Datasets:

Reza2kn

/

OLDI-Wikipedia-MTSeed-Persian

like 5

مثلث سیرپینسکی (در تصویر) را می‌توان با سه کپی از خودش پوشاند که هر کدام ضلع‌هایی به اندازه نصف ضلع اصلی دارند.

یک مثال دیگر لگاریتم p-adic است، تابع معکوس نمایی p-adic.

انجام نمایی را می‌توان به طور کارآمد انجام داد، اما اعتقاد بر این است که لگاریتم گسسته در برخی گروه‌ها بسیار سخت محاسبه می‌شود.

ریشه‌های مربع اعداد منفی را می‌توان در چارچوب اعداد مختلط مورد بحث قرار داد.

در هند باستان، دانش جنبه‌های نظری و کاربردی مربع و ریشه مربع حداقل به اندازه سولبا سوترز، که مربوط به ۸۰۰-۵۰۰ قبل از میلاد (احتمالاً بسیار زودتر) است، قدمت داشت.

حرف جیم شبیه شکل ریشه مربع فعلی است.

این مفهوم مهم انحراف استاندارد را که در نظریه احتمال و آمار استفاده می‌شود، تعریف می‌کند.

اکثر ماشین حساب‌های جیبی دارای یک کلید ریشه مربع هستند.

پیچیدگی زمانی برای محاسبه ریشه مربع با n رقم دقت معادل پیچیدگی ضرب دو عدد n رقمی است.

مسائل هیلبرت، بیست و سه مسئله در ریاضیات هستند که توسط دیوید هیلبرت ریاضیدان آلمانی در سال ۱۹۰۰ منتشر شدند.

برای حل برخی مسائل، مانند مسأله پنجم، متخصصان به طور سنتی با یک تفسیر واحد موافق بوده‌اند و راه‌حلی برای تفسیر پذیرفته شده ارائه شده است، اما مشکلات حل نشده نزدیک به هم وجود دارد.

دو مشکل وجود دارد که نه تنها حل نشده‌اند، بلکه ممکن است در واقع با استانداردهای امروزی غیرقابل حل باشند.

بیست و یک مشکل دیگر همگی توجه قابل توجهی را به خود جلب کرده‌اند، و تا اواخر قرن بیستم، کار روی این مشکلات هنوز هم از اهمیت بالایی برخوردار بود.

هیلبرت ۱۲ سال پس از انتشار قضیه کرت گودل زندگی کرد، اما ظاهراً هیچ پاسخ رسمی به کار گودل ننوشت.

هیلبرت در مورد نظر خود مبنی بر اینکه هر مشکل ریاضی باید یک راه حل داشته باشد، امکان وجود راه حلی را که می‌تواند اثباتی باشد که مشکل اصلی غیرممکن است، در نظر می‌گیرد.

اولین مورد از این موارد توسط برنارد دورک ثابت شد؛ اثباتی کاملا متفاوت از دو مورد اول، از طریق کوهومولوژی l-آدیک، توسط الکساندر گروتندیگ ارائه شد.

با این حال، حدس‌های ویل، از نظر دامنه، بیشتر شبیه یک مشکل هیلبرت منفرد بودند، و ویل هرگز آنها را به عنوان یک برنامه برای تمام ریاضیات در نظر نگرفت.

اردوش اغلب جوایز پولی ارائه می‌کرد؛ اندازه پاداش به سختی درک شده مشکل بستگی داشت.

حداقل در رسانه‌های اصلی، معادل 21st century de facto از مشکلات هیلبرت، لیست هفت مشکل جایزه هزاره است که در سال 2000 توسط موسسه ریاضیات کلی انتخاب شد.

فرضیه ریمان به دلیل حضور آن در لیست مشکلات هیلبرت، لیست سمایل، لیست مشکلات جایزه هزاره و حتی حدس‌های ویل، در لباس هندسی، قابل توجه است.

