学的莫尔斯理论.
道路空间 (path space) 见 “道路空间的变分”.
能量 (energy) 见 “道路空间的变分”.
第一变分公式 (first variation formula) 见 “道路空间的变分”.
第二变分公式 (second variation formula) 见 “道路空间的变分”.
共轭点 (conjugate point) 见 “道路空间的变分”.
莫尔斯指数定理 (Morse index theorem) 见 “道路空间的变分”.
莫尔斯理论的基本定理 (fundamental theorem of Morse theory) 见“道路空间的变分”.
畴数 (category) 量度拓扑空间性质的一个整数. 设 \( M \) 为可微流形, \( A \) 为 \( M \) 的任意闭子集,若 \( A \) 能被 \( m \) 个可缩闭集所覆盖但不能被 \( m - 1 \) 个这样的集所覆盖,则称 \( A \) 在 \( M \) 中的畴数为 \( m \) ,记为 \( \operatorname{cat}\left( A\right) \) \( = m \) . 畴数是一个拓扑不变量. 为估计紧流形 \( M \) 上的函数 \( f \) 的临界点个数有下界 \( \operatorname{cat}\left( M\right) \) ,柳斯捷尔尼克 \( \left( {\text{ Jlocreph }{HK},\text{ JI. A. }}\right) \) 和施尼雷尔曼 (IIIIMpe/IbMaH, 几 \( \Gamma \) . ) 引进下列重数定理: 设
\[
{c}_{n} = \mathop{\inf }\limits_{{\operatorname{cat}\left( A\right) \geq n}}\left\{ {\mathop{\sup }\limits_{{x \in A}}f\left( x\right) }\right\} \left( {n = 1,2,\cdots }\right) ,
\]
则当 \( c = {c}_{m + 1} = \cdots = {c}_{m + k} \) 时, \( f \) 的以 \( c \) 为临界值的临界点集 \( {K}_{0} \) 有畴数 \( \operatorname{cat}\left( {K}_{0}\right) \geq k \) . 前面例子中的环面的畴数是 3, 所以环面上的任意可微函数至少有 3 个不同的临界点. 柳斯捷尔尼克-施尼雷尔曼理论较莫尔斯理论适用范围宽. 例如,它所要求的函数 \( f \) 的临界点不必非退化, 但有时畴数的估计比较困难.
阿姆布罗塞蒂 (Ambrosetti, A. ) 和拉比诺维茨 (Rabinowitz, P. H.) 发展了柳斯捷尔尼克和施尼雷尔曼的思想,并于 1973 年提出了山路引理: 设 \( f \) 是巴拿赫空间 \( X \) 上的一个满足帕莱斯-斯梅尔条件的 \( {C}^{1} \) 函数,又设有 \( \theta \) 的一个开邻域 \( U \) 与一点 \( {x}_{0} \notin U \) , 使得
\[
f\left( \theta \right) = f\left( {x}_{0}\right) = 0,{\left. \;f\right| }_{\partial U} \geq \alpha > 0,
\]
则 \( f \) 至少有一个临界值 \( c \geq \alpha \) . 随后,拉比诺维茨又提出一系列极小极大原理, 对许多由方程引出的变分问题的解的存在性以及系数估计有广泛的应用. 特别是对哈密顿方程组周期解的存在性以及周期轨道个数的估计, 引出重要的结果.
## 积分周期理论
积分周期理论 (integral period theory) 流形上分析的一个分支. 主要研究微分形式的积分周期, 这反映了流形的同调特征. 1930 年, 德拉姆 (de Rham, G.-W. ) 引进微分流形 \( M \) 的德拉姆上同调群, 并指出它是一个微分不变量与拓扑不变量. 还证明了当 \( M \) 为紧致流形时, \( M \) 的 \( p \) 维德拉姆上同调群的维数是有限的,等于第 \( p \) 个贝蒂数,这是流形 \( M \) 的微分结构与拓扑结构的一个重要关系. 积分周期理论的中心定理是德拉姆定理, 它断言微分流形 \( M \) 的 \( p \) 维德拉姆上同调群与 \( M \) 的 \( p \) 维可微奇异上同调群是同构的. 同构的单性表明所有周期为零的闭微分形式是正合形式, 而同构的满性意味着对每个闭链类 \( z \) 赋予一个实数 \( \operatorname{per}\left( z\right) \) ,则存在一个闭形式 \( \alpha \) ,使对所有的闭链 \( z \) 有
\[
{\int }_{z}\alpha = \operatorname{per}\left( z\right) .
\]
霍奇 (Hodge, W. V. D. ) 对德拉姆理论做了重要改进, 他引进调和微分形式, 霍奇理论断言每个德拉姆上同调类中存在惟一的调和微分形式.
闭形式 (closed form) 外微分作用后为零的微分形式. 设 \( M \) 是一个微分流形, \( \alpha \) 是 \( M \) 上的一个 \( p \) 形式,若 \( \mathrm{d}\alpha = 0 \) ,则称 \( \alpha \) 为闭 \( p \) 形式,简称闭形式,这里的 \( \mathrm{d} \) 是外微分.
正合形式 (exact form) 可表示为另一微分形式的外微分的微分形式. 设 \( M \) 是微分流形, \( \alpha \) 是 \( M \) 上的一个 \( p \) 形式. 若存在 \( \left( {p - 1}\right) \) 形式 \( \beta \) ,使得 \( \alpha \) \( = \mathrm{d}\beta \) ,则称 \( \alpha \) 为正合 \( p \) 形式,简称正合形式. 由于外微分 \( \mathrm{d} \) 有性质 \( {\mathrm{d}}^{2} = 0 \) ,故每个正合形式必定是闭形式.
德拉姆复形 (de Rham complex) 一种与微分形式相关的链复形. 设 \( M \) 是微分流形. 序列
\[
0 \rightarrow {E}^{0}\left( M\right) \overset{\mathrm{d}}{ \rightarrow }{E}^{1}\left( M\right) \overset{\mathrm{d}}{ \rightarrow }\cdots \overset{\mathrm{d}}{ \rightarrow }{E}^{n}\left( M\right) \overset{\mathrm{d}}{ \rightarrow }\cdots
\]
称为德拉姆复形,亦称为德拉姆链复形,其中 \( {E}^{i}\left( M\right) \) 表示 \( M \) 的 \( i \) 形式的集合, \( \mathrm{d} \) 为外微分. 显然 \( \mathrm{d} \) 的核都是闭形式,而 \( \mathrm{d} \) 的像都是正合形式.
德拉姆上同调群 (de Rham cohomology group) 闭形式空间关于正合形式空间的商. 设 \( M \) 是微分流形,称闭 \( p \) 形式的实向量空间关于正合 \( p \) 形式子空间的商空间
\( {H}_{\mathrm{{deR}}}^{p}\left( M\right) = \{ \) 闭 \( p \) 形式 \( \} /\{ \) 正合 \( p \) 形式 \( \} \)
为 \( M \) 的 \( p \) 维德拉姆上同调群.
这是 1930 年由德拉姆 (de Rham, G.-W. ) 给出的, 他建立了微分流形的微分结构与拓扑结构的一个重要关系.
设 \( f : M \rightarrow N \) 是 \( {C}^{\infty } \) 映射,则有代数同态 \( {\delta f} : {E}^{ * }\left( N\right) \rightarrow {E}^{ * }\left( M\right) ,{\delta f} \) 与 \( \mathrm{d} \) 可交换,从而诱导出一个同态 \( {f}^{ * } : {H}_{\mathrm{{deR}}}^{p}\left( N\right) \rightarrow {H}_{\mathrm{{deR}}}^{p}\left( M\right) \) ,且对另一个 \( {C}^{\infty } \) 映射 \( g : N \rightarrow X \) 有 \( {\left( g \circ f\right) }^{ * } = {f}^{ * } \circ {g}^{ * },{\left( \mathrm{{id}}\right) }^{ * } = \mathrm{{id}} \) . 若 \( f : M \rightarrow N \) 是一个微分同胚,则诱导出的同态 \( {f}^{ * } \) 是同构. 这就表明德拉姆上同调群是微分流形的微分拓扑不变量. 可以证明,若 \( M \) 是紧致流形,则 \( {H}_{\mathrm{{deR}}}^{p}\left( M\right) \) 是有限维的,其维数等于 \( M \) 的第 \( p \) 个贝蒂数 \( {b}_{p} \) .
实系数微分奇异同调群 (differential singular homology group with real coefficients) 边缘算子诱导的线性变换的核关于其像的商空间. 对于每个 \( p \geq 0 \) ,设 \( {}_{\infty }{S}_{p}\left( {M,\mathrm{R}}\right) \) 表示由微分流形 \( M \) 内的可微奇异 \( p \) 单形所生成的实向量空间. 因此, \( {}_{\infty }{S}_{p}\left( {M,\mathrm{R}}\right) \) 的元素是 \( M \) 中可微奇异 \( p \) 链. 当 \( p < 0 \) 时,规定 \( {}_{\infty }{S}_{p}\left( {M,\mathrm{R}}\right) \) 为零向量空间.
由边缘算子 \( \partial \) 诱导出线性变换
\[
{\partial }_{p} : \infty {S}_{p}\left( {M,\mathrm{R}}\right) \rightarrow \infty {S}_{p - 1}\left( {M,\mathrm{R}}\right) .
\]
当 \( p |
2000_数学辞海（第3卷） | 169 | rightarrow {H}_{\mathrm{{deR}}}^{p}\left( M\right) \) ,且对另一个 \( {C}^{\infty } \) 映射 \( g : N \rightarrow X \) 有 \( {\left( g \circ f\right) }^{ * } = {f}^{ * } \circ {g}^{ * },{\left( \mathrm{{id}}\right) }^{ * } = \mathrm{{id}} \) . 若 \( f : M \rightarrow N \) 是一个微分同胚,则诱导出的同态 \( {f}^{ * } \) 是同构. 这就表明德拉姆上同调群是微分流形的微分拓扑不变量. 可以证明,若 \( M \) 是紧致流形,则 \( {H}_{\mathrm{{deR}}}^{p}\left( M\right) \) 是有限维的,其维数等于 \( M \) 的第 \( p \) 个贝蒂数 \( {b}_{p} \) .
实系数微分奇异同调群 (differential singular homology group with real coefficients) 边缘算子诱导的线性变换的核关于其像的商空间. 对于每个 \( p \geq 0 \) ,设 \( {}_{\infty }{S}_{p}\left( {M,\mathrm{R}}\right) \) 表示由微分流形 \( M \) 内的可微奇异 \( p \) 单形所生成的实向量空间. 因此, \( {}_{\infty }{S}_{p}\left( {M,\mathrm{R}}\right) \) 的元素是 \( M \) 中可微奇异 \( p \) 链. 当 \( p < 0 \) 时,规定 \( {}_{\infty }{S}_{p}\left( {M,\mathrm{R}}\right) \) 为零向量空间.
由边缘算子 \( \partial \) 诱导出线性变换
\[
{\partial }_{p} : \infty {S}_{p}\left( {M,\mathrm{R}}\right) \rightarrow \infty {S}_{p - 1}\left( {M,\mathrm{R}}\right) .
\]
当 \( p \leq 0 \) 时令 \( {\partial }_{p} \) 为零变换. 显然, \( {\partial }_{p} \circ {\partial }_{p + 1} = 0 \) ,即 \( {\partial }_{p + 1} \) 的像在 \( {\partial }_{p} \) 的核中,称 \( {}_{\infty }{H}_{p}\left( {M,\mathrm{R}}\right) = \operatorname{Ker}{\partial }_{p}/\operatorname{Im}{\partial }_{p + 1} \) 为 \( p \) 维实系数微分奇异同调群. \( \operatorname{Ker}{\partial }_{p} \) 的元素称为可微 \( p \) 闭链. \( \operatorname{Im}{\partial }_{p + 1} \) 的元素称为可微 \( p \) 边缘.
微分形式的周期 (period of differential forn) 微分形式在可微闭链上的积分值. 设 \( M \) 是一个微分流形, \( \alpha \) 是 \( M \) 的一个微分形式, \( z \) 是一个可微闭链. 微分形式 \( \alpha \) 在可微闭链 \( z \) 上的积分 \( {\int }_{z}\alpha \) 确定了一个实数,称该实数为微分形式 \( \alpha \) 的周期.
由斯托克斯定理知,若 \( \alpha \) 为正合形式, \( \alpha = \mathrm{d}\beta \) ,则
\[
{\int }_{z}\alpha = {\int }_{z}\mathrm{\;d}\beta = {\int }_{\partial z}\beta = 0.
\]
因此,正合形式的周期全为零.
德拉姆同态 (de Rham homomorphism) 联系微分流形 \( M \) 上的德拉姆上同调群与奇异上同调群的一个自然同态. 建立这个同态的关键是流形上的斯托克斯公式.
设 \( {S}_{p}\left( {M,\mathrm{R}}\right) \) 为流形 \( M \) 中可微奇异 \( p \) 链所构成的群. \( {S}_{\infty }^{p}\left( {M,\mathrm{R}}\right) \) 是它的对偶,即其中的每一个元素是 \( M \) 上一切可微奇异 \( p \) 单形到 \( \mathrm{R} \) 的一个映射 \( f \) , 这样的 \( f \) 称为 \( M \) 上的可微奇异 \( p \) 上链. 令
\[
{k}_{p} : {E}^{p}\left( M\right) \rightarrow {S}_{\infty }^{p}\left( {M,\mathrm{R}}\right) ,{k}_{p}\left( \omega \right) \left( \sigma \right) = {\int }_{\sigma }\omega ,
\]
其中 \( \omega \) 为 \( M \) 上的 \( p \) 形式, \( \sigma \) 是 \( M \) 中的可微奇异 \( p \) 单形, 则由斯托克斯定理,
\[
\delta {k}_{p}\left( \omega \right) {\sigma }^{p + 1} = {k}_{p}\left( \omega \right) \partial {\sigma }^{p + 1}
\]
\[
= {\int }_{\partial {\sigma }^{p + 1}}\omega = {\int }_{{\sigma }^{p + 1}}\mathrm{\;d}\omega = {k}_{p + 1}\left( {\mathrm{\;d}\omega }\right) {\sigma }^{p + 1},
\]
即 \( \delta {k}_{p} = {k}_{p + 1}\mathrm{\;d} \) ,其中 \( \mathrm{d} \) 为外微分, \( \delta \) 为奇异上链群 \( {S}_{\infty }^{p}\left( {M,\mathrm{R}}\right) \) 中的上边缘运算,这表示同态族 \( {k}_{p}\left( {p \geq 0}\right) \) 与上边缘运算 \( \mathrm{d},\delta \) 可交换,因此诱导上同调群之间的同态
\[
{k}_{p}^{ * } : {H}_{\mathrm{{deR}}}^{p}\left( M\right) \rightarrow {H}_{{\Delta }^{\infty }}^{p}\left( {M,\mathrm{R}}\right) ,
\]
\[
{k}_{p}^{a}\left( \left\lbrack \omega \right\rbrack \right) = \left\lbrack {{k}_{p}\left( \omega \right) }\right\rbrack .
\]
这个同态称为德拉姆同态.
德拉姆定理 (de Rham theorem) 德拉姆同态为同构的定理. 该定理断言: 设 \( M \) 为紧微分流形,则对每个整数 \( p \) ,德拉姆同态 \( {k}_{p}^{ * } : {H}_{\mathrm{{deR}}}^{p}\left( M\right) \rightarrow {H}_{{\Delta }^{\infty }}^{p}(M \) , R) 是同构.
德拉姆定理还有另一个等价形式: 设 \( M \) 为紧微分流形,则对每个整数 \( p, p \) 维德拉姆上同调群与 \( p \) 维可微奇异同调群的对偶同构.
庞加莱引理 (Poincaré Lemma) 论述单位球上微分形式的零调性质. 该引理断言: 若 \( U \) 是欧氏空间 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中开单位球体, \( {E}^{k}\left( U\right) \) 是 \( U \) 上微分 \( k \) 形式的空间,则对每个 \( k \geq 1 \) ,存在一个线性变换
\[
{h}_{k} : {E}^{k}\left( U\right) \rightarrow {E}^{k - 1}\left( U\right) ,
\]
使得
\[
{h}_{k + 1} \circ \mathrm{d} + \mathrm{d} \circ {h}_{k} = \mathrm{{id}}.
\]
这个引理有两个推论:
1. 若 \( \omega \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中开单位球体上的一个 \( k \) 形式,且 \( \mathrm{d}\omega = 0 \) ,则存在一个 \( \left( {k - 1}\right) \) 形式 \( \beta \) 使得 \( \mathrm{d}\beta = \omega \) .
2. \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中开单位球的德拉姆上同调群对于 \( p \geq 1 \) 都为零.
同伦算子 (homotopy operator) 具有同伦性质的线性变换. 设 \( {f}_{1},{f}_{2} \) 是两个微分流形 \( M, N \) 之间的 \( {C}^{\infty } \) 映射,则有诱导映射
\[
\delta {f}_{i} : {E}^{k}\left( N\right) \rightarrow {E}^{k}\left( M\right) \;\left( {i = 1,2}\right) ,
\]
\( k \) 为非负整数,对于这些诱导映射,若存在一组线性变换 \( {h}_{k} : {E}^{k}\left( N\right) \rightarrow {E}^{k - 1}\left( M\right) \) ,使得
\[
{h}_{k + 1} \circ \mathrm{d} + \mathrm{d} \circ {h}_{k} = \delta {f}_{1} - \delta {f}_{2},
\]
则称这组线性变换 \( \left\{ {h}_{k}\right\} \) 为 \( {f}_{1} \) 与 \( {f}_{2} \) 的同伦算子. 可以看出庞加莱引理中的 \( \left\{ {h}_{k}\right\} \) 也是同伦算子.
## 示性类理论
示性类理论 (theory of characteristic class)
流形上的分析 (即大范围分析学) 的一个分支; 也是拓扑学的一个分支. 示性类理论研究向量丛的上同调类及其计算. 示性类是一般向量丛结构的基本不变量, 具有不可缺少的重要性. 因为研究示性类的方法有许多种, 所以示性类的定义就有多种.
示性类理论最早的创始者是施蒂费尔 (Stiefel, E. L. ) 和惠特尼 (Whitney, H. ), 他们几乎同时在 1935 年发现了示性类, 施蒂费尔引进并研究了光滑流形切丛所确定的示性同调类, 而惠特尼处理的是任意球丛. 1942 年, 庞特里亚金 (Ilohtpath, JI. C. ) 研究了格拉斯曼流形的同调论, 得到一种新的示性类 (庞特里亚金类). 1946 年, 陈省身研究了复格拉斯曼流形的上同调结构, 从而对复向量丛定义了示性类 (陈类). 后来有吴文俊、托姆 (Thom, R. )、希策布鲁赫 (Hirzebruch, F. E. P. )、斯廷罗德 (Steenrod, N. E. ) 等人的研究工作, 使示性类的理论更加完善.
示性类理论在拓扑学、几何学与分析学中都有广泛的应用.
施蒂费尔-惠特尼类 (Stiefel-Whitney classes) 向量丛的底空间的上同调类. 利用以下四条公理定义施蒂费尔-惠特尼类:
1. 对每个实向量丛 \( \xi \) 都相应于一个 \( \xi \) 的底空间 \( B\left( \xi \right) \) 的以 \( \mathbf{Z}/2 \) 为系数的上同调类序列
\( {w}_{i}\left( \xi \right) \in {H}^{i}\left( {B\left( \xi \right) ;\mathbf{Z}/2}\right) \;\left( {i = 0,1,2,\cdots }\right) , \)
称为 \( \xi \) 的施蒂费尔-惠特尼类. 类 \( {w}_{0}\left( \xi \right) \) 等于单位元 \( 1 \in {H}^{0}\left( {B\left( \xi \right) ;Z/2}\right) \) ,而若 \( \xi \) 是 \( n \) -平面丛,对于大于 \( n \) 的 \( i,{w}_{i}\left( \xi \right) = 0 \) .
2. 自然性. 若 \( f : B\left( \xi \right) \rightarrow B\left( \eta \right) \) 被从 \( \xi \) 到 \( \eta \) 的一个丛映射覆盖, 则
\[
{w}_{i}\left( \xi \right) = {f}^{ * }{w}_{i}\left( \eta \right)
\]
\( {f}^{ * } \) 为 \( f \) 诱导的同态.
3. 惠特尼乘积定理. 若 \( \xi \) 与 \( \eta \) 是同一底空间上的向量丛, 则
\[
{w}_{k}\left( {\xi \oplus \eta }\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{k}{w}_{i}\left( \xi \right) \cup {w}_{k - i}\left( \eta \right) .
\]
4. 对于圆周 \( {P}^{1} \) 上的典则线丛 \( {\gamma }_{1}^{1} \) ,施蒂费尔-惠特尼类 \( {w}_{1}\left( {\gamma }_{1}^{1}\right) \) 不为零.
施蒂费尔-惠特尼类是 1935 年由施蒂费尔 (Stiefel, E. L. ) 与惠特尼 (Whitney, H. ) 定义的. 而施蒂费尔-惠特尼类的公理定义是 1956 年由希策布鲁赫 (Hirzebruch, F. E. P. ) 提出的. 惠特尼乘积定理属于惠特尼与吴文俊.
微分流形 \( M \) 的切丛 \( T\left( M\right) \) 的施蒂费尔-惠特尼类称为 \( M \) 的施蒂费尔-惠特尼类,记为 \( {w}_{i}\left( M\right) (i = \) \( 0,1,2,\cdots ) \) .
惠特尼乘积定理 (Whitney product theorem) 见“施蒂费尔-惠特尼类”.
实 \( n \) 平面丛 (real \( n \) -plane bundle) 特殊的纤维丛. 所谓实 \( n \) 平面丛,是指这样的一个纤维丛,它的纤维是实 \( n \) 维向量空间 \( {\mathrm{R}}^{n} \) ,它的结构群是一般的线性群 \( \mathrm{{GL}}\left( {n,\mathrm{R}}\right) \) . 又称为秩 \( n \) 的实向量丛.
惠特尼和 (Whitney sum) 同一底空间上的两个向量丛的某种和. 设 \( {\xi }_{1},{\xi }_{2} \) 是在同一个底空间 \( B \) 上的两个向量丛, \( d : B \rightarrow B \times B \) 表示对角嵌入,称 \( B \) 上的丛 \( {d}^{ * }\left( {{\xi }_{1} \times {\xi }_{2}}\right) \) 为 \( {\xi }_{1} \) 与 \( {\xi }_{2} \) 的惠特尼和,记为
\[
{\xi }_{1} \oplus {\xi }_{2}\text{.}
\]
丛同态(bundle homomorphism) 两个向量空间之间保持纤维中代数结构的映射. \( \eta \) 到 \( \xi \) 的丛同态是一个连续函数
\[
g : E\left( \eta \right) \rightarrow E\left( \xi \right) ,
\]
\( g \) 把每个向量空间 \( {F}_{b}\left( \eta \right) \) 线性地映到向量空间 \( {F}_{{b}^{\prime }}\left( \xi \right) \) 之上,其中记号 \( {F}_{b}\left( \eta \right) \) 是 \( b \) 在 \( \eta \) 上的纤维,构成一个向量空间.
全 施蒂费尔-惠特尼类 (total Stiefel-Whitney class) 各阶施蒂费尔-惠特尼类之和. 设 \( {H}^{\pi }(B;Z/ \) 2) 表示所有形式无穷级数
\[
a = {a}_{0} + {a}_{1} + {a}_{2} + \cdots
\]
的环,其中 \( {a}_{i} \in {H}^{i}\left( {B;Z/2}\right) \) . 这个环中的乘法运算为
\[
\left( {{a}_{0} + {a}_{1} + {a}_{2} + \cdots }\right) \left( {{b}_{0} + {b}_{1} + {b}_{2} + \cdots }\right)
\]
\[
= \left( {{a}_{0}{b}_{0}}\right) + \left( {{a}_{1}{b}_{0} + {a}_{0}{b}_{1}}\right)
\]
\[
+ \left( {{a}_{2}{b}_{0} + {a}_{1}{b}_{1} + {a}_{0}{b}_{2}}\right) + \cdots ,
\]
这个乘法是交换的与结合的.
\( B \) 上实 \( n \) 维向量丛 \( \xi \) 的全施蒂费尔-惠特尼类定义为
\[
w\left( \xi \right) = {w}_{0}\left( \xi \right) + {w}_{1}\left( \xi \right) + \cdots + {w}_{n}\left( \xi \right) + \cdots ,
\]
是环 \( {H}^{\pi }\left( {B;\mathbf{Z}/2}\right) \) 的一个元素,其中 \( {w}_{i}\left( \xi \right) \) 是 \( \xi \) 的施蒂费尔-惠特尼类.
所有首项为 1 的无穷级数
\[
w = 1 + {w}_{1} + {w}_{2} + \cdots \in {H}^{\pi }\left( {B;\mathbf{Z}/2}\right)
\]
的集合在乘法运算下构成一个交换群, \( w \) 的逆元 \( \bar{w} \)
\[
\bar{w} = 1 + {\bar{w}}_{1} + {\bar{w}}_{2} + {\bar{w}}_{3} + \cdots ,
\]
而
\[
{\bar{w}}_{n} = {w}_{1}{\bar{w}}_{n - 1} + {w}_{2}{\bar{w}}_{n - 2} + \cdots + {w}_{n - 1}{\bar{w}}_{1} + {w}_{n}.
\]
若 \( {P}^{n} \) 是实 \( n \) 维射影空间, \( a \) 是 \( {H}^{1}\left( {{P}^{n};\mathbf{Z}/2}\right) \) 的非零元,则 \( {P}^{n} \) 的全施蒂费尔-惠特尼类
\[
w\left( {P}^{n}\right) = {\left( 1 + a\right) }^{n + 1} = 1 + \left( \begin{matrix} n + 1 \\ 1 \end{matrix}\right) a
\]
\[
+ \left( \begin{matrix} n + 1 \\ 2 \end{matrix}\right) {a}^{2} + \cdots + \left( \begin{matrix} n + 1 \\ n \end{matrix}\right) {a}^{n}.
\]
惠特尼对偶定理 (Whitney duality theorem) 微分流形的切丛与余切丛的施蒂费尔-惠特尼类的关系. 设 \( {\tau }_{M} \) 是欧氏空间中微分流形 \( M \) 的切丛, \( \nu \) 是法丛,则 \( {w}_{i}\left( \nu \right) = {\bar{w}}_{i}\left( {\tau }_{M}\right) \) .
克罗内克指数 (Kronecker index) 一种特定的指标. 设 \( M \) 是闭连通光滑 \( n \) 维流形. 利用模 2 系数,存在一个基本同调类 \( {\mu }_{M} \in {H}_{n}\left( {M,\mathbf{Z}/2}\right) \) ,故对任意上同调类 \( V \in {H}^{n}\left( {M,\mathbf{Z}/2}\right) \) ,定义克罗内克指数为
\[
\left\langle {V,{\mu }_{M}}\right\rangle \in \mathbf{Z}/2\text{.}
\]
施蒂费尔-惠特尼数 (Stiefel-Whitney number) 所有施蒂费尔-惠特尼类的单项式模 2 的整数. 设 \( {r}_{1},{r}_{2},\cdots ,{r}_{n} \) 是非负整数,
\[
{r}_{1} + 2{r}_{2} + \cdots + n{r}_{n} = n.
\]
相应于任一实向量丛 \( \xi \) ,可以在 \( {H}^{n}\left( {B\left( \xi \right) ,\mathbf{Z}/2}\right) \) 中构作单项式
\[
{w}_{1}{\left( \xi \right) }^{{r}_{1}}{w}_{2}{\left( \xi \right) }^{{r}_{2}}\cdots {w}_{n}{\left( \xi \right) }^{{r}_{n}},
\]
模 2 的整数
\[
\left\langle {{w}_{1}{\left( {\tau }_{M}\right) }^{{r}_{1}}{w}_{2}{\left( {\tau }_{M}\right) }^{{r}_ |
2000_数学辞海（第3卷） | 170 | \right) {a}^{n}.
\]
惠特尼对偶定理 (Whitney duality theorem) 微分流形的切丛与余切丛的施蒂费尔-惠特尼类的关系. 设 \( {\tau }_{M} \) 是欧氏空间中微分流形 \( M \) 的切丛, \( \nu \) 是法丛,则 \( {w}_{i}\left( \nu \right) = {\bar{w}}_{i}\left( {\tau }_{M}\right) \) .
克罗内克指数 (Kronecker index) 一种特定的指标. 设 \( M \) 是闭连通光滑 \( n \) 维流形. 利用模 2 系数,存在一个基本同调类 \( {\mu }_{M} \in {H}_{n}\left( {M,\mathbf{Z}/2}\right) \) ,故对任意上同调类 \( V \in {H}^{n}\left( {M,\mathbf{Z}/2}\right) \) ,定义克罗内克指数为
\[
\left\langle {V,{\mu }_{M}}\right\rangle \in \mathbf{Z}/2\text{.}
\]
施蒂费尔-惠特尼数 (Stiefel-Whitney number) 所有施蒂费尔-惠特尼类的单项式模 2 的整数. 设 \( {r}_{1},{r}_{2},\cdots ,{r}_{n} \) 是非负整数,
\[
{r}_{1} + 2{r}_{2} + \cdots + n{r}_{n} = n.
\]
相应于任一实向量丛 \( \xi \) ,可以在 \( {H}^{n}\left( {B\left( \xi \right) ,\mathbf{Z}/2}\right) \) 中构作单项式
\[
{w}_{1}{\left( \xi \right) }^{{r}_{1}}{w}_{2}{\left( \xi \right) }^{{r}_{2}}\cdots {w}_{n}{\left( \xi \right) }^{{r}_{n}},
\]
模 2 的整数
\[
\left\langle {{w}_{1}{\left( {\tau }_{M}\right) }^{{r}_{1}}{w}_{2}{\left( {\tau }_{M}\right) }^{{r}_{2}}\cdots {w}_{n}{\left( {\tau }_{M}\right) }^{{r}_{n}},{\mu }_{M}}\right\rangle
\]
称为微分流形 \( M \) 的施蒂费尔-惠特尼数,其中 \( {\tau }_{M} \) 为流形 \( M \) 的切丛.
施蒂费尔-惠特尼数的重要性可由下述两个结论看出:
1. (庞特里亚金 (Понтрягин, л. C. )) 若 \( B \) 是一个光滑紧 \( n + 1 \) 维流形,其边缘等于 \( M \) ,则 \( M \) 的施蒂费尔-惠特尼数全为零.
2. (托姆 (Thom, R. )) 若 \( M \) 的所有施蒂费尔-惠特尼数都为零,则 \( M \) 可以看做某个光滑紧流形的边缘.
未定向配边类 (unoriented cobordism class)
流形的一种等价类. 两个光滑闭 \( n \) 维流形 \( {M}_{1} \) 与 \( {M}_{2} \) 属于同一个无定向的配边类的充分必要条件是它们的不相交的并 \( {M}_{1} \cup {M}_{2} \) 是光滑紧 \( n + 1 \) 维流形的边缘.
格拉斯曼流形 (Grassmann manifold) 与欧氏空间相关的一种特殊流形. 格拉斯曼流形 \( {G}_{n}\left( {\mathrm{R}}^{n + k}\right) \) 是通过坐标空间 \( {\mathrm{R}}^{n + k} \) 的原点的所有 \( n \) 维平面的集合, 这可以视为一个商空间.
\( {\mathrm{R}}^{n + k} \) 的一个 \( n \) 标架是 \( {\mathrm{R}}^{n + k} \) 中线性无关向量的一个 \( n \) 元组, \( {\mathrm{R}}^{n + k} \) 中的所有 \( n \) 标架的全体构成 \( n \) 重直积 \( {\mathrm{R}}^{n + k} \times \cdots \times {\mathrm{R}}^{n + k} \) 的一个开子集,称其为施蒂费尔流形 \( {V}_{n}\left( {\mathrm{R}}^{n + k}\right) \) . 有一个标准映射
\[
q : {V}_{n}\left( {\mathrm{R}}^{n + k}\right) \rightarrow {G}_{n}\left( {\mathrm{R}}^{n + k}\right) ,
\]
它把每个 \( n \) 标架映为它所生成的 \( n \) 平面. 现在,给 \( {G}_{n}\left( {\mathrm{R}}^{n + k}\right) \) 以商拓扑如下: 子集 \( U \in {G}_{n}\left( {\mathrm{R}}^{n + k}\right) \) 是开集的充分必要条件是 \( q \) 的逆映射的像 \( {q}^{-1}\left( U\right) \in {V}_{n}\left( {\mathrm{R}}^{n + k}\right) \) 是开集.
格拉斯曼流形 \( {G}_{n}\left( {\mathrm{R}}^{n + k}\right) \) 是 \( {nk} \) 维紧光滑流形.
\( n \) 标架 ( \( n \) -frame) 见“格拉斯曼流形”.
施蒂费尔流形 (Stiefel manifold) 见 “格拉斯曼流形”.
CW 复形 (CW complex) 划分为各维胞腔的豪斯多夫空间. 一个 \( \mathrm{{CW}} \) 复形是由称为基础空间的豪斯多夫空间 \( K \) 和 \( K \) 划分为不相交子集全体 \( \left\{ {e}_{d}\right\} \) 构成的, 使下述条件满足:
1. 每个 \( {e}_{d} \) 拓扑地是一个 \( n\left( d\right) > 0 \) 维的开胞腔. 进而,对每个胞腔 \( {e}_{d} \) ,存在一个连续映射
\[
f : {D}^{n\left( d\right) } \rightarrow K,
\]
它把圆盘 \( {D}^{n\left( d\right) } \) 的内部同胚地映到 \( {e}_{d} \) 上 ( \( f \) 称为胞腔 \( {e}_{d} \) 的特征映射);
2. 属于闭包 \( {\bar{e}}_{d} \) 而不属于 \( {e}_{d} \) 的每个点,必定位于低维胞腔 \( {e}_{\beta } \) 中;
3. 闭包有限性. \( K \) 的每点包含在一个有限的子复形中;
4. 怀特海拓扑. \( K \) 的拓扑为它的有限子复形的顺向极限,即 \( K \) 的一个子集是闭的当且仅当它与每个有限子复形的交是闭的.
舒伯特符号 (Schubert symbol) 一种特定的整数序列. 舒伯特符号 \( \sigma = \left( {{\sigma }_{1},{\sigma }_{2},\cdots ,{\sigma }_{n}}\right) \) 是 \( n \) 个整数的一个序列, 满足条件
\[
1 \leq {\sigma }_{1} < {\sigma }_{2} < \cdots < {\sigma }_{n} \leq m.
\]
对每个舒伯特符号 \( \sigma, e\left( \sigma \right) \subset {G}_{n}\left( {\mathrm{R}}^{m}\right) \) 表示所有 \( n \) 平面 \( X \) 的集合,且使得对于 \( i = 1,2,\cdots, n \) ,有
\( \dim \left( {X \cap {\mathrm{R}}^{{\sigma }_{i}}}\right) = i,\dim \left( {X \cap {\mathrm{R}}^{{\sigma }_{i} - 1}}\right) = i - 1. \)
显然,每个 \( X \in {G}_{n}\left( {\mathrm{R}}^{m}\right) \) 正好属于集合 \( e\left( \sigma \right) \) 之一. 可以证明, \( e\left( \sigma \right) \) 是
\[
d\left( \sigma \right) = \left( {{\sigma }_{1} - 1}\right) + \left( {{\sigma }_{2} - 2}\right) + \cdots + \left( {{\sigma }_{n} - n}\right)
\]
维的一个开胞腔.
施蒂费尔-惠特尼类的惟一性 (uniqueness of Stiefel-Whitney class）对于每个向量丛至多只存在一个施蒂费尔-惠特尼类. 至多存在一个对应 \( \xi \rightarrow \) \( {w}_{i}\left( \xi \right) \) ,它把在仿紧底空间上的每个实向量丛对应于满足施蒂费尔-惠特尼类的四条公理的上同调序列.
施蒂费尔-惠特尼类的存在性 (existence of Stiefel-Whitney classes） 对每个向量丛存在非零的施蒂费尔-惠特尼类. 设 \( \xi \) 是一个实 \( n \) 平面丛,其全空间为 \( E \) ,底空间为 \( B \) ,射影映射 \( \pi : E \rightarrow B \) ,纤维 \( F \) \( = {\pi }^{-1}\left( b\right) .{E}_{0} \) 表示 \( E \) 的所有非零元的集合, \( {F}_{0} \) 表示纤维 \( F \) 的非零元的集合,显然 \( {F}_{0} = F \cap {E}_{0} \) .
取系数群 \( Z/2 \) ,则群 \( {H}^{i}\left( {E,{E}_{0}}\right) = 0\left( {i < n}\right) \) ,而 \( {H}^{n}\left( {E,{E}_{0}}\right) \) 包含惟一的类 \( u \) ,使得对每个纤维 \( F = {\pi }^{-1}\left( b\right) \) ,限制
\[
{\left. u\right| }_{\left( F,{F}_{0}\right) } \in {H}^{n}\left( {F,{F}_{0}}\right)
\]
是 \( {H}^{n}\left( {F,{F}_{0}}\right) \) 中惟一的非零类. 进而对应关系 \( x \mapsto \) \( x \cup u \) 对每个 \( k \) 定义了一个同构 \( {H}^{k}\left( E\right) \rightarrow \) \( {H}^{k + n}\left( {E,{E}_{0}}\right) \) . 通常称 \( u \) 为基本上同调类.
然后利用托姆同构 \( \phi : {H}^{k}\left( B\right) \rightarrow {H}^{k + n}\left( {E, E}\right) \) 来定义
\[
{w}_{i}\left( \xi \right) = {\phi }^{-1}S{q}^{i}\phi \left( 1\right) \;\left( {i = 0,1,2,\cdots }\right) .
\]
可以验证, 它们满足施蒂费尔-惠特尼类的四条公理.
托姆同构(Thom isomorphism) 向量丛的底空间的上同调群与全空间的上同调群同构. 即映射 \( \phi : {H}^{k}\left( B\right) \rightarrow {H}^{k + n}\left( {E,{E}_{0}}\right) \) ,它定义为两个同构的复合
\[
{H}^{k}\left( B\right) \overset{{\pi }^{ * }}{ \rightarrow }{H}^{k}\left( E\right) \overset{\cup u}{ \rightarrow }{H}^{k + n}\left( {E,{E}_{0}}\right) .
\]
斯廷罗德运算 (Steenrod operation) 上同调群中一种特定的加法同态. 斯廷罗德运算由下述四个基本性质定义,这里系数群理解为 \( Z/2 \) .
1. 对于每一对空间 \( X \supset Y \) ,和每一对非负整数 \( n, i \) ,定义一个加法同态
\[
S{q}^{i} : {H}^{n}\left( {X, Y}\right) \rightarrow {H}^{n + i}\left( {X, Y}\right) .
\]
2. 自然性. 若 \( f : \left( {X, Y}\right) \rightarrow \left( {{X}^{\prime },{Y}^{\prime }}\right) \) ,则
\[
S{q}^{i} \circ {f}^{ * } = {f}^{ * } \circ S{q}^{i}.
\]
3. 若 \( a \in {H}^{n}\left( {X, Y}\right) \) ,则 \( S{q}^{0}\left( a\right) = a, S{q}^{n}\left( a\right) \) \( = a \cup a \) ,而 \( S{q}^{i}\left( a\right) = 0\left( {i > n}\right) \) . 因此,最有意义的运算是 \( 0 < i < n \) 的那些运算.
4. 嘉当公式. 只要 \( a \cup b \) 有定义,等式
\[
S{q}^{k}\left( {a \cup b}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i + j = k}}S{q}^{i}\left( a\right) \cup S{q}^{j}\left( a\right)
\]
成立.
全斯廷罗德运算 (total Steenrod operation) 各阶斯廷罗德运算之和. 全斯廷罗德运算为
\[
{Sq}\left( a\right) = a + S{q}^{1}\left( a\right) + S{q}^{2}\left( a\right) + \cdots + S{q}^{n}\left( a\right) ,
\]
\[
a \in {H}^{n}\left( {X, Y}\right) \text{.}
\]
定向丛 (oriented bundle) 纤维具有协调定向的向量丛. 实 \( n \) 维向量丛 \( \xi \) 的定向是一个函数,它给 \( \xi \) 的每个纤维 \( F \) 以一个定向,且服从下述局部相容性条件: 对底空间的每个点 \( {b}_{0} \) ,存在一个局部平凡化区图 \( \left( {N, h}\right) ,{b}_{0} \in N \) ,而 \( h : N \times {\mathrm{R}}^{n} \rightarrow {\pi }^{-1}\left( N\right) \) ,使得 \( N \) 上每个纤维 \( F = {\pi }^{-1}\left( b\right) \) ,从 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 到 \( F \) 的同胚 \( x \mapsto \) \( h\left( {b, x}\right) \) 是保定向的.
欧拉类(Euler class) 实向量丛底空间的一个上同调类. 定向实 \( n \) 维向量丛 \( \xi \) 的欧拉类是上同调类 \( e\left( \xi \right) \in {H}^{n}\left( {B;Z}\right) \) ,在标准同构
\[
{\pi }^{ * } : {H}^{n}\left( {B;Z}\right) \rightarrow {H}^{n}\left( {E;Z}\right)
\]
下,它对应于 \( {\left. u\right| }_{E} \) ,其中 \( u \) 是 \( {H}^{n}\left( {{E}_{1}{E}_{0}}\right) \) 中惟一的上同调类,限制在 \( {H}^{n}\left( {{F}_{1}{F}_{0}}\right) \) 中是标准的定向类. 这里的 \( E \) 为全空间, \( B \) 为底空间.
欧拉类的性质:
1. 自然性. 若 \( f : B \rightarrow {B}^{\prime } \) 被一个保定向的丛映射 \( \xi \rightarrow {\xi }^{\prime } \) 覆盖,则 \( e\left( \xi \right) = {f}^{ * }e\left( {\xi }^{\prime }\right) \) .
2. 若把 \( \xi \) 的定向反向,则欧拉类 \( e\left( \xi \right) \) 变号.
3. 若纤维维数 \( n \) 是奇数,则 \( e\left( \xi \right) + e\left( \xi \right) = 0 \) .
4. 自然同态 \( {H}^{n}\left( {B;\mathbf{Z}}\right) \rightarrow {H}^{n}\left( {B;\mathbf{Z}/2}\right) \) 把欧拉类 \( e\left( \xi \right) \) 变为施蒂费尔-惠特尼类 \( {\omega }_{n}\left( \xi \right) \) .
5. 惠特尼和的欧拉类满足 \( e\left( {\xi \oplus {\xi }^{\prime }}\right) = e\left( \xi \right) \cup \) \( e\left( {\xi }^{\prime }\right) \) . 类似地,笛卡儿积的欧拉类满足
\[
e\left( {\xi \times {\xi }^{\prime }}\right) = e\left( \xi \right) \times e\left( {\xi }^{\prime }\right) .
\]
6. 若定向向量丛 \( \xi \) 具有一个处处为零的截面, 则其欧拉类 \( e\left( \xi \right) \) 必为零.
托姆同构定理 (Thom isomorphism theorem) 向量丛上同调群之间存在同构的定理. 该定理断言: 若 \( \xi \) 是有向 \( n \) 平面丛, \( \Lambda \) 是系数环,则存在一个且仅有一个上同调类 \( u \in {H}^{n}\left( {E,{E}_{0};\Lambda }\right) \) ,对于每个纤维 \( F, u \) 在 \( \left( {F,{F}_{0}}\right) \) 上的限制等于 \( {u}_{F} \in {H}^{n}\left( {F,{F}_{0};\Lambda }\right) \) . 进而对应关系 \( y \mapsto y \cup u \) 对每个整数 \( j \) 同构地把 \( {H}^{j}\left( {E;\Lambda }\right) \) 映为 \( {H}^{j + n}\left( {E,{E}_{0};\Lambda }\right) \) .
吴 (文俊) 类 (Wu class) \( n \) 维光滑流形上的一种上同调类. 对于 \( n \) 维光滑流形 \( M \) ,吴文俊发现对每个 \( k \) 存在一个且仅有一个上同调类 \( {v}_{k} \in {H}^{k}\left( M\right) \) , 对每个 \( x \) 满足等式
\[
\left\langle {{v}_{k} \cup x,\mu }\right\rangle = \left\langle {S{q}^{k}\left( x\right) ,\mu }\right\rangle ,
\]
其中 \( \mu \) 为 \( M \) 的基本同调类. 当 \( k > n - k \) 时 \( {v}_{k} \) 为零. \( {v}_{k} \) 称为吴 (文俊) 类. 全吴 (文俊) 类
\[
v \in {H}^{\pi }\left( M\right) = {H}^{0}\left( M\right) \oplus {H}^{1}\left( M\right) \oplus \cdots \oplus {H}^{n}\left( M\right)
\]
为形式和
\[
v = 1 + {v}_{1} + {v}_{2} + \cdots + {v}_{n}
\]
显然,全吴 (文俊) 类对每个上同调类 \( x \) 满足等式
\[
\langle v \cup x,\mu \rangle = \langle {Sq}\left( x\right) ,\mu \rangle ,
\]
\( {Sq} \) 为全斯廷罗德运算.
全吴 (文俊) 类 (total Wu class) 见 “吴 (文俊) 类”.
施蒂费尔-惠特尼类的吴 (文俊)公式 (Wu formula for Stiefel-Whitney class） 关于光滑流形切丛的全施蒂费尔-惠特尼类与全吴类的一个公式. 设 \( M \) 是光滑流形, \( {\tau }_{M} \) 为 \( M \) 的切丛,则 \( {\tau }_{M} \) 的全施蒂费尔-惠特尼类等于 \( {Sq}\left( v\right) \) ,即
\[
{w}_{k} = \mathop{\sum }\limits_{{i + j = k}}S{q}^{i}\left( {v}_{j}\right)
\]
其中 \( {v}_{j} \in {H}^{j}\left( M\right) \) 为吴 (文俊) 类, \( v \) 为全吴 (文俊) 类.
古津序列 (Gysin sequence) 特殊的正合列. 对于任意的定向实 \( n \) 维向量丛 \( \xi \) ,存在整数系数的形如
\[
\cdots \rightarrow {H}^{i}\left( B\right) \overset{\cup \ell }{ \rightarrow }{H}^{i + n}\left( B\right) \overset{{\pi }_{0}^{ * }}{ \rightarrow }{H}^{i + n}\left( {E}_{0}\right)
\]
\[
\rightarrow {H}^{ |
2000_数学辞海（第3卷） | 171 | {\pi }\left( M\right) = {H}^{0}\left( M\right) \oplus {H}^{1}\left( M\right) \oplus \cdots \oplus {H}^{n}\left( M\right)
\]
为形式和
\[
v = 1 + {v}_{1} + {v}_{2} + \cdots + {v}_{n}
\]
显然,全吴 (文俊) 类对每个上同调类 \( x \) 满足等式
\[
\langle v \cup x,\mu \rangle = \langle {Sq}\left( x\right) ,\mu \rangle ,
\]
\( {Sq} \) 为全斯廷罗德运算.
全吴 (文俊) 类 (total Wu class) 见 “吴 (文俊) 类”.
施蒂费尔-惠特尼类的吴 (文俊)公式 (Wu formula for Stiefel-Whitney class） 关于光滑流形切丛的全施蒂费尔-惠特尼类与全吴类的一个公式. 设 \( M \) 是光滑流形, \( {\tau }_{M} \) 为 \( M \) 的切丛,则 \( {\tau }_{M} \) 的全施蒂费尔-惠特尼类等于 \( {Sq}\left( v\right) \) ,即
\[
{w}_{k} = \mathop{\sum }\limits_{{i + j = k}}S{q}^{i}\left( {v}_{j}\right)
\]
其中 \( {v}_{j} \in {H}^{j}\left( M\right) \) 为吴 (文俊) 类, \( v \) 为全吴 (文俊) 类.
古津序列 (Gysin sequence) 特殊的正合列. 对于任意的定向实 \( n \) 维向量丛 \( \xi \) ,存在整数系数的形如
\[
\cdots \rightarrow {H}^{i}\left( B\right) \overset{\cup \ell }{ \rightarrow }{H}^{i + n}\left( B\right) \overset{{\pi }_{0}^{ * }}{ \rightarrow }{H}^{i + n}\left( {E}_{0}\right)
\]
\[
\rightarrow {H}^{i + 1}\left( B\right) \overset{\cup e}{ \rightarrow }\cdots
\]
的正合列,其中 \( {\pi }_{0} : {E}_{0} \rightarrow B\left( {E}_{0}\right. \) 为全空间 \( E \) 的非零向量组成的空间), \( e \) 为 \( \xi \) 的欧拉类, \( \cup e \) 代表同态 \( a \mapsto \) \( a \cup e\left( \xi \right) \) . 这个正合列称为古津序列.
陈 (省身) 类 (Chern class) 复向量丛的一种上同调类. 设 \( \omega \) 为复 \( n \) 维向量丛, \( {\omega }_{\mathrm{R}} \) 为其基本实向量丛, \( {E}_{0} \) 表 \( E\left( {\omega }_{\mathrm{R}}\right) \) 中所有非零向量所成子空间, \( {E}_{0} \) 中任意点 \( v \) 位于 \( \omega \) 的一个确定的纤维 \( {F}_{b} \) 中. 设 \( \omega \) 上给定埃尔米特度量,取 \( v \) 在 \( {F}_{b} \) 中的正交补作为点 \( v \) 上的纤维,得以 \( {E}_{0} \) 为底空间的复 \( n - 1 \) 维向量丛 \( {\omega }_{0} \) , 则陈类 \( {c}_{i}\left( \omega \right) \in {H}^{2i}\left( {B;\mathrm{Z}}\right) \) 按 \( \omega \) 的复维数递推地定义为: 顶陈类 (即最高维陈类) \( {c}_{n}\left( \omega \right) \) 等于欧拉类 \( e\left( {\omega }_{\mathrm{R}}\right) \) ; 对 \( i < n \) ,定义为
\[
{c}_{i}\left( \omega \right) = {\pi }_{0}^{* - 1}{c}_{i}\left( {\omega }_{0}\right) ;
\]
对 \( i > n \) ,类 \( {c}_{i}\left( \omega \right) = 0 \) .
这种定义是有意义的, 因为在古津序列中, \( {\pi }_{0}^{ * } : {H}^{2i}\left( B\right) \rightarrow {H}^{2i}\left( {E}_{0}\right) \) 对于 \( i < n \) 是一个同构.
全陈类 (total Chern class) 各阶陈类之和. 环 \( {H}^{n}\left( {B;\mathrm{Z}}\right) \) 中形式和式 \( c\left( \omega \right) = 1 + {c}_{1}\left( \omega \right) + \cdots + {c}_{n}\left( \omega \right) \) 就称为 \( \omega \) 的全陈类,其中 \( {c}_{i}\left( \omega \right) \) 为复 \( n \) 维向量丛 \( \omega \) 的第 \( i \) 个陈类.
陈类的乘积公式 (product formula for Chern class) 陈类的一个乘积公式. 若 \( \omega \) 与 \( \phi \) 是仿紧底空间 \( B \) 上的两个复向量丛,则惠特尼和 \( \omega \oplus \phi \) 的全陈类有下述公式
\[
c\left( {\omega \oplus \phi }\right) = c\left( \omega \right) \cdot c\left( \phi \right) ,
\]
它被称为陈类的乘积公式.
共轭丛 (conjugate bundle) 与复向量丛相关且有相互复结构的向量丛. 若 \( \omega \) 是一个复向量丛, 共轭丛 \( \bar{\omega } \) 是一个复向量丛,与 \( \omega \) 有相同的基本实向量丛
\[
{\omega }_{\mathrm{R}} = {\bar{\omega }}_{\mathrm{R}}
\]
但有 “相反的”复结构. 因而映射 \( f : E\left( \omega \right) \rightarrow E\left( \bar{\omega }\right) \) 是共轭线性的,即对每个复数 \( \lambda \) 及每个 \( e \in E\left( \omega \right) \) ,有
\[
f\left( {\lambda e}\right) = \bar{\lambda }f\left( e\right) ,
\]
其中 \( \bar{\lambda } \) 是 \( \lambda \) 的共轭复数.
共轭丛的陈类 \( {c}_{k}\left( \bar{\omega }\right) \) 等于 \( {\left( -1\right) }^{k}{c}_{k}\left( \omega \right) \) ,因而
\[
c\left( \bar{\omega }\right) = 1 - {c}_{1}\left( \omega \right) + {c}_{2}\left( \omega \right) + \cdots + {\left( -1\right) }^{n}{c}_{n}\left( \omega \right) .
\]
庞特里亚金类(Pontriagin class) 复化的实向量丛的整陈类. 设 \( \xi \) 为实向量丛, \( \xi \otimes \mathrm{C} \) 为 \( \xi \) 的复化, 第 \( i \) 个庞特里亚金类 \( {p}_{i}\left( \xi \right) \in {H}^{4i}\left( {B;Z}\right) \) 定义为整上同调类 \( {\left( -1\right) }^{i}{c}_{2i}\left( {\xi \otimes \mathbf{C}}\right) \) .
显然,当 \( i > n/2 \) 时, \( {p}_{i}\left( \xi \right) \) 为零.
全庞特里亚金类 (total Pontriagin class) 各阶庞特里亚金类之和. 全庞特里亚金类定义为环 \( {H}^{\pi }\left( {B;\mathbf{Z}}\right) \) 中的可逆元
\[
p\left( \xi \right) = 1 + {p}_{1}\left( \xi \right) + \cdots + {p}_{\left\lbrack n/2\right\rbrack }\left( \xi \right) ,
\]
\( \left\lbrack {n/2}\right\rbrack \) 为不超过 \( n/2 \) 的最大整数,其中 \( {p}_{i}\left( \xi \right) \) 为实向量丛 \( \xi \) 的第 \( i \) 个庞特里亚金类.
惠特尼和的全庞特里亚金类 \( p\left( {\xi \oplus \eta }\right) \) 同余于 \( p\left( \xi \right) p\left( \eta \right) \) (模 2 阶元素). 换言之,
\[
2\left( {p\left( {\xi \oplus \eta }\right) - p\left( \xi \right) p\left( \eta \right) }\right) = 0.
\]
陈数 (Chern number) 与陈类相关的数. 设 \( {K}^{n} \) 是复 \( n \) 维紧复流形,则对于 \( n \) 的每个划分 \( I = {i}_{1},{i}_{2} \) , \( \cdots ,{i}_{r} \) ,第 \( I \) 个陈数
\[
{c}_{I}\left\lbrack {K}^{n}\right\rbrack = {c}_{{i}_{1}}\cdots {c}_{{i}_{r}}\left\lbrack {K}^{n}\right\rbrack
\]
定义为整数
\[
\left\langle {{c}_{{i}_{1}}\left( {\tau }^{n}\right) \cdots {c}_{{i}_{r}}\left( {\tau }^{n}\right) ,{\mu }_{2n}}\right\rangle ,
\]
其中 \( {\tau }^{n} \) 表示 \( {K}^{n} \) 的切丛, \( {\mu }_{2n} \) 表示由特定的定向确定的基本同调类,对于非 \( n \) 的一个整数之划分 \( I \) ,定义 \( {c}_{I}\left\lbrack {K}^{n}\right\rbrack = 0 \) . 例如, \( {P}^{n}\left( \mathrm{C}\right) \) 为复射影空间,则对于 \( n \) 的任一划分 \( \left( {{i}_{1},{i}_{2},\cdots ,{i}_{r}}\right) \) ,
\[
{c}_{{i}_{1}}{c}_{{i}_{2}}\cdots {c}_{{i}_{r}}\left\lbrack {{P}^{n}\left( \mathrm{C}\right) }\right\rbrack = \left( \begin{matrix} n + 1 \\ {i}_{1} \end{matrix}\right) \cdots \left( \begin{matrix} n + 1 \\ {i}_{r} \end{matrix}\right) .
\]
庞特里亚金数 (Pontriagin number) 与庞特里亚金类相关的数. 设 \( {M}^{4n} \) 是一个光滑紧定向流形,对 \( n \) 的任一个划分 \( I = \left( {{i}_{1},{i}_{2},\cdots ,{i}_{r}}\right) \) ,第 \( I \) 个庞特里亚金数
\[
{p}_{I}\left\lbrack {M}^{4n}\right\rbrack = {p}_{{i}_{1}}{p}_{{i}_{2}}\cdots {p}_{{i}_{r}}\left\lbrack {M}^{4n}\right\rbrack
\]
定义为整数
\[
\left\langle {{p}_{{i}_{1}}\left( {\tau }^{4n}\right) {p}_{{i}_{2}}\left( {\tau }^{4n}\right) \cdots {p}_{{i}_{r}}\left( {\tau }^{4n}\right) ,{\mu }_{4n}}\right\rangle ,
\]
其中 \( {\tau }^{4n} \) 表示切丛, \( {\mu }_{4n} \) 表示基本同调类.
若把 \( {M}^{4n} \) 的定向反过来,注意到庞特里亚金类不变,而 \( {\mu }_{4n} \) 改变正负号,故庞特里亚金数要改变正负号.
作为一个例子,复射影空间 \( {P}^{2n}\left( \mathrm{C}\right) \) 忘掉它的复结构,它是实维数 \( {4n} \) 的紧定向流形,因此,
\[
{p}_{{i}_{1}}{p}_{{i}_{2}}\cdots {p}_{{i}_{r}}\left\lbrack {{P}^{2n}\left( \mathbf{C}\right) }\right\rbrack = \left( \begin{matrix} {2n} + 1 \\ {i}_{1} \end{matrix}\right) \cdots \left( \begin{matrix} {2n} + 1 \\ {i}_{r} \end{matrix}\right) .
\]
对称函数 (symmetric function) 对各分量置换下不变的多项式函数. 设 \( {t}_{1},{t}_{2},\cdots ,{t}_{n} \) 是未定元,若整系数的多项式函数 \( f\left( {{t}_{1},{t}_{2},\cdots ,{t}_{n}}\right) \) 在 \( {t}_{1},{t}_{2},\cdots ,{t}_{n} \) 的置换下是不变的, 就称它为一个对称函数.
对称函数构成一个子环
\[
S \subset Z\left\lbrack {{t}_{1},{t}_{2},\cdots ,{t}_{n}}\right\rbrack ,
\]
而 \( S \) 本身也构成了 \( n \) 个代数独立生成元的多项式环
\[
S = Z\left\lbrack {{\sigma }_{1},{\sigma }_{2},\cdots ,{\sigma }_{n}}\right\rbrack ,
\]
\( {\sigma }_{k} = {\sigma }_{k}\left( {{t}_{1},{t}_{2},\cdots ,{t}_{n}}\right) \) 表示 \( k \) 次初等对称函数, \( {\sigma }_{k} \) 是 \( {t}_{1} \) , \( {t}_{2},\cdots ,{t}_{n} \) 的 \( k \) 次齐次多项式,且
\[
1 + {\sigma }_{1} + {\sigma }_{2} + \cdots + {\sigma }_{n}
\]
\[
= \left( {1 + {t}_{1}}\right) \left( {1 + {t}_{2}}\right) \cdots \left( {1 + {t}_{n}}\right) \text{.}
\]
对于 \( k \) 的任意划分 \( I = \left( {{i}_{1},{i}_{2},\cdots ,{i}_{r}}\right) \) ,即使得 \( k = {i}_{1} + \) \( {i}_{2} + \cdots + {i}_{r} \) ,定义一个 \( k \) 变元的多项式 \( {s}_{I} \) . 选择 \( n > k \) 使 \( {t}_{1},{t}_{2},\cdots ,{t}_{n} \) 的初等对称函数 \( {\sigma }_{1},{\sigma }_{2},\cdots ,{\sigma }_{k} \) 是代数独立的. 设 \( {s}_{I} = {s}_{{i}_{1},{i}_{2},\cdots ,{i}_{r}} \) 是满足
\[
{s}_{I}\left( {{\sigma }_{1},{\sigma }_{2},\cdots ,{\sigma }_{k}}\right) = \sum {t}_{1}^{{i}_{1}}{t}_{2}^{{i}_{2}}\cdots {t}_{r}^{{i}_{r}}
\]
的惟一的多项式. 这个多项式不依赖于 \( n \) .
设 \( \omega \) 是复 \( n \) 维向量丛,底空间为 \( B \) ,全陈类为 \( c \) \( = 1 + {c}_{1} + \cdots + {c}_{n} \) . 对于任意 \( k > 0 \) 及 \( k \) 的任意划分 \( I \) , 上同调类 \( {s}_{I}\left( c\right) = {s}_{I}\left( {{c}_{1},{c}_{2},\cdots ,{c}_{k}}\right) \in {H}^{2k}\left( {B;Z}\right) \) ,惠特尼和的示性类 \( {s}_{I}\left( {c\left( {\omega \oplus {\omega }^{\prime }}\right) }\right) \) 等于
\[
\mathop{\sum }\limits_{{{JK} = I}}{s}_{J}\left( {c\left( \omega \right) }\right) {s}_{K}\left( {c\left( {\omega }^{\prime }\right) }\right) .
\]
特别地,惠特尼和的示性类 \( {s}_{k}\left( {c\left( {\omega \oplus {\omega }^{\prime }}\right) }\right) \) 等于 \( {s}_{k}\left( {c\left( \omega \right) }\right) \oplus {s}_{k}\left( {c\left( {\omega }^{\prime }\right) }\right) \) . 示性数 \( \left\langle {{s}_{I}\left( {c\left( {\tau }^{n}\right) }\right) ,{\mu }_{2n}}\right\rangle \in Z \) 等于陈数的一个适当的线性组合.
利用庞特里亚金类与庞特里亚金数也可得到类似的示性类与示性数.
陈数的线性独立性 (linear independence of Chern numbers) 诸陈数组成的矩阵为非奇异的. 设 \( {K}^{1},{K}^{2},\cdots ,{K}^{n} \) 是复流形,满足 \( {s}_{k}\left( c\right) \left\lbrack {K}^{k}\right\rbrack \neq 0 \) ,则陈数的 \( p\left( n\right) \times p\left( n\right) \) 矩阵
\[
\left\lbrack {{c}_{{i}_{1}}{c}_{{i}_{2}}\cdots {c}_{{i}_{r}}\left\lbrack {{K}^{{j}_{1}} \times {K}^{{j}_{2}} \times \cdots \times {K}^{{j}_{s}}}\right\rbrack }\right\rbrack
\]
是非奇异的,其中 \( {i}_{1},{i}_{2},\cdots ,{i}_{r} \) 与 \( {j}_{1},{j}_{2},\cdots ,{j}_{s} \) 取遍 \( n \) 的所有划分.
庞特里亚金数的线性独立性 (linear independence of Pontriagin numbers) 诸庞特里亚金数组成的矩阵为非奇异的. 若 \( {M}^{4 \times 1},{M}^{4 \times 2},\cdots ,{M}^{4n} \) 是定向流形,满足 \( {s}_{k}\left( p\right) \left\lbrack {M}^{4k}\right\rbrack \neq 0 \) ,则庞特里亚金数的 \( p\left( n\right) \) \( \times p\left( n\right) \) 矩阵
\[
\left\lbrack {{p}_{{i}_{1}}{p}_{{i}_{2}}\cdots {p}_{{i}_{r}}\left\lbrack {{M}^{4{j}_{1}} \times {M}^{4{j}_{2}} \times \cdots \times {M}^{4{j}_{s}}}\right\rbrack }\right\rbrack
\]
是非奇异的.
陈特征标 (Chern character) 全陈类在对称函数作用下的一种形式和. 复 \( n \) 维向量丛 \( \omega \) 的陈特征标 \( \operatorname{ch}\left( \omega \right) \) 定义为形式和
\[
n + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{s}_{k}\left( {c\left( \omega \right) }\right) /k! \in {H}^{\pi }\left( {B;Q}\right) .
\]
陈特征标满足可加性与乘法性.
定向配边类 (oriented cobordism class) 流形的一种等价类. 对于两个光滑紧定向 \( n \) 维流形 \( M \) 与 \( {M}^{\prime } \) ,若存在一个光滑紧的带边的定向流形 \( X \) ,使得 \( \partial X \) 及其诱导定向在保持定向的同胚之下同胚于 \( M \) 与 \( \left( {-{M}^{\prime }}\right) \) 的无交并 |
2000_数学辞海（第3卷） | 172 | {j}_{s} \) 取遍 \( n \) 的所有划分.
庞特里亚金数的线性独立性 (linear independence of Pontriagin numbers) 诸庞特里亚金数组成的矩阵为非奇异的. 若 \( {M}^{4 \times 1},{M}^{4 \times 2},\cdots ,{M}^{4n} \) 是定向流形,满足 \( {s}_{k}\left( p\right) \left\lbrack {M}^{4k}\right\rbrack \neq 0 \) ,则庞特里亚金数的 \( p\left( n\right) \) \( \times p\left( n\right) \) 矩阵
\[
\left\lbrack {{p}_{{i}_{1}}{p}_{{i}_{2}}\cdots {p}_{{i}_{r}}\left\lbrack {{M}^{4{j}_{1}} \times {M}^{4{j}_{2}} \times \cdots \times {M}^{4{j}_{s}}}\right\rbrack }\right\rbrack
\]
是非奇异的.
陈特征标 (Chern character) 全陈类在对称函数作用下的一种形式和. 复 \( n \) 维向量丛 \( \omega \) 的陈特征标 \( \operatorname{ch}\left( \omega \right) \) 定义为形式和
\[
n + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{s}_{k}\left( {c\left( \omega \right) }\right) /k! \in {H}^{\pi }\left( {B;Q}\right) .
\]
陈特征标满足可加性与乘法性.
定向配边类 (oriented cobordism class) 流形的一种等价类. 对于两个光滑紧定向 \( n \) 维流形 \( M \) 与 \( {M}^{\prime } \) ,若存在一个光滑紧的带边的定向流形 \( X \) ,使得 \( \partial X \) 及其诱导定向在保持定向的同胚之下同胚于 \( M \) 与 \( \left( {-{M}^{\prime }}\right) \) 的无交并,则称 \( M \) 与 \( {M}^{\prime } \) 属于同一个定向配边类.
定向配边类的这种关系是自反的、对称的和传递的, 因此是一个等价关系, 在这种等价关系之下的等价类之集记为 \( {\Omega }_{n} \) . 对 \( {\Omega }_{n} \) 中的任意两个元素 \( \{ M\} \) , \( \left\{ {M}^{\prime }\right\} \) ,用无交并作为群运算,则 \( {\Omega }_{n} \) 构成一个阿贝尔群, 这个群的零元就是空流形的配边类. 例如, 可以列出定向配边类群如下: \( {\Omega }_{0} \cong Z,{\Omega }_{1} = 0,{\Omega }_{2} = 0,{\Omega }_{3} \) \( = 0,{\Omega }_{4} \cong Z,{\Omega }_{5} = Z/2,{\Omega }_{6} = 0,{\Omega }_{7} = 0,{\Omega }_{8} \cong Z \oplus Z,{\Omega }_{9} \) \( = \left( {Z/2}\right) \oplus \left( {Z/2}\right) ,{\Omega }_{10} \cong Z/2,{\Omega }_{11} \cong Z/2 \) .
托姆空间 (Thom space) 某种特殊的商空间. 设 \( \xi \) 是 \( k \) 平面丛 (具有欧氏度量), \( A \subset E\left( \xi \right) \) 是全空间中满足 \( \left| v\right| \geq 1 \) 的全体向量 \( v \) 所组成的子集,则当 \( E\left( \xi \right) \) 中的 \( A \) 缩为一点,所对应的商空间 \( E\left( \xi \right) /A \) 称为 \( \xi \) 的托姆空间,记为 \( T\left( \xi \right) .A \) 缩成的点记为 \( {t}_{0} \) ,则其补 \( T\left( \xi \right) \smallsetminus \left\{ {t}_{0}\right\} \) 由满足 \( \left| v\right| < 1 \) 的向量 \( v \in E\left( \xi \right) \) 组成.
关于 \( T\left( \xi \right) \) 的拓扑有下列性质:
1. 如果底空间 \( B \) 是一个 \( \mathrm{{CW}} \) 复形,则托姆空间 \( T\left( \xi \right) \) 是一个 \( \left( {k - 1}\right) \) 连通 CW 复形,而且相应于 \( B \) 的每个 \( n \) 胞腔有一 \( \left( {n + k}\right) \) 胞腔.
2. 如果 \( \xi \) 是 \( B \) 上定向 \( k \) 平面丛,则每个整同调群 \( {H}_{k + i}\left( {T\left( \xi \right) ,{t}_{0}}\right) \) 同构于 \( {H}_{i}\left( B\right) \) .
托姆定理 (Thom theorem) 关于托姆空间的同伦群同构于定向配边群的定理. 该定理断言: 设 \( k \) \( > n + 1 \) ,万有托姆空间的同伦群 \( {\pi }_{n + k}\left( {T\left( {\widetilde{\gamma }}^{k}\right) ,{t}_{0}}\right) \) 标准同构于定向配边群 \( {\Omega }_{n} \) . 类似地,与未定向万有丛相联系的同伦群 \( {\pi }_{n + k}\left( {T\left( {\gamma }^{k}\right) ,{t}_{0}}\right) \) 标准同构于未定向配边群 \( {N}_{n} \) .
由此得出关于配边群的托姆定理: 若 \( n ≢ 0 \) \( \left( {\;\operatorname{mod}\;4}\right) \) ,则定向配边群 \( {\Omega }_{n} \) 是有限的,若 \( n = {4r} \) ,则 \( {\Omega }_{n} \) 是一个有限生成群,其秩为 \( r \) 的划分数 \( p\left( r\right) \) .
乘法序列 (multiplicative sequence) 多项式构成的一个序列. 设 \( \Lambda \) 是一个固定的有单位元的交换环, \( {A}^{ * } = \left( {{A}^{0},{A}^{1},{A}^{2},\cdots }\right) \) 代表一个分次 \( \Lambda \) 代数,对于每个这样的 \( {A}^{ * } \) 有一个相联系的交换环 \( {A}^{\pi } \) ,是由形式和式 \( {a}_{0} + {a}_{1} + {a}_{2} + \cdots \left( {{a}_{i} \in {A}^{i}}\right) \) 构成的. \( \left\{ {{K}_{n}\left( {x}_{1}\right. }\right. \) , \( \left. \left. {{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \right\} \) 是多项式序列,其系数在 \( \Lambda \) 中, \( {x}_{i} \) 是 \( i \) 次,每个多项式 \( {K}_{n}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 是 \( n \) 次齐次多项式. 对于首项为 1 的元素 \( a \in {A}^{\pi } \) ,定义为一个首项为 1 的元素 \( K\left( a\right) \) :
\[
K\left( a\right) = 1 + {K}_{1}\left( {a}_{1}\right) + {K}_{2}\left( {{a}_{1},{a}_{2}}\right) + \cdots .
\]
若 \( K\left( {ab}\right) = K\left( a\right) K\left( b\right) \) 对所有这样的分次代数 \( {A}^{ * } \) 及所有首项为 1 的元素 \( a, b \in {A}^{\pi } \) 成立,则称 \( \left\{ {K}_{n}\right\} \) 构成一个多项式的乘法序列.
属于幂级数的乘法序列 (multiplicative sequence belonging to power series) 由 \( n \) 级数的系数组成的乘法序列. 给定一个系数在 \( \Lambda \) 中的形式幂级数 \( f\left( t\right) = 1 + {\lambda }_{1}t + {\lambda }_{2}{t}^{2} + \cdots \) ,存在一个且仅有一个系数在 \( \Lambda \) 中的乘法序列 \( \left\{ {K}_{n}\right\} \) ,满足条件 \( K\left( {1 + t}\right) \) \( = f\left( t\right) \) ,就称 \( \left\{ {K}_{n}\right\} \) 是属于幂级数 \( f\left( t\right) \) 的乘法序列.
\( \mathbf{K} \) 亏格 ( \( K \) -genus) 庞特里亚金类的某种有理线性组合. 设 \( \left\{ {K}_{n}\right\} \) 是有理系数的多项式乘法序列, 若 \( {M}^{m} \) 的维数不被 4 整除,则定义 \( K \) 亏格 \( K\left\lbrack {M}^{m}\right\rbrack \) 等于零; 若 \( m = {4n} \) ,则定义为有理数
\[
{K}_{n}\left\lbrack {M}^{4n}\right\rbrack = \left\langle {{K}_{n}\left( {{p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{n}}\right) ,{\mu }_{4n}}\right\rangle ,
\]
\( \left\{ {K}_{n}\right\} \) 是乘法序列, \( {p}_{i} \) 表示 \( {M}^{m} \) 的切丛的第 \( i \) 个庞特里亚金数.
显然, \( K\left\lbrack {M}^{m}\right\rbrack \) 是 \( {M}^{m} \) 的庞特里亚金数的某种有理线性组合. 若乘法序列为 “符号差定理”中的 \( \left\{ {L}_{n}\right\} \) , 则 \( L\left\lbrack {M}^{n}\right\rbrack \) 就称为 \( L \) 亏格.
\( L \) 亏格 ( \( L \) -genus) 见 “ \( K \) 亏格”.
符号差 (signature) 紧定向流形的一种指标. 设 \( {M}^{m} \) 是一个紧定向流形,若维数不能被 4 整除,则 \( {M}^{m} \) 的符号差 \( \sigma \) 定义为零; 若 \( m = {4k} \) ,选择 \( {H}^{2k}\left( {{M}^{4k};Q}\right) \) 的基 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{r} \) ,使得对称矩阵
\[
\left\lbrack \left\langle {{a}_{i} \cup {a}_{j},\mu }\right\rangle \right\rbrack
\]
是对角阵,则 \( \sigma \left( {M}^{4k}\right) \) 是正对角元的数目减去负对角元的数目. 早期文献中有时也称 \( \sigma \) 为 \( M \) 的指标.
符号差函数有下列性质:
1. \( \sigma \left( {M + {M}^{\prime }}\right) = \sigma \left( M\right) + \sigma \left( {M}^{\prime }\right) \) .
2. \( \sigma \left( {M \times {M}^{\prime }}\right) = \sigma \left( M\right) \sigma \left( {M}^{\prime }\right) \) .
3. 若 \( M \) 是一个定向边缘,则 \( \sigma \left( M\right) = 0 \) .
符号差定理 (signature theorem) 紧定向流形的符号差等于 \( L \) 亏格的定理. 设 \( \left\{ {{L}_{k}\left( {{p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{k}}\right) }\right\} \) 是属于幂级数
\[
\frac{\sqrt{t}}{\tanh \sqrt{t}}
\]
\[
= 1 + \frac{1}{3}t - \frac{1}{45}{t}^{2} + \cdots + {\left( -1\right) }^{k - 1}\frac{{2}^{2k}{B}_{k}{t}^{k}}{\left( {2k}\right) !} + \cdots
\]
的多项式乘法序列,则任意光滑紧定向流形 \( {M}^{4k} \) 的符号差 \( \sigma \left( {M}^{4k}\right) \) 等于 \( L \) 亏格 \( L\left\lbrack {M}^{4k}\right\rbrack \) ,其中 \( {B}_{i} \) 表示第 \( i \) 个伯努利数 (参见《初等数论》同名条).
也可称这个定理为流形的指标定理或希策布鲁赫指标定理.
乘法示性类 (multiplicative characteristic class) 由乘法序列引入的一种上同调类. 设 \( \Lambda \) 是包含 \( 1/2 \) 的整环, \( \left\{ {K}_{n}\right\} \) 是系数在 \( \Lambda \) 中的乘法序列,对于实定向向量丛 \( \xi \) ,令
\[
{k}_{n}\left( \xi \right) = {K}_{n}\left( {{p}_{1}\left( \xi \right) ,{p}_{2}\left( \xi \right) ,\cdots ,{p}_{n}\left( \xi \right) }\right) .
\]
显然得到一个“示性类”序列,
\[
{k}_{n}\left( \xi \right) \in {H}^{4n}\left( {B;\Lambda }\right) ,
\]
它关于丛映射是自然的, 且满足乘法公式
\[
{k}_{n}\left( {\xi \oplus \eta }\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i + j = n}}{k}_{i}\left( \xi \right) {k}_{j}\left( \xi \right) ,
\]
\( {k}_{0}\left( \xi \right) = 1 \) . 称 \( {k}_{n}\left( \xi \right) \) 为乘法示性类.
组合庞特里亚金类 (combinatorial Pontriagin class) 庞特里亚金类的有理多项式. 设 \( {K}^{n} \) 是 \( n \) 维紧有理同调流形, \( {\sum }^{r} \) 是标准 \( r + 1 \) 维单形的边缘. 当 \( f : {K}^{n} \rightarrow {\sum }^{r} \) 是分片线性映射,且 \( n - r = {4i} \) ,对几乎全体 \( y \in {\sum }^{r},{f}^{-1}\left( y\right) \) 是一个 \( {4i} \) 维紧有理同调流形,给定了 \( {K}^{n} \) 的定向,则 \( {f}^{-1}\left( y\right) \) 有一个诱导定向,其符号差 \( \sigma \left( {{f}^{-1}\left( y\right) }\right) \) 与 \( y \) 无关,记为 \( \sigma \left( f\right) \) . 于是对 \( {4i} < \) \( \left( {n - 1}\right) /2 \) ,存在一个且仅有一个上同调类 \( {l}_{i} \in \) \( {H}^{4i}\left( {{K}^{n};Q}\right) \) ,满足
\[
\left\langle {{l}_{i} \cup {f}^{ * }\left( u\right) ,{\mu }_{n}}\right\rangle = \sigma \left( f\right) ,
\]
其中 \( f : {K}^{n} \rightarrow {\sum }^{n - {4i}} \) . 当 \( K \) 是 \( {M}^{n} \) 的剖分时,类 \( {l}_{i}\left( {M}^{n}\right) \) 等于 \( {M}^{n} \) 的切丛的希策布鲁赫类 \( {L}_{i}\left( {{p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{i}}\right) \) . 由于在 \( \left( {{p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{i}}\right) \) 中 \( {p}_{i} \) 的系数不为零,故由等式 \( {l}_{i} \) \( = {L}_{i}\left( {{p}_{1},\cdots ,{p}_{i}}\right) \) 中递推地解出庞特里亚金类 \( {p}_{i} \) 为 \( {l}_{1},\cdots ,{l}_{i} \) 的有理多项式. 例如
\[
{p}_{1} = 3{l}_{1},\;{p}_{2} = \left( {{45}{l}_{2} + 9{l}_{1}^{2}}\right) /7
\]
等. 上述的作法在组合流形上可行,因此,这样的 \( p \) 类 \( {p}_{i} \) 称为组合庞特里亚金类.
以前讲的庞特里亚金类, 其定义要依赖于纤维丛的微分结构. 因此组合定义是一个进步. 已经证明, 庞特里亚金类不是拓扑不变量, 而有理系数者是拓扑不变量.
示性类 (characteristic class) 示性类理论的基本概念. 施蒂费尔-惠特尼类、陈类、庞特里亚金类等统称为示性类. 施蒂费尔-惠特尼数、陈数、庞特里亚金数等总称为示性数.
示性数 (characteristic number) 见 “示性类”.
流形的示性类 (characteristic class of a manifold) 各种流形上的示性类. 微分流形或 (殆)复流形 \( M \) ,其切丛的示性类称为流形 \( M \) 的示性类.
取值于 \( Z/2 \) 的流形的施蒂费尔-惠特尼数及取整数值的流形的陈数与庞特里亚金数统称为流形的示性数.
流形的示性数 (characteristic number of a manifold) 见 “流形的示性类”.
## 层 论
层论 (sheaf theory) 提供从局部到整体的一个有力工具. 层论作为一个理论, 其基本内容是层系数上同调论, 这正好为流形上的整体分析提供了强有力的工具.
多复变函数论中著名的库辛问题 (库辛第一问题与库辛第二问题)是日本数学家冈洁利用了层系数的上同调论与全纯域给出解答的. 以层论为基础, 结合嘉当 (Cartan, H. ) 与冈洁关于全纯函数理想论的研究, 发展为凝聚层的概念, 利用凝聚层的理论, 嘉当与塞尔 (Serre, J. P. ) 得到施坦流形的基本定理 ——嘉当定理 A 与嘉当定理 B.
勒雷 (Leray, J. ) 1945 年发表的在战俘营中讲授代数拓扑的讲义中包含着层论的萌芽, 而在 1946 年的两篇短文中正式引进层、层的上同调和谱序列等概念, 接着从 1947 年起在法兰西学院系统讲授, 而于 1950 年详细发表.
嘉当在其讨论班 (1950-1951 年间) 发表了层论, 采纳了拉扎尔 (Lazard, M. ) 的建议重新定义了层的概念. 这就是希策布鲁赫 (Hirzebruch, F. E. P. ) 1956 年著作中采用的层 (德文 Gavbe), 原来勒雷意义下的层将其中闭集改为开集后被称为 Gar-bendaten. 在 1966 年的英文版中分别被译成为 sheaf 和 presheaf.
格罗腾迪克 (Grothendieck, A. ) 在 1957 年又重新定义层的概念, 并由哥德曼 (Godement, R. ) 的书广为传播. 预层概念与嘉当-拉扎尔的一样, 层定义为满足附加两条性质的预层, 并且嘉当-拉扎尔的层被称为平展空间 (法文 espace étalé, 英文 étalé space).
可以证明, 嘉当-拉扎尔的说法与格罗腾迪克的说法是等价的. 但由于这两种讲法已广泛流传, 便派生出陈述上的困难. 读者遇到时需弄清其定义方才不至误会. 本篇有关概念均按嘉当-拉扎尔的说法.
由于层论提供了整体分析研究的强有力的工具, 它在数学的诸多分支如多复变函数论、复流形、 解析几何及代数几何等均有广泛的应用.
预层 (presheaf) 一种与拓扑空间的开集族相联系的群与同态的族. 设 \( X \) 是以开集族 \( \mathcal{U} \) 为拓扑的拓扑空间,如果对于每个 \( U \in \mathcal{U} \) ,存在一个群 \( G\left( U\right) \) ,以及对于每一对 \( U, V \in \mathcal{U}, V \subset U \) ,存在一个群同态 \( {r}_{vu} : G\left( V\right) \rightarrow G\left( U\right) \) ,而且这些群与同态满足:
1. 若 \( U = \varnothing \) ,则 \( G\left( U\right) \) 为零群;
2. 对于每个 \( U \in \mathcal{U},{r}_{uu} \) 为恒等同态 id;
3. 对于 \( U, V, W \in \mathcal{U}, W \subset V \subset U \) ,有
\[
{r}_{uv}{r}_{vu} = {r}_{wu}
\]
则称这些群与同态之族为一个预层 |
2000_数学辞海（第3卷） | 173 | 发表了层论, 采纳了拉扎尔 (Lazard, M. ) 的建议重新定义了层的概念. 这就是希策布鲁赫 (Hirzebruch, F. E. P. ) 1956 年著作中采用的层 (德文 Gavbe), 原来勒雷意义下的层将其中闭集改为开集后被称为 Gar-bendaten. 在 1966 年的英文版中分别被译成为 sheaf 和 presheaf.
格罗腾迪克 (Grothendieck, A. ) 在 1957 年又重新定义层的概念, 并由哥德曼 (Godement, R. ) 的书广为传播. 预层概念与嘉当-拉扎尔的一样, 层定义为满足附加两条性质的预层, 并且嘉当-拉扎尔的层被称为平展空间 (法文 espace étalé, 英文 étalé space).
可以证明, 嘉当-拉扎尔的说法与格罗腾迪克的说法是等价的. 但由于这两种讲法已广泛流传, 便派生出陈述上的困难. 读者遇到时需弄清其定义方才不至误会. 本篇有关概念均按嘉当-拉扎尔的说法.
由于层论提供了整体分析研究的强有力的工具, 它在数学的诸多分支如多复变函数论、复流形、 解析几何及代数几何等均有广泛的应用.
预层 (presheaf) 一种与拓扑空间的开集族相联系的群与同态的族. 设 \( X \) 是以开集族 \( \mathcal{U} \) 为拓扑的拓扑空间,如果对于每个 \( U \in \mathcal{U} \) ,存在一个群 \( G\left( U\right) \) ,以及对于每一对 \( U, V \in \mathcal{U}, V \subset U \) ,存在一个群同态 \( {r}_{vu} : G\left( V\right) \rightarrow G\left( U\right) \) ,而且这些群与同态满足:
1. 若 \( U = \varnothing \) ,则 \( G\left( U\right) \) 为零群;
2. 对于每个 \( U \in \mathcal{U},{r}_{uu} \) 为恒等同态 id;
3. 对于 \( U, V, W \in \mathcal{U}, W \subset V \subset U \) ,有
\[
{r}_{uv}{r}_{vu} = {r}_{wu}
\]
则称这些群与同态之族为一个预层, 记为 \( \left\{ {G\left( U\right) ,{r}_{vu}}\right\} \) ,或简记为 \( G \) . 预层定义中的 \( G\left( U\right) \) 也可以为环或是模等.
层 (sheaf) 一种具有特殊结构的拓扑空间与映射的三元组 \( \left( {F,\pi, X}\right) \) . 设 \( F \) 与 \( X \) 为拓扑空间, \( \pi \) : \( F \rightarrow X \) 为局部同胚的连续映射,如果下列条件成立, 则称 \( \left( {F,\pi, X}\right) \) 是 \( X \) 上的一个群层, \( \pi \) 称为投影:
1. 对于每个 \( x \in X,{\pi }^{-1}\left( x\right) \) 是 \( F \) 的一个有群结构的子空间;
2. \( {\pi }^{-1}\left( x\right) \) 上的群运算在 \( F \) 的诱导拓扑之下是连续的.
此外上述定义中的群 \( {\pi }^{-1}\left( x\right) \) 也可以是环或是模等.
茎 (stalk) 层论的基本概念. 层的定义中的群 \( {\pi }^{-1}\left( x\right) \) 就称为 \( x \) 上的茎,记为 \( {F}_{x}\left( {x \in X}\right) \) .
层的截面 (section of sheaf)’ 具有某种条件的一种特定的连续映射. 设 \( \left( {F,\pi, X}\right) \) 是一个群层,一个连续映射 \( s : U \rightarrow F, U \subset X \) ,若 \( \pi \circ s = \mathrm{{id}} \) ,则称 \( s \) 为层在 \( U \) 上的一个截面. 令 \( F\left( U\right) \) 表示层在 \( U \) 上连续截面所形成的空间,则易知 \( F\left( U\right) \) 是一个群. 若 \( s : X \rightarrow F \) 满足 \( \pi \circ s = \mathrm{{id}} \) ,则称 \( s \) 为层的整体截面.
层同态 (sheaf homomorphism) 两类之间的映射诱导出的一个群同态. 设 \( \left( {F,\pi, X}\right) \) 与 \( \left( {{F}^{\prime },{\pi }^{\prime }}\right. \) , \( X) \) 是 \( X \) 上的两个群层,若连续映射 \( A : F \rightarrow {F}^{\prime } \) 满足 \( {\pi }^{\prime }A = \pi \) ,且对所有 \( x \in X \) ,由 \( A \) 在茎上诱导出的映射 \( {A}_{x} : {F}_{x} \rightarrow {F}_{x}{}^{\prime } \) 是群同态,则称 \( A \) 为一个层同态.
若层同态 \( A \) 是同胚,且 \( {A}^{-1} \) 也是层同态,则称 \( A \) 为层同构.
层同构(sheaf isomorphism) 见“层同态”.
子层 (subsheaf) 由子群关系对对应的层. 设 \( \left( {R,\pi, X}\right) \) 与 \( \left( {S,\eta, X}\right) \) 是 \( X \) 上的群层,若 \( R \) 是 \( S \) 的开子集, \( \eta \mid R = \pi \) ,且对所有的 \( x \in X,{R}_{x} = {\pi }^{-1}\left( x\right) \) 是 \( {S}_{x} \) \( = {\eta }^{-1}\left( x\right) \) 的子群,则称 \( \left( {R,\pi, X}\right) \) 是 \( \left( {S,\eta, X}\right) \) 的子层.
层的截面预层 (presheaf of sections of a sheaf) 由层的截面所构成的预层. 设 \( \left( {F,\pi, X}\right) \) 是一个群层, \( F\left( U\right) \) 表示在 \( U \subset X \) 上连续截面的空间,则它是一个群. 此外,对于每一对 \( U, V \subset X, V \subset U \) ,有一个群同态
\[
{\gamma }_{VU} : F\left( U\right) \rightarrow F\left( V\right) ,
\]
从而 \( \left\{ {F\left( U\right) ,{\gamma }_{VU}}\right\} \) 构成一个预层,称为层的截面预层.
相配层 (associated sheaf) 由一个预层通过一定的构造过程而得到的层. 设 \( \left\{ {G\left( U\right) ,{\gamma }_{VU}}\right\} \) 为 \( X \) 上的一个预层,下面的构造过程将得到一个层. \( {G}_{m}^{ * } \) 表示包含 \( m \in X \) 的 \( U \in X \) 上每个群 \( G\left( U\right) \) 的不相交的并. 当且仅当存在 \( m \in X \) 的一个邻域 \( W, W \subset V \cap \) \( U \) ,使得
\[
{\gamma }_{wv}f = {\gamma }_{wv}g\left( {f \in G\left( U\right), g \in G\left( V\right) }\right)
\]
时,就称 \( f \) 与 \( g \) 是等价的. 这就得到 \( {G}_{m}^{ * } \) 上一个等价关系. \( {G}_{m}^{ * } \) 元素的等价类集合记为 \( {G}_{m} \) . 如 \( m \in U \) ,设 \( {\gamma }_{m, U} : G\left( U\right) \rightarrow {G}_{m} \) 是一个自然射影,它把 \( G\left( U\right) \) 的每个元素映为其等价类. 不难验证, \( {G}_{m} \) 上可以定义一个群结构. 设
\[
G = \mathop{\bigcup }\limits_{{m \in X}}{G}_{m},
\]
\( \pi : G \rightarrow X,\pi \left( {G}_{m}\right) = m \) . 对于各个 \( f \in G\left( U\right) \) 及各个开集 \( U \subset X \) ,取 \( G \) 的拓扑基为 \( {O}_{f} = \left\{ {{\gamma }_{pU}f \mid p \in U}\right\} .\pi \) 是一个局部同胚,从而 \( \left( {G,\pi, X}\right) \) 是一个层, \( {G}_{m} \) 是层在 \( m \) 处的茎. 这样构造的层称为预层相配层,记为 \( \beta \left( p\right), p = \left\{ {{G}_{U},{\gamma }_{VU}}\right\} \) . 有的作者也称这个层是预层的层化.
常值层 (constant sheaf) 亦称平凡层, 一种特殊的层. 设 \( \Gamma \) 为具有离散拓扑的一个群,做直积 \( X \) \( \times \Gamma \) ,令 \( \pi : X \times \Gamma \rightarrow X,\pi \left( {x,\gamma }\right) = x \) ,则 \( \left( {X \times \Gamma ,\pi, X}\right) \) 称为常值层.
平凡层 (trivial sheaf) 即“常值层”.
亚纯函数的芽层 (sheaf of germs of meromorphic functions) 解析函数的芽环的商构成的芽层. 设 \( M \) 是具有拓扑 \( \mathcal{U} \) 的 \( m \) 维复流形,令 \( A\left( U\right) \) 表示 \( U \in \mathcal{U} \) 上 \( \mathbf{C} \) 值解析函数的环, \( {O}_{x} \) 表示在点 \( x \in M \) 解析函数的芽环, \( {\mu }_{x} \) 表示 \( {O}_{x} \) 的商域, \( \mu \) 表示 \( {\mu }_{x} \) 在 \( M \) 上不相交的并,则称 \( \mu \) 为 \( M \) 上亚纯函数的芽层.
复流形上的亚纯函数 (meromorphic function on complex manifold) 复流形上解析函数之商. 设 \( M \) 是复流形,映射 \( m : M \rightarrow \mu \) ,若:
1. 对所有的 \( x \in M, m\left( x\right) \in {M}_{x} \) ;
2. 对于每点 \( x \in M \) ,可以找到 \( x \) 的一个开邻域 \( U, f, g \in A\left( U\right) \) 使得
\[
m\left( y\right) = {f}_{y}/{g}_{y}\;\left( {y \in U}\right) ;
\]
则称映射 \( m \) 为 \( M \) 上的一个亚纯函数.
其中的记号 \( A\left( U\right) ,\mu ,{\mu }_{x} \) 参见 “亚纯函数的芽层”.
\( \mathbf{O} \) 模层 (sheaf of \( O \) -modules) 亦称解析层,全纯向量丛的全纯截面的芽层. 设 \( E \) 是复流形上的一个全纯向量丛, \( \underline{E} \) 是与 \( E \) 的全纯截面的预层相联系的 \( E \) 上的全纯截面的芽层,对于每个 \( x \in X,{\underline{E}}_{x} \) 是一个 \( {O}_{x} \) 模,称 \( E \) 为 \( O \) 模层.
解析层 (analytic sheaf) 即 “ \( O \) 模层”.
丛截面的芽层 (sheaf of germ of sections of the bundle) 微分形式丛的截面芽层. 设 \( X \) 为一个微分流形, \( {C}^{p}\left( {p \geq 0}\right) \) 表示复 \( p \) 形式的丛 \( {\Lambda }_{0}^{p}{T}^{ * }\left( X\right) \) 的 \( {C}^{\infty } \) 截面的芽层. 设 \( X \) 为一个复流形, \( {C}^{p, q}\left( {p, q \geq 0}\right) \) 表示复 \( \left( {p, q}\right) \) 形式的丛 \( {\Lambda }^{p, q}{\left( X\right) }^{\prime } \) 的 \( {C}^{\infty } \) 截面的芽层.
完全预层 (complete presheaf) 符合某些条件的预层. 设 \( \left\{ {G\left( U\right) ,{\gamma }_{VU}}\right\} \) 是 \( X \) 上的预层,如果对于任意开集 \( U \subset X \) ,当它可以表示为 \( X \) 上开集的一个并 \( \mathop{\bigcup }\limits_{\alpha }{U}_{\alpha } \) 时,下述条件成立,则称这个预层为完全预层:
1. 若 \( f, g \in G\left( U\right) \) 使得 \( {\gamma }_{{U}_{a}U}f = {\gamma }_{{U}_{a}U}g \) 对所有 \( \alpha \) 成立,则 \( f = g \) ;
2. 若对每个 \( \alpha \) ,存在一个元素 \( {f}_{\alpha } \in G\left( {U}_{\alpha }\right) \) ,使对所有的 \( \alpha \) 与 \( \beta \) ,有
\[
{\gamma }_{{U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta },{U}_{\alpha }}{f}_{\alpha } = {\gamma }_{{U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta },{U}_{\beta }}{f}_{\beta };
\]
则存在一个 \( f \in G\left( U\right) \) ,使得 \( {f}_{\alpha } = {\gamma }_{{U}_{\alpha }, U}f\left( {\forall \alpha }\right) \) .
若 \( P \) 是一个完全预层,则 \( \alpha \left( {\beta \left( P\right) }\right) \) 标准地同构于 \( P \) .
软层 (soft sheaf) 一种特殊的层. 一个层 \( \left( {F,\pi, X}\right) \) ,若对 \( X \) 的所有闭子集 \( K \) 和截面 \( s \in F\left( K\right), s \) 可扩张为 \( X \) 上的一个连续截面,即自然映射 \( F\left( X\right) \rightarrow F\left( K\right) \) 对 \( X \) 的所有闭子集 \( K \) 是满的, 则称 \( \left( {F,\pi, X}\right) \) 为软层.
精细层 (fine sheaf) 容许有单位分解的层. 若层 \( \left( {F,\pi, X}\right) \) 容许从属于 \( X \) 的局部有限开覆盖 \( F \) 的恒等同态的单位分解,即给定 \( X \) 的局部有限开覆盖 \( \left\{ {U}_{i}\right\} \) ,存在层同态 \( {\eta }_{i} : F \rightarrow F \) 满足条件:
1. \( X \) 的包含 \( {U}_{i} \) 的某个闭子集之外, \( {\eta }_{i} = 0 \) ;
2. \( \mathop{\sum }\limits_{{i \in I}}{\eta }_{i} = I, I \) 是 \( F \) 的恒等同态;
则称层 \( \left( {F,\pi, X}\right) \) 为一个精细层. 每个精细层是软层.
层的分解 (resolution of sheaf) 层的长正合列. 层 \( \left( {F,\pi, X}\right) \) 的分解是层的长正合列
\[
0 \rightarrow F \rightarrow {F}_{0}\overset{{\mathrm{d}}_{0}}{ \rightarrow }{F}_{1}\overset{{\mathrm{d}}_{1}}{ \rightarrow }{F}_{2}\overset{{\mathrm{d}}_{2}}{ \rightarrow }\cdots ,
\]
于此,若每个 \( {F}_{i} \) 是软 (或精细) 的,则称相应的层的分解是软 (或精细) 的.
层的标准分解 (canonical resolution of sheaf) 一种特殊的层分解. 层 \( F \) 的标准分解为层的长正合列
\[
0 \rightarrow F\overset{i}{ \rightarrow }{F}_{0}\overset{{\mathrm{d}}_{0}}{ \rightarrow }{F}_{1}\overset{{\mathrm{d}}_{1}}{ \rightarrow }{F}_{2}\overset{{\mathrm{d}}_{2}}{ \rightarrow }\cdots ,
\]
其中 \( i \) 为包含映射.
层系数的上同调群 (cohomology group with coefficients in sheaf) 由层的标准分解构成的复形所产生的上同调群. 设 \( F \) 为 \( X \) 上的层,与 \( F \) 的标准分解
\[
0 \rightarrow F\overset{i}{ \rightarrow }{F}_{0}\overset{{\mathrm{d}}_{0}}{ \rightarrow }{F}_{1}\overset{{\mathrm{d}}_{1}}{ \rightarrow }\cdots
\]
相联系的复形为
\[
0 \rightarrow F\left( X\right) \overset{{i}^{ * }}{ \rightarrow }{F}_{0}\left( X\right) \overset{{\mathrm{d}}_{0}^{ * }}{ \rightarrow }{F}_{1}\left( X\right) \overset{{\mathrm{d}}_{1}^{ * }}{ \rightarrow }\cdots .
\]
令
\[
{H}^{0}\left( {X, F}\right) = \operatorname{Ker}\left( {\mathrm{d}}_{0}^{ * }\right) ,
\]
\[
{H}^{p}\left( {X, F}\right) = \operatorname{Ker}\left( {\mathrm{d}}_{p}^{ * }\right) /\operatorname{Im}\left( {\mathrm{d}}_{p - 1}^{ * }\right) \left( {p > 0}\right) ,
\]
每个 \( {H}^{p}\left( {X, F}\right) \) 都是一个阿贝尔群. 称 \( {H}^{p}\left( {X, F}\right) \) 为系数在层 \( F \) 中的 \( X \) 的 \( p \) 维层上同调群.
\( X \) 的层上同调群的性质:
1. 给定 \( X \) 的层 \( F \) ,则:
1) \( {H}^{0}\left( {X, F}\right) \cong F\left( X\right) \) ;
2) 对于 \( p > 0 \) ,若 \( F \) 是精细的,则 \( {H}^{p}\left( {X, F}\right) = 0 \) .
2. 设 \( a : F \rightarrow G \) 是 \( X \) 上两个层间的层同态,则对 \( p > 0 \) ,存在一个诱导同态
\[
{a}^{p} : {H}^{p}\left( {X, F}\right) \rightarrow {H}^{p}\left( {X, G}\right)
\]
满足:
1) \( {a}^{0} : {H}^{0}\left( {X, F}\right) \rightarrow {H}^{0}\left( {X, G}\right) \) 恰是 \( a \) 诱导的在截面上的映射;
2) 若 \( a : F \rightarrow F \) 为恒等同态,则 \( {a}^{p}\left( {p \geq 0}\right) \) 也是恒等同态;
3) 若 \( a : F \rightarrow G, b : G \rightarrow H \) 是 \( X \) 上层的同态,则对于 \( p \geq 0 \) ,有
\[
{\left( ba\right) }^{p} = {b}^{p}{a}^{p} : {H}^{p}\left( {X, F}\right) \rightarrow {H}^{p}\left( {X, H}\right) .
\]
3. 若 \( 0 \rightarrow F\overset{a}{ \rightarrow }G\overset{b}{ \rightarrow }H \rightarrow 0 \) 是 \( X \) 上层的短正合列, 则对 \( p \geq 0 \) ,存在相应的同态 \( \delta : {H}^{p}\left( {X, H}\right) \rightarrow \) \( {H}^{p + 1}\ |
2000_数学辞海（第3卷） | 174 | X \) 的 \( p \) 维层上同调群.
\( X \) 的层上同调群的性质:
1. 给定 \( X \) 的层 \( F \) ,则:
1) \( {H}^{0}\left( {X, F}\right) \cong F\left( X\right) \) ;
2) 对于 \( p > 0 \) ,若 \( F \) 是精细的,则 \( {H}^{p}\left( {X, F}\right) = 0 \) .
2. 设 \( a : F \rightarrow G \) 是 \( X \) 上两个层间的层同态,则对 \( p > 0 \) ,存在一个诱导同态
\[
{a}^{p} : {H}^{p}\left( {X, F}\right) \rightarrow {H}^{p}\left( {X, G}\right)
\]
满足:
1) \( {a}^{0} : {H}^{0}\left( {X, F}\right) \rightarrow {H}^{0}\left( {X, G}\right) \) 恰是 \( a \) 诱导的在截面上的映射;
2) 若 \( a : F \rightarrow F \) 为恒等同态,则 \( {a}^{p}\left( {p \geq 0}\right) \) 也是恒等同态;
3) 若 \( a : F \rightarrow G, b : G \rightarrow H \) 是 \( X \) 上层的同态,则对于 \( p \geq 0 \) ,有
\[
{\left( ba\right) }^{p} = {b}^{p}{a}^{p} : {H}^{p}\left( {X, F}\right) \rightarrow {H}^{p}\left( {X, H}\right) .
\]
3. 若 \( 0 \rightarrow F\overset{a}{ \rightarrow }G\overset{b}{ \rightarrow }H \rightarrow 0 \) 是 \( X \) 上层的短正合列, 则对 \( p \geq 0 \) ,存在相应的同态 \( \delta : {H}^{p}\left( {X, H}\right) \rightarrow \) \( {H}^{p + 1}\left( {X, F}\right) \) 满足:
1) 上同调列 \( 0 \rightarrow {H}^{0}\left( {X, F}\right) \overset{{a}^{0}}{ \rightarrow }{H}^{0}\left( {X, G}\right) \overset{{b}^{0}}{ \rightarrow } \) \( {H}^{0}\left( {X, H}\right) \overset{\delta }{ \rightarrow }{H}^{1}\left( {X, F}\right) \overset{{a}_{1}}{ \rightarrow }\cdots \) 是正合的;
2) 给定 \( X \) 上层的短正合列的交换图:
相应的上同调图 (见“铎尔博尔复形”图)是交换的.
德拉姆复形 (de Rham complex) \( C \) 模序列与外微分运算组成的复形. 设 \( X \) 是一个 \( n \) 维微分流形,德拉姆复形是下述 \( \mathrm{C} \) 模序列与外微分构成
\[
0 \rightarrow \mathrm{C}\overset{i}{ \rightarrow }{\underline{C}}^{0}\overset{\mathrm{d}}{ \rightarrow }{\underline{C}}^{1}\overset{\mathrm{d}}{ \rightarrow }\cdots \overset{\mathrm{d}}{ \rightarrow }{\underline{C}}^{n - 1}\overset{\mathrm{d}}{ \rightarrow }{\underline{C}}^{n} \rightarrow 0.
\]
铎尔博尔复形 (Dolbeault complexes) 由复流形的 \( C \) 模序列与算子 \( \partial \) 与 \( \bar{\partial } \) 构成的复形. 设 \( X \) 是 \( n \) 维复流形,对于 \( p, q \geq 0 \) ,有下述铎尔博尔复形
\[
0 \rightarrow {\Omega }^{p}\overset{i}{ \rightarrow }{\underline{C}}^{p,0}\overset{\bar{\partial }}{ \rightarrow }{\underline{C}}^{p,1}\overset{\bar{\partial }}{ \rightarrow }\cdots \overset{\bar{\partial }}{ \rightarrow }{\underline{C}}^{p, n - 1}\overset{\bar{\partial }}{ \rightarrow }{\underline{C}}^{p, n} \rightarrow 0,
\]
\[
0 \rightarrow {\bar{\Omega }}^{p}\overset{i}{ \rightarrow }{\underline{C}}^{0, q}\overset{\partial }{ \rightarrow }{\underline{C}}^{1, q}\overset{\partial }{ \rightarrow }\cdots \overset{\partial }{ \rightarrow }{\underline{C}}^{n - 1, q}\overset{\partial }{ \rightarrow }{\underline{C}}^{n, q} \rightarrow 0,
\]
其中 \( {\bar{\Omega }}^{p} \) 表示反全纯丛 \( {\Lambda }^{0, q}{X}^{\prime } \) 的反全纯截面的芽层. 
德拉姆上同调群 (de Rham cohomology group) 由德拉姆复形产生的上同调群. 设 \( X \) 是 \( n \) 维微分流形,
\[
0 \rightarrow \mathrm{C} \rightarrow {\underline{C}}^{0}\overset{\mathrm{d}}{ \rightarrow }{\underline{C}}^{1}\overset{\mathrm{d}}{ \rightarrow }\cdots \overset{\mathrm{d}}{ \rightarrow }{\underline{C}}^{n}
\]
是 \( X \) 的德拉姆复形. 层 \( {C}^{p} \) 都是精细层,德拉姆复形是常数层 \( \mathrm{C} \) 的一个精细分解,设
\[
{H}_{DR}^{0}\left( {X,\mathrm{C}}\right) = \operatorname{Ker}d : {C}^{0}\left( X\right) \rightarrow {C}^{\prime }\left( X\right) ,
\]
\[
{H}_{DR}^{p}\left( {X,\mathbf{C}}\right) = \frac{\operatorname{Ker}d : {C}^{p}\left( X\right) \rightarrow {C}^{p + 1}\left( X\right) }{\operatorname{Im}d : {C}^{p - 1}\left( X\right) \rightarrow {C}^{p}\left( X\right) }\left( {p \geq 1}\right) ,
\]
称 \( {H}^{p}\left( {X,\mathrm{C}}\right) \left( {p \geq 0}\right) \) 为 \( p \) 维德拉姆上同调群.
铎尔博尔同构(Dolbeault isomorphism) 由铎尔博尔复形产生的上同调群与由算子 \( \partial \) 核的等价类所产生的群同构. 设 \( X \) 是 \( n \) 维复流形,铎尔博尔复形为
\[
0 \rightarrow {\Omega }^{p} \rightarrow {\underline{C}}^{p,0}\overset{\bar{\partial }}{ \rightarrow }{\underline{C}}^{p,1}\overset{\bar{\partial }}{ \rightarrow }\cdots \overset{\bar{\partial }}{ \rightarrow }{\underline{C}}^{p, n} \rightarrow 0,
\]
层 \( {C}^{p, q}\left( {p, q \geq 0}\right) \) 是精细层,因而有铎尔博尔同构
\[
{H}^{q}\left( {X,{\Omega }^{p}}\right)
\]
\[
\cong \frac{\operatorname{Ker}\bar{\partial } : {C}^{p, q}\left( X\right) \rightarrow {C}^{p, q + 1}\left( X\right) }{\operatorname{Im}\bar{\partial } : {C}^{p, q - 1}\left( X\right) \rightarrow {C}^{p, q}\left( X\right) }\left( {q \geq 0}\right) .
\]
凝聚层 (coherent sheaf) 与复流形相关的关系层. 对于复流形 \( M \) 上的解析层 \( F \) ,若:
1. \( F \) 具有有限型,即 \( M \) 中每点 \( x \) 可以找到一个开邻域和有限个截面 \( {s}_{1},{s}_{2},\cdots ,{s}_{k} \in F\left( U\right) \) ,使得对每个 \( y \in U,\left\{ {{s}_{1, y},{s}_{2, y},\cdots ,{s}_{k, y}}\right\} \) 生成 \( {F}_{y} \) 作为一个 \( {O}_{y} \) 模.
2. 给定 \( M \) 的任意的开子集和截面 \( {f}_{1},{f}_{2},\cdots ,{f}_{p} \) \( \in F\left( U\right), f = \left( {{f}_{1},{f}_{2},\cdots ,{f}_{p}}\right) : {O}_{U} \rightarrow {F}_{U} \) 是层同态,定义为
\[
f\left( {{g}_{1},{g}_{2},\cdots ,{g}_{p}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{p}{g}_{j}{f}_{j, z},
\]
\[
\left( {{g}_{1},{g}_{2},\cdots ,{g}_{p}}\right) \in {O}_{z}^{p}\;\left( {z \in U}\right) .
\]
\( f \) 的核是 \( O{f}_{U} \) 的子层 \( R\left( {{f}_{1},{f}_{2},\cdots ,{f}_{p}}\right) \) ,它被称为在 \( {f}_{1},{f}_{2},\cdots ,{f}_{p} \) 之间的关系层. 若关系层 \( R\left( {{f}_{1},{f}_{2},\cdots }\right. \) , \( \left. {f}_{p}\right) \) 具有有限型,则称 \( F \) 为凝聚层.
凝聚层的性质有:
1. 具有有限型的一个凝聚层的每个解析子层是凝聚层.
2. 设 \( 0 \rightarrow F\overset{a}{ \rightarrow }G\overset{b}{ \rightarrow }H \rightarrow 0 \) 是解析层的短正合列, 若 \( F, G, H \) 中任两个是凝聚层,则第三个也是凝聚层.
3. 凝聚层的有限族的直和是凝聚层.
4. 若 \( a : F \rightarrow G \) 是凝聚层的一个同态,则 \( \operatorname{Ker}\left( a\right) \) , \( \operatorname{Im}\left( a\right) ,\operatorname{Coker}\left( a\right) \) 是凝聚层.
5. 若 \( F, G \) 是凝聚层 \( H \) 的凝聚子层,则层 \( F \) \( + G, F \cup G \) 是凝聚层.
6. 若 \( F, G \) 是凝聚层,则 \( F{ \otimes }_{o}G \) 是凝聚层.
嘉当定理 A (Cartan theorem A) 以凝聚层为系数的上同调群的性质的定理. 该定理断言: 若 \( F \) 是施坦流形 \( M \) 上的一个凝聚层,则给定 \( x \in M \) ,可以找到
\[
{s}_{1},{s}_{2},\cdots ,{s}_{p} \in {H}^{0}\left( {M, F}\right) = F\left( M\right) ,
\]
使得 \( {s}_{1, x},{s}_{2, x},\cdots ,{s}_{p, x} \) 生成 \( {F}_{x} \) 作为一个 \( {O}_{x} \) -模.
嘉当定理 B(Cartan theorem B) 以凝聚层为系数上同调群为零的定理. 该定理断言: 若 \( F \) 是施坦流形 \( M \) 上的一个凝聚层,则
\[
{H}^{q}\left( {M, F}\right) = 0\;\left( {q \geq 1}\right) .
\]
弗雷歇层 (Fréchet sheaf) 复流形上一种特殊的 \( O \) 模层. 设 \( F \) 是复流形 \( M \) 上的 \( O \) 模层,若:
1. 对 \( M \) 的每个开子集 \( U, F\left( U\right) \) 是一个弗雷歇空间;
2. 限制映射 \( {\gamma }_{VU} : F\left( U\right) \rightarrow F\left( V\right) \) 都是连续的,
\[
V \subset U
\]
则称 \( F \) 为弗雷歇层.
嘉当-塞尔有限性定理 (finiteness theorem of Cartan-Serre）复流形上的凝聚层为系数的上同调群的维数为有限的定理. 设 \( F \) 是紧复流形 \( M \) 上的凝聚层, 则
\[
{\dim }_{\mathrm{C}}{H}^{q}\left( {M, F}\right) < + \infty \left( {q \geq 0}\right) .
\]
格劳尔特有限性定理 (finiteness theorem of Grauert) 复流形上严格拟凸域上以凝聚层为系数的上同调群维数为有限的定理. 若 \( M \) 是复流形 \( \widehat{M} \) 中的一个严格列维拟凸域,则对于 \( \widehat{M} \) 上任意凝聚层 \( F \) ,均有
\[
{\dim }_{\mathrm{c}}{H}^{p}\left( {M, F}\right) < + \infty \left( {p \geq 1}\right) .
\]
塞尔定理 (Serre theorem) 复射影空间以其凝聚层为系数的上同调群的性质. 设 \( F \) 是复射影空间 \( {P}^{n}\left( \mathrm{C}\right) \) 上的凝聚层,则存在 \( {m}_{0} = {m}_{0}\left( F\right) \in \mathbf{Z} \) ,使得:
1. 对于每个 \( z \in {P}^{n}\left( \mathrm{C}\right) ,{H}^{0}\left( {{P}^{n}\left( \mathrm{C}\right), F\left( m\right) }\right) \) 生成 \( F{\left( m\right) }_{z} \) 作为一个 \( {G}_{z} \) 模 \( \left( {m \geq {m}_{0}}\right) \) .
2. 对 \( m \geq {m}_{0},{H}^{p}\left( {{P}^{n}\left( \mathrm{C}\right), F\left( m\right) }\right) = 0\left( {p \geq 1}\right) \) .
塞尔对偶定理 (Serre duality theorem) 复流形上全纯向量丛与对偶向量丛的上同调群同构的定理. 设 \( M \) 是 \( m \) 维紧复流形, \( E \) 是 \( M \) 上的全纯向量丛, \( {E}^{ * } \) 为 \( E \) 的对偶向量丛,则
\[
{H}^{p}\left( {M,{\Omega }^{q}\left( E\right) }\right) \cong {H}^{m - p}\left( {M,{\Omega }^{m - q}\left( {E}^{ * }\right) }\right) .
\]
格劳尔特上同调致零的定理 (cohomology vanishing theorem of Grauert) 关于紧复流形的凝聚层为系数的上同调群为零的定理. 设 \( E \) 是紧复流形 \( M \) 上的弱正向量丛,则对 \( M \) 上任意凝聚层 \( F \) ,存在 \( {m}_{0} = {m}_{0}\left( F\right) \) ,使得
\[
{H}^{p}\left( {M,{F}^{\left( m\right) }\left( E\right) }\right) = 0\;\left( {p \geq 1, m \geq {m}_{0}}\right) .
\]
## 流形上的微分算子
流形上微分算子理论 (theory of differential operators on manifold) 流形上的分析的一个分支, 它研究流形上椭圆微分算子及拟微分算子的阿蒂亚-辛格指标定理及其应用.
设 \( M \) 是紧可定向流形, \( E, F \) 是 \( M \) 上的 \( {C}^{\infty } \) 复向量丛,线性映射 \( P : {C}^{\infty }\left( E\right) \rightarrow {C}^{\infty }\left( F\right) \) ,其中 \( {C}^{\infty }\left( E\right) \) 与 \( {C}^{\infty }\left( F\right) \) 分别是 \( E \) 与 \( F \) 的 \( {C}^{\infty } \) 截面构成的复向量空间,若在局部坐标下 \( P \) 表示为向量微分算子,则称 \( P \) 为 \( M \) 上的线性微分算子. 类似地可以定义 \( M \) 上的拟微分算子. 对于这两种算子, 可以定义丛同态
\[
\sigma \left( P\right) : {\pi }^{ * }\left( E\right) \rightarrow {\pi }^{ * }\left( F\right) ,
\]
\( \sigma \left( P\right) \) 是算子 \( P \) 的象征. 若象征是同构的话,微分算子 (或拟微分算子) \( P \) 就是椭圆算子. 对于椭圆算子 \( P \) ,阿蒂亚-辛格指标定理指出: 椭圆算子的指标
\[
\operatorname{ind}\left( P\right) = {\left( -1\right) }^{n}{\alpha }^{n + m}\left( \left\lbrack {\sigma \left( P\right) \boxtimes {b}^{m}}\right\rbrack \right) ,
\]
其中 \( {\alpha }^{n + m} \) 是博特同构的迭代, \( b \) 是贝蒂类, \( \boxtimes \) 是外积. 这个定理有三种证明方法: 配边证明、嵌入证明和热方程证明.
阿蒂亚-辛格定理有极广泛的应用, 能包容高斯 -波涅公式、希策布鲁赫符号差定理、黎曼-罗赫-希策布鲁赫定理; 推出莱夫谢茨公式及更广泛的阿蒂亚- 博特-莱夫谢茨数公式; 能应用于有边界的紧流形的椭圆型边值问题; 还可应用于规范场理论等.
指标定理是阿蒂亚 (Atiyah, M. F. ) 与辛格 (Singer, I. M. ) 于 1963 年的一篇合作论文中首先发表的, 继而于 1968 年阿蒂亚和辛格又给出了指标定理的上同调形式. 阿蒂亚-辛格指标定理是分析学与拓扑学结合的范例.
微分算子 (differential operator) 流形的向量丛之间的线性映射, 在局部坐标下为微分算子. 设 \( M \) 为紧可定向 \( n \) 维光滑流形, \( E, F \) 是 \( M \) 上的 \( {C}^{\infty } \) 复向量丛. \( {C}^{\infty }\left( E\right) \) 与 \( {C}^{\infty }\left( F\right) \) 分别表示 \( E \) 与 \( F \) 的 \( {C}^{\infty } \) 截面所构成的复向量空间. 线性映射 \( P : {C}^{\infty }\left( E\right) \) \( \rightarrow {C}^{\infty }\left( F\right) \) ,若在局部坐标系下可以表示为向量微分算子,则称 \( P \) 为线性微分算子,而且这样的 \( P \) 若不出现高于 \( k + 1 \) 阶的导数,则称为从 \( E \) 到 \( F \) 的 \( k \) 阶微分算子,记为 \( P \in {\operatorname{Diff}}_{k}\left( {E, F}\right) \) (参见本卷《泛函分析》同名条).
象征 (symbol) 一种由微分算 |
2000_数学辞海（第3卷） | 175 | brack {\sigma \left( P\right) \boxtimes {b}^{m}}\right\rbrack \right) ,
\]
其中 \( {\alpha }^{n + m} \) 是博特同构的迭代, \( b \) 是贝蒂类, \( \boxtimes \) 是外积. 这个定理有三种证明方法: 配边证明、嵌入证明和热方程证明.
阿蒂亚-辛格定理有极广泛的应用, 能包容高斯 -波涅公式、希策布鲁赫符号差定理、黎曼-罗赫-希策布鲁赫定理; 推出莱夫谢茨公式及更广泛的阿蒂亚- 博特-莱夫谢茨数公式; 能应用于有边界的紧流形的椭圆型边值问题; 还可应用于规范场理论等.
指标定理是阿蒂亚 (Atiyah, M. F. ) 与辛格 (Singer, I. M. ) 于 1963 年的一篇合作论文中首先发表的, 继而于 1968 年阿蒂亚和辛格又给出了指标定理的上同调形式. 阿蒂亚-辛格指标定理是分析学与拓扑学结合的范例.
微分算子 (differential operator) 流形的向量丛之间的线性映射, 在局部坐标下为微分算子. 设 \( M \) 为紧可定向 \( n \) 维光滑流形, \( E, F \) 是 \( M \) 上的 \( {C}^{\infty } \) 复向量丛. \( {C}^{\infty }\left( E\right) \) 与 \( {C}^{\infty }\left( F\right) \) 分别表示 \( E \) 与 \( F \) 的 \( {C}^{\infty } \) 截面所构成的复向量空间. 线性映射 \( P : {C}^{\infty }\left( E\right) \) \( \rightarrow {C}^{\infty }\left( F\right) \) ,若在局部坐标系下可以表示为向量微分算子,则称 \( P \) 为线性微分算子,而且这样的 \( P \) 若不出现高于 \( k + 1 \) 阶的导数,则称为从 \( E \) 到 \( F \) 的 \( k \) 阶微分算子,记为 \( P \in {\operatorname{Diff}}_{k}\left( {E, F}\right) \) (参见本卷《泛函分析》同名条).
象征 (symbol) 一种由微分算子确定的丛同态. 设 \( {T}^{ * }\left( M\right) \) 为 \( M \) 的余切丛, \( {T}^{\prime }\left( M\right) \) 是丛 \( {T}^{ * }\left( M\right) \) 挖去零截面,射影 \( \pi : {T}^{\prime }\left( M\right) \rightarrow M \) 导出的 \( {\pi }^{ * }\left( E\right) \) , \( {\pi }^{ * }\left( F\right) \) 是丛拉回到 \( {T}^{\prime }\left( M\right) \) ,有丛同态 \( \sigma \left( P\right) : {\pi }^{ * }\left( E\right) \rightarrow \) \( {\pi }^{ * }\left( F\right) \) . 这就是微分算子 \( P \) 的象征 (参见本卷《泛函分析》同名条).
由 \( \sigma \left( P\right) \) 的定义得到一个映射 \( \sigma : {\operatorname{Diff}}_{k}\left( {E, F}\right) \) \( \rightarrow {\operatorname{Smbl}}_{k}\left( {E, F}\right) \) . 而 \( {\operatorname{Smbl}}_{k}\left( {E, F}\right) = \left\{ {\sigma \in \operatorname{Hom}\left( {{\pi }^{ * }E}\right. }\right. \) , \( \left. {{\pi }^{ * }F}\right) \mid \sigma \left( {x,{\lambda }_{v}}\right) = {\lambda }^{k}\sigma \left( {x, v}\right) \) ,对所有的 \( \lambda > 0,\left( {x, v}\right) \) \( \left. { \in {T}^{\prime }\left( M\right) }\right\} \) .
象征有下述性质:
1. 向量空间列
\[
0 \rightarrow {\operatorname{Diff}}_{k - 1}\left( {E, F}\right) \overset{j}{ \rightarrow }{\operatorname{Diff}}_{k}\left( {E, F}\right) \overset{\sigma }{ \rightarrow }{\operatorname{Smbl}}_{k}\left( {E, F}\right)
\]
是正合列,其中 \( j \) 是一个自然包含映射.
2. 若 \( P \in {\operatorname{Diff}}_{k}\left( {E, F}\right), Q \in {\operatorname{Diff}}_{j}\left( {F, G}\right) \) ,则算子 \( {QP} \in {\operatorname{Diff}}_{k + j}\left( {E, G}\right) \) 且 \( \sigma \left( {QP}\right) = \sigma \left( Q\right) \sigma \left( P\right) \) .
3. 对于每个 \( P \in {\operatorname{Diff}}_{k}\left( {E, F}\right) \) ,存在一个伴随微分算子 \( {P}^{ * } \in {\operatorname{Diff}}_{k}\left( {F, E}\right) \) ,使得 \( \sigma \left( {P}^{ * }\right) = \sigma {\left( P\right) }^{ * } \) ,其中 \( \sigma {\left( P\right) }^{ * } : {\pi }^{ * }\left( F\right) \rightarrow {\pi }^{ * }\left( E\right) \) 是逐点伴随于 \( \sigma \left( P\right) \) 的同态.
\( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的拟微分算子 (pseudo-differential operator in \( {\mathrm{R}}^{n} \) ) 与奇异积分算子相关的 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中微分算子的推广. 在开子集 \( U \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 上,局部形式为
\[
P\left( u\right) \left( x\right) = \int {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\langle x,\xi \rangle }p\left( {x,\xi }\right) \widehat{u}\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi
\]
的算子 \( P \) 称为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的拟微分算子,其中 \( p \) 是算子的 “振幅”,而 \( \langle x,\xi \rangle = {x}_{1}{\xi }_{1} + {x}_{2}{\xi }_{2} + \cdots + {x}_{n}{\xi }_{n} \) 是它的 “相函数”,
\[
\widehat{u}\left( x\right) = \int {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\langle x,\xi \rangle }u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi
\]
是 \( u \) 的傅里叶变换, \( u \in {C}_{0}^{\infty }\left( U\right) \) (即 \( u \in {C}^{\infty }\left( U\right) \) ,且有紧支集). 算子 \( P \) 的象征为 \( p\left( {x,\xi }\right) \) .
拟微分算子是微分算子和奇异积分算子的一种自然推广, 它产生的原始动机之一是为证阿蒂亚-辛格指标定理. 最早对此做系统研究的是科恩 (Kohn, J. J. ) 和尼伦伯格 (Nirenberg, L. ) (1965), 稍后有赫尔曼德尔 (Hormander, L. V. ) 的实质性工作, 才使得在奇异积分算子理论中, 避免了对奇核的繁杂处理.
\( {\mathrm{R}}^{n} \) 中标准拟微分算子 (canonical pseudo-differential operator in \( {\mathrm{R}}^{n} \) ) 在局部坐标下满足某些条件的拟微分算子. 在开子集 \( U \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 上局部形式为
\[
\left( {Pu}\right) \left( x\right) = {\int }_{{\mathrm{R}}^{n}}{e}^{\mathrm{i}\left( {x,\xi }\right) }p\left( {x,\xi }\right) \widehat{u}\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi
\]
\[
\left( {x \in U, u \in {C}_{0}^{\infty }\left( U\right) }\right) \text{.}
\]
若振幅 \( p \in {C}^{\infty }\left( {U \times {\mathrm{R}}^{n}}\right) \) 满足下述渐近增长条件 (当 \( \xi \) \( \rightarrow \infty ) \) : 对每个紧子集 \( K \subset U \) 和多重指标 \( \alpha = \left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2}}\right. \) , \( \left. {\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) ,\beta = \left( {{\beta }_{1},{\beta }_{2},\cdots ,{\beta }_{n}}\right) \in {Z}_{ + }^{n} \) ,存在常数 \( C \in \mathrm{R} \) ,使得对所有的 \( x \in K \) 和 \( \xi \in {\mathrm{R}}^{n} \) ,有
\[
\left| {{D}_{x}^{\beta }{D}_{\xi }^{\alpha }p\left( {x,\xi }\right) }\right| \leq C{\left( 1 + \left| \xi \right| \right) }^{k - \left| \alpha \right| },
\]
则称 \( P \) 是 \( k \in \mathbf{Z} \) 阶标准拟微分算子.
每个标准拟微分算子 \( P \) 实质是一个线性映射
\[
P : {C}_{0}^{\infty }\left( U\right) \rightarrow {C}^{\infty }\left( U\right) .
\]
每个标准拟微分算子 \( P \) 可以写成积分算子
\[
\left( {Pu}\right) \left( x\right) = {\int }_{U}K\left( {x, x - y}\right) u\left( y\right) \mathrm{d}y,
\]
或
\[
\left( {Pu}\right) \left( x\right) = {\int }_{U}{K}_{\lambda }\left( {x, x - y}\right) {\left( 1 - \Delta \right) }^{\lambda }u\left( y\right) \mathrm{d}y,
\]
其中 \( u \in {C}_{0}^{\infty }\left( U\right) \) ,权函数 \( K\left( {x, z}\right) ,{K}_{\lambda }\left( {x, z}\right) \) 对于 \( z \) \( \neq 0 \) 是 \( {C}^{\infty } \) 的, \( \Delta \) 是拉普拉斯算子.
希尔伯特变换 (Hilbert transform) \( \mathrm{R} \) 中零阶拟微分算子.
希尔伯特变换 \( Q : {C}_{0}^{\infty }\left( \mathrm{R}\right) \rightarrow {C}^{\infty }\left( \mathrm{R}\right) \) 定义为
\[
\left( {Qu}\right) \left( x\right) = - \frac{1}{\pi \mathrm{i}}\left( {\mathrm{P}.\mathrm{V}.}\right) {\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{u\left( y\right) }{x - y}\mathrm{\;d}y
\]
\[
\left( {u \in {C}_{0}^{\infty }\left( \mathrm{R}\right) }\right) \text{,}
\]
其中积分取主值. 参见《调和分析》同名条.
射影算子 (projection operator) \( {S}^{1} = \mathrm{R}/{2\pi Z} \) 上零阶拟微分算子.
射影算子 \( P : {C}^{\infty }\left( {S}^{1}\right) \rightarrow {C}^{\infty }\left( {S}^{1}\right) \) 定义为
\[
P{\mathrm{e}}^{im\theta } = \left\{ \begin{array}{ll} {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{m\theta }} & \left( {m \geq 0}\right) , \\ 0 & \left( {m < 0}\right) . \end{array}\right.
\]
特普利茨算子 (Toeplitz operator) \( {S}^{1} = \mathrm{R}/ \) \( {2\pi }\mathbf{Z} \) 上零阶拟微分算子. 特普利茨算子 \( {gP} + \) (id \( - P), g \in {C}^{\infty }\left( {S}^{1}\right), P \) 是射影算子.
\[
{gP} + \left( {\mathrm{{id}} - P}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} {T}_{g} & \left( {{C}^{\infty }\left( {S}^{1}\right) \cap {H}_{0}}\right) , \\ \mathrm{{id}} & \left( {{C}^{\infty }\left( {S}^{1}\right) \cap {H}_{0}^{ \bot {L}^{2}\left( {S}^{1}\right) },}\right. \end{array}\right.
\]
其中 \( {H}_{0} \) 是哈代空间, \( {T}_{g} \) 是由 \( g \) 诱导的维纳-霍普夫算子.
里斯算子 (Riesz operator) 一个标准拟微分算子. 里斯算子 \( P = \sum {a}_{a}{R}^{a}\left( {{a}_{a} \in {C}_{0}^{\infty }\left( U\right) }\right) \) ,而
\[
\left( {{R}^{\alpha }u}\right) \left( x\right) = \int {\mathrm{e}}^{i\langle x,\xi \rangle }{\left( \xi /\left| \xi \right| \right) }^{\alpha }\widehat{u}\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi .
\]
有紧支集的拟微分算子 (pseudo-differential operator with compact support) \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中有紧支集的拟微分算子. 设 \( P \) 是 \( k \in Z \) 阶拟微分算子,若 \( P \) 的振幅 \( p \) 满足下述条件,就称 \( P \) 是有紧支集的拟微分算子:
1. 对每个紧子集 \( K \subset U \) 及多重指标 \( \alpha ,\beta \) ,存在常数 \( C \in \mathrm{R}, x \in K,\xi \in {\mathrm{R}}^{n} \) ,有
\[
\left| {{D}_{x}^{\beta }{D}_{\xi }^{\alpha }p\left( {x,\xi }\right) }\right| \leq C{\left( 1 + \left| \xi \right| \right) }^{k - \alpha }.
\]
2. 对所有的 \( x \in U \) 和 \( \xi \in {\mathrm{R}}^{n} \smallsetminus \{ 0\} \) ,极限
\[
{\sigma }_{k}\left( p\right) \left( {x,\xi }\right) = \mathop{\lim }\limits_{{\lambda \rightarrow \infty }}\frac{p\left( {x,{\lambda \xi }}\right) }{{\lambda }^{k}}.
\]
3. 截断函数 \( \chi \in {C}^{\infty }\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) ,当 \( \left| \xi \right| \) 充分小时 \( \chi \left( \xi \right) \) \( = 0 \) ,当 \( \left| \xi \right| \geq 1 \) 时 \( \chi \left( \xi \right) = 1 \) . 设 \( p\left( {x,\xi }\right) - \chi \left( \xi \right) \) \( {\sigma }_{k}\left( p\right) \left( {x,\xi }\right) \) 是 \( k - 1 \) 阶标准拟微分算子的振幅.
4. \( p\left( {x,\xi }\right) \) 关于变量 \( x \) 有紧支集.
流形上的拟微分算子 (pseudo-differential operator on manifold) 流形上有紧支集的函数空间之间的线性映射,局部坐标下是拟微分算子. 设 \( X \) 是仿紧 \( {C}^{\infty } \) 流形,线性映射 \( P : {C}_{0}^{\infty }\left( X\right) \rightarrow {C}^{\infty }\left( X\right) \) ,其中 \( {C}_{0}^{\infty }\left( X\right) \) 表示 \( X \) 上 \( {C}^{\infty } \) 中有紧支集的函数空间. 对每个局部坐标系 \( \kappa : U \rightarrow {\mathrm{R}}^{n}, U \) 是 \( X \) 的开子集,由 \( P \) 得到一个“局部算子”
\[
{P}_{\kappa }u = p\left( \overline{u \circ \kappa }\right) \circ {\kappa }^{-1}\left( {u \in {C}_{0}^{\infty }\left( {\kappa \left( U\right) }\right) }\right) ,
\]
其中
\[\overline{u \circ \kappa } = \left\{ \begin{matrix} u \circ \kappa & \left( {\text{ 在 }U\text{ 上 }}\right) , \\ 0 & \left( {\text{ 在 }X \smallsetminus U\text{ 上 }}\right) . \end{matrix}\right. \]
若对所有 \( {C}^{\infty } \) 区图 \( \kappa \) 有相对紧的像, \( {P}_{\kappa } \) 是一个 \( k \) 阶拟微分算子,则称 \( P \) 是流形 \( X \) 上 \( k \) 阶拟微分算子, 记为 \( P \in {\operatorname{PDiff}}_{k}\left( X\right) \) . 对于 \( {\operatorname{PDiff}}_{k}\left( X\right) \) ,有下述结果:
1. 若 \( X \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的一个有界开子集,则由“局部化”定义的空间 \( {\operatorname{PDiff}}_{k}\left( X\right) \) 与这里定义的 \( k \) 阶拟微分算子的空间相重合.
2. \( {\operatorname{PDiff}}_{k}\left( X\right) \) 有向量空间的结构.
3. \( {\operatorname{PDiff}}_{k}\left( X\right) \subset {\operatorname{PDiff}}_{k + 1}\left( X\right) \) .
4. 设 \( \kappa : U \rightarrow {\mathrm{R}}^{n} \) 是 \( X \) 的一个局部坐标系, \( U \) 是 \( X \) 中的开集, \( f \in {C}_{0}^{\infty }\left( U\right), P \in {\operatorname{PDiff}}_{k}\left( X\right) \) ,当 \( p \) 是局部算子 \( {P}_{k} \) 的振幅,且 \( f \) 在邻域 \( {\kappa }^{-1}\left( x\right) \) 中恒为 1 时,公式
\[
\left( {x,\xi }\right) \mapsto {q |
2000_数学辞海（第3卷） | 176 | {\text{ 在 }U\text{ 上 }}\right) , \\ 0 & \left( {\text{ 在 }X \smallsetminus U\text{ 上 }}\right) . \end{matrix}\right. \]
若对所有 \( {C}^{\infty } \) 区图 \( \kappa \) 有相对紧的像, \( {P}_{\kappa } \) 是一个 \( k \) 阶拟微分算子,则称 \( P \) 是流形 \( X \) 上 \( k \) 阶拟微分算子, 记为 \( P \in {\operatorname{PDiff}}_{k}\left( X\right) \) . 对于 \( {\operatorname{PDiff}}_{k}\left( X\right) \) ,有下述结果:
1. 若 \( X \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的一个有界开子集,则由“局部化”定义的空间 \( {\operatorname{PDiff}}_{k}\left( X\right) \) 与这里定义的 \( k \) 阶拟微分算子的空间相重合.
2. \( {\operatorname{PDiff}}_{k}\left( X\right) \) 有向量空间的结构.
3. \( {\operatorname{PDiff}}_{k}\left( X\right) \subset {\operatorname{PDiff}}_{k + 1}\left( X\right) \) .
4. 设 \( \kappa : U \rightarrow {\mathrm{R}}^{n} \) 是 \( X \) 的一个局部坐标系, \( U \) 是 \( X \) 中的开集, \( f \in {C}_{0}^{\infty }\left( U\right), P \in {\operatorname{PDiff}}_{k}\left( X\right) \) ,当 \( p \) 是局部算子 \( {P}_{k} \) 的振幅,且 \( f \) 在邻域 \( {\kappa }^{-1}\left( x\right) \) 中恒为 1 时,公式
\[
\left( {x,\xi }\right) \mapsto {q}_{f}\left( {x,\xi }\right)
\]
\[
= {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\langle x,\xi \rangle }\left( {p\left( {f\left( \cdots \right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\langle k\left( \cdots \right) ,\xi \rangle }}\right) }\right) {\kappa }^{-1}\left( x\right)
\]
\[
\left( {x \in \kappa \left( U\right) ,\xi \in {\mathrm{R}}^{n}}\right)
\]
定义 \( \kappa \left( U\right) \) 上一个 \( k \) 阶拟微分算子的振幅且
\[
{\sigma }_{k}\left( {q}_{f}\right) \left( {x,\xi }\right) = {\left( 2\pi \right) }^{-n}{\sigma }_{k}\left( P\right) \left( {x,\xi }\right) .
\]
5. 令 \( {\operatorname{Smbl}}_{k}\left( X\right) = {\operatorname{Smbl}}_{k}\left( {{C}_{X},{C}_{X}}\right) \) 为 \( X \) 上平凡线丛的 \( k \) -象征,因而
\[
s \in {\operatorname{Smbl}}_{k}\left( X\right) \Leftrightarrow s : {T}^{\prime }X \rightarrow \mathrm{C},
\]
有
\[
s\left( {x,{\lambda V}}\right) = {\lambda }^{k}s\left( {x, V}\right) \left( {x \in X, v \in {\left( {T}^{ * }X\right) }_{x}}\right) ;
\]
定义线性映射
\[
{\sigma }_{k} : {\operatorname{PDiff}}_{k}\left( X\right) \rightarrow {\operatorname{Smbl}}_{k}\left( X\right) ,
\]
它与在 \( {\operatorname{Diff}}_{k}\left( X\right) \subset {\operatorname{PDiff}}_{k}\left( X\right) \) 上的定义重合,称为 \( k \) 阶拟微分算子的 \( k \) 象征.
仓西定理 (Kuranishi theorem) 某些条件保证 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中拟微分算子写成有紧支集的拟微分算子的定理. 设 \( U \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 是开集, \( k \in \mathrm{Z} \) ,考察形如
\[
\left( {Qu}\right) \left( x\right) = \iint {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi \left( {x, y,\xi }\right) }q\left( {x, y,\xi }\right) u\left( y\right) \mathrm{d}y\mathrm{\;d}\xi
\]
\[
\left( {x \in U, u \in {C}_{0}^{\infty }\left( U\right) }\right)
\]
的算子,其中 “振幅” \( q \in {C}^{\infty }\left( {U \times U \times {\mathrm{R}}^{n}}\right) \) 满足下述条件:
1. \( \left| {{D}_{\xi }^{\alpha }{D}_{x}^{\beta }{D}_{y}^{\gamma }q\left( {x, y,\xi }\right) }\right| \leq {C}_{\alpha ,\beta ,\gamma }{\left( 1 + \left| \xi \right| \right) }^{k - \alpha } \) .
2. \( {\sigma }_{k}\left( q\right) \left( {x, y,\xi }\right) = \mathop{\lim }\limits_{{\lambda \rightarrow \infty }}\frac{q\left( {x, y,{\lambda \xi }}\right) }{{\lambda }^{k}} \) 对 \( \xi \neq 0 \) 存在.
3. \( q\left( {x, x,\xi }\right) - \chi \left( \xi \right) {\sigma }_{k}\left( q\right) \left( {x, x,\xi }\right) \) 是 \( U \) 上 \( k - 1 \) 阶标准拟微分算子的振幅 ( \( \chi \) 是截断函数).
4. \( q\left( {x, y,\xi }\right) \) 关于变量 \( x, y \) 有紧支集,相函数 \( \phi \) 定义于 \( U \times U \times {\mathrm{R}}^{n} \) 上是实值的,关于变量 \( \xi \) 是线性的,对 \( \xi \neq 0 \) 是 \( {C}^{\infty } \) 的及对固定的 \( x \) (或 \( y \) ) 没有临界点 \( \left( {y,\xi }\right) \) (或 \( \left( {x,\xi }\right) \) ). 进而假设
\[
\frac{\partial \phi }{\partial {\xi }_{1}}\left( {x, y,\xi }\right) = \cdots = \frac{\partial \phi }{\partial {\xi }_{n}}\left( {x, y,\xi }\right) = 0 \Leftrightarrow x = y,
\]
则 \( Q \) 可以写成为一个具紧支集的拟微分算子.
复向量丛上的拟微分算子 (pseudo-differential operator on complex vector bundle) 流形上复向量丛之间的算子,在局部坐标下为拟微分算子. 设 \( X \) 是 \( {C}^{\infty } \) 流形, \( E \) 与 \( F \) 是 \( X \) 上的复向量丛,算子 \( P : {C}_{0}^{\infty }\left( E\right) \rightarrow {C}^{\infty }\left( F\right) \) ,局部表示算子为具有紧支集的 \( k \) 阶拟微分算子的 \( N \times M \) 矩阵,称为复向量丛上的拟微分算子,记为 \( P \in {\operatorname{PDiff}}_{k}\left( {E, F}\right) \) .
若 \( {\mathrm{{OP}}}_{k}\left( {E, F}\right) \) 是 \( E \) 到 \( F \) 的 \( k \) 阶微分算子的集合,则 \( {\operatorname{PDiff}}_{k}\left( {E, F}\right) \subset {\mathrm{{OP}}}_{k}\left( {E, F}\right) \) . 这里一个线性算子 \( P : {C}_{0}^{\infty }\left( E\right) \rightarrow {C}^{\infty }\left( F\right) \) 在 \( {\mathrm{{OP}}}_{k}\left( {E, F}\right) \) 中是要把 \( P \) 扩张为连续算子 \( {P}_{s} : {W}^{s}\left( E\right) \rightarrow {W}^{s - k}\left( F\right) \) ,其中 \( s \) 是任意实数,且 \( s \geq 0, s - k \geq 0 \) ,而 \( {W}^{s}\left( E\right) ,{W}^{s - k}\left( F\right) \) 是索伯列夫空间.
象征映射 (symbol map) 流形上复向量丛的拟微分算子空间到对应的象征空间的映射. 设 \( X \) 是 \( {C}^{\infty } \) 流形, \( E \) 和 \( F \) 是 \( X \) 上的复向量丛,对于任意一个拟微分算子 \( P \in {\operatorname{PDiff}}_{k}\left( {E, F}\right) \) ,总存在一个线性映射
\[
{\sigma }_{k} : {\operatorname{PDiff}}_{k}\left( {E, F}\right) \rightarrow {\operatorname{Smbl}}_{k}\left( {E, F}\right) ,
\]
称 \( {\sigma }_{k} \) 为象征映射.
\( {\sigma }_{k} \) 有下述性质:
1. 映射 \( {\sigma }_{k} \) 是满的;
2. 直和 \( \operatorname{PDiff}\left( {E, F}\right) = \mathop{\sum }\limits_{k}{\operatorname{PDiff}}_{k}\left( {E, F}\right) \) 构成一个分次代数 (通过复合运算) 且在取形式伴随的运算下是闭的.
对于 \( {\sigma }_{k} \) 有下述计算规则:
1. 如果 \( P \in {\operatorname{PDiff}}_{k}\left( {E, F}\right), Q \in {\operatorname{PDiff}}_{\mathrm{j}}\left( {E, F}\right) \) ,则 \( Q \circ P \in {\operatorname{PDiff}}_{j + k}\left( {E, F}\right) \) ,且
\[
{\sigma }_{j + k}\left( {Q \circ P}\right) \left( {x,\eta }\right) = {\sigma }_{j}\left( Q\right) \left( {x,\eta }\right) \circ {\sigma }_{k}\left( P\right) \left( {x,\eta }\right)
\]
\[
\left( {x \in X,\eta \in {\left( {T}^{ * }X\right) }_{x}\smallsetminus \{ 0\} }\right) .
\]
2. 如果 \( P \in {\operatorname{PDiff}}_{k}\left( {E, F}\right), E \) 与 \( F \) 有埃尔米特度量, \( X \) 是定向的黎曼流形,则存在惟一一个算子 \( {P}^{ * } \in {\operatorname{PDiff}}_{k}\left( {E, F}\right) \) ,有
\[
{\int }_{X}\langle {Pu}, v{\rangle }_{F} = {\int }_{X}{\left\langle u,{P}^{ * }v\right\rangle }_{E}
\]
\[
\left( {u \in {C}_{0}^{\infty }\left( E\right), v \in {C}_{0}^{\infty }\left( F\right) }\right) ,
\]
且有
\[
{\sigma }_{k}\left( {P}^{ * }\right) \left( {x,\eta }\right) = {\left( {\sigma }_{k}\left( P\right) \left( x,\eta \right) \right) }^{ * }
\]
\[\left( {x \in X,\eta \in {\left( {T}^{ * }X\right) }_{x}\smallsetminus \{ 0\} }\right) .\]
3. 若 \( {\sigma }_{k} \) 是已定义的一个满的象征映射,则
\[\operatorname{Ker}\left( {\sigma }_{k}\right) \subset {\mathrm{{OP}}}_{k - 1}\left( {E, F}\right) .\]
4. 有正合列
\[{\operatorname{PDiff}}_{k}\left( {E, F}\right) \overset{{\sigma }_{k}}{ \rightarrow }{\operatorname{Smbl}}_{k}\left( {E, F}\right) \rightarrow 0.\]
椭圆算子 (elliptic operator) 其象征为同构的微分算子. 设 \( P \) 是向量丛 \( E \) 到 \( F \) 的 \( k \) 阶微分算子, 若其象征 \( \sigma \left( P\right) \) 是一个同构,就称 \( P \) 为椭圆算子. 若 \( P \) 为椭圆算子,则 \( {P}^{ * } \) 也是椭圆算子.
设 \( P \in \operatorname{PDiff}\left( {E, F}\right) \) ,若 \( \sigma \left( P\right) \left( {x,\xi }\right) \) 对于所有的 \( x \in X \) 都是从 \( {E}_{x} \) 到 \( {F}_{x} \) 的一个同构, \( \xi \in {\left( {T}^{ * }X\right) }_{x} \) \( \smallsetminus \{ 0\} \) ,则称 \( P \) 为椭圆算子. \( k \) 阶椭圆算子全体记为
\( {\operatorname{Ell}}_{k}\left( {E, F}\right) \) .
拟基本解 (parametrix) 微分算子的基本解的一种近似. 若对每个 \( P \in {\operatorname{PDiff}}_{k}\left( {E, F}\right) \) ,存在 \( Q \in \) \( {\mathrm{{Ell}}}_{-k}\left( {E, F}\right) \) 使得 \( {PQ} - I{d}_{F} \in {\mathrm{{OP}}}_{-1}\left( {F, F}\right) ,{QP} - I{d}_{E} \) \( \in {\mathrm{{OP}}}_{-1}\left( {E, E}\right) \) ,就称 \( Q \) 是 \( P \) 的拟基本解. 格林函数是一种经典的拟基本解.
椭圆算子的指标 (index of elliptic operator) 椭圆算子的核维数与余核维数之差. 设 \( P : E \rightarrow F \) 是一个椭圆算子,若 \( P \) 的核 \( \operatorname{Ker}P \) 与其余核 \( \operatorname{Coker}P \) 都是有限维,则称 \( \dim \operatorname{Ker}P - \dim \operatorname{Coker}P \) 为椭圆算子 \( P \) 的指标,记为 index \( P \) . 也称 index \( P \) 为 \( P \) 的解析指标. 设 \( E, F, G, H \) 是闭定向黎曼流形 \( X \) 上的埃尔米特向量丛, \( P \in {\operatorname{Ell}}_{k}\left( {E, F}\right), Q \in {\operatorname{Ell}}_{j}\left( {F, G}\right) \) , \( R \in {\operatorname{Ell}}_{\mathrm{k}}\left( {G, H}\right) \) ,则有下述结论:
1. index \( {P}^{ * } = - \) index \( P \) .
2. index \( {QP} = \operatorname{index}P + \operatorname{index}Q \) .
3. index \( P \oplus R = \operatorname{index}P + \operatorname{index}R \) .
4. 若 \( \sigma \left( P\right) \left( {x,\xi }\right) \) 仅依赖于 \( x \) 而不依赖于 \( \xi \) \( \in {\left( SX\right) }_{x} \) ,则 index \( P = 0 \) . 其中
\( {SX} = \left\{ {\left( {x,\xi }\right) \mid x \in X,\xi \in {T}^{ * }X\text{ 且 }\left| \xi \right| = 1}\right\} , \)
\( {SX} \) 称为共变球丛, \( {\left( SX\right) }_{x} \) 为其纤维.
环绕数 (winding number) 复平面上不过原点的闭路径绕原点的次数,它与拓扑度相关. 设 \( f : {S}^{1} \) \( \rightarrow {\mathrm{C}}^{ * } \) 是从圆周 \( {S}^{1} \) 到非零复数的有孔平面的连续映射, 即平面中不经过原点的一条闭路径. 这个闭路径绕原点的次数,就称为 \( f \) 的环绕数,记为 \( W\left( {f,0}\right) \) 或 \( \deg \left( f\right) \) . 对于环绕数有下述结论: 设 \( f : {S}^{1} \rightarrow {\mathrm{C}}^{ * } \) 为前述之映射, 则:
1. \( f \) 具有一个“环绕数”;
2. 这个数仅是这样的不变量, 即当且仅当 \( \deg \left( f\right) = \deg \left( g\right) \) 时, \( f \) 可以形变 (同伦地) 到 \( g \) ;
3. 对于每个整数 \( m \) ,总存在一个映射 \( f \) 有
\[
\deg \left( f\right) = m\text{.}
\]
博特定理 (Bott theorem) 同伦群的周期性定理, 是关于从球面到复数域上一般线性群的连续映射性质的一个定理. 设 \( {S}^{n - 1} \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的单位球面, \( \mathrm{{GL}}\left( {N,\mathrm{C}}\right) \) 是从 \( {\mathrm{C}}^{N} \) 到 \( {\mathrm{C}}^{N} \) 上线性映射 (从而是双射) 所构成的一般线性群,于是博特 (Bott, R. ) 的一个定理说, 对于连续映射
\[
f : {S}^{n - 1} \rightarrow \mathrm{{GL}}\left( {N,\mathrm{C}}\right) ,
\]
当 \( {2N} \geq n \) 时,若 \( n \) 为奇数,则 \( f \) 同伦于常值映射,若 \( n \) 为偶数,对于每个 \( f \) 可以定义一个整数 \( \deg \left( f\right) \) , 使得:
1. \( f \) 同伦于 \( g \) ,当且仅当 \( \deg \left( f\right) = \deg \left( g\right) \) ;
2. 对于任意给定的整数 \( m \) ,存在一个连续映射 \( f : {S}^{n - 1} \rightarrow {GL}\left( {N,\mathbf{C}}\right) \) ,使得 \( \deg \left( f\right) = m \) .
于是在分支条目中的结论是博特定理在 \( n = 2 \) , \( N = 1 \) 时的特殊情形. 另一方面,依照同伦论的术语,它可以被陈述为: 当 \( {2N} \geq n \) 时 \( |
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1. \( f \) 具有一个“环绕数”;
2. 这个数仅是这样的不变量, 即当且仅当 \( \deg \left( f\right) = \deg \left( g\right) \) 时, \( f \) 可以形变 (同伦地) 到 \( g \) ;
3. 对于每个整数 \( m \) ,总存在一个映射 \( f \) 有
\[
\deg \left( f\right) = m\text{.}
\]
博特定理 (Bott theorem) 同伦群的周期性定理, 是关于从球面到复数域上一般线性群的连续映射性质的一个定理. 设 \( {S}^{n - 1} \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的单位球面, \( \mathrm{{GL}}\left( {N,\mathrm{C}}\right) \) 是从 \( {\mathrm{C}}^{N} \) 到 \( {\mathrm{C}}^{N} \) 上线性映射 (从而是双射) 所构成的一般线性群,于是博特 (Bott, R. ) 的一个定理说, 对于连续映射
\[
f : {S}^{n - 1} \rightarrow \mathrm{{GL}}\left( {N,\mathrm{C}}\right) ,
\]
当 \( {2N} \geq n \) 时,若 \( n \) 为奇数,则 \( f \) 同伦于常值映射,若 \( n \) 为偶数,对于每个 \( f \) 可以定义一个整数 \( \deg \left( f\right) \) , 使得:
1. \( f \) 同伦于 \( g \) ,当且仅当 \( \deg \left( f\right) = \deg \left( g\right) \) ;
2. 对于任意给定的整数 \( m \) ,存在一个连续映射 \( f : {S}^{n - 1} \rightarrow {GL}\left( {N,\mathbf{C}}\right) \) ,使得 \( \deg \left( f\right) = m \) .
于是在分支条目中的结论是博特定理在 \( n = 2 \) , \( N = 1 \) 时的特殊情形. 另一方面,依照同伦论的术语,它可以被陈述为: 当 \( {2N} \geq n \) 时 \( \mathrm{{GL}}\left( {N,\mathrm{C}}\right) \) 的同伦群为
\[
{\pi }_{n - 1}\left( {\mathrm{{GL}}\left( {N,\mathrm{C}}\right) }\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \left( {n\text{ 为奇数 }}\right) , \\ Z & \left( {n\text{ 为偶数 }}\right) . \end{array}\right.
\]
由此可知, \( \mathrm{{GL}}\left( {N,\mathrm{C}}\right) \) 的同伦群之间有关系
\[
{\pi }_{n - 1}\left( {\mathrm{{GL}}\left( {N,\mathrm{C}}\right) }\right) \cong {\pi }_{n + 1}\left( {\mathrm{{GL}}\left( {N,\mathrm{C}}\right) }\right) .
\]
因此, 这是一种周期性的定理.
紧空间的 \( \mathbf{K} \) 群 ( \( K \) group for compact space) 紧拓扑空间上的复向量丛的同构类构成的阿贝尔群. 设 \( X \) 是紧拓扑空间, \( \operatorname{Vect}\left( X\right) \) 是 \( X \) 上复向量丛的同构类的阿贝尔半群,若 \( X \) 由一个单点组成,则 \( \operatorname{Vect}\left( X\right) \cong {\mathbf{Z}}_{ + } \) . 设 \( A = \operatorname{Vect}\left( X\right) \) ,按下述方法,从每个有零元的阿贝尔半群得到一个阿贝尔群 \( K\left( X\right) \) , \( K\left( X\right) \) 定义为 \( A \times A/ \sim \) ,其中 \( \sim \) 是 \( A \times A \) 中的等价关系, 定义为
\[
\left( {{a}_{1},{a}_{2}}\right) \sim \left( {{a}_{1}^{\prime },{a}_{2}^{\prime }}\right) \Leftrightarrow \left( {{a}_{1} \oplus a,{a}_{2} \oplus a}\right)
\]
\[
= \left( {{a}^{\prime }{}_{1} \oplus {a}^{\prime },{a}^{\prime }{}_{2} \oplus {a}^{\prime }}\right) \left( {a,{a}^{\prime } \in A}\right) .
\]
还得到一个半群同态 \( \varphi : A \rightarrow K\left( X\right) \) 为 \( a \rightarrow \left( {a,0}\right) \) . 这样得到的阿贝尔群 \( K\left( X\right) \) 称为紧空间的 \( K \) 群,是 \( K \) 理论中研究的基本对象.
对于 \( X \) 上的每个向量丛 \( E \) ,由同态 \( \phi \) 可以得到 \( \left\lbrack E\right\rbrack \in K\left( X\right) ,\left\lbrack E\right\rbrack \) 是 \( K\left( X\right) \) 中的同构类, \( K\left( X\right) \) 的每个元素都是这样元素的一个线性组合. 当 \( X \) 为一个单点时,则 \( K\left( X\right) \cong \mathbf{Z} \) .
若 \( X \) 为非紧空间,则上述构造的 \( K\left( X\right) \) 是一个环 (没有单位元).
向量丛的稳定等价 (stably equivalent for vector bundle) 向量丛的一种等价关系. 设 \( E, F \) 是 \( X \) 上的两个向量丛,若存在正整数 \( M \) 和 \( N \) ,使得
\( E \oplus {\mathrm{C}}_{X}^{N} \cong F \oplus {\mathrm{C}}_{X}^{M}, \)
就称 \( E \) 与 \( F \) 稳定等价. \( {\mathrm{C}}_{X}^{M} \) 是 \( X \) 上有纤维 \( {\mathrm{C}}^{N} \) 的平凡丛.
把稳定等价的向量丛看做同一得到的等价类称为稳定向量丛.
局部紧空间的 \( K\left( X\right) (K\left( X\right) \) for locally compact space) 有紧支集的 \( K \) 群. 设 \( X \) 是局部紧拓扑空间, 令
\[
K\left( X\right) = K\left( {{X}^{ * }, + }\right) = \operatorname{Ker}\left( {K\left( {X}^{ + }\right) \rightarrow K\left( +\right) }\right) ,
\]
此处 \( {X}^{ + } = X \cup \{ + \} \) 是 \( X \) 的一点紧化. 这个 \( K\left( X\right) \) 是具有紧支集的 \( K \) 群,它在 \( K \) 理论中起重要作用.
若 \( X \) 是紧拓扑空间,这个定义没有给出新的东西. 这里的 \( K\left( X\right) \) 也可用向量丛的复形来表示. 这是阿蒂亚 (Atiyah, M. F. ) 与希策布鲁赫 (Hirzebruch, F. E. P. ) 给出的.
博特周期性定理 (Bott periodicity theorem) 紧空间 \( K \) 群同构定理. 该定理断言: 对于每个局部紧空间 \( X \) ,存在同构 \( \alpha : K\left( {{\mathrm{R}}^{2} \times X}\right) \rightarrow K\left( X\right) \) ,其逆 \( \beta : K\left( X\right) \rightarrow K\left( {{\mathrm{R}}^{2} \times X}\right) \) 通过外乘以博特类给出为
\[
x \rightarrow \beta \left( x\right) = b \boxtimes x.
\]
\( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的指标公式 (index formula in \( {\mathrm{R}}^{n} \) ) \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上椭圆拟微分算子指标的公式. 设 \( {\mathrm{{Ell}}}_{c}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上零阶椭圆拟微分算子类,对于所有的 \( P \in {\mathrm{{Ell}}}_{c}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) ,有
指标公式
\[
\text{ index }P = {\left( -1\right) }^{n}{\alpha }^{n}\left( \left\lbrack {\sigma \left( P\right) }\right\rbrack \right) \text{,}
\]
其中 \( {\alpha }^{n} : K\left( {\mathrm{R}}^{2n}\right) \rightarrow K\left( {\mathrm{R}}^{0}\right) \cong Z \) 是由迭代
\[
{\alpha }_{X} : K\left( {{\mathrm{R}}^{2} \times X}\right) \rightarrow K\left( X\right) ,
\]
\[
X = {\mathrm{R}}^{2\left( {n - 1}\right) },{\mathrm{R}}^{2\left( {n - 2}\right) },\cdots
\]
得出的“周期性同态”.
阿蒂亚-辛格指标定理 (Atiyah-Singer index theorem) 黎曼流形上埃尔米特向量丛之间的椭圆算子指标公式的定理. 设 \( X \) 是 \( n \) 维定向闭的 \( {C}^{\infty } \) 黎曼流形, \( E \) 和 \( F \) 是 \( X \) 上的埃尔米特向量丛, \( P \in \) \( {\mathrm{{Ell}}}_{k}\left( {E, F}\right), k \in \mathbf{Z} \) ,则有
\[
\text{index}P = {\left( -1\right) }^{n}{\alpha }^{n + m}\left( {\left\lbrack {\sigma \left( P\right) }\right\rbrack \oplus {b}^{m}}\right) \text{,}
\]
其中 \( \left\lbrack {\sigma \left( P\right) }\right\rbrack \in K\left( {TX}\right) \) 是 \( P \) 的 “象征类”, \( b \in K\left( {\mathrm{R}}^{2}\right) \) 是博特类, \( {\alpha }^{n + m} : K\left( {\mathrm{R}}^{2\left( {n + m}\right) }\right) \rightarrow \mathrm{Z} \) 是博特同构的迭代.
阿蒂亚-辛格指标定理的证明有:
1. 配边证明. 这是由阿蒂亚 (Atiyah, M. F. ) 与辛格 (Singer, I. M. ) 给出概略性的证明;
2. 嵌入证明. 由阿蒂亚给出;
3. 热方程证明. 这是一个解析证明. 热方程方法是麦基恩 (Mckean, H. P. ) 与辛格于 1967 年发表的.
阿蒂亚-辛格指标定理有着极广泛的应用.
指标定理的上同调形式 (cohomological formulation of index theorem) 把阿蒂亚-辛格指标公式写成上同调类的形式. 若 \( P \) 是 \( n \) 维闭定向流形 \( X \) 上的一个椭圆算子, 则有
\[
\text{index}P = {\left( -1\right) }^{n\left( {n + 1}\right) /2}\left\{ {{\phi }^{-1}\operatorname{ch}\left\lbrack {\sigma \left( P\right) }\right\rbrack }\right.
\]
\[
\bigcup \tau \left( {{TX} \otimes \mathrm{C}}\right) \} \left\lbrack X\right\rbrack ,
\]
其中 \( \left\lbrack {\sigma \left( P\right) }\right\rbrack \in K\left( X\right) \) 是 \( P \) 的象征 \( \sigma \left( P\right) \) 的差丛,
\[
\operatorname{ch}\left\lbrack {\sigma \left( P\right) }\right\rbrack \in {H}_{0}^{ * }\left( {{TX};\mathcal{D}}\right)
\]
为 \( \left\lbrack {\sigma \left( P\right) }\right\rbrack \) 的陈特征,
\( \phi : {H}^{ * }\left( {X;\mathcal{Q}}\right) \rightarrow {H}^{ * }\left( {{TX},{\left( TX\right) }_{0};\mathcal{Q}}\right) = {H}_{c}^{ * }\left( {{TX};\mathcal{Q}}\right) \) 是托姆同构, \( \left\lbrack X\right\rbrack \in {H}_{n}\left( {X;\mathcal{Q}}\right) \) 是 \( X \) 定向的基本闭链,
\[
\tau \left( E\right) = \frac{{y}_{1}}{1 - {\mathrm{e}}^{-{y}_{1}}} \cdot \cdots \cdot \frac{{y}_{N}}{1 - {\mathrm{e}}^{-{y}_{N}}} \in {H}^{ * }\left( {X,\mathcal{Q}}\right)
\]
是纤维维数 \( N \) 的复向量丛的类.
若 \( X \) 不是定向的,则
\[
\text{index}P = {\left( -1\right) }^{n}\{ \operatorname{ch}\left\lbrack {\sigma \left( P\right) }\right\rbrack
\]
\[
\left. {\cup {\pi }^{ * }\tau \left( {{TX} \otimes {}_{\mathrm{R}}\mathrm{C}}\right) }\right\} \left\lbrack {TX}\right\rbrack ,
\]
这里的 \( \left\lbrack {TX}\right\rbrack \) 是切丛 \( {TX} \) 的基本闭链.
黎曼-罗赫-希策布鲁赫定理 (Riemann-Roch-Hirzebruch theorem）把指标定理应于铎尔博尔复形, 就得出黎曼-罗赫-希策布鲁赫定理. 设
\[
0 \rightarrow {\Omega }^{0}\overset{\bar{\partial }}{ \rightarrow }{\Omega }^{0,1}\cdots \overset{\bar{\partial }}{ \rightarrow }{\Omega }^{0, n} \rightarrow 0
\]
是 \( n \) 维克勒 (Kähler, E. ) 流形的铎尔博尔复形. \( {\Omega }^{0, p} \) 表示 \( p \) 次复外微分形式空间, \( \bar{\partial } \) 是外导数. 若 \( V \) 是 \( X \) 上一个全纯向量丛, 则可构造广义铎尔博尔复形
\[
0 \rightarrow {\Omega }^{0}\left( V\right) \overset{{\bar{\partial }}_{V}}{ \rightarrow }{\Omega }^{0,1}\left( V\right) \overset{{\bar{\partial }}_{V}}{ \rightarrow }\cdots \overset{{\bar{\partial }}_{V}}{ \rightarrow }{\Omega }^{0, n}\left( V\right) \rightarrow 0.
\]
定义欧拉示性数
\( \chi \left( {X, V}\right) = \operatorname{index}{\bar{D}}_{V} \)
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{p = 0}}^{n}{\left( -1\right) }^{p}\dim {H}^{p}\left( {X;O\left( {V}^{ * }\right) }\right) ,
\]
其中 \( {\bar{D}}_{V} = \left( {{\bar{\partial }}_{V} + {\bar{\partial }}_{V}^{ * }}\right) \mid \sum {\Omega }^{0,\text{ even }}\left( V\right) \) 是一阶椭圆算子, 而 \( {H}^{n - p}\left( {X;O\left( {V}^{ * }\right) }\right) \) 是系数在 \( {V}^{ * } \) 中全纯截面的芽层 \( X \) 的 \( n - p \) 维上同调. \( {H}^{n - p}\left( {X;O\left( {V}^{ * }\right) }\right) \cong \) \( \operatorname{Ker}{\bar{\partial }}_{V}^{0, p}/\operatorname{Im}{\bar{\partial }}_{V}^{0, p - 1} \cong \operatorname{Ker}\left( {{▱}_{V} : {\Omega }^{0, p}\left( V\right) \rightarrow {\Omega }^{0, p}\left( V\right) }\right) \) (这里的 \( {▱}_{V} = {\bar{\partial }}_{V}{\bar{\partial }}_{V}^{ * } + {\bar{\partial }}_{V}^{ * }{\bar{\partial }}_{V} \) ) \( \cong \) 系数在 \( V \) 中的 \( X \) 上 \( p \) 次整体全纯微分形式的空间. 因而有黎曼-罗赫-希策布鲁赫定理
\[
\chi \left( {X, V}\right) = \left( {\operatorname{ch}\left( V\right) \cup \tau \left( {TX}\right) }\right) \left\lbrack X\right\rbrack ,
\]
\( \operatorname{ch}\left( V\right) \) 是 \( V \) 的陈特征, \( \tau \left( {TX}\right) \) 是 \( X \) 的 Todd 类.
特别当 \( V \) 是平凡的线丛 \( {\mathrm{C}}_{X} \) ,则 \( \chi \left( X\right) = \chi (X \) , \( V) \) 称为 \( X \) 的算术亏格,有
\[
\chi \left( X\right) = \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{2}{C}_{2}\left( X\right) \left\lbrack X\right\rbrack & \left( {{\dim }_{\mathrm{c}}X = 1}\right) , \\ \frac{1}{12}\left( {{C}_{1}^{2}\left( X\right) + {C}_{2}\left( X\right) }\right) \left\lbrack X\right\rbrack & \left( {{\dim }_{\mathrm{c}}X = 2}\right) , \\ \cdots \cdots & \end{matrix}\right.
\]
\( {C}_{i}\left( X\right) \in {H}^{2i}\left( X\right) \) 是 \( {TX} \) 的第 \( i \) 个陈类.
莱夫谢茨数 (Lefschetz number) 与映射的不动点集相关的数,可展为一个和式. 设 \( f : X \rightarrow X \) 是连续映射, \( X \) 是紧的,而
\[
\operatorname{Fix}\left( f\right) = \{ x \in X \mid f\left( x\right) = x\}
\]
是 \( f \) 的不动点集. 莱夫谢茨 (Lefschetz, S. ) 引入公式
\[L\left( f\right) = \sum \gamma \left( x\right) ,\]
和式展布在 \( f \) 的不动点上, \( \gamma \left( x\right) \) 是整数,即对孤立不动点, \( \gamma \left( x\right) = 1 \) ,而一点的邻域中 \( f = {Id},\gamma \left( x\right) = \) 0 . 莱夫谢茨数 \( L\left( f\right) \) 定义为一个交错和 \( \sum { |
2000_数学辞海（第3卷） | 178 | }}_{X} \) ,则 \( \chi \left( X\right) = \chi (X \) , \( V) \) 称为 \( X \) 的算术亏格,有
\[
\chi \left( X\right) = \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{2}{C}_{2}\left( X\right) \left\lbrack X\right\rbrack & \left( {{\dim }_{\mathrm{c}}X = 1}\right) , \\ \frac{1}{12}\left( {{C}_{1}^{2}\left( X\right) + {C}_{2}\left( X\right) }\right) \left\lbrack X\right\rbrack & \left( {{\dim }_{\mathrm{c}}X = 2}\right) , \\ \cdots \cdots & \end{matrix}\right.
\]
\( {C}_{i}\left( X\right) \in {H}^{2i}\left( X\right) \) 是 \( {TX} \) 的第 \( i \) 个陈类.
