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2000_数学辞海（第3卷）

lta = \min \left( {a, r/M}\right) \) . 2. 若 \( f \in C\left( {J \times D, X}\right) \) ,并满足局部李普希茨条件: 对于任意 \( \left( {t, x}\right) \in J \times D \) ,存在数 \( \eta = \eta \left( {t, x}\right) \) 和 \( L \) \( = L\left( {t, x}\right) \) ,以及 \( x \) 的某一邻域 \( U\left( x\right) \) ,使得当 \( s \in \lbrack t, t \) \( + \eta \rbrack \cap J, u, v \in U\left( x\right) \) 时,有 \[ \parallel f\left( {s, u}\right) - f\left( {s, v}\right) \parallel \leq L\parallel u - v\parallel , \] 则问题 (1) 存在惟一解, 它的定义区间可能是整个区间 \( J \) ,也可能是某个区间 \( \left\lbrack {{t}_{0},{t}_{0} + \delta }\right\rbrack \subset J \) . 迪厄多内的例子 (the example of Dieudonné) 说明经典常微分方程的柯西问题的基本存在定理 ——皮亚诺定理在无限维巴拿赫空间的情形不再成立的一个著名的例子. 此例迪厄多内 (Dieudonné, J. A. ) 构造于 1950 年. 考察集合 \[ {c}_{0} = \left\{ {x = \left\{ {x}_{j}\right\} \mid {x}_{j} \in \mathrm{R},\mathop{\lim }\limits_{{j \rightarrow \infty }}{x}_{j} = 0}\right\} , \] 并赋予范数 \( \parallel x\parallel = \mathop{\sup }\limits_{j}\left| {x}_{j}\right| \) 构成巴拿赫空间. 令 \( {e}_{i} \) \( = \left\{ {e}_{ij}\right\} \) ,其中 \( {e}_{ij} = {\delta }_{ij} \) (克罗内克记号),从而每一元素 \( x \in {c}_{0} \) 可以表示为 \[ x = \left\{ {x}_{j}\right\} = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }{x}_{j}{e}_{j} \] 今取 \[ f\left( x\right) = 2\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }\sqrt{\left| {x}_{j}\right| }{e}_{j},\;{x}_{0} = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }{j}^{-2}{e}_{j}, \] 则抽象柯西问题 \( {x}^{\prime } = f\left( x\right), x\left( 0\right) = {x}_{0} \) 的右端函数 \( f\left( x\right) \) 是连续的,容易证明上述问题的解不存在. 非紧性测度 (measures of noncompactness) 抽象空间微分方程理论的基本概念. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( \mathcal{L} \) 是 \( X \) 的有界子集族. 豪斯多夫非紧性测度 \( \beta : \mathcal{L} \rightarrow \mathrm{R} \) 定义为: \( \beta \left( B\right) = \inf \{ \varepsilon > 0 \mid B \) 能够用有限个半径为 \( \varepsilon \) 的球覆盖 \( \}, B \in \mathcal{L} \) . 库拉托夫斯基非紧性测度 \( \alpha : \mathcal{L} \rightarrow \mathrm{R} \) 定义为: \( \alpha \left( B\right) = \inf \{ d > 0 \mid B \) 能够用有限个直径 \( \leq d \) 的集合覆盖 \( \}, B \in \mathcal{L} \) . 非紧性测度 \( \gamma = \) \( \alpha \) 或 \( \beta \) 具有下列基本性质: 1. 对 \( B \in \mathcal{L},\gamma \left( B\right) = 0 \) 的充分必要条件是 \( \bar{B} \) 为紧集. 2. \( \gamma \) 是半范数,即 \( \gamma \left( {\lambda B}\right) = \left| \lambda \right| \gamma \left( B\right) ,\gamma \left( {{B}_{1} + {B}_{2}}\right) \) \( \leq \gamma \left( {B}_{1}\right) + \gamma \left( {B}_{2}\right) \) ,其中 \[ {B}_{1} + {B}_{2} = \left\{ {{x}_{1} + {x}_{2} \mid {x}_{1} \in {B}_{1},{x}_{2} \in {B}_{2}}\right\} . \] 3. 对任意的 \( {B}_{1},{B}_{2} \in \mathcal{L} \) ,若 \( {B}_{1} \subset {B}_{2} \) ,则 \( \gamma \left( {B}_{1}\right) \leq \) \( \gamma \left( {B}_{2}\right) \) ,又 \( \gamma \left( {{B}_{1} \cup {B}_{2}}\right) = \max \left\{ {\gamma \left( {B}_{1}\right) ,\gamma \left( {B}_{2}\right) }\right\} . \) 4. 对任意 \( B \in \mathcal{L},\gamma \left( {\operatorname{conv}B}\right) = \gamma \left( B\right) ,\operatorname{conv}B \) 表 \( B \) 的凸包. 5. 非紧性测度 \( \gamma \) 关于豪斯多夫度量: \[ {d}_{H}\left( {{B}_{1},{B}_{2}}\right) = \max \left\{ {\mathop{\sup }\limits_{{B}_{1}}\rho \left( {x,{B}_{2}}\right) ,\mathop{\sup }\limits_{{B}_{2}}\rho \left( {x,{B}_{1}}\right) }\right\} \] 是连续的,特别 \( \gamma \left( B\right) = \gamma \left( \bar{B}\right) \) . 半内积 (semi-inner product) 抽象空间微分方程理论的基本概念. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( {X}^{ * } \) 是 \( X \) 的对偶空间,由对任意的 \( x \in X,{Fx} = \left\{ {{x}^{ * } \in {X}^{ * } \mid }\right. \) \( {x}^{ * }\left( x\right) = \parallel x{\parallel }^{2},\begin{Vmatrix}{x}^{ * }\end{Vmatrix} = \parallel x\parallel \} \) 所定义的映射 \( F : X \rightarrow {2}^{{X}^{ * }} \) ( \( {2}^{{X}^{ * }} \) 表示 \( {X}^{ * } \) 的子集的全体) 称为 \( X \) 的对偶映像. 利用对偶映像 \( F \) 定义上、下半内积 \( {\left( \cdot , \cdot \right) }_{ + } : X \times X \rightarrow \mathrm{R} \) 分别为 \[ {\left( x, y\right) }_{ + } = \sup \left\{ {{y}^{ * }\left( x\right) \mid {y}^{ * } \in {Fy}}\right\} , \] \[ {\left( x, y\right) }_{ - } = \inf \left\{ {{y}^{ * }\left( x\right) \mid {y}^{ * } \in {Fy}}\right\} . \] 巴拿赫空间中的半内积概念在某种意义下是希尔伯特空间中内积概念的推广. 半内积具有下列性质: 1. \( {\left( x + y, z\right) }_{ \pm } \leq {\left( x, z\right) }_{ \pm } + {\left( y, z\right) }_{ \pm } \) ,且 \( \left| {\left( x, y\right) }_{ \pm }\right| \) \( \leq \parallel x\parallel \parallel y\parallel ,{\left( x + \alpha y, y\right) }_{ \pm } = {\left( x, y\right) }_{ \pm } + \alpha \parallel y{\parallel }^{2},\forall \alpha \) \( \in \mathrm{R},{\left( \alpha x,\beta y\right) }_{ \pm } = {\alpha \beta }{\left( x, y\right) }_{ \pm },\forall {\alpha \beta } \geq 0,\alpha ,\beta \in \mathrm{R} \) . 2. 如果 \( {X}^{ * } \) 是严格凸的,那么 \( {\left( \cdot , \cdot \right) }_{ + } = ( \cdot \) , - \( {)}_{ - } \) . 特别地,当 \( X \) 是希尔伯特空间时, \( {\left( \cdot , \cdot \right) }_{ + } \) 与 \( {\left( \cdot , \cdot \right) }_{ - } \) 都等于内积 \( \left( {\cdot , \cdot }\right) \) . \[ \text{3.}{\left( x, y\right) }_{ + } = \max \left\{ {{y}^{ * }\left( x\right) \mid {y}^{ * } \in {Fy}}\right\} \text{,} \] \[ {\left( x, y\right) }_{ - } = \min \left\{ {{y}^{ * }\left( x\right) \mid {y}^{ * } \in {Fy}}\right\} . \] 4. 半内积 \( {\left( \cdot , \cdot \right) }_{ + } : X \times X \rightarrow \mathrm{R} \) 是上半连续的; \( {\left( \cdot , \cdot \right) }_{ - } : X \times X \rightarrow \mathrm{R} \) 是下半连续的. 5. 如果 \( {X}^{ * } \) 是一致凸的,则 \( {\left( \cdot , \cdot \right) }_{ \pm } \) 在 \( X \times X \) 的有界子集上是一致连续的. 6. 如果 \( x : \left( {a, b}\right) \rightarrow X \) 关于 \( t \in \left( {a, b}\right) \) 是可微的, 而且 \( \varphi \left( t\right) = \parallel x\left( t\right) \parallel \) ,则 \( \varphi \left( t\right) {D}^{ - }\varphi \left( t\right) \leq \left( {{x}^{\prime }\left( t\right) }\right. \) , \( x\left( t\right) {)}_{ - }\left( {D}^{ - }\right. \) 表示左导数). 抽象柯西问题局部解的存在性 (existence of local solutions for abstract Cauchy problem) 利用紧型条件得到的关于抽象柯西问题局部解的存在定理. 对抽象柯西问题 \[ {x}^{\prime } = f\left( {t, x}\right) ,\;x\left( {t}_{0}\right) = {x}_{0}, \] (1) 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( D = B\left( {{x}_{0}, r}\right) = \{ x \in X \mid \) \( \left. {\left. {\parallel x - {x}_{0}\parallel < r}\right\}, J = \left\lbrack {{t}_{0},{t}_{0} + a}\right\rbrack \subset \mathrm{R},{R}_{0} = J \times D\text{. 利用}}\right\} \) 紧型条件有以下三个存在定理: 1. 抽象柯西问题 (1) 在 \( \left\lbrack {{t}_{0},{t}_{0} + \delta }\right\rbrack \) 上解存在,若: 1) \( f \in C\left( {{R}_{0}, X}\right) ,\parallel f\left( {t, x}\right) \parallel \leq M \) 对 \( \left( {t, x}\right) \in \) \( {R}_{0},\delta = \min \left( {a, r/\left( {M + 1}\right) }\right) . \) 2) \( f \) 在 \( {R}_{0} \) 上一致连续,对任意的 \( A \subset B\left( {{x}_{0}, r}\right) \) 有 \( \alpha \left( {f\left( {t, A}\right) }\right) \leq g\left( {t,\alpha \left( A\right) }\right) \) . 3) \( g \in C\left( {J \times \left\lbrack {0,{2r}}\right\rbrack ,\mathrm{R}}\right), g\left( {t,0}\right) = 0 \) 及 \( u\left( t\right) \equiv 0 \) 是 \( {u}^{\prime } = g\left( {t, u}\right), u\left( {t}_{0}\right) = 0 \) 的惟一解. 2. 若满足定理 1 中的条件 1), 此外还满足对任意的 \( A \subset B\left( {{x}_{0}, r}\right) ,\alpha \left( {f\left( {J, A}\right) }\right) \leq g\left( {\alpha \left( A\right) }\right) \) ,其中 \( g : {\mathrm{R}}_{ + } \rightarrow {\mathrm{R}}_{ + } \) 是连续的且初值问题 \( {u}^{\prime } = g\left( u\right), u\left( 0\right) = 0 \) 在 \( J \) 上只有平凡解 \( u \equiv 0 \) ,则 (1) 在 \( \left\lbrack {{t}_{0},{t}_{0} + \delta }\right\rbrack \) 上解存在. 3. 设: 1) \( f \in C\left( {{R}_{0}, X}\right) \) ,且对 \( \left( {t, x}\right) \in {R}_{0},\parallel f\left( {t, x}\right) \parallel \) \( \leq \mu \left( t\right) \) ,其中 \( \mu \in {L}^{1}\left( J\right) \) ,令 \( 0 < \delta < a \) 满足 \[ {\int }_{{t}_{0}}^{{t}_{0} + \delta }\mu \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau < r \] 2) 对 \( t \in J, B \subset D,\gamma \left( {f\left( {t, B}\right) }\right) \leq g\left( {t,\gamma \left( B\right) }\right) \) . 3) 满足下列条件之一, 则抽象柯西问题 (1) 在 \( \left\lbrack {{t}_{0},{t}_{0} + \delta }\right\rbrack \) 上存在解: ① \( X \) 是 wcg 空间 (即存在弱列紧集 \( K \subset X \) ,使 \( K \) 张成的线性空间在 \( X \) 中稠密), \( \gamma = \beta, g \) 满足定理 1 中的条件 3 ). ② \( X \) 是任意巴拿赫空间, \( \gamma = \alpha \) 或 \( \gamma = \beta ,{2g} \) 满足定理 1 中的条件 3). 抽象柯西问题解的存在惟一性 (existence and uniqueness of solution for abstract Cauchy problem) 利用耗散型条件得到的关于抽象柯西问题解的存在惟一性定理, 其中耗散型条件比李普希茨条件更为一般 (参见 “抽象柯西问题的皮卡定理”). 对于抽象柯西问题 \[ {x}^{\prime } = f\left( {t, x}\right) ,\;x\left( {t}_{0}\right) = {x}_{0}, \] (1) 利用耗散型条件有以下的存在惟一性定理: 设 \( X \) 是实巴拿赫空间, \( J = \left\lbrack {{t}_{0},{t}_{0} + a}\right\rbrack \subset \mathrm{R}, D = B\left( {{x}_{0}, r}\right) = \{ x \) \( \in X,\left. {\left. {\parallel x - {x}_{0}\parallel < r}\right\}, f : J \times D \rightarrow X\text{连续,且在}J \times D}\right\} \) 上, \( \parallel f\left( {t, x}\right) \parallel \leq M \) 及满足耗散型条件: 对 \( t \in \left\lbrack {{t}_{0},{t}_{0} + a}\right\rbrack, x, y \in D,{\left( f\left( t, x\right) - f\left( t, y\right), x - y\right) }_{ - } \) \( \leq g\left( {t,\parallel x - y\parallel }\right) \parallel x - y\parallel \) ,其中 \( g \in C\left( {J \times {\mathrm{R}}_{ + }}\right. \) , R), \( g\left( {t,0}\right) \equiv 0 \) 且 \( u\left( t\right) = 0 \) 是初值问题 \( {u}^{\prime }\left( t\right) = \) \( g\left( {t, u}\right), u\left( {t}_{0}\right) = 0 \) 的惟一解,则抽象柯西问题 (1) 在 \( \left\lbrack {{t}_{0},{t}_{0} + \delta }\right\rbrack \left( {\delta < \min \left( {a, r/M}\right) }\right) \) 上存在惟一解. 抽象柯西问题整体解的存在性 (existence of global solutions for abstract Cauchy problem) 利用耗散型条件得到的整体解的存在定理. 对于抽象柯西问题 \[ {x}^{\prime } = f\left( {t, x}\right) ,\;x\left( {t}_{0}\right) = {x}_{0}, \] (1) 有如下的整体解的存在性定理: 设 \( X \) 是巴拿赫空间,抽象柯西问题 (1) 在 \( \left\lbrack {{t}_{0}, + \infty }\right) \) 上的解存在,如果 \( f \) 满足: 1. \( f \in C\left( {{\mathrm{R}}_{ + } \times X, X}\right), f \) 在有界集上有界且对任意 \( \left( {{t}_{0},{x}_{0}}\right) \in {\mathrm{R}}_{ + } \times X,\left( 1\right) \) 存在局部解. 2. \( {\left( f\left( t, x\right), x\right) }_{ - } \leq g\left( {t,\parallel x\parallel }\right) \parallel x\parallel ,\left( {t, x}\right) \in \) \( {\mathrm{R}}_{ + } \times X \) ,其中 \( g \in C\left( {{\mathrm{R}}_{ + } \times {\mathrm{R}}_{ + },\mathrm{R}}\right) \) 及初值问题: \( {u}^{\prime } = g\left( {t, u}\right), u\left( {t}_{0}\right) = \begin{Vm

2000_数学辞海（第3卷）

eft( {t}_{0}\right) = 0 \) 的惟一解,则抽象柯西问题 (1) 在 \( \left\lbrack {{t}_{0},{t}_{0} + \delta }\right\rbrack \left( {\delta < \min \left( {a, r/M}\right) }\right) \) 上存在惟一解. 抽象柯西问题整体解的存在性 (existence of global solutions for abstract Cauchy problem) 利用耗散型条件得到的整体解的存在定理. 对于抽象柯西问题 \[ {x}^{\prime } = f\left( {t, x}\right) ,\;x\left( {t}_{0}\right) = {x}_{0}, \] (1) 有如下的整体解的存在性定理: 设 \( X \) 是巴拿赫空间,抽象柯西问题 (1) 在 \( \left\lbrack {{t}_{0}, + \infty }\right) \) 上的解存在,如果 \( f \) 满足: 1. \( f \in C\left( {{\mathrm{R}}_{ + } \times X, X}\right), f \) 在有界集上有界且对任意 \( \left( {{t}_{0},{x}_{0}}\right) \in {\mathrm{R}}_{ + } \times X,\left( 1\right) \) 存在局部解. 2. \( {\left( f\left( t, x\right), x\right) }_{ - } \leq g\left( {t,\parallel x\parallel }\right) \parallel x\parallel ,\left( {t, x}\right) \in \) \( {\mathrm{R}}_{ + } \times X \) ,其中 \( g \in C\left( {{\mathrm{R}}_{ + } \times {\mathrm{R}}_{ + },\mathrm{R}}\right) \) 及初值问题: \( {u}^{\prime } = g\left( {t, u}\right), u\left( {t}_{0}\right) = \begin{Vmatrix}{x}_{0}\end{Vmatrix} \) 的最大解 \( r\left( t\right) \) 在 \( \left\lbrack {{t}_{0}, + \infty }\right) \) 存在且是非负的. 右端函数不连续的抽象柯西问题 (abstract Cauchy problem with the discontinous right side function) 右端函数满足卡拉西奥多里条件的抽象柯西问题的广义解. 抽象柯西问题 \[ {x}^{\prime } = f\left( {t, x}\right) ,\;x\left( 0\right) = {x}_{0} \] (1) 当右端函数 \( f \) 不连续时,有以下的 (广义) 解的存在定理: 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( J = \left\lbrack {0, a}\right\rbrack \subset \mathrm{R}, D = \) \( \overline{B\left( {{x}_{0}, r}\right) } \subset X : f : J \times D \rightarrow X \) 关于 \( t \) 可测,关于 \( x \) 一致连续, \( \parallel f\left( {t, x}\right) \parallel \leq M\left( t\right) \) ,其中 \( M \in {L}^{1}\left( J\right) \) ,并满足 \[ \left( {f\left( {t, x}\right) - f\left( {t, y}\right), x - y}\right) \text{。} \] \[ \leq g\left( {t\parallel x - y\parallel }\right) \parallel x - y\parallel \] 对 \( x, y \in D \) 及 a. e. \( t \in J \) ,其中 \( g : J \times {\mathrm{R}}_{ + } \rightarrow {\mathrm{R}}_{ + } \) 满足卡拉西奥多里条件,且 \( g\left( {t, \cdot }\right) \) 是递增的及 \( u\left( t\right) \equiv 0 \) 是在 \( J \) 上 a. e. 满足 \( {u}^{\prime } = g\left( {t, u}\right), u\left( 0\right) = 0 \) 的惟一 (广义) 解. 则问题 (1) 在 \( \left\lbrack {0, b}\right\rbrack \) 上存在绝对连续解 (广义解),其中 \( b < a \) 使 \[ {\int }_{a}^{b}M\left( s\right) \mathrm{d}s \leq r. \] 闭集上的抽象柯西问题 (abstract Cauchy problem in closed sets) 初值 \( {x}_{0} \) 是巴拿赫空间 \( X \) 的闭子集的边界点的抽象柯西问题. 设 \( X \) 是实巴拿赫空间, \( D \subset X \) 是闭子集,求函数 \( x : \left\lbrack {0,\delta }\right\rbrack \rightarrow D \) 使满足 \[ {x}^{\prime }\left( t\right) = f\left( {t, x\left( t\right) }\right) ,\;x\left( 0\right) = {x}_{0}, \] 其中 \( {x}_{0} \in D \) (由于 \( D \) 是闭集, \( {x}_{0} \) 可能是 \( D \) 的边界 . 点). 这类问题称为闭集上的抽象柯西问题. 考虑这类问题时,要求 \( f\left( {t, x}\right) \) 在边界点满足条件: \[ \mathop{\lim }\limits_{{\lambda \rightarrow {0}^{ + }}}{\lambda }^{-1}\rho \left( {x + {\lambda f}\left( {t, x}\right), D}\right) = 0 \] （1） 对 \( t \in \left\lbrack {0,\delta }\right\rbrack, x \in \partial D,\rho \left( {\cdot , \cdot }\right) \) 表示距离, \( \partial D \) 是 \( D \) 的边界. (1) 式称为边界条件. 闭集上的解的存在性 (existence of solution in closed sets) 闭集上的抽象柯西问题的解的存在定理. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( D \subset X, J = \left\lbrack {0, a}\right\rbrack \subset \mathrm{R},{x}_{0} \) \( \in D,{D}_{r} = D \cap \overline{B\left( {{x}_{0}, r}\right) } \) 是闭集, \( f \in C\left( {J \times {D}_{r}, X}\right) \) 且 \( \parallel f\left( {t, x}\right) \parallel \leq M \) . 考察柯西问题 \[ {x}^{\prime } = f\left( {t, x}\right) ,\;x\left( 0\right) = {x}_{0}. \] (1) 设 \( \delta < \min \left( {a, r/M}\right) \) ,为方便起见,先列出如下的假设条件: \[ \text{1.}\mathop{\lim }\limits_{{\lambda \rightarrow {0}^{ + }}}{\lambda }^{-1}\rho \left( {x + {\lambda f}\left( {t, x}\right), D}\right) = 0\text{,对}t \in J, x \] \( \in \overline{B\left( {{x}_{0}, r}\right) } \cap \partial D \) . 2. \( \alpha \left( {f\left( {J \times B}\right) }\right) \leq g\left( {\alpha \left( B\right) }\right) \) ,对任意 \( B \subset D \) ,这里 \( g \in C\left( {{\mathrm{R}}_{ + },{\mathrm{R}}_{ + }}\right) \) 是不减的,且 \( {u}^{\prime } = g\left( u\right), u\left( 0\right) = 0 \) 在 \( J \) 上只有零解 \( u\left( t\right) \equiv 0 \) . 3. \( {\left( f\left( t, x\right) - f\left( t, y\right), x - y\right) }_{ + } \leq L\parallel x - y{\parallel }^{2} \) 对 \( t \in J, x, y \in {D}_{r}, L > 0 \) 是常数. 若满足条件 1 和 2,则 (1) 在 \( \left\lbrack {0,\delta }\right\rbrack \) 上存在解; 若满足条件 1 和 3,则 (1) 在 \( \left\lbrack {0,\delta }\right\rbrack \) 上存在惟一解. 抽象空间的锥 (cone in abstract spaces) 建立抽象空间微分不等式理论所需的基本概念. 设 \( K \) 是巴拿赫空间 \( X \) 的真子集,满足: 对 \( \lambda \geq 0,{\lambda K} \subset K \) , \( K + K \subset K, K = \bar{K} \) ( \( \bar{K} \) 表示 \( K \) 的闭包), \( K \cap \{ - K\} \) \( = \{ 0\} \) ( 0 表示空间 \( X \) 的零元),则称 \( K \) 是一个锥. 利用锥 \( K \) 可以在空间 \( X \) 中引进偏序 “ \( \leq \) ” 和 “ \( < \) ”,进而定义正规锥. 对任意 \( x, y \in X, x \leq y \) ,当且仅当 \( y \) \( - x \in K;x < y \) ,当且仅当 \( {K}^{0}(K \) 的内点全体所成的集合) 非空和 \( y - x \in {K}^{0} \) . 若由锥 \( K \) 在空间 \( X \) 中引进偏序,使每一有界单调序列必存在极限,则锥 \( K \) 称为正则锥; 若存在实数 \( N > 0 \) ,使得对任意 \( u, v \in X \) , \( 0 \leq u \leq v \) 蕴涵 \( \parallel u\parallel \leq N\parallel v\parallel \) ,则称锥 \( K \) 是正规的. 正则锥 (regular cone) 见 “抽象空间的锥”. 正规锥 (normal cone) 见 “抽象空间的锥”. 算子的拟单调性 (quasimonotone of a operator) 建立抽象空间微分不等式的重要条件. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( K \) 是 \( X \) 的一个锥且 \( {K}^{0} \) 非空,并由 \( K \) 在 \( X \) 中引进偏序. 记 \[ {K}^{ * } = \left\{ {c \in {X}^{ * } \mid c\left( x\right) \geq 0, x \in K}\right\} , \] \[ {K}_{0}^{ * } = \left\{ {c \in {X}^{ * } \mid c\left( x\right) > 0, x \in {K}^{0}}\right\} , \] 其中 \( {X}^{ * } \) 表示 \( X \) 的对偶空间. 算子 \( f : X \rightarrow X \) 若满足对 \( x, y \in X, x \leq y \) 及某个 \( c \in {K}_{0}^{ * }, c\left( x\right) = c\left( y\right) \) 就推出 \( c\left( {f\left( x\right) }\right) \leq c\left( {f\left( y\right) }\right) \) ,则称算子 \( f \) 是拟单调不减的. 关于拟单调算子,有下述断言: 设 \( u, v \in {C}^{1}\left( {\mathrm{R}}_{ + }\right. \) , \( X), f \in C\left( {{\mathrm{R}}_{ + } \times X, X}\right) \) ,且对每个 \( t \in {\mathrm{R}}_{ + }, f\left( {t, x}\right) \) 关于 \( x \) 是拟单调不减的; 进而当 \( t \in \left( {{t}_{0}, + \infty }\right), u, v \) 满足 \( {u}^{\prime }\left( t\right) - f\left( {t, u\left( t\right) }\right) < {v}^{\prime }\left( t\right) - f\left( {t, v\left( t\right) }\right) \) ,则由 \( u\left( {t}_{0}\right) \) \( < v\left( {t}_{0}\right) \) 推出当 \( t \geq {t}_{0} \) 时 \( u\left( t\right) < v\left( t\right) \) . 最大解和最小解的存在性 (existence of maximal and minimal solutions) 抽象柯西问题的最大解和最小解的存在定理. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( K \subset X \) 是一个锥且 \( {K}^{0} \) 非空,由 \( K \) 在 \( X \) 中引进偏序 “ \( \leq \) ”. \( D \) \( = \overline{B\left( {{x}_{0}, r}\right) } \subset X, J = \left\lbrack {0, a}\right\rbrack \subset \mathrm{R}.f : J \times D \rightarrow X \) 连续且关于 \( x \) 是拟单调不减的, \( \parallel f\left( {t, x}\right) \parallel \leq M \) 对 \( \left( {t, x}\right) \) \( \in J \times D \) 并满足 \( \alpha \left( {f\left( {J \times B}\right) }\right) \leq g\left( {\alpha \left( B\right) }\right), B \subset D \) ,其中 \( g : {\mathrm{R}}_{ + } \rightarrow {\mathrm{R}}_{ + } \) 连续且使 \( {u}^{\prime } = g\left( u\right), u\left( 0\right) = 0 \) 只有零解 \( u\left( t\right) \equiv 0, t \in J.\delta < \min \{ a, r/M\} \) . 则抽象柯西问题 \( {x}^{\prime } = f\left( {t, x}\right), x\left( 0\right) = {x}_{0} \) 在 \( \left\lbrack {0,\delta }\right\rbrack \) 上 (关于偏序 “ \( \leq \) ”) 存在最大解与最小解. 拟线性化方法 (method of quasilinearization) 求解非线性方程柯西问题的一种方法. 在 \( f \) 关于 \( x \) 的弗雷歇导数 \( {f}_{x}\left( {t, x}\right) \) 存在及其他附加条件下,可用一列线性方程柯西问题 \[ {z}^{\prime } = f\left( {t,{z}_{n - 1}}\right) + {f}_{x}\left( {t,{z}_{n - 1}}\right) \left( {z - {z}_{n - 1}}\right) , \] \[ z\left( {t}_{0}\right) = {x}_{0} \] 的解 \( {z}_{n}\left( t\right) \) 去逼近非线性方程柯西问题 \[ {x}^{\prime } = f\left( {t, x}\right) ,\;x\left( {t}_{0}\right) = {x}_{0} \] (1) 的解,其中 \( X \) 是巴拿赫空间, \( D = B\left( {{x}_{0}, r}\right) \subset X \) , \( J = \left\lbrack {{t}_{0},{t}_{0} + a}\right\rbrack, f \in C\left\lbrack {J \times D, X}\right\rbrack \) . 设 \( K \) 是 \( X \) 的正则锥且 \( {K}^{0} \) 非空. 严格叙述如下: 设 \( \parallel f\left( {t, x}\right) \parallel \leq M \) 对 \( \left( {t, x}\right) \in J \times D \) ,并且对每个 \( t \in \left\lbrack {{t}_{0},{t}_{0} + a}\right\rbrack, f \) 关于 \( x \) 是拟单调不减的; 对 \( \left( {t, x}\right) \in J \times D,{f}_{x}\left( {t, x}\right) \) 存在、连续且有 \( \begin{Vmatrix}{{f}_{x}\left( {t, x}\right) }\end{Vmatrix} \leq L \) ,这里选取 \( a \) 满足 \( a\left( {M + {2Lr}}\right) \leq r \) ; 对每个 \( t \in J, f\left( {t, x}\right) \) 在 \( B\left( {{x}_{0}, r}\right) \) 是凸的. 则存在 \( \left\lbrack {{t}_{0},{t}_{0} + a}\right\rbrack \) 上一列函数 \( \left\{ {{z}_{n}\left( t\right) }\right\} \) ,使得: 1. \( {z}_{0}\left( t\right) = {x}_{0} \) ,每个 \( {z}_{n}\left( t\right) \left( {t \in J, n = 1,2,\cdots }\right) \) 是线性方程 \( {z}^{\prime } = f\left( {t,{z}_{n - 1}}\right) + {f}_{x}\left( {t,{z}_{n - 1}}\right) \left( {z - {z}_{n - 1}}\right) \) 满足 \( z\left( {t}_{0}\right) = {x}_{0} \) 的解,而且 \( {z}_{n}\left( t\right) \leq x\left( t\right) \) ,这里 \( x\left( t\right) \) 是 (1) 的解. \[ \text{2.}\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{z}_{n}\left( t\right) = x\left( t\right) \text{在}\left\lbrack {{t}_{0},{t}_{0} + a}\right\rbrack \text{上是一致的.} \] 单调迭代方法 (monotone iterative methods) 构造性地给出微分方程问题的最大解、最小解的一种方法. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( K \subset X \) 是正规锥,考察抽象柯西问题 \[ {u}^{\prime } = f\left( {t, u}\right) ,\;u\left( {t}_{0}\right) = {u}_{0}. \] (1) 设 \( {v}_{0},{w}_{0} \in {C}^{1}\left( {I, X}\right) \) ,并满足 \[ {v}^{\prime }{}_{0} \leq f\left( {t,{v}_{0}}\right) ,\;{w}^{\prime }{}_{0} \geq f\left( {t,{w}_{0}}\right) , \] 则 \( {v}_{0},{w}_{0} \) 分别称为 (1) 的下解和上解. 对任意在 \( I = \) \( \left\lbrack {0, T}\right\rbrack \) 上满足 \( {v}_{0}\left( t\right) \leq {w}_{0}\left( t\right) \) 的 \( {v}_{0},{w}_{0} \in C\left( {I, X}\right) \) ,定义锥段 \( \left\lbrack {{v}_{0},{w}_{0}}\right\rbrack = \left\{ {u \in X \mid {v}_{0}\left( t\right) \leq u \leq {w}_{0}\left( t\right), t \in I}\right\} \) . 关于单调迭代序列,有下述结论: 设 \( K \) 是正规锥, \( f \in C\left( {I \times X, X}\right) \) 并满足: 1. \( {v}_{0},{w}_{0} \) 是 (1) 的下解和上解,并且在 \( I \) 上

2000_数学辞海（第3卷）

fty }}{z}_{n}\left( t\right) = x\left( t\right) \text{在}\left\lbrack {{t}_{0},{t}_{0} + a}\right\rbrack \text{上是一致的.} \] 单调迭代方法 (monotone iterative methods) 构造性地给出微分方程问题的最大解、最小解的一种方法. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( K \subset X \) 是正规锥,考察抽象柯西问题 \[ {u}^{\prime } = f\left( {t, u}\right) ,\;u\left( {t}_{0}\right) = {u}_{0}. \] (1) 设 \( {v}_{0},{w}_{0} \in {C}^{1}\left( {I, X}\right) \) ,并满足 \[ {v}^{\prime }{}_{0} \leq f\left( {t,{v}_{0}}\right) ,\;{w}^{\prime }{}_{0} \geq f\left( {t,{w}_{0}}\right) , \] 则 \( {v}_{0},{w}_{0} \) 分别称为 (1) 的下解和上解. 对任意在 \( I = \) \( \left\lbrack {0, T}\right\rbrack \) 上满足 \( {v}_{0}\left( t\right) \leq {w}_{0}\left( t\right) \) 的 \( {v}_{0},{w}_{0} \in C\left( {I, X}\right) \) ,定义锥段 \( \left\lbrack {{v}_{0},{w}_{0}}\right\rbrack = \left\{ {u \in X \mid {v}_{0}\left( t\right) \leq u \leq {w}_{0}\left( t\right), t \in I}\right\} \) . 关于单调迭代序列,有下述结论: 设 \( K \) 是正规锥, \( f \in C\left( {I \times X, X}\right) \) 并满足: 1. \( {v}_{0},{w}_{0} \) 是 (1) 的下解和上解,并且在 \( I \) 上 \[ {v}_{0}\left( t\right) \leq {w}_{0}\left( t\right) \] 2. 存在定数 \( L > 0 \) 使 \( \alpha \left( {f\left( {t, B}\right) }\right) \leq {L\alpha }\left( B\right) \) 对任意 \( B \subset \left\lbrack {{v}_{0},{w}_{0}}\right\rbrack, t \in I \) ; 3. 存在常数 \( M > 0 \) ,任意 \( u, v \in \left\lbrack {{v}_{0},{w}_{0}}\right\rbrack, u \geq v \) 有 \[ f\left( {t, u}\right) - f\left( {t, v}\right) \geq - M\left( {u - v}\right) ; \] 则对任意 \( {u}_{0} \in X,{v}_{0}\left( 0\right) \leq {u}_{0} \leq {w}_{0}\left( 0\right) \) ,存在单调序列 \( \left\{ {v}_{n}\right\} ,\left\{ {w}_{n}\right\} \) 分别一致单调地收敛于 (1) 的最小解 \( \rho \) 与最大解 \( r \) ,即若 \( u \) 是 (1) 的解,并且在 \( I \) 上 \( {v}_{0}\left( t\right) \leq \) \( u\left( t\right) \leq {w}_{0}\left( t\right) \) ,则在 \( I \) 上有 \[ {v}_{0} \leq {v}_{1} \leq \cdots \leq {v}_{n} \leq \cdots \leq \rho \] \[ \leq u \leq r \leq \cdots \leq {w}_{n} \leq \cdots \leq {w}_{1} \leq {w}_{0}. \] 非线性二阶微分方程的边值问题 (boundary value problems of nonlinear second order ordinary differential equations) 抽象空间里的二阶方程的边值问题. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( H : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \times X \times X \rightarrow \) \( X,{x}_{0},{x}_{1} \in X \) ,考察边值问题 \[ {x}^{\prime \prime } = H\left( {t, x,{x}^{\prime }}\right) \left( {0 < t < 1}\right) , \] \[ {ax}\left( 0\right) - b{x}^{\prime }\left( 0\right) = {x}_{0}, \] (1) \[ {cx}\left( 1\right) + d{x}^{\prime }\left( 1\right) = {x}_{1}, \] 其中 \( a, b, c, d \geq 0,{ad} + {bc} > 0 \) . 关于边值问题 (1) 有下述结论: 1. 假设 \( H \in C\left( {J \times X \times X, X}\right), J = \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) ,对 \( (t \) , \( x, y) \in J \times X \times X,\parallel H\left( {t, x, y}\right) \parallel \leq L. \) 2. \( {\alpha H}\left( {J \times A \times B}\right) \leq k\max \left\lbrack {\alpha \left( A\right) ,\alpha \left( B\right) }\right\rbrack \) 对有界集 \( A, B \subset X \) 成立. 设 \( G\left( {t, s}\right) \) 是纯量边值问题: \[ {y}^{\prime \prime } = h\left( t\right) ,\;{ay}\left( 0\right) - b{y}^{\prime }\left( 0\right) = 0, \] \[ {cy}\left( 1\right) + d{y}^{\prime }\left( 1\right) = 0 \] 的格林函数,则当 \( k < 1/{2p} \) 时,其中 \[ p = \max \left( {1,\mathop{\sup }\limits_{{J \times J}}G\left( {t, s}\right) }\right) , \] (1) 存在解 \( x \in {C}^{2}\left( {J, X}\right) \) . \( m \) 耗散算子 ( \( m \) -dissipative operator) 算子半群理论的一个重要概念. 设 \( X \) 是一实巴拿赫空间, \( F : X \rightarrow {2}^{{X}^{ * }} \) 是对偶映射 (参见 “半内积”). 一个算子 \( A : D\left( A\right) \subset X \rightarrow {2}^{X} \) 称为耗散的,若对任意的 \( {x}_{1},{x}_{2} \in \) \( D\left( A\right) \) ,存在 \( f \in F\left( {{x}_{1} - {x}_{2}}\right) \) 使得 \( f\left( {{y}_{1} - {y}_{2}}\right) \leq 0 \) 对一切 \( {y}_{1} \in A{x}_{1} \) 和 \( {y}_{2} \in A{x}_{2} \) 成立. 一个耗散算子 \( A \) 称为 \( m \) 耗散的,若 \( R\left( {I - A}\right) = X \) ,这里 \( R\left( \cdot \right) \) 表示值域. 算子半群 (operator semigroup) 研究发展方程的有力工具. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( C \) 是 \( X \) 的闭子集,称 \( S\left( t\right) \) 是 \( C \) 上的一个算子半群,若算子族 \( \{ S\left( t\right) \mid C \rightarrow C, t \geq 0\} \) 满足: 1. 对每一 \( t \geq 0, S\left( t\right) : C \rightarrow C \) 连续. 2. 对每一 \( x \in C, t \rightarrow S\left( t\right) x \) 对 \( t \geq 0 \) 连续. 3. \( S\left( 0\right) x = x \) 对一切 \( x \in C \) 成立. 4. \( S\left( t\right) \left( {S\left( \tau \right) x}\right) = S\left( {t + \tau }\right) x \) 对于一切 \( x \in C \) 和 \( t,\tau \geq 0 \) 成立. 设 \( S\left( t\right) \) 是 \( C \) 上的一个算子半群,且 \[ \parallel S\left( t\right) x - S\left( t\right) y\parallel \leq \parallel x - y\parallel \] 对 \( t \geq 0 \) 和一切 \( x, y \in C \) 成立,则称 \( S\left( t\right) \) 是 \( C \) 上的一个压缩半群. 若 \( C = X \) 且 \( S\left( t\right) \) 是有界线性算子,则称半群 \( S\left( t\right) \) 是 \( X \) 上的一个 \( {C}_{0} \) 半群. 设 \( S\left( t\right) \) 是 \( C \) 上的算子半群. 记 \[ D\left( A\right) = \left\{ {x \in C\left| {\;\mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow {0}^{ + }}}\frac{S\left( t\right) x - x}{t}\text{ 存在 }}\right. }\right\} , \] 对 \( x \in D\left( A\right) \) ,定义 \[ {Ax} = \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow {0}^{ + }}}\frac{S\left( t\right) x - x}{t} \] 则称 \( A \) 为 \( S\left( t\right) \) 的生成元 (或无穷小生成元), \( D\left( A\right) \) 称为 \( A \) 的定义域. 关于算子半群有下列重要结论: 1. 设 \( S\left( t\right) \) 是 \( X \) 上的一个 \( {C}_{0} \) 半群, \( A \) 是 \( S\left( t\right) \) 的生成元, 则: 1) \( D\left( A\right) \) 在 \( X \) 中稠密. 2) \( A \) 是闭线性算子. 3) 对任意 \( {x}_{0} \in D\left( A\right), S\left( t\right) {x}_{0} \) 对 \( t \geq 0 \) 连续可微且是齐次的发展方程柯西问题 \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}x\left( t\right) = {Ax}\left( t\right), t > 0, \\ x\left( 0\right) = {x}_{0} \end{array}\right. \] 的惟一解, 满足 \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( {S\left( t\right) {x}_{0}}\right) = {AS}\left( t\right) {x}_{0} = S\left( t\right) A{x}_{0}\;\left( {t \geq 0}\right) . \] 2. 设 \( X \) 和 \( {X}^{ * } \) 是一致凸的, \( A \) 是 \( X \) 的一个闭集 \( C \) 上的非线性压缩算子半群 \( S\left( t\right) \) 的生成元,则对 \( {x}_{0} \) \( \in D\left( A\right) \) ,有: 1) \( S\left( t\right) {x}_{0} \in D\left( A\right) \) 对 \( t \geq 0 \) ,且 \( {AS}\left( t\right) {x}_{0} \) 对 \( t \geq 0 \) 右连续. 2) 右导数 \( \frac{{\mathrm{d}}^{ + }}{\mathrm{d}t}S\left( t\right) {x}_{0} \) 对 \( t \geq 0 \) 存在且 \[ \frac{{\mathrm{d}}^{ + }}{\mathrm{d}t}S\left( t\right) {x}_{0} = {AS}\left( t\right) {x}_{0}\;\left( {t \geq 0}\right) . \] 3) 对 \( t \geq 0 \) ,除可数个值外导数 \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}S\left( t\right) {x}_{0} \] 存在而且满足 \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}S\left( t\right) {x}_{0} = {AS}\left( t\right) {x}_{0}. \] 压缩半群 (contractive semigroup) 见“算子半群”. \( {C}_{0} \) 半群 ( \( {C}_{0} \) -semigroup) 见 “算子半群”. 希尔-吉田耕作定理 (Hille-Yosida theorem) 闭稠定线性算子 \( A \) 成为某个 \( {C}_{0} \) 半群生成元的充分必要条件. 设 \( A \) 是巴拿赫空间 \( X \) 中的一个闭稠定线性算子,则 \( A \) 是满足 \[ \parallel S\left( t\right) \parallel \leq M{\mathrm{e}}^{\omega t}\;\left( {t \geq 0}\right) \] 的 \( {C}_{0} \) 半群 \( S\left( t\right) \) 的生成元,当且仅当对一切复数 \( \lambda \) , \( \operatorname{Re}\lambda > \omega ,{\left( \lambda I - A\right) }^{-1} \in L\left( {X, X}\right) \) (映 \( X \) 到 \( X \) 内的有界线性算子空间), 且 \[ \begin{Vmatrix}{\left( \lambda I - A\right) }^{-n}\end{Vmatrix} \leq \frac{M}{{\left( \operatorname{Re}\lambda - \omega \right) }^{n}}\;\left( {n = 1,2,\cdots }\right) , \] 这里 \( M \) 是正常数, \( \omega \) 是某一实数. 非线性希尔-吉田耕作定理 (nonlinear version of the Hille-Yosida theorem) 希尔伯特空间中非线性压缩半群的生成元与 \( m \) 耗散算子的关系定理. 该定理断言: 设 \( C \) 是希尔伯特空间 \( H \) 中的一个非空闭凸子集, \( S \) 是 \( C \) 上的一个非线性压缩算子半群,则存在惟一的一个 \( m \) 耗散算子 \( A : D\left( A\right) \subset X \rightarrow {2}^{X} \) ,使得 \( A \) 是 \( S \) 的生成元. 反之,设 \( A \) 是 \( D\left( A\right) \subset X \rightarrow {2}^{X} \) 的一个 \( m \) 耗散算子,则存在 \( \overline{D\left( A\right) } \) 上的惟一算子半群 \( S \) ,使得 \( A \) 是 \( S \) 的生成元且对任意 \( {x}_{0} \in D\left( A\right) \) , \( x\left( t\right) = S\left( t\right) {x}_{0} \) 几乎处处满足微分方程 \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}x\left( t\right) \in {Ax}\left( t\right) \;\left( {t \geq 0}\right) . \] 余弦算子函数 (cosine operator function) 用来表示巴拿赫空间中二阶线性自治微分方程的解的算子函数. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( L\left( {X, X}\right) \) 是映 \( X \) 到 \( X \) 内的有界线性算子空间,算子函数 \( C\left( t\right) : \mathrm{R} \rightarrow \) \( L\left( {X, X}\right) \) 若满足: 1. \( C\left( 0\right) = I \) ; 2. \( C\left( {s + t}\right) + C\left( {s - t}\right) = {2C}\left( s\right) C\left( t\right) \) ,对所有的 \( t, s \) \( \in \mathrm{R} \) ; 3. 对一切 \( x \in X, C\left( t\right) x \) 对 \( t \in \mathrm{R} \) 连续; 则称 \( C\left( t\right) \) 为 \( X \) 上的一个强连续余弦算子函数. 有如下基本结论: 对于巴拿赫空间 \( X \) 中的每一强连续余弦算子函数 \( C\left( t\right) \) ,存在惟一的闭稠定线性算子 \( A \) ,使得对每一 \( {x}_{0} \in D\left( A\right), x\left( t\right) = C\left( t\right) {x}_{0} \) 是微分方程 \[ \frac{{\mathrm{d}}^{2}}{\mathrm{\;d}{t}^{2}}x\left( t\right) = {Ax}\left( t\right), x\left( 0\right) = {x}_{0},{x}^{\prime }\left( 0\right) = 0 \] 对 \( t \in \mathrm{R} \) 的惟一解. 如此算子 \( A \) 称为 \( C \) 的生成元 (或无穷小生成元). 余弦算子函数的生成定理 (the generation theorem of cosine operator functions) 刻画闭稠定线性算子成为一个强连续余弦算子函数生成元的特征的定理. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( A \) 是 \( X \) 上的一个闭稠定线性算子,则 \( A \) 是一个强连续余弦算子函数 \( C\left( t\right) \) 的生成元,或者等价地对每一 \( {x}_{0} \in D\left( A\right) \) ,二阶微分方程 \[ \frac{{\mathrm{d}}^{2}}{\mathrm{\;d}{t}^{2}}x\left( t\right) = {Ax}\left( t\right), x\left( 0\right) = {x}_{0},{x}^{\prime }\left( 0\right) = 0 \] 对 \( t \in \mathrm{R} \) 有惟一解 \( x\left( t\right) \) 满足 \( \parallel x\left( t\right) \parallel \leq M\left( t\right) \begin{Vmatrix}{x}_{0}\end{Vmatrix} \) ( \( t \geq 0, M\left( t\right) \) 对 \( t \geq 0 \) 是一个非负不减函数) 的充分必要条件是,存在常数 \( \omega \in \mathrm{R} \) 和 \( {M}_{0} > 0 \) ,使得对 \( \operatorname{Re}\lambda > \) \( \omega ,\left( {{\lambda }^{2}I - A}\right) \) 可逆, \( {\left( {\lambda }^{2}I - A\right) }^{-1} \in L\left( {X, X}\right) \) 和 \[ \begin{Vmatrix}{\lambda {\left( {\lambda }^{2}I - A\right) }^{-1}{)}^{n}}\end{Vmatrix} \leq {M}_{0}n!{\left( \operatorname{Re}\lambda - \omega \right) }^{-\left( {n - 1}\right) } \] \[ \left( {n = 0,1,\cdots }\right) \text{.} \] 此外,若上条件成立,则对 \( {x}_{0} \in D\left( A\right) \) 和 \( {x}_{1} \in {D}_{1} = \{ x \) \( \in X \mid C\left( t\right) x \) 对 \( t \in \mathrm{R} \) 连续可微 \( \} \) ,柯西问题 \[ \frac{{\mathrm{d}}^{

2000_数学辞海（第3卷）

}}{\mathrm{\;d}{t}^{2}}x\left( t\right) = {Ax}\left( t\right), x\left( 0\right) = {x}_{0},{x}^{\prime }\left( 0\right) = 0 \] 对 \( t \in \mathrm{R} \) 有惟一解 \( x\left( t\right) \) 满足 \( \parallel x\left( t\right) \parallel \leq M\left( t\right) \begin{Vmatrix}{x}_{0}\end{Vmatrix} \) ( \( t \geq 0, M\left( t\right) \) 对 \( t \geq 0 \) 是一个非负不减函数) 的充分必要条件是,存在常数 \( \omega \in \mathrm{R} \) 和 \( {M}_{0} > 0 \) ,使得对 \( \operatorname{Re}\lambda > \) \( \omega ,\left( {{\lambda }^{2}I - A}\right) \) 可逆, \( {\left( {\lambda }^{2}I - A\right) }^{-1} \in L\left( {X, X}\right) \) 和 \[ \begin{Vmatrix}{\lambda {\left( {\lambda }^{2}I - A\right) }^{-1}{)}^{n}}\end{Vmatrix} \leq {M}_{0}n!{\left( \operatorname{Re}\lambda - \omega \right) }^{-\left( {n - 1}\right) } \] \[ \left( {n = 0,1,\cdots }\right) \text{.} \] 此外,若上条件成立,则对 \( {x}_{0} \in D\left( A\right) \) 和 \( {x}_{1} \in {D}_{1} = \{ x \) \( \in X \mid C\left( t\right) x \) 对 \( t \in \mathrm{R} \) 连续可微 \( \} \) ,柯西问题 \[ \frac{{\mathrm{d}}^{2}}{\mathrm{\;d}{t}^{2}}x\left( t\right) = {Ax}\left( t\right), x\left( 0\right) = {x}_{0},{x}^{\prime }\left( 0\right) = {x}_{1} \] 存在惟一解 \[ x\left( t\right) = C\left( t\right) {x}_{0} + {\int }_{0}^{t}C\left( s\right) {x}_{1}\mathrm{\;d}s\;\left( {t \in \mathrm{R}}\right) . \] 这时由 \[ S\left( t\right) = {\int }_{0}^{t}C\left( s\right) \mathrm{d}s \] 定义的算子函数称为正弦算子函数. 发展方程 (evolution equation) 从描述众多依时间变化的物理模型归纳出的一类抽象空间微分方程. 巴拿赫空间 \( X \) 中的下列形式的微分方程 \[ {x}^{\prime } = A\left( t\right) x + f\left( t\right) \] (1) 被称为发展方程 (或演化方程),其中 \( A\left( t\right) \) 是依赖于 \( t \) 的算子. 一般地,它们是无界的,而且不一定在整个空间 \( X \) 上处处有定义,甚至是非线性不连续算子. 数学物理或其他学科中经常遇到描述不定常问题的微分方程, 这类方程的初值问题或混合问题就归结为某巴拿赫空间 \( X \) 中的发展方程. 发展系统 (evolution system) 发展方程的解算子概念的抽象化. 一个巴拿赫空间 \( X \) 上的有界线性算子的双参数族 \( U\left( {t, s}\right) ,0 \leq s \leq t \leq T \) ,如果满足以下两个条件,则称 \( U\left( {t, s}\right) \) 为一个发展系统: 1. \( U\left( {s, s}\right) = I, U\left( {t, r}\right) U\left( {r, s}\right) = U\left( {t, s}\right) \) 对于 \( 0 \leq s \) \( \leq r \leq t \leq T \) 成立. 2. \( \left( {t, s}\right) \rightarrow U\left( {t, s}\right) \) 对于 \( 0 \leq s \leq t \leq T \) 是强连续的. 抛物发展系统 (parabolic evolution system) 一类重要的线性发展方程. 一个巴拿赫空间 \( X \) 中的线性发展方程 \[ {x}^{\prime } + A\left( t\right) x = 0\;\left( {0 \leq s < t \leq T}\right) , \] (1) \[ x\left( s\right) = {x}_{0}, \] 若它满足下列条件, 则称它是抛物型的: 1. \( A\left( t\right) \) 对于 \( 0 \leq t \leq T \) 的定义域 \( D\left( {A\left( t\right) }\right) = D \) 在 \( X \) 中稠密和不依赖于 \( t \) . 2. 对 \( t \in \left\lbrack {0, T}\right\rbrack, A\left( t\right) \) 的预解式 \( {\left( \lambda I - A\left( t\right) \right) }^{-1} \) 对于所有使得 \( \operatorname{Re}\lambda \leq 0 \) 的复数 \( \lambda \) 存在,且存在常数 \( M \) 使得 \[ \begin{Vmatrix}{\left( \lambda I - A\left( t\right) \right) }^{-1}\end{Vmatrix} \leq \frac{M}{\left| \lambda \right| + 1} \] 对 \( t \in \left\lbrack {0, T}\right\rbrack \) 成立. 3. 存在常数 \( L \) 和 \( 0 < \alpha \leq 1 \) ,使得 \( \parallel (A\left( t\right) - \) \( A\left( s\right) )A{\left( \tau \right) }^{-1}\parallel \leq L{\left| t - s\right| }^{\alpha } \) ,对 \( s, t,\tau \in \left\lbrack {0, T}\right\rbrack \) 成立. 设 (1) 是抛物型的,则存在 \( 0 \leq s \leq t \leq T \) 上的惟一的发展系统 \( U\left( {t, s}\right) \) 具有以下性质: 1. \( \parallel U\left( {t, s}\right) \parallel \leq C \) ,对于 \( 0 \leq s \leq t \leq T \) 成立,这里 \( C \) 是正常数. 2. 对于 \( 0 \leq s < t \leq T, U\left( {t, s}\right) : X \rightarrow D \) 和 \( U\left( {t, s}\right) \) 对 \( t \) 强可微且 \( \frac{\partial }{\partial t}U\left( {t, s}\right) \in L\left( {X, X}\right) \) ,对 \( 0 \leq s < t \leq T \) 强连续,此外, \( \frac{\partial }{\partial t}U\left( {t, s}\right) + A\left( t\right) U\left( {t, s}\right) = 0 \) 对于 \( 0 \leq s < t \) \( \leq T \) 成立. \[ \text{3.}\begin{Vmatrix}{\frac{\partial }{\partial t}U\left( {t, s}\right) }\end{Vmatrix} = \parallel A\left( t\right) U\left( {t, s}\right) \parallel \leq C/(t - \] \( s) \) 和 \( \begin{Vmatrix}{A\left( t\right) U\left( {t, s}\right) {A}^{-1}\left( s\right) }\end{Vmatrix} \leq C \) 对于 \( 0 \leq s < t \leq T \) 成立. 4. 对每一 \( 0 \leq s < T \) 和 \( {x}_{0} \in X,\left( 1\right) \) 有惟一解 \( x\left( t\right) \) \( = U\left( {t, s}\right) {x}_{0} \) . 5. 若 \( f\left( t\right) \) 在 \( \left\lbrack {s, T}\right\rbrack \) 上是赫尔德连续的,则对每 \( - {x}_{0} \in X \) ,柯西问题 \[ {x}^{\prime } + A\left( t\right) x\left( t\right) = f\left( t\right) \;\left( {0 \leq s < t \leq T}\right) , \] \( x\left( s\right) = {x}_{0} \) 有惟一古典解 \[ x\left( t\right) = U\left( {t, s}\right) {x}_{0} + {\int }_{s}^{t}U\left( {t,\sigma }\right) f\left( \sigma \right) \mathrm{d}\sigma . \] 容许子空间 (admissible subspace) 为了刻画线性发展方程的双曲性而引入的概念. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( Y \) 是 \( X \) 的一个子空间按范数 \( \parallel \cdot {\parallel }_{Y} \) 是闭的且范数 \( \parallel \cdot {\parallel }_{Y} \) 强于 \( X \) 中的范数 \( \parallel \cdot \parallel \) ,即存在正常数 \( C \) ,使得 \( \parallel x\parallel \leq C\parallel x{\parallel }_{Y} \) 对一切 \( x \in Y \) 成立. 对于具生成元 \( A \) 的 \( {C}_{0} \) 半群 \( T\left( t\right) \) ,子空间 \( Y \) 称为 \( A \) 容许的,若 \( T\left( t\right) Y \subset Y \) 对 \( t \geq 0 \) 成立和 \( T\left( t\right) \) 在 \( Y \) 中的限制是 \( Y \) 中的一个 \( {C}_{0} \) 半群 (即按范数 \( \parallel \cdot {\parallel }_{Y} \) 是强连续的). 有以下结论: 设 \( T\left( t\right) \) 是具生成元 \( A \) 的 \( {C}_{0} \) 半群, \( X \) 的子空间 \( Y \) 是 \( A \) 容许的,当且仅当存在常数 \( \omega \in \mathrm{R} \) 使得当 \( \lambda > \omega \) 时 \( {\left( \lambda I - A\right) }^{-1}Y \subset Y \) ,且 \( A \) 在 \( Y \) 中的部分 \( \widetilde{A} : D\left( \widetilde{A}\right) = \{ x \in D\left( A\right) \) ,和 \( {Ax} \in Y\} \) 对 \( x \) \( \in D\left( \widetilde{A}\right) ,\widetilde{A}x = {Ax} \) 是 \( Y \) 上的一个 \( {C}_{0} \) 半群的生成元. 生成元的稳定族 (stable families of generators) 构造双曲发展系统所需的概念. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( X \) 上的 \( {C}_{0} \) 半群的生成元族 \( \{ A\left( t\right) {\} }_{t \in \left\lbrack {0, T}\right\rbrack } \) 称为是稳定的,如果存在常数 \( M \geq 1 \) 和 \( \omega \) (称为稳定常数), 使得 \( \rho \left( {A\left( t\right) }\right) \supset \left( {\omega , + \infty }\right) \) 对于 \( t \in \left\lbrack {0, T}\right\rbrack \) 成立,且 \[ \begin{Vmatrix}{\mathop{\prod }\limits_{{j = 1}}^{k}{\left( \lambda I - A\left( {t}_{j}\right) \right) }^{-1}}\end{Vmatrix} \leq M{\left( \lambda - \omega \right) }^{-k} \] 对于 \( \lambda > \omega \) 及每一有限序列 \[ 0 \leq {t}_{1} \leq {t}_{2} \leq \cdots \leq {t}_{k} \leq T\;\left( {k = 1,2,\cdots }\right) \] 成立. 有关结论是: 设 \( \{ A\left( t\right) {\} }_{t \in \left\lbrack {0, T}\right\rbrack } \) 是生成元的稳定族,具稳定常数 \( M \) 和 \( \omega \) . 设 \( B\left( t\right) \left( {0 \leq t \leq T}\right) \) 是 \( X \) 上的有界线性算子. 如果 \( \parallel B\left( t\right) \parallel \leq K \) 对 \( t \in \left\lbrack {0, T}\right\rbrack \) 成立,则 \( \{ A\left( t\right) + B\left( t\right) {\} }_{t \in \left\lbrack {0, T}\right\rbrack } \) 是一个生成元的稳定族, 具稳定常数 \( M \) 和 \( \omega + {KM} \) . 双曲发展系统 (hyperbolic evolution system) 一类重要的线性发展方程. 巴拿赫空间 \( X \) 中的线性发展方程 \[ {x}^{\prime }\left( t\right) = A\left( t\right) x\left( t\right) \;\left( {0 \leq s \leq t \leq T}\right) , \] \[ x\left( s\right) = {x}_{0} \] (1) 若满足下列条件, 则称它为双曲型的: 1. \( \{ A\left( t\right) {\} }_{t \in \left\lbrack {0, T}\right\rbrack } \) 是一个生成元的稳定族,具稳定常数 \( M \) 和 \( \omega \) . 2. 存在 \( X \) 的一个子空间 \( Y \) ,使得对一切 \( t \in \lbrack 0 \) , \( T\rbrack, Y \) 是 \( A\left( t\right) \) 容许的,且 \( A\left( t\right) \) 在 \( Y \) 中的部分族 \( \{ \widetilde{A}\left( t\right) {\} }_{t \in \left\lbrack {0, T}\right\rbrack } \) 在 \( Y \) 中是稳定的,具稳定常数 \( \widetilde{M} \) 和 \( \widetilde{\omega } \) . 3. 对 \( t \in \left\lbrack {0, T}\right\rbrack, Y \subset D\left( {A\left( t\right) }\right), A\left( t\right) : Y \rightarrow X \) 有界,且 \( t \rightarrow A\left( t\right) \) 依 \( L\left( {Y, X}\right) \) 中的范数连续. 关于双曲型发展方程有下述结论: 若 (1) 是双曲型的,则存在惟一的发展系统 \( U\left( {t, s}\right) (0 \leq s \leq t \leq \) \( T) \) ,若它满足下列条件,则 \( x\left( t\right) \) 是 (1) 的惟一解: 1. \( \parallel U\left( {t, s}\right) \parallel \leq M{\mathrm{e}}^{\omega \left( {t - s}\right) } \) 对 \( 0 \leq s \leq t \leq T \) 成立. 2. \( {\left. \frac{{\partial }^{ + }}{\partial t}U\left( t, s\right) y\right| }_{t = s} = A\left( s\right) y \) 对 \( y \in Y,0 \leq s \leq t \leq T \) 成立. 3. \( \frac{\partial }{\partial s}U\left( {t, s}\right) y = - U\left( {t, s}\right) A\left( s\right) y \) 对于 \( y \in Y,0 \leq \) \( s \leq t \leq T \) 成立. 4. 若 \( U\left( {t, s}\right) Y \subset Y \) 对 \( 0 \leq s \leq t \leq T \) 成立且 \( x\left( t\right) \) \( = U\left( {t, s}\right) y \) 对 \( y \in Y,0 \leq s \leq t \leq T \) 在 \( Y \) 中连续. \( {C}_{0} \) 半群的渐近稳定性 (asymptotic stability of \( {C}_{0} \) -semigroups) \( {C}_{0} \) 半群理论的一个重要概念. 设 \( T\left( t\right) \) 是巴拿赫空间 \( X \) 中的一个 \( {C}_{0} \) 半群 (即强连续有界线性算子半群), \( A \) 是它的生成元. \( T\left( t\right) \) 称为渐近稳定的,若对每一 \( x \in X \) , \[ \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow \infty }}\parallel T\left( t\right) x\parallel = 0. \] 设 \( \sigma \left( A\right) \) 和 \( {\sigma }_{c}\left( A\right) \) 分别表示 \( A \) 的谱和连续谱,有如下非常基本的结论: 设 \( T\left( t\right) \) 是巴拿赫空间 \( X \) 中的一个 \( {C}_{0} \) 半群具生成元 \( A \) . 若存在正常数 \( M \) ,使得 \( \parallel T\left( t\right) \parallel \leq M \) 对 \( t \geq 0 \) 成立,且 \( \sigma \left( A\right) \cap \mathrm{i}R \subset {\sigma }_{c}\left( A\right) \) ,并且是可数的,则 \( T\left( t\right) \) 渐近稳定. 反之,若 \( T\left( t\right) \) 渐近稳定,则 \( \parallel T\left( t\right) \parallel \leq M \) 对 \( t \geq 0 \) 成立和 \( \operatorname{Re}\lambda \leq 0 \) 对于一切 \( \lambda \in \sigma \left( A\right) \) 成立,同时纯虚数至多是 \( A \) 的连续谱. \( {C}_{0} \) 半群的指数稳定性 (exponential stability of \( {C}_{0} \) -semigroups) \( {C}_{0} \) 半群理论的一个重要概念. 巴拿赫空间 \( X \) 中的一个 \( {C}_{0} \) 半群 \( T\left( t\right) \) 称为指数稳定的,若存在正常数 \( M \) 和 \( \sigma \) ,使得 \( \parallel T\left( t\right) \parallel \leq M{\mathrm{e}}^{-{\sigma t}} \) 对 \( t \) \( \geq 0 \) 成立. 设 \( A \) 是 \( {C}_{0} \) 半群 \( T\left( t\right) \) 的生成元, \( \rho \left( A\right) \) 和 \( \sigma \left( A\right) \) 分别表示 \( A \) 的预解集和谱: 1. 设 \( T\left( t\right) \) 是希尔伯特空间 \( H \) 中的一个 \( {C}_{0} \) 半群,则 \( T\left( t\right) \) 是指数稳定的,当且仅当如下条件之一成立: 1) \( \{ \lambda \mid \operatornam

2000_数学辞海（第3卷）

\parallel T\left( t\right) \parallel \leq M \) 对 \( t \geq 0 \) 成立,且 \( \sigma \left( A\right) \cap \mathrm{i}R \subset {\sigma }_{c}\left( A\right) \) ,并且是可数的,则 \( T\left( t\right) \) 渐近稳定. 反之,若 \( T\left( t\right) \) 渐近稳定,则 \( \parallel T\left( t\right) \parallel \leq M \) 对 \( t \geq 0 \) 成立和 \( \operatorname{Re}\lambda \leq 0 \) 对于一切 \( \lambda \in \sigma \left( A\right) \) 成立,同时纯虚数至多是 \( A \) 的连续谱. \( {C}_{0} \) 半群的指数稳定性 (exponential stability of \( {C}_{0} \) -semigroups) \( {C}_{0} \) 半群理论的一个重要概念. 巴拿赫空间 \( X \) 中的一个 \( {C}_{0} \) 半群 \( T\left( t\right) \) 称为指数稳定的,若存在正常数 \( M \) 和 \( \sigma \) ,使得 \( \parallel T\left( t\right) \parallel \leq M{\mathrm{e}}^{-{\sigma t}} \) 对 \( t \) \( \geq 0 \) 成立. 设 \( A \) 是 \( {C}_{0} \) 半群 \( T\left( t\right) \) 的生成元, \( \rho \left( A\right) \) 和 \( \sigma \left( A\right) \) 分别表示 \( A \) 的预解集和谱: 1. 设 \( T\left( t\right) \) 是希尔伯特空间 \( H \) 中的一个 \( {C}_{0} \) 半群,则 \( T\left( t\right) \) 是指数稳定的,当且仅当如下条件之一成立: 1) \( \{ \lambda \mid \operatorname{Re}\lambda \geq 0\} \subset \rho \left( A\right) \) 和 \( \sup \left\{ {\begin{Vmatrix}{\left( \lambda - A\right) }^{-1}\end{Vmatrix} \mid }\right. \) \( \operatorname{Re}\lambda \geq 0\} < + \infty \) . 2) 存在 \( p \geq 1 \) ,使得 \[ {\int }_{0}^{+\infty }{\left| \left( T\left( t\right) x, y\right) \right| }^{p}\mathrm{\;d}t < + \infty \] 对一切 \( x, y \in H \) 成立. 3) 存在一个有界正线性算子 \( B,\left( {{Bx}, x}\right) > 0 \) 对一切 \( x \neq 0 \) ,使得 \( 2\operatorname{Re}\left( {{BAx}, x}\right) = - \parallel x{\parallel }^{2} \) 对一切 \( x \in D\left( A\right) \) 成立. 2. 设 \( T\left( t\right) \) 是巴拿赫空间 \( X \) 中的一个 \( {C}_{0} \) 半群, 若 \( T\left( t\right) \) 对 \( t > 0 \) 按一致算子拓扑连续 (比如当 \( T\left( t\right) \) 是解析的、可微的或紧致半群时),则 \( T\left( t\right) \) 指数稳定的充分必要条件是 \( \sup \{ \operatorname{Re}\lambda \mid \lambda \in \sigma \left( A\right) \} < 0 \) . 非线性算子半群的稳定性 (stability of nonlinear operator semigroups) 非线性算子半群理论的一个重要概念. 设 \( \{ S\left( t\right) \mid t \geq 0\} \) 是巴拿赫空间 \( X \) 中的一个闭集 \( C \) 上的非线性算子半群, \( 0 \in C \) 且是 \( S \) 的平衡点,即 \( S\left( t\right) 0 = 0 \) 对 \( t \geq 0 \) 成立. 零点称为对 \( S\left( t\right) \) 是稳定的,若对 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,使得对一切 \( t \geq 0 \) ,只要 \( x \in C,\parallel x\parallel < \delta \) 就有 \( \parallel S\left( t\right) x\parallel < \varepsilon \) ; 称为一致渐近稳定的, 若它是稳定的并且存在一个邻域 \( U = \{ x \in C \mid \parallel x\parallel < r\} \) ,使得 \[ \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow \infty }}\parallel S\left( t\right) x\parallel = 0 \] 对 \( x \in U \) 是一致的. \( C \) 上的一个连续实值函数 \( V \) 称为李亚普诺夫函数, 若 \[ \dot{V}\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow {0}^{ + }}}\frac{1}{t}\{ V\left( {S\left( t\right) x}\right) - V\left( x\right) \} \leq 0 \] 对一切 \( x \in C \) 成立. 关于非线性算子半群的稳定性, 有下述结论: 设 \( \{ S\left( t\right) \mid t \geq 0\} \) 是巴拿赫空间 \( X \) 中的一个闭集 \( C \) 上的非线性算子半群,0 是它在 \( C \) 上的平衡点, \( V \) 是李亚普诺夫函数,满足 \( V\left( 0\right) = 0, V\left( x\right) \geq C\left( {\parallel x\parallel }\right) \) 对 \( x \) \( \in C \) 成立,这里 \( C\left( \cdot \right) \) 是严格增函数, \( C\left( 0\right) = 0, C\left( r\right) \) \( > 0 \) 对 \( r > 0 \) ,那么零点是稳定的. 若附加假设 \( \dot{V}\left( x\right) \) \( \leq - {C}_{1}\left( {\parallel x\parallel }\right) \) ,这里 \( {C}_{1}\left( \cdot \right) \) 亦是一个单增非负函数, \( {C}_{1}\left( 0\right) = 0 \) ,那么零点是一致渐近稳定的. 对于非线性算子半群的不变原理 (invariance principle for nonlinear operator semigroups) 关于 \( \omega \) 极限集对于半群的不变性. 设 \( \{ S\left( t\right) \mid t \geq 0\} \) 是巴拿赫空间 \( X \) 中的闭集 \( C \) 上的一个非线性算子半群. 一个集合 \( K \subset C \) 称为对 \( S \) 是不变的,若对任一 \( {x}_{0} \in K \) , 存在一条连续曲线 \( x : \mathrm{R} \rightarrow K \) 具 \( x\left( 0\right) = {x}_{0} \) 和 \( S\left( t\right) x\left( \tau \right) = x\left( {t + \tau }\right) \) 对 \( t > 0, - \infty < \tau < + \infty \) 成立. 若 \( {x}_{0} \in C \) ,那么,集合 \( \omega \left( {x}_{0}\right) = \{ x \in C \mid \) 存在 \( {t}_{n} \rightarrow \infty \) 使得 \( \left. {S\left( {t}_{n}\right) {x}_{0} \rightarrow x}\right\} \) 称为 \( {x}_{0} \) 关于 \( S \) 的 \( \omega \) 极限集. 1. 设 \( {x}_{0} \in C \) 和 \( \left\{ {S\left( t\right) {x}_{0} \mid t \geq 0}\right\} \) 是 \( C \) 中一个紧子集,则 \( \omega \left( {x}_{0}\right) \) 是一个非空连通的紧不变集,当 \( t \rightarrow + \infty \) 时, \( \operatorname{dist}\left( {S\left( t\right) {x}_{0},\omega \left( {x}_{0}\right) }\right) \rightarrow 0 \) . 2. 设 \( V \) 是 \( C \) 上的一个李亚普诺夫函数, \( E = \{ x \) \( \in C \mid \dot{V}\left( x\right) = 0\}, M \) 是 \( E \) 的最大不变子集,若 \( \{ S\left( t\right) \) \( \left. {{x}_{0} \mid t \geq 0}\right\} \) 是 \( C \) 的一个紧子集,则当 \( t \rightarrow + \infty \) 时, \[ S\left( t\right) {x}_{0} \rightarrow M. \] ## 随机微分方程 随机微分方程 (stochastic differential equation) 含有随机因素的微分方程通常称为随机微分方程. 但是, 随机常微分方程常习惯地被简称随机微分方程. 一般地, 如果在常微分方程的已知函数 (代表外力的部分) 或初始值中含有随机因素, 就成为随机微分方程. 对这种方程,只要固定其中的随机参量 \( \omega \) , 就变成了普通的常微分方程. 由此得到的解在 \( \omega \) 变动时就是一个随机过程. 与常微分方程不同之处是, 人们并不真需要知道这个随机过程的所有轨道, 而只需要知道该过程在各个不同时刻的联合分布, 或者甚至只需要知道这个随机过程在不同时刻的分布及它们的相关情况. 其中更想知道的是这个过程的数学期望函数、方差函数与相关函数等所满足的微分方程. 这方面的研究, 只需要相对地较为初等的概率论知识, 但是, 在工程、生化等领域中却具有宽广的应用前景. 然而, 更为瞩目的是一类与上面完全不同的随机微分方程, 这就是伊滕清从 20 世纪 40 年代末开始发展起来的伊滕 (随机微分) 方程及其推广. 这种方程的研究需要更多的随机过程知识, 所以实际上它已不再属于微分方程的范畴, 更确切地说, 它是概率论中随机过程论的一个分支. 伊滕方程的原始模型是 1908 年郎之万 (Langevin, P. ) 在研究质点在摩擦力作用下的无规则随机运动所导出的郎之万方程: \[ {X}_{t} = - \alpha {X}_{t} + \frac{V}{m}\frac{\mathrm{d}{B}_{t}}{\mathrm{\;d}t}\;\left( {\alpha > 0}\right) , \] 其中 \( \mathrm{d}{B}_{t}/\mathrm{d}t \) 是指高斯白噪声过程,伊滕方程就指含有高斯白噪声或由它产生的有色噪声驱动力的随机微分方程. 这里所谓的 “高斯白噪声”直观地就是指维纳过程 \( {B}_{t} \) (在随机过程论中也称为布朗运动) 的 “按轨道微商”. 但是在数学中布朗运动的轨道虽然是连续的 (即是时间的连续函数), 然而这种轨道是处处不可微的, 于是在物理要求与数学处理之间呈现了矛盾. 伊滕清首先克服了这个困难, 注意到了不可能按轨道地定义对 \( \mathrm{d}{B}_{t} \) 的积分,他定义了一种不是按轨道的积分 (以后被大家称为伊滕积分). 简略地,令 \( {B}_{t} \) 为一个连续轨道的 \( m \) 维独立增量过程,而且增量 \( {B}_{t + s} - {B}_{s} \) 遵从数学期望为零向量且方差矩阵为 \( {tI} \) ( \( I \) 为 \( m \times m \) 单位阵) 的正态分布 (这就是 \( m \) 维布朗运动). 伊滕清把不依赖 \( {B}_{t} \) 的将来值的随机过程称为不可预期的过程,对于一个 \( d \times m \) 矩阵值的不可预期的过程 \( {\varphi }_{t} \) ,他选取了适当的矩阵值不可预期的阶梯过程列 \[ {\varphi }_{s}^{\left( n\right) } \triangleq \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{{{N}^{\left( n\right) } - 1}}{\varphi }_{{t}_{i}^{\left( n\right) }}^{\left( n\right) }{I}_{\left( {t}_{i}^{\left( n\right) },{t}_{i + 1}^{\left( n\right) }\right\rbrack }\left( s\right) , \] 其中 \( {t}_{{N}^{\left( n\right) }} = t,{I}_{\left( {t}_{i}^{\left( n\right) },{t}_{i + 1}^{\left( n\right) }\right\rbrack }\left( s\right) \) 是 \( \left( {{t}_{i}^{\left( n\right) },{t}_{i + 1}^{\left( n\right) }}\right\rbrack \) 的示性函数,并定义 \[ {\int }_{{t}_{0}}^{t}{\varphi }_{s}\mathrm{\;d}{B}_{s} \] 为 \[ \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{{{N}^{\left( n\right) } - 1}}{\varphi }_{{t}_{i}^{\left( n\right) }}^{\left( n\right) }\left( {{B}_{{t}_{i + 1}^{\left( n\right) }} - {B}_{{t}_{i}^{\left( n\right) }}}\right) \] 在 \( n \rightarrow \infty \) 时的随机极限 (概率极限). 引进了伊滕积分以后, 只要把伊滕随机微分方程形式地积分, 就转变成为具有完全确切含义的随机积分方程, 它也称为伊滕方程. 一个伊滕积分 \[ {\int }_{{t}_{0}}^{t}{\varphi }_{s}\mathrm{\;d}{B}_{d} \] 与一个不可预期的过程 \( {\Psi }_{s} \) 按轨道的积分 \[ {\int }_{{t}_{0}}^{t}{\Psi }_{s}\mathrm{\;d}s \] 及一个不依赖 \( {B}_{s} \) 在 \( {t}_{0} \) 以后值的随机变量 \( {\xi }_{{t}_{0}} \) 的和, 记为 \( {X}_{t} \) ,称为伊滕过程. 通常也称 \( {X}_{t} \) 具有随机微分 (记为 \( \mathrm{d}{X}_{t}){\varphi }_{t}\mathrm{\;d}{B}_{t} + {\Psi }_{t}\mathrm{\;d}t \) . 对于关于 \( t \) 有一阶连续偏导数、对 \( x \) 具有二阶连续偏导数的函数 \( F\left( {t, x}\right) \) ,伊滕过程 \( {X}_{t} \) 的复合过程 \( {Y}_{t} = F\left( {t,{X}_{t}}\right) \) 仍是一个伊滕过程, 它具有随机微分 \[ \mathrm{d}F\left( {t,{X}_{t}}\right) = \left( {{F}_{t}\left( {t,{X}_{t}}\right) + {F}_{x}\left( {t,{X}_{t}}\right) {\Psi }_{t} + }\right. \] \[ \left. {\frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{d}{F}_{{x}_{i}{x}_{j}}\left( {t,{X}_{t}}\right) {\varphi }_{t}{\varphi }_{t}^{T}}\right) \mathrm{d}t \] \[ + {F}_{x}\left( {t,{X}_{t}}\right) {\varphi }_{t}\mathrm{\;d}{B}_{t}, \] 其中 \( x = \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{d}}\right) ,{F}_{x} \equiv \left( {{F}_{{x}_{1}},{F}_{{x}_{2}},\cdots ,{F}_{{x}_{d}}}\right) \) ,下标指偏导数, \( {\varphi }^{T} \) 是 \( {\varphi }_{t} \) 的转置. 这个公式是伊滕微积分中的基本公式. 它相当于普通微积分中的复合函数的微分公式, 称为伊滕公式. 作为特例, 对于二阶连续可微函数 \( F\left( x\right) \) 有 \[ F\left( {B}_{t}\right) - F\left( {B}_{0}\right) \] \[ = {\int }_{0}^{t}{F}^{\prime }\left( {B}_{t}\right) \mathrm{d}{B}_{t} + \frac{1}{2}{\int }_{0}^{t}{F}^{\prime \prime }\left( {B}_{s}\right) \mathrm{d}s. \] 这与斯蒂尔杰斯形式的牛顿-莱布尼茨微积分基本公式不同,它多了一个包含 \( {F}^{\prime \prime } \) 的项. 这是由于当 \( t \) 小时, \( {B}_{t} \) 相当于 \( {t}^{\frac{1}{2}} \) 阶无穷小所决定的. 伊滕清最先考虑了下述方程 (伊滕方程) \[ \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{d}{X}_{t} = \sigma \left( {t,{X}_{t}}\right) \mathrm{d}{B}_{t} + b\left( {t,{X}_{t}}\right) \mathrm{d}t, \\ {X}_{{t}_{0}} = {\xi }_{{t}_{0}}. \end{array}\right. \] 与常微分方程类似地,如果想要在整个 \( t > 0 \) 处伊滕方程有解 \( {X}_{t} \) ,就必须对系数 \( \sigma \) 与 \( b \) 严格限制. 在较强的条件,例如 \( \sigma, b \) 满足一致李普希茨条件并且 \( \sigma {\sigma }^{T}, b \) 满足线性增长条件下,解存在惟一且可以通过类似于常微分方程的迭代过程而获得. 如果减弱一些条件, 例如局部李普希茨条件, 那么就有必要定义局部解,此时惟一地存在一个不依赖 \( {B}_{t} \) 的将来值的随机变量 \( \zeta \) ,使解的最大存在区间为 \( 0 \leq t < \zeta \) . 这个 \( \zeta \) 称为解的爆炸时刻. 如果以概率为 1 有 \( \zeta = + \infty \) ,那么,解 \( {X}_{t} \) 以概率为 1 存在 \( 0 \leq t < + \infty \) . 这种情形称为保守情形, 它具有特殊的重要性. 伊滕随机微分方程的解 \( {X}_{t} \) 是一个马尔可夫过程. 在一定条件下, 这个过程具有转移密度, 它是一个二阶抛物型偏微分方程的基本解. 这个抛物型方程称为柯尔莫哥洛夫方程. 20 世纪 30 年代初, 柯尔莫哥洛夫 (Ko. I Moropo, A. H. ) 关于马尔可夫过程的这一方面的研究, 也是随机方程发展的重要背景. 这样, 伊滕方程的解, 马尔可夫过程 (其中特别是扩散过程) 及偏微分方程就联系起来了. 可见, 与伊滕方程研究相联系更多的是偏微分方程, 而不是常微分方程. 只有在少数情况下, 伊滕方程的解才具有明显的表达式. 解的存在性、惟一性、稳定性、平稳解、常返性、增长速度等也是研究的重要方面. 基赫曼 \( \left( {{\Gamma }_{\mathrm{{HXMaH}}},\mathrm{H}.\mathrm{H}.\mathrm{H}.}\right) \) 几乎与伊滕清同时地独立地提出并研究了伊滕方程. 利用 20 世纪 60 年代末由斯特鲁克 (Stroock, D. W. ) 与伐拉丹 (Varadlhan, S. R. S. ) 发展的鞅方法与弱解理论来研究随机微分方程弱解的存在惟一性, 可以解除用随机微分方程研究扩散过程时对特定的布朗运动的依赖性, 成为随机微分方程中的重要方法. 伊滕方程有多方面的推广, 例如过程的取值可以在微分流形上,也可以在巴拿赫空间中取值; 驱动力可以加进泊松白噪声, 这样的随机微分方程是用来研究具间断轨道的马尔可夫过程的. 迈耶 (Meyer, P. ) 为首的斯特拉斯堡学派在 20 世纪 60 年代发展起来的半鞅理论, 使随机微分方程有了重大的发展,在广义函数空间 \( {\mathcal{S}}^{\prime } \) 取值的随机微分方程,是数学物理学家重视的方向. 斯各洛霍特 \( ( \) Ckopoxon, A. B. ) 在 20 世纪 70 年代发展的不可料过程的随机积分及其随机微分方程, 以及随机线积分和相应的随机微分方程等, 也都得到数学物理学家的重视. 对较好的系数 \( \sigma \left( {t, x}\right)

2000_数学辞海（第3卷）

_{t} \) 以概率为 1 存在 \( 0 \leq t < + \infty \) . 这种情形称为保守情形, 它具有特殊的重要性. 伊滕随机微分方程的解 \( {X}_{t} \) 是一个马尔可夫过程. 在一定条件下, 这个过程具有转移密度, 它是一个二阶抛物型偏微分方程的基本解. 这个抛物型方程称为柯尔莫哥洛夫方程. 20 世纪 30 年代初, 柯尔莫哥洛夫 (Ko. I Moropo, A. H. ) 关于马尔可夫过程的这一方面的研究, 也是随机方程发展的重要背景. 这样, 伊滕方程的解, 马尔可夫过程 (其中特别是扩散过程) 及偏微分方程就联系起来了. 可见, 与伊滕方程研究相联系更多的是偏微分方程, 而不是常微分方程. 只有在少数情况下, 伊滕方程的解才具有明显的表达式. 解的存在性、惟一性、稳定性、平稳解、常返性、增长速度等也是研究的重要方面. 基赫曼 \( \left( {{\Gamma }_{\mathrm{{HXMaH}}},\mathrm{H}.\mathrm{H}.\mathrm{H}.}\right) \) 几乎与伊滕清同时地独立地提出并研究了伊滕方程. 利用 20 世纪 60 年代末由斯特鲁克 (Stroock, D. W. ) 与伐拉丹 (Varadlhan, S. R. S. ) 发展的鞅方法与弱解理论来研究随机微分方程弱解的存在惟一性, 可以解除用随机微分方程研究扩散过程时对特定的布朗运动的依赖性, 成为随机微分方程中的重要方法. 伊滕方程有多方面的推广, 例如过程的取值可以在微分流形上,也可以在巴拿赫空间中取值; 驱动力可以加进泊松白噪声, 这样的随机微分方程是用来研究具间断轨道的马尔可夫过程的. 迈耶 (Meyer, P. ) 为首的斯特拉斯堡学派在 20 世纪 60 年代发展起来的半鞅理论, 使随机微分方程有了重大的发展,在广义函数空间 \( {\mathcal{S}}^{\prime } \) 取值的随机微分方程,是数学物理学家重视的方向. 斯各洛霍特 \( ( \) Ckopoxon, A. B. ) 在 20 世纪 70 年代发展的不可料过程的随机积分及其随机微分方程, 以及随机线积分和相应的随机微分方程等, 也都得到数学物理学家的重视. 对较好的系数 \( \sigma \left( {t, x}\right), b\left( {t, x}\right) \) ,国田宽 (Hiroshi Kunita) 证明了: 除了一个 \( w \) 的零测度 (零概率) 集合外,初值为 \( x \) 的伊滕方程的解可以取成随机流,即对 \( \varphi (t \) , \( x, w) \triangleq {X}_{t}\left( w\right) \) ,有 \[ \varphi \left( {t + s, x, w}\right) = \varphi \left( {t,\varphi \left( {s, x, w}\right) ,{\theta }_{s}w}\right) , \] 其中 \( {\theta }_{s}w \) 是轨道 \( w \) 的 \( s \) -时间推移. 伊滕方程 (Ito equation) 见 “随机微分方程”. 伊滕积分 (Ito integral) 见 “随机微分方程”. 伊滕公式 (Ito formula) 见“随机微分方程”. 撰 稿 叶大卫 庄 万 孙丽华 孙建华 何崇佑 余澍祥 张炳根 陈 勇 陈玉波 陈秀东 范弘毅 罗定军 郑祖庥 原文志 袁 荣 黄发伦 龚光鲁 盛立人 崔克忍 蒋继发 审 阅 叶彦谦 史金麟 李翊神 余澍祥 张芷芬 陈绍著 林振声 金福临 高维新 黄启昌 曹之江 ## 偏 微 分 方 程 偏微分方程论 (theory of partial differential equations) 包含多元函数的偏导数的等式称为偏微分方程. 偏微分方程理论则是研究这类方程的一个数学分支学科,一般亦称为偏微分方程. 客观世界的物理量一般可能表示成时间 \( t \) 与空间位置坐标 \( \left( {{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}}\right) \) 的函数 \( u\left( {t,{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}}\right) \) ,它的变化规律往往表现为它关于时间和空间坐标的各阶变化率之间的关系,即函数 \( u \) 与 \( u \) 的各阶偏导数之间的等式. 例如,一个均匀的传热物体的温度 \( u = u\left( {t,{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}}\right) \) 就满足等式 \[ \frac{\partial u}{\partial t} = {a}^{2}\left( {\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {y}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {z}^{2}}}\right) \text{(}a\text{是常数).} \] (1) 这样一类包含未知函数及其偏导数的等式称为偏微分方程. 由几个偏微分方程所构成的等式组 (未知函数也可以是几个)称为偏微分方程组. 偏微分方程或偏微分方程组中所含偏导数的最高阶数称为此方程或方程组的阶. 例如, 热传导方程 (1) 是二阶偏微分方程. \( n \) 个自变量的函数 \( u\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 的一阶偏微分方程的一般形状是 \[ F\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u,\frac{\partial u}{\partial {x}_{1}},\frac{\partial u}{\partial {x}_{2}},\cdots ,\frac{\partial u}{\partial {x}_{n}}}\right) = 0, \] 其中 \( F \) 是 \( {2n} + 1 \) 个变元的函数. 在微积分理论形成不久的 18 世纪, 人们就研究用微分方程来描述物理问题, 并针对具体的物理问题求解. 人们最早研究的是弦的横振动方程 \[ \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {t}^{2}} = {a}^{2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}^{2}} \] 达朗贝尔 (D'Alembert, J. le R. ) 最先得出它的通解 \[ u\left( {t, x}\right) = \varphi \left( {x + {at}}\right) + \psi \left( {x - {at}}\right) , \] 其中 \( \varphi \) 与 \( \psi \) 是任意函数; 丹尼尔第一・伯努利 (Bernoulli, Daniel I ) 从弦的声音是由基音和泛音叠加而成的观点出发, 认为方程的所有可能的解是 \[ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{A}_{n}\sin \frac{n\pi x}{l}\cos \frac{n\pi at}{l} \] 的形状,其中 \( l \) 是弦长; 达朗贝尔、欧拉 (Euler, L. ) 和拉格朗日 (Lagrange, J.-L. ) 还研究了两端固定的弦满足初始条件 \[ u\left( {0, x}\right) = f\left( x\right) ,\;\frac{\partial u}{\partial t}\left( {0, x}\right) = 0 \] 的解, 并对解的允许函数进行了激烈的争论. 欧拉和拉格朗日在流体力学的工作中, 勒让德 (Legendre, A. -M. ) 与拉普拉斯 (Laplace, P. -S. ) 在天体力学的工作中都研究了调和方程. 在流体力学的论文中, 柯西 (Cauchy, A. ) 得到了现在所称的柯西-黎曼方程组, 欧拉得出了理想流体动力学方程组. 18 世纪末, 蒙日 (Monge, G. ) 开创了用几何解释偏微分方程的思想, 对一阶和二阶非线性方程建立了完整的特征理论. 19 世纪, 傅里叶 (Fourier, J. -B. -J. ) 系统研究了热传导方程, 阐述了把有界区间上初边值问题的解表为三角级数或贝塞尔函数、勒让德函数的级数的一般分离变量法, 对初值问题通过积分变换得出了解的表达式. 他的工作不仅使微分方程的发展迈出了重要的一步, 而且使人们把函数的概念从单个解析表达式中解放出来, 促进了函数论、级数理论的发展, 引起了人们对数学的逻辑基础的探讨. 同时, 还出现了许多现在以首创者命名的方程、公式和解法, 例如, 引力场的泊松方程, 泊松公式, 格林公式, 格林函数, 解二阶双曲型方程的黎曼方法, 粘性流体运动的纳维-斯托克斯方程, 柯西弹性力学方程组, 电磁波的麦克斯韦方程组. 这些成就对科学技术的发展起了巨大的推动作用, 例如, 麦克斯韦 (Maxwell, J. C. ) 预言电磁波以光速通过空间, 断言光是电磁现象, 鼓舞了洛伦兹 (Lorentz, H. A. ) 关于电子的学说和爱因斯坦 (Einstein, A. ) 关于相对论的研究. 柯西给出了第一个关于解的存在定理, 开创了偏微分方程的现代理论. 杜・布瓦-雷蒙 (Du Bois-Reymond, P. D. G. ) 提出把二阶线性偏微分方程分为椭圆、双曲和抛物三种类型. 到 19 世纪末, 二阶线性偏微分方程的一般理论已基本建立, 偏微分方程或者称数学物理方程这一学科开始形成. 20 世纪 30 年代起, 各种泛函分析方法陆续被应用于偏微分方程的研究. 20 世纪 40 年代, 绍德尔 (Schauder, J. P. ) 所采用的先验估计方法, 不仅完满地建立了一般二阶线性椭圆型方程的古典解理论, 而且为解决偏微分方程定解问题提供了非常有用的技巧. 20 世纪 40 年代末期出现的广义函数与索伯列夫空间理论, 为偏微分方程理论的进一步发展提供了基本的工具. 20 世纪 50 到 60 年代, 一方面作为线性分型方程理论的扩展和深入,一般线性偏微分算子理论得到了发展; 例如, 马尔格朗热 (Mal-grange, B. ) 和赫尔曼德尔 (Hörmander, L. ) 证明了一般常系数微分算子 \( P\left( D\right) \) 都有基本解,即满足 \( P\left( D\right) E = \delta \) 的解,这里 \( \delta \) 是狄喇克函数,并通过卷积 \( E * f \) 得到方程 \( P\left( D\right) u = f \) 的解; 卢伊 (Lewy, H. ) 给出了没有解的方程的例子, 表明变系数方程比常系数方程有更复杂的情况. 另一方面, 由于先验估计的深入发展, 拟线性椭圆和抛物方程理论有了重大的进展, 拟线性双曲方程 (组) 的间断解的研究也有许多好的成果. 近二三十年进展较快, 且在当前国际上有较多人研究的偏微分方程问题有: 在线性问题方面, 微分算子的概念已先后推广为拟微分算子、傅里叶积分算子和仿微分算子, 利用它们研究偏微分方程解的存在、解的光滑性、定解问题的惟一性、局部可解性、 解的奇性传播与反射等问题, 都取得了很好的结果. 微局部分析方法是新发展起来的重要工具, 利用它不仅解决了线性方程的许多新问题, 且被逐步推广应用于处理非线性问题. 在非线性问题方面, 研究得较多的有拟线性与完全非线性椭圆及抛物方程、非线性双曲方程、孤立波、自由边界问题、反应扩散方程、多重解和分歧解等. 研究中, 不动点理论、拓扑度、变分方法 (包括临界点理论)、上 (下) 解方法、单调算子理论、非线性半群、隐函数定理及变分不等式等方法和工具不断发展并得到了新的应用. 微分流形上的偏微分方程的研究也取得了许多深入的结果, 微分几何与偏微分方程的相互渗透成为一个重要的发展趋势. ## 偏微分方程的基本概念 偏微分方程 (partial differential equations) 包含多元函数的偏导数的等式. 亦指研究偏微分方程的一个数学分支. 包含未知多元函数的偏导数的一个等式称为偏微分方程; 如果等式不只一个, 就称为偏微分方程组. 出现在偏微分方程或偏微分方程组中的未知函数偏导数的最高阶数称为该偏微分方程或偏微分方程组的阶数. 例如, 热传导方程 \[ \frac{\partial u}{\partial t} = {a}^{2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}^{2}} \] 是二阶偏微分方程. 偏微分方程组 (system of partial differential equations) 见“偏微分方程”. 偏微分方程的阶 (order of partial differential equations) 见“偏微分方程”. 数学物理方程 (equation of mathematical physics) 一类重要的微分方程. 指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中产生的偏微分方程, 有时也包括和此有关的积分方程、微分积分方程和常微分方程. 如在物理学中描述波的传播的波动方程, 反映传热和扩散现象的热传导方程, 描述平衡现象或稳定过程的调和方程都是典型的数学物理方程. 线性偏微分方程 (linear partial differential equation) 一类重要的偏微分方程. 关于所有未知函数及其导数都是线性的偏微分方程称为线性偏微分方程. 例如, 拉普拉斯方程、热传导方程及波动方程都是线性偏微分方程. 非线性偏微分方程 (nonlinear partial differential equation) 关于 (某个) 未知函数或未知函数的某阶导数是非线性的偏微分方程. 在非线性偏微分方程 (组) 中, 如果含未知函数的偏导数的项都是线性的, 就称为半线性偏微分方程 (组); 如果对未知函数的最高阶导数是线性的, 就称为拟线性偏微分方程 (组); 如果对未知函数的最高阶偏导数是非线性的,则称为完全非线性偏微分方程 (组). 例如, \( {\Delta u} \) \( = {u}^{3} \) 是半线性方程,极小曲面方程 \[ \left( {1 + {u}_{y}^{2}}\right) {u}_{xx} - 2{u}_{x}{u}_{y}{u}_{xy} + \left( {1 + {u}_{x}^{2}}\right) {u}_{yy} = 0 \] 是拟线性方程, 蒙日-安培方程 \[ \det \left( {u}_{{x}_{i}{x}_{j}}\right) = f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \] 是完全非线性方程. 半线性偏微分方程 (semi-linear partial differential equation) 见“非线性偏微分方程”. 拟线性偏微分方程 (quasi-linear partial differential equation) 见“非线性偏微分方程”. 完全非线性偏微分方程 (totally nonlinear partial differential equation) 见 “非线性偏微分方程”. 偏微分方程的自由项 (free term of partial differential equation) 亦称非齐次项. 偏微分方程的基本概念. 偏微分方程 (组) 中不含未知函数及其导数的项称为偏微分方程的自由项. 例如, 泊松方程 \( {\Delta u} = f\left( x\right) \) 中的 \( f\left( x\right) \) 就是这个偏微分方程的自由项. 偏微分方程的非齐次项 (nonhomogeneous term of partial differential equation) 即 “偏微分方程的自由项”. 齐次偏微分方程 (homogeneous partial differential equations) 一类特殊而又重要的偏微分方程. 关于未知函数及其所有偏导数为齐次的偏微分方程称为齐次偏微分方程. 如调和方程就是齐次偏微分方程. 齐次 (次数不为零) 方程 (组) 的自由项必为零. 超定方程组 (overdetermined equation system) 一类偏微分方程组. 未知函数个数少于方程个数的偏微分方程组称为超定方程组. 当未知函数的个数多于方程的个数时称为欠定方程组, 当未知函数的个数等于方程的个数时称为确定方程组. 确定方程组一般就简称方程组. 欠定方程组 (underdetermined equation system) 见“超定方程组”. 确定方程组 (determined equation system) 见 “超定方程组”. 偏微分方程的解 (solutions of partial differential equation) 使偏微分方程变成恒等式的函数. 设函数 \( u \) 在区域 \( \Omega \) 中连续且具有偏微分方程中所出现的各阶连续偏导数,如果将函数 \( u \) 及其偏导数代入该方程后,能使方程在区域 \( \Omega \) 中成为自变量的恒等式,则称 \( u \) 为该偏微分方程在区域 \( \Omega \) 中的解, 也称 \( u \) 为偏微分方程的正则解或经典解. 偏微分方程的解 \[ u = u\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \] 在 \( n + 1 \) 维空间 \( \left( {u,{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 中是一个曲面,称为偏微分方程的积分曲面. 类似的概念可对偏微分方程组引入. 偏微分方程的积分曲面 (integral surface of partial differential equation) 见 “偏微分方程的解”. 正则解 (regular solution) 见 “偏微分方程的解”. 经典解 (classical solution) 见 “偏微分方程的解”. 广义解 (generalized solution) 亦称弱解. 偏微分方程经典解的推广. 许多描述实际物理现象的偏微分方程定解问题不可能有经典解. 例如,当 \( \psi \in \) \( {C}^{2}\left( \mathrm{R}\right) \) 时,弦振动方程柯西问题 \[ {u}_{tt} - {a}^{2}{u}_{xx} = 0\;\left( {t > 0, - \infty < x < + \infty }\right) , \] (1) \( u\left( {x,0}\right) = \psi \left( x\right) ,{u}_{t}\left( {x,0}\right) = 0\;\left( {-\infty < x < + \infty }\right) \) (2) 有惟一解 \[ u\left( {x, t}\right) = \frac{1}{2}\left\lbrack {\psi \left( {x + {at}}\right) + \psi \left( {x - {at}}\right) }\right\rbrack . \] (3) 如果弦的初始状态呈折线,即 \( \psi \left( x\right) \) 连续但在一些点上没有导数,则由 (3) 给出的 \( u\left( {x, t}\right) \) 只在 \( \psi \) 有二阶导数的那些点上满足方程 (1), 它不是柯西问题 (1), （2）在经典意义下的解, 但它却是在初始状态 (1) 下弦的真实物理状态, 因此称它为柯西问题 (1), (2) 的广义解. 对不同的偏微分方程定解问题 (甚至对同一定解问题), 可以有不同的广义解定义; 但它们都是经典解的推广, 因此, 经典解必定是广义解. 现代定义广义解的方法主要有两种: 一种是将经典解序列在某个函数空间中的极限定义为广义解, 称为强解. 一种是通过所给偏微分算子的共轭 (伴随) 算子来定义广义解, 称为弱解. 强解 (strong solution) 广义解的一种. 它是经典解序列在某个函数空间中的极限. 例如,对区域 \( \Omega \) 上的偏微分算子 \( L \) ,如果 \( u, f \in {L}^{2}\left( \Omega \right) \) ,且存在函数序列 \( {u}_{n} \in {C}^{\infty }\left( \Omega \right) \) ,满足 \[ {\begin{Vmatrix}{u}_{n} - u\end{Vmatrix}}_{{L}^{2}\left( \Omega \right) } \rightarrow 0, \] \[ {\begin{Vmatrix}L{u}_{n} - f\end{Vmatrix}}_{{L}^{2}\left( \Omega \right) } \rightarrow 0, \] 则称 \( u \) 为方程 \( {Lu} = f \) 的 \( {L}^{2} \) 强解. 对偏微分方程 \( {Lu} \) \( = f \) 的定解问题,如果 \( {u}_{n} \) 再满足相应的定解条件, 则称 \( u \) 是相应定解问题的 \( {L}^{2} \) 强解. 对于同一定解问题, 可以有不同的强解定义. 弱解 (weak solution) 广义解的一种. 它是通过所给偏微分算子的共轭 (伴随) 算子来定义的. 例如,对区域 \( \Omega \) 上的偏微分算子 \( L \) ,它的共轭 (伴随) 算子是 \( {L}^{ * } \) ,如果 \( u, f \in {L}^{2}\left( \Omega \right) \) ,且对任意函数 \( \psi \in \) \( {C}_{0}^{\infty }\left( \Omega \right) \) 都有 \[ {\int }_{\Omega }{\psi f}\mathrm{\;d}x = {\int }_{\Omega }u{L}^{ * }\psi \mathrm{d}x \] 则称 \( u \) 为方程 \( {Lu} = f \) 的 \( {L}^{2} \) 弱解. 对偏微分方程 \( {Lu} \) \( = f \) 的定解问题,如果再要求上述函数 \( \psi \) 满足所给边界条件的齐次共轭 (伴随) 边界条件,则称 \( u \) 是相应定解问题的 \( {L}^{2} \) 弱解,对于同一定解问题,可以有不同的弱解定义. 一般地, 强解都是弱解; 反之, 弱解不一定是强解. 定解条件 (deterministic conditions of solution) 为了确定偏微分方程的解对解函数附加的条件. 给定一个偏微分方程, 通常它只能描写某种状态或运动的一般规律, 还不能确定具体的状态或运动, 所以把这个方程称为泛定方程. 如果附加一些

2000_数学辞海（第3卷）

{2}\left( \Omega \right) } \rightarrow 0, \] \[ {\begin{Vmatrix}L{u}_{n} - f\end{Vmatrix}}_{{L}^{2}\left( \Omega \right) } \rightarrow 0, \] 则称 \( u \) 为方程 \( {Lu} = f \) 的 \( {L}^{2} \) 强解. 对偏微分方程 \( {Lu} \) \( = f \) 的定解问题,如果 \( {u}_{n} \) 再满足相应的定解条件, 则称 \( u \) 是相应定解问题的 \( {L}^{2} \) 强解. 对于同一定解问题, 可以有不同的强解定义. 弱解 (weak solution) 广义解的一种. 它是通过所给偏微分算子的共轭 (伴随) 算子来定义的. 例如,对区域 \( \Omega \) 上的偏微分算子 \( L \) ,它的共轭 (伴随) 算子是 \( {L}^{ * } \) ,如果 \( u, f \in {L}^{2}\left( \Omega \right) \) ,且对任意函数 \( \psi \in \) \( {C}_{0}^{\infty }\left( \Omega \right) \) 都有 \[ {\int }_{\Omega }{\psi f}\mathrm{\;d}x = {\int }_{\Omega }u{L}^{ * }\psi \mathrm{d}x \] 则称 \( u \) 为方程 \( {Lu} = f \) 的 \( {L}^{2} \) 弱解. 对偏微分方程 \( {Lu} \) \( = f \) 的定解问题,如果再要求上述函数 \( \psi \) 满足所给边界条件的齐次共轭 (伴随) 边界条件,则称 \( u \) 是相应定解问题的 \( {L}^{2} \) 弱解,对于同一定解问题,可以有不同的弱解定义. 一般地, 强解都是弱解; 反之, 弱解不一定是强解. 定解条件 (deterministic conditions of solution) 为了确定偏微分方程的解对解函数附加的条件. 给定一个偏微分方程, 通常它只能描写某种状态或运动的一般规律, 还不能确定具体的状态或运动, 所以把这个方程称为泛定方程. 如果附加一些条件 (如已知开始运动时的情况或在边界上受到的外部约束等) 后, 就能完全确定具体的状态或具体的运动, 则称这样的附加条件为定解条件. 表示开始情况的附加条件称为初始条件, 表示边界上受到约束的条件称为边界条件. 定解条件中给定的函数或值称为初值函数和边值函数. 边界条件 (boundary condition) 见 “定解条件”. 泛定方程 (universal equation) 见 “定解条件”. 定解问题 (deterministic problem of solution) 求给定泛定偏微分方程 (组) (在某个区域内) 并满足相应定解条件的解的问题. 根据不同的定解条件, 定解问题一般可分为初值问题、边值问题和混合问题三类. 初值问题 (initial value problem) 由偏微分方程的解在初始时刻的瞬时性态探讨它在以后时刻的性态的问题. 出现在偏微分方程 (组) 中的某个自变量有时可以赋予特殊的意义 (如时间 \( t \) ). 当对这样初值瞬间的自变量给予特定值 \( {t}_{0} \) 时,未知函数及其某些导数所取得的值称初始值. 用来确定初始值的条件称初始条件, 求满足方程 (组) 及给定初始条件的解的问题称为初值问题. 初值问题又称柯西问题, 初始值也称为柯西数据. 初始值 (initial value) 见“初值问题”. 初始条件 (initial condition) 见 “定解条件”及 “初值问题”. 柯西问题 (Cauchy problem) 见“初值问题”、 “一阶非线性方程的柯西问题”、“柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理”、“齐次波动方程柯西问题的解”及“非齐次波动方程柯西问题的解”. 边值问题 (boundary value problem) 定解问题之一. 只有边界条件的定解问题称为边值问题. 二阶偏微分方程 (组)一般有三种边值问题: 第一边值问题又称狄利克雷问题, 它的边界条件是给出未知函数本身在边界上的值; 第二边值问题又称诺伊曼边值问题或斜微商问题, 它的边界条件是给出未知函数关于区域边界的法向导数或非切向导数; 第三边值问题又称鲁宾问题, 它的边界条件是给出未知函数及其非切向导数的组合. 狄利克雷边值问题 (Dirichlet boundary value problem) 见“边值问题”. 诺伊曼边值问题 (Neumann boundary value problem) 见“边值问题”. 鲁宾边值问题 (Robin boundary value problem) 见“边值问题”. 混合问题 (mixed problem) 定解问题之一. 既有边界条件也有初始条件的问题称为混合问题, 有时也称为初-边值问题或混合初-边值问题. 初-边值问题 (initial-boundary value problem) 即“混合问题”. 齐次边值问题 (homogeneous boundary value problem) 特殊的边值问题. 边界条件关于未知函数及其导数是齐次的边值问题称为齐次边值问题, 否则称为非齐次边值问题. 非齐次边值问题 (nonhomogeneous boundary value problem) 见“齐次边值问题”. 定解问题的解 (solution of the deterministic problem) 满足定解问题中的偏微分方程及定解条件的函数. 若函数 \( u \) 在某区域内满足泛定偏微分方程, 且当点从该区域内趋于给出初始条件的超平面或趋于给出边界条件的边界曲面时, 定解条件中所出现的解 \( u \) 及其导数的极限处处存在而且满足相应的定解条件,就称 \( u \) 是定解问题的解. 解的稳定性 (stability of solution) 解对定解条件的某种连续依赖关系. 如果定解条件中的数据的微小改变只引起定解问题的解的很小改变, 则称定解问题关于定解条件是稳定的. 严格的数学定义如下: 假定定解条件中的数据为函数 \( \varphi \) (它可以是一个函数, 也可以是几个函数), 将它看做某个函数空间 \( \Phi \) 中的元素. 对应于数据 \( \varphi \) ,定解问题的解 \( u \) 看成另一函数空间 \( U \) 中的元素. 如果在空间 \( \Phi \) 和 \( U \) 中分别规定了某种拓扑 (或某种极限关系),那么从 \( \varphi \) 到 \( u \) 被看做是从空间 \( \Phi \) 到空间 \( U \) 的一个映射 \( T \) . 如果此映射是连续的, 则称原定解问题是稳定的. 此时, 若在 \( \Phi \) 中序列 \( {\varphi }_{n} \rightarrow \varphi \) ,且 \( T\left( {\varphi }_{n}\right) = {u}_{n}, T\left( \varphi \right) = u \) ,则在 \( U \) 中必有 \( {u}_{n} \rightarrow u \) . 稳定性的概念依赖于原始数据空间 \( \Phi \) 和解空间 \( U \) 以及在它们中拓扑的选择. 因此,讨论稳定性时, 必须确切说明在什么意义下的稳定性. 适定问题 (well-posed problem) 偏微分方程定解问题研究中的基本问题. 如果定解问题的解存在、惟一并且关于定解条件是稳定的, 则称定解问题的提法是适定的. 通常从物理学和工程问题中提出的偏微分方程 (组), 由于其固有的性质, 它对某些定解条件是适定的. 例如,像拉普拉斯方程 \( {u}_{xx} + {u}_{yy} \) \( = 0 \) 那样的椭圆型方程,其边值问题是适定的. 而像 \( {u}_{xx} - {u}_{yy} = 0 \) 那样的双曲型方程与 \( {u}_{t} - {u}_{xx} = 0 \) 那样的抛物型方程, 其初值问题及混合问题 (初边值问题) 都是适定的. 适定这一概念是阿达马 (Hadamard, J. (-S. )) 于 1923 年提出的. 不适定问题 (ill-posed problem) 与适定问题相对应的定解问题. 对一个定解问题, 如果解的存在性、惟一性和解对定解条件的连续依赖性三者之一不满足, 则称为不适定问题. 在经典的数学物理中, 人们只研究适定问题, 所以在相当一段时间里, 人们认为不适定问题不反应客观的物理现象, 没有研究价值. 随着生产和科学技术的进步, 在许多领域内, 如地球物理、自动控制、连续介质力学、电磁学、热的扩散理论、大气理论、天体力学等, 都出现了大量的不适定问题. 不适定问题的例子是由阿达马 (Hadamard J. (-S. )) 首先发现的, 他指出: 拉普拉斯方程的初值问题 \[ {u}_{xx} + {u}_{yy} = 0,\;u\left( {x,0}\right) = 0, \] \[ \frac{\partial u}{\partial y}\left( {x,0}\right) = \frac{\sin {nx}}{{n}^{k}} \] 在解析解的意义下有惟一解 \[ u\left( {x, y}\right) = \frac{\sin {nx}\operatorname{sh}{ny}}{{n}^{k + 1}}, \] 由于 \[ \left| {\frac{\partial u}{\partial y}\left( {x,0}\right) }\right| \leq \frac{1}{{n}^{k}} \] 所以当 \( n \) 充分大时, \( u \) 和 \( \partial u/\partial y \) 在 \( y = 0 \) 处的值可以任意地小,但按照 \( \operatorname{sh}{ny} \) 的性质,当 \( n \) 充分大时,不管 \( y > 0 \) 怎么小,解 \( u \) 都可以取得相当大的值,这就破坏了解对初始条件的连续依赖性. 数学物理中的反问题 (inverse problem in mathematical physics) 数学物理中的一类不适定问题. 在所考察的偏微分方程定解问题中有不确定的因素, 还须利用对解所获得的某些信息来推出方程中的未知系数或自由项、决定一部分定解条件或刻画求解区域的形状等. 这类问题称为反问题. 在遥测和勘探技术中提出了大量的反问题. 例如, 在地球物理勘探中, 通过地震波的测量来判断地球内部的结构或地下矿藏的位置; 在无损探伤中, 用红外线扫描来探测固体材料的缺陷; 利用 \( x \) 光分层扫描构像来做医学诊断等, 都是在研究对象不能达到或不能直接接触的情况下, 利用特定的物理手段来取得有关解的信息, 从而化为数学上的反问题处理的. 工程技术中的定向设计及系统识别等方面的问题, 都属于反问题的范畴, 在量子物理中, 利用散射资料来反推位势的反散射问题, 也是一类有重要意义的反问题. 一大类数学物理反问题可以通过构造其某种适定意义的新问题求近似解 (参见 “正则化方法”). 正则化方法 (method of regularization) 物理和工程技术中提出的一大类数学物理反问题可以归结为算子方程 \[ {Au} = f, \] (1) 其中 \( f \) 是通过测量得到的数据,而 \( u \) 是不可能直接测量的未知量. 设 \( f \) 是度量空间 \( F \) (距离为 \( {\rho }_{F} \) ) 中的元素,而 \( u \) 是可能解的集合所成度量空间 \( U \) (距离为 \( \left. {\rho }_{U}\right) \) 中的元素. 算子方程 (1) 等价于 \[ u = {A}^{-1}f = R\left( f\right) . \] 方程 (1) 的不适定性一般表现为算子 \( R \) 在 \( {AU} \) \( = \{ {Au} \mid u \in U\} \) 上不连续. 因为 \( f \) 是通过测量得到的,它是近似值,设 \( f \) 的真值是 \( \widetilde{f} \) ,问题 (1) 只能是求方程 \( {Au} = \widetilde{f} \) 的解 \( \widetilde{u} = R\left( \widetilde{f}\right) \) 的近似值,正则化方法是在测量数据 \( f \) 已知且 \( f \) 与其真值 \( \widetilde{f} \) 的允许误差 \( {\rho }_{F}\left( {f,\widetilde{f}}\right) \leq {\delta }_{1} \) 给定的情况下,构造一个含参数 \( \alpha \) 的算子 \( R\left( {f,\alpha }\right) \) ,使得由 \( u = R\left( f\right) \) 可导出函数 \( \alpha = \alpha \left( \delta \right) \) 满足: 对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在正数 \( \delta \left( \varepsilon \right) \leq {\delta }_{1} \) ,使得 \( {f}_{\delta } \in F \) 且 \( {\rho }_{F}\left( {{f}_{\delta }, f}\right) \leq \delta \left( \varepsilon \right) \) 时有 \( {\rho }_{U}\left( {{u}_{\delta }, u}\right) < \varepsilon \) ,这里 \( {u}_{\delta } = R\left( {f}_{\delta }\right. \) , \( \alpha \left( \delta \right) ) \) ; 且当 \( {\rho }_{F}\left( {{f}_{\delta }, f}\right) \leq \delta \left( \varepsilon \right) \) 时,将 \( {u}_{\delta } = R\left( {{f}_{\delta },\alpha \left( \delta \right) }\right) \) 作为方程 (1) 的近似解. 赫尔德空间 (Hölder space) 在偏微分方程理论中常用到的一类函数空间. 设 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的一个区域 (连通开集), \( \alpha \left( {0 < \alpha \leq 1}\right) \) 是常数. 如果对 \( \Omega \) 中定义的函数 \( u\left( x\right) \) ,存在正常数 \( C \) ,使得 \[ \left| {u\left( x\right) - u\left( y\right) }\right| \leq C{\left| x - y\right| }^{a}\left( {\forall x, y \in \Omega }\right) , \] 则称 \( u \) 在 \( \Omega \) 中具有指数 \( \alpha \) 的赫尔德连续性,并称 \[ {\left\lbrack u\right\rbrack }_{\alpha ,\Omega } = \mathop{\sup }\limits_{\substack{{x, y \in \Omega } \\ {x \neq y} }}\frac{\left| u\left( x\right) - u\left( y\right) \right| }{{\left| x - y\right| }^{\alpha }} \] 为 \( u \) 在 \( \Omega \) 中的 \( \alpha \) 赫尔德系数. 如果 \( u\left( x\right) \) 在 \( \Omega \) 的所有紧子集中具有指数 \( \alpha \) 的赫尔德连续性,则称 \( u\left( x\right) \) 在 \( \Omega \) 中具有指数 \( \alpha \) 的局部赫尔德连续性. 设 \( k \) 是非负整数,在 \( \Omega \) 中具有所有不超过 \( k \) 阶连续偏导数的函数集合 \( {C}^{k}\left( \Omega \right) \) 中,所有 \( k \) 阶偏导数在 \( \Omega \) 中具有指数 \( \alpha \) 的局部赫尔德连续性的函数所成的子空间称为赫尔德空间 \( {C}^{k,\alpha }\left( \Omega \right) \) . 在 \( \bar{\Omega } \) 上具有所有不超过 \( k \) 阶连续偏导数的函数集合 \( {C}^{k}\left( \bar{\Omega }\right) \) 中,所有 \( k \) 阶偏导数在 \( \Omega \) 中具有指数 \( \alpha \) 的赫尔德连续性的函数所成的子空间称为赫尔德空间 \( {C}^{k,\alpha }\left( \bar{\Omega }\right) \) . 为简单起见,通常记 \( {C}^{o, a}\left( \Omega \right) = {C}^{a}\left( \Omega \right) ,{C}^{o, a}\left( \bar{\Omega }\right) = {C}^{a}\left( \bar{\Omega }\right) \) . 对有界区域 \( \Omega \) ,赫尔德空间 \( {C}^{k, a}\left( \bar{\Omega }\right) \) 关于范数 \[ \parallel u{\parallel }_{k, a,\Omega } = \mathop{\sum }\limits_{{\left| \beta \right| \leq k}}\mathop{\sup }\limits_{{x \in \Omega }}\left| {{D}^{\beta }u\left( x\right) }\right| + \mathop{\sum }\limits_{{\left| \beta \right| = k}}{\left\lbrack {D}^{\beta }u\right\rbrack }_{a,\Omega } \] 是巴拿赫空间. ## 一阶偏微分方程 一阶拟线性偏微分方程 (quasi-linear \( \cdot \) partial differential equation of first order) 一类特殊的一阶非线性偏微分方程. 关于未知函数的偏导数是线性的一阶非线性偏微分方程称为一阶拟线性偏微分方程. 一阶拟线性偏微分方程通常可以写成下列形状 \[ \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{i}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u}\right) \frac{\partial u}{\partial {x}_{i}} = a \] \[ \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u}\right) , \] 其中 \( {a}_{i} \) 和 \( a \) 为 \( \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 和 \( u \) 的已知连续可微函数, \[ \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{i}^{2} \neq 0 \] 其几何意义为,在 \( n + 1 \) 维空间中的每一点 \( \left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right. \) , \( \left. {\cdots ,{x}_{n}, u}\right) \) 给定了一个方向 \( \left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}, a}\right) \) ,曲面 \( u = u\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 在该点上的法方向 \[ \left( {\frac{\partial u}{\partial {x}_{1}},\frac{\partial u}{\partial {x}_{2}},\cdots ,\frac{\partial u}{\partial {x}_{n}}, - 1}\right) \] 与方向 \( \left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}, a}\right) \) 正交,或者说,曲面 \( u \) \( = u\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 在该点与此方向相切. 常微分方程组 \[ \frac{\mathrm{d}{x}_{i}}{\mathrm{\;d}t} = {a}_{i}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u}\right) \left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) , \] \[ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{\;d}t} = a\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u}\right) \] 或 \[ \frac{\mathrm{d}{x}_{1}}{{a}_{1}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u}\right) } = \cdots = \frac{\mathrm{d}{x}_{n}}{{a}_{n}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u}\right) } \] \[ = \frac{\mathrm{d}u}{a\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u}\right) } \] 称为上述一阶拟线性偏微分方程的特征方程. 特征方程的积分曲线,或向量场 \( \left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}, a}\right) \) 的积分曲线称为该一阶拟线性偏微分方程的特征线. 一阶拟线性偏微分方程的特征方程 (characteristic equation of quasi-linear partial differential equation of first order) 见 “一阶拟线性偏微分方程”. 一阶拟线性偏微分方程的特征线 (characteristic curve of quasi-linear partial differential equation of

2000_数学辞海（第3卷）

ight) \] 与方向 \( \left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}, a}\right) \) 正交,或者说,曲面 \( u \) \( = u\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 在该点与此方向相切. 常微分方程组 \[ \frac{\mathrm{d}{x}_{i}}{\mathrm{\;d}t} = {a}_{i}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u}\right) \left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) , \] \[ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{\;d}t} = a\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u}\right) \] 或 \[ \frac{\mathrm{d}{x}_{1}}{{a}_{1}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u}\right) } = \cdots = \frac{\mathrm{d}{x}_{n}}{{a}_{n}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u}\right) } \] \[ = \frac{\mathrm{d}u}{a\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u}\right) } \] 称为上述一阶拟线性偏微分方程的特征方程. 特征方程的积分曲线,或向量场 \( \left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}, a}\right) \) 的积分曲线称为该一阶拟线性偏微分方程的特征线. 一阶拟线性偏微分方程的特征方程 (characteristic equation of quasi-linear partial differential equation of first order) 见 “一阶拟线性偏微分方程”. 一阶拟线性偏微分方程的特征线 (characteristic curve of quasi-linear partial differential equation of first order) 见 “一阶拟线性偏微分方程”. 蒙日束(Monge pencil) 一种特殊的平面束. 两个自变量的一阶拟线性偏微分方程所有过某点的积分曲面在该点处的切平面所成的集合. 一阶拟线性方程 \[ a\left( {x, y, u}\right) {u}_{x} + b\left( {x, y, u}\right) {u}_{y} = c\left( {x, y, u}\right) \;(1 \] 的解 \( u = u\left( {x, y}\right) \) 可以看成 \( \left( {x, y, u}\right) \) 空间中的一个曲面,此曲面在固定点 \( \left( {x, y, u}\right) = \left( {x, y, u\left( {x, y}\right) }\right) \) 处的法向为 \( \left( {{u}_{x},{u}_{y}, - 1}\right) \) ,方程 (1) 表示该法向与方向 \( \left( {a, b, c}\right) \) 正交. 于是曲面 \( u = u\left( {x, y}\right) \) 在点 \( \left( {x, y, u}\right) \) 处的切平面必位于一个平面束中, 此平面束称为蒙日束,蒙日束的轴称为蒙日轴,它就是过点 \( \left( {x, y, u}\right) \) 而方向为 \( \left( {a, b, c}\right) \) 的直线,并称向量 \( \left( {a, b, c}\right) \) 为蒙日向量. 蒙日轴 (Monge axis) 见“蒙日束”. 蒙日向量 (Monge vector) 见“蒙日束”. 一阶非线性偏微分方程 (non-linear partial differential equation of first order) 一阶的完全非线性偏微分方程. 两个自变量的一阶非线性偏微分方程的一般形状是 \[ F\left( {x, y, u, p, q}\right) = 0, \] (1) 其中 \( p = {u}_{x}, q = {u}_{y}, F \) 为五个变元的二次连续可微函数, \( {F}_{p}^{2} + {F}_{q}^{2} \neq 0 \) . 方程 (1) 给出待求的积分曲面 \( u = u\left( {x, y}\right) \) 的法向量 \( \left( {p, q, - 1}\right) \) 在 \( \left( {x, y, u}\right) \) 空间中每点 \( P \) 处应满足的条件. 所以积分曲面在 \( P \) 点处的切平面形成通过 \( P \) 的一族单参数平面族,此单参数的平面族的包络是以 \( P \) 为顶点的一个锥面,这个锥面称为蒙日锥. 蒙日锥的母线方向称为特征方向. 在 \( \left( {x, y, u}\right) \) 空间中以特征方向为其每点处方向的曲线称为蒙日曲线. 在拟线性方程的情形, 蒙日锥退化为蒙日轴. 蒙日锥 (Monge cone) 见“一阶非线性偏微分方程”. 蒙日曲线 (Monge curve) 见 “一阶非线性偏微分方程”. 特征方向 (characteristic direction) 见 “一阶非线性偏微分方程”. 一阶非线性方程的特征微分方程组 (characteristic differential equation of nonlinear equation of first order) 一阶非线性偏微分方程的曲面元素 \( \left( {x, y, u, p, q}\right) \) 满足的常微分方程组. 常微分方程组 \[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}s} = {F}_{p},\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}s} = {F}_{q},\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{\;d}s} = p{F}_{p} + q{F}_{q}, \] （1） \[ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{\;d}s} = - p{F}_{u} - {F}_{x},\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{\;d}s} = - q{F}_{u} - {F}_{y} \] 称为一阶非线性方程 \( F\left( {x, y, u, p, q}\right) = 0 \) 的特征微分方程组. 如果特征微分方程组 (1) 的解 \( (x\left( s\right) \) , \( y\left( s\right), u\left( s\right), p\left( s\right), q\left( s\right) ) \) 满足 \( F(x\left( s\right), y\left( s\right), u\left( s\right) \) , \( p\left( s\right), q\left( s\right) ) = 0 \) ,则称函数组 \( (x\left( s\right), y\left( s\right), u\left( s\right), p\left( s\right) \) , \( q\left( s\right) ) \) 为非线性方程 \( F = 0 \) 的特征带. 在考虑一阶非线性方程 \( F = 0 \) 的柯西问题 (参见“一阶非线性方程的柯西问题”)时, 先要求解特征微分方程组 (1),此时应有五个初始数据 \( x = x\left( t\right), y \) \( = y\left( t\right), u = u\left( t\right), p = p\left( t\right), q = q\left( t\right) \) ,但相应的柯西问题只给出 \( x = x\left( t\right), y = y\left( t\right), u = u\left( t\right) \) ,应按照条件 \[ \frac{\mathrm{d}u\left( t\right) }{\mathrm{d}t} = p\left( t\right) \frac{\mathrm{d}x\left( t\right) }{\mathrm{d}t} + q\left( t\right) \frac{\mathrm{d}y\left( t\right) }{\mathrm{d}t}, \] (2) \[ F\left( {x\left( t\right), y\left( t\right), u\left( t\right), p\left( t\right), q\left( t\right) }\right) = 0, \] 补充初始数据 \( p\left( t\right) \) 和 \( q\left( t\right) \) . 条件 (2) 称为成带条件. 特征带 (characteristic strip) 见 “一阶非线性方程的特征微分方程组”. 成带条件 (strip condition) 见 “一阶非线性方程的特征微分方程组”. 全积分 (complete integral) \( n \) 个自变量的一阶非线性偏微分方程的含有 \( n \) 个独立常数的解. 例如, 两个自变量的一阶非线性方程 \[ F\left( {x, y, u, p, q}\right) = 0, p = {u}_{x}, q = {u}_{y} \] （1） 的包含两个独立常数的解 \[ u = \Phi \left( {x, y, a, b}\right) \] (2) 称为方程 (1) 的全积分. 在两参数曲面族 (2) 中选取单参数曲面族,例如, \( b = v\left( a\right) \) 时,单参数曲面族 \[ u = \Phi \left( {x, y, a, v\left( a\right) }\right) \] （3） 的包络可由方程 \( {\Phi }_{a} + {\Phi }_{b}{v}^{\prime }\left( a\right) = 0 \) 解出 \( a = a\left( {x, y}\right) \) 代入 (3)得出, 即 \[ u = \Phi (x, y, a\left( {x, y}\right), v\left( {a\left( {x, y}\right) }\right) . \] (4) 这个包络是不含任意常数但与函数 \( v \) 的选取有关 (因 \( a = a\left( {x, y}\right) \) 是由 \( v \) 的选取决定的) 的解,这种含有任意函数 \( v \) 的解 (4) 称为方程 (1) 的通解; 当函数 \( v \) 取定时,解 (4) 则称为方程 (1) 的特解. 由全积分 (2) 及方程 \[ {\Phi }_{a}\left( {x, y, a, b}\right) = 0,\;{\Phi }_{b}\left( {x, y, a, b}\right) = 0 \] 消去 \( a, b \) 得到的解称为方程 (1) 的奇解. 一般地,对 \( n \) 个自变量的一阶非线性偏微分方程 \[ F\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u,{p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{n}}\right) = 0 \] (5) \[ \left( {{p}_{i} = \frac{\partial u}{\partial {x}_{i}}, i = 1,2\cdots, n}\right) , \] 包含 \( n \) 个独立常数的解 \[ V\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u,{c}_{1},{c}_{2},\cdots ,{c}_{n}}\right) = 0 \] (6) 称为方程 (5) 的全积分; 而由 (6) 和 \[ \frac{\partial V}{\partial {c}_{i}}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u,{c}_{1},{c}_{2},\cdots ,{c}_{n}}\right) = 0 \] \[ \left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \] 消去 \( {c}_{1},{c}_{2},\cdots ,{c}_{n} \) 得到的解 \( G\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u}\right) = 0 \) 称为方程 (5) 的奇解. 通解 (general solution) 见“全积分”. 特解 (special solution) 见“全积分”. 奇解 (singular solution) 见“全积分”. 泊松括号 (Poisson bracket) 哈密顿场作用下的函数. 如果 \( p\left( {x,\xi }\right) \) 是 \( {T}^{ * }\Omega = \Omega \times {\mathrm{R}}^{n} \smallsetminus \{ 0\} \) 上的实值函数, \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的开集, \( {T}^{ * }\Omega \) 上的向量场 \[ {H}_{p} = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}\left( {\frac{\partial p}{\partial {x}_{j}}\frac{\partial }{\partial {\xi }_{j}} - \frac{\partial p}{\partial {\xi }_{j}}\frac{\partial }{\partial {x}_{j}}}\right) \] 称为 \( p \) 的哈密顿场. 函数 \( {H}_{p}q = \{ p, q\} \) 称为泊松括号. 即 \[ \{ p, q\} = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}\left( {\frac{\partial p}{\partial {x}_{j}}\frac{\partial q}{\partial {\xi }_{j}} - \frac{\partial p}{\partial {\xi }_{j}}\frac{\partial q}{\partial {x}_{j}}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}\frac{\partial \left( {p, q}\right) }{\partial \left( {{x}_{j},{\xi }_{j}}\right) }. \] 哈密顿场 (Hamiltonian field) 见“泊松括号”. 拉格朗日-查皮特方法 (Lagrange-Charpitme-thod) 求两个自变量一阶非线性偏微分方程的全积分的一种方法. 对未知函数 \( u \) 的一阶非线性偏微分方程 \[ F\left( {x, y, u, p, q}\right) = 0, p = {u}_{x}, q = {u}_{y}, \] （1） 如果能找出另一个方程 \[ G\left( {x, y, u, p, q}\right) = a\text{(}a\text{是任意常数),} \] (2) 使得方程组 (1),(2) 关于 \( p \) 与 \( q \) 是可解的,即满足条件 \[ \frac{\partial \left( {F, G}\right) }{\partial \left( {p, q}\right) } = \left| \begin{array}{ll} \frac{\partial F}{\partial p} & \frac{\partial F}{\partial q} \\ \frac{\partial G}{\partial p} & \frac{\partial G}{\partial q} \end{array}\right| \neq 0, \] (3) 则可解出 \[ p = f\left( {x, y, u, a}\right), q = g\left( {x, y, u, a}\right) , \] (4) 它们满足 \[ F\left( {x, y, u, f\left( {x, y, u, a}\right), g\left( {x, y, u, a}\right) }\right) \equiv 0, \] (5) (6) 此两式对 \( u \) 微分得 \( {F}_{u} + {F}_{p}{f}_{u} + {F}_{q}{g}_{u} = 0,{G}_{u} + {G}_{p}{f}_{u} \) \( + {G}_{q}{g}_{u} = 0 \) . 由此解出 \[ {f}_{u} = - \frac{\partial \left( {F, G}\right) }{\partial \left( {u, q}\right) }/\frac{\partial \left( {F, G}\right) }{\partial \left( {p, q}\right) }, \] (7) \[ {g}_{u} = - \frac{\partial \left( {F, G}\right) }{\partial \left( {p, u}\right) }/\frac{\partial \left( {F, G}\right) }{\partial \left( {p, q}\right) }. \] 同样,对 (5),(6) 两式关于 \( x, y \) 微分可解出 \[ {g}_{x} = - \frac{\partial \left( {F, G}\right) }{\partial \left( {p, x}\right) }/\frac{\partial \left( {F, G}\right) }{\partial \left( {p, q}\right) }, \] (8) \[ {f}_{y} = - \frac{\partial \left( {F, G}\right) }{\partial \left( {y, q}\right) }/\frac{\partial \left( {F, G}\right) }{\partial \left( {p, q}\right) }. \] 考虑到 \( {p}_{y} = {q}_{x} \) ,由 (4) 有 \( {f}_{y} + {f}_{u}q = {g}_{x} + {g}_{u}p \) . 将 (7) 与 (8) 代入上式得 \[ \left| \begin{array}{ll} {F}_{p} & {F}_{x} + {F}_{u}p \\ {G}_{p} & {G}_{x} + {G}_{u}p \end{array}\right| + \left| \begin{array}{ll} {F}_{q} & {F}_{y} + {F}_{u}q \\ {G}_{q} & {G}_{y} + {G}_{u}q \end{array}\right| = 0, \] (9) 这是方程 (2) 必需满足的可积性条件. 满足条件 (9) 的方程组 (1), (2) 称为对合方程组. 这时, 可将 (4) 的第一个方程看成自变量 \( x \) 的常微分方程,而把 \( y \) 看成是参数, 求出这个方程的通解为 \[ u = \varphi \left( {x, y, a, c\left( y\right) }\right) , \] (10) 使它满足 (4) 的第二个方程,即满足 \( {\varphi }_{y} + {\varphi }_{c}{c}^{\prime }\left( y\right) \) \( = g\left( {x, y, u, a}\right) \) 或 \[ {c}^{\prime }\left( y\right) = \frac{g\left( {x, y, u, a}\right) - {\varphi }_{y}}{{\varphi }_{c}}. \] 可以证明,此式右端不含 \( x \) ,因此它又是一个一阶常微分方程,可求出其通解 \( c\left( y\right) = h\left( {y, a, b}\right) \) ,将它代入 (10) 就得到方程 (1) 的全积分 \[ u = \varphi \left( {x, y, a, h\left( {y, a, b}\right) }\right) = \psi \left( {x, y, a, b}\right) . \] 这就是求全积分的拉格朗日-查皮特方法. 若方程 (1) 不显含未知函数 \( u \) ,即有形状 \( F\left( {x, y, p, q}\right) = 0 \) 时,选取的方程 (2) 也不需要含 \( u \) ,即 \( G\left( {x, y, p, q}\right) \) \( = 0 \) . 此时可积性条件 (9) 简化为 \[ \{ F, G\} \equiv \frac{\partial \left( {F, G}\right) }{\partial \left( {p, x}\right) } + \frac{\partial \left( {F, G}\right) }{\partial \left( {q, y}\right) } = 0, \] 这里的 \( \{ F, G\} \) 为泊松括号. 拉格朗日-查皮特方法对一般 \( n \) 个自变量的一阶非线性方程的推广又称为雅可比方法. 雅可比方法 (Jacobian method) 求全积分的一种方法. 把拉格朗日-查皮特方法推广到求 \( n \) 个自变量一阶非线性方程的全积分的方法称为雅可比方法. 先假设方程不显含未知函数 \( u \) 本身,即求方程 \[{F}_{1}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n},{p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{n}}\right) = 0,{p}_{i} = {u}_{{x}_{i}}\] (1) 的全积分. 选取 \( n - 1 \) 个方程 \[{F}_{i}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n},{p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{n}}\right) = {a}_{i}\] (2) \[\left( {i = 2,3,\cdots, n;{a}_{i}\te

2000_数学辞海（第3卷）

h\left( {y, a, b}\right) \) ,将它代入 (10) 就得到方程 (1) 的全积分 \[ u = \varphi \left( {x, y, a, h\left( {y, a, b}\right) }\right) = \psi \left( {x, y, a, b}\right) . \] 这就是求全积分的拉格朗日-查皮特方法. 若方程 (1) 不显含未知函数 \( u \) ,即有形状 \( F\left( {x, y, p, q}\right) = 0 \) 时,选取的方程 (2) 也不需要含 \( u \) ,即 \( G\left( {x, y, p, q}\right) \) \( = 0 \) . 此时可积性条件 (9) 简化为 \[ \{ F, G\} \equiv \frac{\partial \left( {F, G}\right) }{\partial \left( {p, x}\right) } + \frac{\partial \left( {F, G}\right) }{\partial \left( {q, y}\right) } = 0, \] 这里的 \( \{ F, G\} \) 为泊松括号. 拉格朗日-查皮特方法对一般 \( n \) 个自变量的一阶非线性方程的推广又称为雅可比方法. 雅可比方法 (Jacobian method) 求全积分的一种方法. 把拉格朗日-查皮特方法推广到求 \( n \) 个自变量一阶非线性方程的全积分的方法称为雅可比方法. 先假设方程不显含未知函数 \( u \) 本身,即求方程 \[{F}_{1}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n},{p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{n}}\right) = 0,{p}_{i} = {u}_{{x}_{i}}\] (1) 的全积分. 选取 \( n - 1 \) 个方程 \[{F}_{i}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n},{p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{n}}\right) = {a}_{i}\] (2) \[\left( {i = 2,3,\cdots, n;{a}_{i}\text{为任意常数}}\right) \text{,}\] 使得 (1) 与 (2) 合成的方程组对 \( {p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{n} \) 可解, 此时需要满足的条件有可解性条件 \[\frac{\partial \left( {{F}_{1},{F}_{2},\cdots ,{F}_{n}}\right) }{\partial \left( {{p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{n}}\right) } = \det \left( \frac{\partial {F}_{i}}{\partial {p}_{j}}\right) \neq 0\] 及可积性条件 \[\left\{ {{F}_{i},{F}_{j}}\right\} \equiv \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{\partial \left( {{F}_{i},{F}_{j}}\right) }{\partial \left( {{p}_{k},{x}_{k}}\right) } = 0\] (3) \[\left( {i, j = 1,2,\cdots, n}\right) ,\] 这里的 \( \left\{ {{F}_{i},{F}_{j}}\right\} \) 为泊松括号. 满足 (3) 的方程组 (1), (2) 称为对合方程组. 由 (1), (2) 解出 \[{p}_{i} = {\varphi }_{i}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}}\right) \left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) ,\] 由这些偏导数可确定再含一个任意常数 \( {a}_{1} \) 的函数 \[u = g\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}}\right) + {a}_{1},\] 这就得到了所求的全积分. 再考察显含未知函数的方程 \[F\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u,{p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{n}}\right) = 0.\] (4) 设 \( u \) 由隐函数 \( v\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u}\right) = c\;\left( {c\text{ 为任意常数 }}\right) \;\left( 5\right) \) 所确定,视 \( u \) 为自变量而 \( v \) 为新的未知函数,则由 (5) 有 \( {v}_{{x}_{i}} + {v}_{u}{p}_{i} = 0 \) ,即 \( {p}_{i} = - {v}_{{x}_{i}}/{v}_{u} \) ,于是方程 (4) 变为不显含 \( v \) 的关于 \( v \) 的方程 \[F\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u, - \frac{{v}_{{x}_{1}}}{{v}_{u}},\cdots , - \frac{{v}_{{x}_{n}}}{{v}_{u}}}\right) = 0.\] 根据上面所说的方法可以求出它的全积分 \[ v = g\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u,{c}_{1},{c}_{2},\cdots ,{c}_{n}}\right) + c. \] 由 \( v = c \) 即 \( g\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u,{c}_{1},{c}_{2},\cdots ,{c}_{n}}\right) = 0 \) 可得 (4) 的全微分 \[ u = u\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n},{c}_{1},{c}_{2},\cdots ,{c}_{n}}\right) . \] 对合方程组 (convolution system of equations) 见“拉格朗日-查皮特方法”及“雅可比方法”. 哈密顿-雅可比方程 (Hamilton-Jacobi equation) 不含未知函数本身的一阶非线性方程的特征微分方程组. 在分析力学、几何学、变分学, 特别是偏微分方程的特征理论中常常遇到不显含未知函数本身的一阶非线性偏微分方程 \[ F\left( {x, p}\right) = F\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n},{p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{n}}\right) \] \[ = 0\text{,} \] (1) \[ {p}_{i} = \frac{\partial u}{\partial {x}_{i}}\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) . \] 写其特征微分方程组时,可以独立地列出关于 \( x, p \) 的导数的方程: \[ \frac{\mathrm{d}{x}_{i}}{\mathrm{\;d}s} = \frac{\partial F}{\partial {p}_{i}},\frac{\mathrm{d}{p}_{i}}{\mathrm{\;d}s} = - \frac{\partial F}{\partial {x}_{i}}\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) . \] (2) (2) 称为函数 \( F \) 或方程 \( F = 0 \) 的哈密顿-雅可比方程,(2) 称为哈密顿方程组或典则方程组. (2) 的解 \( {x}_{i} \) \( = {x}_{i}\left( s\right) ,{p}_{i} = {p}_{i}\left( s\right) \left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \) 满足方程 (1) 时称为函数 \( F\left( {x, p}\right) \) 的双特征带,而 \( {x}_{i} = {x}_{i}\left( s\right) \) 称为双特征曲线或简称双特征 (有时也称为次特征). 如果 \( F\left( {x, p}\right) \) 是 \( p \) 的齐次函数,则使得 \( F\left( {{x}_{1}\left( s\right) ,\left( {{x}_{2}\left( s\right) }\right. }\right. \) , \( \left. {\cdots ,{x}_{n}\left( s\right) ,{p}_{1}\left( s\right) ,{p}_{2}\left( s\right) ,\cdots ,{p}_{n}\left( s\right) }\right) \equiv 0 \) 的双特征带称为零双特征带. 一阶偏微分方程的标准型也称为哈密顿-雅可比方程 (参见 “光程函数方程”). 哈密顿方程组 (Hamilton system of equations) 见“哈密顿-雅可比方程”. 典则方程组 (canonical system of equations) 见“哈密顿-雅可比方程”. 双特征带 (bicharacteristic strip) 见 “哈密顿- 雅可比方程”. 双特征 (bicharacteristic) 双特征曲线的简称. 见“哈密顿-雅可比方程”及“特征超曲面”. 次特征 (bicharacteristic) 即 “双特征”. 光程函数方程 (eikonal equation) 一类重要的一阶非线性偏微分方程. 如果一阶非线性方程 \[ F\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u,{p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{n}}\right) = 0 \] 的解可用隐函数 \( \varphi \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u}\right) = 0 \) 给出,则可得到方程 \[ F\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u, - \frac{\partial \varphi }{\partial {x}_{1}}/\frac{\partial \varphi }{\partial u},}\right. \] \[ \left. {-\frac{\partial \varphi }{\partial {x}_{2}}/\frac{\partial \varphi }{\partial u},\cdots , - \frac{\partial \varphi }{\partial {x}_{n}}/\frac{\partial \varphi }{\partial u}}\right) = 0. \] 它可以形式地被视为 \( n + 1 \) 个自变量 \( \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right. \) , \( u) \) 的不显含 \( \varphi \) 的一阶非线性方程. 如果从中解出某一个偏导数,例如 \( \partial \varphi /\partial u \) ,且把 \( u \) 写成 \( t \) ,则得到下列形式的偏微分方程 \[ \frac{\partial \varphi }{\partial t} + H\left( {t, x,\frac{\partial \varphi }{\partial x}}\right) = 0, \] \[ x = \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) , \] \[ \frac{\partial \varphi }{\partial x} = \left( {\frac{\partial \varphi }{\partial {x}_{1}},\frac{\partial \varphi }{\partial {x}_{2}},\cdots ,\frac{\partial \varphi }{\partial {x}_{n}}}\right) . \] 这样的方程称为一阶偏微分方程的标准型, 也称为哈密顿-雅可比方程. 在几何光学中称为光程函数方程. 一阶偏微分方程的标准型 (normal form of partial differential equation of first order) 见 “光程函数方程”和“哈密顿-雅可比方程”. 蒙日方程 (Monge equation) 一种特殊的一阶非线性偏微分方程. 对一阶非线性偏微分方程 \[ F\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u,{p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{n}}\right) = 0, \] \[ {p}_{i} = \frac{\partial u}{\partial {x}_{i}}\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) . \] (1) 由 \( n + 2 \) 个方程 \[ \frac{\mathrm{d}{x}_{i}}{\mathrm{\;d}s} = {F}_{{p}_{i}},\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{\;d}s} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{p}_{i}{F}_{{p}_{i}}, F\left( {x, u, p}\right) = 0 \] 消去 \( p = \left( {{p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{n}}\right) \) 和参数 \( s \) 所得到的方程称为蒙日方程,例如当 \( {F}_{{p}_{1}} \neq 0 \) 时,从 \( \mathrm{d}{x}_{i}/\mathrm{d}{x}_{1} = {F}_{{p}_{i}}/{F}_{{p}_{1}} \) 与 \( F = 0 \) 消去 \( p \) 就得到蒙日方程 \[ M\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u,\frac{\mathrm{d}{x}_{1}}{\mathrm{\;d}{x}_{1}},\frac{\mathrm{d}{x}_{2}}{\mathrm{\;d}{x}_{1}},\cdots ,\frac{\mathrm{d}{x}_{n}}{\mathrm{\;d}{x}_{1}}}\right) = 0. \] 蒙日方程的解所表示的曲线称为方程 (1) 的积分曲线. 方程 (1) 的特征曲线也是它的积分曲线. 当 \( n = 2 \) 时,一般地,不是特征曲线的积分曲线是由与它相切的特征曲线族所生成的曲面 \( \left( {F = 0\text{的积分曲面}}\right) \) 的脊线. 对一阶拟线性方程,即当 \( F \) 是 \( p \) 的线性函数时, 所有积分曲线都和特征线一致. 一阶非线性方程的柯西问题 (Cauchy problem of nonlinear equation of first order) 一阶非线性方程的基本定解问题. 求一阶非线性偏微分方程 \( F\left( {x, y, u, p, q}\right) = 0 \) 通过给定空间曲线 \( C : x = x\left( t\right), y \) \( = y\left( t\right), u = u\left( t\right) \) 的积分曲面的问题称为柯西问题. 为此应按照成带条件 \[\frac{\mathrm{d}u\left( t\right) }{\mathrm{d}t} = p\left( t\right) \frac{\mathrm{d}x\left( t\right) }{\mathrm{d}t} + q\left( t\right) \frac{\mathrm{d}y\left( t\right) }{\mathrm{d}t},\] \[F\left( {x\left( t\right), y\left( t\right), u\left( t\right), p\left( t\right), q\left( t\right) }\right) = 0\] 对曲线 \( C \) 补充两个函数 \( p\left( t\right), q\left( t\right) \) ,成为初始带 \( {C}_{1} \) . 用 \( {C}_{1} \) 作初始条件求解特征常微分方程组 (参见 “一阶非线性偏微分方程的特征微分方程组”), 得到单参数特征带族: \( x = x\left( {s, t}\right), y = y\left( {s, t}\right), u = u\left( {s, t}\right), p \) \( = p\left( {s, t}\right), q = q\left( {s, t}\right) \) . 如果在 \( {C}_{1} \) 上 \[\Delta = \frac{\partial \left( {x, y}\right) }{\partial \left( {s, t}\right) } = {F}_{p}{y}_{t} - {F}_{q}{x}_{t} \neq 0,\] 则在 \( {C}_{1} \) 附近可以消去 \( s, t \) 得到惟一解 \( u = u\left( {x, y}\right) \) . 如果在 \( {C}_{1} \) 上 \( \Delta = 0 \) ,原问题可能无解; 如果有解,则从 \( \Delta = {F}_{p}{y}_{t} - {F}_{q}{x}_{t} = 0 \) 可推知 \( {C}_{1} \) 必是特征带,这时可以作出无限多个过曲线 \( {C}_{1} \) 的积分曲面,从而柯西问题将有无穷多个解,它们都以特征带 \( {C}_{1} \) 为公共元素. 以上结论对多个自变量的方程 \[ F\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, u,{p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{n}}\right) = 0 \] 亦真. 上面给出的由带参数的特征带簇消去参数得到柯西问题的解的方法称为解柯西问题的特征线法. 解柯西问题的特征线法 (characteristic method for Cauchy problem) 见“一阶非线性方程的柯西问题”. 一阶半线性方程组的特征理论 (characteristic theory of semi-linear equation system of first order) 特征是偏微分方程的一个基本几何概念. 利用它不仅可以对方程进行分类, 而且对方程解的存在、惟一性及其他性质 (如奇性传播) 的研究有重要意义. 一阶半线性方程组的一般形式为 \[ {L}_{i}u = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{l}{a}_{ijk}\left( x\right) \frac{\partial {u}_{j}}{\partial {x}_{k}} + {b}_{i}\left( {x, u}\right) = 0 \] (1) \[ \left( {i = 1,2,\cdots, l}\right) , \] 利用矩阵记号又可写为 \[ {Lu} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{A}_{k}\left( x\right) \frac{\partial u}{\partial {x}_{k}} + B\left( {x, u}\right) = 0, \] 其中 \( {A}_{k}\left( x\right) = \left( {{a}_{ijk}\left( x\right) }\right) \) 为 \( l \times l \) 矩阵, \[ u = {\left( {u}_{1},{u}_{2},\cdots ,{u}_{l}\right) }^{T}, B = {\left( {b}_{1},{b}_{2},\cdots ,{b}_{l}\right) }^{T}. \] 满足方程 \[ \det \left| {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{A}_{k}\left( x\right) \frac{\partial \varphi }{\partial {x}_{k}}}\right| = 0 \] (2) 的函数 \( \varphi \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 所定义的曲面 \( \varphi \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots }\right. \) , \( \left. {x}_{n}\right) = 0 \) 称为方程组 (1) 的特征曲面,而方程 (2) 称为方程 (1) 的特征方程. 使得 \[ \det \left| {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{A}_{k}\left( x\right) {\alpha }_{k}}\right| = 0 \] 的方向 \( \left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) \) 称为方程组 (1) 在 \( x \) 点处的特征方向. 一阶半线性方程组的特征方程 (characteristic equation of semi-linear equation system of first order) 见“一阶半线性方程组的特征理论”. 特征曲面 (characteristic surface) 见 “一阶半线性方程组的特征理论”. 特征方向 (characteristic direction) 见 “一阶半线性方程组的特征理论”. 一阶线性方程组的杜阿梅尔原理 (Duhamel principle for linear equation system of first order) 通过齐次线性方程组柯西问题的解表示对应非齐次方程组的柯西问题的解的原理, 它类似于常微分方程的常数变易法. 将一阶线性方程组写为向量形式 \[ {Lu} \equiv \frac{\partial u}{\partial t} + \mathop{\sum

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,{b}_{l}\right) }^{T}. \] 满足方程 \[ \det \left| {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{A}_{k}\left( x\right) \frac{\partial \varphi }{\partial {x}_{k}}}\right| = 0 \] (2) 的函数 \( \varphi \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 所定义的曲面 \( \varphi \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots }\right. \) , \( \left. {x}_{n}\right) = 0 \) 称为方程组 (1) 的特征曲面,而方程 (2) 称为方程 (1) 的特征方程. 使得 \[ \det \left| {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{A}_{k}\left( x\right) {\alpha }_{k}}\right| = 0 \] 的方向 \( \left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) \) 称为方程组 (1) 在 \( x \) 点处的特征方向. 一阶半线性方程组的特征方程 (characteristic equation of semi-linear equation system of first order) 见“一阶半线性方程组的特征理论”. 特征曲面 (characteristic surface) 见 “一阶半线性方程组的特征理论”. 特征方向 (characteristic direction) 见 “一阶半线性方程组的特征理论”. 一阶线性方程组的杜阿梅尔原理 (Duhamel principle for linear equation system of first order) 通过齐次线性方程组柯西问题的解表示对应非齐次方程组的柯西问题的解的原理, 它类似于常微分方程的常数变易法. 将一阶线性方程组写为向量形式 \[ {Lu} \equiv \frac{\partial u}{\partial t} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{A}_{k}\frac{\partial u}{\partial {x}_{k}} + {Bu} = F\left( {x, t}\right) , \] 式中 \( {A}_{k} \) 和 \( B \) 都是 \( l \times l \) 矩阵,其元为 \( x, t \) 的连续函数, \( u \) 和 \( F \) 是 \( l \) 维列向量. 如果依赖于参数 \( \tau \) 的向量函数 \( u = \varphi \left( {x, t;\tau }\right) \) 是齐次方程组 \( {Lu} = 0 \) 在 \( t = \tau \) 时满足初始条件 \( u\left( {x,\tau }\right) = F\left( {x,\tau }\right) \) 的一个解,则 \[ u\left( {x, t}\right) = {\int }_{0}^{t}\varphi \left( {x, t;\tau }\right) \mathrm{d}\tau \] 就是方程组 \( {Lu} = F\left( {x, t}\right) \) 的满足初始条件 \( u\left( {x,0}\right) = 0 \) 的解. 这一结果是杜阿梅尔 (Duhamel, J. M. C. ) 在研究热力学问题中发现的, 称为杜阿梅尔原理. 杜阿梅尔原理对波动方程也成立. ## 高阶偏微分方程 高阶线性方程的特征方程 (characteristic equation of linear equation of higher order) 线性偏微分方程最高阶导数部分对应的齐次代数方程, 利用它可以对高阶线性方程进行分类. \( m\left( {m \geq 2}\right) \) 阶线性偏微分方程的一般形式是 \[ H\left( {x, D}\right) u + K\left( {x, D}\right) u = f\left( x\right) , \] (1) \[ H\left( {x, D}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{\left| a\right| = m}}{a}_{a}\left( x\right) {D}^{a}, \] \[ K\left( {x, D}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{\left| \beta \right| \leq m - 1}}{b}_{\beta }\left( x\right) {D}^{\beta }, \] 其中 \[ {D}_{i} = \frac{\partial }{\partial {x}_{i}}, D = \left( {{D}_{1},{D}_{2},\cdots ,{D}_{n}}\right) , \] \[ \alpha = \left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) , \] \[ {D}^{\alpha } = {D}_{1}^{{\alpha }_{1}}{D}_{2}^{{\alpha }_{2}}\cdots {D}_{n}^{{\alpha }_{n}}, \] \[ \left| \alpha \right| = {\alpha }_{1} + {\alpha }_{2} + \cdots + {\alpha }_{n}, \] 函数 \( {a}_{\alpha }\left( x\right) ,{b}_{\beta }\left( x\right) \) 和自由项 \( f\left( x\right) \) 都是 \( x \) 的连续函数. 对一个曲面 \( S : \varphi \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) = 0 \) ,代替自变量 \( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n} \) 引入新的自变量 \( {\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots ,{\xi }_{n - 1},{\xi }_{n} \) ,使 \( {\xi }_{n} \) \( = \varphi \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) ,则方程 (1) 变成 \[H\left( {x,\frac{\partial \varphi }{\partial {x}_{1}},\frac{\partial \varphi }{\partial {x}_{2}},\cdots ,\frac{\partial \varphi }{\partial {x}_{n}}}\right) \frac{{\partial }^{m}u}{\partial {\xi }_{n}^{m}} + \cdots = f,\] 左端省略号代表 \( u \) 关于 \( \xi \) 的偏导数的阶数不超过 \( m \) 且对 \( {\xi }_{n} \) 求导阶数不超过 \( m - 1 \) 的那些项. 于是,若在曲面 \( S \) 上给出 \( u \) 及其所有关于 \( {\xi }_{n} \) 不超过 \( m - 1 \) 阶导数的值, 则上式中除左端第一项外都是已知的, 能否确定 \( {\partial }^{m}u/\partial {\xi }_{n}^{m} \) 在 \( S \) 上的值取决于其系数 \( H \) 是否为零. \( H\left( {x,{\lambda }_{1},{\lambda }_{2},\cdots ,{\lambda }_{n}}\right) = 0 \) 称为方程 (1) 的特征方程. 称满足方程 \[H\left( {x,\frac{\partial \varphi }{\partial {x}_{1}},\frac{\partial \varphi }{\partial {x}_{2}},\cdots ,\frac{\partial \varphi }{\partial {x}_{n}}}\right) = 0\] 的函数 \( \varphi \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 所定义的曲面 \[\varphi \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) = 0\] 为方程 (1) 的特征曲面, 而称满足方程 \[H\left( {x,{\lambda }_{1},{\lambda }_{2},\cdots ,{\lambda }_{n}}\right) = 0\] 的非零向量 \( \left( {{\lambda }_{1},{\lambda }_{2},\cdots ,{\lambda }_{n}}\right) \) 为方程 (1) 在 \( x \) 点处的特征方向. 高阶线性方程的特征方向 (characteristic direction of linear equation of higher order) 见“高阶线性方程的特征方程”. 高阶线性方程的特征曲面 (characteristic surface of linear equation of higher order) 见 “高阶线性方程的特征方程”. 高阶线性方程的分类 (classification of linear equation of higher order) 利用特征方向可对高阶方程分类. 若方程 \[ H\left( {x, D}\right) u + K\left( {x, D}\right) u = f\left( x\right) , \] (1) \[ H\left( {x, D}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{\left| \alpha \right| = m}}{a}_{\alpha }\left( x\right) {D}^{\alpha }, \] \[ K\left( {x, D}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{\left| \beta \right| \leq m - 1}}{b}_{\beta }\left( x\right) {D}^{\beta } \] 在 \( x \) 点处无实特征方向,则称方程 (1) 在 \( x \) 点处为椭圆型的; 如果方程 (1) 在 \( x \) 点处只有实特征方向, 即对任意取定的实数 \( {\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n - 1} \) ,方程 \( H\left( {x,{\alpha }_{1}}\right. \) , \( \left. {{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) = 0 \) 对 \( {\alpha }_{n} \) 只有实根,则称方程 (1) 在 \( x \) 点处为双曲型的; 如果方程 (1) 在 \( x \) 点处对 \( {\alpha }_{n} \) 有 \( m \) 个不同的实特征方向, 则称方程 (1) 为完全双曲型或狭义双曲型的. 若方程 (1) 在区域 \( \Omega \) 中每一点都是椭圆型 (双曲型、完全双曲型) 的,则称方程 (1) 在 \( \Omega \) 中是椭圆型 (双曲型、完全双曲型) 的. 应予注意的是, 高阶方程的分类只与其主部 (最高阶导数项) \( H \) 有关而与低阶项无关. 还应注意对 \( m > 2 \) 的高阶方程所区分出来的称为椭圆型、双曲型等方程只是高阶方程中很少一部分, 而对于二阶方程却可以做较完整的分类 (参见 “二阶线性偏微分方程的分类”). 二阶线性偏微分方程的分类 (classification of linear partial differential equation of second order) 对特征方程利用二次型理论可以将二阶线性偏微分方程分类. 考查 \( n \) 个自变量的二阶线性偏微分方程 \[ \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( x\right) \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{b}_{i}\left( x\right) \frac{\partial u}{\partial {x}_{i}} + c\left( x\right) u = f\left( x\right) , \] (1) 其中 \( {a}_{ij},{b}_{i}, c \) 和 \( f \) 都是 \( x \) 的已知实函数. 此方程的特征方程为 \[ \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( x\right) \frac{\partial \varphi }{\partial {x}_{i}}\frac{\partial \varphi }{\partial {x}_{j}} = 0. \] （2） 如果函数 \( \varphi \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 满足特征方程 (2),则 \( \varphi \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) = 0 \) 是方程 (1) 的特征曲面. 对于一个固定点 \( {x}_{0} \) ,过该点的特征方向 \( \left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) \) 满足方程 \[ Q\left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) \equiv \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( {x}_{0}\right) {\alpha }_{i}{\alpha }_{j} = 0. \] （3） 根据二次型理论, 存在非奇异线性变换 \[ {x}_{i} = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{d}_{ij}{\xi }_{j}\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) , \] (4) 使二次型 \[ Q\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( {x}_{0}\right) {x}_{i}{x}_{j} \] (5) 化为标准型 \[ Q\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{k}_{i}{\xi }_{i}^{2}, \] 其中系数 \( {k}_{i} \) 仅取值 1,0 或 -1 . 此时偏微分方程 (1) 可经非奇异线性变换 (4) 化为 \[ \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}^{ * }\left( x\right) \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\xi }_{i}\partial {\xi }_{j}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{b}_{i}^{ * }\left( \xi \right) \frac{\partial u}{\partial \xi } + {c}^{ * }\left( \xi \right) u = {f}^{ * }\left( \xi \right) , \] (6) 其中 \( {a}_{ii}\left( {x}_{0}\right) = {k}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) ,{a}_{ij}^{ * }\left( {x}_{0}\right) = 0\left( {i \neq j}\right) \) , 方程 (6) 称为方程 (1) 在点 \( {x}_{0} \) 处的标准型. 如果二次型 (5) 是正定或负定的,即所有 \( {k}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \) 都是 1 或都是 -1,则称方程 (1) 在点 \( {x}_{0} \) 处是椭圆型的; 如果 \( {k}_{i} \) 中有一个为 1 (或 -1 ),其余 \( n - 1 \) 个都是 -1 (或 1),则称方程 (1) 在 \( {x}_{0} \) 处为双曲型的; 如果系数 \( {k}_{i} \) 均不为零,且取 1 及 -1 的个数都大于 1,则称方程 (1) 在 \( {x}_{0} \) 处为超双曲型的; 如果 \( {k}_{i} \) 中至少有一个是零,而其余的 \( {k}_{i} \) 都是 1 (或都是 -1 ),则称方程 (1) 在 \( {x}_{0} \) 处为抛物型的. 如果在一个区域中的每一点处, 方程 (1) 均有相同的类型, 则称 (1) 在该区域中是这种类型的. 如果方程 (1) 的二阶偏导数的系数都是常数, 则其标准型为 \[ \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}{k}_{i}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\xi }_{i}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{b}_{i}^{ * }\left( \xi \right) \frac{\partial u}{\partial {\xi }_{i}} + {c}^{ * }\left( \xi \right) u = f\left( \xi \right) . \] 因此, 如果不写出含低阶导数的项, 则常系数二阶线性偏微分方程的四类标准型是: 1. 椭圆型方程 \[ \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{1}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{2}^{2}} + \cdots + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{n}^{2}} + \cdots = 0. \] 2. 双曲型方程 \[ \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{1}^{2}} - \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{2}^{2}} - \cdots - \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{n}^{2}} - \cdots = 0. \] 3. 超双曲型方程 \( \left( {1 < m < n - 2}\right) \) \[ \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{1}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{2}^{2}} + \cdots + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{m}^{2}} - \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{m + 1}^{2}} - \] \[ \cdots - \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{n}^{2}} - \cdots = 0. \] 4. 抛物型方程 \( \left( {b \neq 0,1 \leq m < n}\right) \) \[ \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{1}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{2}^{2}} + \cdots + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{m}^{2}} - b\frac{\partial u}{\partial {x}_{n}} + \cdots = 0. \] 对于变系数方程, 则它可能在区域的一部分点上是这种类型, 而在另一部分点上是另一种类型 (参见“混合型偏微分方程”). 二阶线性偏微分方程的标准型 (canonical forms of linear partial differential equation of second order) 见“二阶线性偏微分方程的分类”. 发展方程 (evolution equation) 用来描述随时间而演变的过程的偏微分方程 (组). 在一个偏微分方程 (组) 中,如果某个自变量可以赋予像时间 \( t \) 那样的含义, 且能写为如下形式 \[ {\left( \frac{\partial }{\partial t}\right) }^{m}u + F\left( {t, x,\cdots ,{\left( \frac{\partial }{\partial x}\right) }^{\alpha }{\left( \frac{\partial }{\partial t}\right) }^{j}u,\cdots }\right) = 0, \] 则称其为发展方程,式中 \( x = \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) ,{t}_{0} \leq t \) \( \leq T,0 \leq j \leq m - 1,\alpha = \left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) \) 是多重指标, \( {\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n} \) 为非负整数, \[ {\left( \frac{\partial }{\partial x}\right) }^{\alpha } = {\left( \frac{\partial }{\partial {x}_{1}}\right) }^{{\alpha }_{1}}{\left( \frac{\partial }{\partial {x}_{2}}\ri

2000_数学辞海（第3卷）

{\partial {x}_{m}^{2}} - b\frac{\partial u}{\partial {x}_{n}} + \cdots = 0. \] 对于变系数方程, 则它可能在区域的一部分点上是这种类型, 而在另一部分点上是另一种类型 (参见“混合型偏微分方程”). 二阶线性偏微分方程的标准型 (canonical forms of linear partial differential equation of second order) 见“二阶线性偏微分方程的分类”. 发展方程 (evolution equation) 用来描述随时间而演变的过程的偏微分方程 (组). 在一个偏微分方程 (组) 中,如果某个自变量可以赋予像时间 \( t \) 那样的含义, 且能写为如下形式 \[ {\left( \frac{\partial }{\partial t}\right) }^{m}u + F\left( {t, x,\cdots ,{\left( \frac{\partial }{\partial x}\right) }^{\alpha }{\left( \frac{\partial }{\partial t}\right) }^{j}u,\cdots }\right) = 0, \] 则称其为发展方程,式中 \( x = \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) ,{t}_{0} \leq t \) \( \leq T,0 \leq j \leq m - 1,\alpha = \left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) \) 是多重指标, \( {\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n} \) 为非负整数, \[ {\left( \frac{\partial }{\partial x}\right) }^{\alpha } = {\left( \frac{\partial }{\partial {x}_{1}}\right) }^{{\alpha }_{1}}{\left( \frac{\partial }{\partial {x}_{2}}\right) }^{{\alpha }_{2}}\cdots {\left( \frac{\partial }{\partial {x}_{n}}\right) }^{{\alpha }_{n}}. \] 常见的发展方程有: 热传导方程、双曲型方程、反应扩散方程、克莱因-戈登方程 \( {u}_{u} - {\Delta u} + {m}^{2}u = 0 \) 及其非线性形式 \( {u}_{u} - {\Delta u} + {m}^{2}u = \sin u \) ,薛定谔方程 \( \mathrm{i}{u}_{t} + \) \( {\Delta u} = 0 \) 及纳维-斯托克斯方程组 \[ \rho \left( {\frac{\partial \mathcal{U}}{\partial t} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{3}{u}_{i}\frac{\partial \mathcal{U}}{\partial {x}_{i}}}\right) - {\mu \Delta }\mathcal{U} = \rho \mathcal{F} - \operatorname{grad}p, \] \( \operatorname{div}\mathcal{U} = 0 \) (式中 \( \rho \) 为密度, \( p \) 为压强, \( \mu \) 为粘性系数, \( \mathcal{U} = \left( {u}_{1}\right. \) , \( \left. {{u}_{2},{u}_{3}}\right) ,\mathcal{F} \) 为外力密度) 等. 发展方程的定解问题、形式多种多样, 有其不同的特点, 常常需用不同的方法来求解; 但在不少的情形下, 可以用适当的方法化为巴拿赫空间中的抽象常微分方程的初值问题 \[ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{\;d}t} = {Au} + F\left( u\right) \;\left( {u\left( 0\right) = {u}_{0}}\right) , \] 式中 \( A \) 是该巴拿赫空间上的一个压缩半群的生成元, 因此可用算子半群的方法来统一地处理. 克莱茵-戈登方程 (Klein-Gordon equation) 见“发展方程”. 算子半群方法 (operator semigroup method) 见“发展方程”及“热传导方程解的半群性质”. 薛定谔方程 (Schrödinger equation) 量子力学的基本方程. 描述微观粒子运动状态的波函数 \( \psi \left( {t, x}\right) \) 满足的方程 \[ \mathrm{i}\bar{h}\frac{\partial \psi }{\partial t} = H\left( {\mathcal{P}, x}\right) \psi \] 称为薛定谔方程, 也称为量子力学中的波动方程, 式中 \( \mathcal{P} \) 表示动量,可以用 \( \mathcal{P} = - \mathrm{i}\bar{h}\nabla \) 表示, \( \bar{h} \) 等于普朗克常数除以 \( {2\pi }, H \) 是哈密顿算符, \( x = \left( {{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}}\right) \) 为粒子在空间中的位置坐标. 对受外力场 \( V\left( x\right) \) 的作用而运动的粒子,如果用 \( m \) 表粒子的质量,则 \[ H = \frac{{\mathcal{P}}^{2}}{2m} + V\left( x\right) \] 于是薛定谔方程成为 \[ \mathrm{i}\bar{h}\frac{\partial \psi \left( {x, t}\right) }{\partial t} - \left\{ {-\frac{{\bar{h}}^{2}}{2m}{\nabla }^{2} + V\left( x\right) }\right\} \psi \left( {t, x}\right) = 0, \] 上式虽被称为波动方程, 但在形式上却和扩散方程相似, 从数学分类上讲它是抛物型方程. 一般地, 如果 \( A \) 是一个椭圆算子,则形如 \[ \mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial t} + {Au} = f \] 的方程也称为薛定谔型方程. 弹性振动方程 (elastic vibration equation) 描述弹性体振动的方程. 设弹性体平衡时占据区域 \( \Omega \) \( {\mathrm{{CR}}}^{3} \) ,设点 \( x = \left( {{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}}\right) \) 处的位移为 \[ u = \left( {{u}_{1},{u}_{2},{u}_{3}}\right) ,{\varepsilon }_{kh}\left( u\right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial {u}_{k}}{\partial {x}_{h}} + \frac{\partial {u}_{h}}{\partial {x}_{k}}}\right) \] 为应变,弹性系数为 \( {a}_{ijkh} \) ,应力满足虎克定律 \( {\sigma }_{ij} \) \( = {a}_{ijkh}{\varepsilon }_{kh}\left( u\right) \) ,弹性体受密度为 \( f = \left( {{f}_{1},{f}_{2},{f}_{3}}\right) \) 的力, 则弹性体的振动方程为 \[ \rho \frac{{\partial }^{2}{u}_{i}}{\partial {t}^{2}} - \frac{\partial }{\partial {x}_{j}}{\sigma }_{ij} = {f}_{i}\text{ (在 }\Omega \text{ 内). } \] 结合边界上的位移或应变的给定数据可确定 \( u \) . 当 \( u \) 不依赖 \( t \) 时即得弹性平衡方程 \[ - \frac{\partial }{\partial {x}_{j}}{\sigma }_{ij} = {f}_{i} \] 对各向同性的均匀弹性体, 当外力为零时, 弹性振动方程化为 \[ \rho \frac{{\partial }^{2}{u}_{i}}{\partial {t}^{2}} = {\mu \Delta }{u}_{i} + \left( {\lambda + \mu }\right) \frac{\partial }{\partial {x}_{i}}\left( {\operatorname{div}u}\right) \;\left( {i = 1,2,3}\right) , \] 其中 \( \rho \) 是密度, \( \lambda ,\mu \) 是弹性体的拉梅常数. 每个分量 \( {u}_{i} \) 都满足由两个不同的波动算子所组成的四阶方程 \[ \left( {\frac{{\partial }^{2}}{\partial {t}^{2}} - \frac{\lambda + {2\mu }}{\rho }\Delta }\right) \left( {\frac{{\partial }^{2}}{\partial {t}^{2}} - \frac{\mu }{\rho }\Delta }\right) {u}_{i} = 0. \] 当弹性体平衡时得到重调和方程 \( {\Delta }^{2}u = 0 \) . 弹性平衡方程 (elastic equilibrium equation) 见“弹性振动方程”. 偏微分方程的基本解 (fundamental solutions of partial differential equation) 偏微分方程的一种具有特定奇异性质的解, 由它可以构造出一般的解. 对于 \( n \) 个自变量的 \( m \) 阶线性偏微分方程 \[ {Lu} \equiv \mathop{\sum }\limits_{{\left| \alpha \right| \leq m}}{a}_{\alpha }\left( x\right) {D}^{\alpha }u = 0, \] (1) 其中 \[ {D}^{\alpha }u = \frac{{\partial }^{\left| \alpha \right| }u}{\partial {x}_{1}^{{\alpha }_{1}}\cdots \partial {x}_{n}^{{\alpha }_{n}}}\left( {\left| \alpha \right| = {\alpha }_{1} + {\alpha }_{2} + \cdots + {\alpha }_{n}}\right) , \] (1) 的基本解定义为方程 \( {Lu} = \delta \left( {x - \xi }\right) \) 的解,其中 \( \delta \left( x\right) \) 是 \( n \) 维狄喇克函数 \( \left( {\delta \text{函数}}\right) \) ,即满足条件 \[ {\int }_{{\mathrm{R}}^{n}}\delta \left( {x - \xi }\right) \varphi \left( x\right) \mathrm{d}x = \varphi \left( \xi \right) \;\left( {\forall \varphi \in {C}_{0}^{\infty }\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) }\right) \] 的广义函数. 方程 (1) 的基本解 \( \Gamma \left( {x,\xi }\right) \) 有下列性质: 1. 当 \( x \neq \xi \) 时, \( {L\Gamma }\left( {x,\xi }\right) = 0 \) . 2. 对任意连续函数 \( f\left( x\right) \) ,函数 \[u\left( x\right) = {\int }_{{\mathrm{R}}^{n}}\Gamma \left( {x,\xi }\right) f\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi \] 是方程 \( {Lu} = f\left( x\right) \) 的解. 也可以把具有性质 1,2 的函数 \( \Gamma \left( {x,\xi }\right) \) 定义为方程 (1) 的基本解. 拉普拉斯方程 \[ {\Delta }_{n}u \equiv \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{1}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{2}^{2}} + \cdots + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{n}^{2}} = 0 \] 的基本解为 \[ \Gamma \left( {x,\xi }\right) = \Gamma \left( {x - \xi }\right) \] \[ = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2\pi }\ln \frac{1}{\left| x - \xi \right| } & \left( {n = 2}\right) , \\ \frac{\Gamma \left( \frac{n}{2}\right) }{2\left( {2 - n}\right) {\pi }^{\frac{n}{2}}}\frac{1}{{\left| x - \xi \right| }^{n - 2}} & \left( {n \geq 3}\right) , \end{array}\right. \] 其中 \[ \left| {x - \xi }\right| = \sqrt{{\left( {x}_{1} - {\xi }_{1}\right) }^{2} + {\left( {x}_{2} - {\xi }_{2}\right) }^{2} + \cdots + {\left( {x}_{n} - {\xi }_{n}\right) }^{2}}. \] 热传导方程 \[ \frac{\partial u}{\partial t} = {a}^{2}{\Delta }_{n}u \] 的基本解为 \( \Gamma \left( {x, t;\xi ,\tau }\right) \) \[ = \frac{1}{{\left( 2a\sqrt{\pi \left( {t - \tau }\right) }\right) }^{n}}\exp \left( \frac{-{\left| x - \xi \right| }^{2}}{4{a}^{2}\left( {t - \tau }\right) }\right) H\left( {t - \tau }\right) . \] 波动方程 \[ \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {t}^{2}} = {a}^{2}{\Delta }_{n}u \] 的基本解为 \[ \Gamma \left( {x, t;\xi ,\tau }\right) \] \[ = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{2a}H\left( {a\left( {t - \tau }\right) - \left| {x - \xi }\right| }\right) \;\left( {n = 1}\right) , \\ \frac{1}{{2\pi a}\sqrt{{a}^{2}{\left( t - \tau \right) }^{2} - {\left| x - \xi \right| }^{2}}} \\ \; \times H\left( {a\left( {t - \tau }\right) - \left| {x - \xi }\right| }\right) \;\left( {n = 2}\right) , \\ \frac{\delta \left( {\left| {x - \xi }\right| - a\left( {t - \tau }\right) }\right) }{{4\pi a}\left| {x - \xi }\right| } \\ \; \times H\left( {a\left( {t - \tau }\right) - \left| {x - \xi }\right| }\right) \;\left( {n = 3}\right) , \end{array}\right. \] 其中 \( H\left( s\right) \) 为亥维赛函数,即 \[ H\left( s\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \left( {s \geq 0}\right) , \\ 0 & \left( {s < 0}\right) , \end{array}\right. \] 满足 \[ \frac{\partial u}{\partial t} = {a}^{2}{\Delta }_{n}u,\;u\left( {x,0}\right) = \delta \left( {x - \xi }\right) \] 的解称为 \( n \) 维热传导方程柯西问题的基本解,其表达式为 \[ \Gamma \left( {x, t;\xi }\right) = \Gamma \left( {x - \xi, t}\right) \] \[ = \frac{1}{{\left( 2a\sqrt{\pi t}\right) }^{n}}\exp \left( {-\frac{{\left| x - \xi \right| }^{2}}{4{a}^{2}t}}\right) , \] 满足 \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {t}^{2}} = {a}^{2}{\Delta }_{n}u, u\left( {x,0}\right) = 0, \\ \frac{\partial u}{\partial t}\left( {x,0}\right) = \delta \left( {x - \xi }\right) \end{array}\right. \] 的解称为 \( n \) 维波动方程柯西问题的基本解,其表达 式为 \[ \Gamma \left( {x, t;\xi }\right) = \Gamma \left( {x - \xi, t}\right) \] \[ = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2a}H\left( {{at} - \left| {x - \xi }\right| }\right) & \left( {n = 1}\right) , \\ \frac{1}{{2\pi a}\sqrt{{a}^{2}{t}^{2} - {\left| x - \xi \right| }^{2}}} & \\ \; \times H\left( {{at} - \left| {x - \xi }\right| }\right) & \left( {n = 2}\right) , \\ \frac{\delta \left( {\left| {x - \xi }\right| - {at}}\right) }{{4\pi a}\left| {x - \xi }\right| } & \left( {n = 3}\right) . \end{array}\right. \] 柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理 (Cauchy-Ko-valevskaja theorem) 偏微分方程理论中第一个普遍性的解存在定理. 对柯瓦列夫斯卡娅类型方程组: \[\frac{{\partial }^{{n}_{i}}{u}_{i}}{\partial {t}^{{n}_{i}}} = {F}_{i}\left( {t,{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n},}\right. \] \[\left. {{u}_{1},{u}_{2},\cdots ,{u}_{N},\cdots ,\frac{{\partial }^{k}u}{\partial {t}^{{k}_{0}}\partial {x}_{1}^{{k}_{1}}\cdots \partial {x}_{{n}^{n}}^{{k}_{n}}},\cdots }\right) \] \( \left( {i, j = 1,2,\cdots, N;{k}_{0} + {k}_{1} + \cdots + {k}_{n} = k \leq {n}_{i};{k}_{0} < {n}_{i}}\right) , \) 赋予定解条件 \[{\left. \frac{{\partial }^{k}{u}_{i}}{\partial {t}^{k}}\right| }_{t = {t}_{0}} = {\varphi }_{i}^{k}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \] \[\left( {k = 0,1,\cdots ,{n}_{i} - 1;i = 1,2,\cdots, n}\right) ,\] 即成为一个初值问题 (柯西问题). 柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理断言: 如果 \( {\varphi }_{i}^{k} \) 在点 \( {x}^{0} = \left( {{x}_{1}^{0},{x}_{2}^{0},\cdots ,{x}_{n}^{0}}\right) \) 的邻域内解析,所有 \( {F}_{i} \) 在相应点 \( \left( {{t}^{0},{x}^{0},{u}^{0},\cdots }\right. \) , \( \left( {{\partial }^{k}{u}_{j}{)}^{0},\cdots }\right) \) 的邻域内解析,那么如上的柯西问题在 \( \left( {{t}^{0},{x}^{0}}\right) \) 的某个邻域内有惟一的解析解,其中 \( {\left( {\partial }^{k}{u}_{j}\right) }^{0} \) 表示 \[{\partial }^{k}{u}_{j} = \frac{{\part

2000_数学辞海（第3卷）

_{n},}\right. \] \[\left. {{u}_{1},{u}_{2},\cdots ,{u}_{N},\cdots ,\frac{{\partial }^{k}u}{\partial {t}^{{k}_{0}}\partial {x}_{1}^{{k}_{1}}\cdots \partial {x}_{{n}^{n}}^{{k}_{n}}},\cdots }\right) \] \( \left( {i, j = 1,2,\cdots, N;{k}_{0} + {k}_{1} + \cdots + {k}_{n} = k \leq {n}_{i};{k}_{0} < {n}_{i}}\right) , \) 赋予定解条件 \[{\left. \frac{{\partial }^{k}{u}_{i}}{\partial {t}^{k}}\right| }_{t = {t}_{0}} = {\varphi }_{i}^{k}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \] \[\left( {k = 0,1,\cdots ,{n}_{i} - 1;i = 1,2,\cdots, n}\right) ,\] 即成为一个初值问题 (柯西问题). 柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理断言: 如果 \( {\varphi }_{i}^{k} \) 在点 \( {x}^{0} = \left( {{x}_{1}^{0},{x}_{2}^{0},\cdots ,{x}_{n}^{0}}\right) \) 的邻域内解析,所有 \( {F}_{i} \) 在相应点 \( \left( {{t}^{0},{x}^{0},{u}^{0},\cdots }\right. \) , \( \left( {{\partial }^{k}{u}_{j}{)}^{0},\cdots }\right) \) 的邻域内解析,那么如上的柯西问题在 \( \left( {{t}^{0},{x}^{0}}\right) \) 的某个邻域内有惟一的解析解,其中 \( {\left( {\partial }^{k}{u}_{j}\right) }^{0} \) 表示 \[{\partial }^{k}{u}_{j} = \frac{{\partial }^{k}{u}_{j}}{\partial {t}^{{k}_{0}}\partial {x}_{1}^{{k}_{1}}\cdots \partial {x}_{n}^{{k}_{n}}}\] 在 \( \left( {{t}^{0},{x}^{0}}\right) \) 处由初始条件确定的值. 卢伊关于无解的线性偏微分方程的例子 (Lewy's example of linear partial differential equation without solution) 光滑系数线性偏微分方程没有解的著名例子. 自从柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理建立之后, 对于线性方程, 人们猜测当其系数和自由项虽不是解析的但属于 \( {C}^{\infty } \) 时,解亦应存在. 1957 年, 卢伊 (Lewy, H. ) 举出了一个简单的反例, 否定了这个猜测. 卢伊指出, 如果方程 \[\frac{1}{2}\left( {\frac{\partial y}{\partial {x}_{1}} + \mathrm{i}\frac{\partial y}{\partial {x}_{2}}}\right) + \mathrm{i}\left( {{x}_{1} + \mathrm{i}{x}_{2}}\right) \frac{\partial y}{\partial {x}_{3}} = f\left( {x}_{3}\right) \] 在原点邻域内有连续可微解 \( u\left( {{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}}\right) \) ,那么 \( f \) 就必须是解析的. 这表明即使 \( f \) 无限次可微,但不是解析的, 上述方程也没有连续可微解. 实际上, 在广义函数类中该方程也没有解. 卢伊提出的这个著名的光滑系数线性偏微分方程无解的例子, 在数学界引起了很大的震动, 促进了偏微分方程局部可解性及一般线性偏微分算子的研究. 霍姆格伦的惟一性定理 (Holmgren uniqueness theorem) 偏微分方程理论中一个带普遍性的解的惟一性定理. 霍姆格伦惟一性定理断言: 原点邻域内具解析系数的一阶线性方程组 \[ \frac{\partial u}{\partial t} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{A}_{k}\left( {x, t}\right) \frac{\partial u}{\partial {x}_{k}} + B\left( {x, t}\right) u + f\left( {t, x}\right) \] ( \( {A}_{k} \) 和 \( B \) 是 \( N \times N \) 矩阵, \( u \) 和 \( f \) 为 \( N \) 维矢量),满足 \( {C}^{1} \) 初始条件 \[ {\left. u\right| }_{t = 0} = \varphi \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \] 的柯西问题在原点的某邻域内的 \( {C}^{1} \) 解是惟一的. 由于具解析系数的高阶方程组可以化成一阶组, 所以霍姆格伦定理对高阶线性方程也成立. 此定理中关于系数为解析的要求一般是不能去掉的, 普李斯 (Plis, A. ) 于 1954 年曾给出一个偏微分方程组的例子, 其系数无限次连续可微, 但齐次柯西问题除平凡解外还有一个非零的无限可微的解. 二阶偏微分算子的格林公式 (Green formula of second order partial differential equation) 联系两个自变量的二阶偏微分算子及其伴随算子的一个等式. 二阶偏微分算子 \[ {Lu} = {a}_{11}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{1}^{2}} + 2{a}_{12}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{1}\partial {x}_{2}} + {a}_{22}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{2}^{2}} \] \[ + {a}_{1}\frac{\partial u}{\partial {x}_{1}} + {a}_{2}\frac{\partial u}{\partial {x}_{2}} + {cu} \] 的伴随算子为 \[ {L}^{ * }u = \frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}_{1}^{2}}\left( {{a}_{11}v}\right) + 2\frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}_{1}\partial {x}_{2}}\left( {{a}_{12}v}\right) + \frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}_{2}^{2}}\left( {{a}_{22}v}\right) \] \[ - \frac{\partial }{\partial {x}_{1}}\left( {{a}_{1}v}\right) - \frac{\partial }{\partial {x}_{2}}\left( {{a}_{2}v}\right) + {cv}. \] 令 \[ H\left( {u, v}\right) = v\left( {{a}_{12}\frac{\partial u}{\partial {x}_{1}} + {a}_{22}\frac{\partial u}{\partial {x}_{2}} + {a}_{2}u}\right) \] \[ - u\left( {\frac{\partial }{\partial {x}_{1}}\left( {{a}_{12}v}\right) + \frac{\partial }{\partial {x}_{2}}\left( {{a}_{22}v}\right) }\right) , \] \[ K\left( {u, v}\right) = - v\left( {{a}_{11}\frac{\partial u}{\partial {x}_{1}} + {a}_{12}\frac{\partial u}{\partial {x}_{2}} + {a}_{1}u}\right) \] \[ + u\left( {\frac{\partial }{\partial {x}_{1}}\left( {{a}_{11}v}\right) + \frac{\partial }{\partial {x}_{2}}\left( {{a}_{12}v}\right) }\right) , \] 则有黎曼等式 \[ {vLu} - u{L}^{ * }v = \frac{\partial }{\partial {x}_{2}}H - \frac{\partial }{\partial {x}_{1}}K, \] 两端积分得二阶微分算子 \( L \) 的格林公式 \[ {\int }_{\Omega }\left( {{vLu} - u{L}^{ * }v}\right) \mathrm{d}{x}_{1}\mathrm{\;d}{x}_{2} = {\int }_{\partial \Omega }H\mathrm{\;d}{x}_{1} + K\mathrm{\;d}{x}_{2}. \] 这一公式是定义广义解的基础和用黎曼方法解两个自变量的双曲型方程的出发点. 二阶偏微分算子的伴随算子 (adjoint operator of second order partial differential equation) 见 “二阶偏微分算子的格林公式”. ## 双曲型方程 双曲型偏微分方程 (partial differential equation of hyperbolic type) 描述振动或波动现象的一类重要的偏微分方程. 它的一个典型特例是波动方程 \[ \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {t}^{2}} - \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{1}^{2}} - \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{2}^{2}} - \cdots - \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{n}^{2}} = 0. \] \( n = 1 \) 时的波动方程 \[ \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {t}^{2}} - \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}^{2}} = 0 \] (1) 可用来描述弦的微小横振动, 称为弦振动方程. 这是最早得到系统研究的一个偏微分方程. 其解具有十分简单的结构, 即总可以表为一个右传播波和一个左传播波的叠加: \( u = F\left( {x - t}\right) + G\left( {x + t}\right) \) . 因此,当给定弦的初始位移和速度 \[ {\left. u\right| }_{t = 0} = \varphi \left( x\right) ,{\left. \;\frac{\partial u}{\partial t}\right| }_{t = 0} = \psi \left( x\right) , \] (2) 即可得到柯西问题 (1), (2) 的解的表达式 \[ u\left( {x, t}\right) = \frac{\varphi \left( {x - t}\right) + \varphi \left( {x + t}\right) }{2} + \frac{1}{2}{\int }_{x - t}^{x + t}\psi \left( \xi \right) \mathrm{d}\xi , \] 称为达朗贝尔公式. 二阶线性双曲型方程 (second order linear hyperbolic equation) 最简单最重要的双曲型偏微分方程. 对于 \( n + 1 \) 个自变量 \( t, x = \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 的二阶线性偏微分方程 \[{Lu} = \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {t}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{0i}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t\partial {x}_{i}} - \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}}\] \[ - {a}_{0}\frac{\partial u}{\partial t} - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{i}\frac{\partial u}{\partial {x}_{i}} - {au} - f = 0,\] 假设所有系数及 \( f \) 都是 \( t, x \) 的光滑函数. 如果在固定点 \( \left( {t, x}\right) \) 处特征方程 \[{\lambda }^{2} - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{0i}{\xi }_{i}\lambda - \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}{\xi }_{i}{\xi }_{j} = 0\] 对任意非零实数组 \( \xi = \left( {{\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots ,{\xi }_{n}}\right) \) ,恒有两个相异实根 \( {\lambda }_{1}\left( {t, x;\xi }\right) ,{\lambda }_{2}\left( {t, x;\xi }\right) \) ,则称 \( {Lu} = 0 \) 在点 \( \left( {t, x}\right) \) 处为双曲型方程,或简称在 \( \left( {t, x}\right) \) 处是双曲的. 若在所考查的区域的每点处 \( {Lu} = 0 \) 都是双曲的,则称 \( {Lu} = 0 \) 在该区域是双曲的. 如果 \( {\lambda }_{1},{\lambda }_{2} \) 关于 \( \left( {t, x}\right) \) \( \in Q \) 是一致分离的,即当 \[\mathop{\inf }\limits_{{\left( {t, x}\right) \in Q,\left| \xi \right| = 1}}\left| {{\lambda }_{1}\left( {t, x;\xi }\right) - {\lambda }_{2}\left( {t, x;\xi }\right) }\right| = c > 0\] 成立时,则称 \( {Lu} = 0 \) 在 \( Q \) 内是正则双曲的. 线性双曲型方程的典型例子是波动方程 (参见 “波动方程”) 以及描述有电漏的导线中电流传导的双曲型方程一电报方程 \[\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {t}^{2}} - {c}^{2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}^{2}} - 2\frac{\partial u}{\partial t} = 0.\] 正则双曲型 (regular hyperbolic type) 见 “二阶线性双曲型方程”. 波动方程 (wave equation) 描述波动或振动现象的典型方程. 形如 \[ \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {t}^{2}} - {a}^{2}\left( {\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{1}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{2}^{2}} + \cdots + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{n}^{2}}}\right) \] \[ = f\left( {t;{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \] 的方程称为 \( n \) 维波动方程,式中 \( a \) 为正常数, \( f \) 是已知函数. 物体的许多运动规律可以用波动方程来描述, 如弦的振动、膜的振动与声波和电磁波的传播可以分别用一维、二维和三维波动方程来描述. 因此, 一维波动方程又称为弦振动方程, 二维波动方程又称为膜振动方程. 对于波动方程, 柯西 (初值) 问题和混合 (初-边值) 问题是适定的, 边值问题是不适定的. 波动方程的基本解 (fundamental solution of wave equation) 见“偏微分方程的基本解”. 弦振动方程 (equation of vibration of a string) 见“波动方程”和“双曲型偏微分方程”. 膜振动方程 (equation of vibration of a membrane) 见“波动方程”. 特征超曲面 (characteristic hypersurface) 求解双曲型方程或研究其解的性质时起重要作用的一种超曲面. 一个超曲面 \( S : \varphi \left( {t, x}\right) = 0 \) ,如果在其上成立 \[ H\left( {t, x;\frac{\partial \varphi }{\partial t},\frac{\partial \varphi }{\partial x}}\right) = 0, \] 就称 \( S \) 是方程 \[ {Lu} = \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {t}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{0i}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t\partial x} - \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}} \] \[ - {a}_{0}\frac{\partial u}{\partial t} - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{i}\frac{\partial u}{\partial {x}_{i}} - {au} - f = 0 \] (1) 的一个特征超曲面, 其中 \[ H\left( {t, x;\lambda ,\xi }\right) = {\lambda }^{2} - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{0i}{\xi }_{i}\lambda - \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}{\xi }_{i}{\xi }_{j}. \] \[ H\left( {t, x;\lambda ,\xi }\right) = 0 \] (2) 称为方程 (1) 在 \( \left( {x, t}\right) \) 处的特征方程. 对于双曲型方程, 任一特征超曲面均由双特征线组成, 而双特征线 (又称特征射线) \( t = t\left( \tau \right), x = x\left( \tau \right) \) 由如下常微分方程组 \[ \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{\;d}\tau } = {H}_{\lambda },\frac{\mathrm{d}{x}_{i}}{\mathrm{\;d}\tau } = {H}_{{\xi }_{i}}\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) , \] \[ \frac{\mathrm{d}\lambda }{\mathrm{d}\tau } = - {H}_{t},\frac{\mathrm{d}{\xi }_{i}}{\mathrm{\;d}\tau } = {H}_{{x}_{i}}\;\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \] 满足附加条件 (2) 的解给出. 由过一点 \( P\left( {{t}^{0},{x}^{0}}\right) \) 的一切双特征线所构成的特征超曲面,称为以 \( P \) 为顶点的特征劈锥面, 特征劈锥面连同其内部称为特征劈锥体,它们由位于 \( t \geq {t}^{0} \) 和 \( t \leq {t}^{0} \) 的向前及向后两部分组成. 过 \( P \) 点指向此劈锥面内部的任一方向,称为此点的类时方向; 一个处处和类时方向相切的曲线称为时向曲线. 以 \( P \) 为顶点的特征劈锥内部的任一点,都可用时向曲线与 \( P \) 点相连结. 对曲面上任一点, 都有经过该点且位于此曲面上的时向曲线时称此曲面为时向曲面. 处处将劈锥的前后两部分分隔开的超曲面称为空向曲面. 对方程 (1),超曲面 (t \( = \) 常数) 就是空向曲面. 对波动方程, 双特征线都是直线 \( {x}_{i} = {a}_{i} + {\alpha }_{i}t\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \) ,式中 \[ \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\alpha }_{i}^{2} = 1 \] 而以 \( P\left( {{t}^{0},{x}^{0}}\right) \) 为顶点的特征劈锥面就是特征锥面 \[ \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {x}_{i} - {x}_{i}^{0}\right) }^{2} = {\left( t - {t}_{0}\right) }^{2}, \] 此时 \( t \) 轴恰为一个时向曲线. 在方程 (1) 的主部的系数有界时, 以任何点为顶点的特征劈锥面都可包含在以此点为顶点的一个固定大小的圆锥中. 解的弱间断面一定是特征超曲面. 因此, 在波的传播中, 特征超曲面可用来表示波前, 即作为已受扰动与未受扰动的区域的分界面, 而任何扰动都沿着双特征线传播. 扰动沿双特征线