1931, 1936 3rd آیا همیشه امکان برش اول به قطعات چندوجهی متناهی وجود دارد که می تواند برای تولید دوم مجددا مونتاژ شود؟

— 12th قضیه کرونکر-وبر در مورد بسط آبلیان اعداد گویا را به هر میدان پایه ای گسترش دهید.

1959 15th پایه ریاضی محکم برای محاسبه انحصاری شوبرت.

1927 18th (a) آیا چندوجهی وجود دارد که فقط یک کاشی کاری آنیزوهدرال در سه بعد پذیرفته است؟ (b) چگالی ترین بسته بندی کره چیست؟

یک عدد یک شی ریاضی است که برای شمارش، اندازه گیری و برچسب زدن استفاده می شود.

به طور جهانی‌تر، اعداد منفرد می‌توانند با نمادها، که عدد نامیده می‌شوند، نشان داده شوند؛ به عنوان مثال، "5" عددی است که عدد پنج را نشان می‌دهد.

محاسبات با اعداد با عملیات حسابی انجام می‌شود، که آشنا ترین آنها جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و توان است.

Gilsdorf, Thomas E. Introduction to Cultural Mathematics: With Case Studies in the Otomies and Incas, John Wiley & Sons, Feb 24, 2012.Restivo, S. Mathematics in Society and History, Springer Science & Business Media, Nov 30, 1992.

در قرن 19، ریاضیدانان شروع به توسعه بسیاری از انتزاعات مختلفی کردند که خواص خاصی از اعداد را به اشتراک می‌گذارند، و ممکن است به عنوان بسط مفهوم دیده شوند.

یک سیستم شمارش، هیچ مفهومی از ارزش مکانی (مانند نماد دهدهی مدرن) ندارد، که نشان دادن اعداد بزرگ را محدود می‌کند.

Brahmasphutasiddhanta Brahmagupta اولین کتابی است که صفر را به عنوان یک عدد ذکر می‌کند، از این رو Brahmagupta معمولا به عنوان اولین کسی که مفهوم صفر را تدوین کرده است، در نظر گرفته می‌شود.

به طور مشابه، Pāṇini (قرن 5 قبل از میلاد) از عملگر تهی (صفر) در Ashtadhyayi استفاده کرد، که نمونه اولیه از یک دستور زبان جبری برای زبان سانسکریت بود (همچنین به Pingala مراجعه کنید).

تا سال 130 میلادی، بطلمیوس، تحت تأثیر هیپارکوس و بابلیان، از یک نماد برای 0 (یک دایره کوچک با یک خط افقی بلند) در سیستم اعداد شصتگانی استفاده می‌کرد که در غیر این صورت از حروف یونانی استفاده می‌کرد.

اشاره قبلی دیوفانتوس توسط ریاضیدان هندی Brahmagupta، در Brahmasphutasiddhanta در سال 628، به طور صریح‌تر مورد بحث قرار گرفت، که از اعداد منفی برای تولید فرمول عمومی درجه دوم استفاده کرد که هنوز هم در حال استفاده است.

در همان زمان، چینی‌ها اعداد منفی را با کشیدن یک خط مورب از طریق سمت راست‌ترین رقم غیرصفر عدد مربوط به عدد مثبت نشان می‌دادند.

ریاضیدانان یونان باستان و هند باستان، نظریه اعداد گویا را به عنوان بخشی از مطالعه عمومی نظریه اعداد، بررسی می‌کردند.

مفهوم کسرهای اعشاری به طور تنگاتنگ با علامت ارزش مکانی اعشاری مرتبط است؛ این دو به نظر می‌رسد که به طور همزمان توسعه یافته‌اند.

با این حال، فیثاغورث به مطلق بودن اعداد اعتقاد داشت و نمی‌توانست وجود اعداد گنگ را بپذیرد.

تا قرن 17، ریاضیدانان به طور کلی از کسرهای اعشاری با نماد مدرن استفاده می‌کردند.