莱夫谢茨数 (Lefschetz number) 与映射的不动点集相关的数,可展为一个和式. 设 \( f : X \rightarrow X \) 是连续映射, \( X \) 是紧的,而
\[
\operatorname{Fix}\left( f\right) = \{ x \in X \mid f\left( x\right) = x\}
\]
是 \( f \) 的不动点集. 莱夫谢茨 (Lefschetz, S. ) 引入公式
\[L\left( f\right) = \sum \gamma \left( x\right) ,\]
和式展布在 \( f \) 的不动点上, \( \gamma \left( x\right) \) 是整数,即对孤立不动点, \( \gamma \left( x\right) = 1 \) ,而一点的邻域中 \( f = {Id},\gamma \left( x\right) = \) 0 . 莱夫谢茨数 \( L\left( f\right) \) 定义为一个交错和 \( \sum {\left( -1\right) }^{i} \) \( \operatorname{trace}\left( {{H}^{i}f}\right) \) ,其中
\[{H}^{i}f : {H}^{i}\left( {X,\mathrm{C}}\right) \rightarrow {H}^{i}\left( {X,\mathrm{C}}\right) \]
是复向量空间 \( {H}^{i}\left( {X,\mathrm{C}}\right) \) 的上同调自同态. 这个公式是由阿蒂亚 (Atiyah, M. F. ) 和博特 (Bott, R. ) 导出的, 并于 20 世纪 60 年代中加以改进.
阿蒂亚-博特-莱夫谢茨数 (Atiyah-Bott-Lef-schetz number) 与椭圆算子可交换的映射的莱夫谢茨数的公式. 设 \( X \) 是没有边缘的一个紧 \( {C}^{\infty } \) 流形, \( P \) 是椭圆微分算子, \( f : X \rightarrow X \) 是可微的且与 \( P \) 可交换. 假设 \( f \) 提升为一个丛映射,例如 \( \widetilde{f} \) ,以使 \( f \) 通过
\[f \cdot s\left( x\right) = \widetilde{f}\left( {s\left( {{f}^{-1}\left( x\right) }\right) }\right) \]
作用在截面上,则 \( f \) 得到有限维空间 \( \operatorname{Ker}P \) 与 Cok- \( \operatorname{er}P \) 的一个已定义的自同态,规定阿蒂亚-博特-莱夫谢茨数为
\[
L\left( {f, P}\right) = \operatorname{trace}\left( {f \mid \operatorname{Ker}P}\right) - \operatorname{trace}\left( {f \mid \operatorname{Coker}P}\right) .
\]
## 霍奇理论
霍奇理论 (Hodge theory) 关于调和微分形式的理论. 霍奇理论是基于德拉姆上同调理论. 假定 \( M \) 是紧黎曼流形,对于贝尔特拉米-拉普拉斯算子 \( \Delta \) \( = \mathrm{d}\delta + \delta \mathrm{d},{\Delta \phi } = 0 \) 时,称 \( \phi \) 为调和微分形式,调和 \( p \) 形式的全体记为 \( {H}^{p} \) . 霍奇分解定理是霍奇理论的中心结果,它指出 \( M \) 的 \( p \) 形式空间 \( {E}^{p}\left( M\right) \) 有正交直和分解
\[
{E}^{p}\left( M\right) = \Delta \left( {{E}^{p}\left( M\right) }\right) \oplus {H}^{p}.
\]
由这个分解定理可推出: 每个德拉姆上同调类中存在惟一个调和形式及德拉姆上同调群的维数是有限的. 类似地可以把霍奇理论推广到全纯向量丛和克勒流形上, 并分别有相应的分解定理.
霍奇理论是霍奇 (Hodge, W. V. D. ) 首创于 20 世纪 30 年代, 后来为小平邦彦 (Kodaira, Kunihiko) 加以发展与推广.
霍奇理论使得分析与拓扑之间有着深刻的联系, 它在分析学中有着广泛的应用, 它可以应用到多复变函数论、超定微分方程组及拟微分算子等分支.
黎曼流形(Riemann manifold) 有二阶共变张量场的微分流形. 设 \( M \) 是微分流形, \( g \) 是 \( M \) 上连续的 2 阶共变张量场,若 \( \left( {U;{u}^{i}}\right) \) 为 \( M \) 的一个局部坐标系,则 \( g \) 在 \( U \) 上表为
\[
g = {g}_{ij}\mathrm{\;d}{u}^{i} \otimes \mathrm{d}{u}^{j}\left( {{g}_{ij} = {g}_{ji}}\right) .
\]
设
\[
X = {X}^{i}\frac{\partial }{\partial {u}^{i}}, Y = {Y}^{i}\frac{\partial }{\partial {u}^{i}}, p \in U,
\]
得 \( g\left( {X, Y}\right) = {g}_{ij}{X}^{i}{Y}^{j} \) ,如果对于任意 \( X \in {T}_{p}\left( M\right) \) , \( g\left( {X, Y}\right) \geq 0 \) ,则称张量 \( g \) 为正定的. 这个对称 2 阶共变张量场称为度量张量.
若微分流形 \( M \) 上给定了一个度量张量,则称 \( M \) 为黎曼流形.
度量张量 (metric tensor) 见“黎曼流形”.
星算子 (star operator) 外代数之间的线性映射. 设 \( V \) 是一个有向的内积空间,则存在一个线性变换
\[
* : \Lambda \left( V\right) \rightarrow \Lambda \left( V\right)
\]
称为星算子,使得对任一正交基 \( {e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{n} \) 有
\[
* \left( 1\right) = \pm {e}_{1} \land \cdots \land {e}_{n},
\]
\[
* \left( {{e}_{1} \land \cdots \land {e}_{n}}\right) = \pm 1,
\]
\[
* \left( {{e}_{1} \land \cdots \land {e}_{p}}\right) = \pm {e}_{p + 1} \land \cdots \land {e}_{n},
\]
其中若 \( {e}_{1} \land \cdots \land {e}_{n} \) 位于由定向所决定 \( {\Lambda }_{n}\left( V\right) \smallsetminus \{ 0\} \) 的分支内时, 取 “十”号, 反之取 “一”号.
可以等价地把星算子写成
\[
* : {\Lambda }_{p}\left( V\right) \rightarrow {\Lambda }_{n - p}\left( V\right) ,
\]
则星算子有性质:
\[
\text{1.} * * = {\left( -1\right) }^{p\left( {n - p}\right) }\mathrm{{id}}\text{;}
\]
2. 对任意的 \( v, w \in {\Lambda }_{p}\left( V\right) \) ,它们的内积为
\[
\langle v, w\rangle = * \left( {w \land * v}\right) = * \left( {v \land * w}\right) .
\]
伴随形式 (adjoint form) 星算子作用的微分形式. 微分形式
\[
\alpha = \mathop{\sum }\limits_{{{i}_{1} < \cdots < {i}_{p}}}{\alpha }_{{i}_{1}\cdots {i}_{p}}\mathrm{\;d}{x}^{{i}_{1}} \land \cdots \land \mathrm{d}{x}^{{i}_{p}}
\]
的伴随形式是形式
\[
* \alpha = \mathop{\sum }\limits_{{{j}_{1} < \cdots < {j}_{n - p}}}{\left( *\alpha \right) }_{{j}_{1}\cdots {j}_{n - p}}\mathrm{\;d}{x}^{{j}_{1}} \land \cdots \land \mathrm{d}{x}^{{j}_{n - p}},
\]
其中
\[
{\left( *\alpha \right) }_{{j}_{1}\cdots {j}_{n - p}} = \mathop{\sum }\limits_{{{i}_{1} < \cdots < {i}_{p}}}{e}_{{i}_{1}\cdots {i}_{p}{j}_{1}\cdots {j}_{n - p}}{\alpha }^{{i}_{1}\cdots {i}_{p}}.
\]
\( {E}^{p}\left( M\right) \) 中的内积 (inner product in \( {E}^{p}\left( M\right) \) ) \( {E}^{p}\left( M\right) \) 中定义的一种内积. \( M \) 上 \( p \) 形式的向量空间 \( {E}^{p}\left( M\right) \) 中定义内积为
\[
\langle \alpha ,\beta \rangle = {\int }_{M}\alpha \land * \beta \left( {\alpha ,\beta \in {E}^{p}\left( M\right) }\right) ,
\]
* 为星算子. 不难检验上述内积是一个对称正定双线性形式.
拉普拉斯-贝尔特拉米算子 (Laplace-Beltrami operator）由星算子的伴随算子与外微分算子所确定的算子. 设 \( M \) 是 \( n \) 维紧定向黎曼流形,利用星算子 * 定义算子 \( \delta : {E}^{p}\left( M\right) \rightarrow {E}^{p - 1}\left( M\right) \) 为 \( \delta \) \( = {\left( -1\right) }^{n\left( {p + 1}\right) + 1} * \mathrm{\;d} * \) ,算子 \( \delta \) 是 \( \mathrm{d} \) 的伴随算子. 利用 \( \delta \) 与 \( \mathrm{d} \) 定义算子 \( \Delta : {E}^{p}\left( M\right) \rightarrow {E}^{p}\left( M\right) \left( {0 \leq p \leq n}\right) \) 为 \( \Delta \) \( = \delta \mathrm{d} + \mathrm{d}\delta .\Delta \) 就是拉普拉斯-贝尔特拉米算子.
算子 \( \Delta \) 的性质:
1. \( \Delta \) 与星算子 \( * \) 可交换,即 \( * \Delta = \Delta * \) .
2. \( \Delta \) 是自伴随算子,即 \( \langle {\Delta \alpha },\beta \rangle = \langle \alpha ,{\Delta \beta }\rangle \) .
3. \( {\Delta \alpha } = 0 \) 当且仅当 \( \mathrm{d}\alpha = 0 \) 且 \( {\delta \alpha } = 0 \) .
4. 在紧定向连通的黎曼流形上只有调和函数 (即 \( {\Delta f} = 0 \) ) 是常值函数.
弱解 (weak solution) 算子方程的一个有界线性泛函的解. 设 \( M \) 是定向紧黎曼流形, \( \alpha \in {E}^{p}\left( M\right) \) . 方程 \( {\Delta \omega } = \alpha \) 的弱解就是一个有界线性泛函 \( \iota : {E}^{p}\left( M\right) \) \( \rightarrow \mathrm{R} \) 使得
\[
\iota \left( {{\Delta }^{ * }\phi }\right) = \langle \alpha ,\phi \rangle \;\left( {\forall \phi \in {E}^{p}\left( M\right) }\right) ,
\]
其中 \( {\Delta }^{ * } \) 是 \( \Delta \) 的伴随算子. 尽管 \( \Delta \) 是自伴随算子,但仍把 \( {\Delta }^{ * } \) 与 \( \Delta \) 相区分开,是因为这个定义将适用于其他形式的算子, 例如椭圆型算子.
正则性定理 (regularity theorem) 关于拉普拉斯-贝尔特拉米算子方程的弱解为经典解的定理. 设 \( \alpha \in {E}^{p}\left( M\right) ,\iota \) 为方程 \( {\Delta \omega } = \alpha \) 的一个弱解,则存在 \( \omega \in \) \( {E}^{p}\left( M\right) \) 使得
\[\iota \left( \beta \right) = \langle \omega ,\beta \rangle \;\left( {\forall \beta \in {E}^{p}\left( M\right) }\right) .\]
因此, \( {\Delta \omega } = \alpha \) . 这个定理断言方程的每个弱解都有一个通常的解作为代表.
调和 \( p \) 形式 (harmonic \( p \) -forms) 经拉普拉斯- 贝尔特拉米算子作用为零的微分 \( p \) 形式. 记
\[
{H}^{p} = \left\{ {\omega \in {E}^{p}\left( M\right) \mid {\Delta \omega } = 0}\right\} ,
\]
其中 \( \Delta \) 为 \( M \) 上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子, \( {H}^{p} \) 中所有元素均称为调和 \( p \) 形式.
霍奇分解定理 (Hodge decomposition theorem) 微分 \( p \) 形式空间可以分解为其被算子作用的像集与调和 \( p \) 形式空间的直和的定理. 设 \( M \) 是 \( n \) 维定向的紧黎曼流形,对每个整数 \( p\left( {0 \leq p \leq n}\right) ,{H}^{p} \) 是有限维的,且 \( M \) 的光滑 \( p \) 形式空间 \( {E}^{p}\left( M\right) \) 有如下正交直和分解
\[
{E}^{p}\left( M\right) = \Delta \left( {E}^{p}\right) \oplus {H}^{p}
\]
\[
= \mathrm{d}\delta \left( {E}^{p}\right) \oplus \delta \mathrm{d}\left( {E}^{p}\right) \oplus {H}^{p}
\]
\[
= \mathrm{d}\left( {E}^{p - 1}\right) \oplus \delta \left( {E}^{p + 1}\right) \oplus {H}^{p}.
\]
因此,方程 \( {\Delta \omega } = \alpha \) 有一解 \( \omega \in {E}^{p}\left( M\right) \) 的充分必要条件是, \( p \) 形式 \( \alpha \) 与调和 \( p \) 形式的空间正交,即当 \( \alpha \in \) \( {\left( {H}^{p}\right) }^{ \bot } \) 时, \( {\Delta \omega } = \alpha \) 有惟一解 \( \omega \in {E}^{p}\left( M\right) \) .
格林算子 (Green’s operator) 微分 \( p \) 形式空间到调和 \( p \) 形式空间的直交补的一个映射. 设 \( G : {E}^{p}\left( M\right) \rightarrow {\left( {H}^{p}\right) }^{ \bot },\forall \alpha \in {E}^{p}\left( M\right), G\left( \alpha \right) \) 是方程
\[
{\Delta \omega } = \alpha - H\left( \alpha \right) \text{在}{\left( {H}^{p}\right) }^{ \bot }
\]
中的惟一解,其中 \( H : {E}^{p}\left( M\right) \rightarrow {H}^{p} \) 是一个投影算子,就称 \( G \) 为一个格林算子.
算子 \( G \) 的性质:
1. \( G \) 是一个有界自伴随线性算子.
2. 把有界序列变成有柯西子序列的序列.
3. 凡与拉普拉斯算子 \( \Delta \) 交换的线性算子均与 \( G \) 交换.
利用格林算子易得到:
1. 在定向紧黎曼流形 \( M \) 上,每个德拉姆上调和类包含了惟一的调和形式.
2. 定向紧微分流形的德拉姆上同调群都是有限维的.
庞加莱对偶性定理 (Poincaré duality theorem) 德拉姆上同调群与其对偶上同调群同构的定理. 设 \( M \) 是 \( n \) 维定向的紧微分流形,规定双线性函数
\[
{H}_{\mathrm{{deR}}}^{p}\left( M\right) \times {H}_{\mathrm{{deR}}}^{n - p}\left( M\right) \rightarrow \mathrm{R}
\]
为
\[
\left( {\{ \phi \} ,\{ \psi \} }\right) \mapsto {\int }_{M}\phi \land \psi ,
\]
其中 \( \phi \) 与 \( \psi \) 是代表了上同调类 \( \{ \phi \} \) 与 \( \{ \psi \} \) 的闭形式, 则这个双线性函数是一个非奇异的配对函数, 因而确定了 \( {H}_{\mathrm{{deR}}}^{n - p}\left( M\right) \) 与 \( {H}_{\mathrm{{deR}}}^{p}\left( M\right) \) 的对偶空间的同构,即
\[
{H}_{\mathrm{{deR}}}^{n - p}\left( M\right) \cong {\left( {H}_{\mathrm{{deR}}}^{p}\left( M\right) \right) }^{ * }.
\]
由庞加莱对偶性定理可知,若 \( M \) 是 \( n \) 维定向紧连通微分流形,则 \( {H}_{\mathrm{{deR}}}^{n}\left( M\right) \cong \mathrm{R} \) .
全纯向量丛上的分解定理 (decomposition theorem on holomorphic vector bundle) 由算子 \( \partial \) 与 \( {\bar{\partial }}^{ * } \) 所确定的算子 \( ▱ \) 的直交分解的定理. 设 \( \pi : E \rightarrow M \) 是秩为 \( \iota \) 的全纯向量丛, \( M \) 为紧的复 \( m \) 维埃尔米特流形. \( {A}^{\left( p, q\right) }\left( E\right) \) 为系数在 \( E \) 中的 \( {C}^{\infty }\left( {p, q}\right) \) 形式全体. \( \left\{ {T}_{{j}_{k}}\right\} \) 是定义在 \( M \) 的覆盖 \( \left\{ {U}_{j}\right\} \) 能确定 \( E \) 的转移函数矩阵.
\( E \) 的纤维上的埃尔米特形式是由每个 \( {U}_{j} \) 上给定的正定形式 \( \sum {h}_{j\mu \nu }{\xi }^{\mu }{\xi }^{\nu } \) 确定的,记 \( {h}_{j} \) 为矩阵 \( \left\{ {h}_{j\mu \nu }\right\} \) , 显然有 \( {h}_{k} = {J}_{jk}{h}_{j}{T}^{\prime }{}_{jk} \) ,设 \( {U}_{j} \) 上埃尔米特度量为
\[ |
2000_数学辞海（第3卷） | 179 | \left( M\right) \) 与 \( {H}_{\mathrm{{deR}}}^{p}\left( M\right) \) 的对偶空间的同构,即
\[
{H}_{\mathrm{{deR}}}^{n - p}\left( M\right) \cong {\left( {H}_{\mathrm{{deR}}}^{p}\left( M\right) \right) }^{ * }.
\]
由庞加莱对偶性定理可知,若 \( M \) 是 \( n \) 维定向紧连通微分流形,则 \( {H}_{\mathrm{{deR}}}^{n}\left( M\right) \cong \mathrm{R} \) .
全纯向量丛上的分解定理 (decomposition theorem on holomorphic vector bundle) 由算子 \( \partial \) 与 \( {\bar{\partial }}^{ * } \) 所确定的算子 \( ▱ \) 的直交分解的定理. 设 \( \pi : E \rightarrow M \) 是秩为 \( \iota \) 的全纯向量丛, \( M \) 为紧的复 \( m \) 维埃尔米特流形. \( {A}^{\left( p, q\right) }\left( E\right) \) 为系数在 \( E \) 中的 \( {C}^{\infty }\left( {p, q}\right) \) 形式全体. \( \left\{ {T}_{{j}_{k}}\right\} \) 是定义在 \( M \) 的覆盖 \( \left\{ {U}_{j}\right\} \) 能确定 \( E \) 的转移函数矩阵.
\( E \) 的纤维上的埃尔米特形式是由每个 \( {U}_{j} \) 上给定的正定形式 \( \sum {h}_{j\mu \nu }{\xi }^{\mu }{\xi }^{\nu } \) 确定的,记 \( {h}_{j} \) 为矩阵 \( \left\{ {h}_{j\mu \nu }\right\} \) , 显然有 \( {h}_{k} = {J}_{jk}{h}_{j}{T}^{\prime }{}_{jk} \) ,设 \( {U}_{j} \) 上埃尔米特度量为
\[
\mathrm{d}{s}^{2} = \sum {g}_{\lambda \bar{\sigma }}\mathrm{d}{z}^{\lambda }\mathrm{d}{\bar{z}}^{\sigma }.
\]
对于 \( \phi ,\psi \in {A}^{p, q}\left( E\right) \) ,记
\[
\langle \phi ,\psi \rangle = \sum {h}_{j\mu \nu }\left\langle {{\phi }_{j}^{\mu },{\phi }_{j}^{\nu }}\right\rangle
\]
\[
= \frac{{2}^{n} \cdot g}{p!q!}\sum {h}_{j,\omega }{\phi }_{j{\alpha }_{1}\cdots {\alpha }_{p}{\widetilde{s}}_{1}\cdots {\widetilde{s}}_{q}}{\phi }^{p{\alpha }_{1}\cdots {\alpha }_{p}}{p}^{{\beta }_{1}\cdots {\beta }_{q}}\mathrm{\;d}{x}^{1}\cdots \mathrm{d}{x}^{2n},
\]
定义内积为
\[
\left( {\phi ,\psi }\right) = {\int }_{M}\langle \phi ,\psi \rangle
\]
算子 \( \bar{\partial } \) 与 \( {\bar{\partial }}^{ * } \) 确定共轭算子
\[
\bar{▱} = \overline{\partial {\partial }^{ * }} + {\bar{\partial }}^{ * }\bar{\partial }
\]
若 \( \phi \in {A}^{p, q}\left( E\right) \) ,当 \( \bar{▱}\phi = 0 \) 时,称 \( \phi \) 为调和的 \( E \) 值 \( (p \) , \( q) \) 形式,它等价于 \( \bar{\partial }\phi = 0,{\bar{\partial }}^{ * }\phi = 0 \) ,记其全体为 \( {H}^{p, q} \) , \( {L}^{p, q} \) 为 \( {A}^{p, q}\left( E\right) \) 按上述内积的完备化. \( {L}^{p, q} \) 到 \( {H}^{p, q} \) 的正交射影记为 \( P \) ,则下述结论成立:
\[
\text{1.}{L}^{p, q} = ▱\left( {L}^{p, q}\right) \oplus {H}^{p, q}
\]
\[
= \bar{\partial }\left( {L}^{p, q - 1}\right) \oplus {\bar{\partial }}^{ * }\left( {L}^{p, q + 1}\right) \oplus {H}^{p, q}.
\]
2. 存在格林算子 \( G : {L}^{p, q} \rightarrow \bar{▱}\left( {L}^{p, q}\right) \) ,在 \( \bar{▱}\left( {L}^{p, q}\right) \) 上是一一的. 当 \( \phi \in {H}^{p, q} \) 时, \( {G\phi } = 0,\bar{▱}G + P = I \) .
3. 若 \( \phi \) 为闭形式,则 \( {P\phi } \) 与 \( \phi \) 同在一个铎尔博尔上同调中.
克勒流形上的分解定理 (decomposition theorem on Kähler manifold) 克勒流形上德拉姆上同调群的分解定理. 该定理断言: 若 \( M \) 是克勒流形,则存在直和分解
\[
{H}^{r}\left( {M,\mathrm{C}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{p + q = r}}{H}^{p, q}\left( M\right) ,
\]
其中 \( {H}^{r}\left( {M,\mathrm{C}}\right) \) 是 \( M \) 上德拉姆上同调群, \( {H}^{p, q}\left( M\right) \) 是铎尔博尔群, 而且
\[{\bar{H}}^{p, q}\left( M\right) = {H}^{q, p}\left( M\right) .\]
撰 稿 干丹岩 申启阳 杨家新 李志毅 何伯和戴文惠
审 阅 干丹岩 虞言林
## 位 势 论
位势论 (potential theory) 现代分析数学领域的一个分支, 主要研究各种形式的位势 (函数) 和与其密切关联的调和函数、上 (下、超、次) 调和函数族的各种性质及其应用. 经典位势论的主要研究工具是微积分, 并与微分方程、复变函数论紧密关联; 现代位势论以拓扑、泛函分析与测度论、广义函数等为主要工具, 与分析数学领域的诸多分支相互渗透并和随机过程建立了深刻的内在联系. 位势论起源于物理学的万有引力学说和静电学, 远在 1733 年, 拉格朗日 (Lagrange, J. -L. ) 就注意到引力场是一个函数 (称为牛顿位势) 的梯度. 在三维欧氏空间, 一个单位质点 \( {\varepsilon }_{y} \) 的引力场在点 \( x\left( {x \neq y}\right) \) 的牛顿位势等于把一个单位质点从无穷远移到点 \( x \) 所做的功,其值是 \( 1/\left| {x - y}\right| \) . 因此,一个质量分布 \( \mu \) 的引力场在 \( x \) 的牛顿位势是
\[
{U}^{\mu }\left( x\right) = \int \frac{1}{\left| x - y\right| }\mathrm{d}\mu \left( y\right) .
\]
1772 年, 拉普拉斯 (Laplace, P.-S. ) 证明了, 在不分布质量的地方, 位势满足拉普拉斯方程. 这样, 物理问题便化为求解偏微分方程的数学问题.
从 18 世纪到 19 世纪末,位势论的研究限于 \( n \) 维欧氏空间上的牛顿位势 \( \left( {n \geq 3}\right) \) 和对数位势 \( \left( {n = 2}\right) \) ,即所谓经典位势论. 其中心问题之一是古典狄利克雷问题的求解. 1823 年, 泊松 (Poisson, S. - D. ) 就球域情形给出了解的积分公式; 1828 年, 格林 (Green, G. ) 对边界充分光滑的有界区域, 从物理直观出发并借助于格林函数给出了解; 1840 年, 高斯 (Gauss, C. F. ) 采用变分法解决了平衡问题并得出狄氏问题的新解法. 这两个问题与扫除问题相关联, 此后一直被称为位势论三大基本问题. 1855 年, 狄利克雷 (Dirichlet, P. G. L. ) 和黎曼 (Riemann, (G. F. )B. ) 利用所谓狄利克雷原理给出了解. 此外, 还有庞加莱 (Poincaré, (J. -) H. ) 的扫除法, 施瓦兹 (Schwarz, H. A. ) 的交错法等. 但是, 由于缺乏足够的数学工具, 这些解法是不严密的, 需要附加条件. 另外, 在这一时期的主要成果还有: 1839 年, 埃恩苏 (Earnshaw, E. ) 证明狄氏解的极值原理; 1850 年, 黎曼把位势论与函数论作统一处理, 揭示了格林函数和位势同保形映射之间的密切联系; 1886 年, 哈纳克 (Harnack, C. G. A. ) 建立哈纳克不等式及哈纳克收敛原理. 此外, 关于诺伊曼问题及多重调和函数的研究也有不少成果. 这样, 直到 19 世纪末, 位势论的三个基本原理, 即极小值原理、收敛性质及狄利克雷问题的可解性已基本建立, 它为现代位势论的发展作了很好的准备.
20 世纪以来, 由于深入应用现代函数论、测度和积分的理论、泛函分析、一般拓扑学、抽象代数、现代概率论的思想和方法, 位势论得到蓬勃发展, 开辟了新的研究方向, 创造了新的方法, 成为分析数学领域中比较彻底完成了现代化变革的一个分支, 也影响了其他数学分支的发展.
20 世纪初, 一个重要发现是, 1909 年, 扎雷姆巴 (Zaremba, S. ) 所揭示的去心球体的经典的狄利克雷问题未必可解这一事实. 1913 年, 由勒贝格 (Lebesgue, H. L. ) 利用所谓勒贝格刺给出的不可解区域的反例更有深刻意义, 这导致了对区域边界非正则点的研究和广义狄利克雷问题的提出, 前者由凯洛格 (Kellogg, O. D. )、布利冈 (Bouligund, G. L. )、维纳 (Wiener, N. ) 等人完全解决; 而佩龙 (Perron, O. ) 于 1923 年提出了关于一般区域的广义狄利克雷问题并给出新的解法, 经过维纳 (1925 年), 特别是布雷洛 (Brélot, M. E. ) (1939 年) 的改进和推广, 得到解的存在和惟一性定理的一般形式. 此外, 柯尔荻希 (Keldysh, M. V. ) 等人在 20 世纪 30 年代还研究了狄利克雷问题的解的稳定性.
1925 年, 里斯 (Riesz, F. ) 引进了上 (下) 调和函数的概念, 为位势论研究提供了新的方法; 里斯分解定理建立了上调和函数与位势之间的紧密联系; 而对上调和函数连续性的研究导致了细拓扑概念的引人.
20 世纪 30 年代, 瓦莱・普桑 (Vallée-Poussin, C. -J. -G. -N. de la) 用现代观点改进并发展了庞加莱扫除法; 弗罗斯特曼 (Frostman, O. ) 发展了高斯变分法, 成功地解决了紧集的平衡问题和扫除问题. 同期, 位势论已推广到非古典核的情况, 特别是里斯位势核, 它已不属于通常与偏微分方程关联的位势核了.
从 20 世纪 40 年代起, 泛函分析、拓扑学的方法被系统地引入位势论并使它发展到一个新水平. 1941 年,嘉当 (Cartan, H. ) 利用希尔伯特空间理论研究具有有限能量的测度等, 得到很大成功; 同年, 马丁 (Martin, R. S. ) 建立了马丁边界理论, 导致了关于一般理想边界的深入研究; 1950 年, 戴尼 (Deny, J. ) 用广义函数论解决了完备化问题; 1955 年, 绍凯 (Choquet, G. ) 建立了一般容量理论及可容性定理, 并用凸锥极端点理论改进了马丁的成果. 此外, 对于更一般空间 (例如流形、LCA 群) 和更一般位势核的位势论也有了深入的探讨.
近 30 多年来, 位势论迅速发展, 其显著特点之一是各种公理体系的建立. 为统一处理已有的理论并加以推广使之适用于一般椭圆型和抛物型方程或随机过程, 自 20 世纪 50 年代中期起, 陶茨 (Tautz, G. )、杜布 (Doob, J. L. )、布雷洛、鲍尔 (Bauer, H. )、 邦尼 (Bony, J. M. )、康斯坦丁斯库 (Constantinescu, C. ) 和柯尼 (Cornea, A. ) 等人分别提出了不同的公理系统, 建立各种形式的调和空间位势论 (最近, 关于多重调和空间及非线性位势论的公理系统也先后建立起来); 而戴尼和博灵 (Beurling, A. ) 等人则从能量和狄利克雷积分等概念出发建立了狄利克雷空间论. 位势论发展的另一个显著特点是, 越来越广泛深入地与相邻分支, 如复分析 (包括黎曼曲面)、拓扑学、几何测度论、微分几何、微分方程、调和分析等相互结合和渗透, 且发挥日益明显的作用与影响. 特别引人注目的是, 对于它与随机过程论之深刻联系的深入研究, 同时促进了这两个分支的繁荣和发展, 在杜布、亨特 (Hunt, G. A. )、迈耶 (Meyer, P. A. ) 和钟开莱等人出色工作的基础上, 产生了所谓概率位势论或马尔可夫过程位势论, 与此有关的课题正吸引着大批学者去做深入研究.
## 一般位势论与广义核
一般位势 (general potential) 经典位势的一种直接推广形式, 常为一个二元数值函数 (核) 关于某个测度的积分. 对于一个取定的核, 考虑诸测度所确定的位势及有关的调和、上 (下) 调和函数等的性质及其应用的理论称为关于该核的一般位势论. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 是一个可测空间, \( K\left( {x, y}\right) \) 是从 \( \Omega \times \Omega \) 到 \( \left\lbrack {-\infty , + \infty }\right\rbrack \) 的可测函数, \( \mu \) 是 \( \mathcal{F} \) 上的实测度. 若对每个 \( x \in \Omega \) ,下式中的积分有意义,则由 \( \Omega \) 到 \( \left\lbrack {-\infty , + \infty }\right\rbrack \) 的函数
\[
{U}^{\mu } = {U}_{K}^{\mu }\left( x\right) = \int K\left( {x, y}\right) \mathrm{d}\mu \left( y\right)
\]
称为 \( \mu \) 以 \( K \) 为核的一般位势,简称位势. 通常考虑上述 \( \Omega \) 同时为局部紧豪斯多夫空间,核 \( K \) 为不取 \( - \infty \) 值的下半连续函数, \( \mu \) 为拉东测度 (有时设 \( \mu \geq \) 0,即 \( \mu \) 为正测度). 以下对于一般位势均作此假定.
一般位势论 (theory of general potential) 见 “一般位势”.
核 (kernel) 位势论的基本概念. 在位势论中, 所谓核, 常指一般位势的核 (参见 “一般位势”). 这时若 \( K\left( {x, y}\right) \geq 0 \) 恒成立,则称 \( K \) 为正核; 令 \( {K}^{\prime }\left( {x, y}\right) \) \( = K\left( {y, x}\right) \left( {K}^{\prime }\right. \) 称为 \( K \) 的转置核),若 \( {K}^{\prime } = K \) ,则称 \( K \) 为对称核; 当 \( \Omega \) 为阿贝尔群且有 \( K\left( {x, y}\right) \) \( = K\left( {x - y}\right) \) 时,则称 \( K \) 为平移不变核; 若对于任意有紧支集的 \( \mu \) ,有
\[
\iint K\left( {x, y}\right) \mathrm{d}\mu \left( x\right) \mathrm{d}\mu \left( y\right) \geq 0,
\]
则称 \( K \) 为正定核. 此外,还有各种广义形式的核,如测度核、广义函数核等.
正核 (positive kernel) 见“核”.
转置核 (transposed kernel) 见 “核”.
对称核 (symmetry kernel) 见“核”.
平移不变核 (invariant kernel under translation) 见“核”.
正定核 (positive definite kernel) 见 “核”.
位势 (potential) 位势论的基本概念. 所谓位势, 通常指某个函数 (核) 确定的参变量积分. 产生位势概念的原型是力学中的引力位势, 即一个梯度场 (引力场) 的参变量积分,一般在 \( {\mathrm{R}}^{n}\left( {n \geq 2}\right) \) 中,由公式
\[
- \operatorname{grad}u = - \left( {\frac{\partial u}{\partial {x}_{1}},\frac{\partial u}{\partial {x}_{2}},\cdots ,\frac{\partial u}{\partial {x}_{n}}}\right)
\]
给出向量场时,函数 \( u = u\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 称为位势. 此概念现已大大发展, 除了常指一般位势外, 还有相应于广义形式核的位势, 在调和空间用上调和函数定义的无显示核的位势, 在鞅论中用上鞅定义的位势等.
\( \alpha \) 位势 ( \( \alpha \) -potential) 亦称里斯位势,关于 \( \alpha \) 核的一般位势. 设 \( \Omega = {\mathrm{R}}^{n}\left( {n \geq 2}\right) ,\left| \cdot \right| \) 表示欧氏范数,0 \( < \alpha < n \) ,称 \( K\left( {x, y}\right) = {\left| x - y\right| }^{\alpha - n} \) 为 \( \alpha \) 核或里斯核. 它是正的、对称的、平移不变的正定核; 相应的位势记为 \( {U}_{\alpha }^{\mu } \) ,称它为 \( \alpha \) 位势或里斯位势. 必要时采用 \( \alpha \) 核的正规化形式,令 \( K\left( {x, y}\right) = {K}_{a}\left( {x - y}\right) \) ,而 \( {K}_{a}\left( x\right) \) \( = A\left( {n,\alpha }\right) \cdot {\left| x\right| }^{\alpha - n} \) ,其中正规化因子
\[
A\left( {n,\alpha }\right) = {\pi }^{\alpha - \frac{n}{2}}\Gamma \left( \frac{n - \alpha }{2}\right) /\Gamma \left( \frac{\alpha }{2}\right) .
\]
这时, 按广义函数的运算定义
\[
{U}_{\alpha }^{\mu }\left( x\right) = \left( {{K}_{\alpha } * \mu }\right) \left( x\right) .
\]
\( \alpha \) 位势是里斯 (Riesz, F. ) 为推广牛顿位势而引进的, 兰德柯夫 (Landkof, N. S. ) 等人对此有深入研究. 里斯位势又称分数次积分 (参见本卷《调和分析》 有关条目).
里斯位势 (Riesz potential) 即 “ \( \alpha \) 位势”.
里斯位势论 (theory of Riesz potential) 位势论的一个组成部分. 所谓里斯位势论,就是研究 \( \alpha \) 位势 (即里斯位势) 及其关联的 \( \alpha \) 调和、 \( \alpha \) 上 (下) 调和函数等的性质及其应用的理论.
\( \alpha \) 核 ( \( \alpha \) -kernel) 见 “ \( \alpha \) 位势”.
里斯核 (Riesz kernel) 见 “ \( \alpha \) 位势”.
牛顿位势 (Newton potential) 一般位势的经典模型之一. 在 \( {\mathrm{R}}^{n}\left( {n \geq 3}\right) \) 中,2 核 \( K = {\left| x - y\right| }^{2 - n} \) 称为牛顿核,相应的位势 \( {U}_{2}^{\mu } \) 称为牛顿位势; 当 \( n = 3 \) 时, 据牛顿万有引力公式, 一个物体 (或其质量分布) 产生的引力场在任何一点 \( x \) 的位势等于
\[
{U}_{2}^{\mu }\left( x\right) = {\int }_{B}\frac{1}{\left| x - y\right| }\sigma \mathrm{d}v\left( y\right) ,
\]
这里 \( B \) 表示物体所占据的区域, \( \mathrm{d}\mu = \sigma \mathrm{d}v,\sigma \) 表示密度, \( \mathrm{d}v \) 是体积元素; 且为表达简明略去一个常数因子. 当 \( \sigma \) 仅集中在某一曲面 \( \Gamma \) 时,关于 \( \mathrm{d}\mu = \sigma \mathrm |
2000_数学辞海（第3卷） | 180 | lpha } * \mu }\right) \left( x\right) .
\]
\( \alpha \) 位势是里斯 (Riesz, F. ) 为推广牛顿位势而引进的, 兰德柯夫 (Landkof, N. S. ) 等人对此有深入研究. 里斯位势又称分数次积分 (参见本卷《调和分析》 有关条目).
里斯位势 (Riesz potential) 即 “ \( \alpha \) 位势”.
里斯位势论 (theory of Riesz potential) 位势论的一个组成部分. 所谓里斯位势论,就是研究 \( \alpha \) 位势 (即里斯位势) 及其关联的 \( \alpha \) 调和、 \( \alpha \) 上 (下) 调和函数等的性质及其应用的理论.
\( \alpha \) 核 ( \( \alpha \) -kernel) 见 “ \( \alpha \) 位势”.
里斯核 (Riesz kernel) 见 “ \( \alpha \) 位势”.
牛顿位势 (Newton potential) 一般位势的经典模型之一. 在 \( {\mathrm{R}}^{n}\left( {n \geq 3}\right) \) 中,2 核 \( K = {\left| x - y\right| }^{2 - n} \) 称为牛顿核,相应的位势 \( {U}_{2}^{\mu } \) 称为牛顿位势; 当 \( n = 3 \) 时, 据牛顿万有引力公式, 一个物体 (或其质量分布) 产生的引力场在任何一点 \( x \) 的位势等于
\[
{U}_{2}^{\mu }\left( x\right) = {\int }_{B}\frac{1}{\left| x - y\right| }\sigma \mathrm{d}v\left( y\right) ,
\]
这里 \( B \) 表示物体所占据的区域, \( \mathrm{d}\mu = \sigma \mathrm{d}v,\sigma \) 表示密度, \( \mathrm{d}v \) 是体积元素; 且为表达简明略去一个常数因子. 当 \( \sigma \) 仅集中在某一曲面 \( \Gamma \) 时,关于 \( \mathrm{d}\mu = \sigma \mathrm{d}S \) 在 \( \Gamma \) 上积分就是单层位势; 若同时把 \( 1/\left| {x - y}\right| \) 改为它关于 \( y \) 在 \( \Gamma \) 的内法向导数
\[
\frac{\partial }{\partial n}\frac{1}{\left| x - y\right| }
\]
就得到所谓双层位势 (参见《偏微分方程》相应条目).
牛顿核(Newton kernel) 见“牛顿位势”.
2 核 (2 kernel) 即 “牛顿核”.
对数位势 (logarithmic potential) 一般位势的经典模型之一. 在 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 中,以 \( K\left( {x, y}\right) = - \log \left| {x - y}\right| \) 为核 (称为对数核) 的位势称为对数位势,记为 \( {U}_{l}^{\mu } \) . 对数核是对称的、平移不变的, 但不是正核. 二维引力场的位势即为对数位势.
对数核 (logarithmic kernel) 见 “对数位势”.
经典位势 (classical potential) 几类位势的经典模型的统称. 所谓经典位势, 常指牛顿位势和对数位势,也指与它们密切关联的、 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的子区域上的格林位势. 它们与泊松方程有密切联系. 例如在 \( {\mathrm{R}}^{3} \) 中, 当 \( \mu = \sigma \mathrm{d}v \) ,且密度 \( \sigma \) 充分光滑时, \( {U}_{2}^{\mu } \) 满足方程 \( {\Delta u} \) \( = - {4\pi \sigma } \) . 古典位势常考虑 \( \mu \geq 0 \) 且支集为紧的情形,这时它在定义空间内在 \( \mu \) 的支集之外为调和 (参见“调和函数”); \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的一个区域上定义的调和函数可表成单层位势与双层位势之和.
经典位势论 (classial potential theory) 位势论的一个组成部分. 所谓经典位势论, 是指研究经典位势及其关联的调和函数、上 (下) 调和函数等的性质及其应用的理论, 也称为关于拉普拉斯方程的位势论.
单层位势 (potential of simple layer) 见《偏微分方程》相应条目.
双层位势 (potential of double layer) 见《偏微分方程》相应条目.
阿龙扎扬-史密斯核 (Aronszajn-Smith kernel) 一种位势核. 在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中称
\[
{K}^{\left( \alpha \right) } = {\left( 2\pi \right) }^{-p/2}{2}^{1 - \alpha /2}{\Gamma }^{-1}\left( \frac{\alpha }{2}\right) \frac{{K}_{\left( {p - \alpha }\right) /2}\left( \left| {x - y}\right| \right) }{{\left| x - y\right| }^{\left( {p - \alpha }\right) /2}}
\]
为阿龙扎扬-史密斯核. 此处 \( 0 < \alpha < + \infty ,{K}_{\lambda } \) 表示第三类修正贝塞尔函数, 即
\[
{K}_{\lambda }\left( x\right) = \frac{\pi \mathrm{i}}{2}{\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}\lambda /2}{H}_{\lambda }^{\left( 1\right) }\left( {\mathrm{i}x}\right) .
\]
\( \Lambda \) 核 ( \( \Lambda \) -kernel) 一种位势核. 从 \( {\mathrm{R}}^{2} \times {\mathrm{R}}^{2} \) 到 \( ( - \infty , + \infty \rbrack \) 的函数 \( \Lambda \) :
\[
A\left( {x, y}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} - \log \left| {x - y}\right| & \left( {\left| y\right| < 1}\right) , \\ - \log \left| {x - y}\right| + \log \left| y\right| & \left( {\left| y\right| \geq 1}\right) \end{array}\right.
\]
称为 \( \Lambda \) 核. 以它为核的位势称为阿南达姆-布雷洛位势, 阿南达姆 (Anandam, V. ) 和布雷洛 (Brélot, M. E. ) 两人于 1981 年给出了该位势的性质的研究, 目前已把它推广到一类黎曼曲面上.
阿南达姆-布雷洛位势 (Anandam-Brélot potential) 见“ \( \Lambda \) 核”.
位势的基本原理 (fundamental principles of potentials) 指与核 \( K \) 相关联的位势可能满足的一些基本性质, 包括:
1. 连续性原理.
I. 第一极大值原理.
II. 广义极大值原理.
IV. 第二极大值原理 (控制原理).
V. 惟一性原理.
VI. 下包络原理.
VI. 能量原理.
Ⅷ. 弱平衡原理.
IX. 平衡原理.
X. 扫除原理.
在一定条件下, 这些原理之间有蕴涵或等价关系. 如 \( \mathbb{I} \Rightarrow \mathbb{{II}},\mathrm{X} \Rightarrow \mathbb{N},\mathrm{{IX}} \Rightarrow \mathrm{{VII}} \) ; 当 \( K \) 是正的、连续的对称核且当 \( x \neq y \) 时取有限值,则 \( \mathbb{I} \Rightarrow \mathrm{I},\mathbb{I} \Leftrightarrow \mathrm{I} \) , \( \mathrm{{IV}} \Leftrightarrow \mathrm{X} \) . 深入研究核与各原理之间的关系也是位势论的一大课题.
连续性原理 (continuity principle) 描述位势在子集上连续蕴涵全空间上连续的一个原理. 对任何 \( \mu \geq 0 \) ,若限制在 \( \mu \) 的支集 \( \operatorname{supp}\mu \) 上, \( {U}_{K}^{\mu } \) 连续 (有限) 蕴涵 \( {U}_{K}^{\mu } \) 在整个 \( \Omega \) 连续,则称核 \( K \) 满足连续性原理. 例如, \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的 \( \alpha \) 核, \( {\mathrm{R}}^{2} \) 中的对数核满足该原理.
第一极大值原理 (first maximum principle)
描述位势局部极大值蕴涵整体极大值的一个原理. 若对任何 \( \mu \geq 0,{U}_{K}^{\mu } \leq M \) 在 \( \mu \) 的支集 \( \operatorname{supp}\mu \) 上成立蕴涵该不等式在整个 \( \Omega \) 成立,则称 \( K \) 满足第一极大值原理. \( \alpha \) 核当 \( 0 < \alpha \leq 2 \) 时满足该原理,而当 \( 2 < \alpha < \) \( n \) 时不满足该原理.
广义极大值原理 (generalized maximum principle) 第一极大值原理的推广. 若存在常数 \( C \geq 0 \) , 对任何 \( \mu \geq 0 \) ,使 \( {U}_{K}^{\mu } \leq M \) 在 \( \operatorname{supp}\mu \) 成立蕴涵 \( {U}_{K}^{\mu } \leq \) \( {CM} \) 在整个 \( \Omega \) 成立,则称 \( K \) 满足广义极大值原理. \( \alpha \) 核都满足该原理.
第二极大值原理 (second maximum principle) 亦称控制原理, 描述两个位势的大小关系的一个原理. 具体地,若对任意 \( \mu \geq 0,\lambda \geq 0,{U}_{K}^{\mu } \leq {U}_{K}^{\lambda } \) 在 \( \operatorname{supp}\mu \) 上成立蕴涵该不等式在 \( \Omega \) 成立,则称 \( K \) 满足第二极大值原理. \( \alpha \) 核满足该原理.
控制原理 (domination principe) 即“第二极大值原理”.
惟一性原理 (uniqueness principle) 确定两个位势所对应的测度相等的一个充分必要条件. 具体地,若对任何能量有限的正测度 \( \mu \) 和 \( \lambda ,{U}_{K}^{\mu } = {U}_{K}^{\lambda } \) 在 \( \operatorname{supp}\mu \cup \operatorname{supp}\lambda \) 似乎处处 (参见 “似乎处处”) 成立蕴涵 \( \mu = \lambda \) ,则称 \( K \) 满足惟一性原理. 例如 \( \alpha \) 核满足此原理.
下包络原理 (lower envelope principle) 描述两个位势的下确界仍是位势的一个原理. 确切地, 若对任意 \( \lambda \geq 0,\mu \geq 0 \) ,存在 \( \gamma \geq 0 \) ,使
\[
{U}_{K}^{\gamma }\left( x\right) = \min \left\{ {{U}_{K}^{\mu }\left( x\right) ,{U}_{K}^{\lambda }\left( x\right) }\right\} ,
\]
则称 \( K \) 满足下包络原理. 所有的 \( \alpha \) 核都满足该原理.
超调和函数 (hyperharmonic function) 在任意点的值不小于以该点为中心的球面上的平均值的函数. 设 \( D \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n}\left( {n \geq 2}\right) \) 的开集, \( f \) 是 \( D \) 上的下半连续函数,若存在 \( {r}_{0} > 0 \) ,使任何 \( r \in \left( {0,{r}_{0}}\right) \) 和 \( x \in D \) ,恒有
\[
f\left( x\right) \geq {\int }_{S\left( {x, r}\right) }f\left( y\right) \mathrm{d}{\varepsilon }_{x}^{\left( r\right) }\left( y\right) \equiv f * {\varepsilon }^{\left( r\right) }\left( x\right) ,
\]
其中 \( {\varepsilon }^{\left( r\right) } = {\varepsilon }_{0}^{\left( r\right) },{\varepsilon }_{x}^{\left( r\right) } \) 表示单位正质量在球面
\[
S\left( {x, r}\right) = \{ y\left| \right| y - x \mid = r\}
\]
上的均匀分布 (因而上式中的积分表示 \( f \) 在 \( S\left( {x, r}\right) \) 上的平均值),则称 \( f \) 在点 \( x \) 超调和. 若 \( f \) 在 \( D \) 内处处超调和,则称 \( f \) 在 \( D \) 内超调和. 上式 \( {\varepsilon }^{\left( r\right) },{\varepsilon }_{x}^{\left( r\right) } \) 可分别改为单位正质量在 \( S\left( {0, r}\right), S\left( {x, r}\right) \) 界定的球内的均匀分布 \( {m}^{\left( r\right) } \) 与 \( {m}_{x}^{\left( r\right) } \) . 当 \( \mu \geq 0 \) 时, \( {U}_{l}^{\mu } \) 与 \( {U}_{\alpha }^{\mu }(2 \leq \alpha \) \( < n) \) 分别是 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 与 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 内的超调和函数.
\( D \) 内超调和函数全体 \( \mathcal{U} \) 成为一个凸锥,即 \( f, g \) \( \in \mathcal{U},\alpha ,\beta \geq 0 \) 蕴涵 \( {\alpha f} + {\beta g} \in \mathcal{U} \) (假定 \( 0 \cdot \left( {+\infty }\right) \) \( = 0);\mathcal{U} \) 关于有限子族 \( {\mathcal{U}}^{\prime } \) 的下包络运算封闭,即
\[
\inf \left\{ {f\left( x\right) \mid f \in {\mathcal{U}}^{\prime }}\right\} \in \mathcal{U},
\]
但若 \( {\mathcal{U}}^{\prime } \) 为无限子族则未必成立; 若子族 \( {\mathcal{U}}^{\prime } \) 为上定向集,即 \( f, g \in {\mathcal{U}}^{\prime } \) 蕴涵存在 \( h \in {\mathcal{U}}^{\prime } \) 使 \( h \geq f, h \geq g \) , 则
\[
\sup \left\{ {f\left( x\right) \mid f \in {\mathcal{U}}^{\prime }}\right\} \in \mathcal{U}
\]
对闭包含于 \( D \) 的开球 \( B \) 内的、以 \( f \in \mathcal{U} \) 为边界值的泊松积分 \( {H}_{f} \) ,则 \( f \geq {H}_{f} \) 在 \( B \) 内成立; 进一步,若把 \( f \) 在 \( B \) 内的取值换成 \( {H}_{f} \) ,所得函数仍在 \( \mathcal{U} \) 中.
亚调和函数 (hypoharmonic function) 一类与超调和函数紧密相关的函数. 若 \( - f \) 在 \( x \in D \) 超调和,则称 \( f \) 在 \( x \) 亚调和; 若 \( - f \) 在区域 \( D \) 内超调和, 则称 \( f \) 在 \( D \) 内亚调和.
上调和函数 (superharmonic function) 超调和函数的一个子类. 若 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的区域 \( D \) 内的超调和函数 \( f \neq \infty \) ,则称 \( f \) 为 \( D \) 内的上调和函数. 它必定在 \( D \) 内几乎处处取有限值且局部可积. 例如,当 \( 2 \leq \alpha < n \) 时, \( {\left| x\right| }^{a} \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 内的上调和函数; 二次连续可微的函数 \( f \) 为上调和当且仅当
\[
{\Delta f} \equiv \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {x}_{i}^{2}} \leq 0,
\]
其中 \( {x}_{i} \) 是点 \( x \) 的第 \( i \) 个坐标. 若把一般的下半连续函数 \( f \) 看成广义函数,上式仍是上调和的充分必要条件. 对 \( D \) 内上调和的函数 \( f \) ,在子区域 \( {D}_{1} \) (设 \( {\bar{D}}_{1} \) \( \left( D\right) \) 上, \( r > 0 \) 充分小时, \( k + 1\left( {k \geq 0}\right) \) 重卷积
\[
f * {m}^{\left( r\right) } * {m}^{\left( r\right) } * \cdots * {m}^{\left( r\right) }\left( x\right)
\]
为 \( k \) 次连续可微的上调和函数,且当 \( r \downarrow 0 \) 时,单调不减地收敛于 \( f \) . 又对取定的 \( x \in D, f * {\varepsilon }^{\left( r\right) }\left( x\right) \) 与 \( f \) \( * {m}^{\left( r\right) }\left( x\right) \) 都是 \( r \) 的单调不增函数且为 \( - \log r\left( {n = 2}\right) \) 或 \( {r}^{2 - n}\left( {n \geq 3}\right) \) 的凹函数.
下调和函数 (subharmonic function) 亦称次调和函数. 亚调和函数的一个子类. 若一 \( f \) 为上调和函数,则 \( f \) 称为同一区域内的下调和函数. 此时,若 \( \varphi \left( t\right) \) 是 \( t \) 的单调增的凸函数,则 \( \varphi \circ f \) 为下调和函数. 例如,当 \( u\left( x\right) \) 为 \( D \subset {\mathrm{R}}^{2} \) 上的复值解析函数,实数 \( \alpha > 0 \) 时, \( {\left| u\left( x\right) \right| }^{\alpha } \) 与 \( \alpha \log \left| {u\left( x\right) }\right| \) 都是下调和函数.
次调和函数 (subharmonic function) 即“下调和函数”.
调和函数 (harmonic function) 兼备上调和与下调和性的函数. 从区域 \( D \) 到 \( \left( {-\infty , + \infty }\right) \) 的函数 \( f \) ,若在 \( E\left( {E \subset D}\right) \) 的每一点既为上调和,又为下调和,则称 \( f \) 在 \( E \) 调和. \( f \) 在点 \( x \) 调和当且仅当在该点的一个邻域内连续且满足平均值性质,即 \( f\left( x\right) \) \( = f * {\varepsilon }^{\left( r\right) }\left( x\right) \) (或等价地, \( f\left( x\right) = f * m\left( x\right) \) ) 对充分小的 \( r > 0 \) 恒成立. 当 \( f \) 为二次连续可微时, \( f \) 在 \( D \) 调和当且仅当满足 \( {\Delta f} = 0 \) ; 把局部可积的函数视为广义函数,上式也是调和的充分必要条件. \( D \) 内调和函数是解析的,即在其中每一点 \( {x}_{0} = \left( {{x}_{1}^{0},{x}_{2}^{0},\cdots }\right. \) , \( \left. {x}_{n}^{0}\right) \) 的一个球邻域 \( B\left( {{x}_{0}, r}\right) \left( { \subset D}\right) \) 内可惟一地展开成实的幂级数
\[
\sum {a}_{{k}_{1}\cdots {k}_{n}}{\left( {x}_{1} - {x}_{1}^ |
2000_数学辞海（第3卷） | 181 | x\right) \) 为 \( D \subset {\mathrm{R}}^{2} \) 上的复值解析函数,实数 \( \alpha > 0 \) 时, \( {\left| u\left( x\right) \right| }^{\alpha } \) 与 \( \alpha \log \left| {u\left( x\right) }\right| \) 都是下调和函数.
次调和函数 (subharmonic function) 即“下调和函数”.
调和函数 (harmonic function) 兼备上调和与下调和性的函数. 从区域 \( D \) 到 \( \left( {-\infty , + \infty }\right) \) 的函数 \( f \) ,若在 \( E\left( {E \subset D}\right) \) 的每一点既为上调和,又为下调和,则称 \( f \) 在 \( E \) 调和. \( f \) 在点 \( x \) 调和当且仅当在该点的一个邻域内连续且满足平均值性质,即 \( f\left( x\right) \) \( = f * {\varepsilon }^{\left( r\right) }\left( x\right) \) (或等价地, \( f\left( x\right) = f * m\left( x\right) \) ) 对充分小的 \( r > 0 \) 恒成立. 当 \( f \) 为二次连续可微时, \( f \) 在 \( D \) 调和当且仅当满足 \( {\Delta f} = 0 \) ; 把局部可积的函数视为广义函数,上式也是调和的充分必要条件. \( D \) 内调和函数是解析的,即在其中每一点 \( {x}_{0} = \left( {{x}_{1}^{0},{x}_{2}^{0},\cdots }\right. \) , \( \left. {x}_{n}^{0}\right) \) 的一个球邻域 \( B\left( {{x}_{0}, r}\right) \left( { \subset D}\right) \) 内可惟一地展开成实的幂级数
\[
\sum {a}_{{k}_{1}\cdots {k}_{n}}{\left( {x}_{1} - {x}_{1}^{0}\right) }^{{k}_{1}}{\left( {x}_{2} - {x}_{2}^{0}\right) }^{{k}_{2}}\cdots {\left( {x}_{n} - {x}_{n}^{0}\right) }^{{k}_{n}},
\]
其中 \( {k}_{1},{k}_{2},\cdots ,{k}_{n} \) 为非负整数. 调和函数及其性质的研究是经典位势论和相邻分支的重要课题, 它有明确的物理意义, 在概率论中, 对应于鞅的概念并得到深入的研究, 更一般意义下的调和函数见后 (参见本卷《复变函数论》同名条).
泊松积分 (Poisson integral) 球内狄利克雷问题的解的积分表示. 对于从 \( n \) 维球面 \( S = S\left( {{x}_{0}, r}\right) \) 到 \( \left\lbrack {-\infty , + \infty }\right\rbrack \) 的可积函数 \( f \) ,积分
\[
{H}_{f}\left( x\right) = \frac{1}{{\sigma }_{n}{r}^{n}}{\int }_{S}f\left( y\right) \frac{{r}^{2} - {\left| x - {x}_{0}\right| }^{2}}{{\left| x - y\right| }^{n}}\mathrm{\;d}\sigma \left( y\right)
\]
( \( {\sigma }_{n} \) 为 \( n \) 维单位球面面积) 定义了一个在球内调和的函数,它就是以 \( f \) 为边界值的狄利克雷问题的解. \( {H}_{f} \) 称为泊松积分. 若 \( f \) 在 \( y \in S \) 连续,则
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow y}}{H}_{f}\left( x\right) = f\left( y\right) .
\]
球内的调和函数 \( u \) 何时可表成一个泊松积分曾是一个引人注目的问题; 当 \( u \geq 0 \) 必可做到,马丁 (Martin, R. S. ) 把它推广到一般区域上得到所谓马丁积分表现 (参见 “马丁积分表现”).
极小值原理 (minimum principle) 估计超调和函数极小值点的位置的论断, 为位势论的基本原理之一. 若 \( f \) 在区域 \( D\left( {D \subset {\mathrm{R}}^{n}}\right) \) 内超调和,则
\[
\inf \{ f\left( x\right) \mid x \in D\}
\]
\[
\geq \inf \left\{ {\mathop{\liminf }\limits_{{x \rightarrow y}}f\left( x\right) \mid y \in \partial {D}^{ * }}\right\} ,
\]
其中 \( \partial {D}^{ * } \) 是 \( D \) 在 \( {\overline{\mathrm{R}}}^{n} = {\mathrm{R}}^{n} \cup \{ \infty \} \) 中的边界; 若 \( f \) 在某个 \( {x}_{0} \in D \) 达到极小值,则 \( f \equiv f\left( {x}_{0}\right) \) . 特别地, \( D \) 内调和函数若非常数不能在内点达到极小值. 这些性质分别称为超调和函数与调和函数的极小值原理. 类似地, 对于下调和函数与调和函数, 有极大值原理.
哈纳克引理 (Harnack lemma) 通过不等式描述区域上的正调和函数族的一个整体性质. 若紧集 \( K \subset D \) ( \( D \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的区域),则存在常数 \( C = C(K \) , \( D) > 0 \) ,使得不等式
\[
0 < u\left( {x}_{1}\right) \leq {Cu}\left( {x}_{2}\right)
\]
对任何在 \( D \) 内调和的正值函数 \( u > 0 \) 和任意 \( {x}_{1},{x}_{2} \) \( \in K \) 一致成立. 这个性质称为哈纳克引理 (或哈纳克不等式). 它是研究调和函数性质, 特别是边界性质的重要工具, 该不等式有许多推广形式.
哈纳克不等式 (Harnack inequality) 即 “哈纳克引理”.
哈纳克原理 (Harnack principle) 断言调和函数列的一致极限仍为调和函数的一个原理. 该原理指出: 设 \( \left\{ {f}_{k}\right\} \) 是在区域 \( D \) 内调和的函数列,若每个 \( {f}_{k} \) 在 \( \bar{D} \) 上连续且 \( \left\{ {f}_{k}\right\} \) 在 \( \partial D \) 上一致收敛,则 \( \left\{ {f}_{k}\right\} \) 在 \( \bar{D} \) 上一致收敛且极限函数 \( f \) 在 \( D \) 内调和; 同时,在 \( D \) 的任意紧子集上,
\[
\left\{ \frac{{\partial }^{{m}_{1} + {m}_{2} + \cdots + {m}_{n}}{f}_{k}}{\partial {x}_{1}^{{m}_{1}}\partial {x}_{2}^{{m}_{2}}\cdots \partial {x}_{n}^{{m}_{n}}}\right\}
\]
都一致收敛于
\[
\frac{{\partial }^{{m}_{1} + {m}_{2} + \cdots + {m}_{n}}f}{\partial {x}_{1}^{{m}_{1}}\partial {x}_{2}^{{m}_{2}}\cdots \partial {x}_{n}^{{m}_{n}}},
\]
其中 \( {m}_{1},{m}_{2},\cdots ,{m}_{n} \) 是任意取定的非负整数.
调和函数的正规族 (normal family of harmonic functions) 调和函数的一个子类. 设 \( \left\{ {{f}_{\alpha } \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) 是区域 \( D \) 内调和的函数族,若其中由无限个元素组成的子族中,必存在子列使其在 \( D \) 的任意紧子集上一致收敛于一个在 \( D \) 内调和的函数,则称 \( \left\{ {{f}_{\alpha } \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) 为调和函数的正规族.
在区域 \( D \) 内一致有界的调和函数族必为正规族. 上述条件“一致有界”改为“局部一致下有界”时, 未必为正规族, 但结论类似, 不同之处在于极限函数可能调和,也可能恒为 \( + \infty \) (这时,一致收敛是广义的).
广义哈纳克原理 (generalized Harnack principle) 哈纳克原理的推广. 若 \( \left\{ {{f}_{i} \mid i \in I}\right\} \) 是一族在区域 \( D \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 内调和的函数组成的上定向集,即对 \( i, j \) \( \in I \) ,必有 \( l \in I \) 使得 \( {f}_{l} \geq {f}_{i} \) 且 \( {f}_{l} \geq {f}_{j} \) ,则必存在不减序列 \( \left\{ {{f}_{i} \mid i \in {I}_{0} \subset I}\right\} \) ,使得
\[
\sup \left\{ {{f}_{i}\left( x\right) \mid i \in I}\right\} = \sup \left\{ {{f}_{i}\left( x\right) \mid i \in {I}_{0}}\right\} \left( {x \in D}\right) ,
\]
它或者恒为 \( + \infty \) ,或者在 \( D \) 内调和. 这个性质称为广义哈纳克原理, 它为佩龙 (Perron, O. ) 用于求广义狄利克雷问题的解 (参见“广义狄利克雷问题”).
调和不变性 (invariance of harmonicity) 描述调和函数在某种变换之下的像保持调和的一个概念. 所谓调和不变性,是指 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 的调和性在共形映射下不变,即区域 \( D \subset {\mathrm{R}}^{2} \) 内调和的函数在共形映射 \( f \) : \( x \rightarrow {x}^{\prime } \) 下所得到的函数 \( u\left( {{f}^{-1}\left( {x}^{\prime }\right) }\right) \) 在 \( D \) 的像域 \( f\left( D\right) \) 内调和. \( {\mathrm{R}}^{n}\left( {n \geq 3}\right) \) 的调和性在解析变换下一般不再保持,但在开尔文变换下保持不变. 区域 \( D \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 上的调和函数 \( u\left( x\right) \) 及 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的反演
\[
\tau : x \mid \rightarrow {x}^{\prime } = {k}^{2}x/{\left| x\right| }^{2}\;\left( {k > 0}\right)
\]
定义的函数 \( g \) 称为 \( u \) 的开尔文变换,这里
\[
g\left( {x}^{\prime }\right) = {\left( \frac{k}{\left| {x}^{\prime }\right| }\right) }^{n - 2}u\left( \frac{{k}^{2}{x}^{\prime }}{{\left| {x}^{\prime }\right| }^{2}}\right), g\left( \infty \right) = 0,
\]
它在 \( D \) 的像域 \( \tau \left( D\right) \) 为调和. 利用这种变换,通过在有界区域里调和性质的研究可得到函数在无穷远点 \( \infty \) 的邻域上的同样性质.
开尔文变换 (Kelvin transform) 见 “调和不变性”或本卷《偏微分方程》相应条目.
在无穷远点的调和性 (harmonicity at infinity) 位势论的一个概念. 在 \( {\mathrm{R}}^{n}\left( {n \geq 2}\right) \) 的某个球 \( B \) 的外部调和的函数 \( f \) ,若其开尔文变换在原点的邻域调和 (即以原点为可去奇点),则称 \( f \) 在 \( \infty \) 调和. 这种函数可表示为
\[
f\left( x\right) = C + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{H}_{k}\left( x\right) }{{\left| x\right| }^{{2k} + 1}}\left( {x \in {\mathrm{R}}^{n} \smallsetminus \bar{B}}\right) ,
\]
其中 \( C \) 为常数, \( {H}_{k}\left( x\right) \) 为齐 \( k \) 次的 (关于 \( x = \left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right. \) , \( \left. {\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 的分量 \( {x}_{i} \) 的) 调和多项式,这时 \( f \) 在无穷远点 \( \infty \) 存在有限的极限,且等于以任何一点 \( {x}_{0} \) 为中心、半径充分大的球面 \( S\left( {{x}_{0}, r}\right) \subset \left( {{\mathrm{R}}^{n} \smallsetminus \bar{B}}\right) \) 上 \( f \) 的平均值. 进一步,在 \( \infty \) 的上 (超) 调和等概念也可用平均值来相应定义. 1944 年, 布雷洛 (Brélot, M. E. ) 对此问题做了深入研究,从而把 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的位势论的研究推广到 \( {\overline{\mathrm{R}}}^{n} = {\mathrm{R}}^{n} \cup \{ \infty \} \) 及更一般的 \( \mathcal{E} \) 空间上去.
调和多项式 (harmonic polynomial) 一类特殊的多项式. 满足拉普拉斯方程
\[
\frac{{\partial }^{2}P}{\partial {x}_{1}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}P}{\partial {x}_{2}^{2}} + \cdots + \frac{{\partial }^{2}P}{\partial {x}_{n}^{2}} = 0
\]
的多项式 \( P\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 称为调和多项式.
调和上属 (harmonic majorant) 函数值大于或等于给定函数的调和函数. 设 \( f \) 和 \( h \) 均为区域 \( D \) 上的函数, \( h \) 调和且 \( h \geq f \) (相应地, \( h \leq f \) ),则称 \( h \) 是 \( f \) 的调和上属 (相应地,调和下属). \( D \) 上的一个上调和函数若有调和下属, 则它必有最大的调和下属.
调和上属习惯上也称调和强函数, 调和下属也称调和弱函数.
调和强函数 (harmonic majorant) 即 “调和上属”.
调和下属 (harmonic minorant) 见 “调和上属”.
调和弱函数 (harmonic minorant) 即 “调和下属”.
里斯分解定理 (Riesz decomposition theorem) 位势论中的重要定理. 一个上 (下) 调和函数可表示成调和函数与位势之和 (差) 的形式, 这种表示法称为里斯分解. 关于一种位势, 这种分解的准确表述为: 函数 \( f \) 在区域 \( D\left( {D \subset {\mathrm{R}}^{n}}\right) \) 内上调和的充分必要条件是存在惟一的、集中在 \( D \) 的测度 \( \mu \geq 0 \) (称为 \( f \) 的对应测度),使得对任何相对紧的区域 \( {D}_{1}\left( {{\bar{D}}_{1} \subset }\right. \) \( D) \) ,有
\[
f\left( x\right) = {U}^{{\mu }_{1}}\left( x\right) + {H}_{1}\left( x\right) \;\left( {x \in {D}_{1}}\right) ,
\]
其中 \( {\mu }_{1} \) 为 \( \mu \) 在 \( {D}_{1} \) 的限制, \( {U}^{{\mu }_{1}} \) 为对数位势 \( \left( {n = 2}\right) \) 或牛顿位势 \( \left( {n \geq 3}\right) ;{H}_{1} \) 在 \( {D}_{1} \) 内调和. 上式 \( {U}^{{\mu }_{1}} \) 也可取作以 \( {D}_{1} \) 的格林函数 (参见 “格林函数”条) \( {G}_{1}\left( {x, y}\right) \) 为核的位势
\[
\int {G}_{1}\left( {x, y}\right) \mathrm{d}{\mu }_{1}\left( y\right) .
\]
这时 \( {H}_{1} \) 就是 \( f \) 在 \( {D}_{1} \) 的最大调和下属. 此外, \( f \) 的对应测度 \( \mu \) 实质上就是把 \( f \) 看做广义函数时, \( {m\Delta f} \) 所表示的测度,其中 \( m < 0 \) 为实常数; 特别地,对牛顿位势, \( m = - 1/4{\pi }^{2} \) .
上调和函数的对应测度 (associated measure with a hyperharmonic function) 见 “里斯分解定理”.
\( \alpha \) 调和函数 ( \( \alpha \) -harmonic function) 在里斯位势论中, 与经典位势论里的调和函数相对应的概念. 若 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 到 \( \left( {-\infty , + \infty }\right) \) 的函数 \( f \) 在 \( {x}_{0} \in {\mathrm{R}}^{n} \) 满足下述条件:
1. \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 的一个邻域上连续;
\[
\text{2.}{\int }_{\left| x\right| > 1}f\left( x\right) {\left| x\right| }^{-\left( {n + \alpha }\right) }\mathrm{d}x < + \infty \text{;}
\]
3. 对充分小的正数 \( r \) ,恒有
\[
f\left( {x}_{0}\right) = \left( {{\varepsilon }_{a}^{\left( r\right) } * f}\right) \left( {x}_{0}\right) = \int f\left( {{x}_{0} - y}\right) \mathrm{d}{\varepsilon }_{a}^{\left( r\right) }\left( y\right) ,
\]
其中
\[
{\varepsilon }_{\alpha }^{\left( r\right) }\left( y\right)
\]
\[
\begin{matrix} = \left\{ \begin{array}{l} 0\;\left( {\left| y\right| < r}\right) , \\ \Gamma \left( \frac{n}{2}\right) {\pi }^{-\left( {\frac{n}{2} + 1}\right) }{r}^{2}\sin \frac{\pi \alpha }{2}{\left( {\left| y\right| }^{2} - {r}^{2}\right) }^{-\frac{\alpha }{2}}{\left| y\right| }^{-n} \end{array}\right. \\ \left( {\left| y\right| > r}\right) ; \end{matrix}
\]
则称 \( f \) 为在 \( {x}_{0} \) 为 \( \alpha \left( {0 < \alpha < 2}\right) \) 调和的. 若 \( f \) 在区域 \( D \) 的每一点为 \( \alpha \) 调和,则称 \( f \) 在 \( D \) 内为 \( \alpha \) 调和. 例如, \( \alpha \) 位势 \( {U}_{a}^{\mu }\left( {0 < \alpha < 2}\right) \) 在 \( \mu \) 的支集之外为 \( \alpha \) 调和; 常值函数在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上为 \( \alpha \) 调和. 应注意, \( {\varepsilon }_{a}^{\left( r\right) } \) 的支集为 \( \{ x \) \( \left| \right| x \mid \geq r\} \) ,故 \( \alpha \) 调和及 \( \alpha \) 上调和 (参见 “ \( \alpha \) 上调和函数”) 都不是局部性质; 又: \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的 \( \alpha \) 调和函数 \( f \) 为 \( \alpha \) 上调和当且仅当 \( f \ |
2000_数学辞海（第3卷） | 182 | on }_{\alpha }^{\left( r\right) }\left( y\right)
\]
\[
\begin{matrix} = \left\{ \begin{array}{l} 0\;\left( {\left| y\right| < r}\right) , \\ \Gamma \left( \frac{n}{2}\right) {\pi }^{-\left( {\frac{n}{2} + 1}\right) }{r}^{2}\sin \frac{\pi \alpha }{2}{\left( {\left| y\right| }^{2} - {r}^{2}\right) }^{-\frac{\alpha }{2}}{\left| y\right| }^{-n} \end{array}\right. \\ \left( {\left| y\right| > r}\right) ; \end{matrix}
\]
则称 \( f \) 为在 \( {x}_{0} \) 为 \( \alpha \left( {0 < \alpha < 2}\right) \) 调和的. 若 \( f \) 在区域 \( D \) 的每一点为 \( \alpha \) 调和,则称 \( f \) 在 \( D \) 内为 \( \alpha \) 调和. 例如, \( \alpha \) 位势 \( {U}_{a}^{\mu }\left( {0 < \alpha < 2}\right) \) 在 \( \mu \) 的支集之外为 \( \alpha \) 调和; 常值函数在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上为 \( \alpha \) 调和. 应注意, \( {\varepsilon }_{a}^{\left( r\right) } \) 的支集为 \( \{ x \) \( \left| \right| x \mid \geq r\} \) ,故 \( \alpha \) 调和及 \( \alpha \) 上调和 (参见 “ \( \alpha \) 上调和函数”) 都不是局部性质; 又: \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的 \( \alpha \) 调和函数 \( f \) 为 \( \alpha \) 上调和当且仅当 \( f \geq 0 \) . 这两点明显区别于通常的调和与上调和函数.
\( \alpha \) 上调和函数 ( \( \alpha \) -superharmonic function) 在里斯位势论中, 与经典位势论里的上调和函数相对应的概念. 称 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 到 \( \left\lbrack {0, + \infty }\right\rbrack \) 的函数 \( f \) 为 \( \alpha \) 上调和函数 \( \left( {0 < \alpha < 2}\right) \) ,若 \( f \geq 0, f \neq + \infty \) ,对 \( f \) 下半连续,且满足 “ \( \alpha \) 调和函数”中的条件 2 (参见 “ \( \alpha \) 调和函数”), 并使 \( \left( {{\varepsilon }_{a}^{\left( r\right) } * f}\right) \left( x\right) \leq f\left( x\right) \) 对任意 \( x \in {\mathrm{R}}^{n} \) 及充分小的 \( r > 0 \) 恒成立. 例如,当 \( \mu \geq 0,0 < \alpha < 2 \) 时, \( \alpha \) 位势 \( {U}_{\alpha }^{\mu } \) 为 \( \alpha \) 上调和但不是上调和 (为方便起见,通常的上调和也称为 2 上调和),而当 \( 2 \leq \alpha < n \) 时, \( {U}_{a}^{\mu } \) 为上调和. 类似于上调和函数,对固定的 \( r > 0 \) 及 \( \alpha \) 上调和函数 \( f, f * {\varepsilon }_{\alpha }^{\left( r\right) }\left( x\right) \) 为 \( \alpha \) 上调和且当 \( r \downarrow 0 \) 时, \( f * {\varepsilon }_{\alpha }^{\left( r\right) }\left( x\right) \rightarrow f\left( x\right) \) ; 若在某点 \( {x}_{0} \in {\mathrm{R}}^{n}, f \) 达到极小值, 则 \( f\left( x\right) \equiv f\left( {x}_{0}\right) ;\alpha \) 上调和函数的不减列 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 的极限或者恒等于 \( + \infty \) ,或者为 \( \alpha \) 上调和; 类似的里斯分解定理也成立. 特别当 \( n \geq 3 \) 时,这种分解呈简单形式
\[
f\left( x\right) = {U}_{a}^{\mu }\left( x\right) + A\left( {x \in {\mathrm{R}}^{n}}\right) ,
\]
其中 \( \mu \geq 0, A \) 为非负常数; 这时若 \( f \) 且为 \( \alpha \) 调和,则 \( \mu = 0 \) ,即 \( f \equiv A \) .
2 上调和函数 (2 superharmonic function) 即经典位势论中的上调和函数, 又称为通常的上调和函数.
\( \mathcal{E} \) 空间 ( \( \mathcal{E} \) -space) 一类豪斯多夫空间. 所谓 \( \mathcal{E} \) 空间, 是指满足如下条件的、连通的、可分的豪斯多夫空间 \( \Omega : \Omega \) 的每一点 \( x \) 有开邻域 \( {V}_{x} \) 与 \( {\overline{\mathrm{R}}}^{n} = {\mathrm{R}}^{n} \cup \) \( \{ \infty \} \) 的一个开子集同胚,并且任何两个这样的邻域 \( {V}_{x} \) 与 \( {V}_{y} \) 的交 \( {V}_{x} \cap {V}_{y} \) 在相应的两个同胚映射下是共形的 \( \left( {n = 2}\right) \) 或保距的 \( \left( {n \geq 3\text{,关于无穷远点不变}}\right) \) . 于是 \( {\overline{\mathrm{R}}}^{n} \) 上的调和、超 (亚)、上 (下) 调和等局部性概念可以在 \( \mathcal{E} \) 空间上相应地定义,局部的里斯分解定理也成立. 为了推广黎曼曲面, 布雷洛 (Brélot, M. E. ) 等人引入这种空间并建立了相应的位势论. 没有无穷远点的 \( \mathcal{E} \) 空间在几何学上称为局部平坦的或局部欧氏的黎曼空间.
格林空间 (Green space) 特殊的 \( \mathcal{E} \) 空间. 存在非常数的非负上调和函数的 \( \mathcal{E} \) 空间称为格林空间. \( {\mathrm{R}}^{n}\left( {n \geq 3}\right) \) 及其子区域都是格林空间,黎曼曲面是 \( \mathcal{E} \) 空间但未必是格林空间; 复球面与 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 都不是格林空间. \( {\mathrm{R}}^{2} \) 中的区域为格林空间当且仅当其余集为正容量集. 一般地, \( \mathcal{E} \) 空间 \( \Omega \) 为格林空间当且仅当 \( \Omega \) 上存在格林函数. 在格林空间, 扫除测度与极集都可通过扫除函数来明确刻画 (参见 “格林函数”及 “格林空间的扫除”).
格林函数 (Green function) 一类重要函数. 设 \( \Omega \) 是 \( \mathcal{E} \) 空间,所谓格林函数,是指从 \( \Omega \times \Omega \) 到 \( (0 \) , \( + \infty \rbrack \) 满足下述条件的函数 \( G\left( {x, y}\right) \) :
1. 对称性,即 \( G\left( {x, y}\right) = G\left( {y, x}\right) \) .
2. 固定 \( y \) 时,它是 \( x \) 的上调和函数,且其里斯分解中位势的对应测度为狄喇克测度 \( {\varepsilon }_{y} \) ,即集中在点 \( y \) 的概率测度.
3. 在满足上述性质的诸上调和函数中 \( G \) 为最小.
格林函数也可用扫除或广义函数来定义, 还可用概率论的语言描述.
格林位势 (Green potential) 一类重要位势. 在格林空间中以格林函数为核 (称为格林核) 的、正测度的位势称为格林位势. 它若不恒为 \( + \infty \) ,则必为正的上调和函数且以 0 为最大调和下属.
格林核(Green kernel) 见“格林位势”.
等位面 (equipotential surface) 调和函数的水平面. 设 \( u \) 在区域 \( D\left( {D \subset {\mathrm{R}}^{n}}\right) \) 内调和, \( a \) 为实数,称 \( {\sum }_{a} = \{ x \mid u\left( x\right) = a\} \) 为等位面或水平面. 当 \( u \) 不恒等于常数时,对于 \( D \) 内的点 \( x \) ,若 \( x \) 属于
\[
N = \{ y \mid \operatorname{grad}u\left( y\right) = 0\} ,
\]
则称 \( x \) 为 \( u \) 的临界点. \( N \) 为 \( n - 2 \) 维 (局部地) 点集, 可分解为最多可数个维数不超过 \( n - 2 \) 的实解析流形且它们不聚集于 \( D \) ,即 \( D \) 中任意紧集仅与其中有限个流形相交; 任何 \( {\sum }_{a} \smallsetminus N \) 由 \( n - 1 \) 维的不聚集于 \( D \) 的解析流形所构成. 又,包含于 \( D \) 内的解析曲线若在各处的切线都平行于 \( \operatorname{grad}u \) 且在同类曲线中为极大 (以包含关系为序), 则称之为正交轨线, 它与每个等位面在交点处正交. 当 \( x \) 沿某正交轨线的一个方向变动时, \( u\left( x\right) \) 为严格增加 (或减少) 的,因而正交轨线不是闭曲线,且对每个 \( x \notin N \) ,有且仅有一条正交轨线通过它(不会终止于它).
格林线 (Green line) 格林函数的等位面的正交轨线. 设区域 \( D \) 的格林函数为 \( G\left( {x, a}\right), a \) 为 \( D \) 中某个取定的点,那么它的正交轨线称为格林线. 对 \( a \) 的充分小邻域内的每一点 \( {x}_{0}\left( {{x}_{0} \neq a}\right) \) ,有惟一的格林线经过它; 这种格林线惟一对应着从 \( a \) 处出发与该格林线相切的射线,这种对应给出了从 \( a \) 点发出的格林线全体与射线全体之间的一一映射, 其中从 \( a \) 发出的格林线,若在其上满足 \( \inf G = 0 \) ,则此格林线称为正则的. 因此,从 \( a \) 发出的格林线几乎都是正则的,即其中非正则者所对应的射线与球面 \( S\left( {a, C}\right) \) \( = \{ x\left| \right| x - a \mid = C\} \) 的交是 \( \left( {n - 1}\right) \) 维的勒贝格零测集. 此外,存在一个 \( n \) 维勒贝格零测集 \( {N}_{1} \) 包含了临界点全体 \( N \) ,使在每一点 \( {x}_{1} \in D \smallsetminus N \) 有惟一的正则格林线 \( \Gamma \) 经过. 让 \( {x}_{1} \) 与 \( r = G\left( {{x}_{1}, a}\right) \) 及 \( \Gamma \) 在 \( a \) 的单位切向量 \( l \) 组成的有序对 \( \left( {r, l}\right) \) 建立对应,就得到 \( D \smallsetminus N \) 中的格林坐标系, \( \left( {r, l}\right) \) 称为 \( {x}_{1} \) 的格林坐标. 它是研究格林区域上的位势的重要工具. 若用 \( s \) 表示 \( \Gamma \) 从 \( a \) 到 \( {x}_{1} \) 处的弧长,那么有
\[
\frac{\partial }{\partial s} = \frac{\partial G}{\partial n}\frac{\partial }{\partial r}
\]
在 \( D \smallsetminus N \) 成立,此处 \( \partial G/\partial n \) 表示等位面在 \( {x}_{1} \) 处的外法向导数.
格林坐标 (Green coordinates) 见“格林线”.
能量 (energy) 位势核的二重积分, 物理学中电荷系统的位能这一概念的数学描述与推广. 设 \( \lambda \) , \( \mu \) 表示 \( \Omega \) 上的测度,当下式成立时,它所定义的取值于 \( ( - \infty , + \infty \rbrack \) 的函数 \( {I}_{K} \) 称为 \( \lambda ,\mu \) (关于核 \( K \) ) 的相互能量:
\[
{I}_{K}\left( {\lambda ,\mu }\right) = \int K\left( {x, y}\right) \mathrm{d}\lambda \left( x\right) \mathrm{d}\mu \left( y\right)
\]
\[
= \int {U}^{\mu }\left( x\right) \mathrm{d}\lambda \left( x\right) = \int {U}^{\lambda }\left( y\right) \mathrm{d}\mu \left( y\right) .
\]
特别地, \( {I}_{K}\left( \mu \right) = {I}_{K}\left( {\mu ,\mu }\right) \) 称为 \( \mu \) (关于核 \( K \) ) 的能量. 若对于具有紧支集的正测度 \( \mu \) ,恒有 \( {I}_{K}\left( \mu \right) \geq 0 \) 且等号仅当 \( \mu = 0 \) 时才成立,则称核 \( K \) 满足能量原理. 满足能量原理的 \( K \) 又称为严格正定核,它必正定 (参见“核”及“位势的基本原理”).
相互能量 (mutual energy) 见“能量”.
能量原理 (energy principle) 见 “能量”.
\( \alpha \) 相互能量 ( \( \alpha \) -mutual energy) 关于 \( \alpha \) 核的相互能量,记为 \( {I}_{\alpha }\left( {\lambda ,\mu }\right) \) . 见“能量”.
\( \alpha \) 能量 ( \( \alpha \) -energy) 关于 \( \alpha \) 核的能量,记为 \( {I}_{a}\left( \mu \right) \) . 它满足能量原理. 见 “ \( \alpha \) 相互能量”.
强收敛 (strong convergence) 测度网 (或列) 依范数 (能量) 的收敛. 设核 \( K \) 满足能量原理,那么能量为有限的测度全体 \( {\mathcal{E}}_{K} \) 在通常实线性运算下, 以 \( {I}_{K}\left( {\lambda ,\mu }\right) \) 为内积构成一个准希尔伯特空间. 若 \( {\mathcal{E}}_{K} \) 中的点网 (列) \( {\left\{ {\mu }_{i}\right\} }_{i \in I} \) 依范数 \( \parallel \cdot \parallel = {I}_{K}\left( \cdot \right) \) 收敛于 \( \mu \) ,则称 \( {\left\{ {\mu }_{i}\right\} }_{i \in I} \) 为强收敛于 \( \mu \) ; 若对任意 \( \lambda \in {\mathcal{E}}_{K} \) ,网 (列) \( \left\{ {{I}_{K}\left( {{\mu }_{i} - \mu ,\lambda }\right) }\right\} \) 收敛于 0,则称 \( {\left( {\mu }_{i}\right) }_{i \in I} \) 弱收敛于 \( \mu \) . 又记测度全体为 \( M \) ,称 \( M \) 中的网 (列) \( {\left( {\mu }_{i}\right) }_{i \in I} \) 浑收敛于 \( \mu \in M \) ,指的是对任何具紧支集的连续实函数 \( f \) ,网 (列) \( \left\{ {\int f\mathrm{\;d}{\mu }_{i}}\right\} \) 收敛于 \( \int f\mathrm{\;d}\mu \) . 当 \( K \) 为 \( \alpha \) 核时,测度网 (列) 强收敛必弱收敛, 弱收敛必浑收敛. 特别地, 关于牛顿核的、能量有界的网 (列), 这三种收敛一致.
弱收敛 (weak convergence) 见“强收敛”.
浑收敛 (vague convergence) 见“强收敛”.
一般容量 (general capacity) 一类集函数. 设 \( \varphi \) 是 \( {2}^{\Omega } \) ( \( \Omega \) 的子集全体) 到 \( \left\lbrack {-\infty , + \infty }\right\rbrack \) 上的集函数, 若 \( \varphi \) 满足下列条件,则称为 \( \Omega \) 上的一个一般容量, 并称 \( \varphi \left( E\right) \) 为集合 \( E \) 的容量 (值):
1. 单调不减性,即对 \( {E}_{1} \subset {E}_{2} \) 有 \( \varphi \left( {E}_{1}\right) \leq \varphi \left( {E}_{2}\right) \) .
2. 下连续性,即对单调不减的集列 \( \left\{ {E}_{n}\right\} \) ,有
\[
\varphi \left( {E}_{n}\right) \rightarrow \varphi \left( {\cup {E}_{n}}\right) .
\]
3. 对单调不增的紧集列 \( \left\{ {K}_{n}\right\} \) ,有
\[
\varphi \left( {K}_{n}\right) \rightarrow \varphi \left( {\cap {K}_{n}}\right) .
\]
容量的物理背景是 \( {\mathrm{R}}^{3} \) 中导体的电容量,即给予导体的正电荷量与由它所产生的表面电位之比. 1924 年, 维纳 (Wiener, N. ) 首先引入并用数学方法来研究集合的容量, 以后人们 (特别是法国学者) 越来越多地把它与位势论相联系而加以发展. 上述一般容量的概念来自绍凯容量理论, 康斯坦丁斯库 (Constantinescu, C. ) 和柯尼 (Cornea, A. ) 等人做了进一步的推广,用映射 \( \xi \rightarrow {\widehat{R}}_{f}^{E} \) (上调和函数 \( f \) 的扫除)来定义广义容量.
可容性 (capacitability) 一个集的容量与它的紧子集的容量之间的某种相容性. 对 \( \Omega \) 上的一般容量 \( \varphi \) ,若集 \( E \) 满足 \( \varphi \left( E\right) = \sup \{ \varphi \left( K\right) \mid K \) 为 \( E \) 的紧子集 \( \} \) ,则称 \( E \) 具有可容性或 \( E \) 为可容集. 著名的绍凯定理指出,包含于一个 \( {K}_{\sigma } \) 集 (即可数个紧集之并) 的任何 \( \mathcal{K} \) 解析集为可容集,从而任何波莱尔集必为可容集. 特别地,因 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 为 \( {K}_{\sigma } \) 集,故其中任何 \( \mathcal{K} \) 解析集均为可容集.
关于具体的绍凯容量的可容性参见“内容量”和 “外容量”.
可容集 (capacitable set) 见 “可容性”.
\( \mathcal{K} \) 解析集 ( \( \mathcal{K} \) -analytic set) 一类集合的连续像. 紧度量空间的 \( {K}_{\sigma \delta } \) 集在豪斯多夫空间的连续像称为 \( \mathcal{K} \) 解析集,其中 \( {K}_{\sigma \delta } \) 集是可列个 \( {K}_{\sigma } \) 集之交, \( {K}_{\sigma } \) 集是可列个紧集之并. 解析集、第二可数豪斯多夫空间的波莱尔集都是 \( \mathcal{K} \) 解析集. 所谓解析集指的是波兰空间 (它同胚于紧度量空间的 \( {G}_{\delta } \) 集) 在度量空间的连续像.
解析集 (analytic set) 见 “ \( \mathcal{K} \) 解析集”.
绍凯容量 (Choquet capacity) 简称容量, 一类重要的集函数. 设 \( \psi \) 是从 \( \Omega \) 的紧集全体 \( \{ K\} \) 到 \( \left\lbrack {0, + \infty }\right\rbrack \) 上的集函数,若 \( \psi \) 满足 |
2000_数学辞海（第3卷） | 183 | itability) 一个集的容量与它的紧子集的容量之间的某种相容性. 对 \( \Omega \) 上的一般容量 \( \varphi \) ,若集 \( E \) 满足 \( \varphi \left( E\right) = \sup \{ \varphi \left( K\right) \mid K \) 为 \( E \) 的紧子集 \( \} \) ,则称 \( E \) 具有可容性或 \( E \) 为可容集. 著名的绍凯定理指出,包含于一个 \( {K}_{\sigma } \) 集 (即可数个紧集之并) 的任何 \( \mathcal{K} \) 解析集为可容集,从而任何波莱尔集必为可容集. 特别地,因 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 为 \( {K}_{\sigma } \) 集,故其中任何 \( \mathcal{K} \) 解析集均为可容集.
关于具体的绍凯容量的可容性参见“内容量”和 “外容量”.
可容集 (capacitable set) 见 “可容性”.
\( \mathcal{K} \) 解析集 ( \( \mathcal{K} \) -analytic set) 一类集合的连续像. 紧度量空间的 \( {K}_{\sigma \delta } \) 集在豪斯多夫空间的连续像称为 \( \mathcal{K} \) 解析集,其中 \( {K}_{\sigma \delta } \) 集是可列个 \( {K}_{\sigma } \) 集之交, \( {K}_{\sigma } \) 集是可列个紧集之并. 解析集、第二可数豪斯多夫空间的波莱尔集都是 \( \mathcal{K} \) 解析集. 所谓解析集指的是波兰空间 (它同胚于紧度量空间的 \( {G}_{\delta } \) 集) 在度量空间的连续像.
解析集 (analytic set) 见 “ \( \mathcal{K} \) 解析集”.
绍凯容量 (Choquet capacity) 简称容量, 一类重要的集函数. 设 \( \psi \) 是从 \( \Omega \) 的紧集全体 \( \{ K\} \) 到 \( \left\lbrack {0, + \infty }\right\rbrack \) 上的集函数,若 \( \psi \) 满足下列条件,则称 \( \psi \) 为 \( \Omega \) 上的绍凯容量:
1. 单调不减性.
2. 上连续性,即对任意紧集 \( K \) 和任意正数 \( \varepsilon \) ,必存在开集 \( V \supset K \) ,使得任何紧集 \( {K}^{\prime } \) 若满足 \( K \subset {K}^{\prime } \subset \) \( V \) ,则 \( \psi \left( {K}^{\prime }\right) - \psi \left( K\right) < \varepsilon \) .
3. 强次可加性.
例如, \( {\mathrm{R}}^{n}\left( {n \geq 2}\right) \) 上的 \( \alpha \) 容量是绍凯容量. 推广的绍凯容量指的是取值限于 \( \left\lbrack {0, + \infty }\right\rbrack \) 的一般容量.
另外, 在研究一般位势时, 应区别那些称为容量而实非绍凯容量的概念 (参见 “倒容量”).
容量 (capacity) 指绍凯容量或它的推广形式.
推广的绍凯容量 (extended Choquet capacity) 见“绍凯容量”.
内容量 (inner capacity) 集合的一种度量. 设 \( \psi \) 是 \( \Omega \) 上的绍凯容量或它的推广形式,称由
\( {\psi }_{ * }\left( E\right) = \sup \{ \psi \left( K\right) \mid K \) 为 \( E \) 的紧子集 \( \} \) 定义的 \( {2}^{\Omega } \) 上的集函数 \( {\psi }_{ * } \) 为 \( \Omega \) 上的内容量; 而称由
\( {\psi }^{ * }\left( E\right) = \inf \left\{ {{\psi }_{ * }\left( G\right) \mid G\text{ 为包含 }E\text{ 的开集 }}\right\} \)
定义的 \( {2}^{\Omega } \) 上的集函数 \( {\psi }^{ * } \) 为 \( \Omega \) 上的外容量. \( {\psi }^{ * } \) 作为 \( {2}^{\Omega } \) 上的集函数是一般容量且满足可数次可加性. \( E \) 关于 \( {\psi }^{ * } \) 可定容的充分必要条件是 \( {\psi }^{ * }\left( E\right) = \psi .\left( E\right) \) . 考虑具体的容量时也常把此等式作为关于 \( \psi \) 可容的定义. 对于所谓倒容量, 因其具有单调不增性, 故定义相应的内 (倒) 容量 \( {w}_{i} \) 与外 (倒) 容量 \( {w}_{e} \) 时,应将上述定义中的 sup 与 inf 对调位置.
外容量 (outer capacity) 见 “内容量”.
零 (外) 容集 (set of (outer) capacity zero) 在位势论中有特殊重要地位的一类集合. 关于绍凯容量 \( \psi \) ,外容量或内容量为零的集分别称为零外容集或零内容集, 零外容集又称为零容集. 容量未必有可加性, 但因外容量具有次可加性, 故可数个零容集之并仍为零容集. 另外,对倒容量,满足 \( {w}_{i}\left( E\right) = + \infty \) 或 \( {w}_{e}\left( E\right) = + \infty \) 的集 \( E \) 分别称为零内容集或零外容集 (参见“倒容量”).
零内容集 (set of inner capacity zero) 见“零 (外) 容集”.
近乎处处 (approximately everywhere) 对某种性质成立的范围进行描述的术语. 设 \( P = P\left( x\right) \) 是一个与 \( x \) 有关的性质. 如果使 \( P \) 不成立的点全体所成之集 \( A \) 为零内容集,则称 \( P \) 是近乎处处成立的 (记为 p. p. p. (法文 \( \grave{a} \) peu près partout)); 如果 \( A \) 为零外容集,则称 \( P \) 是似乎处处成立的 (记为 q. p. (法文 \( \grave{a} \) quasi-partout)).
似乎处处 (quasi-everywhere) 见 “近乎处处”.
\( \mathbf{K} \) 容量 ( \( K \) -capacity) 牛顿容量的推广. 取定一般位势核 \( K \) ,令 \( V\left( \mu \right) = \sup \left\{ {{U}_{K}^{\mu }\left( x\right) \mid x \in \operatorname{supp}\mu }\right\} \) . 称 \( {C}_{K}\left( F\right) = \sup \{ \mu \left( \Omega \right) \mid V\left( \mu \right) \leq 1,\mu \geq 0,\operatorname{supp}\mu \subset F\} \) 为紧集 \( F \) 的 \( K \) 容量. 在一定条件下, \( {C}_{K} \) 是一个绍凯容量. 它概括了 \( \alpha \) 容量的基本特征,用于一般核的位势的基本原理的研究.
\( \mathbf{K} \) 近乎处处 ( \( K \) -approximately everywhere) 对某种性质成立的范围进行描述的术语. 性质 \( P \) 称
为 \( K \) 近乎处处成立,指的是使 \( P \) 不成立的点全体 \( A \) 满足
\[
{V}_{ * }\left( A\right) = \inf \{ V\left( \mu \right) \mid \mu \geq 0,\mu \left( \Omega \right) = 1\text{, supp }\mu \subset A\}
\]
\[
= + \infty
\]
(参见 “ \( K \) 容量”). 此外,也可据 \( K \) 容量来定义 \( K \) 近乎处处与 \( K \) 似乎处处的概念,且在一定条件下,关于 \( K \) 近乎处处的两种定义等价.
位势网 (列) 的收敛准则 (convergence criterion for potential net (sequence)) 有关网列浑收敛的一个命题,即如下论断: 若正测度网 (列) \( {\left\{ {\mu }_{i}\right\} }_{i \in I} \) 浑收敛于 \( \mu \) ,且存在紧集 \( F \) 使每个 \( {\mu }_{i} \) 的支集 \( \operatorname{supp}{\mu }_{i} \subset F \) , 则
\[
\mathop{\liminf }\limits_{{i \rightarrow \infty }}{U}_{K}^{{\mu }_{i}}\left( x\right) \geq {U}_{K}^{\mu }\left( x\right) ;
\]
进一步,若核 \( K \) 的转置 \( {K}^{\prime } \) 满足连续性原理,则上式等号在 \( \Omega \) 上 \( K \) 似乎处处成立.
平衡原理 (equilibrium principle) 如下静电学中平衡问题的数学描述与推广: 确定在某一导体 \( F \) 上的正电荷分布使其产生的能量为极小. 给定一般位势核 \( K \) ,若对任何紧集 \( F \subset \Omega \) ,存在支集包含于 \( F \) 的正测度 \( \mu ,\mu \left( \Omega \right) = 1 \) ,使 \( {U}_{K}^{\mu }\left( x\right) \) 在 \( F \) 上 \( K \) 近乎处处等于某个常数 \( {E}_{K}\left( F\right) \) ,则称 \( K \) 满足弱平衡原理, \( \mu \) 称为关于 \( F \) 的弱平衡问题的解; 若同时有
\[
{U}_{K}^{\mu }\left( x\right) \leq {E}_{K}\left( F\right)
\]
在 \( \Omega \) 处处成立,则称 \( K \) 满足平衡原理. 当 \( {E}_{K}\left( F\right) > 0 \) 时, \( 1/{E}_{K}\left( F\right) \) 等于 \( F \) 的 \( K \) 容量 \( {C}_{K}\left( F\right) .\alpha \) 核满足弱平衡原理且当 \( 0 < \alpha \leq 2,\alpha < n \) 时满足平衡原理. 在经典位势论中, 平衡问题 (即对经典位势如何确定上述的测度 \( \mu \) ) 与扫除问题、狄利克雷问题被列为位势理论的三大基本问题.
平衡问题 (equilibrium problem) 见 “平衡原理”.
弱平衡原理 (weak principle of equilibrium)
见“平衡原理”.
弱平衡问题的解 (solution of weak equilibrium problem) 见“平衡原理”.
平衡测度 (equilibrium measure) 与弱平衡问题的解紧密关联的一个测度. 若核 \( K \) 满足弱平衡原理,当 \( F \) 为紧集且 \( {E}_{K}\left( F\right) > 0 \) 时,则由关于 \( F \) 的弱平衡问题的解 \( \mu \) 得到的 \( \lambda = \mu /{E}_{K}\left( F\right) \) 称为 \( F \) 的平衡测度. 在一定条件下也可利用内、外容量来定义波莱尔集 \( A \) 的内、外平衡测度,且当二者相等时,称之为 \( A \) 的平衡测度. 平衡测度的位势 \( {U}_{K}^{\lambda } \) 称为平衡位势. 在 \( {\mathrm{R}}^{n}\left( {n \geq 3}\right) \) 中,紧集 \( F \) 关于牛顿核的平衡位势 \( {U}_{2}^{\lambda } \) 在 \( {\mathrm{R}}^{n} \smallsetminus F \) 的无界成分上就是以 1 为边界值的广义狄利克雷外问题 (参见 “ \( \alpha \) 容量”) 的解; 对于上述 \( \lambda \) ,由于 \( {I}_{K}\left( \lambda \right) = \lambda \left( \Omega \right) = {C}_{K}\left( F\right) ,{U}_{K}^{\lambda } \) 在 \( F \) 上近乎处处等于 1,有的文献把 \( \lambda \) 称为容量分布,而把 \( \mu \) 称为平衡测度; 也有仅对满足平衡原理的核 \( K \) 定义平衡测度的.
容量分布 (capacity mass-distribution) 见“平衡测度”.
平衡位势 (equilibrium potential) 见 “平衡测度”.
\( \alpha \) 容量 ( \( \alpha \) -capacity) 由 \( \alpha \) -核确定的一种绍凯容量. 对紧集 \( F \) ,令 \( {W}_{a}\left( F\right) = \inf \left\{ {{I}_{a}\left( \mu \right) \mid \mu \geq 0}\right. \) , \( \mu \left( {\mathrm{R}}^{n}\right) = 1,\operatorname{supp}\mu \subset F\} \) ,其中 \( {I}_{\alpha }\left( \mu \right) \) 表示测度 \( \mu \) 的 \( \alpha \) 能量,则 \( {C}_{a}\left( F\right) = 1/{W}_{a}\left( F\right) \) 称为 \( F \) 的 \( \alpha \) 容量. 相应的内、外容量记为 \( {\underline{C}}_{\alpha },{\bar{C}}_{\alpha } \) ,称为 \( \alpha \) 内、外容量. 容易看到, \( {C}_{\alpha }\left( F\right) \) 就是 \( F \) 关于 \( \alpha \) 核的 \( K \) 容量. 另一方面,支集含于 \( F \) 中的正测度全体关于浑收敛拓扑为紧,其中必有正测度 \( \lambda \) 使 \( {I}_{\alpha }\left( \lambda \right) = {W}_{\alpha }\left( F\right) \) ,这个 \( \lambda \) 就是平衡测度. 当 \( {C}_{\alpha }\left( F\right) > 0 \) 时, \( \lambda \) 可以看成下列三种等价的变分问题的惟一解:
1. \( \lambda \left( {\mathrm{R}}^{n}\right) = \max \left\{ {\gamma \left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \mid \gamma \geq 0, V\left( \gamma \right) = 1}\right. \), supp \( \gamma \subset \) \( F\} \) ,其中 \( V\left( \gamma \right) = \sup \left\{ {{U}_{\alpha }^{\gamma }\left( x\right) \mid x \in \operatorname{supp}\gamma }\right\} \) .
2. \( V\left( \lambda \right) = \min \left\{ {V\left( \gamma \right) \mid \gamma \geq 0}\right. \), supp \( \gamma \subset F,\gamma \left( {\mathrm{R}}^{n}\right) = \) \( \left. {{C}_{\alpha }\left( F\right) }\right\} \) .
\[
\text{3.}{I}_{\alpha }\left( \lambda \right) - {2\lambda }\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) = \min \left\{ {{I}_{\alpha }\left( \gamma \right) - {2\gamma }\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \mid \gamma \geq 0}\right. \text{,}
\]
\( \operatorname{supp}\gamma \subset F\} \) .
\( \alpha \) 内容量 ( \( \alpha \) -inner capacity ) 见 “ \( \alpha \) 容量”.
\( \alpha \) 外容量 ( \( \alpha \) -outer capacity) 见 “ \( \alpha \) 容量”.
维纳容量 (Wiener capacity) 特殊的 \( \alpha \) 容量. 所谓维纳容量,是指 \( {\mathrm{R}}^{n}\left( {n \geq 3}\right) \) 中的 \( \alpha \) 容量当 \( \alpha = 2 \) 的情形,即 2 容量 \( {C}_{2}\left( F\right) = 1/{W}_{2}\left( F\right) \) ,其中 \( F \) 为任意紧集. 平面的维纳容量参见 “对数容量”. 维纳 (Wiener, N. )于 1924 年在 \( {\mathrm{R}}^{3} \) 中考虑紧域 \( F \) 的余集之无界分支上以 1 为边界值的广义狄利克雷外问题的解 \( u \) ,并用曲面积分
\[
- \frac{1}{4\pi }{\int }_{S}\frac{\partial u}{\partial n}\mathrm{\;d}S
\]
的值定义为 \( F \) 的容量. 这里 \( S \) 为包含 \( F \) 作其内部的闭曲面, \( \frac{\partial }{\partial n} \) 是沿 \( S \) 的外法向导数.
倒容量 (inverse capacity) 关于 \( \Omega \) 上的一般核 \( K \) ,定义在 \( {2}^{n} \) 上的一个集函数; 特别当 \( K \) 为 \( \alpha \) 核时, 一个集的倒容量等于 \( \alpha \) 容量的倒数. 具体地,对一般核 \( K \) ,令 \( {W}_{K}\left( F\right) = \inf \left\{ {{I}_{K}\left( \mu \right) \mid \mu \geq 0,\mu \left( \Omega \right) = 1, S\left( \mu \right) }\right. \) \( \subset F\} \) . 当用它的倒数定义容量有困难时,常直接研究 \( {W}_{K}\left( F\right) \) 本身,并称之为倒容量. 在一般情况下,它不是绍凯容量. 这时,对空集 \( \varnothing, W\left( \varnothing \right) = + \infty \) ; 对 \( E \subset \Omega \) ,定义内倒容量
\( {W}_{i}\left( E\right) = \inf \{ W\left( F\right) \mid F \) 为包含于 \( E \) 的紧集 \( \} \) 和外倒容量
\( {W}_{e}\left( E\right) = \sup \left\{ {{W}_{i}\left( G\right) \mid G\text{ 为包含 }E\text{ 的开集 }}\right\} \) ; 并把 \( {W}_{e}\left( E\right) = + \infty \) 与 \( {W}_{i}\left( E\right) = + \infty \) 的集分别称为零外倒容集与零内倒容集 (参见 “零 (外) 容集”, “近乎处处”,“ \( K \) 近乎处处”).
零外倒容集 (set of outer inverse capacity zero) 见 “倒容量”.
零内倒容集 (set of inner inverse capacity zero) 见“倒容量”.
牛顿容量 (Newton capacity) 特殊的容量. 所谓牛顿容量,就是利用牛顿位势 \( {U}_{2}^{\mu } \) ,对 \( {\mathrm{R}}^{3} \) 的有界波莱尔集 \( E \) 定义的容量 \( N\left( E\right) \) :
\( N\left( E\right) = \inf \left\{ {\mu \left( {\mathrm{R}}^{3}\right) \mid {U}_{2}^{\mu }\left( x\right) \leq 1,\mu \geq 0, S\left( \mu \right) \subset E}\right\} . \)
当 \( E \) 为紧集时,牛顿容量与维纳容量一致. 现常把 \( {\mathrm{R}}^{n}\left( {n \geq 3}\right) \) 中的 2 容量 \( {C}_{2}\left( F\right) \) 都称为牛顿容量. 这是 1932 年, 瓦莱・普桑 (Vallée-Poussin, C. de la) 采用与维纳 (Wiener, N. ) 不同的方法定义的.
对数容量 (logarithmic capacity) 由对数核确定的一种容量. 在 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 中,关于对数核考虑紧集 \( F \) 的倒容量 \( {W}_{l}\left( F\right) \) ,当限制 \( F \) 包含于单位圆 \( B \) 内时,若 \( {W}_{l}\left( F\right) |
2000_数学辞海（第3卷） | 184 | left( G\right) \mid G\text{ 为包含 }E\text{ 的开集 }}\right\} \) ; 并把 \( {W}_{e}\left( E\right) = + \infty \) 与 \( {W}_{i}\left( E\right) = + \infty \) 的集分别称为零外倒容集与零内倒容集 (参见 “零 (外) 容集”, “近乎处处”,“ \( K \) 近乎处处”).
零外倒容集 (set of outer inverse capacity zero) 见 “倒容量”.
零内倒容集 (set of inner inverse capacity zero) 见“倒容量”.
牛顿容量 (Newton capacity) 特殊的容量. 所谓牛顿容量,就是利用牛顿位势 \( {U}_{2}^{\mu } \) ,对 \( {\mathrm{R}}^{3} \) 的有界波莱尔集 \( E \) 定义的容量 \( N\left( E\right) \) :
\( N\left( E\right) = \inf \left\{ {\mu \left( {\mathrm{R}}^{3}\right) \mid {U}_{2}^{\mu }\left( x\right) \leq 1,\mu \geq 0, S\left( \mu \right) \subset E}\right\} . \)
当 \( E \) 为紧集时,牛顿容量与维纳容量一致. 现常把 \( {\mathrm{R}}^{n}\left( {n \geq 3}\right) \) 中的 2 容量 \( {C}_{2}\left( F\right) \) 都称为牛顿容量. 这是 1932 年, 瓦莱・普桑 (Vallée-Poussin, C. de la) 采用与维纳 (Wiener, N. ) 不同的方法定义的.
对数容量 (logarithmic capacity) 由对数核确定的一种容量. 在 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 中,关于对数核考虑紧集 \( F \) 的倒容量 \( {W}_{l}\left( F\right) \) ,当限制 \( F \) 包含于单位圆 \( B \) 内时,若 \( {W}_{l}\left( F\right) > 0 \) ,则把 \( 1/{W}_{l}\left( F\right) \) 称为 \( F \) 的维纳容量. 对一般紧集 \( F,{W}_{l}\left( F\right) \) 可能取 0 值或负值,要做类似的处理不方便, 故定义
\[
{C}_{l}\left( F\right) = \exp \left\lbrack {-{W}_{l}\left( F\right) }\right\rbrack
\]
为 \( F \) 的对数容量. 对 \( F \subset B \) ,两种容量值相差甚大, 但两种零容集等价, 都是全不连通的勒贝格零集. 值得注意的是,包含于区间 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 的康托尔三分集是勒贝格零集,但具有正的对数容量. 当 \( {C}_{l}\left( F\right) > 0 \) 时, 对 \( {\mathrm{R}}^{2} \smallsetminus F \) 的无界分支上以无穷远点为极的格林函数 \( g\left( {z,\infty }\right) \) ,极限
\[
\mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow \infty }}\left\lbrack {g\left( {z,\infty }\right) - \log \left| z\right| }\right\rbrack
\]
存在,称为鲁宾常数,它正好等于 \( {W}_{l}\left( F\right) \) .
鲁宾常数 (Rubin constant) 见“对数容量”.
\( C \) 绝对连续测度 ( \( C \) -absolutely continuous measure) 一种重要的测度. 设 \( \mu \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的测度, 若对 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的任何 \( \alpha \) 零容的紧集 \( F \) ,都有 \( \mu \left( F\right) = 0 \) , 则称 \( \mu \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的 \( C \) 绝对连续测度. \( \alpha \) 能量有限的测度必为 \( C \) 绝对连续测度,但存在 \( C \) 绝对连续而能量为无限的测度. 若两个 \( C \) 绝对连续的正测度 \( \mu ,\gamma \) 满足 \( {U}_{\alpha }^{\mu } = {U}_{\alpha }^{\gamma } \) 在 \( \operatorname{supp}\mu \cup \operatorname{supp}\gamma \) 似乎处处成立,则 \( \mu \) \( = \gamma \) ,即对于 \( C \) 绝对连续的正测度族,惟一性原理成立.
容量压缩原理 (contraction principle of capacity) 位势论中容量的一个性质. 设 \( E \subset {\mathrm{R}}^{n} \) ,若 \( f : E \) \( \rightarrow {\mathrm{R}}^{n} \) 满足
\[
\left| {f\left( x\right) - f\left( y\right) }\right| \leq \left| {x - y}\right| \left( {\forall x, y \in E}\right) ,
\]
则 \( {C}_{\alpha }\left\lbrack {f\left( E\right) }\right\rbrack \leq {C}_{\alpha }\left( E\right) \left( {n \geq 3}\right) \) ,以及 \( {C}_{l}\left\lbrack {f\left( E\right) }\right\rbrack \leq \) \( {C}_{l}\left( E\right) \left( {n = 2}\right) \) . 这一性质称为容量压缩原理,它与超限直径的概念都在一定意义下描绘了容量的距离性质.
超限直径 (transfinite diameter) 如下定义的一个和点与点之间的距离有关的集函数. 对 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 的紧集 \( F \) (无限集),关于对数核 \( K\left( x\right) = - \log \left| x\right| \) ,当 \( m \) \( \rightarrow \infty \) 时,
\[
{B}_{m}\left( F\right) = \frac{1}{m\left( {m - 1}\right) }\mathop{\inf }\limits_{{{x}^{1},\cdots ,{x}^{m} \in F}}\mathop{\sum }\limits_{{i < j}}K\left( {{x}^{i} - {x}^{j}}\right)
\]
单调增加,把 \( \exp \left\lbrack {-{B}_{m}\left( F\right) }\right\rbrack \) 的极限 \( d\left( F\right) \) 称为 \( F \) 的超限直径,那么 \( d\left( F\right) = {C}_{l}\left( F\right) \) ,它还等于 \( F \) 的切比雪夫常数 (参见 “共形映射”或 “多项式逼近”等). 在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中,把 \( K \) 换成正规化的 \( \alpha \) 核 \( {K}_{\alpha }\left( x\right) \) ,称相应定义的 \( 1/{B}_{m}\left( F\right) \) 的极限 \( {D}_{\alpha }\left( F\right) \) 为 \( \alpha \) 阶广义超限直径,那么 \( {D}_{\alpha }\left( F\right) = {C}_{\alpha }\left( F\right) \) . 超限直径由费克特 (Fekete, M. ) 于 1923 年引入, 被用于研究共形映射. 波利亚 (Pólya, G. ) 和赛格 (Szegö, G. ) 就 \( {R}^{2} \) 与 \( {R}^{3} \) 的一些特殊集合算出 \( d \) 与 \( {D}_{a} \) 的值,从而也求得它们的容量.
## 广义超限直径 (generalized transfinite diameter) 见“超限直径”.
极集 (polar set) 一种充分 “稀薄” 的可去集 (在某种意义下可忽略不计的集合), 是零容集概念的推广. 在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中考虑对数核 \( \left( {n = 2}\right) \) 或牛顿核 \( (n \geq \) 3),若存在不恒为 \( + \infty \) 的、在 \( E\left( {E \subset {\mathrm{R}}^{n}}\right) \) 的每一点取值为 \( + \infty \) 的位势 \( {U}^{\mu }\left( {\mu \geq 0}\right) \) ,则称 \( E \) 为极集. 它是一个零容的 \( {G}_{\delta } \) 型集的子集. 单点集为极集; 极集的子集、交、可列并以及在共形变换下的像集仍为极集. \( {\mathrm{R}}^{2} \) 中的极集是全不连通的勒贝格零测集; \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的区域 \( D \) 的相对闭子集 \( E \) 若为极集,则 \( D \smallsetminus E \) 仍为区域. 又若 \( E \) 的每一点都存在邻域 \( \omega \) 及 \( \omega \) 上的上调和函数 \( f \) \( > 0 \) ,使得扫除函数 \( {\widehat{R}}_{f}^{E \cap \omega } = 0 \) ,则称 \( E \) 为局部极集 (参见 “扫除函数”). 极集必为局部极集. 上述定义可搬到 \( \mathcal{E} \) 空间,而在格林空间中,局部极集与极集等价. 这两个概念为布雷洛 (Brélot, M. E. ) 所引进, 在一般位势论或公理系统中都有重要意义.
局部极集 (locally polar set) 见 “极集”.
下调和延拓 (subharmonic extension) 使函数保持下调和性的扩张. 以下两种情形有意义:
1. 在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中,若极集 \( E \) 为开集 \( \omega \) 的闭子集, \( u \) 为 \( \omega \smallsetminus E \) 上定义的下调和函数且在 \( \omega \) 上局部上有界,那么 \( u \) 在 \( \omega \) 上有惟一的下调和延拓 \( \bar{u} \) ,即 \( \bar{u} \) 在 \( \omega \) 上为下调和且在 \( \omega \smallsetminus E \) 上等于 \( u \) ,
\[
\bar{u}\left( x\right) = \mathop{\limsup }\limits_{{y \rightarrow x}}u\left( y\right) .
\]
2. 阿南达姆 (Anandam, V. ) 研究了在一个紧集外为下调和的函数 \( u \) ,把在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上为下调和且在一个闭球外取 \( u \) 的值的函数 (或加上一个位势 \( {U}^{{\varepsilon }_{x}} \) 的负常数倍,其中 \( {\varepsilon }_{x} \) 为狄喇克测度) 称为 \( u \) 的下调和延拓.
\( \alpha \) 极集 ( \( \alpha \) -polar set) 里斯位势论中的一种充分 “稀薄” 的可去集. 若存在不恒为 \( + \infty \) 的位势 \( {U}_{\alpha }^{\mu }(\mu \) \( \geq 0,0 < \alpha < 2) \) ,它在 \( E \) 上点点取值为 \( + \infty \) 而在 \( x \notin \) \( E \) 取有限值,则称 \( E \) 为 \( \alpha \) 极集. 这里采用的是兰德柯夫 (Landkof, N. S. ) 的定义. 根据埃文斯定理, \( E \) 为 \( \alpha \) 极集当且仅当 \( E \) 为 \( \alpha \) 零容的 \( {G}_{\delta } \) 集. \( \alpha \) 极集的子集若非 \( {G}_{\delta } \) 集,则它必为非 \( \alpha \) 极集.
埃文斯定理 (Evans theorem) 描述零容集与位势的关系的论断. 其推广形式分如下三种情形叙述:
1. 若 \( E \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n}\left( {n \geq 3}\right) \) 的 \( {G}_{\delta } \) 集且牛顿容量为零, 则存在 \( \mu \geq 0 \) ,使 \( {U}_{2}^{\mu } \) 在 \( E \) 上且仅在 \( E \) 上取 \( + \infty \) 值并有 \( \mu \left( {{\mathrm{R}}^{n} \smallsetminus E}\right) = 0 \) (从而 \( {U}_{2}^{\mu } \) 在 \( {\mathrm{R}}^{n} \smallsetminus \bar{E} \) 内调和).
2. 若 \( E \) 是 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 的零容紧集,则有相应的对数位势 \( {U}_{l}^{\mu } \) 满足 1 中条件.
3. 若在 \( {\mathrm{R}}^{n}\left( {n \geq 2}\right) \) 考虑 \( \alpha \) 容量为零的 \( {G}_{\delta } \) 集 \( E \) ,仍存在仅在 \( E \) 上取 \( + \infty \) 值的 \( {U}_{a}^{\mu } \) ,但 \( \mu \left( {{\mathrm{R}}^{n} \smallsetminus E}\right) = 0 \) 未必成立,当 \( E \) 为紧集时则成立.
上述位势常称为埃文斯位势. 由于埃文斯 (Evans, G. C. ) 与塞尔贝格 (Selberg, A. ) 同时于 1935 年独立地就 \( E \) 是紧集的情形给出结论 1,因此,上述定理亦称为埃文斯-塞尔贝格定理.
埃文斯-塞尔贝格定理 (Evans-Selberg theorem) 即“埃文斯定理”.
埃文斯位势 (Evans potential) 见 “埃文斯定理”.
扫除 (balayage) 位势论的一个基本概念. 称核 \( K \) 满足扫除原理,是指对任意紧集 \( F \) 及满足 \( {U}_{K}^{\mu } \) \( \neq + \infty \) 的正测度 \( \mu \) ,扫除问题有解,即存在正测度 \( {\mu }^{\prime } \) (或记为 \( {\beta }_{F}\mu \) ) 满足:
\[
\operatorname{supp}{\mu }^{\prime } \subset F,\;{U}_{K}^{{\mu }^{\prime }}\left( x\right) \leq {U}_{K}^{\mu }\left( x\right)
\]
处处成立且其中等号在 \( F \) 上 \( K \) 近乎处处成立. 这样的 \( {\mu }^{\prime } = {\beta }_{F}\mu \) 称为把 \( \mu \) 扫到 \( F \) 的扫除测度; \( {U}_{K}^{{\mu }^{\prime }} \) 称为扫除位势; 求解 \( {\mu }^{\prime } \) 的过程称为扫除. 格林核、 \( \alpha \) 核 (当 \( 0 < \alpha \leq 2,\alpha < n \) 时) 满足扫除原理,下面谈及 \( \alpha \) 扫除均指这样的 \( \alpha \) 核的扫除; 当 \( 2 < \alpha < n \) 时关于 \( \alpha \) 核的测度扫除一般无解, 但可用广义函数另做处理 (参见 “扫除测度”). 扫除问题是经典位势论三大基本问题之一.
扫除问题 (balayage problem) 见“扫除”.
扫除位势 (balayaged potential) 见“扫除”.
扫除原理 (balayage principle) 见“扫除”.
扫除测度 (balayaged measure) 一种与扫除问题紧密联系的测度. 所谓扫除测度, 通常指用扫除问题的解来定义的某个测度,其中到紧集 \( F \) 的扫除要求 \( \operatorname{supp}{\mu }^{\prime } \subset F \) (参见 “扫除”). 到一般波莱尔集 \( E \) 的扫除见 “到波莱尔集的 \( \alpha \) 扫除”. 但是,在格林空间, 不用上法而通过扫除函数来定义到任何集 \( e \) 的扫除测度. 这样定义的扫除测度未必集中在 \( e \) ,但当 \( e \) 为闭集时为真 (参见 “格林空间的扫除”).
简化函数 (reduced function) 在一个子集上不小于一个给定函数的一族函数的下确界. 设 \( \Phi \) 是一族从 \( \Omega \) 到 \( \left\lbrack {0, + \infty }\right\rbrack \) 的下半连续的函数 \( u \) 所组成的凸锥 (必要时设 \( + \infty \in \Phi ), f \) 为 \( E\left( {E \subset \Omega }\right) \) 到 \( \left\lbrack {0, + \infty }\right\rbrack \) 的函数,令 \( {\mathrm{R}}_{f}^{E}\left( x\right) = \inf \{ u\left( x\right) \mid u \in \Phi \) 且 \( {\left. u\right| }_{E} \) \( \geq f\} \) (对空集 \( \varnothing \) ,令 \( {\mathrm{R}}_{f}^{\varnothing } = 0 \) ),称之为 \( f \) 到 \( E \) 的简化函数. 简化函数和扫除函数的概念是布雷洛 (Brélot, M. E. ) 引进的, 它们是研究瘦、极集、细拓扑、扫除的有力工具.
扫除函数 (balayaged function) 用于表示位势论中扫除特征的函数. 把一个函数 \( \varphi \) 的下半连续化记为 \( \widehat{\varphi } \) ,即
\[
\widehat{\varphi }\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{\frac{y \rightarrow x}{y \rightarrow x}}\varphi \left( y\right) ,
\]
那么对简化函数 \( {R}_{f}^{E} \) ,称 \( {\widehat{R}}_{f}^{E} \) 为 \( f \) 到 \( E \) 的扫除函数. 特别地,当 \( \Omega \) 为格林空间, \( \Phi \) 取作非负超调和函数全体, \( f \) 非负上调和,则 \( {\widehat{R}}_{f}^{E} \) 仍为非负上调和且在 \( \Omega \smallsetminus \) \( \bar{E} \) 内调和,称之为 \( f \) 的上调和扫除,它和 \( f \) 的对应测度的格林扫除可一致化 (参见 “格林空间扫除”).
格林空间扫除 (balayage in Green space) 扫除问题在格林空间的具体结论. 在格林空间 \( \Omega \) ,对任何闭集 \( F \) ,关于格林核 \( G \) 的扫除 (简称格林扫除) 问题有解. 更一般地,对 \( \Omega \) 的子集 \( e \) ,非负上调和函数 \( f \) 的扫除函数 \( {\widehat{R}}_{f}^{e} \) 仍为非负上调和,且在 \( e \) 上似乎处处等于 \( f \) ,在 \( \bar{e} \) 的余集调和且 \( {\widehat{R}}_{f}^{e} \leq f \) 在 \( \Omega \) 成立; 正测度 \( \mu \) 的位势 \( u = {U}_{G}^{\mu } \) 的扫除函数 \( {\widehat{R}}_{u}^{e} \) 必是另一个正测度 (记为 \( {b}_{\mu }^{e} \) ) 的位势. 布雷洛 (Brélot, M. E.) 把 \( {b}_{\mu }^{e} \) 称为 \( \mu \) 到 \( e \) 的扫除测度. 当 \( e \) 为闭集时, \( {b}_{\mu }^{e} \) 就是格林扫除问题的解,因 \( {b}_{\mu }^{e} \) 集中在 \( e \) 的基 \( {B}_{e} = \{ x \mid e \) 在 \( x \) 不瘦 \( \} \subset \bar{e} \) (关于 “不瘦”,参见 “瘦性”). 此外, \( e \) 是极集当且仅当对任意上调和函数 \( f > 0 \) 有 \( {\widehat{R}}_{f}^{e} = 0 \) ; 上调和函数 \( f \geq 0 \) 到一个开集 \( \omega \) 的余集的扫除函数在 \( \omega \) 上就是以 \( f \) 为边值的广义狄利克雷问题的解; 对非极集的紧集 \( e,{\widehat{R}}_{1}^{e} \) 在 \( e \) 上似乎处处等于 1,在一定意义下给出高斯平衡问题的解. 当 \( \Omega = {\mathrm{R}}^{n}\left( {n \geq 3}\right) \) 时,牛顿核就是格林核,关于两种核的扫除一致; 在 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 的有界区域 \( \Omega \) 上,也可把格林扫除测度看成关于对数核的扫除测度.
嘉当扫除定理 (C |
2000_数学辞海（第3卷） | 185 | \) ,关于格林核 \( G \) 的扫除 (简称格林扫除) 问题有解. 更一般地,对 \( \Omega \) 的子集 \( e \) ,非负上调和函数 \( f \) 的扫除函数 \( {\widehat{R}}_{f}^{e} \) 仍为非负上调和,且在 \( e \) 上似乎处处等于 \( f \) ,在 \( \bar{e} \) 的余集调和且 \( {\widehat{R}}_{f}^{e} \leq f \) 在 \( \Omega \) 成立; 正测度 \( \mu \) 的位势 \( u = {U}_{G}^{\mu } \) 的扫除函数 \( {\widehat{R}}_{u}^{e} \) 必是另一个正测度 (记为 \( {b}_{\mu }^{e} \) ) 的位势. 布雷洛 (Brélot, M. E.) 把 \( {b}_{\mu }^{e} \) 称为 \( \mu \) 到 \( e \) 的扫除测度. 当 \( e \) 为闭集时, \( {b}_{\mu }^{e} \) 就是格林扫除问题的解,因 \( {b}_{\mu }^{e} \) 集中在 \( e \) 的基 \( {B}_{e} = \{ x \mid e \) 在 \( x \) 不瘦 \( \} \subset \bar{e} \) (关于 “不瘦”,参见 “瘦性”). 此外, \( e \) 是极集当且仅当对任意上调和函数 \( f > 0 \) 有 \( {\widehat{R}}_{f}^{e} = 0 \) ; 上调和函数 \( f \geq 0 \) 到一个开集 \( \omega \) 的余集的扫除函数在 \( \omega \) 上就是以 \( f \) 为边值的广义狄利克雷问题的解; 对非极集的紧集 \( e,{\widehat{R}}_{1}^{e} \) 在 \( e \) 上似乎处处等于 1,在一定意义下给出高斯平衡问题的解. 当 \( \Omega = {\mathrm{R}}^{n}\left( {n \geq 3}\right) \) 时,牛顿核就是格林核,关于两种核的扫除一致; 在 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 的有界区域 \( \Omega \) 上,也可把格林扫除测度看成关于对数核的扫除测度.
嘉当扫除定理 (Cartan balayage theorem) 用泛函分析的方法解决扫除问题的一个重要结论. 对 \( \alpha \) 能量有限的正测度 \( \mu ,\alpha \) 扫除有明显的几何意义. 由于 \( \alpha \) 核满足能量原理,因而 \( \alpha \) 能量有限的测度全体 \( {\mathcal{E}}_{a} \) 以 \( {I}_{a}\left( {\lambda ,\mu }\right) \) 为内积构成实的准希尔伯特空间, 其中正测度全体 \( {\mathcal{E}}_{a}^{ + } \) 及支集包含于紧集 \( F \) 的正测度全体 \( {\mathcal{E}}_{a}^{ + }\left( F\right) \) 都是 \( {\mathcal{E}}_{a} \) 的完备凸子锥. 于是, \( \mu \in {\mathcal{E}}_{a}^{ + } \) 在 \( {\mathcal{E}}_{a}^{ + }\left( F\right) \) 上的正交投影存在且惟一. 推广的嘉当扫除定理指出,这个投影就是 \( \mu \) 到 \( F \) 的 \( \alpha \) 扫除测度. 当限制 \( \alpha = 2 \) 时,就得到原始的嘉当扫除定理.
到波莱尔集的 \( \alpha \) 扫除 ( \( \alpha \) -balayage onto Borel set) 位势论的一个概念. 所谓到波莱尔集的 \( \alpha \) 扫除,就是寻求一个集中在该波莱尔集的关于 \( \alpha \) 核的扫除测度. 对 \( \alpha \) 容量有限的任意波莱尔集 \( E \) ,正测度 \( \mu \) 的 \( \alpha \) 扫除测度 \( {\mu }^{\prime } = {\beta }_{E}\mu \) 存在,它是测度网 \( {\left( {\beta }_{F}\mu \right) }_{\{ F\} } \) ( \( F \) 为 \( E \) 的紧子集, \( \{ F\} \) 以包含关系为序构成定向集) 的浑极限且有如下特征: \( {\mu }^{\prime } \) 是 \( E \) 上似乎处处满足 \( {U}_{a}^{\lambda }\left( x\right) \geq {U}_{a}^{\mu }\left( x\right) \) 的位势族 \( \left\{ {{U}_{a}^{\lambda }\left( x\right) }\right\} \) 的下确界函数.
\( \alpha \) 格林测度 ( \( \alpha \) -Green measure) 一种特殊的测度. 狄喇克测度 \( {\varepsilon }_{x} \) 到波莱尔集 \( E \) 的 \( \alpha \) 扫除测度 \( {\beta }_{E}{\varepsilon }_{x} \) 称为 \( E \) 的 \( \alpha \) 格林测度. 对任意正测度 \( \mu \) ,
\[
{\beta }_{E}\mu = {\int }_{\operatorname{supp}\mu }{\beta }_{E}{\varepsilon }_{x}\mathrm{\;d}\mu \left( x\right) .
\]
2 格林测度简称格林测度.
格林测度 (Green measure) 见 “ \( \alpha \) 格林测度”.
\( \alpha \) 正则点 ( \( \alpha \) -regular point) 位势论的一个概念. \( \bar{E} \) 中关于波莱尔集 \( E \) 满足 \( {\beta }_{E}{\varepsilon }_{{x}_{0}} = {\varepsilon }_{{x}_{0}} \) 的点 \( {x}_{0} \) 称为 \( E \) 的 \( \alpha \) 正则点. 不满足上述条件的点称为 \( E \) 的 \( \alpha \) 非正则点. 2 (非) 正则点常称为 (非) 正则点. \( E \) 的内点必为 \( E \) 的 \( \alpha \) 正则点,故 \( \alpha \) 非正则点必为边界点. \( E \) 的 \( \alpha \) 非正则点全体 \( {E}_{1} \) 可能包含 \( E \) ,甚至 \( {C}_{\alpha }\left( {E}_{1}\right) \) 与 \( {C}_{a}\left( E\right) \) 之比可任意大. 但凯洛格引理指出, \( E \cap {E}_{1} \) 必为 \( \alpha \) 零容集. 应该注意, \( \alpha \) 正则点与一个开集 \( \omega \) 的 \( \alpha \) 正则边界点是不同概念,后者指的是 \( {\mathrm{R}}^{n} \smallsetminus \omega \) 的 \( \alpha \) 正则点且常与 \( \alpha \) 调和函数 \( \left( {0 < \alpha < 2}\right) \) 或调和函数的广义狄利克雷问题相关联. 不过, \( {\mathrm{R}}^{n} \smallsetminus \omega \) 的 2 正则点与 \( \partial \omega \) 的 2 正则点一致.
正则点 (regular point) 见 “ \( \alpha \) 正则点”.
2 正则点 (2 regular point) 见 “ \( \alpha \) 正则点”.
非正则点 (irregular point) 见 “ \( \alpha \) 正则点”.
维纳判别法 (Wiener criterion) 边界点为 \( \alpha \) 非正则点的判别准则. 维纳判别法如下: 波莱尔集 \( E \) 的边界点 \( {x}_{0} \) 为 \( E \) 的 \( \alpha \) 非正则点的充分必要条件是, 对于 \( q \in \left( {0,1}\right) \) 及 \( {E}_{k} = E \cap \left\{ {x\left| {{q}^{k + 1} \leq }\right| x - {x}_{0} \mid < {q}^{k}}\right\} \) , 有
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{C}_{a}\left( {E}_{k}\right) }{{q}^{k\left( {n - a}\right) }} < + \infty ,
\]
其中 \( {C}_{\alpha } \) 表示 \( \alpha \) 容量. 又,这里 \( {E}_{k} \) 也可改为
\[
{E}^{\left( k\right) } = E \cap \left\{ {x\left| \right| x - {x}_{0} \mid < {q}^{k}}\right\} ;
\]
也可把级数式改为积分式
\[
{\int }_{0}^{1}\frac{{C}_{\alpha }\left( \rho \right) }{{\rho }^{n - \alpha + 1}}\mathrm{\;d}\rho < + \infty ,
\]
其中 \( {C}_{a}\left( \rho \right) = {C}_{a}\left( {E \cap \left\{ {x\left| \right| x - {x}_{0} \mid < \rho }\right\} }\right) \) .
\( \alpha \) 格林函数 ( \( \alpha \) -Green function) 经典的格林函数在里斯位势论中的对应物. 对开集 \( D \) 中的点 \( y \) ,用 \( {\varepsilon }_{y}{}^{\prime } \) 表示狄喇克测度 \( {\varepsilon }_{y} \) 到 \( {\mathrm{R}}^{n} \smallsetminus D \) 的 \( \alpha \) 扫除测度, 那么
\[
{G}^{\left( a\right) }\left( {x, y}\right) = {U}_{a}^{{\varepsilon }_{y}}\left( x\right) - {U}_{a}^{{\varepsilon }_{y}^{\prime }}\left( x\right)
\]
称为以 \( y \) 为极、 \( D \) 的 \( \alpha \) 格林函数. 2 格林函数就是格林函数 (参见 “格林函数”). \( {G}^{\left( \alpha \right) } \) 具有如下性质:
1. 在 \( D \) 的、包含 \( y \) 的连通分支 \( {D}_{1} \) 中 \( {G}^{\left( \alpha \right) } > 0 \) ,在 \( {\mathrm{R}}^{n} \smallsetminus {D}_{1} \) 上 \( {G}^{\left( \alpha \right) } \) 似乎处处为零.
2. 在 \( D \smallsetminus \{ y\} \) 内, \( {G}^{\left( \alpha \right) } \) 作为 \( x \) 的函数为 \( \alpha \) 调和且在 \( y \) 的邻域内与 \( \alpha \) 核具有相同的奇性.
3. 对称性,即 \( {G}^{\left( \alpha \right) }\left( {x, y}\right) = {G}^{\left( \alpha \right) }\left( {y, x}\right) \) .
调和测度 (harmonic measure) 分布在区域 (或开集) 的边界上, 且与该区域 (或开集) 上的调和函数密切关联的一种测度. 对 \( {\mathrm{R}}^{n}\left( {n \geq 3}\right) \) 的任意区域 \( D \) ,狄喇克测度 \( {\varepsilon }_{y}\left( {y \in D}\right) \) 到 \( \partial D \) 的格林扫除 \( {\omega }_{y} \) 看成 \( \partial D \) 上的测度,就称为关于 \( y \) 的调和测度. 对波莱尔集 \( E \subset \partial D,{\omega }_{y}\left( E\right) = \omega \left( {y, E;D}\right) \) 看做 \( y \) 的函数在 \( D \) 内调和,取值于 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) ; 当有 \( {y}_{0} \in D \) 使 \( {\omega }_{{y}_{0}}\left( E\right) = 0 \) ,则 \( \omega \left( {y, E;D}\right) \equiv 0 \) ,此时称 \( E \) 为调和测度零集. 同时,
\[
1 - \omega \left( {y, E;D}\right) \geq \omega \left( {y,\partial D \smallsetminus E;D}\right) ,
\]
当 \( D \) 有界时等号成立; 当 \( D \) 无界时,定义
\[
\omega \left( {y,\infty ;D}\right) = 1 - \omega \left( {y,\partial D;D}\right)
\]
并称之为无穷远点 \( \infty \) 关于 \( y \) 的调和测度 (值). 特别地,当 \( D = \{ x\left| \right| x \mid > \rho > 0\} \) 时,
\[
D\left( {y,\infty ;D}\right) = 1 - {\left( \frac{\left| y\right| }{\rho }\right) }^{2 - n} > 0.
\]
关于一个开集 \( D \) 的调和测度可类似地定义. 另外, 对 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 的有界区域 \( D \) ,可考虑有界区域 \( \Omega \left( {\Omega \supset \bar{D}}\right) \) 上的格林扫除,同法可定义调和测度; 而当 \( D \) 无界时, 可用有界区域组成的单调增的穷尽列 (参见 “理想边界的调和测度”) 所对应的调和测度列的浑极限来定义, 并仍具有与上述类似的性质. 平面的无穷远点的调和测度 (值) 或者为 0,或者为 1,视 \( \partial D \) 为正容集或零容集而定 (参见 “理想边界的调和测度”). 调和测度与广义狄利克雷问题密切相关 (参见“广义狄利克雷问题”), 在更一般的空间上也可建立这一概念.
调和测度零集 (null set of harmonic measure) 见“调和测度”.
细拓扑 (fine topology) 由给定的下半连续函数族确定的、比原来拓扑细的一种拓扑. 在非空集合 \( \Omega \) 上赋予拓扑 \( \mathcal{T} \) ,设 \( \Phi \) 是一族从 \( \left( {\Omega ,\mathcal{T}}\right) \) 到 \( \left\lbrack {0, + \infty }\right\rbrack \) 的下半连续函数组成的凸锥 (设 \( + \infty \in \) \( \Phi ) \) ,把形如
\[
\{ x \in \Omega \mid f\left( x\right) > \lambda \} \;\left( {f \in \Phi ,\lambda \geq 0}\right)
\]
的集全体记为 \( S \) ,那么 \( S \cup \mathcal{T} \) 所生成的拓扑 \( {\mathcal{T}}_{0} \) 是使 \( \Phi \) 中每个函数都连续的最粗拓扑,称之为 (相对于 \( \Phi \) 与 \( \mathcal{T} \) 的) 细拓扑. 细拓扑下的开集、闭集、闭包、极限等分别称为细开集、细闭集、细闭包、细极限等. 在格林空间中,若不另作申明,则总认定 \( \Phi \) 是非负超调和函数全体. 一般地, 谈及细与瘦的概念时, 都假定有了确定的 \( \Phi \) 与 \( \mathcal{F} \) .
细开集 (finely open set) 见 “细拓扑”.
细闭集 (finely closed set) 见 “细拓扑”.
细闭包 (finely closed set) 见 “细拓扑”.
细极限 (finely limit) 见 “细拓扑”.
\( \alpha \) 细拓扑 ( \( \alpha \) -fine topology) 使每个 \( \alpha \) 上调和函数都连续的最粗拓扑. 在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上,取 \( \Phi \) 为非负 \( \alpha \) 上调和函数 \( \left( {0 < \alpha \leq 2,\alpha < n}\right) \) 全体及 \( + \infty \) 时所得的 \( {\mathcal{T}}_{0} \) (参见“细拓扑”) 称为 \( \alpha \) 细拓扑. 它比欧氏拓扑细且当 \( \alpha < {\alpha }^{\prime } \) 时, \( \alpha \) 细拓扑严格细于 \( {\alpha }^{\prime } \) 细拓扑. \( \alpha \) 细拓扑下的开集、闭集、极限、瘦等概念分别称为 \( \alpha \) 细开集、 \( \alpha \) 细闭集、 \( \alpha \) 细极限、 \( \alpha \) 瘦等.
\( \alpha \) 细开集 ( \( \alpha \) -finely open set) 见 “ \( \alpha \) 细拓扑”.
\( \alpha \) 细闭集 ( \( \alpha \) -finely closed set) 见 “ \( \alpha \) 细拓扑”.
\( \alpha \) 细极限 ( \( \alpha \) -fine limit) 见 “ \( \alpha \) 细拓扑”.
\( \alpha \) 瘦 ( \( \alpha \) -thinness) 见 “ \( \alpha \) 细拓扑”.
瘦性(thinness) 描述一个点集在某一点的邻域充分 “稀薄” 的一个概念. 在拓扑空间 \( \left( {\Omega ,\mathcal{T}}\right) \) 中, 取定一族从 \( \left( {\Omega ,\mathcal{T}}\right) \) 到 \( \left( {0, + \infty }\right) \) 的下半连续函数组成的凸锥 \( \Phi ,\Omega \) 的子集 \( E \) 称为在 \( {x}_{0} \notin E \) 瘦,指的是 \( {x}_{0} \notin \bar{E} \) ( \( \mathcal{T} \) 闭包,下同),或 \( {x}_{0} \in \bar{E} \) 但存在 \( u \in \Phi \) ,使得
\[
\mathop{\liminf }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}u\left( x\right) > u\left( {x}_{0}\right) ,
\]
其中 \( x \in E \) . 进一步,称 \( E \) 在 \( {x}_{0}\left( {{x}_{0} \in E}\right) \) 瘦,指的是 \( E \smallsetminus \left\{ {x}_{0}\right\} \) 在 \( {x}_{0} \) 瘦且 \( E \) 在 \( {x}_{0} \) 弱瘦. 称 \( E \) 在任一点 \( {x}_{0} \) 弱瘦,当且仅当对 \( f \equiv 1 \) 关于 \( \Phi \) 的扫除函数 \( {\widehat{R}}_{1}^{r} \) ,有
\[
\inf \left\{ {{\widehat{R}}_{1}^{E \cap \sigma }\left( {x}_{0}\right) \mid \sigma }\right. \text{为}\left. {x}_{0}\right\} \text{的邻域}\} < 1\text{.}
\]
若 \( \Omega \smallsetminus E \) 在 \( E \) 的每一点都瘦,则称 \( E \) 为肥集. 嘉当定理指出, \( E \) 是细开集当且当 \( E \) 是肥集. 因此,也可把肥集全体定义作细拓扑 \( {\mathcal{T}}_{0} \) . 集 \( E \) 的非正则点可定义作 “ \( E \) 在该点瘦”. 特别地,在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中, \( {x}_{0} \) 为 \( E \) 的 \( \alpha \) 非正则点当且仅当 \( E \) 在 \( {x}_{0} \) 为 \( \alpha \) 瘦. 维纳判别法实即瘦性的判别法.
肥集 (fat set) 见 “瘦性”.
弱瘦 (weak thinness) 见 “瘦性”.
强瘦 (strong thinness) 条件比瘦性更强的、 描述点集在某一点的邻域 “稀薄”程度的概念. 类似于弱瘦, 若
\[
\inf \left\{ {{R}_{1}^{\sigma \cap E}\left( {x}_{0}\right) \mid \sigma \text{ 为 }{x}_{0}\text{ 的邻域 }}\right\} = 0,
\]
则称 \( E \) 在 \( {x}_{0}\left( {{x}_{0} \notin E}\right) \) 强瘦. 值得注意的是,强瘦仅考虑 \( {x}_{0} \notin E \) ,弱瘦则不论 \( {x}_{0} \in E \) 与否. 显然,强瘦必弱瘦, 强瘦必瘦, 反之未必. 这些概念都是布雷洛 (Brélot, M. E. ) 等人引进的, 常用于研究函数的边界性态 (参见“瘦性”).
半极集 (semi-polar set) 一种可去集, 其“稀薄”程度不超过极集. 在拓扑空间 \( \left |
2000_数学辞海（第3卷） | 186 | ehat{R}}_{1}^{r} \) ,有
\[
\inf \left\{ {{\widehat{R}}_{1}^{E \cap \sigma }\left( {x}_{0}\right) \mid \sigma }\right. \text{为}\left. {x}_{0}\right\} \text{的邻域}\} < 1\text{.}
\]
若 \( \Omega \smallsetminus E \) 在 \( E \) 的每一点都瘦,则称 \( E \) 为肥集. 嘉当定理指出, \( E \) 是细开集当且当 \( E \) 是肥集. 因此,也可把肥集全体定义作细拓扑 \( {\mathcal{T}}_{0} \) . 集 \( E \) 的非正则点可定义作 “ \( E \) 在该点瘦”. 特别地,在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中, \( {x}_{0} \) 为 \( E \) 的 \( \alpha \) 非正则点当且仅当 \( E \) 在 \( {x}_{0} \) 为 \( \alpha \) 瘦. 维纳判别法实即瘦性的判别法.
肥集 (fat set) 见 “瘦性”.
弱瘦 (weak thinness) 见 “瘦性”.
强瘦 (strong thinness) 条件比瘦性更强的、 描述点集在某一点的邻域 “稀薄”程度的概念. 类似于弱瘦, 若
\[
\inf \left\{ {{R}_{1}^{\sigma \cap E}\left( {x}_{0}\right) \mid \sigma \text{ 为 }{x}_{0}\text{ 的邻域 }}\right\} = 0,
\]
则称 \( E \) 在 \( {x}_{0}\left( {{x}_{0} \notin E}\right) \) 强瘦. 值得注意的是,强瘦仅考虑 \( {x}_{0} \notin E \) ,弱瘦则不论 \( {x}_{0} \in E \) 与否. 显然,强瘦必弱瘦, 强瘦必瘦, 反之未必. 这些概念都是布雷洛 (Brélot, M. E. ) 等人引进的, 常用于研究函数的边界性态 (参见“瘦性”).
半极集 (semi-polar set) 一种可去集, 其“稀薄”程度不超过极集. 在拓扑空间 \( \left( {\Omega ,\mathcal{T}}\right) \) 中,若集 \( E \) 可表示为在 \( \Omega \) 的每一点都弱瘦的集之可列并,则称 \( E \) 为半极集. 布雷洛下包络定理指出,对 \( \Phi \) (参见 “瘦性”) 中的元素列 \( \left\{ {u}_{i}\right\} \) ,集合
\[
\left\{ {x\left| {\;\mathop{\liminf }\limits_{{y \rightarrow x}}\left( {\mathop{\inf }\limits_{i}{u}_{i}\left( y\right) }\right) < \mathop{\inf }\limits_{i}{u}_{i}\left( x\right) }\right. }\right\}
\]
为半极集. 半极集是布雷洛 (Brélot, M. E. ) 为了在一般空间中推广极集的概念而引进的, 汉森 (Hansen, W. ) 等人对它有深入研究. 在格林空间中,瘦与弱瘦等价; \( E \) 为极集当且仅当 \( E \) 在 \( \Omega \) 的每一点瘦, 故极集必为半极集, 且反过来也对; 一个开集的非正则边界点全体为极集; 集合 \( {B}_{E} = \{ x \mid E \) 在 \( x \) 不瘦 \( \} \) 称为集 \( E \) 的基,一个正测度 \( \mu \) 到集 \( E \) 的格林扫除 \( {\mu }^{\prime } \) 的质量必集中在 \( {B}_{E} \) 上.
集合的基 (base of a set) 见 “半极集”.
半瘦 (semi-thinness) 描述集合在某一点的邻域 “稀薄”程度的一个概念. 设 \( \Omega \) 为格林空间且 \( \Omega \subset \) \( {\mathrm{R}}^{n} \) ,对 \( {x}_{0} \in \Omega \) ,令
\[
{E}_{k} = \left\{ {x\left| {{t}^{k + 1} < }\right| x - {x}_{0} \mid \leq {t}^{k}}\right\} .
\]
称集 \( E \) 在 \( {x}_{0} \) 半瘦指的是 \( n \rightarrow \infty \) 时,
\[
\lim {R}_{1}^{E \cap {E}_{n}}\left( {x}_{0}\right) = 0
\]
对每个 \( t \in \left( {0,1}\right) \) 成立. 对于 \( \Omega \subset {\mathrm{R}}^{2} \) ,这个条件等价于 \( E \cap {E}_{n} \) 的外容量趋于零. 把 \( \Omega \smallsetminus E \) 在 \( E \) 的每一点都半瘦的集 \( E \) 定义为半细开集,就得到半细拓扑. 半细拓扑下的极限称为半细极限.
半细极限 (semi-fine limit) 见 “半瘦”或“细边界值”.
细边界值 (fine boundary value) 函数在细拓扑意义下的边界值. 一般地,若 \( x \) 从 \( D \) 趋于 \( {x}_{0}\left( {{x}_{0} \in }\right. \) \( \partial D) \) 时有 \( f\left( x\right) \rightarrow \alpha \) ,则称 \( \alpha \) 为 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 的边界值; 当此极限不存在时,限制 \( x \) 沿 \( D \) 的子集趋于 \( {x}_{0} \) ,则可能有极限. 特别地,当 \( D \cup \partial D \) 上有细拓扑时,若限制 \( x \) 在 \( {x}_{0} \) 的一个细邻域趋于 \( {x}_{0} \) 时有 \( f\left( x\right) \rightarrow \beta \) ,则称 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 有细边界值 \( \beta .\alpha \) -细、半细边界值等可类似定义.
半细边界值 (simi-fine boundary value) 见 “细边界值”.
非切向边界值 (nontangential boundary value) 区域上的函数当限制自变量以某种特殊方式趋近于边界点时的极限. 设 \( D \subset {\mathrm{R}}^{n}\left( {n \geq 2}\right) \) 是一个李普希茨区域,即 \( D \) 为有界域且满足条件: 对每点 \( Q \in \partial D \) ,对应一个局部坐标系 \( \left( {X, y}\right), X \in {\mathrm{R}}^{n - 1}, y \in {\mathrm{R}}^{1} \) ,及一个邻域 \( N \) 和函数 \( b\left( X\right) \) ,使得:
1. \( \left| {b\left( X\right) - b\left( {X}^{\prime }\right) }\right| \leq k\left| {X - {X}^{\prime }}\right| \) ( \( k \) 为常数).
2. \( N \cap D = N \cap \{ \left( {X, y}\right) \mid y \geq b\left( X\right) \} \) .
3. \( N \cap \partial D = N \cap \{ \left( {X, y}\right) \mid y = b\left( X\right) \} \) .
设 \( f \) 是 \( D \) 上定义的函数,如果当 \( x \) 沿着任何一个以 \( {x}_{0} \in \partial D \) 为顶点的内锥 \( \Gamma \) (即存在一个以 \( {x}_{0} \) 为顶点的锥 \( {\Gamma }^{\prime } \) 使得 \( \bar{\Gamma } \smallsetminus \left\{ {x}_{0}\right\} \subset {\Gamma }^{\prime } \subset D \) ) 趋于 \( {x}_{0} \) 时, \( f\left( x\right) \) 有同一个极限值,就称 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 有非切向边界值 (或角极限).
角极限 (angular limit ) 见 “非切向边界值”.
李普希茨区域 (Lipschitz domain) 见“非切向边界值”.
法图-杜布定理 (Fatou-Doob theorem) 关于细边界值存在性的定理. 经典的法图定理断言: \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的球内的正调和函数在边界上几乎处处有非切向边界值. 杜布 (Doob, J. L. ) 将它推广为, 关于格林区域 \( D \) 附加其马丁边界 \( \Delta \) (参见“马丁空间”) 所得的紧空间上的细拓扑, \( D \) 内的上调和函数 \( u > 0 \) 和调和函数 \( h > 0 \) 的商 \( u/h \) 在 \( \Delta \) 上除一个 \( {\mu }_{h} \) 零测集外处处有细边界值,其中 \( {\mu }_{h} \) 是 \( h \) 在马丁积分表示式中对应的测度 (参见 “马丁积分表现”). 作为特例, 在李普希茨区域内的上调和函数 \( u > 0 \) 在 \( \partial D \) 上除一个调和测度零集外处处有细边界值.
亨特-惠登定理 (Hunt-Wheeden theorem) 函数在某点的非切向边界值与半细边界值之间的关系的定理. 该定理断言: 李普希茨区域上定义的任何函数若在 \( {x}_{0} \in \partial D \) 有非切向边界值,则在 \( {x}_{0} \) 有与它相等的半细边界值,反之不然; 但若正调和函数在 \( {x}_{0} \) 有半细边界值,则在 \( {x}_{0} \) 有相等的非切向边界值.
经典狄利克雷问题 (classical Dirichlet problem) 亦称第一边值问题, 经典位势论中三大基本问题之一. 即已知 \( {\mathrm{R}}^{n}\left( {n \geq 2}\right) \) 内的区域 \( D \) (其边界 \( \partial D \) 为紧) 及在 \( \partial D \) 上连续的实函数 \( f \) ,求以 \( f \) 为边界值的 \( D \) 内调和函数 \( u \) . 这也称第一边值问题,当 \( D \) 有界时称为内部问题. \( D \) 无界时称为外部问题,这时为保证惟一性且使在 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 上利用反演,在 \( {\mathrm{R}}^{n}\left( {n \geq 3}\right) \) 时利用开尔文变换 (参见 “开尔文变换”) 使内、外部问题能够互相转化,需要限制 \( u \) 在 \( \infty \) 为正则,即极限
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}u\left( x\right)
\]
存在. 且当 \( n = 2 \) 时此极限为有限,当 \( n \geq 3 \) 时此极限为零. 自 18 世纪起, 大批杰出数学家为该问题的求解做了巨大努力 (参见 “位势论”). 至 20 世纪初, 人们才认识到, 对一般区域未必能求解. 使这一经典问题恒能求解的区域称为狄利克雷域, 其特征是每个边界点都正则. 杜布 (Doob, J. L. ) 把经典问题翻译成概率语言并做了深入研究 (参见 “概率与位势论” 部分).
第一边值问题 (first boundary value problem) 即“经典狄利克雷问题”.
狄利克雷域 (Dirichlet region) 见“经典狄利克雷问题”.
正则边界点 (regular boundary point) 一类边界点. 所谓正则边界点,是指 \( {\mathrm{R}}^{n}\left( {n \geq 2}\right) \) 的一个开集 \( \omega \) 的边界点 \( {x}_{0} \) ,使得以 \( \partial \omega \) 上每个具有紧支集的连续函数 \( f \) 为边界值的广义狄利克雷问题的解在 \( {x}_{0} \) 的边界值与 \( f\left( {x}_{0}\right) \) 一致. 这等价于 \( {\mathrm{R}}^{n} \smallsetminus \omega \) (或 \( \partial \omega \) ) 在 \( {x}_{0} \) 不瘦. 当 \( n \geq 3 \) 时,这等价于 \( {x}_{0} \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \smallsetminus \omega \) (或 \( \partial \omega \) ) 的 2 正则点 (参见 “ \( \alpha \) 正则点”),故可采用维纳判别法 (当 \( n = 2 \) 时,用对数容量代替 \( {C}_{a} \) 的类似判别法). 常用的充分必要判别法还有:
1. 在 \( {x}_{0} \) 存在闸函数,即存在 \( {x}_{0} \) 的开邻域 \( N \) 及 \( N \cap \omega \) 内的上调和函数 \( w > 0 \) ,使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}w\left( x\right) > 0.
\]
2. 对 1 . 中 \( N \cap \omega \) 的格林函数 \( G \) ,有
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}G\left( {x, y}\right) = 0.
\]
另外,当 \( n \geq 3 \) 时,简单实用的充分判别法是所谓庞加莱锥条件,即存在以 \( {x}_{0} \) 为顶点的圆锥体在 \( {x}_{0} \) 的某邻域与 \( \omega \) 不相交.
闸函数 (barrier) 见“正则边界点”.
庞加莱锥条件 (Poincaré cone condition) 利用区域的外锥来判断正则边界点的充分条件. 见“正则边界点”.
勒贝格刺 (Lebesgue spine) 非狄利克雷域的著名例子. 在 \( {\mathrm{R}}^{3} \) 的直角坐标系下, \( {XY} \) 平面上的曲线
\[
y = {\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x}}\;\left( {x > 0}\right)
\]
绕 \( x \) 轴旋转的曲面所包围的闭区域 \( F \) 称为勒贝格刺,它在原点 \( O \) 瘦. 由此可得到一个与球同胚且边界曲面除 \( O \) 点外充分光滑的区域 \( D \) ,使得
\[
D \cap F = B \smallsetminus F,
\]
其中 \( B \) 为单位球. 可证 \( D \) 不是狄利克雷域. 勒贝格 (Lebesgue, H. L. ) 于 1913 年给出了如上具有历史意义的反例, 它促使人们进而考虑广义狄利克雷问题.
广义狄利克雷问题 (generalized Dirichlet problem) 经典狄利克雷问题通过适当放松边界值要求进行的推广. 该问题是: 已知 \( {\mathrm{R}}^{n}\left( {n \geq 2}\right) \) 的区域 \( D(\partial D \) 为紧) 及从 \( \partial D \) 到 \( \left\lbrack {-\infty , + \infty }\right\rbrack \) 的函数 \( f \) ,求 \( D \) 内调和的函数 \( u \) ,使对每个正则边界点 \( y \) ,有
\[
\lim \inf {f}_{\partial D \ni \xi \rightarrow y} \leq \mathop{\liminf }\limits_{{D \ni x \rightarrow y}}u\left( x\right) \leq \mathop{\limsup }\limits_{{D \ni x \rightarrow y}}u\left( x\right)
\]
\[
\leq \mathop{\limsup }\limits_{{\partial D \ni \xi \rightarrow y}}f\left( \xi \right) ,
\]
且当 \( D \) 无界时, \( u \) 在 \( \infty \) 为正则 (若不要求内外部问题互相转化,可只要求 \( u \) 在 \( \infty \) 有有限极限). 更一般地, 可考虑 \( D \) 为一般开集的情形.
由佩龙 (Perron, O. ) 于 1923 年提出, 经布雷洛 (Brélot, M. E. ) 改进的下述方法被公认是解这个问题的最有效工具. 下面以 \( {\mathrm{R}}^{n}\left( {n \geq 3}\right) \) 为例叙述,对 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 的内部问题也适用. 若边值函数为 \( f \) ,当 \( D \) 无界时, 令 \( \partial {D}^{ * } = \partial D \cup \{ \infty \} \) 并补充定义 \( f\left( \infty \right) = 0 \) ; 当 \( D \) 有界时,令 \( \partial {D}^{ * } = \partial D.D \) 内一个超调和函数 \( v \) 称为 \( (f \) 的) 上函数,指的是当 \( D \) 内 \( x \) 趋于任一 \( y \in \partial {D}^{ * } \) 时, 恒有 \( \liminf v\left( x\right) \geq f\left( y\right) \) . 令 \( {\bar{H}}_{f}\left( x\right) = \inf \{ v\left( x\right) \mid v \) 为上函数 \( \} \) ; 又记 \( {\underline{H}}_{f} = - {\bar{H}}_{-f} \) ,那么 \( {\underline{H}}_{f} \leq {\bar{H}}_{f};{\underline{H}}_{f} \) 与 \( {\bar{H}}_{f} \) 分别称为关于 \( f \) 的下解与上解. 当 \( {\underline{H}}_{f} \) 与 \( {\bar{H}}_{f} \) 相等且只取有限值时,广义狄利克雷问题有解,即 \( f \) 是可解的. \( f \) 可解的充分必要条件是对每个 \( x \in D, f \) 关于调和测度 \( {\omega }_{x} = \omega \left( {x,\cdot ;D}\right) \) (参见 “调和测度”) 可积分, 这时
\[
{H}_{f}\left( x\right) = {\bar{H}}_{f}\left( x\right) = {\underline{H}}_{f}\left( x\right) = \int f\mathrm{\;d}{\omega }_{x}
\]
就是所要求的惟一解, 称为 PWB 解或 PB 解, 以纪念佩龙、维纳 (Wiener, N. ) 及布雷洛的工作. 特别地,当 \( f \) 有限连续时必可解,看做泛函的对应测度, \( {\omega }_{x} \) 由这样的 \( f \) 全体所确定并可由此给予定义. \( y \in \) \( \partial D \) 为正则边界点的充分必要条件是,对每个连续 (有限)的 \( f \) ,有
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow y}}{H}_{f}\left( x\right) = f\left( y\right)
\]
上述方法在格林空间、马丁空间及更一般空间 (参见 “公理化位势论”) 也适用. 另外, 在一定条件下, 也可类似地考虑关于 \( \alpha \) 调和函数的广义狄利克雷问题.
上函数 (upper function) 见“广义狄利克雷问题”.
下函数 (lower function) 见 “广义狄利克雷问题”.
上解 (upper solution) 见“广义狄利克雷问题”.
下解 (lower solution) 见 “广义狄利克雷问题”.
PWB 解 (PWB solution) 见“广义狄利克雷问题”.
PB 解 (PB solution) 即 “PWB 解”.
狄利克雷积分 (Dirichlet integral) 用以给出狄利克雷问题解的特征的一个积分. 有两种定义:
1. 从 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的区域 \( G \) 到 \( \left\lbrack {-\infty , + \infty }\right\rbrack \) 的函数 \( f \) 当其梯度 \( \operatorname{grad}f \) 几乎处处存在时,称
\[
D\left\lbrack f\right\rbrack = \int {\left| \operatorname{grad}f\right| }^{2}\mathrm{\;d}x
\]
为 \( f \) 的狄利克雷积分.
2. 对 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 上的复值解析函数,常把它的实部的狄利克雷积分称为其本身的狄利克雷积分.
在黎曼曲面上也有类似情形.
狄利克雷原理(Dirichlet principle) 利用狄利克雷积分给出的狄利克雷问题解的一个特征. 设 \( \mathcal{D} \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的有界区域 \( G \) 内连续可微且狄利克雷积分有限的实函数全体. 在 \( \mathcal{D} \) 上定义内积:
\[
\left( {{f}_{1},{f}_{2}}\right) = \int \left( {\operatorname{grad}{f}_{1},\operatorname{grad}{f}_{2}}\right) \mathrm{d}x
\]
\[
= \int \mathop{\sum } |
2000_数学辞海（第3卷） | 187 | 般空间 (参见 “公理化位势论”) 也适用. 另外, 在一定条件下, 也可类似地考虑关于 \( \alpha \) 调和函数的广义狄利克雷问题.
上函数 (upper function) 见“广义狄利克雷问题”.
下函数 (lower function) 见 “广义狄利克雷问题”.
上解 (upper solution) 见“广义狄利克雷问题”.
下解 (lower solution) 见 “广义狄利克雷问题”.
PWB 解 (PWB solution) 见“广义狄利克雷问题”.
PB 解 (PB solution) 即 “PWB 解”.
狄利克雷积分 (Dirichlet integral) 用以给出狄利克雷问题解的特征的一个积分. 有两种定义:
1. 从 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的区域 \( G \) 到 \( \left\lbrack {-\infty , + \infty }\right\rbrack \) 的函数 \( f \) 当其梯度 \( \operatorname{grad}f \) 几乎处处存在时,称
\[
D\left\lbrack f\right\rbrack = \int {\left| \operatorname{grad}f\right| }^{2}\mathrm{\;d}x
\]
为 \( f \) 的狄利克雷积分.
2. 对 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 上的复值解析函数,常把它的实部的狄利克雷积分称为其本身的狄利克雷积分.
在黎曼曲面上也有类似情形.
狄利克雷原理(Dirichlet principle) 利用狄利克雷积分给出的狄利克雷问题解的一个特征. 设 \( \mathcal{D} \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的有界区域 \( G \) 内连续可微且狄利克雷积分有限的实函数全体. 在 \( \mathcal{D} \) 上定义内积:
\[
\left( {{f}_{1},{f}_{2}}\right) = \int \left( {\operatorname{grad}{f}_{1},\operatorname{grad}{f}_{2}}\right) \mathrm{d}x
\]
\[
= \int \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{\partial {f}_{1}}{\partial {x}_{i}} \cdot \frac{\partial {f}_{2}}{\partial {x}_{i}}\mathrm{\;d}x
\]
则依等价关系: “ \( \sim \) ” ( \( {f}_{1} \sim {f}_{2} \Leftrightarrow D\left\lbrack {{f}_{1} - {f}_{2}}\right\rbrack = 0 \) ) 得到的商空间 \( {\mathcal{D}}_{0} \) 是准希尔伯特空间. 狄利克雷原理断言: 若 \( f \in \mathcal{D} \) 且有界并可连续地延拓到 \( \bar{G} \) ,则在 \( H \) \( = \{ u \in \mathcal{D} \mid u \) 在 \( G \) 内调和 \( \} \) 中,经典的狄利克雷问题的解 \( {H}_{f} \) 使
\[
\parallel u - f\parallel = D\left\lbrack {u - f}\right\rbrack
\]
达到极小,它就是 \( f \) 在子空间 \( {H}_{0}(H \) 关于 \( \mathcal{D} \) 中的等价关系的商空间)上的正交投影. 该原理的古典形式称,在 \( \partial G \) 充分光滑时,与上述 \( f \) (只要求分块连续可微) 同性质同边界值的诸函数中, 存在使狄利克雷积分达到极小者. 自 19 世纪 50 年代狄利克雷 (Dirichlet, P. G. L. )、黎曼 (Riemann, (G. F. )B. ) 提出该原理之后的半个多世纪, 包括希尔伯特 (Hilbert, D. )、外尔斯特拉斯 (Weierstrass, K. (T. W. )) 在内的大批数学家为该理论的充实付出了巨大努力. 20 世纪 50 年代, 戴尼 (Deny, J. ) 用广义函数论的方法把研究深入一步; 布雷洛 (Brélot, M. E. )把上述结果推广到 \( \mathcal{E} \) 空间的区域上去.
BLD 函数 (BLD-functions) 一类重要函数. 所谓 BLD 函数,是指准希尔伯特空间 \( {\mathcal{D}}_{0} \) (参见 “狄利克雷原理”) 的完备化空间中的元素, 这种元素全体称为 BLD 族. 这是布雷洛 (Brélot, M. E. ) 倡议的, 以纪念在 1906 年引入 BL 类函数的列维 (Levi, B. ) 和戴尼 (Deny, J. ), 后者在 1950 年应用广义函数论给出了进一步明确这个空间特点的完备化定理: BLD 实际上是由下述 BLD 函数 \( f \) 所组成: \( f \) 在 \( G \) 内似乎处处有限且 \( {\mathcal{D}}_{0} \) 中有子列似乎处处收敛于 \( f \) . 这种 \( f \) 必几乎处处有梯度且 \( D\left\lbrack f\right\rbrack < + \infty \) . 若 \( f \) 是有界区域 \( {G}_{1}\left( {{G}_{1} \supset \bar{G}}\right) \) 内的 BLD 函数,则在 \( G \) 上 \( {H}_{f} \) 存在,且除附加常数外 \( {H}_{f} \) 是惟一使 \( \parallel u - f\parallel \) 达到极小的 BLD 函数, 也是惟一满足下面条件的、在 \( D \) 内调和的函数: 它可以延拓成 \( {G}_{1} \) 上的 BLD 函数 \( {f}_{1} \) 且使得在 \( {G}_{1} \smallsetminus G \) 上 \( {f}_{1} = f \) .
BLD 族 (BLD-family) 见 “BLD 函数”.
BL 函数 (BL-functions) 一类重要函数. 所谓 \( \mathrm{{BL}} \) 函数,是指从 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的区域 \( G \) 到 \( \left\lbrack {-\infty , + \infty }\right\rbrack \) 的一类函数,其中每个函数 \( f \) 满足:
1. 在几乎所有平行于坐标轴 \( O{X}_{i}(i = 1,2,\cdots \) , \( n) \) 的直线上, \( f\left( x\right) \) 是 \( x \) 的分量 \( {x}_{i} \) 的绝对连续函数.
2. 在 \( G \) 上, \( D\left\lbrack f\right\rbrack < + \infty \) .
又在 \( G \) 上, BL 关于 \( \parallel f\parallel = \sqrt{D\left\lbrack f\right\rbrack } \) 成半范空间,当 \( G \) 有界时, BLD 可看成 BL 的子集. 若 \( G = {\mathrm{R}}^{n} \) , 令
\[
{\mathrm{{BL}}}_{0} = \left\{ {f \in \mathrm{{BL}} \mid \mathop{\lim }\limits_{{r \rightarrow \infty }}\frac{1}{{r}^{n - 1}}{\int }_{\left| x\right| = r}f\left( x\right) \mathrm{d}\sigma \left( x\right) = 0}\right\} .
\]
对有界区域 \( G \) 也可相应定义 \( {\mathrm{{BL}}}_{0}.{\mathrm{{BL}}}_{0} \) 关于 \( \parallel \cdot \parallel \) 成赋范空间. \( {\mathrm{{BL}}}_{0} \) 函数给出了广义函数的牛顿位势的一个直观描述.
\( {\mathrm{{BL}}}_{0} \) 函数 \( \left( {{\mathrm{{BL}}}_{0}\text{-function }}\right. \) 见“BL 函数”.