2000_数学辞海（第3卷）

}_{t},\frac{\mathrm{d}{\xi }_{i}}{\mathrm{\;d}\tau } = {H}_{{x}_{i}}\;\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \] 满足附加条件 (2) 的解给出. 由过一点 \( P\left( {{t}^{0},{x}^{0}}\right) \) 的一切双特征线所构成的特征超曲面,称为以 \( P \) 为顶点的特征劈锥面, 特征劈锥面连同其内部称为特征劈锥体,它们由位于 \( t \geq {t}^{0} \) 和 \( t \leq {t}^{0} \) 的向前及向后两部分组成. 过 \( P \) 点指向此劈锥面内部的任一方向,称为此点的类时方向; 一个处处和类时方向相切的曲线称为时向曲线. 以 \( P \) 为顶点的特征劈锥内部的任一点,都可用时向曲线与 \( P \) 点相连结. 对曲面上任一点, 都有经过该点且位于此曲面上的时向曲线时称此曲面为时向曲面. 处处将劈锥的前后两部分分隔开的超曲面称为空向曲面. 对方程 (1),超曲面 (t \( = \) 常数) 就是空向曲面. 对波动方程, 双特征线都是直线 \( {x}_{i} = {a}_{i} + {\alpha }_{i}t\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \) ,式中 \[ \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\alpha }_{i}^{2} = 1 \] 而以 \( P\left( {{t}^{0},{x}^{0}}\right) \) 为顶点的特征劈锥面就是特征锥面 \[ \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {x}_{i} - {x}_{i}^{0}\right) }^{2} = {\left( t - {t}_{0}\right) }^{2}, \] 此时 \( t \) 轴恰为一个时向曲线. 在方程 (1) 的主部的系数有界时, 以任何点为顶点的特征劈锥面都可包含在以此点为顶点的一个固定大小的圆锥中. 解的弱间断面一定是特征超曲面. 因此, 在波的传播中, 特征超曲面可用来表示波前, 即作为已受扰动与未受扰动的区域的分界面, 而任何扰动都沿着双特征线传播. 扰动沿双特征线传播的性质, 充分体现了一般情形下线性双曲型偏微分方程的解的奇性传播的特点. 在光学中, 双特征线就是光线, 沿着它们积分一些常微分方程, 在高频振动的情形下, 可得到精确解的渐近展开式. 此方法称为几何光学近似. 它将波动光学和几何光学联系起来, 并为傅里叶积分算子提供了一个雏型. 特征射线 (characteristic ray) 见 “特征超曲面”. 特征劈锥面 (characteristic conoid surface) 见“特征超曲面”. 特征劈锥体 (characteristic conoid) 见 “特征超曲面”. 时向曲线 (time-like curve) 见 “特征超曲面”. 时向曲面 (time-like hypersurface) 见 “特征超曲面”. 空向曲面 (space-like hypersurface) 见 “特征超曲面”. 几何光学近似方法 (geometric optics' approximate method) 见“特征超曲面”. 二阶线性双曲型方程的柯西问题 (Cauchy problem for second order linear hyperbolic partial differential equation) 二阶双曲型方程的一类重要的定解问题. 求方程 \[ \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {t}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{0i}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t\partial {x}_{i}} - \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}} \] \[ - {a}_{0}\frac{\partial u}{\partial t} - \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{n}{a}_{i}\frac{\partial u}{\partial {x}_{i}} - {au} - f = 0 \] (1) 在 \( t > 0 \) 的解 \( u = u\left( {x, t}\right) \) ,使它满足初始条件 \[ {\left. u\right| }_{t = 0} = {u}_{0}\left( x\right) ,{\left. \;\frac{\partial u}{\partial t}\right| }_{t = 0} = {u}_{1}\left( x\right) . \] (2) (1),(2) 称为柯西问题或初值问题,式中 \( {u}_{0}\left( x\right) \) , \( {u}_{1}\left( x\right) \) 是给定的适当光滑的函数. 一般地,柯西问题的初始数据可以给在任一类空向曲面上. 对于正则双曲型方程, 其柯西问题是适定的. 柯西问题 (1),(2) 的解在点 \( P\left( {{x}^{0},{t}^{0}}\right) \left( {{t}^{0} > 0}\right) \) 处的值,只依赖于以 \( P \) 点为顶点的后向特征劈锥体 (或面) 与初始超平面 \( t = 0 \) 交截所得的区域 \( {G}_{P} \) 上的初始数据,而与 \( {G}_{P} \) 外的初始数据无关. \( {G}_{P} \) 称为点 \( P \) 的依赖区域. 依赖区域的有界性反映了波动以有限速度传播的事实, 这是双曲型方程的一个本质特点. 相应地,初始数据在 \( t = 0 \) 上一点 \( {P}^{0} \) 的一个邻域中的扰动,仅对以 \( {P}^{0} \) 为顶点的前向特征劈锥体 (面) 的一个邻域中的数值产生影响, 这个前向劈锥体 (面) 称为点 \( {P}^{0} \) 的影响区域. 对初始空间 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的区域 \( D \) , 其依赖区域完全包含在 \( D \) 中的点组成的集合称为 \( D \) 的决定区域. 对一维波动方程,点 \( \left( {{x}_{0},{t}_{0}}\right) \) 的依赖区域是区间 \( \left\lbrack {{x}_{0} - a{t}_{0},{x}_{0} + a{t}_{0}}\right\rbrack \) ; 而区间 \( \left\lbrack {{x}_{1},{x}_{2}}\right\rbrack \) 的决定区域是由三条直线 \( t = 0, x = {x}_{1} - {at}, x = {x}_{1} + {at} \) 围成的三角形; 区间 \( \left\lbrack {{x}_{1},{x}_{2}}\right\rbrack \) 的影响区域是由两条半射线 \( x \) \( = {x}_{1} - {at}, x = {x}_{2} + {at}\left( {t \geq 0}\right) \) 和 \( t = 0 \) 上的线段 \( \left\lbrack {{x}_{1},{x}_{2}}\right\rbrack \) 所围成的区域. 如下图.  对二维波动方程,点 \( \left( {{x}_{0},{y}_{0},{t}_{0}}\right) \) 的依赖区域是 \( t \) \( = 0 \) 上的圆 \[ S : {\left( x - {x}_{0}\right) }^{2} + {\left( y - {y}_{0}\right) }^{2} \leq {a}^{2}{t}_{0}^{2}; \] 该圆 \( S \) 的决定区域是以 \( S \) 为底, \( \left( {{x}_{0},{y}_{0},{t}_{0}}\right) \) 为顶点的圆锥体: \[ {\left( x - {x}_{0}\right) }^{2} + {\left( y - {y}_{0}\right) }^{2} \leq {a}^{2}{\left( t - {t}_{0}\right) }^{2}\;\left( {0 \leq t \leq {t}_{0}}\right) ; \] 而 \( t = 0 \) 上点 \( \left( {{x}_{0},{y}_{0},0}\right) \) 的影响区域是圆锥体: \( (x - \) \( {\left. {x}_{0}\right) }^{2} + {\left( y - {y}_{0}\right) }^{2} \leq {a}^{2}{t}^{2} \) . 如下图.   \( \left( {{x}_{0},{y}_{0},{t}_{0}}\right) \) 的依赖区域点 \( \left( {{x}_{0},{y}_{0},0}\right) \) 的影响区域  圆 \( S \) 的决定区域 对三维波动方程,点 \( \left( {{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0},{t}_{0}}\right) \) 的依赖区域是超平面 \( t = 0 \) 上的球面 \( {\left( x - {x}_{0}\right) }^{2} + {\left( y - {y}_{0}\right) }^{2} + (z \) \( {\left. -{z}_{0}\right) }^{2} = {a}^{2}{t}_{0}^{2} \) ; 该球面内部区域的决定区域是以该球体为底,以 \( \left( {{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0},{t}_{0}}\right) \) 为顶点的四维圆锥体: \( (x \) \( {\left. -{x}_{0}\right) }^{2} + {\left( y - {y}_{0}\right) }^{2} + {\left( z - {z}_{0}\right) }^{2} \leq {a}^{2}{\left( t - {t}_{0}\right) }^{2}(0 \leq t \leq \) \( \left. {t}_{0}\right) \) ; 初始平面 \( t = 0 \) 上一点 \( \left( {{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0},0}\right) \) 的影响区域是四维锥面: \( {\left( x - {x}_{0}\right) }^{2} + {\left( y - {y}_{0}\right) }^{2} + {\left( z - {z}_{0}\right) }^{2} = {a}^{2}{t}^{2}(t \) \( > 0) \) ,而初始平面上某一区域 \( D \) 的影响区域是 \( D \) 中每一点所作出的相应锥面的包络面围成的区域. 决定区域 (domain of determinacy) 见 “二阶线性双曲型方程的柯西问题”. 影响区域 (domain of influence) 见“二阶线性双曲型方程的柯西问题”. 依赖区域 (domain of dependence) 见 “二阶线性双曲型方程的柯西问题”. 二阶线性双曲型方程的混合问题 (initial boundary value problem for second order linear hyperbolic partial differential equation) 双曲型方程除柯西问题外的另一类重要的定解问题. 混合问题是求该方程的解 \( u\left( {t, x}\right) \) 在 \( x \) 空间的一个区域的边界上满足给定的边界条件,并在此区域上满足 \( t = 0 \) 时的初始条件. 在研究波的反射、干扰或有界弹性体的振动时自然会提出这类问题. 二阶线性双曲型方程带常见边界条件的混合问题是适定的. 齐次波动方程柯西问题的解 (solution of Cauchy problem of homogeneous wave equation) 齐次波动方程柯西问题有表达解的公式. 设 \( \varphi \) 三次连续可微, \( \psi \) 二次连续可微,那么齐次波动方程柯西 问题 \[ \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {t}^{2}} = {a}^{2}{\Delta u},{\left. u\right| }_{t = 0} = \varphi \left( x\right) ,{\left. \frac{\partial u}{\partial t}\right| }_{t = 0} = \psi \left( x\right) \] 的解 \( u \) 的表达式分别为: 1. 三维 (基尔霍夫或泊松公式) \[ u\left( {x, y, z;t}\right) = \frac{1}{{4\pi }{a}^{2}}\left\lbrack {{\iint }_{{S}_{at}}\frac{\psi }{t}\mathrm{\;d}S + \frac{\partial }{\partial t}{\iint }_{{S}_{at}}\frac{\varphi }{t}\mathrm{\;d}S}\right\rbrack , \] 式中 \( {S}_{at} \) 表示球面 \[ {\left( \xi - x\right) }^{2} + {\left( \eta - y\right) }^{2} + {\left( \zeta - z\right) }^{2} = {a}^{2}{t}^{2}. \] 2. 二维 (泊松公式) \[ u\left( {x, y, t}\right) \] \[ = \frac{1}{2\pi a}\left\lbrack {{\iint }_{{K}_{at}}\frac{\psi \left( {\xi ,\eta }\right) \mathrm{d}\xi \mathrm{d}\eta }{{\left\lbrack {a}^{2}{t}^{2} - {\left( \xi - x\right) }^{2} - {\left( \eta - y\right) }^{2}\right\rbrack }^{\frac{1}{2}}}}\right. \] \[ \left. {+\frac{\partial }{\partial t}{\iint }_{{K}_{at}}\frac{\varphi \left( {\xi ,\eta }\right) \mathrm{d}\xi \mathrm{d}\eta }{{\left\lbrack {a}^{2}{t}^{2} - {\left( \xi - x\right) }^{2} - {\left( \eta - y\right) }^{2}\right\rbrack }^{\frac{1}{2}}}}\right\rbrack , \] 式中 \( {K}_{at} \) 表示圆 \( {\left( \xi - x\right) }^{2} + {\left( \eta - y\right) }^{2} \leq {a}^{2}{t}^{2} \) . 3. 一维 (达朗贝尔公式) \[ u\left( {x, t}\right) = \frac{\varphi \left( {x - {at}}\right) + \varphi \left( {x + {at}}\right) }{2} \] \[ + \frac{1}{2a}{\int }_{x - {at}}^{x + {at}}\psi \left( \xi \right) \mathrm{d}\xi \] 基尔霍夫 (Kirchhoff, G. R. ) 推广亥姆霍兹 (Helmhotz, H. von) 的工作, 得出的三维波动方程初值问题的解的表达式有重要的现实意义 (参见 “惠更斯原理"). 达朗贝尔公式 (d'Alembert formula) 见 “齐次波动方程柯西问题的解”. 基尔霍夫公式 (Kirchhoff formula) 见 “齐次波动方程柯西问题的解”. 泊松公式 (Poisson formula) 见“齐次波动方程柯西问题的解”. 非齐次波动方程柯西问题的解 (solution of Cauchy problem of nonhomogeneous wave equation) 非齐次波动方程柯西问题有表达解的公式. 非齐次波动方程 \( {u}_{tt} - {a}^{2}{\Delta u} = f\left( {x, t}\right) \) 的柯西问题的解 \( u\left( {x, t}\right) \) 等于齐次波动方程的柯西问题的解添加一项如下形式的函数 \( {u}_{1} \) (推迟势): 1. 三维 \[ {u}_{1}\left( {x, y, z, t}\right) = \frac{1}{{4\pi }{a}^{2}}{\iiint }_{r \leq {at}}\frac{f\left( {\xi ,\eta ,\zeta, t - \frac{r}{a}}\right) }{r}\mathrm{\;d}\xi \mathrm{d}\eta \mathrm{d}\zeta , \] 式中 \( r = {\left\lbrack {\left( \xi - x\right) }^{2} + {\left( \eta - y\right) }^{2} + {\left( \zeta - z\right) }^{2}\right\rbrack }^{\frac{1}{2}} \) ,积分区域是以 \( \left( {x, y, z}\right) \) 为球心, at 为半径的球体. 2. 二维 \[ {u}_{1}\left( {x, y, t}\right) = \] \[ \frac{1}{2\pi a}{\int }_{0}^{\gamma }\left\lbrack {{\iint }_{\rho \leq a\left( {t - \tau }\right) }\frac{f\left( {\xi ,\eta ,\tau }\right) \mathrm{d}\xi \mathrm{d}\eta }{{\left\lbrack {a}^{2}{\left( t - \tau \right) }^{2} - {\left( \xi - x\right) }^{2} - {\left( \eta - y\right) }^{2}\right\rbrack }^{\frac{1}{2}}}}\right\rbrack \mathrm{d}\tau , \] 式中 \( \rho = {\left( {\left( \xi - x\right) }^{2} + {\left( \eta - y\right) }^{2}\right) }^{\frac{1}{2}} \) . 3. 一维 \[ {u}_{1}\left( {x, t}\right) = \frac{1}{2a}{\int }_{0}^{t}{\int }_{x - a\left( {t - \tau }\right) }^{x + a\left( {t - \tau }\right) }f\left( {\xi ,\tau }\right) \mathrm{d}\xi \mathrm{d}\tau . \] 推迟势 (retarded potential) 见 “非齐次波动方程柯西问题的解”. 降维法 (method of the reduction of dimensions) 二维 (一维) 齐次波动方程柯西问题的解可由三维 (二维) 的解通过所谓降维法来得到. 例如, 将二维波动方程 \( {u}_{tt} - {u}_{xx} - {u}_{yy} = 0 \) 看成三维波动方程的一个特殊情况一 它的初始条件和解本身都与变元 \( z \) 无关. 这样可以由三维的基尔霍夫公式导出二维的泊松公式. 这种从高维问题的解导出低一维相应问题的解的方法称为降维法. 降维法不仅适用于波动方程, 也适用于其他类型的一些方程. 惠更斯原理 (Huygens principle) 波的传播有清晰的前阵面及后阵面的现象. 对三维波动方程, 根据基尔霍夫公式,点 \( \left( {{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0},0}\right) \) 在时刻 \( t > 0 \) 时的影响区域是球面 \( {\left( x - {x}_{0}\right) }^{2} + {\left( y - {y}_{0}\right) }^{2} + {\left( z - {z}_{0}\right) }^{2} = \) \( {a}^{2}{t}^{2} \) . 若初始时刻某有界区域 \( \Omega \) 中有一个扰动,在时刻 \( t \) 受到此扰动影响的区域是所有以点 \( P \in \Omega \) 为心,以 \( {at} \) 为半径的球面的全部. 当 \( {at} \) 大于区域 \( \Omega \) 的直径时, 这一族球面有内、外两个包络面, 称外包络面为传播波的前阵面, 内包络面为传播波的后阵面. 前阵面以外的部分是扰动尚未传到的区域, 后阵面以内的部分是扰动已传过并恢复到原来状态的那部分区域, 前后阵面之间的区域是正受到扰动影响的区域, 这种波的传播有清晰的前阵面和后阵面的现象, 称为惠更斯原理. 此无后效应的现象对现实生活中信号的传送与接收有重要意义. 对 \( n \geq 3 \) 时的 \( n \) 维波动方程, 惠更斯原理都成立, 而对 1 维和 2 维波动方程, 惠更斯原理都不成立. 前阵面 (forward matrix surface) 见“惠更斯原理”. 后阵面 (after matrix

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的解”. 降维法 (method of the reduction of dimensions) 二维 (一维) 齐次波动方程柯西问题的解可由三维 (二维) 的解通过所谓降维法来得到. 例如, 将二维波动方程 \( {u}_{tt} - {u}_{xx} - {u}_{yy} = 0 \) 看成三维波动方程的一个特殊情况一 它的初始条件和解本身都与变元 \( z \) 无关. 这样可以由三维的基尔霍夫公式导出二维的泊松公式. 这种从高维问题的解导出低一维相应问题的解的方法称为降维法. 降维法不仅适用于波动方程, 也适用于其他类型的一些方程. 惠更斯原理 (Huygens principle) 波的传播有清晰的前阵面及后阵面的现象. 对三维波动方程, 根据基尔霍夫公式,点 \( \left( {{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0},0}\right) \) 在时刻 \( t > 0 \) 时的影响区域是球面 \( {\left( x - {x}_{0}\right) }^{2} + {\left( y - {y}_{0}\right) }^{2} + {\left( z - {z}_{0}\right) }^{2} = \) \( {a}^{2}{t}^{2} \) . 若初始时刻某有界区域 \( \Omega \) 中有一个扰动,在时刻 \( t \) 受到此扰动影响的区域是所有以点 \( P \in \Omega \) 为心,以 \( {at} \) 为半径的球面的全部. 当 \( {at} \) 大于区域 \( \Omega \) 的直径时, 这一族球面有内、外两个包络面, 称外包络面为传播波的前阵面, 内包络面为传播波的后阵面. 前阵面以外的部分是扰动尚未传到的区域, 后阵面以内的部分是扰动已传过并恢复到原来状态的那部分区域, 前后阵面之间的区域是正受到扰动影响的区域, 这种波的传播有清晰的前阵面和后阵面的现象, 称为惠更斯原理. 此无后效应的现象对现实生活中信号的传送与接收有重要意义. 对 \( n \geq 3 \) 时的 \( n \) 维波动方程, 惠更斯原理都成立, 而对 1 维和 2 维波动方程, 惠更斯原理都不成立. 前阵面 (forward matrix surface) 见“惠更斯原理”. 后阵面 (after matrix surface) 见 “惠更斯原理”. 波的弥散 (dispersion of wave) 波的传播有前阵面而无后阵面的现象. 对二维波动方程, 点 \( \left( {{x}_{0},{y}_{0},0}\right) \) 的影响区域是锥体 \( {\left( x - {x}_{0}\right) }^{2} + {\left( y - {y}_{0}\right) }^{2} \) \( \leq {a}^{2}{t}^{2} \) . 因此,若某点于时刻 \( t \) 受到初始扰动的影响, 此后该点将继续位于影响区域内, 所以初始扰动的影响不会消失, 从而波的传播只有前阵面而无后阵面, 这种现象称为波的弥散, 或者称波具有后效应. 一维波动方程也具有后效应. 波的后效应 (after efficiency of wave) 见 “波的弥散”. 能量积分 (energy integral) 波动方程解的偏 导数组成的正定积分. 设 \( n \) 维齐次波动方程 \( {u}_{n} - {a}^{2} \) \( {\Delta u} = 0 \) 满足边界条件 \( {\left. u\right| }_{\Gamma } = 0 \) 或 \[ {\left. \frac{\partial u}{\partial n}\right| }_{\Gamma } = 0 \] ( \( \Gamma \) 表 \( \partial \Omega \times \left\lbrack {0, T}\right\rbrack, n \) 表 \( \Gamma \) 的外法向) 的解为 \( u(x \) , \( t) \) ,则称积分 \[ E\left( t\right) = {\int }_{\Omega }\left\lbrack {{\left( \frac{\partial u}{\partial t}\right) }^{2} + {a}^{2}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( \frac{\partial u}{\partial {x}_{i}}\right) }^{2}}\right\rbrack \mathrm{d}\Omega \] 为波动方程的能量积分,它满足能量守恒律: \( E\left( t\right) \) \( = E\left( 0\right) \) 和能量不等式 \[ {E}_{0}\left( t\right) \leq {\mathrm{e}}^{t}{E}_{0}\left( 0\right) + {\mathrm{e}}^{t}{\int }_{0}^{t}{\mathrm{e}}^{-\tau }E\left( \tau \right) \mathrm{d}\tau \;\left( {t \geq 0}\right) , \] 式中 \[ {E}_{0}\left( t\right) = {\int }_{\Omega }{u}^{2}\mathrm{\;d}\Omega . \] 如果边界条件换为 \[ {\left. \left( \frac{\partial u}{\partial n} + \sigma u\right) \right| }_{\Gamma } = 0 \] 则只要在能量积分中加上一项 \[ {a}^{2}{\int }_{\Gamma }\sigma {u}^{2}\mathrm{\;d}\sigma \] 能量不等式仍然成立. 对于齐次波动方程的柯西问题的解, 其能量积分为 \[ {E}_{1}\left( {\Omega }_{t}\right) = {\int }_{{\Omega }_{t}}\left\lbrack {{\left( \frac{\partial u}{\partial t}\right) }^{2} + {a}^{2}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( \frac{\partial u}{\partial {x}_{i}}\right) }^{2}}\right\rbrack \mathrm{d}\Omega , \] 其中 \( {\Omega }_{t} \) 为超平面 \( t = \tau \) 与特征锥 \[ \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {x}_{i} - {x}_{i}^{0}\right) }^{2} \leq {a}^{2}{\left( R - t\right) }^{2} \] (常数 \( R > 0, t < R \) ) 的截面,而能量不等式为 \( {E}_{1}\left( {\Omega }_{t}\right) \leq {E}_{1}\left( {\Omega }_{{t}_{0}}\right) \left( {t > {t}_{0}}\right. \) \( \geq 0).{E}_{0}\left( {\Omega }_{t}\right) \leq {\mathrm{e}}^{t - {t}_{0}}{E}_{0}\left( {\Omega }_{{t}_{0}}\right) + \left( {{\mathrm{e}}^{t - {t}_{0}} - 1}\right) {E}_{1}\left( {\Omega }_{{t}_{0}}\right) \) ,式中 \[ {E}_{0}\left( {\Omega }_{t}\right) = {\int }_{{\Omega }_{t}}{u}^{2}\mathrm{\;d}\Omega . \] 对于非齐次波动方程 \( {u}_{u} - {a}^{2}{\Delta u} = f\left( {x, t}\right) \) 满足 \[ {\left. u\right| }_{\Gamma } = 0\text{ 或 }{\left. \frac{\partial u}{\partial n}\right| }_{\Gamma } = 0 \] 的解, 能量不等式为 \[ E\left( t\right) \leq M\left\lbrack {E\left( 0\right) + {\iint }_{{Q}_{t}}{f}^{2}\left( {x, t}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}t}\right\rbrack , \] 其中 \( {Q}_{t} = \Omega \times \left( {0, t}\right), M \) 为仅与 \( T \) 有关的常数. 利用能量积分是证明双曲方程定解问题适定性的一个比较简便的方法, 称为能量积分法. 波动方程的能量不等式 (energy inequality of wave equation) 见“能量积分”. 能量积分法 (energy integral method) 见 “能量积分”. 二阶非线性双曲型方程 (second order nonlinear hyperbolic equation) 一类重要的二阶非线性 方程. 对于已解出 \( {\partial }^{2}u/\partial {t}^{2} \) 的二阶非线性偏微分方程 \[ \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {t}^{2}} = A\left( {t, x, u,\frac{\partial u}{\partial t},\frac{\partial u}{\partial {x}_{i}},\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t\partial {x}_{i}},\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}}}\right) , \] (1) \( 1 \leq i, j \leq n \) ,在函数 \( A \) 对变元 \[ \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t\partial {x}_{i}}\text{ 和 }\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}} \] 的偏导数中视 \( u = \widetilde{u}\left( {t, x}\right) \) 为已知函数,并分别记为 \( {a}_{0i}\left( {t, x}\right) \) 和 \( {a}_{ij}\left( {t, x}\right) \) ,如果方程 \[ \frac{{\partial }^{2}v}{\partial {t}^{2}} - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{0i}\frac{{\partial }^{2}v}{\partial t\partial {x}_{i}} - \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\frac{{\partial }^{2}v}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}} = 0 \] 是双曲型的,则称 (1) 在 \( \widetilde{u}\left( {t, x}\right) \) 的附近是双曲型的. 当考虑 (1) 的初值问题 \[ u\left( {0, x}\right) = {u}_{0}\left( x\right) ,{u}_{t}\left( {0, x}\right) = {u}_{1}\left( x\right) \] (2) 时,如果函数 \( A \) 是关于变元 \[ t, x, u,\cdots ,\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}} \] 的充分光滑函数且 (1) 在 \( {u}_{0}\left( x\right) + t{u}_{1}\left( x\right) \) 的附近是双曲型的,则问题 (1),(2) 在 \( t = 0 \) 的适当邻域中有惟一的解. 一般地, 非线性双曲型方程的初值问题只存在局部解. 二阶退化双曲型方程 (degenerate hyperbolic equation of second order) 一类重要的特殊的双曲型方程. 如果研究的二阶偏微分方程的特征形式, 在所考虑的区域的每一点上有一个负特征值而其余特征值为正或零, 则这类二阶偏微分方程称为退化双曲型方程. 有时也称为弱双曲型方程. 它可以用研究具非负特征形式的方程的方法进行研究. 弱双曲型方程 (weakly hyperbolic equation) 即“二阶退化双曲型方程”. 高阶线性双曲型方程 (higher order linear hyperbolic equation) 一类重要的高阶方程. 高阶线性双曲型方程有两种定义. 考虑 \( n + 1 \) 个变量 \( \left( {t, x}\right) \) 的 \( N \) 阶常系数线性方程 \[L\left( {\frac{\partial }{\partial t},\frac{\partial }{\partial x}}\right) u\] \[ = \frac{{\partial }^{N}u}{\partial {t}^{N}} + \mathop{\sum }\limits_{\substack{{{a}_{0} + \left| a\right| \leq N} \\ {{a}_{0} < N} }}{a}_{{a}_{0}}{\left( \frac{\partial }{\partial t}\right) }^{{a}_{0}}{\left( \frac{\partial }{\partial x}\right) }^{a}u = 0,\] 式中 \( \alpha = \left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) ,\left| \alpha \right| = {\alpha }_{1} + {\alpha }_{2} + \cdots + {\alpha }_{n} \) , \[{\left( \frac{\partial }{\partial x}\right) }^{\alpha } = \frac{{\partial }^{\left| \alpha \right| }}{\partial {x}_{1}^{{\alpha }_{1}}\partial {x}_{2}^{{\alpha }_{2}}\cdots \partial {x}_{n}^{{\alpha }_{n}}}.\] 如果方程 \( L\left( {\lambda ,\mathrm{i}\xi }\right) = 0 \) 的根 \( \lambda = {\lambda }_{1}\left( \xi \right) ,{\lambda }_{2}\left( \xi \right) ,\cdots ,{\lambda }_{N}\left( \xi \right) \) 的实部是实数组 \( \xi = \left( {{\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots ,{\xi }_{n}}\right) \) 的有界函数,则称 \( {Lu} = 0 \) 是哥尔丁意义下的双曲型方程. 当 \( L \) 是 \( N \) 次齐次的情形,上述条件成为: \( {\lambda }_{1}\left( \xi \right) ,{\lambda }_{2}\left( \xi \right) ,\cdots \) , \( {\lambda }_{N}\left( \xi \right) \) 对于任意非零实数组 \( \left( {{\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots ,{\xi }_{n}}\right) \) 都是纯虚数. 双曲型方程的主部 (最高阶项) 也是双曲型的. 当 \( {a}_{{a}_{0}\alpha } \) 是 \( t, x \) 的函数时,如果变系数方程 \( {Lu} = 0 \) 的特征方程 \[ {\lambda }^{N} + \mathop{\sum }\limits_{\substack{{{a}_{0} + \left| \alpha \right| = N} \\ {{a}_{0} < N} }}{a}_{{a}_{0}}\left( {t, x}\right) {\lambda }^{{a}_{0}}{\left( \mathrm{i}\xi \right) }^{a} = 0 \] 对各点 \( \left( {t, x}\right) \) 和任意的 \( \xi \neq 0 \) 具有 \( N \) 个相异的纯虚根 \( {\lambda }_{1}\left( {t, x,\xi }\right) ,{\lambda }_{2}\left( {t, x,\xi }\right) \cdots ,{\lambda }_{N}\left( {t, x,\xi }\right) \) ,则称方程 \( {Lu} = 0 \) 为彼得罗夫斯基意义下的双曲型方程. 当这些根一致分离时, 即 \[ \mathop{\inf }\limits_{{\left( {x, t}\right) ,\parallel \xi \parallel = 1, j \neq k}}\left| {{\lambda }_{j}\left( {t, x,\xi }\right) - {\lambda }_{k}\left( {t, x,\xi }\right) }\right| = c > 0, \] 则称为正则双曲型方程. 哥尔丁意义下的双曲型条件考虑了低阶项的影响, 因而不能照搬到变系数的情形. 然而在常系数的情形,一个 \( N \) 阶齐次方程,不管怎样添加阶数不超过 \( N - 1 \) 的低阶项,仍旧保持其整体在哥尔丁意义下是双曲型的充分必要条件是: 它的特征方程对任意的非零实数组 \( \xi = \left( {{\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots ,{\xi }_{n}}\right) \) 具有 \( N \) 个纯虚根 \( \lambda \) . 这种方程称为狭义双曲型的. 这就说明,在常系数情形, 彼得罗夫斯基意义下的双曲型方程必定是哥尔丁意义下的双曲型方程, 而哥尔丁意义下的双曲型方程不一定是彼得罗夫斯基意义下的双曲型方程. 哥尔丁意义下的双曲型方程 (equation of hyperbolic type in Garding sense) 见“高阶线性双曲型方程”. 彼得罗夫斯基意义下的双曲型方程 (equation of hyperbolic type in Petrovski sense) 见“高阶线性双曲型方程”. 狭义双曲型方程 (equation of strict hyperbolic) 见“高阶线性双曲型方程”. 正则双曲型方程 (equation of regularly hyperbolic) 见“高阶线性双曲型方程”. 线性双曲型方程组 (system of linear hyperbolic equations) 一类重要的高阶线性偏微分方程组. 对线性偏微分方程组 \[ \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{l}\mathop{\sum }\limits_{{{a}_{0} + \left| a\right| \leq {n}_{j}}}{a}_{{a}_{0}a}^{ij}\left( {t, x}\right) {\left( \frac{\partial }{\partial t}\right) }^{{a}_{0}}{\left( \frac{\partial }{\partial x}\right) }^{a}{u}_{j} = 0, \] \[ i = 1,2,\cdots, l, \] 当 \[ \det \left( {\mathop{\sum }\limits_{{{\alpha }_{0} + \left| a\right| \leq {n}_{j}}}{a}_{{\alpha }_{0}}^{ij}\left( {t, x}\right) {\left( \frac{\partial }{\partial t}\right) }^{{\alpha }_{0}}{\left( \frac{\partial }{\partial x}\right) }^{a}\varphi }\right) = 0 \] 作为 \( \varphi \) 的 \( N = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{l}{n}_{j} \) 阶单个方程是彼得罗夫斯基意义下的双曲方程时, 就称原方程组为 (彼得罗夫斯基意义下的) 双曲型方程组. 对称双曲型方程组 (system of symmetric hyperbolic equations) 能量不等式最自然地成立的一类方程组. 当矩阵形式的一阶线性方程组 \[ {Lu} \equiv \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{A}_{i}\left( x\right) \frac{\partial u}{\partial {x}_{i}} + {Bu} = f \] (1) 的每个 \( {A}_{i}\left( x\right) \) 都是对称矩阵时,称 (1) 为一阶对称方程组; 若 \( {A}_{i}\left( x\right) \) 的某一个线性组合 \[ \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\alpha }_{i}{A}_{i} \] 为正定时, 则称 (1) 为 (弗里德里希斯意义下的) 对称双曲型方程组. 对称双曲型方程组必是通常意义下的双曲型方程组. 如果令 \[ {\alpha }_{i} = \frac{1}{2}{A}_{i},\;\gamma = B - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{\partial {\alpha }_{i}}{\partial {x}_{i}}, \] 则可将方程组 (1) 写成 \[ {Lu} \equiv \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {{\alpha }_{i}\frac{\partial u}{\partial {x}_{i}} + \frac{\partial }{\partial {x}_{i}}\left( {{\alpha }_{i}u}\right) }\right) + {\gamma u} =

2000_数学辞海（第3卷）

_{0}}{\left( \frac{\partial }{\partial x}\right) }^{a}\varphi }\right) = 0 \] 作为 \( \varphi \) 的 \( N = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{l}{n}_{j} \) 阶单个方程是彼得罗夫斯基意义下的双曲方程时, 就称原方程组为 (彼得罗夫斯基意义下的) 双曲型方程组. 对称双曲型方程组 (system of symmetric hyperbolic equations) 能量不等式最自然地成立的一类方程组. 当矩阵形式的一阶线性方程组 \[ {Lu} \equiv \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{A}_{i}\left( x\right) \frac{\partial u}{\partial {x}_{i}} + {Bu} = f \] (1) 的每个 \( {A}_{i}\left( x\right) \) 都是对称矩阵时,称 (1) 为一阶对称方程组; 若 \( {A}_{i}\left( x\right) \) 的某一个线性组合 \[ \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\alpha }_{i}{A}_{i} \] 为正定时, 则称 (1) 为 (弗里德里希斯意义下的) 对称双曲型方程组. 对称双曲型方程组必是通常意义下的双曲型方程组. 如果令 \[ {\alpha }_{i} = \frac{1}{2}{A}_{i},\;\gamma = B - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{\partial {\alpha }_{i}}{\partial {x}_{i}}, \] 则可将方程组 (1) 写成 \[ {Lu} \equiv \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {{\alpha }_{i}\frac{\partial u}{\partial {x}_{i}} + \frac{\partial }{\partial {x}_{i}}\left( {{\alpha }_{i}u}\right) }\right) + {\gamma u} = f. \] (2) 若 \( \gamma + {\gamma }^{T} \) 为正定矩阵 ( \( {\gamma }^{T} \) 表 \( \gamma \) 的转置),则称 (1) 和 (2) 为正对称方程组,算子 \( L \) 称为正对称算子. 弗里德里希斯 (Friedrichs, K. O. ) 成功地把包含椭圆型、 双曲型、抛物型和简单混合型方程的适定边值问题归结为正对称方程组的 “可容许”边值问题, 进行统一地研究. 但是在弗里德里希斯的理论中有一个困难: 没有给出将给定方程的给定边值问题化为正对称组的可容许问题的统一方法. 正对称方程组 (symmetric positive system of equations) 见“对称双曲型方程组”. 正对称算子 (symmetric positive operator) 见 “对称双曲型方程组”. 弱双曲型算子 (weakly hyperbolic operator) 一类重要的线性偏微分算子. 对一个 \( N \) 阶微分算子  当 \( {Lu} = 0 \) 具初始条件 \[ \frac{{\partial }^{k}u}{\partial {t}^{k}}\left( {0, x}\right) = {\varphi }_{k}\left( x\right) \;\left( {0 \leq k \leq N - 1}\right) \] 的柯西问题适定时,称算子 \( L \) 为弱双曲型的. 一个弱双曲型算子当任意添加低阶项后仍保持是双曲型的, 则称它为强双曲型算子. 所有哥尔丁意义下的常系数双曲算子都是适定的, 因此它们都是强双曲的. 在变系数情形,正则双曲型算子是强双曲型的. 强双曲型算子 (strongly hyperbolic operator) 见“弱双曲型算子”. 流体动力学方程组 (hydrodynamic equation system) 描述流体运动的基本方程组. 运动流体状态可用速度 \( v = \left( {{v}_{x},{v}_{y},{v}_{z}}\right) \) ,密度 \( \rho \) 和压力 \( p \) 五个变数描述,它们都是位置坐标 \( \left( {x, y, z}\right) \) 和时间 \( t \) 的函数, 满足下列方程组: 1. 运动方程 \[ \rho \left\lbrack {\frac{\partial v}{\partial t} + \left( {v\nabla }\right) v}\right\rbrack \] \[ = f - \nabla p + {\mu \Delta v} + \frac{\mu }{3}g\operatorname{rad}\left( {\operatorname{div}v}\right) . \] 2. 连续性方程 \[ \frac{\partial \rho }{\partial t} + \operatorname{div}\left( {\rho v}\right) = 0. \] 3. 状态方程 \[ p = p\left( \rho \right) . \] 此方程组称为流体动力学方程组,其中 \( f \) \( = \left( {{f}_{x},{f}_{y},{f}_{z}}\right) \) 是外力, \( \mu \) 是流体的粘性系数. 上述运动方程是纳维 (Navier, (C.-L.-M.- H. )) 于 1821 年, 斯托克斯 (Stokes, G. G. ) 于 1849 年研究一般粘性流体得到的, 故又称为纳维-斯托克斯方程. 当 \( \mu = 0 \) 时,流体动力学方程组就简化为理想 (无粘性) 可压缩流体动力学方程组, 是欧拉 (Euler, L.) 在其文章《流体动力的一般原理》(1755 年) 中得到的. 纳维-斯托克斯方程 (Navier-Stokes equation) 见 “流体动力学方程组”. 麦克斯韦方程 (Maxwell equation) 电磁学的基本方程组. 设 \( E \) 表示电场强度, \( H \) 表示磁场强度, 它们都是位置坐标 \( \left( {x, y, z}\right) \) 和时间 \( t \) 的向量函数. 麦克斯韦 (Maxwell, J. C. ) 在 1864 年发现的描述电磁学规律的方程组 \[ \text{rot}H = \frac{1}{c}\frac{\partial \left( {\varepsilon E}\right) }{\partial t},\;\operatorname{rot}E = - \frac{1}{c}\frac{\partial \left( {\mu H}\right) }{\partial t}\text{,} \] \[ \operatorname{div}\left( {\varepsilon E}\right) = \rho ,\;\operatorname{div}\left( {\mu H}\right) = 0 \] 称为麦克斯韦方程,其中 \( \varepsilon \) 为介电系数, \( \mu \) 为磁通率, \( \rho \) 为电荷密度. 解的间断性 (discontinuity of solution) 一阶拟线性双曲方程 (组) 的解有强间断的现象. 设 \( u\left( {x, t}\right) \) 是一阶拟线性方程 \( {u}_{t} + u{u}_{x} = 0 \) 的柯西问题 \( {\left. u\right| }_{t = 0} = \varphi \left( x\right) \) 的解. 该方程的特征方程组为 \[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = u,\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{\;d}t} = 0. \] 因此特征线为 \( x = {x}_{0} + \varphi \left( {x}_{0}\right) t \) ,且解 \( u \) 在该特征线上等于常数 \( \varphi \left( {x}_{0}\right) \) . 设 \( {x}_{0}^{1} < {x}_{0}^{2},\varphi \left( {x}_{0}^{1}\right) > \varphi \left( {x}_{0}^{2}\right) \) ,则过点 \( \left( {{x}_{0}^{1},0}\right) \) 和 \( \left( {{x}_{0}^{2},0}\right) \) 的两条特征线 \( x = {x}_{0}^{i} + \varphi \left( {x}_{0}^{i}\right) t(i = 1 \) , 2) 在时刻 \( {t}_{0} = \left( {{x}_{0}^{2} - {x}_{0}^{1}}\right) /\left( {\varphi \left( {x}_{0}^{1}\right) - \varphi \left( {x}_{0}^{2}\right) }\right) \) 时相交,在交点处 \( u \) 有两个不同的值 \( \varphi \left( {x}_{0}^{1}\right) \) 和 \( \varphi \left( {x}_{0}^{2}\right) \) ,即解在时刻 \( {t}_{0} \) 出现间断. 此间断性是拟线性方程 (组) 区别于线性方程 (组) 的本质特点,甚至初始函数 \( \varphi \left( x\right) \) 充分光滑时, 解也会出现间断. 这一现象相当于空气动力学中出现激波. 守恒律 (conservation law) 一类特殊的一阶拟线性偏微分方程. 形如 \[ \frac{\partial \varphi \left( {t, x, u}\right) }{\partial t} + \frac{\partial \psi \left( {t, x, u}\right) }{\partial x} = f\left( {t, x, u}\right) \] (1) 的一阶拟线性偏微分方程称为守恒律. 例如, 流体动力学方程组中的连续性方程就描述流体运动的质量守恒律. 由于拟线性方程 (组) 的解可能出现间断, 因此不能限于在通常经典意义下讨论解而需要引入广义解的概念. 设 \( u\left( {t, x}\right) \) 是分块连续可微函数,如果对任意由分段光滑闭环路 \( C \) 围成区域 \( G \) ,积分关系 \[ {\oint }_{C}\left\lbrack {\varphi \left( {t, x, u}\right) \mathrm{d}x - \psi \left( {t, x, u}\right) \mathrm{d}t}\right\rbrack \] \[ + {\iint }_{G}f\left( {t, x, u}\right) \mathrm{d}t\mathrm{\;d}x = 0 \] (2) 成立,则称函数 \( u \) 为守恒律 (1) 的广义解. 若守恒律 (1) 的广义解在分段光滑曲线 \( x = x\left( t\right) \) 上发生间断, 则由积分关系式 (2), 利用极限过程可导出关系式 \[ {x}^{\prime }\left( t\right) {\left\lbrack \varphi (t, xu\left( t, x\right) \right\rbrack }_{x = x\left( t\right) } \] \[ - {\left\lbrack \psi (t, x, u\left( t, x\right) \right\rbrack }_{x = x\left( t\right) } = 0, \] （3） 其中 \[ {\left\lbrack g\left( t, x\right) \right\rbrack }_{x = x\left( t\right) } \] \[ = g\left( {t, x\left( t\right) + 0}\right) - g\left( {t, x\left( t\right) - 0}\right) . \] 关系式 (3) 称为间断条件或郎金-于果里奥条件, 它表示广义解在间断线两边的极限值和间断运动速度的关系. 广义解的定义 (2) 并不能保证初值问题的广义解是惟一的, 为了保证惟一性, 在间断线上除了郎金-于果里奥条件外还要添加所谓熵条件. 满足熵条件的间断称为激波或冲击波, 具有激波的广义解称为间断解. 守恒律、间断解和激波对多个自变量的方程及方程组有类似的定义. 守恒律的广义解 (generalized solution of conservation law) 见“守恒律”. 激波 (shock wave) 见 “守恒律”. 冲击波 (shock wave) 即“激波”. 间断解 (discontinuous solution) 见 “守恒律”, “解的间断性”. 间断条件 (discontinuity condition) 见 “守恒律”. 郎金-于果里奥条件 (Rankine-Hugoniot condition) 即“间断条件”. 黎曼问题 (Riemann problem) 一阶拟线性双曲方程的最简单的间断初值问题. 对守恒律方程 \( {u}_{t} + f{\left( u\right) }_{x} = 0\left( {t > 0, x \in \mathrm{R}}\right) \) ,形如 \[ {u}_{0} = \left\{ \begin{array}{ll} {u}_{l} & \left( {x < 0}\right) , \\ {u}_{r} & \left( {x > 0}\right) \end{array}\right. \] 的初值问题称为黎曼问题,其中 \( {u}_{l},{u}_{r} \) 均为常数. 对守恒方程组 \( {U}_{t} + F{\left( U\right) }_{x} = 0 \) ,其中 \( U = \left( {v, u}\right) \) ,形如下述初值 \[ U\left( {x,0}\right) = {U}_{0}\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} {U}_{l}\left( { = \left( {{v}_{l},{u}_{l}}\right) }\right) & \left( {x < 0}\right) , \\ {U}_{r}\left( { = \left( {{v}_{r},{u}_{r}}\right) }\right) & \left( {x > 0}\right) \end{array}\right. \] 的初值问题称为黎曼问题. 黎曼 (Riemann, (G. F. ) B. ) 最早研究了下列问题: 在一细长圆柱形管内一薄膜分开一种气体, 两边气体的压强和密度分别有不同的常数值, 今薄膜突然破裂, 试问气体将如何运动. 人们发现初始间断分裂成中心稀疏波和两类间断: 接触间断和激波, 接触间断来源于初始数据的间断, 在方程的线性逼近中亦出现, 而激波则来源于方程的非线性. 接触间断 (contact discontinuity) 守恒律广义解的一种间断. 守恒律方程的激波速度等于某一侧的特征速度的解称为一个接触间断. 简单波 (simple wave) 守恒律的一类重要特解. 考虑方程组 \( {u}_{t} + f{\left( u\right) }_{x} = 0\left( {x \in \mathrm{R}, t > 0}\right) \) ,其中 \( u \) \( = \left( {{u}_{1},{u}_{2},\cdots ,{u}_{n}}\right), f\left( u\right) = \left( {{f}_{1}\left( u\right) ,{f}_{2}\left( u\right) ,\cdots ,{f}_{n}\left( u\right) }\right) \) 在某邻域 \( N \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 内光滑,雅可比矩阵 \( \mathrm{d}f\left( u\right) \) 在 \( N \) 有 \( n \) 个实相异特征值 \( {\lambda }_{1}\left( u\right) < {\lambda }_{2}\left( u\right) < \cdots < {\lambda }_{n}\left( u\right) \) . 对每个 \( {\lambda }_{i}\left( u\right) \) 的右 (列) 特征向量 \( {r}_{i}\left( u\right) \) ,满足下式的函数 \( \omega : N \rightarrow \mathrm{R},\left( {{r}_{k}\left( u\right) ,\nabla \omega \left( u\right) }\right) = 0\left( {u \in N}\right) \) 称为 \( k \) 黎曼不变量. 这里 “ \( \left( \text{,}\right) \) ” 表示 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中向量的通常内积. 若 \( u \) 是上述守恒律方程在某区域 \( D \) 的一个 \( {C}^{1} \) 解,并且所有 \( k \) 黎曼不变量在 \( D \) 是常数,则 \( u \) 称为 \( k \) 简单波 (或 \( k \) 稀疏波). 只依赖 \( \left( {x - {x}_{0}}\right) /\left( {t - {t}_{0}}\right) \) 的简单波称为中心简单波 (或中心稀疏波), \( \left( {{x}_{0},{t}_{0}}\right) \) 称为波的中心. 稀疏波 (rarefaction wave) 见“简单波”. 中心简单波 (centered simple wave) 见“简单波”. 中心稀疏波 (centered rarefaction wave) 见 “简单波”. 黎曼不变量 (Riemann invariant) 见 “简单波”. 初等波 (elementary wave) 激波、稀疏波与接触间断的统称. 熵条件(entropy condition) 保证一阶拟线性双曲方程 (组) 广义解惟一性的条件. 对单变量单个守恒律方程 \( {u}_{t} + f{\left( u\right) }_{x} = 0 \) ,熵条件是指不等式 \[ \frac{u\left( {x + a, t}\right) - u\left( {x, t}\right) }{a} \leq \frac{E}{t}\left( {a > 0, t > 0}\right) , \] 其中 \( E \) 是某一常数. 对于守恒律形式方程组 \( {U}_{t} + {F}_{x} \) \( = 0 \) ,其中 \( U = U\left( u\right), F = F\left( u\right) \) 是实函数,解 \( u \) 在分布意义下满足的不等式 \( {U}_{t} + {F}_{x} \leq 0 \) 称为熵条件,条件 \[ s\left\lbrack {{U}_{l} - {U}_{r}}\right\rbrack - \left\lbrack {F\left( {U}_{e}\right) - F\left( {U}_{r}\right) }\right\rbrack \leq 0 \] 亦称为熵条件,其中 \( s \) 是间断的速度,而 \( {U}_{l} \) 和 \( {U}_{r} \) 分别是间断左侧和右侧的状态. 熵条件是热力学中熵加原理即过程的不可逆性的数学表述. 粘性消去法 (method of vanishing viscosity) 研究守恒律方程 (组) 的一种重要方法. 在求解守恒律方程的初值问题 \( {u}_{t} + f{\left( u\right) }_{x} = 0\left( {x \in \mathrm{R}, t > 0}\right) \) , \( u\left( {x,0}\right) = {u}_{0}\left( x\right) \) 时,考虑带粘性项的方程的初值问题 \( {u}_{t} + f{\left( u\right) }_{x} = \varepsilon {u}_{xx}\left( {x \in \mathrm{R}, t > 0}\right), u\left( {x,0}\right) = {u}_{0} \) ,此问题解 \( u = {u}_{\varepsilon } \) 的存在性与惟一性是已知的,对 \( {u}_{\varepsilon } \) 做先验估计,再令 \( \varepsilon \rightarrow 0 \) 在适当的意义下取极限可以得到原来问题的解, 这种方法称为粘性消去法. KdV 方程 (KdV equation) 物理学中提出的一种重要的三阶拟线性方程. 方程 \( {u}_{t} + {au}{u}_{x} + {u}_{xxx} \) \( = 0 \) ( \( a \) 为常数) 首先由科尔泰韦赫 (Korteweg, D. J. ) 和德·弗里斯 (de Vries, G. ) 用于描述浅水波的无损耗传播,称为 \( \mathrm{{KdV}} \) 方程. 它在许多物理问题中是一个有用的近似, 例如等离子体中的离子声和磁流体动力波等. \( \mathrm{{KdV}} \) 方程是最早发现具有孤立子 (波) 的方程. 孤立子 (soliton) 亦称孤立波. 是非线性波动方程的一类脉冲状的行波解. 它们的波形和速度在相互碰撞后仍能保持不变或者只有微弱的变化. 一个著名的例子是 \( \mathrm{{KdV}} \) 方程的解 \[ u\left( {x, t}\right) = {12a}{\operatorname{sech}}^{2}\left\lbrack {a\left( {x - 4{a}^{2}t}\right) }\right\rbrack . \] 此解的图形像一个孤立的脉冲,波峰高 \( {12a} \) ,速度为 \( 4{a}^{2} \) . 两个这样的波在碰撞后,能保持各自

2000_数学辞海（第3卷）

ht) }_{x} = 0\left( {x \in \mathrm{R}, t > 0}\right) \) , \( u\left( {x,0}\right) = {u}_{0}\left( x\right) \) 时,考虑带粘性项的方程的初值问题 \( {u}_{t} + f{\left( u\right) }_{x} = \varepsilon {u}_{xx}\left( {x \in \mathrm{R}, t > 0}\right), u\left( {x,0}\right) = {u}_{0} \) ,此问题解 \( u = {u}_{\varepsilon } \) 的存在性与惟一性是已知的,对 \( {u}_{\varepsilon } \) 做先验估计,再令 \( \varepsilon \rightarrow 0 \) 在适当的意义下取极限可以得到原来问题的解, 这种方法称为粘性消去法. KdV 方程 (KdV equation) 物理学中提出的一种重要的三阶拟线性方程. 方程 \( {u}_{t} + {au}{u}_{x} + {u}_{xxx} \) \( = 0 \) ( \( a \) 为常数) 首先由科尔泰韦赫 (Korteweg, D. J. ) 和德·弗里斯 (de Vries, G. ) 用于描述浅水波的无损耗传播,称为 \( \mathrm{{KdV}} \) 方程. 它在许多物理问题中是一个有用的近似, 例如等离子体中的离子声和磁流体动力波等. \( \mathrm{{KdV}} \) 方程是最早发现具有孤立子 (波) 的方程. 孤立子 (soliton) 亦称孤立波. 是非线性波动方程的一类脉冲状的行波解. 它们的波形和速度在相互碰撞后仍能保持不变或者只有微弱的变化. 一个著名的例子是 \( \mathrm{{KdV}} \) 方程的解 \[ u\left( {x, t}\right) = {12a}{\operatorname{sech}}^{2}\left\lbrack {a\left( {x - 4{a}^{2}t}\right) }\right\rbrack . \] 此解的图形像一个孤立的脉冲,波峰高 \( {12a} \) ,速度为 \( 4{a}^{2} \) . 两个这样的波在碰撞后,能保持各自的波形和速度不变, 具有这种性质的波称为孤立子 (波). 现在人们已经发现很多在应用中十分重要的非线性方程,如正弦-戈登方程 (SG 方程) \( {u}_{xt} = \sin u \) ,非线性薛定谔方程等都具有这种孤立子解. 还发现在等离子体光纤通讯中也有孤立子现象, 科学家们还认为, 神经细胞轴突上传导的冲动、木星上的红斑等都可以看做是孤立子. 孤立波 (soliton wave) 即“孤立子”. 散射反演法 (scattering inversion method) 求解具有孤立子解的特殊非线性方程的一种方法. 其特色是将这类非线性问题的解转化为线性问题来求解. 这种方法最初由伽德纳 (Gardner, C. S. ) 等人于 1967 年对 \( \mathrm{{KdV}} \) 方程提出. 他们发现 \( \mathrm{{KdV}} \) 方程和常微分算子的特征问题 \[ - \left( {\frac{{\mathrm{d}}^{2}}{\mathrm{\;d}{x}^{2}} + u}\right) \psi = {\lambda \psi } \] 有密切关系. 特别地, 若微分算子 \[ - \left( {\frac{{\mathrm{d}}^{2}}{\mathrm{\;d}{x}^{2}} + u}\right) \] 中所含的 \( u \) (称为位势) 取为 \( \mathrm{{KdV}} \) 方程的解时,算子的特征值 \( \lambda \) 与时间 \( t \) 无关. 于是,求解 \( \mathrm{{KdV}} \) 方程的初值问题可以转化为求解上述特征问题的正问题和反问题. 正问题指已知初值 \( u\left( {x,0}\right) = f\left( x\right) \) ,求出与算子 \[ - \frac{{\mathrm{d}}^{2}}{\mathrm{\;d}{x}^{2}} - u \] 的特征值相关的一组量. 这一组量称为散射量. 反问题指已知 \( t \) 时刻的散射量来复原位势 \( u\left( {x, t}\right) \) . 散射量本身随时间 \( t \) 的演化规律十分简单,关键的步骤是求解反问题, 此步骤归结为求解一个线性积分方程. 伽德纳等人用这种方法成功地求出了 \( \mathrm{{KdV}} \) 方程的单个孤立子解以及由 \( N \) 个孤立子叠加起来的 \( N \) 重孤立子解. 散射量 (scattering data) 见“散射反演法”. ## 椭圆型方程 椭圆型偏微分方程 (elliptic type partial differential equation) 简称椭圆型方程, 一类重要的偏微分方程. 早在 1900 年, 希尔伯特 (Hilbert, D. ) 提出的著名的 23 个问题中, 就有 3 个问题 (第 19,20, 23 问题) 都是关于椭圆型方程与变分法的. 近百年来, 椭圆型方程的研究获得了丰硕的成果. 椭圆型方程在流体力学、弹性力学、电磁学、几何学和变分法中都有很多的应用. 拉普拉斯方程是椭圆型方程最典型的特例. 二阶线性椭圆型偏微分方程 (linear elliptic partial differential equations of second order) - 类关于自变量 \( x = \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 的未知函数 \( u\left( x\right) \) 的二阶线性偏微分方程 \[ {Lu} \equiv \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( x\right) \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{b}_{i}\left( x\right) \frac{\partial u}{\partial {x}_{i}} + c\left( x\right) u \] \[ = f\left( x\right) \left( {{a}_{ij} = {a}_{ji}}\right) , \] (1) 当其系数矩阵 \( \left( {{a}_{ij}\left( x\right) }\right) \) 在域 \( \Omega \) 的各点 \( x \) 上都是正定时,就称椭圆型算子 \( L \) 或方程 (1) 在 \( \Omega \) 中为椭圆型的; 即如果用 \( \lambda \left( x\right) ,\Lambda \left( x\right) \) 分别表示系数矩阵 \( \left( {{a}_{ij}\left( x\right) }\right) \) 的最小和最大特征值, 那么 \[ 0 < \lambda \left( x\right) {\left| \xi \right| }^{2} \leq \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( x\right) ,{\xi }_{i}{\xi }_{j} \leq \Lambda \left( x\right) {\left| \xi \right| }^{2}( \] \( {}^{2}\left( 2\right) \) 对于所有的 \( \xi = \left( {{\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots ,{\xi }_{n}}\right) \in {\mathrm{R}}^{n} \smallsetminus \{ 0\} \) 和 \( x \in \Omega \) 成立. 如果对于某常数 \( {\lambda }_{0} \) 有 \( \lambda \left( x\right) \geq {\lambda }_{0} > 0\left( {\forall x \in \Omega }\right) \) ,就称椭圆型算子 \( L \) 或方程 (1) 在 \( \Omega \) 中是强椭圆型的. 如果 \( \Lambda \left( x\right) \) 在 \( \Omega \) 中有界,则称椭圆型算子 \( L \) 或方程 (1) 为严格椭圆型的. 如果 \( \Lambda \left( x\right) /\lambda \left( x\right) \) 在 \( \Omega \) 中有界, 则称算子 \( L \) 或方程 (1) 是一致椭圆型的. 存在偏微分方程是椭圆型的而不是一致椭圆型的, 例如两个自变量的二阶偏微分方程 \[ \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{1}^{2}} + {x}_{1}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{2}^{2}} = 0 \] 在半平面 \( {x}_{1} > 0 \) 中是椭圆型的而不是一致椭圆型的,但它在条形区域 \( \left( {\alpha ,\beta }\right) \times {\mathrm{R}}^{1} \) 中 (这里 \( 0 < \alpha < \beta < \) \( + \infty ) \) 是一致椭圆型的. 调和方程是最简单最典型的二阶椭圆型偏微分方程. 二阶强椭圆型偏微分方程 (strong elliptic partial differential equations of second order) 见 “二阶线性椭圆型偏微分方程”. 二阶严格椭圆型偏微分方程 (strict elliptic partial differential equations of second order) 见 “二阶线性椭圆型偏微分方程”. 一致椭圆型偏微分方程 (uniformly elliptic partial differential equations) 见“二阶线性椭圆型偏微分方程”. 具有非负特征形式的二阶方程 (second order equations with nonnegative characteristic form) 具有亚椭圆性质的二阶偏微分方程. 形式为 \[ {Lu} \equiv \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( x\right) {u}_{{x}_{i}{x}_{j}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{b}_{i}\left( x\right) {u}_{{x}_{i}} + c\left( x\right) u \] \[ = f\left( x\right) \] 的方程,如果在 \( \Omega \) 的每一点 \( x \) 上,对于任意向量 \( \xi \) \( = \left( {{\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots ,{\xi }_{n}}\right) \) ,有 \[ \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( x\right) {\xi }_{i}{\xi }_{j} \geq 0 \] 人们称 \( {Lu} = f \) 在集合 \( \Omega \) 上是具非负特征形式的二阶方程. 有时也称为退化椭圆型方程或椭圆-抛物型方程. 显然, 椭圆型和抛物型方程、一阶方程 ( \( \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}{\xi }_{i}{\xi }_{j} \equiv 0 \) 的情形)、超抛物型方程、布朗运动方程、在上半平面的特里科米方程等都是具有非负特征形式的二阶方程. 二阶退化椭圆型偏微分方程 (degenerate elliptic partial differential equations of second order) 即“具有非负特征形式的二阶方程”. 拉普拉斯方程 (Laplace equation) 亦称调和方程或位势方程. 最简单最典型的二阶椭圆型方程. 算子 \[ \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}_{i}^{2}} \] 称为拉普拉斯算子或者调和算子,用 \( \Delta \) 表示. \( {\Delta u} = 0 \) 称为拉普拉斯方程, 它是最简单的椭圆型偏微分方程. 如果 \( u \) 是 \( {C}^{2}\left( \Omega \right) \) 函数,并且在区域 \( \Omega \) 中满足 \( {\Delta u} = 0\left( { \geq 0, \leq 0}\right) \) ,则称 \( u \) 是 \( \Omega \) 中的调和 (下调和、上调和) 函数 (参见《位势论》). 位势方程 (potential equation) 即 “拉普拉斯方程”. 调和方程 (harmonic equation) 即 “拉普拉斯方程”. 拉普拉斯算子 (Laplace operator) 见 “拉普拉斯方程”. 调和算子 (harmonic operator) 见 “拉普拉斯方程”. 调和函数 (harmonic function) 见 “拉普拉斯方程”. 下调和函数 (subharmonic function) 见 “拉普拉斯方程”. 上调和函数 (superharmonic function) 见 “拉普拉斯方程”. 弱极大值原理 (weak maximum principle) 二阶椭圆方程的一个重要特性. 在一定条件下, 在区域内满足微分方程 (或微分不等式) 的解的最大值必在区域边界上达到. 设偏微分算子 \[ L \equiv \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( x\right) \frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{b}_{i}\left( x\right) \frac{\partial }{\partial {x}_{i}}\left( {{a}_{ij} = {a}_{ji}}\right) \] 在有界区域 \( \Omega \) 中是椭圆型的,以 \( \lambda \left( x\right) \) 表示矩阵 \( \left\lbrack {{a}_{ij}\left( x\right) }\right\rbrack \) 的最小特征值. 如果 \( \left| {{b}_{i}\left( x\right) }\right| /\lambda \left( x\right) \) 在 \( \Omega \) 中有界,函数 \( u\left( x\right) \) 在 \( \Omega \) 中满足 \( {Lu} \geq 0\left( { \leq 0}\right) \) ,其中 \[ u \in {C}^{2}\left( \Omega \right) \cap {C}^{0}\left( \bar{\Omega }\right) , \] 则 \( u \) 在 \( \bar{\Omega } \) 上的最大值 (最小值) 在 \( \partial \Omega \) 上达到,即 \[ \mathop{\sup }\limits_{\Omega }u = \mathop{\sup }\limits_{{\partial \Omega }}u\left( {\mathop{\inf }\limits_{\Omega }u = \mathop{\inf }\limits_{{\partial \Omega }}u}\right) . \] （1） 如果不假设 \( u \) 在 \( \bar{\Omega } \) 上连续,则结论 (1) 可以换成 \[ \mathop{\sup }\limits_{\Omega }u = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \partial \Omega }}\sup u\left( x\right) \left( {\mathop{\inf }\limits_{\Omega }u = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \partial \Omega }}\inf u\left( x\right) }\right) . \] 霍普夫边界点定理 (Hopf boundary point theorem) 有关二阶椭圆型方程的一个重要性质. 这类方程 (或不等式) 的非常数解在达到最大值的边界点上的外法向导数必为正值. 设 \( u \) 在区域 \( \Omega \) 中满足不等式 \[ {Lu} = \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{b}_{i}\frac{\partial u}{\partial {x}_{i}} \geq 0, \] \( L \) 在 \( \Omega \) 中是一致椭圆型的. 假设在 \( \Omega \) 中 \( u \leq M \) ,在边界点 \( P \) 上 \( u = M \) ,且 \( P \) 位于 \( \Omega \) 中球 \( {K}_{1} \) 的边界上. 如果 \( u \) 在 \( \Omega \cup P \) 中连续,并且在 \( P \) 点上外法向导数 \( \partial u/\partial \nu \) 存在,那么在点 \( P \) 有 \( \partial u/\partial \nu > 0 \) ,除非 \( u \equiv M \) . 利用这个霍普夫边界点定理可以推出二阶椭圆方程的强极大值原理. 强极大值原理 (strong maximum principle) 二阶椭圆方程的一个重要特性. 在一定条件下, 微分方程在区域内部达到最大值的解只能是常数. 设 \[ L = \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( x\right) \frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{b}_{i}\left( x\right) \frac{\partial }{\partial {x}_{i}} + c\left( x\right) \] 在区域 \( \Omega \) (不必有界) 中是一致椭圆型的,函数 \( u\left( x\right) \) 满足 \( {Lu} \geq 0\left( { \leq 0}\right) \) . 如果 \( c\left( x\right) \equiv 0 \) 且 \( u \) 在 \( \Omega \) 内部达到它的最大值 (最小值),那么 \( u \) 就是常数. 如果 \( c\left( x\right) \) \( \leq 0 \) 并且 \( c\left( x\right) /\lambda \left( x\right) \) 有界, \( \lambda \left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {{a}_{ij}\left( x\right) }\right\rbrack \) 的最小特征值,那么除非 \( u \) 是常数,否则 \( u \) 在 \( \Omega \) 内部不能达到非负最大值 (非正最小值). 如果 \( L \) 仅是局部一致椭圆型的,并且 \( {b}_{i}/\lambda, c/\lambda \) 仅是局部有界的,上述结论仍然保持. 狄利克雷问题(Dirichlet problem) 求二阶椭圆型方程在区域边界上的值为已知的解. 设区域 \( \Omega \) 的边界为 \( \Gamma \) . 求在 \( \Omega \cup \Gamma \) 上连续、在 \( \Omega \) 内满足给定的椭圆型方程、在 \( \Gamma \) 上取给定的连续边界值的解的问题, 称为狄利克雷问题或者第一边值问题. 特别地, 对有界区域 \( \Omega \) ,如果边界点都是正则点 (参见 “闸函数”),调和方程 \( {\Delta u} = 0 \) 的狄利克雷问题的解存在且惟一. 对于一般的强椭圆型方程 \[ {Lu} = \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( x\right) \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{b}_{i}\left( x\right) \frac{\partial u}{\partial {x}_{i}} \] \[ + c\left( x\right) u = f\left( x\right) , \] 如果 \( c\left( x\right) \leq 0, f \) 及 \( L \) 的系数有界并属于 \( {C}^{\alpha }\left( \Omega \right) \) . 假设有界域 \( \Omega \) 的每一边界点上满足外部球条件; 即, 对每一点 \( \xi \in \Gamma \) ,存在一个球 \( B = {B}_{R}\left( y\right) \) 满足 \( \bar{B} \cap \bar{\Omega } \) \( = \xi \) . 如果 \( \varphi \) 在 \( \Gamma \) 上连续,那么狄利克雷问题: 在 \( \Omega \) 中 \( {Lu} = f \) ,在 \( \Gamma \) 上 \( u = \varphi \) 就有惟一解 \( u \in {C}^{0}\left( \bar{\Omega }\right) \cap \) \( {C}^{2,\alpha }\left( \Omega \right) \) . 高阶椭圆型方程的狄利克雷问题见 “椭圆型算子的狄利

2000_数学辞海（第3卷）

\( \Gamma \) . 求在 \( \Omega \cup \Gamma \) 上连续、在 \( \Omega \) 内满足给定的椭圆型方程、在 \( \Gamma \) 上取给定的连续边界值的解的问题, 称为狄利克雷问题或者第一边值问题. 特别地, 对有界区域 \( \Omega \) ,如果边界点都是正则点 (参见 “闸函数”),调和方程 \( {\Delta u} = 0 \) 的狄利克雷问题的解存在且惟一. 对于一般的强椭圆型方程 \[ {Lu} = \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( x\right) \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{b}_{i}\left( x\right) \frac{\partial u}{\partial {x}_{i}} \] \[ + c\left( x\right) u = f\left( x\right) , \] 如果 \( c\left( x\right) \leq 0, f \) 及 \( L \) 的系数有界并属于 \( {C}^{\alpha }\left( \Omega \right) \) . 假设有界域 \( \Omega \) 的每一边界点上满足外部球条件; 即, 对每一点 \( \xi \in \Gamma \) ,存在一个球 \( B = {B}_{R}\left( y\right) \) 满足 \( \bar{B} \cap \bar{\Omega } \) \( = \xi \) . 如果 \( \varphi \) 在 \( \Gamma \) 上连续,那么狄利克雷问题: 在 \( \Omega \) 中 \( {Lu} = f \) ,在 \( \Gamma \) 上 \( u = \varphi \) 就有惟一解 \( u \in {C}^{0}\left( \bar{\Omega }\right) \cap \) \( {C}^{2,\alpha }\left( \Omega \right) \) . 高阶椭圆型方程的狄利克雷问题见 “椭圆型算子的狄利克雷问题". 第一边值问题 (first boundary value problem) 即“狄利克雷问题”. 闸函数 (barrier function) 用来界定区域边界性状的一种函数. 设 \( \xi \) 是 \( \partial \Omega \) 上一点. 如果 \( {C}^{0}\left( \bar{\Omega }\right) \) 中存在函数 \( w\left( x\right) \) 满足条件: 1. \( w \) 在 \( \Omega \) 中是上调和的; \[ \text{2. 在}\bar{\Omega } - \xi \text{中,}w > 0, w\left( \xi \right) = 0\text{;} \] 则称 \( \xi \) 是 \( \Omega \) 中调和算子的正则点,称 \( w = w\left( \xi \right) \) 为 \( \Omega \) 中调和算子在 \( \xi \) 点的闸函数. 如果有界区域 \( \Omega \) 在 \( \xi \) 点上满足外部球条件 (参见 “狄利克雷问题”), 那么函数 \[ w\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} {R}^{2 - n} - {\left| x - \xi \right| }^{2 - n} & \left( {n \geq 3}\right) , \\ \log \frac{\left| x - \xi \right| }{R} & \left( {n = 2}\right) \end{array}\right. \] 就是调和算子在点 \( \xi \) 的闸函数. 诺伊曼问题 (Neumann problem) 对二阶椭圆型方程求边界上的法向导数为已知的解. 设 \( \Omega \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的有界域,它的边界由有限个光滑曲面 \( \Gamma \) 所构成. 对于偏微分方程 \[ {Lu} \equiv \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( x\right) \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{b}_{i}\left( x\right) \frac{\partial u}{\partial {x}_{i}} \] \[ + c\left( x\right) u = f\left( x\right) , \] 求在闭域 \( \bar{\Omega } \) 上连续、在 \( \Omega \) 的边界 \( \Gamma \) 上满足条件 \( {Bu} \equiv \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\cos \left( {\nu ,{x}_{i}}\right) \frac{\partial u}{\partial {x}_{j}} = 0 \) ( \( \nu \) 为外法线方向) 的解的问题称为诺伊曼问题或者第二边值问题. 如果 \( c\left( x\right) < 0 \) ,那么诺伊曼问题的解是惟一的. 如果 \( c\left( x\right) \equiv 0 \) ,那么诺伊曼问题的解除附加常数外惟一确定. 特别地,拉普拉斯方程的诺伊曼问题 \( {\Delta u} = 0 \) 在 \( \Omega \) 中, \( \partial u/\partial \nu = 0 \) 在 \( \Gamma \) 上 的解除附加常数外惟一确定. 第二边值问题 (second boundary value problem) 即“诺伊曼问题”. 第三边值问题 (third boundary value problem) 对二阶椭圆型方程求边界上解与其法向导数的线性组合为已知的解. 设 \( \Omega \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的有界域,求在 \( \Omega \) 中满足方程 \[ {Lu} \equiv \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( x\right) \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}} + \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{b}_{j}\left( x\right) \frac{\partial u}{\partial {x}_{j}} + c\left( x\right) u \] \[ = f\left( x\right) \text{,} \] 在闭域 \( \bar{\Omega } \) 上连续,在 \( \Omega \) 的边界 \( \Gamma \) 上满足条件 \[ {Bu} \equiv \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\cos \left( {\nu ,{x}_{i}}\right) \frac{\partial u}{\partial {x}_{j}} + {\beta u} = \varphi \;\left( {\beta \geq 0}\right) \] 的解的问题称为第三边值问题或者鲁宾问题, 这里 \( \nu \) 为外法线. 如果 \( c\left( x\right) \leq 0 \) 且 \( c \) 与 \( \beta \) 不都恒为 0,那么第三边值问题的解是惟一的. 特别地, 拉普拉斯方程的第三边值问题: 在 \( \Omega \) 中 \( {\Delta u} = 0 \) ,在 \( \Gamma \) 上 \[ \frac{\partial u}{\partial \nu } + {\beta u} = \varphi \] \( \left( {\beta > 0}\right) \) 的解惟一确定. 鲁宾问题 (Robin problem) 即 “第三边值问题”. 椭圆型方程的弱解 (weak solutions for elliptic equation) 偏微分方程 (经典) 解的推广. 设 \( L \) 是由 \[ {Lu} \equiv \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}\frac{\partial }{\partial {x}_{i}}\left( {{a}_{ij}\left( x\right) \frac{\partial u}{\partial {x}_{j}} + {b}_{i}\left( x\right) u}\right) \] \[ + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{c}_{i}\left( x\right) \frac{\partial u}{\partial {x}_{i}} + d\left( x\right) u \] 定义的主部是散度形式的二阶椭圆型偏微分算子. 假设系数 \( {a}_{ij},{b}_{i},{c}_{i} \) 和 \( d \) 在 \( \Omega \) 中有界可测,而且 \( g \) 是 \( \Omega \) 中的可积函数. 如果 \( u \in {W}^{1,2}\left( \Omega \right) \) (参见 “索伯列夫空间”) 并且对一切检验函数 \( v \in {C}_{0}^{1}\left( \Omega \right) \) ,有 \[ {\int }_{\Omega }\left\lbrack {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{a}_{ij}\frac{\partial u}{\partial {x}_{j}} + {b}_{i}u}\right) \frac{\partial v}{\partial {x}_{i}}}\right. \] \[ \left. {-\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{c}_{i}\frac{\partial u}{\partial {x}_{i}} + {du}}\right) v}\right\rbrack \mathrm{d}x = - {\int }_{\Omega }{gv}\mathrm{\;d}x, \] 就把 \( u \) 称为椭圆型方程 \( {Lu} = g \) 在 \( {W}^{1,2}\left( \Omega \right) \) 中的弱解或广义解. 如果系数和 \( g \) 都充分光滑并且弱解 \( u \in {C}^{2}\left( \Omega \right) \) ,则 \( u \) 也是经典解. 椭圆型方程的广义解 (generalized solution for elliptic equation) 即“椭圆型方程的弱解”. 平均值定理 (mean value theorem) 调和函数的重要特征. 调和函数在任一点的值等于以该点为中心的任意球面上 (或球体内) 的平均值. 设 \( u \in {C}^{2}\left( \Omega \right) \cap {C}^{0}\left( \bar{\Omega }\right) \) 满足 \( {\Delta u} = 0 \) ,则对任何一个以 \( y \) 为中心, \( R \) 为半径的球 \( B = {B}_{R}\left( y\right) \subset \Omega \) ,有 \[ u\left( y\right) = \frac{1}{n{\omega }_{n}{R}^{n - 1}}{\int }_{\partial B}u\mathrm{\;d}S, u\left( y\right) = \frac{1}{{\omega }_{n}{R}^{n}}{\int }_{B}u\mathrm{\;d}x, \] 其中 \[ {\omega }_{n} = 2{\pi }^{n/2}/{n\Gamma }\left( \frac{n}{2}\right) \] 表示 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的单位球的体积. 这就是说,调和函数在球 \( B \) 中心的值等于该函数在球面 \( \partial B \) 上的平均值, 也等于在球 \( B \) 内的平均值,这些结果通称平均值定理. 哈纳克不等式 (Harnack inequality) 调和函数的重要性质. 设 \( u \) 是区域 \( \Omega \) 中一个非负调和函数,则对 \( \Omega \) 的任一紧子集 \( {\Omega }^{\prime } \) ,存在一个只依赖于 \( n \) , \( {\Omega }^{\prime } \) 和 \( \Omega \) 的常数 \( C \) ,使得 \[ \mathop{\sup }\limits_{\Omega }u \leq C\mathop{\inf }\limits_{\Omega }u. \] 特别地,如果 \( u \) 在以原点为中心, \( R \) 为半径的球 \( {B}_{R}\left( 0\right) \) 中是一个非负调和函数,那么哈纳克不等式有如下形式: \[ \frac{{R}^{n - 2}\left( {R - \left| x\right| }\right) }{{\left( R + \left| x\right| \right) }^{n - 1}}u\left( 0\right) \] \[ \leq u\left( x\right) \leq \frac{{R}^{n - 2}\left( {R + \left| x\right| }\right) }{{\left( R - \left| x\right| \right) }^{n - 1}}u\left( 0\right) . \] 哈纳克收敛性定理 (Harnack convergence theorem) 调和函数的重要性质. 设 \( \left\{ {u}_{n}\right\} \) 在区域 \( \Omega \) 中是一个单调增加的调和函数序列,并设对某点 \( y \in \) \( \Omega \) ,序列 \( \left\{ {{u}_{n}\left( y\right) }\right\} \) 有界,那么 \( \left\{ {u}_{n}\right\} \) 在 \( \Omega \) 的任一紧子区域 \( {\Omega }^{\prime } \) 上一致收敛到一个调和函数. 泊松方程 (Poisson's equation) 最简单的非齐次椭圆型方程. 方程 \( {\Delta u} = f\left( x\right) \) 称为泊松方程. 泊松方程的古典狄利克雷问题在拉普拉斯方程可解的同样边界条件下可以求解. 例如有如下结果: 设 \[ \varphi \in {C}^{2, a}\left( \bar{B}\right) ,\;f \in {C}^{a}\left( \bar{B}\right) , \] \( B \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的一个球,那么狄利克雷问题: 在 \( B \) 中 \( {\Delta u} \) \( = f \) ,在 \( \partial B \) 上 \( u = \varphi \) 有惟一的解 \( u \in {C}^{2,\alpha }\left( \bar{B}\right) \) . 泊松积分公式 (Poisson's integral formula) 用调和函数在球面上的值表示它在球内任一点的值的积分公式. 设 \( {B}_{R} = {B}_{R}\left( 0\right) \) 是以原点为中心, \( R \) 为半径的球, \( x \in \partial {B}_{R} \) . 如果 \( u \in {C}^{2}\left( {B}_{R}\right) \cap {C}^{0}\left( {\bar{B}}_{R}\right) \) 是调和函数, 那么 \[ u\left( y\right) = \frac{{R}^{2} - {\left| y\right| }^{2}}{n{\omega }_{n}R}{\int }_{\partial {B}_{R}}\frac{u\mathrm{\;d}S}{{\left| x - y\right| }^{n}}, \] (1) 其中 \[ {\omega }_{n} = 2{\pi }^{n/2}/{n\Gamma }\left( \frac{n}{2}\right) \] 为 \( n \) 维单位球体积. (1) 式称为调和函数的泊松积分公式,公式的右端称为 \( u \) 的泊松积分,而 \[k\left( {x, y}\right) = \frac{{R}^{2} - {\left| x\right| }^{2}}{n{\omega }_{n}R{\left| x - y\right| }^{n}}\left( {x \in {B}_{R}, y \in \partial {B}_{R}}\right) \] 称为泊松核. 在泊松公式中取 \( u = 1 \) 便得恒等式 \[{\int }_{\partial {B}_{R}}K\left( {x, y}\right) \mathrm{d}S = 1\;\left( {\forall x \in {B}_{R}}\right) .\] 如果 \( \varphi \left( x\right) \) 是球面 \( \partial {B}_{R} \) 上的连续函数,则泊松积分 \[u\left( x\right) = \frac{{R}^{2} - {\left| x\right| }^{2}}{n{\omega }_{n}R}{\int }_{\partial {B}_{R}}\frac{\varphi \left( y\right) \mathrm{d}{S}_{y}}{{\left| x - y\right| }^{n}}\] 就是拉普拉斯方程狄利克雷问题 \[{\Delta u} = 0\text{ (在 }{B}_{R} = {B}_{R}\left( 0\right) \text{ 中),}\] \[u = \varphi \text{(在}\partial {B}_{R}\text{上)}\] 的解. 泊松积分 (Poisson's integral) 见 “泊松积分公式”. 泊松核(Poisson kernel) 见“泊松积分公式”. 亥姆霍兹方程 (Helmholtz equation) 一类重要的数学物理方程. 形如 \( {\Delta u} + {\lambda u} = f\left( x\right) \) 的椭圆型方程称为亥姆霍兹方程. 由电磁波、声波的绕射及气体的扩散等物理问题可以导出这类方程. 二阶拟线性椭圆型方程 (quasilinear elliptic equations of second order) 关于二阶导数为线性且其系数矩阵为正定的二阶非线性偏微分方程. 自变量 \( x = \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 的函数 \( u\left( x\right) \) 的二阶拟线性偏微分方程 \[ {Qu} \equiv \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( {x, u,\frac{\partial u}{\partial {x}_{1}},\frac{\partial u}{\partial {x}_{2}},\cdots ,\frac{\partial u}{\partial {x}_{n}}}\right) \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}} \] \[ + b\left( {x, u,\frac{\partial u}{\partial {x}_{1}},\frac{\partial u}{\partial {x}_{2}},\cdots ,\frac{\partial u}{\partial {x}_{n}}}\right) = 0, \] (1) \( {a}_{ij} = {a}_{ji} \) ,当其系数矩阵 \( \left\lbrack {{a}_{ij}\left( {x, z, p}\right) }\right\rbrack \) 对所有 \( \left( {x, z, p}\right) \) \( \in \mathcal{U}\left( \mathcal{U}\right. \) 是 \( \Omega \times {\mathrm{R}}^{1} \times {\mathrm{R}}^{n} \) 的一个子集) 是正定的,则称方程 (1) 在 \( \mathcal{U} \) 中是椭圆型的. 即,如果用 \( \lambda \left( {x, z, p}\right) ,\Lambda \left( {x, z, p}\right) \) 分别表示 \( \left\lbrack {{a}_{ij}\left( {x, z, p}\right) }\right\rbrack \) 的最小和最大特征值, 那么 \[ 0 < \lambda \left( {x, z, p}\right) {\left| \xi \right| }^{2} \leq {a}_{ij}\left( {x, z, p}\right) \] \[ {\xi }_{i}{\xi }_{j} \leq \Lambda \left( {x, z, p}\right) {\left| \xi \right| }^{2} \] 对所有 \( \xi \in {\mathrm{R}}^{n} \smallsetminus \{ 0\} \) 和所有 \( \left( {x, z, p}\right) \in \mathcal{U} \) 成立. 如果对于某正常数 \( {\lambda }_{0} \) 有 \( \lambda \left( {x, z, p}\right) \geq {\lambda }_{0},\forall \left( {x, z, p}\right) \in \m

2000_数学辞海（第3卷）

}_{1}},\frac{\partial u}{\partial {x}_{2}},\cdots ,\frac{\partial u}{\partial {x}_{n}}}\right) = 0, \] (1) \( {a}_{ij} = {a}_{ji} \) ,当其系数矩阵 \( \left\lbrack {{a}_{ij}\left( {x, z, p}\right) }\right\rbrack \) 对所有 \( \left( {x, z, p}\right) \) \( \in \mathcal{U}\left( \mathcal{U}\right. \) 是 \( \Omega \times {\mathrm{R}}^{1} \times {\mathrm{R}}^{n} \) 的一个子集) 是正定的,则称方程 (1) 在 \( \mathcal{U} \) 中是椭圆型的. 即,如果用 \( \lambda \left( {x, z, p}\right) ,\Lambda \left( {x, z, p}\right) \) 分别表示 \( \left\lbrack {{a}_{ij}\left( {x, z, p}\right) }\right\rbrack \) 的最小和最大特征值, 那么 \[ 0 < \lambda \left( {x, z, p}\right) {\left| \xi \right| }^{2} \leq {a}_{ij}\left( {x, z, p}\right) \] \[ {\xi }_{i}{\xi }_{j} \leq \Lambda \left( {x, z, p}\right) {\left| \xi \right| }^{2} \] 对所有 \( \xi \in {\mathrm{R}}^{n} \smallsetminus \{ 0\} \) 和所有 \( \left( {x, z, p}\right) \in \mathcal{U} \) 成立. 如果对于某正常数 \( {\lambda }_{0} \) 有 \( \lambda \left( {x, z, p}\right) \geq {\lambda }_{0},\forall \left( {x, z, p}\right) \in \mathcal{U} \) , 就称方程 (1) 在 \( \mathcal{U} \) 是强椭圆型的. 如果在 \( \mathcal{U} \) 中 \( \lambda > \) 0 且 \( \Lambda /\lambda \) 是一致有界的,则称方程 (1) 在 \( \mathcal{U} \) 内是一致椭圆型的. 若方程 (1) 在整个集 \( \Omega \times {\mathrm{R}}^{1} \times {\mathrm{R}}^{n} \) 中是椭圆型 (一致椭圆型) 的,就简称方程 (1) 在 \( \Omega \) 中是椭圆型 (一致椭圆型) 的. 若存在一个可微向量值函数 \[ A\left( {x, z, p}\right) = \left( {{A}_{1}\left( {x, z, p}\right) ,}\right. \] \[ \left. {{A}_{2}\left( {x, z, p}\right) ,\cdots ,{A}_{n}\left( {x, z, p}\right) }\right) \] 和一个数值函数 \( B\left( {x, z, p}\right) \) ,使 \[ {Qu} = \operatorname{div}A\left( {x, u,\frac{\partial u}{\partial {x}_{1}},\frac{\partial u}{\partial {x}_{2}},\cdots ,\frac{\partial u}{\partial {x}_{n}}}\right) \] \[ + B\left( {x, u,\frac{\partial u}{\partial {x}_{1}},\frac{\partial u}{\partial {x}_{2}},\cdots ,\frac{\partial u}{\partial {x}_{n}}}\right) \left( {u \in {C}^{2}\left( \Omega \right) }\right) ; \] 即在 (1) 中 \[ {a}_{ij}\left( {x, z, p}\right) \] \[ = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial }{\partial {p}_{i}}{A}_{j}\left( {x, z, p}\right) + \frac{\partial }{\partial {p}_{j}}{A}_{i}\left( {x, z, p}\right) }\right) , \] 则称算子 \( Q \) 及方程 \( {Qu} = 0 \) 是散度形式的. 和线性方程的情形不同, 具有光滑系数的拟线性微分方程未必可以表示成散度形式. 散度形式算子 (operator of divergence form) 见“椭圆型方程的弱解”及“二阶拟线性椭圆型方程”. 牛顿位势 (Newtonian potential) 引力场的位 势函数. 对于区域 \( \Omega \) 上一个可积函数 \( f, f \) 的牛顿位势是由下式定义的函数 \( w \) \[ w\left( x\right) = {\int }_{\Omega }\Gamma \left( {x - y}\right) f\left( y\right) \mathrm{d}y, \] 其中 \[ \Gamma \left( {x - y}\right) = \Gamma \left( \left| {x - y}\right| \right) \] \[ = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\Gamma \left( \frac{n}{2}\right) }{2\left( {2 - n}\right) {\pi }^{\frac{n}{2}}}{\left| x - y\right| }^{2 - n} & \left( {n > 2}\right) , \\ \frac{1}{2\pi }\ln \left| {x - y}\right| & \left( {n = 2}\right) \end{array}\right. \] 是拉普拉斯方程的基本解. 当 \( n = 3 \) ,以 \( \rho \left( x\right) \) 表示物体 \( \Omega \) 的密度, \( \rho \left( x\right) \) 的牛顿位势为 \[ w\left( x\right) = - {\int }_{\Omega }\frac{\rho \left( y\right) \mathrm{d}y}{{4\pi }\left| {x - y}\right| }. \] 以 \( k \) 表示引力常数,由 \[ {P}_{i}\left( x\right) = - {4\pi k}\frac{\partial w\left( x\right) }{\partial {x}_{i}} \] \[ = - k{\int }_{\Omega }\frac{\left( {{x}_{i} - {y}_{i}}\right) \rho \left( y\right) }{{\left| x - y\right| }^{3}}\mathrm{\;d}y, \] 根据牛顿万有引力定律知道 \( P\left( x\right) = \left( {{P}_{1}\left( x\right) }\right. \) , \( \left. {{P}_{2}\left( x\right) ,{P}_{3}\left( x\right) }\right) \) 是物体 \( \Omega \) 对点 \( x = \left( {{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}}\right) \) 处单位质量的引力,而 \( - {4\pi kw}\left( x\right) \) 是引力 \( P\left( x\right) \) 的位势. 若 \( f \) 在 \( \Omega \) 中有界可积,则 \( f \) 的牛顿位势 \( w \in {C}^{1}\left( \bar{\Omega }\right) \) ,并且对任何 \( x \in \Omega \) , \[\frac{\partial }{\partial {x}_{i}}w\left( x\right) = {\int }_{\Omega }\frac{\partial }{\partial {x}_{i}}\Gamma \left( {x - y}\right) f\left( y\right) \mathrm{d}y\] \[\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \text{.}\] 若 \( f \) 在 \( \Omega \) 中有界且局部赫尔德连续,则 \( f \) 的牛顿位势 \( w \in {C}^{2}\left( \Omega \right) \) ,在 \( \Omega \) 中 \( {\Delta w} = f \) ,并且对任何 \( x \in \) \( \Omega \) , \[\frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}}w\left( x\right) \] \[ = {\int }_{{\Omega }_{0}}\frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}_{i}\partial {y}_{j}}\Gamma \left( {x - y}\right) \left( {f\left( y\right) - f\left( x\right) }\right) \mathrm{d}y\] \[ - f\left( x\right) {\int }_{\partial {\Omega }_{0}}\frac{\partial }{\partial {x}_{i}}\Gamma \left( {x - y}\right) {\nu }_{j}\left( y\right) \mathrm{d}{S}_{y}\] \[\left( {i, j = 1,2,\cdots, n}\right) \text{,}\] 其中 \( {\Omega }_{0} \) 是任一包含 \( \Omega \) 的区域,对于它,散度定理成立,并且 \( f \) 在 \( \Omega \) 外延拓为零. 拉普拉斯方程的基本解 (fundamental solutions of Laplace equation) 见“偏微分方程的基本解”. 弱导数 (weak derivative) 亦称广义导数. 微分学中导数概念的推广. 设 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的一个区域, 函数 \( u\left( x\right) \) 在 \( \Omega \) 中局部可积, \( \alpha = \left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) \) 是多重指标, \( {\alpha }_{i} = \) 非负整数, \[\left| \alpha \right| = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\alpha }_{i}\] 如果存在 \( \Omega \) 中局部可积函数 \( v \) ,使得积分等式 \[ {\int }_{\Omega }{\varphi vdx} = {\left( -1\right) }^{\alpha }{\int }_{\Omega }u{D}^{\alpha }\varphi \mathrm{d}x \] 对所有 \( \varphi \in {C}_{0}^{\left| \alpha \right| }\left( \Omega \right) \) 都成立,则称 \( v \) 为 \( u \) 的 \( \alpha \) 阶弱导数,记为 \( v = {D}^{\alpha }u \) . 广义导数 (generalized derivative) 见 “弱导数”. 索伯列夫空间 (Sobolev spaces) 一类重要的函数空间. 在椭圆型方程理论中要用到整指数索伯列夫空间和实指数索伯列夫空间. 整指数索伯列夫空间 \( {W}^{m, p}\left( \Omega \right) \) (或 \( {W}_{p}^{m}\left( \Omega \right) \) ) 是函数本身及其所有 1, \( 2,\cdots, m \) 阶弱导数满足下列条件的函数 \( f \) 的集合: \( {D}^{\alpha }f \in {L}^{p}\left( \Omega \right) ,\forall \left| \alpha \right| \leq m \) . 对这个空间的元素 \( f \) 引进范数 \[ \parallel f{\parallel }_{{W}^{m, p}\left( \Omega \right) } \] \[ = \parallel f{\parallel }_{m, p} = {\left\{ \mathop{\sum }\limits_{{\left| a\right| \leq m}}{\int }_{\Omega }{\left| {D}^{a}f\right| }^{p}\mathrm{\;d}x\right\} }^{\frac{1}{p}}, \] 因而 \( {W}^{m, p}\left( \Omega \right) \) 是一个巴拿赫空间. 以 \( {W}_{0}^{m, p}\left( \Omega \right) \) 表示 \( {C}_{0}^{\infty }\left( \Omega \right) \) 在 \( {W}^{m, p}\left( \Omega \right) \) 中的闭包,它也称为索伯列夫空间. 当 \( p = 2 \) 时可以定义内积 \[ {\left( f, g\right) }_{m,2} = \mathop{\sum }\limits_{{\left| \alpha \right| \leq m}}{\int }_{\Omega }{D}^{\alpha }f\overline{{D}^{\alpha }g}\mathrm{\;d}x. \] \( {W}^{m,2}\left( \Omega \right) \) 是一个希尔伯特空间. \( {W}^{0,2}\left( \Omega \right) = {L}^{2}\left( \Omega \right) \) . 实指数索伯列夫空间 \( {H}^{s}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 是满足下列条件的缓增广义函数 \( f \) 的集合 \[ {\left( 1 + {\left| \xi \right| }^{2}\right) }^{s/2}\widehat{f}\left( \xi \right) \in {L}^{2}\left( {\mathrm{R}}_{\xi }^{n}\right) , \] 其中 \( \widehat{f}\left( \xi \right) \) 表示 \( f \) 的傅里叶变换. 在这个空间中赋予范数 \[ \parallel f{\parallel }_{s} = {\left\{ {\int }_{{R}_{\xi }^{n}}{\left( 1 + {\left| \xi \right| }^{2}\right) }^{s}{\left| \widehat{f}\left( \xi \right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}\xi \right\} }^{\frac{1}{2}} \] 并 \[ {\left( f, g\right) }_{s} = {\int }_{{R}_{\xi }^{n}}\left( {1 + {\left| \xi \right| }^{2}}\right) \widehat{f}\left( \xi \right) \overline{\widehat{g}\left( \xi \right) }\mathrm{d}\xi . \] \( {H}^{s}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \left( {s \in {\mathrm{R}}^{1}}\right) \) 是一个希尔伯特空间. 当 \( s \) 是非负整数时有 \( {H}^{s}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) = {W}^{s,2}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) . 在抛物型方程理论中还用到对变元 \( {x}_{i} \) 有不同阶微商的索伯列夫空间 (参见 “函数空间 \( {W}_{2}^{r, s}\left( {Q}_{T}\right) \) ”). 通常称为各向异性的索伯列夫空间. 索伯列夫 (Coóoāeв, C. JI. ) 把泛函分析应用于偏微分方程理论, 引进了这类重要的函数空间, 对这类空间建立了嵌入定理, 提出了广义函数与偏微分方程的广义解的概念, 在此基础上把偏微分方程的解的存在问题分解成某个索伯列夫空间中广义解的存在与广义解的正则性两个问题来研究, 解决了一些新的偏微分方程定解问题. 这种方法得到了广泛应用, 促进了偏微分方程理论的发展. 函数空间 \( {H}_{0}^{k}\left( \Omega \right) \) (function space \( {H}_{0}^{k}\left( \Omega \right) \) ) 研究偏微分方程齐次边值问题常用到的一类索伯列夫空间. 在 \( {C}^{k}\left( \Omega \right) \) 中,在 \( \Omega \) 内具有紧支集的函数组成的子空间记为 \( {C}_{0}^{k}\left( \Omega \right) \) . 函数集合 \( {C}_{0}^{k}\left( \Omega \right) \) 在索伯列夫空间 \( {H}^{k}\left( \Omega \right) = {W}^{k,2}\left( \Omega \right) \) (参见 “索伯列夫空间”) 中的闭包记为 \( {H}_{0}^{k}\left( \Omega \right) \) 或 \( {W}_{0}^{k,2}\left( \Omega \right) \) ,它对于内积 \[ {\left( u, v\right) }_{k} = {\int }_{\Omega }\mathop{\sum }\limits_{{\left| \beta \right| \leq k}}{D}^{\beta }u{D}^{\beta }v\mathrm{\;d}x \] 是希尔伯特空间. 索伯列夫不等式 (Sobolev inequalities) 索伯列夫空间最重要的性质. 设 \( X, Y \) 是两个巴拿赫空间, 它们满足条件: 1. 如果 \( u \in X \) ,则 \( u \in Y \) ; 2. 存在常数 \( C > 0 \) ,使得对任意 \( u \in X \) 有 \[ \parallel u{\parallel }_{Y} \leq C\parallel u{\parallel }_{X} \] 则称 \( X \) 嵌入 \( Y \) ,记为 \( X \rightarrow Y \) . 如果空间 \( X \) 是索伯列夫空间, 条件 2 中的不等式通常称为索伯列夫不等式. 例如,根据索伯列夫嵌入定理,当 \( u \in {W}^{m, p}\left( \Omega \right) \) 时有索伯列夫不等式 \[ \parallel u{\parallel }_{{L}^{q}\left( {\Omega }^{k}\right) } \leq C\parallel u{\parallel }_{{W}^{m, p}\left( \Omega \right) }\left( {\forall u \in {W}^{m, p}\left( \Omega \right) }\right) , \] 其中 \( {\Omega }^{k}\left( {1 \leq k \leq n}\right) \) 是 \( \Omega \) 与 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的一个 \( k \) 维超平面相交得到的 \( k \) 维区域; 当 \( {mp} < n \) 时, \( q = {kp}/(n - \) \( {mp}{)}_{u} \) 而当 \( {mp} \geq n \) 时, \( q \) 是任意正数. 索伯列夫嵌入定理 (Sobolev imbedding theorems) 索伯列夫空间最重要的性质. 整指数索伯列夫空间嵌入定理: 设 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的一个具有光滑边界的区域, \( {\Omega }^{k}\left( {1 \leq k \leq n}\right) \) 是 \( \Omega \) 与 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的一个 \( k \) 维超平面相交得到的 \( k \) 维区域. 设 \( j \) 和 \( m \) 是非负整数, \( 1 \leq p < + \infty \) ,那么存在下列嵌入: 1. 假定 \( {mp} < n \) 而且 \( n - {mp} < k \leq n \) ,则 \[ {W}^{j + m, p}\left( \Omega \right) \rightarrow {W}^{j, q}\left( {\Omega }^{k}\right) \;\left( {q = \frac{kp}{n - {mp}}}\right) , \] 特别有 \[ {W}^{j + m, p}\left( \Omega \right) \rightarrow {W}^{j, q}\left( \Omega \right) \;\left( {q = \frac{np}{n - {mp}}}\right) . \] 2. 假定 \( {mp} = n \) ,则对于每个 \( k \) 及任意 \( q < + \infty \) , 有 \( {W}^{j + m, p}\left( \Omega \right) \rightarrow {W}^{j, q}\left( {\Omega }^{k}\right) \) ,特别有 \[ {W}^{j + m, p}\left(

2000_数学辞海（第3卷）

是 \( \Omega \) 与 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的一个 \( k \) 维超平面相交得到的 \( k \) 维区域; 当 \( {mp} < n \) 时, \( q = {kp}/(n - \) \( {mp}{)}_{u} \) 而当 \( {mp} \geq n \) 时, \( q \) 是任意正数. 索伯列夫嵌入定理 (Sobolev imbedding theorems) 索伯列夫空间最重要的性质. 整指数索伯列夫空间嵌入定理: 设 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的一个具有光滑边界的区域, \( {\Omega }^{k}\left( {1 \leq k \leq n}\right) \) 是 \( \Omega \) 与 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的一个 \( k \) 维超平面相交得到的 \( k \) 维区域. 设 \( j \) 和 \( m \) 是非负整数, \( 1 \leq p < + \infty \) ,那么存在下列嵌入: 1. 假定 \( {mp} < n \) 而且 \( n - {mp} < k \leq n \) ,则 \[ {W}^{j + m, p}\left( \Omega \right) \rightarrow {W}^{j, q}\left( {\Omega }^{k}\right) \;\left( {q = \frac{kp}{n - {mp}}}\right) , \] 特别有 \[ {W}^{j + m, p}\left( \Omega \right) \rightarrow {W}^{j, q}\left( \Omega \right) \;\left( {q = \frac{np}{n - {mp}}}\right) . \] 2. 假定 \( {mp} = n \) ,则对于每个 \( k \) 及任意 \( q < + \infty \) , 有 \( {W}^{j + m, p}\left( \Omega \right) \rightarrow {W}^{j, q}\left( {\Omega }^{k}\right) \) ,特别有 \[ {W}^{j + m, p}\left( \Omega \right) \rightarrow {W}^{j, q}\left( \Omega \right) . \] 3. 假定 \( {mp} > n \) ,则 \( {W}^{j + m, p}\left( \Omega \right) \rightarrow {C}^{j}\left( \bar{\Omega }\right) \) . 实指数索伯列夫空间嵌入定理: 如果 \( s > n/2 \) , 则 \[ {H}^{s}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \rightarrow {C}^{0}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) . \] 此定理基本上是由苏联数学家索伯列夫 (Coóo.neb, C. JI. ) 于 1938 年证明的. 索伯列夫空间的紧嵌入定理 (compact imbedding theorem of Sobolev space) 索伯列夫空间的紧嵌入性. 设 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的一个具有光滑边界的有界区域, \( {\Omega }^{k} \) 是 \( \Omega \) 与 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中一个 \( k \) 维超平面的交. 设 \( j \) , \( m \) 是整数, \( j \geq 0, m \geq 1,1 \leq p < + \infty \) ,则下面的嵌入是紧的 (即对 \( X \rightarrow Y, X \) 中的有界集在 \( Y \) 中必是紧集): 1. 假定 \( {mp} < n \) ,则 \( {W}^{j + m, p}\left( \Omega \right) \rightarrow {W}^{j, q}\left( {\Omega }^{k}\right) \) \[ \left( {0 < n - {mp} < k \leq n,1 \leq q < \frac{kp}{n - {mp}}}\right) . \] 2. 假定 \( {mp} = n \) ,则 \( {W}^{j + m, p}\left( \Omega \right) \rightarrow {W}^{j, q}\left( {\Omega }^{k}\right) \) \( \left( {1 \leq k \leq n,1 \leq q < + \infty }\right) \) . 3. 假定 \( {mp} > n \) ,则 \( {W}^{j + m, p}\left( \Omega \right) \rightarrow {C}^{j}\left( \bar{\Omega }\right) \) . 此定理在 \( p = 2 \) 时,是由德国数学家雷利希 (Rellich, R. ) 于 1930 年证明的. 对于一般情形, 是由苏联数学家孔德拉绍夫 (KoHдpallioB, B. II. ) 于 1945 年证明的. 高阶偏微分算子的象征 (symbol of higher-order partial differential operators) 线性偏微分算子对应的多项式. 称 \[ P\left( {x, D}\right) u = \mathop{\sum }\limits_{{\left| \alpha \right| \leq m}}{a}_{\alpha }\left( x\right) {D}^{\alpha }u \] 是区域 \( \Omega \) 上的 \( m \) 阶线性偏微分算子,称 \( \xi = \left( {{\xi }_{1},{\xi }_{2}}\right. \) , \( \left. {\cdots ,{\xi }_{n}}\right) \in {\mathrm{R}}^{n} \) 的多项式 \[ P\left( {x,\xi }\right) = \mathop{\sum }\limits_{{\left| \alpha \right| \leq m}}{a}_{\alpha }\left( x\right) {\xi }^{\alpha } \] 为偏微分算子 \( P\left( {x, D}\right) \) 的象征,而称 \( \xi \) 的多项式 \[ {P}_{0}\left( {x,\xi }\right) = \mathop{\sum }\limits_{{\left| \alpha \right| = m}}{a}_{\alpha }\left( x\right) {\xi }^{\alpha } \] 为偏微分算子 \( P\left( {x, D}\right) \) 的主象征. 这里 \[ {D}^{\alpha } = \frac{{\partial }^{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}}}{\partial {x}_{1}^{{a}_{1}}\partial {x}_{2}^{{a}_{2}}\cdots \partial {x}_{n}^{{a}_{n}}}\left( {\alpha = \left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) ,}\right. \] \[ \left| \alpha \right| = {\alpha }_{1} + {\alpha }_{2} + \cdots + {\alpha }_{n},{\xi }^{\alpha } = {\xi }_{1}^{{\alpha }_{1}}{\xi }_{2}^{{\alpha }_{2}}\cdots {\xi }_{n}^{{\alpha }_{n}}). \] \( m \) 阶线性偏微分算子 (linear partial differential operator of order \( m \) ) 见 “高阶偏微分算子的象征”. 偏微分算子的主象征 (principal symbol of partial differential operators) 见“高阶偏微分算子的象征”. 高阶椭圆型偏微分算子 (elliptic partial differential operators of higher-order) 主象征无非零实根的线性偏微分算子. 高阶微分算子 \[ P\left( {x, D}\right) u = \mathop{\sum }\limits_{{\left| \alpha \right| \leq m}}{a}_{\alpha }\left( x\right) {D}^{\alpha }u \] 如果对于 \( x \in \Omega \) ,其主象征满足条件 \[ {P}_{0}\left( {x,\xi }\right) u = \mathop{\sum }\limits_{{\left| \alpha \right| = m}}{a}_{\alpha }\left( x\right) {\xi }^{\alpha } \neq 0\;\left( {\forall \xi \in {\mathrm{R}}^{n}\smallsetminus \{ 0\} }\right) , \] 则称算子 \( P\left( {x, D}\right) \) 在点 \( x \) 是椭圆型的. 如果对于任何 \( x \in \Omega \) ,上式成立,则称 \( P\left( {x, D}\right) \) 在区域 \( \Omega \) 内是椭圆型的. 当 \( n > 2 \) 时,每个椭圆型算子都是偶数阶的. 设 \( P\left( {x, D}\right) \) 是 \( m = {2l} \) 阶算子,如果存在复数 \( \gamma \) 和常数 \( c > 0 \) ,使得 \[ \operatorname{Re}\left( {\gamma {P}_{0}\left( {x,\xi }\right) }\right) \geq c{\left| \xi \right| }^{2l}\left( {\forall x \in \bar{\Omega },\forall \xi \in {\mathrm{R}}^{n}}\right) , \] 则称算子 \( P\left( {x, D}\right) \) 是强椭圆型的. 如果存在的复数 \( \gamma \) 和常数 \( c > 0 \) 不依赖 \( x \) ,则称算子 \( P\left( {x, D}\right) \) 在 \( \bar{\Omega } \) 中是一致强椭圆型的. 高阶强椭圆型偏微分算子 (strong elliptic partial differential operators of higher-order) 见“高阶椭圆型偏微分算子”. 高阶一致强椭圆型偏微分算子 (uniformly strong elliptic partial differential operators of higher-order) 见“高阶椭圆型偏微分算子”. 重调和算子 (multiple harmonic operators) 最简单的高阶椭圆型偏微分算子. 若整数 \( k > 1 \) ,则 \[ {\Delta }^{k} = {\left( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}_{1}^{2}}\right) }^{k} \] 称为重调和算子. 重调和方程 (multiple harmonic equations) 最简单的高阶椭圆型偏微分方程. 方程. 方程 \[ {\Delta }^{k}u = 0\;\left( {\Delta = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}_{i}^{2}}, k > 1\text{ 整数 }}\right) \] 称为重调和方程. 特别地,当 \( k = 2 \) 时, \( {\Delta }^{2}u = 0 \) 又称为双调和方程, 它在弹性力学中有重要的地位. 双调和方程 (biharmoric equation) 见“重调和方程”. 恰当椭圆型算子 (properly elliptic operators) 一类重要的椭圆型偏微分算子. 如果算子 \[ P\left( D\right) = \mathop{\sum }\limits_{{\left| a\right| \leq {2l}}}{a}_{a}{D}^{a} \] 是椭圆型的,并且对于 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中任意两个线性独立的向量 \( \xi \) 和 \( {\xi }^{\prime } \) ,复变量 \( \tau \) 的多项式 \[ {P}_{0}\left( {\xi + \tau {\xi }^{\prime }}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{\left| a\right| = {2l}}}{a}_{a}{\left( \xi + \tau {\xi }^{\prime }\right) }^{a} \] 有 \( l \) 个带正虚部的根,那么称 \( P\left( D\right) \) 是恰当椭圆型算子. 当 \( n > 2 \) 时,任何椭圆型算子都是恰当椭圆型算子. 存在恰当椭圆型算子但不是强椭圆型算子, 例如,在 \( {\mathrm{R}}^{3} \) 中的算子 \[ P\left( D\right) = \frac{{\partial }^{4}}{\partial {x}_{1}^{4}} + \frac{{\partial }^{4}}{\partial {x}_{2}^{4}} - \frac{{\partial }^{4}}{\partial {x}_{3}^{4}} + \mathrm{i}\left( {\frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}_{1}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}_{2}^{2}}}\right) \frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}_{3}^{2}}. \] 正则椭圆问题 (regular elliptic problem) 恰当椭圆型算子方程的重要边值问题. 椭圆型方程的边值问题 \[ {Au} \equiv \mathop{\sum }\limits_{{\left| \alpha \right| \leq {2m}}}{a}_{\alpha }\left( x\right) {D}^{\alpha }u = f\;\left( {\text{ 在 }\Omega \text{ 内 }}\right) , \] \[ {B}_{j}u \equiv \mathop{\sum }\limits_{{\left| h\right| \leq {m}_{j}}}{b}_{jh}\left( x\right) {D}^{h}u = {\varphi }_{j}\text{ (在 }\partial \Omega = \Gamma \text{ 上) } \] \( \left( {{m}_{j}\text{ 是非负整数,}0 \leq j \leq m - 1}\right) \) 如果满足下列条件, 那么称它为正则椭圆问题: 1. 算子 \( A \) 在 \( \bar{\Omega } \) 内是恰当椭圆型的,并且其系数在 \( \bar{\Omega } \) 内是无限次可微的. 2. \( {B}_{j} \) 的系数在 \( \Gamma \) 上是无限次可微的. 3. 组 \( {\left\{ {B}_{j}\right\} }_{j = 0}^{m - 1} \) 在 \( \Gamma \) 上是标准的,即 \( {B}_{j} \) 的主象征满足 \[\mathop{\sum }\limits_{{\left| h\right| = {m}_{j}}}{b}_{jh}\left( x\right) {\xi }^{h} \neq 0\left( {\forall x \in \Gamma \text{ 和 }\forall \xi \neq 0}\right) ,\] 且对于 \( j \neq i \) 有 \( {m}_{j} \neq {m}_{i} \) . 4. 组 \( {\left\{ {B}_{j}\right\} }_{j = 0}^{m - 1} \) 在 \( \Gamma \) 上覆盖算子 \( A \) ; 即 \( \forall x \in \Gamma \) ,对所有在 \( x \) 切于 \( \Gamma \) 的非零 \( \xi \in {\mathrm{R}}^{n} \) 和对所有在 \( x \) 垂直于 \( \Gamma \) 的非零向量 \( {\xi }^{\prime } \in {\mathrm{R}}^{n} \) ,复变量 \( \tau \) 的多项式 \[ \mathop{\sum }\limits_{{\left| h\right| = {m}_{j}}}{b}_{jh}{\left( \xi + \tau {\xi }^{\prime }\right) }^{h}\;\left( {j = 0,1,\cdots, m - 1}\right) , \] 关于模多项式 \[ \mathop{\prod }\limits_{{i = 1}}^{m}\left( {\tau - {\tau }_{i}^{ + }\left( {x,\xi ,{\xi }^{\prime }}\right) }\right) \] 是线性独立的,其中 \( {\tau }_{i}^{ + }\left( {x,\xi ,{\xi }^{\prime }}\right) \) 是多项式 \[ {A}_{0}\left( {x,\xi + \tau {\xi }^{\prime }}\right) \] 的具有正虚部的根,而 \( {A}_{0}\left( {x,\xi }\right) \) 是算子 \( A \) 的主象征; 5. \( {B}_{j} \) 的阶 \( {m}_{j} \leq {2m} - 1 \) . 如果 \( {\left\{ {m}_{j}\right\} }_{j = 0}^{m - 1} \) 遍历 \( 0,1,\cdots, m - 1 \) ,则标准组 \( {\left\{ {B}_{j}\right\} }_{j = 0}^{m - 1} \) 又称为 \( \Gamma \) 上的狄利克雷组. 如果 \( A \) 是恰当椭圆型算子, \[ {B}_{j} = \frac{{\partial }^{j}}{\partial {\nu }^{j}}\left( {j = 0,1,\cdots, m - 1}\right) , \] \( \nu \) 是 \( \Gamma \) 的外法线方向,问题 \( \left\{ {A,{B}_{j}}\right\} \) 称为算子 \( A \) 的狄利克雷问题. 狄利克雷问题 \( \left\{ {A,{B}_{j}}\right\} \) 是正则椭圆边值问题. 椭圆算子的狄利克雷问题 (Dirichlet problem for elliptic operator) 见“正则椭圆问题”. 狄利克雷组 (Dirichlet system) 见 “正则椭圆问题”. 椭圆算子的格林公式 (Green formula for elliptic operator) 研究正则椭圆问题的重要公式. 设椭圆型算子 \[ {Au} = \mathop{\sum }\limits_{{\left| p\right| ,\left| q\right| \leq m}}{\left( -1\right) }^{\left| p\right| }{D}^{p}\left( {{a}_{pq}\left( x\right) {D}^{q}u}\right) , \] \( {a}_{pq} \in {C}^{\infty }\left( \bar{\Omega }\right) \) . 设 \( {\left\{ {B}_{j}\right\} }_{j = 0}^{m - 1} \) 在 \( \Gamma \) 上是标准组 (参见 “正则椭圆问题”), \[ {B}_{j}u = \mathop{\sum }\limits_{{\left| h\right| \leq {m}_{j}}}{b}_{jh}\left( x\right) {D}^{h}u,{b}_{jh} \in {C}^{\infty }\left( \Gamma \right) \] \[ \left( {{m}_{j} \leq {2m} - 1;j = 0,1,\cdots, m - 1}\right) . \] 总可以选取另一在 \( \Gamma \) 上标准的边界算子组 (非惟一) \( {\left\{ {S}_{j}\right\} }_{j = 0}^{m - 1},{S}_{j} \) 的阶 \( {\mu }_{j} \leq {2m} - 1,{S}_{j} \) 的系数属于 \( {C}^{\infty }\left( \Gamma \right) \) ,使组 \( \left\{ {{B}_{0},{B}_{1},\cdots {B}_{m - 1},{S}_{0},{S}_{1},\cdots ,{S}_{m - 1}}\right\} \) 是 \( \Gamma \) 上的狄利克雷组 (参见 “正则椭圆问题”). 于是存在惟一确定的 \( {2m} \) 个边界算子 \( {C}_{j},{T}_{j}(j = 0,1,\cdots, m - \) 1), 具有性质: 1. \( {C}_{j} \) 和 \( {T}_{j} \) 的系数属于 \( {C}^{\infty }\left( P\right) \) . 2. \( {C}_{j} \) 的阶是 \( {2m} - 1 - {\mu }_{j},{T}_{j} \) 的阶是 \( {2m} - 1 - \) \( {m}_{j} \) . 3. 组 \( \left\{ {{C}_{0},{C}_{1},\cdots ,{C}_{m - 1},{T}_{0},{T}_{1},\cdots ,{T}_{m - 1}}\right\} \) 是 \( \Gam

2000_数学辞海（第3卷）

) \) . 设 \( {\left\{ {B}_{j}\right\} }_{j = 0}^{m - 1} \) 在 \( \Gamma \) 上是标准组 (参见 “正则椭圆问题”), \[ {B}_{j}u = \mathop{\sum }\limits_{{\left| h\right| \leq {m}_{j}}}{b}_{jh}\left( x\right) {D}^{h}u,{b}_{jh} \in {C}^{\infty }\left( \Gamma \right) \] \[ \left( {{m}_{j} \leq {2m} - 1;j = 0,1,\cdots, m - 1}\right) . \] 总可以选取另一在 \( \Gamma \) 上标准的边界算子组 (非惟一) \( {\left\{ {S}_{j}\right\} }_{j = 0}^{m - 1},{S}_{j} \) 的阶 \( {\mu }_{j} \leq {2m} - 1,{S}_{j} \) 的系数属于 \( {C}^{\infty }\left( \Gamma \right) \) ,使组 \( \left\{ {{B}_{0},{B}_{1},\cdots {B}_{m - 1},{S}_{0},{S}_{1},\cdots ,{S}_{m - 1}}\right\} \) 是 \( \Gamma \) 上的狄利克雷组 (参见 “正则椭圆问题”). 于是存在惟一确定的 \( {2m} \) 个边界算子 \( {C}_{j},{T}_{j}(j = 0,1,\cdots, m - \) 1), 具有性质: 1. \( {C}_{j} \) 和 \( {T}_{j} \) 的系数属于 \( {C}^{\infty }\left( P\right) \) . 2. \( {C}_{j} \) 的阶是 \( {2m} - 1 - {\mu }_{j},{T}_{j} \) 的阶是 \( {2m} - 1 - \) \( {m}_{j} \) . 3. 组 \( \left\{ {{C}_{0},{C}_{1},\cdots ,{C}_{m - 1},{T}_{0},{T}_{1},\cdots ,{T}_{m - 1}}\right\} \) 是 \( \Gamma \) 上的狄利克雷组, 且使得下述格林公式成立: \[ {\int }_{\Omega }{Au}\bar{v}\mathrm{\;d}x - {\int }_{\Omega }u\overline{{A}^{ * }v}\mathrm{\;d}x \] \[ = \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{{m - 1}}{\int }_{\Gamma }{S}_{j}u\overline{{C}_{j}v}\mathrm{\;d}\sigma - \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{{m - 1}}{\int }_{\Gamma }{B}_{j}u\overline{{T}_{j}v}\mathrm{\;d}\sigma \] \[ \left( {\forall u, v \in {C}^{\infty }\left( \bar{\Omega }\right) }\right) , \] 其中 \( {A}^{ * } \) 是 \( A \) 的形式共轭,它定义如下 \[ {A}^{ * }u = \mathop{\sum }\limits_{{\left| p\right| ,\left| q\right| \leq m}}{\left( -1\right) }^{\left| p\right| }{D}^{p}\left( {\overline{{a}_{pq}\left( x\right) }{D}^{q}u}\right) . \] 组 \( {\left\{ {C}_{j}\right\} }_{j = 0}^{m - 1} \) 称为组 \( {\left\{ {B}_{j}\right\} }_{j = 0}^{m - 1} \) 关于算子 \( A \) 和格林公式的伴随组. 例如,对拉普拉斯算子 \( \Delta \) ,格林公式为 \[ {\int }_{\Omega }\left( {{v\Delta u} - {u\Delta v}}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{\partial \Omega }\left( {v\frac{\partial u}{\partial \nu } - u\frac{\partial v}{\partial \nu }}\right) \mathrm{d}\sigma , \] 其中 \( \nu \) 为 \( \Omega \) 的外法向单位向量. 伴随组 (adjoint system) 见 “椭圆算子的格林公式”. 伴随边值问题 (adjoint boundary value problem) 正则椭圆问题由格林公式连结的另一边值问题. 在椭圆算子的格林公式中,边值问题 \( \left\{ {A}^{ * }\right. \) , \( \left. {C}_{j}\right\} \) : \[ \left\{ \begin{array}{ll} {A}^{ * }u = {f}_{1} & \left( {\text{ 在 }\Omega \text{ 内 }}\right) , \\ {C}_{j}u = {g}_{1j} & \left( {\text{ 在 }\Gamma \text{ 上; }j = 0,1,\cdots, m - 1}\right) \end{array}\right. \] 称为边值问题 \( \left\{ {A,{B}_{j}}\right\} \) : \[ \left\{ \begin{array}{ll} {Au} = f & \left( {\text{ 在 }\Omega \text{ 内 }}\right) , \\ {B}_{j}u = {g}_{j} & (\text{ 在 }\Gamma \text{ 上; }j = \end{array}\right. \] 关于格林公式的伴随边值问题或者形式伴随问题. 如果 \( A = {A}^{ * } \) ,格林公式可表为 \[ {\int }_{\Omega }u\overline{Av}\mathrm{\;d}x - {\int }_{\Omega }\left( {Au}\right) \bar{v}\mathrm{\;d}x \] \[ = \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{{m - 1}}{\int }_{\Gamma }{B}_{j}u\overline{{C}_{j}v}\mathrm{\;d}\sigma - \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{{m - 1}}{\int }_{\Gamma }{C}_{j}u\overline{{B}_{j}v}\mathrm{\;d}\sigma , \] 其中 \( {\left\{ {B}_{j}\right\} }_{j = 0}^{m - 1},{\left\{ {C}_{j}\right\} }_{j = 0}^{m - 1} \) 是狄利克雷组, \( {B}_{j} \) 的阶加上 \( {C}_{j} \) 的阶等于 \( {2m} - 1 \) . 此时问题 \( \left\{ {A,{C}_{j}}\right\} \) 称为自伴随边值问题. 拉普拉斯方程的第一、第二以及第三边值问题都是自伴随边值问题. 自伴随边值问题 (self-adjoint boundary value problem) 见“伴随边值问题”. 强迫双线性型 (coercive bilinear form) 用泛函分析方法研究椭圆边值问题需要的一种重要的双线性型. 设 \( V \) 是复 (实) 希尔伯特空间, \( a\left( {u, v}\right) \) 是 \( V \) 上的双线性型,即对任意复 (实) 数 \( \alpha ,\beta, a\left( {u, v}\right) \) 满足条件: \[a\left( {{\alpha u} + {\beta v}, w}\right) = {\alpha a}\left( {u, w}\right) + {\beta a}\left( {v, w}\right) \] \[\left( {\forall u, v, w \in V}\right) \text{;}\] \[a\left( {u,{\alpha v} + {\beta w}}\right) = {\alpha a}\left( {u, v}\right) + {\beta a}\left( {u, w}\right) \] \[\left( {\forall u, v, w \in V}\right) \text{.}\] 如果存在正常数 \( C \) ,使得 \[\operatorname{Re}a\left( {v, v}\right) \geq C\parallel v{\parallel }^{2}\left( {\forall v \in V}\right) ,\] 那么称双线性型 \( a\left( {u, v}\right) \) 是强迫的. 如果存在常数 \( k \) , 使得 \[\left| {a\left( {u, v}\right) }\right| \leq k\parallel u\parallel \parallel v\parallel \left( {\forall u, v \in V}\right) ,\] 则称双线性型是连续的或有界的. 连续双线性型 (continuous bilinear form) 见 “强迫双线性型”. 有界双线性型 (bounded bilinear form) 见“强迫双线性型”. 拉克斯-密格拉蒙定理 (Lax-Milgram theorem) 用来证明线性椭圆方程边值问题有解的一个重要定理. 该定理断言: 如果 \( a\left( {u, v}\right) \) 是希尔伯特空间 \( V \) 上的连续强迫双线性型,则对任意 \( F \in {V}^{ * }\left( {V}^{ * }\right. \) 是 \( V \) 的对偶空间), 问题 \[ a\left( {u, v}\right) = F\left( v\right) \;\left( {\forall v \in V}\right) \] 有惟一的解 \( u \in V \) ,且上式定义了一个 \( {V}^{ * } \rightarrow V \) 的线性连续且同构的算子 \( A : F \rightarrow u \) . 例如,设 \( V = \) \( {W}_{0}^{1,2}\left( \Omega \right) \) ,则椭圆型方程边值问题 \[ \left\{ \begin{array}{ll} - \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{D}_{j}\left\lbrack {{a}_{ij}\left( x\right) {D}_{i}u}\right\rbrack + c\left( x\right) u = f\left( x\right) & \text{ (在 }\Omega \text{ 中) } \\ u = 0 & \text{ (在 }\partial \Omega \text{ 上) } \end{array}\right. \] 的弱解是满足 \[ a\left( {u, v}\right) \equiv {\int }_{\Omega }\left\lbrack {\mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( x\right) {D}_{i}u{D}_{j}v + c\left( x\right) {uv}}\right\rbrack \mathrm{d}x \] \[ = {\int }_{\Omega }{fv}\mathrm{\;d}x\;\left( {\forall v \in V}\right) \] 的函数 \( u \in V \) . 如果在 \( \Omega \) 中 \( {c}_{0} \geq c\left( x\right) \geq 0 \) ,且方程是严格椭圆型的,则双线性型 \( a\left( {u, v}\right) \) 在 \( V \) 上是连续强迫的. 当 \( f \in {L}^{2}\left( \Omega \right) \) 时,令 \[ F\left( v\right) = {\int }_{\Omega }{fv}\mathrm{\;d}x, \] 则 \( F \in {V}^{ * } \) . 于是由拉克斯-密格拉蒙定理,上述边值问题有惟一的弱解 \( u \in V = {W}_{0}^{1,2}\left( \Omega \right) \) . 因此,拉克斯- 密格拉蒙定理是研究线性椭圆方程解的存在性的一个有效工具. \( V \) 强迫 ( \( V \) -coercive) 含参数的线性椭圆方程边值问题有解时, 对应双线性型应满足的条件. 对双线性型 \( a\left( {u, v}\right) = \left( {{Au},\bar{v}}\right), A \) 是 \( V \rightarrow {V}^{ * } \) 的线性算子, \( V \) 是希尔伯特空间,且在希尔伯特空间 \( H \) 中稠密, \( {V}^{ * } \) 是 \( V \) 的对偶空间. 如果存在 \( {\lambda }_{0} \in {\mathrm{R}}^{1} \) 和 \( c > 0 \) ,使得 \[ \operatorname{Re}a\left( {v, v}\right) + {\lambda }_{0}{\left| v\right| }^{2} \geq c\parallel v{\parallel }^{2}\left( {\forall v \in V}\right) , \] 那么称双线性型 \( a\left( {u, v}\right) \) 是 \( V \) 强迫的,其中 \( \left| \;\right| \) 和 \( \parallel \;\parallel \) 分别表示 \( H \) 和 \( V \) 中的范数. 如果连续双线性型 \( a\left( {u, v}\right) \) 是 \( V \) 强迫的,那么对所有满足条件 \( \operatorname{Re}\lambda \) \( \geq {\lambda }_{0} \) 的复数 \( \lambda \) ,问题 \[ a\left( {u, v}\right) + \lambda \left( {u,\bar{v}}\right) = \left( {f,\bar{v}}\right) \;\left( {\forall v \in V}\right) \] 有惟一的解 \( u \) . 勒雷-绍德尔不动点定理 (Leray-Schauder fixed point theorem) 用来证明拟线性椭圆方程边值问题有解的一个重要定理. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( T \) 是从 \( X \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 到 \( X \) 中的紧映射,对所有的 \( x \in X \) ,使得 \( T\left( {x,0}\right) = 0 \) . 假设存在常数 \( M \) ,使得对满足 \( x \) \( = T\left( {x,\sigma }\right) \) 的所有 \( \left( {x,\sigma }\right) \in X \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) ,有 \( \parallel x{\parallel }_{X} < \) \( M \) ,则由 \( {T}_{1}x = T\left( {x,1}\right) \) 给出的 \( X \) 到自身中的映射 \( {T}_{1} \) 有一个不动点. 勒雷-绍德尔不动点定理在拟线性方程的定解问题的可解性证明中有广泛的应用. 例如, 应用于椭圆型方程的狄利克雷问题有下述结果: 设 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的一个有界区域,具有边界 \( \partial \Omega \in \) \( {C}^{2,\alpha } \) ,又设 \( \varphi \in {C}^{2,\alpha }\left( \bar{\Omega }\right) \) ,设算子族 \[ {Q}_{\sigma }u \equiv \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( {x, u,{Du};\sigma }\right) {D}_{ij}u + b\left( {x, u,{Du};\sigma }\right) \] \[ \left( {0 \leq \sigma \leq 1}\right) \] 在 \( \Omega \) 中满足下述条件: 1. \( {Q}_{1}u = {Qu} \) \[ \equiv \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( {x, u,{Du}}\right) {D}_{ij}u + b\left( {x, u,{Du}}\right) , \] \[ {Q}_{0}u \equiv \bigtriangleup u. \] 2. 算子 \( {Q}_{\sigma } \) 对所有 \( \sigma \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 在 \( \bar{\Omega } \) 中是椭圆型的. 3. 对每一 \( \sigma \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack ,{a}_{ij}, b \in {C}^{a}\left( {\bar{\Omega } \times {\mathrm{R}}^{1} \times {\mathrm{R}}^{n}}\right) \) ,且视为从 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 到 \( {C}^{\alpha }\left( {\bar{\Omega } \times {\mathrm{R}}^{1} \times {\mathrm{R}}^{n}}\right) \) 中的映射,函数 \( {a}_{ij}, b \) 是连续的. 再设对某一 \( \beta > 0 \) ,存在一个不依赖于 \( u \) 和 \( \sigma \) 的常数 \( M \) ,使得狄利克雷问题: 在 \( \Omega \) 中 \( {Q}_{\sigma }u = 0 \) ,在 \( \partial \Omega \) 上 \( u = {\sigma \varphi }\left( {0 \leq \sigma \leq 1}\right) \) 的每一 \( {C}^{2,\alpha }\left( \bar{\Omega }\right) \) 解满足 \( \parallel u{\parallel }_{{C}^{1,\beta }}\left( \bar{\Omega }\right) < M \) . 那么狄利克雷问题: 在 \( \Omega \) 中 \( {Qu} \) \( = 0 \) ,在 \( \partial \Omega \) 上 \( u = \varphi \) 在 \( {C}^{2,\alpha }\left( \bar{\Omega }\right) \) 中是可解的. 哥尔丁不等式 (Garding inequality) 椭圆型算子的重要特征. 设 \( L \) 是定义在区域 \( \Omega \) 上具有 \( {C}^{\infty } \) 系数的 \( m \) 阶椭圆型算子,则对于任意的 \( u \in {C}_{0}^{\infty }\left( \Omega \right) \) ,成立不等式 \[ \left( {u,{Lu}}\right) \geq {C}_{1}\parallel u{\parallel }_{m/2}^{2} - {C}_{2}\parallel u{\parallel }_{0}^{2}, \] 此处 \( {C}_{1},{C}_{2} \) 是仅依赖于 \( L \) 及 \( \Omega \) 的常数, \( \parallel u{\parallel }_{s} \) 表示 \( u \) 在空间 \( {H}^{s}\left( \Omega \right) \) 中的范数. 这个不等式称为哥尔丁不等式, 由瑞典数学家哥尔丁 (Garding, L. ) 于 1953 年证明. 指标算子 (indexed operators) 亦称弗雷德霍姆算子. 用来刻画算子方程的可解性的概念. 如果算子 \( \mathcal{P} \) 的核空间 ker \( \mathcal{P} \) 的维数是有限的, \( \mathcal{P} \) 的像空间 (值域空间) \( \operatorname{Im}\mathcal{P} \) 是闭的并且它的余维数也是有限的,那么就称算子 \( \mathcal{P} \) 是指标算子. 算子 \( \mathcal{P} \) 的指标 \( \chi \left( \mathcal{P}\right) \) 由下式给出: \[ \chi \left( \mathcal{P}\right) = \dim \ker \mathcal{P} - \operatorname{codim}\operatorname{Im}\mathcal{P}. \] 正则椭圆边值问题 \( \left\{ {A,{B}_{j}}\right\} \) : \[ \left\{ \begin{array}{l} {Au} = f\;\left( {\text{ 在 }\Omega \text{ 内 }}\right) , \\ {B}_{j}u = {g}_{j}\;\left( {\text{ 在 }\Gamma \text{ 上; }j = 0,1,\cdots, m - 1}\right) \end{array}\right. \] 对应的算子 \[ \mathcal{P} : u \rightarrow \mathcal{P}u = \left\{ {{Au};{B}_{0}u,{B}_{1}u,\cdots ,{B}_{m - 1}u}\right\} \] 是一个指标算子,它将空间 \( {H

2000_数学辞海（第3卷）

}^{2}, \] 此处 \( {C}_{1},{C}_{2} \) 是仅依赖于 \( L \) 及 \( \Omega \) 的常数, \( \parallel u{\parallel }_{s} \) 表示 \( u \) 在空间 \( {H}^{s}\left( \Omega \right) \) 中的范数. 这个不等式称为哥尔丁不等式, 由瑞典数学家哥尔丁 (Garding, L. ) 于 1953 年证明. 指标算子 (indexed operators) 亦称弗雷德霍姆算子. 用来刻画算子方程的可解性的概念. 如果算子 \( \mathcal{P} \) 的核空间 ker \( \mathcal{P} \) 的维数是有限的, \( \mathcal{P} \) 的像空间 (值域空间) \( \operatorname{Im}\mathcal{P} \) 是闭的并且它的余维数也是有限的,那么就称算子 \( \mathcal{P} \) 是指标算子. 算子 \( \mathcal{P} \) 的指标 \( \chi \left( \mathcal{P}\right) \) 由下式给出: \[ \chi \left( \mathcal{P}\right) = \dim \ker \mathcal{P} - \operatorname{codim}\operatorname{Im}\mathcal{P}. \] 正则椭圆边值问题 \( \left\{ {A,{B}_{j}}\right\} \) : \[ \left\{ \begin{array}{l} {Au} = f\;\left( {\text{ 在 }\Omega \text{ 内 }}\right) , \\ {B}_{j}u = {g}_{j}\;\left( {\text{ 在 }\Gamma \text{ 上; }j = 0,1,\cdots, m - 1}\right) \end{array}\right. \] 对应的算子 \[ \mathcal{P} : u \rightarrow \mathcal{P}u = \left\{ {{Au};{B}_{0}u,{B}_{1}u,\cdots ,{B}_{m - 1}u}\right\} \] 是一个指标算子,它将空间 \( {H}^{{2m} + r}\left( \Omega \right) \) 映射到空间 \[ {H}^{r}\left( \Omega \right) \times \mathop{\prod }\limits_{{j = 0}}^{{m - 1}}{H}^{{2m} + r - {m}_{j} - \frac{1}{2}}\left( \Gamma \right) \] 上,这里 \( r \geq 0 \) 是整数. 弗雷德霍姆算子 (Fredholm operators) 即 “指标算子”. 混合边值问题 (mixed boundary value problem) 典型的非正则椭圆边值问题. 设 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的有界域,它的边界 \( \Gamma \) 由 \( m \) 个子集 \( {\Gamma }_{0},{\Gamma }_{1},\cdots ,{\Gamma }_{m - 1} \) 组成. 设 \( A \) 是 \( \Omega \) 中的 \( {2m} \) 阶椭圆型算子. 设 \( {\left\{ {F}_{j}\right\} }_{j = 0}^{m - 1} \) , \( {\left\{ {\Phi }_{j}\right\} }_{j = 0}^{m - 1} \) 是分别定义在 \( {\Gamma }_{j} \) 和 \( \Gamma - {\Gamma }_{j} \) 上的边界算子组, \( {F}_{j} \) 的阶与 \( {\Phi }_{j} \) 的阶之和为 \( {2m} - 1 \) . 边值问题 \[ \left\{ \begin{array}{ll} {Au} = f & \left( {\text{ 在 }\Omega \text{ 上 }}\right) , \\ {F}_{j}u = 0 & \left( {\text{ 在 }{\Gamma }_{j}\text{ 上 }}\right) , \\ {\Phi }_{j}u = 0 & \left( {\text{ 在 }\Gamma - {\Gamma }_{j}\text{ 上 }}\right) , \end{array}\right. \] \[ \left( {j = 0,1,\cdots, m - 1}\right) \] 称为混合边值问题. 混合边值问题不属于正则椭圆边值问题. 即使对于充分正则的区域, 方程的系数充分光滑, 混合边值问题也可能有非正则的解. 椭圆型方程组 (system of elliptic equations) 描述稳定或定常状态的一类偏微分方程组. 关于自变量 \( x = \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 的 \( N \) 个未知函数的 \( N \) 个 \( {2m} \) 阶线性方程组有如下形式 \[ {\left( -1\right) }^{n}\sum {A}^{\left( {k}_{1},\cdots ,{k}_{2m}\right) }\left( x\right) \frac{{\partial }^{2m}u}{\partial {x}_{{k}_{1}}\cdots \partial {x}_{{k}_{2m}}} + {Bu} = f\left( x\right) , \] 其中 \( u, f \) 是具有 \( N \) 个分量的向量函数, \[ {A}^{\left( {k}_{1},{k}_{2},\cdots ,{k}_{2m}\right) }\left( x\right) \] 是 \( N \times N \) 阶矩阵, \( B \) 是阶数低于 \( {2m} \) 的微分算子,和式对所有足标 \( {k}_{1},{k}_{2},\cdots ,{k}_{2m} \) 从 0 取到 \( n \) . 如果矩阵 \[ A\left( {x,\xi }\right) = \sum {A}^{\left( {k}_{1},{k}_{2},\cdots ,{k}_{2m}\right) }\left( x\right) {\xi }_{{k}_{1}}{\xi }_{{k}_{2}}\cdots {\xi }_{{k}_{2m}} \] 的行列式当 \( {\xi }_{1}^{2} + {\xi }_{2}^{2} + \cdots + {\xi }_{n}^{2} \neq 0 \) 时异于零,则称这个方程组在点 \( x \) 在彼得罗夫斯基意义下是椭圆型的. 如果对任意实向量 \( \zeta = \left( {{\zeta }_{1},{\zeta }_{2},\cdots ,{\zeta }_{N}}\right) \neq 0 \) 和具有 \[ \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\xi }_{i}^{2} \neq 0 \] 的任何实数 \( {\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots ,{\xi }_{n} \) ,二次型 \[ A\left( {x,\xi }\right) \zeta \cdot \zeta \] \[ = \sum {A}^{\left( {k}_{1},{k}_{2}\cdots ,{k}_{2m}\right) }\left( x\right) {\xi }_{{k}_{1}}{\xi }_{{k}_{2}}\cdots {\xi }_{{k}_{2m}}\zeta \cdot \zeta > 0, \] 就称这个方程组在点 \( x \) 是强椭圆型的. 此处符号 \( \eta \cdot \zeta \) 表示 \( N \) 维向量的内积. 强椭圆型方程组 (system of strong elliptic equations) 见“椭圆型方程组”. 椭圆算子的特征值问题 (eigenvalue problem of elliptic operator) 一类重要的椭圆边值问题. 一个椭圆算子 \( A \) 确定的边值问题 \[ \left\{ \begin{array}{l} {Au} = {\lambda u}\;\left( {\text{ 在 }\Omega \text{ 内 }}\right) , \\ {\left. u\right| }_{\partial \Omega } = 0 \end{array}\right. \] 称为椭圆算子 \( A \) (或椭圆方程) 的特征值问题,其中 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的开集. 使得此问题有非平凡解 (非零解) 的参数 \( \lambda \) 的值称为算子 \( A \) 的特征值,相应的解 \( u \) 称为特征函数. 椭圆算子的特征函数 (eigenfunction of elliptic operators) 见“椭圆算子的特征值问题”. 拉普拉斯算子的特征值问题 (eigenvalue problem of Laplace operator) 典型的椭圆算子的特征值问题. 由边界固定的膜引出的拉普拉斯算子的特征值问题 \[ \left\{ \begin{array}{l} - {\Delta u} = {\lambda u}\;\left( {\text{ 在 }\Omega \text{ 内 }}\right) , \\ {\left. u\right| }_{\partial \Omega } = 0 \end{array}\right. \] 是一个典型的椭圆算子的特征值问题,其中 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 中的开区域. 当 \( \Omega \) 有界且边界 \( \partial \Omega \) 适当光滑时,存在可数无穷个特征值 \[ 0 < {\lambda }_{1} \leq {\lambda }_{2} \leq {\lambda }_{3} \leq \cdots ,\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{\lambda }_{k} = + \infty , \] 相应的特征函数 \( {\psi }_{n}\left( x\right) \) 组成 \( {L}^{2}\left( \Omega \right) \) 上的完备正交基. 当前对膜振动问题的认识还是相当有限的, 仅对矩形和圆等少数的几种简单区域能够精确地得到特征值. 外尔 (Weyl, (C. H. )H. ) 于 1911 年得到不超过 \( \lambda \) 的特征值的个数 \( N\left( \lambda \right) \) 的渐近公式 (外尔公式) \[ N\left( \lambda \right) = \frac{\left| \Omega \right| }{4\pi }\lambda + o\left( \lambda \right) , \] 式中 \( \left| \Omega \right| \) 表示 \( \Omega \) 的面积. 与外尔公式相关的是如下 MP 公式 \( \left( {t \rightarrow + \infty }\right) \) : \[ \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }\exp \left( {-{\lambda }_{j}t}\right) \] \[ = \frac{\left| \Omega \right| }{4\pi t} - \frac{\left| \partial \Omega \right| }{4\sqrt{4\pi t}} + \frac{1 - h}{6} + o\left( 1\right) , \] 式中 \( \left| {\partial \Omega }\right| \) 为边界 \( \partial \Omega \) 的长度, \( h \) 表示鼓膜 \( \Omega \) 的洞数. 卡茨 \( \left( {\mathrm{{Kac}},\mathrm{M}}\right) \) 据 \( \mathrm{{MP}} \) 公式提出了一个非常生动的问题: 能否“听出”鼓膜的面积 \( \left| \Omega \right| \) 、周长 \( \left| {\partial \Omega }\right| \) 和洞的个数 \( h \) ? 由于 \( 1 - h \) 恰好是 \( \Omega \) 的欧拉-庞加莱示性数, 是整体几何中颇受重视的一个不变量, “听出鼓形” 或 “谱的几何”问题立即引起了人们的强烈兴趣, 并导出了一系列重要的研究. 然而, 这种一般的特征值的反问题还远未解决. ## 抛物型方程 抛物型偏微分方程 (partial differential equation of parabolic type) 简称抛物型方程, 是一类重要的偏微分方程. 具代表性的最简单抛物型偏微分方程是热传导方程. 抛物型方程在流体力学、热力学、电磁学以及概率论的解析处理中都有重要的应用. 二阶线性抛物型方程 (linear parabolic equation of second order) 最重要的一类抛物型方程. 对于二阶线性偏微分方程 \[ \frac{\partial u}{\partial t} = \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( {x, t}\right) \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{b}_{i}\left( {x, t}\right) \frac{\partial u}{\partial {x}_{i}} \] \[ + c\left( {x, t}\right) u + f\left( {x, t}\right) , \] 式中系数 \( {a}_{ij},{b}_{i}, c \) 和自由项 \( f \) 均定义在柱体 \( {\bar{Q}}_{T} \) 上 \( \left( {{Q}_{T} = \Omega \times (0, T\rbrack ,\Omega \subset {\mathrm{R}}^{n}}\right) ,{a}_{ij} = {a}_{ji} \) ,如果矩阵 \( \left( {{a}_{ij}\left( {x, t}\right) }\right) \) 是正定的,即对任意实向量 \( \xi = \left( {{\xi }_{1},{\xi }_{2}}\right. \) , \( \left. {\cdots ,{\xi }_{n}}\right) \neq 0 \) ,有 \[ \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( {x, t}\right) {\xi }_{i}{\xi }_{j} > 0, \] 则称方程 (1) 在点 \( \left( {x, t}\right) \) 是抛物的. 如果方程 (1) 在 \( {\bar{Q}}_{T} \) 上的一切点处都是抛物的,则称方程 (1) 在 \( {\bar{Q}}_{T} \) 上是抛物的. 如果存在正常数 \( \nu \) 和 \( \mu \) ,使对任意实向量 \( \xi \) 和一切点 \( \left( {x, t}\right) \in {\bar{Q}}_{T} \) 都有 \[ \nu {\left| \xi \right| }^{2} \leq \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( {x, t}\right) {\xi }_{i}{\xi }_{j} \leq \mu {\left| \xi \right| }^{2}, \] 则称方程 (1) 在 \( {\bar{Q}}_{T} \) 上是一致抛物的. 如果 \( \left( {{a}_{ij}\left( {x, t}\right) }\right) \) 仅是非负定的,即对任意实向量 \( \xi \) 及某些点 \( \left( {{x}_{0},{t}_{0}}\right) \) \( \in {\bar{Q}}_{T} \) ,有 \[ \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( {{x}_{0},{t}_{0}}\right) {\xi }_{i}{\xi }_{j} = 0, \] 则称方程 (1) 是退化抛物的. 热传导方程 \[ \frac{\partial u}{\partial t} - {a}^{2}{\Delta u} = f\left( {x, t}\right) \] 是最简单的二阶线性抛物型方程. 退化抛物型方程 (degenerate parabolic equation) 见“二阶线性抛物型方程”. 一致抛物型方程 (uniformly parabolic equation) 见“二阶线性抛物型方程”. 抛物型方程的定解问题 (deterministic problems for parabolic equation) 求抛物型方程满足已知定解条件的解的问题. 抛物型方程通常有两种定解问题: 1. 柯西问题 (初值问题),即求函数 \( u\left( {x, t}\right) \) 在半空间 \( \{ \left| x\right| < + \infty, t \geq 0\} \) 或带域 \( \{ \left| x\right| < + \infty \) , \( 0 \leq t \leq T\} \) 中有定义,在 \( t > 0 \) 或 \( 0 < t \leq T \) 时满足相应方程并在 \( t = 0 \) 时满足初始条件 \( {\left. u\right| }_{t = 0} = {\psi }_{0}\left( x\right) \) . 2. 混合边值问题 (初-边值问题),即在 \( {\bar{Q}}_{T}\left( {{Q}_{T} = }\right. \) \( \Omega \times \left( {0, T\rbrack }\right) \) 上决定函数 \( u\left( {x, t}\right) \) ,在 \( {Q}_{T} \) 内满足方程, 在 \( {Q}_{T} \) 的下底上满足初始条件 \( {\left. u\right| }_{t = 0} = {\psi }_{0}\left( x\right) (x \in \) \( \Omega ) \) ,在 \( {Q}_{T} \) 的侧面 \( {S}_{T}\left( {{S}_{T} = \partial \Omega \times \left\lbrack {0, T}\right\rbrack }\right) \) 上满足边界条件. 对二阶抛物型方程, 一般有三种边界条件: 第一边界条件 \[ {\left. u\right| }_{{S}_{T}} = \psi \left( {x, t}\right) \left( {x \in \partial \Omega ;0 \leq t \leq T}\right) , \] 第三边界条件 \[ {\left. \frac{\partial u}{\partial n} + \sigma u\right| }_{{S}_{T}} \equiv \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}{u}_{{x}_{j}}\cos \left( {n,{x}_{i}}\right) + {\left. \sigma u\right| }_{{S}_{T}} \] \[ = \psi \left( {x, t}\right) , \] 第二边界条件 \[ {\left. \frac{\partial u}{\partial n}\right| }_{{S}_{T}} \equiv {\left. \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}{u}_{{x}_{j}}\cos \left( n,{x}_{i}\right) \right| }_{{S}_{T}} = \psi \left( {x, t}\right) , \] 这里 \( n \) 是 \( \partial \Omega \) 的外法向, \( \sigma \geq 0 \) . 初-边值问题 (initial-boundary value problems) 抛物型方程的初-边值问题一般有三类, 即第一, 第二和第三初-边值问题 (参见 “抛物型方程的定解问题”). 相容条件 (compatibility conditions) 方程的解具有某种光滑性的必要条件. 设 \( u\left( {x, t}\right) \) 是散度形拟线性抛物型方程第一初-边值问题 \[ \left\{ \begin{array}{l} {u}_{t} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{\partial }{\partial {x}_{i}}\left\lbrack {{a}_{i}\left( {x, t, u,\nabla u}\right) }\right\rbrack \\ \; + a\left( {x, t, u,\nabla u}\right) \left( {\left( {t, x}\right) \in {Q}_{T}}\right) , \\ {\left. u\right| }_{t = 0} = {\psi }_{0}\left( x\right) \;\left( {x \in \Omega }\right) , \\ {\left. u\right| }_{{S}_{T}} = \psi \left( {x, t}\right) \;\left( {x \in \partial \Omega ;0 \leq t \leq T}\right) \end{array}\right. \] (1) 的解,式中 \( {Q}_{T} = \Omega \times \left( {0, T}\right) ,\Omega \subset {\mathrm{R}}^{n} \) . 如果 \( u \in {C}^{0}\left( {\bar{Q}}_{T}\right) \) ,

2000_数学辞海（第3卷）

{j}}\cos \left( n,{x}_{i}\right) \right| }_{{S}_{T}} = \psi \left( {x, t}\right) , \] 这里 \( n \) 是 \( \partial \Omega \) 的外法向, \( \sigma \geq 0 \) . 初-边值问题 (initial-boundary value problems) 抛物型方程的初-边值问题一般有三类, 即第一, 第二和第三初-边值问题 (参见 “抛物型方程的定解问题”). 相容条件 (compatibility conditions) 方程的解具有某种光滑性的必要条件. 设 \( u\left( {x, t}\right) \) 是散度形拟线性抛物型方程第一初-边值问题 \[ \left\{ \begin{array}{l} {u}_{t} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{\partial }{\partial {x}_{i}}\left\lbrack {{a}_{i}\left( {x, t, u,\nabla u}\right) }\right\rbrack \\ \; + a\left( {x, t, u,\nabla u}\right) \left( {\left( {t, x}\right) \in {Q}_{T}}\right) , \\ {\left. u\right| }_{t = 0} = {\psi }_{0}\left( x\right) \;\left( {x \in \Omega }\right) , \\ {\left. u\right| }_{{S}_{T}} = \psi \left( {x, t}\right) \;\left( {x \in \partial \Omega ;0 \leq t \leq T}\right) \end{array}\right. \] (1) 的解,式中 \( {Q}_{T} = \Omega \times \left( {0, T}\right) ,\Omega \subset {\mathrm{R}}^{n} \) . 如果 \( u \in {C}^{0}\left( {\bar{Q}}_{T}\right) \) ,则必有 \[ {\psi }_{0}\left( x\right) = \psi \left( {x,0}\right) \;\left( {x \in \partial \Omega }\right) . \] (2) 此条件称为初-边值问题 (1) 的零阶相容条件. 如果 \( u \in {C}^{2,1}\left( {\bar{Q}}_{T}\right) \) ,则除条件 (2) 外,由方程还导致 \[ {\psi }_{t}\left( {x,0}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{\partial }{\partial {x}_{i}}\left( {{a}_{i}\left( {x,0,{\psi }_{0}\left( x\right) ,\nabla {\psi }_{0}}\right) }\right. \] \[ \left. {+a\left( {x,0,{\psi }_{0}\left( x\right) ,\nabla {\psi }_{0}}\right) }\right) \left( {x \in \partial \Omega }\right) . \] (3) 此条件称为初-边值问题 (1) 的二阶相容条件. 热传导方程 (equation of heat conduction) 亦称热方程. 是描述热量的传导过程、分子扩散过程等物理现象的偏微分方程. 热传导方程的一般形式为 \[ \frac{\partial u}{\partial t} - {a}^{2}{\Delta u} = f\left( {x, t}\right) . \] 满足此方程及初始条件 \( {\left. u\right| }_{t = 0} = \varphi \left( x\right), x = \left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right. \) , \( \left. {\cdots ,{x}_{n}}\right) \left( {-\infty < {x}_{i} < + \infty, i = 1,2,\cdots, n}\right) (\varphi \) 和 \( f \) 都是有界连续函数)的柯西问题的解的表达式为 \[ u\left( {x, t}\right) = {\left( 2a\sqrt{\pi t}\right) }^{-n} \] \[{\int }_{-\infty }^{+\infty }\cdots \times {\int }_{-\infty }^{+\infty }\varphi \left( \xi \right) \exp \left( {-\frac{{\left| x - \xi \right| }^{2}}{4{a}^{2}t}}\right) \mathrm{d}\xi \] \[ + {\int }_{0}^{t}{\left\lbrack {\int }_{-\infty }^{+\infty }\cdots \right\rbrack }_{-\infty }^{+\infty }\frac{f\left( {\xi ,\tau }\right) }{{\left\lbrack \left( 2a\sqrt{\pi \left( {t - \tau }\right) }\right) \right\rbrack }^{n}}\] \[\left. {\times \exp \left( {-\frac{{\left| x - \xi \right| }^{2}}{4{a}^{2}\left( {t - \tau }\right) }}\right) \mathrm{d}\xi }\right\rbrack \mathrm{d}\tau \] 其中 \( \xi = \left( {{\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots ,{\xi }_{n}}\right) ,\mathrm{d}\xi = \mathrm{d}{\xi }_{1}\mathrm{\;d}{\xi }_{2}\cdots \mathrm{d}{\xi }_{n} \) , \[ {\left| x - \xi \right| }^{2} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {x}_{i} - {\xi }_{i}\right) }^{2}. \] 热传导方程柯西问题的解 (solution of Cauchy problem for heat equation) 见“热传导方程”. 热传导方程柯西问题解的惟一性 (uniqueness of solution of Cauchy problem for heat equation) 热传导方程柯西问题解的重要特性之一. 热传导方程柯西问题的解在无穷远处附加增长阶的一定限制下才是惟一的. 热传导方程柯西问题的解可能不只一个, 为了保证解的惟一性, 必须对解的增长性 (当 \( \left| x\right| \rightarrow + \infty \) ) 加一定限制. 热传导方程柯西问题 \[ \left\{ \begin{array}{ll} {u}_{t} - {u}_{xx} = 0 & \left( {t > 0, - \infty < x < + \infty }\right) ; \\ u\left( {0, x}\right) = 0 & \left( {-\infty < x < + \infty }\right) \end{array}\right. \] 除有零解外, 吉洪诺夫 (Thxohob, A. H. ) 还构造了一个不为零的解 \[ u\left( {x, t}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\infty }\frac{{g}^{\left( k\right) }\left( t\right) }{\left( {2k}\right) !}{x}^{2k}, \] 其中 \[ g\left( t\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \exp \left( {-{t}^{-\alpha }}\right) & \left( {t > 0}\right) , \\ 0 & \left( {t \leq 0}\right) , \end{array}\right. \] 而 \( \alpha \) 是一个常数. 可以证明,如果对解加上条件: 存在正常数 \( M \) 及 \( \alpha \) 使得 \( \left| {u\left( {x, t}\right) }\right| \leq M{\mathrm{e}}^{a{\left| x\right| }^{2}}(0 < t < T \) , \( \left. {x \in {\mathrm{R}}^{n}}\right) \) ,则热传导方程柯西问题 \( {u}_{t} - {\Delta u} = f\left( {x, t}\right) (0 \) \( \left. { < t < T, x \in {\mathrm{R}}^{n}}\right) ;u\left( {x,0}\right) = \varphi \left( x\right) \left( {x \in {\mathrm{R}}^{n}}\right) \) 的解不能多于一个. 吉洪诺夫解 (Tihonov solution) 见“热传导方程柯西问题解的惟一性”. 热传导方程解的正则性 (regularity of solutions of heat equation) 热传导方程柯西问题解的重要特性之一. 热传导方程柯西问题解的光滑性由方程的自由项及初始函数的光滑性确定. 由热传导方程初值问题解的表达式 (参见 “热传导方程”),当 \( f \equiv 0 \) 时,若 \( \varphi \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 有界连续,则其解 \( u\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right. \) , \( \left. {\cdots ,{x}_{n}, t}\right) \) 当 \( t > 0 \) 时是无穷次连续可微的,而且关于空间变量 \( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n} \) 是解析的,关于时间变量 \( t \) 属于谢弗莱二类函数, 即在 \[ \left| x\right| = {\left( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{x}_{i}^{2}\right) }^{\frac{1}{2}} < \rho \] 内满足 \[ \left| \frac{{\partial }^{m}u}{\partial {t}^{m}}\right| \leq \frac{M\left( {2m}\right) !}{{\rho }^{2m}}. \] 当 \( f ≢ 0 \) 时,热传导方程的解的可微性与自由项 \( f \) 的性质有关. 例如为要得到古典解,除对 \( f \) 需要求连续外尚需要求 \( f \) 对 \( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n} \) 或 \( t \) 是赫尔德连续的. 热传导方程解的渐近性 (asymptotic behaviour of solution of heat equation) 热传导方程第一初- 边值问题解的重要性质之一. 外界温度条件相同时, 物体不论初始温度如何最终将趋于同一个稳态的温度分布. 对于热传导方程的第一初-边值问题: \[ {Lu} = {u}_{t} - {a}^{2}{\Delta u} = f\left( x\right) , \] \[ x = \left( {{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}}\right) , \] \[ {\left. u\right| }_{\partial \Omega \times \lbrack 0, + \infty )} = g\left( x\right) , \] \[ {\left. u\right| }_{t = 0} = {u}_{0}\left( x\right) , \] 当边界函数 \( g \) 和自由项 \( f \) 与 \( t \) 无关时,热传导过程将趋于稳定状态,也就是当 \( t \rightarrow + \infty \) 时,不管什么初始条件,其解 \( u\left( {x, t}\right) \) 将趋于同一个函数 \( u\left( x\right), u\left( x\right) \) 是椭圆边值问题 \( - {a}^{2}{\Delta u} = {\left. f\left( x\right), u\right| }_{\partial \Omega } = g\left( x\right) \) 的解. 一般的抛物型方程 (组) 也有类似的结果. 热传导方程解的半群性质 (semigroup property of solution of heat equation) 热传导方程第一初- 边值问题解的重要性质之一. 热传导是一个单向的不可逆过程, 热总是从高温流向低温. 如果边界温度为零,用 \( S\left( t\right) \) 表示由初始时刻温度场映到 \( t \) 时刻的温度场的线性解算子 (热传导方程 \( {u}_{t} - {a}^{2}{\Delta u} = 0 \) 的解在 \( t \) 时刻的值定义的映射),即 \[ S\left( t\right) {u}_{0} = u\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}, t;{u}_{0}}\right) , \] 由于热传导的不可逆性,算子族 \( \{ S\left( t\right) {\} }_{0 \leq t < + \infty } \) 具有半群性质: 1. \( S\left( 0\right) = I \) (恒同算子). 2. \( S\left( {t + \tau }\right) = S\left( t\right) S\left( \tau \right) \left( {t,\tau > 0}\right) \) . 3. \( \mathop{\lim }\limits_{{t \downarrow 0}}S\left( t\right) {u}_{0} = {u}_{0} \) . 由泛函分析中的希尔-吉田定理, 存在一个相应的无穷小生成元 \( A \) ,使得 \( S\left( t\right) = {\mathrm{e}}^{-{tA}} \) 且热传导方程的第一初-边值问题 \[ \frac{\partial u}{\partial t} - {a}^{2}{\Delta u} = f\left( {x, t}\right) \;\left( {\left( {x, t}\right) \in {Q}_{T}}\right) , \] \[ u\left( {x,0}\right) = {u}_{0}\left( x\right) \;\left( {x \in \Omega }\right) , \] \[ u\left( {x, t}\right) = 0\;\left( {x \in \partial \Omega }\right) . \] 的解可表为 \[ u\left( {x, t}\right) = {\mathrm{e}}^{-{tA}}{u}_{0}\left( x\right) + {\int }_{0}^{t}{\mathrm{e}}^{-\left( {t - \tau }\right) A}f\left( {x,\tau }\right) \mathrm{d}\tau . \] 抛物型方程的拟基本解方法 (parametrix method of parabolic equation) 借助对应常系数方程的基本解构造变系数抛物型方程的基本解的方法. 列维 (Levi, E. E. ) 给出求变系数的一致抛物型方程 \[ {Lu} = \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( {x, t}\right) \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{b}_{i}\left( {x, t}\right) \frac{\partial u}{\partial {x}_{i}} \] \[ + c\left( {x, t}\right) u - \frac{\partial u}{\partial t}\] \[ = 0\left( {\left( {x, t}\right) \in {Q}_{T} = \Omega \times \left( {0, T\rbrack }\right) }\right. \] 基本解的方法称为拟基本解方法, 作法如下: 设 \( \left( {{a}^{ij}\left( {x, t}\right) }\right) \) 是 \( \left( {{a}_{ij}\left( {x, t}\right) }\right) \) 的逆矩阵. 记 \[ {\theta }^{y,\sigma }\left( {x,\xi }\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}^{ij}\left( {y,\sigma }\right) \left( {{x}_{i} - {\xi }_{i}}\right) \left( {{x}_{j} - {\xi }_{j}}\right) , \] \[ {\omega }^{y,\sigma }\left( {x, t;\xi ,\tau }\right) = {\left( t - \tau \right) }^{-\frac{n}{2}}\exp \left\lbrack {-\frac{{\theta }^{y,\sigma }\left( {x,\xi }\right) }{4\left( {t - \tau }\right) }}\right\rbrack , \] \[ C\left( {x, t}\right) = {\left( 2\sqrt{\pi }\right) }^{-n}\left\lbrack {\det {\left( {a}^{ij}\left( x, t\right) \right\rbrack }^{\frac{1}{2}},}\right. \] \[ Z\left( {x, t;\xi ,\tau }\right) = C\left( {\xi ,\tau }\right) {\omega }^{\xi ,\tau }\left( {x, t;\xi ,\tau }\right) , \] 则 \( Z \) 是常系数方程 (视 \( \xi ,\tau \) 固定) \[ {L}_{0}u\left( {x, t}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( {\xi ,\tau }\right) \frac{{\partial }^{2}u\left( {x, t}\right) }{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}} - \frac{\partial u\left( {x, t}\right) }{\partial t} = 0 \] 的基本解. 原变系数抛物型方程的基本解就是如下形式的函数 \( \Gamma \) : \( \Gamma \left( {x, t;\xi ,\tau }\right) \) \[ = Z\left( {x, t;\xi ,\tau }\right) + {\int }_{\tau }^{t}{\int }_{\Omega }Z\left( {x, t;\eta ,\sigma }\right) \varphi \left( {\eta ,\sigma ;\xi ,\tau }\right) \mathrm{d}\eta \mathrm{d}\sigma , \] 其中函数 \( \varphi \) 由 \( \Gamma \) 满足方程 \( {Lu} = 0 \) 来确定. 函数 \( Z\left( {x, t;\xi ,\tau }\right) \) 称为 \( {Lu} = 0 \) 的拟基本解. 抛物型方程的拟基本解 (parametrix of parabolic equation) 见“抛物型方程的拟基本解方法”. 二阶线性抛物型方程的基本解 (fundamental solution of linear parabolic equation of second order) 二阶线性抛物型方程的一种具有奇性的特解. 二阶线性抛物型方程 \( {Lu} = 0 \) 在 \( {Q}_{T} \) (算子 \( L \) 和 \( {Q}_{T} \) 的定义见 “抛物型方程的拟基本解方法”) 中的基本解是一个对一切 \( \left( {x, t}\right) \in {Q}_{T},\left( {\xi ,\tau }\right) \in {Q}_{T}, t > \tau \) 都有定义的函数 \( \Gamma \left( {x, t;\xi ,\tau }\right) \) ,它满足如下条件: 1. 对固定的 \( \left( {\xi ,\tau }\right) \in {Q}_{T} \) ,作为 \( \left( {x, t}\right) \) 的函数在域 \( \{ x \in \Omega ,\tau < t \leq T\} \) 中满足方程 \( {Lu} = 0 \) . 2. 对每一个在 \( {\bar{Q}}_{T} \) 上连续的函数 \( f\left( x\right) \) ,当 \( x \in \) \( \Omega \) 时有 \[ \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow {\tau }^{ + }}}{\int }_{\Omega }\Gamma \left( {x, t;\xi ,\tau }\right) f\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi = f\left( x\right) \] \[ \left( {\mathrm{d}\xi = \mathrm{d}{\x

2000_数学辞海（第3卷）

数 \( \varphi \) 由 \( \Gamma \) 满足方程 \( {Lu} = 0 \) 来确定. 函数 \( Z\left( {x, t;\xi ,\tau }\right) \) 称为 \( {Lu} = 0 \) 的拟基本解. 抛物型方程的拟基本解 (parametrix of parabolic equation) 见“抛物型方程的拟基本解方法”. 二阶线性抛物型方程的基本解 (fundamental solution of linear parabolic equation of second order) 二阶线性抛物型方程的一种具有奇性的特解. 二阶线性抛物型方程 \( {Lu} = 0 \) 在 \( {Q}_{T} \) (算子 \( L \) 和 \( {Q}_{T} \) 的定义见 “抛物型方程的拟基本解方法”) 中的基本解是一个对一切 \( \left( {x, t}\right) \in {Q}_{T},\left( {\xi ,\tau }\right) \in {Q}_{T}, t > \tau \) 都有定义的函数 \( \Gamma \left( {x, t;\xi ,\tau }\right) \) ,它满足如下条件: 1. 对固定的 \( \left( {\xi ,\tau }\right) \in {Q}_{T} \) ,作为 \( \left( {x, t}\right) \) 的函数在域 \( \{ x \in \Omega ,\tau < t \leq T\} \) 中满足方程 \( {Lu} = 0 \) . 2. 对每一个在 \( {\bar{Q}}_{T} \) 上连续的函数 \( f\left( x\right) \) ,当 \( x \in \) \( \Omega \) 时有 \[ \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow {\tau }^{ + }}}{\int }_{\Omega }\Gamma \left( {x, t;\xi ,\tau }\right) f\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi = f\left( x\right) \] \[ \left( {\mathrm{d}\xi = \mathrm{d}{\xi }_{1}\mathrm{\;d}{\xi }_{2}\cdots \mathrm{d}{\xi }_{n}}\right) . \] 热传导方程的基本解是 \[ \Gamma \left( {x, t;\xi ,\tau }\right) \] \[ = \frac{1}{{\left( 2a\sqrt{\pi \left( {t - \tau }\right) }\right) }^{n}}\exp \left( \frac{-\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {x}_{i} - {\xi }_{i}\right) }^{2}}{4{a}^{2}\left( {t - \tau }\right) }\right) . \] 伴随方程 (adjoint equation) 研究方程广义解的工具之一. 抛物型方程 \[ {Lu} = \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( {x, t}\right) \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{b}_{i}\left( {x, t}\right) \frac{\partial u}{\partial {x}_{i}} \] \[ + c\left( {x, t}\right) u - \frac{\partial u}{\partial t} = 0 \] 的伴随方程为 \[ {L}^{ * }v = \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\frac{{\partial }^{2}v}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{b}_{i}^{ * }\left( {x, t}\right) \frac{\partial v}{\partial {x}_{i}} \] \[ + {c}^{ * }\left( {x, t}\right) v + \frac{\partial v}{\partial t} = 0, \] 其中 \[ {b}_{i}^{ * } = - {b}_{i} + 2\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}\frac{\partial {a}_{ij}}{\partial {x}_{j}} \] \[ {c}^{ * } = c - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{\partial {b}_{i}}{\partial {x}_{i}} + \mathop{\sum }\limits_{{{ij} = 1}}^{n}\frac{{\partial }^{2}{a}_{ij}}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}}. \] 或写为 \[{L}^{ * }v = \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}\frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}}\left( {{a}_{ij}v}\right) \] \[ - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{\partial }{\partial {x}_{i}}\left( {{b}_{i}v}\right) + {cv} + \frac{\partial v}{\partial t}.\] 热传导方程 \[{a}^{2}{\Delta u} - \frac{\partial u}{\partial t} = 0\] 的伴随方程为 \[{a}^{2}{\Delta v} + \frac{\partial v}{\partial t} = 0.\] 如果 \( u, v \) 都是 \( {Q}_{T} \) 中的光滑函数,则下式成立: \[{vLu} - u{L}^{ * }v\] \[ = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{\partial }{\partial {x}_{i}}\left\lbrack {\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}\left( {v{a}_{ij}\frac{\partial u}{\partial {x}_{j}} - u{a}_{ij}\frac{\partial v}{\partial {x}_{j}} - {uv}\frac{\partial {a}_{ij}}{\partial {x}_{j}}}\right) }\right. \] \[\left. {+{b}_{i}{uv}}\right\rbrack - \frac{\partial }{\partial t}\left( {uv}\right) \] 此恒等式称为算子 \( L \) 的格林恒等式. 如果 \( u, v \) 在 \( {Q}_{T} \) 的边界的某个邻域内为零, 那么, 还有积分形式的格林恒等式 \[{\int }_{{Q}_{T}}\left( {{vLu} - u{L}^{ * }v}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}t = 0.\] 因此,可以引进定义: 如果 \( u \in L\left( \Omega \right) \) ,且对任意在 \( {Q}_{T} \) 中光滑且在 \( {Q}_{T} \) 的边界的邻域内为零的函数 \( v \) ,积分等式 \[{\int }_{{Q}_{T}}u{L}^{ * }v\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}t = 0\] 都能成立,则称函数 \( u \) 是方程 \( {Lu} = 0 \) 在 \( L\left( \Omega \right) \) 中的广义解. 格林恒等式 (Green identity) 见 “伴随方程”. 抛物型方程的能量不等式 (energy inequality of parabolic equation) 用来证明解的存在与惟一性的重要工具. 设 \( u \in {C}^{2,1}\left( {\bar{Q}}_{T}\right) \) 是一致抛物型方程 \[{u}_{t} - \frac{\partial }{\partial {x}_{i}}\left( {{a}_{ij}\left( {x, t}\right) {u}_{{x}_{j}}}\right) = 0\] \[\left( {x \in {Q}_{T} = \Omega \times \left( {0, T\rbrack }\right) }\right. \] 满足初-边值条件 \( \left( {{S}_{T} = \partial \Omega \times \left\lbrack {0, T}\right\rbrack }\right) : {\left. u\right| }_{{S}_{T}} = 0(t \in \) \( \left\lbrack {0, T}\right\rbrack ),{\left. u\right| }_{t = 0} = {\psi }_{0}\left( x\right) \left( {x \in \Omega }\right) \) 的解,则存在正常数 \( C \) ,使得不等式 \[\mathop{\max }\limits_{{t \in \left\lbrack {0, T}\right\rbrack }}\parallel u\left( {x, t}\right) {\parallel }_{{L}^{2}\left( \Omega \right) } + {\begin{Vmatrix}{u}_{x}\end{Vmatrix}}_{{L}^{2}\left( {Q}_{T}\right) }\] \[ \leq C{\begin{Vmatrix}{\psi }_{0}\left( x\right) \end{Vmatrix}}_{{L}^{2}\left( \Omega \right) }\] 成立, 此不等式称为能量不等式. 对于更一般的二阶线性抛物型方程, 甚至对间断系数的抛物型方程, 只要系数满足某些可积条件, 也有相应的能量不等式. 由能量不等式立即可以得到解的惟一性定理. 抛物型方程的极大值原理 (maximum principle of parabolic equation) 抛物型方程初-边值问题的重要性质, 亦即在热传导过程中, 物体的最高温度一定在初始时刻或边界上达到这一物理现象的数学表述. 在 \( {Q}_{T} = \Omega \times (0, T\rbrack \) 中对二阶线性抛物算子 \[ {Lu} = \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( {x, t}\right) \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{b}_{i}\left( {x, t}\right) \frac{\partial u}{\partial {x}_{i}} \] \[ + c\left( {x, t}\right) u - \frac{\partial u}{\partial t} \] 假定系数都是 \( {Q}_{T} \) 中的连续函数,且 \( c\left( {x, t}\right) \leq 0 \) . 如果在 \( {Q}_{T} \) 中 \( {Lu} \geq 0\left( {{Lu} \leq 0}\right) \) ,而且 \( u \) 在 \( {Q}_{T} \) 中某点 \( {P}_{0} \) \( = \left( {{x}_{0},{t}_{0}}\right) \) 处达到其正极大 (负极小) 值,那么对一切点 \( P \in S\left( {P}_{0}\right) = \left\{ {\left( {x, t}\right) \in {Q}_{T} \mid 0 \leq t \leq {t}_{0}}\right\} \) 都有 \( u\left( P\right) \) \( = u\left( {P}_{0}\right) \) . 此性质称为极大值原理. 对齐次热传导方程 \( \left( {\partial u/\partial t}\right) = {a}^{2}{\Delta u} \) ,上述极大值原理可简述为: 方程在 \( {Q}_{T} \) 中的解一定在 \( {Q}_{T} \) 的底 \( B = \{ \left( {x, t}\right) \mid x \in \Omega, t = \) \( 0\} \) 或侧边 \( \Gamma = \partial \Omega \times \left\lbrack {0, T}\right\rbrack \) 上取最大 (最小) 值,即 \[ \mathop{\max }\limits_{{\bar{Q}}_{T}}u\left( {x, t}\right) = \mathop{\max }\limits_{{B \cup \Gamma }}u\left( {x, t}\right) , \] \[ \mathop{\min }\limits_{{Q}_{T}}u\left( {x, t}\right) = \mathop{\min }\limits_{{B \cup \Gamma }}u\left( {x, t}\right) . \] 应用极大值原理, 立即可以导出抛物型方程初-边值问题解的惟一性定理. 霍普夫型边界点定理 (boundary point theorem of Hopf type) 抛物型方程初-边值问题的重要性质, 亦即方程的解在达到最大值的边界上的外法向导数恒为正值. 设点 \( {P}_{0} = \left( {{x}_{0},{t}_{0}}\right) \) 是 \( {Q}_{T} = \Omega \times (0, T\rbrack \) 的边界 \( \partial {Q}_{T} \) 上的一点,二阶线性抛物型算子 \[ {Lu} = \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( {x, t}\right) \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{b}_{i}\left( {x, t}\right) \frac{\partial u}{\partial {x}_{i}} - \frac{\partial u}{\partial t} \] 的系数都是 \( {Q}_{T} \) 中的连续函数. 如果存在中心在 \( \left( {\bar{x},\bar{t}}\right) \in {Q}_{T} \) 的闭球 \( B \subset {\bar{Q}}_{T}, B \cap \partial {Q}_{T} = \left\{ {P}_{0}\right\} \) ,而且 \( \bar{x} \neq \) \( {x}_{0} \) ,则称 \( {P}_{0} \) 有强内球性质. 如果 \( {Lu} \geq 0 \) ,而 \( {P}_{0} \in \partial {Q}_{T} \) 有强内球性质,且存在 \( {P}_{0} \) 的邻域 \( V \) ,在 \( V \cap {Q}_{T} \) 内有 \( u < u\left( {P}_{0}\right) \) ,则当外法向导数 \( \partial u/\partial \nu \) 在 \( {P}_{0} \) 点处存在时有 \[ \frac{\partial u}{\partial \nu }\left( {P}_{0}\right) > 0 \] 这就是霍普夫型边界点定理. 此论断与椭圆型方程的相应结论是一致的,但 \( \bar{x} \neq {x}_{0} \) 的限制不能去掉,这可由下面的例子看出. 设 \[ {P}_{0} = \left( {0,0}\right) ,{Lu} = \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}^{2}} - \frac{\partial u}{\partial t}, u\left( {x, t}\right) = 1 - {t}^{2}, \] \( {Q}_{T} \) 为半空间 \( \{ - \infty < x < + \infty, t > 0\} \) . 比较定理 (comparison theorem) 研究非线性抛物型方程的重要工具之一. 设 \[ v\left( {x, t}\right), w\left( {x, t}\right) \in {C}^{2,1}\left( {Q}_{T}\right) \cap C\left( {\bar{Q}}_{T}\right) \] \[ \left( {{Q}_{T} = \Omega \times \left( {0, T}\right\rbrack )}\right. \text{,} \] 设 \( F\left( {x, t, p,{p}_{i},{p}_{ij}}\right) \left( {i, j = 1,2,\cdots, n}\right) \) 及其对 \( {p}_{hk}(h \) , \( k = 1,2,\cdots, n) \) 的一阶导数都是域 \( E \) 上的连续函数, 这里 \( E \) 是满足下列条件的点 \( \left( {x, t, p,{p}_{i},{p}_{ij}}\right) \) 所成集合的闭包: \[ x \in \Omega, t \in (0, T\rbrack , \] \[ p \in \left( {v\left( {x, t}\right), w\left( {x, t}\right) }\right) , \] \[ {p}_{i} \in \left( {\frac{\partial \nu \left( {x, t}\right) }{\partial {x}_{i}},\frac{\partial w\left( {x, t}\right) }{\partial {x}_{i}}}\right) , \] \[ {p}_{ij} \in \left( {\frac{{\partial }^{2}v\left( {x, t}\right) }{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}},\frac{{\partial }^{2}w\left( {x, t}\right) }{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}}}\right) , \] 记号 \( \left( {a, b}\right) \) 表端点为 \( a, b \) 的开区间. 再假定 \[ \left( \left( \frac{\partial F}{\partial {p}_{ij}}\right) \right) \] 是非负定矩阵. 于是,若在 \( {Q}_{T} \) 内有 \[ \frac{\partial v}{\partial t} > F\left( {x, t, v,\frac{\partial v}{\partial {x}_{i}},\frac{{\partial }^{2}v}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}}}\right) , \] \[ \frac{\partial w}{\partial t} \leq F\left( {x, t, w,\frac{\partial w}{\partial {x}_{i}},\frac{{\partial }^{2}w}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}}}\right) , \] 且在 \( {\Gamma }_{T} = \partial \Omega \times \left\lbrack {0, T}\right\rbrack \cup \{ x \in \Omega, t = 0\} \) 上有 \( v > w \) ,则在 \( {Q}_{T} \) 内必有 \( v > w \) . 解的可微性 (differentiability of solutions) 抛物型方程解的重要性质之一. 有如下定理: 假定 \( {D}_{x}^{m}{D}_{t}^{k}{a}_{ij},{D}_{x}^{m}{D}_{t}^{k}{b}_{i},{D}_{x}^{m}{D}_{t}^{k}c,{D}_{x}^{m}{D}_{t}^{k}f(0 \leq m + {2k} \leq p, k \leq \) \( q) \) 在 \( {Q}_{T} = \Omega \times (0, T\rbrack \) 内赫尔德连续 (指数为 \( \alpha ) \) . 如果 \( u \) 是 \[{Lu} = \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( {x, t}\right) \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{b}_{i}\left( {x, t}\right) \frac{\partial u}{\partial {x}_{i}}\] \[ + c\left( {x, t}\right) u - \frac{\partial u}{\partial t}\] \[ = f\left( {x, t}\right) \] 在 \( {Q}_{T} \) 内的解,则 \( {D}_{x}^{m}{D}_{t}^{k}u(0 \leq m + {2k} \leq p + 2, k \leq q + \) 1) 存在,并且在 \( {Q}_{T} \) 内赫尔德连续 (指数为 \( \alpha \) ). 由此定理立刻得到,若 \( L \) 的系数和 \( f \) 在 \( {Q}_{T} \) 内无穷次可微,则 \( {Lu} = f \) 的

2000_数学辞海（第3卷）

= \partial \Omega \times \left\lbrack {0, T}\right\rbrack \cup \{ x \in \Omega, t = 0\} \) 上有 \( v > w \) ,则在 \( {Q}_{T} \) 内必有 \( v > w \) . 解的可微性 (differentiability of solutions) 抛物型方程解的重要性质之一. 有如下定理: 假定 \( {D}_{x}^{m}{D}_{t}^{k}{a}_{ij},{D}_{x}^{m}{D}_{t}^{k}{b}_{i},{D}_{x}^{m}{D}_{t}^{k}c,{D}_{x}^{m}{D}_{t}^{k}f(0 \leq m + {2k} \leq p, k \leq \) \( q) \) 在 \( {Q}_{T} = \Omega \times (0, T\rbrack \) 内赫尔德连续 (指数为 \( \alpha ) \) . 如果 \( u \) 是 \[{Lu} = \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( {x, t}\right) \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{b}_{i}\left( {x, t}\right) \frac{\partial u}{\partial {x}_{i}}\] \[ + c\left( {x, t}\right) u - \frac{\partial u}{\partial t}\] \[ = f\left( {x, t}\right) \] 在 \( {Q}_{T} \) 内的解,则 \( {D}_{x}^{m}{D}_{t}^{k}u(0 \leq m + {2k} \leq p + 2, k \leq q + \) 1) 存在,并且在 \( {Q}_{T} \) 内赫尔德连续 (指数为 \( \alpha \) ). 由此定理立刻得到,若 \( L \) 的系数和 \( f \) 在 \( {Q}_{T} \) 内无穷次可微,则 \( {Lu} = f \) 的解 \( u \) 在 \( {Q}_{T} \) 内也是无穷次可微函数. 函数空间 \( {W}_{2}^{r, s}\left( {Q}_{T}\right) \) (function spaces \( {W}_{2}^{r, s}\left( {Q}_{T}\right) \) ) 在抛物型方程理论中常用到的一类函数空间. 设 \( r, s \) 为非负整数, \( {Q}_{T} = \Omega \times \left( {0, T}\right) ,\Omega \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的开集 (有界或无界). 函数空间 \( {W}_{2}^{r, s}\left( {Q}_{T}\right) \) 由所有具如下性质的函数 \( u\left( {x, t}\right) \) 组成: \( u\left( {x, t}\right) \) 及其对变元 \( x \) 的直到 \( r \) 阶的弱导数,对变元 \( t \) 的直到 \( s \) 阶的弱导数都是 \( {L}^{2}\left( {Q}_{T}\right) \) 中的元素. \( {W}_{2}^{r, s}\left( {Q}_{T}\right) \) 的范数可取为 \[\parallel u\left( {x, t}\right) {\parallel }_{{W}_{2}^{r, s}\left( {Q}_{T}\right) }\] \[ = \parallel u{\parallel }_{{L}^{2}\left( {Q}_{T}\right) } + \mathop{\sum }\limits_{{\left| \beta \right| \leq r}}{\begin{Vmatrix}\frac{{\partial }^{\beta }}{\partial {x}^{\beta }}u\end{Vmatrix}}_{{L}^{2}\left( {Q}_{T}\right) } + \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{s}{\begin{Vmatrix}\frac{{\partial }^{j}}{\partial {t}^{j}}u\end{Vmatrix}}_{{L}^{2}\left( {Q}_{T}\right) },\] 其中 \( \beta = \left( {{\beta }_{1},{\beta }_{2},\cdots ,{\beta }_{n}}\right) \) 为重指标, \( {\beta }_{i} \geq 0(i = 1,2 \) , \( \cdots, n),\left| \beta \right| = {\beta }_{1} + {\beta }_{2} + \cdots + {\beta }_{n} \) . 函数空间 \( {\mathring{W}}_{2}^{r, s}\left( {Q}_{T}\right) \) 是 \( {W}_{2}^{r, s}\left( {Q}_{T}\right) \) 的子空间,它由 \( {W}_{2}^{r, s}\left( {Q}_{T}\right) \) 中具有下列性质的函数 \( u\left( {x, t}\right) \) 组成: 对任意的 \( t \in \left( {0, T}\right), u\left( {x, t}\right) \) 在 \( \partial \Omega \) 上为零. 函数空间 \( {W}_{2}^{r, s}\left( {Q}_{T}\right) \) 和 \( {\mathring{W}}_{2}^{r, s}\left( {Q}_{T}\right) \) 都是索伯列夫空间. 函数空间 \( {\mathring{W}}_{2}^{r, s}\left( {Q}_{T}\right) \) (function spaces \( {\mathring{W}}_{2}^{r, s}\left( {Q}_{T}\right) \) ) 见“函数空间 \( {W}_{2}^{r, s}\left( {Q}_{T}\right) \) ”. 抛物型方程的广义解 (generalized solutions for parabolic equations) 抛物型方程经典解的推广. 如果线性抛物型方程的系数和自由项不是光滑的, 一般地, 就不再有通常意义下的经典解. 对于非线性方程,例如方程 \( {u}_{t} - {\left( {u}^{m}\right) }_{xx} = 0\left( {m > 1}\right) \) ,即使已知数据充分光滑, 其定解问题也可能没有经典解. 因此, 在更广泛的函数类中考查解 (广义解) 就十分必要. 一般地,所选择的广义解类 \( \mathcal{M} \) 不仅应使得广义解存在, 而且应是惟一的. 例如, 对抛物型方程 \[ {u}_{t} - \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}\frac{\partial }{\partial {x}_{j}}\left\lbrack {{a}_{ij}\left( {x, t}\right) \frac{\partial u}{\partial {x}_{j}}}\right\rbrack = f\left( {x, t}\right) \] \[ \left( {{a}_{ij} \in {L}^{\infty }\left( {Q}_{T}\right), f \in {L}^{2}\left( {Q}_{T}\right) }\right) , \] (1) 如果 \( u \in {W}_{2}^{1,1}\left( {Q}_{T}\right) \) ,且对任意在 \( {Q}_{T} \) 中有紧支集的函数 \( \varphi \in {W}_{2}^{1,0}\left( {Q}_{T}\right) \) ,成立积分恒等式 \[ {\int }_{{Q}_{T}}\left( {{u}_{t}\varphi + \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}{u}_{{x}_{j}}{\varphi }_{{x}_{i}}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}t = {\int }_{{Q}_{T}}{f\varphi }\mathrm{d}x\mathrm{\;d}t, \] 则称 \( u \) 是方程 (1) 在类 \( {W}_{2}^{1,1}\left( {Q}_{T}\right) \) 中的广义解. 如果在 \( {W}_{2}^{1,1}\left( {Q}_{T}\right) \) 中仍然没有解,但 \( u \in {W}_{2}^{1,0}\left( {Q}_{T}\right) \) 且对任意的在 \( {Q}_{T} \) 中有紧支集的函数 \( \varphi \in {W}_{2}^{1,1}\left( {Q}_{T}\right) \) ,成立 \[ {\int }_{{Q}_{T}}\left( {-u{\varphi }_{t} + \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}{u}_{{x}_{j}}{\varphi }_{{x}_{i}}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}t = {\int }_{{Q}_{T}}{f\varphi }\mathrm{d}x\mathrm{\;d}t, \] 则称 \( u \) 是 (1) 在 \( {W}_{2}^{1,0}\left( {Q}_{T}\right) \) 中的广义解. 广义解的解类 \( \mathcal{M} \) 应随具体问题 (不同的方程和不同的定解条件) 而适当选择. 再如,抛物型方程在 \( L\left( \Omega \right) \) 中的广义解详见“伴随方程”. 自由边界问题 (free boundary problem) 解和求解区域边界均待定的一类定解问题. 在偏微分方程经典的定解问题中, 自变量变化区域的边界总是给定了的. 然而物理学中提出了另外一类定解问题, 其所讨论的自变量的变化区域的边界有一部分是 “自由的”, 即不是给定的, 而是要和定解问题的解一起确定. 自然地, 在自由边界上还要补充边界条件. 这样的问题称为自由边界问题. 例如, 描述冰块融化过程的斯特凡问题和水坝渗流的浸润面问题都是典型的自由边界问题. 所有的自由边界问题都是非线性问题. 自由边界问题的研究有广泛的实际背景, 物理学、力学和工程领域都提出了许多种不同形式的自由边界问题. 斯特凡问题 (Stefan problem) 一个互相转换的热传导问题. 假定区间 \( a \leq x < + \infty \) 上有一条状冰块,冰块的温度处处是零度,而在端点 \( x = a \) 处加温并保持温度为 \( T \) 度, \( T > 0 \) . 于是冰块开始融化,对每一时刻 \( t > 0 \) ,水将占据区间 \( a \leq x < s\left( t\right) \) . 若以 \( u \) 记水温, 于是有 \[ \left\{ \begin{array}{ll} {\alpha }^{2}{u}_{xx} - {u}_{t} = 0 & \left( {a < x < s\left( t\right), t > 0}\right) , \\ u\left( {a, t}\right) = T & \left( {t > 0}\right) , \\ u\left( {s\left( t\right), t}\right) = 0 & \left( {t > 0}\right) , \end{array}\right. \] (1) 式中 \( \alpha \) 为某个正常数. \( s\left( t\right) \) 是自由边界,它不是预先给定的. 在 \( s\left( t\right) \) 上还有一个补充条件,即满足能量守恒律 \[ \frac{\mathrm{d}s\left( t\right) }{\mathrm{d}t} = - k{u}_{x}\left( {s\left( t\right), t}\right) \] (2) \[ \left( {t > 0, k > 0\text{是常数}}\right) \text{.} \] 问题 (1), (2) 称为斯特凡问题, 它描述了固体融化或液体凝固过程中出现的自由边界问题. 对更复杂的物理过程, 斯特凡问题有更一般的形式. 水坝渗流问题 (filtration problem in dam) 亦称浸润面问题. 一个经典的工程力学问题. 考虑一个分离两个水库的土坝. 设坝体无限延伸, 具有可渗透侧壁和不可渗透底部. 假定坝体十分规则, 因此导出在矩形 \( D = \left( {0, a}\right) \times \left( {0, b}\right) \) 中的二维渗流问题. 待求的量为坝体的润湿部分 \( \Omega \subset D \) 和水在坝内的压力头分布. 这是一个自由边界问题. 假定水库上、下流水位高度分别是 \( H\left( t\right) \) 和 \( h\left( t\right) \left( {h\left( t\right) < H\left( t\right) }\right) \) ,此问题的数学模型为求函数 \( y = \varphi \left( {x, t}\right) \) 和 \( u\left( {x, y, t}\right) \) 分别定义在 \( \bar{B} = \left\lbrack {0, a}\right\rbrack \times \left\lbrack {0, T}\right\rbrack \) 和 \( \bar{\Omega } = \{ \left( {x, y, t}\right) \in \bar{Q},0 \leq g \) \( \leq \varphi \left( {x, t}\right) \} \) 上,其中 \[ Q = \left( {0, a}\right) \times \left( {0, b}\right) \times \left( {0, T}\right) , \] 并且满足方程 \( {u}_{t} - {u}_{xx} - {u}_{yy} = 0 \) (在 \( \Omega \) 内),初始条件和边界条件 \[ u\left( {x, y,0}\right) = {u}_{0}\left( {x, y}\right) \text{ (在 }D\text{ 上),} \] \[ u\left( {0, y, t}\right) = H\left( t\right) \;\left( {0 < y \leq H\left( t\right) }\right) , \] \[ u\left( {a, y, t}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} h\left( t\right) & \left( {0 < y < h\left( t\right) }\right) , \\ y & \left( {h\left( t\right) < y < \varphi \left( {a, t}\right) }\right) , \end{array}\right. \] \[ {u}_{y}\left( {x,0, t}\right) = 0\;\text{ (在 }D\text{上),} \] 在自由边界 \( \Gamma : y = \varphi \left( {x, t}\right) \) 上除满足条件 \( {\left. u\right| }_{\Gamma } = y \) 外, 还要补充水和空气间的交界面条件: 在 \( \Gamma \) 上, \( {u}_{t} = {u}_{x}^{2} \) \( + {u}_{y}^{2} - {u}_{y} \) 浸润面问题的数学处理有相当难度, 直到变分不等式理论出现之后才有精确的数学处理. 但对不规则坝体的情形, 仍是有待进一步研究. 浸润面问题 (infiltrated face problem) 即 “水坝渗流问题”. 渗流方程 (filtration equation) 一个描述流体在多孔介质中运动的方程. 渗流方程的最简单形式为 \[ \frac{\partial u}{\partial t} = \Delta \left( {u}^{m}\right) \;\left( {m > 1}\right) , \] (1) 它是一个非线性退化抛物方程, 可用以描述气体在多孔介质中的运动, \( u \) 代表气体的密度. 方程 (1) 的柯西问题 \[ {\left. u\right| }_{t = 0} = \varphi \left( x\right) \;\left( {\varphi \left( x\right) \geq 0}\right) \] (2) 的解与线性情形解的性质有明显的差异, 在线性情形 \( \left( {m = 1}\right) \) ,解 \( u \) 于 \( t > 0 \) 时恒大于零,且无穷次可微 (参见 “热传导方程的正则性”),但当 \( m > 1 \) 时方程 (1) 的解已不具有此性质. 设在 \( \left( {a, b}\right) \) 内 \( \varphi \left( x\right) > 0 \) ,在 \( \left( {a, b}\right) \) 外 \( \varphi = 0 \) . 那么 (1),(2) 之解必在某个区域 \( {\lambda }_{2}\left( t\right) \) \( \leq x \leq {\lambda }_{1}\left( t\right) \) 之外恒为零,即非线性渗流问题具有有限的扩散速度. \( x = {\lambda }_{1}\left( t\right) \) 和 \( x = {\lambda }_{2}\left( t\right) \left( {t \geq 0}\right) \) 就是已扩散部分与未扩散部分间的交界面. 这里的交界面也是一种自由界面,要与解 \( u \) 一起求出. \( \nabla u \) 通过交界面一般不连续, 因此这个方程一般只存在索伯列夫意义下的广义解. 渗流型方程 (组) 不仅如前例中那样可用来描述流体的运动过程, 也可用来描述其他的自然现象, 例如, 人口理论中的一些问题. 抛物型方程组 (parabolic system) 一类重要的偏微分方程组. 考虑 \( M \times M \) 方程组 \[ \frac{{\partial }^{{n}_{i}}{w}_{i}}{\partial {t}^{{n}_{i}}} = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{M}\mathop{\sum }\limits_{{{2b}{k}_{0} + \left| k\right| \leq {2b}{n}_{j}}}{A}_{{k}_{0}, k}^{ij}\left( {x, t}\right) {\left( \frac{\partial }{\partial t}\right) }^{{k}_{0}}{\left( \frac{\partial }{\partial x}\right) }^{k}{w}_{j} \] \[ + {g}_{i}\left( {x, t}\right) \left( {i = 1,2,\cdots, M}\right) , \] (1) 其中 \( {n}_{1},{n}_{2},\cdots ,{n}_{M} \) 为正整数, \( k = \left( {{k}_{1},{k}_{2},\cdots ,{k}_{n}}\right) \) , \[ \left| k\right| = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{k}_{i},{\left( \frac{\partial }{\partial x}\right) }^{k} = {\left( \frac{\partial }{\partial {x}_{1}}\right) }^{{k}_{1}}{\left( \frac{\partial }{\partial {x}_{2}}\right) }^{{k}_{2}}\cdots {\left( \frac{\partial }{\partial {x}_{n}}\right) }^{{k}_{n}}, \] \( {g}_{i} \) 和系数 \( {A}_{{k}_{0}k}^{ij} \) 都定义在某个集合 \( D \) 内. 考虑行列式 \[ \det \left( {\mathop{\sum }\limits_{{{2b}{k}_{0} + \left| k\right| = {2b}{n}_{h}}}{A}_{{k}_{0}k}^{jh}\left( {x, t}\right) {\lambda }^{{k}_{0}}{\left( \mathrm{i}\xi \right) }^{k} - {\delta }_{jh}{\lambda }^{{n}_{h}}}\right) , \] 其中 \[ \xi = \left( {{\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots ,{\xi }_{n}}\right) ,\left| \xi \right| = {\left( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\xi }_{i}^{2}\right) }^{\frac{1}{2}} = 1, \] \( {\xi }^{k} = {\xi }_{1}^{{k}_{1}}{\xi }_{2}^{{k}_{2}}\cdots {\xi }_{n}^{{k}_{n}},{\delta }_{jh} \) 是克罗内克符号,即 \( {\delta }_{jh} = 0 \) ,当 \( j \neq h;{\delta }_{jh} = 1 \) ,当 \( j = h \) . 以 \( {\lambda }_{m}\left( {\xi ;x, t}\right) \) 记多项式 (2) 的根,如果在点 \( \left( {{x}_{0},{t}_{0}}\right) \) 处 \[ \mathop{\max }\limits_{j}\mathop{\sup }\limits_{{\left| \xi \right| = 1}}\operatorna

2000_数学辞海（第3卷）

ft( \frac{\partial }{\partial {x}_{2}}\right) }^{{k}_{2}}\cdots {\left( \frac{\partial }{\partial {x}_{n}}\right) }^{{k}_{n}}, \] \( {g}_{i} \) 和系数 \( {A}_{{k}_{0}k}^{ij} \) 都定义在某个集合 \( D \) 内. 考虑行列式 \[ \det \left( {\mathop{\sum }\limits_{{{2b}{k}_{0} + \left| k\right| = {2b}{n}_{h}}}{A}_{{k}_{0}k}^{jh}\left( {x, t}\right) {\lambda }^{{k}_{0}}{\left( \mathrm{i}\xi \right) }^{k} - {\delta }_{jh}{\lambda }^{{n}_{h}}}\right) , \] 其中 \[ \xi = \left( {{\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots ,{\xi }_{n}}\right) ,\left| \xi \right| = {\left( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\xi }_{i}^{2}\right) }^{\frac{1}{2}} = 1, \] \( {\xi }^{k} = {\xi }_{1}^{{k}_{1}}{\xi }_{2}^{{k}_{2}}\cdots {\xi }_{n}^{{k}_{n}},{\delta }_{jh} \) 是克罗内克符号,即 \( {\delta }_{jh} = 0 \) ,当 \( j \neq h;{\delta }_{jh} = 1 \) ,当 \( j = h \) . 以 \( {\lambda }_{m}\left( {\xi ;x, t}\right) \) 记多项式 (2) 的根,如果在点 \( \left( {{x}_{0},{t}_{0}}\right) \) 处 \[ \mathop{\max }\limits_{j}\mathop{\sup }\limits_{{\left| \xi \right| = 1}}\operatorname{Re}\left\{ {{\lambda }_{j}\left( {\xi ;{x}_{0},{t}_{0}}\right) }\right\} < 0, \] 则称方程组 (1) 在 \( \left( {{x}_{0},{t}_{0}}\right) \) 处 (在彼得罗夫斯基意义下) 是抛物型的,或称 (1) 是抛物组. 如果在 \( D \) 内每点处,(1) 是抛物的,则称 (1) 在 \( D \) 中是抛物的. \( {2b} \) 称为方程组的抛物权数,而 \( {2b}\mathop{\max }\limits_{j}{n}_{j} \) 称为方程组的阶. 如果存在正常数 \( \delta \) ,使对所有的 \( \left( {x, t}\right) \in D \) 有 \[ \mathop{\max }\limits_{j}\mathop{\sup }\limits_{{\left| \xi \right| = 1}}\operatorname{Re}\left\{ {{\lambda }_{j}\left( {\xi ;x, t}\right) \xi }\right\} < - \delta , \] 则称组 (1) 在 \( D \) 内是一致抛物的. 若令 \[ {v}_{j0}^{0} = {w}_{j},{v}_{j1}^{0} = \frac{\partial {w}_{j}}{\partial t},\cdots ,{v}_{j,{n}_{j} - 1}^{0} = \frac{{\partial }^{{n}_{j} - 1}{w}_{j}}{\partial {t}^{{n}_{j} - 1}}, \] \[ {v}_{j, h - 1}^{l} = \frac{\partial {v}_{j, h - 1}^{0}}{\partial {x}_{l}}(j = 1,2,\cdots, M, \] \[ l = 1,2,\cdots, n, h = 1,2,\cdots ,{n}_{j} - 1), \] 则这些函数满足方程组 \[ \frac{\partial {v}_{i,{n}_{j} - 1}^{0}}{\partial t} = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{M}\mathop{\sum }\limits_{{{2b}{k}_{0} + \left| k\right| \leq {2b}{n}_{j}}}{A}_{{k}_{0}k}^{ij}\left( {x, t}\right) {\left( \frac{\partial }{\partial x}\right) }^{k}{v}_{j,{k}_{0}}^{0} \] \[ + {g}_{i}\left( {x, t}\right) , \] \[ \frac{\partial {v}_{i, h - 1}^{l}}{\partial t} = \frac{\partial }{\partial {x}_{l}}{v}_{i, h}^{0} \] \( \left( {i = 1,2,\cdots, M, l = 0,1,2,\cdots, n, h = 1,2,\cdots ,{n}_{i} - 1}\right) . \) 将 \( {v}_{jh}^{l} \) 重新排列,并用 \( {u}_{i} \) 表示,则组 (1) 化为 \[ \frac{\partial {u}_{i}}{\partial t} = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{N}\mathop{\sum }\limits_{{\left| k\right| \leq {2p}}}{A}_{k}^{ij}\left( {x, t}\right) {\left( \frac{\partial }{\partial x}\right) }^{k}{u}_{j} + {f}_{i}\left( {x, t}\right) \] (3) \[ \left( {i = 1,2,\cdots, N}\right) \text{.} \] 然而, 多项式 \[\det \left( {\mathop{\sum }\limits_{{\left| k\right| = {2p}}}{A}_{k}^{jh}\left( {x, t}\right) {\left( \mathrm{i}\xi \right) }^{k} - {\delta }_{jh}\lambda }\right) \] 的根一般不同于多项式 (2) 的根, 于是即使 (1) 是抛物的,(3) 也可以不是抛物的. \( {2p} \) 称为方程组 (3) 的阶. 抛物权数 (parabolic weight) 见 “抛物型方程组”. 一致抛物型方程组 (uniformly parabolic system) 见“抛物型方程组”. 弱耦合抛物组的极大值原理 (maximum principle of weakly coupled parabolic system) 一种最简单的抛物型方程组在边界上取最大值的定理. 设 \[{L}_{\nu } = \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}^{\left( \nu \right) }\left( {x, t}\right) \frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{b}_{i}^{\left( \nu \right) }\left( {x, t}\right) \frac{\partial }{\partial {x}_{i}} - \frac{\partial }{\partial t}\] \[\left( {\nu = 1,2,\cdots, k}\right) \] 是 \( k \) 个抛物算子,则形如 \[{L}_{\nu }{u}_{\nu } + \mathop{\sum }\limits_{{\mu = 1}}^{k}{h}_{\nu \mu }\left( {x, t}\right) {u}_{\mu } = {g}_{\nu }\left( {x, t}\right) \left( {\nu = 1,2,\cdots, k}\right) \] 的方程组称为弱耦合抛物组. 对弱耦合抛物组成立如下的极大值原理. 如果满足: 1. 每个 \( {L}_{\nu } \) 是一致抛物算子; 2. 成立不等式 \[{L}_{\nu }{u}_{\nu } + \mathop{\sum }\limits_{{\mu = 1}}^{k}{h}_{\nu \mu }{u}_{\mu } \geq 0\left( {\nu = 1,2,\cdots, k}\right) ;\] (1) 3. 函数 \( {h}_{\nu \mu } \) 满足条件 \( {h}_{\nu \mu } \geq 0(\mu \neq v;\mu ,\nu = 1,2 \) , \( \cdots, k) \) ; 则 1. 如果在 \( t = 0 \) 和 \( \partial \Omega \times (0, T\rbrack \) 上 \[u = \left( {{u}_{1},{u}_{2},\cdots ,{u}_{k}}\right) \leq 0\] (即 \( \left. {{u}_{i} \leq 0, i = 1,2,\cdots, k}\right) \) ,则在 \( {Q}_{T} = \Omega \times (0, T\rbrack \) 中 \( {u}_{i} \leq 0 \) ,而且,如果在某个内点 \( \left( {{x}_{0},{t}_{0}}\right) \) 处 \( {u}_{\nu } = 0 \) ,则当 \( t \leq {t}_{0} \) 时, \( {u}_{\nu } \equiv 0 \) . 2. 如果 \( u \leq 0 \) ,且 \( u \) 的某个分量 \( {u}_{\nu } \) 在 \( \partial \Omega \times (0 \) , \( T) \) 的某边界点 \( P \) 处为零,而在 \( {Q}_{T} \) 中存在内球 \( B \subset \) \( {Q}_{T},\bar{B} \cap {\bar{Q}}_{T} = \{ P\} \) ,使得在 \( B \) 中 \( {u}_{\nu } < 0 \) ,则在点 \( P \) 的任何外法向导数如果存在, 则必有 \[ \frac{\partial {u}_{v}}{\partial \tau } > 0 \] 弱耦合抛物组 (weakly coupled parabolic system) 见“弱耦合抛物组的极大值原理”. 反应扩散方程组 (reaction-diffusion equations system) 一类有实际背景的抛物型方程组. 物理学、化学中的反应扩散过程和生物学中的生态平衡问题, 在数学上通常可归结为以下抛物型方程组 (在彼得罗夫斯基意义下) \[ \frac{\partial u}{\partial t} = D\left( {x, u}\right) {\Delta u} + f\left( {x, u,\operatorname{grad}u}\right) \] (1) \[ \left( {\left( {x, t}\right) \in \Omega \times {\mathrm{R}}^{ + }}\right) , \] (1) 称为反应扩散方程组, 式中 \[ u = \left( {{u}_{1},{u}_{2},\cdots ,{u}_{m}}\right) , \] \[ \operatorname{grad}u = \left( {\operatorname{grad}{u}_{1},\operatorname{grad}{u}_{2},\cdots ,\operatorname{grad}{u}_{m}}\right) , \] \[ D\left( {x, u}\right) = \left( {{D}_{ij}\left( {x, u}\right) }\right) . \] 根据不同的实际问题, 可以研究相应的初值问题和各种初-边值问题. 特别地, 由于 (1) 的解通常具有行波解 \( u\left( {x - {ct}}\right) \) 以及当 \( t \rightarrow \infty \) 时 \( u\left( {x, t}\right) \) 趋于相应椭圆方程组的相应边值问题的解 (称为平衡解), 因此, 研究平衡解的稳定性为核心的各种问题构成了半线性抛物型方程 (组) 的定性理论 (或称为几何理论). 破裂现象 (blow up of solution) 反应扩散方程的解在有限时间内达到无限大的现象. 反应扩散方程 (组) 定解问题的解不一定对 \( t \in \lbrack 0, + \infty ) \) 都有意义, 解或者它的微商可能在有限时间内达到无限大. 如果存在 \( {T}_{1},0 < {T}_{1} < + \infty \) ,其解 \( u \) 在 \( {Q}_{{T}_{1}} = \bar{\Omega } \times \) \( \left\lbrack {0,{T}_{1}}\right) \) 上存在,且有 \[ \mathop{\lim }\limits_{{T \rightarrow {T}_{1} - 0}}\mathop{\max }\limits_{{\left( {x, t}\right) \in {\bar{Q}}_{T}}}\left| {u\left( {x, t}\right) }\right| = + \infty , \] 或 \[ \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow {T}_{1} - 0}}\mathop{\max }\limits_{{x \in \bar{\Omega }}}\left| {u\left( {x, t}\right) }\right| = + \infty , \] 则称解 \( u \) 在时刻 \( {T}_{1} \) 破裂. 破裂现象不仅在反应扩散方程中出现, 对双曲型方程甚至对一般的发展方程也可能出现. ## 混合型方程 混合型偏微分方程 (partial differential equation of mixed type) 在某一部分区域是椭圆型的而在其余部分是双曲型的偏微分方程. 典型的线性混合型方程是特里科米 (Tricomi, F. G. ) 最早系统研究过的方程 \[ y\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {y}^{2}} = 0 \] (参见“特里科米问题”) 和恰普雷根方程 (参见 “恰普雷根方程”). 可压缩流体的二维定常无旋运动方程 \[ \left( {1 - \frac{{u}^{2}}{{c}^{2}}}\right) \frac{{\partial }^{2}\varphi }{\partial {x}^{2}} - \frac{uv}{{c}^{2}}\frac{{\partial }^{2}\varphi }{\partial x\partial y} + \left( {1 - \frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}}\right) \frac{{\partial }^{2}\varphi }{\partial {y}^{2}} = 0 \] 是拟线性混合型方程,式中 \( \varphi \) 为速度势, \[ u = \frac{\partial \varphi }{\partial x},\;v = \frac{\partial \varphi }{\partial y} \] 为速度分量, \( c \) 为局部音速,它是速度 \( q = {\left( {u}^{2} + {v}^{2}\right) }^{\frac{1}{2}} \) 的函数. 此方程在 \( q < c \) (即亚音速) 的区域中是椭圆型的,在 \( q > c \) (即超音速) 的区域中是双曲型的. 恰普雷根方程 (Caplygin equation) 一类混合型方程. 可压缩流体的无旋运动方程 (参见 “混合型偏微分方程”) 是非线性方程, 直接进行处理是困难的,但若把速度 \( q \) 和速度向量的倾角 \( \theta \) \( = \arctan \left( {v/u}\right) \) 取作自变量,则可化为线性方程 \[ \frac{{\partial }^{2}\psi }{\partial {q}^{2}} + K\left( q\right) \frac{{\partial }^{2}\psi }{\partial {\theta }^{2}} = 0\left( {q \cdot K\left( q\right) \geq 0}\right) , \] 该方程称为恰普雷根方程,其中 \( \psi \) 是流函数,它是线性的混合型方程,当 \( q > 0 \) 时是椭圆型的, \( q < 0 \) 时是双曲型的. 特里科米问题 (Tricomi problem) 最早系统研究过的混合型偏微分  方程的边值问题. 对最简单的线性混合型方程 (也称为特里科米方程) \[ y\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {y}^{2}} = 0 \] 特里科米 (Tricomi, F. G. ) 在如下的边界条件下建立了解的存在性和惟一性定理: 设 \( {AC},{BC} \) 是方程在双曲区域中的特征线, \( \sigma \) 是连结 \( A, B \) 在椭圆区域中的若尔当曲线,它们围成区域 \( D \) ,在 \( {AC} \) (或 \( {BC}) \) 及 \( \sigma \) 上给定边值. 这种边值问题称为特里科米问题. 恰普雷根方程的特里科米问题也有意义. 特里科米方程 (Tricomi equation) 见“特里科米问题”. 奇异初值问题 (singular initial value problem) 一类特殊的偏微分方程初值问题. 对于恰普雷根方程或特里科米方程, 求在椭圆型区域和双曲型区域的共同边界 \( x = 0 \) 上满足给定初始条件 \[ u\left( {0, y}\right) = {u}_{0}\left( y\right) ,\;\frac{\partial u}{\partial x}\left( {0, y}\right) = {u}_{1}\left( y\right) \] 的解, 称为奇异初值问题. ## 线性偏微分算子 象征类 \( {S}_{\rho ,\delta }^{m}\left( \Omega \right) \) (class \( {S}_{\rho ,\delta }^{m}\left( \Omega \right) \) of symbols) 用于将线性偏微分算子推广到拟微分算子的一个函数类. 设 \( \Omega \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 是一开集, \( m \in {\mathrm{R}}^{1},0 \leq \delta \leq \rho \leq 1 \) ,定义象征类如下: \( {S}_{p,\delta }^{m}\left( \Omega \right) = \left\{ {p \in {C}^{\infty }\left( {\Omega \times {\mathrm{R}}^{n}}\right) \mid }\right. \) 存在常数 \( C \) \( = {C}_{\alpha ,\beta }\left( {\Omega }^{\prime }\right) \) ,使得 \( \mathop{\sup }\limits_{{x \in \Omega }}\left| {{D}_{x}^{\beta }{D}_{\xi }^{\alpha }p\left( {x,\xi }\right) }\right| \leq C(1 + \) \( \left. {\left| \xi \right| {)}^{m - \rho \left| \alpha \right| + \delta \left| \beta \right| },\forall \text{重指标}\alpha ,\beta ,\forall {\Omega }^{\prime } \subset \Omega }\right\} \) . 如果 \( p \in \) \( {S}_{\rho ,\delta }^{m}\left( \Omega \right) \) ,那么 \( {D}_{x}^{\beta }{D}_{\varepsilon }^{\alpha }p \in {S}_{\rho ,\delta }^{m - \rho \left| \alpha \right| + \delta \left| \beta \right| }\left( \Omega \right) \) . 如果 \( p \in \) \( {S}_{\rho ,\delta }^{{m}_{1}}\left( \Omega \right), q \in {S}_{{\rho }^{\prime },{\delta }^{\prime }\left( \Omega \right) }^{{m}_{2}} \) ,那么 \( {pq} \in {S}_{{\rho }^{\prime \prime },{\delta }^{\prime \prime }}^{{m}_{1} + {m}_{2}}\left( \Omega \right) \) ,其中 \( {\rho }^{\prime \prime } = \) \( \min \left( {\rho ,{\rho }^{\prime }}\right) ,{\delta }^{\prime \prime } = \max \left( {\delta ,{\delta }^{\prime }