در سال 1872، انتشار نظریه‌های کارل ویرستراس (توسط شاگردش E. Kossak)، ادوارد هاینه، گئورگ کانتور و ریچارد ددکیند انجام شد.

ویرستراس، کانتور و هاینه، نظریه‌های خود را بر اساس سری‌های نامتناهی بنا می‌کنند، در حالی که ددکیند نظریه خود را بر اساس ایده یک برش (Schnitt) در سیستم اعداد حقیقی، جداسازی همه اعداد گویا به دو گروه با ویژگی‌های مشخص، بنا می‌کند.

از این رو، لازم بود که مجموعه گسترده‌تر اعداد جبری (همه راه حل‌های معادلات چند جمله‌ای) را در نظر بگیریم.

ارسطو مفهوم سنتی غربی از بی‌نهایت ریاضی را تعریف کرد.

اما پیشرفت عمده بعدی در این نظریه توسط گئورگ کانتور انجام شد؛ او در سال 1895 کتابی درباره نظریه مجموعه جدید خود منتشر کرد که در آن، از جمله موارد دیگر، اعداد ترانسفاینیت را معرفی کرد و فرضیه پیوستار را تدوین کرد.

نسخه هندسی مدرن از بی‌نهایت توسط هندسه تصویری ارائه می‌شود، که "نقاط ایده‌آل در بی‌نهایت" را معرفی می‌کند، که برای هر جهت فضایی یکی وجود دارد.

با این حال، ایده نمایش گرافیکی اعداد مختلط، در اوایل سال 1685، در De algebra tractatus والیس، ظاهر شد.

در سال 240 قبل از میلاد، اراتوستن از غربال اراتوستن برای جداسازی سریع اعداد اول استفاده کرد.

نتایج دیگر در مورد توزیع اعداد اول شامل اثبات اویلر مبنی بر اینکه جمع معکوس اعداد اول واگرا است، و حدس گلدباخ، که ادعا می‌کند هر عدد زوج به اندازه کافی بزرگ، جمع دو عدد اول است.

به طور سنتی، دنباله اعداد طبیعی با 1 شروع می‌شد (0 حتی برای یونانیان باستان یک عدد در نظر گرفته نمی‌شد).

در این سیستم پایه 10، سمت راست‌ترین رقم یک عدد طبیعی، ارزش مکانی 1 دارد، و هر رقم دیگر، ارزش مکانی ده برابر ارزش مکانی رقم سمت راست خود را دارد.

اعداد منفی معمولا با علامت منفی (علامت منفی) نوشته می‌شوند.

در اینجا حرف Z قرار می‌گیرد.

کسر ها می‌توانند بزرگتر از، کوچکتر از، یا برابر با 1 باشند و همچنین می‌توانند مثبت، منفی یا 0 باشند.

پارگراف بعدی در درجه اول بر روی اعداد حقیقی مثبت تمرکز خواهد کرد.

بنابراین، به عنوان مثال، یک نیم، 0.5 است، یک پنجم، 0.2 است، یک دهم، 0.1 است، و یک پنجاهم، 0.02 است.

نه تنها این مثال‌های برجسته، بلکه تقریباً همه اعداد حقیقی گنگ هستند و بنابراین هیچ الگوی تکراری و در نتیجه هیچ عدد اعشاری متناظر ندارند.

از آنجایی که حتی دومین رقم بعد از نقطه اعشاری نیز حفظ نمی‌شود، ارقام بعدی قابل توجه نیستند.

به عنوان مثال، 0.999...، 1.0، 1.00، 1.000، ...، همه عدد طبیعی 1 را نشان می‌دهند.

در نهایت، اگر همه ارقام در یک عدد 0 باشد، عدد 0 است، و اگر همه ارقام در یک عدد یک رشته نامتناهی از 9 باشد، می‌توانید 9های سمت راست نقطه اعشاری را حذف کنید، و یک به رشته 9های سمت چپ نقطه اعشاری اضافه کنید.