广义函数核 (kernel distribution) 一般位势的核这一概念的推广形式. 对从 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 到 \( \left\lbrack {-\infty , + \infty }\right\rbrack \) 的函数 \( f \) ,若存在正整数 \( m \) ,使
\[
\int \left| {f\left( x\right) }\right| {\left( 1 + {\left| x\right| }^{2}\right) }^{-m}\mathrm{\;d}x < + \infty ,
\]
则称 \( f \) 为缓增函数,把缓增函数全体记为 \( {\mathcal{S}}^{ * } \) . 当广义函数 \( k \) 的傅里叶变换 (参见《泛函分析》中的《广义函数 \( \parallel \) 部分 \( )\widehat{k} \geq 0 \) 为函数且 \( \widehat{k} \) 与 \( 1/\widehat{k} \) 都是缓增函数时,称 \( k \) 为广义函数核. 例如,正规化的 \( \alpha \) 核 \( {k}_{\alpha } \) \( = A\left( {n,\alpha }\right) {\left| x\right| }^{\alpha - n} \) (其中 \( 1 < \alpha < n, A\left( {n,\alpha }\right) \) 为正规化因子) 是广义函数核,这时 \( {\widehat{k}}_{a} = {\left| x\right| }^{-a} \in {\mathcal{S}}^{ * } \) .
广义函数的位势 (potential of distribution) 一般位势在广义函数情形下的推广. 关于广义函数核 \( k \) ,
\[
M = \left\{ {T \in {\mathcal{S}}^{ * } \mid \widehat{T}}\right. \text{为函数且}T\text{的能量}
\]
\[
\parallel T{\parallel }^{2} = \int \widehat{k}{\left| \widehat{T}\right| }^{2}\mathrm{\;d}x < + \infty \}
\]
关于内积
\[
\left( {{T}_{1},{T}_{2}}\right) = \int \widehat{k}{\widehat{T}}_{1}\left( x\right) {\widehat{T}}_{2}\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
成为希尔伯特空间. 若 \( T \in M \) ,则 \( \widehat{k}\widehat{T} \in {\mathcal{S}}^{ * } \) ,因此可确定满足 \( \widehat{u} = \widehat{k}\widehat{T} \) 的广义函数 \( u = {U}^{T} \) ,称之为 \( T \) 的 (以 \( k \) 为广义函数核) 位势. 特别当 \( T \) 的支集为紧时,有 \( {U}^{T} = k * T \) ,这与 \( T \) 为测度时的形式一致; 当 \( T \geq 0 \) 时, \( {U}^{T} \) 为函数. 利用投影算子,可对广义函数的位势讨论扫除、平衡问题及容量等. 以正规化的 \( \alpha \) 核 \( {k}_{a} \) 为例,上述 \( M \) 就是 \( \alpha \) 能量有限的 (带符号) 测度全体 \( {\mathcal{E}}_{a} \) 以 \( {I}_{a}\left( {\mu ,\nu }\right) \) 为内积的准希尔伯特空间的完备化. \( M \) 中那些支集包含在紧集 \( K\left( {K \subset {\mathrm{R}}^{n}}\right) \) 的广义函数全体 \( {M}_{K} \) 是 \( M \) 的子希尔伯特空间, \( T \in M \) 到 \( {M}_{K} \) 的投影 \( {T}^{\prime } \) 满足 \( {U}^{T}\left( x\right) = {U}^{{T}^{\prime }}\left( x\right) \) 在 \( K \) 的内部 \( {K}^{0} \) 几乎处处成立. 称此 \( {T}^{\prime } = {P}_{K}T \) 为 \( T \) 到 \( K \) 的扫除. 另外,对满足 \( {U}^{T}\left( x\right) \equiv 1 \) 在 \( {K}^{0} \) 成立的 \( \Gamma \in M \) ,其扫除 \( {\Gamma }^{\prime } = {P}_{K}\Gamma \) 是在 \( {M}_{K} = \left\{ {T}_{1}\right\} \) 中使 \( \begin{Vmatrix}{{T}_{1} - \Gamma }\end{Vmatrix} \) 达到极小的惟一解,称 \( {\Gamma }^{\prime } \) 为 \( K \) 上的平衡分布, \( \begin{Vmatrix}{\Gamma }^{\prime }\end{Vmatrix} \) 为 \( K \) 的谱测度. 当 \( 0 < \alpha \leq 2 \) 时,它们分别与把 \( {k}_{\alpha } \) 看成一般核时的平衡测度及 \( \alpha \) 容量一致.
广义函数的牛顿位势 (Newton potential of distribution) 一类广义函数的位势. 以 \( {k}_{2} \) 为广义函数核时 \( T \in {M}_{2} \) 的位势 \( {U}^{T} \) 称为广义函数的牛顿位势. 它是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的 \( {\mathrm{{BL}}}_{0} \) 函数且
\[
\parallel T{\parallel }^{2} = \frac{1}{4\pi }\int {\left| \operatorname{grad}{U}^{T}\left( x\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x
\]
(关于 \( \parallel T\parallel \) ,见 “广义函数的位势”); 反之,任一 \( {\mathrm{{BL}}}_{0} \) 函数几乎处处等于某个牛顿位势 \( {U}^{T} \) . 双层位势可视为 \( {U}^{T} \) 的特殊情形.
抽象边界 (abstract boundary) 由不属于指定的拓扑空间 \( \Omega \) 的点组成的集合,是 \( \Omega \) 在延拓后的拓扑空间内的边界. 具体地,在非空集合 \( \Omega \) 上赋予拓扑 \( \mathcal{T} \) ,设 \( I \) 是非空指标集,若对每个 \( i \in I \) ,对应着一个由开集组成的滤基 (参见 “一般拓扑学”部分) \( {\mathcal{B}}_{i} \) , 则在 \( \Omega \cup I \) 上存在满足下述条件的拓扑 \( {\mathcal{T}}_{1} \) :
1. \( {\mathcal{T}}_{1} \) 在 \( \Omega \) 的诱导拓扑为 \( \mathcal{T} \) .
2. 对任意 \( i \in I,\Omega \) 与 \( i \) 的邻域的交全体构成由 \( {\mathcal{B}}_{i} \) 生成的滤子.
于是关于 \( {\mathcal{T}}_{1}, I \) 是 \( \Omega \) 的边界,称之为 \( \Omega \) 的抽象边界. 这样的拓扑 \( {\mathcal{T}}_{1} \) 中有最细者,它使得 \( \Omega \) 为开集,在 \( I \) 上的诱导拓扑是离散的且 \( {\mathcal{B}}_{i} \) 中的集与 \( i \) 之并全体构成 \( i \) 的邻域基. 把使 \( \Omega \) 成为开集的诸拓扑 \( \left\{ {\mathcal{T}}_{1}\right\} \) 中最粗者记为 \( {\mathcal{T}}_{m} \) ,若 \( \left( {\Omega ,\mathcal{T}}\right) \) 为豪斯多夫空间,则 \( \left( {\Omega \cup I,{\mathcal{T}}_{m}}\right) \) 也是豪斯多夫空间的充分必要条件为:
1. \( \forall i \in I,\forall x \in \Omega, x \) 在 \( \left( {\Omega ,\mathcal{T}}\right) \) 中有一个邻域 \( U \) 与 \( {\mathcal{B}}_{i} \) 的某个成员 \( V \) 不相交.
2. \( \forall i, j \in I\left( {i \neq j}\right) \) ,存在 \( U \in {\mathcal{B}}_{i}, V \in {\mathcal{B}}_{j} \) ,使得 \( U \) 与 \( V \) 不相交.
极小调和函数 (minimal harmonic function) 不计一个正的常数因子时比别的同类函数都小的非负非零调和函数. 设 \( \Omega \) 为拓扑空间,一族由 \( \Omega \) 到 \( \lbrack 0 \) , \( + \infty ) \) 的连续函数 \( u \) 组成的凸锥 \( \mathcal{U} \) 和一族由 \( \Omega \) 到 \( \left\lbrack {0, + \infty }\right\rbrack \) 的下半连续函数 \( p \) 组成的凸锥 \( \mathcal{P} \) 当满足下面两条件时分别称为抽象调和锥和位势锥:
1. \( u \in \mathcal{U}, p \in \mathcal{D} \) 且 \( u \leq p \) 蕴涵 \( u = 0 \) .
2. \( v \in \sum, u \in \mathcal{U} \) 蕴涵 \( \inf \{ u\left( x\right), v\left( x\right) \} \in \sum \) ,其中 \( \sum = \mathcal{U} + \mathcal{P} = \{ u + p \mid u \in \mathcal{U}, p \in \mathcal{P}\} \) . 格林空间上的非负调和函数全体和非 \( + \infty \) 的格林位势全体分别是 \( \mathcal{U} \) 与 \( \mathcal{P} \) 的特例.
\( \mathcal{U} \) 中元素 \( h\left( {h \neq 0}\right) \) 称为极小调和函数,指的是对任意 \( u \in \mathcal{U}, u \leq h \) 蕴涵存在非负常数 \( \alpha \) 使 \( u = {\alpha h} \) . \( h \neq 0 \) 为极小调和当且仅当 \( \bar{h} = \{ {\alpha h} \mid \alpha \geq 0\} \) 为凸锥 \( \mathcal{U} \) 的极端母线. 若规定 \( {h}_{1} \) 等价于 \( {h}_{2} \) 当且仅当存在函数 \( \alpha > 0 \) 使 \( {h}_{1} = \alpha {h}_{2} \) ,则可把 \( \bar{h} \) 看成 \( h \) 的等价类. 极小调和函数的概念是马丁 (Martin, R. S. ) 于 1941 年引进的, 布雷洛 (Brélot, M. E. ) 等人在抽象空间上加以发展. 目前关于抽象锥的研究已发展成为专门的 \( H \) 锥理论.
抽象调和锥 (abstract harmonic cone) 见 “极小调和函数”.
抽象位势锥 (abstract potential cone) 见 “极小调和函数”.
极小瘦 (minimal thinness) 点集在抽象边界点的邻域“稀薄”程度的一种描述, 瘦性概念的推广. 在考虑抽象调和锥时, \( \Omega \) 的子集 \( E \) 称为关于极小调和函数 \( h\left( {h \neq 0}\right) \) 为瘦,指的是关于凸锥 \( \sum, h \) 到 \( E \) 的简化函数 \( {R}_{f}^{E} ≢ h \) . 集族 \( \{ \Omega \smallsetminus E \mid E \) 关于 \( h \) 瘦 \( \} \) 构成一个滤子 \( {\mathcal{F}}_{h} \) ; 令 \( {\mathcal{F}}_{\bar{h}} = {\mathcal{F}}_{h} \) ,它是类 \( \bar{h} \) (参见 “极小调和函数”) 中所有的极小调和函数 \( \left( { \neq 0}\right) \) 所对应的共同滤子. 关于 \( \left\{ {\mathcal{F}}_{\bar{h}}\right\} ,\bar{h} \) 全体 \( m \) 作为 \( \Omega \) 的抽象边界称为极小边界, 它是极小细拓扑 (参见 “极小细拓扑”) 下的边界. 布雷洛 (Brélot, M. E. ) 还考虑了更一般的极小瘦与极小边界.
极小边界 (minimal boundary) 见“极小瘦”.
极小细拓扑 (minimal fine topology) \( \Omega \) 上的细拓扑在 \( \Omega \) 与抽象边界的并集上的一种延拓. 在 \( \Omega \) 上相对于 \( \Phi = \sum \cup \{ + \infty \} \) (参见 “极小瘦”) 的细拓扑记为 \( {\mathcal{T}}_{0} \) ,那么 \( {\mathcal{F}}_{h} \) 中的集都是 \( {\mathcal{T}}_{0} \) 开集. 在 \( \Omega \cup m \) 中关于滤子族 \( \left\{ {\mathcal{F}}_{\bar{h}}\right\ |
2000_数学辞海（第3卷） | 188 | “极小调和函数”.
抽象位势锥 (abstract potential cone) 见 “极小调和函数”.
极小瘦 (minimal thinness) 点集在抽象边界点的邻域“稀薄”程度的一种描述, 瘦性概念的推广. 在考虑抽象调和锥时, \( \Omega \) 的子集 \( E \) 称为关于极小调和函数 \( h\left( {h \neq 0}\right) \) 为瘦,指的是关于凸锥 \( \sum, h \) 到 \( E \) 的简化函数 \( {R}_{f}^{E} ≢ h \) . 集族 \( \{ \Omega \smallsetminus E \mid E \) 关于 \( h \) 瘦 \( \} \) 构成一个滤子 \( {\mathcal{F}}_{h} \) ; 令 \( {\mathcal{F}}_{\bar{h}} = {\mathcal{F}}_{h} \) ,它是类 \( \bar{h} \) (参见 “极小调和函数”) 中所有的极小调和函数 \( \left( { \neq 0}\right) \) 所对应的共同滤子. 关于 \( \left\{ {\mathcal{F}}_{\bar{h}}\right\} ,\bar{h} \) 全体 \( m \) 作为 \( \Omega \) 的抽象边界称为极小边界, 它是极小细拓扑 (参见 “极小细拓扑”) 下的边界. 布雷洛 (Brélot, M. E. ) 还考虑了更一般的极小瘦与极小边界.
极小边界 (minimal boundary) 见“极小瘦”.
极小细拓扑 (minimal fine topology) \( \Omega \) 上的细拓扑在 \( \Omega \) 与抽象边界的并集上的一种延拓. 在 \( \Omega \) 上相对于 \( \Phi = \sum \cup \{ + \infty \} \) (参见 “极小瘦”) 的细拓扑记为 \( {\mathcal{T}}_{0} \) ,那么 \( {\mathcal{F}}_{h} \) 中的集都是 \( {\mathcal{T}}_{0} \) 开集. 在 \( \Omega \cup m \) 中关于滤子族 \( \left\{ {\mathcal{F}}_{\bar{h}}\right\} \) 产生的,使 \( m \) 成为抽象边界、 \( \Omega \) 为开集的诸拓扑中最粗者记为 \( {\mathcal{T}}_{m} \) ,称为极小细拓扑. 关于 \( {\mathcal{T}}_{m} \) ,从 \( \Omega \) 内到边界点 \( \bar{h} \) 的上、下极限与关于滤子 \( {\mathcal{F}}_{\bar{h}} \) 的上、下极限一致.
康斯坦丁斯库-柯尼定理 (Constantinescu-Cornea theorem) 统一处理拓扑空间各种常用的紧致化的一个定理. 该定理指出,若 \( \Omega \) 为非紧的局部紧的豪斯多夫空间, \( \Psi \) 是一族从 \( \Omega \) 到 \( \lbrack - \infty , + \) \( \infty \rbrack \) 的连续函数,则存在惟一 (至多相差一个同胚) 的紧空间 \( \widehat{\Omega } \) 满足:
1. \( \Omega \) 在 \( \widehat{\Omega } \) 中稠密且为开集.
2. \( \Psi \) 中每个函数能延拓成 \( \widehat{\Omega } \) 上的连续函数 \( \widehat{f} \) .
3. \( \widehat{f} \) 全体能分辨 \( \Delta = \widehat{\Omega } \smallsetminus \Omega \) 的点. \( \Delta \) 称为 \( \Omega \) 的理想边界.
\( \Omega \) 也可看成 \( \Omega \) 关于如下的一致结构的完备化空间,它是使 \( \Psi \) 中每个函数都一致连续且相应的一致拓扑与 \( \Omega \) 原有拓扑相容的最粗的一致结构. 本定理概括了常用的紧致化定理, 提供了据函数族的性质来引入边界且保证原空间附加边界后成为紧空间的理论根据.
适当选取上述的函数族 \( \Psi \) ,可得位势论常用的如下几种紧致化:
1. 亚历山德罗夫单点紧致化,这时 \( \Psi \) 为空集.
2. 斯通-切赫紧致化,这时 \( \Psi \) 为从 \( \Omega \) 到 \( \lbrack - \infty \) , \( + \infty \rbrack \) 的连续函数全体.
3. 斯托伊洛夫紧致化,取 \( \mathbb{I}\Psi \) 为如下从 \( \Omega \) 到 \( \left( {-\infty , + \infty }\right) \) 的连续函数 \( f \) 组成: 在 \( \Omega \) 中有紧子集 \( {K}_{f} \) ,使得 \( \Omega \smallsetminus {K}_{f} \) 是一些区域的并集且在每个区域上 \( f \) 取常数值.
4. 罗伊登紧致化,这时 \( \Omega \) 为 \( \mathcal{E} \) -空间, \( \Psi \) 是从 \( \Omega \) 到 \( \left( {-\infty , + \infty }\right) \) 的、连续的 BLD 函数全体.
5. 仓特善紧致化, \( \Omega \) 为 \( \mathcal{E} \) 空间, \( \Psi \) 是上一族函数中这样的 \( f \) 全体: \( \Omega \) 有闭子集 \( {F}_{f} \) ,使得 \( f \) 在 \( \Omega \smallsetminus {F}_{f} \) 内调和且在那些于 \( {F}_{f} \) 上取值等于 \( f \) 的 BLD 函数的
狄利克雷积分中, \( f \) 达到极小.
6. 马丁紧致化, 这是位势论中重要的紧致化 (参见“马丁空间”).
在各种紧致化下得到的理想边界仍冠以同样名字, 如亚历山德罗夫 (理想) 边界等.
理想边界 (ideal boundary) 见 “康斯坦丁斯库 -柯尼定理”.
斯通-切赫紧致化 (Stone Cech compactification) 见“康斯坦丁斯库-柯尼定理”.
斯托伊洛夫紧致化 (Stoilow compactification) 见“康斯坦丁斯库-柯尼定理”.
罗伊登紧致化 (Royden compactification) 见 “康斯坦丁斯库-柯尼定理”.
仓特善紧致化 (Kuramochi compactification) 见“康斯坦丁斯库-柯尼定理”.
马丁紧致化 (Martin compactification) 见“康斯坦丁斯库-柯尼定理”和“马丁空间”.
马丁空间 (Martin space) 位势论中的一类重要空间. 格林空间 \( \Omega \) 相对于函数族 \( \left\{ {{K}_{y}\left( x\right) \mid y \in \Omega }\right\} \) 的紧致化记为 \( \widehat{\Omega } \) ,并称 \( \widehat{\Omega } \) 为马丁空间,其中
\[
{K}_{y}\left( x\right) = K\left( {x, y}\right) = \frac{G\left( {x, y}\right) }{G\left( {x,{y}_{0}}\right) },
\]
\( {y}_{0} \in \Omega \) 任意取定. \( \Delta = \widehat{\Omega } \smallsetminus \Omega \) 称为马丁边界,每个函数 \( {K}_{y}\left( x\right) \) 在 \( \widehat{\Omega } \) 有连续延拓且能分辨 \( \Delta ;\widehat{\Omega } \) 可度量化. \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的一般区域的欧氏边界与 \( \Delta \) 全然不同,但当 \( \Omega \) 是球或其他较为正则的域 (如李普希茨域) 时二者一致. 对 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 的单连通格林区域, \( \Delta \) 等同于卡拉西奥多里 (Carathéodory, C.)的分歧边界. 对马丁边界同样可考虑狄利克雷问题; 可把 \( \Omega \) 上的细拓扑延拓成 \( \Omega \cup \) \( {\Delta }_{1} \) (参见 “马丁积分表现”) 上的极小细拓扑并可讨论函数的边界值问题 (参见 “法图-杜布定理”); 马丁边界可翻译成概率语言并在随机过程论中得到应用和推广. 该空间是马丁 (Martin, R. S. ) 于 1941 年引进的.
马丁边界 (Martin boundary) 见“马丁空间”.
马丁积分表现 (Martin integral representation) 球上非负调和函数的泊松积分表示在一般区域上的推广. 在马丁空间 \( \widehat{\Omega } \) 中,对于 \( \Omega \) 上的极小正调和函数 \( u \) ,必存在惟一的 \( X \in \Delta \) (定义见 “康斯坦丁斯库- 柯尼定理”)使
\[
u\left( y\right) \equiv u\left( {y}_{0}\right) K\left( {X, y}\right)
\]
(参见“马丁空间”),称这样的 \( X \) 为 \( \Delta \) 的极小点; 极小点全体 \( {\Delta }_{1} \) 是 \( {G}_{\delta } \) 集. 马丁积分表现定理断言: 对任一非负调和函数 \( u \) ,必存在惟一的、集中在 \( {\Delta }_{1} \) 上的拉东测度 \( \mu \geq 0 \) ,使得
\[
u\left( y\right) = \int K\left( {X, y}\right) \mathrm{d}\mu \left( X\right) \;\left( {y \in \Omega }\right) .
\]
上式右端也是双层位势的推广,当 \( \Omega \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的球时,
\[
K\left( {X, y}\right) = \frac{\partial G\left( {X, y}\right) }{\partial {n}_{X}}.
\]
上述定理促使绍凯 (Choquet, G. ) 对紧凸集作出了出色的研究, 又反过来简化了马丁 (Martin, R. S. ) 的证明.
广义马丁边界 (generalized Martin boundaries) 马丁紧致化的推广形式的理想边界. 它有许多种, 例如,用某个二阶椭圆型方程在 \( \Omega \) 的格林函数 \( {G}^{\prime }(x \) , \( y) \) 代替调和方程的 \( G\left( {x, y}\right) \) (参见 “马丁空间”),就得到与该方程某族极小正解相关联的马丁边界 \( {\Delta }^{\prime } \) (称为椭圆马丁边界) 及极小点全体 \( {\Delta }_{1}{}^{\prime } \) ,并可研究 \( \Omega \) \( \cup {\Delta }^{\prime } \) 上的位势论性质以及方程的解空间结构; \( {\Delta }^{\prime } \) 与 \( \Delta \) 及其他理想边界的关系等是常见课题. 特别地,对方程 \( {Lu} = {Pu}\left( {P \geq 0, L}\right. \) 是拉普拉斯算子),把 \( {\Delta }_{1}{}^{\prime } \) 的基数称为椭圆维数,记为 \( \dim P \) . 中井三留 (Nakai, M. ) 等日本学者在具有一个孤立边界点的平面区域上对 \( \dim P \) 的值域与密度 \( P \) 的关系做了深入研究; 另外, 对非椭圆方程也可考虑广义马丁边界.
椭圆马丁边界 (elliptic Martin boundary) 见 “广义马丁边界”.
椭圆维数 (elliptic dimensions) 见“广义马丁边界”.
绍凯表现定理 (Choquet representation theorem) 对应于马丁积分表现的一个著名的泛函分析定理. 其要点是: 在一个局部凸的豪斯多夫拓扑线性空间 \( \Omega \) 中,若凸锥 \( C \) 的底 (即 \( C \) 与一个不经过原点的闭超平面之交) \( B \) 为紧且可度量化,则 \( B \) 中每个元素 \( y \) 必是某个集中在 \( B \) 的极端点集上的概率测度 \( \mu \) 的重心,即对 \( \Omega \) 上任何连续的线性形式 \( l \) ,有
\[
l\left( y\right) = \int l\left( x\right) \mathrm{d}\mu \left( x\right) .
\]
进一步,若凸锥 \( C \) 关于其自身的次序成为格,则上述表达式惟一. 这个定理及有关的研究被誉为 20 世纪中叶分析学上伟大发现之一.
绍凯边界 (Choquet boundary) 正则边界点集的一种推广. 设 \( E \) 为紧拓扑空间, \( \sum \) 是从 \( E \) 到 \( ( - \infty , + \infty \rbrack \) 的下半连续函数的全体, \( E \) 的点 \( y \) 称为 \( \sum \) 极值点,指的是对 \( E \) 上的任何概率测度 \( \mu \) ,不等式
\[
\int f\left( x\right) \mathrm{d}\mu \left( x\right) \leq f\left( y\right)
\]
对 \( \sum \) 中任何元素 \( f \) 成立蕴涵 \( \mu \) 为狄喇克测度 \( {\varepsilon }_{y}.\sum \) 极值点全体称为 \( E \) (相对于 \( \sum \) ) 的绍凯边界. \( E \) 中若存在紧子集 \( {E}_{1} \) ,使 \( \sum \) 中每个元素 \( f \) 在 \( {E}_{1} \) 达到最小值且在同类集合中 \( {E}_{1} \) 为最小,则称 \( {E}_{1} \) 为 \( E \) 的希洛夫边界. 特别地,当 \( D \) 是格林空间 \( \Omega \) 的相对紧开集, \( \sum \) 是在 \( D \) 内调和且在 \( \bar{D} \) 上有限连续的函数全体时, \( \bar{D} \) 相对于 \( \sum \) 的绍凯边界正好是 \( D \) 的正则边界点全体,而它的闭包就是 \( \bar{D} \) 的希洛夫边界. 这两种边界与 \( \Omega \) 的紧子集的稳定边界点也有密切关联.
\( \sum \) 极值点 ( \( \sum \) -extreme point) 见“绍凯边界”.
希洛夫边界 (Silov boundary) 见“绍凯边界”.
多重调和函数 (polyharmonic function) 一类重要的函数. 满足 \( {\Delta }^{k}u = 0 \) 的、实的可微函数 \( u \) 称为多重调和函数,这里 \( k \geq 2,\Delta \) 是拉普拉斯算子. 特别当 \( k = 2 \) 时,即满足 \( {\Delta \Delta u} = 0 \) 的函数 \( u \) 称为双调和函数. 对于平面区域 \( G \) 内的双调和函数 \( u \) ,有如下古尔萨(Goursat, E. -J. -B. ) 的表示形式:
\[
u\left( z\right) = \operatorname{Re}\left( {\bar{z}f\left( z\right) + g\left( z\right) }\right) ,
\]
这里 \( f\left( z\right), g\left( z\right) \) 是 \( G \) 内的全纯函数.
双调和函数 (biharmonic function) 见 “多重调和函数”.
## 位势论与函数论
外映射半径 (outer mapping radius) 复平面上的某个圆盘的半径. 设 \( E \) 是复平面 \( \mathrm{C} \) 上的有界连续统, \( {D}_{\infty } \) 是开集 \( \mathrm{C} \smallsetminus E \) 中那个无界的分支,若共形映射 \( w = w\left( z\right) \) 将 \( {D}_{\infty } \) 映成 \( \{ w\left| \right| w \mid > R\} \) 且在 \( \infty \) 点的邻域有展开式
\[
w = w\left( z\right) = z + {a}_{0} + {a}_{1}/z + \cdots ,
\]
则称 \( R = R\left( E\right) \) 为 \( E \) 的外映射半径. 可以证明, \( R\left( E\right) \) 等于 \( E \) 的对数容量 \( {C}_{l}\left( E\right) \) . 设 \( D\left( {D \subset \mathrm{C}}\right) \) 是单连通区域,且其内部含有原点 \( O \) . 若共形映射 \( w = \varphi \left( z\right) \) 将 \( D \) 映成 \( \left\{ {w\left| \right| w \mid < {R}_{0}}\right\} \) ,并使 \( \varphi \left( 0\right) = 0,\left| {{\varphi }^{\prime }\left( 0\right) }\right| = 1 \) , 则称 \( {R}_{0} = {R}_{0}\left( D\right) \) 为 \( D \) 关于 0 的内映射半径. 利用平衡分布的极值性质可证明,当 \( D \) 有界时, \( {R}_{0}\left( D\right) \leq R\left( \bar{D}\right) \) ,其中等号当且仅当 \( D \) 是以原点为中心的开圆; 进一步,若把这样的 \( D \) 的外部关于单位圆的反演区域记为 \( {D}^{ * } \) ,则 \( {R}_{0}\left( D\right) \cdot {R}_{0}\left( {D}^{ * }\right) \leq 1 \) ,等号仅当 \( D \) 是单位圆内部时成立. 若 \( {R}_{0}\left( {D}^{ * }\right) > \) \( {R}_{0}\left( D\right) \) ,则 \( {R}_{0}\left( D\right) < 1 \) .
内映射半径 (inner mapping radins) 见 “外映射半径”.
寇勃 \( 1/4 \) 圆定理的推广 (extension of Koebe’s 1/4-disc theorem) 一个著名定理的推广. 主要结果是:
1. 设 \( w = f\left( z\right) = z + {a}_{2}{z}^{2} + \cdots \) 是定义在单位圆盘 \( {\Delta }_{0} \) 上的正则函数,记 \( {D}_{f} = \left\{ {w \mid w = f\left( z\right), z \in {\Delta }_{0}}\right\} \) 和 \( E = \left\{ {r\left| {r \geq 0\text{,若}}\right| w \mid = r\text{则}w \in {D}_{f}}\right\} \) ,则 \( E \) 的勒贝格测度 \( {mE} \geq 1/4 \) ,等号成立当且仅当 \( w = {f}_{a}\left( z\right) \) \( = z/{\left( 1 + z{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha }\right) }^{2} \) . 该映射将单位圆映上 \( w \) 平面去掉半直线 \( {L}_{-\alpha } : w = \rho {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\alpha }\left( {1/4 \leq \rho \leq + \infty }\right) \) 后所得的区域.
2. 若通过凸区域 \( D \) 的任一边界点都可做一个半径为 \( \rho \) 的圆盘包含 \( D \) ,则 \( D \) 称为是 \( \rho \) 阶的. 将满足下面条件的定义在 \( {\Delta }_{0} \) 上的共形映射 \( f \) 的全体记为 \( \mathcal{F} \) : 设 \( f \) 满足 \( f\left( 0\right) = 0,\left| {{f}^{\prime }\left( 0\right) }\right| = 1 \) 且 \( w = f\left( z\right) \) 所产生的区域 \( {D}_{f}^{\rho } \) 是 \( \rho \) 阶凸区域. 张鸣镛指出,
\[
{T}_{\rho } = \mathop{\sup }\limits_{{f \in \mathcal{F}}}\left\{ {r \mid \text{ 若 }\left| w\right| < r\text{,则 }w \in {D}_{f}^{\rho }}\right\}
\]
是方程
\[
\sqrt{{T}_{\rho }\left( {{2\rho } - {T}_{\rho }}\right) }\arcsin \sqrt{\frac{{T}_{\rho }}{2\rho }} = \frac{\pi }{4}
\]
\[
\left( {1 \leq \rho < + \infty }\right)
\]
的正根,而 \( {T}_{\infty } = \pi /4 \) . 极端的情形为: 区域是以 \( w \) \( = 0 \) 为对称中心,以两个半径为 \( \rho \) 的圆弧为边界 (当 \( \rho = + \infty \) 时退化为两平行线) 的等边圆弧二角形的内部.
理想边界的调和测度 (harmonic measure at the ideal boundary） 调和测度在开黎曼曲面上的推广. 设 \( R \) 是开黎曼曲面, \( {\left\{ {R}_{n}\righ |
2000_数学辞海（第3卷） | 189 | {e}}^{-\mathrm{i}\alpha }\left( {1/4 \leq \rho \leq + \infty }\right) \) 后所得的区域.
2. 若通过凸区域 \( D \) 的任一边界点都可做一个半径为 \( \rho \) 的圆盘包含 \( D \) ,则 \( D \) 称为是 \( \rho \) 阶的. 将满足下面条件的定义在 \( {\Delta }_{0} \) 上的共形映射 \( f \) 的全体记为 \( \mathcal{F} \) : 设 \( f \) 满足 \( f\left( 0\right) = 0,\left| {{f}^{\prime }\left( 0\right) }\right| = 1 \) 且 \( w = f\left( z\right) \) 所产生的区域 \( {D}_{f}^{\rho } \) 是 \( \rho \) 阶凸区域. 张鸣镛指出,
\[
{T}_{\rho } = \mathop{\sup }\limits_{{f \in \mathcal{F}}}\left\{ {r \mid \text{ 若 }\left| w\right| < r\text{,则 }w \in {D}_{f}^{\rho }}\right\}
\]
是方程
\[
\sqrt{{T}_{\rho }\left( {{2\rho } - {T}_{\rho }}\right) }\arcsin \sqrt{\frac{{T}_{\rho }}{2\rho }} = \frac{\pi }{4}
\]
\[
\left( {1 \leq \rho < + \infty }\right)
\]
的正根,而 \( {T}_{\infty } = \pi /4 \) . 极端的情形为: 区域是以 \( w \) \( = 0 \) 为对称中心,以两个半径为 \( \rho \) 的圆弧为边界 (当 \( \rho = + \infty \) 时退化为两平行线) 的等边圆弧二角形的内部.
理想边界的调和测度 (harmonic measure at the ideal boundary） 调和测度在开黎曼曲面上的推广. 设 \( R \) 是开黎曼曲面, \( {\left\{ {R}_{n}\right\} }_{n = 0}^{\infty } \) 是 \( R \) 的子曲面的一个穷尽列, 即
\[
{R}_{0} \subset {R}_{1} \subset \cdots \subset {R}_{n} \rightarrow R,
\]
其中 \( {\bar{R}}_{n} \) 为紧集且 \( {\bar{R}}_{n} \subset {R}_{n + 1},{R}_{n} \) 的边界 \( {\Gamma }_{n} \) 由有限条解析若尔当曲线组成. 设 \( {\omega }_{n}\left( z\right) \) 是 \( {\Gamma }_{n} \) 关于 \( {R}_{n} \smallsetminus {\bar{R}}_{0} \) 的调和测度,使 \( {\omega }_{n}\left( z\right) \) 在 \( {\Gamma }_{n} \) 上取值为 1,在 \( {\Gamma }_{0} \) 上取值为 0 . 据极大值原理,在 \( {R}_{n} \smallsetminus {\bar{R}}_{0} \) 上有 \( {\omega }_{n + 1}\left( z\right) < {\omega }_{n}\left( z\right) \) , 由此,据哈纳克原理, \( {\left\{ {\omega }_{n}\left( z\right) \right\} }_{n = 0}^{\infty } \) 在 \( R \smallsetminus {\bar{R}}_{0} \) 内的每个紧集上一致收敛. 记
\[
\omega \left( z\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\omega }_{n}\left( z\right) ,
\]
则 \( \omega \left( z\right) \) 称为 \( R \) 的理想边界的调和测度. 理想边界调和测度为零的黎曼曲面 (包括紧黎曼曲面) 为 \( {O}_{G} \) 类曲面, 即在其上不存在格林函数的黎曼曲面.
函数论零集 (function-theoretic null-set) 若干类集合的统称. 所谓函数论零集, 是指在复函数论中使某个性质不成立的, 或指关于某种函数族具有可延拓性的 (紧致) 点集. 常见的函数论零集有: 零容集、调和零测集、解析零容集、班勒卫零集、豪斯多夫零测集、 \( {N}_{\mathcal{F}} \) 类零集、可去集等. 平面函数论零集有如下关系 (其中 “ \( \Rightarrow \) ”表示蕴涵, \( 0 < \varepsilon < 1 \) ):
关于表内符号及名词的意义, 参见后续各条目.
解析容量 (analytic capacity) 定义在复平面的紧子集族上的一个集函数, 其值由一族有界解析函数的导数来确定. 设 \( F \) 为复平面 \( \mathrm{C} \) 上的紧集, \( \mathcal{A} \)
为 \( \mathrm{C} \smallsetminus F \) 的非有界分支 \( {D}_{\infty } \) 上的有界复解析函数全体, 称
\[
\alpha \left( F\right) = \sup \left\{ {\left| {{f}^{\prime }\left( \infty \right) }\right| \left| {f \in \mathcal{A}\text{ 且 }}\right| f \mid \leq 1}\right\}
\]
为 \( F \) 的解析容量. 若用 \( {C}_{l}\left( F\right) \) 表示 \( F \) 的对数容量, 则一般有 \( \alpha \left( F\right) \leq {C}_{l}\left( F\right) \) . 若将 \( f \) 在 \( \infty \) 的邻域展开:
\[
f\left( z\right) = {a}_{0} + \frac{{a}_{1}}{z} + \frac{{a}_{2}}{{z}^{2}} + \cdots ,
\]
则
\[
{f}^{\prime }\left( \infty \right) = {a}_{1} = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\Gamma }f\left( s\right) \mathrm{d}s,
\]
其中 \( \Gamma \) 是分离 \( F \) 与 \( \infty \) 的闭曲线. 又,解析容量为零的集称为解析零容集, 又称班勒卫零集.
班勒卫零集 (Painlevé null-set) 见 “解析容量”.
\( {N}_{\mathcal{F}} \) 类零集 (null set of class \( {N}_{\mathcal{F}} \) ) 一类函数论零集. 用 \( \mathcal{F}\left( \Omega \right) \) 表示定义在平面区域 \( \Omega \) 上的特定的单值解析函数类. 设 \( E \) 是平面 \( \mathrm{C} \) 内的紧集, \( {E}^{\mathrm{C}} = \) \( \mathrm{C} \smallsetminus E \) ,若对 \( {E}^{\mathrm{C}} \) 的任一分支 \( \Omega \) ,
\[
{M}_{\mathcal{F}}\left( {{z}_{0},\Omega }\right) = \mathop{\sup }\limits_{{f \in \mathcal{F}\left( \Omega \right) }}\left| {{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) }\right| = 0\;\left( {{z}_{0} \in \Omega }\right) ,
\]
则称 \( E \) 是 \( {N}_{\mathcal{F}} \) 类零集. 常见的 \( {N}_{\mathcal{Y}} \) 集有 \( {N}_{\mathfrak{B}},{N}_{\mathfrak{D}} \) 和 \( {N}_{\mathfrak{S}\mathfrak{D}} \) 等,这时 \( \mathcal{F}\left( \Omega \right) \) 分别表示下面的函数族:
\( \mathfrak{B}\left( \Omega \right) = \{ f \mid f \) 在 \( \Omega \) 上单值解析且 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq 1\} \) ;
\( \mathfrak{D}\left( \Omega \right) = \{ f \mid f \) 在 \( \Omega \) 上单值解析且
\[
{\iint }_{\Omega }{\left| {f}^{\prime }\left( z\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y \leq \pi \} ;
\]
\( \mathfrak{S}\mathfrak{D}\left( \Omega \right) = \{ f \mid f \) 是单叶函数且 \( f \in \mathfrak{D}\left( \Omega \right) \} . \)
这些点集的关系参见 “函数论零集”. 这些结果属于阿尔福斯 (Ahlfors, L. V. ) 和博灵 (Beurling, A.).
可去集 (removable set) 关于某个函数族的具有可延拓性的一类函数论零集. 设 \( E \) 是黎曼曲面 \( R \) 上的全不连通闭集,若对 \( E \) 的任一子集 \( e \) 的任一邻域 \( {U}_{e},{U}_{e} \smallsetminus e \) 上的任一 \( X \) 类函数 (某特定函数类) 总可保性质地延拓到 \( {U}_{e} \) 上,则称 \( E \) 为 \( X \) 可去集. \( X \) 常表示 \( \mathrm{{HB}},\mathrm{{HD}},\mathrm{{AB}},\mathrm{{AD}},\mathrm{{SD}} \) 或 \( {\mathrm{{Lip}}}_{a}^{a} \) 类函数,其中 \( {\operatorname{Lip}}_{\alpha }^{a} \) 类为满足 \( \alpha \) 阶李普希茨条件的有界解析函数; 其余含意为: \( \mathrm{H} \) 调和, \( \mathrm{A} \) 解析, \( \mathrm{S} \) 单叶解析, \( \mathrm{B} \) 有界, \( \mathrm{D} \) 具有有限狄利克雷积分. 各类可去集的关系见 “函数. 论零集”.
可去集与黎曼曲面分类有密切联系. 用 \( {O}_{X} \) 表示其上不存在非常数单值 \( X \) 类函数的黎曼曲面. 对亏格有限情形, \( {O}_{X} \) 类曲面正好是闭黎曼曲面关于某 \( X \) 可去集的余集,其中 \( X \) 代表 \( \mathrm{{HB}},\mathrm{{AB}} \) 或 \( \mathrm{{AD}} \) . 对一般情形, \( {O}_{\mathrm{{HB}}} \) 类曲面上的点集是 \( \mathrm{{HB}} \) 可去的当且仅当去掉该集后所得的曲面仍是 \( {O}_{\mathrm{{HB}}} \) 类. 阿尔福斯 (Ahlfors, L. V. )、萨廖 (Sario, L. R. )、中井三留 (Nakai, M. ) 等人对黎曼曲面分类理论做了大量深刻研究.
调和延拓 (harmonic continuation) 位势论中的一个概念. 所谓调和延拓, 是指把调和函数的定义域扩大的过程或所得的函数. 设 \( {u}_{1},{u}_{2} \) 分别为定义在区域 \( {D}_{1},{D}_{2}\left( {\mathrm{{CR}}}^{n}\right) \) 内的调和函数. 调和延拓方式如下:
1. 若 \( {D}_{1} \cap {D}_{2} \neq \varnothing \) 且在 \( {D}_{1} \cap {D}_{2} \) 内 \( {u}_{1} \equiv {u}_{2} \) ,则满足条件 \( u\left( p\right) = {u}_{1}\left( p\right) \left( {p \in {D}_{1}}\right) \) 和 \( u\left( p\right) = {u}_{2}\left( p\right) (p \in \) \( \left. {D}_{2}\right) \) 的函数 \( u\left( p\right) \) 是 \( D = {D}_{1} \cup {D}_{2} \) 上的调和函数.
2. 若 \( {D}_{1} \cap {D}_{2} = \varnothing \) ,但有 \( {C}^{1} \) 类曲面 \( S \) 为其公共边界, \( {u}_{1} \) 和 \( {u}_{2} \) 在 \( S \) 上有相等的边界值且有只是符号相反的法向导数,则满足条件 \( u\left( p\right) = {u}_{1}\left( p\right) (p \in {D}_{1} \) \( \cup S) \) 和 \( u\left( p\right) = {u}_{2}\left( p\right) \left( {p \in {D}_{2} \cup S}\right) \) 的函数 \( u\left( p\right) \) 在 \( D \) \( = {D}_{1} \cup S \cup {D}_{2} \) 上调和.
3. 设 \( \widehat{G} \) 是双倍型的黎曼曲面,即可表为 \( \widehat{G} = \) \( G \cup C \cup \widetilde{G} \) ,其中 \( C \) 由至多可数条解析曲线组成,而 \( G \cap \widetilde{G} = \varnothing, G \) 与 \( \widetilde{G} \) 互为沿 \( C \) 的对称曲面; 设 \( u\left( p\right) \) 是定义在 \( G \) 上的调和函数,在 \( G \cup C \) 上连续且在 \( C \) 上 \( u = 0 \) ; 只要在 \( \widetilde{G} \) 上定义 \( u\left( p\right) = - u\left( \widetilde{p}\right) ,\widetilde{p} \) 为 \( p \) 关于 \( C \) 的对称点, \( u\left( p\right) \) 即延拓成整个 \( \widehat{G} \) 上的调和函数. 如果 \( f\left( p\right) = u\left( p\right) + \mathrm{i}v\left( p\right) \) 是 \( G \) 上的解析函数且 \( u\left( p\right) \) 满足上述条件,则只要在 \( \widetilde{G} \) 上定义 \( f\left( p\right) = - u\left( \widetilde{p}\right) + \) \( \mathrm{i}v\left( \widetilde{p}\right) ,\widetilde{p} \) 为 \( p \) 关于 \( C \) 的对称点,即可将 \( f\left( p\right) \) 解析延拓到整个 \( \widehat{G} \) 上.
4. 特别地,对平面若尔当域 \( D \) 上的调和函数 \( u\left( z\right) \) ,若 \( D \) 的边界存在某段解析曲线弧 \( C \) ,使在其上 \( u = 0 \) 或 \( \frac{\partial u}{\partial n} = 0 \) ,则 \( u \) 可越过 \( C \) 调和延拓到某个域上.
## 群上的位势论
群上的位势论 (potential theory on group) 经典位势论的推广. 采用群上随机过程所确定的测度作为位势核, 应用现代分析方法给出相应的位势论原理. 这些原理具有明确的概率意义. 这部分均设 \( X \) 是一个局部紧阿贝尔群, 简记为 LCA 群.
\( X \) 的对偶群记为 \( \Gamma .C\left( X\right) \) 表示 \( X \) 上连续复值函数全体. \( {C}_{b}\left( X\right) ,{C}_{0}\left( X\right) \) 和 \( {C}_{c}\left( X\right) \) 分别表示 \( C\left( X\right) \) 中的有界函数、在无穷远点为零的函数以及具有紧支集的函数所成的子空间, 各空间均赋予标准拓扑. \( M\left( X\right) ,{M}_{b}\left( X\right) \) 和 \( {M}_{c}\left( X\right) \) 分别表示 \( X \) 上的拉东测度、有界拉东测度和有紧支集的拉东测度空间. \( {\omega }_{X} \) 表示 \( X \) 上的哈尔测度, \( {\varepsilon }_{x} \) 表示在 \( x \in X \) 的狄喇克测度. 又,测度 \( \mu \in {M}_{b}\left( X\right) \) 的傅里叶-斯蒂尔杰斯变换记为 \( \widetilde{\mu } \) ,即
\[
\widetilde{\mu }\left( \gamma \right) = \int \overline{\langle x,\gamma \rangle }\mathrm{d}\mu \left( x\right) \;\left( {\gamma \in \Gamma }\right) ,
\]
其中 \( \langle x,\gamma \rangle = \gamma \left( x\right) \) .
浑拓扑 (vague topology) 一种特殊拓扑. 在 \( M\left( X\right) \) 上用浑收敛定义的拓扑称为浑拓扑. \( M\left( X\right) \) 中的测度网 \( {\left( {\mu }_{\alpha }\right) }_{\alpha \in A} \) 称为浑收敛于 \( \mu \in M\left( X\right) \) ,记为 \( {\mu }_{\alpha } \) \( \rightarrow \mu \) ,指的是
\[
\mathop{\lim }\limits_{\alpha }\left\langle {{\mu }_{\alpha }, f}\right\rangle = \langle \mu, f\rangle
\]
对任意 \( f \in {C}_{c}\left( X\right) \) 成立 (参见 “强收敛”).
伯努利拓扑 (Bernoulli topology) \( M\left( X\right) \) 上的一种拓扑. 记 \( {M}_{b}^{ + }\left( X\right) \) 为 \( {M}_{b}\left( X\right) \) 的正元素全体所组成的子集, \( {M}_{b}^{ + }\left( X\right) \) 中测度网 \( {\left( {\mu }_{a}\right) }_{a \in A} \) 按伯努利拓扑收敛于 \( \mu \in {M}_{b}^{ + }\left( X\right) \) 的充分必要条件是 \( {\mu }_{a}\dot{ \rightarrow }\mu \) 且
\[
\mathop{\lim }\limits_{\alpha }{\mu }_{\alpha }\left( X\right) = \mu \left( X\right)
\]
卷积半群 (convolution semigroup) 一种半群. 设 \( {\left( {\mu }_{t}\right) }_{t > 0} \subset {M}_{b}^{ + }\left( X\right) \) 满足如下条件:
1. \( \forall t > 0,{\mu }_{t}\left( X\right) \leq 1 \) .
2. \( \forall t, s > 0,{\mu }_{t} * {\mu }_{s} = {\mu }_{t + s} \) .
\[
\text{3.}{\mu }_{t}\overset{ \cdot }{ \rightarrow }{\varepsilon }_{0}\left( {t \rightarrow + 0}\right) \text{,}
\]
则称测度族 \( {\left( {\mu }_{t}\right) }_{t > 0} \) 是 \( X \) 上的一个浑连续卷积半群. 由关系式 \( {\widetilde{\mu }}_{t}\left( \gamma \right) = {\mathrm{e}}^{-{t\psi }\left( \gamma \right) }\left( {t > 0,\gamma \in \Gamma }\right) \) 可知, \( X \) 上的卷积半群 \( {\left( {\mu }_{t}\right) }_{t > 0} \) 和 \( \Gamma \) 上的连续、非负函数 \( \psi \) 之间建立了一对一的对应. 称 \( \psi \left( r\right) \) 和 \( {\left( {\mu }_{t}\right) }_{t > 0} \) 是关联的. 对每一个正数 \( \lambda \) ,定义 \( X \) 上的正测度 \( {\rho }_{\lambda } \) :
\[
\left\langle {{\rho }_{\lambda }, f}\right\rangle = {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{\lambda t |
2000_数学辞海（第3卷） | 190 | }_{\alpha }\left( X\right) = \mu \left( X\right)
\]
卷积半群 (convolution semigroup) 一种半群. 设 \( {\left( {\mu }_{t}\right) }_{t > 0} \subset {M}_{b}^{ + }\left( X\right) \) 满足如下条件:
1. \( \forall t > 0,{\mu }_{t}\left( X\right) \leq 1 \) .
2. \( \forall t, s > 0,{\mu }_{t} * {\mu }_{s} = {\mu }_{t + s} \) .
\[
\text{3.}{\mu }_{t}\overset{ \cdot }{ \rightarrow }{\varepsilon }_{0}\left( {t \rightarrow + 0}\right) \text{,}
\]
则称测度族 \( {\left( {\mu }_{t}\right) }_{t > 0} \) 是 \( X \) 上的一个浑连续卷积半群. 由关系式 \( {\widetilde{\mu }}_{t}\left( \gamma \right) = {\mathrm{e}}^{-{t\psi }\left( \gamma \right) }\left( {t > 0,\gamma \in \Gamma }\right) \) 可知, \( X \) 上的卷积半群 \( {\left( {\mu }_{t}\right) }_{t > 0} \) 和 \( \Gamma \) 上的连续、非负函数 \( \psi \) 之间建立了一对一的对应. 称 \( \psi \left( r\right) \) 和 \( {\left( {\mu }_{t}\right) }_{t > 0} \) 是关联的. 对每一个正数 \( \lambda \) ,定义 \( X \) 上的正测度 \( {\rho }_{\lambda } \) :
\[
\left\langle {{\rho }_{\lambda }, f}\right\rangle = {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{\lambda t}}\left\langle {{\mu }_{t}, f}\right\rangle \mathrm{d}t\;\left( {f \in {C}_{c}\left( X\right) }\right) ,
\]
称测度族 \( {\left( {\rho }_{\lambda }\right) }_{\lambda > 0} \) 是卷积半群 \( {\left( {\mu }_{t}\right) }_{t > 0} \) 的预解式 (resolvent). \( {\left( {\rho }_{\lambda }\right) }_{\lambda > 0} \) 满足预解方程
\[
{\rho }_{\lambda } - {\rho }_{\mu } = - \left( {\lambda - \mu }\right) {\rho }_{\lambda } * {\rho }_{\mu }
\]
迁移卷积半群 (transient convolution semigroup) 浑积分存在的卷积半群. 设 \( {\left( {\mu }_{t}\right) }_{t > 0} \) 是卷积半群. 若 \( {\left( {\mu }_{t}\right) }_{t > 0} \) 的浑积分
\[
{\int }_{0}^{+\infty }{\mu }_{t}\mathrm{\;d}t
\]
存在,即对 \( \forall f \in {C}_{c}^{ + }\left( X\right) \) ,均有
\[
{\int }_{0}^{+\infty }\left\langle {{\mu }_{t}, f}\right\rangle \mathrm{d}t < + \infty ,
\]
则 \( {\left( {\mu }_{t}\right) }_{t > 0} \) 称为 \( X \) 上的迁移卷积半群或非常返半群. 这时有 \( {\mu }_{t}\dot{ \rightarrow }0\left( {t \rightarrow + \infty }\right) \) . 若 \( {\left( {\mu }_{t}\right) }_{t > 0} \) 不是迁移的,则称它为 \( X \) 上的常返卷积半群.
常返卷积半群 (recurrent convolution semigroup) 见“迁移卷积半群”.
群上的位势核 (potential kernel on group) 与随机过程紧密关联的一个正测度, 其作用类似一般位势论中的核 (函数). 若 \( {\left( {\mu }_{t}\right) }_{t > 0} \) 是一个迁移卷积半群, 则称测度
\[
\chi = {\int }_{0}^{+\infty }{\mu }_{t}\mathrm{\;d}t
\]
是位势核. 记 \( {D}^{ + }\left( \chi \right) = \left\{ {\sigma \mid \chi * \sigma \text{存在,}\sigma \in {M}^{ + }\left( X\right) }\right\} \) , 称 \( \chi * \sigma \) 为 \( {D}^{ + }\left( \chi \right) \) 中元素 \( \sigma \) 的 \( \chi \) -位势. 每一个位势核 \( \chi \) 满足扫除原理以及其他位势原理.
基本核(elementary kernel) 最重要的一类位势核. 每个位势核都是某个基本核列的浑极限. 设 \( \mu \) \( \in {M}_{b}^{ + }\left( X\right) ,\mu \left( X\right) \leq 1 \) ,且级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{\mu }^{n}
\]
浑收敛,这里 \( {\mu }^{n} \) 表示 \( \mu \) 的 \( n \) 重卷积, \( {\mu }^{0} = {\varepsilon }_{0} \) ,则称
\[
\chi = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{\mu }^{n}
\]
是由 \( \mu \) 确定的基本核. 它是由 \( \mu \) 确定的卷积半群 \( {\left( {\mathrm{e}}^{-t}\exp \left( t\mu \right) \right) }_{t > 0} \) 的位势核. 若 \( \chi \) 是位势核,则 \( \forall \lambda > 0 \) , \( {\lambda \chi } + {\varepsilon }_{0} \) 是由 \( \lambda \cdot {\rho }_{\lambda } \) 确定的基本核,即
\[
{\lambda \chi } + {\varepsilon }_{0} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{\left( \lambda {\rho }_{\lambda }\right) }^{n}
\]
完全核 (perfect kernel) 位势核的一种等价形式. 一个正测度 \( \chi \) ,若存在满足下述四个条件的一个基本正测度网 \( {\left( {\sigma }_{v}\right) }_{v \in V}, V \) 是 \( X \) 的单位元 0 的一个紧邻域基,则称 \( \chi \) 是一个完全核:
1. \( {\sigma }_{v}\left( X\right) \leq 1 \) .
2. \( {\sigma }_{v} \in {D}^{ + }\left( \chi \right) ,\chi * {\sigma }_{v} \leq \chi \) 且 \( \chi * \sigma \neq \chi \) .
3. 在 \( v \) 的余集 \( {v}^{c} \) 上, \( \chi * {\sigma }_{v} = \chi \) .
4. \( \chi * {\sigma }_{v}^{n}\dot{ \rightarrow }0\left( {n \rightarrow \infty }\right) \) .
每一个完全核都是位势核. 反之, 每一个位势核都是完全核.
\( \chi \) 扫除测度 ( \( \chi \) -balayaged measure) 一般位势论中扫除测度的推广. 设 \( \chi \) 是一个正测度, \( \mu \in \) \( {D}^{ + }\left( \chi \right), G \) 是开集. 若 \( {\mu }^{\prime } \in {D}^{ + }\left( \chi \right) \) 满足下述条件,则称 \( {\mu }^{\prime } \) 是 \( \mu \) 在 \( G \) 上的 \( \chi \) 扫除测度:
1. \( {\mu }^{\prime } \) 的支集 \( \operatorname{supp}{\mu }^{\prime } \subset \bar{G} \) .
2. \( \chi * {\mu }^{\prime } \leq \chi * \mu \) .
3. \( {\left. \chi * {\mu }^{\prime }\right| }_{G} = {\left. \chi * \mu \right| }_{G} \) .
\( \mu \) 上调和测度 ( \( \mu \) -superharmonic measure) 通常的上调和函数在群上位势论中的对应物. 若 \( \xi \in \) \( {D}^{ + }\left( \mu \right) \) 满足 \( \mu * \xi \leq \xi \left( {\mu * \xi = \xi }\right) \) ,则称 \( \xi \) 是 \( \mu \) 上调和测度 ( \( \mu \) 调和测度). 哈尔测度 \( {\omega }_{X} \) 是 \( \mu \) 上调和测度. 当且仅当 \( \mu \left( X\right) = 1 \) 时, \( {\omega }_{X} \) 是 \( \mu \) 调和测度.
\( \mu \) 调和测度 ( \( \mu \) -harmonic measure) 见 “ \( \mu \) 上调和测度”.
超过测度 (excessive measure) 比位势核更一般的一类测度, 这类测度及其简化测度在研究位势核原理时起重要作用. 设 \( {\left( {\mu }_{t}\right) }_{t > 0} \) 是 \( X \) 上的卷积半群, \( \xi \) 是正测度. 若 \( \forall t > 0,\xi \) 是 \( {\mu }_{t} - \) 上调和的 \( \left( {\mu }_{t}\right. \) 调和的),则称 \( \xi \) 关于 \( {\left( {\mu }_{t}\right) }_{t > 0} \) 是超过测度 (不变测度). \( X \) 上的哈尔测度 \( {\omega }_{X} \) 是超过测度. 当且仅当 \( \forall t > 0,{\mu }_{t} \) 是概率测度时, \( {\omega }_{X} \) 是不变测度. 若 \( \chi \) 是位势核,则 \( \forall \sigma \) \( \in {D}^{ + }\left( \chi \right) ,\sigma \) 的 \( \chi \) 位势 \( \chi * \sigma \) 是超过测度. 又当且仅当 \( \sigma = 0 \) 时, \( \chi * \sigma \) 是不变测度. 对于每一个超过测度 \( \xi \) ,有里斯分解式: \( \xi = \chi * \sigma + \eta \) ,这里 \( \sigma \in {D}^{ + }\left( \chi \right) ,\eta \) 是不变测度. 每一个超过测度是一个单调增加位势网的浑极限.
不变测度 (invariant measure) 见 “超过测度”.
简化测度 (reduced measure) 一般位势论中简化函数的类似物. 设 \( G \) 是开集, \( \xi \) 是超过测度,那么测度 \( {R}_{\xi }^{G} = \inf \{ \mu \mid \mu \) 是超过测度且在 \( G \) 上 \( \mu \geq \xi \} \) 称为 \( \xi \) 在 \( G \) 上的简化测度. \( {R}_{\xi }^{G} \) 也是超过测度, \( {R}_{\xi }^{G} \leq \xi \) 且在 \( G \) 上 \( {R}_{\xi }^{G} = \xi \) . 它的里斯分解式 \( {R}_{\xi }^{G} = \chi * \sigma + \eta \) 满足 \( \operatorname{supp}\sigma \subset \bar{G} \) . 若 \( G \) 是相对紧的开集,则 \( {R}_{\xi }^{G} \) 是一个位势. 特别地, \( {R}_{{\omega }_{X}}^{G} \) 是一个位势. 所以存在惟一的 \( {\sigma }_{G} \) \( \in {D}^{ + }\left( \chi \right) \) ,使得 \( {R}_{{\omega }_{X}}^{G} = \chi * {\sigma }_{G} \) .
\( \chi \) 容量 ( \( \chi \) -capacity) 集合的一种度量. 对于相对紧的开集 \( G \) ,由 \( {R}_{{\omega }_{X}}^{G} = \chi * {\sigma }_{G} \) 所确定的惟一测度记为 \( {\sigma }_{G} \) ,称
\[
\operatorname{cap}\left( G\right) = \int \mathrm{d}{\sigma }_{G}
\]
为 \( G \) 的 \( \chi \) 容量.
群上的扫除原理 (balayage principle on group) 一般位势论中的扫除原理的推广. 设 \( \chi \) 是一个正测度,若对任意 \( \mu \in {M}_{c}^{ + }\left( X\right) \) 和任意相对紧的开集 \( G,\mu \) 在 \( G \) 上的 \( \chi \) 扫除测度存在,则称 \( \chi \) 满足扫除原理. 若上述中去掉 “相对紧”的限制,则称 \( \chi \) 对所有开集满足扫除原理.
群上的控制原理 (domination principle on group) 一般位势论中的控制原理的推广. 对 \( \forall f, g \in \) \( {C}_{c}^{ + }\left( X\right) \) ,若
\[
\chi * f\left( x\right) \leq \chi * g\left( x\right) \left( {x \in \operatorname{supp}f}\right)
\]
\[
\Rightarrow \chi * f\left( x\right) \leq \chi * g\left( x\right) \left( {x \in X}\right) ,
\]
则称 \( \chi \) 满足控制原理. 对 \( \forall f, g \in {C}_{c}^{ + }\left( X\right) ,\forall \varepsilon > 0 \) ,若
\[
\chi * f\left( x\right) \leq \chi * g\left( x\right) + \varepsilon \left( {x \in \operatorname{supp}f}\right)
\]
\[
\Rightarrow \chi * f\left( x\right) \leq \chi * g\left( x\right) + \varepsilon \left( {x \in X}\right) ,
\]
则称 \( \chi \) 满足完全极大值原理.
群上的质量惟一性原理 (unicity principle of mass on group) 一般位势论中的惟一性原理的推广. 对 \( \forall {\mu }_{1},{\mu }_{2} \in {D}^{ + }\left( \chi \right) \) ,若 \( \chi * {\mu }_{1} = \chi * {\mu }_{2} \Rightarrow {\mu }_{1} = {\mu }_{2} \) , 则称 \( \chi \) 满足质量惟一性原理.
群上的正质量原理 (principle of positivity of mass on group) 群上的位势核满足的基本原理之一. 对 \( \forall {\mu }_{1},{\mu }_{2} \in {D}^{ + }\left( \chi \right) \) ,若
\[
\chi * {\mu }_{1} \leq \chi * {\mu }_{2} \Rightarrow {\mu }_{1}\left( X\right) \leq {\mu }_{2}\left( X\right) ,
\]
则称 \( \chi \) 满足正质量原理.
群上的平衡原理 (equilibrium principle on group) 平衡原理在群上的位势论中的对应物. 若对每一个相对紧的开集 \( G \) ,存在 \( {\lambda }_{G}{}^{\prime } \in {D}^{ + }\left( \chi \right) \) ,满足下述条件:
1. \( \operatorname{supp}{\lambda }_{G}{}^{\prime } \subset \bar{G} \) ;
2. \( \chi * {\lambda }_{G}{}^{\prime } \leq {\omega }_{X} \) ;
3. 在 \( G \) 上 \( \chi * {\lambda }_{G}{}^{\prime } = {\omega }_{X} \) ;
则称 \( \chi \) 满足平衡原理. \( {\lambda }_{G}{}^{\prime } \) 称为 \( G \) 的 \( \chi \) 平衡分布.
\( \chi \) 平衡分布 ( \( \chi \) -equilibrium distribution) 见 “群上的平衡原理”.
电容器原理 (condenser principle) 群上的位势核满足的基本原理之一. 该原理断言: 若 \( {G}_{1},{G}_{2} \) 是一对开集, \( {\bar{G}}_{1} \cap {\bar{G}}_{2} = \varnothing \) 且 \( {\bar{G}}_{1} \) 为紧集,则存在 \( {\mu }_{1},{\mu }_{2} \in \) \( {D}^{ + }\left( \chi \right) \) ,使得 \( \xi = \chi * \left( {{\mu }_{1} - {\mu }_{2}}\right) \) 满足:
1. \( 0 \leq \xi \leq {\omega }_{X} \) .
2. 在 \( {G}_{1} \) 上 \( \xi = {\omega }_{X} \) .
3. 在 \( {G}_{2} \) 上, \( \xi = 0 \) .
4. \( \operatorname{supp}{\mu }_{1} \subset {\bar{G}}_{1},\operatorname{supp}{\mu }_{2} \subset {\bar{G}}_{2} \) .
列维测度 (Levi measure) 在 \( X \smallsetminus \{ 0\} \) 上与 \( {\left( {\mu }_{t}\right) }_{t > 0} \) 相关联的一个正测度. 设 \( {\left( {\mu }_{t}\right) }_{t > 0} \) 是 \( X \) 上的卷积半群,则在 \( X \smallsetminus \{ 0\} \) 上的正测度网
\[
{\left( {\left. \frac{1}{t}{\mu }_{t}\right| }_{X\smallsetminus \{ 0\} }\right) }_{t > 0},
\]
当 \( t \rightarrow 0 \) 时浑收敛于 \( X \smallsetminus \{ 0\} \) 上的一个正测度 \( \mu \) . 称 \( \mu \) 是关于 \( {\left( {\mu }_{t}\right) }_{t > 0} \) 的列维测度.
列维-辛钦公式(Levi-Khinchin formula) 描述群 \( X \) 与其对偶群关系的一个重要论断. \( X \) 的对偶群 \( \Gamma \) 上的一个复值函数 \( \psi \) 是一个具有对称列维测度的连续负定函数的充分必要条件是
\[
\psi \left( \gamma \right) = C + \mathrm{i}l\left( \gamma \right) + g\left( \gamma \right)
\]
\[
+ {\int }_{X\smallsetminus \{ 0\} }\left( {1 - \operatorname{Re}\langle x,\gamma \rangle }\right) \mathrm{d}\mu \left( x\right) \left( {\gamma \in \Gamma }\right) ,
\]
其中常数 \( C \geq 0, l \) 是 \( \Gamma \) 的连续实值同态, \( g \) 是 \( \Gamma \) 上非负连续二次型, \( \mu \) 是 \( X \smallsetminus \{ 0\} \) 上的正对称测度且满足
\[
{\int }_{X\smallsetminus \{ 0\} }\left( {1 - \operatorname{Re}\langle x, |
2000_数学辞海（第3卷） | 191 | {\mu }_{t}\right) }_{t > 0} \) 相关联的一个正测度. 设 \( {\left( {\mu }_{t}\right) }_{t > 0} \) 是 \( X \) 上的卷积半群,则在 \( X \smallsetminus \{ 0\} \) 上的正测度网
\[
{\left( {\left. \frac{1}{t}{\mu }_{t}\right| }_{X\smallsetminus \{ 0\} }\right) }_{t > 0},
\]
当 \( t \rightarrow 0 \) 时浑收敛于 \( X \smallsetminus \{ 0\} \) 上的一个正测度 \( \mu \) . 称 \( \mu \) 是关于 \( {\left( {\mu }_{t}\right) }_{t > 0} \) 的列维测度.
列维-辛钦公式(Levi-Khinchin formula) 描述群 \( X \) 与其对偶群关系的一个重要论断. \( X \) 的对偶群 \( \Gamma \) 上的一个复值函数 \( \psi \) 是一个具有对称列维测度的连续负定函数的充分必要条件是
\[
\psi \left( \gamma \right) = C + \mathrm{i}l\left( \gamma \right) + g\left( \gamma \right)
\]
\[
+ {\int }_{X\smallsetminus \{ 0\} }\left( {1 - \operatorname{Re}\langle x,\gamma \rangle }\right) \mathrm{d}\mu \left( x\right) \left( {\gamma \in \Gamma }\right) ,
\]
其中常数 \( C \geq 0, l \) 是 \( \Gamma \) 的连续实值同态, \( g \) 是 \( \Gamma \) 上非负连续二次型, \( \mu \) 是 \( X \smallsetminus \{ 0\} \) 上的正对称测度且满足
\[
{\int }_{X\smallsetminus \{ 0\} }\left( {1 - \operatorname{Re}\langle x,\gamma \rangle }\right) \mathrm{d}\mu \left( x\right) < + \infty \left( {\gamma \in \Gamma }\right) .
\]
并且, \( C, l, g,\mu \) 由 \( \psi \) 惟一决定,即 \( C = \psi \left( 0\right), l = \operatorname{Im}\psi \) , \( \mu \) 是关于 \( \psi \) 的列维测度,
\[
g\left( \gamma \right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{\psi \left( {n\gamma }\right) }{{n}^{2}}.
\]
上述方程称为列维-辛钦公式.
亨特核 (Hunt kernel) 一种比位势核更一般的核. 一个正测度
\[
\chi = {\int }_{0}^{+\infty }{\mu }_{t}\mathrm{\;d}t
\]
若满足下面条件则称为亨特核:
1. \( {\mu }_{0} = {\varepsilon }_{0} \) .
2. \( \forall t, s > 0,{\mu }_{t} * {\mu }_{s} = {\mu }_{t + s} \) .
3. \( {\mu }_{t}\dot{ \rightarrow }{\mu }_{s}\left( {t \rightarrow s}\right) \) .
亨特核也满足扫除原理以及推广的电容器原理
等位势论原理.
## 公理化位势论
公理化位势论 (axiomatic potential theory) 在抽象空间里通过设置公理的方法建立起来的位势理论. 公理化体系大致可分成三类. 第一类是调和空间论, 第二类是狄氏型 (又称狄利克雷形式), 第三类是非线性公理体系. 相对第三类而言, 第一、二类都属于线性公理体系. 由于位势论的大部分结果都可由其三个基本原理 (即狄利克雷问题、极小值原理和收敛性质) 导出, 且为了适应偏微分方程和随机过程的需要, 公理化位势论迅速地发展起来, 它提供了统一处理问题的方法. 从 20 世纪 50 年代起, 陶茨 (Tautz, G. )、杜布 (Doob, J. L. ) 和布雷洛 (Brélot, M. E. ) 等人做了开创性的工作. 但由于他们处理问题的各自需要, 其公理系统也因此互有差异. 20 世纪 70 年代初期, 康斯坦丁斯库 (Constantinescu, C. ) 和柯尼 (Cornea, A. ) 在此基础上建立了一般的调和公理系统.
通常在一个局部紧的豪斯多夫空间上, 给出一个函数簇, 规定其满足若干公理 (即所谓的调和公理), 也就是规定了狄利克雷问题的可解性、极小值原理成立的可能性以及具有某种的收敛性质, 这构成了调和空间. 调和函数、上 (下) 调和函数和位势的概念也自然而然地建立了. 应用经典位势论的典型方法, 经典位势论中的主要概念, 如扫除、细拓扑、容量、极集、瘦集、格林函数、能量、狄利克雷积分和一些特殊边界等, 以及与它们相关的问题, 都可以推广到调和空间上来并加以研究.
比较典型的调和空间有布雷洛空间和鲍尔空间. 前者是以经典位势论的研究对象拉普拉斯方程为模型的, 因此, 布雷洛空间上的位势论与经典理论最为接近, 成果也最多. 二阶椭圆型偏微分方程均满足布雷洛公理系统, 但热传导方程则不然, 为此鲍尔 (Bauer, H. ) 等人建立了鲍尔空间. 拉普拉斯方程不但为公理化位势论的形成提供了原始模型, 而且指导着该领域里的大部分研究工作.
20 世纪 80 年代形成的扫除空间论和 \( H \) 锥理论是调和空间论的推广和发展.
第二类公理体系不同于第一类, 它是从经典的狄利克雷原理和相互能量的定义出发建立起来的. 50 年代末由戴尼 (Deny, J. ) 和博灵 (Beurling, A. ) 提出了狄利克雷空间论, 现已发展为狄氏型, 主要研究定义在希尔伯特空间上的一个双线性泛函, 在满足什么条件时可与马尔可夫过程建立对应关系. 70 年代, 富山 (Fukushima, M. ) 在正则的狄氏型上构造出强马尔可夫过程被认为是一个重大突破, 20 世纪 90 年代初, 马志明等成功地解决了拟正则狄氏型的问题. 该理论可应用于非相对量子力学、马尔可夫场、伪微分方程、反射扩散过程、无穷维随机分析、鞅论等领域的研究.
20 世纪 80 年代以来, 亚当斯 (Adams, D. R. )、 黑德波格 (Hedberg, L. I. )、勒达拉 (Lehtola, P. )、马梯尔 (Martio, (). ) 、林德维斯特 (Lindqvist, P. ) 等人对非线性及拟线性位势论研究作出巨大成绩并初步建立了非线性公理体系, 其中勒达拉建立的非线性系统是布雷洛调和空间的直接对应.
函数簇 (sheaf of functions) 亦称函数层, 一类映射. 对于拓扑空间 \( \left( {X,\mathcal{T}}\right) \) ,定义在 \( \mathcal{T} \) 上且满足下面三个条件的映射 \( \mathcal{F} \) 称为 \( X \) 上的一个函数簇:
1. \( \forall U \in \mathcal{T},\mathcal{F}\left( U\right) \) 是 \( U \) 上的一个函数簇.
2. \( \forall U, V \in \mathcal{T} \) 且 \( U \subset V \) ,若 \( f \in \mathcal{F}\left( V\right) \) ,则
\[
{\left. f\right| }_{U} \in \mathcal{F}\left( U\right) \text{.}
\]
3. 设 \( \left\{ {{U}_{l} \mid l \in I}\right\} \subset \mathcal{T}, f \) 是定义在其并集 \( W \) 上的函数,若 \( \forall l \in I,{\left. f\right| }_{{U}_{l}} \in \mathcal{F}\left( {U}_{l}\right) \) ,则 \( f \in \mathcal{F}\left( W\right) \) .
函数层 (sheaf of functions) 即 “函数簇”.
超调和簇 (hyperharmonic sheaf) 一类函数簇. 设 \( X \) 是局部紧的豪斯多夫空间, \( \mathcal{U} \) 是 \( X \) 上的一个函数簇,若对 \( X \) 的任何开集 \( U,\mathcal{U}\left( U\right) \) 是由 \( U \) 上的一些取值于 \( ( - \infty , + \infty \rbrack \) 的下半连续函数组成的凸锥,则称 \( \mathcal{U} \) 是 \( X \) 上的一个超调和簇.
调和簇 (harmonic sheaf) 一类函数簇. 设 \( X \) 是局部紧的豪斯多夫空间, \( \mathcal{H} \) 是 \( X \) 上的一个函数簇,若对 \( X \) 的任何开集 \( U,\mathcal{Y}\left( U\right) \) 是 \( C\left( U\right) \) 的线性子空间,则称 \( \mathcal{H} \) 是 \( X \) 上的一个调和簇. 若对每一 \( x \in \) \( X \) ,都存在开集 \( U \) 使 \( x \in U \) 及 \( h \in \mathcal{K}\left( U\right) \) 使 \( h\left( x\right) \neq 0 \) , 则 \( \mathcal{H} \) 称为非退化的调和簇.
设 \( \mathcal{U} \) 是 \( X \) 上的超调和簇,对任何开集 \( U \) ,令
\[
{\mathcal{H}}_{\mathcal{U}}\left( U\right) = \mathcal{U}\left( U\right) \cap \left( {-\mathcal{U}\left( U\right) }\right)
\]
则 \( {\mathcal{H}}_{\mathcal{U}} \) 是 \( X \) 上的调和簇,称 \( {\mathcal{H}}_{\mathcal{U}} \) 为与 \( \mathcal{U} \) 相关的调和簇.
与超调和簇相关的调和簇 (harmonic sheaf associated with a hyperharmonic sheaf) 见 “调和簇”.
非退化的调和簇 (non-degenerate harmonic sheaf）见“调和簇”.
MP 集 (MP-set) 使某种形式的极小值原理成立的开集. 设 \( X \) 是局部紧的豪斯多夫空间, \( \mathcal{U} \) 是 \( X \) 上的超调和簇, \( U \) 是开集. 若对 \( f \in \mathcal{U}\left( U\right) \) ,存在紧集 \( K \) 使得在 \( U \smallsetminus K \) 上 \( f \geq 0 \) ,并且 \( \forall \xi \in \partial U \) ,当 \( x \rightarrow \xi \) 时 \( \liminf f\left( x\right) \geq 0 \) ,则在 \( U \) 上 \( f \geq 0 \) . 那么称 \( U \) 为 MP 集.
可解集 (resolutive set) 使其上 \( \mathcal{U} \) -广义狄利克雷问题可解的 MP 集. 设 \( U \) 是 MP 集, \( \varphi \) 是从 \( \partial U \) 到 \( \left\lbrack {-\infty , + \infty }\right\rbrack \) 的函数,把 \( \mathcal{U}\left( U\right) \) 中满足下面条件的 \( u \) 称为 \( \mathcal{U} \) -上函数: \( u \) 有下界,存在紧集 \( K \) ,使在 \( U \smallsetminus K \) 上 \( u \geq 0 \) 且对任何 \( \xi \in \partial U \) ,当 \( x \rightarrow \xi \) 时有 \( \lim \inf u\left( x\right) \geq \varphi \left( \xi \right) \) . 上函数全体记为 \( {\overline{\mathcal{U}}}_{\varphi } \) . 令 \( {\underline{\mathcal{U}}}_{\varphi } = \)
- \( {\overline{\mathcal{U}}}_{-\varphi } \) ,其中元素称为 \( \mathcal{U} \) 下函数. 又记 \( {\bar{H}}_{\varphi } = \) \( \inf {\overline{\mathcal{U}}}_{\varphi },{\underline{H}}_{\varphi } = \sup {\mathcal{U}}_{\varphi } \) . 如 \( {\bar{H}}_{\varphi } = {\underline{H}}_{\varphi } \) 且属于 \( {\mathcal{H}}_{\mathcal{U}}\left( U\right) \) ( \( {\mathcal{H}}_{\mathcal{U}} \) 是与 \( \mathcal{U} \) 相关的调和簇,以下同此规定),那么称 \( \varphi \) (在 \( U \) 上相对于 \( \mathcal{U} \) ) 可解,这时记 \( {H}_{\varphi } = {\bar{H}}_{\varphi } = \) \( {H}_{\varphi } \) ,并称之为 \( \mathcal{U} \) -广义狄利克雷问题的解. 如果任何 \( \varphi \in {C}_{c}\left( {\partial U}\right) (\partial U \) 上具有紧支集的连续的实函数全体) 都是可解的,则 \( U \) 称为 \( \mathcal{U} \) 可解集,简称可解集.
\( \mathcal{U} \) 可解集 ( \( \mathcal{U} \) -resolutive set) 见“可解集”.
\( \mathcal{U} \) 广义狄利克雷问题 ( \( \mathcal{U} \) -generalized Dirichlet problem) 一般位势论中狄利克雷问题的对应物. 见“可解集”.
\( \mathcal{U} \) 广义狄利克雷问题的解 (solution for \( \mathcal{U} \) - generalized Dirichlet problem) 见“可解集”.
\( \mathcal{H} \) 扫除 ( \( \mathcal{H} \) -sweeping) 与 \( X \) 上的调和簇 \( \mathcal{H} \) 相关联的一个测度族. 设 \( V \) 是局部紧的豪斯多夫空间 \( X \) 的一个开子集, \( \partial V \) 上的测度族 \( \omega = {\left( {\omega }_{x}\right) }_{x \in V} \) 称为 \( V \) 上的一个扫除. 若扫除 \( \omega \) 满足下述三个条件, 则称扫除 \( \omega \) 是一个 \( \mathcal{Y} \) 扫除:
## 1. \( V \) 是相对紧的.
2. 对于任何 \( f \in C\left( {\partial V}\right) ,{\omega f} \) 是 \( V \) 上的一个 \( \mathcal{H} \) 函数 (即 \( {\omega f} \in \mathcal{H}\left( V\right) \) ). 此处
\[
{\omega f}\left( x\right) = {\int }^{ * }f\mathrm{\;d}{\omega }_{x}\left( {x \in V}\right) ,
\]
其中 \( {\int }^{ * } \) 表示上积分.
3. 对于 \( \bar{V} \) 的任意开邻域上的任何一个 \( \mathcal{Y} \) 函数 \( h \) ,有 \( {\left. \omega h\right| }_{V} = {\left. h\right| }_{V} \) .
\( \mathcal{U} \) 调和测度 ( \( \mathcal{U} \) -harmonic measure) 与超调和簇 \( \mathcal{U} \) 相关联、由可解性确定的一个正线性泛函. 设 \( U \) 是一个可解集,则每一 \( \varphi \in {C}_{c}\left( {\partial U}\right) \) 都对应着一个 \( {H}_{\varphi } \in {\mathcal{H}}_{\mathcal{U}}\left( U\right) \) . 对每一 \( x \in U \) ,映射 \( \varphi \rightarrow {H}_{\varphi }\left( x\right) \) 是 \( {C}_{c}\left( {\partial U}\right) \) 上的一个正线性泛函,因此, \( \partial U \) 上存在惟一的正测度 \( {\mu }_{x} \) ,使对 \( \forall \varphi \in {C}_{c}\left( {\partial U}\right) \) ,都有
\[
{H}_{\varphi }\left( x\right) = \int \varphi \mathrm{d}{\mu }_{x} = {\mu }_{x}\varphi ,
\]
\( {\mu }_{x} \) 称为 \( U \) 的在点 \( x \) (关于 \( \mathcal{U} \) ) 的调和测度. 于是,对 \( \partial U \) 上的任一实函数 \( f \) ,可定义 \( U \) 上的函数 \( {\mu f} \) :
\[
\left( {\mu f}\right) \left( x\right) = {\int }^{ * }f\mathrm{\;d}{\mu }_{x},
\]
其中 \( {\int }^{ * } \) 表示上积分.
正则集 (regular set) 经典的狄利克雷域的推广 (参见 “经典狄利克雷问题”). 设 \( \mathcal{H} \) 是局部紧豪斯多夫空间 \( X \) 上的调和簇 (以下同此假设). \( X \) 的一个相对紧且边界不空的开子集 \( V \) 称为 (相对于 \( \mathcal{Y} \) 的) 正则集或 \( \mathcal{K} \) 正则集,如果 \( \partial V \) 上的每一连续实函数 \( f \) 都可惟一地延拓为 \( \bar{V} \) 上的连续函数 \( \bar{f} \) ,使 \( \bar{f} \) \( {\left. \right| }_{V} \in \mathcal{H}\left( V\right) \) 且当 \( f \geq 0 \) 时 \( \bar{f} \geq 0 \) . 把 \( \mathcal{H}\left( V\right) \) 当做 \( V \) 上的调和函数全体, 那么正则集也就是在新条件下使经典的狄利克雷问题总是可解的开集. 设 \( V \) 是正则集, \( f \in {C}_{c}\left( {\partial V}\right) = \left( {C\left( {\partial V}\right) }\right) \) ,对每一 \( x \in V \) ,映射 \( f \rightarrow \) \( \bar{f}\left( x\right) \) 是 \( {C}_{c}\left( {\partial V}\right) \) 上的正线性泛函,因此, \( \partial V \) 上存在惟一的正测度 \( {\omega }_{x} \) ,使
\[
\bar{f}\left( x\right) = \int f\mathrm{\;d}{\omega }_{x} = {\omega }_{x}f\;\left( {\forall f \in C\left( {\partial V}\right) }\right) .
\]
\( {\omega }_{x} \) 也称为 \( V \) 的在点 \( x \) (关于 \( \mathcal{H} \) ) 的调和测度或 \( \mathcal{H} \) 调和测度. 设 \( {\mathcal{U}}_{\mathcal{X}} \) 是由 \( \mathcal{H} \) 产生的超调和簇,则 \( \mathcal{H} \) 正好是与 \( {\mathcal{U}}_{\mathcal{F}} \) 相关的调和簇 \( {\mathcal{Y}}_{{u}_{\mathcal{F}}} \) . 如果 \( V \) 是相对于 \( \mathcal{K} \) 的正则集,则 \( V \) 是相对于 \( {\mathcal{U}}_{\mathcal{X}} \) 的可解集,并且在 \( V \) 上, \( {\bar{H}}_{f} = {\underline{H}}_{f} = {H}_{f} = \bar{f} \) ,而 \( {\omega }_{x} \) 就是 \( V \) 的在点 \( x \) 的关于 \( {\mathcal{U}}_{\mathcal{H}} \) 的调和测度.
一个区域如果是正则集, 就称为正则区域.
\( \mathcal{H} \) 正则集 ( \( \mathcal{H} \) -regular set) 见 “正则集”.
\( \mathcal{H} \) 调和测度 ( \( \mathcal{H} \) -harmonic measure) 见 “正则集”.
正则区域 (regular domain) 见“正则集”.
局部超调和函数 (locally |
2000_数学辞海（第3卷） | 192 | \right) \) 是 \( {C}_{c}\left( {\partial V}\right) \) 上的正线性泛函,因此, \( \partial V \) 上存在惟一的正测度 \( {\omega }_{x} \) ,使
\[
\bar{f}\left( x\right) = \int f\mathrm{\;d}{\omega }_{x} = {\omega }_{x}f\;\left( {\forall f \in C\left( {\partial V}\right) }\right) .
\]
\( {\omega }_{x} \) 也称为 \( V \) 的在点 \( x \) (关于 \( \mathcal{H} \) ) 的调和测度或 \( \mathcal{H} \) 调和测度. 设 \( {\mathcal{U}}_{\mathcal{X}} \) 是由 \( \mathcal{H} \) 产生的超调和簇,则 \( \mathcal{H} \) 正好是与 \( {\mathcal{U}}_{\mathcal{F}} \) 相关的调和簇 \( {\mathcal{Y}}_{{u}_{\mathcal{F}}} \) . 如果 \( V \) 是相对于 \( \mathcal{K} \) 的正则集,则 \( V \) 是相对于 \( {\mathcal{U}}_{\mathcal{X}} \) 的可解集,并且在 \( V \) 上, \( {\bar{H}}_{f} = {\underline{H}}_{f} = {H}_{f} = \bar{f} \) ,而 \( {\omega }_{x} \) 就是 \( V \) 的在点 \( x \) 的关于 \( {\mathcal{U}}_{\mathcal{H}} \) 的调和测度.
一个区域如果是正则集, 就称为正则区域.
\( \mathcal{H} \) 正则集 ( \( \mathcal{H} \) -regular set) 见 “正则集”.
\( \mathcal{H} \) 调和测度 ( \( \mathcal{H} \) -harmonic measure) 见 “正则集”.
正则区域 (regular domain) 见“正则集”.
局部超调和函数 (locally hyperharmonic function) 在每一点的某个邻域上有超调和性的函数. 设 \( U \) 是一个开集, \( u \) 是 \( U \) 上的取值于 \( ( - \infty , + \infty \rbrack \) 的下半连续函数. 如果对每一 \( x \in U \) ,存在 \( x \) 的开邻域 \( {V}_{x} \subset U \) ,使得对任何满足 \( \bar{V} \subset {V}_{x} \) 的正则区域 \( V \) ,在 \( V \) 上恒有 \( {\omega }_{y}u \leq u\left( y\right) \left( {\omega }_{y}\right. \) 是 \( V \) 的 \( \mathcal{U} \) 调和测度,参见 “ \( \mathcal{U} \) 调和测度”),那么 \( u \) 称为 \( U \) 上的 (相对于 \( \mathcal{Y} \) 的) 局部超调和函数. 记 \( {\mathcal{U}}_{\mathcal{X}} \) 为 \( U \) 上的局部超调和函数全体,则 \( {\mathcal{U}}_{\mathcal{H}} \) 是 \( X \) 上的超调和簇,称为由 \( \mathcal{H} \) 产生的超调和簇. 并且, \( \mathcal{H} \) 就是与 \( {\mathcal{U}}_{\mathcal{X}} \) 相关的调和簇.
由调和簇产生的超调和簇 (hyperharmonic sheaf generated by a harmonic sheaf) 见“局部超调和函数”.
收敛性质 (convergence property) 位势论中的一个概念. 所谓收敛性质, 是指在一定条件下单调增加的调和函数列的极限函数仍然调和. 鲍尔 (Bauer, H. )、杜布 (Doob, J. L. ) 和布雷洛 (Brélot, M. E. ) 分别在他们的公理模型中假设 \( X \) 上的调和簇 \( \mathcal{K} \) 具有:
1. 鲍尔收敛性质: 设 \( U \) 是开集, \( \left\{ {u}_{n}\right\} \subset \mathcal{H}\left( U\right) \) 是单调增加列, 若极限函数
\[
u = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{u}_{n}
\]
局部有界,则 \( u \in \mathcal{X}\left( U\right) \) .
2. 杜布收敛性质: 设 \( U \) 是开集, \( \left\{ {u}_{n}\right\} \subset \mathcal{H}\left( U\right) \) 是单调增加列, 若极限函数
\[
u = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{u}_{n}
\]
在 \( U \) 的一个稠密子集里有限,则 \( u \in \mathcal{H}\left( U\right) \) .
3. 布雷洛收敛性质: 设 \( U \) 是区域, \( \left\{ {u}_{n}\right\} \subset \) \( \mathcal{H}\left( U\right) \) 是单调增加列,若极限函数
\[
u = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{u}_{n}
\]
在 \( U \) 中某一点有限,则 \( u \in \mathcal{H}\left( U\right) \) .
显然, 具有杜布收敛性质或布雷洛收敛性质的 \( \mathcal{K} \) 必具有鲍尔收敛性质,反之不然. 如果 \( X \) 是局部连通的, 那么具有布雷洛收敛性质者必具有杜布收敛性质, 反之不然.
调和公理 (harmonic axioms) 用于定义调和空间的基本公设. 设 \( \mathcal{U} \) 是局部紧豪斯多夫空间 \( X \) 上的超调和簇. 调和公理系统包含四个公理: 正值性公理、可解性公理、完备性公理和收敛性公理, 详见相应各条目.
正值性公理 (axiom of positivity) 调和公理之一. 任意 \( x \in X \) ,存在开集 \( U \ni x \) 及 \( h \in {\mathcal{H}}_{\mathcal{U}}\left( U\right) \) ,使得 \( h\left( x\right) > 0 \) ,即 \( {\mathcal{Y}}_{\mathcal{U}} \) 是非退化的.
可解性公理 (axiom of resolutivity) 调和公理之一. 相对于 \( \mathcal{U} \) 的可解集全体构成 \( X \) 的一个拓扑基.
完备性公理 (axiom of completeness) 调和公理之一. 对任何开集 \( U \) ,若 \( u \) 是 \( U \) 上定义的取值于 \( ( - \infty , + \infty \rbrack \) 的下半连续函数,且对任何满足 \( \bar{V} \subset U \) 的相对紧的可解集 \( V \) ,在 \( V \) 上恒有 \( {\mu }_{y}u \leq u\left( y\right) \left( {\mu }_{y}\right. \) 是 \( V \) 的 \( \mathcal{U} \) 调和测度 (参见 “ \( \mathcal{U} \) 调和测度”),那么
\[
u \in \mathcal{U}\left( U\right) \text{.}
\]
收敛性公理 (axiom of convergence) 调和公理之一. \( {\mathcal{H}}_{\mathcal{U}} \) 具有鲍尔收敛性质.
调和空间 (harmonic space) 一种有序偶. 所谓调和空间,是指由一个局部紧的豪斯多夫空间 \( X \) 和 \( X \) 上的一个满足调和公理的超调和簇 \( \mathcal{U} \) 组成的有序偶 \( \langle X,\mathcal{U}\rangle \) . 在调和空间的开集 \( U\left( {U \subset X}\right) \) 上, \( u \in \) \( \mathcal{U}\left( U\right) \) 称为超调和函数, \( u \in - \mathcal{U}\left( U\right) \) 称为亚调和函数, \( h \in {\mathcal{H}}_{\mathcal{U}}\left( U\right) \left( {{\mathcal{H}}_{\mathcal{U}}\left( U\right) = \mathcal{U}\left( U\right) \cap \left\lbrack {-\mathcal{U}\left( U\right) }\right\rbrack }\right) \) 称为调和函数.
调和空间论 (theory of harmonic space) 在调和空间上建立的公理位势论.
调和空间里的超调和函数 (hyperharmonic function in harmonic space) 见“调和空间”.
调和空间里的亚调和函数 (hypoharmonic function in harmonic space) 见“调和空间”.
调和空间里的调和函数 (harmonic function in harmonic space) 见“调和空间”.
调和空间里的上调和函数 (superharmonic function in harmonic space) 一类与调和函数直接关联的超调和函数. 设 \( U \) 是调和空间 \( \langle X,\mathcal{U}\rangle \) 里的开集, \( u \in \mathcal{U}\left( U\right) \) . 如果在任何满足 \( \bar{V} \subset U \) 的相对紧的可解集 \( V \) 上, \( {\mu }_{y}u \) ( \( {\mu }_{y} \) 是 \( V \) 的调和测度) 是调和函数,则称 \( u \) 是 \( U \) 里的上调和函数. 若 \( - v \) 是 \( U \) 里的上调和函数,则称 \( v \) 为 \( U \) 里的下调和函数. 这是里斯(Riesz, F.)于 1925 年在经典位势论中引进的相应概念的推广.
调和空间里的下调和函数 (subharmonic function in harmonic space) 见“调和空间里的上调和函数”.
调和空间里的位势 (potential in harmonic space) 格林位势在调和空间的推广. 设 \( U \) 是调和空间 \( \langle X,\mathcal{U}\rangle \) 里的开集, \( p \) 是 \( U \) 里的非负上调和函数, 若 \( p \) 在 \( U \) 里的最大调和下属是 0 (即 \( h \in \mathcal{Y}\left( U\right) \) 且 \( h \) \( \leq p \) 蕴涵 \( h \leq 0) \) ,那么 \( p \) 称为 \( U \) 上的位势.
\( S \) 调和空间 ( \( S \) -harmonic space) 以平面上对数位势论为原型的一类调和空间. 一个调和空间 \( \langle X,\mathcal{U}\rangle \) 称为 \( S \) 调和空间 (或 \( P \) 调和空间) 指的是, 对每一点 \( x \in X \) ,存在 \( X \) 上的一个非负上调和函数 \( s \) (相应地,一个位势 \( p \) ),使得 \( s\left( x\right) > 0 \) (相应地, \( p\left( x\right) \) \( > 0).P \) 调和空间必为 \( S \) 调和空间,但反之未必成立. 例如, \( X = {\mathrm{R}}^{n}\left( {n \geq 2}\right) \) ,取经典的超调和函数族为 \( \mathcal{U} \) 时, \( \langle X,\mathcal{U}\rangle \) 是 \( S \) 调和空间,当 \( n \geq 3 \) 时且为 \( P \) 调和空间,而当 \( n = 2 \) 时,不是 \( P \) 调和空间.
\( \mathbf{P} \) 调和空间 ( \( P \) -harmonic space) 见 “ \( S \) 调和空间”.
调和空间里的里斯分解 (Riesz decomposition in harmonic space) 一般位势论中里斯分解定理的对应物. 在调和空间 \( \langle X,\mathcal{U}\rangle \) 里的开集 \( U \) 上,一个上调和函数 \( u \) 如有下调和下属,则可惟一地分解为 \( u = p + h \) ,其中 \( p \) 是位势, \( h \) 是调和函数且为 \( u \) 的最大调和下属.
布雷洛空间 (Brélot space) 特殊的调和空间. 所谓布雷洛空间, 是指由一个无孤立点、局部连通且局部紧的豪斯多夫空间 \( X \) 与 \( X \) 上的调和簇 \( \mathcal{Y} \) 组成的序偶 \( \langle X,\mathcal{Y}\rangle \) ,其中 \( \mathcal{Y} \) 满足如下公理:
1. 正则区域全体构成 \( X \) 的一个拓扑基.
## 2. \( \mathcal{H} \) 具有布雷洛收敛性质.
设 \( \langle X,\mathcal{H}\rangle \) 是布雷洛空间,则 \( X \) 上的由 \( \mathcal{H} \) 产生的超调和簇 \( {\mathcal{U}}_{\mathcal{X}} \) 满足调和公理,即 \( \left\langle {X,{\mathcal{U}}_{\mathcal{X}}}\right\rangle \) 是调和空间. 因此, 布雷洛空间是调和空间. 特别地, 布雷洛空间是鲍尔空间, 但反之不然. 布雷洛空间的一个典型例子是,在 \( n \) 维欧氏空间 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的任一开集 \( U \) 上,取 \( \mathcal{Y}\left( U\right) \) 为 \( U \) 上的满足拉普拉斯方程
\[
{\Delta f} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {x}_{i}^{2}} = 0
\]
的二次连续可微的函数 \( f \) 全体,那么 \( \mathcal{Y} \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的一个调和簇, \( \left\langle {{\mathrm{R}}^{n},\mathcal{H}}\right\rangle \) 是布雷洛空间. 事实上,布雷洛空间就是以拉普拉斯方程为原始模型建立起来的, 因此布雷洛空间上的位势论与经典位势论最为接近.
鲍尔空间 (Bauer space) 一类特殊的调和空间. 所谓鲍尔空间,是指由局部紧豪斯多夫空间 \( X \) 与 \( X \) 上的调和簇 \( \mathcal{Y} \) 组成的序偶,其中 \( \mathcal{Y} \) 满足如下公理:
1. \( \mathcal{H} \) 满足正值性公理.
2. \( X \) 有强正则基 \( (X \) 的一个由正则集构成的拓扑基称为强正则基, 如果该基的任意两个元素之交仍为正则集).
## 3. \( \mathcal{Y} \) 具有鲍尔收敛性质.
若 \( \langle X,\mathcal{Y}\rangle \) 是鲍尔空间,则 \( X \) 上由 \( \mathcal{Y} \) 产生的超调和簇 \( {\mathcal{U}}_{\mathcal{X}} \) 满足调和公理,即 \( \left\langle {X,{\mathcal{U}}_{\mathcal{F}}}\right\rangle \) 是调和空间. 因此, 鲍尔空间是调和空间. 此外, 布雷洛空间是鲍尔空间, 但反之未必成立. 由热传导方程可构造一个典型的例子. 在 \( n + 1 \) 维欧氏空间 \( {\mathrm{R}}^{n + 1} \) 的开集 \( U \) 上,取 \( \mathcal{Y}\left( U\right) \) 为 \( U \) 上满足热传导方程
\[
\frac{\partial f}{\partial {x}_{n + 1}} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {x}_{i}^{2}}
\]
的二次连续可微函数 \( f \) 全体,那么 \( \mathcal{K} \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n + 1} \) 上的调和簇, \( \left\langle {{\mathrm{R}}^{n + 1},\mathcal{Y}}\right\rangle \) 是鲍尔空间,但不是布雷洛空间.
狄利克雷空间论 (theory of Dirichlet space)
受 BLD 函数组成的希尔伯特空间论的启发, 在狄利克雷空间上建立的一种公理位势论. 设 \( X \) 是局部紧的豪斯多夫空间, \( \xi \) 为 \( X \) 上一个处处稠密的正拉东测度 (对任意非空开集 \( G,\xi \left( G\right) > 0 \) ). 若 \( X \) 上局部 \( \xi \) 可积的复值函数 \( u \) 组成的希尔伯特空间 \( D = D(X \) , \( \xi ) \) 满足下述三条公理,则称 \( D\left( {X,\xi }\right) \) 是狄利克雷空间:
1. 对任意紧集 \( K \) ,存在实数 \( A\left( K\right) > 0 \) ,使得
\[
{\int }_{K}\left| u\right| \mathrm{d}\xi \leq A\left( K\right) \parallel u\parallel .
\]
2. \( {C}_{c}\left( X\right) \cap D\left( {X,\xi }\right) \) 在 \( {C}_{c}\left( X\right) \) 及 \( D\left( {X,\xi }\right) \) 中稠密.
3. 对复平面上任一正常的压缩映射 \( T \) 和任一 \( u \) \( \in D\left( {X,\xi }\right) \) ,有 \( {T}_{u} \in D \) 且 \( \begin{Vmatrix}{T}_{u}\end{Vmatrix} \leq \parallel u\parallel \) .
若对于 \( u \in D\left( {X,\xi }\right) \) ,存在拉东测度 \( \mu \) ,使得
\[
\left( {u,\varphi }\right) = {\int }_{X}\bar{\varphi }\mathrm{d}\mu \left( {\varphi \in {C}_{C}\left( X\right) \cap D\left( {X,\xi }\right) }\right) ,
\]
则称 \( u \) 为 \( \mu \) 的位势. 在狄利克雷空间论中,也有相应的扫除原理、平衡原理和电容器原理等.
狄利克雷空间 (Dirichlet space) 见“狄利克雷空间论”.
狄氏型理论 (theory of Dirichlet form) 公理化位势论的一种形式, 狄利克雷空间论的进一步发展. 见 “公理化位势论”和 “概率位势论”. 狭义的狄氏型是指定义在如下希尔伯特空间 \( {L}^{2}\left( {Y,\mu }\right) \) 的一个稠密子空间 \( D\left( E\right) \) 上的、满足一定条件的双线性泛函 \( E \) ,即 \( \left( {Y,\mathcal{F}}\right) \) 是一个可测空间, \( \mu \) 是 \( \left( {Y,\mathcal{F}}\right) \) 上 \( \sigma \) 有限测度, \( Y \) 上定义的、关于 \( \mu \) 平方可积的数值函数 (等价类) 全体关于
\[
\int {fg}\mathrm{\;d}\mu
\]
为内积构成的希尔伯特空间记为 \( {L}^{2}\left( {Y,\mu }\right) \) .
狄氏型 (Dirichlet form) 亦称狄利克雷形式, 见“狄氏型理论”.
狄利克雷形式(Dirichlet form) 即“狄氏型”.
扫除空间 (balayage space) 调和空间的一个推广形式. 在具有可数基的拓扑空间 \( X \) 上,一族非负下半连续函数构成的凸锥 \( \mathcal{W} \) 满足下面四条公理时,称 \( \left( {X,\mathcal{W}}\right) \) 为一个扫除空间:
\( 1.\mathcal{W} \) 中任何单调增加列的极限函数仍属于 \( \mathcal{W} \) .
2. 对 \( {\mathcal{W}}^{ \cdot } \) 的任何子集 \( \mathcal{V} \) ,其下确界函数 \( g \) \( = \inf \mathcal{V} \) 关于 \( \mathcal{W} \) 组拓扑的下半连续正则化仍属于 \( {\mathcal{W}}^{\prime } \) (参见 “细拓扑”和 “扫除函数”),这个性质称为下定向公理.
3. 若 \( u, f, g \in {\mathcal{W}}^{ \cdot } \) 使得 \( u \leq f + g \) ,则存在 \( v, w \in \) \( {\mathcal{W}}^{ \cdot } \) 使得 \( u = v + w, v \leq f \) 且 \( w \leq g \) ,这个性质称为自然分解公理.
4. 存在一个由 \( X \) 上的连续函数构成的、 |
2000_数学辞海（第3卷） | 193 | ) \) 的一个稠密子空间 \( D\left( E\right) \) 上的、满足一定条件的双线性泛函 \( E \) ,即 \( \left( {Y,\mathcal{F}}\right) \) 是一个可测空间, \( \mu \) 是 \( \left( {Y,\mathcal{F}}\right) \) 上 \( \sigma \) 有限测度, \( Y \) 上定义的、关于 \( \mu \) 平方可积的数值函数 (等价类) 全体关于
\[
\int {fg}\mathrm{\;d}\mu
\]
为内积构成的希尔伯特空间记为 \( {L}^{2}\left( {Y,\mu }\right) \) .
狄氏型 (Dirichlet form) 亦称狄利克雷形式, 见“狄氏型理论”.
狄利克雷形式(Dirichlet form) 即“狄氏型”.
扫除空间 (balayage space) 调和空间的一个推广形式. 在具有可数基的拓扑空间 \( X \) 上,一族非负下半连续函数构成的凸锥 \( \mathcal{W} \) 满足下面四条公理时,称 \( \left( {X,\mathcal{W}}\right) \) 为一个扫除空间:
\( 1.\mathcal{W} \) 中任何单调增加列的极限函数仍属于 \( \mathcal{W} \) .
2. 对 \( {\mathcal{W}}^{ \cdot } \) 的任何子集 \( \mathcal{V} \) ,其下确界函数 \( g \) \( = \inf \mathcal{V} \) 关于 \( \mathcal{W} \) 组拓扑的下半连续正则化仍属于 \( {\mathcal{W}}^{\prime } \) (参见 “细拓扑”和 “扫除函数”),这个性质称为下定向公理.
3. 若 \( u, f, g \in {\mathcal{W}}^{ \cdot } \) 使得 \( u \leq f + g \) ,则存在 \( v, w \in \) \( {\mathcal{W}}^{ \cdot } \) 使得 \( u = v + w, v \leq f \) 且 \( w \leq g \) ,这个性质称为自然分解公理.
4. 存在一个由 \( X \) 上的连续函数构成的、满足一定条件的函数锥 \( \mathcal{P} \) ,使得 \( {\mathcal{W}}^{ * } \) 中的每个函数都可表示为 \( \mathcal{D} \) 中某个单调增加列的极限. \( \mathcal{D} \) 中的元素称为连续位势.
下定向公理 (lowerly directed axiom) 见 “扫除空间”.
自然分解公理 (natural decomposition axiom) 见“扫除空间”.
扫除空间中的函数锥 (function cone in bal-ayage space) 连续的牛顿位势全体构成的凸锥的类似物.
扫除空间的连续位势 (continuous potential in balayage space) 连续的牛顿位势的类似物. 见 “扫除空间”.
扫除空间论 (theory of balayage space) 建立在扫除空间上的公理位势论, 是调和空间论的一个推广形式. 在空间具有可数基的情况下, 该理论概括了不含于调和空间论的里斯位势论和离散位势论. 该理论由波利特诺 (Bliedtner, J. ) 与汉森 (Hansen, W. ) 建立, 其特色是采用扫除理论统一处理了分析与概率位势论.
离散位势论 (discrete potential theory) 位势论的一个组成部分. 所谓离散位势论, 是指在一个赋予离散拓扑的可数集上建立扫除空间时, 对应于伪泊松半群 (参见《数学辞海》第四卷的有关条目).
\( \mathbf{H} \) 锥 ( \( H \) -cones) 抽象调和锥 (参见 “极小调和函数”) 的推广. 在一个由抽象元素构成的集 \( S \) 中引入加法、数乘及一个次序关系, 使其满足下列条件, 则称 \( S \) 是一个 \( H \) 锥:
\( 1.S \) 关于加法成为一个可交换半群并有一个零元.
2. 加法与数乘满足分配律.
3. \( S \) 中的元都大于或等于 0,关于与非负数的数乘及加法保持次序, 还满足自然分解公理及关于求上、下确界的若干运算规律.
\( \mathbf{H} \) 锥理论 (theory of \( H \) -cones) 研究 \( H \) 锥的位势论性质的理论. 调和空间位势论的一种发展形式; 由波波克 (Boboc, N. ), 布什 (Buchar, Gh) 和柯尼 (Cornea, A. ) 等人从 “次序”与“凸性”出发建立的一种线性公理系统.
非线性位势论 (non-linear potential theory)
关联于某个从 \( {\mathrm{R}}^{N} \) 到 \( {\mathrm{R}}^{N} \) 的非线性微分算子的位势理论. 通常考虑与下面拟线性微分方程 \( \nabla \cdot \left( {{\left| \nabla u\right| }^{p - 2}\nabla u}\right) = 0 \) 相关联的理论,故亦称拟线性位势论. 这是 20 世纪 80 年代才发展起来的理论, 与拟共形映射有密切联系. 相应的非线性公理体系也已初步建立 (参见 “公理化位势论”和 “非线性调和空间”).
拟线性位势论 (quasi-linear potential theory) 见“非线性位势论”及“非线性调和空间”.
非线性公理位势论 (non-linear axiomatic potential theory) 见“非线性调和空间”.
非线性调和空间 (non-linear harmonic space) 非线性公理位势论的一种形式, 布雷洛调和空间的类似物. 设 \( X \) 是局部紧的、局部连通的豪斯多夫空间, \( \mathcal{H} \) 是 \( X \) 上的由连续函数组成的一个簇, \( V \) 是 \( X \) 的一个相对紧开集,称 \( V \) 是正则集,若满足下面两条件:
1. 狄利克雷原则: 对每个 \( f \in C\left( {\partial V}\right) \) ,存在惟一的 \( h \in \mathcal{H}\left( V\right) \cap C\left( \bar{V}\right) \) ,使得 \( {\left. h\right| }_{\partial V} = h \) ,记 \( h \) 为 \( {H}_{f} \) .
2. 比较原则: 对每个 \( f, g \in C\left( {\partial V}\right) \) ,条件 \( f \leq g \) 蕴涵 \( {H}_{f} \leq {H}_{g} \) 在 \( V \) 上成立.
若 \( \left( {X,\mathcal{Y}}\right) \) 满足下面三公理,则称之为一个非线性调和空间:
1. 若 \( h \in \mathcal{H}\left( V\right) \) 且 \( \alpha \in R \) ,则 \( h + \alpha ,{\alpha h} \in \mathcal{H}\left( V\right) \) .
2. 若 \( \left\{ {u}_{i}\right\} \) 是 \( \mathcal{Y}\left( V\right) \) 中的单调增加列, \( V \) 是 \( X \) 的一个区域, 则当
\[
u = \mathop{\lim }\limits_{{i \rightarrow \infty }}{u}_{i}
\]
在某一点 \( {x}_{0} \in V \) 取有限值时, \( u \in \mathcal{H}\left( V\right) \) .
3. 对 \( X \) 的每一个开集 \( U \) 及每一个紧集 \( K \subset U \) , 存在一个正则集 \( V \) ,使得 \( K \subset V \subset U \) .
若要研究更深入的性质, 有的非线性公理系统还包含如下的:
4. \( \mathcal{H}\left( V\right) \) 能分辨 \( V \) 中的点.
值得注意的是, 布雷洛空间并不是本类非线性调和空间的特殊情形.
## 位势论与概率论
概率位势论 (probability potential theory) 研究位势论与概率论的内在联系的新数学分支. 20 世纪四五十年代, 杜布 (Doob, J. L. )、角谷静夫等人发现了经典位势论与布朗运动的深刻联系, 1954 年, 杜布的论文“半鞅与次调和函数”被公认为是开创了概率与位势联系的研究的新篇章. 20 世纪 50 年代中期以后, 亨特 (Hunt, G. A. ) 等人进一步把它推广到相当一般的马尔可夫过程, 给出更具普遍意义的 “位势”的定义. 从此, 位势论的许多概念、性质获得了明确的概率意义, 而分析工具的引入大大促进了概率论的深入发展且又反过来影响位势论. 上鞅与上调和函数的对应, 它们的单调列的极限及里斯分解等性质的极端相似性揭示了鞅论与位势论的内在联系; 马丁边界被翻译成概率的语言并用于研究马氏过程; 由于调和空间引入了次马氏半群和马氏过程,概率方法进入了公理化位势论; \( {C}^{\infty } \) 黎曼流形上由于麦金 (Mckean, H. P. ) 等人用随机微分方程建立扩散过程而提供了用概率方法研究流形上位势论的一种方法; 由博灵 (Beurling, A. ) 和戴尼 (Deny, J. ) 开创, 富山、马志明等人发展的狄氏型是研究概率与位势结合的一种重要形式; 波利特诺 (Bliedt-ner, J. ) 和汉森 (Hansen, W. ) 建立的扫除空间论, 则用扫除作为工具将分析与概率位势论统一起来. 总之, 近几十年来, 位势与概率的联系作为一个独特的专题已经并且正在得到深入研究.
布朗运动的位势论 (potential theory for Brownian motion) 研究经典位势论的概率对应的基本模型. 从历史的角度看, 布朗运动与经典位势的联系是概率与位势之间关系的最初发现. 设 \( {\mathcal{B}}^{n} \) 为 \( n \) 维欧氏空间 \( {\mathrm{R}}^{n}\left( {n \geq 1}\right) \) 的波莱尔域, \( \{ X\left( t\right) \} (t \in \lbrack 0 \) , \( + \infty )) \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的布朗运动, \( p\left( {t, x, y}\right) \) 为 \( X\left( t\right) \) 的转移密度. 对 \( B \in {\mathcal{B}}^{n} \) ,当存在 \( t > 0 \) 使 \( X\left( t\right) \in B \) 时,令 \( {\tau }_{B} \) 为这样的 \( t \) 的下确界,否则令 \( {\tau }_{B} = + \infty \) ; 记 \( {T}_{B} = \) \( {\tau }_{{B}^{c}},{B}^{c} = {\mathrm{R}}^{n} \smallsetminus B \) ; 又当 \( {\tau }_{B} < + \infty \) 时,记 \( {L}_{B} = \sup \{ t > 0 \mid \) \( X\left( t\right) \in B\} \) ; 当 \( {\tau }_{B} = + \infty \) 时,令 \( {L}_{B} = 0 \) . 分别称 \( {\tau }_{B},{T}_{B} \) 和 \( {L}_{B} \) 为 \( X\left( t\right) \) 对 \( B \) 的首中时间、首出时间和退出时间; 而 \( {h}_{B}\left( {x, \cdot }\right) = {P}_{x}\left( {{\tau }_{B} < + \infty, X\left( {\tau }_{B}\right) \in \cdot }\right) \) 和 \( {q}_{B}^{\prime }\left( {x, \cdot }\right) = {P}_{x}\left( {{\tau }_{B} > t, X\left( t\right) \in \cdot }\right) \) 分别称为从 \( x \) 出发的布朗运动对 \( B \) 的首中分布和禁止分布. 若对每个 \( x \in {\mathrm{R}}^{n} \) ,都有 \( {P}_{x}\left( {{\tau }_{B} < + \infty }\right) = 1 \) (或 0 ),则称 \( B \) 为常返集 (或相应地, 非常返集). 那么经典位势论中的基本概念和性质可作如下描述:
1. \( x \) 为 \( B \) 的正则点 (或非正则点) 当且仅当 \( {P}_{x} \) \( \left( {{\tau }_{B} = 0}\right) = 1 \) (相应地, \( = 0 \) ),其直观意义是从 \( x \) 出发的布朗粒子能 (相应地,不能) 立刻击中 \( B.B \) 是极集的充分必要条件是 \( {P}_{x}\left( {{\tau }_{B} < + \infty }\right) \equiv 0 \) ,即从任何 \( x \) 出发的布朗粒子击中 \( B \) 的概率为零.
2. 对 \( {\mathrm{R}}^{n}\left( {n \geq 2}\right) \) 的非空开集 \( D \) ,从 \( x \in D \) 出发的布朗运动对 \( {D}^{c} \) 的击中分布 \( {H}_{D}\left( {x, \cdot }\right) = {h}_{{D}^{\prime }}\left( {x, \cdot }\right) \) 恰给出 \( \partial D \) 上关于 \( x \) 的调和测度. 这时关于在 \( \partial D \) 上定义的有界且本性连续 (即除一个调和测度零集外连续) 的函数 \( \varphi \) ,广义狄利克雷问题的解
\[
{H}_{\varphi }\left( x\right) = \int \varphi \left( y\right) {H}_{D}\left( {x,\mathrm{\;d}y}\right) = {E}_{x}\left( {\varphi \left( {X\left( {T}_{D}\right) }\right) }\right)
\]
\[
\left( {{T}_{D} < + \infty }\right) ,
\]
它在 \( \varphi \) 于该处连续的正则边界点 \( y \) (即 \( y \in \partial D \) 且为 \( {D}^{c} \) 的正则点) 处以 \( \varphi \left( y\right) \) 为边界值. 另外,当 \( n \geq 3 \) 且 \( D \) 无界时,若事先不限制解在 \( \infty \) 处的正则性,则解不惟一, 但每个有界解必可表示为
\[
{E}_{x}\left\lbrack {\varphi \left( {X\left( {T}_{D}\right) }\right) ,{T}_{D} < + \infty }\right\rbrack + C{P}_{X}\left( {{T}_{D} = + \infty }\right)
\]
\[
\text{(}C\text{为常数).}
\]
3. \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的非空开集 \( D \) ,若在 \( D \) 上存在格林函数, 则称 \( D \) 为格林集,当 \( n \geq 3 \) 时,任何开集为格林集; \( n \) \( = 1,2 \) 时, \( D \) 为格林集当且仅当 \( {D}^{c} \) 为非极集. \( D \) 的格林函数可表示为
\[
G\left( {x, y}\right) = {\int }_{0}^{+\infty }\left\{ {p\left( {t, x, y}\right) - {E}_{x}\left\lbrack {p\left( {t - {T}_{D},}\right. }\right. }\right.
\]
\[
\left. {\left. {\left. {X\left( {T}_{D}\right), y}\right) ;{T}_{D} < t}\right\rbrack \} \mathrm{d}t}\right\}
\]
而
\[
{U}_{G}^{\mu }\left( x\right) = \int G\left( {x, y}\right) \mathrm{d}\mu \left( y\right) \left( {\mu \geq 0}\right)
\]
就是 \( D \) 上格林位势.
4. 当 \( n \geq 3 \) 时,
\[
{\int }_{0}^{+\infty }{C}_{n}p\left( {t, x, y}\right) \mathrm{d}t
\]
即为牛顿核 \( {\left| x - y\right| }^{2 - n} \) ,其中常数
\[
{C}_{n} = \frac{2{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\Gamma \left( {\frac{n}{2} - 1}\right) }
\]
当 \( n = 2 \) 时,
\[
\pi {\int }_{0}^{+\infty }\left\lbrack {p\left( {t, x, y}\right) - p\left( {t,{x}_{0},{y}_{0}}\right) }\right\rbrack \mathrm{d}t,
\]
即为对数核 \( - \ln \left| {x - y}\right| \) ,其中 \( {x}_{0},{y}_{0} \) 为满足 \( \left| {{x}_{0} - {y}_{0}}\right| \) \( = 1 \) 的固定点. 从而得到用转移密度表示的牛顿位势与对数位势.
5. 设 \( f \) 是从非空开集 \( D \) 到 \( \left\lbrack {0, + \infty }\right\rbrack \) 的函数,在 \( D \) 的任一支集上不恒为 \( + \infty \) ,若对 \( t > 0 \) 及 \( x \in D \) ,恒有
\[
f\left( x\right) \geq \int f\left( y\right) {q}_{{D}^{c}}^{t}\left( {x,\mathrm{\;d}y}\right) ,
\]
且当 \( t \downarrow 0 \) 时积分式收敛于 \( f\left( x\right) \) ,则称 \( f \) 是 \( D \) 上的超过函数,那么 \( f \geq 0 \) 在 \( D \) 内为上调和当且仅当 \( f \) 为超过函数.
6. 与上述相似, 可通过转移密度、击中分布、禁止分布等布朗运动的概念来描述里斯分解、平衡问题、能量、容量、扫除、瘦等位势论的基本概念及其性质, 使得经典位势的概念都被赋予相应的概率意义. 例如,狄喇克测度 \( {\varepsilon }_{x} \) 到 \( B \in {\mathcal{B}}^{n}\left( {n \geq 3}\right) \) 的扫除测度 (又称格林扫除) 即为 \( B \) 的击中分布 \( {h}_{B}\left( {x, \cdot }\right) \) ; 对格林集 \( D \) 内的相对紧的波莱尔集 \( B \) ,任意正测度 \( \mu \) 到 \( B \) 的扫除测度 \( {\mu }^{\prime } \) 存在, \( {\mu }^{\prime } \) 集中在 \( B \) 的基 (即 \( B \) 的正则点全体) 且 \( {U}_{G}^{{\mu }^{\prime }}\left( x\right) \equiv {P}_{x}\left( {{\tau }_{B} < {T}_{D}}\right) \) ; 上式也是一个波莱尔集 \( B \) 的扫除测度存在的充分条件.
马氏过程位势论 (potential theory for Markov processes) 概率位势论的一个重要模式, 布朗运动相应研究的推广. 设 \( \left\{ {{X}_{t},{\mathcal{F}}_{t}, t \in T = \lbrack 0, + \infty )}\right\} \) 为以 \( \left( {{E}_{0},{\mathcal{B}}_{0}}\right) \) 为状态空间的亨特过程,其中 \( {E}_{0} \) 为局部紧可分度量空间 \( E \) 的单点紧致化, \( {\mathcal{B}}_{n} \) 为 \( E \) 的波莱尔域 \( \mathcal{B} \) 与单点 \( \{ \partial \} \) 生成的 \( \sigma \) 域. 记 \( \left\{ {P}_{t}\right\} \) 为相应的马尔可夫转移半群. 设 \( f \geq 0 \) 为 \( E \) 上定义的 \( \mathcal{B} \) 可测函数,对 \( \alpha \geq 0 \) ,定义
\[
{U}^{\alpha }f\left( x\right) = {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{\alpha t}}{P}_{t}f\mathrm{\;d}t = {E}_{x}\left\{ {{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{\alpha t}}f\left( {X}_{t}\right) \mathrm{d}t}\right\}
\]
为 \( \alpha \) 阶位势 (当 \( \alpha = 0 \) 时常记为 \( {Uf} \) ,称为位势),称 \( {U}^{\alpha } \) 为 \( \alpha \) 阶位势核. 若对 \( t \in T \) 恒有 \( f \geq {\mathrm{e}}^{\left( -\alpha t\right) }{P}_{t}f \) 且当 \( t \downarrow 0 \) 时, \( \lim {\mathrm{e}}^{-{\alpha t}}{P}_{t}f = f \) ,则称 \( f \) 是 \( \alpha \) 超过函数, \ |
2000_数学辞海（第3卷） | 194 | ntial theory for Markov processes) 概率位势论的一个重要模式, 布朗运动相应研究的推广. 设 \( \left\{ {{X}_{t},{\mathcal{F}}_{t}, t \in T = \lbrack 0, + \infty )}\right\} \) 为以 \( \left( {{E}_{0},{\mathcal{B}}_{0}}\right) \) 为状态空间的亨特过程,其中 \( {E}_{0} \) 为局部紧可分度量空间 \( E \) 的单点紧致化, \( {\mathcal{B}}_{n} \) 为 \( E \) 的波莱尔域 \( \mathcal{B} \) 与单点 \( \{ \partial \} \) 生成的 \( \sigma \) 域. 记 \( \left\{ {P}_{t}\right\} \) 为相应的马尔可夫转移半群. 设 \( f \geq 0 \) 为 \( E \) 上定义的 \( \mathcal{B} \) 可测函数,对 \( \alpha \geq 0 \) ,定义
\[
{U}^{\alpha }f\left( x\right) = {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{\alpha t}}{P}_{t}f\mathrm{\;d}t = {E}_{x}\left\{ {{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{\alpha t}}f\left( {X}_{t}\right) \mathrm{d}t}\right\}
\]
为 \( \alpha \) 阶位势 (当 \( \alpha = 0 \) 时常记为 \( {Uf} \) ,称为位势),称 \( {U}^{\alpha } \) 为 \( \alpha \) 阶位势核. 若对 \( t \in T \) 恒有 \( f \geq {\mathrm{e}}^{\left( -\alpha t\right) }{P}_{t}f \) 且当 \( t \downarrow 0 \) 时, \( \lim {\mathrm{e}}^{-{\alpha t}}{P}_{t}f = f \) ,则称 \( f \) 是 \( \alpha \) 超过函数, \( \alpha = 0 \) 时称为超过函数. 超过函数类是位势论中非负上调和函数类的深刻推广. 对于超过函数 \( f \) 和任意 \( \beta > \) 0,存在非负有界的 \( \mathcal{B} \) 可测函数列 \( \left\{ {g}_{n}\right\} \) ,使得 \( {U}^{\beta }{g}_{n} \uparrow f \) ; 若设马氏半群 \( \left\{ {P}_{t}\right\} \) 为非常返时,这一结论对 \( \beta = 0 \) 也成立. 据此,许多有关超过函数的问题都可化成关于 \( \beta \) 阶位势的相应问题来处理.
类似于布朗运动, 一般马氏过程也可定义首中时间、退出时间、首中分布、正则点、极集等概念并进而讨论扫除、平衡问题等位势论的概念与性质. 也有从概率的立场出发研究狄利克雷问题与马丁积分表示的工作. 特别关于马氏链的位势论, 不论过程常返与否, 都有较深刻的研究.
一般地, 从鞅论的观点出发可以定义位势, 并建立起“鞅”与“调和”这两个不同领域概念的密切联系,得到本质上一致的结论. 以连续时间 \( T = \lbrack 0, + \) \( \infty ) \) 为例. 记 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}, P}\right) \) 为概率空间, \( {\left( {\mathcal{F}}_{t}\right) }_{t \in T} \) 为一族上升的 \( \mathcal{F} \) 的子 \( \sigma \) 域,则关于 \( \left( {\mathcal{F}}_{t}\right) \) 的 (上、下) 鞅与 (上、下) 调和函数有许多类似的性质. 如上鞅全体构成凸锥且关于下包络运算 \( \inf \left\{ {{X}_{t},{Y}_{t}}\right\} \) 封闭; 对上鞅 \( \left\{ {X}_{t}\right\}, m\left( t\right) = E{X}_{t} \) 为 \( t \) 的递减函数且 \( \left\{ {X}_{t}\right\} \) 成为鞅的充分必要条件是 \( m\left( t\right) = \) 常数; 若 \( \left\{ {X}_{t}\right\} \) 为下鞅, \( f\left( r\right) \) 为 \( \left( {-\infty , + \infty }\right) \) 上的单调增加的凸函数且存在 \( {t}_{0} \in \) \( T \) 使 \( E\left( \left| {f\left( {X}_{{t}_{0}}\right) }\right| \right) < + \infty \) 时, \( \left\{ {f\left( {X}_{t}\right) \mid t \in \left\lbrack {0,{t}_{0}}\right\rbrack \cap }\right. \) \( T\} \) 也是下鞅. 当 \( \left\{ {X}_{t}\right\} \) 为鞅时,不必要求 \( f\left( r\right) \) 单调,而有同样的结论. 特别地,对于鞅 \( \left\{ {X}_{t}\right\} ,{X}_{t}^{ + } = \sup \left\{ {{X}_{t},}\right. \) \( 0\} \) 也是下鞅; 对鞅 \( \left\{ {X}_{t}\right\} ,\left\{ \left| {X}_{t}\right| \right\} \) 为下鞅. 又,一个几乎所有轨道为右连续的上鞅 \( \left\{ {X}_{t}\right\} \) 当满足
\[
\mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow \infty }}E{X}_{t} = 0
\]
时称为位势,那么当 \( {\left( {\mathcal{F}}_{t}\right) }_{t \in T} \) 右连续时,对几乎所有轨道为右连续的上鞅 \( \left\{ {X}_{t}\right\} \) ,
\[
\mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow \infty }}E{X}_{t} > - \infty
\]
的充分必要条件是存在鞅 \( \left\{ {Y}_{t}\right\} \) 和位势 \( \left\{ {Z}_{t}\right\} \) ,使得 \( {X}_{t} \) \( = {Y}_{t} + {Z}_{t} \) . 与位势论相似,这种表示称为里斯分解, 这种分解是惟一的. 另外,若 \( \{ B\left( t\right) \mid t \in T\} \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上从 \( x \) 出发的布朗运动, \( u \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上下有界的上调和函数, 当 \( u\left( x\right) < + \infty \) 时,过程 \( \{ u\left\lbrack {B\left( t\right) }\right\rbrack, t \in T\} \) 为上鞅.
如果在具有可数基的调和空间 \( X \) 上存在严格正的位势且 \( f \equiv 1 \) 为上调和函数,则可以构造一个次马氏半群使其相应的超过函数等同于非负上调和函数, 且由这个半群可构造一个具有连续轨道的强马氏过程. 据此, 调和空间的位势论和与亨特过程相关联的位势论二者便通过主要概念之间的对应而联系在一起. 康斯坦丁斯库 (Constantinescu, C. )、柯尼 (Cornea, A. )、汉森 (Hansen, W. )、鲍尔 (Bauer, H. )、泰勒 (Taylor, J. C. ) 和迈耶 (Meyer, P. A. ) 等人对调和空间的马氏过程理论做了许多工作, 他们中有人还把许多结果推广到扫除空间和 \( H \) 锥理论上去.
撰 稿 叶仰明 吴春章 吴炯圻 邱曙熙 张 询
审 阅 卫念祖 高琪仁
## 凸 分 析
凸分析 (Convex analysis) 研究凸集和凸函数的数学分支. 其主要目的在于利用集合和函数的凸性来处理各种分析问题, 特别是极值问题, 包括有限维的数学规划问题和无限维的变分学问题. 其主要工具是凸集分离定理、次微分理论和对偶理论.
凸集的概念可以追溯到公元前 3 世纪的古希腊时代. 当时, 阿基米德 (Archimedes) 已定义凸弧为所有连结其上的点的弦都在同一边的平面曲线. 但是系统研究凸集理论是以 19 世纪末、20 世纪初, 德国数学家闵科夫斯基 (Minkowski, H. ) 的工作为标志的. 闵科夫斯基对凸集的研究兴趣起源于他对“数的几何”问题 (例如, 一个平面集中至少有多少个坐标为整数的点) 的研究. 因此, 他提出了用来刻画一点到一个凸集距离——而今天称为闵科夫斯基函数的概念, 它尤其包括范数、半范数等凸函数作为特例. 在他去世后的 1911 年发表的著作中,他对 \( {\mathrm{R}}^{3} \) 中的闭凸集证明了凸集支撑定理. 以后, 卡拉西奥多里 (Carathéodory, C. ) 等又进一步对凸集理论深入研究,尤其是在 1911 年提出 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的凸集可用 \( n + 1 \) 个点来表示的卡拉西奥多里定理.
凸函数概念的系统应用可从柯西 (Cauchy, A. -L. ) 算起. 今天, 人们熟知的柯西不等式、几何平均不大于算术平均等, 都起源于柯西利用函数的凸性来证明不等式的研究. 系统的凸性不等式研究是延森 (Jensen, J. L. W. V. ) 的工作, 他在 1906 年发表了这方面的专著. 用作凸函数定义的不等式, 通常称为延森不等式.
对早期的凸性理论做出重要贡献的还有黑利 (Helly, E.). 他在 1917 年证明而在 1923 年发表的黑利定理指出,如果 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的紧凸集族的任何 \( n + 1 \) 个集有非空交, 那么整个族也有非空交. 他甚至还在 1921 年, 比哈恩 (Hahn, H. ) 和巴拿赫 (Banach, S. ) 更早地证明了哈恩-巴拿赫定理; 这一涉及凸函数的线性泛函的延拓定理是与凸集支撑定理或凸集分离定理等价的.
20 世纪 50 年代, 既由于数学规划、对策论、数理经济学、最优控制等应用数学学科发展的需要, 也由于泛函分析、变分学、位势论等基础数学学科发展的需要, 凸性的研究变得越来越重要. 1951 年, 芬切尔 (Fenchel, W. ) 在美国普林斯顿大学印发了讲义 《凸锥、凸集和凸函数》, 对凸集、凸锥和凸函数理论做了系统总结和发展. 特别是把变分学中经典的勒让德变换的概念推广成为今天称为勒让德-芬切尔变换或共轭函数的概念, 提出上图、指示函数等运用方便的新概念. 这些目前在凸分析中都成了基本概念. 以后, 克利 (Klee, V. L. ) 又在一系列论文中对凸集理论做了深入的剖析. 绍凯 (Choquet, G. ) 则发展了 1940 年提出的克莱因-米尔曼定理 (紧凸集是其端点集的闭凸包), 而建立了今天的所谓紧凸集和凸锥的绍凯积分表示理论. 1911 年提出的布劳威尔不动点定理, 也在这一时期被发展成为紧凸集中的连续映射的各种不动点定理. 其中的代表是角谷静夫 1941 年提出的紧凸集中的闭集值映射的不动点定理和樊堆(Ky Fan) 从 1952 年起提出的一系列极小极大不等式.
凸分析真正被认为是相对独立的数学分支, 则是由于莫罗 (Moreau, J. J. ) 和洛卡费勒 (Rockafel-lar, R. T. ) 的工作. 1967 年莫罗的讲义《凸泛函》和 1969 年洛卡费勒的专著《凸分析》被认为是凸分析的奠基著作. 尤其是其中关于凸函数的次微分理论和对偶理论是使凸分析真正成为分析学科的一部分的标志. 莫罗的讲义是在一般的局部凸拓扑线性空间的框架中叙述的, 而洛卡费勒则更强调数学规划理论中的应用, 把凸分析局限在有限维空间中. 以后又陆续出版了艾克兰德 (Ekeland, I. ) 和特曼 (Teman, R. ) 的《凸分析和变分问题》 (1974) 等旨在针对变分学、最优控制等应用的巴拿赫空间上的凸分析著作.
20 世纪 70 年代以后, 凸分析又进一步发展为非凸分析、非光滑分析、集值分析等. 许多凸分析的基本定理被推广到非凸集和非凸函数情形. 其中最引人注目的是洛卡费勒的学生克拉克(Clarke, F. H. ) 于 1975 年提出的关于局部李普希茨函数的广义梯度理论. 1994 年起, 国际上出版了第一本《凸分析杂志》. 按照该杂志的发刊词所说, 广义的凸分析理论, 应包括凸分析的各种推广, 尤其是包括非光滑分析、集值分析等.
非凸分析 (nonconvex analysis) 试图把凸分析的基本理论和方法推广到非凸集和非凸函数情形的数学分支. 这个名称目前已不常用, 而代之为非光滑分析、集值分析等 (参见 “凸分析”).
非光滑分析 (nonsmooth analysis) 凸分析的发展. 凸分析的次微分理论使得人们能够对非光滑凸函数推广微分法来处理极值问题. 非光滑分析就致力于更一般的广义微分法, 来处理非光滑函数的极值问题. 这方面目前最成功的是克拉克(Clarke, F. H. ) 对局部李普希茨函数提出的广义梯度理论. 他在 1983 年出版的《最优化和非光滑分析》一书已成为这方面的经典著作 (参见 “凸分析”).
集值分析 (set-valued analysis) 以集值映射为研究对象的数学分析. 点对应集合的集值映射是很早就出现的数学概念. 但长期来虽有少量研究, 却常被人认为不很重要. 20 世纪 50 年代以后, 由于数理经济学、数学规划理论等的发展, 使集值映射概念在其中起本质作用. 例如, 需求映射、供给映射等作为价格的函数都不是单值的; 数学规划问题解的稳定性问题, 也涉及解集合 (一般的数学规划问题的解没有惟一性)作为参数的集值映射的连续性. 凸分析中出现的导数概念的推广——次微分映射也不是单值映射, 而是集值映射. 这样, 就逐渐形成集值分析这个新的分支. 1990 年, 奥邦 (Aubin, J. P. ) 和弗朗科斯卡 (Frankowska, H. ) 出版了《集值分析》一书, 初步总结了集值分析的已有成果. 1994 年, 国际上出版了《集值分析杂志》(参见“凸分析”).
## 凸 集
凸集 (convex set) 实线性空间中的一类子集. 设 \( X \) 为实线性空间, \( K \subset X \) . 如果对于任何 \( {x}_{1},{x}_{2} \) \( \in K \) 和任何 \( \lambda \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) ,有
\[
\left( {1 - \lambda }\right) {x}_{1} + \lambda {x}_{2} \in K,
\]
那么 \( K \) 称为 \( X \) 中的凸集. 其几何意义是 \( K \) 中的任何两点的连结线段都在 \( K \) 中 (参见本卷《泛函分析》 同名条).
任意多个凸集 \( {K}_{i}\left( {i \in I}\right) \) 的交集 \( \mathop{\bigcap }\limits_{{i \in I}}{K}_{i} \) 仍然是凸集. 有限多个凸集 \( {K}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \) 的线性组合
\[
{\lambda }_{1}{K}_{1} + {\lambda }_{2}{K}_{2} + \cdots + {\lambda }_{n}{K}_{n}
\]
\[
= \left\{ {x \in X \mid x = {\lambda }_{1}{x}_{1} + {\lambda }_{2}{x}_{2} + \cdots + {\lambda }_{n}{x}_{n},}\right.
\]
\[
\left. {{x}_{i} \in {K}_{i}, i = 1,2,\cdots, n}\right\}
\]
也是凸集. 如果 \( X = {\mathrm{R}}^{n} \) 或是更一般的巴拿赫空间、 拓扑线性空间,那么凸集 \( K \) 的内部和闭包也是凸集. 在局部凸空间中, 每一闭凸集一定是一族闭半空间的交.
线段 (line segment) 实线性空间中的概念. 设 \( {x}_{1},{x}_{2} \) 为实线性空间 \( X \) 中的两点. 集合
\[
\left\lbrack {{x}_{1},{x}_{2}}\right\rbrack = \left\{ {x \in X \mid x = \left( {1 - \lambda }\right) {x}_{1} + \lambda {x}_{2},\lambda \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack }\right\}
\]
称为连结 \( {x}_{1},{x}_{2} \) 两点的 (闭) 线段. 把 \( \lambda \) 所属区间 \( \lbrack 0 \) , 1]换为开区间 \( \left( {0,1}\right) \) 、半开半闭区间 \( (0,1\rbrack \) 等,类似地也可定义开线段、半开半闭线段等. 这些都是通常解析几何中的概念的一般化. 如果把 \( \lambda \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 换为 \( \lambda \) \( \in \left( {-\infty , + \infty }\right) \) ,那么对应的集合称为连结 \( {x}_{1},{x}_{2} \) 两点的直线. 如果把 \( \lambda \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 换为 \( \lambda \in \lbrack 0, + \infty ) \) ,那么对应的集合称为连结 \( {x}_{1},{x}_{2} \) 两点、以 \( {x}_{1} \) 为起点的射线.
直线 (straight line) 见“线段”.
射线 (ray, halfline) 见 “线段”.
凸包 (convex hull) 由实线性空间中的集合所生成的凸集. 设 \( S \) 为实线性空间 \( X \) 中的集合. 那么包含 \( S \) 的最小凸集称为 \( S \) 的凸包. 它是所有包含 \( S \) 的凸集的全体的交集,也是 \( S \) 中的元素的凸组合的全体. \( S \) 的凸包通常记为 \( \operatorname{co}S \) (参见本卷《泛函分析》 同名条).
仿射集 (affine set) 亦称仿射流形、线性流形、 仿射簇. 实线性空间中的一类子集. 设 \( X \) 是实线性空间, \( A \subset X \) . 若对于任何 \( {x}_{1},{x}_{2} \in A \) 和任何 \( \lambda \in \mathrm{R} \) ,有 \( \left( {1 - \lambda }\right) {x}_{1} + \lambda {x}_{2} \in A \) ,即连结 \( A \) 中任何两点的直线仍在 \( A \) 中,则 \( A \) 称为 \( X \) 中的仿射集.
仿射集一定是 \( X \) 的线性子空间的平移,即 \( A \) 是 \( X \) 的仿射集的充分必要条件是存在 \( X \) 的线性子空间 \( {X}_{1} \) 和 \( a \in X \) ,使得
\[
A = {X}_{1} + a = \left\{ {x \in X \mid x = a + {x}_{1},{x}_{1} \in {X}_{1}}\right\} .
\]
\( {X}_{1} \) 的维数也就称为 \( A \) 的维数. 还可指出
\[
{X}_{1} = A - a = \left\{ {x \in X \mid x = {x}_{1} - {x}_{2},{x}_{1},{x}_{2} \in A}\right\} .
\]
仿射包 (affine hull) 由实线性空间中的集合所生成的仿射集. 设 \( A \) 为实线性空间 \( X \) 中的集合. 那么包含 \( A \) 的最小仿射集称为 \( A \) 的仿射包. 它是所有包含 \( A \) 的仿射集的全体的交集,也是 \( A \) 中的元素的不断用直线连结后的元素全体. \( A \) 的仿射包通常记为 \( \operatorname{aff}A \) . 可以指出, \( \operatorname{aff}A \) 中的每一元素 \( x \) 都可表示为
\[
x = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}{\lambda }_{i}{x}_{i}
\]
其中
\( {x}_{i} \in A,{\lambda }_{i} \in \mathrm{R}\left( {i = 1,2,\cdots, k}\right) ,\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}{\lambda }_{i} = 1. \)
aff \( A \) 的维数常称为 \( A \) 的维数.
凸组合 (convex combination) 一类特殊的线性组合. 设 \( X \) 为实线性空间. \( {x}_{0},{x}_{1},\cdots ,{x}_{n} \in X,{\lambda }_{0} \) , \( {\lambda }_{1},\cdots ,{\lambda }_{n} \geq 0,{\lambda }_{0} + {\lambda }_{1} + \cdots + {\lambda }_{n} = 1 \) . 那么 \( {\lambda }_{0}{x}_{0} + {\lambda }_{1}{x}_{1} + \) \( \cdots + {\lambda }_{n}{x}_{n} \) 就称为 \( {x}_{0},{x}_{1},\cdots ,{x}_{n} \) 的凸组合. 这些点的凸组合全体形成以这些点 (不一定全部) 为顶点的凸多面体. 如果 \( {x}_{1} - {x}_{0},\cdots ,{x}_{n} - {x}_{0} \) 线性无关,即它们不在同一个 \( n - 1 \) 维仿射集中,那么它们的凸组合全体称为以这些点为顶点的 \( n \) 维单纯形.
凸多面体 (conve |
2000_数学辞海（第3卷） | 195 | \) 为实线性空间 \( X \) 中的集合. 那么包含 \( A \) 的最小仿射集称为 \( A \) 的仿射包. 它是所有包含 \( A \) 的仿射集的全体的交集,也是 \( A \) 中的元素的不断用直线连结后的元素全体. \( A \) 的仿射包通常记为 \( \operatorname{aff}A \) . 可以指出, \( \operatorname{aff}A \) 中的每一元素 \( x \) 都可表示为
\[
x = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}{\lambda }_{i}{x}_{i}
\]
其中
\( {x}_{i} \in A,{\lambda }_{i} \in \mathrm{R}\left( {i = 1,2,\cdots, k}\right) ,\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}{\lambda }_{i} = 1. \)
aff \( A \) 的维数常称为 \( A \) 的维数.
凸组合 (convex combination) 一类特殊的线性组合. 设 \( X \) 为实线性空间. \( {x}_{0},{x}_{1},\cdots ,{x}_{n} \in X,{\lambda }_{0} \) , \( {\lambda }_{1},\cdots ,{\lambda }_{n} \geq 0,{\lambda }_{0} + {\lambda }_{1} + \cdots + {\lambda }_{n} = 1 \) . 那么 \( {\lambda }_{0}{x}_{0} + {\lambda }_{1}{x}_{1} + \) \( \cdots + {\lambda }_{n}{x}_{n} \) 就称为 \( {x}_{0},{x}_{1},\cdots ,{x}_{n} \) 的凸组合. 这些点的凸组合全体形成以这些点 (不一定全部) 为顶点的凸多面体. 如果 \( {x}_{1} - {x}_{0},\cdots ,{x}_{n} - {x}_{0} \) 线性无关,即它们不在同一个 \( n - 1 \) 维仿射集中,那么它们的凸组合全体称为以这些点为顶点的 \( n \) 维单纯形.
凸多面体 (convex polyhedron) 一类常见而又重要的多面体. 它是有限点集的凸包. 由定义, 凸多面体的维数 (参见 “仿射包”) 总是有限维的. 凸多面体有有限个面, 他们都是较低维数的凸多面体. 凸多面体的棱是指它的一维面, 顶点则指零维面. 在三维欧氏空间中有五类正凸多面体: 正四面体、正方体、 正八面体、正十二面体与正二十面体. 关于三维凸多面体的著名定理有欧拉定理,它表明顶点数 \( v \) ,棱数 \( e \) 和面数 \( f \) 之间的关系: \( v - e + f = 2 \) . 对于一般的 \( n \) 维凸多面体 \( P \) ,设 \( 0 \leq k \leq n - 1 \) ,并令 \( {f}_{k}\left( P\right) \) 为 \( P \) 的 \( k \) 维面的个数, 那么有一般的欧拉关系式:
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}{\left( -1\right) }^{k}{f}_{k}\left( P\right) = 1 + {\left( -1\right) }^{n - 1}.
\]
凸多胞体 (convex polycope) 即“凸多面体”.
单纯形 (simplex) 线段、三角形、四面体的一般化. \( n \) 维单纯形定义为不在同一个 \( n - 1 \) 维仿射集上的 \( n + 1 \) 个点的凸包. 单纯形也是组合拓扑学、代数拓扑学的基本概念. 利用绍凯积分表示理论, 也可定义无限维的单纯形, 它是每一点都有惟一积分表示的局部凸空间中的紧凸集.
代数内部 (algebraic interior) 亦称核心. 实线性空间中的集合的代数意义下的内部. 设 \( A \) 为实线性空间 \( X \) 中的集合. \( A \) 的代数内部是指这样的点 \( a \) \( \in A \) 的全体: 对于任何 \( h \in X \) ,总存在 \( \varepsilon > 0 \) ,使得当 \( \lambda \) \( \in \left\lbrack {0,\varepsilon }\right\rbrack \) 时, \( a + {\lambda h} \in A.A \) 的代数内部或核心常记为 \( \operatorname{cor}\left( A\right) \) . 代数内部的概念在叙述凸集分离定理时起着重要作用. 如果 \( A = \operatorname{cor}\left( A\right) \) ,那么 \( A \) 称为代数开集. 以代数开集作为开集来定义 \( X \) 的拓扑,使 \( X \) 成为拓扑空间,但是这种拓扑在 \( X \) 的维数大于 1 时与 \( X \) 的线性结构不协调. 对于拓扑线性空间中的凸集, 其代数内部与拓扑内部一致.
核心 (core) 即 “代数内部”.
代数开集 (algebraic open set) 见 “代数内部”.
代数闭包 (algebraic closure) 实线性空间中的集合的代数意义下的闭包. 设 \( A \) 为实线性空间 \( X \) 中的集合. \( A \) 的代数闭包是指这样的点 \( b \in X \) 的全体: 存在 \( h \in X \) ,对于任何 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \lambda \in \left\lbrack {0,\varepsilon }\right\rbrack \) ,使得 \( b + {\lambda h} \in A.A \) 的代数闭包常记为 \( \operatorname{acl}\left( A\right) \) . 如果 \( A \) \( = \operatorname{acl}\left( A\right) \) ,那么 \( A \) 称为代数闭集. 它也是 \( X \) 在以代数开集为开集的拓扑意义下的闭集, 即代数闭集的余集必定是代数开集; 反之亦然. 代数闭包的概念在叙述凸集分离定理时也起重要作用.
有的文献定义代数闭包时,要求对于任何 \( \lambda \) \( \in \left( {0,\varepsilon }\right) \) 都有 \( b + {\lambda h} \in A \) . 这时代数闭集就不再是代数开集的余集. 但当 \( A \) 是多于一点的凸集时,由这两种定义得到的代数闭包是相同的.
代数闭集 (algebraic closed set) 见 “代数闭包”.
代数边界 (algebraic boundary) 实线性空间中的集合的代数意义下的边界. 它是集合的代数闭包去掉其代数内部后所形成的集合. 也就是说, 它是当实线性空间 \( X \) 以代数开集为开集时的拓扑意义下的边界.
相对代数内部 (relative algebraic interior) 亦称内在核心. 实线性空间中集合在相对意义下的代数内部. 设 \( A \) 为实线性空间 \( X \) 中的集合, \( A \) 相对其仿射包的代数内部称为 \( A \) 的相对代数内部,记为 \( \operatorname{icr}\left( A\right) \) . 因为集合的仿射包是原空间的线性子空间的平移, 经平移后, 原来的集合就可看做线性子空间的集合, 从而可谈及其代数内部. 代数内部为空的集合其相对代数内部可以非空. 例如, 平面上的直线其代数内部是空的, 但其相对代数内部非空. 相对代数内部的概念在凸集分离定理的叙述中也起重要作用. 任何有限维空间中的凸集的相对代数内部总是非空的. 而无限维空间中总存在相对代数内部为空的非空凸集.
内在核心 (intrinsic core) 即 “相对代数内部”.
相对内部 (relative interior) 拓扑线性空间中的集合在相对意义下的内部. 设 \( A \) 是拓扑线性空间 \( X \) 的子集, \( A \) 相对其闭仿射包的内部称为 \( A \) 的相对内部. 这个概念在拓扑线性空间理论中不太用, 但是在凸集分离定理的叙述中, 它起重要作用.
超平面 (hyperplane) 一类重要的仿射集. 设 \( X \) 是实线性空间. \( {X}^{\prime } \) 是 \( X \) 的代数对偶,即 \( X \) 上的线性函数全体. \( {a}^{\prime } \in {X}^{\prime } \) 且非零, \( \alpha \in \mathrm{R} \) . 那么集合
\[
H = \left\{ {x \in X \mid \left\langle {{a}^{\prime }, x}\right\rangle = \alpha }\right\}
\]
称为 \( X \) 中的超平面,这里 \( \left\langle {{a}^{\prime }, x}\right\rangle \) 为 \( {a}^{\prime } \) 在 \( x \) 上的取值. \( {a}^{\prime } \) 有时称为 \( H \) 的法向量. 它们都是初等解析几何中类似概念的推广. 超平面 \( H \) 把空间 \( X \) 分为两个半空间:
\[
{H}_{ - }^{o} = \left\{ {x \in X \mid \left\langle {{a}^{\prime }, x}\right\rangle < \alpha }\right\} ,
\]
\[
{H}_{ + }^{o} = \left\{ {x \in X \mid \left\langle {{a}^{\prime }, x}\right\rangle > \alpha }\right\}
\]
为由 \( H \) 确定的两个代数开半空间;
\[
{H}_{ - }^{c} = \left\{ {x \in X \mid \left\langle {{a}^{\prime }, x}\right\rangle \leq \alpha }\right\} ,
\]
\[
{H}_{ + }^{c} = \left\{ {x \in X \mid \left\langle {{a}^{\prime }, x}\right\rangle \geq \alpha }\right\}
\]
为由 \( H \) 确定的两个代数闭半空间; 如果 \( X = {\mathrm{R}}^{n} \) ,那么 \( H \) 是 \( n - 1 \) 维仿射集. 如果 \( X \) 是拓扑线性空间, 那么 \( H \) 或者是闭的,或者在 \( X \) 中稠密,并且 \( H \) 闭当且仅当 \( {a}^{\prime } \) 连续. 一个拓扑线性空间 \( X \) 中不一定有闭超平面,尤其是不一定有包含给定的 \( X \) 的仿射集的超平面. 但是局部凸空间有所述性质.
半空间 (half space) 见 “超平面”.
支撑超平面 (supporting hyperplane) 过集合的一点并使整个集合在其一侧的超平面. 这个概念是闵科夫斯基 (Minkowski, H. ) 首先提出的. 设 \( A \) 是实线性空间 \( X \) 的集合, \( a \in A \) . 如果超平面
\[
H = \left\{ {x \in X \mid \left\langle {{a}^{\prime }, x}\right\rangle = \alpha }\right\}
\]
对于任何 \( y \in A \) 满足 \( \left\langle {{a}^{\prime }, y}\right\rangle \geq \left\langle {{a}^{\prime }, a}\right\rangle = \alpha \) ,那么 \( H \) 称为 \( A \) 的支撑超平面. \( a \) 也称为 \( H \) 的支撑点. 相对代数内部非空的凸集的代数边界点都可成为支撑该凸集的超平面的支撑点.
在 \( X \) 是拓扑线性空间时,通常要求支撑超平面是闭的. 这时, 内部非空的凸集的边界点都可成为支撑该凸集的闭超平面的支撑点. 对于巴拿赫空间的闭凸集 \( A \) ,毕晓普-费尔泼斯定理断言: \( A \) 的支撑点在 \( A \) 的边界中稠密.
毕晓普-费尔泼斯定理 (Bishop-Phelps theorem) 见“支撑超平面”.
超平面的支撑点 (supporting point of hyperplane) 见“支撑超平面”.
凸集分离定理 (separation theorem of convex sets) 凸集理论的最基本的定理. 它是指在很弱的条件下, 两个不相交的凸集总可用超平面分离. 设 \( A, B \) 为实线性空间 \( X \) 中的两个非空子集.
\[
H = \left\{ {x \in X \mid \left\langle {{a}^{\prime }, x}\right\rangle = \alpha }\right\}
\]
为 \( X \) 中的一个超平面. 如果对于任何 \( x \in A \) 和 \( y \in \) \( B \) ,有
\[
\left\langle {{a}^{\prime }, x}\right\rangle \leq \alpha \leq \left\langle {{a}^{\prime }, y}\right\rangle ,
\]
那么称超平面 \( H \) 分离 \( A \) 和 \( B \) ; 如果不等号中有一个是严格的,那么称 \( H \) 严格分离 \( A \) 和 \( B \) ; 如果存在 \( \varepsilon \) \( > 0 \) ,使得任何 \( x \in A \) 和 \( y \in B \) 满足
\[
\left\langle {{a}^{\prime }, x}\right\rangle \leq \left\langle {{a}^{\prime }, y}\right\rangle - \varepsilon ,
\]
那么称 \( H \) 强分离 \( A \) 和 \( B \) . 基本的凸集分离定理如下: 如果 \( A - B \) 凸,其相对代数内部 \( \operatorname{icr}\left( {A - B}\right) \) 非空,且不包含原点,那么 \( A \) 和 \( B \) 可用超平面分离; 如果同时还有其代数闭包 \( \operatorname{acl}\left( {A - B}\right) \) 不包含原点,那么 \( A \) 和 \( B \) 可用超平面强分离. 注意到有限维空间中的凸集的相对内部总非空,由此可得, \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的两个不相交的凸集总可用超平面分离.
在拓扑线性空间 \( X \) 中讨论凸集分离定理,常要求所用的超平面是闭的. 这时基本的凸集分离定理为: 如果 \( A - B \) 凸,其内部 \( \operatorname{Int}\left( {A - B}\right) \) 非空,且不包含原点,那么 \( A \) 和 \( B \) 可用闭超平面分离; 如果同时还有 \( A - B \) 的闭包 \( \operatorname{cl}\left( {A - B}\right) \) 不包含原点,那么 \( A \) 和 \( B \) 可用闭超平面强分离. 因为一般的拓扑线性空间中可能根本不存在闭超平面, 所以有内部非空的凸集的存在也是闭超平面存在的充分必要条件, 其中必要性由超平面形成的开半空间是内部非空的凸集而得. 当 \( X \) 是局部凸空间 (包括巴拿赫空间),即它具有零的凸邻域基时, 上述内部可改为相对内部, 且在后半部分可不要求 \( A - B \) 的内部或相对内部非空. 一种常用的形式如下: 设 \( A \) 是局部凸空间 \( X \) 中的闭凸集, \( B \) 是 \( X \) 中的紧凸集. 如果 \( A \) 和 \( B \) 不相交, 那么它们可用闭超平面强分离.
凸集分离定理有很多等价定理, 其中最著名的是哈恩-巴拿赫定理. 它是凸分析的基础, 也在基础数学与应用数学的许多领域中起着重要作用. 这一定理有很直观的形象: 平面上的两个不相交的凸集可用直线把它们分离, 但是其一般情形的证明必须用选择公理或其等价定理 (佐恩引理、超限归纳法等). 定理的雏形是 20 世纪初由闵科夫斯基 (Minkowski, H. ) 提出的 (参见本卷《泛函分析》中的相关条目).
凸集支撑定理 (support theorem of convex sets) 凸集分离定理的一种表达形式. 即相对代数内部非空的凸集的每一代数边界点上都存在支撑该凸集的超平面 (参见“支撑超平面”).
锥 (cone) 一类实线性空间中的集合. 实线性空间中以原点为起点的射线所构成的集合称为锥. 设 \( C \) 为实线性空间 \( X \) 中的一个集合. 那么 \( C \) 是锥当且仅当对于任何 \( x \in C \) 和 \( \lambda \geq 0 \) (有的文献中要求 \( \lambda > \) \( 0) \) ,有 \( {\lambda x} \in C \) .
集合生成的锥 (cone generated by a set) 实线性空间中,由某个集合生成的锥. 设 \( A \) 为实线性空间 \( X \) 中的一个集合, \( A \) 中所有的点与原点相连所得的射线形成的集合称为由 \( A \) 生成的锥. 设 \( A \) 为实线性空间 \( X \) 中的一个集合. 那么 \( A \) 所生成的锥即 \( \mathop{\bigcup }\limits_{{\lambda \geq 0}}{\lambda A} \) (有的文献中要求 \( \lambda > 0 \) ).
凸锥 (convex cone) 一类特殊的凸集. 实线性空间中既是凸集又是锥的集合称为凸锥. 凸锥. 凸锥 \( C \) 满足 \( C + C \subset C \) . 对于 \( X \) 中的任何子集 \( A \) ,由它生成的凸锥是其元素的所有正线性组合的全体. 而当 \( A \) 是凸集时,由 \( A \) 生成的凸锥就是 \( \mathop{\bigcup }\limits_{{\lambda > 0}}{\lambda A} \) . 如果凸锥 \( C \) 满足 \( C \cap \left( {-C}\right) = \{ 0\} \) ,那么经常用它来定义实线性空间中的半序关系. 对于 \( x, y \in X \) ,定义 \( x \geq y \) 为 \( y \in x + C \) . 则 \( \geq \) 满足:
1. \( x \geq x \) .
2. \( x \geq y, y \geq x \Rightarrow x = y \) .
\[
\text{3.}x \geq y, y \geq z \Rightarrow x \geq z\text{.}
\]
集合生成的凸锥 (convex cone generated by a set) 实线性空间中的集合的凸包所生成的锥. 设 \( A \) 为实线性空间 \( X \) 中的一个集合. 那么 \( A \) 所生成的凸锥即其元素的正 (有的文献中只要求非负) 线性组合全体. 它也是包含 \( A \) 的凸锥全体的交集.
端点 (extreme point) 凸集中的特殊点, 它使该凸集去掉它后仍是凸集. 设 \( A \) 为实线性空间 \( X \) 中的凸集. \( a \in A \) 是 \( A \) 的端点的充分必要条件: 如果存在 \( {x}_{1},{x}_{2} \in A \) ,使得 \( a = \left( {{x}_{1} + {x}_{2}}\right) /2 \) ,那么 \( {x}_{1} = {x}_{2} = a \) . 局部凸空间中的紧凸集一定是其端点集的闭凸包 (克列因-米尔曼定理). 当空间是有限维时, 上述结果中闭凸包可改为凸包 (闵科夫斯基定理). 这一结果也就是说, 紧凸集中的每一点都可用关于端点的凸组合来表示. “无限”凸组合可用关于概率测度的积分来表示. 由此就引起绍凯积分表示定理: 局部凸空间中的紧凸集中的每一点都可通过在端点集上定
## 义一概率测度, 使得该点有积分表示.
端点概念可以推广为一般的端子集. 例如, 对于凸锥可定义端射线为该凸锥去掉它后仍是凸锥. 绍凯积分表示定理可推广到凸锥情形. 这时绍凯积分表示理论就与函数类的积分表示理论紧密联系起来.
端点在线性规划理论中也起重要作用. 每一线性规划的解一定在它的可行集的端点上达到. 因此, 只需比较目标函数在端点上的值就可求得规划的解. 这正是单纯形方法的基本思想 (参见本卷《泛函分析》中的“端点定理”).
## 克列因-米尔曼定理 (Krein-Milman theorem) 见“端点”.
端子集 (extremal subset) 凸集的特殊凸子集. 如果凸集中的开线段与它相交, 那么相应的闭线段就完全落在该子集中. 如果该凸集是凸多面体, 那么端子集也称为凸多面体的面. 端子集有这样的性质: 在原凸集中去掉该端子集后, 其余集仍然是凸集. 有上述性质的凸子集 (即原凸集去掉它后仍凸) 称为半端子集. 半端子集可以不是端子集. 例如, 闭三角形去掉半条闭边仍是凸集. 从而半条闭边是半端子集, 但它不是端子集. 然而, 半端点与端点是一致的. 对于凸锥来说, 半端射线与端射线也是一致的.
## 半端子集 (semi extremal subset) 见 “端子集”.
暴露点 (exposed point) 凸集的特殊端点. 凸集在该点有只与它交在该点的支撑超平面. 类似地也可定义暴露集、暴露直线、暴露射线等. 暴露点一定是端点. 在凸多面体情形, 端点也一定是暴露点. 但一般情况下反之不然. 例如, 把一个半圆与一个以半圆直径为边的正方形相连形成一个凸集, 那么半圆的直径端点是端点, 但不是暴露点. 对于局部凸空间中的紧凸集, 暴露点集在端点集中稠密, 从而紧凸集也是它的暴露点集的闭凸包 (斯特拉斯维茨定理).
暴露点的概念在巴拿赫空间几何中具有重要作用.
## 斯特拉斯维茨定理 (Straszewicz theorem) 见 “暴露点”.
极集 (polar set) 实线性空间中的集合按一定意义在对偶空间中的对应集合. 设 \( X \) 为一实巴拿赫空间, \( {X}^{ * } \) 为其对偶空间. 集合 \( A \subset X \) 的极集是指
\[
{A}^{ \c |
2000_数学辞海（第3卷） | 196 | 每一点都可通过在端点集上定
## 义一概率测度, 使得该点有积分表示.
端点概念可以推广为一般的端子集. 例如, 对于凸锥可定义端射线为该凸锥去掉它后仍是凸锥. 绍凯积分表示定理可推广到凸锥情形. 这时绍凯积分表示理论就与函数类的积分表示理论紧密联系起来.
端点在线性规划理论中也起重要作用. 每一线性规划的解一定在它的可行集的端点上达到. 因此, 只需比较目标函数在端点上的值就可求得规划的解. 这正是单纯形方法的基本思想 (参见本卷《泛函分析》中的“端点定理”).
## 克列因-米尔曼定理 (Krein-Milman theorem) 见“端点”.
端子集 (extremal subset) 凸集的特殊凸子集. 如果凸集中的开线段与它相交, 那么相应的闭线段就完全落在该子集中. 如果该凸集是凸多面体, 那么端子集也称为凸多面体的面. 端子集有这样的性质: 在原凸集中去掉该端子集后, 其余集仍然是凸集. 有上述性质的凸子集 (即原凸集去掉它后仍凸) 称为半端子集. 半端子集可以不是端子集. 例如, 闭三角形去掉半条闭边仍是凸集. 从而半条闭边是半端子集, 但它不是端子集. 然而, 半端点与端点是一致的. 对于凸锥来说, 半端射线与端射线也是一致的.
## 半端子集 (semi extremal subset) 见 “端子集”.
暴露点 (exposed point) 凸集的特殊端点. 凸集在该点有只与它交在该点的支撑超平面. 类似地也可定义暴露集、暴露直线、暴露射线等. 暴露点一定是端点. 在凸多面体情形, 端点也一定是暴露点. 但一般情况下反之不然. 例如, 把一个半圆与一个以半圆直径为边的正方形相连形成一个凸集, 那么半圆的直径端点是端点, 但不是暴露点. 对于局部凸空间中的紧凸集, 暴露点集在端点集中稠密, 从而紧凸集也是它的暴露点集的闭凸包 (斯特拉斯维茨定理).
暴露点的概念在巴拿赫空间几何中具有重要作用.
## 斯特拉斯维茨定理 (Straszewicz theorem) 见 “暴露点”.
极集 (polar set) 实线性空间中的集合按一定意义在对偶空间中的对应集合. 设 \( X \) 为一实巴拿赫空间, \( {X}^{ * } \) 为其对偶空间. 集合 \( A \subset X \) 的极集是指
\[
{A}^{ \circ } = \left\{ {{x}^{ * } \in {X}^{ * }\mid \forall x \in A,\left\langle {{x}^{ * }, x}\right\rangle \leq 1}\right\} .
\]
类似地也可定义 \( {X}^{ * } \) 中的集合相对于 \( X \) 的极集. \( X \) 的闭单位球的极集就是 \( {X}^{ * } \) 的闭单位球. 一般情况下,如果 \( A \) 是以原点为内点的有界闭凸集,那么它的闵科夫斯基函数是:
\[
{p}_{A}\left( x\right) = \inf \{ \alpha > 0 \mid x \in {\alpha A}\} = \mathop{\sup }\limits_{{{x}^{ * } \in {A}^{ \circ }}}\left\langle {{x}^{ * }, x}\right\rangle .
\]
\( {A}^{ \circ } \) 的闵科夫斯基函数
\[
{p}_{{A}^{ \circ }}\left( {x}^{ * }\right) = \inf \left\{ {\alpha > 0 \mid {x}^{ * } \in \alpha {A}^{ \circ }}\right\} = \mathop{\sup }\limits_{{x \in A}}\left\langle {{x}^{ * }, x}\right\rangle .
\]
对于 \( X \) 的任何集合 \( A \) ,它的双极集 \( {A}^{▱▱} = {\left( {A}^{ \circ }\right) }^{ \circ } \) 是 \( A \) 与原点的并集的弱闭凸包 (巴拿赫双极定理).
极集的概念也可以对一般的对偶系 (即一对在其上定义了双线性函数的线性空间)来提出. 这时, 可通过极集来对对偶系的两个线性空间定义各种所谓极化拓扑 (参见本卷《泛函分析》中的相关条目).
对偶锥 (dual cone) 亦称极锥, 锥的极集. 如果 \( C \) 是 \( X \) 中的凸锥,那么它的对偶锥就是
\[
{C}^{ * } = \left\{ {{x}^{ * } \in {X}^{ * }\mid \forall x \in C,\left\langle {{x}^{ * }, x}\right\rangle \leq 0}\right\} .
\]
由于 \( C \) 是锥,即对于任何 \( \lambda > 0,{\lambda C} = C \) ,把上式中的 0 换为 1,将得到同样的 \( {C}^{ * } \) . 因此,对偶锥就是锥的极集. 有时对偶锥也称为负极锥. 相应地也可定义正极锥. 实线性空间的理论常可推广到凸锥的情形, 即通常的向量的线性组合概念可换为正线性组合概念. 这时, 对偶锥就起着对偶空间的作用.
极锥 (polar cone) 即 “对偶锥”.
回收方向 (direction of recession) 实线性空间的集合中的射线所定义的方向. 设 \( A \) 为实线性空间 \( X \) 的集合. 若 \( h \in X \) 且存在 \( x \in A \) ,使得对于任何 \( \lambda \geq \) 0,有 \( x + {\lambda h} \in A \) ,那么 \( h \) 称为 \( A \) 的回收方向.
回收锥 (recession cone) 一种有关实线性空间中集合的特殊的锥. 设 \( A \) 是实线性空间 \( X \) 中的集合, \( A \) 的所有回收方向组成的集合称为 \( A \) 的回收锥. 闭集的回收锥有时称为渐近锥. 当集合为凸集时,其回收锥为凸锥. 当集合为包含原点的闭凸集 \( A \) 时,其回收锥即 \( \mathop{\bigcap }\limits_{{\lambda \geq 0}}{\lambda A} \) . 有时也对任意集合 \( A \) ,称如上定义的集合为其回收锥.
巴拿赫空间的非空闭凸集有界的充分必要条件为其回收锥只包含原点. 因此, 经常利用回收锥来证明一个闭凸集的有界性.
渐近锥 (asymptotic cone) 见 “回收锥”.
闸锥 (barrier cone) 实线性空间的集合的极集所生成的锥. 设 \( A \) 为巴拿赫空间 \( X \) 的集合, \( {X}^{ * } \) 为 \( X \) 的对偶. 那么 \( A \) 的闸锥可表示为
\( P\left( {A}^{ * }\right) = \left\{ {{x}^{ * } \in {X}^{ * }\mid \forall x \in A,\left\langle {{x}^{ * }, x}\right\rangle < + \infty }\right\} . \) 因此,闸锥就是 \( A \) 的支撑函数的有效域. 当集合是包含原点的闭凸集时, 闸锥就是回收锥的对偶锥. 反之, 如果回收锥的内部非空, 那么它也是闸锥的对偶锥.
切锥 (tangent cone) 一种有关实线性空间中的集合的特殊的锥. 它定义为实线性空间的集合中的一点上的切方向的全体. 有限维空间中的光滑曲线、曲面以至更一般的光滑流形中的一点处的切方向的全体是可以通过微分法明确定义的. 但巴拿赫空间中的任意集合中的一点的切方向的全体则需要专门定义:
1. 当该集合是凸集时,切锥较容易定义: 设 \( K \) 是巴拿赫空间 \( X \) 中的凸集, \( x \in \operatorname{cl}K \) ,那么 \( K \) 在 \( x \) 的切锥可定义为
\[
{T}_{K}\left( x\right) = \operatorname{cl}\mathop{\bigcup }\limits_{{\lambda > 0}}\frac{K - x}{\lambda },
\]
其中 \( \mathrm{{cl}} \) 表示闭包; 当 \( x \) 在 \( K \) 的内部时, \( {T}_{K}\left( x\right) \) 为全空间 \( X \) ; 当 \( x \) 在 \( K \) 的边界上时, \( {T}_{K}\left( x\right) \) 不但包含与 \( K \) 的边界相切的方向,也包括所有指向 \( K \) 的内部的方向; 尤其是当 \( K \) 在 \( x \) 附近的边界光滑时, \( {T}_{K}\left( x\right) \) 是闭半空间.
2. 当 \( K \) 是任意集合时,切锥的定义很多,并且各有各的用处, 常用的有以下几种:
1) 相依锥. 这种锥是布里冈 (Bouligand, G. L. ) 在 20 世纪 30 年代为研究几何问题而提出的, 后来在非线性规划研究中又被重新提出, 目前在非线性规划的文献中所说的切锥通常就指这种锥, 其定义如下 (以下 \( {d}_{K}\left( y\right) \) 表示 \( y \) 到 \( K \) 的距离 \( \mathop{\inf }\limits_{{z \in K}}\parallel y - \) \( z\parallel \) ):
\[
{T}_{K}\left( x\right) = \left\{ {h \in X \mid \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow {0}^{ + }}}\inf \frac{{d}_{K}\left( {x + {th}}\right) }{t} = 0}\right\} .
\]
这是一个闭锥.
2) 邻接锥. 亦称中间锥、可导锥、杜勃维茨基- 米柳金锥、尤尔塞斯科锥. 其定义如下:
\[
{T}_{K}^{b}\left( x\right) = \left\{ {h \in X \mid \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow {0}^{ + }}}\frac{{d}_{K}\left( {x + {th}}\right) }{t} = 0}\right\} .