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}\right) \) ,使得 \( \mathop{\sup }\limits_{{x \in \Omega }}\left| {{D}_{x}^{\beta }{D}_{\xi }^{\alpha }p\left( {x,\xi }\right) }\right| \leq C(1 + \) \( \left. {\left| \xi \right| {)}^{m - \rho \left| \alpha \right| + \delta \left| \beta \right| },\forall \text{重指标}\alpha ,\beta ,\forall {\Omega }^{\prime } \subset \Omega }\right\} \) . 如果 \( p \in \) \( {S}_{\rho ,\delta }^{m}\left( \Omega \right) \) ,那么 \( {D}_{x}^{\beta }{D}_{\varepsilon }^{\alpha }p \in {S}_{\rho ,\delta }^{m - \rho \left| \alpha \right| + \delta \left| \beta \right| }\left( \Omega \right) \) . 如果 \( p \in \) \( {S}_{\rho ,\delta }^{{m}_{1}}\left( \Omega \right), q \in {S}_{{\rho }^{\prime },{\delta }^{\prime }\left( \Omega \right) }^{{m}_{2}} \) ,那么 \( {pq} \in {S}_{{\rho }^{\prime \prime },{\delta }^{\prime \prime }}^{{m}_{1} + {m}_{2}}\left( \Omega \right) \) ,其中 \( {\rho }^{\prime \prime } = \) \( \min \left( {\rho ,{\rho }^{\prime }}\right) ,{\delta }^{\prime \prime } = \max \left( {\delta ,{\delta }^{\prime }}\right) \) . 例如, \( m \) 阶线性偏微分算子的象征属于 \( {S}_{1,0}^{m}\left( \Omega \right) \) ,即,若 \[ p\left( {x,\xi }\right) = \mathop{\sum }\limits_{{\left| a\right| \leq m}}{a}_{a}\left( x\right) {\xi }^{a}\left( {{a}_{a} \in {C}^{\infty }\left( \Omega \right) }\right) , \] 则 \( p\left( {x,\xi }\right) \in {S}_{1,0}^{m}\left( \Omega \right) \) . 又如,若 \[ p\left( {x,\xi }\right) = {\left( 1 + {\left| \xi \right| }^{2}\right) }^{s/2}\left( {s \in {\mathrm{R}}^{1}}\right) , \] 则 \( p\left( {x,\xi }\right) \in {S}_{1,0}^{s}\left( \Omega \right) \) . 再如,若 \( p\left( {x,\xi }\right) = \varphi \left( \xi \right) \operatorname{sinlog}\left| \xi \right| \left( {\varphi \in {C}^{\infty }}\right) , \) 且在原点邻近 \( \varphi = 0 \) ,当 \( \left| \xi \right| \geq 1 \) 时 \( \varphi = 1 \) ,则 \[ p\left( {x,\xi }\right) \in {S}_{1,0}^{0}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \text{.} \] 拟微分算子 (pseudo-differential operators) 微分算子和某些奇异积分算子的推广. 对于象征 \( p \) \( \in {S}_{p,\delta }^{m}\left( \Omega \right) \) ,在空间 \( {C}_{0}^{\infty }\left( \Omega \right) \) 上定义算子 \( p\left( {x, D}\right) \) 如下 \[ p\left( {x, D}\right) u\left( x\right) = {\int }_{{R}^{n}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\langle x,\xi \rangle }p\left( {x,\xi }\right) \widetilde{u}\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi \] \[ \left( {u \in {C}_{0}^{\infty }\left( \Omega \right) }\right) , \] 其中 \( \widetilde{u}\left( \xi \right) \) 表示 \( u\left( x\right) \) 的傅里叶变换, \[ \mathrm{d}\xi = \frac{1}{{\left( 2\pi \right) }^{n}}\mathrm{\;d}\xi \] 算子 \( p\left( {x, D}\right) \) 称为 \( \mathrm{{OP}}{S}_{\rho ,\delta }^{m}\left( \Omega \right) \) 类拟微分算子. 当 \( \rho \) \( = 1,\delta = 0 \) 时,称 \( p\left( {x, D}\right) \) 为 \( m \) 阶拟微分算子. 记 \[ p\left( {x, D}\right) \in \mathrm{{OP}}{S}_{1,0}^{m} = \mathrm{{OP}}{S}^{m}, \] \( p\left( {x,\xi }\right) \) 称为算子 \( P\left( {x, D}\right) \) 的象征. 显然, \( m \) 阶线性偏微分算子是一个特殊的 \( m \) 阶拟微分算子. 又如 \[ {Tu}\left( x\right) = \frac{1}{\pi \mathrm{i}}\mathrm{P}\text{. V.}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{u\left( y\right) }{x - y}\mathrm{\;d}y \in \mathrm{{OP}}{S}^{ \circ }\left( \Omega \right) \text{.} \] 如果 \( p \in {S}_{\rho ,\delta }^{m}\left( \Omega \right) \) ,那么 \( p\left( {x,\xi }\right) \) 对应的拟微分算子 \( p\left( {x, D}\right) \) 是从 \( {C}_{0}^{\infty }\left( \Omega \right) \rightarrow {C}^{\infty }\left( \Omega \right) \) 的连续算子. 如果 \( \delta < \) 1 , 那么这个映射可延拓为连续映射 \[ p\left( {x, D}\right) : {\mathcal{E}}^{\prime }\left( \Omega \right) \rightarrow {\mathcal{D}}^{\prime }\left( \Omega \right) . \] 局部算子 (local operators) 具有光滑系数微分算子的推广. 设 \( \Omega \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 是开集. 如果 \( {C}_{0}^{\infty }\left( \Omega \right) \rightarrow \) \( {C}_{0}^{\infty }\left( \Omega \right) \) 的线性连续算子 \( A \) 满足条件 \( \operatorname{supp}{Au} \subset \) \( \operatorname{supp}u \) ,那么称 \( A \) 为局部算子. 显然,任一具 \( {C}^{\infty }\left( \Omega \right) \) 系数的微分算子都是局部算子, 但是, 拟微分算子一般来说不是局部算子. 例如, 积分算子 \[ {Tu} = {\int }_{{\Omega }_{y}}K\left( {x, y}\right) u\left( y\right) \mathrm{d}y\;\left( {\forall u \in {C}_{0}^{\infty }\left( \Omega \right) }\right) , \] 其中 \( K\left( {x, y}\right) \in {C}^{\infty }\left( {\Omega \times \Omega }\right) \) . 算子 \[ T \in {\operatorname{OPS}}^{-\infty }\left( \Omega \right) = \mathop{\bigcap }\limits_{{m > 0}}{\operatorname{OPS}}^{-m}, \] 但它不是局部算子. 皮锐 (Peetre, J. ) 曾证明, 由 \( {C}^{\infty }\left( \Omega \right) \) 到 \( {C}^{k}\left( \Omega \right) \) 的线性连续映射是局部算子的充分必要条件为: 它是具 \( {C}^{k} \) 系数的线性偏微分算子. 拟局部性质 (pseudo local property) 拟微分算子的重要特征. 拟微分算子具有如下的拟局部性质: 如果 \( p\left( {x,\xi }\right) \in {S}_{\rho ,\delta }^{m}\left( \Omega \right) ,\delta < 1 \) 且 \( \rho > 0 \) ,那么对于 \( u \in {\mathcal{E}}^{\prime }\left( \Omega \right) \) ,有 \( \operatorname{sing}\operatorname{supp}p\left( {x, D}\right) u \subset \operatorname{sing}\operatorname{supp}u \) (参见 “奇支集”). 凡使上式成立的算子 \( A \) 称为拟局部算子, 因此拟微分算子必为拟局部算子. 拟局部算子 (pseudo local operators) 见 “拟局部性质”. 分布核 (distribution kernels) 积分算子核的推广. 设算子 \( T : {C}_{0}^{\infty }\left( \Omega \right) \rightarrow {C}^{\infty }\left( \Omega \right) \) . 如果在 \( \Omega \times \Omega \) 上存在分布 \( K \) ,使得 \[ \langle {Tu}, v\rangle = \langle K, v \otimes u\rangle \left( {\forall u, v \in {C}_{0}^{\infty }\left( \Omega \right) }\right) , \] 其中 \( v \otimes u \) 由 \( \left( {v \otimes u}\right) \left( {x, y}\right) = v\left( x\right) u\left( y\right) \) 定义,则称 \( K \) 是算子 \( T \) 的分布核,并且形式上有 \[ {Tu}\left( x\right) = \int K\left( {x, y}\right) u\left( y\right) \mathrm{d}y. \] 拟微分算子 \[ p\left( {x, D}\right) u = \int {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\langle x,\xi \rangle }p\left( {x,\xi }\right) \widetilde{u}\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi \] 的分布核 \[ K\left( {x, y}\right) = \int {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\langle x - y,\xi \rangle }p\left( {x,\xi }\right) \overline{\mathrm{d}}\xi \] 在 \( \Omega \times \Omega \) 的对角线外为 \( {C}^{\infty } \) 函数. 显然,光滑算子 \( p\left( {x, D}\right) \) (即 \( p\left( {x,\xi }\right) \in {S}_{1,0}^{-\infty }\left( \Omega \right) \) ) 的分布核 \[ K\left( {x, y}\right) \in {C}^{\infty }\left( {\Omega \times \Omega }\right) . \] 光滑算子 (smoothing operators) 具有 \( {C}^{\infty } \) 核的积分算子. 如果线性算子 \( T \) 将 \( {\mathcal{E}}^{\prime }\left( \Omega \right) \) 连续映射到 \( {C}^{\infty }\left( \Omega \right) \) ,那么称 \( T \) 是光滑算子. 如果 \( p\left( {x,\xi }\right) \in \) \( {S}^{-\infty }\left( \Omega \right) \) ,那么 \( p\left( {x, D}\right) \) 将 \( {\mathcal{E}}^{\prime }\left( \Omega \right) \) 连续映射到 \( {C}^{\infty }\left( \Omega \right) \) ,即 \( p\left( {x, D}\right) \in \mathrm{{OP}}{S}^{-\infty } \) 是光 滑 算 子. 如果 \( K \in {C}^{\infty }\left( {\Omega \times \Omega }\right) \) ,那么由 \[{Tu}\left( x\right) = \langle K\left( {x, \cdot }\right), u\rangle = \int K\left( {x, y}\right) u\left( y\right) \mathrm{d}y\] 定义的算子 \( T \) 是光滑算子. 恰当子集 (proper subsets) \( \Omega \times \Omega \) 中具有某种紧性的子集. 如果 \( \sum \) 为 \( \Omega \times \Omega \) 中的子集,它满足条件: 对任一紧集 \( K \subset \Omega ,\{ \left( {x, y}\right) \mid \left( {x, y}\right) \in \sum, x \in K\} \) 和 \( \{ \left( {x, y}\right) \mid \left( {x, y}\right) \in \sum, y \in K\} \) 都是 \( \Omega \times \Omega \) 的紧集,则称 \( \sum \) 为恰当子集. 恰当支广义函数 (proper support generalized functions) 一类特殊的广义函数. 如果广义函数 \( K \) \( \in {\mathcal{D}}^{\prime }\left( {\Omega \times \Omega }\right) \) ,其支集 \( \operatorname{supp}K \) 为 \( \Omega \times \Omega \) 的恰当子集, 则称 \( K \) 为恰当支广义函数或恰当支分布. 恰当支分布 (proper support distribution) 即 “恰当支广义函数”. 恰当支拟微分算子 (properly supported pseudo differential operators) 一种便于代数运算的拟微分算子. 如果一个拟微分算子 \( A \) 的核 \( {K}_{A} \) 为恰当支广义函数,则称 \( A \) 为恰当支拟微分算子. 例如,恒等算子 \( I \) 所对应的核是 \( \delta \left( {x - y}\right) \) ,它的支集为对角线 \( x = y \) ,这显然是恰当子集. 于是恒等算子是恰当支拟微分算子. 同样,所有具 \( {C}^{\infty } \) 系数的线性偏微分算子都是恰当支拟微分算子. 如果算子 \( A \) 是恰当支拟微分算子,那么它是 \( {C}_{0}^{\infty }\left( \Omega \right) \rightarrow {C}_{0}^{\infty }\left( \Omega \right) \) 的线性连续映射,且可以扩张为 \( {C}^{\infty }\left( \Omega \right) \rightarrow {C}^{\infty }\left( \Omega \right) \) 的线性连续映射. 实主型拟微分算子 (pesudo-differential operator of real principal type) 一类具有局部可解性的算子. 设具有恰当支的拟微分算子 \( P \in \mathrm{{OP}}{S}_{1,0}^{m}\left( \Omega \right) \) 的主象征为实值的 \( m \) 次齐次函数 \( p \) ,且没有 \( P \) 的一条完整的次特征带停留在 \( \Omega \) 的一紧集的上方,则称 \( P \) 在 \( \Omega \) 中是具实主型的拟微分算子. 紧子集上的可解性定理 (theorem for solvability on compact subsets) 线性偏微分方程局部可解的一个判别条件. 设 \( P \) 是区域 \( \Omega \) 上的 \( m \) 阶线性偏微分算子,具有实主象征 \( p \) . 设 \( K \) 是 \( \Omega \) 的紧子集,使得没有一条完整的次特征曲线含于 \( K \) 中. 则 \( N\left( K\right) \) \( = \left\{ {V \in {\mathcal{E}}^{\prime }\left( K\right) ,{PV} \equiv 0}\right\} \) 是 \( {C}_{0}^{\infty }\left( K\right) \) 的有限维子空间, 且正交于 \( P{\mathcal{D}}^{\prime }\left( X\right) \) . 若 \( f \in {H}^{s}\left( \Omega \right) \) (或相应地 \( \left. {{C}^{\infty }\left( \Omega \right) }\right) \) 且 \( f \) 正交于 \( N\left( K\right) \) ,则存在 \( u \in {H}^{\left( s + m - 1\right) }\left( \Omega \right) \) (相应地 \( {C}^{\infty }\left( \Omega \right) \) ),在 \( K \) 的某个邻域中满足 \( {Pu} = f \) . 上述定理对于具有正齐次实主象征的恰当支拟微分算子仍成立. 局部可解性 (local solvability) 线性偏微分算子理论中的重要概念. 设 \( P \) 为区域 \( X \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 中具恰当支的拟微分算子, \( K \) 为 \( X \) 中紧集,若对 \( {C}^{\infty }\left( X\right) \) 的余维数有限的某子空间中每个 \( f \) ,存在 \( u \in {\mathcal{D}}^{\prime }\left( X\right) \) 在 \( K \) 的某邻域中满足方程 \( {Pu} = f \) ,则称 \( P \) 在 \( K \) 上可解. 特别地,若 \( K \) 为 \( X \) 中的一点 \( {x}^{0} \) ,则称 \( P \) 在 \( {x}^{0} \) 局部可解. 设 \( P \) 的主象征 \( p \) 为正齐次复值函数,则 \( P \) 在紧集 \( K \) 上可解的必要条件为: \( p \) 在 \( K \) 的某邻域 \( Y \) \( \subset X \) 中满足下述的条件 \( \left( \Psi \right) \) : 不存在正齐次复值函数 \( q \in {C}^{\infty }\left( {{T}^{ * }Y \smallsetminus 0}\right) \) ,使得 \( \operatorname{Im}{qp} \) 沿着 \( \operatorname{Re}{qp} \) 的半-次特征带朝正向运动时由负值变号为正值,这里 \( \operatorname{Re}{qp} \) 的半-次特征带指的是在其上 \( q \neq 0 \) 的次特征带. 特别地,若 \( P \) 在 \( {x}^{0} \) 局部可解,则 \( p \) 在 \( {x}^{0} \) 的某邻域中满足条件 \( \left( \Psi \right) \) . 对于主型线性偏微分算子,此命题的逆命题成立. 然而,在一般情况下,条件 \( \left( \Psi \right) \) 对于局部可解是否充分仍属未知. 总之, 局部可解性问题仍然是线性偏微分算子理论中远未完全解决的重要问题. 局部可解性定理 (local solvability theorem) 局部可解的充分条件. 设 \( P\left( {x, D}\right) \) 为具有主象征 \( p \) 的 \( m \) 阶线性偏微分算子,若没有 \( p \) 的次特

2000_数学辞海（第3卷）

\( K \) 为 \( X \) 中紧集,若对 \( {C}^{\infty }\left( X\right) \) 的余维数有限的某子空间中每个 \( f \) ,存在 \( u \in {\mathcal{D}}^{\prime }\left( X\right) \) 在 \( K \) 的某邻域中满足方程 \( {Pu} = f \) ,则称 \( P \) 在 \( K \) 上可解. 特别地,若 \( K \) 为 \( X \) 中的一点 \( {x}^{0} \) ,则称 \( P \) 在 \( {x}^{0} \) 局部可解. 设 \( P \) 的主象征 \( p \) 为正齐次复值函数,则 \( P \) 在紧集 \( K \) 上可解的必要条件为: \( p \) 在 \( K \) 的某邻域 \( Y \) \( \subset X \) 中满足下述的条件 \( \left( \Psi \right) \) : 不存在正齐次复值函数 \( q \in {C}^{\infty }\left( {{T}^{ * }Y \smallsetminus 0}\right) \) ,使得 \( \operatorname{Im}{qp} \) 沿着 \( \operatorname{Re}{qp} \) 的半-次特征带朝正向运动时由负值变号为正值,这里 \( \operatorname{Re}{qp} \) 的半-次特征带指的是在其上 \( q \neq 0 \) 的次特征带. 特别地,若 \( P \) 在 \( {x}^{0} \) 局部可解,则 \( p \) 在 \( {x}^{0} \) 的某邻域中满足条件 \( \left( \Psi \right) \) . 对于主型线性偏微分算子,此命题的逆命题成立. 然而,在一般情况下,条件 \( \left( \Psi \right) \) 对于局部可解是否充分仍属未知. 总之, 局部可解性问题仍然是线性偏微分算子理论中远未完全解决的重要问题. 局部可解性定理 (local solvability theorem) 局部可解的充分条件. 设 \( P\left( {x, D}\right) \) 为具有主象征 \( p \) 的 \( m \) 阶线性偏微分算子,若没有 \( p \) 的次特征带位于 \( \Omega \) 的一点的上方 (即: \( p \) 没有次特征带,它在 \( \Omega \) 上的投影为一个点),则对于任一 \( f \in {\mathcal{D}}^{\prime }\left( \Omega \right) \) 及任一点 \( {x}^{0} \) \( \in \Omega \) ,存在点 \( {x}^{0} \) 的邻域 \( U \) 及 \( u \in {\mathcal{D}}^{\prime }\left( U\right) \) ,满足方程 \( p\left( {x, D}\right) u = f \) (在 \( U \) 中). \( {\mathbf{L}}^{2} \) 有界性定理 \( \left( {L}^{2}\right. \) -boundedness theorem \( ) \) 拟微分算子的重要性质. 设 \( A \in \mathrm{{OP}}{S}_{\rho ,\delta }^{0}\left( \Omega \right) ,0 \leq \delta < \rho \leq \) 1,且 \( {K}_{A} \) 具紧支集,则 \( A \) 可延拓为 \( {L}^{2}\left( \Omega \right) \rightarrow {L}^{2}\left( \Omega \right) \) 的连续算子. 紧性定理 (compactness theorem) 在解的先验估计及解的存在性问题研究中起重要作用的定理. 设 \( A \in \mathrm{{OP}}{S}_{\rho ,\delta }^{0}\left( \Omega \right) ,0 \leq \delta < \rho \leq 1 \) ,分布核 \( {K}_{A} \) 具紧支集,若 \( A \) 的象征 \( {\sigma }_{A} \) 满足条件 \[ \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow + \infty }}\mathop{\sup }\limits_{\substack{{x \in \Omega } \\ {\left| \xi \right| \geq t} }}\left| {{\sigma }_{A}\left( {x,\xi }\right) }\right| = 0, \] 则 \( A \) 可延拓为 \( {L}^{2}\left( \Omega \right) \rightarrow {L}^{2}\left( \Omega \right) \) 的紧算子. 椭圆型拟微分算子 (elliptic pseudo differential operators) 一类有拟逆算子的拟微分算子. 如果 \( A \) 为 \( {\operatorname{OPS}}^{m}\left( \Omega \right) \) 拟微分算子,又存在一个与 \( A \) 相差一光滑算子 (即 \( \mathrm{{OP}}{S}^{-\infty } \) ) 的 \( {A}_{1} \) ,其象征 \( {\sigma }_{{A}_{1}}\left( {x,\xi }\right) \) 对于任一紧集 \( K \subset \Omega \) ,有常数 \( {C}_{K}, R \) ,使 \[ \left| {{\sigma }_{{A}_{1}}\left( {x,\xi }\right) }\right| \geq {C}_{K}{\left( 1 + \left| \xi \right| \right) }^{m}\left( {x \in K,\left| \xi \right| \geq R}\right) \] 成立,则称 \( A \) 为椭圆型拟微分算子. 易见,当 \( A \) 是恰当支拟微分算子时, 定义中的不等式可以换成 \[ \left| {{\sigma }_{A}\left( {x,\xi }\right) }\right| \geq {C}_{K}{\left( 1 + \left| \xi \right| \right) }^{m}\left( {x \in K,\left| \xi \right| \geq R}\right) . \] 当 \( A \) 为微分算子时,以上定义与高阶椭圆型偏微分算子的定义是等价的. 拟基本解 (parametrix) 用于研究解的正则性与存在性的工具. 若 \( Q \in \mathrm{{OP}}{S}^{m} \) 是恰当支拟微分算子,又存在恰当支拟微分算子 \( P \) ,使得 \[ {PQ} - I = {K}_{1} \in \mathrm{{OP}}{S}^{-\infty }, \] (1) 则称 \( P \) 为 \( Q \) 的左拟基本解或者左拟逆. 如果 (1) 式改为 \[ {QP} - I = {K}_{2} \in \mathrm{{OP}}{S}^{-\infty }, \] 则称 \( P \) 是 \( Q \) 的右拟基本解或者右拟逆. 如果 \( P \) 既是 \( Q \) 的右拟基本解,又是 \( Q \) 的左拟基本解,则称 \( P \) 是 \( Q \) 的双边拟基本解,或简称拟基本解或拟逆. 左拟基本解通常用来证明正则性定理, 而右拟基本解通常利用来证明存在性定理. 左 (右) 拟基本解 (left (right) parametrix) 见 “拟基本解”. 拟逆 (parametrix) 即 “拟基本解”. 拟基本解存在定理 (existence theorem of the parametrix）判断椭圆型拟微分算子有拟基本解的定理. 如果 \( Q \in \mathrm{{OP}}{S}^{m} \) 为恰当支的椭圆型拟微分算子,那么存在一个恰当支的椭圆型拟微分算子 \( P \) \( \in {\mathrm{{OPS}}}^{-m} \) ,它是 \( Q \) 的拟基本解. 如果 \( Q \) 为一般的椭圆型拟微分算子, 则可以找到一个与它相差一个光滑算子的恰当支椭圆拟微分算子 \( {Q}_{1} \) . 设恰当支拟微分算子 \( P \) 为 \( {Q}_{1} \) 的拟基本解. 由于恰当支拟微分算子可以与任一拟微分算子做乘积, 所以 \[ {PQ} - I = P{Q}_{1} - I + P\left( {Q - {Q}_{1}}\right) \in \mathrm{{OP}}{S}^{-\infty }, \] \[ {QP} - I = {Q}_{1}P - I + \left( {Q - {Q}_{1}}\right) P \in \mathrm{{OP}}{S}^{-\infty }, \] 这表明 \( P \) 为椭圆型拟微分算子 \( Q \) 的拟基本解. 奇支集 (singular support) 广义函数在其中有一定奇性的点集. 在广义函数 (分布) \( T \) 的定义域中使 \( T \) 为 \( {C}^{\infty } \) 函数的最大开集的余集,称为分布 \( T \) 的奇支集,记为 \( \operatorname{sing}\operatorname{supp}T \) . 由奇支集和支集的定义可见,对任何分布 \( T \) ,有 \( \operatorname{sing}\operatorname{supp}T \subset \operatorname{supp}T \) . 亚椭圆算子 (hypoelliptic operator) 一类重要的拟微分算子, 是椭圆型拟微分算子的推广. 设 \[ L = \mathop{\sum }\limits_{{\left| \alpha \right| \leq m}}{a}_{\alpha }\left( x\right) {D}^{\alpha }, \] 其中 \( {a}_{a} \in {C}^{\infty } \) . 微分算子 \( L \) 称为亚椭圆的当且仅当对任意 \( u \in {\mathcal{D}}^{\prime } \) , \( \operatorname{sing}\operatorname{supp}u \subset \operatorname{sing}\operatorname{supp}{Lu} \) . 换言之, \( L \) 是亚椭圆的当且仅当对任一开集 \( \Omega \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 和 \( u \in {\mathcal{D}}^{\prime } \) , 如果 \( {Lu} \in {C}^{\infty }\left( \Omega \right) \) ,则有 \( u \in {C}^{\infty }\left( \Omega \right) \) . 具有 \( {C}^{\infty } \) 系数的椭圆型偏微分算子和具有 \( {C}^{\infty } \) 系数的抛物型偏微分算子都是亚椭圆算子. 如果 \( P \) 是拟微分算子,并且对任何 \( u \in {\mathcal{D}}^{\prime } \) ,有 \( \operatorname{sing}\operatorname{supp}u \subset \operatorname{sing}\operatorname{supp}{Pu} \) ,也称 \( P \) 是亚椭圆算子. 由于椭圆型拟微分算子的内正则性 (参见 “椭圆型方程解的正则性”), 因此椭圆型拟微分算子也是亚椭圆算子. 常系数微分算子 (differential operator with constant coefficients) 系数为常数的线性偏微分算子. 其一般形式为: \[ P\left( D\right) = \mathop{\sum }\limits_{{\left| \alpha \right| \leq m}}{a}_{\alpha }{D}^{\alpha }, \] 其中 \( {a}_{\alpha } \) 为常数 (实数或复数). 例如,拉普拉斯算子 \[ \Delta = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}\frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}_{j}^{2}} \] 热算子 \( \partial /\partial t - \Delta \) ,波算子 \( {\partial }^{2}/\partial {t}^{2} - \Delta \) 等都是常系数微分算子. 线性偏微分算子理论中的若干重要问题, 如基本解的存在性、局部可解性、亚椭圆性的判定等对于常系数情形均已完全解决. 基本解的存在性定理 (theorem for existence of fundamental solution) 关于基本解存在性的一个定理. 该定理断言: 每个非零的常系数微分算子 \( P\left( D\right) \) 都有基本解. \( P\left( D\right) \) 的基本解 \( E \) 作为广义函数可如下构造: \( \forall \varphi \in {C}_{0}^{\infty }\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) , \[ \langle E,\varphi \rangle = {\int }_{H}\frac{\widetilde{\varphi }\left( \sigma \right) }{P\left( \sigma \right) }\mathrm{d}\sigma , \] 其中 \( \bar{\varphi } \) 表示 \( \varphi \) 的逆傅里叶变换. \( H \) 为 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中某个适当的区域,满足 \( \mathop{\inf }\limits_{H}\left| {P\left( \sigma \right) }\right| > 0 \) . 由基本解的存在可知常系数微分算子是局部可解算子. 亚椭圆常系数微分算子 (hypoelliptic differential operator with constant coefficients) 最基本的亚椭圆算子. 设 \( P\left( D\right) \) 是常系数微分算子,则下述条件中的每一个都是 \( P\left( D\right) \) 为亚椭圆算子的充分必要条件: 1. 以 \( d\left( \xi \right) \) 记 \( \xi \in {\mathrm{R}}^{n} \) 到集合 \( \left\{ {\sigma \mid \sigma \in {\mathrm{C}}^{n}, P\left( \sigma \right) = 0}\right\} \) 的距离,则当 \( \xi \rightarrow \infty \) 时, \( d\left( \xi \right) \rightarrow + \infty \) . 2. 存在正的常数 \( c \) 及 \( C \) ,当 \( \xi \in {\mathrm{R}}^{n} \) 且 \( \left| \xi \right| \) 充分大时,不等式 \( d\left( \xi \right) \geq C{\left| \xi \right| }^{c} \) 成立. 3. 记 \( {P}^{\left( a\right) }\left( \xi \right) = {\partial }^{a}P\left( \xi \right) \) . 对于每个非零多重指标 \( \alpha \) ,当 \( \xi \in {\mathrm{R}}^{n} \) 且 \( \xi \rightarrow \infty \) 时,有 \( {P}^{\left( \alpha \right) }\left( \xi \right) /P\left( \xi \right) \rightarrow 0 \) . 4. 存在正的常数 \( c \) 及 \( C \) ,当 \( \xi \in {\mathrm{R}}^{n} \) 且 \( \left| \xi \right| \) 充分大时,不等式 \( \left| {{P}^{\left( a\right) }\left( \xi \right) }\right| /\left| {P\left( \xi \right) }\right| \leq C{\left| \xi \right| }^{-\left| a\right| c} \) 成立. 主型算子的亚椭圆性条件 (conditions for hy-poellipticity for operators of principal type) 对主型算子的研究具有重要作用的条件. 设 \( P\left( {x, D}\right) \) 为区域 \( \Omega \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 上的具有 \( {C}^{\infty } \) 系数的主型线性偏微分算子,则 \( P \) 为亚椭圆算子的充分必要条件为: 对于使主象征 \[ {P}_{m}\left( {{x}_{0},{\xi }^{0}}\right) = 0 \] 的每点 \( \left( {{x}_{0},{\xi }^{0}}\right) \in {T}^{ * }\Omega \smallsetminus 0 \) ,及使 \[ {d}_{\xi }\operatorname{Re}\left( {z{P}_{m}}\right) \left( {{x}_{0},{\xi }^{0}}\right) \neq 0 \] 的每个复数 \( z \) ,有: \( \operatorname{Im}\left( {z{P}_{m}}\right) \) 沿 \( \operatorname{Re}\left( {z{P}_{m}}\right) \) 的过 \( \left( {{x}_{0},{\xi }^{0}}\right) \) 的零次特征带不变号,并且在 \( \left( {{x}_{0},{\xi }^{0}}\right) \) 的任何邻域内沿该零次特征不恒为 0 . 对于一般情形下的亚椭圆性判别问题还远未解决. 椭圆型方程解的正则性 (regularity of solutions of elliptic equations) 亦称椭圆型方程解的光滑性. 关于椭圆型方程解的正则性的定理. 内正则性定理: 设 \( u \in {\mathcal{D}}^{\prime }\left( \Omega \right) \) 为具 \( {C}^{\infty } \) 系数的 \( m \) 阶椭圆型方程 \( {Lu} = f \) 的解,若 \( f \in {H}_{\text{loc }}^{s}\left( \Omega \right) \left( {s \geq 0}\right) \) ,因为此时对任意 \( \varphi \in {C}_{0}^{\infty }\left( \Omega \right) \) 有 \( {f\varphi } \in {H}^{s}\left( \Omega \right) \) ,可得 \( u \in {H}_{\mid {oc}}^{s + m}\left( \Omega \right) \) ; 若 \( f \) \( \in {C}^{\infty }\left( \Omega \right) \) ,则可得 \( u \in {C}^{\infty }\left( \Omega \right) \) . 若 \( P \) 为椭圆型拟微分算子, \( u \in {\mathcal{D}}^{\prime }\left( \Omega \right) ,{Pu} = f \) ,且有 \( \omega \subset \Omega \) ,在 \( \omega \) 上 \( f \) 为 \( {C}^{\infty } \) 函数,那么 \( u \) 在 \( \omega \) 上也是 \( {C}^{\infty } \) 函数. 边界正则性定理: 若 \( {Lu} = f \) 是区域 \( \Omega \) 中具 \( {C}^{\infty } \) 系数的 \( m \) 阶椭圆型方程,边界 \( \partial \Omega \) 为 \( {C}^{\infty } \) 光滑,如果 \( f \in {C}^{\infty }\left( \bar{\Omega }\right) \) ,则 \( {Lu} = f \) 的狄利克雷问题的解 \( u \in {C}^{\infty }\left( \bar{\Omega }\right) \) . 波前集 (wavefront sets) 微局部分析中最基本的概念. 分布 \( u \) 的波前集 \( {WF}\left( u\right) \) 定义为 \[ {WF}\left( u\right) = \bigcap \left\{ \right. \text{char}\left. P\right| P \in {\operatorname{OPS}}^{0}\left( \Omega \right) \text{,} \] \[ \left. {{Pu} \in {C}^{\infty }\left( \Omega \right) }\right\} , \] 其中 char \( P = \left\{ {\left( {x,\xi }\right) \in {T}^{ * }\Omega \mid P\left( {x,\xi }\right) = 0}\right\} \) . 分布 \( u \) 的波前集的另一等价定义如下: \( \left( {{x}_{0},{\xi }_{0}}\right) \) \( \notin {WF}\left( u\right) \) 的充分必要条件是存在 \( \varphi \in {C}_{0}^{\infty }\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) ,使 \( \varphi \left( {x}_{0}\right) \neq 0 \) 且 \( \widetilde{\varphi }u \) 是在 \( {\xi }_{0} \) 的锥邻域上的速降函数,此处 \( \widetilde{\varphi u} \) 表示 \( {\varphi u} \) 的傅里叶变换. 波前集有时也称奇谱,对于 \( u \in {\mathcal{D}}^{\prime }\left( \Omeg

2000_数学辞海（第3卷）

\( \partial \Omega \) 为 \( {C}^{\infty } \) 光滑,如果 \( f \in {C}^{\infty }\left( \bar{\Omega }\right) \) ,则 \( {Lu} = f \) 的狄利克雷问题的解 \( u \in {C}^{\infty }\left( \bar{\Omega }\right) \) . 波前集 (wavefront sets) 微局部分析中最基本的概念. 分布 \( u \) 的波前集 \( {WF}\left( u\right) \) 定义为 \[ {WF}\left( u\right) = \bigcap \left\{ \right. \text{char}\left. P\right| P \in {\operatorname{OPS}}^{0}\left( \Omega \right) \text{,} \] \[ \left. {{Pu} \in {C}^{\infty }\left( \Omega \right) }\right\} , \] 其中 char \( P = \left\{ {\left( {x,\xi }\right) \in {T}^{ * }\Omega \mid P\left( {x,\xi }\right) = 0}\right\} \) . 分布 \( u \) 的波前集的另一等价定义如下: \( \left( {{x}_{0},{\xi }_{0}}\right) \) \( \notin {WF}\left( u\right) \) 的充分必要条件是存在 \( \varphi \in {C}_{0}^{\infty }\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) ,使 \( \varphi \left( {x}_{0}\right) \neq 0 \) 且 \( \widetilde{\varphi }u \) 是在 \( {\xi }_{0} \) 的锥邻域上的速降函数,此处 \( \widetilde{\varphi u} \) 表示 \( {\varphi u} \) 的傅里叶变换. 波前集有时也称奇谱,对于 \( u \in {\mathcal{D}}^{\prime }\left( \Omega \right) \) 有 \[ \text{sing supp}u = \pi \left( {{WF}\left( u\right) }\right) \text{,} \] 其中 \( \pi \left( {{WF}\left( u\right) }\right) \) 表示波前集 \( {WF}\left( u\right) \) 在 \( \Omega \) 上的投影. 如果 \( P \) 是椭圆拟微分算子,则 \[ {WF}\left( u\right) = {WF}\left( {Pu}\right) . \] 奇谱 (singular spectrum) 见“波前集”. 奇性传播定理 (theorem of propagation of singularities) 给出偏微分方程解的非正则性的一种精确描述. 设 \( P = p\left( {x, D}\right) \in \mathrm{{OP}}{S}^{-\infty } \) 有标量主象征 \( {P}_{m}\left( {x,\xi }\right) ,\gamma : \left\lbrack {{t}_{0},{t}_{1}}\right\rbrack \rightarrow {T}^{ * }M \smallsetminus \{ 0\} \) 是 \( \operatorname{Re}{P}_{m} \) 的零次特征带,在 \( \gamma \) 的邻域上 \( \operatorname{Im}{P}_{m} \geq 0 \) ; 再设在 \( \gamma \) 上, \( {Pu} = \) \( f \in {H}^{s} \) . 如果在 \( \gamma \left( {t}_{1}\right) \) 上, \( u \in {H}^{s + m - 1} \) ,那么在 \( \gamma \) 上,也有 \( u \in {H}^{s + m - 1} \) (对于 \( \left( {{x}_{0},{\xi }_{0}}\right) \in {T}^{ * }M \smallsetminus \{ 0\} \) ,若记 \( u = {u}_{1} \) \( + {u}_{2} \) ,有 \( {u}_{1} \in {H}^{s} \) ,并且 \( \left( {{x}_{0},{\xi }_{0}}\right) \notin {WF}\left( {u}_{2}\right) \) ,则称在 \( \left( {{x}_{0},{\xi }_{0}}\right) \) 上 \( \left. {u \in {H}^{s}}\right) \) . 特别地,如果 \( {WF}\left( f\right) \cap \gamma = \varnothing \) ,并且 \[ \gamma \left( {t}_{0}\right) \notin {WF}\left( u\right) , \] 那么 \( \gamma \cap {WF}\left( u\right) = \varnothing \) . 如果 \( P \) 有实主象征, \[ {WF}\left( f\right) \cap \gamma = \varnothing , \] 并且 \( \gamma \left( {t}_{1}\right) \notin {WF}\left( u\right) \) ,那么也有 \( \gamma \cap {WF}\left( u\right) = \varnothing \) ,而且 \( {WF}\left( u\right) \smallsetminus {WF}\left( f\right) \subset \operatorname{char}P \) . 此外,在哈密顿场 \( H{P}_{m} \) 的作用下, \( {WF}\left( u\right) \smallsetminus {WF}\left( f\right) \) 是不变的,也就是奇性沿着 \( {P}_{m} \) 的零次特征带上传播. 位相函数 (phase functions) 定义傅里叶积分算子需要的一类光滑的齐一次函数. 若 \( \Omega \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 是开集,实值函数 \( \varphi \left( {x,\theta }\right) \) 满足如下条件,则称 \( \varphi \left( {x,\theta }\right) \) 是 \( \Omega \times {\mathrm{R}}^{N} \smallsetminus \{ 0\} \) 中的一个位相函数: 1. \( \varphi \left( {x,\theta }\right) \in {C}^{\infty }\left( {\Omega \times {\mathrm{R}}^{N}\smallsetminus \{ 0\} }\right) \) . 2. \( \varphi \left( {x,\theta }\right) \) 关于 \( \theta \) 是正齐一次函数,即对任意 \( t \) \( > 0,\varphi \left( {x,{t\theta }}\right) = {t\varphi }\left( {x,\theta }\right) \) 在 \( \Omega \times {\mathrm{R}}^{N} \smallsetminus \{ 0\} \) 中. 3. \( \varphi \left( {x,\theta }\right) \) 关于 \( x,\theta \) 无临界点即 \[ {\nabla }_{\left( x,\theta \right) }\varphi \left( {x,\theta }\right) \neq 0,\;\left( {x,\theta }\right) \in \Omega \times {\mathrm{R}}^{N} \smallsetminus \{ 0\} . \] 振荡积分 (oscillatory integral) 定义傅里叶积分算子需要的一类积分. 设 \( \varphi \left( {x,\theta }\right) \) 是一个实值位相函数,对于任意函数 \( a\left( {x,\theta }\right) \in {S}_{\rho ,\delta }^{m} \) ,定义振荡积分如下 \[ {I}_{\varphi }\left( {au}\right) = \iint {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi \left( {x,\theta }\right) }a\left( {x,\theta }\right) u\left( x\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}\theta \] \[ = \mathop{\lim }\limits_{{\varepsilon \rightarrow 0}}\iint {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi \left( {x,\theta }\right) }\psi \left( {\varepsilon \theta }\right) a\left( {x,\theta }\right) u\left( x\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}\theta . \] 上式极限存在且与 \( \psi \) 的具体选取无关,只要求 \( \psi \left( \theta \right) \) \( \in {C}_{0}^{\infty }\left( {\mathrm{R}}^{N}\right) \) 且在 \( \theta = 0 \) 附近为 1,其中, \( a\left( {x,\theta }\right) \) 称为振幅函数. 振幅函数 (amplitude functions) 见 “振荡积分”及“傅里叶积分算子”. 傅里叶积分算子 (Fourier integral operator) 在线性偏微分方程理论中起重要作用的算子. 设 \( {\Omega }_{x} \) 和 \( {\Omega }_{y} \) 分别是 \( {\mathrm{R}}_{x}^{n} \) 和 \( {\mathrm{R}}_{y}^{n} \) 中的开集, \( \varphi \left( {x, y,\theta }\right) \) 是 \( {\Omega }_{x} \times \) \( {\Omega }_{y} \times {\mathrm{R}}^{N} \smallsetminus \{ 0\} \) 中的实值位相函数, \( a\left( {x, y,\theta }\right) \in {S}_{\rho ,\delta }^{m}\left( {\Omega }_{x}\right. \) \( \left. {\times {\Omega }_{y} \times {\mathrm{R}}^{N}}\right) ,\rho > 0,\delta < 1 \) . 对于任一 \( u\left( y\right) \in {C}_{0}^{\infty }\left( {\Omega }_{y}\right) \) , \[ \langle {Au}, v\rangle = {I}_{\varphi }\left( {auv}\right) \;\left( {\forall v \in {C}_{0}^{\infty }\left( {\Omega }_{x}\right) }\right) , \] (1) 其中 \[ {I}_{\varphi }\left( {auv}\right) = \iiint {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi \left( {x, y,\theta }\right) }a\left( {x, y,\theta }\right) u\left( y\right) v\left( x\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}\theta \] 是一个振荡积分. 由 (1) 确定的 \( {Au} \in {\mathcal{D}}^{\prime }\left( {\Omega }_{x}\right) \) . 这样, 就确定了一个线性算子 \( A : {C}_{0}^{\infty }\left( {\Omega }_{y}\right) \rightarrow {\mathcal{D}}^{\prime }\left( {\Omega }_{x}\right) \) ,这个算子称为傅里叶积分算子. \( a\left( {x, y,\theta }\right) \) 称为振幅函数. 傅里叶积分算子 \( A \) 所对应的分布核 \( {K}_{A} \in {\mathcal{D}}^{\prime }\left( {{\Omega }_{x} \times {\Omega }_{y}}\right) \) 由下式确定 \[ \left\langle {{K}_{A}, f\left( {x, y}\right) }\right\rangle = {I}_{\varphi }\left( {af}\right) \] \[ = \iiint {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi \left( {x, y,\theta }\right) }a\left( {x, y,\theta }\right) f\left( {x, y}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}\theta . \] 例如, \( \Omega \) 上的傅里叶积分 \[ u\left( x\right) = {\left( 2\pi \right) }^{-n}\iint {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\langle x - y,\theta \rangle }u\left( y\right) \mathrm{d}y\mathrm{\;d}\theta \] 确定了一个傅里叶积分算子 \( I \) ,它所对应的分布核 \( {K}_{I} = \delta \left( {x - y}\right) \) . 又如,拟微分算子 \[ {Au}\left( x\right) = {\left( 2\pi \right) }^{-n}\iint {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\langle x - y,\theta \rangle }a\left( {x, y,\theta }\right) u\left( y\right) \mathrm{d}y\mathrm{\;d}\theta \] 是位相函数 \( \varphi \left( {x, y,\theta }\right) = \langle x - y,\theta \rangle \) 的傅里叶积分算子. 典则变换 (canonical transformation) 余切丛上保持泊松括号不变的微分同胚. 设 \( \tau \) 是从余切丛 \( {T}^{ * }\left( {\Omega }_{x}\right) \) 到余切丛 \( {T}^{ * }\left( {\Omega }_{y}\right) \) 上的微分同胚. 在局部坐标下, \( \tau \) 表示变换 \( y = y\left( {x,\xi }\right) ,\eta = \eta \left( {x,\xi }\right) \) . 若对 \( {T}^{ * }\left( {\Omega }_{y}\right) \) 上任 意 \( f, g \in {C}^{\infty }\left( {{T}^{ * }\left( {\Omega }_{y}\right) }\right) \) ,恒 有 \( \{ f, g\} \left( {y,\eta }\right) = \{ f\left( {y\left( {x,\xi }\right) ,\eta \left( {x,\xi }\right) }\right), g(y\left( {x,\xi }\right) , \) \( \eta \left( {x,\xi }\right) )\} \left( {x,\xi }\right) \left( {\{ f, g\} \text{的定义参见 “泊松括号”}}\right) \) ,则称 \( \tau \) 是 \( {T}^{ * }\left( {\Omega }_{x}\right) \) 到 \( {T}^{ * }\left( {\Omega }_{y}\right) \) 的一个典则变换. 典则变换也是保持哈密顿场不变的微分同胚. 例如,设 \( \tau \) 是 \( {T}^{ * }\left( {\Omega }_{x}\right) \) 上一组对偶坐标间的 “对换”, 即若 \( \tau \left( {x,\xi }\right) = \left( {y,\eta }\right) \) ,则对某个 \( j \) ,有 \( {y}_{j} = {\xi }_{j},{\eta }_{j} \) \( = - {x}_{j} \) ,而其他坐标变量不变 \[ {y}_{k} = \left\{ {\begin{array}{ll} {x}_{k} & \left( {k \neq j}\right) , \\ {\xi }_{j} & \left( {k = j}\right) , \end{array}\;{\eta }_{k} = \left\{ \begin{array}{ll} {\xi }_{k} & \left( {k \neq j}\right) , \\ - {x}_{j} & \left( {k = j}\right) . \end{array}\right. }\right. \] 这是一个典则变换. 生成函数 (generating function) 能生成典则变换的一类函数. 求生成函数是作出典则变换的最重要的方法. 在一定条件下存在函数 \( S\left( {x,\eta }\right) \) ,使得 \[ \mathrm{d}S = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {{\xi }_{i}\mathrm{\;d}{x}_{i} + {y}_{i}\mathrm{\;d}{\eta }_{i}}\right) , \] 即 \[ {\xi }_{i} = \frac{\partial S}{\partial {x}_{i}},\;{y}_{i} = \frac{\partial S}{\partial {\eta }_{i}}, \] 因此, \( \tau : \left( {x,\xi }\right) \rightarrow \left( {y,\eta }\right) \) 是一个典则变换, \( S \) 称为其生成函数. 主型算子 (principal operators) 具有单特征算子的推广. 设 \( {\Omega }_{x} \) 为 \( n \) 维微分流形, \( {T}^{ * }\left( {\Omega }_{x}\right) \) 为余切丛, \( \left( {x,\xi }\right) \) 为 \( {T}^{ * }\left( {\Omega }_{x}\right) \) 的局部坐标,向量 \[ \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{\xi }_{j}\frac{\partial }{\partial {\xi }_{j}} \] 称为在点 \( \left( {x,\xi }\right) \) 的锥轴,它是 \( {T}_{\left( x,\xi \right) }^{ * }\left( {\Omega }_{x}\right) \) 的切向量. 设 \( p\left( {x, D}\right) \) 是 \( {\Omega }_{x} \) 上的 \( m \) 阶拟微分算子,它的齐次主象征是 \( {p}_{m}\left( {x,\xi }\right) \) . 若对 \( \left( {{x}_{0},{\xi }_{0}}\right) \in {T}^{ * }\left( {\Omega }_{x}\right) \smallsetminus \{ 0\} \) ,当 \( {p}_{m}\left( {{x}_{0},{\xi }_{0}}\right) = 0 \) 时,哈密顿场 \( {H}_{{p}_{m}} \) 和在 \( \left( {{x}_{0},{\xi }_{0}}\right) \) 的锥轴 \( {\lambda }_{0} \) 不平行,则称 \( p\left( {x, D}\right) \) 在点 \( \left( {{x}_{0},{\xi }_{0}}\right) \) 是主型的. 若对所有 \( \xi \in {\mathrm{R}}^{n} \smallsetminus \{ 0\}, p\left( {x, D}\right) \) 在点 \( \left( {{x}_{0},\xi }\right) \) 均是主型的,则称 \( p\left( {x, D}\right) \) 在点 \( {x}_{0} \) 是主型的. 又若在 \( {\Omega }_{x} \) 的每一点 \( p\left( {x, D}\right) \) 为主型,则称 \( p\left( {x, D}\right) \) 为 \( {\Omega }_{x} \) 上的主型算子. 若算子 \( p\left( {x, D}\right) \) 的齐次主象征 \( {p}_{m}\left( {x,\xi }\right) \) 在点 \( \left( {{x}_{0},{\xi }_{0}}\right) \) \( \in {T}^{ * }\left( {\Omega }_{x}\right) \smallsetminus \{ 0\} \) 满足 \( {p}_{m}\left\{ {{x}_{0},{\xi }_{0}}\right) = 0 \) 和 \( \nabla p\left( {{x}_{0},{\xi }_{0}}\right) \) \( \neq 0 \) ,这类算子就是在点 \( \left( {{x}_{0},{\xi }_{0}}\right) \) 具有单特征的算子, 则称这种算子为狭义主型算

2000_数学辞海（第3卷）

i }_{0}}\right) \in {T}^{ * }\left( {\Omega }_{x}\right) \smallsetminus \{ 0\} \) ,当 \( {p}_{m}\left( {{x}_{0},{\xi }_{0}}\right) = 0 \) 时,哈密顿场 \( {H}_{{p}_{m}} \) 和在 \( \left( {{x}_{0},{\xi }_{0}}\right) \) 的锥轴 \( {\lambda }_{0} \) 不平行,则称 \( p\left( {x, D}\right) \) 在点 \( \left( {{x}_{0},{\xi }_{0}}\right) \) 是主型的. 若对所有 \( \xi \in {\mathrm{R}}^{n} \smallsetminus \{ 0\}, p\left( {x, D}\right) \) 在点 \( \left( {{x}_{0},\xi }\right) \) 均是主型的,则称 \( p\left( {x, D}\right) \) 在点 \( {x}_{0} \) 是主型的. 又若在 \( {\Omega }_{x} \) 的每一点 \( p\left( {x, D}\right) \) 为主型,则称 \( p\left( {x, D}\right) \) 为 \( {\Omega }_{x} \) 上的主型算子. 若算子 \( p\left( {x, D}\right) \) 的齐次主象征 \( {p}_{m}\left( {x,\xi }\right) \) 在点 \( \left( {{x}_{0},{\xi }_{0}}\right) \) \( \in {T}^{ * }\left( {\Omega }_{x}\right) \smallsetminus \{ 0\} \) 满足 \( {p}_{m}\left\{ {{x}_{0},{\xi }_{0}}\right) = 0 \) 和 \( \nabla p\left( {{x}_{0},{\xi }_{0}}\right) \) \( \neq 0 \) ,这类算子就是在点 \( \left( {{x}_{0},{\xi }_{0}}\right) \) 具有单特征的算子, 则称这种算子为狭义主型算子. 主型算子的范围要比狭义主型算子更广泛, 它包含某些不具单特征的算子. 例如特里科米算子 \[ y\frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}}{\partial {y}^{2}} \] 在 \( {T}^{ * }\left( {\Omega }_{x}\right) \) 的子集 \( \{ x,0;\xi ,0);\xi \neq 0\} \) 上不具有单特征, 但它仍是主型算子. 狭义主型算子 (principle operator in the narrow sense) 见“主型算子”. 叶戈罗夫定理 (Egorov theorem) 关于两个拟微分算子具有一定相似性的定理. 对于如下形式的傅里叶积分算子 \[ {Fu}\left( x\right) = {\left( 2\pi \right) }^{-n}\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}s\left( {x,\eta }\right) }a\left( {x,\eta }\right) \widetilde{u}\left( \eta \right) \mathrm{d}\eta \] \[ = {\left( 2\pi \right) }^{-n}\iint {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}s\left( {x,\eta }\right) -\langle y,\eta \rangle }a\left( {x,\eta }\right) u\left( y\right) \mathrm{d}y\mathrm{\;d}\eta , \] 若在点 \( \left( {{x}_{0},{\eta }_{0}}\right) \) 处 \( a\left( {{x}_{0},{\eta }_{0}}\right) \neq 0 \) ,则称 \( \left( {{x}_{0},{s}_{\eta }\left( {{x}_{0},{\eta }_{0}}\right) }\right. \) ; \( \left. {{s}_{x}\left( {{x}_{0},{\eta }_{0}}\right) ,{\eta }_{0}}\right) \) 为算子 \( F \) 的椭圆点,其中 \( \widetilde{u}\left( \eta \right) \) 为 \( u\left( x\right) \) 的傅里叶变换. 叶戈罗夫定理断言: 设 \( P, Q \) 分别是在域 \( {\Omega }_{x},{\Omega }_{y} \) 上给定的恰当支拟微分算子, \( \tau \) 是齐次典则变换: \( \left( {x,\xi }\right) \rightarrow \left( {y,\eta }\right) ,\tau \left( {{x}_{0},{\xi }_{0}}\right) = \left( {{y}_{0},{\eta }_{0}}\right), F \) 是一个形式如上的与 \( \tau \) 相联系的傅里叶积分算子,且使得 \( \left( {{x}_{0},{y}_{0};{\xi }_{0},{\eta }_{0}}\right) \) 为其椭圆点; 又设 \( a\left( {x,\eta }\right) \in {S}^{m} \) . 若 \( \left( {{x}_{0},{y}_{0};{\xi }_{0},{\eta }_{0}}\right) \notin {WF}\left( {{PF} - {FQ}}\right) \) ,则 \( P, Q \) 的主象征 \( {p}_{0}\left( {x,\xi }\right) \) 和 \( {q}_{0}\left( {y,\eta }\right) \) 在 \( \left( {{x}_{0},{y}_{0};{\xi }_{0},{\eta }_{0}}\right) \) 邻域必有 \[ {p}_{0}\left( {x,\xi }\right) = {q}_{0}\left( {y\left( {x,\xi }\right) ,\eta \left( {x,\xi }\right) }\right) . \] 拟微分算子的椭圆点 (elliptic point of pseudo differential operator) 见“叶戈罗夫定理”. 流形上的偏微分算子 (partial differential operator on manifold) \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的偏微分算子的推广. 在一个未知函数的情形,流形 \( M \) 上的 \( m \) 阶线性的偏微分算子是微分流形 \( M \) 上 \( {C}^{\infty } \) 函数的集合 \( {C}^{\infty }\left( M\right) \) 到 \( {C}^{\infty }\left( M\right) \) 的一个线性映射 \( L \) ,而在每一坐标区域中, \( L \) 可表示为 \[ L = \mathop{\sum }\limits_{{\left| a\right| \leq m}}{a}_{a}\left( x\right) {D}^{\alpha }, \] 这里 \[ {D}^{\alpha } = {\left( \frac{\partial }{\partial {x}_{1}}\right) }^{{\alpha }_{1}}{\left( \frac{\partial }{\partial {x}_{2}}\right) }^{{\alpha }_{2}}\cdots {\left( \frac{\partial }{\partial {x}_{m}}\right) }^{{\alpha }_{m}} \] \[ \left( {\left| \alpha \right| = {\alpha }_{1} + {\alpha }_{2} + \cdots + {\alpha }_{m}}\right) . \] 显然,在两个坐标区域的重叠部分, \( L \) 的两种表示可以通过坐标变换互相转换. 例如, 黎曼流形上的第二类贝尔特拉米算子, 在每一坐标区域中可表示为 \[ \Delta = \mathop{\sum }\limits_{{i, j}}{g}^{ij}\left( {\frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}} - \left\{ \begin{array}{l} k \\ {ij} \end{array}\right\} \frac{\partial }{\partial {x}_{k}}}\right) , \] 这里 \( {g}^{ij}\left( x\right) \) 是度量张量的逆变分量, \( \left\{ \begin{array}{l} k \\ {ij} \end{array}\right\} \) 是克里斯托费尔符号, 即 \[ \left\{ \begin{array}{l} k \\ {ij} \end{array}\right\} = \frac{1}{2}{g}^{kl}\left( {\frac{\partial {g}_{lj}}{\partial {x}^{i}} + \frac{\partial {g}_{il}}{\partial {x}^{j}} - \frac{\partial {g}_{ij}}{\partial {x}^{l}}}\right) . \] 多个未知函数的线性偏微分算子 \( L \) 可定义如下: 设 \[ {E}_{1}\overset{{\pi }_{1}}{ \rightarrow }M \] 是定义在 \( M \) 上的向量丛, \( \Gamma \left( {E}_{1}\right) \) 为 \( {C}^{\infty } \) 截面的全体, 同样 \( \Gamma \left( {E}_{2}\right) \) 表示另一向量丛 \[ {E}_{2}\overset{{\pi }_{2}}{ \rightarrow }M \] 的 \( {C}^{\infty } \) 截面的全体, \( L \) 是 \( \Gamma \left( {E}_{1}\right) \) 到 \( \Gamma \left( {E}_{2}\right) \) 的线性映射,它满足: 对每一个小的坐标区域 \( U \) ,如果 \( \Gamma \left( {E}_{1}\right) \) 和 \( \Gamma \left( {E}_{2}\right) \) 中的元素在 \( U \) 上的限制可以用 \( {m}_{1} \) 元和 \( {m}_{2} \) 元的列向量函数来表示,则 \( L \) 可以写为 \[ L = \mathop{\sum }\limits_{{\left| \alpha \right| \leq m}}{a}_{\alpha }\left( x\right) {D}^{\alpha }, \] 此处 \( {a}_{a}\left( x\right) \) 是 \( {m}_{2} \times {m}_{1} \) 阵, \( {m}_{1} \) 和 \( {m}_{2} \) 分别是 \( {E}_{1} \) 和 \( {E}_{2} \) 的纤维的维数. 在局部坐标下, 微分算子的主象征 \( \sigma \left( L\right) \left( \xi \right) \) 可表示为 \[ \mathop{\sum }\limits_{{\left| \alpha \right| = m}}{a}_{\alpha }\left( x\right) {\xi }^{\alpha }\left( {{\xi }^{\alpha } = {\xi }^{{\alpha }_{1}}{\xi }^{{\alpha }_{2}}\cdots {\xi }^{{\alpha }_{n}}}\right) , \] 流形上的偏微分算子的类型可由其主象征 (和通常偏微分算子一样地)来决定. 在微分流形上也可以定义非线性偏微分方程. ## 格林函数 格林函数 (Green function) 研究微分方程 (包括常微分方程和偏微分方程)边值问题的重要工具. 简言之, 格林函数是满足一定边界条件的共轭微分方程的基本解. 以拉普拉斯算子 \[ L = \frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}_{1}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}_{2}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}_{3}^{2}} \] 的边值问题为例. 设 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{R}}^{3} \) 中具有光滑边界 \( \partial \Omega \) 的区域,给定齐次边界条件 \( B : u\left( x\right) = 0\left( {x \in \partial \Omega }\right) \) (第一类)或 \[ \frac{\partial u}{\partial n} + \beta \left( x\right) u = 0\text{ (第三类),} \] 此处 \( n \) 表外法向, \( \beta \left( x\right) \geq 0 \) 且 \( \beta \left( x\right) \neq 0 \) . 满足下列条件的函数 \( g\left( {x,\xi }\right) \) 称为算子 \( L \) (或方程 \( L\left( u\right) = f\left( x\right) \) ) 与边界条件 \( B \) 的格林函数: 1. 当 \( \xi \in \Omega \) 固定时,在 \( x \neq \xi \) 处 \( \operatorname{Lg}\left( {x,\xi }\right) = 0 \) . \[ \text{2.}g\left( {x,\xi }\right) = \frac{1}{4\pi r} + w\left( {x,\xi }\right) = {\left( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{3}{\left( {x}_{i} - {\xi }_{i}\right) }^{2}\right) }^{\frac{1}{2}}\text{,} \] 其中 \( w \) 是 \( x \) 的正则函数. 3. \( g\left( {x,\xi }\right) \) 满足边界条件 \( B \) . 条件 1 和 2 表明 \( g\left( {x,\xi }\right) \) 是 \( L \) 的一个基本解,即 \( {Lg}\left( {x,\xi }\right) = \delta \left( {x - \xi }\right) \) ,条件 2 和 3 表明 \( w\left( {x,\xi }\right) \) 是齐次方程 \( {Lu} = 0 \) 的这样一个特解,它使得 \( g\left( {x,\xi }\right) \) 满足边界条件 \( B \) . 如果格林函数存在,则对于任意正则的函数 \( f\left( x\right) \) ,函数 \[ u\left( x\right) = {\int }_{\Omega }g\left( {x,\xi }\right) f\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi \] 就是方程 \( {Lu} = f\left( x\right) \) 的满足边界条件 \( B \) 的解. 一般地, 实际去求格林函数并不容易, 但在一些特殊情形下, 可以比较简单地求得. 自伴二阶常微分方程的格林函数 (Green function of self-adjoint ordinary differential equation of second order) 自伴二阶常微分方程格林函数的构造. 在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上考虑二阶微分方程 \( {Lu} = {\left( p\left( x\right) {u}^{\prime }\right) }^{\prime } + g\left( x\right) u = f\left( x\right) \left( {p\left( x\right) > 0}\right) . \) 在端点 \( a \) 处给出边界条件 \( u\left( a\right) = 0 \) 或 \( p\left( a\right) {u}^{\prime }\left( a\right) + \) \( {\alpha u}\left( a\right) = 0 \) ,在端点 \( b \) 处给出边界条件 \( u\left( b\right) = 0 \) 或 \( p\left( b\right) {u}^{\prime }\left( b\right) + {\beta u}\left( b\right) = 0 \) ,其格林函数 \( g\left( {x,\xi }\right) \) 定义为: 1. \( x \neq \xi ,\operatorname{Lg}\left( {x,\xi }\right) = 0 \) . 2. \( {\left\lbrack \frac{\partial g\left( {x,\xi }\right) }{\partial x}\right\rbrack }_{x = \xi - 0}^{x = \xi + 0} = \frac{1}{p\left( \xi \right) } \) . 3. 当 \( \xi \) 固定,则 \( g\left( {x,\xi }\right) \) 在 \( x = a, b \) 处满足边界条件. 条件 1 和 2 表明 \( {Lg}\left( {x,\xi }\right) = \delta \left( {x - \xi }\right) \) . 格林函数 \( g\left( {x,\xi }\right) \) 可按如下方式构造: 设 \( {u}_{1},{u}_{2} \) 是 \( {Lu} = 0 \) 分别在 \( x = a, x = b \) 处满足边界条件的两个线性无关的解,则适当选择常数因子,使得 \( p\left( {{u}_{1}{}^{\prime }{u}_{2} - {u}_{1}{u}_{2}{}^{\prime }}\right) \) 恒为常数 1 , 于是得出格林函数 \[ g\left( {x,\xi }\right) = \left\{ \begin{array}{ll} {u}_{1}\left( x\right) {u}_{2}\left( \xi \right) & \left( {x \leq \xi }\right) , \\ {u}_{1}\left( \xi \right) {u}_{2}\left( x\right) & \left( {x \geq \xi }\right) . \end{array}\right. \] 若 \( {u}_{1},{u}_{2} \) 不是线性无关的,通常的格林函数不存在, 此时只要把定义稍加改动可以作出起类似作用的广义格林函数. 以上方法对高阶常微分方程也适用. 拉普拉斯算子的格林函数 (Green function for Laplace operator) 拉普拉斯算子格林函数的公式. 设 \( {B}_{R}\left( 0\right) \) 是以原点为球心, \( R \) 为半径的 \( n \) 维球. 拉普拉斯算子 \[ \Delta = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}_{i}^{2}} \] 在 \( B \) 中关于齐次狄利克雷边界条件的格林函数可按下述方式得到. 设 \( \Gamma \left( r\right) \) 是 \( \Delta \) 的基本解 (参见 “偏微分方程的基本解”), 则格林函数为 \[ g\left( {x,\xi }\right) = \Gamma \left( r\right) - \Gamma \left( {\rho {r}^{\prime }/R}\right) , \] 式中 \[ \rho = {\left( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\xi }_{i}^{2}\right) }^{\frac{1}{2}} \] \[ {r}^{\prime } = {\left( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {x}_{i} - {\xi }_{i}^{\prime }\right) }^{2}\right) }^{\frac{1}{2}},\;{\xi }_{i}^{\prime } = {\left( R/\rho \right) }^{2}{\xi }_{i}. \] 亥姆霍兹方程的格林函数 (Green function for Helmholtz equation) 亥姆霍兹方程格林函数的求法. 在 \( {\mathrm{R}}^{3} \) 的某有界区域的外部 \( \Omega \) ,求亥姆霍兹方程 \( \left( {\Delta + {k}^{2}}\right) u\left( x\right) = f\left( x\right) \left( {k > 0}\right) \) 的解,它满足边界条件 \( u \) \( = 0 \) ,且在无穷远处满足所谓辐射条件: 当 \( \left| x\right| \rightarrow \infty \) 时 \[ u\left( x\right) = O\left( {\left| x\right| }^{-1}\right) ,{\left. \left( \frac{\partial u}{\partial r} - \mathrm{i}ku\right) \right| }_{\left| x\right| = r} = o\left( {\left| x\right| }^{-1}\right) \] ( \( \partial /\partial r \) 表沿径向微分). 如果对任意 \( k > 0 \) 都能构造格林函数

2000_数学辞海（第3卷）

则格林函数为 \[ g\left( {x,\xi }\right) = \Gamma \left( r\right) - \Gamma \left( {\rho {r}^{\prime }/R}\right) , \] 式中 \[ \rho = {\left( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\xi }_{i}^{2}\right) }^{\frac{1}{2}} \] \[ {r}^{\prime } = {\left( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {x}_{i} - {\xi }_{i}^{\prime }\right) }^{2}\right) }^{\frac{1}{2}},\;{\xi }_{i}^{\prime } = {\left( R/\rho \right) }^{2}{\xi }_{i}. \] 亥姆霍兹方程的格林函数 (Green function for Helmholtz equation) 亥姆霍兹方程格林函数的求法. 在 \( {\mathrm{R}}^{3} \) 的某有界区域的外部 \( \Omega \) ,求亥姆霍兹方程 \( \left( {\Delta + {k}^{2}}\right) u\left( x\right) = f\left( x\right) \left( {k > 0}\right) \) 的解,它满足边界条件 \( u \) \( = 0 \) ,且在无穷远处满足所谓辐射条件: 当 \( \left| x\right| \rightarrow \infty \) 时 \[ u\left( x\right) = O\left( {\left| x\right| }^{-1}\right) ,{\left. \left( \frac{\partial u}{\partial r} - \mathrm{i}ku\right) \right| }_{\left| x\right| = r} = o\left( {\left| x\right| }^{-1}\right) \] ( \( \partial /\partial r \) 表沿径向微分). 如果对任意 \( k > 0 \) 都能构造格林函数 \( G\left( {x,\xi }\right) \) ,而 \( f\left( x\right) \) 是光滑的并在 \( \left| x\right| \) 充分大时为零的函数, 则 \[ u\left( x\right) = {\int }_{\Omega }G\left( {x,\xi }\right) f\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi \] 将是所要求的解. 在这种情形, 设 \[ G\left( {x,\xi }\right) = - \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}k\left| {x - \xi }\right| }}{{4\pi }\left| {x - \xi }\right| } + {K}_{c}\left( {x,\xi }\right) , \] \[ \left| {x - \xi }\right| = {\left( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {x}_{i} - {\xi }_{i}\right) }^{2}\right) }^{1/2}, \] 则由求解弗雷德霍姆型积分方程可以求出 \( {K}_{c}\left( {x,\xi }\right) \) . 但此时应留意,以 \( {L}^{2}\left( \Omega \right) \) 为基础的格林算子 (参见 “格林算子”) 已不存在,但可把 \( G\left( {x,\xi }\right) \) 视为广义格林函数. 二阶线性椭圆算子的基本解 (fundamental solution of linear elliptic operator of second order) 一般二阶线性椭圆算子的基本解有显式表达式. 对二阶线性椭圆算子 \[ {Lu} = \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( x\right) \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{b}_{i}\left( x\right) \frac{\partial u}{\partial {x}_{i}} + c\left( x\right) u \] \[ \left( {x \in \Omega }\right) \text{,} \] 函数 \[ \Gamma \left( {x, y}\right) \] \[ = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{{\left\lbrack {a}_{ij}\left( y\right) \left( {x}_{i} - {y}_{i}\right) \left( {x}_{j} - {y}_{j}\right) \right\rbrack }^{\frac{2 - n}{2}}}{n\left( {2 - n}\right) {\omega }_{n}{\left\lbrack \det \left( {a}_{ij}\left( y\right) \right) \right\rbrack }^{\frac{1}{2}}} & \left( {n > 2}\right) , \\ \frac{\ln {\left\lbrack {a}_{ij}\left( y\right) \left( {x}_{i} - {y}_{i}\right) \left( {x}_{j} - {y}_{j}\right) \right\rbrack }^{-\frac{1}{2}}}{{2\pi }{\left\lbrack \det \left( {a}_{ij}\left( y\right) \right) \right\rbrack }^{\frac{1}{2}}} & \left( {n = 2}\right) . \end{array}\right. \] 称为列维函数或基本解, 其中 \[ {\omega }_{n} = 2{\pi }^{\frac{n}{2}}/{n\Gamma }\left( \frac{n}{2}\right) \] 是 \( n \) 维单位球的体积. 如果函数 \( G\left( {x, y}\right) \) 对于 \( \bar{\Omega } \) 上所有 \( x, y\left( {x \neq y}\right) \) 都有定义; 对每个 \( y \in \Omega, G - \Gamma \) 作为 \( x \) 的函数满足方程 \( L\left\lbrack {G\left( {x, y}\right) - \Gamma \left( {x, y}\right) }\right\rbrack = 0 \) ; 且对所有 \( x \in \partial \Omega \) 有 \( G\left( {x, y}\right) = 0 \) ,则称 \( G\left( {x, y}\right) \) 为二阶线性椭圆型方程 \( {Lu} = 0 \) 狄利克雷问题的格林函数. 二阶线性椭圆型方程狄利克雷问题的格林函数 (Green function of Dirichlet problem for linear elliptic equation of second order) 见“二阶线性椭圆算子的基本解”. 列维函数 (Levi function) 见 “二阶线性椭圆算子的基本解”. 热传导算子的格林函数 (Green function for heat operator) 热传导算子格林函数的构造. 对一维热传导方程的混合初-边值问题: \( {Lu} = {u}_{t} - {c}^{2}{u}_{xx} \) \( = f\left( {x, t}\right) \) ,于 \( \left( {a, b}\right) \times \left( {0, + \infty }\right) ,{\left. u\right| }_{t = 0} = {\left. \varphi \left( x\right), u\right| }_{x = a, b} \) \( = 0 \) ,可用下述方法构造格林函数 \( g\left( {x, t;\xi ,\tau }\right) \) : \( g\left( {x, t;\xi ,\tau }\right) = \Gamma \left( {x, t;\xi ,\tau }\right) + \omega \left( {x, t;\xi ,\tau }\right), t \geq \tau , \) \[ \Gamma \left( {x, t;\xi ,\tau }\right) = \frac{1}{{2c}\sqrt{\pi \left( {t - \tau }\right) }}\exp \left( {-\frac{{\left( x - \xi \right) }^{2}}{4{c}^{2}\left( {t - \tau }\right) }}\right) \] 为基本解,而 \( \omega \) 是满足方程 \( {Lu} = 0 \) 且使得 \( g(x, t;\xi \) , \( \tau ) \) 在 \( x = a \) 及 \( x = b \) 上满足齐次边界条件的正则函数. 如果 \( \omega \) 能够确定,则 \( g\left( {x, t;\xi ,\tau }\right) \) 就是所要求的格林函数,并且对于正则的 \( f,\varphi \) ,原问题的解为 \[ u\left( {x, t}\right) = {\int }_{0}^{t}{\int }_{a}^{b}g\left( {x, t;\xi ,\tau }\right) f\left( {\xi ,\tau }\right) \mathrm{d}\xi \mathrm{d}\tau \] \[ + {\int }_{a}^{b}g\left( {x, t;\xi ,0}\right) \varphi \left( \xi \right) \mathrm{d}\xi . \] 核函数 (kernel function) 与平面域上的拉普拉斯算子的格林函数相联系的函数. 一般地,设 \( E \subset \) \( {\mathrm{R}}^{n}, H \) 为 \( E \) 上的某些复值函数构成的希尔伯特空间. 如果 \( E \times E \) 上的函数 \( K\left( {x, y}\right) \) 满足: 1. 当 \( y \) 固定时, \( K\left( {x, y}\right) \) 作为 \( x \) 的函数属于 \( H \) ; 2. 对任意的 \( f\left( x\right) \in H \) ,恒有 \[ \left( {f\left( x\right), K\left( {x, y}\right) }\right) = f\left( y\right) ; \] 则称 \( K\left( {x, y}\right) \) 为核函数. 核函数如果存在,那么它必定是惟一的、埃尔米特的、正定的, 即对任意的 \( \left( {{\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots ,{\xi }_{n}}\right) \in {\mathrm{R}}^{n},{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n} \in E \) ,有 \[ \mathop{\sum }\limits_{{j, k = 1}}^{n}K\left( {{y}_{j},{y}_{k}}\right) {\xi }_{j}{\xi }_{k} \geq 0. \] 反之,任一 \( E \times E \) 上的正定函数必是一个核函数. 格林算子 (Green operator) 即二阶椭圆算子的逆算子. 考虑二阶椭圆型方程 \[ {Au} = - {\Delta u} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{i}\left( x\right) \frac{\partial u}{\partial {x}_{i}} + c\left( x\right) u = f\left( x\right) \] 在 \( \Omega \) 内的第一、第三边值问题,其中 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的有界域,其边界 \( \partial \Omega \) 由有限个光滑超曲面构成. 算子 \( A \) 的定义域 \( \mathcal{D}\left( A\right) \) 对第一边值问题为 \( \{ u\left( x\right) \in \) \( {H}^{2}\left( \Omega \right) ;u\left( x\right) = 0, x \in \partial \Omega \} \) ,对第三边界条件为 \[ \left\{ {u\left( x\right) \in {H}^{2}\left( \Omega \right) ;\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial n} + \beta \left( x\right) u\left( x\right) = 0, x \in \partial \Omega }\right\} . \] 如果 \( A \) 为 \( \mathcal{D}\left( A\right) \) 到 \( {L}^{2}\left( \Omega \right) \) 的一一映射,则称其逆算子 \( {A}^{-1} \) (记为 \( G \) ) 为相应边值问题的格林算子. 一般地 \( {A}^{-1} \) 不一定存在,但当 \( t \) 充分大时, \[ {G}_{t} = {\left( A + tI\right) }^{-1} \] 是存在的. 设 \( \lambda \) 为复参数,对于方程 \( \left( {{\lambda I} - A}\right) u \) \( = f\left( x\right), f\left( x\right) \in {L}^{2}\left( \Omega \right) \) ,用 \( {G}_{t} \) 从左作用得到 \( (I - (\lambda \) \( \left. {\left. {+t){G}_{t}}\right) u = - {G}_{t}f\text{. 反之,若把此方程看做}{L}^{2}\left( \Omega \right) \text{中}}\right) \) 的方程, \( u\left( x\right) \) 是它的一个解,则显然有 \( u\left( x\right) \in \) \( \mathcal{D}\left( A\right) \) ,且 \( u\left( x\right) \) 是原偏微分方程的解并满足边界条件. 在上述方程中 \( {G}_{t} \) 是 \( {L}^{2}\left( \Omega \right) \) 上的紧算子,因此可利用里斯-绍德尔理论. 特别地,当 \( t + \lambda \) 不是 \( {G}_{t} \) 的特征值时, \[ u\left( x\right) = {\left( \lambda I - A\right) }^{-1}f = - {\left( I - \left( \lambda + t\right) {G}_{t}\right) }^{-1}{G}_{t}f \] 就是原问题的惟一解. 高阶椭圆型方程的格林算子 (Green operator of higher order elliptic equation) 高阶椭圆算子的格林算子的构造. 对于高阶椭圆型方程的一般边值问题 \[ A\left( {x,\frac{\partial }{\partial x}}\right) u\left( x\right) = f\left( x\right) \;\left( {x \in \Omega }\right) , \] \[ {B}_{j}\left( {x,\frac{\partial }{\partial x}}\right) u\left( x\right) = 0\;\left( {x \in \partial \Omega ;j = 1,2,\cdots ,\frac{m}{2}}\right) , \] 其中 \( m \) 是算子 \( A \) 的阶 (偶数),边界算子 \( {B}_{j} \) 应满足两个条件: 1. 在 \( \partial \Omega \) 的一切点 \( x \) 处, \( \partial \Omega \) 的法线方向不是任何 \( {B}_{j} \) 的特征方向. 2. \( {B}_{j} \) 的阶 \( {m}_{j} < m \) 并且 \( {m}_{j} \neq {m}_{k}\left( {j \neq k}\right) \) . \( A \) 的定义域是 \[ \mathcal{D}\left( A\right) = \left\{ {u \in {H}^{m}\left( \Omega \right) \left| {\;{B}_{j}\left( {x,\frac{\partial }{\partial x}}\right) u\left( x\right) = 0,}\right. }\right. \] \[ x \in \partial \Omega, j = 1,2,\cdots ,\left. \frac{m}{2}\right\} . \] 当 \( A \) 是 \( \mathcal{D}\left( A\right) \) 到 \( {L}^{2}\left( \Omega \right) \) 上的一一映射时, \( G = {A}^{-1} \) 称为上述问题的格林算子. 如果 \( A \) 与 \( x \) 无关,且设 \( \Gamma \left( x\right) \) 是它的基本解,即 \[ A\left( \frac{\partial }{\partial x}\right) \Gamma \left( x\right) = \delta \left( x\right) , \] 一般地, 原边值问题的格林函数可如下构造: 令 \( G\left( {x,\xi }\right) = \Gamma \left( {x - \xi }\right) + w\left( {x,\xi }\right) \) ,而 \( w\left( {x,\xi }\right) \) 由两个条件确定: \[ \text{1. 对}\xi \in \Omega, A\left( \frac{\partial }{\partial x}\right) w\left( {x,\xi }\right) = 0\text{.} \] 2. 对 \( \xi \in \Omega \) , \[ {B}_{j}\left( {x,\frac{\partial }{\partial x}}\right) G\left( {x,\xi }\right) = 0 \] \[\left( {x \in \partial \Omega, j = 1,2,\cdots ,\frac{m}{2}}\right) .\] 高阶椭圆型方程的格林函数 (Green function of higher order elliptic equation) 见“高阶椭圆型方程的格林算子”. ## 变分解法与变分不等式 泛函的变分 (functional variation) 函数的微分概念的推广. 所谓泛函 \( v\left\lbrack {y\left( x\right) }\right\rbrack \) 的变量 \( y\left( x\right) \) 的变分 \( {\delta y} \) 是指两个函数间的差: \( {\delta y} = {y}_{1}\left( x\right) - y\left( x\right) \) ,其中 \( {y}_{1}\left( x\right) \) 是与 \( y\left( x\right) \) 属于同一类的函数. 如果泛函 \( v\left\lbrack {y\left( x\right) }\right\rbrack \) 的改变量 \( {\Delta v} = v\left\lbrack {y\left( x\right) + {\delta y}}\right\rbrack - v\left\lbrack {y\left( x\right) }\right\rbrack \) 可以表为如下的形式 \[ {\Delta v} = L\left\lbrack {y\left( x\right) ,{\delta y}}\right\rbrack + \beta \left( {y\left( x\right) ,{\delta y}}\right) \cdot \max \left| {\delta y}\right| , \] 其中 \( L\left\lbrack {y\left( x\right) ,{\delta y}}\right\rbrack \) 对 \( {\delta y} \) 来说是线性的,且当 \( \max \left| {\delta y}\right| \rightarrow 0 \) 时, \( \beta \left( {y\left( x\right) ,{\delta y}}\right) \rightarrow 0 \) ,那么 \( L\left\lbrack {y\left( x\right) ,{\delta y}}\right\rbrack \) 称为泛函 \( v\left\lbrack {y\left( x\right) }\right\rbrack \) 的变分,记为 \( {\delta v} \) ,且有 \[ {\delta v} = {\left. \frac{\partial }{\partial \alpha }v\left\lbrack y\left( x\right) + \alpha \delta y\right\rbrack \right| }_{\alpha = 0}. \] 泛函的极值 (functional extreme value) 泛函的极大值或极小值的总称. 若泛函 \( v\left\lbrack {y\left( x\right) }\right\

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) 属于同一类的函数. 如果泛函 \( v\left\lbrack {y\left( x\right) }\right\rbrack \) 的改变量 \( {\Delta v} = v\left\lbrack {y\left( x\right) + {\delta y}}\right\rbrack - v\left\lbrack {y\left( x\right) }\right\rbrack \) 可以表为如下的形式 \[ {\Delta v} = L\left\lbrack {y\left( x\right) ,{\delta y}}\right\rbrack + \beta \left( {y\left( x\right) ,{\delta y}}\right) \cdot \max \left| {\delta y}\right| , \] 其中 \( L\left\lbrack {y\left( x\right) ,{\delta y}}\right\rbrack \) 对 \( {\delta y} \) 来说是线性的,且当 \( \max \left| {\delta y}\right| \rightarrow 0 \) 时, \( \beta \left( {y\left( x\right) ,{\delta y}}\right) \rightarrow 0 \) ,那么 \( L\left\lbrack {y\left( x\right) ,{\delta y}}\right\rbrack \) 称为泛函 \( v\left\lbrack {y\left( x\right) }\right\rbrack \) 的变分,记为 \( {\delta v} \) ,且有 \[ {\delta v} = {\left. \frac{\partial }{\partial \alpha }v\left\lbrack y\left( x\right) + \alpha \delta y\right\rbrack \right| }_{\alpha = 0}. \] 泛函的极值 (functional extreme value) 泛函的极大值或极小值的总称. 若泛函 \( v\left\lbrack {y\left( x\right) }\right\rbrack \) 在与 \( y \) \( = {y}_{0}\left( x\right) \) 接近的任一函数上的值不小 (大) 于 \( v\left\lbrack {{y}_{0}\left( x\right) }\right\rbrack \) ,即 \( {\Delta v} = v\left\lbrack {y\left( x\right) }\right\rbrack - v\left\lbrack {{y}_{0}\left( x\right) }\right\rbrack \geq 0\left( { \leq 0}\right) \) ,则称泛函 \( v\left\lbrack {y\left( x\right) }\right\rbrack \) 在函数 \( {y}_{0}\left( x\right) \) 上达到极小 (大) 值,称 \( {y}_{0}\left( x\right) \) 为泛函 \( v\left\lbrack {y\left( x\right) }\right\rbrack \) 的极值函数. 如果具有变分的泛函 \( v\left\lbrack {y\left( x\right) }\right\rbrack \) 在 \( {y}_{0}\left( x\right) \) 上达到极小 (大) 值,则在 \( y \) \( = {y}_{0}\left( x\right) \) 上,对任意 \( {\delta y} \) ,有 \( {\delta v} = 0 \) . 对于依赖于多个未知函数的泛函 \( v\left\lbrack {{y}_{1}\left( x\right) ,{y}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{y}_{n}\left( x\right) }\right\rbrack \) 的极值有类似的定义. 泛函的极值函数 (functional extremal function) 见“泛函的极值”. 变分问题 (variational problem) 有关求泛函的极大值和极小值的问题. 最早研究的重要变分问题有: 1. 最速降线问题: 给定不在同一铅垂线上的两点 \( A \) 和 \( B \) ,求出连结 \( A \) 和 \( B \) 的一条曲线使其具有这样的性质: 当质点受重力作用沿着这条曲线由 \( A \) 下滑至 \( B \) 时所需时间为最少. 2. 短程线问题: 求曲面 \( \varphi \left( {x, y, z}\right) = 0 \) 上所给二点间长度最短的曲线. 这条最短曲线称为短程线或测地线. 3. 基本的等周问题: 求长为一定的封闭曲线 \( l \) , 使其所围的面积 \( S \) 为极大. 最速降线问题 (problem of the quickest descent line) 见“变分问题”. 短程线问题 (geodesic problem) 见“变分问题”. 欧拉方程(Euler equation) 泛函的极值函数满足的微分方程. 假设 \( F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \) 关于变元是二次可微的,函数 \( y\left( x\right) \in {C}^{2} \) 且满足边界条件 \[ y\left( {x}_{0}\right) = {y}_{0},\;y\left( {x}_{1}\right) = {y}_{1}. \] 那么泛函 \[ v\left\lbrack {y\left( x\right) }\right\rbrack = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x, y\left( x\right) ,{y}^{\prime }\left( x\right) }\right) \mathrm{d}x \] 取极值的必要条件是: \( y = y\left( x\right) \) 是微分方程 \[ {F}_{y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{F}_{{y}^{\prime }} = 0 \] 或 \[ {F}_{{y}^{\prime }{y}^{\prime }}{y}^{\prime \prime } + {F}_{y{y}^{\prime }}{y}^{\prime } + {F}_{x{y}^{\prime }} - {F}_{y} = 0 \] 的解. 这个方程称为欧拉方程. 欧拉方程的积分曲线称为极值曲线. 对于形如 \[ v\left\lbrack {z\left( {x, y}\right) }\right\rbrack \] \[ = {\iint }_{\Omega }F\left( {x, y, z,\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y},\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {x}^{2}},\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y},\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {y}^{2}}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y \] 的泛函, 它相应的欧拉方程为 \[ {F}_{z} - \frac{\partial }{\partial x}{F}_{{z}_{x}} - \frac{\partial }{\partial y}{F}_{{z}_{y}} + \frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}^{2}}{F}_{{z}_{xx}} \] \[ + \frac{{\partial }^{2}}{\partial x\partial y}{F}_{{z}_{xy}} + \frac{{\partial }^{2}}{\partial {y}^{2}}{F}_{{z}_{yy}} = 0, \] 式中 \[ {z}_{x} = \frac{\partial z}{\partial x},\;{z}_{y} = \frac{\partial z}{\partial y},\;{z}_{xx} = \frac{{\partial }^{2}z}{\partial {x}^{2}}, \] \[ {z}_{xy} = \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y},\;{z}_{yy} = \frac{{\partial }^{2}z}{\partial {y}^{2}}. \] 极值曲线 (extreme curve) 见“欧拉方程”. 横截条件 (transversal condition) 可动边界的变分问题在端点上满足的条件. 假设泛函形如 \[ {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x. \] 1. 若 \( A\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right), B\left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) \) 两端分别在曲线 \[ y = {\varphi }_{0}\left( x\right) \text{ 和 }y = {\varphi }_{1}\left( x\right) \] 上变动,则使泛函达到极值的函数 \( y = y\left( x\right) \) ,除必须满足欧拉方程 \[ {F}_{y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{F}_{{y}^{\prime }} = 0 \] 外, 其端点还必须满足条件 \[ {\left\lbrack F + \left( {\varphi }_{0}^{\prime } - {y}^{\prime }\right) {F}_{{y}^{\prime }}\right\rbrack }_{x = {x}_{0}} = 0, \] \[{\left\lbrack F + \left( {\varphi }_{1}^{\prime } - {y}^{\prime }\right) {F}_{{y}^{\prime }}\right\rbrack }_{x = {x}_{1}} = 0,\] 这个条件称为横截条件 (参见《变分法》同名条). 2. 若 \( A\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right), B\left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) \) 两端点所在的曲线分别以隐函数形式 \( {\varphi }_{0}\left( {x, y}\right) = 0,{\varphi }_{1}\left( {x, y}\right) = 0 \) 给出,其中 \( {\varphi }_{0},{\varphi }_{1} \) 有连续偏导数,且 \[{\left( \frac{\partial {\varphi }_{0}}{\partial x}\right) }^{2} + {\left( \frac{\partial {\varphi }_{0}}{\partial y}\right) }^{2} > 0,{\left( \frac{\partial {\varphi }_{1}}{\partial x}\right) }^{2} + {\left( \frac{\partial {\varphi }_{1}}{\partial y}\right) }^{2} > 0,\] 则横截条件为 \[{\left\lbrack \left( F - {y}^{\prime }{F}_{{y}^{\prime }}\right) /\frac{\partial {\varphi }_{0}}{\partial x}\right\rbrack }_{x = {x}_{0}} = {\left\lbrack {F}_{{y}^{\prime }}/\frac{\partial {\varphi }_{0}}{\partial y}\right\rbrack }_{x = {x}_{0}},\] \[{\left\lbrack \left( F - {y}^{\prime }{F}_{{y}^{\prime }}\right) /\frac{\partial {\varphi }_{1}}{\partial x}\right\rbrack }_{x = {x}_{1}} = {\left\lbrack {F}_{{y}^{\prime }}/\frac{\partial {\varphi }_{1}}{\partial y}\right\rbrack }_{x = {x}_{1}}.\] 条件极值变分问题 (variational problem of the conditional extremum) 在附加约束条件下求泛函极值的问题. 对泛函 \[ v\left\lbrack {{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}}\right\rbrack \] \[ = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x,{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n},{y}^{\prime }{}_{1},{y}^{\prime }{}_{2},\cdots ,{y}_{n}{}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x \] 所依赖的函数加上约束条件 \[ {\varphi }_{i}\left( {x,{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}}\right) = 0\;\left( {i = 1,2,\cdots, m;m < n}\right) \] 及端点的条件后,求泛函 \( v \) 的极值问题,称为条件极值变分问题或者简称条件极值问题. 例如, 短程线问题、等周问题以及连续动态系统的最优控制等都是条件极值问题. 拉格朗日乘子法 (method of Lagrange multiplicator) 解条件极值问题的一种方法. 考虑最简单的条件极值问题: 求两个函数 \( y\left( x\right) \) 及 \( z\left( x\right) \) ,使泛函 \[ v\left\lbrack {y\left( x\right), z\left( x\right) }\right\rbrack = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x, y, z,{y}^{\prime },{z}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x \] 达到极值,且满足约束条件 \( G\left( {x, y, z}\right) = 0 \) 及固定端点的边界条件 \( y\left( {x}_{0}\right) = {y}_{0}, y\left( {x}_{1}\right) = {y}_{1}, z\left( {x}_{0}\right) = {z}_{0} \) , \( z\left( {x}_{1}\right) = {z}_{1} \) . 做辅助函数 \( {F}^{ * } = F + \lambda \left( x\right) G,\lambda \left( x\right) \) 是 \( x \) 的一个待定函数. 把上述条件极值问题化为以 \( {F}^{ * } \) 为被积函数的泛函 \[ {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}{F}^{ * }\left( {x, y, z,{y}^{\prime },{z}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x \] 的无条件极值问题, 这样就得到欧拉方程 \[ {F}_{y}^{ * } - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{F}_{{y}^{\prime }}^{ * } = 0,\;{F}_{z}^{ * } - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{F}_{{z}^{\prime }}^{ * } = 0. \] 由这两个方程和约束条件 \( G\left( {x, y, z}\right) = 0 \) ,便可定出 \( \lambda \left( x\right) \) 和待求的函数 \( y = y\left( x\right), z = z\left( x\right) \) . 在这两个函数上可以使泛函 \( v \) 得到条件极值. 等周问题 (isoperimetric problem) 一个重要的条件极值变分问题. 在泛函 \[ {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}G\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x \] 保持定值 \( l \) 的条件下,求泛函 \[ v\left\lbrack {y\left( x\right) }\right\rbrack = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x, \] \( y\left( {x}_{0}\right) = {y}_{0}, y\left( {x}_{1}\right) = {y}_{1} \) 的极值问题称为等周问题. 等周问题是一个条件极值问题, 因此可以使用拉格朗日乘子法求解. 即,做辅助函数 \( H = F + {\lambda G},\lambda \) 是一个待定常数, 等周问题便化为泛函 \[ {v}^{ * } = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}H\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x \] 的无条件极值问题. 于是由 \( {v}^{ * } \) 的欧拉方程、两个端点条件以及等周条件就能定出曲线 \( y = y\left( x\right) \) . 注意, 仅当曲线 \( y = y\left( x\right) \) 不是等周条件中的积分 \[ {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}G\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x \] 的极值曲线时才是等周问题的解答. 连续动态系统的最优控制 (optimal control of continuous dynamic system) 最优控制中一个重要的条件极值问题. 设控制系统的状态方程为 \[ \dot{x} = f\left( {x, m, t}\right) , \] (1) 式中 \( x \) 是一个 \( n \) 维的状态向量, \( m \) 是 \( r \) 维的控制向量, \( f \) 是一个可微的 \( n \) 维向量函数,初始条件为 \[ x\left( {t}_{0}\right) = {x}^{0}. \] (2) 系统的性能指标为 \[ I\left( m\right) = {\int }_{{t}_{0}}^{{t}_{1}}F\left( {x\left( t\right), m\left( t\right), t}\right) \mathrm{d}t. \] （3） 最优控制的目的是要求确定控制向量 \( m\left( t\right) \left( {t}_{0}\right. \) \( \left. { \leq t \leq {t}_{1}}\right) \) 在满足约束条件 \( \left( 1\right) ,\left( 2\right) \) 下,使性能指标 \( \left( 3\right) \) 取极小值. 这是一个条件极值问题. 做辅助函数 \[ {F}^{ * }\left( {x\left( t\right) ,\dot{x}\left( t\right) ,\lambda \left( t\right), m\left( t\right), t}\right) \] \[ = F\left( {x\left( t\right), m\left( t\right), t}\right) \] \[ + {\lambda }^{T}\left\lbrack {f\left( {x\left( t\right), m\left( t\right), t}\right) - \dot{x}\left( t\right) }\right\rbrack , \] 式中 \( \lambda \) 是一待定的 \( n \) 维列向量, \( {\lambda }^{T} \) 是 \( \lambda \) 的转置. 问题化为泛函 \[{I}_{1}\left( {m\left( t\right) }\right) = {\int }_{{t}_{0}}^{{t}_{1}}{F}^{ * }\left( {x\left( t\right) ,\dot{x}\left( t\right) ,\lambda \left( t\right), m\left( t\right), t}\right) \mathrm{d}t\] 的无条件极值问题. 泛函 \( {I}_{1}\left( m\right) \) 取极值的必要条件是: \( {F}_{m}^{ * } = 0 \) (控制方程); \( {F}_{\lambda }^{ * } = 0 \) (状态方程); \( {F}_{x}^{ * } - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{F}_{\dot{x}}^{ * } = 0\; \) (欧拉方程); \( {\left. \eta {F}_{x}^{ * }\right| }_{t = {t}_{0}}^{{t}_{1}} = 0\; \) (横截条件). 式中 \( \eta \left( t\right) \) 是定义在区间 \( \left\lbrack {{t}_{0},{t}_{1}}\right\rbrack \) 上的任意向量函数. 欧拉有限差分法 (Euler finite difference method） 一种用有限差分法求泛函 \[v\left\lbrack {y\left( x\right) }\right\rbrack = {\int }_{a}^{b}F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x\] 在边界条件 \( y\left( a\right) = {y}_{a}, y\left( b\right) = {y}_{b} \) 下的极值的方法. 其步骤如下: 1. 将积分区间 \( \left\lbrack {a, b}\

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ft( t\right) }\right\rbrack , \] 式中 \( \lambda \) 是一待定的 \( n \) 维列向量, \( {\lambda }^{T} \) 是 \( \lambda \) 的转置. 问题化为泛函 \[{I}_{1}\left( {m\left( t\right) }\right) = {\int }_{{t}_{0}}^{{t}_{1}}{F}^{ * }\left( {x\left( t\right) ,\dot{x}\left( t\right) ,\lambda \left( t\right), m\left( t\right), t}\right) \mathrm{d}t\] 的无条件极值问题. 泛函 \( {I}_{1}\left( m\right) \) 取极值的必要条件是: \( {F}_{m}^{ * } = 0 \) (控制方程); \( {F}_{\lambda }^{ * } = 0 \) (状态方程); \( {F}_{x}^{ * } - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{F}_{\dot{x}}^{ * } = 0\; \) (欧拉方程); \( {\left. \eta {F}_{x}^{ * }\right| }_{t = {t}_{0}}^{{t}_{1}} = 0\; \) (横截条件). 式中 \( \eta \left( t\right) \) 是定义在区间 \( \left\lbrack {{t}_{0},{t}_{1}}\right\rbrack \) 上的任意向量函数. 欧拉有限差分法 (Euler finite difference method） 一种用有限差分法求泛函 \[v\left\lbrack {y\left( x\right) }\right\rbrack = {\int }_{a}^{b}F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x\] 在边界条件 \( y\left( a\right) = {y}_{a}, y\left( b\right) = {y}_{b} \) 下的极值的方法. 其步骤如下: 1. 将积分区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 分成 \( n + 1 \) 等份,分点为 \( {x}_{0} \) \( = a,{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n},{x}_{n + 1} = b \) . 又 \[{x}_{i + 1} - {x}_{i} = {\Delta x} = \frac{b - a}{n + 1},\] 这样 \[v\left\lbrack {y\left( x\right) }\right\rbrack \approx \Phi \left( {{y}_{0},{y}_{1},\cdots ,{y}_{n + 1}}\right) \] \[ = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{n}F\left( {{x}_{i},{y}_{i},\frac{{y}_{i + 1} - {y}_{i}}{\Delta x}}\right) {\Delta x},\] 式中 \( {y}_{0} = {y}_{a} = y\left( {x}_{0}\right) ,{y}_{1} = y\left( {x}_{1}\right) ,\cdots ,{y}_{n} = y\left( {x}_{n}\right) ,{y}_{n + 1} \) \( = {y}_{b} = y\left( {x}_{n + 1}\right) \) . 2. 选取 \( {y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n} \) ,使函数 \( \Phi \left( {{y}_{0},{y}_{1},\cdots ,{y}_{n + 1}}\right) \) 达到极值,也就是由方程组 \[ \frac{\partial \Phi }{\partial {y}_{1}} = 0,\frac{\partial \Phi }{\partial {y}_{2}} = 0,\cdots ,\frac{\partial \Phi }{\partial {y}_{n}} = 0 \] 来确定 \( {y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n} \) . 于是得到变分问题的近似解. 区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 分得愈细所得近似解就愈精确. 正定算子 (positive operator) 相应算子方程可以化为变分问题的一类重要算子. 设 \( H \) 是实希尔伯特空间, \( {D}_{A} \) 是 \( H \) 的一个线性稠密子集, \( A \) 是 \( {D}_{A} \) \( \rightarrow H \) 的线性 (不必有界) 算子. 如果 \( A \) 是对称的,即 \[ \left( {{Au}, v}\right) = \left( {u,{Av}}\right) \;\left( {\forall u, v \in {D}_{A}}\right) , \] 且存在正常数 \( \gamma \) ,使 \[ \left( {{Au}, u}\right) \geq {\gamma }^{2}\parallel u{\parallel }^{2}\;\left( {\forall u \in {D}_{A}}\right) , \] 则称 \( A \) 为 \( {D}_{A} \) 上的正定算子. 对 \( {D}_{A} \) 上的正定算子 \( A \) ,求算子方程 \( {Au} = f\left( {f \in H}\right) \) 的解 \( u \) 可以化成求泛函 \[ I\left( v\right) = \frac{1}{2}\left( {{Av}, v}\right) - \left( {f, v}\right) \] 取极小值的极值函数 \( u \) 的变分问题. 例如,负拉普拉斯算子 \( A = - \Delta \) 是 \( {D}_{A} = \left\{ {u \in {C}^{2}\left( \Omega \right) \cap {C}^{1}\left( \bar{\Omega }\right) \mid u = 0}\right. \) 在 \( \partial \Omega \) 上 \( \} \) 上的正定算子,其中 \( \Omega \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 是具有 \( {C}^{1} \) 边界 \( \partial \Omega \) 的有界区域. 狄利克雷问题 \[ \left\{ \begin{array}{ll} - {\Delta u} = f & \left( {\text{ 在 }\Omega \text{ 中 }}\right) , \\ u = 0 & \left( {\text{ 在 }\partial \Omega \text{ 上 }}\right) \end{array}\right. \] 的解就是使泛函 \[ I\left( v\right) = \frac{1}{2}\left( {-{\Delta v}, v}\right) - \left( {f, v}\right) \] \[ = \frac{1}{2}{\int }_{\Omega }{\left| Dv\right| }^{2}\mathrm{\;d}x - {\int }_{\Omega }{fv}\mathrm{\;d}x \] 取极小值的极值函数. 极小化序列 (minimizing sequences) 使泛函值的极限为泛函极小值的函数序列. 设 \( {D}_{A} \) 是希尔伯特空间 \( H \) 的一个线性稠密子集,如果 \( {D}_{A} \) 上的泛函 \( I \) 有下界,即 \[ d = \mathop{\inf }\limits_{{v \in {D}_{A}}}I\left( v\right) \] 存在,序列 \( \left\{ {u}_{n}\right\} \subset {D}_{A} \) 使得 \[ \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}I\left( {u}_{k}\right) = d, I\left( {u}_{1}\right) \geq I\left( {u}_{2}\right) \geq \cdots \geq I\left( {u}_{k}\right) \geq \cdots , \] 则称 \( \left\{ {u}_{k}\right\} \) 是泛函 \( I \) 的极小化序列. 如果 \( A \) 是 \( {D}_{A} \) 上的正定算子, 则其相应的泛函 \[ F\left( u\right) = \frac{1}{2}\left( {{Au}, u}\right) - \left( {f, u}\right) \] 必有极小化序列,以 \( {H}_{A} \) 表示 \( {D}_{A} \) 关于新范数 \[ \parallel u{\parallel }_{A} = {\left( Au, u\right) }^{\frac{1}{2}} \] 完备化得到的希尔伯特空间, 则此极小化序列在 \( {H}_{A} \) (也在 \( H \) ) 中收敛于一个函数 \( u \in {H}_{A} \) ,且此函数 \( u \) 是变分问题 \[ F\left( u\right) = \mathop{\inf }\limits_{{v \in {D}_{A}}}F\left( v\right) \] 的解,也是算子方程 \( {Au} = f \) 的广义解 (弱解). 例如, 设 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中具有 \( {C}^{1} \) 边界 \( \partial \Omega \) 的有界区域,则 \( A = - \Delta \) 是 \( {D}_{A} = \left\{ {u \in {C}^{2}\left( \Omega \right) \cap {C}^{1}\left( \bar{\Omega }\right) \mid u\text{在}\partial \Omega = 0}\right\} \) 上的正定算子, 它对应的泛函 \[ F\left( u\right) = \frac{1}{2}\left( {{Au}, u}\right) - \left( {f, u}\right) \] \[ = {\int }_{\Omega }\left( {\frac{1}{2}{\left| Du\right| }^{2} - {fu}}\right) \mathrm{d}x \] 有极小化序列 \( \left\{ {u}_{k}\right\} \) ,在 \( {H}_{A} = {W}_{0}^{1,2}\left( \Omega \right) \) 中 \( {u}_{k} \rightarrow u, u \) 是变分问题 \[ F\left( u\right) = \mathop{\inf }\limits_{{v \in {D}_{A}}}F\left( v\right) \] 的解. 根据变分问题 \[ F\left( u\right) = \mathop{\inf }\limits_{{v \in {D}_{A}}}F\left( v\right) \] 有解的充分必要条件是 \( {Au} = f \) 有解 \( u \in {D}_{A} \) ,故 \( u \) 也是泊松方程边值问题 \[\left\{ \begin{array}{ll} - {\Delta u} = f & \left( {\text{ 在 }\Omega \text{ 中 }}\right) , \\ u = 0 & \left( {\text{ 在 }\partial \Omega \text{ 上 }}\right) \end{array}\right. \] 的弱解. 狄利克雷原理 (Dirichlet principle) 拉普拉斯方程狄利克雷问题化为变分问题的方法. 使 \[D\left( u\right) \equiv {\int }_{\Omega }{\left| Du\right| }^{2}\mathrm{\;d}x\] (1) 在函数类 \( \left\{ {u \in {C}^{2}\left( \Omega \right) \cap {C}^{1}\left( \bar{\Omega }\right) \mid u = \varphi }\right. \) 在 \( \partial \Omega \) 上, \( \varphi \in \) \( \left. {{C}^{1}\left( {\partial \Omega }\right) }\right\} \) 中达到极小的极值函数 \( u \) 就是拉普拉斯方程狄利克雷问题 \[\left\{ \begin{matrix} {\Delta u} = 0 & \left( {\text{ 在 }\Omega \text{ 中 }}\right) , \\ u = \varphi & \left( {\text{ 在 }\partial \Omega \text{ 上 }}\right) \end{matrix}\right. \] 的解. 因此, 求解拉普拉斯方程狄利克雷问题可化成变分问题 (1),这就是狄利克雷原理. 积分 \( D\left( u\right) \) 称为狄利克雷积分. 狄利克雷积分 (Dirichlet integral) 见“狄利克雷原理”. 变分原理 (variational principle) 微分方程边值问题化为变分问题的方法. 在 \( n \) 维有界区域 \( \Omega \) 上考虑 \( {2m} \) 阶线性偏微分方程的齐次边值问题 \[\left\{ \begin{array}{l} {Lu} \equiv \mathop{\sum }\limits_{{\left| \alpha \right| \leq {2m}}}{a}_{\alpha }\left( x\right) {D}^{\alpha }u = f\left( x\right) \;(\text{ 在 }\Omega \\ {B}_{j}u \equiv \mathop{\sum }\limits_{{\left| \beta \right| \leq m - 1}}{b}_{\beta }\left( x\right) {D}^{\beta }u = 0 \\ \;\left( {\text{ 在 }\partial \Omega \text{ 上; }j = 0,1,\cdots, m - 1}\right) . \end{array}\right. \] (1) 取 \( H = {L}^{2}\left( \Omega \right) \) ,则 \[{D}_{L} = \left\{ {u \in {C}^{2m}\left( \bar{\Omega }\right) \mid {B}_{j}u = 0}\right. \text{在}\partial \Omega \text{上,}\] \[j = 0,1,\cdots, m - 1\} \] 为 \( H \) 的线性稠密子集. \( L \) 可视为 \( {D}_{L} \rightarrow H \) 的线性微分算子. 如果 \( L \) 是 \( {D}_{L} \) 上的正定算子,则边值问题 (1) 可以化为在 \( {D}_{L} \) 中求泛函 \[F\left( u\right) = \frac{1}{2}\left( {{Lu}, u}\right) - \left( {f, u}\right) \] 的极值函数的问题. 这种把微分方程边值问题化为变分问题的方法称为能量法, 也称为变分原理. 狄利克雷原理就是最早出现的最简单的变分原理 (参见本卷《变分法》同名条). 能量法 (energy method) 即“变分原理”. 里茨方法 (Ritz method) 求变分问题的极小化序列的常用方法. 例如,对 \( {D}_{A} \) 上的正定算子 \( A \) , 可用里茨方法求泛函 \[ F\left( u\right) = \frac{1}{2}\left( {{Au}, u}\right) - \left( {f, u}\right) \] 的极小化序列, 其主要步骤如下: 1. 在集合 \( {D}_{A} \) 中选取在 \( {H}_{A} \) 中完备的元素序列 \( {\left\{ {\varphi }_{j}\right\} }_{j = 1}^{\infty } \) ,并要求对任意的 \( n,{\varphi }_{1},{\varphi }_{2},\cdots ,{\varphi }_{n} \) 线性无关. 称这样的元素为坐标元素. 2. 令 \[ {u}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{k}{\varphi }_{k} \] 其中 \( {a}_{k} \) 是待定系数. 代入泛函 \( F\left( u\right) \) ,得自变量 \( {a}_{1} \) , \( {a}_{2},\cdots ,{a}_{n} \) 的函数 \[ F\left( {u}_{n}\right) = \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{j, k = 1}}^{n}{a}_{j}{a}_{k}\left( {A{\varphi }_{j},{\varphi }_{k}}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{a}_{j}\left( {f,{\varphi }_{j}}\right) . \] 3. 为使函数 \( F\left( {u}_{n}\right) \) 取极小,必须 \[ \frac{\partial F\left( {u}_{n}\right) }{\partial {a}_{j}} = 0\left( {j = 1,2,\cdots, n}\right) , \] 从而求出 \( {a}_{k}\left( {k = 1,2,\cdots, n}\right) \) . 序列 \( \left\{ {u}_{n}\right\} \) 即为极小化序列, \( {u}_{n} \) 可作为问题的近似解. 当 \( n \) 越大时得到的近似解 \( {u}_{n} \) 越精确 (参见本卷《变分法》同名条). 加廖尔金法 (Galerkin method) 求算子方程 \( {Au} = f \) 近似解的常用方法. 当算子 \( A \) 非正定时,不能用里茨法而使用加廖尔金法. 其主要步骤是: 1. 在 \( {D}_{A} \) 中选取在空间 \( H \) 中完备的元素序列 \( {\left\{ {\varphi }_{i}\right\} }_{i = 1}^{\infty } \) ,其中任意 \( n \) 个元素线性无关,称 \( {\varphi }_{i}(i = 1,2 \) , \( \cdots ) \) 为坐标元素序列. 2. 把方程的近似解表示为 \[ {u}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{k}{\varphi }_{k} \] 式中 \( {a}_{k} \) 是待定常数. 把 \( {u}_{n} \) 代入方程 \( {Au} = f \) 中的 \( u \) , 两端与 \( {\varphi }_{j}\left( {j = 1,2,\cdots, n}\right) \) 做内积,得以 \( {a}_{k} \) 为未知数的 \( n \) 元代数方程组 \[ \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{k}\left( {A{\varphi }_{k},{\varphi }_{j}}\right) = \left( {f,{\varphi }_{j}}\right) \;\left( {j = 1,2,\cdots, n}\right) . \] 3. 求出 \( {a}_{k} \) ,代回 \( {u}_{n} \) 的表达式,便得方程 \( {Au} = f \) 的近似解 \( {u}_{n} \) . 在自共轭边值问题中,当算子正定时, 由加廖尔金法和里茨法得到的关于 \( {a}_{k} \) 的代数方程组是相同的 (参见本卷《变分法》同名条). 坎托罗维奇法 (Kantorovetz method) 将二元函数泛函的变分问题求近似解化为有限个一元函数的常微分方程组求解的方法. 考虑泛函 \[ v\left\lbrack {z\left( {x, y}\right) }\right\rbrack = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}{\int }_{{\varphi }_{1}\left( x\right) }^{{\varphi }_{2}\left( x\right) }F\left( {x, y, z,\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y \] 的极值,右端积分展布在由两条曲线 \( y = {\varphi }_{1}\left( x\right) \) , \( y = {\varphi }_{2}\left( x\right) \) 和两条直线 \( x = {x}_{0}, x = {x}_{1} \) 所围成的区域 \( D \) 上,设在区域 \( D \) 的边界上函数的值 \( z\left( {x, y}\right) \) 已经给出. 其步骤如下: 1. 选取坐标函数序列 \( {w}_{1}\left( {x, y}\right) ,{w}_{2}\left( {x, y}\right) \) , \( {w}_{3}\left( {x, y}\right) ,\cdots \) ,构造函数 \[ {z}_{m}\left( {x, y}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{u}_{i}\left( x\right) {w}_{i}\left( {x, y}\right) \approx z\left( {x, y}\right) , \] \( {u}_{i}\left( x\right) \left( {i = 1,2,\cdots, m}\ri

2000_数学辞海（第3卷）

f \) 的近似解 \( {u}_{n} \) . 在自共轭边值问题中,当算子正定时, 由加廖尔金法和里茨法得到的关于 \( {a}_{k} \) 的代数方程组是相同的 (参见本卷《变分法》同名条). 坎托罗维奇法 (Kantorovetz method) 将二元函数泛函的变分问题求近似解化为有限个一元函数的常微分方程组求解的方法. 考虑泛函 \[ v\left\lbrack {z\left( {x, y}\right) }\right\rbrack = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}{\int }_{{\varphi }_{1}\left( x\right) }^{{\varphi }_{2}\left( x\right) }F\left( {x, y, z,\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y \] 的极值,右端积分展布在由两条曲线 \( y = {\varphi }_{1}\left( x\right) \) , \( y = {\varphi }_{2}\left( x\right) \) 和两条直线 \( x = {x}_{0}, x = {x}_{1} \) 所围成的区域 \( D \) 上,设在区域 \( D \) 的边界上函数的值 \( z\left( {x, y}\right) \) 已经给出. 其步骤如下: 1. 选取坐标函数序列 \( {w}_{1}\left( {x, y}\right) ,{w}_{2}\left( {x, y}\right) \) , \( {w}_{3}\left( {x, y}\right) ,\cdots \) ,构造函数 \[ {z}_{m}\left( {x, y}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{u}_{i}\left( x\right) {w}_{i}\left( {x, y}\right) \approx z\left( {x, y}\right) , \] \( {u}_{i}\left( x\right) \left( {i = 1,2,\cdots, m}\right) \) 是待定函数. 将 \( {z}_{m}\left( {x, y}\right) \) 代入泛函 \( v \) ,得 \[ v\left\lbrack {{z}_{m}\left( {x, y}\right) }\right\rbrack = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}{\int }_{{\varphi }_{1}\left( x\right) }^{{\varphi }_{2}\left( x\right) }F\left( {x, y,{z}_{m},\frac{\partial {z}_{m}}{\partial x},\frac{\partial {z}_{m}}{\partial y}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y \] \[ = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}\Phi \left( {x,{u}_{1}\left( x\right) ,\cdots ,{u}_{m}\left( x\right) ,{u}_{1}{}^{\prime }\left( x\right) ,\cdots ,{u}_{m}{}^{\prime }\left( x\right) }\right) \mathrm{d}x. \] 2. 选取函数 \( {u}_{1}\left( x\right) ,{u}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{u}_{m}\left( x\right) \) ,使泛函 \( v\left\lbrack {{z}_{m}\left( {x, y}\right) }\right\rbrack \) 达到极值,也就是由欧拉方程 \[ {\Phi }_{{u}_{i}} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\Phi }_{{u}_{i}^{\prime }} = 0\left( {i = 1,2,\cdots, m}\right) \] 来确定 \( {u}_{1}\left( x\right) ,{u}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{u}_{m}\left( x\right) \) . 于是得到变分问题的近似解 (参见本卷《变分法》同名条). 自然边界条件 (natural boundary condition) 变分问题的解自然满足的边界条件. 设区域 \( \Omega \) 有 \( {C}^{1} \) 边界 \( \partial \Omega, f \in C\left( \Omega \right) ,\alpha \in C\left( {\partial \Omega }\right) \) . 令 \[ D = {C}^{2}\left( \Omega \right) \cap {C}^{1}\left( \bar{\Omega }\right) , \] \[ I\left( u\right) = {\int }_{\Omega }\left( {\frac{1}{2}{\left| Du\right| }^{2} + {fv}}\right) \mathrm{d}x + \frac{1}{2}{\int }_{\partial \Omega }\alpha \left( x\right) {u}^{2}\mathrm{\;d}S, \] (1) 则变分问题 \[ I\left( u\right) = \mathop{\min }\limits_{{v \in D}}I\left( v\right) \] （2） 的解 \( u \) 必定是泊松方程第三边值问题 \[ \left\{ \begin{array}{ll} {\Delta u} = f & \left( {\text{ 在 }\Omega \text{ 中 }}\right) , \\ \frac{\partial u}{\partial n} + \alpha \left( x\right) u = 0 & \left( {\text{ 在 }\partial \Omega \text{ 上 }}\right) \end{array}\right. \] (3) (4) 的解,其中 \( n \) 是 \( \Omega \) 的外法线方向. 对变分问题 (2) 所考虑的函数类 \( D \) 不涉及边界条件 (4),而变分问题 （2）的解必然满足此边界条件, 即边界条件 (4) 自然地包含在变分问题 (2) 中, 称 (4) 为变分问题 (2) 的自然边界条件. 对一般二阶线性椭圆型方程, 第二及第三边界条件都可以取成对应变分问题的自然边界条件 (参见本卷《变分法》同名条). 临界点 (critical point) 泛函费雷歇导数的零点, 亦即函数导数的零点的推广. 椭圆型方程的弱解常常是相应泛函的临界点. 设 \( D \) 是实巴拿赫空间 \( \mathcal{X} \) 中的开集,泛函 \( f : D \rightarrow {\mathrm{R}}^{1} \) 在 \( D \) 上具有弗雷歇导数. 若 \( {x}_{0} \in D \) ,使得 \( \operatorname{grad}f\left( {x}_{0}\right) = {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = \theta \) ,则称 \( {x}_{0} \) 是泛函 \( f\left( x\right) \) 的一个临界点, \( c = f\left( {x}_{0}\right) \) 称为 \( f\left( x\right) \) 的一个临界值. 这里 \( \theta \) 是从 \( \mathcal{X} \) 到 \( {\mathrm{R}}^{1} \) 的零映射. 设 \( \Omega \) 是 \( n \) 维有界区域, \( f \in {L}^{2}\left( \Omega \right) \) ,则 \( \mathcal{K} = {W}_{0}^{1,2}\left( \Omega \right) \) 上的泛函 \[ F\left( u\right) = {\int }_{\Omega }\left( {\frac{1}{2}{\left| Du\right| }^{2} - {fu}}\right) \mathrm{d}x \] 有弗雷歇导数 \( {F}^{\prime }\left( u\right) \) ,此时 \[ {F}^{\prime }\left( u\right) \varphi = {\int }_{\Omega }\left( {{Du} \cdot {D\varphi } - {f\varphi }}\right) \mathrm{d}x\;\left( {\forall \varphi \in \mathcal{X}}\right) . \] 因此, \( F \) 的临界点为泊松方程狄利克雷问题 \[ \left\{ \begin{array}{ll} - {\Delta u} = f & \text{ (在 }\Omega \text{ 中),} \\ u = 0 & \text{ (在 }\partial \Omega \text{ 上) } \end{array}\right. \] 的弱解. 更一般地,设 \( f\left( {x, u}\right) \in {C}^{0,1}\left( {\Omega \times \mathrm{R}}\right) \) 且满足条件 \[ \left| {f\left( {x, u}\right) }\right| \leq a + b{\left| u\right| }^{r}\left( {a > 0, b > 0}\right) , \] 其中 \( r \geq 1 \) ,当 \( n \geq 3 \) 时 \( r \leq \left( {n + 2}\right) /\left( {n - 2}\right) \) , \[ F\left( {x, u}\right) = {\int }_{0}^{u}f\left( {x, t}\right) \mathrm{d}t, \] 则 \( \mathcal{X} = {W}_{0}^{1,2}\left( \Omega \right) \) 上的泛函 \[ I\left( u\right) = {\int }_{\Omega }\left\lbrack {\frac{1}{2}{\left| Du\right| }^{2} - F\left( {x, u}\right) }\right\rbrack \mathrm{d}x \] 有弗雷歇导数, 且 \[ {I}^{\prime }\left( u\right) \varphi = {\int }_{\Omega }\left\lbrack {{Du} \cdot {D\varphi } - f\left( {x, u}\right) \varphi }\right\rbrack \mathrm{d}x\left( {\forall \varphi \in \mathcal{X}}\right) . \] 因此,泛函 \( I \) 的临界点是非线性椭圆型方程边值问题 \[ \left\{ \begin{array}{ll} - {\Delta u} = f\left( {x, u}\right) & \text{ (在 }\Omega \text{ 中),} \\ u = 0 & \text{ (在 }\partial \Omega \text{ 上) } \end{array}\right. \] 的弱解. 以上例子说明, 许多椭圆型方程边值问题弱解的存在问题可以化成相应泛函临界点的存在问题. 临界值 (critical value) 见“临界点”. PS 条件 (Palais-Smale condition) 判断极大极小原理的一个重要条件. 设 \( \mathcal{X} \) 是实巴拿赫空间, \( f : \mathcal{X} \rightarrow {\mathrm{R}}^{1} \) 是 \( {C}^{1} \) 泛函. 如果 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \subset \mathcal{X}, f\left( {x}_{n}\right) \) 有界与 \( {f}^{\prime }\left( {x}_{n}\right) \rightarrow \theta \) 蕴涵 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 有收敛子序列,则称泛函 \( f\left( x\right) \) 满足 PS 条件,此处 \( \theta \) 是从 \( \mathcal{X} \) 到 \( {\mathrm{R}}^{1} \) 的零映射. 极大极小原理 (minimax principle) 判定临界值存在的重要法则. 设 \( \mathcal{X} \) 是实巴拿赫空间, \( f : \mathcal{X} \) \( \rightarrow {\mathrm{R}}^{1} \) 是 \( {C}^{1} \) 泛函,满足 PS 条件. 又设 \( \mathcal{F} = \{ F\} \) 是 \( \mathcal{X} \) 的一个子集族. 令 \[ c = \mathop{\inf }\limits_{{F \in \mathcal{F}}}\mathop{\sup }\limits_{{x \in F}}f\left( x\right) . \] 如果满足下列条件,那么, \( c \) 必是 \( f \) 的临界值,即必存在 \( {x}_{0} \in \mathcal{X} \) ,使得 \( {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = \theta \) ,且 \( f\left( {x}_{0}\right) = c \) : 1. \( c \) 是一个有限数. 2. 存在 \( \delta > 0 \) ,使得对于满足条件 \( g\left( x\right) = x \) , \( \forall x \in {f}_{c - \delta } \triangleq \{ x \in \mathcal{X} \mid f\left( x\right) \leq c - \delta \} \) 的任何连续映射 \( g : \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{X} \) ,都有 \( g\left( F\right) \in \mathcal{F}\left( {\forall F \in \mathcal{F}}\right) \) . 山路引理 (mountain pass lemma) 证明非线性椭圆型方程边值问题有解的重要工具. 设 \( \mathcal{X} \) 是实巴拿赫空间, \( f : \mathcal{X} \rightarrow {\mathrm{R}}^{1} \) 是 \( {C}^{1} \) 泛函且满足 PS 条件. 如果 \( f \) 再满足条件: 1. \( f\left( \theta \right) = 0 \) 且存在常数 \( \rho ,\alpha > 0 \) ,使得 \( {\left. f\right| }_{\partial {B}_{\rho }} \geq \alpha \) , 其中 \( \partial {B}_{\rho } \) 表示 \( \mathcal{X} \) 中以零元素 \( \theta \) 为心, \( \rho \) 为半径的球面. 2. 存在一个元素 \( x \in \mathcal{X} \smallsetminus {B}_{\rho } \) ,使得 \( f\left( x\right) \leq 0 \) ,则 \[ c = \mathop{\inf }\limits_{{g \in \Gamma }}\mathop{\sup }\limits_{{t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack }}f\left( {g\left( t\right) }\right) \] 是 \( f \) 的临界值,且 \( c \geq \alpha \) ,其中 \[ \Gamma = \{ g \in C\left( {\left\lbrack {0,1}\right\rbrack ,\mathcal{X}}\right) \mid g\left( 0\right) = 0, g\left( 1\right) = x\} . \] 山路引理由意大利数学家阿姆布罗塞蒂(Am-brosetti, A. ) 和美国数学家拉比诺维茨 (Rabinowitz, P. H. )于 1973 年证明. 多解定理 (multiple solution theorem) 亦称三解定理. 给出至少有三个不同的解的一类半线性椭圆方程边值问题. 设 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中有界的、边界光滑的开区域, \( g : {\mathrm{R}}^{1} \rightarrow {\mathrm{R}}^{1} \) 满足: 1. \( g \in {C}^{1}\left( {\mathrm{R}}^{1}\right), g\left( 0\right) = 0 \) ; \[ \text{2.}\left| {{g}^{\prime }\left( t\right) }\right| \leq {c}_{1} + {c}_{2}{\left| t\right| }^{\alpha - 1}\left( {\alpha < \frac{n + 2}{n - 2};n \geq 3}\right) \text{;} \] 3. \( G\left( t\right) = {\int }_{0}^{t}g\left( s\right) \mathrm{d}s \leq {\alpha }_{0}{u}^{2} + \beta \left( {2{\alpha }_{0} < {\lambda }_{1},\beta }\right. \) 是常 4. 对算子 \( - \Delta \) 的特征值 \( {\lambda }_{1} < {\lambda }_{2} \leq \cdots \) ,使得 \[ {\lambda }_{m} < {g}^{\prime }\left( 0\right) < {\lambda }_{m + 1}\left( {m \geq 1}\right) ; \] 则半线性椭圆边值问题 \[ \left\{ \begin{array}{l} - {\Delta u} = g\left( u\right) \left( {x \in \Omega }\right) , \\ {\left. u\right| }_{\partial \Omega } = 0. \end{array}\right. \] 至少有三个不同的解. 三解定理 (triplesolution theorem) 即“多解定理”. 变分不等式 (variational inequality) 经典变分问题的推广和发展. 将经典变分问题的约束条件放松为某些单边约束 (即用不等式代替等式) 的变分方法. 它是研究偏微分方程、最佳控制和其他领域的一个十分有用的工具, 也是变分学的一个重要发展. 变分不等式的形式可以各种各样, 以下的词条是其常见的形式. \( {\mathrm{R}}^{n} \) 空间中的变分不等式 (variational inequality in \( {\mathrm{R}}^{n} \) ) 即欧氏空间中的变分不等式. 给定 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的闭凸集 \( \mathcal{K} \) 和连续映射 \( F : \mathcal{K} \rightarrow {\mathrm{R}}^{n} \) ,求 \( x \in \mathcal{K} \) 使得 \( \langle F\left( x\right), y - x\rangle \geq 0 \) 对每个 \( y \in \mathcal{K} \) 成立. 此问题称为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的变分不等式. 最简单的例子是在闭区间 \( I \) \( = \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上求光滑实函数 \( f\left( x\right) \) 的极小值,即求 \( {x}_{0} \in I \) 使 \[ f\left( {x}_{0}\right) = \mathop{\min }\limits_{{x \in I}}f\left( x\right) . \] 此问题归结为变分不等式: \( {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \left( {x - {x}_{0}}\right) \geq 0 \) ,对一切 \( x \in I \) . 希尔伯特空间中的变分不等式 (variational inequality in Hilbert space) 即抽象空间中的变分不等式. 用 \( a\left( {u, v}\right) \) 记希尔伯特空间 \( H \) 上的双线性型, \( {H}^{\prime } \) 为 \( H \) 的对偶空间. 考虑问题: 设 \( \mathcal{K} \subset H \) 是一闭凸集, \( f \in {H}^{\prime } \) ,求 \( u \in \mathcal{K} \) 使 \( a\left( {u, v - u}\right) \geq \langle f, v - u\rangle \) 对一切 \( v \in \mathcal{K} \) 成立. 此问题称为希尔伯特空间中的变分不等式. 如果将 \( H \) 换为一般的巴拿赫空间,即可得到巴拿赫空间中的变分不等式. 障碍问题 (barrier problem) 对容许函数有不等式条件限制的变分不等式问题. 来源于边界固定的弹性薄膜在定义区域的某内部子域位于某给定物体 (障碍) 上方的平衡问题. 算子 \[ L = \frac{\partial }{\partial {x}_{j}}\left( {{a}_{ij}\left( {x, t}\right) \frac{\partial }{\partial {x}_{i}}}\right) \] 的障碍问题归结为如下的变分不等式: 设 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的有界区域,边界 \( \parti

2000_数学辞海（第3卷）

t\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上求光滑实函数 \( f\left( x\right) \) 的极小值,即求 \( {x}_{0} \in I \) 使 \[ f\left( {x}_{0}\right) = \mathop{\min }\limits_{{x \in I}}f\left( x\right) . \] 此问题归结为变分不等式: \( {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \left( {x - {x}_{0}}\right) \geq 0 \) ,对一切 \( x \in I \) . 希尔伯特空间中的变分不等式 (variational inequality in Hilbert space) 即抽象空间中的变分不等式. 用 \( a\left( {u, v}\right) \) 记希尔伯特空间 \( H \) 上的双线性型, \( {H}^{\prime } \) 为 \( H \) 的对偶空间. 考虑问题: 设 \( \mathcal{K} \subset H \) 是一闭凸集, \( f \in {H}^{\prime } \) ,求 \( u \in \mathcal{K} \) 使 \( a\left( {u, v - u}\right) \geq \langle f, v - u\rangle \) 对一切 \( v \in \mathcal{K} \) 成立. 此问题称为希尔伯特空间中的变分不等式. 如果将 \( H \) 换为一般的巴拿赫空间,即可得到巴拿赫空间中的变分不等式. 障碍问题 (barrier problem) 对容许函数有不等式条件限制的变分不等式问题. 来源于边界固定的弹性薄膜在定义区域的某内部子域位于某给定物体 (障碍) 上方的平衡问题. 算子 \[ L = \frac{\partial }{\partial {x}_{j}}\left( {{a}_{ij}\left( {x, t}\right) \frac{\partial }{\partial {x}_{i}}}\right) \] 的障碍问题归结为如下的变分不等式: 设 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的有界区域,边界 \( \partial \Omega \) 光滑, \( {a}_{ij} \in {L}^{\infty }\left( \Omega \right) ,\left( {a}_{ij}\right) \) 为正定矩阵. 定义双线性型 \[ a\left( {u, v}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{\int }_{\Omega }{a}_{ij}{u}_{{x}_{i}}{v}_{{x}_{j}}\mathrm{\;d}x\left( {u, v \in {H}^{1}\left( \Omega \right) }\right) , \] 并设 \( \psi \in {H}^{1}\left( \Omega \right) \) ,且在 \( \partial \Omega \) 上 \( \psi \leq 0 \) . 定义 \( {H}_{0}^{1}\left( \Omega \right) \) 的闭凸集 \( {K}_{\psi } = \left\{ {v \in {H}_{0}^{1}\left( \Omega \right) \mid v \geq \psi }\right\} \) ,求 \( u \in {K}_{\psi } \) 使得对一切 \( v \in {K}_{\psi } \) 成立 \( a\left( {u, v - u}\right) \geq 0 \) . 以上所说的函数 \( \psi \) 就是给定障碍, \( u \) 为障碍问题的解. 点集 \[ E = \{ x \in \Omega \mid u\left( x\right) = \psi \left( x\right) \} \] 称为重合集. 重合集的边界是一个自由边界, 因此障碍问题也是自由边界问题. 重合集 (coincident set) 见 “障碍问题”. 拟变分不等式 (quasi-variational inequality) 变分不等式的进一步推广, 即有多个未知函数的变分不等式. 许多物理问题虽不能归结为变分不等式, 但可归结为所谓拟变分不等式, 即在变分不等式中多出另一个未知函数. 例如水坝渗流的浸润面问题, 在稳态情形可归结为变分不等式, 而在非稳定情形只能归结为一个拟变分不等式: 求 \( u \in {W}^{2,1}\left( Q\right) (u \geq \) \( 0) \) ,满足: \[ \left\langle {\frac{\partial u}{\partial t} - {\Delta u}, v - u}\right\rangle \geq \left\langle {-1 - {\varphi }_{t}, v - u}\right\rangle \] \[ \left( {u < \varphi \left( {t, x}\right) }\right) , \] \[ \left\langle {\frac{\partial u}{\partial t} - {\Delta u}, v - u}\right\rangle = 0\;\left( {u \geq \varphi \left( {t, x}\right) }\right) , \] 对 \( v \in {L}^{2}\left( Q\right) \left( {v \geq 0}\right) \) 成立. 在此变分不等式中除未知函数 \( u \) 外,还多了一个未知函数 \( \varphi \left( {t, x}\right) \) . 分歧 (bifurcation) 物理 (动力、电力、化学、生物及其他) 系统的平衡态随参数变化而分裂成两个或多个的现象. 在数学上, 用泛函方程 \[ F\left( {u,\lambda }\right) = 0 \] (1) 的解来描述系统的平衡态,其中 \( \lambda \) 为参数, \( u \) 属于某向量空间 (例如某巴拿赫空间) \( E \) ,而 \( F \) 是 \( E \) 到另一向量空间 \( H \) 的映射. 设 \( u = \theta \) 总满足 (1),即 \( F\left( {\theta ,\lambda }\right) \)  示意图 \( \equiv 0 \) . 如果在点 \( \left( {\theta ,{\lambda }_{0}}\right) \) 的某邻域内 (1) 有两个或多个解的分支在 \( \left( {\theta ,{\lambda }_{0}}\right) \) 汇合,则称 \( \left( {\theta ,{\lambda }_{0}}\right) \) 为方程 (1) 的分歧点. 举例如下: 对 \( n \) 维有界区域 \( \Omega ,{W}_{0}^{1,2}\left( \Omega \right) \) 上的泛函 \[ {I}_{\lambda }\left( u\right) = \frac{1}{2}{\int }_{\Omega }\left( {{\left| \nabla u\right| }^{2} - \lambda {u}^{2}}\right) \mathrm{d}x - \frac{1}{{2}^{ * }}{\int }_{\Omega }{\left| u\right| }^{{2}^{ * }}\mathrm{\;d}x \] \[ \left( {{2}^{ * } = {2n}/\left( {n - 2}\right) }\right) \] 的临界点 \( u \) 满足方程 \[ F\left( {u,\lambda }\right) \equiv {I}_{\lambda }^{\prime }\left( u\right) = 0, \] (2) 即对任意 \( \varphi \in {W}_{0}^{1,2}\left( \Omega \right) \) ,下列等式成立: \[ F\left( {u,\lambda }\right) \varphi \equiv {I}_{\lambda }^{\prime }\left( u\right) \varphi \] \[ = {\int }_{\Omega }\left( {\nabla u \cdot \nabla \varphi - {\lambda u\varphi } - {\left| u\right| }^{{2}^{ * } - 2}{u\varphi }}\right) \mathrm{d}x = 0. \] 此时 \( F \) 即 \( \left( {I}_{\lambda }^{\prime }\right) \) 是 \( {W}_{0}^{1,2}\left( \Omega \right) \) 到其对偶空间 \( {W}^{-1,2}\left( \Omega \right) \) 的映射. 显然 \( F\left( {\theta ,\lambda }\right) \equiv {I}_{\lambda }^{\prime }\left( 0\right) \equiv 0 \) . 设 \( {\lambda }_{j} \) 为 \( - \Delta \) 的重数为 \( {m}_{j}\left( {{m}_{j} \geq 1}\right) \) 的特征值. 已经证明: 存在 \( {\lambda }_{j} \) 的左邻域 \( \left( {{\lambda }_{j}^{ * },{\lambda }_{j}}\right) \) ,使得对任意 \( \lambda \in \left( {{\lambda }_{j}^{ * },{\lambda }_{j}}\right) \) ,泛函 \( {I}_{\lambda } \) 至少有 \( {m}_{j} \) 对非平凡临界点 \( \left\{ {{u}_{k}\left( \lambda \right) , - {u}_{k}\left( \lambda \right) }\right\} \left( {k = 1,2,\cdots ,{m}_{j}}\right) \) 满足 \[ {\begin{Vmatrix}{u}_{k}\left( \lambda \right) \end{Vmatrix}}_{{W}_{0}^{1,2}\left( \Omega \right) } \rightarrow 0\;\left( {\lambda \rightarrow {\lambda }_{j}}\right) . \] 这就说明, \( \left( {\theta ,{\lambda }_{j}}\right) \) 是方程 (2) 的分歧点; 也就是说,对非线性椭圆方程边值问题 \[ \left\{ \begin{array}{ll} {\Delta u} + {\lambda u} + {\left| u\right| }^{{2}^{ * } - 2}u = 0 & \text{ (在 }\Omega \text{ 中),} \\ u = 0 & \text{ (在 }\partial \Omega \text{ 上) } \end{array}\right. \] 的弱解来说, \( \left( {\theta ,{\lambda }_{j}}\right) \) 是分歧点. 正如对 \( {m}_{1} = 1 \) 给出的示意图,在分歧点 \( \left( {0,{\lambda }_{1}}\right) \) 处,当 \( \lambda \) 减小时,方程 (2) 的解分成三个分支 \( u = u\left( \lambda \right), u = \theta, u = - u\left( \lambda \right) \) . 由于许多实际问题中都出现分歧现象, 分歧的数学理论受到人们的重视, 已发展成一个独立的研究方向. 分歧点 (bifurcation point) 见“分歧”. ## 偏微分方程基本解法 分离变量法 (separation of variables) 求偏微分方程定解问题显式解的基本方法. 在解线性偏微分方程的混合问题或边值问题时, 先求满足边界条件的变量分离的特解, 再利用叠加原理, 做这些特解的线性组合, 得到定解问题的解, 这就是分离变量法. 例如, 解两端固定的弦振动齐次方程的混合问题 \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {t}^{2}} = {a}^{2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}^{2}}\;\left( {0 < x < l, t > 0}\right) , \\ {\left. u\right| }_{t = 0} = \varphi \left( x\right) ,{\left. \;\frac{\partial u}{\partial t}\right| }_{t = 0} = \psi \left( x\right) \;\left( {0 \leq x \leq l}\right) , \\ u\left( {0, t}\right) = u\left( {l, t}\right) = 0\;\left( {t \geq 0}\right) . \end{array}\right. \] 1. 设 \( u\left( {x, t}\right) = X\left( x\right) T\left( t\right) \) ,代入方程得到 \( X\left( x\right) \) , \( T\left( t\right) \) 满足的常微分方程: \( {X}^{\prime \prime }\left( x\right) + {\lambda }^{2}X\left( x\right) = 0;{T}^{\prime \prime }\left( t\right) \) \( + {a}^{2}{\lambda }^{2}T\left( t\right) = 0,\lambda \) 为常数. 2. 用上列两个常微分方程对应于同一 \( \lambda = {\lambda }_{n}(n \) \( = 1,2,\cdots ) \) 的两个非零解 \( {X}_{n}\left( x\right) \) 和 \( {T}_{n}\left( t\right) \) 的乘积表示问题的特解 \[ {u}_{n}\left( {x, t}\right) = {X}_{n}\left( x\right) {T}_{n}\left( t\right) \] \[ = \left( {{A}_{n}\cos \frac{an\pi t}{l} + {B}_{n}\sin \frac{an\pi t}{l}}\right) \sin \frac{n\pi x}{l} \] \[ \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \text{,} \] 此处 \( {X}_{n}\left( x\right) = \sin \left( {{n\pi x}/l}\right) \) 是特征边值问题 \[ \left\{ \begin{array}{l} {X}^{\prime \prime }\left( x\right) + {\lambda }_{n}^{2}X\left( x\right) = 0, \\ X\left( 0\right) = X\left( l\right) = 0 \end{array}\right. \] 的解,称为特征函数, \( {\lambda }_{n} = {n\pi }/l \) 是其特征值, \[ {T}_{n}\left( t\right) = {A}_{n}\cos \frac{an\pi t}{l} + {B}_{n}\sin \frac{an\pi t}{l} \] 是方程 \( {T}^{\prime \prime }\left( t\right) + {a}^{2}{\lambda }_{n}^{2}T\left( t\right) = 0 \) 的通解. 3. 叠加 \( {u}_{n}\left( {x, t}\right) \) ,使得混合问题的形式解为 \[ u\left( {x, t}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {{A}_{n}\cos \frac{an\pi t}{l} + {B}_{n}\sin \frac{an\pi t}{l}}\right) \sin \frac{n\pi x}{l}, \] 其中系数 \( {A}_{n},{B}_{n} \) 可利用初值函数 \( \varphi \left( x\right) \) 和 \( \psi \left( x\right) \) 以及特征函数的正交性得到 \[ {A}_{n} = \frac{2}{l}{\int }_{0}^{l}\varphi \left( \xi \right) \sin \frac{n\pi \xi }{l}\mathrm{\;d}\xi \] \[ {B}_{n} = \frac{2}{an\pi }{\int }_{0}^{l}\psi \left( \xi \right) \sin \frac{n\pi \xi }{l}\mathrm{\;d}\xi . \] 若 \( \varphi \left( x\right) \in {C}^{3},\psi \left( x\right) \in {C}^{2} \) 且 \[ \varphi \left( 0\right) = \varphi \left( l\right) = {\varphi }^{\prime \prime }\left( 0\right) = {\varphi }^{\prime \prime }\left( l\right) = \psi \left( 0\right) = \psi \left( l\right) = 0, \] 则上述形式解是问题的正则解. 双曲型方程的特征问题 (characteristic problem for hyperbolic equation) 亦称古尔萨问题或皮卡问题. 是在矩形区域 \( \left\{ {{x}_{0} \leq x \leq {x}_{1},{y}_{0} \leq y \leq {y}_{1}}\right\} \) 中研究拉普拉斯双曲型方程在两个边 \( x = {x}_{0}, y = {y}_{0} \) (均为特征线)上给定数据的定解问题: \[ \left\{ \begin{matrix} \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y} + a\left( {x, y}\right) \frac{\partial u}{\partial x} + b\left( {x, y}\right) \frac{\partial u}{\partial y} + c\left( {x, y}\right) u = f\left( {x, y}\right) , \\ {\left. u\right| }_{x = {x}_{0}} = {\left. {\varphi }_{1}\left( y\right), u\right| }_{y = {y}_{0}} = {\varphi }_{2}\left( x\right) \\ \left( {{x}_{0} \leq x \leq {x}_{1},{y}_{0} \leq y \leq {y}_{1}}\right) , \end{matrix}\right. \] 其中 \( a\left( {x, y}\right), b\left( {x, y}\right), c\left( {x, y}\right), f\left( {x, y}\right) \) 为连续函数, \( {\varphi }_{1}\left( x\right) ,{\varphi }_{2}\left( x\right) \) 连续可微且 \( {\varphi }_{1}\left( {y}_{0}\right) = {\varphi }_{2}\left( {x}_{0}\right) \) . 令 \[ \frac{\partial u}{\partial x} = v,\;\frac{\partial u}{\partial y} = w, \] 则古尔萨问题化为下面积分方程组的求解问题 \[ \begin{cases} v\left( {x, y}\right) = & {\varphi }_{2}^{\prime }\left( x\right) + {\int }_{{y}_{0}}^{y}\left\lbrack {f\left( {x, y}\right) - a\left( {x, y}\right) v}\right. \\ & - b\left( {x, y}\right) w - c\left( {x, y}\right) u\rbrack \mathrm{d}y, \\ w\left( {x, y}\right) = & {\varphi }_{1}^{\prime }\left( x\right) + {\int }_{{x}_{0}}^{x}\left\lbrack {f\left( {x, y}\right) - a\left( {x, y}\right) v}\right. \\ & \left. {-b\left( {x, y}\right) w - c\left( {x, y}\right) u}\right\rbrack \mathrm{d}x, \\ u\left( {x, y}\right) = & {\varphi }_{2}\left( x\right) + {\int }_{{y}_{0}}^{y}{wdy}. \end{cases} \] (1) 这个问题可用逐次逼近法求解. 取 \( {v}_{0} = {\varphi }_{2}^{\prime }\left( x\right) ,{w}_{0} = \) \( {\varphi }_{1}^{\prime }\left( y\right) ,{u}_{0} = {\varphi }_{2}\left( x\right) \) . 根据方程组 (1) 构造近似解的递推公式 \[ \begin{cases}

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_{1}\left( {y}_{0}\right) = {\varphi }_{2}\left( {x}_{0}\right) \) . 令 \[ \frac{\partial u}{\partial x} = v,\;\frac{\partial u}{\partial y} = w, \] 则古尔萨问题化为下面积分方程组的求解问题 \[ \begin{cases} v\left( {x, y}\right) = & {\varphi }_{2}^{\prime }\left( x\right) + {\int }_{{y}_{0}}^{y}\left\lbrack {f\left( {x, y}\right) - a\left( {x, y}\right) v}\right. \\ & - b\left( {x, y}\right) w - c\left( {x, y}\right) u\rbrack \mathrm{d}y, \\ w\left( {x, y}\right) = & {\varphi }_{1}^{\prime }\left( x\right) + {\int }_{{x}_{0}}^{x}\left\lbrack {f\left( {x, y}\right) - a\left( {x, y}\right) v}\right. \\ & \left. {-b\left( {x, y}\right) w - c\left( {x, y}\right) u}\right\rbrack \mathrm{d}x, \\ u\left( {x, y}\right) = & {\varphi }_{2}\left( x\right) + {\int }_{{y}_{0}}^{y}{wdy}. \end{cases} \] (1) 这个问题可用逐次逼近法求解. 取 \( {v}_{0} = {\varphi }_{2}^{\prime }\left( x\right) ,{w}_{0} = \) \( {\varphi }_{1}^{\prime }\left( y\right) ,{u}_{0} = {\varphi }_{2}\left( x\right) \) . 根据方程组 (1) 构造近似解的递推公式 \[ \begin{cases} {v}_{n} = & {\varphi }_{2}^{\prime }\left( x\right) + {\int }_{{y}_{0}}^{y}\left\lbrack {f\left( {x, y}\right) - a\left( {x, y}\right) {v}_{n - 1}}\right. \\ & \left. {-b\left( {x, y}\right) {w}_{n - 1} - c\left( {x, y}\right) {u}_{n - 1}}\right\rbrack \mathrm{d}y, \\ {w}_{n} = & {\varphi }_{1}^{\prime }\left( y\right) + {\int }_{{x}_{0}}^{x}\left\lbrack {f\left( {x, y}\right) - a\left( {x, y}\right) {v}_{n - 1}}\right. \\ & \left. {-b\left( {x, y}\right) {w}_{n - 1} - c\left( {x, y}\right) {u}_{n - 1}}\right\rbrack \mathrm{d}x, \\ {u}_{n} = & {\varphi }_{2}\left( x\right) + {\int }_{{y}_{0}}^{y}{w}_{n - 1}\mathrm{\;d}y. \end{cases} \] (2) 设 \( \left| {a\left( {x, y}\right) }\right| + \left| {b\left( {x, y}\right) }\right| + \left| {c\left( {x, y}\right) }\right| \leq K \) ,且 \[ \left| {{v}_{1} - {v}_{0}}\right| \leq A,\left| {{w}_{1} - {w}_{0}}\right| \leq A,\left| {{u}_{1} - {u}_{0}}\right| \leq A, \] 则由递推公式组 (2) 用数学归纳法可以证明 \[ \left| {{v}_{n} - {v}_{n - 1}}\right| \leq A{K}^{n - 1}\frac{{\left( x + y - {x}_{0} - {y}_{0}\right) }^{n - 1}}{\left( {n - 1}\right) !}, \] \[\left| {{w}_{n} - {w}_{n - 1}}\right| \leq A{K}^{n - 1}\frac{{\left( x + y - {x}_{0} - {y}_{0}\right) }^{n - 1}}{\left( {n - 1}\right) !},\] \[\left| {{u}_{n} - {u}_{n - 1}}\right| \leq A{K}^{n - 1}\frac{{\left( x + y - {x}_{0} - {y}_{0}\right) }^{n - 1}}{\left( {n - 1}\right) !}.\] 由此知序列 \( \left\{ {v}_{n}\right\} ,\left\{ {w}_{n}\right\} ,\left\{ {u}_{n}\right\} \) 在矩形 \( \left\{ {{x}_{0} \leq x \leq {x}_{1},{y}_{0} \leq }\right. \) \( \left. {y \leq {y}_{1}}\right\} \) 上都是一致收敛的,设它们的极限分别是 \( v \) , \( w, u \) . 在 (2) 中令 \( n \) 趋于无穷得出 \( \left\{ {v}_{n}\right\} ,\left\{ {w}_{n}\right\} ,\left\{ {u}_{n}\right\} \) 的极限函数 \( v, w, u \) 是方程组 (1) 的解. 可以证明,方程组 (1) 的解是惟一的,因而 \( u \) 是原双曲型方程特征问题的惟一解. 古尔萨问题 (Goursat problem) 即“双曲型方程的特征问题”. 皮卡问题 (Picard problem) 即“双曲型方程的特征问题”. 逐次逼近法 (successive approximation method) 根据方程构造其近似解序列的递推公式, 再证明此序列的极限就是原方程的解 (参见 “双曲型方程的特征问题”). 特征线法 (characteristic method) 见 “一阶非线性方程的柯西问题”. 黎曼函数 (Riemann function) 双曲型方程的一个特殊问题的解. 双曲型方程的特征问题 \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y} + a\left( {x, y}\right) \frac{\partial u}{\partial x} \\ \; + b\left( {x, y}\right) \frac{\partial u}{\partial y} + c\left( {x, y}\right) u = f\left( {x, y}\right) , \\ u\left( {{x}_{0}, y}\right) = {\mathrm{e}}^{\int {y}_{0}a\left( {{x}_{0}, y}\right) \mathrm{d}y}, \\ u\left( {x,{y}_{0}}\right) = {\mathrm{e}}^{\int {x}_{0}b\left( {x,{y}_{0}}\right) \mathrm{d}x} \end{array}\right. \] ’ (1) 有惟一解 \( u\left( {x, y}\right) = u\left( {x, y;{x}_{0},{y}_{0}}\right) \) (参见 “双曲型方程的特征问题”). \( u\left( {x, y;{x}_{0},{y}_{0}}\right) \) 称为双曲型方程 (1) 的黎曼函数. 广义柯西问题的黎曼方法 (Riemann method of the generalized Cauchy problem) 利用伴随方程的黎曼函数求出广义柯西问题的解的方法. 对拉普拉斯双曲型方程的广义柯西问题 \[ \left\{ \begin{matrix} {Lu} \equiv \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y} + a\left( {x, y}\right) \frac{\partial u}{\partial x} + b\left( {x, y}\right) \frac{\partial u}{\partial y} \\ + c\left( {x, y}\right) u = f\left( {x, y}\right) , \\ {\left. u\right| }_{y = \mu \left( x\right) } = {\varphi }_{1}\left( x\right) ,{\left. \;\frac{\partial u}{\partial y}\right| }_{y = \mu \left( x\right) } = {\varphi }_{2}\left( x\right) , \end{matrix}\right. \] 其中 \( a, b, c,{\varphi }_{1},{\varphi }_{2},\mu \) 为连续可微函数,且 \( {\mu }^{\prime }\left( x\right) \neq 0 \) , 而 \( f,{\varphi }_{2} \) 为连续函数. 设 \( M\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \) 不是 \( y = \mu \left( x\right) \) 上的点,过点 \( M \) 做特征线 \( x = {x}_{0}, y = {y}_{0} \) 分别交 \( y = \) \( \mu \left( x\right) \) 于 \( P \) 及 \( Q \) ,记曲边三角形 \( {PMQ} \) 为 \( D \) ,在 \( D \) 上应用二阶偏微分算子的格林公式 (参见 “高阶偏微分方程”部分), 得 \[ {\iint }_{D}\left( {{vLu} - u{L}^{ * }v}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y \] \[ = {\left. \frac{1}{2}\left( uv\right) \right| }_{P}^{M} + {\left. \frac{1}{2}\left( uv\right) \right| }_{Q}^{M} \] \[ + {\int }_{P}^{M}u\left( {-\frac{\partial v}{\partial y} + {av}}\right) \mathrm{d}y + {\int }_{Q}^{M}v\left( {-\frac{\partial u}{\partial x} + {bu}}\right) \mathrm{d}x \] \[ + {\int }_{Q}^{P}\left\lbrack {\frac{1}{2}\left( {u\frac{\partial v}{\partial x} - v\frac{\partial u}{\partial x}}\right) - {buv}}\right\rbrack \mathrm{d}x \] \[ - \left\lbrack {\frac{1}{2}\left( {u\frac{\partial v}{\partial y} - v\frac{\partial u}{\partial y}}\right) - {auv}}\right\rbrack \mathrm{d}y \] 其中 \[ {L}^{ * }v = \frac{{\partial }^{2}v}{\partial x\partial y} - \frac{\partial }{\partial x}\left\lbrack {a\left( {x, y}\right) u}\right\rbrack \] \[ - \frac{\partial }{\partial y}\left\lbrack {b\left( {x, y}\right) v}\right\rbrack + c\left( {x, y}\right) v \] 是 \( {Lu} \) 的伴随算子. 设 \( v\left( {x, y;{x}_{0},{y}_{0}}\right) \) 为下述古尔萨问题的解 \[ \left\{ \begin{array}{l} {L}^{ * }v = 0, \\ v\left( {{x}_{0}, y;{x}_{0},{y}_{0}}\right) = {\mathrm{e}}^{{\int }_{{y}_{0}}^{y}a\left( {{x}_{0}, y}\right) \mathrm{d}y}, \\ v\left( {x,{y}_{0};{x}_{0},{y}_{0}}\right) = {\mathrm{e}}^{{\int }_{{x}_{0}}^{x}b\left( {x,{y}_{0}}\right) \mathrm{d}x}, \end{array}\right. \] 那么广义柯西问题的解可用下面的黎曼公式给出: \[ u\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \] \[ = \frac{1}{2}{\left( {\varphi }_{1}v\right) }_{P} + \frac{1}{2}{\left( {\varphi }_{1}v\right) }_{Q} \] \[ - {\int }_{Q}^{P}\left\{ {\left\lbrack {\frac{1}{2}\left( {{\varphi }_{1}\frac{\partial v}{\partial x} - v{\varphi }_{1}^{\prime } + v{\varphi }_{2}{\mu }^{\prime }}\right) - b{\varphi }_{1}v}\right\rbrack \mathrm{d}x}\right. \] \[ \left. {-\left\lbrack {\frac{1}{2}\left( {{\varphi }_{1}\frac{\partial v}{\partial y} - v{\varphi }_{2}}\right) - a{\varphi }_{1}v}\right\rbrack \mathrm{d}y}\right\} \] \[ + {\iint }_{D}v\left( {x, y;{x}_{0},{y}_{0}}\right) f\left( {x, y}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y, \] 式中 \( v\left( {x, y;{x}_{0},{y}_{0}}\right) \) 称为黎曼函数,这个方法称为黎曼方法. 黎曼公式(Riemann formula) 见“广义柯西问题的黎曼方法”. 拉普拉斯变换 (Laplace transform) 解偏微分方程定解问题常用的一种积分变换. 形如 \[ L\left( s\right) = \mathcal{L}\left\lbrack {f\left( t\right) }\right\rbrack = {\int }_{0}^{+\infty }f\left( t\right) {\mathrm{e}}^{-{st}}\mathrm{\;d}t \] \[\text{(}s\text{是复数,}s = \sigma + \mathrm{i}\gamma \text{)}\] 的积分表达式,称为函数 \( f\left( t\right) \) 的拉普拉斯变换. 拉普拉斯变换的反演公式是 \[f\left( t\right) = {\mathcal{L}}^{-1}\left\lbrack {L\left( s\right) }\right\rbrack = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\sigma - \mathrm{i}\infty }^{\sigma + \mathrm{i}\infty }L\left( s\right) {\mathrm{e}}^{st}\mathrm{\;d}s\] \[\left( {t \geq 0,\sigma \geq 0}\right) ,\] 积分沿着任一直线 \( \operatorname{Re}s = \sigma > a \) 进行, \( a \) 是 \( f\left( t\right) \) 的增长指数,积分理解为主值意义下. 如果 \( f\left( t\right) \) 满足下述三个条件,那么 \( f\left( t\right) \) 的拉普拉斯变换存在,并且 \( L\left( s\right) \) 在半平面 \( \operatorname{Re}s > a \) 上是解析函数: 1. 实变量的复值函数 \( f\left( t\right) \) 和 \( {f}^{\prime }\left( t\right) \) 在 \( t \geq 0 \) 上除掉有第一类间断点 (在任一有限区间上至多有有限多个)外连续. 2. 当 \( t < 0 \) 时, \( f\left( t\right) = 0 \) . 3. \( f\left( t\right) \) 是有限阶的,即可以找到常数 \( a \geq 0 \) 和 \( A \) \( > 0 \) ,使得 \( \left| {f\left( t\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{at}\left( {t \geq 0}\right) \) ,此处数 \( a \) 称为 \( f\left( t\right) \) 的增长指数. 而反演公式在 \( f\left( t\right) \) 的连续点处成立. 拉普拉斯变换有下述性质: 1. \( \mathcal{L}\left\lbrack {{af}\left( t\right) }\right\rbrack = a\mathcal{L}\left\lbrack {f\left( t\right) }\right\rbrack \) ( \( a \) 是常数). 2. \( \mathcal{L}\left\lbrack {f\left( t\right) + g\left( t\right) }\right\rbrack = \mathcal{L}\left\lbrack {f\left( t\right) }\right\rbrack + \mathcal{L}\left\lbrack {g\left( t\right) }\right\rbrack \) . 3. \( \mathcal{L}\left\lbrack {f\left( t\right) * g\left( t\right) }\right\rbrack = \mathcal{L}\left\lbrack {f\left( t\right) }\right\rbrack \cdot \mathcal{L}\left\lbrack {g\left( t\right) }\right\rbrack \) ,式 中 \[f\left( t\right) * g\left( t\right) \] \[ = {\int }_{0}^{t}f\left( \tau \right) g\left( {t - \tau }\right) \mathrm{d}\tau = {\int }_{0}^{t}f\left( {t - \tau }\right) g\left( \tau \right) \mathrm{d}\tau ,\] 称 \( f\left( t\right) * g\left( t\right) \) 为函数 \( f\left( t\right) \) 和 \( g\left( t\right) \) 的卷积. 傅里叶变换(Fourier transform) 解偏微分方程定解问题及偏微分方程理论研究中常用的积分变换. \( f\left( x\right) \) 的傅里叶变换为 \[F\left\lbrack {f\left( x\right) }\right\rbrack = \widehat{f}\left( \xi \right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\xi x}}\mathrm{\;d}x,\] 傅里叶变换的反演公式为 \[f\left( x\right) = {F}^{-1}\left\lbrack {\widehat{f}\left( \xi \right) }\right\rbrack = \frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi .\] 如果 \( f\left( x\right) \) 连续且分段光滑并且在 \( \left( {-\infty , + \infty }\right) \) 内绝对可积, 那么它的傅里叶变换存在, 且反演公式成立. 傅里叶变换的性质有: 1. \( F\left\lbrack {{af} + {bg}}\right\rbrack = {aF}\left\lbrack f\right\rbrack + {bF}\left\lbrack g\right\rbrack (a, b \) 是常数). 2. \( F\left\lbrack {f * g}\right\rbrack = F\left\lbrack f\right\rbrack \cdot F\left\lbrack g\right\rbrack \) ,其中 \( f * g \) 表示 \( f \) 与 \( g \) 的卷积,由下式定义 \[ \left( {f * g}\right) \left( x\right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( y\right) g\left( {x - y}\right) \mathrm{d}y. \]

2000_数学辞海（第3卷）

m) 解偏微分方程定解问题及偏微分方程理论研究中常用的积分变换. \( f\left( x\right) \) 的傅里叶变换为 \[F\left\lbrack {f\left( x\right) }\right\rbrack = \widehat{f}\left( \xi \right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\xi x}}\mathrm{\;d}x,\] 傅里叶变换的反演公式为 \[f\left( x\right) = {F}^{-1}\left\lbrack {\widehat{f}\left( \xi \right) }\right\rbrack = \frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi .\] 如果 \( f\left( x\right) \) 连续且分段光滑并且在 \( \left( {-\infty , + \infty }\right) \) 内绝对可积, 那么它的傅里叶变换存在, 且反演公式成立. 傅里叶变换的性质有: 1. \( F\left\lbrack {{af} + {bg}}\right\rbrack = {aF}\left\lbrack f\right\rbrack + {bF}\left\lbrack g\right\rbrack (a, b \) 是常数). 2. \( F\left\lbrack {f * g}\right\rbrack = F\left\lbrack f\right\rbrack \cdot F\left\lbrack g\right\rbrack \) ,其中 \( f * g \) 表示 \( f \) 与 \( g \) 的卷积,由下式定义 \[ \left( {f * g}\right) \left( x\right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( y\right) g\left( {x - y}\right) \mathrm{d}y. \] 3. \( F\left\lbrack {fg}\right\rbrack = \frac{1}{2\pi }F\left\lbrack f\right\rbrack * F\left\lbrack g\right\rbrack \) . 4. \( F\left\lbrack {{f}^{\prime }\left( x\right) }\right\rbrack = - \mathrm{i}{\xi F}\left\lbrack {f\left( x\right) }\right\rbrack \) . 5. \( {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\left| f\left( x\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\left| F\left\lbrack f\right\rbrack \right| }^{2}\mathrm{\;d}\xi \) . 6. \( F\left\lbrack {f\left( {x - {x}_{0}}\right) }\right\rbrack = {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{x}_{0}\xi }f\left( \xi \right) \) . 卷积 (convolution) 见 “拉普拉斯变换”及 “傅里叶变换”. 积分变换方法 (integral transform method) 利用积分变换把偏微分方程简化为常微分方程去求解. 把偏微分方程的某一独立变量视为参变量, 做未知函数的积分变换, 于是减少了原方程的独立变量的个数而将方程化简, 求出简化方程的对应定解问题的解, 并通过积分变换的反演就得到原定解问题的解. 这种求解方法称为积分变换法. 解偏微分方程定解问题通常使用的是傅里叶变换方法和拉普拉斯变换方法. 例如, 用傅里叶变换解弦振动方程的柯西问题 \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {t}^{2}} = {a}^{2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}^{2}}, \\ {\left. u\right| }_{t = 0} = \varphi \left( x\right) ,{\left. \frac{\partial u}{\partial t}\right| }_{t = 0} = 0, \end{array}\right. \] 把 \( t \) 视为参变量,做 \( u\left( {x, t}\right) \) 关于 \( x \) 的傅里叶变换 \[ F\left\lbrack {u\left( {x, t}\right) }\right\rbrack = \widetilde{u}\left( {p, t}\right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }u\left( {x, t}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{px}}\mathrm{\;d}x. \] 原问题化为下面的定解问题 \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{d}^{2}\widetilde{u}}{d{t}^{2}} = - {a}^{2}{p}^{2}\widetilde{u}, \\ {\left. \widetilde{u}\right| }_{t = 0} = F\left\lbrack {\varphi \left( x\right) }\right\rbrack = {\left. \widetilde{\varphi }\left( p\right) ,\frac{\mathrm{d}\widetilde{u}}{\mathrm{\;d}t}\right| }_{t = 0} = 0. \end{array}\right. \] 解得 \( \widetilde{u}\left( {p, t}\right) = \widetilde{\varphi }\left( p\right) \cos {apt} \) . 做傅里叶逆变换得到原问题的解 \[ u\left( {x, t}\right) = {F}^{-1}\left\lbrack {\widetilde{\varphi }\left( p\right) \cos {apt}}\right\rbrack \] \[ = \frac{1}{2}\left\lbrack {\varphi \left( {x - {at}}\right) + \varphi \left( {x + {at}}\right) }\right\rbrack \text{.} \] 差分法 (difference method) 通过相应差分方程研究偏微分方程的方法. 在解偏微分方程时, 用差商代替偏导数, 得到相应的差分方程, 解差分方程得到偏微分方程的近似解, 通过证明差分方程解的收敛性得到偏微分方程解的存在性. 这种方法称为差分法. 例如, 考虑拉普拉斯方程的第一边值问题 \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {y}^{2}} = 0\left( {\text{ 在 }\Omega \text{ 内 }}\right) , \\ {\left. u\right| }_{\partial \Omega } = \varphi \left( {x, y}\right) . \end{array}\right. \] 分别做平行于 \( x \) 轴和 \( y \) 轴的直线族: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = {x}_{i} = {ih}, \\ y = {y}_{j} = {jh} \end{array}\right. \] \[ \left( {h > 0, i, j = 0, \pm 1, \pm 2,\cdots , \pm n}\right) , \] 它形成一个正方形网格,其交点 \( \left( {{x}_{i},{y}_{j}}\right) \) 称为节点, 简记为 \( \left( {i, j}\right) \) ,记 \( u \) 在节点 \( \left( {i, j}\right) \) 上的值 \( u\left( {{x}_{i},{y}_{j}}\right) \) 为 \( {u}_{ij} \) . 以 \( {\Omega }_{h} \) 表示所有与 \( \Omega \) 相交的正方形所成的多边形区域,在 \( {\Omega }_{h} \) 内部节点 \( \left( {i, j}\right) \) 上分别用差商 \[ \frac{{u}_{i - 1, j} - 2{u}_{ij} + {u}_{i + 1, j}}{{h}^{2}},\frac{{u}_{i, j - 1} - 2{u}_{ij} + {u}_{i, j + 1}}{{h}^{2}} \] 代替偏导数 \[ \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}^{2}},\;\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {y}^{2}}, \] 对应的差分方程为 \[ {u}_{ij} = \frac{1}{4}\left( {{u}_{i - 1, j} + {u}_{i + 1, j} + {u}_{i, j - 1} + {u}_{i, j + 1}}\right) . \] (1) 在 \( {\Omega }_{h} \) 的边界节点上取 \( {u}_{ij} = \varphi \left( {{x}_{i}^{ * },{y}_{j}^{ * }}\right) \) ,式中 \( \left( {x}_{i}^{ * }\right. \) , \( \left. {y}_{j}^{ * }\right) \) 是与节点 \( \left( {i, j}\right) \) 最接近的 \( \partial \Omega \) 上的点. 于是得到了以所有 \( {\Omega }_{h} \) 的内节点上 \( {u}_{ij} \) 的值为未知量的形如 （1）的方程组成的线性代数方程组, 未知量的个数与方程的个数都等于 \( {\Omega }_{h} \) 的内节点的总数. 可以证明, 这个方程组有惟一的解; 且对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,把 \( h \) 充分缩小后可使得到的解 \( {u}_{ij} \) 与精确解 \( u\left( {x, y}\right) \) 在点 \( \left( {i, j}\right) \) 上的值的差值小于 \( \varepsilon \) . 格林函数方法 (Green function method) 通过格林函数求偏微分方程定解问题的解的方法. 见 “格林函数”. 刘维尔定理 (Liouville theorem) 在整个 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中有上界或有下界的调和函数是常数. 在二维情形, 若方程 \( {Lu} = a{u}_{xx} + {2b}{u}_{xy} + c{u}_{yy} = 0 \) 在 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 上是一致椭圆的,而 \( u \) 是定义在全平面上的有上 (下) 界的解,则 \( u \) 是常数. 补法向微商 (conormal derivative) 与散度形式的椭圆算子有关的方向微商. 给定区域 \( \Omega \) 上的散度形式的椭圆算子 \( {Lu} = - {D}_{i}\left( {{a}_{ij}\left( x\right) {D}_{j}u + {b}_{i}\left( x\right) u}\right) \) \( + {c}_{i}\left( x\right) {D}_{i}u + d\left( x\right) u \) ,设 \( \nu \) 是 \( \partial \Omega \) 的单位外法向量,则 \[ \frac{\partial u}{\partial {\nu }_{L}} = {\left. \left( {a}_{ij}\left( x\right) {D}_{j}u + {b}_{i}\left( x\right) u\right) \right| }_{\partial \Omega }{\nu }_{i} \] 称为 \( u \) (关于算子 \( L \) ) 的补法向微商. 而向量 \( \left( {{a}_{i1}\left( x\right) {\nu }_{i},{a}_{i2}\left( x\right) {\nu }_{i},\cdots ,{a}_{in}\left( x\right) {\nu }_{i}}\right) \) 称为补法向量. 补法向量 (conormal vector) 见 “补法向微商”. 斜微商问题 (oblique derivative problem) 求解满足斜微商边界条件的椭圆型方程的解的问题. 形如 \[ {Nu} = a\left( x\right) u + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{b}_{i}\left( x\right) {D}_{i}u = \varphi \left( {x \in \partial \Omega }\right) \] 的边界条件称为斜微商边界条件. 若向量 \( b = \left( {b}_{1}\right. \) , \( \left. {{b}_{2},\cdots ,{b}_{n}}\right) \) 的法向分量 \( {b}_{\nu } \) 在 \( \partial \Omega \) 上非零,则称上述条件为正则斜微商边界条件. 斜微商边界条件 (oblique derivative boundary condition) 见“斜微商问题”. 正则斜微商边界条件 (regular oblique derivative boundary condition) 见“斜微商问题”. 开尔文变换 (Kelvin transform) 一种变量代换. 由等式 \[ v\left( x\right) = {\left| x\right| }^{2 - n}u\left( \frac{x}{{\left| x\right| }^{2}}\right) \] 定义的 \( u \) 到 \( v \) 的变换称为开尔文变换. 它是论证二阶椭圆型方程的解在球上有全局正则性的重要工具. 亚历山德罗夫极大值原理 (Aleksandrov maximum principle) 关于椭圆型方程强解最大值的估计. 设 \( \Omega \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 是一个有界区域, \[ u \in {C}^{0}\left( \bar{\Omega }\right) \cap {W}_{\text{loc }}^{2, n}\left( \Omega \right) , \] 满足 \[ {Lu} = \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( x\right) \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{b}_{i}\left( x\right) \frac{\partial u}{\partial {x}_{i}} + c\left( x\right) u \geq f, \] 其中 \( \mathcal{A} = \left\lbrack {a}_{ij}\right\rbrack \) 在 \( \Omega \) 内是正定矩阵,记 \( {\mathcal{D}}^{ * } = \) \( {\left( \det \left\lbrack {a}_{ij}\right\rbrack \right) }^{1/n} \) ,设 \( \Lambda > \lambda > 0 \) 是常数, \[ \lambda \leq {\mathcal{D}}^{ * } \leq \Lambda ,\left| b\right| /{\mathcal{D}}^{ * } \in {L}^{n}\left( \Omega \right) , \] \[ f/{\mathcal{D}}^{ * } \in {L}^{n}\left( \Omega \right) ,\;c\left( x\right) \leq 0\left( {x \in \Omega }\right) , \] 则 \[ \mathop{\sup }\limits_{\Omega }u \leq \mathop{\sup }\limits_{{\partial \Omega }}{u}^{ + } + C{\begin{Vmatrix}f/{\mathcal{D}}^{ * }\end{Vmatrix}}_{{L}^{n}\left( \Omega \right) }. \] 这一定理是由估计一个函数的上接触集的法映射的像的测度来证明的. 上接触集 (upper contact set) 函数定义域的一个子集. 设 \( u \) 是区域 \( \Omega \) 上的一个连续函数,则 \( {\Gamma }^{ + } \) \( = \left\{ {y \in \Omega \mid \exists p = p\left( y\right) \in {\mathrm{R}}^{n}}\right. \) ,使得 \( u\left( x\right) \leq u\left( y\right) + \) \( p \cdot \left( {x - y}\right) ,\forall x \in \Omega \} \) 称为函数 \( u \) 的上接触集,即 \( {\Gamma }^{ + } \) 由这样的点组成: \( u \) 的图象位于过这些点的支撑平面的下方. 特别地,当 \( u \) 为凹函数时, \( {\Gamma }^{ + } = \Omega \) . 法映射 (normal mapping) 连续函数的定义域 \( \Omega \left( {\Omega \subset {\mathrm{R}}^{n}}\right) \) 到 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的一个子集类的映射. 对 \( u \in \) \( {C}^{0}\left( \Omega \right) \) ,记 \( \chi \left( y\right) = {\chi }_{u}\left( y\right) \) 是在点 \( y \) 的支撑平面的斜率的集,即 \( \chi \left( y\right) = \left\{ {p \in {\mathrm{R}}^{n} \mid u\left( x\right) \leq u\left( y\right) + p \cdot \left( {x - y}\right) }\right. \) , \( \forall x \in \Omega \} .\chi : y \rightarrow \chi \left( y\right) \) 是由 \( \Omega \) 到 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的子集类的映射, 称为由 \( u \) 所确定的法映射. 对上接触集 \( {\Gamma }^{ + } \) 当且仅当 \( y \in {\Gamma }^{ + },\chi \left( y\right) \) 非空. 若 \( u \in {C}^{1}\left( \Omega \right) \) ,则在 \( {\Gamma }^{ + } \) 上 \( \chi \left( y\right) = \) \( {Du}\left( y\right) \) ,即 \( \chi \) 是 \( u \) 在 \( {\Gamma }^{ + } \) 上的梯度向量场. 若 \[ u \in {C}^{2}\left( \Omega \right) \cap {C}^{0}\left( \bar{\Omega }\right) , \] 则 \[ \left| {\chi \left( \Omega \right) }\right| = \left| {\chi \left( {\Gamma }^{ + }\right) }\right| = \left| {{Du}\left( {\Gamma }^{ + }\right) }\right| \] \[ \leq {\int }_{{\Gamma }^{ + }}\left| {\det {D}^{2}u}\right| \mathrm{d}x. \] 玻尼极值原理 (Bony maximum principle) \( {W}_{\text{loc }}^{2, p}\left( \Omega \right) \) 中的函数在一个点上达到最大值的条件. 设 \( u \in {W}_{\text{loc }}^{2, p}\left( \Omega \right) ,{x}_{0} \) 是 \( u \) 的一个极大值点,若 \( p > n \) , 则 \[ \lim \mathop{\inf }\limits_{{y \rightarrow {x}_{0}}}\operatorname{ess}\mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( y\right) \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {y}_{i}\partial {y}_{j}} \leq 0, \] 其中 \( \left( {a}_{ij}\right) \) 是 \( \Omega \) 内的一个非负定矩阵且 \( {a}_{ij} \in {L}_{\text{loc }}^{\infty }\left( \Omega \right) \) . 实际上,当 \( p = n \) 时上述结论亦成立,且结论可改写为 \[ \lim \mathop{\sup }\limits_{{y \rightarrow {x}_{0}}}\operatorname{ess}\lambda \left( y\right) \leq 0,\lim \mathop{\inf }\limits_{{y

2000_数学辞海（第3卷）

\cap {C}^{0}\left( \bar{\Omega }\right) , \] 则 \[ \left| {\chi \left( \Omega \right) }\right| = \left| {\chi \left( {\Gamma }^{ + }\right) }\right| = \left| {{Du}\left( {\Gamma }^{ + }\right) }\right| \] \[ \leq {\int }_{{\Gamma }^{ + }}\left| {\det {D}^{2}u}\right| \mathrm{d}x. \] 玻尼极值原理 (Bony maximum principle) \( {W}_{\text{loc }}^{2, p}\left( \Omega \right) \) 中的函数在一个点上达到最大值的条件. 设 \( u \in {W}_{\text{loc }}^{2, p}\left( \Omega \right) ,{x}_{0} \) 是 \( u \) 的一个极大值点,若 \( p > n \) , 则 \[ \lim \mathop{\inf }\limits_{{y \rightarrow {x}_{0}}}\operatorname{ess}\mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( y\right) \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {y}_{i}\partial {y}_{j}} \leq 0, \] 其中 \( \left( {a}_{ij}\right) \) 是 \( \Omega \) 内的一个非负定矩阵且 \( {a}_{ij} \in {L}_{\text{loc }}^{\infty }\left( \Omega \right) \) . 实际上,当 \( p = n \) 时上述结论亦成立,且结论可改写为 \[ \lim \mathop{\sup }\limits_{{y \rightarrow {x}_{0}}}\operatorname{ess}\lambda \left( y\right) \leq 0,\lim \mathop{\inf }\limits_{{y \rightarrow {x}_{0}}}\operatorname{ess}\left| {{Du}\left( y\right) }\right| = 0, \] 其中 \( \lambda \left( y\right) \) 是 \( \left( {{D}^{2}u\left( y\right) }\right) \) 的最大特征值. 窄区域极值原理 (maximum principle in "narrow domains") 关于椭圆型方程在小区域内的解的极大值的定理. 设对二阶线性椭圆算子 \[ {Lu} = \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{a}_{ij}\left( x\right) \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{b}_{i}\left( x\right) \frac{\partial u}{\partial {x}_{i}} + c\left( x\right) u, \] 存在常数 \( \Lambda > \lambda > 0, d > 0, b > 0 \) ,使得 \( \forall \xi \in {\mathbf{R}}^{n} \) ,不等式 \[ \lambda \left| {\xi }^{2}\right| \leq {a}_{ij}\left( x\right) {\xi }_{i}{\xi }_{j} \leq \Lambda \left| {\xi }^{2}\right| \] 在 \( \Omega \) 上几乎处处成立,且 \[ \sqrt{\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{b}_{i}^{2}} \leq b,\left| c\right| \leq b,\operatorname{diam}\Omega \leq d. \] 若存在常数 \( \delta > 0 \) ,使当 meas \( \Omega = \left| \Omega \right| < \delta \) 时,只要 \( u \) \( \in {W}_{\text{loc }}^{2, n}\left( \Omega \right) \) 满足 \( {Lu} \geq 0 \) (在 \( \Omega \) 内),且 \[ \mathop{\limsup }\limits_{{x \rightarrow \partial \Omega }}u\left( x\right) \leq 0, \] 则在 \( \Omega \) 内 \( u \leq 0 \) . 弗雷德霍姆二择一定理 (Fredholm alternative theorem) 研究线性椭圆型方程的解存在问题的一个泛函分析定理. 在赋范空间中的这个定理表述为: 设 \( V \) 是赋范线性空间, \( A : V \rightarrow V \) 是一紧线性算子, 则以下两种可能有一个且只有一个发生: 1. 存在 \( x \in V\left( {x \neq 0}\right) \) ,使得 \( x - {Ax} = 0 \) . 2. 对于任意 \( y \in V \) ,存在惟一的 \( x \in V \) ,使得 \( x - \) \( {Ax} = y \) . 在第二种情形下, \( {\left( I - A\right) }^{-1} \) 是有界线性算子. 希尔伯特空间中的弗雷德霍姆二择一定理表述如下: 设 \( H \) 是一个希尔伯特空间, \( T : H \rightarrow H \) 是一个紧线性算子. 则存在一可数集 \( \Lambda \subset \mathrm{R},\Lambda \) 不含非零极限点,使得若 \( \lambda \neq 0,\lambda \in \Lambda \) ,则方程 \( {\lambda x} - {Tx} = y \) , \( {\lambda x} - {T}^{ * }x = y \) ,对每一 \( y \in H \) 有惟一解,且逆算子 \[{\left( \lambda I - T\right) }^{-1},{\left( \lambda I - {T}^{ * }\right) }^{-1}\] 有界. 若 \( \lambda \in \Lambda \) ,则算子 \( {\lambda I} - T \) 和 \( {\lambda I} - {T}^{ * } \) 的零空间有正有限维数; 当且仅当 \( y \) 正交于 \( {\lambda I} - {T}^{ * } \) 的零空间, 上述第一个方程有解; 而当且仅当 \( y \) 正交于 \( {\lambda I} - T \) 的零空间, 第二个方程有解. 把这一定理用于散度形式的椭圆型方程的狄利克雷问题 \[ \left\{ \begin{array}{l} {Lu} + {\mu u} = - {D}_{j}\left( {{a}_{ij}{D}_{i}u + {d}_{j}u}\right) \\ \; + {b}_{i}{D}_{i}u + {cu} + {\mu u} = f\;\left( {\text{ 在 }\Omega \text{ 内 }}\right) , \\ u = g\;\left( {\text{ 在 }\partial \Omega \text{ 上 }}\right) . \end{array}\right. \] (1) 则有如下结果: 若 \( {a}_{ij},{b}_{i}, c,{d}_{j} \in {L}^{\infty }\left( \Omega \right) \) ,且存在常数 \( \Lambda > \lambda > 0 \) ,使得 \( \lambda {\left| \xi \right| }^{2} \leq {a}_{ij}{\xi }_{i}{\xi }_{j} \leq \Lambda {\left| \xi \right| }^{2}(x \in \Omega ,\forall \xi \in \) \( \left. {\mathrm{R}}^{n}\right) \) ; 又设 \( \Omega \) 为使索伯列夫嵌入定理成立的有界区域, \( f \in {H}^{-1}\left( \Omega \right) \) ,则问题 (1) 只有以下两种可能: 1. 对于任意 \( f \in {H}^{-1}\left( \Omega \right), g \in {H}^{1}\left( \Omega \right) \) ,问题 (1) 有惟一的弱解. 2. 存在非零的 \( u \in {H}_{0}^{1}\left( \Omega \right) \) ,使得 \( {Lu} + {\mu u} = 0 \) . 此外,使第二种情况成立的 \( \mu \) 是离散的,只能以 \( \infty \) 为极限点,对每一特征值 \( \mu \) ,相应的特征函数空间是有限维的. 散度形式二阶线性椭圆型方程的解 (solution of second order linear elliptic equation of divergence form) 见“弗雷德霍姆二择一定理”. 先验估计 (prior estimate) 近代研究偏微分方程的一种基本方法和技巧. 对偏微分方程定解问题, 在解存在的假设下, 通过方程系数、自由项及定解条件估计解在某个巴拿赫空间 (一般是索伯列夫空间或连续可微函数空间) 中的范数的上界的不等式, 例子参见 “绍德尔估计”、“解的 \( {L}^{p} \) 估计”. 利用先验估计来探讨偏微分方程定解问题解的存在、惟一及光滑等性质是近代偏微分方程研究的一个重要方法. 绍德尔估计 (Schauder estimates) 对带赫尔德连续系数的二阶线性椭圆型方程的 \( {C}^{2,\alpha }\left( \Omega \right) \) 范数的估计. 设 \( u \in {C}^{2,\alpha }\left( \Omega \right) \) 满足方程 \( {Lu} = - {a}_{ij}{D}_{ij}u + \) \( {b}_{i}{D}_{i}u + {cu} = f \) (在 \( \Omega \) 内),假设系数满足: 存在常数 \( \Lambda \) \( \geq \lambda > 0 \) 及 \( {\Lambda }_{a} > 0 \) 使得: \( \lambda {\left| \xi \right| }^{2} \leq {a}_{ij}\left( x\right) {\xi }_{i}{\xi }_{j} \leq \Lambda {\left| \xi \right| }^{2}\;\left( {\forall x \in \Omega ,\xi \in {\mathrm{R}}^{n}}\right) , \) \[ \frac{1}{\lambda }\left\{ {\mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{\left| {a}_{ij}\right| }_{\alpha ,\Omega } + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left| {b}_{i}\right| }_{\alpha ,\Omega } + {\left| c\right| }_{\alpha ,\Omega }}\right\} \leq {\Lambda }_{\alpha }, \] 则对任意 \( {\Omega }^{\prime } \subset \Omega \) ,有绍德尔内估计 \[ {\left| u\right| }_{2, a,{\Omega }^{\prime }} \leq C\left( {\frac{1}{\lambda }{\left| f\right| }_{a,\Omega } + {\left| u\right| }_{0,\Omega }}\right) , \] 其中 \( C \) 只依赖于 \( n,\alpha ,\Lambda /\lambda ,{\Lambda }_{a} \) 以及 \( \operatorname{dist}\left( {{\Omega }^{\prime },\partial \Omega }\right) \) . 设 \( L \) 的系数满足上述条件,又设 \( \partial \Omega \) 属于 \( {C}^{2, a}, u \) \( \in {C}^{2,\alpha }\left( \bar{\Omega }\right) \) 满足上述方程与边条件 \( {\left. u\right| }_{\partial \Omega } = 0 \) ,则有绍德尔全局估计 \[ {\left| u\right| }_{2,\alpha ;\Omega } \leq C\left( {\frac{1}{\lambda }{\left| f\right| }_{\alpha ,\Omega } + {\left| u\right| }_{0,\Omega }}\right) , \] 其中 \( C \) 只依赖于 \( n,\alpha ,\Lambda /\lambda ,{\Lambda }_{a} \) 与 \( \Omega \) . 绍德尔内估计与绍德尔全局估计统称绍德尔估计. 绍德尔内估计 (Schauder interior estimates) 见“绍德尔估计”. 绍德尔全局估计 (Schauder global estimates) 见“绍德尔估计”. 德・吉奥基-纳什估计 (De Giogi-Nash estimates) 对带间断系数的散度形式二阶线性椭圆型方程的解的赫尔德系数的估计. 1957 年, 德・吉奥基 (De Giogi, E. ) 得到这一估计, 1958 年, 纳什 (Nash, J. F. ) 对于抛物型方程独立地得到了类似估计. 设 \( u \in {H}^{1}\left( \Omega \right) \) 是散度形式一致椭圆型方程 \( {Lu} \) \( = - {D}_{j}\left( {{a}_{ij}{D}_{i}u}\right) + {b}_{i}{D}_{i}u + {cu} = 0 \) 的有界弱解,其系数满足条件: 对常数 \( \Lambda \geq \lambda > 0 \) ,有 \( \lambda {\left| \xi \right| }^{2} \leq {a}_{ij}{\xi }_{i}{\xi }_{j} \leq \Lambda {\left| \xi \right| }^{2}\;\left( {\forall x \in \Omega ,\xi \in {\mathrm{R}}^{n}}\right) , \) \[ \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{n}{\begin{Vmatrix}{a}_{ij}\end{Vmatrix}}_{{L}^{\infty }\left( \Omega \right) } + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\begin{Vmatrix}{b}_{i}\end{Vmatrix}}_{{L}^{\infty }\left( \Omega \right) } + \parallel c{\parallel }_{{L}^{\infty }\left( \Omega \right) } \leq \Lambda , \] 则存在 \( C \geq 0,0 < \gamma < 1 \) ,使得对任意 \( {B}_{R}\left( x\right) \subset \Omega \) 有 \[ \text{ess}\underset{{B}_{{R}^{\left( x\right) }}\left( x\right) }{\operatorname{osc}u} \leq C{\left( \frac{R}{{d}_{x}}\right) }^{\gamma }\text{ess}\underset{{B}_{{d}_{{x}^{\left( x\right) }}}}{\operatorname{osc}u}\text{,} \] 其中 \( {d}_{x} = \operatorname{dist}\{ x,\partial \Omega \}, C \) 与 \( \gamma \) 只依赖于 \( n \) 与 \( \Lambda /\lambda \) , \[ \text{ess}\mathop{\operatorname{osc}}\limits_{A}u = \operatorname{ess}\mathop{\sup }\limits_{A}u - \operatorname{ess}\mathop{\inf }\limits_{A}u\text{.} \] 由上可知, \( u \) 在 \( \Omega \) 内连续 (指几乎处处等于某一在 \( \Omega \) 内的连续函数),使得对于任意的 \( x, y \in \Omega \) ,有 \[ \left| {u\left( x\right) - u\left( y\right) }\right| \leq C{\left( \frac{\left| x - y\right| }{{d}_{xy}}\right) }^{\gamma }\parallel u{\parallel }_{{L}^{\infty }\left( \Omega \right) }, \] 其中 \( {d}_{xy} = \min \left\{ {{d}_{x},{d}_{y}}\right\}, C \) 与 \( \gamma \) 只依赖于 \( n \) 与 \( \Lambda /\lambda \) . 若 \( u \) 是非齐次方程 \( - {D}_{j}\left( {{a}_{ij}{D}_{i}u}\right) + {b}_{i}{D}_{i}u + {cu} = f + {D}_{i}{f}_{i} \) 的弱解,对于某个 \( q > n, f \in {L}^{q} \cdot \left( \Omega \right) ,{f}_{i} \in {L}^{q}\left( \Omega \right) \) ,其中 \( {q}_{ * } = {nq}/\left( {n + q}\right) \) ,则存在 \( C > 0 \) 与 \( 0 < \gamma < 1 \) ,使得对任意 \( {B}_{R}\left( x\right) \subset \Omega \) ,都有 \[ \operatorname{ess}\mathop{\operatorname{osc}}\limits_{{B}_{{R}^{\left( x\right) }}}u \leq C{\left( \frac{R}{{d}_{x}}\right) }^{\gamma }\left\lbrack {\underset{{B}_{{d}_{x}\left( x\right) }}{\operatorname{ess}\operatorname{osc}}u}\right. \] \[ \left. {+{d}_{x}^{\gamma }\left( {\parallel f{\parallel }_{{L}^{{q}_{ * }}\left( \Omega \right) } + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\begin{Vmatrix}{f}_{i}\end{Vmatrix}}_{{L}^{{q}_{\left( \Omega \right) }}}}\right) }\right\rbrack , \] 其中 \( C \) 与 \( \gamma \) 只依赖于 \( n,\Lambda /\lambda \) 与 \( \operatorname{diam}\Omega \) . 若 \( \Omega \) 具有一致外锥性质, \( h > 0 \) 是一致外锥性质中的锥高. 设 \( u \) 是上述方程的弱解, \[ {\left\lbrack u\right\rbrack }_{{\varepsilon }_{1},\partial \Omega } = \mathop{\sup }\limits_{{x, y \in \partial \Omega }}\frac{\left| u\left( x\right) - u\left( y\right) \right| }{{\left| x - y\right| }^{{\varepsilon }_{1}}} < + \infty , \] 则存在 \( C > 0,0 < \gamma < 1 \) ,使得对任意 \( x, y \in \Omega \) ,有 \[ \left| {u\left( x\right) - u\left( y\right) }\right| \leq C{\left| x - y\right| }^{\gamma }\left( {{\left| u\right| }_{0,\Omega } + {\left\lbrack u\right\rbrack }_{{\epsilon }_{1},\partial \Omega }}\right. \] \[ \left. {+\parallel f{\parallel }_{{L}^{q} * \left( \Omega \right) }+\sum {\begin{Vmatrix}{f}_{i}\end{Vmatrix}}_{{L}^{q}\left( \Omega \right) }}\right) , \] 其中 \( C \) 与 \( \gamma \) 只依赖于 \( n,\Lambda /\lambda ,{\varepsilon }_{1}, q \) 与 \( \Omega \) . 弱哈纳克不等式 (weak Harnack inequality) 有界可测系数的散度形式的椭圆型方程的非负上解在一个球上的下确界控制它在同心倍球上的 \( {L}^{p} \) 范数的不等式. 设散度形式二阶线性椭圆算子 \( {Lu} = \) \( {D}_{i}\left( {{a}_{ij}{D}_{j}u + {b}_{i}\left( x\right) u}\right) + {c

2000_数学辞海（第3卷）

设 \( u \) 是上述方程的弱解, \[ {\left\lbrack u\right\rbrack }_{{\varepsilon }_{1},\partial \Omega } = \mathop{\sup }\limits_{{x, y \in \partial \Omega }}\frac{\left| u\left( x\right) - u\left( y\right) \right| }{{\left| x - y\right| }^{{\varepsilon }_{1}}} < + \infty , \] 则存在 \( C > 0,0 < \gamma < 1 \) ,使得对任意 \( x, y \in \Omega \) ,有 \[ \left| {u\left( x\right) - u\left( y\right) }\right| \leq C{\left| x - y\right| }^{\gamma }\left( {{\left| u\right| }_{0,\Omega } + {\left\lbrack u\right\rbrack }_{{\epsilon }_{1},\partial \Omega }}\right. \] \[ \left. {+\parallel f{\parallel }_{{L}^{q} * \left( \Omega \right) }+\sum {\begin{Vmatrix}{f}_{i}\end{Vmatrix}}_{{L}^{q}\left( \Omega \right) }}\right) , \] 其中 \( C \) 与 \( \gamma \) 只依赖于 \( n,\Lambda /\lambda ,{\varepsilon }_{1}, q \) 与 \( \Omega \) . 弱哈纳克不等式 (weak Harnack inequality) 有界可测系数的散度形式的椭圆型方程的非负上解在一个球上的下确界控制它在同心倍球上的 \( {L}^{p} \) 范数的不等式. 设散度形式二阶线性椭圆算子 \( {Lu} = \) \( {D}_{i}\left( {{a}_{ij}{D}_{j}u + {b}_{i}\left( x\right) u}\right) + {c}_{i}\left( x\right) {D}_{i}u + d\left( x\right) u \) 的系数满足 \( {a}_{ij}\left( x\right) {\xi }_{i}{\xi }_{j} \geq \lambda {\left| \xi \right| }^{2}\;\left( {\forall x \in \Omega ,\xi \in {\mathrm{R}}^{n}}\right) , \) \[ \mathop{\sum }\limits_{{i, j}}{\left| {a}_{ij}\left( x\right) \right| }^{2} \leq {\Lambda }^{2} \] \[ {\lambda }^{-2}\mathop{\sum }\limits_{i}\left( {{\left| {b}_{i}\left( x\right) \right| }^{2} + {\left| {c}_{i}\left( x\right) \right| }^{2}}\right) + {\lambda }^{-1}\left| {d\left( x\right) }\right| \leq {v}^{2}. \] 设 \( u \in {H}^{1}\left( \Omega \right) \) 满足不等式 \( {Lu} \leq g + {D}_{i}{f}_{i} \) 且在球 \( {B}_{{4R}\left( y\right) } \subset \Omega \) 内非负,其中对某一 \( q > n,{f}_{i} \in {L}^{q}\left( \Omega \right), g \in \) \( {L}^{q/2}\left( \Omega \right) \) . 设 \( 1 \leq p < n/\left( {n - 2}\right) \) ,则 \[ {R}^{-n/p}\parallel u{\parallel }_{{L}^{P}\left( {{B}_{2R}\left( y\right) }\right) } \leq C\left( {\mathop{\inf }\limits_{{{B}_{R}\left( y\right) }}u + k\left( R\right) }\right) , \] 其中 \( C = C\left( {n,\Lambda /\lambda, v, R, q, p}\right), k\left( R\right) = {\lambda }^{-1}\left( {{R}^{\delta }\parallel f{\parallel }_{q}}\right. \) \( \left. {+{R}^{2\delta }\parallel g{\parallel }_{q/2}}\right) ,\delta = 1 - n/q \) . 弱解的哈纳克不等式 (Harnack inequality for weak solution) 调和函数的哈纳克不等式 (参见 “哈纳克不等式”) 的推广. 设散度形式算子 \( L \) 满足 “弱哈纳克不等式”词条中的有关系数的条件, \( u \in \) \( {H}^{1}\left( \Omega \right) \) 是 \( {Lu} = 0 \) 在 \( \Omega \) 中的非负弱解,则对任意 \( {B}_{4R}\left( y\right) \subset \Omega \) ,有 \[ \mathop{\sup }\limits_{{{B}_{R}\left( y\right) }}u \leq C\mathop{\inf }\limits_{{{B}_{R}\left( y\right) }}u \] 其中 \( C = C\left( {n,\Lambda /\lambda, v, R}\right) \) . 由此知对任意 \( {\Omega }^{\prime } \subset \Omega \) ,有 \[ \mathop{\sup }\limits_{\Omega }u \leq C\mathop{\inf }\limits_{\Omega }u \] 其中 \( C = C\left( {n,\Lambda /\lambda, v,{\Omega }^{\prime },\Omega }\right) \) . 由哈纳克不等式可推导出弱解的德・吉奥基-纳什估计. 解的 \( {L}^{p} \) 估计 ( \( {L}^{p} \) estimates of solution) 二阶线性椭圆方程的解的 \( {W}^{2, p} \) 范数估计. 设 \( u \in {W}_{\text{loc }}^{2, p}\left( \Omega \right) \) 在 \( \Omega \) 上几乎处处满足方程 \( {Lu} = - {a}_{ij}{D}_{ij}u + {b}_{i}{D}_{i}u + \) \( {cu} = f \) ,方程系数满足条件: 存在常数 \( \Lambda \geq \lambda > 0 \) 使得: \( {a}_{ij}{\xi }_{i}{\xi }_{j} \geq \lambda {\left| \xi \right| }^{2}\left( {\forall x \in \Omega ,\xi \in {\mathrm{R}}^{n}}\right) , \) \[ \mathop{\sum }\limits_{{i, j}}{\begin{Vmatrix}{a}_{ij}\end{Vmatrix}}_{{L}^{\infty }\left( \Omega \right) } + \mathop{\sum }\limits_{i}{\begin{Vmatrix}{b}_{i}\end{Vmatrix}}_{{L}^{\infty }\left( \Omega \right) } + \parallel c{\parallel }_{{L}^{\infty }\left( \Omega \right) } \leq \Lambda \] \[ \left( {{a}_{ij} \in C\left( \bar{\Omega }\right) ;i, j = 1,2,\cdots, n}\right) , \] 则对任意 \( {\Omega }^{\prime } \subset \Omega \) ,有 \( {L}^{p} \) 内估计 \[ \parallel u{\parallel }_{{W}^{2, p}\left( {\Omega }^{\prime }\right) } \leq C\left( {\frac{1}{\lambda }\parallel f{\parallel }_{{L}^{p}\left( \Omega \right) } + \parallel u{\parallel }_{{L}^{p}\left( \Omega \right) }}\right) , \] 其中 \( C \) 依赖于 \( n, p,\Lambda /\lambda ,\operatorname{dist}\left\{ {{\Omega }^{\prime },\partial \Omega }\right\} \) 以及 \( {a}_{ij} \) 的连续模. 若再设 \( \partial \Omega \) 属于 \( {C}^{1,1}, u \in {W}^{2, p}\left( \Omega \right) \cap {W}_{0}^{1, p}\left( \Omega \right) \) ,则有 \( {L}^{p} \) 全局估计 \[ \parallel u{\parallel }_{{W}^{2, p}}\left( \Omega \right) \leq C\left( {\frac{1}{\lambda }\parallel f{\parallel }_{{L}^{p}\left( \Omega \right) } + \parallel u{\parallel }_{{L}^{p}\left( \Omega \right) }}\right) , \] 其中 \( C \) 依赖于 \( n, p,\Lambda /\lambda ,\Omega \) 以及 \( {a}_{ij} \) 的连续模. 解的 \( {L}^{p} \) 内估计与解的 \( {L}^{p} \) 全局估计统称解的 \( {L}^{p} \) 估计. 解的 \( {L}^{p} \) 内估计 \( \left( {L}^{p}\right. \) interior estimates of solution) 见“解的 \( {L}^{p} \) 估计”. 解的 \( {L}^{p} \) 全局估计 \( \left( {L}^{p}\right. \) global estimates of solution) 见“解的 \( {L}^{p} \) 估计”. 克里洛夫-萨弗诺夫估计 (Krylov-Safonov esti- mates）非散度形式二阶线性椭圆方程的赫尔德模估计, 它对于完全非线性方程的研究是不可缺的. 克里 洛夫 (Krylov, N. V. ) 与萨弗诺夫 (Safonov, M. V. ) 的这一估计是基于亚历山德罗夫极值原理得到的. 设 \( u \in {W}^{2, n}\left( \Omega \right) \) 满足 \( {Lu} = {a}_{ij}{D}_{ij}u + {b}_{i}{D}_{i}u + {cu} = f \) (在 \( \Omega \) 内),其系数满足 \( \lambda {\left| \xi \right| }^{2} \leq {a}_{ij}\left( x\right) {\xi }_{i}{\xi }_{j} \leq \Lambda {\left| \xi \right| }^{2}, x \) \( \in \Omega ,\xi \in {\mathrm{R}}^{n},\Lambda > \lambda > 0 \) 为常数, \[ \frac{\Lambda }{\lambda } \leq \gamma ,{\left( \frac{\left| b\right| }{\lambda }\right) }^{2} \leq v,\;\frac{\left| c\right| }{\lambda } \leq v, \] 则对任意球 \( {B}_{0} = {B}_{{R}_{0}}\left( y\right) \subset \Omega \) 和 \( R \leq {R}_{0} \) ,有 \[ \mathop{\operatorname{osc}}\limits_{{B}_{{R}^{\left( y\right) }}}u \leq C{\left( \frac{R}{{R}_{0}}\right) }^{a}\left( {\mathop{\operatorname{osc}}\limits_{{B}_{0}}u + \bar{k}{R}_{0}}\right) , \] 其中 \( C = C\left( {n,\gamma, v,{R}_{0}^{2}}\right) ,\alpha = \alpha \left( {n,\gamma, v,{R}_{0}^{2}}\right) \) 是正数,而 \( \bar{k} = \parallel f - {cu}{\parallel }_{\Omega ,{B}_{0}} \) . 若 \( u \in {W}^{2, n}\left( \Omega \right) \cap {C}^{0}\left( \bar{\Omega }\right) \) 满足 \( {Lu} \) \( = f \) ,在 \( \partial \Omega \) 上 \( u = \varphi, f \in {L}^{n}\left( \Omega \right) ,\varphi \in {C}^{\beta }\left( \bar{\Omega }\right) \left( {\beta > 0}\right) \) , \( \partial \Omega \) 满足一致外锥条件,则 \( u \in {C}^{\alpha }\left( \bar{\Omega }\right) \) 并且 \( {\left| u\right| }_{\alpha ,\Omega } \leq C \) . 二阶完全非线性椭圆型方程 (fully nonlinear elliptic equation of second order) 最一般的二阶椭圆型方程,即形如 \( F\left( {x, u,{Du},{D}^{2}u}\right) = 0 \) 的方程, 其中 \( F\left( {x, z, p, r}\right) \) 定义于 \( \Gamma \times \mathrm{R} \times {\mathrm{R}}^{n} \times {\mathcal{F}}^{n} \) 上, \( {\mathcal{F}}^{n} \) 表示所有 \( n \) 阶对称矩阵组成的空间,且 \[ \left( \frac{\partial F}{\partial {r}_{ij}}\right) \] 是正定矩阵. 设非线性函数 \( F\left( {x, z, p, r}\right) \) 在 \( \Gamma \) 上满足以下结构条件: 1. 存在 \( \lambda = \lambda \left( {x, z, p}\right) ,\Lambda = \Lambda \left( {x, z, p}\right) \) ,使在 \( \Gamma \) 上 \( {\lambda I} \leq \left( \frac{\partial F}{\partial {r}_{ij}}\right) \leq {\Lambda I},\lambda > 0,\Lambda /\lambda \leq {\mu }_{1}\left( \left| z\right| \right) . \) 2. \( \left| {F\left( {x, z, p,0}\right) }\right| \leq \lambda {\mu }_{2}\left( \left| z\right| \right) \left( {1 + {\left| p\right| }^{2}}\right) \) . 3. \( {\left( 1 + \left| p\right| \right) }^{-1}\left| {F}_{x}\right| + \left| {F}_{u}\right| + \left( {1 + \left| p\right| }\right) \left| {F}_{p}\right| \) \( \leq \lambda {\mu }_{3}\left( \left| z\right| \right) \left( {1 + {\left| p\right| }^{2} + \left| r\right| }\right) . \) 4. \( F\left( {x, z, p, r}\right) \) 关于 \( r \) 是凹的. 5. \( F\left( {x, z, p,0}\right) \operatorname{sign}z \leq \lambda \bar{\mu }\left( {1 + \left| p\right| }\right) \) . 6. \( {F}_{z}\left( {x, z, p, r}\right) \leq 0 \) . 上面的 \( \bar{\mu } \) 是常数, \( {\mu }_{i}\left( t\right) \left( {i = 1,2,3}\right) \) 是 \( \left\lbrack {0, + \infty }\right\rbrack \) 上的非减非负函数,且 \( \Lambda \) 在 \( \Omega \times \mathrm{R} \times {\mathrm{R}}^{n} \) 上局部有界, 则存在 \( 0 < \alpha < 1 \) ,使得对于任意 \( 0 < \beta < \alpha \) ,如果 \( \partial \Omega \in \) \( {C}^{2,\beta },\varphi \in {C}^{2,\beta }\left( \bar{\Omega }\right) \) ,则存在惟一解 \( u \in {C}^{2,\beta }\left( \bar{\Omega }\right) \) 满足 \[ \left\{ \begin{array}{ll} F\left( {x, u,{Du},{D}^{2}u}\right) = 0 & \text{ (在 }\Omega \text{ 内),} \\ u = \varphi & \text{ (在 }\partial \Omega \text{ 上),} \end{array}\right. \] 其中 \( \alpha \) 依赖于 \( n,{\mu }_{1},{\mu }_{2},{\mu }_{3},{\left| \varphi \right| }_{2} \) 以及 \( \Omega ,{\left| \varphi \right| }_{2} \) 是 \( \varphi \) 在 \( {C}^{2}\left( \bar{\Omega }\right) \) 中的范数. 贝尔曼方程 (Bellman equation) 控制论中提出来的一类完全非线性一致椭圆型方程. 设 \[ {L}_{k}u = {a}_{k}^{ij}{D}_{ij}u + {b}_{k}^{i}{D}_{i}u + {c}_{k}u\;\left( {k = 1,2,\cdots, N}\right) . \] 贝尔曼方程的狄利克雷问题是 \[ \left\{ \begin{array}{ll} \mathop{\inf }\limits_{{1 \leq k \leq N}}\left( {{L}_{k}u - {f}_{k}}\right) = 0 & \text{ (在 }\Omega \text{ 内),} \\ u = \varphi & \text{ (在 }\partial \Omega \text{ 上). } \end{array}\right. \] 假设系数满足以下条件: 1. 存在 \( \Lambda \geq \lambda > 0 \) ,使得在 \( \Omega \) 上 \[ {\lambda I} \leq \left( {a}_{k}^{ij}\right) \leq {\Lambda I},\Lambda /\lambda \leq {\mu }_{1}\left( {k = 1,2,\cdots, N}\right) , \] 其中 \( {\mu }_{1} \) 是常数. 2. 存在常数 \( {\Lambda }_{1} \) ,使得在 \( \Omega \) 上 \[ \mathop{\sum }\limits_{{i, j, k}}{\left| {a}_{k}^{ij}\right| }_{\beta } + \mathop{\sum }\limits_{{i, k}}{\left| {b}_{k}^{i}\right| }_{\beta } + \mathop{\sum }\limits_{k}\left( {{\left| {c}_{k}\right| }_{\beta } + {\left| {f}_{k}\right| }_{\beta }}\right) \leq {\Lambda }_{1}. \] 3. 在 \( \Omega \) 内, \( {c}_{k} \leq 0 \) . 设存在 \( \alpha = \alpha \left( {n,{\mu }_{1}}\right) \) ,使得当 \( 0 < \beta < \alpha \) 时, \( \partial \Omega \in {C}^{2,\beta },\varphi \in {C}^{2,\beta }\left( \bar{\Omega }\right) \) ,则贝尔曼方程的狄利克雷问题有解 \( u \in {C}^{2,\beta }\left( \bar{\Omega }\right) \) . 上述方程由贝尔曼 (Bellman, R. )建立, 它在变分法中起着重要作用. 蒙日-安培方程 (Monge-Amp