بنابراین اعداد حقیقی یک زیر مجموعه از اعداد مختلط هستند.

قضیه اساسی جبر ادعا می‌کند که اعداد مختلط یک میدان جبری بسته تشکیل می‌دهند، به این معنی که هر چند جمله‌ای با ضرایب مختلط، ریشه ای در اعداد مختلط دارد.

اعداد اول بیش از 2000 سال است که به طور گسترده مورد مطالعه قرار گرفته‌اند و منجر به بسیاری از سوالات شده‌اند، که تنها برخی از آنها پاسخ داده شده است.

اعداد حقیقی که گویا نیستند، اعداد گنگ نامیده می‌شوند.

اعداد قابل محاسبه برای همه عملیات حسابی معمولی، از جمله محاسبه ریشه‌های یک چند جمله‌ای، پایدار هستند و از این رو یک میدان بسته حقیقی تشکیل می‌دهند که شامل اعداد جبری حقیقی است.

یک دلیل این است که هیچ الگوریتمی برای تست برابری دو عدد قابل محاسبه وجود ندارد.

سیستم اعداد حاصل، به پایه ای که برای ارقام استفاده می‌شود، بستگی دارد: هر پایه ای ممکن است، اما پایه ای که یک عدد اول است، بهترین ویژگی‌های ریاضی را ارائه می‌دهد.

اولی ترتیب مجموعه را می‌دهد، در حالی که دومی اندازه آن را می‌دهد.

این پایه استاندارد، اعداد مختلط را به یک صفحه دکارتی، که صفحه مختلط نامیده می‌شود، تبدیل می‌کند.

اعداد مختلط با مقدار مطلق یک، دایره واحد را تشکیل می‌دهند.

در رنگ آمیزی دامنه، ابعاد خروجی به ترتیب با رنگ و روشنایی نشان داده می‌شوند.

کار بر روی مشکل چند جمله‌ای‌های عمومی، در نهایت به قضیه اساسی جبر منجر شد، که نشان می‌دهد با اعداد مختلط، راه‌حلی برای هر معادله چند جمله‌ای با درجه یک یا بیشتر وجود دارد.

خاطرات وسل در Proceedings of the Copenhagen Academy منتشر شد، اما به طور گسترده‌ای مورد توجه قرار نگرفت.

نویسندگان کلاسیک بعدی در مورد این نظریه عمومی، شامل ریچارد ددکیند، اتو هولدر، فلیکس کلاین، هانری پوانکره، هرمان شوارتز، کارل ویرستراس و بسیاری دیگر می‌شوند.

استفاده از اعداد موهومی تا زمانی که کار لئونارد اویلر (1707–1783) و کارل فردریش گاوس (1777–1855) به طور گسترده پذیرفته نشد.

اعداد صحیح کوچکترین گروه و کوچکترین حلقه‌ای هستند که شامل اعداد طبیعی می‌شود.

این الگوی همه اشیاء با چنین ساختار جبری است.

انواع داده‌های تقریبی عدد صحیح با طول ثابت (یا زیر مجموعه‌ها) در چندین زبان برنامه نویسی (مانند Algol68، C، Java، Delphi، و غیره) با int یا Integer مشخص می‌شوند.

این‌ها ویژگی‌های قابل اثبات اعداد گویا و سیستم‌های اعداد موضعی هستند، و در ریاضیات به عنوان تعریف استفاده نمی‌شوند.

از آنجایی که مثلث متساوی‌الساقین است، a = b).

از آنجایی که c زوج است، تقسیم c بر 2، یک عدد صحیح به دست می‌دهد.

با جایگزینی 4y2 برای c2 در معادله اول (c2 = 2b2)، 4y2= 2b2 را بدست می‌آوریم.