\]
3) 克拉克切锥. 亦称围邻锥. 它是克拉克 (Clarke, F. H. ) 在研究局部李普希茨函数的广义梯度理论时提出的. 其定义如下:
\[
{C}_{K}\left( x\right) = \left\{ {h \in X \mid \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow {0}^{ + },{x}^{\prime } \rightarrow {K}^{x}}}\frac{{d}_{K}\left( {{x}^{\prime } + {th}}\right) }{t} = 0}\right\} ,
\]
其中 \( { \rightarrow }_{K} \) 表示在 \( K \) 中的收敛性. 这是一个闭凸锥.
这几种锥依次一个比一个小. 但当 \( K \) 是凸集时, 它们都与原来定义的切锥重合.
这些切锥也可以用序列极限来定义如下:
\[
h \in {T}_{K}\left( x\right) \Leftrightarrow \exists {t}_{n} \rightarrow {0}^{ + },\exists {h}_{n} \rightarrow h,
\]
\[
\forall n, x + {t}_{n}{h}_{n} \in K;
\]
\[
h \in {T}_{K}^{b}\left( x\right) \Leftrightarrow \forall {t}_{n} \rightarrow {0}^{ + },\exists {h}_{n} \rightarrow h,
\]
\[
\forall n, x + {t}_{n}{h}_{n} \in K
\]
\[
h \in {C}_{K}\left( x\right) \Leftrightarrow \forall {x}_{n}{ \rightarrow }_{K}x,\forall {t}_{n} \rightarrow {0}^{ + },
\]
\[
\exists {h}_{n} \rightarrow h,\forall n,{x}_{n} + {t}_{n}{h}_{n} \in K,
\]
其中 \( \forall n \) 都理解为对于充分大的 \( n \) . 这样,引进记号 \( {T}_{QRS}\left( {K, x}\right) \) 来表示满足
\[
Q\left( {{x}_{n}{ \rightarrow }_{K}x}\right), R\left( {{t}_{n} \rightarrow {0}^{ + }}\right), S\left( {{h}_{n} \rightarrow h,}\right)
\]
\[
\forall n,{x}_{n} + {t}_{n}{h}_{n} \in K
\]
的 \( h \) 全体,其中 \( Q, S \in \{ \forall ,\exists , \cdot \} , \cdot \) 表示 \( {x}_{n} \equiv x, R \) \( \in \{ \forall ,\exists \} \) ,那么有
\[
{T}_{K}\left( x\right) = {T}_{\cdot \exists \exists }\left( {K, x}\right) ,{T}_{K}^{b}\left( x\right) = {T}_{\cdot \forall \exists }\left( {K, x}\right) ,
\]
\[
{C}_{K}\left( x\right) = {T}_{\forall \forall \exists }\left( {K, x}\right) .
\]
对 \( Q, R, S \) 取各种不同的值及不同的次序,由此可定义出几十种切锥. 其中最大的是 \( {T}_{333}\left( {K, x}\right) \) ,它称为共依锥, 也是布里冈在 30 年代引进的; 最小的是 \( {T}_{\forall \forall \forall }\left( {K, x}\right) \) ,它称为超切锥,这是个开凸锥,当它非空时,恰好是 \( {C}_{K}\left( x\right) \) 的内部; \( T \cdot {yy}\left( {K, x}\right) \) 有时也有应用, 它称为内部锥, 也称杜勃维茨基-米柳金锥.
正如在经典分析中, 导数概念和切方向的概念是紧密联系在一起的, 在非光滑分析中, 各种广义导数概念就可通过各种切锥来定义. 此外, 还有若干种切锥的概念不能包括在上述一般定义中.
相依锥 (contingent cone) 见 “切锥”.
邻接锥 (adjacent cone) 见 “切锥”.
中间锥 (intermediate cone) 即 “邻接锥”.
可导锥 (derivable cone) 即 “邻接锥”.
杜勃维茨基-米柳金锥 (Dubovitskij-Miljutin cone) 见“切锥”.
尤尔塞斯科锥 (Uresescu cone) 见“切锥”.
克拉克切锥 (Clarke tangent cone) 见 “切锥”.
回邻锥 (circatangent cone) 即 “克拉克切锥”.
共依锥 (paratingent cone) 见“切锥”.
超切锥 (hypertangent cone) 见 “切锥”.
法锥 (normal cone) 切锥的对偶锥. 在集合 \( K \) 是凸集时, \( K \) 在 \( x \in \operatorname{cl}K \) 处的法锥就是
\[
{N}_{K}\left( x\right) = {T}_{K}{\left( x\right) }^{ * }
\]
\[
= \left\{ {{x}^{ * } \in {X}^{ * }\mid \forall {x}^{\prime } \in K,\left\langle {{x}^{ * },{x}^{\prime } - x}\right\rangle \leq 0}\right\} ,
\]
特别当 \( K \) 是超平面时, \( {N}_{K}\left( x\right) \) 中只包含超平面惟一的法向量; 当 \( K \) 非凸时, \( K \) 在 \( x \in \operatorname{cl}K \) 处的法锥通常指克拉克锥的对偶锥. 法锥可表示为点 \( x \) 到 \( K \) 的距离函数 \( {d}_{K} \) 的广义梯度,即 \( {N}_{K}\left( x\right) = \partial {d}_{K}\left( x\right) \) .
卡拉西奥多里定理 (Carathéodory theorem) 有限维凸集的表示定理. 该定理断言, \( n \) 维空间中的凸集中的每一点都可用该集合的不超过 \( n + 1 \) 个点的凸组合来表示.
绍凯积分表示理论 (Choquet theory of integral representation) 基于凸集和凸锥理论的积分表示理论. 在紧凸集情形, 绍凯积分表示定理是克列因- 米尔曼定理的推广. 它断言, 对于局部凸空间中的紧凸集 \( K \) 中的任何 \( x \in K \) ,都存在 \( K \) 的端点集 \( \operatorname{ext}K \) 上的概率测度 \( {\mu }_{x} \) ,使得对于任何 \( {x}^{ * } \in {X}^{ * } \) ,有
\[\left\langle {{x}^{ * }, x}\right\rangle = {\int }_{\operatorname{ext}K}\left\langle {{x}^{ * }, y}\right\rangle \mathrm{d}{\mu }_{x}\left( y\right) .\]
当 \( K \) 是有限维时,它恰好归结为紧凸集中的每一点都是其端点的凸组合 (闵科夫斯基定理). 这一定理可推广到凸锥情形. 该凸锥要求可用紧凸集生成, 或者说, 它的基是紧凸集. 于是这样的凸锥中的每一点都可用端射线锥的基上关于概率测度的积分来表示. 许多经典的积分表示定理可归结为这一定理的特例. 例如, 关于正定函数的积分表示的博赫纳定理就可用绍凯理论来证明.
黑利定理 (Helly theorem) 有关凸集族是否有非空交的判定定理. 设 \( {K}_{i}\left( {i \in I}\right) \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的一个紧凸集族. 黑利定理断言,如果其中每 \( n + 1 \) 个 \( {K}_{i} \) 有非空交, 那么整个族也有非空交. 这一定理在判定凸函数的不等式组是否有解时很有用.
闵科夫斯基定理 (Minkowski theorem) 有限维紧凸集 (尤其是凸多面体) 的表示定理. 它断言, \( n \) 维紧凸集中的每一点都可用不超过 \( n + 1 \) 个端点的凸组合来表示. 它是卡拉西奥多里定理对于紧凸集的精确化. 在有些文献中, 也把凸集分离定理称为闵科夫斯基定理.
## 凸函数
凸函数 (convex function) 一类定义在实线性空间上的函数. 通常凸函数是通过所谓凸性不等式来定义的. 设 \( f \) 是定义在实线性空间 \( X \) 的凸集 \( K \) 上的实值函数. 如果对于任何 \( {x}_{1},{x}_{2} \in K \) 和任何 \( \lambda \in \) \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) ,总有
\[
f\left( {\left( {1 - \lambda }\right) {x}_{1} + \lambda {x}_{2}}\right) \leq \left( {1 - \lambda }\right) f\left( {x}_{1}\right) + {\lambda f}\left( {x}_{2}\right) ,
\]
那么 \( f \) 就称为 \( K \) 上的凸函数. 在实轴上的凸函数概念最早由延森 (Jensen, J. L. W. V. ) 于 1906 年引
进. 单变量凸函数的几何意义为: 对于函数图象上的任何两点, 在该两点之间的图象都位于连结这两点的线段之下 (如上图).
如果上述不等式中当 \( {x}_{1} \neq {x}_{2} \) 时总有严格不等号成立,那么 \( f \) 就称为 \( K \) 上的严格凸函数. 如果 \( - f \) 是 \( K \) 上的凸函数,那么 \( f \) 就称为 \( K \) 上的凹函数. 类似地也可定义严格凹函数.
凸集 \( K \) 上的凸函数 \( f \) 的上图
\( \operatorname{epi}f = \{ \left( {x,\alpha }\right) \in X \times \mathrm{R} \mid x \in K, f\left( x\right) \leq \alpha \} \)
总是图象空间 \( X \times \mathrm{R} \) 中的凸集; 反之亦然. 因此,凸函数就可定义为上图是凸集的函数. 不仅如此, 这个定义还可用来定义取扩充实值的凸函数. 设 \( f \) 为定义在实线性空间 \( X \) 上、在 \( \mathrm{R} \cup \{ \pm \infty \} \) 中取值的函数. 那么 \( f \) 称为 \( X \) 上的凸函数是指其上图 epi \( f \) 为 \( X \times \mathrm{R} \) 中的凸集.
\[
\text{dom}f = \{ x \in X \mid f\left( x\right) < + \infty \}
\]
称为 \( f \) 的有效域. 在 \( X \) 中的凸集 \( K \) 上定义的凸函数就是有效域为 \( K \) 的凸函数. 有效域非空、且不取 \( - \infty \) 的凸函数称为正常凸函数.
有限个凸函数的正线性组合也是凸函数. 凸函数族 \( {\left\{ {f}_{\alpha }\right\} }_{\alpha \in A} \) 的上包络
\[
f\left( x\right) = \mathop{\sup }\li |
2000_数学辞海（第3卷） | 197 | d6b412d2_409_0.jpg](images/29495e47-3798-41fe-b109-2981d6b412d2_409_0.jpg)
进. 单变量凸函数的几何意义为: 对于函数图象上的任何两点, 在该两点之间的图象都位于连结这两点的线段之下 (如上图).
如果上述不等式中当 \( {x}_{1} \neq {x}_{2} \) 时总有严格不等号成立,那么 \( f \) 就称为 \( K \) 上的严格凸函数. 如果 \( - f \) 是 \( K \) 上的凸函数,那么 \( f \) 就称为 \( K \) 上的凹函数. 类似地也可定义严格凹函数.
凸集 \( K \) 上的凸函数 \( f \) 的上图
\( \operatorname{epi}f = \{ \left( {x,\alpha }\right) \in X \times \mathrm{R} \mid x \in K, f\left( x\right) \leq \alpha \} \)
总是图象空间 \( X \times \mathrm{R} \) 中的凸集; 反之亦然. 因此,凸函数就可定义为上图是凸集的函数. 不仅如此, 这个定义还可用来定义取扩充实值的凸函数. 设 \( f \) 为定义在实线性空间 \( X \) 上、在 \( \mathrm{R} \cup \{ \pm \infty \} \) 中取值的函数. 那么 \( f \) 称为 \( X \) 上的凸函数是指其上图 epi \( f \) 为 \( X \times \mathrm{R} \) 中的凸集.
\[
\text{dom}f = \{ x \in X \mid f\left( x\right) < + \infty \}
\]
称为 \( f \) 的有效域. 在 \( X \) 中的凸集 \( K \) 上定义的凸函数就是有效域为 \( K \) 的凸函数. 有效域非空、且不取 \( - \infty \) 的凸函数称为正常凸函数.
有限个凸函数的正线性组合也是凸函数. 凸函数族 \( {\left\{ {f}_{\alpha }\right\} }_{\alpha \in A} \) 的上包络
\[
f\left( x\right) = \mathop{\sup }\limits_{{\alpha \in A}}{f}_{\alpha }\left( x\right)
\]
也是凸函数. 如果 \( {f}_{1} \) 和 \( {f}_{2} \) 都是 \( X \) 上的凸函数,那么如下定义的下确界卷积
\[
f\left( x\right) = \mathop{\inf }\limits_{{x = {x}_{1} + {x}_{2}}}\left( {{f}_{1}\left( {x}_{1}\right) + {f}_{2}\left( {x}_{2}\right) }\right)
\]
也是凸函数.
定义在实直线中的开区间 \( \left( {a, b}\right) \) 上的凸函数 \( f \) 有许多很好的性质: 对于固定的 \( y \in \left( {a, b}\right) \) ,当 \( x \neq y \) 时,
\[
x\left| {\; \rightarrow \frac{f\left( y\right) - f\left( x\right) }{\left( y - x\right) }}\right.
\]
总是 \( x \) 的不减函数. 由此直接可导出, \( f \) 在 \( \left( {a, b}\right) \) 的每一点 \( x \) 上存在左、右导数 \( {f}_{ - }^{\prime }\left( x\right) \) 和 \( {f}_{ + }^{\prime }\left( x\right) \) ,从而 \( f \) 在 \( \left( {a, b}\right) \) 上连续. 对于任何 \( {x}_{1},{x}_{2} \in \left( {a, b}\right) ,{x}_{1} < {x}_{2} \) ,下列不等式成立:
\[
{f}_{ - }^{\prime }\left( {x}_{1}\right) \leq {f}_{ + }^{\prime }\left( {x}_{1}\right) \leq \frac{f\left( {x}_{2}\right) - f\left( {x}_{1}\right) }{{x}_{2} - {x}_{1}}
\]
\[
\leq {f}_{ - }^{\prime }\left( {x}_{2}\right) \leq {f}_{ + }^{\prime }\left( {x}_{2}\right) .
\]
它也是有左、右导数的函数为凸函数的充分条件. 尤其是,如果 \( f \) 可导,那么 \( f \) 为凸函数的充分必要条件为 \( {f}^{\prime } \) 不减; 如果 \( f \) 二次可导,那么 \( f \) 为凸函数的充分必要条件为 \( {f}^{\prime \prime } \geq 0 \) (因而,次调和函数也常被看做凸函数的推广. 这里次调和函数是指满足 \( {\Delta u} \geq 0 \) 的多元函数,其中 \( \Delta \) 是拉普拉斯算子). 由此立即可以断定, \( {x}^{a}\left( {a \geq 1}\right) ,{\mathrm{e}}^{x},\log \left( {1/x}\right) \) 等都是凸函数. 对于一般的线性空间上的凸函数 \( f \) ,因为它等价于在 \( f \) 的有效域中的每一线段上是凸函数, 上述这些性质都可有一定的推广. 例如, \( f \) 在有效域的每一开线段中有相应的左、右方向导数, 且有某种单调性.
有限维空间上正常凸函数一定在其有效域的内部连续. 一般情况下, 拓扑线性空间上的凸函数在有效域的内部连续等价于它在某点附近上有界或上半连续. 对于赋范线性空间, 这时还能断定它在其有效域的内部为局部李普希茨函数. 对于巴拿赫空间 (或更一般的桶形空间)上的正常凸函数, 在有效域的内部连续等价于该函数处处下半连续. 此外, 局部凸空间 (包括赋范线性空间、有限维空间)上的下半连续正常凸函数必定是连续仿射函数族的上包络.
严格凸函数 (strictly convex function) 见 “凸函数”.
凹函数 (concave function) 见“凸函数”.
严格凹函数 (strictly concave function) 见“凸函数”.
正常凸函数 (proper convex function) 见 “凸函数”.
凸函数的有效域 (effective domain of convex function) 见“凸函数”.
拟凸函数 (quasiconvex function) 凸函数的推广. 设 \( f \) 是定义在实线性空间 \( X \) 的凸集 \( K \) 上的实值函数. 如果对于任何 \( {x}_{1},{x}_{2} \in K \) 和任何 \( \lambda \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) ,
\[
f\left( {\left( {1 - \lambda }\right) {x}_{1} + \lambda {x}_{2}}\right) \leq \max \left\{ {f\left( {x}_{1}\right), f\left( {x}_{2}\right) }\right\} ,
\]
那么 \( f \) 就称为 \( K \) 上的拟凸函数. 如果上述不等式是严格的,那么 \( f \) 就称为 \( K \) 上的严格拟凸函数. 如果 \( - f \) 是拟凸的,或严格拟凸的,那么 \( f \) 就称为拟凹函数,或严格拟凹函数. \( f \) 拟凸的充分必要条件为对于任何实数 \( \alpha \) ,水平集 \( \{ x \in X \mid f\left( x\right) \leq \alpha \} \) 是凸集.
拟凸函数保留了许多凸函数的性质. 例如, 拟凸函数的局部极小值一定是整体最小值.
严格拟凸函数 (strictly quasiconvex function) 见“拟凸函数”.
拟凹函数 (quasiconcave function) 见 “拟凸函数”.
严格拟凹函数 (strictly quasiconcave function) 见“拟凸函数”.
仿射函数 (affine function) 特殊的凸函数. 既是凸函数, 又是凹函数的函数称为仿射函数. 它必定是线性函数与常数之和. 在有限维空间上, 仿射函数就是一次函数. 仿射函数的重要性在于局部凸空间 (包括赋范线性空间、有限维空间)上的下半连续凸函数一定是连续仿射函数族的上包络.
闵科夫斯基函数 (Minkowski function) 取非负值的次线性函数. 这是一类非常重要的凸函数. 一般的闵科夫斯基函数允许取 \( + \infty \) . 不取 \( + \infty \) 的闵科夫斯基函数又称度规函数. 度规函数常与以原点为 (代数)内点的凸集联系在一起. 设 \( A \) 是以原点为代数内点的实线性空间 \( X \) 中的凸集. 那么如下定义的函数 \( {p}_{A} \) 是 \( X \) 上的度规函数:
\[
{p}_{A}\left( x\right) = \inf \{ \alpha \mid x \in {\alpha A}\} .
\]
这样, \( A \) 满足
\( \left\{ {x \in X \mid {p}_{A}\left( x\right) < 1}\right\} \subset A \subset \left\{ {x \in X \mid {p}_{A}\left( x\right) ) \leq 1}\right\} . \) 当 \( X \) 为拓扑线性空间,且 \( A \) 以原点为内点时,上式左端为 \( A \) 的内部,而上式右端为 \( A \) 的闭包. 反之,由连续的度规函数出发,也可定义相应原凸集.
度规函数 (gauge function) 见“闵科夫斯基函数”.
可加函数 (additive function) 一类实线性空间上的实值函数, 它是指实线性空间上满足
\[
f\left( {x + y}\right) = f\left( x\right) + f\left( y\right)
\]
的实值函数 \( f \) . 拓扑线性空间上的连续可加函数必定是线性函数.
在数学的其他领域中, 可加函数又称“加性函数”. 其定义也不一样. 例如, 在测度论中, 测度就是一种加性集合函数. 其含义为两个不相交的可测集的并集的测度等于这两个可测集的测度和.
次可加函数 (subadditive function) 可加函数的推广. 它是实线性空间上满足
\[
f\left( {x + y}\right) \leq f\left( x\right) + f\left( y\right)
\]
的实值函数.
正齐次函数 (positive homogeneous function) 实线性空间中的一类实值函数. 它是指满足如下条件的函数 \( f \) : 对于任何 \( \lambda > 0 \) ,
\[
f\left( {\lambda x}\right) = {\lambda f}\left( x\right) .
\]
由定义可见, 最一般的正齐次函数可以只定义在一个锥上.
次线性函数 (sublinear function) 一类重要的凸函数. 正齐次且是次可加的函数称为次线性函数. 局部凸空间 (包括赋范线性空间、有限维空间)上的下半连续次线性函数一定是连续线性函数族的上包络. 如果 \( - f \) 是次线性函数,那么 \( f \) 称为上线性函数.
上线性函数 (superlinear function) 见 “次线性函数”.
凸性不等式 (convexity inequality) 凸函数满足的不等式. 设 \( f \) 为实线性空间 \( X \) 的凸集 \( K \) 上的凸函数,即对于任何 \( {x}_{1},{x}_{2} \in K \) 和任何 \( \lambda > 0, f \) 满足 \( f\left( {\left( {1 - \lambda }\right) {x}_{1} + \lambda {x}_{2}}\right) \leq \left( {1 - \lambda }\right) f\left( {x}_{1}\right) + {\lambda f}\left( {x}_{2}\right) . \) 逐次应用这一不等式,可以得到: 对于任何 \( {x}_{1},{x}_{2} \) , \( \cdots ,{x}_{n} \in K \) ,和任何 \( {\lambda }_{1},{\lambda }_{2},\cdots ,{\lambda }_{n} > 0,{\lambda }_{1} + {\lambda }_{2} + \cdots + {\lambda }_{n} \) \( = 1 \) ,有
\[
f\left( {{\lambda }_{1}{x}_{1} + {\lambda }_{2}{x}_{2} + \cdots + {\lambda }_{n}{x}_{n}}\right)
\]
\[
\leq {\lambda }_{1}f\left( {x}_{1}\right) + {\lambda }_{2}f\left( {x}_{2}\right) + \cdots + {\lambda }_{n}f\left( {x}_{n}\right) .
\]
这个不等式即凸性不等式, 也常称为延森不等式. 当 \( f\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{x},{\lambda }_{1} = {\lambda }_{2} = \cdots = {\lambda }_{n} = 1/n \) ,并且令 \( {a}_{1} = {\mathrm{e}}^{{x}_{1}},{a}_{2} \) \( = {\mathrm{e}}^{{x}_{2}},\cdots ,{a}_{n} = {\mathrm{e}}^{{x}_{n}} \) ,上式变为 “几何平均不大于算术平均”不等式:
\[
\sqrt[n]{{a}_{1}{a}_{2}\cdots {a}_{n}} \leq \frac{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}}{n}.
\]
延森不等式的积分形式在应用上极为重要. 设 \( \mu \) 是 \( \sigma \) 代数 \( X \) 上的正测度, \( \mu \left( X\right) = 1,\varphi \) 关于 \( \mu \) 可积, \( f \) 是凸函数, 则有延森不等式
\[
f\left\{ {{\int }_{X}\varphi \mathrm{d}\mu }\right\} \leq {\int }_{X}f\left( \varphi \right) \mathrm{d}\mu .
\]
许多著名的不等式都是延森不等式的特例.
延森不等式 (Jensen inequality) 见“凸性不等式”.
哈恩-巴拿赫定理 (Hahn-Banach theorem) 线性函数的延拓定理. 哈恩-巴拿赫定理是线性泛函分析的基本定理, 但它实际上与凸集分离定理等价, 因而也可看做凸集分离定理的解析形式. 一般的哈恩- 巴拿赫定理可以这样来叙述: 设 \( X \) 为实线性空间, \( {X}_{1} \) 为它的线性子空间, \( f \) 为定义在 \( X \) 上的正常凸函数, \( {\varphi }_{1} \) 为定义在 \( {X}_{1} \) 上的线性函数. 如果对于任何 \( x \) \( \in {X}_{1} \) ,总有 \( {\varphi }_{1}\left( x\right) \leq f\left( x\right) \) ,且原点是集合 \( \operatorname{dom}f - {X}_{1} \) 的代数内点,其中 \( \operatorname{dom}f \) 是 \( f \) 的有效域,那么存在 \( X \) 上的线性函数 \( \varphi \) ,使得在 \( {X}_{1} \) 上 \( \varphi \) 与 \( {\varphi }_{1} \) 恒等,而对于任何 \( x \in X \) ,总有 \( \varphi \left( x\right) \leq f\left( x\right) \) .
一般泛函分析教科书中的 \( X \) 常取为赋范线性空间, \( f \) 则取为空间的范数. 这样,哈恩-巴拿赫定理就变为线性泛函的保持范数不变的可延拓定理 (参见本卷《泛函分析》中的“哈恩-巴拿赫延拓定理”).
指示函数 (indicator function) 指示集合的函数. 设 \( K \) 为集合 \( X \) 的子集. 那么 \( K \) 的指示函数 \( {\delta }_{K} \) 为在 \( K \) 中取零值,而在 \( K \) 以外取 \( + \infty \) 的扩充实值函数. 通常 \( X \) 为拓扑线性空间. 这时, \( {\delta }_{K} \) 为凸函数当且仅当 \( K \) 为凸集; \( {\delta }_{K} \) 下半连续当且仅当 \( K \) 为闭集.
指示函数在约束极值问题中可看做理想的罚函数. 考虑如下的约束极值问题: \( \min f\left( x\right) \left( {x \in K}\right) \) , 其中 \( f \) 是定义在 \( X \) 上的扩充实值函数. 那么这个问题也可表达为无约束极值问题的形式:
\[
\min \left\{ {f\left( x\right) + {\delta }_{K}\left( x\right) }\right\} \;\left( {x \in X}\right) .
\]
\( K \) 的指示函数 \( {\delta }_{K} \) 的共轭函数就是 \( K \) 的支撑函数 \( {\sigma }_{K} \) .
支撑函数 (support function) 与集合的支撑超平面相联系的函数. 设 \( K \) 为实线性空间 \( X \) 中的集合. 那么 \( K \) 的支撑函数定义为 \( X \) 的对偶空间 \( {X}^{\prime } \) 上的函数
\[
{\sigma }_{K}\left( {x}^{\prime }\right) = \mathop{\sup }\limits_{{x \in K}}\left\langle {{x}^{\prime }, x}\right\rangle .
\]
如果 \( X \) 是拓扑线性空间, \( {X}^{\prime } \) 是它的拓扑对偶,即所有连续线性函数的全体,那么任何集合 \( K \) 的支撑函数总是 \( {X}^{\prime } \) 上的下半连续凸函数. 当 \( {\sigma }_{K}\left( {x}^{\prime }\right) \neq + \infty \) 时, \( X \) 中的超平面
\[
H = \left\{ {x \in X \mid \left\langle {{x}^{\prime }, x}\right\rangle = {\sigma }_{K}\left( {x}^{\prime }\right) }\right\}
\]
必定是 \( K \) 的闭凸包的支撑超平面.
有相同支撑函数的两个集合一定有相同的闭凸包. 同时, 每个对偶空间上的下半连续正常凸函数也可用来定义一个闭凸集. 这样, 闭凸集的支撑函数与对偶空间上的下半连续凸函数之间是可以一一对应的, 并且集合之间的关系也可用支撑函数来刻画. 有不少特殊的闭凸集类就是用对偶空间上的下半连续凸函数来确定的. 例如, 连续凸函数的次微分就以该函数的单边方向导数为支撑函数.
共轭函数 (conjugate function) 亦称对偶函数、极化函数. 函数的某种对偶变换. 设 \( f \) 为实线性空间 \( X \) 上的扩充实值函数. \( {X}^{ * } \) 为 \( X \) 的某个对偶空间,即由 \( X \) 上的一些线性函数所构成的实空间. 那么 \( f \) 的共轭函数 \( {f}^{ * } \) 是 \( {X}^{ * } \) 上的扩充实值函数,它定义为
\[
{f}^{ * }\left( {x}^{ * }\right) = \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\left\{ {\left\langle {{x}^{ * }, x}\right\rangle - f\left( x\right) }\right\} .
\]
通常,这里的 \( X \) 为实巴拿赫空间或更简单的有限维空间 \( {\mathrm{R}}^{n} \) ,而 \( {X}^{ * } \) 为 \( X \) 的对偶空间,或相应的 \( {\mathrm{R}}^{n} \) . 这时,共轭函数总是下半连续凸函数. \( f \) 的二次共轭函数则定义为
\[
{f}^{* * }\left( x\right) = \mathop{\sup }\limits_{{{x}^{ * } \in {X}^{ * }}}\left\{ {\left\langle {{x}^{ * }, x}\right\rangle - {f}^{ * }\left( {x}^{ * }\right) }\right\} .
\]
它也总是下半连续函数. 芬切尔-莫罗定理断言, \( f \) \( = {f}^{* * } \) 当且仅当 \( f \) 是下半连续凸函数. 这同时也肯定了: 每个下半连续凸函数总是仿射函数族的上包络. 共轭函数的概念在研究极值问题的对偶理论中起着本质作用.
19 世纪, 法国数学家勒让德 (Legendre, A. - M. ) 首先在力学中引进类似的概念, 那是把速度变为动量的变换. 对于力学方程来说, 这就使得拉格朗日方程变为哈密顿方程. 今天, 人们就称这样的变换为勒让德变换. 勒让德变换的概念实际上出现得比对偶空间或共轭空间的概念还要早. 应该说, 后一概念的起源之一就是勒让德变换. 20 世纪 50 年代, 芬切尔 (Fenchel, W. ) 又把勒让德变换进一步抽象为共轭函数的概念. 因此, 今天人们又把函数到其共轭函数的变换称为勒让德-芬切尔变换.
对偶函数 (dual function) 即 “共轭函数”.
极化函数 (polarity function) 即“共轭函数”.
二次共轭函数 (secon |
2000_数学辞海（第3卷） | 198 | {X}^{ * } \) 上的扩充实值函数,它定义为
\[
{f}^{ * }\left( {x}^{ * }\right) = \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\left\{ {\left\langle {{x}^{ * }, x}\right\rangle - f\left( x\right) }\right\} .
\]
通常,这里的 \( X \) 为实巴拿赫空间或更简单的有限维空间 \( {\mathrm{R}}^{n} \) ,而 \( {X}^{ * } \) 为 \( X \) 的对偶空间,或相应的 \( {\mathrm{R}}^{n} \) . 这时,共轭函数总是下半连续凸函数. \( f \) 的二次共轭函数则定义为
\[
{f}^{* * }\left( x\right) = \mathop{\sup }\limits_{{{x}^{ * } \in {X}^{ * }}}\left\{ {\left\langle {{x}^{ * }, x}\right\rangle - {f}^{ * }\left( {x}^{ * }\right) }\right\} .
\]
它也总是下半连续函数. 芬切尔-莫罗定理断言, \( f \) \( = {f}^{* * } \) 当且仅当 \( f \) 是下半连续凸函数. 这同时也肯定了: 每个下半连续凸函数总是仿射函数族的上包络. 共轭函数的概念在研究极值问题的对偶理论中起着本质作用.
19 世纪, 法国数学家勒让德 (Legendre, A. - M. ) 首先在力学中引进类似的概念, 那是把速度变为动量的变换. 对于力学方程来说, 这就使得拉格朗日方程变为哈密顿方程. 今天, 人们就称这样的变换为勒让德变换. 勒让德变换的概念实际上出现得比对偶空间或共轭空间的概念还要早. 应该说, 后一概念的起源之一就是勒让德变换. 20 世纪 50 年代, 芬切尔 (Fenchel, W. ) 又把勒让德变换进一步抽象为共轭函数的概念. 因此, 今天人们又把函数到其共轭函数的变换称为勒让德-芬切尔变换.
对偶函数 (dual function) 即 “共轭函数”.
极化函数 (polarity function) 即“共轭函数”.
二次共轭函数 (second conjugate function) 见 “共轭函数”.
勒让德-芬切尔变换 (Legendre-Fenchel transformation) 见“共轭函数”.
芬切尔-莫罗定理 (Fenchel-Moreau theorem) 见“共轭函数”.
扬-芬切尔不等式 (Young-Fenchel inequality) 函数及其共轭函数之间的不等式. 根据共轭函数的定义, \( f \) 及其共轭函数 \( {f}^{ * } \) 应该满足 \( f\left( x\right) + {f}^{ * }\left( {x}^{ * }\right) \) \( \geq \left\langle {{x}^{ * }, x}\right\rangle \) . 该不等式就称为扬-芬切尔不等式. 对于单变量函数 \( f\left( x\right) = {\left| x\right| }^{p}/p\left( {p > 1}\right) \) ,其共轭函数为
\[
{f}^{ * }\left( {x}^{ * }\right) = \frac{{\left| {x}^{ * }\right| }^{q}}{q}\left( {\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1}\right) .
\]
对这两个函数的相应不等式就是经典的扬不等式. 一般的不等式是芬切尔 (Fenchel, W. ) 提出共轭函数概念时作为当然的结果而形成的.
上图 (epigraph) 函数图象及其上方所形成的集合. 设 \( f \) 为定义在集合 \( X \) 上的扩充实值函数, \( f \) 的上图记为 \( \operatorname{epi}f \) ,定义为
\[
\text{ epi }f = \{ \left( {x,\alpha }\right) \in X \times \mathrm{R} \mid f\left( x\right) \leq \alpha \} .
\]
通常 \( X \) 为拓扑线性空间. epi \( f \) 为凸集当且仅当 \( f \) 是凸函数; 它可作为凸函数的定义, 从而在凸函数理论中起着重要作用. \( \operatorname{epi}f \) 为闭集当且仅当 \( f \) 下半连续. 因此, 下半连续凸函数也常称为闭凸函数. 以一个函数的上图的凸包或闭凸包作为上图的函数, 称为原来的函数的凸化或函数的闭凸化. 这在极值问题的讨论中是很有用的.
闭凸函数 (closed convex function) 即 “下半连续凸函数”. 见“上图”.
函数的凸化 (convexification of functions) 见 “上图”.
函数的闭凸化 (closed convexification of functions) 见“上图”.
下确界卷积 (infimum convolution) 两个函数间的某种运算. 设 \( {f}_{1},{f}_{2} \) 为实线性空间 \( X \) 上的两个扩充实值函数. 它们的下确界卷积记为 \( {f}_{1}▱{f}_{2} \) ,定义为
\[
\left( {{f}_{1}▱{f}_{2}}\right) \left( x\right) = \mathop{\inf }\limits_{{y \in X}}\left\{ {{f}_{1}\left( y\right) + {f}_{2}\left( {x - y}\right) }\right\} .
\]
如果 \( {f}_{1},{f}_{2} \) 都是凸函数,那么 \( {f}_{1}▱{f}_{2} \) 也一定是凸函数. 引进下确界卷积的主要动因是因为对于勒让德- 芬切尔变换有下列等式:
\[
{\left( {f}_{1}▱{f}_{2}\right) }^{ * } = {f}_{1}^{ * } + {f}_{2}^{ * }.
\]
对偶理论 (duality theory) 凸分析的重要组成部分. 对偶理论可从下列数学规划问题的讨论中知其一般:
\[
\left\{ \begin{array}{l} \min f\left( x\right) , \\ {g}_{i}\left( x\right) \leq 0\left( {i = 1,2,\cdots, p}\right) , \\ {h}_{j}\left( x\right) = 0\left( {j = 1,2,\cdots, q}\right) , \end{array}\right.
\]
这里 \( f,{g}_{i},{h}_{j} \) 是定义在任意集合上的任意函数. 对于这样的极值问题, 可以引进所谓拉格朗日函数:
\[
L\left( {x;\lambda ,\mu }\right) = f\left( x\right) + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{p}{\lambda }_{i}{g}_{i}\left( x\right) + \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{q}{\mu }_{j}{h}_{j}\left( x\right) ,
\]
其中 \( {\lambda }_{1},{\lambda }_{2},\cdots ,{\lambda }_{p} \) 为非负实数; \( {\mu }_{1},{\mu }_{2},\cdots ,{\mu }_{q} \) 为实数. 那么不难指出,原问题等价于下列关于变量 \( x \) 的极值问题
\[
\min \mathop{\sup }\limits_{{\lambda ,\mu }}L\left( {x;\lambda ,\mu }\right) .
\]
它的对偶问题定义为对于变量 \( \left( {\lambda ,\mu }\right) = \left( {{\lambda }_{1},{\lambda }_{2},\cdots }\right. \) , \( \left. {{\lambda }_{p};{\mu }_{1},{\mu }_{2},\cdots ,{\mu }_{q}}\right) \) 的极值问题
\[
\max \mathop{\inf }\limits_{x}L\left( {x;\lambda ,\mu }\right) .
\]
一般地, 这两个问题中的最优值不一定相等, 即通常只有
\[
\mathop{\inf }\limits_{x}\mathop{\sup }\limits_{{\lambda ,\mu }}L\left( {x;\lambda ,\mu }\right) \geq \mathop{\sup }\limits_{{\lambda ,\mu }}\mathop{\inf }\limits_{x}L\left( {x;\lambda ,\mu }\right) .
\]
如果这两个值相等, 那么对偶问题的解就称为原问题的拉格朗日乘子. 用这个来源于条件极值问题研究的术语是因为这里的拉格朗日乘子 \( \left( {\bar{\lambda },\bar{\mu }}\right) \) 使得原问题的解必定也是下列无约束极值问题的解:
\[
\min L\left( {x;\bar{\lambda },\bar{\mu }}\right) ,
\]
并且当其解 \( \bar{x} \) 还满足
\[
{\bar{\lambda }}_{i}{g}_{i}\left( \bar{x}\right) = 0\;\left( {i = 1,2,\cdots, p}\right)
\]
时, 它也一定是原问题的解. 因此, 拉格朗日乘子的存在性就成为这类数学规划问题研究中的重要方面.
如果 \( X \) 是实线性空间, \( f,{g}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots, p}\right) \) 都是 \( X \) 上的实值凸函数, \( {h}_{j}\left( {j = 1,2,\cdots, p}\right) \) 都是 \( X \) 上的仿射函数, 那么原问题就成为在一个凸集上求凸函数的最小值问题. 这时,如果存在 \( \widehat{x} \in X \) ,满足下列斯莱特条件:
\[
{g}_{i}\left( \widehat{x}\right) < 0\left( {i = 1,2,\cdots, p}\right) ,
\]
那么原问题的拉格朗日乘子存在. 这就是著名的库恩-塔克尔定理的本质内容. 而上述讨论也是对偶理论的研究出发点, 即由此出发可寻求更一般的成对的极值问题的理论框架.
当 \( f,{g}_{i} \) 等都是仿射函数时,原问题就变成线性规划问题. 其对偶问题也是线性规划问题, 并且对偶问题的对偶问题又变为原线性规划问题. 这时拉格朗日乘子的概念也与对偶问题的解一致. 由此就能导出经典的线性规划的对偶理论. 一般的对偶理论是这种线性规划对偶理论的一般化. 其更一般的形式是利用共轭函数的概念来提出的, 参见 “芬切尔问题”. 在极值问题 (包括数学规划问题和变分学问题) 中以前只有个别的对偶定理, 例如, 一个变分问题常有一个与它相对应的对偶 (共轭) 问题. 系统的对偶理论最早出现在线性规划理论中, 后来在进一步的研究中才发现对偶理论中起关键作用的是函数与集合的凸性.
拉格朗日函数 (Lagrange function) 见 “对偶理论”. 在其他数学分支中, 拉格朗日函数可能还有别的含义. 例如, 变分学中也有拉格朗日函数, 其含义与这里不同.
拉格朗日乘子(Lagrange multiplier) 见“对偶理论”. 这是数学分析中同一名词的推广.
斯莱特条件 (Slater condition) 见 “对偶理论”.
芬切尔问题 (Fenchel problem) 一对用函数及其共轭函数来表达的极值问题. 设 \( X \) 和 \( Y \) 为两个巴拿赫空间, \( {X}^{y} \) 和 \( {Y}^{ * } \) 分别为它们的共轭空间. \( A \) 是 \( X \) 到 \( Y \) 的连续线性算子; \( {A}^{ * } \) 是 \( A \) 的共轭算子,它是 \( {Y}^{ * } \) 到 \( {X}^{ * } \) 的连续线性算子. \( f \) 是 \( X \) 上的扩充实值函数, \( g \) 是 \( Y \) 上的扩充实值函数. 芬切尔问题的原问题为 \( X \) 上的极值问题:
\[
\min \{ f\left( x\right) + g\left( {Ax}\right) \}
\]
其对偶问题为 \( {Y}^{ * } \) 上的极值问题:
\[
\max \left\{ {-{f}^{ * }\left( {-{A}^{ * }{y}^{ * }}\right) - {g}^{ * }\left( {y}^{ * }\right) }\right\}
\]
其中 \( {f}^{ * } \) 和 \( {g}^{ * } \) 分别是 \( f \) 和 \( g \) 的共轭函数. 如果 \( f \) 和 \( g \) 都是下半连续凸函数,那么对偶问题的对偶问题又变为原问题. 当 \( f \) 是线性函数, \( g \) 是有限维空间的正锥 (第一卦限)上的指示函数, 那么芬切尔问题就变为一对互为对偶的线性规划问题. 一般的数学规划问题的对偶性讨论 (参见 “对偶理论”) 以及许多变分学问题也都可纳入芬切尔问题的形式. 对于芬切尔问题也可定义拉格朗日乘子, 它是当两个极值问题的最优值相等时的对偶问题的解.
利用凸集分离定理可以得到一系列有关芬切尔问题的解和拉格朗日乘子的存在定理. 例如,如果 \( f \) 和 \( g \) 都是下半连续凸函数,且 \( Y \) 的原点为 \( \operatorname{dom}g \) \( - \operatorname{im}A \) 的内点 (它在凸数学规划情形,相当于斯莱特条件),其中 \( \operatorname{dom}g \) 是 \( g \) 的有效域, \( \operatorname{im}A \) 为 \( A \) 的值域, 那么原问题的拉格朗日乘子存在.
次微分 (subdifferential) 导数概念的一种推广. 设 \( X \) 为实巴拿赫空间 (在更一般的情形, \( X \) 可以是任意局部凸空间), \( {X}^{ * } \) 为它的共轭空间. \( f \) 为定义在 \( X \) 上的扩充实值函数. 如果对于 \( x \in X \) ,存在 \( {x}^{ * } \) \( \in {X}^{ * } \) ,使得对于任何 \( y \in X \) ,满足
\[
f\left( y\right) - f\left( x\right) \geq \left\langle {{x}^{ * }, x}\right\rangle ,
\]
那么 \( {x}^{ * } \) 称为 \( f \) 在 \( x \) 处的次导数或次梯度. 这样的次梯度全体就称为 \( f \) 在 \( x \) 处的次微分,记为 \( \partial f\left( x\right) \) . 如果这个 \( {X}^{ * } \) 的子集非空,那么称 \( f \) 在 \( x \) 处次可微. 显然, \( f \) 在 \( x \) 处达到总体最小值当且仅当 \( 0 \in \partial f\left( x\right) \) .
次微分的定义虽然是对任意函数提出的, 但是这个概念主要对于凸函数才有意义. 在单变量函数情形, 导数的几何意义是函数图象上对应点的切线的斜率; 而次导数的几何意义是函数上图在对应点的支撑直线 (一维支撑超平面) 的斜率. 因为凸函数的上图是凸集, 其支撑超平面的存在性又有凸集支撑定理来保证, 所以凸函数的次可微性比较容易讨论.
如果 \( f \) 是凸函数,且在 \( x \) 处 (有限) 连续,那么 \( f \) 一定在 \( x \) 处次可微,它在 \( x \) 处的次微分为
\[
\partial f\left( x\right) = \left\{ {{x}^{ * } \in {X}^{ * }\mid \forall h \in X,}\right.
\]
\[
\left\langle {{x}^{ * }, h}\right\rangle \leq {f}^{\prime }\left( {x;h}\right) \} ,
\]
其中
\[
{f}^{\prime }\left( {x;h}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow {0}^{ + }}}\frac{f\left( {x + {th}}\right) - f\left( x\right) }{t}
\]
为 \( f \) 在 \( x \) 处的沿方向为 \( h \in X \) 的单边方向导数,即 \( \partial f\left( x\right) \) 为以 \( {f}^{\prime }\left( {x; \cdot }\right) \) 为支撑函数的 \( {w}^{ * } \) 闭凸集. 由此可见, \( f \) 在 \( x \) 处的次微分为单点集当且仅当 \( f \) 在 \( x \) 处可微. 同时,由于凸函数 \( f \) 在 \( x \) 处连续等价于在 \( x \) 附近为局部李普希茨函数, \( {w}^{ * } \) 闭的次微分集合一定是有界的,因此由布尔巴基-阿劳格鲁定理, \( \partial f\left( x\right) \) 是 \( {w}^{ * } \) 紧凸集.
次微分与共轭函数的关系极为密切. 事实上, \( \partial f \) 与 \( f \) 的共轭函数 \( {f}^{ * } \) 之间有如下关系:
\( \partial f\left( x\right) = \left\{ {{x}^{ * } \in {X}^{ * } \mid f\left( x\right) + {f}^{ * }\left( {x}^{ * }\right) = \left\langle {{x}^{ * }, x}\right\rangle }\right\} . \) 由于当 \( f \) 是下半连续凸函数时,有 \( f = {f}^{* * } \) (芬切尔- 莫罗定理),把 \( X \) 看做 \( {X}^{ * } \) 的共轭空间,就有下列对称关系:
\[
{x}^{ * } \in \partial f\left( x\right) \Leftrightarrow x \in \partial {f}^{ * }\left( x\right) .
\]
次微分映射 \( \partial f \) 是由 \( X \) 到 \( {X}^{ * } \) 的取 \( {w}^{ * } \) 闭凸值的集值映射,且对于 \( X \) 的强拓扑和 \( {X}^{ * } \) 的 \( {w}^{ * } \) 拓扑是上半连续的. 上式还表明,如果 \( f \) 是下半连续凸函数, 那么 \( f \) 的次微分映射 \( \partial f \) 与共轭函数 \( {f}^{ * } \) 的次微分映射 \( \partial {f}^{ * } \) 互为逆映射. 同时,由次微分的定义,对于任何 \( {x}_{1},{x}_{2} \in X,{x}_{1}^{ * } \in \partial f\left( {x}_{1}\right) ,{x}_{2}^{ * } \in \partial f\left( {x}_{2}\right) \) ,有 \( \left\langle {{x}_{1}^{ * } - }\right. \) \( \left. {{x}_{2}^{ * },{x}_{1} - {x}_{2}}\right\rangle \geq 0 \) ,即它是单调映射.
次梯度 (subgradient) 见“次微分”.
次导数 (subderivative) 见“次微分”.
次可微 (subdifferentiable) 见“次微分”.
莫罗-洛卡费勒定理 (Moreau-Rockafellar theorem) 次微分运算的基本定理. 设 \( f \) 和 \( g \) 为巴拿赫空间上的两个扩充实值函数. 由次微分的定义, 对于任何 \( x \in X \) ,有
\[
\partial f\left( x\right) + \partial g\left( x\right) \subset \partial \left( {f + g}\right) \left( x\right) .
\]
莫罗-洛卡费勒定理指出: 如果 \( f \) 和 \( g \) 都是正常凸函数,且存在 \( x \in X \) ,使得 \( f \) 在 \( x \) 处有限, \( g \) 在 \( x \) 处连续, 那么上式的逆也成立, 即
\[
\partial f\left( x\right) + \partial g\left( x\right) = \partial \left( {f + g}\right) \left( x\right) .
\]
后来又有人指出,如果 \( f \) 和 \( g \) 都是下半连续正常凸函数,且原点是 \( \operatorname{dom}f - \operatorname{dom}g \) 的内点,那么上式成立.
莫罗-洛卡费勒定理是凸分析的标志之一. 它实际上与凸集分离定理是等价的. 它的典型应用之一如下: 考虑下列凸规划问题: \( \min f\left( x\right) \left( {x \in K}\right) \) ,其中 \( f \) 是 \( X \) 上的正常凸函数, \( K \) 是闭凸集. 由于这一问题等价于 \( \min \left\{ {f\left( x\right) + {\delta }_{K}\left( x\right) }\right\} \) ,其中 \( {\delta }_{K} \) 为 \( K \) 的指示函数,故 \( \bar{x} \) 是问题解的充分必要条件为 \( 0 \in \) \( \partial \left( {f + {\delta }_{K}}\right) \left( \bar{x}\right) \) . 如果对于特殊的 \( f \) 和 \( K \) 可应用莫罗- 洛卡费勒定理, 这一条件的右端就可展开. 例如, 在通常的数学规划情形,
\[
K = \ |
2000_数学辞海（第3卷） | 199 | 和 \( g \) 为巴拿赫空间上的两个扩充实值函数. 由次微分的定义, 对于任何 \( x \in X \) ,有
\[
\partial f\left( x\right) + \partial g\left( x\right) \subset \partial \left( {f + g}\right) \left( x\right) .
\]
莫罗-洛卡费勒定理指出: 如果 \( f \) 和 \( g \) 都是正常凸函数,且存在 \( x \in X \) ,使得 \( f \) 在 \( x \) 处有限, \( g \) 在 \( x \) 处连续, 那么上式的逆也成立, 即
\[
\partial f\left( x\right) + \partial g\left( x\right) = \partial \left( {f + g}\right) \left( x\right) .
\]
后来又有人指出,如果 \( f \) 和 \( g \) 都是下半连续正常凸函数,且原点是 \( \operatorname{dom}f - \operatorname{dom}g \) 的内点,那么上式成立.
莫罗-洛卡费勒定理是凸分析的标志之一. 它实际上与凸集分离定理是等价的. 它的典型应用之一如下: 考虑下列凸规划问题: \( \min f\left( x\right) \left( {x \in K}\right) \) ,其中 \( f \) 是 \( X \) 上的正常凸函数, \( K \) 是闭凸集. 由于这一问题等价于 \( \min \left\{ {f\left( x\right) + {\delta }_{K}\left( x\right) }\right\} \) ,其中 \( {\delta }_{K} \) 为 \( K \) 的指示函数,故 \( \bar{x} \) 是问题解的充分必要条件为 \( 0 \in \) \( \partial \left( {f + {\delta }_{K}}\right) \left( \bar{x}\right) \) . 如果对于特殊的 \( f \) 和 \( K \) 可应用莫罗- 洛卡费勒定理, 这一条件的右端就可展开. 例如, 在通常的数学规划情形,
\[
K = \left\{ {x \in X \mid {g}_{1}\left( x\right) \leq 0,\cdots ,{g}_{p}\left( x\right) \leq 0;}\right.
\]
\[
\left. {{h}_{1}\left( x\right) = 0,\cdots ,{h}_{q}\left( x\right) = 0}\right\} ,
\]
其中 \( {g}_{1},{g}_{2},\cdots ,{g}_{p} \) 为连续凸函数, \( {h}_{1},{h}_{2},\cdots ,{h}_{q} \) 为连续仿射函数, 那么由此就可导出库恩-塔克尔定理的次微分形式.
库恩-塔克尔定理 (Kuhn-Tucker theorem) 数学规划的基本定理. 它本质上是凸数学规划的拉格朗日乘子的存在定理 (参见 “对偶理论”). 一般的数学规划著作中的对于光滑函数的库恩-塔克尔定理, 其实是利用原规划在局部有解的必要条件等价于一个由函数导数形成的线性规划的解, 再由此而导出的. 例如对于对偶理论中的连续凸数学规划的库恩- 塔克尔定理的次微分形式为: 当斯莱特条件满足时, \( \bar{x} \) 为问题的解的充分必要条件为: 存在 \( {\lambda }_{1},{\lambda }_{2},\cdots ,{\lambda }_{p} \) \( \geq 0 \) 和实数 \( {\mu }_{1},{\mu }_{2},\cdots ,{\mu }_{q} \) ,使得:
\[
0 \in \partial f\left( \bar{x}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{p}{\lambda }_{i}\partial {g}_{i}\left( \bar{x}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{q}{\mu }_{j}\partial {h}_{j}\left( \bar{x}\right) ,
\]
\[
{\lambda }_{i}{g}_{i}\left( \bar{x}\right) = 0\;\left( {i = 1,2,\cdots, p}\right) .
\]
局部李普希茨函数 (locally Lipschitz function) 一类局部一致连续函数. 设 \( f \) 为巴拿赫空间 \( X \) 的开集 \( \Omega \subset X \) 上的实值函数. 如果对于 \( x \in \Omega \) ,存在 \( \delta \) , \( {c}_{x} > 0 \) ,使得对于任何满足 \( \begin{Vmatrix}{{x}_{1} - x}\end{Vmatrix} < \delta \) 和 \( \begin{Vmatrix}{x}_{2}\end{Vmatrix} \) \( x\parallel < \delta \) 的 \( {x}_{1},{x}_{2} \in \Omega \) ,有下列不等式成立:
\[
\left| {f\left( {x}_{1}\right) - f\left( {x}_{2}\right) }\right| \leq {c}_{x}\begin{Vmatrix}{{x}_{1} - {x}_{2}}\end{Vmatrix},
\]
那么就称 \( f \) 在 \( x \) 附近为李普希茨函数. 如果 \( f \) 对于任何 \( x \in \Omega \) 都在其附近为李普希茨函数,那么 \( f \) 就称为是 \( \Omega \) 上的局部李普希茨函数. 连续可微函数和连续凸函数都是局部李普希茨函数. 因此, 这是比上述二者更广的函数类. \( \Omega \) 上的局部李普希茨函数全体构成一个实线性空间, 并且任何局部李普希茨函数族的上、下包络也是局部李普希茨函数. 此外, 有限维空间上的局部李普希茨函数是几乎处处可微的.
局部李普希茨函数是克拉克的广义梯度理论的主要研究对象.
广义梯度 (generalized gradient) 梯度或导数概念的一种推广. 这是克拉克 (Clarke, F. H. ) 对于局部李普希茨函数类提出的概念, 由此形成的理论目前已成为非光滑分析中最成熟的一部分, 并且有广泛的应用. 设 \( f \) 为巴拿赫空间 \( X \) 的开集 \( \Omega \) 上的局部李普希茨函数, \( x \in \Omega \) .
\[
\partial f\left( x\right) = \left\{ {{x}^{ * } \in {X}^{ * }\mid \forall h \in X,\left\langle {{x}^{ * }, h}\right\rangle \leq {f}^{ \circ }\left( {x;h}\right) }\right\}
\]
就称为 \( f \) 在 \( x \) 处的广义梯度,其中
\[
{f}^{ \circ }\left( {x;h}\right) = \mathop{\limsup }\limits_{{y \rightarrow x, t \rightarrow {0}^{ + }}}\frac{f\left( {y + {th}}\right) - f\left( y\right) }{t}
\]
称为克拉克广义方向导数. 当 \( f \) 为连续凸函数时, 广义梯度就是次微分. 因此, 广义梯度是次微分的推广. 类似于次微分映射,广义梯度映射是从 \( \Omega \) 到 \( {X}^{ * } \) 的取 \( {w}^{ * } \) 闭凸值的对于 \( X \) 的强拓扑和 \( {X}^{ * } \) 的 \( {w}^{ * } \) 拓扑上半连续的集值映射.
当 \( X \) 为有限维时,由于局部李普希茨函数几乎处处可微, 广义梯度也可由每一点附近的梯度的聚点的闭凸包来定义.
克拉克广义方向导数 (Clarke generalized directional derivative) 见“广义梯度”.
集值映射 (set-valued map) 点对应集合的映射. 设 \( X \) 和 \( Y \) 为两个任意集合. \( F \) 称为 \( X \) 到 \( Y \) 的集值映射,是指对于任何 \( x \in X, F\left( x\right) \subset Y \) 是 \( Y \) 的一个子集 (可能是空集). \( X \) 的子集
\[
\operatorname{dom}F = \{ x \in X \mid F\left( x\right) \neq \varnothing \}
\]
称为 \( F \) 的 (集值映射的) 有效域. \( X \times Y \) 的子集
\[
\operatorname{graph}F = \{ \left( {x, y}\right) \in X \times Y \mid y \in F\left( x\right) \}
\]
称为 \( F \) 的 (集值映射的) 图象.
如果令 \( Z = {2}^{Y} \) 为 \( Y \) 的所有子集所组成的集合, 那么 \( X \) 到 \( Y \) 的集值映射 \( F \) 也可看做 \( X \) 到 \( Z \) 的普通单值映射. 因此, 曾有人认为集值映射与单值映射没有本质区别. 但是随着数学规划理论、数理经济学等学科的发展, 集值映射越来越显示出其特殊的重要性. 目前已初步形成专门研究集值映射的数学分析学科: 集值分析 (参见本卷《泛函分析》同名条).
集值映射的有效域 (effective domain of set-valued maps) 见“集值映射”.
集值映射的图象 (graph of set-valued maps) 见“集值映射”.
集值映射的半连续性 (semi-continuity of a set-valued map) 单值映射的连续性的推广. 设 \( X \) 和 \( Y \) 为两个拓扑空间. \( F \) 为 \( X \) 到 \( Y \) 的集值映射. \( F \) 称为在 \( x \in X \) 处上半连续,是指对于 \( F\left( x\right) \) 的任何邻域 \( {U}_{F\left( x\right) } \subset Y \) ,存在 \( x \) 的邻域 \( {U}_{x} \subset X \) ,使得对于任何 \( {x}^{\prime } \in \) \( {U}_{x} \) ,有 \( F\left( {x}^{\prime }\right) \subset {U}_{F\left( x\right) }.F \) 称为在 \( x \in X \) 处下半连续, 是指对于 \( y \in F\left( x\right) \) 的任何邻域 \( {U}_{y} \subset Y \) ,存在 \( x \) 的邻域 \( {U}_{x} \subset X \) ,使得对于任何 \( {x}^{\prime } \in {U}_{x} \) ,有 \( F\left( {x}^{\prime }\right) \cap {U}_{y} \neq \) \( \varnothing \) . 这两种连续性在 \( F \) 为单值情形都归结为通常的连续性, 但是在集值情形有本质区别. 它们相互间互不包含. 一般地, 上半连续性比下半连续性更常见些. 例如, 在凸分析、非光滑分析等学科中所遇到的次微分、广义梯度等都是上半连续的集值映射.
集值映射的导数 (derivative of set-valued maps) 导数对集值映射的推广. 历史上有过各种各样的推广, 目前, 被广泛接受的推广是奥邦 (Aubin, J. P. ) 提出的用切锥来定义的推广; 或者说, 大部分推广都可纳入用切锥来定义的形式. 设 \( X \) 和 \( Y \) 为两个巴拿赫空间, \( F \) 是从 \( X \) 到 \( Y \) 的集值映射. 那么 \( F \) 对于其 (集值映射的) 图象上的点 \( \left( {x, y}\right) \in \operatorname{graph}F \) 处的导数也是一个从 \( X \) 到 \( Y \) 的集值映射,其图象为 \( F \) 的图象 \( \operatorname{graph}F \) 在 \( \left( {x, y}\right) \) 处的某一种切锥. 因此,有多少种切锥的定义, 就有多少种集值映射的导数定义, 它们各有各的用处, 用得较多的切锥是相依锥和克拉克锥 (参见 “切锥”).
撰 稿 史树中 李宗元 杨家新 梅家骝
审 阅 郑维行
## 非 标 准 分 析
非标准分析 (nonstandard analysis) 使用非标准模型研究各种数学问题的新的数学理论. 1961 年, 美国数学家鲁宾孙 (Robinson, A. ) 在荷兰皇家科学院院报上发表了题为 “非标准分析”的论文, 这篇论文标志着非标准分析的诞生. 在这篇论文之后, 人们把实数域及其上的各种关系称为分析的标准模型. 在分析的标准模型中, 或者说在实数域上展开的分析学称为标准分析. 把实数域及其上的关系的扩大称为分析的非标准模型. 在分析的非标准模型中, 实数域 \( \mathrm{R} \) 的真扩张称为超实数域,记为 * \( \mathrm{R} \) . 在非标准模型中,或者说在超实数域 \( {}^{ * }\mathrm{R} \) 上展开的分析学称为非标准分析. 非标准分析是标准分析的真扩张, 即标准分析中的每个函数的性质, 每个关系, 每个定理等, 只要能在谓词演算中严格陈述, 它们在非标准分析中仍然成立. 反之亦然, 这就是所谓的转换原理. 同时, 非标准分析中还增加了一些新的概念和结果.
非标准分析与标准分析不同之处在于超实数域 *R 内包含无限小的非零数 (即其绝对值比任何正实数都小的非零数) 及无限大的数 (即其绝对值比任何正实数都大的数). 使用无限小的数及无限大的数可以更加直观、更加简明地重新建立分析学的各个基本概念, 例如导数、微分、积分等. 这正像微积分的创始者莱布尼茨 (Leibniz, G. W. ) 所期望的那样. 从而解决了 300 年来莱布尼茨、欧拉 (Euler, L. ) 等人一直想解决而未解决、后来长期引起争论的一个古老而且深刻的数学问题. 不久, 人们很快地认识到鲁宾孙的方法不仅可以用来重建微积分, 而且也是各种数学研究的强有力的工具. 1966 年, 伯恩施坦 (Bernstein, A. R. ) 及鲁宾孙利用这种方法首先证明了希尔伯特空间内的多项式紧算子具有非平凡的不变子空间, 为停滞 30 多年的不变子空间问题的研究增添了新的活力. 1975 年, 劳勃 (Loeb, P. ) 发现了一类以内集为支集的内容丰富的测度空间, 现在称为劳勃测度空间, 已被广泛地应用于测度论、概率论、 随机分析、控制论、数理经济等方面的研究之中. 1977 年, 安德森 (Anderson, A. ) 利用超有限的劳勃测度构造了布朗运动. 1981 年, 泊金斯 (Perkins, E. ) 利用安德森构造的布朗运动解决了与布朗局部时间有关的某些长期悬而未决的问题. 此外, 利用非标准方法, 在巴拿赫空间、拓扑空间、广义函数、代数数论、微分方程、数学物理等领域也获得了许多新的结果. 现在人们不只把使用非标准模型的分析学研究, 而且把所有使用非标准模型的数学研究统称为非标准分析.
第一个关于分析的非标准模型的存在的证明, 即鲁宾孙给出的证明是基于数理逻辑的紧致性定理 (每个有限子集协调的句子集是协调的). 这个证明对于熟悉数理逻辑的人是容易的, 但对于不熟悉数理逻辑的人来说是困难的. 现在大多数作者利用超幂构造来建立非标准模型. 这样做一方面可以尽量少地使用大多数人不熟悉的数理逻辑知识; 另一方面, 这样建立的非标准模型具有某种构造性, 适合于大多数人的口味. 这种方法由鲁宾孙提出, 经过泽康 (Zakon, E. )、戴维斯 (Davis, M. D. ) 及林德斯诺姆 (Lindstrom, T. ) 等人的改进及发展, 已被大多数人所采用. 另外, 1977 年, 美国数学家纳尔逊 (Nelson, E. ) 提出了一种称为内集合论的公理方法来表述鲁宾孙的非标准分析, 这种方法当前主要由法国的非标准分析学派所使用.
近 40 年来, 关于非标准分析的研究大致可以分为两个方面: 一是非标准模型本身的研究; 二是用非标准方法解决标准的数学问题. 关于非标准模型本身的研究, 首先是要提供一种构造非标准模型的统一的方法, 这个问题通常是用标准全域及非标准全域的办法来完成的. 人们可以通过不断添加幂集的办法来构造一个标准全域, 它可以包括人们要研究的各种数学对象, 然后再构造这个标准全域的非标准全域. 标准全域中的各种数学对象在非标准全域中的像就是可供利用的一个自然的非标准模型; 其次是要提供性质较好的非标准模型. 因为非标准分析在拓扑学和测度论等方面的应用, 常常要求非标准模型具有较好的性质. 例如要求非标准模型具有某种饱和性或概括性. 绝大多数非标准分析方面的研究论文是应用非标准方法来解决标准的数学问题, 这些问题包括未解决或者已解决的问题. 用非标准方法重新解答已解决的问题常常不仅可以给出比标准定义更好的非标准特征及比标准证明更好的非标准证明, 而且更重要的是它可以把不同的方法统一起来, 特别是提供了把有限数学中的结论和方法应用到无限数学中的可能性. 利用这种方法在许多方面尤其是在测度论和泛函分析等方面已经取得了很大的成就.
1966 年, 第一本关于非标准分析的专著《非标准分析》(鲁宾孙著, 有中译本) 出版. 在这本书中, 作者建立了一种特殊的非标准模型一扩大, 而后论述了非标准模型在微积分、拓扑、实分析、广义函数、 函数论、泛函分析、李群、弹性力学及流体动力学等方面的应用. 在这本书的序言中引述了当代著名数学家哥德尔 (Gödel, K. ) 对非标准分析的看法: “人们有充分的理由相信, 以这种或那种形式表示的非标准分析, 将成为未来的分析学. " 1977 年, 出版了戴维斯的《应用非标准分析》(有中译本), 这是作者在柯朗数学研究所和哥伦比亚大学给大学生及研究生讲授非标准分析的讲稿的基础上写成的. 本书序言中的一段话对非标准分析的意义说得很精彩: “非标准分析的诞生对历史也是一次巨大的嘲弄. 数理逻辑的方法是由于在分析中要求绝对的严格而发展起来的 (至少部分地是这样), 然而也正是数理逻辑为曾经声名狼籍的无限小方法提供了正名的基础. 事实上, 人们对非标准方法所表现的热情是与这种正名给予人们的喜悦心情密切相关的, 而这种热情正是由于这些方法有数学的简明、优美、巧妙的性质以及它们具有深远影响的应用的缘故. ” 析”.
## 标准分析 (standard analysis) 见 “非标准分
无限小理论 (the theory of infinitesimals) 即 “非标准分析”. 非标准分析与标准分析的根本区别在于非标准分析中有无限小的非零数及无限大的数, 即使在拓扑空间的非标准模型中也有“无限小的邻域”一单子. 凡在标准分析中使用无限小变量的概念, 例如导数、微分、积分等, 在非标准分析中都可以使用无限小的数来更加直观地陈述. 因而有人建议使用“无限小理论”的名称代替“非标准分析”.
内集合论 (internal set theory) 阐述非标准分析的一种公理方法. 它的公理系统从通常的 ZFC 公理系统出发, 再加上一个新的一元谓词“标准的”及转换原理、理想化原理、标准化原理这三条公理构成. 谓词“标准的”指称标准数学中, 即通常数学中的具体对象. 内集合论中的一个公式称为内的, 如果它不包含新的谓词“标准的”, 即它是 ZFC 中的一个公式,否则,这个公式就称为外的. 例如,“ \( x \) 是标准的” 是一个最简单的外公式. 设 \( A\left( {x,{t}_{1},\cdots ,{t}_{k}}\right) \) 是一个内公式, \( x,{t}_{1},\cdots ,{t}_{k} \) 是自由变元,而且再无其他自由变元, 则公式
\[
{\forall }^{\mathrm{{st}}}{t}_{1}\cdots {\forall }^{\mathrm{{st}}}{t}_{k}\left( {{\forall }^{\mathrm{{st}}}{xA}\left( {x,{t}_{1},\cdots ,{t}_{k}}\right) }\right.
\]
\[
\rightarrow \forall {xA}\left( {x,{t}_{1},\cdots ,{t}_{k}}\right) )
\]
(T)
称为转换原理,其中量词 \( {\forall }^{\mathrm{{st}}}x \) 表示 “ \( \forall x(x \) 是标准的) \( \rightarrow \) ”. 设 \( B\left( {x, y}\right) \) 是一个内公式, \( x, y \) 是自由变元, 可能还有其他自由变元, 则公式
\( {\forall }^{\text{st }\operatorname{lin}}z\exists x\forall y \in {zB}\left( {x, y}\right) \leftrightarrow \exists x{\forall }^{\text{st }}{yB}\left( {x, y}\right) \;\left( \mathrm{I}\right) \) 称为理想化原理,其中量词 \( {\forall }^{\text{st fin }}x \) 表示 “ \( {\forall }^{\text{st }}x(x \) 是有限的 \( ) \rightarrow \) ”. 设 \( C\left( z\right) \) 是一个公式,它是内的或者是外的, \( z \) 是自由变元,可能还有其他自由变元,则公式
\[
{\forall }^{\mathrm{{st}}}x{\exists }^{\mathrm{{st}}}y{\forall }^{\mathrm{{st}}}z\left( {z \in y \leftrightarrow z \in x \land C\left( z\right) }\right)
\]
(S)
称为标准化原理,其中量词 \( \exists \) “ \( y \) 表示 “ \( \exists y(y \) 是标准的) \( \land \) ".
转换原理 (T) 表示通常数学中的命题在内集合论中也成立. 反之, 显然也是对的. 这正是非标准分析中的转换原理. 理想化原理 (I) 表示任 |
2000_数学辞海（第3卷） | 200 | t( {x,{t}_{1},\cdots ,{t}_{k}}\right) }\right.
\]
\[
\rightarrow \forall {xA}\left( {x,{t}_{1},\cdots ,{t}_{k}}\right) )
\]
(T)
称为转换原理,其中量词 \( {\forall }^{\mathrm{{st}}}x \) 表示 “ \( \forall x(x \) 是标准的) \( \rightarrow \) ”. 设 \( B\left( {x, y}\right) \) 是一个内公式, \( x, y \) 是自由变元, 可能还有其他自由变元, 则公式
\( {\forall }^{\text{st }\operatorname{lin}}z\exists x\forall y \in {zB}\left( {x, y}\right) \leftrightarrow \exists x{\forall }^{\text{st }}{yB}\left( {x, y}\right) \;\left( \mathrm{I}\right) \) 称为理想化原理,其中量词 \( {\forall }^{\text{st fin }}x \) 表示 “ \( {\forall }^{\text{st }}x(x \) 是有限的 \( ) \rightarrow \) ”. 设 \( C\left( z\right) \) 是一个公式,它是内的或者是外的, \( z \) 是自由变元,可能还有其他自由变元,则公式
\[
{\forall }^{\mathrm{{st}}}x{\exists }^{\mathrm{{st}}}y{\forall }^{\mathrm{{st}}}z\left( {z \in y \leftrightarrow z \in x \land C\left( z\right) }\right)
\]
(S)
称为标准化原理,其中量词 \( \exists \) “ \( y \) 表示 “ \( \exists y(y \) 是标准的) \( \land \) ".
转换原理 (T) 表示通常数学中的命题在内集合论中也成立. 反之, 显然也是对的. 这正是非标准分析中的转换原理. 理想化原理 (I) 表示任何一个共点的内二元关系在内集合论中可全满足, 这正是非标准分析中的饱和性. 标准化原理 (S) 是 ZFC 中的分离公理的补充,它表示对于任何一个标准集合 \( x \) ,存在一个标准子集 \( y, y \) 的标准元正好是 \( x \) 中满足 \( C \) 的标准元.
内集合论的公理, 即 ZFC 的公理加上 (T), (S), (I), 正好是非准分析的饱和模型中内集的基本性质. 这也正是内集合论名称的由来. 若令 \( B\left( {x, y}\right) \) 表示实数集合上的二元关系: \( x < y \) ,并且 \( x, y > 0 \) ,则 (I) 的左端显然为真, 即对任意标准的有限实数集 \( z \) ,存在一个小于 \( z \) 中每个实数 \( y \) 的实数 \( x \) . 由 (I) 其右端也为真,即存在一个大于零的实数 \( x \) ,对所有大于零的标准实数 \( y \) ,有 \( x < y \) . 换句话说, \( x \) 是一个大于零的无限小. 类似地,若令 \( B\left( {x, y}\right) \) 表示实数集合上的关系: \( x > y \) ,并且 \( x, y > 0 \) ,则由 (I) 可推出存在正无限大. 有了非零无限小及无限大, 在内集合论中就可展开非标准分析了. 这个方法已被法国非标准分析学派采用, 并且在常微分方程的奇异摄动方面取得了很好的成果.
## 非标准全域
超实数域的超幂构造 (the ultrapower construction of the hyperreal number field) 建立超实数域的一种方法, 这种方法建立在自由超滤子概念的基础之上. 设 \( \mathcal{U} \) 是由自然数集合 \( \mathrm{N} = \{ 0,1,2,\cdots \} \) 的一些子集构成的集族, 满足:
1. 空集 \( \varnothing \in \mathcal{U},\mathrm{N} \in \mathcal{U} \) ;
2. 若 \( A, B \in \mathcal{U} \) ,则 \( A \cap B \in \mathcal{U} \) ;
3. 若 \( A \in \mathcal{U} \) ,并且 \( A \subset B \subset \mathrm{N} \) ,则 \( B \in \mathcal{U} \) ;
4. 若 \( A \subset \mathrm{N} \) ,则 \( A \in \mathcal{U} \) 或者 \( {A}^{c} = \mathrm{N} \smallsetminus A \in \mathcal{U} \) ,二者必居其一;
5. \( \mathop{\bigcap }\limits_{{A \in \mathcal{U}}}A = \varnothing \) ;
则 \( \mathcal{U} \) 称为 \( \mathrm{N} \) 上的一个自由超滤子. 满足前三条的子集族称为 \( \mathrm{N} \) 上的滤子. 例如, \( \mathcal{F} = \{ A \subset \mathrm{N} \mid \mathrm{N} \smallsetminus A \) 是有限集 \( \} \) 是滤子 (称为有限余滤子或弗雷歇滤子). 按以下步骤逐步扩张 \( \mathcal{F} \) 可得到一个自由超滤子: 若 \( A \) 是 \( \mathrm{N} \) 的任一无限子集,并且 \( A,{A}^{c} \notin \mathcal{F} \) ,则可任取其中一个加入 \( \mathcal{F} \) ,并按滤子要求扩张 \( \mathcal{F} \) . 自由超滤子的存在性可由选择公理或佐恩引理严格证明.
设 \( {\mathrm{R}}^{\mathrm{N}} \) 是所有实数序列的集合,即 \( {\mathrm{R}}^{\mathrm{N}} = \left\{ \left\{ {a}_{n}\right\} \right. \) \( \left\{ {a}_{n}\right\} : \mathrm{N} \rightarrow \mathrm{R}\} \) . 在 \( {\mathrm{R}}^{\mathrm{N}} \) 上定义等价关系: \( \left\{ {a}_{n}\right\} \sim \left\{ {b}_{n}\right\} \) 当且仅当 \( \left\{ {n \in \mathrm{N} \mid {a}_{n} = {b}_{n}}\right\} \in \mathcal{U} \) . 这个等价关系简单地写成: \( {a}_{n} = {b}_{n} \), a. e. 读为几乎所有的 \( {a}_{n} = {b}_{n} \) . 令 \( {}^{ * }\mathrm{R} = {\mathrm{R}}^{\mathrm{N}}/ \) \( \sim .{}^{ * }\mathrm{R} \) 中的元素是 \( {\mathrm{R}}^{\mathrm{N}} \) 中元素在上述等价关系下的等价类. 序列 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) 所在的等价类记为 \( \left\langle {a}_{n}\right\rangle \) ,即 \( \left\langle {a}_{n}\right\rangle = \) \( \left\{ {\left\{ {b}_{n}\right\} \mid \left\{ {b}_{n}\right\} \sim \left\{ {a}_{n}\right\} }\right\} \) . 在 * \( \mathrm{R} \) 中,定义加、乘、序如下: \( \left\langle {a}_{n}\right\rangle + \left\langle {b}_{n}\right\rangle = \left\langle {{a}_{n} + {b}_{n}}\right\rangle ,\left\langle {a}_{n}\right\rangle \cdot \left\langle {b}_{n}\right\rangle = \left\langle {{a}_{n} \cdot {b}_{n}}\right\rangle ,\left\langle {a}_{n}\right\rangle \) \( < \left\langle {b}_{n}\right\rangle \) 当且仅当 \( {a}_{n} < {b}_{n} \), a. e.,则 * \( \mathrm{R} \) 是有序域. 在自然嵌入 \( e : \mathrm{R} \rightarrow \cdot \mathrm{R}, e\left( r\right) = \langle r, r,\cdots \rangle \) 之下, \( {}^{ * }\mathrm{R} \) 是 \( \mathrm{R} \) 的有序域扩张. \( {}^{ * }\mathrm{R} \) 称为超实数域, \( {}^{ * }\mathrm{R} \) 的元素称为超实数. 例如
\[
{\varepsilon }_{1} = \left\langle \frac{1}{n + 1}\right\rangle = \left\langle {1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots }\right\rangle ,
\]
\[
{\varepsilon }_{2} = \left\langle {-\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}}}\right\rangle = \left\langle {-1, - \frac{1}{{2}^{2}}, - \frac{1}{{3}^{2}},\cdots }\right\rangle
\]
都是超实数. 由序的定义,对每个正实数 \( a \) ,有 \( \left| {\varepsilon }_{1}\right| < \) \( a,\left| {\varepsilon }_{2}\right| < a \) ,这种超实数称为无限小 (数). \( {\omega }_{1} = \langle n\rangle \) , \( {\omega }_{2} = \left\langle {-{n}^{2}}\right\rangle \) 也是超实数. 由序的定义,对于每个实数 \( a \) ,有 \( \left| x\right| > a \) ,这种超实数称为无限大 (数). 非无限大的超实数称为有限 (超实) 数 (包括无限小). 每个有限数 \( x \) 可以惟一地写成 \( x = {x}^{ \circ } + \varepsilon \) ,其中 \( {x}^{ \circ } \in \mathrm{R} \) ,称为 \( x \) 的标准部分,也记为 \( \operatorname{st}\left( x\right) \) ,即 \( \operatorname{st}\left( x\right) = {x}^{ \circ },\varepsilon \) 是无限小. 一般地,对任意 \( x, y \in {}^{ * }\mathrm{R} \) ,若 \( x - y \) 是无限小,则说 \( x \) 无限接近 \( y \) ,记为 \( x \approx y \) . 对于每个 \( a \in \mathrm{R} \) , 集合 \( M\left( a\right) = \{ x \in \cdot \mathrm{R} \mid x \approx a\} \) 称为 \( a \) 的单子. 超实数域的几何示意如下图. 这种用实数序列 \( (\mathrm{R} \) 的幂集的
元素) 及超滤子来构造超实数的方法, 称为超实数域的超幂构造. 由于超实数是实数序列的等价类, 因此实数的很多性质可以自然地推广到超实数. 但是, * \( \mathrm{R} \) 的子集有些可以表示成实数子集的序列,另一些则不能, 前者具有实数集合的许多性质, 而后者则没有.
设 \( A \subset \cdot \mathrm{R} \) ,若存在一列 \( {A}_{n} \subset \mathrm{R} \) ,使得 \( \left\langle {x}_{n}\right\rangle \in A \) 当且仅当 \( {x}_{n} \in {A}_{n} \), a. e. (即 \( \left\{ {n \in \mathrm{N} \mid {x}_{n} \in {A}_{n}}\right\} \in \mathcal{U} \) ),则称 \( A \) 为 \( {}^{ * }\mathrm{R} \) 的内子集或内集,并记为 \( A = \left\langle {A}_{n}\right\rangle \) . 否则称为 * \( \mathrm{R} \) 的外子集或外集. 例如,设
\[
{\varepsilon }_{1} = \left\langle \frac{1}{n + 1}\right\rangle ,{\varepsilon }_{2} = \left\langle \frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}}\right\rangle ,
\]
则 * \( \mathrm{R} \) 中的开区间 \( \left( {{\varepsilon }_{2},{\varepsilon }_{1}}\right) \) 是内集,因为
\[
\left( {{\varepsilon }_{2},{\varepsilon }_{1}}\right) = \left\{ {x \in {}^{ * }\mathrm{R} \mid {\varepsilon }_{2} < x < {\varepsilon }_{1}}\right\}
\]
\[
= \left\langle \left( {\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}},\frac{1}{n + 1}}\right) \right\rangle
\]
其中
\[
\left( {\frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}},\frac{1}{n + 1}}\right)
\]
是 \( \mathrm{R} \) 的子集. 更一般地, \( {}^{ * }\mathrm{R} \) 中的任意开区间、闭区间、半开半闭区间都是内集.
实数集的一些重要性质, 譬如说 \( \mathrm{R} \) 的有界非空子集有确界, 即实数的完备性原理, 对于超实数的内集也成立.
超实数的外集不能表示成实数集合的序列, 其性质与实数集差别较大. 最简单的超实数的外集有: 每个单子 \( M\left( a\right) \) ,有限超自然数集 \( \mathrm{N} \) ,无限超自然数集 * \( \mathrm{N} \smallsetminus \mathrm{N} \) ,有限超实数集 \( G\left( 0\right) = \{ x \in \cdot \mathrm{R} \mid \exists a \in \mathrm{R} \) 使 \( \left| x\right| < a\} \) ,无限超实数集 \( {}^{ * }\mathrm{R} \smallsetminus G\left( 0\right) \) . 证明它们是外集的方法是证明它们不具有内集的某种性质. 例如 \( M\left( a\right) ,\mathrm{N}, G\left( 0\right) \) 在 \( {}^{ * }\mathrm{R} \) 中有上界但无上确界, \( {}^{ * }\mathrm{N} \smallsetminus \mathrm{N} \) 在 * \( \mathrm{R} \) 中有下界但无下确界,故为外集. 若 \( A \subset \mathrm{R} \) ,则由
\[
{}^{ * }A = \langle A\rangle = \langle A, A,\cdots \rangle
\]
定义的 \( {}^{ * }\mathrm{R} \) 的内子集称为超实数的标准内子集. 例如 \( \cdot \varnothing , \cdot \mathrm{N}, \cdot \mathrm{Z}, \cdot \mathrm{Q}, \cdot \mathrm{R} \) 以及区间 \( \cdot \left( {x, y}\right) , \cdot \left\lbrack {x, y}\right\rbrack \) (其中 \( x, y \in \mathrm{R} \) 且 \( x < y \) ) 都是 * \( \mathrm{R} \) 的标准内子集. 当 \( A \subset \) \( \mathrm{R} \) 为有限集时, \( {}^{ * }A = A \) ; 但当 \( A \) 为无限集时, \( A \subsetneqq {}^{ * }A \) , * \( A \) 的元素比 \( A \) 的元素要多的多,例如, \( \omega = \langle n\rangle = \) \( \langle 0,1,2,\cdots \rangle ,{\omega }^{2} = \left\langle {n}^{2}\right\rangle \) 等是 * \( \mathrm{N} \) 的元素,而不属于 \( \mathrm{N} \) .
超实数 (hyperreal number) 见 “超实数域的超幂构造”.
标准全域 (standard universe) 亦称超结构, 是一个包括力十分强的标准模型. 设 \( S \) 是一个集合,令 \( {V}_{0}\left( S\right) = S,{V}_{n + 1}\left( S\right) = {V}_{n}\left( S\right) \cup \mathcal{P}\left( {{V}_{n}\left( S\right) }\right) (n \) \( \in \mathrm{N}) \) ,其中 \( \mathcal{P}\left( {{V}_{n}\left( S\right) }\right) \) 是 \( {V}_{n}\left( S\right) \) 的幂集,则
\[
U = V\left( S\right) = \mathop{\bigcup }\limits_{{n \in \mathbf{N}}}{V}_{n}\left( S\right)
\]
称为以 \( S \) 为个体集的超结构或标准全域. \( S \) 的每个元素称为 \( V\left( S\right) \) 的一个个体,并假设这些个体不含元素,而 \( V\left( S\right) \smallsetminus S \) 的每个元素称为 \( V\left( S\right) \) 的集元. 个体及集元统称为实体 (有些文献把集元称为实体). 超结构的表达力是非常强的,它包含了与 \( S \) 有关的各种数学概念和关系. 例如,若实数域 \( \mathrm{R} \subset S \) ,则对于任意 \( x, y \in \mathrm{R} \) ,有序对
\[
\left( {x, y}\right) = \{ \{ x\} ,\{ x, y\} \} \in {V}_{2}\left( S\right) .
\]
对于 \( R \) 上的序关系 \( \leq \) 来说,因为 \( \leq {CR} \times R \) ,所以 \( \leq \) \( \in {V}_{3}\left( S\right) \) . 对任一实函数 \( f : \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R} \) 来说,因为 \( f \subset \mathrm{R} \times \) R,所以 \( f \in {V}_{3}\left( S\right) \) . 连续函数空间 \( C\left\lbrack {0,1}\right\rbrack = \{ f \mid f \) : \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow \mathrm{R}, f \) 连续 \( \} \in {V}_{4}\left( S\right) \) . 若复数域 \( \mathrm{C} \subset S \) ,则希尔伯特空间
\[
{l}^{2} = \left\{ {\left\{ {{a}_{1},{a}_{2},{a}_{3},\cdots ,}\right\} \left| \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\right| {a}_{n}\left| {\;{}^{2} < + \infty }\right. }\right\} \in {V}_{4}\left( S\right) .
\]
超结构 (superstructure) 即“标准全域”.
非标准全域 (nonstandard universe) 标准全域的非标准模型. 它是另一个超结构的子集. 设 \( U \) \( = V\left( S\right) \) 是一个以 \( S \) 为个体集的标准全域, \( I \) 为指标集 ( \( I \) 可取自然数集或更大的集合), \( \mathcal{U} \) 为 \( I \) 上的一个自由超滤子, \( {S}^{I} \) 是 \( I \) 到 \( S \) 的一切函数 ( \( I \) -序列) 之集,即 \( {S}^{I} = \left\{ {\left\{ {a}_{i}\right\} \mid {a}_{i} \in S}\right\} \) ,其中 \( \left\{ {a}_{i}\right\} \) 表示 \( I \) 到 \( S \) 的一个函数 \( f : I \rightarrow S, f\left( i\right) = {a}_{i}\left( {i \in I}\right |
2000_数学辞海（第3卷） | 201 | ) 来说,因为 \( f \subset \mathrm{R} \times \) R,所以 \( f \in {V}_{3}\left( S\right) \) . 连续函数空间 \( C\left\lbrack {0,1}\right\rbrack = \{ f \mid f \) : \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow \mathrm{R}, f \) 连续 \( \} \in {V}_{4}\left( S\right) \) . 若复数域 \( \mathrm{C} \subset S \) ,则希尔伯特空间
\[
{l}^{2} = \left\{ {\left\{ {{a}_{1},{a}_{2},{a}_{3},\cdots ,}\right\} \left| \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\right| {a}_{n}\left| {\;{}^{2} < + \infty }\right. }\right\} \in {V}_{4}\left( S\right) .
\]
超结构 (superstructure) 即“标准全域”.
非标准全域 (nonstandard universe) 标准全域的非标准模型. 它是另一个超结构的子集. 设 \( U \) \( = V\left( S\right) \) 是一个以 \( S \) 为个体集的标准全域, \( I \) 为指标集 ( \( I \) 可取自然数集或更大的集合), \( \mathcal{U} \) 为 \( I \) 上的一个自由超滤子, \( {S}^{I} \) 是 \( I \) 到 \( S \) 的一切函数 ( \( I \) -序列) 之集,即 \( {S}^{I} = \left\{ {\left\{ {a}_{i}\right\} \mid {a}_{i} \in S}\right\} \) ,其中 \( \left\{ {a}_{i}\right\} \) 表示 \( I \) 到 \( S \) 的一个函数 \( f : I \rightarrow S, f\left( i\right) = {a}_{i}\left( {i \in I}\right) \) . 在 \( {S}^{I} \) 上定义等价关系: \( \left\{ {a}_{i}\right\} \sim \left\{ {b}_{i}\right\} \) 当且仅当 \( \left\{ {i \in I \mid {a}_{i} = {b}_{i}}\right\} \in \mathcal{U} \) . 这个等价关系简单地写成 \( {a}_{i} = {b}_{i} \), a. e. . 令 * \( S = {S}^{I}/ \sim \) ,以 \( {}^{ * }S \) 为个体集的超结构记为 \( V\left( {{}^{ * }S}\right) \) .
标准全域 \( U = V\left( S\right) \) 的非标准全域 \( {}^{ * }U = {}^{ * }V\left( S\right) \) 是 \( V\left( {{}^{ * }S}\right) \) 的一个子集,它的元素按如下方式归纳地选自 \( V\left( {{}^{ * }S}\right) \) . 设 \( \left\{ {A}_{i}\right\} \) 是 \( V\left( S\right) \) 中元素的一个 \( I \) 序列, 若存在一个 \( p \in \mathbf{N} \) ,使得 \( {A}_{i} \in {V}_{p}\left( S\right) \left( {i \in I}\right) \) ,则称序列 \( \left\{ {A}_{i}\right\} \) 是有界的. 若序列 \( \left\{ {A}_{i}\right\} \) 是有界的,则存在一个最小的 \( j \in \mathrm{N} \) ,使得 \( \left\{ {i \mid {A}_{i} \in {V}_{j}\left( S\right) }\right\} \in \mathcal{U} \) ,这个 \( j \) 称为序列 \( \left\{ {A}_{i}\right\} \) 的秩. 对于每个有界序列 \( \left\{ {A}_{i}\right\} \) ,可以按秩归纳地选取一个元素 \( A \in V\left( {*S}\right) \) ,并记 \( A = \left\langle {A}_{i}\right\rangle \) : 若 \( \left\{ {A}_{i}\right\} \) 的秩为 0,令 \( A = \left\langle {A}_{i}\right\rangle \) ,即 * \( S \) 中的一个元素. 假设对于秩小于 \( j \) 的每个序列 \( \left\{ {B}_{i}\right\} \) 已经定义了对应的元素 \( \left\langle {B}_{i}\right\rangle \) ,并且 \( \left\{ {A}_{i}\right\} \) 的秩为 \( j \) ,则定义 \( \left\langle {A}_{i}\right\rangle = \left\{ \left\langle {B}_{i}\right\rangle \right. \) \( \left\{ {B}_{i}\right\} \) 的秩小于 \( j \) ,并且 \( {B}_{i} \in {A}_{i} \), a. e. \( \} \) . 这样就完成了非标准全域 \( {}^{ * }U = {}^{ * }V\left( S\right) \) 的定义. \( {}^{ * }V\left( S\right) \) 中的元素称为内的, \( V\left( {*S}\right) \smallsetminus * V\left( S\right) \) 中的元素称为外的. 由上述定义, \( {}^{ * }S \) 中的元素都是内的,因而没有外的个体. 上述构造非标准全域的方法称为超幂构造.
非标准全域也可用公理方法建立如下. 设 \( V\left( S\right) \) 和 \( V\left( {\cdot S}\right) \) 分别是以 \( S \) 和 \( \cdot S \) 为个体集的两个超结构,嵌入映射 \( {}^{ * } : V\left( S\right) \rightarrow V\left( {{}^{ * }S}\right) \) 满足如下两条公理:
扩张原理. \( {}^{ * }S \) 是 \( S \) 的真扩张,即 \( S \subsetneqq {}^{ * }S \) ,并且对于每个 \( a \in S \) ,有 \( {}^{ * }a = a \) .
转换原理. 标准全域的语言 \( L\left( {V\left( S\right) }\right) \) 中的句子 \( \varphi \) 在 \( V\left( S\right) \) 中为真,当且仅当它的 *-转换 * \( \varphi \) 在 \( V\left( {{}^{ * }S}\right) \) 中为真. * \( \varphi \) 是把 \( \varphi \) 中出现的常元符号 \( a \) 全部换成它的 *-像的符号 * \( a \) 得到的句子. 若 \( A \in V\left( S\right) \smallsetminus S \) ,则 * \( A \) 称为标准集合, \( V\left( {{}^{ * }S}\right) \) 中的元素是内的,当且仅当它是某个标准集合的元素. 所有内的元素构成的集合记为 \( {}^{ * }V\left( S\right) \) ,它就是标准全域 \( V\left( S\right) \) 对应的非标准全域.
转换原理 (transfer principle) 亦称莱布尼茨原理, 联系分析的标准模型与非标准模型的纽带. 简单地说, 转换原理是说形式语言中相同的断言在标准模型和非标准模型中或者同真或者同假. 在分析的 (初等或高阶的) 非标准模型的定义中, 要求在标准模型中的句子在扩张后的非标准模型中也成立; 反之, 由于后者是前者的扩张, 因而这种句子在局限于标准模型时也成立. 人们把这个性质称为转换原理. 在用超幂构造的非标准全域中, 可以证明转换原理成立. 在非标准全域的公理定义中, 第二条正是转换原理. 在莱布尼茨 (Leibniz, G. W. ) 发现微积分的时候, 他曾经假定存在一个数系, 它与通常的实数系具有相同的性质, 但它包含非零的无限小. 莱布尼茨的说法显然包含一个矛盾, 即通常的实数系至少不具备莱布尼茨所期望的那种扩大的数系的一条性质, 即在实数系中没有非零的无限小. 鲁宾孙 (Robinson, A) 的重大功绩之一就是使用现代逻辑意义上的形式语言解决了上述矛盾. 莱布尼茨的说法被重新解释为: 存在实数系的一个扩张, 它包含非零无限小元素, 而且它与实数系具有相同的性质, 只要这些性质能够在特定的形式语言中被表达. 实际上,非零无限小这个性质是不能如此表达的. 理”.
## 莱布尼茨原理 (Leibniz principle) 即 “转换原
* 映射 (*-map) 联系标准全域和非标准全域的映射. 在非标准全域定义中的映射 \( {}^{ * } : U \rightarrow {}^{ * }U \) 可以扩张到 \( U \) 的可定义子集上去. 设 \( A \) 是 \( U \) 的可定义子集,即 \( A = \{ r \in U \mid \vDash \alpha \left( r\right) \} \) ,其中 \( \alpha \left( r\right) \) 是 \( U \) 的语言中的一个公式, \( \vDash \alpha \left( r\right) \) 表示 \( \alpha \left( r\right) \) 在 \( U \) 中是真的. 则定义 * \( A = \left\{ {r \in {}^{ * }U \mid \cdot \vDash {}^{ * }\alpha \left( r\right) }\right\} \) ,其中 \( \cdot \alpha \left( r\right) \) 是 \( \alpha \left( r\right) \) 的 * 转换,即把 \( \alpha \left( r\right) \) 中出现的常元符号 \( a \) 全部换成它的 \( {}^{ * } \) 像的符号 \( {}^{ * }a \) 得到的公式. \( {}^{ * } \vDash {}^{ * }\alpha \left( r\right) \) 表示 \( {}^{ * }\alpha \left( r\right) \) 在 \( {}^{ * } \) \( U \) 中是真的. 这个扩张之后的映射称为 * 映射. 特别地, \( {}^{ * }\left( U\right) = {}^{ * }U \) . * 映射又称为自然扩张映射. 在* 映射下, \( A \) 的像 - \( A \) 称为 \( A \) 的 * 像或 \( A \) 的自然扩张. * 映射具有如下性质:
1. \( {}^{ * }\left( {A \cup B}\right) = {}^{ * }A \cup {}^{ * }B \) .
2. \( {}^{ * }\left( {A \cap B}\right) = {}^{ * }A \cap {}^{ * }B \) .
3. \( {}^{ * }\left( {A \smallsetminus B}\right) = {}^{ * }A \smallsetminus {}^{ * }B \) .
4. \( \cdot \left( {x, y}\right) = \left( {*x, * y}\right) \) ,其中 \( \left( {x, y}\right) \) 是 \( x, y \) 的有序对.
5. \( {}^{ * }\left( {f\left( c\right) }\right) = {}^{ * }f\left( {{}^{ * }c}\right) \) .
自然扩张 (natural extension) 见 “ ” 映射”.
自然扩张映射 (natural extension mapping) 见 “ ” 映射”.
内集 (internal set) 本身是非标准全域的元素的集合. 由非标准全域的定义,以 \( S \) 为个体集的标准全域 \( U = V\left( S\right) \) 的非标准全域 \( {}^{ * }U = {}^{ * }V\left( S\right) \) 是 \( V\left( {{}^{ * }S}\right) \) 的一个子集,即 \( {}^{ * }U \subset V\left( {{}^{ * }S}\right) \) . 若 \( B \) 是一个集合,并且 \( B \) 属于 * \( U \) ,则 \( B \) 称为内集. 若 \( B \) 属于 \( V\left( {{}^{ * }S}\right) \) 而不属于 \( {}^{ * }U \) ,则 \( B \) 称为外集. 更一般地,凡属于 \( {}^{ \cdot }U \) 的元素称为内实体,属于 \( V\left( {{}^{ * }S}\right) \) 而不属于 \( {}^{ * }U \) 的元素称为外实体. 由非标准全域的超幂构造可知, \( {}^{ * }U \) 中的一个实体是内的当且仅当它可以表示为标准全域 \( U \) 中的一个有界序列 \( \left\langle {A}_{i}\right\rangle \) . 特别地,若 \( B = * \) \( A \) ,而 \( A \in U \) ,则 \( B \) 称为标准实体.
外集 (external set) 见“内集”.
标准实体 (standard entity) 见 “内集”.
内实体 (internal entity) 见 “内集”.
外实体 (external entity) 见 “内集”.
超有限集 (hyperfinite set) 亦称 * 有限集. 类似于有限集的内集. 内集 \( A \) 称为超有限的,是指存在一个内的一一对应 \( f : \{ 1,2,\cdots, H\} \rightarrow A \) ,其中 \( H \) \( \in \cdot \mathrm{N}, H \) 称为 \( A \) 的内基数,记为 \( \left| A\right| \) 或 \( {}^{\# }\left( A\right) \) . 在超幂构造的非标准全域中,内集 \( A = \left\langle {A}_{i}\right\rangle \) 是超有限的当且仅当几乎所有的 (a. e.) \( {A}_{i} \) 是有限的. 若非标准全域 * \( U \) 是扩大,则对于 \( U \) 中任一集合 \( A \) ,存在超有限集 \( F \) ,使得 \( A \subset F \subset \cdot A \) .
* 有限集 (*-finite set) 即“超有限集”.
内基数 (internal cardinality) 见 “超有限集”.
内定义原理 (internal definition principle) 亦称内性定理. 是用可定义性判别内性的一个重要定理. \( {}^{ * }U \) 的子集 \( B \) 是可定义的,当且仅当在 \( {}^{ * }U \) 的语言中有一个公式 \( \alpha \left( x\right) \) ,使得 \( B = \left\{ {b \in {}^{ * }U \mid {}^{ * } \vDash \alpha \left( b\right) }\right\} \) , 其中 \( {}^{ * } \vDash \alpha \left( b\right) \) 表示 \( \alpha \left( b\right) \) 在 \( {}^{ * }U \) 中是真的. 设 \( A \) 是非标准全域 \( {}^{ * }U \) 中的一个子集,则 \( A \) 是内集当且仅当它是一个内集的可定义子集. 例如, \( A = \left\{ {\kappa \in \cdot \mathrm{N} \mid 1 \leq \kappa }\right. \) \( \leq m, m \in \cdot \mathrm{N}\} \) 是内集,因它是内集 * \( \mathrm{N} \) 的可定义子集.
## 内性定理 (internality theorem) 即 “内定义原理”.
内函数定理 (internal function theorem) 用可定义性判别函数内性的一个重要定理. 设 \( f \) 映 \( A \) 到 \( B \) 中,其中 \( A, B \) 都是非标准全域 * \( U \) 的内子集. 若 \( f \) 可用 \( {}^{ * }U \) 的语言 \( {}^{ * }L \) 中的一个项 \( \mu \left( x\right) \) 来表示,即对于每个 \( a \in A \) ,有 \( f\left( a\right) = \left| {\mu \left( a\right) }\right| * \) ,其中 \( {\left| \mu \left( a\right) \right| }_{ * } \) 是闭项 \( \mu \left( a\right) \) 在 \( {}^{ * }U \) 中的值,则 \( f \) 是内函数. 内函数定理是内定义原理的推论.
标准定义原理 (standard definition principle)
用可定义性判别标准集的一个定理. 设 \( B \) 是非标准全域 \( {}^{ * }U \) 中的一个集合,则 \( B \) 是标准集当且仅当它是一个标准集的 “标准”可定义子集,即集合 \( B \) 是标准的,当且仅当它可以描述为 \( \{ x \mid x \in * A \) 并且 \( P\left( x\right) \} \) ,其中 \( P\left( x\right) \) 是一个只包括标准常元的谓词.
上溢原理 (overflow principle) 关于由超自然数构成的内集合的性质的一个重要定理. 设 \( A \) 是超自然数集 * \( \mathrm{N} \) 的内子集,若大于某个标准自然数 \( {n}_{0} \) 的所有标准自然数都属于 \( A \) ,则存在一个无限大自然数 \( H \) ,使得小于 \( H \) 的所有无限大自然数也属于 \( A \) . 由上溢原理很容易说明,标准自然数之集 \( \mathrm{N} \) 不是 \( {}^{ * }\mathrm{\;N} \) 的内子集.
下溢原理 (underflow principle) 上溢原理的对偶. 它断言,若 \( A \) 是超自然数集 * \( \mathrm{N} \) 的内子集, \( H \) 是一个无限大自然数,且小于 \( H \) 的所有无限大自然数都属于 \( A \) ,则存在一个标准自然数 \( {n}_{0} \) ,使得大于 \( {n}_{0} \) 的所有标准自然数也属于 \( A \) . 由下溢原理易知,无限大自然数之集 * \( \mathrm{N} \smallsetminus \mathrm{N} \) 是 * \( \mathrm{N} \) 的外子集.
鲁宾孙序列引理 (Robinson sequential lemma) 亦称无限小延伸定理. 关于内序列的性质的一个重要定理. 设 \( {\left\{ {a}_{n}\right\} }_{n \in \cdot \mathrm{N}} \) 是超实数域 \( {}^{ * }R \) 的一个内序列, 并且其下标是标准自然数的项都是无限小, 则存在一个无限大自然数 \( \nu \) ,其下标小于 \( \nu \) 的项均为无限小.
无限小延伸定理 (infinitesimal prolongation theorem) 即“鲁宾孙序列引理”.
惯性原理 (permanence principle) 上溢原理、 下溢原理及鲁宾孙序列引理的统称. 惯性原理有时也称为柯西原理.
柯西原理 (Cauchy principle) 即“惯性原理”.
共点关系 (concurrent relation) 一种特殊的二元关系. 设 \( R \) 是标准全域 \( U \) 中的一个二元关系, 若对 \( R \) 的定义域中的任意有限个无素 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n} \) , 在 \( R \) 的值域中总存在一个元素 \( b \) ,有 \( \left( {{a}_{i}, b}\right) \in R(i = \) \( 1,2,\cdots, n) \) ,则称 \( R \) 是一个共点关系. 换句话说,共点关系是有限可满足的二元关系. 例如, 自然数集上的序关系及集合的包括关系均是共点关系.
扩大(enlargement) 一种特殊的非标准模型. 若标准全域 \( U \) 中的每个共点关系 \( R \) 在非标准全域 \( {}^{ * }U \) 中可全满足,即在非标准全域 \( {}^{ * }U \) 中存在一个元素 \( b \) ,使得 \( \left( {\cdot a, b}\right) \in \cdot R \) 对每个 \( a \in \operatorname{dom}R \) 成立,则称 \( {}^{ * }U \) 是 \( U \) 的一个扩大. 当 \( {}^{ * }U \) 是 \( U \) 的扩大时,映射 \( {}^{ * } : U \rightarrow {}^{ * }U \) 也称为扩大.
共点定理 (concurrence theorem) 关于标准全域的扩大的存在性定理. 该定理断言: 标准全域 \( U \) 的扩大 \( {}^{ * }U \) 是存在的.
饱和的非标准全域 (saturated nonstandard universe) 一种特殊的非标准全域. 设 \( \kappa \) 是一个无限基数, \( {A}_{j} \in {}^{ * }U \smallsetminus {}^{ * }S \) . 若集族 \( {\left\{ {A}_{j}\right\} }_{j \in J} \) 具有有限交性质, 并且 \( J |
2000_数学辞海（第3卷） | 202 | 下溢原理及鲁宾孙序列引理的统称. 惯性原理有时也称为柯西原理.
柯西原理 (Cauchy principle) 即“惯性原理”.
共点关系 (concurrent relation) 一种特殊的二元关系. 设 \( R \) 是标准全域 \( U \) 中的一个二元关系, 若对 \( R \) 的定义域中的任意有限个无素 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n} \) , 在 \( R \) 的值域中总存在一个元素 \( b \) ,有 \( \left( {{a}_{i}, b}\right) \in R(i = \) \( 1,2,\cdots, n) \) ,则称 \( R \) 是一个共点关系. 换句话说,共点关系是有限可满足的二元关系. 例如, 自然数集上的序关系及集合的包括关系均是共点关系.
扩大(enlargement) 一种特殊的非标准模型. 若标准全域 \( U \) 中的每个共点关系 \( R \) 在非标准全域 \( {}^{ * }U \) 中可全满足,即在非标准全域 \( {}^{ * }U \) 中存在一个元素 \( b \) ,使得 \( \left( {\cdot a, b}\right) \in \cdot R \) 对每个 \( a \in \operatorname{dom}R \) 成立,则称 \( {}^{ * }U \) 是 \( U \) 的一个扩大. 当 \( {}^{ * }U \) 是 \( U \) 的扩大时,映射 \( {}^{ * } : U \rightarrow {}^{ * }U \) 也称为扩大.
共点定理 (concurrence theorem) 关于标准全域的扩大的存在性定理. 该定理断言: 标准全域 \( U \) 的扩大 \( {}^{ * }U \) 是存在的.
饱和的非标准全域 (saturated nonstandard universe) 一种特殊的非标准全域. 设 \( \kappa \) 是一个无限基数, \( {A}_{j} \in {}^{ * }U \smallsetminus {}^{ * }S \) . 若集族 \( {\left\{ {A}_{j}\right\} }_{j \in J} \) 具有有限交性质, 并且 \( J \) 的基数小于 \( \kappa \) ,则 \( \cap {\left\{ {A}_{j}\right\} }_{j \in J} \neq \varnothing \) ,就称 * \( U \) 是 \( \kappa \) 饱和的非标准全域. 当 \( \kappa > \operatorname{card}U \) 时, \( \kappa \) 饱和的非标准全域称为多饱和的.
多饱和的非标准全域 (polysaturated nonstandard universe) 见“饱和的非标准全域”.
概括的非标准全域 (comprehensive nonstandard universe) 一种特殊的非标准全域. 设 \( A, B \) 是标准全域 \( U \) 中的两个集合,若每个函数 \( f : A \rightarrow \) * \( B \) 有内扩张 \( g : {}^{ * }A \rightarrow {}^{ * }B \) (即 \( g \) 是 \( f \) 的扩张,并且 \( g \) \( \left. { \in {}^{ * }U}\right) \) ,则称 \( {}^{ * }U \) 是概括的; 若在上述定义中, \( A, B \) 都是实数集 \( \mathrm{R} \) 的子集,则称 * \( U \) 是弱概括的; 若在上述定义中 \( A \) 是自然数集合 \( \mathrm{N} \) ,则称 \( {}^{ * }U \) 是序列概括的或可数概括的.
弱概括的非标准全域 (weak comprehensive nonstandard universe) 见“概括的非标准全域”.
序列概括的非标准全域 (sequentially comprehensive nonstandard universe) 见 “概括的非标准全域”.
可数概括的非标准全域 (countably comprehensive nonstandard universe) 即“序列概括的非标准全域”.
分析的标准模型 (standsrd model of analysis) 亦称经典分析模型. 通常的分析模型, 指实数集 \( \mathrm{R} \) 及其上的各种关系, 或者说是以实数集为个体集的标准全域 \( V\left( \mathrm{R}\right) \) .
经典分析模型 (model of classical analysis) 即“分析的标准模型”.
分析的非标准模型 (nonstandard model of analysis) 初等的非标准分析模型及高阶的非标准分析模型的统称. 设 \( U \) 是一个标准全域,若其个体集 \( S \) 包括实数域 \( \mathrm{R} \) ,则相应的非标准全域 * \( U \) 就是一个最常用的分析的非标准模型.
\( \mathbf{B} \) 模型 ( \( B \) -model) 亦称 \( B \) 扩大,一种特殊的非标准模型. 设 \( K \) 是一个句子集合, \( T \) 是在 \( K \) 中出现的一切常项所成的集合, \( {T}_{0} \) 是 \( T \) 中一切共点关系的常项所成的集合, \( B \) 是 \( {T}_{0} \) 的一个子集, \( K \) 的一个模型 \( M \) 如果能使 \( B \) 中的每个共点关系常项全满足, 即对于 \( B \) 中每个元素 \( b \) ,存在一个常项 \( a \) 能使 \( \left( {g, a}\right) \) \( \in b \) 在 \( M \) 中都成立,其中 \( g \) 遍历 \( b \) 的定义域,则称 \( M \) 是 \( K \) 的一个 \( B \) 模型或者 \( B \) 扩大.
\( B \) 扩大 ( \( B \) -enlargements) 即 “ \( B \) 模型”.
初等的非标准分析模型 (elementary nonstandard model of analysis) 实数域上的一阶结构的非标准模型. 设 \( \mathrm{R} \) 是实数域,结构 \( M \) 是实数域 \( R \) 上的一阶结构,即 \( M \) 是 \( R \) 上的一切 \( n\left( {n = 0,1,2,\cdots }\right) \) 元关系构成的集合. \( K \) 为一切在 \( M \) 中成立的句子的集合. 令 \( B = \{ q\} \) ,其中 \( q \) 指称 \( \mathrm{R} \) 中的顺序关系,则称 \( K \) 的任何一个 \( B \) 模型为一个初等的非标准模型.
高阶的非标准分析模型 (higher order nonstandard model of analysis) 实数域上的高阶结构的非标准模型. 设 \( \mathrm{R} \) 是实数域, \( M \) 是实数域 \( \mathrm{R} \) 上的丰满的高阶结构,即 \( M \) 是 \( \mathrm{R} \) 上的一切 \( \tau \) 型关系构成的集合. \( K \) 为一切在 \( M \) 中成立的句子的集合. 令 \( B = \{ q\} \) ,其中 \( q \) 指称 \( \mathrm{R} \) 中的顺序关系,则称 \( K \) 的任何一个 \( B \) 模型为一个高阶的非标准分析模型. 上述分析的非标准模型, \( B \) 模型,初等的及高阶的非标准模型等概念都是非标准分析创始人鲁宾孙 (Robinson, A. ) 于 20 世纪 60 年代初引进的.
\( \kappa \) 次扩大的定向极限 (direct limit of \( \kappa \) -successive enlargement) 模型逐次扩大的极限过程. 设 \( \kappa \) 是无限基数,归纳定义 \( X \) 的 \( \kappa \) 次扩大的定向极限如下: 令 \( {X}^{0} = X \) 是原超结构,令 \( {i}_{0}^{1} : {X}^{0} \rightarrow {X}^{1} \) 是 \( {X}^{0} \) 的扩大. 若 \( \lambda \) 是一个基数, \( \lambda \leq \kappa \) ,并且当 \( \alpha < \beta < \gamma < \lambda \) 时, 扩大 \( {i}_{\alpha }^{\gamma } : {X}^{\alpha } \rightarrow {X}^{\gamma } \) 已定义且满足复合等式 \( {i}_{\alpha }^{\gamma } = {i}_{\beta }^{\gamma } \circ {i}_{\alpha }^{\beta } \) . 分两种情形归纳如下:
1. 若 \( \lambda = \gamma + 1 \) ,令 \( {i}_{\gamma }^{\gamma + 1} : {X}^{\gamma } \rightarrow {X}^{\gamma + 1} \) 是 \( {X}^{\gamma } \) 的扩大并定义 \( {i}_{\alpha }^{\lambda } = {i}_{\gamma }^{\gamma + 1} \circ {i}_{\alpha }^{\gamma },\alpha < \gamma \) .
2. 若 \( \lambda \) 是一个极限序数,首先取个体集 \( {X}_{0}^{\lambda } \) 等价于并 \( \bigcup \left\lbrack {{X}_{0}^{\alpha } \mid \alpha < \lambda }\right\rbrack \) ,即令
\[
{X}_{0}^{\lambda } = \bigcup \left\lbrack {{X}_{0}^{\alpha } \mid \alpha < \lambda }\right\rbrack / \sim
\]
\[
\left( {x \sim y\text{ 当且仅当 }{i}_{\alpha }^{\beta }\left( x\right) = y}\right) \text{. }
\]
其次,归纳定义 \( {i}_{a}^{\lambda } \) (按超结构的层次)
\[
{i}_{\alpha }^{\lambda }\left( A\right) = \left\{ {{i}_{\beta }^{\lambda }\left( x\right) \mid x \in {i}_{\alpha }^{\beta }\left( A\right) }\right\} / \sim .
\]
集合 \( A \in {X}^{\kappa } \) 是 \( \alpha \) 标准的,若 \( A = {i}_{\alpha }^{\kappa }\left( B\right), B \in {X}^{\alpha } \) ,即 \( A \) 是第 \( \alpha \) 个扩大中的元素的 *-像; 集合 \( A \in {X}^{\kappa } \) 是 \( \alpha \) 内的,若 \( A \) 是某个 \( \alpha \) 标准集的元素. 术语 “标准的”及 “内的”指“ 0 -标准”的与“ 0 -内的”.
多扩大 (polyenlargement) 一种特殊的非标准模型. 超结构扩张 \( {}^{ * } : X \rightarrow Y \) 是多扩大,如果它是 \( \kappa \) 次扩大的定向极限,其中 \( \kappa \) 是一个正则基数,满足 \( \kappa \) \( > \operatorname{card}\left( X\right) \) .
多扩大的饱和性 (saturation property of poly-enlargements) 关于多扩大具有饱和性的一个命题. 设 \( {}^{ * } : X \rightarrow Y \) 是一个多扩大,设 \( \mathcal{F} \) 是一个内集 \( Y \) 的一些内子集构成的族, 它具有有限交性质并且 \( \operatorname{card}\left( \mathcal{F}\right) \leq \operatorname{card}\left( X\right) \) ,则 \( \cap \left( {F \mid F \in \mathcal{F}}\right) \neq \varnothing \) ,即 \( {}^{ * }X \) 是 \( \operatorname{card}\left( X\right) \) 饱和的.
多扩大的概括性 (comprehension property of polyenlargements) 关于多扩大具有概括性的一个命题. 设 \( {}^{ \star } : X \rightarrow Y \) 是一个多扩大,设 \( f \in Y \) 是一个外函数并且假定 \( f \) 的定义域满足
\[
\operatorname{card}\left( {\operatorname{dom}\left( f\right) }\right) \leq \operatorname{card}\left( X\right) ,
\]
设 \( D \) 与 \( R \) 是内集,且 \( D \supset \operatorname{dom}\left( f\right), R \supset \operatorname{rag}\left( f\right) \) ,则 \( f \) 有内扩张 \( F : D \rightarrow R \) ,使得对每个 \( x \in \operatorname{dom}\left( f\right), F\left( x\right) \) \( = f\left( x\right) \) ,即 * \( X \) 是概括的.
亨森引理 (Henson lemma) 关于模型同构的一个引理. 该引理断言: 对于每个其常量及关系个数少于 \( {\operatorname{card}}^{ + }\left( X\right) \left( \right. {\operatorname{card}}^{ + }\left( X\right) \) 是 \( \operatorname{card}\left( X\right) \) 的后继基数) 的一阶语言 \( L \) ,若 \( A \) 与 \( B \) 是 \( L \) 的初等价结构,它的定义域与关系是多扩大 \( {}^{ * }X \) 的内实体,并且 \( \operatorname{card}\left( A\right) \) \( = \operatorname{card}\left( B\right) \) ,则 \( A \) 与 \( B \) 是同构的.
## 非标准微积分
非标准微积分 (nonstandard calculus) 在分析的非标准模型中展开的微积分. 实数域 \( \mathrm{R} \) 及其上的各种关系构成的数学结构称为分析的标准模型. 在这个模型中展开的微积分,即在实数域 \( \mathrm{R} \) 上展开的微积分称为标准微积分. 超实数域 * \( \mathrm{R} \) 及其上的各种关系构成的数学结构称为分析的非标准模型. 在这个模型中展开的微积分,即在超实数域 \( {}^{ * }\mathrm{R} \) 上展开的微积分称为非标准微积分或无限小微积分.
分析的非标准模型与分析的标准模型有密切的联系. 首先, 分析的非标准模型是标准模型的真扩张, 标准模型中的一切关系都可以自然地扩张到非标准模型中. 特别地,超实数域 \( {}^{ * }\mathrm{R} \) 是实数域 \( \mathrm{R} \) 的真扩张; 其次, 在标准模型中成立的任何一个可形式化的命题 \( \psi \) ,其相应的命题 * \( \psi \) (即把 \( \psi \) 中出现的每个常量的符号换成其相应的自然扩张的符号) 在非标准模型中也成立, 反之亦然. 例如命题
\[
\left( {\forall x, y \in \mathrm{R}}\right) \left( {\exists z \in \mathrm{R}}\right) \;\left( {x + y = z}\right)
\]
在标准模型中成立, 故其相应的命题在非标准模型中也成立, 即
\[
\left( {\forall x, y \in \cdot \mathrm{R}}\right) \left( {\exists z \in \cdot \mathrm{R}}\right) \left( {x + y = z}\right) ,
\]
这就是所谓的转换原理. 这个原理就是莱布尼茨 (Leibinz, G. W. ) 所说的 “用于有限实数的法则也适用于无限实数, 并且倒过来也对”这个原理的精确化. 这个精确化澄清了持续三百多年的关于微积分基础方面的一个重大的引起长期争论的含糊不清的问题, 这正是鲁宾孙 (Robinson, A. ) 的重大功绩之一. 由转换原理可知, 作为分析的非标准模型的基础的超实数域与实数域在一定的范围内具有完全相同的性质. 那么超实数域 \( {}^{ * }\mathrm{R} \) 与实数域 \( \mathrm{R} \) 有些什么不同呢? 首先,因为 * \( \mathrm{R} \) 含有无限大的数,所以它是非阿基米德的; 其次, \( {}^{ \circ }\mathrm{R} \) 不是完备的,而 \( \mathrm{R} \) 是完备的. 这些不同之点是否与转换原理相矛盾呢? 所谓 \( \mathrm{R} \) 是阿基米德的, 就是下述命题成立:
\[
\left( {\forall x \in \mathrm{R}}\right) \left( {\exists n \in \mathrm{N}}\right) \;\left( {x < n}\right) ,
\]
其中 \( \mathrm{N} \) 是自然数的集合. 人们说 * \( \mathrm{R} \) 不是阿基米德的,就是说,上述命题对 * \( \mathrm{R} \) 不成立,即
\[
\left( {\exists x \in \cdot \mathrm{R}}\right) \left( {\forall n \in \mathrm{N}}\right) \;\left( {n \leq x}\right) ,
\]
这只要取 \( x \) 等于正无限大即可. 但这个事实并不与转换原理矛盾, 转换原理保证命题
\[
\left( {\forall x \in \cdot \mathrm{R}}\right) \left( {\exists n \in \cdot \mathrm{N}}\right) \;\left( {x < n}\right)
\]
在 * R 中仍然成立, 即对每个超实数, 一定存在一个比它大的超自然数. 关于非完备性的情况类似.
非标准微积分的特点在于人们可以自由地使用无限小的数与无限大的数来陈述概念和进行推理. 这样既保证了有限情形与无限情形的统一, 又保证了数学上的严格性, 使概念的数学定义更加接近它的直观含义, 使数学推理更加简明自然. 下面以函数连续性的非标准特征及导数与积分的非标准特征来说明非标准微积分的特点.
由转换原理可知, 在标准模型中的每一个函数 \( f : \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R} \) 在非标准模型中有一个像 * \( f : {}^{ * }\mathrm{R} \rightarrow {}^{ * }\mathrm{R} \) ,并且 \( {}^{ * }f \) 是 \( f \) 的一个扩张. 注意在不致混淆的情况下, 通常人们总是把 * \( f \) 也写成 \( f \) . 所谓一个函数是连续的, 其直观的意义是当自变量无限接近时, 其函数值也无限接近,即若 \( x \approx a \) 时,有 \( f\left( x\right) \approx f\left( a\right) \) ,则说 \( f\left( x\right) \) 在点 \( a \) 连续. 但在标准微积分中,这个概念的叙述不可能是如此直截了当的,而是 “ \( \forall \varepsilon \in {\mathrm{R}}^{ + },\exists \delta \in \) \( {\mathrm{R}}^{ + },\forall x \in \mathrm{R},\left| {x - a}\right| < \delta \Rightarrow \left| {f\left( x\right) - f\left( a\right) }\right| < \varepsilon \) ”. 可以证明, 这两种说法是等价的.
类似地, 人们可以给出导数与积分的非标准特征. 所谓一个函数是可导的, 就是当自变量无限接近时,其差商有限且无限接近,即当 \( x \approx a, x \neq a, y \approx a \) , \( y \neq a \) ,时,有
\[
\frac{f\left( x\right) - f\left( a\right) }{x - a} \approx \frac{f\left( y\right) - f\left( \alpha \right) }{y - a}.
\]
容易证明,这些差商的标准部分就是函数在点 \( a \) 的标准意义下的导数, 即
\[
{f}^{\prime }\left( a\right) = \left( \frac{f\left( x\right) - f\left( a\right) }{x - a}\right), x \approx a, x \neq a.
\]
所谓一个函数的积分就是无限求和, 即
\[
{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = \left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\lambda }f\left( {x}_{k}\right) \Delta {x}_{k}}\right) ,
\]
其中 \( a, b \in \mathrm{R},\lambda \in * \mathrm{\;N} \smallsetminus \mathrm{N}, a = {x}_{0},{x}_{1} = a + \left( {b - a}\righ |
2000_数学辞海（第3卷） | 203 | . 但在标准微积分中,这个概念的叙述不可能是如此直截了当的,而是 “ \( \forall \varepsilon \in {\mathrm{R}}^{ + },\exists \delta \in \) \( {\mathrm{R}}^{ + },\forall x \in \mathrm{R},\left| {x - a}\right| < \delta \Rightarrow \left| {f\left( x\right) - f\left( a\right) }\right| < \varepsilon \) ”. 可以证明, 这两种说法是等价的.
类似地, 人们可以给出导数与积分的非标准特征. 所谓一个函数是可导的, 就是当自变量无限接近时,其差商有限且无限接近,即当 \( x \approx a, x \neq a, y \approx a \) , \( y \neq a \) ,时,有
\[
\frac{f\left( x\right) - f\left( a\right) }{x - a} \approx \frac{f\left( y\right) - f\left( \alpha \right) }{y - a}.
\]
容易证明,这些差商的标准部分就是函数在点 \( a \) 的标准意义下的导数, 即
\[
{f}^{\prime }\left( a\right) = \left( \frac{f\left( x\right) - f\left( a\right) }{x - a}\right), x \approx a, x \neq a.
\]
所谓一个函数的积分就是无限求和, 即
\[
{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = \left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\lambda }f\left( {x}_{k}\right) \Delta {x}_{k}}\right) ,
\]
其中 \( a, b \in \mathrm{R},\lambda \in * \mathrm{\;N} \smallsetminus \mathrm{N}, a = {x}_{0},{x}_{1} = a + \left( {b - a}\right) /\lambda \) , \( \cdots ,{x}_{n} = b \) 是 \( {}^{ * }\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 的一个分割, \( \Delta {x}_{k} = {x}_{k} - {x}_{k - 1} \) .
由上述过程可以看出, 利用分析的非标准模型, 人们不仅可以对无限接近这个直观概念提供一个更好的严格的数学表达, 而且可以把无限问题有限化, 把连续问题离散化.
非标准微积分的思想及其基本内容均由非标准分析的创始人鲁宾孙 (Robinson, A. ) 于 20 世纪 60 年代初提出. 1966 年出版的第一本非标准分析专著 《非标准分析》(鲁宾孙著)专门有一章叙述非标准微积分. 1976 年出版了可供大学生使用的非标准微积分教材《初等微积分》 (开斯勒 (Keisler, H. J. ) 著), 这本教材先后在美国威斯康辛大学及其他大学试用过, 得到了好评. 同年出版了配合上述教材的教师用书《无限小微积分基础》(开斯勒著). 1979 年出版了更加通俗易懂的供大学生使用的非标准微积分教材 《无限小微积分》(亨内 (Henle, J. M. ) 及克莱因伯尔格 (Kleinberg, E. M. ) 著). 此后出版的非标分析专著中都有少量关于非标准微积分的论述.
无限小微积分 (infinitesimal calculus) 即 “非标准微积分”.
超实数公理 (axioms for hyperreal numbers) 指超实数域公理化定义中的公理系统. 若三元组 \( \left( {R,{}^{ * }R, * }\right) \) 满足如下四条公理,则 \( R \) 称为实数域, * \( \mathrm{R} \) 称为超实数域, \( * \) 称为自然扩张映射:
公理 A:R 是一个完备的有序域;
公理 B: * \( \mathrm{R} \) 是 \( \mathrm{R} \) 的真的有序域扩张;
公理 C: (函数公理) 对于每个 \( n \) 元实函数 \( f \) ,存在一个对应的 \( n \) 元超实函数 \( {}^{ * }f,{}^{ * }f \) 称为 \( f \) 的自然扩张. * R 的域运算是 R 的域运算的自然扩张;
公理 D: (解公理) 如果两组公式有相同的实数解, 则它们有相同的超实数解. 例如, 实数的平方根函数由下述规则定义: \( \sqrt{x} = y \) 当且仅当 \( \left\{ {{y}^{2} = x,0}\right. \) \( \leq y\} \) . 由解公理,其自然扩张 \( \sqrt[x]{} \) 由同样的规则所定义,只是 \( x \) 和 \( y \) 取超实数而己. 解公理实际上就是转换原理.
由上述四条公理定义的超实数域可以有任意大的基数, 因而不是惟一确定的. 这与实数域是惟一的完备有序域不同. 为了确定起见, 需要另一个公理:
公理 E: (饱和公理) 设 \( S \) 是由等式和不等式构成的集合, 其基数小于 R 的基数. 这些等式和不等式只涉及实函数、超实数和变元,若 \( S \) 的每个有限子集有超实数解,则 \( S \) 有超实数解.
满足上述公理 A 到公理 \( \mathrm{E} \) 并且 \( {}^{ * }\mathrm{R} \) 的基数是第一个非可数的不可达基数时, \( \left( {R,{}^{ * }R, * }\right) \) 在精确到同构的意义下是惟一确定的. 上述公理系统及定理是开斯勒 (Keisler, H. J. ) 于 1976 年给出的.
超实数域 (hyperreal number field) 实数域 \( R \) 在分析的非标准模型中的自然扩张,记为 * R. 超实数域与实数域一个重要区别是: 尽管实数域与超实数域都有各种不同的建立办法, 但精确到序同构, 实数域是惟一的, 而超实数域不是惟一的. 容易证明, 在 \( \kappa \) 饱和的非标准全域中的无限内集至少具有基数 \( \kappa \) ,因而在这个模型中, \( {}^{ * }\mathrm{R} \) 至少具有基数 \( \kappa \) . 由于在拓扑学的研究中, 需要任意大基数的非标准全域, 因而不能固定 \( {}^{ * }\mathrm{R} \) 的基数. 但是,如果只是研究非标准微积分, 任何一个超实数域即可.
超实数轴 (hyperreal axis) 即超实数直线. 在标准情况下, 直线上的点可与实数一一对应, 并认为所有实数由小而大可以从左至右排在直线上, 这样的直线称为实数轴. 类似地, 也可以假设直线上的点与超实数一一对应, 并认为所有超实数由小而大可以从左至右排在直线上, 这样的直线称为超实数轴, 见下图. 在通常实数轴上, 可以标出一部分整数及某些小数. 若要标出很小的数及很大的数, 那就需要把图形放大或缩小. 同样的道理, 为了看到无限小的数或无限大的数, 需要借助无限小显微镜及无限大望
远镜. 在图上, 中间的圆面是对应 0 的无限小显微镜,人们看到了无限小 \( - \varepsilon \) 及 \( \varepsilon \) ,为了看到无限小 \( \varepsilon \) ,
人们需要放大倍数为 \( 1/\left| \varepsilon \right| \) 倍的无限小显微镜. 图上两侧的圆面是分别对应无限大数 \( - 1/\varepsilon \) 及 \( 1/\varepsilon \) 的无限大望远镜.
无限小显微镜 (infinitesimal microscopes) 一种映射. 它把超实轴上或超平面上的一无限小部分映为实轴上或实平面上的一部分, 用来观察超实轴上或超平面上的无限小部分的几何结构. 以平面为例,设 \( \left( {a, b}\right) \) 是超平面上一点, \( \delta \) 是一个正无限小,对着 \( \left( {a, b}\right) \) 的 \( \delta \) 无限小显微镜是一个映射 \( m \) :
\[
m\left( {a + {\delta x}, b + {\delta y}}\right) = \left( {x, y}\right) \left( {{x}^{2} + {y}^{2} \leq 4}\right) .
\]
\( m \) 把 \( \left( {a, b}\right) \) 映为 \( \left( {0,0}\right) \) ,把中心在 \( \left( {a, b}\right) \) ,半径为 \( {2\delta } \) 的圆面映为中心在原点、半径为 2 的圆面, 放大倍数为 \( 1/\delta \) ,但保持方向不变. 例如,若函数 \( y = f\left( x\right) \) 在 \( x = \) \( {x}_{0} \) 时的导数为 \( S \) ,则对着
\( \left( {{x}_{0}, f\left( {x}_{0}\right) }\right) \) 的无限小显微镜如右图. \( {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = S \) 当且仅当在对着 \( \left( {{x}_{0}, f\left( {x}_{0}\right) }\right) \) 的任意无限小显微镜中, 曲线 \( y = f\left( x\right) \) 的像是斜率为 \( S \) 的直线.
无限大望远镜 (infinite telescopes) 一种映射. 它把超实轴或超平面上无限远处的一部分映为实轴上或实平面上一部分. 以平面为例,设 \( \left( {a, b}\right) \) 是超实平面上无限远处的一点,即 \( {a}^{2} + {b}^{2} \) 是无限大, 对着 \( \left( {a, b}\right) \) 的无限大望远镜是一个映射 \( t : t(a + x, b \) \( + y) = \left( {x, y}\right) \cdot t \) 把 \( \left( {a, b}\right) \) 映为 \( \left( {0,0}\right) \) ,把中心在 \( (a \) , \( b) \) 、半径为 2 的圆面映为中心在原点、半径为 2 的圆面, 即保持距离又保持方向, 见“超实数轴”的图.
函数公理 (function axiom) 见 “超实数公理”.
解公理 (solution axiom) 见 “超实数公理”. 它是转换原理的初等形式.
饱和公理 (saturation axiom) 见 “超实数公理”.
部分实数解 (partial real solution) 实数解集的子集. 设 \( T \) 是一组公式,其变元为 \( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{k} \) , \( \cdots ,{x}_{n} \) . 实数构成的 \( k \) 元组 \( \left( {{c}_{1},{c}_{2},\cdots ,{c}_{k}}\right) \) 称为 \( T \) 的部分实数解,如果它可以扩展为 \( T \) 的实数解 \( \left( {{c}_{1},{c}_{2}}\right. \) , \( \left. {\cdots ,{c}_{k},\cdots ,{c}_{n}}\right) \) .
部分超实数解 (partial hyperreal solution) 超实数解集的子集. 设 \( T \) 是一组公式,其变元为 \( {x}_{1} \) , \( {x}_{2},\cdots ,{x}_{k},\cdots ,{x}_{n} \) . 超实数构成的 \( k \) 元组 \( \left( {{c}_{1},{c}_{2},\cdots ,{c}_{k}}\right) \) 称为 \( T \) 的部分超实数解,如果它可以扩展为 \( T \) 的超实数解 \( \left( {{c}_{1},{c}_{2},\cdots ,{c}_{k},\cdots ,{c}_{n}}\right) \) .
部分解定理 (partial solution theorem) 解公理的一个推论. 该推论断言: 设 \( S \) 是一组公式,其变元为 \( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{k} \cdot T \) 也是一组公式,其变元为 \( {x}_{1} \) , \( {x}_{2},\cdots ,{x}_{k},\cdots ,{x}_{n} \) . 则下述命题等价:
\( 1.S \) 的每个实数解是 \( T \) 的部分实数解.
2. \( S \) 的每个实数解是 \( T \) 的部分超实数解.
3. \( S \) 的每个超实数解是 \( T \) 的部分超实数解.
标准实数 (standard real numbers) 即通常的实数. 设 \( \mathrm{R} \) 是实数域, \( {}^{ * }\mathrm{R} \) 是超实数域,则 \( \mathrm{R} \subset {}^{ * }\mathrm{R} \) . \( \mathrm{R} \) 中的元素称为标准实数. * \( \mathrm{R} \) 中的其他元素称为非标准实数.
非标准实数 (nonstandard real numbers) 见 “标准实数”.
无限小 (infinitesimal) 亦称无穷小, 指其绝对值小于任何正实数的数. 设 \( x \in \cdot \mathrm{R} \) ,若对每个正实数 \( r,\left| x\right| < r \) ,则称 \( x \) 是无限小. 若存在实数 \( r \) ,有 \( \left| x\right| \) \( < r \) ,则称 \( x \) 是有限数. 若对每个实数 \( r,\left| x\right| > r \) ,则称 \( x \) 是无限大. 显然, \( x \) 是无限大当且仅当 \( {x}^{-1} \) 是无限小.
无穷小 (infinitesimal) 即 “无限小”.
无限大 (infinite) 亦称无穷大. 见 “无限小”.
无穷大 (infinite) 即 “无限大”.
无限接近 (infinitely close) 设 \( x, y \in \cdot \mathrm{R} \) ,若 \( x \) \( - y \) 是无限小,则称 \( x \) 与 \( y \) 无限接近,记为 \( x \approx y \) . 更一般地,设 \( X \) 是豪斯多夫拓扑空间, \( {}^{ * }X \) 是 \( X \) 在 *-映射下的像. \( p, q \) 是 * \( X \) 中的两个点. 若 \( p \) 与 \( q \) 属于同一个单子,则称 \( p \) 与 \( q \) 无限接近,记为 \( p \approx q \) .
单子 (monad) 亦称晕. 相互无限接近的点的集合. 设 \( x \in \mathrm{R} \) ,集合 \( M\left( x\right) = \{ y \in \cdot \mathrm{R} \mid x \approx y\} \) 称为 \( x \) 所在的单子. 任意两个单子或者相等或者不交. 单子 \( M\left( 0\right) \) 是一切无限小之集. 容易证明单子 \( M\left( 0\right) \) 是 * \( R \) 的子环,是银河 \( G\left( 0\right) \) 的理想,即无限小的和、差、积仍然是无限小, 有限数与无限小的乘积是无限小. 更一般地,设 \( \left( {X,\tau }\right) \) 是一个拓扑空间, \( a \) 是 \( X \) 的一个元素, \( a \) 的单子是 \( {}^{ * }X \) 的一个子集 \( M\left( a\right) = \bigcap \left\{ {{}^{ * }O \mid a \in }\right. \) \( O, O \in \tau \} \) . 这个概念是鲁宾孙 (Robinson, A. ) 研究非标准拓扑时提出的, 后来由卢森伯尔格 (Luxemburg, W. A. J. ) 扩张到任意的集族. 设 \( \mathcal{A} \) 是标准全域中的任一个集族,则 \( \mu \left( \mathcal{A}\right) = \bigcap \left\{ {{}^{ * }A \mid A \in \mathcal{A}}\right\} \) 与 \( \gamma \left( \mathcal{A}\right) = \bigcup \left\{ {{}^{ * }A \mid A \in \mathcal{A}}\right\} \) 分别称为 \( \mathcal{A} \) 的交单子与并单子.
晕 (halo) 即“单子”.
银河 (galaxy) 相互距离为有限的点构成的集合. 设 * \( \mathrm{R} \) 是超实数域, \( a \in {}^{ * }\mathrm{R},{}^{ * }\mathrm{R} \) 中与 \( a \) 距离为有限的点构成的集合称为 \( a \) 所在的银河,记为 \( \operatorname{Gal}\left( a\right) \) 或 \( G\left( a\right) \) . 若 \( X \) 是度量空间,则在 * \( X \) 中也可类似地定义银河概念. 任意两个银河或者相等或者不交. 银河 \( G\left( 0\right) \) 是有限超实数之集. 容易证明,银河 \( G\left( 0\right) \) 是 * \( R \) 的子环,即有限超实数的和、差、积仍然是有限超实数.
标准部分公理 (standard part axiom) 关于有限超实数与标准实数之间关系的一个公理. 该公理断言: 超实数域 * R 中每个有限数无限接近于惟一的实数.
标准部分定理 (standard part theorem) 关于有限超实数与实数的关系的一个定理. 该定理断言: 设 \( x \) 是任意一个有限超实数,则存在惟一的实数 \( r \) , 使得 \( x \) 与 \( r \) 无限接近,记为 \( r = \operatorname{st}\left( x\right) \) 或 \( r = {}^{ \circ }x.r \) 称为 \( x \) 的标准部分.
标准部分 (standard part) 亦称影. 见 “标准部分定理”. 设 \( x, y \) 是任意两个有限超实数,则它们的标准部分之间有下列关系:
1. \( \operatorname{st}\left( {x + y}\right) = \operatorname{st}\left( x\right) + \operatorname{st}\left( y\right) \) .
2. \( \operatorname{st}\left( {x - y}\right) = \operatorname{st}\left( x\right) - \operatorname{st}\left( y\right) \) .
3. \( \operatorname{st}\left( {xy}\right) = \operatorname{st}\left( x\right) \operatorname{st}\left( y\right) \) .
以上三条说明标准部分函数是环 \( G\left( 0\right) \) 到实数域上的同态.
4. 若 \( \operatorname{st}\left( y\right) \neq 0 \) ,则 \( \operatorname{st}\left( {x/y}\right) = \operatorname{st}\left( x\right) /\operatorname{st}\left( y\right) \) .
5. 若 \( y = \sqrt[n]{x} \) ,则 \( \operatorname{st}\left( y\right) = \sqrt[n]{\operatorname{st}\left( x\right) } \) .
6. 若 \( x \leq y \) ,则 \( \operatorname{st}\left( x\right) \leq \operatorname{st}\left( y\right) \) .
影(shadow) 即“标准部分”.
标准部分映射 (standard part map) 有限超实数集到实数集的一个映射. 设 \( \operatorname{Fin}\left( {{}^{ * }\mathrm{R}}\right) \) 是一切有限超实数集,则映射 \( \mathrm{{st}} : \operatorname{Fin}\left( {*\mathrm{R}}\right) \rightarrow \mathrm{R},\mathrm{{st}}\left( y\right) = x \) ,当且仅当 \( x \approx y \) ,称为标准部分映射. \( x \) 称为 \( y \) 的标准部分. 这个概念可推广到一般拓扑空间. 设 \( X \) 是拓扑空间, \( {}^{ * }X \) 是 \( X \) 的自然扩张, \( \mathrm{{ns}}\left( {{}^{ * }X}\right) \) 是 \( {}^{ * }X \) 中的一切近标准点集,则映射 \( \mathrm{{st}} : \mathrm{{ns}}\left( {*X}\right) \rightarrow X,\mathrm{{st}}\left( y\right) = x \) ,当且仅当 \( x \approx y \) ,即 \( y \) 属于 \( x \) 的单子,称为标准部分映射.
超 实数存在定理 (existence theorem for hyper-real number |
2000_数学辞海（第3卷） | 204 | me{st}\left( {x/y}\right) = \operatorname{st}\left( x\right) /\operatorname{st}\left( y\right) \) .
5. 若 \( y = \sqrt[n]{x} \) ,则 \( \operatorname{st}\left( y\right) = \sqrt[n]{\operatorname{st}\left( x\right) } \) .
6. 若 \( x \leq y \) ,则 \( \operatorname{st}\left( x\right) \leq \operatorname{st}\left( y\right) \) .
影(shadow) 即“标准部分”.
标准部分映射 (standard part map) 有限超实数集到实数集的一个映射. 设 \( \operatorname{Fin}\left( {{}^{ * }\mathrm{R}}\right) \) 是一切有限超实数集,则映射 \( \mathrm{{st}} : \operatorname{Fin}\left( {*\mathrm{R}}\right) \rightarrow \mathrm{R},\mathrm{{st}}\left( y\right) = x \) ,当且仅当 \( x \approx y \) ,称为标准部分映射. \( x \) 称为 \( y \) 的标准部分. 这个概念可推广到一般拓扑空间. 设 \( X \) 是拓扑空间, \( {}^{ * }X \) 是 \( X \) 的自然扩张, \( \mathrm{{ns}}\left( {{}^{ * }X}\right) \) 是 \( {}^{ * }X \) 中的一切近标准点集,则映射 \( \mathrm{{st}} : \mathrm{{ns}}\left( {*X}\right) \rightarrow X,\mathrm{{st}}\left( y\right) = x \) ,当且仅当 \( x \approx y \) ,即 \( y \) 属于 \( x \) 的单子,称为标准部分映射.
超 实数存在定理 (existence theorem for hyper-real numbers) 关于超实数存在的一个定理. 该定理断言: 设 \( \mathrm{R} \) 是实数域,则存在 \( \mathrm{R} \) 的有序域扩张 * \( \mathrm{R} \) 及 * 映射, 满足超实数公理 A 到公理 D.
超实数域的惟一性定理 (uniqueness theorem for hyperreal number field) 关于超实数域惟一性的定理. 该定理断言: 满足超实数公理 A 到公理 \( \mathrm{E} \) , 并且 \( {}^{ * }\mathrm{R} \) 的基数是第一个非可数的不可达基数时, \( \left( {R,{}^{ * }R, * }\right) \) 在精确到同构的意义下是惟一的.
超结构的初等部分 (elementary part of superstructure) 超结构的个体集及个体集上的一切 \( n \) \( \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) 元关系构成的子集合. 设 \( V\left( \mathrm{R}\right) \) 是以 \( \mathrm{R} \) 为个体集的超结构, 其子集
\[
\mathrm{R} \cup \mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\mathcal{P}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right)
\]
称为超结构 \( V\left( R\right) \) 的初等部分,其中 \( \mathcal{P}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的幂集.
* 映射的初等部分 (elementary part of \( * \) -map) * 映射在超结构的初等部分上的局限. * 映射是* : \( V\left( \mathrm{R}\right) \rightarrow {}^{ * }V\left( \mathrm{R}\right) \) . * 映射的初等部分是:
\[
{}^{ * }J : \mathrm{R} \cup \mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\mathcal{D}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \rightarrow {}^{ * }V\left( \mathrm{R}\right) ,{}^{ * }J\left( x\right) = {}^{ * }x.
\]
初等扩张原理 (elementary extension principle) 转换原理在 * 映射的初等部分的局限. 转换原理就是: \( V\left( \mathrm{R}\right) \) 中的句子 \( \varphi \) 在 \( V\left( \mathrm{R}\right) \) 中为真,当且仅当 * \( \varphi \) 在 \( {}^{ * }V\left( \mathrm{R}\right) \) 中为真. 初等扩张原理断言: \( V\left( \mathrm{R}\right) \) 的初等部分中的句子,即 \( \mathrm{R} \) 的一阶谓词中的句子在 \( \mathrm{R} \) 中为真,当且仅当 \( {}^{ * }\varphi \) 在 \( {}^{ * }\mathrm{R} \) 中为真. 超结构的初等部分、 * 映射的初等部分及初等扩张原理是开斯勒 (Keisler, H. J. ) 于 1976 年在《无穷小分析基础》一书中提出的.
扩张定理 (extension theorem) 超实数域到超结构的扩张定理. 该定理断言: 设 \( \left( {R,{}^{ * }R, * }\right) \) 满足超实数公理 A 到公理 D,则存在超结构嵌入 \( * : V\left( \mathrm{R}\right) \) \( \rightarrow V\left( {{}^{ * }\mathrm{R}}\right) \) ,满足转换原理并且前面的 * 映射是后面的 * 映射的初等部分.
饱和的超结构嵌入 (saturated superstructure embedding）具有饱和性的超结构嵌入. 一个超结构嵌入 \( * : V\left( \mathrm{R}\right) \rightarrow V\left( {{}^{ * }\mathrm{R}}\right) \) 称为是饱和的,若其基数小于 \( {}^{ * }\mathrm{R} \) 的基数的由内集构成的族 \( X \) 的每个有限子集有非空交,则 \( X \) 有非空交.
超结构嵌入存在定理 (existence theorem for superstructure embeddings) 关于超结构嵌入存在性的定理. 该定理断言: 存在满足转换原理的超结构嵌入 \( * : V\left( \mathrm{R}\right) \rightarrow V\left( {*\mathrm{R}}\right) \) .
超结构嵌入惟一性定理 (uniqueness theorem for superstructure embeddings) 关于超结构嵌入惟一性的定理. 该定理断言: 在精确到同构的意义下,存在惟一的超结构嵌入 \( * : V\left( \mathrm{R}\right) \rightarrow V\left( {*\mathrm{R}}\right) \) ,使得:
1. * 满足转换原理.
2. * 是饱和的.
3. * \( \mathrm{R} \) 与所有内集的族的基数均为第一个非可数的不可达基数.
序列有界的非标准特征 (the nonstandard characterization of bounded sequences) 用序列元素的有限性刻画序列的有界性. 实数序列 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) 有界,当且仅当其自然扩张 * \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) 的每个元素有限.
序列的极限点的非标准特征 (the nonstandard characterization of the limit points of sequences)
用序列的无限远处的项刻画序列的极限点. 设 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) 是实数序列, \( a \) 是它的极限点当且仅当存在无限大自然数 \( n \) ,有 \( a \approx {a}_{n} \) .
序列收敛的非标准特征 (the nonstandard char-acterzation of the convergence of a sequence) 用序列的无限远处的项刻画序列的极限. 实数序列 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) 以 \( a \) 为极限当且仅当对于每个无限大的下标 \( n \) , \( {a}_{n} \approx a \) . 在这个命题中,人们用到了两个序列: 一个是通常的实数序列 \( {\left\{ {a}_{n}\right\} }_{n \in \mathbf{N}} \) ; 另一个是这个序列在非标准全域 \( {}^{ * }U \) 中的 * 像 \( {\left\{ {a}_{n}\right\} }_{n \in {}^{ * }\mathrm{N}} \) ,通常也简记为 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) .
二重序列收敛的非标准特征 (the nonstandard characterization of the convergence of double sequences）用二重序列的无限远处的项刻画它的极限. 二重实数序列 \( \left\{ {a}_{nm}\right\} \) 收敛到 \( a \) 的充分必要条件是对所有无限大自然数 \( n, m \) ,有 \( {a}_{nm} \approx a \) .
函数在一点处有界的非标准特征 (the nonstan-dardcharacterization of the boundedness of a function at a point) 用函数在一个点的单子内的有限性刻画它在该点某邻域内的有界性. 实函数 \( f\left( x\right) \) 在 \( {x}_{0} \) 有界 (即 \( f\left( x\right) \) 在 \( {x}_{0} \) 的某邻域内有界),当且仅当其自然扩张 \( {}^{ * }f\left( x\right) \) 在 \( {x}_{0} \) 的单子内有限.
极限的非标准特征 (the nonstandard characterization of limit) 用无限接近刻画函数的极限. 设 \( f\left( x\right) \) 是实函数,则
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) = l
\]
当且仅当 \( x \approx a \) ,并且 \( x \neq a \) 时, \( {}^{ * }f\left( x\right) \approx l \) .
级数收敛的非标准特征 (the nonstandard characterization of series convergence) 用无限接近刻画级数的收敛性. 级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{a}_{n}
\]
收敛到 \( S \) ,当且仅当对任意正无限大整数 \( H \) ,有 \( S \) \( \approx {a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{H} \) . 级数
\[
\sum \underset{n = 1}{\overset{\infty }{x}}{a}_{n}
\]
收敛,当且仅当对于所有正无限大整数 \( H, K, H \) \( \leq K \) ,有 \( {a}_{H} + \cdots + {a}_{K} \approx 0 \) .
连续的非标准特征 (the nonstandard characterization of continuity) 用无限接近刻画函数的连续性. 函数 \( f : \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R} \) 在点 \( a \in \mathrm{R} \) 连续,当且仅当对每个 \( x \approx a \) ,有 \( {}^{ * }f\left( x\right) \approx f\left( a\right) \) .
一致连续的非标准特征(the nonstandard charcterization of uniform continuity) 用无限接近刻画函数的一致连续性. 函数 \( f : \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R} \) 在集合 \( A \) 上是一致连续的,当且仅当 \( x,{x}^{\prime } \in \cdot A, x \approx {x}^{\prime } \) 时, \( {}^{ * }f\left( x\right) \) \( \approx {}^{ * }f\left( {x}^{\prime }\right) \) .
超实中间值定理 (hyperreal intermediate value theorem) 超实连续函数 (连续函数的自然扩张) 仍具有中值性. 该定理断言: 设函数 \( f \) 在区间 \( I \) 上连续, \( x, y \in \cdot I, x < y \) ,并且对任意的 \( u \in \cdot \mathrm{R} \) ,只要 \( u \) 在 \( f\left( x\right) \) 和 \( f\left( y\right) \) 之间,则存在 \( z \in \cdot \left\lbrack {x, y}\right\rbrack \) ,有 \( f\left( z\right) = u \) .
超实最值定理 (hyperreal extreme value theorem) 超实连续函数仍具有最值性. 该定理断言: 设函数 \( f \) 在区间 \( I \) 上连续, \( x, y \in \cdot I, x < y \) ,则在超实数闭区间 \( \left\lbrack {x, y}\right\rbrack \) 上 \( f \) 有最大值和最小值,即存在 \( {z}_{1},{z}_{2} \) \( \in * I, x \leq {z}_{1} \leq y, x \leq {z}_{2} \leq y \) ,对任意 \( u \in \left\lbrack {x, y}\right\rbrack \) 有 \( f\left( {z}_{1}\right) \geq f\left( u\right), f\left( {z}_{2}\right) \leq f\left( u\right) \) . 超实中间值定理及超实最值定理是开斯勒 (Keisler, H. J. ) 在他的《无限小微积分基础》一书中使用的名称. 从内容来看, 称为超实连续函数或连续函数的自然扩张的中间值定理及最值定理较为切题. 为了查阅文献方便起见, 这里仍保持原名称.
\( S \) 连续 ( \( S \) -continuity) 超实数域上的函数的一种连续性. 函数 \( f : {}^{ * }\mathrm{R} \rightarrow {}^{ * }\mathrm{R} \) 在点 \( q \in {}^{ * }\mathrm{R} \) 是 \( S \) 连续的, 当且仅当对于每个 \( p \in {}^{ * }\mathrm{R} \) ,若 \( p \approx q \) ,则 \( f\left( p\right) \approx f\left( q\right) \) . 若 \( f \) 在每个点 \( q \in A \) 上 \( S \) 连续,则称 \( f \) 在 \( A \) 上 \( S \) 连续. 应用 \( S \) 连续的概念,可把连续性及一致连续性的特征简述如下: 函数 \( f \) 在 \( A \) 上是连续的,当且仅当 * \( f \) 在 \( A \) 上 \( S \) 连续; 函数 \( f \) 在 \( A \) 上是一致连续的,当且仅当 \( {}^{ * }f \) 在 \( {}^{ * }A \) 上 \( S \) 连续. \( S \) 连续的概念可以推广到超度量空间 (即度量空间的自然扩张),设 \( X, T \) 是两个度量空间, \( f : {}^{ * }X \rightarrow {}^{ * }T, q \in {}^{ * }X \) . 对于每个 \( p \in {}^{ * }X \) ,若 \( p \) \( \approx q \) ,则 \( f\left( p\right) \approx f\left( q\right) \) ,那么称 \( f \) 在点 \( q \) 是 \( S \) 连续的. 这个概念是鲁宾孙 (Robinson, A. ) 在他的专著《非标准分析》中引进的, 后来戴维斯 (Davis, M. D. ) 在他的《应用非标准分析》中也用到了这个概念, 但他把它称为微连续.
微连续 (microcontinuity) 见 “ \( S \) 连续”.
* 连续 (*-continuity) 超实数域上的函数的另一种连续性. 函数 \( f : * \mathrm{R} \rightarrow * \mathrm{R} \) 在点 \( q \in * \mathrm{R} \) 是 * 连续的,当且仅当对于任意给定的正超实数 \( \varepsilon \) ,存在一个正超实数 \( \delta \) ,使得当 \( \left| {p - q}\right| < \delta, p \in \cdot \mathrm{R} \) 时,有
\[
\left| {f\left( p\right) - f\left( q\right) }\right| < \varepsilon \text{.}
\]
显然,如果 \( f \) 在 \( \mathrm{R} \) 上连续,则 \( {}^{ * }f \) 在 \( {}^{ * }\mathrm{R} \) 上 \( {}^{ * } \) 连续. 但 \( S \) 连续与 * 连续不可比较. 例如,函数 \( f\left( x\right) = {x}^{2} \) 在 * R上 * 连续,但不是 \( S \) 连续的. 而函数
\[
f\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \left( {x \leq 0}\right) , \\ \eta & \left( {x > 0}\right) , \end{array}\right.
\]
其中 \( \eta \) 是一个正无限小超实数,在 \( x = 0 \) 是 \( S \) 连续的, 但不是 * 连续的.
\( {\varepsilon \delta } \) 连续 ( \( {\varepsilon \delta } \) -continuity) 超度量空间中的一种连续性. 设函数 \( f : {}^{ * }X \rightarrow {}^{ * }T \) ,其中 \( X, T \) 是度量空间, \( {}^{ * }X,{}^{ * }T \) 分别是 \( X, T \) 的自然扩张. 若对任意实数 \( \varepsilon > \) 0,存在实数 \( \delta > 0 \) ,使得对所有 \( p \in * X \) ,只要 \( \rho \left( {p, q}\right) \) \( < \delta \) 就有 \( \rho \left( {f\left( p\right), f\left( q\right) }\right) < \varepsilon \) ,则称函数 \( f \) 在 \( q \) 是 \( {\varepsilon \delta } \) 连续的. 如果 \( f \) 在 \( q \) 处是 \( {\varepsilon \delta } \) 连续的,则 \( f \) 在 \( q \) 处是 \( S \) 连续的. 但其逆不成立. 例如函数
\[
f\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \left( {x \approx 0}\right) \\ 1 & \text{ (其他) } \end{array}\right.
\]
是 \( S \) 连续的,但非 \( {\varepsilon \delta } \) 连续. 即 \( S \) 连续一般不蕴涵 \( {\varepsilon \delta } \) 连续,但对于内函数来说, \( S \) 连续蕴涵 \( {\varepsilon \delta } \) 连续.
可微函数的非标准特征 (the nonstandard characterization of differentiable function) 用差商的无限接近刻画函数的导数. 函数 \( f : \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R} \) 在点 \( a \in \mathrm{R} \)
有导数 \( {f}^{\prime }\left( a\right) \) ,当且仅当
\[
\frac{{}^{ * }f\left( x\right) - {}^{ * }f\left( a\right) }{x - a} \approx {f}^{\prime }\left( a\right) .
\]
对所有 \( x \approx a, x \neq a \) 成立.
无限小增量定理 (infinitesimal increment theorem) 超可微函数的增量定理. 该定理断言: 设 \( y \) \( = f\left( x\right) \) 是实函数, \( {f}^{\prime }\left( x\right) \) 存在并且 \( {\Delta x} \) 是非零无限小, 则 \( {\Delta y} = {f}^{\prime }\left( x\right) {\Delta x} + {\v |
2000_数学辞海（第3卷） | 205 | repsilon \delta } \) 连续的. 如果 \( f \) 在 \( q \) 处是 \( {\varepsilon \delta } \) 连续的,则 \( f \) 在 \( q \) 处是 \( S \) 连续的. 但其逆不成立. 例如函数
\[
f\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \left( {x \approx 0}\right) \\ 1 & \text{ (其他) } \end{array}\right.
\]
是 \( S \) 连续的,但非 \( {\varepsilon \delta } \) 连续. 即 \( S \) 连续一般不蕴涵 \( {\varepsilon \delta } \) 连续,但对于内函数来说, \( S \) 连续蕴涵 \( {\varepsilon \delta } \) 连续.
可微函数的非标准特征 (the nonstandard characterization of differentiable function) 用差商的无限接近刻画函数的导数. 函数 \( f : \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R} \) 在点 \( a \in \mathrm{R} \)
有导数 \( {f}^{\prime }\left( a\right) \) ,当且仅当
\[
\frac{{}^{ * }f\left( x\right) - {}^{ * }f\left( a\right) }{x - a} \approx {f}^{\prime }\left( a\right) .
\]
对所有 \( x \approx a, x \neq a \) 成立.
无限小增量定理 (infinitesimal increment theorem) 超可微函数的增量定理. 该定理断言: 设 \( y \) \( = f\left( x\right) \) 是实函数, \( {f}^{\prime }\left( x\right) \) 存在并且 \( {\Delta x} \) 是非零无限小, 则 \( {\Delta y} = {f}^{\prime }\left( x\right) {\Delta x} + {\varepsilon \Delta x} = \mathrm{d}y + {\varepsilon \Delta x} \) ,其中 \( \varepsilon \) 是某个无限小. 注意,此处与标准分析中不同的是,这里的 \( \varepsilon \) 是一个无限小的数,而在标准分析中, \( \varepsilon \) 是一个无限小变量.
超实中值定理 (hyperreal mean value theorem) 超可微函数的中值定理. 该定理断言: 设实函数 \( f \) 在区间 \( I \) 的内部可微, \( x, y \in \cdot I, x < y \) ,则存在 \( z \in \cdot \mathrm{R} \) , \( x < z < y \) ,有
\[
{f}^{\prime }\left( z\right) = \frac{f\left( y\right) - f\left( x\right) }{y - x}.
\]
可积函数的非标准特征 (the nonstandard characterization of integrable function) 用无限求和刻画函数的积分. 函数 \( f : \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \rightarrow \mathrm{R} \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上存在定积分
\[
{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
当且仅当
\[
{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x \approx \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\lambda }{}^{ * }f\left( {x}_{i}\right) \left( {{x}_{i} - {x}_{i - 1}}\right)
\]
对区间 \( {}^{ * }\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的每个无限细分 (即 \( {x}_{i - 1} \approx {x}_{i} \) ) 成立, 其中 \( \lambda \) 是无限大自然数.
无限和定理 (infinite sum theorem) 连续函数与其原函数关系的定理. 设:
1. \( h\left( x\right) \) 是区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的实连续函数;
2. \( B\left( {u, w}\right) \) 是实函数,具有可加性质:
\[
B\left( {u, w}\right) = B\left( {u, v}\right) + B\left( {v, w}\right)
\]
\[
\left( {u < v < w, u, v, w \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack }\right) \text{;}
\]
3. 对 \( \cdot \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 的任意无限小子区间 \( \left\lbrack {x, x + {\Delta x}}\right\rbrack \) ,
\[
\frac{B\left( {x, x + {\Delta x}}\right) }{\Delta x} \approx h\left( x\right) ;
\]
则 \( B\left( {a, b}\right) = {\int }_{a}^{b}h\left( x\right) \mathrm{d}x \) .
非正常积分的非标准特征 (the nonstandard characterization of improper integrals) 用无限接近刻画无界实函数及无限区间上实函数的积分的收敛性. 即:
1. 设函数 \( f \) 在半开区间 \( \lbrack a, b) \) 上连续,非正常积分
\[
{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = \mathop{\lim }\limits_{{u \rightarrow b}}{\int }_{a}^{u}f\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
收敛的充分必要条件是存在常数 \( L \) ,对任意的 \( u < b, u \approx b \) ,有 \( {\int }_{a}^{u}f\left( x\right) \mathrm{d}x \approx L \) . 非正常积分
\[
{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = \mathop{\lim }\limits_{{u \rightarrow b}}{\int }_{a}^{u}f\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
发散到 \( + \infty \) 的充分必要条件是对任意的
\[
u < b, u \approx b,{\int }_{a}^{u}f\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
是正无限大数.
2. 设函数 \( f \) 在 \( \left( {a, + \infty }\right) \) 上连续,非正常积分
\[
{\int }_{a}^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x = \mathop{\lim }\limits_{{u \rightarrow + \infty }}{\int }_{a}^{u}f\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
收敛的充分必要条件是存在常数 \( L \) ,对任意正无限大 \( H \) ,
\[
{\int }_{a}^{H}f\left( x\right) \mathrm{d}x \approx L.
\]
非正常积分
\[
{\int }_{a}^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x = \mathop{\lim }\limits_{{u \rightarrow + \infty }}{\int }_{a}^{u}f\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
发散到 \( + \infty \) 的充分必要条件是对任意无限大 \( H \) ,
\[
{\int }_{a}^{H}f\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
是正无限大.
超实向量 (hyperreal vectors) 分量为超实数的向量. 设 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n} \in {}^{ * }\mathrm{R} \) ,则向量 \( \left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}}\right) \) 称为超实向量.
无限小向量 (infinitesimal vectors) 长度为无限小的超实数向量. 超实数向量 \( A \) 称为无限小向量、 有限向量或无限大向量,如果它的长度 \( \left| A\right| \) 分别是无限小、有限的或无限大.
无限大向量(infinite vectors) 见“无限小向量”.
## 非标准拓扑
非标准拓扑 (nonstandard topology) 在非标准全域中展开的拓扑学. 正像使用无限小数和无限大数可使微积分的基本概念更加直观, 推理更加简明一样, 在非标准全域中展开拓扑学, 使用单子及饱和性可使拓扑学的基本概念更加直观, 推理更加简明. 设 \( \left( {X,\tau }\right) \) 是一个拓扑空间,其中 \( X \) 是任一非空集合, \( \tau \) 是 \( X \) 上的拓扑 \( (\tau \) 是 \( X \) 的一些子集构成的族, 空集和全集 \( X \) 属于 \( \tau \) ,并且 \( \tau \) 对有限交和任意并封闭). 设空间 \( X \) 及实数集合 \( \mathrm{R} \) 都是标准全域 \( V\left( S\right) \) 的个体集 \( S \) 的子集. 并设相应的非标准全域 \( {}^{ * }V\left( S\right) \) 是多饱和的,即基数不超过标准全域 \( V\left( S\right) \) 的基数并且具有有限交性质的内集族的全交非空. 更确切地说,若 \( {A}_{j} \in * V\left( S\right) ,{\left\{ {A}_{j}\right\} }_{j \in J} \) 具有有限交性质,并且 \( J \) 的基数 \( \leq \operatorname{card}V\left( S\right) \) ,则 \( \cap {\left\{ {A}_{j}\right\} }_{j \in J} \neq \varnothing \) . 此时, \( X \) 在 \( {}^{ * }V\left( S\right) \) 中的自然扩张 \( {}^{ * }X \) 是 \( X \) 的一个合适的非标准模型. 设 \( a \in X \) ,则 \( {}^{ * }X \) 的子集
\[
M\left( a\right) = \bigcap \left\{ {{}^{ * }O \mid a \in O\text{ 并且 }O \in \tau }\right\}
\]
称为 \( a \) 的单子. 若 \( x \in M\left( a\right) \) ,则称 \( x \) 近于 \( a \) 或近标准于 \( a \) . 所有近标准点的集合记为
\[
\operatorname{ns}\left( {*X}\right) = \{ x \in \cdot X \mid \exists a \in X, x \in M\left( a\right) \} .
\]
用单子可以成功地描述 “邻近” 这个概念. 由开集的定义可知, 一个集合是开集当且仅当它的每一个点是它的内点 (点 \( a \) 为集合 \( A \) 的内点,当且仅当 \( A \) 是 \( a \) 的一个邻域,即存在 \( O \in \tau \) ,使得 \( a \in O \subset A \) ),这反映了开集是包含它的每一个点的“邻近”所有点的集合. 使用单子概念,可以更直观地说成: 集合 \( A \) 是开集当且仅当 \( {}^{ * }A \) 中的每个标准点的单子包括在 \( {}^{ * }A \) 中,即设 \( A \subset X, A \) 是开集当且仅当 \( \forall a \in A, M\left( a\right) \) \( { \subset }^{ * }A \) . 事实上,若 \( A \) 是开集并且 \( a \in A \) ,则由单子的定义, \( M\left( a\right) \subset {}^{ * }A \) . 反之,若 \( A \) 不是开集,则存在 \( a \in \) \( A, a \) 不是 \( A \) 的内点,即 \( a \) 的每个开邻域 \( O \) 与 \( A \) 的余集的交非空: \( O \cap {A}^{c} \neq \varnothing \) . 显然集族
\[
\left\{ {{}^{ * }O \cap {}^{ * }{A}^{c} \mid a \in O, O \in \tau }\right\}
\]
具有有限交性质. 由多饱和性.
\[
\cap \left\{ {{}^{ * }O \cap {}^{ * }{A}^{c} \mid a \in O, O \in \tau }\right\} \neq \varnothing \text{.}
\]
这个集合中的任一元素属于 \( M\left( a\right) \) ,但不属于 * \( A \) .
再如函数的连续性, 它的直观意义是把邻近的点映为邻近的点. 标准的定义如下: 设 \( \left( {X,\mathcal{T}}\right) ,(Y \) , \( \mathcal{U} \) ) 是两个拓扑空间, \( f : X \rightarrow Y, f \) 在点 \( a \) 连续,当且仅当对任意的 \( U \in \mathcal{U}\left( {f\left( a\right) }\right) \left( {f\left( a\right) }\right. \) 的邻域系),存在 \( T \in \mathcal{T}\left( a\right) \) ( \( a \) 的邻域系),使得 \( f\left( T\right) \subset U \) . 这类似于用 \( \varepsilon - \delta \) 来描述实连续函数. 使用单子及饱和性可直接陈述为: \( f \) 在点 \( a \) 连续,当且仅当 \( {}^{ * }f\left( {M\left( a\right) }\right) \subset M \) \( \left( {f\left( a\right) }\right) \) ,即把单子映到单子内. 非标准方法在研究拓扑空间的紧性方面有更大的优点. 可以证明, 拓扑空间 \( X \) 是紧的当且仅当 \( {}^{ * }X \) 的所有点是近标准点. 这就把开集覆盖的性质转化为点集的性质. 利用这个性质, 很容易证明与紧性有关的定理, 例如, 吉洪诺夫定理一紧空间的乘积仍是紧空间.
开集的非标准特征 (the nonstandard characterization of open sets) 用单子刻画开集. 设 \( A \) 是拓扑空间 \( X \) 的一个子集,则 \( A \) 是开集,当且仅当对每个 \( a \in A \) ,其单子 \( M\left( a\right) \subset {}^{ * }A \) .
闭集的非标准特征 (the nonstandard characterization of closed sets) 用无限接近刻画闭集. 设 \( A \) 是拓扑空间 \( X \) 的一个子集,则 \( A \) 是闭集,当且仅当 \( a \in X \) 无限接近于某个 \( x \in {}^{ * }A \) 时,有 \( a \in A \) .
闭包的非标准特征 (the nonstandard characterization of closure) 用单子刻画闭包. 设 \( A \) 是拓扑空间 \( X \) 的一个子集,点 \( a \) 属于 \( A \) 的闭包 \( \bar{A} \) 当且仅当 \( a \) 的单子 \( M\left( a\right) \) 与 \( {}^{ * }A \) 的交非空.
聚点的非标准特征 (the nonstandard characterization of accumulation points) 用单子刻画聚点. 设 \( A \) 是拓扑空间 \( X \) 内的一个子集,则 \( x \) 是 \( A \) 的聚点,当且仅当 \( x \) 的单子 \( M\left( x\right) \) 至少包含一个点 \( z \) \( \in * A \smallsetminus \{ x\} \) .
网收敛的非标准特征 (the nonstandard characterization of net convergence) 用单子刻画网收敛. 拓扑空间 \( X \) 中的网 \( \left\{ {{S}_{n} \mid n \in J}\right\} \) (定向集 \( J \) 到拓扑空间 \( X \) 的映射) 收敛到 \( a \) ,当且仅当对每个 \( b \in {}^{ * }J \smallsetminus J \) 有 \( f\left( b\right) \in M\left( a\right) \) ,其中 \( M\left( a\right) \) 是 \( a \) 的单子.
网的聚点的非标准特征 (the nonstandard characterization of cluster points of nets) 用单子刻画网的聚点. 设 \( \left\{ {{S}_{n} \mid n \in J}\right\} \) 是拓扑空间 \( X \) 中的一个网 (定向集 \( J \) 到拓扑空间 \( X \) 内的映射),则 \( a \) 是网 \( \left\{ {S}_{n}\right. \) \( n \in J\} \) 的聚点的充分必要条件是,对某个 \( n \in * J \smallsetminus J \) , 有 \( f\left( n\right) \in M\left( a\right) \) ,其中 \( M\left( a\right) \) 是 \( a \) 的单子.
边界的非标准特征 (the nonstandard characterization of boundary) 用单子刻画边界点. 设 \( A \) 是拓扑空间 \( X \) 的一个子集,点 \( a \) 属于 \( A \) 的边界,当且仅当 \( a \) 的单子 \( M\left( a\right) \) 和 \( {}^{ * }A \) 及 \( {}^{ * }\left( {X \smallsetminus A}\right) = {}^{ * }X \smallsetminus {}^{ * }A \) 都有公共点.
紧集的非标准特征 (the nonstandard characterization of compact sets) 用无限接近刻画紧集. 设 \( A \) 是拓扑空间 \( X \) 的一个子集,则 \( A \) 是紧集,当且仅当 \( {}^{ * }A \) 的每个点无限接近于 \( A \) 的某个点.
紧空间的非标准特征 (the nonstandard characterization of compact spaces) 用近标准点刻画拓扑空间的紧性. 拓扑空间 \( X \) 是紧的,当且仅当 * \( X \) 的所有点是近标准点,即 \( {}^{ * }X \) 的每一点无限接近于 \( X \) 的某个点.