2000_数学辞海（第3卷）

= \varphi & \text{ (在 }\partial \Omega \text{ 上). } \end{array}\right. \] 假设系数满足以下条件: 1. 存在 \( \Lambda \geq \lambda > 0 \) ,使得在 \( \Omega \) 上 \[ {\lambda I} \leq \left( {a}_{k}^{ij}\right) \leq {\Lambda I},\Lambda /\lambda \leq {\mu }_{1}\left( {k = 1,2,\cdots, N}\right) , \] 其中 \( {\mu }_{1} \) 是常数. 2. 存在常数 \( {\Lambda }_{1} \) ,使得在 \( \Omega \) 上 \[ \mathop{\sum }\limits_{{i, j, k}}{\left| {a}_{k}^{ij}\right| }_{\beta } + \mathop{\sum }\limits_{{i, k}}{\left| {b}_{k}^{i}\right| }_{\beta } + \mathop{\sum }\limits_{k}\left( {{\left| {c}_{k}\right| }_{\beta } + {\left| {f}_{k}\right| }_{\beta }}\right) \leq {\Lambda }_{1}. \] 3. 在 \( \Omega \) 内, \( {c}_{k} \leq 0 \) . 设存在 \( \alpha = \alpha \left( {n,{\mu }_{1}}\right) \) ,使得当 \( 0 < \beta < \alpha \) 时, \( \partial \Omega \in {C}^{2,\beta },\varphi \in {C}^{2,\beta }\left( \bar{\Omega }\right) \) ,则贝尔曼方程的狄利克雷问题有解 \( u \in {C}^{2,\beta }\left( \bar{\Omega }\right) \) . 上述方程由贝尔曼 (Bellman, R. )建立, 它在变分法中起着重要作用. 蒙日-安培方程 (Monge-Ampère equation) 一类几何问题中提出来的完全非线性椭圆型方程, 其形式是 \( \det \left( {{D}^{2}u}\right) = f\left( {x, u,{Du}}\right) \) . 当黑塞矩阵 \( {D}^{2}u \) 正定时这个方程才是椭圆型方程. 若 \( f \in {C}^{2}(\bar{\Omega } \times \mathrm{R} \times \) \( \left. {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 是一个正函数,满足结构条件: 1. 存在非负函数 \( g \in {L}_{\text{loc }}^{1}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right), h \in {L}^{1}\left( \Omega \right) \) 和常数 \( N \) ,使得 \[ - f\left( {x, z, p}\right) \operatorname{sign}z \leq \frac{h\left( x\right) }{g\left( p\right) } \] \[ \left( {\forall x \in \Omega ,\left| z\right| \geq N, p \in {\mathrm{R}}^{n}}\right) . \] 2. \( {\int }_{\Omega }h\mathrm{\;d}x < {\int }_{{\mathrm{R}}^{n}}g\left( p\right) \mathrm{d}p \equiv {g}_{\infty } \) . 3. \( 0 \leq f\left( {x, z, p}\right) \leq \mu \left( \left| z\right| \right) {\left| p\right| }^{n + 1}, x \) 属于 \( \partial \Omega \) 的一邻域 \( \mathcal{N}, z \in \mathrm{R},\left| p\right| \geq \mu \left( \left| z\right| \right) ,\mu \) 是一个非减函数,且 \( {f}_{z} \geq 0 \) . 又设 \( \partial \Omega \in {C}^{4},\Omega \) 是一致凸区域,则蒙日-安培方程的狄利克雷问题 \[ \left\{ \begin{array}{ll} \det \left( {{D}^{2}u}\right) = f\left( {x, u,{Du}}\right) & \text{ (在 }\Omega \text{ 内),} \\ u = \varphi & \text{ (在 }\partial \Omega \text{ 上) } \end{array}\right. \] 对任意 \( 0 < \alpha < 1 \) 有解 \( u \in {C}^{3,\alpha }\left( \bar{\Omega }\right) \) . 极小曲面方程 (minimal surface equation) 在固定边界上的具有最小面积的曲面所满足的方程. 设 \( {\mathrm{R}}^{n + 1} \) 中的曲面方程为 \( {x}_{n + 1} = u\left( x\right) \left( {x \in \Omega }\right) \) ,则面积积分 \[ S = {\int }_{\Omega }\sqrt{1 + {\left| Du\right| }^{2}}\mathrm{\;d}x \] 的欧拉-拉格朗日方程 \[ \mathcal{M}u = \frac{1}{n}{D}_{i}{\left( \frac{{D}_{i}u}{1 + {\left| Du\right| }^{2}}\right) }^{1/2} = 0 \] 即是极小曲面方程. 这是一个熟知的拟线性椭圆型方程,它是更一般的指定平均曲率方程的特例. 若 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的有界 \( {C}^{2} \) 区域,则狄利克雷问题 \( \mathcal{M}u = 0 \) (在 \( \Omega \) 内), \( u = \varphi \) (在 \( \partial \Omega \) 上) 对任意 \( \varphi \in {C}^{0}\left( {\partial \Omega }\right) \) 有解的充分必要条件是边界 \( \partial \Omega \) 的平均曲率处处非负. 指定平均曲率方程 (prescribed mean curvature equation) 平均曲率为已知的曲面所满足的方程. 如果 \( {\mathrm{R}}^{n + 1} \) 中的曲面 \( {x}_{n + 1} = u\left( x\right), x = \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) \( \in \Omega \) 的平均曲率为 \( H\left( x\right) \) ,则函数 \( u\left( x\right) \) 满足方程 \[ \frac{1}{n}\left( {{D}_{i}\left\lbrack \frac{{D}_{i}u}{\sqrt{1 + {\left| Du\right| }^{2}}}\right\rbrack }\right) = H\left( x\right) , \] 或 \[ \mathcal{M}u = \left( {1 + {\left| Du\right| }^{2}}\right) {\Delta u} - {D}_{i}u{D}_{j}u{D}_{ij}u \] \[ = {nH}{\left( 1 + {\left| Du\right| }^{2}\right) }^{3/2}, \] 称它为指定平均曲率方程. 以 \( \nu \) 记曲面 \( {x}_{n + 1} = u\left( x\right) \) 的法向量, 令 \[ {H}_{0} = \mathop{\sup }\limits_{\Omega }\left| H\right| \] \[ {H}_{1} = \mathop{\sup }\limits_{\Omega }{\left( -\nu \cdot DH\right) }^{ + } \leq \mathop{\sup }\limits_{\Omega }\left| {DH}\right| . \] 设 \( u \in {C}^{2}\left( \Omega \right) ,{y}^{\prime } \in \Omega \) ,令 \( d = \operatorname{dist}\left( {{y}^{\prime },\partial \Omega }\right) \) ,则有梯度估计 \( \left| {{Du}\left( {y}^{\prime }\right) }\right| \leq {C}_{1}\exp \left\{ {{C}_{2}\mathop{\sup }\limits_{\Omega }\left( {u - u\left( {y}^{\prime }\right) }\right) /d}\right\} \) ,其中 \( {C}_{1} = {C}_{1}\left( {n, d{H}_{0},{d}^{2}{H}_{1}}\right) ,{C}_{2} = {C}_{2}\left( {n, d{H}_{0},{d}^{2}{H}_{1}}\right) \) . 设 \( \Omega \) 是有界区域, \( \partial \Omega \in {C}^{2,\alpha },0 < \alpha < 1,\varphi \in \) \( {C}^{2, a}\left( \bar{\Omega }\right) \) . 平均曲率 \( H \in {C}^{1}\left( \bar{\Omega }\right) ,\partial \Omega \) 的平均曲率 \( {H}^{\prime } \) 满足 \[ {H}^{\prime }\left( y\right) \geq \frac{n}{n - 1}\left( {H\left( y\right) }\right) \left( {\forall y \in \partial \Omega }\right) . \] 又设存在 \( {\varepsilon }_{0} > 0 \) ,使得 \[ \left| {{\int }_{\Omega }{H\eta }\mathrm{d}x}\right| \leq \frac{\left( 1 - {\varepsilon }_{0}\right) }{n}{\int }_{\Omega }\left| {D\eta }\right| \mathrm{d}x\;\left( {\forall \eta \in {C}_{0}^{1}\left( \Omega \right) }\right) . \] 则狄利克雷问题 \( \mathcal{M}u = {nH}{\left( 1 + {\left| Du\right| }^{2}\right) }^{3/2} \) (在 \( \Omega \) 内), \( u = \varphi \) (在 \( \partial \Omega \) 上) 有惟一解 \( u \in {C}^{2,\alpha }\left( \bar{\Omega }\right) \) . 若 \( \varphi \in \) \( {C}^{0}\left( {\partial \Omega }\right) \) ,则有惟一解 \( u \in {C}^{0}\left( \bar{\Omega }\right) \cap {C}^{2}\left( \Omega \right) \) . 索伯列夫空间的内插不等式 (interpolation inequality of Sobolev space) 由高阶和低阶索伯列夫空间范数控制中间阶索伯列夫空间范数的不等式. 设 \( \Omega \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 具有一致锥性质,并且设 \( {\varepsilon }_{0} \) 是有限正数,则存在常数 \( K = K\left( {{\varepsilon }_{0}, m, p,\Omega }\right) \) ,使对任意的 \( \varepsilon \) , \( 0 < \varepsilon \leq {\varepsilon }_{0} \) ,任意的整数 \( j\left( {0 \leq j \leq m - 1}\right) \) ,以及任意的 \( u \in {W}^{m, p}\left( \Omega \right) \) ,有 \[ \parallel u{\parallel }_{j, p} \leq {K\varepsilon }\parallel u{\parallel }_{m, p} + K{\varepsilon }^{-j/\left( {m - j}\right) }\parallel u{\parallel }_{0, p}. \] 称该不等式为索伯列夫空间的内插不等式. 尼伦伯格不等式(Nirenberg inequality) 一种形式的索伯列夫空间内插不等式. 设 \( \Omega \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 是一个具有限锥性质的 \( n \) 维有界区域,记 \[ {\left\langle {\nabla }_{l}u\right\rangle }_{p} = {\begin{Vmatrix}{\nabla }_{l}u\end{Vmatrix}}_{{L}_{p}\left( \Omega \right) } \] \[ = {\left( {\int }_{\Omega }{\left( \mathop{\sum }\limits_{{\left| \alpha \right| = l}}{\left| {D}^{\alpha }u\left( x\right) \right| }^{2}\right) }^{p/2}\right) }^{1/p},\] 则 \[{\left\langle {\nabla }_{j}u\right\rangle }_{q} \leq C{\left( {\left\langle {\nabla }_{l}u\right\rangle }_{p}+\langle u{\rangle }_{r}\right) }^{\tau }\langle u{\rangle }_{r}^{1 - \tau },\] (1) 其中 \( p \geq 1, r \geq 1 \) , \[\frac{1}{q} = \frac{j}{n} + \tau \left( {\frac{1}{p} - \frac{l}{n}}\right) + \frac{\left( 1 - \tau \right) }{r}\] (2) \[\left( {\tau \in \left\lbrack {\frac{j}{l},1}\right\rbrack }\right) \] 除非 \( 1 < p < + \infty \) 且 \( l - j - n/p \) 是非负整数,当 \( 1 < p \) \( < + \infty \) 且 \( l - j - n/\rho \) 为非负整数时 (1) 对 \( \tau \in \lbrack j/l \) , 1]成立. 弗里德里希斯不等式 (Friedrichs inequality) 关于函数与其梯度的 \( {L}^{2} \) 范数的不等式. 设 \( \Omega \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 是一个使高斯-格林公式成立的区域, 则称不等式 \[ {\int }_{\Omega }{u}^{2}\mathrm{\;d}x \leq K\left( {{\int }_{\Omega }{\left| \nabla u\right| }^{2}\mathrm{\;d}x + {\int }_{\partial \Omega }{u}^{2}\mathrm{\;d}S}\right) \] 为弗里德里希斯不等式. 庞加莱不等式 (Poincaré inequality) 关于函数与其梯度的 \( {L}^{p} \) 范数的不等式. 设 \( \Omega \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 含于一个宽度为 \( h \) 的条形区域内, \( u \in {W}_{0}^{1, p}\left( \Omega \right) \) ,则下列庞加莱不等式成立 \[ {\int }_{\Omega }{\left| u\right| }^{p}\mathrm{\;d}x \leq {h}^{p}{\int }_{\Omega }{\left| Du\right| }^{p}\mathrm{\;d}x. \] 而不等式 \[ {\int }_{\Omega }{u}^{2}\mathrm{\;d}x \leq K{\int }_{\Omega }{\left| Du\right| }^{2}\mathrm{\;d}x + \frac{1}{\left| \Omega \right| }{\left( {\int }_{\Omega }u\mathrm{\;d}x\right) }^{2} \] 亦称为庞加莱不等式. 若集合 \( N = \{ x \in \Omega \mid u\left( x\right) = 0\} \) 的 \( {\mathrm{R}}^{n - 1} \) 中的测度 \( \left| N\right| > 0 \) ,则 \[ {\int }_{\Omega }{u}^{2}\mathrm{\;d}x \leq K{\int }_{\Omega }{\left| Du\right| }^{2}\mathrm{\;d}x. \] 李亚普诺夫曲面 (Liapunov surface) 体积分及曲面积分相互转化的格林公式对任意连续可微函数都成立的一类区域的边界曲面. \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的区域 \( \Omega \) 的边界 \( S \) 如果满足下列条件,则称 \( S \) 为李亚普诺夫曲面: 1. \( S \) 被有限个 \( n \) 维区域覆盖,在每个区域内的点 \( x \in S \) 有参数表示 \( {x}_{i} = {x}_{i}\left( {{t}_{1},{t}_{2},\cdots ,{t}_{n - 1}}\right) (i = 1,2 \) , \( \cdots, n),{x}_{i} \) 定义在变量 \( {t}_{1},{t}_{2},\cdots ,{t}_{n - 1} \) 的一个有界区域 \( \mathcal{S} \) 内. 2. 函数 \( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n} \) 建立了 \( \overline{\mathcal{S}} \) 与 \( S \) 的对应部分之间的一一对应, \( {x}_{i} \in {C}^{1, h}\left( \overline{\mathcal{S}}\right) \) . 3. 在 \( \mathcal{S} \) 内 \[ J = {\left\{ \sum {\left\lbrack \frac{\partial \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{i - 1},{x}_{i + 1},\cdots ,{x}_{n}}\right) }{\partial \left( {{t}_{1},{t}_{2},\cdots ,{t}_{n - 1}}\right) }\right\rbrack }^{2}\right\} }^{1/2} > 0. \] 4. 曲面 \( S \) 的外法线 \( \nu \) 满足 \[ \cos \left( {\nu ,{x}_{i}}\right) = \frac{1}{J}\frac{\partial \left( {{x}_{i + 1},\cdots ,{x}_{n},{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{i - 1}}\right) }{\partial \left( {{t}_{1},{t}_{2},\cdots ,{t}_{n - 1}}\right) } \] \[ \left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \text{.} \] 若 \( S \) 为李亚普诺夫曲面, \( p = \left( {{p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{n}}\right) \in \) \( {C}^{1,0}\left( \bar{\Omega }\right) \) ,则有格林公式 \[ {\int }_{\Omega }\operatorname{div}p\mathrm{\;d}x = {\int }_{\partial \Omega }p \cdot \nu \mathrm{d}S, \] 其中 \( \nu \) 为 \( \partial \Omega \) 的单位外法向, \( \mathrm{d}S = J\mathrm{\;d}{t}_{1}\mathrm{\;d}{t}_{2}\cdots \mathrm{d}{t}_{n - 1} \) 为面积微元. 单层位势 (single layer potential) 通过基本解定义的一个曲面积分, 也是拉普拉斯方程的一个特解. 设 \( \Gamma \left( {x, y}\right) \) 是拉普拉斯算子在区域 \( \Omega \) 上的基本 解, 函数 \[ u\left( x\right) = {\int }_{\partial \Omega }\Gamma \left( {x, y}\right) \sigma \left( y\right) \mathrm{d}{S}_{y} \] 称为密度为 \( \sigma \) 的单层位势. 如果 \( \partial \Omega \) 是李亚普诺夫曲面,则对任意 \( {x}_{0} \in \partial \Omega \) 有 \[ \frac{\partial u\left( {x}_{0}\right) }{\partial \nu \left( {x}_{0}\right

2000_数学辞海（第3卷）

1},\cdots ,{x}_{n},{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{i - 1}}\right) }{\partial \left( {{t}_{1},{t}_{2},\cdots ,{t}_{n - 1}}\right) } \] \[ \left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \text{.} \] 若 \( S \) 为李亚普诺夫曲面, \( p = \left( {{p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{n}}\right) \in \) \( {C}^{1,0}\left( \bar{\Omega }\right) \) ,则有格林公式 \[ {\int }_{\Omega }\operatorname{div}p\mathrm{\;d}x = {\int }_{\partial \Omega }p \cdot \nu \mathrm{d}S, \] 其中 \( \nu \) 为 \( \partial \Omega \) 的单位外法向, \( \mathrm{d}S = J\mathrm{\;d}{t}_{1}\mathrm{\;d}{t}_{2}\cdots \mathrm{d}{t}_{n - 1} \) 为面积微元. 单层位势 (single layer potential) 通过基本解定义的一个曲面积分, 也是拉普拉斯方程的一个特解. 设 \( \Gamma \left( {x, y}\right) \) 是拉普拉斯算子在区域 \( \Omega \) 上的基本 解, 函数 \[ u\left( x\right) = {\int }_{\partial \Omega }\Gamma \left( {x, y}\right) \sigma \left( y\right) \mathrm{d}{S}_{y} \] 称为密度为 \( \sigma \) 的单层位势. 如果 \( \partial \Omega \) 是李亚普诺夫曲面,则对任意 \( {x}_{0} \in \partial \Omega \) 有 \[ \frac{\partial u\left( {x}_{0}\right) }{\partial \nu \left( {x}_{0}\right) } = - \frac{1}{2}\sigma \left( {x}_{0}\right) + {\int }_{\partial \Omega }\frac{\partial \Gamma \left( {{x}_{0}, y}\right) }{\partial \nu \left( {x}_{0}\right) }\sigma \left( y\right) \mathrm{d}{S}_{y}, \] (1) 其中 \( \nu \left( {x}_{0}\right) \) 是在 \( {x}_{0} \) 处的外法线,而 \[ \frac{\partial u\left( {x}_{0}\right) }{\partial \nu \left( {x}_{0}\right) } = \mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow {x}_{0}} \\ {x \in \Omega } }}\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial \nu \left( {x}_{0}\right) }. \] 称 (1) 为单层位势的跃度关系. 根据 (1) 可将拉普拉斯方程诺伊曼问题 \[ \left\{ \begin{array}{ll} {\Delta u} = 0 & \left( {\text{ 在 }\Omega \text{ 中 }}\right) , \\ \frac{\partial u}{\partial \nu } = \varphi & \left( {\text{ 在 }\partial \Omega \text{ 上 }}\right) \end{array}\right. \] 化为对 \( \sigma \left( x\right) \) 解下列积分方程的问题 \[ \sigma \left( x\right) = 2{\int }_{\partial \Omega }\frac{\partial \Gamma \left( {x, y}\right) }{\partial \nu \left( x\right) }\sigma \left( y\right) d{S}_{y} - {2\varphi }\left( x\right) . \] 单层位势导数的跃度关系 (jump relation of derivatives of single layer potential) 见 “单层位势”. 双层位势 (double layer potential) 通过基本解的法向导数定义的一个曲面积分, 也是拉普拉斯方程的一个特解. 设 \( \Gamma \left( {x, y}\right) \) 是拉普拉斯算子在区域 \( \Omega \) 上的基本解,函数 \[ u\left( x\right) = {\int }_{\partial \Omega }\frac{\partial \Gamma \left( {x, y}\right) }{\partial \nu \left( y\right) }\sigma \left( y\right) \mathrm{d}{S}_{y} \] 称为密度为 \( \sigma \) 的双层位势,其中 \( \nu \left( x\right) \) 为在 \( x \) 处的外法线. 如果 \( \partial \Omega \) 是李亚普诺夫曲面,则对任意 \( x \in \) \( \partial \Omega \) ,有 \[ \mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow {x}_{0}} \\ {x \in \Omega } }}u\left( x\right) = \frac{1}{2}\sigma \left( {x}_{0}\right) + {\int }_{\partial \Omega }\frac{\partial \Gamma \left( {{x}_{0}, y}\right) }{\partial \nu \left( {x}_{0}\right) }\sigma \left( y\right) \mathrm{d}{S}_{y}. \] 此式称为双层位势的跃度关系. 因此, 可将拉普拉斯方程狄利克雷问题 \[ \left\{ \begin{array}{ll} {\Delta u} = 0 & \left( {\text{ 在 }\Omega \text{ 中 }}\right) , \\ u = \varphi & \left( {\text{ 在 }\partial \Omega \text{ 上 }}\right) \end{array}\right. \] 化为对 \( \sigma \left( x\right) \) 解下列积分方程的问题 \[\sigma \left( x\right) = - 2{\int }_{\partial \Omega }\frac{\partial \Gamma \left( {x, y}\right) }{\partial \nu \left( y\right) }\sigma \left( y\right) \mathrm{d}{S}_{y} + {2\varphi }\left( x\right) .\] 双层位势的跃度关系 (jump relation of double layer potential) 见“双层位势”. --- 撰 稿 王耀东 白东华 白其峥 汪明汉 陆文端 罗学波 胡玉英 唐志远 唐贤江 审 阅 丁伟岳 孙和生 沈尧天 陈庆益 姜礼尚 顾永耕 萧 玲 辜联昆 --- ## 积 分 方 程 积分方程 (integral equation) 积分号下出现未知函数的方程. 数学物理中的某些问题常可直接归结为积分方程. 早在 1823 年, 阿贝尔 (Abel, N. H. )研究重力场中质点运动轨道形状与落下时间的关系就得到被称为阿贝尔方程的积分方程. 刘维尔 (Liouville, J. ) 自 1832 年起就解出一些特殊的积分方程并把微分方程的初值问题化为积分方程再用逐次代入法求解. 这些早期工作是零星的, 直到 19 世纪最后几年积分方程理论才得到迅速发展, 奠基性的贡献是由沃尔泰拉 (Volterra, V. ) 、弗雷德霍姆 (Fredholm, (E. )I. ) 以及稍后的希尔伯特 (Hilbert, D. ) 给出的. 从此积分方程就发展成数学学科的一个独立分支. 沃尔泰拉是积分方程一般理论的第一个创立者. 1896 -1897 年, 他研究了后来被称为第二类沃尔泰拉方程的积分方程 \[ f\left( x\right) = u\left( x\right) + {\int }_{a}^{x}k\left( {x,\xi }\right) u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi , \] (1) 提供了求解的逐次逼近法, 巧妙地证明其收敛性, 从而得出解的存在性, 并且指出第一类沃尔泰拉方程 \[ f\left( x\right) = {\int }_{a}^{x}k\left( {x,\xi }\right) u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi \] 均可化为第二类沃尔泰拉方程求解. 他注意到积分方程是线性方程组当未知数个数趋于无穷时的极限形式. 弗雷德霍姆继承了这一观点, 他于 1900 年系统地研究了后来被称为第二类弗雷德霍姆积分方程的一般核的积分方程 \[ f\left( x\right) = u\left( x\right) + {\int }_{a}^{b}k\left( {x,\xi }\right) u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi , \] (2) 得到被称为弗雷德霍姆定理的积分方程的基本定理. 沃尔泰拉方程是 (2) 当 \( k\left( {x,\xi }\right) = 0\left( {\xi > x}\right) \) 的特例. 与沃尔泰拉方程不同, 第一类弗雷德霍姆积分方程 \[ f\left( x\right) = {\int }_{a}^{b}k\left( {x,\xi }\right) u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi \] (3) 一般不能化为第二类弗雷德霍姆积分方程去解决. 这是因为 (3) 作为积分算子一般是某些函数空间上的紧算子, 而紧算子除有限维外是没有有界逆的. 所以 (3) 是一种 “病态方程”, 它的理论至今尚不完整. 希尔伯特于 1904-1912 年发表一系列积分方程的论文, 将弗雷德霍姆定理在线性方程组理论的基础上严密地实现了极限过程, 创立了对称核积分方程系统的谱理论 (这工作后来由施密特 (Schmidt, E. ) 简化, 因此称为希尔伯特-施密特定理), 为了排 除连续谱, 他引入了全连续的概念并且发现这是弗雷德霍姆方法成功的关键. 他的另一最有价值的成就是把微分方程的斯图姆-刘维尔边值问题化成积分方程, 使积分方程成为解常微分方程和偏微分方程的一种重要方法. 希尔伯特对积分方程的贡献在现代分析中产生了十分深远的影响. 一个积分方程, 如果弗雷德霍姆定理对于它不成立, 或它的特征值有有限的极限点或有连续谱就称为奇异积分方程. 差不多紧接着弗雷德霍姆积分方程的理论的出现, 庞加莱 (Poincarè, (J. -) H. ) 和希尔伯特就开始研究带柯西核的奇异积分方程. 奇异积分方程的出现甚至可以追溯到更早, 1782 年, 拉普拉斯 (Laplace, P. -S. ) 和 1811 年傅里叶 (Fourier, J. B. J. ) 的工作中出现的后来称为拉普拉斯变换和傅里叶变换以及其他名称的各种积分变换, 实质上就是奇异积分方程, 求其逆变换就是解相应的奇异积分方程. 因为要求有逆变换, 所以变换的积分方程不可能是第一类弗雷德霍姆方程. 1921 年, 诺特 (Noether, F. ) 提出指标概念, 给出奇异积分方程的基本定理一诺特定理. 弗雷德霍姆定理是该定理中指标为零的特例. 奇异积分方程早期未受到重视, 20 世纪 40 年代, 苏联学者系统研究和发展了奇异积分方程的理论和应用, 至今理论已臻于完善, 原苏联学者穆斯赫利什维利 (MycxenninBunn, H. II. ) 的专著《奇异积分方程》就系统地总结了这方面的成果, 它的应用范围也日益扩大, 例如, 在平面弹性理论中的应用已发展成为不可缺少的基本方法. 奇异积分方程另外有两种经典类型:一类是以维纳-霍普夫方程 \[ u\left( x\right) - {\int }_{0}^{+\infty }k\left( {x - \xi }\right) u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi = f\left( x\right) \] \[ \left( {0 \leq x < + \infty }\right) \] 为代表的卷积型方程. 1948 年, 拉波波尔特 (Partonopr, M. M. ) 把上述方程化为黎曼边值问题去解决. 1958 年, 克莱因 (Klein, (C. ) F. ) 与哥赫别格 ( \( \Gamma \) ox6epr, \( \Pi \) . II. ) 对卷积型方程建立了一般理论. 另一类型是对偶积分方程. 积分方程的抽象理论开端于里斯 (Riesz, F. ), 他在 1907 和 1918 年的论文中引进了 \( {L}^{p} \) 空间 \( (p > \) 1) 和全连续算子即线性的紧算子, 把 \[ \mathcal{K}u\left( x\right) = {\int }_{a}^{b}k\left( {x,\xi }\right) u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi \] 看成 \( {L}^{p} \) 上定义的算子,积分方程 (1) 可看做算子方程 \( f = \left( {I + \mathcal{K}}\right) u \) ( \( I \) 为恒等算子). 当 \( \mathcal{K} \) 是全连续算子时, 他建立了这类算子方程的一般的弗雷德霍姆理论, 这是泛函分析抽象算子理论的一个首创. 奇异积分方程理论的抽象化分别开端于 1962 年哥赫别格和 1964 年欣布罗特 (Shinbrot, M. ), 后来的发展称为一般维纳-霍普夫算子的理论. 抽象化的思想不仅用于研究线性积分方程, 也大量应用于研究非线性积分方程. 现在积分方程这一分支已成为泛函分析算子理论的一个重要组成部分. 1930 年, 哈默斯坦 (Hammerstein, H. ) 建立了如下非线性积分方程 \[ x\left( s\right) = {\int }_{G}k\left( {s, t}\right) f\left( {t, x\left( t\right) }\right) \mathrm{d}t\;\left( {s \in G}\right) \] 的求解理论, 20 世纪 50 年代以后, 这类被称为哈默斯坦方程的研究得到了迅速的发展, 出现很多有效的研究方法, 如拓扑方法、变分方法和凸锥方法等. 另一类重要的非线性积分方程是 1947 年桑德拉塞卡尔 (Chandrasekher, S. ) 开始研究的所谓 \( H \) 方程: \[ H\left( x\right) = 1 + {xH}\left( x\right) {\int }_{0}^{1}\frac{1}{x + t}\psi \left( t\right) H\left( t\right) \mathrm{d}t. \] 近 20 年来, 这类方程的理论也有很快的发展. 非线性积分方程, 以及研究历史更短的随机积分方程, 积分-微分方程, 其内容和范围还没有定型, 有待人们去研究和发展. 线性积分方程 (linear integral equation) 积分方程主要研究的对象. 若方程中未知函数包含在积分号下, 这个方程称为积分方程. 当积分方程中的未知函数是一次时, 就称为线性积分方程, 它的一般形式是 \[ \alpha \left( x\right) u\left( x\right) = f\left( x\right) + \lambda {\int }_{a}^{b}k\left( {x,\xi }\right) u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi \] \[ \left( {a \leq x \leq b}\right) , \] 其中 \( \alpha \left( x\right), f\left( x\right) \) 和 \( k\left( {x,\xi }\right) \) 都是已知函数, \( \lambda \) 是参数, \( a, b \) 是常数, \( u\left( x\right) \) 是未知函数, \( f\left( x\right) \) 称为自由项. 如果 \( f\left( x\right) \equiv 0 \) ,则称该方程为齐次积分方程. 齐次积分方程 (homogeneous integral equation) 见“线性积分方程”. 弗雷德霍姆积分方程 (Fredholm integral equation) 一类最基本和重要的积分方程. 弗雷德霍姆积分方程的一般形式是 \[ \alpha \left( x\right) u\left( x\right) = f\left( x\right) + \lambda {\int }_{a}^{b}k\left( {x,\xi }\right) u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi \] \[ \left( {a \leq x \leq b}\right) , \] 其中核 \( k\left( {x,\xi }\right) \) 是连续核或对变量 \( x,\xi \) 是 \( p\left( {p \geq 1}\right) \) 次绝对可积函数, \( f\left( x\right), u\left( x\right) \) 则在适当函数空间中考虑. 当 \( \alpha \left( x\right) \equiv 0 \) 时,上述方程成为 \[ {\int }_{a}^{b}k\left( {x,\xi }\right) u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi = {f}_{1}\left( x\right) , \] 这种方程称为第一类弗雷德霍姆积分方程. 当 \( \alpha \left( x\right) \) 恒不为零时,方程可改写为下列形式: \[ u\left( x\right) = f\left( x\right) + \lambda {\int }_{a}^{b}k\left( {x,\xi }\right) u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi , \] 这种方程称为第二类弗雷德霍姆积分方程. 这是理论上研究得最完善的一类方程. 当 \( \alpha \left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中的某些点 \( x \) 取值为零时,相应的弗雷德霍姆积分方程的一般形式不再能改写为第二类, 这种方程称为第三类弗雷德霍姆积分方程. \( n \) 维的弗雷德霍姆积分方程有如下形式 \[ \alpha \left( P\right) u\left( P\right) = f\left( P\right) + {\int }_{\Omega }k\left( {P, Q}\right) u\left( Q\right) \mathrm{d}Q, \] 其中 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的区域, \( P, Q \in \Omega .u\left( P\right) \) 是未知函数, \( \alpha \left( P\right), f\left( P\right) \) 和核 \( k\left( {P, Q}\right) \) 是已知函数,并设核对于 \( P, Q \) 是 \( p\left( {p \geq 1}\right) \) 次绝对可积函数. \( n \) 维的第二类弗雷德霍姆积分方程的理论和一维的情形没有本质上的不同. 一维的方程也可推广到曲线 \( L \) 上,若 \( L \) 是复平面上有限条互不相交的分段光滑的简单闭曲线或弧段, 则弗雷德霍姆积分方程的一般形式是 \[ \alpha \left( z\right) u\left( z\right) = f\left( z\right) + {\int }_{L}k\left( {z, t}\right) u\left( t\right) \mathrm{d}t\;\left( {z \in L}\right) , \] 其中 \( u\left( z\right) \) 是 \( L \) 上的未知的复变量 \( z \) 的函数, \( \alpha \left( z\right) \) , \( f\left( z\right) \) 及 \( k\left( {z, t}\right) \) 是已知的复变量函数. 积分方程的核 (kernel of integral equation) 指线性积分方程中积分号下的已知函数, 它决定积分方程的特性. 函数 \( k\left( {x,\xi }\right) \) 称为积分方程 \[ u\left( x\right) = f\left( x\right) + \lambda {\int }_{a}^{b}k\left( {x,\xi }\right) u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi \] 的核. 如果 \[ k\left( {x,\xi }\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{a}_{i}\left( x\right) {b}_{i}\left( \xi \right) \] 时,它就称为退化核. 如果 \( k\left( {x,\xi }\right) \) 关于 \( x,\xi \) 是对称函数,即 \( k\left( {x,\xi }\right) = k\left( {\xi, x}\right) \) ,则称 \( k\left( {x,\xi }\right) \) 是对称核. 如果 \( k\left( {x,\xi }\right) \) 是复值函数,且 \( k\left( {x,\xi }\right) = \overline{k\left( {\xi,

2000_数学辞海（第3卷）

推广到曲线 \( L \) 上,若 \( L \) 是复平面上有限条互不相交的分段光滑的简单闭曲线或弧段, 则弗雷德霍姆积分方程的一般形式是 \[ \alpha \left( z\right) u\left( z\right) = f\left( z\right) + {\int }_{L}k\left( {z, t}\right) u\left( t\right) \mathrm{d}t\;\left( {z \in L}\right) , \] 其中 \( u\left( z\right) \) 是 \( L \) 上的未知的复变量 \( z \) 的函数, \( \alpha \left( z\right) \) , \( f\left( z\right) \) 及 \( k\left( {z, t}\right) \) 是已知的复变量函数. 积分方程的核 (kernel of integral equation) 指线性积分方程中积分号下的已知函数, 它决定积分方程的特性. 函数 \( k\left( {x,\xi }\right) \) 称为积分方程 \[ u\left( x\right) = f\left( x\right) + \lambda {\int }_{a}^{b}k\left( {x,\xi }\right) u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi \] 的核. 如果 \[ k\left( {x,\xi }\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{a}_{i}\left( x\right) {b}_{i}\left( \xi \right) \] 时,它就称为退化核. 如果 \( k\left( {x,\xi }\right) \) 关于 \( x,\xi \) 是对称函数,即 \( k\left( {x,\xi }\right) = k\left( {\xi, x}\right) \) ,则称 \( k\left( {x,\xi }\right) \) 是对称核. 如果 \( k\left( {x,\xi }\right) \) 是复值函数,且 \( k\left( {x,\xi }\right) = \overline{k\left( {\xi, x}\right) } \) ,则称 \( k\left( {x,\xi }\right) \) 是埃尔米特核,其中 \( \overline{k\left( {\xi, x}\right) } \) 表示 \( k\left( {\xi, x}\right) \) 的复共轭函数. 如果 \( k\left( {x,\xi }\right) \) 满足条件 \( k\left( {x,\xi }\right) = - k(\xi \) , \( x) \) ,则称 \( k\left( {x,\xi }\right) \) 为反对称核,此时如果 \( k\left( {x,\xi }\right) \) 为实值函数,则 \( \mathrm{i}k\left( {x,\xi }\right) \) 便是埃尔米特核. 对称核 (symmetric kernel) 见 “积分方程的核”. 埃尔米特核 (Hermite kernel) 见“积分方程的核”. 反对称核 (antisymmetric kernel) 见 “积分方程的核”. 退化核的积分方程 (integral equation with degenerate kernel) 一类简单的积分方程, 它可以用代数方法求解. 退化核的积分方程是指方程 \[ u\left( x\right) = f\left( x\right) + \lambda {\int }_{a}^{b}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{m}{a}_{j}\left( x\right) {b}_{j}\left( \xi \right) u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi , \] 其中的 \( {a}_{j}\left( x\right) \) 和 \( {b}_{j}\left( \xi \right) \) 都可认为是线性无关的,它可以直接化为线性方程组求解. 方程可写为 \[ u\left( x\right) = f\left( x\right) + \lambda \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{m}{a}_{j}\left( x\right) {c}_{j}, \] (1) 其中 \[ {c}_{j} = {\int }_{a}^{b}{b}_{j}\left( \xi \right) u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi \] (2) 是未定常数. 为确定 \( {c}_{j} \) ,将方程 (1) 代入 (2) 式,即得确定 \( {c}_{j} \) 的线性方程组 \[ {c}_{i} - \lambda \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{m}{a}_{ij}{c}_{j} = {f}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots, m}\right) , \] (3) 其中 \[ {a}_{ij} = {\int }_{a}^{b}{b}_{i}\left( x\right) {a}_{j}\left( x\right) \mathrm{d}x,{f}_{i} = {\int }_{a}^{b}{b}_{i}\left( x\right) f\left( x\right) \mathrm{d}x \] 是已知常数; 若 \( \lambda \) 不是矩阵 \( A = \left( {a}_{ij}\right) \) 的特征值,即 \[ \det \left( {I - {\lambda A}}\right) \neq 0, \] 则方程组 (3) 有惟一解 \( {c}_{1},{c}_{2},\cdots ,{c}_{m} \) ,代回方程 (1),即得积分方程的解 \( u\left( x\right) \) . 积分方程的特征值 (characteristic value) 参数的特殊值, 这些值使方程求解产生质的变化. 第二类弗雷德霍姆齐次方程 \[ u\left( x\right) = \lambda {\int }_{a}^{b}k\left( {x,\xi }\right) u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi \;\left( {a \leq \xi \leq b}\right) , \] 如果当 \( \lambda \) 取某值 \( {\lambda }_{0} \) 时,方程有不恒为零的解 \( u\left( x\right) \) , 则称 \( {\lambda }_{0} \) 是积分方程的特征值,相应的 \( u\left( x\right) \) 称为积分方程的特征函数. 当 \( k\left( {x,\xi }\right) \) 不是退化核时,相应的积分方程一般有可数个特征值 \( {\lambda }_{n}\left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) ,并且 \( {\lambda }_{n} \) 在复平面有界域内无聚点. 每个特征值 \( {\lambda }_{k} \) 可以对应至多有限个线性无关的特征函数. 当特征值 \( {\lambda }_{k} \) 只对应一个特征函数时, 这个特征函数除一常数因子外完全被确定. 积分方程的特征函数 (characteristic function) 见“积分方程的特征值”. 逐次逼近法 (successive approximation method) 求积分方程解的一种方法. 设有连续核的积分方程 \[ u\left( x\right) = f\left( x\right) + \lambda {\int }_{a}^{b}k\left( {x,\xi }\right) u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi , \] 其解可表成 \( \lambda \) 的幂级数 \[ u\left( x\right) = {u}_{0}\left( x\right) + {u}_{1}\left( x\right) \lambda + {u}_{2}\left( x\right) {\lambda }^{2} + \cdots , \] 如果此级数在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上关于 \( x \) 是一致收敛的,那么把它代入积分方程,便可逐项积分,比较 \( \lambda \) 同次幂的系数便得到确定 \( {u}_{i}\left( x\right) \) 的递推公式 \[ {u}_{0}\left( x\right) = f\left( x\right) , \] \[ {u}_{i}\left( x\right) = {\int }_{a}^{b}k\left( {x,\xi }\right) {u}_{i - 1}\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi \;\left( {i = 1,2,\cdots }\right) , \] 其中 \( {u}_{i}\left( x\right) \left( {i = 1,2,\cdots }\right) \) 都是连续函数. 若 \( \left| \lambda \right| \) 充分小, 则级数 \[ \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }{\lambda }^{i}{u}_{i}\left( x\right) \] 关于 \( x \) 绝对且一致收敛,于是当 \( f\left( x\right) \) 连续时,此级数的和是连续函数并且是积分方程的解. 预解核 (resolvent kernel) 用来给出积分方程解的一种积分表示, 利用它可以研究积分方程的有关性质. 设 \( k\left( {x,\xi }\right) \) 是积分方程 \[ u\left( x\right) = f\left( x\right) + \lambda {\int }_{a}^{b}k\left( {x,\xi }\right) u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi \] 的连续核,则 \( \left| {k\left( {x,\xi }\right) }\right| \leq M\left( {a \leq x,\xi \leq b}\right) \) ,由递推公式 \[ {k}_{1}\left( {x,\xi }\right) = k\left( {x,\xi }\right) , \] \[ {k}_{n}\left( {x,\xi }\right) = {\int }_{a}^{b}{k}_{n - 1}\left( {x,\eta }\right) k\left( {\eta ,\xi }\right) \mathrm{d}\eta \left( {n = 2,3,\cdots }\right) \] 产生的 \( {k}_{n}\left( {x,\xi }\right) \) 称为 \( k\left( {x,\xi }\right) \) 的 \( n \) 次叠核. 它满足公式 \[ {k}_{p + q}\left( {x,\xi }\right) = {\int }_{a}^{b}{k}_{p}\left( {x,\eta }\right) {k}_{q}\left( {\eta ,\xi }\right) \mathrm{d}\eta , \] 当 \[ \left| \lambda \right| < \frac{1}{M\left( {b - a}\right) } \] 时, 级数 \[\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{k}_{n}\left( {x,\xi }\right) {\lambda }^{n - 1}\] 在 \( a \leq x,\xi \leq b \) 上绝对且一致收敛,其和记为 \[R\left( {x,\xi ,\lambda }\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{k}_{n}\left( {x,\xi }\right) {\lambda }^{n - 1}.\] 此级数称为诺伊曼级数, \( R\left( {x,\xi ,\lambda }\right) \) 称为积分方程的预解核. 预解核是 \( \lambda \) 全平面上的半纯函数,它在任一有界域内只可能有有限个极点, 每个特征值就是预解核的极点. 利用预解核, 积分方程的解可表示为 \[u\left( x\right) = f\left( x\right) + \lambda {\int }_{a}^{b}R\left( {x,\xi ,\lambda }\right) f\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi \] \[\left( {\left| \lambda \right| < \frac{1}{M\left( {b - a}\right) }}\right) .\] 这个结果在 \( {L}^{2} \) 空间也同样成立. 即设 \( k\left( {x,\xi }\right) \) 和 \( f\left( x\right) \) 都是平方可积函数,且 \[{\int }_{a}^{b}{\left| k\left( x,\xi \right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}\xi \leq {C}^{2},\] 记 \[{\int }_{a}^{b}{\int }_{a}^{b}{\left| k\left( x,\xi \right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}\xi = {B}^{2}\] 和 \[{\int }_{a}^{b}{\left| f\left( x\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x = {D}^{2},\] 则近似解序列 \[{\widetilde{u}}_{m}\left( x\right) = f\left( x\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{m}{\lambda }^{n}{\int }_{a}^{b}{k}_{n}\left( {x,\xi }\right) f\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi \] 在 \( \left| \lambda \right| < 1/B \) 内绝对且一致收敛,其极限函数给出方程的惟一解. 诺伊曼级数 (Neumann series) 见“预解核”. 弗雷德霍姆行列式 (Fredholm determinant) 预解核中出现的行列式. 逐次逼近法建立的预解核表示式 \[ R\left( {x,\xi ,\lambda }\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{k}_{n + 1}\left( {x,\xi }\right) {\lambda }^{n} \] 只对充分小的 \( \left| \lambda \right| \) 有效. 对一般的 \( \lambda \) ,利用下面的弗雷德霍姆行列式 \( D\left( \lambda \right) \) \[ D\left( \lambda \right) = 1 + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}\frac{{\lambda }^{n}}{n!}{d}_{n}, \] 其中 \[ {d}_{n} = {\int }_{a}^{b}\cdots {\int }_{a}^{b}k\left( \begin{array}{llll} {t}_{1} & {t}_{2} & \cdots & {t}_{n} \\ {t}_{1} & {t}_{2} & \cdots & {t}_{n} \end{array}\right) \mathrm{d}{t}_{1}\mathrm{\;d}{t}_{2}\cdots \mathrm{d}{t}_{n}, \] 行列式 \[ k\left( \begin{array}{llll} {t}_{1} & {t}_{2} & \cdots & {t}_{n} \\ {t}_{1} & {t}_{2} & \cdots & {t}_{n} \end{array}\right) \] \[ = \left| \begin{matrix} k\left( {{t}_{1},{t}_{1}}\right) & k\left( {{t}_{1},{t}_{2}}\right) & \cdots & k\left( {{t}_{1},{t}_{n}}\right) \\ k\left( {{t}_{2},{t}_{1}}\right) & k\left( {{t}_{2},{t}_{2}}\right) & \cdots & k\left( {{t}_{2},{t}_{n}}\right) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ k\left( {{t}_{n},{t}_{1}}\right) & k\left( {{t}_{n},{t}_{2}}\right) & \cdots & k\left( {{t}_{n},{t}_{n}}\right) \end{matrix}\right| , \] 以及 \[ {d}_{n}\left( {x,\xi }\right) \] \[ = {\int }_{a}^{b}\cdots {\int }_{a}^{b}k\left( \begin{matrix} x & {t}_{1} & {t}_{2} & \cdots & {t}_{n} \\ \xi & {t}_{1} & {t}_{2} & \cdots & {t}_{n} \end{matrix}\right) \mathrm{d}{t}_{1}\mathrm{\;d}{t}_{2}\cdots \mathrm{d}{t}_{n}, \] 就可得到预解核 \( R\left( {x,\xi ,\lambda }\right) \) 在整个 \( \lambda \) 复平面的解析表达式 \[ R\left( {x,\xi ,\lambda }\right) = \frac{D\left( {x,\xi ,\lambda }\right) }{D\left( \lambda \right) } \] 其中 \[ D\left( {x,\xi ,\lambda }\right) = k\left( {x,\xi }\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}\frac{{\lambda }^{n}}{n!}{d}_{n}\left( {x,\xi }\right) , \] 它对所有 \( \lambda \) 都收敛. 预解核的这个表达式称为弗雷德霍姆公式. 这个公式显示预解核是 \( \lambda \) 的半纯函数, 并且可以证明, \( \lambda \) 是齐次积分方程的特征值的充分必要条件为 \( \lambda \) 是 \( D\left( \lambda \right) \) 的零点. 弗雷德霍姆公式 (Fredholm formula) 见 “弗雷德霍姆行列式”. 弗雷德霍姆定理 (Fredholm theorems) 积分方程的基本定理. 设第二类弗雷德霍姆积分方程是 \[ u\left( x\right) - \lambda {\int }_{a}^{b}k\left( {x,\xi }\right) u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi = f\left( x\right) . \] （1） 将核的自变量 \( x,\xi \) 互换,得到的积分方程 \[ v\left( x\right) - \lambda {\int }_{a}^{b}k\left( {\xi, x}\right) v\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi = g\left( x\right) \] 称为方程 (1) 的转置方程. 弗雷德霍姆定理或者说弗雷德霍姆理论是指以下四个定理: 1. (二者择一定理) 或者是非齐次方程 (1) 对任意给定的 \( f\left( x\right) \) 有惟一解,或者是方程 (1) 的齐次方程有非零解, 二者必居其一. 2. 方程 (1) 的齐次方程和它的转置齐次方程有有限个相同个数的线性无关解. 3. 当 \( {\lambda }_{0} \) 是特征值时,非齐次方程 (1) 有解的充分必要条件是已知函数 \( f\left( x\right) \) 满足条件 \[ {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) {v}_{j}\left( x\right) \mathrm{d}x = 0\;\left( {j = 1,2,\cdots, m}\right) , \] 其中 \( {v}_{j}\left( x\right) \) 是转置齐次方程的线性无关解,亦即 \( f\left( x\right) \) 与转置齐次方程关于 \( {\lambda }_{0} \) 的一切特征函数正交. 此时方程 (1) 的解取形式 \[ u\left( x\right) = {u}_{0}\left( x\right) + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{c}_{i}{\varphi }_{i}\left( x\right) , \] 其中 \( {u}_{0}\left( x\right) \) 是方程 (1) 的任一特解, \( {\varphi }_{i} \) 是方程 (1) 的齐次方程对应 \( {\lambda }_{0} \) 的 \( m \) 个线性无关的特征函数, \( {c}_{i} \) 是任意常数. 4. 在 \( \lambda \) 复平面的任意有界区域内,方程 (1) 的齐次方程只有有限个特征值. 弱奇性核 (weak singularity kernel) 具有可积分的奇异性的核. 若积分方程的核不连续, 并且有形式 \[ k\left( {x,\xi }\right) = \frac{h\left( {x,\xi }\right) }{{\left| x - \xi \right| }^{\alpha }}\left( {0 < \alpha < 1}\right) , \] 其中 \( h\left

2000_数学辞海（第3卷）

1. (二者择一定理) 或者是非齐次方程 (1) 对任意给定的 \( f\left( x\right) \) 有惟一解,或者是方程 (1) 的齐次方程有非零解, 二者必居其一. 2. 方程 (1) 的齐次方程和它的转置齐次方程有有限个相同个数的线性无关解. 3. 当 \( {\lambda }_{0} \) 是特征值时,非齐次方程 (1) 有解的充分必要条件是已知函数 \( f\left( x\right) \) 满足条件 \[ {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) {v}_{j}\left( x\right) \mathrm{d}x = 0\;\left( {j = 1,2,\cdots, m}\right) , \] 其中 \( {v}_{j}\left( x\right) \) 是转置齐次方程的线性无关解,亦即 \( f\left( x\right) \) 与转置齐次方程关于 \( {\lambda }_{0} \) 的一切特征函数正交. 此时方程 (1) 的解取形式 \[ u\left( x\right) = {u}_{0}\left( x\right) + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{c}_{i}{\varphi }_{i}\left( x\right) , \] 其中 \( {u}_{0}\left( x\right) \) 是方程 (1) 的任一特解, \( {\varphi }_{i} \) 是方程 (1) 的齐次方程对应 \( {\lambda }_{0} \) 的 \( m \) 个线性无关的特征函数, \( {c}_{i} \) 是任意常数. 4. 在 \( \lambda \) 复平面的任意有界区域内,方程 (1) 的齐次方程只有有限个特征值. 弱奇性核 (weak singularity kernel) 具有可积分的奇异性的核. 若积分方程的核不连续, 并且有形式 \[ k\left( {x,\xi }\right) = \frac{h\left( {x,\xi }\right) }{{\left| x - \xi \right| }^{\alpha }}\left( {0 < \alpha < 1}\right) , \] 其中 \( h\left( {x,\xi }\right) \) 是有界函数,则这样的 \( k\left( {x,\xi }\right) \) 称为弱奇性核. 对于弱奇性核的积分方程, 弗雷德霍姆定理同样成立. 对称核方程的性质 (properties of equation with symmetric kernel) 对称核积分方程特有的性质. 设第二类弗雷德霍姆积分方程的核 \( k\left( {x,\xi }\right) \) 是对称核,即 \( k\left( {x,\xi }\right) = k\left( {\xi, x}\right) \) ,又 \( \left\{ {\lambda }_{k}\right\} \) 是对应齐次积分方程 \[ u\left( x\right) = \lambda {\int }_{a}^{b}k\left( {x,\xi }\right) u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi \] 的特征值, \( \left\{ {{u}_{k}\left( x\right) }\right\} \) 是对应的特征函数,则有性质: 1. 若 \( k\left( {x,\xi }\right) \) 不恒为零,则齐次方程至少有一个特征值. 2. 对应不同特征值的特征函数是正交的, 即若 \( {\lambda }_{k} \neq {\lambda }_{j} \) ,则相应的特征函数 \( \left\{ {{u}_{j}\left( x\right) }\right\} \) 满足 \[ {\int }_{a}^{b}{u}_{k}\left( x\right) {u}_{j}\left( x\right) \mathrm{d}x = 0. \] ## 3. \( {\lambda }_{k} \) 都是实数. 由此可见, 对称核的一切特征函数序列可化为一个规范正交系. 埃尔米特核有与上述性质 1 和 2 完全类似的性质. 希尔伯特-施密特定理 (Hilbert-Schmidt theorem) 对称核积分方程的主要定理. 设 \( k\left( {x,\xi }\right) \) 是对称核, \( {\lambda }_{1},{\lambda }_{2},\cdots ,{\lambda }_{n},\cdots \) 是齐次积分方程 \[u\left( x\right) = \lambda {\int }_{a}^{b}k\left( {x,\xi }\right) u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi \] 的所有特征值, \( {u}_{1}\left( x\right) ,{u}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{u}_{n}\left( x\right) ,\cdots \) 是与这些特征值对应的所有特征函数组成的规范正交系. 其 次,设 \( h\left( x\right) \in {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,如果积分 \[ {\int }_{a}^{b}{\left| k\left( x,\xi \right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}\xi < C\text{ ( }C\text{ 为正常数),} \] 则函数 \[ f\left( x\right) = {\int }_{a}^{b}k\left( {x,\xi }\right) h\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi \] 可展为 \( \left\{ {{u}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 的傅里叶级数 \[ f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{h}_{n}}{{\lambda }_{n}}{u}_{n}\left( x\right) , \] 其中 \[ {h}_{n} = \left( {h,{u}_{n}}\right) = {\int }_{a}^{b}h\left( \xi \right) {u}_{n}\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi , \] 此级数在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上绝对且一致收敛. 施密特公式 (Schmidt formula) 给出对称核积分方程解的表达式的公式. 设弗雷德霍姆积分方程 \[ u\left( x\right) = f\left( x\right) + \lambda {\int }_{a}^{b}k\left( {x,\xi }\right) u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi , \] 其中 \( k\left( {x,\xi }\right) \) 是定义在正方形 \( R\left( {a \leq x \leq b, a \leq \xi \leq b}\right) \) 上并在其上平方可积的对称核, \( f\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的已知的连续函数, \( u\left( x\right) \) 是未知函数, \( \lambda \) 是参数,则有施密特公式 \[ u\left( x\right) = f\left( x\right) + \lambda \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{f}_{i}}{{\lambda }_{i} - \lambda }{u}_{i}\left( x\right) \;\left( {\lambda \neq {\lambda }_{i}}\right) . \] 当 \( \lambda \) 不是特征值时,上式右端的级数是绝对且一致收敛的, 而且 \[ {f}_{i} = \frac{{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) {u}_{i}\left( x\right) \mathrm{d}x}{{\int }_{a}^{b}{u}_{i}^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x}\left( {i = 1,2,\cdots }\right) . \] 当 \( \lambda \) 是一个特征值 \( {\lambda }_{i} \) 时,解 \( u\left( x\right) \) 可表为 \[ u\left( x\right) = f\left( x\right) + {c}_{i}{u}_{i}\left( x\right) + \lambda \mathop{\sum }\limits_{\substack{{i = 1} \\ {{\lambda }_{i} \neq \lambda } }}^{\infty }\frac{{f}_{i}}{{\lambda }_{i} - \lambda }{u}_{i}\left( x\right) , \] 这里 \( {c}_{i} \) 是任意常数. 核的展开定理 (expansion theorem of kernel) 给出方程的特征函数与方程核的关系的命题. 一个有对称核的第二类弗雷德霍姆积分方程, 假设核是连续的或者 \[ {\int }_{a}^{b}{\left| k\left( x,\xi \right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}\xi \leq C, \] 则它的核 \( k\left( {x,\xi }\right) \) 可以利用它的特征函数组成的规范正交系展开为 \[ k\left( {x,\xi }\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{u}_{i}\left( x\right) {u}_{i}\left( \xi \right) }{{\lambda }_{i}}, \] 其中 \( {\lambda }_{i} \) 是齐次方程的特征值, \( {u}_{i}\left( x\right) \) 是对应 \( {\lambda }_{i} \) 的标准化了的特征函数,此级数对 \( x \) 是平均收敛于 \( k\left( {x,\xi }\right) \) 的,即对任意固定的 \( \xi \) ,恒有 \[ \mathop{\lim }\limits_{{m \rightarrow \infty }}{\int }_{a}^{b}{\left\lbrack k\left( x,\xi \right) - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}\frac{{u}_{i}\left( x\right) {u}_{i}\left( \xi \right) }{{\lambda }_{i}}\right\rbrack }^{2}\mathrm{\;d}x = 0. \] 默塞尔定理 (Mercer theorem) 半正定对称核的展开定理. 设 \( k\left( {x,\xi }\right) \) 是对称的,若对任意的 \( \varphi \left( x\right) \) 均满足不等式 \[ {\int }_{a}^{b}{\int }_{a}^{b}k\left( {x,\xi }\right) \varphi \left( x\right) \varphi \left( \xi \right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}\xi \geq 0, \] 则称 \( k\left( {x,\xi }\right) \) 为半正定核. 特别地,若等号只限制在 \( \varphi \left( x\right) \equiv 0 \) 的情形成立,就把它称为正定核. 半正定核的特征值 \( {\lambda }_{i} \) 全是正的,并且有如下的默塞尔定理: 如果 \( k\left( {x,\xi }\right) \) 是半正定核,且对 \( \left( {x,\xi }\right) \) 是一致连续的, 则级数 \[ \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\frac{{u}_{i}\left( x\right) {u}_{i}\left( \xi \right) }{{\lambda }_{i}} \] 对 \( \left( {x,\xi }\right) \) 而言绝对且一致收敛于 \( k\left( {x,\xi }\right) \) ,其中 \( {\lambda }_{i} \) 是 \( k\left( {x,\xi }\right) \) 相应的弗雷德霍姆积分方程的特征值, \( {u}_{i}\left( x\right) \) 是对应于 \( {\lambda }_{i} \) 的特征函数. 半正定核 (semi-positive definite kernel) 见 “默塞尔定理”. 正定对称核 (positive definite symmetric kernel）见“默塞尔定理”. 非对称核的积分方程 (integrat equations with non-symmetric kernel) 对称核积分方程的一种推广. 设 \( k\left( {x,\xi }\right) \) 是非对称的,但具有如下形式: \[ k\left( {x,\xi }\right) = r\left( \xi \right) g\left( {x,\xi }\right) , \] 其中 \( g\left( {x,\xi }\right) \) 是对称函数, \( r\left( \xi \right) \) 是区间 \( \left( {a, b}\right) \) 内的不变号的连续函数, 这时对应的积分方程有如下性质: 1. 对应于不同特征值 \( {\lambda }_{k} \) 和 \( {\lambda }_{j} \) 的两个特征函数 \( {u}_{k}\left( x\right) \) 和 \( {u}_{j}\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上关于权函数 \( r\left( x\right) \) 是正交的, 即 \[ {\int }_{a}^{b}r\left( x\right) {u}_{k}\left( x\right) {u}_{j}\left( x\right) \mathrm{d}x = 0\left( {k \neq j}\right) . \] 2. \( k\left( {x,\xi }\right) \) 的特征值都是实数. 3. 若非齐次第二类弗雷德霍姆方程有一个解, 则此解为 \[ u\left( x\right) = f\left( x\right) + \lambda \mathop{\sum }\limits_{\substack{{i = 1} \\ {{\lambda }_{i} \neq \lambda } }}^{\infty }\frac{{f}_{i}}{{\lambda }_{i} - \lambda }{u}_{i}\left( x\right) , \] 其中 \( {\lambda }_{i} \) 是 \( k\left( {x,\xi }\right) \) 的特征值, \( {u}_{i}\left( x\right) \) 是对应于 \( {\lambda }_{i} \) 的特征函数,式中 \[{f}_{i} = \frac{{\int }_{a}^{b}r\left( x\right) f\left( x\right) {u}_{i}\left( x\right) \mathrm{d}x}{{\int }_{a}^{b}r\left( x\right) {u}_{i}^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x}\left( {i = 1,2,\cdots }\right) .\] 埃尔米特核的积分方程 (integral equation with Hermite kernel) 把实对称核积分方程的理论推广到复域. 具有埃尔米特核的积分方程称为埃尔米特核积分方程. 埃尔米特核积分方程具有以下性质: 1. 对应于不同特征值 \( {\lambda }_{k} \) 和 \( {\lambda }_{j} \) 的两个特征函数 \( {u}_{k}\left( x\right) \) 和 \( {u}_{j}\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上是按埃尔米特意义正交的, 即 \[ {\int }_{a}^{b}{u}_{k}\left( x\right) \overline{{u}_{j}\left( x\right) }\mathrm{d}x = 0. \] 2. 埃尔米特核的特征值都是实的. 3. 如果具有埃尔米特核的非齐次第二类弗雷德霍姆方程有一个解, 那么这个解可表为 \[ u\left( x\right) = f\left( x\right) + \lambda \mathop{\sum }\limits_{\substack{{i = 1} \\ {{\lambda }_{i} \neq \lambda } }}^{\infty }\frac{{f}_{i}}{{\lambda }_{i} - \lambda }{u}_{i}\left( x\right) , \] 其中 \( {\lambda }_{i} \) 是埃尔米特核的特征值, \( {u}_{i}\left( x\right) \) 是对应于 \( {\lambda }_{i} \) 的特征函数, 其中 \[ {f}_{i} = \frac{{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \overline{{u}_{i}\left( x\right) }\mathrm{d}x}{{\int }_{a}^{b}{u}_{i}\left( x\right) \overline{{u}_{i}\left( x\right) }\mathrm{d}x}\left( {i = 1,2,\cdots }\right) . \] 反对称核的积分方程 (integral equation with antisymmetric kernel) 某种意义下, 其核与对称类型的相反的积分方程. 具有反对称核 (即 \( k\left( {x,\xi }\right) = \) \( - k\left( {\xi, x}\right) ) \) 的积分方程称为反对称核的积分方程. 考虑具有反对称核的积分方程 \[ u\left( x\right) = f\left( x\right) + \lambda {\int }_{a}^{b}k\left( {x,\xi }\right) u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi . \] 如果以 \( \mathrm{i}\lambda \) 代替 \( \lambda \) ,则得到具有埃尔米特核的积分方程 \[ u\left( x\right) = f\left( x\right) + \lambda {\int }_{a}^{b}\mathrm{i}k\left( {x,\xi }\right) u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi . \] 于是, 具有反对称核的积分方程必有特征值, 并且这些特征值均是纯虚数. 积分方程与微分方程的关系 (relation between integral equations and differential equations) 关于积分方程与微分方程可以互相转化的问题. 由于微分和积分是互逆的运算, 微分方程和积分方程也有深刻的内在联系. 许多关于微分方程的问题可化为积分方程. 如果积分方程的解具备一定的可微性, 也可从积分方程导出相应的微分方程的问题. 例如, 从二阶线性微分方程边值问题 \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{\;d}{x}^{2}} + {\lambda u} = 0, \\ u\left( 0\right) = 0, u\left( a\right) = 0 \end{array}\right. \] 出发, 可得第二类弗雷德霍姆积分方程 \[ u\left( x\right) = \lambda {\int }_{0}^{a}k\left( {x,\xi }\right) u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi , \] 其中 \[ k\left( {x,\xi }\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\xi }{a}\left( {a - x}\right) & \left( {0 \leq \xi \leq x}\right) , \\ \frac{x}{a}\left( {a - \xi }\right) & \left( {x \leq \xi \leq a}\right) . \end{array}\right. \] 对积分方程求导两次, 就可回到微分方程问题. 又如,设 \( \Omega \) 是平面闭曲线 \( c(\xi = \varphi \left( s\right) ,\eta = \psi \left( s\right) ,0 \leq s \leq \) \( l) \) 所围的内部区域. 考虑狄利克雷问题 \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {y}^{2}} = 0\;\left( {\left( {x, y}\right) \in \Omega }\right) , \\ {\left. u\right| }_{c} = F\left( s\right) . \end{array}\right. \] 若令 \[ u\left( {x, y}\right) = {\int }_{0}^{l}\mu \left( s\right) \frac{\partial }{\partial n}\log \frac{1}{r}\mathrm{\;d}s, \] \[ {r}^{2} = {\left( \varphi \left( s\right) - x\right) }^{2} +

2000_数学辞海（第3卷）

0, u\left( a\right) = 0 \end{array}\right. \] 出发, 可得第二类弗雷德霍姆积分方程 \[ u\left( x\right) = \lambda {\int }_{0}^{a}k\left( {x,\xi }\right) u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi , \] 其中 \[ k\left( {x,\xi }\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\xi }{a}\left( {a - x}\right) & \left( {0 \leq \xi \leq x}\right) , \\ \frac{x}{a}\left( {a - \xi }\right) & \left( {x \leq \xi \leq a}\right) . \end{array}\right. \] 对积分方程求导两次, 就可回到微分方程问题. 又如,设 \( \Omega \) 是平面闭曲线 \( c(\xi = \varphi \left( s\right) ,\eta = \psi \left( s\right) ,0 \leq s \leq \) \( l) \) 所围的内部区域. 考虑狄利克雷问题 \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {y}^{2}} = 0\;\left( {\left( {x, y}\right) \in \Omega }\right) , \\ {\left. u\right| }_{c} = F\left( s\right) . \end{array}\right. \] 若令 \[ u\left( {x, y}\right) = {\int }_{0}^{l}\mu \left( s\right) \frac{\partial }{\partial n}\log \frac{1}{r}\mathrm{\;d}s, \] \[ {r}^{2} = {\left( \varphi \left( s\right) - x\right) }^{2} + {\left( \psi \left( s\right) - y\right) }^{2}, \] \( n \) 为 \( c \) 的内法线,则 \( \mu \left( s\right) \) 是积分方程 \[ \mu \left( s\right) = f\left( x\right) - {\int }_{0}^{l}k\left( {s, t}\right) \mu \left( t\right) \mathrm{d}t \] 的连续解, 其中 \[ f\left( s\right) = \frac{F\left( s\right) }{\pi } \] \[ k\left( {s, t}\right) = \frac{1}{\pi }\frac{\left( {\psi \left( s\right) - \psi \left( t\right) }\right) {\varphi }^{\prime }\left( t\right) - \left( {\varphi \left( s\right) - \varphi \left( t\right) }\right) {\psi }^{\prime }\left( t\right) }{{\left( \varphi \left( s\right) - \varphi \left( t\right) \right) }^{2} + {\left( \psi \left( s\right) - \psi \left( t\right) \right) }^{2}}. \] 一般地, 二阶微分算子的边值问题在一定条件下, 它的逆算子是对称核或埃尔米特核的积分算子. 第一类弗雷德霍姆积分方程 (Fredholm integral equation of the first kind) 特殊的弗雷德霍姆积分方程. 第一类弗雷德霍姆积分方程是指方程 \[ f\left( x\right) = {\int }_{a}^{b}k\left( {x,\xi }\right) u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi \;\left( {a \leq x \leq b}\right) . \] (1) 它与第二类有着本质的不同, 它是典型的不适定的方程, 即方程 (1) 的解一般说是不存在的, 即使存在也会不惟一, 而且即使它存在惟一的解, 解也不具有稳定性,就是说当已知函数 \( f\left( x\right) \) 有微小变化时,相应的解不一定也有微小的变化. 例如最简单的核 \( k\left( {x,\xi }\right) \equiv 1 \) 时,方程 (1) 变为 \[ f\left( x\right) = {\int }_{a}^{b}u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi \] 它只限于已知函数 \( f\left( x\right) \equiv C \) (常数) 时才有解,这时满足 \[{\int }_{a}^{b}u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi = C\] 的 \( u \) 都是它的解,故有无穷多个线性无关解. 解的不稳定性可由下面的分析得知,设在空间 \( {L}^{2} \) 上考察方程 (1) 的解,以 \( {u}_{1}\left( x\right) \) 和 \( {u}_{2}\left( x\right) \) 分别记对应于已知函数 \( {f}_{1}\left( x\right) \) 和 \( {f}_{2}\left( x\right) \) 的解,于是 \[{u}_{2}\left( x\right) = {u}_{1}\left( x\right) + N\sin {\omega x}\] 是积分方程 \[{f}_{2}\left( x\right) = {\int }_{a}^{b}k\left( {x,\xi }\right) {u}_{2}\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi \] 的解, 其中 \[{f}_{2}\left( x\right) = {f}_{1}\left( x\right) + N{\int }_{a}^{b}k\left( {x,\xi }\right) \sin {\omega \xi }\mathrm{d}\xi ,\] \( N,\omega \) 是常数,对任意的 \( N \) ,当 \( \omega \) 充分大时, \[\begin{Vmatrix}{{f}_{1} - {f}_{2}}\end{Vmatrix} = \left| N\right| {\left\{ {\int }_{a}^{b}{\left| {\int }_{a}^{b}k\left( x,\xi \right) \sin \omega \xi \mathrm{d}\xi \right| }^{2}\mathrm{\;d}x\right\} }^{1/2}\] 可任意地小, 但 \[ \begin{Vmatrix}{{u}_{1} - {u}_{2}}\end{Vmatrix} = \left| N\right| {\left\{ {\int }_{a}^{b}{\left| \sin \omega \xi \right| }^{2}\mathrm{\;d}\xi \right\} }^{\frac{1}{2}} \] 对充分大的常数 \( \left| N\right| \) 可以任意地大. 第一类弗雷德霍姆积分方程的主要结果有下面的施密特-皮卡定理. 设 \( \lambda \neq 0 \) ,若存在不恒为零的函数 \( \varphi \left( x\right) \) 和 \( \psi \left( x\right) \) ,使 \[ \varphi \left( x\right) = \lambda {\int }_{a}^{b}k\left( {x,\xi }\right) \psi \left( \xi \right) \mathrm{d}\xi , \] \[ \psi \left( x\right) = \lambda {\int }_{a}^{b}\overline{k\left( {\xi, x}\right) }\varphi \left( \xi \right) \mathrm{d}\xi , \] 则称 \( \lambda \) 是特征值, \( \{ \varphi \left( x\right) ,\psi \left( x\right) \} \) 是对应 \( \lambda \) 的相伴特征函数. 施密特-皮卡定理断言: 设 \( \left\{ {\lambda }_{i}\right\} \) 和 \( \left\{ {{\varphi }_{i}\left( x\right) ,{\psi }_{i}\left( x\right) }\right\} \) 是方程 (1) 的所有特征值和对应的规范正交相伴特征函数对的系,又设规范正交系 \( \left\{ {{\varphi }_{i}\left( x\right) }\right\} \) 是完备的, 则方程 (1) 有解的充分必要条件是级数 \[ \mathop{\sum }\limits_{j}{\lambda }_{j}^{2}{\left| {f}_{j}\right| }^{2}\left( {{f}_{j} = \left( {f,{\varphi }_{j}}\right) }\right) \] 收敛; 如果 \( \left\{ {{\psi }_{i}\left( x\right) }\right\} \) 也是完备的,则解是惟一的. 由于第一类弗雷德霍姆积分方程一般无解, 所以各类积分变换对应的积分方程都不是第一类弗雷德霍姆积分方程, 只能是奇异积分方程. 施密特-皮卡定理 (Schmidt-Picard theorem) 见 “第一类弗雷德霍姆积分方程”. 不适定问题 (ill-posed problem) 不满足适定性条件的问题. 数学物理问题的适定性概念是由阿达马 (Hadamard, J. (-S. )) 于 1923 年首次引入的. 它要求所论问题: 1. 存在解. 2. 解是惟一的. 3. 当已给的“原始资料”变动不大时, 解的变动也不大. 不满足上面条件之一的问题都称为不适定问题. 很多应用问题, 特别是要求数值解时常常是不适定的. 第一类弗雷德霍姆积分方程就是典型的不适定问题 (参见 “第一类弗雷德霍姆积分方程”). 吉洪诺夫 \( \left( {{\mathrm{T}}_{\mathrm{{HXOHOB}}},\mathrm{A}.\mathrm{H}.}\right) \) 等在其专著《不适定问题》中对它的理论和应用做了系统的研究. 沃尔泰拉积分方程 (Volterra integral equation) 一类特殊的、重要的弗雷德霍姆积分方程. 形如 \[ u\left( x\right) = f\left( x\right) + \lambda {\int }_{a}^{x}k\left( {x,\xi }\right) u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi \] 的积分方程称为第二类沃尔泰拉非齐次积分方程. 当 \( f\left( x\right) \equiv 0 \) 时,称为齐次的第二类沃尔泰拉方程. 沃尔泰拉方程是核 \( k\left( {x,\xi }\right) = 0 \) (当 \( \xi > x \) 时) 的特殊弗雷德霍姆积分方程. 它的预解核 \( R\left( {x,{\xi }_{j},\lambda }\right) \) 是整函数,并且对任何 \( \lambda \) 有如下形式的惟一解: \[ u\left( x\right) = f\left( x\right) + \lambda {\int }_{a}^{x}R\left( {x,\xi ;\lambda }\right) f\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi . \] 所以沃尔泰拉方程没有特征值, 即齐次方程 \[ u\left( x\right) = \lambda {\int }_{a}^{x}k\left( {x,\xi }\right) u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi \] 对任何 \( \lambda \) 只有平凡解 \( u\left( x\right) \equiv 0 \) . 第一类沃尔泰拉积分方程形状如下: \[ f\left( x\right) = {\int }_{a}^{x}k\left( {x,\xi }\right) u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi . \] 微分后, 它可变为第二类沃尔泰拉积分方程 \[ u\left( x\right) = \widetilde{f}\left( x\right) + {\int }_{0}^{x}\widetilde{k}\left( {x,\xi }\right) u\left( \xi \right) \mathrm{d}\xi , \] 其中 \[ \widetilde{f}\left( x\right) = \frac{{f}^{\prime }\left( x\right) }{k\left( {x, x}\right) }, \] \[ \widetilde{k}\left( {x,\xi }\right) = - \frac{1}{k\left( {x, x}\right) }\frac{\partial k\left( {x,\xi }\right) }{\partial x} \] \[ \left( {k\left( {x, x}\right) \neq 0}\right) \text{.} \] 阿贝尔积分方程 (Abel integral equation) 一类特殊的沃尔泰拉积分方程. 阿贝尔积分方程是指方程 \[ \frac{1}{\Gamma \left( \alpha \right) }{\int }_{a}^{x}\frac{u\left( t\right) \mathrm{d}t}{{\left( x - t\right) }^{1 - \alpha }} = f\left( x\right) \] \[ \left( {a \leq x \leq b,0 < \alpha < 1}\right) , \] 它是第一类的沃尔泰拉积分方程. 当 \( {f}^{\prime }\left( x\right) \) 连续并且 \( f\left( a\right) = 0 \) 时,它的解是 \[ u\left( x\right) = \frac{1}{\Gamma \left( {1 - \alpha }\right) }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_{a}^{x}\frac{f\left( t\right) \mathrm{d}t}{{\left( x - t\right) }^{\alpha }}\left( {a \leq x \leq b}\right) . \] 上述方程可推广为 \[ \frac{1}{\Gamma \left( \alpha \right) }{\int }_{a}^{x}\frac{u\left( t\right) \mathrm{d}t}{{\left\lbrack p\left( x\right) - p\left( t\right) \right\rbrack }^{1 - \alpha }} = f\left( x\right) \] \[\left( {a \leq x \leq b,0 < \alpha < 1}\right) ,\] 其中 \( {p}^{\prime }\left( x\right) ,{f}^{\prime }\left( x\right) \) 都在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上连续并且 \( f\left( a\right) = 0 \) , 则方程的解是 \[u\left( x\right) = \frac{1}{\Gamma \left( {1 - \alpha }\right) }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_{a}^{x}\frac{{p}^{\prime }\left( t\right) f\left( t\right) \mathrm{d}t}{{\left\lbrack p\left( x\right) - p\left( t\right) \right\rbrack }^{a}}\] \[\left( {a \leq x \leq b}\right) \text{.}\] 阿贝尔积分方程的一般形式是 \[{\int }_{a}^{x}\frac{G\left( {x, t}\right) u\left( t\right) \mathrm{d}t}{{\left( x - t\right) }^{1 - \alpha }} = f\left( x\right) \] \[\left( {a \leq x \leq b,0 < \alpha < 1}\right) ,\] 其中已知函数 \( G\left( {x, t}\right) ,{G}_{x}{}^{\prime }\left( {x, t}\right) \) 和 \( {f}^{\prime }\left( x\right) \) 都是连续函数,且 \( G\left( {x, x}\right) \neq 0 \) . 阿贝尔积分算子 (Abel integral operator) 由阿贝尔积分方程导出的算子. 下式 \[\left( {{J}^{\alpha }u}\right) \left( x\right) = \frac{1}{\Gamma \left( \alpha \right) }{\int }_{0}^{x}{\left( x - t\right) }^{\alpha - 1}u\left( t\right) \mathrm{d}t\] \[\left( {0 \leq x < a}\right) \] 称为阿贝尔积分算子, 它可写为卷积形式 \[\left( {{J}^{\alpha }u}\right) \left( x\right) = \left( {{h}_{\alpha } * u}\right) \left( x\right) ,\] 其中 \[ {h}_{\alpha }\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{{x}^{\alpha - 1}}{\Gamma \left( \alpha \right) } & \left( {x > 0}\right) , \\ 0 & \left( {x < 0}\right) . \end{array}\right. \] 在某些函数空间,例如 \( u \in {L}^{p}\left( {0, a}\right) ,1 \leq p \leq 1/\alpha \) 时, \( {J}^{\alpha } \) 是将 \( {L}^{p}\left( {0, a}\right) \) 映射到 \( {L}^{s}\left( {0, a}\right) (s = p/(1 - p(\alpha - \) \( \varepsilon )) \) 的有界算子. 算子 \( {J}^{a} \) 具有性质: \[ {J}^{\beta }{J}^{\alpha }u = {J}^{\beta + \alpha }u. \] 由于 \( u\left( x\right) \) 的 \( n \) 次累次积分 \[ {\int }_{0}^{x}\cdots {\int }_{0}^{{x}_{2}}\mathrm{\;d}{x}_{1}{\int }_{0}^{{x}_{1}}u\left( t\right) \mathrm{d}t \] \[ = \frac{1}{\left( {n - 1}\right) !}{\int }_{0}^{x}{\left( x - t\right) }^{n - 1}u\left( t\right) \mathrm{d}t \] 所以 \( {J}^{\alpha } \) 可看做分数 \( \alpha \) 阶的积分,它的逆算子则作为分数阶的微分算子 \[ {D}^{\alpha }u\left( x\right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{J}^{1 - \alpha }u\left( x\right) . \] 阿贝尔方程可写为 \( {J}^{a}u = f \) ,从而 \[ u = {D}^{\alpha }f = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{J}^{1 - \alpha }f\left( x\right) . \] 对 \( \alpha \geq 1 \) 可定义 \[ {D}^{\alpha }u = {D}^{n}{J}^{n - \alpha }u\;\left( {n - 1 \leq \alpha < n}\right) . \] 斯蒂尔杰斯积分方程 (Stieltjes integral equation) 一种特殊形式的积分方程. 斯蒂尔杰斯积分方程是指积分方程 \[ f\left( x\right) = {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\varphi \left( t\right) \mathrm{d}t}{t + x}\left( {x \geq 0}\right) , \] （1） 此方程可由斯蒂尔杰斯矩量问题导出. 做变量置换: 令 \( x = {\mathrm{e}}^{\xi }, y = {\mathrm{e}}^{\eta },\psi \left( \xi \right) = {\mathrm{e}}^{\frac{\xi }{2}}f\left( {\mathrm{e}}^{\xi }\right) ,\Phi \left( \xi \right) = {\mathrm{e}}^{\frac{\xi }{2}}\varphi \left( {\mathrm{e}}^{\xi }\right) \) , 方程 (1) 可化为卷积方程 \[ \psi \left( \xi \right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\Phi \left( \eta \right) \mathrm{d}\eta }{2\opera

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a } \) 可看做分数 \( \alpha \) 阶的积分,它的逆算子则作为分数阶的微分算子 \[ {D}^{\alpha }u\left( x\right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{J}^{1 - \alpha }u\left( x\right) . \] 阿贝尔方程可写为 \( {J}^{a}u = f \) ,从而 \[ u = {D}^{\alpha }f = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{J}^{1 - \alpha }f\left( x\right) . \] 对 \( \alpha \geq 1 \) 可定义 \[ {D}^{\alpha }u = {D}^{n}{J}^{n - \alpha }u\;\left( {n - 1 \leq \alpha < n}\right) . \] 斯蒂尔杰斯积分方程 (Stieltjes integral equation) 一种特殊形式的积分方程. 斯蒂尔杰斯积分方程是指积分方程 \[ f\left( x\right) = {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\varphi \left( t\right) \mathrm{d}t}{t + x}\left( {x \geq 0}\right) , \] （1） 此方程可由斯蒂尔杰斯矩量问题导出. 做变量置换: 令 \( x = {\mathrm{e}}^{\xi }, y = {\mathrm{e}}^{\eta },\psi \left( \xi \right) = {\mathrm{e}}^{\frac{\xi }{2}}f\left( {\mathrm{e}}^{\xi }\right) ,\Phi \left( \xi \right) = {\mathrm{e}}^{\frac{\xi }{2}}\varphi \left( {\mathrm{e}}^{\xi }\right) \) , 方程 (1) 可化为卷积方程 \[ \psi \left( \xi \right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\Phi \left( \eta \right) \mathrm{d}\eta }{2\operatorname{ch}\frac{\xi - \eta }{2}}. \] 它在 \( {L}^{2}\left( {-\infty , + \infty }\right) \) 内有解的充分必要条件是 \( \psi \left( z\right) \) 在带域 \( - \pi < y = \operatorname{Im}z < \pi \) 内解析,并且 \[ {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\left| \psi \left( x + \mathrm{i}y\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x < K\;\left( {-\pi < y < \pi }\right) . \] 解的表达式是 \[ \Phi \left( \xi \right) = \frac{1}{2\pi }\left\lbrack {\psi \left( {\xi + \mathrm{i}\pi }\right) + \psi \left( {\xi - \mathrm{i}\pi }\right) }\right\rbrack , \] 即斯蒂尔杰斯积分方程的解是 \[ \varphi \left( x\right) = \frac{i}{2\pi }\left\lbrack {f\left( {x{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi }}\right) - f\left( {x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi }}\right) }\right\rbrack . \] 斯蒂尔杰斯积分方程实际上是对 \( \varphi \left( t\right) \) 连续做两次拉氏变换的结果. 因为 \[ {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{ux}}\mathrm{\;d}u{\int }_{0}^{+\infty }\varphi \left( t\right) {\mathrm{e}}^{-{ut}}\mathrm{\;d}t \] \[ = {\int }_{0}^{+\infty }\varphi \left( t\right) \mathrm{d}t{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-u\left( {x + t}\right) }\mathrm{d}u \] \[ = {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\varphi \left( t\right) \mathrm{d}t}{t + x} = f\left( x\right) . \] 福克斯积分方程 (Fox integral equation) 一种特殊形式的积分方程. 福克斯积分方程是指方程 \[ \varphi \left( x\right) + {\int }_{-\infty }^{+\infty }k\left( {x + t}\right) \varphi \left( t\right) \mathrm{d}t = f\left( x\right) \] \[\left( {-\infty < x < + \infty }\right) ,\] 其中 \( k\left( x\right) \in L\left( {-\infty , + \infty }\right), f\left( x\right) \in {L}^{2}\left( {-\infty , + \infty }\right) \) 是已知函数,它们的傅里叶变换分别记为 \( K\left( \alpha \right) \) 和 \( F\left( \alpha \right) \) ,若 \( K\left( \alpha \right) \) 满足条件 \( 1 - K\left( \alpha \right) K\left( {-\alpha }\right) \neq 0 \) ,则方程恒存在惟一的 \( {L}^{2} \) 中的解 \[\varphi \left( x\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{F\left( \alpha \right) - F\left( {-\alpha }\right) K\left( \alpha \right) }{1 - K\left( \alpha \right) K\left( {-\alpha }\right) }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\alpha x}}\mathrm{\;d}\alpha .\] 福克斯方程的原始形式其实是 \[\varphi \left( x\right) = f\left( x\right) + {\int }_{0}^{+\infty }k\left( {ux}\right) \varphi \left( u\right) \mathrm{d}u\;\left( {x \geq 0}\right) .\] 它可用梅林变换求解, 它的解是 \[\varphi \left( x\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{c - \mathrm{i}\infty }^{c + \mathrm{i}\infty }\frac{\mathcal{F}\left( s\right) + \mathcal{K}\left( s\right) \mathcal{F}\left( {1 - s}\right) }{1 - \mathcal{K}\left( s\right) \mathcal{K}\left( {1 - s}\right) }{x}^{-s}\mathrm{\;d}s,\] 其中 \( \mathcal{F}\left( s\right) ,\mathcal{K}\left( s\right) \) 分别是 \( f\left( \alpha \right) \) 和 \( k\left( x\right) \) 的梅林变换. 拉东积分方程 (Radon integral equation) 一类特殊的积分方程. 对于二元函数 \( \varphi \left( {x, y}\right) ,\left( {x, y}\right) \) \( \in {\mathrm{R}}^{2},{L}_{p,\theta } \) 是平面上的直线 \[{L}_{p,\theta } = \{ \left( {x, y}\right) \mid x\cos \theta + y\sin \theta = p\} \] \[\left( {0 \leq \theta < {2\pi }, p > 0}\right) \text{.}\] 拉东积分方程是指沿 \( {L}_{p,\theta } \) 作线积分的积分方程 \[\left( {R}_{L}\right) \left( {p,\theta }\right) = {\int }_{{L}_{p,\theta }}\varphi \left( {x, y}\right) \mathrm{d}s = f\left( {p,\theta }\right) .\] 由此积分方程确定的积分变换称为拉东变换. 拉东积分方程在断层扫描技术中有广泛应用. 拉东变换 (Radon transformation) 见“拉东积分方程”. 奇异积分方程 (singular integral equation) 弗雷德霍姆积分方程的重要推广和发展, 包括允许积分核有不可积的奇点, 积分区间是无限区间等多种情形. 使弗雷德霍姆定理不成立的线性积分方程, 通常称为奇异积分方程. 主要有以下三种新现象: 1. 特征值集有有限的极限点或有连续的谱. 2. 对应一个特征值可能有无穷多个特征函数. 3. 齐次方程和转置齐次方程的线性无关解的个数可能不相等. 例如, 拉列斯库-皮卡 (Lalescu-Picard) 齐次方程 \[u\left( x\right) - \lambda {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\left| {x - t}\right| }u\left( t\right) \mathrm{d}t = 0,\] 当 \( \lambda = \left( {1 + {\alpha }^{2}}\right) /2,\alpha \in {\mathrm{R}}^{1} \) 时,方程有非零解 \( u\left( x\right) = \) \( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\alpha x}} \) ,所以所有大于 \( 1/2 \) 的实数 \( \lambda \) 都是特征值,即有连续谱. 又如, 傅里叶正弦变换产生的积分方程 \[u\left( x\right) = \lambda {\int }_{0}^{+\infty }\sin \left( {xt}\right) u\left( t\right) \mathrm{d}t,\] 当 \( \lambda = \pm \sqrt{2/\pi } \) 时有无穷多个线性无关解 \[ u\left( x\right) = \sqrt{\frac{2}{\pi }}{\mathrm{e}}^{-{ax}} \pm \frac{x}{{a}^{2} + {x}^{2}}\left( {a > 0}\right) . \] 奇异积分方程与弗雷德霍姆积分方程的本质差异在于前者出现在方程中的积分算子是有界算子甚至是有逆的, 而后者只是相应函数空间中的紧算子, 紧算子除有限维算子外是没有有界逆的, 这就是弗雷德霍姆理论不能应用到奇异积分方程的根本原因. 奇异积分方程的基本定理是诺特定理, 弗雷德霍姆定理是它当指标为零的特例. 也正因为奇异积分方程的积分算子不是紧算子, 所以奇异积分方程一般不会出现如同第一类弗雷德霍姆方程与第二类那种本质差别. 最重要的三类奇异积分方程是: 1. 柯西核的奇异积分方程 (包括希尔伯特核的奇异积分方程), 这是研究得最早和最完整的一类方程 (其特点是未知函数出现在发散的积分号下, 该积分只在柯西主值下有意义), 以及和它的特征方程有密切联系的黎曼问题 (参见 “柯西型核的奇异积分方程”). 2. 以维纳-霍普夫方程为代表的带差核的积分方程 (参见 “维纳-霍普夫方程”). 3. 对偶积分方程 (参见 “对偶积分方程”). 人们在相当深入地研究了以上几类奇异积分方程, 以及它们相应的离散形式、方程组、高维的情形和各种各样的推广以后就企图用统一的观点去处理它们. 统一的一个途径是把它们作为一般的维纳-霍普夫方程 (参见 “一般维纳-霍普夫方程”). 奇异积分方程的蓬勃发展和它的应用的广泛性是分不开的, 它已被广泛应用于弹性理论、薄壳理论、断裂力学、电磁波衍射、大气层辐射传输、中子迁移、控制论、随机过程的预测和人口理论等领域. 应用范围还在不断扩大. 柯西型积分 (Cauchy type integral) 研究柯西核奇异积分方程和解析函数边值问题的主要工具. 在解析函数理论中,当 \( \varphi \left( z\right) \) 在域 \( {D}^{ + } \) 解析并连续到边界 \( L \) ,则有熟知的柯西积分公式 \[ \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( t\right) \mathrm{d}t}{t - z} = \left\{ \begin{array}{ll} \varphi \left( z\right) & \left( {z \in {D}^{ + }}\right) , \\ 0 & \left( {z \in {D}^{ - }}\right) . \end{array}\right. \] 若假设 \( \varphi \left( t\right) \) 是只在 \( L \) 上定义的连续或可积函数,或者 \( L \) 是一条或多条逐段光滑的简单弧段或闭曲线, 则称含参数 \( z \) 的积分 \[ \Phi \left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( t\right) \mathrm{d}t}{t - z} \] 为柯西型积分, \( \varphi \left( t\right) \) 称为密度. 它具有性质: 1. \( \Phi \left( z\right) \) 当 \( z \notin L \) 时都是单值解析的,它的导数是 \[ {\Phi }^{\prime }\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( t\right) \mathrm{d}t}{{\left( t - z\right) }^{2}}. \] 但当 \( z \) 从 \( L \) 的左、右侧分别趋于 \( L \) 上同一点 \( {t}_{0} \) 时, \( \Phi \left( z\right) \) 的左、右极限 \( {\Phi }^{ \pm }\left( {t}_{0}\right) \) 是不相等的 (除非 \( \varphi \left( {t}_{0}\right) = \) \( 0) \) ,所以柯西型积分给出复平面上以 \( L \) 为间断曲线的分区单值解析函数, 也称为分区全纯函数. 2. 柯西型积分当 \( L \) 只位于复平面有限部分内时,满足 \( \Phi \left( \infty \right) = 0 \) 的条件. 柯西主值 (Cauchy principal value) 使一些发散积分有意义的一种积分定义. 设 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中除点 \( c\left( {a < c < b}\right) \) 的邻域外有界, \( c \) 是函数的无穷型间断点, \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的广义积分的柯西主值定义为 \[ \text{P. V.}{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x \] \[ = \mathop{\lim }\limits_{{\varepsilon \rightarrow 0}}\left\lbrack {{\int }_{a}^{c - \varepsilon }f\left( x\right) \mathrm{d}x + {\int }_{c + \varepsilon }^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x}\right\rbrack . \] P. V. 在积分方程中 一般省略不写. 柯西型积分 \[ \Phi \left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( t\right) \mathrm{d}t}{t - z}, \] 当 \( z = {t}_{0} \in L \) 时,积分是发散的,它的柯西主值定义如下: 在 \( L \) 上以 \( {t}_{0} \) 为中心, \( \varepsilon \) 为半径作圆交 \( L \) 于 \( {t}_{1},{t}_{2} \) 两点,以 \( {L}_{\varepsilon } \) 记由 \( L \) 去掉弧 \( \overset{⏜}{{t}_{1}{t}_{0}{t}_{2}} \) 后留下的部分,若 \[ \mathop{\lim }\limits_{{\varepsilon \rightarrow 0}}{\int }_{{L}_{\varepsilon }}\frac{\varphi \left( t\right) \mathrm{d}t}{t - {t}_{0}} \] 存在, 称此极限为柯西型积分的主值, 记为 \[ {\int }_{L}\frac{\varphi \left( t\right) \mathrm{d}t}{t - {t}_{0}} = \mathop{\lim }\limits_{{\varepsilon \rightarrow 0}}{\int }_{{L}_{\varepsilon }}\frac{\varphi \left( t\right) \mathrm{d}t}{t - {t}_{0}}. \] 按定义可求得 \[ {\int }_{ab}\frac{\mathrm{d}t}{t - {t}_{0}} = \ln \left( \frac{b - {t}_{0}}{{t}_{0} - a}\right) , \] 特别当 \( a = b \) 即闭曲线时, \[ {\int }_{L}\frac{\mathrm{d}t}{t - {t}_{0}} = \mathrm{i}\pi \] 参见《数学辞海》第一卷《数学分析》同名条. 普莱姆利-索霍茨基公式 (Plemeli-Sokhozki formula) 柯西型积分边界值的基本公式. 设 \( L \) 是一条光滑曲线, \( \varphi \left( t\right) \) 在 \( L \) 上满足赫尔德条件,即 \[ \left| {\varphi \left( {t}_{2}\right) - \varphi \left( {t}_{1}\right) }\right| \leq N{\left| {t}_{2} - {t}_{1}\right| }^{a} \] \[ \left( {{t}_{1},{t}_{2} \in L,0 < \alpha < 1}\right) \text{.} \] 则柯西型积分 \[ \Phi \left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( t\right) \mathrm{d}t}{t - z} \] 当 \( z \) 从曲线 \( L \) 的左侧或右侧趋于 \( L \) 上的点 \( {t}_{0} \) 时, \( \Phi \left( z\right) \) 的左侧和右侧边界值 \( {\Phi }^{ + }\left( {t}_{0}\right) \) 和 \( {\Phi }^{ - }\left( {t}_{0}\right) \) 存在且满足赫尔德条件, 并且成立公式 \[ \left\{ \begin{array}{l} {\Phi }^{ + }\left( {t}_{0}\right) = \frac{1}{2}\varphi \left( {t}_{0}\right) + \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( t\right) \mathrm{d}t}{t - {t}_{0}}, \\ {\Phi }^{ - }\left( {t}_{0}\right) = - \frac{1}{2}\varphi \left( {t}_{0}\right) + \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( t\right) \mathrm{d}t}{t - {t}_{0}}, \end{array}\right. \] (1) 其中右端的积分理解为柯西主值. 公式 (1) 称为普莱姆利-索霍茨基公式, 此公式在研究柯西核奇异积分方程的理论起基本的作用. 此公式当 \( {t}_{0} \) 是曲线 \( L \) 的端点时也成立,但需要补充条件 \( \varphi \left( {t}_{0}\right) = 0 \) . 公式 (1) 经过两式相加、相减后成为等价形式: \[ {\Phi }^{ + }\left( {t}_{0}\right) - {\Phi }^{ - }\left( {t}_{0}\right) = \varphi \left( {t}_{0}\right) , \] \[ {\Phi }^{ + }\left( {t}_{0}\right) + {\Phi }^{ - }\left( {t}_{0}\right) = \frac{1}{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( t\right) \mathrm{d}t}{t - {t}_{0}}, \] 其中第二个公式可用以计算柯西型积分的主值

2000_数学辞海（第3卷）

\( {\Phi }^{ + }\left( {t}_{0}\right) \) 和 \( {\Phi }^{ - }\left( {t}_{0}\right) \) 存在且满足赫尔德条件, 并且成立公式 \[ \left\{ \begin{array}{l} {\Phi }^{ + }\left( {t}_{0}\right) = \frac{1}{2}\varphi \left( {t}_{0}\right) + \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( t\right) \mathrm{d}t}{t - {t}_{0}}, \\ {\Phi }^{ - }\left( {t}_{0}\right) = - \frac{1}{2}\varphi \left( {t}_{0}\right) + \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( t\right) \mathrm{d}t}{t - {t}_{0}}, \end{array}\right. \] (1) 其中右端的积分理解为柯西主值. 公式 (1) 称为普莱姆利-索霍茨基公式, 此公式在研究柯西核奇异积分方程的理论起基本的作用. 此公式当 \( {t}_{0} \) 是曲线 \( L \) 的端点时也成立,但需要补充条件 \( \varphi \left( {t}_{0}\right) = 0 \) . 公式 (1) 经过两式相加、相减后成为等价形式: \[ {\Phi }^{ + }\left( {t}_{0}\right) - {\Phi }^{ - }\left( {t}_{0}\right) = \varphi \left( {t}_{0}\right) , \] \[ {\Phi }^{ + }\left( {t}_{0}\right) + {\Phi }^{ - }\left( {t}_{0}\right) = \frac{1}{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( t\right) \mathrm{d}t}{t - {t}_{0}}, \] 其中第二个公式可用以计算柯西型积分的主值. 第一个公式可由跳跃 \( \varphi \left( t\right) \) 确定分区全纯函数 \( \Phi \left( z\right) \) ,如要求无穷远为零, 它的解答就是 \[ \Phi \left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( t\right) \mathrm{d}t}{t - z} \] 如要求无穷远为有限阶 \( n \) ,则一般解答是 \[ \Phi \left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( t\right) \mathrm{d}t}{t - z} + P\left( z\right) , \] 其中 \( P\left( z\right) \) 是任一 \( n \) 次多项式. 普莱姆利-普里瓦洛夫定理 (Plemeli-Privalov theorem) 刻画柯西主值连续特性的定理. 设柯西主值 \[ \Phi \left( t\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau }{\tau - t} \] 则有下面的普莱姆利-普里瓦洛夫定理: 设 \( \varphi \left( t\right) \) 在 \( L \) 上满足指数为 \( \mu \) 的赫尔德条件 \( H\left( \mu \right) \) ,则边界值 \( {\Phi }^{ \pm }\left( t\right) \) 和主值 \( \Phi \left( t\right) \) 在 \( L \) 上除去使 \( \varphi \left( t\right) \neq 0 \) 的端点的任意小邻域外,满足相同的赫尔德条件 \( H\left( \mu \right) \) (当 \( \mu \) \( < 1) \) ,或满足条件 \( H\left( {1 - \varepsilon }\right) \) (当 \( \mu = 1,\varepsilon \) 为任意小正数). 黎曼边值问题 (Riemann boundary value problem) 亦称黎曼-希尔伯特问题, 简称黎曼问题, 一类与奇异积分方程有密切联系的解析函数的边值问题. 设 \[ L = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{p}{L}_{i} \] 表示有限条没有公共点并且互不包含的简单光滑曲线 \( {L}_{i} \) 的全体,按 \( L \) 的定向分复平面为 \( {D}^{ + },{D}^{ - } \) 域. 下列问题称为黎曼边值问题: 求在无穷远有界的分区全纯函数 \( \Phi \left( z\right) \) ,使它在 \( L \) 两侧的边界值 \( {\Phi }^{ \pm }\left( t\right) \) 在 \( L \) 上满足条件 \( {\Phi }^{ + }\left( t\right) = G\left( t\right) {\Phi }^{ - }\left( t\right) + g\left( t\right) \) (非齐次问题), \( {\Phi }^{ + }\left( t\right) = G\left( t\right) {\Phi }^{ - }\left( t\right) \; \) (齐次问题), 其中系数 \( G\left( t\right) \) 和自由项 \( g\left( t\right) \) 是在 \( L \) 上满足赫尔德条件的已知函数,并设 \( G\left( t\right) \) 在 \( L \) 上处处不为零. 黎曼问题 (Riemann problem) 即 “黎曼边值问题”. 黎曼问题的指标 (index of the Riemann problem) 黎曼问题和与它密切相关的奇异积分方程的一个重要概念, 它是由诺特 (Noether, F. ) 首先引入的. 设 \( {D}^{ + } \) 是由互不相交分段光滑简单闭曲线 \( {L}_{0} \) , \( {L}_{1},\cdots ,{L}_{p} \) 所围成的单连通域, \( {L}_{0} \) 将其他边界包含在其内部,且 \( L = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{p}{L}_{k} \) . 记 \[ {\lambda }_{k} = \frac{1}{2\pi }{\left\lbrack \arg G\left( t\right) \right\rbrack }_{{L}_{k}}\left( {k = 0,1,\cdots, p}\right) , \] 其中 \( {\left\lbrack \cdot \right\rbrack }_{{L}_{k}} \) 表示当 \( t \) 按正向绕 \( {L}_{k} \) 一周时,括号内函数的幅角的增量,由于 \( G\left( t\right) \) 的连续性及 \( G\left( t\right) \neq 0 \) ,故 \( {\lambda }_{k} \) 都是整数. 称整数 \[ \kappa = \operatorname{Ind}G\left( t\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{p}{\lambda }_{k} = \frac{1}{2\pi }\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{p}{\left\lbrack \arg G\left( t\right) \right\rbrack }_{{L}_{k}} \] 为黎曼问题或者函数 \( G\left( t\right) \) 的指标. 齐次黎曼问题的典则函数 (canonical function of homogeneous Riemann problem) 由齐次黎曼问题决定的一些函数, 用以给出非齐次黎曼问题的一般解. 设坐标原点在 \( {D}^{ + } \) 内,在 \( {L}_{1},{L}_{2},\cdots ,{L}_{p} \) 所围成的区域 \( {D}_{1}^{ - },{D}_{2}^{ - },\cdots ,{D}_{p}^{ - } \) 内分别任意取点 \( {a}_{1},{a}_{2} \) , \( \cdots ,{a}_{p} \) ,记 \[ \Pi \left( z\right) = {\left( z - {a}_{1}\right) }^{{\lambda }_{1}}{\left( z - {a}_{2}\right) }^{{\lambda }_{2}}\cdots {\left( z - {a}_{p}\right) }^{{\lambda }_{p}}, \] \[ {G}_{0}\left( t\right) = {t}^{-\kappa }\Pi \left( t\right) G\left( t\right) , \] 及 \( \;\Gamma \left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\ln {G}_{0}\left( t\right) }{t - z}\mathrm{\;d}t \) , 其中 \( \kappa \) 是黎曼问题的指标, \[ \kappa = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{p}{\lambda }_{k} \] \[ {\lambda }_{k} = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\left\lbrack \ln G\left( t\right) \right\rbrack }_{{L}_{k}}\;\left( {k = 1,2\cdots, p}\right) , \] 则函数 \[ X\left( z\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{\Pi \left( z\right) }{\mathrm{e}}^{\Gamma \left( z\right) } & \left( {z \in {D}^{ + }}\right) , \\ {z}^{-\kappa }{\mathrm{e}}^{\Gamma \left( z\right) } & \left( {z \in {D}^{ - }}\right) . \end{array}\right. \] 称为齐次黎曼问题的典则函数或典则解. 它在有限复平面处处不为零,在无穷远处有有限阶 \( - \kappa \) . 当指标 \( \kappa \geq 0 \) 时,典则函数就是黎曼问题的解. 但当指标 \( \kappa < 0 \) 时,典则函数在无穷远有 \( \kappa \) 阶的极点,这时它就不是黎曼问题的解. 齐次黎曼问题的一般解 (general solution of homogeneous Riemann problem) 齐次黎曼问题一般解的表达式. 设 \( X\left( z\right) \) 是齐次黎曼问题的一个典则解, 则齐次黎曼问题 \[ {\Phi }^{ + }\left( t\right) = G\left( t\right) {\Phi }^{ - }\left( t\right) \;\left( {t \in L}\right) \] 的一般解是: 当指标 \( \kappa \geq 0 \) 时,它有 \( \kappa + 1 \) 个线性无关解, \( \Phi \left( z\right) = X\left( z\right) {P}_{\kappa }\left( z\right) \) ,其中 \( {P}_{\kappa }\left( z\right) \) 是任意一个复系数的 \( \kappa \) 次多项式. 当指标 \( \kappa < 0 \) 时,齐次黎曼问题没有有界解. 在应用上, 求齐次问题在无穷远为零的解特别重要. 这时当 \( \kappa > 0 \) 时有 \( \kappa \) 个线性无关解 \[ X\left( z\right) ,{zX}\left( z\right) ,\cdots ,{z}^{\kappa - 1}X\left( z\right) . \] 当 \( \kappa \leq 0 \) 时齐次问题只有零解. 非齐次黎曼问题的一般解 (general solution of nonhomogeneous Riemann problem) 非齐次黎曼 题一般解的表达式. 设 \( X\left( z\right) \) 是相应的齐次黎曼问题的典则解, 则有 \[ G\left( t\right) = \frac{{X}^{ + }\left( t\right) }{{X}^{ - }\left( t\right) }. \] 于是非齐次边界条件化为 \[ \frac{{\Phi }^{ + }\left( t\right) }{{X}^{ + }\left( t\right) } - \frac{{\Phi }^{ - }\left( t\right) }{{X}^{ - }\left( t\right) } = \frac{g\left( t\right) }{{X}^{ + }\left( t\right) } \] 从而由给定跳跃确定分区全纯函数即得到非齐次黎曼问题 (在无穷远允许有极点) 的一般解是 \[ \Phi \left( z\right) = \frac{X\left( z\right) }{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{g\left( t\right) \mathrm{d}t}{{X}^{ + }\left( t\right) \left( {t - z}\right) } + X\left( z\right) P\left( z\right) , \] 其中 \( P\left( z\right) \) 是任意多项式. 在应用上,特别重要的是无穷远为零的解,它们是当指标 \( \kappa \geq 0 \) 时 \[ \Phi \left( z\right) = \frac{X\left( z\right) }{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{g\left( t\right) \mathrm{d}t}{{X}^{ + }\left( t\right) \left( {t - z}\right) } + X\left( z\right) {P}_{\kappa - 1}\left( z\right) , \] 其中 \( {P}_{\kappa - 1}\left( z\right) \) 是任意的 \( \kappa - 1 \) 阶的多项式 (在 \( \kappa = 0 \) 时, \( {P}_{\kappa - 1}\left( z\right) \equiv 0 \) ). 当指标 \( \kappa < 0 \) 时,非齐次问题可解的充分必要条件是 \[ {\int }_{L}\frac{{t}^{k}g\left( t\right) }{{X}^{ + }\left( t\right) }\mathrm{d}t = 0\left( {k = 0,1,\cdots , - \kappa - 1}\right) , \] 当满足此条件时, 非齐次问题的惟一解是 \[ \Phi \left( z\right) = \frac{X\left( z\right) }{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{g\left( t\right) }{{X}^{ + }\left( t\right) \left( {t - z}\right) }\mathrm{d}t. \] 柯西核奇异积分方程 (singular integral equation with Cauchy kernel) 一类最基本的奇异积分方程. 柯西核奇异积分方程是指方程 \[ \mathcal{K}\varphi = a\left( t\right) \varphi \left( t\right) + \frac{1}{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{k\left( {t,\tau }\right) }{\tau - t}\varphi \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau \] \[ = f\left( t\right) \;\left( {t \in L}\right) , \] (1) 其中 \( L \) 是有限条互不相交的简单光滑闭曲线. \( a\left( t\right) \) , \( f\left( t\right), k\left( {t,\tau }\right) \) 分别是在 \( L \) 和 \( L \times L \) 上满足赫尔德条件的已知函数. 作用在 \( \varphi \) 上的算子 \( \mathcal{K} \) 称为奇异积分算子. \( k\left( {t,\tau }\right) /\left( {\tau - t}\right) \) 称为核. 分出核的含奇异性的主要部分, 方程 (1) 可写为 \[ \mathcal{K}\varphi \equiv a\left( t\right) \varphi \left( t\right) + \frac{b\left( t\right) }{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau }{\tau - t} \] \[ + \frac{1}{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}{k}_{1}\left( {t,\tau }\right) \varphi \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau = f\left( t\right) , \] (2) 其中 \[ b\left( t\right) = k\left( {t, t}\right) ,\;{k}_{1}\left( {t,\tau }\right) = \frac{k\left( {t,\tau }\right) - k\left( {t, t}\right) }{\tau - t}. \] 方程 (2) 中的 \[ {\mathcal{K}}^{0}\varphi \equiv a\left( t\right) \varphi \left( t\right) + \frac{b\left( t\right) }{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau }{\tau - t} = g\left( t\right) \] 称为方程 (2) 的特征方程, \( {\mathcal{K}}^{0} \) 称为特征算子. 系数 \( a\left( t\right), b\left( t\right) \) 要求满足正则性的充分必要条件: \( a\left( t\right) + b\left( t\right) \neq 0, a\left( t\right) - b\left( t\right) \neq 0\;\left( {t \in L}\right) . \) 特征方程 (characteristic equation) 见 “柯西核奇异积分方程”. 特征算子 (characteristic operator) 见 “柯西核奇异积分方程”. 柯西奇异积分算子 (Cauchy singular integral operator) 一种最基本的奇异积分算子. 柯西核奇异积分方程的特征方程中的奇异积分算子 \[ {S\varphi } = \frac{1}{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau }{\tau - t}\left( {t \in L}\right) \] 称为柯西奇异积分算子. 当 \( L \) 是简单分段光滑闭曲线时,算子 \( S \) 是将 \( \varphi \in {L}^{p}\left( {p > 1}\right) \) 映到 \( {L}^{p} \) 的有界算子, 并且范数满足不等式 \[ \parallel {S\varphi }{\parallel }_{{L}^{p}} \leq {A}_{p}\parallel \varphi {\parallel }_{{L}^{p}}, \] 其中系数 \( {A}_{p} \) 的最佳值是 \[ {A}_{p} = \cot \frac{\pi }{2p}\left( {1 < p \leq 2}\right) ; \] \[ {A}_{p} = \tan \frac{\pi }{2p}\left( {p \geq 2}\right) . \] 算子 \( S \) 在 \( {L}^{p} \) 上有逆,逆算子就是它自身,即若 \[\psi \left( t\right) = \frac{1}{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau }{\tau - t}\] 则 \[\varphi \left( t\right) = \frac{1}{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\psi \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau }{\tau - t}.\] 用算子记号即 \( S \) 满足 \( {S}^{2} = I \) ( \( I \) 单位算子) 奇异积分方程的指标 (index of singular integral equation) 刻画奇异积分方程特征的整数. 柯西核的奇异积分方程 \[\mathcal{K}\varphi = a\left( t\right) \varphi \left( t\right) + \frac{b\left( t\right) }{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau }{\tau - t}\] \

2000_数学辞海（第3卷）

称为柯西奇异积分算子. 当 \( L \) 是简单分段光滑闭曲线时,算子 \( S \) 是将 \( \varphi \in {L}^{p}\left( {p > 1}\right) \) 映到 \( {L}^{p} \) 的有界算子, 并且范数满足不等式 \[ \parallel {S\varphi }{\parallel }_{{L}^{p}} \leq {A}_{p}\parallel \varphi {\parallel }_{{L}^{p}}, \] 其中系数 \( {A}_{p} \) 的最佳值是 \[ {A}_{p} = \cot \frac{\pi }{2p}\left( {1 < p \leq 2}\right) ; \] \[ {A}_{p} = \tan \frac{\pi }{2p}\left( {p \geq 2}\right) . \] 算子 \( S \) 在 \( {L}^{p} \) 上有逆,逆算子就是它自身,即若 \[\psi \left( t\right) = \frac{1}{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau }{\tau - t}\] 则 \[\varphi \left( t\right) = \frac{1}{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\psi \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau }{\tau - t}.\] 用算子记号即 \( S \) 满足 \( {S}^{2} = I \) ( \( I \) 单位算子) 奇异积分方程的指标 (index of singular integral equation) 刻画奇异积分方程特征的整数. 柯西核的奇异积分方程 \[\mathcal{K}\varphi = a\left( t\right) \varphi \left( t\right) + \frac{b\left( t\right) }{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau }{\tau - t}\] \[ + \frac{1}{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}k\left( {t,\tau }\right) \varphi \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau = f\left( t\right) ,\] 整数 \[\kappa = \frac{1}{2\pi }{\left\lbrack \arg \frac{a\left( t\right) - b\left( t\right) }{a\left( t\right) + b\left( t\right) }\right\rbrack }_{L}\] \[ = \operatorname{Ind}\left( \frac{a\left( t\right) - b\left( t\right) }{a\left( t\right) + b\left( t\right) }\right) = \operatorname{Ind}\left( \frac{D}{S}\right) \] 称为方程 \( \mathcal{K}\varphi = f \) 或算子 \( \mathcal{K} \) 的指标,其中 \( D = \) \( a - b, S = a + b \) ,符号 \( {\left\lbrack \cdot \right\rbrack }_{L} \) 表示括号内的表达式当 \( t \) 正向绕 \( L \) 移动一周后所得到的幅角的增量. 指标 \( \kappa \) 只与特征方程或特征算子有关. 相联方程 (adjoint equation) 在奇异积分方程理论中有着重要关系的一对方程的名称. 奇异积分方程 \[\mathcal{K}\varphi \equiv a\left( t\right) \varphi \left( t\right) + \frac{1}{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{k\left( {t,\tau }\right) }{\tau - t}\varphi \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau = f\left( t\right) \] 和 \[{\mathcal{K}}^{\prime }\psi \equiv a\left( t\right) \psi \left( t\right) - \frac{1}{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{k\left( {\tau, t}\right) }{\tau - t}\psi \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau = g\left( t\right) \] 互相称为相联的方程. 这两个方程中任一个是另一个将核 \( k\left( {t,\tau }\right) /\left( {\tau - t}\right) \) 中的 \( t \) 和 \( \tau \) 互换得出的. 对应的算子 \( \mathcal{K} \) 和 \( {\mathcal{K}}^{\prime } \) 互相称为相联算子,相联算子的作用相当于共轭算子,不同在于 \( \mathrm{d}\tau \) 不是弧微分. 算子 \( \mathcal{K} \) 的特征算子是 \[ {\mathcal{K}}^{0}\varphi \equiv a\left( t\right) \varphi \left( t\right) + \frac{b\left( t\right) }{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau }{\tau - t}, \] 它的相联算子是 \[ {\mathcal{K}}^{0\prime }\psi \equiv a\left( t\right) \psi \left( t\right) - \frac{1}{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{b\left( \tau \right) \psi \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau }{\tau - t}. \] 这里假设在 \( L \) 上处处有 \( a\left( t\right) \pm b\left( t\right) \neq 0 \) . 但相联算子的特征算子 \( {\mathcal{K}}^{\prime 0} \) 则是 \[ {\mathcal{K}}^{\prime 0}\psi \equiv a\left( t\right) \psi \left( t\right) - \frac{b\left( t\right) }{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\psi \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau }{\tau - t}, \] 所以特征算子的相联算子 \( {\mathcal{K}}^{0\prime } \) 和相联算子的特征算子 \( {\mathcal{K}}^{\prime 0} \) 一般是不相等的. 积分方程 \( \mathcal{K}\varphi \equiv f \) 有解的充分必要条件是 \[ {\int }_{L}{f\psi }\mathrm{d}\tau = 0, \] 其中 \( \psi \) 是齐次的相联方程 \( {\mathcal{K}}^{\prime }\psi = 0 \) 的解. 相联算子 (adjoint operator) 见“相联方程”. 奇异积分方程的正则化 (regularization of singular integral equation) 将奇异积分方程转化为弗雷德霍姆方程的方法. 将奇异积分方程 \( {\mathcal{K}}_{1}\varphi = f \) 乘以某奇异积分算子 \( {\mathcal{K}}_{2} \) ,使得方程 \[ \mathcal{K}\varphi \equiv {\mathcal{K}}_{2}{\mathcal{K}}_{1}\varphi = {\mathcal{K}}_{2}f \] 化为第二类弗雷德霍姆积分方程, 这种方法称为奇异积分方程的正则化. \( {\mathcal{K}}_{2} \) 称为正则化算子. 设 \[ {\mathcal{K}}_{1}\varphi \equiv {a}_{1}\left( t\right) \varphi \left( t\right) + \frac{{b}_{1}\left( t\right) }{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau }{\tau - t} \] \[ + \frac{1}{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}{k}_{1}\left( {t,\tau }\right) \varphi \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau = f\left( t\right) , \] \[ {\mathcal{K}}_{2}\omega \equiv {a}_{2}\left( t\right) \omega \left( t\right) + \frac{{b}_{2}\left( t\right) }{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\omega \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau }{\tau - t} \] \[ + \frac{1}{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}{k}_{2}\left( {t,\tau }\right) \omega \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau \] 记 \( \mathcal{K}\varphi \equiv {\mathcal{K}}_{2}\left( {{\mathcal{K}}_{1}\varphi }\right) = {\mathcal{K}}_{2}{\mathcal{K}}_{1}\varphi \) ,一般地, \( {\mathcal{K}}_{2}{\mathcal{K}}_{1} \neq \) \( {\mathcal{K}}_{1}{\mathcal{K}}_{2} \) ,但由 \( {\mathcal{K}}_{2}{\mathcal{K}}_{1} \) 的特征算子 \( {\left( {\mathcal{K}}_{1}{\mathcal{K}}_{2}\right) }^{0} \) 是 \[ {\mathcal{K}}^{0}\varphi = {\left( {\mathcal{K}}_{2}{\mathcal{K}}_{1}\right) }^{0}\varphi \] \[ = a\left( t\right) \varphi \left( t\right) + \frac{b\left( t\right) }{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau }{\tau - t}, \] 其中 \[ a\left( t\right) = {a}_{2}\left( t\right) {a}_{1}\left( t\right) + {b}_{2}\left( t\right) {b}_{1}\left( t\right) , \] \[ b\left( t\right) = {a}_{2}\left( t\right) {b}_{1}\left( t\right) + {b}_{2}\left( t\right) {a}_{1}\left( t\right) , \] 可见 \( {\left( {\mathcal{K}}_{2}{\mathcal{K}}_{1}\right) }^{0} = {\left( {\mathcal{K}}_{1}{\mathcal{K}}_{2}\right) }^{0} \) ,即两个奇异积分算子之积的特征算子与乘积的次序无关 (因此, \( {\mathcal{K}}_{1} \) , \( {\mathcal{K}}_{2} \) 互为正则化算子). 为了使方程 \[ \mathcal{K}\varphi = {\mathcal{K}}_{2}{\mathcal{K}}_{1}\varphi = {\mathcal{K}}_{2}f \] 是弗雷德霍姆方程, 其充分必要条件是上式含奇异算子的系数 \( b\left( t\right) \equiv 0 \) ,即 \[ {a}_{2}\left( t\right) {b}_{1}\left( t\right) + {b}_{2}\left( t\right) {a}_{1}\left( t\right) \equiv 0\text{ (即 }S = D\text{ ). } \] 这个条件可以有无穷多种方式由 \( {a}_{1}\left( t\right) ,{b}_{1}\left( t\right) \) 去确定 \( {a}_{2}\left( t\right) ,{b}_{2}\left( t\right) \) ,最方便是取 \[ {a}_{2}\left( t\right) = {a}_{1}\left( t\right) ,{b}_{2}\left( t\right) = - {b}_{1}\left( t\right) ,{k}_{2}\left( {t,\tau }\right) \equiv 0 \] (即 \( {S}_{2} = {D}_{1},{D}_{2} = {S}_{1} \) ),即取 \( {\mathcal{K}}_{1} \) 的相联算子的特征算子 \( {\mathcal{K}}_{1}^{0} \) 作为正则化算子 \[{\mathcal{K}}_{2}\omega = {\mathcal{K}}_{1}^{0}\omega = {a}_{1}\left( t\right) \omega \left( t\right) - \frac{{b}_{1}\left( t\right) }{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\omega \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau }{\tau - t}.\] 如果 \( {\mathcal{K}}_{2} \) 是 \( {\mathcal{K}}_{1} \) 的正则化算子,将 \( {\mathcal{K}}_{2} \) 作用到奇异积分方程 \[{\mathcal{K}}_{1}\varphi = f\] (1) 的两端得到一个弗雷德霍姆方程 \[{\mathcal{K}}_{2}{\mathcal{K}}_{1}\varphi = {\mathcal{K}}_{2}f\] (2) 显然, 方程 (1) 的所有解都是方程 (2) 的解, 但反之不真, 因为方程 (2) 等价于方程 \[{\mathcal{K}}_{1}\varphi = f + \sum {c}_{i}{\omega }_{i}\left( t\right) \] 其中 \( {\omega }_{i}\left( t\right) \) 是 \( {\mathcal{K}}_{2}\omega = 0 \) 的线性无关非零解. 但因方程 (2) 只有有限个线性无关解, 所以奇异积分方程 (1) 也只有有限个线性无关的解. 正则化算子 (regularization operator) 见 “奇异积分方程的正则化”. 韦夸等价正则化定理 (Vekya equivalent regularization theorem) 断言奇异积分方程在一定意义下均可等价于某一弗雷德霍姆方程的定理. 韦夸定理断言: 奇异积分方程 \[\mathcal{K}\varphi = f\] (1) (在下面指出的意义下)一定等价于某个弗雷德霍姆方程. 具体地说: 1. 当 \( \kappa > 0 \) 时,必存在 \( \mathcal{K} \) 的正则化算子 \( \mathcal{M} \) (例如 \( {\mathcal{K}}^{\prime 0} \) 或 \( {\mathcal{K}}^{0\prime } \) ) 且 \( \mathcal{M}\omega = 0 \) 只有零解,使得弗雷德霍姆方程 \[\mathcal{N}\varphi = \mathcal{M}\mathcal{K}\varphi = \mathcal{M}f\] 与方程 (1) 等价. 2. 当 \( \kappa < 0 \) 时,必存在 \( \mathcal{K} \) 的正则化算子 \( \mathcal{M} \) (例如,也可取为 \( {\mathcal{K}}^{0\prime } \) 或 \( {\mathcal{K}}^{\prime 0} \) ) 使得方程 \[\mathcal{M}\phi = g\] (2) 对任何满足赫尔德条件的 \( g \) 均可解. 做代换 \[\varphi = \mathcal{M}\psi \] 其中 \( \psi \) 视为新的未知函数,则 (1) 式成为弗雷德霍姆方程 \[\mathcal{K}\mathcal{M}\psi = f\] (3) 方程 (1) 和 (3) 在下述意义下等价: 1. 方程 (1) 和 (3) 同时可解或同时不可解. 2. 在可解情形下, 求解其中任何一个方程均可归结为求解另一个方程. 特征方程的解 (solution of characteristic equation) 给出特征方程解的表达式. 设 \( \varphi \left( t\right) \) 是特征方程 \[{\mathcal{K}}^{0}\varphi \equiv a\left( {t}_{0}\right) \varphi \left( {t}_{0}\right) + \frac{b\left( {t}_{0}\right) }{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( t\right) }{t - {t}_{0}}\mathrm{\;d}t = f\left( {t}_{0}\right) \] (1) 的解,其中 \( a, b, f \) 都满足赫尔德条件,引入未知的分区全纯函数 \[ \Phi \left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( t\right) }{t - z}\mathrm{\;d}t. \] 由普莱姆利-索霍茨基公式, \( \Phi \left( z\right) \) 是黎曼问题 \[ \left\{ \begin{array}{l} {\Phi }^{ + }\left( t\right) = G\left( t\right) {\Phi }^{ - }\left( t\right) + \frac{f\left( t\right) }{a\left( t\right) + b\left( t\right) }, \\ G\left( t\right) = \frac{a\left( t\right) - b\left( t\right) }{a\left( t\right) + b\left( t\right) } \end{array}\right. \] (2) 在无穷远处为零的解. 反之,若 \( \Phi \left( z\right) \) 是问题 (2) 的解, 则由 \[ \varphi \left( {t}_{0}\right) = {\Phi }^{ + }\left( {t}_{0}\right) - {\Phi }^{ - }\left( {t}_{0}\right) \] (3) 确定的函数就是特征方程 (1) 的解. 所以方程 (1) 的解为 \[ \varphi \left( {t}_{0}\right) = \frac{{X}^{ + }\left( {t}_{0}\right) + {X}^{ - }\left( {t}_{0}\right) }{2\left\lbrack {a\left( {t}_{0}\right) + b\left( {t}_{0}\right) }\right\rbrack {X}^{ + }\left( {t}_{0}\right) }f\left( {t}_{0}\right) \] \[ + \frac{{X}^{ + }\left( {t}_{0}\right) - {X}^{ - }\left( {t}_{0}\right) }{{2\pi }\mathrm{i}} \] \[ \cdot {\int }_{L}\frac{f\left( t\right) }{\left\lbrack {a\left( t\right) + b\left( t\right) }\right\rbrack {X}^{ + }\left( t\right) \left( {t - {t}_{0}}\right) }\mathrm{d}t \] \[ + \left\lbrack {{X}^{ + }\left( {t}_{0}\right) - {X}^{ - }\left( {t}_{0}\right) }\right\rbrack {Q}_{\kappa - 1}\left( {t}_{0}\right) , \] (4) 其中 \( X\left( z\right) \) 和 \( \kappa \) 分别是齐次希尔伯特问题 \[ {\Phi }^{ + }\left( t\right) = G\left( t\right) {\Phi }^{ - }\left( t\right) \] 的典则函数和指标 (其表达式参看 “齐次黎曼问题的典则函数”), \( {Q}_{\kappa - 1}\left( z\right) \) 是不超过 \( \kappa - 1 \) 阶的多项式, 当 \( \kappa \leq 0 \) 时 \( {Q}_{\kappa - 1}\left( z\right) \equiv 0 \) . 公式 (4) 对 \( \kappa \geq 0 \) 无条件成立,当 \( \kappa < 0 \) 时,当且仅当成立可解性条件 \[ {\int }_{L}\frac{{t}^{k}f\left( t\right) }{\left\lbrack a\left( t\right)

2000_数学辞海（第3卷）

t( {t}_{0}\right) + b\left( {t}_{0}\right) }\right\rbrack {X}^{ + }\left( {t}_{0}\right) }f\left( {t}_{0}\right) \] \[ + \frac{{X}^{ + }\left( {t}_{0}\right) - {X}^{ - }\left( {t}_{0}\right) }{{2\pi }\mathrm{i}} \] \[ \cdot {\int }_{L}\frac{f\left( t\right) }{\left\lbrack {a\left( t\right) + b\left( t\right) }\right\rbrack {X}^{ + }\left( t\right) \left( {t - {t}_{0}}\right) }\mathrm{d}t \] \[ + \left\lbrack {{X}^{ + }\left( {t}_{0}\right) - {X}^{ - }\left( {t}_{0}\right) }\right\rbrack {Q}_{\kappa - 1}\left( {t}_{0}\right) , \] (4) 其中 \( X\left( z\right) \) 和 \( \kappa \) 分别是齐次希尔伯特问题 \[ {\Phi }^{ + }\left( t\right) = G\left( t\right) {\Phi }^{ - }\left( t\right) \] 的典则函数和指标 (其表达式参看 “齐次黎曼问题的典则函数”), \( {Q}_{\kappa - 1}\left( z\right) \) 是不超过 \( \kappa - 1 \) 阶的多项式, 当 \( \kappa \leq 0 \) 时 \( {Q}_{\kappa - 1}\left( z\right) \equiv 0 \) . 公式 (4) 对 \( \kappa \geq 0 \) 无条件成立,当 \( \kappa < 0 \) 时,当且仅当成立可解性条件 \[ {\int }_{L}\frac{{t}^{k}f\left( t\right) }{\left\lbrack a\left( t\right) + b\left( t\right) {X}^{ + }\left( t\right) \right\rbrack }\mathrm{d}t = 0 \] \[ \left( {k = 0,1,\cdots , - \kappa - 1}\right) \] 时, 问题 (1) 才有解且解由公式 (4) 给出. 希尔伯特变换 (Hilbert transformation) 一类理论和应用上都重要的奇异积分变换. 解析函数 \( \Phi \left( z\right) = u + \mathrm{i}v \) ,在域的边界上用其虚部表示其实部, 和反过来表示的关系式称为希尔伯特变换对. 当域是上半复平面, 希尔伯特变换及其逆变换是: \[ u\left( x\right) = \frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{v\left( t\right) \mathrm{d}t}{t - x}\;\left( {-\infty < x < + \infty }\right) , \] \[ v\left( x\right) = \frac{-1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{u\left( t\right) \mathrm{d}t}{t - x}\;\left( {-\infty < x < + \infty }\right) . \] 此变换在物理上称为色散变换. 当域是单位圆 \( \left| t\right| = \) \( 1, t = {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\sigma } \) 时,希尔伯特变换及其逆变换是: \( u\left( s\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }v\left( \sigma \right) \cot \frac{\sigma - s}{2}\mathrm{\;d}\sigma + {u}_{0}\;\left( {0 \leq s < {2\pi }}\right) , \) \( v\left( s\right) = \frac{-1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }u\left( \sigma \right) \cot \frac{\sigma - s}{2}\mathrm{\;d}\sigma + {v}_{0}\;\left( {0 \leq s < {2\pi }}\right) , \) 其中 \( {u}_{0} + \mathrm{i}{v}_{0} = \Phi \left( 0\right) \) . 此变换的积分核称为希尔伯特核. 积分是按柯西主值去理解的. 色散变换 (disperse transformations) 见 “希尔伯特变换”. 希尔伯特核 (Hilbert kernel) 见 “希尔伯特变换”. 希尔伯特边值问题 (Hilbert boundary value problem) 一类重要的解析函数的边值问题. 希尔伯特边值问题是指下面的问题: 在单位圆内求解析函数 \( \Phi \left( z\right) = u + \mathrm{i}v \) ,它在圆周上满足边界条件: \[ \operatorname{Re}\left\lbrack {\left( {a - \mathrm{i}b}\right) \Phi \left( t\right) }\right\rbrack = {au}\left( s\right) + {bv}\left( s\right) \] \[ = c\left( s\right) \left( {t = {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}s}}\right) , \] (1) 其中 \( a = a\left( s\right), b = b\left( s\right), c\left( s\right) \) 是圆周上满足赫尔德条件的已知函数. 边值问题的指标是整数 \( \kappa = \operatorname{Ind}\left\lbrack {a + \mathrm{i}b}\right\rbrack \) . 希尔伯特边值问题的解答是: 1. 当 \( \kappa = 0 \) 时,方程 (1) 的解是 \[ \Phi \left( z\right) = {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\gamma \left( z\right) }\left\lbrack {\frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }{\mathrm{e}}^{{\omega }_{1}\left( \sigma \right) }c\left( \sigma \right) \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\sigma } + z}{{\mathrm{e}}^{i\sigma } - z}\mathrm{\;d}\sigma + \mathrm{i}{\beta }_{0}}\right\rbrack . \] 2. 当 \( \kappa > 0 \) 时,方程 (1) 的解是 \[ \Phi \left( z\right) = {z}^{\kappa }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\gamma \left( z\right) }\left\lbrack {\frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }{\mathrm{e}}^{{\omega }_{1}\left( \sigma \right) }c\left( \sigma \right) \frac{{\mathrm{e}}^{i\sigma } + z}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\sigma } - z}\mathrm{\;d}\sigma + Q\left( z\right) }\right\rbrack . \] 3. 当 \( \kappa < 0 \) 时,方程 (1) 当且仅当满足下面的可解条件 \[{\int }_{0}^{2\pi }{\mathrm{e}}^{{\omega }_{1}\left( \sigma \right) }c\left( \sigma \right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{k\sigma }}\mathrm{d}\sigma = 0\;\left( {k = 0,1,\cdots , - \kappa - 1}\right) \] 才有解, 此时解是 \[\Phi \left( z\right) = {z}^{k}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\gamma \left( z\right) }\frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }{\mathrm{e}}^{{\omega }_{1}\left( \sigma \right) }c\left( \sigma \right) \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\sigma } + z}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\sigma } - z}\mathrm{\;d}\sigma .\] 上述各式中的 \[\gamma \left( z\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\left\lbrack {\arctan \frac{b\left( \sigma \right) }{a\left( \sigma \right) } - {\kappa \sigma }}\right\rbrack \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\sigma } + z}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\sigma } - z}\mathrm{\;d}\sigma ,\] \[{\omega }_{1}\left( \sigma \right) = \operatorname{Im}\gamma \left( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\sigma }\right) ,\] \[Q\left( z\right) = \mathrm{i}{\beta }_{0} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{k}\left( {{C}_{k}{z}^{k} - {\bar{C}}_{k}{z}^{-k}}\right) ,\] \( {\beta }_{0} \) 是任意实常数, \( {C}_{k} \) 是任意复常数. 希尔伯特核奇异积分方程 (singular integral equation with Hilbert kernel) 一类重要的奇异积分方程. 奇异积分方程 \[\mathcal{H}u \equiv a\left( s\right) u\left( s\right) - \frac{b\left( s\right) }{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }u\left( \sigma \right) \cot \frac{\sigma - s}{2}\mathrm{\;d}\sigma \] \[ + {\int }_{0}^{2\pi }k\left( {s,\sigma }\right) u\left( \sigma \right) \mathrm{d}\sigma = f\left( s\right) \] (1) 称为希尔伯特核奇异积分方程,其中 \( k\left( {s,\sigma }\right) \) 是弱奇性核, \( a\left( s\right), b\left( s\right), f\left( s\right) \) 是满足赫尔德条件的已知函数,并且 \( {a}^{2}\left( s\right) + {b}^{2}\left( s\right) \neq 0 \) . 不失一般性,设 \( {a}^{2}\left( s\right) + \) \( {b}^{2}\left( s\right) \equiv 1 \) . 方程 (1) 中的 \[\mathcal{L}u \equiv a\left( s\right) u\left( s\right) - \frac{b\left( s\right) }{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }u\left( \sigma \right) \cot \frac{\sigma - s}{2}\mathrm{\;d}\sigma = {f}_{1}\left( s\right) \] (2) 称为 (1) 的特征方程. 整数 \( \kappa = \operatorname{Ind}\left\lbrack {a\left( s\right) + \mathrm{i}b\left( s\right) }\right\rbrack \) 称为算子 \( \mathcal{H} \) 或者方程 \( \mathcal{H}u = f \) 的指标. 对方程 (1), 诺特定理成立. 特征方程 (2) 当 \( a\left( s\right), b\left( s\right) \) 分别是常数 \( a, b \) 时,它的解是 \[u\left( s\right) = {af}\left( s\right) + \frac{b}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }f\left( \sigma \right) \cot \frac{\sigma - s}{2}\mathrm{\;d}\sigma .\] \( a\left( s\right), b\left( s\right) \) 不是常数时,特征方程 (2) 可化为等价的希尔伯特边值问题: \[ a\left( s\right) u\left( s\right) + b\left( s\right) v\left( s\right) = \operatorname{Re}\left\lbrack {\left( {a - \mathrm{i}b}\right) \Phi \left( t\right) }\right\rbrack \] \[ = f\left( s\right) \left( {t = {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}s}}\right) \text{.} \] 诺特定理 (Noether theorems) 奇异积分方程的基本定理. 它并不限于柯西型核的奇异积分方程. 定理 1: 奇异积分方程 \( \mathcal{K}\varphi = f \) 可解的充分必要条件是成立关系式 \[ {\int }_{L}f\left( t\right) {\psi }_{i}\left( t\right) \mathrm{d}t = 0\left( {i = 1,2,\cdots ,{k}^{\prime }}\right) , \] 其中 \( {\psi }_{i}\left( t\right) \left( {i = 1,2,\cdots ,{k}^{\prime }}\right) \) 是相联齐次方程 \( {\mathcal{K}}^{\prime }\psi = 0 \) 的线性无关解的完备系; 定理 2: 齐次方程 \( \mathcal{K}\varphi = 0 \) 的线性无关解的个数 \( k \) 与相联齐次方程 \( {\mathcal{K}}^{\prime }\psi = 0 \) 的线性无关解的个数 \( {k}^{\prime } \) 之差只与 \( \mathcal{K} \) 的特征部分有关,它等于算子 \( \mathcal{K} \) 的指标,即 \( k - {k}^{\prime } = \kappa \) . 第二类弗雷德霍姆积分方程的弗雷德霍姆定理是柯西核奇异积分方程中 \( b\left( t\right) = 0 \) ,即诺特定理 \( \kappa = \) 0 的特例. 由此可见, 对指标为零的奇异积分方程, 弗雷德霍姆定理是成立的, 这类方程称为拟弗雷德霍姆方程, 其相应的奇异积分算子称为拟弗雷德霍姆算子. 拟弗雷德霍姆方程 (quasi-Fredholm equation) 见“诺特定理”. 拟弗雷德霍姆算子 (quasi-Fredholm operator) 见“诺特定理”. 卷积方程 (convolution equation) 一种最常见的奇异积分方程. 第二类卷积方程是指方程 \[ \varphi \left( x\right) = f\left( x\right) + \lambda {\int }_{-\infty }^{+\infty }k\left( {x - t}\right) \varphi \left( t\right) \mathrm{d}t \] \[ \left( {-\infty < x < + \infty }\right) , \] 其中 \( k\left( x\right) \in L\left( {-\infty , + \infty }\right) \) ,当 \( f\left( x\right) \in {L}^{2}( - \infty \) , \( + \infty ) \) ,并且满足条件 \[ 1 - {\lambda K}\left( \alpha \right) \neq 0\left( {-\infty < \alpha < + \infty }\right) \] 时,卷积方程可以直接利用傅里叶变换得到它在 \( {L}^{2} \) 中的解 \[ \varphi \left( x\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{F\left( \alpha \right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{x\alpha }}}{1 - {\lambda K}\left( \alpha \right) }\mathrm{d}\alpha \] \[ \left( {-\infty < x < + \infty }\right) , \] 其中 \( F\left( \alpha \right), K\left( \alpha \right) \) 分别是 \( f\left( x\right) \) 和 \( k\left( x\right) \) 的傅里叶变换. 这个解也可以写为预解核的形式 \[ \varphi \left( x\right) = f\left( x\right) + \lambda {\int }_{-\infty }^{+\infty }h\left( {x - t}\right) f\left( t\right) \mathrm{d}t, \] 其中 \( h\left( x\right) \) 是 \( K\left( \alpha \right) /\left( {1 - {\lambda K}\left( \alpha \right) }\right) \) 的傅里叶逆变换. 第二类卷积方程的齐次方程可能有非零解 \( {\mathrm{e}}^{ax} \) ,只要 \( a \) 满足 \[ \lambda {\int }_{-\infty }^{+\infty }k\left( t\right) {\mathrm{e}}^{-{at}}\mathrm{\;d}t = 1, \] 因而对某些核, \( \lambda \) 会产生连续谱,所以卷积方程不是弗雷德霍姆积分方程. 第一类卷积方程是指方程 \[ {\int }_{-\infty }^{+\infty }k\left( {x - t}\right) \varphi \left( t\right) \mathrm{d}t = f\left( x\right) \] \[ \left( {-\infty < x < + \infty }\right) , \] 它与第二类卷积方程无本质区别,当 \( F\left( \alpha \right) /K\left( \alpha \right) \) 属于 \( {L}^{2} \) 时,它的解是 \[ \varphi \left( x\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{F\left( \alpha \right) }{K\left( \alpha \right) }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\alpha x}}\mathrm{\;d}\alpha \] \[ \left( {-\infty < x < + \infty }\right) \text{.} \] 卷积方程中的积分算子 \[ h\left( x\right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }k\left( {x - t}\right) \varphi \left( t\right) \mathrm{d}t = k * \varphi \] 称为卷积算子. 当 \( k \in {L}^{2},\varphi \in {L}^{2} \) 时,卷积 \( h\left( x\right) = k * \varphi \) 总是连续函数. 当 \( k \in {L}^{1},\varphi \in {L}^{p} \) 时,恒有 \( k * \varphi \in {L}^{p} \) , 并且有豪斯多夫-杨不等式: \[ \parallel k * \varphi {\parallel }_{p} \leq \parallel k{\parallel }_{L}{}^{1} \cdot \parallel \varphi {\parallel }_{p}. \] 在卷积方程中,作为特例,设 \( f\left( x\right) = k\left( x\right) = \) \( \varphi \left( x\right) = 0 \) ,当 \( x < 0 \) ,这时方程就变成有限区间的方程 \[\varphi \left( x\right) = f\left( x\right) + \lambda {\int }_{0}^{x}k\left( {x - t}\right) \varphi \left( t\right) \mathrm{d}t\;\left( {x \geq 0}\right) ,\] 前面解的公式同样适用. 卷积算子 (convolution operator) 见 “卷积方程”. 维纳-霍普夫方程 (Wiener-Hopf equation) - 种带差核的奇异积分方程. 古典的维纳-霍普夫方程是指下述的带差核的奇异积分方程 \[\varphi \left

2000_数学辞海（第3卷）

mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\alpha x}}\mathrm{\;d}\alpha \] \[ \left( {-\infty < x < + \infty }\right) \text{.} \] 卷积方程中的积分算子 \[ h\left( x\right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }k\left( {x - t}\right) \varphi \left( t\right) \mathrm{d}t = k * \varphi \] 称为卷积算子. 当 \( k \in {L}^{2},\varphi \in {L}^{2} \) 时,卷积 \( h\left( x\right) = k * \varphi \) 总是连续函数. 当 \( k \in {L}^{1},\varphi \in {L}^{p} \) 时,恒有 \( k * \varphi \in {L}^{p} \) , 并且有豪斯多夫-杨不等式: \[ \parallel k * \varphi {\parallel }_{p} \leq \parallel k{\parallel }_{L}{}^{1} \cdot \parallel \varphi {\parallel }_{p}. \] 在卷积方程中,作为特例,设 \( f\left( x\right) = k\left( x\right) = \) \( \varphi \left( x\right) = 0 \) ,当 \( x < 0 \) ,这时方程就变成有限区间的方程 \[\varphi \left( x\right) = f\left( x\right) + \lambda {\int }_{0}^{x}k\left( {x - t}\right) \varphi \left( t\right) \mathrm{d}t\;\left( {x \geq 0}\right) ,\] 前面解的公式同样适用. 卷积算子 (convolution operator) 见 “卷积方程”. 维纳-霍普夫方程 (Wiener-Hopf equation) - 种带差核的奇异积分方程. 古典的维纳-霍普夫方程是指下述的带差核的奇异积分方程 \[\varphi \left( t\right) + {\int }_{0}^{+\infty }k\left( {t - s}\right) \varphi \left( s\right) \mathrm{d}s = f\left( t\right) \] (1) \[\left( {0 \leq t < + \infty }\right) \text{,}\] 其中 \( k\left( u\right) \in {L}^{1}\left( {-\infty , + \infty }\right), f\left( t\right) \in {L}^{2}\lbrack 0, + \infty ) \) 是已知函数, \( \varphi \left( t\right) \) 是未知函数, \( k\left( {t - s}\right) \) 称为积分方程的核. 方程 (1) 的研究开始于 20 世纪 20 年代初, 早期著名例子是辐射传输理论中的米尔恩方程, 后因 1931 年由维纳 (Wiener, N. ) 和霍普夫 (Hopf, E. ) 给出求解方法而得名. 20 世纪 40 年代以后, 这种方程的理论在解析函数边值问题、调和分析和算子理论的基础上得到了系统的发展, 20 世纪 60 年代以后, 抽象化为奇异积分方程的一种统一形式, 即一般的维纳-霍普夫方程的理论. 它的应用也扩展到许多其他领域, 如中子迁移、电磁波衍射、控制论、多体问题以及人口理论等. 维纳和霍普夫为解方程 (1) 提出的方法后来被称为维纳-霍普夫技巧, 又称为因子分解法. 其基本思想是通过积分变换将原方程化为黎曼边值问题. 技巧的核心是用函数因子分解的方法求得方程的解. 下面以方程 (1) 求解为例加以说明. 在 \( x < 0 \) 处令 \( \varphi \left( x\right) = f\left( x\right) \equiv 0 \) ,将方程 (1) 延拓到整个实轴, 得到 \[ \varphi \left( t\right) + {\int }_{-\infty }^{+\infty }k\left( {t - s}\right) \varphi \left( s\right) \mathrm{d}s = f\left( t\right) + \psi \left( t\right) \] (2) \[ \left( {-\infty < t < + \infty }\right) , \] 式中 \[ \psi \left( t\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \left( {t \geq 0}\right) , \\ {\int }_{0}^{+\infty }k\left( {t - s}\right) \varphi \left( s\right) \mathrm{d}s & \left( {t < 0}\right) \end{array}\right. \] 也是未知函数. 若 (2) 中诸函数满足适当条件, 例如存在 \( h > 0 \) 使 \( k\left( t\right) {\mathrm{e}}^{h\left| t\right| },\varphi \left( t\right) {\mathrm{e}}^{ht} \) 和 \( f\left( t\right) {\mathrm{e}}^{ht} \) 均属于 \( {L}^{1}\left( {-\infty , + \infty }\right) \) ,则由傅里叶变换可化为带域上的黎曼问题 \[ \left( {1 + K\left( \lambda \right) }\right) {\Phi }^{ + }\left( \lambda \right) = {F}^{ + }\left( \lambda \right) + {\Psi }^{ - }\left( \lambda \right) \] （3） \[ \left( {\lambda = \sigma + \mathrm{i}\tau ,\left| \tau \right| < h}\right) , \] 其中大写字母表示用相应小写字母表示的函数的傅里叶变换. 上标 + 或 - 分别表示该函数在半平面 \( \tau \) \( > - h \) 或 \( \tau < h \) 上解析. 称 \( \kappa = - \operatorname{Ind}\left\lbrack {1 + K\left( \lambda \right) }\right\rbrack \) 为方程 (1) 的指标. 问题 (3) 求解的关键在于将函数 \[ H\left( \lambda \right) = 1 + K\left( \lambda \right) \] 分解为如下的因子 \( H\left( \lambda \right) = {H}^{ - }\left( \lambda \right) {H}^{ + }\left( \lambda \right) \) ,其中 \( {H}^{ + }\left( \lambda \right) \) 和 \( {H}^{ - }\left( \lambda \right) \) 分别在 \( \tau > - h \) 和 \( \tau < h \) 两半平面上解析并且在有限远处均恒不为零. 当 \( H\left( \lambda \right) \) 满足条件: 在 \( \left| \lambda \right| < h \) 解析,无零点且一致有 \[ \mathop{\lim }\limits_{{\left| \lambda \right| \rightarrow \infty }}H\left( \lambda \right) = r \neq 0 \] 时,上述分解式是存在的,其中 \( {H}^{ \pm }\left( \lambda \right) \) 可由 \( H\left( \lambda \right) \) 得出. 由所述条件利用柯西积分公式知 \( {F}^{ + }\left( \lambda \right) /{H}^{ - }\left( \lambda \right) \) \( = {C}^{ - }\left( \lambda \right) + {C}^{ + }\left( \lambda \right) ,{C}^{ \pm }\left( \lambda \right) \) 可由 \( {F}^{ + }\left( \lambda \right) /{H}^{ - }\left( \lambda \right) \) 来表示,因而由 (3)式得到 \[ {H}^{ + }\left( \lambda \right) {\Phi }^{ + }\left( \lambda \right) - {C}^{ + }\left( \lambda \right) = \frac{{\Psi }^{ - }\left( \lambda \right) }{{H}^{ - }\left( \lambda \right) } + {C}^{ - } \] \( \left( \lambda \right) \) \( \left( {\left| \tau \right| < h}\right) \) . 由此式利用解析开拓和广义刘维尔定理可求出 \( {\Phi }^{ + }\left( \lambda \right) \) ,再由傅里叶逆变换即可求得 \( \varphi \left( t\right) \) . 维纳-霍普夫方程也满足诺特定理. 方程 (1) 的离散形式是 \[ {\varphi }_{k} + \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{{+\infty }}{a}_{k - j}{\varphi }_{j} = {f}_{k}\left( {k = 0,1,2,\cdots }\right) , \] (4) 其中 \[ \mathop{\sum }\limits_{{j = - \infty }}^{\infty }\left| {a}_{j}\right| < + \infty \] \( \left\{ {f}_{k}\right\} \) 是属于 \( {l}^{p}\left( {1 \leq p < + \infty }\right) \) 的已知序列. (4) 式也称为特普利茨方程. 维纳-霍普夫技巧 (Wiener-Hopf technique) 见“维纳-霍普夫方程”. 米尔恩方程 (Milne equation) 以米尔恩名字命名的方程, 见“维纳-霍普夫技巧”. 卷积型积分方程 (convolution type integral equation) 亦称差核积分方程, 是卷积方程的推广. 它是指以下的奇异积分方程: \[ \varphi \left( t\right) + \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{0}^{+\infty }{k}_{1}\left( {t - s}\right) \varphi \left( s\right) \mathrm{d}s \] \[ + \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{0}{k}_{2}\left( {t - s}\right) \varphi \left( s\right) \mathrm{d}s = f\left( t\right) \] (1) \[ \left( {-\infty < t < + \infty }\right) \text{,} \] 其中核 \( {k}_{1}\left( t\right) ,{k}_{2}\left( t\right) \in {L}^{1}\left( {-\infty , + \infty }\right) \) ,并且它们的傅里叶变换 \( {K}_{1}\left( \alpha \right) ,{K}_{2}\left( \alpha \right) \) 分别满足条件 \( 1 + {K}_{1}\left( \alpha \right) \neq 0,\;1 + {K}_{2}\left( \alpha \right) \neq 0; \) \( f\left( t\right) \) 是 \( {L}^{p}\left( {-\infty , + \infty }\right) \left( {p > 1}\right) \) 上的已知函数. 它的指标定义为 \[ \kappa = \operatorname{Ind}\frac{1 + {K}_{2}\left( \alpha \right) }{1 + {K}_{1}\left( \alpha \right) }. \] 此类方程同样满足诺特定理. 它可通过傅里叶变换化为黎曼问题去解决. 为此, 另设未知函数 \[ {\varphi }_{ + }\left( t\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \varphi \left( t\right) & \left( {t \geq 0}\right) , \\ 0 & \left( {t < 0}\right) \end{array}\right. \] 及 \[ {\varphi }_{ - }\left( t\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \left( {t > 0}\right) , \\ \varphi \left( t\right) & \left( {t \leq 0}\right) \end{array}\right. \] 则 \( \varphi \left( t\right) = {\varphi }_{ + }\left( t\right) + {\varphi }_{ - }\left( t\right) \) ,于是方程 (1) 变成 \[{\varphi }_{ + } + {\varphi }_{ - } + {k}_{1} * {\varphi }_{ + } + {k}_{2} * {\varphi }_{ - } = f,\] 做傅里叶变换, 即得对应的黎曼问题 \[{\Phi }^{ + }\left( \xi \right) = \frac{1 + {K}_{2}}{1 + {K}_{1}},\;{\Phi }^{ - }\left( \xi \right) = \frac{F}{1 + {K}_{1}},\] 其中 \( {\Phi }^{ \pm },{K}_{1},{K}_{2}, F \) 分别是 \( {\varphi }_{ \pm },{k}_{1},{k}_{2}, f \) 的傅里叶变换. 差核积分方程 (difference kernel integral equation) 即“卷积型积分方程”. 对偶积分方程 (dual integral equation) 一类重要的奇异积分方程. 奇异积分方程的另一典型类型是下面的对偶积分方程 \[\varphi \left( t\right) + \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{k}_{1}\left( {t, s}\right) \varphi \left( s\right) \mathrm{d}s = f\left( t\right) \] \[\left( {0 < t < + \infty }\right) \text{,}\] \[\varphi \left( t\right) + \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{k}_{2}\left( {t, s}\right) \varphi \left( s\right) \mathrm{d}s = f\left( t\right) \] \[\left( {-\infty < t < 0}\right) ,\] 其中 \( \varphi \left( t\right) \) 是未知函数. 对偶积分方程常在偏微分方程的混合边界值问题中出现. 特别地,当 \( {k}_{1},{k}_{2} \) 是卷积核,即 \( {k}_{i}\left( {t, s}\right) = {k}_{i}\left( {t - s}\right) \left( {i = 1,2}\right) \) 时,它可化为黎曼边值问题去解决. 为此, 在方程中引入新未知函数 \( g\left( t\right) \left( {-\infty < t < + \infty }\right) \) 以及 \[{g}_{ + }\left( t\right) = \left\{ \begin{matrix} g\left( t\right) & \left( {t > 0}\right) , \\ 0 & \left( {t < 0}\right) \end{matrix}\right. \] 与 \[{g}_{ - }\left( t\right) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \left( {t > 0}\right) , \\ g\left( t\right) & \left( {t < 0}\right) . \end{matrix}\right. \] 将两方程都延拓到整个 \( t \) 轴,方程可改写为: \[ \varphi \left( t\right) + \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{k}_{1}\left( {t - s}\right) \varphi \left( s\right) \mathrm{d}s = f\left( t\right) + {g}_{ - }\left( t\right) , \] \[ \varphi \left( t\right) + \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{k}_{2}\left( {t - s}\right) \varphi \left( s\right) \mathrm{d}s = f\left( t\right) + {g}_{ + }\left( t\right) \] \[ \left( {-\infty < t < + \infty }\right) \text{.} \] 做傅里叶变换得到 \[ \left\lbrack {1 + {K}_{1}\left( \alpha \right) }\right\rbrack \Phi \left( \alpha \right) = F\left( \alpha \right) + {G}^{ - }\left( \alpha \right) , \] \[ \left\lbrack {1 + {K}_{2}\left( \alpha \right) }\right\rbrack \Phi \left( \alpha \right) = F\left( \alpha \right) + {G}^{ + }\left( \alpha \right) , \] 其中 \( \Phi ,{K}_{1},{K}_{2}, F,{G}^{ + },{G}^{ - } \) 分别是 \( \varphi ,{k}_{1},{k}_{2}, f,{g}_{ + },{g}_{ - } \) 的傅里叶变换,上式消去未知函数 \( \Phi \left( \alpha \right) \) ,即得到确定未知函数 \( {G}^{ \pm }\left( \alpha \right) \) 的黎曼问题: \[ {G}^{ + }\left( \alpha \right) = \frac{1 + {K}_{2}\left( \alpha \right) }{1 + {K}_{1}\left( \alpha \right) }{G}^{ - }\left( \alpha \right) \] \[ + \frac{{K}_{2}\left( \alpha \right) - {K}_{1}\left( \alpha \right) }{1 + {K}_{1}\left( \alpha \right) }F\left( \alpha \right) \] \[ \left( {-\infty < \alpha < + \infty }\right) , \] 它的指标是 \[ \kappa = \operatorname{Ind}\left\lbrack \frac{1 + {K}_{2}\left( \alpha \right) }{1 + {K}_{1}\left( \alpha \right) }\right\rbrack . \] 解出 \( {G}^{ \pm }\left( \alpha \right) \) 后,原对偶积分方程的解 \( \varphi \left( t\right) \) 可由 \[ \varphi \left( t\right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{F\left( \alpha \right) + {G}^{ - }\left( \alpha \right) }{1 + {K}_{1}\left( \alpha \right) }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\alpha t}}\mathrm{\;d}\alpha \] 得出,可解情况讨论视指标 \( \kappa \) 而定. 它的离散形式是如下的对偶方程组 \[ {\varphi }_{j} + \mathop{\sum }\limits_{{k = - \infty }}^{{+\infty }}{a}_{j - k}{\varphi }_{k} = {f}_{j}\left( {j = 0,1,\cdots }\right) , \] \[ {\varphi }_{j} + \mathop{\sum }\limits_{{k = - \infty }}^{{+\infty }}{b}_{j - k}{\varphi }_{k} = {f}_{j}\left( {j = - 1, - 2,\cdots }\right) . \] 经典的含特殊函数的对偶积分方程是 \[ \left\{ \begin{array}{ll} {\int }_{0}^{+\infty }{y}^{\alpha }f\left( y\right) {J}_{\nu }\left( {xy}\right) \mathrm{d}y = g\left( x\right) & \le

2000_数学辞海（第3卷）

\infty }\right) , \] 它的指标是 \[ \kappa = \operatorname{Ind}\left\lbrack \frac{1 + {K}_{2}\left( \alpha \right) }{1 + {K}_{1}\left( \alpha \right) }\right\rbrack . \] 解出 \( {G}^{ \pm }\left( \alpha \right) \) 后,原对偶积分方程的解 \( \varphi \left( t\right) \) 可由 \[ \varphi \left( t\right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{F\left( \alpha \right) + {G}^{ - }\left( \alpha \right) }{1 + {K}_{1}\left( \alpha \right) }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\alpha t}}\mathrm{\;d}\alpha \] 得出,可解情况讨论视指标 \( \kappa \) 而定. 它的离散形式是如下的对偶方程组 \[ {\varphi }_{j} + \mathop{\sum }\limits_{{k = - \infty }}^{{+\infty }}{a}_{j - k}{\varphi }_{k} = {f}_{j}\left( {j = 0,1,\cdots }\right) , \] \[ {\varphi }_{j} + \mathop{\sum }\limits_{{k = - \infty }}^{{+\infty }}{b}_{j - k}{\varphi }_{k} = {f}_{j}\left( {j = - 1, - 2,\cdots }\right) . \] 经典的含特殊函数的对偶积分方程是 \[ \left\{ \begin{array}{ll} {\int }_{0}^{+\infty }{y}^{\alpha }f\left( y\right) {J}_{\nu }\left( {xy}\right) \mathrm{d}y = g\left( x\right) & \left( {0 < x < 1}\right) , \\ {\int }_{0}^{+\infty }f\left( y\right) {J}_{\nu }\left( {xy}\right) \mathrm{d}y = 0 & \left( {x > 1}\right) , \end{array}\right. \] 其中 \( J \) 是贝塞尔函数, \( \alpha > 0 \) . 它的解是蒂奇马什 (Titchmarsh, E, Ch. ) 用梅林变换得到的, 它是 \[ f\left( x\right) = \frac{{\left( 2x\right) }^{1 - \frac{1}{2}\alpha }}{\Gamma \left( {\frac{1}{2}\alpha }\right) }{\int }_{0}^{1}{\mu }^{1 + \frac{1}{2}\alpha }{J}_{v + \frac{1}{2}\alpha }\left( {\mu x}\right) \mathrm{d}\mu \] \[ \text{-}{\int }_{0}^{1}g\left( {\rho \mu }\right) {\rho }^{v + 1}{\left( 1 - {\rho }^{2}\right) }^{\frac{1}{2}\alpha - 1}\mathrm{\;d}\rho \text{.} \] 特普利茨方程 (Toeplitz equation) 一类理论上重要的奇异积分方程. 设已给函数 \( a\left( t\right) \in {L}^{\infty }, t \) 定义在单位圆周上, \( P \) 是 \( {L}^{p} \) 到哈代空间 \( {H}^{p} \) 的投影算子,对任一 \( \varphi \left( t\right) \in {H}^{p} \) ,下面 \( {H}^{p} \) 到 \( {H}^{p} \) 的算子 \( {T}_{p}\left( a\right) \varphi = P\left( {a\varphi }\right) \) 称为特普利茨算子,若 \( f \) 是 \( {H}^{p} \) 上的已知函数, 对应的方程 \[ {T}_{P}\left( a\right) \varphi = P\left( {a\varphi }\right) = f \] 称为特普利茨方程. 当 \( a\left( t\right) \neq 0 \) 时,此类方程也满足诺特定理,其指标 \( \kappa = \operatorname{Ind}a\left( t\right) \) . 设 \( a\left( t\right) \) 有傅里叶系数 \( \left\{ {a}_{j}\right\} \left( {j = 0, \pm 1,\cdots }\right), f,\varphi \) 的傅里叶系数分别为 \( \left\{ {f}_{j}\right\} ,\left\{ {\varphi }_{j}\right\} \left( {j = 0,1,\cdots }\right), P \) 是 \( {L}^{p} \) 到 \( {l}_{ + }^{p} \) 的投影,则特普利茨方程可改为离散形式 \[\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{+\infty }}{a}_{j - k}{\varphi }_{k} = {f}_{j}\left( {j = 0,1,\cdots }\right) .\] 此类方程亦称离散的维纳-霍普夫方程. 特普利茨算子 (Toeplitz operator) 见“特普利茨方程”. 带位移的奇异积分方程 (singular integral equation with shift) 柯西核奇异积分方程的推广. 它是指下面的方程 \[{K\varphi } = a\left( t\right) \varphi \left( t\right) + b\left( t\right) \varphi \left\lbrack {\alpha \left( t\right) }\right\rbrack \] \[ + \frac{c\left( t\right) }{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau }{\tau - t} + \frac{d\left( t\right) }{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau }{\tau - \alpha \left( t\right) }\] \[ + {\int }_{L}k\left( {t,\tau }\right) \varphi \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau = g\left( t\right) \;\left( {t \in L}\right) ,\left( 1\right) \] 其中 \( a\left( t\right), b\left( t\right), c\left( t\right), d\left( t\right), g\left( t\right) \) 均为满足赫尔德条件的已知函数, \( k\left( {t,\tau }\right) \) 是弱奇异核; 位移 \( \alpha \left( t\right) \) 是将闭曲线 \( L \) 保持或改变方向地同胚映射成它自身, \( {\alpha }^{\prime }\left( t\right) \) 满足赫尔德条件且恒不为零; 还假设 \( \alpha \left( t\right) \) 在 \( L \) 上满足卡莱曼条件: \( \alpha \left\lbrack {\alpha \left( t\right) }\right\rbrack \equiv t \) . 记 \[{\Delta }_{1}\left( t\right) = {c}_{1}\left( t\right) {c}_{1}\left\lbrack {\alpha \left( t\right) }\right\rbrack - {d}_{1}\left( t\right) {d}_{2}\left\lbrack {\alpha \left( t\right) }\right\rbrack ,\] \[{\Delta }_{2}\left( t\right) = {a}_{1}\left( t\right) {a}_{1}\left\lbrack {a\left( t\right) }\right\rbrack - {b}_{1}\left( t\right) {b}_{1}\left\lbrack {\alpha \left( t\right) }\right\rbrack ,\] \[\Delta \left( t\right) = {b}_{1}\left( t\right) {d}_{1}\left\lbrack {\alpha \left( t\right) }\right\rbrack - {c}_{1}\left( t\right) {a}_{1}\left\lbrack {\alpha \left( t\right) }\right\rbrack ,\] 其中 \[{a}_{1}\left( t\right) = a\left( t\right) + c\left( t\right) ,{b}_{1}\left( t\right) = b\left( t\right) + d\left( t\right) ,\] \[{c}_{1}\left( t\right) = c\left( t\right) - a\left( t\right) ,{d}_{1}\left( t\right) = d\left( t\right) - b\left( t\right) ,\] 则方程 (1) 使诺特定理成立的充分条件是: (A) 如果 \( \alpha \left( t\right) \) 保持方向及 \( {\Delta }_{1}\left( t\right) \neq 0,{\Delta }_{2}\left( t\right) \neq 0 \) ; (B) 如果 \( \alpha \left( t\right) \) 改变方向及 \( \Delta \left( t\right) \neq 0 \) . 此时指标是: 1. 如果 \( \alpha \left( t\right) \) 保持方向,则 \[\operatorname{Ind}K = \frac{1}{4\pi }\operatorname{Ind}{\left\lbrack \frac{{\Delta }_{1}\left( t\right) }{{\Delta }_{2}\left( t\right) }\right\rbrack }_{L}.\] 2. 如果 \( \alpha \left( t\right) \) 改变方向,则 \[\operatorname{Ind}K = \frac{1}{2\pi }\operatorname{Ind}{\left\lbrack \Delta \left( t\right) \right\rbrack }_{L}\] 带位移的柯西核奇异积分方程已有较完整的理论, 它在混合型偏微分方程的边值问题、正曲率曲面的无穷小变形理论、理想流体的空泡流动理论及各向异性弹性理论等应用上都有重要意义. 卡莱曼条件(Carleman condition) 见“带位移的奇异积分方程”. 高维奇异积分方程 (singular integral equation in high dimension) 希尔伯特变换在高维的推广. 与弗雷德霍姆积分方程不同, 对于奇异积分方程, 高维和一维是需要加以区别的. 典型的高维奇异积分方程是指方程 \[a\left( x\right) u\left( x\right) + {\int }_{{\mathrm{R}}^{n}}\frac{f\left( {x,\Theta }\right) }{{r}^{n}}u\left( y\right) \mathrm{d}y = g\left( x\right) \] \[\left( {x \in {\mathrm{R}}^{n}}\right) \text{,}\] (1) 其中的奇异积分算子是研究得最多的考尔德伦-赞格蒙-米赫林奇异积分算子 \[ \mathcal{K}u = {\int }_{{\mathrm{R}}^{n}}\frac{f\left( {x,\theta }\right) }{{r}^{n}}u\left( y\right) \mathrm{d}y, \] 这里 \( x, y \) 表示 \( n \) 维欧氏空间 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的点, \[ r = \left| {y - x}\right| = \sqrt{\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {y}_{i} - {x}_{i}\right) }^{2}}, \] \[ \Theta = \frac{y - x}{r} = \left\{ {\frac{{y}_{1} - {x}_{1}}{r},\cdots ,\frac{{y}_{n} - {x}_{n}}{r}}\right\} , \] \( f\left( {x,\theta }\right) \) 称为特征,设特征是有界的且对固定的 \( x \) 对 \( \Theta \) 是连续的. 还要假设 \( f\left( {x,\Theta }\right) \) 满足使此奇异积分存在的充分必要条件 (抵消条件) \[ {\int }_{S}f\left( {x,\Theta }\right) \mathrm{d}\sigma = 0, \] 其中 \( S \) 是单位球面. 在一定条件下,方程 (1) 是满足诺特定理的. 但一般地, 它的指标都等于零. 高维奇异积分算子 (singular integral operator in high dimension) 见“高维奇异积分方程”. 里斯算子 (Riesz operator) 一类重要的高维奇异积分算子. 它是指下面的 \( m \) 个算子 (参见《调和分析》同名条 \[ \left( {{R}_{m}f}\right) \left( x\right) = {r}_{n}{\int }_{{\mathrm{R}}^{n}}\frac{{x}_{m} - {y}_{m}}{{\left| x - y\right| }^{n + 1}}f\left( y\right) \mathrm{d}y, \] \[ \left( {1 \leq m \leq n}\right) \] 其中 \( x = \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right), y = \left( {{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}}\right) \) 是 \( n \) 维空间 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的点, \[ \left| {x - y}\right| = {\left( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {x}_{i} - {y}_{i}\right) }^{2}\right) }^{1/2}, \] \[ {r}_{n} = - \mathrm{i}{\pi }^{-\frac{n + 1}{2}}\Gamma \left( \frac{n + 1}{2}\right) . \] 里斯算子是将 \( f \in {L}^{2} \) 映射到 \( {L}^{2} \) 的有界算子,对 \( m = 1,2,\cdots, n \) ,它们满足关系式: \[ \mathop{\sum }\limits_{{m = 1}}^{n}{R}_{m}^{2} = I\text{ (恒等算子). } \] 里斯算子在双曲型偏微分方程的理论中有重要应用. 广义维纳-霍普夫方程 (generalized Wiener-Hopf equation) 几类主要奇异积分方程的统一名称. 多年来人们企图用统一观点去处理已经分别研究得相当深入的几类主要的奇异积分方程, 即柯西核积分方程、黎曼边值问题 (包括带位移)、维纳-霍普夫方程、对偶积分方程, 以及它们相应的离散形式、方程组和高维的推广, 统一的途径是把它们作为下面的广义的维纳-霍普夫方程的特例. 设 \( A, B \) 是希尔伯特空间上的已知的线性算子. \( P \) 是投影算子, \( {P}^{2} = P, Q = I - P \) ( \( I \) 恒等算子),以下三种方程 \[ {\left. {T}_{P}\left( A\right) \varphi = PA\right| }_{\operatorname{Im}P}\varphi = {Pf}, \] (1) \[ \left( {{AP} + {BQ} + T}\right) \varphi = f, \] (2) \[ \left( {{PA} + {QB} + \widetilde{T}}\right) \psi = g \] (3) 均称为广义维纳-霍普夫方程, 简称维纳-霍普夫方程. 其中 \( T,\widetilde{T} \) 是紧算子. 方程 (1) 是最基本的,若算子 \( B \) 有逆且 \( T = 0 \) ,则方程 (2) 不难归结为方程 (1), 方程 (3) 则是方程 (2) 的转置方程. 具体形式如下: 1. 若记 \( {S\varphi } = \frac{1}{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau }{\tau - t} \) ,及 \[ P = \frac{1}{2}\left( {I + S}\right) ,\;Q = \frac{1}{2}\left( {I - S}\right) , \] \[ {A\varphi } = \left\lbrack {a\left( t\right) + b\left( t\right) }\right\rbrack \varphi ,\;{B\varphi } = \left\lbrack {a\left( t\right) - b\left( t\right) }\right\rbrack \varphi , \] 则柯西核积分方程 \[ a\left( t\right) \varphi \left( t\right) + \frac{b\left( t\right) }{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau }{\tau - t} + {T}_{\varphi } = f \] 即为 \( \left( {{AP} + {BQ} + T}\right) \varphi = f \) . 2. 若令 \( P \) 是 \( {L}^{p} \) 到哈代空间 \( {H}^{p} \) 的投影算子, \( - {B\varphi } = G\left( t\right) \varphi \left( t\right) \) ,则单位圆上的黎曼边值问题 \( {\Phi }^{ + }\left( t\right) \) \( = G\left( t\right) {\Phi }^{ - }\left( t\right) + g\left( t\right) \) 可记为 \( \left( {P + {BQ}}\right) \varphi = g \) . 3. 若设 \( {P\varphi } = \left\{ \begin{matrix} \varphi \left( t\right) & \left( {t > 0}\right) , \\ 0 & \left( {t < 0}\right) \end{matrix}\right. \) 及 \[ {A\varphi } = {\int }_{-\infty }^{+\infty }k\left( {t - s}\right) \varphi \left( s\right) \mathrm{d}s, \] 则维纳-霍普夫方程可记为 \[{T}_{P}\left( A\right) \varphi = {\left. PA\right| }_{\operatorname{lm}P}\varphi = {Pf}.\] 4. 若设 \[{P\varphi } = \left\{ \begin{matrix} \varphi \left( t\right) & \left( {t > 0}\right) \\ 0 & \left( {t < 0}\right) \end{matrix}\right. \] \[{Q\varphi } = \left\{ \begin{matrix} 0 & \left( {t > 0}\right) \\ \varphi \left( t\right) & \left( {t < 0}\right) \end{matrix}\right. \] \[{A\varphi } = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{k}_{1}\left( {t, s}\right) \varphi \left( s\right) \mathrm{d}s,\] \[{B\varphi } = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{k}_{2}\left( {t, s}\right) \varphi \left( s\right) \mathrm{d}s,\] 则对偶积分方程可记为 \( \left( {{PA} + {QB}}\right) \varphi = f \) . 5. 设函数 \( a\left( t\right) \in {L}^{\infty }\left( {\left| t\right| = 1}\right) \) ,算子 \( {A\varphi } = \) \( a\left( t\right) \varphi \left( t\right) ,\varphi \) 属于哈代空间 \( {H}^{p}, P \) 是 \( {L}^{p} \) 到 \( {H}^{p} \) 的投影算子,已知函数 \( f \

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\infty }^{+\infty }k\left( {t - s}\right) \varphi \left( s\right) \mathrm{d}s, \] 则维纳-霍普夫方程可记为 \[{T}_{P}\left( A\right) \varphi = {\left. PA\right| }_{\operatorname{lm}P}\varphi = {Pf}.\] 4. 若设 \[{P\varphi } = \left\{ \begin{matrix} \varphi \left( t\right) & \left( {t > 0}\right) \\ 0 & \left( {t < 0}\right) \end{matrix}\right. \] \[{Q\varphi } = \left\{ \begin{matrix} 0 & \left( {t > 0}\right) \\ \varphi \left( t\right) & \left( {t < 0}\right) \end{matrix}\right. \] \[{A\varphi } = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{k}_{1}\left( {t, s}\right) \varphi \left( s\right) \mathrm{d}s,\] \[{B\varphi } = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{k}_{2}\left( {t, s}\right) \varphi \left( s\right) \mathrm{d}s,\] 则对偶积分方程可记为 \( \left( {{PA} + {QB}}\right) \varphi = f \) . 5. 设函数 \( a\left( t\right) \in {L}^{\infty }\left( {\left| t\right| = 1}\right) \) ,算子 \( {A\varphi } = \) \( a\left( t\right) \varphi \left( t\right) ,\varphi \) 属于哈代空间 \( {H}^{p}, P \) 是 \( {L}^{p} \) 到 \( {H}^{p} \) 的投影算子,已知函数 \( f \in {H}^{p} \) ,则特普利茨方程可记为 \[{T}_{P}\left( a\right) \varphi = {T}_{P}\left( A\right) \varphi = f.\] 方程对应的算子 \( {T}_{P}\left( A\right) ,{AP} + {BQ},{PA} + {QB} \) 称为维纳-霍普夫算子. 维纳-霍普夫算子 (Wiener-Hopf operator) 见 “广义维纳-霍普夫方程”. 维纳-霍普夫分解 (Wiener-Hopf factorization) 算子的一种分解式. 设 \( A \) 是希尔伯特空间 \( H \) 中的线性算子, \( P \) 是投影算子, \( A \) 的维纳-霍普夫分解是指分解式 \( A = {A}_{ - }{A}_{ + },{A}_{ \pm } \) 是 \( H \) 中满足条件 \[R\left( {{A}_{ + }P}\right) = R\left( P\right) ,\;R\left( {{A}_{ - }Q}\right) = R\left( Q\right) \] 的线性算子, \( R\left( \cdot \right) \) 记算子的值域. 维纳-霍普夫分解与维纳-霍普夫算子的理论有密切联系, 这由下面定理可看出. 定理: 设 \( A : H \rightarrow H \) 是有逆的有界线性算子, \( P \) 是任一投影算子,则以下三条件等价: 1. \( {T}_{P}\left( A\right) \) 在 \( R\left( P\right) \) 中可逆. 2. \( A \) 存在维纳-霍普夫分解. 3. 存在复数 \( {\lambda }_{0},\left| {\lambda }_{0}\right| = 1 \) 使 \( \operatorname{Re}{\lambda }_{0}R\left( A\right) > 0 \) . 诺特算子 (Noether operator) 亦称广义弗雷德霍姆算子. 为了使奇异积分方程理论一般化, 将诺特定理成立的算子称为诺特算子,也简称 \( \Phi \) 算子. 设 \( X, Y \) 是巴拿赫空间,算子 \( A : X \rightarrow Y \) . 以 \( \ker A \) 记算子的核空间, \( \operatorname{Coker}A = Y/\overline{\operatorname{Im}A} \) 称为 \( A \) 的协核空间. \( \alpha \left( A\right) = \dim \ker A,\beta \left( A\right) = \dim \operatorname{Coker}A. \) 设有界线性算子 \( A : X \rightarrow Y \) ,如果: 1. 算子 \( A \) 的值域 \( \operatorname{Im}A \) 是闭的; 2. 数 \( \alpha \left( A\right) \) 和 \( \beta \left( A\right) \) 都是有限的; 那么 \( A \) 称为诺特算子,并称整数 \[ \operatorname{Ind}A = \alpha \left( A\right) - \beta \left( A\right) \] 为诺特算子 \( A \) 的指标. 诺特算子定义中的条件 1 可换为等价的 \( {1}^{\prime } \) . 设算子 \( A \) 在豪斯多夫意义下是正规可解的. 广义弗雷德霍姆算子 (generalized Fredholm operator) 即“诺特算子”. 算子的协核空间 (cokernel space of operator) 见“诺特算子”. 半诺特算子 (semi-Noether operator) 诺特算子的推广. 在诺特算子定义中的条件 2,若只设 \( \alpha \left( A\right) \) 是有限的,或 \( \beta \left( A\right) \) 是有限的,则称 \( A \) 为半诺特算子,前者称为 \( {\Phi }_{ + } \) 算子,后者称为 \( {\Phi }_{ - } \) 算子 (参见 “诺特算子”). 代数算子方程 (algebra operator equation) 算子满足一定代数关系式的算子方程. 奇异积分方程的理论也可以抽象为代数算子方程去研究. 代数算子 \( S \) 是指巴拿赫空间 \( X \) 到巴拿赫空间 \( Y \) 的、满足一定代数关系 \( P\left( S\right) \equiv 0 \) 的算子. \( P \) 通常是多项式 \[ P\left( S\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{C}_{i}{S}^{i} \] 若 \( S \) 满足 \( n \) 次算子多项式 \[ P\left( S\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{C}_{i}{S}^{i} = 0, \] 但不满足低于 \( n \) 次的多项式,则称 \( S \) 为 \( n \) 次代数算子. 例如 \[ {S\varphi } = \frac{1}{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau }{\tau - t} \] \( L \) 是闭围线,则 \( S : {L}^{p} \rightarrow {L}^{p} \) 满足方程 \( {S}^{2} - I \equiv 0 \) ,但 \( S \) \( \pm I \neq 0 \) ,故柯西奇异积分算子是二次代数算子. 又如,希尔伯特空间的投影算子 \( P \) ,满足方程 \( {P}^{2} - I \equiv \) 0,但 \( P \neq I, P \neq 0 \) ,故它是二次代数算子. 再如,傅里叶积分算子 \[ {F\varphi } = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{ax}}\varphi \left( x\right) \mathrm{d}x, \] \( F : {L}^{2} \rightarrow {L}^{2} \) 满足方程 \( {F}^{4} - I \equiv 0 \) ,但不满足低于四次的方程, 它是四次代数算子. 利用拉格朗日插值多项式可由 \( n \) 次代数算子 \( S \) 构造出投影算子 \( {P}_{j}\left( {j = 1,2,\cdots, n}\right) \) : \[ {P}_{j} = \frac{\left( {S - {x}_{1}}\right) \cdots \left( {S - {x}_{j}}\right) \left( {S - {x}_{j + 1}}\right) \cdots \left( {S - {x}_{n}}\right) }{\left( {{x}_{j} - {x}_{1}}\right) \cdots \left( {{x}_{j} - {x}_{j}}\right) \left( {{x}_{j} - {x}_{j + 1}}\right) \cdots \left( {{x}_{j} - {x}_{n}}\right) }, \] 其中 \( {x}_{j}\left( {j = 1,2,\cdots, n}\right) \) 表示 \( P\left( x\right) = 0 \) 的 \( n \) 个单根, “ \( \land \) ”号表示缺少该项,则 \( {P}_{j} \) 满足: \[ {P}_{j}{P}_{k} = \left\{ {\begin{matrix} {P}_{j} & \left( {k = j}\right) , \\ 0 & \left( {k \neq j}\right) ; \end{matrix}\;\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{P}_{j} \equiv I.}\right. \] 由代数算子组成的下面方程 \[ \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{{n - 1}}\left( {{A}_{j}{S}^{j} + T}\right) \varphi = f \] 称为代数算子方程,其中 \( S \) 是 \( n \) 次代数算子, \( {A}_{j} \) 是满足一定条件的系数算子, \( T \) 是紧算子, \( f \) 是已知函数. 奇异积分方程可看做代数算子方程, 例如, 柯西奇异积分方程是 \( \left( {a + {bS} + T}\right) \varphi = f,{S}^{2} - I = 0 \) ,它是二次代数算子方程. 在满足一定条件下, 代数算子也是诺特算子. 代数算子 (algebra operator) 见 “代数算子方程”. 局部化理论 (theory of localization) 研究奇异积分方程的一种新方法, 即局部化方法的理论, 此方法对高维也很有价值. 算子 \( A : {L}^{p} \rightarrow {L}^{p} \) 称为局部型算子,若对任意两个不相交的闭集 \( {F}_{1},{F}_{2},{P}_{{F}_{1}}A{P}_{{F}_{2}} \) 是紧算子, 其中 \[ {P}_{M}f\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} f\left( x\right) & \left( {x \in M}\right) , \\ 0 & \left( {x \notin M}\right) . \end{array}\right. \] 算子 \( A, B \) 称为在 \( {x}_{0} \) 局部等价并记为 \( A\overset{{x}_{0}}{ \sim }B \) ,若对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( {x}_{0} \) 的邻域 \( U \) ,使得 \[ \begin{Vmatrix}{\left| {\left( {A - B}\right) {P}_{U}}\right| \parallel < \varepsilon }\end{Vmatrix}, \] \[ \begin{Vmatrix}{\left| {{P}_{U}\left( {A - B}\right) }\right| \parallel < \varepsilon }\end{Vmatrix}, \] 其中 \( \parallel \left| A\right| \parallel = \mathop{\inf }\limits_{T}\parallel A - T\parallel (T \) 是任一紧算子). 如果 \[ {R}_{l}A{P}_{U}\overset{{x}_{0}}{ \sim }{P}_{U}\;\left( {{P}_{U}A{R}_{r}\overset{{x}_{0}}{ \sim }{P}_{U}}\right) , \] 算子 \( {R}_{l}\left( {R}_{r}\right) \) 称为算子 \( A \) 在 \( {x}_{0} \) 的局部左 (右) 正则化算子; 如果 \( A \) 在 \( {x}_{0} \) 存在局部左和右正则化算子,算子 \( A \) 称为在 \( {x}_{0} \) 是局部诺特算子. 在此基础上主要得出以下两个基本定理: 1. 若 \( A : {L}^{p} \rightarrow {L}^{p} \) 是局部型算子,则 \( A \) 是诺特算子的充分必要条件是对任意 \( x \in X \) ,它都是局部诺特算子. 2. \( A \) 存在左 (右) 正则化算子的充分必要条件是对任意 \( x \in X \) ,它都存在局部左 (右) 正则化算子. 局部化理论是辛穆年科 (Simonenko, I. B. ) 于 1964 年提出的. 局部型算子 (operator of local type) 见“局部化理论”. 局部诺特算子 (local Noether operator) 见 “局部化理论”. 局部正则化算子 (local regularization operator) 见“局部化理论”. 非线性积分方程 (nonlinear integral equation) 不具有线性性质的一类积分方程. 如果未知函数在积分号下是以非线性形式出现的, 这种方程就称为非线性积分方程. 例如, \[ \varphi \left( x\right) - \lambda {\int }_{a}^{b}k\left( {x, y,\varphi \left( y\right) }\right) \mathrm{d}y = f\left( x\right) , \] 当 \( k \) 不是 \( \varphi \) 的线性函数时,就是非线性积分方程. 非线性积分方程也可以被分成多种类型, 例如, 弗雷德霍姆型、沃尔泰拉型、哈默斯坦型等. 由于自然界和工程技术中出现的大量问题都是非线性的, 因此, 在数学物理中研究过的一些线性方程, 只能是在一定条件下对实际问题的近似描述. 为了更精确地刻画客观现象, 就完全有必要研究非线性积分方程. 如果把积分方程中出现的函数看做是巴拿赫空间 \( X \) 中的元素,把原来的积分运算用算子 \( T \) 来代替,就将得到一个算子方程 \( {Tu} = f \) . 近年来非线性积分方程的研究已有很大的发展, 但是还没有系统的理论. 即使是讨论可解性问题上也存在着不少困难, 这主要是与线性积分方程的研究方法有着本质的不同. 这一理论的进一步 发展在很大程度上依赖于现代泛函分析、算子理论以及绍德尔不动点原理等数学分支的发展. 非线性弗雷德霍姆积分方程 (nonlinear Fredholm integral equation) 一类特殊的非线性积分方程. 这指的是方程 \[ \varphi \left( x\right) - \lambda {\int }_{a}^{b}k\left( {x, y,\varphi \left( y\right) }\right) \mathrm{d}y = f\left( x\right) , \] (1) 其中 \( f\left( x\right) \in {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack, a, b \) 是给定的有限 (或无限) 实数, 若 \[ \begin{Vmatrix}{{\int }_{a}^{b}k\left( {x, y,\varphi \left( y\right) }\right) \mathrm{d}y}\end{Vmatrix} \leq M\parallel \varphi \parallel , \] 而且对任意的 \( {z}_{1},{z}_{2} \) \[ \left| {k\left( {x, y,{z}_{1}}\right) - k\left( {x, y,{z}_{2}}\right) }\right| \leq N\left( {x, y}\right) \left| {{z}_{1} - {z}_{2}}\right| , \] 其中 \[ {\int }_{a}^{b}{\int }_{a}^{b}{N}^{2}\left( {x, y}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y = {N}^{2} < + \infty , \] 这时,对 \( \left| \lambda \right| < 1/N \) ,方程 (1) 在 \( {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 内一定存在着惟一解. 非线性沃尔泰拉积分方程 (nonlinear Volterra integral equation) 积分上限变动的一类特殊的非线性方程. 这指的是如下方程 \[ \varphi \left( x\right) - \lambda {\int }_{a}^{x}k\left( {x, y,\varphi \left( y\right) }\right) \mathrm{d}y = f\left( x\right) \] \[ \left( {a < x < b}\right) , \] (1) 其中 \( f\left( x\right) \in {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack, a, b \) 是给定的有限 (或无限) 实数, 若 \[ \begin{Vmatrix}{{\int }_{a}^{x}k\left( {x, y,\varphi \left( y\right) }\right) \mathrm{d}y}\end{Vmatrix} \leq M\parallel \varphi \parallel , \] 而且对任意的 \( {z}_{1},{z}_{2} \) ,有 \( \left| {k\left( {x, y,{z}_{1}}\right) - k\left( {x, y,{z}_{2}}\right) }\right| \leq N\left( {x, y}\right) \left| {{z}_{1} - {z}_{2}}\right| , \) \[ {\int }_{a}^{b}{\int }_{a}^{b}{N}^{2}\left( {x, y}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y < + \infty , \] 这时,对任意 \( \lambda \) ,方程 (1) 在 \( {L}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 内都存在着惟一解. 哈默斯坦方程 (Hammerstein equation) 一类重要的非线性积分方程. 它指的是如下形式的积分方程: \[ \varphi \left( x\right) = {\int }_{a}^{b}k\left( {x, y}\right) f\left( {y,\varphi \left( y\right) }\right) \mathrm{d}y, \] 其中 \( k\left( {x, y}\right), f\left( {y, u}\right) \) 都是已知函数, \( f\left( {y, u}\right) \) 关于 \( u \) 是非线性的. 这一方程是由哈默斯坦 (Hammerstein, H. ) 于 1930 年提出来的, 一直到最近仍有不少学者研究这种类型的方程, 已经得到了不少很有意义的结果. 非线性奇异积分方程 (nonlinear singular integral equation) 奇异积分方程之一. 如果一个奇异积分方程中的未知函数在积分号下面是以非线性形式出现的, 这种方程就称为非线性奇异积分方程. 例如, 把线性奇异积分方程的被积函数 \[ \frac{k\left( {x, y}\right) }{x - y}\varphi \left( y\right) \] 换成更一般的函数 \[ \frac{k\left( {x, y,\varphi \left( y\right) }\right) }{x - y} \] 或者 \[ \frac{k\left( {x, y}\right) f\left( {y,\varphi \left( y\right) }\right) }{x - y}, \] 就得到相应的非线性奇异积分方程. 考虑如下方程: \[ \varphi \left( x\right) = \lambda {\int }_{a}^{b}\frac{k\left( {x, y,\varphi \left( y\right) }\right) }{x - y}\mathrm{\;d}y, \] (1) \( \lambda \) 是参数. 只要在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \times \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \times \left\lbrack {-R, R}\right\rbrack \) 上满足条件: \[ \left| {k\left( {x, y, t}\right) - k\left( {{x}_{1},{y}_{1},{t}_{1}}\right) }\right| \] \[ \leq K\left\

2000_数学辞海（第3卷）

\mathrm{d}y, \] 其中 \( k\left( {x, y}\right), f\left( {y, u}\right) \) 都是已知函数, \( f\left( {y, u}\right) \) 关于 \( u \) 是非线性的. 这一方程是由哈默斯坦 (Hammerstein, H. ) 于 1930 年提出来的, 一直到最近仍有不少学者研究这种类型的方程, 已经得到了不少很有意义的结果. 非线性奇异积分方程 (nonlinear singular integral equation) 奇异积分方程之一. 如果一个奇异积分方程中的未知函数在积分号下面是以非线性形式出现的, 这种方程就称为非线性奇异积分方程. 例如, 把线性奇异积分方程的被积函数 \[ \frac{k\left( {x, y}\right) }{x - y}\varphi \left( y\right) \] 换成更一般的函数 \[ \frac{k\left( {x, y,\varphi \left( y\right) }\right) }{x - y} \] 或者 \[ \frac{k\left( {x, y}\right) f\left( {y,\varphi \left( y\right) }\right) }{x - y}, \] 就得到相应的非线性奇异积分方程. 考虑如下方程: \[ \varphi \left( x\right) = \lambda {\int }_{a}^{b}\frac{k\left( {x, y,\varphi \left( y\right) }\right) }{x - y}\mathrm{\;d}y, \] (1) \( \lambda \) 是参数. 只要在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \times \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \times \left\lbrack {-R, R}\right\rbrack \) 上满足条件: \[ \left| {k\left( {x, y, t}\right) - k\left( {{x}_{1},{y}_{1},{t}_{1}}\right) }\right| \] \[ \leq K\left\lbrack {{\left| x - {x}_{1}\right| }^{\mu } + {\left| y - {y}_{1}\right| }^{\nu } + \left| {t - {t}_{1}}\right| }\right\rbrack \] \[\left( {0 < \mu ,\nu \leq 1}\right) ,\] \( K \) 是常数,就可以用绍德尔方法证明方程 (1) 的解存在. 非线性积分算子 (nonlinear integral operator) 如果把非线性积分方程中出现的函数看做巴拿赫空间中的元素, 那么原来的积分运算就将构成一个非线性积分算子 \( T \) . 常见的非线性积分算子有: 1. 鸟雷松算子 \[ {Tu} = {\int }_{a}^{b}k\left( {x, y, u\left( y\right) }\right) \mathrm{d}y, \] 其中 \( k\left( {x, y, t}\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \times \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \times {\mathrm{R}}^{1} \) 上的已知函数, 它关于 \( t \) 是非线性的. 2. 沃尔泰拉算子 \[ {Tu} = {\int }_{a}^{x}k\left( {x, y, u\left( y\right) }\right) \mathrm{d}y, \] 其中 \( k\left( {x, y, t}\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \times \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \times {\mathrm{R}}^{1} \) 上的已知函数, 它关于 \( t \) 是非线性的, \( a < x < b \) . 3. 哈默斯坦算子 \[ {Tu} \equiv {\int }_{a}^{b}k\left( {x, y}\right) f\left( {y, u\left( y\right) }\right) \mathrm{d}y, \] 其中 \( k\left( {x, y}\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \times \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上 \( p \) 幂可积函数, \( f\left( {y, t}\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \times {\mathrm{R}}^{1} \) 上可测,并且对于固定的 \( y \) ,关于 \( t \) 是连续的. 这样就可以与抽象空间中的算子理论研究结合起来. 桑德拉塞卡尔 \( \mathbf{H} \) 方程 (Chandrasekher \( H \) -equation) 一类重要的非线性积分方程. 桑德拉塞卡尔 \( H \) 方程是指以下的非线性积分方程: \[ H\left( x\right) = 1 + H\left( x\right) {\int }_{0}^{1}\frac{x}{x + t}\psi \left( t\right) H\left( t\right) \mathrm{d}t, \] 其中 \( \psi \left( t\right) \) 是 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上非负有界可测的已知函数, \( H\left( x\right) \) 是未知函数,此方程在中子迁移理论和空气动力学中都有重要的应用. 积分微分方程 (integral-differential equation) 一类未知函数同时出现在积分和微分号下的方程. 例如 \[ {u}^{\prime }\left( t\right) = g\left( {t, u\left( t\right) }\right) + {\int }_{{t}_{0}}^{\varphi \left( t\right) }k\left( {t, s, u\left( s\right) }\right) \mathrm{d}s \] 是以 \( u\left( t\right) \) 为未知函数的非线性积分微分方程. 当 \( \varphi \left( t\right) \equiv \) 常数的情形,称为弗雷德霍姆型积分微分方程,当 \( \varphi \left( t\right) \equiv t \) 的情形,称为沃尔泰拉型积分微分方程. 类似于常微分方程, 积分微分方程也可以提初值问题、边值问题或特征值问题. 弗雷德霍姆型积分微分方程 (Fredholm integral-differential equation) 见“积分微分方程”. 沃尔泰拉型积分微分方程 (Volterra integral-differential equation) 见“积分微分方程”. 积分微分方程的初值问题 (initial value problem of integral-differential equation) 一类利用给定的初值条件定解积分微分方程的问题. 弗雷德霍姆型积分微分方程的初值问题是指问题: \[ \left\{ \begin{array}{l} {u}^{\prime }\left( t\right) = g\left( {t, u\left( t\right) }\right) + {\int }_{{t}_{0}}^{{t}_{1}}k\left( {t, s, u\left( s\right) }\right) \mathrm{d}s, \\ u\left( {t}_{0}\right) = {u}_{0}. \end{array}\right. \] 如果满足下列条件: \[ \text{1.}g\left( {t,{y}_{1}}\right) - g\left( {t,{y}_{2}}\right) \leq L\left( t\right) \left( {{y}_{1} - {y}_{2}}\right) \] \[ \left( {t \in \left( {{t}_{0},{t}_{1}}\right\rbrack ,{y}_{1} \geq {y}_{2}, L\left( t\right) \in {C}^{0}\left( {{t}_{0},{t}_{1}}\right\rbrack }\right) \text{.} \] \[ \text{2.}{\int }_{{t}_{0}}^{{t}_{1}}\left( {k\left( {t, s,{w}_{1}\left( s\right) }\right) - k\left( {t, s,{w}_{2}\left( s\right) }\right) }\right) \mathrm{d}s \] \[ \leq N\left( t\right) {\int }_{{t}_{0}}^{{t}_{1}}M\left( s\right) \left( {{w}_{1}\left( s\right) - {w}_{2}\left( s\right) }\right) \mathrm{d}s, \] 其中 \( t \in \left\lbrack {{t}_{0},{t}_{1}}\right\rbrack ,{w}_{1},{w}_{2} \in {C}^{0}\left\lbrack {{t}_{1},{t}_{2}}\right\rbrack ,{w}_{1} \geq {w}_{2}(t \in \left( {t}_{0}\right. \) , \( \left. \left. {t}_{1}\right\rbrack \right), N, M \in {C}^{0}\left\lbrack {{t}_{0},{t}_{1}}\right\rbrack, N \geq 0, M \geq 0 \) . \[ \text{3.}{\int }_{{t}_{0}}^{t}{sM}\left( s\right) \mathrm{d}s < + \infty \left( {t \in \left( {{t}_{0},{t}_{1}}\right\rbrack }\right) \text{.} \] \[ \text{4.}N\left( t\right) + {tL}\left( t\right) \leq 1 + {t}^{2}M\left( t\right) \left( {t \in \left( {{t}_{0},{t}_{1}}\right\rbrack }\right) \text{,} \] 那么初值问题在 \( {C}^{0}\left\lbrack {{t}_{0},{t}_{1}}\right\rbrack \cap {C}^{1}\left\lbrack {{t}_{0},{t}_{1}}\right\rbrack \) 中的解是惟一的. 积分微分方程的边值问题 (boundary value problem of integral-differential equation) 一类利用给定的边界条件定解积分微分方程的问题. 线性积分微分方程的边值问题是指方程 \[ \left\{ \begin{array}{l} {\left( pu\right) }^{\prime } - {qu} + \lambda \left( {{\rho u} + {\int }_{G}k\left( {x, y}\right) u\left( y\right) \mathrm{d}y}\right) = 0, \\ u = 0\;\left( {x \in \partial G}\right) . \end{array}\right. \] 设 \[ D\left( \varphi \right) = {\int }_{G}p{\varphi }^{2}\mathrm{\;d}x + {\int }_{G}q{\varphi }^{2}\mathrm{\;d}x, \] \[ H\left( \varphi \right) = {\int }_{G}\rho {\varphi }^{2}\mathrm{\;d}x + {\int }_{G}{\int }_{G}k\left( {x, y}\right) \varphi \left( x\right) \varphi \left( y\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y, \] 于是上述边值问题可由在 \( H\left( \varphi \right) = \) 常数的条件下使 \( D\left( \varphi \right) \) 为极小的问题导出,对这个边值问题的正交条件由 \[ {\int }_{G}\rho {u}_{i}\left( x\right) {u}_{j}\left( x\right) \mathrm{d}x + {\int }_{G}{\int }_{G}k\left( {x, y}\right) {u}_{i}\left( x\right) {u}_{j}\left( y\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y \] \[ = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \left( {i = j}\right) \\ 0 & \left( {i \neq j}\right) \end{array}\right. \] 给出. 普朗托积分微分方程 (Prandtl integral-differential equation) 一类积分微分方程. 具有常速 \( V \) 的动翼翼幅上的环流分布 \( \Gamma \left( y\right) \) 所满足的积分微分方程, 即方程 \[\alpha \left( y\right) = \frac{\Gamma \left( y\right) }{{\pi k}\left( y\right) t\left( y\right) V} + \frac{1}{\pi V}\mathrm{P} \cdot \mathrm{V} \cdot {\int }_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}\frac{\mathrm{d}\Gamma \left( {y}^{\prime }\right) }{y - {y}^{\prime }}\] 称为普朗托积分微分方程,其中 \( b \) 是翼幅, \( y,{y}^{\prime } \) 是与翼幅中央的距离, \( t \) 是机翼长, \( \alpha \) 是从浮力为 0 的位置所测的倾角, \( {2\pi k} \) 是浮力系数对倾角的曲线的斜率, P. V. 表示积分时取柯西主值. 特殊的函数方程 (special functional equations) 一类函数方程. 所谓特殊函数方程是指不包含极限运算的函数方程. 这类函数方程没有统一的解法, 通常把它们化为已知的标准型来求解. 加性函数方程 (additive functional equation) 一类最简单的函数方程. 所谓加性函数方程, 是指形如 \[ f\left( {x + y}\right) = f\left( x\right) + f\left( y\right) \] (1) 的方程. 柯西 (Cauchy, A.-L. ) 证明了方程 (1) 的连续解只有 \( f\left( x\right) = {cx} \) ( \( c \) 是常数),即使只要求 \( f \) 在某点连续,在该点邻域有界或可测,也只有解 \( {cx} \) . 但在非可测函数类中, 哈默尔 (Hamel, G. K. W. ) 和勒贝格 (Lebesgue, H. L. ) 证明了除 \( {cx} \) 外还有无穷多个解. 另一方面, 奥斯特罗格拉茨基 (Ocrporpa, Icknñ, M. B. ) 证明了,如果方程 (1) 的解 \( f\left( x\right) \) 在一个正测度集合上不取两个相异值之间的值,则 \( f\left( x\right) \) 必是连续的. 以上结论可以推广到 \( n \) 个变量的情形. 方程 (1) 的变形方程是 \[ g\left( {x + y}\right) = g\left( x\right) g\left( y\right) . \] (2) 如果存在 \( \xi \) 使得 \( g\left( \xi \right) = 0 \) ,则 \( g\left( x\right) \) 恒为零. 因此假定 \( g\left( x\right) \neq 0 \) . 取 \( x = y \) 即可看出 \( g\left( x\right) > 0 \) ,令 \( f\left( x\right) = \) \( \log g\left( x\right) \) ,则方程 (2) 可化为方程 (1). 因此,方程 (2) 的连续解只有 \( g\left( x\right) = \exp \left( {cx}\right) \) . 再考虑方程 \[ g\left( {u \cdot v}\right) = g\left( u\right) g\left( v\right) . \] (3) 如果存在 \( \xi \neq 0 \) 使得 \( g\left( \xi \right) = 0 \) ,则 \( g\left( x\right) \equiv 0 \) ,因此,假定 \( u \neq 0 \) 时 \( g\left( u\right) \neq 0 \) . 对于 \( u > 0, v > 0 \) ,令 \( x = \log u, y \) \( = \log v \) ,于是方程 (3) 就化为方程 (2). 又在方程 (3) 中取 \( v = - 1 \) 得到 \( g\left( {-u}\right) = g\left( {-1}\right) g\left( u\right) \) ,所以 \( g\left( {-1}\right) = \pm 1 \) . 于是方程 (3) 的连续解是 \( {\left| u\right| }^{c} \) 或 (sign \( u){\left| u\right| }^{c} \) . 一般加法定理 (general addition theorem) 刻画一种特殊方程存在连续的非零解特征的一个定理. 一般加法定理如下: 如果方程 \[ f\left( {x + y}\right) = F\left( {f\left( x\right), f\left( y\right) }\right) \] 在 \( \left( {-\infty , + \infty }\right) \) 中存在连续的非常数解 \( f\left( x\right) \) ,那么 \( f\left( x\right) \) 必是严格单调函数,而 \( F\left( {u, v}\right) \) 是关于 \( u, v(\alpha < \) \( u, v < \beta ) \) 的严格单调递增连续函数,且 \( \alpha < F\left( {u, v}\right) < \) \( \beta \) . 还存在一个 \( c \) ,使得 \( F\left( {c, c}\right) = c \) ,而且关于 \( \left( {\alpha ,\beta }\right) \) 中的任意的 \( u, v, w \) ,成立恒等式 \[ F\left( {F\left( {u, v}\right), w}\right) = F\left( {u, F\left( {v, w}\right) }\right) . \] 反之,如果 \( F \) 是具有这些性质的函数,则 (1) 式存在在 \( \left( {-\infty , + \infty }\right) \) 上连续的非常数解. 而且若 \( f\left( x\right) \) 是这样的一个解,则 \( f\left( x\right) \) 就给出了其他的解. 如果 \( F\left( {u, v}\right) \) 还是连续可微的,则 \( f\left( x\right) \) 就是微分方程 \[ {f}^{\prime }\left( x\right) = {F}_{v}\left( {f\left( x\right), a}\right) c, c = {f}^{\prime }\left( 0\right) \] 在初始条件 \( f\left( 0\right) = a \) 下所得到的解. 施罗德函数方程 (Schröder functional equation) 一类函数方程. 函数方程 \[ f\left( {\theta \left( x\right) }\right) = {cf}\left( x\right) \] (1) 称为施罗德函数方程,其中 \( \theta \left( x\right) \) 是已知函数, \( c \) 是常数. 如果 \( {f}_{1}\left( x\right) \) 是一特解 \( \left( {{f}_{1} \neq 0}\right) \) ,则其通解为 \( f\left( x\right) = \) \( {f}_{1}\left( x\right) \varphi \left( x\right) \) ,其中 \( \varphi \left( x\right) \) 是 \( \varphi \left( {\theta \left( x\right) }\right) = \varphi \left( x\right) \) 的通解. 假设存在点 \( a \) 使得 \( \theta \left( a\right) = a \) ,并且 \( \theta \left( x\right) \) 和 \( f\left( x\right) \) 在点 \( a \) 的邻域内可微,于是有 \( {f}^{\prime }\left( a\right) = 0 \) 或 \( {\theta }^{\prime }\left( a\right) = c \) . 考查 \( {\theta }^{\prime }\left( a\right) = c \) 的情形,若 \( \theta \left( x\right) \) 在 \( x = a \) 处二次可微,且 \( \left| c\right| \) \( < 1 \) ,那么在 \( x = a