از آنجایی که b2 زوج است، b باید زوج باشد.

با این حال، این با فرضیه‌ای که آنها فاکتور مشترک ندارند، تناقض دارد.

با این حال، هیپاسوس به خاطر تلاش‌هایش مورد ستایش قرار نگرفت: طبق یک افسانه، او این کشف را در هنگام دریانوردی انجام داد، و به دنبال آن توسط همکاران فیثاغورسی خود به دریا انداخته شد “…زیرا عنصری را در کیهان به وجود آورد که …اعتقادی را که همه پدیده‌های کیهان را می‌توان به اعداد صحیح و نسبت‌های آنها تقلیل داد، انکار می‌کند.”

به عنوان مثال، یک پاره خط را در نظر بگیرید: این پاره خط را می‌توان به نصف تقسیم کرد، آن نصف به نصف تقسیم می‌شود، نصف نصف به نصف تقسیم می‌شود، و به همین ترتیب.

این دقیقا همان چیزی است که زئون می‌خواست ثابت کند.

در ذهن یونانیان، رد اعتبار یک دیدگاه، لزوما اعتبار دیدگاه دیگری را ثابت نمی‌کرد، و بنابراین لازم بود که تحقیقات بیشتر انجام شود.

یک اندازه “...یک عدد نبود، بلکه نمایانگر چیزهایی مانند پاره خط، زاویه، مساحت، حجم و زمان بود که می‌توانستند، به طور مداوم، به طور مداوم تغییر کنند.

از آنجایی که هیچ ارزش کمی به اندازه‌ها اختصاص داده نشد، اودوکسوس سپس توانست با تعریف نسبت از نظر اندازه آن، و تناسب به عنوان تساوی بین دو نسبت، نسبت‌های متناسب و نامناسب را توجیه کند.

این نامناسبی در اصول اقلیدس، کتاب X، قضیه 9، مورد بررسی قرار می‌گیرد.

در واقع، در بسیاری از موارد، مفاهیم جبری به صورت هندسی بازسازی شدند.

درک اینکه برخی از مفاهیم اساسی در نظریه موجود با واقعیت تناقض داشت، ضرورت یک بررسی کامل و عمیق از اصول و فرض‌هایی را که در آن نظریه نهفته است، ایجاد کرد.

با این حال، مورخ کارل بنژامین بویر می‌نویسد که "چنین ادعاهایی به خوبی مستند نشده و بعید است که درست باشند".

ریاضیدانانی مانند Brahmagupta (در سال 628 میلادی) و Bhāskara I (در سال 629 میلادی) در این زمینه سهم داشتند، همانطور که سایر ریاضیدانان پس از آنها داشتند.

سال 1872 شاهد انتشار نظریه‌های کارل ویرستراس (توسط شاگردش ارنست کوساک)، ادوارد هاینه (مجله Crelle، 74)، گئورگ کانتور (Annalen، 5) و ریچارد ددکیند بود.

ویرستراس، کانتور و هاینه نظریه‌های خود را بر اساس سری‌های نامتناهی بنا می‌کنند، در حالی که ددکیند نظریه خود را بر اساس ایده یک برش (Schnitt) در سیستم همه اعداد گویا، جداسازی آنها به دو گروه با ویژگی‌های مشخص، بنا می‌کند.

دیریکله نیز به نظریه کلی افزود، همانطور که تعداد زیادی از همکاران در کاربردهای این موضوع داشته‌اند.

این ادعا می‌کند که هر عدد صحیح، فاکتورسازی منحصربه‌فردی به اعداد اول دارد.

برای نشان دادن این، فرض کنید که اعداد صحیح n را بر m (که m غیر صفر است) تقسیم می‌کنیم.

اگر 0 هرگز رخ ندهد، الگوریتم می‌تواند حداکثر m − 1 مرحله را بدون استفاده از هیچ باقیمانده‌ای بیش از یک بار اجرا کند.