豪斯多夫空间的非标准特征 (the nonstandard characterization of Hausdorff spaces) 用单子刻画豪斯多夫空间. 拓扑空间 \( X \) 是豪斯多夫空间,当且仅当不同点的单子不交.
正则空间的非标准特征 (the nonstandard characterization of regular spaces) 用单子刻画拓扑空间的正则性. 拓扑空间 \( \left( {X,\tau }\right) \) 是正则的充分必要条件是, \( X \) 中的每一闭集 \( S \) 和 \( X \smallsetminus S \) 中的每一点 \( a \) 有 \( M\left( S\right) \cap M\left( a\right) = \varnothing \) ,其中 \( M\left( a\right) \) 是 \( a \) 的单子,
\[
M\left( S\right) = \bigcap \left\{ {{}^{ * }A \in \tau \mid S \subset A}\right\} .
\]
正规空间的非标准特征 (the nonstandard characterization of normal spaces) 用单子刻画拓扑空间的正规性. 拓扑空间 \( \left( {X,\tau }\right) \) 是正规的充分必要条件是, \( X \) 中的任意两个不相交的闭集 \( {S}_{1},{S}_{2} \) 的单子不交,即 \( M\left( {S}_{1}\right) \cap M\left( {S}_{2}\right) = \varnothing \) ,其中
\[
M\left( {S}_{i}\right) = \bigcap \left\{ {{}^{ * }A \mid A \in \tau ,{S}_{i} \subset A}\right\} .
\]
乘积拓扑的非标准特征 (the nonstandard characterization of the product topology) 用无限接近刻画乘积拓扑. 设 \( X \) 是 \( {X}_{i}\left( |
2000_数学辞海（第3卷） | 206 | \) 的每一点无限接近于 \( X \) 的某个点.
豪斯多夫空间的非标准特征 (the nonstandard characterization of Hausdorff spaces) 用单子刻画豪斯多夫空间. 拓扑空间 \( X \) 是豪斯多夫空间,当且仅当不同点的单子不交.
正则空间的非标准特征 (the nonstandard characterization of regular spaces) 用单子刻画拓扑空间的正则性. 拓扑空间 \( \left( {X,\tau }\right) \) 是正则的充分必要条件是, \( X \) 中的每一闭集 \( S \) 和 \( X \smallsetminus S \) 中的每一点 \( a \) 有 \( M\left( S\right) \cap M\left( a\right) = \varnothing \) ,其中 \( M\left( a\right) \) 是 \( a \) 的单子,
\[
M\left( S\right) = \bigcap \left\{ {{}^{ * }A \in \tau \mid S \subset A}\right\} .
\]
正规空间的非标准特征 (the nonstandard characterization of normal spaces) 用单子刻画拓扑空间的正规性. 拓扑空间 \( \left( {X,\tau }\right) \) 是正规的充分必要条件是, \( X \) 中的任意两个不相交的闭集 \( {S}_{1},{S}_{2} \) 的单子不交,即 \( M\left( {S}_{1}\right) \cap M\left( {S}_{2}\right) = \varnothing \) ,其中
\[
M\left( {S}_{i}\right) = \bigcap \left\{ {{}^{ * }A \mid A \in \tau ,{S}_{i} \subset A}\right\} .
\]
乘积拓扑的非标准特征 (the nonstandard characterization of the product topology) 用无限接近刻画乘积拓扑. 设 \( X \) 是 \( {X}_{i}\left( {i \in I}\right) \) 的乘积拓扑空间, \( f \) \( \in X, g \in * X \) ,则 \( g \approx f \) 当且仅当对每个 \( i \in I \) ,有 \( g\left( i\right) \) \( \approx f\left( i\right) \) ,即乘积空间中两个点无限接近,当且仅当它们的各坐标无限接近. 利用紧性及乘积拓扑的非标准特征, 很容易证明吉洪诺夫定理一紧空间的乘积仍是紧空间.
\( \mathbf{Q} \) 拓扑 ( \( Q \) -topology) 超拓扑空间 (即拓扑空间的自然扩张) 中的一种拓扑. 设 \( \left( {X,\tau }\right) \) 是一个拓扑空间. * \( X \) 的内开子集 (即 * \( \tau \) 的元素) 构成 * \( X \) 的一个拓扑基,这个基对应的拓扑称为 \( {}^{ * }X \) 的 \( Q \) 拓扑. 相应的拓扑概念都冠以字母 \( Q \) . 例如, \( Q \) 开集, \( Q \) 内部, \( Q \) 边界, \( Q \) 连续等. 一般地, \( {}^{ * }X \) 的内开集不构成 * \( X \) 的拓扑, 因为可能有些内开集的并不是内集. 例如, 一个单子内的所有内开集的并是这个单子, 但单子一般不是内集. 可是 * \( X \) 和空集都是内开集,并且任意两个内开集的交仍是内开集,即 * \( X \) 的内开子集构成 \( {}^{ * }X \) 的一个拓扑基.
\( S \) 拓扑 ( \( S \) -topology) 超度量空间 (即度量空间的自然扩张) 中的一种拓扑. 设 \( T \) 是度量空间,其度量为 \( \rho \) . 设 \( p \in \cdot T, r \in {\mathrm{R}}^{ + } \) (正实数集合),则集合 \( S\left( {p, r}\right) = \left\{ {q \in \cdot T \mid \rho \left( {p, q}\right) < r}\right\} \) 称为一个 \( S \) 球. 容易证明,两个 \( S \) 球的交中的任一点都是这个交之中的另一个 \( S \) 球的中心. 于是诸 \( S \) 球构成一个拓扑基, 其相应的拓扑称为 \( {}^{ * }T \) 的 \( S \) 拓扑. 相应的拓扑概念均冠以字母 \( S \) . 例如, \( S \) 开集, \( S \) 内部, \( S \) 边界, \( S \) 极限, \( S \) 连续等. 因为度量空间是拓扑空间,所以超度量空间中还有超拓扑空间中的 \( Q \) 拓扑. 一般地, \( Q \) 拓扑比 \( S \) 拓扑更精细. 事实上, \( {}^{ * }T \) 中的 \( Q \) 拓扑可以看成以 * \( T \) 中的开球的集为基的拓扑. 设 \( D \) 是 * \( T \) 中的一个内开集,则对于每个点 \( p \in D \) ,存在一个以 \( p \) 为中心, \( r \in {}^{ * }{\mathrm{R}}^{ + } \) (超正实数集合) 为半径的开球 \( B \) , 使 \( B \subset D \) ,而 \( D \) 就是所有这种开球的并. 因为每个 \( S \) 球可以看成一些开球的并,所以每个 \( S \) 开集是 \( Q \) 开集.
\( S \) 极限 ( \( S \) -limit) 在 \( S \) 拓扑下的极限. 设函数 \( f\left( x\right) \) 定义在 \( D \) 上, \( D \subset T \) ,取值在 \( S \) 中, \( T, S \) 均是度量空间, \( p \) 是 \( D \) 的 \( S \) 闭包中的一个点,称 \( {}^{ * }S \) 中的点 \( s \) 是当 \( x \) 趋于 \( p \) 时 \( f\left( x\right) \) 的 \( S \) 极限,如果对每一个标准实数 \( \varepsilon > 0 \) ,存在一个标准实数 \( \delta > 0 \) ,使得 \( D \smallsetminus \{ p\} \) 中所有的点 \( q \) ,若 \( \rho \left( {p, q}\right) < \delta \) ,则 \( \rho \left( {f\left( q\right), s}\right) < \varepsilon \) .
近标准点 (near standard points) 指与标准点无限接近的点. 设 \( \left( {X,\tau }\right) \) 是一个拓扑空间, \( {}^{ * }X \) 是 \( X \) 在 * 映射下的像, \( p \) 是 * \( X \) 中的一个点,若存在 \( X \) 中的点 \( q \) ,使得 \( p \) 无限接近 \( q \) ,则称 \( p \) 是近标准点. 否则, \( p \) 称为遥远点.
遥远点 (remote points) 见“近标准点”.
遥远性定理 (remoteness theorem) 关于遥远点存在性的一个定理. 该定理断言: 设 \( \left\{ {{p}_{n} \mid n \in \cdot \mathrm{N}}\right\} \) 为 * \( X \) 中的一个内点列, \( r > 0 \) 为实数,若对于一切 \( j \neq k\left( {j, k \in {\mathrm{N}}^{ + }}\right) ,\rho \left( {{p}_{j},{p}_{k}}\right) \geq r \) ,则存在某个 \( n \in {}^{ * }\mathrm{\;N} \) , \( {p}_{n} \) 是遥远点. 简单地说,带有限下标的项之间距离大于某个正实数的内序列之中必有遥远点.
度量空间中柯西列的非标准特征 (nonstandard characterization of Cauchy sequences of metric spaces) 用无限接近刻画度量空间中的柯西列. 度量空间中的点列 \( \left\{ {S}_{n}\right\} \) 是柯西列当且仅当对任意的 \( \nu \) , \( \mu \in \cdot \mathrm{N} \smallsetminus \mathrm{N} \) ,有 \( {S}_{\nu } \approx {S}_{\mu } \) ,即度量空间中的一个点列是柯西列当且仅当它的带无限下标的项相互无限接近.
度量空间的完备性的非标准特征 (nonstandard characterization of completeness of metric spaces ) 用非近标准点刻画度量空间的完备性. 度量空间 \( X \) 是完备的当且仅当* \( X \) 的每个非近标准点与 \( X \) 隔离,即对于 \( {}^{ * }X \) 的每个非近标准点 \( p \) ,存在正实数 \( r \) , 使得 \( \rho \left( {p, X}\right) \geq r \) .
度量空间中有界集的非标准特征 (nonstandard characterization of bounded subsets of metric spaces) 用有限性刻画有界性. 度量空间 \( X \) 的子集 \( B \) 是有界的当且仅当 * \( B \) 的每个元素是有限的 \( (p \) \( \in \cdot X \) 是有限点当且仅当存在 \( q \in X \) ,使得 \( \rho \left( {p, q}\right) \) 是有限的). 由紧集及有界集的非标准特征, 容易看出, 在度量空间中紧集是有界的.
等度连续的非标准特征 (nonstandard characterization of equicontinuity) 用 \( S \) 连续刻画等度连续. 设 \( X, T \) 是两个度量空间, \( {f}_{n} : X \rightarrow T \) ,函数列 \( \left\{ {f}_{n}\right\} \) 在 \( X \) 上是等度连续的,当且仅当对于每个 \( n \in \cdot \mathrm{N} \) , \( {f}_{n} \) 在 \( {}^{ * }X \) 上 \( S \) 连续.
逼近定理 (approximation theorem ) 用内函数逼近连续函数的一个定理. 该定理断言: 设 \( X \) 和 \( T \) 均为度量空间, \( X \) 是紧的. \( f : \cdot X \rightarrow \cdot T \) 是 \( S \) 连续的内函数,并且对于一切 \( p \in X, f\left( p\right) \) 是近标准的, 若令 \( F\left( p\right) = \operatorname{st}\left( {f\left( p\right) }\right) \left( {p \in X}\right) \) ,则 \( F \) 在 \( X \) 上连续, 而且对于每个 \( p \in \cdot X,{}^{ * }F\left( p\right) \approx f\left( p\right) \) .
## 非标准测度论
非标准测度论 (nonstandard measure theory) 建立在非标准全域上的测度理论. 非标准测度论的发展可分为三个阶段:
第一阶段是 20 世纪 60 年代, 鲁宾孙 (Robinson, A. ) 给出了实数集合勒贝格可测的非标准特征: 实数集合 \( A \) 是勒贝格可测的,当且仅当存在 * 闭集 \( F \subset * \mathrm{R} \) 及 * 开集 \( G \subset * \mathrm{R} \) ,使得 \( F \subset * A \subset G \) ,并且 \( {}^{ * }m\left( F\right) \approx {}^{ * }m\left( G\right) \) . 此时, \( m\left( A\right) = {}^{ \circ }\left( {{}^{ * }m\left( G\right) }\right) \) . 勒贝格积分可以表示为一个超有限求和的标准部分: 设 \( f : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow \mathrm{R} \) 是勒贝格可测的, \( f\left( x\right) \leq k(x \in \lbrack 0 \) , 1]). 令 \( - k = {y}_{0} < {y}_{1} < \cdots < {y}_{H} = k \) 是 * \( \left( {-k, k}\right) \) 的一个超有限分划, \( {y}_{i} \approx {y}_{i + 1}\left( {i = 0,1,2,\cdots, H - 1}\right) \) ,则
\[
\int f\mathrm{\;d}m = {}^{ \circ }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{H}{y}_{i} * m\left\{ {x \mid {y}_{i - 1} \leq * f\left( x\right) < {y}_{i}}\right\} }\right) .
\]
第二阶段是 20 世纪 70 年代前半期, 瓦特伯尔格 (Wattenberg, F. ) 及伯恩施坦 (Bernstein, A. R. ) 用一种特殊的计数测度来表示勒贝格测度. 设 \( X \) 是标准全域中的任一集合, \( S \) 是 \( {}^{ * }X \) 的一个超有限子集,对于 \( {}^{ * }X \) 的每个内子集 \( A \) ,定义
\[
{\nu }_{s}\left( A\right) = \frac{\left| A \cap S\right| }{\left| S\right| }
\]
其中 \( \left| S\right| \) 是 \( S \) 的内基数. 显然, \( {\nu }_{s} \) 是 * \( X \) 的内子集上的一个内的可加概率测度,其标准部分 \( {}^{ \circ }{\nu }_{s} \) 是 \( {}^{ * }X \) 的内子集上的一个标准的有限可加概率测度. 可以证明,存在一个 \( S \subset * \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) ,使得对每个勒贝格可测集 \( B \subset \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) ,有
\[
m\left( B\right) = {}^{ \circ }{\nu }_{s}\left( {*B}\right) = {}^{ \circ }\left( {\left| {*B \cap S}\right| /\left| S\right| }\right) .
\]
\( S \) 称为勒贝格样板.
第三阶段是 20 世纪 70 年代后期, 劳勃 (Loeb, P. )应用 \( {\aleph }_{1} \) 饱和性提出的一类以内集为支集的测度空间理论一劳勃测度. 现在已广泛地应用于测度扩张、测度表示、随机分析、量子场论等许多领域.
内的有限可加测度空间 (internal finitely additive measure spaces) 以内集为支集的有限可加测度空间. 设 \( Y \) 是内集, \( \mathcal{A} \) 是 \( Y \) 的内子集构成的族, \( \mathcal{A} \) 是内集并且是一个代数,同时 \( \nu : \mathcal{A} \rightarrow {}^{ * }{\mathrm{R}}^{ + } \) 是有限可加的内映射,则 \( \mathbf{Y} = \left( {Y,\mathcal{A},\nu }\right) \) 称为内的有限可加测度空间.
劳勃测度空间 (Loeb measure spaces) 一类以内集为支集的测度空间. 设 \( \mathbf{Y} = \left( {Y,\mathcal{A},\nu }\right) \) 是内的有限可加测度空间. 定义 \( {}^{ \circ }\nu : \mathcal{A} \rightarrow {\mathrm{R}}^{ + },{}^{ \circ }\nu \left( A\right) \) \( = {}^{ \circ }\left( {\nu \left( A\right) }\right) \) . 容易证明,存在 \( {}^{ \circ }\nu \) 到 \( \sigma \left( \mathcal{A}\right) \) (由 \( \mathcal{A} \) 产生的 \( \sigma \) 代数) 的惟一的 \( \sigma \) 可加扩张 \( \lambda \) ,满足
\[
\lambda \left( B\right) = \inf \{ * \nu \left( A\right) \mid B \subset A, A \in \mathcal{A}\} .
\]
设 \( L\left( \mathcal{A}\right) \) 是 \( \sigma \left( \mathcal{A}\right) \) 关于测度 \( \lambda \) 的完备化, \( L\left( \nu \right) \) 是 \( \lambda \) 到 \( L\left( \mathcal{A}\right) \) 的扩张,则测度空间 \( L\left( \mathbf{Y}\right) = (Y, L\left( \mathcal{A}\right) \) , \( L\left( \nu \right) ) \) 称为由 \( \mathbf{Y} \) 产生的劳勃测度空间, \( L\left( \mathcal{A}\right) \) 称为劳勃 \( \sigma \) 代数, \( L\left( \mathcal{A}\right) \) 中的集合称为劳勃可测的, \( L\left( \nu \right) \) 称为劳勃测度.
## 劳勃测度 (Loeb measures) 见 “劳勃测度空间”.
内逼近定理 (internal approximation theorem) 描述劳勃可测集与内可测集关系的一个定理. 该定理断言: 设 \( L\left( \mathbf{Y}\right) = \left( {Y, L\left( \mathcal{A}\right), L\left( \nu \right) }\right) \) 是由 \( \mathbf{Y} = (Y \) , \( \mathcal{A},\nu ) \) 产生的劳勃测度空间, \( B \subset Y \) ,则 \( B \) 是劳勃可测的充分必要条件是存在一个集合 \( A \in \mathcal{A} \) ,使得 \( L\left( \nu \right) \left( {A\bigtriangleup B}\right) = 0 \) ,其中 \( A\bigtriangleup B \) 是 \( A \) 与 \( B \) 的对称差.
超有限劳勃空间 (hyperfinite Loeb spaces) 应用广泛的一类劳勃测度空间. 其空间的支集是超有限内集的劳勃空间. 设 \( Y \) 是超有限内集, \( \mathcal{A} \) 是 \( Y \) 的所有内子集之集, \( \delta : Y \rightarrow * \left( {0,1}\right) \) ,并且满足
\[
\mathop{\sum }\limits_{{y \in Y}}\delta \left( y\right) = 1,\nu \left( A\right) = \mathop{\sum }\limits_{{y \in A}}\delta \left( y\right) \left( {A \in \mathcal{A}}\right) ,
\]
则 \( \mathbf{Y} = \left( {Y,\mathcal{A},\nu }\right) \) 是一个内的有限可加测度空间,其对应的劳勃测度空间 \( L\left( \mathbf{Y}\right) \) 称为超有限劳勃空间.
超有限计数空间 (hyperfinite counting spaces) 其测度为计数测度的超有限劳勃空间. 若在超有限劳勃空间中 (参见 “超有限劳勃空间”),令 \( \delta \left( y\right) = 1/ \) \( \left| Y\right| \) ,其中 \( \left| Y\right| \) 是 \( Y \) 中元素个数 (即 \( Y \) 的内基数),则称 \( \nu \left( A\right) = \left| A\right| /\left| Y\right| \) 为计数测度,其相应的劳勃空间称为超有限计数空间.
劳勃提升定理 (Loeb lifting theorem) 描述外函数与内函数关系的一个定理. 该定理断言: 设 \( f : Y \) \( \rightarrow \mathrm{R} \) ,则 \( f \) 是劳勃可测的充分必要条件是它与某个内的 \( \mathcal{A} \) 可测函数 \( F : Y \rightarrow {}^{ * }\mathrm{R} \) 几乎处处相等. 函数 \( F \) 称为函数 \( f \) 的一个提升.
劳勃积分定理 (Loeb integration theorem) 描述可测函数的积分与它的提升的积分关系的定理. 该定理断言: 设 \( f : Y \rightarrow \mathrm{R} \) 是一个劳勃有界可测函数, \( F \) 是 \( f \) 的一个有界提升,则
\[
\int f\mathrm{\;d}{\nu }_{L} = {}^{ \circ }\int F\mathrm{\;d}\nu .
\]
\( S \) 测度 ( \( S \) -measure) 超实数集 * \( \mathrm{R} \) 中的一种测度. 设 \( D \) 为 * \( \mathrm{R} \) 内的一个 |
2000_数学辞海（第3卷） | 207 | t( {A \in \mathcal{A}}\right) ,
\]
则 \( \mathbf{Y} = \left( {Y,\mathcal{A},\nu }\right) \) 是一个内的有限可加测度空间,其对应的劳勃测度空间 \( L\left( \mathbf{Y}\right) \) 称为超有限劳勃空间.
超有限计数空间 (hyperfinite counting spaces) 其测度为计数测度的超有限劳勃空间. 若在超有限劳勃空间中 (参见 “超有限劳勃空间”),令 \( \delta \left( y\right) = 1/ \) \( \left| Y\right| \) ,其中 \( \left| Y\right| \) 是 \( Y \) 中元素个数 (即 \( Y \) 的内基数),则称 \( \nu \left( A\right) = \left| A\right| /\left| Y\right| \) 为计数测度,其相应的劳勃空间称为超有限计数空间.
劳勃提升定理 (Loeb lifting theorem) 描述外函数与内函数关系的一个定理. 该定理断言: 设 \( f : Y \) \( \rightarrow \mathrm{R} \) ,则 \( f \) 是劳勃可测的充分必要条件是它与某个内的 \( \mathcal{A} \) 可测函数 \( F : Y \rightarrow {}^{ * }\mathrm{R} \) 几乎处处相等. 函数 \( F \) 称为函数 \( f \) 的一个提升.
劳勃积分定理 (Loeb integration theorem) 描述可测函数的积分与它的提升的积分关系的定理. 该定理断言: 设 \( f : Y \rightarrow \mathrm{R} \) 是一个劳勃有界可测函数, \( F \) 是 \( f \) 的一个有界提升,则
\[
\int f\mathrm{\;d}{\nu }_{L} = {}^{ \circ }\int F\mathrm{\;d}\nu .
\]
\( S \) 测度 ( \( S \) -measure) 超实数集 * \( \mathrm{R} \) 中的一种测度. 设 \( D \) 为 * \( \mathrm{R} \) 内的一个点集,它可以是内的或外的,假定存在 \( \mathrm{R} \) 中的可测集 \( B \) ,有 \( D \subset {}^{ * }B \) . 定义 \( D \) 的外 \( S \) 测度 \( \operatorname{Som}\left( D\right) \) 为一切包含 \( D \) 的标准开集的测度的下确界, \( D \) 的内 \( S \) 测度 \( \operatorname{Sim}\left( D\right) \) 为包含于 \( D \) 内的一切标准闭集的测度的上确界. 显然, \( \operatorname{Sim}\left( D\right) \leq \) \( \operatorname{Som}\left( D\right) \) . 若有 \( \operatorname{Sim}\left( D\right) = \operatorname{Som}\left( D\right) \) ,则称 \( D \) 是 \( S \) 可测,并且称此共同值为 \( D \) 的 \( S \) 测度,用 \( \operatorname{Sm}\left( D\right) \) 记之. 易证,若 \( B \subset \mathrm{R} \) ,则 * \( B \) 是 \( S \) 可测的当且仅当 \( B \) 是勒贝格可测的,而且其值相等. \( S \) 测度是鲁宾孙 (Robinson, A. ) 于 20 世纪 60 年代初引入的. 这是在劳勃测度出现之前的非标准测度论中的主要概念.
## 非标准泛函分析
非标准泛函分析 (nonstandard functional analysis) 建立在非标准全域上的泛函分析. 非标准分析一出现, 就在泛函分析方面取得了巨大的成就. 1961 年非标准分析出现, 1966 年, 伯恩施坦 (Bernstein, A. R. ) 与鲁宾孙 (Robinson, A. ) 用非标准方法解决了一个长期悬而未决的不变子空间问题. 20 世纪 30 年代, 冯·诺伊曼 (von Neumann, J. ) 证明了希尔伯特空间上的紧算子具有非平凡的不变子空间. 于是, 非紧算子是否具有不变子空间的问题便提出来了, 但是一直没有大的进展. 1966 年, 伯恩施坦及鲁宾孙证明了: 若 \( T \) 是希尔伯特空间 \( {l}^{2} \) 上的一个多项式紧算子,则 \( {l}^{2} \) 中存在非平凡的空间 \( E \) ,有 \( T\left( E\right) \subset E \) .
非标准方法展现了一种十分美妙的思想, 即用一个可以使用有限维线性代数的结果的空间从上面逼近一个无穷维空间. 有限维线性代数中的结果指的是不变性定理: 设 \( E \) 是 \( m \) 维的有限维线性空间, \( T \) 是 \( E \) 上的一个线性算子,则存在一个链
\[
\{ 0\} = {E}_{0} \subset {E}_{1} \subset {E}_{2} \subset \cdots \subset {E}_{m} = E,
\]
其中 \( \dim \left( {E}_{i}\right) = i \) ,而每个 \( {E}_{i} \) 对 \( T \) 是不变的. 从上面逼近 \( {l}^{2} \) 的空间是超有限空间. 设 \( \mathcal{E} \) 是 \( {l}^{2} \) 的有限维子空间之集, \( {E}_{\nu } \in {}^{ * }\mathcal{E},\nu \in {}^{ * }\mathrm{N} \smallsetminus \mathrm{N},\dim \left( {E}_{\nu }\right) = \nu \) . 应用转换原理于上述不变性定理, 可得到一个内序列
\[
\{ 0\} = {E}_{0} \subset {E}_{1} \subset {E}_{2} \subset \cdots \subset {E}_{\nu },
\]
\( \dim \left( {E}_{i}\right) = i \) ,每个 \( {E}_{i} \) 对 \( {}^{ * }T \) 是不变的. 进一步可以证明 \( {}^{ \circ }{E}_{j}\left( {j = 0,1,2,\cdots ,\nu }\right) \) 是 \( {l}^{2} \) 的关于 \( T \) 不变的闭线性子空间, 其中
\[
{}^{ \circ }{E}_{j} = \left\{ {x \in {l}^{2} \mid \text{ 存在 }y \in {E}_{j}, x \approx y}\right\} .
\]
最后,可证明上述 \( {}^{ \circ }{E}_{j}\left( {j = 0,1,2,\cdots ,\nu }\right) \) 之中至少有一个是非平凡的.
伯恩施坦-鲁宾孙定理 (Bernstein-Robinson theorem) 关于不变子空间的一个定理. 该定理断言: 设 \( T \) 是希尔伯特空间 \( {l}^{2} \) 上的一个多项式紧算子,则 \( {l}^{2} \) 中存在非 \( \{ 0\} \) 、非 \( {l}^{2} \) 的一个闭线性子空间 \( E \) ,有 \( T\left( E\right) \subset {E.20} \) 世纪 30 年代,冯·诺伊曼 (von Neumann, J. ) 证明了希尔伯特空间上的紧算子具有非平凡的不变子空间. 于是非紧算子是否具有不变子空间的问题便提出来了, 但是一直没有大的进展. 1966 年, 伯恩施坦 (Bernstein, A. R. ) 及鲁宾孙 (Robinson, A. ) 首先用非标准分析证明了上述结果. 所谓算子 \( T \) 是多项式紧的,指 \( T \) 是有界线性算子并且对某个多项式 \( P\left( x\right) = {C}_{0} + {C}_{1}x + \cdots + {C}_{n}{x}^{n} \) \( \left( {{C}_{0},{C}_{1},\cdots ,{C}_{n} \in \mathbf{C}}\right) \) ,算子 \( P\left( T\right) \) 是紧的.
广义函数的非标准实现 (nonstandard realization of generalized functions) 把广义函数表示为具体的非标准分析中的函数. 众所周知,像 \( \delta \) 函数这一类函数, 在应用数学中是十分有用的, 但在标准分析中却不能把它表示为一个具体的函数. 为此, 施瓦兹 (Schwarz, H. A. ) 等人建立了广义函数论, 把每一个 \( \delta \) 函数定义为满足一定条件的一个线性泛函, 实现了这一类函数的严格定义. 在非标准分析中, \( \delta \) 函数可以定义为一个通常的函数. 例如 \( \sqrt{a/\pi }{\mathrm{e}}^{-a{x}^{2}} \) , 其中 \( a \) 是任意一个正无限大实数. 这些函数可以自然地进行加、减、乘、除等. 避免了在标准分析中甚至难以定义广义函数的乘法的困难, 从而为广义函数的研究开辟了一条更好的道路.
撰 稿 冯汉桥 师东河 陈东立 张福泰
审 阅 李邦河 吴小亚 盛立人 康多寿
## 小 波 分 析
小波分析 (wavelet analysis) 小波分析是近期蓬勃发展起来的新的数学分支. 对数学以及其他应用学科, 它都产生了深远的影响. 小波分析的出现, 促进了不同学科、不同领域的交流, 带动了交叉学科的发展, 这对科学的繁荣与发展是极其重要的.
20 世纪 80 年代初, 莫莱特 (Morlet, J. ) 等人首次提出了“小波”的概念. 小波分析的思想来源于数学中的考尔德伦-赞格蒙算子、物理中的相干态、工程中的子带编码等方面的理论. 因此, 小波分析的出现迎合了许多不同背景的科学家和工程学家的需要, 引起大家的极大兴趣. 作为一种相当简单的数学工具, 小波分析广泛应用于信号分析、数值分析等领域. 这些广泛的应用进一步激发了人们研究小波分析的兴趣. 在这种情况下, 小波分析得以迅速发展.
从根本上讲, 小波分析主要研究函数的表示: 将函数分解为 “基本函数”之和. “基本函数”是由小波经过平移和伸缩得到的, 而小波具有很好的局部性和光滑性, 因此, 人们可以通过分解系数刻画函数, 分析函数局部和整体的性质. 在小波分析出现之前, 人们用傅里叶基、哈尔基来分解函数. 傅里叶基具有很好的光滑性, 但是局部性很差; 哈尔基局部性很好, 但光滑性很差. 而小波基可以弥补二者的不足, 兼有它们的优点. 傅里叶分析适用的范围, 小波分析也都适用, 因为小波基比傅里叶基有更优越的性质, 所以小波分析的应用范围更广. 在信号分析中, 由于小波变换在时域和频域都有很好的局部性, 因此在数据压缩与边缘检测方面, 小波分析是一种非常有效的方法.
小波分析的发展方兴未艾, 从事小波分析研究的人越来越多. 随着研究的进一步深入, 小波分析还将被更加广泛、更加深入地应用于理论数学、应用数学、信号处理、图象处理与分析、语音识别与合成、分形等领域.
可允许小波 (admissible wavelet) 亦称连续小波或基小波, 它是满足一定条件的定义在实直线上的函数, 用它可以定义连续小波变换, 进而通过重构公式来表示平方可积函数. 设函数 \( \psi \left( x\right) \in {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) . 若 \( \psi \) 满足可允许条件:
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\left| \widehat{\psi }\left( \xi \right) \right| }^{2}}{\left| \xi \right| }\mathrm{d}\xi < + \infty ,
\]
其中 \( \widehat{\psi }\left( \xi \right) \) 是 \( \psi \) 的傅里叶变换,即
\[
\widehat{\psi }\left( \xi \right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\psi \left( x\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}x,
\]
则称 \( \psi \left( x\right) \) 为可允许小波,并称
\[
{C}_{\psi } = {2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\left| \widehat{\psi }\left( \xi \right) \right| }^{2}}{\left| \xi \right| }\mathrm{d}\xi
\]
为可允许常数. 因为信号 (一维) 和图象 (二维) 都可用平方可积函数来表示, 所以可允许小波在信号处理和图象处理中具有基本的重要性.
基小波 (basic wavelet) 即“可允许小波”.
可允许条件 (admissibility condition) 见 “可允许小波”.
可允许常数 (admissibility constant) 见 “可允许小波”.
连续小波变换 (continuous wavelet transform) 由可允许小波决定的变换. 对于一个可允许小波 \( \psi \left( x\right) ,{L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) 上的连续小波变换定义为
\[
{T}^{wav}f\left( {a, b}\right) = {\left| a\right| }^{-1/2}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( t\right) \bar{\psi }\left( \frac{t - b}{a}\right) \mathrm{d}t,
\]
其中 \( a, b \in \mathrm{R}, a \neq 0,\bar{\psi } \) 代表 \( \psi \) 的复共轨, \( f\left( x\right) \in \) \( {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) . 这一概念是格拉斯曼 (Grassmann, H. G. ) 和莫莱特 (Morlet, J. ) 在 1984 年首先提出的.
连续小波变换的重构公式 (resolution of the identity for continuous wavelet transform) 用连续小波表示函数的基本定理. 一个函数 \( f\left( x\right) \in {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) 可以由它的连续小波变换重构出来. 关于一个可允许小波 \( \psi \left( x\right) \) 的连续小波变换重构公式为
\[
f\left( x\right) = {C}_{\psi }^{-1}\iint {T}^{wav}f\left( {a, b}\right) {\psi }^{a, b}\left( x\right) \frac{\mathrm{d}a\mathrm{\;d}b}{{a}^{2}},
\]
其中 \( {\psi }^{a, b}\left( x\right) = {\left| a\right| }^{-1/2}\psi \left( {\left( {x - b}\right) /a}\right) \) .
有限带宽函数 (bandlimited function) 一类特殊的函数. 在频谱空间中所有满足 \( \left| \xi \right| \leq C \) 的频率 \( \xi \) 的集合称为一个频带, 频谱位于这个频带的函数就称为有限带宽函数. 确切地说,设 \( f\left( x\right) \in {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) ,若 \( f\left( x\right) \) 的傅里叶变换 \( \widehat{f}\left( \xi \right) \) 具有紧支集,即存在常数 \( \Omega \) \( > 0 \) ,使当 \( \left| \xi \right| > \Omega \) 时 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) ,则称 \( f\left( x\right) \) 为有限带宽函数.
连续窗口傅里叶变换 (continuous windowed Fourier transform) 亦称短时傅里叶变换, 它是在傅里叶变换积分表达式的被积函数之中加上一个窗口函数而成的, 通过重构公式它可以表示平方可积函数. 给定一个窗口函数 \( g\left( t\right) \in {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) ,人们把关于窗口函数 \( g\left( t\right) \) 的在 \( {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) 上的连续窗口傅里叶变换定义为
\[
{T}^{wav}f\left( {w, t}\right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) \bar{g}\left( {x - t}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{rw}}\mathrm{\;d}x,
\]
其中 \( w, t \in \mathrm{R}, f\left( x\right) \in {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) . 例如,取 \( g \) 为高斯函数 \( g\left( t\right) = {\left( 2\pi \right) }^{-1}{\mathrm{e}}^{-{t}^{2}/4},{T}^{wav}f \) 在点 \( \left( {w, t}\right) \) 的值反映了 \( f \) 在时间 \( t \) ,频率 \( w \) 点的局部信息.
短时傅里叶变换 (short-time Fourier transform) 即“连续窗口傅里叶变换”.
连续窗口傅里叶变换的重构公式 (resolution of the identity for continuous windowed Fourier transform) 连续窗口傅里叶变换的一个基本的定理. 一个函数 \( f\left( x\right) \in {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) 可以由它的连续窗口傅里叶变换重构出来. 对于一个窗口函数 \( g\left( t\right) \) 的连续窗口傅里叶变换, 重构公式为
\[
f\left( x\right) = {A}_{g}\iint {T}^{wav}f\left( {w, t}\right) {g}^{w, t}\left( x\right) \mathrm{d}w\mathrm{\;d}t,
\]
其中 \( {A}_{g} = {\left( 2\pi \parallel g{\parallel }^{2}\right) }^{-1},{g}^{w, t}\left( x\right) = g\left( {x - t}\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{xw}} \) .
消失矩 (waning moments) 刻画函数的一个概念. 函数 \( f\left( x\right) \) 满足 \( k \) 阶消失矩条件是指:
\[
\int {x}^{l}f\left( x\right) \mathrm{d}x = 0\;\left( {l = 0,1,\cdots, k - 1}\right) .
\]
赫尔德连续性 (Hölder continuity) 刻画函数光滑程度的一个概念. 如果对函数 \( f\left( x\right) \) ,存在常数 \( C > 0 \) ,使对任意 \( x, y \in \mathrm{R} \) ,有
\[
\left| {f\left( x\right) - f\left( y\right) }\right| \leq C{\left| x - y\right| }^{\alpha },
\]
那么称函数 \( f\left( x\right) \) 是 \( \alpha \left( {0 < \alpha \leq 1}\right) \) 次赫尔德连续的,并称 \( \alpha \) 为赫尔德指数. 通过分布导数,可以把 \( \alpha \) 推广到实数. 信号中的高斯白噪声光滑性很差, 赫尔德指数为 \( - 1/2 \) .
正则性刻画 (characterization of regularity)
一个函数的赫尔德指数反映了函数的正则性, 即光滑性. 小波变换的一个重要性质就是可以刻画函数的正则性. 具体表述为: 如果 \( \psi \left( x\right) \) 是一个具有紧支集的小波,设 \( f\left( x\right) \in {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) 有界并且连续,那么当且仅当存在常数 \( C > 0 \) ,使
\[
\left| {{T}^{\text{wav }}f\left( {a, b}\right) }\right| \leq C{\left| a\right| }^{1/2 + \alpha }
\]
成立时, \( f\left( x\right) \) 是 \( \alpha \left( {0 < \alpha \leq 1}\right) \) 次赫尔德连续的.
局部赫尔德连续性(local Hölder continuity) 用于分析函数的局部连续性的一个概念. 如果对于函数 \( f\left( x\right) \) ,存在常数 \( C > 0 \) ,使对任意 \( h \in \mathrm{R} \) ,有
\[
\left| {f\left( {{x}_{0} + h}\right) - f\left( {x}_{0}\right) }\right| \leq C{\left| h\right| }^{a},
\]
那么称函数 \( f\left( x\right) \) 在 \( {x}_{0} \) 点是局部 \( \alpha \left( {0 < \alpha \leq 1}\right) \) 次赫尔德连续的.
局部正则性刻画 ( |
2000_数学辞海（第3卷） | 208 | left| x - y\right| }^{\alpha },
\]
那么称函数 \( f\left( x\right) \) 是 \( \alpha \left( {0 < \alpha \leq 1}\right) \) 次赫尔德连续的,并称 \( \alpha \) 为赫尔德指数. 通过分布导数,可以把 \( \alpha \) 推广到实数. 信号中的高斯白噪声光滑性很差, 赫尔德指数为 \( - 1/2 \) .
正则性刻画 (characterization of regularity)
一个函数的赫尔德指数反映了函数的正则性, 即光滑性. 小波变换的一个重要性质就是可以刻画函数的正则性. 具体表述为: 如果 \( \psi \left( x\right) \) 是一个具有紧支集的小波,设 \( f\left( x\right) \in {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) 有界并且连续,那么当且仅当存在常数 \( C > 0 \) ,使
\[
\left| {{T}^{\text{wav }}f\left( {a, b}\right) }\right| \leq C{\left| a\right| }^{1/2 + \alpha }
\]
成立时, \( f\left( x\right) \) 是 \( \alpha \left( {0 < \alpha \leq 1}\right) \) 次赫尔德连续的.
局部赫尔德连续性(local Hölder continuity) 用于分析函数的局部连续性的一个概念. 如果对于函数 \( f\left( x\right) \) ,存在常数 \( C > 0 \) ,使对任意 \( h \in \mathrm{R} \) ,有
\[
\left| {f\left( {{x}_{0} + h}\right) - f\left( {x}_{0}\right) }\right| \leq C{\left| h\right| }^{a},
\]
那么称函数 \( f\left( x\right) \) 在 \( {x}_{0} \) 点是局部 \( \alpha \left( {0 < \alpha \leq 1}\right) \) 次赫尔德连续的.
局部正则性刻画 (characterization of local regularity) 小波变换可以刻画函数的局部光滑性, 这正是可利用小波变换检测奇异点的原因. 具体表述为: 设 \( \psi \left( x\right) \) 是一个具有紧支集的小波, \( {T}^{wav} \) 是由 \( \psi \) 决定的小波变换. \( f\left( x\right) \in {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) 有界并且连续. 若存在 \( \varepsilon > 0 \) 和 \( 0 < \alpha < 1 \) 以及常数 \( C > 0 \) ,使
\[
\left| {{T}^{wav}f\left( {a, b}\right) }\right| \leq C{\left| a\right| }^{1/2 + \varepsilon },
\]
\[
\left| {{T}^{wav}f\left( {a, b + {x}_{0}}\right) }\right| \leq C{\left| a\right| }^{1/2}\left( {{\left| a\right| }^{a} + \frac{{\left| b\right| }^{a}}{\left| \log \right| b\left| \right| }}\right) ,
\]
则 \( f\left( x\right) \) 在 \( {x}_{0} \) 点是 \( \alpha \) 次赫尔德连续的.
香农取样定理 (Shannon sample theorem) 连续变量函数 \( f\left( x\right) \) 不能直接用计算机处理. 选取 \( f\left( x\right) \) 在离散点的值 \( f\left( {x}_{n}\right) \) ,这个过程称为取样. 香农取样定理是针对有限带宽函数的. 该定理断言: 如果 \( f\left( x\right) \) 是有限带宽函数, \( \operatorname{supp}\widehat{f} \subset \left\lbrack {-\Omega ,\Omega }\right\rbrack \left( {\Omega > 0}\right) \) , 则 \( f\left( x\right) \) 可表示为
\[
f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{\infty }f\left( {n\frac{\pi }{\Omega }}\right) \frac{\sin \left( {{\Omega x} - {n\pi }}\right) }{{\Omega x} - {n\pi }}.
\]
如果取 \( \Omega = \pi \) ,则
\[
f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{\infty }f\left( n\right) \frac{\sin \left( {\left( {x - n}\right) \pi }\right) }{\left( {x - n}\right) \pi }.
\]
这时, 函数可由整点的函数值完全决定.
时频局部化算子 (band-timelimiting operator) 把时间和频率两个空间放在一起来考虑称为时-频相空间. 时频局部化算子是一种同时实现时间和频率的局部化的算子, 即在相空间上局部化的算子. 时域局部化算子 \( {Q}_{T} \) 定义为
\[
\left( {{Q}_{T}f}\right) \left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} f\left( x\right) & \left( {\left| x\right| \leq T}\right) , \\ 0 & \left( {\left| x\right| > T}\right) . \end{array}\right.
\]
频域局部化算子 \( {P}_{\Omega } \) 定义为
\[
\left( {{\widehat{P}}_{\Omega }f}\right) \left( \xi \right) = \left\{ \begin{array}{ll} f\left( \xi \right) & \left( {\left| \xi \right| \leq \Omega }\right) , \\ 0 & \left( {\left| \xi \right| > \Omega }\right) . \end{array}\right.
\]
相应的时频局部化过程可以用算子 \( {Q}_{T}{P}_{\Omega }{Q}_{T} \) 来刻画, 其表达式为
\[
\left( {{Q}_{T}{P}_{\Omega }{Q}_{T}f}\right) \left( x\right)
\]
\[
= \left\{ \begin{array}{ll} {\int }_{-T}^{T}\frac{\sin \Omega \left( {x - y}\right) }{\pi \left( {x - y}\right) }f\left( y\right) \mathrm{d}y & \left( {\left| x\right| \leq T}\right) , \\ 0 & \left( {\left| x\right| > T}\right) . \end{array}\right.
\]
该时频局部化算子是紧算子, 它的特征值和特征函数可以准确计算出来.
窗口傅里叶变换局部化算子 (localization operator for windowed Fourier transform) 通过窗口傅里叶变换实现的一种时频局部化算子. 给定一个函数 \( g\left( t\right) \in {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) ,相应的窗口傅里叶变换局部化算子 \( {L}_{S} \) 定义为
\[
{L}_{S} = \frac{1}{2\pi }{\iint }_{S}\left( {\cdot ,{g}^{w, t}}\right) {g}^{w, t}\mathrm{\;d}w\mathrm{\;d}t,
\]
其中 \( {g}^{w, t}\left( x\right) = g\left( {x - t}\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{xw}},\left( {\cdot , \cdot }\right) \) 是 \( {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) 中的内积, \( S \) 是 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 中的一个可测子集.
作为一种特殊情况,可以取 \( g\left( t\right) \) 为高斯函数: \( {g}_{0}\left( x\right) = {\pi }^{-1/4}\exp \left( {-{x}^{2}/2}\right) \) ,并取
\[
S = {S}_{R} = \left\{ {\left( {w, t}\right) \mid {w}^{2} + {t}^{2} \leq {R}^{2}}\right\} .
\]
这时 \( {L}_{S} = {L}_{{S}_{R}} \) 的特征值 \( {\lambda }_{n}\left( R\right) \) 是不完全 \( \Gamma \) 函数
\[
{\lambda }_{n}\left( R\right) = \frac{1}{n!}{\int }_{0}^{{R}^{2}/2}{s}^{n}{\mathrm{e}}^{-s}\mathrm{\;d}s,
\]
相应的特征函数是埃尔米特函数
\[
{\varphi }_{n}\left( x\right) = {\left( \sqrt{\pi }{2}^{n}n!\right) }^{-1/2}{\left( x - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right) }^{n}\exp \left( {-\frac{{x}^{2}}{2}}\right) .
\]
它提供了另一种时频局部化的方法, 在窄带雷达设计中经常被运用.
小波变换局部化算子 (localization operator for wavelet transform) 通过连续小波变换实现的一种时频局部化算子. 给定一个可允许小波 \( \psi \left( t\right) \) \( \in {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) ,相应的小波变换局部化算子 \( {L}_{S} \) 定义为
\[
{L}_{S} = {C}_{\psi }^{-1}{\iint }_{S}\left\lbrack {\left( {\cdot ,{\psi }^{a, b}}\right) {\psi }^{a, b}}\right\rbrack \frac{\mathrm{d}a\mathrm{\;d}b}{{a}^{2}},
\]
其中 \( \left( {\cdot , \cdot }\right) \) 是 \( {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) 中的内积,而
\[
{\psi }^{a, b}\left( x\right) = {\left| a\right| }^{-1/2}\psi \left( \frac{x - b}{a}\right) ,
\]
\( S \) 是 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 中的一个可测子集.
人们可以取 \( \psi \left( x\right) \) ,使它的傅里叶变换为
\[
\widehat{\psi }\left( \xi \right) = \left\{ \begin{array}{ll} {2\xi }{\mathrm{e}}^{-\xi } & \left( {\xi \geq 0}\right) , \\ 0 & \left( {\xi < 0}\right) . \end{array}\right.
\]
并取 \( S = {S}_{C} = \left\{ {\left( {a, b}\right) \in {\mathrm{R}}_{ + } \times \mathrm{R} \mid {a}^{2} + {b}^{2} + 1 \leq {2aC}}\right\}, C \) \( \geq 1 \) . 这时小波变换局部化算子可写为
\[
{L}_{c} = {L}_{{s}_{c}}
\]
\[
= {C}_{\psi }^{-1}{\iint }_{{S}_{C}}\left\lbrack {\left( {\cdot ,{\psi }_{ + }^{a, b}}\right) {\psi }_{ + }^{a, b} + \left( {\cdot ,{\psi }_{ - }^{a, b}}\right) {\psi }_{ - }^{a, b}}\right\rbrack \frac{\mathrm{d}a\mathrm{\;d}b}{{a}^{2}},
\]
其中 \( {\psi }_{ + } = \psi ,{\widehat{\psi }}_{ - }\left( \xi \right) = \widehat{\psi }\left( {-\xi }\right) .{L}_{C} \) 的特征值为
\[
{\lambda }_{n}\left( C\right) = \left( {n + 1}\right) {\left( 1 - \frac{2}{C + 1}\right) }^{n + 1}
\]
\[
\text{-}\left( {\frac{2}{C + 1} + \frac{1}{n + 1}}\right) \text{,}
\]
对应的两个特征函数 \( {\psi }_{n}^{ + },{\psi }_{n}^{ - } \) 的傅里叶变换分别是
\[
{\left( {\psi }_{n}^{ + }\right) }^{ \uparrow }\left( \xi \right)
\]
\[
= \left\{ \begin{array}{ll} \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{\left( {n + 1}\right) \left( {n + 2}\right) }}\xi {\mathrm{e}}^{-\xi }{L}_{n}^{2}\left( {2\xi }\right) & \left( {\xi \geq 0}\right) , \\ 0 & \left( {\xi < 0}\right) , \end{array}\right.
\]
\[
{\left( {\psi }_{n}^{ - }\right) }^{ \uparrow }\left( \xi \right) = {\left( {\psi }_{n}^{ + }\right) }^{ \uparrow }\left( {-\xi }\right) .
\]
其中 \( {L}_{n}^{2} \) 是拉盖尔多项式.
\( {L}_{n}^{a}\left( x\right) = \)
\[
\mathop{\sum }\limits_{{m = 0}}^{n}{\left( -1\right) }^{m}\frac{\Gamma \left( {n + \alpha + 1}\right) }{\Gamma \left( {n - m + 1}\right) \Gamma \left( {\alpha + m + 1}\right) }\frac{1}{m!}{x}^{m}.
\]
人们可取实函数
\[
{\psi }_{n}^{e} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( {{\psi }_{n}^{ + } + {\psi }_{n}^{ - }}\right) ,
\]
\[
{\psi }_{n}^{o} = - \frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2}}\left( {{\psi }_{n}^{ + } - {\psi }_{n}^{ - }}\right)
\]
作特征函数.
小波变换局部化算子提供了又一种时频局部化的方法, 它在宽带雷达设计中应用广泛.
框架 (frame) 希尔伯特空间中具有某种性质的一组向量. 希尔伯特空间 \( \mathcal{X} \) 的一组向量 \( {\left( {\varphi }_{j}\right) }_{j \in J} \) ,
如果存在常数 \( 0 < A, B < + \infty \) ,使对任意 \( f \in \mathcal{H} \) ,满足
\[
A\parallel f{\parallel }^{2} \leq \mathop{\sum }\limits_{{j \in J}}{\left| \left( f,{\varphi }_{j}\right) \right| }^{2} \leq B\parallel f{\parallel }^{2},
\]
则称 \( {\left( {\varphi }_{j}\right) }_{j \in J} \) 为框架,并称常数 \( A \) 为 \( {\left( {\varphi }_{j}\right) }_{j \in J} \) 的下界, \( B \) 为 \( {\left( {\varphi }_{j}\right) }_{j \in J} \) 的上界.
紧框架 (tight frame) 上下界相等的框架. 对于希尔伯特空间 \( \mathcal{X} \) 的一组向量 \( {\left( {\varphi }_{j}\right) }_{j \in J} \) ,如果存在常数 \( A > 0 \) ,使对任意 \( f \in \mathcal{Y} \) ,满足
\[
\mathop{\sum }\limits_{{j \in J}}{\left| \left( f,{\varphi }_{j}\right) \right| }^{2} = A\parallel f{\parallel }^{2},
\]
那么称 \( {\left( {\varphi }_{j}\right) }_{j \in J} \) 为紧框架.
框架算子 (frame operator) 由框架决定的算子. 如果 \( {\left( {\varphi }_{j}\right) }_{j \in J} \) 是希尔伯特空间 \( \mathcal{X} \) 的框架,框架算子 \( F : \mathcal{H} \rightarrow {l}^{2}\left( J\right) \) 定义为
\[{\left( Ff\right) }_{j} = \left( {f,{\varphi }_{j}}\right) ,\]
其中 \( {l}^{2}\left( J\right) = \left\{ {c = {\left( {c}_{j}\right) }_{j \in J}\left| \mathop{\sum }\limits_{{j \in J}}\right| {c}_{j}{\left. \right| }^{2} < + \infty }\right\} \) .
对偶框架 (dual frame) 由一个框架诱导出的另一种框架. 如果 \( {\left( {\varphi }_{j}\right) }_{j \in J} \) 是希尔伯特空间 \( \mathcal{Y} \) 的框架, \( {F}^{ * } \) 是框架算子 \( F \) 的共轭算子,有
\[A\mathrm{{id}} \leq {F}^{ * }F \leq B\mathrm{{id}},\]
其中 id 表示恒等算子. 令 \( {\widetilde{\varphi }}_{j} = {\left( {F}^{ * }F\right) }^{-1}{\varphi }_{j} \) ,称 \( {\left( {\widetilde{\varphi }}_{j}\right) }_{j \in J} \) 是 \( {\left( {\varphi }_{j}\right) }_{j \in J} \) 的对偶框架. 这时对任意 \( f \in \mathcal{Y} \) ,有
\[f = \mathop{\sum }\limits_{{j \in J}}\left( {f,{\varphi }_{j}}\right) {\widetilde{\varphi }}_{j} = \mathop{\sum }\limits_{{j \in J}}\left( {f,{\widetilde{\varphi }}_{j}}\right) {\varphi }_{j},\]
即可用对偶框架表示希尔伯特空间 \( \mathcal{Y} \) 中的元素.
离散小波变换 (discrete wavelet transform) 由可允许小波决定的另一种变换. 对于一个可允许小波 \( \psi \left( x\right) \) ,在 \( {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) 上的离散小波变换定义为
\[{T}_{m, n}^{wav}f = {a}_{0}^{-m/2}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( t\right) \bar{\psi }\left( {{a}_{0}^{-m}t - n{b}_{0}}\right) \mathrm{d}t,\]
其中 \( m, n \in \mathbf{Z},{a}_{0} > 1,{b}_{0} > 0 \) 为常数, \( f\left( x\right) \in {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) .
小波框架 (wavelet frame) 由小波产生的框架. 设 \( \psi \left( x\right) \) 为一个可允许小波,若
\[\left\{ {{\psi }_{m, n}\left( x\right) = {a}_{0}^{-m/2}\psi \left( {{a}_{0}^{-m}x - n{b}_{0}}\right) \mid m, n \in \mathbf{Z}}\right\} \]
构成 \( {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) 的框架,即存在常数 \( 0 < A, B < + \infty \) |
2000_数学辞海（第3卷） | 209 | ) }_{j \in J} \) 的对偶框架. 这时对任意 \( f \in \mathcal{Y} \) ,有
\[f = \mathop{\sum }\limits_{{j \in J}}\left( {f,{\varphi }_{j}}\right) {\widetilde{\varphi }}_{j} = \mathop{\sum }\limits_{{j \in J}}\left( {f,{\widetilde{\varphi }}_{j}}\right) {\varphi }_{j},\]
即可用对偶框架表示希尔伯特空间 \( \mathcal{Y} \) 中的元素.
离散小波变换 (discrete wavelet transform) 由可允许小波决定的另一种变换. 对于一个可允许小波 \( \psi \left( x\right) \) ,在 \( {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) 上的离散小波变换定义为
\[{T}_{m, n}^{wav}f = {a}_{0}^{-m/2}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( t\right) \bar{\psi }\left( {{a}_{0}^{-m}t - n{b}_{0}}\right) \mathrm{d}t,\]
其中 \( m, n \in \mathbf{Z},{a}_{0} > 1,{b}_{0} > 0 \) 为常数, \( f\left( x\right) \in {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) .
小波框架 (wavelet frame) 由小波产生的框架. 设 \( \psi \left( x\right) \) 为一个可允许小波,若
\[\left\{ {{\psi }_{m, n}\left( x\right) = {a}_{0}^{-m/2}\psi \left( {{a}_{0}^{-m}x - n{b}_{0}}\right) \mid m, n \in \mathbf{Z}}\right\} \]
构成 \( {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) 的框架,即存在常数 \( 0 < A, B < + \infty \) ,使对任意 \( f\left( x\right) \in {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) ,均有
\[A\parallel f{\parallel }^{2} \leq \mathop{\sum }\limits_{{m, n \in \mathbf{Z}}}{\left| \left( f,{\psi }_{m, n}\right) \right| }^{2} \leq B\parallel f{\parallel }^{2},\]
则称 \( {\left\{ {\psi }_{m, n}\right\} }_{m, n \in Z} \) 为小波框架.
对偶小波框架 (dual wavelet frame) 一类特殊的对偶框架, 互为对偶的两个框架均由小波产生. 假设 \( \psi \left( x\right) \) 为可允许小波,使得 \( {\left\{ {\psi }_{m, n}\right\} }_{m, n \in Z} \) 是小波框架. 若存在可允许小波 \( \widetilde{\psi }\left( x\right) \) ,使得 \( {\left\{ {\widetilde{\psi }}_{m, n}\right\} }_{m, n \in Z} \) 是 \( {\left\{ {\psi }_{m, n}\right\} }_{m, n \in Z} \) 的对偶框架,则称 \( {\left\{ {\widetilde{\psi }}_{m, n}\right\} }_{m, n \in Z} \) 是 \( {\left\{ {\psi }_{m, n}\right\} }_{m, n \in Z} \) 的对偶小波框架, 这时二者互为对偶小波框架. 此外,对 \( f\left( x\right) \in {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) ,有
\[f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{m, n \in Z}}\left( {f,{\psi }_{m, n}}\right) {\widetilde{\psi }}_{m, n}\left( x\right) \]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{m, n \in Z}}\left( {f,{\widetilde{\psi }}_{m, n}}\right) {\psi }_{m, n}\left( x\right) .
\]
值得注意的是, 不是所有小波框架都存在对偶小波框架, 对偶小波框架强调的是对偶框架由一个函数经过平移和伸缩得到.
离散窗口傅里叶变换 (discrete windowed Fourier transform) 离散化的窗口傅里叶变换. 对于一个给定的函数 \( g\left( t\right) \in {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) ,在 \( {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) 上的离散窗口傅里叶变换定义为
\[
{T}_{m, n}^{wav}f = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) \bar{g}\left( {x - n{t}_{0}}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}m{w}_{0}x}\mathrm{\;d}x,
\]
其中 \( m, n \in \mathrm{Z},{w}_{0} > 0,{t}_{0} > 0 \) 是常数, \( f\left( x\right) \in {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) .
窗口傅里叶变换的框架 (windowed Fourier transform frame) 由傅里叶变换产生的框架. 给定窗口函数 \( g\left( x\right) \in {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) ,如果
\[
\left\{ {{g}_{m, n}\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}m{w}_{0}x}g\left( {x - n{t}_{0}}\right) \mid m, n \in \mathbf{Z}}\right\}
\]
构成 \( {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) 的框架,即存在 \( 0 < A, B < + \infty \) ,使对任意 \( f\left( x\right) \in {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) ,满足
\[
A\parallel f{\parallel }^{2} \leq \mathop{\sum }\limits_{{m, n \in Z}}{\left| \left( f,{g}_{m, n}\right) \right| }^{2} \leq B\parallel f{\parallel }^{2},
\]
则称 \( {\left\{ {g}_{m, n}\right\} }_{m, n \in Z} \) 为窗口傅里叶框架. 此时,一定有
\[
{w}_{0}{t}_{0} \leq {2\pi }
\]
对偶窗口傅里叶框架 (dual windowed Fourier transform frame) 窗口傅里叶框架的对偶框架. 给定窗口函数 \( g\left( x\right) \in {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) ,如果
\[
\left\{ {{g}_{m, n}\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}m{w}_{0}x}g\left( {x - n{t}_{0}}\right) \mid m, n \in \mathbf{Z}}\right\}
\]
构成 \( {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) 的窗口傅里叶框架,则一定存在函数 \( \widetilde{g}\left( x\right) \in {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) ,使 \( {\left\{ {\widetilde{g}}_{m, n}\right\} }_{m, n \in \mathrm{Z}} \) 构成 \( {\left\{ {g}_{m, n}\right\} }_{m, n \in \mathrm{Z}} \) 的对偶框架,其中 \( \widetilde{g} = {\left( {F}^{ * }F\right) }^{-1}g \) . 称 \( {\left\{ {\widetilde{g}}_{m, n}\right\} }_{m, n \in Z} \) 为 \( {\left\{ {g}_{m, n}\right\} }_{m, n \in Z} \) 的对偶窗口傅里叶框架. 与小波框架不同的是, 所有窗口傅里叶框架都存在对偶框架.
小波函数 (wavelet function) 亦称正交小波函数,一种特殊的平方可积函数. 用它可构成 \( {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) 空间的规范正交基. 假定 \( \psi \left( x\right) \in {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) ,如果
\[
\left\{ {{\psi }_{m, n}\left( x\right) = {2}^{-m/2}\psi \left( {{2}^{-m}x - n}\right) \mid m, n \in \mathbf{Z}}\right\}
\]
构成 \( {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) 的一组规范正交基,则称 \( \psi \left( x\right) \) 为一个小波函数. 这时称 \( {\left\{ {\psi }_{m, n}\right\} }_{m, n \in Z} \) 为正交小波基.
正交小波 (orthonormal wavelet) 见 “小波函数”.
正交小波基 (orthonormal wavelet basis) 见 “小波函数”.
里斯基 (Reisz basis) 希尔伯特空间中满足一定条件的线性无关的向量组. 对于希尔伯特空间 \( \mathcal{K} \) 的一组向量 \( {\left( {e}_{j}\right) }_{j \in J} \) ,如果 \( {\left( {e}_{j}\right) }_{j \in J} \) 是线性无关的, 并且存在常数 \( 0 < A, B < + \infty \) ,使任意 \( f \in \mathcal{H} \) ,满足
\[
A\parallel f{\parallel }^{2} \leq \mathop{\sum }\limits_{{j \in J}}{\left| \left( f,{e}_{j}\right) \right| }^{2} \leq B\parallel f{\parallel }^{2},
\]
那么称 \( {\left( {e}_{j}\right) }_{j \in J} \) 为里斯基.
多分辨率分析 (multiresolution analysis) 马勒特 (Mallat, S. ) 和迈耶 (Meyer, Y. ) 于 1987 年引入的概念. 常用的小波函数可以通过多分辨率分析 (简记 MRA) 得到. \( {L}^{2} \) (R) 中的一列闭子空间 \( {\left\{ {V}_{j}\right\} }_{j \in 2} \) 称为多分辨率分析,如果它满足以下五个条件:
\[
\text{1.}\cdots \subset {V}_{2} \subset {V}_{1} \subset {V}_{0} \subset {V}_{-1} \subset {V}_{-2}\cdots \text{.}
\]
2. \( \mathop{\bigcap }\limits_{{j \in z}}{V}_{j} = \{ 0\} ,\overline{{ \cup }_{j \in z}{V}_{j}} = {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) .
3. \( f\left( x\right) \in {V}_{j} \Leftrightarrow f\left( {{2}^{j}x}\right) \in {V}_{0} \) .
4. \( f\left( x\right) \in {V}_{0} \Leftrightarrow \) 对任意 \( k \in Z, f\left( {x - k}\right) \in {V}_{0} \) .
5. 存在函数 \( \varphi \in {V}_{0} \) ,使得 \( \{ \varphi \left( {x - n}\right) \mid n \in Z\} \) 形成 \( {V}_{0} \) 的一组里斯基.
这里 \( \varphi \) 是 \( {\left\{ {V}_{j}\right\} }_{j \in Z} \) 的生成元,人们称之为尺度函数.
尺度函数 (scaling function) 见 “多分辨率分析”.
正交多分辨率分析 (orthonormal multiresolu-tion analysis) 能产生正交小波基的多分辨率分析. 设 \( \varphi \) 是多分辨率分析 \( {\left\{ {V}_{j}\right\} }_{j \in \mathrm{Z}} \) 的尺度函数,如果 \( \{ \varphi \left( {x - n}\right) \mid n \in \mathbf{Z}\} \) 形成 \( {V}_{0} \) 的一组规范正交基,则称 \( {\left\{ {V}_{j}\right\} }_{j \in \mathrm{Z}} \) 为正交多分辨率分析,一般记为正交 MRA 或 OMRA.
双尺度差分方程 (two - scale difference e - quation) 一类尺度函数所满足的方程. 正交多分辨率分析中的尺度函数满足方程
\[
\varphi \left( x\right) = \sqrt{2}\mathop{\sum }\limits_{{n \in Z}}{h}_{n}\varphi \left( {{2x} - n}\right) ,
\]
称此方程为双尺度差分方程.
面具 (mask) 与尺度函数相关的重要概念. 设尺度函数 \( \varphi \) 满足双尺度差分方程
\[
\varphi \left( x\right) = \sqrt{2}\mathop{\sum }\limits_{{n \in Z}}{h}_{n}\varphi \left( {{2x} - n}\right) ,
\]
把 \( \varphi \) 的面具定义为
\[
{m}_{0}\left( \xi \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\mathop{\sum }\limits_{{n \in Z}}{h}_{n}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\xi }},
\]
它有时也被称为符号函数. 其中 \( \left\{ {h}_{n}\right\} \) 是面具系数,称为尺度序列, 是一个低通滤波器.
正交多分辨率分析的小波函数 (wavelet function in orthonormal multiresolution analysis) 通过正交多分辨率分析得到的小波函数. 设 \( \varphi \left( x\right) \) 是正交 MRA 的尺度函数, \( \left\{ {h}_{n}\right\} \) 是它的低通滤波器,由 \( {g}_{n} \) \( = {\left( -1\right) }^{n}{h}_{-n + 1} \) 给出它的高通滤波器,用它可以定义一个函数 \( \psi \) :
\[
\psi \left( x\right) = \sqrt{2}\mathop{\sum }\limits_{{n \in Z}}{g}_{n}\varphi \left( {{2x} - n}\right) ,
\]
这个函数是一个小波函数, 称为正交多分辨率分析的小波函数. 它的傅里叶变换满足 \( \widehat{\psi }\left( \xi \right) = \) \( {m}_{1}\left( {\xi /2}\right) \widehat{\varphi }\left( {\xi /2}\right) \) ,其中
\[
{m}_{1}\left( \xi \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\mathop{\sum }\limits_{{n \in Z}}{g}_{n}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\xi }}
\]
是 \( \psi \) 的面具.
迈耶小波 (Meyer wavelet) 一种特殊的小波函数. 它的尺度函数 \( \varphi \) 的傅里叶变换定义为
\[
\widehat{\varphi }\left( \xi \right) = \left\{ \begin{array}{l} {\left( 2\pi \right) }^{1/2}\;\left( {\left| \xi \right| \leq {2\pi }/3}\right) , \\ {\left( 2\pi \right) }^{-1/2}\cos \left\lbrack {\frac{\pi }{2}v\left( {\frac{3}{2\pi }\left| \xi \right| - 1}\right) }\right\rbrack \\ \left( {{2\pi }/3 \leq \left| \xi \right| \leq {4\pi }/3}\right) , \\ \text{ (其他),} \end{array}\right.
\]
其中 \( v \) 是光滑函数,且满足以下条件:
\[
v\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \left( {x \leq 0}\right) , \\ 1 & \left( {x \geq 1}\right) , \end{array}\right.
\]
\[
v\left( x\right) + v\left( {1 - x}\right) = 1.
\]
小波函数 \( \psi \left( x\right) \) 的傅里叶变换为
\[
\widehat{\psi }\left( \xi \right) = \sqrt{2\pi }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\xi /2}\lbrack \widehat{\varphi }\left( {\xi + {2\pi }}\right)
\]
\[
\left. {+\widehat{\varphi }\left( {\xi - {2\pi }}\right) }\right\rbrack \widehat{\varphi }\left( {\xi /2}\right) \text{.}
\]
\( \psi \left( x\right) \) 称为迈耶小波,它是无穷可微函数,比任意阶逆多项式衰减得快, 并且傅里叶变换具有紧支集.
迈耶小波是迈耶 (Meyer, Y. ) 于 1985 年构造的正交小波.
拜特-雷默瑞小波 (Battle-Lemarié wavelets)
亦称正交样条小波, 一种特殊的正交小波, 它与由样条函数生成的多分辨率分析相关联. 设 \( \varphi \) 是 \( N \) 阶 \( B \) 样条函数, 其傅里叶变换定义为
\[
\widehat{\varphi }\left( \xi \right) = {\left( 2\pi \right) }^{-1/2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{k\xi }/2}{\left( \sin \frac{\xi }{2}/\frac{\xi }{2}\right) }^{N + 1},
\]
其中
\[
k = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \left( {N\text{ 为奇数 }}\right) , \\ 1 & \left( {N\text{ 为偶数 }}\right) . \end{array}\right.
\]
取尺度函数为 \( {\varphi }^{\# }\left( x\right) ,{\varphi }^{\# } \) 定义为
\[
{\widehat{\varphi }}^{\# }\left( \xi \right) = \widehat{\varphi }\left( \xi \right) {\left\lbrack 2\pi \mathop{\sum }\limits_{{l \in Z}}{\left| \widehat{\varphi }\left( \xi + 2\pi l\right) \right| }^{2}\right\rbrack }^{-\frac{1}{2}},
\]
\( \widehat{\varphi }\left( x\right) \) 所对应的小波函数 \( \psi \left( x\right) \) 称为拜特-雷默瑞小波,它是 \( N - 1 \) 次可微的、指数衰减的正交小波.
劳顿条件 (Lawton's condition) 判断尺度函数正交性的一个条件. 设 \( {m}_{0}\left( \xi \right) \) 是形如
\[
{m}_{0}\left( \xi \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{N}{h}_{n}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\xi }}
\]
的三角多项式,定义 \( \left( {{2N} - 1}\right) \times \left( {{2N} - 1}\right) \) 阶矩阵 \( A \) \( = \left( {A}_{lk}\right) \) :
\[
{A}_{lk} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{N}{h}_{n}{\bar{h}}_{k - {2l} + n}
\]
\[
\left( {-N + 1 \leq l, k \le |
2000_数学辞海（第3卷） | 210 | = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \left( {N\text{ 为奇数 }}\right) , \\ 1 & \left( {N\text{ 为偶数 }}\right) . \end{array}\right.
\]
取尺度函数为 \( {\varphi }^{\# }\left( x\right) ,{\varphi }^{\# } \) 定义为
\[
{\widehat{\varphi }}^{\# }\left( \xi \right) = \widehat{\varphi }\left( \xi \right) {\left\lbrack 2\pi \mathop{\sum }\limits_{{l \in Z}}{\left| \widehat{\varphi }\left( \xi + 2\pi l\right) \right| }^{2}\right\rbrack }^{-\frac{1}{2}},
\]
\( \widehat{\varphi }\left( x\right) \) 所对应的小波函数 \( \psi \left( x\right) \) 称为拜特-雷默瑞小波,它是 \( N - 1 \) 次可微的、指数衰减的正交小波.
劳顿条件 (Lawton's condition) 判断尺度函数正交性的一个条件. 设 \( {m}_{0}\left( \xi \right) \) 是形如
\[
{m}_{0}\left( \xi \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{N}{h}_{n}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\xi }}
\]
的三角多项式,定义 \( \left( {{2N} - 1}\right) \times \left( {{2N} - 1}\right) \) 阶矩阵 \( A \) \( = \left( {A}_{lk}\right) \) :
\[
{A}_{lk} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{N}{h}_{n}{\bar{h}}_{k - {2l} + n}
\]
\[
\left( {-N + 1 \leq l, k \leq N - 1}\right) \text{.}
\]
若 \( A \) 的特征值 1 是非退化的,则称 \( {m}_{0}\left( \xi \right) \) 满足劳顿条件, 它由劳顿 (Lawton, W. ) 于 1990 年提出.
劳顿定理 (Lawton's theorem) 判断尺度函数正交性的基本定理. 劳顿定理断言: 若 \( {m}_{0}\left( \xi \right) \) 是形如
\[
{m}_{0}\left( \xi \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{N}{h}_{n}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\xi }}
\]
的三角多项式, 满足
\[
{\left| {m}_{0}\left( \xi \right) \right| }^{2} + {\left| {m}_{0}\left( \xi + \pi \right) \right| }^{2} = 1,{m}_{0}\left( 0\right) = 1.
\]
定义 \( \varphi \) 为这样的函数,其傅里叶变换为
\[
\widehat{\varphi }\left( \xi \right) = {\left( 2\pi \right) }^{-1/2}\mathop{\prod }\limits_{{j = 1}}^{\infty }{m}_{0}\left( {{2}^{-j}\xi }\right) ,
\]
则 \( \{ \varphi \left( {x - n}\right) \mid n \in Z\} \) 是规范正交的当且仅当 \( {m}_{0}\left( \xi \right) \) 满足劳顿条件.
科恩条件 (Cohen's condition) 判定尺度函数正交性的一个条件. 对于一个紧集 \( K \) ,如果 \( \left| K\right| = \) \( {2\pi } \) ,且对任意 \( \xi \in \left\lbrack {-\pi ,\pi }\right\rbrack \) 都存在 \( l \in Z \) ,使 \( \xi + {2\pi l} \in \) \( K \) ,那么称 \( K \) 为与 \( \left\lbrack {-\pi ,\pi }\right\rbrack \) 是 \( {2\pi } \) -同余的. 对于 \( {m}_{0}\left( \xi \right) \) \( \in C\left\lbrack {-\pi ,\pi }\right\rbrack \) ,如果存在与 \( \left\lbrack {-\pi ,\pi }\right\rbrack \) 同余的紧集 \( K, K \) 以 \( O \) 为内点,以及常数 \( {C}_{0} > 0 \) ,使得
\( \inf \left\{ {\left| {{m}_{0}\left( {{2}^{-j}\xi }\right) }\right| \mid j \geq 0,\xi \in K}\right\} \geq {C}_{0}, \)
那么称 \( {m}_{0}\left( \xi \right) \) 满足科恩条件. 这个条件是科恩 (Cohen, A.) 于 1990 年提出的.
科恩定理 (Cohen's theorem) 判断尺度函数正交性的重要定理. 设 \( {m}_{0}\left( \xi \right) \) 是三角多项式,满足
\[
{\left| {m}_{0}\left( \xi \right) \right| }^{2} + {\left| {m}_{0}\left( \xi + \pi \right) \right| }^{2} = 1,{m}_{0}\left( 0\right) = 1.
\]
定义 \( \varphi \) 为这样的函数,其傅里叶变换为
\[
\widehat{\varphi }\left( \xi \right) = {\left( 2\pi \right) }^{-1/2}\mathop{\prod }\limits_{{j = 1}}^{\infty }{m}_{0}\left( {{2}^{-j}\xi }\right) ,
\]
则 \( \{ \varphi \left( {x - n}\right) \mid n \in \mathrm{Z}\} \) 是规范正交的当且仅当 \( {m}_{0}\left( \xi \right) \) 满足科恩条件.
尺度序列的完全重构条件 (perfect reconstruction condition for scaling sequence) 尺度序列的一种刻画条件, 它能保证信号变换后的完全重构. 序列 \( {\left( {h}_{n}\right) }_{n \in \mathrm{Z}} \) 满足完全重构条件是指 \( {\left( {h}_{n}\right) }_{n \in \mathrm{Z}} \) 满足以下两个条件:
1. 正交条件: \( \mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}{\bar{h}}_{n + {2k}}{h}_{n} = {\delta }_{0, k} \) .
2. 正规条件: \( \mathop{\sum }\limits_{{n \in Z}}{h}_{n} = \sqrt{2} \) .
利用完全重构条件可以构造一组有限脉冲响应滤波器 \( \left\{ {h}_{n}\right\} ,\left\{ {g}_{n}\right\} \) ,其中 \( {g}_{n} = {\left( -1\right) }^{n}{h}_{{2N} - n + 1}, N \) 为任意整数,一般取 \( N = 0.\left\{ {h}_{n}\right\} \) 是低通滤波器, \( \left\{ {g}_{n}\right\} \) 是高通滤波器. 用它可以分解, 并完全重构序列信号.
滤波器的消失矩 (vanishing moments of filter) 刻画滤波器的一个概念. 一个序列 \( {\left\{ {h}_{n}\right\} }_{n \in \mathrm{Z}} \) 满足 \( k \) 阶消失矩条件是指
\[\mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}{\left( -1\right) }^{n}{n}^{l}{h}_{n} = 0\;\left( {l = 0,1,\cdots, k - 1}\right) .\]
阶梯形算法 (cascade algorithm) 用于求解双尺度差分方程的逼近算法. 给定序列 \( {\left\{ {h}_{n}\right\} }_{n \in \mathbf{Z}} \) ,可以利用阶梯算法求方程
\[\varphi \left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n \in Z}}{h}_{n}\varphi \left( {{2x} - n}\right) \]
的解. 定义 \( {\varphi }_{j}^{0}\left( x\right) \) 为简单函数,在 \( \left\lbrack {{2}^{-j}\left( {n - 1/2}\right) }\right. \) , \( \left. {{2}^{-j}\left( {n + 1/2}\right) }\right) \) 上为常值, \( n \in \mathbf{Z};{\varphi }_{j}^{1}\left( x\right) \) 是分段线性函数,在 \( \left\lbrack {{2}^{-j}n,{2}^{-j}\left( {n + 1}\right) }\right) \) 上是线性的, \( n \in \mathbf{Z} \) . 算法
如下:
1. 令 \( {\varphi }_{0}^{\varepsilon }\left( n\right) = {\delta }_{0, n}\left( {n \in \mathbf{Z};\varepsilon = 0\text{或}1}\right) ,{\varphi }_{0}^{\varepsilon }\left( x\right) \) 如上定义.
2. 计算 \( {\varphi }_{j}^{\varepsilon }\left( {{2}^{-j}n}\right) \left( {n \in \mathbf{Z}}\right) \) :
\[
{\varphi }_{j}^{\varepsilon }\left( {{2}^{-j}n}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{l \in \mathbf{Z}}}{h}_{n - {2l}}{\varphi }_{j - 1}^{\varepsilon }\left( {{2}^{-j}n}\right) .
\]
3. 按上面定义在 \( {\varphi }_{j}^{\varepsilon }\left( {{2}^{-j}n}\right) \) 中插值,得到 \( {\varphi }_{j}^{\varepsilon }\left( x\right) \) . 令 \( j \rightarrow \infty \) ,可得
\[
\varphi = \mathop{\lim }\limits_{{j \rightarrow \infty }}{\varphi }_{j}^{\varepsilon }
\]
为方程的解.
阶梯形算法可用于尺度函数和小波函数的构造.
马勒特算法 (Mallat algorithm) 信号的分解与重构的一种标准算法. 马勒特 (Mallat, S. ) 在图象分解和重构的塔式算法启发下, 基于多分辨率分析的框架,于 1987 年提出了马勒特算法. 设 \( \varphi \left( x\right) \) 是正交 MRA 的尺度函数, 满足
\[
\varphi \left( x\right) = \sqrt{2}\mathop{\sum }\limits_{{n \in Z}}{h}_{n}\varphi \left( {{2x} - n}\right) .
\]
令 \( {g}_{n} = {\left( -1\right) }^{n}{h}_{-n + 1} \) ,对于信号 \( {c}^{0} = \left\{ {c}_{n}^{0}\right\} \in {l}^{2}\left( \mathbf{Z}\right) \) 的分解公式为 \( {c}^{j} = H{c}^{j - 1},{d}^{j} = G{c}^{j - 1}, j = 1,2,\cdots, L.L \) 为分解的次数, 其中
\[
{\left( Hc\right) }_{k} = \mathop{\sum }\limits_{{n \in Z}}{h}_{n - {2k}}{c}_{n},
\]
\[
{\left( Gc\right) }_{k} = \mathop{\sum }\limits_{{n \in Z}}{g}_{n - {2k}}{c}_{n}
\]
重构公式为 \( {c}^{j - 1} = {H}^{ * }{c}^{j} + {G}^{ * }{d}^{j} \) ,其中
\[
{\left( {H}^{ * }a\right) }_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{k \in Z}}{h}_{n - {2k}}{a}_{k},
\]
\[
{\left( {G}^{ * }a\right) }_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{k \in Z}}{g}_{n - {2k}}{a}_{k}
\]
分别是 \( H, G \) 的对偶算子.
二维马勒特算法 (Mallat algorithm in two dimension) 马勒特算法在二维图象的推广. 设 \( {c}^{0} \) \( = {\left\{ {c}^{0}{}_{m, n}\right\} }_{m, n \in Z} \in {l}^{2}\left( {\mathbf{Z}}^{2}\right) \) ,定义 \( {H}_{x},{H}_{y} \) 和 \( {G}_{x},{G}_{y} \) 为算子 \( H, G \) 对行和列分别作用,分解公式为
\[
{c}^{j} = {H}_{x}{H}_{y}{c}^{j - 1},\;{d}^{j1} = {G}_{x}{H}_{y}{c}^{j - 1},
\]
\[
{d}^{j2} = {H}_{x}{G}_{y}{c}^{j - 1},\;{d}^{j3} = {G}_{x}{G}_{y}{c}^{j - 1},
\]
\( j = 1,2,\cdots, L.L \) 为分解次数. 合成公式为
\[
{c}^{j - 1} = {H}_{y}^{ * }{H}_{x}^{ * }{c}^{j} + {H}_{y}^{ * }{G}_{x}^{ * }{d}^{j1}
\]
\[
+ {G}_{y}^{ * }{H}_{x}^{ * }{d}^{j2} + {G}_{y}^{ * }{G}_{x}^{ * }{d}^{j3}.
\]
二进小波 (dyadic wavelet) 一类二进制伸缩的小波,经常用于奇异性检测. 对于 \( \psi \left( x\right) \in {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) , 如果它满足稳定性条件,即存在常数 \( 0 < A \) , \( B < + \infty \) ,使得对几乎处处的 \( w \in \mathrm{R} \) ,有
\[
A \leq \mathop{\sum }\limits_{{j \in Z}}{\left| \widehat{\psi }\left( {2}^{j}w\right) \right| }^{2} \leq B,
\]
那么称 \( \psi \left( x\right) \) 为一个二进小波.
稳定性条件隐含着二进小波一定是小波.
稳定性条件 (stability condition) 见 “二进小波”.
二进小波变换 (dyadic wavelet transform) 由二进制小波决定的变换. 设 \( \psi \left( x\right) \) 是二进小波,令
\[
{\psi }_{{2}^{j}}\left( x\right) = \frac{1}{{2}^{j}}\psi \left( \frac{x}{{2}^{j}}\right) .
\]
这时 \( f\left( x\right) \) 在尺度 \( {2}^{j} \) 上的小波变换为
\[
{W}_{{2}^{j}}f\left( x\right) = f * {\psi }_{{2}^{j}}\left( x\right) ,
\]
则称函数序列
\[
{Wf} = {\left\{ {W}_{{2}^{j}}f\left( x\right) \right\} }_{j \in z}
\]
为二进小波变换. 二进小波变换是连续小波变换半离散化的结果. 人们只是把尺度因子离散化, 平移因子依然连续取值.
二进重构小波 (dyadic reconstructing wavelet) 一类小波函数. 对于一个给定的小波, 另一个具有某种特定性质的函数称为它的二进重构小波. 给定小波函数 \( \psi \left( x\right) \) ,若函数 \( \chi \left( x\right) \) 的傅里叶变换满足
\[
\mathop{\sum }\limits_{{j = - \infty }}^{\infty }\widehat{\psi }\left( {{2}^{j}w}\right) \widehat{\chi }\left( {{2}^{j}w}\right) = 1,
\]
那么称 \( \chi \left( x\right) \) 为 \( \psi \left( x\right) \) 的重构小波函数.
二进小波变换重构公式 (resolution of the identity for dyadic wavelet transform) 二进小波变换的基本性质. 关于一个二进小波 \( \psi \left( x\right) \) 的二进小波变换重构公式为
\[f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{j = - \infty }}^{{+\infty }}{W}_{{2}^{j}}f * {\chi }_{{2}^{j}}\left( x\right) ,\]
其中 \( \chi \left( x\right) \) 为 \( \psi \left( x\right) \) 的重构小波函数.
任一信号 \( f \) 可以由它的连续小波变换 \( {T}^{\text{wav }}f \) 的值完全确定. 如果人们希望从 \( {T}^{ww}f\left( {a, b}\right) \) 在 \( {a}_{j} = \) \( {2}^{j}\left( {j \in \mathbf{Z}}\right) \) 离散点的值重建信号,就要对小波加更多的限制, 这就是稳定性条件.
平滑算子 (smoothing operator) 一类起光滑作用的算子. 给定一个二进小波 \( \psi \left( x\right) \) ,取重构小波 \( \chi \left( x\right) \) ,使得对于任意 \( w \) ,
\[\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }\widehat{\psi }\left( {{2}^{j}w}\right) \widehat{\chi }\left( {{2}^{j}w}\right) \]
是正数. 引进实函数 \( \varphi \left( x\right) \) ,使其傅里叶变换满足
\[{\left| \widehat{\varphi }\left( w\right) \right| }^{2} = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }\widehat{\psi }\left( {{2}^{j}w}\right) \widehat{\chi }\left( {{2}^{j}w}\right) ,\]
这时 \( {2}^{j} \) 尺度下的平滑算子定义为
\[{S}_{{2}^{j}}f\left( x\right) = f * {\varphi }_{{2}^{j}}\left( x\right) ,\]
其中 \( {\varphi }_{{2}^{j}}\left( x\right) = \frac{1}{{2}^{j}}\varphi \left( \frac{x}{{2}^{j}}\right) \) .
离散二进小波变换 (discrete dyadic wavelet transform) 离散信号的二进小波变换. 如果 \( \psi \left( x\right) \) \( \in {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) 是二进小波,信号 \( D = {\left( {d}_{n}\right) }_{n \in \mathrm{Z}} \in {l}^{2} \) ,则存在 \( f\left( x\right) \in {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) ,使得 \( {d}_{n} = {S}_{1}f\left( n\right) \) . 离散信号序列
\[\left\{ {{S}_{{2}^{J}}f\left( n\right) ,{\left\{ {W}_{{2}^{j}}f\left( n\right) \right\} }_{1 \leq j \leq J}}\right\} \]
称为 \( D \) 的离散二进小波变换. 记号 \( {W}_{{2}^{j}} \) 与 \( {S}_{{2}^{j}} \) 可分别参见“二进小波变换”与“平滑算子”.
双正交小波基 (biorthonormal wavelet basis) 正交小波基概念的推广. 设 \( \varphi ,\widetilde{\varphi } \) 分别为两个多分辨率分析的尺度函数, 相应的面具分别为
\[
{m}_{ |
2000_数学辞海（第3卷） | 211 | mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }\widehat{\psi }\left( {{2}^{j}w}\right) \widehat{\chi }\left( {{2}^{j}w}\right) ,\]
这时 \( {2}^{j} \) 尺度下的平滑算子定义为
\[{S}_{{2}^{j}}f\left( x\right) = f * {\varphi }_{{2}^{j}}\left( x\right) ,\]
其中 \( {\varphi }_{{2}^{j}}\left( x\right) = \frac{1}{{2}^{j}}\varphi \left( \frac{x}{{2}^{j}}\right) \) .
离散二进小波变换 (discrete dyadic wavelet transform) 离散信号的二进小波变换. 如果 \( \psi \left( x\right) \) \( \in {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) 是二进小波,信号 \( D = {\left( {d}_{n}\right) }_{n \in \mathrm{Z}} \in {l}^{2} \) ,则存在 \( f\left( x\right) \in {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) ,使得 \( {d}_{n} = {S}_{1}f\left( n\right) \) . 离散信号序列
\[\left\{ {{S}_{{2}^{J}}f\left( n\right) ,{\left\{ {W}_{{2}^{j}}f\left( n\right) \right\} }_{1 \leq j \leq J}}\right\} \]
称为 \( D \) 的离散二进小波变换. 记号 \( {W}_{{2}^{j}} \) 与 \( {S}_{{2}^{j}} \) 可分别参见“二进小波变换”与“平滑算子”.
双正交小波基 (biorthonormal wavelet basis) 正交小波基概念的推广. 设 \( \varphi ,\widetilde{\varphi } \) 分别为两个多分辨率分析的尺度函数, 相应的面具分别为
\[
{m}_{0}\left( \xi \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\mathop{\sum }\limits_{{n \in Z}}{h}_{h}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\xi }},
\]
\[
{\widetilde{m}}_{0}\left( \xi \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\mathop{\sum }\limits_{{n \in Z}}{\widetilde{h}}_{n}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\xi }},
\]
\[
{\bar{m}}_{0}\left( \xi \right) {\widetilde{m}}_{0}\left( \xi \right) + {\bar{m}}_{0}\left( {\xi + \pi }\right) {\widetilde{m}}_{0}\left( {\xi + \pi }\right) = 1.
\]
定义两个小波函数 \( \psi ,\widetilde{\psi } \) ,其傅里叶变换分别为
\[
\widehat{\psi }\left( \xi \right) = {m}_{1}\left( {\xi /2}\right) \widehat{\varphi }\left( {\xi /2}\right) ,
\]
\[
\widehat{\widetilde{\psi }}\left( \xi \right) = {\widetilde{m}}_{1}\left( {\xi /2}\right) \;\widehat{\widetilde{\varphi }}\left( {\xi /2}\right) ,
\]
其中
\[
{m}_{1}\left( \xi \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\mathop{\sum }\limits_{{n \in Z}}{\left( -1\right) }^{n}{h}_{-n + 1}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\xi }},
\]
\[
{\widetilde{m}}_{1}\left( \xi \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\mathop{\sum }\limits_{{n \in Z}}{\left( -1\right) }^{n}{\widetilde{h}}_{-n + 1}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\xi }}.
\]
如果
\[
{\left\{ {\psi }_{m, n}\left( x\right) = {2}^{-m/2}\psi \left( {2}^{-m}x - n\right) \right\} }_{m, n \in Z},
\]
\[
{\left\{ {\widetilde{\psi }}_{m, n}\left( x\right) = {2}^{-m/2}\widetilde{\psi }\left( {2}^{-m}x - n\right) \right\} }_{m, n \in Z}
\]
都是 \( {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) 的里斯基,并且
\[
\left( {{\psi }_{m, n},{\widetilde{\psi }}_{{m}^{\prime },{n}^{\prime }}}\right) = {\delta }_{m,{m}^{\prime }}{\delta }_{n,{n}^{\prime }},
\]
则称 \( \left\{ {{\psi }_{m, n},{\widetilde{\psi }}_{m, n}}\right\} \) 构成了 \( {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) 的双正交小波基. 这时,称 \( \psi ,\widetilde{\psi } \) 为双正交小波, \( {h}_{n},{\widetilde{h}}_{n} \) 为双正交尺度序列, \( {g}_{n},{\widetilde{g}}_{n} \) 为双正交小波序列. 此时,对任意 \( f\left( x\right) \in \) \( {L}^{2} \) (R) 有
\[
f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{m, n \in Z}}\left( {f,{\psi }_{m, n}}\right) {\widetilde{\psi }}_{m, n}\left( x\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{m, n \in Z}}\left( {f,{\widetilde{\psi }}_{m, n}}\right) {\psi }_{m, n}\left( x\right) .
\]
具有紧支撑的正交多分辨率分析小波 (哈尔小波除外) 缺乏对称性, 不可能是对称的或反对称的, 相应的滤波器不能保持线性相位. 为了克服正交小波的这一缺点, 构造具有线性相位的有限长滤波器, 而引入了双正交小波的概念. 双正交小波可同时具有紧支集和线性相位.
双正交小波 (biorthonormal wavelets) 见“双正交小波基”.
双正交尺度序列 (biorthonormal scaling sequences) 见“双正交小波基”.
双正交小波序列 (biorthonormal wavelet sequences) 见“双正交小波基”.
双正交尺度序列的完全重构条件 (perfect reconstruction condition for biorthonormal scaling sequences) 双正交尺度序列的刻画条件, 它们能保证信号变换后的完全重构. 序列 \( {\left( {h}_{n}\right) }_{n \in Z},{\left( {\widetilde{h}}_{n}\right) }_{n \in Z} \) 满足双正交小波的完全重构条件, 是指
1. 正交条件: \( \mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathrm{Z}}}{\bar{h}}_{n + {2k}}{\widetilde{h}}_{n} = {\delta }_{0, k} \) .
2. 正规条件: \( \mathop{\sum }\limits_{{n \in Z}}{h}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{n \in Z}}{\widetilde{h}}_{n} = \sqrt{2} \) .
利用完全重构条件可以构造一组双正交小波滤波器 \( \left\{ {h}_{n}\right\} ,\left\{ {g}_{n}\right\} ,\left\{ {\widetilde{h}}_{n}\right\} ,\left\{ {\widetilde{g}}_{n}\right\} \) ,其中 \( {g}_{n} = {\left( -1\right) }^{n}{h}_{-n + 1} \) , \( {\widetilde{g}}_{n} = {\left( -1\right) }^{n}{\widetilde{h}}_{-n + 1} \) . 滤波器组 \( \left\{ {h}_{n}\right\} ,\left\{ {g}_{n}\right\} \) 用来分解信号,滤波器组 \( \left\{ {\widetilde{h}}_{n}\right\} ,\left\{ {\widetilde{g}}_{n}\right\} \) 用来合成信号. 在滤波器组的构造中, 两个滤波器的长度可以不同; 根据实际需要, 可以要求一个滤波器有对称性或反对称性, 保持线性相位, 而另一个满足较高的消失矩条件, 具有适当的光滑性.
小波包 (wavelet packets) 正交小波的一种推广. 它提供了更多可供选择的正交基. 设 \( \varphi \) 是正交多分辨率分析的尺度函数, \( \psi \) 是一个小波函数,满足方程
\[
\varphi \left( x\right) = \sqrt{2}\mathop{\sum }\limits_{{n \in Z}}{h}_{n}\varphi \left( {{2x} - n}\right) ,
\]
\[
\psi \left( x\right) = \sqrt{2}\mathop{\sum }\limits_{{n \in Z}}{g}_{n}\varphi \left( {{2x} - n}\right) ,
\]
令 \( {\varphi }_{0} = \varphi ,{\varphi }_{1} = \psi \) ,定义
\[
{\varphi }_{2k}\left( x\right) = \sqrt{2}\mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}{h}_{n}{\varphi }_{k}\left( {{2x} - n}\right) ,
\]
\[
{\varphi }_{{2k} + 1}\left( x\right) = \sqrt{2}\mathop{\sum }\limits_{{n \in Z}}{g}_{n}{\varphi }_{k}\left( {{2x} - n}\right)
\]
\[\left( {k = 1,2,\cdots }\right) \text{,}\]
函数序列 \( \left\{ {{2}^{m/2}{\varphi }_{n}\left( {{2}^{m}x - k}\right) \mid m, n \in {Z}_{ + }, k \in Z}\right\} \) 称为小波包,其中 \( n \) 称为频率参数, \( m \) 称为尺度参数, \( k \) 称为位置参数. 此序列中,适当地选取可以构成 \( {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) 的规范正交基. 在设定的花费函数下可以选出 “最好”的基, 这在很多应用中是非常重要的.
对信号进行小波分解, 得到高频和低频信号, 再一次做小波分解时, 只是对低频信号进行分解. 为了细分信号, 也应对高频信号进行小波分解, 这就要引入小波包的概念. 这一概念是由科伊夫曼 (Coif-man, R. R. ) 和迈耶 (Meyer, Y. ) 提出的.
\( M \) 进制小波 ( \( M \) -band wavelet) 由二进制小波推广而得到的一类小波. 假设 \( {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) 中的一列闭子空间 \( {\left\{ {V}_{j}\right\} }_{j \in Z} \) 满足下面五个条件,称 \( \varphi \) 是正交多分辨率分析 \( {\left\{ {V}_{j}\right\} }_{j \in \mathrm{Z}} \) 的尺度函数:
\[\text{1.}\cdots \subset {V}_{2} \subset {V}_{1} \subset {V}_{0} \subset {V}_{-1} \subset {V}_{-2} \subset \cdots \text{.}\]
\[\text{2.}\mathop{\bigcap }\limits_{{j \in Z}}{V}_{j} = \{ 0\} ,\overline{\mathop{\bigcup }\limits_{{j \in Z}}{V}_{j}} = {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \text{.}\]
\[\text{3.}f\left( x\right) \in {V}_{j} \Leftrightarrow f\left( {{M}^{j}x}\right) \in {V}_{0}\text{.}\]
4. \( f\left( x\right) \in {V}_{0} \Leftrightarrow \) 对任意 \( k \in \mathbf{Z}, f\left( {x - k}\right) \in {V}_{0} \) .
5. 存在函数 \( \varphi \in {V}_{0} \) ,使得 \( \left\{ {{\varphi }_{n}\left( x\right) = \varphi \left( {x - n}\right) }\right\} (n \) \( \in Z) \) 形成 \( {V}_{0} \) 的一组规范正交基.
记 \( {W}_{j} \) 为 \( {V}_{j} \) 在 \( {V}_{j - 1} \) 中的正交补空间,即
\[{V}_{j - 1} = {V}_{j} \oplus {W}_{j}\]
对于函数系 \( \left\{ {\psi }^{s}\right\} \left( {1 \leq s \leq M - 1}\right) \) ,如果 \( \left\{ {{\psi }^{s}\left( {x - k}\right) \mid 1}\right. \) \( \leq s \leq M - 1, k \in \mathbf{Z}\} \) 构成 \( {W}_{0} \) 的一组规范正交基,那么称 \( \left\{ {\psi }^{s}\right\} \left( {1 \leq s \leq M - 1}\right) \) 为 \( M \) 进制小波. 这里 \( \varphi \) 满足双尺度差分方程
\[
\varphi \left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n \in Z}}{a}_{0n}\varphi \left( {{Mx} - n}\right) ,
\]
而 \( {\psi }^{s} \) 满足方程
\[
{\psi }^{s}\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathrm{Z}}}{a}_{sn}\varphi \left( {{Mx} - n}\right) .
\]
称矩阵 \( {\left( {a}_{ij}\right) }_{0 \leq i \leq M - 1, j \in \mathbf{Z}} \) 为小波矩阵,其中 \( \left( {a}_{0n}\right) \) 称为尺度序列,而对所有 \( 1 \leq s \leq M - 1 \) ,称 \( \left( {a}_{sn}\right) \) 为小波序列.
从尺度函数和小波函数出发, 可以构造两通道的滤波器组. 若希望得到多通道的滤波器组, 就需要从多进制小波出发. \( M \) 进制小波可以使尺度函数和小波函数满足某种对称性, 克服二进正交小波不能保持线性相位的缺点.
小波矩阵 (wavelet matrix) 见 “ \( M \) 进制小波”.
尺度序列(scaling sequence) 见“ \( M \) 进制小波”.
小波序列(wavelet sequence) 见“ \( M \) 进制小波”.
多小波 (multiwavelets) 小波函数的重要推广,它由多个函数组成. 设 \( {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) 中的一列闭子空间 \( {\left\{ {V}_{j}\right\} }_{j \in \mathrm{Z}} \) 满足下列条件,则称其中的 \( \left\{ {\varphi }^{a}\right\} (a = 1,2 \) , \( \cdots, L) \) 为正交多分辨率分析 \( {\left\{ {V}_{j}\right\} }_{j \in \mathrm{Z}} \) 的尺度函数系:
1. \( \cdots \subset {V}_{2} \subset {V}_{1} \subset {V}_{0} \subset {V}_{-1} \subset {V}_{-2} \subset \cdots \) .
2. \( \mathop{\bigcap }\limits_{{j \in Z}}{V}_{j} = \{ 0\} ,\overline{\mathop{\bigcup }\limits_{{j \in Z}}{V}_{j}} = {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) .
3. \( f\left( x\right) \in {V}_{j} \Leftrightarrow f\left( {{M}^{j}x}\right) \in {V}_{0} \) .
4. \( f\left( x\right) \in {V}_{0} \Leftrightarrow \) 对任意 \( k \in Z, f\left( {x - k}\right) \in {V}_{0} \) .
5. 存在函数 \( {\varphi }^{a}\left( x\right) \in {V}_{0}\left( {a = 1,2,\cdots, L}\right) \) ,使得 \( \left\{ {{\varphi }_{n}^{a}\left( x\right) = {\varphi }^{a}\left( {x - n}\right) \mid a = 1,2,\cdots, L, n \in \mathbf{Z}}\right\} \) 形成 \( {V}_{0} \) 的一组规范正交基.
记 \( {W}_{j} \) 为 \( {V}_{j} \) 在 \( {V}_{j - 1} \) 中的正交补空间,即
\[
{V}_{j - 1} = {V}_{j} \oplus {W}_{j}
\]
对于函数系 \( \left\{ {\psi }^{s}\right\} \left( {1 \leq s \leq L\left( {M - 1}\right) }\right) \) ,如果 \( \left\{ {{\psi }^{s}\left( {x - k}\right) }\right. \) \( |1 \leq s \leq L\left( {M - 1}\right), k \in \mathbf{Z}\} \) 构成 \( {W}_{0} \) 的一组规范正交基,那么称 \( \left\{ {\psi }^{s}\right\} \left( {1 \leq s \leq L\left( {M - 1}\right) }\right) \) 为多小波 (或向量小波). \( \Phi = {\left( {\varphi }^{1},{\varphi }^{2},\cdots ,{\varphi }^{L}\right) }^{T} \) 满足双尺度差分方程
\[
\Phi \left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n \in Z}}{P}_{n}\Phi \left( {{Mx} - n}\right) ,
\]
其中 \( {P}_{n} \) 是 \( L \times L \) 的矩阵. \( \Psi = {\left( {\psi }^{1},{\psi }^{2},\cdots ,{\psi }^{L\left( {M - 1}\right) }\right) }^{T} \) 满足方程
\[
\Psi \left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n \in Z}}{Q}_{n}\Phi \left( {{Mx} - n}\right) ,
\]
其中 \( {Q}_{n} \) 是 \( L\left( {M - 1}\right) \times L \) 的矩阵.
常用的小波函数从正交多分辨率分析中得到的, 如果该多分辨率分析是由一个尺度函数生成的, 就得到 \( M \) 进制小波 ( \( M \) 可以等于二),而有时多分辨率分析是由两个或多个尺度函数生成的, 这时得到的小波成为多小波. 设 \( M \) 为一个正整数. 人们可以要求有些尺度函数为严格对称, 有些为严格反对称的, 并且具有很好的局部性 (指有紧支集, 并且支集长度较短). 人们可以要求相应的滤波器保持线性相位, 长度较短. 值得说明的是: 此时滤波器系数不是数, 而是矩阵, 这给构造滤波器提供了一种新思路.
向量小波 (vector wavelets) 即“多小波”.
多维小波 (multi-dimensional wavelet) 高维空间的小波. 假设 \( {L}^{2}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 中的一列闭子空间 \( {\left\{ {V}_{j}\right\} }_ |
2000_数学辞海（第3卷） | 212 | 1 \leq s \leq L\left( {M - 1}\right) }\right) \) 为多小波 (或向量小波). \( \Phi = {\left( {\varphi }^{1},{\varphi }^{2},\cdots ,{\varphi }^{L}\right) }^{T} \) 满足双尺度差分方程
\[
\Phi \left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n \in Z}}{P}_{n}\Phi \left( {{Mx} - n}\right) ,
\]
其中 \( {P}_{n} \) 是 \( L \times L \) 的矩阵. \( \Psi = {\left( {\psi }^{1},{\psi }^{2},\cdots ,{\psi }^{L\left( {M - 1}\right) }\right) }^{T} \) 满足方程
\[
\Psi \left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n \in Z}}{Q}_{n}\Phi \left( {{Mx} - n}\right) ,
\]
其中 \( {Q}_{n} \) 是 \( L\left( {M - 1}\right) \times L \) 的矩阵.
常用的小波函数从正交多分辨率分析中得到的, 如果该多分辨率分析是由一个尺度函数生成的, 就得到 \( M \) 进制小波 ( \( M \) 可以等于二),而有时多分辨率分析是由两个或多个尺度函数生成的, 这时得到的小波成为多小波. 设 \( M \) 为一个正整数. 人们可以要求有些尺度函数为严格对称, 有些为严格反对称的, 并且具有很好的局部性 (指有紧支集, 并且支集长度较短). 人们可以要求相应的滤波器保持线性相位, 长度较短. 值得说明的是: 此时滤波器系数不是数, 而是矩阵, 这给构造滤波器提供了一种新思路.
向量小波 (vector wavelets) 即“多小波”.
多维小波 (multi-dimensional wavelet) 高维空间的小波. 假设 \( {L}^{2}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 中的一列闭子空间 \( {\left\{ {V}_{j}\right\} }_{j \in \mathrm{Z}} \) ,满足以下五个条件,则称其中函数 \( \varphi \) 为正交多分辨率分析 \( {\left\{ {V}_{j}\right\} }_{j \in Z} \) 的尺度函数:
\[
\text{1.}\cdots \subset {V}_{2} \subset {V}_{1} \subset {V}_{0} \subset {V}_{-1} \subset {V}_{-2} \subset \cdots \text{.}
\]
2. \( \mathop{\bigcap }\limits_{{j \in \mathrm{Z}}}{V}_{j} = \{ 0\} ,\overline{\mathop{\bigcup }\limits_{{j \in \mathrm{Z}}}{V}_{j}} = {L}^{2}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) .
3. \( f\left( x\right) \in {V}_{j} \Leftrightarrow f\left( {{2}^{j}x}\right) \in {V}_{0} \) .
4. \( f\left( x\right) \in {V}_{0} \Leftrightarrow \) 对任意 \( k \in {Z}^{n}, f\left( {x - k}\right) \in {V}_{0} \) .
5. 存在函数 \( \varphi \in {V}_{0} \) ,使得 \( \left\{ {{\varphi }_{l}\left( x\right) = \varphi \left( {x - l}\right) }\right\} (l \in \) \( \left. {Z}^{n}\right) \) 形成 \( {V}_{0} \) 的一组规范正交基.
记 \( {W}_{j} \) 为 \( {V}_{j} \) 在 \( {V}_{j - 1} \) 中的正交补空间,即
\[
{V}_{j - 1} = {V}_{j} \oplus {W}_{j}
\]
对于函数系 \( \left\{ {\psi }^{s}\right\} \left( {1 \leq s \leq {2}^{n} - 1}\right) \) ,如果 \( {\psi }_{s}\left( {x - k}\right) \mid 1 \leq \) \( \left. {s \leq {2}^{n} - 1, k \in {\mathbf{Z}}^{n}}\right\} \) 构成 \( {W}_{0} \) 的一组规范正交基,那么称 \( \left\{ {\psi }^{s}\right\} \left( {1 \leq s \leq {2}^{n} - 1}\right) \) 为多维小波.
用张量积的方法可以构造多维小波, 但通常要构造的多维小波是指不可分离变量的, 它可以提取多维号的信息, 在实际应用中有重要意义.
局部三角变换 (local trigonometric transform) 在处理语音信号中一类重要的变换. 函数系
\[
\left\{ {\left. {\sqrt{2}\cos \left\lbrack {\pi \left( {n + \frac{1}{2}}\right) t}\right\rbrack }\right| \;n = 0,1,\cdots }\right\}
\]
形成 \( {L}^{2}\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 的规范正交基. 通过窗口函数的折摺变换可用它们构造 \( {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) 的正交基. 如果 \( \mathrm{R} = \mathop{\bigcup }\limits_{k}{I}_{k} \) 是一个区间分解, \( {I}_{k} = \left\lbrack {{a}_{k},{a}_{k + 1}}\right\rbrack ,{b}_{k}\left( t\right) \) 是一个细心构造的窗口函数,支在区间 \( \left\lbrack {{a}_{k} - {\varepsilon }_{k},{a}_{k + 1} + {\varepsilon }_{k + 1}}\right\rbrack \) ,使得
\[
{\psi }_{n, k}\left( t\right) = \sqrt{\frac{2}{{a}_{k + 1} - {a}_{k}}}{b}_{k}\left( t\right) \cos \left\lbrack \frac{\pi \left( {n + \frac{1}{2}}\right) \left( {t - {a}_{k}}\right) }{{a}_{k + 1} - {a}_{k}}\right\rbrack
\]
\[
\left( {n, k \in \mathbf{Z}}\right)
\]
形成 \( {L}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) 的规范正交基,那么这种基称为局部余弦基. 类似地可构造局部正弦基. 它们通称为局部三角基, 信号按这种基展开称为局部三角变换. 对每个区间 \( {I}_{k} \) ,还可往下分解,对应地可构造局部三角基包. 给定花费函数可实现自适应的最好基表示. 反变换即重构过程通过反折摺变换也很容易实现. 在处理音条信号、语音信号中局部三角变换有一定优势.
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撰 稿 马瑞芹 王明辉 顾 青 彭立中
审 阅 顾 青
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## 分 形 几 何
分形几何 (fractal geometry) 亦称分形分析. 是研究自然科学各个领域中出现的大量不规则几何形体的新兴科学, 它在数学、物理、地质、材料、生命科学和工程技术等学科中有着广泛的应用. 自 20 世纪 80 年代以来, 分形几何的理论研究和实际应用迅速发展, 优秀成果不断出现, 使得它不仅成为数学科学的一个非常活跃的分支, 而且更成为前沿科学 ——非线性科学的一个重要组成部分.
自然界出现的诸如云层的边界, 山脉的轮廓, 雪花, 海岸线等“不规则”几何形体, 难以用经典几何中的直线、光滑曲面来描述. 同时, 大量不同类型的不规则几何对象常常出现在自然科学的不同领域中, 如数学中解决非线性问题时出现的奇怪吸引子, 流体力学中的湍流, 物理中临界现象与相变, 化学中酶与蛋白质的构造, 生物学中细胞的生长, 工程技术中的信号处理、噪声分析……长期以来, 人们试图将它们纳入经典几何框架中进行研究, 但人们发现, 由此导出的模型即使在近似的情形, 无论在理论上还是在实验中, 都难以处理所接触到的实际情形. 另一方面, 人们已注意到不规则图形往往能提供许多自然现象更好的描述. 20 世纪 80 年代初, 由芒德布罗 (Mandelbrot, B. ) 所创立的分形几何, 提供了研究这类不规则几何对象的新思想、新概念、新方法和新技巧. 近几年来, 这一新兴学科在数学、物理、化学、 地质、材料、生命科学、工程技术等诸学科中已得到广泛应用. 同时, 不同学科中提出的大量问题又激励了分形几何的深入发展. 特别应当指出的是, 分形几何的诞生与发展对整个科学的发展有极为重要的意义, 诚如斯来辛格 (Shlesinger, M. F. ) 于 1986 年所指出的: “20 世纪的后半期似乎是科学与数学变得更加专门化的时期, 令人注目的是, 在前一个十年, 下述两项课题使上述趋势得以逆转: 非线性动力学与分形. 前者涉及运动的非线性确定方程的一般普适行为, 而后者则是研究自相似或自仿射对象的几何以及该几何上的动力学. 两者均已应用到一系列深刻的交叉学科的问题中. ”
自 20 世纪 80 年代后期以来, 分形几何及其相关领域取得了非常丰富的成果, 特别是在自相似集性质的研究、自仿集的维数估计、 2 阶密度、自相似测度的傅里叶分析、分形的李普希茨等价、一些特殊集的分形结构、重分形测度分析以及测度的分形理论等方面, 成果更为丰硕.
另一方面, 分形物理也获得巨大进展, 特别是研究在分形上 (尤其是在分形晶格上) 呈现的物理现象和物理性质、分形结构形成的物理机制 (即探讨分形形成的物理起源) 方面, 成果卓著. 例如: 分形晶格上的磁相变和临界动力学 (即临界点附近的非平衡统计问题)、反常动力学 (晶格振动、无规行走、自旋波等)、紧束缚型哈密顿量的量子力学、各种系统的多重分形研究、广延耗散系统的自组织临界性等; 后者则包括: 各种计算机模型 (扩散置限聚积模型 (DLA)、介质电击模型 (DBM)、解释分形生长的理论 (不动点变换、分支生长、生长界面动力学 (KPZ 理论)、 2 维拉普拉斯生长映射的哈密顿动力学等).
大数学家黎曼 (Riemann, (G. F. ) B. ) 早在 19 世纪就预言过: “在很大尺度或很小尺度下, 人们所遇到的几何学可能与普通的欧几里得几何有很大的不同”. 在大尺度方面, 爱因斯坦 (Einstein, A. ) 的引力理论提供了弯曲的时空模型, 在小尺度时, 情况会如何? 分形几何是否会部分地满足上述需求? 科学家们期盼着分形几何能给出满意的答案.
分形分析 (fractal analysis) 即 “分形几何”.
科克曲线 (Koch curve) 一种典型的分形曲线. 设 \( {E}_{0} \) 为单位区间,以 \( {E}_{0} \) 的中间三分之一线段为底, 向上作等边三角形, 然后去掉该底 (保留端点).
由此得到的 4 条线段组成的图形记为 \( {E}_{1} \) ; 对 \( {E}_{1} \) 的每一边重复上述过程, 所得到的折线多边形记为 \( {E}_{2} \) ; 应用同样的方式,从 \( {E}_{k - 1} \) 得到 \( {E}_{k} \) . 当 \( k \) 趋于无穷时,折线多边形序列 \( {E}_{k} \) 趋于一极限曲线 \( E \) ,称为科克曲线. 它是科克 (Koch, H. von) 于 1904 年构造出来的. 科克曲线 \( E \) 具有如下性质:
1. 曲线 \( E \) 具有 “细结构”,亦即它包含对应任意小尺度下的细节,不管取多么小的尺度, \( {60}^{ \circ } \) 的尖角仍然出现, 只是边长相应减小 (注意, 用正多边形逼近圆时,相邻边夹角递增趋于 \( {180}^{ \circ } \) ). 这个事实表明,曲线 \( E \) 的复杂性不随尺度的减小而消失.
2. 曲线 \( E \) 难于用经典的方法刻画,从整体上看, 它既不是满足某些简单几何条件的点的轨迹, 亦不能作为任一简单方程的解的集合; 从局部上看, 它不能通过切线来描述 (事实上,曲线 \( E \) 上的点已没有经典意义下的切线).
3. 曲线的 “长度” 为无穷大, 而 “面积”为零. 从而人们不能用通常的测度来量度它的“大小”.
4. 曲线 \( E \) 具有局部与整体的对称: 它由 4 个与 \( E \) 相似的部分组成,其相似因子为 \( 1/4 \) ; 而每部分由 4 个更小的但仍与 \( E \) 相似的、其相似因子为 \( 1/{4}^{2} \) 的部分组成……上述对称性亦称为自相似性.
5. 尽管 \( E \) 具有复杂的细结构,但它的定义非常直接,特别地, \( E \) 可以由简单的递归方式生成,而且, 它的逐阶迭代 \( {E}_{k} \) 给出 \( E \) 的越来越好的近似.
性质 \( 1,2,3 \) 反映了科克曲线的 “不规则性”,而性质 4,5 则给出了科克曲线某些“规则”的性质. 一般地, 人们所讨论的分形集都具有前述的某些性质或是它们的变形.
自相似集 (self-similar set) 一类具有自相似性的分形集合,是最重要的分形集类. 设 \( D \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的闭子集. 映射 \( S : D \rightarrow D \) 称为 \( D \) 上的压缩映射,若存在 \( c \in \mathrm{R},0 < c < 1 \) ,使得
\[
\left| {S\left( x\right) - S\left( y\right) }\right| \leq c\left| {x - y}\right| \left( {x, y \in D}\right) .
\]
当上述不等式中等号成立时, 亦即
\[
\left| {S\left( x\right) - S\left( y\right) }\right| = c\left| {x - y}\right| ,
\]
则 \( S \) 称为相似映射. 设 \( \Phi = \left\{ {{\varphi }_{1},{\varphi }_{2},\cdots ,{\varphi }_{m}}\right\} \) 为有限压缩族,即对于任意 \( j,1 \leq j \leq m \) ,
\[
\left| {{\varphi }_{j}\left( x\right) - {\varphi }_{j}\left( y\right) }\right| \leq {c}_{j}\left| {x - y}\right|
\]
\[
\left( {x, y \in D,0 < {c}_{j} < 1}\right) ,
\]
满足
\[
F = \mathop{\bigcup }\limits_{{j = 1}}^{m}{\varphi }_{j}F
\]
（1）
的非空紧集 \( F \) 称为压缩族 \( \Phi \) 的不变集. 特别地,如果所有的 \( {\varphi }_{j} \) 均为相似压缩,则 \( F \) 称为自相似集. 它由具有各向同性的线性压缩族, 即相似压缩族生成, 其最重要的特征是它的局部与整体具有严格的相似. 自相似集在分形几何的研究中具有非常特殊的地位.
压缩映射 (contracting mapping) 见 “自相似集”.
相似映射 (similar mapping) 见“自相似集”.
自仿集 (affine set) 一类具有自仿性的集合. 对于沿不同方向有不同压缩系数的线性压缩族所产生的不变集称为自仿集. 具体地,若 \( T : {\mathrm{R}}^{d} \rightarrow {\mathrm{R}}^{d} \) 是一个线性变换, \( b \) 是 \( {\mathrm{R}}^{d} \) 中的一个向量,则
\[
S\left( x\right) = T\left( x\right) + b\left( {x \in {\mathrm{R}}^{d}}\right) ,
\]
称为 \( {\mathrm{R}}^{d} \) 上的一个仿射映射. 如果一个仿射映射还是压缩映射,则称 \( S \) 为 \( {\mathrm{R}}^{d} \) 上的仿射压缩. 一个仿射压缩族 \( {\left\{ {S}_{i}\right\} }_{i = 1}^{m} \) 的非空不变集称为自仿集.
自仿集可分解为若干部分, 而每一部分通过一个仿射映射 (即沿各个方向放大率不同的映射) 与整体重合.
仿射映射 (affine mapping) 见“自仿集”.
仿射压缩 (affine contracting) 见“自仿集”.
准自相似集 (pre-self-
similar set) 一类具有准自相似性的集合. 一个集合的任意小的部分经过放大, 再经光滑扭曲, 可与该集的某一更大部分重合, 则称为准自相似集. 例如,由 \( f\left( z\right) = {z}^{2} + C \) 对适当的 \( C \) 产生的朱利亚集就是一个准自相似集, 如图所示.
统计自相似集 (statistics-selfsimilar set) 一类具有统计自相似性的集合. 统计自相似集在下述
意义下具有相似性: 它的任意部分经放大后与整体具有相同的统计分布律.
在科克曲线生成的过程中, 若每一尖角允许以相同的概率向上或向下生成, 那么它的极限曲线仍然存在并具有细结构. 从如图所示上看, 虽然似乎比科克曲线更“复杂”(实际上更接近自然界中的海岸线), 但该集具有统计自相似性.
## 测度与维数
李普希茨映射(Lipschitz mapping) 两个测度空间之间的一种映射. 设 \( \left( {{X}_{1},{d}_{1}}\right) ,\left( {{X}_{2},{d}_{2}}\right) \) 为两个度量空间, \( E \subset {X}_{1}, f : E \rightarrow {X}_{2} \) 为由 \( E \) 到 \( {X}_{2} \) 的映射, 如果存在正常数 \( c > 0,\alpha > 0 \) ,使得
\( {d}_{2}\left( {f\left( x\right), f\left( y\right) }\right) \leq c{\left( {d}_{1}\left( x, y\right) \right) }^{\alpha }\left( {x, y \in E}\right) ,\left( 1\right) \)
则称 \( f \) 满足 \( \alpha \) 阶赫尔德条件. 如果 \( \alpha = 1 \) ,则 \( f \) 称为李普希茨映射,如果存在常数 \( {c}^{\prime } > 0 \) ,使得
\[
{c}^{\prime }{d}_{1}\left( {x, y}\right) \leq {d}_{2}\left( {f\left( x\right), f\left( y\right) }\right) \leq c{d}_{1}\left( {x, y}\right)
\]
\[
\left( {x, y \in E}\right) \text{,}
\]
则 \( f \) 称为双李普希茨映射.
双李普希茨映射 (double Lipschitz mapping) 见“李普希茨映射”.
\( \delta \) 覆盖 \( \left( {\delta \text{-cover }}\right) \) 度量空间 \( \left( {X, d}\right) \) 中的一种覆盖. 设 \( E \) 为 \( X \) 的子集,对于 \( \delta > 0, X \) 的可列 (或有限) 子集族 \( {\left\{ {U}_{i}\right\} }_{i \geq 1} \) 称为 \( E \) 的一个 \( \delta \) 覆盖,如果它满足下述二性质: 任一 \( {U}_{i} \) 为直径 \( \left\{ {U}_{i}\right\} \) 不超过 \( \delta \) ,即 \( \left| {U}_{i}\right| \) \( \leq \delta ;{U}_{i} \) 的并集 \( \mathop{\bigcup }\limits_{{i \geq 1}}{U}_{i} \) 覆盖 \( E \) ,即 \( \mathop{\bigcup }\limits_{{i \geq 1}}{U}_{i} \supset E \) .
豪斯多夫测度 (Hausdorff measure) 分形几何中最重要的测度之一. 设 \( \left( {X, d}\right) \) 为度量空间, \( E \) 为 \( X \) 的子集,设 \( s \geq 0,\delta > 0 \) ,令
\[
{\mathcal{H}}_{\delta }^{s}\left( E\right) = \inf \left\{ {\mathop{\sum }\limits_{{i \geq 1}}{\left| {U}_{i}\right| }^{s} \mid {\left\{ {U}_{i}\right\} }_{i \geq 1}\text{ 为 }E\text{ 的 }\delta \text{ 覆盖 }}\right\} ,
\]
这里的 inf 表示对 \( E \) |
2000_数学辞海（第3卷） | 213 | ht)
\]
\[
\left( {x, y \in E}\right) \text{,}
\]
则 \( f \) 称为双李普希茨映射.
双李普希茨映射 (double Lipschitz mapping) 见“李普希茨映射”.
\( \delta \) 覆盖 \( \left( {\delta \text{-cover }}\right) \) 度量空间 \( \left( {X, d}\right) \) 中的一种覆盖. 设 \( E \) 为 \( X \) 的子集,对于 \( \delta > 0, X \) 的可列 (或有限) 子集族 \( {\left\{ {U}_{i}\right\} }_{i \geq 1} \) 称为 \( E \) 的一个 \( \delta \) 覆盖,如果它满足下述二性质: 任一 \( {U}_{i} \) 为直径 \( \left\{ {U}_{i}\right\} \) 不超过 \( \delta \) ,即 \( \left| {U}_{i}\right| \) \( \leq \delta ;{U}_{i} \) 的并集 \( \mathop{\bigcup }\limits_{{i \geq 1}}{U}_{i} \) 覆盖 \( E \) ,即 \( \mathop{\bigcup }\limits_{{i \geq 1}}{U}_{i} \supset E \) .
豪斯多夫测度 (Hausdorff measure) 分形几何中最重要的测度之一. 设 \( \left( {X, d}\right) \) 为度量空间, \( E \) 为 \( X \) 的子集,设 \( s \geq 0,\delta > 0 \) ,令
\[
{\mathcal{H}}_{\delta }^{s}\left( E\right) = \inf \left\{ {\mathop{\sum }\limits_{{i \geq 1}}{\left| {U}_{i}\right| }^{s} \mid {\left\{ {U}_{i}\right\} }_{i \geq 1}\text{ 为 }E\text{ 的 }\delta \text{ 覆盖 }}\right\} ,
\]
这里的 inf 表示对 \( E \) 的所有的 \( \delta \) 覆盖取下确界. 令
\[
{\mathcal{K}}^{s}\left( E\right) = \mathop{\lim }\limits_{{\delta \rightarrow 0}}{\mathcal{K}}_{\delta }^{s}\left( E\right) ,
\]
\( {\mathcal{H}}^{s}\left( E\right) \) 称为 \( E \) 的 \( s \) 维豪斯多夫测度. 它的值可能为零、正有限或正无穷大. 如果 \( 0 < {\mathcal{H}}^{s}\left( E\right) < + \infty \) ,则称 \( E \) 为 \( s \) 集.
豪斯多夫测度由豪斯多夫 (Hausdorff, F. ) 于 1919 年引入. 在整数维的情形, 它与勒贝格测度仅相差一个因子, 而在非整数维情形, 豪斯多夫测度与勒贝格测度有本质差别 (它不是局部有限的, 从而不是拉东测度), 但仍保留勒贝格测度的许多重要性质. 豪斯多夫测度的性质如下:
1. 设 \( E \subset {X}_{1}, f : E \rightarrow {X}_{2} \) 满足 \( \alpha \) 阶赫尔德条件, 则对任意 \( s \geq 0 \) ,有 \( {\mathcal{H}}^{s/a}\left( {f\left( E\right) }\right) \leq {c}^{s/a}{\mathcal{H}}^{s}\left( E\right) \) . 因此, 如果 \( f \) 为李普希茨映射,则 \( {\mathcal{H}}^{s}\left( {f\left( E\right) }\right) \leq {c}^{s}{\mathcal{H}}^{s}\left( E\right) \) , 如果 \( f \) 为双李普希茨映射,则
\( {c}^{\prime s}{\mathcal{H}}^{s}\left( E\right) \leq {\mathcal{H}}^{s}\left( {f\left( E\right) }\right) \leq {c}^{s}{\mathcal{H}}^{s}\left( E\right) . \)
特别地, \( {\mathrm{R}}^{d} \) 中子集的豪斯多夫测度在平移及正交变换下不变.
2. 齐次性. 设 \( E \subset {\mathrm{R}}^{d} \) ,令 \( {\lambda E} = \{ {\lambda x};x \in E\} ,\lambda \) \( > 0 \) ,则 \( {\mathcal{L}}^{s}\left( {\lambda E}\right) = {\lambda }^{s}{\mathcal{H}}^{s}\left( E\right) \) .
3. 设 \( E \subset {\mathrm{R}}^{d} \) ,则 \( {\mathcal{H}}^{s}\left( {{pV}\left( E\right) }\right) \leq {\mathcal{H}}^{s}\left( E\right) \) .
4. \( {\mathrm{R}}^{d} \) 中任何子集的 \( n \) 维豪斯多夫测度与 \( n \) 维勒贝格测度相差一个仅与 \( n \) 有关的常数,即,若 \( E \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的波莱尔子集,则 \( {\mathcal{H}}^{n}\left( E\right) = {c}_{n}{\mathcal{L}}^{n}\left( E\right) \) ,其中
\[
{c}_{n} = {n}^{\frac{\pi }{2}}/{2}^{n}\left( \frac{n}{2}\right) !
\]
是直径为 1 的 \( n \) 维球的体积.
5. 临界性. 设 \( 0 \leq s < t < \infty, E \subset X \) ,则
1) \( {\mathcal{L}}^{s}\left( E\right) < \infty \Rightarrow {\mathcal{L}}^{t}\left( E\right) = 0 \) .
2) \( {\mathcal{K}}^{t}\left( E\right) > 0 \Rightarrow {\mathcal{K}}^{s}\left( E\right) = \infty \) .
\( s \) 维豪斯多夫测度 ( \( s \) -dimensional Hausdorff measures) 见“豪斯多夫测度”.
\( s \) 集 ( \( s \) -set) 见 “豪斯多夫测度”.
网 (net) 空间 \( X \) 中的一种子集类. 设 \( \mathcal{F} \) 为满足下述条件的 \( X \) 的子集类: 对任意 \( x \in X \) 以及对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( A \in \mathcal{F} \) ,使得 \( x \in A \) 且 \( \left| A\right| \leq \varepsilon \) ,则集类 \( \mathcal{F} \) 称为 \( X \) 的一个网,记 \( X \) 的所有的网的集合为 \( \mathcal{N}\left( X\right) .X \) 的所有子集作成的网记为 \( {\mathcal{F}}_{0} \) .
网的 \( s \) 维豪斯多夫测度 ( \( s \) -dimensional Hausdorff measure of a net) 与网关联的豪斯多夫测度. 设 \( \mathcal{F} \in \mathcal{N}\left( X\right), E \subset X \) ,定义 \( E \) 关于 \( \mathcal{F} \) 的 \( s \) 维豪斯多夫测度 \( {\mathcal{H}}_{\mathcal{F}}\left( E\right) \) 为
\[
{\mathcal{K}}_{\mathcal{F}}\left( E\right) = \mathop{\liminf }\limits_{{\delta \rightarrow 0}}\left\{ {\sum {\left| {U}_{i}\right| }^{s} \mid \left\{ {U}_{i}\right\} }\right. \text{ 为 }
\]
\[
E\text{的}\delta \text{覆盖,}\left. {{U}_{i} \in \mathcal{F}}\right\} \text{.}
\]
关于网的豪斯多夫维数定义为
\[
{\dim }_{H,\mathcal{F}}E = \sup \left\{ {s \mid {\mathcal{H}}_{\mathcal{F}}^{s}\left( E\right) = \infty }\right\}
\]
\[
= \inf \left\{ {s \mid {\mathcal{H}}_{\mathcal{F}}^{s}\left( E\right) = 0}\right\} ,
\]
并称为 \( E \) 关于网 \( \mathcal{F} \) 的豪斯多夫维数.
网的等价 (equivalence of the nets) 两个网之间的关系. 设 \( {\mathcal{F}}_{1},{\mathcal{F}}_{2} \in \mathcal{N}\left( X\right) \) ,如果对任意 \( E \subset X \) , 及任意 \( s \geq 0 \) ,存在正常数 \( {c}_{1},{c}_{2} > 0 \) ,使得
\[
{c}_{1}{\mathcal{H}}_{{\mathcal{F}}_{1}}^{s}\left( E\right) \leq {\mathcal{H}}_{{\mathcal{F}}_{2}}^{s}\left( E\right) \leq {c}_{2}{\mathcal{H}}_{{\mathcal{F}}_{1}}^{s}\left( E\right) ,
\]
则称网 \( {\mathcal{F}}_{1} \) 与网 \( {\mathcal{F}}_{2} \) 等价,记为 \( {\mathcal{F}}_{1} \simeq {\mathcal{F}}_{2} \) . 如果
\[
{\mathcal{H}}_{{\mathcal{F}}_{1}}\left( E\right) = {\mathcal{H}}_{{\mathcal{F}}_{2}}^{\prime }\left( E\right)
\]
则称网 \( {\mathcal{F}}_{1} \) 与网 \( {\mathcal{F}}_{2} \) 强等价,记为 \( {\mathcal{F}}_{1} \equiv {\mathcal{F}}_{2} \) . 两个强等价网所导出的豪斯多夫测度相同, 两个等价网导出的豪斯多夫维数相同.
网的强等价 (strong equivalence of the nets) 见“网的等价”.
\( {\mathcal{F}}_{0} \) 的等价类 (equivalent classes of \( {\mathcal{F}}_{0} \) ) 空间 \( {\mathrm{R}}^{d} \) 中一些集类的关系. 设 \( X = {\mathrm{R}}^{d} \) ,令
\[
{\mathcal{F}}_{C},{\mathcal{F}}_{O},{\mathcal{F}}_{CC},{\mathcal{F}}_{CB},{\mathcal{F}}_{OB}
\]
分别表示 \( {\mathrm{R}}^{d} \) 中的闭集类、开集类、闭凸集类、闭球类以及开球类. 那么
1. \( {\mathcal{F}}_{0} \equiv {\mathcal{F}}_{cc} \equiv {\mathcal{F}}_{c} \) .
2. \( {\mathcal{F}}_{O} \simeq {\mathcal{F}}_{CB} \simeq {\mathcal{F}}_{OB} \) .
5r 覆盖引理 ( \( {5r} \) -covering lemma) \( {\mathrm{R}}^{d} \) 中闭球族的一种覆盖定理. 该引理断言: 设 \( \mathcal{B} \) 为 \( {\mathrm{R}}^{d} \) 中有界区域内的闭球族, 则存在可列或有限个彼此不相交的子球族 \( \left\{ {B}_{i}\right\} \) ,使得
\[
\mathop{\bigcup }\limits_{{B \in \mathcal{B}}}B \subset \mathop{\bigcup }\limits_{i}5{B}_{i}
\]
其中 \( 5{B}_{i} \) 表示与 \( {B}_{i} \) 同心,半径为 \( {B}_{i}5 \) 倍的球.
维塔利覆盖类 (Vitali covering class) 空间 \( X \) 中的一种子集类. 设 \( E \subset \left( {X, d}\right), v = v\left( E\right) \) 为 \( X \) 的一个子集类. 如果对任意 \( x \in E \) 以及任意 \( \delta > 0 \) ,均存在 \( U \in v \) ,使得 \( x \in U \) ,且 \( 0 < \left| U\right| \leq \delta \) ,则 \( v \) 称为 \( E \) 的一个维塔利覆盖类.
维塔利覆盖引理 (Vitali covering lemma) \( {\mathrm{R}}^{d} \) 中的一个覆盖定理. 该引理断言: 设 \( E \) 为 \( {\mathrm{R}}^{d} \) 的 \( {\mathcal{H}}^{s} \) 可测子集, \( v \) 为 \( E \) 的有界闭子集成的维塔利类. 则可以从 \( v \) 中挑出 (可列或有限) 的不相交的集列 \( \left\{ {U}_{i}\right\} \) , 使得或者 \( \sum {\left| {U}_{i}\right| }^{s} = \infty \) ,或者 \( {\mathcal{H}}^{s}\left( {E \smallsetminus \mathop{\bigcup }\limits_{i}{U}_{i}}\right) = 0 \) . 如果 \( {\mathcal{H}}^{s}\left( E\right) < \infty \) ,对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,可以要求上述集列满足
\[
{\mathcal{X}}^{s}\left( E\right) \leq \mathop{\sum }\limits_{i}{\left| {U}_{i}\right| }^{s} + \varepsilon .
\]
有限测度子集定理 (theorem of sets of finite measure) 分形几何的一个重要定理. 它有许多应用. 该定理断言: 若 \( E \subset {\mathrm{R}}^{d} \) 为闭集, \( {\mathcal{K}}^{s}\left( E\right) = \infty \) ,则存在紧集 \( F \subset E \) ,使得 \( 0 < {\mathcal{H}}^{s}\left( F\right) < \infty \) . 有限测度子集定理是由伯西柯维奇 (Besicovitch, A. S. ) 于 1952 年获得的.
豪斯多夫维数 (Hausdorff dimension) 分形几何中最重要的一种维数. 由豪斯多夫测度的定义可知,对于 \( E \subset X \) ,存在 \( s \) 的一个临界值,使得 \( \mathcal{H}\left( E\right) \) 从无穷跳跃到零,此临界值称为集 \( E \) 的豪斯多夫维数,记为 \( {\dim }_{H}E \) ,其精确定义为
\[
{\dim }_{H}E = \sup \left\{ {s \mid {\mathcal{H}}^{s}\left( E\right) > 0}\right\}
\]
\[
= \inf \left\{ {s \mid {\mathcal{H}}^{s}\left( E\right) = 0}\right\} \text{.}
\]
豪斯多夫维数由豪斯多夫 (Hausdorff, F. ) 于 1919 年引入. 豪斯多夫维数的性质如下:
1. 临界性. 设 \( E \subset X \) . 若 \( {\mathcal{H}}^{s}\left( E\right) < \infty \) ,则 \( {\dim }_{H}E \) \( \leq s \) ; 若 \( {\mathcal{H}}^{s}\left( E\right) > 0 \) ,则 \( {\dim }_{H}E \geq s \) .
2. 单调性. 若 \( E \subset F \) ,则 \( {\dim }_{H}E \leq {\dim }_{H}F \) .
3. \( \sigma \) 稳定性. 设 \( {\left\{ {E}_{n}\right\} }_{n \geq 1} \) 为一集列,则
\[
{\dim }_{H}\mathop{\bigcup }\limits_{{i \geq 1}}{E}_{n} = \mathop{\sup }\limits_{{i \geq 1}}\left\{ {{\dim }_{H}{E}_{n}}\right\} .
\]
它的一个直接推论是任意可列集的豪斯多夫维数为零.
4. 设 \( E \subset {X}_{1}, f : {X}_{1} \rightarrow {X}_{2} \) 为 \( \alpha \) 阶赫尔德映射,则
\[
{\dim }_{H}f\left( E\right) \leq \frac{1}{\alpha }{\dim }_{H}E.
\]
因此,若 \( E \subset {X}_{1}, f : {X}_{1} \rightarrow {X}_{2} \) 为李普希茨映射,则
\[
{\dim }_{H}f\left( E\right) \leq {\dim }_{H}E.
\]
特别地,若 \( f \) 为双李普希茨映射,则
\[
{\dim }_{H}f\left( E\right) = {\dim }_{H}E.
\]
因此, 正交投影不增加集合的维数; 等距映射、相似映射保持集合的维数不变.
覆盖原理 (covering principle) 估计分形集的豪斯多夫维数最常用的方法. 它只要对一列特殊的覆盖类做估计, 在具体问题中, 经常出现 “自然”的覆盖类. 该原理断言: 设 \( E \subset {\mathrm{R}}^{d} \) ,若 \( {\left\{ {U}_{k, n}\right\} }_{n \geq 1}, k \geq 1 \) 为 \( E \) 的一列 \( {\delta }_{k} \) 覆盖, \( {\delta }_{k} \rightarrow 0 \) . 如果存在正常数列 \( {c}_{k} \) 使得对任意 \( k,\mathop{\sum }\limits_{{n \geq 1}}{\left| {U}_{k, n}\right| }^{s} < {c}_{k} \) 且
\[
\mathop{\liminf }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{c}_{k} < \infty ,
\]
此处 \( \inf {c}_{k} \) 表示对固定 \( k \) 使前式成立的 \( {c}_{k} \) 的下确界,则 \( {\mathcal{H}}^{s}\left( E\right) < \infty \) ,从而 \( {\dim }_{H}E \leq s \) .
质量分布原理 (principle of mass distribution) 估计豪斯多夫维数的一种常用的技巧. 分形集的豪斯多夫维数的下界的估计一般要比上界的估计困难得多, 最常用的技巧是找一个由这个集合所支撑的分布 “均匀”的测度, 使得它在任何一个球上的质量被球的 \( s \) 维体积所控制,它由下面的质量分布原理所表述: 设 \( E \subset {\mathrm{R}}^{d} \) 上的正有限测度 \( \mu \) 满足 \( s \) 阶赫尔德条件,即存在常数 \( c > 0, s \geq 0,\delta > 0 \) 使得
\[
\mu \left( U\right) \leq c{\left| U\right| }^{s}
\]
(1)
对所有满足 \( \left| U\right| \leq \delta \) 的集 \( U \) 成立,则
\[
{\mathcal{H}}^{s}\left( E\right) \geq \mu \left( E\right) /c,
\]
并且 \( {\dim }_{H}E \geq s \) .
质量分布原理由弗罗斯特曼 (Frostman, O. ) 于 1935 年证明, 也称为弗罗斯特曼引理.
比林斯利定理 (Billingsley theorem) 质量分布原理的一种变形. 设 \( p \geq 2 \) 为正整数,
\[
{I}_{n, m} = \left\lbrack {m{p}^{-n},\left( {m + 1}\right) {p}^{-n}}\right\rbrack
\]
表示 \( n \) 阶 \( p \) 进区间,设 \( x \in \mathrm{R} \) ,令 \( {I}_{n}\left( x\right) \) 表示包含 \( x \) 的 \( n \) 阶 \( p \) 进区间. 设 \( E \subset \mathrm{R},\mu \) 是由 \( E \) 支撑的正有限波莱尔测度. 如果
\[
E \subset \left\{ {x\left| {\;\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{\log \mu \left( {{I}_{n}\left( x\ri |
2000_数学辞海（第3卷） | 214 | ciple of mass distribution) 估计豪斯多夫维数的一种常用的技巧. 分形集的豪斯多夫维数的下界的估计一般要比上界的估计困难得多, 最常用的技巧是找一个由这个集合所支撑的分布 “均匀”的测度, 使得它在任何一个球上的质量被球的 \( s \) 维体积所控制,它由下面的质量分布原理所表述: 设 \( E \subset {\mathrm{R}}^{d} \) 上的正有限测度 \( \mu \) 满足 \( s \) 阶赫尔德条件,即存在常数 \( c > 0, s \geq 0,\delta > 0 \) 使得
\[
\mu \left( U\right) \leq c{\left| U\right| }^{s}
\]
(1)
对所有满足 \( \left| U\right| \leq \delta \) 的集 \( U \) 成立,则
\[
{\mathcal{H}}^{s}\left( E\right) \geq \mu \left( E\right) /c,
\]
并且 \( {\dim }_{H}E \geq s \) .
质量分布原理由弗罗斯特曼 (Frostman, O. ) 于 1935 年证明, 也称为弗罗斯特曼引理.
比林斯利定理 (Billingsley theorem) 质量分布原理的一种变形. 设 \( p \geq 2 \) 为正整数,
\[
{I}_{n, m} = \left\lbrack {m{p}^{-n},\left( {m + 1}\right) {p}^{-n}}\right\rbrack
\]
表示 \( n \) 阶 \( p \) 进区间,设 \( x \in \mathrm{R} \) ,令 \( {I}_{n}\left( x\right) \) 表示包含 \( x \) 的 \( n \) 阶 \( p \) 进区间. 设 \( E \subset \mathrm{R},\mu \) 是由 \( E \) 支撑的正有限波莱尔测度. 如果
\[
E \subset \left\{ {x\left| {\;\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{\log \mu \left( {{I}_{n}\left( x\right) }\right) }{n\log p} = a}\right. }\right\} ,
\]
则 \( {\dim }_{H}E = \alpha \) .
比林斯利定理是由比林斯利 (Billingsley, P. ) 于 1962 年证明的一个更为普遍的结果的一个特殊情形, 但它在许多情况下应用起来更为方便.
弗罗斯特曼引理(Frostman Lemma) 联系势论与分形几何的一个非常重要的结果. 设 \( E \) 为 \( {\mathrm{R}}^{d} \) 中紧集. 若 \( {\mathcal{H}}^{\alpha }\left( E\right) > 0 \) ,则存在由 \( E \) 支撑的 \( \alpha \) 阶赫尔德正有界波莱尔测度. 弗罗斯特曼引理与质量分布原理一起通称为弗罗斯特曼引理, 它给出了一个集合具有正有限 \( s \) 维豪斯多夫测度的充分必要条件.
测度的势 (potential of a measure) 与测度关联的一种积分. 设 \( \mu \) 是 \( {\mathrm{R}}^{d} \) 上有界正波莱尔测度, \( \alpha \) \( \geq 0.\mu \) 在点 \( x \in {\mathrm{R}}^{d} \) 的 \( \alpha \) 势定义为
\[
{U}_{\mu }^{\alpha }\left( x\right) = \int \frac{\mathrm{d}\mu \left( y\right) }{{\left| x - y\right| }^{\alpha }}.
\]
测度 \( \mu \) 的 \( \alpha \) 能量定义为
\[
{I}_{a}\left( \mu \right) = \int {U}_{\mu }^{a}\left( x\right) \mathrm{d}\mu \left( x\right) = \iint \frac{\mathrm{d}\mu \left( x\right) \mathrm{d}\mu \left( \mathrm{y}\right) }{{\left| x - y\right| }^{a}}.
\]
能量与豪斯多夫测度的关系: 设 \( E \subset {\mathrm{R}}^{d} \) 为波莱尔集.
1. 若 \( \mu \in {M}_{b}^{ + }\left( E\right) ,{I}_{a}\left( \mu \right) < \infty ,\alpha > 0 \) ,则
\[
{\mathcal{H}}^{\alpha }\left( E\right) > 0.
\]
2. 若 \( {\mathcal{H}}^{\alpha }\left( E\right) < 0 \) ,则存在 \( \mu \in {M}_{b}^{ + }\left( E\right) \) ,使对任意 \( \beta < \alpha ,{I}_{\beta }\left( \mu \right) < \infty \) .
集合容量 (capacity of a set) 与 \( {\mathrm{R}}^{d} \) 中集合关联的一种量. 设 \( K \) 为 \( {\mathrm{R}}^{d} \) 的紧子集,记
\[
I\left( K\right) = \mathop{\inf }\limits_{{\mu \in {M}_{1}\left( K\right) }}{I}_{\alpha }\left( \mu \right) ,
\]
其中 \( {M}_{1}\left( K\right) \) 表示由 \( K \) 支撑的波莱尔概率测度构成的集合. 紧集 \( K \) 的 \( \alpha \) 容量定义为
\[
{C}_{\alpha }\left( K\right) = {\left( I\left( K\right) \right) }^{-1}
\]
\[
= \sup \left\{ {{\left( {I}_{\alpha }\left( \mu \right) \right) }^{-1} \mid \mu \in {M}_{1}\left( K\right) }\right\} .
\]
任意 \( E \subset {\mathrm{R}}^{d} \) 的 \( \alpha \) 容量定义为
\[
{C}_{\alpha }\left( E\right) = \mathop{\sup }\limits_{{K \subset E, K\text{ 紧 }}}{C}_{\alpha }\left( K\right) .
\]
容量维数 (capacity dimension) 与容量相关的一种维数. 设 \( E \subset {\mathrm{R}}^{d} \) ,则集合 \( E \) 的容量维数定义为
\[
{\dim }_{C}E = \sup \left\{ {s \mid {C}_{s}\left( E\right) > 0}\right\}
\]
\[
= \inf \left\{ {s \mid {C}_{s}\left( E\right) = 0}\right\} \text{.}
\]
容量维数与豪斯多夫维数的关系: 若 \( E \subset {\mathrm{R}}^{d} \) 为波莱尔集,则 \( {\dim }_{H}E = {\dim }_{C}E \) .
闵科夫斯基容度 (Minkowski content) 经典测量方式的一种推广. 设 \( E \) 为 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 中有界集,用下面的方式来考察 \( E \) 的 “大小”. 设 \( E\left( \varepsilon \right) \) 为 \( E \) 的 \( \varepsilon \) 平行体: \( E\left( \varepsilon \right) = \{ x;d\left( {x, E}\right) \leq \varepsilon \} \) . 设 \( E \) 分别为 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 中的点, 长为 \( l \) 的线段,面积为 \( a \) 的圆盘,则 \( E\left( \varepsilon \right) \) 的面积分别等价于
\[
\pi {\varepsilon }^{2},{2l\varepsilon } + \pi {\varepsilon }^{2},\pi {\left( \sqrt{\frac{\alpha }{\pi }} + \varepsilon \right) }^{2}.
\]
在上面三种情形都有 \( {\mathcal{L}}^{2}\left( {E\left( \varepsilon \right) }\right) \sim c{\varepsilon }^{2 - s} \) ,其中 \( s \) 为 \( E \) 的欧氏维数. 基于上述思想,在 \( {\mathrm{R}}^{d} \) 中,可以用一般非整数 “尺度” \( s \) ,通过极限式
\[
\mathop{\lim }\limits_{{\varepsilon \rightarrow 0}}\frac{{\mathcal{L}}^{d}\left( {E\left( \varepsilon \right) }\right) }{{\varepsilon }^{d - s}}
\]
来测量 \( E \) . 特别地,若 \( s \) 恰好为 \( E \) 的欧氏维数,测量的结果为正有限, 因此上述测量可视为经典的测量的推广.
设 \( E \) 为 \( {\mathrm{R}}^{d} \) 的非空有界子集, \( s \geq 0 \) ,则 \( E \) 的上、 下 \( s \) 维闵科夫斯基容度分别定义为:
\[
{\mathcal{B}}^{*s}\left( E\right) = \mathop{\limsup }\limits_{{\varepsilon \rightarrow 0}}{\left( 2\varepsilon \right) }^{s - d}{\mathcal{L}}^{d}\left( {E\left( \varepsilon \right) }\right) ,
\]
\[
{\mathcal{B}}_{ * }^{s}\left( E\right) = \mathop{\liminf }\limits_{{\varepsilon \rightarrow 0}}{\left( 2\varepsilon \right) }^{s - d}{\mathcal{L}}^{d}\left( {E\left( \varepsilon \right) }\right) .
\]
如果 \( {\mathcal{B}}^{*s} = {\mathcal{B}}_{ * }^{s} \) ,则称 \( E \) 的 \( s \) 维闵科夫斯基容度存在,记为 \( {\mathcal{B}}^{s}\left( E\right) \) ,并等于上述共同值. 闵科夫斯基容度不具次可加性, 因此不是一个外测度.
闵科夫斯基维数 (Minkowski dimension) 一种与闵科夫斯基容度相关联的维数. 设 \( E \) 为 \( {\mathrm{R}}^{d} \) 的非空有界集,则 \( E \) 的上、下闵科夫斯基维数分别定义为:
\[
{\overline{\dim }}_{B}\left( E\right) = \sup \left\{ {s;{\mathcal{B}}^{*s}\left( E\right) = \infty }\right\}
\]
\[
= \inf \left\{ {s;{\mathcal{B}}^{*s}\left( E\right) = 0}\right\} ,
\]
\[
{\underline{\dim }}_{B}\left( E\right) = \sup \left\{ {s;{\mathcal{B}}_{ * }^{s}\left( E\right) = \infty }\right\}
\]
\[ = \inf \left\{ {s;{\mathcal{B}}_{ \star }^{s}\left( E\right) = 0}\right\} ,\]
若 \( {\overline{\dim }}_{B}\left( E\right) = {\underline{\dim }}_{B}\left( E\right) \) ,则称 \( E \) 的闵科夫斯基维数存在,记为 \( {\dim }_{B}\left( E\right) \) ,其值为上述公共值.
闵科夫斯基维数有下列等价定义, 这些不同的定义是根据不同的目的引入 (故亦有不同的称呼: 布里冈维数, 柯尔莫哥洛夫熵, 度量维数, 对数密度, 信息维数, 计盒维数或分形维数), 在具体使用时可视方便采用. 闵科夫斯基维数的等价定义: 设 \( E \) 为 \( {\mathrm{R}}^{d} \) 中非空有界集, \( \varepsilon > 0,{N}_{\varepsilon }^{ * }\left( E\right) \) 是下列 4 个数之一:
1. 覆盖 \( E \) 的半径为 \( \varepsilon \) 的最少闭球数;
2. 覆盖 \( E \) 的直径最大为 \( \varepsilon \) 的集的最少个数;
3. 半径为 \( \varepsilon \) 的球填充 \( E \) 所需的球的最大个数;
4. 与 \( E \) 相交的 \( \varepsilon \) 网中的立方体的个数,其中 \( \varepsilon \) 网为下述 \( {\mathrm{R}}^{d} \) 中立体的集合
\[\left\lbrack {{m}_{1}\varepsilon ,\left( {{m}_{1} + 1}\right) \varepsilon }\right\rbrack \times \cdots \times \left\lbrack {{m}_{d}\varepsilon ,\left( {{m}_{d} + 1}\right) \varepsilon }\right\rbrack \]
\[\left( {{m}_{1},{m}_{2},\cdots {m}_{d} \in \mathbf{Z}}\right) \text{;}\]
则
\[{\overline{\dim }}_{B}\left( E\right) = \mathop{\limsup }\limits_{{\varepsilon \downarrow 0}}\frac{\log {N}_{\varepsilon }^{ * }\left( E\right) }{-\log \varepsilon },\]
\[{\underline{\dim }}_{B}\left( E\right) = \mathop{\liminf }\limits_{{\varepsilon \downarrow 0}}\frac{\log {N}_{\varepsilon }\left( E\right) }{-\log \varepsilon }.\]
闵科夫斯基维数的性质如下: 设 \( E \) 是 \( {\mathrm{R}}^{d} \) 中非空有界集, 则
1. \( {\dim }_{H}E \leq {\dim }_{B}E \) .
2. \( {\underline{\dim }}_{B},{\overline{\dim }}_{B} \) 是单调的.
3. 若 \( {\mathcal{L}}^{d}\left( E\right) > 0 \) ,则 \( {\dim }_{B}E = d \) .
4. \( {\overline{\dim }}_{B} \) 是有限稳定的,即
\( {\overline{\dim }}_{B}\left( {E \cup F}\right) = \max \left\{ {{\overline{\dim }}_{B}E,{\overline{\dim }}_{B}F}\right\} . \)
5. 设 \( f : E \rightarrow {\mathrm{R}}^{d} \) 为李普希茨映射,则
\( {\overline{\dim }}_{B}f\left( E\right) \leq {\overline{\dim }}_{B}E;{\underline{\dim }}_{B}f\left( E\right) \leq {\underline{\dim }}_{B}E, \)
特别地, 上、下闵科夫斯基维数在双李普希茨映射下不变.
6. \( {\overline{\dim }}_{B}E = {\overline{\dim }}_{B}\bar{E},{\underline{\dim }}_{B}E = {\underline{\dim }}_{B}\bar{E} \) .
由闵科夫斯基维数的定义, 对它的估计要比对豪斯多夫维数的估计要容易, 因此在实用上常采用这一维数; 另一方面, 闵科夫斯基性质 6 指出闵科夫斯基的“分辨率”不够.
集函数的修正 (modification of set functions) 一种修正的集函数. 设 \( Q : \left\{ {A \mid A \subset {\mathrm{R}}^{d}}\right\} \rightarrow \left\lbrack {0,\infty }\right\rbrack \) 为非负单调集函数,满足 \( Q\left( \varnothing \right) = 0 \) . 令
\[
\mathcal{D}\left( A\right) = \inf \left\{ {\mathop{\sum }\limits_{i}Q\left( {A}_{i}\right) \mid A \subset \mathop{\bigcup }\limits_{i}{A}_{i}}\right\} ,
\]
则 \( \mathcal{Q} \) 称为 \( Q \) 的修正. 如上定义的集函数 \( \mathcal{Q} \) 为一外测度.
集函数族的临界指数 (critical exponent of family of set functions) 具有临界性质的集函数族诱导出的临界指数. 设 \( s \geq 0 \) 并设对每一 \( s,{Q}^{s} \) 为非负单调集函数族. 称集函数族 \( {Q}^{s} \) 具有临界性质,如果对任意 \( A \subset {\mathrm{R}}^{d},0 < t < s < \infty \) ,若 \( {Q}^{s}\left( A\right) > 0 \) ,则 \( {Q}^{t}\left( A\right) \) \( = \infty \) ; 若 \( {Q}^{t}\left( A\right) < \infty \) ,则 \( {Q}^{s}\left( A\right) = 0 \) . 若 \( {Q}^{s} \) 满足临界性质,则它诱导一个临界指数,记为 \( D\left( Q\right) = D \) ,定义为
\[
D\left( A\right) = \sup \left\{ {s \mid {Q}^{s}\left( A\right) = \infty }\right\}
\]
\[
= \inf \left\{ {s \mid {Q}^{s}\left( A\right) = 0}\right\} \text{.}
\]
集函数族的临界性质 (critical property of family of set functions) 见“集函数族的临界指数”.
修正族的临界指数 (critical exponent of modified family) 通过修正的集函数族诱导的指数. 令 \( {\mathcal{Q}}^{s} \) 为 \( {Q}^{s} \) 的修正族,则外测度族 \( {\mathcal{Q}}^{s} \) 亦具有临界性质. 由 \( \mathcal{D} \) 的临界性质引入一个维数,称为修正族的临界指数,记为 \( \mathcal{D} \) :
\[
\mathcal{D}\left( A\right) = \sup \left\{ {s \mid {\mathcal{D}}^{s}\left( A\right) = \infty }\right\}
\]
\[
= \inf \left\{ {s \mid {\mathcal{Q}}^{s}\left( A\right) = 0}\right\} \text{.}
\]
临界指数的修正 (modification of critical exponent) 对第一个指数修正后得到的指数. 后面两个指数都具有可列平稳性. 类似于对集函数 \( Q \) 的修正,人们引入对维数 \( D \) 的下列修正,并记为 \( {D}_{M} \) ,其定义为
\[
{D}_{M}\left( A\right) = \inf \left\{ {\sup D\left( {A}_{i}\right) \mid A = \bigcup {A}_{i}}\right\} .
\]
各类指数的关系 (relationship for various exponents) 集合 \( A \) 的各种指数之间的关系. 设 \( A \subset \) \( {\mathrm{R}}^{d} \) ,则:
1. 对任意 \( s \geq 0,{\mathcal{D}}^{s}\left( A\right) \leq {Q}^{s}\left( A\right) \) .
2. \( {D}_{M}\left( A\right) = \mathcal{D}\left( A\right) \leq D\left( A\right) \) .
第 2 个结果指出修正后的集函数族的临界指数与未修正的集函数族的临界指数经修正后的临界指数一致.
预填充测度 (pre-packing measure) 集合的一种测度. 设 \( E \subset {\mathrm{R}}^{d},\delta > 0, s \geq 0 \) . 令
\( {P}_{\delta }^{s}\left( E\right) = \sup \left\{ {\sum {\left| {U}_{i}\right| }^{s} \mid \left\{ {U}_{i}\right\} \text{ 为 }E\text{ |
2000_数学辞海（第3卷） | 215 | \left( A\right) = \sup \left\{ {s \mid {\mathcal{D}}^{s}\left( A\right) = \infty }\right\}
\]
\[
= \inf \left\{ {s \mid {\mathcal{Q}}^{s}\left( A\right) = 0}\right\} \text{.}
\]
临界指数的修正 (modification of critical exponent) 对第一个指数修正后得到的指数. 后面两个指数都具有可列平稳性. 类似于对集函数 \( Q \) 的修正,人们引入对维数 \( D \) 的下列修正,并记为 \( {D}_{M} \) ,其定义为
\[
{D}_{M}\left( A\right) = \inf \left\{ {\sup D\left( {A}_{i}\right) \mid A = \bigcup {A}_{i}}\right\} .
\]
各类指数的关系 (relationship for various exponents) 集合 \( A \) 的各种指数之间的关系. 设 \( A \subset \) \( {\mathrm{R}}^{d} \) ,则:
1. 对任意 \( s \geq 0,{\mathcal{D}}^{s}\left( A\right) \leq {Q}^{s}\left( A\right) \) .
2. \( {D}_{M}\left( A\right) = \mathcal{D}\left( A\right) \leq D\left( A\right) \) .
第 2 个结果指出修正后的集函数族的临界指数与未修正的集函数族的临界指数经修正后的临界指数一致.
预填充测度 (pre-packing measure) 集合的一种测度. 设 \( E \subset {\mathrm{R}}^{d},\delta > 0, s \geq 0 \) . 令
\( {P}_{\delta }^{s}\left( E\right) = \sup \left\{ {\sum {\left| {U}_{i}\right| }^{s} \mid \left\{ {U}_{i}\right\} \text{ 为 }E\text{ 的 }\delta \text{ 填充 }}\right\} , \)
其中 \( \sup \) 表示对所有的 \( E \) 的 \( \delta \) 填充取上确界,
\[
{P}^{s}\left( E\right) = \mathop{\lim }\limits_{{\delta \rightarrow 0}}{P}_{\delta }^{s}\left( E\right) = \mathop{\inf }\limits_{{\delta \geq 0}}{P}_{\delta }^{s}\left( E\right) ,
\]
\( {P}^{s} \) 称为 \( s \) 维预填充测度. \( {P}^{s} \) 具有单调性与临界性质, 但不具次可列可加性.
预填充维数 (pre-packing dimension) 由预填充测度诱导出的一种维数. 一个维数称为预填充维数, 若
\[
\Delta \left( E\right) = \sup \left\{ {s \mid {P}^{s}\left( E\right) = \infty }\right\}
\]
\[
= \inf \left\{ {s \mid {P}^{s}\left( E\right) = 0}\right\} \text{.}
\]
该维数与上闵科夫斯基维数相等, 即
\[
\Delta \left( E\right) = {\overline{\dim }}_{B}E.
\]
填充测度 (packing measure) 分形几何中一类最重要的测度. 对预填充测度 \( {P}^{s} \) 及它诱导的预填充维数 \( \Delta \) 进行修正:
\[
{\mathcal{D}}^{s}\left( A\right) = \inf \left\{ {\sum {P}^{s}\left( {A}_{i}\right) \mid A = \cup {A}_{i}}\right\} ,
\]
\[
{\dim }_{P}A = \inf \left\{ {\sup \Delta \left( {A}_{i}\right) \mid A = \cup {A}_{i}}\right\} .
\]
上述测度 \( {\mathcal{P}}^{s}\left( A\right) \) 与维数 \( {\dim }_{P}A \) 分别称为集 \( A \) 的 \( s \) 维填充测度与填充维数.
填充测度与填充维数具有豪斯多夫测度与豪斯多夫维数的性质 (参见 “豪斯多夫测度”和“豪斯多夫维数”). 填充测度与填充维数由崔可 (Tricot, C. ) 于 1982 年引入, 具有与豪斯多夫测度与豪斯多夫维数 “对偶”的性质.
填充维数 (packing dimension) 见 “填充测度”.
填充测度的弗罗斯特曼引理 (Frostman lemma of packing measure) 关于填充测度的一个重要定理. 该定理断言: 设 \( E \subset {\mathrm{R}}^{d} \) .
1. 设 \( \mu \) 是由 \( E \) 支撑的有限正测度. 如果存在正常数 \( c > 0 \) ,使得对任意 \( x \in {\mathrm{R}}^{d} \) ,有 \( \mu \left( {{B}_{r}\left( x\right) }\right) \geq c{r}^{s} \) ,则 \( {\mathcal{D}}^{s}\left( E\right) < \infty \) .
2. 如果存在正常数 \( c > 0 \) ,正数序列 \( {r}_{n} \downarrow 0 \) ,以及 \( \mu \in {M}^{ + }\left( E\right) \) 使得对任意 \( x \in {\mathrm{R}}^{d} \) ,有 \( \mu \left( {{B}_{{r}_{n}}\left( x\right) }\right) \geq c{r}_{n}^{s} \) , 则 \( {\mathcal{P}}^{s}\left( E\right) > 0 \) .
不同测度与维数的比较 (comparison of difer-ent measures and dimensions) 几种测度与维数之间的比较. 人们定义了豪斯多夫测度 \( {\mathcal{H}}^{s} \) ,预填充测度 \( {P}^{s} \) ,填充测度 \( {\mathcal{D}}^{s} \) 以及上、下闵科夫斯基容度 \( {\mathcal{B}}^{s * } \) 与 \( {\mathcal{B}}^{s} \) .,其中豪斯多夫测度与填充测度是外测度,并且填充测度是预填充测度的修正. 记上、下闵科夫斯基容度的修正测度为 \( {\mathcal{M}}^{*s} \) 与 \( {\mathcal{M}}_{ * }^{s} \) ,并称为上、下闵科夫斯基测度, 它们分别诱导出具有可列平稳性质的维数 \( {\overline{\dim }}_{MB} \) 与 \( {\underline{\dim }}_{MB} \) ,称为上、下修正闵科夫斯基维数.
不同测度的比较: 设 \( E \subset {\mathrm{R}}^{d}, s \geq 0 \) ,则
\[
{c}_{1}{\mathcal{H}}^{s}\left( E\right) \leq {\mathcal{M}}_{ * }^{s}\left( E\right)
\]
\[
\leq \min \left\{ {{\mathcal{B}}_{ * }^{s}\left( E\right) ,{\mathcal{M}}^{*s}\left( E\right) }\right\}
\]
分 形 几 何
\[
\leq \max \left\{ {{\mathcal{B}}_{ * }^{s}\left( E\right) ,{\mathcal{M}}^{*s}\left( E\right) }\right\}
\]
\[
\leq {\mathcal{B}}^{*s}\left( E\right) \leq {c}_{2}{P}^{s}\left( E\right) ,
\]
\[
{\mathcal{H}}^{s}\left( E\right) \leq {\mathcal{D}}^{s}\left( E\right) \leq {P}^{s}\left( E\right) ,
\]
\[
{c}_{3}{\mathcal{M}}^{*s}\left( E\right) \leq {\mathcal{P}}^{s}\left( E\right) ;
\]
\[
{\dim }_{H}\left( E\right) \leq {\underline{\dim }}_{MB}\left( E\right)
\]
\[
\leq \min \left\{ {{\underline{\dim }}_{B}\left( E\right) ,{\dim }_{P}\left( E\right) }\right\}
\]
\[
\leq \max \left\{ {{\dim }_{B}\left( E\right) ,{\dim }_{P}\left( E\right) }\right\}
\]
\[
\leq {\overline{\dim }}_{B}\left( E\right) \text{.}
\]
存在使上述结论中的每个不等号严格成立的集合.
集合的齐次性 (homogeneous property) 集合的一种内在性质. 下面的结论指出当集合 \( E \) 具有某种“齐次”性质时, 它的填充维数和上闵科夫斯基维数一致. 设 \( E \subset {\mathrm{R}}^{d} \) 为紧集,如果对任意开集 \( V \) ,有
\[
{\overline{\dim }}_{B}E = {\overline{\dim }}_{B}\left( {E \cap V}\right) ,
\]
则 \( {\dim }_{P} = {\overline{\dim }}_{B}E \) .
分形乘积 (product of fractals) 一种分形集. 指两个分形集 \( E \) 与 \( F \) 的积集,记为 \( E \times F \) . 设 \( E, F \) CR为勒贝格可测集, 经典的富比尼定理指出,
\[
{\mathcal{L}}^{2}\left( {E \times F}\right) = {\mathcal{L}}^{1}\left( E\right) \times {\mathcal{L}}^{1}\left( F\right) ,
\]
其中 \( {\mathcal{L}}^{n} \) 表示 \( n \) 维勒贝格测度. 如果用豪斯多夫测度或填充测度代替勒贝格测度, 上述结论不再成立, 但仍具有某些关系.
分形乘积的豪斯多夫测度 (Hausdorff measure of product of fractals) 亦称玛斯传德定理. 一种集合的豪斯多夫测度. 指两个分形集的积集的豪斯多夫测度. 设 \( E \subset {\mathrm{R}}^{m}, F \subset {\mathrm{R}}^{n} \) ,则存在仅依赖于 \( s, t \) 的正常数 \( c \) ,使得
\[
{\mathcal{H}}^{s + t}\left( {E \times F}\right) \geq c{\mathcal{H}}^{s}\left( E\right) {\mathcal{H}}^{t}\left( F\right) .
\]
玛斯传德定理 (Marstrand theorem) 即“分形乘积的豪斯多夫测度”.
分形乘积的豪斯多夫维数 (Hausdorff dimension of product of fractals) 一种集合的豪斯多夫维数. 指两个分形集的积集的豪斯多夫维数. 设 \( E \) \( \subset {\mathrm{R}}^{m}, F \subset {\mathrm{R}}^{n} \) ,则:
1. \( {\dim }_{H}E \times F \geq {\dim }_{H}E + {\dim }_{H}F \) .
2. \( {\dim }_{H}E \times F \leq \min \left\{ {{\dim }_{H}E + {\overline{\dim }}_{B}F,{\overline{\dim }}_{B}E}\right. \)
\[
\left. {+{\dim }_{H}F}\right\} \text{.}
\]
3. \( \max \left\{ {{\dim }_{B}E + {\overline{\dim }}_{B}F,{\overline{\dim }}_{B}E + {\underline{\dim }}_{B}E}\right\} \)
\[
\leq {\overline{\dim }}_{B}E \times F \leq {\overline{\dim }}_{B}E + {\overline{\dim }}_{B}F\text{.}
\]
分形乘积的填充测度 (packing measure of product of fractals) 一种集合的填充测度. 指两个分形集的积集的填充测度. 设 \( E \subset {\mathrm{R}}^{m}, F \subset {\mathrm{R}}^{n} \) , \( {\mathcal{P}}^{s}\left( E\right) < \infty ,{\mathcal{P}}^{t}\left( F\right) < \infty \) ,则存在仅依赖于 \( s, t \) 的正常数 \( c \) 使得
\[
{\mathcal{D}}^{s + t}\left( {E \times F}\right) \leq c{\mathcal{D}}^{s}\left( E\right) {\mathcal{D}}^{t}\left( F\right) .
\]
分形乘积的填充维数 (packing dimension of product of fractals) 一种集合的填充维数. 指两个分形集的积集的填充维数. 设 \( E \subset {\mathrm{R}}^{m}, F \subset {\mathrm{R}}^{n} \) ,则:
1. \( {\dim }_{P}E \times F \leq {\dim }_{P}E + {\dim }_{P}F \) ;
2. \( {\dim }_{H}E \times F \leq \min \left\{ {{\dim }_{H}E + {\dim }_{P}F,{\dim }_{P}F}\right. \)
\[
\left. {+{\dim }_{H}F}\right\} \text{;}
\]
3. 设 \( E \subset {\mathrm{R}}^{m}, F \subset {\mathrm{R}}^{n} \) ,如果 \( E \) 与 \( F \) 中有一个是正则集 (即集合的豪斯多夫维数与填充维数相同), 则
\( {\dim }_{H}E \times F = {\dim }_{H}E + {\dim }_{H}F. \)
分形投影 (projection of fractal) 一种正交投影. 指分形集在通过原点的直线上的正交投影. 设 \( \theta \) 表示平面上通过原点的直线, \( {p}_{\theta } \) 表示对于直线 \( \theta \) 的正交投影. 设 \( E \subset {\mathrm{R}}^{2} \) 为波莱尔集,则:
1. 对任意 \( \theta \in {G}_{d, p} \) ,
\[
{\dim }_{H}{p}_{\theta }\left( E\right) \leq \min \left\{ {{\dim }_{H}E, p}\right\} .
\]
2. 若 \( {\dim }_{H}\left( E\right) \leq 1 \) ,则对几乎所有的 \( \theta \in \left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack \) , 有 \( {\dim }_{H}{p}_{\theta }\left( E\right) = {\dim }_{H}E \) .
3. 若 \( {\dim }_{H}E > 1 \) ,则对几乎所有的 \( \theta \in \left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack \) ,
\[{\mathcal{L}}^{1}{p}_{\theta }\left( E\right) > 0.\]
自相似集的相似维数 (similarity dimension of self-similar sets) 自相似集的一种重要维数. 设 \( E \) 为对应于压缩比为 \( {c}_{i} \) 的相似压缩族 \( \left\{ {{S}_{i},1 \leq i \leq m}\right\} \) 的自相似集. 若 \( s \) 满足
\[\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{c}_{i}^{s} = 1\]
则 \( s \) 称为自相似集 \( E \) 的相似维数,记为 \( {\dim }_{S}E \) .