2000_数学辞海（第3卷）

\[ {f}^{\prime }\left( x\right) = {F}_{v}\left( {f\left( x\right), a}\right) c, c = {f}^{\prime }\left( 0\right) \] 在初始条件 \( f\left( 0\right) = a \) 下所得到的解. 施罗德函数方程 (Schröder functional equation) 一类函数方程. 函数方程 \[ f\left( {\theta \left( x\right) }\right) = {cf}\left( x\right) \] (1) 称为施罗德函数方程,其中 \( \theta \left( x\right) \) 是已知函数, \( c \) 是常数. 如果 \( {f}_{1}\left( x\right) \) 是一特解 \( \left( {{f}_{1} \neq 0}\right) \) ,则其通解为 \( f\left( x\right) = \) \( {f}_{1}\left( x\right) \varphi \left( x\right) \) ,其中 \( \varphi \left( x\right) \) 是 \( \varphi \left( {\theta \left( x\right) }\right) = \varphi \left( x\right) \) 的通解. 假设存在点 \( a \) 使得 \( \theta \left( a\right) = a \) ,并且 \( \theta \left( x\right) \) 和 \( f\left( x\right) \) 在点 \( a \) 的邻域内可微,于是有 \( {f}^{\prime }\left( a\right) = 0 \) 或 \( {\theta }^{\prime }\left( a\right) = c \) . 考查 \( {\theta }^{\prime }\left( a\right) = c \) 的情形,若 \( \theta \left( x\right) \) 在 \( x = a \) 处二次可微,且 \( \left| c\right| \) \( < 1 \) ,那么在 \( x = a \) 的邻域中序列 \( \left\{ {\left( {{\theta }_{n}\left( x\right) - a}\right) {c}^{-n}}\right\} - \) 致收敛, \( {\theta }_{0}\left( x\right) = x,{\theta }_{n}\left( x\right) = \theta \left( {{\theta }_{n - 1}\left( x\right) }\right) \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) , 它的极限 \( f\left( x\right) \) 就是方程 (1) 的一个解. 如果 \( \left| c\right| > 1 \) , 则令 \( \theta \left( x\right) = u \) ,那么在 \( u = a \) 的邻域 \( f\left( {{\theta }^{-1}\left( u\right) }\right) = \) \( {c}^{-1}f\left( u\right) \) ,这就化为 \( \left| c\right| < 1 \) 的情形了. 阿贝尔函数方程 (Abel functional equation) 施罗德函数方程的一种变形. 方程 \[ f\left( {\theta \left( x\right) }\right) = f\left( x\right) + 1 \] 称为阿贝尔函数方程. \( \theta \left( x\right) \) 也是已知函数. 如果令 \( \exp f\left( x\right) = \varphi \left( x\right) \) ,则得到施罗德方程 \[ \varphi \left( {\theta \left( x\right) }\right) = {e\varphi }\left( x\right) , \] 再考虑方程 \[ f\left( {x + 1}\right) = A\left( x\right) f\left( x\right) \] ( \( A\left( x\right) \) 是已知函数),如果令 \( \log f\left( x\right) = \varphi \left( x\right) \) ,则得如下差分方程 \[ \varphi \left( {x + 1}\right) - \varphi \left( x\right) = \log A\left( x\right) . \] 解此差分方程即可得到原方程的解. 撰稿 赵 桢 容尔谦 审 阅 李明忠 侯宗义 ## 动 力 系 统 动力系统 (dynamical system) 一门有关系统演化规律的数学学科, 着重于整体性和大范围的研究. 动力系统的研究来自常微分方程定性理论. 设常微系统 \[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = S\left( x\right) \] (1) 其中 \( x \in {\mathrm{R}}^{n}, S \in {C}^{0}\left( {{\mathrm{R}}^{n},{\mathrm{R}}^{n}}\right) \) . 若 (1) 满足解的存在与惟一性定理,且每一解 \( f\left( {t, x}\right) \) 对所有实数 \( t \) 有定义, 它在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中可以看成带有参数 \( t \) 的一条曲线 ((1) 的轨道), 它满足: 1. \( f\left( {0, x}\right) = x,\forall x \in {\mathrm{R}}^{n} \) (初值条件). 2. \( f\left( {{t}_{1} + {t}_{2}, x}\right) = f\left( {{t}_{2}, f\left( {{t}_{1}, x}\right) }\right) ,\forall x \in {\mathrm{R}}^{n},{t}_{1},{t}_{2} \in \) R(群条件). 3. \( f \) 对 \( t \) 与 \( x \) 一并连续. 现在换一个观点来看,将 \( f \) 看做 \( \mathrm{R} \times {\mathrm{R}}^{n} \rightarrow {\mathrm{R}}^{n} \) 的映射, 它满足上述三个条件, 就称为一个动力系统. 动力系统的研究开始于 19 世纪末, 从 1881 年起的若干年里, 庞加莱 (Poincaré, (J. -) H. ) 就开始研究常微分方程定性理论, 讨论的课题 (如稳定性、 周期轨道的存在性及回归性等) 以及所用的方法的着眼点, 即为后来所说的动力系统的创始. 伯克霍夫 (Birkhoff G. D. ) 从 1912 年起的若干年里, 以三体问题为背景, 扩展了动力系统的研究, 包括他得出的遍历性定理. 伯克霍夫 1927 年的专著《动力系统》, 标志着动力系统的正式诞生. 他的工作主要是拓扑动力系统与遍历性理论. 随后, 从 1931 年起的若干年里, 马尔可夫 (MapkoB, A. A. ) 总结伯克霍夫理论, 提出动力系统的抽象概念, 进一步推动了动力系统的发展. 动力系统的研究着重在抽象系统而非具体方程的定性研究, 其研究方法着眼于一族轨道间的相互关系, 换句话说是整体性的. 1937 年, 安德罗诺夫 (Ahapohob, A. A. ) 和庞特里亚金 (Понтрягин, л. C. ) 就平面中某类常微分方程组提出了结构稳定性概念 (当时称为粗系统). 1959 至 1962 年, 佩克索托 (Peixoto, M.)给出了紧二维流形上 \( {C}^{1} \) 动力系统结构稳定性的充分必要条件, 并且证明结构稳定性的稠密性定理, 引起数学界的重视. 因为紧二维流形上结构稳定系统不仅有较简单的相图结构, 且任意一个 \( {C}^{1} \) 动力系统都可以由结构稳定系统任意地逼近. 在流形维数大于 2 时是否也有同样的结论, 这个问题激发了人们对微分动力系统的研究. 后来才清楚在高维的情况下, 结构稳定系统的相图一般很复杂, 且稠密性定理不再成立. 从 20 世纪 60 年代开始, 以斯梅尔 (Smale, S. ) 为首的数学家们在微分动力系统研究方面做出了重要贡献, 其影响历久不衰. 中国的廖山涛对此也做出了很大的贡献. 动力系统大致可分为拓扑动力系统、微分动力系统与遍历性理论. 从群作用的角度来看, 又分为连续动力系统 (亦称单参数变换群或连续流) 和离散动力系统. 动力系统的严格定义为: 设 \( M \) 是一个空间 (拓扑空间、 \( {C}^{r} \) 微分流形或测度空间等), \( G \) 是一个拓扑加群 (实数加群 \( \mathrm{R} \) 或整数加群 \( \mathrm{Z} \) ), \( f : G \times M \rightarrow \) \( M \) ,满足: \[ \text{1.}f\left( {0, x}\right) = x\left( {\forall x \in M}\right) \text{;} \] 2. \( f\left( {{t}_{1} + {t}_{2}, x}\right) = f\left( {{t}_{2}, f\left( {{t}_{1}, x}\right) }\right) \left( {\forall {t}_{1},{t}_{2} \in G, x \in }\right. \) \( M) \) ; 3. \( f \) 适合与 \( M \) 的结构对应的要求 (见下文); 则称 \( \left( {M, G, f}\right) \) 是一个动力系统. 通常情况下,群 \( G \) 为实数加群 \( \mathrm{R} \) 或整数加群 \( \mathrm{Z} \) , 此时就简单地说 \( f \) 是 \( M \) 上的动力系统,并且当 \( G = \) \( \mathrm{R} \) 时,称 \( f \) 为连续动力系统; 而当 \( G = \mathrm{Z} \) 时,称 \( f \) 为离散动力系统. 当 \( M \) 为拓扑空间时,条件 3 要求 \( f \) 为连续的,此时称 \( f \) 为拓扑动力系统. 当 \( M \) 为 \( {C}^{r} \) 微分流形时,条件 3 要求 \( f \) 为 \( {C}^{r} \) 的,此时称 \( f \) 为 \( {C}^{r} \) 微分动力系统. 当 \( M \) 是测度空间时,条件 3 要求对每个 \( t \in G, f\left( {t, \cdot }\right) : M \rightarrow M \) 是保测变换,此时可从统计学角度对动力系统 \( f \) 进行研究,由此导致动力系统的遍历性理论. 上述三方面的研究各有其特点, 但它们之间的联系十分密切,例如,当 \( M \) 是 \( {C}^{r} \) 微分流形同时又是测度空间, \( f \) 是 \( {C}^{r} \) 保测自同胚时,从统计学角度对动力系统 \( f \) 进行的研究导致微分遍历性理论. ## 拓扑动力系统 拓扑动力系统 (topological dynamical system) 动力系统的一个组成部分. 所谓拓扑动力系统, 是指拓扑空间 (一般是度量空间)上的动力系统. 它通常包含流、离散动力系统、半流及离散半动力系统. 主要是从拓扑的观点研究系统的不变集的结构及其轨道的性质. 从 20 世纪 70 年代以来, 由于微分动力系统研究的发展和深入, 极大地推动了拓扑动力系统, 特别是一维连续映射的研究, 并取得了相当丰富和重要的成果 (参见 “动力系统”). 离散动力系统 (discrete dynamical system) 拓扑空间上自同胚所生成的动力系统. 当 \( M \) 是拓扑 空间时, \( f : Z \times M \rightarrow M \) 是离散动力系统. 令 \[ {f}_{1} = T : M \rightarrow M, x \rightarrow T\left( x\right) = f\left( {1, x}\right) , \] 显然, \( T \) 是 \( M \) 到自身的同胚. 此时, \[ f\left( {2, x}\right) = f\left( {1, f\left( {1, x}\right) }\right) = T \circ T\left( x\right) = {T}^{2}\left( x\right) , \] ................................, \( f\left( {n, x}\right) = {T}^{n}\left( x\right) \left( {\forall n \geq 0}\right) ; \) 而 \( f\left( {-1, \cdot }\right) \) 是 \( f\left( {1, \cdot }\right) = T \) 的逆,即 \[ {T}^{-1} = f\left( {-1, \cdot }\right) . \] 因此, \( f\left( {-n, \cdot }\right) = {T}^{-n} \) ,故人们常将由 \( M \) 到自身的同胚 \( T : M \rightarrow M \) 生成的双边序列 \[ \cdots ,{T}^{-n},\cdots ,{T}^{-2},{T}^{-1},{T}^{0} = \mathrm{{id}},{T}^{1},{T}^{2},\cdots ,{T}^{m},\cdots \] 称为是 \( M \) 上的离散动力系统,并简记为 \( \left( {M, T}\right) \) (参见 “动力系统”). 如果 \( M \) 是微分流形, \( T \) 是微分同胚,则称 \( \left( {M, T}\right) \) 为离散微分动力系统. 最初只是在遍历理论中研究离散动力系统. 后来, 由于对流形上的常微系统研究的困难, 斯梅尔 (Smale, S. ) 等人从研究离散微分动力系统入手, 试图将其结果再转移到流形上的常微分系统, 这一研究也推动了一般离散动力系统的发展. 离散微分动力系统 (discrete differential dynamical system) 见“离散动力系统”. 流 (flow) 亦称连续动力系统、连续流或单参数变换群, 一类动力系统. 所谓流, 是指其所有变量都是按照随时间连续变化的值来定义的一个动力系统. 当 \( M \) 为拓扑空间时, \( f : \mathrm{R} \times M \rightarrow M \) 是一个流 (参见 “动力系统”). 对固定的 \( t \in \mathrm{R},{f}_{t} = f\left( {t, \cdot }\right) : M \rightarrow \) \( M \) 是同胚. 由流的定义可知, \( M \) 到自身的同胚族 \( {\left\{ {f}_{t}\right\} }_{t \in \mathbf{R}} \) 在复合运算下形成群,故流又称为单参数变换群. 当 \( M \) 是微分流形, \( {f}_{t} : M \rightarrow M\left( {\forall t \in \mathrm{R}}\right) \) 是微分同胚时,流 \( f \) 称为光滑流. 已经知道,当 \( M \) 为紧致流形时, \( M \) 上的光滑流与 \( M \) 上的光滑向量场是一一对应的. 因此,人们通常又将 \( M \) 上给定的一个光滑流视为 \( M \) 上的一个光滑向量场或常微系统. 因为对每一个 \( t \in \mathrm{R},{f}_{t} : M \rightarrow M \) 是同胚,故 \( {f}_{t} \) 又生成 \( M \) 上的一个离散动力系统. 反之,给定一个同胚 \( T : M \rightarrow \) \( M \) ,是否存在一个连续流 \( {f}_{t} : M \rightarrow M \) 使得 \( {f}_{1} = T \) . 这在一般情况下是不可能的,但是通过扭扩,可使 \( T \) 导出高一维空间上的流. 因此, 离散动力系统与流之间有着密切的联系, 很多概念和结论是平行的, 但在相应的讨论中, 通常是在离散情形获得结论较易, 然后再转而研究流, 看是否有相应的结果. 连续动力系统 (continuous dynamical system) 即“流”. 连续流 (continuous flow) 即 “流”. 单参数变换群 (one-parameter transformation group) 即“流”. 光滑流 (smooth flow) 见“流”. 离散半动力系统 (discrete semi-dynamical sys- tem) 拓扑空间上连续自映射所生成的半动力系统. 设 \( M \) 是拓扑空间, \( f : M \rightarrow M \) 是连续映射,对 \( n \geq \) 0,记 \[ {f}^{n} = \underset{n}{\underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}}, \] 那么就称单边序列 \[ {f}^{0} = \mathrm{{id}},{f}^{1} = f,{f}^{2},\cdots ,{f}^{n},\cdots \] 为离散半动力系统. 当 \( M \) 是微分流形, \( f \) 为可微映射时, 称离散半动力系统为微分半动力系统. 自然界大量存在的耗散系统是不可逆的, 因此, 半动力系统不但有深刻的理论意义, 也有重要的实际背景. 但半动力系统十分复杂, 一部分工作是研究动力系统的哪些概念和结果可以推广到半动力系统. 对于一维情形的研究, 也可称之为一维自映射. 由于一维紧流形只有闭区间和单位圆周, 因此, 一维离散半动力系统就是闭区间的自映射与圆周的自映射的研究. 微分半动力系统 (differential semi-dynamical system) 见“离散半动力系统”. 半流 (semi-flow) 亦称连续半动力系统, 指其所有变量都是按照随正向时间连续变化的值来定义的一个动力系统. 设 \( M \) 为一拓扑空间,记 \( {\mathrm{R}}^{ + } = \) \( \lbrack 0, + \infty ) \) ,设 \( f : {\mathrm{R}}^{ + } \times M \rightarrow M \) 是连续映射,若 \( f \) 满足条件: \[ \text{1.}f\left( {0, x}\right) = x\left( {\forall x \in M}\right) \text{;} \] \[ \text{2.}f\left( {{t}_{1} + {t}_{2}, x}\right) = f\left( {{t}_{1}, f\left( {{t}_{2}, x}\right) }\right) \] \[ \left( {\forall {t}_{1},{t}_{2} \in {\mathrm{R}}^{ + }, x \in M}\right) \text{;} \] 则称 \( f \) 为 \( M \) 上的半流. 由于对固定的 \( t \in {\mathrm{R}}^{ + } \) , \( {f}_{t} = f\left( {t, \cdot }\right) : M \rightarrow M \) 为连续自映射,因而 \( {f}_{t} \) 生成 \( M \) 上的一个离散半动力系统. 反之, 给定一个连续映射 \( T : M \rightarrow M \) ,是否存在一个半流 \( f : {\mathrm{R}}^{ + } \times M \rightarrow M \) 使得 \( {f}_{1} = T \) ,这在一般情况下是不可能的. 但是通过扭扩,可使 \( T \) 导出高一维空间上的半流. 因此,离散半动力系统与半流之间有着密切的联系. 连续半动力系统 (continuous semi-dynamical system) 即“半流”. 时间 1 映射 (time-one map) 连续流和离散动力系统之间联系的方式之一. 设 \( \varphi \) 是拓扑空间 \( M \) 上的连续流. 考虑 \( \varphi \) 在某些特殊的离散时间 \( t \) 上的流动,即对固定的 \( t\left( { \neq 0}\right) \) ,考虑映射 \( {\varphi }_{t} : M \rightarrow M,{\varphi }_{t} \) 是 \( M \) 到自身的同胚,它在 \( M \) 上生成一个离散动力系统. 人们把 \( {\varphi }_{t} \) 称为流 \( \varphi \) 的时间 \( t \) 映射; 特别地,称 \( {\varphi }_{1} \) 为流 \( \varphi \) 的时间 1 映射. 一般地,研究同胚 \( {\varphi }_{1} \) 所获得的信息,可以启发对 \( \varphi \) 作相应的讨论. 例如,流 \( \varphi \) 的回复点、不动点以及轨道的渐近极限等动力学性质都反映在 \( {\varphi }_{1} \) 生成的离散动力系统的相应性质中. 时间 \( t \) 映射 (time- \( t \) map) 见 “时间 1 映射”. 扭扩 (suspension) 任意同胚与适当的流联系的方式. 它与庞加莱横截面的概念相呼应. 设 \( M \) 是拓扑空间, \( f : M \rightarrow M \) 是一同胚. 在 \( \mathrm{R} \times M \) 上定义流 \( {\varphi }_{t}\left( {r, x}\right) = \left( {t + r, x}\right) \) . 考虑 \( \mathrm{R} \times M \) 上的等价关系 “ \( \sim \) ”: \[ \left( {r, x}\right) \sim \left( {s, y}\right) \Leftrightarrow r - s \in \mathbf{Z}, y = {f}^{r - s}\left( x\right) . \] 以等价关系 “ \( \sim \) ”做 \( \mathrm{R} \times M \) 的商空间 \[ \widetilde{M}

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) 连续流和离散动力系统之间联系的方式之一. 设 \( \varphi \) 是拓扑空间 \( M \) 上的连续流. 考虑 \( \varphi \) 在某些特殊的离散时间 \( t \) 上的流动,即对固定的 \( t\left( { \neq 0}\right) \) ,考虑映射 \( {\varphi }_{t} : M \rightarrow M,{\varphi }_{t} \) 是 \( M \) 到自身的同胚,它在 \( M \) 上生成一个离散动力系统. 人们把 \( {\varphi }_{t} \) 称为流 \( \varphi \) 的时间 \( t \) 映射; 特别地,称 \( {\varphi }_{1} \) 为流 \( \varphi \) 的时间 1 映射. 一般地,研究同胚 \( {\varphi }_{1} \) 所获得的信息,可以启发对 \( \varphi \) 作相应的讨论. 例如,流 \( \varphi \) 的回复点、不动点以及轨道的渐近极限等动力学性质都反映在 \( {\varphi }_{1} \) 生成的离散动力系统的相应性质中. 时间 \( t \) 映射 (time- \( t \) map) 见 “时间 1 映射”. 扭扩 (suspension) 任意同胚与适当的流联系的方式. 它与庞加莱横截面的概念相呼应. 设 \( M \) 是拓扑空间, \( f : M \rightarrow M \) 是一同胚. 在 \( \mathrm{R} \times M \) 上定义流 \( {\varphi }_{t}\left( {r, x}\right) = \left( {t + r, x}\right) \) . 考虑 \( \mathrm{R} \times M \) 上的等价关系 “ \( \sim \) ”: \[ \left( {r, x}\right) \sim \left( {s, y}\right) \Leftrightarrow r - s \in \mathbf{Z}, y = {f}^{r - s}\left( x\right) . \] 以等价关系 “ \( \sim \) ”做 \( \mathrm{R} \times M \) 的商空间 \[ \widetilde{M} = \mathrm{R} \times M/ \sim \text{.} \] 当 \( \left( {r, x}\right) \sim \left( {s, y}\right) \) 时有 \[ {\varphi }_{t}\left( {r, x}\right) = \left( {t + r, x}\right) \sim \left( {t + s, y}\right) = {\varphi }_{t}\left( {s, y}\right) . \] 因而 \( {\varphi }_{t} \) 诱导出 \( \widetilde{M} \) 上的一个连续流 \( {\widetilde{\varphi }}_{t} \) ,人们称 \( {\widetilde{\varphi }}_{t} \) 为 \( f \) 的扭扩,并称 \( \widetilde{M} \) 为扭扩空间. 当 \( M \) 是 \( {C}^{r} \) 微分流形, \( f \) 是 \( {C}^{r} \) 微分同胚时,可赋予 \( \widetilde{M} \) 中的 \( {C}^{r} \) 流形结构,使 \( \widetilde{M} \) 是一个比 \( M \) 高一维的 \( {C}^{r} \) 流形,并且 \( {\widetilde{\varphi }}_{t} \) 是 \( \widetilde{M} \) 的一个 \( {C}^{\prime } \) 流. 若将 \( M \) 与 \( {\widetilde{M}}_{0} = \{ 0\} \times M/ \sim \) 等同起来, \( f \) 可视为 \( {\widetilde{M}}_{0} \) 上的 \( {C}^{r} \) 微分同胚,那么就称 \( {\widetilde{M}}_{0} \) 是流 \( {\widetilde{\varphi }}_{t} \) 的一个横截面,而 \( f \) 恰是 \( {\widetilde{\varphi }}_{t} \) 在 \( {\widetilde{M}}_{0} \) 诱导出的第一返回映射 (或称庞加莱映射). 对同胚及其扭扩的两方面研究可以相互提供信息, 例如, 同胚的可扩性等价于其扭扩的可扩性. 扭扩空间 (suspension space) 见 “扭扩”. 第一返回映射 (first return map) 见 “扭扩”. 庞加莱映射 (Poincaré map) 即 “第一返回映射”. 嵌入流 (embedding in a flow ) 离散动力系统与连续流之间的联系方式之一, 它与时间 1 映射相对应. 设 \( f : M \rightarrow M \) 是拓扑空间 \( M \) 的自同胚, \( \varphi \) 是连续流,如果 \( f = {\varphi }_{1} \) ,就称 \( f \) 可嵌入流 \( \varphi \) . 如果 \( f \) 是连续自映射, \( \varphi \) 是连续半流,而且 \( f = {\varphi }_{1} \) ,就称 \( f \) 可嵌入半流 \( \varphi \) . 在什么条件下,对给定的同胚或连续自映射 \( f \) 可嵌入 \( M \) 上的流或半流? 这是就时间 1 映射而提出的反问题,称为嵌入问题. 由于对 \( M \) 上的任意连续流或连续半流 \( \varphi ,{\varphi }_{1} \) 与 \( {\varphi }_{0} = \mathrm{{id}} \) 同伦,因此,可嵌入流的同胚或可嵌入半流的连续自映射必同伦于恒同映射, 所以对大多数的同胚或连续自映射, 它们是不能嵌入流或半流的. 关于嵌入问题的研究, 目前仅在区间和圆周情形得到彻底解决. 嵌入半流 (embedding in a semi-flow) 见 “嵌入流”. 嵌入问题 (embedding problem) 见 “嵌入流”. 轨道 (orbit) 亦称轨线, 动力系统研究的最基本的对象, 动力系统的初始状态在系统作用下所呈现的全部状态的集合. 设 \( G = \mathrm{R} \) 或 \( \mathrm{Z}, f : G \times M \rightarrow M \) 是一动力系统. 对于固定的 \( x \in M \) ,点集 \( \{ f\left( {t, x}\right) \mid t \in \) \( G\} \) 称为过点 \( x \) 的轨道. 对于连续动力系统,轨道是连通集合; 对于离散动力系统, 轨道是由至多可数个点组成的集合. 对于离散半动力系统及半流, 其轨道有类似的定义方式. 轨线 (trajectory) 即 “轨道”. 休止点 (rest point) 亦称平衡点, 又称临界点, 动力系统最简单的轨道, 此轨道仅由一个点 (或说是一个状态) 构成. 设 \( f : \mathrm{R} \times M \rightarrow M \) 是流,若 \( f\left( {\mathrm{R}, x}\right) = x \) ,则点 \( x \in M \) 称为休止点. 这时有 \( \omega \left( x\right) = \) \( \alpha \left( x\right) = x \) . 如果动力系统是由流形上的向量场 (即流形上的常微系统) 所导出的, 休止点恰好对应向量场的奇点 (即该点的切向量为零). 平衡点 (equilibrium point) 即“休止点”. 临界点 (critical point) 即“休止点”. 奇点 (singular point) 见“休止点”. 周期轨道 (periodic orbit) 刻画动力系统的某种状态会一再重现的概念, 也是描述现实世界中周期现象的一个数学模型. 设 \( f \) 是 \( M \) 上的流 (离散动力系统),若存在 \( T > 0\left( {N > 0}\right) \) ,使得 \[ f\left( {t + T, x}\right) = f\left( {t, x}\right) \;\left( {\forall t \in \mathrm{R}}\right) , \] \[ \left( {{f}^{n + N}\left( x\right) = {f}^{n}\left( x\right) \;\left( {\forall n \in \mathbf{Z}}\right) }\right) \] 成立,就称过 \( x \in M \) 的轨道 \[ {\gamma }_{x} = \{ f\left( {t, x}\right) \mid t \in \mathrm{R}\} \left( {{\gamma }_{x} = \left\{ {{f}^{n}\left( x\right) \mid n \in \mathbf{Z}}\right\} }\right. \] 是一条周期轨道. 休止点是平凡的周期轨道. 对于非平凡的周期轨道, 总存在满足上述条件的最小正数 \( T \) ,称为周期轨道的周期. 对离散动力系统,若 \( N > 0 \) 满足 \[ {f}^{n + N}\left( x\right) = {f}^{n}\left( x\right) \left( {\forall n \in \mathbf{Z}}\right) , \] 且当 \( 0 < n < N \) 时 \( {f}^{n}\left( x\right) \neq x \) ,那么 \( N \) 就称为这条周期轨道的周期,并且 \( x \) 称为 \( N \) 周期点. 特别地,当 \( N \) \( = 1 \) 时, \( x \) 称为不动点. 对于半流或离散半动力系统, 周期轨道及其周期可类似定义. 属于周期轨道的点称为周期点. 这里值得注意的是: 对半动力系统, 有可能出现点 \( x \in M \) 不位于周期轨道上,然而存在 \( t \) \( > 0\left( {n > 0}\right) \) ,使得 \[ y = f\left( {t, x}\right) \left( {y = {f}^{n}\left( x\right) }\right) \] 位于一周期轨道上,此时,常把 \( x \) 称为是准周期点或终于周期点. 不动点 (fixed point) 见“周期轨道”. 周期轨道的周期 (period of periodic orbit) 见 “周期轨道”. 周期点 (periodic point) 见“周期轨道”. 准周期点 (quasi-periodic point) 见 “周期轨道”. 局部截痕 (local section) 揭示流在常点附近的局部性态所引进的概念, 也是研究流的性质的一个有力的几何工具. 设 \( f \) 是度量空间 \( M \) 上的流, \( N \) 是 \( M \) 的任一集合, \( T > 0 \) ,记 \[ \Phi = f\left( {\left\lbrack {-T, T}\right\rbrack, N}\right) = \mathop{\bigcup }\limits_{{\left| t\right| \leq T}}f\left( {t, N}\right) , \] 人们把 \( \Phi \) 称为时间长度为 \( {2T} \) 的有限管. 设 \( S \) 是 \( \Phi \) 内的闭集,若对点 \( y \in \Phi \) 都存在惟一数值 \( {t}_{y},\left| {t}_{y}\right| \leq \) \( {2T} \) ,使得 \( f\left( {{t}_{y}, y}\right) \in S \) ,那么就称 \( S \) 是有限管 \( \Phi \) 的局部截痕. 已经知道, 对常点而言, 总存在含该点的有限管, 使得它有含该常点的局部截痕存在, 并由此得到, 流在常点附近的轨弧与希尔伯特空间中一族平行线段同胚. 特别地, 对于流形上由向量场 (即常微系统)产生的流, 它在常点附近的轨弧同胚于欧氏空间的一族平行线段. 此外, 这种流在非平凡周期点处的局部截痕的存在, 可使对流在这周期轨道附近性质的研究转化为对在这截痕上所导出的庞加莱映射的研究 (参见 “横截面”). 局部截痕是由惠特尼 (Whitney, H.) 于 1932 年引入的. 有限管 (finite tube) 见 “局部截痕”. 不变集 (invariant set) 动力系统中的重要概念之一. 它是动力系统研究的重要对象. 设 \( f \) 是 \( M \) 上的流 (离散动力系统), \( M \) 的子集 \( A \) 是不变集当且仅当对任意 \( t \in \mathrm{R}\left( {n \in \mathrm{Z}}\right) \) ,有 \[ f\left( {t, A}\right) \subset A\left( {{f}^{n}\left( A\right) \subset A}\right) . \] 由此得出 \( f\left( {t, A}\right) = A\left( {f\left( A\right) = A}\right) \) . 粗糙地说,不变集就是由整条轨道组成的子集. 如果 \( A \subset M \) 是一不变集,则 \( f \) 对 \( A \) 的限制也是一动力系统. 对于半流及离散半动力系统 \( f \) ,设 \( A \) 是 \( M \) 的子集,若对任意 \( t \) \( \geq 0\left( {n \geq 0}\right) \) 有 \( f\left( {t, A}\right) \subset A\left( {{f}^{n}\left( A\right) \subset A}\right) \) (此时不一定有 \( f\left( {t, A}\right) = A\left( {{f}^{n}\left( A\right) = A}\right) ) \) ,那么就称 \( A \) 是 \( f \) 的不变集. 重要的不变集有 \( \omega \) 极限集、 \( \alpha \) 极限集、非游荡集和链回归集等. \( \omega \) 极限集 ( \( \omega \) limit set) 描述动力系统的初始状态在系统的正向作用下所能达到的最终结果. 对于流 \( f : \mathrm{R} \times M \rightarrow M \) ,设 \( x \in M \) ,若存在时间 \( t \) 的序列 \( \left\{ {t}_{n}\right\} ,{t}_{n} \rightarrow + \infty \) ,使得 \[ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}f\left( {{t}_{n}, x}\right) = y \] 则称 \( y \) 为 \( x \) 的一个 \( \omega \) 极限点. 全体 \( \omega \) 极限点组成的集合称为 \( \omega \) 极限集,通常记为 \( \omega \left( x\right) \) . 显然,若 \( {x}^{\prime } \) 在过 \( x \) 的轨道上,那么 \( \omega \left( {x}^{\prime }\right) = \omega \left( x\right) \) . 因此也常说成是轨道的 \( \omega \) 极限集. \( \omega \) 极限集一定是闭的不变集,并且 \[ \omega \left( x\right) = \mathop{\bigcap }\limits_{{t \geq 0}}\overline{f\left( {\lbrack t, + \infty }\right), x)}. \] 当 \( f \) 为离散动力系统时,设 \( x \in M \) ,若存在递增的正整数序列 \( \left\{ {n}_{k}\right\} ,{n}_{k} \rightarrow + \infty \) ,使得 \[ \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow + \infty }}{f}^{{n}_{k}}\left( x\right) = y \] 则称 \( y \) 为 \( x \) 的 \( \omega \) 极限点. \( \omega \) 极限点的全体组成的集合称为 \( \omega \) 极限集,记为 \( \omega \left( x\right) .\omega \left( x\right) \) 与过 \( x \) 的轨道上的点的选取无关, 且 \[ \omega \left( x\right) = \mathop{\bigcap }\limits_{{n \geq 0}}\overline{\left\{ {f}^{k}\left( x\right) \mid k \geq n\right\} }. \] \( \omega \) 极限集是闭的不变集. 对于半流及离散半动力系统的 \( \omega \) 极限集有类似的定义和性质. \( \omega \) 极限点 ( \( \omega \) limit point) 见 “ \( \omega \) 极限集”. \( \alpha \) 极限集 ( \( \alpha \) limit set) 描述动力系统的初始状态在系统的负向作用下所能达到的最终结果. 对流 \( f : \mathrm{R} \times M \rightarrow M \) ,设 \( x \in M \) ,若存在时间序列 \( \left\{ {t}_{n}\right\} \) , \( {t}_{n} \rightarrow - \infty \) ,且 \[ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}f\left( {{t}_{n}, x}\right) = y \] 则称 \( y \) 为 \( x \) 的 \( \alpha \) 极限点. 全体 \( \alpha \) 极限点组成的集合称为 \( \alpha \) 极限集,记为 \( \alpha \left( x\right) .\alpha \left( x\right) \) 与过 \( x \) 轨道上的点的选取无关,因而也常说成是轨道的 \( \alpha \) 极限集. 可见 \[ \alpha \left( x\right) = \mathop{\bigcap }\limits_{{t \leq 0}}\overline{f\left( {\left( {-\infty, t}\right), x}\right) }. \] 同样,当 \( f \) 为离散动力系统时,有 \[ \alpha \left( x\right) = \mathop{\bigcap }\limits_{{n \leq 0}}\overline{\left\{ {f}^{k}\left( x\right) \mid k \leq n\right\} }. \] \( \alpha \) 极限集是闭的不变集. \( \alpha \) 极限点 ( \( \alpha \) limit point) 见 “ \( \alpha \) 极限集”. 泊松稳定轨道 (Poisson stable orbit) 一种有别于周期轨道但又能够自身回复的轨道, 即它的极限集包含轨道自身的轨道. 设 \( f \) 是 \( M \) 上的流或离散动力系统,对 \( x \in M \) ,记 \( {\gamma }_{x} \) 为 \( f \) 过 \( x \) 的轨道,若 \( {\gamma }_{x} \cap \) \( \omega \left( x\right) \neq \varnothing \left( {{\gamma }_{x} \cap \alpha \left( x\right) \neq \varnothing }\right) \) ,则 \( {\gamma }_{x} \) 称为正向 (负向) 泊松稳定的 (简称 \( {P}^{ + }\left( {P}^{ - }\right) \) 稳定). 如果轨道 \( {\gamma }_{\mathrm{r}} \) 同时是 \( {P}^{ + } \) 和 \( {P}^{ - } \) 稳定的,则称它为泊松稳定轨道 (简称 \( P \) 式稳定). \( P \) 式稳定轨道有如下性质: 1. 轨道 \( {\gamma }_{x} \) 为 \( {P}^{ + } \) 稳定的当且仅当 \( {\gamma }_{x} \subset \omega \left( x\right) \) . 2. 轨道 \( {\gamma }_{x} \) 为 \( {P}^{ - } \) 稳定的当且仅当 \( {\gamma }_{x} \subset \alpha \left( x\right) \) . 3. 轨道 \( {\gamma }_{x} \) 为 \( P \) 稳定的当且仅当 \[ {\gamma }_{x} \subset \omega \left( x\right) \cap \alpha \left( x\right) . \] 4. 周期轨道都是 \( P \) 式稳定的,称为平凡的 \( P \) 式稳定轨道. 对平面或球面上的流,它只有平凡的 \( P \) 式稳定轨道. 环面上的无理流的每条轨道都是非平凡的 \( P \) 式稳定轨道, 此时若在某一轨道上加入一个休止点 \( x \) (变成另一个流),则被 \( x \) 截断而成的两条轨道,一个 \( {P}^{ + } \) 稳定 (其 \( \omega \) 极限集为 \( x \) ),另一为 \( {P}^{ - } \) 稳定 (其 \( \alpha \) 极限集为 \( x \) ). 对于半流和离散半动力系统只有 \( {P}^{ + } \) 稳定轨道. 泊松稳定轨道有时又称为回复轨道, 特别是在离散情形, 这种称谓更为多见 (参见 “回复轨道”). 泊松稳定轨道是庞加莱 (Poincaré, (J. -) H. ) 于 1899 年引入的. 正向泊松稳定轨道 (positive Poisson stable orbit) 见“泊松稳定轨道”. 负向泊松稳定轨道 (negative Poisson stable orbit) 见“泊松稳定轨道”. \( \mathbf{P} \) 式稳定轨道 ( \( P \) -st

2000_数学辞海（第3卷）

}_{\mathrm{r}} \) 同时是 \( {P}^{ + } \) 和 \( {P}^{ - } \) 稳定的,则称它为泊松稳定轨道 (简称 \( P \) 式稳定). \( P \) 式稳定轨道有如下性质: 1. 轨道 \( {\gamma }_{x} \) 为 \( {P}^{ + } \) 稳定的当且仅当 \( {\gamma }_{x} \subset \omega \left( x\right) \) . 2. 轨道 \( {\gamma }_{x} \) 为 \( {P}^{ - } \) 稳定的当且仅当 \( {\gamma }_{x} \subset \alpha \left( x\right) \) . 3. 轨道 \( {\gamma }_{x} \) 为 \( P \) 稳定的当且仅当 \[ {\gamma }_{x} \subset \omega \left( x\right) \cap \alpha \left( x\right) . \] 4. 周期轨道都是 \( P \) 式稳定的,称为平凡的 \( P \) 式稳定轨道. 对平面或球面上的流,它只有平凡的 \( P \) 式稳定轨道. 环面上的无理流的每条轨道都是非平凡的 \( P \) 式稳定轨道, 此时若在某一轨道上加入一个休止点 \( x \) (变成另一个流),则被 \( x \) 截断而成的两条轨道,一个 \( {P}^{ + } \) 稳定 (其 \( \omega \) 极限集为 \( x \) ),另一为 \( {P}^{ - } \) 稳定 (其 \( \alpha \) 极限集为 \( x \) ). 对于半流和离散半动力系统只有 \( {P}^{ + } \) 稳定轨道. 泊松稳定轨道有时又称为回复轨道, 特别是在离散情形, 这种称谓更为多见 (参见 “回复轨道”). 泊松稳定轨道是庞加莱 (Poincaré, (J. -) H. ) 于 1899 年引入的. 正向泊松稳定轨道 (positive Poisson stable orbit) 见“泊松稳定轨道”. 负向泊松稳定轨道 (negative Poisson stable orbit) 见“泊松稳定轨道”. \( \mathbf{P} \) 式稳定轨道 ( \( P \) -stable orbit) 见 “泊松稳定轨道”. 平凡 \( \mathbf{P} \) 式稳定轨道 (trivial \( P \) -stable orbit) 见 “泊松稳定轨道”. 渐近轨道 (asymptotic orbit) 根据轨道集合与轨道的极限集合的相互关系对轨道进行分类的一类轨道. 渐近轨道定义与泊松稳定轨道的定义相呼应, 它是由涅梅茨基 (Hemblukhĭ, B. B. ) 引入的概念. 具体定义为: 若 \( \omega \) 极限集 ( \( \alpha \) 极限集) 不空,且正半轨 (负半轨) 与其 \( \omega \) 极限集 ( \( \alpha \) 极限集) 的交为空集,则称该轨道为正 (负) 向渐近轨道. 正向渐近轨道 (positive asymptotic orbit) 见 “渐近轨道”. 负向渐近轨道 (negative asymptotic orbit) 见 “渐近轨道”. 域回归性 (recurrence of domain) 刻画动力系统回复性态的一个概念, 也是动力系统研究的一个重要性质. 设 \( f \) 是度量空间 \( M \) 上的流,若对任一域 \( G \subset M \) 及任一数 \( T \) ,都存在 \( t > T \) ,使得 \[ G \cap f\left( {t, G}\right) \neq \varnothing , \] 则称 \( f \) 具有域回归性; 具有不变测度的动力系统具有域回归性; 动力系统限制在其中心上具有域回归性; 在一集合的极小吸引中心内有域回归性等. 它是由伯克霍夫 (Birkhoff, G. D. ) 引入的. 非游荡点 (nonwandering point) 动力系统中最重要的概念之一, 指其任意邻域具有域回归性的点. 设 \( f \) 是 \( M \) 上的流 (离散动力系统),若对于 \( x \) 的任意邻域 \( U \) 及任意 \( T > 0\left( {N > 0}\right) \) ,存在 \( t > T(n > \) \( N) \) ,使得 \[ f\left( {t, U}\right) \cap U \neq \varnothing \;\left( {{f}^{n}\left( U\right) \cap U \neq \varnothing }\right) . \] 则点 \( x \in M \) 称为非游荡点. 对于半流与离散半动力系统,非游荡点定义相同. 极限点、周期点以及 \( P \) 式稳定轨道上的点都是非游荡点. 不是非游荡点的点称为游荡点. 游荡点 (wandering point) 见“非游荡点”. 非游荡集 (nonwandering set ) 动力系统中的重要的不变集. 一个动力系统 \( f \) 的所有非游荡点的集合称为 \( f \) 的非游荡集,记为 \( \Omega \left( f\right) \) (参见 “非游荡点”). 对于紧空间上的动力系统, 非游荡集是非空的闭不变集, 而且由于极限集属于非游荡集, 因此所有的轨道, 当时刻趋于无穷时将停留在非游荡集的任意邻域之中. 由此看到, 非游荡集的结构在相当程度上决定着动力系统的整体行为, 故弄清非游荡集的构造及扰动下的稳定性 (即 \( \Omega \) 结构稳定) 都是十分重要的. 动力系统的中心 (center of dynamical system) 亦称伯克霍夫中心, 非游荡集中具有域回归性的不变子集, 即它的每点在相对拓扑下都是非游荡点的集合. 设 \( f \) 是紧度量空间 \( M \) 上的动力系统,将 \( f \) 的非游荡集 \( {M}_{1} \) 看做新的动力系统空间 (即 \( f \) 在 \( {M}_{1} \) 上的限制),那么 \( {M}_{1} \) 是紧度量空间. 因此,在 \( {M}_{1} \) 上能确定出非空闭不变集合 \( {M}_{2},{M}_{2} \) 是对 \( {M}_{1} \) 来说的非游荡集. 如此继续下去, 便得到一个下降的闭集序列: \[ {M}_{1} \supset {M}_{2} \supset \cdots \supset {M}_{n} \supset \cdots . \] 若对某一整数 \( k \) ,有 \( {M}_{k} = {M}_{k + 1} \) ,则 \( {M}_{k} = {M}_{k + 2},\cdots \) ,而集合 \( {M}_{k} \) 就称为动力系统的中心. 若每个 \( {M}_{k + 1} \) 都是 \( {M}_{k} \) 的真子集,则定义 \[ {M}_{\omega } = \mathop{\bigcap }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{M}_{k} \] 集合 \( {M}_{\omega } \) 也是非空闭不变集. 用超限归纳法,这一步骤可继续到第二类序数的全部: 若 \( \alpha + 1 \) 是第一类数,且 \( {M}_{a} \) 已定义,则 \( {M}_{a + 1} \subset {M}_{a} \) 是运动空间 \( {M}_{a} \) 内的非游荡集; 若 \( \beta \) 是第二类超限数,且所有 \( {M}_{\alpha }\left( {\alpha < \beta }\right) \) 都已定义, 则 \[ {M}_{\beta } = \mathop{\bigcap }\limits_{{\alpha < \beta }}{M}_{\alpha } \] 于是便得到闭集的超限序列: \[ {M}_{1} \supset {M}_{2} \supset \cdots \supset {M}_{\omega } \supset \cdots \supset {M}_{a} \supset \cdots . \] 由康托尔-贝尔定理,对某一第二类数 \( \alpha \) 有 \( {M}_{\alpha } = \) \( {M}_{a + 1} = \cdots \) ,集合 \( {M}_{a} \) 就是该动力系统的中心,并且称使得 \( {M}_{a} = {M}_{a + 1} \) 最小数 \( \alpha \) 为中心的中心阶数或中心深度. 若 \( f \) 为流,那么, \( f \) 的 \( P \) 式稳定轨道上的点所成的集合闭包就是其中心. 对于闭曲面上的流来说. 其中心的阶数至多是 3 . 此外, 马依尔 (Maïep, A. \( \Gamma \) . ) 于 \( {\mathrm{R}}^{3} \) 中给出了一个流使其中心阶数超过任意给定的一个第二类超限数. 动力系统的中心是由伯克霍夫 (Birkhoff, G. D. ) 于 1926 年引入的. 伯克霍夫中心 (Birkhoff center) 即“动力系统的中心”. 中心阶数 (order of the center) 亦称中心深度. 见“动力系统的中心”. 中心深度 (depth of the center) 即 “中心阶数”. 链回归集 (chain recurrent set) 比非游荡集更广的一类不变集. 设 \( \left( {M, d}\right) \) 是度量空间, \( f \) 是 \( M \) 到自身的连续映射, \( {\left\{ {x}_{i}\right\} }_{i = - \infty }^{+\infty } \) 是 \( f \) 的一个 \( \alpha \) 伪轨. 如果存在整数 \( n > 0 \) ,使得 \( {x}_{i + n} = {x}_{i}\left( {\forall i \in \mathbf{Z}}\right) \) ,则称 \( f \) 的 \( \alpha \) 伪轨 \( {\left\{ {x}_{i}\right\} }_{i = - \infty }^{+\infty } \) 是周期的. 如果对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,都存在通过点 \( x \in M \) 的周期 \( \varepsilon \) 伪轨,则称点 \( x \) 是 \( f \) 的链回归点. \( f \) 的所有链回归点组成的集合称为 \( f \) 的链回归集,记为 \( \operatorname{CR}\left( f\right) \) . 类似地可以给出 \( M \) 上的连续流的链回归集的定义. 链回归集较之非游荡集更容易处理,原因在于以下关系成立,当 \( M \) 紧致时有 \[ \operatorname{CR}\left( {f \mid \operatorname{CR}\left( f\right) }\right) = \operatorname{CR}\left( f\right) \text{.} \] 但是,对于非游荡集,一般地, \( \Omega \left( {f \mid \Omega \left( f\right) }\right) \) 与 \( \Omega \left( f\right) \) 并不一定相等. 此外,又因 \( \Omega \left( f\right) \subset \operatorname{CR}\left( f\right) \) ,故对 \( \mathrm{{CR}}\left( f\right) \) 的动力行为的研究引起重视. 链回归点 (chain recurrent point) 见 “链回归集”. 准极小集 (quasi-minimal set) 具有域回归性的不变集之一. 如果一个轨道是泊松式稳定的, 并且该轨道的闭包位于紧致集合中, 那么该轨道的闭包称为是准极小集. 准极小集是由希尔米 \( \left( {{\mathrm{X}}_{{HJ}\mathrm{{IbM}}H},\Gamma }\right. \) . Φ. ) 于 1936 年引入的. 拉格朗日式稳定 (Lagrange stable) 刻画连续流的轨道具有有界性特征的一个概念. 设 \( f \) 是度量空间 \( M \) 上的流,若 \[ \overline{\{ f\left( {t, x}\right) \mid t \geq 0\} }\;\left( \overline{\{ f\left( {t, x}\right) \mid t \leq 0\} }\right) \] 是紧致的,则称 \( f \) 过 \( x \in M \) 的轨道为拉格朗日式正 (负) 稳定的. 同时是正和负的拉格朗日式稳定的轨道称为是拉格朗日式稳定的. 显然,若 \( M \) 为紧致空间, 则所有轨道都是拉格朗日稳定的. 此外, 对拉格朗日正稳定的轨道,其 \( \omega \) 极限集是连通的. 拉格朗日式正稳定 (positive Lagrange stable) 见“拉格朗日式稳定”. 拉格朗日式负稳定 (negative Lagrange stable) 见“拉格朗日式稳定”. 吸引中心 (attractive center) 一种闭的不变集合, 它使得过某些点的轨道在时间趋于无穷时其停留在这个集合任意邻域内的时间概率为 1 . 设 \( f \) 是 \( M \) 上的流, \( x \in M, E \subset M \) 为闭集,记 \( {\varphi }_{E} \) 是集 \( E \) 的特征函数, 即 \[ {\varphi }_{E}\left( y\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \left( {y \in E}\right) , \\ 0 & \left( {y \notin E}\right) . \end{array}\right. \] 对 \( T > 0 \) ,令 \[ \tau = \tau \left( {x;T, E}\right) = {\int }_{0}^{T}{\varphi }_{E}\left( {f\left( {t, x}\right) }\right) \mathrm{d}t. \] 若 \[ \mathop{\lim }\limits_{{T \rightarrow + \infty }}\frac{1}{T}{\int }_{0}^{T}{\varphi }_{E}\left( {f\left( {t, x}\right) }\right) \mathrm{d}t \] \[ = \mathop{\lim }\limits_{{T \rightarrow + \infty }}\frac{\tau }{T} = {P}^{ + }\left( {f\left( {t, x}\right) \in E}\right) \] 存在,则该极限称为在 \( t \rightarrow + \infty \) 时,点 \( x \) 位于集 \( E \) 内的概率. 类似地可以定义在 \( t \rightarrow - \infty \) 时,点 \( x \) 位于集 \( E \) 内的概率 \( {P}^{ - }\left( {f\left( {t, x}\right) \in E}\right) \) . 设 \( E \) 为闭不变集,若对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,点 \( x \) 在 \( B\left( {E,\varepsilon }\right) = \{ y \in M \mid d\left( {y, E}\right) < \varepsilon \} \) (这里 \( d \) 为 \( M \) 上的度量) 内的概率 \( {P}^{ + }\left( {P}^{ - }\right) \) 等于 1, 即 \[ {P}^{ + }\left( {f\left( {t, x}\right) \in B\left( {E,\varepsilon }\right) }\right) = 1 \] \[ \left( {{P}^{ - }\left( {f\left( {t, x}\right) \in B\left( {E,\varepsilon }\right) }\right) = 1}\right) , \] 则称 \( E \) 为 \( f\left( {t, x}\right) \) 在 \( t \rightarrow + \infty \left( {t \rightarrow - \infty }\right) \) 的吸引中心. 如果集 \( E \) 中不存在闭的真子集也是吸引中心,则 \( E \) 称为极小吸引中心. 正 (负) 拉格朗日式稳定的运动, 在 \( t \rightarrow + \infty \left( {t \rightarrow - \infty }\right) \) 时存在极小吸引中心. 对任意不变集 \( A \subset M \) ,若闭的不变集 \( {E}_{A} \) 对任意 \( \varepsilon > 0 \) 及任意 \( x \in A \) 都有 \[ {P}^{ + }\left( {f\left( {t, x}\right) \in B\left( {{E}_{A},\varepsilon }\right) }\right) = 1, \] 那么就称 \( {E}_{A} \) 为集 \( A \) 在 \( t \rightarrow + \infty \) 的吸引中心. 如果 \( {E}_{A} \) 中不存在闭的真子集也是 \( A \) 的吸引中心,那么它就称为 \( A \) 的极小吸引中心. 如不变集合上的所有轨道都是正拉格朗日式稳定的, 则它必有极小吸引中心存在. 吸引中心和极小吸引中心是由希尔米 (Xильми, \( \Gamma \) . Φ. ) 于 1936 年引入的. 极小吸引中心 (minimal attractive center) 见 “吸引中心”. 回复轨道 (recurrence orbit) 亦称回复运动, 一种特殊的泊松式稳定轨道. 设 \( f \) 是度量空间 \( M \) 上的流,若对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( T\left( \varepsilon \right) > 0 \) ,使得对任意 \( {t}_{0} \) \( \in \mathrm{R} \) ,都有 \[ f\left( {\mathrm{R}, x}\right) \subset B\left( {f\left( {\left\lbrack {{t}_{0},{t}_{0} + T}\right\rbrack, x}\right) ,\varepsilon }\right) \] \[ = \left\{ {y \in M \mid d\left( {y, f\left( {\left\lbrack {{t}_{0},{t}_{0} + T}\right\rbrack, x}\right) }\right) < \varepsilon }\right\} , \] 或等价地说,对任意 \( u, v \in \mathrm{R} \) ,总存在 \( w \) ,使得 \( v < w \) \( < v + T \) ,且 \( d\left( {f\left( {u, x}\right), f\left( {w, x}\right) }\right) < \varepsilon \) ,其中 \( d \) 是 \( M \) 上的度量,则称 \( f \) 过点 \( x \in M \) 的轨道为回复的. 显然, 周期轨道是回复轨道. 环面上的无理流的每个轨道都是回复轨道. 紧致极小集上所有轨道是回复的. 回复轨道是由伯克霍夫 (Birkhoff, G. D. ) 于 1922 年引入的. ## 回复运动 (recurrence motion) 即 “回复轨道”. 极小集 (minimal set) 动力系统一个重要的不变集合. 设 \( f \) 是 \( M \) 上的一个动力系统,若 \( N \) 是 \( f \) 的非空的闭不变集,并且 \( N \) 中不存在真子集也具有这种性质,则集合 \( N \subset M \) 称为极小集. 特别地,若 \( M \) 本身是极小集, 那么该动力系统就称为是极小的. 判断一动力系统何时为极小的以及寻求一动力系统的极小集何时具有简单形式是动力系统研究的重要问题. 周期轨道是一个极小集. 对圆周上的 \( {C}^{2} \) 微分同胚, 它的极小集或为一周期轨道或为整个圆周. 紧极小集上所有轨道都是回复的. 此外, 完备空间中回复轨道的闭包是极小集. 任何紧空间上的动力系统都存在极小集. 极小集是由伯克霍夫 (Birkhoff, G. D. ) 于 1922 年引入的. 极小动力系统 (minimal dynamical system) 见“极小集”. 几乎周期轨道(almost periodic orbit) 亦称几乎周期运动,一种特殊的回复轨道. 设 \( f \) 是完备度量空间 \( M \) 上的流, \( x \in M \) ,如果对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在数集 \( \left\{ {\tau }_{n}\right\} \) 及 \( L > 0 \) ,具有下述性质: 1. 对任意 \( t \in \mathrm{R} \) ,区间 \( \left( {t, t + L}\right) \) 都至少含有此数集中的一个元素 (此数集称相对稠密的). 2. 对任意 \( t \in \mathrm{R} \) ,有 \[ d\left( {f\left( {t, x}\right), f\left( {t + {\tau }_{n}, x}\right) }\right) < \varepsilon , \] 则称 \( f \) 过点 \( x \in M \) 的轨道为几乎周期的. 当 \( f \) 是 \( M \) 上的离散动力系统时,若对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,集合 \[ \left\{ {n \in \mathbf{Z} \mid {f}^{n}\left( x\right) \in B\left( {x,\varepsilon }\right) }\right\} \] (这里 \( B\left( {x,\varepsilon }\right) = \{ y \in M \mid d\left( {y, x}\right) < \varepsilon \} ) \) 具有性质: 存在 \( \mathbf{Z} \) 的有限子集 \( K \) 使得 \[ \mathbf{Z} = \left\{ {n \in \ma

2000_数学辞海（第3卷）

是一个极小集. 对圆周上的 \( {C}^{2} \) 微分同胚, 它的极小集或为一周期轨道或为整个圆周. 紧极小集上所有轨道都是回复的. 此外, 完备空间中回复轨道的闭包是极小集. 任何紧空间上的动力系统都存在极小集. 极小集是由伯克霍夫 (Birkhoff, G. D. ) 于 1922 年引入的. 极小动力系统 (minimal dynamical system) 见“极小集”. 几乎周期轨道(almost periodic orbit) 亦称几乎周期运动,一种特殊的回复轨道. 设 \( f \) 是完备度量空间 \( M \) 上的流, \( x \in M \) ,如果对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在数集 \( \left\{ {\tau }_{n}\right\} \) 及 \( L > 0 \) ,具有下述性质: 1. 对任意 \( t \in \mathrm{R} \) ,区间 \( \left( {t, t + L}\right) \) 都至少含有此数集中的一个元素 (此数集称相对稠密的). 2. 对任意 \( t \in \mathrm{R} \) ,有 \[ d\left( {f\left( {t, x}\right), f\left( {t + {\tau }_{n}, x}\right) }\right) < \varepsilon , \] 则称 \( f \) 过点 \( x \in M \) 的轨道为几乎周期的. 当 \( f \) 是 \( M \) 上的离散动力系统时,若对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,集合 \[ \left\{ {n \in \mathbf{Z} \mid {f}^{n}\left( x\right) \in B\left( {x,\varepsilon }\right) }\right\} \] (这里 \( B\left( {x,\varepsilon }\right) = \{ y \in M \mid d\left( {y, x}\right) < \varepsilon \} ) \) 具有性质: 存在 \( \mathbf{Z} \) 的有限子集 \( K \) 使得 \[ \mathbf{Z} = \left\{ {n \in \mathbf{Z} \mid {f}^{n}\left( x\right) \in B\left( {x,\varepsilon }\right) }\right\} + K \] (集合 \( \left\{ {n \in \mathbf{Z} \mid {f}^{n}\left( x\right) \in B\left( {x,\varepsilon }\right) }\right\} \) 通常称为连结集),则称 \( f \) 过点 \( x \in M \) 的轨道是几乎周期的. 周期轨道一定是几乎周期轨道. 若它的周期为 \( \tau \) ,那么 \( \{ {n\tau } \mid n \in \) Z\}组成一相对稠密集. 对离散情形, 若它的周期为 \( N \) ,那么 \( \{ {nN} \mid n \in \mathbf{Z}\} \) 就是一个连结集,并且可取定义中的一个 \( K \) 为 \( \{ 0,1,2,\cdots, N - 1\} \) . 所有的几乎周期轨道都是回复的. 但其逆不真. 紧度量空间上几乎周期轨道的闭包是一个紧极小集合. 几乎周期轨道是由富兰克林 (Franklin, P. ) 于 1929 年引入的. ## 几乎周期运动 (almost periodic motion) 即 “几乎周期轨道”. 李亚普诺夫式稳定性(Liapunov stability) 微分方程稳定性理论中相应概念在抽象动力系统的推广, 它描述了动力系统的两个初始状态如果很接近时, 那么在其后或其前的状态也十分接近这一定性性质. 依据马尔可夫 (MapkoB, A. A. ) 给的定义如下: 设 \( f \) 是度量空间 \( M \) 上的流,对点 \( x \in M \) 及集合 \( A \subset \) \( M \) ,若对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,都存在 \( \delta > 0 \) ,使得对任意 \( y \in A \) , 如果 \( d\left( {x, y}\right) < \delta \) ,那么不等式 \[ d\left( {f\left( {t, x}\right), f\left( {t, y}\right) }\right) < \varepsilon \] 对一切正的 (负的或全体实的) \( t \) 值成立,则称 \( f \) 过点 \( x \in M \) 的轨道或点 \( x \in M \) 对集合 \( A \subset M \) 是正 (负或双侧) 李亚普诺夫式稳定的. 双侧李亚普诺夫式稳定性常称为 \( S \) 性. 李亚普诺夫式稳定性与几乎周期性有十分密切的联系. 例如, 一个回复轨道对其轨道是李亚普诺夫式稳定的, 那么该轨道就是几乎周期的. 完备度量空间上的几乎周期轨道对它自己的轨道来说是双侧李亚普诺夫式稳定的. 正李亚普诺夫式稳定性 (positive Liapunov stability) 见“李亚普诺夫式稳定性”. 负李亚普诺夫式稳定性 (negative Liapunov stability) 见“李亚普诺夫式稳定性”. 双侧李亚普诺夫式稳定性 (two-side Liapunov stability) 见“李亚普诺夫式稳定性”. 完全非稳定动力系统 (completely unstable dynamical systems) \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中与稳定系统相反的一类动力系统. 如果一个系统的非游荡集是空集, 即它的所有点是游荡的, 则称该系统是完全非稳定的动力系统. 对平面上的流来说, 若它的每个轨道都是拉格朗日非稳定的, 那么这个系统是完全非稳定的. 此外, 从定义可知, 完全非稳定的动力系统的每个轨道都是拉格朗日非稳定的. 完全稳定动力系统是由涅梅茨基 (Hemblikhń, B. B. ) 于 1934 年引入的. 非固有鞍点 (improper saddle point) 在研究完全非稳定流的轨道与希尔伯特空间的一族平行直线是否能够同胚时引入的概念,它是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中在无穷远处的鞍点定义的推广. 若存在点列 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 和递增数列 \( \left\{ {\tau }_{n}\right\} ,\left\{ {t}_{n}\right\} \) ,使得 \[ 0 < {\tau }_{n} < {t}_{n},{\tau }_{n} \rightarrow + \infty \left( {n \rightarrow + \infty }\right) , \] 且 \[ {x}_{n} \rightarrow x,\;f\left( {{t}_{n},{x}_{n}}\right) \rightarrow y, \] 然而 \( \left\{ {f\left( {{\tau }_{n},{x}_{n}}\right) }\right\} \) 不含有收敛的子列,则称流 \( f \) 具有非固有鞍点. 如果完全非稳定流具有非固有鞍点, 则它不能与平行直线族同胚. 拓扑传递 (topological transitive) 亦称拓扑可迁, 动力系统中的一个重要概念, 也是动力系统常见的一个动力性质. 设 \( f \) 是度量空间 \( M \) 上的一个系统 (离散的或连续的),若对任意两个非空开集 \( U, V \subset \) \( M \) ,存在正整数 \( n \) (正实数 \( T \) ),使得 \[ U \cap {f}^{n}\left( V\right) \neq \varnothing \left( {U \cap f\left( {T, V}\right) \neq \varnothing }\right) , \] 那么就称 \( f \) 为拓扑传递. 拓扑传递性等价于存在 \( f \) 在 \( M \) 上的一条稠密的轨道. 拓扑传递系统的简单例子是符号动力系统. 特别地,马尔可夫子移位 \( \sigma \mid {S}_{A} \) : \( {S}_{A} \rightarrow {S}_{A} \) 是拓扑传递的当且仅当矩阵 \( A \) 是不可约的. ## 拓扑可迁 (topological transitive) 即 “拓扑传递”. 链传递 (chain transitive) 亦称链可迁, 是比拓扑传递要弱的一个概念. 设 \( f \) 是紧度量空间 \( \left( {M, d}\right) \) 上的连续自映射,若对任意 \( \varepsilon > 0 \) 及任意 \( x \) , \( y \in M \) ,都存在一个从 \( x \) 到 \( y \) 的 \( \varepsilon \) 链 (即 \( \varepsilon \) 伪轨),即存在点 \( {x}_{0} = {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n - 1},{x}_{n} = y \) ,使得 \[ d\left( {f\left( {x}_{i}\right) ,{x}_{i + 1}}\right) < \varepsilon \;\left( {0 \leq i \leq n - 1}\right) , \] 就称 \( f \) 是链传递的. 链可迁 (chain transitive) 即 “链传递”. 拓扑混合 (topological mixing) 离散动力系统中的一个重要概念,也是比拓扑传递更强的一个动力性质. 设 \( f \) 是度量空间 \( M \) 到自身的连续映射,若对任意两个非空开集 \( U, V \subset M \) ,存在 \( N > 0 \) ,使得对一切 \( n \geq N \) ,有 \( U \cap {f}^{n}\left( V\right) \neq \varnothing \) ,则称 \( f \) 是拓扑混合的. 鲍恩 (Bowen, R. ) 指出: 对谱分解定理中基本集 \( {\Omega }_{k} \) 来说,存在 \( {n}_{k} > 0 \) 及闭子集集合 \( {C}_{0},{C}_{1},\cdots ,{C}_{{n}_{k} - 1} \) , 使得: \[ \text{1.}{C}_{i} \cap {C}_{j} = \varnothing \left( {i \neq j}\right), f\left( {C}_{i}\right) = {C}_{i + 1},{f}^{{n}_{k}}\left( {C}_{i}\right) = \] \( {C}_{i} \) . \[ \text{2.}{\Omega }_{k} = \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 0}}^{{{n}_{k} - 1}}{C}_{i}\text{.} \] 3. \( {f}^{{n}_{k}} \mid {C}_{i} : {C}_{i} \rightarrow {C}_{i} \) 是拓扑混合的. 此外, 易见拓扑混合系统必是拓扑传递系统. 链混合 (chain mixing) 比拓扑混合要弱的一个动力性质. 设 \( f \) 是紧度量空间 \( M \) 上的连续自映射,若对任意 \( \varepsilon > 0 \) 及任意 \( x, y \in M \) ,总存在一个正整数 \( N \) ,使得对任意 \( n \geq N \) ,总存在一个长度为 \( n \) 的从 \( x \) 到 \( y \) 的 \( \varepsilon \) 链 (即 \( \varepsilon \) 伪轨),即存在点 \( {x}_{0} = x,{x}_{1} \) , \( \cdots ,{x}_{n - 1},{x}_{n} = y \) ,使得 \[ d\left( {f\left( {x}_{i}\right) ,{x}_{i + 1}}\right) < \varepsilon \;\left( {0 \leq i \leq n - 1}\right) , \] 就称 \( f \) 是链混合的. 特殊性 (specification) 动力系统的一个十分有用的概念. 设 \( f \) 是紧度量空间 \( M \) 到自身的同胚, 若对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( N = N\left( \varepsilon \right) > 0 \) ,使得对任意有限点列 \( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{k} \in M \) 及满足 \( {a}_{j} - {b}_{j - 1} \geq N(2 \leq j \leq \) \( k) \) 的任意整数 \( {a}_{1} \leq {b}_{1} < {a}_{2} \leq {b}_{2} < \cdots < {a}_{k} \leq {b}_{k} \) 和任意 \( p \) \( > N + \left( {{b}_{k} - {a}_{1}}\right) \) ,存在 \( x \in \operatorname{Per}\left( f\right) \) (这里 \( \operatorname{Per}\left( f\right) \) 表示 \( f \) 的周期点集合),使得 \( {f}^{p}\left( x\right) = x \) ,且 \[ d\left( {{f}^{i}\left( x\right) ,{f}^{i}\left( {x}_{j}\right) }\right) < \varepsilon \left( {{a}_{j} \leq i \leq {b}_{j},1 \leq j \leq k}\right) \] (这里 \( d \) 为 \( M \) 上的度量),则称 \( f \) 具有特殊性. 若 \( f \) 可扩且有特殊性,那么 \( f \) 的拓扑熵 \[ h\left( f\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{1}{n}\log \# {P}_{n}\left( f\right) \] (这里 \( \# {P}_{n}\left( f\right) \) 表示 \( f \) 具有以 \( n \) 为周期的周期点集合的基数). 若 \( f \) 有特殊性,那么 \( f \) 是拓扑混合的. 此外, 由拓扑混合、可扩及伪轨跟踪性可得到特殊性. 对 \( f \) 为自映射的特殊性可类似定义. 特殊性是由鲍恩(Bowen, R. )于 1971 年引入的. 逆极限空间 (inverse limit space) 由一个拓扑半动力系统所导出的拓扑空间, 通过它能够将一个拓扑半动力系统转化为一个拓扑动力系统, 并通过对后者的研究而获得前者的信息. 设 \( f \) 是紧度量空间 \( M \) 到自身的连续满射,记 \[ {M}^{z} = \left\{ {\left( {x}_{i}\right) \mid {x}_{i} \in M, i \in Z}\right\} \] 是乘积拓扑空间,那么 \( {M}^{2} \) 是紧致的. 设 \( d \) 是 \( M \) 上的度量,在 \( {M}^{z} \) 上定义度量 \( \widetilde{d} \) 为 \[ \widetilde{d}\left( {\left( {x}_{i}\right) ,\left( {y}_{i}\right) }\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{d\left( {{x}_{i},{y}_{i}}\right) }{{2}^{\left| i\right| }}, \] 并定义同胚 \( \sigma : {M}^{z} \rightarrow {M}^{z} \) 为 \[ \sigma \left( \left( {x}_{i}\right) \right) = \left( {y}_{i}\right) ,{y}_{i} = {x}_{i + 1}\;\left( {\forall i \in \mathbf{Z}}\right) , \] \( \sigma \) 称为转移同胚. 现在令 \[ {M}_{f} = \left\{ {\left( {x}_{i}\right) \mid {x}_{i} \in M, f\left( {x}_{i}\right) = {x}_{i + 1}, i \in \mathbf{Z}}\right\} . \] 显然, \( {M}_{f} \) 是 \( {M}^{2} \) 的闭子集,且 \( \sigma \left( {M}_{f}\right) = {M}_{f} \) . 空间 \( {M}_{f} \) 称为由 \( f \) 构造的逆极限空间,记为 \( {M}_{f} = \mathop{\lim }\limits_{ \leftarrow }\left( {M, f}\right) \) . 限制 \( \sigma = \sigma \mid {M}_{f} : {M}_{f} \rightarrow {M}_{f} \) 称为是由 \( f \) 确定的转移同胚. 此外,容易验证 \( {M}_{f} \) 同胚于空间 \[ {M}_{f}^{\prime } = \left\{ {{\left( {x}_{i}\right) }_{0}^{\infty } \mid {x}_{i} \in M, f\left( {x}_{i + 1}\right) = {x}_{i}, i \geq 0}\right\} , \] 并且 \( \sigma \) 拓扑共轭于 \[ {\sigma }^{\prime } : {M}_{f}^{\prime } \rightarrow {M}_{f}^{\prime },{\left( {x}_{i}\right) }_{0}^{\infty } \mapsto {\left( f\left( {x}_{i}\right) \right) }_{0}^{\infty }. \] 因此,有时人们也把 \( {M}_{f}^{\prime } \) 称为是由 \( f \) 构造的逆极限空间,并把 \( {\sigma }^{\prime } \) 称为是由 \( f \) 确定的转移同胚. 对每个 \( i \) \( \in Z \) ,令 \[ {p}_{i} : {M}_{f} \rightarrow M,\;\left( {x}_{i}\right) \mapsto {x}_{i}, \] 那么有 \( {p}_{i} \circ \sigma = f \circ {p}_{i} \) . 通过这一联系,可以得到 \( \sigma \) 和 \( f \) 有众多相同的动力性质. 例如,它们的拓扑熵相等, 对于非游荡集等一些重要的不变集, 它们满足 \[ \Omega \left( \sigma \right) = \mathop{\lim }\limits_{ \leftarrow }\left( {\Omega \left( f\right), f}\right) \] 等诸如这些关系. 对于半流, 仿照上述的思想也可以构造一个逆极限空间, 并在此空间上得到一个由该半流所确定的流. 转移同胚 (shift homeomorphism) 见“逆极限空间”. 可扩映射 (expansive map) 一类重要的动力系统. 设 \( \left( {M, d}\right) \) 是一个度量空间, \( f : M \rightarrow M \) 是一连续映射,如果存在常数 \( \zeta > 0 \) ,使得对任意 \( x, y \in M \) , \( x \neq y \) ,存在 \( n \geq 0 \) ,满足 \( d\left( {{f}^{n}\left( x\right) ,{f}^{n}\left( y\right) }\right) \geq \zeta \) ,那么就称 \( f \) 是可扩映射. 这时, \( \zeta \) 被称为是 \( f \) 的一个可扩常数. 该定义的等价说法之一是: 如果存在常数 \( \zeta > 0 \) , 满足 \[ d\left( {{f}^{n}\left( x\right) ,{f}^{n}\left( y\right) }\right) < \zeta \left( {\forall n \geq 0}\right) \Rightarrow x = y, \] 那么就称 \( f \) 是可扩映射. 当 \( f : M \rightarrow M \) 是同胚,而且允许上述定义的 \( n \) 在整数范围内取值时,就称 \( f \) 是可扩同胚. 扩张映射是可扩映射. 微分同胚在其双曲不变集上的限制是可扩同胚, 特别地, 安诺索夫微分同胚是可扩同胚. 可扩同胚 (expansive homeomorphism) 见“可扩映射”. 可扩流 (expansive flow) 针对离散动力系统中可扩同胚的概念, 对连续流提出的概念, 其定义也揭示了公理 \( A \) 流的一个动力性质. 设 \( \left( {M, d}\right) \) 是度量空间, \( \varphi \) 是 \( M \) 上的连续流,若对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > \) 0,使得如果对点 \( x, y \in M \) 及一连续映射 \( S : \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R} \) , \( S\left( 0\right) = 0 \) ,有 \( d\left( {{\varphi }_{t}\left( x\right) ,{\varphi }_{s\left( t\right) }\left( y\right) }\right) < \delta \left( {\forall t \in \mathrm{R}}\right) \) ,那么 \( y \) \( = {\varphi }_{t}\left( x\right) \) (其中 \( \left| t\right| < \varepsilon \) ),此时就称 \( \varphi \) 是可扩的. 安诺索夫流以及可扩同胚的扭扩流都是可扩流. 可扩流的一个明显特点是它的奇点是孤立点, 因此有关可扩流动力行为的研究均假定它没有奇点. 可扩流是由鲍恩 (Bowen, R. ) 于 1972 年引入的. 伪轨跟踪性质 (pseudo-orb

2000_数学辞海（第3卷）

{f}^{n}\left( x\right) ,{f}^{n}\left( y\right) }\right) < \zeta \left( {\forall n \geq 0}\right) \Rightarrow x = y, \] 那么就称 \( f \) 是可扩映射. 当 \( f : M \rightarrow M \) 是同胚,而且允许上述定义的 \( n \) 在整数范围内取值时,就称 \( f \) 是可扩同胚. 扩张映射是可扩映射. 微分同胚在其双曲不变集上的限制是可扩同胚, 特别地, 安诺索夫微分同胚是可扩同胚. 可扩同胚 (expansive homeomorphism) 见“可扩映射”. 可扩流 (expansive flow) 针对离散动力系统中可扩同胚的概念, 对连续流提出的概念, 其定义也揭示了公理 \( A \) 流的一个动力性质. 设 \( \left( {M, d}\right) \) 是度量空间, \( \varphi \) 是 \( M \) 上的连续流,若对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > \) 0,使得如果对点 \( x, y \in M \) 及一连续映射 \( S : \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R} \) , \( S\left( 0\right) = 0 \) ,有 \( d\left( {{\varphi }_{t}\left( x\right) ,{\varphi }_{s\left( t\right) }\left( y\right) }\right) < \delta \left( {\forall t \in \mathrm{R}}\right) \) ,那么 \( y \) \( = {\varphi }_{t}\left( x\right) \) (其中 \( \left| t\right| < \varepsilon \) ),此时就称 \( \varphi \) 是可扩的. 安诺索夫流以及可扩同胚的扭扩流都是可扩流. 可扩流的一个明显特点是它的奇点是孤立点, 因此有关可扩流动力行为的研究均假定它没有奇点. 可扩流是由鲍恩 (Bowen, R. ) 于 1972 年引入的. 伪轨跟踪性质 (pseudo-orbit tracing property) \( \alpha \) 伪轨和 \( \beta \) 跟踪技术是在动力系统扰动理论等问题研究中的一种很有用的工具. 设 \( \left( {M, d}\right) \) 是度量空间, \( f : M \rightarrow M \) 是同胚, \( a > 0, a \) 和 \( b \) 是整数,而且 \( - \infty \leq a \) \( < b \leq + \infty \) ,如果点列 \( {\left\{ {x}_{i}\right\} }_{i = a}^{b} \subset M \) 满足 \[ d\left( {f\left( {x}_{i}\right) ,{x}_{i + 1}}\right) < \alpha \;\left( {\forall i = a,\cdots, b - 1}\right) , \] 则称 \( M \) 中的点列 \( {\left\{ {x}_{i}\right\} }_{i = a}^{b} \) 是 \( f \) 的一个 \( \alpha \) 伪轨. 如果对 \( y \in M \) ,有 \[ d\left( {{f}^{i}\left( y\right) ,{x}_{i}}\right) < \beta \;\left( {i = a,\cdots, b}\right) , \] 则称 \( \alpha \) 伪轨 \( {\left\{ {x}_{i}\right\} }_{i = a}^{b} \) 被从 \( y \) 点出发的轨道 \( \beta \) 跟踪. 如果对任意 \( \beta > 0 \) ,存在 \( \alpha > 0 \) ,使得对 \( f \) 的每个 \( \alpha \) 伪轨可被从某点出发的轨道 \( \beta \) 跟踪,则称 \( f \) 有伪轨跟踪性质. 如果 \( \varphi : \mathrm{R} \times M \rightarrow M \) 是 \( \left( {M, d}\right) \) 上的连续流, \( \alpha, T \) \( > 0, a \) 和 \( b \) 是整数,而且 \( a < b(a = - \infty \) 或 \( b = + \infty \) 的情形是允许的), 如果序列对 \[ \left( {{\left\{ {x}_{i}\right\} }_{a}^{b},{\left\{ {t}_{i}\right\} }_{a}^{b}}\right) )\;\left( {{x}_{i} \in M,{t}_{i} \in \mathrm{R}}\right) \] 满足 \( {t}_{i} \geq T \) ,并且 \[ d\left( {\varphi \left( {{t}_{i},{x}_{i}}\right) ,{x}_{i + 1}}\right) \leq \alpha \;\left( {a \leq i \leq b - 1}\right) , \] 那么就称这序列对是流 \( \varphi \) 的一个 \( \left( {\alpha, T}\right) \) 伪轨或 \( (\alpha \) , \( T) \) 链. 对于数列 \( \left\{ {t}_{i}\right\} \) ,令 \[ S\left( n\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{{n - 1}}{t}_{i} & \left( {n \geq 0}\right) , \\ - \mathop{\sum }\limits_{{i = n}}^{{-1}}{t}_{i} & \left( {n < 0}\right) , \end{array}\right. \] 这里 \[ S\left( 0\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{{-1}}{t}_{i} = 0. \] 设 \( \left( {{\left\{ {x}_{i}\right\} }_{a}^{b},{\left\{ {t}_{i}\right\} }_{a}^{b}}\right) \) 是 \( \left( {\alpha, T}\right) \) 伪轨, \( y \in M \) ,若存在保向同胚 \( \sigma : \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R},\sigma \left( 0\right) = 0 \) ,使得 \[ d\left( {\varphi \left( {\sigma \left( t\right), y}\right) ,\varphi \left( {t - {S}_{n},{x}_{n}}\right) }\right) < \beta \left( {t \geq 0}\right) , \] 且 \[ {S}_{n} \leq t \leq {S}_{n + 1}\left( {n = 0,1,\cdots, b - 1}\right) ; \] \( d\left( {\varphi \left( {\sigma \left( t\right), y}\right) ,\varphi \left( {t + {S}_{-n},{x}_{-n}}\right) }\right) < \beta \left( {t \leq 0}\right) , \) \[ \text{且}\; - {S}_{-n} \leq t \leq - {S}_{-n + 1}\left( {n = 1,2,\cdots, a}\right) \text{.} \] 那么就称 \( \left( {\alpha, T}\right) \) 伪轨 \( \left( {{\left\{ {x}_{i}\right\} }_{a}^{b},{\left\{ {t}_{i}\right\} }_{a}^{b}}\right) \) 被过点 \( y \) 的轨道 \( \beta \) 跟踪. 如果对任意 \( \beta > 0 \) ,存在 \( \alpha > 0 \) ,使得 \( \varphi \) 的每个 \( \left( {\alpha, T}\right) \) 伪轨可被过某点的轨道 \( \beta \) 跟踪,则称 \( \varphi \) 具有伪轨跟踪性质. 紧致微分流形 \( M \) 上的公理 \( A \) 系统在其非游荡集上具有伪轨跟踪性质. 符号动力系统也具有伪轨跟踪性质. \( \alpha \) 伪轨 ( \( \alpha \) -pseudo-orbit) 见“伪轨跟踪性质”. \( \beta \) 跟踪 \( \left( {\beta \text{-tracing}}\right) \) 见“伪轨跟踪性质”. \( \left( {\alpha, T}\right) \) 伪轨 \( \left( {\left( {\alpha, T}\right) \text{-pseudo-orbit}}\right) \) 见“伪轨跟踪性质”. \( \left( {\alpha, T}\right) \) 链 \( \left( {\left( {\alpha, T}\right) \text{-chain}}\right) \) 见 “ \( \left( {\alpha, T}\right) \) 伪轨”. 拓扑双曲不变集 (topological hyperbolic invariant set) 根据微分同胚在其双曲不变集上所具有的推广的可扩性及推广的伪轨跟踪性这两个重要的动力性质而直接引入到拓扑动力系统中的一类不变集. 设 \( f : M \rightarrow M \) 是紧度量空间 \( M \) 到自身的同胚, \( \Lambda \) \( \subset M \) 是 \( f \) 的闭不变集,若存在 \( \Lambda \) 的闭邻域 \( U \) ,使得 \( f \) 在 \( U \) 内的极大不变集 \[ {\Lambda }_{0} = \mathop{\bigcap }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}{f}^{n}\left( U\right) \] 上是可扩的,并且对任意 \( \beta > 0 \) ,存在 \( \alpha > 0 \) ,使得在 \( \Lambda \) 中的任意 \( \alpha \) 伪轨可被 \( M \) 中的一条轨道 \( \beta \) 跟踪,则称 \( \Lambda \) 是 \( f \) 的拓扑双曲不变集. 若 \( f \) 的链回归集 \( \operatorname{CR}\left( f\right) \) 是拓扑双曲的,那么 \( f \) 就称为是公理 \( A \) 同胚. 若整个空间 \( M \) 是拓扑双曲的,那么 \( f \) 就称为是安诺索夫同胚. 公理 \( A \) 同胚 (axiom \( A \) homeomorphism) 见 “拓扑双曲不变集”. 安诺索夫同胚 (Anosov homeomorphism) 亦称具有双曲坐标的同胚或拓扑安诺索夫同胚. 见“拓扑双曲不变集”和“拓扑安诺索夫映射”. 具有双曲坐标的同胚 (homeomorphism with hyperbolic coordinate) 即“安诺索夫同胚”. 拓扑安诺索夫同胚 (topological Anosov homeomorphism) 即“安诺索夫同胚”. 拓扑安诺索夫映射 (topological Anosov map) 根据微分动力系统理论中安诺索夫可微映射所具有的可扩性和伪轨跟踪性这两个重要动力性质而直接引入的一类拓扑半动力系统. 设 \( M \) 是紧致度量空间, \( f : M \rightarrow M \) 是连续满射,若由 \( f \) 所确定的逆极限空间 \( {M}_{f} \) 及由 \( f \) 所确定的 \( {M}_{f} \) 上的转移同胚 \( \sigma : {M}_{f} \rightarrow \) \( {M}_{f} \) 是可扩的,并且 \( f \) 有伪轨跟踪性,那么 \( f \) 就称为是拓扑安诺索夫映射. 特别地,当 \( f \) 是同胚时, \( f \) 是拓扑安诺索夫同胚. 安诺索夫可微映射是拓扑安诺索夫映射. 符号动力系统 (symbolic dynamical systems) 动力系统的一种模型. 所谓符号动力系统, 就是用若干符号表示的一类具有许多重要特征的离散动力系统, 它的状态空间是由若干符号的双向序列组成. 例如,由 0,1 两个符号的双向序列组成的集合记为 \( \sum \left( 2\right) \) . 对 \( \sum \left( 2\right) \) 中两点 \( A, B \) ,其中 \[ A = {\left\{ {a}_{n}\right\} }_{n = - \infty }^{+\infty }, B = {\left\{ {b}_{n}\right\} }_{n = - \infty }^{+\infty },{a}_{i},{b}_{j} \in \{ 0,1\} , \] 定义度量 \[ \rho \left( {A, B}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{1}{{2}^{\left| n\right| }}\left| {{a}_{n} - {b}_{n}}\right| . \] 于是, \( \sum \left( 2\right) \) 是关于度量 \( \rho \) 的度量空间,现定义映射 \[ \sigma : \sum \left( 2\right) \rightarrow \sum \left( 2\right) , \] \[ \sigma ;{A}^{\prime } \rightarrow \sigma \left( A\right) \left( {\forall A \in \sum \left( 2\right) }\right) , \] 其中 \( \sigma \) 满足: 当 \( A = {\left\{ {a}_{n}\right\} }_{-\infty }^{+\infty } \) 时, \( \sigma \left( A\right) = {\left\{ {a}_{n + 1}\right\} }_{-\infty }^{+\infty } \) ,即 \( \sigma \left( A\right) \) 的第 \( n \) 个元素是 \( {a}_{n + 1} \cdot \sigma \) 是 \( \sum \left( 2\right) \) 的自同胚. 通常称 \( \sigma \) 为两个符号的转移自同胚或转移自同构. \( \sigma \) 在 \( \sum \left( 2\right) \) 上产生一个离散动力系统,称为符号动力系统. \( \sigma \) 有两个不动点 \( {\left\{ {a}_{n}\right\} }_{n = - \infty }^{+\infty } \) 及 \( {\left\{ {b}_{n}\right\} }_{n = - \infty }^{+\infty } \) ,其中 \( {a}_{n} = \) \( 0,{b}_{n} = 1,\forall n \in Z \) . 符号动力系统具有简洁、明快的特点,而且又具有许多重要的性质,例如, \( \sigma \) 的周期点集在 \( \sum \left( 2\right) \) 中稠密, \( \sigma \) 是拓扑传递的. 因此,在动力系统研究中, 经常借助符号系统来进行研究. 当 \[ \mathop{\sum }\limits^{ + }\left( 2\right) = \left\{ {{\left\{ {a}_{n}\right\} }_{0}^{+\infty } \mid {a}_{n} = 0\text{ 或 }1}\right\} \] 是由单向序列组成时,在 \( {\sum }^{ + }\left( 2\right) \) 上定义度量 \( \rho \) 为 \[ \rho \left( {A, B}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\frac{1}{{2}^{\left| n\right| }}\left| {{a}_{n} - {b}_{n}}\right| , \] 其中 \( A = {\left\{ {a}_{n}\right\} }_{0}^{+\infty }, B = {\left\{ {b}_{n}\right\} }_{0}^{+\infty } \in {\sum }^{ + }\left( 2\right) \) . 现定义映射 \[ \sigma : {\sum }^{ + }\left( 2\right) \rightarrow {\sum }^{ + }\left( 2\right) , \] \[ A \mapsto \sigma \left( A\right) \;\left( {\forall A \in {\sum }^{ + }\left( 2\right) }\right) , \] 其中 \( \sigma \) 满足: 当 \( A = {\left\{ {a}_{n}\right\} }_{0}^{+\infty } \) 时, \( \sigma \left( A\right) = {\left\{ {a}_{n + 1}\right\} }_{0}^{+\infty },\sigma \) 称为两个符号的转移自映射. 因 \( \sigma \) 是连续的,它在 \( \mathop{\sum }\limits^{ + }\left( 2\right) \) 上产生一个离散半动力系统,称为两个符号的半动力系统. 对 \( n\left( { \geq 2}\right) \) 个符号有类似的定义. 转移自同胚 (shift self-homeomorphism) 见 “符号动力系统”. 转移自同构 (shift automorphism) 见“符号动力系统”. 符号半动力系统(symbolic semi-dynamical system) 见“符号动力系统”. 转移自映射 (shift self-map) 见 “符号动力系统”. 有限型子移位 (subshift of finite type) 亦称双边拓扑马尔可夫链, 是符号动力系统中一个很有意义的子系统, 其重要性在于它能够作为十分重要的微分同胚某不变集的模型. 设 \( \sigma : \sum \rightarrow \sum \) 是由 \( k \) 个符号 \( \{ 1,2,\cdots, k\} \) 组成的双边符号动力系统, \( A = \) \( {\left( {a}_{ij}\right) }_{{ij} = 1}^{k} \) 是 \( k \times k \) 矩阵,对一切 \( i, j \) 有 \( {a}_{ij} \in \{ 0,1\} \) ,令 \[ \mathop{\sum }\limits_{A} = \left\{ {{\left( {x}_{n}\right) }_{-\infty }^{+\infty } \mid {a}_{{x}_{n}{x}_{n + 1}} = 1,\forall n \in \mathbf{Z}}\right\} . \] \( \mathop{\sum }\limits_{A} \) 是 \( \sum \) 的一个闭子集,而且在 \( \sigma \) 下不变,即 \( \sigma \left( \mathop{\sum }\limits_{A}\right) \) \( = \mathop{\sum }\limits_{A} \) ,因而 \( \sigma \mid \mathop{\sum }\limits_{A} : \mathop{\sum }\limits_{A} \rightarrow \mathop{\sum }\limits_{A} \) 是一个同胚. \( \sigma \) 与 \( \mathop{\sum }\limits_{A} \) 称为由传递矩阵 \( A \) 所确定的有限型子移位或双边拓扑马尔可夫链. 对于符号半动力系统也可以类似地给出单边拓扑马尔可夫链的定义. 零维双曲不变集拓扑共轭于有限型子移位. 双边拓扑马尔可夫链 (two-side topological Markov chains） 即“有限型子移位”. 单边拓扑马尔可夫链 (one-side topological Markov chains) 见“有限型子移位”. 移位不变集 (shift invariant set) 在拓扑共轭的意义下能够等同于符号动力系统 (或符号半动力系统) 的一种不变集. 设 \( M \)  是拓扑空间, \( f : M \rightarrow M \) 是同胚 (或连续自映射. \( \land \subset \) \( M \) 是 \( f \) 的紧致不变集,如果存在适当 (例如 \( n \) 个符号) 的双边 (或单边) 符号空间 \( \sum \) 以及同胚 \( h : \sum \rightarrow \Lambda \) ,使得 \( f \circ h = h \circ \sigma \) (这里 \( \sigma \) : \( \sum \rightarrow \sum \) 是转移自同胚 (或转移自映射)),即上图可交换,那么就称 \( \Lambda \) 是 \( f \) 的移位不变集. 借助移位不变集可以证明某些半动力系统的不变集结构稳定性. 例如, 对 \[ f : \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R},\;x \mapsto - 3{x}^{2} + \frac{4}{3}, \] \[ \Lambda = \mathop{\bigcap }\limits_{{j = 0}}^{{+\infty }}{f}^{-j}\left( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \

2000_数学辞海（第3卷）

一个同胚. \( \sigma \) 与 \( \mathop{\sum }\limits_{A} \) 称为由传递矩阵 \( A \) 所确定的有限型子移位或双边拓扑马尔可夫链. 对于符号半动力系统也可以类似地给出单边拓扑马尔可夫链的定义. 零维双曲不变集拓扑共轭于有限型子移位. 双边拓扑马尔可夫链 (two-side topological Markov chains） 即“有限型子移位”. 单边拓扑马尔可夫链 (one-side topological Markov chains) 见“有限型子移位”. 移位不变集 (shift invariant set) 在拓扑共轭的意义下能够等同于符号动力系统 (或符号半动力系统) 的一种不变集. 设 \( M \)  是拓扑空间, \( f : M \rightarrow M \) 是同胚 (或连续自映射. \( \land \subset \) \( M \) 是 \( f \) 的紧致不变集,如果存在适当 (例如 \( n \) 个符号) 的双边 (或单边) 符号空间 \( \sum \) 以及同胚 \( h : \sum \rightarrow \Lambda \) ,使得 \( f \circ h = h \circ \sigma \) (这里 \( \sigma \) : \( \sum \rightarrow \sum \) 是转移自同胚 (或转移自映射)),即上图可交换,那么就称 \( \Lambda \) 是 \( f \) 的移位不变集. 借助移位不变集可以证明某些半动力系统的不变集结构稳定性. 例如, 对 \[ f : \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R},\;x \mapsto - 3{x}^{2} + \frac{4}{3}, \] \[ \Lambda = \mathop{\bigcap }\limits_{{j = 0}}^{{+\infty }}{f}^{-j}\left( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \right) \] 是 \( f \) 的紧不变集,那么 \( {\left. f\right| }_{\Lambda } \) 拓扑共轭于两个符号的符号半动力系统,即 \( \Lambda \) 是 \( f \) 的移位不变集. 由此可知,映射 \( f \) 的不变集 \( \Lambda \) 是结构稳定的. ## 一维动力系统 一维动力系统 (one dimensional dynamical system) 区间上或圆周上的动力系统. 由于一维流或半流的结构十分简单, 并且对同胚生成的离散动力系统的性质认识已相当深刻, 因此, 一维动力系统通常是指由连续自映射生成的离散半动力系统. 它具有广泛的应用背景. 例如, 生物学中无世代交叠的虫口模型、物理学中的一维耗散系统等都是一维动力系统. 因为它是最简单的动力系统, 并且呈现出高维系统所具有的丰富而复杂的动力性质, 同时它又具有不同于高维情形的独特的规律, 所以近 30 年来, 其研究发展十分迅速, 成为动力系统领域中不可忽视的一个重要分支 (参见 “动力系统”). 逐段单调映射 (piecewise monotone maps) 一类特殊的区间映射. 把区间 \( I \) 分成有限多个子区间: \[ {I}_{1} = \left\lbrack {{C}_{0},{C}_{1}}\right\rbrack ,{I}_{2} = \left\lbrack {{C}_{1},{C}_{2}}\right\rbrack ,\cdots ,{I}_{l} = \left\lbrack {{C}_{l - 1},{C}_{l}}\right\rbrack , \] 使映射 \( f : I \rightarrow I \) 限制在每个子区间 \( {I}_{j} \) 上是严格单调的,这里 \( I = \left\lbrack {{C}_{0},{C}_{l}}\right\rbrack ,{C}_{0} < {C}_{1} < \cdots < {C}_{l} \) ,且每个子区间 \( {I}_{j} \) 是 \( f \) 的最大单调区间,此时称 \( f \) 为区间 \( I \) 上的逐段单调映射. 称子区间 \( {I}_{j} \) 为 \( f \) 的区段; \( l = l\left( f\right) \) 为 \( f \) 的区段数; \( {C}_{1},{C}_{2},\cdots ,{C}_{l - 1} \) 为 \( f \) 的回转点. 使用揉搓理论可以刻画逐段单调映射的许多动力学性质 (参见“揉搓矩阵”、“揉搓函数”). 区段 (lap) 见 “逐段单调映射”. 区段数 (lap number) 见 “逐段单调映射”. 回转点 (turning point) 见“逐段单调映射”. 增长数 (growth number) 逐段单调映射 \( f \) 的一个拓扑共轭不变量. 若用 \( S\left( f\right) \) 表示,那么它由下面的极限定义: \[ S\left( f\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\left\lbrack l\left( {f}^{n}\right) \right\rbrack }^{\frac{1}{n}} \] (这里 \( l\left( {f}^{n}\right) \) 是 \( {f}^{n} \) 的区段数). 此极限恰为序列 \( {\left\lbrack l\left( {f}^{n}\right) \right\rbrack }^{\frac{1}{n}} \) 的下确界,因而增长数 \( S\left( f\right) \in \left\lbrack {1, l\left( f\right) }\right\rbrack \) . 增长数的对数是 \( f \) 的另一个拓扑共轭不变量一一拓扑熵,即 \( \log S\left( f\right) = h\left( f\right) \) . 不变坐标 (invariant coordinate) 一类由点的迭代运动决定的形式序列或形式幂级数. 对于逐段单调映射 \( f : I \rightarrow I \) ,以 \( {I}_{1},{I}_{2},\cdots ,{I}_{l} \) 记 \( f \) 的按自然顺序排列的全部区段, \( {C}_{1} < {C}_{2} < \cdots < {C}_{l - 1} \) 为 \( f \) 的全部回转点. 令 \[ A\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{l} {I}_{j}\left( {x \in {I}_{j}\text{ 且 }x\text{ 不是回转点 }}\right) , \\ {C}_{j} = \frac{{I}_{j} + {I}_{j + 1}}{2}\left( {x\text{ 与 }{C}_{j}\text{ 重合 }}\right) . \end{array}\right. \] 构造点 \( x \in I \) 迭代运动的旅行图 \[ A\left( {{f}^{ * }\left( x\right) }\right) = \left( {A\left( x\right), A\left( {f\left( x\right) }\right), A\left( {{f}^{2}\left( x\right) }\right) ,\cdots }\right) , \] 或简记为 \( A\left( {{f}^{ * }\left( x\right) }\right) = \left( {{A}_{0},{A}_{1},{A}_{2},\cdots }\right) \) . 规定符号 \[ {\varepsilon }_{n} = \varepsilon \left( {A}_{n}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} - 1 & \left( {{A}_{n}\text{ 为严格递减区段),}}\right. \\ 0 & \left( {{A}_{n} = {C}_{j}}\right) , \\ + 1 & \left( {{A}_{n}\text{ 为严格递增区段). }}\right. \end{array}\right. \] 又令 \[ {\theta }_{0} = {A}_{0},{\theta }_{1} = {\varepsilon }_{0}{A}_{1} = \varepsilon \left( {A}_{0}\right) {A}_{1},\cdots , \] \[ {\theta }_{n} = {\varepsilon }_{0}{\varepsilon }_{1}\cdots {\varepsilon }_{n - 1}{A}_{n}, \] 则称形式序列 \( \theta \left( x\right) = \left( {{\theta }_{0},{\theta }_{1},\cdots ,{\theta }_{n},\cdots }\right) \) 或形式幂级数 \[ \theta \left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{\theta }_{n}{t}^{n} \] 为联系于点 \( x \) 的 \( f \) 的不变坐标. \( {\varepsilon }_{0} = \varepsilon \left( {A\left( x\right) }\right) \) 恰为 \( f \) 在 \( x \) 点的局部映射度,而 \[ {\varepsilon }_{0}{\varepsilon }_{1}\cdots {\varepsilon }_{n - 1} = \varepsilon \left( {A\left( x\right) }\right) \varepsilon \left( {A\left( {f\left( x\right) }\right) \cdots \varepsilon \left( {A\left( {{f}^{n - 1}\left( x\right) }\right) }\right. }\right. \] 则是映射 \( {f}^{n} \) 在 \( x \) 点的局部映射度. 揉搓矩阵 (kneading matrix) 一类由联系于回转点的不变坐标决定的矩阵. 设 \( f : I \rightarrow I \) 为逐段单调映射,以 \( {I}_{1},{I}_{2},\cdots ,{I}_{t} \) 记按自然顺序排列的全部区段, \( {c}_{1} < {c}_{2} < \cdots < {c}_{l - 1} \) 为 \( f \) 的全部回转点. 设 \( V \) 是有理数域 \( \mathrm{Q} \) 上的 \( l \) 维向量空间, \( {I}_{1},{I}_{2},\cdots ,{I}_{l} \) 是其基底. 用 \( \mathrm{Q}\left\lbrack \left\lbrack t\right\rbrack \right\rbrack \) 表示有理系数幂级数环, \( \mathrm{Z}\left\lbrack \left\lbrack t\right\rbrack \right\rbrack \) 表示实系数幂级数环, \( V\left\lbrack \left\lbrack t\right\rbrack \right\rbrack \) 表示以 \( V \) 中向量作系数的形式幂级数模,则 \( V\left\lbrack \left\lbrack t\right\rbrack \right\rbrack \) 为环 \( \mathrm{Q}\left\lbrack \left\lbrack t\right\rbrack \right\rbrack \) 上的自由模,以 \( {I}_{1} \) , \( {I}_{2},\cdots ,{I}_{l} \) 为基底. 每个点 \( x \in I \) 的不变坐标均可表示成惟一形式的和 \[ \theta \left( x\right) = {\theta }_{1}\left( x\right) {I}_{1} + {\theta }_{2}\left( x\right) {I}_{2} + \cdots + {\theta }_{l}\left( x\right) {I}_{l}, \] 其中 \( {\theta }_{i}\left( x\right) \in \mathbf{Q}\left\lbrack \left\lbrack t\right\rbrack \right\rbrack \) 为向量空间 \( V \) 选择某种平移不变的线性次序,比如 \( \mathrm{Q} \) 线性地嵌入 \( V \) 到实数,使得基向量满足 \( {I}_{1} < {I}_{2} < \cdots < {I}_{l} \) 为形式序列或形式幂级数 \( \theta \) 按字典排序: 则 \( x < y \) 意味着 \( \theta \left( x\right) \leq \theta \left( y\right) \) . 赋予 \( V\left\lbrack \left\lbrack t\right\rbrack \right\rbrack \) 形式幂级数拓扑,在此拓扑结构中,子模 \( {t}^{n}V\left\lbrack \left\lbrack t\right\rbrack \right\rbrack \) 构成零点邻域的一个基,令 \[ {v}_{i} = \theta \left( {{c}_{i} + }\right) - \theta \left( {{c}_{i} - }\right) \] \[ = \mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow {c}_{i}, y > {c}_{i}}}\theta \left( y\right) - \mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow {c}_{i}, y < {c}_{i}}}\theta \left( y\right) , \] 则 \( {v}_{1},{v}_{2},\cdots ,{v}_{l - 1} \in V\left\lbrack t\right\rbrack ,{v}_{1},{v}_{2},\cdots ,{v}_{l - 1} \) 称为 \( f \) 的揉搓增量. \( {v}_{i} = {N}_{i1}{I}_{1} + {N}_{i2}{I}_{2} + \cdots + {N}_{il}{I}_{l}(i = 1,2,\cdots \) , \( l) \) ,这里 \( {N}_{ij} \in \mathrm{Z}\left\lbrack \left\lbrack t\right\rbrack \right\rbrack \) ,矩阵 \( {\left\lbrack {N}_{ij}\right\rbrack }_{\left( {l - 1}\right) \times l} \) 称为映射 \( f \) 的揉搓矩阵. 揉搓矩阵的 \( l \) 个列向量 \( {\Gamma }_{1},{\Gamma }_{2},\cdots ,{\Gamma }_{l} \) 线性相关, 即 \[ {\Gamma }_{1}\left( {1 - {\varepsilon t}}\right) + {\Gamma }_{2}\left( {1 + {\varepsilon t}}\right) + \cdots \] \[ + {\Gamma }_{t}\left( {1 + {\left( -1\right) }^{t}{\varepsilon t}}\right) = 0, \] 这里 \( \varepsilon = \varepsilon \left( {I}_{1}\right) \) . 用 \( {D}_{i} = \det \left( {{\Gamma }_{1},\cdots ,{\widehat{\Gamma }}_{i},\cdots ,{\Gamma }_{l}}\right) \) 表示从 \( {\left\lbrack {N}_{ij}\right\rbrack }_{\left( {l - 1}\right) \times l} \) 删去第 \( i \) 列的矩阵的行列式,记 \[ D = \frac{{\left( -1\right) }^{i + 1}{D}_{i}}{\left( 1 - \varepsilon \left( {I}_{i}\right) t\right) } \] 那么 \( D \) 是 \( \mathrm{Z}\left\lbrack \left\lbrack t\right\rbrack \right\rbrack \) 中与 \( i \) 选取无关且首项为 1 的幂级数. \( D \) 被称为是映射 \( f \) 的揉搓行列式. 揉搓行列式是研究逐段单调映射动力学性质的重要工具. 例如,揉搓行列式与反映周期性态的修正 \( \zeta \) 函数 \( Z\left( t\right) \) (参见“修正 \( \zeta \) 函数”) 有简单的倒数关系 \[ Z\left( t\right) = D{\left( t\right) }^{-1}. \] 揉搓增量 (kneading increment) 见 “揉搓矩阵”. 揉搓行列式 (kneading determinant) 见“揉搓矩阵”. 揉搓函数 (kneading function) 将逐段单调区间映射和符号系统建立联系的一类映射. 设 \( f : I \rightarrow I \) 是逐段单调映射, \( {I}_{1},{I}_{2},\cdots ,{I}_{l} \) 为按自然顺序排列的全部区段, \( {c}_{1} < {c}_{2} < \cdots < {c}_{l - 1} \) 为所有回转点,规定 \( \theta \) ., \( {\theta }^{ * } : I \rightarrow \{ 1,2,\cdots, l\} : \) \[ \left\{ \begin{array}{ll} {\theta }_{ * }\left( x\right) = 1 & \left( {x \in \left\lbrack {{c}_{0},{c}_{1}}\right\rbrack }\right) , \\ {\theta }_{ * }\left( x\right) = k & \left( {x \in \left( {{c}_{k - 1},{c}_{k}}\right\rbrack ;k = 2,\cdots, l}\right) \end{array}\right. \] 和 \[ \left\{ \begin{array}{ll} {\theta }^{ * }\left( x\right) = k & \left( {x \in \left\lbrack {{c}_{k - 1},{c}_{k}}\right) ;k}\right. \\ {\theta }^{ * }\left( x\right) = l & \left( {x \in \left\lbrack {{c}_{l - 1},{c}_{l}}\right\rbrack }\right) . \end{array}\right. \] 设 \( \left( {\mathop{\sum }\limits^{l},\sigma }\right) \) 为由 \( l \) 个符号元素形成的符号半动力系统, 由 \[ {\left\lbrack {J}_{ * }\left( f\right) \left( x\right) \right\rbrack }_{n} = {\theta }_{ * }\left( {{f}^{n}\left( x\right) }\right) \left( {n = 0,1,2,\cdots }\right) \] 和 \[ {\left\lbrack {J}^{ * }\left( f\right) \left( x\right) \right\rbrack }_{n} = {\theta }^{ * }\left( {{f}^{n}\left( x\right) }\right) \left( {n = 0,1,2,\cdots }\right) \] 定义的两个映射 \( {J}_{ * }\left( f\right) ,{J}^{ * }\left( f\right) : I \rightarrow {\sum }^{l} \) 分别称为 \( f \) 的下揉搓函数和上揉搓函数, 统称揉搓函数. 元素组 \[\left\{ {{J}_{ * }\left( f\right) \left( {c}_{k}\right) \mid k = 1,2,\cdots, l - 1}\right\} \] 和 \[\left\{ {{J}^{ * }\left( f\right) \left( {c}_{k}\right) \mid k = 1,2,\cdots, l - 1}\right\} \] 分别称为 \( f \) 的下揉搓组与上揉搓组,统称揉搓组. \( {J}_{ * }\left( f\right) \left( {c}_{k}\right) \) 和 \( {J}^{ * }\left( f\right) \left( {c}_{k}\right) \left( {k = 1,2,\cdots, l - 1}\right) \) 称为 \( f \) 的揉搓序列. 揉搓函数、揉搓序列等工具可用来刻画逐段单调映射的拓扑共轭等价性问题, 因而进行分类研究, 也可以用来研究吸引子 (如洛伦茨吸引子) 的结构以及讨论具正拓扑熵的逐段单调映射的遍历性问题. 揉搓概念由米尔诺 (Milnor, J. W. ) 和瑟斯顿 (Thurston, W.) 于 1976 年引入, 威 廉姆 (Williams, R. F. )、古肯亥默 (Guckenheimer, J. )、 克莱特 (Collet, P. ) 和爱克曼 (Eckmann, J. P. ) 等人先后发展和完善了揉搓理论, 并用揉搓理论解决了许多动力系统问题. 上揉搓函数 (co-kneading function) 见 “揉搓函数”. 下揉搓函数 (low-kneading function) 见 “揉搓函数”. 上揉搓组 (co-knead

2000_数学辞海（第3卷）

_{n} = {\theta }^{ * }\left( {{f}^{n}\left( x\right) }\right) \left( {n = 0,1,2,\cdots }\right) \] 定义的两个映射 \( {J}_{ * }\left( f\right) ,{J}^{ * }\left( f\right) : I \rightarrow {\sum }^{l} \) 分别称为 \( f \) 的下揉搓函数和上揉搓函数, 统称揉搓函数. 元素组 \[\left\{ {{J}_{ * }\left( f\right) \left( {c}_{k}\right) \mid k = 1,2,\cdots, l - 1}\right\} \] 和 \[\left\{ {{J}^{ * }\left( f\right) \left( {c}_{k}\right) \mid k = 1,2,\cdots, l - 1}\right\} \] 分别称为 \( f \) 的下揉搓组与上揉搓组,统称揉搓组. \( {J}_{ * }\left( f\right) \left( {c}_{k}\right) \) 和 \( {J}^{ * }\left( f\right) \left( {c}_{k}\right) \left( {k = 1,2,\cdots, l - 1}\right) \) 称为 \( f \) 的揉搓序列. 揉搓函数、揉搓序列等工具可用来刻画逐段单调映射的拓扑共轭等价性问题, 因而进行分类研究, 也可以用来研究吸引子 (如洛伦茨吸引子) 的结构以及讨论具正拓扑熵的逐段单调映射的遍历性问题. 揉搓概念由米尔诺 (Milnor, J. W. ) 和瑟斯顿 (Thurston, W.) 于 1976 年引入, 威 廉姆 (Williams, R. F. )、古肯亥默 (Guckenheimer, J. )、 克莱特 (Collet, P. ) 和爱克曼 (Eckmann, J. P. ) 等人先后发展和完善了揉搓理论, 并用揉搓理论解决了许多动力系统问题. 上揉搓函数 (co-kneading function) 见 “揉搓函数”. 下揉搓函数 (low-kneading function) 见 “揉搓函数”. 上揉搓组 (co-kneading group) 见 “揉搓函数”. 下揉搓组 (low-kneading group) 见 “揉搓函数”. 揉搓组 (kneading group) 上下揉搓组的统称. 揉搓序列 (kneading sequence) 见“揉搓数”. 修正 \( \zeta \) 函数 (modified zeta function) 由负型不动点生成的 \( \zeta \) 函数. 设 \( f : I \rightarrow I \) 是逐段单调映射, 若不动点 \( x \) 位于某个严格递减的区段内部,则不动点 \( x \) 称为负型的,以 \( n\left( f\right) \) 记 \( f \) 的负型不动点数,并记 \( N\left( f\right) = {2n}\left( f\right) - 1 \) . 幂级数 \[ z\left( t\right) = \exp \sum N\left( {f}^{k}\right) \frac{{t}^{k}}{k} \] 称为 \( f \) 的修正 \( \zeta \) 函数. 负型不动点 (negative fixed point) 见“修正 \( \zeta \) 函数”. 施瓦兹导数 (Schwarzian derivative) 最先在 1978 年用于研究一维动力系统的一个工具. 设函数 \( f \) 有 3 阶导数, \( f \) 在 \( x \) 处的施瓦兹导数 (通常记为 \( {sf}\left( x\right) ) \) 由下式给出: \[ {sf}\left( x\right) = \frac{{f}^{\prime \prime \prime }\left( x\right) }{{f}^{\prime }\left( x\right) } - \frac{3}{2}{\left( \frac{{f}^{\prime \prime }\left( x\right) }{{f}^{\prime }\left( x\right) }\right) }^{2}, \] 当 \( {f}^{\prime }\left( x\right) = 0 \) 时, \( {sf}\left( x\right) \) 可以取值为 \( + \infty \) 或 \( - \infty \) . 在确定吸引周期轨道个数的上界以及讨论动力系统如何从简单的动力性质过渡到混沌性态研究中, 施瓦兹导数发挥了重要作用. 具有负的施瓦兹导数 (此条件称为施瓦兹条件)的函数, 在一维动力系统中特别重要. 例如,二次模型映射 \( {f}_{\mu }\left( x\right) = {\mu x}\left( {1 - x}\right) \) 具有负的施瓦兹导数的函数, 其复合函数仍是具有负的施瓦兹导数. 施瓦兹条件 (Schwarzian condition) 见“施瓦兹导数”. 沙可夫斯基序 (Sarkovskii order) 正整数的一种排法. 1964 年, 苏联数学家沙可夫斯基 (Sarkovskii, A. N. ) 在研究区间上连续自映射的周期点性质时, 把正整数排了一个顺序, 这种新的顺序被称为是沙可夫斯基序. 若用“ \( < \) ”表示这种顺序,那么它适合下列几条规则: \( p, q \) 记大于 1 的奇数, \( k, l \) 记非负整数, 则: \[ \left\{ \begin{array}{l} { < }_{1},\text{ 若 }n = p \cdot {2}^{k}\text{ 而 }m = {2}^{l},\text{ 则 }n < m; \\ { < }_{2},\text{ 若 }n = p \cdot {2}^{k}\text{ 而 }m = q \cdot {2}^{l}, k < l,\text{ 则 }n < m; \\ { < }_{3},\text{ 若 }n = p \cdot {2}^{k}\text{ 而 }m = q \cdot {2}^{k}, p < q,\text{ 则 }n < m; \\ { < }_{4},\text{ 若 }n = {2}^{k}\text{ 而 }m = {2}^{l}, k < l,\text{ 则 }m < n. \end{array}\right. \] 沙可夫斯基序揭示许多自然现象所遵循的顺序性规律, 最著名的是区间映射的周期点的出现顺序, 即沙可夫斯基定理 (参见 “沙可夫斯基定理”). 此外, 还有单参数函数族超稳定周期轨出现顺序的沙可夫斯基定理, 有关小扰动的沙可夫斯基定理, 以及有关组合的某种排序的沙可夫斯基定理等. 沙可 \( {}^{ + } \) 斯基定理 (Sarkovskii theorem) 特指区间映射的周期点出现顺序遵从沙可夫斯基序的规律, 它是由苏联数学家沙可夫斯基 (Sarkovskii, A. N. ) 在 1964 年给出的. 设 \( f \) 为区间连续自映射, \( m \) 和 \( n \) 是两个正整数且按照沙可夫斯基序有 \( m \vartriangleleft n \) ,若 \( f \) 有周期为 \( m \) 的周期点,则 \( f \) 必有周期为 \( n \) 的周期点. 沙可夫斯基用俄文发表了这一惊奇的定理, 但在当时没有引起广泛的注意. 1975 年, 李天岩和约克 (Yorke, J. A. ) 独立证明了定理的特款一若 \( f \) 有周期为 3 的周期点,则对任意非负整数 \( n, f \) 有以 \( n \) 为周期的周期点——这引起数学家的广泛关注, 并发现了沙可夫斯基的俄文文献. 1977 年, 斯特凡 (Stefan, P. ) 用英文详细介绍了沙可夫斯基定理并澄清了证明过程中若干含糊之处. 之后许多数学家相继给出这一定理的简化证明. 回复性定理 (recurrence theorem) 表述几类回复性集合之间等价关系的定理. 设 \( f \) 为区间映射. \( P\left( f\right) ,\Omega \left( f\right), R\left( f\right) ,\mathrm{{CR}}\left( f\right) ,\mathrm{{AP}}\left( f\right), W\left( f\right) \) , \( H\left( f\right) ,\mathrm{{SH}}\left( f\right) ,\mathrm{{PP}}\left( f\right), h\left( f\right) \) 分别表示 \( f \) 的周期点集、非游荡点集、回归点集、链回归点集、几乎周期点集、 \( \omega \) 极限点集、异状点集、特殊异状点集、周期集、 拓扑熵, 则下列命题相互等价: 1. \( \overline{P\left( f\right) } = P\left( f\right) \) . 2. \( \Omega \left( f\right) = P\left( f\right) \) . 3. \( \operatorname{CR}\left( f\right) = P\left( f\right) \) . 4. \( R\left( f\right) = P\left( f\right) \) . 5. \( W\left( f\right) = P\left( f\right) \) . 6. \( \operatorname{AP}\left( f\right) = P\left( f\right) \) . 7. \( \operatorname{SH}\left( f\right) = \varnothing \) . 8. \( H\left( f\right) = \varnothing \) . 9. \( h\left( f\right) = 0 \) . 10. \( \operatorname{PP}\left( f\right) = \left\{ {1,2,{2}^{2},{2}^{3},\cdots }\right\} \) . 李-约克混沌(Li-Yorke chaos) 一种表述系统紊乱的概念. 1975 年, 李天岩和约克 (Yorke, J. A. ) 在研究区间上自映射时, 首先使用了“混沌”一词, 并给出了它的一个定义如下: 设 \( f : I \rightarrow I \) 为区间连续映射,若 \( f \) 满足下列条件,即存在不可数集 \( C \subset I \) ,使得: 1. 对于任意 \( x, y \in C, x \neq y \) , \[ \mathop{\liminf }\limits_{n}\left| {{f}^{n}\left( x\right) - {f}^{n}\left( y\right) }\right| = 0, \] \[ \mathop{\limsup }\limits_{n}\left| {{f}^{n}\left( x\right) - {f}^{n}\left( y\right) }\right| > 0; \] 2. 对于任意 \( x \in C \) 和任意 \( y \in P\left( f\right) \) . \[ \mathop{\limsup }\limits_{n}\left| {{f}^{n}\left( x\right) - {f}^{n}\left( y\right) }\right| > 0, \] 则称 \( f \) 是李-约克混沌的. 李天岩和约克在引入李- 约克混沌的同时指出,若区间映射 \( f \) 有周期点以 3 为周期,则 \( f \) 是李-约克混沌的,换言之,周期 3 意味着混沌. 区间映射的伯克霍夫中心及中心深度 (Birkhoff center and depth of the center for interval maps）对区间上自映射伯克霍夫中心研究的一个完整结果. 它指出: 区间映射 \( f \) 的伯克霍夫中心是周期点集的闭包 \( \overline{P\left( f\right) } \) ,而中心阶数不大于 2 . 区间映射的 \( {C}^{r} \) 封闭引理 \( \left( {C}^{r}\right. \) -closing lemma on interval maps) 关于区间上 \( {C}^{r} \) 映射的一个回复性质的引理. 设 \( f : I \rightarrow I \) 为 \( r\left( {r \geq 1}\right) \) 次连续可微的映射,又设 \( x \in \Omega \left( f\right) \) ,则在 \( f \) 的任意 \( {C}^{r} \) 邻近存在着 \( r \) 次连续可微的 \( g : I \rightarrow I \) 使得 \( x \in \overline{P\left( g\right) } \) ,此结论称为区间映射的 \( {C}^{r} \) 封闭引理. 杨赖杉在证明这一结论的同时指出,对于任意 \( r\left( {1 \leq r \leq + \infty }\right) \) ,在由 \( r \) 次连续可微的区间自映射组成的映射空间 (带 \( {C}^{r} \) 拓扑) 中, 满足条件 \( \overline{P\left( f\right) } = \Omega \left( f\right) \) 的映射构成一个处处稠密的开集. 区间映射周期轨道的结构 (structure of periodic orbits for interval maps) 揭示区间上连续自映射周期轨道上的点在这区间上排列的相互关系. 设 \( f : I \rightarrow I \) 为区间自映射,以 \( P \) 记 \( f \) 的一个周期轨道. 对于奇数 \( S \geq 1 \) ,如果具有周期为 \( S \) 的 \( P \) (简称 \( S \) 周期轨道 \( P) \) 中 \( S \) 个点按通常实数顺序排列时,第 \( \left( {s + 1}\right) /2 \) 个点 \( y \) (从左数到右或从右数到左) 有 \[ {f}^{s - 1}\left( y\right) < \cdots < {f}^{2}\left( y\right) < y < {f}^{1}\left( y\right) < \cdots < {f}^{s - 2}\left( y\right) \] 或 \[ {f}^{s - 2}\left( y\right) < \cdots < {f}^{1}\left( y\right) < y < {f}^{2}\left( y\right) < \cdots < {f}^{s - 1}\left( y\right) , \] 则称 \( S \) 周期轨道 \( P \) 为简单的. 归纳地,对于任意 \( r \geq \) 1 以及任意奇数 \( S \geq 1 \) ,如果 \( {2}^{r}S \) 周期轨道 \( P \) 中 \( {2}^{r}S \) 个点按通常实数顺序排列,左边的 \( {2}^{r - 1}S \) 个点和右边的 \( {2}^{r - 1}S \) 个点各自都是 \( {f}^{2} \) 的简单 \( {2}^{r - 1}S \) 周期轨道,那么就称它是 \( f \) 的简单 \( {2}^{r}S \) 周期轨道. 按归纳原则,对于任意奇数 \( n > 0, f \) 的简单 \( n \) 周期轨道都有定义. 对 \( f \) 的简单 \( {2}^{r}S \) 周期轨道 \( P \) (其中 \( S > 1 \) 为奇数, \( r \geq 0) \) ,如果将 \( P \) 中 \( {2}^{r}S \) 个点按通常实数顺序排列并记它的第 \( {is} + \left( {s + 1}\right) /2 \) 个点为 \( {C}_{i} \) (从左数到右或从右数到左), \( 0 \leq i \leq {2}^{r} - 1 \) ,那么下面的等式 \[ \left\{ {{c}_{0},{c}_{1},\cdots ,{c}_{{2}^{r} - 1}}\right\} = \left\{ {{c}_{{i}_{0}}, f\left( {c}_{{i}_{0}}\right) \cdots {f}^{{2}^{r} - 1}\left( {c}_{{i}_{0}}\right) }\right\} \] 对于某一个 \( {i}_{0}\left( {0 \leq {i}_{0} \leq {2}^{r} - 1}\right) \) 成立,则称这个简单 \( {2}^{r}S \) 周期轨道 \( P \) 为 \( f \) 的极小 \( {2}^{r}S \) 周期轨道. 显然,所有简单 \( {2}^{r} \) 周期轨道和所有简单 \( S \) 周期轨道 (其中 \( S \) \( \geq 1 \) 为奇数) 都是极小周期轨道. 研究比如简单周期轨道、极小周期轨道等具有特定结构的周期轨道的存在性, 即研究怎样的有限的有序集合的循环排列在何种线段映射下得以实现的问题, 是区间映射的动力系统的一个重要课题. 从已经得到的结果看, 对区间映射 \( f \) 来说,有 \( n \) 周期轨就有极小 \( n \) 周期轨; 如果 \( f \) 的周期集合是沙可夫斯基序中的片断,假定片断最左端为 \( n \) ,则 \( f \) 的任何一个 \( n \) 周期轨都是简单的; 再若 \( n = {2}^{r}S \) ,其中 \( r > 0, S \) 为大于 3 的奇数,则 \( f \) 的任何 \( n \) 周期轨都是极小的. 人们还证明,区间映射 \( f \) 的每个 \( {2}^{n} \) 周期轨道都是简单的 (极小的) 当且仅当 \( f \) 的周期都是 2 的方幂,即 \( \operatorname{PP}\left( f\right) = \left\{ {1,2,{2}^{2},{2}^{3}}\right. \) , \( \cdots \} \) . 当 \( f \) 的周期集为有限集时,比如 \[ \operatorname{PP}\left( f\right) = \left\{ {1,2,{2}^{2},{2}^{3},\cdots ,{2}^{n}}\right\} , \] 不同周期的周期轨道之间存在简单而有趣的关系: 对 \( f \) 的任一个 \( {2}^{m} \) 周期轨道 \( \left( {m \leq n}\right) \) ,必存在周期分别为 \( 1,2,{2}^{2},\cdots {2}^{m} \) 的 \( m + 1 \) 个周期轨道,使得其中每个 \( {2}^{k} \) 周期轨道的 \( {2}^{k} \) 个周期点必定被 \( {f}^{{2}^{k - 1}} \) 的 \( {2}^{k} - 1 \) 个不动点所分隔,这里 \( k = 1,2,\cdots, m \) . 当 \( m = 3 \) 时, 如图所示.  简单周期轨道 (simple periodic orbit) 见 “区间映射周期轨道的结构”. 极小周期轨道 (minimal periodic orbit) 见 “区间映射周期轨道的结构”. ## 微分动力系统 微分动力系统 (differentiable dynamical system) 微分流形上由常微系统或微分同胚生成的动力系统. 研究的核心内容是结构稳定性和 \( \Omega \) 稳定性的特征性质. 它起源于常微分方程结构稳定性的研究. 虽然 1937 年, 安德罗诺夫 (Ahaponob, A. A. ) 与庞特里亚金 (Понтрягин, л. C. ) 就提出此概念, 但直到 1959 至 1962 年佩克索托 (Peixoto, M. ) 得出二维闭曲面上 \( {C}^{r} \) 常微系统结构稳定的充分必要条件以及稠密性定理 (参见 “佩克索托定理”), 结构稳定的研究才受到足够重视. 以斯梅尔 (Smale, S. ) 为代表的西方学者们研究高维流形的 \( {C}^{1} \) 结构稳定系统与 \( \Omega \) 稳定系统,由于该研究的复杂性,他们首先从流形上微分同胚生成的离散微分动力系统着手 (这种系统通过扭扩可成为高一维流形上的常微系统), 主要是通过稳定流形理论与泛函分析方法. 以佩克索托对二维流形结构稳定系统的特征研究为蓝本, 斯梅尔将其推广到一般流形上, 称之为莫尔斯- 斯梅尔系统, 并证明其为结构稳定的. 但随后举出不属于这种系统的结构稳定系统, 例如, 托姆环面双曲自同构和安诺索夫微分同胚以及斯梅尔马蹄, 它们的周期点都是无穷多的. 后来发现结构稳定系统一般不是稠密的. 1967 年, 斯梅尔提出结构稳定性猜测和 \( \Omega \) 稳定性猜测,这两个猜测对 \( {C}^{1} \) 微分同胚和常微系统已获解决. 中国数学家廖山涛于 20 世纪 60 年代初开始进行微分动力系统的开创性的研究工作, 他以微分拓扑与黎曼几何为工具建立了典范方程组与阻碍集这两个概念为核心的微分动力系统的研究体系, 直接将常微系统 (即向量场) 按积分曲线上的活动标架展开为微分方程组加以研究, 另辟一条研究微分动力系统的途径, 取得许多重要成果. 微分动力系统的研究近年来逐渐涉及非稳定的课题, 例如分岔和混沌等, 有些研究与遍历性交叉, 出现微分动力系统的遍历性理论. 微分动力系统又分为 \( {C}^{r} \) 流、离散微分动力系统和离散微分半动力系统 (参见“动力系统”). \( {C}^{r} \) 流 \( \left( {{C}^{r}\text{flow }}\right) \) 指微分流形上的连续微分动力系统. 设 \( M \) 是 \( {C}^{r} \) 微分流形,若 \( f : \mathrm{R} \times M \rightarrow M \) 是一个流 (参见 “流”),并且 \( f \) 是 \( {C}^{r} \) 映射,就称 \( f \) 是 \( M \) 上的 \( {C}^{r} \) 流. \( {C}^{r} \) 向量场 ( \( {C}^{r} \) vector field) 特殊的向量场. 设微分流形 \( M \) 上每一点给定一个向量,这种微分流形上向量的分布称为 \( M \) 上向量场. 若它是 \( {C}^{r} \) 的,则

2000_数学辞海（第3卷）

\( {C}^{1} \) 结构稳定系统与 \( \Omega \) 稳定系统,由于该研究的复杂性,他们首先从流形上微分同胚生成的离散微分动力系统着手 (这种系统通过扭扩可成为高一维流形上的常微系统), 主要是通过稳定流形理论与泛函分析方法. 以佩克索托对二维流形结构稳定系统的特征研究为蓝本, 斯梅尔将其推广到一般流形上, 称之为莫尔斯- 斯梅尔系统, 并证明其为结构稳定的. 但随后举出不属于这种系统的结构稳定系统, 例如, 托姆环面双曲自同构和安诺索夫微分同胚以及斯梅尔马蹄, 它们的周期点都是无穷多的. 后来发现结构稳定系统一般不是稠密的. 1967 年, 斯梅尔提出结构稳定性猜测和 \( \Omega \) 稳定性猜测,这两个猜测对 \( {C}^{1} \) 微分同胚和常微系统已获解决. 中国数学家廖山涛于 20 世纪 60 年代初开始进行微分动力系统的开创性的研究工作, 他以微分拓扑与黎曼几何为工具建立了典范方程组与阻碍集这两个概念为核心的微分动力系统的研究体系, 直接将常微系统 (即向量场) 按积分曲线上的活动标架展开为微分方程组加以研究, 另辟一条研究微分动力系统的途径, 取得许多重要成果. 微分动力系统的研究近年来逐渐涉及非稳定的课题, 例如分岔和混沌等, 有些研究与遍历性交叉, 出现微分动力系统的遍历性理论. 微分动力系统又分为 \( {C}^{r} \) 流、离散微分动力系统和离散微分半动力系统 (参见“动力系统”). \( {C}^{r} \) 流 \( \left( {{C}^{r}\text{flow }}\right) \) 指微分流形上的连续微分动力系统. 设 \( M \) 是 \( {C}^{r} \) 微分流形,若 \( f : \mathrm{R} \times M \rightarrow M \) 是一个流 (参见 “流”),并且 \( f \) 是 \( {C}^{r} \) 映射,就称 \( f \) 是 \( M \) 上的 \( {C}^{r} \) 流. \( {C}^{r} \) 向量场 ( \( {C}^{r} \) vector field) 特殊的向量场. 设微分流形 \( M \) 上每一点给定一个向量,这种微分流形上向量的分布称为 \( M \) 上向量场. 若它是 \( {C}^{r} \) 的,则称它为 \( M \) 上 \( {C}^{r} \) 向量场或 \( {C}^{r} \) 常微系统,当 \( M \) 是紧致时, \( M \) 上 \( {C}^{r} \) 向量场生成一个 \( M \) 上的 \( {C}^{r} \) 流. \( {C}^{\prime } \) 常微系统 \( \left( {C}^{\prime }\right. \) ordinary differentiable sys - tem) 见 “ \( {C}^{r} \) 向量场”. 离散微分动力系统 (discrete differentiable dynamical system) 微分动力系统之一. 所谓离散微分动力系统, 是指由微分流形上的微分同胚生成的离散动力系统. 如果该同胚是 \( {C}^{r} \) 微分同胚,那么就称其生成的动力系统为 \( {C}^{r} \) 微分动力系统 (参见 “离散动力系统”). \( {C}^{r} \) 微分动力系统 \( \left( {C}^{r}\right. \) differentiable dynamical system) 见“离散微分动力系统”. 离散微分半动力系统 (discrete differentiable semi-dynamical system) 一类微分半动力系统. 所谓离散微分半动力系统, 是指由微分流形上的可微映射所生成的离散半动力系统. 如果该映射是 \( {C}^{r} \) 的,那么就称其生成的半动力系统为 \( {C}^{r} \) 微分半动力系统 (参见 “离散半动力系统”). \( {C}^{r} \) 微分半动力系统 \( \left( {C}^{r}\right. \) differentiable semi-dynamical system) 见“离散微分半动力系统”. 通有性 (generic property) 用来描述动力系统的一个性质是一空间上 “大多数”动力系统所具有的性质的术语. 设 \( X \) 是一个拓扑空间,用 \( P \) 表示动力系统的某一个性质. 若 \( X \) 上具有性质 \( P \) 的动力系统的集合在 \( X \) 上全体动力系统所构成的空间中是一个剩余子集 (通常称为贝尔子集),那么就称性质 \( P \) 是通有的. 例如,设 \( M \) 是光滑黎曼流形, \( {\operatorname{Diff}}^{r}\left( M\right) \) 表示 \( M \) 上全体 \( {C}^{r} \) 微分同胚所构成的空间 (具有 \( {C}^{r} \) 拓扑). 如果具有性质 \( P \) 的 \( {C}^{r} \) 微分同胚的集合在 \( {\operatorname{Diff}}^{r}\left( M\right) \) 中是一个剩余子集,那么就称性质 \( P \) 是通有的. 动力系统的一个性质是否是通有的? 这在动力系统理论的研究中是十分重要的内容. 目前所获得的一个重要的通有性质可参见 “通有稠密性定理”. 双曲线性映射 (hyperbolic linear map) 亦称双曲线性同构, 是沿一个方向扩张, 沿另一个方向收缩的可逆线性映射. 设 \( \left( {E,\parallel \cdot \parallel }\right) \) 是巴拿赫空间, \( A : E \rightarrow E \) 是可逆线性映射. 如果 \( E \) 可分解为关于 \( A \) 不变的闭线性子空间 \( {E}^{u} \) 和 \( {E}^{s} \) 的直和: \[ E = {E}^{u} \oplus {E}^{s}, A{E}^{u} = {E}^{u}, A{E}^{s} = {E}^{s}, \] 并且存在常数 \( {C}_{1},{C}_{2} > 0 \) 和 \( 0 < \lambda < 1 \) ,使得 \( \begin{Vmatrix}{{A}^{k}\xi }\end{Vmatrix} \geq {C}_{1}{\lambda }^{-k}\parallel \xi \parallel \left( {\forall \zeta \in {E}^{u}, k = 1,2,\cdots }\right) , \) \( \begin{Vmatrix}{{A}^{k}\eta }\end{Vmatrix} \leq {C}_{2}{\lambda }^{k}\parallel \eta \parallel \left( {\forall \eta \in {E}^{s}, k = 1,2,\cdots }\right) , \) 则称 \( A \) 为双曲线性映射,并称 \( {E}^{u} \) 为 \( A \) 的扩张子空间, \( {E}^{s} \) 为 \( A \) 的收缩子空间. 对可逆线性映射 \( A : E \rightarrow \) \( E \) ,下面三条等价: 1. \( A \) 是双曲线性映射. 2. \( A \) 的谱集与复平面的单位圆不相交. 3. 存在关于 \( A \) 不变的 \( E \) 的直和分解 \( E = \) \( {E}^{u} \oplus {E}^{s}, A{E}^{u} = {E}^{n}, A{E}^{s} = {E}^{s} \) ,及与 \( \parallel \cdot \parallel \) 等价的范数 \( \left| \cdot \right| \) ,使得 \[ \left| {A}_{u}^{-1}\right| = \left| {\left( A \mid {E}^{u}\right) }^{-1}\right| < 1, \] \[ \left| {A}_{s}\right| = \left| \left( {A \mid {E}^{s}}\right) \right| < 1. \] 已经证明,双曲线性映射的集合是 \( \mathcal{L}\left( {E, E}\right) \) 中的开集 (这里 \( \mathcal{L}\left( {E, E}\right) \) 是 \( E \rightarrow E \) 的线性映射全体,具有算子范数拓扑), 这就是说, 线性映射的双曲性经过小扰动之后不至于被破坏. 这一性质在动力系统结构稳定性的研究中起着重要的作用. 皮尤夫 (Pugh, C. ) 于 1969 年进一步证明,对 \( A \) 的任意两个有界连续的李普希茨小扰动 \( \varphi ,\psi : E \rightarrow E, A + \varphi \) 与 \( A \) \( + \psi \) 是拓扑共轭的. 这一结论成为哈特曼定理泛函分析方法证明的核心. 双曲线性同构 (hyperbolic linear automor-phisms) 即“双曲线性映射”. 扩张子空间 (expansive subspace) 见 “双曲线性映射”. 收缩子空间 (contractive subspace) 见 “双曲线性映射”. 双曲线性向量场 (hyperbolic linear vertor fields) 线性场空间中结构稳定的一类线性向量场. 设 \( \left( {E,\parallel \cdot \parallel }\right) \) 是巴拿赫空间, \( A : E \rightarrow E \) 是线性映射. 若 \( A \) 的谱集与复平面上的虚轴不相交,则称 \( A \) 为双曲线性向量场. 线性向量场 \( A : E \rightarrow E \) 为双曲的当且仅当对任意实数 \( t \neq 0,\exp {tA} \) 是双曲线性映射. 双曲线性向量场产生的流称为双曲线性流. 在 \( E \) 为有限维时, 线性向量场在线性场空间中结构稳定的充分必要条件是它为双曲的. 所有结构稳定线性向量场集合在线性场空间中是开稠的. 双曲线性流 (hyperbolic linear flow) 见 “双曲线性向量场”. 双曲不动点 (hyperbolic fixed point) 可微映射具有局部结构稳定性质的不动点. 它的常见定义是在一般黎曼流形上给出. 设 \( U \) 是黎曼流形 \( M \) 的开集, \( p \in U \) 是 \( f \in {C}^{1}\left( {U, M}\right) \) 的不动点. 若 \( {Df}\left( p\right) \) : \( {T}_{p}M \rightarrow {T}_{p}M \) 是双曲线性映射,则称 \( p \) 是 \( f \) 的双曲不动点. 在一般巴拿赫空间中, 它的定义是: 设 \( \left( {E,\parallel \cdot \parallel }\right) \) 是巴拿赫空间, \( U \subset E \) 是开集, \( p \in U \) 是 \( f \in {C}^{1}\left( {U, E}\right) \) 的不动点. 若 \( {Df}\left( p\right) : E \rightarrow E \) 是双曲线性映射,则称 \( p \) 是 \( f \) 的双曲不动点. 在局部坐标卡下,前一定义是后一定义的特款. 双曲不动点在 \( {C}^{1} \) 小扰动下不会消失的动力行为在结构稳定性研究中有着重要的作用, 例如, 在双曲不变集及安诺索夫系统的结构稳定性的证明中就是如此. 紧流形上的不动点都是双曲的微分同胚集合在全体微分同胚空间中是开稠的. 若 \( p \) 是 \( f \) 的周期为 \( k \) 的周期点,并且 \( p \) 是 \( {f}^{k} \) 的双曲不动点,则称 \( p \) 是 \( f \) 的双曲周期点. 双曲周期点 (hyperbolic periodic point) 见 “双曲不动点”和“双曲不变集”. \( \lambda \) 引理 ( \( \lambda \) -lemma) 亦称倾角引理,描述系统在双曲不动点邻近动力行为的几何属性. 设 \( f \) 是 \( {\mathrm{R}}^{m} \) 中 \( o \) 的一邻域 \( V \) 的 \( {C}^{r} \) 微分同胚,以 \( o \) 为双曲不动点. 考虑双曲线性映射 \( A = {Df}\left( o\right) \) 及不变的直和分解 \( {\mathrm{R}}^{m} = {E}^{s} \oplus {E}^{u} \) . 由双曲不动点的稳定 (不稳定) 流形定理,可假定 \( f \) 的双曲不动点 \( o \) 的稳定 (不稳定) 流形是不动点在 \( f \) 的线性部分的稳定 (不稳定) 子空间的一邻域. 设 \( {B}^{s} \subset {E}^{s} \) 是包含在局部稳定流形 \( {W}_{\text{loc }}^{s}\left( o\right) \) 中的一球, \( {B}^{u} \subset {E}^{u} \) 是包含在局部不稳定流形 \( {W}_{\text{loc }}^{u}\left( o\right) \) 中的一球,且 \( V = {B}^{s} \times {B}^{u} \) . 考虑一点 \( q \in \) \( {W}_{\text{loc }}^{s}\left( o\right) \) 以及一个维数为 \( u = \dim {E}^{u} \) 且在 \( q \) 点与 \( {W}_{\text{loc }}^{s}\left( o\right) \) 横截相交的圆盘 \( {D}^{u} \cdot \lambda \) 引理指出: 若 \( q \in \) \( {W}_{\mathrm{{loc}}}^{s}\left( o\right) \smallsetminus \{ o\} ,{D}_{n}^{u} \) 是 \( {f}^{n}\left( {D}^{u}\right) \cap V \) 的包含 \( {f}^{n}\left( q\right) \) 的连通分支,则对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( {n}_{0} > 0 \) ,使得 \( n > {n}_{0} \) 时, \( {D}_{n}^{u} \) 是 \( {C}^{1} - \varepsilon \) 接近 \( {B}^{u} \cdot \lambda \) 引理的更一般的形式是在巴拿赫空间中给出,其陈述方式类似于上面对 \( {\mathrm{R}}^{m} \) 情形的叙述. \( \lambda \) 引理在几何化证明哈特曼定理中起着重要的作用. 倾角引理 (inclination lemma) 即 “ \( \lambda \) -引理”. 双曲奇点 (hyperbolic singularity) \( {C}^{1} \) 向量场有局部结构稳定性质的奇点, 它的常见定义是在一般黎曼流形上给出. 设 \( X \) 是黎曼流形 \( M \) 上的 \( {C}^{1} \) 向量场, \( p \in M \) 是 \( X \) 的奇点. 若 \( {DX}\left( p\right) : {T}_{p}M \rightarrow {T}_{p}M \) 是双曲线性向量场,则称 \( p \) 为双曲奇点. 在一般巴拿赫空间中,它的定义是: 设 \( \left( {E,\parallel \cdot \parallel }\right) \) 是巴拿赫空间, \( U \subset E \) 是开集, \( p \in U \) 是 \( U \) 上 \( {C}^{1} \) 向量场 \( X \) 的奇点. 若 \( {DX}\left( p\right) : E \rightarrow E \) 是双曲线性场,就称 \( p \) 是 \( X \) 的双曲奇点. 在局部坐标卡下, 前一定义是后一定义 的特款. 在 \( E = {\mathrm{R}}^{2} \) 是二维欧氏空间时,双曲奇点称    鞍点 渊点源点 为渊、源或鞍点 (如图). 对双曲奇点, 也有描述它的动力性质的等价性定义. 例如,对流形 \( M \) 上的 \( {C}^{1} \) 向量场 \( X \) ,其定义是: 设 \( X \) 导出的流是 \[ \varphi : \mathrm{R} \times M \rightarrow M,{\Phi }_{t} = D{\varphi }_{t} : {TM} \rightarrow {TM}, \] \( p \) 是 \( X \) 的奇点,如果存在 \( {T}_{p}M \) 在 \( {\Phi }_{t} \) 下不变的直和分解 \( {T}_{p}M = {E}_{p}^{u} \oplus {E}_{p}^{s},{\Phi }_{t}{E}_{p}^{u} = {E}_{p}^{u},{\Phi }_{t}{E}_{p}^{s} = {E}_{p}^{s} \) ,而且存在常数 \( c > 0,\lambda < 0 \) 使得: \( \begin{Vmatrix}{{\Phi }_{t}\left( \eta \right) }\end{Vmatrix} \leq c\parallel \eta \parallel \exp \left( {\lambda t}\right) \left( {\forall \eta \in {E}_{p}^{s}\text{ 及 }t \geq 0}\right) , \) \( \begin{Vmatrix}{{\Phi }_{t}\left( \xi \right) }\end{Vmatrix} \leq c\parallel \xi \parallel \exp \left( {-{\lambda t}}\right) \left( {\forall \xi \in {E}_{p}^{u}\text{ 及 }t \leq 0}\right) , \) 这里 \( \parallel \cdot \parallel \) 是切向量就 \( M \) 上的黎曼度量的模,那么 \( p \) 就称为 \( X \) 的双曲奇点. 紧致流形上的奇点都是双曲的 \( {C}^{1} \) 向量场集合 (含设有奇点的 \( {C}^{1} \) 向量场) 在全体 \( {C}^{1} \) 向量场空间中开稠. 渊点 (sink point) 见“双曲奇点”. 源点 (source point) 见 “双曲奇点”. 鞍点 (saddle point) 见“双曲奇点”. 双曲周期轨 (hyperbolic periodic orbit) 在小扰动下不会消失的一种周期轨道. 设 \( X \) 是黎曼流形 \( M \) 上的 \( {C}^{1} \) 向量场, \( \gamma \) 是 \( X \) 的一周期轨, \( \varphi : \mathrm{R} \times M \rightarrow M \) 是 \( X \) 导出的流. 如果切丛 \( {TM} \) 在 \( \gamma \) 上的限制 \( {T}_{\gamma }M \) 可表示为三个 \( {\Phi }_{t} = D{\varphi }_{t} \) 不变子丛的惠特尼和 \( {T}_{\gamma }M = \) \( {E}^{u} \oplus E \oplus {E}^{s} \) ,其中 \( E \) 是和 \( \gamma \) 相切的一维丛,而且存在常数 \( c > 0,\lambda < 0 \) ,使得 \( \left| {{\Phi }_{t}\left( \eta \right) }\right| \leq c\left| \eta \right| \exp \left( {\lambda t}\right) \;\left( {\forall \eta \in {E}^{s}\text{ 及 }t \geq 0}\right) , \) \[ \left| {{\Phi }_{t}\left( \xi \right) }\right| \leq c\left| \xi \right| \exp \left( {-{\lambda t}}\right) \;\left( {\forall \in {E}^{u}\text{ 及 }t \leq 0}\right) , \] 这里 \( \left| \cdot \right| \) 是切向量就 \( M \) 上的黎曼度量的模,则称 \( \gamma \) 是 \( \varphi \) 的一双曲周期轨. 双曲周期轨的这一定义揭示了它具有稳定性的动力学性质. 然而, 基于简单、直观, 人们也用庞加莱映射在横截面上给出的局部微分同胚的不动点的双曲性来定义双曲周期轨. 设 \( p \) \( \in \gamma ,\sum \) 是过 \( p \) 的局部横截面,于是存在包含 \( p \) 的开集 \( V \subset \sum \) ,使得庞加莱映射 \( f : V \rightarrow \sum \) 是局部微分同胚,且 \( f\left( p\right) = p \) ,若 \( p \) 是 \( f \) 的双曲不动点,则称 \( \gamma \) 是 \( X \) 的双曲周期轨. \( \gamma \) 的双曲性的这一定义与点 \( p \in \gamma \) 和 \( V \) 的选取无关. 初等不动点 (elementary fixed point) 在其附近具有较简轨道结构的一类奇点. 设 \( f \) 是微分流形 \( M \) 的微分同胚, \( p \in M \) 是 \( f \) 的不动点. 如果 1 不是 \( {Df}\left( p\right) : {T}_{p}M \rightarrow {T}_{p}M \) 的特征值,那么就称 \( p \) 是 \( f \) 的初等不动点. 这一概念的一个等价形式可

2000_数学辞海（第3卷）

ight) }\right| \leq c\left| \eta \right| \exp \left( {\lambda t}\right) \;\left( {\forall \eta \in {E}^{s}\text{ 及 }t \geq 0}\right) , \) \[ \left| {{\Phi }_{t}\left( \xi \right) }\right| \leq c\left| \xi \right| \exp \left( {-{\lambda t}}\right) \;\left( {\forall \in {E}^{u}\text{ 及 }t \leq 0}\right) , \] 这里 \( \left| \cdot \right| \) 是切向量就 \( M \) 上的黎曼度量的模,则称 \( \gamma \) 是 \( \varphi \) 的一双曲周期轨. 双曲周期轨的这一定义揭示了它具有稳定性的动力学性质. 然而, 基于简单、直观, 人们也用庞加莱映射在横截面上给出的局部微分同胚的不动点的双曲性来定义双曲周期轨. 设 \( p \) \( \in \gamma ,\sum \) 是过 \( p \) 的局部横截面,于是存在包含 \( p \) 的开集 \( V \subset \sum \) ,使得庞加莱映射 \( f : V \rightarrow \sum \) 是局部微分同胚,且 \( f\left( p\right) = p \) ,若 \( p \) 是 \( f \) 的双曲不动点,则称 \( \gamma \) 是 \( X \) 的双曲周期轨. \( \gamma \) 的双曲性的这一定义与点 \( p \in \gamma \) 和 \( V \) 的选取无关. 初等不动点 (elementary fixed point) 在其附近具有较简轨道结构的一类奇点. 设 \( f \) 是微分流形 \( M \) 的微分同胚, \( p \in M \) 是 \( f \) 的不动点. 如果 1 不是 \( {Df}\left( p\right) : {T}_{p}M \rightarrow {T}_{p}M \) 的特征值,那么就称 \( p \) 是 \( f \) 的初等不动点. 这一概念的一个等价形式可用横截相交来描述: \( p \) 是 \( f \) 的初等不动点的充分必要条件是映射 \( \widetilde{f} : p \mapsto \left( {p, f\left( p\right) }\right) \) 在 \( p \) 与对角线 \( \{ \left( {p, p}\right) \in M \times M \mid \) \( p \in M\} \) 横截相交. 相应地,若 \( p \in M \) 是 \( M \) 上的 \( {C}^{1} \) 向量场 \( X \) 的一个奇点,而且 \( {DX}\left( p\right) : {T}_{p}M \rightarrow {T}_{p}M \) 没有零特征值,那么就称 \( p \) 是 \( X \) 的简单奇点. 用横截相交来描述即是: \( p \) 是 \( X \) 的简单奇点的充分必要条件是从 \( M \) 到切丛 \( {TM} \) 的映射 \( p \mapsto \left( {p, X\left( p\right) }\right) \) 在 \( p \) 点与零截面横截相交. 初等不动点 (简单奇点) 是孤立的. 紧致微分流形上所有不动点 (奇点) 都是初等的 (简单的), \( {C}^{r} \) 微分同胚 ( \( {C}^{r} \) 向量场) 集合在全体 \( {C}^{r} \) 微分同胚 \( \left( {C}^{r}\right. \) 向量场 \( ) \) 所成空间中开稠. 简单奇点 (simple singularity) 见 “初等不动点”. 横截面 (cross-section) 通过它可以建立光滑流与微分同胚生成离散动力系统之间的联系. 考虑环面上由微分方程 \[ \frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}t} = 1,\;\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t} = \alpha \text{ (其中 }\alpha \text{ 实数) } \] 所确定的光滑流 \( \varphi \) . 取环面上一个横截面 \( C : \theta = {\theta }_{0} \) (如图), \( \varphi \) 的每条轨道都与 \( C \) 横截相交,从 \( C \) 上出发的轨道正向、负向都要与 \( C \) 相交. 于是由 \( \varphi \) 诱导出 \( C \) 上第一返回映射 \( f : C \rightarrow C \) ,由 \( f\left( x\right) = {\varphi }_{{t}_{0}}\left( x\right) = \) \( \varphi \left( {{t}_{0}\left( x\right), x}\right) \) 给出 (其中 \( x \in C,{t}_{0}\left( x\right) > 0 \) 是使 \( {\varphi }_{{t0}\left( x\right) }\left( x\right) \) \( \in C \) 成立的最小的 \( t \)  值), \( f \) 是 \( C \) 上的微分同胚. 一般地,流形 \( M \) 上 \( {C}^{r} \) 流 \( \varphi \) (对应的向量场为 \( X \) ) 的横截面是一个余维为 1 的闭子流形 \( \sum \subset M \) ,它满足: 1. \( \sum \) 与 \( X \) 横截相交. 2. 从 \( \sum \) 离开的 \( \varphi \) 的每条轨道其未来与过去都与 \( \sum \) 相交. 3. \( \varphi \) 的每条轨道都与 \( \sum \) 相交. 设 \( {C}^{r} \) 流 \( \varphi \) 有横截面 \( \sum \) . 如上可定义第一返回映射 \( f : \sum \rightarrow \sum, f \) 是 \( {C}^{r} \) 微分同胚,因而具有横截面的 \( {C}^{r} \) 流在横截面上诱导了一个 \( {C}^{r} \) 微分同胚. 但是,不是所有光滑流都有横截面, 一个明显的必要条件是流不能有奇点 (参见 “扭扩”). 横截面是由庞加莱 (Poincaré, (J. -)H. ) 引进的. 拓扑共轭 (topological conjugacy) 对离散动力系统进行分类的一种方法. 设 \( M, N \) 是拓扑空间, \( f, g \) 分别是 \( M, N \) 上的同  胚,若存在一同胚 \( h : M \rightarrow \) \( N \) ,使得 \( h \circ f = g \circ h \) ,即右图可交换,就称 \( f \) 和 \( g \) 是拓扑共轭的. 拓扑共轭这一关 系是等价关系. 拓扑共轭从拓扑的观点刻画出两个离散动力系统的轨道结构是相同的. 因此, 离散动力系统的结构稳定性是用拓扑共轭来揭示的. 拓扑等价 (topological equivalence) 对连续流进行分类的一种方法. 设 \( \varphi ,\psi \) 分别是拓扑空间 \( M, N \) 上的连续流,若存在同胚 \( h : M \rightarrow N \) ,使得对任意 \( x \in M, h \) 把 \( \varphi \) 过 \( x \in M \) 的轨道保向地映射到 \( \psi \) 过 \( h\left( x\right) \in N \) 的轨道上,就称 \( \varphi \) 和 \( \psi \) 是拓扑等价的. 拓扑等价这一关系是一 个等价关系. 拓扑等价从拓扑的观点刻画出两个连续流的轨道结构是相同的. 因此, 连续流的结构稳定性是用拓扑等价来揭示的. \( {C}^{r} \) 结构稳定性 \( \left( {{C}^{r}\text{structural stability}}\right) \) 系统在 \( {C}^{r} \) 小扰动下轨道的拓扑结构保持不变的性质. 设 \( M \) 是紧致 \( {C}^{r} \) 微分流形, \( f : M \rightarrow M \) 是 \( {C}^{r} \) 微分同胚. 若对于在 \( {C}^{r} \) 意义下充分接近 \( f \) 的任意 \( {C}^{r} \) 微分同胚 \( g : M \rightarrow M, f \) 和 \( g \) 是拓扑共轭的,就称 \( f \) 是 \( {C}^{r} \) 结构稳定的. 对微分流形上的 \( {C}^{r} \) 流而言,其定义如下: 设 \( M \) 是紧致 \( {C}^{r} \) 微分流形, \( \varphi \) 是 \( M \) 上的 \( {C}^{r} \) 流. 若对于在 \( {C}^{r} \) 意义下充分接近 \( \varphi \) 的任意 \( {C}^{r} \) 流 \( \psi : \mathrm{R} \times M \rightarrow M,\varphi \) 和 \( \psi \) 是拓扑等价的,就称 \( \varphi \) 是 \( {C}^{r} \) 结构稳定的. \( M \) 上结构稳定的 \( {C}^{r} \) 微分同胚 ( \( {C}^{r} \) 流) 集合在 \( M \) 上全体 \( {C}^{r} \) 微分同胚 \( \left( {{C}^{r}\text{流}}\right) \) 构成的空间中作成开集. \( {C}^{1} \) 结构稳定性通称为结构稳定性. 紧致微分流形上的微分同胚 \( \left( {{C}^{1}\text{流}}\right) \) 是结构稳定的充分必要条件是它满足公理 \( A \) 和横截条件. 拓扑稳定性 (topological stability) 亦称半结构稳定性或半稳定性. 通常  是描述系统在 \( {C}^{0} \) 小扰动下的一个稳定性概念. 设 \( \left( {M, d}\right) \) 是紧致度量空间, \( f : M \rightarrow M \) 是同胚. 若对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,使得对任意同胚 \( g : M \rightarrow M \) ,当 \( d\left( {f, g}\right) \leq \delta \) 时,存在连续满射 \( h : M \rightarrow M \) 满足: \( 1.h \circ g = f \circ h \) ,即上图可交换; 2. \( d\left( {h,{\mathrm{{id}}}_{M}}\right) \leq \varepsilon \) ; 则称 \( f \) 是拓扑稳定的. 对度量空间上的连续流而言, 其定义如下: 设 \( \left( {M, d}\right) \) 是紧致度量空间, \( \varphi \) 是 \( M \) 上的连续流. 若对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,使得对任意连续流 \( \psi \) : \( \mathrm{R} \times M \rightarrow M \) 及任 \( t \in (0,1\rbrack \) ,当 \( d\left( {{\varphi }_{t},{\psi }_{t}}\right) \leq \delta \) 时,存在连续满射 \( h : M \rightarrow M \) 满足: 1. 对任意 \( x \in M, h \) 把 \( \varphi \) 过 \( x \) 的轨道映到 \( \psi \) 过 \( h\left( x\right) \) 的轨道内; 2. \( d\left( {h,{\mathrm{{id}}}_{M}}\right) \leq \varepsilon \) ; 则称 \( \varphi \) 是拓扑稳定的. 对于自映射情形, 也可给出拓扑稳定性的类似定义. 微分流形上的安诺索夫系统是拓扑稳定的; 扩张映射是拓扑稳定的. 对微分同胚来说,公理 \( A \) 和强横截条件蕴涵着拓扑稳定性. 半稳定性(semi-stability) 即“拓扑稳定性”. 半结构稳定性 (structural semi-stability) 即 “拓扑稳定性”. \( \Omega \) 共轭 ( \( \Omega \) -conjugacy) 离散动力系统的比拓扑等价弱的一个概念. 它是限制在非游荡集上的拓扑共轭. 设 \( f, g \) 分别是拓扑空间 \( M, N \) 的自同胚,若存在同胚 \( h : \Omega \left( f\right) \rightarrow \Omega \left( g\right) \) (其中 \( \Omega \left( \cdot \right) \) 表示 \( \left( \cdot \right) \) 的非游荡集),使得 \( h \circ {\left. f\right| }_{\Omega \left( f\right) } = {\left. g \circ h\right| }_{\Omega \left( f\right) } \) ,即下图可交换,那么就称 \( f \) 和 \( g \) 是 \( \Omega \) 共轭的. \( \Omega \) 共轭这一关系是等价关系. 拓扑共轭的两  个系统是 \( \Omega \) 共轭的. \( \Omega \) 共轭的两个系统在其非游荡集上的轨道具有相同的拓扑结构. 因此, 离散动力系统的 \( \Omega \) 稳定性是用 \( \Omega \) 共轭来揭示的. \( \mathbf{R} \) 共轭 ( \( R \) -conjugacy) 离散动力系统的比拓扑共轭弱,但又比 \( \Omega \) 共轭稍强的一个概念. 它是限制在链回归集上的拓扑共轭. 其具体释意与 \( \Omega \) 共轭完全类似 (参见 “ \( \Omega \) 共轭”). \( \Omega \) 等价 ( \( \Omega \) -equivalence) 连续流的比拓扑等价要弱的一个概念. 它是限制在其非游荡集上的拓扑等价. 设 \( \varphi ,\psi \) 分别是拓扑空间 \( M, N \) 上的连续流,若存在同胚 \( h : \Omega \left( \varphi \right) \rightarrow \Omega \left( \psi \right) \) (其中 \( \Omega \left( \cdot \right) \) 表示 \( \left( \cdot \right) \) 的非游荡集),使得对任意 \( x \in \Omega \left( \varphi \right), h \) 把 \( \varphi \) 过 \( x \) 的轨道保向地映到 \( \psi \) 过 \( h\left( x\right) \) 的轨道上,那么就称 \( \varphi \) 和 \( \psi \) 是 \( \Omega \) 等价的. \( \Omega \) 等价这一关系是等价关系. 拓扑等价的两个流是 \( \Omega \) 等价的. \( \Omega \) 等价的两个流在其非游荡集上的轨道具有相同的拓扑结构, 因此, 连续流的 \( \Omega \) 稳定性是用 \( \Omega \) 等价来揭示的. \( \mathbf{R} \) 等价 ( \( R \) -equivalence) 连续流的比拓扑等价要弱,但又比 \( \Omega \) 等价稍强的一个概念. 它是限制在链回归集上的拓扑等价. 其具体释意与 \( \Omega \) 等价完全类似 (参见 “ \( \Omega \) 等价”). 局部拓扑共轭 (local topological conjugacy) 从拓扑的观点刻画两个离散动力系统局部轨道结构是相同的. 设 \( f, g \) 分别是拓扑空间 \( M, N \) 的自同胚, \( U \subset M, V \subset N \) 分别是 \( M, N \) 的开子集. 如果存在同胚 \( h : U \cup f\left( U\right) \rightarrow V \cup g\left( V\right) \) ,使得 \( h\left( U\right) = V \) ,而且 \( h \circ {\left. f\right| }_{U} = {\left. g \circ h\right| }_{U} \) ,那么就称 \( {\left. f\right| }_{U} \) 局部拓扑共轭于 \( {\left. g\right| }_{V} \) . 设 \( p \in M, q \in N \) ,若存在 \( p \) 点的开邻域 \( U, q \) 点的开邻域 \( V \) ,使得 \( {\left. f\right| }_{U} \) 局部拓扑共轭于 \( {\left. g\right| }_{V} \) ,而且共轭 \( h \) 把 \( p \) 点映到 \( q \) 点,那么就称 \( f \) 在 \( p \) 点与 \( g \) 在 \( q \) 点是局部拓扑共轭的. 局部拓扑共轭这一关系是等价关系, 并且这一概念仅对不动点才是非平凡的. 离散动力系统的局部结构稳定性是用局部拓扑共轭来揭示的. 局部拓扑等价 (local topological equivalence) 亦称局部流等价. 从拓扑的观点刻画两个连续流局部轨道结构是相同的. 设 \( \varphi ,\psi \) 分别是拓扑空间 \( M, N \) 上的局部流,若存在同胚 \( h : M \rightarrow N \) ,使得对任意 \( x \in \) \( M, h \) 把 \( \varphi \) 过 \( x \) 的轨道 \( \varphi \left( {{D}_{x}, x}\right) \) 映射到 \( \psi \) 过 \( h\left( x\right) \) 的轨道 \( \psi \left( {{D}_{h\left( x\right) }, x}\right) \) 上 (这里 \( {D}_{x},{D}_{h\left( x\right) } \) 分别是使得映射 \( \varphi \left( {\cdot, x}\right) ,\psi \left( {\cdot, h\left( x\right) }\right) \) 有定义的最大实数区间),那么就称 \( \varphi \) 和 \( \psi \) 是拓扑等价的. 现设 \( \varphi ,\psi \) 分别是拓扑空间 \( M, N \) 上的连续流, \( U \subset M, V \subset N \) 分别是 \( M, N \) 的开子集,如果作为局部流 \( {\left. \varphi \right| }_{U} \) 与 \( {\left. \psi \right| }_{V} \) 是拓扑等价的,那么就称 \( {\left. \varphi \right| }_{U} \) 局部拓扑等价 (或局部流等价) 于 \( {\left. \psi \right| }_{V} \) . 设 \( p \in M, q \in N \) ,若存在 \( p \) 点的开邻域 \( U, q \) 点的开邻域 \( V \) ,使得 \( {\left. \varphi \right| }_{U} \) 局部拓扑等价于 \( {\left. \psi \right| }_{V} \) ,就称 \( \varphi \) 在 \( p \) 点与 \( \psi \) 在 \( q \) 点是局部拓扑等价的 (或局部流等价的). 局部拓扑等价这一关系是等价关系. 连续流的局部结构稳定性是用局部拓扑等价来揭示的. 局部流等价 (local flow equivalence) 即“局部拓扑等价”. 保向共轭 (conjugate with preserved orientation) 两个连续流之间不仅保持轨道的拓扑结构, 而且保持参数之间一定关系 (相差一个同胚) 的一种等价关系. 它是特殊的拓扑等价. 如果 \( \varphi ,\psi \) 分别是拓扑空间 \( M, N \) 的连续流,若存在同胚 \( h : M \rightarrow N \) 及连续映射 \( \sigma : M \times \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R} \) 使得: 1. 对任 \( x \in M \) ,映射 \( \sigma \left( {x, \cdot }\right) : \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R} \) 是保向同胚,且 \( \sigma \left( {x,0}\right) = 0 \) ; 2. 对任 \( x \in M \) 及 \( t \in \mathrm{R} \) ,有 \[ h \circ \varphi \left( {x, t}\right) = \psi \left( {h\left( x\right) ,\sigma \left( {x, t}\right) }\right) ; \] 则称 \( \varphi \) 和 \( \psi \) 是保向共轭的. 特别地,若存在常数 \( \alpha > \) 0,使得映射 \( \sigma : M \times \mathrm{R} \rig

2000_数学辞海（第3卷）

\right| }_{V} \) . 设 \( p \in M, q \in N \) ,若存在 \( p \) 点的开邻域 \( U, q \) 点的开邻域 \( V \) ,使得 \( {\left. \varphi \right| }_{U} \) 局部拓扑等价于 \( {\left. \psi \right| }_{V} \) ,就称 \( \varphi \) 在 \( p \) 点与 \( \psi \) 在 \( q \) 点是局部拓扑等价的 (或局部流等价的). 局部拓扑等价这一关系是等价关系. 连续流的局部结构稳定性是用局部拓扑等价来揭示的. 局部流等价 (local flow equivalence) 即“局部拓扑等价”. 保向共轭 (conjugate with preserved orientation) 两个连续流之间不仅保持轨道的拓扑结构, 而且保持参数之间一定关系 (相差一个同胚) 的一种等价关系. 它是特殊的拓扑等价. 如果 \( \varphi ,\psi \) 分别是拓扑空间 \( M, N \) 的连续流,若存在同胚 \( h : M \rightarrow N \) 及连续映射 \( \sigma : M \times \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R} \) 使得: 1. 对任 \( x \in M \) ,映射 \( \sigma \left( {x, \cdot }\right) : \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R} \) 是保向同胚,且 \( \sigma \left( {x,0}\right) = 0 \) ; 2. 对任 \( x \in M \) 及 \( t \in \mathrm{R} \) ,有 \[ h \circ \varphi \left( {x, t}\right) = \psi \left( {h\left( x\right) ,\sigma \left( {x, t}\right) }\right) ; \] 则称 \( \varphi \) 和 \( \psi \) 是保向共轭的. 特别地,若存在常数 \( \alpha > \) 0,使得映射 \( \sigma : M \times \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R} \) 对任 \( x \in M \) 及 \( t \in \mathrm{R} \) 有 \( \sigma \left( {x, t}\right) = {\alpha t} \) ,则称 \( \varphi \) 和 \( \psi \) 是流等价的. 保向共轭的两个流是拓扑等价的; 若拓扑等价的两个流不含不动点, 那么它们是保向共轭的. 拓扑等价未必能保持的一些动力学性质有可能由保向共轭所保持, 例如, 伪轨跟踪性质等. 流等价 (flow equivalence) 见 “保向共轭”. 半共轭 (semi-conjugacy) 动力系统中比拓扑共轭 (或拓扑等价) 要弱的概念. 设 \( M, N \) 是拓扑空间, \( f, g \) 分别是 \( M, N \) 上的自同胚,若存在连续满射 \( h : M \rightarrow N \) ,使得 \( h \circ f = g \circ h \) ,即下图可交换,那么就称 \( f \) 和 \( g \) 是半共轭的, \( h \) 称为是 \( f \) 对 \( g \) 的半共轭,并且称 \( g \) 为 \( f \) 的一个因子. 对拓扑空间上的连续流而言, 其定义如下: 设 \( M, N \) 是拓扑空间, \( \varphi ,\psi \) 分别是 \( M \) 和 \( N \) 上的连续流. 若存在连续满射 \( h : M \rightarrow N \) ,使得对任意 \( x \in M, h \) 把 \( \varphi \) 过 \( x \) 的轨道保向地映到 \( \psi \) 过 \( h\left( x\right) \) 的轨道上,那么就称 \( \psi \) 半共轭于 \( \varphi \) . 最简单的半共轭的例子之一是: 设 \( g : {S}^{1} \rightarrow {S}^{1} \) 是单位圆周 \( {S}^{1} \)  上保向自同胚, \( p : {\mathrm{R}}^{1} \rightarrow {S}^{1} \) 是由 \( x \mapsto {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}x} \) 确定的覆盖映射. 如果 \( f : {\mathrm{R}}^{1} \rightarrow {\mathrm{R}}^{1} \) 是 \( g \) 的提升,则 \( p \circ f = g \circ p \) . 因此, \( p \) 就是 \( f \) 对 \( g \) 的半共轭. 两个系统的半共轭可以将其中一个系统的已知信息转告另一系统的某些信息. 在上述概念中,对 \( h \) 只是连续而不一定为满射的情形,一些拓扑动力学家也称 \( h \) 是半共轭. 这显然是更弱一些的定义. ## 因子 (factor) 见 “半共轭”. \( {C}^{r}\Omega \) 稳定性 \( \left( {{C}^{r}\Omega \text{-stability}}\right) \) 描述系统在 \( {C}^{r} \) 小扰动之下非游荡集结构不改变的性质. 它比 \( {C}^{r} \) 结构稳定性稍弱一些. 设 \( M \) 是 \( {C}^{r} \) 黎曼流形, \( f : M \rightarrow M \) 是 \( {C}^{r} \) 微分同胚. 如果对在 \( {C}^{r} \) 意义下充分接近 \( f \) 的任意 \( {C}^{r} \) 微分同胚 \( g, f \) 和 \( g \) 是 \( \Omega \) 共轭的,那么就称 \( f \) 是 \( {C}^{r}\Omega \) 稳定的,并且当 \( r = 1 \) 时,简称 \( f \) 是 \( \Omega \) 稳定的. 完全类似地,可定义链回归集 \( \mathrm{{CR}} \) 的 \( {C}^{r}\mathrm{{CR}} \) 稳定性及 \( \mathrm{{CR}} \) 稳定性. 结构稳定的系统是 \( \Omega \) 稳定和 \( \mathrm{{CR}} \) 稳定的. 公理 \( A \) 和无环条件等价于 \( \Omega \) 稳定. 链回归集的双曲性蕴涵着 \( \mathrm{{CR}} \) 稳定. 对黎曼流形上的 \( {C}^{r} \) 流有类似的定义与相应的结论. \( {C}^{r}\mathrm{{CR}} \) 稳定性 \( \left( {{C}^{r}\mathrm{{CR}}\text{-stability }}\right) \) 描述系统在 \( {C}^{r} \) 小扰动下链回归集结构不改变的性质. 它是比 \( {C}^{r} \) 结构稳定稍弱,但又比 \( {C}^{r}\Omega \) 稳定性稍强一点的概念. 具体释意可参见 “ \( {C}^{r}\Omega \) 稳定性”. 拓扑 \( \Omega \) 稳定性 (topological \( \Omega \) -stability) 亦称 \( \Omega \) 半稳定性. 通常是用来描述系统在 \( {C}^{0} \) 小扰动下非游荡集的稳定性质的. 设 \( M \) 是紧致度量空间,  \( f : M \rightarrow M \) 是同胚. 如果对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,使对任一同胚 \( g : M \rightarrow M \) ,只要 \( d\left( {f, g}\right) \leq \delta \) ,就存在连续满射 \( h : \Omega \left( g\right) \rightarrow \Omega \left( f\right) \) (其中 \( \Omega \left( \cdot \right) \) 表示 \( \left( \cdot \right) \) 的非游荡集), 满足: \( 1.h \circ g{\left| {}_{\Omega \left( g\right) } = f \circ h\right| }_{\Omega \left( g\right) } \) ,即上图可交换; 2. \( d\left( {h\left( x\right), x}\right) \leq \varepsilon \left( {\forall x \in \Omega \left( g\right) }\right) \) ; 则称 \( f \) 是拓扑 \( \Omega \) 稳定的. 对 \( M \) 上的连续流而言,其定义如下: 设 \( \varphi \) 是 \( M \) 上的连续流,如果对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,使得对 \( M \) 上任一连续流 \( \psi \) ,只要对任意 \( t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) ,有 \( d\left( {{\varphi }_{t},{\psi }_{t}}\right) \) \( \leq \delta \) ,就存在连续满射 \( h : \Omega \left( \psi \right) \rightarrow \Omega \left( \varphi \right) \) ,满足: 1. 对任 \( x \in \Omega \left( \psi \right), h \) 将 \( \psi \) 过 \( x \) 的轨道映到 \( \varphi \) 过 \( h\left( x\right) \) 的轨道上; \[ \text{2.}d\left( {h\left( x\right), x}\right) \leq \varepsilon \left( {\forall x \in \Omega \left( \psi \right) }\right) \text{;} \] 则称 \( \varphi \) 是拓扑 \( \Omega \) 稳定的. 公理 \( A \) 和无环条件蕴涵着拓扑 \( \Omega \) 稳定性. \( \Omega \) 半稳定性 ( \( \Omega \) semi-stability) 即 “拓扑 \( \Omega \) 稳定性”. 绝对结构稳定 (absolutely structurally stable) 在研究结构稳定性系统的特征的过程中提出的概念.  设 \( M \) 是紧致黎曼流形, \( f \) : \( M \rightarrow M \) 是微分同胚. 如果对 \( f \) 的某邻域 \( \mathcal{U} \subset {\operatorname{Diff}}^{1}\left( M\right) \) (Diff \( {}^{1}\left( M\right) \) 表示 \( M \) 上全体 \( {C}^{1} \) 微分同胚构成的空间,带有 \( {C}^{1} \) 拓扑),存在一个映射 \( \sigma : \mathcal{U} \rightarrow \) Homeo \( \left( M\right) \) (Homeo \( \left( M\right) \) 表示 \( M \) 上全体同胚构成的空间,带有 \( {C}^{0} \) 拓扑),使得: \[ \text{1.}\sigma \left( f\right) = {\mathrm{{id}}}_{M}\text{;} \] 2. 对任意 \( g \in N \) 有, \( \sigma \left( g\right) \circ f = g \circ \sigma \left( g\right) \) ,即上图可交换; 3. \( \sigma \) 在 \( f \) 处关于 \( {C}^{0} \) 度量 \( d \) 是李普希茨的,即对某 \( K > 0 \) 和任意 \( g \in \mathcal{U} \) ,有 \[ d\left( {\sigma \left( g\right) ,{\mathrm{{id}}}_{M}}\right) \leq {kd}\left( {g, f}\right) ; \] 则称 \( f \) 是绝对 \( {C}^{1} \) 结构稳定的 (简称绝对结构稳定). 绝对结构稳定的系统是结构稳定的. 富兰克斯 (Franks, J. ) 证明, 系统的绝对结构稳定性等价于系统满足公理 \( A \) 和强横截条件. 绝对结构稳定是由富兰克斯于 1977 年引入的. 绝对 \( \Omega \) 稳定 (absolutely \( \Omega \) -stable) 研究 \( \Omega \) 稳定系统的特征时提出的概  念. 设 \( M \) 是紧致黎曼流形, \( {\operatorname{Diff}}^{1}\left( M\right) \) 是 \( M \) 上全体微分同胚的空间,具有 \( {C}^{1} \) 拓扑. Homeo \( \left( {\Omega \left( f\right), M}\right) \) (其中 \( \Omega \) (·) 表示 \( \left( \cdot \right) \) 的非游荡集) 是从 \( \Omega \left( f\right) \) 到其像集的同胚形成的空间,具有 \( {C}^{0} \) 拓扑 (其中 \( f \in {\operatorname{Diff}}^{1}\left( M\right) ).i : \Omega \left( f\right) \rightarrow M \) 是包含映射. 如果存在 \( f \) 的邻域 \( \mathcal{U} \subset {\operatorname{Diff}}^{1}\left( M\right) \) 及映射 \( \sigma : \mathcal{U} \rightarrow \) Homeo \( \left( {\Omega \left( f\right), M}\right) \) ,满足: 1. \( \sigma \left( f\right) = i \) ; 2. 对任 \( g \in \mathcal{U},\sigma \left( g\right) \cdot \left( {\Omega \left( f\right) }\right) = \Omega \left( g\right) \) ,且 \( \sigma \left( g\right) \) 。 \( f = g \circ \sigma \left( g\right) \) ,即上图可交换; 3. 存在常数 \( k > 0 \) ,使得对任意 \( g \in \mathcal{U} \) ,有 \[ d\left( {\sigma \left( g\right), i}\right) \leq {kd}\left( {f, g}\right) , \] 这里 \[ d\left( {f, g}\right) = \mathop{\sup }\limits_{{x \in M}}d\left( {f\left( x\right), g\left( x\right) }\right) ; \] 则称 \( f \) 是绝对 \( \Omega \) 稳定的. 绝对 \( \Omega \) 稳定的系统是 \( \Omega \) 稳定的. 系统的绝对 \( \Omega \) 稳定性等价于系统满足公理 \( A \) 和无环条件. 绝对 \( \Omega \) 稳定是由古肯亥默 (Guckenheimer, J. ) 于 1972 年引入的. 不变集的 \( {C}^{r} \) 结构稳定性 \( \left( {C}^{r}\right. \) structural stability of invariant set) 微分动力系统研究的重要内容之一. 指系统经过小扰动之后, 其不变集不改变其轨道结构,仅仅是不变集各点的位置有微小移动. 设 \( M \) 是一个 \( {C}^{r} \) 微分流形, \( U \subset M \) 是一个开集, \( f : U \rightarrow M \) 是 \( {C}^{r} \) 映射, \( \land \subset U \) 是 \( f \) 的一个紧致不变集, \( d \) 是与 \( M \) 的拓扑相容的任意一个距离. 如果对任意 \( \varepsilon > 0 \) 以及在 \( {C}^{r} \) 意义下充分接近 \( f \) 的任意 \( g : U \rightarrow M \) ,存在关于 \( g \) 不变的子集 \( {\Lambda }_{g} \subset U \) 和同胚 \( h : \Lambda \rightarrow {\Lambda }_{g} \) ,满足: \[ \text{1.}d\left( {h\left( x\right), x}\right) < \varepsilon \left( {\forall x \in \Lambda }\right) \text{;} \] \( 2.h \circ {\left. f\right| }_{\Lambda } = g \circ h \mid \Lambda \) ,即下图可交换; 则称 \( f \) 在 \( \Lambda \) 上是 \( {C}^{r} \) 结构稳定的. 当 \( r = 1 \) 时,通常称为不变集是结构稳定的. 如  果 \( \Lambda \) 是 \( f \) 的扩张不变集,那么 \( \Lambda \) 是结构稳定的. 如果 \( f : U \rightarrow M \) 是 \( U \) 到像集 \( f\left( U\right) \) 的微分同胚,并且 \( \land \subset U \) 是 \( f \) 的紧双曲不变集,那么 \( \land \) 是结构稳定的. 关于 \( {C}^{r} \) 向量场的不变集的 \( {C}^{r} \) 结构稳定性定义如下: 设 \( M \) 是紧致 \( {C}^{r} \) 黎曼流形, \( \land \subset M \) 是 \( M \) 上的 \( {C}^{r} \) 向量场 \( X \) 的闭不变集. 如果对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta \) \( > 0 \) ,使得只要 \( {C}^{r} \) 向量场 \( Y \) 在 \( {C}^{r} \) 意义下 \( \delta \) 接近 \( X \) , 就存在 \( Y \) 的闭不变集 \( {\Lambda }_{Y} \) 及同胚 \( h : \Lambda \rightarrow {\Lambda }_{Y}, h \) 把 \( X \) 的每一个包含在 \( \Lambda \) 内的轨道映到 \( Y \) 的包含在 \( {\Lambda }_{Y} \) 的一轨道上, 而且满足 \[ d\left( {x, h\left( x\right) }\right) < \varepsilon \;\left( {\forall x \in \Lambda }\right) , \] 则称 \( X \) 在 \( \Lambda \) 上是 \( {C}^{r} \) 结构稳定的. 当 \( r = 1 \) 时,通常称不变集是结构稳定的. 若 \( \Lambda \) 是 \( X \) 的紧双曲不变集, 而且 \( \Lambda \) 不含奇点,那么 \( X \) 在 \( \Lambda \) 上是结构稳定的. 局部结构稳定性 (local structural stability) 用来刻画动力系统在局部范围内轨道的拓扑结构在 \( {C}^{r} \) 小扰动下不发生变化的概念. 设 \( \left( {E,\parallel \cdot \parallel }\right) \) 是巴拿赫空间, \( U \subset E \) 是开集, \( f : U \rightarrow E \) 是 \( U \) 到 \( f\left( U\right) \) 的 \( {C}^{r} \) 微分同胚. \( p \in U \) ,如果对于 \( p \) 点的任意邻域 \( V \subset \) \( U \) ,只要映射 \( g : U \rightarrow E \) 在 \( {C}^{r} \) 意义下充分接近 \( f \) ,就有 \( g \) 在某点 \( q \in V \) 与 \( f \) 在 \( p \) 点局部拓扑共轭,那么就称 \( f \) 在 \( p \) 点是局部结构稳定的. 对 \( {C}^{r} \) 向量场情形,其定义是: 设 \( E, U \) 如上, \( X : U \rightarrow E \) 是 \( {C}^{\prime } \) 向量场. \( p \in U \) ,如果对于 \( p \) 点的任意邻域 \( V \subset U \) ,只要向量场 \( Y : U \rightarrow E \) 在 \( {C}^{\prime } \) 意义下充分接近 \( X \) ,就有 \( Y \) 在某点 \( q \in V \) 与 \(

2000_数学辞海（第3卷）

\left( {x, h\left( x\right) }\right) < \varepsilon \;\left( {\forall x \in \Lambda }\right) , \] 则称 \( X \) 在 \( \Lambda \) 上是 \( {C}^{r} \) 结构稳定的. 当 \( r = 1 \) 时,通常称不变集是结构稳定的. 若 \( \Lambda \) 是 \( X \) 的紧双曲不变集, 而且 \( \Lambda \) 不含奇点,那么 \( X \) 在 \( \Lambda \) 上是结构稳定的. 局部结构稳定性 (local structural stability) 用来刻画动力系统在局部范围内轨道的拓扑结构在 \( {C}^{r} \) 小扰动下不发生变化的概念. 设 \( \left( {E,\parallel \cdot \parallel }\right) \) 是巴拿赫空间, \( U \subset E \) 是开集, \( f : U \rightarrow E \) 是 \( U \) 到 \( f\left( U\right) \) 的 \( {C}^{r} \) 微分同胚. \( p \in U \) ,如果对于 \( p \) 点的任意邻域 \( V \subset \) \( U \) ,只要映射 \( g : U \rightarrow E \) 在 \( {C}^{r} \) 意义下充分接近 \( f \) ,就有 \( g \) 在某点 \( q \in V \) 与 \( f \) 在 \( p \) 点局部拓扑共轭,那么就称 \( f \) 在 \( p \) 点是局部结构稳定的. 对 \( {C}^{r} \) 向量场情形,其定义是: 设 \( E, U \) 如上, \( X : U \rightarrow E \) 是 \( {C}^{\prime } \) 向量场. \( p \in U \) ,如果对于 \( p \) 点的任意邻域 \( V \subset U \) ,只要向量场 \( Y : U \rightarrow E \) 在 \( {C}^{\prime } \) 意义下充分接近 \( X \) ,就有 \( Y \) 在某点 \( q \in V \) 与 \( X \) 在 \( p \) 点局部拓扑等价,那么就称 \( X \) 在 \( p \) 点是局部结构稳定的. 双曲不动点和双曲奇点都是局部结构稳定的. 不变集的半结构稳定性 (structural semi-stability of invariant set) 描述动力系统的不变集在系统受到 \( {C}^{0} \) 小扰动后其不变集的拓扑结构应保持的程度. 设 \( M \) 是黎曼流形, \( U \subset M \) 是开集, \( f : U \rightarrow M \) 是可微映射, \( \land \subset U \) 是 \( f \) 的紧不变集,如果对任意 \( \varepsilon \) \( > 0 \) ,只要连续映射 \( g : U \rightarrow \)  \( M \) 在 \( {C}^{0} \) 意义下充分接近 \( f \) ,就存在关于 \( g \) 的紧不变集 \( {\Lambda }_{g} \subset U \) 和连续满射 \( h \) : \( {\Lambda }_{g} \rightarrow \Lambda \) ,满足: 1. \( d\left( {h\left( x\right), x}\right) < \varepsilon (\forall x \) \( \left. { \in {\Lambda }_{g}}\right) \) \( 2.h \circ {\left. g\right| }_{\Lambda g} = {\left. f \circ h\right| }_{\Lambda g} \) ,即上图可交换; 则称 \( \Lambda \) (关于 \( f \) 的 \( {C}^{0} \) 小扰动) 是半结构稳定的. 如果 \( \Lambda \subset U \) 是 \( {C}^{1} \) 映射 \( f : U \rightarrow M \) 的扩张不变集,那么 \( \Lambda \) 是半结构稳定的. 双曲不变集 (hyperbolic invariant set) 双曲周期点概念的推广, 是微分动力系统的一个极为重要的不变集. 设 \( M \) 是黎曼流形, \( U \subset M \) 是 \( M \) 的一个开集, \( f \in {C}^{1}\left( {U, M}\right) \) 是从 \( U \) 到 \( f\left( U\right) \) 的微分同胚, \( \Lambda \) 是 \( U \) 的紧致子集. 如果: 1. \( \Lambda \) 关于 \( f \) 是不变的,即 \( f\left( \Lambda \right) = \Lambda \) ; 2. \( {\left. {T}_{\Lambda }M = \left( TM\right) \right| }_{\Lambda } \) 分解为关于 \( {Df} \) 不变的连续的惠特尼和 \[ {T}_{\Lambda }M = {E}^{n}{ \oplus }^{s}{E}^{s}, \] \[ {Df}\left( {E}_{x}^{u}\right) = {E}_{f\left( x\right) }^{u}, \] \[ {Df}\left( {E}_{x}^{s}\right) = {E}_{f\left( x\right) }^{s}\;\left( {\forall x \in \Lambda }\right) ; \] 3. 对于 \( M \) 的黎曼度量 \( \langle \cdot , \cdot \rangle \) ,存在常数 \( {C}_{1} > \) \( 0,{C}_{2} > 0 \) 和 \( 0 < \lambda < 1 \) ,使得: \( \left| {D{f}^{n}\left( \zeta \right) }\right| \geq {C}_{1}{\lambda }^{-n}\left| \zeta \right| \left( {\forall \zeta \in {E}^{u}, n = 1,2,\cdots }\right) , \) \( \left| {D{f}^{n}\left( \eta \right) }\right| \leq {C}_{2}{\lambda }^{n}\left| \eta \right| \left( {\forall \eta \in {E}^{s}, n = 1,2,\cdots }\right) ; \) 则称紧致子集 \( \Lambda \) 是 \( f \) 的一个双曲不变集,这里 \( \left| \cdot \right| \) 是由黎曼度量给出的模. 对于定义中的第 3 条已证明: 存在与 \( \langle \cdot , \cdot \rangle \) 等价的黎曼度量 \( \langle \cdot , \cdot \rangle \) 和常数 \( 0 < \tau < 1 \) ,使得: \[ \parallel {Df}\left( \zeta \right) \parallel \geq {\tau }^{-1}\parallel \zeta \parallel \left( {\forall \zeta \in {E}^{u}}\right) , \] \[ \parallel {Df}\left( \eta \right) \parallel \leq \tau \parallel \eta \parallel \left( {\forall \eta \in {E}^{s}}\right) . \] 当双曲不变集 \( \Lambda \) 是 \( f \) 的一周期轨道组成,并且 \( p \in \) \( \Lambda \) ,那么 \( p \) 就称为双曲周期点. 这一定义等价于“双曲不动点”条目中所给的定义 (参见 “双曲不动点”). 当 \( M \) 紧致,微分同胚 \( f : M \rightarrow M \) 以 \( M \) 为双曲不变集时, \( f \) 被称为安诺索夫微分同胚. 系统的双曲不变集是结构稳定的; 安诺索夫微分同胚是结构稳定的和拓扑稳定的. 安诺索夫微分同胚 (Anosov diffeomorphism) 见“双曲不变集”. 安诺索夫可微映射 (Anosov differentiable map） 比安诺索夫微分同胚和扩张映射更广的一类离散微分半动力系统. 设 \( M \) 是黎曼流形, \( f \) 是 \( M \) 到自身的 \( {C}^{1} \) 映射. 若 \( f \) 是 \( {C}^{1} \) 的正则映射 (即: 对任意 \( x \in M, f \) 在 \( x \) 处的微分 \( {D}_{x}f : {T}_{x}M \rightarrow {T}_{f\left( x\right) }M \) 是满射),并且存在常数 \( C > 0 \) 及 \( 0 < \mu < 1 \) 和 \( M \) 上的一个 黎曼度量 \( \parallel \cdot \parallel \) ,使得对 \( M \) 中的任意一个点列 \( \left\{ {x}_{n}\right\}, f\left( {x}_{n}\right) = {x}_{n + 1}\left( {\forall n}\right) \) ,存在分解 \( \mathop{\bigcup }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}{T}_{{x}_{n}}M = \mathop{\bigcup }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}{E}_{{x}_{n}}^{s} \oplus {E}_{{x}_{n}}^{u} = {E}^{s} \oplus {E}^{u}. \) 满足: 1. \( {Df}\left( {E}^{\sigma }\right) \subset {E}^{\sigma }\left( {\sigma = s, u}\right) \) ; 2. \( \begin{Vmatrix}{D{f}^{n}\left( v\right) }\end{Vmatrix} \leq c{\mu }^{n}\parallel v\parallel \left( {\forall v \in {E}^{s}}\right) \) ; 3. \( \begin{Vmatrix}{D{f}^{n}\left( v\right) }\end{Vmatrix} \geq {C}^{-1}{\mu }^{-n}\parallel v\parallel \left( {\forall v \in {E}^{u}}\right) \) ; 则称 \( f \) 是安诺索夫可微映射. 该定义是由波兹蒂斯基 (Przytycki, F. ) 给出的. 安诺索夫可微映射与安诺索夫微分同胚及扩张映射有很多相似的重要性质, 例如, 它们都有伪轨跟踪性质等. 扩张不变集 (expanding invariant set) 离散微分半动力系统中较之扩张映射更广泛的研究对象, 是一个重要的不变集. 设 \( M \) 是黎曼流形, \( U \subset M \) 是具有紧致闭包的开集, \( \Lambda \subset U \) 是 \( f \in {C}^{1}\left( {U, M}\right) \) 的紧致不变集,如果存在 \( M \) 的黎曼度量 \( \langle \cdot , \cdot \rangle \) 和实数 \( \tau > 1 \) ,使得 \( \left| {{Df}\left( \zeta \right) }\right| \geq C\left| \zeta \right| \left( {\forall \zeta \in {T}_{\Lambda }M}\right) \) ,则称 \( f \) 在 \( \Lambda \) 上是扩张的,并且把 \( \Lambda \) 称为 \( f \) 的扩张不变集,这里 \( \left| \cdot \right| \) 是由 \( \langle \cdot , \cdot \rangle \) 引出的模. 如果 \( M \) 是紧致的, \( f \) \( \in {C}^{1}\left( {M, M}\right) \) 在 \( M \) 上扩张,则称 \( f \) 是扩张映射. 任何微分流形上都存在着具有“复杂的”扩张不变集的自映射,并且已经证明,扩张不变集对 \( f \) 的 \( {C}^{1} \) 小扰动是结构稳定的,对于 \( f \) 的 \( {C}^{0} \) 小扰动是半结构稳定的. 扩张映射 (expanding map) 撒布 (Shub, M. ) 在 1969 年最先研究得到的一类结构稳定的半动力系统. 最简单的扩张映射的例子是复平面上由 \( z \mapsto \) \( {z}^{2} \) 定义的单位圆周的自映射. 一般定义是: 设 \( M \) 是紧致黎曼流形, \( f \in {C}^{1}\left( {M, M}\right) \) ,如果存在 \( M \) 上的黎曼度量 \( \langle \cdot , \cdot \rangle \) 和实数 \( \tau > 1 \) ,使得 \[ \left| {{Df}\left( \xi \right) }\right| \geq \tau \left| \xi \right| \;\left( {\forall \xi \in {TM}}\right) , \] 则称 \( f \) 为扩张映射,这里 \( \left| \cdot \right| \) 是由 \( \langle \cdot , \cdot \rangle \) 引出的范数. 扩张映射是结构稳定的,并且具有有理的 \( \zeta \) 函数. 因此, 扩张映射是对微分同胚理论研究的推广. 在紧流形上扩张映射的存在对流形本身需要加以很强的限制, 其欧拉示性数必须是零, 其通用复迭空间必须微分同胚于 \( {\mathrm{R}}^{n} \) ,其基本群必须是无扭的等. 例如, 在二维紧曲面中, 只有环面和克莱因瓶才可以具有扩张映射. 流的双曲不变集 (hyperbolic invariant set of a flow) 双曲周期轨概念的推广,是 \( {C}^{r} \) 流的一个重要的不变集. 设 \( M \) 是紧黎曼流形, \( X \) 是 \( M \) 上的 \( {C}^{1} \) 向量场, \( X \) 所导出的流是 \( \varphi : \mathrm{R} \times M \rightarrow M, \land \subset M \) 是 \( \varphi \) 的不变集. 如果切丛 \( {TM} \) 在 \( \Lambda \) 上的限制 \( {T}_{\Lambda }M \) 可表示为 \( D{\varphi }_{t} \) 的三个不变子丛的惠特尼和 \( {T}_{ \land }M = {E}^{u} \oplus E \oplus {E}^{s}, \) 并且存在常数 \( C > 0,\lambda < 0 \) ,使得: \( \left| {D{\varphi }_{t}\left( \zeta \right) }\right| \leq C\left| \zeta \right| \exp \left( {-{\lambda t}}\right) \left( {\forall \zeta \in {E}^{u}\text{ 及 }t \leq 0}\right) , \) \( \left| {D{\varphi }_{t}\left( \eta \right) }\right| \leq C\left| \eta \right| \exp \left( {\lambda t}\right) \left( {\forall \eta \in {E}^{s}\text{ 及 }t \geq 0}\right) , \) 则称 \( \Lambda \) 是 \( \varphi \) 的双曲不变集. 这里 \( E \) 是和流相切的一维丛, \( \left| \cdot \right| \) 是 \( M \) 上的黎曼度量所给出的模. 上述定义本身表明 \( \Lambda \) 不含奇点,所以有时候也把 \( \Lambda \) 和一些双曲奇点的并称为双曲不变集. 当 \( \Lambda \) 是 \( \varphi \) 的一个周期轨道 \( \gamma \) 时,这就给出周期轨道双曲性的定义. 若 \( \Lambda \) \( = M \) 是 \( \varphi \) 的双曲不变集,流 \( \varphi \) 称为是安诺索夫流,对应的向量场称为安诺索夫向量场. 安诺索夫微分同胚的扭扩是安诺索夫流, 安诺索夫流是结构稳定的, 而且当非游荡集是整个空间时, 周期轨道是稠密的. 安诺索夫流 (Anosov flow) 见“流的双曲不变集”. 安诺索夫向量场 (Anosov vector field) 见“流的双曲不变集”. 哈特曼定理 (Hartman's theorem) 亦称哈特曼线性化定理,它指出: \( {C}^{1} \) 微分同胚 \( \left( {C}^{1}\right. \) 向量场 \( )f \) 在其双曲不动点 (双曲奇点) \( p \) 附近的动力学性质与其在 \( p \) 点的切映射 \( {T}_{p}f \) 的动力学性质一样. 具体地说,设 \( V \) 是巴拿赫空间 \( E \) 中 \( O \) 点的邻域, \( f : V \rightarrow f\left( V\right) \subset E \) 是 \( {C}^{1} \) 微分同胚, \( O \) 是 \( f \) 的双曲不动点,那么 \( f \) 的双曲不动点 \( O \) 局部拓扑共轭于 \( {T}_{0}f \) 的不动点 \( O \) . 对 \( {C}^{1} \) 向量场也有类似结论,并称它为哈特曼-哥布曼定理. 具体到紧致黎曼流形 \( M \) 上,哈特曼定理断言: \( M \) 上 \( {C}^{1} \) 微分同胚 \( f \) 的双曲不动点 \( p \) 局部拓扑共轭于 \( {T}_{p}f : {T}_{p}M \rightarrow {T}_{p}M \) 的不动点 \( O \) . 对 \( M \) 上 \( {C}^{1} \) 向量场的陈述完全类似. 由哈特曼定理可得到双曲不动点 (双曲奇点) 的局部结构稳定性这个动力系统中十分重要的结论. 哈特曼线性化定理 (Hartman's linearized theorem) 即“哈特曼定理”. 哈特曼-哥布曼定理 (Hartman-Grobman theorem) 见“哈特曼定理”. 稳定流形 (stable manifold) 微分动力系统的基本概念. 它是微分动力系统研究的重要内容. 稳定流形和不稳定流形在结构稳定性、 \( \Omega \) 稳定性以及分歧理论等许多课题的研究中起着十分重要的作用. 稳定流形与不稳定流形的方法是当前研究微分动力系统结构稳定性等问题的三个主要方法 (即泛函分析法、稳定流形法以及典范方程组法)之一. 稳定流形本身的理论也是微分动力系统研究的重要内容. 作为稳定流形推广的稳定集也在拓扑动力系统的研究中发挥着重要的作用. 所谓一点 \( x \) 的稳定流形, 是指在同步意义下正半轨和过点 \( x \) 的正半轨具有相同的极限性质的那些点集, 该点集构成系统所在相空间一微分流形的子流形. 设 \( \left( {M, d}\right) \) 是一度量空间, \( f : M \rightarrow M \) 是同胚,对任意 \( x \in M \) ,集合 \[ {W}^{s}\left( {x;f}\right) = \left\{ {y \in M \mid \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}d\left( {{f}^{n}\left( y\right) ,{f}^{n}\left( x\right) }\right) = 0}\right\} , \] \[ {W}^{u}\left( {x;f}\right) = \left\{ {y \in M \mid \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}d\left( {{f}^{-n}\left( y\right) ,{f}^{-n}\left( x\right) }\right) = 0}\right\} \] 分别称为 \( f \) 在点 \( x \) 处的稳定集和不稳定集. 对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,集合 \[ {W}_{\varepsilon }^{s}\left( {x;f}\right) = \left\{ {y \in M \mid y \in {W}^{s}\left( {x;f}\right) ,}\right. \] \[ d\left( {{f}^{n}\left( y\right) ,{f}^{n}\left( x\right) }\right) < \varepsilon, n = 0,1,2,\cdots \} \] \[ {W}_{\varepsilon }^{u}\left( {x;f}\right) = \left\{ {y \in M \mid y \in {W}^{u}\left( {x;f}\right) ,}\right. \] \[ d\left( {{f}^{-n}\left( y\right) ,{f}^{-n}\left( x\right) }\right) < \varepsilon, n = 0,1,2,\cdots \} \] 分别称为 \( f \) 在点 \( x \) 处 (尺度为 \( \varepsilon \) 的) 局部稳定集和局部不稳定集. 明显的有 \[ {W}^{s}\left( {x;f}\right) = {W}^{u}\left( {x;{f}^{-1}}\right) , \] \[ {W}_{\varepsilon }^{s}\left( {x;f}\right) =