自相似集的测度与维数的性质 (measure and dimension of self-similar sets) 自相似集所具有的一些重要性质. 设 \( E \) 满足开集条件,则:
\[\text{1.}0 < {\mathcal{H}}^{s}\left( E\right) < \infty \text{;}\]
2. \( {\dim }_{H}E = {\dim }_{P}E = {\dim }_{B}E = {\dim }_{S}E = s \) ;
3. 对任意 \( x \in E \) 及任意 \( r > 0 \) ,有
\[{C}_{1} \leq \mathop{\liminf }\limits_{{r \rightarrow 0}}\frac{\mathcal{H}\left( {E \cap {B}_{r}\left( x\right) }\right) }{{\left( 2r\right) }^{s}}\]
\[ \leq \mathop{\limsup }\limits_{{r \rightarrow 0}}\frac{\mathcal{H}\left( {E \cap {B}_{r}\left( x\right) }\right) }{{\left( 2r\right) }^{s}} \leq {C}_{2},\]
以及
\[\mathop{\lim }\limits_{{r \rightarrow 0}}\frac{\log \mathcal{H}\left( {E \cap {B}_{r}\left( x\right) }\right) }{\log r} = s,\]
其中 \( {C}_{1},{C}_{2} \) 为正常数; 如果开集条件不满足,仍有
\[{\dim }_{H}E = {\overline{\dim }}_{B}E \leq {\dim }_{S}E,\]
则称满足上述性质的分形集具有正则性.
## 几类重要的分形集
有限压缩映射族 (finite family of contracing mappings) 亦称迭代函数系. 满足压缩条件的有限个映射所成的集族. 设 \( D \subset {\mathrm{R}}^{d} \) 为闭集,映射 \( S : D \) \( \rightarrow {\mathrm{R}}^{d} \) 称为 \( D \) 上的压缩映射 (简称压缩),如果存在正常数 \( 0 < c < 1 \) ,使得对任意 \( x, y \in D \) ,成立不等式
\[
d\left( {S\left( x\right), S\left( y\right) }\right) \leq {cd}\left( {x, y}\right) .
\]
\( {\mathrm{R}}^{d} \) 上的一有限压缩映射族 \( {\left\{ {S}_{i}\right\} }_{1 \leq i \leq m} \) 也称为 \( {\mathrm{R}}^{d} \) 上的一个迭代函数系 (IFS), 其中
\[
\left| {{S}_{i}\left( x\right) - {S}_{i}\left( y\right) }\right| \leq {c}_{i}\left| {x - y}\right| \left( {0 < {c}_{i} < 1, x, y \in D}\right) .
\]
迭代函数系 (iterated functions system) 即 “有限压缩映射族”.
压缩映射族的不变集 (invariant set of a family of contracting mappings) 迭代函数系生成的不变集, 是典型的分形集. 对它的一般性质的研究是一个重要而困难的课题. 设 \( {S}_{1},{S}_{2},\cdots ,{S}_{m} \) 为 \( {\mathrm{R}}^{d} \) 上的压缩映射族,则存在惟一的紧集 \( E \) ,使得
\[
E = \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{m}{S}_{i}E
\]
集 \( E \) 称为压缩族 \( {\left\{ {S}_{i}\right\} }_{1 \leq i \leq m} \) 的不变集或吸引子.
开集条件 (open set condition) 加在压缩映射族上的一种条件. 设 \( {S}_{1},{S}_{2},\cdots ,{S}_{m} \) 是 \( {\mathrm{R}}^{d} \) 上的压缩映射. 如果存在开集 \( V \subset {\mathrm{R}}^{d} \) 使得
\[
\mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{m}{S}_{i}\left( V\right) \subset V;{S}_{i}\left( V\right) \cap {S}_{j}\left( V\right) = \varnothing \left( {i \neq j}\right) ,
\]
则称压缩族 \( {S}_{1},{S}_{2},\ |
2000_数学辞海（第3卷） | 216 | 一有限压缩映射族 \( {\left\{ {S}_{i}\right\} }_{1 \leq i \leq m} \) 也称为 \( {\mathrm{R}}^{d} \) 上的一个迭代函数系 (IFS), 其中
\[
\left| {{S}_{i}\left( x\right) - {S}_{i}\left( y\right) }\right| \leq {c}_{i}\left| {x - y}\right| \left( {0 < {c}_{i} < 1, x, y \in D}\right) .
\]
迭代函数系 (iterated functions system) 即 “有限压缩映射族”.
压缩映射族的不变集 (invariant set of a family of contracting mappings) 迭代函数系生成的不变集, 是典型的分形集. 对它的一般性质的研究是一个重要而困难的课题. 设 \( {S}_{1},{S}_{2},\cdots ,{S}_{m} \) 为 \( {\mathrm{R}}^{d} \) 上的压缩映射族,则存在惟一的紧集 \( E \) ,使得
\[
E = \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{m}{S}_{i}E
\]
集 \( E \) 称为压缩族 \( {\left\{ {S}_{i}\right\} }_{1 \leq i \leq m} \) 的不变集或吸引子.
开集条件 (open set condition) 加在压缩映射族上的一种条件. 设 \( {S}_{1},{S}_{2},\cdots ,{S}_{m} \) 是 \( {\mathrm{R}}^{d} \) 上的压缩映射. 如果存在开集 \( V \subset {\mathrm{R}}^{d} \) 使得
\[
\mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{m}{S}_{i}\left( V\right) \subset V;{S}_{i}\left( V\right) \cap {S}_{j}\left( V\right) = \varnothing \left( {i \neq j}\right) ,
\]
则称压缩族 \( {S}_{1},{S}_{2},\cdots ,{S}_{m} \) 满足开集条件,亦称该压缩族的不变集 \( E \) 满足开集条件.
开集条件容许相似压缩族作用在某些集合上可以有重叠, 但要求重叠不能太多. 由席夫 (Schief, A. ) 提出的定理刻画了开集条件, 但并没有减少判别开集条件是否成立的难度.
席夫定理 (Schief theorem) 对开集条件的一种刻画. 即在开集条件下, 自相似集的测度与维数都有完整的结果. 该定理表述为: 设 \( E \) 是压缩系数为 \( {c}_{i} \) 的相似压缩族 \( {S}_{i}\left( {1 \leq i \leq m}\right) \) 的自相似集, \( s \) 为其相似维数, 则下述条件等价:
1. 开集条件成立.
2. \( {\mathcal{H}}^{s}\left( E\right) > 0 \) .
康托尔三分集 (Cantor third-middle set) 一种重要的自相似分形集. 设 \( {E}_{0}\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 为单位闭区间, \( {E}_{1} \) 为由 \( {E}_{0} \) 删去中间长为 \( 1/3 \) 的开区间 \( \left( {1/3,2/3}\right) \) 所得到的集合,即 \( {E}_{1} \) 由闭区间 \( \left\lbrack {0,1/3}\right\rbrack \) 与 \( \left\lbrack {2/3,1}\right\rbrack \) 组成,这两个区间称为 1 阶基本区间. 而 \( \left( {1/3,2/3}\right) \) 称为 1 阶基本间隔. 分别去掉两个 1 阶基本区间的中间的 \( 1/3 \) 得到 \( {E}_{2} \) ,即 \( {E}_{2} \) 由 4 个闭区间 (称为 2 阶基本区间)
\[
\left\lbrack {0,\frac{1}{9}}\right\rbrack ,\left\lbrack {\frac{2}{9},\frac{1}{3}}\right\rbrack ,\left\lbrack {\frac{2}{3},\frac{7}{9}}\right\rbrack ,\left\lbrack {\frac{8}{9},1}\right\rbrack
\]
组成, 去掉的两个开区间称为二级阶基本间隔. 继续上述作法,至第 \( k \) 步,人们得到 \( {E}_{k} \) . 它由 \( {2}^{k} \) 个长为 \( {3}^{-k} \) 的闭区间 (称为 \( k \) 阶基本区间) 组成,被挖掉的 \( {2}^{k - 1} \) 个长为 \( {3}^{-k} \) 的开区间称为第 \( k \) 级间隔. 令 \( \mathcal{C} \) \( = \mathop{\bigcap }\limits_{{k \geq 1}}{E}_{k} \) ,集 \( \mathcal{C} \) 称为康托尔三分集,容易验证 \( \mathcal{C} \) 为全不连通的自密闭集. 令
\[
{S}_{1}\left( x\right) = \frac{x}{3},\;{S}_{2}\left( x\right) = \frac{x}{3} + \frac{2}{3},
\]
则相应的自相似集为经典的康托尔三分集.
谢尔品斯基垫 (Sierpinski gasget) 一种重要的自相似分形集. 令
\[
{\varphi }_{1}\left( {x, y}\right) = \left( {\frac{x}{2},\frac{y}{2}}\right) ,
\]
\[
{\varphi }_{2}\left( {x, y}\right) = \left( {\frac{1}{4} + \frac{x}{2},\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{y}{2}}\right) ,
\]
\[
{\varphi }_{3}\left( {x, y}\right) = \left( {\frac{1}{2} + \frac{x}{2},\frac{y}{2}}\right) ,
\]
则相应的自相似集称为谢尔品斯基垫.
有向图 (directed graph) 一种由顶点与有向线段组成的几何图形. 设 \( v \) 为顶点集,将其标记为 \( \{ 1,2,\cdots, q\} ,\mathcal{E} \) 为有向棱集,它的每条边都从某个顶点出发并在某个顶点终止 (一对顶点可以由几条棱连结, 一条棱也可以由同一个顶点出发与终止), 二元偶 \( \left( {v,\mathcal{E}}\right) \) 称为一个有向图. 记 \( {\mathcal{E}}_{i, j} \) 为从顶点 \( i \) 出发到顶点 \( j \) 终止的棱的集合, \( {\mathcal{E}}_{i, j}^{k} \) 为从顶点 \( i \) 出发到顶点 \( j \) 终止的由 \( k \) 条棱组成的路径 \( \left( {{e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{k}}\right) \) 的集合, 称为路经集. 连结有向图顶点的路径所满足的条件称为传递性条件. 存在正整数 \( {p}_{0} \) ,使对任意 \( i, j \) 都有整数 \( p \) ,满足 \( 1 \leq {p}_{0} \leq p \) ,使得路径集 \( {\mathcal{E}}_{i, j}^{p} \) 非空,亦即,对有向图中的每对顶点,都有长度不大于 \( p \) 的路径连结它们.
路径集 (path sets) 见“有向图”.
传递性条件 (transition condition) 见 “有向图”.
图递归集 (graph-directed sets) 自相似集的一种推广. 设 \( \left( {v,\mathcal{E}}\right) \) 为有向图. 设 \( {F}_{e} : {\mathrm{R}}^{d} \rightarrow {\mathrm{R}}^{d} \) 为相似比是 \( {r}_{e} \) 的相似压缩, \( e \in \mathcal{E} \) ,则存在惟一非空紧集族 \( {E}_{1},{E}_{2},\cdots ,{E}_{q} \) ,使得
\[
{E}_{i} = \mathop{\bigcup }\limits_{{j = 1}}^{q}\mathop{\bigcup }\limits_{{e \in {\mathcal{E}}_{i, j}}}{F}_{e}\left( {E}_{j}\right) .
\]
压缩集族 \( \left\{ {{F}_{e} : e \in \mathcal{E}}\right\} \) 称为图递归相似压缩族 (或图递归迭代函数系),紧集族 \( \left\{ {{E}_{1},{E}_{2},\cdots ,{E}_{q}}\right\} \) 称为图递归集. 图递归集有非常广泛的应用.
直观上看,图递归集族的每个元素 \( {E}_{i} \) 由若干块分别与 \( {E}_{1},{E}_{2},\cdots ,{E}_{q} \) 相似的部分组成,当 \( q = 1 \) 时, 回到经典的自相似集.
图递归矩阵 (graph-directed matrix) 对应于图递归集的矩阵. 设 \( s \leq 0 \) ,矩阵 \( {A}^{\left( s\right) } = {\left\{ {A}_{i, j}^{\left( s\right) }\right\} }_{1 \leq i, j \leq q} \) 称为结合图递归集的图递归矩阵, 它的最大特征值记为 \( \rho \left( {A}^{s}\right) \) .
图递归集的维数 (dimension of graph-directed sets) 图递归集维数的两个性质. 设 \( {\left\{ {E}_{j}\right\} }_{1 \leq j \leq q} \) 为满足传递性条件与开集条件的图递归集, \( s \) 满足 \( \rho \left( {A}^{\left( s\right) }\right) = 1 \) ,则对任意 \( 1 \leq j \leq q \) .
\[
\text{1.}0 < {\mathcal{H}}^{s}\left( {E}_{j}\right) \leq {\mathcal{D}}^{s}\left( {E}_{j}\right) < \infty \text{.}
\]
\[
\text{2.}{\dim }_{H}{E}_{j} = {\dim }_{B}{E}_{j}\text{.}
\]
麦克缪伦集 (McMullen set) 一类重要的自仿集. 设 \( n > m \geq 2 \) 为正整数, \( R\left( {n, m}\right) = \{ \left( {i, j}\right) ;0 \leq i \) \( < n,0 \leq j < m\} \) . 令 \( {R}_{0} \subset R\left( {n, m}\right) ,\# {R}_{0} \geq 2,\# {R}_{0} \) 表示 \( {R}_{0} \) 的个数. 设 \( \left( {i, j}\right) \in {R}_{0} \) ,定义
\[
{S}_{ij}\left( {x, y}\right) = \left( {\frac{x}{n},\frac{y}{m}}\right) + \left( {i, j}\right) ,
\]
则 \( {S}_{ij} \) 为仿射压缩,其在 \( x \) 轴与 \( y \) 轴方向的压缩比分别为 \( 1/n \) 与 \( 1/m \) . 设 \( E \) 为仿射压缩族 \( {\left\{ {S}_{i, j}\right\} }_{\left( {i, j}\right) \in {R}_{0}} \) 的自仿集, 即
\[
E = \mathop{\bigcup }\limits_{{i, j \in {R}_{0}}}{S}_{ij}\left( E\right) ,
\]
称 \( E \) 为仿射压缩族 \( {S}_{ij} \) 的麦克缪伦集.
麦克缪伦集有下述几何解释: 将单位正方形 \( {E}_{0} \) 划分为 \( n \times m \) 个边长分别为 \( 1/n \) 与 \( 1/m \) 的长方形. \( E\left( {i, j}\right) \) 表示长方形
\[
\left\lbrack {\frac{i}{n},\frac{i + 1}{n}}\right\rbrack \times \left\lbrack {\frac{j}{m},\frac{j + 1}{m}}\right\rbrack
\]
则 \( {S}_{ij} \) 将 \( {E}_{0} \) 变为 \( {E}_{i, j} \) (在不产生混淆的情形下,人们用 \( \left( {i, j}\right) \) 表示长方形 \( E\left( {i, j}\right) \) ),从而 \( {R}_{0} \) 亦表示经映射 \( {S}_{ij},\left( {i, j}\right) \in {R}_{0} \) 所得的长方形族. 令 \( \mathcal{S} = \cup {S}_{ij} \) ,则
\[
\mathcal{S}\left( {E}_{0}\right) = \bigcup {S}_{ij}\left( {E}_{0}\right) = \mathop{\bigcup }\limits_{{i, j \in {R}_{0}}}E\left( {i, j}\right) .
\]
重复上述过程,而将每一 \( E\left( {i, j}\right) \) 用 \( \mathcal{S}\left( {E\left( {i, j}\right) }\right) \) 代替,最后得到的极限集 \( E = \mathop{\bigcap }\limits_{{k \geq 0}}{S}^{k}\left( {E}_{0}\right) \) 即为麦克缪伦集.
麦克缪伦集的维数 (dimensions of McMullen sets) 麦克缪伦集的维数公式. 设 \( E \) 为麦克缪伦集, 则
\[
{\dim }_{H}E = {\log }_{m}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{m}{N}_{j}^{\log m/\log n}}\right) ,
\]
其中 \( {N}_{j} \) 表示在第一次生成过程中从第 \( j \) 列中挑出的矩形数;
\[
{\dim }_{B}E = {\log }_{m}s + {\log }_{n}\left( \frac{r}{s}\right) ,
\]
其中 \( r = \# {R}_{0}, s = \# \left\{ {j,\left( {i, j}\right) \in {R}_{0}}\right\} \) (即至少包含 1 阶生成元 \( {E}_{1} \mathrel{\text{:=}} \mathcal{S}\left( {E}_{0}\right) \) 中的一个矩形的个数).
上述结果指出麦克缪伦集的维数与它的基本长方形所处的位置有关系, 另一方面, 它的豪斯多夫维数与闵科夫斯基维数不相同, 因而不是正则集. 一般的自仿集的研究要比麦克缪伦集困难得多.
莫朗集 (Moran sets) 自相似集的一种推广. 莫朗集按下述方式推广自相似集: 在逐次迭代中采用有限的不同的压缩比并且基本元的位置可以变化.
莫朗集类 (Moran classes) 具一定结构的莫朗集的集类. 莫朗集类考虑满足相同结构的莫朗集构成的集类并考虑集类中莫朗集间的相互关系.
一般莫朗集的构造 (construction of Moran
sets) 用严格数学形式表示的莫朗集的结构. 设 \( J \) \( {\mathrm{{CR}}}^{d} \) 为内点非空的有界闭集. \( {\left\{ {n}_{k}\right\} }_{k \geq 1} \) 为一列正整数序列, \( \Phi = \left\{ {\Phi }_{k}\right\} \) 为一列有限正实向量序列,其中
\[
{\Phi }_{k} = \left( {{c}_{k,1},{c}_{k,2},\cdots ,{c}_{k,{n}_{k}}}\right)
\]
\[
\left( {0 < {c}_{k, j} < 1, k \in \mathrm{N},1 \leq j \leq {n}_{k}}\right) .
\]
对任意 \( k \in \mathrm{N} \) ,记
\[
{D}_{k} = \left\{ {\left( {{i}_{1},{i}_{2},\cdots ,{i}_{k}}\right) ;1 \leq {i}_{j} \leq {n}_{k},1 \leq j \leq k}\right\} .
\]
约定 \( {D}_{0} = \varnothing \) ,记 \( D = \mathop{\bigcup }\limits_{{k \geq 0}}{D}_{k} \) .
设 \( \sigma = \left( {{\sigma }_{1},{\sigma }_{2},\cdots ,{\sigma }_{k}}\right) \in {D}_{k},\tau = \left( {{\tau }_{1},{\tau }_{2},\cdots ,{\tau }_{m}}\right) \in \)
\( {D}_{m} \) ,记 \( \sigma * \tau = \left( {{\sigma }_{1},{\sigma }_{2},\cdots ,{\sigma }_{k},{\tau }_{1},{\tau }_{2},\cdots ,{\tau }_{m}}\right) \) . 若 \( \sigma \in {D}_{k} \) , \( l \leq k \) ,记 \( {\left. \sigma \right| }_{l} = \left( {{\sigma }_{1},{\sigma }_{2},\cdots {\sigma }_{l}}\right) \cdot {\mathrm{R}}^{d} \) 的子集族 \( \pi = \left\{ {{J}_{\sigma };\sigma }\right. \) \( \in D\} \) 称为具有莫朗结构,如果它满足:
1. 对任意 \( \sigma \in D,{J}_{\sigma } \) 与 \( J \) 相似,亦即存在相似映射 \( {S}_{\sigma } : {\mathrm{R}}^{d} \rightarrow {\mathrm{R}}^{d} \) 使得 \( {S}_{\sigma }\left( J\right) = {J}_{\sigma } \) ,约定 \( {J}_{\phi } = J \) ;
2. 对任意 \( k \geq 0 \) 及任意 \( \sigma \in {D}_{k},{J}_{\sigma * 1},{J}_{\sigma * 2},\cdots \) , \( {J}_{\sigma * {n}_{k + 1}} \) 为 \( {J}_{\sigma } \) 的子集,并且对任意 \( i \neq j,{J}_{\sigma * i} \cap {J}_{\sigma * j} \) \( = \varnothing \) (亦即满足开集条件);
3. 对任意 \( k \geq 1,\sigma \in {D}_{k - 1} \) 及 \( 1 \leq j \leq {n}_{k} \) 有
\[
\frac{\left| {J}_{\sigma * j}\right| }{\left| {J}_{\sigma }\right| } = {c}_{k, j}
\]
\[
{E}_{k} = \mathop{\bigcup }\limits_{{\sigma \in {D}_{k}}}{J}_{\sigma }
\]
及
\[
E = \mathop{\bigcap }\limits_{{k \geq 0}}{E}_{k}
\]
则 \( E \) 为非空有界闭集.
对于子集族 \( \pi = \left\{ {{J}_{\sigma };\sigma \in D}\right\} ,{\mathrm{R}}^{d} \) 中内部非空的有界闭集 \( J \) ,正整数序列 \( {\left\{ {n}_{k}\right\} }_{k \geq 1} \) ,满足莫朗结构的集 \( E = E\left( {\pi, J,\left\{ {n}_{k}\right\} }\right) \) 称为满足 \( \left( {J,\left\{ {n}_{k}\right\} ,\left\{ {\Phi }_{k}\right\} }\right) \) 的莫朗集. 记 \( \mathcal{M} = \mathcal{M}\left( {J,\left\{ {n}_{k}\right\} ,\left\{ {\Phi }_{k}\right\} }\right) \) 为满足 \( \left( {J,\left\{ {n}_{k}\right\} }\right. \) , \( \left. \left\{ {\Phi }_{k}\right\} \right) \) 的莫朗集的集合类,称为莫朗集类. 注意到若 \( E,{E}^{\prime } \in \mathcal{M} \) ,它们对应的生成集族为 \( \pi \) 与 \( {\pi }^{\prime } \) ,则 \( \pi \) 与 \( {\pi }^{\prime } \) 的元素间的相互位置可以不一样,尽管它们都满足莫朗结构的条件 \( 1,2,3 \) . 记 \( {\mathcal{F}}_{k} = \left\{ {{J}_{\sigma };\sigma \in {D}_{k}}\right\} ,{\mathcal{F}}_{k} \) 的元称为 \( E \) 的 \( k \) 阶基本元. 记
\[
\mathcal{F} = \mathop{\bigcup }\limits_{{k \geq 0}}{\mathcal{F |
2000_数学辞海（第3卷） | 217 | }{J}_{\sigma }
\]
及
\[
E = \mathop{\bigcap }\limits_{{k \geq 0}}{E}_{k}
\]
则 \( E \) 为非空有界闭集.
对于子集族 \( \pi = \left\{ {{J}_{\sigma };\sigma \in D}\right\} ,{\mathrm{R}}^{d} \) 中内部非空的有界闭集 \( J \) ,正整数序列 \( {\left\{ {n}_{k}\right\} }_{k \geq 1} \) ,满足莫朗结构的集 \( E = E\left( {\pi, J,\left\{ {n}_{k}\right\} }\right) \) 称为满足 \( \left( {J,\left\{ {n}_{k}\right\} ,\left\{ {\Phi }_{k}\right\} }\right) \) 的莫朗集. 记 \( \mathcal{M} = \mathcal{M}\left( {J,\left\{ {n}_{k}\right\} ,\left\{ {\Phi }_{k}\right\} }\right) \) 为满足 \( \left( {J,\left\{ {n}_{k}\right\} }\right. \) , \( \left. \left\{ {\Phi }_{k}\right\} \right) \) 的莫朗集的集合类,称为莫朗集类. 注意到若 \( E,{E}^{\prime } \in \mathcal{M} \) ,它们对应的生成集族为 \( \pi \) 与 \( {\pi }^{\prime } \) ,则 \( \pi \) 与 \( {\pi }^{\prime } \) 的元素间的相互位置可以不一样,尽管它们都满足莫朗结构的条件 \( 1,2,3 \) . 记 \( {\mathcal{F}}_{k} = \left\{ {{J}_{\sigma };\sigma \in {D}_{k}}\right\} ,{\mathcal{F}}_{k} \) 的元称为 \( E \) 的 \( k \) 阶基本元. 记
\[
\mathcal{F} = \mathop{\bigcup }\limits_{{k \geq 0}}{\mathcal{F}}_{k} = \left\{ {{J}_{\sigma };\sigma \in D}\right\} .
\]
齐次莫朗集 (homogeneous Moran sets) 一类特殊的莫朗集. 设对任意 \( k \geq 1,{c}_{k,1} = \cdots = {c}_{k,{n}_{k}} = {c}_{k} \) , 亦即第 \( k \) 阶的压缩比均为 \( {c}_{k} \) ,则相应的莫朗集称为齐次莫朗集, 相应的莫朗集族记为
\[
\mathcal{M}\left( {J,\left\{ {n}_{k}\right\} ,\left\{ {c}_{k}\right\} }\right) .
\]
齐次均匀康托尔集 (homogeneous symmetry Cantor sets) 一类特殊的康托尔集. 设空间维数 \( d \) \( = 1 \) ,若对任意 \( k \geq 1,\sigma \in {D}_{k} \) ,它的 \( k + 1 \) 阶基本元 \( {J}_{\sigma * j},1 \leq j \leq {n}_{k + 1} \) (假定 \( {J}_{\sigma * 1},{J}_{\sigma * 2},\cdots ,{J}_{\sigma * {n}_{k + 1}} \) 在 \( {J}_{\sigma } \) 中从左至右排列)满足:
1. \( {J}_{\sigma * 1} \) 的左端点与 \( {J}_{\sigma } \) 的左端点重合, \( {J}_{\sigma * {n}_{k + 1}} \) 的右端点与 \( {J}_{\sigma } \) 的右端点重合.
2. \( \left| {J}_{\sigma \cdot 1}\right| = \cdots = \left| {J}_{\sigma * {n}_{k + 1}}\right| \) (从而,每个 \( k + 1 \) 阶基本区间的长度为 \( {c}_{1}{c}_{2}\cdots {c}_{k + 1} \) ).
3. 相邻的 \( k + 1 \) 阶基本区间的间隔相同.
由此得到的莫朗集称为齐次均匀康托尔集, 记为 \( \mathcal{C}\left( {J,\left\{ {n}_{k}\right\} ,\left\{ {c}_{k}\right\} }\right) \) ,简记为 \( \mathcal{C} \) .
偏齐次均匀康托尔集 (partial homogeneous Cantor sets) 一类特殊的康托尔集. 如果将齐次均匀康托尔集中的条件 2,3 用下述条件代替:
\( {J}_{\sigma * 1} \) 的左端点与 \( {J}_{\sigma } \) 的左端点重合, \( {J}_{\sigma * \left( {j + 1}\right) } \) 的左端点与 \( {J}_{\sigma * j} \) 的右端点重合, \( 1 \leq j \leq {n}_{k + 1} - 1 \) ,则得到的莫朗集称为偏齐次康托尔集, 记为
\[
{\mathcal{C}}^{ * } = {\mathcal{C}}^{ * }\left( {J,\left\{ {n}_{k}\right\} ,\left\{ {c}_{k}\right\} }\right) .
\]
齐次康托尔集与偏齐次康托尔集在一维齐次莫朗集的研究中起重要作用.
预维数序列 (pre-dimension sequences) 满足一定条件的序列. 设 \( \left\{ {\Phi }_{k}\right\} \) 为一列有限正实向量序列, 其中
\[
{\Phi }_{k} = \left( {{c}_{k,1}{c}_{k,2},\cdots ,{c}_{k,{n}_{k}}}\right)
\]
\[
\left( {0 < {c}_{k, j} < 1, k \in \mathbf{N},1 \leq j \leq {n}_{k}}\right) ,
\]
若 \( {s}_{k} \) 满足下列等式
\[
\mathop{\prod }\limits_{{i = 1}}^{k}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{{n}_{i}}{c}_{{i}_{j}}^{{s}_{k}} = 1
\]
称序列 \( {\left\{ {s}_{k}\right\} }_{k \geq 1} \) 为预维数序列.
莫朗集的维数 (dimension of Moran set) 莫朗集的维数公式. 令
\[
{s}_{ * } = \mathop{\liminf }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{s}_{k},{s}^{ * } = \mathop{\limsup }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{s}_{k}.
\]
若 \( {c}_{ * } > 0 \) ,则 \( {\dim }_{H}E = {s}_{ * },{\dim }_{P}E = {\overline{\dim }}_{B}\left( E\right) = {s}^{ * } \) .
下面两个结果是压缩比的下确界为零的情形, 它们比下确界大于零的情形要复杂得多:
1. 设莫朗集类 \( \mathcal{M} = \mathcal{M}\left( {{J}_{0},\left\{ {n}_{k}\right\} ,\left\{ {\Phi }_{k}\right\} }\right) \) 满足下述条件:
1) \( \mathop{\sup }\limits_{k}{n}_{k} \mathrel{\text{:=}} \lambda < \infty \) .
2) \( 0 < \mathop{\inf }\limits_{i}\mathop{\max }\limits_{j}\left\{ {c}_{ij}\right\} \leq c * \mathrel{\text{:=}} \mathop{\sup }\limits_{i}\mathop{\max }\limits_{j}\left\{ {c}_{ij}\right\} < 1 \) ,
则对任意 \( E \in \mathcal{M} \) ,有 \( {\dim }_{H}E = {s}_{ * },{\dim }_{P}E = {S}^{ * } \) .
2. 设
\[
\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}\frac{\log {d}_{k}}{\log {M}_{k}} = 0
\]
则对任意 \( E \in \mathcal{M} \) ,
\[
{\dim }_{H}E = {s}_{ * },{\dim }_{P}E = {\overline{\dim }}_{B}E = {s}^{ * }.
\]
上述预维数为将莫朗集的前 \( k \) 步构造为基础所生成的自相似集的维数, 由莫朗集的构造, 它可视为一列自相似集的极限, 预维数的极限与该莫朗集的维数有密切关系.
一维齐次莫朗集的维数 (dimension of one dimensional homogeneous Moran sets) 一维齐次莫朗集的维数公式. 由于在一维的情形有很好的序结构, 其结果更为丰富与深入. 现将一维齐次莫朗集与莫朗集类的维数公式分别定义如下:
\[
{t}_{ * } = \mathop{\liminf }\limits_{{k \rightarrow \infty }}\frac{\log {n}_{1}\cdots {n}_{k}}{-\log {c}_{1}\cdots {c}_{k + 1}{n}_{k + 1}},
\]
\[
{t}^{ \cdot } = \mathop{\limsup }\limits_{{k \rightarrow \infty }}\frac{\log {n}_{1}\cdots {n}_{k + 1}}{-\log {c}_{1}\cdots {c}_{k} + \log {n}_{k + 1}}.
\]
则一维齐次莫朗集类的维数有如下性质:
1. 对任意 \( E \in \mathcal{M} \) ,有
\[
{t}_{ * } \leq {\dim }_{H}E \leq {s}_{ * } \leq {s}^{ * }
\]
\[
\leq {\dim }_{P}E \leq {\overline{\dim }}_{B}E \leq {t}^{ * }.
\]
2. 还有
1) 设 \( {t}_{ * } < {s}_{ * } \) 并设 \( {t}_{ * } < \alpha < {s}_{ * } \) ,则存在 \( E \in \mathcal{M} \) , 使得 \( {\dim }_{H}E = \alpha \) .
2) 设 \( {s}^{ * } < {t}^{ * } \) 并设 \( {s}^{ * } < \beta < {t}^{ * } \) ,则存在 \( E \in \mathcal{M} \) , 使得 \( {\dim }_{P}E = \beta \) .
一维齐次莫朗集类的维数 (dimension of one dimensional homogeneous Moran classes) 见 “一维齐次莫朗集的维数”.
齐次均匀康托尔集的维数 (dimensions of homogeneous Cantor sets) 均匀康托尔集的维数公式. 设 \( \mathcal{C} = \mathcal{C}\left( {J,\left\{ {n}_{k}\right\} ,\left\{ {c}_{k}\right\} }\right) \) 与 \( {\mathcal{C}}^{ * } = {\mathcal{C}}^{ * }(J,\left\{ {n}_{k}\right\} \) , \( \left\{ {c}_{k}\right\} \) ) 分别为齐次均匀康托尔集与偏齐次均匀康托尔集, 则其维数公式分别为:
\[
{\dim }_{H}\mathcal{C} = {s}_{ * },{\dim }_{P}\mathcal{C} = {\overline{\dim }}_{B}\mathcal{C} = {t}^{ * },
\]
\[
{\dim }_{H}{\mathcal{C}}^{ * } = {t}_{ * },{\dim }_{P}\mathcal{C} = {\overline{\dim }}_{B}\mathcal{C} = {s}^{ * }.
\]
偏齐次均匀康托尔集的维数 (dimensions of partial homogeneous Cantor sets) 见“齐次均匀康托尔集的维数”.
## 函数图象的维数
函数图象 (graph of functions) 分形的图形所呈现的图象. 假定 \( I = \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 为单位闭区间. 设 \( f : I \rightarrow \) R, 令
\[
\Gamma \left( {f, I}\right) = \Gamma \left( f\right) = \{ \left( {t, f\left( t\right) }\right) ;t \in I\} ,
\]
则称 \( \Gamma \left( f\right) \) 为函数 \( f \) 在 \( I \) 上的图象.
函数在一点的 \( \delta \) 振幅 ( \( \delta \) -amplitude at a point of a function) 函数在一点的 \( \delta \) 邻域中的上、下确界之差. 设 \( f : I \rightarrow \mathrm{R} \) 为连续函数. 设 \( \delta > 0, t \in I \) . 记 \( {O}_{f,\delta }\left( t\right) \) 为函数 \( f \) 在点 \( t \) 的 \( \delta \) 振幅,即
\[
{O}_{f,\delta }\left( t\right) = \mathop{\sup }\limits_{{\left| {{t}^{\prime } - t}\right| \leq \delta }}f\left( {t}^{\prime }\right) - \mathop{\inf }\limits_{{\left| {{t}^{\prime } - t}\right| \leq \delta }}f\left( {t}^{\prime }\right)
\]
\[
= \mathop{\sup }\limits_{{{t}^{\prime },{t}^{\prime \prime } \in \left\lbrack {t - \delta, t + \delta }\right\rbrack }}\left| {f\left( {t}^{\prime }\right) - f\left( {t}^{\prime \prime }\right) }\right| .
\]
函数在区间上的 \( \delta \) 变差 ( \( \delta \) -variation on an interval of a function) 刻画函数在区间上变化的一个量. 设 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \subset I \) ,函数 \( f \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的 \( \delta \) 变差 \( {V}_{f,\delta }\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 定义为 \( f \) 的 \( \delta \) 振幅在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的积分:
\[
{V}_{f,\delta }\left\lbrack {a, b}\right\rbrack = {\int }_{a}^{b}{O}_{f,\delta }\left( t\right) \mathrm{d}t.
\]
函数 \( f \) 在 \( I \) 上的总变差定义为
\[
{V}_{f} = \mathop{\sup }\limits_{{t \in I}}f\left( t\right) - \mathop{\inf }\limits_{{t \in I}}f\left( t\right) .
\]
函数在区间上的总变差 (total variation on an interval of a function) 见“函数在区间上的 \( \delta \) 变差”.
\( s \) 阶赫尔德条件 ( \( s \) -Hölder condition) 刻画函数性态的一种条件. 设 \( f : I \rightarrow \mathrm{R} \) 为连续函数,称 \( f \) 在点 \( t \) 满足 \( s \) 阶赫尔德条件 \( \left( {0 < s \leq 1}\right) \) ,如果存在常数 \( {c}_{t} \) ,使得对所有的 \( {t}^{\prime } \in I \) ,有
\[
\left| {f\left( t\right) - f\left( {t}^{\prime }\right) }\right| \leq {c}_{t}{\left| t - {t}^{\prime }\right| }^{s}.
\]
称连续函数 \( f\left( t\right) \) 在点 \( t \) 满足反 \( s \) 阶赫尔德条件,如果存在常数 \( {c}_{t} > 0 \) ,使得对任意 \( \delta > 0 \) ,有
\[
{O}_{f,\delta }\left( t\right) \geq {c}_{t}{\delta }^{s}
\]
函数图象的闵科夫斯基维数 (Minkowski dimensions of the graph of functions) 函数图象的闵科夫斯基维数的几个公式.
1. 设 \( f : I \rightarrow \mathrm{R} \) 为连续函数,则
\[
{\overline{\dim }}_{B}\Gamma \left( {f, I}\right) = \mathop{\limsup }\limits_{{\delta \rightarrow 0}}\left( {2 - \frac{\log {V}_{f,\delta }\left( I\right) }{\log \delta }}\right) ,
\]
\[
{\underline{\dim }}_{B}\Gamma \left( {f, I}\right) = \mathop{\liminf }\limits_{{\delta \rightarrow 0}}\left( {2 - \frac{\log {V}_{f,\delta }\left( I\right) }{\log \delta }}\right) .
\]
I. 设 \( 0 < s \leq 1, f \) 为 \( I \) 上的连续函数:
1. 若 \( f \) 在 \( I \) 满足一致 \( s \) 阶赫尔德条件,则
\[
{\overline{\dim }}_{B}\Gamma \left( {f, I}\right) \leq 2 - s.
\]
2. 若 \( f \) 在 \( I \) 上满足一致 \( s \) 阶反赫尔德条件,则
\[
{\underline{\dim }}_{B}\Gamma \left( {f, I}\right) \geq 2 - s.
\]
3. 设连续函数 \( f \) 在 \( I \) 上满足一致与反一致 \( s \) 阶赫尔德条件, 则
\[
{\dim }_{B}\Gamma \left( {f, I}\right) = {\dim }_{P}\Gamma \left( {f, I}\right) = 2 - s.
\]
函数图象的豪斯多夫维数 (Hausdorff dimension of graph of functions) 函数图象的豪斯多夫维数的一个不等式. 与闵科夫斯基维数不同, 函数的振幅性态不足以确定函数图象的豪斯多夫维数, 而且远比确定闵科夫斯基维数困难. 设 \( K \subset {\mathrm{R}}^{2} \) 为波莱尔集. 假定
1. \( \mathcal{L}\left( {{p}_{X}\left( K\right) }\right) > 0 \) ,其中 \( {p}_{X}\left( K\right) \) 表示集 \( K \) 在 \( X \) 轴上的正交投影.
2. 存在常数 \( {c}_{1},{c}_{2} > 0 \) 及 \( 0 < \alpha < 1 \) ,使得对任意水平闭区间 \( \left\lbrack {{x}_{1},{x}_{2}}\right\rbrack \times \{ y\} \) ,存在 \( {a}_{1},{a}_{2} \) 满足 \( {x}_{1}, \leq {\alpha }_{1} \) \( < {\alpha }_{2} \leq {x}_{2} \) ,使得 \( {a}_{2} - {a}_{1} = {c}_{1}\left( {{x}_{2} - {x}_{1}}\right) \) 并且长方形
\[
\left\lbrack {{a}_{1},{a}_{2}}\right\rbrack \times \left\lbrack {y - \frac{1}{2}{c}_{2}{\left( {x}_{2} - {x}_{1}\right) }^{\alpha },}\right.
\]
\[
\left. {y + \frac{1}{2}{c}_{2}{\left( {x}_{2} - {x}_{1}\right) }^{a}}\right\rbrack \cap K = \varnothing ,
\]
则 \( {\dim }_{H}K \geq c\left( {\alpha ,{c}_{1}}\right) > 1 \) . 其中 \( c\left( {\alpha ,{c}_{1}}\right) \) 为仅依赖于 \( \alpha \) 与 \( {c}_{1} \) 的正常数.
外尔斯特拉斯函数的维数 |
2000_数学辞海（第3卷） | 218 | f graph of functions) 函数图象的豪斯多夫维数的一个不等式. 与闵科夫斯基维数不同, 函数的振幅性态不足以确定函数图象的豪斯多夫维数, 而且远比确定闵科夫斯基维数困难. 设 \( K \subset {\mathrm{R}}^{2} \) 为波莱尔集. 假定
1. \( \mathcal{L}\left( {{p}_{X}\left( K\right) }\right) > 0 \) ,其中 \( {p}_{X}\left( K\right) \) 表示集 \( K \) 在 \( X \) 轴上的正交投影.
2. 存在常数 \( {c}_{1},{c}_{2} > 0 \) 及 \( 0 < \alpha < 1 \) ,使得对任意水平闭区间 \( \left\lbrack {{x}_{1},{x}_{2}}\right\rbrack \times \{ y\} \) ,存在 \( {a}_{1},{a}_{2} \) 满足 \( {x}_{1}, \leq {\alpha }_{1} \) \( < {\alpha }_{2} \leq {x}_{2} \) ,使得 \( {a}_{2} - {a}_{1} = {c}_{1}\left( {{x}_{2} - {x}_{1}}\right) \) 并且长方形
\[
\left\lbrack {{a}_{1},{a}_{2}}\right\rbrack \times \left\lbrack {y - \frac{1}{2}{c}_{2}{\left( {x}_{2} - {x}_{1}\right) }^{\alpha },}\right.
\]
\[
\left. {y + \frac{1}{2}{c}_{2}{\left( {x}_{2} - {x}_{1}\right) }^{a}}\right\rbrack \cap K = \varnothing ,
\]
则 \( {\dim }_{H}K \geq c\left( {\alpha ,{c}_{1}}\right) > 1 \) . 其中 \( c\left( {\alpha ,{c}_{1}}\right) \) 为仅依赖于 \( \alpha \) 与 \( {c}_{1} \) 的正常数.
外尔斯特拉斯函数的维数 (dimension of Weierstrass function) 外尔斯特拉斯函数的一个维数公式. 设
\[
W\left( t\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k \geq 1}}{\lambda }^{\left( {s - 2}\right) k}\cos \left( {{\lambda }^{k}t}\right) \;\left( {1 < s < 2,\lambda > 1}\right)
\]
为外尔斯特拉斯函数, 则
\[
{\dim }_{p}\Gamma \left( W\right) = {\dim }_{B}\Gamma \left( W\right) = s.
\]
伯西柯维奇函数的维数 (dimension of Besi-covich function) 伯西柯维奇函数的一个维数公式. 伯西柯维奇函数定义为
\[
B\left( t\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n \geq 1}}{\lambda }_{j}^{s - 2}\cos \left( {{\lambda }_{j}t}\right) \;\left( {1 < s < 2}\right) ,
\]
其中 \( {\lambda }_{j} \) 是趋于无穷的正实数序列.
设伯西柯维奇函数 \( B\left( t\right) \) 满足 \( {\lambda }_{k + 1}/{\lambda }_{k} \uparrow \infty \) ,则
\[
{\dim }_{H}\Gamma \left( B\right)
\]
\[
= 1 + \mathop{\liminf }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{\left( {s - 1}\right) \log {\lambda }_{n}}{\left( {s - 1}\right) \log {\lambda }_{n} + \left( {2 - s}\right) \log {\lambda }_{n + 1}}.
\]
拉德马赫级数的维数 (dimension of Rademach-er function) 拉德马赫级数的两个维数公式. 拉德马赫级数定义为
\[{R}_{\lambda }\left( t\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n \geq 1}}{\lambda }^{n}{R}_{n}\left( t\right) \;\left( {0 < \lambda < 1}\right) ,\]
其中 \( {R}_{n}\left( t\right) = 1 - 2{\varepsilon }_{n}\left( t\right) \) 为 \( n \) 阶拉德马赫函数, \( {\varepsilon }_{n}\left( t\right) \) 为 \( t \in \lbrack 0,1) \) 的 2 进展开的第 \( n \) 位数字:
1. 设 \( {R}_{\lambda }\left( t\right) \) 为拉德马赫函数,有
\[{\dim }_{P}\Gamma \left( {{R}_{\lambda }\left( t\right), I}\right) = {\dim }_{B}\Gamma \left( {{R}_{\lambda }\left( t\right), I}\right) = 2 - s.\]
2. 设 \( {R}_{a}\left( t\right) \) 的占有密度 \( {\alpha }_{{R}_{\lambda }}\left( x\right) \) 存在,且对任意 \( x \) \( \in I,{\alpha }_{{R}_{\lambda }}\left( x\right) \leq c \) ,则 \( {\dim }_{H}\Gamma \left( {{R}_{\lambda }\left( t\right), I}\right) = 2 - s \) .
这里占有密度定义为: 设 \( f \) 是区间 \( I \) 上的波莱尔可测函数, \( E \) 是 \( \mathrm{R} \) 上的波莱尔集,令
\[{\mu }_{f}\left( E\right) = \mathcal{L}\{ t \in I, f\left( t\right) \in E\} ,\]
若 \( {\mu }_{f} \) 对勒贝格测度绝对连续,则由拉东-尼古丁定理,存在波莱尔可测函数 \( {\alpha }_{f}\left( x\right) \) ,使得
\[{\mu }_{f}\left( E\right) = {\int }_{E}{\alpha }_{f}\left( x\right) \mathrm{d}x,\]
\( {\alpha }_{f}\left( x\right) \) 称为由 \( {\mu }_{f} \) 诱导的占有密度.
占有密度 (occupancy density) 见 “拉德马赫尔级数的维数”.
切饼集 (cookie-cutter sets) 一类常见的分形集. 设 \( I = \left\lbrack {0,1}\right\rbrack ,0 < {t}_{0} < {t}_{1} < 1 \) . 映射
\[s : \left\lbrack {0,{t}_{0}}\right\rbrack \cup \left\lbrack {{t}_{1},1}\right\rbrack \rightarrow I\]
称为切饼映射, 如果它满足以下性质:
\( {\left. 1.S\right| }_{\left\lbrack 0,{t}_{0}\right\rbrack } \) 及 \( {\left. S\right| }_{\left\lbrack {t}_{1},1\right\rbrack } \) 分别是 \( \left\lbrack {0,{t}_{1}}\right\rbrack \) 与 \( \left\lbrack {{t}_{2},1}\right\rbrack \) 至 \( I \) 的单、满射.
2. 存在常数 \( \gamma > 0, c > 0 \) ,使得
\[\left| {{DS}\left( x\right) - {DS}\left( y\right) }\right| \leq c{\left| x - y\right| }^{\gamma },\]
即 \( {DS} \) 是 \( \gamma \) 阶赫尔德映射,并且
\[\mathop{\inf }\limits_{{x \in \left\lbrack {0,{t}_{0}}\right\rbrack \cup \left\lbrack {{t}_{1},1}\right\rbrack }}\left| {{DS}\left( x\right) }\right| > 1,\] 其中 \( {DS}\left( x\right) \) 表示 \( S \) 在点 \( x \) 的微分,
\[
x \in \left\lbrack {0,{t}_{0}}\right\rbrack \cup \left\lbrack {{t}_{1},1}\right\rbrack \text{.}
\]
相对于映射 \( S \) 的切饼集定义为
\[
C = \left\{ {x \in \left\lbrack {0,{t}_{0}}\right\rbrack \cup \left\lbrack {{t}_{1},1}\right\rbrack ;{S}^{n}\left( x\right) \in \left\lbrack {0,{t}_{0}}\right\rbrack }\right.
\]
\[
\bigcup \left\lbrack {{t}_{1},1}\right\rbrack \text{对所有的}n \geq 0\text{成立}\} \text{.}
\]
切饼集的维数的估计涉及现代动力系统的理论与技巧, 特别确定其维数的鲍恩公式涉及到吉布斯测度、熵、压力与变分.
切饼映射 (cookie-cutter mapping) 见 “切饼集”.
测度熵 (theoritical entropy) 分形几何中的一个重要概念. 设 \( \xi = \left\{ {{A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{k}}\right\} \) 为紧度量空间 \( X \) 的一个有限分划,即 \( X = \cup {A}_{j} \) 且 \( {A}_{j} \) 彼此不相交,则分划 \( \xi \) 对于 \( \mu \) 的测度熵定义为
\[
{h}_{\mu }\left( \xi \right) = - \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{k}\mu \left( {A}_{j}\right) \log \mu \left( {A}_{j}\right) .
\]
设 \( \eta = \left\{ {{B}_{1},{B}_{2},\cdots ,{B}_{l}}\right\} \) 为 \( X \) 的另一分划,令
\[
\xi \vee \eta = \left\{ {{A}_{i} \cap {B}_{j} : 1 \leq i, j \leq k}\right\}
\]
为 \( \xi \) 与 \( \eta \) 的加细. 定义 \( \mathop{\bigvee }\limits_{{i = 0}}^{{n - 1}}{T}^{-i}\xi .T \) 对于 \( \xi \) 与 \( \mu \) 的测度熵定义为
\[
{h}_{\mu }\left( {T,\xi }\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n}{h}_{\mu }\left( {\mathop{\bigvee }\limits_{{i = 0}}^{{n - 1}}{T}^{-i}\xi }\right) .
\]
最后, \( T \) 关于 \( \mu \) 的测度熵定义为
\[
{h}_{\mu }\left( T\right) = \mathop{\sup }\limits_{\xi }{h}_{\mu }\left( {T,\xi }\right) ,
\]
其中 \( \xi \) 取遍 \( X \) 的有限分划.
拓扑熵 (topology entropy) 分形几何中的一个重要概念. 设 \( X \) 为紧度量空间, \( T : X \rightarrow X \) 为连续映射. 设 \( \alpha = \left\{ {{A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{n}}\right\} \) 为 \( X \) 的一个有限开覆盖,令 \( N\left( \alpha \right) \) 表示 \( \alpha \) 的所有子覆盖的最小基数,则 \( T \) 对于 \( \alpha \) 的拓扑熵定义为
\[
h\left( {T,\alpha }\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n}\log N\left( {\mathop{\bigvee }\limits_{{i = 0}}^{{n - 1}}{T}^{-i}\alpha }\right) ,
\]
\( T \) 的拓扑熵定义为
\[
H\left( T\right) = \mathop{\sup }\limits_{\alpha }h\left( {T,\alpha }\right) ,
\]
其中 \( \alpha \) 取遍 \( X \) 的有限开覆盖.
压力 (press) 分形几何中的一个重要概念. 设 \( {M}_{T}\left( X\right) \) 为所有的 \( T \) 不变概率测度, \( C\left( X\right) \) 为 \( X \) 上的连续函数的集合. 设 \( f \in C\left( X\right), f \) 的压力 \( P\left( f\right) \) 定义为
\[
P\left( f\right) = \mathop{\sup }\limits_{{\nu \in {M}_{T}\left( r\right) }}\left\{ {{h}_{\nu }\left( T\right) +\int f\mathrm{\;d}\nu }\right\} ,
\]
亦即 \( P\left( f\right) \) 满足上述意义的变分原理.
平衡测度 (equilibrium measure) 分形几何中常用的一种测度. 如果 \( \nu \) 使得上述上确界达到,即
\[
P\left( f\right) = {h}_{\nu }\left( T\right) + \int f\mathrm{\;d}\nu ,
\]
则 \( \nu \) 称为平衡测度.
符号空间 (symbolic space) 分形几何中的一种重要空间. 设 \( m \geq 2 \) 为正整数. \( \Omega \left( { = \Omega \left( m\right) }\right) \) 为 \( m \) 个字母的集合, \( {\Omega }^{ * } \) 为由 \( \Omega \) 中元素组成的长度有限的序列的集合, \( {\Omega }^{\omega } \) 为长度无穷的序列的集合. 设 \( w \in \) \( {\Omega }^{ * } \) ,柱集 \( {\Omega }_{w} \) 表示 \( {\Omega }^{\omega } \) 中前 \( \left| w\right| \) 个字母等于 \( w \) 的元素的集合,其中 \( \left| w\right| \) 表示 \( w \) 的长度 \( (w \) 中含字母的个数),则称 \( {\Omega }^{\omega } \) 为符号空间. 设 \( x = {x}_{1}{x}_{2}\cdots {x}_{n}\cdots \in {\Omega }^{\omega } \) , 令 \( {\Omega }^{n}\left( x\right) \) 表示包含 \( x \) 的长为 \( n \) 的柱集. \( \sigma : {\Omega }^{\omega } \rightarrow {\Omega }^{\omega } \) 称为移位算子,定义为 \( {\left( \sigma \left( x\right) \right) }_{n} = {x}_{n + 1} \) .
吉布斯测度 (Gibbs measure) 一种常用的测度. 设 \( f : \Omega \rightarrow \mathrm{R} \) 为赫尔德连续函数,则存在平衡测度 \( {\nu }_{f} \) ,使得对某一 \( \xi > 0 \) ,任意 \( x \in {\Omega }^{\omega }, n \geq 0 \) ,有
\[
\xi < \frac{{\nu }_{f}\left( {{\Omega }^{n}\left( x\right) }\right) }{\exp \left( {-{nP}\left( f\right) + {S}_{n}f\left( x\right) }\right) } < {\xi }^{-1},
\]
其中 \( P\left( f\right) \) 为 \( f \) 的压力,
\[
{S}_{n}f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{t = 0}}^{{n - 1}}f\left( {{\sigma }^{i}\left( x\right) }\right) .
\]
满足上述条件的测度 \( {\nu }_{f} \) 称为吉布斯测度.
码映射 (coding mapping) 符号空间 \( {\Omega }^{\omega } \) 到切饼集 \( C \) 上的一种映射. 设 \( S \) 是切饼映射, \( C \) 是对应的切饼集,设 \( {\left. S\right| }_{\left\lbrack 0,{t}_{0}\right\rbrack },{\left. S\right| }_{\left\lbrack {t}_{1},1\right\rbrack } \) 的逆映射分别为
\[
{\varphi }_{0} : I \rightarrow \left\lbrack {0,{t}_{0}}\right\rbrack ,{\varphi }_{1} : I \rightarrow \left\lbrack {{t}_{1},1}\right\rbrack .
\]
设 \( x = {x}_{0}{x}_{1}\cdots {x}_{n}\cdots \in {\Omega }^{\omega },\Omega = \{ 0,1\} \) ,码映射 \( \pi : {\Omega }^{\omega } \rightarrow C \) 定义为
\[
\pi \left( \underline{x}\right) = \mathop{\bigcap }\limits_{{n \geq 0}}{\varphi }_{{x}_{0}}{\varphi }_{{x}_{1}}\cdots {\varphi }_{{x}_{n}}\left( I\right) .
\]
切饼集的豪斯多夫维数的鲍恩公式 (Bowen formula of Hausdorff dimension of cookie-cutter sets) 切饼集的豪斯多夫维数的一个公式. 设 \( S \) 是切饼映射, \( C \) 是对应的切饼集. 定义
\[
f : {\Omega }^{\omega } \rightarrow \mathrm{R}, f\left( x\right) = - \log \left| {{DS}\left( {\pi x}\right) }\right| ,
\]
设 \( P\left( f\right) \) 是 \( f \) 的压力,则:
1. \( {\dim }_{H}C = {\dim }_{B} = \widetilde{d},\widetilde{d} \) 是满足 \( P\left( {\widetilde{d}f}\right) = 0 \) 的惟一实数.
2. \( 0 < {\mathcal{X}}^{d}\left( C\right) < \infty \) .
## 测度的分形结构
测度的分形结构 (fractal structure of measures) 分形几何的重要组成部分. 其核心内容是研究一个测度的质量是如何分布的, 支撑它的集合的几何性质如何影响质量的分布以及一个给定的集合能支撑什么样的测度.
测度的豪斯多夫维数 (Hausdorff dimensions of a measure) 测度的一种重要维数. 令 \( {M}^{ + }\left( {\mathrm{R}}^{d}\right) \) 表示 \( {\mathrm{R}}^{d} \) 中的正波莱尔测度, Supp \( \mu \) 表示测度 \( \mu \) 的支集. 设 \( \mu \in {M}^{ + }\left( {\mathrm{R}}^{d}\right) \) ,则 \( \mu \) 的豪斯多夫维数与填充维数分别定义为
\[{\dim }_{H}\mu = \mathop{\inf }\limits_{{E \subset {\mathrm{R}}^{d}}}\left\{ {{\dim }_{H}E \mid \mu \left( E\right) = \mu \left( {\mathrm{R}}^{d}\right) }\right\} \]
与
\[
{\dim }_{P}\mu = \inf \left\{ {{\dim }_{P}E \mid \mu \left( {E}^{c}\right) = 0}\right\} .
\]
测度的填充维数 (packing dimensions of a measure) 见“测度的豪斯多夫维数”.
测度的点态维数 (pointwise dimension of a measure) 测度的一种维数. 设 \( \mu \in {M}^{ + }\left( {\mathrm{R}}^{d |
2000_数学辞海（第3卷） | 219 | 压力,则:
1. \( {\dim }_{H}C = {\dim }_{B} = \widetilde{d},\widetilde{d} \) 是满足 \( P\left( {\widetilde{d}f}\right) = 0 \) 的惟一实数.
2. \( 0 < {\mathcal{X}}^{d}\left( C\right) < \infty \) .
## 测度的分形结构
测度的分形结构 (fractal structure of measures) 分形几何的重要组成部分. 其核心内容是研究一个测度的质量是如何分布的, 支撑它的集合的几何性质如何影响质量的分布以及一个给定的集合能支撑什么样的测度.
测度的豪斯多夫维数 (Hausdorff dimensions of a measure) 测度的一种重要维数. 令 \( {M}^{ + }\left( {\mathrm{R}}^{d}\right) \) 表示 \( {\mathrm{R}}^{d} \) 中的正波莱尔测度, Supp \( \mu \) 表示测度 \( \mu \) 的支集. 设 \( \mu \in {M}^{ + }\left( {\mathrm{R}}^{d}\right) \) ,则 \( \mu \) 的豪斯多夫维数与填充维数分别定义为
\[{\dim }_{H}\mu = \mathop{\inf }\limits_{{E \subset {\mathrm{R}}^{d}}}\left\{ {{\dim }_{H}E \mid \mu \left( E\right) = \mu \left( {\mathrm{R}}^{d}\right) }\right\} \]
与
\[
{\dim }_{P}\mu = \inf \left\{ {{\dim }_{P}E \mid \mu \left( {E}^{c}\right) = 0}\right\} .
\]
测度的填充维数 (packing dimensions of a measure) 见“测度的豪斯多夫维数”.
测度的点态维数 (pointwise dimension of a measure) 测度的一种维数. 设 \( \mu \in {M}^{ + }\left( {\mathrm{R}}^{d}\right), x \in \) \( \operatorname{supp}\left( \mu \right) \) ,则
\[
\underline{D}\left( {\mu, x}\right) = \mathop{\liminf }\limits_{{r \rightarrow 0}}\frac{\log \mu \left( {{B}_{r}\left( x\right) }\right) }{\log r}
\]
称为测度 \( \mu \) 在点 \( x \) 的下点态维数 (或点 \( x \) 的下对数密度,或点 \( x \) 的下李普希茨指数). 而
\[
\bar{D}\left( {\mu, x}\right) = \mathop{\limsup }\limits_{{r \rightarrow 0}}\frac{\log \mu \left( {{B}_{r}\left( x\right) }\right) }{\log r}
\]
称为测度 \( \mu \) 在点 \( x \) 的上点态维数 (或点 \( x \) 的上对数密度,或点 \( x \) 的上李普希茨指数).
测度的点态维数描述了测度支柱中一点附近质量的变化性态, 支撑分形集的测度的变化速度的快、 慢分别与集合的豪斯多夫维数与填充维数相联系.
测度 \( \mu \) 的维数与点态维数的关系. 设 \( E \subset {\mathrm{R}}^{d} \) 为波莱尔集, 则
\[
{\dim }_{H}E = \mathop{\sup }\limits_{{\mu \left( E\right) > 0}}\mathop{\inf }\limits_{{x \in E}}\underline{D}\left( {\mu, x}\right) ,
\]
\[
{\dim }_{P}E = \mathop{\inf }\limits_{{\mu \left( E\right) > 0}}\mathop{\sup }\limits_{{x \in E}}\bar{D}\left( {\mu, x}\right) .
\]
维数与点态维数的关系 (relation between dimension and pointwise dimension) 见 “测度的点态维数”.
测度的奇异指数 (singular exponent of a measure) 测度的一种指数. 其定义如下:
\[
{\operatorname{Ind}}_{S}\mu = \inf \left\{ {\alpha \geq 0 \mid \mu \bot {\mathcal{H}}^{\alpha }}\right\} .
\]
测度的连续指数 (continue exponent of a measure) 测度的一种指数. 其定义如下:
\[
{\operatorname{Ind}}_{C}\mu = \sup \left\{ {\alpha \geq 0 \mid \mu \ll \cdot {\mathcal{C}}^{\alpha }}\right\} .
\]
测度的奇异指数与连续指数反映了支撑分形集的测度与豪斯多夫测度的关系.
测度的谱维数 (spectral dimension of a measure) 测度的一种常用维数. 设 \( \mu \in {M}^{ + }\left( {\mathrm{R}}^{d}\right) \) ,它的 \( \alpha \) 势记为 \( {U}_{\alpha }^{\mu } \) ,则 \( \mu \) 的上、下谱维数定义为:
\( \dim \cdot \mu = \inf \left\{ {\alpha \geq 0 \mid {U}_{\alpha }^{\mu }\left( x\right) = \infty ,\mu \text{-a. e. }}\right\} ; \)
\( \dim .\mu = \sup \left\{ {\alpha \geq 0 \mid {U}_{\alpha }^{\mu }\left( x\right) < \infty ,\mu \text{-a. e. }}\right\} . \)
测度的谱维数反映测度的位势敛、散的临界指数.
测度的对数密度指数为
\[
{\dim }_{D}^{ * }\mu = \inf \{ \alpha \geq 0 \mid \underline{D}\left( {\mu, x}\right) \leq \alpha ,\mu - a.e.\} ;
\]
\[
{\dim }_{*D}\mu = \sup \{ \alpha \geq 0 \mid \underline{D}\left( {\mu, x}\right) \geq \alpha ,\mu - a.e.\} .
\]
尽管上述指数从不同的角度描述测度的性质, 但它们之间有密切的关系. 各类指数间的关系如下: 设 \( \mu \in {M}^{ + }\left( {\mathrm{R}}^{d}\right) \) ,则
\[
{\dim }^{ * }\mu = {\dim }_{H}\mu = {\operatorname{Ind}}_{s}\mu = {\dim }_{D}^{ * }\mu ,
\]
\[
\dim ,\mu = {\operatorname{Ind}}_{c}\mu = {\dim }_{*D}\mu ,
\]
\[
{\dim }_{ * }\mu \leq {\dim }^{ * }\mu
\]
自相似测度 (self-similar measure) 一类典型而重要的分形测度. 设 \( E \) 压缩比为 \( {c}_{1},{c}_{2},\cdots ,{c}_{m} \) 的相似压缩族 \( {S}_{1},{S}_{2},\cdots ,{S}_{m} \) 生成的自相似集. 若
\[
\mathrm{p} = \left( {{p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{m}}\right)
\]
为一概率向量,即 \( {p}_{i} > 0,\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{p}_{i} = 1 \) . 视 \( \mathrm{p} \) 为符号集 \( \Omega = \{ 1,2,\cdots, m\} \) 上的概率测度,满足 \( \mathrm{p}\left( i\right) = {p}_{i},\tau \) 为由 \( \mathrm{p} \) 诱导的符号空间 \( {\Omega }^{\infty } \) 上的乘积测度. 则存在惟一的 \( \mu \in {M}_{1}^{ + }\left( {\mathrm{R}}^{d}\right) \) 满足:
\[
\text{1.}\mu = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{p}_{i}\mu \circ {S}_{i}^{-1}\text{.}
\]
2. \( \operatorname{supp}\mu = E \) ,其中 \( \operatorname{supp}\mu \) 为 \( \mu \) 的支集,
上述测度 \( \mu \) 称为由相似压缩族 \( {S}_{1},{S}_{2},\cdots ,{S}_{m} \) 概率向量 \( \left( {{p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{m}}\right) \) 定义的自相似测度.
自相似测度由哈钦生 (Hutchinson, J. E. ) 于 1981 年引入. 它是目前了解得最深入的一种分形测度.
康托尔测度 (Cantor measure) 一种重要的自相似测度. 取
\[
p = \left( {\frac{1}{2},\frac{1}{2}}\right) ,{S}_{1}\left( x\right) = \frac{x}{3},{S}_{2}\left( x\right) = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}
\]
所得到的自相似测度称为康托尔测度.
自相似测度的维数 (dimension of self-similar measure) 自相似测度的一个维数公式. 设 \( \mu \) 是由相似压缩族 \( {S}_{1},{S}_{2},\cdots ,{S}_{m} \) 与概率向量 \( \left( {{p}_{1},{p}_{2},\cdots }\right. \) , \( \left. {p}_{m}\right) \) 定义的自相似测度. 设 \( {S}_{1},{S}_{2},\cdots ,{S}_{m} \) 满足开集条件, 则
\[
{\dim }_{H}\mu = \alpha = \frac{\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{p}_{i}\log {p}_{i}}{\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{p}_{i}\log {c}_{i}}.
\]
测度的 \( {\mathbf{L}}^{P} \) 维数 ( \( {L}_{p} \) dimension of a measure) 测度 \( \mu \) 的一种维数. 设 \( r > 0,{I}_{k}\left( r\right) \) 为 \( r \) 网中的立方体, \( k = \left( {{k}_{1},{k}_{2},\cdots ,{k}_{d}}\right) \in {\mathrm{Z}}^{d} \) . 若
\[\mu \in {M}^{ + }\left( {\mathrm{R}}^{d}\right) ,1 < p < \infty ,\]
令
\[{\bar{D}}_{p}\mu = \mathop{\limsup }\limits_{{r \rightarrow 0}}\frac{\log \sum {\left( \mu \left( {I}_{k}\left( r\right) \right) \right) }^{p}}{\left( {p - 1}\right) \log r},\]
\[{\underline{D}}_{p}\mu = \mathop{\liminf }\limits_{{r \rightarrow 0}}\frac{\log \sum {\left( \mu \left( {I}_{k}\left( r\right) \right) \right) }^{p}}{\left( {p - 1}\right) \log r},\]
则 \( {\bar{D}}_{p}\left( \mu \right) ,{\underline{D}}_{p}\left( \mu \right) \) 分别称为测度 \( \mu \) 的上、下 \( {L}^{p} \) 维数. 若 \( {\bar{D}}_{p}\left( \mu \right) = {\underline{D}}_{p}\left( \mu \right) \) ,则记其公共值为 \( {D}_{p}\left( \mu \right) \) ,称为 \( \mu \) 的 \( {L}^{p} \) 维数.
设 \( \left\{ {A}_{k}\right\} \) 是 \( {\mathrm{R}}^{d} \) 的任一个分划, \( \sup \left| {A}_{k}\right| \leq r \) ,则上述定义中的和式可以由 \( \sup \sum \mu {\left( {A}_{k}\right) }^{p} \) 代替.
测度的 \( {\mathbf{L}}^{\infty } \) 维数 ( \( {L}^{\infty } \) dimension of a measure) 测度 \( \mu \) 的一种维数. 设 \( \mu \in {M}^{ + }\left( {\mathrm{R}}^{d}\right) \) ,则 \( \mu \) 的上、下 \( {L}^{\infty } \) 维数定义为
\[
{\bar{D}}_{\infty }\mu = \mathop{\limsup }\limits_{{r \rightarrow 0}}\frac{\log \sup \mu \left( {{I}_{k}\left( r\right) }\right) }{\log r},
\]
\[
\log \sup \mu \left( {{I}_{k}\left( r\right) }\right)
\]
\[
{\underline{D}}_{\infty }\mu = \mathop{\liminf }\limits_{{r \rightarrow 0}}\frac{\mathop{\operatorname{osc}}\limits_{{k \in {z}^{d}}}F/F\left( {z, r}\right) }{\log r}.
\]
测度的熵维数 (entropy dimension of a measure) 测度 \( \mu \) 的一种维数. 设 \( \mu \in {M}^{ + }\left( {\mathrm{R}}^{d}\right) \) ,定义
\[
{\bar{D}}_{1}\mu = \mathop{\limsup }\limits_{{r \rightarrow 0}}\frac{\log \sum \mu \left( {{I}_{k}\left( r\right) }\right) \log \mu \left( {{I}_{k}\left( r\right) }\right) }{\log r},
\]
\[
{\underline{D}}_{1}\mu = \mathop{\liminf }\limits_{{r \rightarrow 0}}\frac{\log \sum \mu \left( {{I}_{k}\left( r\right) }\right) \log \mu \left( {{I}_{k}\left( r\right) }\right) }{\log r}.
\]
\( {\bar{D}}_{1}\mu ,{\underline{D}}_{1}\mu \) 亦称为 \( \mu \) 的上、下熵维数,当此二维数相等时,称上述公共值为 \( \mu \) 的熵维数,并记为 \( {D}_{1}\mu \) ,形式上可看做 \( {D}_{p}\mu \) 在 \( p \rightarrow 1 \) 时的极限.
测度的 \( {L}^{p} \) 维数的关系 (relation between \( {L}^{p} \) dimensions of measures) 测度 \( \mu \) 的几种维数之间的关系. 设 \( \mu \in {M}^{ + }\left( {\mathrm{R}}^{d}\right) \) ,则对任意 \( 1 < p \leq \infty \) 时,其维数关系如下:
1. \( \frac{p - 1}{p}{\bar{D}}_{p}\mu \) 与 \( \frac{p - 1}{p}{\underline{D}}_{p}\mu \) 是 \( \mu \) 的增函数.
\[
\text{2.}\mathop{\lim }\limits_{{p \rightarrow \infty }}{\bar{D}}_{p}\mu \leq {\bar{D}}_{\infty }\mu \leq \mathop{\inf }\limits_{{x \in {\mathrm{R}}^{d}}}\bar{D}\left( {\mu, x}\right) \text{;}
\]
\[
\mathop{\lim }\limits_{{p \rightarrow \infty }}{\underline{D}}_{p}\mu \leq {\underline{D}}_{\infty }\mu \leq \mathop{\inf }\limits_{{x \in {\mathrm{R}}^{d}}}\underline{D}\left( {\mu, x}\right) .
\]
测度的截集 (level sets of a measure) 波莱尔概率测度的一种截集. 设 \( \mu \) 是 \( I = \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上的波莱尔概率测度. 设 \( c \geq 2 \) 为正整数, \( {\left\{ {I}_{n, j}\right\} }_{0 \leq j < {c}^{n}} \) 为 \( n \) 阶 \( c \) 进区间族, \( {I}_{n}\left( x\right) \) 为包含点 \( x \) 的 \( n \) 阶区间. 设 \( \alpha \leq 0 \) ,定义
\[
{E}_{\alpha } = \left\{ {x \in I\left| {\;\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{\log \mu \left( {{I}_{n}\left( x\right) }\right) }{\log \left| {I}_{n}\right| } = \alpha }\right. }\right\} .
\]
\( {E}_{\alpha } \) 称为测度 \( \mu \) 的 \( \alpha \) 截集. 令 \( f\left( \alpha \right) = {\dim }_{H}{E}_{\alpha } \) ,称为 \( \mu \) 的 \( f\left( \alpha \right) \) 谱.
热力学极限 (thermodynamic limit) 与测度 \( \mu \) 相关的一种极限. 设 \( \alpha > 0, q \in \mathrm{R}, n \geq 1 \) ,定义
\[
{S}_{n}\left( q\right) = \mathop{\sum }\limits_{{0 \leq j < {c}^{n}}}^{\prime }\mu {\left( {I}_{n, j}\right) }^{q},
\]
其中撇号表示对所有 \( \mu \left( {I}_{n, j}\right) \neq 0 \) 的 \( n \) 阶 \( c \) 进区间求和,
\[
{\tau }_{n}\left( q\right) = - \frac{1}{n}{\log }_{c}{S}_{n}\left( q\right) ,
\]
\[
\tau \left( q\right) = \mathop{\liminf }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\tau }_{n}\left( q\right) ,
\]
\( \tau \) 为结合 \( \mu \) 的热力学极限.
勒让德变换 (Legendre transform) 与热力学极限 \( \tau \) 相关联的一种变换. 令
\[
{\tau }^{ * }\left( \alpha \right) = \mathop{\inf }\limits_{{q \in \mathrm{R}}}\left( {{q\alpha } - \tau \left( q\right) }\right) ,
\]
\( {\tau }^{ * } \) 称为 \( \tau \) 的勒让德变换.
测度的重分形分析 (multifractal analysis of a measure) 分析测度 \( \mu \) 的性质的一种重要方法. 测度 \( \mu \) 的重分形分析是讨论 \( \tau ,{\tau }^{ * }, f,{\dim }_{H}{E}_{a},{\dim }_{P}{E}_{a} \) 之间关系的一种分析方法.
重分形机理 (thermodynamic formalism) 重分形分析中的一个重要概念. 如果对 \( \alpha \) 有
\[
{\dim }_{H}{E}_{\alpha } = f\left( \alpha \right) = {\tau }^{ * }\left( \alpha \right) ,
\]
则称测度 \( \mu \) 对于 \( \alpha \) 满足重分形机理. 重分形分析的重要目的之一是研究什么样的测度满足重分形机理. 下面是满足重分形机理的一个例子. 设 \( q \in \mathrm{R} \) . 假定 \( \alpha = {\tau }^{\prime }\l |
2000_数学辞海（第3卷） | 220 | ight) \neq 0 \) 的 \( n \) 阶 \( c \) 进区间求和,
\[
{\tau }_{n}\left( q\right) = - \frac{1}{n}{\log }_{c}{S}_{n}\left( q\right) ,
\]
\[
\tau \left( q\right) = \mathop{\liminf }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\tau }_{n}\left( q\right) ,
\]
\( \tau \) 为结合 \( \mu \) 的热力学极限.
勒让德变换 (Legendre transform) 与热力学极限 \( \tau \) 相关联的一种变换. 令
\[
{\tau }^{ * }\left( \alpha \right) = \mathop{\inf }\limits_{{q \in \mathrm{R}}}\left( {{q\alpha } - \tau \left( q\right) }\right) ,
\]
\( {\tau }^{ * } \) 称为 \( \tau \) 的勒让德变换.
测度的重分形分析 (multifractal analysis of a measure) 分析测度 \( \mu \) 的性质的一种重要方法. 测度 \( \mu \) 的重分形分析是讨论 \( \tau ,{\tau }^{ * }, f,{\dim }_{H}{E}_{a},{\dim }_{P}{E}_{a} \) 之间关系的一种分析方法.
重分形机理 (thermodynamic formalism) 重分形分析中的一个重要概念. 如果对 \( \alpha \) 有
\[
{\dim }_{H}{E}_{\alpha } = f\left( \alpha \right) = {\tau }^{ * }\left( \alpha \right) ,
\]
则称测度 \( \mu \) 对于 \( \alpha \) 满足重分形机理. 重分形分析的重要目的之一是研究什么样的测度满足重分形机理. 下面是满足重分形机理的一个例子. 设 \( q \in \mathrm{R} \) . 假定 \( \alpha = {\tau }^{\prime }\left( q\right) \) 存在并且存在概率测度 \( \nu \) 以及趋于零的正数序列 \( \left\{ {h}_{n}\right\} \) ,使得对任意区间 \( {I}_{n, j} \) ,
\[
\mu {\left( {I}_{n, j}\right) }^{q}{c}^{n\left( {\mathrm{r}\left( q\right) - {h}_{n}}\right) } \leq \nu \left( {I}_{n, j}\right) \leq \mu {\left( {I}_{n, j}\right) }^{q}{c}^{n\left( {\mathrm{r}\left( q\right) + {hn}}\right) },
\]
则
\[
\dim {H}^{{E}_{\alpha }} = {\dim }_{p}{E}_{\alpha } = {\tau }^{ * }\left( \alpha \right) .
\]
满足上述条件的测度 \( \nu \) 为吉布斯测度.
基本不等式 (fundamental inequality) 重分形分析中一个重要的不等式. 对任意 \( \alpha > 0 \) 有
\[
{\dim }_{P}{E}_{\alpha } \leq f\left( \alpha \right) \leq {\tau }^{ * }\left( \alpha \right) .
\]
二项测度 (binomial measure) 一种重要的概率测度. 设 \( p = \left( {{p}_{0},{p}_{1}}\right) \) 为概率向量,
\[{p}_{0} > 0,{p}_{1} > 0,{p}_{1} + {p}_{2} = 1\text{.}\]
令 \( {I}_{{\varepsilon }_{1},{\varepsilon }_{2},\cdots ,{\varepsilon }_{n}} \) 表示 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 区间的 \( n \) 阶 2 进区间: 若 \( {\varepsilon }_{j} = \) 0,则表示取它的 \( j - 1 \) 阶母区间的左半部分; 若 \( {\varepsilon }_{j} = \) 1,则表示取上述区间的右半部分. 设 \( {\mu }_{\mathrm{p}} \) 是 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上的满足
\[{\mu }_{\mathrm{p}}\left( {I}_{{\varepsilon }_{1}{\varepsilon }_{2}\cdots {\varepsilon }_{n}}\right) = \mathop{\prod }\limits_{{1 \leq j \leq n}}{p}_{{\varepsilon }_{j}}\]
的惟一的概率测度. 测度 \( {\mu }_{\mathrm{p}} \) 称为二项测度. 对所有的 \( \alpha ,{\mu }_{\rho } \) 满足重分形机理.
撰 稿 丰德军 文志英 苏维宜
审 阅 苏维宜 徐利治
## 常微分方程
常微分方程 (ordinary differential equation) 含有一个自变量和未知函数及其导数的方程式称为常微分方程, 简称微分方程. 常微分方程理论研究已有 300 多年的历史, 它是近代数学中古老的重要分支; 同时, 由于它与实际问题有着密切的联系, 因此, 它又是近代数学中富有生命力的分支之一. 早在 17 世纪, 牛顿在创立经典动力学的同时也创立了微积分, 尔后微分方程就成为定量描述各种形态的物质运动 (如机械运动、流体和大气运动、热和电磁运动等) 的运动机理的基本语言和运算手段, 是现代力学和物理科学不可缺少的数学工具.
如果 \( y \) 表示自变量 \( x \) 的函数,则关于未知函数 \( y \) 的常微分方程一般形式可表示为
\[
F\left( {x;y,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x},\cdots ,\frac{{\mathrm{d}}^{n}y}{\mathrm{\;d}{x}^{n}}}\right) = 0,
\]
式中 \( F \) 是 \( n + 2 \) 个自变量的函数, \( n \) 为正整数, \( F \) 中所包含的导数的最高阶数 \( n \) ,称为该方程的阶数. 由若干常微分方程所构成的方程组, 称为常微分方程组. 其一般形式可表示为
\[
{F}_{j}\left( {x;{y}_{1},{y}_{2},\cdots {y}_{m};\frac{\mathrm{d}{y}_{1}}{\mathrm{\;d}x},\cdots ,\frac{{\mathrm{d}}^{{n}_{1}}{y}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{d}{x}^{{n}_{1}}},\cdots ,\frac{\mathrm{d}{y}_{m}}{\mathrm{\;d}x},\cdots ,\frac{{\mathrm{d}}^{{n}_{m}}{y}_{m}}{\mathrm{\;d}{x}^{{n}_{m}}}}\right) = 0
\]
\[
\left( {j = 1,2,\cdots, m}\right) \text{,}
\]
其中 \( {n}_{1},{n}_{2},\cdots ,{n}_{m} \) 分别是未知函数 \( {y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{m} \) 的导数的最高阶数. 如果函数 \( F\left( {F}_{j}\right) \) 关于所有未知函数及其各阶导数都是线性的, 则称为线性常微分方程 (组); 否则, 称为非线性方程 (组).
如果常微分方程能表示成如下形式
\[
\frac{{\mathrm{d}}^{n}y}{\mathrm{\;d}{x}^{n}} = f\left( {x;y,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x},\cdots ,\frac{{\mathrm{d}}^{n - 1}y}{\mathrm{\;d}{x}^{n - 1}}}\right) ,
\]
(1)
式中 \( f \) 是 \( n + 1 \) 个自变量的函数,则称这类常微分方程为正规型的. 任一上述正规型常微分方程与微分方程组
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = {y}_{1},\frac{\mathrm{d}{y}_{1}}{\mathrm{\;d}x} = {y}_{2},\cdots ,\frac{\mathrm{d}{y}_{n - 1}}{\mathrm{\;d}x} = {y}_{n - 1},
\]
\[
\frac{\mathrm{d}{y}_{n - 1}}{\mathrm{\;d}x} = f\left( {x;y,{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n - 1}}\right)
\]
是等价的.
满足常微分方程的函数称为常微分方程的解. 常微分方程理论, 就是研究常微分方程 (组) 在什么条件下有解, 即解的存在性问题; 和有多少个解, 即解的惟一性问题, 以及解的各种性质和求解方法等. 此外, 还要应用常微分方程来描述和解释自然现象, 把它们用于各门科学和工程技术.
常微分方程理论的形成与发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学和技术的发展密切相关并彼此促进和推动的. 数学的其他分支的新发展, 如代数、函数论、李群、拓扑学等都给常微分方程的发展以深刻的影响. 目前计算机科学的高速发展, 为常微分方程理论与应用的发展, 也提供了很重要的条件.
早在 18 世纪, 常微分方程发展的古典时期, 由于力学、物理学、几何学等的需要, 数学家曾把注意力主要集中在求可用初等函数表示的通解上. 亦即对于方程 (1) 求含有 \( n \) 个任意常数 \( {c}_{1},{c}_{2},\cdots ,{c}_{n} \) 的形如 \( y = y\left( {x;{c}_{1},{c}_{2},\cdots ,{c}_{n}}\right) \) 的解上. 在这个阶段,主要有莱布尼茨 (Leibniz, G. W. )、约翰第一・伯努利 (Bernoulli, Johann, I ) 和欧拉 (Euler, L. ) 等人的工作. 他们得到了关于齐次方程、线性方程和伯努利方程的通解求法. 但后来人们发现, 绝大多数微分方程都求不出通解. 特别是刘维尔 (Liouville, J. ) 于 1841 年证明了这样一个事实, 即黎卡提方程
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = {y}^{2} + {x}^{m}
\]
除了某些 \( m \) 的特殊值外,其通解不可能用初等函数和初等函数的积分表示. 当然, 对于一般的非线性方程更是如此. 这样人们开始改变了原来的想法, 不局限于求用初等函数表示的解, 而去求它的近似解或者去研究满足这些条件的解的性质. 近代电子计算机出现以后, 微分方程数值解法发展成近代计算数学中的一个重要分支.
19 世纪中叶以后, 数学分析理论发生了重大的飞跃, 在这个时期, 柯西 (Cauchy, A.-L. ) 等人建立了严格的数学分析的基础, 将新的概念和方法应用于常微分方程, 并由实数域扩展到复数域进行研究, 严格地建立了解的存在惟一性理论, 为常微分方程理论的深入研究奠定了坚实的基础. 这个时期柯西等数学家研究了对特定初始值求相应解的问题. 这类定解问题称为微分方程的柯西问题, 通称初值问题. 这个时期, 由于提出热传导和弦振动等数理方程的定解问题, 因而就出现了由斯图姆 (Sturm, J. C. - F. ) 和刘维尔等开创的微分方程边值问题与特征值问题的研究领域.
19 世纪末到 20 世纪初, 庞加莱 (Poincaré, (J. -)H. ) 和李亚普诺夫 (Jlanyhob, A. M. ) 开创了常微分方程定性理论与稳定性理论, 这些工作代表了当时非线性力学的最新方法. 此后, 由于组合拓扑的发展, 常微分方程开始转向了大范围方向的研究. 在定性理论研究中, 奇点附近积分曲线分布、极限环 (即孤立周期解)、奇点的大范围分布、环面上的积分曲线, 以及三维空间周期解附近积分曲线的分布等问题的研究得到了极大的发展. 这一时期, 对空间曲线性质的研究, 特别是 “三体问题”的研究促使伯克霍夫 (Birkhoff, G. D. ) 于 1927 年开创了动力系统这一新的分支, 把常微分方程研究提高到了新水平.
这一时期常微分方程解析理论也得到了充分的发展. 柯西指出, 在一定条件下, 微分方程的解是解析函数, 可以用通常的复变函数论方法来研究这种解的性质, 从而开辟了微分方程解析理论. 后来布里奥 (Briot, C. A. A. ) 、布凯 (Bouquet, J. -C. ) 和富克斯 (Fuchs, I. L. ) 等人完成了许多很有价值的工作. 这一时期微分方程摄动理论的创立并发展, 为这一分支的进一步研究奠定了重要的基础.
20 世纪中期以来, 常微分方程无论在理论上还是在应用方面, 都有了长足的发展. 拓扑学、函数论、 泛函分析等学科的发展, 为常微分方程理论和应用的研究提供了新的工具. 定性理论发展到现代微分动力系统理论, 对一些奇异的非线性现象的深入研究做出了贡献. 常微分方程的理论与方法还为泛函微分方程和最优控制理论等的产生与发展提供了基础, 从而大大拓宽了方程的类型和它的研究领域. 在这一时期, 常微分方程理论向高维数、抽象化方向发展, 包括欧氏空间常微分方程向抽象空间常微分方程发展, 由微分方程所定义的动力系统向抽象动力系统发展, 实域定性理论向复域定性理论发展等. 在应用方面, 由于计算机科学的发展, 微分方程数值解、解析理论以及它们在信息科学、机械学、电子学、 生物、经济等许多领域的广泛应用, 使常微分方程的理论与应用研究提高到一个更高的水平.
常微分方程组 (system of differential equation) 见“常微分方程”.
## 常微分方程基础
常微分方程的阶 (order of ordinary differential equation) 常微分方程表征解的自由度的一种本质属性. 对于常微分方程, 其未知函数的最高阶导数的阶数称为该方程的阶. 对于常微分方程组, 如果在方程组中出现的未知函数 \( {y}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \) 的最高阶导数的阶数为 \( {m}_{i} \) ,则称 \( {m}_{i} \) 为方程组关于 \( {y}_{i} \) 的阶, 而称 \( m = {m}_{1} + {m}_{2} + \cdots + {m}_{n} \) 为该常微分方程组的阶.
常微分方程的解 (solution of ordinary differential equation) 常微分方程的基本概念. 满足常微分方程 (组) 的函数 (组) 称为常微分方程 (组) 的解. 如果解以未知函数 (组) 与自变量的隐函数形式给出, 则隐函数形式的解称为常微分方程 (组) 的积分.
常微分方程组的积分 (integral of ordinary differential equation) 见“常微分方程的解”.
常微分方程的通解 (general solution of ordinary differential equation) 常微分方程的基本概念. \( n \) 阶常微分方程 (组) 的含有 \( n \) 个独立的任意常数的解或积分称为通解或通积分. 方程式的不含自由常数的特定解称为特解. 因此, 对通解或通积分中 \( n \) 个任意常数取特定值的解或积分均为特解.
常微分方程的通积分 (general integral of ordinary differential equation) 见 “常微分方程的通解”.
常微分方程的特解 (particular solution of ordinary differential equation) 见“常微分方程的通解”.
常微分方程的方向场 (field of direction of ordinary differential equation) 一阶常微分方程的几何描述. 研究常微分方程
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = f\left( {x, y}\right) ,
\]
(1)
这里 \( f\left( {x, y}\right) \) 是确定于 \( \left( {x, y}\right) \) 平面某一区域 \( G \) 上的函数. 设在 \( G \) 上的每一点 \( \left( {x, y}\right) \) 做一以 \( f\left( {x, y}\right) \) 为斜率的线段,表示 \( G \) 在该点的方向,则得到一个方向场. 求解方程 (1) 的问题可叙述为: 求一光滑曲线 \( y \) \( = \varphi \left( x\right) \) ,使该曲线在每一点的切线方向都与由方程 (1) 确定的方向场的方向一致. 方程 (1) 的解在 \( G \) 上的几何图线称为解曲线. 方程 (1) 如上确定的方向场有两点不足:
## 1. 须将平行于 \( {Oy} \) 轴的方向排除.
2. 解曲线局限于是单值函数的图线, 排除了与某一垂直 \( {Ox} \) 轴的直线有两个或两个以上交点的曲线.
为弥补上述不足, 把一阶微分方程写成
\[
M\left( {x, y}\right) \mathrm{d}x + N\left( {x, y}\right) \mathrm{d}y = 0
\]
(2)
的形式,使得 \( x \) 与 \( y \) 处于对称的地位. 如前述,方程 (1) 及 (2) 确定一个方向场, 于是求解方程 (1) 及 (2) 的问题可叙述为在区域 \( G \) 内求所有的曲线,使曲线上任何一点的方向都由方程 (1) 及 (2) 所确定. 这些曲线称为方程 (1) 及 (2) 的积分曲线, 也就是 (1) 及 (2) 确定的方向场的积分曲线.
类似地可定义常微分方程组的解曲线和积分曲线.
常微分方程的积分曲线 (integral curve of ordinary differential equation) 见 “常微分方程的方向场”.
可分离变量方程 (equation with separable variables）一阶常微分方程中可求出通解表示式的一类. 形如
\[
{g}_{1}\left( x\right) {g}_{2}\left( y\right) \mathrm{d}y = {f}_{1}\left( x\right) {f}_{2}\left( y\right) \mathrm{d}x
\]
(1)
的一阶方程称为可分离变量方程. 当 \( {g}_{1}\left( x\right) {f}_{2}\left( y\right) \neq \) 0 时, (1) 可化为变量分离的方程
\[
\frac{{g}_{2}\left( y\right) }{{f}_{2}\left( y\right) }\mathrm{d}y = \frac{{f}_{1}\left( x\right) }{{g}_{1}\left( x\right) }\mathrm{d}x,
\]
两边分别求积分, 即得通积分
\[
G\left( y\right) = F\left( x\right) + C,
\]
(2)
式中 \( C \) 为任意常数. 这种求解方法称为变量分离法. 如能从 (2) 解出
\[
y = {G}_{1}\left( {x, C}\right) \text{ 或 }x = {F}_{1}\left( {y, C}\right) ,
\]
则得到 (1) 的通解. 还必须补上使 \( {f}_{2}\left( y\right) = 0 \) 的常数解 \( y = {y}_{i} \) 和使 \( {g}_{1}\left( x\right) = 0 \) 的常数解 \( x = {x}_{j} \) .
变量分离法 (separation of variables) 见 “可分离变量方程”.
齐次微分方程 (homogeneous differential equation) 能化为可分离变量方程的一类微分方程. 假设 \( f\left( {x, y}\right) \) 是变元 \( x \) 和 \( y \) 的零次齐次函数,即有恒等式 \( f\left( {{tx},{ty}}\right) = f\left( {x, y}\right) \left( {t \neq 0}\right) \) 成立,则称一阶方程
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = f\left( {x, y}\right)
\]
（1）
为齐次微分方程. 特别地,设 \( t = 1/x \) ,有
\[
f\left( {x, y}\right) = f\left( {1,\frac{y}{x}}\right) .
\]
记
\[
\varphi \left( \frac{y}{x}\right) = f\left( {1,\frac{y}{x}}\right)
\]
则齐次微分方程 (1) 可写为
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = \varphi \left( \frac{y}{x}\right)
\]
(2)
设 \( \varphi \left( u\right) \) 是 \( u \) 的连续函数,做变换 \( u = y/x \) ,得
\[
u + x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{\;d}x} = \varphi \left( u\right) .
\]
当 \( \varphi \left( u\right) - u \neq 0 \) 时,整理可得
\[
\frac{\mathrm{d}u}{\varphi \left( u\right) - u} = \frac{\mathrm{d}x}{x}
\]
两边积分, 有通积分
\[
\int \frac{\mathrm{d}u}{\varphi \left( u\right) - u} = \ln x + C,
\]
（3）
式中 \( u \) 用 \( y/x \) 代换.
当 \( \varphi \left( {u}_{0}\right) - {u}_{0} = 0\left( {u}_{0}\right |
2000_数学辞海（第3卷） | 221 | rential equation) 能化为可分离变量方程的一类微分方程. 假设 \( f\left( {x, y}\right) \) 是变元 \( x \) 和 \( y \) 的零次齐次函数,即有恒等式 \( f\left( {{tx},{ty}}\right) = f\left( {x, y}\right) \left( {t \neq 0}\right) \) 成立,则称一阶方程
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = f\left( {x, y}\right)
\]
（1）
为齐次微分方程. 特别地,设 \( t = 1/x \) ,有
\[
f\left( {x, y}\right) = f\left( {1,\frac{y}{x}}\right) .
\]
记
\[
\varphi \left( \frac{y}{x}\right) = f\left( {1,\frac{y}{x}}\right)
\]
则齐次微分方程 (1) 可写为
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = \varphi \left( \frac{y}{x}\right)
\]
(2)
设 \( \varphi \left( u\right) \) 是 \( u \) 的连续函数,做变换 \( u = y/x \) ,得
\[
u + x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{\;d}x} = \varphi \left( u\right) .
\]
当 \( \varphi \left( u\right) - u \neq 0 \) 时,整理可得
\[
\frac{\mathrm{d}u}{\varphi \left( u\right) - u} = \frac{\mathrm{d}x}{x}
\]
两边积分, 有通积分
\[
\int \frac{\mathrm{d}u}{\varphi \left( u\right) - u} = \ln x + C,
\]
（3）
式中 \( u \) 用 \( y/x \) 代换.
当 \( \varphi \left( {u}_{0}\right) - {u}_{0} = 0\left( {u}_{0}\right. \) 为常数),则方程 (2) 除了有通积分 (3) 外,还有特解 \( y = {u}_{0}x \) .
一阶线性微分方程 (first order linear differential equation) 方程中未知函数及其导数均为一次的一阶常微分方程, 这是最重要而且完全可积分的一类一阶方程. 一阶线性微分方程的一般形式为
\[
{y}^{\prime } + p\left( x\right) y = q\left( x\right) ,
\]
(1)
式中 \( p\left( x\right), q\left( x\right) \) 常假定为连续函数, \( q\left( x\right) ≢ 0 \) 时称 (1) 为非齐次线性微分方程. 而
\[
{y}^{\prime } + p\left( x\right) y = 0
\]
(2)
称为与 (1) 相应的齐次线性微分方程. (2) 有通解
\[
y = C{\mathrm{e}}^{-\int p\left( x\right) \mathrm{d}x},
\]
式中 \( C \) 为任意常数. 方程 (2) 满足初始条件 \( y\left( {x}_{0}\right) = \) \( {y}_{0} \) 的特解为
\[
y = {y}_{0}{\mathrm{e}}^{-{\int }_{{x}_{0}}^{x}p\left( t\right) \mathrm{d}t}.
\]
方程 (1) 的通解为
\[
y = {\mathrm{e}}^{-\int p\left( x\right) \mathrm{d}x}\left( {\int {\mathrm{e}}^{\int p\left( x\right) \mathrm{d}x}q\left( x\right) \mathrm{d}x + {C}_{1}}\right) ,
\]
式中 \( {C}_{1} \) 为任意常数. 方程 (1) 满足初始条件 \( y\left( {x}_{0}\right) = \) \( {y}_{0} \) 的特解为
\[
y = {\mathrm{e}}^{-{\int }_{{x}_{0}}^{x}p\left( t\right) \mathrm{d}t}\left( {{\int }_{{x}_{0}}^{x}{\mathrm{e}}^{{\int }_{{t}_{0}}^{t}p\left( s\right) \mathrm{d}s}q\left( t\right) \mathrm{d}t + {y}_{0}}\right) .
\]
非齐次线性微分方程 (non-homogeneous linear differential equation) 见“一阶线性微分方程”.
齐次线性微分方程 (homogeneous linear differential equation) 见 “一阶线性微分方程”.
常数变易法 (variation of constants) 求解非齐次线性微分方程的有效方法. 考虑一阶线性微分方程
\[{y}^{\prime } + p\left( x\right) y = q\left( x\right) ,\]
(1)
\[{y}^{\prime } + p\left( x\right) y = 0.\]
（2）
用分离变量法可得到 (2) 的通解
\[y = C{\mathrm{e}}^{-\int p\left( x\right) \mathrm{d}x},\]
（3）
式中 \( C \) 是任意常数. 为了求解方程 (1),将 (2) 的通解中的常数 (或参数) \( C \) 视为函数 \( C\left( x\right) \) ,使 (1) 具有如下形式解
\[y = C\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-\int p\left( x\right) \mathrm{d}x}.\]
(4)
将 (4) 式代入 (1) 中,可推得关于 \( C\left( x\right) \) 满足的一阶方程
\[\frac{\mathrm{d}C\left( x\right) }{\mathrm{d}x} = {\mathrm{e}}^{\int p\left( x\right) \mathrm{d}x}q\left( x\right) ,\]
(5)
积分 (5) 式, 得到
\[C\left( x\right) = \int {\mathrm{e}}^{\int p\left( x\right) \mathrm{d}x}q\left( x\right) \mathrm{d}x + {C}_{1}.\]
于是得到 (1) 的通解
\[y = {\mathrm{e}}^{-\int p\left( x\right) \mathrm{d}x}\left( {\int {\mathrm{e}}^{\int p\left( x\right) \mathrm{d}x}q\left( x\right) \mathrm{d}x + {C}_{1}),}\right. \]
式中 \( {C}_{1} \) 为任意常数. 将齐次线性微分方程通解 (3) 中的常数 \( C \) 视为函数而求出非齐次线性微分方程的通解的方法称为常数变易法. 这个方法也适用于求线性方程组及高阶线性方程的通解.
伯努利方程 (Bernoulli Equation) 能化为线性方程的一类微分方程. 形如
\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = P\left( x\right) y + Q\left( x\right) {y}^{\alpha }\]
(1)
的方程称为伯努利方程,其中 \( P\left( x\right), Q\left( x\right) \) 是连续函数, \( \alpha \) 是常数,且 \( \alpha \neq 0,1 \) . 对方程 (1) 做变换 \( z = {y}^{1 - \alpha } \) , 可把 (1) 化为关于 \( z \) 的一阶线性方程
\[
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{\;d}x} = \left( {1 - \alpha }\right) P\left( x\right) z + \left( {1 - \alpha }\right) Q\left( x\right) .
\]
(2)
求出 (2) 的通解,用 \( {y}^{1 - \alpha } \) 代换 \( z \) ,就可得到伯努利方程的通积分. 当 \( \alpha > 0 \) 时,还有解 \( y = 0 \) .
黎卡提方程 (Riccati equation) 最简单的一类非线性方程. 形如
\[
{y}^{\prime } = P\left( x\right) {y}^{2} + Q\left( x\right) y + R\left( x\right)
\]
(1)
的方程称为黎卡提方程. 对 (1) 的特例
\[
{y}^{\prime } = - b{y}^{2} + c{x}^{\alpha },
\]
(2)
刘维尔 (Liouville, J. ) 于 1941 年证明了: 当且仅当
\[
\alpha = 0, - 2,\frac{-{4k}}{{2k} + 1},\frac{-{4k}}{{2k} - 1}\left( {k = 1,2,\cdots }\right)
\]
时, 方程 (2) 才能求得用初等函数及其积分所表示的通解. 刘维尔的工作使得人们的注意力开始转向微分方程解的定性研究、数值计算以及求近似解上.
无论在微分方程的经典理论或在近代科学的有关分支, 黎卡提方程均有重要应用.
全微分方程 (total differential equation) 一类可积分的一阶微分方程. 如果存在一个可微函数 \( U\left( {x, y}\right) \) ,使得
\[
\mathrm{d}U\left( {x, y}\right) = M\left( {x, y}\right) \mathrm{d}x + N\left( {x, y}\right) \mathrm{d}y,
\]
即
\[
\frac{\partial U}{\partial x} = M\left( {x, y}\right) ,\frac{\partial U}{\partial y} = N\left( {x, y}\right) ,
\]
则方程
\[
M\left( {x, y}\right) \mathrm{d}x + N\left( {x, y}\right) \mathrm{d}y = 0
\]
(1)
称为全微分方程或恰当微分方程. (1) 式的左边恰是某个二元函数 \( U\left( {x, y}\right) \) 的全微分,这样,方程 (1) 的通积分为 \( U\left( {x, y}\right) = C.U \) 可沿特殊道路的线积分求得:
\[
U\left( {x, y}\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{x}M\left( {x,{y}_{0}}\right) \mathrm{d}x + {\int }_{{y}_{0}}^{y}N\left( {x, y}\right) \mathrm{d}y = C,
\]
式中 \( \left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \) 为定义域中的定点, \( C \) 为任意常数.
恰当微分方程 (exact differential equation) 见“全微分方程”.
积分因子 (integrating factor) 使得一阶微分方程转化为等价的全微分方程的函数因子. 方程
\[
M\left( {x, y}\right) \mathrm{d}x + N\left( {x, y}\right) \mathrm{d}y = 0,
\]
(1)
若能找到连续可微的函数 \( \mu \left( {x, y}\right) \left( { \neq 0}\right) \) ,使得
\[
\frac{\partial \left( {\mu M}\right) }{\partial y} = \frac{\partial \left( {\mu N}\right) }{\partial x}
\]
即
\[
M\frac{\partial \mu }{\partial y} - N\frac{\partial \mu }{\partial x} = \mu \left( {\frac{\partial N}{x} - \frac{\partial M}{\partial y}}\right) ,
\]
(2)
则方程
\[
{\mu M}\mathrm{\;d}x + {\mu N}\mathrm{\;d}y = 0
\]
(3)
是全微分方程,此时称 \( \mu \left( {x, y}\right) \) 为方程 (1) 的积分因子. 显然,方程 (3) 的通积分 \( U\left( {x, y}\right) = C \) 也是方程 (1) 的通积分 (注意 \( \mu \left( {x, y}\right) \neq 0 \) ). 一般地,求解 \( \mu \left( {x, y}\right) \) 满足的方程 (2) 比求解方程 (1) 还困难,但给人们提供了解方程 (2) 的一个办法.
一阶隐方程 (implicit equation of first order)
未知函数的导数未表为 \( \left( {x, y}\right) \) 的显函数的一类常微分方程. 形如
\[
F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) = 0
\]
(1)
的常微分方程称为一阶隐方程. 若 (1) 可就 \( {y}^{\prime } \) 解得多个一阶方程
\[
{y}^{\prime } = {f}_{i}\left( {x, y}\right) \;\left( {i = 1,2,\cdots, k}\right) ,
\]
(2)
则所解得的方程称为一阶显方程. (2) 的每一方程的通积分设为 \( {G}_{i}\left( {x, y,{C}_{i}}\right) = 0 \) ,则 (2) 的通积分为
\[
\mathop{\prod }\limits_{{i = 1}}^{k}{G}_{i}\left( {x, y,{C}_{i}}\right) = 0.
\]
若已知曲面 \( F\left( {x, y, p}\right) = 0\left( {p = {y}^{\prime }}\right) \) 的参数表示式: \( x = f\left( {u, v}\right), y = g\left( {u, v}\right), p = h\left( {u, v}\right) \) ,则方程 (1) 等价于 \( x = f\left( {u, v}\right), y = g\left( {u, v}\right) ,{y}^{\prime } = h\left( {u, v}\right) \) . 由此得到 \( u, v \) 的一阶显方程
\[
\left( {\frac{\partial g}{\partial u} - h\frac{\partial f}{\partial u}}\right) \mathrm{d}u + \left( {\frac{\partial g}{\partial v} - h\frac{\partial f}{\partial v}}\right) \mathrm{d}v = 0.
\]
（3）
若 \( w\left( {u, v, C}\right) = 0 \) 是 (3) 的通积分,则 \( x = f\left( {u, v}\right), y \) \( = g\left( {u, v}\right), w\left( {u, v, C}\right) = 0 \) 是 (1) 的通积分. 这种求解方法称为引入参数法.
一阶显方程 (explicit equation of first order) 见“一阶隐方程”.
引入参数法 (method of parameter) 见“一阶隐方程”.
常微分方程的奇解 (singular solution of ordinary differential equation) 一阶隐方程的包络解. 奇解是在其上的每一点微分方程解的惟一性都不成立的解. 或者说, 奇解对应的曲线上每一点至少有两条积分曲线通过. 一般地, 奇解也是一阶隐方程通积分的包络. 方程
\[F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) = 0\]
(1)
的奇解必定包含在由方程组
\[\left\{ \begin{array}{l} F\left( {x, y, p}\right) = 0, \\ {F}_{p}^{\prime }\left( {x, y, p}\right) = 0 \end{array}\right. \]
(2)
消去 \( p \) 而得到的曲线中,这里 \( F\left( {x, y, p}\right) \) 是 \( x, y, p \) 的连续可微函数. 由方程 (2) 决定的曲线称为方程 (1) 的 \( p \) 判别曲线. \( p \) 判别曲线或其分支不一定都是奇解, 有的是解 (不破坏惟一性), 有的不是解. 利用 \( p \) 判别曲线可以得到求奇解的途径.
克莱罗方程 (Clairaut equation) 一类通解有包络结构的特殊的一阶微分方程. 形如
\[y = x{y}^{\prime } + \varphi \left( {y}^{\prime }\right) \]
（1）
的方程称为克莱罗方程,其中 \( \varphi \) 是连续可微函数. 为求解,将方程 (1) 两边对 \( x \) 求导,以 \( {y}^{\prime } = p \) 代入,整理可得
\[
\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{\;d}x}\left( {x + {\varphi }^{\prime }\left( p\right) }\right) = 0.
\]
若 \( \mathrm{d}p/\mathrm{d}x = 0 \) ,得 \( p = c \) ,代入 (1) 得到 (1) 的通解
\[
y = {cx} + \varphi \left( c\right) ,
\]
（2）
式中 \( c \) 为任意常数,(2) 式即通解表示一族直线. 若将 \( x + {\varphi }^{\prime }\left( p\right) = 0 \) 与 (1) 联立,得
\[
\left\{ \begin{array}{l} x + {\varphi }^{\prime }\left( p\right) = 0, \\ y = {xp} + \varphi \left( p\right) . \end{array}\right.
\]
(3)
消去 \( p \) 得到 (1) 的一个解,此解是方程 (1) 的通解 (一族直线) (2) 的包络, 破坏惟一性, 故是奇解.
高阶微分方程 (differential equation of higher order) 含有未知函数的导数高于一阶的微分方程. 形如
\[
F\left( {x, y,{y}^{\prime },\cdots ,{y}^{\left( n\right) }}\right) = 0\;\left( {n > 1}\right)
\]
(1)
的方程称为高阶微分方程,式中 \( F \) 是所有变元的连续函数. 求解方程 (1) 的重要的方法就是降阶法.
微分方程组的首次积分 (first integral of differential equation system) 微分方程组的解所遵从的关系式. 如果以方程组
\[
\frac{\mathrm{d}{y}_{i}}{\mathrm{\;d}x} = {f}_{i}\left( {x,{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}}\right) \;\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right)
\]
(1)
的任何一个解 \( {y}_{1}\left( x\right) ,{y}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{y}_{n}\left( x\right) \) 代入连续可微函数 \( \Phi \left( {x,{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}}\right) \) ,使得
\[
\Phi \left( {x,{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}}\right) = C,
\]
(2)
其中常数 \( C \) 一般与所取解有关,则 (2) 称为方程组 (1) 的 (一个) 首次积分, 或称第一积分. 例如, 能量守恒公式就是保守系统动力学方程的首次积分.
如果能够求得 \( n \) 个独立的首次积分,那么,它们合在一起就构成方程组 (1) 的通积分. 如果能够求得 \( k \) 个独立的首次积分,那么,就可利用它们将 (1) 降为 \( n - k \) 阶的方程组.
## 线性常微分方程
线性常微分方程 (linear ordinary differential equation) 理论结构最完整且具有广泛应用的一类常微分方程. 方程中出现的未知函数及其各阶导数都是一次的, 则称该常微分方程为线性常微分方程. 线性常微分方程具有完整的构造性质, 在实际问题中有广泛的和重要的应用.
\( \mathbf{n} \) 阶线性常微分方程 (linear differential equation of \( n \) -th order) 未知函数导数最高阶数为 \( n \) 的线性常微分方程. 如果方程
\[
F\left( {x, y,{y}^{\prime },\cdots ,{y}^{\left( n\right) }}\right) = 0
\]
(1)
的左端函数 \( F \) 包含的未知函数及其各阶导数都是一次的,则称方程 (1) 为 \( n \) 阶线性 (常微分) 方程,它的一般形式可表为
\[
\frac{{\mathrm{d}}^{n}y}{\mathrm{\;d}{x}^{n}} + {a}_{1}\left( x\right) \frac{{\mathrm{d}}^{n - 1}y}{\mathrm{\;d}{x}^{n - 1}} + \cdots |
2000_数学辞海（第3卷） | 222 | y}_{1}\left( x\right) ,{y}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{y}_{n}\left( x\right) \) 代入连续可微函数 \( \Phi \left( {x,{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}}\right) \) ,使得
\[
\Phi \left( {x,{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}}\right) = C,
\]
(2)
其中常数 \( C \) 一般与所取解有关,则 (2) 称为方程组 (1) 的 (一个) 首次积分, 或称第一积分. 例如, 能量守恒公式就是保守系统动力学方程的首次积分.
如果能够求得 \( n \) 个独立的首次积分,那么,它们合在一起就构成方程组 (1) 的通积分. 如果能够求得 \( k \) 个独立的首次积分,那么,就可利用它们将 (1) 降为 \( n - k \) 阶的方程组.
## 线性常微分方程
线性常微分方程 (linear ordinary differential equation) 理论结构最完整且具有广泛应用的一类常微分方程. 方程中出现的未知函数及其各阶导数都是一次的, 则称该常微分方程为线性常微分方程. 线性常微分方程具有完整的构造性质, 在实际问题中有广泛的和重要的应用.
\( \mathbf{n} \) 阶线性常微分方程 (linear differential equation of \( n \) -th order) 未知函数导数最高阶数为 \( n \) 的线性常微分方程. 如果方程
\[
F\left( {x, y,{y}^{\prime },\cdots ,{y}^{\left( n\right) }}\right) = 0
\]
(1)
的左端函数 \( F \) 包含的未知函数及其各阶导数都是一次的,则称方程 (1) 为 \( n \) 阶线性 (常微分) 方程,它的一般形式可表为
\[
\frac{{\mathrm{d}}^{n}y}{\mathrm{\;d}{x}^{n}} + {a}_{1}\left( x\right) \frac{{\mathrm{d}}^{n - 1}y}{\mathrm{\;d}{x}^{n - 1}} + \cdots + {a}_{n - 1}\left( x\right) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x}
\]
\[
+ {a}_{n}\left( x\right) y = f\left( x\right) \text{.}
\]
(2)
当 \( f\left( x\right) ≢ 0 \) 时,方程 (2) 称非齐次方程; 当 \( f\left( x\right) \equiv 0 \) 时, 则称为齐次方程.
线性微分方程组 (first order linear differential equation system) 具有完整构造性质和广泛应用的一类常微分方程组. 如果方程组
\[
{F}_{j}\left( {x,{y}_{1},\cdots ,{y}_{n},{y}^{\prime }{}_{1},\cdots ,{y}^{\prime }{}_{n},\cdots ,{y}_{1}^{\left( k\right) },\cdots ,{y}_{n}^{\left( k\right) }}\right) = 0
\]
(1)
\( \left( {j = 1,2,\cdots, m}\right) \) 的左端各函数 \( {F}_{j} \) 包含的各未知函数及其各阶导数都是一次的, 则称方程组 (1) 为线性微分方程组. 如果线性微分方程组中各未知函数的导数均为一阶的, 则称为一阶线性微分方程组. 其一般形式可写为
\[
\frac{\mathrm{d}{y}_{i}}{\mathrm{\;d}x} = {a}_{i1}\left( x\right) {y}_{1} + {a}_{i2}\left( x\right) {y}_{2} + \cdots + {a}_{in}\left( x\right) {y}_{n}
\]
\[
+ {f}_{i}\left( x\right) \;\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) .
\]
(2)
为简便计, (2) 可写为向量形式
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = A\left( x\right) y + f\left( x\right) ,
\]
(3)
式中
\[
y = \left( \begin{matrix} {y}_{1} \\ {y}_{2} \\ \vdots \\ {y}_{n} \end{matrix}\right) ,\;f\left( x\right) = \left( \begin{matrix} {f}_{1}\left( x\right) \\ {f}_{2}\left( x\right) \\ \vdots \\ {f}_{n}\left( x\right) \end{matrix}\right) ,
\]
\[
A\left( x\right) = \left( \begin{matrix} {a}_{11}\left( x\right) & {a}_{12}\left( x\right) & \cdots & {a}_{1n}\left( x\right) \\ {a}_{21}\left( x\right) & {a}_{22}\left( x\right) & \cdots & {a}_{2n}\left( x\right) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {a}_{n1}\left( x\right) & {a}_{n2}\left( x\right) & \cdots & {a}_{nn}\left( x\right) \end{matrix}\right) .
\]
方程组 (2) 或 (3) 亦可称为 \( n \) 阶线性微分方程组 (注意方程的阶与方程组的阶的定义). 在 (2) 及 (3) 中, 若 \( {f}_{i}\left( x\right) \equiv 0\left( {f\left( x\right) \equiv 0}\right) \) ,则称为齐次线性微分方程组; 若相应的 \( {f}_{i}\left( x\right) ≢ 0\left( {f\left( x\right) ≢ 0}\right) \) ,则称为非齐次线性微分方程组. 一般地, 线性微分方程组均可化为一阶线性微分方程组的典则形式.
齐次线性微分方程组 (homogeneous linear differential equation) 见 “线性微分方程组”.
非齐次线性微分方程组 (nonhomogeneous linear differential equation) 见“线性微分方程组”.
叠加原理 (superposition principle) 线性常微分方程 (组) 解的构造性质. 设 \( {y}_{1},{y}_{2} \) 分别是非齐次线性常微分方程
\[
\frac{{\mathrm{d}}^{n}y}{\mathrm{\;d}{x}^{n}} + {a}_{1}\left( x\right) \frac{{\mathrm{d}}^{n - 1}y}{\mathrm{\;d}{x}^{n - 1}} + \cdots + {a}_{n - 1}\left( x\right) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x}
\]
\[ + {a}_{n}\left( x\right) y = {f}_{i}\left( x\right) \left( {i = 1,2}\right) \]
的解; 或者是两个 (用向量矩阵形式表示,这时 \( {y}_{1},{y}_{2} \) 是向量)非齐次线性常微分方程组
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = A\left( x\right) y + {F}_{s}\left( x\right) \;\left( {s = 1,2}\right)
\]
的解,叠加原理为: \( {y}_{1} + {y}_{2} \) 是方程
\[
\frac{{\mathrm{d}}^{n}y}{\mathrm{\;d}{x}^{n}} + {a}_{1}\left( x\right) \frac{{\mathrm{d}}^{n - 1}y}{\mathrm{\;d}{x}^{n - 1}} + \cdots + {a}_{n - 1}\left( x\right) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} + {a}_{n}\left( x\right) y
\]
\[
= {f}_{1}\left( x\right) + {f}_{2}\left( x\right)
\]
的解,或向量 \( {y}_{1} + {y}_{2} \) 是方程组
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = A\left( x\right) y + {F}_{1}\left( x\right) + {F}_{2}\left( x\right)
\]
的解.
朗斯基行列式 (Wronski determinant) 判别齐次线性方程解系的线性相关性的特征行列式. 设函数组 \( {y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n} \) 中每一个 \( {y}_{k}\left( {k = 1,2,\cdots, n}\right) \) 均有 \( n - 1 \) 阶导数,称行列式
\[
W\left( {{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}}\right) = \left| \begin{matrix} {y}_{1} & {y}_{2} & \cdots & {y}_{n} \\ {y}_{1}^{\prime } & {y}_{2}^{\prime } & \cdots & {y}_{n}^{\prime } \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {y}_{1}^{\left( n - 1\right) } & {y}_{2}^{\left( n - 1\right) } & \cdots & {y}_{n}^{\left( n - 1\right) } \end{matrix}\right|
\]
为已知函数组的朗斯基行列式. 如果 \( {y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n} \) 是齐次线性方程
\[
{y}^{\left( n\right) } + {p}_{1}\left( x\right) {y}^{\left( n - 1\right) } + \cdots + {p}_{n}\left( x\right) y = 0
\]
的 \( n \) 个解,则有公式
\[
W\left( {{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}}\right)
\]
\[
= {\left. W\left( {y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}\right) \right| }_{x = {x}_{0}}{\mathrm{e}}^{-{\int }_{{x}_{0}}^{x}{p}_{1}\left( s\right) \mathrm{d}s},
\]
称为刘维尔公式; 对向量函数组 \( {y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n} \) ,其中
\[
{y}_{i} = \left( \begin{matrix} {y}_{1i} \\ {y}_{2i} \\ \vdots \\ {y}_{ni} \end{matrix}\right) \left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) ,
\]
它的朗斯基行列式定义为
\[
W\left( {{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}}\right) = \left| \begin{matrix} {y}_{11} & {y}_{12} & \cdots & {y}_{1n} \\ {y}_{21} & {y}_{22} & \cdots & {y}_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {y}_{n1} & {y}_{n2} & \cdots & {y}_{nn} \end{matrix}\right| .
\]
如果向量函数组是线性常微分方程组
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = A\left( x\right) y
\]
的 \( n \) 个解,其中 \( y \) 是 \( n \) 维列向量,
\[
A\left( x\right) = \left( \begin{matrix} {a}_{11}\left( x\right) & {a}_{12}\left( x\right) & \cdots & {a}_{1n}\left( x\right) \\ {a}_{21}\left( x\right) & {a}_{22}\left( x\right) & \cdots & {a}_{2n}\left( x\right) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {a}_{n1}\left( x\right) & {a}_{n2}\left( x\right) & \cdots & {a}_{nn}\left( x\right) \end{matrix}\right) ,
\]
则有刘维尔公式
\[
W\left( {{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}}\right)
\]
\[
= {\left. W\left( {y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}\right) \right| }_{x = {x}_{0}}{\mathrm{e}}^{{\int }_{{x}_{0}}^{x}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{ii}\left( s\right) \mathrm{d}s}.
\]
上述定义及公式对研究解的线性相关、线性无关和其他性质很有用.
刘维尔公式(Liouville formula) 见“朗斯基行列式”.
基本解组 (fundamental system of solutions)
能用线性组合构造出齐次线性微分方程全部解的线性无关的解系. 对 \( n \) 阶齐次线性常微分方程
\[
\frac{{\mathrm{d}}^{n}y}{\mathrm{\;d}{x}^{n}} + {a}_{1}\left( x\right) \frac{{\mathrm{d}}^{n - 1}y}{\mathrm{\;d}{x}^{n - 1}} + \cdots + {a}_{n - 1}\left( x\right) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} + {a}_{n}\left( x\right) y = 0
\]
(1)
的 \( n \) 个解 \( {y}_{1}\left( x\right) ,{y}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{y}_{n}\left( x\right) \) ,如果在其定义区间上是线性无关的,则称这 \( n \) 个解是 (1) 的 (一个) 基本解组; 对齐次线性一阶常微分方程组
\[
\frac{\mathrm{d}{y}_{i}}{\mathrm{\;d}x} = {a}_{i1}\left( x\right) {y}_{1} + {a}_{i2}\left( x\right) {y}_{2} + \cdots + {a}_{in}\left( x\right) {y}_{n}
\]
(2)
\( \left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \) 的 \( n \) 个解
\[{y}_{1}\left( x\right) = \left( \begin{matrix} {y}_{11}\left( x\right) \\ {y}_{21}\left( x\right) \\ \vdots \\ {y}_{n1}\left( x\right) \end{matrix}\right) ,\;{y}_{2}\left( x\right) = \left( \begin{matrix} {y}_{12}\left( x\right) \\ {y}_{22}\left( x\right) \\ \vdots \\ {y}_{n2}\left( x\right) \end{matrix}\right) ,\cdots ,\]
\[{y}_{n}\left( x\right) = \left( \begin{matrix} {y}_{1n}\left( x\right) \\ {y}_{2n}\left( x\right) \\ \vdots \\ {y}_{nn}\left( x\right) \end{matrix}\right) ,\]
如果在其定义区间上是线性无关的,则称 \( {y}_{1}\left( x\right) \) , \( {y}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{y}_{n}\left( x\right) \) 是 (2) 的 (一个) 基本解组. 矩阵
\[Y\left( x\right) = \left| \begin{matrix} {y}_{11}\left( x\right) & {y}_{12}\left( x\right) & \cdots & {y}_{1n}\left( x\right) \\ {y}_{21}\left( x\right) & {y}_{22}\left( x\right) & \cdots & {y}_{2n}\left( x\right) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {y}_{n1}\left( x\right) & {y}_{n2}\left( x\right) & \cdots & {y}_{nn}\left( x\right) \end{matrix}\right| \]
称为 (2) 的基本解矩阵.
通解结构定理 (structure theorem of general solution) 关于线性常微分方程解的结构性质的数学表述. 设 \( n \) 阶非齐次线性微分方程
\[\frac{{\mathrm{d}}^{n}y}{\mathrm{\;d}{x}^{n}} + {a}_{1}\left( x\right) \frac{{\mathrm{d}}^{n - 1}y}{\mathrm{\;d}{x}^{n - 1}} + \cdots + {a}_{n - 1}\left( x\right) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} + {a}_{n}\left( x\right) y = f\left( x\right) \]
(1)
的一个特解为 \( \bar{y}\left( x\right) \) ,与 (1) 对应的齐次微分方程的 \( n \) 个解为 \( {y}_{1}\left( x\right) ,{y}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{y}_{n}\left( x\right) \) ; 非齐次线性微分方程组
\[\frac{\mathrm{d}{y}_{i}}{\mathrm{\;d}x} = {a}_{i1}\left( x\right) {y}_{1} + {a}_{i2}\left( x\right) {y}_{2} + \cdots + {a}_{in}\left( x\right) {y}_{n} + {f}_{i}\left( x\right) \]
(2)
\( \left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \) 的一个特解也用 \( \bar{y}\left( x\right) \) 表示,与 (2) 对应的齐次微分方程组的 \( n \) 个解也用 \( {y}_{1}\left( x\right) ,{y}_{2}\left( x\right) \) , \( \cdots ,{y}_{n}\left( x\right) \) 表示,这时 \( y,{y}_{1},\cdots ,{y}_{n} \) 均为向量函数 (参见 “线性微分方程组”条目), 则关于齐次微分方程 (组) 的通解结构定理为: 如果 \( {y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n} \) 是齐次方程 (组) 的一个基本解组, 则
\[y = {C}_{1}{y}_{1} + {C}_{2}{y}_{2} + \cdots + {C}_{n}{y}_{n}\]
（3）
包含了方程 (组) 的所有解,其中 \( {C}_{1},{C}_{2},\cdots ,{C}_{n} \) 为 \( n \) 个任意常数. 显然, 解组 (3) 表示了方程 (组) 的通解.
关于非齐次微分方程 (组) 的通解结构定理为: 非齐次微分方程 (组) 的通解等于它的对应的齐次方程 (组) 的通解与它本身的一个特解之和, 即
\[
y\left( x\right) = {C}_{1}{y}_{1} + {C}_{2}{y}_{2} + \cdots + {C}_{n}{y}_{n} + \bar{y}.
\]
常系数线性微分方程 (组) (linear differential equation (system) with constant coefficients) 最简单并可用代数方法求解的一类常微分方程 (组). 常系数线性高阶微分方程形如
\[
\frac{{\mathrm{d}}^{n}y}{\mathrm{\;d}{x}^{n}} + {a}_{1}\frac{{\mathrm{d}}^{n - 1}y}{\mathrm{\;d}{x}^{n - 1}} + \cdots + {a}_{n - 1}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} + {a}_{n}y = f\left( x\right) ,
\]
(1)
其中 \( {a}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \) 是常数. 常系数线性一阶方程组形如
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = {Ay} + f\left( x\right) ,
\]
其中
\[
y = \left( \begin{matrix} {y}_{1} \\ {y}_{2} \\ \vdots \\ {y}_{n} \end{matrix}\right) ,\;f\left( x\right) = \ |
2000_数学辞海（第3卷） | 223 | 的通解结构定理为: 如果 \( {y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n} \) 是齐次方程 (组) 的一个基本解组, 则
\[y = {C}_{1}{y}_{1} + {C}_{2}{y}_{2} + \cdots + {C}_{n}{y}_{n}\]
（3）
包含了方程 (组) 的所有解,其中 \( {C}_{1},{C}_{2},\cdots ,{C}_{n} \) 为 \( n \) 个任意常数. 显然, 解组 (3) 表示了方程 (组) 的通解.
关于非齐次微分方程 (组) 的通解结构定理为: 非齐次微分方程 (组) 的通解等于它的对应的齐次方程 (组) 的通解与它本身的一个特解之和, 即
\[
y\left( x\right) = {C}_{1}{y}_{1} + {C}_{2}{y}_{2} + \cdots + {C}_{n}{y}_{n} + \bar{y}.
\]
常系数线性微分方程 (组) (linear differential equation (system) with constant coefficients) 最简单并可用代数方法求解的一类常微分方程 (组). 常系数线性高阶微分方程形如
\[
\frac{{\mathrm{d}}^{n}y}{\mathrm{\;d}{x}^{n}} + {a}_{1}\frac{{\mathrm{d}}^{n - 1}y}{\mathrm{\;d}{x}^{n - 1}} + \cdots + {a}_{n - 1}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} + {a}_{n}y = f\left( x\right) ,
\]
(1)
其中 \( {a}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \) 是常数. 常系数线性一阶方程组形如
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = {Ay} + f\left( x\right) ,
\]
其中
\[
y = \left( \begin{matrix} {y}_{1} \\ {y}_{2} \\ \vdots \\ {y}_{n} \end{matrix}\right) ,\;f\left( x\right) = \left( \begin{matrix} {f}_{1}\left( x\right) \\ {f}_{2}\left( x\right) \\ \vdots \\ {f}_{n}\left( x\right) \end{matrix}\right) ,
\]
\( A \) 为 \( n \times n \) 常数矩阵.
常系数线性微分方程理论的研究在常微分方程理论研究中是最深入、完整的, 并可以用代数方法求出它们的通解. 此外, 在工程技术等实际领域内它们也有广泛的应用.
欧拉方程 (Euler equation) 可化为常系数线性常微分方程的一类变系数的常微分方程. 欧拉方程形如
\[
{x}^{n}{y}^{\left( n\right) } + {a}_{1}{x}^{n - 1}{y}^{\left( n - 1\right) } + \cdots + {a}_{n - 1}x{y}^{\prime } + {a}_{n}y = f\left( x\right) ,
\]
(1)
其中 \( {a}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \) 是常数. 做变量代换 \( x = {\mathrm{e}}^{t} \) ,可将 (1) 化为常系数线性常微分方程.
特征方程 (characteristic equation) 表征常系数线性微分方程 (组) 的解的构造特征的代数方程式. 对 \( n \) 阶常系数线性常微分方程
\[
\frac{{\mathrm{d}}^{n}y}{\mathrm{\;d}{x}^{n}} + {a}_{1}\frac{{\mathrm{d}}^{n - 1}y}{\mathrm{\;d}{x}^{n - 1}} + \cdots + {a}_{n - 1}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} + {a}_{n}y = 0
\]
(1)
有形如 \( y = {\mathrm{e}}^{\lambda x} \) 解的充分必要条件是数 \( \lambda \) 满足代数方程
\[
{\lambda }^{n} + {a}_{1}{\lambda }^{n - 1} + \cdots + {a}_{n - 1}\lambda + {a}_{n} = 0,
\]
(2)
称代数方程 (2) 是方程 (1) 的特征方程, 称特征方程的根为特征根; 对常系数齐次线性常微分方程组
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = {Ay}
\]
(3)
其中 \( y \) 是 \( n \) 维列向量, \( A \) 是 \( n \times n \) 常数矩阵,有形如 \( Y = R{\mathrm{e}}^{\lambda x} \) 解 ( \( R \) 是 \( n \) 维非零常数列向量) 的充分必要条件为
\[
\left| {A - {\lambda E}}\right| = 0,
\]
(4)
\[
\left( {A - {\lambda E}}\right) R = 0.
\]
(5)
称代数方程 (4) 是方程组 (3) 的特征方程,其根 \( \lambda \) 称为特征值,满足矩阵方程 (5) 的非零向量 \( R \) 称为 (对应 \( \lambda \) 的) 特征向量.
待定系数法 (method of undetermined coefficient) 求解常系数非齐次线性常微分方程特解的一种便捷方法. 对于 \( n \) 阶常系数非齐次线性常微分方程
\[
\frac{{\mathrm{d}}^{n}y}{\mathrm{\;d}{x}^{n}} + {a}_{1}\frac{{\mathrm{d}}^{n - 1}y}{\mathrm{\;d}{x}^{n - 1}} + \cdots + {a}_{n - 1}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} + {a}_{n}y = f\left( x\right) ,
\]
（1）
当 \( f\left( x\right) = {P}_{m}\left( x\right) {\mathrm{e}}^{\alpha x}\left( {{P}_{m}\left( x\right) }\right. \) 是已知的 \( m \) 次多项式) 时, 方程 (1) 有形如
\[
\bar{y}\left( x\right) = {x}^{k}{Q}_{m}\left( x\right) {\mathrm{e}}^{ax}
\]
（2）
的特解,其中 \( \alpha \) 是 (1) 的 \( k\left( {k \geq 0}\right) \) 重特征根 \( (k = 0 \) 时 \( \alpha \) 不是特征根), \( {Q}_{m}\left( x\right) \) 是待定的 \( m \) 次多项式,当 \( f\left( x\right) \) \( = {\mathrm{e}}^{\alpha x}\left\lbrack {{P}_{m}^{\left( 1\right) }\left( x\right) \cos {\beta x} + {P}_{m}^{\left( 2\right) }\left( x\right) \sin {\beta x}}\right\rbrack \left( {{P}_{m}^{\left( 1\right) }\left( x\right) }\right. \) , \( {P}_{m}^{\left( 2\right) }\left( x\right) \) 是次数不高于 \( m \) 的多项式,但二者至少有一个是 \( m \) 次的) 时,方程 (1) 有形如
\[
\bar{y}\left( x\right) = {x}^{k}{\mathrm{e}}^{\alpha x}\left\lbrack {{Q}_{m}^{\left( 1\right) }\left( x\right) \cos {\beta x} + {Q}_{m}^{\left( 2\right) }\left( x\right) \sin {\beta x}}\right\rbrack
\]
（3）
的特解,其中 \( \alpha \pm \beta \mathrm{i} \) 是 (1) 的 \( k\left( {k \geq 0}\right) \) 重特征根 \( (k = 0 \) 时 \( \alpha \pm \beta \mathrm{i} \) 不是特征根), \( {Q}_{m}^{\left( 1\right) }\left( x\right) ,{Q}_{m}^{\left( 2\right) }\left( x\right) \) 是待定的 \( m \) 次多项式. 将 (2), (3) 代入方程 (1), 比较方程 (1) 两边关于 \( x \) 的同类项系数,确定出 \( {Q}_{m}\left( x\right) ,{Q}_{m}^{\left( 1\right) }\left( x\right) \) , \( {Q}_{m}^{\left( 2\right) }\left( x\right) \) 的系数,就可以求得方程 (1) 的特解. 这种解法称为待定系数法. 对于常系数非齐次线性方程组
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = {Ay} + f
\]
(4)
其中 \( A \) 是 \( n \times n \) 常数矩阵, \( y, f \) 是 \( n \) 维列向量,也可用类似待定系数法求它的特解.
拉普拉斯变换法 (method of Laplace transfo- \( \mathrm{{rm}} \) ) 求解常系数线性常微分方程的一个重要方法. 拉普拉斯变换定义如下: 对于在 \( \left( {-\infty , + \infty }\right) \) 上有定义,而在 \( t < 0 \) 时恒等于零的函数 \( f\left( t\right) \) ,如果
\[
F\left( s\right) = {\int }_{0}^{+\infty }f\left( t\right) {\mathrm{e}}^{-{st}}\mathrm{\;d}t = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( t\right) {\mathrm{e}}^{-{st}}\mathrm{\;d}t
\]
存在,则称 \( F\left( s\right) \) 为 \( f\left( t\right) \) 的拉普拉斯变换,称 \( f\left( t\right) \) 为原函数, \( F\left( s\right) \) 为像函数.
运用拉普拉斯变换将常系数线性常微分方程的求解问题化为线性代数方程或方程组求解问题时, 可把初始条件一起考虑在内, 不必求出通解再求特解, 这在工程技术中有广泛的应用. 用此法求解常微分方程的步骤为:
1. 对方程两端施行拉普拉斯变换.
2. 求出解的像函数.
3. 查拉普拉斯变换表, 得到原函数, 即方程的解.
算子方法 (method of operator) 用以求解常系数线性高阶常微分方程特解的一种简便方法. 对于常系数线性常微分方程
\[
\frac{{\mathrm{d}}^{n}y}{\mathrm{\;d}{x}^{n}} + {p}_{1}\frac{{\mathrm{d}}^{n - 1}y}{\mathrm{\;d}{x}^{n - 1}} + \cdots + {p}_{n - 1}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} + {p}_{n}y = f\left( x\right) ,
\]
(1)
引入算子
\[
L\left( D\right) = {D}^{n} + {p}_{1}{D}^{n - 1} + \cdots + {p}_{n - 1}D + {P}_{n},
\]
(2)
其中 \( D = \mathrm{d}/\mathrm{d}x \) 表示对 \( x \) 求微商的运算,
\[
{D}^{k} = \frac{{\mathrm{d}}^{k}}{\mathrm{\;d}{x}^{k}}
\]
表示对 \( x \) 求 \( k \) 次微商. \( L\left( D\right) \) 称为算子多项式. 方程 (1) 可简写为
\[
L\left( D\right) y = f\left( x\right) .
\]
根据 (2), 记
\[
\frac{1}{L\left( D\right) }f\left( x\right)
\]
为方程 (1) 的任一解,称 \( 1/L\left( D\right) \) 为 \( L\left( D\right) \) 的逆算子. 运用算子 \( L\left( D\right) \) 和逆算子 \( 1/L\left( D\right) \) 的性质和法则可以简便地求解方程 (1). 特别当 \( n \geq 3, f\left( x\right) \) 为 \( {x}^{k},{\mathrm{e}}^{ax} \) , \( \cos {\beta x},\sin {\beta x} \) 等类函数之和,或它们乘积之和时,求方程 (1) 的特解较用常数变易法简便. 算子方法类似地可运用到常系数线性常微分方程组中去.
幂级数解法 (solution by power series) 求解常微分方程的一种方法. 特别是方程不能用初等积分法求解时,往往求幂级数形式 (在 \( x = 0 \) 邻域)
\[
{a}_{0} + {a}_{1}x + \cdots + {a}_{n}{x}^{n} + \cdots
\]
(1)
的解. 将幂级数 (1) 代入方程中, 比较等式两端同类项的系数, 确定 (1) 的各项系数, 从而得到方程的解. 这种解法称为幂级数解法. 用幂级数解法和广义幂级数解法可以解出许多数学物理中重要的常微分方程. 例如:
贝塞尔方程
\[
{x}^{2}\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{\;d}{x}^{2}} + x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} + \left( {{x}^{2} - {n}^{2}}\right) y = 0;
\]
勒让德方程
\[
\left( {1 - {x}^{2}}\right) \frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{\;d}{x}^{2}} - {2x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} + n\left( {n + 1}\right) y = 0;
\]
埃尔米特方程
\[
{y}^{\prime \prime } - {2x}{y}^{\prime } + {2py} = 0.
\]
周期系数线性微分方程组 (linear system of differential equation with periodic coefficients) - 类有重要应用背景的线性方程组. 设方程组
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = A\left( x\right) y
\]
(1)
的系数矩阵
\[
A\left( x\right) = \left( \begin{matrix} {a}_{11}\left( x\right) & {a}_{12}\left( x\right) & \cdots & {a}_{1n}\left( x\right) \\ {a}_{21}\left( x\right) & {a}_{22}\left( x\right) & \cdots & {a}_{2n}\left( x\right) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {a}_{n1}\left( x\right) & {a}_{n2}\left( x\right) & \cdots & {a}_{nn}\left( x\right) \end{matrix}\right)
\]
对 \( x \) 有周期 \( \omega \) ,则方程 (1) 称为周期系数线性方程. 方程 (1) 可变换为常系数线性方程组. 设 \( Y\left( x\right) \) 是 (1) 的基本解矩阵,则 \( Y\left( {x + w}\right) \) 也是 (1) 的基本解矩阵. 故有 \( Y\left( {x + w}\right) = Y\left( x\right) C, C \) 是非奇异方阵. 由线性代数知存在方阵 \( B \) 使 \( C = {\mathrm{e}}^{wB} \) . 令 \( P\left( x\right) = Y\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-{Bx}} \) , \( P\left( x\right) \) 也有周期 \( \omega \) . 在 (1) 中做变换 \( y = P\left( x\right) z \) ,则 \( z \) 将满足常系数线性方程组
\[
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{\;d}x} = {Bz}
\]
\( C \) 的特征根 \( {p}_{i} \) 与 \( B \) 的特征根 \( {\lambda }_{i} \) 之间存在关系式 \( {p}_{i} \) \( = {\mathrm{e}}^{{\lambda }_{i}w},{p}_{i} \) 称为方程 (1) 的特征乘数, \( {\lambda }_{i} \) 称为方程 (1) 的特征指数.
伴随微分方程 (adjoint differential equation)
与给定微分方程有共轭关系的微分方程. 对 \( n \) 阶齐次线性常微分方程
\[
L\left\lbrack y\right\rbrack \equiv \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{p}_{k}\left( x\right) {y}^{\left( n - k\right) } = 0,
\]
（1）
称
\[
M\left\lbrack y\right\rbrack \equiv \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{\left( -1\right) }^{n - k}{\left( {\bar{p}}_{k}y\right) }^{\left( n - k\right) }
\]
（2）
为 (1) 的伴随微分方程,称 \( M\left\lbrack y\right\rbrack \) 为 \( L\left\lbrack y\right\rbrack \) 的伴随微分式. 反之, \( L\left\lbrack y\right\rbrack \) 也是 \( M\left\lbrack y\right\rbrack \) 的伴随微分式. 在伴随微分式之间成立等式
\[
\bar{z}L\left\lbrack y\right\rbrack - y\overline{M\left( z\right) } = \frac{\mathrm{d}N\left( {y, z}\right) }{\mathrm{d}x},
\]
(3)
这里 \( N\left( {y, z}\right) \) 是 \( {y}^{\left( k\right) },{\bar{z}}^{\left( h\right) }\left( {k, h = 0,1,2,\cdots, n - 1}\right) \) 的双线性型
\[
N\left( {y, z}\right) \equiv \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}\mathop{\sum }\limits_{{h = 0}}^{{n - 1 - k}}{\left( -1\right) }^{k}{\left( {p}_{k}\bar{z}\right) }^{\left( h\right) }{y}^{\left( n - 1 - k - h\right) }.
\]
(4)
等式 (3) 称为拉格朗日恒等式. 等式 (4) 称为拉格朗日双线性型. 如果能得到 \( M\left\lbrack y\right\rbrack = 0 \) 的 \( p \) 个独立解, 就可把原来方程 \( L\left\lbrack y\right\rbrack = 0 \) 的阶数降低 \( p \) 阶. 当 \( M\left\lbrack y\right\rbrack \equiv L\left\lbrack y\right\rbrack \) 时,就称 \( L\left\lbrack y\right\rbrack = 0 \) 是自伴的 (微分方程).
对齐次线性一阶常微分方程组
\[{y}_{i}^{\prime } + \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( x\right) {y}_{j} = 0\;\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) ,\]
(5)
称方程组
\[{z}_{i}^{\prime } - \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{\bar{a}}_{ji}\left( x\right) {z}_{j} = 0\;\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \]
为方程组 (5) 的伴随微分方程组.
自伴微分方程 (self-adjoint differential equation) 见“伴随微分方程”.
## 常微分方程初值问题
常微分方程初值问题 (initial value problem of ordinary differential equation) 常微分方程理论研究与实际应用中的一种基本定解问题. 求解和讨论常微分方程
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = f\left( {x, y}\right)
\]
(1)
满足初值条件
\[
y\left( {x}_{0}\right) = {y}_{0}
\]
(2)
的解的问题称为常微分方程初值问题, 条件 (2) 称为初值条件或初始条件. 一般地, \( y \) 属于 \( n \) 维欧氏空间 \( {\mathrm{R}}^{n}, f \) 是由 \( {\mathrm{R}}^{n + 1} \) |
2000_数学辞海（第3卷） | 224 | 线性型. 如果能得到 \( M\left\lbrack y\right\rbrack = 0 \) 的 \( p \) 个独立解, 就可把原来方程 \( L\left\lbrack y\right\rbrack = 0 \) 的阶数降低 \( p \) 阶. 当 \( M\left\lbrack y\right\rbrack \equiv L\left\lbrack y\right\rbrack \) 时,就称 \( L\left\lbrack y\right\rbrack = 0 \) 是自伴的 (微分方程).
对齐次线性一阶常微分方程组
\[{y}_{i}^{\prime } + \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( x\right) {y}_{j} = 0\;\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) ,\]
(5)
称方程组
\[{z}_{i}^{\prime } - \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{\bar{a}}_{ji}\left( x\right) {z}_{j} = 0\;\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \]
为方程组 (5) 的伴随微分方程组.
自伴微分方程 (self-adjoint differential equation) 见“伴随微分方程”.
## 常微分方程初值问题
常微分方程初值问题 (initial value problem of ordinary differential equation) 常微分方程理论研究与实际应用中的一种基本定解问题. 求解和讨论常微分方程
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = f\left( {x, y}\right)
\]
(1)
满足初值条件
\[
y\left( {x}_{0}\right) = {y}_{0}
\]
(2)
的解的问题称为常微分方程初值问题, 条件 (2) 称为初值条件或初始条件. 一般地, \( y \) 属于 \( n \) 维欧氏空间 \( {\mathrm{R}}^{n}, f \) 是由 \( {\mathrm{R}}^{n + 1} \) 中的开域 \( G \) 到 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的映射.
初值问题主要讨论的问题有: 初值问题是否存在解,解的存在域有多大; 解是否惟一; 当初值 \( \left( {x}_{0}\right. \) , \( \left. {y}_{0}\right) \) 变化时,解如何变化; 当函数 \( f \) 中含有参数 \( \lambda \) ,解与参数 \( \lambda \) 有何种依赖关系等. 初值问题是柯西 (Cauchy, A. -L. ) 于 19 世纪 30 年代首先提出的, 所以又称为柯西问题. 常微分方程初值问题在常微分方程理论及在实际应用中均有着重要的作用.
皮卡逐次逼近法 (Picard successive approximation method) 常微分方程解的一种主要近似计算方法. 初值问题
\[
\left\{ \begin{array}{l} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = f\left( {x, y}\right) , \\ y\left( {x}_{0}\right) = {y}_{0} \end{array}\right.
\]
(1)
可转换为等价的积分方程
\[
y = {y}_{0} + {\int }_{{x}_{0}}^{x}f\left( {x, y}\right) \mathrm{d}x.
\]
(2)
积分方程 (2) 的解即是初值问题 (1) 的解. 做迭代函数序列
\[
\left\{ \begin{array}{l} {\varphi }_{1}\left( x\right) = {y}_{0} + {\int }_{{x}_{0}}^{x}f\left( {x,{y}_{0}}\right) \mathrm{d}x, \\ {\varphi }_{n}\left( x\right) = {y}_{0} + {\int }_{{x}_{0}}^{x}f\left( {x,{\varphi }_{n - 1}\left( x\right) }\right) \mathrm{d}x \end{array}\right.
\]
(3)
\[
\left( {n = 1,2,\cdots }\right)
\]
作为积分方程 (2) 的近似解, 也即初值问题 (1) 的近似解. 在 \( f\left( {x, y}\right) \) 满足一定的条件时,函数序列 \( \left\{ {{\varphi }_{n}\left( x\right) }\right\} \) 是收敛的. 皮卡 (Picard,(C. -) E. ) 最早在数学上完善处理这样的逐次逼近的函数序列, 所以称为皮卡逐次逼近法. 而由式 (3) 确定的函数 \( {\varphi }_{n}\left( x\right) \) 称为初值问题 (1) 的第 \( n \) 次近似解. 函数序列
\[
\left\{ {{\varphi }_{k}\left( x\right) }\right\} \left( {k = 1,2,\cdots, n,\cdots }\right)
\]
称为皮卡序列.
常微分方程解的存在惟一性 (existence and uniqueness of solution of ordinary differential equation) 常微分方程初值问题所研究的基本问题之一. 初值问题
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = f\left( {x, y}\right), y\left( {x}_{0}\right) = {y}_{0}
\]
（1）
并非都有解存在,这里 (1) 中 \( y \) 属于 \( n \) 维欧几里得空间 \( {\mathrm{R}}^{n}, f \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n + 1} \) 中的开域 \( G \) 到 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的映射.
解存在的基本定理是柯西-皮亚诺存在定理: 如果 \( f\left( {x, y}\right) \) 在 \( {\mathrm{R}}^{n + 1} \) 中的区域
\[
D : \left| {x - {x}_{0}}\right| \leq a,\left| {y - {y}_{0}}\right| \leq b
\]
上连续,则初值问题 (1) 在区间 \( \left| {x - {x}_{0}}\right| \leq h \) 上至少存在一个解 \( y\left( x\right) \) ,这里
\[
h = \min \left\{ {a,\frac{b}{M}}\right\}, M = \mathop{\max }\limits_{{\left( {x, y}\right) \in D}}\left| {f\left( {x, y}\right) }\right| .
\]
\( f\left( {x, y}\right) \) 的连续性不能保证初值问题的解是惟一的. 保证解的惟一性的条件最常用的是李普希茨条件: 设 \( f\left( {x, y}\right) \) 在
\[
D : \left| {x - {x}_{0}}\right| \leq a,\left| {y - {y}_{0}}\right| \leq b
\]
上连续,对于任意的 \( \left( {x,{y}_{1}}\right) ,\left( {x,{y}_{2}}\right) \in D \) ,存在常数 \( K \) ,使得
\[
\left| {f\left( {x,{y}_{1}}\right) - f\left( {x,{y}_{2}}\right) }\right| \leq K\left| {{y}_{1} - {y}_{2}}\right| ,
\]
(2)
则称 \( f\left( {x, y}\right) \) 在 \( D \) 上满足李普希茨条件,其中常数 \( K \) 称为李普希茨常数. 于是解的存在惟一性定理叙述如下: 如果 \( f\left( {x, y}\right) \) 在 \( D \) 上连续,对 \( y \) 满足李普希茨条件, 则初值问题
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = f\left( {x, y}\right) ,\;y\left( {x}_{0}\right) = {y}_{0}
\]
在区间 \( \left| {x - {x}_{0}}\right| \leq h \) 上存在惟一的解 \( y\left( x\right) \) ,其中 \( D \) , \( h \) 的定义见上文.
常微分方程解的延拓 (continuation of solution of ordinary differential equation) 微分方程的解由局部的存在性扩展到全区域. 解的延拓定理: 设 \( D \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n + 1} \) 中的开集, \( f : D \rightarrow {\mathrm{R}}^{n} \) 是连续的,又 \( \varphi \left( x\right) \) 是初值问题
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = f\left( {x, y}\right) ,\;y\left( {x}_{0}\right) = {y}_{0}
\]
(1)
的解,则 \( \varphi \) 有到最大存在区间上的延拓. 即当 \( x \) 趋于解的最大存在区间的端点时, \( \left( {x, y\left( x\right) }\right) \) 趋于 \( D \) 的边界.
解对初值和参数连续依赖性定理 (continuity theorem of solution on initial condition and parameters) 常微分方程解依赖初值和参数的重要命题. 设 \( f\left( {x, y,\lambda }\right) \) 在 \( G \times {I}_{\lambda } \) 上连续,关于 \( y \) 满足李普希茨条件,则对每一个 \( \left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \in G,\lambda \in {I}_{\lambda } \) ,存在通过 \( \left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \) 的惟一解 \( y = \varphi \left( {x,{x}_{0},{y}_{0},\lambda }\right) \) ,其定义域是 \( \mathrm{R} \) \( \times G \times {I}_{\lambda } \) 中的开集 \( E \) ,在 \( E \) 上 \( \varphi \left( {x,{x}_{0},{y}_{0},\lambda }\right) \) 是连续的.
解对初值和参数的可微性定理 (differentiability theorem of solution on initial condition and parameters) 常微分方程解依赖初值和参数的重
要命题. 设 \( f\left( {x, y,\lambda }\right) \) 在 \( G \times {I}_{\lambda } \) 内关于 \( \left( {y,\lambda }\right) \) 连续可微, 则初值问题
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = f\left( {x, y,\lambda }\right) ,\;y\left( {{x}_{0},\lambda }\right) = {y}_{0}
\]
的解 \( y = \varphi \left( {x,{x}_{0},{y}_{0},\lambda }\right) \) 作为变量 \( \left( {x,{x}_{0},{y}_{0},\lambda }\right) \) 的函数在其定义域内连续可微. \( {\varphi }_{{x}_{0}}\left( {x,{x}_{0},{y}_{0},\lambda }\right) \) 和 \( {\varphi }_{\lambda }(x \) , \( \left. {{x}_{0},{y}_{0},\lambda }\right) \) 作为 \( x \) 的函数分别满足初值问题
\[
\left\{ \begin{array}{l} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{\;d}x} = {f}^{\prime }{}_{y}\left( {x,\varphi \left( {x,{x}_{0},{y}_{0},\lambda }\right) ,\lambda }\right) z, \\ z\left( {x}_{0}\right) = - f\left( {{x}_{0},{y}_{0},\lambda }\right) \end{array}\right.
\]
和
\[
\begin{cases} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{\;d}x} = & {f}^{\prime }{}_{y}\left( {x,\varphi \left( {x,{x}_{0},{y}_{0},\lambda }\right) ,\lambda }\right) z \\ & + {f}^{\prime }{}_{\lambda }\left( {x,\varphi \left( {x,{x}_{0},{y}_{0},\lambda }\right) ,\lambda }\right) , \\ z\left( {x}_{0}\right) = & 0; \end{cases}
\]
\( {\varphi }_{{y}_{0}}\left( {x,{x}_{0},{y}_{0},\lambda }\right) \) 作为 \( x \) 的函数满足矩阵微分方程的初值问题
\[
\left\{ \begin{array}{l} \frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{\;d}x} = {f}^{\prime }{}_{y}\left( {x,\varphi \left( {x,{x}_{0},{y}_{0},\lambda }\right) ,\lambda }\right) X, \\ X\left( 0\right) = E, \end{array}\right.
\]
其中 \( E \) 为 \( n \times n \) 单位矩阵.
## 常微分方程的边值问题
常微分方程的边值问题 (boundary value problem of ordinary differential equations) 常微分方程理论研究和实际应用中的一类重要的定解问题. 考虑常微分方程
\[
f\left( {t, x,{x}^{\prime },\cdots ,{x}^{\left( n\right) }}\right) = 0,
\]
(1)
对于属于区间 \( I \) 的点 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{k} \) 以及 \( {nk} \) 个值
\[
x\left( {a}_{i}\right) ,{x}^{\prime }\left( {a}_{i}\right) ,\cdots ,{x}^{\left( n - 1\right) }\left( {a}_{i}\right) \;\left( {i = 1,2,\cdots, k}\right) ,
\]
给出 \( m \) 个条件 (一般地, \( m = n \) ). 求方程 (1) 在区间 \( I \) 上满足这些条件的解的问题称为常微分方程 (1) 的边值问题. 解满足的这些条件称为边界条件. 在 \( k = \) 2 时, \( {a}_{1},{a}_{2} \) 是区间 \( I \) 的端点的情形,称为两点边值问题, 这是研究的主要对象. 对常微分方程组, 可以同样定义边值问题.
两点边值问题 (two-point boundary value problem) 见“常微分方程的边值问题”.
线性边值问题 (linear boundary value problem) 一类基本的边值问题. 设 \( a \leq t \leq b \) 为有界闭区间, \( L \) 为 \( n\left( {n \geq 1}\right) \) 阶线性微分算子
\[
L\left\lbrack x\right\rbrack = {P}_{0}\left( t\right) {x}^{\left( n\right) } + {P}_{1}\left( t\right) {x}^{\left( n - 1\right) } + \cdots
\]
\[
+ {P}_{n - 1}\left( t\right) {x}^{\prime } + {P}_{n}\left( t\right) x,
\]
其中系数 \( {P}_{k}\left( t\right) \) 为 \( t \) 的复值函数,并且对所有的 \( t \in \) \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,{P}_{0}\left( t\right) \neq 0 \) . 给定复常数 \( {M}_{ij},{N}_{ij}(i = 1,2,\cdots \) , \( m;j = 1,2,\cdots, n) \) ,边值运算式
\[
{U}_{i}\left\lbrack x\right\rbrack = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{M}_{ij}{x}^{\left( j - 1\right) }\left( a\right) + \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{N}_{ij}{x}^{\left( j - 1\right) }\left( b\right)
\]
(2)
\( \left( {i = 1,2,\cdots, m}\right) \) 称为线性边缘算子. 记
\[
\xi = {\left( x,{x}^{\prime },\cdots ,{x}^{\left( n - 1\right) }\right) }^{T},\;M = {\left( {M}_{ij}\right) }_{m \times n},
\]
\[
N = {\left( {N}_{ij}\right) }_{m \times n},\;U = {\left( {U}_{1},{U}_{2},\cdots ,{U}_{m}\right) }^{T},
\]
则 (2) 可表示为向量形式 \( U\left\lbrack x\right\rbrack = {M\xi }\left( a\right) + {N\xi }\left( b\right) \) . 给定函数 \( f\left( t\right) \) 和复常向量 \( \gamma = {\left( {\gamma }_{1},{\gamma }_{2},\cdots ,{\gamma }_{m}\right) }^{T} \) ,两点边值问题
\[
L\left\lbrack x\right\rbrack = f\left( t\right) ,\;U\left\lbrack x\right\rbrack = \gamma
\]
(3)
称为线性边值问题. 当 \( f\left( t\right) = 0,\gamma = 0 \) 时,(3) 称为齐次的, 否则称为非齐次的.
齐次线性边值问题 (homogeneous linear boundary value problem) 见“线性边值问题”.
非齐次线性边值问题 (non-homogeneous linear boundary value problem) 见“线性边值问题”.
伴随边值问题 (adjoint boundary value problem) 边值问题中的重要概念. 对于微分式
\[
L\left\lbrack x\right\rbrack = {P}_{0}\left( t\right) {x}^{\left( n\right) } + {P}_{1}\left( t\right) {x}^{\left( n - 1\right) } + \cdots
\]
\[
+ {P}_{n - 1}\left( t\right) {x}^{\prime } + {P}_{n}\left( t\right) x
\]
(参见“线性边值问题”), 称
\[
{L}^{ * }\left\lbrack x\right\rbrack = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{\left( -1\right) }^{n - k}{\left( {\bar{P}}_{k}x\right) }^{\left( n - k\right) }
\]
为 \( L\left\lbrack x\right\rbrack \) 的伴随微分式 (参见 “伴随微分方程”). 设 \( {U}_{i}^{ * }\left\lbrack x\right\rbrack \left( {i = 1,2,\cdots ,{m}^{ * }}\right) \) 为 \( {m}^{ * } \) 个边缘算子. 记 \( {U}^{ * } = \) \( {\left( {U}_{1}^{ * },{U}_{2}^{ * },\cdots ,{U}_{{m}^{ * }}^{ * }\right) }^{T} \) . 如果对于满足边界条件 \( U\left\lbrack x\right\rbrack = 0 \) 的任意的 \( {C}^{n} \) 类函数 \( x\left( t\right) \) 和满足边界条件 \( {U}^{ * }\left\lbrack {x}^{ * }\right\rbrack = 0 \) 的任意的 \( {C}^{n} \) 类函数 \( {x}^{ * }\left( t\right) \) ,有
\[
{\int }_{a}^{b}L\left\lbrack x\right\rbrack {\bar{x}}^{ * }\mathrm{\;d}t = {\int }_{a}^{b}x\overline{{L}^{ * }\left( {x}^{ * }\right) }\mathrm{d}t,
\]
则称 \( {U}^{ * }\left\lbrack |
2000_数学辞海（第3卷） | 225 | }_{1}\left( t\right) {x}^{\left( n - 1\right) } + \cdots
\]
\[
+ {P}_{n - 1}\left( t\right) {x}^{\prime } + {P}_{n}\left( t\right) x
\]
(参见“线性边值问题”), 称
\[
{L}^{ * }\left\lbrack x\right\rbrack = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{\left( -1\right) }^{n - k}{\left( {\bar{P}}_{k}x\right) }^{\left( n - k\right) }
\]
为 \( L\left\lbrack x\right\rbrack \) 的伴随微分式 (参见 “伴随微分方程”). 设 \( {U}_{i}^{ * }\left\lbrack x\right\rbrack \left( {i = 1,2,\cdots ,{m}^{ * }}\right) \) 为 \( {m}^{ * } \) 个边缘算子. 记 \( {U}^{ * } = \) \( {\left( {U}_{1}^{ * },{U}_{2}^{ * },\cdots ,{U}_{{m}^{ * }}^{ * }\right) }^{T} \) . 如果对于满足边界条件 \( U\left\lbrack x\right\rbrack = 0 \) 的任意的 \( {C}^{n} \) 类函数 \( x\left( t\right) \) 和满足边界条件 \( {U}^{ * }\left\lbrack {x}^{ * }\right\rbrack = 0 \) 的任意的 \( {C}^{n} \) 类函数 \( {x}^{ * }\left( t\right) \) ,有
\[
{\int }_{a}^{b}L\left\lbrack x\right\rbrack {\bar{x}}^{ * }\mathrm{\;d}t = {\int }_{a}^{b}x\overline{{L}^{ * }\left( {x}^{ * }\right) }\mathrm{d}t,
\]
则称 \( {U}^{ * }\left\lbrack x\right\rbrack = 0 \) 为 \( U\left\lbrack x\right\rbrack = 0 \) 的伴随边界条件,并称
\[{L}^{ * }\left\lbrack x\right\rbrack = 0,\;{U}^{ * }\left\lbrack x\right\rbrack = 0\]
为
\[L\left\lbrack x\right\rbrack = 0,\;U\left\lbrack x\right\rbrack = 0\]
(1)
的伴随边值问题. 当 \( L\left\lbrack x\right\rbrack = {L}^{ * }\left\lbrack x\right\rbrack \) 且条件 \( U\left\lbrack x\right\rbrack = 0 \) 等价于条件 \( {U}^{ * }\left\lbrack x\right\rbrack = 0 \) 时,称边值问题 (1) 是自伴的.
伴随边界条件 (adjoint boundary condition)
见“伴随边值问题”.
自伴边值问题 (self-adjoint boundary value problem) 见“伴随边值问题”.
自伴特征值问题 (self-adjoint eigenvalue problem) 在数学物理和算子理论中占有重要地位的一类带参数的边值问题. 含有复参数 \( \lambda \) 的边值问题
\[L\left\lbrack x\right\rbrack = {\lambda x},\;U\left\lbrack x\right\rbrack = 0\]
(1)
称为特征值问题. 如果 \( \lambda \) 使得 (1) 有非零解,则称 \( \lambda \) 为 (1) 的特征值,所对应的解称为特征函数. 如果 \( \lambda \) 不是 (1) 的特征值,则存在惟一的函数 \( G\left( {t,\tau ,\lambda }\right) \) ,使得非齐次边值问题
\[
L\left\lbrack x\right\rbrack = {\lambda x} + f\left( t\right) ,\;U\left\lbrack x\right\rbrack = 0
\]
具有解
\[
x\left( t\right) = {\int }_{a}^{b}G\left( {t,\tau ,\lambda }\right) f\left( \tau \right) \mathrm{d}\tau .
\]
这样的函数 \( G\left( {t,\tau ,\lambda }\right) \) 称为 (1) 的格林函数. (1) 的格林函数 \( G\left( {t,\tau ,\lambda }\right) \) 和对应于 \( {L}^{ * }\left( x\right) = {\lambda x},{U}^{ * }\left\lbrack x\right\rbrack = 0 \) (参见“伴随边值问题”) 的格林函数 \( {G}^{ * }\left( {t,\tau ,\lambda }\right) \) 之间存在关系式
\[
G\left( {t,\tau ,\lambda }\right) = {\bar{G}}^{ * }\left( {\tau, t,\bar{\lambda }}\right) .
\]
如果边值问题 \( L\left\lbrack x\right\rbrack = 0, U\left\lbrack x\right\rbrack = 0 \) (参见 “伴随边值问题”) 是自伴时, 则称 (1) 为自伴特征值问题. 此时, (1) 有以下结论:
1. 特征值全为实数, 特征值的集合是可数的离散集.
2. 对应于不同特征值的特征函数是正交的.
3. 如果 \( \left\{ {\varphi }_{n}\right\} \) 是由全体特征函数所做的一个规范正交系,则 \( \left\{ {\varphi }_{n}\right\} \) 就是在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上由平方可积函数所构成的希尔伯特空间中的一个完备的规范正交系. 从而,对 \( f \in {L}^{2}\left( {a, b}\right) \) 的傅里叶级数展开
\[
f = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{a}_{n}{\varphi }_{n}
\]
帕塞瓦尔等式成立.
4. 如果 \( f \) 为 \( {C}^{n} \) 类函数,且满足 \( U\left\lbrack f\right\rbrack = 0 \) ,则 \( f \) 的傅里叶展开式在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上一致收敛于 \( f \) .
斯图姆-刘维尔边值问题 (Sturm-Liouville boundary value problem) 最基本而重要的一类微分方程特征值问题. 二阶微分方程的特征值问题
\[
\left\{ \begin{array}{l} {\left( p\left( t\right) {x}^{\prime }\right) }^{\prime } + \left\lbrack {q\left( t\right) + \lambda }\right\rbrack x = 0, \\ x\left( a\right) \cos \alpha - p\left( a\right) {x}^{\prime }\left( a\right) \sin \alpha = 0, \\ x\left( b\right) \cos \beta - p\left( b\right) {x}^{\prime }\left( b\right) \sin \beta = 0. \end{array}\right.
\]
(1)
称为斯图姆-刘维尔问题,其中 \( p\left( t\right) > 0, q\left( t\right) \) 为 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的实值连续函数, \( \lambda \) 为复常数, \( \alpha ,\beta \) 为给定的实常数. 对斯图姆-刘维尔问题 (1), 以下结论成立:
1. 特征值 (也称点谱) 组成一个无界的序列
\[
{\lambda }_{0} < {\lambda }_{1} < \cdots < {\lambda }_{n - 1} < {\lambda }_{n} < \cdots .
\]
2. 对应于 \( {\lambda }_{n} \) 的特征函数 \( {\varphi }_{n}\left( t\right) \) 在 \( \left( {a, b}\right) \) 中恰好有 \( n \) 个零点,而且在 \( {\varphi }_{n}\left( t\right) \) 的两个相邻零点之间存在 \( {\varphi }_{n - 1}\left( t\right) \) 的一个零点.
3. \( \left\{ {{\varphi }_{n}\left( t\right) }\right\} \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上组成一个正交函数系,即
\[
{\int }_{a}^{b}{\varphi }_{n}\left( t\right) {\varphi }_{m}\left( t\right) \mathrm{d}t = 0\;\left( {m \neq n}\right) .
\]
4. 若 \( \lambda \) 不是特征值,则存在连续函数
\[
G\left( {t,\tau ,\lambda }\right) = \bar{G}\left( {\tau, t,\bar{\lambda }}\right) \;\left( {a \leq \tau, t \leq b}\right) ,
\]
使得
\[
y\left( t\right) = {\int }_{a}^{b}G\left( {t,\tau ,\lambda }\right) h\left( \tau \right) \mathrm{d}\tau
\]
为非齐次边值问题
\[
\left\{ \begin{array}{l} {\left( p\left( t\right) {y}^{\prime }\right) }^{\prime } + \left\lbrack {q\left( t\right) + \lambda }\right\rbrack y = h\left( t\right) , \\ y\left( a\right) \cos \alpha - p\left( a\right) {y}^{\prime }\left( a\right) \sin \alpha = 0, \\ y\left( b\right) \cos \beta - p\left( b\right) {y}^{\prime }\left( b\right) \sin \beta = 0 \end{array}\right.
\]
(2)
的惟一解,而且对实数 \( \lambda, G\left( {t,\tau ,\lambda }\right) \) 为实值函数.
5. 如 \( \lambda = {\lambda }_{n},{\lambda }_{n} \) 仅对应一个特征函数 \( {\varphi }_{n} \) ,且 \( h\left( t\right) \) 为 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的可积函数,则边值问题 (2) 有解的充分必要条件为
\[
{\int }_{a}^{b}{\varphi }_{n}\left( t\right) h\left( t\right) \mathrm{d}t = 0.
\]
此时,若 \( y\left( t\right) \) 是 (2) 的解,则 \( y\left( t\right) + c{\varphi }_{n}\left( t\right) \) 也是 (2) 的解, 而且所有的解均可表为这一形式.
6. 如果特征函数 \( {\varphi }_{n}\left( t\right) \) 已规范化,即满足
\[
{\int }_{a}^{b}{\varphi }_{n}^{2}\left( t\right) \mathrm{d}t = 1
\]
则 \( {\varphi }_{0}\left( t\right) ,{\varphi }_{1}\left( t\right) ,\cdots \) 构成 \( {L}^{2}\left( {a, b}\right) \) 空间中的一个规范的完备正交序列,即如 \( h\left( t\right) \in {L}^{2}\left( {a, b}\right) \) ,则 \( h\left( t\right) \) 有傅里叶展开式
\[
h\left( t\right) \sim \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{C}_{n}{\varphi }_{n}\left( t\right)
\]
其中
\[
{C}_{n} = {\int }_{a}^{b}{\varphi }_{n}\left( t\right) h\left( t\right) \mathrm{d}t,
\]
并且
\[
{\int }_{a}^{b}{\left| h\left( t\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{C}_{k}{\varphi }_{k}\left( t\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}t \rightarrow 0\;\left( {n \rightarrow \infty }\right) .
\]
奇异自伴边值问题 (singular self-adjoint boundary value problem) 在无穷区间或开区间上推广的边值问题. 简单地说,如果在自伴边值问题中将 \( a \) \( \leq t \leq b \) 为有界闭区间这一条件换为开区间、半开区间或无穷区间, 则这类边值问题称为奇异的. 严格地说, 是指在上述边值问题中的方程的系数在定义区间端点有奇性, 或此区间为无穷区间的情形. 因为这时相应微分方程不但有离散的特征值, 还有连续谱出现. 相应地亦可研究奇异的自伴特征值问题, 诸如特征函数的存在性, \( {L}^{2}\left( {a, b}\right) \) 空间中函数的展开式和帕塞瓦尔等式等性质. 但首先要研究在区间端点如何加适当的边界条件. 同时还可研究相应方程在其系数满足什么条件时只有连续谱, 或只有点谱, 或既有连续谱又有点谱的问题.
非自伴边值问题 (non-self-adjoint boundary value problem) 一类没有对称性因而问题求解比较困难的线性边值问题. 有界闭区间上的边值问题若不满足自伴性条件, 则一般地, 通过变量代换, 可以表示成如下形式
\[
L\left\lbrack x\right\rbrack = {x}^{\left( n\right) } + {P}_{2}\left( t\right) {x}^{\left( n - 2\right) } + \cdots
\]
\[ + {P}_{n}\left( t\right) x = {\lambda x}, U\left\lbrack x\right\rbrack = 0,\]
(1)
其中 \( {P}_{2}\left( t\right) ,\cdots ,{P}_{n}\left( t\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上连续 (边缘算子 \( U \) 参见 “线性边值问题”). 对非自伴边值问题 (1), 特征函数的正交性一般不再成立. 但为了展开希尔伯特空间 \( {L}^{2}\left( {a, b}\right) \) 中的函数,可利用边值问题 (1) 的特征函数与 (1) 所对应的伴随边值问题的特征函数的正交性. 此时,有下述结果: 设 (1) 的格林函数 \( G\left( {t,\tau ,\lambda }\right) \) 的所有极点均是简单的,且特征函数为 \( \left\{ {\varphi }_{n}\right\} \) ,则 (1) 的伴随边值问题的特征函数构成一序列 \( \left\{ {\psi }_{n}\right\} \) ,使得
\[
{\int }_{a}^{b}{\varphi }_{n}{\bar{\psi }}_{m}\mathrm{\;d}t = {\delta }_{mn},
\]
并对 \( f \in {L}^{2}\left( {a, b}\right) \) ,有
\[
f\left( t\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\varphi }_{n}\left( t\right) {\int }_{a}^{b}f\left( \tau \right) {\bar{\psi }}_{n}\left( \tau \right) \mathrm{d}\tau .