2000_数学辞海（第3卷）

\rightarrow + \infty }}d\left( {{f}^{n}\left( y\right) ,{f}^{n}\left( x\right) }\right) = 0}\right\} , \] \[ {W}^{u}\left( {x;f}\right) = \left\{ {y \in M \mid \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}d\left( {{f}^{-n}\left( y\right) ,{f}^{-n}\left( x\right) }\right) = 0}\right\} \] 分别称为 \( f \) 在点 \( x \) 处的稳定集和不稳定集. 对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,集合 \[ {W}_{\varepsilon }^{s}\left( {x;f}\right) = \left\{ {y \in M \mid y \in {W}^{s}\left( {x;f}\right) ,}\right. \] \[ d\left( {{f}^{n}\left( y\right) ,{f}^{n}\left( x\right) }\right) < \varepsilon, n = 0,1,2,\cdots \} \] \[ {W}_{\varepsilon }^{u}\left( {x;f}\right) = \left\{ {y \in M \mid y \in {W}^{u}\left( {x;f}\right) ,}\right. \] \[ d\left( {{f}^{-n}\left( y\right) ,{f}^{-n}\left( x\right) }\right) < \varepsilon, n = 0,1,2,\cdots \} \] 分别称为 \( f \) 在点 \( x \) 处 (尺度为 \( \varepsilon \) 的) 局部稳定集和局部不稳定集. 明显的有 \[ {W}^{s}\left( {x;f}\right) = {W}^{u}\left( {x;{f}^{-1}}\right) , \] \[ {W}_{\varepsilon }^{s}\left( {x;f}\right) = {W}_{\varepsilon }^{u}\left( {x;{f}^{-1}}\right) ; \] 并且对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,有 \[ {W}^{s}\left( {x;f}\right) = \mathop{\bigcup }\limits_{{i \geq 0}}{f}^{-i}{W}_{\varepsilon }^{s}\left( {x;f}\right) , \] \[ {W}^{u}\left( {x;f}\right) = \mathop{\bigcup }\limits_{{i \geq 0}}{f}^{i}{W}_{\varepsilon }^{u}\left( {x;f}\right) . \] 对于连续流,有类似的定义如下: 设 \( \varphi : \mathrm{R} \times M \rightarrow \) \( M \) 是 \( M \) 上的连续流,对任意 \( x \in M \) ,集合 \( {W}^{s}\left( {x;\varphi }\right) = \left\{ {y \in M \mid \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow + \infty }}d\left( {{\varphi }_{t}\left( y\right) ,{\varphi }_{t}\left( x\right) }\right) = 0}\right\} \) 称为 \( \varphi \) 在点 \( x \) 处的稳定集. 类似地, \( {W}^{u}\left( {x,\varphi }\right) \) , \( {W}_{\varepsilon }^{s}\left( {x,\varphi }\right) ,{W}_{\varepsilon }^{u}\left( {x,\varphi }\right) \) 分别称为 \( \varphi \) 在点 \( x \) 处的不稳定集、(尺度为 \( \varepsilon \) 的) 局部稳定集和局部不稳定集. 记 \( \gamma \left( x\right) \) 为 \( \varphi \) 过点 \( x \) 的轨道,集合 \[ {W}^{s}\left( {\gamma \left( x\right) ;\varphi }\right) = \mathop{\bigcup }\limits_{{y \in \gamma \left( x\right) }}{W}^{s}\left( {y;\varphi }\right) , \] \[ {W}^{u}\left( {\gamma \left( x\right) ;\varphi }\right) = \mathop{\bigcup }\limits_{{y \in \gamma \left( x\right) }}{W}^{u}\left( {y,\varphi }\right) \] 分别称为 \( \varphi \) 的过点 \( x \) 轨道的稳定集和不稳定集. 显然,若 \( x \in M \) 是同胚 \( f \) (连续流 \( \varphi \) ) 的不动点,则 \( {W}^{s}\left( {x;f}\right) \) 与 \( {W}^{u}\left( {x;f}\right) \left( {{W}^{s}\left( {x;\varphi }\right) \text{与}{W}^{u}\left( {x;\varphi }\right) }\right) \) 分别是由以 \( x \) 为 \( \omega \) 极限集和以 \( x \) 为 \( \alpha \) 极限集的点组成; 若 \( \gamma \left( x\right) \) 是 \( \varphi \) 的周期轨道,则 \( {W}^{s}\left( {\gamma \left( x\right) ;\varphi }\right) \) 和 \( {W}^{u}\left( {\gamma \left( x\right) ;\varphi }\right) \) 分别是由以 \( \gamma \left( x\right) \) 为 \( \omega \) 极限集和以 \( \gamma \left( x\right) \) 为 \( \alpha \) 极限集的点组成. 设 \( M \) 是黎曼流形, \( f : M \rightarrow M \) 是 \( {C}^{r} \) 微分同胚, \( \Lambda \) \( \subset M \) 是 \( f \) 的紧致双曲不变集. 海尔士 (Hirsch, M. W. ) 和皮尤夫 (Pugh, C. ) 证明了重要的稳定流形及不稳定流形定理: 若 \( {T}_{\Lambda }M = {E}^{s} \oplus {E}^{u} \) 是由 \( \Lambda \) 的双曲性所决定的连续直和分解,则存在 \( \varepsilon > 0 \) ,使得对任意的 \( x \in \Lambda \) ,局部稳定集 \( {W}_{\varepsilon }^{s}\left( {x;f}\right) \) 是与 \( {E}_{x}^{s} \) 切于 \( x \) 的 \( {C}^{r} \) 嵌入 \( k \) 维圆盘 (这里 \( k = \dim {E}_{x}^{s} \) ); 局部不稳定集 \( {W}_{\varepsilon }^{u}\left( {x;f}\right) \) 是与 \( {E}_{x}^{u} \) 切于 \( x \) 的 \( {C}^{r} \) 嵌入 \( l \) 维圆盘 (这里 \( l \) \( = \dim {E}_{x}^{u}) \) ,并且,当 \( x \in \Lambda \) 在 \( \Lambda \) 中变化时,这两族圆盘分别依 \( x \) 变化而连续变化. 该定理表明: 局部稳定集 \( {W}_{\varepsilon }^{s}\left( {x;f}\right) \) 和局部不稳定集 \( {W}_{\varepsilon }^{u}\left( {x;f}\right) \) 都是 \( {C}^{r} \) 嵌入子流形,因而稳定集 \( {W}^{s}\left( {x, f}\right) \) 和不稳定集 \( {W}^{u}(x \) ; \( f) \) 是 \( {C}^{r} \) 浸入子流形. 这样一来,就有理由称局部稳定集和局部不稳定集为局部稳定流形和局部不稳定流形. 对 \( M \) 上的 \( {C}^{r} \) 向量场情形,其稳定流形与不稳定流形定理的内容与 \( {C}^{r} \) 微分同胚情形完全类似. 作为特殊情况,当 \( \Lambda \) 仅由一个不动点 (奇点) 组成时,这就是双曲不动点 (双曲奇点) 的稳定流形与不稳定流形定理. 例如,设 \( \left( {E,\parallel \cdot \parallel }\right) \) 是巴拿赫空间, \( A : E \rightarrow \) \( E \) 是双曲线性映射, \( E = {E}^{s} \oplus {E}^{u} \) 是由 \( A \) 决定的直和分解, 于是有 \[ {W}^{s}\left( {0;A}\right) = {E}^{s},\;{W}^{u}\left( {0;A}\right) = {E}^{u}. \] 若令 \( V = \{ x \in E \mid \parallel x\parallel < \varepsilon \} \) ,则 \( {W}_{\varepsilon }^{s}\left( {0;A}\right) = V \cap {E}^{s},{W}_{\varepsilon }^{u}\left( {0;A}\right) = V \cap {E}^{u}. \) 稳定集 (stable set) 见 “稳定流形”. 不稳定集 (unstable set) 见 “稳定流形”. 局部稳定集 (local stable set) 见 “稳定流形”. 局部不稳定集 (local unstable set) 见“稳定流形”. 不稳定流形 (unstable manifold) 见 “稳定流形”. 局部稳定流形 (local stable manifold) 见 “稳定流形”. 局部不稳定流形 (local unstable manifold) 见 “稳定流形”. 稳定流形定理 (theorem on stable manifold) 见“稳定流形”. 庞特里亚金-安德罗诺夫定理 (Pontryagin-Andronov's theorem) 最早得到的有关结构稳定性的结果. 1937 年, 庞特里亚金 (Hohrparmi, Jl. C. ) 和安德罗诺夫 (Ahapohob,  A. A. ) 研究了平面圆盘 \( {B}^{2} \) 上结构稳定的常微系统 \( S, S \) 在 \( {B}^{2} \) 边界上向量场一致指向 \( {B}^{2} \) 的内部或外部. 他们指出: \( S \) 在 \( {B}^{2} \) 上结构稳定的充分必要条件是: 1. \( S \) 仅有有限个奇点和周期轨道,它们是双曲的. \( 2.S \) 不存在从鞍点到鞍点的连结轨道. 如图所示就是 \( {B}^{2} \) 上一个结构稳定系统,其中 \( A, B \) 为稳定的焦点 (即渊点), \( C \) 为鞍点,它们组成系统的非游荡集. 在这个定理基础上, 佩克索托 (Peixoto, M. ) 于 1962 年得到二维流形上结构稳定的向量场的特征 (参见“佩克索托定理”). 从此动力系统结构稳定性理论得到了迅速的发展. 莫尔斯-斯梅尔系统 (Morse-Smale system) 最早得到的一类结构稳定系统. 这类系统有一特性: 它的非游荡集仅由有限个数的周期元素组成. 对这类系统的研究是从 1937 年获得的庞特里亚金-安德罗诺夫定理 (参见 “庞特里亚金-安德罗诺夫定理”) 的结论开始的. 它的通常定义如下: 设 \( M \) 是紧致黎曼流形, \( X \) 是 \( M \) 上的 \( {C}^{r} \) 向量场,如果: 1. \( X \) 有有限个奇点和周期轨道,它们都是双曲的; 2. 若 \( {\sigma }_{1} \) 和 \( {\sigma }_{2} \) 是 \( X \) 的奇点或周期轨道,那么 \( {\sigma }_{1} \) 与 \( {\sigma }_{2} \) 的稳定流形与不稳定流形是横截相交的; 3. 非游荡集 \( \Omega \left( X\right) \) 恰是 \( X \) 的奇点和周期轨道; 则称 \( X \) 是莫尔斯-斯梅尔向量场. 完全类似地可给出莫尔斯-斯梅尔微分同胚的定义. 动力系统理论已经证明: 任何紧致微分流形上都存在莫尔斯-斯梅尔系统. 这个重要事实是由莫尔斯 (Morse, H. M. ) 及斯梅尔 (Smale, S. ) 得到的, 故这一类系统通常就以他们的名字命名 (参见 “微分动力系统”). 莫尔斯-斯梅尔向量场 (Morse-Smale vector field) 见“莫尔斯-斯梅尔系统”. 莫尔斯-斯梅尔微分同胚 (Morse-Smale diffeomorphism) 见“莫尔斯-斯梅尔系统”. 佩克索托定理 (Peixoto's theorem) 定向闭曲面上 \( {C}^{r}\left( {r \geq 1}\right) \) 向量场 \( X \) 结构稳定的特征性定理. 该定理指出: \( X \) 是 \( {C}^{r}\left( {r \geq 1}\right) \) 结构稳定的充分必要条件是 \( X \) 是莫尔斯-斯梅尔系统. 具体地,莫尔斯-斯梅尔向量场内容陈述为: 1. \( X \) 仅有有限个奇点和周期轨道,它们都是双曲的. 2. \( X \) 过每一点轨线的 \( \omega \) 极限集和 \( \alpha \) 极限集都只能是奇点或周期轨道, 但它们不同时都是鞍点. 佩克索托定理是佩克索托 (Peixoto, M. ) 于 1962 年得到的. 佩克索托为了证明上述定理,还给出 \( {C}^{r} \) 稠密性定理, 即: 闭曲面上所有结构稳定系统在其上的全体 \( {C}^{r} \) 向量场空间中作成一稠密子集. 科普卡-斯梅尔定理 (Kupka-Smale's theorem) 关于微分动力系统的一种通有稠密性定理. 它由科普卡 (Kupka, I. ) 和斯梅尔 (Smale, S. ) 给出. 该定理断言: 设 \( M \) 是紧致 \( {C}^{r} \) 微分流形, \( {\operatorname{Diff}}^{r}\left( M\right) \) 是 \( M \) 上全体 \( {C}^{r} \) 微分同胚形成的空间,具有 \( {C}^{r} \) 拓扑,那么存在一通有集 \( \mathcal{Y} \subset {\operatorname{Diff}}^{r}\left( M\right) \) ,使得对任意 \( f \in \mathcal{Y}, f \) 的周期点是双曲的, 且其稳定流形与不稳定流形横截相交. 通有稠密性定理 (general density theorem) 微分动力系统的一类基本定理. 这些基本定理指出在微分动力系统中具有某性质的子系统集是全体系统集合的无穷个开稠集的交集 (即通有集). 如科普卡-斯梅尔定理就是一个通有稠密性定理. 又如, 设 \( M \) 是紧致微分流形, \( \operatorname{Diff}\left( M\right) \) 是 \( M \) 上全体 \( {C}^{1} \) 微分同胚形成的空间,具有 \( {C}^{1} \) 拓扑,那么存在一通有集 \( \mathcal{Y} \) CDiff \( \left( M\right) \) ,使得对任意 \( f \in \mathcal{Y}, f \) 的周期点是双曲的,它们在非游荡集 \( \Omega \left( f\right) \) 中稠密,而且其稳定流形与不稳定流形是横截相交的. 这个通有稠密定理由皮尤夫 (Pugh, C. ) 给出. 线性横截条件 (linear transversality condition) 向量场结构稳定的基本条件之一. 其基本含意是: 设 \( f : M \rightarrow M \) 是紧致黎曼流形上的微分同胚. 令 \[ {E}^{s} = \left\{ {\zeta \in {TM} \mid \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\begin{Vmatrix}{T{f}^{n}\left( \zeta \right) }\end{Vmatrix} = 0}\right\} , \] \[ {E}^{u} = \left\{ {\eta \in {TM} \mid \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\begin{Vmatrix}{T{f}^{-n}\left( \eta \right) }\end{Vmatrix} = 0}\right\} , \] \[ {E}_{x}^{s} = {E}^{s} \cap {T}_{x}M,{E}_{x}^{u} = {E}^{u} \cap {T}_{x}M. \] 如果对任意 \( x \in M \) ,有 \( {E}_{x}^{s} \oplus {E}_{x}^{u} = {T}_{x}M \) ,则称 \( f \) 满足强横截条件. 该定义是由罗宾 (Robbin, J. ) 在研究微分同胚生成的离散动力系统结构稳定性时首先给出的. 罗宾指出,对于公理 \( A \) 微分同胚来说,他所给出的这个强横截条件与通常所说的强横截条件 (参见 “强横截条件”) 是等价的. 后来, 廖山涛将罗宾所引的上述概念推广到常微系统, 并且为了区别于通常的强横截条件而冠以 “线性”这样的限定词, 称为线性横截条件. 与此同时, 他对常微系统也得到了类似微分同胚情形的上述结果 (参见 “阻碍集”). 强横截条件 (strong transversality condition) 亦称几何式横截条件. 结构稳定系统的基本条件之一. 所谓强横截条件是指: 当系统是由微分同胚生成时,它要求对任意两点 \( x, y, x \) 的稳定流形 \( {W}^{s}\left( x\right) \) 与 \( y \) 的非稳定流形 \( {W}^{u}\left( y\right) \) 是横截相交的; 当系统是由 \( {C}^{1} \) 向量场生成时,它要求对任意两点 \( x, y \) ,过 \( x \) 的轨道的稳定流形与过 \( y \) 的轨道的不稳定流形是横截相交的. 强横截条件是由斯梅尔 (Smale, S. ) 首先提出的. 微分动力系统的研究指出: 若系统满足公理 \( A \) 和强横截条件, 则系统是结构稳定的. 人们通常把这类系统称为是公理 \( A \) 结构稳定系统. 现已得到: 对微分同胚和向量场,结构稳定系统等价于公理 \( A \) 结构稳定系统. 几何式横截条件 (geometric transversality condition) 即“强横截条件”. 公理 \( \mathbf{A} \) 结构稳定系统 (axiom A structurally stable system) 见“强横截条件”. 稳定性猜测 (stability conjecture) 关于稳定性的两个猜测. 它是微分动力系统理论研究的核心内容. 斯梅尔 (Smale, S. ) 总结了莫尔斯-斯梅尔系统、安诺索夫系统、斯梅尔马蹄等有关结构稳定性的若干结论后, 在 1967 年, 提出以下两个著名猜测: 1. 结构稳定性 \( \Leftrightarrow \) 公理 \( A + \) 强横截条件. 2. \( \Omega \) 稳定性 \( \Leftrightarrow \) 公理 \( A + \) 无环条件. 目前,对 \( {C}^{1} \) 微分同胚及 \( {C}^{1} \) 向量场已给出两猜测的正面回答. 但对 \( {C}^{r}\left( {r \geq 2}\right) \) 情形还有待解决. 中国数学家廖山涛教授在微分动力系统理论于 20 世纪 60 年代初正式兴起时, 即开始这方面的研究, 他建立了以典范方程组与阻碍集两个基本概念为核心的独特的研究体系, 在解决这两个猜测的研究中做出了重要贡献,他给出了 \( n = 2,3,{C}^{1} \) 微分同胚稳定性猜测必要性部分的证明, 使得这个重要问题研究有了突破性进展 \( \left( {{1980},{1984}}\right) \) . 随后,1987 年,巴西学者马芮 (Mané, R. ) 解决了 \( {C}^{1} \) 微分同胚稳定性猜测的必要性部分. 对流的 \( {C}^{1} \) 稳定性猜测,廖山涛对 \( {C}^{1} \) 流的稳定性的特征做了长期的系统的刻画与研究,1994 年,日本学者哈亚西 (Hayashi, S. ) 给出 \( {C}^{1} \) 流的连结引理 (Connecting lemma), 使得这一猜测的研究又有了突破. 在这些基础上, 中国学者文兰与日本学者哈亚西分别独立地给出了 \( {C}^{1} \) 向量场结构稳定性的必要性证明,从而对 \( {C}^{1} \) 情形解决了这个猜测. 类梯度微分同胚 (gradient-like diffeomorphism) 莫尔斯-斯梅尔微分同胚的著名特例. 假定 \( f \) 是莫尔斯-斯梅尔微分同胚,定义 \( f \) 的周期点的一个偏序: \( p \leq q \) ,只要 \( q \) 的稳定流形 \( {W}^{s}\left( q\right) \) 与 \( p \) 的不稳定流形 \( {W}^{u}\left( p\right) \) 的交不空; 其次,若 \( p \leq q \) ,就有 \( \dim {W}^{s}\left( p\right) < \dim {W}^{s}\left( q\right) \) ,那么 \( f \) 就是一个类

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( \Omega \) 稳定性 \( \Leftrightarrow \) 公理 \( A + \) 无环条件. 目前,对 \( {C}^{1} \) 微分同胚及 \( {C}^{1} \) 向量场已给出两猜测的正面回答. 但对 \( {C}^{r}\left( {r \geq 2}\right) \) 情形还有待解决. 中国数学家廖山涛教授在微分动力系统理论于 20 世纪 60 年代初正式兴起时, 即开始这方面的研究, 他建立了以典范方程组与阻碍集两个基本概念为核心的独特的研究体系, 在解决这两个猜测的研究中做出了重要贡献,他给出了 \( n = 2,3,{C}^{1} \) 微分同胚稳定性猜测必要性部分的证明, 使得这个重要问题研究有了突破性进展 \( \left( {{1980},{1984}}\right) \) . 随后,1987 年,巴西学者马芮 (Mané, R. ) 解决了 \( {C}^{1} \) 微分同胚稳定性猜测的必要性部分. 对流的 \( {C}^{1} \) 稳定性猜测,廖山涛对 \( {C}^{1} \) 流的稳定性的特征做了长期的系统的刻画与研究,1994 年,日本学者哈亚西 (Hayashi, S. ) 给出 \( {C}^{1} \) 流的连结引理 (Connecting lemma), 使得这一猜测的研究又有了突破. 在这些基础上, 中国学者文兰与日本学者哈亚西分别独立地给出了 \( {C}^{1} \) 向量场结构稳定性的必要性证明,从而对 \( {C}^{1} \) 情形解决了这个猜测. 类梯度微分同胚 (gradient-like diffeomorphism) 莫尔斯-斯梅尔微分同胚的著名特例. 假定 \( f \) 是莫尔斯-斯梅尔微分同胚,定义 \( f \) 的周期点的一个偏序: \( p \leq q \) ,只要 \( q \) 的稳定流形 \( {W}^{s}\left( q\right) \) 与 \( p \) 的不稳定流形 \( {W}^{u}\left( p\right) \) 的交不空; 其次,若 \( p \leq q \) ,就有 \( \dim {W}^{s}\left( p\right) < \dim {W}^{s}\left( q\right) \) ,那么 \( f \) 就是一个类梯度微分同胚. 下图便是二维球面 \( {S}^{2} \) 上一个类梯度微分同胚的轨道结构,图中 \( b \) ,  \( d \) 是鞍点, \( a, c, e \) 是渊点. 一般地, 如果着眼于紧致微分流形上的莫尔斯函数 (一切临界点是非退化的), 那么它的梯度向量场产生的流通有的以类梯度微分同胚作为它们的时间 1 映射. 这就保证了在每个紧致微分流形上存在类梯度微分同胚. \( {C}^{1} \) 封闭引理 \( \left( {C}^{1}\right. \) closed lemma) 微分动力系统的一个基本引理. \( {C}^{1} \) 封闭引理由皮尤夫 (Pugh, C. ) 于 1967 年提出, 它的完全正确的证明是由廖山涛首先以十分简洁的方式给出的. 实际上, 他证明了以下推广的 \( {C}^{1} \) 封闭引理: 设 \( M \) 是一个 \( n \) 维黎曼流形 \( \left( {n \geq 2}\right) \) ,在 \( M \) 上定义了一个 \( {C}^{1} \) 常微系统 \( X \) (即 \( {C}^{1} \) 向量场),如果 \( a \) 是 \( X \) 的一个非游荡常点,则对任何 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( M \) 上的 \( {C}^{1} \) 常微系统 \( Y \) ,这系统有一周期轨道经过 \( a \) 点,并且满足 \( \parallel X - Y{\parallel }_{1} < \varepsilon \) . \( {C}^{1} \) 封闭引理是微分动力系统结构稳定性理论中许多问题研究的基础. 例如,由 \( {C}^{1} \) 封闭引理可得, 所有不含非闭 \( p \) 式稳定轨道的系统在全体 \( {C}^{1} \) 系统空间作成一个稠密子集. \( {C}^{r} \) 封闭引理猜测 \( \left( {C}^{r}\right. \) closed lemma conjecture \( ) \) 微分动力系统中至今还未完全解决的一个重要猜测. 它是直接关系着微分动力系统 \( {C}^{r}\left( {r \geq 2}\right) \) 结构稳定性理论进一步发展的一个重要问题. 所谓 \( {C}^{r} \) 封闭引理猜测是指如下命题对任 \( r \geq 2 \) 是否成立: 设 \( M \) 是紧致 \( n \) 维黎曼流形, \( F \) 是 \( M \) 上的 \( {C}^{r} \) 微分同胚 (或 \( {C}^{r} \) 向量场), \( p \in M \) 是 \( F \) 的一个非游荡常点,对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( M \) 上的 \( {C}^{r} \) 微分同胚 (或 \( {C}^{r} \) 向量场) \( G, G \) 有一周期轨道经过 \( p \) 点,而且在 \( {C}^{r} \) 意义下, \( G \) 是 \( \varepsilon \) 接近 \( F \) 的. 该猜测的验证显得十分困难,目前只是在对 \( M \) 或 \( F \) 作了某些限制的情形下得到验证. 安诺索夫封闭引理 (Anosov closing lemma) 微分动力系统中的一个引理. 所谓安诺索夫封闭引理, 是指紧致光滑流形上的安诺索夫系统 (微分同胚或流) 是公理 \( A \) 系统. 这一结论是可扩性与伪轨跟踪性质的直接应用. 公理 \( A \) 系统 (axiom \( A \) system) 在微分动力系统结构稳定性和 \( \Omega \) 稳定性的研究中,由斯梅尔 (Smale, S.) 提出的一个基本条件. 满足公理 \( A \) 条件要求的系统被称为公理 \( A \) 系统. 设 \( M \) 是紧致微分流形, \( f : M \rightarrow M \) 是微分同胚. 涉及 \( f \) 的以下条件称为公理 \( A \) 系统: 1. 非游荡集 \( \Omega \left( f\right) \) 具有双曲结构. 2. 周期点在非游荡集中稠密. 对 \( M \) 上的 \( {C}^{1} \) 向量场 \( X \) 来说,设 \( \varphi \) 是 \( X \) 导出的流,若 \( \Omega \left( \varphi \right) = F \cup \land \) ,同时满足: 1. \( F \) 是 \( \varphi \) 的有限个双曲奇点的集合; 2. \( \Lambda \) 是 \( \varphi \) 的双曲不变集,而且 \( \varphi \) 的双曲周期轨在 \( \Lambda \) 中稠; 3. \( F \cap \land = \varnothing \) ; 则称 \( \varphi \) 为公理 \( A \) 流. 莫尔斯-斯梅尔系统以及安诺索夫系统都是公理 \( A \) 系统. 斯梅尔正是在概括了这两个系统及其他结构稳定系统后提出公理 \( A \) 条件的. 公理 \( A \) 系统的遍历性质及其非游荡集的结构等动力学性质的研究已取得丰富成果. 公理 \( A \) 流 (axiom \( A \) flow) 见 “公理 \( A \) 系统”. 谱分解 (spectrum decomposition) 亦称基本集分解. 刻画公理 \( A \) 系统非游荡集的一个拓扑性质. 设 \( M \) 是紧致微分流形,微分同胚 \( f : M \rightarrow M \) 满足公理 \( A \) . 斯梅尔 (Smale, S. ) 证明了如下定理: \( f \) 的非游荡集 \( \Omega \left( f\right) \) 可分解为两两不相交的闭不变集之并 \[ \Omega = {\Omega }_{1} \cup {\Omega }_{2} \cup \cdots \cup {\Omega }_{s}, \] 而且 \( f \) 限制在每一个 \( {\Omega }_{i} \) 之上是拓扑传递的. 这个定理被称为谱分解定理. 闭不变集 \( {\Omega }_{i}\left( {i = 1,2,\cdots, s}\right) \) 称为是 \( \Omega \left( f\right) \) 的基本集. 对公理 \( A \) 流也有类似的谱分解. 公理 \( A \) 的谱分解性质在 \( \Omega \) 稳定性的证明中起着重要的作用. 对紧度量空间上具有伪轨跟踪的可扩同胚 (可扩流), 其非游荡集也可以谱分解. 基本集分解 (basic set decomposition) 即 “谱分解”. 局部乘积结构 (local product structure) 亦称典型坐标. 刻画双曲不变集中局部稳定集与局部不稳定集相互联系的几何属性. 设 \( M \) 是黎曼流形, \( \Lambda \) \( \subset M \) 是微分同胚 \( f : M \rightarrow M \) 的紧双曲不变集. 动力系统的研究得到,对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,使得只要 \( x, y \in \Lambda, d\left( {x, y}\right) < \delta \) ,就可断定 \( {W}_{\varepsilon }^{u}\left( {x, f}\right) \) 与 \( {W}_{\varepsilon }^{s}\left( {y, f}\right) \) 具有惟一横截交点,记为 \( \left\lbrack {x, y}\right\rbrack \) . 问题在于: 在怎样的条件下能有 \( \left\lbrack {x, y}\right\rbrack \in \Lambda \) ? 如果存在 \( \delta > 0 \) ,使得当 \( x, y \in \Lambda, d\left( {x, y}\right) < \delta \) 时,必有 \( \left\lbrack {x, y}\right\rbrack \in \Lambda \) ,则称 \( f \) 在 \( \Lambda \) 上具有局部乘积结构. 对 \( M \) 上 \( {C}^{1} \) 流 \( \varphi \) ,局部乘积结构的定义如下: \( \Lambda \subset M \) 是 \( \varphi \) 的紧双曲不变集,若对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,使得如果 \( x, y \in \Lambda \) , \( d\left( {x, y}\right) \leq \delta \) ,则存在惟一的 \( \tau = \tau \left( {x, y}\right) ,\left| \tau \right| \leq \varepsilon \) ,使得 \( {W}_{\varepsilon }^{s}\left( {{\varphi }_{\tau }\left( x\right) }\right) \cap {W}_{\varepsilon }^{u}\left( y\right) \) 非空,而且是 \( \Lambda \) 中一个点,则称 \( \varphi \) 在 \( \Lambda \) 上具有局部乘积结构. 公理 \( A \) 系统在其非游荡集上 (更确切地说是在其谱分解的基本集上)具有局部乘积结构. 典型坐标 (canonical coordinate) 即 “局部乘积结构”. 无环条件 (no cycle condition) \( \Omega \) 稳定性的基本条件之一, 描述了动力系统的不变集之间的关系. 设 \( M \) 是紧致流形, \( f : M \rightarrow M \) 是同胚, \( {\Lambda }_{1},{\Lambda }_{2},\cdots ,{\Lambda }_{l} \) 是两两不相交的 \( f \) 的闭不变集. 在这些集合间定义如下所述的一种关系“ \( \succ \) ”: \( \left. {{\Lambda }_{i} \succ {\Lambda }_{j} \Leftrightarrow \left( {{W}^{u}\left( {\Lambda }_{i}\right) \smallsetminus {\Lambda }_{i}}\right) \cap {W}^{s}\left( {\Lambda }_{j}\right) \smallsetminus {\Lambda }_{j}}\right) \neq \varnothing , \) 这里 \[ {W}^{s}\left( {\Lambda }_{j}\right) = \left\{ {x \in M \mid \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow + \infty }}d\left( {{f}^{k}x,{\Lambda }_{j}}\right) = 0}\right\} , \] \[ {W}^{u}\left( {\Lambda }_{i}\right) = \left\{ {x \in M \mid \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow + \infty }}d\left( {{f}^{-k}x,{\Lambda }_{i}}\right) = 0}\right\} . \] \( {W}^{s}\left( {\Lambda }_{j}\right) \) 和 \( {W}^{u}\left( {\Lambda }_{i}\right) \) 分别称为 \( {\Lambda }_{j} \) 的稳定集和 \( {\Lambda }_{i} \) 的不稳定集. 如果存在两两不相同的 \( {i}_{1},{i}_{2},\cdots ,{i}_{r} \) \( \left( {r \geq 1}\right) \) ,使得 \[ {\Lambda }_{{i}_{1}} \succ {\Lambda }_{{i}_{2}} \succ \cdots \succ {\Lambda }_{{i}_{r}} \succ {\Lambda }_{{i}_{1}}, \] 则称 \( {\Lambda }_{{i}_{1}},{\Lambda }_{{i}_{2}},\cdots ,{\Lambda }_{{i}_{r}} \) 形成了一个环. 如果在 \( {\Lambda }_{1} \) , \( {\Lambda }_{2},\cdots ,{\Lambda }_{l} \) 中不存在任何环,则称关系 “ \( \succ \) ” 是无环的. 对 \( M \) 上的连续流 \( f \) 而言,其无环性可如下说明: 如果 \( {\Lambda }_{1},{\Lambda }_{2},\cdots ,{\Lambda }_{l} \) 是两两不相交的 \( f \) 的闭不变集,在这些集合间定义如下所述的一种关系 “ \( \succ \) ”: \( {\Lambda }_{i} \succ {\Lambda }_{j} \Leftrightarrow \) 对某 \( x \in M \) 有 \( \alpha \left( x\right) \subset {\Lambda }_{i},\omega \left( x\right) \subset {\Lambda }_{j} \) . 于是,如上可定义关系 “ \( \succ \) ” 的无环性. 通常所说公理 \( A \) 系统满足无环条件或具有无环性质是指: \( \Omega \left( f\right) \) 的谱分解的基本集关于关系 “ \( \succ \) ”是无环的,即基本集满足无环条件. 在 \( \Omega \) 稳定性研究中,无环条件的提出是以 \( \Omega \) 爆炸为其背景的. 已经证明: 满足公理 \( A \) 和无环条件的系统是 \( \Omega \) 稳定和拓扑 \( \Omega \) 稳定的,并且 \( \Omega \) 稳定蕴涵满足公理 \( A \) 和无环条件. 基本集 (basic set) 动力系统研究的重要不变集之一. 它是根据公理 \( A \) 系统谱分解的基本集所具有的动力学性质而抽象出来的概念. 设 \( M \) 是微分流 形, \( f : M \rightarrow M \) 是微分同胚,如果 \( f \) 的一个闭不变集 \( \land \subset M \) ,满足: 1. A 是双曲的; 2. 周期点在 \( \Lambda \) 中稠密; 3. \( f \) 在 \( \Lambda \) 上是拓扑传递的; 4. 存在开集 \( U \supset \Lambda \) ,使得 \[ \Lambda = \mathop{\bigcap }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}{f}^{n}\left( U\right) \] 则称 \( \Lambda \) 是基本集. 对 \( M \) 上的可微流 \( \varphi \) ,设 \( \Lambda \subset M \) 是 \( \varphi \) 的闭不变集,如果 \( \Lambda \) 是一个双曲奇点,或者 \( \Lambda \) 满足: 1. A 是双曲的且不含奇点; 2. \( \Lambda \) 中周期轨道上的点在 \( \Lambda \) 中稠密; 3. \( \varphi \) 在 \( \Lambda \) 上是拓扑传递的; 4. 存在开集 \( U \supset \Lambda \) ,使得 \[ \Lambda = \mathop{\bigcap }\limits_{{t \in \mathrm{R}}}{\varphi }_{t}\left( U\right) \] 则称 \( \Lambda \) 是基本集. 在动力系统的研究中,对基本集的理解一般认为它不是单独的一个双曲不动点 (双曲奇点). 基本集的作用在于它在很大程度上确定了系统的轨道结构. 马尔可夫分割 (Markov partitions) 深入认识基本集结构及动力系统在基本集上的动力行为的有力工具. 所谓马尔可夫分割, 是将基本集 \( \Lambda \) 分割为有限个内部不相交的 “矩形”,在 \( f \) 的作用下,这些矩形一些方向被 “拉长”, 可以覆盖它的像所在的矩形的对应方向, 而另一些方向被 “压缩”, 为它的像所在的矩形对应方向所包含. 这有限个矩形, 对应于序列空间的相空间的有限个元素,矩形在 \( f \) 作用下产生的双边无穷序列 \( {\left\{ {f}^{i}{R}_{{a}_{i}}\right\} }_{i = - \infty }^{+\infty } \) 对应于序列空间的元素 \( a = {\left\{ {a}_{i}\right\} }_{i = - \infty }^{+\infty } \) ,而序列的交 \[ \mathop{\bigcap }\limits_{{i = - \infty }}^{{+\infty }}{f}^{i}{R}_{{a}_{i}} \] 至多包含 \( \Lambda \) 的一点,于是这一对应就通过 \( \Lambda \) 上的分割建立起来, 从而与有限型子移位建立了联系. 马尔可夫分割的确切定义如下所述: 设 \( \Lambda \) 是微分同胚 \( f \) 的基本集. \( R \) 是 \( \Lambda \) 中直径很小的子集. 如果对任意 \( x, y \in R, x \) 的局部稳定流形 \( {W}_{\varepsilon }^{s}\left( x\right) \) 与 \( y \) 的局部不稳定流形 \( {W}_{\varepsilon }^{u}\left( y\right) \) 恰交于一点,而且该交点在 \( R \) 中,则称 \( R \) 为矩形. 如果 \( R \) 是闭的,而且 \( R \) 作为 \( \Lambda \) 的子集有 \( R = \overline{\operatorname{Int}R} \) ,则称矩形 \( R \) 是正规的. 对于 \( x \in R \) ,令 \[ {W}^{s}\left( {x;R}\right) = {W}_{\varepsilon }^{s}\left( x\right) \cap R, \] \[ {W}^{u}\left( {x;R}\right) = {W}_{\varepsilon }^{u}\left( x\right) \cap R, \] 这里 \( R \) 的直径与 \( \varepsilon \) 相比很小. \( \Lambda \) 上的马尔可夫分割是 \( \Lambda \) 上的正规矩形所组成的有限覆盖 \( \mathcal{R} = \left\{ {{R}_{1},{R}_{2}}\right. \) , \( \left. {\cdots ,{R}_{m}}\right\} \) ,满足: \[ \text{1. Int}{R}_{i} \cap \operatorname{Int}{R}_{j} = \varnothing \left( {i \neq j}\right) \text{.} \] \[ \text{2.}f\left( {{W}^{u}\left( {x,{R}_{i}}\right) }\right) \supset {W}^{u}\left( {f\left( x\right) ,{R}_{j}}\right) \text{而且,} \] \[ f\left( {{W}^{s}\left( {x,{R}_{i}}\right) }\right) \subset {W}^{s}\left( {f\left( x\right) ,{R}_{j}}\right) , \] 其中 \( x \in \operatorname{Int}{R}_{i}, f\left( x\right) \in \operatorname{Int}{R}_{j} \) . 1978 年, 鲍恩 (Bowen, R. ) 证明: 紧致的最大不可分解的双曲不变集 \( \Lambda

2000_数学辞海（第3卷）

) 为矩形. 如果 \( R \) 是闭的,而且 \( R \) 作为 \( \Lambda \) 的子集有 \( R = \overline{\operatorname{Int}R} \) ,则称矩形 \( R \) 是正规的. 对于 \( x \in R \) ,令 \[ {W}^{s}\left( {x;R}\right) = {W}_{\varepsilon }^{s}\left( x\right) \cap R, \] \[ {W}^{u}\left( {x;R}\right) = {W}_{\varepsilon }^{u}\left( x\right) \cap R, \] 这里 \( R \) 的直径与 \( \varepsilon \) 相比很小. \( \Lambda \) 上的马尔可夫分割是 \( \Lambda \) 上的正规矩形所组成的有限覆盖 \( \mathcal{R} = \left\{ {{R}_{1},{R}_{2}}\right. \) , \( \left. {\cdots ,{R}_{m}}\right\} \) ,满足: \[ \text{1. Int}{R}_{i} \cap \operatorname{Int}{R}_{j} = \varnothing \left( {i \neq j}\right) \text{.} \] \[ \text{2.}f\left( {{W}^{u}\left( {x,{R}_{i}}\right) }\right) \supset {W}^{u}\left( {f\left( x\right) ,{R}_{j}}\right) \text{而且,} \] \[ f\left( {{W}^{s}\left( {x,{R}_{i}}\right) }\right) \subset {W}^{s}\left( {f\left( x\right) ,{R}_{j}}\right) , \] 其中 \( x \in \operatorname{Int}{R}_{i}, f\left( x\right) \in \operatorname{Int}{R}_{j} \) . 1978 年, 鲍恩 (Bowen, R. ) 证明: 紧致的最大不可分解的双曲不变集 \( \Lambda \) 存在马尔可夫分割. 现定义 \( m \times m \) 矩阵 \( A = {\left( {A}_{ij}\right) }_{i, j = 1}^{m} \) 为 \[ {A}_{ij} = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \left( {\text{ Int }{R}_{i} \cap {f}^{-1}\left( {\text{ Int }{R}_{j}}\right) = \varnothing }\right) , \\ 1 & \left( {\text{ Int }{R}_{i} \cap {f}^{-1}\left( {\text{ Int }{R}_{j}}\right) \neq \varnothing }\right) . \end{array}\right. \] 若 \( \sigma : \sum \rightarrow \sum \) 为 \( m \) 个符号 \( \{ 1,2,\cdots, m\} \) 的符号系统, \( \left( {\mathop{\sum }\limits_{A},\sigma }\right) \) 是由传递矩阵 \( A \) 确定的有限型子移位. 对每个 \( a \in \mathop{\sum }\limits_{A} \) ,定义 \[ \pi : \mathop{\sum }\limits_{A} \rightarrow \Lambda ,\;\pi \left( a\right) = \mathop{\bigcap }\limits_{{j \in \mathbf{Z}}}{f}^{-j}{R}_{aj}. \] 映射 \( \pi \) 是连续满射,且 \( \pi \circ \sigma = f \circ \pi \) ,同时,在集合 \[ \mathop{\bigcap }\limits_{{i \in \mathbf{Z}}}{f}^{i}\left( {\mathop{\bigcup }\limits_{{i = j}}^{m}\operatorname{Int}{R}_{j}}\right) \subset \Lambda \] 上, \( \pi \) 是一一对应的. 正规矩形 (proper rectangle) 见 “马尔可夫分割”. 滤子 (filtration) 研究动力系统的一种技术性工具. 设 \( M \) 是紧度量空间, \( f : M \rightarrow M \) 是同胚. 设 \[ \mathcal{U} : \varnothing = {M}_{0} \subset {M}_{1} \subset \cdots \subset {M}_{l} = M \] 是 \( M \) 的一列紧致集,如果 \( \mathcal{U} \) 满足: \[ f\left( {M}_{\alpha }\right) \subset \operatorname{Int}{M}_{\alpha }\left( {\alpha = 1,2,\cdots, l - 1}\right) , \] 其中 \( \operatorname{Int}{M}_{a} \) 表示 \( {M}_{a} \) 的内点集,则称 \( \mathcal{U} \) 是 \( M \) 关于 \( f \) 的一个滤子. 对微分流形的 \( {C}^{1} \) 流而言,其滤子的定义如下: 设 \( M \) 是微分流形, \( \varphi \) 是 \( M \) 上的 \( {C}^{1} \) 流. 设 \[ \mathcal{U} : \varnothing = {M}_{0} \subset {M}_{1} \subset \cdots \subset {M}_{l} = M \] 是 \( M \) 的一列紧致集. 如果 \( \mathcal{U} \) 满足: 1. \( \dim {M}_{i} = n\left( {\forall i \geq 1\text{,这里}n = \dim M}\right) \) ; 2. \( {\varphi }_{t}\left( {M}_{i}\right) \subset \operatorname{Int}{M}_{i}\left( {\forall t > 0}\right) \) ; 3. 对每个 \( {M}_{i} \) ,流 \( \varphi \) 横截于 \( {M}_{i} \) 的边界; 则称 \( \mathcal{U} \) 是 \( M \) 关于 \( \varphi \) 的一个滤子. 当 \( g \) 在 \( {C}^{0} \) 意义下充分接近 \( f \) 时, \( \mathcal{U} \) 也是关于 \( g \) 的一个滤子. 对 \( {C}^{1} \) 流也是如此. 满足无环条件的基本集, 可以与一定的滤子结构相关联,因而可用滤子作为工具研究 \( \Omega \) 稳定性. \( \Omega \) 爆炸 ( \( \Omega \) -explosion) 微分动力系统中的一个概念. 指一个系统的非游荡集经过 \( {C}^{1} \) 小扰动之后, 新增加了很多的非游荡点. 考虑平面区域上非游荡集仅由两个渊点、两个源点、两个鞍点组成的离散的微分动力系统, 其动力性态如图 (a) 所示. 给这个  系统一个小扰动, 使扰动后的系统的不稳定流形 \( {W}^{u}\left( {C}_{1}\right) \) 与稳定流形 \( {W}^{s}\left( {C}_{1}^{\prime }\right) \) 横截相交于 \( {D}_{1} \) ,不稳定流形 \( {W}^{u}\left( {C}_{1}^{\prime }\right) \) 与稳定流形 \( {W}^{s}\left( {C}_{1}\right) \) 横截相交于 \( {D}_{1}^{\prime } \) (图 b). 过 \( {D}_{1} \) 和 \( {D}_{1}^{\prime } \) 轨道上的点仍是横截交点,而且是非游荡点. 因而, 扰动后的非游荡集是无穷集. 这种通过小扰动, 从非游荡集有限的系统得到非游荡集无穷的系统,就称是发生了 “ \( \Omega \) 爆炸”. 发生 \( \Omega \) 爆炸的原因在于出现了某种形式的环: \( c \succ {c}^{\prime } \succ c \) . 这导致 \( \Omega \) 稳定性研究的无环性条件的提出. 设 \( M \) 是紧致微分流形, \( f \) 是 \( M \) 上的一个 \( {C}^{r} \) 系统 \( \left( {C}^{r}\right. \) 微分同胚或 \( {C}^{r} \) 向量场),若对非游荡集 \( \Omega \left( f\right) \) 的任意邻域 \( U \) ,存在 \( f \) 在 \( M \) 上全体 \( {C}^{r} \) 系统组成的空间 (具有 \( {C}^{0} \) 拓扑) 中的邻域 \( \mathcal{U} \) ,使得对任意 \( g \in \mathcal{U} \) 有 \( \Omega \left( g\right) \subset U \) ,则称 \( f \) 没有 \( {C}^{0}\Omega \) 爆炸. 当儒瓦-施瓦兹定理 (Denjoy-Schwarz theorem) 刻画二维曲面上的 \( {C}^{2} \) 流极小集的特征的重要定理. 该定理断言: 在二维曲面上的 \( {C}^{2} \) 流,其极小集或是一个奇点, 或是一个周期轨道, 或是到处稠密的, 并且当极小集是到处稠密时, 此二维曲面只能是环面. 这个定理最初由当儒瓦 (Denjoy, A. ) 在 1932 年先对环面给出, 1963 年, 施瓦兹 (Schwarz, A. J. ) 将当儒瓦的结果推广到任意二维曲面上. 由该定理可得到: 一个轨道的 \( \omega \) 极限集或是一个奇点, 或是一个周期轨道, 或是整个环面. 因而, 这个定理被视为是庞加莱-本迪克松定理的推广. \( \zeta \) 函数 ( \( \zeta \) -function) 用来刻画系统周期点性态的函数. 设 \( M \) 是微分流形, \( f : M \rightarrow M \) 是可微映射, 对 \( m = 1,2,\cdots \) ,记 \( {N}_{m} = {N}_{m}\left( f\right) \) 为 \( {f}^{m} \) 的不动点数目. 假设 \( {N}_{m} < + \infty, m = 1,2,\cdots \) ,如下形式的幂级数 \[ {\zeta }_{f}\left( t\right) = \exp \mathop{\sum }\limits_{{m = 1}}^{\infty }\left( \frac{1}{m}\right) {N}_{m}{t}^{m} \] 称为 \( f \) 的 \( \zeta \) 函数. \( \zeta \) 函数最早由阿廷 (Artin, E.) 和马祖尔 (Mazur, B. ) 于 1965 年给出. 它是一个共轭不变量,因而可记 \( {\zeta }_{f}\left( t\right) \) 为 \( \zeta \left( t\right) \) . 在什么条件下 \( \zeta \left( t\right) \) 是有理函数? 这是动力系统研究的重要问题. 现已证明: 公理 \( A \) 微分同胚以及扩张映射的 \( \zeta \) 函数是有理的. 对 \( M \) 上可微流 \( \varphi \) 的 \( \zeta \) 函数是由斯梅尔 (Smale, S. ) 给出的, 其形式为无穷积: \[ \zeta \left( t\right) = \mathop{\prod }\limits_{{\gamma \in \Gamma }}\mathop{\prod }\limits_{{k = 0}}^{\infty }\left\{ {1 - {\left\lbrack \exp \zeta \left( \gamma \right) \right\rbrack }^{-t - k}}\right\} , \] 这里 \( \Gamma \) 是 \( \varphi \) 的除奇点外的周期轨道的集合, \( \zeta \left( \gamma \right) \) 是周期轨道的周期. 奇点指标 (index of a singularity) 描述孤立奇点拓扑性态的一个量. 设 \( X \) 是微分流形 \( M \) 上的连续向量场, \( p \in M \) 是 \( X \) 的孤立奇点. 设 \( V \subset M \) 是含 \( p \) 的拓扑 \( n \) 维球,这里 \( n = \dim M \) ,要求 \( V \) 中除 \( p \) 外不含 \( X \) 的其他奇点. 令 \( {S}^{n - 1} \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的 \( n - 1 \) 维单位球面, \( g : {S}^{n - 1} \rightarrow V \) 是从 \( {S}^{n - 1} \) 到 \( V \) 的保向嵌入, \( g\left( {S}^{n - 1}\right) \) 是以 \( p \) 为心的小球面. 定义映射 \( \theta : {S}^{n - 1} \rightarrow \) \( {S}^{n - 1} \) 为 \[ \theta \left( x\right) = \frac{X\left( {g\left( x\right) }\right) }{\left| X\left( g\left( x\right) \right) \right| } \] 那么 \( p \) 的指标 (记为 \( \operatorname{Ind}p \) ) 定义为 \( \theta \) 的映射度 \( \deg \theta \) \( = \operatorname{Ind}p \) . Ind \( p \) 是仅与孤立奇点 \( p \) 的拓扑形式有关的数. 双曲奇点的指标为 \( {\left( -1\right) }^{m} \) (这里 \( m \) 是 \( p \) 点稳定流形的维数). 由此可知, 平面上的鞍点指标为 -1 , 而渊和源的指标为 1 . 现已知道, 紧致微分流形上连续向量场奇点指标和等于该流形的欧拉示性数, 而与向量场本身无关. 这个结论最初由庞加莱 (Poincaré, (J. -) H. ) 首先对二维情形给出, 而后霍普夫 (Hopf, E. ) 给出一般 \( n \) 维情形的证明. 因此,人们把它称为 “庞加莱-霍普夫指标定理”. 根据这个定理, 二维球面上任何连续向量场必有奇点; 二维环面和克莱因瓶上存在不含奇点的连续向量场等. 庞加莱-霍普夫指标定理 (Poincaré-Hopf index theorem) 见“奇点指标”. 旋转数 (rotation number) 圆周上动力系统的一个拓扑共轭不变量. 设 \( f : {S}^{1} \rightarrow {S}^{1} \) 是圆周 \( {S}^{1} \) 的保向自同胚. 在覆盖映射 \( p : \mathrm{R} \rightarrow {S}^{1}, p : x \mapsto {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}x} \) 下, \( f \) 可提升为严格单增的连续函数 \( F : \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R} \) ,它满足: \[ F\left( {x + 1}\right) - F\left( x\right) = 1\;\left( {\forall x \in \mathrm{R}}\right) . \] 从任意一点 \( \zeta \in {S}^{1} \) 出发的轨道 \( \zeta, f\left( \zeta \right) ,{f}^{2}\left( \zeta \right) ,\cdots \) 上相邻两点所张的角度可用 \( x, F\left( x\right) ,{F}^{2}\left( x\right) ,\cdots \) (其中 \( p\left( x\right) = \zeta ) \) 中相邻两点之间的线段长度作为相应的角度的量度. 能够证明: 极限 \[ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{{F}^{n}\left( x\right) - x}{n} = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{{F}^{n}\left( x\right) }{n} \] 存在且与 \( x \) 无关,因而记 \[ \rho \left( F\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{{F}^{n}\left( x\right) }{n}. \] \( \rho \left( f\right) = \rho \left( F\right) \left( {\;\operatorname{mod}\;Z}\right) \) 就称为 \( f \) 的旋转数. 旋转数是庞加莱 (Poincaré, (J. -) H. ) 在研究圆周上同胚的动力学时引进的. 对于二维环面上不含奇点的连续向量场 \( X \) 也有旋转数的概念, 其定义如下所述. 由于不含奇点, 易知对 \( X \) 存在横截面,它是一个拓扑圆 \( C, X \) 在 \( C \) 上诱导的庞加莱映射 \( f : C \rightarrow C \) 是一保向同胚. 设 \( h : C \rightarrow {S}^{1} \) 是从 \( C \) 到单位圆周 \( {S}^{1} \) 的保向同胚,于是 \[ g = h \circ f \circ {h}^{-1} : {S}^{1} \rightarrow {S}^{1} \] 是 \( {S}^{1} \) 的保向同胚,把 \( g \) 的旋转数就定义为 \( X \) 的旋转数,记为 \( \rho \left( X\right) \) . 动力系统的研究指出: 旋转数为有理数的充分必要条件是它有周期点; 当旋转数为无理数时, 从任一点出发的轨道的极限点集或是无处稠密的, 或是整个空间, 前一种情形称为奇异情形, 而后一种情形称为遍历情形. 奇异情形 (singular) 见“旋转数”. 遍历情形 (ergodic) 见“旋转数”. 当儒瓦流 (Denjoy flow) 由当儒瓦 (Denjoy, A. ) 在二维环面上给出的具有非平凡极小集, 但这极小集又不是整个环面的 \( {C}^{1} \) 向量场的例子. 在单位圆周 \( C \) 上给定康托尔集 \( F \) ,设它的相邻区间为 \( \left\{ \left( {\alpha }_{n}\right. \right. \) , \( \left. \left. {\beta }_{n}\right) \right\} \left( {n = 0,1,2,\cdots }\right) \) . 令 \( \mu \)  是无理数, 考虑辅助单位圆周 \( \Gamma \) 上的点集 \( \{ {k\mu }\} (k = 0 \) , \( \pm 1, \pm 2,\cdots ) \) . 首先建立区间族 \( \left\{ \left( {{\alpha }_{n},{\beta }_{n}}\right) \right\} \) 与点集 \( \{ \left( {k\mu }\right) \} \) 之间 \( 1 - 1 \) 的保序对应. 将 \( \{ {k\mu }\} \) 排列如下: \[ 0,\left( \mu \right) ,\left( {-\mu }\right) ,\left( {2\mu }\right) ,\left( {-{2\mu }}\right) ,\cdots , \] \[ \left( {k\mu }\right) ,\left( {-{k\mu }}\right) ,\left( {\left( {k + 1}\right) \mu }\right) ,\cdots \] 令点 0 与区间 \( \left( {{\alpha }_{0},{\beta }_{0}}\right) = \left( {{\alpha }^{0},{\beta }^{0}}\right) \) 对应,点 \( \left( \mu \right) \) 与区间 \( \left( {{\alpha }_{1},{\beta }_{1}}\right) = \left( {{\alpha }^{\left( 1\right) },{\beta }^{\left( 1\right) }}\right) \) 对应,点 \( \left( {-\mu }\right) \) 与 \( \left( {{\alpha }_{0},{\beta }_{0}}\right) \) 和 \( \left( {\alpha }_{1}\right. \) , \( \left. {\beta }_{1}\right) \) 之间的顺序和 \( 0,\left( \mu \right) ,\left( {-\mu }\right) \) 三点在 \( \Gamma \) 上的巡回顺序完全相同而且下标 \( n \) 为最小的 \( \left( {{\alpha }_{n},{\beta }_{n}}\right) = \) \( \left( {{\alpha }^{\left( -1\right) },{\beta }^{\left( -1\right) }}\right) \) 相对应,如此归纳地做下去便得到所要的对应. 定义从 \( C \) 到 \( \Gamma \) 的映射 \( \Phi \)

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\mu }\right) \} \) 之间 \( 1 - 1 \) 的保序对应. 将 \( \{ {k\mu }\} \) 排列如下: \[ 0,\left( \mu \right) ,\left( {-\mu }\right) ,\left( {2\mu }\right) ,\left( {-{2\mu }}\right) ,\cdots , \] \[ \left( {k\mu }\right) ,\left( {-{k\mu }}\right) ,\left( {\left( {k + 1}\right) \mu }\right) ,\cdots \] 令点 0 与区间 \( \left( {{\alpha }_{0},{\beta }_{0}}\right) = \left( {{\alpha }^{0},{\beta }^{0}}\right) \) 对应,点 \( \left( \mu \right) \) 与区间 \( \left( {{\alpha }_{1},{\beta }_{1}}\right) = \left( {{\alpha }^{\left( 1\right) },{\beta }^{\left( 1\right) }}\right) \) 对应,点 \( \left( {-\mu }\right) \) 与 \( \left( {{\alpha }_{0},{\beta }_{0}}\right) \) 和 \( \left( {\alpha }_{1}\right. \) , \( \left. {\beta }_{1}\right) \) 之间的顺序和 \( 0,\left( \mu \right) ,\left( {-\mu }\right) \) 三点在 \( \Gamma \) 上的巡回顺序完全相同而且下标 \( n \) 为最小的 \( \left( {{\alpha }_{n},{\beta }_{n}}\right) = \) \( \left( {{\alpha }^{\left( -1\right) },{\beta }^{\left( -1\right) }}\right) \) 相对应,如此归纳地做下去便得到所要的对应. 定义从 \( C \) 到 \( \Gamma \) 的映射 \( \Phi \) 如下: \[ \Phi \left( \left\lbrack {{\alpha }^{\left( k\right) },{\beta }^{\left( k\right) }}\right\rbrack \right) = \left( {k\mu }\right) , \] 而对 \( F \) 的第二类点 \( {\theta }_{0} \) ,它作出 \( \left\{ \left( {{\alpha }_{n},{\beta }_{n}}\right) \right\} \left( {n \neq 0}\right) \) 内的一个分割,依据保序要求,相应的点集 \( \{ \left( {k\mu }\right) \} (k \neq \) 0) 内的一个分割,它确定某点 \( {\zeta }_{0} \in \Gamma \) ,于是令 \( \Phi \left( {\theta }_{0}\right) = {\zeta }_{0} \) . 设 \( {T}_{1} \) 是 \( \Gamma \) 转动一个弧 \( \left( \mu \right) \) 的旋转. 建立 \( C \) 到 \( C \) 的变换 \( {T}_{1} \) ,使得上图可交换. 在 \( C \) 上, \( {T}_{1} \) 将 \( \left\lbrack {{\alpha }^{n},{\beta }^{n}}\right\rbrack \) 线性同胚地映到 \( \left\lbrack {{\alpha }^{\left( n + 1\right) },{\beta }^{\left( n + 1\right) }}\right\rbrack \) 上,并且对 \( F \) 的第二类点 \( {\theta }_{0} \) ,若 \( {\theta }_{0} = {\Phi }^{-1}\left( {\zeta }_{0}\right) \) ,则 \( {T}_{1}\left( {\theta }_{0}\right) = {\Phi }^{-1}\left( {{\zeta }_{0} + }\right. \) \( \mu ) \) . 这样建立的映射 \( {T}_{1} : C \rightarrow C \) 是 \( {C}^{1} \) 微分同胚. 最后,通过对 \( {T}_{1} : C \rightarrow C \) 的扭扩得到环面上的 \( {C}^{1} \) 向量场, 这就是当儒瓦流. 环面上的无理流 (irrational flow on torus) 二维环面上每条轨  道都在其上到处稠密的一类常微系统 (即向量场). 设 \( {T}^{2} \) 表示一个环面. \( {T}^{2} \) 可用如下方式得到: 把平面上的单位正方形 \( D = {abcd} \) 的对边 \( {ab} \) 与 \( {dc},{ad} \) 和 \( {bc} \) ,以点 \( \left( {\theta ,1}\right) \) 与点 \( \left( {\theta ,0}\right) \) 、点 \( \left( {0,\varphi }\right) \) 与点 \( \left( {1,\varphi }\right) \) 等同的方式粘合 (如图). 环面上点的坐标记为 \( \left( {\theta ,\varphi }\right) \) ,考虑环面 \( {T}^{2} \) 上的常微分方程: \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}t} = \alpha , \\ \frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t} = 1. \end{array}\right. \] 该方程的每条轨道是在 \( D \) 上的一条斜率为 \( \alpha \) 的直线,它被 \( D \) 截成了若干段. 当 \( \alpha \) 为无理数时,系统的每条轨道遍历了 \( D \) ,因此,每条轨道都是 \( P \) 式稳定轨道. 称这样的系统为无理流. 实际上, 上述方程组所确定的 \( {T}^{2} \) 上的无理流可以直接通过周长为 1 的圆周上的无理旋转 (即把圆周上的点旋转无理数 \( \alpha \) 弧长所确定的圆周自同胚) 的扭扩而得到. 对于无理流,过任一点 \( p \in {T}^{2} \) 的轨道的极限集有 \[ \omega \left( p\right) = {T}^{2} = \alpha \left( p\right) . \] 查瑞流 (Cherry flow) 查瑞 (Cherry, T. M. - F. ) 在二维环面 \( {T}^{2} \) 上给出的具有非平凡回复轨道和源点的 \( {C}^{\infty } \) (甚至是解析的) 向量场的例子. 它是科普卡-斯梅尔系统, 并且可被具有鞍点联结的向量场逼近. 利用这个例子可说明在不同于球面、射影平面和克莱因瓶的二维曲面上, 科普卡-斯梅尔向量场不是开的. 查瑞流的构造比较复杂, 扼要地描述如右下图所示. 用对边等同的平面上  的正方形来表示环面 \( {T}^{2} \) ,查瑞向量场 \( X \) 有一个源点 \( f \) 以及一个鞍点 \( S \) ,这个鞍点的非稳定分界线 \( {\gamma }_{1} \) 与 \( {\gamma }_{2} \) 是正向回复的. 实际上, \( {\gamma }_{1} \) 的 \( \omega \) 极限集包含 \( {\gamma }_{1} \) 与 \( {\gamma }_{2} \) ,而且 \( X \) 没有周期轨道. 托姆环面双曲自同构 (Thom's hyperbolic toral automorphism) 最早发现的非游荡集为无限的结构稳定系统. 在高维流形 \( M\left( {\dim M \geq 2}\right) \) 上的结构稳定系统可能具有无穷多个周期轨道, 即它可以不是莫尔斯-斯梅尔系统, 这方面典型的例子是托姆的环面双曲自同构. 对二维环面来说, 它的定义如下: 在平面 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 上给出一个线性映射 \( A : {\mathrm{R}}^{2} \rightarrow {\mathrm{R}}^{2}, A \) 的矩阵为 \[ \left( A\right) = \left( \begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}\right) \] \( A \) 有如下特征: 1. 在 \( A \) 或 \( {A}^{-1} \) 的作用下,平面 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 上有理格点 (即它的两个坐标均为有理数) 被映到有理格点. 2. (A) 的特征值 \( {\lambda }_{1},{\lambda }_{2} \) 都是无理数,且 \( {\lambda }_{1} \cdot {\lambda }_{2} = \) 1,所以 \( A \) 是双曲线性映射. 利用环面 \( {T}^{2} = {\mathrm{R}}^{2}/{\mathrm{Z}}^{2} \) ,那么 \( A \) 诱导出 \( {T}^{2} \) 上的自同构 \( f : {T}^{2} \rightarrow {T}^{2} \) . 由于特征 1 对应于 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 上有理格点的 \( {T}^{2} \) 上的点是 \( f \) 的周期点,又因有理格点在 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 上稠密,因此, \( f \) 的周期点在 \( {T}^{2} \) 上亦稠密,从而 \( f \) 的非游荡集 \( \Omega \left( f\right) = {T}^{2} \) . 由于特征 \( 2, f \) 在整个 \( {T}^{2} \) 上是双曲的. 由此, \( f \) 被称为是环面双曲自同构. 在 \( n \) 维环面 \( {T}^{n} \) 上,可类似地给出环面双曲自同构的例子. 动力系统理论已经证明: 环面双曲自同构是结构稳定的, 但它有无穷多周期点, 故它不是莫尔斯-斯梅尔系统. 托姆 (Thom, R. ) 的这个例子是 \( {T}^{2} \) 上的一个离散动力系统. 利用扭扩方法,可以在 \( {T}^{2} \times {S}^{1} \) 上定义光滑流 \( {\varphi }_{t}\left( {t \in \mathrm{R}}\right) \) ,使得 \( {\varphi }_{1} = f,{\varphi }_{t} \) 是结构稳定的,且周期轨道在 \( {T}^{2} \times {S}^{1} \) 上稠密. 托姆环面双曲自同构是安诺索夫微分同胚的特例. 环面自同态 (toral endomorphism) 环面双曲自同构的扩充. 它是环面上一个特殊的离散微分半动力系统. 考虑平面 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 上的线性映射 \[ A = \left( \begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) : {\mathrm{R}}^{2} \rightarrow {\mathrm{R}}^{2}, \] 其中 \( a, b, c, d \) 均为整数,那么 \( A \) 诱导出环面 \( {T}^{2} = \) \( {\mathrm{R}}^{2}/{\mathrm{Z}}^{2} \) 上的一个可微映射 \( {f}_{A} : {T}^{2} \rightarrow {T}^{2} \) . 若 \[ \det \left( A\right) = {ad} - {bc} \neq 0, \] 那么 \( {f}_{A} \) 就称为一个环面自同态. 显然,当 \( \det \left( A\right) = \) \( \pm 1 \) 时, \( {f}_{A} \) 就是一个环面双曲自同构. 斯梅尔马蹄 (Smale's horseshoe) 由斯梅尔 (Smale, S. ) 构造的形状类似于马蹄的结构稳定的  离散动力系统. 这个系统对高维结构稳定系统的特征提供了一个具体模型, 并说明高维结构稳定系统具有复杂的拓扑结构和动力行为. 例如, 它们的非游荡集是一个康托尔集, 而不像环面双曲自同构是整个环面. 斯梅尔马蹄是定义在平面圆盘 \( D \) 上的一个同胚,它是使 \( D \) 中的一长方形 \( R \) 经过 “压缩”、“伸长”而后“弯曲”成一个“马蹄形”后仍放在 \( R \) 上的一个形如“马蹄”块的映射. 这个过程, 在数学上可以用一个 \( D \) 上同胚 \( H \) 去实现. 这是由斯梅尔得到的,通常称它为斯梅尔马蹄. 它的非游荡集是由一个康托尔集 \( \sum \) 和一个不动点组成. 已经证明 \( H \) 在 \( \sum \) 上的限制和两个符号动力系统拓扑共轭, 因此, 斯梅尔马蹄在 \( \sum \) 上的动力行为与符号动力系统相同. 恩龙映射(Hénon map) 斯梅尔马蹄的一个具体的例子. 设 \( F \) 是二维平面内的方块 \( Q : - R \leq x \leq \) \( R, - R \leq y \leq R \) 上的映射,若 \( \left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) = F\left( {x, y}\right), F \) 的解析表示式如下: \[ \left\{ \begin{array}{l} {x}_{1} = A + {By} - {x}^{2} \\ {y}_{1} = x \end{array}\right. \] 其中参数 \( A > 0,0 < B < 1 \) . 由于 \[ \frac{D\left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) }{D\left( {x, y}\right) }\;\left| \begin{matrix} - {2x} & B \\ 1 & 0 \end{matrix}\right| = - B \neq 0, \] 所以 \( F \) 是双方单一连续可微的. 在映射 \( F \) 之下,直线 \( x = k \) 与 \( y = k \) 分别映为直线 \( {y}_{1} = k \) 与抛物线 \( {x}_{1} = \) \( A + {Bk} - {y}_{1}^{2};y > 0 \) 的部分被映到抛物线 \( {x}_{1} = A - {y}_{1}^{2} \) 的右边. 已经证明,在参数 \( A, B \) 适合关系式 \( A > 4 + {\left( B + 1\right) }^{2} + \left( {B + 1}\right) \sqrt{4 + {\left( B + 1\right) }^{2}} \) 时, 它就构成斯梅尔马蹄. 这个例子是由法国当代天文学家恩龙 (Hénon, M. ) 给出. 目前, 关于恩龙映射的动力学性质是人们所关心的研究内容. 横截相交 (transversal intersection) 描述两个子流形相处位置的微分拓扑概念. 设 \( M \) 是一个微分流形, \( {N}_{1},{N}_{2} \subset M \) 是 \( M \) 的两个子流形, \( p \in {N}_{1} \cap {N}_{2} \) . 如果在 \( p \) 点处, \( {N}_{1} \) 的切空间 \( {T}_{p}{N}_{1} \) 和 \( {N}_{2} \) 的切空间 \( {T}_{p}{N}_{2} \) 张成 \( M \) 的切空间 \( {T}_{p}M \) ,即 \( {T}_{p}M = {T}_{p}{N}_{1} + \) \( {T}_{p}{N}_{2} \) ,那么就称 \( {N}_{1} \) 与 \( {N}_{2} \) 在 \( p \) 点处为横截相交,通常当 \( {N}_{1} \cap {N}_{2} = \varnothing \) 时,也称 \( {N}_{1} \) 与 \( {N}_{2} \) 横截相交. 在动力系统的研究中, 横截相交是用来刻画结构稳定系统的特征性质之一的概念 (参见 “稳定性猜测”). 典范方程组 (standard systems of equations) 由廖山涛独创的分析式定量估计方法. 用它来研究流是十分有效的, 这一套方法被概括为典范方程组. 基本思想是把微分流形上的常微系统的相空间经过适当途径把它化为欧氏空间上的常微分方程组来讨论. 设 \( M \) 是紧致 \( n \) 维黎曼流形, \( S \) 是 \( M \) 上的 \( {C}^{1} \) 常微系统 (即 \( {C}^{1} \) 向量场). 令 \( {\varphi }_{t} \) 是 \( S \) 在 \( M \) 上产生的流,这个流在切丛 \( {TM} \) 上诱导出一个单参数变换群 \[ \mathrm{d}{\varphi }_{t} : {TM} \rightarrow {TM}\;\left( {t \in \mathrm{R}}\right) . \] 从而在正交 \( p \) 标架丛 \( {\mathcal{F}}_{p}\left( {1 \leq p \leq n}\right) \) 上诱导出一个单参数变换群 \[ {\chi }_{t} : {\mathcal{F}}_{p} \rightarrow {\mathcal{F}}_{p}\left( {t \in \mathrm{R}}\right) , \] 以 \( \operatorname{Pro}{j}_{k} \) 表示 \( p \) 标架向第 \( k \) 个基向量的投射. 对任何一个 \( \beta \in {\mathcal{F}}_{p} \) ,函数 \[ {\zeta }_{\beta \cdot k}\left( t\right) = \begin{Vmatrix}{\operatorname{Pro}{j}_{k}{\chi }_{t}\left( \beta \right) }\end{Vmatrix} \] 对 \( t \in \mathrm{R} \) 连续可微,因而在正交 \( p \) 标架丛 \( {\mathcal{F}}_{p} \) 上可定义函数 \[ {\omega }_{k}\left( \beta \right) = {\left. \frac{\mathrm{d}\begin{Vmatrix}{{\operatorname{Proj}}_{k}{\chi }_{t}\left( \beta \right) }\end{Vmatrix}}{\mathrm{d}t}\right| }_{t = 0}\left( {k = 1,2,\cdots, p}\right) . \] 它被称为 \( S \) 的示性函数. 规范正交 \( p \) 标架丛 \( {\mathcal{F}}_{p}^{\# } \) 是 \( {\mathcal{F}}_{p} \) 的子丛, \( {\chi }_{t}\left( \beta \right) \) 和 \( {\omega }_{k}\left( \beta \right) \left( {k = 1,2,\cdots, p}\right) \) 在 \( {\mathcal{F}}_{p}^{\# } \) 上自然也有定义. 将 \( {\chi }_{t}\left( \beta \right) \) 规范化又可得到 \( {\chi }_{t}^{\# }\left( \beta \right) \) . 这样又诱导了一个 \( {\mathcal{F}}_{p}^{n} \) 上的流 \[ {\chi }_{t}^{\# } : {\mathcal{F}}_{p}^{\# } \rightarrow {\mathcal{F}}_{p}^{\# }\;\left( {t \in \mathrm{R}}\right) . \] 任给 \( \beta \in {\mathcal{F}}_{n}^{\# } \) ,由于对任意 \( b \in M,{\chi }_{t}^{\# }\left( {\beta \left( b\right) }\right) \) 和 \( \mathrm{d}{\varphi }_{t}\left( {\beta \left( b\right) }\right) \) 都是 \( {T}_{{\varphi }_{t}\left( b\right) }M \) 的基底,故可写成 \[ \mathrm{d}{\varphi }_{t}\left( \beta \right) = {\chi }_{t}^{\# }\left( \beta \right) {C}_{\beta }\left( t\right) , \] 其中 \( {C}_{\beta }\left( t\right) \) 是三角式矩阵,其对角线系数顺序是 \( \begin{Vmatrix}{{\operatorname{Proj}}_{k}{\chi }_{t}\left( \beta \right) }\end{Vmatrix}\left( {k = 1,2,\cdots, n}\right) \) ,对角线下面的系数都是 \( 0.{C}_{\beta }\left( t\right) \) 对 \( t \in \mathrm{R} \) 连续可微,且满足方阵方程 \[ \frac{\mathrm{d}{C}_{\beta }\left( t\right) }{\mathrm{d}t} = {R}_{\beta }\left( t\right) {C}_{\beta }\left( t\right) \;\left( {

2000_数学辞海（第3卷）

a \right) \) 规范化又可得到 \( {\chi }_{t}^{\# }\left( \beta \right) \) . 这样又诱导了一个 \( {\mathcal{F}}_{p}^{n} \) 上的流 \[ {\chi }_{t}^{\# } : {\mathcal{F}}_{p}^{\# } \rightarrow {\mathcal{F}}_{p}^{\# }\;\left( {t \in \mathrm{R}}\right) . \] 任给 \( \beta \in {\mathcal{F}}_{n}^{\# } \) ,由于对任意 \( b \in M,{\chi }_{t}^{\# }\left( {\beta \left( b\right) }\right) \) 和 \( \mathrm{d}{\varphi }_{t}\left( {\beta \left( b\right) }\right) \) 都是 \( {T}_{{\varphi }_{t}\left( b\right) }M \) 的基底,故可写成 \[ \mathrm{d}{\varphi }_{t}\left( \beta \right) = {\chi }_{t}^{\# }\left( \beta \right) {C}_{\beta }\left( t\right) , \] 其中 \( {C}_{\beta }\left( t\right) \) 是三角式矩阵,其对角线系数顺序是 \( \begin{Vmatrix}{{\operatorname{Proj}}_{k}{\chi }_{t}\left( \beta \right) }\end{Vmatrix}\left( {k = 1,2,\cdots, n}\right) \) ,对角线下面的系数都是 \( 0.{C}_{\beta }\left( t\right) \) 对 \( t \in \mathrm{R} \) 连续可微,且满足方阵方程 \[ \frac{\mathrm{d}{C}_{\beta }\left( t\right) }{\mathrm{d}t} = {R}_{\beta }\left( t\right) {C}_{\beta }\left( t\right) \;\left( {t \in \mathrm{R}}\right) . \] 记 \( {R}_{\beta }{\left( t\right) }^{\prime \prime } \) 是矩阵 \( {R}_{\beta }\left( t\right) \) 的转置. 线性常微分方程组 \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t} = y{R}_{\beta }{\left( t\right) }^{tr}\;\left( {t \in \mathrm{R}, y \in {\mathrm{R}}^{n}}\right) \] \( \left( {R}_{\beta }\right) \) 称为 \( S \) 以 \( \beta \) 为基的线性化方程组. 廖山涛把导出线性化方程组 \( \left( {R}_{\beta }\right) \) 的手续称为大范围线性化. 对 \( \beta \in \) \( {\mathcal{F}}_{n}^{n} \) ,按以下方式定义一个从 \( {\mathrm{R}}^{n + 1} \) 到 \( M \) 的 \( {C}^{\infty } \) 映射 \( {\mathcal{P}}_{\beta } \) : \[ {\mathcal{P}}_{\beta }\left( {t, y}\right) = \exp \left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{y}^{k}{\operatorname{Proj}}_{k}{\chi }_{t}^{\# }\left( \beta \right) }\right) , \] 这里 \( t \in \mathrm{R}, y = \left( {{y}^{1},{y}^{2},\cdots ,{y}^{n}}\right) \in {\mathrm{R}}^{n},\exp \) 是黎曼流形 \( M \) 的指数映射. 记 \( {\mathcal{P}}_{\beta, t}\left( y\right) = {\mathcal{P}}_{\beta }\left( {t, y}\right) \) ,对于 \( M \) 上的向量场 \( S \) ,可惟一确定 \( \bar{S}\left( {t, y}\right) \) 和 \( {\bar{S}}_{\beta }\left( {t, y}\right) \) 满足条件 \[ \mathrm{d}{\mathcal{P}}_{\beta, t}\left( {{\bar{S}}_{\beta }\left( {t, y}\right) }\right) = S\left( {{\mathcal{P}}_{\beta }\left( {t, y}\right) }\right) , \] \[ \mathrm{d}{\mathcal{P}}_{\beta, t}\left( {{\bar{S}}_{\beta }\left( {t, y}\right) }\right) = \mathrm{d}{\mathcal{P}}_{\beta }\left( {\left. \frac{\partial }{\partial t}\right| }_{\left( t, y\right) }\right) . \] 记 \( {S}_{\beta }\left( {t, y}\right) = {\bar{S}}_{\beta }\left( {t, y}\right) - {\overline{\bar{S}}}_{\beta }\left( {t, y}\right) \) ,廖山涛把向量场 \( S \) 表示为方程组 \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t} = {S}_{\beta }\left( {t, y}\right) , \] \( \left( {S}_{\beta }\right) \) 它称为向量场 \( S \) 的典范方程组. 典范方程组可以用来研究向量场在 \( {C}^{1} \) 扰动下的性态. 例如,应用典范方程组可以对推广的 \( {C}^{1} \) 封闭引理及双曲不变集半结构稳定性给出证明等. 向量场的示性函数 (characteristic function of vector field) 见“典范方程组”. 阻碍集 (obstruction set) 在稳定性猜测的研究过程中, 由廖山涛对流形上的向量场所建立的概念. 设 \( M \) 是紧致光滑 \( n \) 维黎曼流形, \( S \) 是 \( M \) 上的 \( {C}^{1} \) 向量场,以 \( N \) 表示 \( S \) 的常点集. 考虑 \( {TM} \) 中与 \( S \) 正交的子丛 (底空间为 \( N \) ) \( \mathcal{D} \) 以及 \( \mathcal{D} \) 在 \( {TM} \) 中的闭包 \( \overline{\mathcal{D}} \) . 若 \( {\varphi }_{t} : M \rightarrow M\left( {t \in \mathrm{R}}\right) \) 是 \( S \) 产生的流,那么 \( \mathrm{d}{\varphi }_{t} \) 在 \( \overline{\mathcal{D}} \) 上诱导出一个单参数变换群 \( {\Psi }_{t} : \overline{\mathcal{D}} \rightarrow \overline{\mathcal{D}} \) . 向量场 \( S \) 的阻碍集定义为 \[ {Ob}\left( S\right) = \{ x \in M \mid \text{ 存在 }\zeta \in \overline{\mathcal{D}} \cap {T}_{x}M, \] \[ \text{使得}\parallel \zeta \parallel = 1 = \mathop{\inf }\limits_{{t \in \mathrm{R}}}\begin{Vmatrix}{{\Psi }_{t}\left( \zeta \right) }\end{Vmatrix}\} \text{.} \] 借助于阻碍集, 微分动力系统研究中若干重要的概念可以表示为集合运算的式子. 例如, 沿用以上记号,若记 \( I\left( S\right) = M \smallsetminus \bar{N} \) ,那么 \( S \) 的一个奇点 \( {x}_{0} \) 为双曲的充分必要条件是 \( {x}_{0} \notin I\left( S\right) \cup {Ob}\left( S\right) ;S \) 的一条周期轨道 \( \Gamma \) 为双曲的充分必要条件是 \( \Gamma \cap {Ob}\left( S\right) = \) \( \varnothing \) . 设 \( \land \subset M \) 是关于 \( {\varphi }_{t} \) 不变的非空闭子集,如果 \[ \land \cap \left( {I\left( S\right) \cup {Ob}\left( S\right) }\right) = \varnothing , \] 则 \( \Lambda \) 称为 \( S \) 的正常集. 如果对任何 \( x \in \Lambda ,\zeta \in {T}_{r}M \) , 存在分解式 \[ \zeta = {\zeta }_{s} + {\lambda }_{\zeta }S\left( x\right) + {\zeta }_{u}, \] 这里 \( {\lambda }_{\zeta } \in \mathrm{R},{\zeta }_{s} \in {T}_{x}M,{\zeta }_{u} \in {T}_{x}M \) ,而且 \[\mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow \infty }}\begin{Vmatrix}{\mathrm{d}{\varphi }_{t}\left( {\zeta }_{s}\right) }\end{Vmatrix} = 0,\;\mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow - \infty }}\begin{Vmatrix}{\mathrm{d}{\varphi }_{t}\left( {\zeta }_{u}\right) }\end{Vmatrix} = 0,\] 则称 \( S \) 在 \( \Lambda \) 上满足线性横截条件. 特别地,如果 \( S \) 在 \( \Lambda = M \) 上满足线性横截条件,就简称 \( S \) 满足线性横截条件. 廖山涛证明: \( S \) 在 \( \Lambda \) 上满足线性横截条件等价于 \( \Lambda \) 是 \( S \) 的正常集; 线性横截条件等价于公理 \( A + \) 强横截条件. ## 正常集 (normal set) 见 “阻碍集”. 常微系统族 \( {\mathcal{X}}^{ * } \) (the family \( {\mathcal{X}}^{ * } \) of ordinary differential systems) 为研究结构稳定性与 \( \Omega \) 稳定性而考虑的一类常微系统. 设 \( M \) 是紧致 \( n \) 维黎曼流形,以 \( \mathcal{X} = \mathcal{X}\left( M\right) \) 表示 \( M \) 上全体 \( {C}^{1} \) 向量场 (即 \( {C}^{1} \) 常微系统) 形成的空间,具有 \( {C}^{1} \) 拓扑. 常微系统族 \( {\mathcal{X}}^{ * } \) 是由满足以下条件的 \( X \in \mathcal{X} \) 组成: \( X \) 的某个 \( {C}^{1} \) 邻域中所有的向量场 \( Y \) 都至多有可数个周期轨道与有限个奇点,或等价地说, \( Y \) 的所有奇点和所有周期轨道都是双曲的. 显然, \( {\mathcal{X}}^{ * } \) 在 \( \mathcal{X} \) 中为开集. \( {\mathcal{X}}^{ * } \) 的重要性在于它包含了所有 \( \Omega \) 稳定和所有结构稳定的系统, 因此, 它可以给出稳定性特征的等价形式. 例如,考虑 \( {\mathcal{X}}^{ * } \) 中的具有如下性质的 \( X \in \) \( {\mathcal{X}}^{ * } \) 作成的 \( {\mathcal{X}}^{ * } \) 的开子集 \( {\mathcal{X}}^{* * } \) : 存在 \( X \) 在 \( {\mathcal{X}}^{ * } \) 中的邻域 \( \mathcal{U} \) ,而且对于 \( X \) 来说,存在 \( M \) 的开子集 \( G \) , \( {W}_{0},\cdots ,{W}_{n - 1} \) (这里 \( n = \dim M \) ),它们在 \( M \) 中的闭包彼此互不相交; 同时满足: 如果 \( Y \in \mathcal{U} \) ,则 \( Y \) 的每一奇点都在 \( G \) 中,而且它的每一个具有 \( {\operatorname{Ind}}_{y}\left( \Gamma \right) = K \) 的周期轨道 \( \Gamma \) 都包含在 \( {W}_{k} \) 内 (这里 \( \left( {{\operatorname{Ind}}_{y}\left( \Gamma \right) }\right. \) 表示 \( {T}_{p}M \) 中线性子空间 \( \left\{ {\zeta \in {T}_{0}M \mid \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow \infty }}\begin{Vmatrix}{\mathrm{d}{\varphi }_{y, t}\left( \zeta \right) }\end{Vmatrix} = 0, p}\right. \) \( \in \Gamma ,{\varphi }_{y, t} \) 是 \( Y \) 产生的流 \( \} \) 的维数). 廖山涛指出, \( X \in \) \( {\mathcal{X}}^{* * } \) 等价于 \( X \) 满足公理 \( A \) 及无环条件. 常微系统族 \( {\mathcal{X}}^{* * } \) (The family \( {\mathcal{X}}^{* * } \) of ordinary differential systems) 见“常微系统族 \( {\mathcal{X}}^{ * } \) ”. 混杂的非游荡点 (chaotic nonwandering point) 在研究 \( \Omega \) 稳定性的过程中引进的概念. 设 \( M \) 是紧致 \( n \) 维黎曼流形, \( \mathcal{X} \) 表示 \( M \) 上全体 \( {C}^{1} \) 向量场空间, 具有 \( {C}^{1} \) 拓扑. 对 \( X \in \mathcal{X} \) ,令 \( {\varphi }_{X, t}\left( {t \in \mathrm{R}}\right) \) 是 \( X \) 产生的流. 设 \( \gamma = \left\{ {{\varphi }_{X, t}\left( a\right) \mid t \in \mathrm{R}, a \in M}\right\} \) ,记 \( {\operatorname{Ind}}_{X}\left( \gamma \right) \) 表示 \( {T}_{u}M \) 中线性子空间 \[ \left\{ {\zeta \in {T}_{a}M\left| {\mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow \infty }}\parallel \mathrm{d}{\varphi }_{X, t}\left( \zeta \right) }\right| = 0}\right\} \] 的维数, 并记 \[ {I}_{X}\left( \nu \right) = {\operatorname{Ind}}_{\left( -X\right) }\left( \nu \right) - {\operatorname{Ind}}_{X}\left( \nu \right) . \] 设 \( a \in M \) 是 \( X \) 的非游荡点,如果对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( {X}_{1},{X}_{2} \in \mathcal{X} \) ,使得 \( {X}_{i} \) 有奇点或周期轨道 \( {\gamma }_{i} \) 满足: 1. \( {\begin{Vmatrix}{X}_{i} - X\end{Vmatrix}}_{1} < \varepsilon \) ,且点 \( a \) 的 \( \varepsilon \) 邻域与 \( {\gamma }_{i} \) 相交 \( (i \) \( = 1,2) \) ; \[ \text{2.}{I}_{{X}_{1}}\left( {\gamma }_{1}\right) \neq {I}_{{X}_{2}}\left( {\gamma }_{2}\right) \text{;} \] 则称点 \( a \) 为混杂的非游荡点. 廖山涛证明: \( X \) 不具有混杂非游荡点等价于 \( X \) 满足公理 \( A \) 和无环条件. 歧变集 (rambling set) 廖山涛在研究稳定性时引进的一类不变集. 设 \( M \) 是紧致黎曼流形, \( X \) 是 \( M \) 上的 \( {C}^{1} \) 向量场. 如果 \( \Lambda \) 是 \( M \) 中的闭集,而且在 \( X \) 产生的流 \( {\varphi }_{t}\left( {t \in \mathrm{R}}\right) \) 下不变,同时 \( \Lambda \) 与 \( X \) 的阻碍集 \( {Ob}\left( x\right) \) 的交集不空,那么就称子集 \( \land \subset M \) 为歧变集. 如果它的每一个真子集都不是歧变集,则歧变集 \( \land \) 称为是极小的. 如果极小歧变集 \( \land \) 不含 \( X \) 的常点, 或者 \( \land \cap {Ob}\left( x\right) \) 至少包含一个常点 \( a \) ,使得 \( \omega \left( a\right) \) 及 \( \alpha \left( a\right) \) 都是 \( \Lambda \) 的真子集,那么就称 \( \Lambda \) 是简单的. 每一歧变集都至少包含一极小歧变集. 结构稳定的系统不存在简单极小歧变集. 极小歧变集 (minimal rambling set) 见 “歧变集”. 简单极小歧变集 (simply minimal rambling set) 见“歧变集”. ## 复动力系统 复动力系统 (complex dynamical systems) 现代数学的一个重要分支. 它着重研究由复解析函数迭代生成的动力系统的分析性质、几何性质及拓扑性质等, 并由此可描绘出一些美妙的图形. 对此领域的研究已诞生了多位菲尔兹奖获得者. 复动力系统研究的萌芽起始于 19 世纪末. 20 世纪 20 年代, 法国数学家法图 (Fatou, P. J. L. ) 和茹利亚 (Julia, G. M. ) 对有理函数动力系统和整函数动力系统的性质进行了深入的研究. 在其后的五六十年间, 这方面的研究没有什么突出的进展. 20 世纪 80 年代初, 美国数学家芒德布罗 (Mandelbrot, B. ) 将计算机技术有效地运用于这一领域, 沙利文 (Sullivan, D. P. ) 等数学家将拟共形映射和泰希米勒 (Teichmüller, O. ) 空间等理论应用于这一领域, 取得了突破性进展, 从而使此领域的研究重新获得了生机. 复动力系统的研究与分形几何、混沌理论、分歧理论等领域有着紧密的联系, 引起了数学界和其他领域的巨大兴趣. 法图集 (Fatou set) 复动力学中的最基本概念. 设 \( f\left( z\right) \) 为复平面 \( \mathrm{C} \) 上的亚纯函数. 取 \( U = \mathrm{C},{\mathrm{C}}^{ * } \) \( = \mathrm{C} \smallsetminus \{ 0\} ,\overline{\mathrm{C}} \) 分别对应于 \( f \) 为超越整函数、亚纯函数 \( f \) 以 \( z = 0 \) 为极点和皮卡例外值、其他的亚纯函数. 法图集 \( F\left( f\right) \) (或简记为 \( F \) ) 定义为: \( F\left( f\right) = \{ z \in U \mid z \) 是正规点 \( \} \) . 茹利亚集 \( J\left( f\right) \) (或简记为 \( J \) ) 定义为: \( J\left( f\right) = U \smallsetminus F\left( f\right) . \) 法图集是开集, 茹利亚集是非空完全集. 对有理函数 \( R\left( z\right) \) 而言,法图集和茹利亚集是完全不变集, 即 \( R\left( J\right) = J = {R}^{-1}\left( J\right), R\left( F\right) = F = {R}^{-1}\left( F\right) \) . 对超越亚纯函数 \( f \) ,华歆厚和杨重骏证明了下述不变结果: \[ F = {f}^{-1}\left( F\right) = f\left( F\right) \cup \{ {PV}\left( f\right) \cap F\} , \] 其中, \( {PV}\left( f\right) \) 为 \( f \) 的皮卡例外值集. 茹利亚集 (Julia set) 见 “法图集”. 乘子 (multiplier) 复动力学中用来对周期点进行分类的一个数. 对亚纯函数 \( f\left( z\right)

2000_数学辞海（第3卷）

取得了突破性进展, 从而使此领域的研究重新获得了生机. 复动力系统的研究与分形几何、混沌理论、分歧理论等领域有着紧密的联系, 引起了数学界和其他领域的巨大兴趣. 法图集 (Fatou set) 复动力学中的最基本概念. 设 \( f\left( z\right) \) 为复平面 \( \mathrm{C} \) 上的亚纯函数. 取 \( U = \mathrm{C},{\mathrm{C}}^{ * } \) \( = \mathrm{C} \smallsetminus \{ 0\} ,\overline{\mathrm{C}} \) 分别对应于 \( f \) 为超越整函数、亚纯函数 \( f \) 以 \( z = 0 \) 为极点和皮卡例外值、其他的亚纯函数. 法图集 \( F\left( f\right) \) (或简记为 \( F \) ) 定义为: \( F\left( f\right) = \{ z \in U \mid z \) 是正规点 \( \} \) . 茹利亚集 \( J\left( f\right) \) (或简记为 \( J \) ) 定义为: \( J\left( f\right) = U \smallsetminus F\left( f\right) . \) 法图集是开集, 茹利亚集是非空完全集. 对有理函数 \( R\left( z\right) \) 而言,法图集和茹利亚集是完全不变集, 即 \( R\left( J\right) = J = {R}^{-1}\left( J\right), R\left( F\right) = F = {R}^{-1}\left( F\right) \) . 对超越亚纯函数 \( f \) ,华歆厚和杨重骏证明了下述不变结果: \[ F = {f}^{-1}\left( F\right) = f\left( F\right) \cup \{ {PV}\left( f\right) \cap F\} , \] 其中, \( {PV}\left( f\right) \) 为 \( f \) 的皮卡例外值集. 茹利亚集 (Julia set) 见 “法图集”. 乘子 (multiplier) 复动力学中用来对周期点进行分类的一个数. 对亚纯函数 \( f\left( z\right) \) ,若 \( {z}_{0} \) 是 \( f\left( z\right) \) 的周期为 \( n \) 的周期点,那么就称 \( \lambda = {\left( {f}^{n}\right) }^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \) 为 \( {z}_{0} \) 的乘子. 当 \( \left| \lambda \right| > 1,\left| \lambda \right| = 1,\left| \lambda \right| < 1 \) 时, \( {z}_{0} \) 分别称为斥性周期点、中性周期点、吸性周期点. 早在 20 世纪 20 年代, 法图 (Fatou, P. J. L. ) 和茹利亚 (Julia, G. M. ) 就已证明了 \( J\left( R\right) \) 是斥性周期点集的闭包,其中 \( R \) 是非线性有理函数. 直到 1968 年, 关于超越函数的相应结果才由英国数学家贝克 (Baker, I. N.) 证明, 在证明中他引用了阿尔福斯 (Ahlfors, L. V. ) 的覆盖曲面理论. 斥性周期点属于茹利亚集, 吸性周期点属于法图集, 中性周期点的情况相当复杂. 可将中性周期点分为两类: 有理中性周期点 (即乘子为单位根) 和无理中性周期点. 有理中性周期点属于茹利亚集. 对于无理中性周期点 \( {z}_{0} \) ,其乘子 \( \lambda = \exp \left( {{2\pi }\mathrm{i}\theta }\right) ,\theta \) 是无理数. 如果 \( \theta \) 是丢番图数,即无法被有理数较好地逼近,则此种 \( {z}_{0} \) 被称为西格尔点,它属于法图集; 否则 \( {z}_{0} \) 被称为克莱姆点,它属于茹利亚集. 对于二次多项式, 布鲁姆 (Brjumo, A. D. ) (1965) 和约考兹 (Yoccoz, J. C. ) 给出了判定 \( \theta \) 的精确条件. 斥性周期点 (repelling periodic points) 见“乘子”. 中性周期点 (indifferent periodic points) 见 “乘子”. 吸性周期点 (attracting periodic points) 见 “乘子”. 西格尔点 (Siegel point) 见“乘子”. 克莱姆点 (Cremer point) 见 “乘子”. 芒德布罗集 (Mandelbrot set) 复动力学中一个非常有趣而又典型的集合. 对于二次多项式 \( {P}_{w}\left( z\right) = {z}^{2} + w \) ,芒德布罗集 \( M \) 定义为 \[ M = \left\{ {w\left| \right| {P}_{w}^{n}\left( 0\right) \mid \leq 2, n\text{ 为正整数 }}\right\} \] \( = \left\{ {w \mid J\left( {P}_{w}\right) \text{ 是连通集 }}\right\} \) . \( M \) 是闭集且有关系式 \[ \left\lbrack {-2,\frac{1}{4}}\right\rbrack \cup \{ w\left| \right| 1 - \sqrt{1 - {4w}} \mid \leq 1\} \] \[ \subset M \subset \{ w\left| \right| w \mid \leq 2\} \text{.} \] \( M \) 的所有分支都是单连通区域, \( M \) 的余集是一个区域. 杜瓦地 (Douady, A. ) 和胡巴特 (Hubbard, J. H. ) 于 1982 年证明了集合 \( M \) 是连通集. 最近,富仓光宏 (Shishikura, M. )证明了 \( M \) 集的边界具有豪斯多夫维数 2 . 关于芒德布罗集, 仍有一些重要的问题未能解决. 例如,芒德布罗集是否为局部连通? 是否 \( M \) 的每一个分支都是双曲的 (即是否每个分支中存在参数 \( w \) ,使得 \( {P}_{w}\left( z\right) \) 有吸性周期点)? 法图分支(Fatou component) 一种连通分支. 所谓法图分支, 是指法图集的每一个连通分支. 有时也称之为稳定域. 法图分支可分为两类: 游荡分支及预周期分支. 稳定域 (stable domain) 即“法图分支”. 游荡分支 (wandering component) 一类无回复性的法图分支. 设 \( D \) 是一个法图分支,即 \( F\left( f\right) \) 的一个连通子集. 如果 \( D,{f}^{1}\left( D\right) ,{f}^{2}\left( D\right) ,\cdots ,{f}^{n}\left( D\right) \) , \( \cdots \) 是一个互不相交的序列,则称 \( D \) 是一个游荡分支. 当 \( f \) 是有理函数 \( R \) 时,20 世纪 20 年代,法国数学家法图 (Fatou, P. J. L. ) 猜测: \( F\left( R\right) \) 没有游荡分支. 这个猜想已由沙利文 (Sullivan, D. P. ) 于 1985 年成功地证明了, 被称之为沙利文定理. 但超越函数的情形却截然不同. 1976 年, 贝克 (Baker, I. N. ) 构造了一个具有游荡分支的超越整函数. 贝克-库塔斯 (Kotus, J. )-吕以辇于 1990 年构造了具有游荡域的超越亚纯函数. 预周期分支 (pre-periodic component) 具有类似回复性的一种法图分支. 设 \( D \) 是函数 \( f \) 的一个法图分支. 如果存在正整数 \( m, n\left( {m > n}\right) \) ,使得 \( {f}^{m}\left( D\right) \) 与 \( {f}^{n}\left( D\right) \) 相交,则称 \( D \) 为预周期分支. 此时有 \( {f}^{m}\left( D\right) \subset {f}^{n}\left( D\right) \) . 进一步地,如果对某正整数 \( m \) 有 \( {f}^{m}\left( D\right) \) 与 \( D \) 相交,则称 \( D \) 为周期分支, \( m \) 称为周期; 特别地,如果 \( f\left( D\right) \) 与 \( D \) 相交,则称 \( D \) 为不变分支. 对于周期分支 \( D \) ,有且仅有下列五种情形之一发生 (分类定理): 1. 如果 \( D \) 中含有吸性周期点 \( {E}_{0} \) ,则 \( D \) 被称为 \( {E}_{0} \) 的直接吸性盆. 此时其乘子 \( \lambda \) 满足 \( \left| \lambda \right| < 1 \) . 如果 \( 0 < \left| \lambda \right| < 1 \) ,则 \( D \) 被称为施罗德域; 如果 \( \lambda = 0 \) ,则 \( D \) 被称为布确域. 2. 如果 \( D \) 的边界含有周期为 \( m \) 的周期点 \( {z}_{0} \) ,使得 \( {f}^{nm}\left( z\right) \rightarrow {z}_{0} \) 当 \( n \rightarrow \infty \) 时对任意 \( z \in D \) 成立,则 \( D \) 被称为利玉域或抛物域. 3. 如果 \( {f}^{m}\left( z\right) \) 共轭于无理旋转 \( l\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}a}z \) ,其中 \( m \) 为 \( D \) 的周期, \( \alpha \) 为无理数,则 \( D \) 被称为西格尔圆. 即存在解析同胚 \( \varphi : D \rightarrow \) 单位圆,使得 \( \varphi \cdot {f}^{m} \) . \( {\varphi }^{-1}\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}\alpha }z \) . 此时 \( D \) 为单连通的且含有中性周期点. 4. 如果 \( D \) 是二连通的且 \( {f}^{m} \) 共轭于旋转,此时 \( D \) 被称为阿诺尔德-霍曼环. 5. 如果 \( {f}^{mn}\left( z\right) \rightarrow {z}_{0} \in D, D \) 称为贝克域 (或无法图分支),其中 \( m \) 为 \( D \) 的周期, \( {f}^{m}\left( z\right) \) 在 \( {z}_{0} \) 处不是全纯的. 特别地,如果 \( m = 1 \) ,则惟一的情形是 \( {z}_{0} = \infty \) . 对于有理函数,上述第 5 种情形不存在. 如果 \( D \) 为周期 \( m \) 的周期分支,则 \[ D,{f}^{1}\left( D\right) ,{f}^{2}\left( D\right) ,\cdots ,{f}^{m - 1}\left( D\right) \] 被称为一个周期循环. 设 \( R\left( z\right) \) 是阶为 \( d \) 的有理函数,则周期循环的个数与 \( d \) 有关. 沙利文 (Sullivan, D. P. ) 于 1982 年证明了 \( R\left( z\right) \) 的周期循环个数 \( \leq {8d} \) -8,他并且猜测其准确值为 \( {2d} - 2 \) . 此猜测被富仓光宏 (Shishikura, M. ) 于 1987 年证实. 周期分支 (periodic component) 见“预周期分支”. 不变分支 (invariant component) 见 “预周期分支”. 直接吸收盆 (immediate attractive basin) 见 “预周期分支”. 施罗德域 (Schröder domain) 见 “预周期分支”. 布确域 (Böttcher domain) 见“预周期分支”. 利玉域(Leau domain) 见“预周期分支”. 抛物域 (parabolic domain) 见“预周期分支”. 西格尔圆 (Siegel disc) 见“预周期分支”. 阿诺尔德-霍曼环 (Arnold-Herman ring) 见 “预周期分支”. 贝克域 (Baker domain) 见“预周期分支”. 周期循环 (periodic cycle) 见“预周期分支”. 临界点 (critical point) 复动力学中的一个重要概念. 设 \( f \) 为亚纯函数, \( {f}^{\prime }\left( z\right) = 0 \) 的点 \( z \) 以及 \( f\left( z\right) \) 的重极点统称为 \( f \) 的临界点. 上述点构成的集合称为 \( f \) 的临界点集,记为 \( C = {C}_{f} \) . 临界点的像称为临界值. \( {O}^{ + }\left( {C}_{f}\right) \) 的极限点集称为临界极限集,记为 \( {C}^{ + } = {C}_{f}^{ + } \) ,其中 \[ {O}^{ + }\left( {C}_{f}\right) = \mathop{\bigcup }\limits_{{z \in {C}_{f}}}{O}^{ + }\left( z\right) , \] 而 \( {O}^{ + }\left( z\right) = \left\{ {z, f\left( z\right) ,{f}^{2}\left( z\right) ,\cdots }\right\} \) 为点 \( z \) 的前向轨道. 对有理函数 \( R \) ,其阶为 \( d \) ,临界点集的个数不超过 \( {2d} \) \( - 2 \) . 临界点集 (critical points) 见“临界点”. 临界值 (critical value) 见“临界点”. 临界极限集 (critical limit set) 见“临界点”. 渐近值 (asymptotic value) 与函数增长速度有关的复数值. 设 \( f \) 为亚纯函数,如果存在趋于 \( \infty \) 的曲线 \( \Gamma \) ,使得当 \( z \) 沿着 \( \Gamma \) 趋于 \( \infty \) 时, \( f\left( z\right) \rightarrow a \) ,则称 \( a \) 为 \( f \) 的一个渐近值. 对增长比较慢的函数,其渐近值也相应地比较少. 特别地, 任何有理函数至多只有一个渐近值. 奇异点 (singular point) 在复动力学中起着重要作用的一类点. 它与周期域有着密切的联系. 临界值、渐近值以及它们的极限点统称奇异点. 上述点所形成的集合称为奇异点集. 函数 \( f \) 的奇异点集通常记为 \( \operatorname{sing}\left( {f}^{-1}\right) \) . 奇异点集的前向轨道的闭包称为超奇异集,记为 \( \bar{E} = \bar{E}\left( f\right) \) . 设 \( f \) 是亚纯函数,如果 \( \bar{E} \cap J\left( f\right) = \varnothing \) ,则称 \( f \) 是双曲的; 如果 \( d\left( {\bar{E}, J\left( f\right) }\right) > 0 \) ,则称 \( f \) 是次扩张的; 如果 \( \bar{E} \) 是紧集,并且 \( f \) 是双曲的,则称 \( f \) 为扩张的. 对扩张整函数 \( f \) ,有 \( \left| {{\left( {f}^{n}\right) }^{\prime }\left( z\right) }\right| \geq c\left| {{f}^{n}\left( z\right) }\right| \log \left| {{f}^{n}\left( z\right) }\right| \left( {c\text{ 为常数 }}\right) , \) \[ \left| {{\left( {f}^{n}\right) }^{\prime }\left( z\right) }\right| \rightarrow \infty \left( {n \rightarrow \infty ;\forall z \in J\left( f\right) }\right) . \] 对扩张有理函数 \( R\left( z\right) \) ,存在 \( c > 0 \) 及 \( d > 1 \) ,使得 \[ \left| {{\left( {R}^{n}\right) }^{\prime }\left( z\right) }\right| \geq c{d}^{n}\left( {z \in J\left( R\right) }\right) . \] 布确域循环中至少含有一个奇异点, 施罗德域循环及利玉域循环中含有无穷多个奇异点, 而西格尔圆及霍曼环的边界整个地位于 \( \bar{E} \) . 奇异点集的性态亦限定了函数列在法图分支上的极限状况. 例如,对于超越整函数 \( f \) ,如果 \( \bar{E} \) 的内部为空集并且 \( \bar{E} \) 的余集连通,则所有极限函数都是常数. 奇异点集 (singular points set) 见“奇异点”. 超奇异集 (post-singular set) 见“奇异点”. 双曲亚纯函数 (hyperbolic meromorphic function) 见“奇异点”. 次扩张亚纯函数 (subextension meromorphic function) 见“奇异点”. 扩张亚纯函数 (expanding meromorphic function) 见“奇异点”. 法图分支的有界性 (boundedness of Fatou components) 关于法图分支有界性的问题. 探讨什么样的函数的法图分支都有界是一个有趣的问题, 这也是有理动力系统与超越动力系统的一个区别所在. 对多项式而言, \( \infty \) 的一个邻域必是一个法图分支, 故必存在无界法图分支. 但超越函数的情形却不一样. 贝克 (Baker, I. N. ) 于 1981 年证明了: 当超越整函数 \( f \) 的增长满足 \[ \log M\left( {r, f}\right) = {\left( \log r\right) }^{p} \] 时,所有法图分支有界,其中 \( P \) 为正整数, \( M\left( {r, f}\right) \) 为最大模. 康托尔集 (Cantor set) 实分析中著名康托尔三分集的拓扑推广. \( \overline{\mathrm{C}} \) 中任一个闭的、完备的、非空的、完全不连通的子集称为康托尔集. 对超越整函数 \( f \) ,由于 \( J\left( f\right) \) 必含有非退化的连续统,故 \( J\left( f\right) \) 不可能是康托尔集. 但确实有一些茹利亚集是康托尔集. 例如, \( J\left( {\lambda \tan z}\right) \) 当 \( 0 < \left| \lambda \right| < 1 \) 时是康托尔集. 孤立若尔当弧 (isolated Jordan arc) 研究茹利亚集的结构时引入的术语. 对 \( J\left( f\right) \) 中的一个若尔当弧, 如果存在一个包含此弧的开集, 使得其中除了含有此弧及其端点外,不含有 \( J\left( f\right) \) 的其他点,那么就称这个若尔当弧在 \( J\left( f\right) \) 中是孤立的. 对超越整函数 \( f \) 而言,这种现象不可能出现. 但当 \( f \) 为亚纯函数时, 此现象可能发生. 例如, \[ J\left( {{\tan }^{2}\sqrt{z}}\right) = \left( {0, + \infty }\right) , \] \[ J\left( {\lambda \tan \dot{z}}\right) = \text{实轴}\left( {\left| \lambda \right| > 1\text{或}\lambda = 1}\right) \text{.} \] 一个有趣的问题是: 对怎样的亚纯函数 \( f, J\left( f\right) \) \( = \) 实轴? 贝克 (Baker, I. N.) 和库塔斯 (Kotus, J. ) 以及吕以辇于 1991 证明了: 如果 \( J\left( f\right) = \) 实轴,则 \[ f\left( z\right) = D\left\{ {{cz} + d + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{c}_{n}\left( {\frac{1}{{a}_{n} - z} - \frac{1}{{a}_{n}}}\right) }\right\} \] , (1) 其中 \( D = \pm 1, c, d,{c}_{n},{a}_{n} \) 是实数, \[ 0 < c < + \infty ,{c}_{n} > 0,\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{c}_{n}{a}_{n}^{-2} < + \infty ; \] 反之,如果 \( f\left( z\right) \) 形如 (1) 式,则 \( J\left( f\right) = \) 实轴或者 \( J\left( f\right) \) 是康托尔集. 茹利亚集的测度 (measure of Julia set) 关于没有内点的茹利亚集的测度问题. 人们知道, 茹利亚集非空. 当茹利亚集有内点时, 它必为整个平面. 一个有趣的问题是: 当茹利亚集没有内点时, 其测度是否为零? 对于超越函数而言, 这个问题的回答是否定的. 麦克缪伦 (McMullen, C. ) 于 1987 年证明了: \( f\left( z\right) = a\cos z + b \) 的茹利亚集的测度大于零.

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\[ J\left( {{\tan }^{2}\sqrt{z}}\right) = \left( {0, + \infty }\right) , \] \[ J\left( {\lambda \tan \dot{z}}\right) = \text{实轴}\left( {\left| \lambda \right| > 1\text{或}\lambda = 1}\right) \text{.} \] 一个有趣的问题是: 对怎样的亚纯函数 \( f, J\left( f\right) \) \( = \) 实轴? 贝克 (Baker, I. N.) 和库塔斯 (Kotus, J. ) 以及吕以辇于 1991 证明了: 如果 \( J\left( f\right) = \) 实轴,则 \[ f\left( z\right) = D\left\{ {{cz} + d + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{c}_{n}\left( {\frac{1}{{a}_{n} - z} - \frac{1}{{a}_{n}}}\right) }\right\} \] , (1) 其中 \( D = \pm 1, c, d,{c}_{n},{a}_{n} \) 是实数, \[ 0 < c < + \infty ,{c}_{n} > 0,\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{c}_{n}{a}_{n}^{-2} < + \infty ; \] 反之,如果 \( f\left( z\right) \) 形如 (1) 式,则 \( J\left( f\right) = \) 实轴或者 \( J\left( f\right) \) 是康托尔集. 茹利亚集的测度 (measure of Julia set) 关于没有内点的茹利亚集的测度问题. 人们知道, 茹利亚集非空. 当茹利亚集有内点时, 它必为整个平面. 一个有趣的问题是: 当茹利亚集没有内点时, 其测度是否为零? 对于超越函数而言, 这个问题的回答是否定的. 麦克缪伦 (McMullen, C. ) 于 1987 年证明了: \( f\left( z\right) = a\cos z + b \) 的茹利亚集的测度大于零. 但对于有理函数, 即使是二次多项式, 这个问题的研究都是很困难的. 爆炸性(explosion) 复动力系统中茹利亚集的一个动力性质, 它出现在带参数的亚纯函数族. 设 \( {f}_{\lambda }\left( z\right) \) 是带参数 \( \lambda \) 的亚纯函数族,若参数 \( \lambda \) 到达某点 \( {\lambda }_{0} \) 时,茹利亚集从无处稠密集变为整个复平面,则称这种现象为爆炸性,并称 \( {\lambda }_{0} \) 为爆炸点. 典型的函数族是指数函数族 \( {f}_{\lambda }\left( z\right) = \lambda {\mathrm{e}}^{z} \) . 法图 (Fatou, P. J. L. ) 曾猜想: \( J\left( {\mathrm{e}}^{z}\right) = \mathrm{C} \) . 此猜想于 1981 年为米约维奇 (Misiurewicz, M. ) 所证实. 后来, 德瓦内 (Devaney, R. L. ) 于 1985 年证明了: 当 \( \lambda > 1/\mathrm{e} \) 时, \( J\left( {\lambda {\mathrm{e}}^{z}}\right) = \mathrm{C} \) , 而当 \( \lambda \leq 1/\mathrm{e} \) 时, \( J\left( {\lambda {\mathrm{e}}^{z}}\right) \) 是无处稠密集. 一个未解决的问题是: 集合 \[ \left\{ {\lambda \in \mathrm{C} \mid J\left( {\lambda {\mathrm{e}}^{z}}\right) = \mathrm{C}}\right\} \] 是否有内点? 其测度是否为正? 周建莹-李忠于 1989 年证明了此集合在实轴上没有内点. 对于亚纯函数 \[ f\left( z\right) = \frac{1}{\lambda + {\mathrm{e}}^{-{2z}}}, \] \( \lambda = 0 \) 是一个爆炸点. 豪斯多夫维数 (Hausdorff dimension) 分维数之一. 它是刻画图形占领空间规模和整体复杂性的一种量度. 在动力系统的研究中, 常用豪斯多夫维数来量度动力系统所产生的分形集的 “不规则”程度. 茹利亚集的豪斯多夫维数的研究是复动力系统中的一个重要课题,对非线性亚纯函数 \( f\left( z\right) \) ,有 \[ 0 < {\dim }_{{H}^{\prime }}J\left( f\right) \leq 2, \] (1) 其中 \( {\dim }_{H}J\left( f\right) \) 表示 \( J\left( f\right) \) 的豪斯多夫维数. 加伯 (Garber, V.)于 1978 年证明了 (1) 式对有理函数成立, 斯托拉德 (Stallard, G. M. ) 于 1994 年证明了 (1) 对超越亚纯函数成立. 上述估计式中的上下界都是精确的. 当 \( J\left( f\right) = \mathrm{C} \) 时,自然有 (1) 的上界. 对于 (1) 的下界, 斯托拉德于 1994 年证明了 \[ {\dim }_{H}J\left( {{\left( 2m\right) }^{-m}\tan z\mathop{\prod }\limits_{{j = 1}}^{m}\left( {z - {j\pi }}\right) }\right) \geq \frac{4}{m}. \] 对于超越整函数 \( f \) ,由贝克 (Baker, I. N. ) 于 1975 年的一个结果可知, \[ 1 \leq {\dim }_{H}J\left( f\right) \leq 2. \] 上界自然是精确的, 但下界能否达到仍是未知问题. 人们猜测: \( {\dim }_{H}J\left( f\right) > 1 \) . 一个有趣的问题是芒德布罗集 \( \mathcal{M} \) 的边界的豪斯多夫维数,富仓光宏于 1998 年证明了其维数为 2 . 可测动力学 (measurable dynamics) 遍历理论研究的对象. 在复动力系统中主要体现在循环、遍历性及稳定性等方面. 设 \( f\left( z\right) \) 为亚纯函数, \( {z}_{1},{z}_{2} \) 是两个复数,如果存在非负整数 \( n \) 和 \( m \) ,使得 \( {f}^{n}\left( {z}_{1}\right) = \) \( {f}^{m}\left( {z}_{2}\right) \) ,则称 \( {z}_{1} \) 和 \( {z}_{2} \) 等价. 一个等价族被称之为 \( f \) 的一个大轨道. 设 \( E \) 为平面上的一个集合,如果 \( E \) 与 \( f \) 的每一个大轨道至多相交于一点,则称 \( E \) 是 \( f \) 的一个交叉集. 如果 \( f \) 没有含于 \( J\left( f\right) \) 的具正测度的交叉集,则称 \( f \) 在 \( J\left( f\right) \) 上是循环. 如果由 \( J\left( f\right) \) 中的大轨道构成的任何可测集具零测度或全测度 (即测度为 2), 则称 \( f \) 在 \( J\left( f\right) \) 上是遍历的. 典型例子是: \( f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{z} \) 在 \( J\left( f\right) \) 上是循环. 设 \( f \) 是一个亚纯函数,如果 \( f \) 的超奇异集 \( \bar{E}\left( f\right) \) 满足: 对几乎所有 \( z \in J\left( f\right) \) ,有 \[ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}d\left( {{f}^{n}\left( z\right) ,\bar{E}\left( f\right) \cup \{ \infty \} }\right) = 0, \] 那么就称 \( f \) 为拟扩张的. 由包克 (Bock, H. ) 于 1996 年的结果知, 拟扩张的非线性整函数及其迭代都是遍历的. 作为例子, 函数 \[ f\left( z\right) = P\left( {\mathrm{e}}^{z}\right) + Q\left( {\mathrm{e}}^{-z}\right) \] 在 \( J\left( f\right) \) 上不是遍历的,其中 \( P, Q \) 为同阶非常数多项式. 两个函数 \( f \) 和 \( g \) 称为拓扑等价的,是指存在两个同胚映射 \( \varphi ,\psi : \mathrm{C} \rightarrow \mathrm{C} \) 使得 \( \psi \left( g\right) = f\left( \varphi \right) \) . 对给定的函数 \( g \) ,全体与 \( g \) 拓扑等价的函数族记为 \( T\left( g\right) \) . \( {\left. f\right| }_{J\left( {f}_{x}\right) } \) 和 \( {\left. f\right| }_{J\left( f\right) } \) 被称为拓扑共轭的,如果存在同胚 \( {h}_{f} : J\left( {f}_{ \circ }\right) \rightarrow J\left( f\right) \) ,使得 \[ {h}_{f}\left( {{f}_{ \circ }\left( z\right) }\right) = f\left( {{h}_{f}\left( z\right) }\right) \;\left( {z \in J\left( {f}_{ \circ }\right) }\right) . \] 设 \( f \) 。 \( \in T\left( g\right) \) ,如果对任意充分靠近 \( f \) 。的 \( f \in \) \( T\left( g\right) \) ,有: \( {\left. f{}_{ \circ }\right| }_{J\left( {f}_{ * }\right) } \) 与 \( {\left. f\right| }_{J\left( f\right) } \) 拓扑共轭,且 \( {h}_{f} \) 连续依赖于 \( f,{h}_{f} = \mathrm{{id}},{h}_{f} \) 在 \( T\left( g\right) \) 中解析,那么就称 \( f \) 。是 \( J \) 稳定的. 如果对所有充分靠近 \( f \) 。的 \( f \in T\left( g\right), f \) 和 \( f \) 。 在全平面上是拓扑共轭的, 且共轭同胚连续依赖于 \( f \) ,那么就称 \( f \) 。在 \( T\left( g\right) \) 中结构稳定. 典型的例子有: \( {\mathrm{e}}^{z} \in T\left( {\lambda {\mathrm{e}}^{z}}\right) \) 不是结构稳定的 (德瓦内 (Devaney, R. L. ) (1985)). 周建莹-李忠进一步证明了 \( \lambda {\mathrm{e}}^{z}(\lambda > 1/ \) e) 都不是结构稳定的. 杨德贵-好志峰-华歆厚于 1998 年证明了 \[ {f}_{\mu }\left( z\right) = z{\mathrm{e}}^{z + \mu } \] 当 \( \operatorname{Re}\mu < 0 \) 或者 \( \left| {\mu - 1}\right| < 1 \) 时是结构稳定的. 等价族 (equivalent class) 见 “可测动力学”. 大轨道 (large orbit) 见“可测动力学”. 交叉集 (cross set) 见 “可测动力学”. 拟扩张亚纯函数 (pseudo-expanding meromorphic function) 见“可测动力学”. \( J \) 稳定 ( \( J \) -stable) 见 “可测动力学”. 结构稳定 (structural stable) 见 “可测动力学”. 可交换函数 (permutable function) 动力系统中研究的一个很有意义的内容. 设 \( f \) 和 \( g \) 都是亚纯函数,如果有 \( f \circ g = g \circ f \) ,那么就称 \( f \) 和 \( g \) 是可交换的. 法图 (Fatou, P. J. L. ) 于早期曾指出, 两个可交换的有理函数具有相同的茹利亚集, 反之不真. 关于超越函数, 有下述未解决的问题 (即法图问题): 如果 \( f \) 和 \( g \) 为可交换的超越整函数,那么是否必有 \( J\left( f\right) = J\left( g\right) \) ? 目前仅在一些特殊情形下给出正面回答. 牛顿方法 (Newton method) 寻找亚纯函数根的一个有效办法. 设 \( g \) 是一个亚纯函数,考虑它的牛顿函数 \[ f\left( z\right) = z - \frac{g\left( z\right) }{{g}^{\prime }\left( z\right) }. \] 当 \( g \) 为有理函数时, \( f\left( z\right) \) 亦为有理函数; 当 \( g \) 为超越函数时, \( f \) 亦为超越函数,除了 \( g\left( z\right) = R\left( z\right) {\mathrm{e}}^{p\left( z\right) } \) , 其中 \( R\left( z\right) \) 为有理函数, \( p\left( z\right) \) 为多项式. 容易看出,如果 \( w \) 是 \( g\left( z\right) \) 的零点,则 \( w \) 必是 \( f\left( z\right) \) 的吸性不动点, 从而 \( w \in F\left( f\right) \) ; 反之亦真. 有趣的课题是: 什么样的 \( z \) 使得 \( {f}^{n}\left( z\right) \) 收敛到 \( g \) 的零点? 当 \( g \) 是多项式时,如果对 \( {g}^{\prime \prime } \) 的任意零点 \( {z}_{0} \) 使得 \( {g}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \neq 0 \) ,都有 \( {f}^{n}\left( {z}_{0}\right) \) 收敛,则对任意点 \( z \in \) \( F\left( f\right) ,{f}^{n}\left( z\right) \) 必收敛到 \( g \) 的零点. 上述相应的结果对某些超越整函数亦成立. 例如, 伯格维诺 (Bergweil-er, W. ) 于 1993 年证明了 \[ g\left( z\right) = {\int }_{o}^{z}p\left( t\right) {\mathrm{e}}^{q\left( t\right) }\mathrm{d}t + C\left( {g\left( z\right) \neq {\mathrm{e}}^{{az} + b}}\right) \] 具有上述性质,其中 \( p \) 和 \( q \) 是多项式, \( C \) 为常数. 松弛牛顿法 (relaxed Newton method) 牛顿法的推广. 松弛牛顿函数定义为 \[ {f}_{h}\left( z\right) = z - h\frac{g\left( z\right) }{{g}^{\prime }\left( z\right) }, \] 其中 \( h \) 为复数并且 \( \left| {h - 1}\right| < 1 \) . 松弛牛顿函数有着很多与牛顿函数类似的性质. 设 \( w \) 为 \( g \) 的零点,阶为 \( m \) ,则 \[ {f}^{\prime }{}_{h}\left( w\right) = 1 - \frac{h}{m}, \] 从而 \( w \) 为 \( {f}_{h} \) 的吸性不动点. 令 \( D\left( {h, w}\right) \) 为 \( F\left( {f}_{h}\right) \) 中含有点 \( w \) 的分支 (称为 \( {f}_{h} \) 的关于 \( w \) 的直接吸性盆), 记 \[ A\left( {h, w}\right) = \left\{ {z \mid \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{h}^{n}{f}_{h}\left( z\right) \mathrm{d}z = w}\right\} , \] 称为 \( {f}_{h} \) 的吸性盆. 显然, \( D\left( {h, w}\right) \subset A\left( {h, w}\right) \) . 如果 \( g \) 为多项式,则对一些小的 \( h \) 有 \[ \operatorname{mes}\left( {\overline{\mathrm{C}} \smallsetminus \mathop{\bigcup }\limits_{{\{ w \mid g\left( w\right) = 0\} }}A\left( {h, w}\right) }\right) = 0 \] (弗列克梭-申腾内克(Flexor-Sentenac) 1989). 对一般的有理函数 \( g \) ,当 \( h \) 为实数时,有 \[ \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\operatorname{mes}\left( {\overline{\mathbf{C}} \smallsetminus \mathop{\bigcup }\limits_{\left\{ w \mid g\left( w\right) = 0\right\} }D\left( {h, w}\right) }\right) = 0. \] (1) 当 \( g \) 是超越函数时,如果 \( \operatorname{sing}\left( {g}^{-1}\right) \) 是一个离散集并且 0 不是渐近值, 伯格维诺 (Bergweiler, W. ) 、 哈斯诺 (Häseler, F. )、克内特 (Kriete, H. )、梅约 (Meier, H. G. )、托格莱茵 (Terglane, N. ) 等人于 1993 年证明了 (1) 仍然成立. 一个未知问题是: 条件 “ \( \operatorname{sing}\left( {g}^{-1}\right) \) 是离散集”是否能去掉? 吸性盆 (basin of attraction) 见 “松弛牛顿法”. 重正规化 (renormalization) 复动力系统的一个概念,它在二次多项式的研究中很有用. 设 \( f : U \) \( \rightarrow V \) 是圆盘之间的真映射. 如果 \( \bar{U} \) 是 \( V \) 的紧子集, 则称 \( f \) 为类多项式映射. 显然,此时 \( U \) 和 \( V \) 都不是全平面. 杜瓦地 (Douady, A. )、胡巴特 (Hubbard, J. M. ) 于 1985 年引进填充茹利亚集 \( K\left( f\right) \) 定义为: \[ K\left( f\right) = \mathop{\bigcap }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{f}^{-n}\left( V\right) . \] 容易验证, \( J\left( f\right) \) 就是 \( K\left( f\right) \) 的边界. 设 \( f\left( z\right) = {z}^{2} + C \) (其他的二次多项式可通过共轭变换化为此标准形式). 如果存在开圆盘 \( U \) 和 \( V, z = 0 \in U \) ,使得 \( {f}^{n} : U \) \( \rightarrow V \) 是类二次多项式映射,并且 \( J\left( f\right) \) 连通,则称 \( {f}^{n} \) 可重正规化,其中 \( \left( {U, V}\right) \) 称为 \( {f}^{n} \) 的一个重正规化. 重正规化是惟一的,即 \( {f}^{n} \) 的任何两个重正规化具有相同的填充茹利亚集,记为 \( {K}_{n} \) . 令 \[ r\left( f\right) = \left\{ {n > 0 \mid {f}^{n}\text{ 可重正规化 }}\right\} . \] 若 \( r\left( f\right) \) 为无穷集,则称 \( f \) 可无限重正规化. 约考兹 (Yoccoz, J.C. ) 于 1994 年证明了: 如果 \( f \) 在 \( J\left( f\right) \) 上具有不变线域,则 \( f \) 必是可无限重正规化的. 麦克缪伦 (McMullen, C. ) 于 1994 年证明了: 强无限重正规化二次多项式在其茹利亚集上没有不变线域. 类多项式映射 (polynomial-like map) 见“重正规化”. 填充茹利亚集 (filled Julia set) 见 “重正规化”. 无限重正规化 (infinitely renormalization) 见 “重正规化”. ## 遍历性理论 遍历性理论 (ergodic theory) 从统计学角度来研究一个系统在长时间内演化性质的一个数学分支. 遍历理论研究的基本课题可参见 “动力系统”、 “遍历性”、“保测变换的同构”、“熵”、“李亚普诺夫指数”等条目. 保测变换 (measure-preserving transformation) 遍历性理论研究的基本变换, 代表一个系统的保持某种信息量的随时间的演化. 设 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) ,(Y,\mathcal{B} \) , \(

2000_数学辞海（第3卷）

ft( z\right) = {z}^{2} + C \) (其他的二次多项式可通过共轭变换化为此标准形式). 如果存在开圆盘 \( U \) 和 \( V, z = 0 \in U \) ,使得 \( {f}^{n} : U \) \( \rightarrow V \) 是类二次多项式映射,并且 \( J\left( f\right) \) 连通,则称 \( {f}^{n} \) 可重正规化,其中 \( \left( {U, V}\right) \) 称为 \( {f}^{n} \) 的一个重正规化. 重正规化是惟一的,即 \( {f}^{n} \) 的任何两个重正规化具有相同的填充茹利亚集,记为 \( {K}_{n} \) . 令 \[ r\left( f\right) = \left\{ {n > 0 \mid {f}^{n}\text{ 可重正规化 }}\right\} . \] 若 \( r\left( f\right) \) 为无穷集,则称 \( f \) 可无限重正规化. 约考兹 (Yoccoz, J.C. ) 于 1994 年证明了: 如果 \( f \) 在 \( J\left( f\right) \) 上具有不变线域,则 \( f \) 必是可无限重正规化的. 麦克缪伦 (McMullen, C. ) 于 1994 年证明了: 强无限重正规化二次多项式在其茹利亚集上没有不变线域. 类多项式映射 (polynomial-like map) 见“重正规化”. 填充茹利亚集 (filled Julia set) 见 “重正规化”. 无限重正规化 (infinitely renormalization) 见 “重正规化”. ## 遍历性理论 遍历性理论 (ergodic theory) 从统计学角度来研究一个系统在长时间内演化性质的一个数学分支. 遍历理论研究的基本课题可参见 “动力系统”、 “遍历性”、“保测变换的同构”、“熵”、“李亚普诺夫指数”等条目. 保测变换 (measure-preserving transformation) 遍历性理论研究的基本变换, 代表一个系统的保持某种信息量的随时间的演化. 设 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) ,(Y,\mathcal{B} \) , \( \nu ) \) 为测度空间, \( T : X \rightarrow Y \) 为一个映射. 若 \( {T}^{-1}B \in \mathcal{A} \) \( \left( {\forall B \in \mathcal{B}}\right) \) ,则称 \( T \) 为可测变换. 若 \( T \) 是可测变换且 \( \mu \left( {{T}^{-1}B}\right) = \nu \left( B\right) \left( {\forall B \in \mathcal{B}}\right) \) ,则称 \( T \) 为保测变换. 若 \( T \) 保测、可逆且 \( {T}^{-1} \) 亦为保测变换,则称 \( T \) 为可逆保测变换. 保测变换的例子是大量存在的. 例如, 物理学中由哈密顿方程 \[ \frac{\mathrm{d}{q}_{i}}{\mathrm{\;d}t} = \frac{\partial H}{\partial {p}_{i}},\frac{\mathrm{d}{p}_{i}}{\mathrm{\;d}t} = - \frac{\partial H}{\partial {q}_{i}}\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \] 的解 \( {X}_{t}\left( {p, q}\right) \) (初值为 \( \left( {p, q}\right) \in {\mathrm{R}}^{2n} \) ) 决定的系统 \[ \left\{ {{T}_{t} : {\mathrm{R}}^{2n} \rightarrow {\mathrm{R}}^{2n},\left( {p, q}\right) \mapsto {X}_{t}\left( {p, q}\right) \mid t \in \mathrm{R}}\right\} \] 中,每个 \( {T}_{t} : \left( {{\mathrm{R}}^{2n},\mathcal{B},\mu }\right) \rightarrow \left( {{\mathrm{R}}^{2n},\mathcal{B},\mu }\right) \) 均为可逆保测变换,此处 \( \left( {{\mathrm{R}}^{2n},\mathcal{B},\mu }\right) \) 为通常的勒贝格空间. 判断 \( T \) 的可测性与保测性有如下简单方法: 设 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) \) , \( \left( {Y,\mathcal{B},\nu }\right) \) 为 \( \sigma \) 有限的测度空间,且 \( {\mathcal{B}}_{0} \) 为生成 \( \mathcal{B} \) 的子代数,若对 \( \forall B \in {\mathcal{B}}_{0} \) ,有 \( {T}^{-1}B \in \mathcal{A} \) ,则 \( T \) 是可测的; 若进一步有 \( \mu \left( {{T}^{-1}B}\right) = \nu \left( B\right) \) ,则 \( T \) 是保测的 (参见本卷《测度论》同名条). 可测变换 (measurable transformation) 见 “保测变换”. 可逆保测变换 (invertible measure-preserving transformation) 见“保测变换”. 伯努利移位 (Bernoulli shift) 一类典型的保测变换. 设 \( Y = \{ 0,1,\cdots, n - 1\} ,\left( {Y,\mathcal{B},\nu }\right) \) 是概率空间,这里 \( \mathcal{B} = {2}^{Y} \) (即 \( Y \) 的全体子集集合形成的 \( \sigma \) 代数), \( \nu \) 是由概率向量 \( p = \left( {{p}_{0},{p}_{1},\cdots ,{p}_{n - 1}}\right) \) ,即 \( \nu \left( {\{ i\} }\right) \) \( = {p}_{i} \geq 0\left( {i = 0,1,\cdots, n - 1}\right) \) ,且 \[ \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{{n - 1}}{p}_{i} = 1 \] 所给定的概率测度. 令 \[ X = \mathop{\prod }\limits_{{i = - \infty }}^{\infty }{X}_{i} \] (这里对任意 \( i \in \mathbf{Z} \) 有 \( \left. {{X}_{i} = Y}\right) ,\mathcal{A} \) 是由 \( X \) 的柱集 (即形如 \( \left\{ {x = \left( {x}_{i}\right) \in X \mid {x}_{{i}_{1}} = {j}_{1},\cdots ,{x}_{{i}_{k}} = {j}_{k}}\right\} \) 的集合) 生成的 \( \sigma \) 代数. 在柱集上定义测度 \( \mu \) 如下: \[ \mu \left( \left\{ {x = \left( {x}_{i}\right) \in X \mid {x}_{{i}_{1}} = {j}_{1},\cdots ,{x}_{{i}_{k}} = {j}_{k}}\right\} \right) \] \[ = {p}_{{j}_{1}}{p}_{{j}_{2}}\cdots {p}_{{j}_{k}} \] 则 \( \mu \) 可惟一延拓为 \( \mathcal{A} \) 上的概率测度. \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) \) 上的左移变换 \( \sigma : X \rightarrow X,\left( {x}_{i}\right) \mapsto \left( {y}_{i}\right) \) (其中 \( {y}_{i} = {x}_{i + 1},\forall i \) \( \in \mathrm{Z} \) ) 就称为伯努利移位. 它是 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) \) 上的保测变换. 马尔可夫移位 (Markov shift) 一类用途广泛的保测变换. 设 \( Y = \{ 0,1,\cdots, n - 1\} \) , \[ X = \mathop{\prod }\limits_{{i = - \infty }}^{\infty }{X}_{i} \] 这里 \( {X}_{i} = Y,\forall i \in \mathrm{Z}.\mathcal{A} \) 是由 \( X \) 的柱集 (即形如 \( \{ x = \) \( \left( {x}_{i}\right) \in X\left\{ {{x}_{{i}_{1}} = {j}_{1},\cdots ,{x}_{{i}_{k}} = {j}_{k}}\right\} \) 的集合) 生成的 \( \sigma \) -代数, \( p = \left\{ {{p}_{0},{p}_{1},\cdots ,{p}_{n - 1}}\right\} \) 为概率向量 (参见 “伯努利移位”), \( A = \left( {a}_{ij}\right) \) 为 \( n \times n \) 随机矩阵 (即 \( {a}_{ij} \geq 0,\forall i, j \) \( \in \{ 0,1,\cdots, n - 1\} \) 且 \( A \) 的每行各项之和为 1),并设 \( p, A \) 满足 \[ \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{{n - 1}}{p}_{i}{a}_{ij} = {p}_{j} \] 即 \( {pA} = p \) (由佩龙-弗罗贝尼乌斯定理,这可以实现). 在柱集上定义测度 \( {\mu }_{A} \) 如下: \[ {\mu }_{A}\left( \left\{ {x = \left( {x}_{i}\right) \in X \mid {x}_{i} = {j}_{0},{x}_{i + 1} = {j}_{1},}\right. \right. \] \[ \left. \left. {\cdots ,{x}_{i + k} = {j}_{k}}\right\} \right) = {p}_{{j}_{0}}{a}_{{j}_{0}{j}_{1}}{a}_{{j}_{1}{j}_{2}}\cdots {a}_{{j}_{k + 1}{j}_{k}}, \] 则 \( {\mu }_{A} \) 可惟一延拓为 \( \left( {X,\mathcal{A}}\right) \) 上的概率测度. \( (X \) , \( \mathcal{A},{\mu }_{A}) \) 上的左移变换 \( \sigma : X \rightarrow X,\left( {x}_{i}\right) \mapsto \left( {y}_{i}\right) \) (其中 \( {y}_{i} \) \( = {x}_{i + 1},\forall i \in \mathbf{Z}) \) 就称为马尔可夫移位. 它是 \( (X,\mathcal{A} \) , \( \left. {\mu }_{A}\right) \) 上的保测变换. 庞加莱回归定理 (Poincaré recurrence theorem) 庞加莱 (Poincaré, (J. -) H. ) 在遍历理论的第一个定理, 由庞加莱获得. 他研究了下列方程 \[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = f\left( x\right) \] (1) 其中, \( f \in {C}^{1}\left( {U,{\mathrm{R}}^{m}}\right), U \subset {\mathrm{R}}^{m} \) 为开集,且: 1. 对 \( \forall p \in U,\left( 1\right) \) 以 \( p \) 为初值的解 \( x\left( {p, \cdot }\right) : \mathrm{R} \) \( \rightarrow U \) 存在. 2. 记 \( f = \left( {{f}_{1},{f}_{2},\cdots ,{f}_{m}}\right) \) ,则 \[ \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}\frac{\partial {f}_{i}}{\partial {x}_{i}}\left( p\right) = 0\;\left( {\forall p \in U}\right) . \] 3. \( U \) 的勒贝格测度有限. 庞加莱发现,对依勒贝格意义下的几乎所有 \( p \) \( \in U \) ,有 \[ \mathop{\liminf }\limits_{{t \rightarrow \infty }}\parallel x\left( {p, t}\right) - p\parallel = 0. \] 由此导致他证明了下述庞加莱回归定理: 设 \( T \) 为概率空间 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) \) 上的保测变换,对任意 \( A \in \mathcal{A} \) ,令 \( {A}_{0} = \left\{ {x \mid x \in A}\right. \) ,且存在无限多个 \( n \in {\mathbf{Z}}^{ + } \) ,使 \( {T}^{n}\left( x\right) \in \) \( A\} \) ,则 \( {A}_{0} \in \mathcal{A} \) 且 \( \mu \left( {A}_{0}\right) = \mu \left( A\right) \) . 根据上述定理,当 \( X \) 为可分度量空间, \( \mathcal{A} \) 为其波莱尔 \( \sigma \) 代数时,则 \( \mu \left( {\{ x \mid x \notin w\left( x\right) \} }\right) = 0 \) ,即几乎所有点都是回归的. 伯克霍夫遍历定理 (Birkhoff ergodic theorem) 遍历论第一个重要结果. 设 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu, T}\right) \) 是一个保测系统 (即 \( T \) 为保测变换),一个可测函数 \( f : X \rightarrow \mathrm{R} \) 代表对系统的一种测量, \( \{ f\left( x\right), f\left( {Tx}\right) ,\cdots \} \) 给出了轨道 \( \{ x,{Tx},\cdots \} \) 的一种信息. 在统计力学、信息论中,一个重要问题就是 \( f \) 随时间的平均值的极限 \[ \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow \infty }}\frac{1}{N}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{N - 1}}f\left( {{T}^{k}x}\right) \] 是否存在. 伯克霍夫 (Birkhoff, G. D. ) 针对此问题证明了下述定理,即伯克霍夫遍历定理: 设 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) \) 为概率空间, \( T : X \rightarrow X \) 为保测变换,则有如下结论: 1. 若 \( f \in {L}^{1}\left( X\right) \) ,则 \[ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{{n - 1}}f\left( {{T}^{j}\left( x\right) }\right) \] \( \mu \) 几乎处处存在. 2. 若 \( f \in {L}^{p}\left( X\right) ,1 \leq p \leq + \infty \) ,则 \[ \widetilde{f}\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{{n - 1}}f\left( {{T}^{j}\left( x\right) }\right) \] 亦属于 \( {L}^{p}\left( X\right) \) 且 \[ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\begin{Vmatrix}\widetilde{f} - \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{{n - 1}}f \circ {T}^{j}\end{Vmatrix}}_{p} = 0, \] \[ \widetilde{f}\left( {T\left( x\right) }\right) = \widetilde{f}\left( x\right) ,\mu \text{-a. e. . } \] 3. 对任意 \( f \in {L}^{p}\left( X\right) \) ,有 \[ {\int }_{X}\widetilde{f}\mathrm{\;d}\mu = {\int }_{X}f\mathrm{\;d}\mu \] 遍历性 (ergodicity) 描述点的轨道在空间的分布状态. 遍历论的一个重要研究课题就是相对保测系统 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu, T}\right) \) ,每个 \( f \in {L}^{1}\left( X\right) \) 的时间平均值 \[ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{{n - 1}}f\left( {{T}^{j}x}\right) \] 是否几乎处处等于它的相平均值 \( {\int }_{X}f\mathrm{\;d}\mu \) . 当上述条件满足时,称 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu, T}\right) \) 是遍历的,简称 \( T \) 是遍历的. 可以证明以下条件等价: 1. \( T \) 是遍历的. 2. 对任意 \( A \in \mathcal{A} \) ,若 \( {T}^{-1}A = A \) ,则 \( \mu \left( A\right) = 0 \) 或 \( \mu \left( A\right) = 1 \) . 3. 对任意 \( E, F \in \mathcal{A} \) ,若 \( \mu \left( E\right) > 0,\mu \left( F\right) > 0 \) ,则存在 \( n > 0 \) ,使 \( \mu \left( {{T}^{-n}E \cap F}\right) > 0 \) . 4. 对任意 \( A \in \mathcal{A} \) ,若 \( \mu \left( A\right) > 0 \) ,则 \[ \mu \left( {\mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{T}^{-n}A}\right) = 1 \] 5. 对任意 \( A \in \mathcal{A} \) ,令 \[ {\tau }_{A}\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n}\# \left\{ {0 \leq j \leq n - 1 \mid {T}^{j}\left( x\right) \in A}\right\} , \] 则 \( {\tau }_{A}\left( x\right) = \mu \left( A\right) ,\mu \) -a. e. . 6. 对任意 \( A, B \in \mathcal{A} \) , \[ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{{n - 1}}\mu \left( {{T}^{-i}A \cap B}\right) = \mu \left( A\right) \mu \left( B\right) . \] 7. 对任意可测函数 \( f \) ,若 \( f \circ T = f,\mu \) -a. e.,则 \( f \) 几乎处处为常数. \[ \text{8.}\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{{n - 1}}\left( {{U}_{T}^{i}f, g}\right) = \left( {f,1}\right) \left( {1, g}\right) ,\forall f, g \in \] \( {L}^{2}\left( X\right) \) ,其中 \( {U}_{T} : {L}^{2}\left( X\right) \rightarrow {L}^{2}\left( X\right), f \mapsto f \circ T \) . 从上述结论还可看出,遍历性意味着 \( \left( {X,\mu }\right) \) 相对 \( T \) 的不可分解性. 比遍历性更强的一个回归条件就是强混合性: 对任意 \( A, B \in \mathcal{A} \) , \[ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\mu \left( {{T}^{-n}A \cap B}\right) = \mu \left( A\right) \mu \left( B\right) , \] 即 \( \forall A, B \in \ma

2000_数学辞海（第3卷）

ight\} , \] 则 \( {\tau }_{A}\left( x\right) = \mu \left( A\right) ,\mu \) -a. e. . 6. 对任意 \( A, B \in \mathcal{A} \) , \[ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{{n - 1}}\mu \left( {{T}^{-i}A \cap B}\right) = \mu \left( A\right) \mu \left( B\right) . \] 7. 对任意可测函数 \( f \) ,若 \( f \circ T = f,\mu \) -a. e.,则 \( f \) 几乎处处为常数. \[ \text{8.}\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{{n - 1}}\left( {{U}_{T}^{i}f, g}\right) = \left( {f,1}\right) \left( {1, g}\right) ,\forall f, g \in \] \( {L}^{2}\left( X\right) \) ,其中 \( {U}_{T} : {L}^{2}\left( X\right) \rightarrow {L}^{2}\left( X\right), f \mapsto f \circ T \) . 从上述结论还可看出,遍历性意味着 \( \left( {X,\mu }\right) \) 相对 \( T \) 的不可分解性. 比遍历性更强的一个回归条件就是强混合性: 对任意 \( A, B \in \mathcal{A} \) , \[ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\mu \left( {{T}^{-n}A \cap B}\right) = \mu \left( A\right) \mu \left( B\right) , \] 即 \( \forall A, B \in \mathcal{A} \) 且 \( \mu \left( B\right) > 0 \) , \[ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{\mu \left( {{T}^{-n}A \cap B}\right) }{\mu \left( B\right) } = \mu \left( A\right) . \] 这说明最终 \( T \) 均匀地将 \( A \) 分布于整个空间. 可以证明以下条件等价: 1. \( T \) 是强混合的. \[ \text{2.}\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\mu \left( {{T}^{-n}A \cap A}\right) = {\left\lbrack \mu \left( A\right) \right\rbrack }^{2}\left( {\forall A \in \mathcal{A}}\right) \text{.} \] 3. \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left( {{U}_{T}^{n}f, g}\right) = \left( {f,1}\right) \left( {1, g}\right) (\forall f, g \in \) \( \left. {{L}^{2}\left( X\right) }\right) \) . 弱混合是介于二者之间的回归性质: 对任意 \( A \) , \( B \in \mathcal{A}, \) \[ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{{n - 1}}\left| {\mu \left( {{T}^{-i}A \cap B}\right) - \mu \left( A\right) \mu \left( B\right) }\right| = 0. \] 下述条件是等价的: 1. \( T \) 是弱混合的. 2. \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{{n - 1}}\left| {\left( {{U}_{T}^{i}f, g}\right) - \left( {f,1}\right) \left( {1, g}\right) }\right| = 0 \) , \( \forall f, g \in {L}^{2}\left( X\right) \) . 3. 对任意 \( A, B \in \mathcal{A} \) ,存在 \( {\mathbf{Z}}^{ + } \) 稠度为零的子集 \( J \) ,使 \[ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty, n \notin J}}\mu \left( {{T}^{-n}A \cap B}\right) = \mu \left( A\right) \mu \left( B\right) . \] 4. \( {U}_{T} \) 的特征函数是常数. 从定义可以看到: 强混合 \( \Rightarrow \) 弱混合 \( \Rightarrow \) 遍历,但反之不成立. 如单位圆周上的无理旋转是遍历而不是弱混合的. 另外, 柴肯 (Chacon, R. V. S. ) 在 1969 年给出了一个弱混合而不是强混合的例子, 此例可见皮特森 (Petersen, K. ) 著的《Ergodic Theory》. 强混合 (strong mixing) 见 “遍历性”. 弱混合 (weak mixing) 见 “遍历性”. 惟一遍历性 (unique ergodicness) 遍历理论研究的一个重要内容. 设 \( X \) 为紧致度量空间, \( \mathcal{B} \) 为其波莱尔 \( \sigma \) 代数, \( T : X \rightarrow X \) 为连续映射. \( \mathcal{M}\left( {X, T}\right) \) 表示 \( X \) 上对 \( T \) 不变的波莱尔概率测度组成的集合, 则可证明 \( \mathcal{M}\left( {X, T}\right) \neq \varnothing \) ,当 \( \mathcal{M}\left( {X, T}\right) \) 只含一个元素时,称 \( T \) 是惟一遍历的,且如下条件等价: 1. \( T \) 是惟一遍历的. 2. 极限 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{{n - 1}}f\left( {{T}^{j}x}\right) \) 存在, \( \forall x \in X,\forall f \in \) \( {C}^{0}\left( X\right) \) ,且上述极限与 \( x \) 无关. 3. 极限 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{{n - 1}}f\left( {{T}^{j}x}\right) \) 一致收敛到一常数, \( \forall f \in {C}^{0}\left( X\right) \) . 当 \( T \) 是惟一遍历映射时, \( \mathcal{M}\left( {X, T}\right) \) 中惟一元素 \( \mu \) 的支集是一极小集,且 \( T \) 相对 \( \mu \) 是遍历的. 但存在例子表明, 极小映射未必是惟一遍历的. 不变测度的遍历分解 (ergodic decomposition of invariant measures) 反映了不变测度与遍历不变测度之间的关系. 设 \( T \) 为勒贝格空间 \( \left( {X,\mathcal{B},\mu }\right) \) 上的保测变换, \( \mathcal{T}\left( T\right) \) 表示子 \( \sigma \) -代数 \( \left\{ {B \in \mathcal{B} \mid {T}^{-1}B}\right. \) \( = B\} \) ,则存在 \( X \) 的一个可测分割 \( \zeta = \left\{ {{C}_{\alpha } \mid \alpha \in \mathcal{F}}\right\} \) 满足: \( \mathcal{B}\left( \zeta \right) \doteq \mathcal{T}\left( T\right) \) (此处 \( \mathcal{B}\left( \zeta \right) \) 表示由 \( \zeta \) 生成的 \( \sigma \) - 代数; \( \doteq \) 表示对 \( \forall C \in \mathcal{B}\left( \zeta \right) \) ,存在 \( {C}^{\prime } \in \mathcal{T}\left( T\right) \) ,使 \( \mu \left( {C\bigtriangleup {C}^{\prime }}\right) = 0 \) ,且反之亦然), \[ X = \left( {\mathop{\bigcup }\limits_{a}{C}_{a}}\right) \cup {C}_{0},\;\mu \left( {C}_{0}\right) = 0, \] 对 \( \forall \alpha \in \mathcal{F}, T{C}_{\alpha } \subset {C}_{\alpha } \) ,且存在集中于 \( {C}_{\alpha } \) 上的概率测度 \( {\mu }_{a} \) ,使 \( {\left. T\right| }_{{C}_{a}} \) 相对 \( {\mu }_{a} \) 是遍历的,并且 \( \mu \) 可分解为遍历测度 \( \left\{ {{\mu }_{\alpha } \mid \alpha \in \mathcal{F}}\right\} \) 的平均和,即存在 \( \mathcal{M}\left( {X, T}\right) \) 上集中于 \( \left\{ {{\mu }_{\alpha } \mid \alpha \in \mathcal{F}}\right\} \) 上的概率测度 \( \gamma \) ,使 \[ \mu \left( A\right) = {\int }_{a\left( {X, T}\right) }{\mu }_{a}\left( A\right) \mathrm{d}\gamma \left( {\mu }_{a}\right) \;\left( {\forall A \in \mathcal{B}}\right) . \] 以上分解 \( \left\{ {{\mu }_{\alpha } \mid \alpha \in \mathcal{F}}\right\} \) 本质上是惟一的,称之为 \( \mu \) 的遍历分解, \( {C}_{\alpha } \) 称为遍历分支. 遍历分支 (ergodic component) 见 “不变测度的遍历分解”. 概率空间的同构 (isomorphism of probability spaces) 测度空间之间的一种结构等价关系. 设 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) \) 和 \( \left( {Y,\mathcal{B},\nu }\right) \) 是概率空间,若存在 \( A \in \mathcal{A} \) , \( B \in \mathcal{B} \) ,满足 \( \mu \left( A\right) = \nu \left( B\right) = 1 \) 及存在可逆保测变换 \( T : \left( {A,{\left. \mathcal{A}\right| }_{A},\mu }\right) \rightarrow \left( {B,{\left. \mathcal{B}\right| }_{B},\nu }\right) \) ,则称 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) \) 和 \( \left( {Y,\mathcal{B},\nu }\right) \) 是同构的. 勒贝格空间 (Lebesgue space) 一类十分重要的测度空间. 若概率空间 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) \) 同构于 \( (\left\lbrack {0, s}\right\rbrack \cup \) \( \left\{ {{y}_{1},{y}_{2},\cdots }\right\} ,\mathcal{B}, m) \) ,其中 \( \mathcal{B} \) 是包含 \( \left\{ {A \cup \left\{ {y}_{i}\right\} \mid A \subset }\right. \) \( \left\lbrack {0, s}\right\rbrack \) 为勒贝格可测集, \( i \in \mathrm{N}\} \) 的最小 \( \sigma \) 代数, \( m\left( {y}_{i}\right) \) \( = {p}_{i} > 0, i \in \mathrm{N}, m\left( A\right) = l\left( A\right) (l \) 为 \( \left\lbrack {0, s}\right\rbrack \) 上的勒贝格测度), \[ s = 1 - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }{p}_{i} \] 此处 \( \left\{ {{y}_{1},{y}_{2},\cdots }\right\} \) 可为有限集或 \( \varnothing \) ,那么就称 \( (X,\mathcal{A} \) , \( \mu ) \) 为勒贝格空间. 可以证明,若 \( X \) 为完备可分的度量空间,则波莱尔概率空间 \( \left( {X,\mathcal{B}\left( X\right) ,\mu }\right) \) 的完备化为勒贝格空间. 保测变换的同构 (isomorphism of measure-preserving transformations) 保测变换之间的一种等价关系. 遍历论的一个重要研究课题就是保测变换的分类问题. 分类主要有如下两种方式: 1. 保测变换的同构: 设 \( T, S \) 分别为概率空间 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) ,\left( {Y,\mathcal{B},\nu }\right) \) 上的保测变换,若存在零测集 \( {X}_{0} \subset X,{Y}_{0} \subset Y \) 及可逆保测变换 \( \Phi : X \smallsetminus {X}_{0} \rightarrow Y \smallsetminus {Y}_{0} \) ,使 \( \Phi \circ T = S \circ \Phi \) 在 \( X \smallsetminus {X}_{0} \) 上成立,则称 \( T \) 和 \( S \) 是同构的. 2. 保测变换的谱同构: 设 \( T, S \) 如上,若存在同构 \( L : {L}^{2}\left( X\right) \rightarrow {L}^{2}\left( Y\right) \) ,使 \( L \circ {U}_{T} = {U}_{S} \circ L \) ,则称 \( T \) 和 \( S \) 是谱同构的. 易证: 同构 \( \Rightarrow \) 谱同构,但反之不然. 例如,所有伯努利移位都是谱同构的, 但并不都是同构的. 研究两个变换是否同构 (谱同构) 的一种典型方法就是寻找同构 (谱同构) 不变量. 若 \( T \) 具有性质 \( P, S \) 与 \( T \) 同构 (谱同构),则 \( S \) 也具有性质 \( P \) ,那么就称性质 \( P \) 为同构 (谱同构) 不变量. 事实上, 遍历、强混合、弱混合均为谱同构不变量, \( T \) 的 (测度) 熵 \( {h}_{\mu }\left( T\right) \) 是同构不变量, 而且对伯努利移位是完全不变量, 这就是奥恩斯坦 (Ornstein, D. ) 的著名结果一一奥恩斯坦定理: 两个伯努利移位同构的充分必要条件是它们具有相同的熵. 保测变换的谱同构 (spectral isomorphism of measure-preserving transformations) 见 “保测变换的同构”. 谱同构不变量 (spectral isomorphism inva - riant) 见“保测变换的同构”. 奥恩斯坦定理 (Ornstein theorem) 见“保测变换的同构”. 保测变换的共轭 (conjugacy of measure-preserving transformations) 保测变换分类的一种方法. 设 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) \) 为概率空间,在 \( \mathcal{A} \) 上引入等价关系: \( A \sim B \Leftrightarrow \mu \left( {A\bigtriangleup B}\right) = 0\;\left( {\forall A, B \in \mathcal{A}}\right) \) . 令 \( \widetilde{\mathcal{A}} = \) \( \{ \widetilde{A} \mid \widetilde{A} \) 为 \( A \) 的等价类, \( A \in \mathcal{A}\} \) ,将 \( \mathcal{A} \) 中的并、交、 差、补、对称差、包含关系自然延拓到 \( \widetilde{\mathcal{A}} \) 上,并定义 \( \widetilde{\mu }\left( \widetilde{A}\right) = \mu \left( A\right) \) ,此时称 \( \left( {X,\widetilde{\mathcal{A}},\widetilde{\mu }}\right) \) 为 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) \) 的测度代数. 若存在一一在上的映射 \( F : \widetilde{\mathcal{A}} \rightarrow \widetilde{\mathcal{B}} \) ,使 \[ F\left( {\widetilde{A}\bigtriangleup \widetilde{B}}\right) = F\left( \widetilde{A}\right) \bigtriangleup F\left( \widetilde{B}\right) , \] \[ \widetilde{\mu }\left( \widetilde{A}\right) = \widetilde{\nu }\left( {F\left( \widetilde{A}\right) }\right) , \] 则称两个测度代数 \( \left( {X,\widetilde{\mathcal{A}},\widetilde{\mu }}\right) ,\left( {Y,\widetilde{\mathcal{B}},\widetilde{\nu }}\right) \) 是同构的. 对保测系统 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu, T}\right) \) ,令 \[ \widetilde{T} : \widetilde{\mathcal{A}} \rightarrow \widetilde{\mathcal{A}},\widetilde{A} \rightarrow {T}^{-1}\left( A\right) \;\left( {\forall A \in \mathcal{A}}\right) . \] 设 \( T, S \) 分别为 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) ,\left( {Y,\mathcal{B},\nu }\right) \) 上的保测变换, 若存在同构 \( F : \widetilde{\mathcal{A}} \rightarrow \widetilde{\mathcal{B}} \) ,使 \( \widetilde{F} \circ \widetilde{T} = \widetilde{S} \circ \widetilde{F} \) ,则称 \( T \) 和 \( S \) 是共轭的. 容易证明,同构 \( \Rightarrow \) 共轭 \( \Rightarrow \) 谱同构,但反之未必成立. 在一定条件下,例如,当 \( X, Y \) 为完备可分度量空间, \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) ,\left( {Y,\mathcal{B},\nu }\right) \) 为波莱尔概率空间时, 同构与共轭是等价的. 测度代数 (measure algebra) 见 “保测变换的共轭”. 测度代数的同构 (isomorphism of measure algebras) 见“保测变换的共轭”. 可测分割 (measurable partition) 勒贝格空间条件测度理论的基础. 设 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) \) 为概率空间, \( X \) 的一族互不相交且并等于 \( X \) 的非空子集就称为 \( X \) 的一个分割. 设 \( \zeta \) 为 \( X \) 的一个分割,若 \( A \subset \mathcal{A} \) 可以表示成 \( \zeta \) 中若干个元素的并,则称 \( A \) 为 \( \zeta \) 集. 设 \( \left\{ {{A}_{

2000_数学辞海（第3卷）

\mathcal{A}} \rightarrow \widetilde{\mathcal{A}},\widetilde{A} \rightarrow {T}^{-1}\left( A\right) \;\left( {\forall A \in \mathcal{A}}\right) . \] 设 \( T, S \) 分别为 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) ,\left( {Y,\mathcal{B},\nu }\right) \) 上的保测变换, 若存在同构 \( F : \widetilde{\mathcal{A}} \rightarrow \widetilde{\mathcal{B}} \) ,使 \( \widetilde{F} \circ \widetilde{T} = \widetilde{S} \circ \widetilde{F} \) ,则称 \( T \) 和 \( S \) 是共轭的. 容易证明,同构 \( \Rightarrow \) 共轭 \( \Rightarrow \) 谱同构,但反之未必成立. 在一定条件下,例如,当 \( X, Y \) 为完备可分度量空间, \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) ,\left( {Y,\mathcal{B},\nu }\right) \) 为波莱尔概率空间时, 同构与共轭是等价的. 测度代数 (measure algebra) 见 “保测变换的共轭”. 测度代数的同构 (isomorphism of measure algebras) 见“保测变换的共轭”. 可测分割 (measurable partition) 勒贝格空间条件测度理论的基础. 设 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) \) 为概率空间, \( X \) 的一族互不相交且并等于 \( X \) 的非空子集就称为 \( X \) 的一个分割. 设 \( \zeta \) 为 \( X \) 的一个分割,若 \( A \subset \mathcal{A} \) 可以表示成 \( \zeta \) 中若干个元素的并,则称 \( A \) 为 \( \zeta \) 集. 设 \( \left\{ {{A}_{\nu } \mid \nu \in \mathcal{T}}\right\} \) 是 \( X \) 中可列个 \( \zeta \) 集,如果它能分离 \( \zeta \) 的任意两个元素,即对任意 \( C,{C}^{\prime } \in \zeta \) ,存在 \( \nu \in \mathcal{T} \) ,使 \( C \) \( \subset {B}_{\nu },{C}^{\prime } ⊄ {B}_{\nu } \) 或 \( C ⊄ {B}_{\nu },{C}^{\prime } \subset {B}_{\nu } \) ,那么就称这可列个 \( \zeta \) 集为分割 \( \zeta \) 的基. 如果 \( \zeta \) 有一个基,则分割 \( \zeta \) 称为是可测的. 由可测分割 \( \zeta \) 的 \( \zeta \) 集构成的 \( \sigma \) 代数称为 \( \zeta \) 生成的 \( \sigma \) 代数. 可测分割最重要的性质之一就是它可被有限分割逼近. \( \zeta \) 集 ( \( \zeta \) -set) 见“可测分割”. 分割 \( \zeta \) 的基 (basis of partition \( \zeta \) ) 见 “可测分割”. 分割 \( \zeta \) 生成的 \( \sigma \) 代数 ( \( \sigma \) -algebra generated by partition \( \zeta \) ) 见“可测分割”. 典型条件测度族 (canonical system of conditional measures) 测度论中一个十分重要的概念. 它的存在性是勒贝格空间可测分割的一个重要性质, 利用它人们可以用一般的可测分割来讨论熵, 这尤其对讨论熵与李亚普诺夫指数等的关系十分重要. 设 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) \) 为勒贝格空间, \( \zeta \) 为 \( X \) 的一个可测分割. 定义 \( X \) 相对 \( \zeta \) 的因子空间 \( \left( {X/\zeta ,{\mu }_{\zeta }}\right) \) 如下: \( X/\zeta \) 由 \( \zeta \) 的元素组成,对 \( X/\zeta \) 的子集 \( E \) ,若 \( \mathop{\bigcup }\limits_{{C \in E}}C \in \mathcal{A} \) , 则称 \( E \) 可测并定义 \( {\mu }_{\zeta }\left( E\right) = \mu \left( {\mathop{\bigcup }\limits_{{C \in E}}C}\right) \) . 在上述条件下,存在惟一 (在 \( {\mu }_{\zeta } \) 几乎处处相等的意义下)一族概率测度 \( {\left\{ {\mu }_{C}\right\} }_{C \in \zeta } \) ,满足: 1. \( \left( {C,{\left. \mathcal{A}\right| }_{C},{\mu }_{C}}\right) \) 对 \( {\mu }_{\zeta } \) -a. e. \( C \) 是一个勒贝格空间. 2. 对任 \( A \in \mathcal{A},{\mu }_{C}\left( {A \cap C}\right) \) 是 \( X/\zeta \) 上的可测函数,且 \[ \mu \left( A\right) = {\int }_{X/\zeta }{\mu }_{C}\left( {A \cap C}\right) d{\mu }_{\zeta }\left( C\right) . \] 上述 \( {\left\{ {\mu }_{C}\right\} }_{C \in \zeta } \) 称为 \( \mu \) 相对于 \( \zeta \) 的典型条件测度族. 测度熵 (measure-theoretic entropy) 亦称柯尔莫哥洛夫-西奈不变量. 简称熵. 遍历理论的重要概念之一. 熵这一概念来源于信息论. 设 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) \) 为一概率空间, \( \zeta = \left\{ {{A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{k}}\right\} \) 为 \( X \) 的一个有限可测分割, \[ H\left( \zeta \right) = - \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}\mu \left( {A}_{i}\right) \ln \mu \left( {A}_{i}\right) \] (当 \( u = 0 \) 时,定义 \( u\ln u = 0 \) ) 就称为分割 \( \zeta \) 的熵. 它是从信息论角度反映分割复杂程度的量. 设 \( \zeta ,\eta \) 为两个有限可测分割, \( \zeta \vee \eta \) 表示分割 \( \{ A \cap B \mid A \in \zeta, B \) \( \in \eta \} \) . 设 \( T \) 为 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) \) 上的保测变换,对上述 \( \zeta \) ,令 \[ {\zeta }^{\left( n\right) } = \zeta \vee {T}^{-1}\zeta \vee \cdots \vee {T}^{-n + 1}\zeta , \] 则 \[ h\left( {T,\zeta }\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n}H\left( {\zeta }^{\left( n\right) }\right) \] 就称为 \( T \) 相对 \( \zeta \) 的熵 (可证明上述极限存在),它是 \( \zeta \) 随时间演变的信息增加率. \[ h\left( T\right) = \mathop{\sup }\limits_{{\zeta \text{ 为 }X\text{ 的有限分割 }}}h\left( {T,\zeta }\right) \] 就称为 \( T \) 的熵. 有时用 \( {h}_{\mu }\left( T\right) \) 表示 \( h\left( T\right) \) 对 \( \mu \) 的依赖关系. 勒贝格空间上保测变换的熵可由一般可测分割定义 (参见 “条件熵”). 它是从信息论角度反映 \( X \) 中的点在 \( T \) 作用下运动复杂程度的量. 对于满足一定条件的连续时间的保测系统 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu ,{T}^{t}}\right) (t \in \) \( \left. {\mathrm{R}}^{ + }\right) \) ,可对每个固定 \( {t}_{0} \) ,定义 \( h\left( {T}^{{t}_{0}}\right) \) 且有关系式 \[ h\left( {T}^{{t}_{0}}\right) = {t}_{0}h\left( {T}^{1}\right) . \] 关于熵,对 \( \forall m \in \mathrm{N} \) ,有 \( h\left( {T}^{m}\right) = {mh}\left( T\right) \) . 当 \( T \) 可逆时, \( h\left( {T}^{-1}\right) = h\left( T\right) \) . 熵的重要性可参见 “保测变换的同构”, 熵的计算可参见 “柯尔莫哥洛夫-西奈定理”, 熵与李亚普诺夫指数的关系可参见 “柏森熵公式”. 测度熵是由柯尔莫哥洛夫 (KoämoropoB, A. H. ) 于 1958 年引入的. ## 柯尔莫哥洛夫-西奈不变量 (Kolmogorov-Sinai invariant) 即“测度熵”. 条件熵 (conditional entropy) 一个从信息论角度反映一个分割相对另一个分割复杂程度的量. 设 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) \) 为概率空间, \( \zeta = \left\{ {{A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{k}}\right\} ,\eta = \) \( \left\{ {{B}_{1},{B}_{2},\cdots ,{B}_{l}}\right\} \) 为 \( X \) 的两个分割, \[ H\left( {\zeta \mid \eta }\right) = - \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{l}\mu \left( {B}_{j}\right) \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}\frac{\mu \left( {{A}_{i} \cap {B}_{j}}\right) }{\mu \left( {B}_{j}\right) }\ln \frac{\mu \left( {{A}_{i} \cap {B}_{j}}\right) }{\mu \left( {B}_{j}\right) } \] \[ = - \mathop{\sum }\limits_{{i, j}}\mu \left( {{A}_{i} \cap {B}_{j}}\right) \ln \frac{\mu \left( {{A}_{i} \cap {B}_{j}}\right) }{\mu \left( {B}_{j}\right) } \] 就称为 \( \zeta \) 在条件 \( \eta \) 下的熵. 它从信息论角度反映了 \( \zeta \) 相对 \( \eta \) 的复杂程度. 更一般地,若 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) \) 为勒贝格空间, \( \zeta ,\eta \) 为 \( X \) 的两个可测分割,则 \( \zeta \) 相对 \( \eta \) 的条件熵定义为 \[ H\left( {\zeta \mid \eta }\right) = - \int \ln {\mu }_{\eta \left( x\right) }\left( {\zeta \left( x\right) \cap \eta \left( x\right) }\right) \mathrm{d}\mu \left( x\right) , \] 其中 \( \eta \left( x\right) \) 表示 \( \eta \) 包含 \( x \) 的元素, \( {\mu }_{\eta \left( x\right) } \) 为 \( \mu \) 在 \( \eta \left( x\right) \) 上的条件测度 (参见 “典型条件测度族”). 对于勒贝格空间 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) \) 上的保测变换 \( T, T \) 的 (测度) 熵可等价地由下式给出 \[ h\left( T\right) = \mathop{\sup }\limits_{\zeta }H\left( {\zeta \mid \mathop{\bigvee }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{T}^{-n}\zeta }\right) , \] 其中 sup 表示对 \( X \) 的所有可测分割 \( \zeta \) 取上确界. 熵映射 (entropy map) 遍历理论的重要概念之一. 设 \( X \) 为紧致度量空间, \( T : X \rightarrow X \) 为连续映射, \( \mathcal{M}\left( {X, T}\right) \) 为 \( T \) -不变的波莱尔概率测度构成的空间 (赋予弱收敛拓扑). 从 \( \mathcal{M}\left( {X, T}\right) \) 到 \( \left\lbrack {0, + \infty }\right\rbrack \) 的映射 \( \mu \mapsto {h}_{\mu }\left( T\right) \) 称为 \( T \) 的熵映射. 当 \( T \) 可扩时, \( T \) 的熵 在这里定义 1 适用于一般紧致拓扑空间. 拓扑熵是一个拓扑共轭不变量, 它和测度熵类似, 主要反映状态空间上映射的动力学行为的复杂性, 不同点在于它是从拓扑的角度来进行描述的. 拓扑熵与测度熵有密切的关系 (参见 “变分原理”). 拓扑熵是由爱德勒 (Adler, Roy L. )、康黑姆 (Konheim, A. G. ) 和梅恩德瑞 (MeAndrew, M. H. ) 于 1965 年引入的. \( \left( {n,\varepsilon }\right) \) 分离集 \( \left( {\left( {n,\varepsilon }\right) \text{separated set}}\right) \) 见 “拓扑 熵”. \( \left( {n,\varepsilon }\right) \) 支架集 \( \left( {\left( {n,\varepsilon }\right) \text{spanning set}}\right) \) 见 “拓扑熵”. 拓扑压 (topological pressure) 遍历理论的重要概念之一,也是拓扑熵概念的推广. 设 \( X \) 为紧致度量空间, \( T : X \rightarrow X \) 为连续映射. 用 \( C\left( {X,\mathrm{R}}\right) \) 表示 \( X \) 上的所有实值连续函数构成的巴拿赫空间, 每个 \( f \in C\left( {X,\mathrm{R}}\right) \) 可视为 \( X \) 上的一个观测函数,记 \[ \left( {{S}_{n}f}\right) \left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{{n - 1}}f\left( {{T}^{i}x}\right) . \] 有下述四种等价方式来定义拓扑压: 1. 对 \( f \in C\left( {X,\mathrm{R}}\right), n \geq 1, X \) 的有限开覆盖 \( \alpha \) ,令 \[ {q}_{n}\left( {T, f,\alpha }\right) = \mathop{\inf }\limits_{\beta }\left\{ {\mathop{\sum }\limits_{{B \in \beta }}\mathop{\inf }\limits_{{x \in B}}{\mathrm{e}}^{\left( {{S}_{n}f}\right) \left( x\right) } \mid \beta }\right. \text{ 为 } \] \[ \left. {\mathop{\bigvee }\limits_{{i = 0}}^{{n - 1}}{T}^{-i}\alpha \text{ 的有限子覆盖 }}\right\} \text{,} \] \[ P\left( {T, f}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{\delta \rightarrow 0}}\left\lbrack {\mathop{\sup }\limits_{\alpha }\left\{ {\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n}\ln {q}_{n}\left( {T, f,\alpha }\right) \mid \alpha }\right. }\right. \text{为} \] \( X \) 的有限开覆盖且 \( \operatorname{diam}\left( \alpha \right) \leq \delta \} \rbrack \) . 映射 \( P\left( {T, \cdot }\right) : C\left( {X,\mathrm{R}}\right) \rightarrow \mathrm{R} \cup \{ \infty \}, f \mapsto P\left( {T, f}\right) \) 称为 \( T \) 的拓扑压. 2. 将 1 中的 \( {q}_{n}\left( {T, f,\alpha }\right) \) 重新定义为 \[ {q}_{n}\left( {T, f,\alpha }\right) = \mathop{\inf }\limits_{\beta }\left\{ {\mathop{\sum }\limits_{{B \in \beta }}\mathop{\sup }\limits_{{x \in B}}{\mathrm{e}}^{\left( {{S}_{n}f}\right) \left( x\right) } \mid \beta }\right. \text{ 为 } \] \[ \left. {\mathop{\bigvee }\limits_{{i = 0}}^{{n - 1}}{T}^{-i}\alpha \text{ 的有限子覆盖 }}\right\} , \] 其余陈述相同. 3. 对 \( f \in C\left( {X,\mathrm{R}}\right), n \geq 1 \) 及 \( \varepsilon \geq 0 \) ,令 \( {Q}_{n}\left( {T, f,\varepsilon }\right) = \inf \left\{ {\mathop{\sum }\limits_{{x \in F}}{\mathrm{e}}^{\left( {{S}_{n}f}\right) \left( x\right) } \mid F}\right. \) 为 \[ T\text{的}\left( {n,\varepsilon }\right) \text{支架集}\} \text{,} \] \[ P\left( {T, f}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{\varepsilon \rightarrow 0}}\mathop{\limsup }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n}\ln {Q}_{n}\left( {T, f,\varepsilon }\right) . \] 映射 \( P\left( {T, \cdot }\right) : C\left( {X,\mathrm{R}}\right) \rightarrow \mathrm{R} \cup \{ \infty \} \) 称为 \( T \) 的拓扑压. 4. 对 \( f \in C\left( {X,\mathrm{R}}\right), n \geq 1 \) 及 \( \varepsilon \geq 0 \) ,令 \[ {P}_{n}\left( {T, f,\varepsilon }\right) = \sup \left\{ {\mathop{\sum }\limits_{{x \in E}}{\mathrm{e}}^{\left( {{S}_{n}f}\right) \left( x\right) } \mid E}\right. \text{ 为 } \] \[ T\text{的}\left( {n,\varepsilon }\right) \text{分离集}\} \text{,} \] \[ P\left( {T, f}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{\varepsilon \rightarrow 0}}\mathop{\limsup }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n}\ln {P}_{n}\left( {T, f,\varepsilon }\right) . \] \( P\left( {T, \cdot }\right) : C\left( {X,\mathrm{R}}\right) \rightarrow \mathrm{R} \cup \{ \infty \} \) 称为 \( T \) 的拓扑压. 从上述定义易见 \( P\left( {T,0}\right) = \operatorname{ent}\lef

2000_数学辞海（第3卷）

= \mathop{\lim }\limits_{{\varepsilon \rightarrow 0}}\mathop{\limsup }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n}\ln {Q}_{n}\left( {T, f,\varepsilon }\right) . \] 映射 \( P\left( {T, \cdot }\right) : C\left( {X,\mathrm{R}}\right) \rightarrow \mathrm{R} \cup \{ \infty \} \) 称为 \( T \) 的拓扑压. 4. 对 \( f \in C\left( {X,\mathrm{R}}\right), n \geq 1 \) 及 \( \varepsilon \geq 0 \) ,令 \[ {P}_{n}\left( {T, f,\varepsilon }\right) = \sup \left\{ {\mathop{\sum }\limits_{{x \in E}}{\mathrm{e}}^{\left( {{S}_{n}f}\right) \left( x\right) } \mid E}\right. \text{ 为 } \] \[ T\text{的}\left( {n,\varepsilon }\right) \text{分离集}\} \text{,} \] \[ P\left( {T, f}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{\varepsilon \rightarrow 0}}\mathop{\limsup }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n}\ln {P}_{n}\left( {T, f,\varepsilon }\right) . \] \( P\left( {T, \cdot }\right) : C\left( {X,\mathrm{R}}\right) \rightarrow \mathrm{R} \cup \{ \infty \} \) 称为 \( T \) 的拓扑压. 从上述定义易见 \( P\left( {T,0}\right) = \operatorname{ent}\left( T\right) .P\left( {T, \cdot }\right) \) 的一个重要性质就是它可以决定 \( \mathcal{M}\left( {X, T}\right) \) 中的元素,此处 \( \mathcal{M}\left( {X, T}\right) \) 表示波莱尔测度空间 \( \left( {X,\mathcal{B}\left( X\right) }\right) \) 上 \( T \) 不变的概率测度所组成的集合,此性质可见下述结论: 设 \( T \) 为紧致度量空间 \( X \) 上的连续映射, \( \operatorname{ent}\left( T\right) < + \infty ,\mu \) 为 \( \left( {X,\mathcal{B}\left( X\right) }\right) \) 上带符号的有限测度,则 \( \mu \) 是 \( T \) 不变的充分必要条件是 \[ \int f\mathrm{\;d}\mu \leq P\left( {T, f}\right) \left( {\forall f \in C\left( {X,\mathrm{R}}\right) }\right) . \] 拓扑压的另一重要应用可参见 “平衡状态”. 拓扑压理论的思想来源于统计力学, 这一概念最初是由吕埃尔 (Ruelle, D. ) 于 1973 年引进的, 它是通过由状态空间上的观测函数所获得的信息量来反映状态空间上一个映射的动力学行为的复杂性. 拓扑压与测度熵的关系可参见“变分原理”. 变分原理 (the variational principle) 揭示拓扑压和熵的关系, 进而揭示拓扑熵和熵的关系. 压的变分原理: 设 \( X \) 为紧致度量空间, \( T : X \rightarrow X \) 为连续映射, 则 \[ P\left( {T, f}\right) = \sup \left\{ {{h}_{\mu }\left( T\right) +\int f\mathrm{\;d}\mu \mid \mu \in \mathcal{M}\left( {X, T}\right) }\right\} . \] 令 \( f = 0 \) ,便得到熵的变分原理: 在上述条件下,有 \[ \operatorname{ent}\left( T\right) = \sup \left\{ {{h}_{\mu }\left( T\right) \mid \mu \in \mathcal{M}\left( {X, T}\right) }\right\} . \] 平衡状态 (equilibrium state) 遍历理论的一个概念, 这一概念在统计力学中占有十分重要的地位. 设 \( T \) 为紧致度量空间 \( X \) 上的连续映射. 变分原理提供了一条在 \( \mathcal{M}\left( {X, T}\right) \) 中发现特殊元素的自然途径. 对 \( f \in C\left( {X,\mathrm{R}}\right) \) ,若 \( \mu \in \mathcal{M}\left( {X, T}\right) \) 使等式 \[ P\left( {T, f}\right) = {h}_{\mu }\left( T\right) + \int f\mathrm{\;d}\mu \] 成立,则称 \( \mu \) 为 \( f \) (相对 \( T \) ) 的一个平衡状态,简称平衡态. 关于平衡态的存在惟一性已有许多结论. 例如,当 \( T \) 为可扩同胚时, \( \forall f \in C\left( {X,\mathrm{R}}\right) \) 都有平衡态. 西奈 (Sinai, J. G. ) 与吕埃尔 (Ruelle, D. ) 最早将平衡态理论应用于微分动力系统的研究, 并有如下典型结果: 设 \( M \) 为紧致光滑流形, \( T : M \rightarrow M \) 为公理 \( A \) 微分同胚,则存在 \( {\mu }_{1},{\mu }_{2},\cdots ,{\mu }_{r} \in \mathcal{M}\left( {M, T}\right) \) ,满足: 1. 对每个 \( j,1 \leq j \leq r \) , \[ {B}_{j} = \left\{ {x \in M\left| {\;\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{{n - 1}}{\delta }_{{T}^{i}x} \rightarrow {\mu }_{j}}\right. }\right\} \] 具有正勒贝格测度且 \( M \smallsetminus \mathop{\bigcup }\limits_{{j = 1}}^{r}{B}_{j} \) 的勒贝格测度为零. 2. 存在一个自然的 \( \varphi \in C\left( {M,\mathrm{R}}\right) \) ,使 \( \left\{ {{\mu }_{1},{\mu }_{2},\cdots }\right. \) , \( \left. {\mu }_{r}\right\} \) 恰好为 \( \varphi \) 在 \( T \) 的吸引基本集上的平衡态. 条件 \[\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{{n - 1}}{\delta }_{{T}^{i}x} \rightarrow {\mu }_{j}\] 意味着对每个 \( f \in C\left( {M,\mathrm{R}}\right) \) ,有 \[ \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{{n - 1}}f\left( {{T}^{i}x}\right) \rightarrow \int f\mathrm{\;d}{\mu }_{j} \] 这说明几乎所有点的轨道渐近行为的统计学性质由 \( {\mu }_{j}\left( {1 \leq j \leq r}\right) \) 决定. 西奈-吕埃尔-鲍恩测度 (Sinai-Ruelle-Bowen measure) 简称 SRB 测度,是公理 \( A \) 微分同胚在其吸引子上的一个具有物理意义的不变测度. 设 \( M \) 为紧 \( {C}^{\infty } \) 流形, \( T : M \rightarrow M \) 为 \( {C}^{2} \) 公理 \( A \) 微分同胚, \( \Lambda \) 为 \( T \) 的一个拓扑传递的吸引子,西奈 (Sinai, J. G. ), 吕埃尔 (Ruelle, D. ), 鲍恩 (Bowen, R. ) 证明在 \( \land \) 上存在惟一的不变测度 \( \mu \) ,满足: \[ \text{1.}{h}_{\mu }\left( T\right) = {\int }_{{\lambda }^{\left( i\right) }\left( x\right) > 0}{\lambda }^{\left( i\right) }\left( x\right) {m}^{\left( i\right) }\left( x\right) \mathrm{d}\mu \text{,} \] 此处 \( {\lambda }^{\left( i\right) }\left( x\right) ,{m}^{\left( i\right) }\left( x\right) \) 为 \( f \) 在 \( x \) 点的李亚普诺夫指数及相应的重数. 2. \( \mu \) 在不稳定流形上有绝对连续的条件测度. \[ \text{3.}{M}_{\Lambda } = \left\{ {x\left| {\;\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}\varphi \left( {{T}^{k}x}\right) = \int \varphi \mathrm{d}\mu }\right. }\right. \text{,} \] \[ \forall \varphi \in C\left( {M,\mathrm{R}}\right) \] 是一个开集 (忽略掉一个勒贝格测度为零的集). 4. \( \mu \) 在小随机扰动下稳定,即粗略地说,对任意 \( x \in {M}_{\Lambda } \) ,若得到的不是 \( T\left( x\right) \) 的精确值而是 \( B({Tx} \) , \( \varepsilon ) \) 上的一个一致分布, \( {\mu }_{\varepsilon } \) 为这一过程的不变测度,则 \[ {\mu }_{\varepsilon } \rightarrow \mu \left( {\varepsilon \rightarrow 0}\right) \text{.} \] 上述各条是相互等价的. 此 \( \mu \) 就称为 \( f \) 在 \( \Lambda \) 上的 SRB 测度. 运用对应于李亚普诺夫指数的不稳定流形理论及勒贝格空间的条件测度理论, SRB 测度的定义可推广至一般非双曲动力系统. 次可加遍历定理 (the subadditive ergodic theorem) 伯克霍夫遍历定理的推广. 在微分动力系统遍历论的研究中, 一个有意义的问题就是研究流形上微分同胚所导出的切空间上变换的渐近行为, 即对紧黎曼流形 \( M \) 上的微分同胚 \( T \) ,研究 \( \left| {D{T}^{n}\left( x\right) v}\right| \) \( \left( {v \in {T}_{x}M}\right) \) 随 \( n \) 的变化关系. 首先注意到 \[ \left| {D{T}^{n + k}\left( x\right) }\right| \leq \left| {D{T}^{n}\left( x\right) }\right| \left| {D{T}^{k}\left( {{T}^{n}x}\right) }\right| , \] 若令 \( {f}_{m}\left( x\right) = \ln \left| {D{T}^{m}\left( x\right) }\right| \) ,则 \( {f}_{n + k} \leq {f}_{n} + {f}_{k} \circ {T}^{n} \) ,即 \( \left\{ {f}_{m}\right\} \) 满足次可加条件. 为研究类似于极限 \[ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n}\ln \left| {D{T}^{n}\left( x\right) }\right| \] 的存在性问题, 金曼 (Kingman, J. F. C. ) 证明了如下定理 (次可加遍历定理): 设 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) \) 为一概率空间, \( T : X \rightarrow X \) 为保测变换, \( \left\{ {{f}_{n} : X \rightarrow \mathrm{R} \cup }\right. \) \( \{ - \infty \} {\} }_{1}^{+\infty } \) 为一列可测函数,满足: 1. \( {f}_{1}^{ + } \in {L}^{1}\left( X\right) \) . 2. 对任意 \( n, k \geq 1,{f}_{n + k} \leq {f}_{n} + {f}_{k} \circ {T}^{n}\mu \) -a. e.,则存在可测函数 \( f : X \rightarrow \mathrm{R} \cup \{ - \infty \} \) ,满足: \[ {f}^{ + } \in {L}^{1}\left( X\right), f \circ T = {f\mu }\text{-a. e.,} \] \[ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n}{f}_{n} = {f\mu }\text{-a. e.,} \] \[ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n}\int {f}_{n}\mathrm{\;d}\mu = \mathop{\inf }\limits_{n}\frac{1}{n}\int {f}_{n}\mathrm{\;d}\mu = \int f\mathrm{\;d}\mu . \] 对 \( g \in {L}^{1}\left( X\right) \) ,令 \[ {f}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}g\left( {{T}^{k}x}\right) , \] 则由上述定理即得伯克霍夫遍历定理. 还可得到下述推论: 设 \( T \) 为紧黎曼流形 \( M \) 上的 \( {C}^{1} \) 映射,则存在 \( B \in \mathcal{B}\left( M\right) \) 及可测函数 \( \chi : M \rightarrow \mathrm{R} \cup \{ - \infty \} \) ,使得 \( {TB} \) \( \subset B,\mu \left( B\right) = 1\left( {\forall \mu \in \mathcal{M}\left( {M, T}\right) }\right) \) ,且对任意 \( x \in B \) , 有 \[ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{1}{n}\ln \left| {D{T}^{n}\left( x\right) }\right| = \chi \left( x\right) , \] \[ \chi \left( {Tx}\right) = \chi \left( x\right) , \] \[ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n}\int \ln \left| {D{T}^{n}}\right| \mathrm{d}\mu = \mathop{\inf }\limits_{n}\frac{1}{n}\int \ln \left| {D{T}^{n}}\right| \mathrm{d}\mu \] \[ = \int \chi \mathrm{d}\mu \left( {\forall \mu \in \mathcal{M}\left( {M, T}\right) }\right) . \] 为了研究 \( \left| {D{T}^{n}\left( x\right) v}\right| \left( {v \in {T}_{x}M}\right) \) 随 \( n \) 的变化规律,奥谢列杰茨 (Oce.ne.ne., B. II. ) 进一步证明了著名的乘法遍历定理, 此定理已成为动力系统光滑遍历论的奠基石. 该定理内容如下: 设 \( T \) 为紧致 \( {C}^{\infty } \) 黎曼流形 \( M \) 上的 \( {C}^{1} \) 映射,则存在 \( B \in \mathcal{B}\left( M\right) \) 满足 \( {TB} \subset B \) , \( \mu \left( B\right) = 1\left( {\forall \mu \in \mathcal{M}\left( {M, T}\right) }\right) \) ,对任意 \( x \in B \) ,存在可测依赖于 \( x \) 的数 \( - \infty \leq {\lambda }^{\left( 1\right) }\left( x\right) < {\lambda }^{\left( 2\right) }\left( x\right) < \cdots < \) \( {\lambda }^{\left( s\left( x\right) \right) }\left( x\right) < + \infty \) 及可测依赖于 \( x \) 的 \( {T}_{x}M \) 的线性子空间 \( \{ 0\} = {V}^{\left( 0\right) }\left( x\right) \subset {V}^{\left( 1\right) }\left( x\right) \subset \cdots \subset {V}^{\left( s\left( x\right) \right) }\left( x\right) = \) \( {T}_{x}M \) ,使得 \[ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{1}{n}\ln \left| {D{T}^{n}\left( x\right) v}\right| = {\lambda }^{\left( i\right) }\left( x\right) , \] \( \forall v \in {V}^{\left( i\right) }\left( x\right) \smallsetminus {V}^{\left( i - 1\right) }\left( x\right) ,1 \leq i \leq s\left( x\right) \) . 若 \( T \) 为 \( M \) 上的 \( {C}^{1} \) 微分同胚,则存在 \( B \in \mathcal{B}\left( M\right) \) ,满足 \( {TB} \subset B \) , \( \mu \left( B\right) = 1\left( {\forall \mu \in \mathcal{M}\left( {M, T}\right) }\right) \) . 且对任意 \( x \in B \) ,存在可测依赖于 \( x \) 的数 \( - \infty < {\lambda }^{\left( 1\right) }\left( x\right) < {\lambda }^{\left( 2\right) }\left( x\right) < \cdots < \) \( {\lambda }^{\left( s\left( x\right) \right) }\left( x\right) < + \infty \) 及可测依赖于 \( x \) 的 \( {T}_{x}M \) 的直和分解 \( {T}_{x}M = {E}^{\left( 1\right) }\left( x\right) \oplus {E}^{\left( 2\right) }\left( x\right) \oplus \cdots \oplus {E}^{\left( s\left( x\right) \right) }\left( x\right) \) ,使得 \[\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{1}{n}\ln \left| {D{T}^{\pm n}\left( x\right) v}\right| = \pm {\lambda }^{\left( i\right) }\left( x\right) \] \( \forall v \in {E}^{\left( i\right) }\left( x\right), v \neq 0,1 \leq i \leq s\left( x\right) \) . 上述 \( {\lambda }^{\left( i\right) }\left( x\right) \) 就称为 \( T \) 在点 \( x \) 的李亚普诺夫特征指数, \[{m}^{\left( i\right) }\left( x\right) = \dim {V}^{\left( i\right) }\left( x\right) - \dim {V}^{\left( i - 1\right) }\left( x\right) \] 或 \[{m}^{\left( i\right) }\left( x\right) = \dim {E}^{\left( i\right) }\left( x\righ

2000_数学辞海（第3卷）

的数 \( - \infty < {\lambda }^{\left( 1\right) }\left( x\right) < {\lambda }^{\left( 2\right) }\left( x\right) < \cdots < \) \( {\lambda }^{\left( s\left( x\right) \right) }\left( x\right) < + \infty \) 及可测依赖于 \( x \) 的 \( {T}_{x}M \) 的直和分解 \( {T}_{x}M = {E}^{\left( 1\right) }\left( x\right) \oplus {E}^{\left( 2\right) }\left( x\right) \oplus \cdots \oplus {E}^{\left( s\left( x\right) \right) }\left( x\right) \) ,使得 \[\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{1}{n}\ln \left| {D{T}^{\pm n}\left( x\right) v}\right| = \pm {\lambda }^{\left( i\right) }\left( x\right) \] \( \forall v \in {E}^{\left( i\right) }\left( x\right), v \neq 0,1 \leq i \leq s\left( x\right) \) . 上述 \( {\lambda }^{\left( i\right) }\left( x\right) \) 就称为 \( T \) 在点 \( x \) 的李亚普诺夫特征指数, \[{m}^{\left( i\right) }\left( x\right) = \dim {V}^{\left( i\right) }\left( x\right) - \dim {V}^{\left( i - 1\right) }\left( x\right) \] 或 \[{m}^{\left( i\right) }\left( x\right) = \dim {E}^{\left( i\right) }\left( x\right) \] 就称为 \( {\lambda }^{\left( i\right) }\left( x\right) \) 的重数. 对一个遍历的 \( \mu \in \mathcal{M}\left( {M, T}\right) \) 而言, \( s\left( x\right) ,{\lambda }^{\left( i\right) }\left( x\right) \) 与 \( {m}^{\left( i\right) }\left( x\right) \) 对 \( \mu \) -a. e. \( x \) 为常数. 乘法遍历定理 (the multiplicative ergodic theorem) 见“次可加遍历定理”. 李亚普诺夫特征指数 (Liapunov characteristic exponent) 微分动力系统遍历论的一个重要概念. 在微分动力系统遍历论的研究中, 对流形上微分同胚导出的切空间上的线性变换的渐近行为的研究有助于了解流形上非线性变换的渐近行为. 1965 年, 奥谢列杰茨 ((Oce.ne.ne., B. II. )) 证明了广泛被人们采用的乘法遍历定理并由此将李亚普诺夫特征指数的概念引入微分动力系统. 事实上, 早在 1963 年, 廖山涛已证明了正规标架丛上的乘法遍历定理 (它蕴涵状态流形上的一般形式的乘法遍历定理), 并引入李亚普诺夫特征指数的概念. 对 \( v \in {T}_{x}M, x \in M \) ,若 \[ \lambda \left( {x, v}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{1}{n}\ln \left| {D{T}^{n}\left( x\right) v}\right| \] 存在,则称之为 \( T \) 在 \( x \) 点的一个李亚普诺夫特征指数,此处, \( M \) 为紧致 \( {C}^{\infty } \) 黎曼流形, \( T \in {C}^{1}\left( {M, M}\right) \) . 奥谢列杰茨的乘法遍历定理解决了其存在性问题. 这一概念刻画了切向量在 \( T \) 的切映射作用下的指数变化率, 在微分动力系统遍历论中起着十分重要的作用. 关于李亚普诺夫特征指数研究的最著名的结果是柏森理论. 柏森理论用关于李亚普诺夫特征指数的条件来代替微分动力系统中的双曲条件, 将双曲动力系统的几何结果的很大一部分推广到任意可微系统, 其中典型的结果如柏森 (Pesin, Ya. B. ) 的稳定流形理论. 此理论的另一个著名结果是柏森熵公式. 从某种程度上说, 李亚普诺夫指数也反映了流形上无穷小体积元在流形映射作用下的变化规律, 而熵亦与体积变化密切相关, 因此, 可以预测二者是有一定关系的. 柏森熵公式建立了二者之间的确切关系. 定理 (柏森熵公式): 设 \( M \) 为紧致 \( {C}^{\infty } \) 黎曼流形, \( T : M \rightarrow M \) 为 \( {C}^{2} \) 微分同胚, \( \mu \in \mathcal{M}\left( {M, T}\right) \) . 若 \( \mu \) 相对 \( M \) 的勒贝格测度绝对连续,则 \[ {h}_{\mu }\left( T\right) = {\int }_{M{\lambda }^{\left( i\right) }\left( x\right) > 0}\sum {\lambda }^{\left( i\right) }\left( x\right) {m}^{\left( i\right) }\left( x\right) \mathrm{d}\mu . \] 若没有 “ \( \mu \) 相对 \( M \) 的勒贝格测度绝对连续”这一条件, 则结论变为 \[ {h}_{\mu }\left( T\right) \leq {\int }_{M{\lambda }^{\left( i\right) }\left( x\right) > 0}\sum {\lambda }^{\left( i\right) }\left( x\right) {m}^{\left( i\right) }\left( x\right) \mathrm{d}\mu . \] 这是吕埃尔 (Ruelle, D. ) 首先得到的, 称之为吕埃尔不等式. 最后指出, \( {\lambda }^{\left( i\right) }\left( x\right) \) 虽然是 \( x \) 的可测函数,但一般是不连续的. 柏森熵公式(Pesin entropy formula) 见“李亚普诺夫特征指数”. 柏森理论 (Pesin theory) 见“李亚普诺夫特征指数”. 吕埃尔不等式 (Ruelle inequality) 见“李亚普诺夫特征指数”. 稳定流形 (stable manifold) 由在映射作用下相互距离趋于零的相空间中的点组成的集合. 设 \( M \) 为一个紧致 \( {C}^{\infty } \) 黎曼流形, \( T \) 为 \( M \) 上的 \( {C}^{r}\left( {r \geq 2}\right) \) 微 分同胚, \( \mu \in \mathcal{M}\left( {M, T}\right) \) . 对 \( \mu \) -a. e. \( x \in M \) ,设 \( {\lambda }^{\left( 1\right) }\left( x\right) \) \( < {\lambda }^{\left( 2\right) }\left( x\right) < \cdots < {\lambda }^{\left( p\right) }\left( x\right) < 0 \) 为 \( T \) 在点 \( x \) 的所有负李亚普诺夫指数. 对每个 \( 1 \leq i \leq p \) ,定义 \[ {W}^{s, i}\left( {T, x}\right) = \left\{ {y \in M \mid \mathop{\limsup }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{1}{n}\ln d\left( {{T}^{n}y,{T}^{n}x}\right) }\right. \] \[ \left. { \leq {\lambda }^{\left( i\right) }\left( x\right) }\right\} \] 则可以证明 \( {W}^{s, i}\left( {T, x}\right) \) 为 \( M \) 的一个 \[ \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{i}m\left( k\right) \left( x\right) \] 维 \( {C}^{r - 1} \) 浸入子流形 (实际上为 \( \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{i} \oplus {E}^{\left( k\right) }\left( x\right) \) 在一个单的 \( {C}^{r - 1} \) 浸入映射下的像). 称 \( {W}^{s, i}\left( {T, x}\right) \) 为 \( T \) 在点 \( x \) 对应 \( {\lambda }^{\left( i\right) }\left( x\right) \) 的稳定流形. 称 \[ {W}^{s}\left( {T, x}\right) \] \[ = \left\{ {y \in M \mid \mathop{\limsup }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{1}{n}\ln d\left( {{T}^{n}y,{T}^{n}x}\right) < 0}\right\} \] \[ = \left\{ {y \in M \mid \mathop{\limsup }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{1}{n}\ln d\left( {{T}^{n}y,{T}^{n}x}\right) \leq {\lambda }^{\left( p\right) }\left( x\right) }\right\} \] 为 \( T \) 在点 \( x \) 的稳定流形. 若设 \( 0 < {\lambda }^{\left( q\right) }\left( x\right) < \cdots < \) \( {\lambda }^{\left( s\left( x\right) \right) }\left( x\right) \) 为 \( T \) 在点 \( x \) 的所有正李亚普诺夫指数,对每个 \( q \leq j \leq s\left( x\right) \) ,定义 \[ {W}^{u, j}\left( {T, x}\right) = \left\{ {y \in M \mid \mathop{\limsup }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{1}{n}\ln d\left( {{T}^{-n}y,{T}^{-n}x}\right) }\right. \] \[ \left. { \leq - {\lambda }^{\left( j\right) }\left( x\right) }\right\} , \] 则可证明 \( {W}^{u, j}\left( {T, x}\right) \) 为 \( M \) 的一个 \[ \mathop{\sum }\limits_{{k = q}}^{j}{m}^{\left( k\right) }\left( x\right) \] 维的 \( {C}^{r - 1} \) 浸入子流形 (实际上为 \( \mathop{\sum }\limits_{{k = q}}^{j} \oplus {E}^{\left( k\right) }\left( x\right) \) 在一个单的 \( {C}^{r - 1} \) 浸入映射下的像). 称 \( {W}^{u, j}\left( {T, x}\right) \) 为 \( T \) 在点 \( x \) 对应 \( {\lambda }^{\left( j\right) }\left( x\right) \) 的不稳定流形. 称 \[ {W}^{u}\left( {T, x}\right) \] \[ = \left\{ {y \in M \mid \mathop{\limsup }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{1}{n}\ln d\left( {{T}^{-n}y,{T}^{-n}x}\right) < 0}\right\} \] \[ = \left\{ {y \in M \mid \mathop{\limsup }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{1}{n}\ln d\left( {{T}^{-n}y,{T}^{-n}x}\right) }\right. \] \[ \left. { \leq - {\lambda }^{\left( q\right) }\left( x\right) }\right\} \] 为 \( T \) 在点 \( x \) 的不稳定流形. 微分动力系统遍历论的稳定流形理论主要由柏森 (Pesin, Ya. B. ) 建立, 它是乘法遍历定理关于李亚普诺夫指数的线性理论的非线性版本. 这一理论的建立为微分动力系统遍历论的发展铺平了道路, 起到了里程碑的作用. 撰 稿 华歆厚 刘培东 刘新和 孙文祥 何连法陈藻平 董镇喜 审 阅 吕以辇 麦结华 杨重骏 董镇喜 特殊函数 (special function) 初等函数以外常用的各种超越函数 (特殊情况下也可能是代数函数) 的总称. 它包括伽马函数、超几何函数和汇合型超几何函数、椭圆函数、拉梅函数、马蒂厄函数以及正交多项式等. 这些函数都定义在复数域上, 是一定区域内的解析函数. 通常从下列几个主要方面研究特殊函数: 1. 特殊函数的积分表示. 多数特殊函数都有一定的积分表达式, 甚至在不同的条件下有不同的积分表达式. 有些特殊函数, 例如伽马函数、贝塔函数和不完全伽马函数等, 最常用的定义就是它们的积分表达式. 而椭圆函数则是通过椭圆积分的反函数来定义的. 积分表达式的优点是适用区域一般较大, 易于推广和作解析延拓, 且便于讨论渐近展开. 例如, 由超几何函数的积分表达式 (相差一常系数) \[ \int {\zeta }^{a}{\left( \zeta - 1\right) }^{b}{\left( \zeta - z\right) }^{c}\mathrm{\;d}\zeta \] 的形式就容易推广到广义超几何函数 \[ \int {\left( \zeta - {a}_{1}\right) }^{{b}_{1}}{\left( \zeta - {a}_{2}\right) }^{{b}_{2}}\cdots {\left( \zeta - {a}_{n}\right) }^{{b}_{n}}{\left( \zeta - z\right) }^{c}\mathrm{\;d}\zeta \] 或二变量超几何函数 \[ \int {\zeta }^{a}{\left( \zeta - 1\right) }^{b}{\left( \zeta - x\right) }^{c}{\left( \zeta - y\right) }^{d}\mathrm{\;d}\zeta . \] 2. 特殊函数作为微分方程的解. 例如, 超几何函数和汇合型超几何函数 (包括作为它们的特殊情形的球函数、柱函数以及各种正交多项式)就是超几何方程和汇合型超几何方程的解. 拉梅函数和马蒂厄函数也都是相应的常微分方程的解. 通过常微分方程的幂级数解法或积分解法, 可以得到这些特殊函数的级数表达式或积分表达式. 根据常微分方程的解析理论, 这些方程可以按照其正则奇点和非正则奇点的个数加以分类, 从而建立起特殊函数之间的联系. 例如, 超几何方程具有三个正则奇点 \( \left( {0,1\text{和}\infty }\right) \) ,勒让德方程也具有三个正则奇点 ( \( \pm 1 \) 和 \( \infty \) ). 将超几何方程的两个奇点汇合, 即可得到汇合型超几何方程, 它具有一个正则奇点 (0) 和一个非正则奇点 \( \left( \infty \right) \) . 贝塞尔方程和拉盖尔方程等也都具有一个正则奇点 (0) 和一个非正则奇点 \( \left( \infty \right) \) . 更进一步, 这些常微分方程又多是一定偏微分方程 (例如拉普拉斯方程、亥姆霍兹方程或具有特定位势的薛定谔方程) 在一定坐标系 (例如球坐标系、 柱坐标系、椭球坐标系等)下分离变量的结果. 3. 母函数. 这也是特殊函数的常用定义方法之 ## 特 殊 函 数 一. 各种正交多项式都可以通过相应的母函数定义. 欧拉多项式和伯努利多项式也都是用各自的母函数定义的. 根据特殊函数的母函数展开式, 又可以方便地得到特殊函数的微商表示. 4. 正交关系. 各种正交多项式均构成相应希尔伯特空间上的正交完备函数系. 反之, 在一定区间上给定函数内积的定义, 根据正交性的要求就可以得到相应的正交多项式 (相差一常系数, 可由最高项系数或特殊值确定). 5. 递推公式. 递推公式既是特殊函数的重要基本性质之一, 也是定义某些特殊函数 (例如柱函数) 的特殊手段. 由于同一特殊函数可以出现在多种数学物理问题中, 因此, 既可能同一特殊函数却有不止一种名称, 也可能同一特殊函数而有不完全一致的定义 (例如相位因子的规定不同), 甚至还可能两个完全不同的函数使用同一名称 (例如韦伯函数). 这在应用中应该特别注意. 伽马函数 (gamma function) 常用的特殊函数之一. 由欧拉 (Euler, L. ) 引入, 而由勒让德 (Legendre, A. -M. ) 命名. 通常用第二欧拉积分 \[ \Gamma \left( z\right) = {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-t}{t}^{z - 1}\mathrm{\;d}t\;\left( {\operatorname{Re}z > 0}\right) \] 定义. 对于任意复数 \( z \) ,则有下列表达式: 1. 汉克尔围道积分 \[ \Gamma \left( z\right) = - \frac{1}{2\mathrm{i}\sin z}{\int }_{\infty }^{\left( 0 + \right) }{\mathrm{e}}^{-t}{\left( -t\right) }^{z - 1}\mathrm{\;d}t \] \[ \left( {\left| {\arg \left( {-t}\right) }\right| < \pi }\right) , \] \[ \frac{1}{\Gamma \left( z\right) } = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\infty }^{\left( 0 + \right) }{\mathrm{e}}^{-t}{\left( -t\right) }^{-z}\mathrm{\;d}t \] \[ \left( {\left| {\arg \left( {-t}\right) }\right| < \pi }\right) , \] 其中的积分路径是从正实轴上的无穷远处 \( (t = \infty \) , \( \arg \left( {-t}\right) = - \pi ) \) 出发,正向绕原点一周,再回到 \( t = \) \( \infty ,\arg \left( {-t}\right) = \pi \) . 前一表达式不适用于 \( z \) 为整数时. 2. 欧拉无穷乘积 \[ \Gamma \left( z\right) = \frac{1}{z}\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left\{ {{\left( 1 + \frac{z}{n}\right) }^{-1}{\left( 1 + \frac{1}{n}\right) }^{z}}\right\} . \] 除极点 \( z = - n\left( {n = 0,1,2,\cdots }\right) \) 外,此乘积在全平面解析, 故可用作伽马函数的普遍定义. 3. 外尔斯特拉斯无穷乘积 \[ \frac{1}{\Gamma \left( z\right) } = z{\mathrm{e}}^{\gamma z}\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left\{ {\left( {1 + \frac{z}{n}}\right) {\mathrm{e}}^{-z/n}}\right\} , \] 其中 \( \gamma \) 为欧拉常数. 此公式表明 \( \Gamma \left( z\right) \) 的奇点为一阶极点 \( z = 0, - 1, - 2,\cdots \) ,而且没有零点. 此公式亦可用作伽马函数的普遍定义. 伽马函数具有下列基本性质: 1. 在 \( z = - n\left( {n = 0,1,2,\cdots }\right) \) 处有一阶极点,留数为 \( {\left( -1\right) }^{n}/n! \) ; 除此之外, \( \Gamma \left( z\right) \) 在全平面解析. 2. \( \Gamma \left( {z + 1}\right) = {z\Gamma }\left( z\right) \) . 特别是 \( \Gamma \left( {n + 1}\right) = n \) ! \( (n = \) \( 0,1,2,\cdots ) \) . 因此,伽马函数可以看成是非负整数阶乘的推广, \( \Gamma \left( {z + 1}\right) \) 亦可写作 \( z \) !,称为阶乘函数. 3. \( \Gamma \left( z\right) \Gamma \left( {1 - z}\right) = \frac{\pi }{\sin {\pi z}} \) . 4. \( \Gamma \left( z\right) \) 在全平面无零点. (参见《数学辞海》第一卷同名条). 阶乘函数 (fractorial function)

2000_数学辞海（第3卷）

1}{n}\right) }^{z}}\right\} . \] 除极点 \( z = - n\left( {n = 0,1,2,\cdots }\right) \) 外,此乘积在全平面解析, 故可用作伽马函数的普遍定义. 3. 外尔斯特拉斯无穷乘积 \[ \frac{1}{\Gamma \left( z\right) } = z{\mathrm{e}}^{\gamma z}\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left\{ {\left( {1 + \frac{z}{n}}\right) {\mathrm{e}}^{-z/n}}\right\} , \] 其中 \( \gamma \) 为欧拉常数. 此公式表明 \( \Gamma \left( z\right) \) 的奇点为一阶极点 \( z = 0, - 1, - 2,\cdots \) ,而且没有零点. 此公式亦可用作伽马函数的普遍定义. 伽马函数具有下列基本性质: 1. 在 \( z = - n\left( {n = 0,1,2,\cdots }\right) \) 处有一阶极点,留数为 \( {\left( -1\right) }^{n}/n! \) ; 除此之外, \( \Gamma \left( z\right) \) 在全平面解析. 2. \( \Gamma \left( {z + 1}\right) = {z\Gamma }\left( z\right) \) . 特别是 \( \Gamma \left( {n + 1}\right) = n \) ! \( (n = \) \( 0,1,2,\cdots ) \) . 因此,伽马函数可以看成是非负整数阶乘的推广, \( \Gamma \left( {z + 1}\right) \) 亦可写作 \( z \) !,称为阶乘函数. 3. \( \Gamma \left( z\right) \Gamma \left( {1 - z}\right) = \frac{\pi }{\sin {\pi z}} \) . 4. \( \Gamma \left( z\right) \) 在全平面无零点. (参见《数学辞海》第一卷同名条). 阶乘函数 (fractorial function) 见 “伽马函数”. 伽马函数的欧拉无穷乘积公式 (Euler infinite product formula of gamma function) 见“伽马函数”. 伽马函数的外尔斯特拉斯无穷乘积公式 (Weierstrass infinite product formula of gamma function) 见“伽马函数”. 欧拉常数(Euler's constant) 基本的数学常数之一. 定义为 \[ \gamma = \mathop{\lim }\limits_{{m \rightarrow \infty }}\left\{ {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{m} - \ln m}\right\} \] \( = {0.577215664901532860606512090082}\cdots \) , 在伽马函数理论中经常要用到. 虽然猜想它是超越数, 但至今还不知道它是不是无理数. 1980 年, 布伦特 (Brent, R. P. ) 等已计算到 30100 位小数 (参见 《数学辞海》第一卷同名条). 斯特林公式 (Stirling's formula) 伽马函数在 \( z \rightarrow \infty \left( {\left| {\arg z}\right| < \pi }\right) \) 时的渐近展开式 \[ \Gamma \left( z\right) \sim {\mathrm{e}}^{-z}{z}^{z - 1/2}{\left( 2\pi \right) }^{1/2}\left\lbrack {1 + \frac{1}{12z} + \frac{1}{{288}{z}^{2}}}\right. \] \[ \left. {-\frac{139}{{51840}{z}^{3}} - \frac{571}{{2488320}{z}^{4}} + \cdots }\right\rbrack , \] \[ \ln \Gamma \left( z\right) \sim \left( {z - \frac{1}{2}}\right) \ln z - z + \frac{1}{2}\ln \left( {2\pi }\right) \] \[ + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n - 1}{B}_{n}}{{2n}\left( {{2n} - 1}\right) }{z}^{-\left( {{2n} - 1}\right) }, \] 其中 \( {B}_{n} \) 为伯努利数. 实际上, 在斯特林 (Stirling, J. ) 之前, 棣莫弗 (de Moivre, A. ) 于 1730 年已经给出了 \( n \) ! 的近似公式 (参见《数学辞海》第一卷同名条). 贝塔函数 (beta function) 常用的特殊函数之一. 最早由沃利斯 (Wallis, J. ) 讨论过, 1781 年, 欧拉 (Euler, L.)定义为 \[ B\left( {p, q}\right) = {\int }_{0}^{1}{u}^{p - 1}{\left( 1 - u\right) }^{q - 1}\mathrm{\;d}u \] \[ \left( {\operatorname{Re}p > 0,\operatorname{Re}q > 0}\right) , \] (勒让德 (Legendre, A. -M. ), 称之为第一类欧拉积分). 由关系式 \[ B\left( {p, q}\right) = B\left( {q, p}\right) = \frac{\Gamma \left( p\right) \Gamma \left( q\right) }{\Gamma \left( {p + q}\right) } \] 可将 \( B \) 函数解析延拓到复变量 \( p \) 和 \( q \) 的全平面上. \( 1/B\left( {p, q}\right) \) 可以看成是二项式系数 \[ \left( \begin{array}{l} N \\ n \end{array}\right) = \frac{N!}{n!\left( {N - n}\right) !} \] 对于一般非整数 \( N \) 和 \( n \) 的推广 (参见《数学辞海》第一卷同名条). 普西函数 (psi function) 亦称双伽马函数. 它是 \( \Gamma \) 函数的对数微商, \[ \psi \left( z\right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\ln \Gamma \left( z\right) = \frac{{\Gamma }^{\prime }\left( z\right) }{\Gamma \left( z\right) }. \] 最常用表达式为 \[ \psi \left( z\right) = {\int }_{0}^{\infty }\left\lbrack {\frac{{\mathrm{e}}^{-t}}{t} - \frac{{\mathrm{e}}^{-{zt}}}{1 - {\mathrm{e}}^{-t}}}\right\rbrack \mathrm{d}t\;\left( {\operatorname{Re}z > 0}\right) . \] 除 \( z = - n\left( {n = 0,1,2,\cdots }\right) \) 外, \( \psi \left( z\right) \) 在全平面解析; \( z \) \( = - n \) 是 \( \psi \left( z\right) \) 的一阶极点,留数均为 -1 . 双伽马函数 (bigamma function) 即 “普西函数”. 多伽马函数 (polygamma function) 普西函数的各阶导数 \[ {\psi }^{\left( n\right) }\left( z\right) = \frac{{\mathrm{d}}^{n}}{\mathrm{\;d}{z}^{n}}\psi \left( z\right) \] 统称为多伽马函数. 最常用表达式为 \[ {\psi }^{\left( n\right) }\left( z\right) = {\left( -1\right) }^{n + 1}{\int }_{0}^{\infty }\frac{{t}^{n}{\mathrm{e}}^{-{zt}}}{1 - {\mathrm{e}}^{-t}}\mathrm{\;d}t\;\left( {\operatorname{Re}z > 0}\right) . \] 除 \( n + 1 \) 阶极点 \( z = - m\left( {m = 0,1,2,\cdots }\right) \) 外, \( {\psi }^{\left( n\right) }\left( z\right) \) 在整个复平面上单值解析. \( {\psi }^{\prime }\left( z\right) \) 称为 \( 3 - \Gamma \) 函数, \( {\psi }^{\prime \prime }\left( z\right) \) 称为 \( 4 - \Gamma \) 函数, \( {\psi }^{\prime \prime \prime }\left( z\right) \) 称为 \( 5 - \Gamma \) 函数, \( {\psi }^{\left( 4\right) }\left( z\right) \) 称为 \( 6 - \Gamma \) 函数,依此类推, \( {\psi }^{\left( n - 2\right) }\left( z\right) \left( {n \geq 3}\right) \) 称为 \( n - \Gamma \) 函数. 黎曼 \( \zeta \) 函数 (Riemann zeta function) 基本的特殊函数之一. 与伽马函数有密切的联系, 定义为 \[ \zeta \left( s\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{s}}\left( {\operatorname{Re}s > 1}\right) . \] 通过积分表示 \[ \zeta \left( s\right) = - \frac{\Gamma \left( {1 - s}\right) }{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\infty }^{\left( 0 + \right) }\frac{{\left( -z\right) }^{s - 1}}{{\mathrm{e}}^{z} - 1}\mathrm{\;d}z \] \[ \left( {\left| {\arg \left( {-z}\right) }\right| < \pi }\right) \] 可延拓到全 \( s \) 平面,其中积分围道由 \( \infty \) 出发,绕 \( z = 0 \) 正向一周,再回到 \( \infty \) ,围道内不含 \[z = {2n\pi }\mathrm{i}\left( {n = \pm 1, \pm 2,\cdots }\right) .\] 在历史上,欧拉 (Euler, L.) 最早研究过 \( s \) 为实变量的情形, 1859 年, 由黎曼 (Riemann, (G. F. )B. ) 成功地将 \( s \) 推广为复变量,故名. \( \zeta \left( s\right) \) 在全平面只有一个奇点,即一阶极点 \( s = 1 \) , 留数为 \( 1.s = - {2m}\left( {m = 1,2,\cdots }\right) \) 是 \( \zeta \left( s\right) \) 的零点,而其余的零点只能分布在 \( 0 \leq \operatorname{Re}s \leq 1 \) 的区域内. 黎曼猜想,这些零点全位于 \( \operatorname{Re}s = 1/2 \) 线上,但至今尚未得到完全的证明或否定. 截至 1982 年, 布伦特 (Brent, R. P. ) 等证明了在 \( 0 \leq \operatorname{Re}s \leq 1,0 \leq \operatorname{Im}s \leq {81702130.19} \) 的矩形中,共有 200000001 个零点,全都位于 \( \operatorname{Re}s \) \( = 1/2 \) 的直线上. \( \zeta \left( s\right) \) 的其他特殊值有 \[ \zeta \left( 0\right) = - \frac{1}{2}, \] \[ {\zeta }^{\prime }\left( 0\right) = - \frac{1}{2}\ln \left( {2\pi }\right) , \] \[ \zeta \left( {2m}\right) = \frac{{2}^{{2m} - 1}{\pi }^{2m}}{\left( {2m}\right) !}{B}_{m}, \] \[ \zeta \left( {1 - {2m}}\right) = \frac{{\left( -1\right) }^{m}}{2m}{B}_{m}. \] 其中 \( m = 1,2,3,\cdots ,{B}_{m} \) 为伯努利数. 1999 年,中国数学家蓝以中教授给出了 \( \zeta \left( {{2m} + 1}\right) \) 的极限表达式. 1978 年 6 月, 阿比黎 (Apery, R. ) 在法国马赛数学会议上宣布证明了 \( \zeta \left( 3\right) \) 是无理数. 黎曼ζ函数在数论中有重要应用,它和素数有密切的联系. 例如 \[ \frac{1}{\zeta \left( s\right) } = \mathop{\prod }\limits_{p}\left( {1 - \frac{1}{{p}^{s}}}\right) \left( {\operatorname{Re}s > 1}\right) , \] 其中 \( p \) 遍及所有素数 (参见本卷《复变函数论》同名条). 广义 \( \zeta \) 函数 (generalized zeta function) 亦称胡尔维茨 \( \zeta \) 函数. 黎曼 \( \zeta \) 函数的推广. 定义为 \[ \zeta \left( {s, a}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + a\right) }^{s}} \] \[ \left( {\operatorname{Re}s > 1, a \neq 0, - 1, - 2,\cdots }\right) \text{.} \] 通过积分表示 \[ \zeta \left( {s, a}\right) = \frac{\Gamma \left( {1 - s}\right) }{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{-\infty }^{\left( 0 + \right) }\frac{{z}^{s - 1}{\mathrm{e}}^{az}}{1 - {\mathrm{e}}^{z}}\mathrm{\;d}z \] \[ \left( {\left| {\arg z}\right| < \pi ,\operatorname{Re}a > 0}\right) \] 可延拓到全 \( s \) 平面,其中积分围道由 \( - \infty \) 出发,经负实轴绕 \( z = 0 \) 正向一周,再回到 \( - \infty \) ,围道内不含 \[ z = {2n\pi }\mathrm{i}\;\left( {n = \pm 1, \pm 2,\cdots }\right) . \] \( \zeta \left( {s, a}\right) \) 在全平面只有一个奇点,一阶极点 \( s = 1 \) , 留数为 1 . 当 \( s \) 为负整数时, \[ \zeta \left( {-n, a}\right) = - \frac{{B}_{n + 1}\left( a\right) }{n + 1}, \] 其中 \( {B}_{n + 1}\left( a\right) \) 为伯努利多项式. 胡尔维茨 \( \zeta \) 函数 (Hurwitz zeta function) 即 “广义 \( \zeta \) 函数”. 默比乌斯函数 (Möbius function) 一种数论函数 (即自变量为正整数 \( n \) 的函数). 它可以通过黎曼 \( \zeta \) 函数定义: \[ \frac{1}{\zeta \left( z\right) } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\mu \left( n\right) }{{n}^{z}}\;\left( {\operatorname{Re}z > 0}\right) , \] 其中 \[ \mu \left( n\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & n = 1, \\ {\left( -1\right) }^{r} & n\text{ 是 }r\text{ 个不同质因子的乘积,} \\ 0 & n\text{ 中含有重复的质因子 } \end{array}\right. \] 它的前几个函数值是 \[ \mu \left( 1\right) = 1,\;\mu \left( 2\right) = - 1, \] \[ \mu \left( 3\right) = - 1,\;\mu \left( 4\right) = 0, \] \[ \mu \left( 5\right) = - 1,\;\mu \left( 6\right) = 1, \] \[\mu \left( 7\right) = - 1,\;\mu \left( 8\right) = 0,\] \[\mu \left( 9\right) = 0,\;\mu \left( {10}\right) = 1,\] \[\mu \left( {11}\right) = - 1,\mu \left( {12}\right) = 0,\] \[\mu \left( {13}\right) = - 1,\mu \left( {14}\right) = 1,\] \[\mu \left( {15}\right) = 1,\;\cdots \] (参见《数学辞海》第一卷《初等数论》同名条). 默比乌斯变换 (Möbius transform) 数论函数的一种变换. 设 \( f\left( n\right) \) 是一个数论函数,则 \[g\left( n\right) = \mathop{\sum }\limits_{{d \mid n}}f\left( d\right) = \mathop{\sum }\limits_{{d \mid n}}f\left( {nd}\right) \] 称为 \( f \) 的默比乌斯变换,其中的 \( \mathop{\sum }\limits_{{d \mid n}} \) 表示对 \( n \) 的所有因子 \( d \) (包括 1 和 \( n \) 本身) 求和. 默比乌斯变换的反演是 \[f\left( n\right) = \mathop{\sum }\limits_{{d \mid n}}\mu \left( d\right) g\left( \frac{n}{d}\right) ,\] 其中的 \( \mu \left( d\right) \) 就是默比乌斯函数 (参见 “默比乌斯函数”). 默比乌斯反演 (Möbius inversion) 见“默比乌斯变换”. 修正的默比乌斯变换 (modified Möbius transform) 默比乌斯变换对于 (数学分析中的)一般连续函数的推广. 即 \[g\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }f\left( \frac{x}{n}\right) .\] 相应地, 修正的默比乌斯反演是 \[f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\mu \left( n\right) g\left( \frac{x}{n}\right) .\] 其他形式的修正的默比乌斯变换及其反演还有 \[g\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }f\left( {nx}\right) ,\] \[f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\mu \left( n\right) g\left( {nx}\right) .\] 甚至更一般地, \[g\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }f\left( {{n}^{a}x}\right) ,\] \[f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\mu \left( n\right) g\left( {{n}^{\alpha }x}\right) .\] 这些修正的默比乌斯变换及其反演公式, 在一些数论著作中已经 (或者实际上已经) 出现过, 但长期以来并未得到充分的重视与应用. 1990 年, 中国的陈难先院士首次成功地应用于讨论临聚态物理中的两个重要问题: 声子态密度和黑体辐射的反问题, 出人意料、然而恰到好处地给出了问题的精确解, 开辟了应用纯粹数学工具解决物理问题的新途径, 引起了国内外数学界和物理学界的广泛注意与强烈反响. 修正的默比乌斯反演 (modified Möbius inversion) 见“修正的默比乌斯变换”. 富克斯型方程 (Fuchsian equation) 所有奇点都是正则奇点的线性常微分方程. 例如, 拉梅方程 \[ \frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{\;d}{\zeta

2000_数学辞海（第3卷）

right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }f\left( \frac{x}{n}\right) .\] 相应地, 修正的默比乌斯反演是 \[f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\mu \left( n\right) g\left( \frac{x}{n}\right) .\] 其他形式的修正的默比乌斯变换及其反演还有 \[g\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }f\left( {nx}\right) ,\] \[f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\mu \left( n\right) g\left( {nx}\right) .\] 甚至更一般地, \[g\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }f\left( {{n}^{a}x}\right) ,\] \[f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\mu \left( n\right) g\left( {{n}^{\alpha }x}\right) .\] 这些修正的默比乌斯变换及其反演公式, 在一些数论著作中已经 (或者实际上已经) 出现过, 但长期以来并未得到充分的重视与应用. 1990 年, 中国的陈难先院士首次成功地应用于讨论临聚态物理中的两个重要问题: 声子态密度和黑体辐射的反问题, 出人意料、然而恰到好处地给出了问题的精确解, 开辟了应用纯粹数学工具解决物理问题的新途径, 引起了国内外数学界和物理学界的广泛注意与强烈反响. 修正的默比乌斯反演 (modified Möbius inversion) 见“修正的默比乌斯变换”. 富克斯型方程 (Fuchsian equation) 所有奇点都是正则奇点的线性常微分方程. 例如, 拉梅方程 \[ \frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{\;d}{\zeta }^{2}} + \frac{1}{2}\left\{ {\mathop{\sum }\limits_{{r = 1}}^{3}\frac{1}{\zeta - {a}_{r}}}\right\} \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{\;d}\zeta } \] \[ - \frac{n\left( {n + 1}\right) \zeta + h}{4}\left\{ {\mathop{\prod }\limits_{{r = 1}}^{3}\frac{1}{\zeta - {a}_{r}}}\right\} u = 0 \] 是具有四个正则奇点 \( \left( {{a}_{1},{a}_{2},{a}_{3},\infty }\right) \) 的富克斯型方程; 广义拉梅方程 \[ \frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{\;d}{\zeta }^{2}} + \frac{1}{2}\left\lbrack {\mathop{\sum }\limits_{{r = 1}}^{4}\frac{1 - 4{\alpha }_{r}}{\zeta - {a}_{r}}}\right\rbrack \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{\;d}\zeta } \] \[ + \left\{ {\frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{r = 1}}^{4}\frac{{\alpha }_{r}\left( {2{\alpha }_{r} + 1}\right) }{{\left( \zeta - {a}_{r}\right) }^{2}}}\right. \] \[ \left. {+\left( {A{\zeta }^{2} + {2B\zeta } + C}\right) \left\lbrack {\mathop{\prod }\limits_{{r = 1}}^{4}\frac{1}{\zeta - {a}_{r}}}\right\rbrack }\right\} u = 0 \] 则是具有五个正则奇点 \( \left( {{a}_{1},{a}_{2},{a}_{3},{a}_{4},\infty }\right) \) 的富克斯型方程. 黎曼微分方程 (Riemann differential equation) 具有三个正则奇点 \( a, b, c \) 的富克斯型方程. 当 \( a, b, c \) 均为有限值时, 标准形式为 \[ \frac{{\mathrm{d}}^{2}w}{\mathrm{\;d}{z}^{2}} + \left\lbrack {\frac{1 - {\alpha }_{1} - {\alpha }_{2}}{z - a} + \frac{1 - {\beta }_{1} - {\beta }_{2}}{z - b} + \frac{1 - {\gamma }_{1} - {\gamma }_{2}}{z - c}}\right\rbrack \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{\;d}z} \] \[ + \left\lbrack {\frac{{\alpha }_{1}{\alpha }_{2}\left( {a - b}\right) \left( {a - c}\right) }{z - a} + \frac{{\beta }_{1}{\beta }_{2}\left( {b - c}\right) \left( {b - a}\right) }{z - b}}\right. \] \[ \left. {+\frac{{\gamma }_{1}{\gamma }_{2}\left( {c - a}\right) \left( {c - b}\right) }{z - c}}\right\rbrack \frac{w}{\left( {z - a}\right) \left( {z - b}\right) \left( {z - c}\right) } = 0, \] 而若 \( c = \infty \) ,则为 \[ \frac{{\mathrm{d}}^{2}w}{\mathrm{\;d}{z}^{2}} + \left\lbrack {\frac{1 - {\alpha }_{1} - {\alpha }_{2}}{z - a} + \frac{1 - {\beta }_{1} - {\beta }_{2}}{z - b}}\right\rbrack \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{\;d}z} \] \[ + \left\lbrack {\frac{{\alpha }_{1}{\alpha }_{2}\left( {a - b}\right) }{z - a} + \frac{{\beta }_{1}{\beta }_{2}\left( {b - a}\right) }{z - b} + {\gamma }_{1}{\gamma }_{2}}\right\rbrack \] \[ \frac{w}{\left( {z - a}\right) \left( {z - b}\right) } = 0, \] 其中 \( \left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2}}\right) ,\left( {{\beta }_{1},{\beta }_{2}}\right) \) 和 \( \left( {{\gamma }_{1},{\gamma }_{2}}\right) \) 分别是在三个正则奇点 \( a, b, c \) 处的指标,应满足 \[ {\alpha }_{1} + {\alpha }_{2} + {\beta }_{1} + {\beta }_{2} + {\gamma }_{1} + {\gamma }_{2} = 1. \] 黎曼微分方程在三个正则奇点处的解可以用 \( P \) 符号 (称为黎曼 \( P \) 方程) 一览无遗地表示出来, \[ w\left( z\right) = P\left\{ \begin{matrix} a & b & c \\ {\alpha }_{1} & {\beta }_{1} & {\gamma }_{1} \\ {\alpha }_{2} & {\beta }_{2} & {\gamma }_{2} \end{matrix}\right\} , \] 在自变量的分式线性变换 \[ \zeta = \lambda \frac{z - \mu }{z - \nu } \] 之下, 黎曼微分方程的形式不变: 三个正则奇点相应地改变, 但指标不变. 相应地, 微分方程的解可以用 \( P \) 方程的变换关系表示, \[ P\left\{ \begin{matrix} a & b & c & \\ {\alpha }_{1} & {\beta }_{1} & {\gamma }_{1}; & z \\ {\alpha }_{2} & {\beta }_{2} & {\gamma }_{2} & \end{matrix}\right\} = P\left\{ \begin{matrix} {\zeta }_{1} & {\zeta }_{2} & {\zeta }_{3} & \\ {\alpha }_{1} & {\beta }_{1} & {\gamma }_{1}; & \zeta \\ {\alpha }_{2} & {\beta }_{2} & {\gamma }_{2} & \end{matrix}\right\} . \] 若作因变量变换 \[ {w}_{1} = \left\{ \begin{array}{ll} {\left( \frac{z - a}{z - c}\right) }^{k}{\left( \frac{z - b}{z - c}\right) }^{l}w & a, b, c\text{ 均为 } \\ {\left( z - a\right) }^{k}{\left( z - b\right) }^{l}w & c = \infty , \end{array}\right. \] 则 \( {w}_{1} \) 仍满足黎曼方程,奇点不变,但指标变为 \( \left( {{\alpha }_{1} + k,{\alpha }_{2} + k}\right) ,\left( {{\beta }_{1} + l,{\beta }_{2} + l}\right) \) 和 \( \left( {{\gamma }_{1} - k - l,{\gamma }_{2} - k - }\right. \) \( l) \) . 当 \( a, b, c \) 均为有限值时,相应的黎曼 \( P \) 方程变换为 \[{\left( \frac{z - a}{z - c}\right) }^{k}{\left( \frac{z - b}{z - c}\right) }^{l}P\left\{ \begin{matrix} a & b & c & \\ {\alpha }_{1} & {\beta }_{1} & {\gamma }_{1}; & z \\ {\alpha }_{2} & {\beta }_{2} & {\gamma }_{2} & \end{matrix}\right\} \] \[ = P\left\{ \begin{matrix} a & b & c \\ {\alpha }_{1} + k & {\beta }_{1} + l & {\gamma }_{1} - k - l;\;z \\ {\alpha }_{2} + k & {\beta }_{2} + l & {\gamma }_{2} - k - l \end{matrix}\right\} .\] 而当 \( c \) 为 \( \infty \) 时,黎曼 \( P \) 方程的变换关系则为 \[{\left( z - a\right) }^{k}{\left( z - b\right) }^{l}P\left\{ \begin{matrix} a & b & \infty & \\ {\alpha }_{1} & {\beta }_{1} & {\gamma }_{1}; & z \\ {\alpha }_{2} & {\beta }_{2} & {\gamma }_{2} & \end{matrix}\right\} \] \[ = P\left\{ \begin{matrix} a & b & \infty \\ {\alpha }_{1} + k & {\beta }_{1} + l & {\gamma }_{1} - k - l;\;z \\ {\alpha }_{2} + k & {\beta }_{2} + l & {\gamma }_{2} - k - l \end{matrix}\right\} .\] 黎曼 \( P \) 方程 (Riemann \( P \) equation) 见 “黎曼微分方程”. 超几何方程 (hypergeometric equation) 具有三个正则奇点 \( 0,1,\infty \) 的富克斯型方程, \[z\left( {1 - z}\right) \frac{{\mathrm{d}}^{2}w}{\mathrm{\;d}{z}^{2}} + \left\lbrack {\gamma - \left( {\alpha + \beta + 1}\right) z}\right\rbrack \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{\;d}z}\] \[ - {\alpha \beta w} = 0,\] 在三个正则奇点处的指标分别为 \( \left( {0,1 - \gamma }\right) ,(0,\gamma - \alpha \) \( - \beta ) \) 和 \( \left( {\alpha ,\beta }\right) \) . 任何一个具有三个正则奇点的富克斯型方程均可以通过自变量和因变量的变换而化为超几何方程. 超几何方程在三个正则奇点处的解均可用超几何级数表示. 超几何级数 (hypergeometric series) 亦称高斯级数. 超几何方程在单位圆内 \( \left| z\right| < 1 \) 的第一解, \[F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) = \frac{\Gamma \left( \gamma \right) }{\Gamma \left( \alpha \right) \Gamma \left( \beta \right) }\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{\Gamma \left( {\alpha + n}\right) \Gamma \left( {\beta + n}\right) }{n!\Gamma \left( {\gamma + n}\right) }{z}^{n}.\] 此级数在单位圆 \( \left| z\right| < 1 \) 内对所有 \( \alpha ,\beta ,\gamma \) 值均收敛; 在单位圆上 \( \left| z\right| = 1 \) ,则对 \( \operatorname{Re}\left( {\alpha + \beta - \gamma }\right) < 0 \) 收敛. 特别当 \( \gamma \neq - n\left( {n = 0,1,2,\cdots }\right) \) 时, \[ F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;1}\right) = \frac{\Gamma \left( \gamma \right) \Gamma \left( {\gamma - \alpha - \beta }\right) }{\Gamma \left( {\gamma - \alpha }\right) \Gamma \left( {\gamma - \beta }\right) }. \] 当 \( \alpha \) 或 \( \beta \) 为负整数 \( - n\left( {n = 0,1,2,\cdots }\right) \) 时, \( F(\alpha ,\beta ;\gamma \) ; \( z) \) 截断为 \( n \) 次多项式 (参见《数学辞海》第一卷同名条). 高斯级数 (Gauss series) 即“超几何级数”. 超几何函数 (hypergeometric function) 亦称超比函数. 超几何级数在沿枝点 \( z = 1 \) 与 \( z = \infty \) 切开的复平面上的解析延拓,仍用 \( F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) \) 表示. \[ F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) \] \[ = \frac{\Gamma \left( \gamma \right) }{\Gamma \left( \alpha \right) \Gamma \left( {\gamma - \alpha }\right) }{\int }_{0}^{1}{t}^{\alpha - 1}{\left( 1 - t\right) }^{\gamma - \alpha - 1}{\left( 1 - tz\right) }^{-\beta }\mathrm{d}t \] \[ \text{(Re}\gamma > \operatorname{Re}\alpha > 0,\left| {\arg \left( {1 - z}\right) }\right| < \pi \text{)} \] \[ = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}\frac{\Gamma \left( \gamma \right) }{\Gamma \left( \alpha \right) \Gamma \left( \beta \right) }{\int }_{-\mathrm{i}\infty }^{\infty }\frac{\Gamma \left( {\alpha + t}\right) \Gamma \left( {\beta + t}\right) \Gamma \left( {-t}\right) }{\Gamma \left( {\gamma + t}\right) }{\left( -z\right) }^{t}\mathrm{\;d}t \] 后一个积分称为巴恩斯积分, 积分路线的选取需使 \( \Gamma \left( {-t}\right) \) 的极点在其右侧, \( \Gamma \left( {\alpha + t}\right) \Gamma \left( {\beta + t}\right) \) 的极点在其左侧. 超比函数 (hypergeometric function) 见“超几何函数”. 巴恩斯积分 (Barnes integral) 见“超几何函数”. 不完全贝塔函数 (incomplete beta function) 概率函数的一种. 定义为 \[ {B}_{a}\left( {p, q}\right) = {\int }_{0}^{a}{t}^{p - 1}{\left( 1 - t\right) }^{q - 1}\mathrm{\;d}t, \] 它可用超几何函数表示, \[ {B}_{a}\left( {p, q}\right) = {p}^{-1}{\alpha }^{p}F\left( {p,1 - q;p + 1;\alpha }\right) . \] 另外, 还有归一化的不完全贝塔函数 \[ I\left( {p, q,\alpha }\right) = \frac{{B}_{\alpha }\left( {p, q}\right) }{B\left( {p, q}\right) }, \] \[ I\left( {p, q,1}\right) = 1, \] \[ I\left( {p, q,\alpha }\right) = 1 - I\left( {q, p,1 - \alpha }\right) . \] 托玛级数 (Thomae series) 超几何级数在更多参量情形下的一种推广. 1870 年, 由托玛 (Thomae, L. J. ) 提出, 定义为 \[ \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{{\left( {\alpha }_{1}\right) }_{n}{\left( {\alpha }_{2}\right) }_{n}\cdots {\left( {\alpha }_{m}\right) }_{n}}{{\left( {\beta }_{1}\right) }_{n}{\left( {\beta }_{2}\right) }_{n}\cdots {\left( {\beta }_{m}\right) }_{n}}{z}^{n},\;{\left( \lambda \right) }_{n} = \frac{\Gamma \left( {\lambda + n}\right) }{\Gamma \left( \lambda \right) }. \] 它满足 \( m \) 阶常微分方程 \[ \left\lbrack {\left( {1 - z}\right) {\delta }^{m} + \left( {{A}_{1} - {B}_{1}z}\right) {\delta }^{m - 1}}\right. \] \[ + \left( {{A}_{2} - {B}_{2}z}\right) {\delta }^{m - 2} \] \[ \left. {+\cdots + \left( {{A}_{m} - {B}_{m}z}\right) }\right\rbrack w = 0, \] 其中 \[ \delta \equiv z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z},{A}_{1},{B}_{1},\cdots ,{A}_{m},{B}_{m} \] 为常数. 超几何级数是托玛级数的特殊情形 \( (m = 2 \) , \( \left. {{\beta }_{1} = 1}\right) \) . 广义超几何级数 (generalized hypergeometric series) 超几何级数在更多参量情形下的另一种推广. 即 \[ {}_{p}{F}_{q}\left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{p};{\gamma }_{1},{\gam

2000_数学辞海（第3卷）

p{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{{\left( {\alpha }_{1}\right) }_{n}{\left( {\alpha }_{2}\right) }_{n}\cdots {\left( {\alpha }_{m}\right) }_{n}}{{\left( {\beta }_{1}\right) }_{n}{\left( {\beta }_{2}\right) }_{n}\cdots {\left( {\beta }_{m}\right) }_{n}}{z}^{n},\;{\left( \lambda \right) }_{n} = \frac{\Gamma \left( {\lambda + n}\right) }{\Gamma \left( \lambda \right) }. \] 它满足 \( m \) 阶常微分方程 \[ \left\lbrack {\left( {1 - z}\right) {\delta }^{m} + \left( {{A}_{1} - {B}_{1}z}\right) {\delta }^{m - 1}}\right. \] \[ + \left( {{A}_{2} - {B}_{2}z}\right) {\delta }^{m - 2} \] \[ \left. {+\cdots + \left( {{A}_{m} - {B}_{m}z}\right) }\right\rbrack w = 0, \] 其中 \[ \delta \equiv z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z},{A}_{1},{B}_{1},\cdots ,{A}_{m},{B}_{m} \] 为常数. 超几何级数是托玛级数的特殊情形 \( (m = 2 \) , \( \left. {{\beta }_{1} = 1}\right) \) . 广义超几何级数 (generalized hypergeometric series) 超几何级数在更多参量情形下的另一种推广. 即 \[ {}_{p}{F}_{q}\left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{p};{\gamma }_{1},{\gamma }_{2},\cdots ,{\gamma }_{q};z}\right) \] \[ = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{{\left( {\alpha }_{1}\right) }_{n}{\left( {\alpha }_{2}\right) }_{n}\cdots {\left( {\alpha }_{p}\right) }_{n}}{n!{\left( {\gamma }_{1}\right) }_{n}{\left( {\gamma }_{2}\right) }_{n}\cdots {\left( {\gamma }_{q}\right) }_{n}}{z}^{n}.\] 当 \( p \leq q \) 时,此级数对任何 \( z \) 值均收敛; 当 \( p > q + 1 \) 时,除非它截断为多项式 \( \left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{p}}\right. \) 中至少有一个为 0 或负整数),否则对任何 \( z \neq 0 \) 均发散; 当 \( p = \) \( q + 1 \) 时,级数在单位圆内 \( \left| z\right| < 1 \) 收敛,并且当 \[s = \operatorname{Re}\left( {{\gamma }_{1} + {\gamma }_{2} + \cdots {\gamma }_{q} - {\alpha }_{1} - {\alpha }_{2} - \cdots - {\alpha }_{q + 1}}\right) > 0\] 时,在圆周 \( \left| z\right| = 1 \) 上处处收敛,当 \( - 1 < s \leq 0 \) 时,在 \( \left| z\right| = 1 \) 上除 \( z = 1 \) 点外收敛,而当 \( s \leq - 1 \) 时,在 \( \left| z\right| \) \( = 1 \) 上处处发散. 引进简化记号 \( \delta \equiv z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} \) ,则 \[{}_{p}{F}_{q}\left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{p};{\gamma }_{1},{\gamma }_{2},\cdots ,{\gamma }_{q};z}\right) \] 满足的微分方程 (可能不是富克斯型方程) 为 \[\left\{ {\delta \left( {\delta + {\gamma }_{1} - 1}\right) \left( {\delta + {\gamma }_{2} - 1}\right) \cdots \left( {\delta + {\gamma }_{q} - 1}\right) }\right. \] \[\left. {-z\left( {\delta + {\alpha }_{1}}\right) \left( {\delta + {\alpha }_{2}}\right) \cdots \left( {\delta + {\alpha }_{p}}\right) }\right\} w = 0.\] 此级数的记号是由波赫哈默尔 (Pochhammer, L. ) 提出, 并经巴恩斯 (Barnes, E. W. ) 修正的, 故常将由此级数定义的函数称为巴恩斯广义超几何函数. 显然, \[{}_{2}{F}_{1}\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) = F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) ,\] \[{}_{0}{F}_{0}\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{x},\] \[{}_{1}{F}_{0}\left( {\alpha, x}\right) = {\left( 1 - x\right) }^{-\alpha }.\] 另外, 还可以将超几何函数的定积分表示式 \[\int {\zeta }^{a}{\left( \zeta - 1\right) }^{b}{\left( \zeta - z\right) }^{c}\mathrm{\;d}\zeta \] 推广为 \[\int {\left( \zeta - {a}_{1}\right) }^{{b}_{1}}{\left( \zeta - {a}_{2}\right) }^{{b}_{2}}\cdots {\left( \zeta - {a}_{n}\right) }^{{b}_{n}}{\left( \zeta - z\right) }^{c}\mathrm{\;d}\zeta ,\] 波赫哈默尔也将由此种类型的积分定义的函数称为广义超几何函数. 巴恩斯广义超几何函数 (Barnes generalized hypergeometric function) 见“广义超几何函数”. 二变量超几何函数 (hypergeometric function of two variables) 超几何函数在多变量情形下的推广. 即由二重幂级数 \[\mathop{\sum }\limits_{{m = 0}}^{\infty }\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\left\{ {\mathop{\prod }\limits_{i}\frac{\Gamma \left( {{\alpha }_{i} + {u}_{i}m + {v}_{i}n}\right) }{\Gamma \left( {\alpha }_{i}\right) }}\right\} R\left( {m, n}\right) {\left( ax\right) }^{m}{\left( by\right) }^{n}\] 所定义的函数,其中 \( {\alpha }_{i} \) 是任意常数, \( {u}_{i},{v}_{i} \) 是任意整数, \( R\left( {m, n}\right) \) 是 \( m, n \) 的有理函数, \( a \) 和 \( b \) 为常数. 此定义是霍恩 (Horn, J. ) 于 1889 年给出的. 在此之前, 阿佩尔 (Appell, P. -É. ) 已经引进了四个特殊的二变量超几何函数, 即阿佩尔二变量超几何函数. 阿佩尔二变量超几何函数 (Appell's hypergeometric function of two variables) 四个特殊的二变量超几何函数. 1880 年, 由阿佩尔 (Appell, P. - E. )定义: \[ {F}_{1}\left( {\alpha ;\beta ,{\beta }^{\prime };\gamma ;x, y}\right) \] \[ = \mathop{\sum }\limits_{{m = 0}}^{\infty }\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{{\left( \alpha \right) }_{m + n}{\left( \beta \right) }_{m}{\left( {\beta }^{\prime }\right) }_{n}}{m!n!{\left( \gamma \right) }_{m + n}}{x}^{m}{y}^{n} \] \[ \left( {\left| x\right| < 1,\left| y\right| < 1}\right) \text{;} \] \[ {F}_{2}\left( {\alpha ;\beta ,{\beta }^{\prime };\gamma ,{\gamma }^{\prime };x, y}\right) \] \[ = \mathop{\sum }\limits_{{m = 0}}^{\infty }\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{{\left( \alpha \right) }_{m + n}{\left( \beta \right) }_{m}{\left( {\beta }^{\prime }\right) }_{n}}{m!n!{\left( \gamma \right) }_{m}{\left( {\gamma }^{\prime }\right) }_{n}}{x}^{m}{y}^{n} \] \[ \left( {\left| x\right| + \left| y\right| < 1}\right) \text{;} \] \[ {F}_{3}\left( {\alpha ,{\alpha }^{\prime };\beta ,{\beta }^{\prime };\gamma ;x, y}\right) \] \[ = \mathop{\sum }\limits_{{m = 0}}^{\infty }\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{{\left( \alpha \right) }_{m}{\left( {\alpha }^{\prime }\right) }_{n}{\left( \beta \right) }_{m}{\left( {\beta }^{\prime }\right) }_{n}}{m!n!{\left( \gamma \right) }_{m + n}}{x}^{m}{y}^{n}, \] \[ \left( {\left| x\right| < 1,\left| y\right| < 1}\right) \text{;} \] \[ {F}_{4}\left( {\alpha ;\beta ;\gamma ,{\gamma }^{\prime };x, y}\right) \] \[ = \mathop{\sum }\limits_{{m = 0}}^{\infty }\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{{\left( \alpha \right) }_{m + n}{\left( \beta \right) }_{m + n}}{m!n!{\left( \gamma \right) }_{m}{\left( {\gamma }^{\prime }\right) }_{n}}{x}^{m}{y}^{n} \] \[ \left( {{\left| x\right| }^{1/2} + {\left| y\right| }^{1/2} < 1}\right) \text{.} \] 两个超几何级数相乘时可以出现这些函数. 它们分别满足偏微分方程 \[ {F}_{1} : \left\{ \begin{matrix} x\left( {1 - x}\right) r + y\left( {1 - x}\right) s + \left\lbrack {\gamma - \left( {\alpha + \beta + 1}\right) x}\right\rbrack p \\ - {\beta yq} - {\alpha \beta F} = 0, \\ y\left( {1 - y}\right) t + x\left( {1 - y}\right) s + \left\lbrack {\gamma - \left( {\alpha + {\beta }^{\prime } + 1}\right) y}\right\rbrack q \\ - {\beta }^{\prime }{xp} - \alpha {\beta }^{\prime }F = 0; \end{matrix}\right. \] \[ {F}_{2} : \left\{ \begin{array}{l} x\left( {1 - x}\right) r - {xys} + \left\lbrack {\gamma - \left( {\alpha + \beta + 1}\right) x}\right\rbrack p \\ \; - {\beta yq} - {\alpha \beta F} = 0, \\ y\left( {1 - y}\right) t - {xys} + \left\lbrack {{\gamma }^{\prime } - \left( {\alpha + {\beta }^{\prime } + 1}\right) y}\right\rbrack q - {\beta }^{\prime }{xp} \\ \; - \alpha {\beta }^{\prime }F = 0; \end{array}\right. \] \[ {F}_{3} : \left\{ \begin{matrix} x\left( {1 - x}\right) r + {ys} + \left\lbrack {\gamma - \left( {\alpha + \beta + 1}\right) x}\right\rbrack p \\ - {\alpha \beta F} = 0, \\ y\left( {1 - y}\right) t + {xs} + \left\lbrack {\gamma - \left( {{\alpha }^{\prime } + {\beta }^{\prime } + 1}\right) y}\right\rbrack q \\ - {\alpha }^{\prime }{\beta }^{\prime }F = 0; \end{matrix}\right. \] \[ {F}_{4} : \left\{ \begin{matrix} x\left( {1 - x}\right) r - {y}^{2}t - {2xys} + \left\lbrack {\gamma - \left( {\alpha + \beta + 1}\right) x}\right\rbrack p \\ - \left( {\alpha + \beta + 1}\right) {yq} - {\alpha \beta F} = 0, \\ y\left( {1 - y}\right) t - {x}^{2}r - {2xys} + \left\lbrack {{\gamma }^{\prime } - \left( {\alpha + \beta + 1}\right) y}\right\rbrack q \\ - \left( {\alpha + \beta + 1}\right) {xp} - {\alpha \beta F} = 0. \end{matrix}\right. \] 其中 \[p = \frac{\partial F}{\partial x}, q = \frac{\partial F}{\partial y}, r = \frac{{\partial }^{2}F}{\partial {x}^{2}}, s = \frac{{\partial }^{2}F}{\partial x\partial y}, t = \frac{{\partial }^{2}F}{\partial {y}^{2}}.\] 当 \( y = 0 \) 时, \( {F}_{1},{F}_{2},{F}_{3},{F}_{4} \) 都成为超几何函数 \( F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;x}\right) \) . 当 \( {\beta }^{\prime } = 0 \) 时, \( {F}_{1},{F}_{2},{F}_{3} \) 也都成为 \( F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;x}\right) \) . 矩阵变量的超几何函数 (hypergeometric function of matrix argument) 超几何函数的推广. 其变量为矩阵, 1955 年, 赫茨 (Herz, C. S. ) 按下列递推 方式定义: \[{}_{0}{F}_{0}\left( \Lambda \right) = \operatorname{etr}\Lambda ,\] \[{}_{p + 1}{F}_{q}\left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{p},\gamma ;{\beta }_{1},{\beta }_{2},\cdots ,{\beta }_{q};Z}\right) = \frac{1}{{\Gamma }_{m}\left( \gamma \right) }\] \[ \times {\int }_{\Lambda > 0}{}_{p}{F}_{q}\left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots {\alpha }_{p};{\beta }_{1},{\beta }_{2},\cdots ,{\beta }_{q};{\Lambda Z}}\right) \] \[ \times \operatorname{etr}\left( {-\Lambda }\right) {\left( \det \Lambda \right) }^{\gamma - p}\mathrm{\;d}\Lambda ,\] \[{}_{p}{F}_{q + 1}\left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots {\alpha }_{p};{\beta }_{1},{\beta }_{2},\cdots ,{\beta }_{q},\gamma ;\Lambda }\right) = \frac{{\Gamma }_{m}\left( \gamma \right) }{{\left( 2\pi \mathrm{i}\right) }^{m\left( {m + 1}\right) /2}}\] \[ \times {\int }_{\operatorname{Re}Z = {X}_{0} > 0}{}_{p}{F}_{q}\left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{p};{\beta }_{1},{\beta }_{2},\cdots ,{\beta }_{q};\Lambda {Z}^{-1}}\right) \] \[ \times \operatorname{etr}Z{\left( \det Z\right) }^{-\gamma }\mathrm{d}Z\] 其中 \( \Lambda \) 和 \( Z \) 都是 \( m \) 阶对称矩阵, \( \Lambda > 0 \) 表示 \( \Lambda \) 为正定矩阵, \( \operatorname{etr}Z = \exp \left( {\operatorname{tr}Z}\right) ,\operatorname{tr}Z \) 为 \( Z \) 的迹, \[{\Gamma }_{m}\left( \gamma \right) = {\pi }^{m\left( {m - 1}\right) /4}\Gamma \left( \gamma \right) \Gamma \left( {\gamma - \frac{1}{2}}\right) \cdots \Gamma \left( {\gamma - \frac{m - 1}{2}}\right) ,\] \[\mathrm{d}\Lambda = \mathrm{d}{\lambda }_{11}\mathrm{\;d}{\lambda }_{12}\cdots \mathrm{d}{\lambda }_{mm},\] \[\mathrm{d}Z = \mathrm{d}{z}_{11}\mathrm{\;d}{z}_{12}\cdots \mathrm{d}{z}_{mm}.\] 当 \( \operatorname{Re}\gamma > p - 1 \) 时, \( {}_{p + 1}{F}_{q} \) 中的积分对 \( Z < 0 \) 收敛; 当 \( \operatorname{Re}\gamma \) 充分大时,适当取 \( {X}_{0},{}_{p}{F}_{q + 1} \) 中的积分在 \( \Lambda \) 空间的某个区域内收敛. 它们都是复对称矩阵空间上某一区域内的解析函数. 许多特殊函数及有关公式都可以推广到矩阵变量的情形. 连带勒让德方程 (associated Legendre equation) 数学物理中常见的常微分方程之一. 其形式为 \[\frac{1}{\sin \theta }\fra

2000_数学辞海（第3卷）

imes \operatorname{etr}Z{\left( \det Z\right) }^{-\gamma }\mathrm{d}Z\] 其中 \( \Lambda \) 和 \( Z \) 都是 \( m \) 阶对称矩阵, \( \Lambda > 0 \) 表示 \( \Lambda \) 为正定矩阵, \( \operatorname{etr}Z = \exp \left( {\operatorname{tr}Z}\right) ,\operatorname{tr}Z \) 为 \( Z \) 的迹, \[{\Gamma }_{m}\left( \gamma \right) = {\pi }^{m\left( {m - 1}\right) /4}\Gamma \left( \gamma \right) \Gamma \left( {\gamma - \frac{1}{2}}\right) \cdots \Gamma \left( {\gamma - \frac{m - 1}{2}}\right) ,\] \[\mathrm{d}\Lambda = \mathrm{d}{\lambda }_{11}\mathrm{\;d}{\lambda }_{12}\cdots \mathrm{d}{\lambda }_{mm},\] \[\mathrm{d}Z = \mathrm{d}{z}_{11}\mathrm{\;d}{z}_{12}\cdots \mathrm{d}{z}_{mm}.\] 当 \( \operatorname{Re}\gamma > p - 1 \) 时, \( {}_{p + 1}{F}_{q} \) 中的积分对 \( Z < 0 \) 收敛; 当 \( \operatorname{Re}\gamma \) 充分大时,适当取 \( {X}_{0},{}_{p}{F}_{q + 1} \) 中的积分在 \( \Lambda \) 空间的某个区域内收敛. 它们都是复对称矩阵空间上某一区域内的解析函数. 许多特殊函数及有关公式都可以推广到矩阵变量的情形. 连带勒让德方程 (associated Legendre equation) 数学物理中常见的常微分方程之一. 其形式为 \[\frac{1}{\sin \theta }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\left\lbrack {\sin \theta \frac{\mathrm{d}\Theta }{\mathrm{d}\theta }}\right\rbrack + \left\lbrack {\nu \left( {\nu + 1}\right) - \frac{{\mu }^{2}}{{\sin }^{2}\theta }}\right\rbrack \Theta = 0.\] 作变换 \[z = \cos \theta ,\;w\left( z\right) = \Theta \left( \theta \right) ,\] 又可写成 \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left\lbrack {\left( {1 - {z}^{2}}\right) \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{\;d}z}}\right\rbrack + \left\lbrack {\nu \left( {\nu + 1}\right) - \frac{{\mu }^{2}}{1 - {z}^{2}}}\right\rbrack w = 0.\] 此方程有三个奇点 \( \left( {\pm 1,\infty }\right) \) ,且均为正则奇点,故可化为超几何方程. 在球坐标系下将拉普拉斯方程或亥姆霍兹方程分离变量时, 可出现连带勒让德方程. 勒让德方程 (Legendre equation) 连带勒让德方程的特殊情形. 即 \[\frac{1}{\sin \theta }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\left\lbrack {\sin \theta \frac{\mathrm{d}\Theta }{\mathrm{d}\theta }}\right\rbrack + \nu \left( {\nu + 1}\right) \Theta = 0,\] 或 \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left\lbrack {\left( {1 - {z}^{2}}\right) \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{\;d}z}}\right\rbrack + \nu \left( {\nu + 1}\right) w = 0.\] 勒让德函数 (Legendre function) 勒让德方程的基本解, 可以表为 \[{P}_{\nu }\left( z\right) = F\left( {\nu + 1, - \nu ;1;\frac{1 - z}{2}}\right) \] 和 \[ {Q}_{\nu }\left( z\right) = \frac{\sqrt{\pi }\Gamma \left( {\nu + 1}\right) }{\Gamma \left( {\nu + \frac{3}{2}}\right) }{\left( 2z\right) }^{-\nu - 1} \] \[ \times F\left( {\frac{\nu + 1}{2},\frac{\nu }{2} + 1;\nu + \frac{3}{2};\frac{1}{{z}^{2}}}\right) , \] 其中 \( F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) \) 为超几何函数. \( {P}_{\nu }\left( z\right) \) 和 \( {Q}_{\nu }\left( z\right) \) 分别称为 \( \nu \) 次第一类和第二类勒让德函数,它们分别在除去半实轴 \( \left( {-\infty , - 1}\right) \) 和 \( \left( {-\infty ,1}\right) \) 的 \( z \) 平面上解析. 当 \( \nu \) 为正整数 \( n \) 时, \( {P}_{n}\left( z\right) \) 即为 \( n \) 次勒让德多项式. 第一类勒让德函数 (Legendre function of the first kind) 见“勒让德函数”. 第二类勒让德函数 (Legendre function of the second kind) 见“勒让德函数”. 球函数 (spherical function) 通常指连带勒让德方程的解, 亦即连带勒让德函数. 有时也把面调和函数称为球函数. 在球坐标系中用分离变量法解拉普拉斯方程或亥姆霍兹方程时可出现这些函数. 在现代数学中, 球函数及其推广已被广泛应用于拓扑群的酉表示. 连带勒让德函数 (associated Legendre function) 连带勒让德方程的解. 包括第一类连带勒让德函数 \[ {P}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) = \frac{1}{\Gamma \left( {1 - \mu }\right) }{\left( \frac{z + 1}{z - 1}\right) }^{\mu /2} \] \[ \times F\left( {-\nu ,\nu + 1;1 - \mu ;\frac{1 - z}{2}}\right) \] \[ \left( {\left| {\arg \left( {z \pm 1}\right) }\right| < \pi }\right) \] 和第二类连带勒让德函数 \[ {Q}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi \mu }}\sqrt{\pi }}{{2}^{\nu + 1}}\frac{\Gamma \left( {\nu + \mu + 1}\right) }{\Gamma \left( {\nu + \frac{3}{2}}\right) }{\left( {z}^{2} - 1\right) }^{\mu /2}{z}^{-\nu - \mu - 1} \] \[ \times F\left( {\frac{\nu + \mu + 1}{2},\frac{\nu + \mu }{2} + 1;\nu + \frac{3}{2};{z}^{-2}}\right) \] \[ \left( {\left| {\arg \left( {z \pm 1}\right) }\right| < \pi ,\left| {\arg z}\right| < \pi }\right) , \] 它们都是在沿半实轴 \( \left( {-\infty ,1}\right) \) 割开的 \( z \) 平面上的单值解析函数. 一般地, \( {P}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) \) 和 \( {Q}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) \) 在割缝上是不连续的. 而对于常常要用到的实数 \( - 1 < x < 1 \) 情形, 通常把 \( {P}_{\nu }^{\mu }\left( x\right) \) 和 \( {Q}_{\nu }^{\mu }\left( x\right) \) 定义为 \[ {P}_{\nu }^{\mu }\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi \mu }/2}{P}_{\nu }^{\mu }\left( {x + \mathrm{i}0}\right) = {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi \mu }/2}{P}_{\nu }^{\mu }\left( {x - \mathrm{i}0}\right) \] \[ = \frac{1}{2}\left\lbrack {{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi \mu }/2}{P}_{\nu }^{\mu }\left( {x + \mathrm{i}0}\right) + {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi \mu }/2}{P}_{\nu }^{\mu }\left( {x - \mathrm{i}0}\right) }\right\rbrack \] \[ = \frac{\mathrm{i}}{\pi }\left\lbrack {{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi \mu }/2}{Q}_{\nu }^{\mu }\left( {x + \mathrm{i}0}\right) - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi \mu }/2}{Q}_{\nu }^{\mu }\left( {x - \mathrm{i}0}\right) }\right\rbrack , \] \[ {Q}_{\nu }^{\mu }\left( x\right) = \frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi \mu }}\left\lbrack {{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi \mu }/2}{Q}_{\nu }^{\mu }\left( {x + \mathrm{i}0}\right) + {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi \mu }/2}{Q}_{\nu }^{\mu }\left( {x - \mathrm{i}0}\right) }\right\rbrack . \] 当 \( \mu \) 为非负整数 \( m \) 时, \[ {P}_{\nu }^{m}\left( z\right) = \frac{1}{m!}{\left( \frac{z - 1}{z + 1}\right) }^{m/2}\frac{\Gamma \left( {\nu + m + 1}\right) }{\Gamma \left( {\nu - m + 1}\right) } \] \[ \times F\left( {-\nu ,\nu + 1;1 + m;\frac{1 - z}{2}}\right) \] \[ = {\left( {z}^{2} - 1\right) }^{m/2}\frac{{\mathrm{d}}^{m}{P}_{\nu }\left( z\right) }{\mathrm{d}{z}^{m}}, \] \[ {P}_{\nu }^{-m}\left( z\right) = \frac{\Gamma \left( {\nu - m + 1}\right) }{\Gamma \left( {\nu + m + 1}\right) }{P}_{\nu }^{m}\left( z\right) , \] \[{Q}_{\nu }^{m}\left( z\right) = {\left( {z}^{2} - 1\right) }^{m/2}\frac{{\mathrm{d}}^{m}{Q}_{\nu }\left( z\right) }{\mathrm{d}{z}^{m}},\] \[{Q}_{\nu }^{-m}\left( z\right) = \frac{\Gamma \left( {\nu - m + 1}\right) }{\Gamma \left( {\nu + m + 1}\right) }{Q}_{\nu }^{m}\left( z\right) ,\] 其中 \( {P}_{\nu }\left( z\right) \) 和 \( {Q}_{\nu }\left( z\right) \) 分别是第一类和第二类勒让德函数. 以上采用的是霍布森 (Hobson, E. W. ) 的定义. 另有费勒斯 (Ferrers, N. M. ) 的定义, 相因子的规定不同. 连带勒让德函数亦称球函数. 第一类连带勒让德函数 (associated Legendre function of the first kind) 见“连带勒让德函数”. 第二类连带勒让德函数 (associated Legendre function of the second kind) 见“连带勒让德函数”. \( m \) 阶 \( l \) 次连带勒让德函数 (associated Legendre function of order \( m \) and degree \( l \) ) 特殊的连带勒让德函数. 连带勒让德方程 ( \( m \) 为非负整数) \[\left( {1 - {x}^{2}}\right) \frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{\;d}{x}^{2}} - {2x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} + \left\lbrack {\lambda - \frac{{m}^{2}}{1 - {x}^{2}}}\right\rbrack y = 0\] 在有界条件 \( \left| {y\left( {\pm 1}\right) }\right| < \infty \) 下的解, \[y\left( x\right) = {P}_{l}^{m}\left( x\right) = {\left( -1\right) }^{m}{\left( 1 - {x}^{2}\right) }^{m/2}\frac{{\mathrm{d}}^{m}{P}_{l}\left( x\right) }{\mathrm{d}{x}^{m}},\] 称为 \( m \) 阶 \( l \) 次第一类连带勒让德函数 (其中 \( {P}_{l}\left( x\right) \) 为 \( l \) 次勒让德多项式),相应的本征值 \[\lambda = l\left( {l + 1}\right) \;\left( {l = m, m + 1, m + 2,\cdots }\right) ,\] 连带勒让德方程的另一解 \[{Q}_{l}^{m}\left( x\right) = {\left( -1\right) }^{m}{\left( 1 - {x}^{2}\right) }^{m/2}\frac{{\mathrm{d}}^{m}{Q}_{l}\left( x\right) }{\mathrm{d}{x}^{m}},\] 称为 \( m \) 阶 \( l \) 次第二类连带勒让德函数 (其中 \( {Q}_{l}\left( x\right) \) 为第二类勒让德函数),当 \( x = \pm 1 \) 时无界. \( {P}_{l}^{m}\left( x\right) \) 和 \( {Q}_{l}^{m}\left( x\right) \) 都是普遍的连带勒让德函数 \( {P}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) \) 和 \( {Q}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) \) 的特殊情形,但需注意自变量为实数 \( x \) 或复数 \( z \) 时的不同相位规定. \( m \) 阶 \( l \) 次第一类连带勒让德函数 (associated Legendre function of the first kind of order \( m \) and degree \( l \) ) 见 “ \( m \) 阶 \( l \) 次连带勒让德函数”. \( m \) 阶 \( l \) 次第二类连带勒让德函数 (associated Legendre function of the second kind of order \( m \) and degree \( l \) ) 见 “ \( m \) 阶 \( l \) 次连带勒让德函数”. 双轴球面函数 (biaxial spherical surface function) 在坐标系中改变极轴方向时出现的球函数. 设空间两点的直角坐标为 \( \left( {x, y, z}\right) \) 和 \( \left( {{x}^{\prime },{y}^{\prime },{z}^{\prime }}\right) \) ,相应的球坐标为 \( \left( {r,\theta ,\varphi ,}\right) \) 和 \( \left( {{r}^{\prime },{\theta }^{\prime },{\varphi }^{\prime }}\right) .\left( {\theta ,\varphi }\right) \) 方向与 \( \left( {{\theta }^{\prime },{\varphi }^{\prime }}\right) \) 方向的夹角为 \( \gamma \) (如图), \( \cos \gamma = \cos \theta \cos {\theta }^{\prime } + \sin \theta \sin {\theta }^{\prime }\cos \left( {\varphi - {\varphi }^{\prime }}\right) , \)  图 \( \left( {\theta ,\varphi }\right) ,\left( {{\theta }^{\prime },{\varphi }^{\prime }}\right) \) 方向及其夹角 \( \gamma \) 则 \[ {P}_{n}\left( {\cos \gamma }\right) = {\left( -1\right) }^{n}\frac{{r}^{n + 1}}{n!}{\left( \frac{{x}^{\prime }}{{r}^{\prime }}\frac{\partial }{\partial x} + \frac{{y}^{\prime }}{{r}^{\prime }}\frac{\partial }{\partial y} + \frac{{z}^{\prime }}{{r}^{\prime }}\frac{\partial }{\partial z}\right) }^{n}\frac{1}{r} \] 为双轴球面函数,即以 \( \left( {{\theta }^{\prime },{\varphi }^{\prime }}\right) \) 方向为极轴时 \( \left( {\theta ,\varphi }\right) \) 方向的球面函数. 它可以用两各别方向的球面函数表示: \[ {P}_{n}\left( {\cos \gamma }\right) \] \[ = \mathop{\sum }\limits_{{m = - n}}^{n}{\left( -1\right) }^{m}{P}_{n}^{m}\left( {\cos \theta }\right) {P}_{n}^{-m}\left( {\cos {\theta }^{\prime }}\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}m\left( {\varphi - {\varphi }^{\prime }}\right) } \] \[ = {P}_{n}\left( {\cos \theta }\right) {P}_{n}\left( {\cos {\theta }^{\prime }}\right) + 2\mathop{\sum }\limits_{{m = 1}}^{n}\frac{\left( {n - m}\right) !}{\left( {n + m}\right) !} \] \[ \times {P}_{n}^{m}\left( {\cos \theta }\right) {P}_{n}^{m}\left( {\cos {\theta }^{\prime }}\right) \cos m\left( {\varphi - {\varphi }^{\prime }}\right) . \] 这个公式又称为勒让德多项式的加法定理. 勒让德多项式的加法定理 (addition theorem of Legendre polynomials) 见“双轴球面函数”. 面调和函数 (surface harmonics) 有时亦称球函数. 即拉普拉斯方程齐次多项式解的角向部分. 将拉普拉斯方程在球坐标系 \( \left( {r,\theta ,\varphi }\right) \) 下的解写成 \( {r}^{n}{Y}_{n}\left( {\theta ,\varphi }\right) \) 的形式 ( \( n \) 为正整数), \( {Y}_{n}\left( {\theta ,\varphi }\right) \

2000_数学辞海（第3卷）

ta ,\varphi }\right) \) 方向的球面函数. 它可以用两各别方向的球面函数表示: \[ {P}_{n}\left( {\cos \gamma }\right) \] \[ = \mathop{\sum }\limits_{{m = - n}}^{n}{\left( -1\right) }^{m}{P}_{n}^{m}\left( {\cos \theta }\right) {P}_{n}^{-m}\left( {\cos {\theta }^{\prime }}\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}m\left( {\varphi - {\varphi }^{\prime }}\right) } \] \[ = {P}_{n}\left( {\cos \theta }\right) {P}_{n}\left( {\cos {\theta }^{\prime }}\right) + 2\mathop{\sum }\limits_{{m = 1}}^{n}\frac{\left( {n - m}\right) !}{\left( {n + m}\right) !} \] \[ \times {P}_{n}^{m}\left( {\cos \theta }\right) {P}_{n}^{m}\left( {\cos {\theta }^{\prime }}\right) \cos m\left( {\varphi - {\varphi }^{\prime }}\right) . \] 这个公式又称为勒让德多项式的加法定理. 勒让德多项式的加法定理 (addition theorem of Legendre polynomials) 见“双轴球面函数”. 面调和函数 (surface harmonics) 有时亦称球函数. 即拉普拉斯方程齐次多项式解的角向部分. 将拉普拉斯方程在球坐标系 \( \left( {r,\theta ,\varphi }\right) \) 下的解写成 \( {r}^{n}{Y}_{n}\left( {\theta ,\varphi }\right) \) 的形式 ( \( n \) 为正整数), \( {Y}_{n}\left( {\theta ,\varphi }\right) \) 即为 \( n \) 次面调和函数. \( {Y}_{n}\left( {\theta ,\varphi }\right) \) 满足偏微分方程 \[ \frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left( {\sin \theta \frac{\partial {Y}_{n}}{\partial \theta }}\right) + \frac{1}{{\sin }^{2}\theta }\frac{{\partial }^{2}{Y}_{n}}{\partial {\varphi }^{2}} + n\left( {n + 1}\right) {Y}_{n} = 0, \] 共有 \( {2n} + 1 \) 个线性无关的解: \[ {Y}_{n}^{m}\left( {\theta ,\varphi }\right) = {P}_{n}^{\left| m\right| }\left( {\cos \theta }\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{m\varphi }} \] \[ \left( {m = 0, \pm 1, \pm 2,\cdots , \pm n}\right) , \] 其中 \( {P}_{n}^{m}\left( {\cos \theta }\right) \) 为 \( m \) 阶 \( n \) 次连带勒让德函数. 在量子力学中, \( {Y}_{n}^{m}\left( {\theta ,\varphi }\right) \) 是角动量算符的本征态,同时又是转动群的不可约表示的基. \( n \) 次面调和函数也可以取为实函数 \( {P}_{n}\left( {\cos \theta }\right) \) 和 \( {P}_{n}^{m}\left( {\cos \theta }\right) \sin {m\varphi },{P}_{n}^{m}\left( {\cos \theta }\right) \cos {m\varphi }\left( {m = 1,2,\cdots, n}\right) . \) 由于勒让德多项式 \( {P}_{n}\left( {\cos \theta }\right) \) 在单位球面的 \( n \) 条纬度线上为 0,故称为带调和函数; \( {P}_{n}^{m}\left( {\cos \theta }\right) \sin {m\varphi } \) , \( {P}_{n}^{m}\left( {\cos \theta }\right) \cos {m\varphi } \) ,当 \( 0 < m < n \) 时,在 \( n - m \) 条纬度线和 \( {2m} \) 条经度线上为 0,故称为田形调和函数,当 \( m \) \( = n \) 时,在 \( {2m} = {2n} \) 条经度线上为 0,故称为瓣状调和函数. 带调和函数 (zonal harmonics) 见 “面调和函数”. 田形调和函数 (tesseral harmonics) 见 “面调和函数”. 瓣状调和函数 (sectoral harmonics) 见“面调和函数”. 立体调和函数 (solid harmonics) 拉普拉斯方程在直角坐标系下的 \( n \) 次齐次函数解. 对于正整数 \( n \) ,存在 \( {2n} + 1 \) 个线性无关的 \( n \) 次立体调和函数. 在球坐标系中写出,即为 \( {r}^{n}{Y}_{n}\left( {\theta ,\varphi }\right) \) ,其中 \( {Y}_{n}\left( {\theta ,\varphi }\right) \) 为 \( n \) 次面调和函数. 格根鲍尔函数 (Gegenbauer function) 连带勒让德函数的特殊情形之一. 格根鲍尔方程 \[ \left( {{z}^{2} - 1}\right) \frac{{\mathrm{d}}^{2}w}{\mathrm{\;d}{z}^{2}} + \left( {{2\nu } + 1}\right) z\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{\;d}z} - \alpha \left( {\alpha + {2\nu }}\right) w = 0 \] 的第一解, 即函数 \[ {C}_{\alpha }^{\nu }\left( z\right) = \frac{\Gamma \left( {\alpha + {2\nu }}\right) }{\Gamma \left( {\alpha + 1}\right) \Gamma \left( {2\nu }\right) } \] \[ \times F\left( {\alpha + {2\nu }, - \alpha ;\nu + \frac{1}{2};\frac{1 - z}{2}}\right) \] \[ = {\pi }^{1/2}{2}^{\left( {1 - {2\nu }}\right) /2}\frac{\Gamma \left( {\alpha + {2\nu }}\right) }{\Gamma \left( {\alpha + 1}\right) \Gamma \left( \nu \right) } \] \[ \times {\left( {z}^{2} - 1\right) }^{\left( {1 - {2\nu }}\right) /4}{P}_{\alpha + \nu - 1/2}^{\left( {1 - {2\nu }}\right) /2}\left( z\right) , \] 当 \( \alpha \) 为非负整数 \( n \) 时, \( {C}_{\alpha }^{\nu }\left( z\right) \) 截断为 \( n \) 次多项式,即格根鲍尔多项式 \( {C}_{n}^{\nu }\left( z\right) \) . 格根鲍尔方程的第二解是 \[ {D}_{\alpha }^{\nu }\left( z\right) = \frac{\Gamma \left( \nu \right) \Gamma \left( {\alpha + {2\nu }}\right) }{{2}^{1 + \alpha }\Gamma \left( {\alpha + \nu + 1}\right) } \] \[ \times F\left( {\frac{\alpha }{2} + \nu ,\frac{1 + \alpha }{2} + \nu ;\nu + \alpha + 1;{z}^{2}}\right) . \] 圆锥函数 (conical function) 在锥形区域中解某些边值问题时出现的一类特殊函数. 即微分方程 \[ \frac{1}{\sin \theta }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\left( {\sin \theta \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{\;d}\theta }}\right) - \left\lbrack {{p}^{2} + \frac{1}{4} + \frac{{\mu }^{2}}{{\sin }^{2}\theta }}\right\rbrack w = 0 \] 的解 \[{P}_{-1/2 + \mathrm{i}p}^{\mu }\left( {\cos \theta }\right) ,\;{Q}_{-1/2 + \mathrm{i}p}^{\mu }\left( {\cos \theta }\right) .\] 它们是连带勒让德函数 \( {P}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) \) 和 \( {Q}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) \) 的特殊情形. 圆环函数 (ring function or toroidal function) 圆环坐标系下求解拉普拉斯方程时出现的一类特殊函数, 即微分方程 \[\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{\;d}{\eta }^{2}} + \frac{\cosh \eta }{\sinh \eta }\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{\;d}\eta } - \left( {{n}^{2} - \frac{1}{4} + \frac{{m}^{2}}{{\sinh }^{2}\eta }}\right) u = 0\] 的解 \[{P}_{n - 1/2}^{m}\left( {\cosh \eta }\right) ,\;{Q}_{n - 1/2}^{m}\left( {\cosh \eta }\right) .\] 它们是连带勒让德函数 \( {P}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) \) 和 \( {Q}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) \) 的特殊情形. 圆环坐标系 \( \left( {\eta ,\theta ,\varphi }\right) \) 和直角坐标系之间的关系是 \[x = \frac{c\sinh \eta \cos \varphi }{\cosh \eta - \cos \theta }\] \[y = \frac{c\sinh \eta \sin \varphi }{\cosh \eta - \cos \theta },\] \[ z = \frac{c\sin \theta }{\cosh \eta - \cos \theta }. \] 超球微分方程 (hyperspherical equation) 数学物理中常见的常微分方程之一. 形式为 \[ \left( {1 - {z}^{2}}\right) \frac{{\mathrm{d}}^{2}\omega }{\mathrm{d}{z}^{2}} - 2\left( {\mu + 1}\right) z\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}z} + \left( {\nu - \mu }\right) \left( {\nu + \mu + 1}\right) \omega = 0 \] 连带勒让德方程经因变量变换后, 可以得到超球微分方程; 勒让德方程和格根鲍尔方程都是它的特殊情形. 超球函数 (hyperspherical function) 超球微分方程的两个基本解. 即函数 \[ {P}_{\nu - \mu }^{\left( \mu ,\mu \right) }\left( z\right) = \frac{\Gamma \left( {\nu + 1}\right) }{\Gamma \left( {\nu + \mu + 1}\right) }{2}^{\mu }{\left( {z}^{2} - 1\right) }^{-\mu /2}{P}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) , \] \[ {Q}_{\nu - \mu }^{\left( \mu ,\mu \right) }\left( z\right) = \frac{\Gamma \left( {\nu + 1}\right) }{\Gamma \left( {\nu + \mu + 1}\right) }{2}^{\mu }{\left( {z}^{2} - 1\right) }^{-\mu /2}{Q}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) , \] 其中 \( {P}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) \) 和 \( {Q}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) \) 分别是第一类和第二类连带勒让德函数. 显然, \( \mu = 0 \) 时, \( {P}_{\nu }^{\left( 0,0\right) }\left( z\right) \) 和 \( {Q}_{\nu }^{\left( 0,0\right) }\left( z\right) \) 就是 \( {P}_{\nu }\left( z\right) \) 和 \( {Q}_{\nu }\left( z\right) \) . 而当 \( \nu - \mu \) 为正整数 \( n \) 时, \( {P}_{n}^{\left( \mu ,\mu \right) }\left( z\right) \) 成为多项式,即格根鲍尔多项式 \( {C}_{n}^{\mu + 1/2}\left( z\right) \) . 汇合型超几何方程 (confluent hypergeometric equation) 亦称库默尔方程. 常见的一种汇合型常微分方程, 标准形式为 \[ z\frac{{\mathrm{d}}^{2}w}{\mathrm{\;d}{z}^{2}} + \left( {\gamma - z}\right) \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{\;d}z} - {\alpha w} = 0. \] 在超几何方程中作代换 \( t = z/b \) ,并令 \( b = \beta \rightarrow \infty \) (其结果是使超几何方程的两个奇点 \( t = 1 \) 及 \( \infty \) “汇合”) 即得. 合流型超几何方程有两个奇点,0 和 \( \infty \) ; 前者为正则奇点, 后者为非正则奇点. 库默尔方程 (Kummer's equation) 即“汇合型超几何方程”. 汇合型超几何函数 (confluent hypergeometric function) 汇合型超几何方程的基本解. 即函数 \[ F\left( {\alpha ;\gamma ;z}\right) = {}_{1}{F}_{1}\left( {\alpha ;\gamma ;z}\right) \] \[ = \frac{\Gamma \left( \gamma \right) }{\Gamma \left( \alpha \right) }\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{\Gamma \left( {n + \alpha }\right) }{n!\Gamma \left( {n + \gamma }\right) }{z}^{n} \] \[ \left( {\gamma \neq 0, - 1, - 2,\cdots }\right) \] \[ = \frac{\Gamma \left( {1 - \alpha }\right) \Gamma \left( \gamma \right) \Gamma \left( {1 - \gamma + \alpha }\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi \gamma }}}{{\left( 2\pi \mathrm{i}\right) }^{2}} \] \[ \times {\int }_{P}^{\left( {1}^{ + },{0}^{ + },{1}^{ - },{0}^{ - }\right) }{\mathrm{e}}^{zt}{t}^{\alpha - 1}{\left( 1 - t\right) }^{\gamma - \alpha - 1}\mathrm{\;d}t, \] \[ U\left( {\alpha ;\gamma ;z}\right) = \frac{\pi }{\sin {\pi \gamma }}\left\lbrack \frac{F\left( {\alpha ;\gamma ;z}\right) }{\Gamma \left( \gamma \right) \Gamma \left( {\alpha - \gamma + 1}\right) }\right. \] \[ \left. {-{z}^{1 - \gamma }\frac{F\left( {\alpha - \gamma + 1;2 - \gamma ;z}\right) }{\Gamma \left( \alpha \right) \Gamma \left( {2 - \gamma }\right) }}\right\rbrack , \] 其中的积分路线称为波赫哈默尔围道 (见上图), 起点 \( P \) 在实轴上, \( \arg t = \arg \left( {1 - t}\right) = 0 \) ,分别绕 \( t = 1 \) 和 \( t = 0 \) 正向一周后,再分别绕 \( t = 1 \) 和 \( t = 0 \) 逆向一周, 最后回到 \( P \) 点.  波赫哈默尔围道 \( F\left( {\alpha ;\gamma ;z}\right) /\Gamma \left( \gamma \right) \) 是 \( \alpha ,\gamma, z \) 的单值解析函数. \( F\left( {\alpha ;\gamma ;z}\right) \) 亦称库默尔函数. 库默尔函数 (Kummer's function) 即“汇合型超几何函数”. 波赫哈默尔围道 (Pochhammer contour) 见 “汇合型超几何函数”. 惠特克方程 (Whittaker's equation) 汇合型超几何方程的另一种重要形式. 其标准形式为 \[ {W}^{\prime \prime } + \left\lbrack {-\frac{1}{4} + \frac{k}{z} + \frac{1 - 4{m}^{2}}{4{z}^{2}}}\right\rbrack W = 0. \] 对汇合型超几何方程作因变数的变换, 化去一阶导数项, 即得到惠特克方程. 惠特克函数 (Whittaker's function) 解惠特克方程时出现的几个特殊函数. 当 \( {2m} \) 不是整数时,惠特克方程在 \( z = 0 \) 的两个线性无关解可取为 \[ {M}_{k, m}\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{-z/2}{z}^{1/2 + m}F\left( {\frac{1}{2} + m - k;1 + {2m};z}\right) , \] \[ {M}_{k, - m}\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{-z/2}{z}^{1/2 - m}F\left( {\frac{1}{2} - m - k;1 - {2m};z}\right) . \] \( {M}_{k, \pm m}\left( z\right) \) 一般是多值函数,通常规定 \( \left| {\arg z}\right| < \pi \) . 当 \( {2m} \) 是整数时, \( {M}_{k, \pm m}\left( z\right) \) 中有一个失去意义. 这时,惠特克方程的两个线性无关解可取为 \[ {W}_{k, m}\left( z\right) = - \frac{{\mathrm{e}}^{-z/2}{z}^{k}}{{2\pi }\mathrm{i}}\Gamma \left( {k + \frac{1}{2} - m}\right) \] \[ \times {\int }_{\infty }^{\left( 0 + \right) }{\mathrm{e}}^{-t}{\left( -t\right) }^{-k - 1/2 + m}{\left( 1 + \frac{t}{z}\right) }^{k - 1/2 + m}\mathrm{\;d}t\] \[(k - m + 1/2 \neq 0, - 1, - 2,\cdots \text{;}\] \[\left| {\arg z}\right| < \pi ,\left| {\arg \left( {-t}\right) }\right| \leq \pi ),\] \[{W}_{-k, m}\left( {-z}\right) = - \frac{{\mathrm{e}}^{z/2}{\left( -z\right) }^{-k}}{{2\pi }\mathrm{i}}\Gamma \left( {-k + \frac{1}{2} - m}\right) \] \[ \times {\int }_{\infty }^{\left( 0 + \right) }{\mathrm{e}}^{-t}{\le

2000_数学辞海（第3卷）

\left( {\frac{1}{2} + m - k;1 + {2m};z}\right) , \] \[ {M}_{k, - m}\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{-z/2}{z}^{1/2 - m}F\left( {\frac{1}{2} - m - k;1 - {2m};z}\right) . \] \( {M}_{k, \pm m}\left( z\right) \) 一般是多值函数,通常规定 \( \left| {\arg z}\right| < \pi \) . 当 \( {2m} \) 是整数时, \( {M}_{k, \pm m}\left( z\right) \) 中有一个失去意义. 这时,惠特克方程的两个线性无关解可取为 \[ {W}_{k, m}\left( z\right) = - \frac{{\mathrm{e}}^{-z/2}{z}^{k}}{{2\pi }\mathrm{i}}\Gamma \left( {k + \frac{1}{2} - m}\right) \] \[ \times {\int }_{\infty }^{\left( 0 + \right) }{\mathrm{e}}^{-t}{\left( -t\right) }^{-k - 1/2 + m}{\left( 1 + \frac{t}{z}\right) }^{k - 1/2 + m}\mathrm{\;d}t\] \[(k - m + 1/2 \neq 0, - 1, - 2,\cdots \text{;}\] \[\left| {\arg z}\right| < \pi ,\left| {\arg \left( {-t}\right) }\right| \leq \pi ),\] \[{W}_{-k, m}\left( {-z}\right) = - \frac{{\mathrm{e}}^{z/2}{\left( -z\right) }^{-k}}{{2\pi }\mathrm{i}}\Gamma \left( {-k + \frac{1}{2} - m}\right) \] \[ \times {\int }_{\infty }^{\left( 0 + \right) }{\mathrm{e}}^{-t}{\left( -t\right) }^{k - 1/2 + m}{\left( 1 - \frac{t}{z}\right) }^{-k - 1/2 + m}\mathrm{\;d}t\] \[( - k - m + 1/2 \neq 0, - 1, - 2,\cdots \text{;}\] \[\left| {\arg \left( {-z}\right) }\right| < \pi ,\left| {\arg \left( {-t}\right) }\right| \leq \pi ).\] \[\text{当}k - m + 1/2 = 0, - 1, - 2,\cdots \text{时,}\] \[{W}_{k, m}\left( z\right) = \frac{{\mathrm{e}}^{-z/2}{z}^{k}}{\Gamma \left( {\frac{1}{2} - k + m}\right) }\] \[ \times {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-t}{t}^{-k - 1/2 + m}{\left( 1 + \frac{t}{z}\right) }^{k - 1/2 + m}\mathrm{\;d}t,\] \[\text{当} - k - m + 1/2 = 0, - 1, - 2,\cdots \text{时,}\] \[{W}_{-k, m}\left( {-z}\right) = \frac{{\mathrm{e}}^{z/2}{\left( -z\right) }^{-k}}{\Gamma \left( {\frac{1}{2} + k + m}\right) }\] \[ \times {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-t}{t}^{k - 1/2 + m}{\left( 1 - \frac{t}{z}\right) }^{-k - 1/2 + m}\mathrm{\;d}t. \] \( {M}_{k,{ \bot }^{m}}\left( z\right) \) 和 \( {W}_{\pm k, m}\left( {\pm z}\right) \) 均称为惠特克函数. 韦伯方程 (Weber equation) 一种特殊的汇合型二阶常微分方程. 标准形式为 \[ \frac{{\mathrm{d}}^{2}w}{\mathrm{\;d}{z}^{2}} + \left( {\nu + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}{z}^{2}}\right) w = 0. \] 在抛物柱面坐标系 \( \left( {\xi ,\eta, z}\right) \) \[ x = \frac{1}{2}\left( {{\xi }^{2} - {\eta }^{2}}\right), y = {\xi \eta }, z = z \] 下将拉普拉斯方程或波动方程分离变量时会出现韦伯方程. 量子力学中一维谐振子的薛定谔方程也是韦伯方程. 抛物线柱函数 (parabolic cylinder function) 亦称韦伯函数, 韦伯方程的一个解, 可用惠特克函数 \( {W}_{k, m} \) 表示: \[ {D}_{\nu }\left( z\right) = {2}^{\nu /2 + 1/4}{z}^{-1/2}{W}_{\nu /2 + 1/4, - 1/4}\left( \frac{{z}^{2}}{2}\right) . \] 韦伯方程的另一解为 \( {D}_{-\nu - 1}\left( {\mathrm{i}z}\right) \) 或 \( {D}_{-\nu - 1}\left( {-\mathrm{i}z}\right) \) . 当 \( \nu \) 为非负整数 \( n \) 时,称 \[ {H}_{n}\left( z\right) = {2}^{n/2}{\mathrm{e}}^{{z}^{2}/2}{D}_{n}\left( {\sqrt{2}z}\right) \] 为 \( n \) 次埃尔米特多项式. 韦伯函数 \( {D}_{\nu }\left( z\right) \) (Weber function \( {D}_{\nu }\left( z\right) \) ) 即 “抛物线柱函数”. 不完全伽马函数 (incomplete gamma function) 汇合型特殊函数之一. 由第二类不完全欧拉积分定义: \[ \gamma \left( {\nu, z}\right) = {\int }_{0}^{z}{u}^{\nu - 1}{\mathrm{e}}^{-u}\mathrm{\;d}u, \] \[ \Gamma \left( {\nu, z}\right) = {\int }_{z}^{+\infty }{u}^{\nu - 1}{\mathrm{e}}^{-u}\mathrm{\;d}u \] \[ = \Gamma \left( \nu \right) - \gamma \left( {\nu, z}\right) , \] 其中 \( \operatorname{Re}\nu > 0,\left| {\arg z}\right| < \pi \) . 它们可表示为汇合型超几何函数 \( F\left( {\alpha ;\gamma ;z}\right) \) 或惠特克函数 \( {W}_{k, m}\left( z\right) \) : \[ \gamma \left( {\nu, z}\right) = {\nu }^{-1}{z}^{\nu }{\mathrm{e}}^{-z}F\left( {1;1 + \nu ;z}\right) \] \[ = {\nu }^{-1}{z}^{\nu }F\left( {\nu ;1 + \nu ; - z}\right) , \] \[ \Gamma \left( {\nu, z}\right) = {\mathrm{e}}^{-z/2}{z}^{\left( {\nu - 1}\right) /2}{W}_{\left( {\nu - 1}\right) /2,\nu /2}\left( z\right) . \] 指数积分、对数积分、正弦积分、余弦积分、误差函数和菲涅耳积分等均可用不完全伽马函数表示. 误差函数 (error function) 特殊的不完全伽马函数之一. 即 \[ \operatorname{erf}\left( z\right) = \frac{1}{\sqrt{\pi }}\gamma \left( {\frac{1}{2},{z}^{2}}\right) . \] 常用定义是 \[ \operatorname{erf}\left( z\right) = \frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_{0}^{z}{\mathrm{e}}^{-{u}^{2}}\mathrm{\;d}u. \] 也可以用汇合型超几何函数 \( F\left( {\alpha ;\gamma ;z}\right) \) 或惠特克函数 \( {W}_{k, m}\left( z\right) \) 表示: \[ \operatorname{erf}\left( z\right) = \frac{2z}{\sqrt{\pi }}F\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}; - {z}^{2}}\right) \] \[ = \frac{2z}{\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{-{z}^{2}}F\left( {1;\frac{3}{2};{z}^{2}}\right) \] \[ = 1 - \frac{1}{\sqrt{\pi z}}\exp \left( {-\frac{{z}^{2}}{2}}\right) {W}_{-1/4,1/4}\left( {z}^{2}\right) . \] 余误差函数 (co-error function) 特殊的不完全伽马函数之一. 即 \[\operatorname{erfc}\left( z\right) = \frac{1}{\sqrt{\pi }}\Gamma \left( {\frac{1}{2},{z}^{2}}\right) .\] 常用定义是 \[\operatorname{erfc}\left( z\right) = 1 - \operatorname{erf}\left( z\right) \] \[ = \frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_{z}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{u}^{2}}\mathrm{\;d}u.\] 也可以用惠特克函数 \( {W}_{k, m}\left( z\right) \) 表示: \[\operatorname{erfc}\left( z\right) = \frac{1}{\sqrt{\pi z}}\exp \left( {-\frac{{z}^{2}}{2}}\right) {W}_{-1/4,1/4}\left( {z}^{2}\right) .\] 概率积分 (probability integral) 亦称正态概率积分. 汇合型特殊函数之一. 定义为 \[\Phi \left( z\right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{z}{\mathrm{e}}^{-{u}^{2}/2}\mathrm{\;d}u\] \[ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\operatorname{erf}\left( \frac{z}{\sqrt{2}}\right) \] 其中 \( \operatorname{erf}\left( z\right) \) 为误差函数. 另外还有函数 \[F\left( z\right) = \frac{\sqrt{\pi }}{2\mathrm{i}}{\mathrm{e}}^{-{z}^{2}}\operatorname{erf}\left( {\mathrm{i}z}\right) \] \[ = {\mathrm{e}}^{-{z}^{2}}{\int }_{0}^{z}{\mathrm{e}}^{{u}^{2}}\mathrm{\;d}u.\] 正态概率积分 (normal probability integral) 即“概率积分”. 菲涅耳积分 (Fresnel integral) 由积分定义的一类特殊函数. 定义为 \[C\left( z\right) = {\int }_{0}^{z}\cos \frac{\pi {t}^{2}}{2}\mathrm{\;d}t,\] \[S\left( z\right) = {\int }_{0}^{z}\sin \frac{\pi {t}^{2}}{2}\mathrm{\;d}t.\] 可用误差函数 \( \operatorname{erf}\left( z\right) \) 或惠特克函数 \( {W}_{k, m}\left( z\right) \) 表示: \[C\left( z\right) \pm \mathrm{i}S\left( z\right) = \frac{1 \pm \mathrm{i}}{2}\operatorname{erf}\left( {\frac{1 \mp \mathrm{i}}{2}\sqrt{\pi }z}\right) \] \[ = \sqrt{\frac{\left( {1 \pm \mathrm{i}}\right) \pi }{2z}}\exp \left( {\pm \frac{\mathrm{i}\pi }{4}{z}^{2}}\right) \] \[\text{-}{W}_{-1/4,1/4}\left( {\mp \frac{\mathrm{i}\pi }{2}{z}^{2}}\right) \text{,}\] 也可表示成汇合型超几何函数 \( F\left( {\alpha ;\gamma ;z}\right) \) : \[C\left( z\right) \pm \mathrm{i}S\left( z\right) = {zF}\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}; \pm \frac{\mathrm{i}\pi }{2}{z}^{2}}\right) \] \[ = z{\mathrm{e}}^{\pm \mathrm{i}\pi {z}^{2}/2}F\left( {1;\frac{3}{2}; \mp \frac{\mathrm{i}\pi }{2}{z}^{2}}\right) .\] 这类积分最初出现在光的衍射理论中, 近年来在其他方面, 例如高速公路回旋设计中, 也有应用. 指数积分 (exponential integral) 特殊的不完全伽马函数之一. 即 \[ \mathrm{{Ei}}\left( z\right) = - \Gamma \left( {0, - z}\right) . \] 在除去正实轴 \( \left( {0, + \infty }\right) \) 的 \( z \) 平面上单值解析. 常用定义是 \[ \operatorname{Ei}\left( z\right) = {\int }_{-\infty }^{z}\frac{{\mathrm{e}}^{u}}{u}\mathrm{\;d}u \] 也可用惠特克函数 \( {W}_{k, m}\left( z\right) \Gamma \left( {\nu, z}\right) \) 表示: \[ \operatorname{Ei}\left( z\right) = - {\mathrm{e}}^{z/2}{\left( -z\right) }^{-1/2}{W}_{-1/2,0}\left( {-z}\right) \] \[ \left( {\left| {\arg \left( {-z}\right) }\right| < \pi }\right) \text{.} \] 对数积分 (logarithmic integral) 特殊的不完全伽马函数之一. 即 \[ \operatorname{li}\left( z\right) = \Gamma \left( {0,\ln z}\right) . \] 在沿实轴 \( \left( {-\infty ,0\rbrack \text{与}\lbrack 1, + \infty }\right) \) 割开的 \( z \) 平面上单值解析. 常用定义是 \[ \operatorname{li}\left( z\right) = {\int }_{0}^{z}\frac{\mathrm{d}u}{\ln u}. \] 也可用惠特克函数 \( {W}_{k, m}\left( z\right) \) 表示: \[ \operatorname{li}\left( z\right) = - {\left( -\ln z\right) }^{-1/2}{z}^{1/2}{W}_{-1/2,0}\left( {-\ln z}\right) \] \[ \left( {\left| {\arg \left( {-\ln z}\right) }\right| < \pi }\right) \text{.} \] 正弦积分 (sine integral) 由积分定义的一种特殊函数. 常用定义有 \[ \operatorname{Si}\left( z\right) = {\int }_{0}^{z}\frac{\sin u}{u}\mathrm{\;d}u \] \[ \operatorname{si}\left( z\right) = - {\int }_{z}^{+\infty }\frac{\sin u}{u}\mathrm{\;d}u \] \[ = \operatorname{Si}\left( z\right) - \frac{\pi }{2} \] 它们都是 \( z \) 的整函数,可用惠特克函数 \( {W}_{k, m}\left( z\right) \) 或不完全伽马函数 \( \Gamma \left( {\nu, z}\right) \) 表示: \[ \operatorname{Si}\left( z\right) = \frac{\pi }{2} + \frac{\mathrm{i}}{2\sqrt{z}}\left\{ {{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left( {z/2 + \pi /4}\right) }{W}_{-1/2,0}\left( {z{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /2}}\right) }\right. \] \[ \left. {-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\left( {z/2 + \pi /4}\right) }{W}_{-1/2,0}\left( {z{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /2}}\right) }\right\} \] \[ \left( {\left| {\arg z}\right| < \pi }\right) , \] \[ \operatorname{si}\left( z\right) = \frac{1}{2\mathrm{i}}\{ \Gamma \left( {0,\mathrm{i}z}\right) - \Gamma \left( {0, - \mathrm{i}z}\right) \} , \] \[ \left( {\left| {\arg z}\right| < \pi /2}\right) \text{.} \] 余弦积分 (cosine integral) 由积分定义的一种特殊函数. 定义为 \[\mathrm{{Ci}}\left( z\right) = - \mathrm{{ci}}\left( z\right) = - {\int }_{z}^{+\infty }\frac{\cos u}{u}\mathrm{\;d}u.\] 它在除去负实轴 \( \left( {-\infty ,0}\right) \) 的 \( z \) 平面上单值解析,可以表示成惠特克函数 \( {W}_{k, m}\left( z\right) \) 或不完全伽马函数 \( \Gamma \left( {\nu, z}\right) \) : \[\operatorname{Ci}\left( z\right) = \frac{1}{2\sqrt{z}}\left\{ {{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left( {z/2 + \pi /4}\right) }{W}_{-1/2,0}\left( {z{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /2}}\right) }\right. \] \[\left. {+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\left( {z/2 + \pi /4}\right) }{W}_{-1/2,0}\left( {z{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /2}}\right) }\right\} \] \[\left( {\left| {\arg z}\right| < \pi }\right) \] \[ = \frac{1}{2}\{ \Gamma \left( {0,\mathrm{i}z}\right) + \Gamma \left( {0, - \mathrm{i}z}\right) \} \] \[\left( {\left| {\arg z}\right| < \pi /2}\right) \text{.}\] 抛物函数 (parabolic function) 亦称旋转抛物面函数. 在旋转抛物面坐标系中求解波动方程时出现的一类特殊函数. 它们是微分方程 \[\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{\;d}{\xi }^{2}} + \frac{1}{\xi }\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{\;d}\xi } + \left( {{\xi }^{2} - \frac{4{\mu }^{2}}{{\xi }^{2}} - {4\lambda }}\right) u = 0\] 的解,可用惠特克函数 \( {M}_{k, m}\left( z\right) \) 和 \( {W}_{k, m}\left( z\right) \) 表示: \[{\xi }^{-1}{M}_{\pm \mathrm{i}\lambda ,\mu }\left( {\pm \mathrm{i}{\xi }^{2}}\right) \] 和

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) \) : \[\operatorname{Ci}\left( z\right) = \frac{1}{2\sqrt{z}}\left\{ {{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left( {z/2 + \pi /4}\right) }{W}_{-1/2,0}\left( {z{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /2}}\right) }\right. \] \[\left. {+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\left( {z/2 + \pi /4}\right) }{W}_{-1/2,0}\left( {z{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /2}}\right) }\right\} \] \[\left( {\left| {\arg z}\right| < \pi }\right) \] \[ = \frac{1}{2}\{ \Gamma \left( {0,\mathrm{i}z}\right) + \Gamma \left( {0, - \mathrm{i}z}\right) \} \] \[\left( {\left| {\arg z}\right| < \pi /2}\right) \text{.}\] 抛物函数 (parabolic function) 亦称旋转抛物面函数. 在旋转抛物面坐标系中求解波动方程时出现的一类特殊函数. 它们是微分方程 \[\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{\;d}{\xi }^{2}} + \frac{1}{\xi }\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{\;d}\xi } + \left( {{\xi }^{2} - \frac{4{\mu }^{2}}{{\xi }^{2}} - {4\lambda }}\right) u = 0\] 的解,可用惠特克函数 \( {M}_{k, m}\left( z\right) \) 和 \( {W}_{k, m}\left( z\right) \) 表示: \[{\xi }^{-1}{M}_{\pm \mathrm{i}\lambda ,\mu }\left( {\pm \mathrm{i}{\xi }^{2}}\right) \] 和 \[{\xi }^{-1}{W}_{\pm \mathrm{i}\lambda ,\mu }\left( {\pm \mathrm{i}{\xi }^{2}}\right) .\] 因此, 这些函数的性质可以通过惠特克函数推得. 旋转抛物面坐标系 \( \left( {\xi ,\eta ,\varphi }\right) \) 和直角坐标系的关系是 \[x = {\xi \eta }\cos \varphi ,\] \[y = {\xi \eta }\sin \varphi \] \[z = \frac{1}{2}\left( {{\xi }^{2} - {\eta }^{2}}\right) .\] 旋转抛物面函数 (rotational paraboloidal function) 即“抛物函数”. 贝塞尔方程 (Bessel equation) 数学物理中常见的常微分方程之一. 其形式为 \[\frac{{\mathrm{d}}^{2}w}{\mathrm{\;d}{z}^{2}} + \frac{1}{z}\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{\;d}z} + \left( {1 - \frac{{\nu }^{2}}{{z}^{2}}}\right) w = 0.\] \( \nu \) 称为方程的阶. 贝塞尔方程和汇合型超几何方程具有相同的奇点 0 和 \( \infty ;z = 0 \) 是正则奇点, \( \infty \) 是非正则奇点. 因此, 通过适当的变换, 贝塞尔方程可以化成汇合型超几何方程或惠特克方程. 贝塞尔函数 (Bessel function) 贝塞尔方程的解以及相关函数的总称, 包括这些解的多种变形. 早在 1700 年前后, 雅各布第一・伯努利 (Bernoulli, Jacob I ) 就研究过这类函数. 最晚 1733 年, 丹尼尔第一・伯努利 (Bernoulli, Daniel I ) 在研究悬链振动问题时就已经得到了零阶贝塞尔函数. 1770 年, 拉格朗日 (Lagrange, J.-L. ) 研究行星绕太阳的椭圆运动,根据矢径 \( r \) 、平近点角 \( M \) 、偏近点角 \( E \) 和长半轴 \( a \) 及离心率 \( \varepsilon \) 之间的关系 \[M = E - \varepsilon \sin E,\] \[r = a\left( {1 - \varepsilon \cos E}\right) \] 得到级数解 \[E = M + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{2}{n}{J}_{n}\left( {n\varepsilon }\right) \sin {nM},\] \[\frac{r}{a} = 1 + \frac{{\varepsilon }^{2}}{2} - {2\varepsilon }\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n}{J}_{n}^{\prime }\left( {n\varepsilon }\right) \cos {nM},\] 其中的 \( {J}_{n}\left( z\right) \) 即为现在所称的第一类贝塞尔函数. 由于这类函数后来经常出现在各种问题中, 引起了贝塞尔 (Bessel, F. W. ) 的注意. 1824 年, 他对此进行了系统的研究, 因此得名. 另外, 第一类贝塞尔函数也常简称贝塞尔函数. 第一类贝塞尔函数 (Bessel function of the first kind) 贝塞尔方程的第一解. \[ {J}_{\nu }\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{k}}{k!\Gamma \left( {k + \nu + 1}\right) }{\left( \frac{z}{2}\right) }^{{2k} + \nu } \] \[ \left( {\left| {\arg z}\right| < \pi }\right) , \] \[ = \frac{1}{2\pi }{\int }_{L}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z\sin \zeta + \mathrm{i}{\nu \zeta }}\mathrm{d}\zeta \] 其中 \( L \) 为从 \( \left( {-\pi + 0}\right) + \mathrm{i}\infty \) 到 \( \left( {\pi + 0}\right) + \mathrm{i}\infty \) 的曲线. \( \nu \) 是第一类贝塞尔函数的阶,也是贝塞尔方程的阶. \( {J}_{v}\left( z\right) \) 有如下基本性质: 1. 当 \( z \) 和 \( \nu \) 为实数时, \( {J}_{\nu }\left( z\right) \) 为实函数. 2. \( {z}^{-\nu }{J}_{\nu }\left( z\right) \) 为偶函数. 3. \( {J}_{\nu }\left( z\right) \) 在除去半实轴 \( \left( {-\infty ,0}\right) \) 的 \( z \) 平面上单值解析; 当 \( \nu \) 为整数时, \( {J}_{\nu }\left( z\right) \) 在全平面上解析. 4. \( {J}_{\nu }\left( z\right) \) 满足下列递推关系 \[ 2\frac{\mathrm{d}{J}_{\nu }\left( z\right) }{\mathrm{d}z} = {J}_{\nu - 1}\left( z\right) - {J}_{\nu + 1}\left( z\right) , \] \[ {2\nu }{J}_{\nu }\left( z\right) = z\left\lbrack {{J}_{\nu - 1}\left( z\right) + {J}_{\nu + 1}\left( z\right) }\right\rbrack . \] 5. 当 \( \nu = \) 整数 \( n \) 时, \( {J}_{-n}\left( z\right) \) 与 \( {J}_{n}\left( z\right) \) 线性相关, \[ {J}_{-n}\left( z\right) = {\left( -1\right) }^{n}{J}_{n}\left( z\right) . \] 6. 当 \( \nu = \) 整数 \( n \) 时,有 \( {J}_{n}\left( z\right) \) 的母函数展开式, \[ \exp \left\{ {\frac{z}{2}\left( {t - \frac{1}{t}}\right) }\right\} = \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{\infty }{J}_{n}\left( z\right) {t}^{n}. \] 相应地, \( {J}_{n}\left( z\right) \) 的积分表示为 \[ {J}_{n}\left( z\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z\sin \zeta - \mathrm{i}{n\zeta }}\mathrm{d}\zeta \] \[ = \frac{1}{\pi }{\int }_{0}^{\pi }\cos \left( {z\sin \zeta - {n\zeta }}\right) \mathrm{d}\zeta \] 称为贝塞尔积分. 7. 除了 \( z = 0 \) 可能例外, \( {J}_{\nu }\left( z\right) \) 的零点均为一阶零点. 特别当 \( \nu > - 1 \) 或为整数时, \( {J}_{\nu }\left( z\right) \) 的无穷个零点均为实数,对称地分布在实轴上. 如果把 \( {J}_{\nu }\left( z\right) \) 的第 \( s \) 个正零点 (由小到大排列) 记为 \( {\alpha }_{\nu, s} \) ,则 \[ 0 < {\alpha }_{\nu ,1} < {\alpha }_{\nu + 1,1} < {\alpha }_{\nu ,2} < {\alpha }_{\nu + 1,2} < {\alpha }_{\nu ,3} < \cdots \] 8. 傅里叶-贝塞尔级数展开定理: 设 \( f\left( x\right) \) 在区间 \( \left( {0,1}\right) \) 中有定义,且 \[ {\int }_{0}^{1}{t}^{1/2}f\left( t\right) \mathrm{d}t \] 存在 (如果此积分是非正常的, 则要求它是绝对收敛的). 若 \( x \) 是区间 \( \left( {a, b}\right) \) 中的任意一点, \( 0 < a < b < 1 \) , 且 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left( {a, b}\right) \) 中是囿变的,则 \[ \mathop{\sum }\limits_{m}{a}_{m}{J}_{\nu }\left( {{\alpha }_{m}x}\right) = \frac{1}{2}\left\lbrack {f\left( {x + 0}\right) + f\left( {x - 0}\right) }\right\rbrack , \] 其中 \( \nu \geq - 1/2,{\alpha }_{m} \) 是 \( {J}_{\nu }\left( x\right) \) 的正零点, \( {\alpha }_{1} < {\alpha }_{2} < \cdots < \) \( {\alpha }_{m} < {\alpha }_{m + 1} < \cdots , \) \[ {a}_{m} = \frac{2}{{\left\lbrack {J}_{\nu + 1}\left( {\alpha }_{m}\right) \right\rbrack }^{2}}{\int }_{0}^{1}{tf}\left( t\right) {J}_{\nu }\left( {{\alpha }_{m}t}\right) \mathrm{d}t. \] 又如果 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left( {a, b}\right) \) 中连续,则级数在 \[ a + \Delta \leq x \leq b - \Delta \;\left( {\Delta > 0}\right) \] 中一致收敛到 \( f\left( x\right) \) . 第一类贝塞尔函数常简称贝塞尔函数. 贝塞尔积分 (Bessel integral) 见 “第一类贝塞尔函数”. 第二类贝塞尔函数 (Bessel function of the second kind) 亦称诺伊曼函数. 贝塞尔方程的第二解. 与 \( {J}_{\nu }\left( z\right) \) 线性无关,且可由第一类贝塞尔函数定义: \[ {N}_{\nu }\left( z\right) = \frac{{J}_{\nu }\left( z\right) \cos {\nu \pi } - {J}_{-\nu }\left( z\right) }{\sin {\nu \pi }} \] \[ \left( {\left| {\arg z}\right| < \pi }\right) \text{.} \] \( {N}_{\nu }\left( z\right) \) 在除去负实轴 \( \left( {-\infty ,0}\right) \) 的 \( z \) 平面上单值解析. \( {N}_{\nu }\left( z\right) \) 有时记为 \( {Y}_{\nu }\left( z\right) \) . 诺伊曼函数 (Neumann function) 即 “第二类贝塞尔函数”. 第三类贝塞尔函数 (Bessel function of the third kind) 亦称汉克尔函数. 贝塞尔方程的线性无关解. 可以表示为第一类和第二类贝塞尔函数的线性组合: \[{H}_{\nu }^{\left( 1\right) }\left( z\right) = {J}_{\nu }\left( z\right) + \mathrm{i}{N}_{\nu }\left( z\right) ,\] \[{H}_{\nu }^{\left( 2\right) }\left( z\right) = {J}_{\nu }\left( z\right) - \mathrm{i}{N}_{\nu }\left( z\right) .\] 它们在除去负实轴 \( \left( {-\infty ,0}\right) \) 的 \( z \) 平面上单值解析. \( {H}_{\nu }^{\left( 1\right) }\left( z\right) \) 和 \( {H}_{\nu }^{\left( 2\right) }\left( z\right) \) 分别称为第一种和第二种第三类贝塞尔函数, 或第一类和第二类汉克尔函数. 汉克尔函数 (Hankel function) 即 “第三类贝塞尔函数”. 第一类汉克尔函数 (Hankel function of the first kind) 见“第三类贝塞尔函数”. 第二类汉克尔函数 (Hankel function of the second kind) 见“第三类贝塞尔函数”. 柱函数 (cylindrical function) 一类特殊函数的总称. 它们都满足递推关系 \[2\frac{\mathrm{d}{Z}_{\nu }\left( z\right) }{\mathrm{d}z} = {Z}_{\nu - 1}\left( z\right) - {Z}_{\nu + 1}\left( z\right) ,\] \[{2\nu }{Z}_{\nu }\left( z\right) = z\left\lbrack {{Z}_{\nu - 1}\left( z\right) + {Z}_{\nu + 1}\left( z\right) }\right\rbrack .\] 由此可以推知 \( {Z}_{\nu }\left( z\right) \) 一定满足 \( \nu \) 阶贝塞尔方程,因而一般可以表示为 \[{Z}_{\nu }\left( z\right) = {a}_{1}\left( \nu \right) {H}_{\nu }^{\left( 1\right) }\left( z\right) + {a}_{2}\left( \nu \right) {H}_{\nu }^{\left( 2\right) }\left( z\right) .\] 其中 \( {H}_{\nu }^{\left( 1\right) }\left( z\right) \) 和 \( {H}_{\nu }^{\left( 2\right) }\left( z\right) \) 是第三类贝塞尔函数, \( {a}_{1}\left( \nu \right) \) 和 \( {a}_{2}\left( \nu \right) \) 是 \( \nu \) 的任意周期函数,周期为 1 . 第一、二、三类贝塞尔函数都是柱函数. 洛默尔多项式(Lommel polynomial) 广义超几何函数的一种. 定义为 \[{R}_{m,\nu }\left( z\right) = {\left( \nu \right) }_{m}{\left( \frac{\nu }{2}\right) }^{-m}\] \[ \times {}_{2}{F}_{3}\left( {\frac{1 - m}{2}, - \frac{m}{2};\nu , - m,1 - \nu - m; - {z}^{2}}\right) \] \[ = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\left\lbrack m/2\right\rbrack }\frac{{\left( -\right) }^{n}\left( {m - n}\right) !\Gamma \left( {\nu + m - n}\right) }{n!\left( {m - {2n}}\right) !\Gamma \left( {\nu + n}\right) }{\left( \frac{z}{2}\right) }^{{2n} - m}. \] 当 \( \nu \) 是负整数时,上式中的 \[ \frac{\Gamma \left( {\nu + m - n}\right) }{\Gamma \left( {\nu + n}\right) } \] 应该改写为 \( r \) \[ {\left( -1\right) }^{m}\frac{\Gamma \left( {-\nu - n - 1}\right) }{\Gamma \left( {-\nu - m + n + 1}\right) } \] \[ = {\left( -1\right) }^{m}\frac{\left( {-\nu - n}\right) !}{\left( {-\nu - m + n}\right) !}. \] \( {R}_{m,\nu }\left( z\right) \) 是 \( {z}^{-1} \) 的 \( m \) 次多项式,它是四阶常微分方程 \( \lbrack \left( {\delta + m}\right) \left( {\delta + {2\nu } + m - 2}\right) \left( {\delta - {2\nu } - m}\right) \left( {\delta - m - 2}\right) \) \( \left. {+4{z}^{2}\delta \left( {\delta + 1}\right) }\right\rbrack w = 0 \) 的解, 其中 \[ \delta \equiv z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} \equiv \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\ln z}. \] 在历史上, 洛默尔 (von Lommel, E. C. J. ) 是从贝塞尔函数的递推关系出发,得出 \( {J}_{\pm \left( {v + m}\right) }\left( z\right) \) 与 \( {J}_{\pm \nu }\left( z\right) \) 及 \( {J}_{\pm \left( {\nu - 1}\right) }\left( z\right) \) 之间的联系: \[ {J}_{\nu + m}\left( z\right) = {J}_{\nu }\left( z\right) {R}_{m,\nu }\left( z\right) - {J}_{\nu - 1}\left( z\right) {R}_{m - 1,\nu + 1}\left( z\right) , \] \[ {J}_{-\nu - m}\left( z\right) = {\left( -1\right) }^{m}\left\lbrack {{J}_{-\nu }\left( z\right) {R}_{m,\nu }\left( z\right) }\right. \] \[ \left. {+{J}_{-\nu + 1}\left( z\right) {R}_{m - 1,\nu + 1}\left( z\right) }\right\rbrack \text{.} \] 从而定义出洛默尔多项式, 并给出了它的具体表达式. 由于在推导这两个关系式时只用到递推关系, 因此, 如果将第一类贝塞尔函数换成其他柱函数, 这两个关系式仍然成立. \( {R}_{m,\nu }\left( z\right) \) 本身也可以用第一类贝塞尔函数表示: \[ \frac{2\sin {\nu \pi }}{\pi z}{R}_{m,\nu }\left( z\right) = {J}_{\nu + m}\left( z\right) {J}_{-\nu + 1}\left( z\righ

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}\right\rbrack w = 0 \) 的解, 其中 \[ \delta \equiv z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} \equiv \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\ln z}. \] 在历史上, 洛默尔 (von Lommel, E. C. J. ) 是从贝塞尔函数的递推关系出发,得出 \( {J}_{\pm \left( {v + m}\right) }\left( z\right) \) 与 \( {J}_{\pm \nu }\left( z\right) \) 及 \( {J}_{\pm \left( {\nu - 1}\right) }\left( z\right) \) 之间的联系: \[ {J}_{\nu + m}\left( z\right) = {J}_{\nu }\left( z\right) {R}_{m,\nu }\left( z\right) - {J}_{\nu - 1}\left( z\right) {R}_{m - 1,\nu + 1}\left( z\right) , \] \[ {J}_{-\nu - m}\left( z\right) = {\left( -1\right) }^{m}\left\lbrack {{J}_{-\nu }\left( z\right) {R}_{m,\nu }\left( z\right) }\right. \] \[ \left. {+{J}_{-\nu + 1}\left( z\right) {R}_{m - 1,\nu + 1}\left( z\right) }\right\rbrack \text{.} \] 从而定义出洛默尔多项式, 并给出了它的具体表达式. 由于在推导这两个关系式时只用到递推关系, 因此, 如果将第一类贝塞尔函数换成其他柱函数, 这两个关系式仍然成立. \( {R}_{m,\nu }\left( z\right) \) 本身也可以用第一类贝塞尔函数表示: \[ \frac{2\sin {\nu \pi }}{\pi z}{R}_{m,\nu }\left( z\right) = {J}_{\nu + m}\left( z\right) {J}_{-\nu + 1}\left( z\right) \] \[ + {\left( -1\right) }^{m}{J}_{-\nu - m}\left( z\right) {J}_{\nu - 1}\left( z\right) \text{.} \] 变形贝塞尔函数 (modified Bessel function) 变形贝塞尔方程 \[ \frac{{\mathrm{d}}^{2}w}{\mathrm{\;d}{z}^{2}} + \frac{1}{z}\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{\;d}z} - \left( {1 + \frac{{\nu }^{2}}{{z}^{2}}}\right) w = 0 \] 的解. \[ {I}_{\nu }\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\nu \pi }/2}{J}_{\nu }\left( {z{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /2}}\right) \] \[ {K}_{\nu }\left( z\right) = \frac{\mathrm{i}\pi }{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\nu \pi }/2}{H}_{\nu }^{\left( 1\right) }\left( {z{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /2}}\right) \] \[ = - \frac{\mathrm{i}\pi }{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\nu \pi }/2}{H}_{\nu }^{\left( 2\right) }\left( {z{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /2}}\right) \] \[ = \frac{\pi }{2}\frac{{I}_{-\nu }\left( z\right) - {I}_{\nu }\left( z\right) }{\sin {\pi \nu }}, \] 分别称为第一类和第二类变形贝塞尔函数, 它们在除去负实轴 \( ( - \infty ,0\rbrack \) 的 \( z \) 平面上单值解析. \( {K}_{\nu }\left( z\right) \) 又称为巴赛特函数. 第一类变形贝塞尔函数 (modified Bessel function of the first kind) 见 “变形贝塞尔函数”. 第二类变形贝塞尔函数 (modified Bessel function of the second kind) 见 “变形贝塞尔函数”. 巴赛特函数 (Basset function) 即 “第二类变形贝塞尔函数”. 球贝塞尔方程 (spherical Bessel equation) 数学物理中常见的常微分方程之一. 即 \[ \frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{\;d}{x}^{2}} + \frac{2}{x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} + \left\lbrack {1 - \frac{\nu \left( {\nu + 1}\right) }{{x}^{2}}}\right\rbrack y = 0. \] 在球坐标系中, 将亥姆霍兹方程分离变量, 其径向方程即可化为球贝塞尔方程. 球贝塞尔方程和贝塞尔方程具有同样的奇点: \( x = 0 \) 为正则奇点, \( x = \infty \) 为非正则奇点. 作变换 \[y = {x}^{-1/2}v\left( x\right) ,\] 则球贝塞尔方程可化为 \[\nu + \frac{1}{2}\] 阶贝塞尔方程. 球贝塞尔函数 (spherical Bessel function) 球贝塞尔方程的解. 即函数 \[{j}_{\nu }\left( x\right) = \sqrt{\frac{\pi }{2x}}{J}_{\nu + 1/2}\left( x\right) ,\] \[{n}_{\nu }\left( x\right) = \sqrt{\frac{\pi }{2x}}{N}_{l + 1/2}\left( x\right) ,\] \[{h}_{\nu }^{\left( 1\right) }\left( x\right) = \sqrt{\frac{\pi }{2x}}{H}_{\nu + 1/2}^{\left( 1\right) }\left( x\right) ,\] \[{h}_{\nu }^{\left( 2\right) }\left( x\right) = \sqrt{\frac{\pi }{2x}}{H}_{\nu + 1/2}^{\left( 2\right) }\left( x\right) ,\] 其中 \( {J}_{\nu + 1/2}\left( x\right) ,{N}_{\nu + 1/2}\left( x\right) \) 和 \( {H}_{\nu + 1/2}^{\left( 1\right) }\left( x\right) ,{H}_{\nu + 1/2}^{\left( 2\right) }\left( x\right) \) 分别是第一类、第二类和第三类贝塞尔函数. \( {j}_{\nu }\left( x\right) \) 是 \( \nu \) 阶第一类球贝塞尔函数,常简称 \( \nu \) 阶球贝塞尔函数; \( {n}_{\nu }\left( x\right) \) 是 \( \nu \) 阶第二类球贝塞尔函数, 亦称 \( \nu \) 阶球诺伊曼函数; \( {h}_{\nu }^{\left( 1\right) }\left( x\right) \) 和 \( {h}_{\nu }^{\left( 2\right) }\left( x\right) \) 是 \( \nu \) 阶第三类球贝塞尔函数, 亦称球汉克尔函数. 第一类球贝塞尔函数 (spherical Bessel function of the first kind) 见 “球贝塞尔函数”. 第二类球贝塞尔函数 (spherical Bessel function of the second kind) 见“球贝塞尔函数”. 球诺伊曼函数 (spherical Neumann function) 即“第二类球贝塞尔函数”. 第三类球贝塞尔函数 (spherical Bessel function of the third kind) 见“球贝塞尔函数”. 球汉克尔函数 (spherical Hankel function) 即 “第三类球贝塞尔函数”. 平面波按柱面波展开 (expansion of plane wave in series of cylindrical waves) 含贝塞尔函数的一个特殊展开式. 即 \[{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{kr}\cos \varphi } = {J}_{0}\left( {kr}\right) + 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\mathrm{i}}^{n}{J}_{n}\left( {kr}\right) \cos {n\varphi }\] \[\left( {-\pi \leq \varphi \leq \pi }\right) ,\] 其中 \( {J}_{n}\left( {kr}\right) \) 是 \( n \) 阶第一类贝塞尔函数. 在柱坐标系 \( \left( {r,\varphi, z}\right) \) 中, \( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{kr}\cos \varphi } = {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{kx}} \) 表示沿 \( x \) 方向传播的平面波 (等相位面为 \( x = \) 常数) 的相位因子的空间部分, \( k \) 为波数, 而右方的 \[ {J}_{n}\left( {kr}\right) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi kr}}\cos \left( {{kr} - \frac{n\pi }{2} - \frac{\pi }{4}}\right) \] 代表柱面波 (等相位面为柱面 \( r = \) 常数),振幅与 \( \sqrt{r} \) 成反比. 平面波按球面波展开 (expansion of plane wave in series of spherical waves) 含球贝塞尔函数的一个特殊展开式. 即 \[ {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{kr}\cos \theta } = \mathop{\sum }\limits_{{l = 0}}^{\infty }\left( {{2l} + 1}\right) {\mathrm{i}}^{l}{j}_{l}\left( {kr}\right) {P}_{l}\left( {\cos \theta }\right) \] \[ \left( {0 \leq \theta \leq \pi }\right) , \] 其中 \( {j}_{l}\left( {kr}\right) \) 是 \( l \) 阶球贝塞尔函数, \( {P}_{l}\left( {\cos \theta }\right) \) 是 \( l \) 次勒让德多项式. 若将 \( r \) 和 \( \theta \) 理解为球坐标,则 \( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{kr}\cos \theta } = \) \( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{kz}} \) 表示沿 \( z \) 方向传播的平面波 (等相位面为 \( z = \) 常数) 相位因子的空间部分, \( k \) 为波数,而右方的 \[ {j}_{l}\left( {kr}\right) \sim \frac{1}{kr}\sin \left( {{kr} - \frac{l\pi }{2}}\right) \] 代表球面波 (等相位面为球面 \( r = \) 常数),振幅与 \( r \) 成反比. 艾里函数 (Airy function) 艾里微分方程 \[ \frac{{\mathrm{d}}^{2}w}{\mathrm{\;d}{z}^{2}} - {zw} = 0 \] 的线性无关解. \[ \operatorname{Ai}\left( z\right) = \frac{1}{\pi }\sqrt{\frac{z}{3}}{K}_{1/3}\left( {\frac{2}{3}{z}^{3/2}}\right) , \] \[ \operatorname{Bi}\left( z\right) = \sqrt{\frac{z}{3}}\left\lbrack {{I}_{-1/3}\left( {\frac{2}{3}{z}^{3/2}}\right) + {I}_{1/3}\left( {\frac{2}{3}{z}^{3/2}}\right) }\right\rbrack . \] 它们都是 \( z \) 的整函数. 艾里函数与艾里积分 \[ {\int }_{0}^{+\infty }\cos \left( {{t}^{3} \pm {xt}}\right) \mathrm{d}t \] 相关, \[ {\int }_{0}^{+\infty }\cos \left( {{t}^{3} \pm {xt}}\right) \mathrm{d}t = {3}^{-1/3}\pi \mathrm{{Ai}}\left( {\pm {3}^{-1/3}x}\right) . \] 开尔文函数 (Kelvin function) 开尔文 (Kelvin, B. ) 在研究某些电学问题时引进的特殊函数,实际上是宗量辐角为 \( \pm \pi /4 \) (或 \( \pm {3\pi }/4 \) ) 的贝塞尔函数 \[ \operatorname{ber}\left( x\right) \pm \mathrm{i}\operatorname{bei}\left( x\right) = {J}_{0}\left( {x{\mathrm{e}}^{\mp \pi \mathrm{i}/4}}\right) \] \[ = {J}_{0}\left( {x{\mathrm{e}}^{\pm {3\pi }\mathrm{i}/4}}\right) \text{.} \] 推广到复数 \( z \) 及任意阶贝塞尔函数的情形, \[ {\operatorname{ber}}_{\nu }\left( z\right) \pm \mathrm{i}{\operatorname{bei}}_{\nu }\left( z\right) = {J}_{\nu }\left( {z{\mathrm{e}}^{\pm {3\pi }\mathrm{i}/4}}\right) , \] \[ {\ker }_{\nu }\left( z\right) \pm \mathrm{i}{\operatorname{kei}}_{\nu }\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{\mp {\nu \pi }\mathrm{i}/2}{K}_{\nu }\left( {z{\mathrm{e}}^{\pm \pi \mathrm{i}/4}}\right) , \] \[ {\operatorname{her}}_{\nu }\left( z\right) + \mathrm{i}{\operatorname{hei}}_{\nu }\left( z\right) = {H}_{\nu }^{\left( 1\right) }\left( {z{\mathrm{e}}^{{3\pi }\mathrm{i}/4}}\right) , \] \[ {\operatorname{her}}_{\nu }\left( z\right) - \mathrm{i}{\operatorname{hei}}_{\nu }\left( z\right) = {H}_{\nu }^{\left( 2\right) }\left( {z{\mathrm{e}}^{-{3\pi }\mathrm{i}/4}}\right) . \] 当 \( \nu \) 是实数, \( \arg z = 0 \) 时, \( {\operatorname{ber}}_{\nu }\left( z\right) \) , \( {\operatorname{bei}}_{\nu }\left( z\right) ,{\ker }_{\nu }\left( z\right) \) , \( {\operatorname{kei}}_{\nu }\left( z\right) ,{\operatorname{her}}_{\nu }\left( z\right) \) 和 \( {\operatorname{hei}}_{\nu }\left( z\right) \) 都是实函数. 因为开尔文原名汤姆森 (Thomson, W. ), 故开尔文函数亦称汤姆森函数. 汤姆森函数 (Thomson function) 即 “开尔文函数”. 斯图鲁弗函数 (Struve function) 非齐次贝塞尔微分方程 \[ \left\lbrack {{z}^{2}\frac{{\mathrm{d}}^{2}}{\mathrm{\;d}{z}^{2}} + z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} + \left( {{z}^{2} - {\nu }^{2}}\right) }\right\rbrack {H}_{\nu }\left( z\right) \] \[ = - \frac{4}{\sqrt{\pi }\Gamma \left( {\nu + 1/2}\right) }{\left( \frac{z}{2}\right) }^{\nu + 1}\] 的解. 即函数 \[{H}_{\nu }\left( z\right) = \frac{2}{\Gamma \left( {\nu + 1/2}\right) \sqrt{\pi }}{\left( \frac{z}{2}\right) }^{\nu }\] \[ \times {\int }_{0}^{\pi /2}\sin \left( {z\cos \theta }\right) {\sin }^{2\nu }\theta \mathrm{d}\theta \left( {\operatorname{Re}\nu > - \frac{1}{2}}\right) .\] 实际上, 斯图鲁弗 (Struve, K. H., 原名 Struve, H. O. ) 只研究了它的特殊情形 \( {H}_{0}\left( z\right) \) 和 \( {H}_{1}\left( z\right) \) . \( {H}_{\nu }\left( z\right) \) 可以出现在贝塞尔函数的积分中,例如 \[{\int }_{0}^{z}{z}^{\nu }{J}_{\nu }\mathrm{d}z = {2}^{\nu - 1}\sqrt{\pi }\Gamma \left( {\nu + \frac{1}{2}}\right) \] \[ \times z\left\lbrack {{J}_{\nu }\left( z\right) {H}_{\nu - 1}\left( z\right) - {J}_{\nu - 1}\left( z\right) {H}_{\nu }\left( z\right) }\right\rbrack ,\] \[{\int }_{0}^{z}{z}^{\nu }{N}_{\nu }\mathrm{d}z = {2}^{\nu - 1}\sqrt{\pi }\Gamma \left( {\nu + \frac{1}{2}}\right) \] \[ \times z\left\lbrack {{N}_{\nu }\left( z\right) {H}_{\nu - 1}\left( z\right) - {N}_{\nu - 1}\left( z\right) {H}_{\nu }\left( z\right) }\right\rbrack .\] 安格尔函数 (Anger function) 非齐次贝塞尔微分方程 \[\left\lbrack {{z}^{2}\frac{{\mathrm{d}}^{2}}{\mathrm{\;d}{z}^{2}} + z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} + \left( {{z}^{2} - {\nu }^{2}}\right) }\right\rbrack {J}_{\nu }\left( z\right) \] \[ = \frac{\left( {z - \nu }\right) \sin {\pi \nu }}{\pi }\] 的解. 即函数 \[{J}_{\nu }\left( z\right) = \frac{1}{\pi }{\int }_{0}^{\pi }\cos \left( {{\nu \theta } - z\sin \theta }\right) \mathrm{d}\theta .\] 若 \( \nu \) 为整数 \( n \) 时, \( {J}_{n}\left( z\right) \) 即为第一类贝塞尔函数 \( {J}_{n}\left( z\right) \) . 实际上, 在安格尔 (Anger, C. T. ) 之前, 泊松 (Poisson, S. -D. ) 在 1836 年已经证明了 \[\left\lbrack {{z}^{2}\frac{{\mathrm{d}}^{2}}{\mathrm{\;d}{z}^{2}} + z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} + \left( {{z}^{2} - {\nu }^{2}}\right) }\right\rbrack {\int }_{0}^{\pi }\cos \left( {{\nu \theta } - z\sin \theta }\right) \mathrm{d}\theta \] \( = \left( {z - \nu }\right) \sin {\pi \nu } \) 但未作更多研究. 韦伯函数 \( {E}_{\nu }\left( z\right) \) (Weber function \( {E}_{\nu }\left( z\right) \) ) 非齐次贝塞尔微分方程 \[\left\lbrack {{z}^{2}\frac{{\mathrm{d

2000_数学辞海（第3卷）

\left\lbrack {{z}^{2}\frac{{\mathrm{d}}^{2}}{\mathrm{\;d}{z}^{2}} + z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} + \left( {{z}^{2} - {\nu }^{2}}\right) }\right\rbrack {J}_{\nu }\left( z\right) \] \[ = \frac{\left( {z - \nu }\right) \sin {\pi \nu }}{\pi }\] 的解. 即函数 \[{J}_{\nu }\left( z\right) = \frac{1}{\pi }{\int }_{0}^{\pi }\cos \left( {{\nu \theta } - z\sin \theta }\right) \mathrm{d}\theta .\] 若 \( \nu \) 为整数 \( n \) 时, \( {J}_{n}\left( z\right) \) 即为第一类贝塞尔函数 \( {J}_{n}\left( z\right) \) . 实际上, 在安格尔 (Anger, C. T. ) 之前, 泊松 (Poisson, S. -D. ) 在 1836 年已经证明了 \[\left\lbrack {{z}^{2}\frac{{\mathrm{d}}^{2}}{\mathrm{\;d}{z}^{2}} + z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} + \left( {{z}^{2} - {\nu }^{2}}\right) }\right\rbrack {\int }_{0}^{\pi }\cos \left( {{\nu \theta } - z\sin \theta }\right) \mathrm{d}\theta \] \( = \left( {z - \nu }\right) \sin {\pi \nu } \) 但未作更多研究. 韦伯函数 \( {E}_{\nu }\left( z\right) \) (Weber function \( {E}_{\nu }\left( z\right) \) ) 非齐次贝塞尔微分方程 \[\left\lbrack {{z}^{2}\frac{{\mathrm{d}}^{2}}{\mathrm{\;d}{z}^{2}} + z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} + \left( {{z}^{2} - {\nu }^{2}}\right) }\right\rbrack {E}_{\nu }\left( z\right) \] \[ = - \frac{z + \nu }{\pi } - \frac{\left( {z - \nu }\right) \cos {\pi \nu }}{\pi }\] 的解. 即函数 \[ {E}_{\nu }\left( z\right) = \frac{1}{\pi }{\int }_{0}^{\pi }\sin \left( {{\nu \theta } - z\sin \theta }\right) \mathrm{d}\theta . \] 洛默尔函数 (Lommel function) 非齐次贝塞尔微分方程 \[ {z}^{2}\frac{{\mathrm{d}}^{2}w}{\mathrm{\;d}{z}^{2}} + z\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{\;d}z} + \left( {{z}^{2} - {\nu }^{2}}\right) w = {z}^{\mu + 1} \] 的特解: \[ {s}_{\mu ,\nu }\left( z\right) = \frac{{z}^{\mu + 1}}{\left( {\mu + \nu + 1}\right) \left( {\mu - \nu + 1}\right) } \] \[ \times {}_{1}{F}_{2}\left( {1;\frac{\mu - \nu + 3}{2},\frac{\mu + \nu + 3}{2}; - \frac{{z}^{2}}{4}}\right) \] 或 \[ {S}_{\mu ,\nu }\left( z\right) = {s}_{\mu ,\nu }\left( z\right) + \frac{{2}^{\mu - 1}}{\sin {\nu \pi }}\Gamma \left( \frac{\mu - \nu + 1}{2}\right) \Gamma \left( \frac{\mu + \nu + 1}{2}\right) \] \[ \times \left\lbrack {{J}_{-\nu }\left( z\right) \cos \frac{\mu - \nu }{2}\pi - {J}_{\nu }\left( z\right) \cos \frac{\mu + \nu }{2}\pi }\right\rbrack \] \[ = {s}_{\mu ,\nu }\left( z\right) + {2}^{\mu - 1}\Gamma \left( \frac{\mu - \nu + 1}{2}\right) \Gamma \left( \frac{\mu + \nu + 1}{2}\right) \] \[ \times \left\lbrack {{J}_{\nu }\left( z\right) \sin \frac{\mu - \nu }{2}\pi - {N}_{\nu }\left( z\right) \cos \frac{\mu + \nu }{2}\pi }\right\rbrack . \] \( {S}_{\mu ,\nu }\left( z\right) \) 比 \( {s}_{\mu ,\nu }\left( z\right) \) 更常用,这是因为 \( {s}_{\mu ,\nu }\left( z\right) \) 在 \( \mu + \nu \) 或 \( \mu \) \( - \nu \) 为负奇数时无意义,但 \( {S}_{\mu ,\nu }\left( z\right) \) 无此限制. 当 \( \mu + \nu \) 或 \( \mu - \nu \) 是正奇数时, \( {S}_{\mu ,\nu }\left( z\right) \) 成为多项式. 施勒夫利多项式和诺伊曼多项式都是洛默尔函数的特殊情形. 诺伊曼多项式 (Neumann polynomial) 由展开式 \[ \frac{1}{t - z} = {O}_{0}\left( t\right) {J}_{0}\left( z\right) + 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{O}_{n}\left( t\right) {J}_{n}\left( z\right) \left( {\left| z\right| < \left| t\right| }\right) \] 所定义的多项式 \( {O}_{n}\left( t\right) \) ,其中 \( {J}_{n}\left( z\right) \) 为第一类贝塞尔函数. \[ {O}_{0}\left( t\right) = \frac{1}{t} \] \[ {O}_{n}\left( t\right) = \frac{n}{4}\mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{\left\lbrack n/2\right\rbrack }\frac{\left( {n - j - 1}\right) !}{j!}{\left( \frac{t}{2}\right) }^{{2j} - n - 1} \] \[ \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \text{.} \] 它们是洛默尔函数的特殊情形, \[ {O}_{2n}\left( t\right) = \frac{1}{t}{S}_{1,{2n}}\left( t\right) , \] \[ {O}_{{2n} + 1}\left( t\right) = \frac{{2n} + 1}{t}{S}_{0,{2n} + 1}\left( t\right) . \] 历史上, \( {O}_{n}\left( t\right) \) 是诺伊曼 (Neumann, C. G. ) 在求解非齐次微分方程 \[ {t}^{2}\frac{{\mathrm{d}}^{2}v}{\mathrm{\;d}{t}^{2}} + {3t}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{\;d}t} + \left( {{t}^{2} + 1 - {n}^{2}}\right) v \] \[ = t{\cos }^{2}\frac{n\pi }{2} + n{\sin }^{2}\frac{n\pi }{2} \] 时得到的. 施勒夫利多项式(Schläfli polynomial) 非齐次贝塞尔微分方程 \[\left\lbrack {{z}^{2}\frac{{\mathrm{d}}^{2}}{\mathrm{\;d}{z}^{2}} + z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} + \left( {{z}^{2} - {n}^{2}}\right) }\right\rbrack {S}_{n}\left( z\right) \] \[ = {2n} + 2\left( {z - n}\right) {\sin }^{2}\frac{n\pi }{2}\] 的解. 即函数 \[{S}_{0}\left( t\right) = 0,\] \[{S}_{n}\left( t\right) = \frac{2}{n}\left\lbrack {t{O}_{n}\left( t\right) - {\cos }^{2}\frac{n\pi }{2}}\right\rbrack \] \[ = \mathop{\sum }\limits_{{m = 0}}^{\left\lbrack n/2\right\rbrack }\frac{\left( {n - m - 1}\right) !}{m!}{\left( \frac{t}{2}\right) }^{-n + {2m}}\] \[\left( {n = 1,2,\cdots }\right) \text{,}\] \[{S}_{-n}\left( t\right) = {\left( -1\right) }^{n + 1}{S}_{n}\left( t\right) \] \[\left( {n = 1,2,\cdots }\right) \text{,}\] 其中 \( {O}_{n}\left( t\right) \) 为诺伊曼多项式. 它们是洛默尔函数的特殊情形, \[{S}_{2n}\left( t\right) = {4n}{S}_{-1,{2n}}\left( t\right) ,\] \[{S}_{{2n} + 1}\left( t\right) = 2{S}_{0,{2n} + 1}\left( t\right) .\] 施勒夫利多项式比诺伊曼多项式更常用, 因为它的某些性质在形式上更简单. 椭圆积分 (elliptic integral) 计算椭圆弧长时出现的积分. 形式为 \[\int R\left( {z,\sqrt{\varphi \left( z\right) }}\right) \mathrm{d}z\] 其中 \( R\left( {z, w}\right) \) 是 \( z \) 和 \( w \) 的有理函数, \( \varphi \left( z\right) \) 是 \( z \) 的 (复系数)三次或四次多项式. 通过自变量的分式线性变换, 总可以将椭圆积分化为标准形式. 常用的标准形式有两种: 勒让德型椭圆积分和外尔斯特拉斯型椭圆积分. 当多项式 \( \varphi \left( z\right) \) 的次数高于 4 时,则称为超椭圆积分. 超椭圆积分 (hyperelliptic integral) 见 “椭圆积分”. 勒让德型椭圆积分 (elliptic integral in Legendre's form) 亦称不完全椭圆积分. 椭圆积分的一种常用的标准形式. 根据被积函数的解析性质, 可分为 \[F\left( {k,\varphi }\right) = {\int }_{0}^{\varphi }\frac{\mathrm{d}\varphi }{\sqrt{1 - {k}^{2}{\sin }^{2}\varphi }}\] \[ = {\int }_{0}^{\sin \varphi }\frac{\mathrm{d}z}{\sqrt{\left( {1 - {z}^{2}}\right) \left( {1 - {k}^{2}{z}^{2}}\right) }},\] \[E\left( {k,\varphi }\right) = {\int }_{0}^{\varphi }\sqrt{1 - {k}^{2}{\sin }^{2}\varphi }\mathrm{d}\varphi \] \[ = {\int }_{0}^{\sin \varphi }\sqrt{\frac{1 - {k}^{2}{z}^{2}}{1 - {z}^{2}}}\mathrm{\;d}z\] \[\Pi \left( {h, k,\varphi }\right) = {\int }_{0}^{\varphi }\frac{\mathrm{d}\varphi }{\left( {1 + h{\sin }^{2}\varphi }\right) \sqrt{1 - {k}^{2}{\sin }^{2}\varphi }}\] \[ = {\int }_{0}^{\sin \varphi }\frac{\mathrm{d}z}{\left( {1 + h{z}^{2}}\right) \sqrt{\left( {1 - {z}^{2}}\right) \left( {1 - {k}^{2}{z}^{2}}\right) }},\] 分别称为第一类、第二类和第三类 (不完全) 椭圆积分, 对应于被积函数除根式型枝点外没有奇点、或只有留数为 0 的极点、或具有留数不为 0 的极点这三种情形. \( k \) 称为模数, \( h \) 为参数. 另外,在椭圆积分中还常出现 \( {k}^{\prime } = \sqrt{1 - {k}^{2}} \) ,称为补模数. \( \varphi = \pi /2 \) 时的勒让德型椭圆积分,称为完全椭圆积分. 它们有 \[ K = K\left( k\right) = F\left( {k,\frac{\pi }{2}}\right) = {\int }_{0}^{\pi /2}\frac{\mathrm{d}\varphi }{\sqrt{1 - {k}^{2}{\sin }^{2}\varphi }} \] \[ = {\int }_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}z}{\sqrt{\left( {1 - {z}^{2}}\right) \left( {1 - {k}^{2}{z}^{2}}\right) }}, \] \[ E = E\left( k\right) = E\left( {k,\frac{\pi }{2}}\right) = {\int }_{0}^{\pi /2}\sqrt{1 - {k}^{2}{\sin }^{2}\varphi }\mathrm{d}\varphi \] \[ = {\int }_{0}^{1}\sqrt{\frac{1 - {k}^{2}{z}^{2}}{1 - {z}^{2}}}\mathrm{\;d}z \] \[ {\Pi }_{1} = {\Pi }_{1}\left( {h, k}\right) = \Pi \left( {h, k,\frac{\pi }{2}}\right) \] \[ = {\int }_{0}^{\pi /2}\frac{\mathrm{d}\varphi }{\left( {1 + h{\sin }^{2}\varphi }\right) \sqrt{1 - {k}^{2}{\sin }^{2}\varphi }} \] \[ = {\int }_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}z}{\left( {1 + h{z}^{2}}\right) \sqrt{\left( {1 - {z}^{2}}\right) \left( {1 - {k}^{2}{z}^{2}}\right) }}. \] 分别为第一类、第二类和第三类完全椭圆积分. 勒让德标准型椭圆积分较适合于数值计算. 不完全椭圆积分 (incomplete elliptic integral) 见“勒让德型椭圆积分”. 第一类不完全椭圆积分 (incomplete elliptic integral of the first kind) 见“勒让德型椭圆积分”. 第二类不完全椭圆积分 (incomplete elliptic integral of the second kind) 见 “勒让德型椭圆积分”. 第三类不完全椭圆积分 (incomplete elliptic integral of the third kind) 见“勒让德型椭圆积分”. 完全椭圆积分 (complete elliptic integral) 见 “勒让德型椭圆积分”. 第一类完全椭圆积分 (complete elliptic integral of the first kind) 见“勒让德型椭圆积分”. 第二类完全椭圆积分 (complete elliptic integral of the second kind) 见“勒让德型椭圆积分”. 第三类完全椭圆积分 (complete elliptic integral of the third kind) 见“勒让德型椭圆积分”. 外尔斯特拉斯型椭圆积分 (elliptic integral in Weierstrass' form) 椭圆积分的另一种常用的标准形式. \[ {I}_{1} = \int \frac{\mathrm{d}z}{\sqrt{4{z}^{3} - {g}_{2}z - {g}_{3}}}, \] \[ {I}_{2} = \int \frac{z\mathrm{\;d}z}{\sqrt{4{z}^{3} - {g}_{2}z - {g}_{3}}}, \] \[ {I}_{3} = \int \frac{\mathrm{d}z}{\left( {z - c}\right) \sqrt{4{z}^{3} - {g}_{2}z - {g}_{3}}} \] 分别称为第一类、第二类和第三类外尔斯特拉斯型椭圆积分,常数 \( {g}_{2} \) 和 \( {g}_{3} \) 称为不变量. 外尔斯特拉斯标准型椭圆积分比较对称, 因此在理论研究上更为适用. 第一类外尔斯特拉斯型椭圆积分 (Weierstrass, elliptic integral of the first kind) 见“外尔斯特拉斯型椭圆积分”. 第二类外尔斯特拉斯型椭圆积分 (Weierstrass, elliptic integral of the second kind) 见“外尔斯特拉斯型椭圆积分”. 第三类外尔斯特拉斯型椭圆积分 (Weierstrass, elliptic integral of the third kind) 见“外尔斯特拉斯型椭圆积分”. 椭圆函数 (elliptic function) 亦称第一类椭圆函数. 双周期亚纯函数的统称. 在历史上, 椭圆函数是作为椭圆积分的反函数而引入的, 故名. 设 \( {2\omega },2{\omega }^{\prime } \) 为椭圆函数 \( f\left( z\right) \) 的两个基本周期,且 \[ \operatorname{Im}{\omega }^{\prime }/\omega > 0, \] \[ f\left( {z + {2\omega }}\right) = f\left( {z + 2{\omega }^{\prime }}\right) = f\left( z\right) , \] \( f\left( z\right) \) 在以任意一点 \( z \) 及 \( z + {2\omega }, z + {2\omega } + 2{\omega }^{\prime }, z + 2{\omega }^{\prime } \) 为顶点的平行四边形 (称为周期平行四边形) 内极点的个数 ( \( n \) 阶极点算作 \( n \) 个极点) 称为椭圆函数 \( f\left( z\right) \) 的阶. 椭圆函数具有下列性质: 1. 若 \( f\left( z\right) \) 为椭圆函数,则其任意阶导数 \( {f}^{\left( n\right) }\left( z\right) \) 也是椭圆函数, 基本周期不变. 2. 椭圆函数的阶有限. 3. 刘维尔第一定理: 零阶椭圆函数必为常数. 4. 刘维尔第二定理: 椭圆函数在任一周期平行四边形内各极点处留数之和必为 0 . 因此, 椭圆函数在任一周期平行四边形内不可能只有一个 (一阶) 极点. 换言之, 不存在一阶椭圆函数. 5. 椭圆函数在任一周期平行四边形内零点的个数 ( \( n \) 阶零点算作 \( n \) 个零点) 等于它的阶. 6. 刘维尔第三定理: 对于任一常数 \( C \) ,方程 \( f\left( z\right) \) \( = C \) 在周期平行四边形内根的个数 ( \( n \) 重根算作 \( n \) 个根) 等于 \( f\left( z\right) \) 的阶. 7. 刘维尔第四定理: 在一个周期平行四边形内, 椭圆函数零点 \( {a}_{k}\left( {k = 1,2,\cdots }\right) \) 之和与极点 \( {b}_{k}(k = 1 \) , \( 2,\cdots ) \) 之和相差某一周期,即 \[ \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{k} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{b}_{k} = {2m\omega } + 2{m}^{\prime }{\omega }^{\prime }, \] \( m,{m}^{\prime } \) 为整数. 最简单的椭圆函数是二阶椭圆函数. 在这些函数中, 或者把 (在任一周期平行四边形中) 具有一个二阶极点 (留数为 0 ) 的函数选作标准函数 (外尔斯特拉斯椭圆函数), 或者把具有两个一阶极点 (留数互相抵消)的函数选作标准函数 (雅可比椭圆函数). 第一类椭圆函数 (elliptic function of the first kind) 即“椭圆函数”. 周期平

2000_数学辞海（第3卷）

\) 阶极点算作 \( n \) 个极点) 称为椭圆函数 \( f\left( z\right) \) 的阶. 椭圆函数具有下列性质: 1. 若 \( f\left( z\right) \) 为椭圆函数,则其任意阶导数 \( {f}^{\left( n\right) }\left( z\right) \) 也是椭圆函数, 基本周期不变. 2. 椭圆函数的阶有限. 3. 刘维尔第一定理: 零阶椭圆函数必为常数. 4. 刘维尔第二定理: 椭圆函数在任一周期平行四边形内各极点处留数之和必为 0 . 因此, 椭圆函数在任一周期平行四边形内不可能只有一个 (一阶) 极点. 换言之, 不存在一阶椭圆函数. 5. 椭圆函数在任一周期平行四边形内零点的个数 ( \( n \) 阶零点算作 \( n \) 个零点) 等于它的阶. 6. 刘维尔第三定理: 对于任一常数 \( C \) ,方程 \( f\left( z\right) \) \( = C \) 在周期平行四边形内根的个数 ( \( n \) 重根算作 \( n \) 个根) 等于 \( f\left( z\right) \) 的阶. 7. 刘维尔第四定理: 在一个周期平行四边形内, 椭圆函数零点 \( {a}_{k}\left( {k = 1,2,\cdots }\right) \) 之和与极点 \( {b}_{k}(k = 1 \) , \( 2,\cdots ) \) 之和相差某一周期,即 \[ \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{k} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{b}_{k} = {2m\omega } + 2{m}^{\prime }{\omega }^{\prime }, \] \( m,{m}^{\prime } \) 为整数. 最简单的椭圆函数是二阶椭圆函数. 在这些函数中, 或者把 (在任一周期平行四边形中) 具有一个二阶极点 (留数为 0 ) 的函数选作标准函数 (外尔斯特拉斯椭圆函数), 或者把具有两个一阶极点 (留数互相抵消)的函数选作标准函数 (雅可比椭圆函数). 第一类椭圆函数 (elliptic function of the first kind) 即“椭圆函数”. 周期平行四边形 (period parallelogram) 见 “椭圆函数”. 椭圆函数的阶 (order of elliptic function) 见 “椭圆函数”. 第二类椭圆函数 (elliptic function of the second kind) 椭圆函数的推广之一. 如果亚纯函数 \( f\left( u\right) \) 满足 \[ f\left( {u + 2{\omega }_{1}}\right) = {\mu }_{1}f\left( u\right) , \] \[ f\left( {u + 2{\omega }_{3}}\right) = {\mu }_{3}f\left( u\right) \] ( \( {\omega }_{1},{\omega }_{3} \) 及 \( {\mu }_{1},{\mu }_{3} \) 均为常数),则称 \( f\left( u\right) \) 为第二类椭圆函数. 例如, \[ f\left( u\right) = \frac{{\mathrm{e}}^{\rho u}\sigma \left( {u - v}\right) }{\sigma \left( u\right) }, \] 其中 \( \sigma \left( u\right) \) 为外尔斯特拉斯 \( \sigma \) 函数, \( \rho \) 及 \( v \) 为常数. 此时 \( {\mu }_{i} = {\mathrm{e}}^{{2\rho }{\omega }_{i} - {2v}{\eta }_{i}}\left( {i = 1,3}\right) .{\eta }_{i} \) 的定义见 “外尔斯特拉斯 \( \zeta \) 函数”. \( 2{\omega }_{1} \) 及 \( 2{\omega }_{3} \) 仍称为第二类椭圆函数的基本周期. 第三类椭圆函数 (elliptic function of the third kind) 椭圆函数的进一步推广. 如果亚纯函数 \( f\left( u\right) \) 满足 \[ f\left( {u + 2{\omega }_{i}}\right) = {\mathrm{e}}^{{a}_{i}u + {b}_{i}}f\left( u\right) \;\left( {i = 1,3}\right) \] ( \( {\omega }_{i} \) 及 \( {a}_{i},{b}_{i} \) 均为常数),则称 \( f\left( u\right) \) 为第三类椭圆函数. 外尔斯特拉斯 \( \sigma \) 函数就属于第三类椭圆函数. \( 2{\omega }_{1} \) 及 \( 2{\omega }_{3} \) 仍称为第三类椭圆函数的基本周期. 椭圆 \( \vartheta \) 函数 (elliptic theta function) 周期为 1 和 \( \tau \left( {\operatorname{Im}\tau > 0}\right) \) 的第三类椭圆函数. 定义为 \[ {\vartheta }_{1}\left( v\right) = 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}{q}^{{\left( n + 1/2\right) }^{2}}\sin \left( {{2n} + 1}\right) {\pi v}, \] \[ {\vartheta }_{2}\left( v\right) = 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{q}^{{\left( n + 1/2\right) }^{2}}\cos \left( {{2n} + 1}\right) {\pi v}, \] \[ {\vartheta }_{3}\left( v\right) = 1 + 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{q}^{{n}^{2}}\cos {2n\pi v}, \] \[ {\vartheta }_{4}\left( v\right) = 1 + 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}{q}^{{n}^{2}}\cos {2n\pi v} = {\vartheta }_{0}\left( v\right) , \] 其中 \( q = {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi r}} \) . \[ {\vartheta }_{1}\left( {v + 1}\right) = - {\vartheta }_{1}\left( v\right) ,\;{\vartheta }_{1}\left( {v + \tau }\right) = - {q}^{-1}{\mathrm{e}}^{-{2\pi vi}}{\vartheta }_{1}\left( v\right) , \] \[ {\vartheta }_{2}\left( {v + 1}\right) = - {\vartheta }_{2}\left( v\right) ,\;{\vartheta }_{2}\left( {v + \tau }\right) = {q}^{-1}{\mathrm{e}}^{-{2\pi v}\mathrm{i}}{\vartheta }_{2}\left( v\right) , \] \[ {\vartheta }_{3}\left( {v + 1}\right) = {\vartheta }_{3}\left( v\right) ,\;{\vartheta }_{3}\left( {v + \tau }\right) = {q}^{-1}{\mathrm{e}}^{-{2\pi vi}}{\vartheta }_{3}\left( v\right) , \] \[ {\vartheta }_{4}\left( {v + 1}\right) = {\vartheta }_{4}\left( v\right) ,\;{\vartheta }_{4}\left( {v + \tau }\right) = - {q}^{-1}{\mathrm{e}}^{-{2\pi vi}}{\vartheta }_{4}\left( v\right) . \] 任何椭圆函数都可表示为几个 \( \vartheta \) 函数之商. 有时还把 \( {\vartheta }_{i}\left( v\right) \) 写成 \( {\vartheta }_{i}\left( {v \mid \tau }\right) \) 以标明周期. 外尔斯特拉斯椭圆函数 Weierstrass elliptic function) 二阶椭圆函数的标准形式之一. 它是外尔斯特拉斯椭圆积分 \[ u = {\int }_{\infty }^{z}\frac{\mathrm{d}z}{\sqrt{4{z}^{3} - {g}_{2}z - {g}_{3}}} \] 的反函数,记为 \( z = \mathcal{P}\left( u\right) \) . 设 \( \mathcal{P}\left( u\right) \) 的基本周期为 \( 2{\omega }_{1} \) 及 \( 2{\omega }_{3} \) ,则 \[ \mathcal{P}\left( u\right) = \frac{1}{{u}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{m{m}^{\prime }}}{}^{\prime }\left\lbrack {\frac{1}{{\left( u - {\omega }_{m{m}^{\prime }}\right) }^{2}} - \frac{1}{{\omega }_{m{m}^{\prime }}^{2}}}\right\rbrack , \] 其中 \( {\omega }_{m{m}^{\prime }} = {2m}{\omega }_{1} + 2{m}^{\prime }{\omega }_{3},\mathop{\sum }\limits^{\prime } \) 表示对一切整数 \( m \) 及 \( {m}^{\prime } \) 求和, \( m = {m}^{\prime } = 0 \) 除外. \[ {g}_{2} = {60}\mathop{\sum }\limits_{{m{m}^{\prime }}}\frac{1}{{\omega }_{m{m}^{\prime }}^{4}}, \] \[ {g}_{3} = {140}\mathop{\sum }\limits_{{m{m}^{\prime }}}\frac{1}{{\omega }_{m{m}^{\prime }}^{6}}. \] 任何椭圆函数都可用 \( \mathcal{P}\left( u\right) \) 表示. \( \mathcal{P}\left( u\right) \) 可用外尔斯特拉斯 \( \zeta \) 函数 \( \zeta \left( u\right) \) 表示: \[\mathcal{P}\left( u\right) = - {\zeta }^{\prime }\left( u\right) .\] 外尔斯特拉斯 \( \zeta \) 函数 (Weierstrass zeta function) 具有一阶极点的亚纯函数. 定义为 \[\zeta \left( u\right) = \frac{1}{u} + \mathop{\sum }\limits_{{m{m}^{\prime }}}{}^{\prime }\left\lbrack {\frac{1}{u - {\omega }_{m{m}^{\prime }}} + \frac{u}{{\omega }_{m{m}^{\prime }}^{2}} + \frac{1}{{\omega }_{m{m}^{\prime }}}}\right\rbrack ,\] 其中 \( {\omega }_{m{m}^{\prime }} = {2m}{\omega }_{1} + 2{m}^{\prime }{\omega }_{3},\mathop{\sum }\limits^{\prime } \) 表示对一切整数 \( m \) 及 \( {m}^{\prime } \) 求和, \( m = {m}^{\prime } = 0 \) 除外. \( \zeta \left( u\right) \) 具有拟周期性,即 \[\zeta \left( {u + 2{\omega }_{i}}\right) = \zeta \left( u\right) + 2{\eta }_{i}\left( {i = 1,2,3}\right) ,\] 其中 \( {\omega }_{2} = - \left( {{\omega }_{1} + {\omega }_{3}}\right) ,{\eta }_{i} = \zeta \left( {\omega }_{i}\right) \) . 它不是双周期函数, 因而不是椭圆函数. \( \zeta \left( u\right) \) 可用外尔斯特拉斯 \( \sigma \) 函数 \( \sigma \left( u\right) \) 表示: \[\zeta \left( u\right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\ln \sigma \left( u\right) = \frac{{\sigma }^{\prime }\left( u\right) }{\sigma \left( u\right) }.\] 外尔斯特拉斯 \( \sigma \) 函数 (Weierstrass sigma function) 一种第三类椭圆函数. 定义为 \[\sigma \left( u\right) = u\mathop{\prod }\limits_{{m{m}^{\prime }}}\left\{ \left( {1 - \frac{u}{u - {\omega }_{m{m}^{\prime }}}}\right) \right. \] \[\left. {\times \exp \left( {\frac{u}{{\omega }_{m{m}^{\prime }}^{2}} + \frac{{u}^{2}}{{\omega }_{m{m}^{\prime }}^{2}}}\right) }\right\} ,\] 其中 \[{\omega }_{m{m}^{\prime }} = {2m}{\omega }_{1} + 2{m}^{\prime }{\omega }_{3},\] \( {\Pi }^{\prime } \) 表示对一切整数 \( m \) 及 \( {m}^{\prime } \) 求积, \( m = {m}^{\prime } = 0 \) 项除外. \( \sigma \left( u\right) \) 具有拟周期性,即 \[\sigma \left( {u + 2{\omega }_{i}}\right) = - {\mathrm{e}}^{-2{\eta }_{i}\left( {u + {\omega }_{i}}\right) }\sigma \left( u\right) \;\left( {i = 1,2,3}\right) ,\] 其中 \( {\omega }_{2} = - \left( {{\omega }_{1} + {\omega }_{3}}\right) ,{\eta }_{i} = \zeta \left( {\omega }_{i}\right) ,\zeta \left( u\right) \) 为外尔斯特拉 斯 \( \zeta \) 函数. 余 \( \sigma \) 函数 (co-sigma function) 三个第三类椭圆函数的统称. 可由外尔斯特拉斯 \( \sigma \) 函数定义, \[{\sigma }_{i}\left( u\right) = \frac{{\mathrm{e}}^{-{\eta }_{i}u}\sigma \left( {u + {\omega }_{i}}\right) }{\sigma \left( {\omega }_{i}\right) }\;\left( {i = 1,2,3}\right) ,\] 其中 \( {\omega }_{i} \) 及 \( {\eta }_{i} \) 的定义见 “外尔斯特拉斯 \( \zeta \) 函数”. 雅可比椭圆函数 (Jacobian elliptic function) 二阶椭圆函数的标准形式之一. 包括第一类勒让德型椭圆积分 \[ w = {\int }_{0}^{z}\frac{\mathrm{d}z}{\sqrt{\left( {1 - {z}^{2}}\right) \left( {1 - {k}^{2}{z}^{2}}\right) }} \] \[ = {\int }_{0}^{\varphi }\frac{\mathrm{d}\varphi }{\sqrt{1 - {k}^{2}{\sin }^{2}\varphi }} \] 的反函数 \( z = \operatorname{sn}w \) 及下列有关函数: \[ \operatorname{cn}w = \sqrt{1 - {\operatorname{sn}}^{2}w},\;\mathrm{\;d}{nw} = \sqrt{1 - {k}^{2}{\operatorname{sn}}^{2}w}, \] nt \( w = \frac{\operatorname{cn}w}{\operatorname{sn}w} \) , \[ \operatorname{tn}w = \frac{\operatorname{sn}w}{\operatorname{cn}w} \] \( \operatorname{sd}w = \frac{\operatorname{sn}w}{\operatorname{dn}w} \) \[ \mathrm{{ds}}w = \frac{\mathrm{{dn}}w}{\mathrm{{sn}}w} \] \( \operatorname{cd}w = \frac{\operatorname{cn}w}{\operatorname{dn}w} \) \[ \operatorname{dc}w = \frac{\operatorname{dn}w}{\operatorname{cn}w} \] ns \( w = \frac{1}{\operatorname{sn}w} \) , \[ \text{nc}w = \frac{1}{\text{cn}w}\text{,} \] \( \operatorname{nd}w = \frac{1}{\operatorname{dn}w}. \) \[ \varphi = \operatorname{am}w, \] \( \operatorname{sn}w \) 是奇函数, \( \operatorname{cn}w \) 和 \( \operatorname{dn}w \) 是偶函数,它们分别是以 \( {4K},2\mathrm{i}{K}^{\prime };{4K},{2K} + 2\mathrm{i}{K}^{\prime } \) 和 \( {2K},4\mathrm{i}{K}^{\prime } \) 为基本周期的椭圆函数,其中 \( K = K\left( k\right) = F\left( {k,\pi /2}\right) \) 为第一类完全椭圆积分, \( {K}^{\prime } = K\left( {k}^{\prime }\right) = F\left( {{k}^{\prime },\pi /2}\right) ,{k}^{\prime } = \) \( \sqrt{1 - {k}^{2}} \) . 雅可比 \( \Theta \) 函数 (Jacobian \( \Theta \) function) 雅可比 (Jacobi, C. G. J. ) 研究椭圆函数时最初引进的 \( \Theta \) 函数. 即 \[ \Theta \left( w\right) = {\vartheta }_{4}\left( {\left. \frac{w}{2K}\right| \;\frac{\mathrm{i}{K}^{\prime }}{K}}\right) , \] 其中 \( {\vartheta }_{4} \) 为椭圆 \( \vartheta \) 函数 \( {\vartheta }_{4}\left( {v \mid \tau }\right) \) ,第二类椭圆积分 \[ E\left( {k,\varphi }\right) = {\int }_{0}^{\varphi }\sqrt{1 - {k}^{2}{\sin }^{2}\varphi }\mathrm{d}\varphi \] \[ = {\int }_{0}^{\sin \varphi }\sqrt{\frac{1 - {k}^{2}{z}^{2}}{1 - {z}^{2}}}\mathrm{\;d}z \] \[ = {\int }_{0}^{w}{\operatorname{dn}}^{2}w\mathrm{\;d}w\;\left( {\varphi = \operatorname{am}w}\right) \] 可用 \( \Theta \) 函数表示 \[ E\left( {k,\varphi }\right) = \frac{{\Theta }^{\prime }\left( w\right) }{\Theta \left( w\right) } + \frac{E}{K}w, \] 其中 \[ K\left( k\right) = F\left( {k,\frac{\pi }{2}}\right) \] 和 \[ E\left( k\right) = E\left( {k,\frac{\pi }{2}}\right) \] 分别为第一类和第二类完全椭圆积分. 雅可比 \( \zeta \) 函数 (Jacobian zeta function) 雅可比 \( \Theta \) 函数的对数微商. \[ \operatorname{zn}\left( {z, k}\right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\l

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) 函数. 即 \[ \Theta \left( w\right) = {\vartheta }_{4}\left( {\left. \frac{w}{2K}\right| \;\frac{\mathrm{i}{K}^{\prime }}{K}}\right) , \] 其中 \( {\vartheta }_{4} \) 为椭圆 \( \vartheta \) 函数 \( {\vartheta }_{4}\left( {v \mid \tau }\right) \) ,第二类椭圆积分 \[ E\left( {k,\varphi }\right) = {\int }_{0}^{\varphi }\sqrt{1 - {k}^{2}{\sin }^{2}\varphi }\mathrm{d}\varphi \] \[ = {\int }_{0}^{\sin \varphi }\sqrt{\frac{1 - {k}^{2}{z}^{2}}{1 - {z}^{2}}}\mathrm{\;d}z \] \[ = {\int }_{0}^{w}{\operatorname{dn}}^{2}w\mathrm{\;d}w\;\left( {\varphi = \operatorname{am}w}\right) \] 可用 \( \Theta \) 函数表示 \[ E\left( {k,\varphi }\right) = \frac{{\Theta }^{\prime }\left( w\right) }{\Theta \left( w\right) } + \frac{E}{K}w, \] 其中 \[ K\left( k\right) = F\left( {k,\frac{\pi }{2}}\right) \] 和 \[ E\left( k\right) = E\left( {k,\frac{\pi }{2}}\right) \] 分别为第一类和第二类完全椭圆积分. 雅可比 \( \zeta \) 函数 (Jacobian zeta function) 雅可比 \( \Theta \) 函数的对数微商. \[ \operatorname{zn}\left( {z, k}\right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\ln \Theta \left( z\right) = \frac{{\Theta }^{\prime }\left( z\right) }{\Theta \left( z\right) }. \] \( \operatorname{zn}\left( {z, k}\right) \) 是周期函数,周期为 \( {2K}\left( k\right) \) ,且以 \( {nK}(n = \) \( 0,1,2,\cdots ) \) 为其零点, \[\operatorname{zn}\left( {z, k}\right) = \frac{\pi }{K}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\sin \frac{n\pi }{K}z}{\sinh \frac{n\pi }{K}{K}^{\prime }},\] 其中 \( {K}^{\prime } \equiv K\left( {k}^{\prime }\right) ,{k}^{\prime } = \sqrt{1 - {k}^{2}} \) . 椭球坐标系 (ellipsoidal coordinates) 正交曲线坐标系的一种. 设 \( c < b < a \) ,给定空间一点 \( (x, y \) , \( z) \) ,则 \( \theta \) 的三次方程 \[F\left( \theta \right) \equiv \frac{{x}^{2}}{{a}^{2} + \theta } + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2} + \theta } + \frac{{z}^{2}}{{c}^{2} + \theta } - 1 = 0\] 在区间 \[ - {c}^{2} < \theta , - {b}^{2} < \theta < - {c}^{2}, - {a}^{2} < \theta < - {b}^{2}\] 中各有一个实根 \( \lambda ,\mu ,\nu, F\left( \lambda \right) = 0, F\left( \mu \right) = 0 \) 和 \( F\left( \nu \right) \) \( = 0 \) 分别为通过点 \( \left( {x, y, z}\right) \) 、与椭球面 \[\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} + \frac{{z}^{2}}{{c}^{2}} - 1 = 0\] 共焦、且互相正交的椭球面、单叶双曲面和双叶双曲面. \( \left( {\lambda ,\mu ,\nu }\right) \) 称为点 \( \left( {x, y, z}\right) \) 的椭球坐标, \[{x}^{2} = \frac{\left( {{a}^{2} + \lambda }\right) \left( {{a}^{2} + \mu }\right) \left( {{a}^{2} + \nu }\right) }{\left( {{a}^{2} - {b}^{2}}\right) \left( {{a}^{2} - {c}^{2}}\right) },\] \[{y}^{2} = \frac{\left( {{b}^{2} + \lambda }\right) \left( {{b}^{2} + \mu }\right) \left( {{b}^{2} + \nu }\right) }{\left( {{b}^{2} - {a}^{2}}\right) \left( {{b}^{2} - {c}^{2}}\right) },\] \[{z}^{2} = \frac{\left( {{c}^{2} + \lambda }\right) \left( {{c}^{2} + \mu }\right) \left( {{c}^{2} + \nu }\right) }{\left( {{c}^{2} - {a}^{2}}\right) \left( {{c}^{2} - {b}^{2}}\right) }.\] 椭球坐标还可以用椭圆函数 (例如, 用雅可比椭圆函数)表示. 令 \[{a}^{2} + \lambda = \left( {{a}^{2} - {b}^{2}}\right) {\operatorname{sn}}^{2}\alpha ,\] \[{a}^{2} + \mu = \left( {{a}^{2} - {b}^{2}}\right) {\operatorname{sn}}^{2}\beta ,\] \[{a}^{2} + \nu = \left( {{a}^{2} - {b}^{2}}\right) {\operatorname{sn}}^{2}\gamma ,\] 则有 \[x = {k}^{2}\sqrt{{a}^{2} - {c}^{2}}\operatorname{sn}\alpha \operatorname{sn}\beta \operatorname{sn}\gamma ,\] \[y = - \frac{{k}^{2}}{{k}^{\prime }}\sqrt{{a}^{2} - {c}^{2}}\operatorname{cn}\alpha \operatorname{cn}\beta \operatorname{cn}\gamma ,\] \[z = \frac{\mathrm{i}}{{k}^{\prime }}\sqrt{{a}^{2} - {c}^{2}}\operatorname{dn}\alpha \operatorname{dn}\beta \operatorname{dn}\gamma ,\] 其中 \[{k}^{2} = \frac{{a}^{2} - {b}^{2}}{{a}^{2} - {c}^{2}},\;{k}^{\prime 2} = 1 - {k}^{2}.\] 拉梅微分方程 (Lamé differential equation) 有四个正则奇点 \( \left( {-{a}^{2}, - {b}^{2}, - {c}^{2}\text{及}\infty }\right) \) 的富克斯型方程, 最先由拉梅 (Lamé, G. ) 在椭球坐标系中将拉普拉斯方程分离变量时得到, 故名. 它的代数形式为 \[\frac{{\mathrm{d}}^{2}\Lambda }{\mathrm{d}{\lambda }^{2}} + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{a}^{2} + \lambda } + \frac{1}{{b}^{2} + \lambda } + \frac{1}{{c}^{2} + \lambda }}\right) \frac{\mathrm{d}\Lambda }{\mathrm{d}\lambda }\] \[ - \frac{{K\lambda } + C}{4\left( {{a}^{2} + \lambda }\right) \left( {{b}^{2} + \lambda }\right) \left( {{c}^{2} + \lambda }\right) }\Lambda = 0\] 或 \[\frac{{\mathrm{d}}^{2}\Lambda }{\mathrm{d}{s}^{2}} + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{s} + \frac{1}{s - 1} + \frac{1}{s - h}}\right) \frac{\mathrm{d}\Lambda }{\mathrm{d}s}\] \[ - \frac{{Ks} + H}{{4s}\left( {s - 1}\right) \left( {s - h}\right) }\Lambda = 0, \] 其中 \( a, b, c \) 及 \( K, C \) 均为常数, \[ s = \frac{{a}^{2} + \lambda }{{a}^{2} - {b}^{2}}, h = \frac{{a}^{2} - {c}^{2}}{{a}^{2} - {b}^{2}}, H = \frac{C - K{a}^{2}}{{a}^{2} - {b}^{2}}. \] 为了适应不同的研究目的, 常将拉梅方程化为不同的形式, 例如, 修正的代数形式 \[ \frac{{\mathrm{d}}^{2}\Lambda }{\mathrm{d}{p}^{2}} + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{p - {e}_{1}} + \frac{1}{p - {e}_{2}} + \frac{1}{p - {e}_{3}}}\right) \frac{\mathrm{d}\Lambda }{\mathrm{d}p} \] \[ - \frac{{Kp} + B}{4\left( {p - {e}_{1}}\right) \left( {p - {e}_{2}}\right) \left( {p - {e}_{3}}\right) }\Lambda = 0, \] 三角形式 (其中 \( {k}^{2} = 1/h \) ) \[ \left\lbrack {1 - {\left( k\cos \zeta \right) }^{2}}\right\rbrack \frac{{\mathrm{d}}^{2}\Lambda }{\mathrm{d}{\zeta }^{2}} + {k}^{2}\cos \zeta \sin \zeta \frac{\mathrm{d}\Lambda }{\mathrm{d}\zeta } \] \[ - \left\lbrack {K{\left( k\cos \zeta \right) }^{2} - A}\right\rbrack \Lambda = 0, \] 外尔斯特拉斯形式 \[ \frac{{\mathrm{d}}^{2}\Lambda }{\mathrm{d}{u}^{2}} = \left\lbrack {K\mathcal{P}\left( u\right) + B}\right\rbrack \Lambda , \] 和雅可比形式 \[ \frac{{\mathrm{d}}^{2}\Lambda }{\mathrm{d}{\alpha }^{2}} = \left\lbrack {K{k}^{2}{\operatorname{sn}}^{2}\left( {\alpha, k}\right) + A}\right\rbrack \Lambda , \] 其中 \( \mathcal{P}\left( u\right) \) 是外尔斯特拉斯椭圆函数, sn \( \alpha \) 是雅可比椭圆函数. 拉梅函数 (Lamé function) \( n \) 为非负整数时, 拉梅方程 \[ \frac{{\mathrm{d}}^{2}\Lambda }{\mathrm{d}{s}^{2}} + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{s} + \frac{1}{s - 1} + \frac{1}{s - h}}\right) \frac{\mathrm{d}\Lambda }{\mathrm{d}s} \] \[ - \frac{n\left( {n + 1}\right) s + H}{{4s}\left( {s - 1}\right) \left( {s - h}\right) }\Lambda = 0 \] 的多项式解. 由于拉梅方程是富克斯型方程, 有四个正则奇点: \( s = 0,1, h \) 和 \( \infty \) ,前三个奇点的指标都是 0 和 \( 1/2 \) ,而奇点 \( \infty \) 的指标则为 \( - n/2 \) 和 \( \left( {n + 1}\right) /2 \) ,因此,考虑到在 \( 0,1, h \) 处的奇异性,不妨将拉梅方程的解写成 \[ {s}^{\rho }{\left( s - 1\right) }^{\sigma }{\left( s - h\right) }^{\tau }\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\infty }{a}_{k}{s}^{k} \] 的形式. 当 \( H \) 取某些特定值时,无穷级数可以截断为多项式. 在这些多项式解中, \[ {E}_{n}^{m}\left( s\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\left\lbrack n/2\right\rbrack }{a}_{k}{s}^{\rho + k}, \] \[ \rho = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & n = \text{ 偶数,} \\ 1/2 & n = \text{ 奇数,} \end{array}\right. \] 有 \( \left\lbrack {n/2}\right\rbrack + 1 \) 个 (对应于 \( H \) 的 \( \left\lbrack {n/2}\right\rbrack + 1 \) 个特定值), 称为第一类拉梅函数. 第二类和第三类拉梅函数的形式是 \[ {E}_{n}^{m}\left( s\right) = {\left( s - 1\right) }^{1/2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\left\lbrack \left( n - 1\right) /2\right\rbrack }{b}_{k}{s}^{\rho + k}, \] \[ {E}_{n}^{m}\left( s\right) = {\left( s - h\right) }^{1/2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\left\lbrack \left( n - 1\right) /2\right\rbrack }{c}_{k}{s}^{\rho + k}, \] \[ \rho = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & n = \text{ 奇数,} \\ 1/2 & n = \text{ 偶数,} \end{array}\right. \] 各有 \( \left\lbrack {\left( {n + 1}\right) /2}\right\rbrack \) 个,第四类拉梅函数的形式是 \[{E}_{n}^{m}\left( s\right) = {\left\lbrack \left( s - 1\right) \left( s - h\right) \right\rbrack }^{1/2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{\left\lbrack {n/2}\right\rbrack - 1}}{d}_{k}{s}^{\rho + k},\] \[\rho = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & n = \text{ 偶数,} \\ 1/2 & n = \text{ 奇数,} \end{array}\right. \] 有 \( \left\lbrack {n/2}\right\rbrack \) 个. 这四类拉梅函数总称第一种拉梅函数 (亦称拉梅多项式),共 \( {2n} + 1 \) 个,对应于 \( H \) 的 \( {2n} + 1 \) 个特定值. 这时拉梅方程的另一解 (当然也共有 \( {2n} \) \( + 1 \) 个)为第二种拉梅函数. 如果将拉梅方程写成外尔斯特拉斯形式, 相应的第一种拉梅函数记为 \( {E}_{n}^{m}\left( p\right), p = \mathcal{P}\left( u\right) \) ,则第二种拉梅函数可以表示为 \[{F}_{n}^{m}\left( p\right) = \left( {{2n} + 1}\right) {E}_{n}^{m}\left( p\right) {\int }_{0}^{u}\frac{\mathrm{d}u}{{\left\lbrack {E}_{n}^{m}\left( p\right) \right\rbrack }^{2}}.\] 上面介绍是的拉梅函数的一种分类法. 在其他文献中还有别的分类法. 第一类拉梅函数 (Lamé function of the first species) 见“拉梅函数”. 第二类拉梅函数 (Lamé function of the second species) 见“拉梅函数”. 第三类拉梅函数 (Lamé function of the third species) 见“拉梅函数”. 第四类拉梅函数 (Lamé function of the fourth species) 见“拉梅函数”. 第一种拉梅函数 (Lamé function of the first kind) 见“拉梅函数”. 第二种拉梅函数 (Lamé function of the second kind) 见“拉梅函数”. 拉梅多项式 (Lamé polynomial) 即第一种拉梅函数. 见“拉梅函数”. 广义拉梅函数 (generalized Lamé function) 当 \( n \) 不是整数时,拉梅方程 \[\frac{{\mathrm{d}}^{2}\Lambda }{\mathrm{d}{s}^{2}} + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{s} + \frac{1}{s - 1} + \frac{1}{s - h}}\right) \frac{\mathrm{d}\Lambda }{\mathrm{d}s}\] \[ - \frac{n\left( {n + 1}\right) s + H}{{4s}\left( {s - 1}\right) \left( {s - h}\right) }\Lambda = 0\] 的解的总称. 它们在形式上可以用 \( P \) 符号 (参见 “黎曼微分方程”)表示: \[\Lambda = P\left\{ \begin{matrix} 0 & 1 & h & \infty & \\ 0 & 0 & 0 & - n/2; & {\operatorname{sn}}^{2}z \\ 1/2 & 1/2 & 1/2 & \left( {n + 1}\right) /2 & \end{matrix}\right\} .\] 周期拉梅函数 (periodic Lamé function) 在 0 \( < k < 1 \) 和 \( n\left( {n + 1}\right) \) 为实数 (即 \( n \) 为实数或 \( n = - 1/2 \) \( + \mathrm{i}p, p \) 为实数) 时,拉梅方程 \[\frac{{\mathrm{d}}^{2}\Lambda }{\mathrm{d}{z}^{2}} + \left\lbrack {\lambda - n\left( {n + 1}\right) {k}^{2}{\operatorname{sn}}^{2}z}\right\rbrack \Lambda = 0\] 的单周期解. 此时 \( \lambda \) 只能取一系列特定值 (本征值). 考虑到 \( {\operatorname{sn}}^{2}\left( z\right) \) 的基本实周期为 \( {2K}(K \) 为第一类椭圆积分) 以及 \( {\operatorname{sn}}^{2}\left( z\right) \) 的对称性,则具有实周期的周期拉梅函数的周期只能是 \( {2pK},\left( {p = 1,2,\cdots }\right) \) ,且一定是 \( z - K \) 的偶函数 (记为 \( E{c}_{n}^{m}\left( {z,{k}^{2}}\right), m = 0,1 \) , \( 2,\cdots ) \) 或奇函数 (记为 \( E{s}_{n}^{m}\left( {z,{k}^{2}}\right), m = 1,2,3,\cdots ) \) . 在区间 \( 0 \leq z < {2pK} \) 中, \( E{c}_{n}^{m}\left( {z,{k}^{2}}\right) \) 和 \( E{s}_{n}^{m}\left( {z,{k}^{2}}\right) \) 都具有 \( {mp} \) 个零点. \( \operatorname{sn}\left( {z, k}\right) \) 的基本虚周期为 \( 2\mathrm{i}{K}^{\prime } \) . 所以,虚周期的周期拉梅函数 \( E{c}^{\prime m}\left( {z,{k}^{2}}\right)

2000_数学辞海（第3卷）

odic Lamé function) 在 0 \( < k < 1 \) 和 \( n\left( {n + 1}\right) \) 为实数 (即 \( n \) 为实数或 \( n = - 1/2 \) \( + \mathrm{i}p, p \) 为实数) 时,拉梅方程 \[\frac{{\mathrm{d}}^{2}\Lambda }{\mathrm{d}{z}^{2}} + \left\lbrack {\lambda - n\left( {n + 1}\right) {k}^{2}{\operatorname{sn}}^{2}z}\right\rbrack \Lambda = 0\] 的单周期解. 此时 \( \lambda \) 只能取一系列特定值 (本征值). 考虑到 \( {\operatorname{sn}}^{2}\left( z\right) \) 的基本实周期为 \( {2K}(K \) 为第一类椭圆积分) 以及 \( {\operatorname{sn}}^{2}\left( z\right) \) 的对称性,则具有实周期的周期拉梅函数的周期只能是 \( {2pK},\left( {p = 1,2,\cdots }\right) \) ,且一定是 \( z - K \) 的偶函数 (记为 \( E{c}_{n}^{m}\left( {z,{k}^{2}}\right), m = 0,1 \) , \( 2,\cdots ) \) 或奇函数 (记为 \( E{s}_{n}^{m}\left( {z,{k}^{2}}\right), m = 1,2,3,\cdots ) \) . 在区间 \( 0 \leq z < {2pK} \) 中, \( E{c}_{n}^{m}\left( {z,{k}^{2}}\right) \) 和 \( E{s}_{n}^{m}\left( {z,{k}^{2}}\right) \) 都具有 \( {mp} \) 个零点. \( \operatorname{sn}\left( {z, k}\right) \) 的基本虚周期为 \( 2\mathrm{i}{K}^{\prime } \) . 所以,虚周期的周期拉梅函数 \( E{c}^{\prime m}\left( {z,{k}^{2}}\right) \) 和 \( E{s}^{\prime m}\left( {z,{k}^{2}}\right) \) 的周期必为 \[ 2\mathrm{i}p{K}^{\prime }\left( {p = 1,2,\cdots }\right) \] 它们可通过雅可比虚变换化为实周期的周期拉梅函数 \( E{c}_{n}^{m}\left( {{z}^{\prime },{k}^{\prime 2}}\right) \) 和 \( E{s}_{n}^{m}\left( {{z}^{\prime },{k}^{\prime 2}}\right) \) , \[ E{c}_{n}^{\prime m}\left( {z,{k}^{2}}\right) = E{c}_{n}^{m}\left( {{z}^{\prime },{k}^{\prime 2}}\right) , \] \[ E{s}_{n}^{\prime m}\left( {z,{k}^{2}}\right) = E{s}_{n}^{m}\left( {{z}^{\prime },{k}^{\prime 2}}\right) , \] 其中 \[ {z}^{\prime } = \mathrm{i}\left( {z - K - \mathrm{i}{K}^{\prime }}\right) ,\;{k}^{\prime 2} = 1 - {k}^{2}. \] 当 \( n \) 为非负整数时,对于给定的 \( n \) ,总存在 \( {2n} + \) 1 个双周期解, 它们就是第一种拉梅函数. 椭球调和函数(ellipsoidal harmonics) 拉普拉斯方程的一种特殊形式的多项式解. 其普遍形式是第一类椭球调和函数 \[ \mathop{\prod }\limits_{{r = 1}}^{m}{\Theta }_{r} \] 第二类椭球调和函数 \[ x\mathop{\prod }\limits_{{r = 1}}^{m}{\Theta }_{r}, y\mathop{\prod }\limits_{{r = 1}}^{m}{\Theta }_{r}, z\mathop{\prod }\limits_{{r = 1}}^{m}{\Theta }_{r} \] 第三类椭球调和函数 \[ {yz}\mathop{\prod }\limits_{{r = 1}}^{m}{\Theta }_{r},{zx}\mathop{\prod }\limits_{{r = 1}}^{m}{\Theta }_{r},{xy}\mathop{\prod }\limits_{{r = 1}}^{m}{\Theta }_{r}, \] 第四类椭球调和函数 \[ {xyz}\mathop{\prod }\limits_{{r = 1}}^{m}{\Theta }_{r} \] 其中 \[ {\Theta }_{r} = \frac{{x}^{2}}{{a}^{2} + {\theta }_{r}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2} + {\theta }_{r}} + \frac{{z}^{2}}{{c}^{2} + {\theta }_{r}} - 1, \] \( {\theta }_{r} \) 是拉梅多项式 (以 \( \lambda \) 为自变量) 的零点. 因此,在椭球坐标系中与椭球面 \[ \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} + \frac{{z}^{2}}{{c}^{2}} = 1 \] 共焦的一系列坐标面上, 椭球调和函数值恒为 0 . 对于给定的非负整数 \( n \) ,独立的 \( n \) 次椭球调和函数有 \( {2n} + 1 \) 个: \( n \) 为偶数时为 \( \left( {n/2}\right) + 1 \) 个第一类椭球调和函数和 \( {3n}/2 \) 个第三类椭球调和函数, \( n \) 为奇数时为 \( 3\left( {n + 1}\right) /2 \) 个第二类椭球调和函数和 \( \left( {n - 1}\right) /2 \) 个第四类椭球调和函数. 第一类椭球调和函数 (ellipsoidal harmonics of the first species) 见“椭球调和函数”. 第二类椭球调和函数 (ellipsoidal harmonics of the second species) 见“椭球调和函数”. 第三类椭球调和函数 (ellipsoidal harmonics of the third species) 见“椭球调和函数”. 第四类椭球调和函数 (ellipsoidal harmonics of the fourth species) 见“椭球调和函数”. 球体波函数 (spheroidal wave function) 亦称球体函数. 即方程 \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left\lbrack {\left( {1 - {z}^{2}}\right) \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{\;d}z}}\right\rbrack + \left( {\lambda - {k}^{2}{z}^{2} - \frac{{m}^{2}}{1 - {z}^{2}}}\right) u = 0 \] 的解. \( z = \pm 1 \) 为方程的正则奇点, \( z = \infty \) 为非正则奇点,故球体波函数在 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 内具有与勒让德函数相似的性质,而在 \( \infty \) 点邻域内则具有与贝塞尔函数相似的性质. 实际上, 在一定区域内, 球体波函数可用连带勒让德函数及贝塞尔函数的级数表示. 在旋转长椭球坐标系 \( \left( {\eta ,\xi ,\varphi }\right) \) \[ x = a\sqrt{\left( {{\xi }^{2} - 1}\right) \left( {1 - {\eta }^{2}}\right) }\cos \varphi , \] \[ y = a\sqrt{\left( {{\xi }^{2} - 1}\right) \left( {1 - {\eta }^{2}}\right) }\sin \varphi , \] \[ z = {a\xi \eta } \] 或旋转扁椭球坐标系 \( \left( {\eta ,\xi ,\varphi }\right) \) \[ x = a\sqrt{\left( {{\xi }^{2} + 1}\right) \left( {1 - {\eta }^{2}}\right) }\cos \varphi , \] \[ y = a\sqrt{\left( {{\xi }^{2} + 1}\right) \left( {1 - {\eta }^{2}}\right) }\sin \varphi , \] \[z = {a\xi \eta }\] 中解亥姆霍兹方程, 均可得到球体波函数. 球体函数 (spheroidal function) 即 “球体波函数”. 希尔方程 (Hill equation) 系数为周期函数的二阶线性微分方程. 即 \[\frac{{\mathrm{d}}^{2}u\left( x\right) }{\mathrm{d}{x}^{2}} + F\left( x\right) u = 0,\] 其中 \( F\left( x\right) \) 以 \( {2\pi } \) 为周期. 1877 年,希尔 (Hill, G. W. ) 在讨论月球运动时首先研究过这个方程. 马蒂厄方程、拉梅方程都是希尔方程的特殊情形. 通过适当变换, 勒让德方程、汇合型超几何方程也可归结为希尔方程. 虽然 \( F\left( x\right) \) 是周期函数,但希尔方程的解不一定具有周期性, 不过, 一定具有拟周期性 \[u\left( {x + {2\pi }}\right) = {\sigma u}\left( x\right) \;\left( {\sigma = \text{ 常数 }}\right) ,\] 亦即形如 \[u\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{\mu x}\varphi \left( x\right) ,\] \[\varphi \left( {x + {2\pi }}\right) = \varphi \left( x\right) ,\] \[\sigma = {\mathrm{e}}^{2\pi \mu }\] 的解 (弗洛凯定理). \( \mu \) 称为特征指数, \( \mu = 0 \) 或 \( \mathrm{i} \) 时, \( u\left( x\right) \) 为周期函数. 马蒂厄方程 (Mathieu equation) 特殊的希尔方程之一. 即 \[ \frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{\;d}{z}^{2}} + \left( {a - {2q}\cos {2z}}\right) u = 0, \] 其中 \( a \) 和 \( q \) 为常数. 这个方程首先出现在马蒂厄 (Mathieu, E. L. ) 关于椭圆薄膜振动的工作中. 在椭圆柱坐标系 \( \left( {\xi ,\eta, z}\right) \) \[ x = a\cosh \xi \cos \eta , \] \[ y = a\sinh \xi \sin \eta , \] \[ z = z \] 中求解亥姆霍兹方程时, 可得到马蒂厄方程. 马蒂厄函数 (Mathieu function) 指马蒂厄方程的解的总称. 因为马蒂厄方程的系数是全 \( z \) 平面上的解析函数 (惟一的奇点 \( z = \infty \) 是非正则奇点), 因此, 马蒂厄方程的解必为整函数. 马蒂厄方程的周期解, 即第一类马蒂厄函数, 也常简称马蒂厄函数. 第一类马蒂厄函数 (Mathieu function of the first kind) 马蒂厄方程的周期解. 在马蒂厄方程中,若 \( a \) 取适当的值 (本征值),而使特征指数 \( \mu \) (参见“希尔方程”) 成为 0 或 \( \mathrm{i} \) ,相应地 \( u\left( z\right) \) 为以 \( \pi \) 或 \( {2\pi } \) 为周期的周期函数, 称为第一类马蒂厄函数, 简称马蒂厄函数. 根据它们的傅里叶展开形式, 可以分为四种类型: \[ {\operatorname{ce}}_{2n}\left( {z, q}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{r = 0}}^{\infty }{A}_{2r}^{\left( 2n\right) }\cos {2rz}, \] \[ {\operatorname{ce}}_{{2n} + 1}\left( {z, q}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{r = 0}}^{\infty }{A}_{{2r} + 1}^{\left( 2n + 1\right) }\cos \left( {{2r} + 1}\right) z, \] \[ {\operatorname{se}}_{{2n} + 1}\left( {z, q}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{r = 0}}^{\infty }{B}_{{2r} + 1}^{\left( 2n + 1\right) }\sin \left( {{2r} + 1}\right) z, \] \[ {\operatorname{se}}_{{2n} + 2}\left( {z, q}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{r = 0}}^{\infty }{B}_{{2r} + 2}^{\left( 2n + 2\right) }\sin \left( {{2r} + 2}\right) z, \] 其中 \( n = 0,1,2,\cdots \) 相应的本征值分别记为 \( {a}_{2n},{a}_{{2n} + 1} \) , \( {b}_{{2n} + 1} \) 和 \( {b}_{{2n} + 2} \) , \[ {a}_{0} < {a}_{1} < {b}_{1} < {b}_{2} < {a}_{2} < {a}_{3} < {b}_{3} < \cdots ,\left( {q > 0}\right) , \] \[ {a}_{0} < {b}_{1} < {a}_{1} < {b}_{2} < {a}_{2} < {b}_{3} < {a}_{3} < \cdots ,\left( {q < 0}\right) , \] \[ {a}_{n},{b}_{n} \rightarrow \infty , \] 这些马蒂厄函数满足正交归一条件 \[ {\int }_{0}^{2\pi }{\operatorname{ce}}_{m}\left( {z, q}\right) {\operatorname{se}}_{n}\left( {z, q}\right) \mathrm{d}z = 0, \] \[ {\int }_{0}^{2\pi }{\mathrm{{ce}}}_{m}\left( {z, q}\right) {\mathrm{{ce}}}_{n}\left( {z, q}\right) \mathrm{d}z = \pi {\delta }_{mn}, \] \[ {\int }_{0}^{2\pi }{\operatorname{se}}_{m}\left( {z, q}\right) {\operatorname{se}}_{n}\left( {z, q}\right) \mathrm{d}z = \pi {\delta }_{mn}. \] 当 \( q \rightarrow 0 \) 时, \[ {\operatorname{ce}}_{0}\left( {z, q}\right) \rightarrow 1/\sqrt{2}, \] \[ {\operatorname{ce}}_{m}\left( {z, q}\right) \rightarrow \cos {mz}, \] \[{\operatorname{se}}_{m}\left( {z, q}\right) \rightarrow \sin {mz}.\] 由于第一类马蒂厄函数常出现在光波的椭圆柱面衍射问题中, 故又称椭圆柱函数. 椭圆柱函数 (elliptic cylinder function) 即“第一类马蒂厄函数”. 第二类马蒂厄函数 (Mathieu function of the second kind) 当 \( a \) 为本征值时,马蒂厄方程的非周期解. 与周期解 (第一类马蒂厄函数) \[{\mathrm{{ce}}}_{2n}\left( {z, q}\right) ,\;{\mathrm{{ce}}}_{{2n} + 1}\left( {z, q}\right) ,\] \[{\operatorname{se}}_{{2n} + 1}\left( {z, q}\right) ,{\operatorname{se}}_{{2n} + 2}\left( {z, q}\right) \] 相对应, 它们分别是 \[{\mathrm{{fe}}}_{2n}\left( {z, q}\right) ,\;{\mathrm{{fe}}}_{{2n} + 1}\left( {z, q}\right) ,\] \[{\mathrm{{ge}}}_{{2n} + 1}\left( {z, q}\right) ,{\mathrm{{ge}}}_{{2n} + 2}\left( {z, q}\right) .\] 变形马蒂厄方程 (modified Mathieu equation) 周期为纯虚数的希尔方程. 即 \[\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{\;d}{z}^{2}} - \left( {a - {2q}\cosh {2z}}\right) u = 0.\] 作变换 \( \zeta = \mathrm{i}z \) ,即可化为马蒂厄方程. 在椭圆柱坐标系 \( \left( {\xi ,\eta, z}\right) \) \[x = a\cosh \xi \cos \eta ,\] \[y = a\sinh \xi \sin \eta ,\] \[z = z\] 中求解亥姆霍兹方程时, 可得到变形马蒂厄方程. 变形马蒂厄函数 (modified Mathieu function) 变形马蒂厄方程的解的总称. 在马蒂厄函数中以 \( {iz} \) 代替 \( z \) 即可得到变形马蒂厄函数. 特别是,对应于第一类马蒂厄函数 \( {\mathrm{{ce}}}_{m}\left( {z, q}\right) ,{\mathrm{{se}}}_{m}\left( {z, q}\right) \) 和第二类马蒂厄函数 \( {\mathrm{{fe}}}_{m}\left( {z, q}\right) ,{\mathrm{{ge}}}_{m}\left( {z, q}\right) \) ,有 \[{\mathrm{{Ce}}}_{m}\left( {z, q}\right) = {\mathrm{{ce}}}_{m}\left( {\mathrm{i}z, q}\right) ,\] \[{\operatorname{Se}}_{m}\left( {z, q}\right) = - \mathrm{i}{\operatorname{se}}_{m}\left( {\mathrm{i}z, q}\right) ,\] \[{\operatorname{Fey}}_{m}\left( {z, q}\right) = {\mathrm{{fe}}}_{m}\left( {\mathrm{i}z, q}\right) ,\] \[{\operatorname{Gey}}_{m}\left( {z, q}\right) = {\operatorname{ge}}_{m}\left( {\mathrm{i}z, q}\right) ,\] 分别称为第一类和第二类变形马蒂厄函数. 把它们线性组合起来, 还可以得到第三类变形马蒂厄函数 \( {\operatorname{Fek}}_{m}\left( {z, q}\right) ,{\operatorname{Gek}}_{m}\left( {z, q}\right) \) : \[{\mathrm{{Ce}}}_{2m}\left( {z, q}\right) + \mathrm{i}{\mathrm{{Fey}}}_{2m}\left( {z, q}\right) = - 2\mathrm{i}{\mathrm{{Fek}}}_{2m}\left( {z, q}\right) ,\] \[{\mathrm{{Ce}}}_{{2m} + 1}\left( {z, q}\right) + \mathrm{i}{\mathrm{{Fey}}}_{{2m} + 1}\left( {z, q}\right) = - 2{\mathrm{{Fek}}}_{{2m} + 1}\left( {z, q}\right) ,\] \[{\operatorname{Se}}_{{2m} + 1}\left( {z, q}\right) + {\mathrm{{iGey}}}_{{2m} + 1}\left( {z, q}\right) = - 2{\operatorname{Gek}}_{{2m} + 1}\left( {z, q}\right) ,\] \[{\operatorname{Se}}_{{2m} + 2}\left( {z, q}\right) + \mathrm{i}{\operatorname{Gey}}_{{2m} + 2}\left( {z, q}\right) = - 2\mathrm{i}{\operatorname{Gek}}_{{2m} + 2}\left( {z, q}\right) .\] 另外还有 \[{\operatorname{Me}}_{m}^{\left( 1\right) }\left( {z, q}\right) = {\mathrm{{Ce}}}_{m}\left( {z, q}\right) + \mathrm{i}{\operatorname{Fey}}_{m}\left( {z, q}\ri