\]
非线性边值问题 (non-linear boundary value problem) 一类在非线性科学里提出来的微分方程定解问题. 非线性方程的边值问题的研究比线性情形要困难得多, 没有一般的结论, 只对特殊形式的方程有一些结果. 例如, 对于二阶方程
\[
{x}^{\prime \prime } = f\left( {t, x,{x}^{\prime }}\right)
\]
(1)
和边界条件 \( x\left( a\right) = A, x\left( b\right) = B \) 的边值问题,有下述结论: 假设 \( f\left( {t, x,{x}^{\prime }}\right) \) 对 \( a \leq t \leq b,\alpha \left( t\right) \leq x \leq \beta \left( t\right) \) , \( - \infty < {x}^{\prime } < + \infty \) 连续,且 \( \left| {f\left( {t, x,{x}^{\prime }}\right) }\right| \leq M\left( {1 + {x}^{\prime 2}}\right) \) , \( {\alpha }^{\prime \prime }\left( t\right) \geq f\left( {t,\alpha \left( t\right) ,{\alpha }^{\prime }\left( t\right) }\right) ,{\beta }^{\prime \prime }\left( t\right) \leq f\left( {t,\beta \left( t\right) ,{\beta }^{\prime }\left( t\right) }\right) , \) \( \alpha \left( a\right) \leq A \leq \beta \left( a\right) ,\alpha \left( b\right) \leq B \leq \beta \left( b\right) \) ,则 (1) 存在一个解 \( x\left( t\right) \) 满足给定的边界条件,且在 \( a \leq t \leq b \) 上有
\[
\alpha \left( t\right) \leq x\left( t\right) \leq \beta \left( t\right) .
\]
如果 \( f\left( {t, x,{x}^{\prime }}\right) \) 关于 \( x \) 是单调增加的,那么解是惟一的, 而且在适当条件下, 解可以用逐次逼近法求得. 研究非线性边值问题的方法有打靶法、上下解法、不动点方法.
## 常微分方程解析理论
常微分方程解析理论 (analytical theory of ordinary differential equation) 在复数域上研究微分方程解的性质的数学分支. 19 世纪中叶, 柯西 (Cauchy, A. -L. )证明了在相当广泛的条件下微分方程的解是复变量的解析函数, 由此开创了运用复变函数论研究微分方程的先河. 首先是运用复变函数论方法于复的线性系统, 导致了许多重要的数学物理方程的研究, 如超几何方程等 (参见 “超几何方程”). 随着研究的深化, 在日本数学家吉田耕作 (Yosida, K. ) 引入奈望林纳 (Nevanlina, R. ) 的近代亚纯函数的值分布理论后, 常微分方程的解析理论得到了很大的发展 (参见 “马尔姆奎斯特定理”). 晚近, 在法国和俄罗斯数学学派有关几何理论研究的推动下, 又出现了所谓拟解析理论 (参见 “表现定理”).
柯西初值问题 (Cauchy initial value problem) 微分方程的一种基本定解问题. 设 \( f\left( {z, w}\right) \) 是定义在复空间 \( \mathrm{C} \times {\mathrm{C}}^{n} \) 的一个区域 \( \Omega \subset \mathrm{C} \times {\mathrm{C}}^{n} \) 上的复变量向量解析函数, 则可考虑微分方程
\[
\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{\;d}z} = f\left( {z, w}\right) ,
\]
(1)
写成分量形式为
\[
\frac{\mathrm{d}{w}_{i}}{\mathrm{\;d}z} = {f}_{i}\left( {z,{w}_{1},{w}_{2},\cdots ,{w}_{n}}\right) \;\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) .
\]
又设 \( H \) 是平面 \( \mathrm{C} \) 上的一个区域,则一个解析映射 \( w : H \subset \mathrm{C} \rightarrow {\mathrm{C}}^{n} \) 称为是 (1) 的一个解,若它满足下面诸式:
1. \( \left( {z, w\left( z\right) }\right) \in \O |
2000_数学辞海（第3卷） | 226 | tical theory of ordinary differential equation) 在复数域上研究微分方程解的性质的数学分支. 19 世纪中叶, 柯西 (Cauchy, A. -L. )证明了在相当广泛的条件下微分方程的解是复变量的解析函数, 由此开创了运用复变函数论研究微分方程的先河. 首先是运用复变函数论方法于复的线性系统, 导致了许多重要的数学物理方程的研究, 如超几何方程等 (参见 “超几何方程”). 随着研究的深化, 在日本数学家吉田耕作 (Yosida, K. ) 引入奈望林纳 (Nevanlina, R. ) 的近代亚纯函数的值分布理论后, 常微分方程的解析理论得到了很大的发展 (参见 “马尔姆奎斯特定理”). 晚近, 在法国和俄罗斯数学学派有关几何理论研究的推动下, 又出现了所谓拟解析理论 (参见 “表现定理”).
柯西初值问题 (Cauchy initial value problem) 微分方程的一种基本定解问题. 设 \( f\left( {z, w}\right) \) 是定义在复空间 \( \mathrm{C} \times {\mathrm{C}}^{n} \) 的一个区域 \( \Omega \subset \mathrm{C} \times {\mathrm{C}}^{n} \) 上的复变量向量解析函数, 则可考虑微分方程
\[
\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{\;d}z} = f\left( {z, w}\right) ,
\]
(1)
写成分量形式为
\[
\frac{\mathrm{d}{w}_{i}}{\mathrm{\;d}z} = {f}_{i}\left( {z,{w}_{1},{w}_{2},\cdots ,{w}_{n}}\right) \;\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) .
\]
又设 \( H \) 是平面 \( \mathrm{C} \) 上的一个区域,则一个解析映射 \( w : H \subset \mathrm{C} \rightarrow {\mathrm{C}}^{n} \) 称为是 (1) 的一个解,若它满足下面诸式:
1. \( \left( {z, w\left( z\right) }\right) \in \Omega \left( {\forall z \in H}\right) \) .
\[
\text{2.}\frac{\mathrm{d}w\left( z\right) }{\mathrm{d}z} = f\left( {z, w\left( z\right) }\right) \;\left( {\forall z \in H}\right) \text{.}
\]
下列问题称为柯西初值问题: 给出复平面 \( \mathrm{C} \) 上一个区域 \( H \) ,区域 \( \Omega \) 上的任一点 \( \left( {{z}_{0},{w}_{0}}\right) \) 和一个 \( H \) 上的解 \( w = w\left( z\right) \) ,满足 \( w\left( {z}_{0}\right) = {w}_{0} \) . 上述问题又可写成
\[
\left\{ \begin{array}{l} \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{\;d}z} = f\left( {z, w}\right) , \\ w\left( {z}_{0}\right) = {w}_{0}. \end{array}\right.
\]
柯西定理 (Cauchy theorem) 解析理论的基本定理,最初由柯西 (Cauchy, A.-L.) 完成. 设 \( {f}_{i}(z \) , \( \left. {{w}_{1},{w}_{2},\cdots ,{w}_{n}}\right) \left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \) 在区域
\[
D : \left| {z - {z}_{0}}\right| < r,\left| {{w}_{i} - {w}_{i}^{0}}\right| < \rho \left( {i = 1,2,\cdots, n}\right)
\]
上为全纯,其中常数 \( r,\rho \in {\mathrm{R}}_{ + } \) ,又
\[
M = \mathop{\sup }\limits_{{D, i}}\left| {{f}_{i}\left( {z,{w}_{1},{w}_{2},\cdots ,{w}_{n}}\right) }\right| < + \infty
\]
\[
\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) ,
\]
则柯西初值问题
\[
\left\{ \begin{array}{l} \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{\;d}z} = f\left( {z, w}\right) , \\ w\left( {z}_{0}\right) = {w}_{0} = \left( {{w}_{1}^{0},{w}_{2}^{0},\cdots ,{w}_{n}^{0}}\right) \end{array}\right.
\]
在区域
\[
H : \left| {z - {z}_{0}}\right| < r\left( {1 - \exp \left( {-\frac{\rho }{\left( {n + 1}\right) {Mr}}}\right) }\right)
\]
上存在惟一一个全纯解.
柯西定理得到的解的存在区域 \( H \) 一般相当小; 利用解析延拓来扩张这个全纯解, 是解析理论的基本问题之一,也是困难问题之一 (参见 “马尔姆奎斯特定理”).
优级数法 (majoriant series method) 研究解的解析性的重要方法之一. 优级数法最初被柯西 (Cauchy, A.-L. ) 用来研究复变函数的解析性, 后经布里奥 (Briot, C. A. A. ) 和布凯 (Bouquet, J. -C. ) 之手, 被发展成一种研究微分方程的有效方法. 优级数则是其中的一个重要工具. 以下用一个布里奥与布凯的例子说明此法. 设要求解一阶偏微分方程
\[
\frac{\partial H}{\partial x} = A\frac{\partial H}{\partial y}
\]
(1)
其中 \( A\left( {x, y}\right) \) 为 \( \left( {0,0}\right) \in \mathrm{C} \times \mathrm{C} \) 邻域内的已知全纯函数, \( H\left( {x, y}\right) \) 为 \( \left( {0,0}\right) \in \mathrm{C} \times \mathrm{C} \) 邻域内待求全纯函数. 记
\[
A\left( {x, y}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{p = 0}}^{\infty }{a}_{p}\left( y\right) {x}^{p},
\]
\[
H\left( {x, y}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{q = 0}}^{\infty }{h}_{q}\left( y\right) {x}^{q},
\]
其中 \( {a}_{p} \) 为 \( y \) 的收敛幂级数, \( {h}_{0} \) 为给定幂级数, \( {h}_{q}\left( {q \geq 1}\right) \) 为未知幂级数. 将 \( A \) 与 \( H \) 代入 (1) 式,再令两边同幂项相等, 得
\[
\left( {n + 1}\right) {h}_{n + 1} = \mathop{\sum }\limits_{{p = 0}}^{n}{a}_{n - p}\left( y\right) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}{h}_{p}\left( y\right) \left( {F}_{n}\right)
\]
( \( n \) 为非负整数).
此式显示可由 \( {h}_{0},{a}_{0},{a}_{1},\cdots \) 归纳地确定 \( {h}_{1},{h}_{2},{h}_{3},\cdots \) , 故 \( H \) 的惟一性是明显的. 余下要证明 \( H \) 的收敛性.
若级数 \( u \) 的每一系数的模大于另一级数 \( v \) 的相应系数的模,则称级数 \( u \) 优于级数 \( v \) ,记为 \( u \succ v \) (显然, \( u \) 的系数均为非负). 考虑下式
\( \left( {n + 1}\right) {\widetilde{h}}_{n + 1} = \mathop{\sum }\limits_{{p = 0}}^{n}{\widetilde{a}}_{n - p}{\widetilde{h}}^{\prime }{}_{p}\left( {\widetilde{F}}_{n}\right) \) ( \( n \) 为非负整数);
若其中 \( {\widetilde{a}}_{q} \succ {a}_{q} \) (对一切 \( q \) ),即 \( \widetilde{A} \succ A \) ,又 \( {\widetilde{h}}_{0} \succ {h}_{0} \) ,则显然 \( {\widetilde{h}}_{n} \succ {h}_{n} \) (对一切 \( n \geq 1 \) ). 从而有 \( \widetilde{H} \succ H \) .
由上述讨论可知,当 \( A \) 在 \( \left( {0,0}\right) \in \mathrm{C} \times \mathrm{C} \) 之某一邻域中为解析时, 则它有一优级数
\[
\widetilde{A}\left( {x, y}\right) = M\mathop{\sum }\limits_{{p, q = 0}}^{\infty }{c}^{p + q}{x}^{p}{y}^{q} = \frac{M}{\left( {1 - {cx}}\right) \left( {1 - {cy}}\right) }
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{p = 0}}^{\infty }\frac{M{c}^{p}}{1 - {cy}}{x}^{p}
\]
其中 \( M, c \) 为正实数. 今考虑 \( \left( {\widetilde{F}}_{n}\right) \) ,令其中
\[
{\widetilde{a}}_{q} = \frac{M{c}^{p}}{1 - {cy}},
\]
又 \( {\widetilde{h}}_{0} \succ {h}_{0} \) ,则其解将定义一收敛级数
\[
\widetilde{H} = \mathop{\sum }\limits_{{q = 0}}^{\infty }{\widetilde{h}}_{q}\left( y\right) {x}^{q}.
\]
于是 \( \widetilde{H} \) 显然为解析,又优于 \( H \) ,故 \( H \) 必为收敛.
综上所述, 优级数法主要由两个步骤组成: 假设方程有一个形式级数解, 需证明它的系数被惟一确定; 其次构造一个优级数, 用以证明形式级数收敛. 优级数法后来被西格尔 (Siegel, C. L. ) 用于三体问题的研究,以至后来又被阿诺尔德 (AphoJIb, B. II. ) 和莫泽 (Moser, J. K. ) 成功地发展成一种非线性问题的广泛而有效的方法—— KAM (Kolmogolov-Arnold-Moser)方法.
奇点 (singularity) 复平面上使方程或其解的解析性遭到破坏的点. 对于一个形如
\[
\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{\;d}z} = f\left( {z, w}\right)
\]
的方程,如果 \( \left( {{z}_{0},{w}_{0}}\right) \) 是方程右端函数的非解析点, 则常称为方程的奇点. 根据解的存在和惟一性定理, 方程的解在 \( {z}_{0} \) 的解析性将得不到保证. 如果它正好是解的一个奇点, 便称为解的奇点. 此外, 常常还需要考察 \( z = \infty \) 的奇性. 这些奇点,依据复变函数论应有可去奇点、极点与本性奇点之分. 但如研究微分方程或其解的奇点性质, 需要对奇点再进行分类. 可以依照方程右端函数的奇性进行分类, 也可以依照解在奇点处的奇性进行分类. 一般地, 这两种分类互相独立; 就是说, 彼此一般没有蕴涵关系, 除非方程是线性系统 (参见“正则奇点”、“非正则奇点”).
有关奇点最粗糙的分类是将奇点分为可移奇点与固定奇点两种. 一个与初值问题的初值有关的奇点称为可移奇点, 意思是随着初值的改变, 奇点可能消失, 甚或奇性增强. 反之, 与初值无关的奇点称为固定奇点. 例如方程 \( {w}^{\prime } = 1/{2wz} \) . 显然 \( z = 0, w = 0 \) 是它的一个奇点, 它的积分是
\[
w = \sqrt{\ln \frac{z}{C}}
\]
可见 \( z = 0 \) 与 \( z = C \) ( \( C \) 为积分常数) 都是解的奇点. 通过展成级数不难证明, \( z = 0 \) 是固定奇点,而 \( z = C \) 是可移奇点. 下面是有关这方面的几个重要结果:
1. (庞加莱定理) 任何线性方程都不含可移奇点.
2. (班勒卫定理) 方程 \( P\left( {{w}^{\prime }, w, z}\right) = 0 \) 的积分没有可移本性奇点,其中 \( P \) 是 \( w \) 及 \( {w}^{\prime } \) 的多项式,且是 \( z \) 的解析函数.
3. (富克斯定理) 对于方程
\[
\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{\;d}z} = R\left( {w, z}\right) ,
\]
其中 \( R\left( {w, z}\right) \) 为 \( w \) 与 \( z \) 的有理函数,如无可移奇点, 则此方程必定为黎卡提方程
\[
\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{\;d}z} = a\left( z\right) {w}^{2} + b\left( z\right) w + c\left( z\right) .
\]
马尔姆奎斯特定理 (Malmquist theorem) 一
个有关复域方程解结构的重要定理. 解析理论的基本定理是柯西的存在惟一性定理. 这是一个局部性定理, 一旦要求由此经过解析延拓来讨论解的大范围性质, 就会出现非常复杂的情况. 一个重要的问题是, 微分方程何时具有整个复平面上的单值亚纯解或有限多值代数体函数解. 对于如下形式的方程
\[
\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{\;d}z} = R\left( {w, z}\right) ,
\]
(1)
其中 \( R\left( {w, z}\right) \) 为 \( w \) 与 \( z \) 的有理函数,1913 年,马尔姆奎斯特 (Malmquist, J. ) 首先得到了一个极为重要的结果, 被称为马尔姆奎斯特定理. 该定理断言: 在上述方程 (1) 中, 设
\[
R\left( {w, z}\right) = \frac{P\left( {w, z}\right) }{Q\left( {w, z}\right) },
\]
其中
\[
P\left( {w, z}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{p}{a}_{k}\left( z\right) {w}^{k}, Q\left( {w, z}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{q}{b}_{j}\left( z\right) {w}^{j}
\]
是 \( w \) 的互质多项式,系数 \( \left\{ {{a}_{k}\left( z\right) }\right\} \) 和 \( \left\{ {{b}_{j}\left( z\right) }\right\} \) 是 \( z \) 的有理函数. 若 (1) 存在非有理分式的亚纯解, 则必 \( q = 0, p \leq 2 \) ,即方程 (1) 退化为黎卡提方程
\[
\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{\;d}z} = a\left( z\right) {w}^{2} + b\left( z\right) w + c\left( z\right) ,
\]
其中 \( a, b, c \) 为 \( z \) 的有理函数. 此后发展的事实,其意义则远远超过了此定理本身. 1933 年, 吉田耕作对此定理给出了一个十分漂亮的证明, 他的证明用到了奈望林纳 (Nevanlinna, R. ) 的近代亚纯函数论, 因而完全改变了解析理论的面貌. 马尔姆奎斯特定理因此得到推广和精确化.
正则奇点 (regular singurality) 奇性较弱并宜于级数求解的一类方程的奇点. 考虑线性方程组
\[
\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{\;d}z} = A\left( z\right) w
\]
(1)
其中 \( A\left( z\right) \) 是一 \( n \times n \) 复阵,而 \( w \) 是一 \( n \) 维复向量. 假定阵 \( A\left( z\right) \) 在一去孔域 \( D : 0 < \left| {z - a}\right| < r \) 中为全纯且单值. 设 \( z = a \) 是方程的一个孤立奇点. 对之分类如下: 假定 \( A\left( z\right) \) 在 \( a \) 点至多只是一个极点 (本性奇点的情形至今没有什么成形的理论), 故可将它写成 \( A\left( z\right) = {\left( z - a\right) }^{-\mu - 1}B\left( z\right) \) ,其中阵 \( B\left( z\right) \) 在单连通区域 \( \left| {z - a}\right| < r \) 内单值全纯. 当 \( \mu = 0 \) 时,称 \( z = a \) 为 (1) 的第一类奇点,当 \( \mu \geq 1 \) 时,称 \( z = a \) 为 (1) 的第二类奇点.
另一方面, 对于方程组 (1) 的解的结构, 已有一个结果如下. 当 \( A\left( z\right) \) 在去孔域 \( D \) 内全纯单值时,方程组 (1) 的每一基本解阵 \( \Phi \) 可写成 \( \Phi \left( z\right) = S\left( z\right) (z \) \( - a{)}^{P} \) ,其中阵 \( S\left( z\right) \) 在去孔域 \( D \) 内为全纯单值, \( P \) 为某一常值阵; 而幂矩阵的定义是 \( {z}^{M} = {\mathrm{e}}^{\left( {\log z}\right) M} \) .
如果 \( z = a \) 至多是 \( S \) 的一个极点,即基本阵可写成 \( \Phi \left( z\right) = {S}_{1}\left( z\right) {\left( z - a\right) }^{P - {kI}} \) (其中阵 \( {S}_{1}\left( z\right) \) 在 \( D \cup \{ a\} \) 内为全纯单值, \( k \) 为一整数,它表示阵 \( S \) 的极点的阶, \( I \) 为一单位阵),则称 \( a \) 是方程组 (1) 的解的正则奇点,否则,称 \( a \) 是方程组 (1) 的解的非正则奇点. 有关这两种分类, 还有如下蕴涵关系:
1. 如果 \( a \) 是方程组 (1) 的第一类奇点,则 \( a \) 必为解的正则奇点; 反之不真.
2. 如果方程组 (1) 由一个 \( n \) 阶线性方程式所诱导 (参见 “ \( n \) 阶线性方程”),则解的正则奇点必为方程的第一类奇点 (富克斯定理).
第一类奇点 (singularities of the first kind) 见“正则奇点”.
第二类奇点 (singularities of the second kind) 见“正则奇点”.
非正则奇点 (irregular singularity) 见 “正则
## 奇点”.
形式解阵 (formal solution matrix) 由矩阵表达的形式解. 用形式级数法讨论具有第一、第二类奇点的线性系统
\[
\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{\;d}z} = A\left( z\right) w, A\left( z\right) = {z}^{-\mu - 1}\mathop{\sum }\limits_{{m = 0}}^{\infty }{A}_{m}{z}^{m},
\]
(1)
可以得出很细致的结果. 下列表达式称为形式洛朗级数
\[
f = \mathop{\sum }\limits_{{m = - \infty }}^{\infty }{c}_{m}{z}^{m}
\]
(约定: 除有限项外, \( z \) 的负幂项的系数均为零). 下列表达式称为形式对数和
\[
p = \mathop{\sum }\limits_{{j, k = 0}}^{\infty }{f}_{jk}{z}^{{\mu }_{j}}{\left( \log z\right) }^{k},
\]
\[
{f}_{jk} = 0\text{,对充分大的}j + k\text{,}
\]
其中 \( {f}_{jk} \) 为形式洛朗级数. 显然,形式对数和构成一个复代数 \( \Lambda \) ,它由形式洛朗级数, \( z \) 的幂以及 \( \log z \) 的整幂生成. 形式洛朗级数以及形式对数和还分别具有形式导数如下
\[
{f}^{\prime } = \mathop{\sum }\limits_{{m = - \infty }}^{\infty }m{c}_{m}{z}^{m - 1},
\]
\[
{p}^{\prime } = \mathop{\sum }\limits_{{j, k = 0}}^{\infty }{\left( \log z\right) }^{k}\left\lbrack {{f}^{\prime }{}_{jk} + {\mu }_{j}{f}_{jk}{z}^{-1}}\right.
\]
\[
\left. {+\left( {k |
2000_数学辞海（第3卷） | 227 | nd kind) 见“正则奇点”.
非正则奇点 (irregular singularity) 见 “正则
## 奇点”.
形式解阵 (formal solution matrix) 由矩阵表达的形式解. 用形式级数法讨论具有第一、第二类奇点的线性系统
\[
\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{\;d}z} = A\left( z\right) w, A\left( z\right) = {z}^{-\mu - 1}\mathop{\sum }\limits_{{m = 0}}^{\infty }{A}_{m}{z}^{m},
\]
(1)
可以得出很细致的结果. 下列表达式称为形式洛朗级数
\[
f = \mathop{\sum }\limits_{{m = - \infty }}^{\infty }{c}_{m}{z}^{m}
\]
(约定: 除有限项外, \( z \) 的负幂项的系数均为零). 下列表达式称为形式对数和
\[
p = \mathop{\sum }\limits_{{j, k = 0}}^{\infty }{f}_{jk}{z}^{{\mu }_{j}}{\left( \log z\right) }^{k},
\]
\[
{f}_{jk} = 0\text{,对充分大的}j + k\text{,}
\]
其中 \( {f}_{jk} \) 为形式洛朗级数. 显然,形式对数和构成一个复代数 \( \Lambda \) ,它由形式洛朗级数, \( z \) 的幂以及 \( \log z \) 的整幂生成. 形式洛朗级数以及形式对数和还分别具有形式导数如下
\[
{f}^{\prime } = \mathop{\sum }\limits_{{m = - \infty }}^{\infty }m{c}_{m}{z}^{m - 1},
\]
\[
{p}^{\prime } = \mathop{\sum }\limits_{{j, k = 0}}^{\infty }{\left( \log z\right) }^{k}\left\lbrack {{f}^{\prime }{}_{jk} + {\mu }_{j}{f}_{jk}{z}^{-1}}\right.
\]
\[
\left. {+\left( {k + 1}\right) {f}_{j, k + 1}{z}^{-1}}\right\rbrack {z}^{{\mu }_{j}}\text{.}
\]
注意形式导数对复代数 \( \Lambda \) 也是封闭的. 元素均为形式对数和的矩阵, 称为形式对数阵. 例如, 上述方程 (1) 的右端即为一形式对数阵. 一个形式地满足方程 （1）的形式对数阵, 即称为一形式解阵. 对于具有第一类奇点的 (1), 一个非常细致的结果是: 任何形式解阵必为一准确解阵. 换言之, 形式解阵中的一切形式对数和均收敛. 这个结果能使人们写出 (1) 类方程的解结构的一般形式, 因而也就构成线性方程幂级数解法的理论基础. 但对第二类奇点的系统
\[
\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{\;d}z} = {z}^{-\rho - 1}B\left( z\right) w
\]
(2)
(其中矩阵 \( B \) 在 \( z = 0 \) 处解析, \( \rho \) 为一正整数),却并无相应的结果; 传统的做法先得出一个形式解阵 (这也是相当困难的), 然后研究其渐近性. 以下仅写出有关形式解阵的结果. 对 (2),考虑奇点 \( z = \infty \) ,则有如下结果. 对于系统
\[
\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{\;d}z} = {z}^{r}A\left( z\right) w,
\]
其中 \( r \) 为非负整数,阵 \( A\left( z\right) \) 在 \( z = \infty \) 的邻域内为 \( {z}^{-1} \) 的收敛幂级数
\[
A\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\infty }{z}^{-k}{A}_{k}
\]
若 \( {A}_{0} \neq 0 \) 有相异本征值 \( {\lambda }_{1},{\lambda }_{2},\cdots ,{\lambda }_{n} \) ,则系统存在下面形状的形式解阵 \( \Phi = P{z}^{R}{\mathrm{e}}^{Q} \) ,其中阵 \( R \) 为对角阵,阵 \( P \) 与 \( Q \) 分别有形
\( P = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\infty }{z}^{-k}{P}_{k}\left( {{P}_{0}\text{ 为非奇阵,即 det }{P}_{0} \neq 0}\right) , \)
\[
Q = \frac{{z}^{r + 1}}{r + 1}{Q}_{0} + \frac{{z}^{r}}{r}{Q}_{1} + \cdots + z{Q}_{r},
\]
且各 \( {Q}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots, r}\right) \) 均为对角阵, \( {Q}_{0} \) 与 \( {A}_{0} \) 有相同本征值.
形式洛朗级数 (formal Laurent series) 见“形
式解阵”
形式对数和 (formal Logarithm sum) 见 “形式解阵”.
形式对数阵 (formal Logarithm matrix) 见 “形式解阵”.
\( \mathbf{n} \) 阶线性方程的奇点 (singularities of linear equation of \( n \) -th order) 高阶线性方程的系数或其解的解析性受破坏的点. 考虑 \( n \) 阶线性方程
\[
\mathop{\sum }\limits_{{m = 0}}^{n}{a}_{n - m}\left( z\right) {w}^{\left( m\right) } = 0\left( {{a}_{0}\left( z\right) \equiv 1}\right) ,
\]
(1)
利用传统方法容易将它写成一阶组, 即矩阵形式. 但从奇性的考虑出发,则需用另法. \( {z}_{0} \) 称为 (1) 的第一类奇点, 当且仅当有
\[
{a}_{k}\left( z\right) = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{-k}{b}_{k}\left( z\right) \left( {k = 0,1,\cdots, n}\right) ,\left( 2\right)
\]
其中 \( {b}_{k} \) 在 \( {z}_{0} \) 解析. 称 \( {z}_{0} \) 至多为 (1) 的第一类奇点, 相当于说 \( {z}_{0} \) 或为解析点或为第一类奇点. 但 \( {z}_{0} \) 为 (1) 的第一类奇点时, \( {z}_{0} \) 未必为相关一阶组的第一类奇点,除非 \( {a}_{k} \) 均有简单奇点. 但存在一个代换可将 (1) 化为一阶组, 两者同时具有不同意义的第一类奇点. 显然, 对 (1) 采取上述的第一类奇点定义的优点,是可以容纳更多 \( {a}_{k} \) 的奇性. 考虑系统 (1). 令 \( \widehat{\varphi } = \) \( \left( {{\varphi }_{1},{\varphi }_{2},\cdots ,{\varphi }_{n}}\right) \) ,又令 \( \varphi \) 为 (1) 的任一解. 取
\[
{\varphi }_{k} = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{k - 1}{\varphi }^{\left( k - 1\right) }\;\left( {k = 1,2,\cdots, n}\right) ,
\]
\( {\varphi }^{\left( s\right) } \) 表 \( \varphi \) 之 \( s \) 阶导数,则
\[
\left( {z - {z}_{0}}\right) {\varphi }_{k} = \left( {k - 1}\right) {\varphi }_{k} + {\varphi }_{k + 1}
\]
\[
\left( {k = 1,2,\cdots, n - 1}\right) ,
\]
\[
\left( {z - {z}_{0}}\right) {\varphi }_{n} = \left( {n - 1}\right) {\varphi }_{n} - \mathop{\sum }\limits_{{m = 1}}^{n}{b}_{n - m + 1}\left( z\right) {\varphi }_{m}.
\]
故 \( \widehat{\varphi } \) 是
\[
\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{\;d}z} = A\left( z\right) w
\]
(3)
的向量解,其中 \( A\left( z\right) = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{-1} \)
\[
\left\lbrack \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 1 \\ - {b}_{n} & - {b}_{n - 1} & - {b}_{n - 2} & \cdots & \cdots & \left( {n - 1}\right) - {b}_{1} \end{matrix}\right\rbrack
\]
可见当 \( {z}_{0} \) 为 (1) 的第一类奇点时, \( {z}_{0} \) 也是 (3) 的第一类奇点. 称 (3) 是由方程 (1) 诱导的线性系统. 另一方面,当 \( {z}_{0} \) 为 (3) 的正则奇点时,由解的结构即知,在 \( {z}_{0} \) 的附近,每一解都是项
\[
{\left( z - {z}_{0}\right) }^{r}{\left( \log \left( z - {z}_{0}\right) \right) }^{k}p\left( z\right)
\]
(4)
的线性组合,其中 \( r \) 为整数, \( k \) 为不超过 \( n - 1 \) 的非负整数, \( p \) 在 \( {z}_{0} \) 解析,又 \( p\left( {z}_{0}\right) \neq 0 \) . 如果 (1) 的每一解能在 \( {z}_{0} \) 的去孔邻域内表为 (4) 的项的线性组合, 则称 \( {z}_{0} \) 为 (1) 的正则奇点. 若 (1) 至多以 \( {z}_{0} \) 为第一类奇点,则 \( {z}_{0} \) 必为 (1) 的正则奇点. 对 \( n \) 阶方程,反过来的事实也是对的 (参见 “正则奇点”).
富克斯方程(Fuchs equation) 一类具有特殊奇性且在数学物理中有很广背景的线性方程. 一个 \( n \) 阶线性方程
\[
\mathop{\sum }\limits_{{h = 0}}^{n}{a}_{n - h}\left( z\right) {w}^{\left( h\right) } = 0\;\left( {{a}_{0}\left( z\right) = 1}\right) ,
\]
如果它有有限个正则奇点 \( {z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{k} \) ,同时又以无穷远点 \( \infty \) 为正则奇点,则称为富克斯方程. 此时系数可写成下面形状 (参见 “ \( n \) 阶线性方程”):
\[
{a}_{h}\left( z\right) = {p}_{h}\left( z\right) \mathop{\prod }\limits_{{m = 1}}^{k}{\left( z - {z}_{m}\right) }^{-h}\left( {h = 1,2,\cdots, n}\right) ,
\]
其中 \( {p}_{h}\left( z\right) \) 为一多项式,其次数最多为 \( h\left( {k - 1}\right) \) . 特别地, 考虑一个二阶富克斯方程
\[
{w}^{\prime \prime } + f\left( z\right) {w}^{\prime } + g\left( z\right) w = 0.
\]
(1)
可设有限奇点的个数 \( k \) 大于 2 (否则方程较平凡), 故可设
\[
f\left( z\right) = \frac{q\left( z\right) }{\mathop{\prod }\limits_{{m = 1}}^{k}\left( {z - {z}_{m}}\right) },
\]
\[
g\left( z\right) = \frac{r\left( z\right) }{\mathop{\prod }\limits_{{m = 1}}^{k}{\left( z - {z}_{m}\right) }^{2}},
\]
则其中 \( q\left( z\right), r\left( z\right) \) 各为次数不高于 \( k - 1 \) 或 \( 2\left( {k - 1}\right) \) 的多项式. 将其分解为部分分式
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{m = 1}}^{k}\frac{{a}_{m}}{z - {z}_{m}},
\]
\[g\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{m = 1}}^{k}\left( {\frac{{b}_{m}}{{\left( z - {z}_{m}\right) }^{2}} + \frac{{c}_{m}}{z - {z}_{m}}}\right) \]
\[\left( {{a}_{m},{b}_{m},{c}_{m} \in \mathrm{C}}\right) \text{.}\]
另一方面,下面方程称为 (1) 在奇点 \( {z}_{0} \) 的定态方程:
\( p\left( \lambda \right) = {\lambda }^{2} + \left( {{p}_{0} - 1}\right) \lambda + {q}_{0} \) ,其中
\[{p}_{0} = \mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow {z}_{0}}}\left( {z - {z}_{0}}\right) f\left( z\right) ,\]
\[{q}_{0} = \mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow {z}_{0}}}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{2}g\left( z\right) .\]
它的两个实根称为 (1) 在 \( {z}_{0} \) 的指数,并以 \( {\alpha }_{1m},{\alpha }_{2m} \) 及 \( {\alpha }_{1\infty },{\alpha }_{2\infty } \) 分别记 (1) 的在正则奇点 \( {z}_{m},\infty \) 处的指数. 富克斯 (Fuchs, I. L. ) 证明, 当 (1) 仅有三个正则奇点时,上述系数 \( {a}_{m},{b}_{m},{c}_{m} \) 将由指数 \( {\alpha }_{1m},{\alpha }_{2m} \) 及 \( {\alpha }_{1\infty },{\alpha }_{2\infty } \) 完全确定. 换言之, 富克斯方程将由其指数完全确定, 为此黎曼 (Riemann, (G. F. ) B. ) 给出富克斯方程的下列记号
\[
w = P\left\lbrack \begin{matrix} {z}_{1} & {z}_{2} & \infty & \\ {\alpha }_{11} & {\alpha }_{12} & {\alpha }_{1\infty } & z \\ {\alpha }_{21} & {\alpha }_{22} & {\alpha }_{2\infty } & \end{matrix}\right\rbrack .
\]
最后能得到一个结构定理: 设 \( {\alpha }_{11},{\alpha }_{21},{\alpha }_{12},{\alpha }_{22},{\alpha }_{1\infty } \) , \( {\alpha }_{2\infty } \in \mathrm{C},{z}_{1},{z}_{2} \in \mathrm{C} \) ,则存在一个以 \( \left\{ {{z}_{1},{z}_{2},\infty }\right\} \) 为正则奇点, 以上述值为指数的富克斯方程的充分必要条件是 \( {\alpha }_{11} + {\alpha }_{21} + {\alpha }_{12} + {\alpha }_{22} + {\alpha }_{1\infty } + {\alpha }_{2\infty } = 1 \) . 此时方程形为
\[
{w}^{\prime \prime } + \left( {\frac{1 - {\alpha }_{11} - {\alpha }_{21}}{z - {z}_{1}} + \frac{1 - {\alpha }_{12} - {\alpha }_{22}}{z - {z}_{2}}}\right) {w}^{\prime }
\]
\[
+ \left( {\frac{{\alpha }_{11}{\alpha }_{21}}{{\left( z - {z}_{1}\right) }^{2}} + \frac{{\alpha }_{12}{\alpha }_{22}}{{\left( z - {z}_{2}\right) }^{2}}}\right.
\]
\[
\left. {+\frac{{\alpha }_{1\infty }{\alpha }_{2\infty } - {\alpha }_{11}{\alpha }_{21} - {\alpha }_{12}{\alpha }_{22}}{\left( {z - {z}_{1}}\right) \left( {z - {z}_{2}}\right) }}\right) w = 0.
\]
超几何方程 (hypergeometric equation) 具有三个正则奇点并有规范形式的一类富克斯方程. 利用 (非奇) 分式变换
\[
v = \frac{{Az} + B}{{Cz} + D}\left( {{AC} - {BD} \neq 0}\right) ,
\]
对具有三个正则奇点的富克斯方程进行变量代换, 可以进一步化简方程, 得到的最后形式为
\[
u = P\left\lbrack \begin{matrix} 0 & 1 & \infty & \\ 0 & 0 & \alpha & z \\ 1 - \gamma & \gamma - \alpha - \beta & \beta & \end{matrix}\right\rbrack ,
\]
即一般地可设三个正则奇点为 0,1 和 \( \infty \) ,而指数分别以 \( \left( {0,1 - \gamma }\right) ,\left( {0,\gamma - \alpha - \beta }\right) \) 及 \( \left( {\alpha ,\beta }\right) \) 记之,从而至多具有三个正则奇点的富克斯方程的通式, 其最后形式为
\[
{u}^{\prime \prime } + \left( {\frac{\gamma }{z} + \frac{1 - \left( {\gamma - \alpha - \beta }\right) }{z - 1}}\right) {u}^{\prime }
\]
\[
+ \left( \frac{\alpha \beta }{z\left( {z - 1}\right) }\right) u = 0,
\]
或
\( z\left( {z - 1}\right) {u}^{\prime \prime } - \left\lbrack {\gamma - \left( {\alpha + \beta + 1}\right) z}\right\rbrack {u}^{\prime } + {\alpha \beta u} = 0. \) 此方程即称为超几何方程. 可得其一个 \( \left| z\right| < 1 \) 上收敛的级数解
\( F\left( {\alpha ,\beta ,\gamma, z}\right) = 1 + \)
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\alpha \left( {\alpha + 1}\right) \cdots \left( {\alpha + n - 1}\right) \beta \left( {\beta + 1}\right) \cdots \left( {\beta + n - 1}\right) }{n!\gamma \left( {\gamma + 1}\right) \cdots \left( {\gamma + n - 1}\right) }{z}^{n}.
\]
当 \( F\left( {\alpha ,1,\alpha, z}\right) = F\left( {1,\beta ,\beta, z}\right) \) 时,此级数为一几何级数. \( F\left( {\alpha ,\beta ,\gamma, z}\right) \) 又称为超几何函数; 当 \( \alpha ,\beta \) 为 0 或负整数时为多项式.
超几何函数 (hypergeometric.function) 见 “超几何方程”.
弗罗贝尼乌斯方法 (Frobenius method) 寻求 \( n \) 阶方程在正则奇点邻域的解的一种方法. 为简洁计, 以二阶方程为例来说明这个方法, 即讨论
\[
{u}^{\prime \prime } + f\left( z\right) {u}^{\prime } + g\left( z\right) u = 0.
\]
(1)
依正则奇点假设,取 \( f\le |
2000_数学辞海（第3卷） | 228 | t) u = 0,
\]
或
\( z\left( {z - 1}\right) {u}^{\prime \prime } - \left\lbrack {\gamma - \left( {\alpha + \beta + 1}\right) z}\right\rbrack {u}^{\prime } + {\alpha \beta u} = 0. \) 此方程即称为超几何方程. 可得其一个 \( \left| z\right| < 1 \) 上收敛的级数解
\( F\left( {\alpha ,\beta ,\gamma, z}\right) = 1 + \)
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\alpha \left( {\alpha + 1}\right) \cdots \left( {\alpha + n - 1}\right) \beta \left( {\beta + 1}\right) \cdots \left( {\beta + n - 1}\right) }{n!\gamma \left( {\gamma + 1}\right) \cdots \left( {\gamma + n - 1}\right) }{z}^{n}.
\]
当 \( F\left( {\alpha ,1,\alpha, z}\right) = F\left( {1,\beta ,\beta, z}\right) \) 时,此级数为一几何级数. \( F\left( {\alpha ,\beta ,\gamma, z}\right) \) 又称为超几何函数; 当 \( \alpha ,\beta \) 为 0 或负整数时为多项式.
超几何函数 (hypergeometric.function) 见 “超几何方程”.
弗罗贝尼乌斯方法 (Frobenius method) 寻求 \( n \) 阶方程在正则奇点邻域的解的一种方法. 为简洁计, 以二阶方程为例来说明这个方法, 即讨论
\[
{u}^{\prime \prime } + f\left( z\right) {u}^{\prime } + g\left( z\right) u = 0.
\]
(1)
依正则奇点假设,取 \( f\left( z\right) = F\left( z\right) /z,{zg}\left( z\right) = G\left( z\right) / \)
\( z \) ,而
\[
F\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\infty }{c}_{k}{z}^{k},\;G\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\infty }{d}_{k}{z}^{k}.
\]
(1) 即化为
\[
L\left( u\right) \equiv {z}^{2}{u}^{\prime \prime } + {zF}\left( z\right) {u}^{\prime } + G\left( z\right) u = 0.
\]
弗罗贝尼乌斯 (Frobenius, F. G. ) 建议取形式解
\[
\varphi \left( {\lambda, z}\right) = {z}^{\lambda }\left( {1 + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{a}_{k}\left( \lambda \right) {z}^{k}}\right) ,
\]
使对 (1), 要求满足
\[
L\left( {\varphi \left( {\lambda, z}\right) }\right) = p\left( \lambda \right) {z}^{\lambda },
\]
(2)
其中 \( p\left( \lambda \right) = {\lambda }^{2} + \left( {{c}_{0} - 1}\right) \lambda + {d}_{0} \) . 设 \( \alpha ,\beta \) 为 \( p\left( \lambda \right) \) 的两个根. 将 \( \varphi \) 的表达式代入 (2) 式,可得 \( {a}_{0}\left( \lambda \right) p\left( \lambda \right) = \) \( p\left( \lambda \right) \) ,及对 \( k > 0 \) 时,
\[
{a}_{k}\left( \lambda \right) p\left( {\lambda + k}\right) + {a}_{k - 1}\left( \lambda \right) \left\lbrack {\left( {\lambda + k - 1}\right) {c}_{1} + {d}_{1}}\right\rbrack
\]
\[
+ {a}_{k - 2}\left( \lambda \right) \left\lbrack {\left( {\lambda + k - 2}\right) {c}_{2} + {d}_{2}}\right\rbrack + \cdots
\]
\[ + {a}_{2}\left( \lambda \right) \left\lbrack {\left( {\lambda + 2}\right) {c}_{k - 2} + {d}_{k - 2}}\right\rbrack \]
\[ + {a}_{1}\left( \lambda \right) \left\lbrack {\left( {\lambda + 1}\right) {c}_{k - 1} + {d}_{k - 1}}\right\rbrack \]
\[ + {a}_{0}\left( \lambda \right) \left\lbrack {\lambda {c}_{k} + {d}_{k}}\right\rbrack \]
\( = 0 \) .
只要 \( \alpha + m \neq \beta, m \in {Z}_{ + } \) ,即可逐次递推求出各系数, 从而得解 \( \varphi \left( {\alpha, z}\right) = {u}_{1}\left( z\right) \) .
下面是三种情况对应的结论:
1. \( \alpha - \beta \) 非整数. 此时 \( p\left( {\beta + k}\right) \neq 0 \) ,故得第二个解
\[{u}_{2}\left( z\right) = {z}^{\beta }\left( {1 + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{a}_{k}\left( \beta \right) {z}^{k}}\right) .\]
2. \( \alpha = \beta \) . 此时 \( {p}^{\prime }\left( \alpha \right) = p\left( \alpha \right) = 0 \) ,
\[L\left( {\left. \frac{\partial \varphi \left( {\lambda, z}\right) }{\partial \lambda }\right| }_{\lambda = \alpha }\right) = {\left. \frac{\partial L\left( {\varphi \left( {\lambda, z}\right) }\right) }{\partial \lambda }\right| }_{\lambda = \alpha }\]
\[ = \left( {{p}^{\prime }\left( \lambda \right) {z}^{\lambda } + p\left( \lambda \right) {z}^{\lambda }\log z}\right) {\left. \right| }_{\lambda = a} = 0,\]
故得第二个解
\[{u}_{2}\left( z\right) = {z}^{\alpha }\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\infty }\frac{\mathrm{d}{a}_{k}}{\mathrm{\;d}\lambda }\left( \alpha \right) {z}^{k}}\right) + \log z \cdot {u}_{1}\left( z\right) .\]
3. \( \alpha - \beta = n > 0 \) 为整数. 可得
\[{u}_{2}\left( z\right) = {z}^{\beta }\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\infty }\frac{\partial }{\partial \lambda }{\left\lbrack \left( \lambda - \beta \right) {a}_{k}\left( \lambda \right) \right\rbrack }_{\lambda = \beta }{z}^{k}\]
\[ + c{u}_{1}\left( z\right) \log z\]
其中 \( c = {\left. \left( \lambda - \beta \right) {a}_{n}\left( \lambda \right) \right| }_{\lambda = \beta } \) .
表现定理 (representation theorem) 有关解的不同表现形式的定理. 表现定理的主要意义是研究微分方程解的解析表示法, 例如, 在复线性系统中往往用幂级数或洛朗级数来表示解. 进一步的研究发现, 非线性方程的解有时必须用下面形式的即所谓 Psi 级数来表示
\[\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{a}_{n}{z}^{{\lambda }_{n}},\mathop{\sum }\limits_{{m = 0}}^{\infty }\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{a}_{mn}{z}^{m + {\lambda }_{n}},\]
\[\mathop{\sum }\limits_{{m = 0}}^{\infty }\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{a}_{mn}{z}^{{\lambda }_{n}}{\left( \log z\right) }^{n}\left( {{\lambda }_{n} \in \mathbf{C}}\right) \]
等. 例如方程 \( z{w}^{\prime \prime } = {w}^{2} \) 以 \( z = 0, z = \infty \) 为固定奇点, 其初等解可以用两个单参数的级数表示如下
\[
\frac{1}{z}\left\{ {2 + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{c}_{n}{a}^{n}{z}^{-{n\sigma }}}\right\} ,\frac{1}{z}\left\{ {2 + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{d}_{n}{b}^{n}{z}^{-{n\tau }}}\right\} ,
\]
其中 \( \sigma ,\tau \) 分别等于常数 \( \left( {\sqrt{17} \pm 3}\right) /2, a, b \) 为参数; 前一级数对充分大的 \( \left| z\right| \) 收敛,后一级数对甚小 \( \left| z\right| \) 收敛. 在数学物理的讨论中也常用积分
\[
{\int }_{C}K\left( {z, s}\right) f\left( s\right) \mathrm{d}s
\]
来表示解, 与此相关的结果都被称为表现定理. 1986 年,伊里亚申科 (Hubamenko, IO. C. ) 在研究极限环的有限性问题时发现, 一个鞍点的角点域内构造的单一变换, 已经不是预测中的解析形式, 而是具有下面形式的 Psi 级数
\[
{\widehat{f}}_{T} = a{x}^{{\mu }_{0}} + \mathop{\sum }\limits_{{n \geq 1}}{x}^{{\mu }_{n}}{P}_{n}\left( {\log x}\right) ,
\]
\[
a > 0;{\mu }_{n} \in R;0 < {\mu }_{0} < {\mu }_{1} < \cdots < {\mu }_{n} < \cdots ,
\]
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\mu }_{n} = + \infty \text{.}
\]
次年, 经伊里亚申科、埃加勒 (Ecalle, J. ) 和马蒂内 (Martinet, J. ) 等人的研究, 独立地, 但十分困难地给出 60 余年前得到的杜拉克定理的新证明. 其中埃加勒开创所谓超拟解析函数 “(Résurgente) 函数”. 这些成果现在已被冠以“拟解析理论”的名称.
## 常微分方程定性理论
常微分方程定性理论 (qualitative theory of ordinary differential equations) 常微分方程在不求出解的情况下研究解的分布和性态的基本理论. 19 世纪中叶以前, 对具体的微分方程或微分方程组, 人们总是力求找出其通解的分析表达式. 但很多情况都遇到了困难, 后来才知道在绝大多数情况下, 特别是对非线性微分方程要得出其通解一般是不可能的. 19 世纪后期, 法国大数学家庞加莱 (Poincaré, (J.-)H.) 创立了常微分方程定性理论. 其基本思想是从微分方程本身的特征去设法推断其解所具有的性质. 这就要从一些具有特殊性质的特解着手, 如对奇点、周期解、极限环, 以及更一般地, 对轨线的极限集等加以分析研究, 在此基础上就可能对常微分方程所确定的解的总体的大范围性态作出判断. 这就是常微分方程定性理论的基本部分. 经过后人的不断发展充实, 定性理论已成为微分方程理论中一个最基本的分支.
定常系统的奇点 (critical point of autonomous systems) 函数值不随时间而变的常值解, 在相空间上的轨道为一定点, 即为方程奇点. 考虑定常的微分方程组
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = X\left( x\right)
\]
(1)
其中 \( x, X \in {\mathrm{R}}^{n}, X \) 在区域 \( G \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 上连续且适当次可微,以 \( {\varphi }_{t}\left( {x}_{0}\right) \) 记 (1) 的 \( t = 0 \) 时 \( x = {x}_{0} \) 的解. 如果点 \( {x}^{ * } \in G \) ,使 \( X\left( {x}^{ * }\right) = 0 \) ,则称 \( {x}^{ * } \) 为 (1) 的奇点. 对奇点 \( {x}^{ * } \) 及任何 \( t \in \mathrm{R},{\varphi }_{t}\left( {x}^{ * }\right) \equiv {x}^{ * } \) . 通过平移变换可使 \( {x}^{ * } = 0 \) ,故以下讨论系统 (1) 以 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的原点 \( O : x = 0 \) 为奇点的情况. 若矩阵 \( \frac{\partial X}{\partial x}\left( 0\right) \) 非异,则称 \( O \) 为 (1) 的非退化奇点,否则称为退化奇点; 若 \( \frac{\partial X}{\partial x}\left( 0\right) \) 不具实部为零的特征值,则称 \( O \) 为 (1) 的双曲奇点.
非退化奇点 (nonsingular critical point) 见 “定常系统的奇点”.
退化奇点 (degenerate critical point) 见“定常系统的奇点”.
双曲奇点 (hyperbolic critical point) 见“定常系统的奇点”.
哈德曼-格罗布曼定理 (Hartman-Grobman theorem）关于双曲奇点邻域轨道分布性态的一个重要定理. 设 \( O \) 为
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = X\left( x\right)
\]
(1)
的双曲奇点,即 \( \frac{\partial X}{\partial x}\left( 0\right) \) 具有 \( s \) 个实部为负和 \( u \) 个实
 鞍点
 结点
焦点
中心点
部为正的特征值, \( s + u = n \) ,则存在 \( O \) 的邻域 \( U \) ,使在其内分别有 \( s, u \) 维子流形 \( {E}^{s},{E}^{u},{\mathrm{R}}^{N} \cap U = {E}^{s} \oplus {E}^{u} \) , 对 \( {E}^{s} \) 内的任一点 \( x \) ,
\[
\mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow + \infty }}{\varphi }_{t}\left( x\right) = 0,
\]
而对 \( {E}^{u} \) 内的任一点 \( x \) ,
\[
\mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow - \infty }}{\varphi }_{t}\left( x\right) = 0.
\]
分别称 \( {E}^{s},{E}^{u} \) 为奇点 \( O \) 的局部稳定和不稳定流形. 当 \( u = 0 \) 时,称奇点 \( O \) 为渊; 当 \( s = 0 \) 时,称奇点 \( O \) 为源. 当 \( n = 2 \) 时,(1) 为平面系统, \( O \) 的几何性态可由二阶方阵 \( \frac{\partial X}{\partial x}\left( 0\right) \) 的特征值 \( {\lambda }_{1},{\lambda }_{2} \) 的不同情况来决定: 若 \( {\lambda }_{1},{\lambda }_{2} \) 为异号实数,则称 \( O \) 为鞍点; 若 \( {\lambda }_{1},{\lambda }_{2} \) 为同号实数,则称 \( O \) 为结点; 若 \( {\lambda }_{1},{\lambda }_{2} \) 为一对共轭复数,则称 \( O \) 为焦点. 在结点和焦点的情况,如 \( {\lambda }_{1} < 0 \) 或 \( {\lambda }_{1} > 0 \) ,则相应奇点为稳定或不稳定的. 若 \( {\lambda }_{1},{\lambda }_{2} \) 为一对纯虚根 (非双曲奇点),则 \( O \) 可能为中心点,也可能为焦点, 须进一步由 (1) 的右端的非线性项的情况来具体确定. 平面初等奇点的结构如图所示.
鞍点 (saddle point) 见 “哈德曼-格罗布曼定理”.
结点 (node) 见 “哈德曼-格罗布曼定理”.
焦点 (focus) 见“哈德曼-格罗布曼定理”.
中心点 (center) 见 “哈德曼-格罗布曼定理”.
平面奇点的指标 (index of planar critical points) 反应奇点性态的一个重要特征数. 当 \( n = 2 \) 时系统 (1) 可表为 \( \left( {x, y}\right) \) 平面上的系统
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = P\left( {x, y}\right) ,\;\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t} = Q\left( {x, y}\right) .
\]
(1)
它确定了 \( \left( {x, y}\right) \) 平面上的连续向量场
\[
V\left( {x, y}\right) = \left( {P\left( {x, y}\right), Q\left( {x, y}\right) }\right) .
\]
取单闭曲线 \( C \) ,其上不含有 \( V \) 的奇点 (即指系统 (1) 的奇点),当点 \( \left( {x, y}\right) \) 在 \( C \) 上逆时针绕行一周时,向量 \( V\left( {x, y}\right) \) 连续变化而回到原位置,故它转动的角度为 \( {2\pi } \) 的整数倍,称此整数为向量场 \( V \) 沿曲线 \( C \) 的旋转数,记为 \( {R}_{V}\left( C\right) \) . 若 \( C \) 内部不含奇点,则 \( {R}_{V}\left( C\right) = 0 \) ; 若曲线 \( C \) 连续形变为曲线 \( {C}_{1} \) ,且在此过程中不碰到 \( V \) 的奇点,则 \( {R}_{V}\left( C\right) = {R}_{V}\left( {C}_{1}\right) \) . 向量 \( V \) 与 \( x \) 轴的夹角 \( \theta = \arctan \left( {Q/P}\right) \) ,故有计算公式
\[
{R}_{V}\left( C\right) = \frac{1}{2\pi }{\oi |
2000_数学辞海（第3卷） | 229 | 见 “哈德曼-格罗布曼定理”.
焦点 (focus) 见“哈德曼-格罗布曼定理”.
中心点 (center) 见 “哈德曼-格罗布曼定理”.
平面奇点的指标 (index of planar critical points) 反应奇点性态的一个重要特征数. 当 \( n = 2 \) 时系统 (1) 可表为 \( \left( {x, y}\right) \) 平面上的系统
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = P\left( {x, y}\right) ,\;\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t} = Q\left( {x, y}\right) .
\]
(1)
它确定了 \( \left( {x, y}\right) \) 平面上的连续向量场
\[
V\left( {x, y}\right) = \left( {P\left( {x, y}\right), Q\left( {x, y}\right) }\right) .
\]
取单闭曲线 \( C \) ,其上不含有 \( V \) 的奇点 (即指系统 (1) 的奇点),当点 \( \left( {x, y}\right) \) 在 \( C \) 上逆时针绕行一周时,向量 \( V\left( {x, y}\right) \) 连续变化而回到原位置,故它转动的角度为 \( {2\pi } \) 的整数倍,称此整数为向量场 \( V \) 沿曲线 \( C \) 的旋转数,记为 \( {R}_{V}\left( C\right) \) . 若 \( C \) 内部不含奇点,则 \( {R}_{V}\left( C\right) = 0 \) ; 若曲线 \( C \) 连续形变为曲线 \( {C}_{1} \) ,且在此过程中不碰到 \( V \) 的奇点,则 \( {R}_{V}\left( C\right) = {R}_{V}\left( {C}_{1}\right) \) . 向量 \( V \) 与 \( x \) 轴的夹角 \( \theta = \arctan \left( {Q/P}\right) \) ,故有计算公式
\[
{R}_{V}\left( C\right) = \frac{1}{2\pi }{\oint }_{C}\mathrm{\;d}\left( {\operatorname{arctg}\frac{Q}{P}}\right) .
\]
若 \( C \) 为 (1) 的闭轨,则 \( {R}_{V}\left( C\right) = 1 \) ,故闭轨内部必包含奇点. 设 \( M \) 为 \( V \) 的孤立奇点,取 \( r > 0 \) 足够小,使以 \( M \) 为圆心、 \( r \) 为半径的圆周 \( {C}_{r} \) 及其内部不含异于 \( M \) 的奇点,则称 \( V \) 沿曲线 \( {C}_{r} \) 的旋转数为奇点 \( M \) 的指标,记为 \( {I}_{V}\left( M\right) \) . 并有下列计算公式
\[
{I}_{V}\left( M\right) = {R}_{V}\left( {C}_{r}\right) = \frac{1}{2\pi }{\oint }_{{C}_{r}}\mathrm{\;d}\left( {\arctan \frac{Q}{P}}\right)
\]
\[
= \frac{1}{2\pi }{\oint }_{{c}_{r}}\frac{P\mathrm{\;d}Q - Q\mathrm{\;d}P}{{P}^{2} + {Q}^{2}}.
\]
若 \( M \) 为结点、焦点或中心点,则 \( {I}_{V}\left( M\right) = 1 \) ; 若 \( M \) 为鞍点,则 \( {I}_{V}\left( M\right) = - 1 \) . 设单闭曲线 \( C \) 的边界上不含 \( V \) 的奇点,其内部含 \( V \) 的有限个奇点 \( {M}_{1},{M}_{2} \) , \( \cdots ,{M}_{n} \) ,则
\[
{R}_{V}\left( C\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{I}_{V}\left( {M}_{i}\right)
\]
无穷远奇点 (critical point at infinity) 平面奇点的一种推广, 用于研究平面系统的轨线在平面上无穷远处的性态. 庞加莱 (Poincaré,(J.-)H. ) 把 \( (x \) , \( y) \) 平面上的系统
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = P\left( {x, y}\right) ,\;\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t} = Q\left( {x, y}\right)
\]
(1)
的轨线投影到与 \( \left( {x, y}\right) \) 平面相切于原点的一个单位
球面 \( S \) 上. 后人就称此球面 \( S \) 为庞加莱球面. 如下图取坐标系. 在 \( (X, Y \) ,
\( Z) \) 空间中, \( \left( {x, y}\right) \) 平面上的点 \( M \) 可表示为 \( \left( {x, y,1}\right) \) . 取球心投影, 即连结 \( M \) 与球心 \( \left( {0,0,0}\right) \) ,其连线与球面 \( S \) 交于两点,取定下半球面的一点 \( {M}_{1}\left( {X, Y, Z}\right) \) . 这样就把 \( \left( {x, y}\right) \) 平面上的点一一对应到庞加莱下半球面上, \( \left( {x, y}\right) \) 平面上的无穷远即对应于 \( S \) 的赤道: \( {X}^{2} + {Y}^{2} = 1, Z = 0 \) . 为便于写出微分方程研究 \( Z = 0 \) 上各点邻近的性态,再把下半球面上的点投影到一个适当的铅直平面上, 例如对不是 \( y \) 轴方向的无穷远点,可投影到平面 \( X = 1 \) 上, \( \overline{OM} \) 与之相交于点 \( {M}_{2} \) . 在 \( X = 1 \) 上取其与球面的切点为坐标原点, \( u \) 轴与 \( Y \) 轴平行, \( z \) 轴与 \( Z \) 轴平行, \( {M}_{2} \) 的坐标为 \( \left( {u, z}\right) \) . 易推出 \( \left( {x, y}\right) \) 与 \( \left( {u, z}\right) \) 的变换关系
\[
x = \frac{1}{z}, y = \frac{u}{z}\text{ 或 }u = \frac{y}{x}, z = \frac{1}{x}.
\]
对 \( y \) 轴方向的无穷远点,则投影到平面 \( Y = 1 \) ,在其上类似地引进坐标 \( \left( {v, z}\right) \) ,则易得
\[
x = \frac{v}{z}, y = \frac{1}{z}\text{ 或 }v = \frac{x}{y}, z = \frac{1}{y},
\]
以下计算从略. 在 \( \left( {u, z}\right) \) 坐标下,(1)变为
\[
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{\;d}t} = - {uzP}\left( {\frac{1}{z},\frac{u}{z}}\right) + {zQ}\left( {\frac{1}{z},\frac{u}{z}}\right) ,
\]
\[
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{\;d}t} = - {z}^{2}P\left( {\frac{1}{z},\frac{u}{z}}\right) .
\]
\( z \neq 0 \) 时,此方程组在 \( X = 1 \) 平面上的轨线为 \( \left( {x, y}\right) \) 平面上 (1) 的轨线的投影. 而 \( z = 0 \) 恰好对应于 \( (x \) , \( y) \) 面上的无穷元,正是人们要研究的. 为消去分母上的 \( z \) ,设 \( P, Q \) 为 \( x, y \) 的多项式,则可将上述方程组写成
\[
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{\;d}t} = \frac{1}{{z}^{n}}\bar{P}\left( {u, z}\right) ,\;\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{\;d}t} = \frac{1}{{z}^{n}}\bar{Q}\left( {u, z}\right) ,
\]
其中 \( n \) 为非负整数,使 \( \bar{P},\bar{Q} \) 为 \( u, z \) 的多项式且不同时含有因子 \( z \) . 做变换 \( \mathrm{d}\tau = \mathrm{d}t/{z}^{n} \) ,则化得
\[
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{\;d}\tau } = \bar{P}\left( {u, z}\right) ,\;\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{\;d}\tau } = \bar{Q}\left( {u, z}\right) ,
\]
(2)
它在 \( z = 0 \) 上的奇点 \( u = {u}_{0}, z = 0 \) 称为 (1) 的一个无穷远奇点. 通过对 (2) 的奇点 \( \left( {{u}_{0},0}\right) \) 的分析,搞清楚了它的邻域内的轨线的性态, 则它的两个半邻域就分别代表了 (1) 在 \( \left( {x, y}\right) \) 平面上 \( y = {u}_{0}x \) 方向上的两端无穷远处的轨线性态.
庞加莱球面 (Poincaré sphere) 见 “无穷远奇点”.
闭轨 (closed orbit) 微分方程的周期解在相空间上所对应的一条封闭曲线. 对系统常微分方程
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = X\left( x\right)
\]
(1)
(参见 “定常系统的奇点”) 的解 \( x = \varphi \left( t\right) \) ,如果 \( \varphi \left( t\right) \) 的各个分量均为 \( t \) 的具有相同最小周期的周期函数, 则称此解为周期解,它在相空间 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 内对应于一条闭曲线 \( L \) ,称为 (1) 的一条闭轨. 孤立的闭轨就称为极限环. 所谓孤立,即指存在 \( L \) 的邻域 \( U \) ,使在 \( U \) 内不存在 (1) 的其他闭轨,且对 \( x \in U,{\varphi }_{t}\left( x\right) \) 或者当 \( t \rightarrow \) \( + \infty \) 时趋于 \( L \) ,或者当 \( t \rightarrow - \infty \) 时趋于 \( L \) . 与闭轨以及极限环密切相关的奇闭轨是指由若干奇点和两端进入奇点 (当 \( t \rightarrow + \infty \) 或 \( t \rightarrow - \infty \) ) 的轨线所构成的单闭曲线. 若其上只含一个奇点, 则称为同宿奇闭轨; 若其上含多于一个奇点, 就称为异宿奇闭轨. 对 \( n = 2 \) 时的平面系统
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = P\left( {x, y}\right) ,\;\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t} = Q\left( {x, y}\right) ,
\]
(2)
由于在 \( \left( {x, y}\right) \) 平面上,有若尔当曲线定理,故可对其极限环以至极限集的性态作深入的分析研究. 以下将分段对平面定性理论的有关内容作介绍. (2) 的极限环 \( L \) 将其邻域 \( U \) 分为内外两侧,若两侧的轨线当 \( t \rightarrow + \infty \left( {t \rightarrow - \infty }\right) \) 时均盘旋逼近 \( L \) ,则称 \( L \) 为稳定 (不稳定) 极限环; 若一侧轨线当 \( t \rightarrow + \infty \) 时盘旋逼近 \( L \) ,另一侧当 \( t \rightarrow - \infty \) 时盘旋逼近 \( L \) ,则称 \( L \) 为半稳定极限环.
常微分方程的周期解 (periodic solution of differential equation) 见“闭轨”.
稳定极限环 (stable limit cycle) 见 “闭轨”.
不稳定极限环 (unstable limit cycle) 见 “闭轨”.
半稳定极限环 (semi-stable limit cycle) 见“闭轨”.
极限环 (limit cycle) 见 “闭轨”.
极限环稳定性的判定 (deciding the stability of limit cycles) 判定极限环稳定性的基本法则. 在 \( L \) 上任取一点 \( p \) ,过 \( p \) 做 \( L \) 的法线段 \( l \) ,当 \( q \in l \) 充分接近 \( p \) 时,过 \( q \) 的轨线当 \( t \) 增大时必将再次与 \( l \) 相交于一点 \( {q}_{1} \) (由解对初始值的连续依赖性). 一维点映射 \( f : q \rightarrow {q}_{1} \) 称为庞加莱映射. 在 \( l \) 上以 \( p \) 为坐标原点,外法向距离 \( x \) 为正,内法向距离 \( x \) 为负,则 \( f \) 可表为一元函数 \( {x}_{1} = f\left( x\right) \) ,称之为后继函数. \( L \) 与 \( l \) 的交点 \( p \) 对应于 \( x = 0 \) ,为 \( f\left( x\right) \) 的零点,如果它为 \( k \) 重零点 \( \left( {k = 1,2,\cdots }\right) \) ,即 \( f\left( 0\right) = {f}^{\prime }\left( 0\right) = \cdots = {f}^{\left( k - 1\right) }\left( 0\right) \) \( = 0,{f}^{\left( k\right) }\left( 0\right) \neq 0 \) ,则称 \( L \) 为 \( k \) 重极限环, \( k = 1 \) 时称为单重环, \( k > 1 \) 时称为重环, \( k \) 为偶数时对应于半稳定环. 在 \( L \) 邻近取曲线坐标,可依次将 \( {f}^{\left( i\right) }\left( 0\right) \) 用 \( P, Q \) 及其各阶偏导数的适当组合沿 \( L \) 的某些积分来表示,通常 \( {f}^{\prime }\left( 0\right) \) 的符号可由
\[
{\oint }_{L}\left( {\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}}\right) \mathrm{d}t
\]
来决定, 若
\[
{\oint }_{L}\left( {\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}}\right) \mathrm{d}t < 0\left( { > 0}\right) ,
\]
则 \( L \) 为稳定 (不稳定) 的单重环,若
\[
{\oint }_{L}\left( {\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}}\right) \mathrm{d}t = 0,
\]
则 \( L \) 为多重环,其重次与稳定性要进一步由 \( {f}^{\prime \prime }\left( 0\right) \) 或更高阶导数的符号来确定.
庞加莱映射 (Poincaré mapping) 见 “极限环稳定性的判定”.
后继函数 (successor function) 见 “极限环稳定性的判定”.
\( \mathbf{k} \) 重极限环 ( \( k \) -multiple limit cycle) 见 “极限环稳定性的判定”.
安德罗诺夫定理 (Andronov theorem) 对奇闭轨内侧稳定性的判别定理. 设 \( \left( {x, y}\right) \) 平面上的系统
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = P\left( {x, y}\right) ,\;\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t} = Q\left( {x, y}\right)
\]
(1)
有同宿奇闭轨 \( {\Gamma }_{1} \) ,通过一鞍点 \( N \) ,且过 \( N \) 的另两条分界线位于 \( {\Gamma }_{1} \) 的外部,如果在 \( N \) 点
\[
\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} < 0\left( { > 0}\right) ,
\]
则 \( {\Gamma }_{1} \) 为内侧稳定 (不稳定),即 \( {\Gamma }_{1} \) 内侧邻近的轨线当 \( t \rightarrow + \infty \left( {t \rightarrow - \infty }\right) \) 时盘旋逼近 \( {\Gamma }_{1} \) ; 如 (1) 有异宿奇闭轨 \( {\Gamma }_{2} \) ,它包含两个鞍点 \( {N}_{1},{N}_{2} \) ,且
\[
\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}
\]
在 \( {N}_{1},{N}_{2} \) 同时为负 (正),则 \( {\Gamma }_{2} \) 为内侧稳定 (不稳定). 这时称 \( {\Gamma }_{1} \) ,或 \( {\Gamma }_{2} \) 为内侧稳定 (不稳定) 的分界线环.
极限环不存在性判别法 (criteria of nonexistence of limit cycles) 判定平面系统不存在极限环的准则. 具体法则如下: 给定 \( \left( {x, y}\right) \) 平面上的系统
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = P\left( {x, y}\right) ,\;\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t} = Q\left( {x, y}\right) .
\]
(1)
1. 若在 \( \left( {x, y}\right) \) 平面上的单连通区域 \( G \) 内,
\[
\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}
\]
保持常号且不在 \( G \) 的任何子区域内恒等于零,则 (1) 在 \( G \) 内不存在任何闭轨或奇闭轨. 此判别法是由本迪克松 (Bendixson, I. O. ) 得到的, 故亦称本迪克松定理.
2. 若存在连续可微函数 \( D\left( {x, y}\right) \neq 0 \) ,使在单连通区域 \( G \) 内
\[
\frac{\partial \left( {DP}\right) }{\partial x} + \frac{\partial \left( {DQ}\right) }{\partial y}
\]
保持常号且不在 \( G \) 的任何子区域内恒等于零,则 (1) 在 \( G \) 内不存在任何闭轨和奇闭轨. 此判别是由迪拉克 (Dulac, H. ) 得到的, 故亦称迪拉克定理. 定理中的函数 \( D \) ,通常称为迪拉克函数.
本迪克松定理 (Bendixson theorem) 见 “极限环的不存在性判别法”.
迪拉克定理 (Dulac theorem) 见 “极限环的不存在性判别法”.
极限环存在性判别法 (criteria of existence of limit cycles) 判定平面系统存在极限环的重要准则, 即庞加莱环域定理. 该定理断言: 对于给定的 \( \left( {x, y}\right) \) 平面上的系统
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = P\left( {x, y}\right) ,\;\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t} = Q\left( {x, y}\right) ,
\]
(1)
若存在平面环状区域 \( \Omega \) ,使其内及边界上不含 (1) 的奇点,且 (1) 的轨线与 \( \Omega \) 的境界线相交时均由 \( \Omega \) 的外 (内) 部进入 (跑出) \( \Omega \) 的内 (外) 部,则 \( \Omega \) 中至少存在一条包含 \( \Omega \) 的内境界在其内部的稳定 (不稳定) 极限环. 自 20 世纪中期以来, 经过中外不少数学家的努力, 对上述古典结果得到了进一步的发展与应用. 如对迪拉克函数方法加以推广应用等, 同时由于微分方程理论研究及应用问题的需要, 人们着重考虑如下二阶振动方程
\[
\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{\;d}{t}^{2}} + f\left( x\right) \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} + g\left( x\right) = 0
\]
或与之等价的平面莱纳系统
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = - y - F\left( x\right) ,\;\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t} = g\left( x\right) |
2000_数学辞海（第3卷） | 230 | 区域内恒等于零,则 (1) 在 \( G \) 内不存在任何闭轨和奇闭轨. 此判别是由迪拉克 (Dulac, H. ) 得到的, 故亦称迪拉克定理. 定理中的函数 \( D \) ,通常称为迪拉克函数.
本迪克松定理 (Bendixson theorem) 见 “极限环的不存在性判别法”.
迪拉克定理 (Dulac theorem) 见 “极限环的不存在性判别法”.
极限环存在性判别法 (criteria of existence of limit cycles) 判定平面系统存在极限环的重要准则, 即庞加莱环域定理. 该定理断言: 对于给定的 \( \left( {x, y}\right) \) 平面上的系统
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = P\left( {x, y}\right) ,\;\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t} = Q\left( {x, y}\right) ,
\]
(1)
若存在平面环状区域 \( \Omega \) ,使其内及边界上不含 (1) 的奇点,且 (1) 的轨线与 \( \Omega \) 的境界线相交时均由 \( \Omega \) 的外 (内) 部进入 (跑出) \( \Omega \) 的内 (外) 部,则 \( \Omega \) 中至少存在一条包含 \( \Omega \) 的内境界在其内部的稳定 (不稳定) 极限环. 自 20 世纪中期以来, 经过中外不少数学家的努力, 对上述古典结果得到了进一步的发展与应用. 如对迪拉克函数方法加以推广应用等, 同时由于微分方程理论研究及应用问题的需要, 人们着重考虑如下二阶振动方程
\[
\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{\;d}{t}^{2}} + f\left( x\right) \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} + g\left( x\right) = 0
\]
或与之等价的平面莱纳系统
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = - y - F\left( x\right) ,\;\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t} = g\left( x\right) ,
\]
（2）
其中 \( F\left( x\right) = {\int }_{0}^{x}f\left( u\right) \mathrm{d}u \) ,获得了平面系统 (2) 存在极限环的一些判别定理.
庞加莱环域定理 (Poincaré theorem on ring domain) 即“极限环存在性判别法”.
极限环惟一性判别法 (criteria of uniqueness of limit cycles) 判定平面系统存在惟一极限环的重要准则, 即对于平面系统给出适当条件以保证其极限环最多只有一个. 这是较之判别极限环存在性更为深入而困难的问题. 在分析系统的全局性态以及后面所述及的希尔伯特第十六问题的研究中都需要回答这一问题. 对此, 欧美、苏联及中国的不少学者获得了许多好的成果. 就其条件的简洁与应用的广泛性来看, 当推张芷芬所给出的下述极限环惟一性定理. 该定理断言: 设平面系统
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = - y - F\left( x\right) ,\;\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t} = g\left( x\right)
\]
(1)
满足微分方程解的存在惟一性的要求, 且满足下列条件, 则系统 (1) 至多存在一个极限环, 如果它存在, 必为稳定的极限环:
1. \( {xg}\left( x\right) > 0, x \neq 0 \) ,又 \( G\left( {\pm \infty }\right) = + \infty \) ,其中
\[
G\left( x\right) = {\int }_{0}^{x}g\left( u\right) \mathrm{d}u.
\]
2. \( f\left( 0\right) < 0 \) ,当 \( x \) 在 \( \left( {-\infty ,0}\right) \) 和 \( \left( {0, + \infty }\right) \) 内增大时, \( f\left( x\right) /g\left( x\right) \) 不下降.
根据研究平面系统的需要, 还有不少判别极限环惟一性的其他定理.
极限集理论 (theory of limit sets) 定性理论的重要基础之一. 考虑系统
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = X\left( x\right)
\]
(1)
或平面系统
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = P\left( {x, y}\right) ,\;\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t} = Q\left( {x, y}\right) .
\]
(2)
从 \( {x}_{0} \) 点出发的轨线 \( {\varphi }_{2}\left( {x}_{0}\right) \) ,若存在序列 \( {t}_{n} \rightarrow + \infty \) ,使得 \( {\varphi }_{{t}_{n}}\left( {x}_{0}\right) \rightarrow \bar{x} \) ,则称 \( \bar{x} \) 为轨线 \( {\varphi }_{t}\left( {x}_{0}\right) \) 的 \( \omega \) 极限点,称 \( {\varphi }_{t}\left( {x}_{0}\right) \) 的所有 \( \omega \) 极限点的集合为 \( {\varphi }_{t}\left( {x}_{0}\right) \) 的 \( \omega \) 极限集, 记为 \( {L}_{\omega }\left( {x}_{0}\right) \) . 类似地,考察 \( t \rightarrow - \infty \) 的情况,则可得出 \( \alpha \) 极限点与 \( \alpha \) 极限集的定义. \( {\varphi }_{t}\left( {x}_{0}\right) \) 的 \( \alpha \) 极限集记为 \( {L}_{\alpha }\left( {x}_{0}\right) \) . 由上述定义易见,奇点 \( {x}_{0} \) 是 \( {\varphi }_{t}\left( {x}_{0}\right) = {x}_{0} \) 的惟一的 \( \omega \) 和 \( \alpha \) 极限点,闭轨 \( {\varphi }_{t}\left( {x}_{0}\right) \) 上的任一点都是此闭轨的 \( \omega \) 和 \( \alpha \) 极限点. 亦即,奇点和闭轨分别为它们自身的 \( \omega \) 和 \( \alpha \) 极限集. 对于平面定常系统 (2),极限集理论有甚为清晰完整的结论, 可归结如下: 若系统 (2) 的一条正半轨 \( {\varphi }_{t}\left( {x}_{0}\right) \left( {t \geq 0}\right) \) 保持在有界区域 \( D \) 内,则 \( {L}_{\omega }\left( {x}_{0}\right) \) 必属于下列情形之一:
1. 一个奇点.
2. 一条闭轨.
3. 一条奇闭轨.
由此即可推出庞加莱-本迪克松定理.
庞加莱-本迪克松定理 (Poincaré-Bendixson theorem) 平面定性理论的经典成果并是后续研究的重要基础. 给定系统
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = X\left( x\right)
\]
(1)
或平面系统
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = P\left( {x, y}\right) ,\;\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t} = Q\left( {x, y}\right) .
\]
（2）
庞加莱-本迪克松定理断言: 若系统 (2) 的一条正半轨保持在某一不含奇点的有界区域内, 则它盘旋逼近于一条极限环 (它在该轨线所在一侧为稳定). 设有集合 \( A \) ,如果对任一 \( x \in A \) 及一切 \( t \in \mathrm{R} \) ,(1) 或 (2) 的轨线 \( {\varphi }_{t}\left( x\right) \in A \) ,则称 \( A \) 为系统 (1) 或 (2) 的不变集. 显然, \( \omega \) 或 \( \alpha \) 极限集均为不变集. 如果不存在 \( A \) 的不变真子集,则非空不变集 \( A \) 称为一个极小集.
关于极小集的结构, 施瓦兹 (Schwarz, A. J. ) 于 1963 年将上述结果推广到定义于二维流形上的 \( {C}^{2} \) 类流,得到下述结论 (亦称施瓦兹定理): \( {C}^{2} \) 类流形 \( M \) 上的 \( {C}^{2} \) 流的非空紧极小集必属于下列情形
之一:
1. 一个奇点.
2. 一条闭轨.
3. 整个流形 \( M \) .
对维数 \( n > 2 \) 的系统,则可以有结构复杂的极限集, 例如混沌集等.
不变集 (invariant set) 见 “庞加莱-本迪克松定理”.
极小集 (minimum set) 见 “庞加莱-本迪克松定理”.
施瓦兹定理 (Schwarz theorem) 见 “庞加莱- 本迪克松定理”.
旋转向量场理论 (theory of rotated vector fields) 研究极限环随参数而变化的一种基本而重要的理论. 考虑含有实参数 \( \lambda \) 的平面系统
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = P\left( {x, y,\lambda }\right) ,\;\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t} = Q\left( {x, y,\lambda }\right) ,
\]
（1）
它可视为平面上的含参数向量场 \( V\left( \lambda \right) = \left( {P, Q}\right) \) . 1953 年, 德芙 (Duff, G. D. F. ) 创立了旋转向量场理论, 并经塞弗特 (Seifert, G. )、陈翔炎等改进完善, 使之在平面定性理论, 特别是极限环问题的研究中发挥了重要的作用.
在 (1) 中,设 \( P, Q \) 为 \( x, y,\lambda \) 的连续函数,关于 \( x, y \) 满足李普希茨条件,对 \( \lambda \) 有连续偏导数,且对一切 \( \lambda ,\left( 1\right) \) 的奇点为孤立. 更设 (1) 的奇点不随 \( \lambda \) 而变动, 且恒有
\[
\left| \begin{matrix} P & Q \\ \frac{\partial P}{\partial \lambda } & \frac{\partial Q}{\partial \lambda } \end{matrix}\right| \geq 0\text{ (或 } \leq 0\text{ ),}
\]
又使等号成立的点不充满 (1) 的任何闭轨, 则称 (1) 或 \( V\left( \lambda \right) \) 关于 \( \lambda \) 构成旋转向量场. 由此可见,在旋转向量场中,平面 \( \left( {x, y}\right) \) 上除奇点外,每一点处向量 \( V\left( \lambda \right) \) 随 \( \lambda \) 变化同时向一个方向转动 (可保持不转动). 旋转向量场理论可归纳为如下的主要结论:
\( 1.V\left( \lambda \right) \) 的奇点的指标不随 \( \lambda \) 而改变.
2. 若 \( {\lambda }_{1} \neq {\lambda }_{2} \) ,则 \( V\left( {\lambda }_{1}\right) \) 与 \( V\left( {\lambda }_{2}\right) \) 的闭轨互不相交.
3. \( V\left( \lambda \right) \) 的极限环 \( {L}_{\lambda } \) 随 \( \lambda \) 变化而向其一侧单调移动, 即或者向外扩大, 或者向内缩小. 到底扩大还是缩小,具体由 \( \lambda \) 变化时 \( V\left( \lambda \right) \) 的旋转方向以及 \( {L}_{\lambda } \) 的定向和稳定性来决定.
4. 设 \( \lambda = {\lambda }_{0} \) 时, \( V\left( {\lambda }_{0}\right) \) 有一半稳定环 \( {L}_{{\lambda }_{0}} \) ,则当 \( \lambda \) 向 \( {\lambda }_{0} \) 一方变化时, \( {L}_{{\lambda }_{0}} \) 分裂为两个单重极限环,其一为稳定,另一为不稳定; 当 \( \lambda \) 向 \( {\lambda }_{0} \) 另一方变化时, \( {L}_{{\lambda }_{0}} \) 消失,即 \( V\left( \lambda \right) \) 在 \( {L}_{{\lambda }_{0}} \) 邻近不再存在闭轨线.
5. \( \lambda \) 变化时, \( V\left( \lambda \right) \) 的极限环 \( {L}_{\lambda } \) 移动所遮盖的区域的内、外边界线上必含有奇点 (包括 \( {L}_{\lambda } \) 无限扩张时碰到无穷远奇点).
旋转向量场 (rotated vector field) 见“旋转向量场理论”.
希尔伯特第 16 问题 (Hilbert's 16th problem) 著名数学家希尔伯特 (Hilbert, D. ) 提出的涉及平面多项式系统极限环存在和分布问题的重要数学难题. 1900 年, 他在国际数学家大会上提出了 23 个数学问题, 其中第 16 问题的后半部分是涉及微分方程的,他提出: 右端为 \( x, y \) 的 \( n \) 次多项式 \( {P}_{n}\left( {x, y}\right) \) , \( {Q}_{n}\left( {x, y}\right) \) 的平面系统
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = {P}_{n}\left( {x, y}\right) ,\;\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t} = {Q}_{n}\left( {x, y}\right)
\]
(1)
最多有几个极限环, 它们的位置分布如何?许多数学家围绕这一问题开展研究, 从而深入地推动了平面定性理论及一些相关学科分支的研究. 迪拉克(Dulac, H. ) 于 1923 年发表长达 140 页的论文, 证明每一确定的系统 (1), 其极限环只有有限个, 称之为有限性定理. 但后人发现其证明存在缺陷, 直至 20 世纪 80 年代末期有限性定理才被严格地加以证明, 这分别由苏联的依廖申科 (Il'yashenko. Yu. S. ) 和法国的埃加勒 (Ecalle, J. )、马蒂内 (Martinet, J. ) 等人独立地完成. 其核心部分是证明 (1) 不可能有无限多个极限环聚集在一个分界线环邻近.
为解决希尔伯特第 16 问题,人们依不同的 \( n \) 来分别研究系统 (1). \( n = 1 \) 时,(1) 为线性系统,显然不存在极限环. \( n = 2 \) 时称 (1) 为二次系统,20 世纪 50 年代起, 以叶彦谦和秦元勋为代表的中国数学家对其极限环的基本性质做了系统研究. 至 20 世纪末在国际上围绕其极限环与全局结构等已有大量成果. 鲍金 (Bautin, N. N. ) 证明了二次系统在一个奇点外围邻近最多有三个极限环 (1952 年); 20 世纪 70 年代末, 史松龄以及陈兰荪、王明淑等给出了具有不少于四个极限环的二次系统 (其一个奇点外至少有三个, 另一奇点外至少有一个). 至今尚未能证明二次系统最多只能有四个极限环. 对于三次系统 (即 \( n = \) 3 时) 也有不少研究成果, 已经获得了如下的实例: 在一个奇点外围邻近聚集有 8 个极限环; 也存在三次系统其相互嵌套着的极限环至少有 11 个. 对 \( n \geq \) 4 的系统则研究甚少. 总之, 要彻底解决希尔伯特第 16 问题还有相当大的难度.
结构稳定性(structural stability) 系统的大范围定性结构在微扰下保持稳定的性质. 一个系统所具有的某种性质称为是稳定的, 如果该性质在系统本身的微小改变之下仍能保持. 结构稳定性就是指系统的大范围定性结构是稳定的. 为严格给出其定义, 首先要说明: 什么是系统的微小改变? 今就平面系统
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = P\left( {x, y}\right) ,\;\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t} = Q\left( {x, y}\right)
\]
(1)
来讨论,假设它定义于 \( \left( {x, y}\right) \) 平面的区域 \( G \) 内, \( P, Q \) \( \in {C}^{1} \) (即 \( P, Q \) 在 \( G \) 内一次连续可微), \( G \) 的边界为一单闭曲线, 且不含有 (1) 的奇点以及与 (1) 的轨线相切的点. 所有满足这些条件的系统 (1) 组成一集合 \( X \) ,今在 \( X \) 内引进距离. 任取 \( X \) 内另一系统
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = {P}^{ * }\left( {x, y}\right) ,\;\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t} = {Q}^{ * }\left( {x, y}\right)
\]
(2)
定义 (1) 与 (2) 的距离为
\( d\left( {\left( 1\right) ,\left( 2\right) }\right) \)
\[
= \mathop{\sup }\limits_{{\left( {x, y}\right) \in G}}\left( {\left| {P - {P}^{ * }}\right| ,\left| {Q - {Q}^{ * }}\right| ,\left| {\frac{\partial P}{\partial x} - \frac{\partial {P}^{ * }}{\partial x}}\right| ,}\right.
\]
\[
\left. {\left| {\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial {P}^{ * }}{\partial y}}\right| ,\left| {\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial {Q}^{ * }}{\partial x}}\right| ,\left| {\frac{\partial Q}{\partial y} - \frac{\partial {Q}^{ * }}{\partial y}}\right| }\right) .
\]
在此距离下, \( X \) 成为一巴拿赫空间. 若存在 \( \varepsilon > 0 \) ,使当 \( d\left( {\left( 1\right) ,\left( 2\right) }\right) < \varepsilon \) 时,存在 \( G \) 到它自身的同胚映射 \( T \) ,把 (1) 的轨线对应为 (2) 的轨线,则称系统 (1) 在 \( G \) 上为结构稳定系统,或称为粗系统. (2) 称为 (1) 的一个扰动. 这一概念首先由安德罗诺夫 (Ahapohob, A. A. ) 和庞特里亚金 (Ilohtpath, JI. C. ) 于 1937 年所引进,他们称之为粗系统,且当时假定 \( P, Q \) 为解析函数. 并给出了如下结果 (未有详细证明). 系统 (1) 在 \( G \) 上为结构稳定的充分必要条件是:
1. 只有有限个奇点, 且均为双曲的.
2. 只有有限条闭轨, 且均为单重极限环.
3. 没有从鞍点到鞍点的轨线连结.
1952 年,德巴杰斯 (DeBaggis, H. F. ) 把 \( P, Q \) 为解析的要求减弱为 \( P, Q \in {C}^{1} \) ,并详细证明了上述结果. 1962 年, 佩克索托 (Peixoto, M. ) 把这些结论推广到紧致二维流形上的微分动力系统, 得出了下列结论:
1) 在紧致二维流形 \( {M}^{2} \) 上定义的微分系统为结构稳定的充分必要条件是: 它满足上述条件 \( 1 - 3 \) , 再加上条件 4: 每一轨线的 \( \omega \) 与 \( \alpha \) 极限集只能为奇点或闭轨.
2) 把 \( {M}^{2} \) 上定义的微分系统所组成的空间记为 \( X \) ,其中结构为稳定的系统组成的子集在 \( X \) 内为开的稠密集.
20 世纪 60 年代起, 斯梅尔 (Smale, S. )、廖山涛等致力于维数高于 2 的系统的结构稳定性研究, 并由此引出了具有复杂的极限集结构的马蹄映射 (常称为斯梅尔马蹄) 以及高维结构稳定性的一系列成果.
结构稳定系统 (system of structural stability) 见“结构稳定性”.
扰动 (perturbation) 见 “结构稳定性”.
分支 (bifurcation) 结构不稳定的系统在小摄动之下产生的结构变异现象. 就上述二维系统来说, 只要上述结构稳定的充分必要条件中的条件有一个被破坏, 就得到分支系统. 譬如说, 具有一个非双曲奇点, 或具有一个非单重的极限环, 或具有一条鞍点连结轨线, 这一系统就是分支系统, 它在适当的小摄动之下, 非双曲奇点就会转化为一个或多个双曲奇点, 非单重极限环也可转化为邻近的一个或多个单重极限环, 鞍点连结轨线则会破裂. 因此, 系统的定性结构在相应的一个局部会因小摄动而发生变化, 这个局部就出现分支现象, 对应地就称为奇点分支、 闭轨分支或鞍点连线分支 (它也包含同宿或异宿奇闭轨分支作为特例).
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2000_数学辞海（第3卷） | 231 | 之为粗系统,且当时假定 \( P, Q \) 为解析函数. 并给出了如下结果 (未有详细证明). 系统 (1) 在 \( G \) 上为结构稳定的充分必要条件是:
1. 只有有限个奇点, 且均为双曲的.
2. 只有有限条闭轨, 且均为单重极限环.
3. 没有从鞍点到鞍点的轨线连结.
1952 年,德巴杰斯 (DeBaggis, H. F. ) 把 \( P, Q \) 为解析的要求减弱为 \( P, Q \in {C}^{1} \) ,并详细证明了上述结果. 1962 年, 佩克索托 (Peixoto, M. ) 把这些结论推广到紧致二维流形上的微分动力系统, 得出了下列结论:
1) 在紧致二维流形 \( {M}^{2} \) 上定义的微分系统为结构稳定的充分必要条件是: 它满足上述条件 \( 1 - 3 \) , 再加上条件 4: 每一轨线的 \( \omega \) 与 \( \alpha \) 极限集只能为奇点或闭轨.
2) 把 \( {M}^{2} \) 上定义的微分系统所组成的空间记为 \( X \) ,其中结构为稳定的系统组成的子集在 \( X \) 内为开的稠密集.
20 世纪 60 年代起, 斯梅尔 (Smale, S. )、廖山涛等致力于维数高于 2 的系统的结构稳定性研究, 并由此引出了具有复杂的极限集结构的马蹄映射 (常称为斯梅尔马蹄) 以及高维结构稳定性的一系列成果.
结构稳定系统 (system of structural stability) 见“结构稳定性”.
扰动 (perturbation) 见 “结构稳定性”.
分支 (bifurcation) 结构不稳定的系统在小摄动之下产生的结构变异现象. 就上述二维系统来说, 只要上述结构稳定的充分必要条件中的条件有一个被破坏, 就得到分支系统. 譬如说, 具有一个非双曲奇点, 或具有一个非单重的极限环, 或具有一条鞍点连结轨线, 这一系统就是分支系统, 它在适当的小摄动之下, 非双曲奇点就会转化为一个或多个双曲奇点, 非单重极限环也可转化为邻近的一个或多个单重极限环, 鞍点连结轨线则会破裂. 因此, 系统的定性结构在相应的一个局部会因小摄动而发生变化, 这个局部就出现分支现象, 对应地就称为奇点分支、 闭轨分支或鞍点连线分支 (它也包含同宿或异宿奇闭轨分支作为特例).
对维数 \( n > 2 \) 的高维系统,结构稳定性与分支问题要比 \( n = 2 \) 时复杂得多,譬如具有同宿或异宿轨时就不一定出现分支. 设有双曲奇点 \( {p}_{1},{p}_{2} \) ,把它们的局部稳定与不稳定流形向大范围延伸可得到全局的稳定流形 \( {W}^{s}\left( {p}_{1}\right) ,{W}^{s}\left( {p}_{2}\right) \) 和全局的不稳定流形 \( {W}^{u}\left( {p}_{1}\right) ,{W}^{u}\left( {p}_{2}\right) \) . 集合 \( {W}^{u}\left( {p}_{i}\right) \cap {W}^{s}\left( {p}_{j}\right) \left( {i \neq j}\right) \) 中的点就称为异宿点,集合 \( {W}^{u}\left( {p}_{i}\right) \cap {W}^{s}\left( {p}_{i}\right) \left( {i = j}\right) \) 中的点称为同宿点. 通过同宿 (或异宿) 点的轨线称为同宿 (或异宿) 轨. 具有同宿 (或异宿) 轨的高维系统是否为分支,还要看在同宿 (或异宿) 点处 \( {W}^{u}\left( {p}_{i}\right) \) 与 \( {W}^{s}\left( {p}_{j}\right) \) 的相交情况,如果它们横截相交 (即在交点处 \( {W}^{u}\left( {p}_{i}\right) \) 与 \( {W}^{s}\left( {p}_{j}\right) \) 的并能张满空间 \( {\mathrm{R}}^{n} \) ),则不产生分支 (局部为结构稳定), 而在非横截相交时则出现分支.
环面上的微分方程 (differential equation on torus) 环面上定义的微分方程. 在平面系统
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = P\left( {x, y}\right) ,\;\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t} = Q\left( {x, y}\right)
\]
(1)
中,设 \( P, Q \) 关于其变元分别是以 1 为周期的函数, 即满足
\[
P\left( {x, y + 1}\right) = P\left( {x + 1, y}\right) = P\left( {x, y}\right) ,
\]
\[
Q\left( {x, y + 1}\right) = Q\left( {x + 1, y}\right) = Q\left( {x, y}\right) .
\]
(2)
这时,把 \( \left( {x, y}\right) \) 平面上的单位正方形 \( S = \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \times \) \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 两对对边叠合,得到一个环面 \( {T}^{2} \) . 从而 (2) 就确定了环面 \( {T}^{2} \) 上的一个系统. 在 \( {T}^{2} \) 上,常把圆周 \( x \) \( = {x}_{0} \) (任一常数) 称为一纬圆,圆周 \( y = {y}_{0} \) 称为一经圆. 进一步设 \( P, Q \) 恒不等于零,即环面上不含奇点的方程. 考虑它从经圆 \( {C}_{0} : x = 0,0 \leq y \leq 1 \) 上一点 \( \left( {0,{y}_{0}}\right) \) 出发的轨线,它对应的方程
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = \frac{Q\left( {x, y}\right) }{P\left( {x, y}\right) }
\]
满足初值 \( \varphi \left( {0,{y}_{0}}\right) = {y}_{0} \) 的解 \( y = \varphi \left( {x,{y}_{0}}\right) .x = 1 \) 时, 记 \( \psi \left( {y}_{0}\right) = \varphi \left( {1,{y}_{0}}\right) \) ,由叠合原理, \( \left( {1,\psi \left( {y}_{0}\right) }\right) \) 仍为 \( {C}_{0} \) 上的一点,故通过对应 \( \left( {0,{y}_{0}}\right) \rightarrow \left( {1,\psi \left( {y}_{0}\right) }\right) \) 确定了一个微分同胚 \( H : {C}_{0} \rightarrow {C}_{0} \) . 庞加莱 (Poincaré,(J.-)H. ) 通过研究这个一维点映射的性质来得出上述环面微分方程的轨线性态. 对任意整数 \( n \) ,将映射 \( \psi \) 迭代 \( n \) 次, 可以证明极限
\[
\mu = \mathop{\lim }\limits_{{\left| n\right| \rightarrow + \infty }}\frac{{\psi }^{n}\left( {y}_{0}\right) }{n}
\]
存在,且不随 \( {y}_{0} \) 而变化. 它是环面系统的一个特征数, 称之为旋转数. 这时, 沿着每一条轨线在经圆与纬圆方向绕行圈数 (不足一圈时不计入) 之比的极限均等于 \( \mu \) . 当 \( \mu \) 为有理数 \( q/p \) 时,环面轨线性态必属于如下两种情形之一:
1. 周期环型. 即环面上充满闭轨, 每一条沿经圆绕行 \( q \) 圈,沿纬圆绕行 \( p \) 圈而后闭合.
2. 极限环型. 环面上有若干条闭轨 (如同平面系统的极限环), 形态与情形 1 中相同, 其他轨线非闭, 而以这些极限环中的一条为其 \( \omega \) 或 \( \alpha \) 极限集.
当 \( \mu \) 为无理数时,可考虑经圆 \( {C}_{0} \) 上的点集
\( {S}_{p} = \left\{ {{T}^{n}p \mid p \in {C}_{0}, n = 0, \pm 1, \pm 2,\cdots }\right\} . \)
\( {S}_{p} \) 的极限点集记为 \( {S}_{p}^{\prime } \cdot {S}_{p}^{\prime } \) 为完全集,即 \( {\left( {S}_{p}^{\prime }\right) }^{\prime } = {S}_{p}^{\prime } \) , 且对任何 \( p \in {C}_{0},{S}_{p}^{\prime } \) 均相同. 只能有下列两种情况:
1. \( {S}_{p}^{\prime } = {C}_{0} \) .
2. \( {S}_{p}^{\prime } \) 在 \( {C}_{0} \) 内无处稠密,它们分别对应于环面上两种不同的轨线性态:
1) 遍历型. 这时环面上每一条轨线均为非闭, 它的轨迹在环面上处处稠密 (此即遍历一词的含意).
2) 奇异型. 对应的轨线结构较为奇特. 直观地说, 相当于在遍历型中抽去若干条轨线, 而代之以有限条或可数多条带子, 每条带子由拓扑平行的轨线组成, 但带子两端的宽度单调趋于零, 以使它们取代某些轨线后, 仍得一环面.
对环面上的 \( {C}^{2} \) 类流,若旋转数为无理数,则必为遍历型, 即不会出现奇异型. 当儒瓦 (Denjoy, A. ) 举出一个 \( {C}^{1} \) 流的例子,说明它呈现奇异型.
旋转数 (rotation number) 见 “环面微分方程”.
达芬方程 (Duffing's equations) 一类二阶微分方程. 通常可写为
\[
\ddot{x} + c\dot{x} + g\left( x\right) = p\left( t\right) ,
\]
(1)
其中 \( c \) 为常数, \( {xg}\left( x\right) > 0\left( {\left| x\right| \gg 1}\right) \) . 若 \( g\left( x\right) \) 是线性函数, 则可用常数变易法写出 (1) 的通解表达式. 若 \( g\left( x\right) \) 为非线性函数,则 (1) 的动力学行为非常复杂, 可以出现混沌状态. 如 \( c \neq 0,\left( 1\right) \) 是耗散系统,其庞加莱映射不保面积. 当 \( c = 0 \) 时,(1) 成为
\[
\ddot{x} + g\left( x\right) = p\left( t\right) .
\]
(2)
（2）是一保守系统, 它的庞加莱映射是保面积的. (2) 等价于一特殊的哈密尔顿系统
\[
\left\{ \begin{array}{l} \dot{x} = y, \\ \dot{y} = - g\left( x\right) + p\left( t\right) , \end{array}\right.
\]
其中哈密尔顿函数
\[
H\left( {x, y, t}\right) = \frac{1}{2}{y}^{2} + G\left( x\right) - {xp}\left( t\right) ,
\]
\[
G\left( x\right) = {\int }_{0}^{x}g\left( s\right) \mathrm{d}s.
\]
(2) 可分成三种类型:
1. 超线性:
\[
\mathop{\lim }\limits_{{\left| x\right| \rightarrow \infty }}\frac{g\left( x\right) }{x} = + \infty .
\]
2. 半线性:
\[
a < \frac{g\left( x\right) }{x} < b.
\]
3. 次线性:
\[
\mathop{\lim }\limits_{{\left| x\right| \rightarrow \infty }}\frac{g\left( x\right) }{x} = 0.
\]
（2）可以有无穷多个周期运动和无穷多个拟周期运动, 可以有无穷多个不变环面, 也可以出现混沌状态.
## 常微分方程稳定性理论
常微分方程稳定性理论 (stability theory of ordinary differential equation) 亦称运动稳定性理论, 是常微分方程理论的一个分支. 研究常微分方程的解在微小扰动下的性质. 粗略地说, 系统的某个状态, 如果在微小扰动之下其状态变化保持是小的, 则称它是稳定的, 否则, 称它是不稳定的. 由于在实际系统中不可避免地会出现各种偶然的扰动, 所以只有稳定的状态或过程才有现实意义. 因此, 研究描写实际系统的微分方程解的稳定性具有重要的意义.
稳定性的概念和理论由俄国数学家李亚普诺夫 (JIAITYHOB, A. M. ) 于 19 世纪 90 年代所创立, 并提出称之为第一方法和第二方法的两种解决方法. 20 世纪五六十年代, 美国数学家莱夫谢茨 (Lefschetz, S. ) 和拉萨尔 (Lasalle, J. P. ) 进一步发展了稳定性理论. 现在稳定性理论和方法已推广到泛函微分方程、广义微分方程及偏微分方程等更广泛的系统中去. 目前, 稳定性的概念已被推广和应用到自然科学和工程技术的许多领域之中, 并形成了非常丰富的理论. 这里主要研究常微分方程解的稳定性.
稳定性 (stability) 常微分方程稳定性理论的重要概念之一. 如果对于任一 \( \varepsilon > 0 \) 及 \( {t}_{0} \geq \tau \) ,存在对应的 \( \eta \left( {\varepsilon ,{t}_{0}}\right) > 0 \) ,使得当 \( \begin{Vmatrix}{x}_{0}\end{Vmatrix} < \eta, t \geq {t}_{0} \) 时,有 \( \begin{Vmatrix}{x\left( {t,{t}_{0},{x}_{0}}\right) }\end{Vmatrix} < \varepsilon \) ,则称奇点 \( O \) 为稳定的. 否则,称 \( O \) 为不稳定的.
## 不稳定性(instability) 见“稳定性”.
渐近稳定性 (asymptotic stability) 常微分方程稳定性理论的重要概念之一. 如果 \( O \) 是稳定的并且对每一个 \( {t}_{0} \geq \tau \) ,存在 \( \eta \left( {t}_{0}\right) \) ,使得对每一个 \( \xi > 0 \) 及 \( \begin{Vmatrix}{x}_{0}\end{Vmatrix} < \eta \left( {t}_{0}\right) \) ,存在对应的 \( T\left( {{x}_{0},{t}_{0},\xi }\right) \) ,使当 \( t \geq {t}_{0} \) \( + T \) 时,有 \( \begin{Vmatrix}{x\left( {t,{t}_{0},{x}_{0}}\right) }\end{Vmatrix} < \xi \) ,则称 \( O \) 为渐近稳定的. 如果可以选到与 \( {x}_{0} \) 无关的 \( T = T\left( {{t}_{0},\xi }\right) \) ,则称 \( O \) 为同等渐近稳定的. \( O \) 为稳定的,等价于对每一固定的 \( {t}_{0} \geq \tau, x\left( {t,{t}_{0},{x}_{0}}\right) \) 在 \( {x}_{0} = 0 \) 的连续性相对 \( t \in \left\lbrack {t}_{0}\right. \) , \( + \infty ) \) 是一致的; \( O \) 的渐近稳定性等价于 \( O \) 为稳定的且具有吸引的性质.
一致稳定性 (uniform stability) 常微分方程稳定性理论的重要概念之一. 在有关稳定性的各定义中, \( x\left( {t,{t}_{0},{x}_{0}}\right) \) 在 \( {x}_{0} = 0 \) 处的连续性只要求对 \( t \in \) \( \left\lbrack {{t}_{0}, + \infty }\right) \) 是一致的,如果进一步要求它关于 \( {t}_{0} \geq \tau \) 也是一致的, 这就是一致稳定性的概念. 严格定义如下: 如果对于任一 \( \varepsilon > 0 \) 及 \( {t}_{0} \geq \tau \) ,存在只与 \( \varepsilon \) 有关的 \( \eta \) \( = \eta \left( \varepsilon \right) > 0 \) ,使得 当 \( \begin{Vmatrix}{x}_{0}\end{Vmatrix} < \eta, t \geq {t}_{0} \) 时,有 \( \begin{Vmatrix}{x\left( {t,{t}_{0},{x}_{0}}\right) }\end{Vmatrix} < \varepsilon \) ,则称 \( O \) 为一致稳定的.
如果 \( O \) 为一致稳定的,并且存在 \( \eta \) 不依赖于 \( {t}_{0} \) 使得对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( T\left( \varepsilon \right) > 0 \) ,使当 \( \begin{Vmatrix}{x}_{0}\end{Vmatrix} < \eta, t \) \( \geq {t}_{0} + T \) 时,有 \( \begin{Vmatrix}{x\left( {t,{t}_{0},{x}_{0}}\right) }\end{Vmatrix} < \varepsilon \) ,则称 \( O \) 为一致渐近稳定的.
如果存在 \( \lambda > 0 \) ,以及任给 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta \left( \varepsilon \right) > 0 \) , 使得当 \( \begin{Vmatrix}{x}_{0}\end{Vmatrix} < \delta ,{t}_{0} \geq \tau \) 时,对于一切 \( t \geq {t}_{0} \) ,都有
\[
\begin{Vmatrix}{x\left( {t,{t}_{0},{x}_{0}}\right) }\end{Vmatrix} \leq \varepsilon \exp \left\lbrack {-\lambda \left( {t - {t}_{0}}\right) }\right\rbrack ,
\]
则称 \( O \) 为指数渐近稳定的.
齐次线性系统的稳定性 (stability in linear homogeneous systems) 最简单和基本的系统稳定性. 考虑齐次线性方程组
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = P\left( t\right) x
\]
(1)
这里矩阵 \( P\left( t\right) \) 对于 \( t \geq \tau \) 是连续有界的. 由于 (1) 的所有解构成一个线性空间, 所以其原点的稳定性同所有解的有界性是一致的, 并且各种类型的稳定性之间存在密切关系:
1. 对于齐次线性方程组 (1) 来说,
1) 原点的稳定性等价于所有解的有界性.
2) 原点的一致稳定性等价于所有解有界, 且关于 \( t \) 是一致的.
2. 齐次线性方程组 (1) 的原点为同等 (指数) 渐近稳定的充分必要条件是它为渐近 (一致渐近) 稳定的.
当 \( P\left( t\right) \equiv A \) 为常数矩阵时,原点的稳定性完全由 \( A \) 的特征值决定: 齐次线性方程组 (1) 的原点为渐近稳定的充分必要条件是 \( A \) 的一切特征值都有负的实部; 原点为稳定的充分必要条件是 \( A \) 的一切特征值的实部非正, 并且零实部特征值所对应的若尔当块都是一阶的.
按一次近似决定稳定性 (stability in the first approximation) 应用近似的线性系统研究更复杂系统稳定性的一种方法, 即由最基本的线性 (一次) 系统出发研究能否决定更复杂系统的稳定性. 对于常系数线性方程组
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = {Px}
\]
(1)
其解的渐近性态是很清楚的. 如果在 (1) 的右端加上一个小扰动, 即
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = {Px} + q\left( {x, t}\right) ,
\]
（2）
则人们试图从 (1) 的解的已知性态去获得 (2) 在原点附近的渐近性态, 这就是通常所称的按一次近似决定稳定性的问题. 当 \( P \) 没有零或纯虚数的特征根, 且 \( q \) 相对于 \( \parallel x\parallel \) 适当小时,则 (1) 和 (2) 在原点附近解的渐近性态完全相同. 设 \( P \) 有 \( k\left( {0 \leq k \leq n}\right) \) 个具有负实部的特征根,而其余具有正实部. 又假定当 \( t \geq \tau \) 及 \( \parallel x\parallel ,\begin{Vmatrix}{x}^{\prime }\end{Vmatrix} \leq A \) 时,对 \( t \) 一致地有
\[
\begin{Vmatrix}{q\left( {x, t}\right) - q\left( {{x}^{\prime }, t}\right) }\end{Vmatrix}
\]
\[
= O\left( {\parallel x\parallel + \begin{Vmatrix}{x}^{\prime }\end{Vmatrix}}\right) \cdot \begin{Vmatrix}{x - {x}^{\prime }}\end{Vmatrix}\text{,}
\]
（3）
则存在常数 \( \mu, v > 0 \) ,使得下述性质成立:
1. 当 \( \x |
2000_数学辞海（第3卷） | 232 | 点为稳定的充分必要条件是 \( A \) 的一切特征值的实部非正, 并且零实部特征值所对应的若尔当块都是一阶的.
按一次近似决定稳定性 (stability in the first approximation) 应用近似的线性系统研究更复杂系统稳定性的一种方法, 即由最基本的线性 (一次) 系统出发研究能否决定更复杂系统的稳定性. 对于常系数线性方程组
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = {Px}
\]
(1)
其解的渐近性态是很清楚的. 如果在 (1) 的右端加上一个小扰动, 即
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = {Px} + q\left( {x, t}\right) ,
\]
（2）
则人们试图从 (1) 的解的已知性态去获得 (2) 在原点附近的渐近性态, 这就是通常所称的按一次近似决定稳定性的问题. 当 \( P \) 没有零或纯虚数的特征根, 且 \( q \) 相对于 \( \parallel x\parallel \) 适当小时,则 (1) 和 (2) 在原点附近解的渐近性态完全相同. 设 \( P \) 有 \( k\left( {0 \leq k \leq n}\right) \) 个具有负实部的特征根,而其余具有正实部. 又假定当 \( t \geq \tau \) 及 \( \parallel x\parallel ,\begin{Vmatrix}{x}^{\prime }\end{Vmatrix} \leq A \) 时,对 \( t \) 一致地有
\[
\begin{Vmatrix}{q\left( {x, t}\right) - q\left( {{x}^{\prime }, t}\right) }\end{Vmatrix}
\]
\[
= O\left( {\parallel x\parallel + \begin{Vmatrix}{x}^{\prime }\end{Vmatrix}}\right) \cdot \begin{Vmatrix}{x - {x}^{\prime }}\end{Vmatrix}\text{,}
\]
（3）
则存在常数 \( \mu, v > 0 \) ,使得下述性质成立:
1. 当 \( \xi = \left( {{\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots ,{\xi }_{k}}\right) \in {\mathrm{R}}^{k} \) 且 \( \parallel \xi \parallel < \mu \) 时,(2)
有连续依赖于 \( \xi \) 的解 \( x\left( {\xi, t}\right) \) ,使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow \infty }}x\left( {\xi, t}\right) = 0
\]
且原点关于这族解是渐近稳定的.
2. 当 \( \eta = \left( {{\eta }_{1},{\eta }_{2},\cdots ,{\eta }_{n - k}}\right) \in {\mathrm{R}}^{n - k} \) 且 \( \parallel \eta \parallel < v \) 时, (2) 有连续依赖于 \( \eta \) 的解 \( x\left( {\eta, t}\right) \) ,使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow - \infty }}x\left( {\eta, t}\right) = 0.
\]
设 (2) 为自治的: \( q = q\left( x\right) \) ,且 \( 1 < k < n \) ,则性质 1 和 2 表现的性质为典型的鞍点性质, 它们给出了原点的局部稳定和不稳定流形.
李亚普诺夫稳定性 (stability in the sense of Li-apunov) 在无限时间区间上微分方程的解对其初值连续依赖的稳定性概念. 考虑微分方程组
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = X\left( {x, t}\right) ,
\]
(1)
假设它在 \( D \times I \) 上连续且满足局部李普希茨条件, 其中 \( I = \lbrack \tau , + \infty ), D \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 为含原点 \( O \) 的区域. 进一步,假设原点为 (1) 的奇点,即 \( X\left( {0, t}\right) \equiv 0\left( {t \geq \tau }\right) \) . 记 (1) 满足 \( x\left( {t}_{0}\right) = {x}_{0} \) 的解为 \( x\left( {t,{t}_{0},{x}_{0}}\right) \) . 由解对初值的连续依赖性, \( x\left( {t,{t}_{0},{x}_{0}}\right) \) 在其定义域内为多元连续映射. 由于 \( O \) 为奇点,所以对于任一固定的 \( {t}_{0} \geq \tau \) 及有限区间 \( \left\lbrack {{t}_{0}, T}\right\rbrack \) ,当 \( \begin{Vmatrix}{x}_{0}\end{Vmatrix} \) 充分小时, \( x\left( {t,{t}_{0},{x}_{0}}\right) \) 在该区间上有定义且对 \( {x}_{0} \) 的连续性相对于 \( t \in \left\lbrack {{t}_{0}, T}\right\rbrack \) 是一致的. 但是, 一般地, 这种“一致”的性质在无限区间 \( \left\lbrack {{t}_{0}, + \infty }\right) \) 上并不总是成立. 稳定性的概念其实就是考察在无限时间区间上的解关于初始点的连续依赖性, 严格定义如上所述, 它是由李亚普诺夫 (JIanyhob, A. M. ) 给出的.
李亚普诺夫特征数 (the characteristic numbers of Liapunov）定量描述变系数线性方程组解的稳定性态的一种数. 对于变系数线性方程组
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = P\left( t\right) x
\]
(1)
其中 \( P\left( t\right) \) 在 \( t \geq \tau \) 上连续,李亚普诺夫 (Jlanyhob, A. M. ) 引进了一些数, 现在称之为李亚普诺夫特征数, 来代替特征根的作用,它们是用来测定 \( t \rightarrow + \infty \) 时其解的“指数”增长的数.
李亚普诺夫特征数. 设 \( \varphi \left( t\right) \) 是定义于 \( t \geq \tau \) 上的实函数, 则
\[
\left\{ {\lambda }^{\prime }\right\} = \left\{ {{\lambda }^{\prime } \mid \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow + \infty }}{\mathrm{e}}^{{\lambda }^{\prime }t}\varphi \left( t\right) = 0}\right\}
\]
为左端无穷的区间,令 \( {\lambda }_{0} \) 为 \( \left\{ {\lambda }^{\prime }\right\} \) 的右端点,而
\[
\left\{ {\lambda }^{\prime \prime }\right\} = \left\{ {{\lambda }^{\prime \prime }\left| {\mathop{\limsup }\limits_{{t \rightarrow + \infty }}{\mathrm{e}}^{{\lambda }^{\prime \prime }t}}\right| \varphi \left( t\right) \mid = + \infty }\right\}
\]
为右端无穷的区间,令 \( {\lambda }_{1} \) 为 \( \left\{ {\lambda }^{\prime \prime }\right\} \) 的左端点. 如果 \( {\lambda }_{0} \) , \( {\lambda }_{1} \) 都是有限的,则必有 \( {\lambda }_{0} = {\lambda }_{1} \) . 定义这一公共值为 \( \varphi \) 的李亚普诺夫特征数 \( \lambda \left( \varphi \right) \) . 如果它们之一为无穷, 则 \( \lambda \left( \varphi \right) \) 为无穷. 事实上,
\[
\lambda \left( \varphi \right) = - \mathop{\limsup }\limits_{{t \rightarrow + \infty }}{t}^{-1}\log \left| {\varphi \left( t\right) }\right| .
\]
如果 \( \varphi \left( t\right) = \left( {{\varphi }_{1}\left( t\right) ,{\varphi }_{2}\left( t\right) ,\cdots ,{\varphi }_{n}\left( t\right) }\right) \) 为定义于 \( t \geq \tau \) 上的向量函数, 则其李亚普诺夫特征数定义为
\[
\lambda \left( \varphi \right) = \min \left\{ {\lambda \left( {\varphi }_{i}\right) \mid i = 1,2,\cdots, n}\right\} .
\]
如果矩阵 \( P\left( t\right) \) 对于大的 \( t \) 为连续有界的,则:
1. 变系数线性方程组 (1) 的每个解 \( x\left( t\right) \) 的李亚普诺夫特征数 \( \lambda \left( x\right) \) 是一个有限数.
2. 令 \( X \) 为变系数线性方程组 (1) 的所有解的集合,则数集 \( \lambda \left( X\right) = \{ \lambda \left( x\right) \mid x\left( t\right) \in X\} \) 是一个有限集.
事实上,当 \( P\left( t\right) \equiv {P}_{0} \) 时, \( \lambda \left( X\right) \) 为 \( {P}_{0} \) 的特征根的实部的反号数; 当 \( \lambda \left( X\right) \) 由正数构成时,变系数线性方程组 (1) 的原点为渐近稳定的.
李亚普诺夫第一方法 (the first method of Lia-punov）以级数的形式表示解析方程组的解以研究其稳定性态的方法. 考虑微分方程组
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = {Px} + q\left( {x, t}\right) ,
\]
(1)
其中 \( x \) 为复向量而 \( t \) 为实数. 在 \( \Omega \left( A\right) : \parallel x\parallel \leq A \) 中, \( q\left( {x, t}\right) \) 的每个分量可以展成 \( x \) 的分量的幂级数, 至少从二次项开始. 该级数在 \( \Omega \left( A\right) \) 中为全纯函数, 它和它的系数在此集中对 \( t \geq \tau \) 是一致有界的. 如果 \( P \) 的特征根均有负实部,且相异的特征根不满足任何具正整数 \( {m}_{h} \) 的关系式 \( {\lambda }_{j} = \sum {m}_{h}{\lambda }_{h},{m}_{h} \geq 0,\sum {m}_{h} \) \( > 1 \) ,则称特征根 \( \left\{ {\lambda }_{j}\right\} \) 为好品质的. 以 \( N \) 表示不同的 \( {\lambda }_{j} \) 的个数. 设 \( u\left( t\right) = \sum {a}_{h}{u}^{h}\left( t\right) \) 为方程组 (1) 的第一近似的通解,用 \( a \) 表示参数 \( {a}_{j} \) 的向量.
如果微分方程组 (1) 如上所述, 有一组好品质的特征根 \( \left\{ {\lambda }_{j}\right\} \) ,那么,微分方程组具有下列形式的级数通解
\[
x\left( t\right) = \mathop{\sum }\limits_{{m = 1}}^{{+\infty }}{Z}^{m}\left( {t, a}\right) ,
\]
(2)
这里 \( {Z}^{m}\left( {t, a}\right) \) 有下列性质:
\[
\text{1.}{Z}^{1}\left( {t, a}\right) = u\left( t\right) \text{.}
\]
\[
\text{2.}{Z}^{m}\left( {t, a}\right) =
\]
\[
\mathop{\sum }\limits_{{{m}_{1} + {m}_{2} + \cdots + {m}_{N} = m}}{X}^{{m}_{1},\cdots ,{m}_{N}}\left( {t, a}\right) \exp t\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{N}{m}_{j}{\lambda }_{j},
\]
其中 \( {X}^{{m}_{1},\cdots ,{m}_{N}} \) 为向量,它的分量都是 \( t \) 的多项式,其系数为 \( {a}_{j} \) 的 \( m \) 次型,而各型的系数当 \( t \geq \tau \) 时是 \( t \) 的连续有界函数.
3. 存在正数 \( \rho ,{\tau }_{1} \) ,使得级数 (2) 当 \( \parallel a\parallel \leq \rho \) 及 \( t \geq {\tau }_{1} \) 时,绝对且一致收敛于 \( \Omega \left( A\right) \) 的一点.
李亚普诺夫第二方法 (the second method of Liapunov) 通过寻找满足某种几何性质的函数直接推证方程组稳定性的一种方法. 李亚普诺夫第二方法就是借助于一个所谓李亚普诺夫函数 \( V\left( {x, t}\right) \) 及根据微分方程所计算得到的 \( V \) 沿着轨线的导数 \( \mathrm{d}V/\mathrm{d}t \) 的符号性质来直接推断稳定性问题. 考虑实方程组
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = X\left( {x, t}\right)
\]
(1)
这里 \( X \) 在集 \( \Omega \left( {A,\tau }\right) : \parallel x\parallel \leq A, t \geq \tau \) 上连续且满足局部李普希茨条件,且当 \( t \geq \tau \) 时, \( X\left( {0;t}\right) \equiv 0 \) . 设数量函数 \( V\left( {x, t}\right) \) 及 \( W\left( x\right) \) 分别在 \( \Omega \left( {A,\tau }\right) \) 及 \( \Omega \left( A\right) \) 中有定义且连续,对于 \( t \geq \tau \) 有 \( V\left( {0, t}\right) \equiv 0 \) 及 \( W\left( 0\right) = \) 0. \( V\left( {x, t}\right) \) 在 \( \Omega \left( {A,\tau }\right) \) 内称为常正的 (常负的),如果它在此集中 \( \geq 0\left( { \leq 0}\right) ;W\left( x\right) \) 在 \( \Omega \left( A\right) \) 内称为定正的 (定负的),如果对于 \( x \neq 0 \) ,它在 \( \Omega \left( A\right) \) 内均 \( > 0\left( { < 0}\right) ;V\left( {x, t}\right) \) 在 \( \Omega \left( {A,\tau }\right) \) 内称为定正的 (定负的), 如果它在该集中不小于 (不大于) 定正 (定负) 函数 \( W\left( x\right) \) . 如果进一步要求 \( V\left( {x, t}\right) \) 为 \( {C}^{1} \) 函数,则它沿着实向量方程组 (1) 的轨线的导数为
\[
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{\;d}t} = \frac{\partial V}{\partial t} + \sum {X}_{h}\frac{\partial V}{\partial {x}_{h}}.
\]
函数 \( V\left( {x, t}\right) \) 称为 \( \Omega \left( {A,\tau }\right) \) 上的李亚普诺夫函数,如果它在该集中是定正的,且 \( \mathrm{d}V/\mathrm{d}t \) 为常负的. 下面叙述李亚普诺夫 (Jlanyhob, A. M. ) 给出的几个定理:
1. (稳定性定理) 如果存在定义于 \( \Omega \left( {A,\tau }\right) \) 上的李亚普诺夫函数 \( V\left( {x, t}\right) \) ,则原点是稳定的.
2. (渐近稳定性定理) 如果在 \( \Omega \left( {A,\tau }\right) \) 内有一个不大于定正函数 \( {W}_{1}\left( x\right) \) 的李亚普诺夫函数 \( V\left( {x, t}\right) \) ,并使 \( \mathrm{d}V/\mathrm{d}t \) 为定负,则原点是渐近稳定的.
3. (不稳定性定理) 设 \( U\left( {x, t}\right) \) 为定义于 \( \Omega \left( {A,\tau }\right) \) 上的有界 \( {C}^{1} \) 函数,在 \( \Omega \) 的某一子域 \( {\Omega }_{1} \) 内 \( U > 0,{\Omega }_{1} \) 的边界的一部分 \( B \) 包含射线 \( T : x = 0 \) , \( t \geq \tau \) ,且在 \( B \) 上 \( U = 0 \) . 假定下列条件成立,则原点是不稳定的:
1) 只要 \( {t}_{0} \geq \tau \) ,就有点 \( \left( {{x}_{0},{t}_{0}}\right) \in {\Omega }_{1} \) 任意接近 \( T \) .
2) 对于每一个小的 \( h > 0 \) ,有 \( k\left( h\right) > 0 \) ,使得在 \( {\Omega }_{1} \) 内 \( U \geq h \) 蕴涵在 \( {\Omega }_{1} \) 内 \( {U}^{\prime } \geq k\left( h\right) \) .
李亚普诺夫函数 (Liapunov function) 见“李亚普诺夫第二方法”.
乘积空间中的稳定性 (stability in product spaces) 将一个方程组分解为两个方程组相当于将一个空间分解为两个空间的乘积, 以此来研究原完全方程组相应的稳定性的方法. 考虑 \( p \) 维向量 \( y \) 及 \( q \) 维向量 \( z \) 在闭域 \( \Omega : \parallel y\parallel \leq A,\parallel z\parallel \leq A, t \leq \tau \) 上的方程组
\[
\left\{ \begin{array}{l} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t} = Y\left( {y, z, t}\right) , \\ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{\;d}t} = Z\left( {y, z, t}\right) . \end{array}\right.
\]
(1)
假设该方程组连续并满足李普希茨条件,且原点 \( O \) 为 (1) 的奇点. 当
\[
Y = {Y}_{0}\left( y\right) + {Y}^{ * }\left( {y, z, t}\right) ,
\]
\[
Z = {Z}_{0}\left( z\right) + {Z}^{ * }\left( {y, z, t}\right)
\]
时 (其中 \( {Y}^{ * } \) 及 \( {Z}^{ * } \) 相对于 \( {Y}_{0} \) 及 \( {Z}_{0} \) 来说是较小的), 人们希望知道完全方程组 (1) 的稳定性受部分方程组 \( \mathrm{d}y/\mathrm{d}t = {Y}_{0}\left( y\right) \) 及 \( \mathrm{d}z/\mathrm{d}t = {Z}_{0}\left( z\right) \) 的稳定性的制约程度,这就是乘积空间稳定性的研究内容. 设 \( \zeta \left( t\right) \) 是连续的 \( q \) 维向量. 取对应的方程组
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t} = Y\left( {y,\zeta \left( t\right), t}\right) .
\]
(2)
令 \( {O}_{y},{O}_{z} \) 表示方程组 (1) 的第一式及第二式的原点 \( y = 0 \) 及 \( z = 0 \) ,则称 \( {O}_{y} \) 关于方程组 (1) 的第一式为拟稳定的,只要对于给定的任何 \( 0 < \varepsilon < A \) 及 \( {t}_{0} \geq \tau \) ,存在 \( 0 < \eta \left( {{t}_{0},\varepsilon }\right) \leq \varepsilo |
2000_数学辞海（第3卷） | 233 | { \begin{array}{l} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t} = Y\left( {y, z, t}\right) , \\ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{\;d}t} = Z\left( {y, z, t}\right) . \end{array}\right.
\]
(1)
假设该方程组连续并满足李普希茨条件,且原点 \( O \) 为 (1) 的奇点. 当
\[
Y = {Y}_{0}\left( y\right) + {Y}^{ * }\left( {y, z, t}\right) ,
\]
\[
Z = {Z}_{0}\left( z\right) + {Z}^{ * }\left( {y, z, t}\right)
\]
时 (其中 \( {Y}^{ * } \) 及 \( {Z}^{ * } \) 相对于 \( {Y}_{0} \) 及 \( {Z}_{0} \) 来说是较小的), 人们希望知道完全方程组 (1) 的稳定性受部分方程组 \( \mathrm{d}y/\mathrm{d}t = {Y}_{0}\left( y\right) \) 及 \( \mathrm{d}z/\mathrm{d}t = {Z}_{0}\left( z\right) \) 的稳定性的制约程度,这就是乘积空间稳定性的研究内容. 设 \( \zeta \left( t\right) \) 是连续的 \( q \) 维向量. 取对应的方程组
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t} = Y\left( {y,\zeta \left( t\right), t}\right) .
\]
(2)
令 \( {O}_{y},{O}_{z} \) 表示方程组 (1) 的第一式及第二式的原点 \( y = 0 \) 及 \( z = 0 \) ,则称 \( {O}_{y} \) 关于方程组 (1) 的第一式为拟稳定的,只要对于给定的任何 \( 0 < \varepsilon < A \) 及 \( {t}_{0} \geq \tau \) ,存在 \( 0 < \eta \left( {{t}_{0},\varepsilon }\right) \leq \varepsilon \) ,使当 \( \begin{Vmatrix}{\zeta \left( {t}_{0}\right) }\end{Vmatrix} < \eta \) 时,(2) 的任一满足 \( \begin{Vmatrix}{y\left( {t}_{0}\right) }\end{Vmatrix} < \eta \) 的解 \( y\left( t\right) \) 具有如下的性质: 在使 \( \parallel \zeta \left( t\right) \parallel \leq \varepsilon \) 的任一区间 \( {t}_{0} \leq t \leq {t}_{1} \) 内,有 \( \parallel y\left( t\right) \parallel < \varepsilon \) ; 原点 \( {O}_{y} \) 称为关于方程组 (1) 的第一式为拟不稳定的,如果给定了任何 \( \varepsilon ,\eta \) 适合 \( 0 < \eta \leq \varepsilon < A \) ,以及适合 \( \begin{Vmatrix}{\zeta \left( {t}_{0}\right) }\end{Vmatrix} < \eta \) 和 \( t \geq {t}_{0} \) 时 \( \parallel \zeta \left( t\right) \parallel < \varepsilon \) 的任何连续函数 \( \zeta \left( t\right) \) ,那么,对于 (2) 的满足 \( \begin{Vmatrix}{y\left( {t}_{0}\right) }\end{Vmatrix} < \eta \) 的某一解 \( y\left( t\right) \) ,对某一 \( t \geq {t}_{0} \) ,就有 \( \parallel y\left( t\right) \parallel = \varepsilon \) .
1. 如果 \( {O}_{y},{O}_{z} \) 关于方程组 (1) 的两式都是拟稳定的,则 \( O \) 关于 (1) 为稳定的; 如果 \( {O}_{y} \) 或 \( {O}_{z} \) 关于对应的方程组为拟不稳定的,则 \( O \) 关于 (1) 为不稳定的.
2. 设 \( Y \) 独立于 \( t, Z = {Qz} + {Z}^{ * }\left( {y, z}\right) \) ,这里 \( Q \) 为稳定的常矩阵,且当 \( \parallel y\parallel + \parallel z\parallel \rightarrow 0 \) 时,
\( \begin{Vmatrix}{{Z}^{ * }\left( {y, z}\right) }\end{Vmatrix} = O\left( {\parallel y{\parallel }^{\beta } + \parallel z\parallel }\right) \left( {\beta > 1}\right) , \)
则方程组 (1) 的第一式的拟稳定性性质就是 (1) 的稳定性性质.
3. 设 \( y \) 为数量变数, \( Y = \varphi \left( y\right) + {Y}^{ * }\left( {y, z}\right), Z = \) \( {Qz} + {Z}^{ * }\left( {y, z}\right) \) 均为解析的,且 \( \varphi \left( y\right) = g{y}^{N} + \cdots + \) \( Z\left( {y,0}\right) \) 的幂级数展式至少从 \( T > N \) 项开始, \( Q \) 为稳定的常矩阵.
如果 \( N \) 为奇数而 \( g \) 为负 (正),则原点为渐近稳定 (不稳定) 的,如果 \( N \) 为偶数,则原点为条件稳定的. 乘积空间稳定性的概念是由莱夫谢茨 (Left-schetz, S. ) 提出的.
临界情形的稳定性 (stability in the critical cases) 稳定性的一种. 不能由一次近似决定的稳定称为临界情形稳定性. 对于微分方程
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = A\left( t\right) x + f\left( {x, t}\right)
\]
(1)
\[
\left( {x \in G \subset {\mathrm{R}}^{n}, t \geq 0}\right) ,
\]
考虑定常系统
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = {Px} + q\left( x\right)
\]
(2)
其中 \( x \) 和 \( q \) 是 \( n \) 维向量, \( P \) 是常数矩阵, \( q\left( x\right) \) 解析, 在原点附近可展为 \( x \) 的幂级数,其所有项的次数不小于 2. 用李亚普诺夫第一方法或第二方法容易证明, 如果特征方程
\[
D\left( \lambda \right) = \left| {P - {\lambda E}}\right| = 0
\]
(3)
的所有根都具有负实部,则 (2) 的奇点 \( x = 0 \) 是渐近稳定的. 当 (3) 之根中有具有正实部者, 则 (2) 的奇点 \( x = 0 \) 是不稳定的. 在上述情况下,系统 (2) 与它的一次近似方程
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = {Px}
\]
(4)
的奇点 \( x = 0 \) 有相同的稳定性,即系统 (2) 的稳定性由系统 (4) 决定. 当 (3) 的所有根均满足
\[
\operatorname{Re}\left( {\lambda }_{i}\right) \leq 0\;\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) ,
\]
但至少有一个根,例如 \( {\lambda }_{1} \) 满足 \( \operatorname{Re}\left( {\lambda }_{1}\right) = 0 \) 的情形,李亚普诺夫 (Jlanyhob, A. M. ) 称它为临界情形. 在临界情形, (2) 与 (4) 的稳定性性质可以很不相同. 例如, 设 \( n = 1, P = 0, q\left( x\right) = a{x}^{3} \) ,于是 (4) 的奇点 \( x = 0 \) 是稳定的,而当 \( a = - 1 \) 时,(2) 的奇点 \( x = 0 \) 是渐近稳定的,当 \( a = 1 \) 时,(2) 的奇点 \( x = 0 \) 是不稳定的. 因此, (2) 的稳定性性质不能再由 (4) 决定, 需要根据 \( q\left( x\right) \) 做进一步的研究.
李亚普诺夫深入地研究了特征方程 (3) 只有一个零根, 其余根均具有负实部, 以及只有一对纯虚根,其余根都具有负实部两种情形下 (2) 的奇点 \( x = \) 0 的稳定性问题, 前者称为第一临界情形, 后者称为第二临界情形, 他得到完整的结果. 对于周期系统他也进行了研究.
轨道稳定性(orbital stability) 亦称庞加莱稳定. 不同于李亚普诺夫稳定性的一种. 令 \( W \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的开集, \( f : W \rightarrow {\mathrm{R}}^{n} \) 是连续且满足局部李普希茨条件. 设 \( C \) 为方程
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = f\left( x\right)
\]
的轨线的一个集合, \( {\Gamma }_{0} : {x}^{0}\left( t\right) \) 为 \( C \) 中一个元. 所谓轨道稳定性,粗略地说,它意味着,如果 \( {\Gamma }_{1} \) 在某一时刻充分靠近 \( {\Gamma }_{0} \) ,则它以后永远保持十分接近 \( {\Gamma }_{0} \) . 精确定义如下: 称 \( {\Gamma }_{0} \) 关于轨线的某集合 \( C \) 为轨道稳定的,如果给定了 \( \varepsilon > 0 \) ,就存在 \( \eta \left( \varepsilon \right) \) 及 \( \tau \left( \varepsilon \right) \) ,只要 \( {\Gamma }_{1} \in \) \( C \) ,且在时刻 \( \tau \) 经过 \( \mathcal{C}\left( {{\Gamma }_{0},\eta }\right) \) (与 \( {\Gamma }_{0} \) 距离小于 \( \eta \) ),则对于 \( t > \tau ,{\Gamma }_{1} \) 保留在 \( \mathcal{C}\left( {{\Gamma }_{0},\varepsilon }\right) \) 之内.
自治系统闭轨道的稳定性 (stability of the closed orbit of autonomous systems) 一类特殊的轨道稳定性. 考虑自治微分系统
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = X\left( x\right)
\]
(1)
这里 \( X : \Omega \rightarrow {\mathrm{R}}^{n} \) 是解析的,其中 \( \Omega \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 是一区域. 设 (1) 有一个具有周期 \( \omega \) 的解 \( \xi \left( t\right) \) ,其轨道记为 \( \gamma \) . 令
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t} = P\left( t\right) y
\]
(2)
是周期解 \( \xi \left( t\right) \) 的变分方程. 设 \( Y\left( t\right) \) 为 (2) 的基解矩阵,则 \( Y\left( {t + \omega }\right) = Y\left( t\right) C \) ,其中 \( C \) 为非奇异矩阵,它的特征根 \( {\mu }_{1},{\mu }_{2}\cdots ,{\mu }_{n} \) 称为 (2) 的特征指数. 于是,至少有一个特征指数等于 1,不妨设 \( {\mu }_{n} = 1 \) .
关于自治系统闭轨道的稳定性, 有如下结论: 如果特征指数 \( {\mu }_{1},{\mu }_{2},\cdots ,{\mu }_{n - 1} \) 的模小于 1,则闭轨道 \( \gamma \) 为轨道稳定的. 如果其中有 \( K \) 个特征指数的模小于 1,则有解析地依赖于 \( K \) 个参数的解族,使得 \( \gamma \) 关于这一解族是轨道稳定的.
李亚普诺夫函数的存在性 (the existence of Li-apunov functions) 李亚普诺夫稳定性定理的逆命题, 即系统的奇点若是稳定的, 是否必存在李亚普诺夫函数. 李亚普诺夫第二方法中得到的稳定性定理是用满足一定性质的 \( V \) 函数来判断微分方程组的奇点的稳定性性质. 反过来, 如果已经知道微分方程组的奇点有一定的稳定性性态, 那么是否存在满足某些性质的 \( V \) 函数,这就是所谓稳定性定理的逆问题, 也就是李亚普诺夫函数的存在性问题. 这一问题曾经吸引过不少研究工作者, 得到了相当丰富的成果. 这里只举出两个例子如下: 考虑微分方程组
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = f\left( {x, t}\right) ,
\]
(1)
其中 \( x \) 和 \( f \) 是 \( n \) 维向量, \( f\left( {x, t}\right) \) 在区域
\[
{G}_{H} = \{ \left( {x, t}\right) \mid \parallel x\parallel \leq H, t \geq 0\}
\]
(2)
上定义,连续且满足局部李普希茨条件,同时 \( f\left( {0, t}\right) \) \( = 0 \) (对 \( t \geq 0 \) ). 于是有下面的结论:
1. (稳定性定理的逆定理) 如果方程组 (1) 的奇点 \( x = 0 \) 稳定,则存在定正函数 \( V\left( {x, t}\right) \) ,使 \( \mathrm{d}V/\mathrm{d}t \) 是常负的.
2. (一致渐近稳定性定理的逆定理) 如果方程组 (1) 的奇点 \( x = 0 \) 是一致渐近稳定的,则存在定正函数 \( V\left( {x, t}\right) \) ,它在原点关于 \( t \geq 0 \) 是一致连续的,且 \( \mathrm{d}V/\mathrm{d}t \) 是定负的.
经常干扰作用下的稳定性 (stability under persistent disturbances) 亦称完全稳定性. 系统本身在经常微扰下解的稳定性问题. 设微分方程组
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = f\left( {x, t}\right)
\]
(1)
其中 \( x, f \) 为 \( n \) 维向量, \( f\left( {x, t}\right) \) 在区域
\[
{G}_{H} = \{ \left( {x, t}\right) \mid \parallel x\parallel \leq H, t \geq 0\}
\]
(2)
上定义,连续且满足局部李普希茨条件,同时 \( f\left( {0, t}\right) \) \( = 0 \) (对 \( t \geq 0 \) ). 考虑 (1) 的扰动系统
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = f\left( {x, t}\right) + g\left( {x, t}\right) ,
\]
(3)
其中 \( g\left( {t, x}\right) \) 在 \( {G}_{H} \) 上连续且保证 (3) 的初始值问题解的惟一性. 如果对每一个 \( \varepsilon > 0 \) ,存在两个正数 \( {\delta }_{1} \) \( = {\delta }_{1}\left( \varepsilon \right) \) 和 \( {\delta }_{2} = {\delta }_{2}\left( \varepsilon \right) \) ,使得对于任何在域 \( {G}_{H} \) 上定义且满足条件 \( \parallel g\left( {x, t}\right) \parallel < {\delta }_{2} \) 的 \( n \) 维向量函数 \( g(x \) , \( t) \) ,方程组 (3) 的解 \( x\left( {t,{t}_{0},{x}_{0}}\right) \) 当 \( \begin{Vmatrix}{x}_{0}\end{Vmatrix} < {\delta }_{1} \) 时有
\[
\begin{Vmatrix}{x\left( {t,{t}_{0},{x}_{0}}\right) }\end{Vmatrix} < \varepsilon \text{ (对一切 }t \geq {t}_{0} \geq 0\text{ ). }
\]
于是方程组 (1) 的奇点 \( x = 0 \) 称为经常干扰作用下稳定的. 一致渐近稳定与经常干扰作用下稳定之间有下述关系: 如果方程组 (1) 的奇点 \( x = 0 \) 是一致渐近稳定的, 则它也是经常干扰作用下稳定的.
经常干扰作用下的稳定性概念是马尔金 (Malkin, I. G. ) 建立的. 李亚普诺夫意义下的稳定性是研究奇点 \( x = 0 \) 在初始条件的扰动下的稳定性. 可是在实际问题中, 真正的运动往往受到持续作用的微小干扰, 因此, 不仅要考虑初始条件的扰动, 还要考虑对系统本身 (运动方程的右边函数) 的扰动. 这种情况下的稳定性就称为经常干扰作用下的稳定性.
完全稳定性 (total stability) 即 “经常干扰作用下的稳定性”.
全局渐近稳定性 (global asymptotic stability) 一类全相空间均为吸引区域的渐近稳定性. 考虑微分方程组
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = f\left( x\right) \left( {x \in {\mathrm{R}}^{n}}\right) ,
\]
(1)
其中 \( f\left( x\right) \) 在域 \( {G}_{\infty } = \{ x \mid \parallel x\parallel < + \infty \} \) 上定义且连续并满足局部李普希茨条件,同时设 \( f\left( 0\right) = 0 \) . 因此,对任何初始值 \( {x}_{0} \) ,存在 (1) 的惟一的解 \( x\left( t\right) = \) \( x\left( {t,{x}_{0}}\right) \) 满足 \( x\left( {0,{x}_{0}}\right) = {x}_{0} \) . 由李亚普诺夫第二方法知道,如果存在一个定正函数 \( V\left( x\right) \) ,它关于 (1) 的导数 \( \mathrm{d}V/\mathrm{d}t \) 是定负的,那么,方程 (1) 的奇点 \( x = 0 \) 是渐近稳定的. 方程组 (1) 的奇点 \( x = 0 \) 的吸引区域 (或称渐近稳定性区域)是所有具有性质
\[
\mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow \infty }}x\left( {t,{x}_{0}}\right) = 0
\]
的点 \( {x}_{0} \) 的集合. 如果吸引区域是整个相空间 \( {\mathrm{R}}^{n} \) ,则 \( x = 0 \) 被称为全局渐近稳定的. 这时下面的结论成立: 如果存在定正函数 \( V\left( x\right) \) ,它关于 (1) 的导数 \( \mathrm{d}V/\mathrm{d}t \) 是定负的,并且 \( V\left( x\right) \) 是径向无界的,则奇点 \( x = 0 \) 是全局渐近稳定的. 李亚普诺夫 (Jlanyhob, A. M. ) 原来只考虑原点附近即局部的稳定性. 克拉索夫斯基 (KpacoBcknĭ, H. H. ) 将其推广为全相空间, 即全局的稳定性.
绝对稳定性 (absolute stability) 研究控制系统的稳定性时提出的一种稳定性概念. 考虑控制系统中提出来的一类非线性微分方程组
\[
\left\{ \begin{array}{l} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = {Ax} + \varphi \left( \sigma \right) b, \\ \frac{\mathrm{d}\xi }{\mathrm{d}t} = \varphi \left( \sigma \right) ,\sigma = {c}^{T}x - {\gamma \xi }, \end{array}\right.
\]
(1)
其中 \( n \) 维向量 \( x \) 是控制系统的状态变量,纯量 \( \xi \) 是辅助变量, \( \sigma \) 为反馈信号,常数 \( \gamma \) 和 \( n \) 维向量 \( b, c \) 是控制参数,函数 \( \varphi \left( \sigma \right) \) 表示控制机构的非线性特征. 假设 \( \varphi \left( \sigma \right) \) 具有连续偏导数,这就保证 (1) 的初值问题解的存在惟一性. 如果 \( \gamma \neq 0 \) ,则 (1) 称为间接控制系统; 如果 \( \gamma = 0 \) ,则 (1) 称为直接控制系统. 假设非线性函数 \( \varphi \left( \sigma \right) \) 满足下列条件:
\[
\varphi \left( 0\right) = 0;0 < {\sigma |
2000_数学辞海（第3卷） | 234 | \) ,则 \( x = 0 \) 被称为全局渐近稳定的. 这时下面的结论成立: 如果存在定正函数 \( V\left( x\right) \) ,它关于 (1) 的导数 \( \mathrm{d}V/\mathrm{d}t \) 是定负的,并且 \( V\left( x\right) \) 是径向无界的,则奇点 \( x = 0 \) 是全局渐近稳定的. 李亚普诺夫 (Jlanyhob, A. M. ) 原来只考虑原点附近即局部的稳定性. 克拉索夫斯基 (KpacoBcknĭ, H. H. ) 将其推广为全相空间, 即全局的稳定性.
绝对稳定性 (absolute stability) 研究控制系统的稳定性时提出的一种稳定性概念. 考虑控制系统中提出来的一类非线性微分方程组
\[
\left\{ \begin{array}{l} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = {Ax} + \varphi \left( \sigma \right) b, \\ \frac{\mathrm{d}\xi }{\mathrm{d}t} = \varphi \left( \sigma \right) ,\sigma = {c}^{T}x - {\gamma \xi }, \end{array}\right.
\]
(1)
其中 \( n \) 维向量 \( x \) 是控制系统的状态变量,纯量 \( \xi \) 是辅助变量, \( \sigma \) 为反馈信号,常数 \( \gamma \) 和 \( n \) 维向量 \( b, c \) 是控制参数,函数 \( \varphi \left( \sigma \right) \) 表示控制机构的非线性特征. 假设 \( \varphi \left( \sigma \right) \) 具有连续偏导数,这就保证 (1) 的初值问题解的存在惟一性. 如果 \( \gamma \neq 0 \) ,则 (1) 称为间接控制系统; 如果 \( \gamma = 0 \) ,则 (1) 称为直接控制系统. 假设非线性函数 \( \varphi \left( \sigma \right) \) 满足下列条件:
\[
\varphi \left( 0\right) = 0;0 < {\sigma \varphi }\left( \sigma \right) < k{\sigma }^{2}
\]
(2)
\[
\left( {\sigma \neq 0,0 < k \leq + \infty }\right) ,
\]
则 \( x = 0,\xi = 0 \) 是 (1) 的惟一奇点. 如果对任何满足条件 (2) 的函数 \( \varphi \left( \sigma \right) \) ,系统 (1) 的奇点 \( \left( {x,\xi }\right) = \left( {0,0}\right) \) 均是全局渐近稳定的,则称系统 (1) 在角 \( \left( {0, k}\right) \) 内是绝对稳定的. (1) 的绝对稳定性问题的研究曾吸引了大批学者, 得到了丰富的结果.
拉萨尔不变原理 (the Lasalle invariance principle) 李亚普诺夫第二方法的推广. 推广的形式是多种多样的, 这里只介绍最简单也是最常用的一种. 考虑微分方程组
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = f\left( x\right)
\]
(1)
这里 \( f : G \rightarrow {\mathrm{R}}^{n} \) 是连续的且满足局部李普希茨条件, 其中 \( G \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 为开集. 称纯量函数 \( V \) 是 \( G \) 上的李亚普诺夫函数,如果 \( V \) 在 \( G \) 的闭包 \( \bar{G} \) 上连续,在 \( G \) 内连续可微, 且
\[
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{\;d}t} = \operatorname{grad}V\left( x\right) \cdot f\left( x\right) \leq 0.
\]
令
\[
S = \left\{ {x \in \bar{G}\left| {\;\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{\;d}t} = 0}\right. }\right\} .
\]
设 \( M \) 是 (1) 在 \( S \) 内的最大不变集. 如果 \( V \) 是 \( G \) 上的李亚普诺夫函数,而 \( {\gamma }^{ + }\left( {x}_{0}\right) \) 是 (1) 的落在 \( G \) 内的有界轨道,则 \( {\gamma }^{ + } \) 的 \( \omega \) 极限集 \( \Omega \left( {x}_{0}\right) \subset M \) ,即当 \( t \rightarrow \infty \) 时, \( x\left( {t,{x}_{0}}\right) \rightarrow M \) .
20 世纪 60 年代初, 拉萨尔 (Lasalle, J. P. ) 发现了李亚普诺夫函数 \( V\left( x\right) \) 与伯克霍夫极限集 \( \Omega \left( {x}_{0}\right) \) 之间存在着一个简单的关系, 即在适当的条件下, \( \Omega \left( {x}_{0}\right) \) 含于 \( \mathrm{d}V/\mathrm{d}t \) 的零点集合. 这种观察给出了李亚普诺夫理论的统一认识, 且极大地推广了李亚普诺夫第二方法, 现在人们称这一推广为拉萨尔不变原理.
## 泛函微分方程
泛函微分方程 (functional differential equation) 含有偏差变元的微分方程, 是微分方程理论的一个重要分支. 含有导数的泛函方程 (或称函数方程) 称为泛函微分方程. 从应用角度来看, 动力学系统中的时滞现象通常是不可避免的, 即使以光速传递的信息也不例外. 在可以略去时滞的情形则以常微分方程为数学模型, 此时系统的未来状态仅取决于初始的瞬间状态而和过去的历史无关. 在不允许略去滞量的情形就必须以滞后型差分微分方程或者更普遍的泛函微分方程为数学模型. 例如方程
\[
\dot{x}\left( t\right) = f\left( {t, x\left( t\right), x\left( {t - \tau \left( t\right) }\right) }\right) ,
\]
其中 \( \tau \left( t\right) \geq 0 \) 称为滞量. 这时初值问题不仅要考虑系统状态的瞬间初值, 而且要顾及历史的状况. 到 20 世纪 50 年代末为止, 主要是把常微分方程的各种结果尽可能直接推广到滞后型差分微分方程上去. 其中主要是解的存在惟一性, 解对初始数据的连续依赖性, 初等积分法 (分步法), 线性自治系统特征根的分布及其与稳定性的关系, 在拉兹密辛条件下推广李亚普诺夫第二方法等. 但解映射 \( x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) \triangleq \) \( x\left( t\right) \) 只限于认定是 \( \mathrm{C} \rightarrow {\mathrm{R}}^{n}{.1959} \) 年,克拉索夫斯基 (Kpacobcκий, H. H.) 提出把轨线段
\( x\left( {t + \theta }\right) \triangleq {x}_{t}\left( \theta \right) \;\left( {\theta \in \left\lbrack {-r,0}\right\rbrack, r = \text{ const } > 0}\right) \) 视为空间 \( C = C\left( {\left\lbrack {-r,0}\right\rbrack ,{\mathrm{R}}^{n}}\right) \) 的元,把解映射 \( T\left( {t,\sigma }\right) : C \rightarrow C \) 定义为 \( T\left( {t,\sigma }\right) \varphi = {x}_{t}\left( {\sigma ,\varphi }\right) \) ,于是滞后型泛函微分方程可写成
\[
\dot{x}\left( t\right) = f\left( {t,{x}_{t}}\right) ,
\]
(1)
其中 \( \dot{x}\left( t\right) \) 是右导数,习惯简记为 \( \operatorname{RFDE}\left( f\right) \) . 由于右端算子可取种种形式, 所以它是在广泛基础上的概括. 20 世纪 60 年代确立了 (1) 的基本理论, 和李亚普诺夫泛函方法下的稳定性理论等 (参见 “李亚普诺夫泛函方法”). 对方程中最高阶导数也出现偏差变元的方程 (参见 “中立型泛函微分方程”), 如
\[
\dot{x}\left( t\right) = f\left( {t, x\left( t\right), x\left( {t - \tau }\right) ,\dot{x}\left( {t - \tau }\right) }\right)
\]
\[
\left( {\tau \left( t\right) \geq 0}\right) ,
\]
长期以来只是形式上的推广, 但 1976 年开始有大量的应用背景被发现, 主要是控制理论、博弈论、遗传学、细胞的生化机理以及物理学中的种种应用问题. 例如, 布莱顿 (Brayton, R. ) 在研究信息无损传输网络时便提出一类中立型方程. 1971 年, 霍尔 (Hall, J. ) 与克鲁兹 (Cruz, M. A. ) 从中划分出一类方程
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}D\left( {t,{x}_{t}}\right) = f\left( {t,{x}_{t}}\right) ,
\]
(2)
称为算子型中立型泛函微分方程, 简记为 \( \operatorname{NFDE}\left( {D, f}\right), D \) 称为差分算子. 如
\( D\left( {t,{x}_{t}}\right) = x\left( t\right) + {cx}\left( {t - \tau \left( t\right) }\right) \left( {\tau \left( t\right) \geq 0, c = \text{ const }}\right) . \) 可以把 (1) 的基本理论、稳定性理论等都方便地推广到 (2) 上去,因为初始函数空间也是 \( C \) 而不必限制在 \( {C}^{1} \) 上. 对 \( \tau \left( t\right) \) 是无界连续函数以及滞量在无穷区间上连续分布的泛函微分方程, 可以概括为 (1) 和 (2) 型的无穷时滞系统, 记号完全一样, 但需要用一系列公理来限定初始数据空间. 严格的定义与基本理论是由霍尔与加藤顺二 (Kato, J. ) 于 1978 年共同确立的. 有限时滞系统的种种已知结果都在一定条件下推广到无穷时滞系统.
传统的泛函微分方程有三类: 滞后型是理论的主体, 其次是中立型, 超前型只有少量研究工作. 研究课题除基本理论和稳定性理论以外, 还涉及解的振动性、周期解与概周期解的存在性、边值问题、数值解、线性系统理论以及摄动方法的应用等. 滞后型、中立型、超前型方程分别略称为 \( R \) 型、 \( N \) 型、 \( A \) 型方程.
20 世纪 80 年代以来, 各类应用学科中提出大量新型泛函微分方程, 它们是现有泛函微分方程理论所无法概括的,统称为非 \( R, N, A \) 方程,包括:
1. 混合型方程,指的是 \( R, N, A \) 型方程的某些复合形式 (参见 “混合型差分微分方程”).
2. 偏泛函微分方程, 指的是带有偏差变元的偏微分方程 (参见 “偏泛函微分方程”).
3. 复杂偏差泛函微分方程, 指的是偏差依赖于未知函数及其导数的方程, 如
\[
\dot{x}\left( t\right) = f\left( {t, x\left( t\right), x\left( {t - \tau \left( {t, x\left( t\right) ,\dot{x}\left( t\right) }\right) }\right) }\right) .
\]
对这些新类型泛函微分方程, 有许多探索性工作, 虽然完整的基本理论尚待确立, 但可以预期这将是泛函微分方程未来发展的热点之一.
滞后型泛函微分方程 (retarded functional differential equation) 最基本的一类泛函微分方程, 即概括各类时滞微分系统的一类泛函微分方程, 是泛函微分方程理论的主体. 设 \( \sigma \in \mathrm{R} = \left( {-\infty , + \infty }\right) \) , \( r \in {\mathrm{R}}_{ + } \cup \{ 0\} = \lbrack 0, + \infty ), C = C\left( {\left\lbrack {-r,0}\right\rbrack ,{\mathrm{R}}^{n}}\right) \) ,定义 \( C \) 中的范数为:
\[
\varphi \in C,\left| \varphi \right| = \mathop{\sup }\limits_{{-r \leq \theta \leq 0}}\left| {\varphi \left( \theta \right) }\right|, A \geq 0,
\]
函数 \( x\left( t\right) \in C\left( {\lbrack \sigma - r,\sigma + A}\right) ,{\mathrm{R}}^{n}) \) . 对 \( \forall t \in \lbrack \sigma ,\sigma + A) \) , 定义 \( {x}_{t}\left( \theta \right) = x\left( {t + \theta }\right) ,\theta \in \left\lbrack {-r,0}\right\rbrack \) ,故 \( {x}_{t} \in C \) . 若 \( \Omega \subset \) \( \mathrm{R} \times C, f : \Omega \rightarrow {\mathrm{R}}^{n} \) 是给定的泛函,则称
\[
\dot{x}\left( t\right) = f\left( {t,{x}_{t}}\right)
\]
(1)
是一个滞后型泛函微分方程, \( \dot{x}\left( t\right) \) 表示右导数. 若 \( r = + \infty \) ,则方程的形式不变,但 \( {x}_{t} = x\left( {t + \theta }\right) \) , \( \theta \in ( - \infty ,0\rbrack \) ,此时 (1) 是无穷时滞的滞后型泛函微分方程. 这样定义具有极大的广泛性, 例如选取算子 \( f = {a\varphi }\left( 0\right) + {b\varphi }\left( {-\tau }\right) \) ,则 (1) 化为
\[
\dot{x}\left( t\right) = {ax}\left( t\right) + {bx}\left( {t - \tau }\right) ,
\]
取 \( f = f\left( {t,\varphi \left( 0\right) ,\varphi \left( {-\tau \left( t\right) }\right) }\right) \) ,则 (1) 化为
\[
\dot{x}\left( t\right) = f\left( {t, x\left( t\right), x\left( {t - \tau \left( t\right) }\right) }\right) ,
\]
取
\[
f = {\int }_{-r}^{0}A\left( t\right) \varphi \left( \theta \right) \mathrm{d}\theta ,
\]
则 (1) 化为
\[
\dot{x}\left( t\right) = {\int }_{-r}^{0}A\left( t\right) x\left( {t + \theta }\right) \mathrm{d}\theta .
\]
\( x\left( t\right) \) 称为 (1) 在 \( \lbrack \sigma - r,\sigma + A) \) 上的解,若存在 \( \sigma \in \mathrm{R} \) , \( A > 0 \) ,使得 \( \left( {t,{x}_{t}}\right) \in \Omega \) ,且 \( t \in \lbrack \sigma ,\sigma + A) \) 时满足 (1). 若再加上条件 \( {x}_{\sigma } = \varphi \) ,则称 \( x \) 是 (1) 过 \( \left( {\sigma ,\varphi }\right) \) 的解,即基本初值问题
\[
\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}\left( t\right) = f\left( {t,{x}_{t}}\right) , \\ {x}_{\sigma } = \varphi \end{array}\right.
\]
的解.
算子的原子性 (atomicity of operator) 一种线性算子的非异性条件, 是为讨论泛函微分方程的反向延拓问题和保证中立型的条件. 设 \( L\left( {t,\varphi }\right) \) 是 \( \Omega \subset \mathrm{R} \times C \) 上的线性泛函,由里斯表示定理,存在有界变差矩阵函数 \( R\left( {t,\theta }\right) \) ,使得
\[
L\left( {t,\varphi }\right) = {\int }_{-r}^{0}\left\lbrack {{\mathrm{\;d}}_{\theta }R\left( {t,\theta }\right) }\right\rbrack \varphi \left( \theta \right) \;\left( {\left( {t,\varphi }\right) \in \Omega }\right) .
\]
由 \( \theta \in \left\lbrack {-r,0}\right\rbrack \) ,定义阵
\[
A\left( {t,\theta }\right) = R\left( {t,{\theta }^{ + }}\right) - R\left( {t,{\theta }^{ - }}\right) ,
\]
若 \( A \) 在 \( {t}_{0} \) 处是非异的,即 \( \det A\left( {{t}_{0},\theta }\right) \neq 0 \) ,则称 \( L(t \) , \( \varphi ) \) 在 \( {t}_{0} \) 上于 \( \theta \) 处是原子的. 若 \( A\left( {t,\theta }\right) \) 对 \( \forall t \in I \subset \mathrm{R} \) 是非异的,则称 \( L\left( {t,\varphi }\right) \) 在 \( I \) 上于 \( \theta \) 处是原子的. 对非线性泛函 \( F\left( {t,\varphi }\right) \) ,它关于 \( \varphi \) 的弗雷歇导数 \( {F}_{\varphi } \) 是线性算子,可用 \( {F}_{\varphi } \) 的原子性来定义 \( F\left( {t,\varphi }\right) \) 的原子性. 在定义中若 \( \theta = 0 \) ,则 \( {\theta }^{ + } \) 取为 0,若 \( \theta = - r \) ,则 \( {\theta }^{ - } \) 取为
- \( r \) . 用下例说明定义原子性的目的: 设 \( L\left( {t,\varphi }\right) = \) \( a\left( t\right) \varphi \left( 0\right) + b\left( t\right) \varphi \left( {-r}\right) \) ,它是连续线性算子. \( R\left( {t,\theta }\right) \) 定义为
\[
R\left( {t,\theta }\right) = \left\{ \begin{array}{ll} a\left( t\right) & \left( {\theta = 0}\right) , \\ 0 & \left( {-r < \theta < 0}\right) , \\ - b\left( t\right) & \left( {\theta = - r}\right) . \end{array}\right.
\]
由 \( A\left( {t,\theta }\right) \) 的定义,有
\[
\det A\left( {t,0}\right) = \det \left\lbrack {R\left( {t,{0}^{ + }}\right) - R\left( {t,{0}^{ - }}\right) }\right\rbrack = a\left( t\right) ,
\]
\[
\det A\left( {t, - r}\right) = \det \left\lbrack {R\left( {t,{r}^{ + }}\right) - F\left( {t,{r}^{ - }}\right) }\right\rbrack = b\left( t\right) .
\]
此时在 \( t \in I \) 上于 0 处是原子的,即 \( a\left( t\right) \neq 0 \) ,于 \( - r \) 处是原子的,即 \( b\left( t\right) \neq 0 \) . 若仅在 \( t = \sigma \) 上,则于 0 处原子即 \( a\left( \sigma \right) \neq 0 \) ,于 \( - r \) 处原子即 \( b\left( \sigma \right) |
2000_数学辞海（第3卷） | 235 | ( r \) . 用下例说明定义原子性的目的: 设 \( L\left( {t,\varphi }\right) = \) \( a\left( t\right) \varphi \left( 0\right) + b\left( t\right) \varphi \left( {-r}\right) \) ,它是连续线性算子. \( R\left( {t,\theta }\right) \) 定义为
\[
R\left( {t,\theta }\right) = \left\{ \begin{array}{ll} a\left( t\right) & \left( {\theta = 0}\right) , \\ 0 & \left( {-r < \theta < 0}\right) , \\ - b\left( t\right) & \left( {\theta = - r}\right) . \end{array}\right.
\]
由 \( A\left( {t,\theta }\right) \) 的定义,有
\[
\det A\left( {t,0}\right) = \det \left\lbrack {R\left( {t,{0}^{ + }}\right) - R\left( {t,{0}^{ - }}\right) }\right\rbrack = a\left( t\right) ,
\]
\[
\det A\left( {t, - r}\right) = \det \left\lbrack {R\left( {t,{r}^{ + }}\right) - F\left( {t,{r}^{ - }}\right) }\right\rbrack = b\left( t\right) .
\]
此时在 \( t \in I \) 上于 0 处是原子的,即 \( a\left( t\right) \neq 0 \) ,于 \( - r \) 处是原子的,即 \( b\left( t\right) \neq 0 \) . 若仅在 \( t = \sigma \) 上,则于 0 处原子即 \( a\left( \sigma \right) \neq 0 \) ,于 \( - r \) 处原子即 \( b\left( \sigma \right) \neq 0 \) . 若中立型泛函微分方程中 \( D\left( {t,\varphi }\right) = a\left( t\right) \varphi \left( 0\right) + b\left( t\right) \varphi \left( {-r}\right) \) , 则 \( D\left( {t,\varphi }\right) \) 的原子性是保证方程为中立型方程的系数条件.
中立型泛函微分方程 (neutral functional differential equation) 最高阶导数存在滞后的一类泛函微分方程, 这里是指算子型泛函中立型方程. 其他形式参见“中立型差分微分方程”与“超中立型泛函微分方程”. 保持对滞后型泛函微分方程中对 \( f \) 及空间 \( C \) 的种种假定,再设算子 \( D\left( {t,\varphi }\right) \) 在 \( \sigma \) 上于 0 及 \( - r \) 处是原子的,则
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}D\left( {t,{x}_{t}}\right) = f\left( {t,{x}_{t}}\right)
\]
(1)
称为中立型泛函微分方程. 给定 \( {x}_{\sigma } = \varphi \) ,基本初值问题也与滞后型相同.
超中立型泛函微分方程 (superneutral functional differential equation) 一类特殊的中立型泛函微分方程, 亦即非算子型中立型泛函微分方程, 通常 \( \dot{x}\left( {t - \tau }\right) \) 隐含于方程右端函数之中,是不能解出而写成算子 \( D\left( {t,\varphi }\right) \) 形式的. 若方程仅含有分立滞量, 则是中立型差分微分方程, 若同时还含有分布时滞的项, 例如方程
\[
\dot{x}\left( t\right) = f\left( {t,{x}_{t},\dot{x}\left( {t - \tau }\right) ,}\right.
\]
\[
{\int }_{-r}^{0}A\left( {t,\theta }\right) g\left( {\dot{x}\left( {t + \theta }\right) }\right) \mathrm{d}\theta ,
\]
有时称为超中立型泛函微分方程.
无穷时滞泛函微分方程 (functional differential equation with infinite delay) 一类具有无界滞量的特殊的滞后型泛函微分方程. 具有无界滞量或滞量在无穷区间上分布的方程称为无穷时滞泛函微分方程. 如
\[
\dot{x}\left( t\right) = f\left( {t, x\left( t\right), x\left( {t - t/2}\right) }\right) ,
\]
(1)
\[
\dot{x}\left( t\right) = {\int }_{-\infty }^{0}g\left( {t, x\left( t\right), x\left( {t + \theta }\right) }\right) \mathrm{d}\theta ,
\]
(2)
它们可以用经典分析方法进行研究, 得到许多与有界滞量方程平行的结果. 但若要像有界滞量方程那样用一个有限区间上的连续函数空间 \( C \) 来建立普遍的、算子形式下的泛函微分方程则是不可能的. 例如,方程 (1) 随着初始时刻 \( \sigma \) 的增大,初始集 \( {E}_{\sigma } = \) \( \left\lbrack {\sigma /2,\sigma }\right\rbrack \) 的长度无限增大,但只要把 \( \left\lbrack {-r,0}\right\rbrack \) 换为 \( ( - \infty ,0\rbrack \) ,仍可以如法定义.
设 \( B \) 是 \( ( - \infty ,0\rbrack = {\mathrm{R}}_{ - } \cup \{ 0\} \) 映入 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的连续函数全体构成的空间,若 \( A > 0,\sigma \in \mathrm{R}, X : ( - \infty ,\sigma + \) \( A) \rightarrow {\mathrm{R}}^{n} \) ,定义 \( {x}_{t} = x\left( {t + \theta }\right) \left( {\theta \in {\mathrm{R}}_{ - }}\right) \) . 设 \( \Omega \subset \mathrm{R} \times B \) , \( f : \Omega \rightarrow {\mathrm{R}}^{n} \) 是给定的泛函, \( \dot{x}\left( t\right) \) 表示右导数,则
\[
\dot{x}\left( t\right) = f\left( {t,{x}_{t}}\right)
\]
称为滞后型无穷时滞泛函微分方程. 若 \( D\left( {t,{x}_{t}}\right) \) 的右导数存在, 则中立型无穷时滞泛函微分方程可类似定义. 由于 \( {\mathrm{R}}_{ - } \) 不是紧集, \( B \) 不是巴拿赫空间,同时若定义范数为
\[
\left| {x}_{t}\right| = \mathop{\sup }\limits_{{\theta \in {\mathbf{R}}_{ - }}}\left| {x\left( {t + \theta }\right) }\right| ,
\]
则 \( t \rightarrow \infty \) 时必定成立 \( \left| {x}_{t}\right| \rightarrow 0 \) ,除非 \( \varphi \left( \theta \right) = 0\left( {\theta \in {\mathrm{R}}_{ - }}\right) \) 才可能. 因此, 用这种范数谈论稳定性的基础已不复存在,所以必须在空间 \( B \) 上加入一系列公理限制, 以达到建立基本理论并把有界滞量泛函微分方程的种种结果予以推广的目的.
滞后型无穷时滞泛函微分方程 (retarded functional differential equation with infinite delay) 见 “无穷时滞泛函微分方程”.
中立型无穷时滞泛函微分方程 (neutral functional differential equation with infinite delay) 见 “无穷时滞泛函微分方程”.
偏差变元微分方程 (differential equation with deviating arguments) 泛函微分方程的另一种称谓. 设 \( t \) 是微分方程的自变元,若方程的未知函数中出现不同于 \( t \) 但依赖于 \( t \) 的变元,则称它为具有偏差变元的微分方程. 这种不同于 \( t \) 的变元有两种形式:
1. 它可以写成 \( g\left( t\right) = t - \tau \left( t\right) \) . 此时 \( \tau \left( t\right) \) 称为偏差, 它甚至可能依赖于未知函数及其导数.
2. 它以分布的形式包含在积分号之下, 例如方
\[
\dot{x}\left( t\right) = {\int }_{-r}^{0}A\left( t\right) x\left( {t + \theta }\right) \mathrm{d}\theta .
\]
已知的各类泛函微分方程都具备这一特点, 所以它是经典意义下泛函微分方程的同义语.