2000_数学辞海（第3卷）

) ,\] 分别称为第一类和第二类变形马蒂厄函数. 把它们线性组合起来, 还可以得到第三类变形马蒂厄函数 \( {\operatorname{Fek}}_{m}\left( {z, q}\right) ,{\operatorname{Gek}}_{m}\left( {z, q}\right) \) : \[{\mathrm{{Ce}}}_{2m}\left( {z, q}\right) + \mathrm{i}{\mathrm{{Fey}}}_{2m}\left( {z, q}\right) = - 2\mathrm{i}{\mathrm{{Fek}}}_{2m}\left( {z, q}\right) ,\] \[{\mathrm{{Ce}}}_{{2m} + 1}\left( {z, q}\right) + \mathrm{i}{\mathrm{{Fey}}}_{{2m} + 1}\left( {z, q}\right) = - 2{\mathrm{{Fek}}}_{{2m} + 1}\left( {z, q}\right) ,\] \[{\operatorname{Se}}_{{2m} + 1}\left( {z, q}\right) + {\mathrm{{iGey}}}_{{2m} + 1}\left( {z, q}\right) = - 2{\operatorname{Gek}}_{{2m} + 1}\left( {z, q}\right) ,\] \[{\operatorname{Se}}_{{2m} + 2}\left( {z, q}\right) + \mathrm{i}{\operatorname{Gey}}_{{2m} + 2}\left( {z, q}\right) = - 2\mathrm{i}{\operatorname{Gek}}_{{2m} + 2}\left( {z, q}\right) .\] 另外还有 \[{\operatorname{Me}}_{m}^{\left( 1\right) }\left( {z, q}\right) = {\mathrm{{Ce}}}_{m}\left( {z, q}\right) + \mathrm{i}{\operatorname{Fey}}_{m}\left( {z, q}\right) ,\] \[{\operatorname{Me}}_{m}^{\left( 2\right) }\left( {z, q}\right) = {\operatorname{Ce}}_{m}\left( {z, q}\right) - \mathrm{i}{\operatorname{Fey}}_{m}\left( {z, q}\right) ,\] \[{\mathrm{{Ne}}}_{m}^{\left( 1\right) }\left( {z, q}\right) = {\mathrm{{Se}}}_{m}\left( {z, q}\right) + \mathrm{i}{\operatorname{Gey}}_{m}\left( {z, q}\right) ,\] \[{\mathrm{{Ne}}}_{m}^{\left( 2\right) }\left( {z, q}\right) = {\mathrm{{Se}}}_{m}\left( {z, q}\right) - \mathrm{i}{\mathrm{{Gey}}}_{m}\left( {z, q}\right) ,\] 也称为第三类变形马蒂厄函数. 第一类变形马蒂厄函数 (modified Mathieu function of the first kind) 见 “变形马蒂厄函数”. 第二类变形马蒂厄函数 (modified Mathieu function of the second kind) 见 “变形马蒂厄函数”. 第三类变形马蒂厄函数 (modified Mathieu function of the third kind) 见“变形马蒂厄函数”. 母函数 (generating function) 亦称生成函数. 定义特殊函数、特别是正交多项式的基本方法之一, 也是分析数学中定义数列或函数序列的常用手段. 若级数 \[ \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{a}_{n}{t}^{n} \] 在 \( t \) 平面上某区域内收敛于 \( g\left( t\right) \) ,则称 \( g\left( t\right) \) 为数列 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) 的母函数; 若级数 \[ \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{f}_{n}\left( x\right) {t}^{n}\text{ 或 }\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{c}_{n}{f}_{n}\left( x\right) {t}^{n} \] ( \( \left\{ {c}_{n}\right\} \) 为已知数列,例如 \( {c}_{n} = 1/n \) !) 在 \( t \) 平面上某区域内收敛于函数 \( K\left( {x, t}\right) \) ,则称 \( K\left( {x, t}\right) \) 为函数序列 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 的母函数. 根据母函数 \( K\left( {x, t}\right) \) 的解析性,可以导出函数序列 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 的解析性. 更一般地,若函数 \( K\left( {x, t}\right) \) 可形式地展开为级数 \[ \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{f}_{n}\left( x\right) {t}^{n} \] 亦称 \( K\left( {x, t}\right) \) 为函数序列 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 的母函数. 在数论函数中, 也把 \[ F\left( s\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }f\left( n\right) {n}^{-s} \] 称为数论函数 \( f\left( n\right) \) 的母函数. 生成函数 (generating function) 即 “母函数”. 欧拉多项式(Euler polynomial) 母函数展开式 \[ \frac{2{\mathrm{e}}^{xt}}{{\mathrm{e}}^{t} + 1} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{E}_{n}\left( x\right) \frac{{t}^{n}}{n!}\;\left( {\left| t\right| < \pi }\right) , \] 所定义的多项式 \( {E}_{n}\left( x\right) \) . \( {E}_{0}\left( x\right) = 1, \) \( {E}_{1}\left( x\right) = x - \frac{1}{2}, \) \( {E}_{2}\left( x\right) = x\left( {x - 1}\right) \) , \( {E}_{3}\left( x\right) = \left( {x - \frac{1}{2}}\right) \left( {{x}^{2} - x - \frac{1}{2}}\right) , \) \( {E}_{4}\left( x\right) = x\left( {x - 1}\right) \left( {{x}^{2} - x - 1}\right) , \) \( {E}_{5}\left( x\right) = \left( {x - \frac{1}{2}}\right) \left( {{x}^{4} - 2{x}^{3} - {x}^{2} + {2x} + 1}\right) , \) \( \ldots \) \( {E}_{n}\left( x\right) \) 是 \( x \) 的 \( n \) 次多项式,满足 \[ {E}_{n}\left( {x + 1}\right) + {E}_{n}\left( x\right) = 2{x}^{n}, \] \[ {E}_{n}\left( {1 - x}\right) = {\left( -1\right) }^{n}{E}_{n}\left( x\right) , \] \[ \frac{{\mathrm{d}}^{k}{E}_{n}\left( x\right) }{\mathrm{d}{x}^{k}} = \frac{n!}{\left( {n - k}\right) !}{E}_{n - k}\left( x\right) . \] 欧拉数 (Euler number) 一组重要的常数. 即函数 \( \operatorname{sech}t \) 在 \( t = 0 \) 点的泰勒展开式 \[ \operatorname{sech}t = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}}{\left( {2n}\right) !}{E}_{n}{t}^{2n}\left( {\left| t\right| < \frac{\pi }{2}}\right) \] 的系数 \( {E}_{n} \) . 前几个欧拉数为 \[ {E}_{0} = 1,\;{E}_{1} = 1, \] \[ {E}_{2} = 5,\;{E}_{3} = {61}, \] \[ {E}_{4} = {1385},\;{E}_{5} = {50521}, \] \[ {E}_{6} = {2702765},\cdots \] 欧拉数与欧拉多项式 \( {E}_{n}\left( x\right) \) 有关, \[ {E}_{n} = {\left( -1\right) }^{n}{2}^{2n}{E}_{2n}\left( \frac{1}{2}\right) , \] \[ {E}_{n}\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\left\lbrack n/2\right\rbrack }{\left( -1\right) }^{k}\left( \begin{matrix} n \\ {2k} \end{matrix}\right) \frac{{E}_{k}}{{2}^{2k}}{\left( x - \frac{1}{2}\right) }^{n - {2k}}. \] 有时也称 \( {2}^{n}{E}_{n}\left( \frac{1}{2}\right) \) 为欧拉数. 伯努利多项式(Bernoulli polynomial) 雅各布第一·伯努利 (Bernoulli, Jacob I ) 引进 (去世后 1713 年发表) 的一组多项式 \( {B}_{n}\left( x\right) \) ,可由母函数展开式 \[ \frac{t{\mathrm{e}}^{xt}}{{\mathrm{e}}^{t} - 1} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{B}_{n}\left( x\right) \frac{{t}^{n}}{n!}\;\left( {\left| t\right| < {2\pi }}\right) \] 定义. \[{B}_{0}\left( x\right) = 1,\] \[{B}_{1}\left( x\right) = x - \frac{1}{2},\] \[{B}_{2}\left( x\right) = {x}^{2} - x + \frac{1}{6},\] \[{B}_{3}\left( x\right) = {x}^{3} - \frac{3}{2}{x}^{2} + \frac{1}{2}x,\] \[{B}_{4}\left( x\right) = {x}^{4} - 2{x}^{3} + {x}^{2} - \frac{1}{30},\] \[{B}_{5}\left( x\right) = {x}^{5} - \frac{5}{2}{x}^{4} + \frac{5}{3}{x}^{3} - \frac{1}{6}x,\] \[{B}_{6}\left( x\right) = {x}^{6} - 3{x}^{5} + \frac{5}{2}{x}^{4} - \frac{1}{2}{x}^{2} + \frac{1}{42},\cdots ,\] \( {B}_{n}\left( x\right) \) 是 \( x \) 的 \( n \) 次多项式,满足差分关系 \[{B}_{n}\left( {x + 1}\right) - {B}_{n}\left( x\right) = n{x}^{n - 1}.\] 伯努利数 (Bernoulli number) 雅各布第一。 伯努利 (Bernoulli, Jacob I ) 在计算整数的正整数次幂之和时引进的一组数 (去世后 1713 年发表). 后来由欧拉 (Euler, L. ) 定义为函数 \( t/\left( {{\mathrm{e}}^{t} - 1}\right) \) 展开式 \[\frac{t}{{\mathrm{e}}^{t} - 1} = 1 - \frac{t}{2} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n - 1}}{\left( {2n}\right) !}{B}_{n}{t}^{2n}\left( {\left| t\right| < {2\pi }}\right) \] 中的系数 \( {B}_{n} \) . 前几个伯努利数为 \[{B}_{1} = \frac{1}{6},\;{B}_{2} = \frac{1}{30}\] \[{B}_{3} = \frac{1}{42},\;{B}_{4} = \frac{1}{30},\] \[{B}_{5} = \frac{5}{66},\;{B}_{6} = \frac{691}{2730},\] \[{B}_{7} = \frac{7}{6},\;{B}_{8} = \frac{3617}{510},\] \[{B}_{9} = \frac{43867}{798}\] 伯努利数与伯努利多项式 \( {B}_{n}\left( x\right) \) 有关, \[ {B}_{n} = {\left( -\right) }^{n - 1}{B}_{2n}\left( 0\right) , \] \( {B}_{n}\left( x\right) = {x}^{n} - \frac{n}{2}{x}^{n - 1} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\left\lbrack n/2\right\rbrack }{\left( -\right) }^{k - 1}\left( \begin{matrix} n \\ {2k} \end{matrix}\right) {B}_{k}{x}^{n - {2k}}. \) 有些文献中也把伯努利多项式 \( {B}_{n}\left( x\right) \) 在 \( x = 0 \) 点的值 \( {B}_{n}\left( 0\right) \) 或其绝对值 \( \left| {{B}_{n}\left( 0\right) }\right| \) 直接称为伯努利数 (参见《数学辞海》第一卷《初等数论》同名条). 勒让德多项式(Legendre polynomial) 基本的正交多项式之一. 其微分表示为 \[ {P}_{n}\left( x\right) = \frac{1}{{2}^{n}n!}\frac{{\mathrm{d}}^{n}}{\mathrm{\;d}{x}^{n}}{\left( {x}^{2} - 1\right) }^{n} \] \[ = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\left\lbrack n/2\right\rbrack }\frac{{\left( -1\right) }^{k}\left( {{2n} - {2k}}\right) !}{{2}^{n}k!\left( {n - k}\right) !\left( {n - {2k}}\right) !}{x}^{n - {2k}}. \] 它们也是勒让德方程 \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\lbrack {\left( {1 - {x}^{2}}\right) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x}}\right\rbrack + {\lambda y} = 0 \] 在有界条件 \[ \left| {y\left( {\pm 1}\right) }\right| < + \infty \] 下的本征函数, 相应的本征值为 \[ \lambda = n\left( {n + 1}\right) \;\left( {n = 0,1,2\cdots }\right) . \] 历史上, 勒让德多项式是勒让德 (Legendre, A. -M. ) 在研究球体引力和行星绕日运动时, 于 1784 年提出的. 其母函数展开式为 \[ \frac{1}{\sqrt{1 - {2xt} + {t}^{2}}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{P}_{n}\left( x\right) {t}^{n} \] \[ \left( {\left| t\right| < \min \left| {x + \sqrt{{x}^{2} - 1}}\right| }\right) . \] \( \left\{ {{P}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在区间 \( - 1 \leq x \leq 1 \) 上构成正交完备函数集: \[ {\int }_{-1}^{1}{P}_{n}\left( x\right) {P}_{m}\left( x\right) \mathrm{d}x = \frac{2}{{2n} + 1}{\delta }_{nm}. \] 对任何 \( f\left( x\right) \in {L}^{2}\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) ,其勒让德-傅里叶级数 \[ f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{c}_{n}{P}_{n}\left( x\right) \] \[ {c}_{n} = \frac{{2n} + 1}{2}{\int }_{-1}^{1}f\left( x\right) {P}_{n}\left( x\right) \mathrm{d}x \] 依 \( {L}^{2} \) 范收敛于 \( f\left( x\right) \) ; 对任何 \[ f\left( x\right) \in {L}^{p}\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \left( {4/3 < p < 4}\right) , \] 其勒让德-傅里叶级数依 \( {L}^{p} \) 范收敛于 \( f\left( x\right) \) ; 在 \( \lbrack - 1 \) , 1]上具有连续二阶导数的函数 \( f\left( x\right) \) ,其勒让德-傅里叶级数在 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上一致收敛于 \( f\left( x\right) \) . 勒让德多项式是勒让德函数 \[ {P}_{\nu }\left( z\right) = F\left( {\nu + 1, - \nu ;1;\frac{1 - z}{2}}\right) \] 当 \( \nu \) 为非负整数时的特殊情形, \( F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) \) 为超几何函数. 正交多项式系 (system of orthogonal polynomials) 正交函数系的一种. 设在区间 \( \left( {a, b}\right) \) 上给定权函数 \( \rho \left( x\right) \left( {\rho \geq 0\text{,且几乎处处有}\rho \left( x\right) > 0}\right) \) ,并定义 \( \left( {a, b}\right) \) 上函数 \( f\left( x\right), g\left( x\right) \) 的内积为 \[ \left( {f, g}\right) = {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) g\left( x\right) \rho \left( x\right) \mathrm{d}x. \] 将 \( \left\{ {{x}^{n} \mid n = 0,1,2,\cdots }\right\} \) 按施密特方法关于 \( \rho \left( x\right) \) 正交化,适当规定最高次项的系数,即可得到在 \( \left( {a, b}\right) \) 上关于 \( \rho \left( x\right) \) 的正交多项式 \( \left\{ {{p}_{n}\left( x\right) }\right\} \) . 它们在函数空间 \( {L}_{\rho }^{2}\left( {a, b}\right) \) 内是完备的. \( {L}_{\rho }^{2}\left( {a, b}\right) \) 为满足 \( \left( {f, f}\right) < + \infty \) 的函数 \( f\left( x\right) \) 所构成的空间. 常见的正交多项式系见下表: <table><thead><tr><th>\( {p}_{n}\left( x\right) \)</th><th>\( a \)</th><th>\( b \)</th><th>权函数 \( \rho \left( x\right) \)</th><th>特 殊 值</th></tr></thead><tr><td>雅可比多项式 \( {P}_{n}^{\left( \alpha ,\beta \right) }\left( x\righ

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nal polynomials) 正交函数系的一种. 设在区间 \( \left( {a, b}\right) \) 上给定权函数 \( \rho \left( x\right) \left( {\rho \geq 0\text{,且几乎处处有}\rho \left( x\right) > 0}\right) \) ,并定义 \( \left( {a, b}\right) \) 上函数 \( f\left( x\right), g\left( x\right) \) 的内积为 \[ \left( {f, g}\right) = {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) g\left( x\right) \rho \left( x\right) \mathrm{d}x. \] 将 \( \left\{ {{x}^{n} \mid n = 0,1,2,\cdots }\right\} \) 按施密特方法关于 \( \rho \left( x\right) \) 正交化,适当规定最高次项的系数,即可得到在 \( \left( {a, b}\right) \) 上关于 \( \rho \left( x\right) \) 的正交多项式 \( \left\{ {{p}_{n}\left( x\right) }\right\} \) . 它们在函数空间 \( {L}_{\rho }^{2}\left( {a, b}\right) \) 内是完备的. \( {L}_{\rho }^{2}\left( {a, b}\right) \) 为满足 \( \left( {f, f}\right) < + \infty \) 的函数 \( f\left( x\right) \) 所构成的空间. 常见的正交多项式系见下表: <table><thead><tr><th>\( {p}_{n}\left( x\right) \)</th><th>\( a \)</th><th>\( b \)</th><th>权函数 \( \rho \left( x\right) \)</th><th>特 殊 值</th></tr></thead><tr><td>雅可比多项式 \( {P}_{n}^{\left( \alpha ,\beta \right) }\left( x\right) \) \( \alpha > - 1,\beta > - 1 \)</td><td>\( - 1 \)</td><td>1</td><td>\( {\left( 1 - x\right) }^{\alpha }{\left( 1 + x\right) }^{\beta } \)</td><td>\( {P}_{n}^{\left( \alpha ,\beta \right) }\left( 1\right) = \left( \begin{matrix} n + \alpha \\ n \end{matrix}\right) \)</td></tr><tr><td>格根鲍尔多项式 \( {C}_{n}^{\left( \alpha \right) }\left( x\right) \) \( \alpha > - 1/2 \)</td><td>\( - 1 \)</td><td>1</td><td>\( {\left( 1 - {x}^{2}\right) }^{\alpha - 1/2} \)</td><td>\( {C}_{n}^{\left( \alpha \right) }\left( 1\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{2}{n + {\delta }_{n0}}, & \alpha = 0 \\ \left( \begin{matrix} n + {2\alpha } - 1 \\ n \end{matrix}\right) , & \alpha \neq 0 \end{array}\right. \)</td></tr><tr><td>第一类切比雪夫多项式 \( {T}_{n}\left( x\right) \)</td><td>\( - 1 \)</td><td>1</td><td>\( {\left( 1 - {x}^{2}\right) }^{-1/2} \)</td><td>\( {T}_{n}\left( 1\right) = 1 \)</td></tr><tr><td>第二类切比雪夫多项式 \( {U}_{n}\left( x\right) \)</td><td>\( - 1 \)</td><td>1</td><td>\( {\left( 1 - {x}^{2}\right) }^{-1/2} \)</td><td>\( {U}_{n}\left( 1\right) = n + 1 \)</td></tr><tr><td>勒让德多项式 \( {P}_{n}\left( x\right) \)</td><td>\( - 1 \)</td><td>1</td><td>1</td><td>\( {P}_{n}\left( 1\right) = 1 \)</td></tr><tr><td>广义拉盖尔多项式 \( {L}_{n}^{\left( \alpha \right) }\left( x\right) ,\alpha > 1 \)</td><td>0</td><td>\( + \infty \)</td><td>\( {\mathrm{e}}^{-x}{x}^{a} \)</td><td>\( {L}_{n}^{\left( \alpha \right) }\left( 0\right) = \left( \begin{matrix} n + \alpha \\ n \end{matrix}\right) \)</td></tr><tr><td>拉盖尔多项式 \( {L}_{n}\left( x\right) \)</td><td>0</td><td>\( + \infty \)</td><td>\( {\mathrm{e}}^{-x} \)</td><td>\( {L}_{n}^{\left( \alpha \right) }\left( 0\right) = 1 \)</td></tr><tr><td>埃尔米特多项式 \( {H}_{n}\left( x\right) \)</td><td>\( - \infty \)</td><td>\( + \infty \)</td><td>\( {\mathrm{e}}^{-{x}^{2}} \)</td><td>\( {H}_{n}\left( 0\right) = \left\{ \begin{array}{ll} {\left( -1\right) }^{n/2}\frac{n!}{\left( {n/2}\right) !}, & n = \text{ 偶数 } \\ 0, & n = \text{ 奇数 } \end{array}\right. \)</td></tr></table> 第一类切比雪夫多项式 (Chebyshev polynomial of the first class) 基本的正交多项式之一. 第一类切比雪夫方程 ( \( n \) 为非负整数) \[ \left( {1 - {x}^{2}}\right) \frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{\;d}{x}^{2}} - x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} + {n}^{2}y = 0 \] 的多项式解, \( {T}_{n}\left( x\right) = \cos \left( {n\arccos x}\right) \) \[ = \frac{n}{2}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\left\lbrack n/2\right\rbrack }{\left( -1\right) }^{k}\frac{\left( {n - k - 1}\right) !}{k!\left( {n - {2k}}\right) !}{\left( 2x\right) }^{n - {2k}}. \] 其母函数展开式为 \[ \frac{1 - {xt}}{1 - {2xt} + {t}^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{T}_{n}\left( x\right) {t}^{n} \] \[ \left( {\left| t\right| < \min \left| {x \pm \sqrt{{x}^{2} - 1}}\right| }\right) . \] \( \left\{ {{T}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上关于权函数 \( 1/\sqrt{1 - {x}^{2}} \) 正交: \[ {\int }_{-1}^{1}\frac{{T}_{n}\left( x\right) {T}_{m}\left( x\right) }{\sqrt{1 - {x}^{2}}}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{2}{\delta }_{nm}\left( {1 + {\delta }_{n0}}\right) . \] 设 \( {p}_{n}\left( x\right) \) 为在 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上 \( {x}^{n} \) 的 \( n - 1 \) 次最佳逼近多项式,则 \( {x}^{n} - {p}_{n}\left( x\right) = {2}^{-n + 1}{T}_{n}\left( x\right) \) . 第一类移位切比雪夫多项式 (shifted Cheby-shev polynomial of the first class) 见 “第一类切比雪夫多项式”. 第二类切比雪夫多项式 (Chebyshev polynomial of the second class) 基本的正交多项式之一. 第二类切比雪夫方程 \[ \left( {1 - {x}^{2}}\right) \frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{\;d}{x}^{2}} - {3x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} + n\left( {n + 2}\right) y = 0 \] 的多项式解, \[ {U}_{n}\left( x\right) = \frac{\sin \left\lbrack {\left( {n + 1}\right) \arccos x}\right\rbrack }{\sin \left( {\arccos x}\right) } \] \[ = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\left\lbrack n/2\right\rbrack }{\left( -1\right) }^{k}\frac{\left( {n - k}\right) !}{k!\left( {n - {2k}}\right) !}{\left( 2x\right) }^{n - {2k}}. \] 其母函数展开式为 \[ \frac{1}{1 - {2xt} + {t}^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{U}_{n}\left( x\right) {t}^{n} \] \[ \left( {\left| t\right| < \min \left| {x \pm \sqrt{{x}^{2} - 1}}\right| }\right) \text{.} \] \( \left\{ {{U}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上关于权函数 \( \sqrt{1 - {x}^{2}} \) 正交: \[ {\int }_{-1}^{1}{U}_{n}\left( x\right) {U}_{m}\left( x\right) \sqrt{1 - {x}^{2}}\mathrm{\;d}x = {\delta }_{nm}. \] 第二类移位切比雪夫多项式 (shifted Cheby-shev polynomial of the second class) 见“第二类切比雪夫多项式”. 拉盖尔多项式(Laguerre polynomial) 基本的正交多项式之一. 拉盖尔方程 \[ x\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{\;d}{x}^{2}} + \left( {1 - x}\right) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} + {ny} = 0 \] 的多项式解, \[ {L}_{n}\left( x\right) = \frac{{\mathrm{e}}^{x}}{n!}\frac{{\mathrm{d}}^{n}}{\mathrm{\;d}{x}^{n}}\left( {{\mathrm{e}}^{-x}{x}^{n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}\frac{{\left( -1\right) }^{k}}{k!}\left( \begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) {x}^{k}. \] 其母函数展开式为 \[ \frac{1}{1 - t}\exp \left\lbrack {-\frac{xt}{1 - t}}\right\rbrack = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{L}_{n}\left( x\right) {t}^{n}\left( {\left| t\right| < 1}\right) . \] \( \left\{ {{L}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( \lbrack 0, + \infty ) \) 上关于权函数 \( {\mathrm{e}}^{-x} \) 正交: \[ {\int }_{0}^{\infty }{L}_{n}\left( x\right) {L}_{m}\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{\;d}x = {\delta }_{nm}. \] 广义拉盖尔多项式 (generalized Laguerre polynomial) 基本的正交多项式之一. 广义拉盖尔方程 \[ x\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{\;d}{x}^{2}} + \left( {1 + \alpha - x}\right) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} + {ny} = 0 \] 的多项式解, \[{L}_{n}^{\left( \alpha \right) }\left( x\right) = \frac{{\mathrm{e}}^{x}{x}^{-\alpha }}{n!}\frac{{\mathrm{d}}^{n}}{\mathrm{\;d}{x}^{n}}\left( {{\mathrm{e}}^{-x}{x}^{n + \alpha }}\right) \] \[ = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}\frac{{\left( -1\right) }^{k}}{k!}\left( \begin{array}{l} n + \alpha \\ k + \alpha \end{array}\right) {x}^{k}.\] 其母函数展开式为 \[\frac{1}{{\left( 1 - t\right) }^{a + 1}}\exp \left\lbrack {-\frac{xt}{1 - t}}\right\rbrack = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{L}_{n}^{\left( a\right) }\left( x\right) {t}^{n}\] \[\left( {\alpha > - 1,\left| t\right| < 1}\right) \text{.}\] \( \left\{ {{L}_{n}^{\left( a\right) }\left( x\right) }\right\} \) 在 \( \lbrack 0, + \infty ) \) 上关于权函数 \( {x}^{a}{\mathrm{e}}^{-x} \) 正交: \[{\int }_{0}^{+\infty }{L}_{n}\left( x\right) {L}_{m}\left( x\right) {x}^{a}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{n!}\Gamma \left( {n + \alpha + 1}\right) {\delta }_{nm}.\] 对 \( f\left( x\right) \in {L}_{\rho }^{2}\lbrack 0, + \infty )\left( {\rho \left( x\right) = {x}^{a}{\mathrm{e}}^{-x},\alpha > - 1}\right) \) ,其拉盖尔-傅里叶级数依 \( {L}_{\rho }^{2} \) 范收敛于 \( f\left( x\right) \) . 埃尔米特多项式(Hermite polynomial) 基本的正交多项式之一. 埃尔米特方程 \[\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{\;d}{x}^{2}} - {2x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} + {2ny} = 0\] 的多项式解, \[{H}_{n}\left( x\right) = {\left( -1\right) }^{n}{\mathrm{e}}^{{x}^{2}}\frac{{\mathrm{d}}^{n}}{\mathrm{\;d}{x}^{n}}{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\] \[ = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\left\lbrack n/2\right\rbrack }\frac{{\left( -1\right) }^{k}n!}{k!\left( {n - {2k}}\right) !}{\left( 2x\right) }^{n - {2k}}.\] 其母函数展开式为 \[{\mathrm{e}}^{{2xt} - {t}^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{{H}_{n}\left( x\right) }{n!}{t}^{n}.\] \( \left\{ {{H}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( \left( {-\infty , + \infty }\right) \) 上关于权函数 \( \rho \left( x\right) = {\mathrm{e}}^{-{x}^{2}} \) 正交: \[{\int }_{-\infty }^{+\infty }{H}_{n}\left( x\right) {H}_{m}\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = {2}^{n}n!\sqrt{\pi }{\delta }_{nm}.\] 对任何 \( f\left( x\right) \in {L}_{\rho }^{2}\left( {-\infty , + \infty }\right) \left( {\rho \left( x\right) = {\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}}\right) \) ,其埃尔米特-傅里叶级数依 \( {L}_{\rho }^{2} \) 范收敛于 \( f\left( x\right) \) . 另有函数 \[{\mathrm{{He}}}_{n}\left( x\right) = {2}^{-n/2}{\mathrm{H}}_{n}\left( \frac{x}{\sqrt{2}}\right) ,\] 亦称为埃尔米特多项式. 雅可比多项式 (Jacobi polynomial) 基本的正交多项式之一. 雅可比方程 \[\left( {1 - {x}^{2}}\right) \frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{\;d}{x}^{2}} + \left\lbrack {\beta - \alpha - \left( {\alpha + \beta + 2}\right) x}\right\rbrack \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x}\] \[ + n\left( {n + \alpha + \beta + 1}\right) y = 0 \] 的多项式解, \[ {P}_{n}^{\left( \alpha ,\beta \right) }\left( x\right) = \frac{{\left( -1\right) }^{n}}{{2}^{n}n!}{\left( 1 - x\right) }^{-\alpha }{\left( 1 + x\right) }^{-\beta } \] \[ \times \frac{{\mathrm{d}}^{n}}{\mathrm{\;d}{x}^{n}}\left\lbrack {{\left( 1 - x\right) }^{n + \alpha }{\left( 1 + x\right) }^{n + \beta }}\right\rbrack \] \[ = \frac{1}{{2}^{n}}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\left( \begin{matrix} n + \alpha \\ k \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix} n + \beta \\ n - k \end{matrix}\right) {\left( x - 1\right) }^{n - k}{\left( x + 1\right) }^{k} \] \[ \left( {\alpha ,\beta > - 1}\right) \text{.} \] 其母函数展开式为 \[ {\left\lbrack R{\left( 1 + R - t\right) }^{\alpha }{\left( 1 + R + t\right) }^{\beta }\right\rbrack }^{-1} \] \[ = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{2}^{-\alpha - \beta }{P}_{n}^{\left

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lbrack {\beta - \alpha - \left( {\alpha + \beta + 2}\right) x}\right\rbrack \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x}\] \[ + n\left( {n + \alpha + \beta + 1}\right) y = 0 \] 的多项式解, \[ {P}_{n}^{\left( \alpha ,\beta \right) }\left( x\right) = \frac{{\left( -1\right) }^{n}}{{2}^{n}n!}{\left( 1 - x\right) }^{-\alpha }{\left( 1 + x\right) }^{-\beta } \] \[ \times \frac{{\mathrm{d}}^{n}}{\mathrm{\;d}{x}^{n}}\left\lbrack {{\left( 1 - x\right) }^{n + \alpha }{\left( 1 + x\right) }^{n + \beta }}\right\rbrack \] \[ = \frac{1}{{2}^{n}}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\left( \begin{matrix} n + \alpha \\ k \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix} n + \beta \\ n - k \end{matrix}\right) {\left( x - 1\right) }^{n - k}{\left( x + 1\right) }^{k} \] \[ \left( {\alpha ,\beta > - 1}\right) \text{.} \] 其母函数展开式为 \[ {\left\lbrack R{\left( 1 + R - t\right) }^{\alpha }{\left( 1 + R + t\right) }^{\beta }\right\rbrack }^{-1} \] \[ = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{2}^{-\alpha - \beta }{P}_{n}^{\left( \alpha ,\beta \right) }\left( x\right) {t}^{n} \] \[ \left( {R = \sqrt{1 - {2xt} + {t}^{2}},\left| t\right| < 1,\alpha ,\beta > - 1}\right) . \] \( \left\{ {{P}_{n}^{\left( a,\beta \right) }\left( x\right) }\right\} \) 在 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上关于权函数 \[ \rho \left( x\right) = {\left( 1 - x\right) }^{\alpha }{\left( 1 + x\right) }^{\beta } \] 正交: \[ {\int }_{-1}^{1}{P}_{n}^{\left( \alpha ,\beta \right) }\left( x\right) {P}_{m}^{\left( \alpha ,\beta \right) }\left( x\right) {\left( 1 - x\right) }^{a}{\left( 1 + x\right) }^{\beta }\mathrm{{dx}} \] \[ = \frac{{2}^{\alpha + \beta + 1}\Gamma \left( {n + \alpha + 1}\right) \Gamma \left( {n + \beta + 1}\right) }{\left( {{2n} + \alpha + \beta + 1}\right) n!\Gamma \left( {n + \alpha + \beta + 1}\right) }{\delta }_{nm}. \] 雅可比多项式也称为超几何多项式. \( \alpha = \beta = \mu \) 时, \( {P}_{n}^{\left( \mu ,\mu \right) }\left( x\right) \) 为超球函数 (参见 “超球函数”). 勒让德多项式 \( {P}_{n}\left( x\right) \) 、第一类切比雪夫多项式 \( {T}_{n}\left( x\right) \) 和格根鲍尔多项式 \( {C}_{n}^{\lambda }\left( x\right) \) 也都是雅可比多项式的特殊情形, \[ {P}_{n}^{\left( \alpha ,\beta \right) }\left( x\right) \] \[ = \left\{ \begin{array}{ll} {P}_{n}\left( x\right) & \left( {\alpha = \beta = 0}\right) , \\ \frac{\left( {{2n} - 1}\right) !!}{{2}^{n}n!}{T}_{n}\left( x\right) & \left( {\alpha = \beta = - 1/2}\right) , \\ \frac{{\left( \lambda + 1/2\right) }_{n}}{{\left( 2\lambda \right) }_{n}}{C}_{n}^{\lambda }\left( x\right) & \left( {\alpha = \beta = \lambda - 1/2}\right) , \end{array}\right. \] 其中 \( {\left( \alpha \right) }_{n} = \alpha \left( {\alpha + 1}\right) \cdots \left( {\alpha + n - 1}\right) \) . 当 \( \alpha \geq - 1/2,\beta \geq - 1/2 \) ,且 \[ 4\max \left( {\frac{\alpha + 1}{{2\alpha } + 3},\frac{\beta + 1}{{2\beta } + 3}}\right) < p \] \[ < 4\min \left( {\frac{\alpha + 1}{{2\alpha } + 1},\frac{\beta + 1}{{2\beta } + 1}}\right) \] 时,对任何 \( f\left( x\right) \in {L}_{\rho }^{p}\left( {\rho \left( x\right) = {\left( 1 - x\right) }^{\alpha }{\left( 1 + x\right) }^{\beta }}\right) \) ,其雅可比-傅里叶级数依 \( {L}_{\rho }^{p} \) 范收敛于 \( f\left( x\right) \) . 超几何多项式 (hypergeometric polynomial) 即“雅可比多项式”. 格根鲍尔多项式 (Gegenbauer polynomial) 亦称超球多项式. 基本的正交多项式之一. 格根鲍尔方程 \[ \left( {1 - {x}^{2}}\right) \frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{\;d}{x}^{2}} - \left( {{2\lambda } + 1}\right) x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} \] \[ + n\left( {n + {2\lambda }}\right) y = 0\] 的多项式解, \[{C}_{n}^{\lambda }\left( x\right) = \frac{{\left( -1\right) }^{n}{\left( 2\lambda \right) }_{n}}{{2}^{n}n!{\left( \lambda + 1/2\right) }_{n}}\frac{1}{{\left( 1 - {x}^{2}\right) }^{\lambda - 1/2}}\] \[ \times \frac{{\mathrm{d}}^{n}}{\mathrm{\;d}{x}^{n}}\left\lbrack {\left( 1 - {x}^{2}\right) }^{n + \lambda - 1/2}\right\rbrack \] \[ = \frac{1}{\Gamma \left( \lambda \right) }\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\left\lbrack n/2\right\rbrack }\frac{{\left( -1\right) }^{k}\Gamma \left( {\lambda + n - k}\right) }{k!\left( {n - {2k}}\right) !}{\left( 2x\right) }^{n - {2k}}.\] 其母函数展开式为 \[{\left( 1 - 2xt + {x}^{2}\right) }^{-\lambda } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{C}_{n}^{\lambda }\left( x\right) {t}^{n}\] \[\left( {\left| t\right| < \min \left| {x + \sqrt{{x}^{2} - 1}}\right| }\right) \text{.}\] \( \left\{ {{C}_{n}^{\lambda }\left( x\right) }\right\} \) 在 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上关于权函数 \( \rho \left( x\right) = (1 - \) \( {\left. {x}^{2}\right) }^{\lambda - 1/2} \) 正交: \[{\int }_{-1}^{1}{C}_{n}^{\lambda }\left( x\right) {C}_{m}^{\lambda }\left( x\right) {\left( 1 - {x}^{2}\right) }^{\lambda - 1/2}\mathrm{\;d}x\] \[ = \frac{{\pi \Gamma }\left( {n + {2\lambda }}\right) }{{2}^{{2\lambda } - 1}n!\left( {\lambda + n}\right) {\left\lbrack \Gamma \left( \lambda \right) \right\rbrack }^{2}}{\delta }_{nm}.\] 当 \( \lambda > 0 \) ,且 \[\frac{{2\lambda } + 1}{\lambda + 1} < p < \frac{{2\lambda } + 1}{\lambda }\] 时,对任何 \( f\left( x\right) \in {L}_{\rho }^{p}\left( {\rho \left( x\right) = {\left( 1 - {x}^{2}\right) }^{\lambda } - 1/2}\right) \) ,其格根鲍尔-傅里叶级数依 \( {L}_{\rho }^{p} \) 范收敛于 \( f\left( x\right) \) . 格根鲍尔多项式是雅可比多项式的特殊情形, \[{C}_{n}^{\lambda }\left( x\right) = \frac{{\left( 2\lambda \right) }_{n}}{{\left( \lambda + 1/2\right) }_{n}}{P}_{n}^{\left( \lambda - 1/2,\lambda - 1/2\right) }\left( x\right) ,\] 也是超球函数的特殊情形. 超球多项式 (ultraspherical polynomial) 即 “格根鲍尔多项式”. 离散变量的正交多项式 (orthogonal polynomials of a discrete variable) 自变量只取离散值的正交多项式. 设区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上函数 \( \phi \left( x\right) ,\psi \left( x\right) \) 的内积为 \[\left( {\phi ,\psi }\right) = \mathop{\sum }\limits_{i}{w}^{ * }\left( {x}_{i}\right) \phi \left( {x}_{i}\right) \psi \left( {x}_{i}\right) ,\] 其中自变量 \( {x}_{i} \) 为整数, \( {w}^{ * }\left( {x}_{i}\right) > 0 \) 且 \( \mathop{\sum }\limits_{i}{w}^{ * }\left( {x}_{i}\right) \) 有限. 则可定义出相应的离散变量的正交多项式 \( {f}_{n}\left( x\right) \) . 类似于连续变量时正交多项式的微分表示, 离散变量的正交多项式可用的有限差分 \[{f}_{n}\left( x\right) = \frac{1}{{r}_{n}{w}^{ * }\left( x\right) }{\Delta }^{n}\left\lbrack {{w}^{ * }\left( x\right) g\left( {x, n}\right) }\right\rbrack \] 表示,其中 \( {r}_{n} \) 为 (与 \( n \) 有关的) 常数, \[g\left( {x, n}\right) = g\left( x\right) g\left( {x - 1}\right) g\left( {x - 2}\right) \cdots g\left( {x - n + 1}\right) ,\] \( g\left( x\right) \) 为 (与 \( n \) 无关) 多项式,差分定义为 \[{\Delta f}\left( x\right) = f\left( {x + 1}\right) - f\left( x\right) ,\] \[{\Delta }^{n}f\left( x\right) = \Delta \left\lbrack {{\Delta }^{n - 1}f\left( x\right) }\right\rbrack .\] 撰 稿 吴崇试 邸继征 审 阅 梁昆森 ## 附录 特殊函数公式 ## 检索须知 1. 如非特殊指明,本公式表中 \( k, l, m, n \) 一律表示整数 (椭圆积分和椭圆函数中的模数 \( k \) 和补模数 \( {k}^{\prime } \) 除外), \( x, y, t \) 表示实变数, \( z, u, v, w \) 表示复变数, \( \bar{z} \) 表示 \( z \) 的复共轭. \[ \text{2.}{\left( \alpha \right) }_{n} = \alpha \left( {\alpha + 1}\right) \left( {\alpha + 2}\right) \cdots \left( {\alpha + n - 1}\right) = \frac{\Gamma \left( {\alpha + n}\right) }{\Gamma \left( \alpha \right) };{\left( \alpha \right) }_{0} = 1 \] \[ \left( \begin{array}{l} \alpha \\ n \end{array}\right) = \frac{\alpha \left( {\alpha - 1}\right) \left( {\alpha - 2}\right) \cdots \left( {\alpha - n + 1}\right) }{n!} = \frac{\Gamma \left( {\alpha + 1}\right) }{n!\Gamma \left( {\alpha - n + 1}\right) } = \frac{{\left( -\right) }^{n}\Gamma \left( {n - \alpha }\right) }{n!\Gamma \left( {-\alpha }\right) } \] \[ \left( {v, m}\right) = \frac{\left\lbrack {4{v}^{2} - {3}^{2}}\right\rbrack \cdots \left\lbrack {4{v}^{2} - {\left( 2m - 1\right) }^{2}}\right\rbrack }{{2}^{m}m!} = \frac{\Gamma \left( {v + m + \frac{1}{2}}\right) }{m!\Gamma \left( {v - m + \frac{1}{2}}\right) } \] \[ {\delta }_{mn} = \left\{ {\begin{array}{ll} 1 & m = n \\ 0 & m \neq n \end{array}\;{\varepsilon }_{n} = 2 - {\delta }_{n0} = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & n = 0 \\ 2 & n \neq 0 \end{array}\right. }\right. \] ## 伽马函数及其他相关函数 伽马函数 (Gamma function) \[ \Gamma \left( z\right) = {\int }_{0}^{\infty }{\mathrm{e}}^{-t}{t}^{z - 1}\mathrm{\;d}t \] \( \left( {\operatorname{Re}z > 0}\right) \) \[ = {s}^{s}{\int }_{0}^{\infty {e}^{ta}}{t}^{z - 1}{\mathrm{e}}^{-{st}}\mathrm{\;d}t\;\left( {\left| {\arg s + \delta }\right| < \pi /2,\delta > 0,\operatorname{Re}z > 0;0 < \operatorname{Re}z < 1\text{ 时 }\arg s + \delta = \pm \pi /2\text{ 亦成立 }}\right) \] \[ = \frac{1}{{\left( z\right) }_{n}}{\int }_{0}^{\infty }{\mathrm{e}}^{-t}{t}^{z + n - 1}\mathrm{\;d}t \] ( \( \operatorname{Re}z > - n, n \) 为非负整数) \[ = \frac{1}{z}\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left\{ {{\left( 1 + \frac{z}{n}\right) }^{-1}{\left( 1 + \frac{1}{n}\right) }^{z}}\right\} \] ( \( z \neq \) 负整数) \[ = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{n!{n}^{z}}{z\left( {z + 1}\right) \cdots \left( {z + n}\right) } \] ( \( z \neq \) 负整数) \[ = {\lambda }^{z}{\int }_{0}^{1}{\left( \ln \frac{1}{t}\right) }^{z - 1}{t}^{\lambda - 1}\mathrm{\;d}t \] \( \left( {\operatorname{Re}\lambda > 0,\operatorname{Re}z > 0}\right) \) \[ = {\int }_{0}^{\infty }{\mathrm{e}}^{-t}\left( {t - z}\right) {t}^{z - 1}\ln t\mathrm{\;d}t \] \( \left( {\operatorname{Re}z > 0}\right) \) \[ = \frac{{\lambda }^{z}}{\cos {\alpha z}}{\int }_{0}^{\infty }{t}^{z - 1}{\mathrm{e}}^{-{\lambda t}\cos \alpha }\cos \left( {{\lambda t}\sin \alpha }\right) \mathrm{d}t \] \( \left( {\operatorname{Re}z > 0,\lambda > 0,\left| \alpha \right| < \pi /2}\right) \) \[ = \frac{{\lambda }^{z}}{\sin {\alpha z}}{\int }_{0}^{\infty }{t}^{z - 1}{\mathrm{e}}^{-{\lambda t}\cos \alpha }\sin \left( {{\lambda t}\sin \alpha }\right) \mathrm{d}t \] \( \left( {\operatorname{Re}z > - 1,\lambda > 0,\left| \alpha \right| < \pi /2}\right) \) \[ = \frac{{\left( {a}^{2} + {b}^{2}\right) }^{z/2}}{\sin \left( {z\arctan \frac{b}{a}}\right) }{\int }_{0}^{\infty }{t}^{z - 1}{\mathrm{e}}^{-{at}}\sin {bt}\mathrm{\;d}t \] \( \left( {\operatorname{Re}z > - 1,\operatorname{Re}a > \left| {\operatorname{Im}b}\right| }\right) \) \[ = \frac{{\left( {a}^{2} + {b}^{2}\right) }^{z/2}}{\cos \left( {z\arctan \frac{b}{a}}\right) }{\int }_{0}^{\infty }{t}^{z - 1}{\mathrm{e}}^{-{at}}\cos {bt}\mathrm{\;d}t \] \( \left( {\operato

2000_数学辞海（第3卷）

\[ = \frac{{\lambda }^{z}}{\cos {\alpha z}}{\int }_{0}^{\infty }{t}^{z - 1}{\mathrm{e}}^{-{\lambda t}\cos \alpha }\cos \left( {{\lambda t}\sin \alpha }\right) \mathrm{d}t \] \( \left( {\operatorname{Re}z > 0,\lambda > 0,\left| \alpha \right| < \pi /2}\right) \) \[ = \frac{{\lambda }^{z}}{\sin {\alpha z}}{\int }_{0}^{\infty }{t}^{z - 1}{\mathrm{e}}^{-{\lambda t}\cos \alpha }\sin \left( {{\lambda t}\sin \alpha }\right) \mathrm{d}t \] \( \left( {\operatorname{Re}z > - 1,\lambda > 0,\left| \alpha \right| < \pi /2}\right) \) \[ = \frac{{\left( {a}^{2} + {b}^{2}\right) }^{z/2}}{\sin \left( {z\arctan \frac{b}{a}}\right) }{\int }_{0}^{\infty }{t}^{z - 1}{\mathrm{e}}^{-{at}}\sin {bt}\mathrm{\;d}t \] \( \left( {\operatorname{Re}z > - 1,\operatorname{Re}a > \left| {\operatorname{Im}b}\right| }\right) \) \[ = \frac{{\left( {a}^{2} + {b}^{2}\right) }^{z/2}}{\cos \left( {z\arctan \frac{b}{a}}\right) }{\int }_{0}^{\infty }{t}^{z - 1}{\mathrm{e}}^{-{at}}\cos {bt}\mathrm{\;d}t \] \( \left( {\operatorname{Re}z > 0,\operatorname{Re}a > \left| {\operatorname{Im}b}\right| }\right) \) \[ = \frac{1}{\cos \frac{\pi z}{2}}{\int }_{0}^{\infty }{t}^{z - 1}\cos t\mathrm{\;d}t \] \( \left( {0 < \operatorname{Re}z < 1}\right) \) \[ = \frac{1}{\sin \frac{\pi z}{2}}{\int }_{0}^{\infty }{t}^{z - 1}\sin t\mathrm{\;d}t\] \( \left( {0 < \left| {\operatorname{Re}z}\right| < 1}\right) \) \[ \frac{1}{\Gamma \left( z\right) } = z{\mathrm{e}}^{\gamma z}\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left\{ {\left( {1 + \frac{z}{n}}\right) {\mathrm{e}}^{-z/n}}\right\} \] ( \( \gamma \) 为欧拉常数) \[ = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{-\infty {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha }}^{\left( {0}^{ + }\right) }{\mathrm{e}}^{t}{t}^{-z}\mathrm{\;d}t \] \( (\left| \alpha \right| < \pi /2,\left| {\arg t - \alpha }\right| < \pi \) . 积分路线: 从 \( \infty \) 点出发,沿辐角为 \( \pi + \alpha \) 的半射线绕原点正向一周,再回到 \( \infty \) 点) \( \Gamma \left( {z + 1}\right) = {z\Gamma }\left( z\right) \) \( \Gamma \left( {n + 1}\right) = n!,\;\Gamma \left( 1\right) = \Gamma \left( 2\right) = 1 \) \( \Gamma \left( z\right) \Gamma \left( {1 - z}\right) = \frac{\pi }{\sin {\pi z}},\Gamma \left( \frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi } \) \[ \Gamma \left( {n + z}\right) \Gamma \left( {n - z}\right) = \frac{\pi z}{\sin {\pi z}}{\left\lbrack \left( n - 1\right) !\right\rbrack }^{2}\mathop{\prod }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\left( {1 - \frac{{z}^{2}}{{k}^{2}}}\right) \] \[ \Gamma \left( {\frac{1}{2} + z}\right) \Gamma \left( {\frac{1}{2} - z}\right) = \frac{\pi }{\cos {\pi z}} \] \[ \Gamma \left( {n + \frac{1}{2} + z}\right) \Gamma \left( {n + \frac{1}{2} - z}\right) = \frac{1}{\cos {\pi z}}{\left\lbrack \Gamma \left( n + \frac{1}{2}\right) \right\rbrack }^{2}\mathop{\prod }\limits_{{k = 1}}^{n}\left\lbrack {1 - \frac{4{z}^{2}}{{\left( 2k - 1\right) }^{2}}}\right\rbrack \] \[ \Gamma \left( {nz}\right) = {\left( 2\pi \right) }^{\left( {1 - n}\right) /2}{n}^{{nz} - 1/2}\mathop{\prod }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}\Gamma \left( {z + \frac{k}{n}}\right) \] \[ \Gamma \left( {2z}\right) = \frac{{2}^{{2z} - 1}}{\sqrt{\pi }}\Gamma \left( z\right) \Gamma \left( {z + \frac{1}{2}}\right) \] \[ \Gamma \left( {z + 1}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{c}_{n}{z}^{n},{c}_{0} = 1,{c}_{n + 1} = \frac{1}{n + 1}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{\left( -\right) }^{k + 1}{s}_{k + 1}{c}_{n - k},{s}_{1} = \gamma ,{s}_{n} = \zeta \left( n\right) \] \( \left( {\operatorname{Re}z > 0}\right) \) \[ \frac{1}{\Gamma \left( {z + 1}\right) } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{d}_{n}{z}^{n},{d}_{0} = 1,{d}_{n + 1} = \frac{1}{n + 1}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{\left( -\right) }^{k}{s}_{k + 1}{d}_{n - k},{s}_{1} = \gamma ,{s}_{n} = \zeta \left( n\right) \] \[ \Gamma \left( {n + \frac{1}{2}}\right) = \frac{\left( {{2n} - 1}\right) !!}{{2}^{n}}\sqrt{\pi } \] \[ \Gamma \left( {-n + \frac{1}{2}}\right) = {\left( -1\right) }^{n}\frac{{2}^{n}\sqrt{\pi }}{\left( {{2n} - 1}\right) !!} \] \[ \ln \Gamma \left( z\right) = \left( {z - \frac{1}{2}}\right) \ln z - z + \frac{1}{2}\ln \left( {2\pi }\right) - {\int }_{0}^{\infty }\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{t} - \frac{1}{1 - {\mathrm{e}}^{-t}}}\right) \frac{{\mathrm{e}}^{-{zt}}}{t}\mathrm{\;d}t \] \( \left( {\operatorname{Re}z > 0}\right) \) \[ = \left( {z - \frac{1}{2}}\right) \ln z - z + \frac{1}{2}\ln \left( {2\pi }\right) + {\int }_{0}^{\infty }\left\{ {\frac{1}{2} - \frac{1}{t} + \frac{1}{{\mathrm{e}}^{t} - 1}}\right\} \frac{{\mathrm{e}}^{-{zt}}}{t}\mathrm{\;d}t \] \( \left( {\operatorname{Re}z > 0}\right) \) \[ = \left( {z - \frac{1}{2}}\right) \ln z - z + \frac{1}{2}\ln \left( {2\pi }\right) + 2{\int }_{0}^{\infty }\frac{\arctan \frac{t}{z}}{{\mathrm{e}}^{2\pi t} - 1}\mathrm{\;d}t \] \( \left( {\operatorname{Re}z > 0}\right) \) \[ \ln \Gamma \left( {z + 1}\right) = \frac{1}{2}\left\lbrack {\ln \frac{\pi z}{\sin {\pi z}} - \ln \frac{1 + z}{1 - z}}\right\rbrack + \left( {1 - \gamma }\right) z + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1 - \zeta \left( {{2n} + 1}\right) }{{2n} + 1}{z}^{{2n} + 1} \] \[ = - {\gamma z} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 2}}^{\infty }{\left( -\right) }^{n}\frac{\zeta \left( n\right) }{n}{z}^{n} \] \( \left( {\left| z\right| < 1}\right) \) \[ = \frac{1}{2}\ln \frac{\pi z}{\sin {\pi z}} - {\gamma }_{z} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\zeta \left( {{2n} + 1}\right) }{{2n} + 1}{z}^{{2n} + 1}\] \( \left( {\left| z\right| < 1}\right) \) \[\mathop{\prod }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\Gamma \left( \frac{k}{n}\right) \Gamma \left( {1 - \frac{k}{n}}\right) = \frac{{\left( 2\pi \right) }^{n - 1}}{n}\] \[{\int }_{0}^{1}\ln \Gamma \left( x\right) \sin {2n\pi x}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{2n\pi }\left\lbrack {\gamma + \ln \left( {2n\pi }\right) }\right\rbrack \] \( \left( {n = 1,2,3,\cdots }\right) \) \[{\int }_{0}^{1}\ln \Gamma \left( x\right) \cos {2n\pi x}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{4n}\] \( \left( {n = 1,2,3,\cdots }\right) \) \[{\int }_{0}^{1}\ln \Gamma \left( x\right) \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\ln \left( {2\pi }\right) \] \[{\int }_{x}^{x + 1}\ln \Gamma \left( x\right) \mathrm{d}x = x\ln x - x + \frac{1}{2}\ln \left( {2\pi }\right) \] \[{\int }_{x}^{x + n}\ln \Gamma \left( x\right) \mathrm{d}x = x\ln x + \left( {x + 1}\right) \ln \left( {x + 1}\right) + \cdots + \left( {x + n - 1}\right) \ln \left( {x + n - 1}\right) - {nx} - \frac{1}{2}n\left( {n - 1}\right) + \frac{n}{2}\ln \left( {2\pi }\right) \] \[ \mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow \infty }}\frac{\Gamma \left( {z + \alpha }\right) }{\Gamma \left( z\right) }{\mathrm{e}}^{-\alpha \ln z} = 1 \] \( \left( {\left| {\arg z}\right| < \pi }\right) \) \[ \Gamma \left( z\right) \sim \sqrt{2\pi }{z}^{z - 1/2}{\mathrm{e}}^{-z}\left\lbrack {1 + \frac{1}{12z} + \frac{1}{{288}{z}^{2}} - \frac{139}{{51840}{z}^{3}} - \frac{571}{{2488320}{z}^{4}} + \frac{163879}{{209018880}{z}^{5}}}\right. \] \[ \left. {+\frac{5246819}{{75246796800}{z}^{6}} - \frac{534703531}{{902961561600}{z}^{7}} + \cdots }\right\rbrack \] \( \left( {\left| {\arg z}\right| < \pi ,\left| z\right| \rightarrow \infty }\right) \) \[ \ln \Gamma \left( z\right) \sim \left( {z - \frac{1}{2}}\right) \ln z - z + \frac{1}{2}\ln \left( {2\pi }\right) + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{{\left( -\right) }^{k - 1}{B}_{k}}{{2k}\left( {{2k} - 1}\right) }{z}^{-{2k} + 1} + {R}_{n}\left( z\right) \] \( \left\lbrack {{B}_{k}\text{ 为伯努利数,}\left| {{R}_{n}\left( z\right) }\right| < \frac{{B}_{n}}{{2n}\left( {{2n} - 1}\right) }{\left( \left| z\right| \cos \frac{\arg z}{2}\right) }^{1 - {2n}},\left| {\arg z}\right| < \pi ,\left| z\right| \rightarrow \infty \rbrack }\right. \) 贝塔函数 (Beta function) \[ B\left( {p, q}\right) = \frac{\Gamma \left( p\right) \Gamma \left( q\right) }{\Gamma \left( {p + q}\right) } \] \[ = {\int }_{0}^{1}{u}^{p - 1}{\left( 1 - u\right) }^{q - 1}\mathrm{\;d}u \] \( \left( {\operatorname{Re}p > 0,\operatorname{Re}q > 0}\right) \) \[ = \frac{1}{p} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{k}\frac{\left( {q - 1}\right) \left( {q - 2}\right) \cdots \left( {q - k}\right) }{k!\left( {p + k}\right) } \] \[ \left( {\operatorname{Re}p > 0,\operatorname{Re}q > 0}\right) \] \[ = \frac{p + q}{pq}\mathop{\prod }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{k\left( {p + q + k}\right) }{\left( {p + k}\right) \left( {q + k}\right) } \] \[ \left( {p, q \neq 0, - 1, - 2,\cdots }\right) \] \[ = {\left( b - a\right) }^{1 - p - q}{\int }_{a}^{b}{\left( t - a\right) }^{p - 1}{\left( b - t\right) }^{q - 1}\mathrm{\;d}t \] \[ \left( {b > a,\operatorname{Re}p > 0,\operatorname{Re}q > 0}\right) \] \[ = {2}^{1 - p - q}{\int }_{0}^{1}\left\lbrack {{\left( 1 + t\right) }^{p - 1}{\left( 1 - t\right) }^{q - 1} + {\left( 1 + t\right) }^{q - 1}{\left( 1 - t\right) }^{p - 1}}\right\rbrack \mathrm{d}t \] \( \left( {\operatorname{Re}p > 0,\operatorname{Re}q > 0}\right) \) \[ = \frac{{\left( b - c\right) }^{p}{\left( a - c\right) }^{q}}{{\left( b - a\right) }^{p + q - 1}}{\int }_{a}^{b}\frac{{\left( t - a\right) }^{p - 1}{\left( b - t\right) }^{q - 1}}{{\left( t - c\right) }^{p + q}}\mathrm{\;d}t \] \( \left( {\operatorname{Re}p > 0,\operatorname{Re}q > 0, c < a < b}\right) \) \[ = {2}^{2 - p - q}{\int }_{-1}^{1}\frac{{\left( 1 + t\right) }^{{2p} - 1}{\left( 1 - t\right) }^{{2q} - 1}}{{\left( 1 + {t}^{2}\right) }^{p + q}}\mathrm{\;d}t \] \( \left( {\operatorname{Re}p > 0,\operatorname{Re}q > 0}\right) \) \[ = {\int }_{1}^{\infty }\frac{{t}^{p - 1} + {t}^{q - 1}}{{\left( 1 + t\right) }^{p + q}}\mathrm{\;d}t \] \( \left( {\operatorname{Re}p > 0,\operatorname{Re}q > 0}\right) \) \[ = {\int }_{0}^{1}\frac{{t}^{p - 1} + {t}^{q - 1}}{{\left( 1 + t\right) }^{p + q}}\mathrm{\;d}t\] \( \left( {\operatorname{Re}p > 0,\operatorname{Re}q > 0}\right) \) \[ = 2{a}^{q}{b}^{p}{\int }_{0}^{\pi /2}\frac{{\sin }^{{2p} - 1}t{\cos }^{{2q} - 1}t}{{\left( a{\cos }^{2}t + b{\sin }^{2}t\right) }^{p + q}}\mathrm{\;d}t\;\left( {\operatorname{Re}p > 0,\operatorname{Re}q > 0, a > 0, b > 0}\right) \] \[ = 2{b}^{p}{\int }_{

2000_数学辞海（第3卷）

- 1}{\left( b - t\right) }^{q - 1}}{{\left( t - c\right) }^{p + q}}\mathrm{\;d}t \] \( \left( {\operatorname{Re}p > 0,\operatorname{Re}q > 0, c < a < b}\right) \) \[ = {2}^{2 - p - q}{\int }_{-1}^{1}\frac{{\left( 1 + t\right) }^{{2p} - 1}{\left( 1 - t\right) }^{{2q} - 1}}{{\left( 1 + {t}^{2}\right) }^{p + q}}\mathrm{\;d}t \] \( \left( {\operatorname{Re}p > 0,\operatorname{Re}q > 0}\right) \) \[ = {\int }_{1}^{\infty }\frac{{t}^{p - 1} + {t}^{q - 1}}{{\left( 1 + t\right) }^{p + q}}\mathrm{\;d}t \] \( \left( {\operatorname{Re}p > 0,\operatorname{Re}q > 0}\right) \) \[ = {\int }_{0}^{1}\frac{{t}^{p - 1} + {t}^{q - 1}}{{\left( 1 + t\right) }^{p + q}}\mathrm{\;d}t\] \( \left( {\operatorname{Re}p > 0,\operatorname{Re}q > 0}\right) \) \[ = 2{a}^{q}{b}^{p}{\int }_{0}^{\pi /2}\frac{{\sin }^{{2p} - 1}t{\cos }^{{2q} - 1}t}{{\left( a{\cos }^{2}t + b{\sin }^{2}t\right) }^{p + q}}\mathrm{\;d}t\;\left( {\operatorname{Re}p > 0,\operatorname{Re}q > 0, a > 0, b > 0}\right) \] \[ = 2{b}^{p}{\int }_{0}^{\infty }\cosh t{\sinh }^{{2p} - 1}t{\left( 1 + b{\sinh }^{2}t\right) }^{-p - q}\mathrm{\;d}t\] \( \left( {\operatorname{Re}p > 0,\operatorname{Re}q > 0, b > 0}\right) \) \[B\left( {p, q}\right) B\left( {p + q, r}\right) = B\left( {q, r}\right) B\left( {q + r, p}\right) = B\left( {r, p}\right) B\left( {r + p, q}\right) = \frac{\Gamma \left( p\right) \Gamma \left( q\right) \Gamma \left( r\right) }{\Gamma \left( {p + q + r}\right) }\] \[\frac{p + q}{q}B\left( {p, q + 1}\right) = \frac{p + q}{p}B\left( {p + 1, q}\right) = B\left( {p, q}\right) = B\left( {p + 1, q}\right) + B\left( {p, q + 1}\right) \] \[B\left( {p, p}\right) = {2}^{1 - {2p}}B\left( {p,\frac{1}{2}}\right) \] \[B\left( {p, p}\right) B\left( {p + \frac{1}{2}, p + \frac{1}{2}}\right) = \frac{\pi }{p}{2}^{1 - {4p}}\] \[\frac{1}{B\left( {n, m}\right) } = m\left( \begin{matrix} n + m - 1 \\ n - 1 \end{matrix}\right) = n\left( \begin{matrix} n + m - 1 \\ m - 1 \end{matrix}\right) \] \( \left( {m, n\text{为正整数}}\right) \) \[B\left( {p - 1, q}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\infty }B\left( {p, q + k}\right) \] \[B\left( {\frac{p}{a}, q - \frac{p}{a}}\right) = a{b}^{p/a}{\int }_{0}^{\infty }\frac{{t}^{p - 1}}{{\left( 1 + b{t}^{a}\right) }^{q}}\mathrm{\;d}t\] \( \left( {a > 0,\left| {\arg b}\right| < \pi ,0 < \operatorname{Re}p < a\operatorname{Re}q}\right) \) \[B\left( {\frac{p}{r}, q}\right) = r{\int }_{0}^{\infty }{\mathrm{e}}^{-{pt}}{\left( 1 - {\mathrm{e}}^{-{rt}}\right) }^{q - 1}\mathrm{\;d}t\] \[\left( {\operatorname{Re}\frac{p}{r} > 0,\operatorname{Re}r > 0,\operatorname{Re}q > 0}\right) \] \[B\left( {\frac{p + 1}{2},\frac{q - p}{2}}\right) = 2{\int }_{0}^{\infty }{\sinh }^{p}t{\cosh }^{-q}t\mathrm{\;d}t\] \[\left\lbrack {\operatorname{Re}p > - 1,\operatorname{Re}\left( {q - p}\right) > 0}\right\rbrack \] \[B\left( {\beta + \frac{\alpha }{2},\beta - \frac{\alpha }{\rho }}\right) = {4}^{1 - \beta }\rho {\int }_{0}^{\infty }\frac{\cosh \left( {2\alpha t}\right) }{{\cosh }^{2\beta }{\rho t}}\mathrm{\;d}t\] \[\left\lbrack {\operatorname{Re}\left( {\beta \pm \frac{\alpha }{\rho }}\right) > 0,\rho > 0}\right\rbrack \] \[ \frac{1}{B\left( {p, q}\right) } = \frac{{2}^{p + q - 1}\left( {p + q - 1}\right) }{\pi }{\int }_{0}^{\pi /2}\cos \left( {p - q}\right) t{\cos }^{p + q - 2}t\mathrm{\;d}t \] \[ = \frac{{2}^{p + q - 2}\left( {p + q - 1}\right) }{\pi \cos \frac{p - q}{2}\pi }{\int }_{0}^{\pi }\cos \left( {p - q}\right) t{\sin }^{p + q - 2}t\mathrm{\;d}t \] \[ = \frac{{2}^{p + q - 2}\left( {p + q - 1}\right) }{\pi \sin \frac{p - q}{2}\pi }{\int }_{0}^{\pi }\sin \left( {p - q}\right) t{\sin }^{p + q - 2}t\mathrm{\;d}t \] 普西函数 (psi function) \[ \psi \left( z\right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\ln \Gamma \left( z\right) = \frac{{\Gamma }^{\prime }\left( z\right) }{\Gamma \left( z\right) } = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left\{ {\ln n - \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}\frac{1}{z + k}}\right\} \] \[ = {\int }_{0}^{\infty }\left\lbrack {\frac{1}{t}{\mathrm{e}}^{-t} - \frac{{\mathrm{e}}^{-{tz}}}{1 - {\mathrm{e}}^{-t}}}\right\rbrack \mathrm{d}t \] \( \left( {\operatorname{Re}z > 0}\right) \) \[ = {\int }_{0}^{\infty }\left\lbrack {{\mathrm{e}}^{-t} - {\left( 1 + t\right) }^{-z}}\right\rbrack {t}^{-1}\mathrm{\;d}t \] \( \left( {\operatorname{Re}z > 0}\right) \) \[ = - \gamma + {\int }_{0}^{1}\frac{1 - {t}^{z - 1}}{1 - t}\mathrm{\;d}t \] \( \left( {\operatorname{Re}z > 0}\right) \) \[ = - \gamma + {\int }_{0}^{\infty }\left\lbrack {{\left( 1 + t\right) }^{-1} - {\left( 1 + t\right) }^{-z}}\right\rbrack {t}^{-1}\mathrm{\;d}t \] \( \left( {\operatorname{Re}z > 0}\right) \) \[ = - {\int }_{0}^{1}\left\lbrack {\frac{1}{\ln t} + \frac{{t}^{z - 1}}{1 - t}}\right\rbrack \mathrm{d}t \] \( \left( {\operatorname{Re}z > 0}\right) \) \[ = \ln z - \frac{1}{2z} - 2{\int }_{0}^{\infty }t{\left\lbrack \left( {t}^{2} + {z}^{2}\right) \left( {\mathrm{e}}^{2\pi t} - 1\right) \right\rbrack }^{-1}\mathrm{\;d}t \] \( \left( {\operatorname{Re}z > 0}\right) \) \[ = - \gamma + \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\infty }\left( {\frac{1}{k + 1} - \frac{1}{z + k}}\right) \] \[ = - \gamma - \frac{1}{z} + z\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{1}{k\left( {z + k}\right) } \] \[ = \ln z - \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\infty }\left\lbrack {\frac{1}{z + k} - \ln \left( {1 + \frac{1}{z + k}}\right) }\right\rbrack \] \[ \frac{{\mathrm{d}}^{n}}{\mathrm{\;d}{z}^{n}}\psi \left( z\right) = {\left( -1\right) }^{n + 1}n!\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\infty }\frac{1}{{\left( z + k\right) }^{n + 1}} \] \[ \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \] \[ \psi \left( {z + n}\right) = \psi \left( z\right) + \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}\frac{1}{z + k} \] \[\left( {n = 1,2,\cdots }\right) \] \[\psi \left( {z - n}\right) = \psi \left( z\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{z - k}\] \[\left( {n = 1,2,\cdots }\right) \] \[\psi \left( {nz}\right) = \ln n + \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}\psi \left( {z + \frac{k}{n}}\right) \] \[\left( {n = 2,3,\cdots }\right) \] \[\psi \left( z\right) - \psi \left( {1 - z}\right) = - \pi \cot {\pi z}\] \[\psi \left( z\right) - \psi \left( {-z}\right) = - \pi \cot {\pi z} - \frac{1}{z}\] \[\psi \left( {\frac{1}{2} + z}\right) - \psi \left( {\frac{1}{2} - z}\right) = \pi \tan {\pi z}\] \[\psi \left( {\frac{3}{4} - n}\right) - \psi \left( {\frac{1}{4} + n}\right) = \pi \] \[\left( {n = 1,2,\cdots }\right) \] \[\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left\lbrack {\psi \left( {z + n}\right) - \ln n}\right\rbrack = 0\] \( \psi \left( 1\right) = - \gamma \) \( \psi \left( {-\frac{1}{2}}\right) = - \gamma - 2\ln 2 + 2 \) \[\psi \left( n\right) = - \gamma + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k}\] \[\left( {n = 2,3,\cdots }\right) \] 特殊函数公式 \[ \psi \left( {\frac{1}{2} \pm n}\right) = - \gamma - 2\ln 2 + 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{{2k} - 1} \] \( \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) \( \psi \left( \frac{1}{4}\right) = - \gamma - \frac{\pi }{2} - 3\ln 2 \) \( \psi \left( \frac{3}{4}\right) = - \gamma + \frac{\pi }{2} - 3\ln 2 \) \[ \psi \left( \frac{1}{3}\right) = - \gamma - \frac{\pi }{2}\sqrt{\frac{1}{3}} - \frac{3}{2}\ln 3 \] \[ \psi \left( \frac{2}{3}\right) = - \gamma + \frac{\pi }{2}\sqrt{\frac{1}{3}} - \frac{3}{2}\ln 3 \] \[ \psi \left( \frac{m}{n}\right) = - \gamma - \ln n - \frac{\pi }{2}\cot \frac{m\pi }{n} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\cos \frac{2km\pi }{n}\ln \left( {2\sin \frac{k\pi }{n}}\right) \] \[ {\psi }^{\prime }\left( n\right) = \frac{{\pi }^{2}}{6} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{{k}^{2}} \] \( \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) \[ {\psi }^{\prime }\left( \frac{1}{2}\right) = \frac{{\pi }^{2}}{2} \] \[ {\psi }^{\prime }\left( {\frac{1}{2} \pm n}\right) = \frac{{\pi }^{2}}{2} \mp 4\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{{\left( 2k - 1\right) }^{2}} \] \( \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) \[ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n - 1}}{a + {nb}} = \frac{1}{2b}\left\lbrack {\psi \left( {1 + \frac{a}{2b}}\right) - \psi \left( {\frac{1}{2} + \frac{a}{2b}}\right) }\right\rbrack \] \[ \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{m}\frac{1}{a + {nb}} = \frac{1}{b}\left\lbrack {\psi \left( {1 + m + \frac{a}{b}}\right) - \psi \left( \frac{a}{b}\right) }\right\rbrack \] \[ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{2m}}\frac{{\left( -1\right) }^{n - 1}}{a + {nb}} = \frac{1}{2b}\left\lbrack {\psi \left( {m + \frac{1}{2} + \frac{a}{2b}}\right) - \psi \left( {\frac{1}{2} + \frac{a}{2b}}\right) - \psi \left( {m + 1 + \frac{a}{2b}}\right) + \psi \left( {1 + \frac{a}{2b}}\right) }\right\rbrack \] \[ \frac{z}{a} - \frac{1}{2}\frac{z\left( {z - 1}\right) }{a\left( {a - 1}\right) } + \frac{1}{3}\frac{z\left( {z - 1}\right) \left( {z - 2}\right) }{a\left( {a - 1}\right) \left( {a - 2}\right) } + \cdots = \psi \left( {a + z}\right) - \psi \left( z\right) \] \[ \psi \left( z\right) = \ln z - \frac{1}{2z} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{m}{\left( -\right) }^{k - 1}\frac{{B}_{k}}{2k}{z}^{-{2k}} + O\left( {z}^{-{2m} - 2}\right) \] \[ \psi \left( z\right) \sim \ln z - \frac{1}{2z} - \frac{1}{{12}{z}^{2}} + \frac{1}{{120}{z}^{4}} - \frac{1}{{252}{z}^{6}} + \cdots \] \[ {\psi }^{\left( n\right) }\left( z\right) = {\left( -1\right) }^{n - 1}\left\lbrack {\frac{\left( {n - 1}\right) !}{{z}^{n}} + \frac{n!}{2}{z}^{-n - 1} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{m}\frac{\left( {n + {2k} - 1}\right) !}{\left( {2k}\right) !}{B}_{k}{z}^{-n - {2k}}\rbrack + O\left( {z}^{-n - {2m} - 2}\right) }\right. \] \[ \left( {n = 1,2,\cdots ,\left| z\right| \rightarrow \infty ,\left| {\arg z}\right| < \pi }\right) \] 黎曼 \( \zeta \) 函数 (Riemann zeta function ) \[ \zeta \left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{n}^{-z} \] \( \left( {\operatorname{Re}z > 1}\right) \) \[ = \frac{1}{1 - {2}^{1 - z}}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n - 1}}{{n}^{z}}\] \( \left

2000_数学辞海（第3卷）

- \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{m}{\left( -\right) }^{k - 1}\frac{{B}_{k}}{2k}{z}^{-{2k}} + O\left( {z}^{-{2m} - 2}\right) \] \[ \psi \left( z\right) \sim \ln z - \frac{1}{2z} - \frac{1}{{12}{z}^{2}} + \frac{1}{{120}{z}^{4}} - \frac{1}{{252}{z}^{6}} + \cdots \] \[ {\psi }^{\left( n\right) }\left( z\right) = {\left( -1\right) }^{n - 1}\left\lbrack {\frac{\left( {n - 1}\right) !}{{z}^{n}} + \frac{n!}{2}{z}^{-n - 1} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{m}\frac{\left( {n + {2k} - 1}\right) !}{\left( {2k}\right) !}{B}_{k}{z}^{-n - {2k}}\rbrack + O\left( {z}^{-n - {2m} - 2}\right) }\right. \] \[ \left( {n = 1,2,\cdots ,\left| z\right| \rightarrow \infty ,\left| {\arg z}\right| < \pi }\right) \] 黎曼 \( \zeta \) 函数 (Riemann zeta function ) \[ \zeta \left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{n}^{-z} \] \( \left( {\operatorname{Re}z > 1}\right) \) \[ = \frac{1}{1 - {2}^{1 - z}}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n - 1}}{{n}^{z}}\] \( \left( {\operatorname{Re}z > 0}\right) \) \[ = \frac{1}{1 - {2}^{-z}}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\left( 2n + 1\right) }^{z}}\] \( \left( {\operatorname{Re}z > 1}\right) \) \[{\pi }^{-z/2}\Gamma \left( \frac{z}{2}\right) \zeta \left( z\right) = {\pi }^{-\left( {1 - z}\right) /2}\Gamma \left( \frac{1 - z}{2}\right) \zeta \left( {1 - z}\right) \] \[\zeta \left( {1 - z}\right) = 2{\left( 2\pi \right) }^{-z}\Gamma \left( z\right) \cos \frac{z\pi }{2}\zeta \left( z\right) \] \[\frac{1}{\zeta \left( z\right) } = \mathop{\prod }\limits_{{p\text{ 收敛 }p}}\left( {1 - \frac{1}{{p}^{z}}}\right) \] \( \left( {\operatorname{Re}z > 1}\right) \) \( \left( {m = 1,2,\cdots }\right) \) \[\zeta \left( {-n}\right) = - \frac{{B}_{n + 1}\left( 1\right) }{n + 1}\] \( \left\lbrack {{B}_{n}\left( a\right) \text{为伯努利多项式}}\right\rbrack \) 伽马函数及其他相关函数 \[ \zeta \left( 0\right) = - \frac{1}{2},\zeta \left( {-{2m}}\right) = 0 \] \( \left( {m = 1,2,\cdots }\right) \) \[ \zeta \left( {1 - {2m}}\right) = {\left( -\right) }^{m}\frac{{B}_{m}}{2m} \] \( \left( {{B}_{m}\text{为伯努利数}}\right) \) \[ \zeta \left( {2m}\right) = \frac{{2}^{{2m} - 1}}{\left( {2m}\right) !}{\pi }^{2m}{B}_{m} \] \( \left( {{B}_{m}\text{为伯努利数}}\right) \) 广义 \( \zeta \) 函数 (generalized zeta function) \[ \zeta \left( {z, a}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{1}{{\left( n + a\right) }^{z}} \] \( \left( {\operatorname{Re}z > 1, a \neq 0, - 1, - 2,\cdots }\right) \) \[ = \frac{{2\Gamma }\left( {1 - z}\right) }{{\left( 2\pi \right) }^{1 - z}}\left\lbrack {\sin \frac{z\pi }{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{n}^{z - 1}\cos {2n\pi a} + \cos \frac{z\pi }{2}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{n}^{z - 1}\sin {2n\pi a}}\right\rbrack \] \( \left( {\operatorname{Re}z < 0,0 < a \leq 1}\right) \) \[ = \frac{{a}^{-z}}{2} + \frac{{a}^{1 - z}}{z - 1} + 2{\int }_{0}^{\infty }\frac{{\left( {a}^{2} + {t}^{2}\right) }^{-z/2}}{{\mathrm{e}}^{2\pi t} - 1}\sin \left( {z\arctan \frac{t}{a}}\right) \mathrm{d}t \] \( \left( {\operatorname{Re}a > 0, z \neq 1}\right) \) \[ = \frac{\Gamma \left( {1 - z}\right) }{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{-\infty }^{\left( 0 + \right) }\frac{{w}^{z - 1}{\mathrm{e}}^{aw}}{1 - {\mathrm{e}}^{w}}\mathrm{\;d}w \] [积分路线为: 从 \( \infty \) 点出发,沿负实轴绕 \( w = 0 \) 正向一周, 再回到 \( w = \infty \) . 积分路线内不包含 \( 1 - {\mathrm{e}}^{w} \) 的任何零点] \[ \Gamma \left( z\right) \zeta \left( {z, a}\right) = {\int }_{0}^{\infty }\frac{{x}^{z - 1}{\mathrm{e}}^{-{ax}}}{1 - {\mathrm{e}}^{-x}}\mathrm{\;d}x \] \( \left( {\operatorname{Re}a > 0,\operatorname{Re}z > 1}\right) \) \[ \mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow 1}}\left\{ {\zeta \left( {z, a}\right) - \frac{1}{z - 1}}\right\} = - \psi \left( a\right) \] \[ \zeta \left( {-n, a}\right) = - \frac{{B}_{n + 1}\left( a\right) }{n + 1} \] \[ \left( {n = 0,1,2,\cdots }\right) \] \[ \zeta \left( {z, a}\right) = \frac{1}{\Gamma \left( z\right) }\left\lbrack {{a}^{1 - z}\Gamma \left( {z - 1}\right) + \frac{1}{2}\Gamma \left( z\right) {a}^{-z} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{m}\frac{{B}_{n}}{\left( {2n}\right) !}\Gamma \left( {z + {2n} - 1}\right) {a}^{-{2n} - z + 1}}\right\rbrack + O\left( {a}^{-{2m} - z - 1}\right) \] \( \left( {\left| a\right| \rightarrow \infty ,\left| {\arg a}\right| < \pi }\right) \) ## 欧拉常数 (Euler's constant) \[ \gamma = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left\lbrack {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k} - \ln n}\right\rbrack \] \[ = - \psi \left( 1\right) \] \[ = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 1 + 0}}\left\lbrack {\zeta \left( x\right) - \frac{1}{x - 1}}\right\rbrack \] \[ = - {\int }_{0}^{\infty }{\mathrm{e}}^{-t}\ln t\mathrm{\;d}t \] \[ = - {\int }_{0}^{1}\ln \left( {-\ln t}\right) \mathrm{d}t\] \[ = {\int }_{0}^{1}\left( {\frac{1}{\ln t} + \frac{1}{1 - t}}\right) \mathrm{d}t\] \[ = - {\int }_{0}^{\infty }\left\lbrack {\cos t - \frac{1}{1 + t}}\right\rbrack \frac{\mathrm{d}t}{t}\] \[ = 1 - {\int }_{0}^{\infty }\left\lbrack {\frac{\sin t}{t} - \frac{1}{1 + t}}\right\rbrack \frac{\mathrm{d}t}{t}\] \[ = - {\int }_{0}^{\infty }\left\lbrack {{\mathrm{e}}^{-t} - \frac{1}{1 + t}}\right\rbrack \frac{\mathrm{d}t}{t}\] \[ = - {\int }_{0}^{\infty }\left\lbrack {{\mathrm{e}}^{-t} - \frac{1}{1 + {t}^{2}}}\right\rbrack \frac{\mathrm{d}t}{t}\] \[ = {\int }_{0}^{\infty }\left\lbrack {\frac{1}{{\mathrm{e}}^{t} - 1} - \frac{1}{t{\mathrm{e}}^{t}}}\right\rbrack \mathrm{d}t\] \[ = {\int }_{0}^{1}\left( {1 - {\mathrm{e}}^{-t}}\right) \mathrm{d}t - {\int }_{1}^{\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-t}}{t}\mathrm{\;d}t\] \[ = \mathop{\sum }\limits_{{n = 2}}^{\infty }\frac{{\left( -\right) }^{n}}{n}\zeta \left( n\right) \] \[\text{.} = 1 - 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\zeta \left( {{2n} + 1}\right) }{\left( {{2n} + 1}\right) \left( {{2n} + 2}\right) }\] \[ = \frac{5}{6} - {12}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\zeta \left( {{2n} + 1}\right) }{\left( {{2n} + 1}\right) \left( {{2n} + 3}\right) \left( {{2n} + 4}\right) } \] \[ = \frac{47}{60} - {120}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\zeta \left( {{2n} + 1}\right) }{\left( {{2n} + 1}\right) \left( {{2n} + 4}\right) \left( {{2n} + 5}\right) \left( {{2n} + 6}\right) } \] \[ = \frac{319}{420} - {1680}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\zeta \left( {{2n} + 1}\right) }{\left( {{2n} + 1}\right) \left( {{2n} + 5}\right) \left( {{2n} + 6}\right) \left( {{2n} + 7}\right) \left( {{2n} + 8}\right) } \] \[ = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k} - \ln n + \frac{1}{2n} + \frac{1}{{12}{n}^{2}} - \frac{1}{{120}{n}^{4}} + \frac{1}{{252}{n}^{6}} - \frac{1}{{240}{n}^{8}} + \cdots + {\left( -1\right) }^{r - 1}\frac{{B}_{r}}{{2r}{n}^{2r}} + {\left( -1\right) }^{r}\frac{{B}_{r + 1}}{2\left( {r + 1}\right) }\frac{\theta }{{n}^{{2r} + 2}}\;\left( {0 < \theta < 1}\right) \] \( = {0.577215664901532860606512090082}\cdots \) ## 超几何函数 超几何函数 (hypergeometric functions) \[ F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) = {}_{2}{F}_{1}\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) = F\left( {\beta ,\alpha ;\gamma ;z}\right) \] \[ = \frac{\Gamma \left( \gamma \right) }{\Gamma \left( \alpha \right) \Gamma \left( \beta \right) }\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{\Gamma \left( {n + \alpha }\right) \Gamma \left( {n + \beta }\right) }{n!\Gamma \left( {n + \gamma }\right) }{z}^{n}\;\left( {\left| z\right| < 1,\gamma \neq 0, - 1, - 2,\cdots }\right) \] \( = \frac{\Gamma \left( \gamma \right) }{\Gamma \left( \beta \right) \Gamma \left( {\gamma - \beta }\right) }{\int }_{0}^{1}{t}^{\beta - 1}{\left( 1 - t\right) }^{\gamma - \beta - 1}{\left( 1 - tz\right) }^{-a}\mathrm{\;d}t\;\left\lbrack {\operatorname{Re}\gamma > \operatorname{Re}\beta > 0,\left| {\arg \left( {1 - z}\right) }\right| < \pi }\right\rbrack \) \[ = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}\frac{\Gamma \left( \gamma \right) }{\Gamma \left( \alpha \right) \Gamma \left( \beta \right) }{\int }_{-\mathrm{i}\infty }^{+\mathrm{i}\infty }\frac{\Gamma \left( {\alpha + t}\right) \Gamma \left( {\beta + t}\right) \Gamma \left( {-t}\right) }{\Gamma \left( {\gamma + t}\right) }{\left( -z\right) }^{t}\mathrm{\;d}t \] \( \left\lbrack {\left| {\arg \left( {-z}\right) }\right| < \pi ,\alpha ,\beta \neq 0, - 1, - 2,\cdots ;\alpha - \beta \neq \text{整数;}\Gamma \left( {\alpha + t}\right) }\right. \) 和 \( \Gamma \left( {\beta + t}\right) \) 的极点保持在积分路线的左边, \( \Gamma \left( {-t}\right) \) 的极点保持在积分路线的右边] \[ F\left( {\alpha ,\alpha + n;\gamma ;z}\right) = \frac{\Gamma \left( \gamma \right) }{\Gamma \left( {\gamma - \alpha }\right) \Gamma \left( {\alpha + n}\right) }{\left( -z\right) }^{-\alpha - n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\infty }\frac{{\left( \alpha \right) }_{k + n}{\left( \alpha - \gamma + 1\right) }_{k + n}}{k!\left( {k + n}\right) !} \] \[ \times \left\lbrack {\ln \left( {-z}\right) + \psi \left( {1 + k}\right) - \psi \left( {\alpha + n + k}\right) - \psi \left( {\gamma - \alpha - k - n}\right) + \psi \left( {1 + k + n}\right) }\right\rbrack {z}^{-k} \] \[ + \frac{\Gamma \left( \gamma \right) }{\Gamma \left( {\alpha + n}\right) }{\left( -z\right) }^{-\alpha }\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}\frac{{\left( \alpha \right) }_{k}\Gamma \left( {n - k}\right) }{k!\Gamma \left( {\gamma - \alpha - k}\right) }{z}^{-k} \] \( \left\lbrack {\left| {\arg \left( {-z}\right) }\right| < \pi ,\left| z\right| > 1,\gamma - \alpha \neq 0, \pm 1, \pm 2,\cdots ;}\right. \) \( n = 0,1,2,\cdots ;n = 0 \) 时去掉右端第二项的有限和] \[ F\left( {\alpha ,\alpha + k;\alpha + k + l;z}\right) = \frac{{\left( -\right) }^{k + l}\Gamma \left( {\alpha + k + l}\right) }{\Gamma \left( {\alpha + k}\right) }{\left( -z\right) }^{-\alpha - k}\mathop{\sum }\limits_{{n = l}}^{\infty }\frac{{\left( \alpha \right) }_{n + k}\left( {n - l}\right) !}{\left( {n + k}\right) !n!}{z}^{-n} \] \[ + \frac{\Gamma \left( {\alpha + k + l}\right) }{\Gamma \left( {\alpha + k}\right) }\frac{{\left( -z\right) }^{-\alpha - k}}{\left( {k + l - 1}\right) !}\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{l - 1}}\frac

2000_数学辞海（第3卷）

+ \frac{\Gamma \left( \gamma \right) }{\Gamma \left( {\alpha + n}\right) }{\left( -z\right) }^{-\alpha }\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}\frac{{\left( \alpha \right) }_{k}\Gamma \left( {n - k}\right) }{k!\Gamma \left( {\gamma - \alpha - k}\right) }{z}^{-k} \] \( \left\lbrack {\left| {\arg \left( {-z}\right) }\right| < \pi ,\left| z\right| > 1,\gamma - \alpha \neq 0, \pm 1, \pm 2,\cdots ;}\right. \) \( n = 0,1,2,\cdots ;n = 0 \) 时去掉右端第二项的有限和] \[ F\left( {\alpha ,\alpha + k;\alpha + k + l;z}\right) = \frac{{\left( -\right) }^{k + l}\Gamma \left( {\alpha + k + l}\right) }{\Gamma \left( {\alpha + k}\right) }{\left( -z\right) }^{-\alpha - k}\mathop{\sum }\limits_{{n = l}}^{\infty }\frac{{\left( \alpha \right) }_{n + k}\left( {n - l}\right) !}{\left( {n + k}\right) !n!}{z}^{-n} \] \[ + \frac{\Gamma \left( {\alpha + k + l}\right) }{\Gamma \left( {\alpha + k}\right) }\frac{{\left( -z\right) }^{-\alpha - k}}{\left( {k + l - 1}\right) !}\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{l - 1}}\frac{{\left( \alpha \right) }_{n + k}{\left( 1 - k - l\right) }_{n + k}}{n!\left( {n + k}\right) !} \] \[ \times \left\lbrack {\ln \left( {-z}\right) + \psi \left( {n + k + 1}\right) + \psi \left( {n + 1}\right) - \psi \left( {\alpha + n + k}\right) - \psi \left( {1 - n}\right) }\right\rbrack {z}^{-n} \] \[ + \frac{\Gamma \left( {\alpha + k + l}\right) }{\Gamma \left( {\alpha + k}\right) }{\left( -z\right) }^{-\alpha }\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{k - 1}}\frac{\left( {k - n - 1}\right) !{\left( \alpha \right) }_{n}}{n!\left( {k + l - n - 1}\right) !}{z}^{-n} \] \( \left\lbrack {\left| {\arg \left( {-z}\right) }\right| < \pi ,\alpha + k \neq 0, - 1, - 2,\cdots ;l, m = 0,}\right. \) \( 1,2,\cdots ;l = 0 \) 或 \( m = 0 \) 时去掉右端二项有限和] \[ F\left( {\alpha ,\beta ;\alpha + \beta + n;z}\right) = \frac{\Gamma \left( n\right) \Gamma \left( {\alpha + \beta + n}\right) }{\Gamma \left( {\alpha + n}\right) \Gamma \left( {\beta + n}\right) }\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}\frac{{\left( \alpha \right) }_{k}{\left( \beta \right) }_{k}}{k!{\left( 1 - n\right) }_{k}}{\left( 1 - z\right) }^{k} \] \[ - \frac{\Gamma \left( {\alpha + \beta + n}\right) }{\Gamma \left( \alpha \right) \Gamma \left( \beta \right) }{\left( z - 1\right) }^{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\infty }\frac{{\left( \alpha + n\right) }_{k}{\left( \beta + n\right) }_{k}}{k!\left( {k + n}\right) !} \] \[ \times \left\lbrack {\ln \left( {1 - z}\right) - \psi \left( {k + 1}\right) + \psi \left( {\alpha + k + n}\right) + \psi \left( {\beta + k + n}\right) - \psi \left( {1 + k + n}\right) }\right\rbrack {\left( 1 - z\right) }^{k}\] \( \left\lbrack {\left| {\arg \left( {1 - z}\right) }\right| < \pi ,\left| {1 - z}\right| < 1, n = 0,1,}\right. \) \( 2,\cdots ;n = 0 \) 时去掉右端第二项的有限和] \[F\left( {\alpha ,\beta ;\alpha + \beta - n;z}\right) = \frac{\Gamma \left( n\right) \Gamma \left( {\alpha + \beta - n}\right) }{\Gamma \left( \alpha \right) \Gamma \left( \beta \right) }{\left( 1 - z\right) }^{-n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}\frac{{\left( \alpha - n\right) }_{k}{\left( \beta - n\right) }_{k}}{k!{\left( 1 - n\right) }_{k}}{\left( 1 - z\right) }^{k}\] \[ - \frac{{\left( -\right) }^{n}\Gamma \left( {\alpha + \beta - n}\right) }{\Gamma \left( {\alpha - n}\right) \Gamma \left( {\beta - n}\right) }\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\infty }\frac{{\left( \alpha \right) }_{k}{\left( \beta \right) }_{k}}{k!\left( {k + n}\right) !}\left\lbrack {\ln \left( {1 - z}\right) - \psi \left( {k + 1}\right) + \psi \left( {\alpha + k}\right) + \psi \left( {\beta + k}\right) - \psi \left( {1 + k + n}\right) }\right\rbrack {\left( 1 - z\right) }^{n}.\] \( \left\lbrack {\left| {\arg \left( {1 - z}\right) }\right| < \pi ,\left| {1 - z}\right| < 1, n = 1,2,3,\cdots }\right\rbrack \) 超几何方程的基本解 (fundamental solutions of the hypergeometric equation) 下列各式中, \( {w}_{i}^{\left( 0\right) }\left( z\right) ,{w}_{i}^{\left( 1\right) }\left( z\right) \) 和 \( {w}_{i}^{\left( \infty \right) }\left( z\right) \) 分别是超几何方程 \[ z\left( {1 - z}\right) \frac{{\mathrm{d}}^{2}w}{\mathrm{\;d}{z}^{2}} + \left\lbrack {\gamma - \left( {\alpha + \beta + 1}\right) z}\right\rbrack \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{\;d}z} - {\alpha \beta w} = 0 \] 在 \( z = 0,1 \) 和 \( \infty \) 的基本解, \( i = 1,2 \) . \[ {w}_{1}^{\left( 0\right) }\left( z\right) = F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) \] \[ = {\left( 1 - z\right) }^{\gamma - \alpha - \beta }F\left( {\gamma - \alpha ,\gamma - \beta ;\gamma ;z}\right) \] \[ = {\left( 1 - z\right) }^{-\alpha }\left( {\alpha ,\gamma - \beta ;\gamma ;\frac{z}{z - 1}}\right) \] \[ = {\left( 1 - z\right) }^{-\beta }\left( {\gamma - \alpha ,\beta ;\gamma ;\frac{z}{z - 1}}\right) \] \[ {w}_{2}^{\left( 0\right) }\left( z\right) = {z}^{1 - \gamma }F\left( {\alpha - \gamma + 1,\beta - \gamma + 1;2 - \gamma ;z}\right) \] \[ = {z}^{1 - \gamma }{\left( 1 - z\right) }^{\gamma - \alpha - \beta }F\left( {1 - \alpha ,1 - \beta ;2 - \gamma ;z}\right) \] \[ = {z}^{1 - \gamma }{\left( 1 - z\right) }^{\gamma - \alpha - 1}F\left( {\alpha - \gamma + 1,1 - \beta ;2 - \gamma ;\frac{z}{z - 1}}\right) \] \[ = {z}^{1 - \gamma }{\left( 1 - z\right) }^{\gamma - \beta - 1}F\left( {1 - \alpha ,\beta - \gamma + 1;2 - \gamma ;\frac{z}{z - 1}}\right) \] \[ {w}_{1}^{\left( 1\right) }\left( z\right) = F\left( {\alpha ,\beta ;\alpha + \beta - \gamma + 1;1 - z}\right) \] \[ = {z}^{1 - \gamma }F\left( {\alpha - \gamma + 1,\beta - \gamma + 1;\alpha + \beta - \gamma + 1;1 - z}\right) \] \[ = {z}^{-\alpha }F\left( {\alpha ,\alpha - \gamma + 1,\alpha + \beta - \gamma + 1;1 - \frac{1}{z}}\right) \] \[ = {z}^{-\beta }F\left( {\beta ,\beta - \gamma + 1,\alpha + \beta - \gamma + 1;1 - \frac{1}{z}}\right) \] \[ {w}_{2}^{\left( 1\right) }\left( z\right) = {\left( 1 - z\right) }^{\gamma - \alpha - \beta }F\left( {\gamma - \alpha ,\gamma - \beta ;\gamma - \alpha - \beta + 1;1 - z}\right) \] \[ = {z}^{1 - \gamma }{\left( 1 - z\right) }^{\gamma - \alpha - \beta }F\left( {1 - \alpha ,1 - \beta ;\gamma - \alpha - \beta + 1;1 - z}\right) \] \[ = {z}^{\alpha - \gamma }{\left( 1 - z\right) }^{\gamma - \alpha - \beta }F\left( {\gamma - \alpha ,1 - \alpha ;\gamma - \alpha - \beta + 1;1 - \frac{1}{z}}\right) \] \[ = {z}^{\beta - \gamma }{\left( 1 - z\right) }^{\gamma - \alpha - \beta }F\left( {\gamma - \beta ,1 - \beta ;\gamma - \alpha - \beta + 1;1 - \frac{1}{z}}\right) \] \[{w}_{1}^{\left( \infty \right) }\left( z\right) = {\left( -z\right) }^{-\alpha }F\left( {\alpha ,\alpha - \gamma + 1;\alpha - \beta + 1;\frac{1}{z}}\right) \] \[ = {\left( -z\right) }^{\beta - \gamma }{\left( 1 - z\right) }^{\gamma - \alpha - \beta }F\left( {1 - \beta ,\gamma - \beta ;\alpha - \beta + 1;\frac{1}{z}}\right) \] \[ = {\left( 1 - z\right) }^{-\alpha }F\left( {\alpha ,\gamma - \beta ;\alpha - \beta + 1;\frac{1}{1 - z}}\right) \] \[ = {\left( -z\right) }^{1 - \gamma }{\left( 1 - z\right) }^{\gamma - \alpha - 1}F\left( {\alpha - \gamma + 1,1 - \beta ;\alpha - \beta + 1;\frac{1}{1 - z}}\right) \] \[{w}_{2}^{\left( \infty \right) }\left( z\right) = {\left( -z\right) }^{-\beta }F\left( {\beta ,\beta - \gamma + 1;\beta - \alpha + 1;\frac{1}{z}}\right) \] \[ = {\left( -z\right) }^{\alpha - \gamma }{\left( 1 - z\right) }^{\gamma - \alpha - \beta }F\left( {1 - \alpha ,\gamma - \alpha ;\beta - \alpha + 1;\frac{1}{z}}\right) \] \[ = {\left( 1 - z\right) }^{-\beta }F\left( {\beta ,\gamma - \alpha ;\beta - \alpha + 1;\frac{1}{1 - z}}\right) \] \[ = {\left( -z\right) }^{1 - \gamma }{\left( 1 - z\right) }^{\gamma - \beta - 1}F\left( {1 - \alpha ,\beta - \gamma + 1;\beta - \alpha + 1;\frac{1}{1 - z}}\right) \] \[{w}_{1}^{\left( 0\right) }\left( z\right) = \frac{\Gamma \left( \gamma \right) \Gamma \left( {\gamma - \alpha - \beta }\right) }{\Gamma \left( {\gamma - \alpha }\right) \Gamma \left( {\gamma - \beta }\right) }{w}_{1}^{\left( 1\right) }\left( z\right) + \frac{\Gamma \left( \gamma \right) \Gamma \left( {\alpha + \beta - \gamma }\right) }{\Gamma \left( \alpha \right) \Gamma \left( \beta \right) }{w}_{2}^{\left( 1\right) }\left( z\right) \] \[ = \frac{\Gamma \left( \gamma \right) \Gamma \left( {\beta - \alpha }\right) }{\Gamma \left( {\gamma - \alpha }\right) \Gamma \left( \beta \right) }{w}_{1}^{\left( \infty \right) }\left( z\right) + \frac{\Gamma \left( \gamma \right) \Gamma \left( {\alpha - \beta }\right) }{\Gamma \left( {\gamma - \beta }\right) \Gamma \left( \alpha \right) }{w}_{2}^{\left( \infty \right) }\left( z\right) \] \[{w}_{2}^{\left( 0\right) }\left( z\right) = \frac{\Gamma \left( {2 - \gamma }\right) \Gamma \left( {\gamma - \alpha - \beta }\right) }{\Gamma \left( {1 - \alpha }\right) \Gamma \left( {1 - \beta }\right) }{w}_{1}^{\left( 1\right) }\left( z\right) + \frac{\Gamma \left( {2 - \gamma }\right) \Gamma \left( {\alpha + \beta - \gamma }\right) }{\Gamma \left( {\alpha - \gamma + 1}\right) \Gamma \left( {\beta - \gamma + 1}\right) }{w}_{2}^{\left( 1\right) }\left( z\right) \] 特殊函数公式 \[ = \frac{\Gamma \left( {2 - \gamma }\right) \Gamma \left( {\beta - \alpha }\right) }{\Gamma \left( {1 - \alpha }\right) \Gamma \left( {\beta - \gamma + 1}\right) }{e}^{\mathrm{i}\pi \left( {1 - \gamma }\right) }{w}_{1}^{\left( \infty \right) }\left( z\right) + \frac{\Gamma \left( {2 - \gamma }\right) \Gamma \left( {\alpha - \beta }\right) }{\Gamma \left( {1 - \beta }\right) \Gamma \left( {\alpha - \gamma + 1}\right) }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi \left( {1 - \gamma }\right) }{w}_{2}^{\left( \infty \right) }\left( z\right) \] \[ {w}_{1}^{\left( 1\right) }\left( z\right) = \frac{\Gamma \left( {1 - \gamma }\right) \Gamma \left( {\alpha + \beta - \gamma + 1}\right) }{\Gamma \left( {\alpha - \gamma + 1}\right) \Gamma \left( {\beta - \gamma + 1}\right) }{w}_{1}^{\left( 0\right) }\left( z\right) + \frac{\Gamma \left( {\gamma - 1}\right) \Gamma \left( {\alpha + \beta - \gamma + 1}\right) }{\Gamma \left( \alpha \right) \Gamma \left( \beta \right) }{w}_{2}^{\left( 0\right) }\left( z\right) \] \[ = \frac{\Gamma \left( {\alpha + \beta - \gamma + 1}\right) \Gamm

2000_数学辞海（第3卷）

- \alpha }\right) }{\Gamma \left( {1 - \alpha }\right) \Gamma \left( {\beta - \gamma + 1}\right) }{e}^{\mathrm{i}\pi \left( {1 - \gamma }\right) }{w}_{1}^{\left( \infty \right) }\left( z\right) + \frac{\Gamma \left( {2 - \gamma }\right) \Gamma \left( {\alpha - \beta }\right) }{\Gamma \left( {1 - \beta }\right) \Gamma \left( {\alpha - \gamma + 1}\right) }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi \left( {1 - \gamma }\right) }{w}_{2}^{\left( \infty \right) }\left( z\right) \] \[ {w}_{1}^{\left( 1\right) }\left( z\right) = \frac{\Gamma \left( {1 - \gamma }\right) \Gamma \left( {\alpha + \beta - \gamma + 1}\right) }{\Gamma \left( {\alpha - \gamma + 1}\right) \Gamma \left( {\beta - \gamma + 1}\right) }{w}_{1}^{\left( 0\right) }\left( z\right) + \frac{\Gamma \left( {\gamma - 1}\right) \Gamma \left( {\alpha + \beta - \gamma + 1}\right) }{\Gamma \left( \alpha \right) \Gamma \left( \beta \right) }{w}_{2}^{\left( 0\right) }\left( z\right) \] \[ = \frac{\Gamma \left( {\alpha + \beta - \gamma + 1}\right) \Gamma \left( {\beta - \alpha }\right) }{\Gamma \left( {\beta - \gamma + 1}\right) \Gamma \left( \gamma \right) }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi \alpha }}{w}_{1}^{\left( \infty \right) }\left( z\right) + \frac{\Gamma \left( {\alpha + \beta - \gamma + 1}\right) \Gamma \left( {\alpha - \beta }\right) }{\Gamma \left( {\alpha - \gamma + 1}\right) \Gamma \left( \alpha \right) }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi \beta }}{w}_{2}^{\left( \infty \right) }\left( z\right) \] \[ {w}_{2}^{\left( 1\right) }\left( z\right) = \frac{\Gamma \left( {1 - \gamma }\right) \Gamma \left( {\gamma - \alpha - \beta + 1}\right) }{\Gamma \left( {1 - \alpha }\right) \Gamma \left( {1 - \beta }\right) }{w}_{1}^{\left( 0\right) }\left( z\right) + \frac{\Gamma \left( {\gamma - 1}\right) \Gamma \left( {\gamma - \alpha - \beta + 1}\right) }{\Gamma \left( {\gamma - \alpha }\right) \Gamma \left( {\gamma - \beta }\right) }{w}_{2}^{\left( 0\right) }\left( z\right) \] \[ = \frac{\Gamma \left( {\gamma - \alpha - \beta + 1}\right) \Gamma \left( {\beta - \alpha }\right) }{\Gamma \left( {1 - \alpha }\right) \Gamma \left( {\gamma - \alpha }\right) }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi \left( {\gamma - \beta }\right) }{w}_{1}^{\left( \infty \right) }\left( z\right) + \frac{\Gamma \left( {\gamma - \alpha - \beta + 1}\right) \Gamma \left( {\alpha - \beta }\right) }{\Gamma \left( {1 - \beta }\right) \Gamma \left( {\gamma - \beta }\right) }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi \left( {\gamma - \alpha }\right) }{w}_{2}^{\left( \infty \right) }\left( z\right) \] \[ {w}_{1}^{\left( \infty \right) }\left( z\right) = \frac{\Gamma \left( {1 - \gamma }\right) \Gamma \left( {\alpha - \beta + 1}\right) }{\Gamma \left( {\alpha - \gamma + 1}\right) \Gamma \left( {1 - \beta }\right) }{w}_{1}^{\left( 0\right) }\left( z\right) + \frac{\Gamma \left( \gamma \right) \Gamma \left( {1 - \gamma }\right) \Gamma \left( {\alpha - \beta + 1}\right) }{\Gamma \left( \alpha \right) \Gamma \left( {\gamma - \beta }\right) \Gamma \left( {2 - \gamma }\right) }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{n}^{\prime }}{w}_{2}^{\left( 0\right) }\left( z\right) \] \[ = \frac{\Gamma \left( {\gamma - \alpha - \beta + 1}\right) \Gamma \left( {\alpha + \beta - \gamma }\right) \Gamma \left( {\alpha - \beta + 1}\right) }{\Gamma \left( {\alpha + \beta - \gamma + 1}\right) \Gamma \left( {\gamma - \beta }\right) \Gamma \left( {1 - \beta }\right) }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi a}}{w}_{1}^{\left( 1\right) }\left( z\right) - \frac{\Gamma \left( {\alpha + \beta - \gamma }\right) \Gamma \left( {\alpha - \beta + 1}\right) }{\Gamma \left( {\alpha - \gamma + 1}\right) \Gamma \left( \alpha \right) }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi \left( {\gamma - \beta }\right) }{w}_{2}^{\left( 1\right) }\left( z\right) \] \[ {w}_{2}^{\left( \infty \right) }\left( z\right) = \frac{\Gamma \left( {1 - \gamma }\right) \Gamma \left( {\beta - \alpha + 1}\right) }{\Gamma \left( {\beta - \gamma + 1}\right) \Gamma \left( {1 - \alpha }\right) }{w}_{1}^{\left( 0\right) }\left( z\right) + \frac{\Gamma \left( \gamma \right) \Gamma \left( {1 - \gamma }\right) \Gamma \left( {\beta - \alpha + 1}\right) }{\Gamma \left( \beta \right) \Gamma \left( {\gamma - \alpha }\right) \Gamma \left( {2 - \gamma }\right) }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi \gamma }}{w}_{2}^{\left( 0\right) }\left( z\right) \] \[ = \frac{\Gamma \left( {\gamma - \alpha - \beta + 1}\right) \Gamma \left( {\alpha + \beta - \gamma }\right) \Gamma \left( {\beta - \alpha + 1}\right) }{\Gamma \left( {\alpha + \beta - \gamma + 1}\right) \Gamma \left( {\gamma - \alpha }\right) \Gamma \left( {1 - \alpha }\right) }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi \beta }}{w}_{1}^{\left( 1\right) }\left( z\right) - \frac{\Gamma \left( {\alpha + \beta - \gamma }\right) \Gamma \left( {\beta - \alpha + 1}\right) }{\Gamma \left( {\beta - \gamma + 1}\right) \Gamma \left( \beta \right) }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi \left( {\gamma - \alpha }\right) }{w}_{2}^{\left( 1\right) }\left( z\right) \] 超几何函数的邻次关系 (contiguous relations of the hypergeometric functions) \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) = \frac{\alpha \beta }{\gamma }F\left( {\alpha + 1,\beta + 1;\gamma + 1;z}\right) \] \[ \frac{{\mathrm{d}}^{n}}{\mathrm{\;d}{z}^{n}}F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) = \frac{{\left( \alpha \right) }_{n}{\left( \beta \right) }_{n}}{{\left( \gamma \right) }_{n}}F\left( {\alpha + n,\beta + n;\gamma + n;z}\right) \] \[ \frac{{\mathrm{d}}^{n}}{\mathrm{\;d}{z}^{n}}\left\lbrack {{z}^{\alpha + n - 1}F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) }\right\rbrack = {\left( \alpha \right) }_{n}{z}^{\alpha - 1}F\left( {\alpha + n,\beta ;\gamma ;z}\right) \] \[ \frac{{\mathrm{d}}^{n}}{\mathrm{\;d}{z}^{n}}\left\lbrack {{z}^{\gamma - 1}F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) }\right\rbrack = {\left( \gamma - n\right) }_{n}{z}^{\gamma - n - 1}F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma - n;z}\right) \] \[ \frac{{\mathrm{d}}^{n}}{\mathrm{\;d}{z}^{n}}\left\lbrack {{z}^{\gamma - \alpha + n - 1}{\left( 1 - z\right) }^{\alpha + \beta - \gamma }F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) }\right\rbrack = {\left( \gamma - \alpha \right) }_{n}{z}^{\gamma - \alpha - 1}{\left( 1 - z\right) }^{\alpha + \beta - \gamma - n}F\left( {\alpha - n,\beta ;\gamma ;z}\right) \] \[ \frac{{\mathrm{d}}^{n}}{\mathrm{\;d}{z}^{n}}\left\lbrack {{\left( 1 - z\right) }^{\alpha + \beta - \gamma }F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) }\right\rbrack = \frac{{\left( \gamma - \alpha \right) }_{n}{\left( \gamma - \beta \right) }_{n}}{{\left( \gamma \right) }_{n}}{\left( 1 - z\right) }^{\alpha + \beta - \gamma - n}F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma + n;z}\right) \] \[ \frac{{\mathrm{d}}^{n}}{\mathrm{\;d}{z}^{n}}\left\lbrack {{\left( 1 - z\right) }^{\alpha + n - 1}F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) }\right\rbrack = {\left( -\right) }^{n}\frac{{\left( \alpha \right) }_{n}{\left( \gamma - \beta \right) }_{n}}{{\left( \gamma \right) }_{n}}{\left( 1 - z\right) }^{\alpha - 1}F\left( {\alpha + n,\beta ;\gamma + n;z}\right) \] \[\frac{{\mathrm{d}}^{n}}{\mathrm{\;d}{z}^{n}}\left\lbrack {{z}^{\gamma - 1}{\left( 1 - z\right) }^{\beta - \gamma + n}F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) }\right\rbrack = {\left( \gamma - n\right) }_{n}{z}^{\gamma - n - 1}{\left( 1 - z\right) }^{\beta - \gamma }F\left( {\alpha - n,\beta ;\gamma - n;z}\right) \] \[\frac{{\mathrm{d}}^{n}}{\mathrm{\;d}{z}^{n}}\left\lbrack {{z}^{\gamma - 1}{\left( 1 - z\right) }^{\alpha + \beta - \gamma }F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) }\right\rbrack = {\left( \gamma - n\right) }_{n}{z}^{\gamma - n - 1}{\left( 1 - z\right) }^{\alpha + \beta - \gamma - n}F\left( {\alpha - n,\beta - n;\gamma - n;z}\right) \] \[\left( {\gamma - \alpha }\right) F\left( {\alpha - 1,\beta ;\gamma ;z}\right) + \left\lbrack {{2\alpha } - \gamma - \left( {\alpha - \beta }\right) z}\right\rbrack F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) + \alpha \left( {z - 1}\right) F\left( {\alpha + 1,\beta ;\gamma ;z}\right) = 0\] \[\left( {\gamma - \beta }\right) F\left( {\alpha ,\beta - 1;\gamma ;z}\right) + \left\lbrack {{2\beta } - \gamma - \left( {\beta - \alpha }\right) z}\right\rbrack F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) + \beta \left( {z - 1}\right) F\left( {\alpha ,\beta + 1;\gamma ;z}\right) = 0\] \[\gamma \left( {\gamma - 1}\right) \left( {z - 1}\right) F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma - 1;z}\right) + \gamma \left\lbrack {\gamma - 1 - \left( {{2\gamma } - \alpha - \beta - 1}\right) z}\right\rbrack F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) \] \[ + \left( {\gamma - \alpha }\right) \left( {\gamma - \beta }\right) {zF}\left( {\alpha ,\beta ;\gamma + 1;z}\right) = 0\] \[\left( {\beta - \alpha }\right) F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) + {\alpha F}\left( {\alpha + 1,\beta ;\gamma ;z}\right) - {\beta F}\left( {\alpha ,\beta + 1;\gamma ;z}\right) = 0\] \[\left( {\beta - \gamma }\right) F\left( {\alpha ,\beta - 1;\gamma ;z}\right) + \left( {\gamma - \alpha - \beta }\right) F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) + \alpha \left( {1 - z}\right) F\left( {\alpha + 1,\beta ;\gamma ;z}\right) = 0\] \[\gamma \left\lbrack {\alpha - \left( {\gamma - \beta }\right) z}\right\rbrack F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) - {\alpha \gamma }\left( {1 - z}\right) F\left( {\alpha + 1,\beta ;\gamma ;z}\right) + \left( {\gamma - \alpha }\right) \left( {\gamma - \beta }\right) {zF}\left( {\alpha ,\beta ;\gamma + 1;z}\right) = 0\] \[\left( {1 - \gamma }\right) F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma - 1;z}\right) + \left( {\gamma - \alpha - 1}\right) F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) + {\alpha F}\left( {\alpha + 1;\beta ;\gamma ;z}\right) = 0\] \[\left( {\alpha - \gamma }\right) F\left( {\alpha - 1,\beta ;\gamma ;z}\right) + \left( {\gamma - \alpha - \beta }\right) F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) + \beta \left( {1 - z}\right) F\left( {\alpha ,\beta + 1;\gamma ;z}\right) = 0\] \[\left( {\alpha - \gamma }\right) F\left( {\alpha - 1,\beta ;\gamma ;z}\right) + \left( {\gamma - \beta }\right) F\left( {\alpha ,\beta - 1;\gamma ;z}\right) + \left( {\beta - \alpha }\right) \left

2000_数学辞海（第3卷）

= 0\] \[\gamma \left\lbrack {\alpha - \left( {\gamma - \beta }\right) z}\right\rbrack F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) - {\alpha \gamma }\left( {1 - z}\right) F\left( {\alpha + 1,\beta ;\gamma ;z}\right) + \left( {\gamma - \alpha }\right) \left( {\gamma - \beta }\right) {zF}\left( {\alpha ,\beta ;\gamma + 1;z}\right) = 0\] \[\left( {1 - \gamma }\right) F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma - 1;z}\right) + \left( {\gamma - \alpha - 1}\right) F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) + {\alpha F}\left( {\alpha + 1;\beta ;\gamma ;z}\right) = 0\] \[\left( {\alpha - \gamma }\right) F\left( {\alpha - 1,\beta ;\gamma ;z}\right) + \left( {\gamma - \alpha - \beta }\right) F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) + \beta \left( {1 - z}\right) F\left( {\alpha ,\beta + 1;\gamma ;z}\right) = 0\] \[\left( {\alpha - \gamma }\right) F\left( {\alpha - 1,\beta ;\gamma ;z}\right) + \left( {\gamma - \beta }\right) F\left( {\alpha ,\beta - 1;\gamma ;z}\right) + \left( {\beta - \alpha }\right) \left( {1 - z}\right) F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) = 0\] \[{\gamma F}\left( {\alpha - 1,\beta ;\gamma ;z}\right) - \gamma \left( {1 - z}\right) F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) - \left( {\gamma - \beta }\right) {zF}\left( {\alpha ,\beta ;\gamma + 1;z}\right) = 0\] \[\left( {\gamma - \alpha }\right) F\left( {\alpha - 1,\beta ;\gamma ;z}\right) - \left( {\gamma - 1}\right) \left( {1 - z}\right) F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma - 1;z}\right) + \left\lbrack {\alpha - 1 - \left( {\gamma - \beta - 1}\right) z}\right\rbrack F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) .\] \[\gamma \left\lbrack {\beta - \left( {\gamma - \alpha }\right) z}\right\rbrack F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) - {\beta \gamma }\left( {1 - z}\right) F\left( {\alpha ,\beta + 1;\gamma ;z}\right) + \left( {\gamma - \alpha }\right) \left( {\gamma - \beta }\right) {zF}\left( {\alpha ,\beta ;\gamma + 1;z}\right) = 0\] \[\left( {1 - \gamma }\right) F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma - 1;z}\right) + \left( {\gamma - \beta - 1}\right) F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) + {\beta F}\left( {\alpha ,\beta + 1;\gamma ;z}\right) = 0\] \[{\gamma F}\left( {\alpha ,\beta - 1;\gamma ;z}\right) - \gamma \left( {1 - z}\right) F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) - \left( {\gamma - \alpha }\right) {zF}\left( {\alpha ,\beta ;\gamma + 1;z}\right) = 0\] \( \left( {\gamma - \beta }\right) F\left( {\alpha ,\beta - 1;\gamma ;z}\right) - \left( {\gamma - 1}\right) \left( {1 - z}\right) F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma - 1;z}\right) + \left\lbrack {\beta - 1 - \left( {\gamma - \alpha - 1}\right) z}\right\rbrack F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) = 0 \) 超几何函数的二次变换 (quadratic transformations of the hypergeometric functions) 下列各式只在 \( z = 0 \) 的邻域内有效,且规定当 \( 0 \leq z < 1/2 \) 时有关根式均取正根. \[ F\left( {\alpha ,\beta ;{2\beta };\frac{4z}{{\left( 1 + z\right) }^{2}}}\right) = {\left( 1 + z\right) }^{2\alpha }F\left( {\alpha ;\alpha - \beta + \frac{1}{2};\beta + \frac{1}{2};{z}^{2}}\right) \] \[ F\left( {{2\alpha },{2\beta };\alpha + \beta + \frac{1}{2};z}\right) = F\left( {\alpha ;\beta ;\alpha + \beta + \frac{1}{2};{4z}\left( {1 - z}\right) }\right) \] \[ = \left( {1 - {2z}}\right) F\left( {\alpha + \frac{1}{2},\beta + \frac{1}{2};\alpha + \beta + \frac{1}{2};{4z}\left( {1 - z}\right) }\right) \] \[ = {\left( 1 - 2z\right) }^{-{2\alpha }}F\left( {\alpha ,\alpha + \frac{1}{2};\alpha + \beta + \frac{1}{2};\frac{{4z}\left( {z - 1}\right) }{{\left( 1 - 2z\right) }^{2}}}\right) \] \[ F\left( {{2\alpha },{2\beta };\alpha + \beta + \frac{1}{2}; - z}\right) = {\left\lbrack \sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right\rbrack }^{-{4\alpha }}F\left( {{2\alpha },\alpha + \beta ;{2\alpha } + {2\beta };\frac{4\sqrt{z\left( {z + 1}\right) }}{{\left( \sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right) }^{2}}}\right) \] \[ F\left( {\alpha ,1 - \alpha ;\gamma ;z}\right) = {\left( 1 - z\right) }^{\gamma - 1}F\left( {\frac{\gamma - \alpha }{2},\frac{\alpha + \gamma - 1}{2};\gamma ;{4z}\left( {1 - z}\right) }\right) \] \[ = {\left( 1 - z\right) }^{\gamma - 1}\left( {1 - {2z}}\right) F\left( {\frac{\gamma + \alpha }{2},\frac{\gamma - \alpha + 1}{2};\gamma ;{4z}\left( {1 - z}\right) }\right) \] \[ = {\left( 1 - z\right) }^{\gamma - 1}{\left( 1 - 2z\right) }^{\alpha - \gamma }F\left( {\frac{\gamma - \alpha }{2},\frac{\gamma - \alpha + 1}{2};\gamma ;\frac{{4z}\left( {z - 1}\right) }{{\left( 1 - 2z\right) }^{2}}}\right) \] \[ F\left( {\alpha ,1 - \alpha ;\gamma ; - z}\right) = {\left( 1 + z\right) }^{\gamma - 1}{\left\lbrack \sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right\rbrack }^{2 - {2\alpha } - {2\gamma }}F\left( {\gamma + \alpha - 1,\gamma - \frac{1}{2};{2\gamma } - 1;\frac{4\sqrt{z\left( {1 + z}\right) }}{{\left( \sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right) }^{2}}}\right) \] \[ F\left( {\alpha ,\beta ;\alpha - \beta + 1;z}\right) = {\left( 1 + z\right) }^{-\alpha }F\left( {\frac{\alpha }{2},\frac{\alpha + 1}{2};\alpha - \beta + 1;\frac{4z}{{\left( 1 + z\right) }^{2}}}\right) \] \[ = {\left( 1 - z\right) }^{1 - {2\beta }}{\left( 1 + z\right) }^{{2\beta } - \alpha - 1}F\left( {\frac{\alpha + 1}{2} - \beta ,\frac{\alpha }{2} - \beta + 1;\alpha - \beta + 1;\frac{4z}{{\left( 1 + z\right) }^{2}}}\right) \] \[ = {\left( 1 - z\right) }^{-\alpha }F\left( {\frac{\alpha }{2},\frac{\alpha + 1}{2} - \beta ;\alpha - \beta + 1; - \frac{4z}{{\left( 1 - z\right) }^{2}}}\right) \] \[ = \left( {1 + z}\right) {\left( 1 - z\right) }^{-\alpha - 1}F\left( {\frac{\alpha + 1}{2},\frac{\alpha }{2} - \beta + 1;\alpha - \beta + 1; - \frac{4z}{{\left( 1 - z\right) }^{2}}}\right) \] \[ = {\left( 1 \pm \sqrt{z}\right) }^{-{2\alpha }}F\left( {\alpha ,\alpha - \beta + \frac{1}{2};{2\alpha } - {2\beta } + 1; \pm \frac{4\sqrt{z}}{{\left( 1 \pm \sqrt{z}\right) }^{2}}}\right) \] \[ F\left( {\alpha ,\alpha + \frac{1}{2};\gamma ;z}\right) = {\left( 1 - z\right) }^{-\alpha }F\left( {{2\alpha },{2\gamma } - {2\alpha } - 1;\gamma ;\frac{\sqrt{1 - z} - 1}{2\sqrt{1 - z}}}\right) \] \[ = {\left( 1 \pm \sqrt{z}\right) }^{-{2a}}F\left( {{2\alpha },\gamma - \frac{1}{2};{2\gamma } - 1; \pm \frac{2\sqrt{z}}{1 \pm \sqrt{z}}}\right) \] \[ = {\left( \frac{1 + \sqrt{1 - z}}{2}\right) }^{-{2\alpha }}F\left( {{2\alpha },{2\alpha } - \gamma + 1;\gamma ;\frac{1 - \sqrt{1 - z}}{1 + \sqrt{1 - z}}}\right) \] \[F\left( {\alpha ,\beta ;{2\beta };z}\right) = {\left( 1 - z\right) }^{-\alpha /2}F\left( {\frac{\alpha }{2},\beta - \frac{\alpha }{2};\beta + \frac{1}{2};\frac{{z}^{2}}{4\left( {z - 1}\right) }}\right) \] \[ = \left( {1 - \frac{z}{2}}\right) {\left( 1 - z\right) }^{-\left( {\alpha + 1}\right) /2}F\left( {\frac{\alpha + 1}{2},\beta + \frac{1 - \alpha }{2};\beta + \frac{1}{2};\frac{{z}^{2}}{4\left( {z - 1}\right) }}\right) \] \[ = {\left( 1 - z\right) }^{-\alpha /2}F\left( {\alpha ,{2\beta } - \alpha ;\beta + \frac{1}{2}; - \frac{{\left( 1 - \sqrt{1 - z}\right) }^{2}}{4\sqrt{1 - z}}}\right) \] \[ = {\left( 1 - \frac{z}{2}\right) }^{-\alpha }F\left( {\frac{\alpha }{2},\frac{\alpha + 1}{2};\beta + \frac{1}{2};{\left( \frac{z}{2 - z}\right) }^{2}}\right) \] \[ = {\left( 1 - z\right) }^{\beta - \alpha }{\left( 1 - \frac{z}{2}\right) }^{\alpha - {2\beta }}F\left( {\beta - \frac{\alpha }{2},\beta + \frac{1 - \alpha }{2};\beta + \frac{1}{2};{\left( \frac{z}{2 - z}\right) }^{2}}\right) \] 特殊函数公式 \[ = {\left( \frac{1 + \sqrt{1 - z}}{2}\right) }^{-{2\alpha }}F\left( {\alpha ,\alpha - \beta + \frac{1}{2};\beta + \frac{1}{2};{\left( \frac{1 - \sqrt{1 - z}}{1 + \sqrt{1 - z}}\right) }^{2}}\right) \] \[ F\left( {\alpha ,\beta ;\alpha + \beta + \frac{1}{2};z}\right) = F\left( {{2\alpha },{2\beta };\alpha + \beta + \frac{1}{2};\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{1 - z}}\right) \] \[ = {\left( \frac{1 + \sqrt{1 - z}}{2}\right) }^{-{2\alpha }}F\left( {{2\alpha },\alpha - \beta + \frac{1}{2};\alpha + \beta + \frac{1}{2};\frac{\sqrt{1 - z} - 1}{\sqrt{1 - z} + 1}}\right) \] \[ F\left( {\alpha ,\beta ;\alpha + \beta + \frac{1}{2}; - z}\right) = {\left\lbrack \sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right\rbrack }^{-{2\alpha }}F\left( {{2\alpha },\alpha + \beta ;{2\alpha } + {2\beta };2\sqrt{z\left( {1 + z}\right) } - {2z}}\right) \] \[ F\left( {\alpha ,\beta ;\alpha + \beta - \frac{1}{2}; - z}\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - z}}F\left( {{2\alpha } - 1,{2\beta } - 1;\alpha + \beta - \frac{1}{2};\frac{1 - \sqrt{1 - z}}{2}}\right) \] \[ = \frac{1}{\sqrt{1 - z}}{\left( \frac{1 + \sqrt{1 - z}}{2}\right) }^{1 - {2\alpha }}F\left( {{2\alpha } - 1,\alpha - \beta + \frac{1}{2};\alpha + \beta - \frac{1}{2};\frac{\sqrt{1 - z} - 1}{\sqrt{1 - z} + 1}}\right) \] \[ F\left( {\alpha ,\beta ;\alpha + \beta - \frac{1}{2}; - z}\right) = {\left( 1 + z\right) }^{-1/2}{\left\lbrack \sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right\rbrack }^{1 - {2\alpha }}F\left( {{2\alpha } - 1,\alpha + \beta - 1;{2\alpha } + {2\beta } - 2;2\sqrt{z\left( {1 + z}\right) } - {2z}}\right) \] \[ F\left( {{2\alpha },{2\beta };\alpha + \beta + \frac{1}{2};\frac{1 + z}{2}}\right) = \frac{\Gamma \left( {\alpha + \beta + \frac{1}{2}}\right) \Gamma \left( \frac{1}{2}\right) }{\Gamma \left( {\alpha + \frac{1}{2}}\right) \Gamma \left( {\beta + \frac{1}{2}}\right) }F\left( {\alpha ,\beta ;\frac{1}{2};{z}^{2}}\right) \] \[ - \frac{\Gamma \left( {\alpha + \beta + \frac{1}{2}}\right) \Gamma \left( {-\frac{1}{2}}\right) }{\Gamma \left( \alpha \right) \Gamma \left( \beta \right) }{zF}\left( {\alpha + \frac{1}{2},\beta + \frac{1}{2};\frac{3}{2};{z}^{2}}\right) \] \[ F\left( {\alpha ;\beta ;\frac{1}{2};z}\right) = \frac{1}{2}\frac{\Gamma \left( {\alpha + \frac{1}{2}}\right) \Gamma \left( {\beta + \frac{1}{2}}\right) }{\Gamma \left( {\alpha + \beta + \frac{1}{2}}\right) \Gamma \left( \frac{1}{2}\right) }\left\lbrack {F\left( {{2\alpha },{2\beta };\alpha + \beta + \frac{1}{2};\frac{1 + \sqrt{z}}{2}}\right) + F\left( {{2\alpha },{2\beta };\alpha + \beta + \frac{1}{2};\frac{1 - \sqrt{z}}{2}}\right) }\right\rbrack \] \[ F\left( {\alpha ,\beta ;\frac{1}{2}; - z}\right) = \frac{\Gamma \left( {\alpha + \frac{1}{2}}\right) \Gamma \left( {1 - \beta }\right) }{{2\Gamma }\left( \frac{1}{2}\right) \Gamma \l

2000_数学辞海（第3卷）

}{2}}\right) \Gamma \left( {\beta + \frac{1}{2}}\right) }F\left( {\alpha ,\beta ;\frac{1}{2};{z}^{2}}\right) \] \[ - \frac{\Gamma \left( {\alpha + \beta + \frac{1}{2}}\right) \Gamma \left( {-\frac{1}{2}}\right) }{\Gamma \left( \alpha \right) \Gamma \left( \beta \right) }{zF}\left( {\alpha + \frac{1}{2},\beta + \frac{1}{2};\frac{3}{2};{z}^{2}}\right) \] \[ F\left( {\alpha ;\beta ;\frac{1}{2};z}\right) = \frac{1}{2}\frac{\Gamma \left( {\alpha + \frac{1}{2}}\right) \Gamma \left( {\beta + \frac{1}{2}}\right) }{\Gamma \left( {\alpha + \beta + \frac{1}{2}}\right) \Gamma \left( \frac{1}{2}\right) }\left\lbrack {F\left( {{2\alpha },{2\beta };\alpha + \beta + \frac{1}{2};\frac{1 + \sqrt{z}}{2}}\right) + F\left( {{2\alpha },{2\beta };\alpha + \beta + \frac{1}{2};\frac{1 - \sqrt{z}}{2}}\right) }\right\rbrack \] \[ F\left( {\alpha ,\beta ;\frac{1}{2}; - z}\right) = \frac{\Gamma \left( {\alpha + \frac{1}{2}}\right) \Gamma \left( {1 - \beta }\right) }{{2\Gamma }\left( \frac{1}{2}\right) \Gamma \left( {\alpha - \beta + 1}\right) }{\left( 1 + z\right) }^{-\alpha } \] \[ \times \left\lbrack {F\left( {{2\alpha },1 - {2\beta };\alpha - \beta + 1;\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{z}{z + 1}}}\right) + F\left( {{2\alpha },1 - {2\beta };\alpha - \beta + 1;\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{\frac{z}{z + 1}}}\right) }\right\rbrack \] \[ F\left( {\alpha ,\beta ;\frac{3}{2};z}\right) = \frac{1}{2\sqrt{z}}\frac{\Gamma \left( {\alpha - \frac{1}{2}}\right) \Gamma \left( {\beta - \frac{1}{2}}\right) }{\Gamma \left( {\alpha + \beta - \frac{1}{2}}\right) \Gamma \left( {-\frac{1}{2}}\right) } \] \[ \times \left\lbrack {F\left( {{2\alpha } - 1,{2\beta } - 1;\alpha + \beta - \frac{1}{2};\frac{1 - \sqrt{z}}{2}}\right) - F\left( {{2\alpha } - 1,{2\beta } - 1;\alpha + \beta - \frac{1}{2};\frac{1 + \sqrt{z}}{2}}\right) }\right\rbrack \] 超几何函数的特殊值 (special values of the hypergeometric function) \[ F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;1}\right) = \frac{\Gamma \left( \gamma \right) \Gamma \left( {\gamma - \alpha - \beta }\right) }{\Gamma \left( {\gamma - \alpha }\right) \Gamma \left( {\gamma - \beta }\right) } \] \[ \left\lbrack {\gamma \neq 0, - 1, - 2,\cdots ,\operatorname{Re}\left( {\gamma - \alpha - \beta }\right) > 0}\right\rbrack \] \[F\left( {\alpha ,\beta ;\alpha - \beta + 1; - 1}\right) = {2}^{-\alpha }\frac{\Gamma \left( {\alpha - \beta + 1}\right) \Gamma \left( \frac{1}{2}\right) }{\Gamma \left( {1 - \beta + \frac{\alpha }{2}}\right) \Gamma \left( \frac{1 + \alpha }{2}\right) }\] \( \left( {1 + \alpha - \beta \neq 0, - 1, - 2,\cdots }\right) \) \[\left( {\alpha + 1}\right) F\left( {-\alpha ,1;\beta + 2; - 1}\right) + \left( {\beta + 1}\right) F\left( {-\beta ,1;\alpha + 2; - 1}\right) = {2}^{\alpha + \beta + 1}\frac{\Gamma \left( {\alpha + 2}\right) \Gamma \left( {\beta + 2}\right) }{\Gamma \left( {\alpha + \beta + 2}\right) }\] \[\left( {\alpha ,\beta \neq - 2, - 3, - 4,\cdots }\right) \] \[F\left( {1,\alpha ;\alpha + 1; - 1}\right) = \frac{\alpha }{2}\left\lbrack {\psi \left( \frac{1 + \alpha }{2}\right) - \psi \left( \frac{\alpha }{2}\right) }\right\rbrack \] \[\left( {\alpha \neq 0, - 1, - 2,\cdots }\right) \] \[F\left( {{2\alpha },{2\beta };\alpha + \beta + \frac{1}{2};\frac{1}{2}}\right) = \frac{\Gamma \left( {\alpha + \beta + \frac{1}{2}}\right) \Gamma \left( \frac{1}{2}\right) }{\Gamma \left( {\alpha + \frac{1}{2}}\right) \Gamma \left( {\beta + \frac{1}{2}}\right) }\] \[\left( {\alpha + \beta + \frac{1}{2} \neq 0, - 1, - 2,\cdots }\right) \] 超几何函数 \[ F\left( {1,1;\gamma + 1;\frac{1}{2}}\right) = \gamma \left\lbrack {\psi \left( \frac{1 + \gamma }{2}\right) - \psi \left( \frac{\gamma }{2}\right) }\right\rbrack \] \[ \left( {\gamma \neq - 1, - 2, - 3,\cdots }\right) \] \[ F\left( {\alpha ,\alpha ;\alpha + 1;\frac{1}{2}}\right) = {2}^{\alpha - 1}\alpha \left\lbrack {\psi \left( \frac{1 + \alpha }{2}\right) - \psi \left( \frac{\alpha }{2}\right) }\right\rbrack \] \[ \left( {\alpha \neq - 1, - 2, - 3,\cdots }\right) \] \[ F\left( {\alpha ,1 - \alpha ;\gamma ;\frac{1}{2}}\right) = {2}^{1 - \gamma }\frac{\Gamma \left( \gamma \right) \Gamma \left( \frac{1}{2}\right) }{\Gamma \left( \frac{\alpha + \gamma }{2}\right) \Gamma \left( \frac{\gamma - \alpha + 1}{2}\right) } \] \[ \left( {\gamma \neq 0, - 1, - 2,\cdots }\right) \] \[ F\left( {{2\alpha },{2\beta };\alpha + \beta + 1;\frac{1}{2}}\right) = \frac{\sqrt{\pi }}{\alpha - \beta }\Gamma \left( {\alpha + \beta + 1}\right) \left\lbrack {\frac{1}{\Gamma \left( \alpha \right) \Gamma \left( {\beta + \frac{1}{2}}\right) } - \frac{1}{\Gamma \left( {\alpha + \frac{1}{2}}\right) \Gamma \left( \beta \right) }}\right\rbrack \] \( \left( {\alpha + \beta + 1 \neq 0, - 1, - 2,\cdots }\right) \) \[ F\left( {-\alpha , - \alpha + \frac{1}{2};{2\alpha } + \frac{3}{2}; - \frac{1}{3}}\right) = {\left( \frac{8}{9}\right) }^{2\alpha }\frac{\Gamma \left( \frac{4}{3}\right) \Gamma \left( {{2\alpha } + \frac{3}{2}}\right) }{\Gamma \left( \frac{3}{2}\right) \Gamma \left( {{2\alpha } + \frac{4}{3}}\right) } \] \[ \left( {{2\alpha } + \frac{3}{2} \neq 0, - 1, - 2,\cdots }\right) \] \[ F\left( {{3\alpha },{3\alpha } + \frac{1}{2};{3\alpha } + \frac{5}{6};\frac{1}{9}}\right) = {\left( \frac{3}{4}\right) }^{3\alpha }\frac{\Gamma \left( {{2\alpha } + \frac{5}{6}}\right) \Gamma \left( \frac{1}{2}\right) }{\Gamma \left( {\alpha + \frac{1}{2}}\right) \Gamma \left( {\alpha + \frac{5}{6}}\right) } \] \[ \left( {{2\alpha } + \frac{5}{6} \neq 0, - 1, - 2,\cdots }\right) \] \[ F\left( {\alpha + \frac{1}{3},{3\alpha };{2\alpha } + \frac{2}{3};{\mathrm{e}}^{\pm \mathrm{i}\pi /3}}\right) = \frac{{2}^{{2\alpha } + 2/3}\sqrt{\pi }}{{3}^{\left( {{3\alpha } + 1}\right) /2}}{\mathrm{e}}^{\pm \mathrm{i}{\pi \alpha }/2}\frac{\Gamma \left( {\alpha + \frac{5}{6}}\right) }{\Gamma \left( {\alpha + \frac{2}{3}}\right) \Gamma \left( \frac{2}{3}\right) } \] \[ \left( {\alpha + \frac{5}{6} \neq 0, - 1, - 2,\cdots }\right) \] 特殊的超几何函数 (special cases of the hypergeometric function) \( {\left( 1 \pm z\right) }^{\nu } = F\left( {-\nu ,\beta ;\beta ; \mp z}\right) \) \( {\left( 1 + z\right) }^{\alpha } - 1 = {\alpha zF}\left( {1 - \alpha ,1;2; - z}\right) \) \( \left( {1 + z}\right) {\left( 1 - z\right) }^{-{2\alpha } - 1} = F\left( {{2\alpha },\alpha + 1;\alpha ;z}\right) \) \[ {\left( 1 + z\right) }^{-{2\alpha }} + {\left( 1 - z\right) }^{-{2\alpha }} = {2F}\left( {\alpha ,\alpha + \frac{1}{2};\frac{1}{2};{z}^{2}}\right) \] \[ {\left( 1 + z\right) }^{1 - {2\alpha }} - {\left( 1 - z\right) }^{1 - {2\alpha }} = 2\left( {1 - {2\alpha }}\right) {zF}\left( {\alpha ,\alpha + \frac{1}{2};\frac{3}{2};{z}^{2}}\right) \] \[ {\left( 1 + \sqrt{1 - {z}^{2}}\right) }^{-{2\alpha }} = {2}^{-{2\alpha }}F\left( {\alpha ,\alpha + \frac{1}{2};{2\alpha } + 1;{z}^{2}}\right) \] \[{\left( 1 - {z}^{2}\right) }^{-1/2}{\left( 1 + \sqrt{1 - {z}^{2}}\right) }^{-{2\alpha }} = {2}^{-{2\alpha }}F\left( {\alpha + 1,\alpha + \frac{1}{2};{2\alpha } + 1;{z}^{2}}\right) \] \[{\left( \sqrt{1 + {z}^{2}} + z\right) }^{2\alpha } + {\left( \sqrt{1 + {z}^{2}} - z\right) }^{2\alpha } = {2F}\left( {-\alpha ,\alpha ;\frac{1}{2}; - {z}^{2}}\right) \] \[{\left( 1 + {z}^{2}\right) }^{-1/2}\left\lbrack {{\left( \sqrt{1 + {z}^{2}} + z\right) }^{{2a} - 1} + {\left( \sqrt{1 + {z}^{2}} - z\right) }^{{2a} - 1}}\right\rbrack = {2F}\left( {1 - \alpha ;\alpha ;\frac{1}{2}; - {z}^{2}}\right) \] \[{\mathrm{e}}^{-{\alpha z}} = \frac{\tanh z}{{\left( 2\cosh z\right) }^{\alpha }}F\left( {1 + \frac{\alpha }{2},\frac{1 + \alpha }{2};1 + \alpha ;{\operatorname{sech}}^{2}z}\right) \] \[{\mathrm{e}}^{z} = \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}F\left( {1, k;1;\frac{z}{k}}\right) = 1 + z\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}F\left( {1, k;2;\frac{z}{k}}\right) = 1 + z + \frac{{z}^{2}}{2}\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}F\left( {1, k;3;\frac{z}{k}}\right) = \cdots \] \[\cosh z = \mathop{\lim }\limits_{{k,{k}^{\prime } \rightarrow \infty }}F\left( {k,{k}^{\prime };\frac{1}{2};\frac{{z}^{2}}{{4k}{k}^{\prime }}}\right) \] \[\frac{\sinh z}{z} = \mathop{\lim }\limits_{{k,{k}^{\prime } \rightarrow \infty }}F\left( {k,{k}^{\prime };\frac{3}{2};\frac{{z}^{2}}{{4k}{k}^{\prime }}}\right) \] \( \ln \left( {1 \pm z}\right) = {zF}\left( {1,1;2; \mp z}\right) \) \[\frac{1}{2}\ln \frac{1 + z}{1 - z} = {zF}\left( {\frac{1}{2},1;\frac{3}{2};{z}^{2}}\right) \] \[\ln \left( {z + \sqrt{1 + {z}^{2}}}\right) = {zF}\left( {\frac{1}{2},\frac{1}{2};\frac{3}{2}; - {z}^{2}}\right) = z{\left( 1 + {z}^{2}\right) }^{1/2}F\left( {1,1;\frac{3}{2}; - {z}^{2}}\right) \] \[\cos z = \mathop{\lim }\limits_{{k,{k}^{\prime } \rightarrow \infty }}F\left( {k,{k}^{\prime };\frac{1}{2}; - \frac{{z}^{2}}{{4k}{k}^{\prime }}}\right) \] \[ \frac{\sin z}{z} = \mathop{\lim }\limits_{{k,{k}^{\prime } \rightarrow \infty }}F\left( {k,{k}^{\prime };\frac{3}{2}; - \frac{{z}^{2}}{{4k}{k}^{\prime }}}\right) \] \[ \frac{z}{\sin z} = F\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{3}{2};{\sin }^{2}z}\right) \] \( \frac{z}{\sin z\cos z} = F\left( {1,1;\frac{3}{2};{\sin }^{2}z}\right) \) \( \frac{z}{\tan z} = F\left( {\frac{1}{2},1;\frac{3}{2}; - {\tan }^{2}z}\right) \) \( \sec z = F\left( {\frac{1}{2},1;1;{\sin }^{2}z}\right) \) \( \sin {\alpha z} = \alpha \sin {zF}\left( {\frac{1 + \alpha }{2},\frac{1 - \alpha }{2},\frac{3}{2};{\sin }^{2}z}\right) \) \( \sin {2\alpha z} = \alpha \sin {2zF}\left( {1 + \alpha ,1 - \alpha ;\frac{3}{2};{\sin }^{2}z}\right) \) \[ = \frac{{2\alpha }\sin z}{{\cos }^{{2\alpha } + 1}z}F\left( {1 + \alpha ,\frac{1}{2} + \alpha ;\frac{3}{2}; - {\tan }^{2}z}\right) = {2\alpha }\sin z{\cos }^{{2\alpha } - 1}{zF}\left( {1 - \alpha ,\frac{1}{2} - \alpha ;\frac{3}{2}; - {\tan }^{2}z}\right) \] \( \cos {\alpha z} = F\left( {\frac{\alpha }{2}, - \frac{\alpha }{2};\frac{1}{2};{\sin }^{2}z}\right) = \cos {zF}\left( {\frac{1 + \alpha }{2},\frac{1 - \alpha }{2};\frac{1}{2};{\sin }^{2}z}\right) \) \( = {\cos }^{\alpha }{zF}\left( {-\frac{\alpha }{2},\frac{1 - \alpha }{2};\frac{1}{2}; - {\tan }^{

2000_数学辞海（第3卷）

z} = F\left( {1,1;\frac{3}{2};{\sin }^{2}z}\right) \) \( \frac{z}{\tan z} = F\left( {\frac{1}{2},1;\frac{3}{2}; - {\tan }^{2}z}\right) \) \( \sec z = F\left( {\frac{1}{2},1;1;{\sin }^{2}z}\right) \) \( \sin {\alpha z} = \alpha \sin {zF}\left( {\frac{1 + \alpha }{2},\frac{1 - \alpha }{2},\frac{3}{2};{\sin }^{2}z}\right) \) \( \sin {2\alpha z} = \alpha \sin {2zF}\left( {1 + \alpha ,1 - \alpha ;\frac{3}{2};{\sin }^{2}z}\right) \) \[ = \frac{{2\alpha }\sin z}{{\cos }^{{2\alpha } + 1}z}F\left( {1 + \alpha ,\frac{1}{2} + \alpha ;\frac{3}{2}; - {\tan }^{2}z}\right) = {2\alpha }\sin z{\cos }^{{2\alpha } - 1}{zF}\left( {1 - \alpha ,\frac{1}{2} - \alpha ;\frac{3}{2}; - {\tan }^{2}z}\right) \] \( \cos {\alpha z} = F\left( {\frac{\alpha }{2}, - \frac{\alpha }{2};\frac{1}{2};{\sin }^{2}z}\right) = \cos {zF}\left( {\frac{1 + \alpha }{2},\frac{1 - \alpha }{2};\frac{1}{2};{\sin }^{2}z}\right) \) \( = {\cos }^{\alpha }{zF}\left( {-\frac{\alpha }{2},\frac{1 - \alpha }{2};\frac{1}{2}; - {\tan }^{2}z}\right) = {\cos }^{-\alpha }{zF}\left( {\frac{\alpha }{2},\frac{1 + \alpha }{2};\frac{1}{2}; - {\tan }^{2}z}\right) \) \( \arcsin z = {zF}\left( {\frac{1}{2},\frac{1}{2};\frac{3}{2};{z}^{2}}\right) = z\sqrt{1 - {z}^{2}}F\left( {1,1;\frac{3}{2};{z}^{2}}\right) \) \( \arctan z = {zF}\left( {\frac{1}{2},1;\frac{3}{2}; - {z}^{2}}\right) \) \( \sin \left( {\alpha \arcsin z}\right) = {\alpha zF}\left( {\frac{1 + \alpha }{2},\frac{1 - \alpha }{2};\frac{3}{2};{z}^{2}}\right) = {\alpha z}\sqrt{1 - {z}^{2}}F\left( {1 + \frac{\alpha }{2},1 - \frac{\alpha }{2};\frac{3}{2};{z}^{2}}\right) \) \( \cos \left( {\alpha \arcsin z}\right) = F\left( {\frac{\alpha }{2}, - \frac{\alpha }{2};\frac{1}{2};{z}^{2}}\right) = \sqrt{1 - {z}^{2}}F\left( {\frac{1 + \alpha }{2},\frac{1 - \alpha }{2};\frac{1}{2};{z}^{2}}\right) \) \( {T}_{n}\left( {1 - {2z}}\right) = F\left( {-n, n;\frac{1}{2};z}\right) \) \( {P}_{n}\left( {1 - {2z}}\right) = F\left( {-n, n + 1;1;z}\right) \) \( {C}_{n}^{\left( \alpha \right) }\left( {1 - {2z}}\right) = \frac{{\left( 2\alpha \right) }_{n}}{n!}F\left( {-n, n + {2\alpha };\alpha + \frac{1}{2};z}\right) \) \( {P}_{n}^{\left( \alpha ,\beta \right) }\left( {1 - {2z}}\right) = \frac{{\left( 1 + \alpha \right) }_{n}}{n!}F\left( {-n, n + \alpha + \beta + 1;\alpha + 1;z}\right) \) 超几何函数的渐近展开 (asymptotic expansions of the hypergeometric function) \( F\left( {\alpha ,\beta ,\gamma, z}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{m}\frac{{\left( \alpha \right) }_{n}{\left( \beta \right) }_{n}}{n!{\left( \gamma \right) }_{n}}{z}^{n} + O\left( {\left| \gamma \right| }^{-m - 1}\right) \;\left( {\alpha ,\beta, z\text{ 固定,}\left| z\right| < 1,\left| \gamma \right| \rightarrow \infty ,\left| {\arg \gamma }\right| \leq \pi - \varepsilon < \pi }\right) \) \( F\left( {\alpha ,\beta ;\gamma ;z}\right) = {\mathrm{e}}^{\mp \mathrm{i}{\pi \alpha }}\frac{\Gamma \left( \gamma \right) }{\Gamma \left( {\gamma - \alpha }\right) }{\left( \beta z\right) }^{-\alpha }\left\lbrack {1 + O\left( {\left| \beta z\right| }^{-1}\right) }\right\rbrack + \frac{\Gamma \left( \gamma \right) }{\Gamma \left( \alpha \right) }{\mathrm{e}}^{\beta z}{\left( \beta z\right) }^{\alpha - \gamma }\left\lbrack {1 + O\left( {\left| \beta z\right| }^{-1}\right) }\right\rbrack \) \( \left( {\left| \beta \right| \rightarrow \infty ,\frac{-{3\pi }}{2} < \arg {\beta z} < \frac{\pi }{2}\text{时取负号,}\frac{-\pi }{2} < \arg {\beta z} < \frac{3\pi }{2}\text{时取正号}}\right) \) ## 球 函 数 在以下各式中, \( z \) 表示任意复数 (但不含实轴上 \( \left( {-1,1}\right) \) 间的点), \( x \) 表示 \( \left( {-1,1}\right) \) 中的实数. 因此,需要严格区分函数 \( {Q}_{\nu }\left( z\right) ,{P}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) ,{Q}_{\nu }\left( z\right) \) 和 \( {Q}_{\nu }\left( x\right) ,{P}_{\nu }^{\mu }\left( x\right) ,{Q}_{\nu }\left( x\right) \) . 有关函数的相因子采用霍布森的定义. 勒让德函数 (Legendre function) \( {P}_{\nu }\left( z\right) = F\left( {-\nu ,\nu + 1;1;\frac{1 - z}{2}}\right) \) \[ {Q}_{\nu }\left( z\right) = \frac{\Gamma \left( {\nu + 1}\right) \sqrt{\pi }}{{2}^{\nu + 1}\Gamma \left( {\nu + 3/2}\right) }{z}^{-\nu - 1}F\left( {\frac{\nu + 1}{2},\frac{\nu }{2} + 1;\nu + \frac{3}{2};\frac{1}{{z}^{2}}}\right) \] \[ {P}_{\nu }\left( z\right) = {P}_{-\nu - 1}\left( z\right) \] \[ {Q}_{\nu }\left( z\right) - {Q}_{-\nu - 1}\left( z\right) = \pi \cot {\nu \pi }{P}_{\nu }\left( z\right) \] ( \( \nu \neq \) 整数) \[ {P}_{\nu }\left( {-z}\right) = {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi \nu }\ln z}{P}_{\nu }\left( z\right) - \frac{2\sin {\nu \pi }}{\pi }{Q}_{\nu }\left( z\right) \] \[ {Q}_{\nu }\left( {-z}\right) = - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi \nu }\operatorname{Im}z}{Q}_{\nu }\left( z\right) \] \( {P}_{\nu }\left( z\right) = \frac{1}{\pi }{\int }_{0}^{\pi }\frac{\mathrm{d}\varphi }{{\left( z + \sqrt{{z}^{2} - 1}\cos \varphi \right) }^{\nu + 1}}\;\left( {\operatorname{Re}z > 0,\arg \left( {z + \sqrt{{z}^{2} - 1}\cos \varphi }\right) { \mid }_{\varphi = \pi /2} = \arg z}\right) \) \[ {Q}_{\nu }\left( z\right) = {\int }_{0}^{\infty }\frac{\mathrm{d}\varphi }{{\left( z + \sqrt{{z}^{2} - 1}\cosh \varphi \right) }^{\nu + 1}}\;\left( {\operatorname{Re}\nu > - 1,\nu \text{不为整数时}{\left. \left( z + \sqrt{{z}^{2} - 1}\cosh \varphi \right) \right| }_{\varphi = 0}\text{取主值}}\right) \] \[ {Q}_{\nu }\left( z\right) = \frac{1}{2}{P}_{\nu }\left( z\right) \left\lbrack {\ln \frac{z + 1}{z - 1} - {2\gamma } - {2\psi }\left( {\nu + 1}\right) }\right\rbrack - \frac{\sin {\nu \pi }}{\pi }\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{\Gamma \left( {k - \nu }\right) \Gamma \left( {k + \nu + 1}\right) }{{\left( k!\right) }^{2}}\left( {1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{k}}\right) {\left( \frac{1 - z}{2}\right) }^{k} \] \[ {Q}_{n}\left( z\right) = \frac{1}{2}{P}_{n}\left( z\right) \left\lbrack {\ln \frac{z + 1}{z - 1} - {2\gamma } - 2\left( {1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}}\right) }\right\rbrack + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\frac{{\left( -\right) }^{k}\left( {n + k}\right) !}{{\left( k!\right) }^{2}\left( {n - k}\right) !}{\left( \frac{1 - z}{2}\right) }^{k} \] \( \left( {n = 1,2,3,\cdots }\right) \) \[ = \frac{1}{2}{P}_{n}\left( z\right) \ln \frac{z + 1}{z - 1} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\left\lbrack \left( n - 1\right) /2\right\rbrack }\left( {\frac{2}{{2k} + 1} - \frac{1}{n - k}}\right) {P}_{n - {2k} - 1}\left( z\right) \] \( \left( {n = 1,2,3,\cdots }\right) \) \[ = \frac{1}{2}{P}_{n}\left( z\right) \ln \frac{z + 1}{z - 1} - {P}_{n}\left( z\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{k{P}_{k}\left( z\right) {P}_{k - 1}\left( z\right) } \] \( \left( {n = 1,2,3,\cdots }\right) \) \[ \left( {{z}^{2} - 1}\right) \frac{\mathrm{d}{P}_{\nu }\left( z\right) }{\mathrm{d}z} = \left( {\nu + 1}\right) \left\lbrack {{P}_{\nu + 1}\left( z\right) - z{P}_{\nu }\left( z\right) }\right\rbrack \] \[ \left( {{2\nu } + 1}\right) z{P}_{\nu }\left( z\right) = \left( {\nu + 1}\right) {P}_{\nu + 1}\left( z\right) + \nu {P}_{\nu - 1}\left( z\right) \] \[ \left( {{z}^{2} - 1}\right) \frac{\mathrm{d}{Q}_{\nu }\left( z\right) }{\mathrm{d}z} = \left( {\nu + 1}\right) \left\lbrack {{Q}_{\nu + 1}\left( z\right) - z{Q}_{\nu }\left( z\right) }\right\rbrack \] \[ \left( {{2\nu } + 1}\right) z{Q}_{\nu }\left( z\right) = \left( {\nu + 1}\right) {Q}_{\nu + 1}\left( z\right) + \nu {Q}_{\nu - 1}\left( z\right) \] \[ {P}_{-1/2}\left( z\right) = \frac{2}{\pi }\sqrt{\frac{2}{z + 1}}K\left( \sqrt{\frac{z - 1}{z + 1}}\right) \] ( \( K \) 为完全椭圆积分) \[ = \frac{2}{\pi }{\left( z + \sqrt{{z}^{2} - 1}\right) }^{-1/2}K\left( {{\left( {z}^{2} - 1\right) }^{1/4}{\left( 2z - 2\sqrt{{z}^{2} - 1}\right) }^{1/2}}\right) \] ( \( K \) 为完全椭圆积分) \[{Q}_{-1/2}\left( z\right) = \sqrt{\frac{2}{z + 1}}K\left( \sqrt{\frac{2}{z + 1}}\right) = 2{\left\lbrack z + \sqrt{{z}^{2} - 1}\right\rbrack }^{-1/2}K\left( {z - \sqrt{{z}^{2} - 1}}\right) \] ( \( K \) 为完全椭圆积分) \[{P}_{1/2}\left( z\right) = \frac{2}{\pi }{\left\lbrack z + \sqrt{{z}^{2} - 1}\right\rbrack }^{1/2}E\left( {{\left( {z}^{2} - 1\right) }^{1/4}{\left( 2z - 2\sqrt{{z}^{2} - 1}\right) }^{1/2}}\right) \] ( \( K \) 和 \( E \) 为完全椭圆积分) \[{Q}_{1/2}\left( z\right) = z\sqrt{\frac{2}{z + 1}}K\left( \sqrt{\frac{z + 1}{2}}\right) - 2\sqrt{z + 1}E\left( \sqrt{\frac{2}{z + 1}}\right) \] ( \( K \) 和 \( E \) 为完全椭圆积分) \[{Q}_{0}\left( z\right) = \frac{1}{2}\ln \left( \frac{z + 1}{z - 1}\right) \] \[{Q}_{1}\left( z\right) = \frac{z}{2}\ln \left( \frac{z + 1}{z - 1}\right) - 1\] \[{Q}_{2}\left( z\right) = \frac{1}{2}{P}_{2}\left( z\right) \ln \left( \frac{z + 1}{z - 1}\right) - \frac{3}{2}z\] \[{Q}_{3}\left( z\right) = \frac{1}{2}{P}_{3}\left( z\right) \ln \left( \frac{z + 1}{z - 1}\right) - \frac{5}{2}{z}^{2} + \frac{2}{3}\] \[{\int }_{1}^{\infty }{P}_{\nu }\left( z\right) {Q}_{\sigma }\left( z\right) \mathrm{d}z = \frac{1}{\left( {\sigma - \nu }\right) \left( {\sigma + \nu + 1}\right) }\] \( \left\lbrack {\operatorname{Re}\left( {\sigma - \nu }\right) > 0,\operatorname{Re}\left( {\sigma + \nu + 1}\right) > 0}\right\rbrack \) \[{\int }_{1}^{\infty }{Q}_{\nu }\left( z\right) {Q}_{\sigma }\left( z\right) \mathrm{d}z = \frac{\psi \left( {\sigma + 1}\right) - \psi \left( {\nu + 1}\right) }{\left( {\sigma - \nu }\right) \left( {\sigma + \nu + 1}\right) }\] \( \left\lbrack {\operatorname{Re}\left( {\sigma + \nu }\right) > - 1,\nu ,\sigma \neq - 1, - 2, - 3,\cdots }\right\rbrack \) \[{\int }_{1}^{\infty }{\left\lbrack {Q}_{\nu }\left( z\right) \right\rbrack }^{2}\mathrm{\;d}z = \frac{{\psi }^{\prime }\left( {\nu + 1}\right) }{{2\nu } + 1)}\] \( \left\lbrack {\operatorname{Re}\nu > - 1/2}\right\rbrack \) \[\frac{1}{\zeta - z} = \mathop{\sum }\limits_{{m = 0}}^{\infty }\left( {{2m} + 1}\right) {P}_{m}\left( z\right) {Q}_{m}\left( \zeta \right) \] \[ \frac{n + 1}{\zeta - z}\left\lbrack {{P}_{n + 1}\left( \zeta \right) {P}_{n}\left( z\right) - {P}_{n}\left( \zeta \right) {P}_{n + 1}\left( z\right) }\right\rbrack = \mathop{\sum }\limits_{{m = 0}}^{n}\left( {{2m} + 1}\right) {P}_{m}\left( z\right) {P}_{m}\left( \zeta \right) \] \[ \frac{1}{\zeta - z}\left( {1

2000_数学辞海（第3卷）

t) {Q}_{\sigma }\left( z\right) \mathrm{d}z = \frac{\psi \left( {\sigma + 1}\right) - \psi \left( {\nu + 1}\right) }{\left( {\sigma - \nu }\right) \left( {\sigma + \nu + 1}\right) }\] \( \left\lbrack {\operatorname{Re}\left( {\sigma + \nu }\right) > - 1,\nu ,\sigma \neq - 1, - 2, - 3,\cdots }\right\rbrack \) \[{\int }_{1}^{\infty }{\left\lbrack {Q}_{\nu }\left( z\right) \right\rbrack }^{2}\mathrm{\;d}z = \frac{{\psi }^{\prime }\left( {\nu + 1}\right) }{{2\nu } + 1)}\] \( \left\lbrack {\operatorname{Re}\nu > - 1/2}\right\rbrack \) \[\frac{1}{\zeta - z} = \mathop{\sum }\limits_{{m = 0}}^{\infty }\left( {{2m} + 1}\right) {P}_{m}\left( z\right) {Q}_{m}\left( \zeta \right) \] \[ \frac{n + 1}{\zeta - z}\left\lbrack {{P}_{n + 1}\left( \zeta \right) {P}_{n}\left( z\right) - {P}_{n}\left( \zeta \right) {P}_{n + 1}\left( z\right) }\right\rbrack = \mathop{\sum }\limits_{{m = 0}}^{n}\left( {{2m} + 1}\right) {P}_{m}\left( z\right) {P}_{m}\left( \zeta \right) \] \[ \frac{1}{\zeta - z}\left( {1 - \left( {n + 1}\right) \left\lbrack {{P}_{n + 1}\left( z\right) {Q}_{n}\left( \zeta \right) - {P}_{n}\left( z\right) {Q}_{n + 1}\left( \zeta \right) }\right\rbrack }\right) = \mathop{\sum }\limits_{{m = 0}}^{n}\left( {{2m} + 1}\right) {P}_{m}\left( z\right) {Q}_{m}\left( \zeta \right) \] \[ {P}_{n}\left( z\right) {Q}_{n - 1}\left( z\right) - {Q}_{n}\left( z\right) {P}_{n - 1}\left( z\right) = \frac{1}{n} \] \( \left( {n \geq 1}\right) \) \[ {P}_{n}\left( z\right) {Q}_{n - 2}\left( z\right) - {Q}_{n}\left( z\right) {P}_{n - 2}\left( z\right) = \frac{\left( {{2n} - 1}\right) z}{n\left( {n + 1}\right) } \] \( \left( {n \geq 2}\right) \) \[ \frac{1}{\sqrt{1 - {2tz} + {t}^{2}}} = \left\{ \begin{array}{ll} \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{P}_{n}\left( z\right) {t}^{n} & \left| t\right| < \min \left| {z \pm \sqrt{{z}^{2} - 1}}\right| \\ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{P}_{n}\left( z\right) {t}^{-n - 1} & \left| t\right| > \max \left| {z \pm \sqrt{{z}^{2} - 1}}\right| \end{array}\right. \] \[ \frac{1}{\sqrt{1 - {2tz} + {t}^{2}}}\ln \left\lbrack \frac{z - t + \sqrt{1 - {2tz} + {t}^{2}}}{\sqrt{{z}^{2} - 1}}\right\rbrack = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{Q}_{n}\left( z\right) {t}^{n} \] \( \left( {\operatorname{Re}z > 1,\left| t\right| < 1}\right) \) \[ {P}_{\nu }\left( x\right) = {P}_{\nu }\left( {x + \mathrm{i}0}\right) = {P}_{\nu }\left( {x - \mathrm{i}0}\right) = \frac{1}{2}\left\lbrack {{P}_{\nu }\left( {x + \mathrm{i}0}\right) + {P}_{\nu }\left( {x - \mathrm{i}0}\right) }\right\rbrack \] \( {Q}_{\nu }\left( x\right) = \frac{1}{2}\left\lbrack {{Q}_{\nu }\left( {x + \mathrm{i}0}\right) + {Q}_{\nu }\left( {x - \mathrm{i}0}\right) }\right\rbrack = \frac{\pi }{2}\frac{\cos {\nu \pi }{P}_{\nu }\left( x\right) - {P}_{\nu }\left( {-x}\right) }{\sin {\nu \pi }} \) ( \( \nu \neq \) 整数) \[ {P}_{\nu }\left( {\cos \theta }\right) = \frac{\sin {\nu \pi }}{\pi }\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{\left( -\right) }^{n}\left( {\frac{1}{\nu - n} - \frac{1}{\nu + n + 1}}\right) {P}_{n}\left( {\cos \theta }\right) \] \( \left( {\nu \neq \text{ 整数; }0 \leq \theta < \pi }\right) \) \[ \left( {{x}^{2} - 1}\right) \frac{\mathrm{d}{P}_{\nu }\left( x\right) }{\mathrm{d}z} = \left( {\nu + 1}\right) \left\lbrack {{P}_{\nu + 1}\left( x\right) - x{P}_{\nu }\left( x\right) }\right\rbrack \] \[ \left( {{2\nu } + 1}\right) x{P}_{\nu }\left( x\right) = \left( {\nu + 1}\right) {P}_{\nu + 1}\left( x\right) + \nu {P}_{\nu - 1}\left( x\right) \] \[ \left( {{x}^{2} - 1}\right) \frac{\mathrm{d}{Q}_{\nu }\left( x\right) }{\mathrm{d}z} = \left( {\nu + 1}\right) \left\lbrack {{Q}_{\nu + 1}\left( x\right) - x{Q}_{\nu }\left( x\right) }\right\rbrack \] \( \left( {{2\nu } + 1}\right) x{Q}_{\nu }\left( x\right) = \left( {\nu + 1}\right) {Q}_{\nu + 1}\left( x\right) + \nu {Q}_{\nu - 1}\left( x\right) \) \( {P}_{\nu }\left( 1\right) = 1 \) \[ {P}_{\nu }\left( 0\right) = \frac{1}{\sqrt{\pi }}\cos \frac{\nu \pi }{2}\frac{\Gamma \left( \frac{1 + \nu }{2}\right) }{\Gamma \left( {1 + \frac{\nu }{2}}\right) } \] \[ {Q}_{\nu }\left( 0\right) = - \frac{\sqrt{\pi }}{2}\sin \frac{\nu \pi }{2}\frac{\Gamma \left( \frac{1 + \nu }{2}\right) }{\Gamma \left( {1 + \frac{\nu }{2}}\right) } \] \[ \frac{\mathrm{d}{P}_{\nu }\left( 0\right) }{\mathrm{d}x} = \frac{2}{\sqrt{\pi }}\sin \frac{\nu \pi }{2}\frac{\Gamma \left( {1 + \frac{\nu }{2}}\right) }{\Gamma \left( \frac{1 + \nu }{2}\right) } \] \[ \frac{\mathrm{d}{Q}_{\nu }\left( 0\right) }{\mathrm{d}x} = \sqrt{\pi }\cos \frac{\nu \pi }{2}\frac{\Gamma \left( {1 + \frac{\nu }{2}}\right) }{\Gamma \left( \frac{1 + \nu }{2}\right) } \] \[ {P}_{-1/2}\left( x\right) = \frac{2}{\pi }K\left( \sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \] ( \( K \) 为完全椭圆积分) \( {Q}_{-1/2}\left( x\right) = K\left( \sqrt{\frac{1 + x}{2}}\right) \) ( \( K \) 为完全椭圆积分) \( {Q}_{0}\left( x\right) = \frac{1}{2}\ln \left( \frac{1 + x}{1 - x}\right) \) \( {Q}_{1}\left( x\right) = \frac{x}{2}\ln \left( \frac{1 + x}{1 - x}\right) - 1 \) \[ {Q}_{2}\left( x\right) = \frac{1}{2}{P}_{2}\left( x\right) \ln \left( \frac{1 + x}{1 - x}\right) - \frac{3}{2}x \] \[ {Q}_{3}\left( x\right) = \frac{1}{2}{P}_{3}\left( x\right) \ln \left( \frac{1 + x}{1 - x}\right) - \frac{5}{2}{x}^{2} + \frac{2}{3} \] \[ {Q}_{n}\left( x\right) = \frac{1}{2}{P}_{n}\left( x\right) \ln \frac{1 + x}{1 - x} - \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\left\lbrack \left( n - 1\right) /2\right\rbrack }\left( {\frac{2}{{2k} + 1} - \frac{1}{n - k}}\right) {P}_{n - {2k} - 1}\left( x\right) \] \( \left( {n = 1,2,3,\cdots }\right) \) \[ {P}_{n}\left( {\cos \theta }\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}\frac{1}{k!\left( {n - k}\right) !}{\left( \frac{1}{2}\right) }_{k}{\left( \frac{1}{2}\right) }_{k}\cos \left( {n - {2k}}\right) \theta \] \[ {P}_{n}^{\left( r\right) }\left( {\cos \theta }\right) = \frac{\left( {{2r} - 1}\right) !}{{2}^{r - 1}\left( {r - 1}\right) !}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - r}}\frac{1}{k!\left( {n - r - k}\right) !}{\left( \frac{{2r} + 1}{2}\right) }_{k}{\left( \frac{{2r} + 1}{2}\right) }_{n - r - k}\cos \left( {n - r - {2k}}\right) \theta \] \( \left( {1 \leq r \leq n}\right) \) \[ {P}_{n}\left( {\cos \theta }\right) = \frac{{2}^{n + 2}}{\pi }\frac{n!}{\left( {{2n} + 1}\right) !1!}\left\lbrack {\sin \left( {n + 1}\right) \theta + \frac{1}{1}\frac{n + 1}{{2n} + 3}\sin \left( {n + 3}\right) \theta + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2}\frac{\left( {n + 1}\right) \left( {n + 2}\right) }{\left( {{2n} + 3}\right) \left( {{2n} + 5}\right) }\sin \left( {n + 5}\right) \theta + \cdots }\right\rbrack \] \[ {Q}_{n}\left( {\cos \theta }\right) = {2}^{n + 1}\frac{n!}{\left( {{2n} + 1}\right) !1!}\left\lbrack {\cos \left( {n + 1}\right) \theta + \frac{1}{1}\frac{n + 1}{{2n} + 3}\cos \left( {n + 3}\right) \theta + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2}\frac{\left( {n + 1}\right) \left( {n + 2}\right) }{\left( {{2n} + 3}\right) \left( {{2n} + 5}\right) }\cos \left( {n + 5}\right) \theta + \cdots }\right\rbrack \] \[ {\int }_{0}^{1}{x}^{\sigma }{P}_{\nu }\left( x\right) \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi }}{{2}^{\sigma + 1}}\frac{\Gamma \left( {1 + \sigma }\right) }{\Gamma \left( {1 + \frac{\sigma - \nu }{2}}\right) \Gamma \left( {1 + \frac{\sigma + \nu + 3}{2}}\right) } \] \( \left( {\operatorname{Re}\sigma > - 1}\right) \) \[ {\int }_{-1}^{1}{P}_{\nu }\left( x\right) {P}_{\sigma }\left( x\right) \mathrm{d}x = \frac{2}{{\pi }^{2}}\frac{2\sin {\pi \nu }\sin {\pi \sigma }\left\lbrack {\psi \left( {\nu + 1}\right) - \psi \left( {\sigma + 1}\right) }\right\rbrack + \pi \sin \pi \left( {\sigma - \nu }\right) }{\left( {\sigma - \nu }\right) \left( {\sigma + \nu + 1}\right) } \] \[ \left( {\sigma + \nu \neq - 1}\right) \] \[ {\int }_{-1}^{1}{\left\lbrack {P}_{\nu }\left( x\right) \right\rbrack }^{2}\mathrm{\;d}x = \frac{2}{{2\nu } + 1}\left\lbrack {1 - \frac{2}{{\pi }^{2}}{\sin }^{2}{\pi \nu }{\psi }^{\prime }\left( {\nu + 1}\right) }\right\rbrack \] \[ {\int }_{-1}^{1}{Q}_{\nu }\left( x\right) {Q}_{\sigma }\left( x\right) \mathrm{d}x = \frac{2\left\lbrack {\psi \left( {\nu + 1}\right) - \psi \left( {\sigma + 1}\right) }\right\rbrack \left\lbrack {1 + \cos {\pi \sigma }\cos {\pi \nu }}\right\rbrack - \pi \sin \pi \left( {\nu - \sigma }\right) }{2\left( {\sigma - \nu }\right) \left( {\sigma + \nu + 1}\right) }\;\left( {\nu ,\sigma \neq - 1, - 2,\cdots }\right) \] \[ {\int }_{-1}^{1}{\left\lbrack {Q}_{\nu }\left( x\right) \right\rbrack }^{2}\mathrm{\;d}x = \frac{{\pi }^{2} - 2{\psi }^{\prime }\left( {\nu + 1}\right) \left\lbrack {1 + {\cos }^{2}{\pi \nu }}\right\rbrack }{2\left( {{2\nu } + 1}\right) } \] \[ \left( {\nu \neq - 1, - 2,\cdots }\right) \] \[ {\int }_{-1}^{1}{P}_{\nu }\left( x\right) {Q}_{\sigma }\left( x\right) \mathrm{d}x = \frac{\pi \left\lbrack {1 - \cos \pi \left( {\sigma - \nu }\right) }\right\rbrack - 2\sin {\pi \nu }\cos {\pi \sigma }\left\lbrack {\psi \left( {\nu + 1}\right) - \psi \left( {\sigma + 1}\right) }\right\rbrack }{\pi \left( {\nu - \sigma }\right) \left( {\nu + \sigma + 1}\right) } \] \[ \left( {\sigma + \nu + 1 \neq 0,\nu ,\sigma \neq - 1, - 2, - 3,\cdots }\right) \] \[{\int }_{-1}^{1}{P}_{\nu }\left( x\right) {Q}_{\nu }\left( x\right) \mathrm{d}x = - \frac{\sin {2\pi \nu }{\psi }^{\prime }\left( {\nu + 1}\right) }{\pi \left( {{2\nu } + 1}\right) }\] \[{\int }_{0}^{1}{P}_{\nu }\left( x\right) {P}_{\sigma }\left( x\right) \mathrm{d}x = \frac{2}{\pi \left( {\sigma - \nu }\right) \left( {\sigma + \nu + 1}\right) }\left\lbrack {\frac{\Gamma \left( \frac{1 + \nu }{2}\right) \Gamma \left( {1 + \frac{\sigma }{2}}\right) }{\Gamma \left( \frac{1 + \sigma }{2}\right) \Gamma \left( {1 + \frac{\nu }{2}}\right) }\sin \frac{\pi \sigma }{2}\cos \frac{\pi \nu }{2} - \frac{\Gamma \left( \frac{1 + \sigma }{2}\right) \Gamma \left( {1 + \frac{\nu }{2}}\right) }{\Gamma \left( \frac{1 + \nu }{2}\right) \Gamma \left( {1 + \frac{\sigma }{2}}\right) }\sin \frac{\pi \nu }{2}\cos \frac{\pi \sigma }{2}}\right\rbrack \] \[{\int }_{0}^{1}{Q}_{\nu }\left( x\right) {Q}_{\sigma }\left( x

2000_数学辞海（第3卷）

} \] \[ \left( {\sigma + \nu + 1 \neq 0,\nu ,\sigma \neq - 1, - 2, - 3,\cdots }\right) \] \[{\int }_{-1}^{1}{P}_{\nu }\left( x\right) {Q}_{\nu }\left( x\right) \mathrm{d}x = - \frac{\sin {2\pi \nu }{\psi }^{\prime }\left( {\nu + 1}\right) }{\pi \left( {{2\nu } + 1}\right) }\] \[{\int }_{0}^{1}{P}_{\nu }\left( x\right) {P}_{\sigma }\left( x\right) \mathrm{d}x = \frac{2}{\pi \left( {\sigma - \nu }\right) \left( {\sigma + \nu + 1}\right) }\left\lbrack {\frac{\Gamma \left( \frac{1 + \nu }{2}\right) \Gamma \left( {1 + \frac{\sigma }{2}}\right) }{\Gamma \left( \frac{1 + \sigma }{2}\right) \Gamma \left( {1 + \frac{\nu }{2}}\right) }\sin \frac{\pi \sigma }{2}\cos \frac{\pi \nu }{2} - \frac{\Gamma \left( \frac{1 + \sigma }{2}\right) \Gamma \left( {1 + \frac{\nu }{2}}\right) }{\Gamma \left( \frac{1 + \nu }{2}\right) \Gamma \left( {1 + \frac{\sigma }{2}}\right) }\sin \frac{\pi \nu }{2}\cos \frac{\pi \sigma }{2}}\right\rbrack \] \[{\int }_{0}^{1}{Q}_{\nu }\left( x\right) {Q}_{\sigma }\left( x\right) \mathrm{d}x = \frac{1}{\left( {\sigma - \nu }\right) \left( {\sigma + \nu + 1}\right) }\] \[ \times \left\{ {\left\lbrack {\psi \left( {\nu + 1}\right) - \psi \left( {\sigma + 1}\right) }\right\rbrack - \pi \left\lbrack {\frac{\Gamma \left( \frac{1 + \nu }{2}\right) \Gamma \left( {1 + \frac{\sigma }{2}}\right) }{\Gamma \left( \frac{1 + \sigma }{2}\right) \Gamma \left( {1 + \frac{\nu }{2}}\right) }\cos \frac{\pi \sigma }{2}\sin \frac{\pi \nu }{2} - \frac{\Gamma \left( \frac{1 + \sigma }{2}\right) \Gamma \left( {1 + \frac{\nu }{2}}\right) }{\Gamma \left( \frac{1 + \nu }{2}\right) \Gamma \left( {1 + \frac{\sigma }{2}}\right) }\sin \frac{\pi \sigma }{2}\cos \frac{\pi \nu }{2}}\right\rbrack }\right\} \] \[{\int }_{0}^{1}{P}_{\nu }\left( x\right) {Q}_{\sigma }\left( x\right) \mathrm{d}x = \frac{1}{\left( {\sigma - \nu }\right) \left( {\sigma + \nu + 1}\right) }\left\lbrack {\frac{\Gamma \left( \frac{1 + \sigma }{2}\right) \Gamma \left( {1 + \frac{\nu }{2}}\right) }{\Gamma \left( \frac{1 + \nu }{2}\right) \Gamma \left( {1 + \frac{\sigma }{2}}\right) }\cos \frac{\pi \left( {\nu - \sigma }\right) }{2} - 1}\right\rbrack \] \[{\int }_{-1}^{1}{P}_{\nu }\left( x\right) {P}_{\sigma }\left( x\right) {\left( 1 + x\right) }^{\nu + \sigma }\mathrm{d}x = \frac{{2}^{\nu + \sigma + 1}{\left\lbrack \Gamma \left( \nu + \sigma + 1\right) \right\rbrack }^{4}}{\Gamma \left( {{2\nu } + {2\sigma } + 2}\right) {\left\lbrack \Gamma \left( \nu + 1\right) \Gamma \left( \sigma + 1\right) \right\rbrack }^{2}}\] \[\left\lbrack {\operatorname{Re}\left( {\nu + \sigma }\right) > - 1}\right\rbrack \] \[\left| {{P}_{\nu }\left( {\cos \theta }\right) }\right| \leq \frac{2}{\sqrt{{\nu \pi }\sin \theta }}\] \( \left( {0 < \theta < \pi ;\nu > 1}\right) \) \[\left| {{Q}_{\nu }\left( {\cos \theta }\right) }\right| \leq \sqrt{\frac{\pi }{\nu \sin \theta }}\] \( \left( {0 < \theta < \pi ;\nu > 1}\right) \) 另有部分公式见“勒让德多项式”. 连带勒让德函数 (associated Legendre function) \[ {P}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) = \frac{1}{\Gamma \left( {1 - \mu }\right) }{\left( \frac{z + 1}{z - 1}\right) }^{\mu /2}F\left( {-\nu ,\nu + 1;1 - \mu ;\frac{1 - z}{2}}\right) \] \[ \left( {{\left. \arg \frac{z + 1}{z - 1}\right| }_{z > 1} = 0}\right) \] \[ {Q}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) = \frac{\sqrt{\pi }}{{2}^{\nu + 1}}\frac{\Gamma \left( {\nu + \mu + 1}\right) }{\Gamma \left( {\nu + 3/2}\right) }\frac{{\left( {z}^{2} - 1\right) }^{\mu /2}}{{z}^{\nu + \mu + 1}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\kappa \mu }}F\left( {\frac{\nu + \mu }{2} + 1,\frac{\nu + \mu + 1}{2};\nu + \frac{3}{2};\frac{1}{{z}^{2}}}\right) \;{\left. {\left. \arg \left( {z}^{2} - 1\right) \right| }_{z > 1} = 0;\arg z\right| }_{z > 0} = 0 \] \[ {P}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) = \frac{{2}^{\mu }{\left( {z}^{2} - 1\right) }^{-\mu /2}}{\sqrt{\pi }\Gamma \left( {-\mu + 1/2}\right) }{\int }_{0}^{\pi }{\left( z + \sqrt{{z}^{2} - 1}\cos t\right) }^{\nu + \mu }{\sin }^{-{2\mu }}t\mathrm{\;d}t \] \( \left( {\operatorname{Re}\mu < 1/2}\right) \) \[ = \frac{{2}^{-\nu }{\left( {z}^{2} - 1\right) }^{-\mu /2}}{\Gamma \left( {\nu + 1}\right) \Gamma \left( {-\nu - \mu }\right) }{\int }_{0}^{\infty }{\left( z + \cosh t\right) }^{\mu - \nu - 1}{\sinh }^{{2\nu } + 1}t\mathrm{\;d}t \] \[ \left\lbrack {\operatorname{Re}\mu > \operatorname{Re}\nu > - 1, z \notin \lbrack - 1,\infty )}\right\rbrack \] \[ = \sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{\Gamma \left( {-\mu + 1/2}\right) {\left( {z}^{2} - 1\right) }^{-\mu /2}}{\Gamma \left( {-\nu - \mu }\right) \Gamma \left( {\nu - \mu + 1}\right) }{\int }_{0}^{\infty }{\left( z + \cosh t\right) }^{\mu - 1/2}\cosh \left( {\nu + 1/2}\right) t\mathrm{\;d}t \] \[ \left\lbrack {\operatorname{Re}\left( {\mu - \nu }\right) > 0,\operatorname{Re}\left( {\mu + \nu + 1}\right) > 0}\right\rbrack \] \[ = \frac{\Gamma \left( {-\mu + 1/2}\right) {\left( {z}^{2} - 1\right) }^{-\mu /2}}{{2}^{\mu }\sqrt{\pi }\Gamma \left( {-\nu - \mu }\right) \Gamma \left( {\nu - \mu + 1}\right) }{\int }_{0}^{\infty }{\left( 1 + 2tz + {z}^{2}\right) }^{\mu - 1/2}{t}^{-\nu - \mu - 1}\mathrm{\;d}t \] \[ = \sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{{\left( {z}^{2} - 1\right) }^{-\mu /2}}{\Gamma \left( {\nu - \mu + 1}\right) \Gamma \left( {-\nu - \mu }\right) }{\int }_{0}^{\infty }{t}^{-\mu - 1/2}{K}_{\nu + 1/2}\left( t\right) {\mathrm{e}}^{-{zt}}\mathrm{\;d}t \] \[ \left\lbrack {\operatorname{Re}\left( {\nu - \mu + 1}\right) > 0,\operatorname{Re}\left( {\nu + \mu }\right) < 0,\operatorname{Re} > - 1, z \notin \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack }\right\rbrack \] \[ {P}_{\nu }^{-\mu }\left( z\right) = \frac{{\left( {z}^{2} - 1\right) }^{\mu /2}}{{2}^{\mu }\sqrt{\pi }\Gamma \left( {\mu + 1/2}\right) }{\int }_{-1}^{1}{\left( 1 - {t}^{2}\right) }^{\mu - 1/2}{\left( z + t\sqrt{{z}^{2} - 1}\right) }^{\nu - \mu }\mathrm{d}t \] \[ = \frac{{\left( {z}^{2} - 1\right) }^{\mu /2}}{{2}^{\nu }\Gamma \left( {\mu - \nu }\right) \Gamma \left( {\nu + 1}\right) }{\int }_{0}^{\infty }\frac{{\sinh }^{{2\nu } + 1}t}{{\left( z + \cosh t\right) }^{\mu + \nu + 1}}\mathrm{\;d}t\;\left\lbrack {\operatorname{Re}z > - 1,\left| {\arg \left( {z \pm 1}\right) }\right| < \pi ,\operatorname{Re}\nu > - 1,\operatorname{Re}\left( {\mu - \nu }\right) > 0}\right\rbrack \] \[ = \sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{\Gamma \left( {\mu + 1/2}\right) {\left( {z}^{2} - 1\right) }^{\mu /2}}{\Gamma \left( {\nu + \mu + 1}\right) \Gamma \left( {\mu - \nu }\right) }{\int }_{0}^{\infty }\frac{\cosh \left( {\nu + 1/2}\right) t}{{\left( z + \cosh t\right) }^{\mu + 1/2}}\mathrm{\;d}t \] \[ \left\lbrack {\operatorname{Re}z > - 1,\left| {\arg \left( {z \pm 1}\right) }\right| < \pi ,\operatorname{Re}\left( {\mu + \nu }\right) > - 1,\operatorname{Re}\left( {\mu - \nu }\right) > 0}\right\rbrack \] \[ {P}_{\nu }^{\mu }\left( {\cosh \alpha }\right) = \sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{{\sinh }^{\mu }\alpha }{\Gamma \left( {-\mu + 1/2}\right) }{\int }_{0}^{\alpha }\frac{\cosh \left( {\nu + 1/2}\right) t}{{\left( \cosh \alpha - \cosh t\right) }^{\mu + 1/2}}\mathrm{\;d}t \] \( \left( {\alpha > 0,\operatorname{Re}\mu < 1/2}\right) \) \[ = \frac{{2}^{\mu }{\sinh }^{-\mu }\alpha }{\sqrt{\pi }\Gamma \left( {-\mu + 1/2}\right) }{\int }_{0}^{\pi }\frac{{\left( \cosh \alpha + \sinh \alpha \cos t\right) }^{\nu + \mu }}{{\sin }^{2\mu }t}\mathrm{\;d}t\] \( \left( {\operatorname{Re}\mu < 1/2}\right) \) \[{Q}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi \mu }}}{{2}^{\nu + 1}}\frac{\Gamma \left( {\nu + \mu + 1}\right) }{\Gamma \left( {\nu + 1}\right) }{\left( {z}^{2} - 1\right) }^{\mu /2}{\int }_{-1}^{1}{\left( 1 - {t}^{2}\right) }^{\nu }{\left( z - t\right) }^{-\nu - \mu - 1}\mathrm{\;d}t\;\left\lbrack {\operatorname{Re}\left( {\nu + \mu }\right) > - 1,\operatorname{Re}\nu > - 1,\left| {\arg \left( {z \pm 1}\right) }\right| < \pi }\right\rbrack \] \[ = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\mu \pi }}}{{2}^{\nu + 1}}\frac{\Gamma \left( {\nu + \mu + 1}\right) }{\Gamma \left( {\nu + 1}\right) }{\left( {z}^{2} - 1\right) }^{-\mu /2}{\int }_{0}^{\pi }\frac{{\sin }^{{2\nu } + 1}t}{{\left( z + \cos t\right) }^{\nu - \mu + 1}}\mathrm{\;d}t\] \[ = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\mu \pi }}\sqrt{\pi }\Gamma \left( {\nu + \mu + 1}\right) }{{2}^{\mu }\Gamma \left( {\mu + 1/2}\right) \Gamma \left( {\nu - \mu + 1}\right) }{\left( {z}^{2} - 1\right) }^{\mu /2}{\int }_{0}^{\infty }{\sinh }^{2\mu }t{\left( z + \sqrt{{z}^{2} - 1}\cosh t\right) }^{-\nu - \mu - 1}\mathrm{\;d}t\] \[\left\lbrack {\operatorname{Re}\left( {\nu \pm \mu + 1}\right) > 0,\left| {\arg \left( {z \pm 1}\right) }\right| < \pi }\right\rbrack \] \[ = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\mu \pi }}\Gamma \left( {\nu + 1}\right) }{\Gamma \left( {\nu - \mu + 1}\right) }{\int }_{0}^{\infty }\frac{\cosh {\mu t}}{{\left( z + \sqrt{{z}^{2} - 1}\cosh t\right) }^{\nu + 1}}\mathrm{\;d}t\;\left\lbrack {\operatorname{Re}\left( {\nu \pm \mu }\right) > - 1,\nu \neq - 1, - 2, - 3,\cdots ,\left| \left( {z \pm 1}\right) \right| < \pi }\right\rbrack \] \[ = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\mu \pi }}{2}^{\mu }\sqrt{\pi }}{\Gamma \left( {-\mu + 1/2}\right) }\frac{{\left( {z}^{2} - 1\right) }^{\mu /2}}{{\left( z + \sqrt{{z}^{2} - 1}\right) }^{\nu + 1/2}}{\int }_{0}^{\infty }{\mathrm{e}}^{-\left( {\nu + \mu + 1}\right) t}\left( {1 - {\mathrm{e}}^{-t}}\right) \left\lbrack {z + \sqrt{{z}^{2} - 1} - z{e}^{-t} + \left( {{z}^{2} - 1}\right) {\mathrm{e}}^{-t}}\right\rbrack \mathrm{d}t\] \[{Q}_{\nu }^{\mu }\left( {\cosh \alpha }\right) = \sqrt{\frac{\pi }{2}}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi \mu }}{\sinh }^{\mu }\alpha }{\Gamma \left( {-\mu + 1/2}\right) }{\int }_{0}^{\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-\left( {\nu + 1/2}\right) t}}{{\left( \cosh t - \cosh \alpha \right) }^{\mu + 1/2}}\mathrm{\;d}t\] \[ = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\mu \pi }}\sqrt{\pi }}{{2}^{\mu }\Gamma \left( {\mu + 1/2}\right) }\frac{\Gamma \left( {\nu + \mu + 1}\right) }{\Gamma \left( {\nu - \mu + 1}\right) }{\sinh }^{\mu }\alpha {\int }_{0}^{\infty }\frac{{\sinh }^{2\mu }t}{{\left( \cosh \alpha + \sinh \alpha \cosh t\right) }^{\nu + \mu + 1}}\mathrm{\;d

2000_数学辞海（第3卷）

( {-\mu + 1/2}\right) }\frac{{\left( {z}^{2} - 1\right) }^{\mu /2}}{{\left( z + \sqrt{{z}^{2} - 1}\right) }^{\nu + 1/2}}{\int }_{0}^{\infty }{\mathrm{e}}^{-\left( {\nu + \mu + 1}\right) t}\left( {1 - {\mathrm{e}}^{-t}}\right) \left\lbrack {z + \sqrt{{z}^{2} - 1} - z{e}^{-t} + \left( {{z}^{2} - 1}\right) {\mathrm{e}}^{-t}}\right\rbrack \mathrm{d}t\] \[{Q}_{\nu }^{\mu }\left( {\cosh \alpha }\right) = \sqrt{\frac{\pi }{2}}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi \mu }}{\sinh }^{\mu }\alpha }{\Gamma \left( {-\mu + 1/2}\right) }{\int }_{0}^{\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-\left( {\nu + 1/2}\right) t}}{{\left( \cosh t - \cosh \alpha \right) }^{\mu + 1/2}}\mathrm{\;d}t\] \[ = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\mu \pi }}\sqrt{\pi }}{{2}^{\mu }\Gamma \left( {\mu + 1/2}\right) }\frac{\Gamma \left( {\nu + \mu + 1}\right) }{\Gamma \left( {\nu - \mu + 1}\right) }{\sinh }^{\mu }\alpha {\int }_{0}^{\infty }\frac{{\sinh }^{2\mu }t}{{\left( \cosh \alpha + \sinh \alpha \cosh t\right) }^{\nu + \mu + 1}}\mathrm{\;d}t\] \( \left\lbrack {\operatorname{Re}\left( {\nu \pm \mu + 1}\right) > 0}\right\rbrack \) \[\sqrt{{z}^{2} - 1}{P}_{\nu }^{\mu + 2}\left( z\right) + 2\left( {\mu + 1}\right) z{P}_{\nu }^{\mu + 1}\left( z\right) - \left( {\nu - \mu }\right) \left( {\nu + \mu + 1}\right) \sqrt{{z}^{2} - 1}{P}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) = 0\] \[\left( {{2\nu } + 1}\right) \sqrt{{z}^{2} - 1}{P}_{\nu }^{\mu - 1}\left( z\right) = {P}_{\nu + 1}^{\mu }\left( z\right) - {P}_{\nu - 1}^{\mu }\left( z\right) \] \[\left( {{2\nu } + 1}\right) \sqrt{{z}^{2} - 1}{P}_{\nu }^{\mu + 1}\left( z\right) = \left( {\nu - \mu }\right) \left( {\nu - \mu + 1}\right) {P}_{\nu + 1}^{\mu }\left( z\right) - \left( {\nu + \mu }\right) \left( {\nu + \mu + 1}\right) {P}_{\nu - 1}^{\mu }\left( z\right) \] \[\left( {\nu - \mu + 1}\right) \sqrt{{z}^{2} - 1}{P}_{\nu }^{\mu - 1}\left( z\right) = z{P}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) - {P}_{\nu - 1}^{\mu }\left( z\right) \] \[\left( {\nu + \mu }\right) \sqrt{{z}^{2} - 1}{P}_{\nu }^{\mu - 1}\left( z\right) = {P}_{\nu + 1}^{\mu }\left( z\right) - z{P}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) \] \[ \sqrt{{z}^{2} - 1}{P}_{\nu }^{\mu + 1}\left( z\right) = \left( {\nu - \mu }\right) z{P}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) - \left( {\nu + \mu }\right) {P}_{\nu - 1}^{\mu }\left( z\right) \] \[ \sqrt{{z}^{2} - 1}{P}_{\nu }^{\mu + 1}\left( z\right) = \left( {\nu - \mu + 1}\right) {P}_{\nu + 1}^{\mu }\left( z\right) - \left( {\nu + \mu + 1}\right) z{P}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) \] \[ \left( {{2\nu } + 1}\right) z{P}_{\mu }^{\nu }\left( z\right) = \left( {\nu - \mu + 1}\right) {P}_{\nu + 1}^{\mu }\left( z\right) + \left( {\nu + \mu }\right) {P}_{\nu - 1}^{\mu }\left( z\right) \] \[ \left( {{z}^{2} - 1}\right) \frac{\mathrm{d}{P}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) }{\mathrm{d}z} = \left( {\nu + \mu }\right) \left( {\nu - \mu + 1}\right) \sqrt{{z}^{2} - 1}{P}_{\nu }^{\mu - 1}\left( z\right) - {\mu z}{P}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) \] \[ \left( {{z}^{2} - 1}\right) \frac{\mathrm{d}{P}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) }{\mathrm{d}z} = \left( {\nu - \mu + 1}\right) {P}_{\nu + 1}^{\mu }\left( z\right) - \left( {\nu + 1}\right) z{P}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) = {\nu z}{P}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) - \left( {\nu + \mu }\right) {P}_{\nu - 1}^{\mu }\left( z\right) \] \[ \sqrt{{z}^{2} - 1}{Q}_{\nu }^{\mu + 2}\left( z\right) + 2\left( {\mu + 1}\right) z{Q}_{\nu }^{\mu + 1}\left( z\right) - \left( {\nu - \mu }\right) \left( {\nu + \mu + 1}\right) \sqrt{{z}^{2} - 1}{Q}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) = 0 \] \[ \left( {{2\nu } + 1}\right) \sqrt{{z}^{2} - 1}{Q}_{\nu }^{\mu - 1}\left( z\right) = {Q}_{\nu + 1}^{\mu }\left( z\right) - {Q}_{\nu - 1}^{\mu }\left( z\right) \] \[ \left( {{2\nu } + 1}\right) \sqrt{{z}^{2} - 1}{Q}_{\nu }^{\mu + 1}\left( z\right) = \left( {\nu - \mu }\right) \left( {\nu - \mu + 1}\right) {Q}_{\nu + 1}^{\mu }\left( z\right) - \left( {\nu + \mu }\right) \left( {\nu + \mu + 1}\right) {Q}_{\nu - 1}^{\mu }\left( z\right) \] \[ \left( {\nu - \mu + 1}\right) \sqrt{{z}^{2} - 1}{Q}_{\nu }^{\mu - 1}\left( z\right) = z{Q}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) - {Q}_{\nu - 1}^{\mu }\left( z\right) \] \[ \left( {\nu + \mu }\right) \sqrt{{z}^{2} - 1}{Q}_{\nu }^{\mu - 1}\left( z\right) = {Q}_{\nu + 1}^{\mu }\left( z\right) - z{Q}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) \] \[ \sqrt{{z}^{2} - 1}{Q}_{\nu }^{\mu + 1}\left( z\right) = \left( {\nu - \mu }\right) z{Q}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) - \left( {\nu + \mu }\right) {Q}_{\nu - 1}^{\mu }\left( z\right) \] \[ \sqrt{{z}^{2} - 1}{Q}_{\nu }^{\mu + 1}\left( z\right) = \left( {\nu - \mu + 1}\right) {Q}_{\nu + 1}^{\mu }\left( z\right) - \left( {\nu + \mu + 1}\right) z{Q}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) \] \[ \left( {{2\nu } + 1}\right) z{Q}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) = \left( {\nu - \mu + 1}\right) {Q}_{\nu + 1}^{\mu }\left( z\right) + \left( {\nu + \mu }\right) {Q}_{\nu - 1}^{\mu }\left( z\right) \] \[ \left( {{z}^{2} - 1}\right) \frac{\mathrm{d}{Q}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) }{\mathrm{d}z} = \left( {\nu + \mu }\right) \left( {\nu - \mu + 1}\right) \sqrt{{z}^{2} - 1}{Q}_{\nu }^{\mu - 1}\left( z\right) - {\mu z}{Q}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) \] \[ \left( {{z}^{2} - 1}\right) \frac{\mathrm{d}{Q}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) }{\mathrm{d}z} = \left( {\nu - \mu + 1}\right) {Q}_{\nu + 1}^{\mu }\left( z\right) - \left( {\nu + 1}\right) z{Q}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) = {\nu z}{Q}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) - \left( {\nu + \mu }\right) {Q}_{\nu - 1}^{\mu }\left( z\right) \] \[ {P}_{-\nu - 1}^{\mu }\left( z\right) = {P}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) \] \[{Q}_{-\nu - 1}^{\mu }\left( z\right) - {Q}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi \mu }}\cos {\nu \pi \Gamma }\left( {\nu + \mu + 1}\right) \Gamma \left( {\mu - \nu }\right) {P}_{\nu }^{-\mu }\left( z\right) \] \[{P}_{\nu }^{-\mu }\left( z\right) = \frac{\Gamma \left( {\nu - \mu + 1}\right) }{\Gamma \left( {\nu + \mu + 1}\right) }\left\lbrack {{P}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) - \frac{2}{\pi }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi \mu }}\sin {\mu \pi }{Q}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) }\right\rbrack \] \[{Q}_{\nu }^{-\mu }\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{-{2\mu \pi }\mathrm{i}}\frac{\Gamma \left( {\nu - \mu + 1}\right) }{\Gamma \left( {\nu + \mu + 1}\right) }{Q}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) \] \[{P}_{\nu }^{\mu }\left( {-z}\right) = {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\nu \pi }\operatorname{sgn}\left( {\operatorname{Im}z}\right) }{P}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) - \frac{2\sin \left( {\nu + \mu }\right) \pi }{\pi }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi \mu }}{Q}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) \] \[{Q}_{\nu }^{\mu }\left( {-z}\right) = - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\nu \pi }\operatorname{sgn}\left( {\operatorname{Im}z}\right) }{Q}_{\nu }^{\mu }\left( z\right) \] \[{P}_{\nu }^{\mu }\left( {\cosh \alpha }\right) = \frac{\mathrm{i}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi \nu }}}{\Gamma \left( {-\nu - \mu }\right) }\sqrt{\frac{2}{\pi \sinh \alpha }}{Q}_{-\mu - 1/2}^{-\nu - 1/2}\left( {\coth \alpha }\right) \] \( \left\lbrack {\operatorname{Re}\left( {\cosh \alpha }\right) > 0}\right\rbrack \) \[{Q}_{\nu }^{\mu }\left( {\cosh \alpha }\right) = \sqrt{\frac{\pi }{2\sinh \alpha }}\Gamma \left( {\nu + \mu + 1}\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi \mu }}{P}_{-\mu - 1/2}^{-\nu - 1/2}\left( {\coth \alpha }\right) \] \( \left\lbrack {\operatorname{Re}\left( {\cosh \alpha }\right) > 0}\right\rbrack \) \[{P}_{\nu }^{m}\left( z\right) = {\left( {z}^{2} - 1\right) }^{m/2}\frac{{\mathrm{d}}^{m}{\mathrm{p}}_{\nu }\left( z\right) }{\mathrm{d}{z}^{m}}\] \( \left( {m = 0,1,2,\cdots }\right) \) \[{P}_{\nu }^{-m}\left( z\right) = {\left( {z}^{2} - 1\right) }^{-m/2}{\int }_{1}^{z}\mathrm{\;d}z{\int }_{1}^{z}\cdots {\int }_{1}^{z}{P}_{\nu }\left( z\right) \mathrm{d}z\] \[\left( {m = 1,2,3,\cdots }\right) \] \[{Q}_{\nu }^{m}\left( z\right) = {\left( {z}^{2} - 1\right) }^{m/2}\frac{{\mathrm{d}}^{m}{Q}_{\nu }\left( z\right) }{\mathrm{d}{z}^{m}}\] \( \left( {m = 0,1,2,\cdots }\right) \) \[{Q}_{\nu }^{-m}\left( z\right) = {\left( -\right) }^{m}{\left( {z}^{2} - 1\right) }^{-m/2}{\int }_{z}^{\infty }\mathrm{d}z{\int }_{z}^{\infty }\cdots {\int }_{z}^{\infty }{Q}_{\nu }\left( z\right) \mathrm{d}z\] \( \left( {m = 0,1,2,\cdots }\right) \) \[{P}_{\nu }^{1/2}\left( z\right) = {\left( 2\pi \right) }^{-1/2}{\left( {z}^{2} - 1\right) }^{-1/4}\left\lbrack {{\left( z + \sqrt{{z}^{2} - 1}\right) }^{\nu + 1/2} + {\left( z + \sqrt{{z}^{2} - 1}\right) }^{-\nu - 1/2}}\right\rbrack \] \[{Q}_{\nu }^{1/2}\left( z\right) = \mathrm{i}\sqrt{\frac{\pi }{2}}{\left( {z}^{2} - 1\right) }^{-1/4}{\left( z + \sqrt{{z}^{2} - 1}\right) }^{-\nu - 1/2}\] \[{P}_{\nu }^{-1/2}\left( z\right) = \frac{1}{{2\nu } + 1}\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\left( {z}^{2} - 1\right) }^{-1/4}\left\lbrack {{\left( z + \sqrt{{z}^{2} - 1}\right) }^{\nu + 1/2} - {\left( z + \sqrt{{z}^{2} - 1}\right) }^{-\nu - 1/2}}\right\rbrack \] \( {Q}_{\nu }^{-1/2}\left( z\right) = - \mathrm{i}\frac{\sqrt{2\pi }}{{2\nu } + 1}{\left( {z}^{2} - 1\right) }^{-1/4}{\left( z + \sqrt{{z}^{2} - 1}\right) }^{-\nu - 1/2} \) \( {P}_{\nu }^{-\nu }\left( z\right) = \frac{{2}^{-\nu }}{\Gamma \left( {1 + \nu }\right) }{\left( {z}^{2} - 1\right) }^{\nu /2} \) \[ {P}_{\nu }\left( {{z\zeta } - \sqrt{{z}^{2} - 1}\sqrt{{\zeta }^{2} - 1}\cos \varphi }\right) = {P}_{\nu }\left( z\right) {P}_{\nu }\left( \zeta \right) + 2\mathop{\sum }\limits_{{m = 1}}^{\infty }{\left( -\right) }^{m}{P}_{\nu }^{m}\left( z\right) {P}_{\nu }^{-m}\left( \zeta \right) \cos {m\varphi } \] \[ \left\lbrack {\operatorname{Re}z > 0,\operatorname{Re}\zeta > 0,\left| {\arg \left( {z - 1}\right) }\right| < \pi ,\left| {\arg \left( {\zeta - 1}\right) }\right| < \pi }\right\rbrack \] \[ {Q}_{v}\left( {x{x}^{\prime } - \sqrt{{x}^{2} - 1}\sqrt{{x}^{\prime 2} - 1}\cos \varphi }\right) = {Q}_{v}\left( x\right) {P}_{v}\left( {x}^{\prime }\right) + 2\mathop{\sum }\limits_{{m = 1}}^{\infty }{\left( -\right) }^{m}{Q}_{v}^{m}\left( x\right) {P}_{v}^{-m}\left( {x}^{\prime }\right) \cos {m\varphi } \] \( \left\lbrack {x,{x}^{\prime },\varphi \text{为实数,}1 < {