泛函微分方程解的延拓 (continuation of solution of functional differential equation) 泛函微分方程的重要概念和问题之一. 在泛函微分方程里, 解的延拓通常是指正向的积分延拓. 设 \( x\left( t\right) ( = \) \( x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) ) \) 是滞后型泛函微分方程 \( \dot{x}\left( t\right) = f\left( {t,{x}_{t}}\right) \) 在区间 \( \lbrack \sigma - r, a)\left( {a > \sigma }\right) \) 上的一个解,若存在 \( b > a \) ,并且 \( \widehat{x}\left( t\right) \) 是方程在 \( \lbrack \sigma - r, b) \) 上的解,它在 \( \lbrack \sigma - r, a) \) 上等于 \( x \) ,则称 \( \widehat{x}\left( t\right) \) 是 \( x\left( t\right) \) 的一个延拓. 若 \( \lbrack \sigma - r, a) \) 是 \( x\left( t\right) \) 的最大存在区间,则称 \( x\left( t\right) \) 是不可延拓的. 有如下定理: 若 \( \Omega \subset \mathrm{R} \times C, f \in C\left( {\Omega ,{\mathrm{R}}^{n}}\right), x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) \) 是过 \( \left( {\sigma ,\varphi }\right) \) 在 \( \lbrack \sigma - r, b) \) 上的不可延拓解,则对任何紧集 \( W \) \( \subset \Omega ,\exists {t}_{w} \) 使当 \( t \in \left( {{t}_{w}, b}\right) \) 时, \( \left( {t,{x}_{t}}\right) \notin W \) . 若 \( f \) 是全连续算子,则只要 \( W \) 是有界闭集, \( {t}_{w} \) 存在,定理结论仍成立. 对算子型中立型方程有类似结果.
反向延拓定理 (backward continuation theorem) 一种微分延拓. 由滞后型泛函微分方程初值问题的提法,它总是沿正向 \( \left( {t \geq \sigma }\right) \) 求解的. 仅当方程满足某些特定条件时, 对某些初始函数可以进行负向延拓 \( \left( {t \leq \sigma }\right) \) . 例如,当 \( f \) 和 \( \varphi \) 满足下列条件时,方程 \( \dot{x}\left( t\right) = f\left( {t,{x}_{t}}\right) \) 的初值问题的解是可以负向延拓的 (负向延拓亦称反向延拓), 并有以下重要结论:
1. 存在 \( \alpha \in \left( {0, r}\right) \) ,使得 \( \varphi \left( \theta \right) \) 在 \( \left\lbrack {-\alpha ,0}\right\rbrack \) 上连续, 且满足 \( \varphi \left( 0\right) = f\left( {\sigma ,\varphi }\right) \) .
2. 设 \( \Omega \subset \mathrm{R} \times C, f : \Omega \rightarrow {\mathrm{R}}^{n} \) 关于 \( \varphi \) 有二阶连续的弗雷歇导数,并且在 \( \Omega \) 上于 \( - r \) 处是原子的,则 \( \exists \bar{\alpha }\left( \alpha \right) > 0 \) ,使方程过 \( \left( {\sigma ,\varphi }\right) \) 的解在 \( \left\lbrack {\sigma - r - \bar{\alpha },\sigma }\right\rbrack \) 上存在且惟一.
解的连续依赖性 (continuous dependence of solution) 常微分方程解的连续依赖性在空间 \( \mathrm{R} \times \) \( C\left( {\left\lbrack {-r,0}\right\rbrack ,{\mathrm{R}}^{n}}\right) \) 中的推广. 滞后型泛函微分方程 \( \dot{x}\left( t\right) \) \( = f\left( {t,{x}_{t}}\right) \) 过 \( \left( {\sigma ,\varphi }\right) \) 的解记为 \( x\left( {t,\sigma ,\varphi, f}\right) \) ,这里指的是 \( x \) 关于 \( \sigma ,\varphi, f \) 的连续依赖性与可微性问题. 例如, 若 \( f \) 在开集 \( \Omega \subset \mathrm{R} \times C \) 上连续,满足局部李普希茨条件或 \( f \in {C}^{1}\left( {\Omega ,{\mathrm{R}}^{n}}\right) \) ,则解 \( x\left( {t,\sigma ,\varphi, f}\right) \) 不仅存在惟一, 而且关于 \( \sigma ,\varphi, f \) 是连续的. 若 \( f \in {C}^{p}\left( {\Omega ,{\mathrm{R}}^{n}}\right) (p \geq \) 1),则解 \( x\left( {t,\sigma ,\varphi, f}\right) \) 对 \( \lbrack \sigma, A) \) 的紧子集中的 \( t \) ,关于 \( \left( {\varphi, f}\right) \) 是 \( p \) 次可微的.
解的平展性 (flatness of solution) 滞后型泛函微分方程所特有的性质. 设滞后型泛函微分方程中滞量大于某一正数 \( r \) ,则由分步法可知,随着步距的增加, 解表达中的积分次数越来越多. 换句话说, 解的可微性次数随着步距的增加而增加. 这个性质称为解的平展性.
点态退化系统 (pointwise degenerate system) 值域不能充满方程定义域的泛函微分方程. 设 \( \operatorname{RFDE}\left( f\right) \) 过 \( \left( {\sigma ,\varphi }\right) \) 的解整体存在且惟一,对给定的 \( \sigma \) \( \in \mathrm{R},\forall \varphi \in C \) ,若存在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的真子空间 \( {\mathrm{R}}_{ * }^{n},{t}_{1} > \sigma \) ,使得方程的一切解 \( x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) \) 成立 \( x\left( {{t}_{1},\sigma ,\varphi }\right) \in {\mathrm{R}}_{ * }^{n} \) (对 \( \forall \varphi \in C) \) ,则称方程在 \( {t}_{1} \) 处点态退化,反之称点态完备. 若 \( \forall {t}_{1} \in I \subset \mathrm{R} \) 点态退化,则称方程在 \( I \) 上点态退化. 例如方程 \( \dot{x}\left( t\right) = - \alpha \left( t\right) x\left( {t - 1}\right) \) ,其中
\[
\alpha \left( t\right) = \left\{ \begin{matrix} 2{\sin }^{2}\left( {t\pi }\right) & \left( {t \in \left\lbrack {{2n},{2n} + 1}\right\rbrack }\right) , \\ 0 & \left( {t \in \left\lbrack {{2n} - 1,{2n}}\right\rbrack }\right) \end{matrix}\right.
\]
\[
\left( {n = 0, \pm 1,\cdots }\right) \text{,}
\]
当 \( t \geq \sigma + 3 \) 时, \( x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) \equiv 0 \) 对 \( \forall \sigma \in \mathrm{R},\varphi \in C \) 成立.
由于常微分方程的解映射定义了一个同胚, 即解映射之下空间 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的球的像含有一个球,所以它总是点态完备的. 而对泛函微分方程, 即使是线性自治系统也可能点态退化. 例如
\[
{\dot{x}}_{1}\left( t\right) = 2{x}_{2}\left( t\right) ,
\]
\[
{\dot{x}}_{2}\left( t\right) = - {x}_{3}\left( t\right) + {x}_{1}\left( {t - 1}\right) ,
\]
\[
{\dot{x}}_{3}\left( t\right) = 2{x}_{2}\left( {t - 1}\right) .
\]
设 \( \sigma = 0,\forall \varphi \in C\left( {\left\lbrack {-r,0}\right\rbrack ,{\mathrm{R}}^{3}}\right) \) ,当 \( t \geq 1 \) 时 \( x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) \) \( = {\left( {x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}\right) }^{T} \) 都落在同 \( {\left( 1, - 2, - 1\right) }^{T} \) 垂直的平面上. 但对线性自治系统可以证明: 若 \( n \leq 2 \) ,则单滞量的情形,系统是点态完备的,而 \( n = 2 \) 且有两个滞量的情形, 则存在点态退化的例子. 对线性自治系统还可以证明,若系统在 \( {t}^{ * } \) 处点态退化,则 \( \forall t \geq {t}^{ * } \) ,系统也点态退化.
泛函微分方程的广义解 (generalized solution of functional differential equation) 常微分方程广义解的直接推广. 对滞后型泛函微分方程 \( \dot{x}\left( t\right) = \) \( f\left( {t,{x}_{t}}\right) \) ,设 \( \Omega \subset \mathrm{R} \times C \) 是开集. \( f : \Omega \rightarrow {\mathrm{R}}^{n} \) ,对固定的 \( \varphi \) 关于 \( t \) 可测,对固定的 \( t \) 关于 \( \varphi \) 连续,并且对 \( \forall \left( {t,\varphi }\right) \) \( \in \Omega \) ,存在 \( \left( {t,\varphi }\right) \) 的邻域 \( U\left( {t,\varphi }\right) \) 以及一个勒贝格可积函数 \( m \) ,使得 \( \left| {f\left( {s,\psi }\right) }\right| \leq m\left( s\right) ,\left( {s,\psi }\right) \in U\left( {t,\varphi }\right) \) (即 \( f \) 满足卡拉西奥多里条件). 函数 \( x\left( {t,\sigma ,\varphi, f}\right) \) 称为方程过 \( \left( {\sigma ,\varphi }\right) \) 的一个广义解,如果存在 \( A > 0 \) ,使 \( x \i |
2000_数学辞海（第3卷） | 236 | }\right) }^{T} \) 都落在同 \( {\left( 1, - 2, - 1\right) }^{T} \) 垂直的平面上. 但对线性自治系统可以证明: 若 \( n \leq 2 \) ,则单滞量的情形,系统是点态完备的,而 \( n = 2 \) 且有两个滞量的情形, 则存在点态退化的例子. 对线性自治系统还可以证明,若系统在 \( {t}^{ * } \) 处点态退化,则 \( \forall t \geq {t}^{ * } \) ,系统也点态退化.
泛函微分方程的广义解 (generalized solution of functional differential equation) 常微分方程广义解的直接推广. 对滞后型泛函微分方程 \( \dot{x}\left( t\right) = \) \( f\left( {t,{x}_{t}}\right) \) ,设 \( \Omega \subset \mathrm{R} \times C \) 是开集. \( f : \Omega \rightarrow {\mathrm{R}}^{n} \) ,对固定的 \( \varphi \) 关于 \( t \) 可测,对固定的 \( t \) 关于 \( \varphi \) 连续,并且对 \( \forall \left( {t,\varphi }\right) \) \( \in \Omega \) ,存在 \( \left( {t,\varphi }\right) \) 的邻域 \( U\left( {t,\varphi }\right) \) 以及一个勒贝格可积函数 \( m \) ,使得 \( \left| {f\left( {s,\psi }\right) }\right| \leq m\left( s\right) ,\left( {s,\psi }\right) \in U\left( {t,\varphi }\right) \) (即 \( f \) 满足卡拉西奥多里条件). 函数 \( x\left( {t,\sigma ,\varphi, f}\right) \) 称为方程过 \( \left( {\sigma ,\varphi }\right) \) 的一个广义解,如果存在 \( A > 0 \) ,使 \( x \in C\left( {\left\lbrack {\sigma - r,\sigma + A}\right\rbrack ,{\mathrm{R}}^{n}}\right) ,{x}_{\sigma } = \varphi \) 且 \( x\left( t\right) \) 在 \( \left\lbrack {\sigma ,\sigma + A}\right\rbrack \) 上绝对连续, 几乎处处满足方程.
差分微分方程 (differential-difference equation) 一种偏差变元微分方程. 指描述时滞动力系统的方程
\[
\dot{x}\left( t\right) = f\left( {t, x\left( t\right), x\left( {t - \tau }\right) }\right) .
\]
若其左边没有导数,则它是一个差分方程; 若 \( \tau = 0 \) , 则它是常微分方程. 所以很自然地称它为差分微分方程. 由于 \( t - \tau \) 可视为变元 \( t \) 的偏差变元,所以它是具偏差变元微分方程的一种. 一般地, \( \tau \) 可能不止一个,也可能是 \( t \) 的连续常号函数. 在定义差分微分方程的阶与次时, 对未知函数不问它的变元有无偏差, 均应同等看待.
初始集 (initial set) 时滞初值问题中初始函数的定义域. 对差分微分方程
\[
\dot{x}\left( t\right) = f\left( {t, x\left( t\right), x\left( {t - \tau \left( t\right) }\right) }\right) ,
\]
(1)
其中 \( \tau \left( t\right) \geq 0 \) 连续,引入初始集的概念是要说明确定它的解究竟需要多少初始数据. 设 \( {t}_{0} \) 为初始时刻, 称集
\[
{E}_{{t}_{0}} = \left\{ {t - \tau \left( t\right) \mid t - \tau \left( t\right) \leq {t}_{0}, t \geq {t}_{0}}\right\} \cup \left\{ {t}_{0}\right\}
\]
为 (1) 的初始集. 若 \( \tau \left( t\right) \) 有界,则
\[
{E}_{{t}_{0}} = \left\{ {t - \tau \left( t\right) \mid t - \tau \left( t\right) \leq {t}_{0}, t \geq {t}_{0}}\right\} ,
\]
若有 \( m \) 个 \( {\tau }_{i}\left( t\right) \geq 0 \) ,则
\[
{E}_{{t}_{0}} = \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{m}\left\{ {t - {\tau }_{i}\left( t\right) \mid t - {\tau }_{i}\left( t\right) \leq {t}_{0}, t \geq {t}_{0}}\right\} \cup \left\{ {t}_{0}\right\} .
\]
对方程
\[
\dot{x}\left( t\right) = {\int }_{0}^{\sigma \left( t\right) }g\left( {t, x\left( t\right), x\left( {t - \tau }\right) }\right) \mathrm{d}\tau \;\left( {\sigma \left( t\right) \geq 0}\right) ,
\]
在 \( {E}_{{t}_{0}} \) 定义中以 \( \sigma \left( t\right) \) 代替 \( \tau \left( t\right) \) 即可. 基本初值问题便是在 \( {E}_{{t}_{0}} \) 上给定连续的初始函数以确定解是否存在的问题.
分步法 (method of steps) 一种直接求解差分微分方程的方法. 设初始集 \( {E}_{{t}_{0}} \) ,且 \( t - \tau \left( t\right) \leq {t}_{0} \) 的 \( t \) 值全体是一个连通集,记为 \( {F}_{{t}_{0}} \) . 用 \( {E}_{{t}_{0}} \) 上给定的初始函数 \( \varphi \) 代入方程便得到一个常微分方程,它的解便是差分微分方程在 \( {F}_{{t}_{0}} \) 上的解. 若 \( {F}_{{t}_{0}} \) 是含有 \( {t}_{0} \) 的区间, \( {t}_{0}^{\prime } = \sup \left\{ {t \mid t \in {F}_{{t}_{0}}}\right\} \) 是常数,则求解过程可以重复进行. 称此法为分步法. 若 \( {F}_{{t}_{0}} \) 不是单点集 \( \left\{ {t}_{0}\right\} \) ,则分步法对滞后型、中立型、超前型均适用, 但超前型方程此时是微分延拓. 例如对方程 \( \dot{x}\left( t\right) = - x\left( {t - 1}\right) \) , \( x\left( t\right) = \varphi \left( t\right) \equiv 1, t \in \left\lbrack {-1,0}\right\rbrack \) ,则在 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上解为 \( x\left( t\right) \) \( = 1 - t \) ,在 \( \left\lbrack {1,2}\right\rbrack \) 上解为 \( x\left( t\right) = {t}^{2}/2 - {2t} - 3/2 \) ,凡此等等.
解映射 (solution map) 泛函微分方程的重要概念之一. 有两种观点将滞后型泛函微分方程的解看做映射. \( \operatorname{RFDE}\left( f\right) \) 过 \( \left( {\sigma ,\varphi }\right) \) 的解可以看做 \( C \rightarrow {\mathrm{R}}^{n} \) 的映射 \( x\left( {\sigma ,\varphi, f}\right) \left( t\right) = x\left( t\right) \) ,也可以看做 \( C \rightarrow C \) 的映射 \( T\left( {t,\sigma }\right) \varphi = {x}_{t}\left( {\sigma ,\varphi, f}\right) = {x}_{t} \) . 后一种观点是由克拉索夫斯基 (Kpacobckhù, H. H. ) 于 1959 年提出的, 其目的在于引进稳定性理论中 \( V \) 泛函的概念,并证明它的存在性, 也提供泛函微分方程几何理论的新途径. 例如, 方程
\[
\dot{x}\left( t\right) = - x\left( {t - \frac{\pi }{2}}\right)
\]
过 \( \left( {\sigma ,\varphi }\right) \in \mathrm{R} \times C \) 的解恒存在且惟一,当 \( x \in \mathrm{R} \) 时,解 \( \sin t \) 与 \( \cos t \) 在 \( \left( {x, t}\right) \) 空间中相交无限多次. 但对 \( {t}_{1} \) , \( {t}_{2} \in \mathrm{R} \) 成立 \( {t}_{1} \neq {t}_{2} \Leftrightarrow {x}_{{t}_{1}} \neq {x}_{{t}_{2}} \) . 换言之,若 \( \exists \tau > \sigma \) ,使 \( T\left( {\tau ,\sigma }\right) \varphi = T\left( {\tau ,\sigma }\right) \psi \) ,则 \( \forall t > \tau, T\left( {t,\sigma }\right) \varphi = T\left( {t,\sigma }\right) \psi \) . 由此可直观地预期在 \( C \) 中讨论几何性质比 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中优越.
解的等价类 (equivalence classes of solutions) 泛函微分方程的重要概念之一. 为了研究自治泛函微分方程的几何理论, 把相交的轨线归为同一类, 称为解的等价类. 设 \( \forall \varphi \in C\left( {\left\lbrack {-r,0}\right\rbrack ,{\mathrm{R}}^{n}}\right) ,\operatorname{RFDE}\left( f\right) \) 过 \( \left( {\sigma ,\varphi }\right) \) 的解整体存在且惟一,但解映射 \( T\left( {t,\sigma }\right) : C \rightarrow C \) 可能不是一一的. 对于 \( \left( {\sigma ,\varphi }\right) ,\left( {\sigma ,\psi }\right) \in \mathrm{R} \times C \) ,称二者是等价的,若 \( \exists \tau \geq \sigma \) ,使 \( {x}_{\tau }\left( {\sigma ,\varphi }\right) = {x}_{\tau }\left( {\sigma ,\psi }\right) \) 或者 \( {x}_{t}\left( {\sigma ,\varphi }\right) = {x}_{t}\left( {\sigma ,\psi }\right) \left( {t \geq \tau }\right) \) . 这个等价关系具有自反性、对称性、传递性,用它可以把 \( C \) 分解为一个等价类集 \( \left\{ {v}_{\alpha }\right\} \) . 取 \( {v}_{\alpha } \) 的代表元 \( {\varphi }^{\sigma ,\alpha },{\varphi }^{\sigma ,\alpha } \) 的全体记为 \( W\left( \sigma \right) \) , 它是使 \( T\left( {t,\sigma }\right) \) 在 \( W\left( \sigma \right) \) 上是一一映射的极大集. 当 \( \forall {v}_{a} \) 为单点集时, \( T\left( {t,\sigma }\right) \) 在 \( C \) 中确定一个同胚. 于是常微分方程几何理论可有效地推广到泛函微分方程上去. 这是研究解映射一般性质的另一个途径.
滞后型差分微分方程 (retarded differential-difference equation) 最重要的一类差分微分方程. 若差分微分方程中偏差 \( \tau \left( t\right) \geq 0 \) ,且最高阶导数不出现偏差变元, 则这个方程称为滞后型的. 它所描述的动力学系统称为时滞系统. 它的初值问题写成
\[
\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}\left( t\right) = f(t, x\left( t\right), x(t - \tau \left( t\right) \\ x\left( t\right) = \varphi \left( t\right) \left( {t \in {E}_{{t}_{0}}}\right) . \end{array}\right.
\]
问题的确切含义是: 在 \( {E}_{{t}_{0}} \) 上给定连续函数 \( \varphi \left( t\right) \) ,是否存在函数 \( x\left( t\right) \) ,它定义在 \( {E}_{{t}_{0}} \cup \left\lbrack {{t}_{0}, A}\right) \) 上,在 \( {E}_{{t}_{0}} \) 上等于 \( \varphi \left( t\right) \) ,在 \( \left\lbrack {{t}_{0}, A}\right) \) 上满足方程. 其中 \( A > 0 \) ,可以是 \( + \infty \) . 对多滞量方程可类似定义.
时滞系统 (system with time lag) 见 “滞后型差分微分方程".
中立型差分微分方程 (neutral differential-difference equation) 一类特殊的差分微分方程. 差分微分方程称为中立型的, 如果它满足条件:
1. 方程中未知函数的最高阶导数同时出现无偏差和有偏差的变元.
2. 未知函数的低阶导数的变元都不大于高阶导数诸变元. 例如 \( \tau > 0, C \neq 0 \) ,则方程
\[
\dot{x}\left( t\right) = f\left( {t, x\left( t\right), x\left( {t - \tau }\right) ,\dot{x}\left( {t - \tau }\right) }\right) ,
\]
（1）
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( {x\left( t\right) + {cx}\left( {t - \tau }\right) }\right) = g\left( {t, x\left( t\right), x\left( {t - \tau }\right) }\right)
\]
（2）
都是中立型差分微分方程. 定义中条件 2 是不可缺少的. 因为方程
\[
\dot{x}\left( t\right) + a\dot{x}\left( {t - 1}\right) + {bx}\left( t\right) + {cx}\left( {t - 1}\right) + {ex}\left( {t + 1}\right) = 0
\]
当 \( e \neq 0 \) 时便不是中立型方程,而是一类混合型方程. (1), (2) 的初值问题分别写成
\[
\left\{ \begin{array}{ll} \dot{x}\left( t\right) = f\left( {t, x\left( t\right), x\left( {t - \tau }\right) ,\dot{x}\left( {t - \tau }\right) }\right) & \left( {\tau > 0}\right) , \\ x\left( t\right) = \varphi \left( t\right) ,\dot{x}\left( t\right) = \dot{\varphi }\left( t\right) & \left( {t \in {E}_{{t}_{0}}}\right) , \end{array}\right.
\]
\[
\left\{ \begin{array}{l} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( {x\left( t\right) + {cx}\left( {t - \tau }\right) }\right) = g\left( {t, x\left( t\right), x\left( {t - \tau }\right) }\right) , \\ x\left( t\right) = \varphi \left( t\right) \left( {t \in {E}_{{t}_{0}}}\right) . \end{array}\right.
\]
问题的含义与滞后型类似.
超前型差分微分方程 (advanced differential-difference equation) 一类特殊的差分微分方程. 若差分微分方程中至少有一个未知函数低阶导数的变元大于所有最高阶导数的变元, 则称之为超前型的. 例如方程 \( \dot{x}\left( t\right) = {ax}\left( t\right) + {bx}\left( {t + 1}\right) \) ,它的初值问题有不同的提法. 若沿正向求解, 并把初值问题写成
\[
\left\{ \begin{array}{ll} x\left( {t + \tau }\right) = f\left( {t, x\left( t\right) ,\dot{x}\left( t\right) }\right) & \left( {\tau > 0}\right) , \\ x\left( t\right) = \varphi \left( t\right) ,\dot{x}\left( t\right) = \dot{\varphi }\left( t\right) & \left( {t \in {E}_{{t}_{0}}}\right) , \end{array}\right.
\]
此时求解过程是微分延拓. 若沿 \( t \) 的负向求解,则与滞后型相同.
混合型差分微分方程 (differential-difference equation of compound type) 一类最常见且应用广泛的差分微分方程. 非 \( R, N, A \) 型的差分微分方程统称为混合型的. 设 \( {\tau }_{i}\left( t\right) \) 连续 \( \left( {i = 1,2,\cdots, m}\right) \) 且至少有一个是变号的, \( {r}_{j} = \) const \( > 0\left( {j = 1,2,\cdots ,{n}_{1}}\right) ,{\sigma }_{k} \) \( = \) const \( > 0\left( {k = 1,2,\cdots ,{n}_{2}}\right), m,{n}_{1},{n}_{2} \) 为正整数,方程
\[
\dot{x}\left( t\right) = f\left( {t, x\left( t\right), x\left( {t - {r}_{1}}\right) ,\cdots, x\left( {t - {r}_{{n}_{1}}}\right) ,}\right.
\]
\[
\left. {x\left( {t + {\sigma }_{1}}\right) ,\cdots, x\left( {t + {\sigma }_{{n}_{2}}}\right) }\right) ,
\]
\[
\dot{x}\left( t\right) = f\left( {t, x\left( {t - {\tau }_{1}\left( t\right) }\right) ,\cdots, x\left( {t - {\tau }_{m}\left( t\right) }\right) }\right)
\]
称为混合型差分微分方程. 更一般的情形可以是二者的复合. 这类方程的初值问题还没有确切的提法, 还没有完整的基本理论, 但有越来越多的应用学科以这类方程为数学模型.
概周期泛函微分方程 (almost periodic functional differential equation) 一类重要的泛函微分方程. 设 \( D \subset C \) 是开集, \( f : \mathrm{R} \times D \rightarrow {\mathrm{R}}^{n} \) ,称为对 \( \varphi \in D \) 关于 \( t \) 是概周期的,若对 \( \forall \varepsilon > 0 \) 及 \( D \) 中紧集 \( S \) , \( \exists l\left( {\varepsilon, S}\right) > 0 \) ,使得每一长度为 \( l\left( {\varepsilon, S}\right) \) 的区间上均含有 \( \tau \) ,使 \( \left| {f\left( {t + \tau ,\varphi }\right) - f\left( {t,\varphi }\right) }\right| \leq \varepsilon \) 对 |
2000_数学辞海（第3卷） | 237 | _{2} \) 为正整数,方程
\[
\dot{x}\left( t\right) = f\left( {t, x\left( t\right), x\left( {t - {r}_{1}}\right) ,\cdots, x\left( {t - {r}_{{n}_{1}}}\right) ,}\right.
\]
\[
\left. {x\left( {t + {\sigma }_{1}}\right) ,\cdots, x\left( {t + {\sigma }_{{n}_{2}}}\right) }\right) ,
\]
\[
\dot{x}\left( t\right) = f\left( {t, x\left( {t - {\tau }_{1}\left( t\right) }\right) ,\cdots, x\left( {t - {\tau }_{m}\left( t\right) }\right) }\right)
\]
称为混合型差分微分方程. 更一般的情形可以是二者的复合. 这类方程的初值问题还没有确切的提法, 还没有完整的基本理论, 但有越来越多的应用学科以这类方程为数学模型.
概周期泛函微分方程 (almost periodic functional differential equation) 一类重要的泛函微分方程. 设 \( D \subset C \) 是开集, \( f : \mathrm{R} \times D \rightarrow {\mathrm{R}}^{n} \) ,称为对 \( \varphi \in D \) 关于 \( t \) 是概周期的,若对 \( \forall \varepsilon > 0 \) 及 \( D \) 中紧集 \( S \) , \( \exists l\left( {\varepsilon, S}\right) > 0 \) ,使得每一长度为 \( l\left( {\varepsilon, S}\right) \) 的区间上均含有 \( \tau \) ,使 \( \left| {f\left( {t + \tau ,\varphi }\right) - f\left( {t,\varphi }\right) }\right| \leq \varepsilon \) 对一切 \( t \in \mathrm{R},\varphi \in S \) 成立. 此时,方程 \( \dot{x}\left( t\right) = f\left( {t,{x}_{t}}\right) \) 称为滞后型概周期泛函微分方程. 若算子 \( D\left( {t,\varphi }\right) \) 在 \( \sigma \) 上于 0 及 \( - r \) 处是原子的 ( \( \sigma \) 为初始时刻),对 \( \varphi \in D \) 关于 \( t \) 是概周期的, 则
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}D\left( {t,{x}_{t}}\right) = f\left( {t,{x}_{t}}\right)
\]
称为中立型概周期泛函微分方程.
滞后型概周期泛函微分方程 (retarded almost periodic functional differential equation) 见“概周期泛函微分方程”.
中立型概周期泛函微分方程 (neutral almost periodic functional differential equation) 见“概周期泛函微分方程”.
自治泛函微分方程 (autonomous functional differential equation) 一类特殊的泛函微分方程. 由于记号的缺点, 必须强调自治泛函微分方程的概念. 若泛函微分方程满足条件:
1. 方程中不显含自变量 \( t \) ;
2. 滞量是常数;
则称之为自治的. 这与常微分方程不同, 条件 2 绝不可忽视,所以对表达式 \( \dot{x}\left( t\right) = f\left( {x}_{t}\right) \) 还必须事先约定滞量是常数, 否则将导致错误.
更新方程 (renewal equation) 一类特殊的泛函微分方程. 在生态系统中用斯蒂尔杰斯积分表示的滞后型泛函微分方程
\[
x\left( t\right) = {\int }_{0}^{t}x\left( {t - \tau }\right) {\mathrm{d}}_{\mathrm{r}}R\left( {t,\tau }\right) + f\left( t\right)
\]
称为更新方程. 若 \( R\left( {t,\tau }\right) \) 关于 \( \tau \) 可微,则它是一个具分布时滞的积分方程. 若 \( R\left( {t,\tau }\right) \) 关于 \( \tau \) 是具有限个第一类间断点的阶梯函数, 则它是一个差分方程.
特征方程 (characteristic equation) 表征线性自治差分微分方程解的性态的超越方程. 自治差分微分方程的特征方程一般是超越的, 根的分布状况与常微分方程非常不同. 取 \( a, b, c, d,\tau > 0 \) 为常数, 给出线性自治差分微分方程
\[
\dot{x}\left( t\right) + a\dot{x}\left( {t - \tau }\right) + {bx}\left( t\right) + {cx}\left( {t - \tau }\right)
\]
\[
+ {dx}\left( {t + \tau }\right) = 0.
\]
(1)
设 (1) 有形式解 \( {\mathrm{e}}^{\lambda t} \) ,则 \( \lambda \) 满足一个超越方程
\[
h\left( \lambda \right) = \lambda \left( {1 + a}\right) + b + c{\mathrm{e}}^{-{\lambda t}} + d{\mathrm{e}}^{\lambda t} = 0.
\]
(2) 称为 (1) 的特征方程. 一般地, 它有可列个根分布在复平面上, 这与常微分方程截然不同, 但对特征方程的 \( m \) 重根 \( \lambda \left( {m \geq 1}\right) ,{\mathrm{e}}^{\lambda }, t{\mathrm{e}}^{\lambda },\cdots ,{t}^{m - 1}{\mathrm{e}}^{\lambda } \) 都是原方程的解这一点则相同. 设 \( x \in {\mathrm{R}}^{n} \) ,方程组
\[
\dot{x}\left( t\right) + A\dot{x}\left( {t - \tau }\right) + {Bx}\left( t\right) + {Cx}\left( {t - \tau }\right)
\]
\[
+ {Dx}\left( {t + \tau }\right) = 0,
\]
(3)
其中 \( \tau = \) const \( > 0, A, B, C, D \) 为 \( n \times n \) 阵,则特征方程为
\[
\det \left| {{\lambda E} - {A\lambda }{\mathrm{e}}^{-{\lambda \tau }} + B + C{\mathrm{e}}^{-{\lambda \tau }} + D{\mathrm{e}}^{\lambda \tau }}\right| = 0.
\]
(4)
设 \( c \in {\mathrm{R}}^{n} \) . 由形式解 \( c{\mathrm{e}}^{\lambda t} \) 代入 (3) 即导出 (4).
考察一阶自治线性方程及其特征方程 (1), (2). 若 \( a = d = 0, b \neq 0 \) ,则方程是滞后型的,此时 \( h\left( \lambda \right) \) 的零点都落在复平面上某一平行于虚轴的直线的左边,且 \( \operatorname{Re}\left( {\lambda }_{j}\right) \rightarrow - \infty \left( {j \rightarrow + \infty }\right) \) ; 若 \( a = c = 0, d \neq 0 \) , 则方程是超前型的, 此时存在平行于虚轴的直线, 使 \( h\left( \lambda \right) \) 的一切零点均位于它的右边. 这两种情形 \( h\left( \lambda \right) \) 在任何条形域 \( \alpha \leq \operatorname{Re}\left( \lambda \right) \leq \beta \left( {\alpha ,\beta \text{为常数}}\right) \) 中只有有限个零点,而且零点都是孤立的. 若 \( a \neq 0, d = 0 \) ,则方程是中立型的,此时 \( h\left( \lambda \right) \) 的所有零点都位于某一条形域 \( {\alpha }_{1} \leq \operatorname{Re}\left( \lambda \right) \leq {\beta }_{1}\left( {{\alpha }_{1},{\beta }_{1}\text{为常数}}\right) \) 之中. 这种分布状况表达了“中立型”一词的本来含义. 此外, 中立型方程的 \( h\left( \lambda \right) \) 的零点也是孤立的,在域 \( {\alpha }_{2} \leq \operatorname{Im}\left( \lambda \right) \) \( \leq {\beta }_{2}\left( {{\alpha }_{2},{\beta }_{2}\text{是常数}}\right) \) 中只有有限个.
上述结论对 \( n \) 阶自治线性系统也成立. 若滞后型线性自治方程的特征根均具有负实部, 则零解是渐近稳定的, 若除了实部零的单重根以外其他根均具负实部, 则零解稳定但不是渐近稳定的. 对超前型和混合型线性自治系统, 由于恒存在正实部的特征根, 所以零解总是不稳定的. 此时方程称为不稳定型方程. 最后, 对中立型方程, 当特征根的实部均满足 \( \operatorname{Re}\left( {\lambda }_{j}\right) \leq \delta < 0 \) 时,零解是渐近稳定的. 但 \( \operatorname{Re}\left( {\lambda }_{j}\right) < 0 \) 对一切 \( j \) 成立并不能保证零解的渐近稳定性,因为存在 \( \operatorname{Re}\left( {\lambda }_{j}\right) < 0,\operatorname{Re}\left( {\lambda }_{j}\right) \rightarrow 0\left( {j \rightarrow + \infty }\right) \) 而零解不是渐近稳定的反例. 不仅如此, 还可能出现有可列个单重纯虚根而其他根均具负实部的复杂情况.
庞特里亚金定理 (Pontryagin theorem) 关于滞后型线性自治系统特征根分布的一个重要定理. 线性自治常微分方程的特征根全部分布在虚轴左边的充分必要条件是众所周知的劳斯-霍维茨判据. 对滞后型线性自治系统是否有类似的准则? 1942 年, 庞特里亚金 (Hotrparun, J. C. ) 在理论上给出了这种准则, 这就是庞特里亚金定理. 把线性自治差分微分方程的特征方程写成 \( H\left( z\right) = h\left( {z,{\mathrm{e}}^{z}}\right) = h\left( {z, t}\right) \) , 设诸项中 \( z \) 的最高次数为 \( r, t \) 的最高次数为 \( s \) ,若 \( a \neq 0 \) ,则 \( a{z}^{r}{t}^{s} \) 称为 \( h\left( {z, t}\right) \) 的主项. 再记
\[
H\left( {\mathrm{i}y}\right) = F\left( y\right) + \mathrm{i}G\left( y\right) ,
\]
则庞特里亚金定理断言:
1. 若 \( h\left( {z,{\mathrm{e}}^{z}}\right) \) 有主项,则它的所有零点均具负实部的充分必要条件是, \( F\left( y\right) \) 和 \( G\left( y\right) \) 的根都是实的,并且至少有一个 \( y \) 的值使
\[
{G}^{\prime }\left( y\right) F\left( y\right) - {F}^{\prime }\left( y\right) G\left( y\right) > 0.
\]
2. 若 \( h\left( {z,{\mathrm{e}}^{z}}\right) \) 没有主项,则 \( h\left( {z,{\mathrm{e}}^{z}}\right) \) 必存在具任意大实部的零点.
定理的第二部分证明了超前型与混合型系统的零解必定是不稳定的这一事实. 第一部分给出滞后型系统零解渐近稳定的充分必要条件. 但对中立型系统, 判断特征根均具负实部这一点并不能保证渐近稳定性. 必须指出, 庞特里亚金定理的条件是超越的, 难以检验的, 从应用的角度看, 特征根分布的代数判断准则是目前亟待研究的课题.
稳定的 \( \mathbf{D} \) 算子 (stable \( D \) operators) 一种使得稳定性性质最接近于滞后型泛函微分方程的中立型泛函微分方程的构造性质. 对算子型中立型泛函微分方程
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}D\left( {t,{x}_{t}}\right) = f\left( {t,{x}_{t}}\right) ,
\]
设 \( D\left( {t,\varphi }\right) \in C\left( {\mathrm{R} \times C,{\mathrm{R}}^{n}}\right), C = C\left( {\left\lbrack {-r,0}\right\rbrack ,{\mathrm{R}}^{n}}\right) \) ,用差分算子 \( D \) 构造齐次与非齐次差分方程 \( D\left( {t,{y}_{t}}\right) = 0 \) 和 \( D\left( {t,{y}_{t}}\right) = h\left( t\right) \) . 若存在常数 \( a, b > 0 \) ,使对任意的 \( h \in C\left( {{\mathrm{R}}_{ + },{\mathrm{R}}^{n}}\right) \) ,非齐次差分方程 \( D\left( {t,{y}_{t}}\right) = \) \( h\left( t\right) \left( {t \geq \sigma }\right) \) 的解 \( y\left( t\right) \) 满足
\[
\left| {y}_{t}\right| \leq b{\mathrm{e}}^{-a\left( {t - \sigma }\right) }\left| {y}_{\sigma }\right| + b\sup \{ h\left( u\right) \} \left( {t \geq \sigma }\right) ,
\]
则称 \( D \) 算子是一致稳定的. 若 \( D \) 是线性自治的,在 0 处是原子的,则当且仅当 \( D{y}_{t} = 0 \) 的零解渐近稳定时 \( D \) 算子是一致稳定的. 当 \( D \) 算子为一致稳定时, 性质最接近滞后型方程.
泛函微分方程的稳定性 (stability of functional differential equation) 李亚普诺夫稳定性理论在泛函微分方程中的推广. 设滞后型泛函微分方程 \( \dot{x}\left( t\right) = f\left( {t,{x}_{t}}\right) \) 的解整体存在,且 \( f\left( {t,0}\right) \equiv 0 \) . 与常微分方程的李亚普诺夫稳定性类似, 称方程的零解 \( x\left( t\right) = 0 \) 是稳定的,若 \( \forall \sigma \in \mathrm{R} \) 和 \( \varepsilon > 0,\exists \delta \left( {\varepsilon ,\sigma }\right) > 0 \) , 使当 \( \left| \varphi \right| < \delta \) 时,对 \( \forall t \geq \sigma \) ,不等式 \( \left| {x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) }\right| < \varepsilon \) 成立. 若 \( \delta \) 不依赖于 \( \sigma \) ,则称零解是一致稳定的. 这里
\[
\left| \varphi \right| = \mathop{\sup }\limits_{{\theta \in \left\lbrack {-r,0}\right\rbrack }}\left| {\varphi \left( \theta \right) }\right| ,
\]
\( \left| x\right| \) 表示 \( x \) 取 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的模. \( \left| \varphi \right| \) 与 \( \left| x\right| \) 都用记号 \( \left| \cdot \right| \) 表示而不加区别, 这不致引起混淆. 一般地, 初始函数空间与解空间 (可以是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 或 \( C\left( {\left\lbrack {-r,0}\right\rbrack ,{\mathrm{R}}^{n}}\right) \) ),可能取相同或不同的模, 但要保证稳定性的定义是等价的.
\( \operatorname{RFDE}\left( f\right) \) 的零解称为渐近稳定的,如果它是稳定的,并且 \( \exists \delta \left( \sigma \right) > 0 \) ,使得 \( \left| \varphi \right| < \delta \left( \sigma \right) \) 时,有 \( \left| {x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) }\right| \rightarrow 0\left( {t \rightarrow + \infty }\right) \) . 零解称为一致渐近稳定的,若它是一致稳定的,并且 \( \exists {\delta }_{0} > 0 \) ,对 \( \forall \sigma \in \mathrm{R},\forall \eta > \) \( 0,\exists T\left( \eta \right) \) ,当 \( \left| \varphi \right| < {\delta }_{0} \) 时, \( \left| {x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) }\right| < \eta, t \geq \sigma + \) \( T\left( \eta \right) \) . 对中立型泛函微分方程
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}D\left( {t,{x}_{t}}\right) = f\left( {t,{x}_{t}}\right) ,
\]
上述诸定义仍然适用.
注意到稳定性的定义中指出 “ \( \forall \sigma \in \mathrm{R} \) ”,如果把这一点改为常微分方程的提法 “对某一个 \( \sigma \in \mathrm{R} \) ”,则稳定性可能依赖于 \( \sigma \) 的选择 (参见 “稳定性依赖于初始时刻”). 此外, 由于滞后型泛函微分方程中滞量不恒等于零, 因而存在稳定性对时滞的依赖关系问题. 如大时滞稳定性、小时滞等价性问题、全时滞稳定性问题等可参见有关条目.
稳定性依赖于初始时刻 (stability depend on initial instants) 泛函微分方程的一种特殊性质. 即选择不同的初始时刻, 零解的稳定性可能不同. 在泛函微分方程的稳定性定义中,若把 “ \( \forall \sigma \in \mathrm{R} \) ”改为 “对某一 \( \sigma \in \mathrm{R} \) ”,则零解稳定与否可能依赖于 \( \sigma \) 的选择. 例如方程 \( \dot{x}\left( t\right) = x\left( t\right) - x\left( {t{\mathrm{e}}^{-t}}\right) \) ,若取 \( \sigma = 0 \) ,则零解是稳定的; 若取 \( \sigma = 1 \) ,则零解是不稳定的. 这里 \( \sigma \) 是初始时刻.
稳定性依赖于滞量 (stability depend on delays) 泛函微分方程的一种特殊性质. 对给定的泛函微分方程,当滞量 \( \tau \) 不同时,零解的稳定性可能是不同的,即使 \( \tau \) 取常量也不例外. 若视 \( \tau \) 为参数,则稳定性、周期解的存在性等都可能出现分歧点. 例如方程 \( \dot{x}\left( t\right) = x\left( t\right) - x\left( {t - \tau }\right) \) ,当 \( \tau \in \lbrack 0,1) \) 时零解是稳定的,而 \( \tau \geq 1 \) 时零解是不稳定的, \( \tau = 1 \) 是稳定性关于 \( \tau \) 的一个分歧点.
大范围渐近稳定性 (asymptotically stable in the large) 亦称整体稳定性. 泛函微分方程稳定性理论的重要概念之一. 记 \( \operatorname{RFDE}\left( f\right) \) 或 \( \operatorname{NFDE}\left( {D, f}\right) \) 过 \( \left( {\sigma ,\varphi }\right) \in \mathrm{R} \times C \) 的解为 \( x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right |
2000_数学辞海（第3卷） | 238 | lity depend on initial instants) 泛函微分方程的一种特殊性质. 即选择不同的初始时刻, 零解的稳定性可能不同. 在泛函微分方程的稳定性定义中,若把 “ \( \forall \sigma \in \mathrm{R} \) ”改为 “对某一 \( \sigma \in \mathrm{R} \) ”,则零解稳定与否可能依赖于 \( \sigma \) 的选择. 例如方程 \( \dot{x}\left( t\right) = x\left( t\right) - x\left( {t{\mathrm{e}}^{-t}}\right) \) ,若取 \( \sigma = 0 \) ,则零解是稳定的; 若取 \( \sigma = 1 \) ,则零解是不稳定的. 这里 \( \sigma \) 是初始时刻.
稳定性依赖于滞量 (stability depend on delays) 泛函微分方程的一种特殊性质. 对给定的泛函微分方程,当滞量 \( \tau \) 不同时,零解的稳定性可能是不同的,即使 \( \tau \) 取常量也不例外. 若视 \( \tau \) 为参数,则稳定性、周期解的存在性等都可能出现分歧点. 例如方程 \( \dot{x}\left( t\right) = x\left( t\right) - x\left( {t - \tau }\right) \) ,当 \( \tau \in \lbrack 0,1) \) 时零解是稳定的,而 \( \tau \geq 1 \) 时零解是不稳定的, \( \tau = 1 \) 是稳定性关于 \( \tau \) 的一个分歧点.
大范围渐近稳定性 (asymptotically stable in the large) 亦称整体稳定性. 泛函微分方程稳定性理论的重要概念之一. 记 \( \operatorname{RFDE}\left( f\right) \) 或 \( \operatorname{NFDE}\left( {D, f}\right) \) 过 \( \left( {\sigma ,\varphi }\right) \in \mathrm{R} \times C \) 的解为 \( x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) \) ,若零解是稳定的, 并且 \( \forall \left( {\sigma ,\varphi }\right) \in \mathrm{R} \times C \) ,当 \( t \rightarrow \infty \) 时 \( \left| {x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) }\right| \rightarrow 0 \) ,则称方程的零解是大范围稳定的. 若 \( \forall \alpha > 0,\forall \varepsilon > 0,\forall \sigma \in \) \( \mathrm{R} \) (或 \( \left\lbrack {{t}_{l}, + \infty }\right\rbrack ,{t}_{l} \in \mathrm{R} \) ), \( \exists T\left( {\varepsilon ,\alpha }\right) > 0 \) ,使得当 \( \left| \varphi \right| < \alpha \) 时,
\[
\left| {x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) }\right| < \varepsilon ,\;t \geq \sigma + T\left( {\varepsilon ,\alpha }\right) ,
\]
则称零解是大范围拟一致渐近稳定的. 若方程的零解是一致稳定的, 一致有界的, 并且是大范围拟一致渐近稳定的, 则称零解是大范围一致渐近稳定的.
整体稳定性 (global stability) 即 “大范围渐近稳定性”.
大范围一致渐近稳定性 (uniformly asymptotical stability in the large) 见 “大范围渐近稳定性”.
小时滞等价命题 (equivalent proposition for small delays) 泛函微分方程稳定性理论的重要概念之一. 含有小时滞的泛函微分方程在略去时滞后得到一个常微分方程, 这两个方程解的稳定性是否相同? 这个命题的原先含义是: 在什么条件下可以略去滞量而不改变系统的稳定性? 因为一般地, 处理常微分方程比处理泛函微分方程要简单得多, 所以寻求这种等价性条件在应用上有特别重要的意义. 近年来, 除了稳定性外, 还研究解的存在惟一性, 周期解与概周期解的存在性等性质, 在略去滞量后是否保持的“等价命题”.
大时滞稳定性 (stable for large time lag) 泛函微分方程稳定性理论的重要概念之一. 这一概念描述了一类可以通过增大滞量以保证稳定性的时滞微分系统. 例如, 对线性自治差分微分方程组
\[
\dot{x}\left( t\right) + C\dot{x}\left( {t - \tau }\right) = {Ax}\left( t\right) + {Bx}\left( {t - \tau }\right) ,
\]
若存在充分大的常数 \( M \) ,使得系统的零解当 \( \forall \tau > M \) 时都是稳定的 (渐近稳定的), 则称系统是大时滞稳定的 (渐近稳定的). 例如,若存在常数 \( M > 0 \) ,使当 \( C \) \( = 0 \) 时系统的所有特征根 \( {\lambda }_{j}\left( \tau \right) < 0 \) ,当 \( C \neq 0 \) 时 \( {\lambda }_{j}\left( \tau \right) \) \( \leq \delta = \) const \( < 0\left( {\forall \tau > M}\right) \) 成立,则系统是大时滞渐近稳定的. 这意味着零解当 \( \tau \leq M \) 时可能是不稳定的. 非线性自治差分微分方程的大时滞稳定性可类似定义.
大时滞渐近稳定性 (asymptotically stable for large time lag) 见“大时滞稳定性”.
全时滞稳定性 (stability for all delays) 泛函微分方程稳定性理论的重要概念之一. 这类系统允许滞量的任意偏差而能保持渐近稳定性. 设 \( x \in {\mathrm{R}}^{n} \) , \( A, B, C \) 为 \( n \times n \) 常数阵,若 \( \forall \tau \in {\mathrm{R}}_{ + } \) ,线性自治差分微分方程族
\[
\dot{x}\left( t\right) + C\dot{x}\left( {t - \tau }\right) = {Ax}\left( t\right) + {Bx}\left( {t - \tau }\right)
\]
的零解都是渐近稳定的, 则称系统是全时滞稳定的. 例如,系统相应的特征根全体记为 \( \left\{ {{\lambda }_{j}\left( \tau \right) }\right\} (\forall \tau \in \) \( \left. {\mathrm{R}}_{ + }\right) \) ,当 \( C = 0 \) 时 \( \forall {\lambda }_{j}\left( \tau \right) < 0, C \neq 0 \) 时 \( \forall {\lambda }_{j}\left( \tau \right) \leq \delta = \) const \( < 0 \) ,则系统是全时滞稳定的. 对非线性自治系统可类似定义. 目前, 这种稳定性的主要问题在于寻求代数的判别依据.
拉兹密辛条件 (Razumikhin's condition) 一种表述泛函微分方程的李亚普诺夫稳定性条件. 20 世纪 50 年代, 当人们把常微分方程的李亚普诺夫方法推广到泛函微分方程时发现, 所有的稳定性定理的适用范围都极其有限. 例如, 对最简单的方程
\[
\dot{x}\left( t\right) = {ax}\left( t\right) + {bx}\left( {t - \tau }\right) \;\left( {\tau = \text{ const } > 0}\right) ,
\]
取
\[
V\left( x\right) = \frac{1}{2}{x}^{2},
\]
则
\[
\dot{V}\left( {x\left( t\right) }\right) = a{x}^{2}\left( t\right) + {bx}\left( t\right) x\left( {t - \tau }\right)
\]
中第二项是否恒正或恒负难以确定. 拉兹密辛 (Razumikhin, B. ) 注意到 \( \dot{V} \) 并不需要在原点的邻域内定号,只要当 \( \left| {x\left( {t - \tau }\right) }\right| \leq \left| {x\left( t\right) }\right| \) 时定号即可. 这就是拉兹密辛条件. 它还可推广为 \( P\left( {x\left( s\right) }\right) \leq \) \( P\left( {x\left( t\right) }\right) \left( {s \leq t, t \geq \sigma }\right) .P\left( \xi \right) \) 是 \( K \) 类函数: \( P\left( 0\right) = 0 \) , \( P\left( \xi \right) > 0\left( {\xi \neq 0}\right) \) . 在这个条件之下,上述方程中只要 \( a < 0,\left| b\right| \leq \left| a\right| \) ,则零解是稳定的. 条件的成功之处在于它并没有对方程自身附加新的限制.
在拉兹密辛条件下的稳定性定理通常称为拉兹密辛型定理. 例如对 \( \operatorname{RFDE}\left( f\right) : \dot{x}\left( t\right) = f\left( {t,{x}_{t}}\right) \) ,设 \( f : \mathrm{R} \times C \rightarrow {\mathrm{R}}^{n} \) 把 \( \mathrm{R} \times \left( {C\text{中的有界集}}\right) \) 映入 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的有界集,设 \( u, v, w : {\mathrm{R}}_{ + } \rightarrow {\mathrm{R}}_{ + } \) 是连续的,非减函数 \( u\left( s\right) \) , \( v\left( s\right) \) 当 \( s > 0 \) 时为正, \( u\left( 0\right) = v\left( 0\right) = 0 \) ,若存在连续函数 \( V\left( {t, x}\right) \) 满足下列条件,则方程的零解是一致稳定的:
\[
\text{1.}u\left( \left| x\right| \right) \leq V\left( {t, x}\right) \leq v\left( \left| x\right| \right) \left( {t \in \mathrm{R}, x \in {\mathrm{R}}^{n}}\right) \text{.}
\]
2. \( \dot{V}\left( {t, x\left( t\right) }\right) \leq - w\left( \left| {x\left( t\right) }\right| \right) \) ,在条件
\( V\left( {t + \theta, x\left( {t + \theta }\right) }\right) \leq V\left( {t, x\left( t\right) }\right) \left( {\theta \in \left\lbrack {-r,0}\right\rbrack }\right) \) 时成立.
若对 \( s > 0, w\left( s\right) > 0 \) ,且存在连续函数 \( P\left( s\right) > 0 \) , \( s > 0 \) ,条件 2 换为
\( V\left( {t + \theta, x\left( {t + \theta }\right) }\right) \leq P\left( {V\left( {t, x\left( t\right) }\right) }\right) \left( {\theta \in \left\lbrack {-r,0}\right\rbrack }\right) , \) 则方程的零解是一致渐近稳定的.
李亚普诺夫泛函方法 (method of Liapunov functionals) 李亚普诺夫第二方法对泛函微分方程的一种推广. 用李亚普诺夫函数 \( V\left( {t, x}\right) \) 研究 \( \operatorname{RFDE}\left( f\right) : \dot{x}\left( t\right) = f\left( {t,{x}_{t}}\right) \) 的稳定性,因为有了拉兹密辛条件而大大扩展了应用范围, 然而仍有很大的局限性,而且无法证明 \( V \) 函数的存在性定理. 正是由于这个原因, 克拉索夫斯基 (KpacoBcknñ, H. H. ) 于 1959 年提出了在空间 \( C \) 中解释轨线的观点,同时引入李亚普诺夫泛函 \( V\left( {t,\varphi }\right) \) 的概念. 设泛函 \( V : \mathrm{R} \times C \) \( \rightarrow \mathrm{R} \) 连续, \( x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) \) 是方程过 \( \left( {\sigma ,\varphi }\right) \) 的解,定义
\( \dot{V}\left( {t,\varphi }\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow {0}^{ + }}}\frac{1}{h}\left( {V\left( {t + h,{x}_{t + h}\left( {t,\varphi }\right) }\right) - V\left( {t,\varphi }\right) }\right) \)
为 \( V \) 关于方程的全导数,或者说沿方程的解取上右导数. 作为例子,观察一个稳定性定理: 设 \( f : \mathrm{R} \times C \) \( \rightarrow {\mathrm{R}}^{n} \) ,使 \( \mathrm{R} \times \) ( \( C \) 的有界子集) 映入 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的有界集. \( u \) , \( v, w : {\mathrm{R}}_{ + } \rightarrow {\mathrm{R}}_{ + } \) 是连续的非减函数, \( u\left( s\right), v\left( s\right) \) 当 \( s > 0 \) 时取正值,且 \( u\left( 0\right) = v\left( 0\right) = 0 \) . 若存在 \( \mathrm{R} \times C \) 到 \( \mathrm{R} \) 上的连续泛函 \( V \) ,使得
\[
u\left( \left| {\varphi \left( 0\right) }\right| \right) \leq V\left( {t,\varphi }\right) \leq v\left( \left| \varphi \right| \right) ,
\]
\[
\dot{V}\left( {t,\varphi }\right) \leq - w\left( \left| {\varphi \left( 0\right) }\right| \right) ,
\]
则 \( \operatorname{RFDE}\left( f\right) \) 的零解是一致稳定的. 若 \( s \rightarrow \infty \) 时, \( u\left( s\right) \rightarrow \infty \) ,则零解是一致有界的. 若 \( s > 0 \) 时, \( w\left( s\right) > 0 \) ,则零解是一致渐近稳定的.
除了稳定性理论以外, \( V \) 泛函还用于研究解的有界性, 周期解与概周期解的存在性等问题. 对算子型中立型泛函微分方程 \( \operatorname{NFDE}\left( {D, f}\right) \) ,有一系列与 \( \operatorname{RFDE}\left( f\right) \) 平行的应用结果.
\( \mathbf{D} \) 划分法 (method of \( D \) -divide) 一种划分稳定区的方法. 设滞后型和中立型线性自治差分微分方程的 \( N \) 个系数构成一个参数空间 \( {\mathrm{R}}^{N} \) ,相应的特征方程 \( h\left( \lambda \right) = 0 \) 中令 \( \operatorname{Re}\lambda = 0 \) ,则 \( h\left( {\mathrm{i}y}\right) = 0 \) 的实部和虚部分开后得两个含 \( y \) 的实系数方程,消去 \( y \) 得 \( N - 1 \) 维超曲面,这种超曲面把 \( {\mathrm{R}}^{N} \) 划分成若干区域, 在一些区域中方程的零解渐近稳定, 另一些区域中则是不稳定的. 在曲面上可能是稳定的, 也可能是不稳定的, 这要视实部为零的特征根是否为单重而定. 对方程族的这种分法称为 \( D \) 划分法. 完成了 \( D \) 划分, 则认为是比较完整地解决了稳定性问题. 划分法的边界曲面也可以用幅相法求得.
楔函数 (class of \( K \) -function) 亦称 \( K \) 类函数. 是应用 \( V \) 泛函方法时必不可少的辅助概念. 若 \( W : {\mathrm{R}}_{ + } \rightarrow {\mathrm{R}}_{ + } \) 连续,严格单调增加且 \( W\left( 0\right) = 0 \) ,则 \( W \) 称为楔函数,记为 \( W \in K \) . 若 \( W \in K \) 且 \( W \) 是凸函数, 则称 \( W \in {KC} \) 类.
健忘泛函 (forgetful functional) 即健忘李亚普诺夫泛函. 用以消除无穷时滞对未来状态的不良影响. 泛函 \( V\left( {t, x\left( \cdot \right) }\right) \) 称为是健忘的,若存在楔函数 \( W\left( \xi \right) \) 及常数 \( l > 0 \) ,满足:
1. \( 0 \leq V\left( {t, x\left( \cdot \right) }\right) \leq W{\left| x\right| }_{\left\lbrack \alpha, t\right\rbrack }(t \geq \alpha, x \in C(\lbrack \alpha \) , \( t\rbrack ,{\mathrm{R}}^{n})) \) .
2. \( \forall D > 0,\delta > 0,\sigma \geq \alpha ,\exists s > 0 \) 使当 \( {\left| x\right| }_{\left\lbrack \alpha ,\sigma \right\rbrack } \leq D \) , \( {\left| x\right| }_{\left\lbrack \sigma ,\sigma + s\right\rbrack } \leq \delta, t \geq \sigma + s \) 时,
\( 0 \leq V\left( {t, x\left( \cdot \right) }\right) \leq l\max \left\{ {W\left( \delta \right), W\left( {\left| x\right| }_{\left\lbrack \sigma + s, t\right\rbrack }\right) }\right\} . \)
若 \( s \) 与 \( \sigma \) 无关,则称 \( V\left( {t, x\left( \cdot \right) }\right) \) 是一致健忘的,其中 \( {\left| x\left( \theta \right) \right| }_{\left\lbrack a, b\right\rbrack } = \sup \{ \left| {x\left( \theta \right) }\right| \mid \theta \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \} \) . 因为无穷时滞泛函微分方程的解 \( x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) \) 不问 \( t \geq \sigma \) 有多大, \( {x}_{t} = x\left( {t + \theta }\right) \) 总含有初始函数 \( \varphi \left( \theta \right) \left( {\theta \in {\mathrm{R}}_{ - }}\right) \) ,若用有界的 \( V \) 泛函来研究稳定性,便意味着过去的历史毫无例外地直接影响任何时刻 \( t \) 时的状况,而用健忘 \( V \) 泛函,则意味着逐步排除或忘却过去历史对未来状态的影响.
一致健忘泛函 (uniformly forgetful functional) 见“健忘泛函”.
容许空间 (allowable space) 附加健忘条件的状态空间. 设 \( X = C\left( {{\mathrm{R}}_{ - },{\mathrm{R}}^{n}}\right), X \) 是线性空间,赋以拟范数 \( {\left| \cdot \right| }_{X} \) ,记 \( {\varphi }_{t}\left( s\right) = \varphi \left( { |
2000_数学辞海（第3卷） | 239 | t) }\right) \leq l\max \left\{ {W\left( \delta \right), W\left( {\left| x\right| }_{\left\lbrack \sigma + s, t\right\rbrack }\right) }\right\} . \)
若 \( s \) 与 \( \sigma \) 无关,则称 \( V\left( {t, x\left( \cdot \right) }\right) \) 是一致健忘的,其中 \( {\left| x\left( \theta \right) \right| }_{\left\lbrack a, b\right\rbrack } = \sup \{ \left| {x\left( \theta \right) }\right| \mid \theta \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \} \) . 因为无穷时滞泛函微分方程的解 \( x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) \) 不问 \( t \geq \sigma \) 有多大, \( {x}_{t} = x\left( {t + \theta }\right) \) 总含有初始函数 \( \varphi \left( \theta \right) \left( {\theta \in {\mathrm{R}}_{ - }}\right) \) ,若用有界的 \( V \) 泛函来研究稳定性,便意味着过去的历史毫无例外地直接影响任何时刻 \( t \) 时的状况,而用健忘 \( V \) 泛函,则意味着逐步排除或忘却过去历史对未来状态的影响.
一致健忘泛函 (uniformly forgetful functional) 见“健忘泛函”.
容许空间 (allowable space) 附加健忘条件的状态空间. 设 \( X = C\left( {{\mathrm{R}}_{ - },{\mathrm{R}}^{n}}\right), X \) 是线性空间,赋以拟范数 \( {\left| \cdot \right| }_{X} \) ,记 \( {\varphi }_{t}\left( s\right) = \varphi \left( {t + s}\right) \left( {s \in {\mathrm{R}}_{ - }}\right) ,\forall \tau > 0 \) ,
\[
{X}_{\tau } = \left\{ {\varphi \in X \mid \varphi \left( s\right) \in C\left( {\left\lbrack {-\tau ,0}\right\rbrack ,{\mathrm{R}}^{n}}\right) ,{\varphi }_{-\tau } \in X}\right\} .
\]
称空间 \( \left( {X,{\left| \cdot \right| }_{X}}\right) \) 是容许的,若 \( \forall \tau \geq 0 \) 及 \( \varphi \in {X}_{\tau } \) ,成立:
1. \( {\varphi }_{t} \in X \) 且 \( {\varphi }_{t} \) 关于 \( t \) 连续, \( t \in \left\lbrack {-\tau ,0}\right\rbrack \) .
2. \( \mu \left| {\varphi \left( 0\right) }\right| \)
\[
\leq {\left| \varphi \right| }_{X} \leq K\left( \tau \right) \mathop{\sup }\limits_{{s \in \left\lbrack {-\tau ,0}\right\rbrack }}\left| {\varphi \left( s\right) }\right| + M\left( \tau \right) {\left| {\varphi }_{-\tau }\right| }_{X},
\]
这里 \( \mu = \) const \( > 0, K\left( s\right), M\left( s\right) \) 是连续函数. 称容许空间 \( \left( {X,{\left| \cdot \right| }_{X}}\right) \) 具有衰退记忆的,若
\[
K\left( s\right) = K = \text{ const },\mathop{\lim }\limits_{{s \rightarrow \infty }}M\left( s\right) = 0.
\]
由定义可知,若 \( \left( {X,{\left| \cdot \right| }_{X}}\right) \) 是容许的,则空间 \( \left( {{X}_{\tau },{\left| \cdot \right| }_{{X}_{\tau }}}\right) \) 也是容许的,这里
\[
{\left| \varphi \right| }_{X} = \sup \left\{ {{\left| {\varphi }_{s}\right| }_{X} \mid s \in \left\lbrack {-\tau ,0}\right\rbrack }\right\} .
\]
引入容许空间的目的也是为了研究无穷时滞泛函微分方程的稳定性, 只不过现在是把记忆衰退一一健忘的条件加在状态空间之上, 但稳定性的定义要从头叙述一遍.
解的振动性 (oscillation of solution) 泛函微分方程解的重要特性之一. 泛函微分方程的解 \( x\left( t\right) \) 称为振动的, 如果它不是最终零解且存在可列个零点 \( \left\{ {t}_{n}\right\} ,{t}_{n} \rightarrow \infty \left( {n \rightarrow \infty }\right) \) ,使得 \( x\left( {t}_{n}\right) = 0.x\left( t\right) \) 不是最终零解这一限制是合理的, 因为存在点态退化的系统, 使方程在保证解存在惟一且有最终零解, 也符合存在 \( \left\{ {t}_{n}\right\} ,{t}_{n} \rightarrow \infty, x\left( {t}_{n}\right) = 0 \) . 例如方程 \( \dot{x}\left( t\right) = b\left( t\right) x(t \) \( - 1) \) ,其中 \( b\left( t\right) = 0, t \leq 0 \) 或 \( t > 1;b\left( t\right) = \cos {2\pi t} - 1 \) , \( t \in (0,1\rbrack \) . 若初始时刻 \( \sigma < 0 \) ,则当 \( t \geq 1,\varphi \in C \) 时,所有的解 \( x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) \equiv 0 \) . 这是常微分方程不会出现的情况. 解的振动性包括:
1. 证明至少存在一个振动解.
2. 证明所有非零解均振动.
3. 证明方程没有振动解等.
所有解振动时称方程是振动的.
周期解的存在性 (existence of periodic solution) 泛函微分方程定性研究中的一个重要课题. 泛函微分方程周期解的定义与常微分方程相同, 但所有判断方法都需要推广与更新才能适用. 例如对 \( \operatorname{RFDE}\left( f\right) : \dot{x}\left( t\right) = f\left( {t,{x}_{t}}\right) \) ,有如下的定理: 若 \( f\left( {t,\varphi }\right) \) 关于 \( \varphi \in C\left( {\left\lbrack {-r,0}\right\rbrack ,{\mathrm{R}}^{n}}\right) \) 是局部李普希茨型的, \( f\left( {t,\varphi }\right) \) 关于 \( t \) 是周期为 \( \omega \left( {\omega \geq r}\right) \) 的周期函数,则方程的解一致有界且对界 \( \beta \) 一致最终有界,存在一个周期为 \( \omega \) 以 \( \beta \) 为界的周期解. 对周期解存在性的研究有许多更细致的结果, 例如证明周期解是惟一的, 给出周期 \( \omega \) 的精确值或估计值,周期解存在性关于时滞的依赖关系等. 对中立型方程有大量类似的工作.
概周期解 (almost periodic solution) 泛函微分方程的基本概念. 若泛函微分方程的解 \( x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) \) 关于 \( t \) 是概周期的,即 \( \forall \varepsilon > 0,\exists l\left( \varepsilon \right) > 0 \) ,使得每一长度为 \( l\left( \varepsilon \right) \) 的区间上均含有 \( \tau \) ,使
\[
\left| {f\left( {t + \tau ,\varphi }\right) - f\left( {t,\varphi }\right) }\right| \leq \varepsilon
\]
对 \( \forall t \in \mathrm{R} \) 成立,则 \( x\left( t\right) \) 称为方程的一个概周期解. 若方程的解 \( x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) = x\left( t\right) \) 定义在 \( {\mathrm{R}}_{ + } \) 上 (或定义在 \( \left\lbrack {{t}_{l}, + \infty }\right) \) 上, \( \left. {{t}_{l} \in \mathrm{R}}\right) ,\forall t \geq 0 \) ,有 \( \left| {x\left( t\right) }\right| \leq \alpha < H = \) const.,且 \( x\left( t\right) = \xi \left( t\right) + \eta \left( t\right) ,\xi \left( t\right) \) 是概周期的, \( \eta \left( t\right) \rightarrow 0\left( {t \rightarrow \infty }\right) \) ,则 \( x\left( t\right) \) 称为方程的渐近概周期解. 此时方程一定存在概周期解.
解的有界性 (boundness of solution) 泛函微分方程解的一种特征描述. 泛函微分方程的解 \( x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) \) 称为有界的,若存在常数 \( \beta \left( {\sigma ,\varphi }\right) \) ,使 \( \forall t \geq \sigma - r \) 成立 \( \left| {x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) }\right| < \beta \left( {\sigma ,\varphi }\right) .x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) \) 称为一致有界的,若 \( \forall \alpha > 0,\sigma \in \mathrm{R} \) ,存在 \( \beta \left( \alpha \right) \) ,当 \( \left| \varphi \right| < \alpha \) 时, \( \left| {x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) }\right| < \beta \left( \alpha \right) \) ,对 \( \forall t \geq \sigma \) 成立. 在时滞生态系统中十分重要.
解的最终有界性 (ultimate boundness of solution) 泛函微分方程解的一种特征描述. 泛函微分方程的解 \( x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) \) 称为最终有界的,若存在常数 \( \beta \) \( > 0 \) ,使 \( \forall \left( {\sigma ,\varphi }\right) \in \mathrm{R} \times C \) ,存在常数 \( T\left( {\sigma ,\varphi }\right) > 0 \) ,当 \( t \geq \sigma \) \( + T\left( {\sigma ,\varphi }\right) \) 时,就有 \( \left| {x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) }\right| < \beta .x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) \) 称为一致最终有界的,若存在常数 \( \beta > 0 \) ,使 \( \forall \alpha > 0,\exists T\left( \alpha \right) \) \( > 0 \) ,对 \( \left| \varphi \right| < \alpha ,\forall \sigma \in \mathrm{R} \) ,当 \( t > T\left( \alpha \right) \) 时成立 \( \left| {x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) }\right| < \beta \) . 最终有界有时称为毕竟有界.
最终零解 (ultimate zero solution) 泛函微分方程的基本概念. 这些概念都是为了定义和研究解的振动性而提出的. 设泛函微分方程过 \( \left( {\sigma ,\varphi }\right) \) 的解 \( x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) \) 整体存在. 若存在 \( T\left( {\sigma ,\varphi }\right) = \) const,使当 \( t \geq \sigma \) \( + T\left( {\sigma ,\varphi }\right) \) 时 \( x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) \equiv 0 \) ,则称 \( x \) 为最终零解. 若当 \( t \geq \sigma + T\left( {\sigma ,\varphi }\right) \) 时 \( x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) > 0 \) (或 \( < 0 \) ),则称 \( x \) 为最终正解 (或负解).
线性泛函微分方程 (linear functional differential equation) 最重要的一类泛函微分方程, 其中自治线性系统又是最基本的部分. 设 \( L\left( {t,\varphi }\right) \) 为 \( \mathrm{R} \times C \) \( \rightarrow {\mathrm{R}}^{n} \) 的线性算子,滞后型齐次和非齐次线性方程分别写成
\[
\dot{x}\left( t\right) = L\left( {t,{x}_{t}}\right) ,
\]
(1)
\[
\dot{x}\left( t\right) = L\left( {t,{x}_{t}}\right) + f\left( t\right) .
\]
(2)
若 \( {x}_{i}\left( {t,\sigma ,{\varphi }_{i}}\right) \left( {i = 1,2}\right) \) 是 (1) 过 \( \left( {\sigma ,{\varphi }_{i}}\right) \) 的解, \( {x}^{ * }\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) \) 是 (2) 过 \( \left( {\sigma ,\varphi }\right) \) 的解,则对 \( \forall \alpha ,\beta \in \mathrm{R} \) ,
\[
\alpha {x}_{1}\left( {t,\sigma ,{\varphi }_{1}}\right) + \beta {x}_{2}\left( {t,\sigma ,{\varphi }_{2}}\right)
\]
是 (1) 过 \( \left( {\sigma ,\alpha {\varphi }_{1} + \beta {\varphi }_{2}}\right) \) 的解, \( \alpha {x}_{1}\left( {t,\sigma ,{\varphi }_{1}}\right) + \beta {x}_{2}(t,\sigma \) , \( \left. {\varphi }_{2}\right) + {x}^{ * }\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) \) 是 (2) 过 \( \left( {\sigma ,\alpha {\varphi }_{1} + \beta {\varphi }_{2} + \varphi }\right) \) 的解. 类似地叠加原理也成立. 把 (1) 用有界变差阵表示为
\[
\dot{x}\left( t\right) = {\int }_{-r}^{0}\left\lbrack {{\mathrm{\;d}}_{\theta }R\left( {t,\theta }\right) }\right\rbrack x\left( {t + \theta }\right) .
\]
(3)
人们有如下解的整体存在定理: 设 (3) 满足:
1. \( f \in {L}_{\mathrm{{loc}}}\left( {\lbrack \sigma , + \infty ),{\mathrm{R}}^{n}}\right) \) ,即 \( f \) 在 \( \lbrack \sigma , + \infty ) \) 的任何紧集上勒贝格可积;
2. \( R\left( {t,\theta }\right) \) 关于 \( \theta \) 有界变差,二元可测;
3. \( \exists m\left( t\right) \in {L}^{\mathrm{{loc}}}\left( {{\mathrm{R}}_{ + },\mathrm{R}}\right) ,\forall t \in \mathrm{R},\forall \varphi \in C \) 成立
\[
\left| {L\left( {t,\varphi }\right) }\right| \leq m\left( t\right) \left| \varphi \right| ;
\]
则方程 (2) 过 \( \left( {\sigma ,\varphi }\right) \) 的解在 \( \lbrack \sigma - r, + \infty ) \) 存在且惟一. 由条件 3 可推出
\[
\mathop{\operatorname{Var}}\limits_{\left\lbrack -r,0\right\rbrack }R\left( {t, \cdot }\right) \leq m\left( t\right) .
\]
线性系统理论涉及解的指数估计, 通解的表示, 常数变易公式, 伴随系统, 解的稳定性, 振动性, 有界性以及周期与概周期解, 扰动线性系统等.
解的指数估计 (exponential estimates of solution) 线性泛函微分方程解的上界的定量描述. 自治系统解的指数估计保证了应用拉普拉斯变换的可能性. 若 \( \dot{x} = L\left( {t,{x}_{t}}\right) + f\left( t\right) \) 满足 “线性泛函微分方程”中的假定, 用等价的积分方程估计解 \( x\left( {t,\sigma ,\varphi, f}\right) \) ,得
\[
\left| {x\left( {t,\sigma ,\varphi, f}\right) }\right|
\]
\[
\leq \left( {\left| \varphi \right| + {\int }_{\sigma }^{t}\left| {f\left( s\right) \mathrm{d}s}\right| \exp {\int }_{\sigma }^{t}m\left( s\right) }\right) \left| {\mathrm{d}s\left( {t \geq \sigma }\right) }\right| .
\]
若系统是自治的,则存在常数 \( a, b \) ,使
\[
\left| {x\left( {t,\sigma ,\varphi, f}\right) }\right| \leq \left| \varphi \right| a{\mathrm{e}}^{bt},
\]
此时 \( b \) 可以精确到取特征方程根实部的上确界. 若 \( b < 0 \) ,则零解指数渐近稳定.
泛函微分方程的通解 (general integral of functional differential equation) 泛函微分方程的基本概念. 线性自治差分微分方程的通解, 不能用它的诸特征根与任意常数来构造, 只能用拉普拉斯变换形式地表达. 以方程 \( \dot{x}\left( t\right) = {ax}\left( t\right) + {bx}\left( {t - \tau }\right) \) 为例,设其特征方程 \( h\left( \lambda \right) \) 的可列个特征根 \( {\lambda }_{j} \) 各不相同,则 \( {\mathrm{e}}^{{\lambda }_{j}t} \) 是方程的可列个独立解,但无法证明方程的一切解均可表示为
\[
\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }{C}_{j}{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{j}t}
\]
的形式, 因而通解需用拉普拉斯变换给出. 称初始函数
\[
\varphi \left( \theta \right) = 0, - \tau \l |
2000_数学辞海（第3卷） | 240 | \[
\left| {x\left( {t,\sigma ,\varphi, f}\right) }\right|
\]
\[
\leq \left( {\left| \varphi \right| + {\int }_{\sigma }^{t}\left| {f\left( s\right) \mathrm{d}s}\right| \exp {\int }_{\sigma }^{t}m\left( s\right) }\right) \left| {\mathrm{d}s\left( {t \geq \sigma }\right) }\right| .
\]
若系统是自治的,则存在常数 \( a, b \) ,使
\[
\left| {x\left( {t,\sigma ,\varphi, f}\right) }\right| \leq \left| \varphi \right| a{\mathrm{e}}^{bt},
\]
此时 \( b \) 可以精确到取特征方程根实部的上确界. 若 \( b < 0 \) ,则零解指数渐近稳定.
泛函微分方程的通解 (general integral of functional differential equation) 泛函微分方程的基本概念. 线性自治差分微分方程的通解, 不能用它的诸特征根与任意常数来构造, 只能用拉普拉斯变换形式地表达. 以方程 \( \dot{x}\left( t\right) = {ax}\left( t\right) + {bx}\left( {t - \tau }\right) \) 为例,设其特征方程 \( h\left( \lambda \right) \) 的可列个特征根 \( {\lambda }_{j} \) 各不相同,则 \( {\mathrm{e}}^{{\lambda }_{j}t} \) 是方程的可列个独立解,但无法证明方程的一切解均可表示为
\[
\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }{C}_{j}{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{j}t}
\]
的形式, 因而通解需用拉普拉斯变换给出. 称初始函数
\[
\varphi \left( \theta \right) = 0, - \tau \leq \theta < 0,\varphi \left( 0\right) = 1
\]
对应的解
\[
X\left( t\right) = {\int }_{C}{h}^{-1}\left( \lambda \right) {\mathrm{e}}^{\lambda t}\mathrm{\;d}\lambda
\]
为基础解. \( \forall \varphi \in C \) ,通解表示成
\( x\left( {t,0,\varphi }\right) = X\left( t\right) \varphi \left( 0\right) + b{\int }_{-\tau }^{0}X\left( {t - \theta - \tau }\right) \varphi \left( \theta \right) \mathrm{d}\theta . \) 对中立型方程和 \( n \) 阶方程,方程组有类似结果.
基础解 (base solution) 见 “泛函微分方程的通解”.
常数变易公式 (variation of constants formula) 常微分方程的常数变易法在线性泛函微分方程的推广. 在拉普拉斯变换表示之下, 由通解同样可以得出常数变易公式. 设齐次线性与非齐次泛函微分方程
\[
\dot{x}\left( t\right) = L\left( {t,{x}_{t}}\right) ,
\]
(1)
\[
\dot{x}\left( t\right) = L\left( {t,{x}_{t}}\right) + f\left( t\right)
\]
(2)
过 \( \left( {\sigma ,\varphi }\right) \in \mathrm{R} \times C \) 的解整体存在. 记 \( x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) \) 为 (1) 的解, \( x\left( {t,\sigma ,\varphi, f}\right) \) 为 (2) 的解,则有
\[
x\left( {t,\sigma ,\varphi, f}\right) = x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) + {\int }_{\sigma }^{t}U\left( {t, s}\right) f\left( s\right) \mathrm{d}s
\]
(3)
\[
\left( {t \geq \sigma ,{x}_{\sigma } = \varphi }\right)
\]
当 \( t \geq \sigma \) 时几乎处处成立,并称为常数变易公式. 其中 \( U\left( {t, s}\right) \) 满足方程
\[\frac{\partial U\left( {t, s}\right) }{\partial t} = L\left( {t,{U}_{t}\left( {\cdot, s}\right) }\right) ,\]
\[U\left( {t, s}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \left( {s - r \leq t < s}\right) , \\ I & \left( {t = s}\right) . \end{array}\right. \]
\[{U}_{t}\left( {\cdot, s}\right) \left( \theta \right) = U\left( {t + \theta, s}\right) \left( {\theta \in \left\lbrack {-r,0}\right\rbrack }\right) ,\]
\( U\left( {t, s}\right) \) 称为基解阵. 若 \( L\left( {t,{x}_{t}}\right) = {ax}\left( t\right) + {bx}\left( {t - \tau }\right) \) , 则 \( U\left( {t, s}\right) = X\left( {t - s}\right), X\left( {t - s}\right) \) 是由拉普拉斯变换表示的基础解. 对中立型泛函微分方程类似地可以给出公式.
形式伴随方程 (formal adjoint equation) 在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中为确定常数变易公式的积分核而导出的相关方程. 设线性泛函微分方程 \( \dot{x}\left( t\right) = L\left( {t,{x}_{t}}\right) \) 或
\[
\dot{x}\left( t\right) = {\int }_{-r}^{0}\left\lbrack {{\mathrm{\;d}}_{\theta }R\left( {t,\theta }\right) }\right\rbrack x\left( {t + \theta }\right)
\]
的解整体存在,则 \( \dot{x}\left( t\right) = L\left( {t,{x}_{t}}\right) + f\left( t\right) \) 的解 \( x\left( {t,\sigma ,\varphi, f}\right) \) 由常数变易法可用齐次方程的解 \( x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) \) 和 \( U\left( {t, s}\right) \) 表示为
\[
x\left( {t,\sigma ,\varphi, f}\right) = x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) + {\int }_{\sigma }^{t}U\left( {t, s}\right) f\left( s\right) \mathrm{d}s.
\]
当 \( U\left( {t, s}\right) \) 用另一途径确定时,导出方程
\[
y\left( s\right) + {\int }_{s}^{\infty }y\left( s\right) R\left( {\alpha, s - \alpha }\right) \mathrm{d}\alpha = \text{ const. }
\]
(1)
(1) 的矩阵解 \( Y\left( {s, t}\right) \) 满足: \( U\left( {t, s}\right) = Y\left( {s, t}\right) \) 几乎处处成立. (1) 称为原方程的形式伴随方程.
真实伴随算子 (true adjoint operator) 在 \( C\left( {\left\lbrack {-r,0}\right\rbrack ,{\mathrm{R}}^{n}}\right) \) 中为确定常数变易公式而导出的相关算子. 设齐次与非齐次线性泛函微分方程的解整体存在,用内积定义空间 \( C\left( {\left\lbrack {-r,0}\right\rbrack ,{\mathrm{R}}^{n}}\right) \) 的共轭空间 \( {B}_{0} \) ,
\[
\langle \psi ,\varphi \rangle = {\int }_{-r}^{0}\left\lbrack {\mathrm{\;d}\psi \left( \theta \right) }\right\rbrack \varphi \left( \theta \right) \left( {\psi \in {B}_{0},\varphi \in C}\right) .
\]
对非齐次方程的解 \( x\left( {t,\sigma ,\varphi, f}\right) \) ,不用常数变易公式而直接写成 \( {x}_{t}\left( {\sigma ,\varphi, f}\right) = T\left( {t,\sigma }\right) \varphi + K\left( {t,\sigma }\right) f \) ,其中 \( T\left( {t,\sigma }\right) : C \rightarrow C, K\left( {t,\sigma }\right) : L\left( {\left\lbrack {\sigma, t}\right\rbrack ,{\mathrm{R}}^{n}}\right) \rightarrow C\left( {t \geq \sigma }\right) \) 都是连续线性算子, \( T\left( {\sigma ,\sigma }\right) = I, K\left( {\sigma ,\sigma }\right) = 0.T, K \) 的真实伴随算子 \( {T}^{ * },{K}^{ * } \) 分别定义为:
\[
{T}^{ * }\left( {\sigma, t}\right) : {B}_{0} \rightarrow {B}_{0};
\]
\[
{K}^{ * }\left( {\sigma, t}\right) : {B}_{0} \rightarrow {L}^{\infty }\left( {\left\lbrack {\sigma, t}\right\rbrack ,{\mathrm{R}}^{n}}\right)
\]
\[
\left\langle {{T}^{ * }\left( {\sigma, t}\right) \psi ,\varphi }\right\rangle = \langle \psi, T\left( {t,\sigma }\right) \varphi \rangle ;
\]
\[
{\int }_{\sigma }^{t}\left( {{K}^{ * }\left( {\sigma, r}\right) \psi }\right) \left( s\right) f\left( s\right) \mathrm{d}s = \langle \psi, K\left( {t,\sigma }\right) f\rangle .
\]
过程 (process) 常微分方程的过程概念在泛函微分方程中的推广. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( u : \mathrm{R} \times X \) \( \times {\mathrm{R}}_{ + } \rightarrow X \) 是给定的映射,对 \( \sigma \in {\mathrm{R}}_{ + }, t \in {\mathrm{R}}_{ + } \) ,由
\[
U\left( {\sigma, t}\right) = u\left( {\sigma, x, t}\right)
\]
定义的 \( U\left( {\sigma, t}\right) : X \rightarrow X \) 满足性质:
1. \( u \) 是连续的;
2. \( U\left( {\sigma ,0}\right) = I \) 是恒等映射;
3. \( U\left( {\sigma + s, t}\right) U\left( {\sigma, s}\right) = U\left( {\sigma, s + t}\right) \) ;
则称映射 \( u \) 是 \( X \) 上的一个过程.
设方程 \( \dot{x}\left( t\right) = f\left( {t,{x}_{t}}\right) \) 的右端 \( f : \mathrm{R} \times C \rightarrow {\mathrm{R}}^{n} \) 全连续,且满足惟一性条件,则过 \( \left( {\sigma ,\varphi }\right) \) 的解 \( x\left( {t,\sigma ,\varphi }\right) \) 在 \( \lbrack \sigma - r, + \infty ) \) 上存在,且当 \( \left( {\sigma ,\varphi, t}\right) \in \mathrm{R} \times C \times \) \( \lbrack \sigma , + \infty ) \) 时 \( x \) 连续. 若对 \( \left( {\sigma ,\varphi ,\tau }\right) \in \mathrm{R} \times C \times {\mathrm{R}}_{ + } \) ,记 \( u\left( {\sigma ,\varphi ,\tau }\right) = {x}_{\sigma + \tau }\left( {\sigma ,\varphi }\right) \) ,则 \( u \) 是 \( C \) 上的一个过程. 若存在 \( \omega > 0 \) ,使 \( \forall \sigma \in \mathrm{R}, t \in {\mathrm{R}}_{ + }, U\left( {\sigma + \omega, t}\right) = U\left( {\sigma, t}\right) \) , 则称 \( u \) 是 \( \omega \) 周期过程.
\( \omega \) 周期过程 ( \( \omega \) -period process) 见 “过程”.
时滞动力系统 (dynamical system with time lag) 泛函微分方程的一类特殊过程. 一个过程称为一个动力系统,如果 \( U\left( {\sigma, t}\right) \) 与 \( \sigma \) 无关,即若 \( T\left( t\right) \) \( = U\left( {0, t}\right) \left( {t \geq 0}\right) \) ,则对 \( \left( {t, x}\right) \in {\mathrm{R}}_{ + } \times X, T\left( t\right) x \) 是连续的, \( T\left( 0\right) = I, T\left( {t + \tau }\right) = T\left( t\right) T\left( \tau \right) \left( {t,\tau \in {\mathrm{R}}_{ + }}\right) \) . 若 \( S : X \rightarrow X \) 是连续映射, \( S \) 的迭代族 \( \left\{ {{S}^{k} \mid k \geq 0}\right\} \) 称为一个离散的动力系统. 若这种过程是由滞后型泛函微分方程导出的, 则称之为时滞动力系统.
相轨 (orbit) 泛函微分方程的重要概念. 与常微分方程一样, 由抽象空间中的过程依次定义相轨及其极限集. 设 \( u \) 是 \( X \) 上的一个过程,则对每一个 \( \left( {\sigma, x}\right) \in \mathrm{R} \times X \) ,称集 \( {\tau }^{ + }\left( {\sigma, x}\right) = \{ \left( {\sigma + t, U\left( {\sigma, t}\right) x}\right) \mid t \) \( \left. { \in {\mathrm{R}}_{ + }}\right\} \) 为过 \( \left( {\sigma, x}\right) \in \mathrm{R} \times X \) 的轨道. 称集 \( {\gamma }^{ + }\left( {\sigma, x}\right) = \) \( \left\{ {U\left( {\sigma, t}\right) x \mid t \in {\mathrm{R}}_{ + }}\right\} \) 为过 \( \left( {\sigma, x}\right) \) 的相轨. 若 \( H \subset X \) ,则
\[
{\tau }^{ + }\left( {\sigma, H}\right) = \mathop{\bigcup }\limits_{{x \in H}}{\tau }^{ + }\left( {\sigma, x}\right) ,
\]
\[
{\gamma }^{ + }\left( {\sigma, H}\right) = \mathop{\bigcup }\limits_{{x \in H}}{\gamma }^{ + }\left( {\sigma, x}\right) .
\]
若 \( \left\{ {{T}^{k}x \mid k = 0,1,2,\cdots }\right\} \) 是一个离散动力系统,则过 \( x \) \( \in X \) 的相轨为 \( {\gamma }^{ + }\left( x\right) = \left\{ {{T}^{k}x \mid k = 0,1,2,\cdots }\right\} \) .
若 \( u \) 是 \( X \) 上的 \( \omega \) 周期过程,则轨道 \( {\tau }^{ + }(\sigma + {k\omega } \) , \( x) \) 是 \( {\tau }^{ + }\left( {\sigma, x}\right) \) 沿实轴做长度为 \( {k\omega } \) 的平移,相轨 \( {\gamma }^{ + }\left( {\sigma + {k\omega }, x}\right) = {\gamma }^{ + }\left( {\sigma, x}\right) \) 对任意整数 \( k \) 成立. 若 \( u \) 是 \( X \) 上的动力系统,则轨道 \( {\tau }^{ + }\left( {\sigma + s, x}\right) \) 是轨道 \( {\tau }^{ + }(\sigma \) , \( x) \) 沿实轴做长度为 \( s \) 的平移且对 \( \forall \sigma \in \mathrm{R},{\gamma }^{ + }\left( {\sigma, x}\right) = \) \( {\gamma }^{ + }\left( {0, x}\right) = {\gamma }^{ + }\left( x\right) \) .
设 \( u \) 是 \( X \) 上的一个过程,则集合
\[
\omega \left( {\sigma, x}\right) = \mathop{\bigcap }\limits_{{t \geq 0}}\overline{\left( \mathop{\bigcap }\limits_{{\tau \geq t}}U\left( \sigma ,\tau \right) x\right) },
\]
\[
\alpha \left( {\sigma, x}\right) = \mathop{\bigcap }\limits_{{t \leq 0}}\overline{\left( \mathop{\bigcup }\limits_{{\tau \leq t}}U\left( \sigma ,\tau \right) x\right) }
\]
分别称为相轨 \( {\gamma }^{ + }\left( {\sigma, x}\right) \) 的 \( \omega \) 极限集和 \( {\gamma }^{ - }\left( {\sigma, x}\right) \) 的 \( \alpha \) 极限集,其中 \( {\gamma }^{ + }\left( {\sigma, x}\right) = \left\{ {U\left( {\sigma, t}\right) x \mid t \in {\mathrm{R}}_{ + }}\right\} \) , \( {\gamma }^{ - }\left( {\sigma, x}\right) = \left\{ {U\left( {\sigma, t}\right) x \mid t \in {\mathrm{R}}_{ - }}\right\} \) . 若 \( {\gamma }^{ + }\left( {\sigma, x}\right) \) 是予紧的,则 \( \omega \left( {\sigma, x}\right) \) 存在,非空,单连通而且是紧的,并且 \( \operatorname{dist}\left( {U\left( {\sigma, t}\right) x,\omega \left( {\sigma, x}\right) }\right) \rightarrow 0\left |
2000_数学辞海（第3卷） | 241 | \) 上的一个过程,则集合
\[
\omega \left( {\sigma, x}\right) = \mathop{\bigcap }\limits_{{t \geq 0}}\overline{\left( \mathop{\bigcap }\limits_{{\tau \geq t}}U\left( \sigma ,\tau \right) x\right) },
\]
\[
\alpha \left( {\sigma, x}\right) = \mathop{\bigcap }\limits_{{t \leq 0}}\overline{\left( \mathop{\bigcup }\limits_{{\tau \leq t}}U\left( \sigma ,\tau \right) x\right) }
\]
分别称为相轨 \( {\gamma }^{ + }\left( {\sigma, x}\right) \) 的 \( \omega \) 极限集和 \( {\gamma }^{ - }\left( {\sigma, x}\right) \) 的 \( \alpha \) 极限集,其中 \( {\gamma }^{ + }\left( {\sigma, x}\right) = \left\{ {U\left( {\sigma, t}\right) x \mid t \in {\mathrm{R}}_{ + }}\right\} \) , \( {\gamma }^{ - }\left( {\sigma, x}\right) = \left\{ {U\left( {\sigma, t}\right) x \mid t \in {\mathrm{R}}_{ - }}\right\} \) . 若 \( {\gamma }^{ + }\left( {\sigma, x}\right) \) 是予紧的,则 \( \omega \left( {\sigma, x}\right) \) 存在,非空,单连通而且是紧的,并且 \( \operatorname{dist}\left( {U\left( {\sigma, t}\right) x,\omega \left( {\sigma, x}\right) }\right) \rightarrow 0\left( {t \rightarrow + \infty }\right) \) . 同理,若 \( {\gamma }^{ - }\left( {\sigma, x}\right) \) 是予紧的,则 \( \alpha \left( {\sigma, x}\right) \) 存在,非空,单连通而且是紧的,当 \( t \rightarrow - \infty \) 时 \( \operatorname{dist}\left( {U\left( {\sigma, t}\right) ,\alpha \left( {\sigma, x}\right) }\right) \rightarrow 0 \) .
泛函微分方程的边值问题 (boundary value problem of functional differential equation) 泛函微分方程的一种基本定解问题. 对泛函微分方程已经有效地推广了两类边值问题. 考察线性泛函微分方程,设 \( V \) 是巴拿赫空间, \( \sigma < \tau \) 是给定的实数, \( M, N : C \rightarrow V \) 是线性算子,定义在 \( C \) 的稠密集上, \( \gamma \in \) \( V \) 取定. 若 \( L : \mathrm{R} \times C \rightarrow {\mathrm{R}}^{n}, f : \mathrm{R} \rightarrow {\mathrm{R}}^{n}, x \in {\mathrm{R}}^{n} \) ,则边值问题写成
\[
\dot{x}\left( t\right) = L\left( {t,{x}_{t}}\right) + f\left( t\right) ,
\]
\[
M{x}_{\sigma } + N{x}_{\mathrm{r}} = \gamma .
\]
(1)
其解的存在定理为: 设 \( {V}^{ * } \) 是 \( V \) 的共轭空间, \( {M}^{ * },{N}^{ * } \) 分别是 \( M, N \) 的伴随算子,则 (1) 解存在的必要条件为
\[
{\int }_{\sigma }^{t}y\left( \alpha \right) f\left( \alpha \right) \mathrm{d}\alpha = - \langle \delta ,\gamma {\rangle }_{V}
\]
\( \forall \delta \in {V}^{ * } \) 和形式伴随方程
\[
y\left( s\right) + {\int }_{s}^{t}y\left( \alpha \right) R\left( {\alpha, s - \alpha }\right) \mathrm{d}\alpha = \text{ const }
\]
\[
\left( {\sigma - r \leq s \leq \tau - \gamma }\right) ,
\]
\[
{y}_{\sigma }^{0} = - {\left( I + \Omega \left( \sigma \right) \right) }^{-1}{M}^{ * }\delta ,
\]
\[
{y}_{\tau }^{0} = {\left( I + \Omega \left( \tau \right) \right) }^{-1}{N}^{ * }\delta
\]
的解 \( y\left( s\right) \) . 若 \( R\left( {M + {NT}\left( {t,\sigma }\right) }\right) \) 是闭的,则条件还是充分的. 另一提法是,对 \( C \) 中固定的元 \( p, q \) ,如何求得 \( v \in V \) 和 \( \left\lbrack {\sigma ,\tau }\right\rbrack \) 上的解使满足
\[
\dot{x}\left( t\right) = L\left( {t,{x}_{t}}\right) + f\left( t\right) ,
\]
(2)
\[
{x}_{\sigma } = {Mv} + p,{x}_{\tau } = {Nv} + q.
\]
沿用上述记号,且 \( f : \mathrm{R} \times C \rightarrow {\mathrm{R}}^{n}, p, q : V \rightarrow C \) 是有界线性算子,求滞后型泛函微分方程 \( \dot{x}\left( t\right) = L\left( {t,{x}_{t}}\right) + \) \( f\left( {t,{x}_{t}}\right) \) 在 \( \left\lbrack {\sigma - r,\tau }\right\rbrack \) 上满足边值条件 \( M{x}_{\sigma } + N{x}_{\tau } = \gamma \) , 或者满足另一边值条件 \( {x}_{\sigma } = {Pv} + p,{x}_{\mathrm{r}} = {Qv} + q \) 的解. 边值问题的研究结果便是寻求种种条件以保证解的存在性、惟一性.
## 概周期常微分方程
概周期常微分方程 (almost periodic ordinary differential equations) 常微分方程的一个重要分支. 在自然与社会现实中概周期现象是比周期现象更为普遍存在的现象. 例如, 在经济学、生态学、振动理论、电力系统以及天体力学等许多学科领域出现线性或非线性振动现象的实际问题中除寻求周期解答外, 还经常会出现寻求概周期解的问题. 通常所说线性或非线性振动是指可用线性或非线性常微分方程的解所表达的振动. 一般常微分方程除有自治系统外还有非自治系统
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = f\left( {t, x}\right) ,
\]
其中 \( x \) 与 \( f\left( {t, x}\right) \) 是 \( n \) 维向量, \( t \) 是标量. 当 \( f\left( {t, x}\right) \) 关于 \( t \) 是周期的或概周期的时候,系统称为周期系统或概周期系统. 这类系统的周期解或概周期解所表示的运动描述了系统的振动现象. 寻求概周期系统的概周期解以及研究概周期解的稳定性是概周期常微分方程研究的主要课题 (当然, 不是概周期的微分方程也可能有概周期解, 这方面的研究也同样是重要的). 研究这一课题就必须以概周期函数的理论为基础.
概周期函数的理论首先是由丹麦数学家玻尔 (Bohr, H. ) 在 1924-1926 年建立起来的. 在 20 世纪 20-30 年代经一批数学家的努力, 玻尔的理论有了进一步的发展, 包括在群上的调和分析理论以及由博赫纳 (Bochner, S. ) 于 1933 年所建立的巴拿赫空间的向量值概周期函数的理论. 往后的发展更密切地联系着常微分方程、稳定性理论以及动力系统. 其应用范围不仅限于常微分方程和古典动力系统, 而且涉及泛函微分方程、巴拿赫空间的微分方程以及广泛一类的偏微分方程.
周期系统 (periodic systems) 见“概周期常微分方程”.
概周期系统 (almost periodic systems) 见 “概周期常微分方程”.
概周期函数 (almost periodic functions) 一种重要的函数类, 是周期函数概念的推广. 由丹麦数学家玻尔 (Bohr, H. ) 首先建立, 较周期函数更广泛存在的一种函数. 设 \( f\left( t\right) \) 是定义在 \( \mathrm{R} = \left( {-\infty , + \infty }\right) \) 上的连续实值或复值函数, 如果对于任给一个实数序列 \( \left\{ {\alpha }^{\prime }\right\} \) ,可找出一个序列 \( \left\{ {\alpha }_{n}\right\} \subset \left\{ {\alpha }^{\prime }\right\} \) ,使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}f\left( {t + {\alpha }_{n}}\right)
\]
在 \( \mathrm{R} \) 上一致地存在,则称 \( f\left( t\right) \) 为概周期函数,简记为 a. p. 函数. 这个定义是博赫纳 (Bochner, S. ) 于 1927 年给出的, 并证明与早先玻尔 (Bohr, H. ) 关于概周期函数的定义是等价的. 玻尔称 \( f\left( t\right) \) 为概周期的,如果对于任给 \( \varepsilon > 0, f\left( t\right) \) 的 \( \varepsilon \) 概周期数集 \( (\varepsilon \) 平移数集 \( )T\left( {f,\varepsilon }\right) = \{ \tau \left| \right| f\left( {t + \tau }\right) - f\left( t\right) \mid < \varepsilon \) 对一切 \( t \in \) R \} 是相对稠密的. 也就是说,对于任给 \( \varepsilon > 0 \) ,存在正数 \( l\left( \varepsilon \right) \) ,在长度为 \( l\left( \varepsilon \right) \) 的任一区间上存在 \( \tau \) ,使 \( \mid f(t \) \( + \tau ) - f\left( t\right) \mid < \varepsilon \) 对一切 \( t \in \mathrm{R} \) 成立. \( l\left( \varepsilon \right) \) 称为 \( T\left( {f,\varepsilon }\right) \) 的包含区间长, \( \tau \) 称为 \( f\left( t\right) \) 的 \( \varepsilon \) 概周期.
显然, 周期函数是概周期函数, 其逆不一定对. 概周期函数有许多重要性质. 例如, 概周期函数在 \( \mathrm{R} \) 上必有界且一致连续; 如果 \( f\left( t\right) \) 与 \( g\left( t\right) \) 均为概周期函数,则 \( \left| {f\left( t\right) }\right| \) ,代数和 \( f\left( t\right) \pm g\left( t\right) \) ,乘积 \( f\left( t\right) g\left( t\right) \) 仍是概周期函数. 若更设
\[
\mathop{\inf }\limits_{{t \in \mathrm{R}}}\left| {g\left( t\right) }\right| > 0,
\]
则 \( f\left( t\right) /g\left( t\right) \) 亦为概周期函数等. 另外,特别指出,函数 \( f\left( t\right) \) 为概周期的充分必要条件是对任意两个序列 \( {\alpha }^{\prime } = \left\{ {{\alpha }^{\prime }{}_{n}}\right\} ,{\beta }^{\prime } = \left\{ {{\beta }^{\prime }{}_{n}}\right\} \) ,都可找到具有公共下标的子序列 \( \alpha = \left\{ {\alpha }_{k}\right\} \subset \left\{ {\alpha }^{\prime }\right\} ,\beta = \left\{ {\beta }_{k}\right\} \subset \left\{ {\beta }^{\prime }\right\} \) ,其中 \( {\alpha }_{k} = {\alpha }^{\prime }{}_{n\left( k\right) } \) , \( {\beta }_{k} = {\beta }^{\prime }{}_{n\left( k\right) } \) ,使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}f\left( {t + {\alpha }_{k} + {\beta }_{k}}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}g\left( {t + {\alpha }_{k}}\right)
\]
对每一 \( t \) 点态成立,其中
\[
g\left( t\right) = \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}f\left( {t + {\beta }_{k}}\right) .
\]
上述充分必要条件可简记为对任给 \( {\alpha }^{\prime } \) 与 \( {\beta }^{\prime } \) ,可找到公共子序列 \( \alpha \subset {\alpha }^{\prime },\beta \subset {\beta }^{\prime } \) ,使
\[
{T}_{\alpha + \beta }f\left( t\right) = {T}_{\alpha }{T}_{\beta }f\left( t\right)
\]
(1)
点态成立. 寻求使 (1) 式点态成立是论证 \( f\left( t\right) \) 为概周期函数经常采用的方法. 由概周期函数的定义, 上述充分必要条件还可加强为: 若 (1) 式点态成立, 则 \( f\left( t\right) \) 为概周期函数. 反之,若 \( f\left( t\right) \) 为概周期函数,则 (1)式在 \( \mathrm{R} \) 上一致成立.
\( \varepsilon \) 平移数集 ( \( \varepsilon \) -translation set) 有界连续函数的一个重要概念. 对任一有界连续函数 \( f\left( t\right) \) 及任给 \( \varepsilon \) \( > 0, f\left( t\right) \) 的 \( \varepsilon \) 平移数集 \( T\left( {f,\varepsilon }\right) \) 定义为
\[
\{ \tau \left| \right| f\left( {t + \tau }\right) - f\left( t\right) \mid < \varepsilon \text{ 对一切 }t \in \mathrm{R}\} .
\]
当 \( f\left( t\right) \) 为概周期函数时, \( T\left( {f,\varepsilon }\right) \) 是相对稠密的,这时 \( T\left( {f,\varepsilon }\right) \) 也称为概周期函数 \( f\left( t\right) \) 的 \( \varepsilon \) 概周期数集 (参见“概周期函数”).
## \( \varepsilon \) 概周期数集 ( \( \varepsilon \) -almostperiod set) 见 “ \( \varepsilon \) 平移数集”.
\( T\left( {f,\varepsilon }\right) \) 的包含区间长 (inclusion interval length of \( T\left( {f,\varepsilon }\right) \) ) 概周期常微分方程的一个重要概念. 实数集 \( \mathrm{R} \) 的子集 \( S \) 相对稠密时,必存在正数 \( L \) 使 \( \left\lbrack {a, a + L}\right\rbrack \cap S \neq \varnothing \) 对一切 \( a \in \mathrm{R} \) 成立,数 \( L \) 称为包含区间长, \( T\left( {f,\varepsilon }\right) \) 的包含区间长见 “概周期函数”.
\( f\left( t\right) \) 的平移函数集 \( T\left( f\right) \) (translation function set \( T\left( f\right) \) of \( f\left( t\right) \) ) 概周期函数空间的子空间. \( f\left( f\right) \) 的平移函数集 \( T\left( f\right) \) 定义为集 \( \left\{ {{f}_{\tau } \mid {f}_{\tau }\left( t\right) = }\right. \) \( f\left( {t + \tau }\right) \) 对一切 \( \tau \in \mathrm{R}\} \) . 显然,对任一 \( g \in T\left( f\right) \) ,当 \( f\left( t\right) \) 为周期函数时, \( g\left( t\right) \) 也是周期函数,当 \( f\left( t\right) \) 为概周期函数时, \( g\left( t\right) \) 也是概周期函数. 如果所有概周期函数组成的空间记为 \( {AP}\left( C\right) \) ,那么,当 \( f\left( t\right) \) 为周期函数时, \( T\left( f\right) \) 为 \( {AP}\left( C\right) \) 的列紧子空间.
\( f\left( t\right) \) 的外壳 (hull of \( f\left( t\right) \) ) 概周期函数的一个重要概念. 如果存在序列 \( \alpha = \left\{ {\alpha }_{n}\right\} \) 使
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}f\left( {t + {\alpha }_{n}}\right) = g\left( t\right)
\]
存在,简记为 \( {T}_{a}f = g \) ,其收敛方式是对固定的 \( t \) 点态收敛,在 \( \mathrm{R} \) 的某个闭集上一致收敛或在 \( \mathrm{R} \) 上一致收敛,均需要另加说明. 例如,采用这个记号, \( f\left( t\right) \) 的外壳就可定义为: \( H\left( f\right) = \{ g \mid \) 存在序列 \( \alpha \) 使 \( {T}_{\alpha }f = g \) 在 \( \mathrm{R} \) 上一致存在 \( \} .f\left( t\right) \) 是概周期函数时,其外壳 \( H\left( f\right) \) 中可能存在不属于 \( T\left( f\right) \) 的函数. 例如,对概周期函数 \( f\left( t\right) = \cos t + \cos \sqrt{2}t \) 就出现这种情况. 若 \( f\left( t\right) \) 是概周期函数,则对任一 \( g \in H\left( f\right) \) ,必有
\[
H\left( g\right) = H\left( f\right) \text{.}
\]
函数的平均值 (mean value of function) 分析数学的一个重要概念. 设 \( f\left( t\right) \) 是连续函数,如果
\[
\mathop{\lim }\limits_{{T \rightarrow + \infty }}\frac{1}{T}{\int }_{0}^{T}f\left( s\right) \mathrm{d}s
\]
存在,则称此极限为 \( f\left( t\right) \) 的平均值,记为 \( m\left( f\right) \) . 当 \( f\left( t\right) \) 是概周期函数时 \( m\left( f\right) \) 一定存在,且
\[
\mathop{\lim }\limits_{{T \rightarrow + \infty }}\frac{ |
2000_数学辞海（第3卷） | 242 | \infty }}f\left( {t + {\alpha }_{n}}\right) = g\left( t\right)
\]
存在,简记为 \( {T}_{a}f = g \) ,其收敛方式是对固定的 \( t \) 点态收敛,在 \( \mathrm{R} \) 的某个闭集上一致收敛或在 \( \mathrm{R} \) 上一致收敛,均需要另加说明. 例如,采用这个记号, \( f\left( t\right) \) 的外壳就可定义为: \( H\left( f\right) = \{ g \mid \) 存在序列 \( \alpha \) 使 \( {T}_{\alpha }f = g \) 在 \( \mathrm{R} \) 上一致存在 \( \} .f\left( t\right) \) 是概周期函数时,其外壳 \( H\left( f\right) \) 中可能存在不属于 \( T\left( f\right) \) 的函数. 例如,对概周期函数 \( f\left( t\right) = \cos t + \cos \sqrt{2}t \) 就出现这种情况. 若 \( f\left( t\right) \) 是概周期函数,则对任一 \( g \in H\left( f\right) \) ,必有
\[
H\left( g\right) = H\left( f\right) \text{.}
\]
函数的平均值 (mean value of function) 分析数学的一个重要概念. 设 \( f\left( t\right) \) 是连续函数,如果
\[
\mathop{\lim }\limits_{{T \rightarrow + \infty }}\frac{1}{T}{\int }_{0}^{T}f\left( s\right) \mathrm{d}s
\]
存在,则称此极限为 \( f\left( t\right) \) 的平均值,记为 \( m\left( f\right) \) . 当 \( f\left( t\right) \) 是概周期函数时 \( m\left( f\right) \) 一定存在,且
\[
\mathop{\lim }\limits_{{T \rightarrow + \infty }}\frac{1}{T}{\int }_{a}^{a + T}f\left( s\right) \mathrm{d}s
\]
对 \( a \in \mathrm{R} \) 也一致存在,其极限值即 \( m\left( f\right) \) . 此外,如果 \( f\left( t\right) \geq 0 \) 且不恒等于零,则 \( m\left( f\right) > 0 \) . 设 \( f\left( {t, x}\right) \) 是 \( \mathrm{R} \) \( \times D \) 上的连续函数, \( \mathrm{R} = \left( {-\infty , + \infty }\right), D \) 为 \( \mathrm{R} \) 中的紧集. 如果极限
\[
\mathop{\lim }\limits_{{T \rightarrow \infty }}\frac{1}{T}{\int }_{0}^{T}f\left( {s, x}\right) \mathrm{d}s
\]
对 \( x \in S \) 均匀地存在,则称此极限为 \( f\left( {t, x}\right) \) 的平均值,记为 \( {m}_{t}\left( {f\left( {t, x}\right) }\right) \) .
概周期函数的傅里叶级数 (Fourier series of almost periodic functions) 一类特殊的傅里叶级数. 对概周期函数 \( f\left( t\right) \) ,玻尔 (Bohr, H. ) 所引进的变换
\[
\mathop{\lim }\limits_{{T \rightarrow + \infty }}\frac{1}{T}{\int }_{0}^{T}f\left( s\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\lambda s}}\mathrm{\;d}s
\]
一定存在,记为 \( a\left( {f,\lambda }\right) \) . 显见 \( a\left( {f,0}\right) = m\left( f\right) \) . 玻尔指出: 使 \( a\left( {f,\lambda }\right) \neq 0 \) 的所有实数 \( \lambda \) 组成的集合 \( \Lambda \) 是可数的. 称 \( \Lambda \) 为 \( f\left( t\right) \) 的指数集,有时也记为 \( \exp \left( f\right) \) . 集 \( \Lambda \) 中的 \( \lambda \) 称为概周期函数 \( f\left( t\right) \) 的傅里叶指数, \( f\left( t\right) \) 的对应于 \( \lambda \in \Lambda \) 的 \( f\left( t\right) \) 的玻尔变换 \( a\left( {f,\lambda }\right) \) 称为 \( f\left( t\right) \) 的傅里叶系数. 因此,对概周期函数 \( f\left( t\right) \) ,形式上有
\[
f\left( t\right) \sim \mathop{\sum }\limits_{{-\infty }}^{\infty }a\left( {f,{\lambda }_{n}}\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\lambda }_{n}t}\;\left( {{\lambda }_{n} \in \exp \left( f\right) }\right) .
\]
类似于周期函数,概周期函数 \( f\left( t\right) \) 的傅里叶系数与 \( {\left| f\left( t\right) \right| }^{2} \) 的平均值之间满足帕塞瓦尔算式
\[
\mathop{\sum }\limits_{n}{\left| a\left( f,{\lambda }_{n}\right) \right| }^{2} = m\left( {\left| f\left( t\right) \right| }^{2}\right) .
\]
概周期函数的指数集 (index set of almost function) 见“概周期函数的傅里叶级数”.
概周期函数的傅里叶指数 (Fouries index of almost function) 见“概周期函数的傅里叶级数”.
概周期函数的傅里叶系数 (Fouries coefficient of almost periodic function) 见“概周期函数的傅里叶级数”.
概周期函数的逼近定理 (approximation theorem of almost periodic functions) 用三角多项式近似表示概周期函数的定理. 对任一概周期函数, 都存在一致收敛于该函数的三角多项式序列来近似表示. 此三角多项式称为博赫纳-费耶尔多项式, 即
\[
\sigma \left( {m,\alpha, t}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{\left| {v}_{i}\right| \leq {m}_{i}}}\left( {1 - \frac{\left| {v}_{1}\right| }{{m}_{1}}}\right) \cdots \left( {1 - \frac{\left| {v}_{n}\right| }{{m}_{n}}}\right)
\]
\[
\text{-}a\left( {f,\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{v}_{j}{\alpha }_{j}}\right) \exp \left( {\mathrm{i}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{v}_{j}{\alpha }_{j}t}\right) \text{,}
\]
其中 \( m = \left( {{m}_{1},{m}_{2},\cdots ,{m}_{n}}\right) ,\alpha = \left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) ,{m}_{i} \) 为正整数, \( {\alpha }_{i} \) 为实数, \( {v}_{i} \) 为整数, \( \sum {v}_{j}{\alpha }_{j} = 0 \) 仅当 \( {v}_{j} = 0(j \) \( = 1,2,\cdots, n), i = 1,2,\cdots, n \) . 当 \( f\left( t\right) \) 为概周期函数时, \( \sigma \left( {m,\alpha, t}\right) \) 也都是概周期函数. 逼近定理可叙述如下: 若 \( f\left( t\right) \) 为概周期函数,则对任给 \( \varepsilon > 0 \) ,存在三角多项式 \( \sigma \left( {m,\alpha, t}\right) \) ,使 \( \left| {f\left( t\right) - \sigma \left( {m,\alpha, t}\right) }\right| < \varepsilon \) .
博赫纳-费耶尔多项式 (Bochner-Fejer polynomial) 见 “概周期函数的逼近定理”.
概周期函数的模 (module of almost periodic
functions ) 概周期函数的一个重要概念. 包含着概周期函数 \( f \) 的指数集 \( \exp \left( f\right) \) 的实数的最小加法群称为 \( f \) 的模,记为 \( {\;\operatorname{mod}\;.} \) 若 \( f \) 与 \( g \) 均为概周期函数, 则它们的模之间的包含关系有如下等价性质:
1. \( {\;\operatorname{mod}\;\left( f\right) } \supset {\;\operatorname{mod}\;\left( g\right) } \) .
2. 对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,使得
\[
T\left( {f,\delta }\right) \subset T\left( {g,\varepsilon }\right) .
\]
3. \( {T}_{a}f \) 存在可得出 \( {T}_{a}g \) 存在.
4. \( {T}_{a}f = f \) 可得出 \( {T}_{a}g = g \) .
5. \( {T}_{\alpha }f = f \) 且存在 \( {\alpha }^{\prime } \subset \alpha \) 使 \( {T}_{{\alpha }^{\prime }}g = g \) .
上述性质 2-5 中极限的存在无论是点态收敛, \( \mathrm{R} \) 的任一紧集上一致收敛或在 \( \mathrm{R} \) 上一致收敛,这三种意义下任意一种都可以.
概周期函数的模包含 (module containment of almost periodic function) 见“概周期函数的模”.
概周期向量函数 (almost periodic vector functions) 一类特殊的向量函数. 如果向量值函数 \( f\left( t\right) \) \( = {\left( {f}_{1}\left( t\right) ,{f}_{2}\left( t\right) ,\cdots ,{f}_{n}\left( t\right) \right) }^{T} \) 的每一元素 \( {f}_{i}\left( t\right) (i = \) \( 1,2,\cdots, n) \) 都是概周期函数,则称 \( f\left( t\right) \) 为概周期向量函数. 或直接给出按玻尔 (Bohr, H. ) 或博赫纳 (Bochner, S. ) 意义下的定义. 例如,称向量函数 \( f\left( t\right) \) 为概周期的,如果 \( f\left( t\right) \) 的 \( \varepsilon \) 平移数集 \( T\left( {f,\varepsilon }\right) = \{ \tau \mid \) \( \parallel f\left( {t + \tau }\right) - f\left( t\right) \parallel < \varepsilon \) 对一切 \( t \in \mathrm{R}\} \) 是相对稠密的, 其中
\[
\parallel \cdot \parallel = \mathop{\sup }\limits_{{t \in \mathrm{R}}}\left| \cdot \right|
\]
为向量函数 \( f\left( t\right) \) 的均匀范数. 凡提及概周期函数时, 读者可以从它的值域中看出所指的是数量还是向量概周期函数.
一致概周期函数 (uniformly almost periodic functions) 一种含参变元的重要概周期函数类. 设 \( f\left( {t, x}\right) \in C\left( {\mathrm{R} \times D,{\mathrm{E}}^{n}}\right), D \) 为 \( {\mathrm{E}}^{n} \) 中开集, \( {\mathrm{E}}^{n} \) 表示 \( n \) 维实空间 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 或复空间 \( {\mathrm{C}}^{n} \) . 如果对任给序列 \( {\alpha }^{\prime } = \left\{ {\alpha }^{\prime }\right\} \) , 存在子序列 \( \alpha = \left\{ {\alpha }_{n}\right\} \subset {\alpha }^{\prime } \) ,使
\[
{T}_{a}f\left( {t, x}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}f\left( {t + {\alpha }_{n}, x}\right)
\]
在 \( \mathrm{R} \times S \) 上一致地成立,其中 \( S \) 为 \( D \) 中任一紧集,则称 \( f\left( {t, x}\right) \) 是 \( t \) 的概周期函数且关于 \( x \in D \) 是一致的,或简称 \( f\left( {t, x}\right) \) 对 \( x \in D \) 是一致概周期函数,简记为 “u. a. p. 对 \( x \in D \) ”. 这是玻尔型定义. 同样,有博赫纳型等价定义: 对任给 \( \varepsilon > 0 \) 和任一紧集 \( S \subset D \) ,若存在正数 \( l\left( {\varepsilon, S}\right) \) ,使在长度为 \( l\left( {\varepsilon, S}\right) \) 的任一区间内总有 \( \tau \) ,使
\[
\parallel f\left( {t + \tau, x}\right) - f\left( {t, x}\right) \parallel < \varepsilon
\]
对一切 \( \left( {t, x}\right) \in \mathrm{R} \times S \) ,则称 \( f\left( {t, x}\right) \) 是 u. a. p. 对 \( x \in D \) .
集合 \( T\left( {f,\varepsilon, S}\right) = \{ \tau \mid \parallel f\left( {t + \tau, x}\right) - f\left( {t, x}\right) \parallel \)
\( < \varepsilon \) 对一切 \( \left( {t, x}\right) \in \mathrm{R} \times S\} \) 称为 \( f\left( {t, x}\right) \) 的 \( \varepsilon \) 概周期集 (或 \( \varepsilon \) 平移数集), \( l\left( {\varepsilon, S}\right) \) 称为 \( T\left( {f,\varepsilon, S}\right) \) 的包含区间长. 若 \( f\left( {t, x}\right) \) 是 u. a. p. 对 \( x \in D \) ,则 \( f\left( {t, x}\right) \) 在 \( \mathrm{R} \times S \) 上有界且一致连续, \( S \) 为 \( D \) 中任一紧集. 如果另有概周期函数 \( \varphi \left( t\right) \) ,对 \( t \in \mathrm{R} \) 有 \( \varphi \left( t\right) \subset S \) ,那么,复合函数 \( f\left( {t,\varphi \left( t\right) }\right) \) 关于 \( t \) 是 u. a. p. 的. 这个性质当 \( f\left( {t, x}\right) \) 是 \( t \) 的 a. p. 函数而不是 u. a. p. 对 \( x \in D \) 时就不一定成立. 例如,函数 \( f\left( {t, x}\right) = \sin {xt} \) 对每一固定的 \( x \) ,它是 \( t \) 的概周期函数,取 \( \varphi \left( t\right) = \sin t \) ,那么, \( f\left( {t,\varphi \left( t\right) }\right) = \) \( \sin \left( {t\sin t}\right) \) 已不再是 \( t \) 的概周期函数.
对于一致概周期函数, 同样可给出平移函数集 \( T\left( {f\left( {t, x}\right) }\right) = \left\{ {{f}_{\mathrm{r}}\left( {t, x}\right) \mid {f}_{\mathrm{r}}\left( {t, x}\right) = f\left( {t + \tau, x}\right) }\right. \) 对一切 \( \tau \in \mathrm{R}\} \) ,外壳 \( H\left( {f\left( {t, x}\right) }\right) = \{ g\left( {t, x}\right) \mid \) 存在序列 \( \alpha \) 使 \( {T}_{a}f\left( {t, x}\right) = g\left( {t, x}\right) \) 在 \( \mathrm{R} \times S \) 上一致存在,其中 \( S \) 为 \( D \) 中任一紧集 \( \} \) ,平均值
\[
{m}_{t}\left( {f\left( {t, x}\right) }\right) = \mathop{\lim }\limits_{{T \rightarrow + \infty }}\frac{1}{T}{\int }_{0}^{T}f\left( {s, x}\right) \mathrm{d}s
\]
等一些概念, 也可给出对应的傅里叶级数和帕塞瓦尔等式等.
一致概周期微分方程 (uniformly almost periodic differential equation) 概周期常微分方程研究的主要对象. 设 \( f\left( {t, x}\right) \in C\left( {\mathrm{R} \times D,{\mathrm{R}}^{n}}\right), f \) 对 \( x \in \) \( D \) 是一致概周期函数. 那么
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = f\left( {t, x}\right)
\]
就是一致概周期微分方程, 它的壳方程是
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = g\left( {t, x}\right) ,\forall g\left( {t, x}\right) \in H\left( {f\left( {t, x}\right) }\right) .
\]
在讨论概周期解的存在性时不仅对方程本身而往往对其壳方程也要有所要求. 当 \( f\left( {t, x}\right) = A\left( t\right) x + \) \( f\left( t\right) \) 是 \( x \) 的线性函数而系数矩阵 \( A\left( t\right) \) 以及其非齐次项 \( f\left( t\right) \) 都是概周期函数时, \( A\left( t\right) \) 是概周期的,指其每一元素 \( {a}_{ij}\left( t\right) \) 均为概周期的 \( \left( {i, j = 1,2,\cdots, n}\right) \) . 这时称
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = A\left( t\right) x + f\left( t\right)
\]
为非齐次线性概周期微分方程, 它的壳方程是
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = B\left( t\right) x + g\left( t\right)
\]
\( \left( {\forall B\left( t\right) \in H\left( {A\left( t\right) }\right), g\left( t\right) \in H\left( {f\left( t\right) }\right) }\right) , \)
它的齐次壳方程是
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = B\left( t\right) x,\forall B\left( t\right) \in H\left( {A\left( t\right) }\right) .
\]
非 |
2000_数学辞海（第3卷） | 243 | }x}{\mathrm{\;d}t} = f\left( {t, x}\right)
\]
就是一致概周期微分方程, 它的壳方程是
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = g\left( {t, x}\right) ,\forall g\left( {t, x}\right) \in H\left( {f\left( {t, x}\right) }\right) .
\]
在讨论概周期解的存在性时不仅对方程本身而往往对其壳方程也要有所要求. 当 \( f\left( {t, x}\right) = A\left( t\right) x + \) \( f\left( t\right) \) 是 \( x \) 的线性函数而系数矩阵 \( A\left( t\right) \) 以及其非齐次项 \( f\left( t\right) \) 都是概周期函数时, \( A\left( t\right) \) 是概周期的,指其每一元素 \( {a}_{ij}\left( t\right) \) 均为概周期的 \( \left( {i, j = 1,2,\cdots, n}\right) \) . 这时称
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = A\left( t\right) x + f\left( t\right)
\]
为非齐次线性概周期微分方程, 它的壳方程是
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = B\left( t\right) x + g\left( t\right)
\]
\( \left( {\forall B\left( t\right) \in H\left( {A\left( t\right) }\right), g\left( t\right) \in H\left( {f\left( t\right) }\right) }\right) , \)
它的齐次壳方程是
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = B\left( t\right) x,\forall B\left( t\right) \in H\left( {A\left( t\right) }\right) .
\]
非齐次线性概周期微分方程 (non-homogeneous linear almost periodic differential equation) 见“一致概周期微分方程”.
壳方程 (equations in the hull) 见 “一致概周期微分方程”.
齐次壳方程 (homogeneous hull equations) 见“一致概周期微分方程”.
标准假设 (standard hypothesis) 概周期常微分方程的一个概念. 讨论概周期解的存在性标准假设有时起重要作用. 称微分方程
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = f\left( {t, x}\right)
\]
满足标准假设,如果 \( f\left( {t, x}\right) \) 为 u. a. p. 的, \( x \in K, K \) 为 \( {\mathrm{E}}^{n} \) 中固定的一紧集,又其壳方程中每一方程在 \( K \) 中都满足始值问题解的惟一性,即对每一 \( g\left( {t, x}\right) \in \) \( H\left( {f\left( {t, x}\right) }\right) \) ,始值问题
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = g\left( {t, x}\right), x\left( {t}_{0}\right) = {x}_{0}
\]
的解 \( {x}_{g}\left( {t;{t}_{0},{x}_{0}}\right) \) 是惟一的.
渐近概周期函数 (asymptotically almost periodic function) 一类概周期函数的近亲函数. 如果函数 \( \varphi \left( t\right) \) 有分解式 \( \varphi \left( t\right) = p\left( t\right) + q\left( t\right) \) ,其中 \( p\left( t\right) \) 是 \( \mathrm{R} \) 上的概周期函数, \( q\left( t\right) \) 是定义在 \( {\mathrm{R}}_{ + } \) (或 \( {\mathrm{R}}_{ - } \) )上的连续函数,当 \( t \rightarrow + \infty \) (或 \( t \rightarrow - \infty \) ) 时有 \( q\left( t\right) \rightarrow 0 \) ,则称 \( \varphi \left( t\right) \) 是 \( {\mathrm{R}}_{ + } \) (或 \( {\mathrm{R}}_{ - } \) )上的渐近概周期函数. \( {\mathrm{R}}_{ + } \) (或 \( {\mathrm{R}}_{ - } \) ) 上的渐近概周期函数 (简记为 a. a. p. ) 在 \( {\mathrm{R}}_{ + } \) (或 \( {\mathrm{R}}_{ - } \) ) 上必有界且一致连续, 且其分解式是惟一的. 如果 a. a. p. \( \varphi \left( t\right) \) 可微,且 \( {\varphi }^{\prime }\left( t\right) \) 也是 a. a. p.,则 \( {\varphi }^{\prime }\left( t\right) \) 有分解式 \( {p}^{\prime }\left( t\right) + {q}^{\prime }\left( t\right) \) 也是惟一的.
渐近概周期函数对论证概周期解的存在性有重要作用. 如果证明了一致概周期微分方程 \( \mathrm{d}x/\mathrm{d}t = \) \( f\left( {t, x}\right) \) 有 a. a. p. 解,那么,其概周期部分必然是该方程的解. 这时,对每一 \( g\left( {t, x}\right) \in H\left( {f\left( {t, x}\right) }\right) \) ,微分方程 \( \mathrm{d}x/\mathrm{d}t = g\left( {t, x}\right) \) 都存在 a. a. p. 解.
玻尔-诺伊格鲍尔理论 (theory of Bohr-Neuge-bauer) 阐明常系数线性微分方程有界解为概周期解的重要理论. 玻尔 (Bohr, H. ) 最早指出: 概周期函数 \( f\left( t\right) \) 的积分
\[
F\left( t\right) = {\int }_{0}^{t}f\left( \tau \right) \mathrm{d}\tau
\]
是概周期函数的充分必要条件是, \( F\left( t\right) \) 对一切 \( t \in \mathrm{R} \) 为有界. 这就解决了最简单的一阶概周期微分方程 \( \mathrm{d}x/\mathrm{d}t = f\left( t\right) \) 是否存在概周期解的问题. 以此为基础,对于一阶线性常系数概周期方程以及一般 \( n \) 维非齐次线性常系数概周期微分方程
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = {Ax} + f\left( t\right)
\]
其中 \( A \) 为 \( n \times n \) 常量矩阵, \( f\left( t\right) \) 为概周期 \( n \) 维向量函数, 论证它们的有界解即概周期解的理论, 称为玻尔-诺伊格鲍尔理论.
阿梅留定理 (Amerio theorem) 判定概周期解存在的重要定理. 设 \( f\left( {t, x}\right) \) 对每一 \( x \in S \) 关于 \( t \) 是概周期的,其中 \( S \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中紧集,又 \( f\left( {t, x}\right) \) 在 \( \mathrm{R} \times S \) 上一致连续, 如果微分方程
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = f\left( {t, x}\right)
\]
的每一壳方程在 \( S \) 中只有惟一解,对一切 \( t \in \mathrm{R} \) ,那么, 所有这样的解都是概周期的. 上述定理是阿梅留 (Amerio) 首先证明的, 它可理解为玻尔-诺伊格鲍尔理论推广到非线性概周期微分方程的结果, 即在所指出的“惟一解”的条件下, 有界解即概周期解.
法瓦尔条件 (Favard condition) 非齐次线性概周期微分方程存在概周期的一个重要条件. 如果对每一 \( B\left( t\right) \in H\left( {A\left( t\right) }\right) \) ,齐次壳方程
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = B\left( t\right) x
\]
的非零有界解 \( \varphi \left( t\right) \) 都满足
\[
\mathop{\inf }\limits_{{t \in \mathbf{R}}}\parallel \varphi \left( t\right) \parallel > 0,
\]
则称非齐次线性概周期微分方程
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = A\left( t\right) x + f\left( t\right)
\]
满足法瓦尔条件. 若非齐次线性概周期方程满足法瓦尔条件,且存在有界解,则必有概周期解 \( x\left( t\right) \) ,且
\[
{\;\operatorname{mod}\;\left( {x\left( t\right) }\right) } \subset {\;\operatorname{mod}\;\left( {A\left( t\right), f\left( t\right) }\right) }.
\]
这就是有名的法瓦尔第二定理. 法瓦尔第一定理讨论了另一情况: 如果每一齐次壳方程都不存在非零有界解,则对每一 \( B\left( t\right) \in H\left( {A\left( t\right) }\right) \) 及每一 \( g\left( t\right) \in \) \( H\left( {f\left( t\right) }\right) \) ,壳方程
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = B\left( t\right) x + g\left( t\right)
\]
的有界解都是概周期的.
法瓦尔定理 (Favard theorems) 见“法瓦尔条件”.
博赫纳定理 (Bochner theorem) 判断非齐次线性概周期微分方程存在概周期解的一个命题. 如果对每一 \( B\left( t\right) \in H\left( {A\left( t\right) }\right) \) ,齐次壳方程
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = B\left( t\right) x
\]
的所有有界解都是概周期的, 那么, 非齐次线性概周期微分方程
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = A\left( t\right) x + f\left( t\right)
\]
的所有有界解也都是概周期的.
指数型二分性 (exponential dichotomy and spectrum) 关于线性微分方程的一种重要性质. 设齐次线性微分方程系
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = A\left( t\right) x
\]
(1)
在 \( \mathrm{R} \) 上连续,其中 \( A\left( t\right) \) 是 \( n \) 阶方阵,如果存在投影 \( P \) 及正的常数 \( k \geq 1,\alpha > 0 \) 使
\( \begin{Vmatrix}{X\left( t\right) P{X}^{-1}\left( s\right) }\end{Vmatrix} \leq k\exp \left( {-\alpha \left( {t - s}\right) }\right) \left( {t \geq s}\right) , \)
\[
\begin{Vmatrix}{X\left( t\right) \left( {I - P}\right) {X}^{-1}\left( s\right) }\end{Vmatrix} \leq k\exp \left( {\alpha \left( {t - s}\right) }\right) \left( {s \geq t}\right) ,
\]
其中 \( X\left( t\right) \) 是 (1) 的基本解方阵,则称 (1) 在 \( \mathrm{R} \) 上具有指数型二分性. 全轴上线性系统的指数型二分性在稳定性理论中是一种有力的工具. 在概周期微分方程系的研究中也是非常有用的工具. 如果 \( A\left( t\right) \) 是概周期方阵, \( f\left( t\right) \) 是概周期向量,且 (1) 具有指数型二分性, 那么, 非齐次线性概周期方程系
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = A\left( t\right) x + f\left( t\right)
\]
存在惟一概周期解, 它可表达为
\[
x\left( t\right) = {\int }_{-\infty }^{t}X\left( t\right) P{X}^{-1}\left( \tau \right) f\left( \tau \right) \mathrm{d}\tau
\]
\[
- {\int }_{t}^{-\infty }X\left( t\right) \left( {I - P}\right) {X}^{-1}\left( \tau \right) \mathrm{d}\tau ,
\]
且 \( {\;\operatorname{mod}\;\left( {x\left( t\right) }\right) } \subset {\;\operatorname{mod}\;\left( {A\left( t\right), f\left( t\right) }\right) } \) ,同时
\[
\parallel x\left( t\right) \parallel \leq \frac{2k}{\alpha }\parallel f\left( t\right) \parallel .
\]
谱点 (spectrum) 线性系统中的一个重要概念. 设齐次线性微分方程为
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = A\left( t\right) x
\]
(1)
在 \( \mathrm{R} \) 上连续,其中 \( A\left( t\right) \) 是 \( n \) 阶方阵,对实数 \( \lambda \) ,若线性系统
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = \left( {A\left( t\right) - {\lambda I}}\right) x
\]
不具有指数型二分性,则称 \( \lambda \) 为齐次微分方程 (1) 的谱点. 从谱点的定义很容易得到下面的事实:
1. 方程 (1) 具有指数型二分性的充分必要条件是实轴上原点不是 (1) 的谱点.
2. 方程 (1) 的谱点集合是闭的,如果 \( A\left( t\right) \) 有界, 则 (1) 的谱点集合 \( \sum \) 是非空的 \( k \) 个闭区间, \( k \leq n \) .
3. 如果 \( \sum \) 是孤立点集,就称方程 (1) 具有点谱.
4. 当 \( A\left( t\right) \) 是常数方阵,周期方阵,则 (1) 具有点谱.
指数型二分性与谱点有密切的关系.
拟周期函数 (quasi-periodic function) 一种特殊的概周期函数,是周期函数的推广. 如果有 \( m \) 元函数 \( F\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{m}}\right) \) ,使 \( F\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{m}}\right) \) 对于每个 \( {x}_{j} \) 都是以 \( {2\pi } \) 为周期,那么,称 \( f\left( t\right) = F\left( {{\omega }_{1}t,{\omega }_{2}t,\cdots }\right. \) , \( \left. {{\omega }_{m}t}\right) \) 为拟周期函数,其中 \( {\omega }_{1},{\omega }_{2},\cdots ,{\omega }_{m} \) 是常数. 若 \( F\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{m}}\right) \) 对 \( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{m} \) 属于 \( {C}^{r} \) ,则称 \( f\left( t\right) \) 属于 \( {C}^{r} \) . 如果 \( A\left( t\right) \) 是 \( n \) 阶拟周期方阵,就称
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = A\left( t\right) x
\]
(1)
为拟周期线性系统, 并存在下述结论:
1. 对 (1) 常存在拟周期线性变换 \( y = Q\left( t\right) x \) ,把 (1) 变换为拟周期上三角型线性系统
\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t} = C\left( t\right) y
\]
其中 \( C\left( t\right) \) 是上三角型拟周期方阵. 设 \( C\left( t\right) \) 的对角线元素为 \( {C}_{1}\left( t\right) ,{C}_{2}\left( t\right) ,\cdots ,{C}_{n}\left( t\right) \) ,称
\[
{B}_{j} = \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow + \infty }}\frac{1}{t}{\int }_{0}^{t}{C}_{j}\left( s\right) \mathrm{d}s\;\left( {j = 1,2,\cdots, n}\right)
\]
为 (1) 的特征指数根.
2. 如果:
1) \( A\left( t\right) \in {C}^{r},\tau = \left( {N + 1}\right) {\tau }_{0},{\tau }_{0} = 2\left( {m + 1}\right), N = \)
\[
\frac{1}{2}n\left( {n + 1}\right) \text{.}
\]
2) \( {\omega }_{1},{\omega }_{2},\cdots ,{\omega }_{m} \) 和 \( {\beta }_{1},{\beta }_{2},\cdots ,{\beta }_{n} \) 满足下列关系式:
\[
\text{①}\left| {\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{m}{k}_{j}{\omega }_{j}}\right| \geq k\left( \omega \right) {\left( \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{m}\left| {k}_{j}\right| \right) }^{-\left( {m + 1}\right) }
\]
\[
\text{②}\left| {\mathrm{i}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{m}{k}_{j}{\omega }_{j} + \mathop{\sum }\limits_{{l = 1}}^{m}{j}_{l}{\beta }_{l},}\right| \geq k\left( {\omega ,\beta }\right)
\]
\[
{\left( 1 + \parallel k{\parallel }^{m + 1}\right) }^{-1}
\]
其中 \( k = \left( {{k}_{1},{k}_{2},\cdots ,{k}_{m}}\right), j = \left( {{j}_{1},{j}_{2},\cdots ,{j}_{n}}\right) \) 是整向量, \( k \neq 0,{\mathrm{i}}^{2} = - 1,\left| {\sum {j}_{n}}\right| \leq 1,\sum \left| {j}_{n}\right| \leq 2, k\left( \omega \right), k\left( {\omega ,\beta }\right) \) 是正的常数, 那么, (1) 存在拟周期线性变换, 把 (1) 化为常系数线性系统.
上述结果也称为拟周期线性系统的弗洛奎特理论.
## 拟周期线性系统 (quasi-periodic linear system) 见“拟周期函数”.
概自守函数 (almost-automorphic function) 较概周期函数更弱的一类函数. 如果对于 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的任意紧子集 \( D, f\left( {t, x}\right) \) 在 \( \mathrm{R} \times D \) 上有界,一致连续,而且对于任何数列 \( \left\{ {t}_{k}\right\} \) ,都存在子集 \( \left\{ {t}_{{k}_{m}}\right\} ,\left\{ {t}_{{k}_{p}}\right\} \) ,使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{p \rightarrow \infty }}\mathop{\lim }\limits_{{m \rightarrow \infty }}f\left( {t - |
2000_数学辞海（第3卷） | 244 | limits_{{j = 1}}^{m}{k}_{j}{\omega }_{j} + \mathop{\sum }\limits_{{l = 1}}^{m}{j}_{l}{\beta }_{l},}\right| \geq k\left( {\omega ,\beta }\right)
\]
\[
{\left( 1 + \parallel k{\parallel }^{m + 1}\right) }^{-1}
\]
其中 \( k = \left( {{k}_{1},{k}_{2},\cdots ,{k}_{m}}\right), j = \left( {{j}_{1},{j}_{2},\cdots ,{j}_{n}}\right) \) 是整向量, \( k \neq 0,{\mathrm{i}}^{2} = - 1,\left| {\sum {j}_{n}}\right| \leq 1,\sum \left| {j}_{n}\right| \leq 2, k\left( \omega \right), k\left( {\omega ,\beta }\right) \) 是正的常数, 那么, (1) 存在拟周期线性变换, 把 (1) 化为常系数线性系统.
上述结果也称为拟周期线性系统的弗洛奎特理论.
## 拟周期线性系统 (quasi-periodic linear system) 见“拟周期函数”.
概自守函数 (almost-automorphic function) 较概周期函数更弱的一类函数. 如果对于 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的任意紧子集 \( D, f\left( {t, x}\right) \) 在 \( \mathrm{R} \times D \) 上有界,一致连续,而且对于任何数列 \( \left\{ {t}_{k}\right\} \) ,都存在子集 \( \left\{ {t}_{{k}_{m}}\right\} ,\left\{ {t}_{{k}_{p}}\right\} \) ,使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{p \rightarrow \infty }}\mathop{\lim }\limits_{{m \rightarrow \infty }}f\left( {t - {t}_{{k}_{m}} - {t}_{{k}_{p}}, x}\right) = f\left( {t, x}\right)
\]
在 \( \mathrm{R} \times D \) 中任何紧集上一致地成立,那么,称 \( f(t \) , \( x) \) 是 \( t \) 的概自守函数,且关于 \( x \in D \) 是一致的. 类似地还可给出函数 \( f\left( t\right) \) 及 \( n \) 阶矩阵为概自守函数的定义. 当 \( f\left( {t, x}\right) \) 是一致概自守函数时,
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = f\left( {t, x}\right)
\]
称为一致概自守微分方程. 又对于概自守线性微分方程
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = A\left( t\right) x
\]
(1)
具有下面的性质: 如果 (1) 的任一非零有界解 \( x\left( t\right) \) 具有
\[\mathop{\inf }\limits_{{t \in \mathrm{R}}}\parallel x\left( t\right) \parallel > 0,\]
则概自守线性微分方程
\[\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = A\left( t\right) x + {tf}\left( t\right) \]
（2）
具有有界解的充分必要条件是 (2) 具有概自守解. 概自守系统的这个性质与法瓦尔定理有些类似, 但条件比法瓦尔定理更弱.
概自守微分方程 (almost-automorphic differential equation) 见“概自守函数”.
关于解的极限集上一致稳定性 (uniform stability with respect to limit set of solutions) 一致概周期微分方程存在概周期解的一类稳定性. 如果
\[
x = \varphi \left( t\right)
\]
是微分方程
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = f\left( {t, x}\right)
\]
(1)
的有界解,而且对任给 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,只要 \( {x}_{0} \in {\Omega }_{\varphi } \) \( \bigcap N\left( {{\varphi }_{0},\varepsilon }\right) \) ,其中 \( N\left( {\varphi \left( {t}_{0}\right) ,\delta }\right) = \left\{ {{x}_{0} \mid \begin{Vmatrix}{{x}_{0} - \varphi \left( {t}_{0}\right) }\end{Vmatrix}}\right. \) \( < \delta \} ,{\Omega }_{\varphi } \) 是 \( \varphi \left( t\right) \) 的正极限集,就有
\[
\begin{Vmatrix}{\varphi \left( t\right) - x\left( {t,{t}_{0},{x}_{0}}\right) }\end{Vmatrix} < \varepsilon \left( {t \geq {t}_{0}}\right) ,
\]
那么,称 \( \varphi \left( t\right) \) 是 (1) 关于极限集的一致稳定解. 对于定常系统
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = f\left( x\right)
\]
有界解关于极限集上一致稳定的充分必要条件是存在概周期解. 对于概周期系统
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = f\left( {t, x}\right) ,
\]
如果存在有界解关于极限集上一致稳定, 那么它具有概周期解.
拓扑等价 (topological equivalence) 刻画微分方程的解之间的关系的重要概念. 如果对微分方程系
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = f\left( {t, x}\right) ,
\]
(1)
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = g\left( {t, x}\right) ,
\]
(2)
存在向量函数 \( H\left( {t, x}\right) \) 满足下列条件,则称 \( \left( 1\right) ,\left( 2\right) \) 为拓扑等价:
1. 当 \( \parallel x\parallel \rightarrow + \infty \) 时, \( \parallel H\left( {t, x}\right) \parallel \rightarrow + \infty \) 一致地成立, 且
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}H\left( {t, x}\right) = H\left( {{t}_{0},{x}_{0}}\right)
\]
一致地成立.
2. 对于 \( t \in \mathrm{R},{H}_{t} : {\mathrm{R}}^{n} \rightarrow {\mathrm{R}}^{n} \) ,定义为 \( {H}_{t}\left( x\right) = \) \( H\left( {t, x}\right) \) 是同胚映射.
3. \( G : {\mathrm{R}}^{n} \rightarrow {\mathrm{R}}^{n} \) 定义为 \( G\left( {x, t}\right) = {\left( {H}_{t}\right) }^{-1}\left( x\right) \) 也具性质 1 .
4. 若 \( x\left( t\right) \) 是 (1) 的解,则 \( H\left( {{t}_{1}, x\left( t\right) }\right) \) 是 (2) 的解; 若 \( y\left( t\right) \) 是 (2) 的解,则 \( G\left( {t, y\left( t\right) }\right) \) 是 (1) 的解.
设 \( A\left( t\right) \) 和 \( B\left( t\right) \) 在 \( \mathrm{R} \) 上连续,如果有常数 \( \delta > 0 \) , 只要 \( \parallel A\left( t\right) - B\left( t\right) \parallel < \delta \) ,使线性系统
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = A\left( t\right) x
\]
(3)
与线性系统
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = B\left( t\right) x
\]
拓扑等价, 那么, 称 (3) 具有结构稳定性. 有界线性系统具有结构稳定性的充分必要条件是它自己具有指数型二分性.
结构稳定性(structural stability) 见“拓扑等价”.
局部线性化 (local linearization) 讨论微分方程线性化的一个概念. 对于微分方程系
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = f\left( {t, x}\right) ,
\]
(1)
其中 \( f\left( {t,0}\right) = 0 \) ,且 (1) 与零解的变分方程系
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = {Df}\left( {t,0}\right) x
\]
(2)
在原点的某邻域内拓扑等价, 那么, 称 (1) 为可局部线性化. 如果 (2) 具有指数型二分性, 那么 (1) 可局部线性化. 如果 (1) 是概周期系统, 那么, 它的拓扑等价函数也是概周期的. 因此, 如果 (1) 是概周期系统, （2）具有指数型二分性, 那么, (1) 在原点某邻域内不存在非零的概周期解.
行优势 (row dominant) 保证齐次线性系统具有指数型二分性的条件. 如果矩阵 \( A\left( t\right) \) 的元素 \( {a}_{ij}\left( t\right) \left( {i, j = 1,2,\cdots, n}\right) \) 对某 \( \delta > 0 \) 及一切 \( t \in \mathrm{R} \) 满足
\[
\left| {\operatorname{Re}{a}_{ii}\left( t\right) }\right| \geq \mathop{\sum }\limits_{{j \neq i}}\left| {{a}_{ij}\left( t\right) }\right| + \delta \left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) ,
\]
则称 \( A\left( t\right) \) 有行优势. 如果满足
\[
\left| {\operatorname{Re}{a}_{ii}\left( t\right) }\right| \geq \mathop{\sum }\limits_{{j \neq i}}\left| {{a}_{ji}\left( t\right) }\right| + \delta \left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) ,
\]
则称 \( A\left( t\right) \) 有列优势. 利用 \( A\left( t\right) \) 有行 (或列) 优势可给出齐次线性微分方程具有指数二分性的准则, 从而可借助有行 (或列) 优势讨论非齐次线性概周期微分方程概周期解的存在性.
列优势 (column dominant) 见 “行优势”.
最小范数解 (minimum norm solutions) 讨论概周期解存在性的一个重要概念. 对常系数非齐次线性微分方程
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = {Ax} + f\left( t\right) ,
\]
不难看出,如果 \( n \) 维连续向量 \( f\left( t\right) \neq 0 \) ,则方程的有界解的集合在 \( n \) 维空间是一个不含坐标原点的凸集, 这个凸集中必有元素具有最小范数. 该元素所对应的微分方程的解称为具有最小范数解. 这个事实对一般非线性微分方程 \( \mathrm{d}x/\mathrm{d}t = f\left( {t, x}\right) \) 而言并不是明显的. 设 \( {x}_{0}\left( t\right) \) 是此非线性方程的一个非零有界解, \( K \) 为包含着 \( {x}_{0}\left( t\right) \) 的值域的 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的紧集. 记
\[
\lambda = \inf \{ \parallel x\left( t\right) \parallel \mid x\left( t\right)
\]
为 \( \mathrm{d}x/\mathrm{d}t = f\left( {t, x}\right) \) 的解,且对一切 \( t \in \mathrm{R} \) 有 \( x\left( t\right) \) \( \subset K\} \) ,这里
\[\parallel x\left( t\right) \parallel = \mathop{\sup }\limits_{{t \in \mathrm{R}}}\left| {x\left( t\right) }\right| ,\]
那么,只要 \( f\left( {t, x}\right) \) 在 \( \mathrm{R} \times S \) 上定义且有界,其中 \( S \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中包含着 \( K \) 也包含原点的球,则 \( \mathrm{d}x/\mathrm{d}t = f\left( {t, x}\right) \) 必有具有最小范数的解 \( y\left( t\right) \) ,而 \( \parallel y\left( t\right) \parallel = \lambda \) 为最小范数. 通常利用最小范数解的惟一性以及概周期函数的点态定义 (参见 “概周期函数”) 往往可证明某有界解的概周期性.
最小范数 (minimum norm) 见 “最小范数解”.
壳扰动下的稳定性 (slability under disturbances from the hull) 一致概周期微分方程存在概周期解的一类稳定性条件. 设 \( K \) 为 \( {\mathrm{E}}^{n} \) 中紧集, \( f\left( {t, x}\right) \) 是 u. a. p. 的, \( \forall x \in K \) ,一致概周期微分方程
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = f\left( {t, x}\right)
\]
的解 \( {\varphi }_{f}\left( {t;0,\bar{x}}\right) \) 称为在壳 \( H\left( f\right) \) 扰动下为稳定的,如果对每一 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta \left( \varepsilon \right) > 0 \) ,使得只要 \( \parallel f\left( {t + \tau, x}\right) - g\left( {t, x}\right) \parallel < \delta \) 对 \( \tau > 0, g \in H\left( f\right), x \in \) \( K \) ,以及 \( \begin{Vmatrix}{{\varphi }_{f}\left( {\tau ,0,\bar{x}}\right) - {x}_{0}}\end{Vmatrix} < \delta \) 时,就有
\[
\begin{Vmatrix}{{\varphi }_{f}\left( {t + \tau ;0,\bar{x}}\right) - {\varphi }_{g}\left( {t;0,{x}_{0}}\right) }\end{Vmatrix} < \varepsilon \left( {t \geq 0}\right) .
\]
一致概周期微分方程的有界解在壳扰动下为稳定的假设下, 此有界解必是渐近概周期解, 从而得出其概周期部分正是方程的概周期解. 在定性稳定性理论中,有方程 \( \mathrm{d}x/\mathrm{d}t = f\left( {t, x}\right) \) 的解 \( {\varphi }_{f}\left( {t;{t}_{0},\bar{x}}\right) \) 在 \( \left\lbrack {{t}_{0}, + \infty }\right) \) 上称为完全稳定 (即在经常扰动下稳定的) 概念,即对每一 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta \left( \varepsilon \right) > 0 \) ,使得只要 \( \begin{Vmatrix}{\bar{x} - {x}_{0}}\end{Vmatrix} < \delta \left( \varepsilon \right) ,\parallel R\left( {t, x}\right) \parallel < \delta \left( \varepsilon \right) ,\left( {t, x}\right) \in \left\lbrack {{t}_{0},}\right. \) \( + \infty ) \times K \) ,则 \( \begin{Vmatrix}{\varphi \left( {t;{t}_{0},\bar{x}}\right) - {\varphi }_{f + R}\left( {t;{t}_{0},{x}_{0}}\right) }\end{Vmatrix} < \varepsilon ,\forall t \) \( \geq {t}_{0} \) ,其中 \( {\varphi }_{f + R}\left( {t;{t}_{0},{x}_{0}}\right) \) 是
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = f\left( {t, x}\right) + R\left( {t, x}\right)
\]
的以 \( \left( {{t}_{0},{x}_{0}}\right) \) 为始值的解. \( f\left( {t, x}\right), R\left( {t, x}\right) \in C\left( {{\mathrm{R}}^{ + } \times }\right. \) \( \left. {K,{\mathrm{E}}^{n}}\right) \) . 比较上述两定义可知,解 \( {\varphi }_{f}\left( {t;0,\bar{x}}\right) \) 在壳 \( H\left( f\right) \) 扰动下为稳定也就是微分方程
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = f\left( {t + \tau, x}\right)
\]
的解 \( {\varphi }_{f}\left( {t + \tau ;\tau ,\bar{x}}\right) \) 在 \( t \in \lbrack 0, + \infty ) \) 上是完全稳定的. 这是因为对 \( g \in H\left( f\right) \) ,壳方程
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = g\left( {t, x}\right)
\]
可写成
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = f\left( {t + \tau, x}\right) + \left\lbrack {g\left( {t, x}\right) - f\left( {t + \tau, x}\right) }\right\rbrack ,
\]
可视 \( g\left( {t, x}\right) - f\left( {t + \tau, x}\right) \equiv R\left( {t + \tau, x}\right) \in H\left( f\right) \) , \( R\left( {t + \tau, x}\right) \) 是个经常扰动.
强稳定性(strong stability) 一种较强的稳定性质. 称解 \( x\left( t\right) \) 是强稳定的,如果对任给 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta \left( \varepsilon \right) > 0 \) ,使得只要 \( \begin{Vmatrix}{x\left( {t}_{1}\right) - x\left( {t}_{2}\right) }\end{Vmatrix} < \delta \) ,便有 \( \begin{Vmatrix}{x\left( {t + {t}_{1}}\right) - x\left( {t + {t}_{2}}\right) }\end{Vmatrix} < \varepsilon ,\forall t \in \mathrm{R} \) . 如果能证明有有界解是强稳定的, 那么它就是概周期解. 反之, 在微分方程满足标准假设时, 方程的任何概周期解都是强稳定的.
可继承性 (inherited property) 关于一致概周期微分方程解的一种重要性质. 如果一致概周期微分方程
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = f\left( {t, x}\right)
\]
的解 \( \varphi \left( t\right) \) 相对于方程其他解具有性质 \( P \) ,若 \( {T}_{a}f = \) \( g,{T}_{a}\varphi = |
2000_数学辞海（第3卷） | 245 | \]
可写成
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = f\left( {t + \tau, x}\right) + \left\lbrack {g\left( {t, x}\right) - f\left( {t + \tau, x}\right) }\right\rbrack ,
\]
可视 \( g\left( {t, x}\right) - f\left( {t + \tau, x}\right) \equiv R\left( {t + \tau, x}\right) \in H\left( f\right) \) , \( R\left( {t + \tau, x}\right) \) 是个经常扰动.
强稳定性(strong stability) 一种较强的稳定性质. 称解 \( x\left( t\right) \) 是强稳定的,如果对任给 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta \left( \varepsilon \right) > 0 \) ,使得只要 \( \begin{Vmatrix}{x\left( {t}_{1}\right) - x\left( {t}_{2}\right) }\end{Vmatrix} < \delta \) ,便有 \( \begin{Vmatrix}{x\left( {t + {t}_{1}}\right) - x\left( {t + {t}_{2}}\right) }\end{Vmatrix} < \varepsilon ,\forall t \in \mathrm{R} \) . 如果能证明有有界解是强稳定的, 那么它就是概周期解. 反之, 在微分方程满足标准假设时, 方程的任何概周期解都是强稳定的.
可继承性 (inherited property) 关于一致概周期微分方程解的一种重要性质. 如果一致概周期微分方程
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = f\left( {t, x}\right)
\]
的解 \( \varphi \left( t\right) \) 相对于方程其他解具有性质 \( P \) ,若 \( {T}_{a}f = \) \( g,{T}_{a}\varphi = \psi \) ,而 \( \psi \left( t\right) \) 相对于
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = g\left( {t, x}\right)
\]
的解也具有性质 \( P \) ,则称性质 \( P \) 是可继承的. 也就是说,若解 \( \varphi \left( t\right) \) 具有可继承的性质 \( P \) ,那么,性质 \( P \) 在算子 \( {T}_{a} \) 的作用下是自封的. 通常往往利用有界解的某些稳定性质来建立有界解的概周期性, 诸如一致稳定、一致渐近稳定、完全稳定或壳扰动下的稳定等, 这些稳定性质在方程满足标准假设时都是可继承的.
半分离解 (semi-separated solutions) 概周期微分方程的一个概念. 概周期微分方程的解 \( \varphi \left( t\right) \subset \) \( K \) 称为在 \( K \) 中是半分离的,如果对 \( t \in {\mathrm{R}}_{ + } \) ,整个都包含在 \( K \) 中的任何解 \( \widetilde{\varphi }\left( t\right) \) ,都存在常数 \( \lambda \left( \varphi \right) > 0 \) ,使得 \( \parallel \varphi \left( t\right) - \widetilde{\varphi }\left( t\right) \parallel \geq \lambda \left( \varphi \right) \left( {t \in \mathrm{R}}\right) \) . 这个概念是芬克 (Fink, A. M. ) 于 1972 年引进的.
设 \( f\left( {t, x}\right) \) 是 u. a. p. 的,对 \( x \in K \) ,微分方程
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = f\left( {t, x}\right)
\]
在 \( K \) 中的解 \( \varphi \left( t\right) \) 所具有的性质 \( P \) 称为半分离的,如果对方程在 \( K \) 中具有性质 \( P \) 的任一其他的解 \( \psi \left( t\right) \) , 都存在常数 \( \lambda \left( {\varphi ,\psi }\right) > 0 \) ,使得 \( \parallel \varphi \left( t\right) - \psi \left( t\right) \parallel \geq \) \( \lambda \left( {\varphi ,\psi }\right) \left( {t \in \left\lbrack {-\infty ,0}\right\rbrack }\right) .\lambda \left( {\varphi ,\psi }\right) \) 称为可分离常数.
如果半分离性质 \( P \) 是可继承的,且方程 \( \mathrm{d}x/\mathrm{d}t \) \( = f\left( {t, x}\right) \) 在 \( K \) 中仅有有限个具有性质 \( P \) 的解,那么对每一 \( g \in H\left( f\right) \) ,方程 \( \mathrm{d}x/\mathrm{d}t = g\left( {t, x}\right) \) 在 \( K \) 中有相同个数具有性质 \( P \) 的解,且可选取可分离常数,与解和方程无关. 半分离性质的可继承性对保证概周期解的存在性起着重要作用. 如果一致概周期微分方程仅有有限个在 \( K \) 内具有性质 \( P \) 的解,又性质 \( P \) 是半分离和可继承的,那么,每个这样的解在 \( {\mathrm{R}}_{ - } \) 上是渐近概周期的,从而在 \( K \) 内有概周期解.
李亚普诺夫函数法 (method of Liapunov functions) 研究概周期解存在性的一种方法. 用李亚普诺夫函数法讨论概周期解的存在性问题通常有两个途径,或保证紧集 \( K \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 中有界解的惟一性或确定有界解的某种稳定性质, 从而分别藉阿梅留定理或半分离性质来建立概周期解的存在性. 例如, 考虑方程
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = f\left( {t, x}\right) ,
\]
其中 \( f\left( {t, x}\right) \in C\left( {\mathrm{R} \times D,{\mathrm{R}}^{n}}\right) \) ,开集 \( D \subset {\mathrm{R}}^{n} \) (或 \( D = \) \( \left. {\mathrm{R}}^{n}\right), f \) 为 u. a. p. 的 \( \forall x \in D \) ,如果方程有解 \( \varphi \left( t\right) \subset S \) 对 \( t \geq 0 \) ,这里 \( S \) 为 \( D \) 中的紧集. 那么,利用李亚普诺夫函数法有如下结果:
1. 设在 \( {\mathrm{R}}_{ + } \times S \) 上存在 \( V\left( {t, x}\right) \) ,在 \( {\mathrm{R}}_{ + } \) 上 \( V(t \) , \( \varphi \left( t\right) \) ) 有界,又存在依赖于 \( S \) 的常数 \( L \) ,对 \( t \in {\mathrm{R}}_{ + } \) , \( x, y \in S \) 有
\[
\left| {V\left( {t, x}\right) - V\left( {t, y}\right) }\right| \leq L\parallel x - y\parallel ,
\]
\[
\dot{V}\left( {t, x}\right) \geq a\left( {\parallel x - \varphi \left( t\right) \parallel }\right) ,
\]
\( a\left( r\right) \) 连续正定,则方程存在惟一概周期解 \( p\left( t\right) \), mod \( \left( {p\left( t\right) }\right) \subset {\;\operatorname{mod}\;\left( f\right) } \) .
2. 若取 \( D = \left\{ {x\left| {\;\parallel x\parallel < {B}^{ * }}\right. }\right\}, S = \{ x \mid \parallel x\parallel \leq B \) \( \left. { < {B}^{ * }}\right\} \) ,如果对 \( t \geq 0,\parallel x - \varphi \left( t\right) \parallel \leq \left( {{B}^{ * } - B}\right) /2 \) ,存在 \( V\left( {t, x}\right) \) 满足
\( a\left( {\parallel x - \varphi \left( t\right) \parallel }\right) \leq V\left( {t, x}\right) \leq b\left( {\parallel x - \varphi \left( t\right) \parallel }\right) , \)
其中 \( a\left( r\right) \) 和 \( b\left( r\right) \) 是连续递增正定函数,又有正数 \( L \) 及 \( \alpha \) 使
\[
\left| {V\left( {t, x}\right) - V\left( {t, y}\right) }\right| \leq L\parallel x - y\parallel ,
\]
\[
\dot{V}\left( {t, x}\right) \leq - {\alpha V}\left( {t, x}\right) ,
\]
则方程存在惟一的概周期解, 它是一致渐近稳定的, \( p\left( t\right) \subset S \) 且 \( {\;\operatorname{mod}\;\left( p\right) } \subset {\;\operatorname{mod}\;\left( f\right) } \) .
平均法 (method of averaging) 研究含小参数微分方程常用的一种方法. 考虑含小参数的微分方程
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = f\left( {t, x,\varepsilon }\right) ,
\]
其中 \( f\left( {t, x,\varepsilon }\right) \) 是 u. a. p. 的 \( n \) 维连续向量值函数,对 \( \left( {x,\varepsilon }\right) \in S \times \{ \varepsilon \}, S \times \{ \varepsilon \} \) 为紧集, \( f\left( {t, x,0}\right) \) 的平均值记为
\[
{f}_{0}\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow + \infty }}\frac{1}{t}{\int }_{0}^{t}f\left( {\tau, x,0}\right) \mathrm{d}\tau .
\]
平均法的基本思想是以平均方程
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = \varepsilon {f}_{0}\left( x\right)
\]
的解的性态来刻画所考虑的含小参数方程的解的性态. 哈尔 (Hale, T. K. ) 证明: 如果当 \( \left( {x,\varepsilon }\right) \rightarrow \left( {y,0}\right) \) 时,对 \( t \) 一致地有 \( f\left( {t, x,\varepsilon }\right) \rightarrow f\left( {t, y,0}\right) \) ,
\[
\frac{\partial f\left( {t, x,\varepsilon }\right) }{\partial x} \rightarrow \frac{\partial f\left( {t, y,0}\right) }{\partial x},
\]
对某个 \( {x}_{0} \in S \) 有 \( {f}_{0}\left( {x}_{0}\right) = 0 \) ,且 \( \partial {f}_{0}\left( {x}_{0}\right) /\partial x \) 没有实部为零的特征根,则存在 \( {\varepsilon }_{0} > 0 \) ,对 \( \left( {t,\varepsilon }\right) \in \mathrm{R} \times (0 \) , \( \left. {\varepsilon }_{0}\right) \) ,方程
\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = f\left( {t, x,\varepsilon }\right)
\]
有满足 \( x\left( {t,0}\right) = {x}_{0} \) 的解 \( x\left( {t,\varepsilon }\right) \) ,它在 \( {x}_{0} \) 的邻域中是惟一的,对每一固定的 \( \varepsilon > 0 \) ,它是 \( t \) 的概周期函数, \( {\;\operatorname{mod}\;\left( {x\left( {t,\varepsilon }\right) }\right) } \subset {\;\operatorname{mod}\;\left( f\right) } \) . 如果 \( \partial {f}_{0}\left( {x}_{0}\right) /\partial x \) 的所有特征根都有负实部 (或至少有一个特征根具正实部),那么, \( x\left( {t,\varepsilon }\right) \) 是一致渐近稳定的 (或不稳定的).
## 抽象空间中的微分方程
抽象空间中的微分方程 (differential equations in abstract spaces) 用泛函分析理论研究抽象空间中的微分方程的新兴领域. 它的主要内容是抽象空间微分方程的基本理论 (诸如柯西问题、边值问题解的存在性、惟一性、稳定性等)及其应用. 正如韦独新 (Vidossieh, G. ) 于 1974 年在巴西数学会所作的综述报告所指出的, 这个方向之所以重要, 是因为它有很多重要的应用. 为此, 他列举了巴拿赫空间微分方程理论的四大发现: 1950 年, 迪厄多内 (Dieudonné, J. A. ) 构造了一个常微分方程的基本存在定理一一皮亚诺定理在无限维巴拿赫空间的情形不再成立的著名例子, 使这个领域引起了人们的兴趣; 1960 年前后, 人们发现许多来源于物理模型的复杂的偏微分方程问题可以归结为适当的巴拿赫空间中的常微分方程问题来解决; 1970 年, 拉沙塔 (Lasota, A. ) 与亚可 (Yarko) 首先注意到某些泛函方程的问题也可以用适当的巴拿赫空间中的微分方程问题来解决; 巴拿赫空间微分方程理论可以运用到非线性分析得到各种不动点的存在定理. 这足以说明抽象空间中的微分方程理论有着深刻的实际背景与广阔的应用前景.
近 30 年来, 由于希尔 (Hille, (C. )E. )、吉田耕作 (Yosida, K. )、马丁 (Martin, R. H. )、丹姆灵 (Deimling, K. D)、拉克希米卡萨姆 (Lakshmikan-tham, V. )、加藤敏夫、法托里尼 (Fattorini, H. O. ) 与巴布 (Burbu, V. ) 等人的工作, 巴拿赫空间常微分方程理论有了很大的进展. 1976-1985 年间, 由马丁、丹姆灵、拉克希米卡萨姆、法托里尼和巴布先后写了六本专著, 总结了这个领域的工作.
抽象柯西问题 (abstract Cauchy problem) 抽象空间中微分方程的基本定解问题. 寻求可微抽象函数 \( x : \left\lbrack {{t}_{0},{t}_{0} + \delta }\right\rbrack \rightarrow D,\delta \in (0, a\rbrack \) ,使当 \( t \in \left\lbrack {{t}_{0},{t}_{0} + }\right. \) \( \delta \rbrack \) 满足 \( {x}^{\prime } = f\left( {t, x}\right), x\left( {t}_{0}\right) = {x}_{0} \) 的问题称为抽象柯西问题,其中 \( X \) 是实巴拿赫空间, \( D \subset X,{x}_{0} \in D \) , \( f : \left\lbrack {{t}_{0},{t}_{0} + a}\right\rbrack \times D \rightarrow X \) ,而函数 \( x = x\left( t\right) \) 称为该问题的解, \( \left\lbrack {{t}_{0},{t}_{0} + \delta }\right\rbrack \) 是解的定义区间. 特别地,当 \( X = {\mathrm{R}}^{n} \) 时, 它就是经典常微分方程中所提出的柯西问题.
抽象柯西问题的皮卡定理 (Picard theorem for abstract Cauchy problem) 抽象柯西问题的基本存在惟一性定理. 经典常微分方程的皮卡定理对抽象柯西问题仍然成立. 设 \( X \) 是实巴拿赫空间, \( D \subset \) \( X,{x}_{0} \in D, J = \left\lbrack {{t}_{0},{t}_{0} + a}\right\rbrack \subset \mathrm{R}, f : J \times D \rightarrow X \) . 考察抽象柯西问题
\[
{x}^{\prime } = f\left( {t, x}\right) ,\;x\left( {t}_{0}\right) = {x}_{0},
\]
(1)
则有如下结论:
1. 设 \( f \in C\left( {J \times D, X}\right) \) ,并满足李普希茨条件: 存在常数 \( L > 0 \) ,使对任意的 \( x, y \in D \) ,满足
\[
\parallel f\left( {t, x}\right) - f\left( {t, y}\right) \parallel \leq L\parallel x - y\parallel ,
\]
则有:
1) 当 \( D = X \) 时,问题 (1) 在 \( J \) 上存在惟一解.
2) 当 \( D = \overline{B\left( {{x}_{0}, r}\right) } = \left\{ {x \in X \mid \begin{Vmatrix}{x - {x}_{0}}\end{Vmatrix} \leq r}\right\} \) , 并且在 \( J \times D \) 上, \( \parallel f\left( {t, x}\right) \parallel \leq M \) 时,问题 (1) 在区间 \( \left\lbrack {{t}_{0},{t}_{0} + \delta }\right\rbrack \) 上存在惟一解,其中 \( \delta = \min \left( {a, r/M}\right) \) .
2. 若 \( f \in C\left( {J \times D, X}\right) \) ,并满足局部李普希茨条件: 对于任意 \( \left( {t, x}\right) \in J \times D \) ,存在数 \( \eta = \eta \left( {t, x}\right) \) 和 \( L \) \( = L\left( {t, x}\right) \) ,以及 \( x \) 的某一邻域 \( U\left( x\right) \) ,使得当 \( s \in \lbrack t, t \) \( + \eta \rbrack \cap J, u, v \in U\left( x\right) \) 时,有
\[
\parallel f\left( {s, u}\right) - f\left( {s, v}\right) \parallel \leq L\parallel u - v\parallel ,
\]
则问题 (1) 存在惟一解, 它的定义区间可能是整个区间 \( J \) ,也可能是某个区间 \( \left\lbrack {{t}_{0},{t}_{0} + \delta }\right\rbrack \subset J \) .
迪厄多内的例子 (the example of Dieudonné) 说明经典常微分方程的柯西问题的基本存在定理 ——皮亚诺定理在无限维巴拿赫空间的情形不再成立的一个著名的例子. 此例迪厄多内 (Dieudonné, J. A. ) 构造于 1950 年. 考察集合
\[
{c}_{0} = \left\{ {x = \left\{ {x}_{j}\right\} \mid {x}_{j} \in \mathrm{R},\mathop{\lim }\limits_{{j \rightarrow \infty }}{x}_{j} = 0}\right\} ,
\]
并赋予范数 \( \parallel x\parallel = \mathop{\sup }\limits_{j}\left| {x}_{j}\right| \) 构成巴拿赫空间. 令 \( {e}_{i} \) \( = \left\{ {e} |